Обыкновенные дифференциальные уравнения. Том 2 - Сансоне Дж.

Глава VII. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
2. Уравнения в вариациях. Решение при помощи дифференцирования
3. Критерии устойчивости А.М.Ляпунова. Приложения
2. Асимптотические разложения решений дифференциального уравнения второго порядка с изолированной неправильной особой точкой на бесконечности
$3. Теоремы Перрона и Хукухара об асимптотическом поведении решений линейных дифференциальных уравнений и систем линейных дифференциальных уравнений
4. Асимптотические формулы для функций Бесселя
$5. Асимптотическое представление решении дифференциальных уравнений второго порядка при больших значениях параметра
2. Асимптотическая формула Карлини для функций Бесселя большого порядка
Глава VIII. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ В ЦЕЛОМ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
3. Область существования интегральной кривой
4. Об интегральных кривых, выходящих из некоторой точки
6. Области непрерывной зависимости верхних и нижних решений от координат начальной точки
2. Первая теорема сравнения для дифференциальных уравнений первого порядка
4. Оценка разности между решениями, проходящими через одну и ту же точку. Теорема Бомпиани-Тонелли-Монтеля
5. Теоремы единственности Пеано, Тонелли, Осгуда и Тамаркина
6. Теорема существования и единственности Розенблатта, Нагумо и Перрона
7. Теоремы сущесгвования и единственности Розенблатта и Скорца-Драгони
8. О границах связки интегральных кривых, проходящих через некоторую точку. Теорема Пеано - Перрона
$3. Область существования и теоремы единственности для решений систем дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями
2. Обобщение теоремы Нагумо на системы дифференциальных уравнений, данное Мюллером и Перроном
3. Обобщение Цвирнера теоремы Скорца-Драгони на системы дифференциальных уравнений
$6. Теоремы отделения, сравнения и единственности для уравнений второго порядка
2. Теоремы сравнения для решений дифференциальных уравнений второго порядка. Теоремы единственности
1. Решения, принадлежащие области, ограниченной двумя интегральными кривыми. Теорема существования Скорца-Драгони. Доказательство Чинквини
$8. Теоремы существования и единственности Каратеодори
2. Теоремы существования и единственности для систем дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производных
Глава IX. ОСОБЫЕ ТОЧКИ. ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ
1. Общие замечания
2. Точки неопределенности. Канонические формы
4. Классификация Пуанкаре особых точек в действительном случае
4. Необходимые условия и достаточные условия для существования особой интегральной кривой
7. Нахождение особых решений в случае, когда известно параметрическое представление общего решения как функции от производной и от произвольной постоянной
8. Геометрическое место точек перегиба интегральных кривых
Глава Х. ОПЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
2. Дифференциальные операторы и линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
$2. Наибольший общий делитель двух линейных дифференциальных операторов и общие решения двух линейных дифференциальных уравнений
4. Наименьшее общее кратное двух дифференциальных операторов
$3. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
3. Сведение системы с отличным от нуля определителем к эквивалентной диагональной системе
$4. Системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами
$5. Представление решений дифференциальных уравнений с помощью определенных интегралов
2. Преобразования Лапласа для некоторых функций
3. Преобразование Лапласа для производных
4. О соответствии между оригиналом и изображением
6. Преобразование Лапласа целых функций экспоненциального типа. Формула обращения Пинкерле
7. Формулы обращения для преобразований Фурье и Лапласа
$7. Приложения преобразования Лапласа к дифференциальным уравнениям, коэффициентами которых являются постоянные или многочлены, и к системам дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
2. Дифференциальные уравнения, коэффициентами которых являются многочлены
3. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Нахождение решения, удовлетворяющего начальным условиям
4. Преобразование Лапласа и операционное исчисление Хевисайда
$8. Метод Бромвича интегралов в комплексной области
$9. Функциональное операторное исчисление Джорджи и дифференциальные уравнения
2. Приложения к расчету электрических цепей
Глава XI. ЧИСЛЕННОЕ, ГРАФИЧЕСКОЕ И МЕХАНИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
2. Оценка погрешности приближения при методе последовательных приближений
$2. Методы численного решения Эйлера и Рунге-Кутта
3. Метод Рунге-Кутта численного решения дифференциальных уравнений
4. Применение метода Рунге-Кутта к численному решению систем дифференциальных уравнений
$3. Численное решение дифференциальных уравнений с помощью апроксимационных многочленов
2. Видоизменение Пиконе и оценка погрешности приближения
$5. Вычисление собственных значений и приближенное решение дифференциальных систем с заданными краевыми условиями
2. Дифференциальные системы второго порядка. Оценка сверху наименьшего собственного значения и оценка решения в неоднородном случае
3. Метод Ритца для приближенного решения дифференциальных уравнений второго порядка
4. Метод Н.М.Крылова-Пиконе-Мак-Ивена наименьшей потенциальной энергии для приближенного решения линейных дифференциальных систем любого порядка
$6. Графическое решение дифференциальных уравнений
2. Геометрическое истолкование p-дискриминантной кривой
3. Построение геометрического места точек касания интегральных кривых
5. Графическое решение уравнений второго порядка по методу радиуса кривизны
6. Метод графического решения при помощи прозрачной бумаги
$7. Механическое решение дифференциальных уравнений
Глава ХII. О НЕКОТОРЫХ ВСТРЕЧАЮЩИХСЯ В ПРИЛОЖЕНИЯХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
2. Область существования траектории. Изменение наклона траектории и горизонтальной проекции скорости
3. Пределы наклона и скорости в случае, когда функция сопротивления зависит только от скорости движения
4. О наименьшей скорости. Теорема Сиаччи. Теорема сравнения Синьорини
2. Решения уравнения в случае B^2-4ACge 0
3. В случае, когда B^2-4AC <0, все решения уравнения колеблются
6. Колебания в случае периодической возмущающей силы. Теорема Каччиополи-Гицетти
$3. Уравнение релаксации
6. Преобразование уравнения Лиенара в нелинейное уравнение первого порядка
7. Существование периодических решений
8. Монотонность последовательности максимумов и последовательности минимумов решений
9. Обобщенная теорема Лиенара о существовании единственного периодического решения
10. Обобщенная теорема Левинсона и Смита о существовании одного и только одного периодического решения
$4. Вынужденные колебания маятника. Уравнение Дуффинга
2. Случай alpha^2 <1; доказательство существования периодического решения по методу последовательных приближений
$5. Дифференциальное уравнение Эмдена для политропного газа
2. Потенциальная энергия газового шара и неравенство n <5 для сферы конечного радиуса
3. Уравнение Фаулера и эквивалентная ему нормальная система дифференциальных уравнений; случай n=5
4. Поведение интегральных кривых. Кривая Е и кривые F и М
5. Асимптотическое поведение решений уравнения Фаулера. Теорема Фаулера
$6. Уравнения Польвани движения электрона в магнетроне Хэлла. Теоремы Асколи об асимптотическом поведении решений
2. Область существования решений
3. Существование бесконечного множества общих точек у двух интегральных кривых
4. Особенные решения
5. Теоремы Асколи об асимптотическом поведении решений
$7. Уравнение Томаса-Ферми. Доказательство теоремы существования и единственности
$8. Об уравнении Шредингера для двух частных задач
2. Водородоподобные системы. Собственные значения и собственные функции
Author: Сансоне Дж.
Tags: математика дифференциальные уравнения функциональный анализ
Year: 1954
Similar
Устойчивость движения (методы Ляпунова и их применение)
Теория устойчивости движения
Лекции по математической теории устойчивости
Линейные оптимальные системы управления
Text
                    Дж. САНСОНЕ
ОБЫКНОВЕННЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
ТОМ II
Перевод с итальянского
н. я. виленкина
И *Л
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Мо с к в а —1954

G. SANSONE
EQUAZIONI DIFFERENZIALI
NEL CAMPO REALE
Parte Seconda
Seconda edizione
BOLOGNA
1949

Глава Vll
АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Устойчивые и неустойчивые решения систем
дифференциальных уравнений
1. Безусловная устойчивость (устойчивость в смысле Ди*
рихле) и частичная устойчивость (устойчивость в смысле Рауса).
Пусть дана система дифференциальных уравнений
dy.
-^ =/«(*; л. .у* уп) («=1.2 и). (1)
Зададим и чисел _уь yl Уп и число х и предположим, что
любой системе начальных значений ух, у-2 Уп> удовлетворяющих
неравенствам
\yt — у<\<?.
соответствует одно и только одно решение этой системы у1(х),
у2 (х) уп (х), определенное в промежутке (— оо, -\- со) и
удовлетворяющее начальным условиям
У{(х*) = уЧ (i=l, 2, .... п). (2)
Пусть у1(х), y%(x) Уп(х) — решение этой системы,
удовлетворяющее начальным условиям
$(*°) —$ (i=l, 2, .... и). (3)
Оно называется безусловно устойчивым, или устойчивым в смысле
Дирихле, если для любого е > 0 можно найти такое число р',
0<р'<[р, что любой системе начальных значений y°v у^ у",
удовлетворяющих неравенствам
\УЧ — ~у\\<?г (*'=1. 2 я), (4)
соответствуют решения yt(x), y2(x), ..., у„(х), для которых
max \у{(х) — у{(х)\<г (г = 1, 2 я)1). (5)
— оо <ж< + оо
*) Относительно вопросов, рассматриваемых в этом параграфе, см. Леви-
Чивита и Амальди [1],т. II, ч. I, стр. 377—382. Для уравнения х" -\-р (t) x = О,
где функция р (t) периодична, критерий устойчивости был уже указан
в гл. VI, § 2, п. 2, .в".
1*

4 Гл. Vlf. Асимптотическое поведение решений
Если это условие не выполняется, то решение «называется
неустойчивым.
Для некоторых приложений достаточно, чтобы неравенства (5)
выполнялись лишь для значений х^-х°; в этом случае говорят
о положительной устойчивости х). Иногда бывает интересно
требовать выполнения неравенств (5) лишь для части функций yt(x),
у2 (х), ..., уп (х), характеризующей некоторые стороны изучаемого
явления; в этом случае говорят о частичной устойчивости, или
об устойчивости в смысле Рауса [1]. Пусть, например, уравнение
второго порядка
y"=f(x;y,/) (6)
представляет собой уравнение движения точки, причем у(х) и у' (х)
указывают соответственно положение и скорость точки в момент
времени х; уравнение (6) эквивалентно нормальной системе
дифференциальных уравнений
dy i dy' ,. /ч
dx * ' dx
Для некоторых задач представляет интерес оценка
max |/(*) —7(*)|
различия скоростей, соответствующих одному и тому же моменту
времени х (где х изменяется от — оо до -\- оо), в то время как
различие положений играет второстепенную "роль; в других задачах
имеет место обратное положение вещей. Как в том, так и в другом
случае мы имеем дело с задачами об устойчивости в смысле Рауса
(см. примеры в § 4, п. 8, „в").
2. Уравнения в вариациях. Решение при помощи
дифференцирования, а) Пусть система (1) имеет устойчивое 2) решение
УЛх), у2(х), ...^уп{х), _
удовлетворяющее начальным условиям yi (x°) = у\. Положим
Л = Л(*) + б!(*) ' (1=1, 2 я), (7)
где ii(x) — новые искомые функции. Зададим число е>0; тогда
можно найти такое число р' > 0, что из неравенств
1«*(*°)|<р' (*=1. 2 п)
вытекают неравенства
I &*(*)|< s при х>х°. (8)*
1) Или об устойчивости по Ляпунову; см. В. В. Степанов [1].—Прим.
ред.
2) Начиная с этого пункта и до конца § 1 автор фактически имеет
в виду устойчивость по Ляпунову. — Прим. ред.

jS /. Устойчивые и неустойчивые решения
5
Предположим, что функции f{ обладают непрерывными частными
производными второго порядка по переменным yv _у2, ..., уп,
причем эти производные ограничены в совокупности при х > х°,
\Уг У°г\< Pi ТОГДа
dy~i (■*) I d^i (■*)
dx ' dx
--fi(x;yi(x), У2(х), .... yn{x))-\-
+ V^^W + l/?f (/=1, 2, .... я), (9)
где
n
Ъ-СЪф-ьТ- - - ,. o<e<i.
I — 1
Все вторые производные, получающиеся, если выполнить в
последнем выражении символическое возведение в квадрат, берутся в точке
(Л+ 9^. Л+ «2. •••> Уп + Ю-
Принимая во внимание, что функции у1{х), у2(х), ..., уп(х)
удовлетворяют системе (1), и учитывая неравенства (8), а также
ограниченность в совокупности вторых частных производных
функций fit получаем, что функции ^(л:), %2(х), .... Ьп{х)
удовлетворяют, с точностью до членов порядка $2, системе линейных
дифференциальных уравнений:
п
j±-=yP-li(x) (*=1, 2, .... я). (10)
Символ dfijdyl понимается как значение частной производной функции
/< по yt в точке Cyi(x), ~У-2{х), .... ~уп{х)).
Пуанкаре назвал уравнения (10) уравнениями в вариациях
системы (1) относительно устойчивого решения у1{х), у.г(х), ....
уп(х) (Пуанкаре [1], т. I, гл. IV, стр. 162 и след.).
б) Полезно отметить, что если известно общее решение
yi(x; x°; _yj, у^, .... у°п) системы (1), зависящее от начальных
значений у\, .у". .... У, то общее решение системы уравнений в
вариациях (10) можно получить при помощи одной лишь операции
дифференцирования.
В самом деле, в силу сказанного в гл. I, § 5, п. 2, функции
V<* = 4^ <«, А = 1, 2,..., я)
°Ук

6 Гл.- VII. Асимптотическое поведение решений
удовлетворяют системе (10), причем из равенства (102),
установленного в гл. I, § 5, вытекает, что
Vik(*°) = 8Л, det\Vik\=\ (i, k = 1, 2, .. ., n);
поэтому функции Vih. образуют фундаментальную систему решений
системы (Ю).
в) Пусть функции ^(х), Z2(x), •••> %п(х) образуют решение
системы (10), соответствующее достаточно малым начальным
значениям. Тогда функции (7) можно рассматривать как
приближенное решение системы (1), определенное в [х°, ~\-со), причем все
получаемые таким образом решения близки к устойчивому
решению y^i^x), Уъ(х), ..., уп(х). Поэтому такие решения называются
малыми колебаниями около устойчивого решения y^ix), y.2(x)
Уп (*)•
Можно было бы предположить, что устойчивость решений
системы (1) может быть установлена путем изучения решений
системы (10); однако, как показал А. М. Ляпунов в своей
знаменитой работе [1], эта невозможно в некоторых особых случаях.
А. М. Ляпунов указал также критерии, при выполнении которых
изучение первого приближения достаточно для установления
устойчивости, а также дал методы, позволяющие в различных случаях
решить вопрос об устойчивости, когда изучение системы (10)
оказывается недостаточным.
3. Критерии устойчивости А. М. Ляпунова. Приложения.
а) Пусть дана система дифференциальных уравнений
^Р- = У Р[{) У?'У?> ...утп (11)
(%>0, ш2>0 ?я„>0; тх-\-щ +... +'«„> 1;
/= 1, 2, . .., п),
правые части которых являются степенными рядами относительно
переменных yv у2 уа. Пусть коэффициенты Р'$ т„.т этих
рядов являются непрерывными действительными функциями от х,
ограниченными в совокупности при х^>х°, и пусть эти ряды
сходятся при любых действительных или комплексньус значениях
переменных ух, у.„ ..., уп, не превосходящих по модулю
положительного числа Н, и при всех значениях х^>х°. Предположим далее,
что для любой системы начальных значений у\, у\ у1^',
удовлетворяющих неравенствам \у\\ < р (г'=1, 2, ..., п), система (11)
обладает одним и только одним решением, определенным в проме-

§ I. Устойчивые и неустойчивые решения
7
жутке [х°, -f- оо) и удовлетворяющим начальным условиям yt(x°) =
= у\. Рассмотрим, при каких условиях решение
Л = 0, Л=0, ...,.ув = 0 (12)
системы (11) устойчиво.
Если в системе (11) коэффициенты при членах первой степени
не зависят от х, то соответствующая система уравнений в вариациях
имеет постоянные коэффициенты. Путем изучения этой системы
А. М. Ляпунов вывел для многих случаев критерии устойчивости.
Мы Ограничимся здесь формулировкой некоторых его результатов
более общего характера, отсылая читателя за доказательствами
к работе А. М. Ляпунова [1] (см. также Гурса [1], т. III, вып. 1,
стр. 33—44).
Пусть V(yv y2, ..., уп) — квадратичная форма с
действительными постоянными коэффициентами; заменяя в ней yv y.2, ..., уп
решением системы (11) и дифференцируя по х, получаем
~d^^vi(yv У* •••' Уп) + $(У1> У-2' •••> Уп)'
где Vt — новая квадратичная форма с постоянными коэффициентами,
а Ф — степенной ряд относительно переменных yv y.2 уп,
состоящий из членов третьей и высших степеней. Если коэффициенты
формы V(уv у2, ..., уп) можно выбрать так, чтобы форма
^lCVi- Уъ< •••> Уп) была положительно определенной, то имеет
место следующая теорема:
1) Решение у1==0, у% = 0 уп = 0 устойчиво г), если
квадратичная форма V(yv у2, . . ., уп) является отрицательно
определенной.
2) Решение у1 = 0, у.2 — 0 уп = 0 неустойчиво, если
квадратичная форма V{yv у.2, .. ., уп) является положительно
определенной или неопределенной.
б) 1) Рассмотрим, например, систему линейных дифференциальных
уравнений
*У±^0 „ -^L = f> у ^Ь = Р V
dx Pi-^i' dx ™У* dx РпУп'
где числа pv p,2 p„ действительны, отличны от нуля и попарно
различны.
Если положить
то
!) По Ляпунову. — Прим. ред.

8 Гл. VII. Асимптотическое поведение решений
и потому решение у± — 0, _у.2 = 0, ..., _уп = 0 устойчиво, если все
числа pj, p2, .... рп отрицательны; если же хотя бы одно из них
положительно, то это решение неустойчиво.
В справедливости этого результата легко убедиться, если
заметить, что данная система имеет общее решение вида
у1==у&1»-<», у.^уУ'^1 .:.,yn=yle*n<*-*\
2) Вообще, пусть дана система линейных дифференциальных
уравнений с постоянными действительными коэффициентами
4f = виЛ-Ь«вЛ+ • • • +<W„ ('= 1> 2, • • •. п);
рассмотрим ее характеристическое уравнение (гл. II, § 1, п. 6):
D(p) =
а.п. «22 —Р
. апп — р
Предположим, что все корни этого уравнения действительны и
отличны от нуля. Тогда можно доказать, что решение уг = 0,
_у2 = 0, .... уп = 0 устойчиво, если все корни
характеристического уравнения отрицательны, и неустойчиво, если хотя бы один
из этих корней положителен.
Предположим теперь, что характеристическое уравнение имеет
и комплексные корни, но ни один корень этого уравнения не
равен нулю и не является чисто мнимым (т. е. что
действительная часть любого корня отлична от нуля). Тогда решение у± == 0,
у2 = 0, .... уп = 0 устойчиво, если действительные части всех
корней отрицательны, и неустойчиво, если хотя бы один из
корней имеет положительную действительную часть (см., например,
Гурса [1], т. III, вып. 1, стр. 36—40).
§ 2. Асимптотические разложения решений дифференциального
уравнения второго порядка с изолированной неправильной особой
точкой на бесконечности
а) Изучим поведение при дг-^-j-oo решений уравнения
коэффициенты которого разлагаются при | х | > R в ряды вида

§ 2. Асимптотические разложения решений g
где {рп } и { qn } — некоторые последовательности действительных
чисел х).
Поведение этих решений на бесконечности можно изучать при
помощи их разложения в ряд в окрестности точки х = -\- оо. Мы
уже видели в гл. III, § 3, п. 2 и 5, что для этих решений можно
построить разложения в ряды, расположенные по степеням 1/х,
причем эти разложения сходятся, если бесконечно удаленная точка
является регулярной точкой для уравнения (1) или же правильной
особой точкой для этого уравнения. Напомним, что точка лг = оо
называется регулярной, если функции 2х — х2р(х), x*q(x) регулярны
в окрестности точки д; = оо и, следовательно,
Ро^0' />i = 2>' ?0 = ?i = ?2 = ?3 = °»
и правильной особой точкой, если функции хр (х), x%q (x) регулярны
в окрестности точки х = оэ и, следовательно,
Ро = 0' 9o = 9i = 0. (3)
Если равенства (3) не имеют места, то точка х = оо называется
неправильной особой точкой. Пуанкаре заметил, что если построить
ряд, который в окрестности неправильной особой точки формально
удовлетворяет уравнению, то может получиться всюду расходящийся
ряд. Однако во многих случаях получается ряд, аналогичный по своему
характеру ряду Стирлинга:
In Г (*+1)~ 1^(2^+^+1) In х-х -
By 1 В*. l_i_ 1 /_ 14,-1 ВР 1 1
Л+...■ + (-!>
1 1-2 х 3-4лг31 ---i^ -> (2p — l)2p ^-i~" "
который расходится при всех значениях х, но обладает тем
свойством, что при х > 0 имеет место неравенство
|ln TV*-_L_n__c \^ ^+1 1
TVv._L.i4 с | S р+1 L_
1 V*-p Ч ^р^ (2p+l)(2p + 2) xW+i>
где
ВР 1
+ (- I)*-1
(2p-l)2/»„W-i
(См., например, Уиттекер и Ватсон [1], ч. II, стр. 28; Bv В2 В
являются числами Бернулли).
1). Относительно изучения этого уравнения в комплексной области см.
например, Шлезингер [1], гл. VIII, стр. 248 и след. См. также Горн[1]1
стр, 183—'194. В этой книге содержатся также и бибдиохрафцческче. указания'

10
Гл. VII. Асимптотическое поведение решений
Ряды такого вида называются асимптотическими рядами {ссимп-
тдтическими разложениями). Построим такие ряды для решений
уравнения (1)х).
б) Если мы сделаем в уравнении (1) подстановку
у = elxv (4)
(к — постоянная величина), то получим уравнение
v"-\-[2k-\-p]v' + [№+pk-\-q] o = 0.
Поэтому, если к является корнем уравнения
*2*+Л)*+<7о = 0> (5)
то уравнение (1) примет вид
^"+K+v1+ •••)^+(р^-1+р^-2+.-0 « = о, (6)
где
■к0 = 2к-\-р0; пп = рп; и>1; pn = kpn-\-qn,
а коэффициент при v в уравнении (6) не содержит свободного члена.
Предположим теперь, что корни уравнения (5) действительны.
Если сделать в уравнении (6) подстановку
v = х'и, (7)
то оно примет вид
и"+[*о+К + 2а) *-i + Vc-»-f • • ■] «'+ (8)
+ [K3+Pi)*-1+(a(a— 1)+*1o + Ps)'*-a + (*2o+p8) х~*+ •■■]« = 0.
Если можно выбрать а так, чтобы выполнялось равенство
то уравнение (8) примет вид
«Ч-1*о +(«1 +2°) я-1+ *,*-»+...] в'+
+ К«(°— 1) + ^ + Р2)^-2 + (^ + Рз)^3+ . . .] « = 0. (10)
Равенство (9) является тождеством, если pt = 0, тт0 = 0, т. е. если
ж = оо является правильной особой точкой для уравнения (6). В этдм
случае описанный в гл. III, § 3, способ позволяет найти разложения
решений уравнения (6) по степеням 1/х.
!) Такие ряды и их приложение к изучению решений дифференциальных
уравнений в комплексной области в окрестности неправильной особой точки
встречаются впервые в работе Пуанкаре [2].

§ 2. Асимптотические разложения решений
И
Ограничимся рассмотрением случая л0<01).
Если положить в равенстве (7) о = —р1;'тг0, то уравнение (1)
примет вид (10). Путем замены независимой переменной х==— Х\ir0
уравнение (10) приводится к виду
S+H+?+3+-]S+[&+^+--]e=0- (11)
где av а.2, . . ., ап, . . ., bv bv . .., bn, ... — действительные числа,
которые выражаются через р0, pv p2, .... q0, qv q2, ■ ■■, причем
ряды, являющиеся коэффициентами при du'dx и при и, сходятся,
если | х\ > R±.
в) Перейдем теперь к изучению поведения решений уравнения (11)
при х—>-}-оо. Мы докажем, что для любого действительного числа а
существует решение и (х) этого уравнения, обладающее тем
свойством, что
lim и(д;) = а, (12)
а;-»+со
и получим с помощью метода последовательных приближений
асимптотическое выражение такого решения, весьма полезное с точки
зрения численного анализа.
оо
Заметим сначала, что если интеграл I (ex~t—\)f{t)dt сходится,
X
и если законна операция дифференцирования под знаком интеграла,
то функция
и (х) = а + [ (в*-* — 1)/ (t) dt
удовлетворяет дифференциальному уравнению
— — — — — f(x)
и условию (12). Поэтому, применяя к уравнению (11) процесс
последовательных приближений, мы получаем формально последовательность
х) Относительно поведения решений уравнения (1) в действительной
области, равно как и относительно случаев, не рассмотренных в тексте, см.
Кнезер [1] „а", „б" и особенно „в", стр. 274—275.
Несколько позже Дини рассмотрел вопрос об определении
асимптотических значений для линейных дифференциальных уравнений любого порядка
(см. Дини [1]). Эти результаты были опубликованы с небольшими
изменениями в книге Дини [2], стр. 745—808.
Другие исследования об асимптотическом интегрировании обыкновенных
дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных см. в
работе Штернберга [1], а для систем линейных дифференциальных уравнений
см. теорему Хукухара в § 3, п. 2 этой главы, и цитированные там
результаты Фаедо.
Относительно разобранных в этом параграфе вопросов см. Айис [1],
стр. 226—230.

12 Гл. VII. Асимптотическое поведение решений
функций {ип(х)}, определяемых формулами
«! = <*. (13t)
«. = «+/ (-—-1)[?+.§+-.]^л+
+ с»
+ / (*"-*-!) [^ + ^+-••]"»-!«)*. (13s)
Ж Я!
(138)
(л =.2, 3, ...)•
Пусть /?2 > Rt; из формул (13) следует, что при | д: | ^/?2 имеют
место неравенства
\щ(х) — и1(х)\<~, |«2(*)|<у>
где & и kt — постоянные величины [см. (16) и (18)]. По индукции
доказывается, что решения, фигурирующие в (132) и (133), сходятся.
Кроме того, при л > 2 первые интегралы в правых частях, этих
формул можно интегрировать по частям, а потому
+ оо
X
+00
X
-Ьсо '
dx
?s=sj'e.-r[a+s+...]Bfi_l(0rf/+[a+b+...]Bfl_lWl(i44)
где числа <Zj, a2, ..., (3.2, (38 fj, Y2> • • • выражаются рационально
через av a.L b», bb, ... и ряды
^i-Lfli Pa 1 h-L- , lL_Ll2_J_
сходятся при x^>R». При этом
Имеет место неравенство
|K2(x)-^(x)| = |a||J(^-*-l)(|-|-|+...)^
<Т. W

§2. Асимптотические разложений решений 13
где, как было указано выше, я является постоянной величиной;
увеличивая я, можно добиться выполнения неравенства
х х
Из (14^ следует, что
+оо
ип (х) — «„_!(*) = / *»-* [т + 3+ ■ • • ] [M»-i W - м»-2 (01. Л+
+оо
+ J [| + |+---]К-1(0-"п-2(0]Л (16а)
О)
С помощью индукции мы получаем поэтому, что
I «»(*) - "»-i (*) I < (4)""1 (" = 2> 3> • • •)• (17)
Аналогично методом индукции доказываются неравенства
rf(B.^m-J).|<^»-i> (18)
dx
где ях — постоянная величина. Поэтому ряды
равномерно сходятся при х^>Ra^> R2- Таким образом, полагая
и (х) = Нт и„ (х) = «! (x)-j- [и2 (ж) — «! (*)] + [и8 (*) — м2 (*)1 + • • •
Я->со
(19)
и замечая, что в равенстве (15) можно перейти к пределу при га-*оо,
получаем, что определенная формулой (19) функция и(х) является
искомым решением уравнения (11).
Для определения асимптотического выражения решения и (ж)
заметим, что
lim
as-M
lm «V Г e'*t~*dt=\ (Я>0),
►+оо J
X
откуда
+оо
je-'r'rf^^o+t),

14
Гл. VII. Асимптотическое поведение решений
где т->0 при лг-хх). Кроме того, при р > 0 имеем
+ос +оо
j e-trpdt=[ — e-*rp^a,—p j e'*rip+1)dt =
+00
.-**-(*+1)л=
а;
— е-А- В- I Р<Р + У. | с n«^^+'):--(fl+"-l)n | ,ч1
_е U" *^1 + хр+2 —■■+(-!)-- ^ 0+OJ.
где т->0 при л;->оо. Поэтому из равенства
+ оо
U,{x)-ui{x) = a§ (е^_1)[|4|+..-]л
X
следует, что
и(1) и(1) aW ,4(1)4-6
где Д1', Лз , . . ., Ат— постоянные величины, а st -> 0 при л:->оо.
Из (162) с помощью рекуррентного процесса можно вывести, что
при целом т, т > п имеет место формула
л(п) л(п) An) A{n) 1
„ (Y\ „ (г\_Лп I . »+l I I Лт-1 , лт tsn
ип + \\л) "nW— xn "Гд-n+l \ ■ • • Т^я-lT xm >
где en —> 0, когда л: —> со. Поэтому
„ (v\ „ 1 W _l Q 1 _L ^ re _1_ _1_ ^«»-i I Cm -j- e
"n+i W— a ~T~x"t~~x^~t~- ■ • 17 x7*-!" ■ • • ~Г^ГЛ ~l xTi—>
где s —> 0 при л: —> со.
С другой стороны, в силу (17) имеем при x^R3
\lun^(x) — un+1(x)]-\-[un+3(x) — un+2(x)]-\-...\<
<(4Г[.+(4)+(4)Ч...]<^,.
где И—постоянная величина, так что при x^R3
— г, _i_ 9l _L ^2 1 I cn-i 1 £» + %
«*) = «+^ + 3+...+£eH
и( - • ■ xn
где •:„ —> 0, когда л:—>®о. Следовательно, при сделанных
предположениях дифференциальное уравнение (11) обладает решением вида
где тге->0, когда л:->оо.

$ 3. Теоремы Перрона и Хукухара
15
Важность этой формулы заключается в том, что с ее помощью
можно вычислить с большой точностью значение у(х) при весьма
больших положительных значениях х, в то время как вообще ряд
(нормальный ряд Томе, см. Томе [1], стр. 75)
^)~^[«+HH-.+S+-]
расходится. Следовательно, этот ряд дает асимптотическое
представление решения у(х) уравнения (1).
§ 3. Теоремы Перрона и Хукухара об асимптотическом поведении
решений линейных дифференциальных уравнений и систем
линейных дифференциальных уравнений
1. Теоремы Перрона. В этом номере мы изложим некоторые
результаты Перрона относительно поведения решений линейных
дифференциальных уравнений (см. Перрон [1], [2], [3]).
а) Лемма. Пусть функции р(х), ср(лг) непрерывны в
промежутке [х°, -{- оо),
lim р(дг) = р>0 и lim ®(лг) = *.
я;->-}-оо я;->-}-оо
Тогда для любого решения <»(х) линейного дифференциального
уравнения
о/(x) + p(x) <«(*-) = «>(*-) (1)
имеем
lim <о (*) = — . ■ (2)
С другой стороны, дифференциальное уравнение
и/ (дг) —р (х)4* (х) = a (jc) (3)
обладает частным решением
X (.
f p(t)dt x - f p (t) at
тх (дг) = е*' J e x" '?(&)<#, (4)
+ СО
для которого
lim ш1(х) = ,
в то время как все остальные решения этого уравнения
стремятся к ±оо, когда х-*-\-оо.
Решая уравнение (1), получаем
X
- J P{t) dt
ш(х) = се х" + <u2(*)> (5)

16 Гл. VH. Асимптотическое поведение решений
где
х i
- J" P(*)dt * J> (t) dt
&■>
X
- J" J» (*) dt
Так как lim р(дг) = р>0, то lim e ^ =0.
ж->+оо а->+оо
Для любого s > 0 можно найти такое х° ^> д*, что при х ^> х°
имеем <р(х) = Ь-\-Ьг, где 0<9<1. Поэтому
х _ £
- J p(t)dt *o $p(t)dt
.<»,(*) = «■*' J т (&)«** <й +
ж''
-J* P(t)dt * $ p (t) dt
+ (# + 6lS)e *' J ^ d$.,
- x">
где | 6t | < 1. Первый член в правой части этого равенства стремится
к нулю, когда х—>-J-°°- Далее1),
х £
-$p(t)dt * lp(t)dt
lim г»' \е^ d\= Hm—f-> = -.
ж0
Следовательно, lim со2 (*) = bjp, и потому из равенства (5) вытекает
ж->-)-со
справедливость первой половины утверждения леммы.
Рассмотрим теперь уравнение (3). Заметим сначала, что интеграл
\
I е '"" 9 (£) rf£ сходится и что решение уравнения (3) имеет вид
а;
$P(t)dt
ш(х) = ш1(х)-\-сех'' . (б)
Выражая <ot(x) в виде отношения двух величин, стремящихся к нулю,
и находя предел отношения по правилу Лопиталя, получаем
£ х
lim <»!(•*)= lim I e a,', <P(?)<*Ve *' =
яз->-т-оо a?->-f со ^
oo
= — lim <?(x)/p(x) = — b,'p.
05-> + oo
!) Здесь используется правило Лопиталя. — Прим. ред.

§ 3. Теоремы Перрона и Хукухара
17
Из равенства (6) следует, что при с ф 0 предел <о(л-) равен rfcoo
в зависимости от того, положительно или отрицательно число с.
б) Теорема. Пусть дано линейное неоднородное
дифференциальное уравнение
у(п) _i_ в1>(п-1) + д.^(~-2) + ... + ап_ху' + апу = <? (дг), (7)
где ах, а2 ап — дейетзительные числа, ап ф 0, функция «р {х)
непрерлзна в про нежу пке [дг1, -f-oo) и имеет конечнлй предел Ь
при х-+-\-оо.
Докажем, что е:ли все корни характеристического уразненая
p» + alP»-i + a2p»-2+...-|-a„_1p + an = 0 (8)
дейстзителъны, то сущестзует хотя бы одно решение уравнения
(7), стремящееся к Ь\ап при х-»--|-оо, в то время как все
производные у', у" yfr-1), yW этого решения стремятся к нулю.
Если при этом все корни уравнения (8) отрицательны, то все
решения уравнения (7) обладают указанным свойством.
Обозначим через р1( р2 рп корни уравнения (8) (все эти корни
действительны и отличны от нуля). Тогда уравнение (7) можно
заменить системой (см. гл. X, § 1, п. 2):
y'i — Р1Л=Л \У=Ухл.> (V
y'i — Р2У2 = Уа> (92)
Уп-1 — Рп-1Уг,-1=Уп> (9»-i)
Уп — РЛ = '?(*)• (9 п)
По доказанной в „а" лемме уравнение (9„) имеет по крайней мере
одно такое решение уп, что
lim уп = — Ь:рп, Нш у'п = О
(независимо от того, положительно или отрицательно р„). Если же
Р» < О* т0 эт0 свойство справедливо для всех частных решений этого
уравнения. Такому решению уп соответствует частное решение уп-Х
уравнения (9„_1), обладающее тем свойством, что
»Ш Уп-1 = ?>1'РпРп-1> Ит Уп-1 = 0.
Так как у" х—р _1У'п-1=У'п> Т0 отсюда следует, что
Нш уп„1 = 0.
Ж-^ + ОО
2 Зак. 1072. Дж. Сансоне

13 Гл. VlL Асимптотическое поведение решений
Продолжая это рассуждение далее, мы получаем, что существует
решение у1 данного уравнения, удовлетворяющее соотношениям
Ит ух = bj(— 1)" р„р„_! .. . pi = bjan, lim y[ = 0, . . ., lim y?} = 0.
ж->+оо ж->+оо ж->+оо
Если все корни р1( р2, ..., р„ отрицательны, то указанным
свойством обладает любое решение уравнения (7). Это утверждение легко
доказать непосредственно, заметив, что любое решение уравнения (7)
получается путем прибавления к одному из частных решений
выражения вида £ckle9kxx (ckl— постоянные величины).
в) Теорема. Пусть все коэффициенты линейного однородного
дифференциального уравнения
yW-\-pi(x)yl»-V-\-...+pn_1(x)/+pn(x)y = 0 (10).
непрерывны в промежутке [х0, —|—оо) и удовлетворяют
соотношениям
lim р, (*) = е., (v=l, 2, .... я).
Если все корни характеристического уравнения
F(p) = p»_j-alP»-i+ ... 4-a„_lP+a„ = о
действительны и попарно различны, то уравнение (10) имеет п
линейно независимых решений, удовлетворяющих соотношениям
lim' у'ч1уч = р„ Нт у"/у., = р?, . . ., lim у^/у, = р"
(v = l, 2, .... я).
Эта теорема легко доказывается для п = 1, так как в этом случае
уравнение (10) имеет вид y'-\-pt (х)у = 0 и
lim У (*)/у (л:) = — lim рх (л:) = — а1 = рх.
ж->+оо ж-> + от
Относительно доказательства этой теоремы в общем случае см.
теорему 5 в цитированной выше работе Перрона [1], стр. 267.
г) Теорема. Пусть коэффициенты рх{х), р2(лг), ..., рп{х)
линейного неоднородного дифференциального уравнения
У«>+Л(*).у<»-1>+Л(*).У(п-Ч+ . .. +
+/>*-! (*)/ (Х)+Рп (*) .У (*) = ? (*) (И)
непрерывны в промежутке [л:0, -}-00) и удовлетворяют
соотношениям
lim р, (*}""== av (v = 1, 2, ..., и), ага Ф 0. (12)

$ 3. Теоремы Перрона и Хукухара
1&
Пусть, кроме того, функция <?(*) непрерывна в [л:0, -f-oo) и
удовлетворяет соотношению
lim <o(x) = b (13)
£В->+0О
(Ь конечно).
Тогда, если корни характеристического уравнения
pn_|_a1p«-i+. . . +a»-iP+a« = °
(14)
попарно различны и действительны, то уравнение (11) имеет по
крайней мере одно решение у0, удовлетворяющее соотношениям
,(").
lim у0 = b\an, lim у0 = 0 lim y0 = О
(15)
ж-> + оо
о:-> + оо
ж-> + оо
Если, кроме того, все корни уравнения (14) отрицательные,
то все решения уравнения (11) удовлетворяют этим
соотношениям.
Пусть, в самом деле, у1 {х),' у2(х), ..., уп(х)— фундаментальная
система решений однородного уравнения
У(п)+Рх (х)у^) +... +р„_х (х)у' (*)+р„ (х)у = О,
удовлетворяющих условиям (см. „в")
Hm y'Jy„ = р,, Нт y>v = р* lim ур/у = р»
.•к->+оо ж-»+оо ат-»4со П 61
(v=l, 2 и).
С помощью метода вариации произвольных постоянных (см. гл. II,
§ 1, п. 5, „в") мы получаем решение уравнения (11) в виде
п
где функции и^(х) выбраны так, что
п п п
2 <з\ (*) = о, 2 и'Х (*)=° 2 и>("_1) (*) = ? (*)• о?)
4 = 1 V — 1 4 — 1
Отсюда вытекает, что
у, (х) и, (х) =
(— l)"+v
1 .
1
У\
у[»-*>
.. 1 1 .
Л-1 Л+1
.Уи-1 Уч+1
(И-2) (И-2)
Л-1 ->v + l
. . 1
Уп
Уп
у(»-2)
^1
J'v-l Л+1
Уп
<?(*)/
1 .
J'l
_,(«-!)
Л '
.. 1 .
i
Л
Л
_,<»-»
У-,
.. 1
Уп,
Уп
у(»-1)
.Уп

20 Гл., VtL АсимПтбтиШкоё поведение решений
Положим
Tfv = Ит .Vv"v (v=l,2 и).
ж-у+со
(18)
Из (16) следует, что
Т, = (— 1) ь-н77, : 7—0 тг =(—1) */Срч—Pi)-- •
77 VPt Pv-l>Pv>Pv + l rn>
... (pv pv_!) (pv — Pv + i) • • • (Pv — Pn)>
Имеет место равенство
В силу соотношений Urn y'jy =p , Htn _у и' = Yv мы можем, согласно
лемме, доказанной в „а", поставить в соответствие каждому _у,
такое а„ что
Htn у.,и, = — Yv/pv = — ftp,/7'(Pv)-
.'Г * ' —
Тогда
ж-Я-оо
та _1
"™ Л = "ш .У »> (*)Л (*) = - * S WITS •
» = 1 v=l
Из соотношений (17) следует, что
j#> = 2.V?4 (^=1. 2, .... п-1),
(19,)
v = l
п
Хп)=2-у;пЧ+?(*)-
Поэтому
v = l
та (X) ™ X 1
ж-> + со ie^+со^Л ^ ^ (Р,)
v=l v=l
(* = 1. 2 и—1),
ж-> + со *■■ r VPv^
v = l
(192)
(19а)
*) Через Я(рц Р2,..., р„) мы обозначаем Определитель Вандермонда
1 ... 1
Pi • • • Рп
рГ'-рГ1

§ 3. Теоремы Перрона и Хукухара
21
Обозначим через с окружность с центром в начале координат
и настолько большого радиуса R, что все корни рх, р2 р„
уравнения /7(р) = 0 лежат внутри этой окружности. Тогда при любом
целом значении А, Х> — 1 справедливо соотношение1)
J_ г хх dx _ у Рх
с v = l
Но при п — 1 > К > — 1 имеем
.. 1 г ххdx n
lim -н-г „, . =0
В-Ко
(для доказательства достаточно заметить, что вычет функции xx/F(x)
при д: = со равен нулю2)).
Поэтому
- РХ
S^Hb^0 при х=0,: п~2-
v = l
Принимая во внимание равенство (192), получаем, что
lim yV(x) = Q при Х = 1, 2, .... я — 1. (20^
Обозначим через сх окружность радиуса г с центром в начале
координат, вне которой лежат все корни pv р3, .. ., рп уравнения
/7(р) = 0. Тогда имеем
l_[Jl Lf_^f_4- V-^-- (21)
2«/ J jcF (л:) 2«/ J */•' (*К -£ /■"' (рч)' к >
с с, v=l
Но
1
lim -L Г rf* = JL
(1/аЛ является вычетом функции l/xF(X) в точке 0). Так как первый
интеграл в формуле (21) стремится к нулю при R -*■ оо, то отсюда
следует, что
п -1 1
v = l
В силу (19j) имеем
J) См, И. И. Привалов [1], стр. 245, 247. — Прим перев.
%) Там же [1], стр. 254. — Прим. перев.

22 Гл. VII. Асимптотическое поведение решений
Из (11), (20^, (202) мы получаем, наконец, что
11т УоЯ) = 0, (203)
и потому решение у0 удовлетворяет всем сформулированным в
теореме требованиям.
Если при этом все корни рк отрицательны, то для того, чтобы
доказать выполнение этих требований для любого решения
уравнения (11), достаточно заметить, что общее решение этого уравнения
имеет вид
п
4 = 1
где с, — постоянные величиных).
2. Теорема Хукухара. Рассмотрим теперь системы уравнений
вида
»
4*Г = х* S а« (Х)Л (/=1.2,..., п), (22)
fc=i
где а — целое положительное число или нуль, a aik(x)—
непрерывные действительные функции от х, каждая из которых стремится
к пределу aik(aik=f=oo), когда х-*--\-оо:
lim aik(x) = alk (/, k=l, 2 п).
Для таких систем мы ограничимся лишь формулировкой важной
теоремы Хукухара (см. Хукухара'[1], теорема 20, стр. 71—72).
Предположим, что коэффициенты aik (лг) системы (22) имеют
асимптотические разложения:
««•(*) ~««Н—— + -^-Jr... +-^r+---
(/, /г = 1, 2 я)
иными словами, что
(23)
*<П*)-««+—+ -^ + ---+^+°U^V- (24)
J) Относительно некоторых весьма общих теорем об асимптотическом
поведении решений линейных дифференциальных уравнений и относительно
библиографии см. Чезари [1], стр. 173—186.
2) Напомним, что по обозначениям Бахмана [1], стр. 401 и Ландау [1],
стр. 61, запись f{x) — О (g (х)) означает существование такого числа L, что
при х^>х° выполняется неравенство \f(x)jg(x) | <[£. В этом случае говорят,
что порядок роста g(x) не превышает порядка роста f(x).

§ 4. Асимптотическое поведение решений ур-ния у" + А (х)у = 0 23
Пусть, далее, корни характеристического уравнения
а11 — Ь «12
*21
«22 *
*2п
'л!
= 0
попарно различны. Тогда любое решение системы (22) разлагается
в асимптотический ряд вида
,^«{„+£+£+...+3+...).
(25)
где а — постоянная величина, а \(х) — многочлен степени а—}— 1.
Если, кроме того, подставить в систему (22) формальные
разложения (24) и (25), то уравнения этой системы будут формально
удовлетвореныг).
§ 4. Изучение асимптотического поведения решений уравнения
1. Общие замечания. Рассмотрим уравнение
f + A(x)y = Q,
О)
где А(х)—непрерывная функция, определенная в промежутке
[q, -f оо), q >0.
1) Результаты § 2 являются весьма частными случаями этой теоремы.
Фаедо [1] и Гиццетти [1] изучили асимптотическое поведение решений
линейных однородных уравнений
и-1 »-1
2 \jjg=i + ft w] .уw +УЛ) = о, 2 [в* - % (*)]yw (•*) +/n) W = о.
Фаедо распространил полученные им результаты на системы линейных
однородных уравнений
п
^ = 2(в*. + **.<*))Л (*=1, 2,..../.),
«=i
г*е %s (•*) — измеримые функции, принимающие действительные или
комплексные значения, а х — действительное переменное, 0 <С х <^ -\- оо.
Функции <р (х) должны быть такими, чтобы сходились интегралы вида
-; оо
хч-11 <pj8 (х) | dx, где v — соответствующее целое число, не превосходящее п
о
(см. Фаедо [2]).
Кроме того, рассматривались системы линейных интегральных уравнений;
см., например, Калиго [1].

24 Гл. VII. Асимптотическое поведение решений
Если сделать замену переменной x—\jt, то уравнение (1)
примет вид
Для получившегося уравнения точка ^=0 является особой, а потому
для уравнения (1) точка х —-}-оо — также особая1).
Мы изучим в этом параграфе асимптотическое поведение
решений уравнения (1) при х-+-\-со. Рассмотрим отдельно следующие
случаи: функция Л(х)>0 и ограничена, в частности lim Л(х)—я2,
аг-^ + оо
где <х=£0; функция Л(х)<0, в частности lim A(x) = — а2, где
Х-+ + ОЭ
афО; lim A(x) = 0; \imA(x)=-\-oo.
аг-Я-ао а-»+оо
2. Случай, когда 0 < а2 < А (х) < Ь%. Исследования Кне-
зера — Асколи. а) Пусть в уравнении (1) функция А(х) непрерывна
при q <; х < К2) и удовлетворяет условию
Л(д:)>0, д:><78).
Пусть у(х) — решение уравнения (1). Пусть это решение
обращается в нуль в точке Л"0, впервые после этого достигает
экстремального значения в точке х1 и обращается снова в нуль в точке х2,
иными словами, пусть
_у(х0) = 0, /(*,) = О, y(xj = 0, x0<x1<x2.
Умножая уравнение (1) на 2у' и интегрируя его от xQ до х^
получаем, что
х1
—/V0)+2 JA(x)y(x)y'(x)dx = 0.
х»
Но между точками х0 и х1 произведение уу' не меняет знака, а
поэтому
SB,
/2(*o)=«i j 2yy' dx = т\у* (ж,),
где т1 — некоторое число, заключенное между наименьшим и
наибольшим значениями функции А(хУ'2 на отрезке [х0, *j]. Так как
функции у(х) и у'(х) имеют на этом отрезке одинаковые знаки, то
У(*о) = »ьУ(*1)- (2)
* !) Если функция А (х) голоморфна в окрестности точки х = со, то, как
было указано в § 2, точка х — оо является правильной особой точкой, если
А(х) = 02Х-г + а&х-з+ ...
2) Не исключается случай, когда К= +°а
3) См. Кнезер [1], Асколи [1]. При изложении п. 2 мы использовали
работу Асколи.

§ 4. Асимптотическое поведение решений ур-ния у" + А (х)у = О 25
Аналогично доказывается, что
/ (*а) = — т*У (*i). (3)
где т2 — некоторое число, заключенное между наименьшим и
наибольшим значениями А(х)"* на отрезке [xv х2].
Фиг. 1.
Предположим, что функция у(х) обращается в нуль
последовательно в точках х0, х2, xit . .. и достигает экстремума
последовательно в точках xv xs, ...
*0 <Х1 <Х2< *3 < *4 < ...
(фиг. 1). Повторяя проведенные выше рассуждения, получаем, что
/(*sr) = «ar+i^*sr+i) = --»2r.y(*er-i) ('•=1,2, ...), (4)
а потому
/(*ar+a)//(*er) = — »sr+9/»ar+i (г = °. 1. 2, ...),
^(*ar+i)/y'(*ar-i) = —«8r/»sr+i (г= 1, 2, ...).
Отсюда вытекает, что
У' (*») _
(5)
1*2»? _ (•_ 1 yi W2W< ••• т-гп / __ , 9 ч )
■У (*2ft+l) / 1 n„ W2W4 ••• »»2П /„ _ , о ч [
(6)
где m^ является одним из значений функции А(х)Ч* на отрезке
\xi-V Xf].
Нетрудно показать, что точки х,, х4, ... являются точками
экстремума для функции у' (х). Для точки х9 это вытекает из
того, что /(jcj) = /(xs) = 0, а /^) = -Л(х)з»(^) обращается
в нуль на отрезке [xv xs] лишь в точке х2. Аналогично проводится
доказательство для других точек.
б) Предположим теперь, что верхняя и нижняя грани функции
V А (х) в промежутке [х0, -f- oo) (К — -\- со) конечны и
положительны, т. е. что существуют числа а и Ь, для которых
выполняются неравенства
0<a<VrJ(Je)<*.

26
Гл. VII. Асимптотическое поведение решений
В этом случае функция у(х) имеет бесконечное множество
нулей в промежутке [х0, -J-oo). В самом деле, сравнивая по
теореме Штурма (гл. IV, § 2, п. 6, „а") уравнения
у" + А(х)у = 0 и z" + a?z = 0,
убеждаемся в том, что функция у(х) имеет по крайней мере один
нуль в каждом отрезке длины irja.
С другой стороны, на каждом отрезке, длина которого меньше
чем ic/b, лежит не более одного нуля функции у(х). Отсюда
следует, что lim xin — -f- оо, где х0, х2, xit ... — нули функции у(х).
П-¥ со
Из формул (6) вытекают следующие неравенства для
максимумов функций \у{х~)\ и \у'(х)|:
^ / У' (-^m) ^ &_ ^ ^ У (**i+i) sh— <n — \ <> \w
Ъп^ у(лГо) ^дП> ft»-^ у{Х^ ^ап </'—». ^, ...; ;.
в) Предположим теперь, что функция А (л:) непрерывна,
положительна и не убывает в промежутке [х0, -\~ оо). Повторяя
проведенные в „б" рассуждения, мы убеждаемся, что функция у(х)
имеет в этом промежутке бесконечно много нулей. Так как в
рассматриваемом случае т2г^.т2г+1, то из второго равенства (5)
следует, что 2)
т. е. что максимумы функции |.у(*)| не возрастают. Отсюда
вытекает, что последовательность максимумов функции \у(х)\ имеет
конечный предел. Аналогично, используя неравенство т2г+1 ^/га2г+2,
убеждаемся, что \у'(,x2r+i)]'^-\y'(х2г)\, а потому максимумы
функции \у'(х)\ не убывают. Отсюда вытекает, что максимумы
функции | у' (х) | либо имеют конечный предел, либо стремятся к
бесконечности.
Рассмотрим теперь случай, когда функция А(х) непрерывна
в промежутке [х0, +оо), положительна и не возрастает. Если
lim А (х) = а2 > 0, то функция у(х) имеет бесконечно много нулей.
Если же lim А (х) = 0, то нельзя утверждать ни существования бес-
конечного множества нулей функции у(х), ни, тем более,
существования максимумов функций \у] и \у'\ (см. п. 5). Тем не менее
если функции \у\ и \у' | имеют максимумы, то из (5) вытекает, что
5) Относительно неравенств для решений уравнений второго порядка
см. Гамбье [1], стр. 5. Отметим, что решение такого уравнения можно
представить в виде х = ср cos (<р -\- К), где с и h — произвольные постоянные,
р удовлетворяет уравнению р" — с2р~3-|- рЛ (t) = 0, <р = I c?-*dt.
Относительно полных уравнений второго порядка см. Сато [1] и
Иосида [1].
2) См. предыдущую сноску.

§ 4. Асимптотическое поведение решений ур-ния у" + А (х)у == 0 27
максимумы функции \у(х)\ не убывают, а максимумы функции
\у'(х)\ не возрастают. Кроме того, если у (а) —0, в то время как
справа от точки а у(х) не обращается в нуль, то справа от
точка а функция \у' (х)\ убывает. В самом деле, если при х > а
выполняется неравенство _у(х)>0, то при этих значениях х имеем У(-*0<0>
а следовательно, у' (х) убывает при х>а; но _у'(а)>0, a у'(х) не
может обратиться в нуль справа от а1), а потому у'(х)>0 и
убывает. Аналогично проводится рассуждение и в случае, когда при
х > а имеем у (х) < 0.
г) Покажем теперь, что если функция А(х) непрерывна,
положительна и монотонна в промежутке \q, -}- оо), причем
Нт А (х) = а2, а > 0, то оба предела
X -> + О0
Нш \у(хы + 1)\=1, Нт \у'(х^п)\ = 1'
11 -¥ ОО П -»• ОО
конечны, отличны от нуля и удовлетворяют соотношению
V = <xl. (7)
Так как функция У~А(х) ограничена в промежутке [xQ, + оо),
то в силу „б" верхние и нижние грани последовательностей
{\у(х-ы+д\ }> {IУ''(х2п)]} являются положительными числами. В силу
„в" эти последовательности монотонны, а следовательно, указанные
в формулировке утверждения пределы I vi V существуют и
положительны. Наконец, из того, что Нш тг—<х, и из формулы (4)
вытекает справедливость формулы (7).
Легко дать оценку для числа I.
Если функция А(х) не убывает, то из (6) следует, что
1>
У {хщ+х)
J(*i)
/й2 Щ Щп \ т2 ^
-^ — <?-
тгпм mi m2n-i m2n+i
f A(xQ ^ VA{x{)
' A(X2n+l)
~> 1/ " w >
а
re -*co a
\y(xi)\>l>J^lL\y(xi)\. (8,)
J) Если бы в точке fs > о функция _у' (л:) обратилась в нуль, то при х > ?>
эта функция была бы отрицательной и возрастающей по абсолютной
величине. Но тогда мы имели бы Нт у (х) = —оо и функция у (х) обраща-
а:-»-+оо
лась бы по крайней мере один раз в нуль справа от точки а, вопреки
предположению.

28 Гл. VII. Асимптотическое поведение решений
Если же функция А(х) не возрастает, то аналогичные рассуждения
показывают, что
д) Доказанная в „г" теорема является частным случаем
следующей теоремы:
Если функция А(х) непрерывна, положительна и имеет
ограниченное изменение1) в промежутке [q, -j-oo), причем litn А(х)=а2,
а > 0, то обе последовательности {|.yC*Sn+i)|}» {\у'(х9п)\) имеют
конечные, отличные от нуля пределы, удовлетворяющие
соотношению
"m |/(**,)! = « Hm |.y(*2»-i)l2).. (9)
«-> оо п-> оо
Функция А(х) в [q, -f-oo) заключена между положительными
числами а и b (0 < а < V). Следовательно, в силу „б"
последовательность {хп} содержит бесконечно много точек и litn xn = ~}-оо.
П->со
Функция \пА(х) также имеет ограниченное изменение в [q, -f-oo).
В самом деле, если х/ и х"— любые точки из [q, ±\-оо), т0
In А (*") — In А СО == [А (*") — A (x,)]jA (I),
где точка Е лежит между х' и х". Отсюда следует, что
| In А(х") — In А(х')| < | А(х") — А(х')\>а,
а потому функция In А (х) имеет ограниченное изменение.
Нетрудно видеть, что бесконечные произведения
Ei. е±. ei ei. е±. ei (\q\
Щ Щ тъ " " т3' ть' /и7 *• '
сходятся. В самом деле, члены рядов
2 I |П ШЧП — I" »2»-1 I- 2 I ,П «2» — '« OT2« + 1 I
не превосходят соответственно изменений функции 2_1 in A{x) на
отрезках [х2п_2, х2п] и [х9п_1, х9п+1]. Но сумма этих изменений
ограничена, а потому бесконечные произведения (10) сходятся и
имеют положительные пределы.
Но тогда из(6) вытекает, что существуют и пределы litn |У(*2ге)|,
п -У со
litn \y(x2n+1)\, причем оба эти предела отличны от нуля. Выполнение
п->оо
соотношения (9) вытекает из формулы (4).
*) Другие исследования случая, когда А(х) имеет ограниченное
изменение, см. в работах Каччиополи [1], В. М. Шепелева [1];
2) Относительно асимптотического поведения решений (1) при х-*--\-<х
см. Л. А. Гусаров [1], И. М. Соболь [\). — Прим. ред.

§ 4. Асимптотическое поведение решений ур-ния у" + А(х)у — 0 29
Заметим, что доказанную теорему можно сформулировать
следующим образом: если функция А (х) непрерывна и положительна
в промежутке [q, -\- оо), a In А (х) имеет в этом промежутке
ограниченное изменение, то обе последовательности {\у(х2п+ {)\},
\]у'(хяп)\} сходятся, причем их пределы отличны от нуля и
удовлетворяют соотношению (9).
В самом деле, из сделанных предположений вытекает, что
существует конечный предел lim In A (x)!). Следовательно, функция
as -»-+со
А(х) ограничена в [q, -f-oo)> и lim А(х) <^а2^=0. По сделанному
Ж-У + СО
выше замечанию
| А (х") — А {х') | < * | In A (x") — In A (xr) \,
и, следовательно, функция А(х) имеет в [q, -|-oo) ограниченное
изменение.
Заметим, что из доказанной теоремы вытекает следующее
утверждение: пусть функция А(х) удовлетюряет сделанным выше
предположениям, а у(х) — любое решение уравнения (1); тогда
у {х) и у' (х) ограничены в промежутке [q, -j- оо) и имеют там
бесконечно много нулей, причем последовательность {|^(-^2»+1) )
максимумов функции \у(х)\ и последовательность {\у'(х2п) }
максимумов функции \у'(х)\ удовлетворяют соотношению (9).
е) Из доказанной в „д" теоремы вытекает следствие:
Если функция А(х) непрерывна, положительна и
дифференцируема в промежутке [q, -{- оо), lim А (х) = а2 > 0 и
а:-> + со
+ СО
Г |Л'(лг)|Л*г сходится, то последовательности {\у(х2п+1)\} ,
9.
{|У(лг2п)|} имеют конечные, отличные от нуля пределы, для
которых выполняется соотношение (9).
Пусть, в самом деле, q = q0 < q1 < q2 < ... < qn. Тогда
^\A{qr)-А{Чг_д\=^\ \A'{x)dx\^] И'(*)|</*<+оо,
и, следовательно, функция A(x) имеет ограниченное изменение
в [q, -|-oo). Поэтому сделанные в „д" выводы сохраняют свою силу
и в этом случае.
Доказанная теорема справедлива, например, если | А'(х)\ <^hx~'\
где h и s — постоянные величины, s>l; в частности, она
справедлива для функции А (х) ~ a2 -J- а\х, где а — постоянная величина,
«>0.
J) См. Сансоне [1], стр. 127.

30 Гл. Vll. Асимптотическое поведение решений
ж) Область приложимости полученных выше результатов может
быть расширена при помощи следующей теоремы:
Пусть функция А (лг) непрерывна и положительна в
промежутке \q, -}-оо), и пусть все решения уравнения
у" + А(х)у = 0 (1)
ограничены в этом промежутке. Если функция т) (х) непрерывна
в \q, -j- оо), а интеграл Г|тг)(Е)]#; сходится, то все решения уравнения
ч
/+И(*)+-ч(*)1.у = 0 (11)
также ограничены в [q, -J-oo).
Пусть, в самом деле, у^{х) и у2(х)—частные решения
уравнения (1), удовлетворяющие начальным условиям
у1(с) = 0, у'1(с)=1, у2(с)=\, у'г(с) = 0.
Запишем уравнение (11) в виде
y"+A(x)y^ — i\(x)y
и применим для его решения метод вариации произвольных
постоянных, считая правую часть известной (см. гл. II, § 1, п. б, „в").
Мы получаем тогда, что
х
у (х) = У (с)у, (х)-\-у (с)у2 (лг) -у, (х) j -ч (1)у $)у2 (I) d$+
с
X
+.va(*)J\(S).vG).Vi (*)<«•
с
Пусть при х > х выполняются неравенства |_Vi(Jc)|<g", \y$(x)\<ig.
Выбирая с настолько большим, что
J на)И<4^; с>*>
с
и обозначая через р.(*г) наибольшее значение \у(х) \ на отрезке [с, х],
получаем при х > с:
X
\y(x)\<g\y'(c)\-{-g\y(c) |+2g>(A-)J h(E)| Л,
с
\у(х)\<£[\у'(с)Шу(с)\] + ^(х).

ij> 4. Асимптотическое поведение решений ур-ния у"'-(- А(х)у = 0 3i
Отсюда следует, что
Hx)<1g\W(c)\-\-\y(c)\].
Теорема доказана.
Например, если положить А {х) = a'i-\-ax~1, где а и а —
постоянные величины, а > О, а ч\(х) = и> (х) дг2, где функция <а(х)
непрерывна и ограничена в промежутке [q, -J-сю), то из
доказанной теоремы вытекает, что все решения уравнения
ограничены в [q, -J-oo).
3. Уравнение /'-j-[l — Q{x)]y — 0, lim Q(*) = 0; способ
«->+• oo
Фубини для асимптотического разложения решений, а)
Рассмотрим дифференциальное уравнение
у"+А(х)у = 0
и предположим, что lim А (х) = :±г а2, а > 0. Мы можем считать,
х ->-f оо
что lim А {х) = ± 1, так как общий случай сводится к этому
х-У +оо
с помощью замены переменной x — tja. Таким образом, данное
уравнение можно записать либо в виде j;"-J-[l — Q(x)]y = 0, либо
в виде У—[l-{-Q(x)]y = 0, где lim Q(x) = 0.
.'£->-J-oo
В этом пункте мы рассмотрим первое из этих уравнений, второе
уравнение будет рассмотрено в п. 71).
б) Итак, рассмотрим дифференциальное уравнение
У+[1— Q(x)]y = 0, (12)
где Q{x) — непрерывная функция от х, определенная в
промежутке [q, -J-схэ), такая, что
lim Q(*) = 0, (13^
X -» + оэ
+ оо
j* \Q(x)\dx <-^oo. (132)
Так как общее решение уравнения у"-{-у = 0 имеет вид
у = acos(x-{-b), т. е. все- решения этого уравнения ограничены
в [q, -J-oo), то из (13^ и из доказанного в п. 2, „ж" вытекает, что
!) Результаты этого пункта, равно как и результаты п. 7, могут быть
выведены из общей теоремы Дини [1]. Однако для уравнений второго
порядка предпочтительнее использовать метод, предложенный Фубини [1],
так как он быстрее приводит в этом случае к цели.

32 Гл. VII. АшмптдтиЧеСкое поведение решений
все решения уравнения (12) ограничены в [q, -j-oo); мы выведем
полезные для приложений асимптотические разложения этих
решений1).
Легко проверить, что если функции zt и г2 удовлетворяют
системе дифференциальных уравнений
*i = -5r(*i+«-2fa*s)Q. *£=--g-(*i«,fa+*s)Q. (14)
то функция
у = eix zt (x)-\-e~ix z2 (x) (15)
удовлетворяет уравнению (12)2).
Нетрудно видеть, что при этих предположениях
г[=>—^е-*"уО, *J = 4eto.yQv
(16)
Для того чтобы не выходить за пределы области действительных
чисел, предположим, что функции zt(x) и z2(x) сопряжены.
Докажем, что, каковы бы на была сопряженные комплексные числа at
а <х2, существуют функции zx (х) и z2 (x) (комплексные и
сопряженные), которые удовлетворяют системе (14) а условиям
lim zx (x) = av lim z2 (x) = a2.
(17)
Из (14) и (17) мы получаем систему сингулярных интегральных
уравнений типа Вольтерра
х • *
+ 00
•AS
Ч (*) = «я — i / ^zx(?)+*,#)] Q (0 d%,
+ 00
(18)
которую мы будем решать методом последовательных подстановок.
Положим
и0 (*) = «!. «o(*) = a2> (19J
•foo
«»(*) = - j, / [*8Й и»-1 (0+«»-1 (6)i Q (?)^
+ оэ
(»=1, 2, ...)
(192)
1) Относительно условия (132) см. Хукухара и Нагумо [1].
2) Для доказательства достаточно дважды продифференцировать
равенство (15), принимая во внимание равенства (14).

§ 4. Асимптотическое поведение решений ур-ния у" + А (х)у = О 33
и докажем, что ряды
ОО 00
2 «„(*)> 2*п(*) (20)
сходятся абсолютно и равномерно в промежутке \qlt -[-оо),
содержащемся в [q, -f-oo), причем функции z±(x) и z^(x) разлагаются
в ряды вида
оо со
*1 (*) = 2 "п (*)• *2 (*) = 2 Vn (*)• (21)
»=0 га=0-
Пусть а = | ctj | = | <х21. Тогда
|и0(х)| = а, \v0(x)\ = a,
l«o(5)+e-2«t»0(0|<2o<, |k0(0^4-^(S)|<2«,
+ оо +со
l«i(*)K«J IQ(S)|rf6, |M*)I<«/ |Q(OK
и, аналогично,
+ со> +со
\U,(X)\, [t»2(x)|<«f IQC^I^oJ iQ(^)!^l.
a; Sj
По индукции получаем, что
. . +0° +оо оо
,l\<af \Q$»)\<ii»f IQ(W-i)l<tf*-, •••/ IQ^)!^. (22)
Пусть теперь s — любое положительное число, меньшее единицы;
в силу (132) можно найти такое число <7Х > <7, что при x~^qx
имеем
+ СО
J \Q$)\d\<z.
X
Из (22) вытекает, что при x^qt
|вж(лг)|<авп, К(х)|<«зге (и = О, 1, 2, .. .),
а, следовательно, ряды (20) мажорируются геометрической прогрес-
со
сией «2 е" и потому абсолютно и равномерно сходятся в проме-
П = 0
3 Зак. 1072. Дж. Сансоие

34 Гл. VII. Асимптотическое поведение решений
жутке [qlt -j-oo). Отсюда вытекает, что в равенствах
«o(*)+"i (*)+ • • • +«»(*) =
X П
+00 *=i
4iW+«iW+---+«ii(*) =
x n
+ CO fc = l
можно перейти к пределу под знаком интеграла, когда п-*оо, и,
следовательно, функции zt(x) и za(x), определенные равенствами (21),
удовлетворяют системе уравнений (18), а функция у (х) разлагается
в промежутке [qv -f-00) в ряд вида
со оо
y{x) = *te*«-\-**-**-\*S* 2 вв(*) + «-**2! «„(*). (23х)
П=1 И=1
Так как аг зависит от двух произвольных постоянных
(действительной части и коэффициента при мнимой части), то формула (23J
дает асимптотическое разложение общего решения уравнения (12)
в [qv +00).
Полезно отметить асимптотическое разложение функции у' (лг).
Так как у'(х) = /[eixzx{x) — e~ix'гй(х)\, то оно имеет вид
оо оо
У (х) = i [а/* — a2e-^J+/«*" 2 им (ж) — «-«* 2.*,,(*) • (232)
П=1 П=1
в) Наложим теперь на функцию Q(x) более ограничительное
требование:
где k и р — постоянные величины, k > О, р > О
Из (22) вытекает тогда, что
k 1 ге 1
(24)
р лг?
Ы
и, следовательно, ряды (20) мажорируются рядом
•2!
п = 0
I1JL
сходящимся к функции ае'р ^ i
Р *р
n J_
и!

,§ 4. Асимптотическое поведение решений ур-ния у" + А (х)у = 0 35
Поэтому, если положить
у (х) = *хе<* + а2е-*^ + е*« ]£ щ (*) -f e~** J] о, (*) + % (х), (25J
?=i
г=1
то в промежутке [#, -j~°°)
| fc 1 I
И»(*)1<2а[«
р «р I — 1.
1!
Р *р
_1_
л!
а потому для значений х, удовлетворяющих неравенству
имеет место неравенство
k 1 "+1
*.±п
р*ч J'
AJ.-|<i
р ^п
h„(x)|<2a
Р *р
_J ri_L_JL__i L__... 1
'я +1)1 L -я + l (« + !)' J"
Из этого неравенства следует, что при указанных значениях х имеем
(26)
, , ... 0 I й 1 |n+1 1
|-4«(*)|<2ai —
р ЛГР | П\П
где при и = 0 следует заменить множитель \jn\n множителем 2.
Аналогично получается, что
»» »»
У (ж) = / [aieto—a2e-^] -j- fctoj] «г (x) — ie-*» J]*, (*) + %(*). (25,)
ГДе I '"In (■*) I удовлетворяет тому же неравенству (26).
4. Асимптотические формулы для функций Бесселя, а)
Применим полученные в предыдущем пункте результаты для вывода
асимптотического разложения бесселевых функций целого индекса при
х-+-\-оо. -
Бесселева функция
является решением уравнения (см. гл. III, § 6, п. 1)
Если положить
.Jn(x)=yx-4*(x>0).
то функция у удовлетворяет уравнению (гл. IV, § 3, п. 2, „б")
y" + [l — Q(x)]y = 0,
где
Q(x) = (4/i2— 1)14х*.
Но тогда
Л = |(4и«—1)/4|, р=1
3*

36 Гл, VII. Асимптотическое поведение решений
(относительно обозначений см. п. 3, „в"), и если положить
<х1 = 2-1ае<ь, а2=2-1яе-<ь(а>0),
то из (25г) и (26) вытекает, что
Jn\*-J— ,/— — -у—
ух у х
■П{х)
Y~x
где
4я2—1
h (*) | < * | 2
при (4и2—1)/4х<!1. Поэтому
Hm Jn(x) = 0.
(27х)
(28J
(29)
Из (252) следует, что
где функция т) (л:) удовлетворяет неравенству (28г). Отсюда вытекает,
что
2 у х 21
Принимая во внимание соотношения (27г) и (28^, получаем таким
образом, что
хЪ'п (х) = — а sin (х + Ь) + «iij (*), (272)
где
hiW|<e[|
4«a—1
+0-
(282)
Нам осталось определить значения постоянных а и Ь, входящих
в формулы (27J и (272). Из этих соотношений вытекает, что
(a cos b) cos x — (й sin b) sin x = Y* Jn (•*-) — 1 (•*-)•
(a cos b) sin л; -f- (a sin b) cos * = — ]/xJn (x) -j- 1\х (х).
Но тогда
acos£ = Hm x''''{Jn(x)cosx — 7^(jc)sinA:],
a!->+oo
asmb = — Hm л;7'[./„(*) sin *-j-/^(.»0cos*].
ж->+оо
Равенства (30) позволяют определить значения постоянных а и Ь.
Как показано в гл. III, § 6, п. 6, „б"» имеет место равенство
(30)
■£(*) = •/»-1 (*) — ■j-Л» <*)■

§ 4. Асимптотическое поведение решений ур-ния у" + А (х)у = О 37
Из (29) следует, что
lim .v'/a
и sin х
Jn(x)= lim х'Ь
n cos x
Jn(x) = 0.
Поэтому равенства' (30) можно записать в виде
acosb = lim x'^lJn(x)cosx — Jn_l(x)sinx],
а!->+оо
asin£ =— lim x'/*[Jn(x)sinx-\-Jn_l(x)cosx].
aj->+co
Но [см. гл. Ill, § 6, n. 6, (22^]
_ 2(я-1)
•'» д. •'я-i J n-v
_ 2(я —2) . _ .
•'n-l д. •'n-2 •'ra-3-
Поэтому, принимая во внимание (29), получаем, что
acos£ =— lim x^\]n_^{x)CQ%x — 7„_3(x)sin д:]
a!->+oo
a sin £ = lim дт"* [7И_2 (л:) sin x ~\- Jn_s (x) cos x\.
a!->+oo
По индукции выводим, что при п = 2/» -f-1 имеют место равенства
a cos £ — (— 1)"» lim дт"* [7j (л:) cos x — JQ {x) sin x],
a!->+oo
asin£ = (—l)»»-i lim д:'/» [7Х (дт) sin дг + Л)(*) cos*],
a!->+oo
a при n = 2m — равенства
acos£ = (—\)m lim xl^\Jl{x)s\nx-\-J(j(x) cos x],
a sin b = (— 1 )m lim *Vf ^ (x) cos д: — 70 (дт) sin x],
zr->-t-oo
Из формулы (18.2), гл. Ill, § 6, п. 4, следует, 'ito
xx/'(J1 (x) cos x — J0 (x) sin д:) =
(31i)
(31a)
2дг'я Г
= J [sin (д: cos ^ cos t cos д: — cos (д: cos 0 sin дг] dt =
0
тс
2
= — \ x1' j I sin hx cos2 Ц sin2\ + sin [2дг sina^-1 cos8 ± \ dt.

38 Гл. VII. Асимптотическое поведение решений
Разобьем интеграл, стоящий в правой части этого соотношения, на два
слагаемых и сделаем в них соответственно подстановки 2х cos2-^- = и2,
2дгяп2-2 —и2. Тогда получаем, что
л- V2x .,
2 V 2 Г ( и% \ *
х1!' [Jt (x) cos х — J0 (х) sin х] = -— I ll — ^—j sin и
2rf«
V15 _ VH
—Ч1! *иЛ+^/ [1-(1^ёГ--*+
о о
+^П>-0-#)>"«• <32>
ь
Но хорошо известно, что1)
н« 2V^
— Нш —?—- Г sin и2 rf« = -——.
Далее, мы можем считать, что х > а/4, а тогда при 0 ^ и -^ лт'/«
имеем
^ . V 2л;/ ^ V 4лгУ 4л: 4л: 4/л:
Но тогда
Н
1^1|J [l_(l-_^)/3Jsin«2rfU|<J^->0nPH х-^+6о.
Наконец, когда и изменяется от {/л: до ]f2x, разность 1 — М — ~)
/ 1 \,/j
изменяется, монотонно возрастая, от 1 — (1 — —--—— 1 до 1. По-
V 2"^лг/
этому в силу второй теоремы о среднем значении2) получаем, что
J" [l— (l — |iVjsin«2rf«| =|J sin«2rf«|,
!) Г. М. Фихтенгольц [1],.т. II, стр. 743. — Прим, перев,
*) См. там же, стр. 137, — Прим. перев.

§ 4. Асимптотическое поведение решений ур-ния у" -+- А(х) у = О 39
+СО
где ]/х < 5 <]/ 2х. Из сходимости интеграла Г sin и2 Л* получаем, что
о
Но тогда из (32) следует, что
lim х'г [J1 (х) cos х — J0 (x) sin x] = -
Я! ->+00 .
Аналогично доказывается, что
У~к
(ЗЗх)
lim Jc/s[/i(*)sinjc-|-/0(jc)cosjc] = —*-=-. (332)
Из (31j) и (312) вытекает, в силу доказанных сейчас формул, что
, ,/"2" ( пт. «\ . . -./"2 . ( пк те\
acosd^y -cos(^— -^ — -jj, asmb=y -an^ — -g jj.
Поэтому
/!■ •—f- -
и соотношения (27,), (272), (28,), (282) дают асимптотические
формулы для J„(x) и Jn(x):
(34х)
^=-^ ]/"|sin(.-re §-f ) + *(*).
где при х ;>1 (4ге2 — 1)/4 |
I / м^ 4п2 — 1 L/"T 1 ,s, м^Г|4п2 — II , 31, Г~2 1 ,„ . ч
б) Для приложений полезно найти второй член
асимптотического разложения функции /„(*)• Полагая в формуле (25|> /f =р= 1,

40 Гл. VII. Асимптотическое поведение решений
получаем для x?f*Jn (x) выражение
4л2—1 Г р* (<в-1)_р-* (<в-Ь> 1
a J an(*-6)cos(S + *) rf6 + 7|i(jc);
4л2—1
= acos(A:-j-й) , .
-f-co
4na — 1 a sin (x -f- 6)
= a cos (x -f- b) -
+
4«2— 1 Г sfn (лг — 2? — 6)
-/
&
<# + %(*)■
Но по второй теореме о среднем значении имеем (& > лг, & > &х)
fti
JsinC^-^-^^l^^lJ sin(x_25_^|<:I2)
4йа—1
1
а в силу формулы (26)
hi(*)|<2c
Отсюда получаем для Jn(x) асимптотическую формулу
4я2— 1 1
8 х
sin
(*-»j- Dj-fTiW1). (35,)
*) При достаточно больших положительных значениях х Имеет место
асимптотическое разложение Якоби ([1] т. VII, стр. 174):
•/„ (х) -
2 V» Г / 1
•Ш[
COS ( X 5-ЯЛ-
■т)2
(— 1)'в (л, 2/и)
то=о
(2х)2
■sinf-лг — -у ля
со
_^ Vf 1чго (Я. 2<Я+1)1
4>/ ^1 ' (2х)1т+1 Г
где положено, согласно Ганкелю, (и, 0)= 1,
(л т)-( П"» [4я2 ~ Р] [4"2 - у] • • • И"2 - (2« - 1)г]
2й" ml
(см. Ватсон [1], гл. VII, стр. 217—251).
(/и = 1, 2, ...)

§ 4. Асимптотическое поведение решений ур-ния у" -f- А (х)у = О 41
где _
5» Случай, когда lim А (х) = 0. а) В этом пункте мы изучим
х-> + со
решения уравнения
у"+А(х)у^0 (1)
при предположении, что lim Л(лг) = 0. Естественно принять
гиге -> +СО
потезу, что решения этого уравнения асимптотически ведут себя так
же, как и решения уравнения _у" = 0. Однако в общем случае это
предположение неверно. Например, общее решение уравнения
у+Ис+тЫ^0
имеет BHji:y = c1x1'''sin(xll'-\~ci) (ct и с2 — произвольные постоянные).
Но, за исключением случая, когда с1 = 0, это решение является
колеблющимся.
б) Изучим теперь случай, когда решения уравнения (1)
асимптотически линейны, а именно, предположим, что
И(*)Кр^;. (36)
где k и р — постояннее величины, р>01).
Если положить
у (*) = xzx (x)+^a (х), (374)
у'(х) = г1(х) (37а)
и продифференцировать равенство (37^, принимая во внимание
равенство (372), то получится, что
*<(*)+*;(*) = <).
Из уравнения (1) вытекает соотношение
z\ (x)-\-A (x) \xzx (х) + z2 (х)\ = 0.
Поэтому, если функции zx(x) и г2(л:) удовлетворяют системе
дифференциальных уравнений
z[ (x) = — A (х) [xzx {x)-\-z2 (*)],
z'2(x) = xA(x)[xzi(x)-\rzil(x)],
то выражение (37j) является решением уравнения (1).
J) При этих предположениях функция А (х) голоморфна в окрестности
Точки дг = оо, а уравнение (I) имеет при дг=зсо правильную особую точку
(гл. III, § 3, п. 1 и 5V

42 Га. VII. Асимптотическое поведение решений
Докажем теперь, что если «х и «2 — любые заданные
постоянные величины, то существует решение у [х) уравнения (1), для
которого соответствующие функции гг(х) и г%(х) удовлетворяют
соотношениям
lim z1(x)=sa1,
Ж-» +ОЭ
Hm z2(x) = a2.
х-> + со
Чтобы доказать это, достаточно показать существование решения
следующей системы сингулярных интегральных уравнений типа Воль-
терра:
Я)
Zi(x)==(Xi_ |[ег,(£)+га(Е)]Л(5)Л,
+ СО
X
Ч (*) = a2+ j [l% (S)+fc2 ©] Л (6) Л.
(38)
Применим снова метод последовательных подстановок. Положим
й0 = а1' fo—a2'
(и= 1, 2,...)
(39)
«. = - /[fr»-i(S) + *»-i(«)M-(S)flfc,
+ СО
а;
+ со
и докажем, что
оо оо
гг (х) = 2 "»(*), га (а:) = 2 *„ (x).
В самом деле, если а равно наибольшему из чисел ) <хх [, |а2|, то
|и0|<а, |fo|<a-
В силу (36) получаем, что при х > 1
1»1(*)1<*«/[^4-^]л =
X
= fea[(l+p)^+(2 + P)^]<a^^'
и аналогично
|«i(*)|<«
2k
Р*р

$ 4. Асимптотическое поведение решений ур-ния у"-\-А(х)у=0 43
Вообще
К(*)|<«- (2^ '
р(1+2Р)(2 + 3Р)...[(л-1) + яр] хп<1+Р>-1 '
Отсюда следует, что при х > 1 ряды (39) равномерно сходятся.
Повторяя рассуждения из п. 3, получаем, что функции гг(х) и
z%{x) удовлетворяют системе уравнений (38), а из (37х) и (38)
следует тогда, что
где
со
-Л (*) = 2 \хап(х)+<>„(*)] (402)
И
Нш Мх) = 0. (403)
ж-»- + со
Из формулы (40) виден характер асимптотического поведения
решений уравнения (1) при выполнении условия (36).
оо
6. Случай, когда А (х)< О, Г | 4 (х) | <£* = -f со. В этом
4
пункте мы изучим асимптотическое поведение решений уравнения
у"-\-А{х)у = 0, где Л(л:)<0. Для удобства рассуждений запишем
это уравнение в виде
у" = А{х)у (41)
и предположим, что функция А(х) непрерывна и положительна
+оо
в промежутке [q, -f-co) причем Г A (x)dx = -j-co.
а
Из (.41) вытекает, что
<* (y/)/dx = jry" -f У" = ^J2+J'2 > 0,
и, следовательно, произведение уу' возрастает.
Кроме того,
У®/(?) = / ИС^УЧ^+У^М^+^а)/(«), (42)
a
я; 5
У (*) = 2 f Л J М(51)У«(51)+У8(?1)1Л1+
+2.у («О/(«)(*—а)+У(«)- (43)

44
Гл. VII. Асимптотическое поведение решений
Поэтому, если в некоторой точке а выполняется неравенство
_у(а)У(ос)>0, то из (42) следует, что произведение у(х)у'(х) не
обращается в нуль при х > а, а функции у(х) и у' (х) имеют
одинаковые знаки. Но в силу (43) имеем
У (*)>2у(«)У («)(*—«).
Отсюда следует, что если _у(ос)>0, то функция у(х) возрастает,
когда л;-»--|-оо, причем lim у(х) = -\-оо; если же _)/(а)<0, то
функция у(х) убывает и стремится к —оо.
Если в некоторой точке а имеем у (<*)У (a) = 0, то при <х1 > а
выполняется неравенство у(а{)уг («j) > 0, и поэтому сделанные выше
выводы сохраняют силу.
Заметим еще, что, умножая уравнение (41) на 2у' и интегрируя
его от а до х, получаем равенство (см. п. 2, „а")
X
У2 (х) —у'' («) = 2 J А фуфу' (6) d%. (44)
а
Следовательно, если при х^ а имеет место неравенство у(х)у' (х)>0,
то У2(л;)^>У3(а)> 0, причем1) из (44) вытекает, что в этом
случае lim у'г (х) = + оо.
X -> + оо
Итак, мы доказали, что если в некоторой, точке а из
промежутка [q, -j-oo) выполнено неравенство у (а)у' (а)^0, /яо ли0"о
гари лг^а решение у(х) уравнения (1) и его производная у'(х)
положительны и возрастают, либо они отрицательны и убывают.
При этом соответственно выполняются соотношения
Ига у(х)=-{-со, lira у'(х) =-\-оо,. (453)
Ж-» + ОО Я!-» + ОО
lim у(х) = — оо, lim у'(х) — — оо. (452)
а?-> т- со а. -> -Ь со
Нетрудно найти решения уравнения (41), для которых
выполняются соотношения (45j) или (452); для этого достаточно задать для
некоторой точки а такие два числа (не равные одновременно нулю)
у(а) и У (а), что .у(а)У(а)>-0, и рассмотреть решения уравнения
(61), соответствующие этим начальным условиям.
Изучим теперь случай, когда существует такое решение у(х)
уравнения (41), что при всех х^-а выполняется неравенство
у(х)у'(х)<0 (х>а).
») Если у (а) у' (а) > 0, то из (42) следует, что у (£)уг (?) > у (а) у (а). —
Прим. ред.

. § 4. Асимптотическое поведение решений ур-ния у№ + А (х)у == 0 45
Тогда _у(лт) =5^0, у'(х)фО и, так как функции у(х) и У(лг)
непрерывны, то мы можем предположить, что при х^а
У(х)>0, У(дг)<0.
Отсюда следует, что "функция у(х) положительна и убывает, а
из (44) вытекает, что у'2 (лг)< у'2 (а). Поэтому функция У (л:)
отрицательна и возрастает, а, следовательно, функции |.у(л:)|, |.у'(-*0|
ограничены в [q, -j-oo).
Из (42) следует, что при £ > а
а а
откуда
J* Л ft) «ft,
и, следовательно,
lim у(х) = 0, lim/(*) = 0. (46)
Ж -> + 00 Ж -> + OO
Докажем, что через любую точку плоскости с координатами
(а, р), р =£ 0 (<7 <; а), проходит одно и только одно решение
уравнения (41), удовлетворяющее условиям (46), в /ио время как для
всех остальных решений, проходящих через эту точку,
выполняются либо условия (45j), либо условия (452)1).
Без потери общности мы можем считать, что |3 > 0. Рассмотрим
решение ^(лг) уравнения (41), удовлетворяющее начальным условиям
*(«) = ?. Л(«)=1.
В силу доказанного, выше при любом х > а имеем _уа (лг) > 0,
y[(x)>Q, Hm _yj (a:) = -f oo, lim _yt (.v) = -f oo.
Общее решение уравнения (41) имеет вид
X
У = cj^i (*) + Wx (*) Г -т^ <#•
!) Существование решения уравнения (41), удовлетворяющего условиям
у (а) = р, Иш _у (х) = 0, может быть получено как частный случай одной
я>-> + оо
общей теоремы, доказанной Мамбриани [1J (см. гл. XII, § 5).

46
1*л. Vlt. Асимптотическое поведение решений
Поэтому решение, проходящее через'точку (а, (3), выражается
формулой
J(*) = *<*)[l+«J-S^7<ftj.
(47)
Если b > ос, то решение _у(*)> обращающееся в нуль в точке Ь,
имеет вид
Легко убедиться в том, что решение _у (я), данное формулой (48),
убывает и стремится к —оо, когда *-+-£-оо (см. фиг. 2).
Так как у (Ь) = 0 и при л; > £ имеем _у (■*) < 0, то при х !> Ь
функция у (х) убывает и стремится к — оог). Достаточно доказать,
что у(х) убывает и на отрезке (а, Ь).
Из (48) следует, что
ь ь
У (*) = [у'Л^Уг (х) f -±- d\- l]/yi (x) f-j^dl (49)
St®
С другой стороны, так как ух {х) = А (х)у1 {х) > 0, то кривая у = у^х)
Ф и г. 2.
обращена вогнутостью вверх, (фиг. 2). Следовательно,
Л (9 > Л <*) (6 - *)+Л (*) > 0 (5 > *).
и потому
b
+00
+ оо
но тогда из (49) вытекает, что /(*)<0.
J) Так как lim yx (x) = + оо. — Прим. ред.
ж-> со

,$ 4. АсимАтоШЧеСкОб поведение рнаений ур-ния у" + Л (х)у = 0 4?
Из доказанного следует, что (см. фиг. 2) если в формуле (47)
+СО
г2 < — 1 / Г ух 2 (?) d\, то соответствующее решение у (х) уразне-
а
+оо
ния (41) убивает от (3 до —оо, а если с2 > — l/ Г^Г2(Е)Л, ото
а
соответствующее решение стремится к -\-оо; наконец, если
4-со
а
то соответствующее решение положительно в промежутке
[а, -f-oo), убывает и удозлетворяет соотношениям (46) (lim _y (х)=
= lim /(jc) = 0).
а: -»■ + оо
7. Уравнение У — [1 -f- Q (л:)] .у = 0, lim Q (х) = 0; асимптоти-
ат->+оо
ческое разложение решений, а) Этот пункт посвящен
асимптотическому разложению решений уравнения
y"—V+Q{x)]y = 0 (50)
при условии, что функция Q(x) непрерывна в промежутке [q, -}-оо),
причем
lim Q(x) = 0, (51^
-f СО
J |Q(x)|e2a;^x<+oo. (512)
а
Положим
.у^г^+^в-», (52^
у' =z1ex — z^e-x. (52.2)
Дифференцируя первое из равенств, получаем, что z[ea!-{-z'2e-x== О,
а дифференцируя второе и подставляя в уравнение (50), получаем, что
z\f — г'ге -°> = Q (х) [z1ex-\~z2e~x].
Таким образом, решение уравнения (50) сводится к нахождению
функций zx и z2, удовлетворяющих системе дифференциальных уравнений:
z[=^Q(x)[z1-]-z^x],
z'=-\Q{x)[z^x+z2\.
(53)

48 Гл. VII. Асимптотическое поведение решений
Докажем, что для любых чисел а1 и а2 существует одно и
только одно решение системы (53), удовлетворяющее условиям
lim z1(x)=<xv lim z2(x) — a2. (54)
Система (53) и условия (54) эквивалентны в совокупности системе
интегральных уравнений:
х
-f со
Ж
ч (*) = «2—зг J Q ® l*i (0*25+^2 (5))#.
Повторяя рассуждения из п. 3, „б", получаем для гг(х) и z2(x)
равномерно и абсолютно сходящиеся в промежутке [qv -j-oo) ряды
оо оо
гх (х) = 2 нп (л), г2 (л) = 2 *„ (*)•
где
as
ЙЯ = |/<?(6)[вп-1(«)+«-^.-1(6)]^.
(я=1, 2, ...).
Поэтому общее решение уравнения (50) имеет вид
оо оо
у (х) = е» К+ 2 ии (*)]+«-" [«2+ 2 ^и (*)]•
и=1 »=1
б) Потребуем теперь от Q(x) лишь выполнения условия (51^.
В этом случае предельное характеристическое уравнение для (50)
имеет вид р2—1 = 0, а потому корни его равны ±1. Но тогда по
теореме Перрона (§ 3, п. 1, „г") существует решение уравнения (50),
удовлетворяющее условиям
lim у = 0, lim / = 0, lim /' = 0.
Для изученного в „а" случая такое решение получается при
«4 = 0. В самом деле, если а1 = 0, то, в силу (512), lim exzx{x) = 0.

ф 4. Асимптотическое поведение решений ур-ния у" + А (х)у = О 49
8. Случаи, когда lim А(х)=-\-оо, lim А(х) = 0; асимпто-
тические выражения для максимумов и минимумов функций | у (х) |,
|У(л:)|. В этом пункте мы изучим уравнение
у"-\-А(х)у = 0, (1)
где А(х)>0, причем либо lim A(x) = -{-co, либо lim А(х) = 0.
ж-М-оо ж-»-Ьоо
Мы дадим, при некоторых дополнительных предположениях о
функции А (х), асимптотические выражения для максимумов функций
\у(х)\ и \у'{х)\, когда лг-^-j-oo1).
а) Пусть в уравнении (1) функция А {х) непрерывна в
промежутке [q, -j-oo) и удовлетворяет условию
А(х)>0 (*>?). (55)
Пусть, кроме того, каковы бы ни были положительные числа k
и т, найдется такое значение хР, что при х~^>х°, 0 ^ h <; &/|Л4(д:)
выполняется неравенство
A(x±h)
А(х)
1
<т2). (56)
При этих предположениях любое решение у{х) уравнения (1)
имеет бесконечно много нулей
и каждому значению т, 0 < т < 1 соответствует такой индекс п0,
что при п > п0 имеем
< *?»+*. — xin < ,—-!/t—- (58)
?^ (*»)(! + ') '"+ YA(xin)(\-<)
(» = »о+1' »о+2> •••)•
Пусть, в самом деле, k — некоторое положительное число,
большее, чем тс, и пусть Мит соответственно наибольшее и наименьшее
значения функции А{х) на отрезке [х— kjYA{x), x-\-kl,YA(x)\.
Выберем положительное число % таким образом, чтобы выполнялось
!) См. Бирнацкий [1], Миллу [1], Виман [1], [2], Бутлевский [1].
Относительно обобщения результатов Вимана см. Мателль [1], стр. 67.
2) Указанное условие выполняется, например, для функции А (х) = схп
при лг>0, с>0, и> — 2. В самом деле,
1 с (х ■+- h)n II/ h\n i h f h\n-i
\c(x ri) _1= fi±£) _i Lin 1±0- , 0<8<1.
I cxn 1 IV xj \ x \ x) ^ ^
Но при 0<ft<ft/1^cx™''2 имеем h/x<^kjYcxn'"*+1, следовательно, h/x-+0
/ ft\»-i
при x-*-\-co, а множитель и (1 rt 6 — J ограничен.
4 Зак. 1072. Дж. Сансоне

50 Гл. VII. Асимптотическое поведение решений
неравенство я/й < 1—т. В силу (56) можно найти настолько
большое значение х°, что при х^х° имеем
Каково бы ни было х > л:0, отрезки [л:, х-^-к/У М] и [л:, лг—)—те/|/^»г]
содержатся в отрезке [л:, x-\-klY~A(x)]. Сравним на этих отрезках
уравнение (1) соответственно с уравнениями
z"-\-Mz = 0, z"-\-mz = Q).
Первое из этих уравнений имеет решение, обращающееся в нуль
в точках х, х-\-ъ\У М, а второе—в точках х, x-\-niy~m. Поэтому,
по теореме Штурма (см. гл. IV, § 2, п. 6, „а"), любое решение з> (-"О
уравнения (1) имеет в любом отрезке [л:, х-\-т:/у т] по крайней мере
один нуль. При этом функция у(х) имеет бесконечно много нулей.
Согласно доказанному в гл. IV, § 2, п. 2, „а", совокупность нулей
функции у(х) не имеет предельной точки, а потому эту совокупность
можно представить в виде возрастающей последовательности (57).
Кроме того, начиная с достаточно большого номера п0, имеют место
неравенства
*ап+я/У м < хъп+ъ < Xtn+^lVm.
Принимая во внимание, что в силу (59) имеют место неравенства
1 <-^=<4=< V (59')
(1 + х) У А (хгп) fM ^ fm ^ (1 - х) У А (х2п)'
убеждаемся в справедливости оценки (58).
б) Наложим теперь на функцию А (х) более жесткие требования.
Пусть в промежутке \q, -j-oo] эта функция непрерывна и
возрастает, причем lim А (х) — -j-oo, либо пусть она непрерывна и
убывает, причем lim А(х) = 0. Пусть, далее, существует А'(х),
причем А'(х)ф0. Наконец, пусть для любых двух чисел k и х
найдется такое значение х°, что при х > х°, \ h | <^ kf\f А (х)
одновременно выполняются неравенства
А' (х ± h)
A(x±h) _j
<т,
А'(х)
А(х)
Рассмотрим последовательности точек
О* 2* Х^, . . . $ Х-у, Xq, X
— 1
< Т ]). (60)
являющиеся соответственно последовательностью нулей
некоторого решения у {х) уравнения (1) (последовательностью точек макси-
1) Соотношения (60) выполняются, например, если А (х) = схп, с > О,
я>—1.

§ 4. АсимптотиЧебкое поведение решении ур-ния у№ + А (х) у = 0 51
мума \у' (дг)|) и последовательностью нулей у' (дг) (последовательностью
точек максимума \у(дг)|), причем обе эти последовательности
расположены в порядке возрастания (см. фиг. 1). Тогда имеют место
равенства
\у(хт+1)\ = \А(Х2п+1)\^+\ <61«)
где числовые последовательности { ап} и { (Зп } таковы, что
lim an=0, lim pn = 0
П-» + оо П-»+оо
(см. Виман [2], стр. 127).
Для доказательства умножим уравнение (1) на 2у' и
проинтегрируем его от х2п до дга^+2- В силу того, что у(х2п)=у(х2п+2) = 0,
получаем
х2п+2
0=/2(*2n+2)-/2(*2n) + 2 f A(x)y(x)-y'(x)dx =
ХЫ
х2п+г
=У'ЧЪп+2)-У'ЧЪп)+1А(х)уЧх)С2+2- / А'{х)уЦх)йх,
я)2п
х2п+2
У'Чх2п+2)—У'*Ы= f A'(x)y*(x)dx. (62)
х2п
Обозначим через т' и М' соответственно нижнюю и верхнюю
грани функции |Л'(дг)| на отрезке [х— k/Y^(x), x-\-k\YA(дг)].
Тогда для любого числа т, 0 < т < 1, можно найти такое значение х°,
что при лг^-дг0 выполняются неравенства (59) и неравенства
Из (62) следует, что
х2П+2
/М*2»+2)-/"2(*2») = Л' f yHx)dX, (64)
х2п
где А' заключено между нижней и верхней гранями функции А'(х)
на отрезке [дг2п, дг2п+2]. Найдется настолько большой номер п0, что
при я>«0 выполняются неравенства (59) и (63), а отрезок [дг2п, х2п+2]
4*

52 Гл. VI/. Асимптотическое поведение решений
^содержится в отрезке [х2п, к\У А (х2п)]. При этих значениях ив силу
(63) имеем
(1 _ t)2 | Л' (X2J |< 1 Л' | < (1 + t)» | А' (Х2п) |.
(65)
С помощью метода вариации преизвольных постоянных (гл. И,
§ 1, п. 5, „в") легко выводится, что решение у(х) уравнения (1),
обращающееся в нуль в точке х2„, удовлетворяет интегральному
уравнению
у(х):
У С
sin^C(x —x2J-f
+ -L J [С—А (£)] у (I) sin У С (х - 5) d\, (66)
х2п
где С—произвольная положительная постоянная.
Предположим для определенности, что у' (*2п) > 0. Обозначим
через Мит соответственно верхнюю и нижнюю грани значений
Фиг. 3.
2п Vm
функции А(х) на отрезке [х2п, х^п-\-ЩУА (х2п)]. Придавая в
равенстве (66) произвольной постоянной С последовательно значения С=М
и С = т, получаем, что на отрезке [х2„, х2п-\-%1УМ] (фиг. 3)
выполняются неравенства
0 <У-^- sin УМ {х-х^пХу (х),
а на отрезке [лг2п, х2п+2] — неравенства
0 <.у (*) <У-^~ sin У m (* - *2„).
у /и
(66,)
(662)

<S 4. Асимптотическое поведение решений ур-ния у" + А (х)у = 0 53
Поэтому 1)
хъп\г
Х2П
Так как функции А' (л:2п) и У2(*2п4.2)— Уа(*ао) имеют одинаковые
знаки, то, в силу (64), (65) и (67), получаем
С
к (1 -\а ] ^У'
2(1 ^ МУМ<
Принимая во внимание
1 < ]
mYm А{хы)Ч*{\ —
другой стороны,
1 > ]
,(*!п+»)-.У'Ч*»»)
У'2 (Jfj») А' (х2п)
неравенства (58)
< l 1
Т)з^ А(хт) (1 —
_чЯ ^/14-*№ А (х«
* /и
и (59'). имеем
1
" •"•an)"
-Л:2и)'
а поэтому
(1-^)3 ^ У2 (*2tt +2) -У' (*») / (!+*)» ,fiR4
у .У (-^гге) А ,х \ (х?п+2 — -^гп)
Очевидно, что
!п А (*2п+2) - In Л (*2п) == (*2и+2 - *Sn) ^ (Л' = Л' (6), А = Л (£)).
Обозначая через Л4' и /те' соответственно верхнюю и нижнюю грани
функции А'(х) на отрезке [д:2п, *2и + А!/)Л4(л:2я)], получаем, что
т'/М < | А' \/А < уИ'/от.
!) Из (66i), (662) следует неравенство
ТЕ
' УШ х2п+2
Г sins* УМ(х — xQ) dx< f /МЛ<
Уп (**п)
»2п х2п
xZn+-T^L
Vm
< У'Ч*2п) J* sin*/m (jf - *„,) dx.
xtn
— Прим. ред.

54
Гл. VII. Асимптотическое поведение решений
Из (59) и (63) следуют неравенства
А'
(1—О» | Л'(*»,)! ^т>
(1+tJ» A(xin) ^M < Л
^М' ^ (1+^)21^(^п)1
"^ m ^ (1—*)M(**,) •
■ А (х2п+2)
Л (*гп)
(1 + т)»
(1—и)*
(1 + т)«
= (*
2П+2 Л2П^/1_1_Т)2 /1 ^
^\Л'(х2п)\ ч ^(1 + *)а I ,„ А (х2п+2) I
^ Л(*2П) -№» + 2 —**»^(1-хН П Л(*2П) I*
(I-*)*
In
А С^гп-Ьг)
•^ (*2?l)
>
1
А'{х2п)\
А (х2п)
>
(Х2п-\.2 Х2п)
>
(1-^)а
1
0 + -0»
|ln^(*m+i)
Принимая во внимание, что функции у' (х2п+2)—у' (х2п) и А' (х)
имеют одинаковые знаки, получаем из (68) и из только что
доказанного неравенства
(1—и)» у'Чх2п+2)-у'2 (х2п) <(j + T)'
21" А(х2п) У (Х*п>
(69)
Из этих неравенств следует, что
/2
lim
m->oo
УУгп+г)—У2(*2п) /J_|n dl^an+s) _ j
(70)
Из (59) получаем
(1 - т)2 < А (х2п+2)/А (х2п) < (1 + '?■
Поэтому limln A(x2n+2)IA(xin) — 0 и в силу (70)
га-><ю
Ни, -У/2 (*2п+а) —У3 (*гп) _ Q
П-Уоо У'а(Х2п)
Но
lim [In/V^-ln/V^)] /У2(^п+;)-У2 («») в
?1->со > У (х2п)
= lim In
t | .У' (*2п+2)— У (^п) /У (-gjn+a)—У (хы) _ t
У2(*2») J/ У' (■*»)
и потому с помощью (70) получаем, что
Hmln-y'V2"^ /4ln^jL±r=l-
п->оо У2(лг2п) / 2 Л(дг2п)
Положим теперь
/2(*2„) = Л(*2п)'
(71)

£ 4. Асимптотическое поведение решений ур-ния у" -\- А (х)у = О 55
и докажем, что
lim ап = 0.
п-> оо
В самом деле, для любого е>0 можно найти такое л0, что при
п > ип имеем
0
У' (-У2П + 2) /1
yv2„) /2 ^(^„)
откуда
j_ n£^^/lln^W<1+e(p==1,2!...)>
У*(*2п) ' ( 2П°'
1 2
-^1пА(х2п) — 1пу' (х2п)
*пы+ ЫА(х2пЛ2р)
— е <г ^— <г е.
1 1 \пА(х2п)
2 2 1пЛ(дг2В|)+2р)
Но так как lim In | А (х2п +2 ) | = -|-оо, а в произвольно, то из дока-
занного неравенства следует, что lim an = 0.
»->со
Положим теперь
I^MhMfe!)]-'^ (72J
и докажем, что lim |3W = 0.
W->oo
Из (6б1) и (662) вытекает, что
ум <b(^+i)l<—jt^-
Принимая во внимание (59') и (71), получаем, при и > л0,
Г^ М(*а,) |-V.+«„ <Л (*2«+1)-,Льр» < r^ IA (**.) I"
откуда следует, что число рга заключено между числами
1 ln(l+t) . / 1 , , \ 1пЛ(.г2те)
4 In/(*,п+1) "1Л 4~Г «) 1п/(дг„и)
и
1п(1—т) , 7 1 | „ \ ШЛО*») , 1
лА(х2п+1)^{ 4 "Т" "»J lnA(x2n+l) 1" 4 •
Но lim inVr(v w) l = 1; »т1пЛ (jfgn+1) = оо, и потому lim Pn=*0i).
') Для того чтобы вычислить первый предел, достаточно заметить, что
для любого, сколь угодно малого, положительного числа т можно, в силу (59),
найти такое число яп, что при п > пп выполняются неравенства (l+z)2A (*2га)>
>Л(.*2п+1)>(1—т)М(ж2»). Поэтому отношение In А (*2га+1)/1п А (х2п)
заключено между 2In(l— x)jln А (х2п) + 1 и 2 In (1 + т)/1п Л (х2п) + 1.

56
Гл. VII. Асимптотическое поведение решений
в) Нетрудно видеть, что если в уравнении у"-\-А(х)у = 0
функция А(х) удовлетворяет указанным в „б" условиям и если Игл А (х)=
х-¥ + со
= -f- оо, то Игл у (х) = 0, Игл \у' (х)\ = -\-оа\ если же при тех же
ж-* + со ж-* + со
условиях lim Л(л:)=0, то Игл у(х)=-\-сю, a lim |у'(л:)|=0. Таким
ж-* + оо ж-> + оо х-¥ + со
образом, при указанных предположениях решения уравнения (1)
могут обладать лишь устойчивостью в смысле Рауса (§ 1, п.-1).
9. Случай, когда функция А (х) положительна, не убывает,
имеет непрерывную производную и lim A(x) = -\-co; теоремы
х^ -Ь оо
Армеллини — Тонелли — Сансоне. а) Этот пункт посвящен изучению
решений уравнения
у" + А(х)у = 0 (1)
при условии, что функция А (х) положительна, не убывает в
промежутке [q, +oo), имеет непрерывную производную и что
lim А(х)= -{- оо. Мы укажем для таких уравнений два критерия
ж-* + оо
устойчивости решения у = 0.
Для того чтобы короче сформулировать один из этих критериев,
введем понятия почти скачкообразно стремящихся к бесконечности
функций а регулярно стремящихся к бесконечности функций.
Пусть {8П} —некоторая последовательность попарно не пересекающихся
отрезков 6n = [a„, bn], an<^bn, лежащих в промежутке [q, -f" °°)-
Мы будем говорить, что эта последовательность имеет в [q, -f-oo)
плотность меньшую, чем е, если существует такое п0, что для любого
и
п > п0 выполняется неравенство 2 (*к—ял)/^п < е- Пусть функция
F(x) при x^-q положительна, непрерывна, не убывает и пусть
lim F(x) = -j- оо. Если для любого в>0 в [q, -j-oo) можно найти
ж-> + оо
последовательность отрезков {6П}, плотность которой меньше, чем е,
и такую, что приращение функции F(x) на множестве,
дополнительном к {6И}, конечно, то функция F(x) называется почти
скачкообразно стремящейся к бесконечности. В противном случае функция F(x)
называется регулярно стремящейся к бесконечности.
Имеет место следующая теорема, сформулированная и частично
доказанная Армеллини и полностью доказанная одновременно и
независимо Тонелли и Сансоне1).
Пусть в уравнении
у" + А(х)у=0 (1)
х) См. Армеллини [1], Тонелли [1], Сансоне [2]. В тексте воспроизводится
доказательство Армеллини и Тонелли.

§ 4. Асимптотическое поведение решений ур-ния у" -\- А(х)у = 0 57
функция А (х) в промежутке [q, -f- об) положительна, не убывает,
имеет непрерывную производную и пусть lim A(x)=-\-oo, причем
ОС-* + ОО
In А (х) регулярно стремится к бесконечности. Тогда для любого
решения у(х) уравнения (1) имеем
lim у (х) = 0!).
Положим
у'*-\-А{х)у*=А{х)\\ (73)
где X (х) ^ 0 (X (х) является амплитудой колебания в момент х2)).
Тогда
Ь> (*)«*(*), (7.4)
причем знак равенства может иметь место тогда и только тогда,
когда у'(х) = 0, т. е. в точках максимума и минимума функции_у (•*)•
Дифференцируя равенство (73), получаем, что
A'(y* — k*)/A = dk*/dx. (75)
Но А > 0, А' ;> 0, у2— X2 <! 0, а поэтому dl?Jdx <! 0. Следовательно,
№(х) является монотонной, невозрастающей функцией, но тогда и
последовательность максимумов функции \у (х) | невозрастающая
(см. также п. 2, „в"). Отсюда следует, что существует
lim \y(x^„+1)\ = a.
П->со
!) Если функция А (х) положительна, не убывает и lim A (x) = -f сю, то
х ->+со
все решения (1) ограничены при х-* +оо. Действительно, из (6), п. 1, § 4,
гл. VII, следует, что
lim [
max y4x)]=y*(x1)TT-JH-<+co,
так как m\n<Cm\n+i — Прим. ред.
2) Сравним уравнение (1) с уравнением
у" + Ау=0 (1'),
где И = А (*Х И (*) для всех х^-х (х фиксировано); функция
y(x)=y(x)cos YA (х~ х) + ^Ш= sin YA(x — x)
V А{х)
дает решение (1'), причем уг(х)^у% (х) для хш-2*Сх4ix *Сх2п, откуда
уЦх)<\Цх)=уЦх) + ^Щ = тлх уЦх).
— Прим. ред.
х<х^х%п

58 Гл. VI/. Асимптотическое поведение решений
(Напомним, что, согласно обозначениям, введенным в п. 2, „а",
х0, л-2 х2п, .. .; xv хь, хъ -f2w+i> • • • являются
соответственно последовательностью точек максимума функций |_у'(л:)| и
|^(л:)|, причем эти последовательности расположены в порядке
возрастания. Без потери общности можно считать, что х0 > 0.)
Покажем, что при сделанных нами предположениях <х=0.
Предположим, что а^ЬО. Для любого, сколь угодно малого
положительного числа s можно найти такое л:0, что при х > х° имеем
a <; к (x)< a -\- s.
Интегрируя равенство (75) от х° до х и полагая ;а == In А (х),
получаем
V (х) = к* (х°) - f [к*(S) -У (6)] ^Щ «Я,
хР
X
0< J [A2 (S) — /ЧЕ)]|*'($)<Я<(« + «)9 — a2 = 2as4-s'2. (76)
afl
Обозначим теперь через k любое положительное число, меньшее
единицы, через А — объединение всех лежащих в промежутке [q, -j- oo)
отрезков, в каждой точке которых выполняется неравенство \у(х) | <^ ka,
а через В— объединение всех смежных промежутков для А, лежащих
в [q, -\- оо). Очевидно, что в каждой точке из В выполняется
неравенство a -j- s > У (х) > ka.
Докажем, что для любого а>0 можно найти такое
положительное число k, достаточно близкое к единице, что плотность
множества В в промежутке [q, -\- оо) меньше, чем а.
Фиг. 4.
Предположим, что на отрезке [х2п, л2я+2] имеем у(х)^0, и
обозначим через х'2 , х"п такие значения х, что
\» < Х'п < *"*> < *9, + 8; У W = ЖУ = ^
(фиг. 4).

§ 4. Асимптотическое поведение решений ур-ния у" -\- А (х)у = О 59
Положим
У{Х) = y'/^pL Sin }ГАЫ (* - **■)•
Тогда на всем отрезке [х2п, х2п+2] выполняется неравенство у (х) ^.у (х)
(см. п. 8, „б").
Покажем, что для данного з можно найти настолько большое п0
и настолько близкое к единице значение д, что при п > п0 имеем
Пусть xin¥l — середина отрезка [х9п, х2п-[~п/^А(х2п)]; тогда
у(х)= у (*an+1) cos /Л (jc2„)(jc — x2n+1).
Найдется такое х'2п < х^, что 3> (х'2п) —у (х'2п),
ka=y(x'2n) = j/ (х2га+1)cos}/"A(jc2„) (х^ — лг2п+1),
, Л (*2га) (-*гп Х2.
да
= у(х2п+1)[\ + % ***-D
(77)
где D равно второй производной от cos z, вычисленной в точке z,
лежащей между z = 0 и z= у А (х2п) (х°п — х2п+1).
Поэтому D = — cos z и величина y(x2n+1)D заключена между
—У (*2n+i) и —^ (*2«+i)cos { VA (*2 J (х'гп — *2»+i)l = — «а-
Следовательно,
У (X2n + l)D<—y (Xin + l)C0S{VA(x2n) (*2«— X2n + 1)).
Из (77) и из доказанного неравенства следует, что
, . — ,— s A(xin)(x2n х2+1)2
ka<y (х2п + 1) s й«,
I Х1П X2n±l I <»
I / О -У (*а»+0 — ^а = ЛГ нп
У ka У A(xtn)"
YA (хш)
где _ _
Нп = 2[у (x2n+1) — kct}/ka.
Так как
у (х2я+1) = -^ф-sin ]/• л^У (х2п+1 - х2п):
^Йг-*«-)'
1) В самом деле, х2и+1 — х2п= — а у (х2п) = 0, Ха(.*) =
2 у (Л х2п)
= АЛ .—Прим. перев.

60
Гл. VII. Асимптотическое поведение решений
и, следовательно, lim у (х2п+1) = а, то, выбирая о в промежутке (0, и),
Я-»со
можно найти такие k и и0, что при п > «0 имеем
l"J<(x)2-.
Но тогда при и > и0
v2n
<
С2п Х2п (Х2п+1 Х2П> (Х2п'+1 Х2П>
V А(х,
2fA(x2n) У А(хы)
откуда
_// / —// —/ — —/
' 2П Х2п -. Х2п Х2п о Х2п + 1 Х2П
X
I
. -zn zn о anti zn ^
< =} =2. —, <а,
2п~~ л2п л2п л2п л2п ЛЫ
п п
^ (X2l — X2l) 2j (X2l X2l)
■ Ti < ° л < а-
-*2n ^гп
Тем самым наше утверждение относительно плотности множества В
доказано.
Но к2(х)—_у2(х)>-0, ф./йх>0, ^2(-*0>«2> и на множестве A
имеем |_y(x)|<i&a. Поэтому
-f оо
w„ A
>«a(l —*a) |^йх = а2(1—&2)ДА},,
где через ААр обозначено полное приращение функции \i на
отрезках множества А. Из (76) получаем, что
а2(1 — £2)ДА}*<2ае-{-е2.
Таким образом, мы доказали, что для любого о можно найти такое
множество В, состоящее из промежутков, лежащих в [q, +oo), что
его плотность меньше, чем о, а полное приращение Аа\>- функции \i
на дополнительном множестве А конечно. Но это противоречит
условию теоремы, так как функция ^ = 1пЛ(х) регулярно стремится
к бесконечности. Полученное противоречие и доказывает, что
lim _y(x) = 0.
.■£->■+<»

§ 4. Асимптотические победение решений ур-ния у" -f- А (х) у = 0 61
б) Укажем, что существует класс функций А(х), включающий
подклассы функций, почти скачкообразно стремящихся к
бесконечности, и такой, что для функций из этого класса любое решение
уравнения,
у"-\-А(х)у = 0 (1)
удовлетворяет условию
lim у (х) = 0.
Имеет место следующая теорема (см. Сансоне [2], стр. 398—399),
для которой мы дадим лишь формулировку:
Пусть в уравнении (1) функция А(х) при x^>q положительна,
непрерывна, не убывает и имеет непрерывную производную А'{х).
Пусть, далее, lim А {х) = -(- оо1). Рассмотрим некоторую после-
довательноеть {tn\ положительных чисел, удовлетворяющих
условиям ,■'■
lim tn = оо,
П-¥со
lim(*n+1 — tn) = 0, Um (*n+1 — tn)l(tn — 4-i) = l.
w-»oo га-»со
и обозначим через A'(ln)jA(tn) наименьшее значение функции
А'(х)/А(х) на отрезке [tn, tn+1], ^„<!$п<^+1. Если для любой
последовательности {tn\, удовлетворяющей указанным условиям,
имеет место соотношение
оо
то для любого решения у{х) уравнения (1) имеем
lim у {х) = 0.
в) Из сформулированной сейчас теоремы можно вывести два весьма
простых достаточных условия для того, чтобы lim у(х) — 0. Пусть
в уравнении
?{х) + А\х)у(х) = 0 (1)
функция А (х) при x^-q положительна, непрерывна, не убывает,
имеет непрерывную производную А' (х) и пусть lim А(х) = -\- оо.
ж-^+оо
:) Если А (х) стремится к + со не монотонно, то (1) можед иметь
неограниченное решение. Относительно условий, обеспечивающих ограниченность
всех решений (1) в этом случае, см. Л. И. Камынин [1]. — Прим. ред.

62 Гл. Vtt. Асимптотическое поведение решений
Пусть, далее, существует бесконечно много отрезков [ап, Ьп],
лежащих в промежутке [q, -\~oo] (причем an<bn, bn<an+1,
со
8„ = £„— яп>80>0, lim ап = -j- оо) и таких, что ряд 2 Ктп
п->оо п—\
расходится1) (через тп мы обозначаем наименьшее значение
функции А' (х)/А (х) на отрезке [ап, Ьп]). Тогда для любого решения у (х)
уравнения (1) имеем
lim у(х) = 0.
Выберем, в самом деле, некоторую последовательность чисел tv
/2, ...,tn,..., удовлетворяющую указанным в „б" условиям. Тогда
существует такой индекс г0, что при г^-г0 имеем tr+1 — ^<80/3.
Если обозначить через и0 первый индекс п, для которого antl~>tr<i,
то внутри любого отрезка Ъп = [ап, Ьп], где п > п0, содержатся
отрезки [tr, tr+1], сумма длин которых больше, чем 8И— 280/3^>8п —
— 28п/3 = 8„/3. Поэтому сумма произведений этих отрезков \tr, tr+1]
на соответствующие множители A' (£r)/A (£,.) превышает 8гатм,4/3; но
оо
тогда ряд V (tr+1 — tr) .уу расходится в силу расходимости ряда
2 ^птп!^' Отсюда следует, что ряд
оо
-J ^+1 V А (?г)
расходится, а потому мы можем воспользоваться сформулированной
в „б" теоремой.
Имеет место также теорема: Если при х^-q функция А(х)
положительна, непрерывна, не убывает, имеет непрерывную произ-
+ оо
водную А'(х), причем А'(х)~^>1>0 и Г dxjA(x) = -\-оо, то для
а
любого решения у(х) уравнения (1) имеем
lim у(х) = 0.
Я5-»-тОО
В самом деле, для любой последовательности tlt t^, .... tn, ...
из промежутка [q, +oo], такой, что./„+1-/п>/я+2-/„+1,
!) Можно построить функции А (х), почти скачкообразно стремящиеся
к бесконечности и удовлетворяющие указанным здесь условиям (см. Сан-
соне [2], стр. 401).

$ 5. Асимптотическое преёстабление при больших значен, параметра 63
п = 1, 2 имеем
со
со со
=' 2 ('»+i - '»> цу -/ 2 <'»«—'»> [:щу - j(^7)J >
n=l n-1
-fOO СО
n=l
Ho
CO
2 <'■•+1 - '*> Ъш - ми^)\ <
n- 1
CO
n=l
oo
и, следовательно, ряд 2(^n+i— tn) A'(£„)/A(ln) расходится, а потому
мы можем воспользоваться теоремой, сформулированной в „б".
§ 5. Асиматотическое представление решений дифференциальных
уравнений второго порядка при больших значениях параметра.
1. Уравнение у"— (^2Xo + ^Xi~l~X2)J' —0- а) В приложениях
часто возникает необходимость в нахождении асимптотических
выражений для частных решений дифференциальных уравнений, зависящих
or параметра, при условии, что параметр принимает весьма большие
значения. Этой задачей мы занимались, например, в гл. IV, § 7, где
нами было получено асимптотическое выражение для функций Штурма—
Лиувилля. Для решгния этой задачи почти всегда решение уравнения
представляют сначала в виде интеграла; именно таким путем
получаются асимптотические выражения для многочленов Лежандра1), Якоби
(см. Cere [1]) и для функций Бесселя при больших значениях
параметра (порядка) (см. Ватсон [1], гл. VIII, стр. 252—297).
Мы ограничимся изложением некоторых замечаний Джеффрея
(Джеффрей [1], [2]), позволяющих легко найти первый член
асимптотического разложения по параметру решения уравнения в случае,
когда известен вид этого разложения. Относительно более глубокого
изложения этого вопроса см. Биркгоф [1], Тамаркин [1], Гольд-
штейн [1], [2], Лангер [1], [2], [3], Тржитцинский [1].
*) См. Я. Л. Геронимус [1], стр. 89. — Прим. перев.

64 Гл. Vlf. Асимптотическое поведение решений
б) Пусть дано дифференциальное уравнение
где Хо> Xi> X2 — непрерывные функции от х, заданные на некотором
конечном или бесконечном промежутке /; /_о ф 0; отношения Xi/Xc
Х2/Х0 ограничены в /, а к— некоторый параметр, который может
принимать сколь угодно большие значения.
Предположим, что это уравнение имеет решение вида
/i i Л
З^Ф^+Т + Ж + ...), (2)
где функции Ф, ш, fv /2, ... зависят только от х, ограничены в /,
имеют непрерывные вторые производные, причем ряд (2) сходится
при к > kQ, каково бы ни было х из /.
Подставим ряд (2) в уравнение (1), расположим получающееся
в левой части выражение по степеням к и приравняем нулю
коэффициенты при к2, к, к0. Тогда мы получим:
<»,3 = Хо. (3)
Ф'/Ф = (Х1 — <о")/2ш', (4)
2«7'i = Xa —Ф7Ф- (б)
Из равенства (3) следует, что
ж
<а = ± j Xo* dx,
а из равенства (4) вытекает равенство
X
ф=ш'-'/2еЬ>/2ш,,/в. (6)
Поэтому
фехш = х-У.е±Г^Чь/^)^1 (7)
где нижний предел интеграла может быть выбран произвольным
образом.
Предположим, что х0 > 0 в /. При к ~^> kt ^> к0 имеем
X = *"Xo + *Xi + X.>0. (8)
X -*Хо [1 -t- х ь-Г-ха XJ *Х0 +2^TUU/.
j, = Фехш [ 1 + о (|)] = х,-'V I I* *" [ 1 + О (|)
Если же в / Хо < 0> т0 ПРИ ^ > ^i ^> ^о имеем
Х = -ф = А«Хо + АХ1 + Хя<0.
(9X)

§ 5. Асимптотическое представление при больших значен, параметра 65
Поэтому, отделяя в формуле (9t) действительную часть от мнимой,
получаем, что решения уравнения (1) имеют вид
У (х) = I Хо I -''' И cosL(x) + Bsin L(*)] [l + О (I)], (92)
где
L(x)= [ yi'dx,
а Л и 5—произвольные постоянные.
в) В случае, когда функции yQ, уЛ, -fa не удовлетворяют
указанным условиям, требуется более глубокое изучение решений.
2. Асимптотическая формула Карлини для функций Бесселя
большого порядка. В качестве приложения изложенных выше
методов рассмотрим уравнение Бесселя (гл. III, § 6)
d*y , 1 dy . Л иП
и выведем для его решений асимптотическую формулу Карлини (см.
Карлини [1]; эта работа была переведена на немецкий язык Якоби [2];
см. также Якоби [1], т. VII, стр. 189—245). Формула Карлини была
первой, установленной в этом направлении.
Полагая х = пе^, получаем
^ + яа(е*_ i)-y==o,
и есла п ве/ико по сравнению с х, то I < 0, у =а п2(1 — е2^), (X = п),
Х0 = 1 — е2ч Поэтому в силу (9Х)
у^~-(I — е2<;) ">е ■>
Но
./(1_и9»л_./[1-^]*е.-/
У п* — х* ,
dx —
х
= и1п * 4-К^
и + у Ф — х%
и, следовательно,
у _ (Яа _ *2)-•/. *« (Я -j_ |/п2 — д;2)_и е17"»2
_у ~(«2_ х*)-Ч'Х-п(п + |/п2 — *2)ra e-Vn*-x\
Первая из этих формул отличается лишь множителем 1/у 2те от
асимптотического выражения для Jn(x), полученного Карлини (см.
Ватсон [1], стр. 15). Это выражение имеет вид
1 хпеУп'-&
4W'
.У"2« (»* — л:2)'''1 (и + У> — лг2)« '
5 Зак. 1072. Дж. Сансоие

Глава VIII
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ В ЦЕЛОМ
ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Теоремы существования для уравнения у' =f(x, у)
i
1. Точки Пеано для уравнения у'=/(х, у), а) Мы
рассматривали вопросы о существовании* и единственности решений
дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений в гл. I.
Более глубокое изучение этих вопросов для линейных
дифференциальных уравнений и систем таких уравнений было проведено в гл. IV
и V. В этой главе такое изучение будет проведено для нелинейных
дифференциальных уравнений и систем нелинейных уравнений, имеющих
нормальную форму.
При доказательстве теорем существования и единственности
в гл. I мы использовали условие Липшица. Однако в приложениях
встречаются уравнения, правые части которых не во всех точках
удовлетворяют этому ограничительному условию. Поэтому возникает
необходимость в более общих теоремах существования и
единственности.
Исследования в этом направлении начинаются с двух осковополагаю-
ш,их работ Пеано1). Мы уже ссылались на эти работы в гл. I, § 6, п. 2,
где показали, что для существования хотя бы одного решения системы
дифференциальных уравнений y'i=fi (х; yv у2, ...,ут) (/=1, 2,.... от),
удовлетворяющего данным начальным условиям, достаточно
непрерывности функций fi(х;yv yv . . .,ут). Приведем пример, показывающий,
что этого условия недостаточно для того, чтобы такое решение было
единственным.
б) Рассмотрим уравнение _у'=/(х, у), где f(x, _у) = |_у|'/*, и
будем искать решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному
условию у(х°) — 0 (см. Мюллер [1], стр. 4,6).
Функция f(x, у) непрерывна в плоскости х, у, и, следовательно,
через каждую точку этой плоскости проходит по крайней мере одна
интегральная кривая (гл. I, § 6, п. 2). Если точка (х°, у°) не лежит
на оси абсцисс, то частная производная fy(x, у) ограничена в
окрестности точки (х°, у0), и поэтому существует единственное решение
*) Пеано [1], [2]. Вопросы, рассматриваемые в этой главе, были
предметом изучения в ряде недавно появившихся работ. Для удобства читателя мы
даем в конце главы библиографический список этих работ.

§ /. Теоремы существования для уравнений у' =f(x, у) б?
нашего уравнения, проходящее через точку (х°, у0). Рассмотрим,
с другой стороны, точку (х°, 0). Каковы бы ни были действительные
числа а и Ь, такие, что a<^x0 *Cb, функция у =_у(х), определенная
соотношениями у {х) = 0 при а < х <; Ь, у(х) = -г{х — bf при х >- Ь,
у(х) — — -j(a — x)2 при х^а, удовлетворяет данному
дифференциальному уравнению и начальному условию у (х°) = 0.
Рассмотренный пример показывает, таким образом, что
непрерывности функции f(x, у) в окрестности точки (х°, у0)
недостаточно для того, чтобы обеспечить единственность решения
уравнения у' =/(х, у), проходящего через эту точку.
Если через точку (х°, у0) проходят две или более интегральных
кривых уравнения y'=f(x, у), то точка (х°, _у°) называется точкой
Пеано для этого уравнения и говорят, что в этой точке имеет место
явление Пеано.
Аналогично можно определить точку Пеано для системы
дифференциальных уравнений.
в) Из доказанного в „б" следует, что все точки оси абсцисс
являются точками Пеано для уравнения у' = \у\'2. М. А. Лаврентьев
построил такую непрерывную в квадрате Q: O^x^l, 0^_y^l
функцию f(x, у), что через каждую внутреннюю точку квадрата Q
проходят по крайней мере две интегральные кривые уравнения
у' =/(х, у), йе совпадающие ни в какой сколь угодно малой
окрестности точки (х°, у0). Говорят, что в квадрате Q имеет место явление
Лаврентьева (см. М. А. Лаврентьев [1]).
2. Решения уравнения у' —f(x, у), определенные в конечном
промежутке, а) Предпошлем изучению поведения интегральных
кривых уравнения y'=f(x, у) некоторые простые замечания1).
Пусть функция /(*.. у) определена на некотором множестве /
точек (х, у) плоскости х, у. Пусть, далее, точки кривой у = ср (х)
принадлежат /, когда х изменяется в промежутке (а, Ь), — оо < а <
<#<£<-|-оо, причем функция <p(x) удовлетворяет
дифференциальному уравнению
cp'(x)=/(x, cp(x)),
и при a<x<£ выполняется неравенство \f(x, y)\<^M. Докажем,
что при этих предположениях существуют конечные пределы
А= lim <?(х), B= lim y(x). (1)
В самом деле, для любых двух точек х' и х", лежащих в
промежутке (а, Ь), найдется лежащая в промежутке (х', х") точка \,
такая, что
ф (х") — с? (х') = (х" — х') <?' (?) = (** — *')/ К. ? (&)]•
1) Относительно изучаемого в п. 1—5 материала см. Камке [1], стр. 73—81.
5*

68 Гл. VIII. Теоремы существования и единственности в целом
Поэтому \<?(х")— <о(х') | <[ М (х"— х'), и наше утверждение следует
из необходимого и достаточного признака сходимости Коши.
б) Пусть множество I открыто и связно (т. е. любая точка
этого множества является внутренней и для любых двух точек Р'
и Р" этого множества найдется соединяющая их ломаная, все точки
которой лежат в /). Обозначим через FI границу этого множества
и предположим, что функция fix, у) определена и ограничена
в I-\-FI и непрерывна в каждой точке из I-\-FL
Пусть график функции у = <о(х) принадлежит /, когда х
изменяется в конечном промежутке (а, Ь), а < х < Ь, и функция у = ср (х)
удовлетворяет уравнению
У = р(х, у).
Тогда в силу „а" существуют конечные пределы lim <?(x),
lim <?(х). Если положить
ср(д)= lim &(х), <й-(р)= lim <?(x),
ж->о+0 а;->6—О
то функция <?(х) будет определена и непрерывна на отрезке [а, Ь].
Покажем, что существуют также и пределы
lim [<p(e+A) —ю(я)]/Л, lim [<?(* — К) — 9(b)]/— h,
от. е. производные «p'(a-J-O), »'(#— 0).
Точки [а, о (а)], [Ь, «>(#)} принадлежат множеству I-\~FI.
Следовательно, f(x, <?(*)) является непрерывной функцией от х на отрезке
[а, Ь]. Если точка с лежит в промежутке (а, Ь), то при а < х < b
имеем
X
cs(x) = 9(c)+J Я*> <?(x)]dx.
с
В силу непрерывности <?(х) эта формула верна и при х = а, х = Ь,
откуда и вытекает существование ср'(д-|-0), »' (Ь — 0).
3. Область существования интегральной кривой, а) Пусть
R— прямоугольник, стороны которого параллельны осям координат
и заданы уравнениями
х = а, х = $; у = Ъ у = Ъ, [0<р — а, 0<8 — т].
Пусть, далее, функция f (x, у) непрерывна в прямоугольнике R и
на его контуре. Тогда существует такое число М, что для любой
точки (х, у) из R имеем \f(x, y)\^.M.
Пусть точка (х°, у0) лежит внутри R, а у—<?(х)—интегральная
кривая уравнения
/=/(*, у), (2)

,§ I. Теоремы существования для уравнения у' =f(x, у) 69
проходящая через (х°, у°) и определенная в промежутке (я, Ь)х).
Докажем, что можно найти решение у = ф (х) уравнения (2), ои-
ределенное на отрезке, содержащем промежуток (а, Ь),
совпадающее на промежутке (а, Ь) с <э(х) и такое, что концы графика
этого решения лежат на границе прямоугольника R.
Рассмотрим для этого прямоугольник R', стороны которого заданы
уравнениями
a — p<*<{J+p, f — Р<3'<8 + Р. Р>0>
и определим функцию f(x, у) в точках (х, у) из R'—R, полагая
f(x, y)=f(x', У), где (х', у') — точка границы прямоугольника R,
находящаяся на наименьшем расстоянии от (х, у). Функция f(x, у)
будет тогда непрерывна в /?', причем в /?' сохраняется неравенство
\f(x, У)\<М.
Положим §' = rain (p, р/М) 2) и заметим, что по теореме,
доказанной в гл. I, § б, п. 2, существует интегральная кривая у=у(х)
уравнения (2), проходящая через точку (л^, _у°) прямоугольника R
и определенная на отрезке [х° — §', х°-\-Ь'].
Как указывалось в п. 2, „б", интегральную кривую Г: з» = ф(л:), ■
заданную в промежутке (я, Ь) из [а, р], можно продолжить на
отрезок [я, Ь\. Если конец {b, <?(£)) продолженной таким образом
кривой Г лежит вне R, то мы берем часть кривой Г, абсцисса правого
конца которой является наибольшей из абсцисс х, обладающих тем
свойством, что при изменении х на отрезке [х0, х] кривая Г остается
в R. Если же конец (Ь, ?(£)) лежит внутри R, то из точки (b, <?{b))
выходит интегральная кривая Гх: у = о1(х), определенная на отрезке
[Ь, Ь-\-Ъ'\ и касающаяся кривой Г в точке (Ь, '-?(#))• Если правый
конец [Ь-\-Ь', <pj (6 -|- 8')] кривой 1\ лежит на границе
прямоугольника R, то наше утверждение доказано; если он лежит вне
прямоугольника R, то берем часть кривой Yv выходящую из точки [Ь, <?(#))>
которая целиком лежит в R, причем правый конец этой части лежит
на границе R; наконец, если [Ь-\-Ь', ^(Ь-^-Ь')] лежит внутри R, то
строим интегральную кривую Г9, определенную на отрезке [Ь-\-Ь',
6-f-28'] и касающуюся кривой Y1 в точке [Ь-]-Ъ', a>i(* + 8')l-
Продолжая такой процесс, мы через конечное число шагов придем
к кривой Г^, правый конец которой лежит вне R или на границе R.
Аналогично строятся кривые слева от левого конца кривой Г. Итак,
мы построили интегральную кривую уравнения (2) Г_д —(-Г_д+1 4"
-\- .. . —j—Г_х—[—Г —}— Гх —{— ... -j-Г^, частью которой является кривая Г
и концы которой лежат вне R или на границе R. Отсюда и следует
существование интегральной кривой с требуемыми свойствами.
*) Предполагается, что а-^ск^Ь^Сф.— Прим. ред.
2) Как уже указывалось в гл. I, § 3, п, 4, „в", если М—0, то следует
положить S' = р.

70
Гл. VIH. Теоремы существования и единственности в целом
б) Пусть функция f(x, у) непрерывна в квадрате Q,
Q: а — й<лг<а-(-А, ? — «<^<Р+а.
и \f{x,y)\<LeQ, и пусть 8 = mln(a 2, aj2L). Рассмотрим
квадрат Q',
Q': а —в/2<*<а+а/2, ? —в,2<^<р+в 2,
и докажем, что если интегральная кривая _у = ср(лг) уравнения
у'=f{x, у) проходит через точку (х, у) квадрата Q', то либо
эта кривая имеет точки с абсциссой не меньшей, чем x-j-S {не
превосходящей х — Ъ), либо ее можно продолжить \до
интегральной кривой этого уравнения lf, имеющей точки с абсциссой Jc-4-8
(х-Ь).
Обозначим через Q" квадрат с центром в точке (л;, у), стороны
которого параллельны осям координат и имеют длину 23. В силу
доказанного в „а" мы можем
считать, что интегральная
кривая у = у(х) пересекает
границы квадрата Q" в некоторой
точке {xv yt). Тогда
_ ж,
У1=У-\~ f fix, y{x)\dx,
X
\у~1—у~\ < L | x^—lc |< La, 21=
= a/2<8, |_у7_}|<8,
и потому лг1 = л;-)-8.
в) Обозначим через Q
множество точек, принадлежащих
конечному числу равных, не
налегающих друг на друга
квадратов, стороны которых
параллельны осям координат, причем любые два квадрата либо не
пересекаются, либо имеют общую вершину, либо общую сторону
и для любого квадрата найдется другой квадрат, имеющий с ним
общую сторону (фиг. 5). Докажем, что для Q сохраняет силу
доказанное в „а" утверждение, т. е. что если функция f'{x, у)
непрерывна в Q, а {х°, _у°) — некоторая точка, лежащая внутри Q, то
~^
&у°)
Фиг. 5.
а) Говоря о продолжении интегральной кривой, мы считаем, что
получающаяся кривая на всем своем протяжении является интегральной кривой
данного уравнения, г

§ /. Теоремы существования для уравнения у' —f(x, у) 71
интегральная кривая Г: у = у(х~) уравнения y'=f(x, у),
проходящая через (х°, у0), являет:я частью интегральной кривой у — ty{x),
концы которой лежат на границе Q.
В силу п. 2, „а", мы можем считать, что интегральная кривая Г
определена на отрезке [а, Ь], таком, что а < х° < Ь. Если конец
\Ь, Ц>(Ь)] этой кривой не лежит на границе Q, то мы можем считать,
что он лежит внутри одного из квадратов qv образующих
множество Q, причем границы qv параллельные оси ординат, имеют
уравнения х=а, х = а-\-р. Рассмотрим прямоугольник R, образованный
всеми квадратами из Q, стороны которых, параллельные оси ординат,
имеют абсциссы х = а, х = а-\-р (одним из этих квадратов
является <7i)- В силу ранее доказанного мы можем продолжить
интегральную кривую Г до пересечения с границей прямоугольника R.
Если правый конец продолженной кривой лежит на одной из сторон R,
параллельных оси абсцисс, или является лежащей на границе R
вершиной одного из квадратов, принадлежащих Q, то наша
теорема доказана. Если же правый конец продолженной кривой лежит
на прямой х = а-|-р, то он либо лежит внутри общей стороны двух
квадратов q9 и ga, из которых один, скажем qv принадлежит полосе,
ограниченной прямыми х—а, х = а-[-р, а другой qb—полосе,
ограниченной прямыми х = а-|-р, х = а—\-2р, либо является вершиной
одного из квадратов, принадлежащих Q, и лежит внутри Q.
В первом случае мы, рассматривая прямоугольник q^-\-q^, можем,
согласно „а", продолжить кривую Г внутрь квадрата q3. Во втором
случае, по тем же соображениям, мы можем продолжить Г в полосу,
ограниченную прямыми х = а-|-р, х = а-|-2р, рассматривая квадрат,
образованный четырьмя квадратами из Q, прилегающими к
рассматриваемой вершине. Так как Q состоит из конечного числа полос,
стороны которых параллельны оси ординат, то через конечное число
шагов мы получим продолжение кривой Г, концы которого
принадлежат границе Q.
г) Пусть I — открытое множество и Q — лежащее в I
множество, состоящее из конечного числа равных квадратов,
расположенных так, как это было описано в „в". Пусть функция
f (х, у) непрерывна в I, аГ: у = ? (х) является интегральной кривой
уравнения yr=f(x, у), проходящей черезточку (х°, у°), лежащую
внутри Q. В силу „в" кривую Г можно продолжить вправо и влево
таким образом, что концы продолженной кривой лежат на границе Q.
Но эти концы лежат внутри /, и, следовательно, можно продолжить
полученную кривую вправо и влево, получив таким образом точки
этой кривой, лежащие вне Q. Поэтому при сделанных выше
предположениях любую интегральную кривую, проходящую через
внутреннюю точку (х°, у0) множества Q, можно продолжить вправо
и влево таким образом, что получатся точки, лежащие вне Q.
д) Пусть множество J точек плоскости х, у открыто и
связно, а функция f {х, у) непрерывна в I.

72 Гл. VIII. Теоремы существования и единственности в целом
Для любой точки (х°, у0) из I существует по меньшей мере
одна кривая Г с уравнением _у = <?(*)> которая проходит через
точку (х°, у0), определена на некотором отрезке [х° — 8, л;0-}-8]
а является интегральной кривой уравнения
y'=f(x, у).
Докажем, что кривая Г является частью интегральной кривой
Гj :у = Ф (х), которая определена в промежутке (а, Ь),
содержащем отрезок [х° — 8, л;0-|-8], где
1) или & = -j-oo (а = — оо);
2) или Ъ конечно (а конечно) и
lim | Ф (л:) j = ^f- со, ( lim | Ф (х) \ = -f- оо);
х-*Ь-о х->а+о
3) или b конечно и lim | Ф (х) | = [3 (а конечно и lim | Ф(х) | =а),
х->Ь-о х->а+о
причем для любого s > 0 и любого положительного числа х
существуют точки кривой Г], находящиеся от границы множества J
на расстоянии меньшем, чем г, абсциссы которых больше, чем
Ъ — х (меньше, чем а -\~ х).
Рассмотрим для каждого целого положительного числа т
множество Q№, состоящее из квадратов, лежащих в пересечении
множества / с кругом, центр которого лежит в начале координат, а
радиус равен т (х^ ~\~у^-^ т^), причем стороны этих квадратов
параллельны осям координат и равны 1/2т, а координаты точек
квадратов удовлетворяют неравенствам
*2~" <*<(*+1)2-», /2-»»<^<(/+l)2-m
(k, 1=0, ±1, ±2, ...).
Последовательность множеств Qv Q2, . .., Qm, . .. обладает тем
свойством, что при тх < /к2 множество _QWl лежит в Q»^-
Пусть целое число N настолько велико, что точка (л;0, _у°)
принадлежит QN. Если кривая Г целиком содержится в QN, то в силу
„в" мы можем считать, что ее концы лежат на границе
множества QN. В силу „г" можно продолжить интегральную кривую Г как
направо, так и налево таким образом, что получится кривая Tv не
лежащая целиком ни в одном из множеств QN+f), каково бы ни
было р. Отсюда следует, что если 1\ не определена в(х°-\-Ь,-\-оо),
то существует такое число Ь, что для любого х > О на отрезке
[х° — 8, b— т] определена часть кривой Tv или продолжение этой
кривой. Если уравнение кривой Гх имеет вид у = Ф(х), то
возможны два случая: либо lim | Ф(лг) | = -f-oo, либо lim -| Ф(jc) j =
х->Ь-0 х-^Ь-0
= В < оо. Для доказательства теоремы достаточно рассмотреть
второй случай.
Пусть
lim_ Ф(х) = В1, fim Ф(х) = В2.
а;->Ь-0 ж->6-0

§ 1. Теоремы существования для уравнения у' =/(х, у) 73
Тогда точки Рг==(Ь, В^), Р2 = (£, £2) (возможно, совпадающие)
являются предельными точками для /. В самом деле, каково бы ни
было т>0, точка [Ь — т, Ф(Ь — т)] принадлежит /.
Очевидно, что Рг и Р2 не могут быть внутренними точками для /.
В самом деле, если бы, например, точка Рх лежала внутри /, то
можно было бы построить лежащий в Q квадрат с центром в точке
Рг и со сторонами, параллельными осям координат. Как и в „б"
можно было бы найти такой концентричный с Q квадрат Q' со
сторонами, параллельными осям координат, и такое число 8' > 0, что
любую интегральную кривую, проходящую через точку (х, у) из Q',
можно было бы определить на отрезке [х, лг-)-8']. Но тогда на этой
интегральной кривой были бы точки с абсциссой большей, чем Ь,
вопреки предположению.
Отсюда следует, что точки Р1 и Р2 принадлежат границе
множества /, и наша теорема доказана.
е) Из доказанной в „д" теоремы следует, что если функция
f (х, у) непрерывна в замкнутой ограниченной области I, то
любую интегральную кривую уравнения у'=f{x, у), концы которой
не лежат на границе множества 1, можно продолжить вплоть
до границы I.
4. Об интегральных кривых, выходящих из некоторой точки.
Этот пункт, равно как и п. 5, посвящен изучению интегральных
кривых, выходящих из некоторой точки.
Фиг. 6.
Пусть функция f(x, у) непрерывна на открытом и связном
множестве / и пусть из некоторой точки (£°, if) выходят по крайней
мере две интегральные кривые, 1\ и Г2, уравнения у' =f(x, у):
Т1:у = <р{х); Г2:^ = Ф(х),
(Определенные на отрезке [1°, Ь\ (см. фиг. 6).

74 Гл. VIII. Теоремы существования и единственности в целом
Так как функции <р(х) и ty(x) удовлетворяют заданному
уравнению, то кривые 1\ и Г2 ка аются в общих точках. Рассмотрим
множество S, состоящее из точек (х, у), координаты хну которых
удовлетворяют неравенствам
£°<x<#; т*п {?(*)• "К*)} <_У<тах{<р(х), ${х)).
Докажем, что если точка (х°, у0) принадлежит S и не совпадает
с точкой ($°, ц°), то существует по крайней мере одна
интегральная кривая данного уравнения, соединяющая точки (S°, tf) и
(х°, у0).
Если <р (х°) = ^ (х°), то теорема очевидна. Предположим, например,
что <р (х°) < ф (х°). Обозначим через £* верхнюю грань абсцисс %
общих точек кривых Гх и Г2, для которых $° < \ < х°. Тогда
<р(£*) = ф(?*) и
?'(£*)=/[**, <?($*)]=/[£*, ф(Б*)] = у ($*).
Далее, £* < х° и при £*<х^х° имеем ©(д:)фф(д:), а поэтому
ts(x)< ij)(х). Обозначим через С множество, ограниченное кривыми
у = (о(х), _у = ф(х), (£*<[х<;х0), и прямой х—х°. Функция /(х, у)
непрерывна и ограничена на этом множестве.
Интегральная кривая Г3, выходящая из точки (х°, у0) влево, либо
касается кривой 1\ в точке Р, абсцисса которой заключена между
I* и х°, либо касается кривой Г2 в точке, абсцисса которой
заключена в тех же пределах, либо касается кривых Гх и Г2 в точке
[£*, <?(£*)]. В первом из этих случаев искомая интегральная кривая
состоит из части кривой Гх, соединяющей точку (£°, -ц0) с Р, и части
кривой Г8, концами которой являются точки Р и (х°, у°).
Аналогично строится искомая кривая и в остальных двух случаях.
5. Верхнее и нижнее решения. Точки и связки (пучки)
Пеано. а) Пусть функция fix, у) непрерывна на открытом связном
множестве / и пусть
1\:у=0(х), ir2:y = g(x)\
является интегральной кривой уравнения
У'=!(х,у), (2)
концы которой лежат на границе FI множества / и которая
проходит через точку (х°, у0). Если для любой другой интегральной
кривой у =«(х) уравнения (2), проходящей через точку (х°, у0),
выполняется неравенство
<?(x)<G(x), [£(х)<<р(х)],

§ 1. Теоремы существования для уравнения у' =f(x, у) 75
то G (x) (g(x)) называется верхним (нижним) решением уравнения (2)
относительно точки (х°, у0) г).
б) Имеет место следующая теорема:
Если функция f(x, у) непрерывна на открытом связном
множестве I, то через любую точку (х°, у0) из I проходят верхнее
и нижнее решения, причем эти решения приближаются к границе
I в смысле, указанном в п. 3, „д".
Обозначим через Q лежащий в / квадрат, стороны которого
параллельны осям координат и имеют длину 2а. Так как функция
f(x, у) непрерывна в Q, то существует такое положительное число L,
что \f(x, /)|<L. Как обычно, полагаем S=rnin(a, ajL). Пусть
у = (s (х) — интегральная кривая уравнения (2), проходящая через
точку (х°, у0). Можно считать, что концы этой кривой лежат на
границе квадрата Q. Но, рассуждая так же, как в л. 2„ „б",
получаем, что при | х — х° ] ^ 8 имеем
X
\у(х)—у*\ = \ ff[x, ®(x)]dx\<L\x — x°\< a,
а поэтому любая интегральная кривая уравнения (2), проходящая
через точку (х°, у0), определена, во всяком случае, на отрезке
\х° — 8, x°-j-8] и, следовательно, пересекается с любой прямой,
параллельной оси ординат, абсцисса которой заключена между
хо_8 и хо_^8-
Для каждой точки х отрезка [х°—8, x°-j-8] рассмотрим
множество чисел, являющихся значениями в этой точке решений
уравнения (2), проходящих через точку (х°, у0). Обозначим через G(x) и
g(x) верхнюю и нижнюю грани этого множества и докажем, что для
всех х из отрезка [х° — 8, х°-|-8] выполняются равенства
G'(x) = f(x, G(x)), g'{x)=f(x, g(x)).
Положим для любого целого положительного т
xm>1{ = x0 + b2-mk (Л = 0, ±1, ±2, .... ±2"<).
Тогда для любых т и k существует интегральная кривая у = (рт< ъ(х),
выходящая из (х°, у0), такая, что
0 < G (Хт. ft) — <?т, к (хт, ft) < -^ •
Определим в [х° — 8, х° + 8] функцию <от(х), положив
?«(■*)= max ?т,к(х)-
J) Верхнее и нижнее решения впервые рассматривались Пеано в его
работах [1], [2].

76 Гл. VIII. Теоремы существования и единственности в целом
Тогда
0<О(хщк)-%п(хт,1!)<-±г (k = 0,±l,±:2 ±2т). (3)
Функции <вт(х) определены на отрезке [х° — 8, лг°-|-8] и
удовлетворяют на нем дифференциальному уравнению
?»(*)=/[*.?»(*)] («=1. 2, ...)• (4)
В самом деле, зададим некоторое значение х и пусть
?м (■*) = Чтъ {х)= ... = vmks (х) > <?т (х) при /ф Ax> /г2 /гь„
а поэтому
tUM-W*)-"-^.*/*)1)- (5)
Можно определить такой отрезок [л;—р, jc-f-р], что для любой
точки x-\-h этого отрезка выполняются неравенства
<?тк. (х + А) > 9»,г(х + А) (г = 1, 2 s; /ф/^, /г2 ks),
и, следовательно, для x-\~h имеем
<Р« (* + А) = max [ТтйД^ + А), »mfc8(j: + A) ?mfcs(* + /z)].
Для любого А разностное отношение [<fm(x-\-ti) — <?m(x)]\h равно
по крайней мере одному из разностных отношений
\Чтк. (x-\~h)— <втк. (x)]/h (/=1, 2 s),
а в силу (5) имеем тогда <о'т (х) = <о'тЧ (х) (/=1, 2 s), от-
i
куда и вытекает равенство (4).
Так как у° — a^Cq>m(x)^у°-\-а, то функции <вт(х) равномерно
ограничены в [х° — 6, лг°-{-8], а в силу (4) они равностепенно
непрерывны.
Заметим, что
и поэтому, в силу неравенства (3),
О < О (хтк) — »,„+г (хтк) < ^-р^ .
Устремляя г к бесконечности, убеждаемся, что существует lim vn(xmh).
и-»оо
ТакТш образом, последовательность функций {<?п(х)} сходится на
множестве, всюду плотном в [д;0—8, дг°-)-8]. Как было показано
в гл. I, § 6, п. 2, „г", отсюда следует, что эта последовательность
') Равенство (5) следует из того, что функции <tmkj(x) (''■ ~ '> 2 s)
удовлетворяют уравнению (2). — Прим. ред.

§ 1. Теорема существования для уравнения у' ==/(х, у) 77
равномерно сходится к непрерывной функции G (л;), причем в точках
хтк имеем __
G{xmh)=G(xmk), (6)
а в остальных точках £ из [х° — 8, jc°-{—8] имеем G(£)<; G(£).
Докажем от противного, что для всех точек | из [л:0-—8, j*r°—]— 8}
имеем G(S) = G(£). Пусть в точке £ имеет место неравенство G(S)<G(£)
и пусть у = <э(х) — решение уравнения (2), проходящее через точку
(х°, У), и такое, что
0(6)<?(6)<0(|)
(см. п. 4). В силу непрерывности функций G(x) и <в(х) существует
такое хтк, что G(xmk)<<?(xmk), но f(xmk)^.G(xm1c), и поэтому
G(xmk)< °(хтк), вопреки равенству (6).
Таким образом, мь^ доказали, что последовательность {<рт(х)}
равномерно сходится к функции G(x) на отрезке [л;0 — 8, jc°—|—8].
Из (4) следует, что
х
?»(*) = <Pi»(-*0)+ //[*■ ?«W1^'
х<>
Переходя к пределу при т -*■ оо, получаем, что
G(x)=G(a;0) + //[a:, G(x)]dx,
откуда вытекает, что G' (x)—f[x, G(x)]. Таким образом, мы
доказали существование верхнего и нижнего решений среди решений
уравнения (2), проходящих через точку (х°, у0) и определенных
на отрезке [x° — b, х°-\-Ь\ (рассуждения, аналогичные проведенным
выше, можно провести и для отрезка [л;0 — 8, л;0]).
Нам осталось показать, что верхнее решение можно продолжить
вплоть до границы области / (в смысле, указанном в п. 3, „д"),
причем продолженное решение также будет верхним решением.
Мы построили справа от х° верхнее решение на отрезке [х°, л:0—|—8].
Если точка [дс°—|—8, G (дс°—[—8)] лежит внутри /, то рассмотрим
верхнее решение 1\ : у = Gt (x) уравнения (2), выходящее вправо из
точки [л;°-)-8, G(x°-|-8)]. Если у = ^(х) является любым решением
уравнения (2), выходящим из точки (х°, у0) и также определенным
при х > jc° —[— S, то для любого значения х, для которого
одновременно определены решения Gl(x) и -\(л:), имеет место неравенство
t (х) <! Gx (х). Это неравенство очевидно, если -у (л;°-)-8) = G1 (jc°—J—S),
если же т(*°-г-8) <; G1(x°-\-b), jo доказательство проводится от
противного. Предположим, что f (л;) >_G1(jc), тогда найдется такое
число £, заключенное между x°-f-8 и х, что кривые 1\ и у = ^(х)

78 Гл. VIII. Теоремы существования и единственности в целом
касаются в точке с абсциссой £; заменяя дугу кривой 1\, выходящую
из точки [Е, GjO;)], соответствующей дугой кривой у = -у (х),
получаем интегральную кривую уравнения (2), выходящую из точки
1х°~]-8, 01{х°-\-Ь)], ордината которой в точке [x, f (л)] больше
ординаты точки [х, 01(х)], вопреки тому, 4TOj=G1(jt) является
верхним решением уравнения (2), выходящим вправо из тОчки
[х°+8, G(x°-\-b)]. ' \
Отсюда следует, что если правый конец графика решения у— df(jf)
лежит внутри /, то это решение можно продолжить, причем
продолженное решение также будет верхним решением среди всех решейий,
выходящих из точки (х°, у0). Но получающееся решение либо
определено в промежутке [х°, -j-oo), либо существует верхняя гра$Ь Ь
чисел х°-\-Ь', для которых 0(х) имеет на отрезке [х°, x°-feb']
указанное свойство. В первом случае теорема доказана. Во втфом
случае она доказана, если lim | 0(х)\ = -\- со. Осталось рассмотреть
случай, когда lim | 0(х) | < -f-oo.
Если мы положим в этом случае
Шп 0(x) = Bv lim G(jc) = A>
a->6-o x-+b-o
и примем во внимание результаты из п. 3, „б"г), то получим, что
точки (b, B±), (b, B2) (возможно, совпадающие) не могут лежать
внутри /. Так как они являются для / предельными точками, то они
лежат на границе /.
в) В каждой точке (х°, у0) можно рассматривать верхнее и
нижнее решения справа и верхнее и нижнее решения слева.
Если как справа, так и слева верхнее и нижнее решения
совпадают, то уравнение (2) обладает единственным решением, проходящим
через точку (х°, у0). Следует заметить, однако, что совпадение
верхнего и нижнего решений справа (слева) не влечет за собой
совпадения этих решений слева (справа). Как говорят, в этом случае решения
раздваиваются слева (справа).
Вообще, если с какой-либо стороны от точки (х°, у0) решения
не совпадают, то говорят, что они образуют пучок (связку) Пеано.
Интегральные кривые из связки Пеано ограничены верхним и
нижним решениями.
г) Заметим, что если в уравнении y'=f(x, у) функция f(x, у)
непрерывна в прямоугольнике R : а 4^.х^а-\-а, \у—Р|<!£ и
наибольшее значение \f(x, у)\ в R равно М, то верхнее и нижнее
*) Согласно доказанному в п. 3, „б", если верхнее решение проходит
через некоторую точку Q' с абсциссой х, то его можно продолжить вправо
на отрезок [х, х + В], где 8 — некоторое фиксированное число, причем
нетрудно видеть, что можно добиться, чтобы продолженное решение также
было верхним решением.

§ 1. Теоремы существования для уравнения у' = f(x, у) 79
решения уравнения y'=f(x, у), выходящие из точки («, $),
определены, по крайней мере в [a, a -j- 8), где 8 = min (a, b/М). В самом
деле, если 81 = min(a, bjM — т), где т^>0, то по доказанному
в „а" эти решения существуют на отрезке [а, а-}-81]. Но так как
Нт81 = 8, то из рассуждений, проведенных в п. 2, следует, что эти
решения существуют и в [а, а —{— 8).
6. Области непрерывной зависимости верхних и нижних
решений от координат начальной точки, а) В этом пункте мы рассмотрим
вопрос о зависимости верхнего и нижнего решений от начальных
данных (см. Монтель [1]). Пусть
функция f(x, у) непрерывна
на открытом и связном
множестве / и пусть y=G(x),
y — g(x) являются
соответственно верхним и нижним
решениями уравнения y'=f (x, у),
проходящими через точку
(Х°, у0).
Точка (х, у) из /
принадлежит к верхней (нижней)
области решения у = G(x),
\y=g(x)], если имеет место
неравенство у > G (х) [у < g(x)]
(см. фиг. 7).
б) Пусть функция f(x, у)
непрерывна в
прямоугольнике R,
R:
•а К а,
и пусть у—0{х), \y=.g(x)\
уравнения
У'= fix, У)
является верхним (нижним) решением
(2)
проходящим через точку (a, J3). Рассмотрим последовательность
(xv ух), 02, у2) (хп, уп)
точек из R, принадлежащих к верхней области решения y—G (x)
(к нижней области решения y — g{x)) и таких, что
1"п(*п» )>„) = (<*• Р)> [Итхп=а, Птуп=Щ.
Пусть в R выполняется неравенство \f(x, у)\^.М и пусть
8 = min (a, bjAM). Рассмотрим прямоугольник Rv определенный
неравенствами
Ях: \х — а|<8, \у — Р|<*/2.

80 Гл. VIII. Теоремы существования и единственности в целом
Без.потери общности можно считать, что точки {хп,уп) (п—1,2,--.)
принадлежат Rv
Если у — Оп (х) [у = gn (х)] является верхним (нижним) решением
уравнения (2), выходящим из точки (х„, уп),
°п (хп) = Уп \ёп (хп) = У„]>
то оно определено по крайней мере на отрезке [а — 8, а —(— S]. Докажем,
что последовательность этих решений {Оп (х)}, \{gn (x)}] разномерно
сходится на отрезке [а — 8, a-f-8] к функции G(x), [^(х)]1).
Пусть точка х лежит на [а — 8, а —(— S]. Повторяя проведенные
в п. 5, „б" рассуждения, касавшиеся продолжения верхнего решения,
получаем
G„(x)>G(x), [а— 5<х<а+8]. (7)
С другой стороны, |Р — Gn(x)|<£, ] On(x)\ = |/(х, Ои(х))|<Ж,
и поэтому функции G„ (х) равномерно ограничены и равностепенно
непрерывны на отрезке [а— 8, a-f-8]. По теореме Асколи (гл. I,
§ 6, п. 2, „в") можно извлечь равномерно сходящуюся к некоторой
функции G(x) подпоследовательность
GXl(x), 0Ха(х) 0,n(x), . . . (Xt < Я2 < . . . < Кп < .. .).
причем (см. п. 5, „б")
G'(x)=/(x, G(x)).
В силу (7)
G(x)>G(x). (8)
Очевидно, что
[0(a)-P|<|0(a)-0(xx)| + |G(xx)-Ox (*Х)| + 1Л -PI-
п п п п п
и так как
Щи |G(a)~G(xx )| = 0, lim | О (хх ) — Gx (хх )| =0,
п
Ига|Л — р | == 0.
Хп-»со П
то G (a) = р. Следовательно, _у = G (х) является решением
уравнения (2), проходящим через точку (a, Р). Так как G(x) является
верхним решением относительно точки (a, Р), то из неравенства (8)
следует, что 0(х) = 0 (х).
Докажем теперь, что для любой точки £ из [а — 8, a-f-8] имеем
ПтОп®=0®.
!) См. Монтель [1], стр. 207. Если снять ограничение, что точки (хп, уп)
принадлежат к верхней области для G(x), то заключение теоремы может
не иметь места. См. Тонелли [2].

$ I. Теоремы ёуЩебтвдвйния Ьа& уравнений, у1=^/(х, у) 81
В самом Дёлё( если бы это соотношение не имело места, то
множество чисел (Gn(£)} имело бы в силу (7) по крайней мере одну
предельную точку, ббльшую, чем G($)< Следовательно) можно было бы
извлечь из него последовательность чисел Gv.i(£), . . ., Gp. (fi), . . .«
такую, что | G,,. (S)—G(£)|>s>0,
Но это невозможно) так как в силу доказанного выше из
Последовательности Gp^x), ..., G{J. (x), ... можно извлечь
подпоследовательность, которая сходится к функции G(x) на отрезке [а-*—8* а —j— 8]
и, в частности, в точке $.
Заметим, наконец, что в силу равномерной ограниченности и
равностепенной непрерывности функций Gn(x) на отрезке [а—8, ot-j-8]
последовательность {Gn(x)} равномерно сходится к G(x) на этом
отрезке (см. гл. I, § 6, п. 2, „г").
в) Из доказанной теоремы вытекает важное следствие.
Пусть функция f(x, у) непрерывна в прямоугольнике R,
R:\x-— <х|<а, \у — р|<£,
и пусть через любую внутреннюю точку (х°, у0) этого
прямоугольника проходит единственное решение уравнения у' = f(x, у).
Обозначим это решение _у = св(х; х°, у0) и докажем, что <р(х; х°, у0)
является непрерывной функцией от (х°, у0).
Существует прямоугольник R' с центром в точке (х°, у0), со
сторонами, параллельными осям координат, через любую точку ($, i\)
которого проходит интегральная кривая уравнения y'=f(x, у),
определенная на отрезке [л;0 — 8, х°-}-8].
Пусть о>0 — любое положительное число. Из доказанной выше
теоремы и из того, что два решения, проходящие через две
различные точки из R' с одинаковыми абсциссами, не могут иметь общих
точек в R, вытекает существование таких двух чисел уп, уп, что
_у°-(-8 >_у„ >_у° >_уга >_у° — 8, и для любой точки х отрезка
[х° — 8, x°-j-8] выполняются неравенства
0<<в(х; х°, уп)— <?(х; х°, у°)<з,
О <<?(*; х°, /) — <?(*; х°, уп)<с
Если (!-, Y|) — любая точка* круга С с центром в (л;0, у0), который
лежит внутри пересечения прямоугольника R' с областью,
ограниченной кривыми
у = <в(х; д;0, уп); y = v(x; х°, уп),
то
<р(х; х°, у„)>'<?(х; I, 't\)><?(x; x°, уп).
g Зак. 1072. Дж. Сансоне

82 Гл. VHI. Теоремы Существований, и единбтбеннобти в ЦеЛом
Поэтому для рассматриваемой точки (£, т\) и для любой точки л: из
[л:0 —8, л:0+ 8] имеем
tf(x; х°, /)+з>?(дс; 5. -*))>?(*; х°, у>) —а,
|?(jc; \, 7]) — <?(*; jc°, /)|<ai).
Наше утверждение доказано.
Доказанное утверждение имеет тот же характер, что и
утверждение, доказанное в гл. I, § 6, п. 3, „г", и является обобщением
теоремы о непрерывной зависимости решений от начальных условий,
доказанной нами в гл. I, § 5, п. 1 в предположении, что функция
fix, У) удовлетворяет условию Липшица по у.
% 2. Теоремы сравнения и теоремы единственности
для уравнения у' =f(x, у)
1. Теорема о переходе к пределу для решений
дифференциальных уравнений y'—fn(x> У)- Пусть {/„(л;, у)} —
последовательность функций, определенных ни замкнутом ограниченном множестве/,
и пусть каждое из уравнений
/=/»(*. У) ("=1. 2, ...)
имеет, по крайней мере, одну интегральную кривую .у= ?»»(*)•
определенную" на отрезке [а — 8, а —J— 8] и проходящую через точку
(а, |3), то есть пусть
<Р»(*) =/» [*• ?» Ml 1« — $ О < « + 8. ?„ («) = Р1- .
Докажем, что если последовательность функций {f„(x, у)}
равномерно сходится в I к непрерывной функции fix, у), то из
последовательности {<?п(х)} можно извлечь подпоследовательность,
равномерно сходящуюся на отрезке [а — 8, а -{- 8] к функции о (jc),
удовлетворяющей уравнению
Пусть наибольшее значение \f(x, у)\ в / равно М < L. Найдется
такое п0, что при п > п0 в / выполняется неравенство |/„ (л:, у) —
—fix, у) | < L— М. Поэтому, при п > п0, \f„ix, у) | < L и без
потери общности можно считать, что ,
|/„(*. y)\<L (п = 1. 2, ...)•
Так как | <?'п(х)\ = \fn(x, ?BW)|<i> то функции
последовательности {?„(*)} равномерно ограничены и равностепенно непрерывны.
') Относительно прямого доказательства этой теоремы при
предположении о единственности решения см. Пини [1].

§ й. ТеореМи брйШйиА и бЬиндШеМйобШи ЬлА. урйёненая У =/(х, у) 83
По теореме Асколи (гл. I, § 6, п. 2, „в") из этой последовательности
можно извлечь подпоследовательность
<?/ (*)• ?а.С*) ?л (*)• ■ • ■ (Л1 < х2 < ■ • • <К< ■ ■ ■)•
равномерно сходящуюся на отрезке [а — 8, «-J-8J к некоторой
функции <р(л:).
Зададим некоторое е > 0. Тогда можно найти такое Л^, что при
и > NQ в / выполняется неравенство
\f{x, y)—fn{x, y)\<* (n>NQ).
В силу непрерывности функции f(x, у) в /, можно найти такое
положительное число р, что при \у"—У|<р для всех значений л:
выполняется неравенство
Можно найти такое Л^, что при кр > Л^ на отрезке \а-—8, a-j-8]
справедливо неравенство
1?х (*) — ?(*)!< Р (А»>^).
и потому при Хр > Л/q, Nx имеем
Ар
а, следовательно,
Лр Ар
|/(*. ?(*))-.# (Jf)l<2t..
Таким образом, последовательность {<р[ (*)} равномерно сходится на
Р
отрезке [а — 8, a-j-8] к функции f(x, <р(лг)). Но по известной
теореме о дифференцировании рядов, из равномерной сходимости
последовательности [<й'к {х) j вытекает, что функция <р(лг) дифференцируема,
и что
,,m >L (■*) = ?'(■*) •
р-У<а Р
а поэтому <р'(лг) =f(x, <?(*))•
С другой стороны, из условия фх (а) = р вытекает, что <р (а) = р.
Теорема доказана.
2. Первая теорема сравнения для дифференциальных
уравнений первого порядка, а) Мы можем теперь установить первую
теорему сравнения для дифференциальных уравнений первого порядка,
6*

84 Рл. Vttt. Теоремы сущёдтёдвакия и еЬинбтёеннЬШи ё ЦелдМ
Пусть функции f(x, у), F(x,y) определены в
прямоугольнике R,
R: a<x<a-j-a, \у — р|<*. (1)
и удовлетворяют там неравенству
f{x, у) < F(x, у). (2)
Если функции у (х) и Y (х) непрерывны и дифференцируемы на
отрезке [a, a-j-8] (8 > 0, 8 ^ а) и удовлетворяют на этом отрезке
уравнениям
y'ix)=f[x, y(x)\, Y'(x)^F[x, Г(х)]
и начальным условиям
j(a) = p, К(а) = р,
то у (х) < F(x) при а < х <; a-j-8 ]).
В самом деле, рассмотрим функцию 2(x)=F(x)—у(х). Так
как
г(а) = 0, У(а)=К'(а)—/(a)=F(a, Р)_/(а, р) > О,
то в некоторой окрестности точки х = а эта функция возрастает и
справа от точки х = а положительна. Так как функция z(x)
непрерывна на отрезке [a, a-j-8], то, если бы неравенство ,г(х)>0
выполнялось не во всех точках х > а, нашлась бы такая точка av
a<a1<[a-)-8, что 2,(a1) = 0, в то время как ,г(х)>0 при
a < х < <xv Но тогда в точке ах мы имели бы
У(а1)=К'(«1)-У(«1) = /7[«1. У(«!)]-/К. JK)1<0,
что невозможно, так как Y(a1) = y(a^) и, по предположению,
F[av Y(aJ]—f[<iv у(^)]>0.
б) Из доказанной теоремы вытекает следствие:
Пусть функции /(х, у), F(x, у) непрерывны в
прямоугольнике R, определенном неравенствами (1), удовлетворяют
неравенству (2) и пусть в R
|/(лГ, у)\<М, \F(x, y)\<M.
Положим 8 = min(a, bjM) и обозначим через Gf, gp, \Gf, gf]
соответственно верхнее и нижнее решения в [а., а-)-8]
уравнения
Y' = F{x, Y) [/=/(х, у)],
!) Аналогично, если функции f{x, у), F (х, у) определены в
прямоугольнике R: а — «<лг<а, |р— _у К* и удовлетворяют там
неравенству/ (x,y)<F (х,у), а функцииу(х) и Y (х) определены на отрезке [а — 8, а]
(6 > 0, 8 <; а) и удовлетворяют уравнениям у' (х) =/[■*, у (х)], Y' (х) =
— F[x, Y(x)\ и начальным условиям y(a)=Y(a) = $, то у (х) > Y {х).
Доказательство аналогично проведенному в тексте.

$ 2. Теоремы сравнения и единственности для уравнения у' =f(x, у) 85
проходящие через точку (а, Р). Тогда
gf (х) < Gf (х) < gF (х) < GF (x).
в) Из доказанной теоремы вытекает также следующее
утверждение.
Пусть {fn(x, у)}—последовательность непрерывных функций,
определенных в прямоугольнике R,
R: ot<x<a-|-tf, \y — р|<*,
и пусть
/»(■*. У)>/(*> У) («=1. 2,..,),
где /(х, у) — непрерывная в R функция, причем
\/(х,у)\^М; \/п(х, у)\^М (« = 1,2,...).
lim fn(x, y)=f(x, у).
n-»-oo
Если 8 = min (а, bjM), то уравнение у'=fn{x, у) обладает на
отрезке [а, а-)- 8] верхним решением Gn(x), проходящим через точку (а, (3).
Обозначим через G(x) верхнее решение уравнения y'=f(x, у),
проходящее через точку (а, р), и докажем, что последовательность
функций {Gn(x)\ равномерно сходится к G(x) на отрезке [а, а -j-S].
В самом деле, имеем
G„(x)>G(x) [а<*<а + 8]. (3)
Так как функции последовательности {Gn(x)\ равномерно
ограничены и равностепенно непрерывны в [а, а-)-8], то можно выбрать
из нее подпоследовательность {Gx (x)j, (X1 < Х2 < ... < Ар < .-..),
равномерно сходящуюся к некоторой функции G(x). Очевидно, что
0(a) = р.
Из неравенства (3) следует, что
lim Gx (x) = G(x) > G (x).
р-*-оо Р
Но G'(x)=f[x, G(x)]l\ а G(x) является верхним решением
уравнения у'=/(х, у) и, следовательно, G(x)— G(x).
Повторяя теперь рассуждения, проведенные в § 1, п. 6, „б",
убеждаемся в справедливости высказанного утверждения.
3. Вторая теорема сравнения, а) Установим теперь вторую
теорему сравнения.
Пусть в каждой точке прямоугольника R,
R: a<*<a + a, \y — Р|<*.
^Здесь используется теорема § 2, п. 1. — Прим. ред.

86 Гл. VIII. Теоремы существования и единственности в целом
функция f(x, у) принимает конечное значение, а функция F(x, у)
непрерывна, и пусть в R выполняются неравенства
/(*. y).<F(x, у), \F(x,y)[<L.
Пусть, далее, 8 > 0, 8<[а, Ь^Ь/Ь, и уравнение у'— f (х, у)
обладает решением _у —<р(л;), проходящим через точку (а, [3) и
определенным на отрезке [а, a-j-8]. Покажем, что при а<^х*С
^ а -|-8выполняется неравенство
где через y = Gp(x) обозначено верхнее решение уравнения у''=
= F(x, у), выходящее вправо из точки (а, (3).
Положим
?п(х, y) = F(x, У) + ~-
Найдется такой номер ге0, что при п > п0 имеем \Fn(x, _у)[</..
Следовательно, уравнение
y' = Fn(x,y)
обладает верхним решением y = Gp (x), определенным на отрезке
[а, а —|— S] и выходящим из точки (а, (J). По теореме сравнения из п. 2
имеет место неравенство
o(x)<Gpn(x) (a<JC<ar|-8). (4)
Функции последовательности {Gp (х)} равномерно ограничены и
равностепенно непрерывны на [а, а —|— S]. Поэтому по теореме из п. 1
из нее можно выделить подпоследовательность
GK(x),G^(x) Gip(x) (>.±<>-2< ...<^< ...;,
которая равномерно сходится к решению G(x) уравнения
Gr(x) = F[x, ~G(x)].
Но в силу (4) имеем <о(х) *CG(x), а поэтому <?(лг)<! Gp(*).
Повторяя рассуждение, проведенное в § 1, п. 5, „г", убеждаемся,
что можно было предположить 8 > 0, 8 <[ а, 8 <[ bjM, где
\F(x, y)\<M.
*) Если рассматривать решения слева от точки а, то справедлива
теорема:
Пусть функции f(x, у) и F {х, у) определены' в прямоугольнике R:
а — а*£х*£а, \у — В|<й, причем функция F{x, у) непрерывна в /?,
f(x,y)>F(x, у), \F(x,y)\<L. Если 8>0, 8<я, 8<6/Z., ay = «i(x)
является решением уравнения у' =f(x, у), проходящим через точку (а, р)
а определенным на отрезке [а— 8, о], то имеет место неравенство
<t(x) •< Gp (х), где GF — верхнее решение уравнения у' ^=F (x, у), выходя-
щее влево из точка (о, р).

§ 2. Теорем и сравнения и единственности для уравнения у' =f(x, у) 87
б) Из доказанной теоремы вытекает следствие:
Пусть функции f{x, у), F(x, у) непрерывны в
прямоугольнике R,
R: а<*<а + й, |р —.уК* [а — а<*<«, |р —j>|<*],
и пусть в R
|/(*. У)\<М; \F(x,y)\^M; f(x,y)^F(x,y)
\f{x, y)>F(x, у)}.
Если 8 = tnin(a, b/M), то на отрезке [а, а-\-Ь], ([а — 8, «]) имеем
Gf(x)^GF(x).
4. Оценка разности между решениями, проходящими через
одну и ту же точку. Теорема Бомпиани — Тонелли — Монтеля.
Очевидно, что можно будет установить критерии единственности
решения, если удастся найти оценку разности двух решений уравнения
y'=f(x, у), проходящих через одну и ту же точку1). Такая оценка
дается следующей теоремой:
Пусть в прямоугольнике R,
R: 0<лг —а<а, \у — р|<*.
определена функция f(x, у) и уравнение
y'=f(x,y) (5)
обладает двумя решениями, у = у1(х)\ у = у$(х),
удовлетворяющими одному и тому же начальному условию у1(а) = уъ(<х)=:$
и определенными на отрезке [а, а-\-а]. Пусть для этих решений
выполняется неравенство
Л(*)<Л(«) (6)
при а < х < а -}- 8 2).
Предположим, кроме того, что существует функция d(x, у, z),
определенная в параллелепипеде R'
R': «<*<сс + а, \у — $\<Ь, 0<г<2£,
*) См. Бомпиани [1], Тонелли [2]. Новое доказательство теоремы Осгуда
[1], данное Тамаркиным [2], привело Бомпиани к оценке разности между
двумя решениями при данном значении абсциссы.
2) Условие Уг{х)^у2{х) не является ограничением; в самом деле, если
_y=j/j(jc)H у=у%{х) являются решениями уравнения (5), проходящими
.через точку (а, р) и определенными на отрезке [а, а + о], то, полагая для
любого х
гх (х) = min [yt (х), у2 (х)], г.2 (х) = max [yx (х), _у2 (х)]
и замечая, что два решения уравнения (5) имеют в общих точках одну и ту
же касательную, получаем, что Z\ (х) и z%(x) удовлетворяют уравнению (5)
И неравенству zi (х) ^ гг {х),

88 Гл. VIII. Теоремы существования а единственности в целом
и непрерывная в нем, для которой при
а<*<а-(-а, |^ —р|<*. \у2 — Р |< *, Ух<У*
выполняется неравенство
fix, yt)—f(x, yi)^d(x, yv y2—yi)i).
Пусть \d(x, у, z)\^M' в R' и Ь является таким
положительным числом, что
О < 8 < а, 8 < ЩМ'.
Тогда на отрезке [а, а-|-8] имеют место неравенства
0<Л(*) — Л(*)<0(*). (7)
где через 0(х) обозначено определенное в [а, а-|-8] верхнее
решение уравнения
£^ = d(x, ух(х), г),
проходящее через точку (а, 0) [G(<x) = 0].
В самом деле, полагая z(х) = _у2(х) — уг{х), имеем
•£ = /(*, Л (*) + *) — f{x, у±(х)).
Но fix, y1ix)-\-z)—fix, y1(x))<Cd(x, y^x), z), и из теоремы
сравнения, приведенной в п. 3, „а", следует выполнение
неравенства (7).
Эта теорема была доказана Бомпиани [1] в предположении, что
функция d(x, у, z) не зависит от у, т. е. что fix, _у2)—f(x, у±)-^.
^_d(x, \у%—у1\), причем на функцию d(x, z) накладывались
условия: d(x, z)^-0 и d(x, z) является неубывающей функцией от z.
Тонелли в заметке [2] показал, что эти два условия излишни. В форме,
приведенной в тексте, теорему доказал Монтель[11.
5. Теоремы единственности Пеано, Тонелли, Осгуда и Тамар-
кина. Из доказанной теоремы мы выведем некоторые простые
критерии единственности, установленные Пеано, Тонелли, Осгудом и
Тамаркиным.
а) Пусть d= 0, т. е. пусть при у±<у^
fix, yd-fix, Л)<0.
Иными словами, пусть f(x, у) является невозрастающей функцией
от у. Так как решение уравнения dzjdx = 0, удовлетворяющее
начальному условию z (а) = 0, тождественно равно нулю, то имеет,
место следующий критерий Пеано ([2], стр. 227).
х) Для оценки разности решений уравнения (5) слева от точки а
следует, заменить неравенство, приведенное в тексте, неравенством]
/ (*, у$ -/ {х, у$ •$. d {х, yv уг —Л) (у1 <>,).

# 2. Теоремы сравнения и единственности для уравнения у' =f(x, у) 89
Если функция f(x, у) определена в окрестности точки (а, р)
и является невозрастающей функцией от у, то уразнение
y'=f(x, у) имеет не более одного решения, удовлетворяющего
условию у(а) = $.
Прямое доказательство этого критерия можно провести
следующим образом. Пусть у=у1(х) и у=у2(х) являются решениями
уравнения y'—f(x, у), удовлетворяющими начальным условиям
у1(о>) —у2(а) = J3 и определенными на отрезке [a, a-j-S].
Предположим, что равенство yt(x)=: у2(х) нарушается в некоторых точках
отрезка [a, a —|— S]. Пусть, например, % — такая точка, что^/1(£)<
<_у2(£). Обозначим через {av а1-\-Ь1) наибольший промежуток,
содержащий точку ?, на котором выполняется неравенство у1(х)<^у.2(х).
Тогда yt (cq) = _у2 (aj, ^К + ^ХУ^К + М и пРи ai < х <
< а±—^—8j имеют место неравенства f(x, y1(x))~^-f(x, у.2(х)),
yi(x)~^-y2(x), [^(х)—у^(х)\'^0. Если бы не имело места
тождество \у±(х) — ^/2(*)]' = 0, то из доказанного неравенства следовало
бы, что yt(«j-f-S1)—у.2(а1-\-Ь1)^>0, чего не может быть. Если же
\У\{Х) — У>(х)]' = 0, т0 в промежутке (av ах—J— Sj) имеем у1(х)=^
= у2(х), в то время как в точке X этого промежутка ^1(?)<^2(^)-
Полученное противоречие доказывает справедливость нашего критерия.
б) Положим в теореме из п. 4 d = ®(х)со(г), где функция <р(х)
непрерывна на отрезке [а, а-\-а], а функция o>(z) определена при
всех неотрицательных г, удовлетворяет условиям со (0) = 0,
со (z) > 0 при z > 0, и
26
lim Г—7-г:^Ч-оо.
Легко доказать, что в этом случае единственным решением
уравнения
sj = ?(*)»(*).
обращающимся в нуль при х == а, является нулевое решение.
Пусть, в самом деле, z — z(x) является решением этого
уравнения, удовлетворяющим указанному начальному условию и
определенным на отрезке [а, а—]—S]. Предположим, что существует такая
точка а2 из [а, а -|-8], что z(a2) 4= 0. Если а < ах < а2, то по правилу
замены переменной в определенном интеграле имеем
Но при a1->a-|-0 в силу начального условия lim z (a±) — 0, поэтому
ctj-^ei + 0
ef«„) a2
Hm { dz/ia(z)=-\-~QO и, следовательно, lim | cp(x) dx — -\- oo,
?M ■■ «J

90 Гл. VIII. Теоремы существования и единственности в целом
чего не может быть, так как функция »(.*) непрерывна на отрезке
[а, а + я].
Из доказанного вытекает следующий критерий единственности
Тонелли [2]:
Пусть функция <о(х) непрерывна на отрезке [а, а-}-я], а
функция <о (г) непрерывна и удовлетворяет условиям а> (0) = 0, а> (г) > 0
при z > 0, и
26
lim I —г^г = -*- со.
«
Пусть, кроме того, функция f(x, у) определена в
прямоугольнике R,
R: а<*<а+я, \у — Р|<*.
и удовлетворяет неравенству
f (х, у£ —/ (х, yt) < <р (х) о) (у8 — ^)г) (8)
гера а •<*<; а-\-а, Р— * ^^i -^.Уз ^ Р~Ь*- ^Ра этих
предположениях в R существует единственное решение уравнения
y'=f(x, у), выходящее из точки (а, Р)2).
в) В частности, выбирая <?(х) = 1, мы получаем теорему Осгуда [1]
и Тамаркина [2]:
Если функция ш (г) непрерывна при z~^-0, <о (0) = 0 и т (z) > 0
при z > 0,
26
lim Г —т-г = 4- со
е
н в прямоугольнике R: \х—а|<!я, \у— Р|-^^ функция f(x, у)
непрерывна и удовлетворяет неравенству
|/(*. Уд— /(*. Уд\<*(\у*—Л|)>
то в R существует одна а только одна интегральная кривая,
проходящая через точку (а, Р)3).
J) При рассмотрении решений слева от точки (а, р) неравенство (8) надо
заменить неравенством-/^, у2) —f(x, у{) ~^- у(х) ш (у2—у^.
2) Если в теореме Тонелли функция f(x, у) ограничена в /?, то в
качестве ср (jc) можно выбрать функцию, определенную при я < лг •<! a-f-а,
суммируемую на отрезке [а + е, а + а] для любого е, 0<е<а, и такую, что
о+а
J *(*)«£*<+со.
lim
а+«
3) Эта теорема была доказана сначала Осгудом, а затем Тамаркиным
в предположении, что функция ш (г) возрастает. Доказательство Тамаркина
существенным образом основывается на теореме единственности для
уравнения dzjdx = ш (г). Соответственно измененный метод доказательства приводит
К изложенной в п. 4 теореме Цомпиани,

§ 2. Теоремы сравнения и единственности для уравнения у' =f(x, у) 91
6. Теорема существования и единственности Розенблатта,
Нагумо и Перрона. Докажем следующую теорему существования и
единственности:
Если функция f(x, у) непрерывна в прямоугольнике R,
R: «ОО+а, \у — р|<*.
а удовлетворяет при a^jc<[a-]-a неравенству
1/(*.Л)— /(■*• Л)|(* —«)<*|Л—Л| (0<*<1), (9)
то существует одно и только одно решение уравнения у' =f(x, у),
проходящее через точку (а, (3).
Эта теорема была доказана Розенблаттом [ 1 ] для 0 < k < 1 и
Нагумо [1] для ft = l при условии, что неравенство (9) выполняется
в строгом смысле; Перрон [4] доказал, что достаточно выполнение
неравенства
I/O*. Уд— /(*. Л) К* — «Х1.У2 — Л1 («О <«+«)• (Ю)
Пусть интегральные кривые _}> = ©(*), _у = ф(:е) нашего уравнения
определены на отрезке [a, a —j- S] и проходят через одну и ту же
точку (<х, Р). Положим при х ф а
/*(*)=>[?(*) —<К*)]/(х —а);
по правилу Лопиталя имеем
lim FQQ^Hm ?(дг)-ф(дг) = lim ?,^7ф/(ДГ)=/(«, {?)-/(«, Р)=0.
Поэтому, если положить F (a) = 0, то функция F (х) будет
непрерывна на отрезке [a, a-j-8]' и равна нулю в точке а. Докажем, что
она тождественно равна нулю. Если бы это было не так, то нашлась бы
точка х0 отрезка [а, а—|—"8], в которой F(x) достигала своего
наибольшего значения О, причем G Ф 0. Но тогда в силу (5) и (10)
G-.
Т (*о) — Ф (*о) I __ 1
Xq — ОС | Xq —
a
<_J__ f|T(0-i»(0|<tfB_L. f^i*.
^ лг0 — a J | * — a | xQ — a J ' w»
a a
Так как функция F(f) не постоянна на отрезке [a, x0]t то
;£-.J>(0l*<O.
и потому О < G, Полученное противоречие и доказывает наше
утверждение,

92 Гл. VIII. Теоремы существовавия и единственности в целом
7. Теорема существования и единственности Розенблатта и
Скорца-Драгони. а) Доказанная в предыдущем пункте теорема
является частным случаем критерия, доказанного Розенблаттом [2]
и Скорца-Драгони [1]. Мы ограничимся формулировкой этого
критерия.
Пусть функция f(x, у) непрерывна в прямоугольнике R,
R: \х — а |< а, \у — Р |< *,
и пусть 8 = min (a, bjM), где через М обозначено наибольшее
значение функции \f(x, у) | в R.
Предположим кроме того, что при
а — а<л;<а-{-а' £ — *<Л<3,2<Р + *
выполняется неравенство
I Л , \ Л Г \\ ^ в (х) k (х) , ,
\/(х>Уъ)—f(*.yi)\< \xLa\'\y*—yi\>
где
1) функция Ь(х) неотрицательна, суммируема и такова, что
!\щ\
dt
<;|jc — а|, при \х — a[<!a;
2) k (х) >-1, и функция k (x) абсолютно непрерывна на любом
отрезке вида \х — a|^[d1<d (d — постоянная величина, не
превосходящая а);
3) функция [k(x)—1]/|*| суммируема на отрезке [а — dv
Положим 81 = min(8, d). Тогда уравнение
y'=f(x,y)
обладает одним и только одним решением, определенным на
отрезке [а — 8j, ac-l-Sj] и проходящим через точку (а, [3).
б) Доказанная в предыдущем пункте теорема может быть также
выведена из следующей общей теорем» Скорца-Драгони, для которой
мы также даем лишь формулировку (см. Скорца-Драгони [1], [2],
стр. 444).
Пусть функция f(x, у) непрерывна в прямоугольнике R,
R: \х — а |< а, \у — р|<*.
!) Розенблатт доказал теорему для частного случая
*(*) = ! +
Ш.-1
-р
, где/>>1.
В этом случае в формулировке теоремы следует положить d=\,

§ й. Теоремы дравнения и единственности Ьля уравнения у' —/(х, у) 93
и пусть точка (х°, у°) лежит внутри прямоугольника R.
Предположим, что при
|* — «-|<в, р —*<Л<Л<Р+*
имеет место неравенство
\f(x, _y2)_/(x, yi)\<V(x)m(yi—y1),
где функция ф(х) неотрицательна и суммируема в смысле Лебега
на всех отрезках вида [а — а, х° — е], [х°-\-г, а-^а]1), а
функция ш {г) непрерывна и положительна для всех z. Пусть, наконец,
любому числу z° > 0 можно поставить в соответствие такие
положительные числа гиг, что для всех положительных чисел е, не
превосходящих г, имеем
а — а < х° — s,
jc°+s< а+а,
гг <z°
Г с» (х) dx ^ I
J<p(x)rfx< j
dz
dz
ш (г)'
Ж» + 5
Тогда через точку (х°, у0) о
проходит одно и только
одно решение уравнения
y'=f{x,y).
ot+a
Фиг. 8.
8. О границах связки интегральных кривых, проходящих через
некоторую точку. Теорема Пеано—Перрона, а) Закончим этот
параграф изложением теоремы, обобщающей теорему сравнения из п. 2.
Эта теорема по своему характеру связана с основными идеями
доказательства Пеано теоремы существования решения для уравнения
}>'=f{x,y) (см. Пеано [1]) и с важной работой Перрона [5] по
тому же вопросу.
6} Пусть функции ю1(х), ю2(х) непрерывны на отрезке [а, а-|-д]
и пусть coj(а) = со2(а) и (ох(х) < со2(х) при а<х<;а-)-а (фиг. 8).
Пусть, далее, функция f(x, у) непрерывна в области D
плоскости х, у, определенной неравенствами:
D: а<]х<;а-)-а, ш1(х)^.у ^.ш2(х).
г) е>0, а —а<ЛГ° —г<лгО+Е<а + Я.

94 Рл. VlU. Теоремй бу/Цедтёдёания а ёдинётёёкнобш в Целом
Обозначим через 0+ш2(х) и D_wx (х) соответственно верхнее правое
(левое) производное число функции <и2(л:) и нижнее правое (левое)
производное число функции ш1(х)(сы. Валле-Пуссен [1], т. I, стр. 97)
и предположим, что во всех точках отрезка [а, а~\-а], за ио1лю-
чением, быть может, счетного множества точек, выполняются
неравенства
£>_<»i(*)</(*• °>i(*)). /С*. Ma(*)XA|."s(*)-
Обозначим через М наибольшее значение функции \/(х,у)\ В D
и выберем настолько большое число Ь, что прямоугольник R,
R: а<л:<а-|-Д. :\у — В|<£,
содержит область D, причем Ь\М > а.
Определим в прямоугольнике R функцию f(x, у) по следующему
правилу:
fix, y)=f(x, о>2 (■«)). если У>°>2 (■*).
/ (*. У) —f (*. ">i (*)). если у < ш1 (*),
и рассмотрим в этом прямоугольнике уравнение
y'=f{x,y).
Тогда выходящая из точки (а, В) связка интегральных кривых
у=у(х) этого уравнения (у(а) = В) может быть определена на
отрезке [а, а-\-а\, причем на этом отрезке выполняются
неравенства
°>i С*Х.У (*) Оя (*)•
Проведем доказательство от противного. Предположим, что в
некоторой точке xv а < хх < а -{-а имеем
У (*i)< «I(*i). I^(*i)l><»i(*i)]- (И)
Функция у(х) — ^х(х), [у(х)—а>3(.%)] равна нулю в точке а и
отрицательна (положительна) в точке xv Можно найти такое х[, что
а^х[<х1, y(x'i) — <o1(x'1) = 0, [y(x'1) — (o2(x'i) = 0l
и
у (х) — o)j (х) < О при х[ < х < xv
Ly(jc) — ш2(л:)>0 при jci<jc<jc1].
Из того, что на отрезке [x'v хг] имеемy'(x)=>f(x,y(x)) и у (jc)^>j(jc),
\У (■*•) <&■ ш2 (■"•)]> следует, что на этом отрезке, за исключением
счетного множества точек, выполняются соотношения
/(*)=/(*. y(*))=f(*. <ai(x))>D_wi(x),
[/(*)=/(*, y(x))^f(x, ^(*))<Д+в,(х)1.

§ 3. Сущедтёбваниё и ёдиндтёённбдть длл бидтем уравнений. 95
Следовательно, нижнее (верхнее) правое производное число разности
ш (х)—у{х) [ffljW—у(.х)] может быть положительным
(отрицательным) лишь в счетном множестве точек отрезка \x'v хг]. Но
тогда функция ^(х)—у(х) [<а2(х)—у{х)] не может возрастать
(убывать) на этом отрезке (см. Валле-Пуссен [1], т. I, стр. 99), и
поэтому а»!^)—.vC*i)<!0, [^(-^i)—j(-*:i)]>0. вопреки
неравенству (И)-
в) ЕслИ функции oij (дг) и ш2(д;) определены на отрезке [а — а, а],
причем ш1(а) = (о2(а), coj (х) < ю2 {х) при а — а <[.*:< а и
D+w1(x)'^f(x, w1(x)), D_<o2(x)<^f(x, ш2(д;)),
то для решений уравнения y'=f(x, у), выходящих влево из точки
(а, Р), имеет место теорема, аналогичная теореме, доказанной в „б".
§ 3. Область существования и теоремы единственности для
решений систем дифференциальных уравнений с заданными
начальными условиями
1. Область существования интегральных кривых, а) С помощью
таких же рассуждений, какие были проведены в § 1, п. 2, можно
доказать справедливость следующих теорем:
Пусть дана система дифференциальных уравнений
y'i=fi(x'> У1> У» ••■> Ут) ('=1.2 от), (1)
где точка (х; _у1, _у2 ут) пробегает множество I, имеющее
от-f-l измерение. Если функции <?t{x), ср2(лг) <рт {х)
удовлетворяют системе (1), когда х изменяется в промежутке (а, Ь),
— оо<я<л;<д<-|- оо, и если при а < х < Ъ имеем
|/,(*; ?,(*), <ря(*) <?т(х))\<М (/= 1, 2 /я),
то существуют конечные пределы
Нт ук(х) = Ак, Нт ук(х) = Вк (А=1, 2 т).
б) Пусть множество 1 открыто и связно, FJ — граница I и
пусть функции ft(x; yv у2, ..., ут), (/=1, 2 от) определены
и ограничены в l-\-FJ и непрерывны в любой точке из I-\-FJ.
Если функции ух = «J (х), у2 = <э2 (х) ут = <рт (х)удовлетворяют
системе (1), когда х изменяется в промежутке (а, Ь), то
существуют производные <?^(а + 0), <?'k(b — 0) (*=1, 2 от).
в) Имеет место теорема, аналогичная теореме из § 1, п. 3, „д".
Пусть функции /4{х; у1г у.2 ут) (/= 1, 2 от) неяре-
рывны на открытом и связном множестве I, состоящем из точек
р^{х\ yv y2 ут).-

96 Гл. VIII. Теоремы существования и единственности в целом
Выберем в / некоторую точку (jc°; у*, у\, . . ., у°т). По теореме
Пеано (гл. I, § 6, п. 2) существует, по крайней мере, одна
интегральная кривая Г системы (1), проходящая через точку {х°; _yj, _y°
•■•• Ут) и определенная на отрезке [х° — 8, лс° —j— S]. Пусть
уравнения этой кривой имеют вид у1 = <р1(х), _у2 = <р2(л:) Ут = 9т(х)-
Кривую Г можно тогда продолжить так, чтобы она приблизилась
на сколь угодно малое расстояние к границе множества /. Иными
словами, кривая Г является частью интегральной кривой Г": у1 =
= Ф1 (х), _у2 = Ф2 (х) ут = Фт (х), определенной в промежутке
(а, Ь), который содержит отрезок [х° — 8, jc° —|— S], причем
1) либо Ь — -{-оо (а =— со);
2) либо b конечно {а конечно), но имеет место по крайней
мере одно из соотношений
lim \Фк{х)\ = -\-оо, [ lira j Фк(х) \ = ~f" оо] (& = 1, 2 т);
3) либо b конечно {а конечно), а все величины
lim" \Фк(х)\, I lim \Фк(х)\] (й=1, 2 т)
конечны, причем для любых е > 0, т > О найдутся точки кривой Г",
соответствующие значениям х, большим, чем b — i {меньшим, чем
а-{--), расстояние которых от границы меньше е.
Для доказательства достаточно повторить рассуждения из § 1,
п. 3, и заметить, что если мы приходим к случаю, когда
lim Фк(х) = $к, lim фк(х) = чк (& = 1, 2, . . ., т),
х^Ь-0 х+Ъ-О
то точки (b; Pj, j32 |3m), (b; fi» f2 тш) (возможно
совпадающие) лежат на границе множества /.
Если в системе (1) функции fi определены на замкнутом связном
ограниченном множестве /, имеющем m-j-1 измерение, то любую
интегральную кривую системы (1), концы которой не принадлежат
границе . множества /, можно продолжить до интегральной кривой
с концами на границе множества /.
г) Из теоремы „в" вытекает следующее утверждение для
уравнения вида
_>,(»>=/(*; у, у' _у(>»-1)).
Если функция f(x; у, у' _y(»»-i)) непрерывна в открытом
связном множестве I, имеющем m-j-1 измерение, то любой точке
(х°, у0, у1 y°m-i) из I и любому решению у = у (х) этого
уравнения, удовлетворяющему начальным условиям
у(х°) = />, yW(x°)=*y0t (»=1,-2 т— 1),

I 3. бущеЬтвМй'шё и ёдиндтвёкнодть для iutmeu уравнений §7
соответствует кривая в пространстве (т-\-\)-го измерения, ура*
внения которой имеют вид
у=*у(х)> У =/ (*). . .., У"4-1* =*/"*Ч (Л)
в которая сиоль угодно близко подходит к границе множества I
(ала состазляет часть интегральной кривой, сколь угодно близко
подходящей к границе I).
Доказанная теорема сохраняет свою силу и для случая, когда мно-
жество /, где определена функция /, является полосой S,
S:a<X£; — оо<_у <-|-оо; —оо<У')< -f-oo(/ = 1,2,. . itm—1).
Для доказательства достаточно продолжить функцию / на все
пространство по следующему закону:
/(*; у, У , У"-1>)=/(а; у, у', ..., у™-1)), если х < а,
/(*; у. У Уж-1>)=/(*; у, У У"-»), если х>ь<
2. Обобщение теоремы Нагумо на системы дифференциальных
уравнений, Данное Мюллером и Перроном. Докажем следующую
теорему существования и единственности Мюллера и Перрона,
обобщающую на системы дифференциальных уравнений изложенную в § 2,
п. 6 теорему Нагумо о дифференциальных уравнениях. Пусть дана
система дифференциальных уравнений
Уг=/Лх> У\' Уъ< •••> Ут) 0'=1. 2, . .., от), (1)
где функции ff непрерывны, и удовлетворяют неравенствам
\fi(x'> У\< Уъ yJ—fi(x', zv Ч zm)\ (* — «)<
<гаах(|>'1 — гг\, |.у2—г2|, ..., \ут — гт\),
когда точка (х; yv _у2, ..., ут) принадлежит прямоугольному
параллелепипеду R:
R: «<х<а + а; |_у4 — &|<£,
(t = l, 2 т) (я>0, *>0).
ТЪгда существует одно и только одно решение системы (1)
Л — ?1 (*)• .Уя = ?2 (*) Ут — 9т (х)>
проходящее через точку (а; (31( |32, ..., pm), от. е. такое, что
<Р< (а) = Р< (г = 1, 2 от)
(см. Мюллер [2], Перрон [4]).
7 Зак. 1072. Дж. Саясоне

93 Гл. Vttt. Теоремы бущеЪтеЫйния и еЬинЬтвеНноЬти в ЦеЛЪМ
Пусть, в самом деле, мы имеем два таких решения <рх (л;), <р2 (л;), ...,
.... <?т(х); <Ь(л;), ty2(x) ^(4 определенных на отрезке [а,
« + 8J. Полагая
Ъ(*) = [<р,(*)-«h(*)]/(* — «) (»= 1, 2 т),
мы получаем, по теореме Лопиталя, что Hm Fi(x) = 0. Поэтому,
если положить /7<(а) = 0 при i=l, 2 от, то функции /^(л;)
будут определены на отрезке [а, а —(- 8] и равны нулю в точке а.
Но тогда они тождественно равны нулю. Пусть, в самом деле,
Q = F* С*о) = max [^i (■*)> F* (*) Fm (*)1
и G ф 0. Рассуждая так же, как в § 2, п. 6, приходим к
противоречивому неравенству
О = I [?* (*о) — Ь (*о)1/(*о - а) | < G.
3. Обобщение Цвирнера теоремы Скорца-Драгони на системы
дифференциальных уравнений. Цвирнер перенес на системы
дифференциальных уравнений исследования Скорца-Драгони и вывел из
своей теоремы результаты Розенблатта и Нагумо — Камке, объединив
их в единой формулировке, обобщающей оба эти результата (см.
Скорца-Драгони [2J, [1], Розенблатт [2], Цвирнер [1], стр. 249—250,
Камке [1], стр. 139).
Пусть функции f(x; у, z), g(x; у, г) определены в
параллелепипеде Р,
Р: х° — d < х < х°^\- d, y1^.y^.y2> ^ООг'
(d>0, ух<Уъ■z1<Zs),
и пусть в Р
lx~~x°\{\y2 — y1\n\f(x',y2, z%)—f{x; J„ ^1 +
4-|г2 — zx\»\g(x; ~yv zj — g(x\yv ^)|}<
< 6 (*)*(*) llyi — y^ + fe — til"*1].
где n — действительное число, большее, чем— 1, функция Ь(х)
непрерывна, не принимает на отрезке [х° — d, x°-\-d\
отрицательных значений и такая, что
0< jb(t)dt/(x— лг°)<1,
а функция k {x) непрерывна вместе со своей первой производной на
любом отрезке вида \х — х° | <! dx (< d) и всегда больше или равна 1;
пусть, кроме того, на таких отрезках функция [k(x) — 1 ]/1 х ^- х° |
интегрируема.

I 4. Уравнение y> & lf(x, у) Ш
При этих предположениях система дифференциальных
уравнений
У'=/(*; У> *)• z'r=g{x; yt г)
имеет одну и только одну интегральную кривую, проходящую
через точку (лг°, у°, г°) ly1<y°<y<i; г1<гг°<2'2] *).
§ 4. Уравнение у' = */(*, у)
а) При рассмотрении уравнения у' = Xf (х, у), где X— некоторый
параметр, возникают три вида проблем: 1) изучить верхние и
нижние решения, проходящие через заданную точку; 2) изучить решения,
проходящие через две заданные точки; 3) изучить решения,
проходящие через заданную точку и обладающие в другой заданной точке
данным значением производной. Эти проблемы были изучены в
работах Хикозака — Нобору, Завиша, Такахаши 2). Мы рассмотрим вторую
из этих проблем.
б) Пусть дано уравнение
y' = Xf(x,y), (1)
где функция f(x, у) непрерывна в прямоугольнике R,
R: \х — *0|<я, \у-~У0\<Ь,
и не обращается в этом прямоугольнике в нуль. Тогда функция
f(x, у) сохраняет знак, и потому, изменяя в случае необходимости А
на — X, мы можем считать, что существуют такие положительные
числа т и М, что
0<т</(д:, у)<М.
Предположим, кроме того, что функция f (x, у) удовлетворяет
условию Липшица относительно у, т. е. что существует такое
число N, что
I/O. Уд—/(*. Л)1<ЛМ.У1—Л1-
Выберем в R точку (xv у J, где ххфх0, и найдем значения
параметра X, которым соответствуют решения • уравнения (1),
удовлетворяющие краевым условиям
У(х0) = у0. ДЧ*1)= Л8)- (2)
!) Относительно других теорем сравнения и единственности для систем
Дифференциальных уравнений см. Джулиано [1], [2].
Относительно других теорем единственности на отрезке [х0, х<>-{-а],
а>0 см. Барбути [1].
2) Хикозака — Нобору [1], Завиша [1], Такахаши [1].
Относительно рассматриваемой в тексте проблемы при более общих
предположениях см. Цвирнер [2].
3) Если опустить условие, что функция/(дг, у) не меняет знака в R, то
проблема может не иметь решения; например, уравнение у' = Х_у обладает
единственным решением, проходящим через начало координат, а именно_у = 0.
7*

iOO Гл. Vtit. Теоремы существования и еЬинбтвенности в цеЛдм
Для нахождения этих значений параметра к и соответствующих
решений применим метод последовательных приближений.
Пусть функция у—у0(х) непрерывна вместе со своей первой
производной, имеет график, лежащий в прямоугольнике R, и
удовлетворяет краевым условиям
Уо(*о)—Уо> yofrij—yv (3)
Например, пусть графиком функции У=Уо(х) является отрезок,
соединяющий точки (л:0, у0), (xv у^.
Определим второе приближение для искомой функции при помощи
равенства
X
Л(*) = Л + ^1 J7(*. Уо{х))йх, (4,)
Х0
где значение параметра к1 выбрано таким образом, чтобы выполнялось
второе равенство (2). Для этого достаточно взять
*i = 0»i —Уо)1 j / С*. Уо (*)) dx. (5,)
Xq
Рекуррентным процессом получаем
х
Уп(.*)=*Уо + К //(*. yn-i(x))dx (п = 2, 3, ...), (4В)
Х$
где
К = (У1-Уо)1$/(х> yn^{x))dx (я==2, 3, ...)• (5„)
х0
Докажем, что если число р> 1 й
и если уг удовлетворяет неравенствам
\Уг-Уо\<ф. |.y,-.yo|N(l+Afm-i)(2m)-*<l,
mo последовательность { кп } сходится к числу к, а
последовательность {уп{х)} равномерно сходится на отрезке \хф хг] к
функции <?(х),
Ит.А„ = Х, Нт^п(*) = <р(х),
И->оо и->оо
причем
<?'(x) = kf[x, <?(*)].
Следовательно, функция © (л:) удовлетворяет уравнению (1) а
краевым условиям <р (л:0) = _ур, ?(^i)=^i' причем любое другое

§ 4. Уравнение у' — 'rf(x, у) 101
решение уравнения (1), удовлетворяющее тем же краевым условиям,
совпадает с этой функцией.
в) Докажем предварительно по индукции, что функции уп{х)
удовлетворяют неравенству
\Уп(х)—у0\<Ь,
т. е. что процесс последовательных приближений приводит к
допустимым значениям для у.
В самом деле, из (5П) следует, что
l*«K|.Vi— Уо\т~1\х\— хо\~1< (6)
а из (4„) следует, что
I.VnW-.VoK-'f^0' 1*-*о1л*<|-У1-~-Уи|Л'<-<*-
1/nv / -^щ^ m\xi — х0\ ' и| ^ т ^ тр ^
г) Докажем теперь, что при п—> оо последовательность функций
\уп(х)} равномерно сходится на отрезке [х0, xj, а также что
существует конечный предел lim Kn.
Ж->00
Положим
y„-t(x) — _yo = ?»-i0*0 (n = 2, 3, ...).
^» 0*0 = *«/(•*. .V«-iO*0) —?»-i0*0 (n = 2, 3, . . .)•
Тогда для любого п функция Fn(x) ограничена на отрезке [х0, хг],
и существует такое число Rn, что
\Fn(x)\KRn-
Из (4П) следует, что
X X
Уп 0*0 = Уо~\- / [Рп 0*0+?»-1 0*01 rf* = .Уп-i 0*0+ / ^ „0*0 rf*.
I у» W-ViWI<k-^!^„ = «я. (7)
а из (5Я), предполагая для определенности, что х0<^хх, получаем,
что
X,
=\Уг-Л||/ {f(x,yty-f(x,yn_1))dxyjf(x,y^dx f/(x.y^dx,
n+l"
ж, ж,
ж0 - ж^
I *«+i — *„ К N\yi — у0 | f \уп —уп_, | rf* • /Л"2 | дс, — х0\~*. (8)
ж„
Из (7) получаем тогда неравенство

102 Гл. VIII. Теоремы существования и единственности в целом
Из неравенств (6) и (9) легко получить оценки для \уп+\(х) — уп(х)\>
1*п+в —*n+i|; имеем
X X
\Уп+1(х)—у„(х)\ = \\п+1 J7(x, yn)dx — \n [ f(x, yn^)dx\*C
X X
<\K+x-K\\$ f(x, yn)dx\+\\n\\\ \f(x, yn)-f{x, yn_x))dx .
Поэтому
\Уп+1(х)—Уп(х)\^2-Ш\У1— y0\Rnm-2M\x — x0| +
x
+ |Л —Уо I л»"11 xj — x01- W J |.y„—yn_x | rfx,
\Уп+1(х)—уп(х)\<2-1М\у1— y0\Rnm-m\x — x0|+
^2-WI^—^ol^w-ilx! —XqI-^Ix —x0|2,
<2-1^„/и-1|Л-Л||х-д:0|(1+Ж/«-1) = и„+1. (10)
Из (7) и (10) следует тогда неравенство
unJun^2-W\y1—y0\m-Hl-}-Mm-i)<l,
которое влечет за собой абсолютную и равномерную сходимость на
отрезке [х0, хх] ряда
Уо(х)-]-\у{ (х) — ЛМ1+ • • >-\-\Уп(х)— .Уп-i (*)!+• ■ ■
Из (8) и (10) следует, что
х,
К+2 — K*i\<N\yi— Уо\т-2\х1 — x0|-2J*|.yn+1 — .yjtfx,
I ^«+2 — ^»+i I < 2-2ЛГ^мт-з |Л _^о|2(1 + Л1/«-1) = Ап+1.
и в силу (9) имеем
knJkn = 2-W/tt-i |Л — Л|(1 +Ж/и-1)< 1.
Поэтому ряд X0+(Xj — X0)-f- ... +(Хи+1 — Х„)-|- ... абсолютно
сходится, т. е. существует предел Нш Хп.
Пг+СО
д) Положим теперь
Нш уп (х) = <р (х), lim X„ =s X,

§ 5. Интегральные кривые у" =f(x, у) 103
Переходя в формулах (4П) и (5П) к пределу при п -v oo и принимая
во внимание равномерную сходимость последовательности {уп(х)} на
отрезке [дго,""-*;,],''"имеем
<о{х)=*уй-\-\ ff(x, <?(x))dx; \ = {у1 — ^0)/ f /О. ?(x))dx.
Поэтому функция ?(лг) удовлетворяет поставленным условиям.
е) Осталось доказать, что функция ?(дг) единственна. Заметим
для этого, что если функции »(дг) и ф(лг) удовлетворяют равенствам
о' (х) = */(*, © (х)), ф' (х) = !»/(*, ф (*)).
?(*о) = 4|(*о)=!.Уо.' ?(xi)=^(x1) = yl
и если X < jx, то \f(x, yX.\>-f(x> у), и по первой теореме
сравнения из § 2, п. 2, „а", получаем, что са(лг,) ^ф^); если же Л. = jx,
то из того, что функция if(x, у) по предположению удовлетворяет
условию Липшица, и из условия ® (дг0) = ф (дг0) следует равенство
?(дг) = ф(дг).
§ 5. Интегральные кривые уравнения y"=zf(x, у), проходящие
через две заданные точки, как экстремальные кривые
а) Пусть дано уравнение
Y" = F{x,Y),
где функция F(x, Y) определена и непрерывна в полосе
0<дг<яо, — оо<К<+оо (а0>0).
Найдем интегральные кривые этого уравнения, удовлетворяющие
краевым условиям
К(0) = Д, Y{d) = B, 0<а<а0>
где А и В — заданные числа.
С помощью замены искомой функции
у (Х) = у{х)-\-(В — А)а-^х-\-А
задача сводится к нахождению интегральных кривых уравнения
f = f(x,-у), (1)
где функция f(x, у) непрерывна в полосе S,
S: 0<дг<й0. — oo<j/<-|-oo (a0>0),
Удовлетворяющих краевым условиям
у (0) = 0, у (а) = 0 (0 < а <ад), (2)

104 Гл. VIII. Теоремы существования и единственности в целом
Функция Грина G(x, £) для уравнения _у" = 0 при краевых
условиях у (0) =г у (а) = 0 имеет вид
G(x, £) =— (а — i)x-a при *<£,
G(a:, $) = — (а—х)1,'а при *>-$
(см. гл. V, § 3, п. 1). Поэтому искомые решения являются решениями
(возможно существующими) нелинейного интегрального уравнения:
а
y(x) = fa(x,b)f(i,y®)di (3)
о
[см. гл. V, § 3, п. 3, r(x) = f(x, у)}.
Существование решения этого интегрального уравнения при
предположении, что функция /' (х, у) положительна и ограничена, было
У
доказано Пикаром ((1), [2], стр. 1 —14) с помощью метода
последовательных приближений. Недавно Гаммерштейн ([1], стр. 118—122)
указал более общие условия для существования решения уравнения (3).
Позже Гиршфельд [1] вывел эти условия с помощью метода
последовательных приближений.
В рассуждениях Гиршфельда решение уравнения (3)
рассматривается как экстремаль для интеграла
а у
J" F (х; у, /) dx; F(x; у, у') = \ у'2 + j / (х, t) dt
о о
при краевых условиях (2). Чинквини изучил этот интеграл с помощью
прямых методов вариационного исчисления и получил теорему
существования весьма общего вида. Мы дадим только формулировку
теоремы Чинквини [1].
Пусть функция f(x, у) непрерывна в полосе S,
S: 0<*<а0, —oo<_y<-j-oo (д0>0),
и пусть существуют такие неотрицательные числа hv hv что
для любой точки (х, у) из S имеем
у
ffip.QdO—HiJb — hv
.0
Тогда дифференциальное уравнение
f=f(x, У)
обладает на отрезке [0, а], где 0 < д<; а0 и 0 < а < тс /У".2А1, по
крайней мере одним решением, которое удовлетворяет краевым
условиям у (0) =у (а) = 0,

§ 6. Теоремы отделения, сравнения и единственности 105
б) Покажем на примере (см. Чинквини [1], стр. 103), что
формулировка этой теоремы не может быть улучшена, иными словами можно
указать уравнение (1), для которого не существует решения краевой
задачи (2), если а удовлетворяет неравенствам 0 < а < тг (1 -\-Ъ)/У2п1,
каким бы малым мы ни выбрали положительное число 8.
Действительно, для уравнения у" = —У~\~\ имеем
у
ff(x, 0^=-iy+^>-({+e)y-l (е>0),
о
и мы можем выбрать Лх =-^—j—s, ^2 = -j-. Следовательно,
рассматриваемое уравнение обладает при" 0 < а < n/Vl +2s , (s > 0)
решением, удовлетворяющим краевым условиям у (0) =у(а) = 0. В то
же время общее решение этого уравнения имеет вид у = сх sin x -f-
- у- с2 cos х -j- 11 а поэтому, каковы бы ни были числа сх и с2,
невозможно удовлетворить краевым условиям у (0) = у (тс) = 0.
§ 6. Теоремы отделения, сравнения и единственности для
уравнений второго порядка
1. Теорема Тонелли об отделении нулей решений однородных
дифференциальных уравнений второго порядка. Докажем данное
Тонелли [3] обобщение теоремы отделения, доказанной в гл. IV, § 2,
п. 7, для однородных линейных дифференциальных уравнений второго
порядка.
Пусть
f(x; у, у', у") = 0 (1)
является дифференциальным уравнением второго порядка,
однородным относительно у, у', у"
f(x; су, су', су") = cmf (x; у, у' у") (т — целое).
Пусть для всех точек полосы а ^ х ^ Ь, за исключением, быть
может, точек, расположенных на оси х, имеет место теорема
единственности решения, проходящего через данную точку в
данном направлении.
Если у1(х)'и у%(х) являются решениями этого уравнения, не
равными тождественно нулю, а хх и Х\ — последовательными
нулями функции Ух(х), лежащими на отрезке [а, Ь\ и такими, что
Уъ(хх)ф-0, у2(х!)фО, то между хх и хх содержится один и
только один нуль функции у2(х).
Проведем доказательство от противного. Предположим, что
функция^*) отлична от нуля на отрезке [Хр х^\ и потому сохр8Няет

106 Гл. VIII. Теоремы существования и единственности в целом
на нем один и тот же знак, и пусть
min |_у2 (л:) | = т > 0 (фиг. 9).
Без потери общности мы можем считать, что у1 (х) > 0, у% (х) > 0
при х: < х < xi. Рассмотрим пучок интегральных кривых уравнения (1)
вида у = су1 (х), с > 0. При достаточно малом (большом) с кривая
У=:су1(х) не пересекает (пересекает) кривую _у = _у2(х). Обозначим
через cQ верхнюю грань значений с, для которых кривая у = су1(х)
не имеет общих точек с кривой _у = _у2 (jc), и покажем, что кривые
У — соУ1(х) и У==У2(Х) имеют одну и только одну общую точку,
абсцисса х которой такова, что хх < х < х2 и cQyi(x)=y2(x).
В самом деле, если бы при хх ^ х -^ Xj мы имели, что с0у1 (х) < _у2 (х),
Фиг. 9.
то в силу непрерывности существовали бы такие значения с > с0, для
которых мы имели бы cyt(x) <^ у.2(х) на отрезке [х, х[], что
невозможно; если бы кривая у = с0у1 (х) имела две или более общих точек
с кривой у=у2(х), то существовали бы такие значения с < с&, что
соответствующие им кривые у = су1(х) имели бы по крайней мере
две*общие точки с кривой у=у2(х), что также невозможно.
Но при h > 0 имеем
[«V-Vi (*+А) — соЛ (*)!/* < 1Л (*+А) —^2 (*)]/*.
['оЛ (* — А) — 'оЛ (*)]/( — h) > ГЛ (*"— А)—^2 (*)!/( — А)>
а поэтому с0у[(х)=у2(х) и_кривые у = с0у1(х), у=у2(х) касаются
друг друга в точке (х, .у2(х)). В силу предположения о выполнении
теоремы единственности это невозможно, так как тогда эти кривые
должны были бы совпадать на всем отрезке [xv х[].
Таким образом, мы доказали, что функция у2(х) имеет по
крайней мере один нуль в промежутке (xv x\). Обычные рассуждения
показывают, что другого такого нуля не мо^ет быть (гл. IV, § 2,
П, 7, ,,а"), '

§ 6. Теоремы отделения, сравнения и единственности 107
2. Теоремы сравнения для решений дифференциальных
уравнений второго порядка. Теоремы единственности, а)
Дифференциальному уравнению второго порядка y" = f(x; у, у') [или системе
двух таких уравнений y"=f(x; у, у'), у" = g(x; у, у')] посвящено
большое количество работ, в которых указаны важные критерии
единственности (сравнения) *), напоминающие по своей природе
критерий Пеано, изложенный нами в § 2, п. 5, „а". Рассуждения Скорца-
Драгони [3], примененные Гроппи [1] для сравнения двух
дифференциальных уравнений второго порядка, позволяют высказать эти
критерии в чрезвычайно простом виде.
б) Пусть функции f(x\ у, у'), g(x; у, у') определены в
полосе S
S:a*Cx^b, —со<,у<+оо, —оо <у <-|-оо (я < Ь)
и
/(*; У. /)<g(x; у, у'). (2)
Если у=у1(х) и у=Уъ(х) являются соответственно
решениями уравнений
y" = f(x; у, у'), y" = g(x; у, /),
удовлетворяющими условиям
Л(в)>Л(в). Л(*)>Л(*). (3)
и если, по крайней мере, одна цз функций /, g является
неубывающей функцией относительно у, то на всем отрезке [а, д]
выполняется неравенство
Ух{х)^.у^{х). (4)
Предположим, что функция / является неубывающей функцией
относительно у (рассуждения проводятся аналогично и в случае,
когда g является неубывающей относительно у). Если бы неравенство (4)
не выполнялось на всем отрезке [а, Ь\, то нашлась бы такая точка х
этого отрезка, для которой у1(х)—_y2W<0. Рассмотрим
наибольший промежуток (др Ь^), содержащий х, на котором выполняется
неравенство
Л(*ХЛ(*) («<«!<£,<£). (5)
Тогда
y\(fli)=y%(a1), yM=*yM, \
, i i i \ (6)
yiKX^K). уЛЬх)>уЛЮ- >
В промежутке (я,, £,) найдется по крайней мере одна точка S,
в которой разность у2(х)—У^{х) достигает своего наибольшего зна-
1) См. Пикар [2], стр. 9, Скорца-Драгони [3], стр. 14, [4], стр. 45, Каччио-
поли [2], стр. 20, Розенблатт [3], стр. 105, Пиконе (теорема, упомянутая
Р работе Миранда [lj, стр. 291), Гропци [1|, Чинквини [2], стр. §,

108 Гл. VIII. Теоремы существования и единственности в целом
чения; в этой точке ^ (?) = д/($)• Принимая во внимание, что/
является неубывающей функцией относительно у, получаем, что
>g% л(«). y'№—f\b л(«). ^(0) >о,
в то время как в точке максимума должно выполняться неравенство
yt&—.yi(S)-^0 (см. Чинквини [2], стр. 6).
в) Проведенное в „б" доказательство сохраняет силу и в случае,
когда f(x; у, /)<^(х; у, у'), а /(или g) является возрастающей
функцией относительно у.
Таким образом, мы получили следующую теорему единственности:
Пусть дано уравнение
У"'= fix; у, /), (7)
где функция f определена в полосе S,
S: а<дг<£, —oo<_y<-j-oo, — оо <_у' <-f-oo (а < Ь),
и является возрастающей функцией относительно у. Если два
решения уг(х) и у$(х) уравнения (7) удовлетворяют краевым
условиям
Л («)= .?*(«). УЛЬ)=УЛЬ)>
то они совпадают на всем отрезке [а, Ь].
г) Доказанная в „б" теорема сравнения сохраняет силу и в
случае, когда
/(*; у, /)<g(x; у, у'),
причем функция f (или g) является неубывающей функцией
относительно у и монотонной относительно у'.
Предположим, что функция f{x\ у, у') не убывает относительно у
и у' (не убывает относительно у и не возрастает относительно у ).
Рассуждая так же, как и в „б", убеждаемся в справедливости
соотношений (5) и (6).
На всем отрезке [av bt] не может выполняться неравенство
y'i(x)—y2(x)>0 \y'i(x)— уг(х)<0\>
так как в противном случае мы имели бы y1(x)^yi(x), вопреки (5).
Поэтому существует такая точка хх из [av bx\, что
У'АъХу'гЫ \y[(xi)>y',(xi)].
Четвертое (третье) соотношение из (6) показывает, что
*i < bi К < xt\.
Обозначим через % верхнюю (нижнюю) грань таких значений х,
что y-i (t) < у2 (t), \yt (t) > y2 (t)] для всех t, удовлетворяющих нера»
ренствам x^t<x [a:<^<jc1). Тогда £<*i (£>%) » y'i{x) <^

$ f. краевые задачи для уравнения У =/(х; у, у') iO§
< у'гО) при хх < х < £ \у[ (х) > у2 (х) при Ч < л: < *!', _yi (?) = У (?)•
Отсюда получаем, что
^i (*) < .Уа (*), X (х) < X (*) при xt < л: < 5, (8)
l^i М < ^ (х), у[ (х) > у'г (х) при % < л: < хх\
и
Ух (5) =^(6). (9)
Но тогда при хг^х ^.i [I<;х <] Arx] имеем
У (*) = / 0*1 Уг (*)> у[ (х)) <
</(х;Уч(х), y'i(x))<g(x; yz(x), у'г{х))=у1(х),
и, следовательно, у\ (х) ^.у-г (х), а потому из (9) вытекает, что при
*!<*<£ U<a:<x1],
У[(х)-у'2(х)>0 [у[(х)—у\(х)^0],
вопреки второму из неравенств (8).
д) Из доказанной в „д" теоремы сравнения следует критерий
единственности Скорца-Драгони [4]:
Если функция f(x; у, у') определена в полосе S,
S: й<л:<;*, —со <Су <~\-оо, —оо <_/<-(-со (а < Ь),
и если f(x; у, у') не убывает относительно у и монотонна отно-'
сительно у', то любые два решения уг{х), у2{х) уравнения
У"-fix; у, у'), (7)
удовлетворяющие условиям
УЛа)=у2{а)у уг{Ь)^Уъ{Ь),
совпадают на всем отрезке [а, Ь\.
Скорца-Драгони ([4], стр. 45) построил также пример, показы-
вающий, что одного неубывания f{x\ у, у') относительно у
недостаточно для того, чтобы обеспечить единственность решений
уравнения (7).
§ 7. Краевые задачи для уравнения у" =f{X; у, у').
Теоремы существования
1- Решения, принадлежащие области, ограниченной двумя
интегральными кривыми. Теорема существования Скорца-Драгони.
Доказательство Чинквини. а) Этот параграф посвящен установлению
некоторых общих теорем существования для уравнений вида
У =f(x; у, у'). Читатель увидит, что при доказательстве
предложений из п. 1 и 3 некоторые упрощения получаются при
использовании аппроксимирующих многочленов Северини [1].

НО ?л. Vlll. Теоремы суще&ШЫйния и еЬиндтйе'нйдШи S $ёАЬм
б) На использовании аппроксимирующих многочленов Северини
основано доказательство, данное Чинквини [2] для следующей теоремы
Скорца-Драгони:
Пусть функция f(x; у, у') конечна и непрерывна в области С
С: a<jc<6, j»jW<;<^(4 — oo</<-j-oo (a < b),
где ух (х)-^.у2 (х) [а <[ х ^ Ь], пусть, далее, yt (x) и у2 (х) являются
на отрезке [а, Ь] решениями дифференциального уравнения
Z=f(x;y,y') (1)
и, кроме того, пусть существует такое число М, что вд всей
области С выполняется неравенство
\f{x;y,y')\<M. (2)
Тогда, если точки {xit .у»)(' = 0> 1) удовлетворяют неравенствам
д<а;0<а;1<*, y^x^^y^y^Xi) (i = 0, 1),
то уравнение (1) обладает на отрезке [xQ, хг], по крайней мере,
одним решением у = у0(х), удовлетворяющим неравенствам
Л(*)<Л(*)<Л(«) (3)
и краевым условиям
Определим в области Сх,
Со,: а;0<а;<а;1, — оо <.у <+оо; —оо </<-[_оо,
вспомогательную функцию f0(x; у, у'), положив
fo(x> У> У) =/(*: У> У) ПРИ всех (х> У> У) из С, (4)
/0(*; у. У) = \у—у* (*)1а/[1 + {^—л(*)}аЛ-/(*; л(*), У)
при у>у2(х),
/„(*; у, У) = —[^-л(*)]*/[ 1+{у-л(*)}*]+/(*; л(*). У)
при у < л (*).
Тогда во всей области С,» имеем
\/0(х;у,У)\<М-\-\. (5)
Положим *
Я~1(Л—-Vo)/(*i—*сД ^ = Я-КИ+1)(*1 — *о).
Г= max {j^(*)|, |Л(*)|}. А> = Г + 2^ (*i - *0).
Рассмотрим в соответствии с теоремой Вейерштрасса (см., напри-
Мер, Тонелли [4], стр. 9) последовательность целых рациональных

§ f. Нрйеёые задачи Ьлл уравнения у% =/(х; у, у1) Hi
функций {Рп(х; у, у')} от переменных х, у, у', которая равномерно
сходится к функции f0(x; у, у') в области С£,
Cf. *0<*<*1- — Lo<y<Lo> — 2Z.1</<2i1,
и определим во всей области Соо последовательность функций
[QAX'< У< У'))' положив
£»(*"■ У> /) = рп(х'< У> У')> если (■«: У, У) принадлежит CL,
QnС*: У> У) = Рп(х; У. 2£,), если — i0<у <i0 и у > 2LV
Qn (*". .У- /) — Р« ("«J .У' — 2Ld' еСЛИ — ^0 < ^ < ^0 И .У' < ~ 2iL
и, наконец,
Qn(x> У> y')^Qn(x> Lo> У) при .у>£0, l/K+oo,
Qn(x> У> У">= <?»(*= — £o> /) при у < — i0, |у | < -f- оо.
Например, при у > £0, у' > 2/^ имеем
Qn <*: .У. /) = Qn (*. ^ 2i,) = Ри (х, £0, 2^).
Каждая из функций Qn(x; у, у') (я =1,2, ...) непрерывна и
ограничена во всей области С^ и имеет в этой области ограниченные
разностные отношения для всех своих аргументов. В силу (5) можно
найти такое число я, что при всех я > п имеем во всей области С^
\Qn(x;y,y')\<M-j-i. (6)
Рассмотрим при я > п дифференциальное уравнение
У = Я»(*:у>У) (7)
и заметим, что любому значению у' из промежутка (—Lv Lj)
соответствует решение У:=уп(х) уравнения (7), определенное на отрезке
[х0, xt] и удовлетворяющее начальным условиям
Уп(х0)*=у0, уп(хо)=7 (8)
(см. гл. I, § 3, п. 4).
Так как
Уп (х) = у'п (xQ) -J- (х — xj у" (5), л;0 < 6 < *1(
то
lK(*)|<2i,. (9)
Если же мы выбрали бы в начальных условиях (8) у' ^ Lv то
мы получили бы, что
Уп (х) > У - | х — х01 \~у"п (01 > VI -Jej—jc0 | (Ж +1) = R, yUxy&R ,

Ш Гл. VIII. Теоремы сущёдтвовйния и еЬшбтёёшбсти в ЦёЛдМ
а потому
Уп (*i) — 5» (*в) > # I *i -*■ *о I > IЛ — Уо I
и, следовательно,
Аналогично, если выбрать в начальных условиях (8) у' ^.—-Llt тв
получим, что для любого х из отрезка [х0, х±] справедливо
неравенство уп(х)-*С — R, и, следовательно,
Л.(*1)<Л-
Решение у = уп(х) уравнения (7) непрерывно зависит от у'
(гл. I, § 5, п. 1, „а"). Поэтому для любого п>п существует
по крайней мере одно значение у' из промежутка (—Lv Lt),
которому соответствует решение у = уп (х) уравнения (7), обозначаемое
нами в дальнейшем через у=уп(х) и удовлетворяющее условиям
•У»(*о)=Л> Уп(х1)=У1- (10)
На всем отрезке [лг0, xt\ при п > п имеем
\yn(x)\<2Lv (llt)
I Уп (х) I < 2^-i (* — *o)+1 Уп (xo) I < Lo>
\yn(x)\<L0. (Ha)
Следовательно, любая точка (#, ^(х), }i„(x)), (л;0 <[ x <; jq)
принадлежит области G£. Поэтому у = уп(х) является решением
уравнения
Уп~Рп(х; уп, у'„), (Из)
удовлетворяющим начальным условиям (10). Увеличив, если Это
необходимо, п, мы можем считать, что при п > п выполняется
неравенство
\yl\x)\<M-\-\. (11J
Из неравенств (llj), (112), (П4) вытекает, в силу теоремы Асколи
(гл. I, § 6, п. 2, „в"), что из последовательности {уп(х)\ можно
выбрать подпоследовательность
Ух, (*)• Л, (дс), • • • - Л (*), .. • (Хх < Х2 < . . . < Х„ < . . .),
равномерно сходящуюся на отрезке [jc0, х^\ к некоторой функций
у0(х). При этом выбор можно осуществить так, чтобы
последовательность

$ ?. КрйеШё зйЬаЧа для уравнений у" =*f(x; у, у') ЦЗ
равномерна сходилась на отрезке [х0> х±] к функции у'0(х). В силу
сказанного Bbiuiej лйбая точка (х; y0(x)t у0(х)) принадлежит
области С*£.
Принимая во внимание* Что при п -> со последовательность
равномерно сходится на отрезке [х0, х±] к функции
f0(x; у0(х), у0{х)),
получаем из уравнения
У" =pi (х'Ух > У[ ),
п п п п
путем предельного перехода при п —> оо, что
y'o{x)=fQ(x\ y0(x), у0(х)).
Для того чтобы доказать теорему, нам осталось показать, что
функция у0(х) удовлетворяет неравенству (3).
Для этого заметим, что при у < у±{х) [у > у2(х)] функция
fo(x> У> У') возрастает относительно у, и, следовательно, достаточно
повторить рассуждения из § 6, п. 2, „б", чтобы убедиться в
невозможности неравенства у0 (х) < у1 (х) [у2 (х) < у0 (х)].
2. Существование интегральной кривой, проходящей через
две заданные точки, для случая, когда функция f(x; у, у')
ограничена. Докажем теперь вторую теорему существования,' сохранив
предположение об ограниченности /(х; у, у').
Пусть функция /(х; у, у') конечна и непрерывна в полосе S,
S: а<х<£, —оо <д> < -j-°°, —оо < у' < -j- оо (а < Ь),
и пусть во всей этой полосе выполняется неравенство
\f{x;y,y')\<M.
Тогда, если числа xt и х2 таковы, что
а < Х1 < Х2 < Ь,
а yt и у2 — любые два числа, то существует, по крайней мере,
одно решение уравнения
y"^f{x;y,y% (12)
удовлетворяющее краевым условиям
у{х1)^=у1, yixj^y*. (13)
Эта теорема является частным случаем общей теоремы Биркгофа,
и Келлога ([1], стр. 109; эта общая теорема позже была вновь
доказана Каччиополи [3]). Элементарное доказательство последней было
8 Зак. 1072. Дж. Сансонз

114 Гл. VJJf. Теоремы существования и единственности в целом
дано Скорца-Драгони [5]; мы получим эту теорему как
непосредственное следствие из теоремы, доказанной в п. 1.
Пусть yi — любое число и у = у(х)— уравнение интегральной
кривой Г уравнения (12), удовлетворяющей начальным условиям
у(х1) = у1, /(Xl)=y[.
Мы имеем
y(x) = j (x-t)f[t; y(t), y'(t)] dt+(x — Xl)y[-\-yv (14)
/W = }/[^(0- y'(t)\dt+y[,
откуда вытекает неравенство
lyixyi^M^-^+lyUlx-xJ + ly.l,
|/(х)|<Ж|х —xj + l^l.
Из этих неравенств следует, что областью существования
рассматриваемых интегральных кривых является отрезок \xv х2]. В самом
деле, если число £ таково, что х1<Е<^х2, Tojlim \y (х)\ <-)-оо,
lim \у'(х) | <-)-оо, а следовательно (§ 3, п. 1, „в", „г"), правый
ж-> б - о
конец кривой Г должен лежать на границе полосы S, и поэтому
у (х) определено на всем отрезке [xv х2].
Пусть теперь у =yt (x), у=у.2 (х) — два решения уравнения (12),
соответствующие начальным условиям
y1(xJ)=y1, y[{_x1) = —L,
y?(xi)=yv y'i(.xi) = L-
Тогда из (14) следует, что
Л (х) <М <*^L+yi -L{x- xt),
у2 (х) > - м£=££-\-У1 + L{x — xt),
и если выбрать L таким образом, что М(х2— xt)^.2L, то на
отрезке [xv х2] выполняется неравенство у1(х)^Су2(х). Выберем/,
настолько большим, что
L>
Уг—У\
Х2 Xj
М (х2 — Xj)
Тогда из доказанного выше следует, что уг (х2) < у2 < у2 (х2), и

§ 7. краевые задачи для уравнения уп =f(x\ у, у1) 115
поэтому, применив доказанную в п-. 1 теорему, мы убеждаемся в
существовании, по крайней мере, одного решения уравнения (12),
удовлетворяющего краевым условиям (13).
3. Случай, когда функция/(л:; у, у') не ограничена. Теоремы
существования Тонелли. Теорема существования Чинквини. а) Для
приложений представляет интерес рассмотрение уравнений вида
y" = f(x; у, у') в случае, когда функция f(x; у, у') стремится
к бесконечности при стремлении у и у' к бесконечности.
Исследования в этом направлении были проведены Каччиополи
[2], стр. 20, Нагумо [2], Сато [2], Скорца-Драгони [6], [7],
Чинквини [2], Тонелли [5]. Мы изложим доказательство двух теорем
существования Тонелли, которые имеют весьма общий характер и
могут быть просто и быстро доказаны.
б) Пусть функция f(x; у, у') конечна и непрерывна в
полосе S,
S: .jq<;х<;л:2, — оо <_у <-}-оо, —оо <у' <-\-оо(х1 < х2),
и пусть для любых чисел о > 0 и Y^-О можно найти такую
функцию fy(x), положительную и суммируемую в смысле Лебега
на отрезке [xv x2], что для всех точек из S справедливы
неравенства
\f(x\y, /)|<°1/|-И(*) при \y\<Y, (15)
fix; У. У')>-°{\У\ + \У'\}-Ъ(х) при y>Y, (16)
fix; у, /XofM+l/u+W пР» У<-у- (17)
Тогда для любых двух чисел ух и у2 существует на отрезке
[xv x2], по крайней мере, одно решение уравнения
/' = /(*; у, у'), (18)
удовлетворяющее краевым условиям
У(х1) = У1, У(х2)=у2-
Сделаем, как и в § 5, п. 1, „а", преобразование
у = у У%—У\х х2у1 — х1у2
Х% —" X1 Х% л j
и заметим, что из выполнения условий (15), (16), (17) для
уравнения (18) следует выполнение этих условий для преобразованного
уравнения Y" = F' (х; Y, У). Поэтому без потери общности мы
можем считать, что разыскиваются решения уравнения (18), удовле^-
творяющие краевым условиям
У(х1) = 0, у(х2) = 0, (19)
при единственном предположении, что для любого о > 0 найдется
8*

116 t/L VHt. Теоремы бущебтдвдйниЯ и еЬанбтёеннддти в цеЛбм
функция ty(x), положительная и суммируемая в смысле Лебега на
отрезке [xlt x2], для которой во всех точках полосы 5 выполняются
неравенства
fix; У. У')>-°{\У\ + \У\} — Ъ(х) при у>0, (160
fix; у, У)< а{|^| + |У1} +<Н*) при у^О. (17')
в) Пусть функция y=yix) является решением уравнения
(18) в некотором отрезке [%v £2], содержащемся в [х±, х2], и пусть
выполняются следующие условия:
(20J
У(У = о, ■
У (*)><>> y'ix)>0 при 51<х<$2
{0<y&)<y{x)<.y(*J в fc.y}
Пусть о > 0 и
с(х2 — xj^ — ^flXj. (21)
Так как для всех точек полосы S, в которых у^>0, выполняется
неравенство (16'), то в [tv $2] имеем
-y" = -fix; у, /К о Lv (*)+/(*)}+*(*)• (22)
Положим
Н= \^{x)dx, A= max |У(х)|
и проинтегрируем неравенство (22) на отрезке [х, S2]. Тогда мы
получим
У' (*)< ° / [.У (*)+/ (*)] dx + Я,
3»' (*) < а \у (У+Л] (£, - д+Я,
Л<о[^(У+А](68 —у + Я.
Но yik)<y($i)-}-'ik — Ул> поэтому
Л[1-а(52-$1)($2-$1+1)К^(е1)($2-?1)+Я.
Из неравенства (21) получаем Л < 2з_у($1)(£2— $х)-4-2Я, откуда
следует, что Л < у (ix)-\-2H. Итак, мы доказали, что при выполнении
условий (20j) имеет место неравенство
О </(*)< _У&) + 2//,
а тем более и неравенство
0</(*К.у(*)+2Л '(«г<*<«9). (23,)

$ 7. Краевые задачи для уравнения у" =f(x; у, у') 117
Аналогично, если у = у(х) является на отрезке [^ у решением
уравнения (18), удовлетворяющим условиям
/&) = 0; У(х)>0, /(х)<0 при Е1<*<58, (202)
У(У = 0; з/(х)<0, /(х)<0 при ^<х<|2, (203)
/tfi) = 0; .У(*)<0, У(х)>0 при |]<х<^2> (204)
то мы имеем соответственно
0<— /(х)<з/(х) + 2Я, (232)
0<— У(х)<-.у(х)-г-2Я, (233)
0<У(*)<-.у(х)+2Я. (234)
Теперь нетрудно доказать, что если у=у(х) является решением
уравнения (18), удовлетворяющим краевым условиям (19), то для
любого х из отрезка [xv х2] имеем
\у'(х)\<\у(х)\ + 2Н. (23)
В точках, в которых уг(х) — 0, неравенство (23) очевидно. Пусть
теперь в некоторой точке х из [xv x2] имеем у'(х)фО и пусть
(п> ^а) — наибольший промежуток, содержащий точку х, на котором
у'(х)фО. Не может быть, чтобы одновременно оказались
справедливыми неравенства £, = х1г £2 = х2, так как по теореме Ролля
функция У(х), по крайней мере, один раз обращается в нуль в
промежутке (Xj, x2). Поэтому возможны три случая:
1)У(6,) = 0. /(У-Ои/W^O при 61<*<5а,
2)3/(^ = 0, У(У = 0иУ(х)^0 при 5,<*<S2,
3)У(|1) = 0, з/(У = 0 и у'(х)ф0 при ^<х<|2.
В случае 1) либо функция у(х) сохраняет знак в промежутке (Sj, ^),
либо этот промежуток распадается на два промежутка, на каждом
из которых функция у(х) сохраняет знак. В случаях 2) и 3)
функция у(х) сохраняет знак в промежутке (Sx> £2). Поэтому из неравенств
(23j), (232), (233), (234) вытекает неравенство (23).
Положим \y(x)\ = z(x). Тогда из (23) следует, чтоz'(x) <_z-\-2H,
поэтому
Я}
0<z(x)< J" \z-\-2H\dx
и, по лемме Гронуолла (гл. I, § 5, п. 3),
0 < \у (х) | < 2Я (х2 — Xl) e**-*>,
откуда получаем неравенство
|У(х)|<2Я[1+(х2 — *!)**-".].

118 Гл. VIII. Теоремы существования и единственности в целом
Из него следует, что если у = у (х) является на отрезке [xv х2]
решением уравнения (18) и удовлетворяет краевым условиям (19),
то
|.y(x)|<2tf(x2 — *х) «*•-*.,
|У(х)|<2Я[1+(х2 — *г)в*.-<*].
г) Чтобы закончить доказательство теоремы, поступим, как в п. 1.
Положим
Я0 = 2Я [ 1 + (х2 — хх) е^—Л +1
и обозначим через S0 параллелепипед, определенный неравенствами
S0: x1<x<x2, \у\<Н0, |У|<Я0.
Рассмотрим последовательность многочленов {Рп(х; у, у')},
определенных в50и удовлетворяющих во всем SQ неравенствам:
\f(x; у, у')-Рп(х;у, У')\<\ («=1,2,...).
Поставим в соответствие каждому многочлену Рп определенную в 5
функцию /и(х; у, у') по следующему правилу: функция /„(х; у, у')
равна
рп(х; у> у') в- 5о>
Рп(х; у, Я0) при хх<х<х2, \у\<Н0,у'>Н0,
Рп(х'> У> — Ио) ПРИ хг<х<х2, |.у|<Я0, у <— Я0,
/«(*; #0. У) при Xj < х < х2, j» > я0, !у ] <4-оо,
/„(*; — Я0, У) при х1<х<х2, .у< — Я0, |у«-)-оо.
Если в 50 имеем |/(х; .у. У)|<Ж то \Рп(х; у, у')\< М + 1
в S0, и, следовательно, |/п(х; _у. У)| < М-\- 1 в 5. Поэтому
функция /га(х; з'. У) непрерывна и ограничена в S и удовлетворяет в 5
условиям
/»(*; у. У)>-3(Ь1 + 1У|}-{^(х)+-1} при ^>о,
/.(*; .у. У)<°{М+1У1}+{«К*)+й) при ^<о.
Уравнение
y"=U(x; у, у)
по доказанной в п. 2 теореме обладает, по крайней мере, одним
решением у = уп(х), удовлетворяющим начальным условиям
Уп (*i) = Уп (xs) — ° \У» (х) = /•» (х> J'» <х)' Уп (х) )1 •
(24)

§ 7. Краевые задйчи для уравнения у" =f(x; у, у') 119
Каждое из этих решений, в силу доказанного в „в", удовлетворяет
неравенствам, получаемым заменой в (24) Я на Н-\-{х2—дг1)/га
{^{х) следует заменить на ty(x)-\-ljn). Поэтому
|л(*)|<2[й+^](х,-*1)^,
| у'п (х) |< 2 [#+*>LZ£l] [1 +(х2 - х&**-*Л.
Найдется такое п0, что при п > п0 имеем | _уп (х) |, < Я0, |з4(х) | < Я0
и, кроме того, при п > га0 функция .УяС*) удовлетворяет на всем
отрезке [х0, хх] уравнению у"п = Рп(х\ у,-у'), где \у"п{х)\<.М-\-\.
Последовательности {у„(х)}, {у nix)} равномерно ограничены и
равностепенно непрерывны, а потому дальнейшее доказательство
проходит точно так же, как и в п. 1.
д) В частности, ограничиваясь рассмотрением решений уравнения
У" = fix; у, У), " (18)
удовлетворяющих краевым условиям
у(хх)=у(х2) = 0 (19)
(в этом случае не нужно указанное в „б" преобразование), мы
получаем следующую теорему Тонелли [5]:
Пусть функция f(x; у, у') конечна и непрерывна в полосе S,
S: x1<x<x2, — оо <3'<-foo, —оо</< + оо (Xl < х2),
и для любого о > О можно найти такую функцию ф (х),
положительную и суммируемую на отрезке [xv х2\, что для всех
точек полосы S имеем
fix; У, У)>-о{\у\-\-\у'\}-^(х) при ^>0
fix', У, /)< о{\у 1 + 1/1} + <К*) ПРИ У<°-
Тогда найдется, по крайней мере, одно решение уравнения.
(18), определенное на отрезке [xv x2\ и обращающееся в нуль
в точках хх и х2.
е) Другие теоремы были установлены авторами, упомянутыми
в „а", для случая, когда функция fix; у, у') удовлетворяет
неравенству вида
\fix; У, y')\<%iy)y,2+^ix),
где функции %iy), tyi(x) неотрицательны и суммируемы
соответственно в (— оо, -|-оо) и \xv x2]. Для подробного ознакомления
мы отсылаем читателя к работам этих авторов J).
J) Относительно исследования (включая теоремы существования и
единственности) первой краевой задачи для уравнения (18), когда f(x; у, у')
удовлетворяет условию \f(x; у, у') \< Лу'2 + В, см. С. Н. Бернштейн [1].
(Впервые эти результаты опублцкрваны в 1910 г.) — Прим. ред.

120 Гл. VIII. Теоремы существования и единственности в целом
§ 8. Теоремы существования и единственности Каратеодори
1. Теоремы существования и единственности Каратеодори для
нормальных систем дифференциальных уравнений, а) При
изучении теорем существования для систем дифференциальных уравнений
-§г =/<(*; Л. У» •■■• Ут) (' = 1. 2, .... /те)
мы требовали непрерывности функций
/«С*! Л- Л> • • •> Л») (*= 1. 2, ..., те),
откуда следовала и непрерывность первых производных от искомых
функций у±(х), у9(х), ..., ут(х). Хан ([1], стр. 326) и Каратеодори
([1], стр. 665—674) освободились от этого ограничения, заменив
дифференциальные уравнения интегральными.
Имеет место следующая теорема существования Каратеодори:
Пусть даны т функций
fi(x; yv yv ..., yj (i= 1,2 m),
определенных в полосе S,
S:a<x<b, — oo < y{ < ~j- oo (i = 1, 2, . . ., m), (a<b).
Пусть эти функции при постоянных yv y,2, . . ., ут являются
измеримыми функциями от х на промежутке (а, Ь), а при
заданном значении х из промежутка (а, Ь) — непрерывными функциями
от (yv у2, .... ут).
Пусть, далее, существует неотрицательная функция М(х),
суммируемая на любом отрезке, лежащем в промежутке (а, Ь),
и такая, что для любой точки полосы S имеем
\fi(x; yv y.2, ■ ... yJ\<M(x) (1=1, 2, ..., т). (А)
Тогда для любой точки (х°; у\, у\, .. ., у0 ) полосы S
существуют т абсолютно непрерывных функций yt (х), у$(х), ..., ут (х),
которые во всех точках промежутка (а, Ь) удовлетворяют
системе интегральных уравнений
X
yt (*) = /4+J7«tt Л(0. УаЮ. ■ • -. ym(t))dt («> 1, 2, ...,«), (1)
а следовательно, удовлетворяют почти всюду (т. е. всюду, за
исключением множества меры нуль) в промежутке (а, Ь) системе
дифференциальных уравнений
"§-=/*(*.' Ух (*)• Л (*)> • ■ ■ > Ущ (*)) С'= 1. 2 да). (2)

§ 8. Теоремы существования и единственности Каратеодори 121
Прежде чем перейти к доказательству теоремы, докажем
следующую лемму.
Лемма. Пусть функция f(x; yv y% ут) определена
в полосе S,
S: а < х < Ь, —co<_Vj<-l-oo (/= 1, 2 от),
и при постоянных yv _Уа ут измерима относительно х
в а < х < Ъ, а при заданных х, у1 yi_v yi+1 ут
непрерывна относительно уь (г = 1, 2 т).
Пусть, далее,
!№ Л- Уъ Ут)\<М(х),
где функция М (х) суммируема в д < х < £, и пусть функции
ot (х), <?2 (х) 9т (х) измеримы в промежутке (а, Ь). Тогда
функция f(x; <?х(х), <?,(х) <?.т(х)) суммируема в (а, Ь).
Утверждение справедливо при т—\.
В самом деле, если у1(х) = <х, где а постоянная величина, то
функция f(x; а) измерима по предположению.
Если же функция <вг(х) не постоянна, то существует
последовательность {уп(х)} измеримых функций, каждая из которых принимает
лишь конечное число значений и таких, что lim <?»(*) = ?i 00 ■ при-
чем функции f(x; <?n(x)) измеримы ]).
Так как функция f{x,^y^) непрерывна по ylt то limf(x; <?„(*)) =
—f(x; «?! (л;)), а так как последовательность {/(*; <?„(*))}
составлена из измеримых функций, то и функция/(х; <?t(x)) измерима2).
Из неравенства \f(x; <pj (x)) |<! M (х) следует, кроме того,
суммируемость функции f(x; <21(x)).
Предположим теперь, что теорема доказана для т функций, и
докажем ее для случая, когда число функций равно от-|— 1. Функция
f(x; 9i(x)< %(*) <?т(х)> ¥п(х))> гДе ?»(*) измерима и
принимает лишь конечное число значений, также измерима. Если
последовательность функций {<?„(*)} такова, что lim <on(x) = <?m+1(*), то
П-»со
рассуждения, аналогичные проведенным выше, показывают, что и
функция f(x; «PiW- ?aW ?я(л), <?т+\(х)) измерима, а
неравенство \f(x; ^(x), <?2(х) <?т(х)> «PTO+i(-«))|<jW(-«) влечет
за собой суммируемость функции /.
Докажем теперь сформулированную выше теорему, следуя
изложенному нами в гл. I, § 6, п. 3, методу Тонелли доказательства
теорем существования. Мы ограничимся рассмотрением полуоткрытого
!) См. И. П. Натансон [1], стр. 93. — Прим. перев,
2) Сда, там же, стр. 85- — Прим. перев.

122 Гл. VIII. Теоремы существования и единственности в целом
промежутка х° <; х < х°-\-8, 8 = Ь — х°, так как для х° — 8 < х ^ х°,
8 = х° — а доказательство проводится аналогично.
Определим для любого натурального числа п функции у{пНх)>
У("КХ)> •••> У$(х)> х0^* < х°-\-Ь, по следующему закону:
у'^(х) = уЧ при х°<х<х°4-8/и1),
х-Щп
Уи) (*)=у] + f и № Лп) W. Уг> (О У;? (01 dt2)
при х°-|-8/и<; х < х°-|-8 и t = 1, 2, .. ., яг.
Тогда
|j4»>(jO—Jt)(*")| =
х"—Щп х"—Ь/п
= | J /i № У"' (0. j4b) (0. • • •. У£> (0) Л | < | J ж (О Л |.
x' — S/n х'—Щп
В
силу абсолютной непрерывности интеграла j M(jt)dt функции
последовательностей {у'"Нх)}> {у^(.х)}> •••> {у^щ(х)} равномерно
ограничены и равностепенно непрерывны на любом отрезке / из
[х°, jc° -j- S). Поэтому [из этих последовательностей можно извлечь
подпоследовательности
{уУ(х)}; {уУ(х)}, .... {уУ(х)\, лх<л2< ... <лте< —
которые равномерно сходятся в / к непрерывным функциям
Л(^). Уъ(х)' •■■• Ут(х)>
удовлетворяющим системе (1).
В самом деле, имеем
X
уУ(.х) = у° + $мь yfn\t), yK\t), .... yy(f))dt-
X
— J7« (* уУ (0. уУ (0. • • •. уУ (0) dt.
хр
Но второй интеграл не превосходит по абсолютной величине значе-
х
ния I Г M{t)dt
и стремится к нулю, когда п ->• оо (равномерно
!) При и=1 мы рассматриваем j;0<^<;^-|-s-
2)[В силу "'доказанной деммь{ интегралы, входящие"в""эту формулу, имеют
смысл. *

§ 8. Теоремы существования и единственности Каратеодори 123
относительно х)\ кроме того, при любом t имеем
lim/tt />>(*), УУ®,..., У>> (*)) = /,(': У^), y2(t) ym(t)).
n ->oo
В силу условия (Л) при я -»■ оо можно перейти к пределу под
знаком первого интеграла1), откуда и вытекает, что полученные
функции удовлетворяют системе (1).
б) Теорема единственности Каратеодори формулируется следующим
образом:
Пусть выполняются условия предыдущей теоремы и пусть
функции yt(x), Уъ(х) Ут(х) образуют решение системы (2),
удовлетворяющее условиям
У{(х°) = УЧ (/ = 1, 2, .... «). (3)
Если существует такая функция N(x), суммируемая на каждом
отрезке, лежащем внутри (а, Ь), что для любой совокупности т
чисел yv у.г ут имеем при а < х < Ь
I/*(■*; yv ~у* Ут)— /<(*; л(*)» л(*) .у*'(■*)) К
<М(х)[\у1-у1(х)\-}-1у,-у2(х)\-\-...^-\ут-ут(х)\] (4)
(*'= 1, 2 т)
(условие Липшица), то решение системы (2), удовлетворяющее
начальным условиям (3), единственно.
Пусть, в самом деле, уг(х), у$(х) Ут(х) — любая система
непрерывных функций, удовлетворяющих системе интегральных
уравнений
ж
Уi (*) = y°t + jft (t; yt (0, у.г (t) ут (0) dt (/=1,2 «). (1')
Докажем, что при л:0 <[ х < ft
Л(*)=Л(*) 0'=1. 2 от) (5)
(аналогично рассматривается случай а < х ^ л:0).
Положим
»(■*) = |Ji(*) — Л (*)! + ••• +|Jm(*) — .У»(*)| (6)
и обозначим через jt((i) наибольшее значение ч(х) на отрезке [л:0, $].
Предположим, что равенство (5) выполняется не во всех точках
полуоткрытого промежутка [х°, Ь). Тогда найдется точка \ этого
') См. И, П, Натансон [1], стр. Ш, — Прим. перед.

124 Гл. VIII. Теоремы существования и единственности в целом
полуоткрытого промежутка, в которой р (£) > 0. Обозначим через £°
нижнюю грань значений S, для которых у. (S) > 0. Так как функция
jt(?) непрерывна и не убывает, то
[1 ($°) = 0, где х° < 4° < *,
и
|i(0> 0 при £°<S<*. (7)
Пусть £— любое число, лежащее между £° и £, а С — точка
отрезка [л:0, ij], в которой v(a;) принимает наибольшее значение.
Тогда
v (С) = (,($), (8)
а так как v (х) равно нулю при л:0 ^ х -^ £°, то
&°<С<$. (9)
В силу того, что yi(£°) — _у«(£°) ПРИ *=1» 2, ..., т, из
равенств (1) и (1'). следует соотношение
Л (С) - Л (Q = [Л © — Л (?)] - f Л (С) - Л (Р)1 =
= / [/<(* Л. Л- • • •> Упд—МЬ У Л^ y2(t), . ...ym(t)]dt.
Тогда из (4) и (6) вытекает неравенство
I Уг (О -Л (С) |< / W(*) v (О Л < v (С) / N(t) dt,
5 5"
и из (8) и (9) получаем
!л(С)-л(С)|<ке)|^)л
Суммируя эти неравенства по /от 1 до /» и принимая во
внимание (8), получаем
|1(9<л!|1(*)^лг(9Л.
Следовательно,
[лГ(*)Л>1/ж
для любого S, лежащего между £° и £. Но это невозможно, так как
предел левой части равен нулю, когда £->£°.
Полученное противоречие и показывает, что равенство (5) имеет
место для всех значений #, удовлетворяющих неравенствам х°-^х<^.Ь,
Теорема доказана,

§ S. Теоремы сущебтвбваник и еЬиндтбеннббти Uapameobopti 125
2. Теоремы существования и единственности для систем
дифференциальных уравнений, ке разрешенных относительно
производных, а) Грейвс и Гильдебрандт [1], а позже Маниа [1] в связи
с исследованиями по вариационному исчислению изучали в направлении
теорем Каратеодори системы дифференциальных уравнений, не
разрешенных относительно производных. Мы укажем формулировку одной
из теорем существования и одной из теорем единственности Маниа,
обобщающих основную теорему о неявных функциях.
б) Теорема существования. Пусть
1) функции /< (х; uv щ ит; vv v?, vm) (i = 1, 2 m)
определены при
a<x<Z>, \uk — и°(х)[<о, \vk— v°k(x)\<.e (A == 1, 2 m),
где а и b — некоторые числа, a < b, з > 0, функции u°k(x)
(k = 1, 2 m) непрерывны, а функции v°k(x), (k = 1, 2 m)
измеримы и ограничены на отрезке [а, Ь];
2) функции fi(x; uv щ ит; vv v2 vm) и их частные
производные первого порядка по vv v2 fm непрерывны
по uv и2 ит; vv v2 vm равномерно относительно х
а ограничены во всей области определения;
3) каковы бы ни были измеримые на отрезке [а, Ь] функции
и^х), щ(х) ит(х); ■яДх), г>2(х), ..., vm{x), где
\ик{х) — и°(х)|<а, \vk(x) — «<>&)|<a (k = 1, 2, . . ., т),
функции ft(x; и^{х), и2(х) ит(х); v1(x), f2(x), .... vm(x))
измеримы на отрезке [а, Ь);
4) пусть, кроме того, выполняется равенство
Д(х; и°(х), и°(х) иРя(х); *»(*), ^2(х) <Дх)) = 0
(/==1, 2, .. ., т);
5) пусть, наконец, якобиан
D (х) = д Цъ fj, •■■, fm]
d[Vu щ Vm] [«!-«; и «TO="°TOw; «i=«?w ««=•»<*)]
ограничен снизу, т. е. существует такое положительное число у.,
что |D(x)l > [х.
При этих предположениях можно найти такие
положительные чикла 8 и е, 0 < 8 < е < о, что если х — любая точка,
выбранная на отрезке [а, Ь] и если (uv щ, ..., ит) —
совокупность т чисел, удовлетворяющих неравенствам
йк — и°(х)|<8 (k = \, 2 т),

126 Гл. VIII. Теоремы существбваниЯ и едиШтвенности 8 ЦеЛом
то система дифференциальных уравнений
Д(х; аг(х), иг(х), .... вж(х); а[(х), и'2(х), ..., а'т(х))=0 (10)
(i = 1, 2, ..., от)
обладает почти всюду в некоторой окрестности точки х, по
крайней мере, одним решением их(х), и2(д:) ит(х). В этом
решении функции их(х), н2(х), . . ., ит(х) абсолютно непрерывны
и удовлетворяют соотношениям
uk(x) = uk, | иА (л;) — к* (л;) | < 8, \u'k(x) — vl(x)\<e,
(k=l, 2, .... /re)1).
в) Теорема единственности. Пусть выполнены условия
предыдущей теоремы и пусть существует функция N(x), иЛте-
грируемая в смысле Лебега на отрезке [а, Ъ\ и такая, что
для любой совокупности непрерывных функций ик(х), ик{х),
(k = 1, 2, ..., /re), удовлетворяющих неравенствам
\йк(х) — и°к(х)\<а, \ик{х)— во(*)|<о, (Л=1, 2, .... /те),
и совокупности функций vk(x) k = 1, 2, . . ., /re, удовлетворяющих
неравенствам
\vk(x) — e»(*)|<8 (Л=1, 2, .... /re),
имеем на всем отрезке [а, Ь]
\fi(x; иг{х) ит(х); v±(x), ..., vm(x)) — ff(x; иг (х), . ..,ит(х)\
Мх)> ■■■• «»(*))! <#(*) [\at(x) — B1(*)j+ • • • +|вж(*) —вт(*)|},
(/ = 1, 2, . .., /re).
Тогда решение системы (10), существование которого
утверждается сформулированной в „б" теоремой, единственно.
ЛИТЕРАТУРА
Для удобства читателя приведем литературу по вопросам,
рассмотренным в этой главе.
К § 1-2
Bompiani E., Rend R. Асе. Naz. dei Lincei (6), 1 (192S), 298—302.
Bruwier L., Memoires Liege, 14, № 15 (1928).
Charpentier M., Bull, des Sciences Math. (2), 54 (1930), 203—209; Mathe-
matica (CIuj), 5 (1931), 65—99; Bull, of the Am. Math. Soc, 38 (1932),
849—854.
Haviland E. K., Am. Journ. oi Math., 54 (1932), 632—634.
Hohelsel O., Jahrb. der Deutsch. Math. Ver., 42 (1933), 33—42.
J) Относительно частного случая такого уравнения f(x: a, af) = 0, где
/и, = 0, см. гл. IX, § 2.

Литературй к -гл. VllJ 12"?
Hukuhara M., Jap. Journ. of Math., 5 (1928), 239—251; Journ. of the Fac.
of Sci. Hokkaido Imp. Un. (1), 5 (1937), 107—122.
Кашке Е., Acta Math., 52 (1928), 327—339; Tohoku Math. Journ., 31 (1929),
72-76.
Kitagawa Т., Jap. Journ. of Math., 9 (1932), 153—160.
Inaba M., Proc. Phys. Math. Soc. Japan (3), 11 (1929), 69—72; Jap. Journ. of
Math., 10 (1934), 169—176.
Iу anaga.S., Jap. Journ. of Math., 5 (1928), 253—257.
L avrentjeff M., Math. Zeitschr., 23 (1925), 197—209.
Monte 1 %, Ann. Sc. de l'Ec. Norm. Sup., 24 (1907), 233—334; Bull, des
Sciences Math., 50 (1926), 205—217.
Miilier M., Jahr. der Deutsch. Math. Ver., 37 (1928), 33—48.
N agum о M., Jap. Journ. of Math., 3 (1926), 107—112; 7 (1930), 140—160.
Na капо М., Proc. Phys. Math. Soc. Japan, 14 (1932), 41—43.
Nikliborc W., Studia Math., 1 (1929), 201^209.
NIkodym O., Rend. Sem. Padova, 6 (1935), 21—43.
Okamura H., Memoirs of the Coll. of Sc. Kyoto Imp. Un., 14 (1931), 85—96;
17 (1934), 319-328.
Orlicz W., Bull. Int. Acad. Polonaise (1932), 221—228.
Osgood W. F., Monatsh. fur Math, und Phys., 9 (1898), 331—345.
Peano G., Atii della R. Ace. Sc, Torino, 21 (1885—1886), 437—445; Math.
Ann., 37 (1890), 182-228.
Perron O., Math. Ann., 76 (1915), 471—484.
Pini E., Rend. R. Ace. Naz. dei Lincei (6), 9 (1929), 625—630; Rend. R. 1st.
Lombardo Sc. e Lett. (2), 63 (1930), 531—534.
Rosenblatt A., C. Rend. Ac. Sc, 186 (1928), 179/—1799.
Sat6 Т., Jap. Journ. of Math., 13 (1936), 1—6; Proc. of the Imp. Acad, of
Japan, 4 (1928), 326—329.
Scorza-Dragoni G., Rend. R. Ace Naz. del Lincei (6), 9 (1929), 378—382;
14 (1931), 7—11; Rend. Circ. Mat. Palermo, 54 (1930), 430—448.
Tamarkine J., Math. Zeitschr., 16 (1923), 207—213.
Tonelli L„ Rend. R. Ace Naz. dei Lincei (6), 1 (1925), 272—277.
V.an der Lyn G„ Ann. of Math. (2), 37 (1936), 642—644.
Wat ana be Y„ Jap. Journ. of Math., 7 (1930), 209—214.
Wazewscki Т., Ann. Soc. Pol. Math., 12 (1934), 72—80.
Yosie Т., Proc. Phys. Math. Soc. Japan (3), 8 (1926), 16—20; Jap. Journ. of
Math., 2 (1926), 161—173.
К § 3
Barbuti U., Rend. Ace Naz. dei Lincei (8), 3 (1947), 272—276.
Dig el E., Math. Zeitschr., 39 (1934), 157—160.
Gluliano L., Boll. Un. Mat. It. (2), 2 (1940), 221—227; Rend. R. Ace. d'ltalia
(7), 1 (1940), 330—336.
HokarlS., Proc. Phys. Math. Soc. Japan (3), 14 (1932), 299—333.
Hukuhara M., Jap. Journ. of Math., 5 (1929), 345—350; 6 (1930), 269—299;
7 (1930), 173—186; Proc. of the Imp. Acad, of Japan, 6 (1930), 360—362;
Proc. Phys. Math. Soc. Japan (3), 12 (1930), 233-239.
Катке Е., Math. Zeitschr., 32 (1930), 101—107; Sitz. der Heidelberger Ak.
der Wiss. Math. nat. Klasse (1931), 17; Jahr. der Deutsch. Math. Ver., 41
(1932), 158—164; Acta Math., 58 (1932), 57—85.
К a m p e п Е. R., Am. Journ. of Math., 59 (1937), 144—152.
Kneser H., Sitzber. der kgi. Preuss. Ak. der Wiss. zu Berlin (1923), 171—174.
Marchaud M., Bull. Soc. Math, de France, 62 (1934), 1—38; Mathematica
(Cluj), 10 (1935), 5—31.
Mayrhofer K,, Monatsh. fur Math, und Phys., 41 (1934), 201—215.
Mie G., Math. Ann., 43 (1893), 553—568.
Minzoni A., Rend. Sem. Padova, 9 (1938), 142—149.

128 Гл. Vttt. Теоремы ёущедтвдваниЯ и единбтвтнббми ё Ц6Л0М
Mull e r M., Sltz. der Heldelberger Ak. der Wiss., Math. nat. Klasse, 9 (1927),
38; Math. Zeitschr., 26 (1927), 619—645; 28 (1928), 349—355; 41 (1936),
163—175.
Nagumo M., Jap. Journ. Of Math., 4 (1928), 215—230; 5 (1928), 97—125; 6
(1929), 89—118; Proc. of the Imp. Acad, of Japan, 12 (1930), 233—239.
Perron O., Math. Ann., 78 (1918), 378—384; 95 (1926), 98—101; Math. Zeitschr.,
28 (1928), 216—219.
Rosenblatt A., Rend. R. Ace. Naz. dei Lincei (6), 8 (1928), 41—45.
Scorza-Dragoni G., Rend. R. 1st. Lombardo Sc. e Lett., 64 (1931), 659—682.
Zwirner G., Rend. Sem. Mat. di Roma (4), 1 (1937), 235—252.
К §4
Hlkosaka Noboru H., Proc. Phys. Math. Soc. Japan (3), 2 (1929), 73—83.
Takahaschl S., T6hoku Math. Journ., 34 (1931), 249—256.
Zawlscha K., Monatsh. fur Math, und Phys., 37 (1930), 103—124.
Zwirner G., Rend. Sem. Padova, 15 (1946), 33—39.
К § 5
Clnquinl S., Boll. Un. Mat. It., 17 (1938), 99—105.
Hammerstein H., Acta Math., 54 (1830), [117—176], 118—122.
Hirschf eld H. O., Proc. of the Cambr. Phil. Soc, 32 (1936), 86—95.
Picard Ё., Journ. de Math. pur. et appl. (4), 9 (1893), 217—271; Legons sur
quelques prob'emes aux limltes de la theorie des equations differentlelles,
Pads, 1930, p. 1—14.
К § 6—7
Birkhoff G. D., Trans, of the Am. Math. Soc, 23 (1922), 96—115, 109.
Caccioppoli R., Rend. R Ace Naz. dei Lincei (6), 11 (1930), 794—799;
Rend. Sem. Mat. Padova, 3 (1932), 1—15; Rend. Sem. Mat. di Roma (3),
1 (1933), 13—22, 20.
С i n q u i n I S., Annali della R. Sc. Norm. Sup. di Pisa (2), 8 (1939), 1—22.
Hammerstein A., Journ. fur die relne und ang. Math., 168 (1932), 37—43;
Sitzber. Berlin Math. Ges., 30 (1932), 3—10.
H u к u h a r a M., Jap. Journ. of Math., 5 (1929), 351—367.
Gronwall Т. Н., Ann. of Math., 28 (1927), 355—364.
G гор pi I., Boll. Un. Mat. It., 17 (1938), 179-182.
Kellog O. D., Trans, of the Am. Math. Soc, 23 (1932), 96—115, 109.
Mambrlanl A., Rend. R. Ace. Naz. dei Lincei (6), 9 (1929), 620—622.
Miranda C, Mem. R. Ace d'ltalla, 5 (1934), 285—322, 291.
Nagumo M., Proc. Phys. Math. Soc. Japan (3), 19 (1937), 861—866.
Nikliborc W., Ak. der Wiss. zu Leipzig, 82 (1930), 227—242.
Rosenblatt A., Bull, des Sciences Math., 57 (1933), 100—106; С Rend. Ac.
Sc, 196 (1933), 593—594; Bull. Soc. Math. Grece, 14 (1933), 7—15.
S a t6 Т., Proc. of the Imp. Acad, of Japan, 13 (1937), 348—351.
Scorza-Dragoni G., Rend. R. Ace Naz. del Lincei (6), 9 (1929), 623—625;
(6), 22 (1935), 44-48; Giorn. di Mat. di Battaglini, 69 (1931), 77—112;
Math. Ann., 105 (1931), 133—143; Boll. Un. Mat. It., 14 (1935), 225—230;
Rend. Sem. Mat. di Roma (4), 2 (1938), 177—215; 253—254; 255—275.
SeverinI C, At» R. Ace Sc, Torino, 40 (1905), 858—869.
Tonelli L., Boll. Un. Mat. It., 6 (1927), 126—128; Annali della R. Sc. Norm.
Sup. di Pisa (2), 8 (1939), 75—88.
К § 8
Caratheodory C, Vorlesungen fiber reelle Funktlonen, 2-te Aufl., 1927,
S. 665—674.
H a h n H., Monatsh. fur. Math, und Phys., 14 (1903), 325—342, 326.
H i 1 d e b r a n d t T. H., Graves L. M., Trans, of the Am. Math. Soc, 29
(1927), 127—153.
Mania В., Rend. R. 1st. Lombardo Sc e Lett. (2), 69 (1936), 461—476.

Глава Й
6С0БЫЕ ТОЧКИ. ОСОБЫЕ РЕШЕНИЙ
§ 1. Особые точки дифференциальных уравнений первого
, чх -4- 8v
порядка вида у' = }лх + /у
1. Общие замечания. Рассмотрим дифференциальное уравнение
dy Q (х, у) ,п
d* Р(лг, уу к)
где Р (л;, у) и С? (лг, _у) являются голоморфными функциями от
комплексных переменных х и у в окрестности некоторой точки (х0, у0)
плоскости х, у. Если Р(х0, у0)фО, то, по теореме Коши (гл. Ill,
§ 1, п. 3), существует одно и только одно решение у(х)
уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию у(х0)=у0 и
голоморфное в окрестности точки х0. Эта теорема неприменима, если Р(х0, у0) — О,
т. е. если дробь Q(x, у)/Р(х, у) имеет особенность в точке (х0, у0),
или, как говорят, если точка (х0, у0) является особой точкой для
уравнения (1).
Предположим сначала, что
Р(*о> >о) = 0, Q(x0, у0)фО. (2)
В следующем пункте мы рассмотрим случай, когда Р(х0,у0) =
= Q(.x0,y0) = 0.
Вместо (1) рассмотрим уравнение
dx _P (х, у) Пч
dy.~~Qix.yy к°>
Так как функция Р (х, y)jQ (x, у) голоморфна в некоторой
окрестности точки (лг0, у0), то уравнение (3) обладает одним и только одним
решением х (у), удовлетворяющим начальному условию х (у0) = х0 и
голоморфным в некоторой окрестности точки у0. Это решение имеет
поэтому вид
х — х0 = аг (у —уо) + а2 (у —_У0)2+ ■ • • (4)
Из уравнения (3) и первого из условий (2) следует, что 0 =
= (dx/dy)y-y0 = av Если х — х0 не равно тождественно нулю и ат —
первый отличный от нуля коэффициент в (4), то
х — х0 = ат(у— у0)т + ат+1(у— _у0)т+1+ , • . («„,¥= 0),
9 Зак. 1072. Дж. Сансоне

136 /U. IX. дсобые точки', ббббые решения
и, следовательно *),
у —у0 = sr [Ьг (х — х$'» + £2 (х — *0)2/m -f- ... j,
где
e = cos r-1 sin — , r = 0, 1, 2 те — 1.
В этом случае точка (х0, у0) является алгебраической
критической точкой решения, и при обходе вокруг точки х0 происходит
перестановка т выражений у—у0. Эти выражения являются т
ветвями одной и той же аналитической функции от (х — х0).
Можно доказать, что за исключением этих т ветвей не
существует . решений, стремящихся к у0, когда х -> х0 вдоль некоторого
пути (Кенигсбергер [1], стр. 350, Айне [1], стр. 390).
Если же в (4) х — jc0==0, то при любом значении у имеем
Р(х0, _у) = 0, т. е. уравнение (3) имеет решение х = х0, а
уравнение (1) не имеет решений у(х), удовлетворяющих уравнению в
окрестности точки х0.
* Приведем примеры, разъясняющие положение вещей в'этом случае.
Решение уравнения dy/dx = l/х имеет вид у (х) = с -\- in x, и
в окрестности точки х = 0 функция у{х) имеет бесконечное
множество значений, отличающихся друг от друга на целое кратное 2«;
в этом случае решение у(х) имеет в начале координат
логарифмическую особенность.
Решение уравнения dy/dx = (у — I)/*2 имеет вид _д/ ===== 1 —j— ce~llx
(с—постоянная величина); при сфО начало координат является
существенно особой точкой для этого решения.
2. Точки неопределенности. Канонические формы.
Предположим, что
Р(х0. Л) = 0, Q(x0,yo)=0, (5)
и что в некоторой окрестности точки (х0, у0) имеем Р(х, у)ф0,
Q(x, у)ф0, т. е., как говорят, что точка {х0, у0) является
изолированной точкой неопределенности функции Q(x, у)1Р{х, у).
Перенесем начало координат в точку (х0, у0); пусть разложение
функций Р(х, у) и Q(x, у) в степенные ряды начинается с членов
вида
Р(х, >>)=«* +Р.У+... |
Q(x. у) = 1Х + Ьу+... Г (bl)
причем
«Ъ — ^фО. (62)
Покажем, что путем соответствующего линейного преобразования
независимой переменной и искомой функции можно привести
уравнение (1) к одной из двух канонических форм.
') См. Б. А. Фукс и В. И. Левин [1], стр. 48. — Прим. перев.

§ i. Особые точки уравнений первою порядка yf — ax4_^v 131
ar + fiy
Положим
x1 = ax-\-by, y1=^cx-\-dy, (7)
тогда
dyt_cP + dQ {ca + di)x + (c$ + db)y+...
dxx aP + bQ (aa + Ы) х + (д£ + W) у +...'
Если можно выбрать числа а, Ь, с, d так, чтобы
aa-\-bi = \a, а$-\-ЬЪ = \Ь; (8J
ca-\~df== (хс, cj3 -j-rfS = I"*. (82)
то уравнение (1) примет канонический вид
fyi _ HJ4 + • • •
d*i ХдГ] -}- ... '
(9)
Уравнения систем (8j) и (82) линейны и однородны относительно
пар а, Ь; с, d. Их можно записать в виде
(я —Х)А + т* = °. Ра + (8—Я)* = 0; (10х)
(a —ix)c + Td = 0, pc + (8 —(x)d = 0. (102)
По известной теореме эти системы имеют ненулевые решения тогда
и только тогда, когда 1 и {i являются корнями характеристического
уравнения
1« — Р ■ Т
Р 8-р
:0. (11)
Если в (6j) 0 = ^ = 0, то уравнение (1) уже имеет канонический
вид (9). Предположим теперь, что равенство р = f = 0 не имеет
места, и рассмотрим сначала случай, когда уравнение (11) имеет
различные корни X, (х, т. е. случай, когда
Д = (а —8)» + 4Рт=£0. (12)
В этом случае из систем (10х) и (102) можно найти пары (а, Ь),
(с, d) (каждую из них с точностью до постоянного множителя),
причем легко видеть, Что ad—ЬсфО, т. е. что преобразование (7) не
вырождено. В самом деле, предположим, например, что $ф0; так
как b и а (с и d) не равны одновременно нулю, то ЬФО, dфO,
а следовательно я/# = (Х— 8)/р, c/d = (\i— 8)/р и а/Ьфс/d.
Таким образом, если выполняется неравенство (12), то с помощью
линейного преобразования (7) уравнение (1) можно привести к
каноническому виду (9).
Докажем теперь, что если
Д = (а — £)2 + 4pf = 0, (13)
9*

Ш Гл. IX. Особые точки. Особые решений
т. е. если характеристическое уравнение (11) имеет кратный
корень X = (а —(— S)/2, то уравнение (1) можно привести к
каноническому виду
4У1Д 4*i+*)+.... (14)
dxx lxt+ ... v
Для этого нам нужно выбрать числа а, Ь, с, d так, чтобы
(о —X)e + i* = 0, рй + (8 — А)6 = 0, [Х = (в + 8)/2] (15)
и
X (ах + *у) + А (с* + й» = (с« + <*т) * + (ср + <Й),у. (16)
Из системы (15) можно найти не равные одновременно нулю числа а
и Ь, определенные с точностью до постоянного множителя.
Уравнение же (16) распадается на два уравнения
(a — X)c-\--id = aX, §c-\-(b — \)d = b\, (17)
из которых одно, как легко видеть, является следствием другого.
Так как а8—$уфО, то из уравнения (11) следует, что А#0, если,
кроме того, например, [3=^0, то ЬфО. Но с и d удовлетворяют
уравнению ^с —j— (8 — k)d = bX. Сравнивая это уравнение со вторым
уравнением (15) и принимая во внимание, что ЬХфО, убеждаемся в
справедливости неравенства ad — ЬсфО. Таким образом, мы доказали,
что в любой точке неопределенности функции Р(х, y)/Q(x, у),
в которой а8 — Р?=£0, можно привести уравнение к одному из
двух канонических видов (9), (14) при помощи линейного
преобразования.
3. Уравнение вида dy/dx — (уж-^-8у)/(щх-\-^у) в
действительной области. Предположим, что в уравнении (1) функции Р(х, у)
и Q(x, у) являются линейными формами. Тогда это уравнение
имеет вид
dy fx + Ьу
dx ах + $у'
(18)
где а, р, у, 8 — действительные числа, а§—$чФ®. В следующем
пункте мы изучим поведение действительных решений этого
уравнения. Для этого мы выведем в этом пункте канонические формы,
к которым можно привести уравнение (18) с помощью линейных
действительных преобразований.
В силу изложенного в п. 2 уравнение (18) можно заменить в
случае, когда (а — S)2 —j— 4pf =/= 0, уравнением вида
Ж-Ш <*+»• <18->
где А и |i — (различные) корни уравнения (11). В случае же, когда
(а-—8)2-[-4Pf = 0, уравнение (18) приводится с помощью линейного

§ 1. Особые точки уравнений первого порядка у' = То 133
действительного преобразования к уравнению
^=£1+л. (18)
Заметим, что если Д = (а—8)2-|-4^ >0, то в уравнении (18^
числа X и {А действительны и различны, а числа а, Ъ, с, d
действительны. Если же Д < 0, то числа I иц, а и с, b и d комплексны
и сопряжены. В этом случае (Д < 0), полагая
x1 = X-\-iY, y1 = X—iY, Х = Р!+Ф2. F- === Pi — Ф2 (р2^°).
получаем из уравнения (18) с помощью невырожденного линейного
действительного преобразования уравнение
dY Р2Х + Р1Г
dX нХ — нУ
(18»)
Окончательно: пусть дано уравнение (18), тогда его решения
получаются с помощью линейного действительного преобразования из
решений уравнений
^ = ^, [Д>0, если |а^А; Д = 0, если |а = 1], (19х)
g = £±Z, ,д=01. „9.)
4. Классификация Пуанкаре особых точек в действительном
случае. Изложим теперь классификацию Пуанкаре ([3], стр. 385)
действительных решений уравнения (18).
а) Пусть в уравнении (19х) к и |а имеют один и тот же знак
(тогда либо Д = 0, либо Д > 0, ай — [З-f > 0). Меняя, если это
необходимо, местами хну, мы можем считать, что [а^-А. Одним из
решений уравнения (19j) будет х = 0, а остальные решения имеют вид
у = с | х |^х (с = const).
Если [а > к, то эти решения изображаются кривыми, касающимися
оси х в начале координат (см. фиг. 10), а если ;а = А, то^у = с^
(с-—постоянная величина) и интегральные кривые образуют пучок
прямых, проходящих через начало координат (см. фиг. 11). Как в том,
так и в другом случае говорят, что особая точка в начале координат
является узлом.
Уравнению (19j) и полученным сейчас результатам можно дать
красивую наглядную интерпретацию. Рассмотрим эллиптический
параболоид
г = £+Ц[^>*>0] (20)

134
Гл. IX. Особые точки. Особые решения
и предположим, что ось z направлена в сторону, противоположную
направлению силы тяжести.
Проекциями линий уровня этой поверхности (пересечений ее
^плоскостями z = const) на плоскость (х, у) являются эллипсы
2(i^2X c-
Дифференциальное
уравнение семейства этих эллипсов
имеет вид
^+J^L = 0. (21)
Линии стока
параболоида (ортогональные
траектории к линиям уровня)
проектируются на плоскость
(х, у) в линии,
ортогональные к эллипсам,
следовательно, семейство проекций
линий стока удовлетворяет
дифференциальному
уравнению
dy_ _w
dx Xx'
Фиг. 10. Узел. Из доказанного выше
следует, что если параболоид
не является параболоидом вращения, то линии стока проходят через
вершину параболоида и касаются там параболы, получающейся при
пересечении параболоида с плоскостью (х, z). Поэтому медленно
скатывающиеся по параболоиду капли воды имеют в вершине одно
и то же направление движения, за исключением капель,
скатывающихся перпендикулярно этому общему направлению.
Если же. параболоид является параболоидом вращения (ц = X), то
его линии стока являются параболами, получающимися при
пересечении параболоида с плоскостями, проходящими через ось z.
б) Пусть в уравнении (192) X и ц имеют различные знаки, т. е.
Д>0, а8 —Рт'<0.
Тогда существуют только два решения уравнения (19j),
проходящих через начало координат: х = 0, у — 0. Все остальные
интегральные кривые имеют уравнение
| х|1И |_уj1 X1 —с (с = const),
и, следовательно, для любой из этих кривых существует
положительное ' число 8, такое, что все точки данной кривой
находятся от начала координат на расстоянии, большем^ чем §,

§ I. Особые точки уравнений первого порядка у1 = ' То 135
Предположим, что Х = — [а, и рассмотрим разобранную выше
наглядную интерпретацию. В этом случае параболоид будет
гиперболическим параболоидом, проекции его линий уровня имеют
уравнения
хъ —уР = с (с = const),
т. е. образуют семейство равнобочных гипербол, в то время как
Фиг. 11. Узел.
линии стока проектируются в семейство равнобочных гипербол
ху = с (с = const),
асимптотами которых являются оси х и у (фиг. 12).
Этим оправдывается название „седло", которым пользуются для
особой точки в начале координат, так как линии уровня
седлообразной поверхности имеют вид, изображенный на фиг. 12. Седло
характеризуется условиями Д > О, ос8 — (3f < 0.
в) Рассмотрим теперь решения уравнения (192) (Д < 0). Если
a-J-8=*0, то р! = 0, dy;dx = — x/y, Л(х*-{-у*) = 0,
х2-|-_у2 = с (с = const),
(22)
т. е. интегральные кривые являются окружностями, а интегральные
кривые исходного уравнения —эллипсами (так как они получаются
из интегральных кривых х^Л-у^=^с с помощью аффинного
преобразования),

136 Гл. IX. Особые точки. Особые решения
В этом случае особая точка в начале координат называется
центром; центр характеризуется, таким образом, двумя условиями
Д<0, а + 8 = 0 (фиг. 13).
Фиг. 12. Седло.
г) Предположим теперь, что Д < 0, а-\-ЬфО. Тогда в
уравнении (192) р± и р2 не равны нулю и при переходе к полярным
координатам
х = г cos®, _y = rsino
получаем
Pi
— = — d'n, r = ce?* 9(c = const).
Интегральные кривые являются в этом
случае логарифмическими спиралями;
интегральные кривые исходного
уравнения также имеют спиралевидную форму,
Они асимптотически приближаются к
началу координат, обходя вокруг него, причем, каков бы ни был круг
с центром в начале координат, точка при движении по интегральной
кривой попадает в этот круг и остается в нем (см. фиг. 14). Говорят, что
особая точка в начале координат является фокусом для рассматри-
Ф и г. 13, Центр.

§ 1. Особые точки уравнений первого порядка у' —
Ч-х + Ь
cur + fty
137
ваемого уравнения; фокус характеризуется тем, что Д < О и
а + 8фО.
д) Изучим, наконец, решения уравнения (193) (Д = 0)
Они имеют вид
dx ' х
у = сх-\-х\п\х\ (с = const),
и потому lim у = 0, lim у' = — оо, а следовательно, все интегральные
ж->0 а;->0
X
Фиг. 14. Фокус.
Фиг. 15. Узел.
кривые касаются в начале координат оси у (фиг. 15); особая точка
в начале координат является узлом.
е) Итак, мы доказали следующую теорему:
Пусть дано дифференциальное уравнение
У
/(х + 1
ах + У
(«8 —fa=£0),
где а, [3, -у, 8 — действительные числа, а8 — РтфО. Тогда начало
координат (дг = 0, у = 0) является особой точкой этого уравне~
ния, а именно
узлом, если (а—8)2 -f- 4(3? = 0 или
(а_8)2-|-4^>0 и «8 —|3Т>0,
седлом, если (а~8)2-]-4^ > 0 « «8 — Pf < °>
фокусом, если (а — S)3—J— 4р~с < 0 и а-J-8 =£ 0,
центром, если (а — 8)2-|-4^ < 0 к а -J- § ;= Q,

138
Гл. IX. Особые тонки. Особые решения
5. Интегральные кривые уравнения dyjdx = Q(x, y)/P(x, у).
Циклы и спирали. Изучение поведения интегральных кривых для
уравнения
dy _Q (x, у)
dx Р(х,у)' V)
где Р (х, у) и Q(x, у) — многочлены с действительными
коэффициентами от действительных переменных х и у в окрестности
особой точки, где Р (х0, у0) = Q (х0, у0) = О, было проведено Пуанкаре [3];
позже Бендиксон [1] исследовал случай, когда Р(х, у) и Q(x, у)
являются функциями, непрерывными вместе со своими частными
производными первого порядка по х и у, а также случай, когда Р(х, у) и
Q(x, у) являются голоморфными функциями от х и у и разлагаются
в степенные ряды с действительными коэффициентами. Относительно
этих исследований мы отсылаем читателя к известным учебникам Пи-
кара [3], т. 3, стр. 1—61, Гурса [1], т. 2, стр. 440—456,
библиография на стр. 455, и к книгам Бутру [1] и Дулака [1], [2].
Легко доказать, что:
1) Две различные интегральные кривые дифференциального
уравнения (1) могут пересекаться только в особых точках этого уравнения.
2) Кратными точками интегральной кривой уравнения (1) могут
быть только особые точки этого уравнения. В самом деле, если
точка (хо, у0) не является особой точкой для этого уравнения, то
интегральная кривая, проходящая через точку (х0, у0), однозначно
определена и не имеет особенностей в этой точке.
Рассматривая действительные интегральные кривые в целом и
считая, что входящие в узел или в фокус интегральные кривые
оканчиваются в этой точке, а входящие в седло могут рассматриваться
как продолжаемые соответствующим образом (см. Бендиксон [1],
стр. 205), можно доказать следующую теорему:
Если интегральная кривая лежит в конечной области,
содержащей конечное число особых точек уравнения (1), то возможны
три случая: а) интегральная кривая замкнута (является циклом);
б) интегральная кривая является спиралью (асимптотически
приближается к циклу); в) интегральная кривая останавливается
в особой точке (Бендиксон [1], стр. 210, теорема VII).
Относительно других исследований об особых точках см. кроме
цитированных выше книг и статей работы Перрона |6], И. Г.
Петровского [1], Лонна [1], Фроммера [1], Хаага (1], Дигеля [1], Форстера [1],
Любина [1], Мизеса [1]. См. также Асколи [2] *).
Для того чтобы проиллюстрировать сформулированную выше
теорему, рассмотрим, например, уравнение
dy _ х+у(х*+у*-1)
dx — у + х(х*+у*— 1)' ^0)
!) На русском языке см. таще В, В. Немьщквд и В, В, Степанов [1]
ww [1рим;_перев,

$ 2. Особые решения 139
Подстановкой х —г cosy, .у = г sin® это уравнение приводится
к уравнению
общее решение которого имеет вид
г~{\-\-се^)-^ (с — const). (24)
Если с = 0, то соответствующая интегральная кривая является
окружностью Г с центром в начале координат и радиусом 1.' Если
с >• 0, то соответствующая
интегральная кривая лежит внутри Г,
причем lim r = 0, lim г=1, поэтому
<р-> + оо <р->— оо
кривая имеет в начале координат
фокус* и приближается
асимптотически к окружности Г. Если,
наконец, с < О, с = — Cj, то кривая (24)
действительна, когда <р изменяется от
— оо до —(lriCj)^, и лежит вне Г,
причем lim r =1, lim r = -f-oo. Фиг. 16.
tp->.-oo tp ->_(la с,)/2
Следовательно, в последнем случае г возрастает от 1 до оо, когда <?
изменяется от —оо до —(lncJ/2, и поэтому Г является
асимптотическим кругом для нашей кривой, а прямая <в = — (lnct)/2—
асимптотой для этой кривой. Точки перегиба кривой лежат на
окружности p = j/2~x) (фиг. 16).
§ 2. Особые решения
1. Общее решение. Особые решения, а) Пусть дано уравнение
/=/(*, у), (1)
где функция f(x, у) непрерывна в двумерной области С и
удовлетворяет условию Липшица относительно у. Если точка (л:0, у0)
лежит внутри области С, то из теоремы существования (см. гл. I,
§ 3, п. 1) вытекает существование одного и только одного решения
у = у(х; х0, у0)
этого уравнения, определенного на отрезке [л:0— 8, л:0-{-8] и
удовлетворяющего начальному условию у(х0; х0, у0) = у0. Иными
словами, каждой точке Р некоторого отрезка прямой х =л:0 (ординату
этой точки мы обозначим через у0) соответствует одна и только одна
!) Относительно точек перегиба и асимптот кривых в полярных коорди»
натах см, Сансоне [5], II, стр. 87 и §6§,

140 Гл. IX. Особые тонки. Особые решения
интегральная кривая уравнения (1), проходящая через Р. Мы назвали.
_у(х; Хо, .Уо) общим решением уравнения (1).
Пусть вообще дано дифференциальное уравнение
F(x, у; р) = 0, (p = dyjdx), (2)
где функция F(x, у, р) определена во всех точках (х, у) некоторой
области С при значениях р, принадлежащих некоторому отрезку.
Если при любом значении постоянной величины с, принадлежащем
некоторому отрезку, уравнение
Ф(х,у',с) = 0 (3)
определяет интегральную кривую уравнения (2), лежащую в С, или,
как говорят, частное решение уравнения (2), и если для любой
точки (хо, yd) области С существует по крайней мере одно
значение с0 величины с, такое, что Ф(х0, _Уо1 с0)=0, то говорят, что (3)
представляет общее решение уравнения (2).
Например, пусть дано линейное дифференциальное уравнение
/(x) + P(x)y — Q(x)=-0, (4)
где функции Р(х) и Q(x) непрерывны на отрезке [ос, |3]. Общее
решение этого уравнения имеет вид
X X
у(х)=е " \\Q(x)e'1 dx-j-c (с = const), (5)
а
и любое решение уравнения (4) может быть получено из (5) при
соответствующем значении постоянной величины с (гл. II, § 1, п. 5).
Клеро в своем мемуаре [1] заметил, что существуют
дифференциальные уравнения, решаемые с помощью дифференцирования,
причем получаемые таким путем решения не содержатся среди решений,
получаемых обычным способом. Почти одновременно с ним Л. Эйлер [1]
показал, что существуют решения дифференциальных уравнений, не
содержащиеся в общем решении; так, например, уравнение dx —
— A(x)dy — 0, где функция ^4(х) непрерывна и А(к)ф0 при хфО,
А (0) = 0, имеет решение х = 0, которое не содержится в общем
решении
у+с = f dxlA(x)1).
Другие исследования о решениях дифференциальных уравнений,
не содержащихся в общем решении, были проведены Кондорсе,
!) При рассмотрении дифференциального уравнения вида F (x,y; dyjdx)=0
принимаются во внимание как рещения вида у=у(х), так и решения вида
* = *№■ '

$ i. Особые рШёкий 141
Л. Эйлером и Даламбером, но Лишь Лагранжу принадлежат общие
результаты о таких решениях (см. Лагранж Jl], [2j).
В первой из своих работ Лагранж указывает, что уравнение
х dx -\-у dy = Ух2~\-у2 — V- dy (6== const),
кроме общего решения
а:2 — (Ьч~-\-с2)=*2су *(с = const), (6)
состоящего из семейства парабол и прямых х-=^±Ь, обладает
решением х2-\-у2 = №, не содержащимся в (6). Он назвал это решение
частным, теперь такое решение называется особым решением. Легко
видеть, что окружность х2-\-у2 = Ь2 является огибающей семейства
парабол. Лагранж и использовал теорию огибающих для
доказательства существования особых решений дифференциальных уравнений.
Вообще, если существует решение уравнения (2), огибающее
семейство интегральных кривых этого уравнения, то такое решение
называется особым.
Особое решение может совпадать с одним из частных решений,
но прилагательное особое подчеркивает, что это решение может также
рассматриваться и как огибающая семейства частных решений.
б) Заметим, что если уравнение (3) представляет общее решение
уравнения (2), то особое решение может быть найдено по общему
правилу нахождения огибающих (см. п. 6 и 7), Однако, как мы
сейчас покажем, особое решение может быть найдено и без
предварительного нахождения общего решения уравнения (2).
Пусть в уравнении (2) функция F непрерывна относительно
(х, у, р) вместе со своими частными производными первого порядка,
когда (х, у) изменяется в области С, а р пробегает отрезок [г, s].
Предположим, что числа х0, у0, р0, где точка (х0, уо) лежит внутри С,
а р0—в промежутке (г, s), удовлетворяют уравнению
причем
РР(.х0,у0; ро^фО1).
По теореме о неявных функциях в некоторой окрестности Ct
точки (х0, уо) существует одна и только одна функция
P=f(x.y). (7)
непрерывная в Сх вместе со своими производными первого порядка,
удовлетворяющая тождественно уравнению F(x, у; f(x, j/)) = 0 и
такая, что f(xQ, yQ) = pQ. Уравнение (7) эквивалентно в Сх
уравнению (2), и по теореме существования и единственности через точку
!) Символ Р„ (х0, у0; р0) обозначает (т- = д—.
х°Р'(.я!0,у0;ри) °Ро

Ш Лг. tX. Особые токки. деобые решений
(х0, у0) проходит одно и только одно решение уравнения (2), поэтому
через эту точку не может проходить особое решение. Отсюда
следует, что если при сделанных выше предположениях через точку
(х0, у0) проходит особое решение уравнения с угловым коэффи'
циентом р0, то числа (х0, у0; р0) удовлетворяют одновременно
двум уравнениям:
F(x0, y0; /><,)=■ 0, Fp(x0, y0; р0) = 0.
Мы будем говорить, что линейный элемент (х0, у0; р0) (гл. Ц
§ 6, п. 1) является точечно особым для уравнения (2), если числа
(х0, Уф р0) одновременно удовлетворяют двум уравнениям
F(x, у; р) = О, F, (х; у; р) = 0. (8-j
(Это удобное определение принадлежит Заремба [1].) Таким образом,
если (х0, у0; р0) является точечно особым линейным элементом, то
в некоторой окрестности точки (х0, у0) уравнение (2) нельзя
привести к нормальной форме (1).
Может случиться, что бесконечное множество точечно особых
линейных элементов огибается такой кривой Г : у = у (х), что при
любом х выражения х, у =_у (х), р=уг(,х) обращают уравнение (8)
в тождество. Обобщая понятие особого решения, назовем особым
решением уравнения (2) любую огибающую бесконечного
множества точечно особых линейных элементов.
Заремба [1] показал, что при несколько более жестких условиях,
накладываемых на функцию f и ее производные первых двух
порядков, кривую Г можно также рассматривать как огибающую
некоторого семейства частных решений уравнения (2).
2. Уравнение F(x, у; р) = 0 в случае, когда F является
многочленом относительно р. В этом параграфе п. 2—5 посвящены
изучению решений, огибающих точечно особые линейные элементы, т. е.
изучению системы (8). При этом мы ограничиваемся изучением
уравнений первого порядка. Относительно уравнений высшего порядка
см. Бургатти [1], Кун и Гордон [1], Церф [1].
Для лучшего уяснения возникающих при этом обстоятельств
рассмотрим сначала уравнение
F(x, у; р)=Л(*. у)рп+А1(х, у)рп~1+...-\-
Н-Л-Л*. У)Р+Ап(х, у) = 0 (p = dyldx), (9)
коэффициенты которого Аг(х, у)(г=^0, 1, ..., я), являются
голоморфными функциями от х и у в окрестности некоторой точки (х0, у0).
Пусть числа (х0, у0; р0) удовлетворяют уравнениям
F (*о> Уо> Ро) = °> FP (xv Уо> Ро) = °- (10)

$ 5. бсобые решений 14$
Тогда число р0 является кратным корнем уравнения (9) (если
вместо х и у подставить л;0 и у0). Предположим для определенности,
что
-— = 0. —г=0, .... ■ =0, —-^ФО ((а>2). (11)
дР0 др20 dp»-1 dp»
Полагая
х*=х0-\-Х, y = y0+p0X+Y. P=dY/dX, (12)
получаем, что р = dyjdx = p0-\-dYJdX = p0-\-P, а потому
уравнение (9) можно записать в виде
F (х0+Х, Уо+РоХ+ Y, pQ+P) = 0. (13)
Из непрерывности решений уравнения (9) и их первых
производных при х = х0 следует, что lim Y—0, lim Я = 0, а из послед-
х-»о х-» о
него равенства (12) вытекает, что Y является бесконечно малой
порядка высшего, чем X. Поэтому, пренебрегая бесконечно малыми
высшего порядка, чем X, мы можем записать уравнение (13) в виде
(dF , dF \v. d»FP» ,
d»FP»
dp»
Предположим, кроме того, что
= 0.
S + f/o^O. (14)
Тогда х)
а, следовательно,
i+i 1+1
Y = c,X »+c2X » + ... [с1 = ^1/(!х+1)^0],
и из (12) вытекает, что решение у(х) уравнения (9),
удовлетворяющее начальному условию у(х0)~у0, разлагается в ряд вида
У = Уо+Ро(х~хо)+сЛх — хо) +11 +
Таким .образом, решение у{х) имеет в точке х0 алгебраическую
критическую точку.
1) См. Б. А. Фукс и В. И. Левин [1], стр. 48. — Прим. перёв,

144 Гл. iX. Особые точки. Особые решений
Отсюда следует теорема;
Если в точке (х0, у0; р0) имеют Место соотношения
b « dF n &■■
dp др]
F л д F-un dF i dFj-n г ^ ъ
i^-1 tin?- dx ' r <3y ' \i <^ /»
d/^
/яо уравнение интегральной кривой уравнения (9), проходящей че*
рез точку (х0> у0), имеет вид
i+i
.У=.Уо+М* —*o)+ci(*^-*o) " + ■■• (Ci=H=0)
н точка (х0, у0) является для этой кривой кратной точкой с
совпадающими касательными.
В частности, если [а = 2, т. е. если р0, является двойным
корнем уравнения (9), то'через точку (х0, yQ) проходит решение
1У — Л) — Ро(^ — х0)]* = с(х — *0)3+.
(СФО)
этого уравнения, и значит точка (х0, у0) является точкой
заострения для проходящей через нее интегральной кривой.
3. jo-дискриминант. Теорема Дарбу — Кели. а) Рассмотрим
многочлены F(x, у; р) и Fp(x, у; р) от р и обозначим через ApF(x, у; р)
наибольший общий делитель этих многочленов. Если рассматривать (9)
как алгебраическое уравнение относительно р, то, как известно из
высшей алгебрыг), Кр выражается в виде определителя (2я — 1)-го
порядка:
hpF{x,y;p) =
А,
0
0
iA0 (n -
0
0
А,..
А0..
0..
-iMi--
пА0..
0..
А
ля-2
Ап-з
• Л
• 2Л„_2
• зл„_3
. 0
^я-1
^»-2
\
"■п-\
2Ап_у
пА0 (п —
Ап
"п-1
\
0
Аг-1
1)АГ(п-
-2)
0..
Ап . .
А,..
0..
0..
А,..
. 0
. 0
• К
. 0
. 0
• "п-1
Функция ApF(x, у; р) называется р-дискриминантом
уравнения (9), а кривая g, уравнение которой имеет вид
hpF{x, у, р) = 0, (15)
называется р-дискриминантной кривой.
Заметим, что угловой коэффициент касательной к кривой g,
проведенной в некоторой точке (л:0, у0) этой кривой [получаемый диф-
J) См., например, А. Г. Курош [1], стр. 231.— Прим. перев.

§ 2. Особые решения
145
ференцированием уравнения (15)], отличается, вообще говоря, от
соответствующего кратного корня р0 уравнения (9). Отсюда следует,
что хотя любой точке кривой g соответствует точечно особый
линейный элемент, но кривая g, вообще говоря, не является огибающей
совокупности этих линейных элементов, т. е. кривая g не является,
вообще говоря, особым решением. В силу этого, если вдоль некото-
„ dF , дг' , п .
рого отрезка кривой g имеем -ч— -\-р -a— ¥=0 [р вычислено из
уравнения (9)], то кривая g является геометрическим местом особых точек
интегральных кривых уравнения (9), в которых направления
касательных совпадают.
Рассмотрим, например, уравнение р% — д: = 0. Тогда F =2р,
dF dF
а поэтому из Д F — 0 следует, что д: = 0. Но -^ \~P~a~ ==—1>
и, следовательно, прямая х — 0 является геометрическим местом
точек заострения интегральных кривых. Заметим, что общее решение
нашего уравнения имеет вид (у-\-с)2 = -q Xs и точки заострения
(0, — с) семейства интегральных кривых действительно лежат на оси у.
б) Доказанная в „а" теорема содержится в качестве частного
случая в следующей теореме Дарбу — Кели (Дарбу [1], Кели [1]).
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка
F(x, у; р) = 0 (р = dyldx). (2)
Исключим р из этого уравнения и из уравнения
FP(X> У', Р) = 0
и обозначим результат исключения через kpF(x, у; р). Кривая g,
уравнение которой имеет вид ApF(x, у; р) = 0 (р-даскриминант-
ная кривая), вообще не является особым решением уравнения (2),
но является геометрическим местом точек заострения
интегральных кривых этого уравнения.
Относительно доказательства теоремы Дарбу — Кели в
аналитическом случае см. Пикар [3], т. Ш, стр. 45—52. Доказательство
этой теоремы в действительной области для случая, когда функция F
имеет непрерывные производные до третьего порядка включительно,
дано Заремба [2], а для случая, когда функция F имеет
непрерывные частные производные до второго порядка включительно,—Кар-
таном [1J. Теорема в форме Картана имеет следующую
формулировку:
Пусть в трехмерной области D действительная функция
F(x, у; р) действительных переменных х, у, р имеет
непрерывные частные производные первых двух порядкоз, и во внутренней
точке (х0, у0; р0) этой области имеем
F К- Уо' Ро) = °> Fp (ха> Уо'> Ра) = °>
F*(*o> Уо> Po)+PaFy(xo> Уо'> Л0)^0, FPP (х0, у0; Р0)ф0.
Ю Зак. 1072. Дж. Сансоне

146
Гл. IX. Особые точки. Особые решения
Без потери общности можно считать, что
fx(.xv л; Po>+PoFy(.xo> л; яо)>°> Fppi*v л; я0)<°-
Тогда в 'промежутке (х0— п, х0), где h > О, не существует
решения дифференциального уравнения (2), непрерывного вместе
со своей первой производной и удовлетворяющего начальным
условиям
x = xQ, y = y0, dyjdx = pQ.
В промежутке же (х0, x0-\-ti), где h — достаточно малое
положительное число, существуют два и только два таких
решения и точка (х0, у0) является точкой заострения
соответствующей интегральной кривой.
Мы отсылаем читателя к цитированной выше работе Картана,
ограничиваясь здесь изложением основной идеи рассуждений (Гурса
[1], т. II, стр. 461—463).
Дифференцируя уравнение (2), получаем
(Fa+pFv)dx-\-Fpdp = 0.
Поэтому х, у, р удовлетворяют системе уравнений
dx dy dp
— Fp ~~ —pFp ~~ Fx+pFy '
Если при начальных значениях (х0, у0; р0) имеем Fp = 0 и
Fx-\-pFy=^0, то к уравнению (2) нельзя применить теорему
существования решений, но эту теорему можно применить к
эквивалентной системе уравнений
dx Fp dy _ pFp
4pS=~~ Fa+Pr'v ' ~*P~ Fx + Pfy'
Интегральная кривая этой системы, соответствующая тройке
чисел (х0, у0; р0), удовлетворяет в точке (х0, у0) начальным условиям
dp dp
и, следовательно, имеет точку заострения (х0, у0).
4. Необходимые условия и достаточные условия для
существования особой интегральной кривой. Дадим теперь
необходимые условия и достаточные условия для существования особой
интегральной кривой.
а) Пусть дано уравнение
F(x,y;p) = 0, (2)
где F—действительная функция трех аргументов х, у, р,
определенная в трехмерной области D и непрерывная в этой области

§ 2. Особые решений
147
вместе со своими частными производными первого порядка. Пусть
кривая Г является особой интегральной кривой класса 2 (т. е.
изображаемой параметрическими уравнениями, правые части которых
обладают на отрезке, где определена эта кривая, непрерывными
производными первого и второго порядков; см. Тонелли [6], т. I,
стр. 347). Будем считать, что при движении точки (дг, у) по
кривой Г точка (х, у, dyjdx) остается внутри области D.
По определению, вдоль Г имеем
FP (х, у; р) = 0 (р = dyjdx).
Дифференцируя уравнение (2) по х, получаем, что
Fx+Fyp + Fp(dpjdx) = 0,
и, следовательно,
Таким образом, для существования особого решения
уравнения (2) класса 2 необходимо, чтобы существовала непрерывная
кривая с непрерывно изменяющейся касательной, вдоль которой
одновременно выполняются три уравнения
F(x, у; />) = 0, Fp(x, у; р) = 0,
Fx(х, У, p)-\:pFy(х, у; р) = 0 (р = dyjdx).
б) Пусть, обратно, параметрические уравнения
х~х(Х), у~у(Х)
кривой Г класса 2 удовлетворяют уравнениям
F(x, у; Я) = 0, Fp(x, у; Я) = 0, |
Fx{x, у; X)+kFy(x, у; А) = 0 J
и пусть вдоль Г
Fy(x, у; 1)Ф0. (18)
Дифференцируя вдоль Г по х первое из равенств (17), получаем
Fx (х, у; X)-\-pFy (х, у; X) = 0 (р = dyjdx).
Сравнивая это соотношение с третьим из равенств (17), получаем
(р — X) Fy (дг, у; Х) = 0, и, в силу (18), имеем Х=р. Но тогда из
первого равенства (17) вытекает, что Г является особой интегральной
кривой.
Итак, мы доказали, что если параметрические уравнения
х = х(р), у=у(р)
кривой Г класса 2 удовлетворяют условиям
F(x, у; />) = 0, ^(дг, у; />) = 0, Fx(x, у; p)-\-pFy{x, у; />) = <),
Fy(x, у; р)фО,
10*
(16)

148 Гл. IX. Особые точки. Особые решения
то кривая Г является особой интегральной кривой уравнения
F(x, у; dyldx) = 0.
Рассмотрим, например, уравнение /?2 — у% = 0; для него Fp=2p,
следовательно /7 = 0, у = 0 и /7-дискриминантной кривой является
прямая у = 0. Далее, Fx-\-pFy = 0, Fy = —1, а поэтому ось х
является особым решением. Общее решение этого уравнения состоит
из парабол у — 1/i(x-\-c)2, огибаемых осью абсцисс.
5. Кривая касаний, а) К /7-дискриминантной кривой может
принадлежать также геометрическое место точек касания
интегральных кривых, определение которого будет сейчас дано.
Пусть через каждую точку (х, у) кривой g проходят два
различных частных решения уравнения (2), касающихся друг друга
в этой точке, причем угловой коэффициент X кривой g в точке (х, у)
отличен от углового коэффициента решений, выходящих из этой
точки; тогда кривая g называется геометрическим местом точек
касания интегральных кривых уравнения (2)1).
Кривая g является частью /7-дискриминантной кривой, и нетрудно
найти необходимые условия, которым должна удовлетворять функция
F(x, у; р), для того, чтобы /7-дискриминантная кривая содержала
геометрическое место точек касания интегральных кривых,
являющееся кривой класса 2.
Мы можем считать координаты (х, у) текущей точки кривой g
функциями х(р), у(р) углового коэффициента р интегральных
кривых, выходящих из точки (х, у). Тогда
F[х(р), у(р); р] = 0, Fp[x(p), у(р); р] = 0.
Дифференцируя первое из этих равенств, получаем
F* I* (Р). У (Р); P]+^PW [* (р), у(р); р\ = 0.
Так как через точку (х, у) проходят две интегральные кривые
с угловым коэффициентом р, то Fp(x, у, р) = 0 и
Fx[x(p), y(py,.p]^rpFy[x(p), у(р); р] = 0.
Но, по предположению, Хфр, а поэтому из последних двух
уравнений вытекает, что
Fx[xiP)> У(РУ, Р]-=0, Fy[x{p), у(р); р]=0.
Таким образом, для того, чтобы р-дискриминантная кривая
содержала геометрическое место точек касания интегральных кри-
') Мы предполагаем в наших рассуждениях, что точка (лг, у; X) остается
внутри трехмерной области D, в которой определена функция F {х, у; р),
непрерывная в этой области вместе со своими частными производными
первого порядка.

§ 2. Особые решения
149
вых, необходимо существование непрерывных функций х(р), у(р),
удовлетворяющих одновременно четырем уравнениям:
F{x, у, р) = 0, Fx(x,y,p) = 0, Fvix,y,p) = 0, Fpix, у, p) = 0.
б) Рассмотрим, например, уравнение
(х—.у)2(1+/?2)3 = в2(1+/?3)2 (в>0)
(Миллер [1], стр. 32). Имеем
х__у==в(1_|-р«)(1+Р2)-'/'.
Дифференцируя это равенство, получаем
р(\—р) dp
1 —р = — За
откуда следует, что либо
либо
(1 +pi)" dx
1-/7 = 0,
dx
При /J = 1 уравнение принимает вид
х — у = ±а1У~2.
Из второго уравнения следует, что
х— с = а(1+/72)"3''2
и, следовательно, 1 -\-р2 = я'"' (* — с)- %
1+/>3
{[«'
■ ix — с)''']31'-\-(х — с)} (х — с)'1.
Подставляя в исходное уравнение,
получаем
ix-cf''^iy-cf = a\
т. е. общее решение данного
уравнения состоит из семейства равных
астроид, центры которых лежат на
прямой х=у (фиг. 17).
Имеем
F = ix—yf (1 +/?2)3 — а2 (1 + р3)2.
Fx = 2ix-y)i\^-p^f,
Fy = -2ix-y)i\^rp*)\
=6р[(1 +p*)2(x-y)*-a*p(l +/>3)],
следовательно, решения системы F = 0, Fp==0 имеют вид
р = 0, х—у = ±а, р = 1, х—y = 3za/Y2, p
Фиг. 17.
1, х=у.

150 Гл. IX. Особые точки. Особые решения
Прямые х — у = ±а являются геометрическим местом точек
заострения:
[Ра+рРу = 2{х—у) = ±2афЩ.
Прямые х—у = ±а1У 2 представляют собой особые решения:
[Fx-{-pFy=W(x-y)-\Q(x-y) = 0,
Рв = — 16(±а/У2)Ф0],
и прямая х=у является геометрическим местом точек касания
интегральных кривых [Fx = 0, Z7 =0].
6. с-дискриминантная кривая. Рассмотрим теперь вопрос о
нахождении особых решений путем использования выражения для общего
решения.
а) Пусть функция F(x, у; р) действительных переменных х, у; р
непрерывна, когда (дг, у) изменяется в двумерной области С, а р — на
некотором отрезке, и пусть общее решение уравнения
F{x, y,p) = 0 (2)
имеет вид
Ф(х, у; с) = 0. (3)
Иными словами, пусть при любом значении с уравнение (3) дает
интегральную кривую для (2), лежащую в области С, а для любой
точки (д:0, _у0) из С найдется по крайней мере одно значение с0
для с, такое, что Ф (д:0, у0; с0) = 0.
Рассмотрим систему двух уравнений
Ф(х, у; с) = 0,• Фв(*. у; с) = 0 (19)
(через Фс(х, у; с) обозначено — ' V. Из теории огибающих
известно, что огибающая кривая Г семейства (3) получается
исключением параметра с из уравнений (19).
Уравнение
ДСФ (х, у; с) = 0, (20)
получаемое исключением параметра с из уравнений (19), называется
уравнением с-дискриминантной кривой.
Хорошо известно, что с-дискриминантная кривая может состоять
не только из точек, принадлежащих возможно существующей
огибающей, но и из точек, обладающих другими геометрическими
свойствами. Поэтому целесообразно напомнить некоторые результаты
теории огибающих.
б) Предположим, что для точки (д:0, у0; с0), лежащей внутри
области существования функции Ф(х, у; с), имеем
Ф(*0« Уо' ^я=°> Фе(*0- Л? со) = 0'

§ 2. Особые решения 151
Если при этом в некоторой окрестности точки (л;0, у0; с0)
выполняется условие
дФ дФ
дх ду
д*Ф д*Ф
дсдх деду
ФО,
то в некоторой окрестности точки с0 определены функции х(с),
у (с), представляющие выходящую из точки (л;0, у0) ветвь Г с-дискри-
минантной кривой.
Вдоль кривой Г имеем тождественно
Ф[х(с), у (с); с] = 0, Фс[л;(с), у (с); с] = 0.
Дифференцируя первое из этих равенств и принимая во внимание
второе, получаем
Фх[х(с), у (с); с]х'{с)-\-Фу[х{с), у {с); с]у'(с) = 0.
Если не имеют места равенства х'(с) — у'(с) = О, т. е. если
точка [л; (с), у (с)] не является особой точкой кривой Г, то угловой
коэффициент касательной к кривой Г в точке [х(с), у (с)] равен
У(с)_ Фх[х(с),у(с);с]
х'(с) Фу[х(с),у(с); с] '
т. е. угловому коэффициенту касательной к кривой Ф(д;, у; с) = 0
в той же точке.
В этом случае ветвь Г с-дискриминантной кривой является
огибающей семейства частных решений и, следовательно, особым
решением. В частности, не исключено, что ветвь Г совпадает целиком или
частично с одной из кривых семейства (3).
в) Заметим, что если кривые (3) обладают особыми точками,
расположенными на кривой g, уравнение которой имеет вид х=х1(с),
У=Ух(с), то вдоль g
Ф [х± (с), у, (с); с) = О, Фх [xt (с), ух (с); с] = О,
%l*i(c), уАс); с] = 0.
Дифференцируя первое из этих равенств и принимая во внимание
остальные, получаем
Фс[х^с), У1{с); c] = Q.
Поэтому к с-дискриминантной кривой может принадлежать также
геометрическое место особых точек частных решений.
г) Рассмотрим, например, дифференциальное уравнение
/2=2Vy (ху'-2у),

152 Гл. IX. Особые точки. Особые решения
общее решение которого имеет вид
Ф(х, у; с)=у — с2(х — с)2 = 0 (21)
(см. Буль [1], стр. 168—169).
Мы имеем Фе = — 2с (х — с) (х — 2с), а поэтому
с = О, ^ = 0; х = с, у = 0; х = 2с, _у = с4 [у = js х4) •
Прямая ^ = 0 является огибающей семейства парабол у—с2(х—с)2
и поэтому является особым (и в то же время частным) решением;
кривая .у —^б*4 также является огибающей семейства (21) и,
следовательно, особым решением нашего дифференциального уравнения.
д) Поучителен следующий пример, показывающий, что могут
существовать особые решения дифференциальных уравнений, не
принадлежащие ни к /?-дискриминантной кривой, ни к с-дискриминант-
ной кривой.
Рассмотрим дифференциальное уравнение
F{.x, у; />)=/> —(1+1п*) = 0
и положим х ^ 0, чтобы не выходить за пределы области
действительных чисел.
Общее решение этого уравнения имеет вид Ф —у 4~с—xln х = 0.
Мы имеем
F == 1 ф = 1
в то время как интегральные кривые имеют точки прекращения на
оси ординат и касаются в них этой оси. Поэтому ось ординат (х = 0)
является особым решением уравнения dx/dy = 1/(1 -f-'tix).
Отметим, что ось ординат ограничивает область, в которой
уравнение имеет смысл.
7. Нахождение особых решений в случае, когда известно
параметрическое представление общего решения как функции от
производной и от произвольной постоянной, а) Изложим теперь
метод Ченди [1], позволяющий при соответствующих условиях
исключить возможность принадлежности к с-дискриминантной кривой
ветвей, не являющихся особыми решениями.
Пусть общее решение уравнения
F(x, у; р) = 0 (2)
имеет выражение
х=х(р, с), у = у(р, с) \p-dy\dx\. (22)
Обозначим через Ге кривую с уравнением (22), соответствующую
значению с произвольной постоянной, и через Г огибающую семей-

§ 2. Особые решения 153
ства кривых Гс. Значение р в точке касания кривой Гс с Г будет
тогда некоторой функцией параметра с
Р=>р(с), (23)
а, следовательно, огибающая Г определяется параметрическими
уравнениями
х = х[р(с), с], у = у[р(с), с]. (24)
Из известных результатов теории огибающих следует, что
функцию р (с) можно найти из уравнения
= 0.
д (х, у)
д (р, с) -
дх дх
др дс
ду ду
др дс
Но при этом не исключено, что уравнения (24) являются уравнениями
геометрического места особых точек кривых (22). Поэтому
целесообразно изложить рассмотрения Ченди, позволяющие исключить эту
возможность.
Угловой коэффициент р касательной к кривой Гс дается
выражением
%-'%• <2S>
а дифференциалы dx и dy, взятые вдоль огибающей Г, имеют вид
dx = %dP + UdCt dy==^dP.+Wdc- (26)
где dp/dc определяется из формулы (23).
Так как по предположению огибающая Г касается любой
кривой Гс, то из (26) следует, что dy—pdx, и из (25) вытекает
соотношение
ду (Р, с) __ дх(р, с)
дс Р дс ^ '
Обратно, предположим, что функция р (с) удовлетворяет этому
уравнению, а кривая Г, определенная уравнениями (24), не имеет
точек заострения. Докажем тогда, что в любой точке, общей для
одной из кривых Гс и для Г (эта точка может быть как регулярной
точкой, так и точкой заострения для Гс), кривые Г и Гс имеют общую
касательную. В самом деле, независимо от того, является ли
рассматриваемая точка точкой заострения для Гс или нет, угловой
коэффициент р касательной к Гс удовлетворяет уравнениям (25) и (27);
а тогда из уравнения (26) получаем, что dy = pdx, где dx и dy
берутся вдоль кривой Г. Отсюда и следует, что кривые Гс и Г
касаются друг друга,

154 Гл. IX. Особые точки. Особые решения
Из доказанного нами вытекает следующее утверждение: пусть
общее решение уравнения (2) дается формулами (22); тогда
формулы (24), где р (с) находится из (27), определяют кривую, любой
отрезок которой, не имеющий точек заострения, является
особой интегральной кривой данного уравнения (даже и в случае,
когда этот отрезок является геометрическим местом точек заострения
кривых Гс). Описанный здесь способ имеет то преимущество перед
способом, изложенным в п. 6, что при нем исключается возможность
принадлежности к с-дискриминантной кривой ветвей, не
принадлежащих особому решению.
б) Для пояснения рассмотрим следующий пример Ченди. Решение
дифференциального уравнения
(х—З/?9)8 = (у —2/?8)2
выражается в параметрической форме:
х = 3/?2 + с2, у = 2р*-\-с*\
уравнение (27) дает {dyjdc = Зс2, dx/dc == 2с)
Зс2 = 2рс,
а поэтому либо с = 0, либо р = Зс/2.
Равенству с = 0 соответствует частное решение х = З/?2, у = 2/?8;
равенству р = Зс/2—полукубическая парабола х = 31 с2/4, у = 31 с8/4,
являющаяся особым решением этого уравнения.
С другой стороны,
д (х, у) &Р 2с
д (Р. с) 6р2 Зс2
= 6/?с (Зс — 2р),
а поэтому с = 0, р = 0, Зс = 2р; равенству с = 0 соответствует
частное решение нашего уравнения; равенству /? = 0 —
геометрическое место точек заострения х = с2, у = с8; равенству Зс = 2р —
уже найденное выше особое решение. Первый из примененных нами
методов имеет то преимущество, что при его применении мы не
получили геометрическое место точек заострения частных решений, не
принадлежащее особому решению.
8. Геометрическое место точек перегиба интегральных
кривых. В п. 3 мы рассматривали геометрическое место точек
заострения интегральных кривых. Отметим здесь результат, касающийся
геометрического места точек перегиба интегральных кривых, который
хотя и не относится к теории особых решений, но окажется
полезным в дальнейшем.
Рассмотрим уравнение
F(x, у; /0 = 0 (p = dyldx).

§ 2. Особые решения
155
где функция F обладает непрерывными производными первого и
второго порядка по своим аргументам в некоторой трехмерной области.
Это уравнение определяет семейство интегральных кривых. Найдем
геометрическое место точек перегиба этих кривых. В точке перегиба
интегральной, кривой должно иметь место равенство dsyldx*=dp[dx=Q.
Но
а поэтому, вообще говоря, геометрическое место -у точек перегиба
интегральных кривых получается путем исключения р из
уравнений
F = 0, Fx + pFy = 0.
Далее,
Fxx+2Fxyp + Fyypi+ F,% = 0,
поэтому для того, чтобы кривая f была геометрическим местом
точек перегиба интегральных кривых, достаточно, чтобы вдоль
этой кривой выполнялись соотношения

ГлаваХ
ОПЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
§ 1. Линейные дифференциальные операторы порядка п
1. Общие замечания, а) В § 1 гл. II мы занимались решением
систем линейных дифференциальных уравнений в нормальной форме
и указали там, что позже будут указаны методы для нахождения
общего решения любой системы линейных дифференциальных
уравнений и решения, соответствующего данным начальным условиям.
В этом параграфе и в § 3 и 4 мы рассмотрим первую из этих
задач, основываясь на использовании теории дифференциальных
операторов, а в § 7 рассмотрим вторую задачу, основываясь на
применении преобразования Лапласа.
При решении первой из этих задач для нормальных систем
линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
мы видели, что в конечном счете нахождение общего решения такой
системы сводится к алгебраической задаче о нахождении корней так
называемого характеристического (или фундаментального)
уравнения (см. гл. II, § 1, и. 6). Для того чтобы выяснить
происхождение этой связи и объяснить роль алгебраических методов в решении
систем дифференциальных уравнений, изучим сначала выражения,
содержащие знак дифференцирования d/dt=D.
б) Дифференциальное выражение
а0 (О К(»> + а, (О КС»-*) + ■ • • + «™-1 (О У + «» (О У. 0)
где a0(t), a1(f), ..., an^.1(f), an{t) являются непрерывными
функциями от t, определенными на отрезке [а, (3] и обладающими там
всеми производными, которые нам придется рассматривать1), мы
будем записывать символически в виде
dn , dn-i , d_ . I v
ао dtn~T~ai dtn-i i~ • ■ ■ "Г" an-i dt "Г anj '
(см. гл. IV, § 5, п. 2, „а") или же в виде
[a0D» + a1D»-i + . . . +an_iD+an] Y.
1) В дальнейшем при рассмотрении дифференциальных выражений
вида (1) мы будем предполагать, что функции aQ(t), «j (У),,,.,«»—j(0> an (О
удовлетворяют этому условию.

§ 1. Линейные дифференциальные операторы 157
Символ
п
p(D) = a0Dn-\-aiDn-i-\-. . . +fln_JD + en= 2 a,D^ (1')
1 = 0
называется линейным дифференциальным оператором порядка п,
и выражение (1) записывается кратко в виде P(D)Y1).
Если p(D) имеет вид (1') и b является известной функцией от t,
то положим, по определению,
Ьр (D) = ba0Dn + bap1'1 + ... + *«»-i° + К-
в) Если с—постоянная величина, то
p(D)(eY) = cp(D)Y,
кроме того,
р (D) (Уа + У8) = р (D) ^ -f p (D) Yv
т. е. оператор р (D) дистрибутивен.
г) Пусть даны операторы
Pl (D) = a0Dn + «jO»-1 + ... + an_rD + an, 1
p2 (D) = *0D" + ^D-1 + ... + ^D + bn. j
(2)
Назовем суммой (разностью) операторов pt(D) и p2(D) и обозначим
символом Pi(£>)-|-ps(D)(pj(Ъ) — Pi(D)) оператор
Pl(D)±p2(D) = (a0±:b0)Dn-\-(a1±l>1)Dn-1+...-\-
-\-(ап_1± bn_t) D -{-(an±bn).
д) Если даны два дифференциальных оператора рх (D) и р2 (D),
то выражение рх (D) [р2 (О) Y\ является результатом применения не-
!) Первые исследования по символическим операторам принадлежат
Бриссону [1], стр. 197.
Исчерпывающее изложение этих вопросов см. в книгах: Пинкерле и
Амальди [1], гл. XI; Буль [1], гл. XVI, стр. 381—409; Валле-Пуссен [1], т. II,
стр. 259—280, 300—307; Айне [1], гл. V и VI, Пуль [1], стр. 18—44.
Отметим, что Маммана в своих работах [1], [2], [3] изучил и применил
к качественному анализу решений дифференциальных уравнений разложение
п
линейного однородного дифференциального оператора 2 a<,(t) Dn~'1, коэф-
1 = 0
фициенты которого являются действительными функциями от t, «to (/) ф 0
п
{регулярного оператора), в произведение аа (<) JJ [D — рг (<)] линейных мно-
*=i
жителей а0 (t) [D — pj (t)] [D — p2 (t)] ... [D — p„ (t)], где ps (t) —
действительные или комплексные функции от I (для случая операторов второго порядка
см. гл. IV, § 5). См. также Браччио [1].
Недавно разложение на множители дифференциального оператора
с переменными коэффициентами в комплексной (или действительной) области
было рассмотрено Асколи [3], пояснившим этот вопрос с помощью
геометрических рассмотрений.

158 Гл. X. Операционные методы. Преобразование Лапласа
которого дифференциального оператора к Y. Положим p1(D)\pi(D)Y]=
= р (D) Y и назовем р (D) произведением операторов рх (D), р2 (Ь),
Pl{D)p^D)=p{D).
е) Вообще говоря, pt(D)p2(D)=£ pi(D)p1(D), т. е. операторы
р1 (D) и рг (D) не перестановочныт).
Например, как мы уже видели в гл. IV, § 5, п. 2, „а", ращен-
ство (D — рх) (D — р2) = (D — р2) (D — рх), имеет место тогда и только
тогда, когда р'1 = р'2, в частности если рх и р2—постоянные величины.
Докажем, что вообще если операторы рх (D) и р2 (D) имеют
постоянные коэффициенты, т. е. если в (2) коэффициенты
а0, alt ..., ап; bb, bv ..., Ъп
постоянны, то эти операторы перестановочны.
В самом деле, имеем
Pl(D)p2(D) Y= [lefcO-*] [2 V>"~1 K =
= [ 2 ^kD^-k]Y=[huDn'k][ItahDn-h]Y = p2(D)p1(D)Y.
h, *=o *=o й=о
ж) Положим по определению
p1(D)pi(D)pa(D) = p1(D)\p2(D)ps(D)],
p1(D)pi(D)ps(D)pi(D) = p1(D)lp2(D)ps(D)pi(D)), ...2).
Легко проверить, что
Pl (D) \p2 (D) pa (D)] = [Pl (D) p% (D)] pa (DX
т. е. что произведение операторов подчиняется ассоциативному
закону. Для этого достаточно убедиться, что
Cf [(Юв) (cD*)] = [Dr (Юв) ] (cDf). (3)
i) Относительно изучения перестановочности двух линейных операторов
см. Барчнелл, Ченди [1]. ',
а) В дальнейшем в случае, когда /lj, ..., /ln_i, /ln обозначают операции
любой природы, которые можно выполнять над функцией К, мы будем
обозначать символом Ах ... An-xAnY операцию А\ {.. .[An-i (AnY)]...}.

§ J. Линейные дифференциальные операторы 159
Но очевидно, что
8
0[(*08)(С0<)] = 0Ь2(л)с(Ь)0Э+'"1=:
ft=o
8+1 И
= b'De (Ctf) + * j(*-1)c{k)D*+t-k+i + * J](J)с<*>£>8+*-*+1 =
^ e+1
= b'D* (c&) + * S (* t 0 <W+*-*+1 = *'Z)8 (ctf) + *D8+1 (cD*) =
= [£>(*D3)](cDf),
а поэтому равенство (3) справедливо при r=l.
Но предполагая, что это равенство справедливо для г, и умножая
обе части слева на D, мы убеждаемся, что оно справедливо и для
г -\- 1. Поэтому равенство (3) верно для всех г.
з) В частности, если pv р2 рп — постоянные величины, то
(D - Pl) (D - р2) ... (D - Ря) = Dn - s.D"-1 + s2Dn-2 — ... +
+ (-1Г~Ч_10 + (-1)Ч„ (4)
где
2р<,Р<« ••• Pi4 = sk (*=1, 2 я)
(сумма распространена на все сочетания ilt i2, . .., /fc из я чисел
1, 2, .... я по ft элементов).
Обратно, если
р (D) = a0Dn + ajf "* + • • ■ + an_xD + ап,
где а0, а1 ап-г> ап — постоянные величины, и если plt р2
р,„ — корни характеристического (фундаментального) уравнения
<*oPn + aiP"~1+ •••+a»-ip + a„ = 0, (5)
mo
р(£>) = я0(£>-Р1)(£> — р2) .... (£>-р„).
В частности, полагая при постоянном р
(D-pf = (Z>-p)(Z>-p)...(D-p),
имеем
(Z)_pf = D"-(J)pDй-Ч... + (-lr-1(л^1)pй-^+(-l)np',•
Принимая во внимание ассоциативное свойство умножения,
непосредственно убеждаемся в том, что при постоянном р и целых
положительных vx и v2 имеем
(D-p)^ = (Z>-pf(£>-pr.

160 Гл. X. Операционные методы. Преобразование Лапласа
и) Очевидно, что есла выражение
p(D)Y= [a0Dn + atDn~l + .. . + an_tD + an] Y [ar = ar (f)]
тождественно равно нулю на отрезке [а, 8] для любой
функции Y, или, более обще, если оно тождественно равно нулю на
отрезке [а, 3] для п-\-1 линейно независимых функций, то на
отрезке [а, 3]
а0==0, ^==0, .... an_1=s0, яи==0.
В самом деле, пусть ar(t)—первый из коэффициентов aQ, ay
ап, не равный тождественно нулю на отрезке [а, 8]. Найдется
отрезок \а1, 8J, лежащий на отрезке [а, В], во всех точках которого
ar(t) отлично от нуля. Но тогда уравнение
/7(О)Г=[агОи-г+...+аге]Г=0
имеет лишь п — г (^.п) линейно независимых решений, вопреки
предположению.
Из доказанного следует, что если для любой функции Y (для
п -J- 1 линейно независимых функций) на отрезке [а, 8] тождественно
K°n + «iOn_1+ • • • +an_1D + an] Y^
a [bQDn + b^-1 + .. . + bn^D + *„] Y,
то c0^b0, at=sbt an = bn.
2. Дифференциальные операторы и линейные однородные
дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
а) Покажем, как можно получить, пользуясь дифференциальными
операторами, известные нам результаты о решении линейных
однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
(гл. II, § 1, п. 6, „г").
Пусть требуется решить уравнение
auYM + a^n-l)+ .. . +вя_1У" + впК=0, (6)
где а0, av ..., ап — постоянные величины, а0 ф 0.
Если pv р2 рп — корни характеристического уравнения (5),
то уравнение (6) можно записать в виде
a0(D-Pl)(D-p2)...(D-Pn)r=0.
Отсюда следует в силу перестановочности стоящих слева множителей,
что уравнению (6) удовлетворяет любая функция Y, удовлетворяющая
одному из уравнений
(D-Pl)r=0, (D — ?2)Y=0 (D —ря)К = 0.
Решение уравнения (D — pk)Y=Y' — pkY = 0 имеет вид
Yk = ске?** (k = 1, 2 п; ск = const),

,i$ 1. Линейные дифференциальные операторы 161
а поэтому, если корни pv р.2 рп попарно различны, т. е. если
характеристическое уравнение (5) не имеет кратных корней, то
общее решение уравнения (6) дается формулой
Y = %ke^,
где сн — произвольные постоянные.
б) Если характеристическое уравнение (5) имеет кратные Корни
pi, р2, ..., рг соответственно кратности v1( v2, ..., vr, (vx —{— v4 -)-
-i- '... -j- vr = я), то уравнение (6) можно записать в виде
(D - Pl)v' (D - p2)v> . . . (D - p,)V К = 0.
Поэтому если Yk удовлетворяет уравнению
(D — b)4*Yk=0, (7)
то Yk удовлетворяет и заданному уравнению.
Полагая Yk — е?ъгZ, получаем
(D — ркуъ e^Z = (D — Pft)vft-i epft*Z' = epft'z(V = 0,
следовательно Z(v*) = 0 и Z = c(0ft) -j- с^+ . . . +4*-i^*-1 • Таким
образом, общее решение уравнения (6) имеет вид
fc=i г=о
где с[—произвольные постоянные.
в) Если в уравнении (6) коэффициенты а0, ах ап являются
действительными числами, a pfe = pft —(— /■ул комплексным корнем
характеристического уравнения (5), имеющим кратность чи, то
уравнение (5) имеет также сопряженный корень $k—ifk той же
кратности. Но
eih^W* _|_ A-'^* = 2Л* cos tf,
e»t-lW* - A"'V* = 2/Л' sin Tfcf,
а выражение с^ *'sin^-|-c2e,ft'cos^ можно представить в виде
de^k* sin(ykt-\-f). Поэтому, если характеристическое уравнение (5)
имеет действительные корни <xv a2 aTi, кратность которых
равна соответственно vt, v2 vn, и комплексные корни f^rt/-^,
|52ztq2 ?>> —'?»•» кратность которых соответственно равна
jij, [x2 [*,..,, /мо общее решение уравнения (6) имеет вид
г, чк-1 г, [).ft-l
ft=i г=о /t=i i=o
где 4ft), rf*, /P— произвольные постоянные.
Ц Зак. 1072. Дж. Сансоне

1б5 Гл. X. бпераЦионныё Методы. Преобразование Лапласй
3. Операторы (D — p) v F(t), р l(D)F(t), где p(D) —
многочлен от D. Разложение р~г (D) на простые операторы в случае,
когда p(D) имеет постоянные коэффициенты, а) В предыдущем
пункте мы использовали простейшие свойства дифференциальных
операторов для нахождения общего решения линейных однородных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами; для
перехода к решению неоднородных уравнений нам будет удобно ввести
оператор p~l (D).
б) Обозначим символом D~1F результат применения к F(t)
оператора, обратного оператору дифференцирования, т. е. неопределенный
интеграл от F:
t
D-^F(t)~ Г F(t)dt-\-c (с = const).
*°.
Вообще символом D~4F(t) обозначим любую функцию, v-я
производная от которой равна F(f). Следовательно,
t
D-F(f)=fF(a) ('"ЛУ <*я + Со + *1Н- • • • +*v-/-1. (81)
*■>
где с0, cv ..., сч-1 — произвольные постоянные. Таким образом,
для данной функции F(t) функция D~^F(t) определена с
точностью, до произвольного многочлена степени v—1,
Точно так же, если р — отличное от нуля число, то равенство
(D-p)-v/=40 = /(0 (9,)
означает, что
(D-p)7 (0=^(0
или, что то же самое,
(O-p)'(Z)-prV(0 = FW. (9e)
Очевидно, что
(D — p)~v cF (t) = с (D — рУ F (t) (с = const),
(£> - p)-" [F (0 + G (01 = (D - 9)-'F (f) + (D - 9y G (t),
Следует отметить, что в (9J функция f(t) определена с точностью
до выражения вида е9\cQ-\-ctt-\- ... -(-с,.^- ), где с0, с±
с.,_1 — произвольные постоянные; в самом деле, имеем
(D-9)*[e*(c0-\-c1t+...+cl_1(-1) = 0.
а потому из равенства (9j) вытекает, что
(D-рГ F(t)^f(t)-\-eft(c0-\-Clt-\- ... +Cv_/-1). (93)
в) Если функция F(t) известна, то, как было указано в гл. II,
§ 1, п. 5, „в", функцию f(t) в формуле (9д) можно найти с помощью

# 1. Линейные дифференциальные операторы 1бЗ
квадратур. Легко убедиться в справедливости следующей формулы
Хевисайда (см. эту главу, § 7, п. 4, „в"):
t
t
+ в" (с0 + ^+...+«:,_/-•). (82)
Эта формула непосредственно проверяется при v = 1, так как общее
решение линейного уравнения
(D — P)№ = F(t)
имеет вид
to
Для того чтобы доказать формулу (82) в общем случае,
достаточно заметить, что
(D - РУ [eft (с0 + c,t+ . . . +с.,_/'1)] = О
и что
= (D - р)'-1 [(D - р) е* J е-» ^0^- F (и) da] «
^ф-рГ^ f e^^^F(u)du]^... =P(f).
г) Вообще, если
p(0)/?(Q = [eo(/)D» + a1(QD«-1+...+
H-e„_1(0D + e„(0]/?(/)=/(0 K(0^0j, (10)
то положим по определению
p-i(D)f(t) = F(t) (И,)
и назовем p~l{D) оператором, обратном one pa пору рф).
Отметим, что наряду с соотношением (1 Ц) имеет место соотношение
р-» (D)/ (0 = /=■ (/) + с1?1 (Q+crfa (0 + • • ■ + «.?. (0. (Us)
где функции ^(t), »2(0> ••■> ?п(0 образуют фундаментальную
систему решений однородного уравнения
p(D)?(Q=0.
И*

1б4 Гл. X. Операционные методы. Преобразование Лапласа
Иными словами, с^г (/) -\- с2<р2 (*) + • • • + СА (*) (ci> с2 с«~
произвольные постоянные) является дополнительной функцией
уравнения (10) (гл. II, § 1, п. 5, „в"), а правая часть формулы (112)
представляет собой общее решение уравнения (10).
Следует заметить, что если рхф) и p%(D) являются линейными
дифференциальными операторами, то
(PiP*)'1 = Р^РТ1- (12х)
В самом деле, положим (p1p2)~1Y' = у, тогда рх(р2у) = Y, и, применяя
последовательно к обеим частям этого равенства слева операторы
Pi1 и р^1, получаем y—p^p^Y. Это рассуждение можно обратить.
Из (12j) получаем формулу
/>Г1=:А>я(А>1А>е)-1. (122>
которая позже нам понадобится.
Если операторы рг и р2 перестановочны, то имеем также
формулу
рГ1Р21' = р2-1W'. (13)
В самом деле р^рТ1 = (р^)"1 — (PtPi)"1 — P^pH1.
Отметим еще, что если р — постоянная величина, то
(D_p)-« = (D_p)-i(D-p)-i ...-(/)_р)-1. (14)
В самом деле,
(D — p)-«= [(D — р)»]-» = [(D — p)«-i(D_p)]-i =
==(D —р)-»(-0 —р)-("-1) = ••••
д) Пусть
p(D) = a0OM+a1O»-i+. . .+я„-1^+«п.
где а0, flj, ..., an_v ап — постоянные величины, а0ф0. Из алгебры
известно, что если характеристическое уравнение
aoPn+«iPn_1 + • • • +я»-1Р+яя = 0
имеет корни р1, р2, .... р,., кратность которых соответственно
равна vlt v2, ..., v,. (vj—|—v2—|—... —f-vr = n), причем р<=£рл при
ii=k, то имеет место тождество
1
аф» + а^-1 + ... +ап-^ + ап
=<#)(s-hri+4)(s-hr2+... +4:)(s-Pl) -"+
+42)(s-p2r1+^2,(«-P2r2+---+^)(s-p2)-V! +
+ +
+ 4r) (s-p^+rfM (S-p,)-2+ .. . +<» <S-prf\ (15)
где <4S) — постоянные.

§ 1. Линейные дифференциальные операторы 165
Алгебраическое доказательство тождественности левой и правой
частей в (15) основано по существу на том, что если p1{s) и p2(s)
являются многочленами от s, то р~ —/?2(ргр2)-1. Так как в силу (12Е)
эта формула верна и для операторов /?,(£)), p2(D), то при наших
предположениях оператор р*1 (D) раскладывается на сумму
простых операторов
p-1(0)=S-2tf)(o-P>)- (i6)
fc=l 8=1
(см. Буль [2], стр. 114). Эта формула сводит вычисление p~r(D) F(f)
к вычислению (D — p^yF^).
Таким образом, формулы (8j), (82), (16) позволяют свести
к квадратурам решение линейного неоднородного уравнения с
постоянными, коэффициентами
p(D) Y(t) = (a0D»+aiD»-i+... -\-an_,D+an)Y = F(t)
(см. гл. II, § 1, п. 5, „в", и п. 6, „г"). В п. 4 и 5 этого параграфа
мы укажем случаи, в которых можно обойтись без квадратур.
4. Вычисление p~i(D)e1ct, p~1(D))sinkt, p'1 (D)coskt, где
p(D) — многочлен с постоянными коэффициентами, а) В этом
пункте мы вычислим выражения р-1 (D) еы, p~l (D) sin kt, p-1 (D) cos kt,
предполагая, что p(D) — многочлен от D с постоянными
коэффициентами.
Если F{t) = eht, то (D — р)е*' = (&— р)ем. Поэтому, если &=£р
(к, р — постоянные), то
(D — p)-V* = (к — p)-V*,
и вообще, если постоянные рр р2, ..., р., отличны от k, то
(О-р,)-1 (О-р,,)-1 ... (D-pJ-1e» =
= (Л—p,)-1(*-p2)-1...(*-p,)-,«w.
В частности,
(D — р)-»е» = (Л — p)-vfe* (p^fc)1). (17)
Если
/7(D) = a0O" + a1D'»-14-...+a„_1O4-«« (18)
является дифференциальным многочленом с постоянными
коэффициентами, а0фО, и если pj, р2 рг — различные корни его
характеристического уравнения, имеющие соответственно кратность ур v2 vr,
то, как мы видели,
р (D) = а0 (D - Pl)* (D - Ра> . . . (О — Рг)''.
*) К правым частям формул (17) и (19) надо присоединить еще
дополнительную функцию нашего уравнения. Это замечание справедливо также и
для формул (22), (23j), (23j).

166 Гл. X. Операционные методы. Преобразование Лапласа
Но тогда, принимая во внимание формулу (12j), мы убеждаемся в том,
что если число ft не является корнем характеристического
многочлена, то
б) Если Аир постоянные, то (D — p)eM G (/) = «*'(£>+*— p) G(t),
а поэтому ем О (t) = (Z) — р)-1еп (D-j-ft — р) G (f), и, полагая
(0+ft_p).6(*) = F(/).
имеем
(£> — p)-i«**F (/) = ** (D-\-k — p)-*F (t). (20)
Вообще, если р1( р2 рп— постоянные, то
(О-рО-ЧО-Ра)-1 ... ф_р„)-1в«F(t) =
==*»(£>+* —Pl)-*(0-J-* —ft,)"1 ... (O+ft —PJ-»F(0.
Следовательно, принимая во внимание формулу (14), получаем, что
если р (D) — линейный дифференциальный оператор с постоянными
коэффициентами, то имеет место формула
p-«(£))e«F(0 = e**p-1(O+ik)F(0 (ft = const)*). (21)
В частности, если р = const, то
(D — p)-»gp* == eP*D-»l = -г еР^п,
и, следовательно [см. (8в)],
(D — р)-»в(>< = — еР«^». (22)
в) Имеет место формула (sin kt)" = — k2 sin kt. Следовательно,
если p(D) является четным многочленом от D[t. е. р (—D) = jt?(D)] с
постоянными коэффициентами и р(/А)=£0 (ft — постоянная), то
р-1 (D) sin kt = sin ft*/p (/ft),
где i — мнимая единица.
Вообще, если p(D) является дифференциальным оператором
порядка я с постоянными коэффициентами и если р(Иг)Ф0, р (— /ft)=^0, то
р-1 (D) sin kt = p(— D) p-i (— D) p-i (D) sin ft/.
Следовательно,
,-i(P)»lntt-,(-Z» p{^_ik) (23,)
s) Очевидно, что p-i(D -\-k) обозначает оператор, обратный к
я

ф 1. Линейные дифференциальные операторы 167
и аналогично
р-г (D)coskt = р(-D) ,(<~(% . (232)
\Р(Ш)Ф0, р(—ЩфЪ\.
Найдем, например, общее решение уравнения
(О2 — 3D-f-2)K=2sin/.
Имеем
у(/)^2(^+зв+2)(_1_зг+;;пд1+3.+2)^
-i(D2+30 + 2)sinf,
y(/) = i-(sin/4-3cos/).
5
Так как дополнительная функция удовлетворяет уравнению
(D2 — 3D + 2) У = (О -— 1) (D — 2) К = О, Y = с1в* -+- с2е2',
то общее решение данного уравнения имеет вид
2
5
У (t) = c^-j-г^2' + -J- (sin / -j- 3 cos /)
(Cj, c2—постоянные^.
5. Вычисление p~r{D)F(t) для голоморфных функций F(t).
а) В этом пункте мы разложим в ряд оператор p-1(D) Y(t),
предполагая, что функция Y(t) от комплексной переменной t голоморфна
в некоторой области С.
Легко проверить, что если р— отличная от нуля постоянная, то
(o-p)(^+f^+^^-^+...+;5)=-p^
и поэтому
г=о ''
Заметим, что если рассматривать (D — р)-1 как алгебраический
символ и разложить выражение (О — р)-1 в ряд по степеням D, то
будем иметь
оо
о-й--1^--Е£~ (25)
7 = 0 Р
Формула (24) получается, если применить к tn обе части равенства (25).

168 Гл. X. Операционные методы. Преобразование Лапласа
Докажем, что вообще, если F(t) является голоморфной функцией
комплексной переменной t в области С и если для некоторого
значения постоянной р=^=0 ряд V DlF(t)/pl+1 равномерно сходится в С, то
оо
(о-Р)-^(о = -£^£Ч^ (26)
р.-
(р — постоянная, с0 — произвольная постоянная, D^F(t) = F(t)).
Для доказательства достаточно показать, что
рю=-(о-р)3;та
г=о
Но это равенство непосредственно вытекает из того, что при наших
предположениях законно почленное дифференцирование в правой части
равенства и, следовательно,
оо со оо
г=о ' г=о ' .г=о
б) Проведенные в „а" рассмотрения приводят к обобщению
формулы (26). Предположим, что v — целое положительное число.
Разложение (D — р)--* в степенной ряд по D имеет вид
Эта формула позволяет установить, что если функция F(t)
голоморфна в области С и если для некоторого значения
постоянно
ной p=fO ряд 2j (v_i)T+T D^^-VFtf) равномерно сходится в С,
то имеет место формула
1=1-1
+ вр«(^+^+ . • • +<\-г*-1), (27)
где с0, Cj, ..., c,_j— произвольные постоянные.
Мы уже установили справедливость формулы (27) при v = 1. Нам
достаточно показать, что из справедливости этой формулы для v—1
следует ее справедливость для v.

£ 1. Линейные дифференциальные операторы 169
Имеем
(, _,) j* о'-'-"1=^т' К И) ти °"*»-!-"'] ■
Так как последовательность положительных чисел {l/(/-j-l)}
убывает (стремится к нулю при / —► оо), то ряд
оо
1 = 1-2
также сходится равномерно в С и, следовательно,
(D_p)-(»-Df(0 =
ОО
= (-1Гх J Ц2)^тО,-('-2)'г(0 + ^(ёо+^ +
J=v-2 '
+ ...+7, _/-*),
где с0, cv ..., сч_2 — постоянные. Таким образом, для того чтобы
доказать формулу (27), нам достаточно показать, что
оо ;
(-1)чо-Р)[д; ц,)~то^"-^(^]=
оо
/=«-1
1 = ч-2
Применяя почленно оператор D — р в левой части (законность
этого очевидна) и принимая во внимание формулу
\v— l) (v— \)~~\ч — 2)'
мы получаем в точности выражение, стоящее справа,
в) Пусть коэффициенты оператора
p(D) = fl0O»+a1D»-i+ . . . -\-ап (а0фО, апфО)
постоянны, разложение оператора р~г (D) на простые операторы
имеет вид (16) и пусть функция F (t) голоморфна в области С,
причем ряды
оо
(_1)s S Gii)-mDMe"1)/rWiS!=1*2'-'--'v*; * = 1,2, ...,*■]

170 Гл. X. Операционные методы. Преобразование Лапласа
равномерно сходятся в С. Тогда из формулы (27) имеем
г чк со
fc=i 6=1 г=«-1 р*
+ S «'*' (4Г + ^+ • • • +^-i/'*-1), (28)
fc=i
где Со , с\ 1 ■ • • — произвольные постоянные 1).
Заметим, что первый член в правой части этого равенства
представляет собой разложение в степенной ряд по D функции F(t)fcc-oDn 4-
4- a 1Dn~1 -)-... 4" ап)- Отсюда следует, что если коэффициенты
оператора
p(D) = a0D»+-a1Z)»-i-f ... +a„.ID+e„
постоянны, аоФ0, апф0 а если F(t) является многочленом
степени т по t:
а разложение \[p(D) в ряд по степеням D имеет вид
со
г=0
то уравнение
p(D)Y(t) = F(f)
имеет частное решение вида
т
Y(t) = JitrDrF(t).
»-=о
Пусть, например, дано уравнение
(Ds — 2D2 — D 4- 2) Y == б/4.
Так как
6 3 , _1 1
03_2Da—D + 2 l-D+1 + O 1 —D/2
2 ^Т^ 4 '8 '16
=:3+|D4-^D2 + ^DS+| D*+...,
J) Мы предположили, что an=f=Q, для того чтобы ни одно из чисел р* не
обратилось в нуль и можно было применить формулу (27). Если ап = 0, то
члены разложения (16) D~4F{t), соответствующие нулевому корню
характеристического уравнения, вычисляются по формуле (8Д).

§ 1. Линейные дифференциальные операторы 171
то частное решение Y0(t) данного уравнения имеет выражение
или
а общее решение этого уравнения имеет вид
у® = ад+«1«*+v-'+«««B.
где с,, с2, с3 — постоянные.
6. Уравнения Эйлера и Лагранжа. а) Укажем кратко на два
типа дифференциальных уравнений, которые с помощью простой
замены независимой переменной преобразуются в линейные
дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и к которым
поэтому применимы указанные в этом параграфе методы.
Уравнение вида
Л0^у») + Л1^-у»-')+ . ..+An_fy'-^Any = F{t), (29)
где А0> Av . . ., An_v An — постоянные, называется уравнением Эйлера.
(См. Эйлер |2], т. 2, стр. 482—526, или [3] (I) XII, стр. 381—403.)
См. также Мальмстен [1].) При замене независимой переменной
t=e" • (30)
„ол„ае„ t%-%-Dy, где D_£. Но ,g+g_£(g).
откуда, умножая на t, получаем
t^^D{D-\)y.
По индукции доказывается, что
tn^=D(D-\)...{D-n + \)y.
Подставляя полученные выражения в (29), мы получаем
дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
p(D)y = (V^+^D"-1-}- . .. +An-iD + AJy = F{e<).
Заметим, что если уравнение
V-f- Ар"_1+ • • •+Л.-1Р+Д, = о
имеет корень р кратности v, то в общем решении уравнения
присутствует член вида
= tic0 + c1\nt+...+c4_x{\ntj,-\
,, cv_! — постоянные.

172 Гл. X. Операционные методы. Преобразование Лапласа
б) Тем же методом решается уравнение Лагранжа [3]
п
^Ar(at+b)n-r<!~^^F(t),
где Ar, a, b — постоянны. Для этого достаточно сделать подстановку
at-\-b — e*.
§ 2. Наибольший общий делитель двух линейных
дифференциальных операторов и общие решения двух линейных
дифференциальных уравнений
1. Наибольший общий делитель двух линейных
дифференциальных операторов, а) Легко видеть, что на линейные
дифференциальные операторы (независимо от того, постоянны их коэффициенты
или нет) можно распространить обычную теорию наибольшего общего
делителя двух многочленов (Либри [1], [2], Брассин [1]). Это
следует из того, что имеет место теорема, оправдывающая для
дифференциальных операторов понятие деления с остатком и позволяющая
тем самым построить для операторов алгоритм Евклида: если Pi(D)
и p2(D) являются линейными дифференциальными операторами
порядка пит соответственно,
p1(O) = e0(0O» + a1(/)O»-« + ...+V,(0O+M0. ) (1)
ft(O) = ft0(/)O»+ft1(0O»-i+.. . -f *„,_!(<)D+MO. J
n~^m, Ь0(()фО, то можно с помощью рациональных операций
и дифференцирования определить единственным образом такие
два линейных дифференциальных оператора q(D), ps(D),
q{D)^q0(t) D«-™ + qi(t)Dn-m~i+ . . . +Чп_т_^С) D + qn_m{t),
p.A (D) = c0 (t) 0»-i + Cl (t) O—»+ ...+*„_„ (t) D-\-cm_t (t),
что
Pl(D) = q(D)p2(D) + ps(D). (2)
В самом деле, последнее равенство можно записать в виде
со п—т т т—1
=?o[(V)*o^+("7m)^,+("lmK°""'+---+
-f(w--)*1D-i+(w7'")^n"2+.--+(^'")*2o,l-2+.-.]f
+ ^[i"~;~1)*o^-1+("-7"1)*^-,+...+
+(я-;-1)^-,+.--]+л[("-;->^-н
+

$ 2. Наибольший общий делитель двух операторов Ш
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях D, получаем
Ml+9o[(й^'")^+(и7m)г'°]==fl(l•
*o*+4("~r>+("~7"~>]+
+«o[(V)^+("7")^+("7m)^l-e-
Из этих равенств единственным образом определяются коэффициенты
Qq> • • •> Чп—т> ^й> ^1> • • •> C-m-v
Если я —/и, то Q не зависит от D; в этом случае мы говорим,
что Q является оператором нулевой степени, а символ QY
обозначает в этом случае обыкновенное произведение Q и Y. Заметим еще,
что если я>/н, то в некоторых частных случаях ft(-D) может
свестись к оператору нулевой степени. Полезно заметить также, что
если коэффициенты операторов ft (D), ft(D) постоянны, то и
коэффициенты операторов q(D) и ft(D) также постоянны.
б) Имеет место также другая теорема: для данных операторов (1)
можно одним и только одним образом найти такие два оператора q (D)
и ps(D), что
ft (D) = ft(£)?(£>) +ft(£>)• (20
При этом операторы q(D) и ft(D) определяются с помощью
рациональных операций и дифференцирования. Для доказательства
достаточно провести рассуждения, аналогичные рассуждениям,
проведенным в „а".
в) Оператор Р(£>) называется правым общим делителем (левым
общим делителем) операторов д (D) и ft (D), если
pl{D)^q1(D)T(D), p2(D)^q2(D)T(D)
tP1(^>) = r(D)9l(D), ft (/>) = Г (£>)?„ (£>)].
г) Если ft(£>) и ft(D) являются дифференциальными операторами
порядка пит соответственно, п^-т, и если операторы q(D), ft(D)
[q(D), ft(D)] удовлетворяют равенству (2) [(2')]. то любой правый
(левый) общий делитель операторов ft(D) и ft(£>) является правым
(левым) общим делителем операторов ft(D) и ft(£>), (ft(£>)] и
обратно.
Отсюда следует, что для нахождения наибольшего общего правого
(левого) делителя операторов ft(D) и ft(D), т. е. линейного
оператора наибольшего порядка, являющегося общим правым (левым)

174 Гл. к. Операционные методы. Преобразование Лапласа
делителем p1{D) и р^Ф), можно применить обычный алгоритм Евклида,
записываемый в виде следующей таблицы:
РАО)
РьФ)
ЧгФ)
Р*Ф)
Р±Ф)
ft (Я)
РьФ)
РьФ)
• • • ■
Чк-ъФ)
Рк-гФ)
о
Чк-гФ)
РкФ)
Таблица выражает следующие соотношения:
р1ф)^д1ф)р.гф) + р.дф) \р1ф) = РъФ)й1Ф) + РъФ%
РъФ) = ft Ф)Р-вФ) + Р*Ф) 1Р*Ф)=РаФ) ft Ф) +РаФ)\.
Ръ-*Ф) = %-ъФ)Рк-хФ)Л-НФ)'
1Р*-аФ) = Р*-1Ф)<1к-ъФ) + РъФ)1
Р*.-1Ф) = 9*-1Ф)Р*Ф)> 1Р*-1Ф)°=°РкФ)Чк-1Ф)\1)-
Так как операторы с постоянными коэффициентами
перестановочны (§ 1, п. 1, „е"), то для операторов р^ф) и ръф) с
постоянными коэффициентами правый и левый общие наибольшие
делители совпадают.
д) Из равенств (4) следует, что
РъФ) = Р1Ф)—Й1Ф)РъФ)'
Л Ф) = />2 Ф) - ft Ф) IPl Ф) - ft Ф) Р* ФЯ =■
= — ft ф) рх ф)+[ 1 + ft (D) ft (D)] p2 (D).
Продолжая этот процесс, мы убеждаемся, что если ркф) является
наибольшим общим правым {левым) делителем операторов ргф)
и Ръф), то существуют такие два оператора Ak{D), Bk{D), что
Рк Ф) = Ак ф) Pl ф) + Вк ф)р* ф)
[Рк Ф) = Pi Ф) Ак Ф)Л-Р2 Ф) вк (£>)]•
Эти равенства снова показывают, что любой общий правый {левый)
делитель операторов ргф) и р%ф) является правым {левым)
делителем их наибольшего общего правого {левого) делителя,
и наоборот.
е) Операторы р^ф) и р$Ф) называются взаимно простыми
справа (слева), если у них нет общего правого (левого) делителя,
порядок которого больше или равен единице.
!) Мы считаем, что в таблице (3) коэффициенты при членах наибольшего
порядка в p2{D), p§(D) pk-x(D) не обращаются в нуль в области
изменения переменной t.

§ 2. Наибольший общий белитель двух операторов \f6
Пусть наибольший общий правый делитель операторов pt{D)
и Pi(D) равен pk{D), и пусть (4) является схемой применения
алгоритма Евклида к этим операторам. Положим
Pl (D) = I, (D) pk (D), />2 (D) = /2 (D) pk (D),
тогда последовательно получаем, что p.d(D) = la(D) pk(D), ...
. .., pk(D) = lpk(D). Для операторов lr(D) и /2(D) алгоритм Евклида
дает цепочку равенств
/, (D) =* ^ (D) /2 (Л) + /3(D), /2 (D) = ?„ (D) /3 (D)-j-/4 (D), ....
4-х (Я) = ?*(£>)!,
из которых следует, что lt(D) и /2(^) ие имеют общих правых
делителей, порядок которых больше или равен единице, а потому
эти операторы, взаимно просты.
Аналогичные выводы можно сделать и в случае, когда pk{D)
является наибольшим общим левым делителем pt(D) и p2(D).
2. Общие решения двух уравнений, а) Применим изложенное
выше к вопросу о разыскании общих решений двух линейных
дифференциальных уравнений. Пусть
Pl(D)K = 0, />2(D)K = 0 (5)
— два линейных однородных дифференциальных уравнения, порядки
которых соответственно равны я и т, п^>т.
Найдем наибольший общий правый делитель операторов pv{D)
и p.2(D) [см. равенства (4)]. Тогда тождественно имеем
Pl (D) Y = ?1 (D) [р2 (Я) У)-Ь ръ (D) Y,
p^ (D) Y = <?2 (D) [ps (D) Y] -\-Pi (D) Y,
(6)
откуда следует, что все общие решения уравнений pv (D) Y = О
и /?2(D)K = 0 совпадают с решениями уравнения pk(D)Y=Q,
и обратно.
Таким образом, если порядок v оператора pk{D) больше нуля,
то система уравнений (5) имеет v а только v линейно
независимых решений.
б) Рассмотрим теперь более общую задачу о нахождении общих
решений уравнений
p1{D)Y=F1{t), p2(D)Y^F9(t). (7)
В силу первого из равенств (6) такое решение должно
удовлетворять уравнению
F1{i) = ql{D)F2{t)-\-pb{D)Y
или, полагая

176 Г*л. X. Операционные методы. Преобразование Лаплайа
получаем, что общие решения для уравнений (7) должны совпадать
с общими решениями уравнений
p2(D)Y=*F2(t), ps(D)Y=Fb(t).
Полагая
F,{t) = ^{t)-q^D)Fb{t), (8.2)
П+1 (0= Fk_,{t)-qk_1{D)Fk{t), (8,_t)
убеждаемся в том, что необходимое и достаточное условие для
существования общих решений уравнения (7) выражается тождеством
Fk il(t)^0, причем эти общие решения совпадают с решениями
уравнения
pk(D)Y=Fk(t).
в) В частности, если даны уравнения (7) порядков п и т
соответственно, п > т, то для того, чтобы любое решение второго
уравнения было решением первого уравнения, необходимо и достаточно
выполнение условия & = 2, т. е. равенств p1(D) — q1(D)p2(D) и
F±(t) — q1(D) F^(t)^0. Таким образом, для того чтобы все
решения второго уравнения (7) были решениями первого уравнения,
необходимо и достаточно, чтобы существовал такой оператор q (D),
что
Pl (D) = q (D) p2 (D), F± (t) = q (D) F2 (t).
3. Теорема Либри. Пусть даны два линейных дифференциальных
уравнения
p1(D)Y=F1(f), p2(D)Y=F2(t),
имеющие соответственно порядки п и т, п > т, и пусть известно,
что любое решение уравнения p^(D)Y=F2(t) удовлетворяет также
и уравнению pt(D)Y = Ft(t). Докажем, что в этом случае решение
уравнения р1 (D) Y = F± (t) с помощью рациональных операций и
дифференцирования сводится к решению линейного однородного
уравнения порядка я-—т и линейного уравнения порядка т (Либри [1]).
В самом деле, в силу результатов из п. 2, „в" наибольший общий
правый делитель операторов р± (D) и р2 (D) совпадает с р2 (D),
а потому имеем тождественно
Pl(D)Y=q(D)[p2(D) Y], F^^qiD) F2(t).
Если положить p^(D)Y—/72(^) = Z, то уравнение p±(D)Y= F±(t)
распадается на систему уравнений
q(D)Z=0, p2(D)Y=;Z+F2(t),
первое из которых имеет порядок и — т, а второе — порядок т.
Отметим, что, согласно теореме из гл. II, § 1, п. 3, „в",
знание т линейно независимых решений уравнения p(D)Y=F1(t)

§ 2. Наибольший общий делитель двух операторов 177
позволяет свести решение этого уравнения к решению линейного
уравнения п—ш-го порядка. Теорема Либри позволяет понизить
порядок уравнения не только в случае, когда известны сами т
решений, но и в случае, когда известно уравнение p2(D) Y — F2(t), для
которого они образуют фундаментальную систему решений.
4. Наименьшее общее кратное двух дифференциальных
операторов. Пусть p^iD), p2(D) — дифференциальные операторы
порядка пит соответственно и пусть их наибольший общий правый
делитель Pje(D) имеет порядок v. Тогда
Pl (D) Y=4l (D) [рк (D) Y\, p2(D)Y=q, (D) [pk (D) Y\,
где q1(D) и q%(D) имеют соответственно порядки и— v и т — v.
Рассмотрим линейные операторы
DHqAD)?] (1 = 0, 1, 2 m —v),
DJ[q2(D)Z] (y = 0, 1, 2, .... л — v);
они представляют собой п-\~т — 2v-(-2 однородных линейных форм
от Z, DZ £)п+т-ъ»2ш Поэтому существуют такие множители
«0(0. «i(0 ««_,('); МО. Pi(0 Р„_„(0.
рационально выражающиеся через коэффициенты операторов p^iD)
и p2(D) и их производные, что имеет место тождество
Полагая
2 а, (О W [qx (D) Z] = 2 h (0 Di [q2 (D)].
имеем
^(D) = а0(0 + МОD-)-.., -j-a^D—*,
?8(О) = Ро (O+Pi (О D + ... +&,_,£>»-,
?1(D)[?1(D)Z] = c?2(D)[?2(D)Z].
Если Z = pk(D)Y, то имеем тождественно
Ж (D) Г = ?1 (D) [Pl (D) Y\ == ?2 (D) [p8 (D) Г].
Оператор M{D) имеет порядок п-\~т — v, и как решения
уравнения p1(D)Y=0, так и решения уравнения p2(D) К = 0
удовлетворяют уравнению M(D)Y=0.
Докажем, что M{D) является дифференциальным оператором
наименьшего порядка, для которого как р^ (D), так и р2 (D) являются
правыми делителями, или, что то же самое, докажем, что M(D) Y==0
является дифференциальным уравнением наименьшего порядка,
которому удовлетворяют все решения уравнений
Pl(D)Y. = 0, p2(D)F = 0.
12 Зак. 1072. Дж. Сансоне

178 Гл. X. Операционные методы. Преобразование Лапласа
Проведем доказательство от противного. Пусть
Мф) = ^ (D) Pl (D), M(D) = % (D) р2 (D),
где порядки «^(D) и cp2(D) равны соответственно т — v и п — v,
v > v.
Если функции Yx(t), Y2(t) Yn(t) образуют фундаментальную
систему решений уравнения p1(D)Y = 0, то
?a(D)[ps(D)K1] = 0 (i=l, 2 п).
Поэтому п функций p2(D) Yi^=Zi удовлетворяют уравнению®2(D)Z=0
порядка п — v, а следовательно существуют, по крайней мере,
v соотношений с постоянными коэффициентами вида
Pa (D) Y{ = 2 сцр2 (D) Yj (/=1,2 7).
Но тогда уравнения рхф) К = О, p2(D) Y=0 обладают v линейно
независимыми общими решениями
Y< = Yi (0 - 2 oi3Yj (0 (/=1,2 7),
а поэтому должно было бы иметь место неравенство v <] v, вопреки
предположению.
Оператор M(D), полученный описанным выше методом, называется
наименьшим общим кратным операторов p1(D) и p2(D).
§ 3. Системы линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами
1. Общие замечания. Системы я линейных однородных
дифференциальных уравнений с я неизвестными, определитель
которых постоянен и отличен от нуля, а) При решении некоторых
задач динамики х) нужно часто решать систему уравнений вида
Ux =pu(D) П + Р12ф) К2+ ... + pln(D) Yn-F1(t) = 0, )
U* =Pn(D) Ух + РиСО) Г2+ ... +р9яф) Yn-F2(t) = 0,
Un = Pm(D) У1 + Р»2(Д)У-2+ • •• +Pnn(D)Yn-Fn(t)^0, J
(1)
где Yx, У2 Yn—искомые функции, piJc(D) — линейные
дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами и
*) См., например, Леви-Чивита и Амальди [1], т. II, ч. I, стр. 382—387.
(Типичная форма уравнений малых колебаний голономной системы с
независящими от времени связями, находящейся в потенциальном поле сил.)

§ 3. Системы уравнений с постоянными коэффициентами 1?9
Ft (t), F2 (t) Fn (t) — известные функции, обладающие всеми
производными, которые нам придется рассматривать.
Систему вида (1), в которую как сами искомые функции, так
и их производные входят линейно, мы будем называть линейной
системой. Как уже было показано в гл. 1, § 1, п. 2, „б", такая
система может быть сведена к линейной системе, содержащей лишь,
искомые функции и их первые производные с помощью введения в
качестве вспомогательных искомых функций производных от функций
Yv K2 Yn до некоторого порядка включительно. Однако для
наших дальнейших рассмотрений такое сведение не является ни
необходимым, ни удобным.
Предположим, что если какой-либо из операторов PaiD)
сводится к постоянной (имеет порядок нуль), то он равен нулю.
В противном случае, если, например, pjk(D) = aik ф 0, мы могли бы
выразить линейно из /-го уравнения функцию Yk через остальные
функции и их производные и подставить в остальные уравнения;
в результате наша система свелась бы к системе п — 1 уравнений
ся—1 искомыми функциями.
б) Рассмотрим определитель
pn(D) p12(D) .. . Pln(D)
pa(D) J»» (/».../>2«(D)
A(D) =
(2)
Pm(D) РпъФ) ■ • ■ РппФ)
элементы которого jOifc(D) мы рассматриваем как многочлены от D;
предположим, что Д (Ь) не равно тождественно нулю, и обозначим
через Aift(Z)) алгебраическое дополнение р^[р) в A(D). Рассмотрим
Aift(D) как дифференциальный оператор; тогда, действуя на
уравнения системы (1) соответственно операторами A14(D), Д2<(£),.... AMi(Z))
и суммируя получающиеся уравнения, мы получаем уравнения вида
А 09) Г* = 2 Дм (Я) ^ (0 0=1.2 n)i). (3)
в) Если определитель Д(/)) является отличной от нуля
постоянной, то система (1) может иметь лишь одно решение, даваемое
формулой
п
Yi=Tm^iAki(D)Fk(f) (i^u 2 п)-
Л = 1
!) Формулы (3) показывают, что если определитель Д(£>) системы (1)
тождественно равен нулю и система (1) имеет решения, то должны
выполняться соотношения
2 4w№)f*(0 2.0 (*=1, 2 л).
12*

180 Гл. X. Операционные методы. Преобразование Лапласа
Путем подстановки можно убедиться, что это решение удовлетворяет
данной системе.
г) Рассмотрим теперь случай, когда Д (D) является оператором
порядка т, где т ^ 1, причем корни pt, p2 р.,„ характеры-.
стического уравнения
Д(Р) = 0,
получающегося путем подстановки в каждый элемент
определителя Д(Ц) вместо D переменной р, попарно различны.
Из (3) следует, что если существуют решения системы (1), то
они должны иметь вид
Yi = с</1* + *«*** + • • ■ +ctme9"* + К? (/ = 1, 2 я), (4)
гДе ctk—постоянные, а К<(/= 1, 2, . .., я) является частным
решением уравнения (3).
Обратно, для того чтобы (4) было решением системы (1),
необходимо выполнение равенств
т т
Рп (D) 2 clte'** + Pri (D) 2 c2ke^ + ... +
*=i fc=i
m n
+ Pr» (D) 2 cnke^ = Fr(t) - 2 Pn (D) Y°t (r = 1, 2 и).
s-=i f=i
Ho
pri(D)^t=spri(p^efkt,
и потому постоянные с,:& должны удовлетворять уравнениям
т п п
2 [ 2 ЪРн (Р*)] *Pfc* = /'г (0 - 2 /Vi (D) К?. (5)
д) Предположим для простоты, что система (1) однородна:
/4(0 = 0 F„(0a0 [У"=11= ... = К° = 0].
Тогда в силу линейной независимости функций ePl , еРа , . .., ерп на
любом отрезке (гл. II, § 1, п. 6, „б") из уравнений (5) следует,
что числа
Сцс» сы спи Ф = \, 2, .... т)
удовлетворяют системе я линейных однородных уравнений с я
неизвестными
и
2^-*/V*(Pft)=0 (r=l, 2 и).
4 = 1
Определителем этой системы является Д (pfc) = det||/?rt(pfc)|| = 0;
кроме того, хотя бы один из миноров я—1-го порядка этого опре-

$ 3. Системы уравнений с постоянными коэффициентами 181
делителя отличен от нуля, так как в противном случае все элементы
взаимного с Д (р) определителя Д' (р) делились бы на р — pfc,
определитель Д'(р) делился бы на (р — рй)й, а тогда, в силу того, что
Д'(р) = Дга-1(р), рь было бы, по крайней мере, двойным корнем
уравнения Д(р) = 0, вопреки предположению.
Из теории линейных уравнений следует тогда, что неизвестные
с и,, c2ft сп1с (й=1, 2 т)
определены с точностью до постоянного множителя, а поэтому
решение данной системы уравнений зависит от т произвольных
постоянных.
е) Нам следовало бы теперь перейти к изучению случая, когда
уравнение A(D)=0 имеет кратные корни, а также к изучению
систем неоднородных уравнений, но эти вопросы удобнее решать
с помощью приведения системы к диагональному виду, которое
лучше выясняет сущность вопроса и дает в то же время
эффективный метод решения системы.
2. Диагональные системы. Назовем диагональной системой
систему вида
hn(D) Y,+hv2 (D) Г2+. .. +hlt ^ (D) Yn_^hvi(D) Yn=G1 (t),
h2, (D) Га+. . . +A?> „_! (D) Yn_t+h,n(D) Yn = G2(f),
K-i, »_i Ф) Уп-i + K-i, » Ф) Yn = Gra_1 (0,
hnn(D)Yn = Gn(f),
где hik(D) — дифференциальные операторы с постоянными
коэффициентами, G1(t), G2(t) Gn{t) — известные функции от t,
обладающие всеми производными, которые нам понадобятся.
Коэффициенты hu(D), /z22(D), ..., hnn(D) называются
диагональными коэффициентами системы; обозначим через шь порядок
оператора hkli{D) и предположим, что если й№(£>) сводится к
постоянной величине, то она отлична от нуля. Скажем далее, что эта
система упорядочена относительно неизвестных функций Yv
Yc, . . ., Yn, стоящих соответственно на первом, втором п-и месте.
Заметим, что если выполнить над этой системой преобразование,
указанное в гл. I, § 1, п. 2, „би/, то система сведется к
эквивалентной ей нормальной системе, состоящей из ouj —f— toa~l~ • ■ • ~\~тп
линейных уравнений. Поэтому решение этой системы зависит от
ш1 Ч~ ша ~~\~ • • ■ Н~ шп произвольных постоянных.
Для того чтобы уточнить, каким образом входят произвольные
постоянные в каждую из искомых функций, поступим следующим
образом. Рассмотрим последнее уравнение системы (6); одно из его
1(6)

182 Гл. X. Операционные методы. Преобразование Лапласа
решений Yf может быть получено методом из § 1. Если функции
Kin) (f), Уап) (0 Y^ (0 образуют фундаментальную систему
решений однородного уравнения hnn (£>) Y = 0, то общее решение
последнего уравнения из (6) имеет вид
к=1
где $' — постоянные, и ни одно из У* (f) (А = 1, 2, ..., соп) не
равно тождественно нулю.
Предпоследнее уравнение нашей системы можно записать в виде
К-\, n-l(D)Yn-i =
= Оп_, (0 - 2 4Я) Ая-ь п Ф) Ии) (0- Ая-1. пФ) ^оИ)(0 • (7)
Для того чтобы построить его частное решение U0, достаточно
найти такие *ота —|— 1 функций Z0, Zx, ..., Zm , что
Ап-ьп-!^)^^0»-!© —АЯ-1,»Ф)^Я)(0.
hn_h п_, (D) Zk = - ft„_i. я(Л) Kf> (0 (А = 1, 2 сои),
и положить U0 = ZQ + 4n) Zx + cjn) Z9 + ... + сЙ^ Zn •
Если мы обозначим через к!"-4 (Q, к£я-1) (9 И?"!1} (9
фундаментальную систему решений однородного уравнения
A„_1|„_1(D)K=0,
то общее решение уравнения (7) будет иметь вид
О) О)
где <4 , с)Г—постоянные, и ни одна из функций Kin-1)(0>
У»-1,(0 У»Г-1 (0 не равна тождественно нулю. Подставим
выражения Кп_1(0 и Кп(£) в (я — 2)-е уравнение системы (6).
Продолжая указанный выше процесс, мы получим, как нетрудно видеть,
что решения Yx (t), K2 (f) Yn (f) системы (6) линейно зависят
от cbj -J- св2 -\- .. . -|- свп произвольных постоянных.
3. Сведение системы с отличным от нуля определителем
к эквивалентной диагональной системе, а) Докажем, что любую
систему (1) я линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами и с я искомыми функциями Yv K2 Yn,
определитель Д (£>) которой не равен тождественно нулю, можно
свести к эквивалентной ей (гл, I, § J, п. 2. „а") диагональной

§ 3. Системы уравнений с постоянными коэффициентами 183
системе, искомые функции которой имеют заданный порядок,
например Yv К2, ..., Yn1).
Рассмотрим уравнения системы (1), содержащие искомую
функцию Kj. Пусть это будут уравнения
£/1 = 0, £/8 = 0, .... £/г = 0 (/-<л).
Обозначим через T(D) наибольший общий делитель операторов
Pr-j,i(D) и prl(D). Тогда
pf.u(D) = r(D)?(D), prl(D) = r(D)*(D).
В уравнении
Z7r = - ф(Д) £/г_1 + ? (D) £/г = О
коэффициент при Y1 равен
— HD)Pr-1.1(D) + f(D)prl(D) = 0,
а потому это уравнение не содержит искомой функции Yv
Так как, с другой стороны, операторы <?(D) и ty(D) взаимно
просты, то можно найти такие операторы ^(О) и «^(/Э) с
постоянными коэффициентами, что (см. § 2, п. 1, „г") имеет место
равенство с '== ^ (D) <р (D) -(- Oj (D) <|» (D), с^0(с — постоянная). Покажем,
что система (1) эквивалентна системе
£/, = 0, £/2 = 0, .... £/,_„= 0, 1
Z7r_1 = <l-1(D)f/r_1 + cp1(D)f/r=0, I
f7r = -^(D)i/r_1 + ?(D)f/r=0, f
£/r« = 0, .... £/„ = 0. J
В самом деле, решения системы (1) являются, очевидно, решениями
системы (8); с другой стороны, если рассматривать в системе
<К (D) Ur_, + ?1 (D) £/г = 0, - ф (D) £/,._! + ? (D) £/г = 0
f/r_1 и Ur как искомые функции, то в силу того, что определитель
системы является отличной от нуля постоянной, мы получим
(см. п. 1, „б"), что Ur__1 = 0, £/r = 0. Поэтому все решения
системы (8) являются решениями системы (1).
Заметим, что в уравнении Ur_t = 0 коэффициент при Yt равен
<l-1(D)pr_1,1(D) + ?1(D)^1(D) =
= Г (D) [? (D) <K (D) + ф (D) ?i Ф)] = сГ (D),
а поэтому уравнение i/r_j = 0 содержит Yv
!) Мы сохраняем сделанное в п. 1, „а" предположение о том, что если
в системе (1) оператор pnt(D) сводится к оператору умножения на
постоянную величину, то он равен нулю.

184 Гл. X. Операционные методы. Преобразование Лапласа
Поступая аналогичным образом с уравнениями Ur_9u = 0, Ur_1 = 0
и продолжая процесс таким же образом далее, мы придем к системе
вида
^ = 0, У2=0, ..., Vn = 0, (9)
в которой только первое уравнение 1^ = 0 содержит Yx. Так как
при каждом указанном нами преобразовании определитель Д(£>)
умножался на отличную от нуля постоянную, то определитель
системы (9) равен fjA(D), где сг—отличная от нуля постоянная.
Так как fjA(D) =£ 0, то хотя бы одно из уравнений V2 = 0,... ,
Vn — 0 содержит К?. Повторяя над уравнениями, содержащими Г9,
те же операции, которые мы проделали над уравнениями Ux = 0,
£/9 = 0 f/r=0 для исключения Yt из г—1 уравнений, и
продолжая таким же образом далее, мы получим диагональную систему,
эквивалентную данной
hn (D) Yx + А1Я (D) Г2 + . . . + hxn (D) Yn = Gt (t),
A22(D) Г2+ . . . +h2n{D) Yn= G2-(0.
hnn{D)Yn=Gn{t),
где hi8(D) (s = i, г —f— 1 n)—известные операторы, G^t)
G2 (t) Gn (t) — известные функции и hn (D) • h^ (D) .. . hnn (D) =
= const -A(D). Теорема доказана.
б) Из доказанной теоремы следует, что если оператор Д (D)
имеет порядок со, то решение системы зависит от <о произвольных
постоянных.
в) Из той же теоремы вытекает следующий способ определения
числа произвольных постоянных, от которых зависит Yr в общем
решении системы (1). Для этого достаточно привести систему (1)
к диагональному виду таким образом, чтобы Yr заняло последнее
место. Если соответствующее уравнение будет иметь при этом вид
lnn(D)Yr = 0 и порядок оператора lnn(D) равен v,., то Yr линейно
зависит от v,. произвольных постоянных.
Далее, если Yr зависит от \ произвольных постоянных и Yr
занимает при некотором приведении системы к диагональному виду
первое место, то диагональный коэффициент при Yr имеет при этом
порядок !\<^v [Ar равно числу произвольных постоянных, которые
входят в Yr, но не входят ни в одну из других функций Yk, кфг.
Дальнейшее исследование было проведено Ченди и Ленчбери [1].
г) Рассмотрим следующий пример. Пусть требуется решить
систему уравнений
t/1 = (Da— 4D)X— (D— 1)Г=0,
t/2 = (D + 6) *+ (D» - D) Y = 0,
D = d/dt.

J 4. Системы уравнений с переменными коэффициентами 185
Эквивалентная диагональная система имеет вид
— (D + 6) U± -\- (£>2 — 4D) £/2 = (D— 1) (D -\-1) (О—2) (D—3) 7 = 0,
t/1—(D—10)t/2=60Z—(D3_llD2+HD—1)F=0,
и ее решениями являются
X = 2qe-' -f- гае?* -f 2с4е3*,
где ct, c2, с3, с4 — произвольные постоянные.
§ 4. Системы линейных дифференциальных уравнений
с переменными коэффициентами
1. Преобразование системы линейных дифференциальных
уравнений в диагональную систему частного вида, а) Метод,
описанный в п. 3 предыдущего параграфа, не может быть применен для
приведения системы линейных дифференциальных уравнений с
переменными коэффициентами к эквивалентной ей диагональной системе.
В самом деле, мы пользовались там свойством коммутативности для
произведения двух операторов с постоянными коэффициентами,
которое не имеет места в общем случае. Мы изложим здесь для общего
случая линейных систем с переменными коэффициентами метод
приведения их к диагональному виду, основанный на приведении матрицы
с многочленными элементами к каноническому виду (см. Бохер [1],
стр. 239—254, Пуль [П, стр. 39—41)1>.
б) Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
п
U< = 2 Рл(D) Y1t — Fl(<) = 0 (i = 1, 2, .. ., »), (1)
Л-=1
где Pnt(D) — линейные дифференциальные операторы с переменными
коэффициентами.
Как уже было указано в п. 1 предыдущего параграфа, мы будем
предполагать, что операторы pik(D) нулевого порядка тождественно
равны нулю; в самом деле, если pik (D) = aik (t) и если можно найти
отрезок, на котором aift(^)=}=0, то на этом отрезке можно выразить
Yh (t) из г'-го уравнения системы и подставить в другие уравнения
этой системы; в результате мы придем к системе, состоящей из п— 1
линейных уравнений.
Условимся выполнять описанное выше преобразование каждый
раз, когда нам будет встречаться система, в которой р,-к (D) =
= aik(t)izO.
Заменяя, если это необходимо, систему (1) эквивалентной ей
системой, мы можем добиться того, чтобы коэффициент рп (D) имел
'* См. также И. М. Гельфанд [1], стр. 176—192, — Прим, перев.

186 Гл. X. Операционные методы. Преобразование Лапласа
наименьший порядок среди всех коэффициентов системы (1) и
приведенных систем J). Но тогда все коэффициенты рп (D) (i = 1, 2, .... п)
будут делиться справа на pu(D). В самом деле, если бы Pu(D) не.
делился справа на pn(D), то имело бы место равенство Pn(D) =
= #((£>)pn(D)-\-pfi(D), где порядок оператора pn(D) меньше
порядка pn(D). Но тогда, заменяя уравнение t/^ = 0 уравнением
^ — ^(0)^ = 0,
мы получили бы приведенную систему уравнений, порядок одного из
коэффициентов которой был бы меньше порядка pjj(D), вопреки
предположению.
Следовательно, мы можем, считать, что в системе (I)
Рп (D) = q< (D) pu (D) {1=2,..., п). (2)
Далее, в первом уравнении системы (1)все коэффициенты pn(D),
p13(D), .... Pm(D) делятся слева на pn(D).
В самом деле, если бы имело место равенство
Pn(D)=Pu(D)^(D) + pl2(D),
где порядок оператора pi2(D) меньше порядка pn(D), причем р12(D)
не равен тождественно нулю, то мы ввели бы новую искомую
функцию
и привели систему к виду
PuiD^+pUD) y*+Pis(D) Ks+. • • +Р,„(0) Yn = F^t),
q2 (D)pu (D) Zj-f [ - <72 (D) pn (D) /2 (£>)+p22 (D)] K2+
+ P23 (D)Ys-\- ... -f p2„ (D) Yn = F2 (t),
Но тогда мы получили бы приведенную систему, один из
коэффициентов которой имеет порядок, меньший порядка ри (D), чего не
может быть по предположению.
1) Приведенной системой называется система, получаемая из системы (1)
элементарными преобразованиями матрицы системы (1), т. е. перестановкой
двух столбцов или строк, умножением всех элементов какой-либо строки или
столбца на один и тот же отличный от нуля числовой множитель и сложением
элементов некоторой строки или столбца, умноженных на один и тот же
многочлен от D, с соответствующими элементами другой строки или столбца. —
Прим. пер ев.

J 5. Представление решений с помощью интегралов 187
Из доказанного следует, что система (1) имеет вид
"i = Рп Ф) \Ух + 2 4 (D) Yk] - Fl (t) = О,
и^дЛО)Рп(0)У,^ Pik(D)Yk- F((f) = o (3)
(/ = 2, 3, .... »).
Положим
y,+lilk(D)Yk = Z1. (4)
Тогда первое уравнение системы (3) можно записать в виде
pn(D)Z1 — Fi(f) = 0. (5)
Заменяя другие уравнения уравнениями
Vi=Ut — gi(D)Ui = 0 (/ = 2 »), (6)
МЫ ИСКЛЮЧИМ ИЗ НИХ Kj.
Обратно, если найти Zx из (5) и Yv Ys, . . ., Ки из (6), а
потом У, из (4), то полученные таким образом функции Y1 (t), К2 (t)
Yn(f) будут удовлетворять системе (3).
Может случиться, что какое-нибудь из уравнений (6) является
тождеством или же что в каком-либо из этих уравнений
коэффициент при одной из искомых функций У2 Yn не зависит от D,
и поэтому число уравнений системы может быть уменьшено. Может
случиться также, что одно из уравнений (6) противоречиво, а тогда
противоречива и сама система (6), а с ней и данная нам система (1).
В общем случае можно сделать над системой (6) те же
преобразования, какие мы делали над системой (1), и, продолжая этот
процесс, привести систему (1) к виду
A, <D) Z, = <?! (*), К Ф) Z* = % (0 K(D)Zn = 9n (О,
причем Y\, К2 Yn линейно выражаются через Zv Z2 Zn,
и обратно.
§ 5. Представление решений дифференциальных уравнений
с помощью определенных интегралов
1. Основа метода. Пусть дано дифференциальное уравнение
l m=«о w №>+«i w KC-D+... +
-т-вп-гОУ+впИУ—^(0 = 0, (1)
где а0(0, вх(0 ли_г(0, аи(0. F(f)— заданные функции от t,
непрерывны? на отрезке [а, 0], а0У)фО. Будем искать решения

188 Гл. X. Операционные методы. Преобразование Лапласа
этого уравнения в виде интеграла типа
Y(t) = j k(t, s)y(s)ds, (2)
a
где С—некоторый фиксированный путь интегрирования, k(t, s)
(ядро) — известная функция от t и s и y(s)—новая искомая
функция.
Преобразование (2) можно рассматривать как функциональное
преобразование, ставящее в соответствие каждому элементу y(s)
(оригиналу), принадлежащему некоторому классу А, функцию Y(t)
(изображение) из некоторого класса В.
Предположим, что для формулы (2) существует формула
обращения
y(s)= f K(s, t)Y(t)dt (3)
с
(K(s, t) — известная функция), ставящая в соответствие каждой
функции класса В функцию класса А, а также что преобразования
f K(s, t)YW(t)dt (r=l, 2, ...).
с
от производных функций Y линейно выражаются через функцию y(s)
и ее производные. Тогда преобразование (3) преобразует уравнение
(1) к виду
М (у) = b0 (s) /"0-f- by (s) У™-1) + .. . +
+ **-i (*)/+*„(s)y-f (s) = 0,
причем для любого y(s), удовлетворяющего этому уравнению, можно
найти по формуле (2) соответствующее решение исходного
уравнения.
2. Уравнение Лапласа- а) Проиллюстрируем сказанное на
следующем примере.
Рассмотрим уравнение Лапласа (Гурса [1], т. II, стр. 386—390,
Шлезингер (2], т. I, стр. 409—414, см. также § 7, п. 2 настоящей
главы), имеющее вид
L IY] = (а0 + V) У(п) + К +V) ^я-1) + • • • + К + *»0 У = 0, (4)
где а0, flj, ..., ап; b0, bv..., bn — постоянные. Будем искать
решение этого уравнения в виде
Y(t) = fe**y(s)ds. (5)
о

$ 5. Представление решений с помощью интегралов 189
Так как
КС-)(0= { srefsy(s)ds,
(6)
то L {Y] можно записать в виде
L[Y] = J" etsy (s) [P -f tQ] ds,
a
где
P = a^+a,*»-1 + . . . + «„-a* + «fl
Q = V" + V"-1 + • • ■ +*„_!«+*„
Интегрируя по частям, получаем
J Qy (s) tfe«» rfs] = (Qj/ (s) e'«] — J e'« ^ [Qy (s)] ds,
о с а
и потому
L [Y] = (Qy (s) e*] + / { ^ (*) —й № W } e'S rfs-
G с
Таким образом, уравнение (4) удовлетворяется, если выбрать y(s)
таким образом, чтобы
d
Py(s)-
ds
lQy(s)] = 0, [Qy(s)e<s] = 0.
Интегрирование первого из этих уравнений дает
feiui
<?(«>
du
Тогда второе из этих равенств принимает вид
(7)
/
Р(«)
'8+1 ^Щаи
:0.
(8)
Поэтому если выбрать путь С так, чтобы выражение, стоящее
в (8) в квадратных скобках, принимало на концах этого пути
одинаковые значения, и если при подстановке выражения (7) в формулу
(5) Y(t) не обращается тождественно в нуль, то Y(t) будет
решением уравнения (4).
б) Относительно изучения решений уравнения (4) мы отсылаем
читателя к цитированным выше работам. Мы рассмотрим здесь лишь
один частный случай.

190 Гл. X. Операционные методы. Преобразование Лаплаба
Пусть дано уравнение
^Мр+яЛ-^+ру-ъ, (9)
где р > 0, q > 0, t > О (р, q— постоянные).
Имеем в наших обозначениях
а0 = 0, al=p-\-q, a^p, P=(p-\-q)s-\-p,
£ = ^ + 7' jr(s) = «»-1(*+l)e-1 (c = const)
в
ts+ J P(u)/Q(u)du
= cets(s-\-l)isP,
8„
и потому уравнение (9) удовлетворяется, если выбрать в качестве
пути интегрирования С отрезок [ — 1, 0] или же (— оо, —1].
Следовательно, общее решение уравнения (9) имеет вид
о -1
Y(f) = c1 JV8sP-i(s-l-l)<z-1 ds-\-cs fe'^P-i^+l)9-1^
или же, заменяя «на —s,
1
Y(f) = c1 Г e~stsP~l (1 — s)*-1 ds-\-cA e-stsP-i (1 — s^-^ds,
где Cj и c2 — произвольные постоянные1).
в) В дальнейшем мы рассмотрим в этой главе приложения
преобразования (2) к решению задачи* Коши для дифференциальных
уравнений и систем дифференциальных уравнений, выбирая в
качестве ядра k (t, s) в (2) функцию k (t, s) = e~8i, а в качестве пути
интегрирования С либо (0, оо) (см. § 7), либо замкнутую линию
(см. § 8). Иными словами, мы будем применять преобразование
Лапласа. В следующем параграфе мы изложим для удобства читателя
основные свойства этого преобразования.
1) Относительно решения в квадратурах уравнений вида
(ах* + Ьх + с) у" + (dx + e)y' +fy = 0,
(«о* + h)y" + (в,* + Ъх)у> + (а2х + bjy = 0,
где а, Ь /; ait bt (i = 0, 1, 2) — постоянные, см. Сбрана [1].

§ 6. Преобразование Лапласа 191
§ 6. Преобразование Лапласа1)
1. Преобразование Лапласа. Оригинал. Изображение. Абсцисса
сходимости и абсцисса абсолютной сходимости, а) Назовем
функцией класса I действительную или комплексную функцию F(t)
действительного переменного t, определенную при t > О, если на любом
отрезке [Tv Т2], О < 7\ <*•< Г< Т2 эта функция ограничена и
измерима в смысле Лебега и если существует предел
т т
lim (\F(f)\dt = (\F(t)\dt.
в О
Функция F(f) класса I принадлежит классу L, если существует
такое действительное или комплексное число s0, что при
некотором Т > О существует предел
lim Г e-»-tF(t)dt.
Легко видеть, что если функция F (f) принадлежит к классу L,
то интеграл Лапласа
-f со to
Г e-s*F(f)dt=; lim Гe~atF{t)dt
X е-> + 0, ш->+оо"'
О в
существует, когда а и а> независимо друг от друга стремятся
соответственно к 0 и -J-OQ.
б) Имеет место теорема Пинкерле ([1], стр. 13). Пусть функция
F(t) принадлежит классу L; если интеграл Лапласа сходится
при s = sQ к значению /0, т. е. если
+ 0О
f e-*F(f)dt=f0,
о
то он сходится и при любом значении s, взятом в
полуплоскости Rs > Rs0.
Кроме того, если положить при t > О
*
'e-^F(x)dx = $(t),
о
!>
!) Более подробное изложение теории преобразования Лапласа читатель
может найти в книгах Гицетти [2], Деча [1]. См. также Мак-Лахлан [1],
Верной Виддер [1] (а также Гарднер и Бэрнс [1], ван дер Поль и Брем-
мер [1], А. И. Лурье [1], В. А. Диткин [1]. — Прим. перев.).

192 Гл. X. Операционные методы. Преобразование Лапласа
то при Rs > Rs0 имеем
+ оо +оо
j e-stF(t)dt = (s — s0) f г(*-8.)'Ф(<)Д. (1)
о о
Если положить Ф(0) = 0, то функция Ф(^) непрерывна при t^>0,
причем Нт Ф(/)=/0.
t->+oo
Имеем
(О Ш
Г е~st F (t) dt = JV(«-*.) * e~s<* F (t) dt =
E S
ш
= g-(s-.9u)u, ф (ш) _ g-(.4-s„) t ф (s) -}- (S _ 50) fg-(s-«u) * ф (i) dt,
s
переходя в этой формуле к пределу при s->0 и <о->■-[-со,
убеждаемся в справедливости формулы (1).
Из обычных рассуждении вытекает, что если функция F(t)
принадлежит классу L, то существует такое действительное число р\
(— со ^ р ^ -|- со), что интеграл Лапласа
+ 00
J e-*F{t)dt (2)
о
сходится при Rs > р и расходится при Rs < р. Такое число р
(равное, возможно, -j-oo или —со) называется абсциссой
сходимости интеграла (2).
в) Имеет место следующая теорема Ландау1), позволяющая
вычислить абсциссу сходимости:
Если р^>0, то
I In [ F(t)dt\
р= lim °— . (3)
ш->+со
+ оо
Пусть 50>р, (50>0). Тогда \j e-*t F(t)dt\ <+со.
о
Полагая
(U W ■
Ф (ш) = JV8»*F(0dt, ф(т) = j F(t)dt,
J) См. Ландау [2], стр. 215. Относительно случая Р<0 см. Пинкерле [2],
стр. 270.

§ 6. Преобразование Лапласа
193
имеем
(О Ш
<1< (ш) = J ««о* [е-М F (t) dt] = е8-ю Ф (и) — s0 Г е8°'Ф (t) dt. (4)
о о
Так как существует конечный предел Нт Ф(о>), то найдется
(о ->н-со
такое число k, что | Ф (ш) | < k при w > 0. Из (4) следует тогда, что
(О
|4» (ш) | < fee8 m+fes0 Ге8°* <# < 2fee8«m.
о
Поэтому для любого 8 > 0 найдется такое mv что при ш > a>j имеем
|$(а>)|<е<8°+8><°, ш-11п|<Кш)]<50+8.
Поэтому, полагая
«.-м-ю ш
получаем, что, каково бы ни было 8 > 0, всегда АО0-|-8, а
потому Л ^ s0, т. е. любое число s0, большее, чем р, больше или
равно X.
Для любого 8 > 0 имеем
О) . Ш
J e-(x+s)t /7 од dt = e-(X+8)«. ф (ш) _|_ (x_j_8) J e-C-+8) * 4* (t) dt; (5)
о о
но существует такое mv что при ш > o>j выполняется неравенство
ю-Чп|4»(«)|<Х+&/2.
а следовательно,
| «J* (а>) | < е&+W ш, | е-^8)<п <1< (о>) | < е-8"/*.
"Из последнего неравенства следует, что при w-^-^J-oo правая
часть равенства (5) сходится, а тогда сходится и левая часть этого
равенства. Таким образом, при любом 8>0 имеем Л—|—&^> р, и
потому Х;>|). Так как каждое число, большее, чем р\ не меньше,
чем X, то мы доказали, что Л = р. Теорема доказана.
г) Если функция F(t) принадлежит классу I и если существует
такое действительное или комплексное число s0, что
+ 00
Г |«-МF{t)\dt < + oo,
о
13 Зак. 1073. Дж. Сансоне

194 Гл. X. Операционные методы. Преобразование Лапласа
то функция F{t) называется принадлежащей классу Lx. В этом случае
говорят, что интеграл Лапласа
С e-UF(t)dt
о
абсолютно сходится.
Легко видеть, что для принадлежности функции F(t) класса 1
к классу La необходимо и достаточно, чтобы для любого о > О
нашлось такое ш > 0, что при ш2 > «х ^- ш справедливо неравенство
~ 2
f e-tB^\F(t)\dt<:<}.
Имеет место следующая теорема: если при s = s0 интеграл
Лапласа абсолютно сходится, то он абсолютно сходится и при
любом значении s, таком, что Rs^-RsQ.
В самом деле,
J" | е ~8t F (f) | dt = f | £-(«-*»)< <?-«.* F Щ j
dt:
•^2 ***a
С e-tR(S-8o) I e-s0t F(t)\dt*CJ e-tRg» | F(t)\ dt.
Число а называется абсциссой абсолютной сходимости
интеграла (2), если этот интеграл абсолютно сходится при любом s,
таком, что Rs > а, и не сходится абсолютно, если Rs < a.
Очевидно, имеет место неравенство —оо<^|3 ^a ^-J-oo.
д) Пусть F(f) — функция класса L и |3 — абсцисса сходимости
интеграла (2); положим при Rs > {3
+ со
f(s) = fe-«F{f)dt. (6)
о
Функция F(f) называется оригиналом, а функция/(s) — изображе-,
наем функции F(t) при преобразовании Лапласа (6). Это
записывается следующим образом:
/(*)= 2 {F}. f{s)^K{?}> f(s) = Z{F)s\.
Функция f(s), которая может быть получена преобразованием
Лапласа функции F{t) класса L, называется функцией класса /.
е) Пусть функция F(t) принадлежит классу L и пусть
интеграл Лапласа для этой функции сходится в некоторой точке sQ
комплексной области. Проведем через точку s0 два луча,
образующих с положительным направлением оси х острый угол <р. Тогда

$ 6. Преобразование Лаплаба
1§5
в ограниченной этими лучами области D интеграл %8(F)
сходится равномерно относительно своего верхнего предела, иными
словами, для любого числа о>0 найдется такое число Т, что при
7'^<о1<ш2 имеет место неравенство
ш8
j e-stF(t)dt\<o,
каково бы ни было 5 из D.
В самом деле, возьмем некоторое о > 0 и выберем такое г > О,
что (2-J-l/cos<p)e < о. Положим
t
и найдем такое Т(е\ что ||(*)|<е при t^T.
Интегрируя по частям, имеем
ш1 "I
Г e~st F(t)dt= Г e-(«-*o)t e-*o« F (/) dt =
t = w-
= — <?-(»-«*> * <j> (f) — (s — s0) f e-(«-»o) *<ji (t) dt,
И При TOj < <D2
I [e-stF(t)dt <e-'B^(8-8o)|<j*(a)2)|-|-e-<»1B(8-s«)|<j*(a)1)|-f-
+ l5 —5ol f e-B<e-«°>*|<J»(0|<#<
+00
<eL-a.,if(g-»0)_|_e-o.1K(8-80)_[_|5_5o| f e-Bte-e»)*^!—
= a [«—^(«-«u)4- «-щ1й(*-»»M—Is 'Sr>^ e-BCs-so)•«>, 1.
L ' ~/?(s —s0) J
Но в области D R (s — s0)>0, е-ш'в (*-8»> < 1, e-"»8 <"-»«)< 1,
15 — s0\/R(s— s^^l/coscp, а поэтому, если 5 лежит в D, то
I f «-•'/7«)««'|<f2 4 —)е<в.
|J w I \ l cos <p / ^
Теорема доказана.
13*

196 Гл. Я. Операционные Методы. Преббрйздвание ЛаплйЬа
Заметим еще, что
|/(S)| = | J e-**F(t)dt
о
<
*"1
f e-"*F\t)dt -\-s.
Но
0>l OJj
I Г е~°* F(t)dt\ = 1 f e-(«-*J*e-M F(f)dt
<
< f e-R(s-8»)* | e-V F(t)\dt<c( e-tR°»\ F(t)\ dt,
и поэтому функция |/,(s) | ограничена в D.
ж) Заметим, что в формуле (6) законно дифференцирование по s
под знаком интеграла в полуплоскости Rs > £; в самом деле,
справедлива следующая теорема Пинкерле <см. Деч [1]), стр. 43): Если
/(s) = gs {/="), то в любой точке•■ $•; такой, что Rs>$, имеет
место равенство
+00
/<»)(s) = (—1)»J e-»ft»F(t)dt (n=\, 2, ...),
о
m. е.
/<»>(*) = 2{(-О"/7}, [#*>р].
Таким образом, функция f(s) голоморфна внутри полуплоскости
Rs > p, и ее производная получается по правилу дифференцирования
под знаком интеграла.
з) Введем, наконец, двустороннее преобразование Лапласа.
Если заменить в интеграле Лапласа (2) t на —t, то получим
интеграл
J e»*F(t)
dt.
Очевидно, что если этот интеграл сходится- при s = s0) то он
сходится и при всех значениях s, таких, что Rs < Rs0.
Двусторонним преобразованием Лапласа функции F(f) называется
интеграл
+оо
2ц {F(t); s } = /(s) = J е-"Т&) dt,
— 00
т. е.
.,->+„,.,->+<> Г e-*tF(f)di+ [e-°tF(f)dt\

§6. Преобразование Лапласа
197
где zv е2, a>v ша независимо друг от друга стремятся к
Соответствующим пределам. Двустороннее преобразование Лапласа
обозначается также Йп {F}, 28п {F}, Йи { F; s).
Для двустороннего преобразования Лапласа говорят обычно о пологе
сходимости, т. е. о части плоскости — рх < Rs < {32, в которой
сходится интеграл.
2. Преобразования Лапласа для некоторых функций, а) Мы
укажем здесь преобразования Лапласа для некоторых часто
встречающихся функций (весьма полные таблицы преобразований Лапласа
содержатся в книге Деча [1], стр. 401—403 х).
+ 00
Пусть F(f)=l, g8(l)=f \e~8t^сходится при Rs >0 и рас-
о
ходится при Rs^O; кроме того,
2.1И =4- W
б) Пусть F(t) = 0 при 0<[*< a, F(t)= 1 при *>а; тогда при
Rs>0 имеем
+ 00
8.
_ с . Г*-8*1+0° e-as
0 — 0,8
28{^}=V- (11)
в) Пусть F (t) = /*, где t* обозначает главное значение степени,
и пусть Ra. > — 1. Интеграл Лапласа сходится при Rs > 0, и
подстановка st = х дает
+ СО +ОЭ
О О
а поэтому
2.{^}=^+TL!- при Яа> —1 и Я*>0. (Ill)
г) Пусть F(f)^=eat, где а—действительное или комплексное
число; при Rs> Re имеем
+ 00 +О0
О О
поэтому
2.{«в*}-=л^' (IV)
!) См. также В. А. Диткин и П. И. Кузнецов [1].-^ Прим. переь.
2) См. гл. III, § 6, п. 2, примечание на стр. 144-^-145.

198 Гл. X. Операционные методы. Преобразование Лапласа
д) Пусть F(t) = chct = (ect-\-e~ct)/2, где с — комплексное число.
При Rs > | Re ] имеемJ)
а поэтому
2ЛсЬ^}=5^. (V,)
Аналогично, при Rs > | Re | имеем
2,{sh^)=^j. (V2)
е) Пусть F (0 = cos bt, где ft — комплексное число. Имеем
при /?s>Max [tfift, /?(—#)] = Мах [—/*, /*] = |/*|, т. е.
2s{cos«}=^5 при Я*>|Я|. (VI,)
Аналогично
8. {*"«}=?£* при /fc>|/*|. (VI2)
ж) По определению гамма-функции или интеграла Эйлера второго
рода имеем при {3 > 0
+оо
Г (р) == J* e-tfi-idt.
о
Дифференцируя по (3, получаем
+ 0О
Г.Ф) = f e-t$~x\ntdU
о
и, в частности,
+ 0О
Г'(1)== Г e~t\r\tdt—постоянная Эйлера — Маскерони.
о
Полагая в последнем равенстве t = sx, где s > 0, получаем
+ 0О
Г'(1)=| e-"Qus + lux)sdx =
о
+ 0О +0О
= slns Г е~вт rfx-j-s Г e-az\n-zdz = \ns-\-sie{\ut}.
!) Напомним, что через /?а и /о мы обозначаем соответственно
действительную и мнимую часта числа о.

,$ 6. Преобразование Лапласа 199
Следовательно,
Й.{Ш*}-^-^. (VII)
Обе части этого равенства голоморфны в полуплоскости Rs > О,
а потому равенство справедливо при Rs > 0.
3. Преобразование Лапласа для производных, а) Для того чтобы
вычислить gf/7^; s], используем следующую теорему: Если 8{Ф}
t
сходится при s0 > 0, то при s0 сходится и 8 | |Ф(т)а(т:, s0 \,
о
причем
t +0О
s08 { f Ф (t) dx\ s0} = s0 jf e~*J [ J" Ф (т) л] Л =
0 0 0
+oo
= J «-**Ф'(0Л = 8{Ф; s0}.
Кроме того, при любом s. (действительном или комплексном),
таком, что Rs > sQ, имеет место равенство
t +СО t
ss{ [ф(т)<*т; *} = * j e-st\j<f>(z)dz\dt =
0 0 0
+ oo
= Г е-«*Ф(/)Л=8{Ф; s}.
о
Полагая
X t
<1»(лг)= Ге-МЛ ^ф.(т)Л, G (*) = e'V'H*). H(x)=e*<f°,
имеем lim Я (л:) =s со, Я' (л:) = s0e3^ =£ 0 и, по обобщенному правилу
а;->оо
Лопиталя (см. Леттенмейер [1]),
lim <K*)= llm£W= Hm G' (*) —
ж ->co ж-»оо // (-«) ат-х» Н' (х)

200 Гл. X. Операционные методы. Преобразование Лапласа
Но
XT SO
S($ -\- if' = s0 j e-a<f dt J* Ф (?) dx -j- e-w j ф (*) dx =
0 0 0
* x
= Г_ e-o-f J Ф (t) dx 1 ~X + J e-"°'Ф (О Л 4-
0 0
а; ж
_|_ e-w Сф^ах = j е~*>*Ф(t) dt,
о о
Hm AM = if e-*f$(t)dt,
и потому
ИЛИ
+ CO Т.
о о
Эта формула справедлива при любом действительном s > s0, и
в силу голоморфности обеих частей формулы в полуплоскости Rs > s0
она справедлива и при Rs > s0. Теорема доказана.
б) Пусть функция F(t) определена при *>>0, абсолютно
непрерывна на любом конечном отрезке, и пусть ее производная F' (t)
принадлежит классу L.
. По известному свойству абсолютно непрерывных функций х) имеем
F(t) = F(0) + $F'(x)dx.
о
Полагая в доказанной в „а" теореме ф(/) = F' (f), получаем
* +00
$<b(x)dx = F(l) — F(0), %{F(0); s} = F(0) J e-^dt = ^p,
о о
. s%{F(t); s}-F(0) = 2{F'(t); s}.
Отсюда вытекает следующая теорема: Если функция F(t) определена
при t^-О и абсолютно непрерывна на каждом конечном отрезке,
а й {F'} сходится при некотором действительном значении
sQ > 0, то й { F} также сходится при s0, причем
Sf/7'; s0}=s04{F; s0} — F(0),
l) См. П. С. Александров и А. Н. Колмогоров [1], стр. 264. — Прим.
перев.

§ 6. Преобразование Лапласа 201
а при Rs > s0 имеет место аналогичная формула
Z[F'; s}=s2{F; s} — F(0).
Из доказанной теоремы вытекает: Если функция F(t) обладает
при />-0 производными F', F", ..., /?(',_1'(v>-1) и если
функция /^-У абсолютно непрерывна на любом конечном отрезке,
а g {FM; s} сходится при некотором действительном значении
50>0, то при s0 сходятся и 2{F}, g {F'},..., g{ F('-V),
причем
S { FW; s0 } = s-S { F; s0 }-F(0) s^1 -F' (0)sJ-«-... -/><»-«(0).
/7/?я /?s > s0 имеет место аналогичная формула
g { /*Ю; s } =s-g { F; s } — ^(O) sv-i_/7' (0)s—>_ ... — /'(•'-«(О).
4. О соответствии между оригиналом и изображением.
Характер соответствия между оригиналом и изображением уточняется
следующей теоремой Лерха ([1], стр. 347):
Если интеграл Лапласа
+ СО
/(s) = J e-*F{t)dt
о
сходится при s = s0 и если изображение обращается в нуль в
точках s = s0-j- no, о > 0, л = 1, 2, ..., то
t
f F(t)dt=0 при />0. (7)
о
Отсюда следует, что функция F (f) почти всюду равна нулю, т. е.
равна нулю всюду, за исключением множества меры нуль 1).
В самом деле при Rs>Rs0 (п. 1, „б")
+ 00
/ (S) == (s _ Sq) J в -С-8»)«Ф (0 dt,
о
где
*
Ф(/) = Г g-v/7 (т) </т,
о
и по сделанному предположению
+0О
о
J) См. П. С. Александров и А. Н. Колмогоров [1], стр. 235. — Ярил.
перев.

202 Гл. X. Операционные методы. Преобразование Лапласа
Полагая
е-"* = х, —?t = \nx, t= — (\nх)/о, Ф (— ~\ = -} (х),
получаем
1 f xn-^(x)dx = 0 («=1,2,...).
о
Но ty(x) — непрерывная функция, а потому если все ее моменты равны
нулю, то она тождественно равна нулю 1). Таким образом,
*
Г e-s^F (т) dx = 0 (*>0).
о
Полагая теперь
t
f F(z)dx=GXt),
получаем
(8)
0
■z = t t
0 = e-^G (x)
—j— -Sq Г e-8"rG (x) dx,
t = 0 0
*
G (0 + s0e8»*
le-^G(x)dx = 0,
0
и, дифференцируя по t, имеем
& (t) -f s0 \s0es<t j* e-vo (x) dx-j-G (*)] = 0.
В силу (8)
G'(0 = 0, G(Q= const.
Ho G(0)=0, откуда и следует справедливость формулы (7).
Теорема доказана.
Из доказанной теоремы вытекает следствие: Пусть gg { Ft} =
= g8{/72} при Rs > р, или же gs{ Z7!} = gs { F2}e бесконечном
множестве точек, расположенных на действительной оси или на
прямой, параллельной действительной оси, и образующих
возрастающую арифметическую прогрессию; тогда почти всюду Ft {t) =
= F2(t).
В частности, если функции Ft{t) и F2(t) непрерывны, то
Ft (0 = /%(')•
!) См. И. П. Натансон [2], стр. 433. — Прим. перев.

§ 6. Преобразование Лапласа
203
5. Т«орема о свертке, а) Перейдем теперь к изучению понятия
свертки двух функций, которое понадобится нам в следующем
параграфе при рассмотрении приложений преобразования Лапласа к
решению систем дифференциальных уравнений.
Назовем сверткой двух функций Ft(t) и F2{f) класса 1 и
обозначим через Fx * F2 функцию F(t), определяемую равенством
t
Г С) = j F1 (х) F2 (t _ х) dx = /^ * /V (9)
о
Очевидно, что
F1*F9 = Fi*F1. (10)
В „г" мы проверим, что
{F1*F2)*FS = F1*(F2^F^. (11)
б) Имеет место следующая теорема:
Если функции Ft (t), Ft (f), F2 (t) принадлежат классу 1 и если
существует lim F. (t) = F. (0), то при любом значении t, для ко-
торого функция F2(t) является производной справа (слева) от
t
Г F2(y) dx, в частности, в любой точке непрерывности F2(f), функ-
0
ция Ф (t) = Ft* F2 имеет производную справа (слева), причем
Ф,(0 = /71*/78+'71(0)'79(')- (12)
В самом деле,
Ф®= f Р*(*—*){$ Fi(x)dx + F1{0)}dx =
о о
t z t
= J F2 (t — x) dx j F[ (x) dx~\- Ft (0) j F2 (t — x) Л.
8 0 0
Сделаем в первом интеграле замену переменных у = — x-\-x-\-t,
z = x, а во втором —замену t — х = и. Тогда мы получим, что
t у t
Ф(0 = J dy j F[(z) F2(y—z)dz+F1(0)$ F2(u)du.
0 0- 0
Дифференцируя обе части, убеждаемся в справедливости формулы (12).
в) Имеет место следующая теорема о свертке:
Если при s = s0 интегралы SJ/^} и %{F2} абсолютно сходятся,
то и й}/7!* F2] абсолютно сходится при s = s0, причем
8{/71*/?8} = 2{П}8{/78}. (13)

204 Гл. X. Операционные методы. Преобразование Лапласа
Из предположения об абсолютной сходимости й}/^} и 8 {F2}
следует, что
+ 0О +СО
Zi^i) *[?*) = f e-^F^duj e~^F2(v)dv =
о о
= jj e-3o(u+^F1(u)F2(v)dudv.
Замена переменных u = t—т, v = t дает нам, что
2 {/Ч) 2 {/%} = // e-°JF1(t—x)F^)dtdx =
+ оо f
= / e-«rjFl(^_т)/7^)^.
о о
Теорема доказана.
г) Легко доказать теперь справедливость формулы (II,).
Пусть функции Ft(f), F2(t), Fs(f) являются функциями класса 1
при 0<^<Т; положим F1(f)==0, /=у(*)=зО, F3(f)s=0 при t>T,
Тогда й^}, 8 {Fv}, %(Fi * F2} абсолютно сходятся при любом s и
по формуле (13) имеем
8 {(F, * F2) * F3} =8 [Fx * F2} 8 {/*„} = 8 {Ft} • 8 {F2} • Sj^},
8 {/4 * (F2 * F3)} = 8 {FJ 8 {/%} 8 {/%,},
поэтому 8 {(Z7! * Z7,,) * Fn— Fj * (Z7,, * F3)} = 0, и в силу
непрерывности (Z7! * F2) * Fg — Fj * (/^ * Fg) (см. п. 4) равенство (11) имеет
место.
6. Преобразование Лапласа целых функций экспоненциального
типа. Формула обращения Пинкёрле. а) Следующие теоремы
служат для получения формулы обращения Пинкёрле интеграла Лапласа
в комплексной области (Пинкёрле ]3], стр. 127).
Для того чтобы радиус сходимости ряда
СО
был конечен, т. е. для того чтобы этот ряд не расходился при
всех значениях s, необходимо и достаточно, чтобы функция F (0>
00
^(O^SS^ (15)
п = 0
была целой функцией экспоненциального типа.

$ 6. Преобразование Лаплаба 'Ж
Напомним, что по введенному Прингсгеймом определению целая
функция F(t) называется функцией первого порядка нормального
типа р или, короче, функцией экспоненциального типа, если для
любого f\ > 0 при достаточно больших значениях |/| имеет место
неравенство
]F(0|<e(P+4)l*l. (16)
Докажем теперь, что указанное нами условие необходимо.
Пусть радиус сходимости р ряда (14) конечен, т. е. пусть этот
ряд сходится при | s | > р; по теореме Коши — Адамара г) имеем
п-»оо
Поэтому для любого е > 0 найдется такое целое число N, что при
п > N имеем \ап\ < (рЦ-е)»1. Следовательно, найдется и такое число
А > О, что
К1<Л(р+е)« (я = 0, 1, ...).
Ряд, составленный из модулей членов ряда (15), мажорируется
рядом
00
п=о
и сходится при любом t; отсюда следует, что | F(t) | < Ле(Р+*)<, чем
и доказана справедливость неравенства (16).
Можно доказать также и достаточность нашего условия (см. Деч[1],
стр. 62—63).
б) Если функция F(f) в (15) является целой функцией
экспоненциального типа, то ряд (14) имеет конечный радиус
сходимости р, и при Rs > p имеем
+оо
f(s) = 28{F} = f e-*F(f)dt,
о
т. е. функция f(s) может быть представлена интегралом Лапласа
в полуплоскости Rs > р.
Обратно, функция F(t) при любом значении t дается
интегралом
F(t) = ±:$et°f(s)ds
о
(формула обращения Линкерwe), где С — любой пробегаемый в
положительном направлении замкнутый путь, ограничивающий
область, внутри которой, лежит круг радиуса р с центром в
начале координат.
J) См. И. И. Привалов [1], стр. 65. — Прим. перев.

206 Гл* X. Операционные методы. Преобразование Лаплаба
В самом деле, из изложенного в „а" следует, что
|/7(0|<Ле(Р+')1*1.
Но так как при Rs > р имеем
+оо
0 0 0
то интеграл J e~stF{f)dt сходится при Rs > р.
о
Но тогда
+ <Ю +00
f e-«F(t)dt=f e-°* 2 TrtH*'
П=0
и так так в правой части законно почленное интегрирование1), то
[см. п. 2, (111)]
я! ** s"
n=oo n=o
J) Мы используем здесь следующую теорему: пусть функции <р(г),
оо
/«(О (я=0, 1, ...) принадлежат классу 1, а ряд 2/» С) Равномерно схо-
и=0
дится в любом конечном отрезке [а, Ь], 0<д<^<6. Тогда равенство
J T(o(S/n(o)<tf=-2 *(о/.(ол
о »=о »=оJ
справедливо, если выполняется одно из следующих двух условий: интеграл
+»
J 1*Ю1{21/»(91}л
о п=о
ОО +°°
сходится или ряд 2 Г I <Р (О 11/п (0 1Л сходится (см. Бромвич [1], стр. 500).
»=о о
В нашем случае
?<о = «-*. . 2L «л»«i = S. | ж *" I < *»
следовательно, если /?s>p, то выполняется первое из сформулированных
выше условий.

§ 6. Преобразование Лапласа 207
Наоборот, если мы рассмотрим интеграл -н-^ I etsf(s)ds, взятый
с
вдоль указанного в формулировке замкнутого пути С, и заметим, что
ряд V и" ■ равномерно сходится, когда s изменяется вдоль С, то
« = 0
получим, что
С? О и = 0 п = 0 (7
Но по теореме Коши
1 dneu
2«/ ^ sn+1 л! dsn
п
в=о л!
следовательно
со
О м = 0
Теорема доказана.
7. Формулы обращения для преобразований Фурье и Лапласа.
а) Для того чтобы получить другие формулы обращения интеграла
Лапласа, напомним теорему обращения для интеграла Фурье (Титч-
марш [1], стр. 58).
Пусть функция F(x) действительна и регулярна1) при любом
действительном значении х, интегрируема в смысле Лебега на любом
конечном отрезке, и пусть несобственные интегралы от этой функции
на промежутках (—оо, —а), (а, -(-оо), а>0 абсолютно сходятся.
Тогда при любом конечном значении действительной переменной у
+п
существует lim Г e~iyxF{x)dx, или, как говорят, существует глав-
П ->оо •* +00
-п .
ное значение по Коши интеграла e~lvxF{x)dx. Функция (ком-
— оо
плексная) действительной переменной у,
+ СО
f(y) = V. P. j e-{vxF(x)dx = %{F(x); у},2) (17)
—оо
называется преобразованием Фурье функции F(x).
х) Термин регулярная функция означает, что все точки разрыва такой
функции F (х) являются точками разрыва первого рода, причем в этих точках
2Н (х) = F (х + 0) + F (х — 0).
2) Символ V. Р. перед интегралом обозначает, что интеграл понимается
в смысле главного значения по Коши. Символ % обозначает преобразование
Фурье.

208 Гл. Я. Операционные методы. Преобразбвание Лапласа
Теорема обращения для интеграла Фурье гласит, что при
указанных выше предположениях для любого значения л:, в некоторой
Окрестности которого функция F(x) имеет ограниченное изменение, имеет
место формула обращения Фурье
F{x) = V. Р.± f e**vf(y)dy. (18)
— ю
б) Пусть теперь функция F (t) регулярна при любом
действительном значении t, интегрируема в смысле Лебега на любом
конечном отрезке, и пусть при аа < х < а2 сходится интеграл
f e~<"\F(f)\dt.
—со
В формуле двустороннего преобразования Лапласа
f(s)= J" «-•'/*(9<ff (19)
интеграл в правой части равенства абсолютно сходится при ах < Rs < a2.
Если положить s = x-\-iy, то
+ео
/(* + iy)= / e-iyt [e-**F (f)] dt,
— CO
и если функция F(t) имеет ограниченное изменение в некоторой
окрестности точки t, то по формуле обращения Фурье (18) имеем
+0О
e-XtF (f) = у. P. jj- J ««»/ (* + (У) <У.
—оо
Поэтому
+00
F(f) = V. Р. -1- J в*«-+«/(* + iy)dy [«,<*< a,]. (20)
—оо
Таким образом, я/?и сделанных относительно F(t)
предположениях для любой точки t, в некоторой окрестности которой
функция F (f) имеет ограниченное изменение, имеет место формула
обращения (20) для преобразования (19).
Если сделать в формуле (20) замену переменной x-\-iy = s, то
получим также
0! + {0О
F (f) = V. Р. -JL j ■ e*°f(s)ds [a, < х < а,1. (20')
X—<00

§ 7. Приложения преобразования Лапласа 209
Эта формула показывает, что правая часть не зависит от абсциссы лг
прямолинейного пути интегрирования, концы которого лежат в
бесконечности в точках лг — ico, лг-j-ioo.
в) Из доказанной выше теоремы можно получить формулу
обращения Лапласа для односторонних преобразований Лапласа.
Пусть, в самом деле, функция F(l) действительна и определена
при *>-0. Положим F(t) = 0 при *<0. Тогда справедлива
следующая теорема: Пусть действительная функция F(t) определена
при t^-О, регулярна, ограничена и измерима в смысле Лебега на
любом конечном отрезке [tv t2], 0 ^ tt < t2, и пусть существует
конечный предел
со
11m \\F(t)\dt,
а преобразование Лапласа
+оо
/(s) = J" e~stF(t)dt (21)
. о
абсолютно сходится при Rs > а. Тогда, если функция F(f) имеет
ограниченное изменение в некоторой окрестности точки t > 0,
то имеет место формула обращения
x+iaa
F(t) = \. P. 2^- J e*i(s)ds (*>«). (22)
x—ico
В случае же, когда функция F(t) имеет ограниченное изменение
на некотором отрезке вида [0, /], то для применения формулы (22)
в точке £ = 0 надо заменить в левой части F{t) на lim F(t)j2.
<->+о
§ 7. Приложения преобразования Лапласа к дифференциальным
уравнениям, коэффициентами которых являются постоянные или
многочлены, и к системам дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами
1. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами. Нахождение решения,
удовлетворяющего начальным условиям, а) Этот параграф посвящен. решению
задачи Коши для дифференциальных уравнений и систем
дифференциальных уравнений *).
1) См. Деч [2], стр. 24, [31, [1], стр. 321—339, Стахо [1], ван дер Поль [1].
Вместо преобразования Лапласа для решения систем дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами может быть использовано
преобразование Фурье, которое мы напомнили в § 6 п. 7 (см. Кембелл и Фостер
[1], Левинсон [1]).
14 За*. 1072. Дж. Сансоне

210 Гл. X. Операционные методы. Преобразование Лапласа
Как уже было отмечено в § 5, п. 1, метод решения состоит
в переходе от заданных уравнений к уравнениям относительно
преобразований Лапласа искомых функций. Это преобразование упрощает
задачу, и мы можем найти изображения искомых функций, после чего
можно.найти искомые функции по формулам обращения для
преобразований Лапласа.
Отметим, что этот метод имеет особое практическое значение,
так как при его применении можно пользоваться таблицами,
содержащими преобразования Лапласа многих часто встречающихся функцийх).
б) Пусть дано уравнение
p(D)Y=F(t) (D = d/dt), (l)
где
p(D)Y = YW 4-вп_1К(»-Ч +яи_2К(»-2) + ... Ч-в^Ч- a0Y,
а0, av ..., an^t — постоянные, функция F(t) непрерывна при t^.0
и принадлежит классу L2), и пусть требуется найти решение
уравнения (1) при заданных значениях К(0), К'(0) К(га_1)(0).
Предположим, что Y(n) (t) является функцией класса L; тогда и
функции Y^-V, . . ., Y', Y принадлежат этому классу. Преобразуя
обе части уравнения (1) с помощью преобразования Лапласа и полагая
+ оо +оо
g{K} = J e-»tY(f)dt = y{s)t 2{H = J e-^F(t)dt = f(s),
о о
получаем (§ 6, п. 3, „б")
s«y—[Y(0)sn-1 + K/(0)s»-2+ • • • + Y(n~l) (0)] +
-Мп_, {s»-i.y —[K(0)s»-»+ r(0)s»-s-f- . .. -4- K(n-e) (0)]} +
+ +
+.ai{Sy—Y(0)} +
откуда
/ч /fo) I y(Q.s»-i + a„-1s»-*+...+ais + a1 ■
У *• ' p (s) ~T~ ( ' p(s) '
+ ... + K(»-»(0)i±^-+K(«-i)(0)7b| (2)
p (S) = sn_|_an_lS"-1 +an_2sn-* -Ц ... -|- a,s + a0.
x) См., например, В. А. Диткин и П. И. Кузнецов [1]. — Прим. перев.
2) Метод может быть применен и в случае, когда функция F(t)
непрерывна при (>0и принадлежит классу L, а начальные условия имеют вид
lim К(0= К(0), .... lira К<га-,)(0= Кга_!(0).
f->+0 i->+0

§ 7. Приложения преобразования Лапласа 211
Таким образом, мы нашли функцию y(s). Обращая теперь
функциональное уравнение 8 {К} —y(s), мы найдем искомую функцию Y(t).
Выполним это обращение.
в) Начнем с построения частного решения уравнения (1),
удовлетворяющего начальным данным
У(0)=Г(0)= ... = УХ"-1) (0) = 0 (3)
(существование и единственность такого решения доказаны в гл. II,
§ 1, п. 1, „в").
Пусть корни pv р2, ...., рп характеристического уравненияр(р)=0
попарно различны (р' (pv) ф 0). Тогда
q{s)~ P(s)—2ds-u, >
где числа dk равны вычетам функции q (s) в точках рк, т. е.
п
1
9(s)-Sp'Cp»)(—р»)'
Следовательно [§ 6, п. 2, (IV)],
или
где
Р' (Рк)
fc=i А о
1
*(s)=ш=J e~stQ {i) dt=й {<? оь
0
ею-ЕтЬ'*- w
fc=i
Принимая во внимание формулы (2) и (3) и применяя теорему
о свертке (§ 6, п. 5), имеем
i{Y(t)) =у(8)=/(8)-^ = Ъ [F(t)) 2{Q(t)} = Z{F(t)*Q(t)}
и, следовательно,
Y(t) = F(t) * Q(t) = ^ /40 * ^щ •
fc=i
Таким образом, мы получили искомую формулу
/»7 (л)
ft = l 0
14*

212 Гл. X. Операционные методы. Преобразование Лапласа
Докажем непосредственно, что функция Y(t) удовлетворяет
уравнению (1) и начальным условиям (3). Для этого покажем
сначала, что
Q (0) = Q' (0) = ... = QC-2) (0) = 0; Qi»-1) (0) = 1. (5)
В самом деле, функция Q(t) является целой функцией
экспоненциального типа, причем
fc=o
По теореме Пинкерле (§ 6, п. 6, „б")
fc = 0
Но p(s) является многочленом степени п от s, и коэффициент при sn
в р (s) равен 1; поэтому
^^==~pWZ=~^r s^+i"' "s^TF r • •• • (')
Сравнивая формулы (6) и (7), убеждаемся в справедливости
равенств (5).
Принимая во внимание выражение (4) для Q(f), мы можем
записать равенства (5) в виде
у ej _Г 0 при 0</<л — 2,
^p'(ffc) \i при 1 = п— 1.
При / = 0, 1 я—2 эти формулы были уже получены нами
в гл. VII, § 3, п. 1, „г".
Из формулы
Y(t) = F\t)*Q{t)
мы выводим последовательно, принимая во внимание (5), что
Y' (f) = F (t) * Q' (t) Y<*~V (t) = /=■(*)* Q<»-i> (0.
yW (Q = F (f) * Q(«0 (Q -f F (*)
(cm. § 6, n. 5, „б"). Поэтому Y(t) удовлетворяет начальным
условиям (3).

5 7. Приложения преобразования Лапласа 213
Кроме того, имеем
= F (/) * [QM> (f) + an_t Q(»-i> (t) + .. . + a0Q (Q] + F (0 =-
Наше утверждение доказано.
г) Построим теперь решение уравнения (1), удовлетворяющее
начальным условиям (3), в случае, когда различные корни pv p2 рг
характеристического уравнения имеют соответственно кратности
V v2 \ (vi + V-f:....+vr = ii).
По известной теореме алгебры можно положить
Л=1
(s —Ра)
где, согласно теории вычетов, dk^ выражаются следующим образом:
о
Здесь С—пробегаемый в положительном направлении простой
замкнутый контур, окружающий точку s = pR, причем этот контур
настолько мал, что все остальные корни характеристического уравнения
лежат вне С1).
Но тогда 2)
q(s)=j e~'>*Q(f)dt=Z{Q(t)}, (9,)
о
где
Г у -1
Q(0 = £ К+^1Т + • • • + <Ч т^Т)г]^ (9?)
Так как
2 { ^(9} =У (s) =/ (5) — =/(*) <7 (s) =
= 2{F(*)}2{Q(9}==2{F(9*Q(9}.
!) Числа rfA(l можно также найти, освободившись в формуле (8) от
дробей и сравнив коэффициенты при одинаковых степенях s.
2) Заметим, что в силу формулы (III) из § 6, п. 2, лри /?а>—I,
#(*— р)>0 имеем
а п >* г/

214 Гл. X. Операционные методы. Преобразование Лапласа
то
Y(t) = F(f)*Q(f)
или
г t ч —1
fc = l О
Можно доказать, независимо от теоремы существования и
единственности решения, удовлетворяющего данным начальным условиям,
что полученная из формулы (I') функция Y (f) удовлетворяет
уравнению (1) и начальным условиям (3) (см. Деч [1], стр. 327).
д) Для того, чтобы решить задачу Коши для уравнения (1),
достаточно предварительно построить решения Ub однородного
уравнения p(D)Y = 0, удовлетворяющие начальным условиям
17,(0) = 0, 1/,'(0) = 0 yf-1>(0) = 0, 1 (10)
Uf (0) = 1, t/?+1) (0) = 0, . .., Ut~l) (0) = 0. j
В самом деле, тогда решение уравнения (1), принимающее вместе
со своими производными до (и — )1-го порядка включительно
заданные значения К(0), Г(0), .... ^"""^(О), имеет вид
к(о=2«'*' / К+**«^+• ■ • +<ч(f(~li)! У^F w Л+
fc = l 0
п-1
+2K<,)(0>t/»w- (11)
г=о
Для определения Ut(t) рассмотрим их преобразования
Лапласа yi(s); имеем
+ оо
Л (*) = /• e-tUt(t)dt,
о
и из (2) следует, что
„та —г—1 _i _ jn—1-l _i_ | „
J»,(S)=- +Дп-18 + ■•• +<*/+! (/ = 0, 1, 2, .... Л— 1).
Из (8) и (9j) следует, что
\lp{s) = q(s) = Z{Q(t)},
а из (5) получаем *) в силу результатов, полученных в § 6,
п. 3, „б", что
g{Q(v)}=54g{Q} (v = l, 2 ,.и—1),
2{QW}=srag{Q} —1.
*) Рассуждения, с помощью которых были установлены равенства (5),
сохраняют свою силу и в случае, когда уравнение р (s) ==0 имеет кратнце;
корни,

§ 7. Приложения преобразования Лапласа
215
Отсюда следует, что
-г СО
J* e-«Ul(f)dt = yl(s) =
о
+ со
= J" e^[Q^-i-nit) + an_1Q(n-i-2)(t)+ . . < +в1Н(?(01Л,
о
а поэтому
£/, (0 = Q(»-'-D (0 + ап_х Q<»-?-a) (0 + ■ ■ ■ + «,+1 Q (0 (12)
(/=0, 1, . ... и—1; ап=\).
Формулы (11) а (12), где Q(t) дается выражением (9.2), решают
поставленную задачу.
2. Дифференциальные уравнения, коэффициентами которых
являются многочлены. В § 5, п. 2, мы рассматривали
дифференциальное уравнение и-го порядка, коэффициентами которого были
многочлены первой степени относительно независимой переменной
(уравнения Лапласа). Мы показали, что можно найти решения этих
уравнений с помощью частного вида преобразования Лапласа. Укажем
кратко на причину, по которой применение преобразования Лапласа
оказалось удачным.
Пусть дано уравнение
^я) + «и-1(0 Y(«~V + an_,(t) У<»-*> + . . . +
+ a1(t)Y' + a0(t)Y=F(t), (13)
где a0(t), ax{f) «n-i(0 — многочлены степени т от t и Fit)—■
непрерывная при t^> 0 функция класса L,
Полагая
y(s) = 2[Y(f)},.
имеем (§ 6, п. 1, „ж", п. 3, „б")
+ оо +оо
о о
= (-1 )* jp \siy (s) — Y (0) sl -»— Y' (0) s1'2 — .. . — YJ- D (0)]
(& = 0, 1 m).
Таким образом, если применить к обеим частям заданного
уравнения (13) преобразование Лапласа, то оно превратится в
дифференциальное уравнение т-го порядка относительно изображения y(s)
функции Y(t), Если т < п (в частности, если /#==!), то задача
упрощается.

216 Гл. X. Операционные методы. Преобразование Лапласа
3. Системы линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами. Нахождение решения,
удовлетворяющего начальным условиям, а) Рассмотрим систему уравнений
рп (D) Г, + Рп (D) Г2+... +/>,„ (D) Yn = F, (О,
рп (D) Kt + pM (D) У8+... +р2й (D)Yn = F2 (О,
/>«i (D) Yt+pni (OJ Уа+ ... +рйй (Я) У„ = F„ (/), )
(14)
где Fj (О, F2 (/), .... F„ (/) — заданные функции от t, непрерывные
при £;>0 и принадлежащие классу L, Yv К2, .... Yn — искомые
функции, a Pcfe(O) — линейные дифференциальные операторы с
постоянными коэффициентами. Будем для простоты считать их
операторами второго порядка
/»e(D) = a«D»+ft„D+crt. (15)
(/, k=l, 2, ..., п; ailt, bik, ci]c—постоянные).
Поставим задачу (Коши) об определении решения Уг((),
Y9(t), .... Yn(t) no заданным начальным значениям Yk(0),
К(0)(* = 1, 2 л).
Выполняя преобразование Лапласа над каждым из уравнений
системы (14) и полагая
2{К*}=Л(5), 2{Ft}=/fc (* = 1, 2 л), (16)
получим для нахождения функций yv у% уп систему Линейных
уравнений (§ 6, п. 3, „б"):
Рп OO-Vi+Pis 00 Уъ + • • • +Pi» (*).Уп =
fc=l fe=l
P21 (*)Л + P22 00-У2+ • • • +P2« (5)Уп =
=/2 00+2 (««*+*«) Yu (0)+S e8kyi(0).
Ли («)Л+Л« (*)Л+ • • • +Pnn (s)yn =
=/«00 + 21 (««** + *„*) ^ (0) + 2 e„fcyi (0).
fe=i
ft=i
(17)
б) Для решения поставленной задачи поступаем так же, как и
в п. 1. Предположим, что требуется найти решение системы (14),
удовлетворяющее начальным условиям
rft(0)=rfe(0) = 0 (й=1, 2, ..-, л),
(18)

§ 7. Приложения преобразования Лапласа 217
Тогда система (17) примет вид
Ри (*)Л + • • • +Pwis)yn = Д (*)f.
Полагая
Рш(*)Л +
Д(5) =
'+Рпп(5).Уп=/пО)-
Puis) ••• Pi«(«)
PmOO ••■ PnnW
(19)
(20)
и обозначая через Д,-й (5) алгебраическое дополнение элемента pik (s)
в Д(5), получаем из системы (19), что
п
М«)Л(«) = 2 4|»(«)/|(«).(*=и и). (21)
При сделанных нами предположениях A(s) и Агй(^) являются
многочленами, степень которых не превосходит соответственно 2и и
2(и—1).
в) Рассмотрим крайние случаи, когда A(s) либо имеет Степень 2й,
либо тождественно равно нулю.
Предположим сначала, что степень A(s) равна 2й (это
предположение сохраняется и в „г" и „д")1).
Тогда из системы (21) получаем, что
Соответствующие Yk{f) находятся так же, как и в предыдущем
пункте.
Предположим, что корни pv p2 рг характеристического
уравнения Д (s) = 0 имеют соответственно кратности vt, v2 vr
(vi ~\~ v2 ~\~ • • • 4" vr — 2и). Так как степень Дг&($) меньше степени
Д (s), то можно найти вполне определенные числа щ , такие, что
имеет место тождество
A;fc (s)
А(*)
, _ у г 4f
<_1
Если обозначить через Qik(f) такую функцию, что
*«ЬЮ) =^f'
(22J
!) Если степень Д (s) меньше, чем 2я, и Д (s) не равно тождественно
нулю, то для нахождения решения по начальным условиям удобно перейтц
к диагональной системе, эквивалентной данной системе (§ 3, ц, 2 И 3).

218 Гл. X. Операционные методы. Преобразование Лапласа
то (см. (92))
Л"1
<=i
С помощью обычных рассуждений получаем соотношение
п
Уч (0 = 2 Qi* (0 * Fi (0 №. * (0) = 0].
;=i
(23)
Нетрудно проверить, что если Ft{t) являются определенными
при t^-Q непрерывными функциями класса L, то формулы (23)
дают эффективное выражение решения системы (14),
удовлетворяющего начальным условиям (18) (см. Деч [1], стр. 331).
г) Найдем теперь решение системы (14), предполагая известными
значения
Kft(0), Kft(0) (k=l, 2, .... n)
и предполагая, что F1(t)^0, F2(t) = 0, ..., Fn(t)==0, т. е. что
система однородна.
В этом случае система (17) имеет вид
Ри ООЛ + Рп (в)Л + • • • + Pw (s)yn =
= 2 («lfts + V Г* (0) + 2 а* П (0),
Р21ОО.У1 +Р22(5)Л-Ь • • • +Р2»00.У» =
= 2 («» s + *2ft) Kft (0) + 2 «2* П (0). \ (24)
ft=i
ft=i
Am 00 Л + P»2 ОО.У2 + • • • + Pnn (в)Уп =
П 11
= 2 (anks + bnk) Yk (0) + 2 «„* К (0).
Пользуясь введенными ранее обозначениями, имеем
п п п
у*&=2 it&- [ 2 ^+*h) n (0) + 2«ьк: (0)]
г=1 ч=1 ч=1
(А=1, 2, .... я).
Принимая во внимание формулу (22х) и соотношение
8 (Of* <0} = s« {Q№ </)} — <?» (0> =; eg {Q№ (0J
(25)

$ 7. Приложения преобразования Лапласа 219
(см. § б, п. 3, „б"), получаем из формулы (25) выражение
у и (0 =2 у, (0) 2 МЫ (0 + h, Qlk (oi +
N = 1
1=1
+2п(0)2«»ь<г»<о (26)
м = 1 1 = 1
(* = 1, 2 п).
Нетрудно проверить, что если система (14) однородна^, то
функции (26) удовлетворяют как самой системе, так и поставленным
начальным условиям.
д) Из изложенного в „в" и „г" вытекает, что если A(s) имеет
степень In относительно s, то решение системы (14),
удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет вид
г=1
п п п п
+ 2 У, (0) 2 [<*ь Q'ik (0 + hQik (01 + 2 П (0) S eb Ql1c (0 (27)
v=i ?=i v=i ?=i
(*=1, 2 я).
е) Рассмотрим, наконец, случай, когда определитель Д (s)
тождественно равен нулю, и будем искать решения Yx (i), F2(0 Кп(0
системы (14), принимающие при /==0 вместе со своими первыми
производными заданные значения, а также выясним, при каких
условиях такие решения существуют (см. примечание в § 3, п. 1, „б").
Пусть ранг матрицы A(s) равен г. Тогда существует отличный
от нуля минор r-го порядка, скажем
РпОО • ••/>»■(*)
Рп («) • • • Ргг (*)
Как хорошо известно из алгебры, существуют такие множители
XW(s) (i = r-j-l, . .., п; v== 1, 2, ..., г), что имеет место
разложение
г
/»*(*)= 2Ч*)(*)Л*(*)(« = ''+1 л; ft = i, 2 я).
v = l
Для разрешимости системы (17) необходимо и достаточно, чтобы
между правыми частями уравнений этой системы имеди местр соот-

220 Гл. X. Операционные методы. Преобразование Лапласа
ветствующие соотношения
Ш+ 2 (aiks + btk) Kfc(Q)+ 2 a{kY'k(0)=
k-l ft=l
=i w '[/,(*)■'+ i <«**+**> упо)+ i «v, n(0)]
(i = r-f-l, :". ., It).
Для решения системы (14) достаточно ограничиться в этом
случае первыми г из уравнений этой системы, выбрав в качестве
Yr+1(t) Yn(f) любые функции, принимающие при t = 0 вместе
со своими первыми производными заданные значения, такие, что их
вторая производная принадлежит классу L.
4. Преобразование Лапласа и операционное исчисление Хеви-
сайда. а) В § 1, 3, 4 этой главы были изложены некоторые
алгебраические свойства линейных дифференциальных операторов, коте-
рыми мы воспользовались для нахождения общего решения
дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений. В ,п, 1,
2, 3 этого параграфа мы путем использования преобразования Лапласа
определили решения уравнений и систем, удовлетворяющие заданным
начальным условиям. В электротехнике обычно находят решения,
удовлетворяющие заданным начальным условиям, с помощью так называемого
операционного исчисления Хевисайда1). Это исчисление было
использовано Хевисайдом для того, чтобы избежать применения
дифференциального и интегрального исчислений при решении некоторых
дифференциальных уравнений, связанных с теорией электрических цепей, и свести
решение таких уравнений к решению задач алгебраического характера.
Мы изложим бегло операционный метод Хевисайда и покажем
связь этого метода с преобразованием Лапласа.
б) Начнем со следующего примера. Рассмотрим уравнение
V = #•/+£■§ (28)
(V, г, L — положительные числа). Здесь i—сила тока в некоторой
электрической цепи, V — напряжение, г—сопротивление,
L—коэффициент самоиндукции (индуктивность). Найдем решение этого
уравнения, удовлетворяющее начальному условию /(0) == 0.
Если положить
d
Tt~P
(в исчислении Хевисайда пишут символ р вместо D), то уравнение (28)
1) См., например, Гарднер и Бэрнс [1]. — Прим. перев,

$ 7. Приложения преобразобания Лапласа 221
примет вид
V=(r-\-Lp)i. (28')
Для решения этого уравнения применим алгебраический метод
Хевисайда, обоснование которого будет дано позже.
Из уравнения (28') имеем
■i = —^j-- (28")
-r + Lp v '
Разлагая правую часть в ряд по степеням 1/р, получаем
1
LpV Lp^LZp* J'
LPl + ip-
Символ 1/р представляет функцию, производная которой равна 1,
и которая обращается в нуль при t = Q, вообще 1/р" представляет
функцию, л-я производнай от которой равна 1, и которая обращается
в нуль при t=0 вместе со своими производными до (п — 1)-го порядка
включительно. Иными словами,
1 l-i- ! I-'2 ! \-tn (Ш
Тогда равенство (29) дает
l~ XL /.г 2! "Т"/.зЗ! '")'
, = Х(1_гт'). (3D
Полученное выражение для i дает как раз решение уравнения (28),
обращающееся в нуль при. 1 = 0.
Заметим, наконец, что к формуле (31) можно прийти, применяя
метод из § 1, п. 5, „а"; в самом деле, разлагая правую часть
формулы (28") по степеням р, получаем следующее выражение для
общего решения уравнения (28):
j = Z_ "i ." ~-'-4* V/, _L', _0L* \ , ^.-т*
1+*4
■C^^^(l-pf + p^-...)+-C^
Принимая во внимание, что /(0) = 0, получаем отсюда выражение(31).
в) Прежде чем дать обоснование операционного исчисления,
приведем еще один пример, в котором полезно разложение по степеням
1/р, и выведем так называемую формулу Хевисайда.

222 Гл. X. Операционные методы. Преобразование Лапласа
Обобщая формулы (30), условимся понимать под символом
-— F (t) (р—постоянная) функцию Y (t), удовлетворяющую
уравнению (D — p)v Y = F if) и обращающуюся в нуль вместе со своими
производными до (v— 1)-го порядка включительно в точке /=0.
Имеем (см. § 1, п. 3, „б")
t
JiF® = $l£0^-F{*)da. (32)
о
Покажем, как, исходя из этой формулы, можно вычислить по методу
Хевисайда 1/(р — p)v • F(t).
Разлагая \j{p — p)v в ряд по степеням \\р, имеем
ft=o
oo
^'«-SW^A™ (33)
и в силу (32)
CO t
fc=0 0
t
= f^0^-e?(t-«)F(u)du.
о
Отсюда вытекает формула Хевисайда, доказанная нами в § 1, п. 3, „в",
t
Jp-^y, Fit) = ^ J ±0Г± е-?и F (и) dUi (34)
или же
^-^ F{t) = e-t* i [e-P* F(01. (34')
г) В описанном выше методе и вообще в методе Хевисайда имеются
два существенных момента: разложение выражения для искомой
функции в ряд по степеням \\р, например вида рядов (29) или (33) (без
каких-либо рассмотрений о сходимости получающегося ряда), и
подстановка вместо \Jpn выражения &/п\.
Покажем, на чем основана успешность метода Хевисайда.
Рассмотрим, например, уравнение (28). Если положить
+оо
j e-P4(t)dt = I(p)

§ 8. Метод Бромвича интегралов в комплексной области
223
и сделать в обеих частях уравнения (28) преобразование Лапласа, то
получим [см. п. 1, формула (2)]
jvhp)=np)'
к \-v\Ll. l_L_i_l?._L_ 1
HP)— v yL p% L*p3'L3pi •••]•
Здесь 1/jf2, 1/jf3. ••■• l/pn+1, ... являются как раз
преобразованиями Лапласа функций tj\\, fi/2\, . . ., i^/nl, . . . (что соответствует
подстановке Хевисайда), следовательно
-}-оо
j e-PH{f)dt =
о
-}-оо -\-оо +оо
= v[iSe-ptidt-iSe-ptidt+£!e-ptidt-- ■■•]•
О О 'О
Так как в правой части законна замена суммы интегралов интегралом
от суммы, мы приходим сразу к выражению (31).
Метод Хевисайда не предполагает обоснования перехода от (28)
к (31); поэтому этот метод имеет, вообще говоря, эвристический
характер, и решения, получаемые этим методом, требуют
соответствующей проверки.
Как мы увидим в § 9, функциональное операторное исчисление
Джорджи дает несколько иной подход к этим вопросам.
§ 8. Метод Бромвича интегралов в комплексной области
Метод Бромвича ([2], стр. 401—410, см. также Джеффрей [3],
стр. 22—23, Титчмарш [1], стр. 355—361) решения задачи Коши
для систем однородных уравнений с постоянными коэффициентами
основан на формуле обращения Пинкерле для интеграла Лапласа,
выведенной в § 6, п. 6. Мы проиллюстрируем этот метод на примере,
хотя сам метод имеет общий характер.
Пусть требуется решить систему уравнений
(D»—4D)X—(D—1)Y = 0, (1)
(£>+6)ЛГ+(£>2 — D)Y = 0 (D = d/dt),
рассмотренную нами ранее в § 3, п. 3, „г".
Указанный там метод дает следующее выражение для общего
решения:
X = 2сге~* + с8е* + 2с4е«,
Y= —Ьсге-*-\-с<^—\сгеЫ— Зс4е3',
(2)

224 Гл. X. Операционные методы. Преобразование Лапласа
где cv cv c3, c4 — произвольные постоянные. Если начальные
условия имеют вид
*(0) = A"0. Х'(0) = Х1г K(Q) = Y0, Y'(0)=Y1, (3)
то постоянные С], с2, с3, с4 должны быть равны
'1«=й16Ао-*1- Yo + У& Ч = 1118^-7^+7^-3^],
1 1 (4>
c3 = -L[3X0-2X1+Y(i-Y1],ci = l[-2X0 + 3X1-YQ-\-Y1].
Выражения для X к Y можно найти непосредственно с помощью
следующего рассуждения.
X(t) и Y(f) являются целыми функциями экспоненциального типа.
Поэтому можно положить (§ 6, п. 6), что
*Ю = 5Й J «"*<*)rf*. Y<fi = ±Je*tn{s)ds, (5)
где в качестве пути интегрирования С можно выбрать окружность
с центром в начале координат достаточно большого радиуса R,
пробегаемую в положительном направлении, a $(s) и f)(s) являются
голоморфными функциями в области | s | < R, стремящимися к нулю
на бесконечности [см. § 6, п. 6, формула (14)].
Подставляя выражения (5) в систему (1), получаем
/ {5 (s) (s2 — 4s) — т)(s) (s — 1)} «*• ds = 0,
a ■
/{£(*)(* + 6)+7) (s) (s2 — s)} e^ds = Q.
a
Если положить
6 (s) (52 — 4S) — 7) (s) (5 — 1) = p (S),
5 (s) (s + 6)+r, (s) (s* — s) = ? (s),
(6)
то функции p(s) и q (s) будут голоморфными в области | s | > R, за
исключением бесконечно удаленной точки, в которой они имеют
олюс первого порядка.

§ 8. Метод Бромвича интегралов в комплексной области 225
По известной теореме') получаем, что
p(s) = a + bs, <7(s)=a+p.s, (7)
где а, Ь, а, J3— постоянные.
Из (5) следует, что
a a
и, по разложению в ряд Лорана, при достаточно больших |s|
Аналогично
Подставляя выражения (8г), (82) в первое равенство (6) и
принимая во внимание (7), получаем, что
(<2-^ + § + °(^)]-(*-1)Р? +
Сравнивая свободные члены и члены, содержащие первую степень s,
убеждаемся, что
(* - 4) Jfo+^-Fo = /»(*). (90
Поступая аналогичным образом со вторым равенством (6), получаем
*о+(* - l)VKi = Ч (s). (92)
Решая систему (6) относительно £(s) и ifi(s), находим
sp + q
Us)
(s + l)(s-2)(»-3) '
-(g + 6);> + (g»-4g)g
(*»-l)(»-2)(s-3) '
(10)
где ряд даются выражениями (9,) и (92).
') Теорема, на которую мы опираемся, формулируется следующим
образом: Если функция Ф (s) голоморфна при ]s|!>/?>-0, за исключением
бесконечно удаленной точки, в которой она имеет полюс порядка я, и если для
любого действительного или комплексного t имеем I Ф (s) ets ds = 0, где С—
С
замкнутая кривая, охватывающая окружность радиуса R с центром в начале
координат, то Ф (s) = an -f- ajS -f- ... -f-a„sra, т. е. Ф (s) совпадает со своей
главной частью (см. Титчмарш [1], стр. 66).
15 3«. 1072. Дж. Сансоне

226 Гл. X. Операционные методы. Преобразование Лапласа
Если подставить теперь выражения (10) в формулы (5) и
вычислить интегралы с помощью теории вычетов, то получатся
выражения для решения системы (1), удовлетворяющего начальным
условиям (3).
Например, для X(f) члены, соответствующие полюсам s = —1,
s = 2, s — 3, равны соответственно
-/>(-l)+g(-l) c-t= бХп-Xt-Fo+Fx g_t
[(* + 1) (* — 2) (* — 3)]^ ! 12
2/>(2) + g(2) _ 3Xn-2X1+Yn~Y1 M
— 3 e ~~ 3 e '
3p(3) + q(3) u _ -2Xo + 3X1-Vn + Y1 M
4
Мы получаем таким образом для X(t) выражение (2), в которое
вместо cv с2, cs, ci подставлены выражения (4).
§ 9. Функциональное операторное исчделение Джордж д и
дифференциальные уравнения
1. Функциональное исчисленке Джлрджь а) Как отмечалось
в § 7, п. 4, „г", метод Хевисайда дает лишь эвристический способ
нахождения решений дифференциальных уравнений. Строгий аспект
метода впервые был дан Джорджи1). Независимо от Хевисайда он
разработал в 1904 г. свой метод использования символического
исчисления при изучении процессов, связанных с непериодическим
переменным током в электрических цепях. Его метод, названный
функциональным исчислением, позволяет не только решать уравнения,
описывающие эти процессы, но и получать некоторые результаты в тех
случаях, когда соответствующие уравнения неизвестны или выводятся
с трудом.
В этом параграфе мы дадим некоторые сведения о методе Джорджи.
б) Пусть аналитическая функция /(ш) существует во всей
комплексной плоскости, имеет конечное число особых точек в любой
ограниченной части плоскости и голоморфна в полуплоскости/?ш^-0.
Мы намереваемся, согласно Джорджи, поставить в соответствие
функции /(ш) оператор /(Д), обладающий следующими свойствами:
1) этот оператор дистрибутивен, то есть при постоянных с1 и с2
/ (Д) [c.V, (t) + f2 V2 (01 = с J (Д) V, (t)-{-cJ(A) V2 (0;
2) при постоянном h
j*V{t)=V(t-\-h)-,
1) Джорджи [1], [2], [3], [4]. См. также Винер [1], Сбрана [2], Граффи

$ д. ФуЯкЦионйльное оМрйторноё ибяидление Джорджи 227
3) если /(Д) = Д, то оператор Д совпадает с операцией
дифференцирования, т. е.
bV(f) = dVjdt;
4) над символами /(Д) можно действовать по обычным
алгебраическим законам, причем
/(A) fe(A) V(t)] = [/(Д)^(Д)] V(t);
5) при решении задач, касающихся переменного тока любого
вида в некоторой цепи, составленной из постоянных сопротивлений,
индуктивностей и емкостей, можно решать задачу так же, как и для
постоянного тока, рассматривая каждую индуктивность L как
сопротивление Z-Д, а каждую емкость k как проводимость &Д (см. п. 2,
„б", „в").
Исходя из преобразования Лапласа, Джорджи дал следующее
определение для фундаментального значения оператора f(Д) V (t).
Пусть функция /(со) аналитична во всей комплексной плоскости,
имеет конечное число особых точек в любой ограниченной части
плоскости и голоморфна в полуплоскости /?со^0. Пусть, далее, V(t)—
любая действительная или комплексная функция действительной
переменной t, определенная в промежутке (—оо, -j-°°)- Относительно
V(f) предположим также, что она имеет ограниченное изменение,
регулярна и абсолютно интегрируема в промежутке (— оо, —(-оо)1)
(Джорджи называет такие функции физическими). Тогда символ/(Д)
обозначает такой оператор, что фундаментальное значение выражения
/(Д) V(t) дается формулой
т
/(Д)У(0 = 2Й Ит0 Л0(а* ^f^^f V(i)e-m<k]du,
Т-> + оо ^ —т
где С— прямолинейный путь, соединяющий точки —/оо, гоо, а
множитель Q(<x, ш) — целая функция относительно комплексных
переменных а, со, такая, что Q(0, со) = 1, и введенная для обеспечения
сходимости правой части при любом действительном значении
переменной t.
При изменении пути С выражение /(Д) V(f) может изменяться
лишь на величину, соответствующую всевозможным значениям/(Д)(0),
которую Джорджи назвал дополнительным членом. Поэтому вообще
имеем
т
f (Д) V(0 = ~ Hm f [ Q(«, со)/(со) е * j у (t) е~«" а] rfco f /(Д) (0).
!) Вместо того чтобы предполагать ограниченность изменения функции
V(t) на промежутке (—оо, -f-00)- можно предположить, что промежуток
(— оо, -f-oo) разлагается на счетное множество непересекающихся
промежутков, внутри каждого из которых V(t) имеет ограниченное изменение
и регулярна.
15*

228 Гл. X. Операционные методы. Преобразование Лаплаел
Можно доказать, что при таком определении операторы /(А)
обладают указанными выше свойствами 1)-—5). Кроме того,
/(A)ef*=/(p)^f; (1)
&V(/) = ifV(t)/df (v = 1, 2 ); (2)
Л-^(0 = (^=15T J (*- a)--1V(a)dB-\-cQ+c1t-\-... +0^*-* (3)
(v=l, 2,...)-
где c0, cx cv_, — произвольные постоянные [§ 1, п. 3,
формула (8)].
/(Д-р) V{t) = e^f{L)[e-9tVit)], (4)
дх
[f(x, Д) У0)] = [^/(л. д)] V(t). (5)
В частности, из формул (3) и (4) при постоянном р следует
соотношение [§ 1, п. 3, формула (82)]
*
J-L- V(t) № ef* -J- e-P* Vtf) = вР* J e-PT К(х)Л -f с<?р* (6)
{с = const).
Из соображений краткости мы опускаем доказательства этих
утверждений. В следующем п. 2 мы приведем некоторые приложения
указанных выше свойств.
2. Приложения к расчету электрических цепей, а) Пусть мы
име-ем цепь АВ с последовательно включенными сопротивлением г и
~Г~АЛЛЛЛ/—1ЯЯЯ^—г-
Фиг. 18.
индуктивностью L (фиг. 18). Обозначим через V(t) и i(0
соответственно напряжение и силу тока, выраженные как функции времени t.
Тогда имеем
V = (r + LA)i,
t== l V==l l у

§ 9. Функциональное операторное исчисление Джорджи 229
и из (6) (р = — r/L) получаем
г * .
1 .-г. Г .г*,,/_ч.,_ I -• _-t(*-*J
to
/ (fi = 1 е~£ J e£ z V(t) A + /0e"
г
где через г0 обозначена сила тока в момент времени t = tQ.
б) Пусть мы имеем цепь АВ с последовательно включенными
сопротивлением г, индуктивностью L и емкостью k (фиг. 19).
т^\лла/\/—пт^-
А "г" L К
Фиг. 19.
Обозначим через V{t) и /(/) соответственно напряжение и силу
тока в момент времени t. Тогда (см. п. 1, свойство 5)) имеем
di , 1
to
*Д V(t).
Обозначим через — plf —p2 корни уравнения kLp2-\-krp-\-l = 0.
Тогда, если р1 ф р2, то
kp a, . a., . .
., » , .—j—г = t-г Г1г-г— (°Ч> a2 — постоянные),
и из равенства (6) получаем, что
t t
i(t) = a1e-M feP'TV(x)</t-|-«2e_P2* ( e^V^dx-^c^^-^c^e-^,
где Cj и с2 — постоянные, зависящие от начального состояния
системы.
в) Рассмотрим теперь распространение непериодических
возмущений в одномерной системе. Пусть луч 0^x<-J-oo представляет
собой бесконечный в одну сторону проводник, сопротивление
единицы длины которого равно г. Ток выходит из точки х — 0 и идет
по проводнику, который заземлен на бесконечности (потенциал земли
принимаем равным нулю). Пусть, кроме того, имеется утечка тока
от проводника к земле с проводимостью на единицу длины, равной g.

230 Гл. X. Операционные методы. Преобразование Лапласа
Предположим еще, что единственный источник тока находится в точке
л; = 0 (фиг. 20).
Ldx rdx
[\kdx >gdx ШЫж
0 v/////////////////2s/////^^^^
Фиг. 20.
Пусть V0 и /0 являются соответственно напряжением и силой тока
в точке л; = 0, a V(x) и i(x)—напряжением и силой тока в точке
с абсциссой х. Тогда
V(0) = Vo, У(4-«э) = 0. (7)
Падение напряжения вдоль элемента длины dx равно ir dx, утечка
тока от проводника к земле равна на этом элементе Vgdx. Отсюда
следует, что
— dV — irdx, — di= Vg dx,
dV/dx = — ir, di/dx = — Vg (8)
и, следовательно,
gf-fTV^O.- (9.)
S-*Tri = 0. <9„)
Интегрируя первое из этих уравнений, получаем
V (х) = схех ув~г-{-с2е~х у~в\
где ct и с2 — произвольные постоянные и, по условию (7),
V(x) = V^-'v8f. (10)
Первое из равенств (8) показывает тогда, что
'(*> = - 7S = /"т V°e~X VTr = l°e~xVTr •
Следовательно, в любой точке проводника
,• (х) = j/" £ V(x) (= i0e~* УП (11;
и, в частности,
Таким образом, рассматриваемая цепь эквивалентна цепи с проводи*
мостью У gjr (сопротивлением к/"/§•).

$ 9. Функциональное операторное исчисление Джорджи 231
Если же по проводнику течет переменный ток, индуктивность на
единицу длины равна /, а связь проводника с землей состоит из
параллельно включенных, равномерно распределенных проводимостей g
на единицу длины и емкостей k на единицу длины (см. фиг. 20), то
уравнения, которым удовлетворяют V и i, получаются путем
подстановки в (9j) вместо обычного сопротивления г функционального
сопротивления г -\- /Д, а вместо обычной проводимости g
функциональной проводимости g-^-kA (A = d/dt (см. п. 1, условие 5)). Таким
образом получается уравнение в частных производных
*£=&+АД)(г+/Д)У
или
55»==А/-5? + ^/ + АгЫ + «г^ (13)
Это — так называемое уравнение распространения возмущения
в одном направлении.
Поступая по тому же принципу с формулами (10),V(11), (12),
получаем выражения для V(x, t), i(x, f), i0(t):
V(x, t) = e-<»v<e+*b)<r+*V V0(f),
i (x, t) = «-«Vn+WH'+w) i0 (t),
i0 (t) = ущ^щр+т> vj®.
(14)
Эти выражения могут быть записаны и без использования
уравнения (13), а входящие в них операторы
e-eV(ff + *A)(r+IA)> У(£-|-АД)/(г4-/Д)
можно преобразовать по методу Джорджи таким образом, что для
них получаются выражения, удобные для использования, в том числе
и с точки зрения численного анализа1).
*) См. Джорджи [4] гл. XIV, стр. 274. Относительно приложения
функциональных операторов к решению уравнений в частных производных см.
Фантаппие [1], [2], [3].
См., кроме того, относительно приложений функциональных
преобразований цитированную выше книгу Деча [1], стр. 19 и след.

Глава XI
ЧИСЛЕННОЕ, ГРАФИЧЕСКОЕ И МЕХАНИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Численное решение систем дифференциальных уравнений
по методу последовательных приближений
1. Общие замечания. В практике часто встречается следующая
задача: дано дифференциальное уравнение или система
дифференциальных уравнений, и требуется найти численно решение этого
уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, с погрешностью,
не превосходящей некоторой определенной величины. Существование
решения, обеспечиваемое общими теоремами или же физическими
соображениями, имеет часто второстепенное значение по сравнению
с вычислением значений этого решения в некоторых точках (как
говорят, табулированием решения) или с нахождением приближенного
выражения для решения на всем отрезке существования с
погрешностью, меньшей некоторой заранее заданной величины.
В аналитическом случае интегрирование по методу Эйлера при
помощи рядов (гл. III, § 1, п. 1) дает возможность аппроксимировать
решение во всей области существования, так как, беря достаточно
много членов ряда, мы можем получить требуемую точность. Для
систем линейных уравнений изящный метод численного решения дает
использование матричного исчисления (гл. И, § 2, п. 3).
Для линейных уравнений и систем линейных уравнений с
постоянными коэффициентами при искомых функциях и их" производных
важным средством численного решения является применение
преобразований Лапласа и Бромвича и функционального операторного
исчисления Джорджи (см. § 7, 8, 9 из гл. X). В случае же, когда мы
не можем воспользоваться ни аналитичностью, ни линейностью, как
это имеет место в общем случае, для численного решения могут быть
использованы методы, с помощью которых доказывалось
существование решения в гл. I. Мы делали соответствующие замечания в гл. I,
§ 3, п. 3, относительно метода последовательных приближений и
в гл. I, § 6, п. 1, „а", п. 3, относительно метода Коши — Липшица.
В этом параграфе мы подвергнем изучению первый из этих методов,
а в § 4 — второй. В § 2 и 3 будут рассмотрены методы, более
удобные для табулирования решения.
Вопросы, касающиеся вычисления решения при больших значениях
переменных или параметров, рассматривались в гл. VII и здесь
рассматриваться не будут.

§ 1. Метод последовательных приближений 233
2. Оценка погрешности приближения при методе
последовательных приближении. Метод последовательных приближений Пикара —
Пеано весьма удобен, с теоретической точки зрения, для
приближенного вычисления решений дифференциальных уравнений во всей области
их существования; этот процесс быстро сходится, и формула (14) из
гл. I, § 3, дает верхний предел погрешности при каждом
приближении.
Как мы уже видели, если в прямоугольном параллелепипеде R
с центром в точке (a; $t j3m), определенном неравенствами
— я<х — а<я, — *<Л — &<* (/=1, 2, .... от),
функции fi(x; yt, _y2 ут) непрерывны, удовлетворяют
неравенствам
l/iC*: Л- Л> ■■•■ Упд\<М,
и условию Липшица относительно переменных yv у%, ..., ут
. _ т
\fi(*'> yv Уъ Ут)—Ъ(х; yv Уч ym\<^1i \Ук— Ук\>
(/=1,2, .'.., от),
то система дифференциальных уравнений
§ = /<(х; yv у% ут) (i=l, 2 т)
имеет одно и только одно решение yt (х), у.г (х) ут (х),
определенное на отрезке [а— 8, а—J—S], где 8 = min(a, b\M), и
удовлетворяющее начальным условиям
.У<(а) = & (/=1,2 от)
(гл. I, § 3, п. 4, „в").
Положим
х
Уг}) = & + //« С*! И1 (*)> И2 (X), . . . , В,„ (X)) ИХ (/=1,2 ОТ),
где и1(х), н2(х) ит(х)—некоторая система функций,
непрерывных на отрезке [а — а, а-\-а] и удовлетворяющих неравенствам
I «<(■*) — & |<# (/=1,2 от),
а в остальном произвольных, и определим последовательность
функций \у(Р(х)} формулой
х
yri)(x) = % + jfi(x;y{r\ уР y$)dx
(/=1, 2, ..,, от; г=1, 2, ...)•

234 Гл Хг. Численное, графическое и механическое решение
Как мы видели в гл. I, разность между ^4(лг) и r-тым
приближением уР (х) удовлетворяет неравенствам
\Мх)-№*)\<2Ь I^—IIl (r.1,2, ■■■)■
Однако легко показать на примере, что применение метода
последовательных приближений к решению конкретных задач часто
наталкивается на -существенные трудности при вычислении самих
последовательных приближений. Например, если нужно найти решение уравнения
У = (у-х)1(у±х),
удовлетворяющее начальному условию у (0) = 11), то мы получаем
следующую последовательность приближений:
/и = 1 + J"
,» = !+./
X
S
0
1-
. , dx = 1 -4-
1 +ЛГ '
-2лг + 21п(1+лг)
1+21п(1 + лг)
X
/G
0 ,
- dx -
? l)dx--
+ х )
= 1 — лг-f-
X
=3
21n(l-j-*).
2х
1+21п(1+лг),
\dx.
Интеграл, стоящий в правой части второй формулы, не выражается
в элементарных функциях.
В § 2 и 3 будут изложены численные методы, не требующие
квадратур. Заметим, что эти методы применяются и в тех случаях,
когда известны выражения решения в замкнутой форме, но для
вычисления численных значений этого решения нужны слишком трудоемкие
процессы.
§ 2. Методы численного решения Эйлера и Рунге — Кутта
1. Метод Эйлера и видоизмененный метод Эйлера, а) Метод
Эйлера был описан нами в гл. I, § 6, в связи с доказательством
теоремы существования по методу Коши — Липшица. Он основан на
следующем принципе: если через точку (х, у) проходит одна и только
одна интегральная кривая уравнения
% =Пх.у). (1)
то для заданного приращения h аргумента х соответствующее
приращение k функции у можно приближенно вычислить по формуле
k—f(x, y)h.
1) Относительно вычисления значения у (1) см. § 2, п. 3, ,в".

$ 2. Методы Эйлера и Рунге — Кутта 235
Поэтому, если из точки (х0, у0) выходит интегральная кривая Г
уравнения (1),. имеющая уравнение
у=у(х) [у(х0)=у0],
то приращение kt функции у, соответствующее приращению ht
независимой переменной х, приблизительно равно
*!=/(*()• Л) А1-
Приращение же &2> соответствующее точке (л;0 -\- hv y0 -(- kx) и
приращению /г2 независимой переменной, выражается формулой
*8=/С*0 + А1« Уо + КЖ
Вообще, полагая
Ут=Ут-1 + К (/Л = 1, 2, . . .), (2Х)
*»=/(*0+'А1 +• • • • +K-V Уо + к1+ • • • +*m-l) Am- (22)
имеем
Л=яЛ+*8=Л+*1+*«' (3)
(см. гл. I, § 6, п. 2), и ут приближенно равно значению у(х)
в точке с абсциссой х0-\- hl-\-hi-\-... -f-hm.
Сточки зрения численного анализа, этот метод, весьма медленный,
может быть применен лишь к малым отрезкам и лишь при условии,
что функция f(x, у) мало изменяется при изменении хну.
Мы покажем в п. 2, „а", что при условии существования у
функции f{x, у) непрерывных частных производных второго порядка
погрешность, которую мы делаем, беря в качестве значения
y1=y(x0-\-h1) величину y0-\-f(xQ, y0)hv является величиной
порядка h\.
б) В приложениях применяется видоизмененный метод Эйлера.
Пусть надо найти значение у{х) в точке xt = х0 -\~ hv
У1=У(хо+Ид-
Указанный в „а" метод дает в качестве первого приближения для yt
значение
*•-*+ (£).*■• <4>
так как

. 236 Гл. XI. Численное, графическое и механическое решение
Приближенное значение для dyjdx в точке (х1, yj, которое мы
обозначим через (dy/dx)^, равно
®)Г='(х°+а- л (б)
dyjdx принимает на концах отрезка [х0, Xg-j-Ajl значения (dyjdx)0 и
шя
Полагая далее
(dyjdx)i , и в качестве второго приближения для _yi можно взять
возьмем в качестве третьего приближения для _yt величину
*-*+т[(£\+шгк «
Мы покажем в п. 2, „б", что гари условии существования
у функции f(x, у) непрерывных частных производных третьего
порядка погрешность, которую мы делаем, беря в качестве
значения yt = y(,x0-\~hl) величину у f\ является величиной порядка h\.
2. Оценка погрешности- а) Мы хотим оценить погрешность
формулы Эйлера. Предположим, что функция f(x, у) обладает
непрерывными частными производными второго порядка. Положим
f=f(x0,y0), |
Л— /*(*о» -Уо)- /я = fy(*(>• Уо)' (1°)
/ll —fxa;(xo> Уо)' fl1=zJxy\X0> У о)' /2$—/уу(Х0> Уо)- '
Тогда
У'(х0)=/,
/'W=/i+A/.
У'" (*о) = /и+2Д2/+/м/«+/8 (Д + /2/),
поэтому
*i = .У (*о -{-Ю—У (*о) = / (хо) Ai +
4- ^-у* (*„)*? + -|г/" (jg а? + ....
+ }[/и + 2/1г/+/2а/2 + Д(Л + /2/)] А"+ • • • (И)

§ й. Методы Эйлера и Рунге — Кутта 237
Отсюда следует, что погрешность, получаемая при употреблении
метода Эйлера, описанного в п. 1, „а", и заключающегося в том, что
в качестве приближенного значения для kx берут величину fhv
является величиной порядка hi, и что главная часть
погрешности равна
^(fi+Uf)hl
б) Для оценки погрешности формулы (9) заметим, что
у? = л+A-f4 (Л+/*/)*!+ • • -.
Йг/Г =/[*o+*i.^+/Ai4--g-(/i+/a/)AS+ •••]==
=/+(Д +/«/) К +1Д (Л+д/) Aj+i [/п+2/И/4-Л.Я *?+-...
^)-л=А+|(Л+Д/)й? +
+1 [Д (Л+Л/)+(/и + 2/19+Д8/2)] *?+,■•
Сравнивая это значение с формулой (11), получаем, что погрешность,
получающаяся, если взять в качестве приближенного значения
для ух = у {х 4~ йх) величину yf*, является величиной порядка h\,
причем главная часть погрешности равна
11Д (Л + Д/) + (/и + 2Д8/+Д2/2)] А?.
3. Метод Рунге — Кутта численного решения
дифференциальных уравнений. В этом пункте мы рассмотрим численное решение
дифференциальных уравнений по методу Рунге — Кутта, а в п. 4
изложим применение этого метода к системам дифференциальных
уравнений. Этот метод основан на формуле парабол (Симпсона) и
может с успехом применяться во всех случаях, когда заданное
уравнение имеет достаточно простой вид (см. Рунге [1], Кутта [1],
Рунге и Кениг [1], стр. 286—300).
а) Пусть требуется решить уравнение
£=/(*.*>-. 0)
Положим
*i=/(■*<»• Уо>Ь> *s=/(*o + T ' Уо + -£)к'
А8=/(хо + у. Л + у)й, ki=f(x0-j-h, y0 + ks)h

233 Pa. Xt. Численное, графическое и мёХантеЬкде решений
и примем в качестве приближенного значения решения уравнения (1)
в точке xQ-\-h величину yQ-\-k, где
*=|[Airt + (*2 + *8)]- (12)
Докажем, что при условии существования непрерывных
частных производных четвертого порядка у функции f(x, у)
разность
у(Хй+Н)-у{х0)-±[!±±Ь+{к, + к^
является величиной порядка А6.
В самом деле, имеем, используя обозначения из п. 2, „а",
^*o + A)-.V(*o) = /a + t(/i+/8/)a" +
+ j [/и+2Л2/+Л,/2 +Л (Л +Л/)1 А3 +
+ й [Дя+3/ж./+34,»Я +/^/4-3 (/„+/„/) (Л +//) +
+Д(/и+2/12/+А2/3)+/22(/1+/2/)] А4+ • • • •
Нетрудно проверить, что члены в выражении я вплоть до членов
порядка А4 совпадают с соответствующими членами разности y{x0-\-h)—
— У(хо)" Этим и доказано, что при сделанных предположениях
погрешность является величиной порядка А6.
б) Исходя из известных начальных значений (х0, у0), находят
описанным выше образом приближенное значение y(xQ-{-h)tty0-\-k
и применяют тот же метод к начальным данным (x0-f-A, yQ-\-k) для
вычисления значения y(x0-\-h-\-h^) и т. д.
в) Вычисления практически удобно располагать в виде следующей
таблицы:
X
X
1 h
, h
Х+2
x + h
x + h
У
У
У+Т
1 *2
у+Т
y + k3
y + k
fix, у)
fix, у)
'/(,+*.'+£)
f(*+T.y+%)
f(x + h,y + k.3)
hf^k
h
k2
k3
kt
(k)
\ikx + h)
*2 + *3
сумма
A = — суммы

$ 2. Методы Эйлера и Рунгё — Кутта 239
Пусть, например, дано дифференциальное уравнение
У' = (у — х)1(у + х)
(13)
(см. Рунге [1], стр. 171), и пусть требуется найти значение при х = 1
частного решения у(1) этого уравнения, удовлетворяющего начальному
условию у (0) = 1.
Легко проверить, что общее решение уравнения (13) имеет вид
-~- In (x2-f-y)-j-arctg =£ = const,
а поэтому рассматриваемое частное решение задается неявным
уравнением
,У
lln(*2-by>) + arctg£ = f
(14)
Применим для вычисления у(1) метод Рунге — Кутта,
последовательно вычисляя
у (0,2), у (0,5), у(1).
Результаты вычислений приведены в следующей таблице (вычисления
велись до четвертого десятичного знака):
X
0
0,1
0,1
0,2
0,2
0,35
0,35
0,5
0,5
0,75
0,75
1
1
У
1
1,1
1,0833
1,1661
0,1678
1,2739
1,2531
1,3367
1,3391
1,4531
1,4188
1,4932
1,4981
/(•*о0 = (у-*)/(у + -*)
1
0,8333
0,8309
0,7071
0,7075
0,5689
0,5633
0,4555
0,4562
0,3191
0,3803
0,1978
А/=*
0,2 *,
0,1666 й2
0,1661 kA
0,1414 kt
0,2122
0,1706
0,1689
0,1366
0,2281
0,1595
0,1541
0,0989
(*)
0,1707
0,3327
0,5034
0,1678
0,1744
0,3395
0,5139
0,1713
0,1635
0,3136
0,4771
0,1590
Если положить в уравнении (14) х—l, то найдем, что у
заключено между 1,4982 и 1,4983 (для облегчения вычислений
целесообразно положить в уравнении (14) х = rcos<t>, _y = /-sincp, тогда (14)
запишется в виде и.'2 — tp = In r).

240 Гл. XI. Численное, графическое и механическое решение
4. Применение метода Рунге — Кутта к численному решению
систем дифференциальных уравнений, а) Метод Рунге — Кутта
можно применить также и для численного решения систем
дифференциальных уравнений (см. Рунге и Кениг [1], стр. 311—316). Пусть
дана система дифференциальных уравнений
4г ~f* (*; Л' У* У™> ('= 1' 2 т^
и пусть эта система имеет одно и только одно решение,
определенное на отрезке [xQ— 8, jc0-j-8] и удовлетворяющее начальным
условиям
у.(х0) = у1 (i^l, 2 т).
Для нахождения значений
yx(x0-\-h), y2(x0-{~h) ym(x0-\-h)
вычислим выражения
, h А(1) № А(т)\
bf=fi(xo+Y>yy) + J2>yf + J2 У% + \)Н-
Щ> =/, (*+а; уТ+Ч]> yf+kf y%+blm])h
и положим
Л(*о + А)~Л(*о) + ^1^Т^ + (^ + 4<))]
(i= 1, 2 m).
Полагая, что функции /Дх; yv y2 ym) имеют непрерывные
частное производные до четвертого порядка включительно, можно
доказать методом, указанным в п. 3, „а", что погрешность
Л (*о + А) - Л Ю ~ a" ["Чг^ + ^ + ^ J
является величиной порядка А6.
б) Почти излишне указывать, что при нахождении решения
уравнения
у{ш) =f(x\ у, у', у" _y(»-D),
в случае, когда начальные условия
У Ю = Ч°> > У' (*о) = М0). У" (*о) = Л0). • • • >
y-1,(*0)=j'£>.1

§ 3. Решение с помощью аппроксимационных многочленов 241
определяют одно и только одно решение на отрезке [х0— 8, x0-j-8],
для одновременного вычисления
.У(*о+А). /С*о+*)' У(*о+А) J't"-1) (*о+*)
достаточно решить систему (гл. I, § 1, п. 2)
Х=Л' -У2=^з X»~i=.v /«=/(*: л- л л»)
при начальных условиях
^w=e ул^=ут- л(*о>=^о) ^ к)=/:'_!•
§ 3. Численное решение дифференциальных уравнений
с помощью аппроксимационных многочленов
1. Основы метода. Оценка погрешности, а) В этом параграфе
мы опишем численные методы решения, основанные на приближенном
представлении непрерывных функЦий многочленами. Конкретное
приложение методов требует лишь использования обычных методов
исчисления конечных разностей, поэтому, как и при использовании
методов, описанных в § 2, не приходится прибегать к квадратурам1).
б) Предположим, что нам известны значения решения уравнения
f=/(*..V) (1)
в я-j-l равноудаленных точках
■^0» Х1 Xn—V Хп* xr xr—\ === v == 1 * ^> • • •» И)* \^)
Положим
'/(*, y(x)) = F(x).
Нам известны «-J-1 значений
/(*«. Уд = F(*i)=yt ('-:== 0, 1 я) .
производной dy-dx в п-\-\ точках (2). Обозначим через
+-п\Х' Х0' Х\ Хп)
многочлен не более чем ге-й степени, удовлетворяющий п-j-l
соотношениям
%n(xi> хо> xv •■■•• xn)=y'i (»==0, 1 га).
Мы можем тогда принять в качестве приближенного выражения
для dyjdx этот многочлен %п(х; х0, хх xj.
!) При редактировании этого параграфа мы использовали работу Лин-
делёфа [1].
16 3»к. 1072. Дж. Сансоне

242 Гл. XI. Численное, графическое и механическое решение
Для того чтобы построить этот многочлен, заметим, что если
образовать таблицу так называемых горизонтальных разностей
X
У \У
У* AlX \У>
У'ъ \Ув \/г \Уг
(3)
У'п \Уп Vn \Уп ■ ■ ■ АпУп
\У*=?.-Уа-1 (s = 1- 2> •••• »)- |
AaX = ViX —ViX-i (ft = 2, .... я; s = ft, я), j
то
/ 1 h.y
in(x> XQ> XV ■■■• Хп)—Уп~\—jj ^ (ЛГ — ЛГп)-!-
1 A2j^ 1 &3y'n
'~2\ JP~ ■'*»/(.■'" -^n-i/ ! 3] ~ftT~ (x xn) \x -^n-i)X
1 Л /
X(X—X»-2)-Jr----JT^iJy1(X — Xn) ■■■ (X—Xj.
Для доказательства достаточно проверить соотношение
"Т j] ^~~ v^i' -*n/ "T" "jjj ~foi~ \xi xn) \xi xn-1/~~T~ • ' • ~\~
1 Л '
"T" (n ,); ftx-г (■*•< xn) ■ • ■ \xi xi + i)>
y'i = y'n — ("7') А'.У»+(" 7 *) A2>»+ • • • +(— l?(n~'i) Ап-{У'п
или, в символических обозначениях, соотношение
y'i = {\-^f-*y'n.
Но оно является непосредственным следствием формул (3).
Нетрудно найти по хорошо известному методу выражение для
разности
J \Х, У\Х)) Кп\Х, Xq, Xj, . .., Хп) = Г (X) Х.И(ЛГ, Xq, Xj, ..., Хп)
при условии, что функция f(x, y(x)) обладает непрерывными
частными производными до (я-|-1)-го порядка включительно [при этом

§ 3. Решение с помощью аппроксимационных многочленов 243
предположении существуют и непрерывны функции у (х), у' (х), ...
. . ., у(п+2) (х)]. Возьмем некоторую точку х, отличную от точек
х0, xv . .., хп, и найдем такое число с, что разность
j (х, у (х)) \.п (х-, х0, xv .. ., хп) с
обращается в нуль при х = х; тогда эта разность обращается в нуль
в п-\-2 различных точках х0, х1 хп, х, а поэтому существует
точка £, лежащая внутри наибольшего отрезка, содержащего
все точки xQ, xv . .., хп, х, в которой обращается в нуль (п-\-1)-я
производная этой разности. Отсюда в силу уравнения y'—f(x,y(x))
следует, что
и потому при любом значении х
Г (X) = \.п {X', Xq, Х±, . . . , Хп)—^~
1 (я~4Г~ПГ Хп)\х Xn-V ••• \х х0/'
где точка £ зависит от х0, х1 хп, х и лежит внутри
наибольшего отрезка, содержащего все точки xQ, xv . .., хп, х.
Полагая
х = xn-\-hu,
получаем
K(xn+hu; x0, Xl хп) = уп + -уукуп + 2! А^"+
■ и(и + 1)(и + 2). , , ■ и(и + 1)...(и+я-1)А , ,,,
' 3! зЛг-!-- • " ~Т~ nj "пЛг> ™
F (xn-\-hu) — g„ (xn-\-hu; x0, xv . . ., xn)-\-Rn, (5)
(и+2) /t\
^»=-У(я + 1уй"+|и(н + 0 ••• («+")> (6)
Для определения значения у в точке xn-\-h при h > 0 заменим
точное равенство
хп+н 1
y(xn-\-h) = y(xn)-\-f F(x)dx = y(xn)+hj F(xn-\-hu)du <7)
0
приближенным
l
y(xn-\-h)~y(xn)-\-h j %n(xn-\-hu; x0, xv ..., xn)du. (8)
о
16*

244 Гл. XI. Численное, графическое и механическое решение
Для оценки погрешности заметим, что если обозначить через М
наибольшее значение модуля функции у(п+%)(х) на отрезке [х0, x0-\-h],
то -погрешность не превосходит
MJ^TTj\ J "(e + We+fc) • • • (e+n)^1).
о
2. Формула Адамса. Предположим, что каким-либо способом
найдены значения
F(x0), F{Xl) F(xb) [F(x{) =f(x{, y(Xi)); i = 0, 1 5]
функции F(x) в шести равноотстоящих точках
Xq, x} = х0—J— Л, ..., хъ = х^—J— oh,
и положим.
y't = F(xj (/=0; 1 5).
Тогда
Йб(*б+Ай; х0, х, *в) = .уН-ГГ A1X + iil^4X+
, «(« + !)(»+ 2). , . | и (и+1)-'--(я+ 4) А .,/
' 3! Ve + • • • Н ; 5! Vb
О)
и из формулы (8) получается формула Адамса (Бэшфорт, Адаме [1],
Уиттекер и Робинсон [1J, глава XIV, стр. 339, А. Н. Крылов [1],
стр. 299)
.У(*5+А)~.>'(*б) +
т А > 1 'а / i 5 . / , 3 . , , 251 . , , 95 . Л (10)
+ Л [Л+Т V.+12 АЛ + j АзЛ+тГ0 V5+288 АбХ] •
Разность между точным значением y(xb-\-h) и значением,
вычисленным по этой формуле, является величиной порядка А1 (Толл-
мин [1]).
3. Формула Нистрема. Весьма простая и чрезвычайно полезная
формула дана Нистремом [1] для случая, рассмотренного в п. 2.
Очевидно, что
Я!5+Ь
У(Ч+п) — У(*ь — А) = / y'(x)dx.
x,-h
!) Относительно сходимости метода см. Тамаркин [3].

§ 3. Решение с помощью аппроксимационных многочленов 245
Поэтому
а;5+й
у(хъ-\-п)—У(Ч — А)~ / 2Б(*; хо> xi xb)dx =
i
= Л j 2b(x5-\-hu; *0> xi xjdu.
-1
Принимая во внимание формулу (9), получаем формулу Нистрема
y(x6+n)—y(xi)+
+ *{2У, + ^[Д,У,+А1Ув+А4У,+ А,У11}-^{Аув + 2АвУ6}.(11)
Разность между левой и правой частями этой формулы является
величиной порядка Л7.
4. Формула Штермера для численного решения уравнения
у" =f(x, у), а) При изучении траектории заряженной частицы в
магнитном поле Штермер [1] систематически использовал весьма
простую формулу, которую он вывел для численного решения уравнения
%=/(*> У). (12)
Как мы увидим в п. 5, его метод применим и к системам вида
yi=fi(x; Л» Л» • ■ ■> У*дУ— 1.2...., «).
Предположим, что требуется численно решить уравнение (12) и
что нам известны значения у(х), а тем самым и у" {х), в шести
равноотстоящих точках
*о> *i = хо + А> • • ■ > *б = *о + 5А.
Обозначим значения у"(х) в этих точках через
Уо>у; х
и постараемся найти у(хь~\-Н).
Положим
f(t,y(f)) = F(f) [F\Xi)=y'l (/ = 0, 1 5)1.
Тогда из уравнения (12) имеем
X
/(*)-/(*б)= S F(f)dt.
а,

246 Гл. XI. Численное, графическое и механическое решение
Умножая на dx и интегрируя от хь до хь-\-п, получаем
х, + Н
У(х6 + Н)-у (хь) - А/ (хь) = / dx f F{f) dt.
Заменим в полученной формуле h на — h и сложим обе формулы.
Тогда получим, что
y(xb-j~h) = 2у(хъ)—у (хь — Л) +
xs + h х хь—Ь х
+ J dx f F(t)dt-\- f dx f F(t)dt. (13)
XS Хц Хъ хъ
Образуем таблицу горизонтальных разностей
у:
у: vr
у" Д,у" Д у"
у" Д у" Д у" Д„у"
->з i-^з г-'з в-^з
у" Д у" Д у" Д у" Д у"
->Ч 1-М "г-М З-М "4-М
у" Д у" Д у" Д у" Д у" Д у"
Построим по сделанному в п. 1, „б", замечанию многочлен
пятой степени
1 ^1-У5
25(£ *о> *i *б) = У* + й"ft-(' —*б) +
и подставим в формулу (13) вместо F(t) многочлен 2б.
Тогда получим, что
ж5 + й а; 1 v
f dx f F(t)dt~h2 J* <fr> j %{xb +hu; x0, xv .... xb)du =
xs ж5 0 0
-•■/[•*+Tv:+i(?+f)v:+
0

£ 3. Решение с помощью аппроксимационных многочленов 247
Поступая аналогичным образом со вторым интегралом, стоящим в
правой части равенства (13), получаем (интегралы от степеней v с
четным показателем взаимно уничтожаются):
1
У (Ч4- h) ~ 2у (хь) — у(хь- h) + A* f [2vy; + I i tM2 у»ь +
0
+ з4 ^ V? + 4T (Т ^ + f ^) V," + 5T(4*5 + f «") V?] ^
Отсюда и следует формула Штермера
у (хБ+А) ~ 2j {хь) — у{хь - А) + А2 /^5 +
+ Н [«+«+«+V."- 21)«- fi> Vs]}• (»4)
Если функция f(x, _у) имеет непрерывные частные производные
до шестого порядка включительно (отсюда следует, что функция у(х)
имеет производные до восьмого порядка включительно), то разность
между левой и правой частями формулы (14) является величиной
порядка А8. В самом деле, в двойных интегралах, стоящих в формуле (13),
погрешность, получающаяся при замене подинтегральной функции,
является величиной порядка А6, а площадь каждой из областей, на
которые распространено интегрирование, равна Аа/2.
б) Рассмотрим, например, решение у(х) уравнения
у" = х*у,
удовлетворяющее начальным условиям
у(0)=1,. /(0) = 0.
Мы видели (гл. III, § 2, п. 3 „б"), что это решение разлагается
в степенной ряд
и — 1 J L_ xi 4- - jc8 -1 ? ■ jc1^—1—
У~ l^3-4 ^3-4-7-8 ^3-4.7-8-ll-12x "1" ■ ■ ■ >
а поэтому при | x | < 1 погрешность, допускаемая при отбрасывании
членов ряда, идущих за членом х4га/3 • 4 • 7 ."8 . ... • (4я— 1)4га, не
превосходит
3 • 4 • 7 • 8 • ... • (4л -f 3) (4л + 4) (1 — х*)'
Отсюда находим
j(±0,l)= 1,000008333,
у (±0,2)= 1,000 133 337,
у (±0,3)= 1,000675097.

248 Гл. XI. Численное, графическое и механическое решение
Если положить в формуле Штермера *0 = — 0,2; хх — — 0,1; ...
...; хб—0,3; А = 0,1, то получим
_v(:±0,4)= 1,002 134 264,
в то время как значение ^/(rt0,4) с девятью десятичными знаками
равно 1,002 134 309; погрешность, следовательно, равна 45- Ю-9.
5. Формула Штермера для решения системы уравнений вида
?! =/< (X, уи у2, ..., ym)(i=\, 2, .... т). а) Переходя к решению
систем, заметим сначала, что если дана система дифференциальных
уравнений
тё = °*(*; Уи У» ••■> Ут) (/=1,2,...,»)
и если законна операция дифференцирования, то
d^yL_ydG(dy]c.dG1_ydGir .dQjt
dx* Zu dyh dx T dx ~ Zj dyh й_г дх '
k=i h=i
Поэтому мы можем ограничиться рассмотрением численного решения
систем дифференциальных уравнений в форме Штермера
§?=/*(*; Л« У» • • •> Ут) (/= 1, 2, . .., /и). (15)
б) Предположим, что функции 'у1 (х), у2(х), .... ут(х) являются
решением системы (15), и положим
ft(x; у1 (х), у2(х), .... ym(.x)) = Ft(x) (*= 1, 2, ..., т).
Предполагая известными значения функций ух (х), у2 (х), .. ., ут (х)
в шести равноотстоящих точках х0, xv .... х5, положим
^(**) = Дй('=1. 2, .... т; к = 0, 1, .... 5)
и образуем для у^0, у1^, .... y"ib соответствующие таблицы
горизонтальных разностей.
Повторяя рассуждения из п. 4, получаем формулу Штермера
Уг (*б+А) ~ bi (хъ)—yt (х6 — А)+
-s4/«-fov;]} ('==1- 2.....»). об)
Если функции fi(x; уг ут) обладают непрерывными
частными производными по всем своим аргументам до шестого порядка
включительно (а тогда yt (x) обладает непрерывными производными
до восьмого порядка включительно), то разность между левой и
правой частями формулы (16) является величиной порядка А8.

$ 4. Метод Коши— Липшица
249
§ 4. Метод Коши — Липшица
1. Метод Коши — Липшица для систем дифференциальных
уравнений. Как мы видели в § 2, п. 1, „а", метод Эйлера для
численного решения уравнения y'=f(x, у) основан на методе Коши —
Липшица доказательства теоремы существования (см. гл. I, § 6).
Покажем, что тот же метод может быть применен для численного
решения нормальной системы дифференциальных уравнений первого
порядка.
Пусть дана система уравнений
sj ==/«'(*; Ух< л Ут). V (1)
Л(«) = Р* (''=1.2 «), J
где функции fi заданы в прямоугольном параллелепипеде R,
определенном неравенствами
а — аО<а-]-а, ^<3^<£" (i = 1, 2, ..., т),
и пусть /—отрезок [а—8, а-j-S], на котором можно определить
функции
л=л(*).
являющиеся решениями системы (1); пусть х — некоторая точка
отрезка /, в которой надо найти значения У{(х). Положим для
определенности, что х > а.
Разделим отрезок [а, х] на п равных частей п—1 точками
x — a.-\-s ~~а- (5=1, 2 п—1)
И ПОЛОЖИМ
Ф = Р< +/< («J Pi. k Р J (*! ~ «)•
#=*>+/,(*,; tf4.*' Whx.-xj,
8f> = #+д (*,; tf», 43) © (*, - *2), [ (2)
#•> = ЕГ^+л (*»_,; £ГХ). И1"" #-1)) (*-*-,)
(/= 1, 2 /»).
Из теоремы Коши — Липшица следует, что при некоторых
условиях
НшЙп'=Л(*). (3)

250 Гл. XF. Численное, графическое и механическое решение
Поэтому на практике можно считать значения &i , 4 , • • •. &
приближенными значениями для у1 (х), у2(х), . . ., ут(х)!).
2. Видоизменение Пиконе и оценка погрешности приближения.
Для того чтобы оценить погрешность, сделаем, следуя Пиконе,
некоторые предположения о дифференцируемости функций fi по их
аргументам и изменим несколько метод определения значений \у
(Пиконе [1]).
Предположим, что функции fi обладают непрерывными
частными производными по своим аргументам до (v-f-l)-zo порядка
включительно {у ^ 0). Полагая
Я+1) = 4+2-ё^ ('=1.2..... »). (4)
получим из уравнения (1), что
d^=ff(x;yvy2,...,ym)
(i=l, 2, ..., т; Л = 1, 2, .... v+1). (5)
Применяя формулу Тейлора, взятую до члена v-ro порядка, и
смещая последовательно начальную точку <х в точки xv х2, • •., xn-v
получаем формулы, аналогичные формуле (2),
5(i1) = ^ + i;/f,(«;p1>P2),..>W(-^[^>
W-W+SfPixs tf» tf} Ъ^г1,
ft=i
v
t(3)_s(a) i \}fW(v. • f<2) f<2) t(2K(-*s — xt)k
4 — 4 "T ^/* v^S' *1 > *2 > • • •. W £j .
ft=l
t(n)_ t(n-l) _j_ VfMrfV . tt»-1) e(n-D t{»-l)4(-y —xn._i)ft
«» —ч ~Л~ 2д) i \xn-i> ч > *a <m ) ^j
k=l
(i=l, 2, .... m).
x) Другой метод численного решения системы (1) может быть получен
с помощью формул Тонелли (20i), (202) из гл. I, § 6, п. 3,
(6)

§ 5. Вычисление собственных значений
251
Если на отрезке [а — 8, о -|- 8] имеем
*<<.У<(•*)<*< (i=l, 2 т),
если А и В — такие положительные числа, что в R
А* + 1)
\frL'\<A;
dAk)
дуг
<5 (k=l, 2, ..... v; i, r=l, 2, ..., я»),
и ec^a точки (x$; fj[e), 4S), •••. 5m) (s—1, 2, ..., л—1)
принадлежат области существования функций /,- (последнее условие
должно выполняться при достаточно больших s), то числа Ei , S| , • • •
..., im, определенные формулами (6), удовлетворяют
неравенствам
и, следовательно, погрешность при пользовании этими формулами
является величиной порядка 1/пч1).
Относительно доказательства Отсылаем читателя к цитированной
в п. 1 заметке Пиконе.
§ 5. Вычисление собственных значений и приближенное решение
дифференциальных систем с заданными краевыми условиями
1. Общие замечания. Оценки для собственного значения,
имеющего наименьшую абсолютную величину, а) В § 1—4 мы
рассматривали численное решение систем дифференциальных уравнений
с заданными начальными условиями. Перейдем теперь к рассмотрению
численного решения дифференциальных систем с заданными краевыми
условиями.
Мы встречались с этим вопросом в гл. IV, § 7, при рассмотрении
систем Штурма — Лиувилля. Там были получены асимптотические
выражения для собственных значений и соответствующих им собственных
функций с помощью перехода от дифференциальной системы к
интегральному уравнению типа Вольтерра.
В гл. V, § 3, мы в более общем случае преобразовали
дифференциальную систему в интегральное уравнение типа Фредгольма. Однако
ряды, которыми выражается в этом случае решение, представляют
большие затруднения для вычислений даже в случае, когда они быстро
сходятся.
На большие затруднения наталкивается и вычисление с помощью
теории интегральных уравнений собственных значений дифференциальной
J) Из метода Пиконе в случае, когда система состоит из линейных
однородных уравнений, можно вывести метод вычисления собственных значений
См. Виола [1].

252 Гл. XT. Численное, графическое и механическое решение
системы, играющее важную роль во многих задачах. Это вычисление
приводит к необходимости нахождения нулей целой трансцендентной
функции D(k), о которой говорилось в гл. V, § 3, п. 5, „а" 1).
В этом параграфе, в „б", мы кратко изложим некоторые
результаты, касающиеся оценки собственного значения, имеющего
наименьшую абсолютную величину, в п. 2 приведем некоторые результаты
Пиконе о дифференциальных системах второго порядка, в п. 3
изложим вариационный метод Ритца и в п. 4 — метод наименьшей
потенциальной энергии (Пиконе, Н. М. Крылов, Мак-Ивен). На указанных
методах основаны современные методы численного решения
дифференциальных систем и вычисления собственных значений и функций 2).
б) При вычислении собственного значения, имеющего наименьшую
абсолютную величину, пользуются следующими результатами Шмидта
и Кнезера, которые мы приводим здесь без доказательства.
Если дифференциальная система приводится к интегральному
уравнению (гл. V, § 3, п. 5, „а")
ь
а
и если А является собственным значением, имеющим наименьшую
абсолютную величину, то справедливо неравенство Шмидта
|J J [G(x, S)]*dxdb} <|M
а а
(см., например, Гурса [1], т. III, вып. 2, стр. 31—32).
Рассмотрим теперь самосопряженные системы четного порядка
(гл. V, § 3, п. 6), для которых, как известно, G(x, |)=G(£, x).
Положим
ФЦх.у) = а{х,у),
ъ
&») (х, у) = j G(«-D (x, 6) G (S, у) d\ (д = 2,3,...),
a
Ь
A„= f G(n)(x, x)dx (я=1,2,...).
a
J) Относительно определения собственных значений и собственных
функций самосопряженных дифференциальных систем четного порядка при
помощи теории интегральных уравнений с симметрическим ядром см. ТемпльШ.
2) Относительно приложения матричного исчисления к вычислению
собственных значений и собственных функций см. Фрезер, Дункан, Коллар [1],
гл". VI и VII (метод Галеркина). См. также Коллатц [1J,

$ <5. Вычисление собственных значений 253
Тогда собственное значение, имеющее наименьшую абсолютную
величину, удовлетворяет неравенству Кнезера ([2], стр. 237)
|л|<(Л2/Л,)'/,.
2. Дифференциальные системы второго порядка. Оценка сверху
наименьшего собственного значения и оценка решения в
неоднородном случае, а) Рассмотрим теперь дифференциальную систему
£[ЬЩ+ЬАу==0, у(а)=у(Ь) = 0, (1)
где функции Ь'(х), А(х) непрерывны на отрезке [a, b], 6(jt)>0,
Л(*)>0. Как было показано в гл. V, § 4, п. 3, „б", первое
собственное значение этой системы Л0 удовлетворяет неравенствам
ь ь
О < К < / Й (g)' dx/j An* dx, (2)
a a
где u(x) — любая абсолютно непрерывная функция, обращающаяся
в нуль в точках а и Ь, производная от которой интегрируема вместе
со своим квадратом на отрезке [а, Ь].
б) Важные формулы для оценки решения самосопряженного
линейного дифференциального уравнения установлены Пиконе ([2], стр. 534).
Мы ограничимся доказательством одного из более простых
результатов.
Рассмотрим дифференциальную систему
£[Ь^]+АУ=Г(ХУ У(а) = УМ = 0' (3)
где функции 6 (х), Ь'(х), А(х) удовлетворяют сделанным в „а"
предположениям, а функция/(л:) непрерывна на отрезке [а, Ь].
Предположим еще, что наименьшее собственное значение л0 системы (1)
больше единицы. Тогда система (3) имеет одно и только одно
решение (гл. IV, § 6, п. 6, „б", гл. V, § 3, п. 3, „а"), которое мы хотим
оценить.
Умножая дифференциальное уравнение (3) на —ydx и интегрируя
от а до Ь, получаем
-I угЛьЩах-1Ay2dx—Sfydx-
а а а
Интегрируя первое слагаемое в левой части по частям, имеем
jo(¥Jdx = JAy*dx-jfydx
а а а

254 Гл. XI. Численное, графическое и механическое решение
и, в силу неравенства (2),
а а а
откуда
а а
С другой стороны, если обозначить через с точку отрезка [Q, Ь]
(а < с < Ь), в которой | _у (лг) | принимает наибольшее значение, инеем
по неравенству Буняковского ])
^М/^>НШ^)Н'</»§/в(й),<'*
а а а а
и аналогично
с с
Следовательно,
а а с
а с
а а
Но тогда из неравенства (4) имеем
ь ь
4 [max \у (х) Ц» < -^ j *L f fy dx <
a a
Ь
< (* ~ «) 5^гтlmax I /1max IУ WII / §9)
и, наконец,
ь
n..x|^W|<*=«j^T[n..x|/|]/^j. (5)
a
Итак, мы доказали следующую теорему: Пусть дана
дифференциальная система (3), в которой функции 6'(х), А{х), /(х) не-
• 1) См. Фихтенгольц [1], т. II, стр. 601. — Прим. перев.

$ 5. Вычисление собственных значений
255
прерывны на отрезке [а, Ь], Ь(х) > 0, А(х) > 0; пусть, кроме того,
наименьшее собственное значение соответствующей однородной
системы т(1) превосходит единицу, тогда для решения у(х)
системы (3) имеет место оценка (5).
3. Метод Ритца для приближенного решения
дифференциальных уравнений второго порядка. В этом пункте мы изложим метод
приближенного решения Ритца г), называемый также вариационным
методом Ритца.
Рассмотрим дифференциальную систему второго порядка
Tx[b(x)d£}-AMy=fw>yw==y(b^° <6)
и предположим, что на всем отрезке [а, Ь] функции б'(лг), А(х),
f (х) непрерывны и
б(х)>0, Л(лг)>0. (7)
При этих предположениях система имеет одно и только одно
решение (гл. IV, § 2, п. 4, „б"; гл. V, § 3, п. 3, „а").
При а <; х ^ b и любых у н у' положим
F(x, у, /) = 9/2+лу+2/.у (8)
и пусть
Р = (а, 0), ,(? = (», 0).
Решение у(х) дифференциальной системы (1) определяет
уравнение минимальной кривой для интеграла
ь
I[y] = fF(x,y,y')dx (9)
а
в классе всех „обыкновенных" кривых (а<^.х <^.Ь, у(х) абсолютно
непрерывна, |_/|2 интегрируема на отрезке [a, b], y(a)=y(b) = 0),
концы которых лежат в точках Р и Q.
В самом деле, / [у] является регулярно положительным
интегралом 2), а, кроме того,
Fyiyi Fyi — Fyyi = 46Л > 0,
откуда и следует, что функция у(х) обладает требуемыми
свойствами (Тонелли [6], т. II, стр. 319, 389, 392).
Изложим теперь метод Ритца, основанный на применении прямых
методов вариационного исчисления.
') См. Ритц [1], [2] стр. 192—250. См. также Пиконе [3]; Н. М.
Крылов [1]. Относительно приведенного в тексте доказательства см. Н. М.
Крылов [1], стр. 12.
а) Fylyl = 26 >0. См. Тонелли [6], т. I, стр. 360.

*256 Гл. XI. Численное, графическое и механическое решение
Пусть {'фтС*)}—замкнутая на отрезке [а, Ь) система функций*
причем функции tym(x) линейно независимы, непрерывны вместе со
своими первыми производными на отрезке [а, Ь] и обращаются в нуль
в точках а и b
<Ыя) = <Ы*) = 0 (» = 1, 2, ...)•
Предположим, кроме того, что для любой функции у (х),
непрерывной вместе со всей первой производной и обращающейся в нуль
в точках а и Ь, можно при любом целом положительном т найти
такие числа alm\ a!"1) а(т\ что
lim I[Ym]=I[y], (10)
ТО->00
где положено
у» = <*Г\+°ЦГ%+ • • • +«{Л ')■
Для любого целого положительного т выберем ту из линей'
них комбинаций
Ут W = <\ (*> + <\ (*)+•••+ «fity. (*)
функций 4»! 00. Фа (*) Фш (*)> для которой интеграл I [ут]
принимает наименьшее значение, и докажем, что на отрезке [а, Ь]
последовательность функций ут(х) разномерно сходится к у(х),
Нт ут0с) = у(х), (11)
т->оо
J) По известным результатам теории рядов Фурье можно выбрать,
например, <\>т (х) = sin \тк{х— а)1{Ь — я)], положив для каждого целого
положительного т функцию Ут равной т-& частной сумме Фейера от ряда Фурье
функции у (х) относительно системы {tym (х)} (см.Г. П.Толстое [1], стр.204).
В самом деле, функция у (х) имеет непрерывную производную и у (а) =
= _у(й) = 0, а поэтому при от-»-со функции Qm иощ сходятся соответственно
к у {х) и у' (х); кроме того, последовательности { ат } и {от} равномерно
ограничены на отрезке [а, Ь] (Г. П. Толстов [1], стр. 209).
Можно выбрать также и систему многочленов tym (х) = {х — а) (х — Ь) хт
(т = 0, 1, ...). В самом деле, рассмотрим последовательность многочленов
{Рт(х)}, такую, что {Рт(х)} и {Р'т(х)} равномерно сходятся на [а, Ь]
к у (х) и у1(х) (см., например, п. 4, ,б*, 1)). Так как у (я) =у (й) =0, то
lim Рт (в) = lim Рт (й) = 0, а поэтому последовательности
равномерно сходятся на [я, Ь] к у (х) и у' (х), причем очевидно, что
Рт(х)-PmmbZam(a) <*-a>>-Р™ (а> = <*-«)<*-*)<?«.-» W.
где Qm-i(x) — многочлен (т — 2)-й степени.

$ .5. Вычисление собственных значений
257
Положим
1[Ут\=1т
и заметим, что коэффициенты а(т^ (и=1, 2 т) однозначно
определяются системой уравнений
ь
1 д!„
2 да{т>
= $ \b'J'n + AyJn +/tl ** = 0 (12)
а
(/1=1, 2, . . ., от).
В самом деле, определитель этой системы линейных уравнений
относительно неизвестных а™\ а'^ а^га> равен дискриминанту
положительно определенной квадратичной формы относительно переменных
р(т) а[т) Mm)
1 * 2 т
Ь
$\b'm + Ayl\dx.
а
Докажем, что последовательность {1т} убывает, а
последовательность {ут(х)} равномерно сходится на отрезке [а, Ь\ а потому
ограничена.
Пусть, в самом деле, а[ , А2т), .... А)Ц?—любые числа;
умножая равенства (12) на Л„ , суммируя по п и полагая
ч» = 2л£Ч(*).
и = 1
получаем
ъ
J lb'm<+Aym-4m+hmUx = Q. (13)
а
Если положить
"Лт+я ==Ут+п У т 1Ут + п г== Ут ~l"l\m + nl
и записать (13) для индекса от-j-ra, то получится соотношение
ъ
j ib'm+n(y'm+n—у'т)+АУт±„(ут+п—Ут)+Кт+Лах==0>
а
откуда
Ь 6
- J ^/m+n(y'm,n-ylJ+Aym+n(ym+n-y^ dX = fftm+ndx>
a a,
17 Зак. 1072. Дж. Сансоне

25Й Гл. XL Численное, графическое и механическое решение
и потому
ъ
a
Ь
a
b
- 2 J I^»+»(^»+„—^»)+^w+»(^«+«—ЛЛ dx'>
b
I —J =_ f [6(у' _у')24-Л(у —v )2] Лс. (14)
a
Следовательно,
'm+n ^ '»»•
Так как последовательность {/m} не возрастает и ограничена снизу,
то существует lim 1т. Поэтому для любого е > 0 найдется такое
т->оо
целое положительное число М, что при т "^ М и любом целом
положительном п имеет место неравенство |/,„+„ — /m | < а; тогда из (14)
следует неравенство
ь
а
Но по неравенству Буняковскогог) имеем
а; Ь
Ьтл-пМ — УтЮ 1 = |/ (У'т+и —Ут)йх \ < J 1.У»+» — У'т \ dx >
а а
!^+»(*>-^(*)l<(*-*>v,l/ !\yl+n-yj*d*<
а
line f J
Yminb f J к-Ут+п Ут'
a
\Ут+п M - Уш (x) | < (*-g^ ^ (« > Ж, я = 0, 1, 2, ...).
у mm о
Ввиду произвольности е отсюда следует равномерная сходимость
последовательности {ут{х)\ на отрезке [а, Ь\.
]) Г. М. Фихтенгольц [1], т. II, стр. 601. — Прим. перев.

$ S. Вычидлениё собственных значении 259
Нам осталось лишь показать, что lim ут (х) — у (х).
Имеем
Лу]<Пут]<ПУт],
поэтому
0<I[yJ — Ily}<I[Ym] — Ily],
и в силу (10)
Hm I\ym]=J[y]. (15)
ТО-* СО
Так как функция F(x, у, у') удовлетворяет условиям теоремы
Тонелли1), то по обобщенной теореме Осгуда2) для любого
положительного числа pj можно найти такое положительное число р, что
Пу(х)]—1[у]>\1
для любой „обыкновенной" кривой3)у(х) [у(а) — у(Ь) = 0], хотя бы
одна точка которой лежит вне pj-окрестности кривой у=у(х). Но
в силу (15) можно найти такое положительное целое число т0, что
при т^-т0 имеем
1Ш — Пу\<ъ
а кроме того, функции \ут{х)} ограничены в совокупности. Поэтому
при /ге^>/ге0 должны выполняться неравенства
max \у.т(х)—у(х)\*С?1,
0<£В<й
чем и доказано выполнение соотношения (11).
4. Метод Н. М. Крылова — Пиконе — Мак-Ивена наименьшей
потенциальной энергии для приближенного решения линейных
дифференциальных систем любого порядка. Закончим этот
параграф изложением так называемого метода наименьшей
потенциальной энергии, созданного Н. М. Крыловым и Пиконе для
дифференциальных систем второго порядка и распространенного Мак-Ивеном
на дифференциальные системы любого порядка. Этот метод имеет
большие преимущества с точки зрения эффективного вычисления
решений *),
Рассмотрим дифференциальную систему, состоящую из
дифференциального уравнения /re-го порядка
!) Тонелли [6], т. II, стр. 282, теорема 1. Пусть min 9 = б0. Умножая,
если это необходимо, уравнение (6) на положительное число, мы можем
добиться, чтобы 60 было больше 1. Если в области А' имеем \2/у\^М'2,
то F(x,y, y')>%y'!S—M*>y/i при \у' |>М(60— l)"Vt.
2) Тонелли [6], т. II, стр. 383—384.
3) См. определение „обыкновенной" кривой на стр. 255. — Прим. ред.
4) См. Н. М. Крылов [1], [2], Пиконе [3], Мак-Ивен [1], [2]. В работе
Пиконе [3J, стр. 242, содержится оценка погрешности этого метода.
17»

260 Гл. Xt, Численное, графическое п мехйничебкоё решение
где функции Qi(x), .*., Qm(x), /?(jf) непрерывны на отрезке [a, b\t
и да краевых условий (а/, -^ — постоянные)
ш
^^-^{ei'-V^W+^-V^0^)} =ht (17)
(i = "l. 2 да).
Функции [/<, рассматриваемые как линейные формы относительно
у (а), у'(а) У"»-1) (в); ^(*). /(ft), . ..,. У1»-1) (ft), должны.быть
линейно независимыми.
Предположим еще, что не существует такого многочлена Pn(x)t
не равного тождественно нулю, что Z.(Pn)s=0, а также, что
приведенная система для системы (16), (17) несовместна (см. гл. V, § 3,
п. 3, „а").
При сделанных предположениях система (16), (17) имеет одно ж
только одно решение (гл. V, § 3, п. 3, „а"), которое мы и хотим
приближенно вычислить.
При наших предположениях имеет место следующая теорема:
Выберем такие числа
f'i '"l» '"г» • • • ' '"m' ^l> ^2 ^т'
что
г>1; rf>l, Q>0 (i=l,2 да),
и обозначим через Рп(х) многочлен п-й степени, который
минимизирует выражение
Ь т
/(/>„) = j\L(Pn)-R(x)\r dx+^C^UdPJ-hiW (IS)
a » = 1
да. е. предположим, что Рп(х) является аппроксимирующим
многочленом степени п для выражения (18). Тогда равномерно
на отрезке [a, ft] имеем соотношение1)
11m |/V) — /#>(*) | = 0 (* = 0, 1, .... да — 1),
»->оо
гфе через у(х) обозначено решение дифференциальной системы
(16), (17).
а) Докажем сначала, что при любом целом п^-0 существует
один и только один многочлен степени п (аппроксимирующий
многочлен), минимизирующий выражение 1(Рп). Доказательство проведем,
следуя работе Джексона [1).
В работе Мак-Ивена [1] эта теорема доказана при менее
ограничительном предположении, что г ;> 0, rt > 0, однако в этом случае теряется
единственность многочлена Рп.

§ 5. Вычисление собственных значений 261
1) Заметим сначала, что если <pt(x), <?$(х), ..., ?„(#) являются
линейно независимыми функциями с суммируемым квадратом на отрезке
[а, Ь] и если на [а, Ь]
ctb (*)+с2 <р2 (х)-\-... +<VP» (*) = ? (х), (19)
причем почти всюду на [а, Ъ] справедливо неравенство | <р (х) | <! М,
то найдется такое число К, зависящее только от функций a>j, <р2 ?п
и отрезка [а, Ь], что
\cr\^KM (r=l, 2 т). (20)
В самом деле, из (19) имеем
ь ь ь ь
1 / <PiM*+ • • • + cr J??rf*+ • • • +Cn J ?n<Pr<*« = J <WrdX (21)
a a a
(r= 1, 2 я).
Кроме того,
ь ь
]/?(•*) ?г (-«У* < -М J I ?r (*)Idx-
a a
Но система уравнений (21) линейна относительно cv c2 сп,
и ее определитель равен определителю Грама G(<pv ср2, ..., <pn)>0]).
Поэтому, решая эту систему по правилу Крамера, мы и придем к
неравенствам (20).
2) Легко убедиться в том, что для многочленов степени п
Р» (*) = с0-|-с1лг-|-с2х2+... +спх»,
удовлетворяющих неравенству
ь
j\L(Pn)-R (х) Г dx < М (г > 1),
a
можно найти такое число /, что —1^.с{^.1 (i=0, 1, 2, ..,, ft).
В самом деле,
L (Рп) = со?о (•*)+СЛ (*)+.'..+ с»?* ,(*)•
где каждая из функций в0(х), <рх (лг) »я(л) непрерывна на
отрезке [а, Ь], так как она может быть представлена как сумма
конечного числа членов вида xlQr(x) с целыми коэффициентами. По
!) См. И. П. Натансон [2], стр. 317—319. — Прим. перев.

262 Гл. XI. Численное, графическое и механическое решение
неравенствам Гельдера — Рисса и Минковского1)
XX X
I с0 J <Po (x) dx-\-ct J* cpt (x) dx-\-.. . +г«/ <on (x) dx J <
а а а
ъ ь \
</|1(/>я)|^<(*-а)(г-|)'г[/и(/>п)Г^]7<
а а
г-1 ь 1
< (Ь — а)~ { / [ | L{Pn)-R (*)|+| Ж*) | Г Лс}т<
а
г-1 й 1 * 1
< (*-а)~ { [ J | L (Рп) -R (х) \г </*]' + [ J I Л(*) Г' ^]7} < М..
а а
хх х
Поэтому, если функции \ <sQ(x)dx, I <st(х)dx, ..., \ <pn(x)dx
а а а
линейно независимы на отрезке [а, Ь], то в силу 1) все числа
с0, cv ..., сп лежат на некотором отрезке, [— /, /], общем для всех
рассматриваемых многочленов.
X X
Покажем, что между функциями \[ts0(x)dx, l <f1(x)dx, ...,
а а
х
■ • •> I ¥n(x)dx не может существовать линейной зависимости. В про-
а
тивном случае мы нашли бы такие числа с0, cv ..., сп, хотя бы
одно из которых отлично от нуля, что для всех х из [й, Ь\ имело
бы место равенство
XX X
С0 / <Ро(*) dx + ~*1 / ?1.(*) dxJT • • • + Сп / <Рп (.*)** — °-
а, а .а
Но тогда было бы с0<о0(х)-\-с1<о1(х)-{- . ••+ сп<?п(х) = 0 и> сле"
довательно, существовал бы такой не равный тождественно нулю
многочлен Рп (х) степени п, что L(Pn) = 0, вопреки сделанному
предположению.
3) Мы можем теперь доказать существование многочлена,
аппроксимирующего 1(Рп). Рассмотрим совокупность всех многочленов Рп
степени п, для которых 1(Рп)^М. Для этих многочленов
б
f\L(Pn) — Rfdx^M,
') См., например, Г. М. Фихтенгольц [1J, стр. &)2.—-Прим. перев.

$ 5. Вычисление собственных значений 263
и в силу 2) коэффициенты с0, с1 сп всех этих многочленов
заключены на некотором отрезке [—/, /]. Но если переменные
с cv ..., сп изменяются на отрезке [—/, /], то f(Pn) является
непрерывной функцией от этих переменных, а тогда существует по
крайней мере одна система значений этих переменных (т. е.
многочлен Рп), для которой I (Рп) достигает наименьшего значения.
4) Докажем, наконец, единственность аппроксимирующего
многочлена. Пусть, в самом деле, наименьшее значение для 1(Рп) равно у,
и пусть для двух многочленов Рп и Р„ имеем
ь
/т
| L (Рп) - R (х) fdx + 2 °i I ut (pn) - ^ f',
i=l
. m
|L(/>„)-R(x)|"dx + 2 ci\ Ui(pn)-h\r*
n. <=1
(22)
Докажем, что тогда Pn(x) = Pn(x).
Полагая
Pn(x)
Рп ~r "n
имеем
I (Pi) - R (x) = {\L (Pn) - R (*)]+[L (Pn) - R (jf)]}/2,
Щ(Pi) — ht = m(Pj — ht]-\-[Ut(PJ- A«]}/2.
Так как при т > 1 имеет место неравенство
| xi ~\- х2
<
' + I*»
причем знак равенства может иметь место лишь в случае, когда
L{Pn) — R(x)Y<^{\L(Pn)-R(x)Y-\-\L{Pn)-R{x)Y\,
^ (Pi)-/г^<^1\^ (Pn) - ft, \ri +1 Ut (Pn) - A< f*],
(23)
причем знак равенства может иметь место лишь в случае, когда
I (Pn) = L(Pn) (соответственно Ut (Pn) = Ut (Pn)).
Из (23) и (22) имеем
Ь т
Г ] L (Pi) — R (х) Г dx + 2 Q 1 U, (Pi) - h ft < Т>
J i=l
J) Это неравенство выражает, что функция 1*1"» вогнута кверху при
т>1.

264 Гл. XL Численное, графическое и механическое решение
но f является наименьшим значением для 1(Рп), а поэтому в
полученном соотношении должен стоять знак равенства, что, по
доказанному выше, влечет за собой тождественное равенство L (Рп) == L (Рп) на
всем отрезке [а, Ь]. Но тогда L(Pn — Рп)=~0 и, по сделанному
предположению, Рп — Рп==0.
б) Прежде чем доказывать сформулированную теорему, напомним
некоторые следствия из теоремы Вейерштрасса о возможности
равномерной- аппроксимации любой непрерывной функции с помощью
многочленов.
1) Хорошо известно, что если функция у (х) непрерывна на
отрезке [а, Ь\ вместе со своими производными:-у'(х), у"(х), .. .,у^т){х),
то можно найти последовательность многочленов {дп(х)},
обладающую следующим свойством: каково бы ни было число о > О,
найдется такое целое чисЛо п0, что при п^-п0 на отрезке [а, Ь]
имеют место неравенства
\Ут (*) — <ft) (*) К ° (А = 0, 1, 2, . .., т). (24),
В самом деле, так как функция у<т^{х) непрерывна на [а, Ь], то
по теореме Вейерштрасса (см. И. П. Натансон [2], стр. 19) можно
найти последовательность многочленов {д^(х)}, равномерно сходящуюся
к yW(x) на отрезке [а, Ь], когда я->-оо. Поэтому для любого
f\ > 0 найдется такое v0, что при v^v0 справедливо неравенство
j)"wW-?,Wl<1 Для а<лг<6, v>v0.
Имеет место формула
У W = (^Hji / (* - tr-'y'^ (0 dt+y (a) +
х — а ,, . . . (х — a)m~l lm .s , .
Положим
х
q» W = (mil)! / (Х — °m_1^ (f) dt +? (Я) +
а
+ 1—ур1/(«)+ • • ■ +(„_!)! ■У"'-1>(Д).
Тогда 9»С*) является многочленом степени « = v-|-m>-v0-j-m,
причем
I У4 (*)—?<«(*) l<(w-a-i)i J" 1*-'|",-*-11Уж)Ю-£(01<«<:
<^"Л^)Г <* = 0' 1.2,...,т).

§ б. Вычисление собственных значений
265
Йоэтому неравенства (24) выполняются, если выбрать г\ так, чтобы
ч\(р — а)т~к1(т — k)\ было меньше о при k = 0, I, .... т.
2) Докажем, что если функция у(х) непрерывна на отрезке
[а, Ь] вместе со своими производными до т-го порядка
включительно и если
Ut(y) = hi (/= 1, 2, . . ., /га),
то можно найти такую последовательность многочленов {рп (х)},
п = 2т— 1, 2т, . .., степень каждого из которых равна его
индексу, что
Ui(Pn) = V (г = 1. 2, ..., /я),
причем на отрезке [а, Ь] выполняются неравенства
(У*> (x)—pf (*)!<»» (А = 0, 1, 2, . .., т), _
где [гп] — сходящаяся к нулю последовательность чисел
lim гп = 0.
В самом деле, пусть {qn(x)}—определенная в 1)
последовательность. Если положить
max [\y(x)\ — q (x)\, |/(*) — q'n(х) |, . ..
о<св<6
.... \/m4x)-qi^(x)\]^on,-
то
lim ага = 0.
п->оо
Полагая
gi^h — U^q^ 0=1, 2, .. ., т),
имеем
Ig<\ = I Ui(У)~ Ut(qn)| = | Ui (y-qn) |< Cpn (25)
(/ = 1, 2, . . ., /ra),
где число Cj не зависит от га.
Поставим в соответствие каждому многочлену qn(x) многочлен
q(x) степени 2т — 1, который мы определим следующим образом.
Так как формы U1 (q), U2 (q), ..., Um (q) линейны относительно
переменных
q (a), q' (a) qrC—D (e); q (b), q' (ft), ..., ?<«-»> (ft),
то можно найти т линейных форм Um+1(q), . .., U2m(q) относительно
тех же переменных так, чтобы формы t/j (<7)> U2(q) Um(q)
Um+1(q) ^2т(ч) были линейно. Независимы. Определим q(a)

266 Гл. XI. Численное, графическое и механическое решение
q'(a) 9<fl,_14a); ?(*)• Я' iP) qi™-1) (b) из системы линейных
уравнений
V\ (Я) = ffi. ^а (Я) =gt Um (q) = gm,
tW (q) = 0, Um+2 (?) = О U2m (q) = 0.
В силу (25) существует такое число С2, не зависящее от и, что
| ?««(«) |< Сва„, |<7«(6)|<С2а„ (Л = 0, 1, .... и-1).
Тогда многочлен <7(*)> который мы строим, имеет вид
,W = ,(a)+^^^4o)+...+(-^^^-1>(«) +
+ (* —в)» [Дт + Дт+1 (* — *)+...+Двт_1(* — *)»-Ч.
где числа Л„„ .d^^ Л2т_х линейно выражаются через «7(a),
<7'(а) ^»>-1)(а); ^(6), <7'(*)> • ■ ■> <7(т-1Ч^)- Следовательно,
существует такое число С', не зависящее от п, что при а^лг^б
имеем
|^»(*)|<Со„ (Л = 0, 1 от—1).
Положим
д»(*) = ?(*)+?п(*);
тогда рп(х) является многочленом степени п~^2т—1,
удовлетворяющим краевым условиям
Ut(Pn)=Ut(qi + q)=Ui(qn) + Ui(q) = ht-~gi + gi = hi
(i—U 2 т).
Кроме того, при а^.х ^Ь и k = 0, 1, ..., т
у») (х) - pW (х) | = | У") (*) — qW (х) - qW (х) | <
< ! У*> (*) - Я™ (*) | -И <7W (*) К (1 + С) о„,
Поэтому, если вя= max |УЛ)(д:)—PlnHx)\ (& = 0, 1,..., т),
а < а; < Ь
ТО
в„<(1+С)о„, lim вя = 0.
и-*оо
в) Докажем теперь сформулированную теорему. Пусть у(х) —
решение системы (16), (17) и \Рп (х)}—последовательность
аппроксимирующих многочленов.
Положим
F(x) = y(x) — pn(x),

$ 5. Вычисление собственных значений
267
где [рп(х)}—построенная в „б", 2), последовательность
многочленов, соответствующая решению у(х). Функция F (х) удовлетворяет
т условиям
Ui(F) = 0 (i=l, 2, .... л»), (26)
и если положить
L(F) = У (х), (27)
то F(x) является единственным решением системы (26), (27).
Положим еще
Л| С*) = А» С*)+ *!.(*)•
тогда
L(Pn) = L(pn)-]-L(i:n) = L(y) — /.(/*) + /.(*„) =
= /?(*)— К(дг)+ /.(*„),
|/.(/>„)-/?(*)|'= |/. К)-K|'.
Поэтому ига является многочленом степени п, минимизирующим
выражение
ь т
f |L(nre)- У|г<** + 2с,| 1/<(ПЛ)|г*.
где Пге — общий многочлен степени и.
Пусть
ь т
Т = Г 11Ю - К Г dx + 2 Q | U, (О |'>. (28)
а
Замечая, что нуль можно рассматривать как частный случай
многочлена и-й степени и что £/,•(()) = 0, получаем
ь ь
-i^l\Y\rdx=§\L{F)Ydx =
а а
ь т
= Г I \У™ (х) - № (х)} + 2 Q, (х) \y(m-j> (x) - pg-Л (х)] \r dx.
a '=1
Поэтому, если обозначить через М наибольшее значение \Qj(x)\ на
[а, д] (/ = 1, 2, .... /и) и положить # = (1-}--М»0г(*—а)> то
Т<^*;- (29)
Так как все члены в правой части равенства (28) неотрицательны
и поэтому не могут превзойти f, то
ь ь
J|z.(*n)—*Т <**==/1/-(*«-^)|г<**<: т.
а а
ЩЮК^1'- ■(*=!. 2, .... m)

268 Гл. XL Численное, графическое и механическое решение
и в силу (29)
ь |
Г | Z. (F-к,,)!'Ас <Я£, I
i \ (30)
I Ut К) I < (HICtfrb?-t (/'*= 1, 2, .. ., от). J
Если положить
b(x) = -F(x) —it„(x), L(u) = Z(x),
то функция н (а:) удовлетворяет дифференциальной системе
L(u) = Z (x),
Щ(и) = — Ui («») (* = 1. 2, ..., m).
Обозначим через G(je, £) функцию Грина этой системы (гл. V,
§ 3, п. 2), а через Gt(x)— решение системы
£00 = 0,
i/1Cv)=... = i/«_1Cv) = o, 1/,о»=*1. t/4+1(y)=... = i/wcy) = o
(/ = 1, 2, .. ., от).
Тогда (гл. V, § 3, п. 3, „в")
Ь т
uik) <*>=J SG <*• *>z ®rfS - S0?) (х) ^(w">
(£ = 0, "1, 2, .. ., от— 1).
Так как функции |d*G(x, £)/алг*J, \G<p(x)\ (k = 0, 1, 2 от—1)
ограничены на отрезке [а, &], то существует не зависящее от п число
Н, такое, что
6 т
I««(х) | < я [ J* | z G) | я -f 21 ut («J |] (31)
a
(6 = 0, 1, 2 /re —1).
Но по неравенству Гельдера — Рисса имеем
V
J | Z (6) I dS < 0 — a^-1)/^ J | Z (6) Г dgj
a a
Поэтому из (31) и (30) следует, что при а^.х^.Ь
т

§ 6. Графическое решение дифференциальных уравнении 269
Мы можем считать, что е„<1. Обозначая тогда через s
положительное число, меньшее, чем 1, rjrlt r\r^ r/rn, имеем при
\a{k\x)\^H'sn (Л = 0, 1, 2, ..., т— 1), (32)
где
т
Я' = Н[(Ь - af~ 1)/rH1/r 4- 2 (tf/C4)1/r< ].
Наконец,
a(x) = F (*) — ir„ (х) = _у (ж) _ [д, (х) + ir„ (х)] = _у (х) — Р„ (х),
и из (32) следует, что
\ук\х)—Р%\х)\<Н'е*п (А = 0* 1, 2 w—1)
для всех значений х из отрезка [а, Ь\. Теорема доказана.
§ 6. Графическое решение дифференциальных уравнений
1. Метод изоклин. Интегральные линии. Производные линии.
Индикатрисы, а) Проведенные в гл. I, § 6, п. 1, „а" и „б",
геометрические исследования уравнения y'=f(x, у) и системы .у' =
=f(x; у, z), z' = g(x; у, z) приводят как к численным методам
решения, изложенным в § 2 и 4 этой главы, так и к графическому
методу решения уравнений первого порядка, к изложению которого
мы переходим1).
б) Пусть дано уравнение (см. гл. IX, § 2)
F(x, у; р) = 0, /7 = g. (1)
Рассмотрим семейство линий, заданное уравнением
F(x, у; с) = 0,
где с г—параметр. Кривая семейства Гс, соответствующая значению
параметра с, может рассматриваться как геометрическое место точек,
в которых интегральные кривые уравнения (1) имеют один и тот же
наклон dyjdx = c к оси х (фиг. 21). Иными словами, все линейные
элементы, соответствующие точкам кривой Гс и удовлетворяющие
уравнению (1), имеют одно и то же направление. По этой причине
кривые называются изоклинами (линиями равного наклона).
!) И. Бернулли [1] и Л. Эйлер [4] первыми применяли геометрические
методы для решения дифференциальных уравнений. Более современные
методы связаны с общими рассмотрениями Ли (Ли и Шефферс [1], стр. 188
и след.), который указал, что решение уравнения /(х, у, у') = 0 эквивалентно
нахождению на поверхности f(x, у, р) = 0 линий, определяемых
уравнением dy — pdx = Q (см. п. I „в").
Относительно библиографии см. Кассини [1], гл. X, стр. 350—409, Дзон-
дадари [1], Рунге и Виллерс [1], Виллерс [1], стр. 295 и ел.

270 Гл. kt. Численное, графическое и механиЧёдкбё решение"
Предположим, что на плоскости проведены изоклины Гс,, Г с, Гс ,
соответствующие возрастающей последовательности cv c2 с„
значений параметра с. Для графического построения интегральное
кривой у = у(х) уравнения (1), удовлетворяющей начальному
условию у(х1)=у1, предположим, что изоклина ГС1 проходит через точку
(xv yj [F(xv ух\ с1) = 0]. Рассмотрим тогда линейный элемент
{xv y{, q), выходящий из точки (Xj, yj, и обозначим через (л:2, у^
точку пересечения этого элемента с ГС2; пусть, далее, (л:3, у^
Фиг. 21.
является точкой пересечения линейного элемента (л:2, у2; Cg) с ГСз;
(х4> Уа) — точкой пересечения линейного элемента (л:3> у3, с3) с Гс,
и т. д. (фиг. 21). Огибающая линейных элементов (xv yx\ ct),
(х%, у.?; с2), (х3, у3; с3), ... может рассматриваться как
приближенное изображение искомой интегральной кривой. Из теоремы Коши—
Липшица следует, что если ограничиться рассмотрением уравнений
у' =f(x, у) и если выполняются условия, указанные в гл. I, § б,
то полученная кривая будет хорошим приближением для
интегральной кривой, удовлетворяющей начальному условию у{х^ =у%.
Пусть, например, требуется решить уравнение у' = ху.
Изоклинами для этого уравнения будут равносторонние гиперболы ху = с2,
а уравнение интегральных кривых имеет вид у — се^'-к Легко
провести изоклины, соответствующие значениям с — я/4, а=1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, после чего нетрудно провести соответствующие
интегральные кривые с помощью описанного выше метода.
в) Построение интегральных кривых может быть облегчено с
помощью следующих замечаний. Рассмотрим поверхность Si задаваемую
уравнением F (х, у; z) = 0, и будем изображать линии, проведенные

§ 6. Графическое решение дифференциальных уравнений 271
на этой поверхности, с помощью метода Монжа *). В качестве
горизонтальной плоскости проекций выберем плоскость (х, у), в
качестве вертикальной — плоскость (х, z) и в качестве оси проекций —
ось х; пусть начало координат изображается на эпюре точкой О
(фиг. 22). л
Линии F(x, у; с) = 0 являются линиями уровня этой поверхности.
Обозначим Соответственно через ГС1, Г0г, .. ., Гс , ... и T'Cl, Ге2
Гсга. • • • горизонтальные и вертикальные проекции этих линий,
соответствующие значениям cv с2, ..., сп Вертикальные проекции
Фиг. 22.
являются прямыми, параллельными оси проекций и отстоящими от
нее на расстоянии cv c2 сп, ... соответственно, в то время
как горизонтальные проекции Г0. Г0>, ..., Г0 , ... являются изо-
п
клипами данного уравнения.
"Для того чтобы получить направление линейных элементов,
выходящих из точек кривой Гс, поступим следующим образом: обозначим
через /И точку пересечения прямой Гс с осью z и через U—точку
оси проекций, такую, что ОU= 1; тогда отрезок UM имеет искомое
направление.
!) См. Н. А. Глаголев [1], стр. 75-—84.—Прим. перев.

272 Гл. XI. Численное, графическое и механическое решение
Это позволяет теперь легко построить интегральную кривую
уравнения (1), выходящую из точки (xv yt). Пусть точка (лг1( у±)=р^
принадлежит кривой ГС1, и пусть PCl — соответствующая ей точка на
вертикальной плоскости; точка PCl лежит на прямой ГС1, и отрезок
Рс,Рс, перпендикулярен оси проекций. Обозначим через Мх точку
пересечения прямой ГС1 с осью z и построим отрезок PClPCi,
параллельный отрезку UMX, конец PCl которого лежит на кривой Гс,'»
обозначим через М% точку пересечения прямой ГСа с осью z и построим
отрезок PCiPc.j, параллельный отрезку UM%, конец PCs которого
лежит на кривой ТСь, и т. д. Продолжая далее таким же образом,
мы получим многоугольник
"о, РсгРс3 • • • Рс ■ ■ • >
называемый интегральным многоугольником данного уравнения.
Многоугольник, вершинами которого являются соответствующие
точки
/ г / /
' Oi P<h "сз • • • "о ■ • ■
на вертикальной плоскости, называется производным
многоугольником. Если у=у(х) является решением уравнения (I),
удовлетворяющим условию y(xt)=yv то производный многоугольник
приближенно изображает кривую, имеющую уравнение
или, как говорят, производную кривую.
Многоугольники с вершинами в точках
Рех Рс2 ■ ■ ■ Рсп ■ ■ ■
р' р' р'
являются соответственно горизонтальной и вертикальной проекциями
лежащего на поверхности 2.многоугольника (вообще говоря,
неплоского), называемого индикатрисным многоугольником.
Индикатрисный многоугольник приближенно совпадает с кривой,
проведенной на поверхности 2
Е: F(x, у; *) = 0, (2)
вдоль которой удовлетворяется уравнение
dy — zdx = 0. (3)
Такая кривая называется индикатрисой.
Связь между интегральными кривыми уравнения (1) и лежащими
на поверхности (2) кривыми, вдоль которых выполняется уравне-

$ б. Графическое решение дифференциальных уравнений 273
ние (3) (индикатрисами), рассматривалась в работах Ли (Ли, Шеф-
ферс [1]. см. также Массо [1]).
2. Геометрическое истолкование />-дискриминантной кривой.
Указанная выше связь интегральных кривых с индикатрисами
позволяет дать геометрическое истолкование изложенной в гл. IX, § 2,
п. 3, теории р-дискриминантной кривой уравнения
F{x, у, *) = 0 [p = * = g]. (1)
Мы определяли р-дискриминантную кривую f как совокупность
точек (л;, у), удовлетворяющих уравнению, получаемому
исключением г из уравнений
F(x, у; г) = 0, Fg(x, у; г) = 0.
Если вдоль f выполняются условия Fx-j-zFy ф О, Fzz=fcQ, то f
является геометрическим местом точек возврата интегральных
кривых уравнения (I) (гл. IX, § 2, п. 3 „б"). Для геометрического
истолкования этого результата заметим, что условие Fz — Q означает
параллельность плоскости П, касающейся поверхности £: F(x, у; г)=0
в точке (л;, у; z) и оси г; условие же Fx -\- zFy ф О эквивалентно
тому, что плоскость П не совпадает с вертикальной плоскостью П',
имеющей уравнение
У—У = г(Х— х),
след которой на горизонтальной плоскости является касательной
к интегральной кривой уравнения (1), выходящей из точки
(л;, у)==Р. Прямая г пересечения плоскостей П и П'
перпендикулярна плоскости (л;, у) и касается индикатрисы. Поэтому
горизонтальной проекцией прямой г является точка Р. Из этого
обстоятельства легко вывести, что проходящая через точку Р интегральная
кривая имеет в ней точку возврата. Кроме того, кривая f
является частью контура проекции поверхности £ на
горизонтальную плоскость. Вертикальная проекция соответствующей
кривой, лежащей на поверхности £> является в силу условия Fx-\-zF^0
геометрическим местом точек, в которых производные кривые имеют
вертикальные касательные.
3, Построение геометрического места точек касания
интегральных кривых. Нетрудно установить свойства геометрического
места точек касания интегральных кривых (гл. IX, § 2, п. 8).
Пусть L — геометрическое место точек поверхности £, в" которых
касательная к соответствующей индикатрисе горизонтальна.
Обозначим через / и /' горизонтальную и вертикальную проекции
кривой L (фиг. 23). Вдоль /' имеем г' —0, а поэтому у" = z' = 0.
Следовательно, кривая I является геометрическим местом точек
18 Зак. 1072. Дж. Сансоне

274 Гл. XI. Численное, графическое и механическое решение
касания интегральных кривых (а кривая /' — геометрическим местом,
максимумов и минимумов интегральных кривых).
Построение кривой / может быть облегчено с помощью
следующих рассмотрений. Пусть точка PW лежит на L; касательная к
индикатрисе, проходящей через точку /W, горизонтальна и,
следовательно, касается линии уровня Г поверхности £• проходящей через
z<
Щ
0
»1
\
' ^*\
ft r/i !
\\\ / i i
v ч\ / i
\ \VV / J | 1 I Г-'
и 1 ! 1 |
| X
1
Фиг. 23.
точку /W. Отсюда следует, что если Ге и Ре являются
соответственно горизонтальными проекциями для Г и Р(°>, то угловой
коэффициент касательной к кривой Ге в точке Рс равен значению z для
точки Р(°). Это замечание применяется следующим образом для
построения кривой /. Пусть U—точка оси проекций, такая, что
OU= 1 (относительно обозначений см. п. 1), и Мс — точка
пересечения Ге с осью z. Рс является той точкой кривой Гс, в которой
касательная к этой кривой параллельна отрезку UMC. Совокупность
всех точек Рс и составляет искомую линию / (см. фиг. 23). (И. Бер-
нулли [1], стр. 436.)

$ 6. Графическое решение дифференциальных уравнении 275
Отметим, что при графическом построении интегральных кривых
по указанному в п. 1 методу следует избегать выбора в качестве
начальных точек точек касания интегральных кривых, т. е. точек
кривой /, так как это снижает точность построения.
4. Метод огибающих. Опишем другой способ графического
решения уравнений первого порядка
/=/(*.
Замазываемый методом огибающих (или методом лучевых кривых).
Выберем прямую г0, параллельную оси у, абсцисса всех точек
которой равна х0, и рассмотрим огибающую Г0 прямых, проходящих
Фиг. 24.
через точки (xQ, у) прямой г0 с угловым коэффициентом / (х0, у)
(фиг. 24). Уравнение таких прямых имеет вид
Y—y = (X-x0)f(x0, у), (5)
а уравнение огибающей Г0 получается исключением у из
уравнения (5) и уравнения
— 1=(Х— xQ)fy(x0, у).
18*

276 Гл. Xt. Численное, графические и механическое решение
Поэтому координаты (X, Y) текущей точки кривой Г0 выражаются
формулами
0 fy (х0, у)' s fy (х0, у) v '
Пусть r0, rv г2, г3, г4, ... — последовательность равноотстоящих
прямых, параллельных оси у, Г0, Tv Г2, Г3> Г4, ... —
соответствующие им огибающие и s0, sv s2, ss, s4, ... — прямые, делящие
пополам полосы r(f1, rxrv г^ь, гъг±, .. .
Для геометрического построения интегральной кривой
уравнения (1), выходящей из точки А0 прямой г0, проведем из точки А0
касательную tQ к кривой Г0 и обозначим через А0В0 отрезок
касательной t0, лежащий в полосе r0s0; из точки В0 проведем
касательную к rt и обозначим через В0В1 отрезок касательной tv лежащий
в полосе sQsx; аналогично, ВХВ% является лежащим в полосе s^s^
отрезком касательной £2, проведенной из точки Вх к кривой Г2 и
так далее.
Многоугольник со сторонами А0В0, B0BV BXBV B2B3, ...
приближенно изображает графически искомую интегральную кривую.
Если нам нужна лишь часть интегральной кривой, лежащая в полосе,
ограниченной прямыми г0 и гп, то в качестве последней стороны
многоугольника берут отрезок касательной 1п, лежащий в полосе
sn-lrn (см- Фиг- 24)-
5. Графическое решение уравнений второго порядка по методу
радиуса кривизны. Перейдем теперь к изложению метода
графического решения уравнений второго порядка с помощью радиуса
кривизны, который был предложен Кельвином [1].
Рассмотрим уравнение второго порядка
у" = f{x, у, у'), (7)
где для функции f(x, у, у') выполняются условия, обеспечивающие
существование в некоторой окрестности точки х0 интегральной
кривой Г: у—у(х), которая удовлетворяет начальным данным
У(х0)=Уо> У(х0) = у0. (8)
Кривизна 1/р кривой Г в точке (л;, у(х)) равна
1/р=/7(1+/2)8/2
(р — радиус кривизны). Если обозначить через а заключенный между
— я/2 и тг/2 угол, образованный касательной к кривой Г в точке
(х, у(х)) с положительным направлением оси х, то
l/p— f(x, у; tg<x)|cos8a
(9)

§ 6. Графическое решение дифференциальных уравнений 277
причем р" положительно или отрицательно в зависимости от того,
направлена вверх или вниз вогнутость кривой Г.
Для графического построения кривой Г возьмем на плоскости
(х, у) точку А0 с координатами (х0, у0) и проведем через точку А0
прямую t0, образующую с положительным направлением оси х такой
угол <х0, что tg'a0=y'0 (фиг. 25).-
Ао
Фиг. 25.
Пусть точка С0 лежит на перпендикуляре к прямой tQ,
проведенной через А0, и пусть
А°С° = Ро = /(-^о. З'о. tg«o)|cosBa0|'
причем угол между вектором А0С0 и положительным направлением
оси у острый, если / (х0, у0, tg а0) > 0, и тупой, если
/(•Ко- Уо> ^<*о)<° (Фиг- 25)-
Из точки С0, как из центра, проведем достаточно малую дугу
окружности ~~- A0At радиуса С0А0. Пусть центральный угол этой
дуги равен 0; тогда касательная к этой дуге, проведенная в точке Av
образует с положительным направлением оси х угол а0~\-Ч. Пусть
Л1 = (х1, yt), — =/(х1, yv tg(a0-f 8))|cos3(«o+9)|-
Возьмем на радиусе АгСй точку С13 отстоящую на расстояние pt от
середины тх дуги ^ A0AV и построим такую дугу окружности ^~- т1Л2
с центром в Cj радиуса pt, что Afi^A^ = 0.
Если точка А\ пересечения этой дуги с С0Аг достаточно близка
к Аг и если т2 — середина дуги ^ AiA%, то дуга --- mjm.3
приближенно совпадает с интегральной кривой; в противном случае, посту-

278 Гл. XI. Численное, графическое и механическое решение
пая с точкой Ау так же, как ранее с.точкой Av строят точку А{
Г л* л**\
и рассматривают пару точек {А\, А\ ) и так далее, до тех пор, пока
не получится пара, состоящая из достаточно близких точек.
Предположим, например, что точки А± и А\ достаточно близки,
как это изображено на чертеже. Тогда повторяют для точки Л2 то
же построение, которое было проведено выше для точки Av и так
далее. Кривая, составленная из дуг *—- A0mv *—- т^п^ может
рассматриваться как приближенное графическое изображение
интегральной кривой Г.
6. Метод графического решения при помощи прозрачное
бумаги. Недавно Бели и Сомервилл [1] предложили метод
графического решения, основанный на использовании прозрачной бумаги
r\=f(oc)
Ф и г. 26.
Мы изложим этот метод лишь для частного случая уравнений вида
(10)
x(j)g+>=/(*>.
но метод может быть распространен и на уравнения типа
Покажем, как построить интегральную кривую уравнения (10),
удовлетворяющую начальному условию
У(х0)=У0-
Выберем на плоскости а декартову систему координат (х, у\),
проведем на ней кривую ч\ =f (х) и отметим начальную точку
Д' = (*0, ,Ур) (фиг. 26).

§ 7. Механическое решение дифференциальных уравнений 279
На листе прозрачной бумаги р проведем перпендикулярные оси
($, у), ориентированные в направлении, противоположном ориентации
осей (х, f\), выберем ту же единицу длины, что и на плоскости а,
и проведем кривую \ — у(у).
Наложим J3 на а таким образом, чтобы положительное
направление оси Е совпало с отрицательным направлением оси х, а ось у
прошла через точку А'. Отметим на листе р точку В пересечения
оси у с кривой f(x) и, сдвигая лист [3 так, чтобы ось \ скользила
по оси х, переведем его в такое положение, чтобы кривая у_ 00
проходила через точку А'. После этого сдвига точка В окажется
против некоторой точки В' плоскости а, и легко видеть, что
прямая А'В' касается в точке А' искомой интегральной кривой.
В самом деле (относительно обозначений см. фиг. 26),
очевидно, что
CB}=~~DBy—DC = f(x0) — у0,
tg саЪ' = Ш= =Щ -yn- = №
А'С ХО'о) \dx\xj
Возьмем на прямой А'В' близкую к А' точку А"; тогда
отрезок А'А" будет элементом интегральной кривой. Повторяя с
точкой А" тот же процесс, мы можем найти новый элемент и т. д.
Таким образом строится цепочка элементов (многоугольник),
аппроксимирующая искомую интегральную кривую.
§ 7. Механическое решение дифференциальных уравнений
1. Проблема механического решения. Интеграторы. Интегро-
метры. Интеграфьь Для приложений весьма важна проблема
конструирования интеграторов *), т. е. инструментов, либо позволяющих
автоматически получать численные значения решений
дифференциальных уравнений, соответствующих определенным начальным условиям
(антегрометров), либо позволяющих чертить интегральные кривые
(интеграфов).
Очевидно, что для более полного изучения решений
дифференциальных уравнений выгоднее использование интеграфов. Первый
из них был сконструирован Абданк-Абакановичем9) для построения
интегральных кривых уравнений вида y'=f(x). Паскалю мы обязаны
тем, что этот инструмент стал родоначальником целой серии
механизмов, предназначенных для механического решения широкого
класса дифференциальных уравнений 3).
*) Относительно описания различных типов интеграторов см. Жакоб [1].
Более современное описание интегрирующих инструментов см. Виллерс [2].
2) Абданк-Абаканович [1].-См. также А. Н. Крылов [1].
3) Паскаль [1], [2], [3]. См. также Скатицци [1], Кассини [1], стр. 388—399.

280 Гл. XI. Численное, графическое и механическое решение
с^эЬ-
Мы ограничимся изложением в п. 2 этого параграфа основных
сведений о так называемом декартовом интеграле Паскаля, а в п. 3
опишем интеграф Вьеториса, основанный на остроумной
геометрической интерпретации метода последовательных приближений.
2. Декартов интеграф Паскаля. Схематически декартов
интеграф Паскаля состоит из прочной прямоугольной рамы ABCD,
сделанной из стали и латуни
и опирающейся на
плоскость чертежа при
помощи двух равных колес
Rx и R$ с шероховатой
поверхностью (фиг. 27).
Третьей точкой опоры
является стальное колесико
с заостренным краем
(вращающееся кохесико), свя-
(w% занное с рамой при
помощи подвижной тележки
(интегральная
тележка), причем плоскость
этого колесика может
принимать любое положение,
перпендикулярное
плоскости чертежа.
Стороны рамы АВ,
DC направлены
параллельно оси х, причем
рама может
передвигаться параллельно этой оси. По стороне ВС может передвигаться
снабженная рукояткой тележка (дифференциальная те/.ежка), к
которой прикреплен штифт Я с острием, направленным к плоскости чертежа.
Связанная с вращающимся колесиком интегральная тележка
скользит по стороне AD (рельсу), которую мы для простоты
предполагаем прямолинейной. Вращающееся колесико снабжено пишущим
приспособлением.
Обе тележки соединяются криволинейной линейкой ~~,EF, конец
которой может вращаться вокруг штифта Н дифференциальной
тележки. В этой линейке сделана выемка, по которой может
скользить штифт G интегральной тележки. При этом соединение должно
быть таким, чтобы при передвижении тележек плоскость
вращающегося колесика оставалась касательной к линейке -^EF в точке G.
Предположим, что точка И описывает при движении рамы
кривую (дифференциальную), имеющую уравнение
y = Q(*), О)

§ 7. Механическое решение дифференциальных уравнений 281
и пусть при этом пишущая точка интегральной тележки описывает
кривую (интегральную)
у = у(х). (2)
Пусть АВ = а (единица измерения инструмента). Обозначим
через а угол, образованный прямой ОН с положительным направлением
оси х, и через р — угол, образованный касательной к кривой •~^EF
в точке G с хордой ОН.
Имеем
У ЧК* Р) i+tgatgp a + [Q(x)-y]tgl • w
Но угол р зависит только от разности ординат точек G и //, а
поэтому, полагая
tgp = HQw —.у] (4)
получаем
_/=Ф[<г(х)—у]. (6)
Таким образом, описанный здесь частный вид интеграфа Паскаля
можно применять для решения уравнений вида (6).
Докажем теперь, что для любой функции Ф можно подобрать
соответствующую изогнутую линейку ^-EF.
Рассмотрим систему полярных координат р, 6 с полюсом в точке Н
(р — радиус-вектор, В — аргумент). Так как |3 равно углу между
хордой НО и касательной к линейке в точке G, то
Полагая
имеем
и из (4)
Из (5) имеем
Q<x) — y = t, (8)
Ф -J- f> = f (9)
db
Pg-WflV-e9]. (Ю)
1 ; я + *Ф (t) )
(И)
Следовательно, если известна функция Ф, то из последней формулы
можно найти F, а тогда по формуле (10) имеем
e-J^HE^, (12)

282 Гл. XL Численное, графическое и механическое решение
Таким образом, нахождение полярного уравнения линейки, соот~
ветствующей уравнению (6), сводится к квадратуре. Паскалю
([1], стр. 7) принадлежат также приспособления, позволяющие
вычерчивать по точкам соответствующие линейки.
3. Интеграф Вьеториса. а) Закончим наше краткое упоминание
об интеграфах описанием интеграфа Вьеториса, основанного, как мы
уже говорили, на удачной геометрической интерпретации метода
последовательных приближений х).
Пусть дано уравнение
/=/(*. у) (Щ
и пусть при a^jc^a-J-a, \у-—Pl^* Функция/(л:, у) непрерывн§
и удовлетворяет условию Липшица относительно у, |/(дг, у2)—
— f(x, ух)| <!М\у%—yt\. Тогда на отрезке [a, a-J-8], где
8—наименьшее из чисел а, Ь\М (гл. 1, § 3, п. 4, „в"; гл. XI, § 1, п. 2),
можно следующим образом построить решение у(х) уравнения (13),
удовлетворяющее начальному условию у(а) = $.
Пусть «(дг) — непрерывная на отрезке [a, a-j-8] функция, такая,
что | и (дг)— (3|^#, а в остальном произвольная. Построим с помощью
алгоритма последовательных приближений последовательность
функций \ут(х)}, определенную следующим законом:
х
У1(х) = $-{- j f(x\ u(x))dx.
х
3'm+i(^) = P+J fix; ym(x))dx (m = l, 2, . ..}
a
Для того чтобы, зная кривую Гт, имеющую уравнение у = ут(х),
построить кривую Гт+1 с уравнением у = ут+1(х), можно поступить
следующим образом. Рассмотрим совокупность линейных элементов
Iх' Ут(х)> f(x< Ут(х))Ь проходящих через точки (дг, ут(х)) и
имеющих угловой коэффициент, равный /(дг, ут(дг)) (направление этих
линейных элементов называется направлением поля). Если теперь
перенести параллельно самим себе эти линейные элементы таким
образом, чтобы точки (х, ут(х)) передвигались параллельно оси у и
чтобы получающиеся после переноса линейные элементы огибали
некоторую кривую, выходящую из точки (а, Р), то эта огибающая и
будет кривой Гт+1 (фиг. 28).
б) ВьетОрис заметил, что требование, чтобы линейные элементы
переносились параллельно оси у, не является существенным. Перенос
!) Вьеторис [1], [2]. Относительно других механизмов, применяемых для
решения уравнений второго порядка, см. Росселанд [1].

# 7. Механическое решение дифференциальных уравнений 283
Фиг. 28.
в другом направлении можно интерпретировать как вращение системы
координат, приводящее к некоторому видоизменению итерационного
процесса Пикара, При этом если только угол поворота осей не
слишком велик, видоизмененный процесс сходится в некоторой окрестности
точки (а, р) и мы получаем
и пределе ту же самую
интегральную кривую. Можно
предположить также, что
направления переноса интегральных
элементов не остаются
постоянными для всех точек кривой Г,п,
но могут изменяться от точки
к точке.
Выбирая соответствующим
образом направления переноса,
можно получать новые
итерационные методы для
вычисления решения.
Например, можно переносить каждый линейный элемент [х, ут(х),
f(x, ym(x))] в направлении, перпендикулярном его собственному
направлению, т. е. в направлении, имеющем угловой коэффициент
—l/f(x, ym(x)) (такое направление называется нормальным к полю).
Если нормали к полю вдоль кривой Тт имеют огибающую Lm
{эволюта поля вдоль кривой Гт),
то можно в качестве
итерационной кривой для Тт взять
эвольвенту Гт+1 кривой Гт
(ортогональную траекторию нормалей
к нолю вдоль Гт), выходящую из
точки (а, (3) (фиг. 29). В этом (а,]3)
случае кривая Гш+1 называется
итерацией кривой Гт с помощью
эвольвент. Вьеторис доказал, что
при некоторых предположениях
процесс итерации при помощи
эвольвент приводит к решению
уравнения (см. Вьеторис [1],
стр. 59).
в) Вьеторису же принадлежат Фиг. 29.
Другие обобщения (см. Вьеторис
[1], стр. 64). Он доказал, что при некоторых предположениях можно
Построить последовательность итерационных кривых, сходящуюся
к интегральной кривой, заставляя точки (х, ут{х)) перемещаться не
по прямым, а по некоторой системе определенных кривых, и изменяя
в то же время от точки к точке направления соответствующих
линейных элементов.

284 Гл. XI. Численное, графическое и механическое решение
Мы ограничились для краткости лишь изложением основных идей
Вьеториса. Однако этого достаточно для того, чтобы понять
руководящие принципы конструкции его интеграфа.
Пусть кривая Г0, имеющая уравнение у = у0(х), ^(<х) = р,
является приближенным решением уравнения (13). Для того чтобы
построить улучшенную по сравнению с Г0 кривую Yv отложим из
Фиг. .30.
каждой точки (х, у0(х)) кривой Г0 в направлении поля отрезок
постоянной длины /; концы тх этих отрезков описывают при этом
некоторую кривую, которую мы обозначим через М0 (фиг. 30).
Рассмотрим семейство окружностей с центрами в точках тх и
радиусом / и их ортогональную траекторию 1\, выходящую из точки
(а, Р), т. е. трактрасу с базисной кривой М0 и шагом I.
Назовем 1\ траекторией кривой Г0 по трактрисам.
Поступая с кривой Yt так же, как мы поступали с кривой Г0, и
повторяя этот процесс, мы получаем последовательность кривых,
относительно которых Вьеторис доказал, что
они сходятся к интегральной кривой.
Описанный процесс называется
процессом итераций по
трактрисам. Процесс итераций по
эвольвентам, рассмотренный нами в „б",
является частным случаем этого про-
Ф и г. 31. цесса, соответствующим случаю
/ = оо.
г) Из процесса итераций по трактрисам вытекает следующая
конструкция интеграфа Вьеториса.
С прочной плоской пластинкой (рамой) соединены колесо R,
плоский стержень О, жестко соединенный с опорой 5, пишущее
острие Z, перпендикулярное раме, и нитяной крест F (фиг. 31).
Пластинка располагается параллельно плоскости чертежа,
опираясь на R, Z, О. Ось колес? R перпендикулярна вертикальной
Ш-^С

$ 7. Механическое решение дифференциальных уравнений 285
плоскости, проходящей через точки Z и F, и проходит через
точку Z.
Пусть расстояние ZF равно /. Пусть, далее, задана графически
кривая Г0, приближенно изображающая интегральную кривую
уравнения (13), проходящую через точку (a, |j). Проведем
соответствующую кривую М0 и поставим интеграф таким образом, чтобы точка Z
попала в точку (a, f}), a точка F в соответствующую точку кривой
М0. Держа прибор за стержень G, его передвигают по плоскости
чертежа так, чтобы точка F описывала кривую М0. Тогда пишущее
острие Z опишет кривую Tv
Одного или двух шагов приближения достаточно для того, чтобы
получить интегральную кривую с графически достижимой степенью
точности.

Глава XII
О НЕКОТОРЫХ ВСТРЕЧАЮЩИХСЯ В ПРИЛОЖЕНИЯХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
§ 1. О движении тяжелой точки в сопротивляющейся среде
1. Дифференциальные уравнения главной ?адачи внешней
баллистики. Мы будем рассматривать задачу о движении снаряда
с момента его вылета из жерла орудияJ). Снаряд будет
рассматриваться как тяжелая материальная точка Р, брошенная в воздух из
точки О с начальной скоростью v0 (длину вектора v0 обозначим г»0).
Обозначим через g ускорение силы тяжести, принимаемое нами за
постоянную величину, через v — скорость точки Р и через t — орт
вектора v; предположим, что воздух оказывает сопротивление
движению точки Р, имеющее величину F (функция сопротивления,
замедляющая сила), изменяющуюся от точки к точке и направленную
в сторону, противоположную вектору v. Выберем в качестве начала
отсчета времени t момент, когда точка Р находится в О, и примем
массу точки Р равной единице. Тогда уравнение движения точки
будет иметь вид
при начальном условии v (0) = v0.
Из очевидных соображений симметрии снаряд будет двигаться
в вертикальной плоскости П, проведенной через точку О параллельно
вектору v0 [это вытекает, впрочем, и из уравнения (1)]. Возьмем
в плоскости П прямоугольную систему координат (х, у), приняв за
начало координат точку О, за ось у— направленную вверх
вертикальную прямую, и направим ось х так, чтобы вектор v0 образовывал
с этой осью острый угол а, называемый углом бросания (мы оста*
вляем вне рассмотрения случай вертикального броска). Если
координаты точки Р в момент времени t равны
x = x(f), y=y(t),
1) Исчерпывающее изложение вопроса читатель найдет в книгах Леви-
Чивита и Амальди [2], Попова [1]. Обширная библиография приведена
в книге Адем-ара [1] [см. также Шапиро Я. М. Щ. — Прпм. перев]

§ 1. Движение тяжелой точки в сопротивляющейся среде 287
а длина вектора v равна г», то
V=:Vx'2+y'*,
где корень понимается в арифметическом смысле.
Относительно функции F предположим, что ее значение при
любом положении точки Р пропорционально плотности воздуха
(функция положения, занимаемого точкой) и зависит по некоторому
эмпирически определяемому закону от скорости v; положим поэтому
F = F(t\ х, у; х', /)
и предположим, что функция F обладает следующими свойствами:
1) Функция F определена при любых действительных значениях
своих аргументов, непрерывна и положительна, когда v'i = x'2-\-
~\-у' > 0; удовлетворяет условию Липшица по переменным х, у,
х', у', когда х и у изменяются в любой конечной области, а сумма
х'*-\-у' остается заключенной между какими-нибудь двумя
положительными числами.
2) Существует функция Ф(х, у; х', у'), также определенная
для любой системы действительных значений своих аргументов,
непрерывная и такая, что
F(t; х, у; х', /)<Ф(х, у; х', у'), (2)
Ф(х, у; 0, 0)<g, (3)
где через g обозначена длина вектора g.
Обозначим через © заключенный между —тг/2 и тг/2 угол,
образованный положительным направлением оси х и ортом t (наклон
Ф и г. 32.
траектории), см. фиг. 32. Тогда из уравнения (1) вытекают два
скалярных уравнения
х" = — F cos ср, у" — — g — F sin ф.

288 Гл. XII. Об уравнениях, встречающихся в приложениях
Но х' — v cos <у, у' = v sin <у, следовательно, координаты х, у точки Р,
выраженные как функции времени, удовлетворяют системе
дифференциальных уравнений
x" = — Fx'/v (х" = 0, если г» = 0); ).
y" = — g—Fy'jv (y" = — g, если v = 0); J (4)
(« = Wa+/a)
и начальным условиям
д: (0) з=0, jr (0) = 0, х' (0) = *£, у (0) =у'^) (5)
[л;0 = v0 cos a > 0, _у0 = v0 sin а].
2. Область существования траектории. Изменение наклона
траектории и горизонтальной проекции скорости. В этом пункте
мы исследуем область существования траектории и изменение ее
наклона, а также изменение горизонтальной компоненты скорости.
а) Предположим сначала, что не только х'0 > 0, но и y'Q > 0,
т. е. что
х'о > 0, у'о > 0,
и обозначим через [0, А), (0 <; А <-[-. оо) полуоткрытый справа
промежуток времени, для которого можно определить решение
системы (4), удовлетворяющее начальным условиям (5), так, чтобы
выполнялось условие
v>0, (6)
Из (4) следует, что когда t изменяется в [0, А), то
%-~-2Fx~, (7)
^</2+2£у) = --2/^., (8)
у''х' — xy^ — gx', (9)
f< — g при /(/)>0. (10)
Отсюда легко вытекают следующие утверждения.
Если в [0, А) функция х' (t) не обращается в нуль, то из
равенства (7) следует, что х' (t) положительна и убывает; если же
х' (t) обращается в нуль в некоторых точках из [0, А) и к является
верхней гранью значений tv для которых х'(t)ф0, когда 0^.t^.tv
*) Относительно изучения решений системы (4) при более общих
предположениях, чем сделанные в тексте, см. Пиконе [4], [5], Скорца-Драгони [8].
При написании этого параграфа мы придерживались работы Пиконе [5];
в этой работе достаточно простым методом получены результаты Скорца-
Драгони и, кроме того, рассмотрено вертикальное движение.

§ 1. Движение тяжелой точки в сопротивляющейся среде 289
[Ж А], то х'(t) положительна и убывает на полуоткрытом справа
промежутке (0, л),'а при Я</<А х'(/)==0 в силу (7).
Из равенства (8) следует, что y"-\-2gy не возрастает в [О, А)
(и следовательно функция у ограничена сверху в [О, А); из (9)
вытекает, что в полуоткрытом справа промежутке [О, Л) траектория
точки Р обращена вогнутостью вниз и является вертикальной прямой
при А. -^^ <С А.
Из равенства (10) имеем, что у' (t) убывает на любом отрезке,
где она неотрицательна, а поэтому в тех точках, где она обращается
в нуль, она переходит от положительных значений к отрицательным.
Отсюда следует, что у' (t) либо нигде не обращается в нуль и
потому сохраняет положительный знак (напоминаем, что у'0 > 0), либо
обращается в нуль только в одной точке /0, и тогда
У (0 > 0 при 0 < t < t0- у' (t0) = 0; у' (0 < 0 при f0 < t < A.
Отсюда следует, что пределы
lim х, lim x', li-m у, lim (y'2-\~2gy)
t-Э-Л-О *-*Л-0 *-*Л-0 t->A-0
существуют (может быть, некоторые из них равны бесконечности)
и что lim х' — неотрицательное число, lim х> О, lim (у'2 ~\- 2gy) <
<-*Л-0 t-+A-0 t-*A-0
< -j- оо и, следовательно, lim _y<-j-°°.
*-»Л-0
б) Докажем, что, по крайней мере, один из пределов
lim x(t), lim y(t), lim (y'2-^2gy) ' (11)
*-*Л-0 «-Э-Л-0 t->A-0
равен бесконечности.
Проведем доказательство от противного. Пусть все пределы (11)
конечны. Положим
х = lim x{t), у = lim y{t).
Но мы уже знаем, что lim x' (t) конечен, а из конечности \im (у''-\-2gy)
t->A-0 t->A-0
следует, что и lim у'2 (t) конечен. Поэтому lim v = lim У х'^-\-уг1
t-*A-0 f-Э-Л-О t-*A-Q
конечен. Покажем, что
lim г>>0. (12)
t-+A-0
И) Зак. 1072. Дж. Сансоне

290 Гл. XII. Об уравнениях, встречающихся в приложениях
Если бы выполнялось равенство lim -о ;= 0, то мы имели бы
*->Л-0
lim х' = lim у' = 0, и из второго уравнения (4) получили бы
*->л-о *-*л-о
Йй /' (0 < ~ g + iffi'f (*; *, у, х', /)< — £ + Ф (х~, у; 0, 0)< 0,
f->A_0 «->Л-0
а так как lim y'(t) = 0, то _у'(/)>0.
Тогда, если бы существовала такая точка X (X < Л), см. „а"),
что .*:'(/) = 0 при t^-X, то имели бы, что lim у'/х' = -\- оо, в то
f->X-0
время как из (9) следует, что у'/х' убывает в [0, к) и потому
lim у'/х' <-j-oo.
f->-).-0
Если же такой точки к не существует, то производная х'(t),
как и у'(t), положительна в [0, Л), а поэтому (ибо у'/х' убывает)
lim 4>°. (13)
чего также не может быть. В самом деле, используя (9), имеем
d у' g ,. d у' ., ..
•ШР^-р'^т/тр — 00- (И)
и если Л^-)-00- т0 ''т У'1Х'~ — °° вопреки (13); если же Л <
*->л-о-
<~|-оо, то, интегрируя первое из уравнений (4) от t до Л,
получаем по теореме о среднем значении, что
0 <*'(<)< Af (А —0,
где М равно наибольшему значению функции
Ф(х, у; х', /) в 0<*<х, 0<j><J, 0<дс'<д:Х, 0 < / < .yj.
Но тогда из первого равенства (14) (у'/х')' <—g/M(A— /) вопреки
неравенству (13).
Мы доказали тем самым справедливость неравенства (12). Но
отсюда следует, что Л = -)- оо, так как если А<—j-oo, то в силу
того, что lim v(t)^>0, [0, А), не было бы наибольшим полуоткры-
<-> а-о
тым справа промежутком, на котором можно определить решение
системы (4), удовлетворяющее условиям (5) и (6).
Таким образом, если все пределы (11) конечны, то А = -)-оо,
lim v > 0. Но тогда по крайней мере один из пределов lim x',
lim_y' отличен от нуля и, следовательно, по крайней мере один из
пределов lim x, lim у бесконечен. Наше утверждение доказано.
*-> + СО <-> +00

$ 1. Движение тяжелой тоЧки в Попротиёляющёйся среде 291
в) Итак, мы доказали, что один из пределов (И) бесконечен;
докажем, что
lim y(t) = — oo,- (15)
Если бы предел lim y(t) был конечен, то по крайней мере один
*->Л-0
из пределов
lim x(f), lim (y'*-\-2gy)
был бы бесконечен. Если бы первый из них был конечен, то из
того, что y2-\-2gy не возрастает, следовало бы, что lim (y"-\-2gy)==
= — со и потому lim у (/) = — с».
Если же • lim x(f)=-\-oo то, по сделанному в „а" замечанию
*-»А-0
о поведении х' должно быть А = -j-°°> х' (0 > 0, и поэтому
функция x(t) положительна, возрастает и стремится к бесконечности. Но
тогда можно рассматривать у как функцию от х, определенную
в [0, со) и обладающую там непрерывной производной у' =у' (t)/x (t).
В силу (9) функция у'х убывает при возрастании t, а потому и при
возрастании х. Следовательно, существует lim у', а так как мы
предположили, что lim у(х) конечен, то lim у' — 0. Отсюда сле-
дует, что У(^)>0 при любом t. Тогда в соотношении (10) можно
опустить знак равенства, и поэтому _у"<—g,
y'(t)-y'0<-gt, y(t)<y'ut-\-gt\
следовательно, lim у (t) = — со.
Таким образом, lim y(f) бесконечен, а так как функция у огра-
*-»д-о
ничена сверху, в [0, Л), то имеет место соотношение (15).
г) Так как при достаточно малом положительном I имеем y(t)>0,
то существует лежащая внутри [0, Л) точка Т, в которой у(Т) = 0;
тогда существует лежащая в промежутке (0, Т) точка t0, в которой
у' (tQ) = 0 (в точке t0 у (t) достигает максимума), в то время как
(см. „a") _y'(f)>0 при 0<£<£0 (y(t) возрастает от нуля до_у(^0))
ИУ(0<0 при t>t0 (y(t) убывает от_у(^о) Д° —°°)- Тогда из
второго уравнения (4) имеем при t^>tQ
yV)> — g,y'(f)>-g(t—tfr y{t)-y{t0)>—g(t—tufi2,
и в силу (15) Л = -\- со. Иными словами, на всем промежутке
[0. -\- со) имеем г>>0.
19*

'292 Гл. XII. Об уравнениях, встречающихся в приложениях
Таким образом, скорость v положительна на всем промежутке
[О, -j- оо), а поэтому касательная к траектории точки Р непрерывно
изменяется. Для тангенса угла наклона о имеем
& , х/ >
и, следовательно, угол «о является непрерывной функцией от t, когда
t изменяется в [0, -|-со).
Если в некоторой точке X > О имеем х' (X) = 0 (а тогда в силу „а"
х' (t) = О при t ^ X), то в этой точке у' (X) < 0, и, следовательно,
©(/) = — ти/2 при t~^>X\ в самом деле, из_у/(А)>0 следовало бы,
в силу того, что г>(/)>0, выполнение неравенства у' (t) > 0 при
t^-X, вопреки соотношению (15).
д) Так как v > О в промежутке [0, -f-oo), т0 из (4) следует,
что в [0, -j- оо) выполняются уравнения
-ff = — F if, x, у; v cos », v sin <p) — g sin <s,
' (16)
rf» • cos ф rfx rfy . ч '
с начальными условиями х(0) = у(0) = 0, o(0) = o, i>(0) = t>0. Мы
можем теперь доказать, что x'(t)>0 в [0, -J-oo).
В самом деле, в противном случае существовало бы такое
положительное число X, что х' (t) > 0 при 0 <!^< X, а при t^-X, x' (t) = О,
o(t) — —-р-. При изменении £ от нуля до X функция o(t) убывала
бы от нуля до — ти/2; если обозначить через т наименьшее значение
функции v(t) на отрезке [О, X], (т > 0), то при t, лежащем внутри
[0, X], мы имели бы
l><-.te>7M7 + T)--ta*(! + 7)].
чего не может быть, так как правая часть стремится к -(- оо. Итак,
мы доказали, что л/(/)>0 при t > 0, и, следовательно, яр«
изменении t от нуля do -j- со функция ср убывает и остается больше,
чем — тс/2. Кроме того, поскольку лг"(/)<0 при / > 0, то функция
х1(t) положительна и убывает. Наконец заметим, что из
отрицательности у' (t) при t^>t0, следует, что и <р(/)<0 при t>tQ.
е) Так как при предположении у'(0)=у'о^0 все наши
рассуждения сохраняют силу, с той только разницей, что y'(t)<C0 при
/>0, то мы можем сформулировать следующую теорему:

§ 1. Движение тяжелой точки в сопротивляющейся среде 293
Если функция сопротивления F {t; х, у; х', у') удовлетворяет
предположениям 1), 2) из п. 1, то тяжелая точка Р,
горизонтальная компонента начальной скорости которой положительна,
описывает при t—»--j-oo траекторию, лежащую в полуплоскости
х^О. Эта траектория обладает в любой своей точке
касательной, угол наклона которой убывает, отрицателен и остается
большим —• тс/2. Ордината точки Р стремится к —со, когда
t—>--j-co, а горизонтальная компонента скорости положительна
и убывает.
3. Пределы наклона и скорости в случае, когда функция
сопротивления зависит только от скорости движения, а) Рассмотрим
теперь случай, когда функция сопротивления F(v) зависит только
от скорости движения v, причем функция F (v) непрерывна и
F(0) = T, 0<T<^. (17)
В случае, когда горизонтальная компонента скорости
положительна, уравнения движения принимают вид
dv с \ ■ dv cos ф )
v(Q) = v0, <?(0) = a (v0>0, — 2-<«<|) j
и
lim ф (() = — со,
где to<u/2.
Пусть функция F (v) обладает следующими свойствами:
1) на любом конечном отрезке [а, |3], где О < а < J3,
выполняются нераченства
[fW-^ЖЦ'. РЖ-fil («<*i<*»<P), ТО
где число L(z, $) зависит от а и |3;
2) lim F(v)>g. (192)
Тогда имеют место соотношения
lim ф = — тг , lim г» = w,
где да удовлетворяет уравнению
F(w) — g = 0. (20)
Из сделанных нами предположений вытекает, что если в
некоторой точке tv ^>-0, имеем v'(ty)==0, то функция v' (t) возрастает

294 Гл. XII. Об уравнениях, встречающихся в приложениях
в Этой точке. В самом деле, из первого уравнения (18) следует,
что
v,ih + h)-v'(t1) _ F[t>ft+ft)]-f[pft)] ..,„ , ft ьч
~ h —' w ft+ *)-»(*,) v vii-Vy —
sin T ft + ft) —sin T ft) _/ « i e ьч
0 < 6^ < 1 (7=1, 2).
Поэтому, переходя к пределу при h -> 0 и принимая во внимание
второе из уравнений (18), имеем
*•«>)=?**£$*->ь
и, следовательно, v'if) возрастает.
Отсюда следует, что либо г/(*)>0 при £>0, либо г/(£)<0
при t > О, либо существует такая точка tv что г»' (0 < 0 при О < t <£,,
и г/(0>0 при £>^. Но тогда существует lim v(t). Докажем,
ЧТО
0<w<+oo, (21)
где положено
да = lim г» (t).
Предположим, что та = О, тогда из первого уравнения (18) имеем
lim v'(t) = — f —1~ 5"sin ш,
откуда следует, что lim v'(t) существует и конечен. При достаточно
большом / не может иметь места неравенство v'(t) > 0, так как
тогда функция v(t) возрастала бы при достаточно большом t,
вопреки нашему предположению, что да = 0. Но из v'(t)<^Q следует,
что функция v(t) положительна и убывает, а потому lim v'(t) = 0
*->+ оо
и, следовательно, —f-j-g'sin ш = 0> 0 < о> < it/2. Из второго
уравнения (18) следует, что в этом случае lim <p'(t) = — сю, чего не
может быть, так как предел lim <p(0 конечен. Полученное противо-
t -» + оо '
речие доказывает, что чюфО.
Предположим теперь, что w = -f- оо. Из первого уравнения (18)
и условия (192) следует, что
lim v'(t)=g sin ш— lim F (V)< gsina> — g^.0,
и lim f'(f)<0, вопреки предположению, что lim v(t) = 4- оо. По-
*->+oo t-* + v> ■
этому чюгф. -J- оо,

$ 1. Движение тяжелой точки в сопротивляющейся среде 295
Итак, мы доказали соотношение (21), и из второго уравнения (18)
имеем
lim <o' (f) = —- cos to.
*-> + «>' w
Но так как предел lim <o(l) конечен, то
(->+ со
lim »'(/) = 0 и ш = 1с/2.
*-> + со
Наконец, из первого уравнения (18) следует, что lim v'(t) —
= — F(w)-\-g, но lim v'(t) — 0, откуда и вытекает справедливость
равенства (20).
б) Число w называется конечной скоростью движения тяжелой
точки. Заметим, что если уравнение (20) имеет единственное
решение w1), то конечная скорость не зависит от параметров а
и v0.
4. О наименьшей скорости. Теорема Сиаччи. Теорема
сравнения Синьорини. а) Мы доказали, что если функция
сопротивления F(v) обладает следующими свойствами:
1) F(v) определена в [0, -j"00)» непрерывна относительно v,
Р(0) = Ъ 0<т<?;
2) любому конечному отрезку [а, р], 0 < а < р, соответствует
такое число, L(v, p), что
\РЫ — F{Vl)\<L{a, р)|«я —«J, (« < •У, < ^2 < р);
3) lim F(v)>g;
v->+<x>
4) уравнение
F(w) — g = 0 (20)
имеет единственный корень, то, каков бы ни был угол бросания
а и величина начальной скорости v0 > 0, точка Р имеет одну
и ту оке конечную скорость, разную корню уравнения (20).
Если заменить ср на — т, то, когда точка Р описывает
траекторию, т возрастает от — а до тг/2;
— <х<т<тг/2. (22)
') Из этого предположения и из условий F (0) = т < g, Ига F (р) > g
«->+ со
следует в силу непрерывности F(v), что F(»)<g при v<^w и F{v)~^>g
при v^>w.

296 Гл. XII. Об уравнениях, встречающихся в приложениях
Если принять х за независимую переменную, то уравнения (18) при>
нимают вид
dv
■ \g sin x — F (v)] (уравнение годографа) I
dr. gcosx^ v r r , j (23)
v(—a)=v0, —a <x < тс/2, [^ > 0, —тс/2 < —a], j
Если положить •у(тс/2) = ,да, то функция v(x) будет непрерывной
на отрезке [ — а, тс/2]. Если для некоторого значения т: аргумента
х, —а < ij < it/2, имеем г>'(-с1) = 0, то по предположению 2)
(dFjdt\=Zi = 0. Но тогда, дифференцируя первое уравнение (23),
получаем с?%/с?т2 = •и > 0, т. е. точка tj является точкой
относительного минимума для г;(х); поэтому в промежутке (— а, я/2)
функция v' (х) либо не имеет ни максимумов, ни минимумов, либо
имеет единственный минимум. Следовательно, v' (x) может лишь один
раз обратиться в нуль в промежутке (— а, тс/2).
Заметим, что если при некотором значении х2 из ( — а, тс/2)
имеем v(x2) = w, то из первого уравнения (23) следует неравенство
v'(х2) = wg(sin т2 — l)/g cosх2 < 0,
а потому v(x) принимает справа от х2 значения, меньшие, чем id.
Поэтому, если существует минимум функции v(x) в промежутке
(— а, тс/2), то он должен быть меньше, чем w, в самом деле, в силу
только что сказанного, этот минимум не может равняться w, а есл»
бы он был больше, чем w, то функция v(x) должна была бы иметь
в промежутке (—а, тс/2), по крайней мере, один максимум, чего
не может быть. Кроме того, если функция v(x) достигает
наименьшего значения в точке —а, то v' (— a)^>0 и ?/(х)>0 при
— а < г < я/2; если наименьшее значение достигается в точке х,,
где — a < хг < тс/2, то v' (т) < 0 при а <[ х < х, и v' (x) > 0 при
х, < х < тс/2.
Если в промежутке [ — а, тс/2) функция v(x) не имеет
минимума, то при всех значениях х из этого промежутка v (х) > w,
причем v'(х) < 0 при — а ^ х < тс/2. В самом деле, если бы в
некоторой точке х мы имели бы т/(х)>0, то отсюда следовало бы
существование, по крайней мере, одного максимума функции v(x)
в промежутке [ — а, тс/2).
Таким образом, при сделанных нами предположениях для того,
чтобы скорость v(x) имела (не икела) наименьшее значение
в \— а, тс/2), необходимо и достаточно, чтобы при стремлений
х к тс/2 функция v' (x) становилась положительной
(отрицательной). Кроме того, для любой траектории, соответствующей
начальной скорости v0 ^ w, существует наименьшее значение V,
скорость имеет наименьшее значение в начальный момент тогда
и только тогда, когда
^K>) + £-sina<0 [W'(_a)>0]
(см. Сиаччи [1], Синьорини [1], Скорца-Драгони [8], Пиконе [5]).

§ 1. Движение тяжелой точки в сопротивляющейся среде 297
Заметим, что при исследовании траекторий, для которых
величина скорости v имеет минимум, достаточно ограничиться
рассмотрением траекторий, для которых начальная скорость vQ больше
конечной скорости. Для таких траекторий минимум получается, если
существует такое значение т, что
gsinx — F[v(t:)] = 0.
б) Обозначим символом IV(a, v0) траекторию некоторой точки,
соответствующую углу бросания а, начальной скорости v0 > 0 и
функции сопротивления F. Говорят, что IV (<х, v0) имеет минимум,
если существует минимум скорости в [ — а, и/2).
в) Изучим теперь случай, когда
F(v) = avn [д>0, я>0].
Так как функция F(v) удовлетворяет предположениям 1) —4),
то для того, чтобы траектория имела минимум, необходимо и
достаточно, чтобы при стремлении т к я/2 функция v'(х) становилась
положительной.
Из уравнения годографа (23) имеем
d
L г/« COS" X J
dt i vn cos" i J g cosra+1i: '
Интегрируя это равенство от — а до г, получаем
т
I I I па Г da
^cos,lt_ г/™ cos" a ""^T" J cosn + 1 а *
и —а
Но из уравнения (23) следует также, что
g I *0. = А —Л '
па vn+l cos и-! т sin t rfx па i/»cos"t n sin t cos™ т'
а поэтому при т>0 знак ^'(т:) совпадает с знаком выражения
Я(т) = *—+ Г—* ! .
/?#г>!? cosn a «/ cos^+^c n sin т coswx
и —а
Но
I
Я'(0 =
п sinaT cos»-1t '
и, следовательно, Н(х) является возрастающей функцией от т. Отсюда
вытекает теорема Сиаччи: для того, чтобы траектория имела
минимум, необходимо и достаточно, чтобы выражение
М(а, г>0)=з Нт Я(т)
т->п/2—О
было положительным,

298 Гл. XII. Об уравнениях, встречающихся в приложениях
Если п !> 2, то #'(t) стремится к -j-oo при х ->■ -д- — 0, причем
lim [#'(т)(тс/2—т)] -£ 0. Следовательно, М(а, v0) = 4 °°> и мы
приходим ко второй теореме Сиаччи: каковы бы ни были a, a, v0,
t»0 > 0, траектория Г ге(<х, v0) имеет минимум, если п ^2.
Пусть теперь 0 < п < 2. Имеем
•с т
cos»+io LcosnoJ_a " J cos»+ia '
— а —а
t т
Jrfc 1 sin т - 1 sin а , n — \ Г do
cosn+1 a ~n cos^t ~T" 7Г cosw ot ~i /г J cos»»-1 с '
— a
Жт)= sina 4^—L f_*_
я cos** a n J cos»*-1
1 COS2^""t
nav,\ cos а и sint
следовательно,
... ч fl»?slno+-^ я— 1 Г do
Ж (a, г»п)==
COS"-1 a
— a
Но тогда
дМ av™ -f- £sin <*
da at»" cos"*1 я
Поэтому в случае, когда v0 > w, т. е. av™ ~> g, имеем -^— > 0, и,
следовательно, М{а, vQ) является возрастающей функцией от а.
Кроме того,
lim M(a,v0) = — оо, lim M(a, v0) = 4 °о,
«->-п/2 + 0 a-> -л/2-0
следовательно, существует единственное значение a, a(t»0), при
котором Ж (а, г»0) == 0; иными словами, при этом значении а имеем
sina"4(n— l)cos"a Г—— |--Х- = 0. (24)
J cos^-l о яр™
— а
Таким образом, если 0 < и < 2, дг»"> #, ffio траектория Г „(а, г»0)
имеет минимум тогда и только тогда, когда а > а (г»0), где а —
корень уравнения (24). (Пиконе [5], стр. 163.)
г) Для нахождения траекторий, имеющих минимум, может служить
следующая теорема сравнения Синьорини (Синьорини [2], Пиконе [5]),

§ 1. Движение тяжелой точки в сопротивляющейся среде 299
Пусть функции F(v) и Е (v) удовлетворяют условиям 1) —4)
из „а" и пусть
F{v)^>E(v) при w < г/ <г/'0, (25)
F(w) = E(w), ( = g). (26)
Тогда, если траектория Те (<*. ^0) имеет минимум, то его имеет
и траектория Тр (a, v0).
Докажем, что если IV (a, v0) не имеет минимума, т. е. если
v(i) > w, то не имеет его и траектория ТЕ (a, v0), т. е., что и (т) > w,
где через и (т) обозначена скорость точки, движущейся по ТЕ (a, v0).
Из уравнений
dv , vF (v) da ■ , uE (и)
имеем
di ° g cos x ' rft б £ cos x
—^—= = (и — г;) tg т -4 — —.
rfx v /si ^ cos x
Допустим сначала, что при w < г/ <; v0 неравенство (25) выполняется
в сильном смысле, т. е., что F(v)^>E(v). Тогда, если при
некотором значении г имеем и = г/, то при этом значении d(u — v)ldt > 0,
т. е. и — г/ возрастает. Так как по условию разность и — г/ равна
нулю при т = — а, то эта разность положительна при больших
значениях т, и потому и>г/#>«), чем в нашем случае и доказана
теорема.
Предположим теперь, что неравенство (25) не выполняется в
сильном смысле, и рассмотрим функцию E(v, к), определяемую
следующим образом для всех положительных значений к, не превосходящих
единицы:
Е (г/, к) = Е (г/), если 0 <^ г/ <; w,
E(v, k) = E(v)—k[E(v)— g], если г/ > w.
При заданном к функция E(v, к) удовлетворяет условиям 1)—4)
из „а" и условию (26), причем
F(v)>E(v, к) при w< v<v0, 0<X <1.
Обозначим через и (т, л) скорость точки, двигающейся по
траектории ГЕ х(а, v0). По условию v > w, а по доказанному ранее
м(^> ^)>г>(т) при т > — а; но u(-z, к) непрерывно зависит от
параметра к (гл. I, § 5, п. 1, „а"), поэтому lim и(т, к) = и (т), и, нако-
х-»-ю
нец, и(т);> v(x) > w. Теорема доказана,

300 Гл. XII. Об уравнениях, встречающихся в приложениях
§ 2. Уравнение затухающих колебаний
1. Существование решений в [/0, -(-со), а) В то время как
в некоторых вопросах динамики систем с одной степенью свободы
принимают, что сила, вызывающая затухание, пропорциональна
скорости, существуют такие задачи математической физики и техники,
в которых сила, вызывающая затухание, зависит от некоторой
степени скорости. Так, например, если точка движется под действием
восстанавливающей силы в среде с гидравлическим сопротивлением,
то уравнение движения этой точки имеет вид
Фу
dy
AUHk + B £^ + C, = 0,
dt
dy
dt
где А, В, С—положительные числа (см. Синьорини [3], Паркер ван
Цандт [1]; эта работа содержит также некоторые библиографические
указания по данному вопросу).
Милн [1] рассматривал одномерные прямолинейные движения,
уравнение которых имеет следующий более общий вид:
А%МВ + РШ% + СУ=0. % = v (1)
(где А, В, С—постоянные, F — данная функция своего аргумента),
и установил некоторые теоремы о таких движениях. Мы изложим
эти теоремы при более общих предположениях.
Запишем уравнение (1) в виде
A§ + R(v)+Cy = 0. р = %, (2)
где
и предположим, что
dt ' xv ' is ' • dt
R(v) = lB-\-F(v))v, (3)
Л>0, В>0, С>0, (4)
а функция F(v) непрерывна, равномерно удовлетворяет условию
Липшица в любом конечном отрезке, причем
F(—v) = F(v)) /7(0) = 0, /=»>0 при v>0. (5)
При этих предположениях из общих теорем существования
вытекает, что если задать в некоторой точке /0 произвольные
постоянные у0, v0, где ^-f-'O* > 0, то найдется решение уравнения (2),
удовлетворяющее начальным условиям
У(*о) = Уо' «('o) = V) (6)
!) Уравнение (2) имеет тождественно равное нулю решение,
удовлетворяющее начальным условиям уп = 0, v0 = 0, но во всех наших исследованиях
мы не будем принимать во внимание это тривиальное решение.
Почти излишне указывать, что в любом конечном отрезке функция R (v)
удовлетворяет условию Липшица с той же постоянной, что и F (v).

§ 2. Уравнение затухающих колебаний
301
и определенное на некотором отрезке, левым концом которого
является точка (0. Покажем, что это решение имеет в качестве
области существования промежуток [t0, —}-оо).
В самом деле, умножая уравнение (2) на 2vdt и интегрируя от t0
до t, имеем
*
Av* + Су* = Ач%-\-Су1 — 2 jvR(v)dt = E(t). (7)
Так как vR (■»)>- 0, то функция E(t) (пропорциональная полной
энергии системы) положительна и убывает, и, следовательно,
функции у (t) и v (t) остаются ограниченными во всей области своего
существования
\у(Ъ\<УЩ)1с. И0!<УЩр. (8)
Обозначим через t верхнюю грань значений t >• ^0, для которых
существует решение y{t) уравнения (2), определяемое начальными
условиями (6), и приведем к противоречию предположение о
конечности t. Так как
,\у(?')-у(П\= \t'-t"\\y'^)\^VElMjA\t'-f\,
(t—точка, лежащая между f и t"), то в случае конечности t из
теоремы Коши следовало бы существование конечного предела
lim y{t) = у. Аналогично, в силу того, что по уравнению (2) функция
v' (t) ограничена в [^0, ^.существует конечный предел lim v(t) = v.
t-> t -о
Но тогда справа от t должно существовать решение уравнения (2),
удовлетворяющее начальным условиям у (t) =y, v(t) — v, поэтому
рассматриваемое ранее решение этого уравнения можно продолжить
вправо от точки t, и, следовательно, область существования шире,
чем [tQ, t).
Итак, мы доказали, что t — -j- oo, т. е., что решения уравнения (2)
однозначно определяются начальными условиями (6) и областью
существования этих решений является промежуток [^0, -j- oo).
Из (8) и (2) следует, что если y(t) является решением
уравнения (2), определенным в промежутке [t0, -j-oo), то функции y(t),
У(0> У(*) ограничены в этом промежутке.
б) Следует заметить, что если решение y(t) уравнения (2) имеет
бесконечное множество нулей, то эти нули не могут иметь на
конечном расстоянии предельной точки £, так как иначе в точке \ мы
имели бы у (£) = у' (Е) = 0 и по теореме единственности y(t)
тождественно равнялось бы нулю.
Точно так же, если у' (t) имеет бесконечное множество нулей, то
они не могут иметь на конечном расстоянии предельной точки %.

362 1'л. AY/. 06 уравнениях, встречающихся в приложекшх
В противном случае мы имели бы у' (£)=_у"(£) = 0, а из (2)
следовало бы, что и _у(£) = 0, а значит и y(t) тождественно равно нулю.
Так как при y(t)=0 \y'(t)=0] должно быть у'(ОфО [у" (t)z£0].
то нули y(t) (У (01 должны быть простыми.
в) Заметим, что если ? и t" являются последовательными нулями
производной решения y(t) уравнения (1)
у (?) = 0, у (Г) = 0, У (t) ф 0 при ? < t < Г,
то существует одна и только одна точка i промежутка (?, t"), для
которой _у(£) = 0.
В самом деле, у" (f) у (i') < 0, у" (t") у (Г) < 0, а следовательно, *'
и t" являются точками экстремума для y(f). Но так как не может
быть двух последовательных точек максимума или минимума, то у"(?)
и у" (t") имеют разные знаки, а тогда уф) и y(t") также имеют
разные знаки. Отсюда следует, что y(f) обращается в нуль в некоторой
точке промежутка (t', t"), причем такая точка может быть только
одна, так как если бы y(f) обращалось в нуль в двух точках
промежутка (f, t"), то в нем лежал бы по крайней мере один нуль
функции у'(t), вопреки предположению.
г) Заметим, наконец, что функция у" (t) не может тождественно
равняться нулю ни на каком отрезке. В противном случае на этом
отрезке функция у' (/) сохраняла бы постоянное значение, а тогд'Э
в силу уравнения (1) и функция y(f) сохраняла бы постоянное
значение на этом отрезке. Но тогда y'(t) = 0, y"(t) = 0 и, следовательно,
y(t) = 0, т. е. y(f) тождественно равнялась бы нулю.
2. Решения уравнения в случае В2— 4АС^0. а) Предположим,
что в уравнении (2) числа А, В, С удовлетворяют условию
В2—4ЛС^>0, и пусть y(f)—решение этого уравнения,
определенное в промежутке [t0, -4~оо). Докажем, что тогда функция y(f)
имеет в этом, промежутке не более одного нуля.
Пусть _у'(0 имеет нуль. Без потери общности мы можем считать
что
У(/0) = 0.
Так как у(^)ф0, то, изменяя в случае необходимости знак, мы
можем считать, что
• У(*о) = Уо> °-
Из (2) следует, что y"(t0)<^0; поэтому найдется такой отрезок
[/0, t0-\-h], h > 0, что
v(t)=y'(t)<0, t0<t^t0-\-h. (9)
Предположим сначала, что В2—4ЛС>0, и пусть —а, —[3,
р > а—корни уравнения Лр2-}-/?р-|-С = 0. Числа — а,—р
действительны и отрицательны, и уравнение
Az"-\-Bz'-\-Cz = 0 (10)

$ й. Уравнение затухающих колебании ЗбЗ
имеет общее решение вида
где Cj и с2 — постоянные. Частное решение этого уравнения,
удовлетворяющее начальным условиям
*(<о)=.Уо. *,(*о)=/(*д = 0, (И)
имеет вид
и потому при любом' t^ t0 имеем для этого решения
*(0>0. (12)
Уравнения (2) и (10) можно переписать в виде
Умножая первое из них на z, а второе на у, вычитая и интегрируя
от t0 до t, получаем с помощью интегрирования по частям и
условия (11), что
в * в
Z%-У^^-^А6'^' J^^lvmvWH'tidti. (13)
Отсюда в силу (9) и (12) вытекает, что при t0<_t^t0-\-h
выполняется неравенство (y\z)' > 0, т. е. у/г возрастает. Но так как
litn y(t)jz (t) = у' (t0)/z' (to) = 1, то при t0 < t < t0-\- h имеем
у (t)jz (t) > 1, поэтому y(tQ-\-h)> 0. Таким образом, функция y(t)
принимает положительные значения на любом промежутке (^0, tx), не
содержащем нулей функции у'it).
Но отсюда следует, что у'(t) не может обратиться в нуль ни
в одной точке, лежащей правее t0. В самом деле, если бы t было
следующим за t0 нулем функции у'(t), то (п. 1, „в") функция y(t)
обращалась бы в нуль в промежутке (t0, t) вопреки доказанному.
Если В2 — 4АС — 0, то характеристическое уравнение для
уравнения (10) /4p2-[-Sp-[-C = 0 имеет два равных отрицательных корня,
каждый из которых мы обозначим -— а. Частное решение
уравнения (10), удовлетворяющее начальным условиям (11), имеет вид
г(о=^-а('-'°)[1+«(^-д]
и потому удовлетворяет при t>t0 неравенству (12).. Но тогда
проведенные выше рассуждения сохраняют силу.
б) Докажем, что если S2—4ЛС!>0, то любое решение у (t)
уравнения (2) становится, начиная с некоторого значения аргу-

ЗЙ4 Гл. XII. Об уравнениях, встречающихся в приложениях
мента, монотонной функцией, обладающей монотонной
производной, причем как у' (f), так и у' (f) стремятся к нулю при t—>-j-oo.
В самом деле, если y(t) является решением уравнения (2), то
найдется такое ta, что при t>t0 имеем у'ффО, следовательно, y(t)
является при t > /0 монотонной функцией. Так как эта функция
ограничена, то существует конечный предел
Игл y(t) = yoa.
Из (7) вытекает тогда существование конечного предела lim у'2 (t)
и, так как функция у'(t) не меняет знака, то существует
lim y'(t)=y'ix), где у'^ конечно.
t-»-t-oo
Но у' не может быть отлично от нуля, так как если у' > О
или у' < 0, то соответственно должно быть у =.-{- оонли у =—оо,
вопреки доказанному выше. Таким образом, у' = 0.
С другой стороны, из уравнения (2) следует; что существует
конечный предел lim У(/)=^/со, причем легко видеть, что ^00=0;
*-»+со
а тогда в силу уравнения (2) ум = 0.
Для того чтобы закончить доказательство сформулированного выше
свойства, нам осталось показать, что функция у'(t) также становится
монотонной, начиная с некоторого значения аргумента. Для этого мы
докажем, что вообще, если на отрезке вида [iQ, tQ-\-h], h > 0,
производная решения y(t) уравнения (2) не обращается в нуль, то на этом
отрезке существует не более одного значения /* аргумента t, такого,
что /'(/*) = 0.
Положим для определенности, что
У(0<0 при f0<;<?0 + u.
и пусть существует такое /*, t0 ^t:* <^0-|-Л, что у"(t*) =■■ 0.
В силу (2) имеем, если у' (Г)Фу' (t*),
Л У (О I R[v(t)]-R[v(t*)}v(t)-v(n , ry(t)-y(t*)_a .
nt — t*~t~ v(t) — v{t*) t — t* ~T~ t — t* '
а если у'(t) = yr (t*), то
Так как разностные отношения функции R(v) ограничены в
совокупности, когда t и /* принадлежат отрезку [/0, t0~\-h\, и так как
Нт
v(t)-
"£>в0, mClySfhz*m = cf(t*)<o,
t-+t* t — t* ' *->** t—t-

§ 2, Уравнение затуХаЮщиХ колебаний 305
то существует такое положительное число 8, что при \t—**|<[8
отношение у" (f)/(t—t*) положительно, т. е.
У(0<0 при t* — 8 <*<**, у"(0>0 ПРИ '*<*<*0+8-
Но тогда t* является точкой минимума для yr (t). Так как функция
у (t) непрерывна на отрезке [t0, t^-\-h], то между соседними
минимумами этой функции должна лежать точка максимума, а поэтому
может существовать лишь одна точка t*, t0^.t* <[rf0-j-A, в которой
у" it) обращается в нуль.
Итак, мы доказали, что либо у" it) не обращается в нуль при
t^t0, а тогда у'it) монотонна (и стремится к нулю) в [tQ, -\- оо),
либо у" it) обращается в нуль в точке t*, а тогда у' it) монотонна
в [t*, -\- оо) (и стремится к нулю).
в) Так как lim у it)— lim y'(t) = 0, то из (7) вытекает, что
lim £(0 = 0.
£-»+оо
г) Изучим теперь поведение £(£) при rf< t0 в предположении, что
Я2 — 4ЛС>0.
Обозначим через Т нижнюю грань значений t, принадлежащих
области существования решения у it) уравнения (2). Т может быть
конечным числом или же равняться —оо, но в обоих случаях имеет
место равенство
lim Eit) = -\-co.
В самом деле, так как функция E(t) монотонна, то существует
предел lim £(£) = Л (равный верхней грани значений Е (0). и нам
*-» т+о
надо лишь доказать, что Л = -(- оо.
Пусть Т— некоторое конечное число. Приведем в этом случае
к противоречию предположение о конечности Л. Функции у it), у'(t)
ограничены в (Г, T-\-h), h > 0, следовательно, существует
конечный предел lim уф — ут, а так как в силу (2) функция у" it)
также ограничена в (Г, T-\-h), то существует и конечный
предел lim yfTit)=y'rp. Но тогда решение y(t) можно продолжить
влево от точки Г, вопреки предположению; следовательно, A = -j-°°'
Рассмотрим теперь случай, когда Т = — оо, и приведем в этом
случае к противоречию предположение о том, что Л конечно, т. е.
о том, что функции у it), у'it) ограничены в (— оо, -f- °°)- В силу „а"
функция У it) имеет не более одного нуля, и поэтому существует
такое число а, что угУ)ф0 при /<а. Из этого следует, что
функция у (t) монотонна в (— оо, а) и, стало быть, существует конечный
предел lim y(f)=yo0.
£->—оо
Из последней части проведенного в „б" рассуждения вытекает,
что у" {t) не может иметь в (—оо, а) более одного нуля, т. е. функ-
20 Зак. 1072. Дж. Сансоне

306 Гл. Xtl. Об уравнениях, встречающиХдя в приложениях
ция у' (t) становится монотонной при стремлении t к — оо, причем
очевидно, что lim y'(t) — 0. Но тогда в силу (2) существует конеч*
£->—со
ный предел lim y"(f), который, очевидно, равен нулю. Следова-
*->-00
тельно, уоо = 0, А = 0, чего не может быть, так как тогда мы
имели бы £(0 = 0- Таким образом, и в случае, когда Т=—оо;
имеем lim E{t) = -\- оо.
*->-со
3. В случае, когда В2 — 4ЛС<0, все решения уравнение
колеблются, а) Рассмотрим теперь случай, когда В2— 4ЛС<0. Как
мы увидим в „б", в этом случае любое решение уравнения (2)
колеблется. Мы докажем предварительно, что если у(() является
решением уравнения (2), определенным в [t0, -j- оо), то как и в
случае В2 —4ЛС>>0 (см. п. 2, „б", „в"),, мы имеем
lim у (0 = 0, lim / (t) = 0, lim Е (t) = 0. (14)
*->+оо *->+оо *-> + оо
В силу (7) нам достаточно доказать для этого, что X = 0, где
положено lim E(f) = X.
*->+оо
Если существует такое t0, что при f^-tQ имеем y(f)=£0,
например, _у(/)>0. то в силу доказанного в п. 1, „в" существует таков
^о^*о* чт0 У(0=^0 ПРИ t^ty a тогда из рассуждений,
проведенных в п. 2, „б", следует выполнение равенства (14).
Предположим теперь, что решение y{f) колеблется (мы увидим
в „б", что это всегда имеет место в нашем случае), и пусть {tn}—•
последовательность нулей этого решения
y(tj = 0 при я=1. 2, .... tx<t2< ... <*„</...,
lim t„ = -\- оо.
m-H»
Предполагая, например, чтоУ(/1)>0, получаем
У (W) > °. У (W) <о (« == о, 1,...).
Из равенства (7) вытекает, ввиду убывания E(t), что
1/(^)1 >|/('2)1>--->1/('п)1>---.
lim |/ft,)| = i/".i. (15;
n->+co r Л
Предположим, что X > 0. Для любого положительного числа р из
последовательности {tn} можно извлечь подпоследовательность ^
К, Ut tifj, .... такую, что
*i < к, — р. А, < **, — Р» • •.. '*, < ^ie+i — Р«

§ й. Уравнение затухающих колебаний 307
Если t изменяется в одном из отрезков
*i = Л, - Р. '«.)• \ = ('«, — Р- А)> • • • .
К = &8—р. *<в). ••••
например в отрезке 8в, то в силу (8) и (2) найдется такое число L,
что |У(0|<£, и потому
1У(0-/ХА4|<1У(0-У(^)|+
-\-\y,iti8)-V4A\<?L+\y'{tit)-V\fA\.
Отсюда следует, что если задать положительное число о, меньшее,
чем У^Х/А, то можно найти такое р>0 и такое sQ, что для
значений t, принадлежащих отрезкам 8во+1, 8во+2 имеем
УЩ—о < I/ (0! < УЩ+°-
Если обозначить через rf0(rfo>0) наименьшее значение функции
F(v) при У~К/А — о<г/<УЩ+о, то
и, каково бы ни было натуральное число р,
+ оо
Из произвольности р следует, что интеграл Г х>/? (г/) dt расходится,
вопреки равенству (7).
Таким образом, А = 0, откуда и следуют соотношения (14).
б) Докажем теперь, что при условии Z?2 — 4АС < 0 все решения
уравнения (2) имеют бесконечное множество нулей, т. е.
колеблются (см. Милн [1], стр. 6—7). Из неравенства В2 — 4ЛС<0
следует, что
\*.+ Br + C\-A[(r + £f + *%jF)>*>0.
Значит существует такое число Н, что для любого г справедливо
неравенство
<Я.
Положим
С
Art +Br+c
v« = 4^—-^ (v>0). (16)
20*

308 Гл. Xlt. 06 уравнениях, вдтрёЧлйщихбй в приложениях
Так как lim F(v) = /7(0) = 0, то для любого х>0 можно найгш
такое t ~^>t0, что при t^- t выполняется неравенство
F(v)
Ar* + Br + C
</=»#< ^
2-я -(- vr '
Докажем, что на любом отрезке вида
[Т.Т + ^-и], (17).
где t ~>t, имеется нуль у (f).
Для доказательства от противного предположим, что у(()ф0
при t ^ t ^ t -\- (2tc/v) -|- т. Тогда функция r(t), где
непрерывна на отрезке (17), причем из уравнения (2) имеем
A~t^-Ar^~]-Br~\-C-\-F(v)r=:0, (18)
откуда
V + 2A) +Т
Интегрируя это равенство от t до t и полагая
t
t
получаем
larctgi-(r + ^-) + [/ + e(/) —с] = 0 (с = const),
Когда £ пробегает отрезок (17), выражение -у \t-\-b{t) — с]
непрерывно изменяется в пределах
от J (Г-с) ДО-£(Т-С) + * + -1[х + б(7-Ь^ + т)].
Но
*К«(? + £+')]>7['-К?*(т+')]-0-
и потому должно существовать значение /, принадлежащее отрезку
(17), для которого r(t) обращается в бесконечность, вопреки пред-

# 2. Уравнение затухающих колебаний 309
положению о непрерывности r(f). Таким образом, y(t) имеет нуль
на отрезке (17). Отсюда следует, что y(i) имеет бесконечное
множество нулей в [tQ, -f-oo), причем, каково бы ни было х > 0,
расстояние между двумя соседними нулями, начиная с
некоторого номера, становится и остается меньше, чем (2it/v)^|-t.
4. Разделение нулей функций y(t) и у' (¥) в случае, когда
В2-—4АС<0. Неравенства для расстояния между двумя
соседними нулями решения и для максимумов решения. Точки перегиба.
а). Изучим теперь глубже поведение решений уравнения (2),
сохраняя предположение, что В2 — 4ЛС<0.
В силу результатов п. 3 решение y(t) имеет в [t0, -f-oo)
бесконечное множество нулей, образующих возрастающую
последовательность {/•„}■,
;1</2<...<4<..., (*0<у.
y(t„) = Q (s=l, 2, ...,); 11m *s = oo .
Как было уже замечено в п. 3, „а", имеют место неравенства
l/('e)|>l/('e+i)| (*=1. 2, ...). (19)
В силу доказанного в п. 1, „в", между ts и /g+1 содержится
один и только один нуль функции y'(f), который мы обозначим
Ф и г. 33.
через xs (фиг. 33). Так как в промежутке (tb,'xa) функция у' (t)
имеет один знак, а в промежутке (х8, ts+1)— другой, то ха является
точкой максимума для |.у(0|> лежащей на отрезке [ts, ts+1].
Из (7) вытекает, что
Ay4?s) = E(xs), (20)
и потому
\y(xs)\>\y(?s+i)\ (s=U 2, ...). (21)
Меняя в случае необходимости знак у, мы можем считать, что
У«.)=*0; (—l)-'-».y(Q>0 при t,<t<ta+1(s=l, 2, ...),
y'(xs) = 0 (s=l, 2, ...),
У (0 > 0 при ^ < t < Tt; (— 1УУ (t) > 0 при:8<К тв+1.
Мы показали, таким образом, что между двумя соседними нулями
*в и ts+1 функции у содержится единственный нуль функции у',

310 Гл. ХЧ. Об уравнениях, встречающихся в приложениях
а между двумя соседними нулями т8 и т,+1 функции у'(f)
содержится единственный нуль функции у (i), т. е. нули функций
y(f) и У(0 разделяют друг друга.
б) Выведем теперь два неравенства для расстояния между
соседними нулями решения у(() уравнения (2).
В силу результатов из п. 3, „б", для любого положительного
числа т найдется такое целое число s0, что при s > s0
.2«
Докажем, что имеет место неравенство1)
'.+!-''.> 4 (*-ао> (*=!.. 2, ...).
и более сильное неравенство
t,
s+l-
•^>т(д-«о) (* = *. 2. •••)•
где а0 — такая дуга, заключенная между 0 и и/2, что
В
ctg«o = ^J
(22)
Щ
(24)
(25)
Для этого заметим сначала, что решение z(t) уравнения
Az" -\- Bz" -\- Cz = 0, удовлетворяющее начальным условиям г(т8) =
= У(*8)> z,(*s) = y'(?*) = 0' имеет ВИД
В
Ht)=yba)e~A(t "V \cos^(t- ts) + J-rin-Je- т8)] .
Число *=i:8-f-2(ii— a0)/v является первым значением *>v для
которого z(f) обращается в нуль (см. фиг. 34). Без потери общности
Ф и г. 34.
можно считать, что у(?а)>®> тогда г'(/)<0 при т8<'*<тв-р
■+2(«-a0)/v.
Из формулы (13) в п. 2, «а", записывающейся в нашем случае
в виде
dt
dz
1 -т*
* в
f е± ч-/? [tF (-ч)] о (-q) яг (к)) <2и).
J) Милн доказал менее тоЧное неравенство /8+1— ^,!> Ут1/С(Милн [ij
стр. 8);

$ 2, Уравнение, затухающих колебаний
311
и из того, что на некотором промежутке вида (т8, t) выполняются
неравенства v (t\) < 0, z (-q) > 0, следует, что на этом промежутке
(yjz)' > 0. Но
поэтому _у(/) > z(t). Далее, так как в промежутке (т„, Tg-j-2(ir—«0)/v)
функция z(f) не обращается в нуль, то и y(t) не может обращаться"
в нуль в этом промежутке, т. е.-/„+1 ;> т8 + 2 (тс — ao)/v- Отсюда и
вытекает неравенство (24), а тем самым и (23).
Из неравенства (24) следует, что расстояние между двумя
соседними нулями %„ и тв+1 функции у' if) удовлетворяет
неравенству
^s+i — ^>-7^ — ао)-
в) Докажем теперь, что для максимума |,у(тв)| модуля
функции y(t) на отрезке [ts, ts+i] имеет место неравенство
, В . ViAC-B'
Г~А arctg =
\У(*.)\<У ^\/(ts)\e.У""-» * (26)
Решение уравнения Az" -J- Bz" -\-Cz = 0, удовлетворяющее
начальным условиям z (tsj = у (t8) = 0, z! (ts) — y (ts), имеет вид
* (0 = \у' &) «"^ <f_V sin | (t- ts).
Предположим для определенности, что .y'ft,)>0.
В нашем случае формула (13) из п. 2, „а", принимает вид
z ft - у Tt = ~ i е~Т* SeT ч F [v (Yi)] v ^ * <?> d^
t
s
Так как в промежутке (ts, tg) выполняется неравенство г»("Г))>0, то
в некотором промежутке вида (/s, t) имеем (y/z)' < 0, а тогда из
Игл у(fyz (t) = у' (ts)/z' (t8) == 1 следует, что в этом промежутке
<-»<g+o
y(t)<z(t).
Это неравенство справедливо при /g< t <_/e+1._B самом деле,
пусть /— первая точка, такая, что y(t) = z(t) и /</g+1. Тогда
при /s < t < f~ имеем гг (/) > _у(?) > 0, и потому в силу проведенного,
выше рассуждения z(t)>y(t), вопреки предположению,

312 Гл. XII. Об уравнениях, встречающихся в приложениях
Отсюда следует, что y(xs) меньше максимума г (t) в [t„, ^g-4-2it/v|;
Так как максимум z(t) достигается в точке £g4-2<x0/v (фиг. 35), те
R а.
\y(^)\<^\y'(ts)\e~T^sin«0,
откуда и следует неравенство (26).
Фиг. 35.
Неравенство (26) позволяет дать для случая В2— 4ЛС<0, В>0
новое доказательство утверждения из „а", а именно показать, что
lim y(t) = 0.
t -> + оо
Если lim E(t) = k, то из формул (15) и (20) вытекает, что
* ->оо
Игл |/(4)| = |/"^,
8-* СО ' Л
lim b(Te)1=l/"4.
8->СИ Г О
Но тогда, переходя в формуле (26) к пределу при s -> оо, получаем
в
Yx Л\-
< * _ е у~4Аа-в»
arctg
ViAC-B*
Yc Yc
о.
откуда X = 0, то есть lim E (t) ■■
г) Обозначим через Т нижнюю грань значений t, принадлежащих
области существования решения у{1) уравнения (2), и докажем, что
в случае S2—4ЛС<0 имеет место формула
Е(Г) = + оо.
(27)
Если Т конечно, то сохраняет силу доказательство, данное
в п. 2, „г", для случая S2—4ЛС>0.
Пусть теперь Т= — оо . Если решение y(f) не колеблется при
t-+ — оо, то сохраняет силу доказательство из п. 2, „г", и потому,
полагая lim £(^) = A, имеем А = -(-оо.
t -»-00
Предположим теперь, что решение y(f) колеблется при t-+ — оо,
и пусть t_lt t_v .... ^_s, ... — последовательность нулей этого
решения, расположенных в порядке убывания между L и —со, При-

§ 2. Уравнение затухающих колебаний
313
ведем к противоречию предположение о конечности Л. Если Л
конечно, то, принимая во внимание, что y(t_s) = 0, получаем из (7)
равенство
Jim |/(^.)| =-£|.
а-»со У А
Из (7) следует также, что
2 f vR (v) dt = A — Av* — Cy2, (28)
— CO
т. е. интеграл в левой части сходится.
Для данного числа р > 0 можно извлечь из последовательности
[t_s] такую подпоследовательность t_i^ t-it t_i , ..., что
'-<, — Р > t-i*> t-h—?> t-tb t-i8 — p > t-ii+x
Обозначим через 8_j, §_2, ..., 8_s, ... отрезки
8-1 = [t-i, — p, /_ij, S_a == [^_|2— p, t-ij,
..., 8_e = [*_< — p, t_i\
tf a
В силу (28) и (2) существует такое число L, что в (—оо, t0]
выполняется неравенство \y"(t)\^.L. Повторяя рассуждения из
п. 3, „а", убеждаемся, что для любого а>0 можно найти такое
р > 0 и такое s0, что, каково бы ни было s >• s0, для всех t из
8_s имеем
/!—<|/<о1</|+«
Но отсюда следует, что интеграл, стоящий в лгвой части
формулы (28), расходится, что противоречит доказанному выше.
д) Изучим еще точка перегиба решения y(t) уравнеия (2).
Так как /(х1) = 0, \у"(^)фО}; /(т2) = 0, ГУ(хв)фО), то
существует, по крайней мере, одна точка сг промежутка (xv т2), для
которой у"(0^ = 0. Но у'({)фО при ^<t<^xit и рассуждения,
аналогичные проведенным в п. 2, „б", показывают, что такая точка су
единственная и является точкой минимума для у'(f). Далее имеем
[B-j-F\/(c1)]]y'(c1) + Cy(c1) = 0,
и так как у' (сх) < 0, то .у (ci) > 0. а потому тх < cl < t2.
Аналогично, между точками т2 и т8 существует единственный нуль с2
функции y"{f), причем т2 < с2 < t3. Вообще, между точками х„ и
tn+1 лежит единственный нуль сп функции у"(t), причем
*»<cn<'n+l ("=1. 2, ...).

314 Гл. XII. Об уравнениях, встречающихся в приложениях
Имеют место равенства Ду"(т3) -J- Су (т}) = 0, Ау" (х2) -\- Су (т2)=0
Не теряя общности, мы можем принять, что у (х,) > 0; тогда
у"(х,) < 0, у"(х2) > 0 и, "следовательно, у"(f) < 0 при xt < t< с1#
У (0 > 0 при сх < t < х2, а потому сг является точкой перегиба
для у(().
Аналогичное утверждение имеет место и для остальных точек сп.
Очевидно, что для последовательности {сп} точек перегиба имеют
место неравенства
с»+2 — сп>-(*— «о) (я = 1. 2, ...)•
5. Ограниченность снизу последовательности нулей решения
в случае выполнения условия: lim F(?>) = -]- со. Докажем, наконец,
«->оо
что если выполняются условия В3—4Ж?<0 и lim F(v) — -{-oq
«-> ± с»
и если у (0 является решением уравнения (2), имеющим областью
существования промежуток [ Т, -f- oo), то найдется такое
значение Т0 аргумента t, Т<Т0, что у(()ф0 при T<Ct<T0; иныма
словами, решение y(t) не колеблется при t<C TQ.
Если Т конечно, то теорема является следствием неравенства (23)
из п. 4, „а" (в этом случае можно опустить условие lim F(f)=*
«-> ± 00
= + 00).
Пусть теперь 7*= — со. Допустим, что решение y(f) колеблется,
когда t-+ — со, и пусть t_v t_^ t_a, ...,
*_!>*_»> ... >f_s> • .... Ит *_, = —oo,
s-> + oo
— последовательность нулей этого решения, начинающаяся с одного
из них *_!, а х_,, х_2, .... -z_s, ..., c_v-c_2, ..., c_s, ...
—соответственно последовательности точек максимума для J _y СО I и точек
перегиба решения y(f), принадлежащих промежуткам {t_v *_j)j-
<?-8> ^-г) (*_8_1,'*_„) так что
*_„_!< T_g<C_,<*_g.
Рассмотрим внутри каждого промежутка (t_e_lt t_s) функцию
П) y(t) y(t) *
Для этой функции имеем
lim r(f) = -\-oo, "т г(0 = — °°>
*->«_g_j+o *->*_8-o
и так как drjdt^=(y"y — у'2)/у2, то функцияr{t)убывает в(t_a_vv_J
от -|- со до нуля.
Так как
Av* + Су» = Av* + -££ = v* (А +Г-£) = £ (О,

§ 2. Уравнение затухающих колебаний 315
то из формулы (18) из п. 3, „б", получаем для значений t из
промежутка (t_8_lt t_8)
= 01).
(29)
Возьмем два отрицательных числа гх и г2, г2 < гх < 0; когда г
изменяется на отрезке [r2, rt), то
|Лг2 + Вг + С|<£>.
Выберем такое v > 0, что при v>>v имеем Z7^) > Z>/1 гг |, и
найдем такое 1, что при t^l имеем
Vr£(0>«|/">4 + 4-
Тогда для рассматриваемых значений £ при г из [г2, гх]
выполняются следующие неравенства
УЕ(1)
>
Y.E{t)
>v, rF
Art-\-Br-{-C-\-rF
YE(t) _'
D
<-1'''ш
= —£>,
/л+£
<0.
Из формулы (29) следует тогда, что при ^^ и при г из [т2, rj,
dr/dt>0.
Найдется такое s0, что при s~^s0 имеем t_a^.t. Рассмотрим
промежутки (t_a_v t_s) при s^>s0. Заметим, что между т_„ и t_a
существуют такие два числа 4 и 4 > что
г^г,, г(#>)=Г2.
Так как г(т_8) = 0, то мы можем без потери общности считать, что
/1) ^ JX)
m
Так как г'(41))>0, [г'(4 )>0], то справа (слева) от точки 4J
(4 ) функция r(t) принимает значения большие (меньшие), чем гЛ (г2),
и потому существуют точки 4 и 4 > лежащие в промежутке
(£>. 4°). такие, что tf < tf> и
г(42)) = г1, г(42)) = г2.
г) Выражение в квадратных скобках является аргументом функции Т7.—
Прим. ред.

316 Гл. Xfl. Об уравнениях, встречающихся в приложениях
Продолжая это рассуждение, мы получим, что существует точка *,
лежащая в промежутке (t'i\ 4*'). для которой г (■) — rv причем сколь
угодно близко от точки \ найдутся точки t, для которых r(t) = rv
Мы пришли к противоречию, так как г'(;)>0, и потому функция
r(t) возрастает в точке S.
Полученное противоречие доказывает существование такого числа
TQ, что решение y(t) отлично от нуля при £< 70.
6. Колебания в случае периодической возмущающей силы.
Теорема Каччиополи — Гицетти. Иногда приходится рассматривать
одномерные движения, описываемые уравнением
A^+[B + F(v)]v+Cy=f(t), *=<£, (30)
где А, В, С—постоянные, А > 0, В^-0, С>0, функция F(v) при
любом конечном значении v непрерывна вместе со своей первой
производной, /7(0) = 0, F(—v) = F(v) и /(t) — периодическая
возмущающая сила периода со.
Если функция F(v) возрастает при v > 0, то из одной теоремы
Каччиополи и Гицетти (Каччиополи и Гицетти [1], стр. 437) вытекает,
что при указанных выше условиях уравнение (30) имеет
единственное периодическое решение с периодом со, а все остальные
решения асимптотически приближаются к нему при t-*-\-co.
§ 3. Уравнение релаксации
1. Уравнение Лиенара. А. Картан и Э. Картан рассматривали
в связи с одним вопросом радиотехники задачу о существовании
периодических решений уравнения1)
где /, г, С обозначают соответственно индуктивность (коэффициент
самоиндукции), сопротивление и емкость цепи, i—силу тока,
t—время и *(/) — данную функцию от I, имеющую размерность
сопротивления, причем функция Ь (i) четная, убывает при i > 0,
ty(0)>r и Нт -М0 = 0-
t->co
!) А. Картан и Э. Картан [1]. Другое уравнение электротехники,
изученное Трикоми [1], [2], имеет вид
g + Aff + ATs.n, + P = 0,
где М, N, Р—-положительные числа. Относительно этого уравнения мы
отсылаем читателя к оригинальным работам.

§ 3. Уравнение релакбаЦаи 31?
Ван дер Поль в одной электротехнической задаче пришел к
рассмотрению уравнения1)
S+.0--!)#+* = <*. О
где s — некоторое число и у пропорционально силе тока. Позже
Левинсон и Смит [1] и Граффи [3] изучали уравнение
S+/(0f+?(0 = 0, (b)
а также и более общее уравнение
d.4 , , Л dl\ di , ... _ . .
(Граффи [4], Левинсон и Смит [1]) при условии, что функция g(i)
имеет непрерывную производную, а функция f(i,v), [v = di/dt]—
непрерывные частные производные первого порядка.
Теоремы существования периодических решений и теоремы
единственности для уравнения (с) были установлены Левинсоном и Смитом
путем использования метода, примененного Бендиксоном ([1], гл. IX,
§ 1, п. 5) для исследования интегральных кривых, определенных
дифференциальным уравнением dx/X(x, y) = dy/Yfa у), что потре-
брвало предположения о дифференцируемости коэффициентов
уравнения. Другие результаты для уравнения (Ь) были установлены
цитированными выше авторами при предположении, что функция f(i)
непрерывна и четна, а функция ср(/) дифференцируема, путем
обобщения метода Лиенара2) для уравнения
^ + «/(0^4-«4 = 0 (»>0, » = const), (1)
где функция /(/) непрерывная и четная.
Уравнение (1) называется уравнением Лиенара. Мы изложим
в п. 7, 9, 10 теоремы существования периодических решений и
теоремы единственности для этого уравнения при единственном
предположении, что функция /(/) непрерывна, не налагая на нее
требование четности.
1) См. ван дер Поль [2], [3]. Там же помещены библиографические
ссылки.
2) Лиенар [1], [2]. См. также Лефшец [1].
Изучение асимптотики решений уравнения
т . f(i)di , ,. п
где е — инфинитезимальный параметр, можно найти у Хаага [2], [3].
Относительно других исследований о периодических решениях этого уравнения,
когда e-*.jf-°o или е-» 0, см. Шохат [1], [2].

318 Гл. XII. Об уравнениях, ветречающйхея в приложениях
2. Существование решений i(t) при изменении t в (— оо,
-}- оо), если функция /(/) непрерывна и ограничена. Легко видеть,
что есла в уравненаа (1) функция f(i) непрерывна в (— оо, +оо)
и ограничена на всей прямой, то любое решение этого уравнения
однозначно определяется в (—оо, -j-oo) заданием начальных
условий в начальной точке
i (*о) = 'о. *' (*о) = 'о. (2)
где
^о + '^О. (2')
В самом деле, положим
i
F(t) = jf(s).ds. (3)
о
Тогда уравнение (1) эквивалентно нормальной системе уравнений
с двумя неизвестными функциями Р и /
f—/.. g —[P-^Ol. (4)
Так как функция F(i) равномерно удовлетворяет на всей прямой
условию Липшица, то из теоремы существования и единственности *)
вытекает, что любое решение уравнения (1) однозначно определяется
начальными условиями (2).
3. Неравенство, ограничивающее снизу расстояние между
двумя соседними нулями решения, при условии непрерывности
f(i) на всей прямой. Предположим, что функция /(/) непрерывна
на всей прямой (это предположение мы сохраняем и в дальнейшем).
Так как уравнение (1) эквивалентно системе (4), то, применяя
теорему существования и единственности в малом решения нормальной
системы (4), мы убеждаемся, что, каковы бы ни были начальные
условия (2), (2'), существует одно и только одно решение i(f)
уравнения (1), удовлетворяющее этим начальным условиям.
Легко видеть, что если функция l(t) имеет бесконечное множество
*
нулей, то эти нули не могут иметь предельной точки г0 внутри
области существования i(t). В самом деле, в точке t0 мы имели бы
г(ф = //(ф = 0, и по теореме единственности решение i(f)
тождественно равнялось бы нулю, что исключено условием (2').
Отсюда следует в силу уравнения (1), что в точке t*, являющейся
нулем для i'(t), имеет место неравенство P(t*)l(t*X 0, а потому t*
является точкой экстремума для 1(f). Следовательно, если f и f
Ц См. гл. I, § 3, п. 4. К уравнению А. Картана и Э. Картана из п. 1
применима теорема существования п. 2.

$ 3. Уравнение релаксации
319
являются соседними нулями функции i(t), то существует
единственная точка t промежутка {?, f), где i'(t) = 0.
Если If и t" являются соседними нулями решения i(t)
уравнения (1), лежащими внутри области существования этого
решения, то
К—/|>«/ш (5)
(см. Графф!» [3], стр. 83—84).
Предположим, что f < t", умножим уравнение (1) на i и
проинтегрируем йт f до t", получаем
t" vi t"
v t> t'
Принимая во внимание известное неравенство (гл. V, § 4, п. 4), имеем
t>
Так как
V
t"
«JV(0-£* =
*'
*«")
= ш {,
'«(*')
то
t" t"
V t>
откуда и следует неравенство (5).
4. Случай непрерывной функции /(*)> область существования
решений [t0, -j-oo). Отбросим теперь сделанное в п. 2
предположение об ограниченности /(/) на всей прямой (это предположение не
выполняется, например, для уравнения (а) ван дер Поля из п. 1) и
предположим, что в уравнении (1) ш — положительное число,
функция /(/) непрерывна на всей прямой и что существует такое
положительное число Д, что
/(0>0- при |/|>Д>0. (6)
_:) Действительно, функция / (t) монотонна на отрезках [Р, t\ и [t, t"\, где
I' (0 1 = max | i (t) |, поэтому _
i {t") i (7) о
J //(/) di = f If (I) di + j if {I) di = 0. -Прим. ред.

320 Гл. XII. Об уравнениях, встречающихся в Приложениях
Докажем, что в этом случае в [t0, +°°) существует единственное
решение i(t) уравнения (1), удовлетворяющее начальным
условиям (2), (2').
Пусть, в самом деле, t — верхняя грань значений t^>t0, для
которых существует решение i(t) уравнения (1), удовлетворяющее
начальным условиям (2) и (2'); предположим, что t конечно.
Рассмотрим промежуток (t — h, 7), лежащий на отрезке [t0, t],
где 0 < А< и/со. В силу неравенства (5) функция i'(t) не может иметь
на этом промежутке более двух различных нулей, так как если бы
на этом промежутке было три различных нуля, то функция i(t),
по крайней мере, два раза обращалась бы на нем в нуль. Но этого
не может быть, так как, по предположению, 0 < h < я/со. Поэтому
можно выбрать настолько малое h, что 1г(1)ф0 в (t—h, f). Отсюда
следует, что функция i(t) монотонна на этом промежутке, и потому
существует предел
lim i (t) = i.
<->F-o
Рассмотрим функцию
^)=(€>2+<°2<'2- (7)
Очевидно, что
dE(t) п dim , 0 9. А" 0 ff.,fdi\z fQ
Потому в силу (6) при достаточно близких к t значениях t имеем
dE(f)/dt^.O, а следовательно, функция E(t) не возрастает. Поэтому
функция P(t) ограничена в (F—h, ~t), и, следовательно, i конечно.
Интегрируя уравнение (1) от t0 до t, где t0<^t<^t, получаем
t t
to to
или же
i(t) t
i>{t) = i'u — m^f{s)ds—m*§idt. (9)
Поэтому функция i'(t) остается ограниченной в [^0, t), и в силу
уравнения (1) функция i" (t) также ограничена в [^, t). Отсюда вытекает,
что предел \\mi'(t) = i' конечен; но тогда решение уравнения (1),
удовлетворяющее в точке t начальным условиям i(t) — i, i'(t) = i',
является продолжением первоначально рассматриваемого решения, и
следовательно, область существования этого решения шире, чем \t0, t),
вопреки предположению.

§ 3. Уравнение релаксации
321
Итак, мы доказали, что областью существования решения i(t)
является [^0, -{- оо), причем это решение единственно, в силу
рассмотрений, проведенных в начале п. 3.
5. Колебательный характер решений в [t0, -j-oo). Начиная
отсюда мы присоединим к сделанным ранее предположениям о том,
что ш > 0, /(/) непрерывна на всей прямой и
/(0>0 при |/|>Д>0, (6)
еще требование существования таких двух положительных
чисел 8 и А, что
/(/)< —А< 0 при |t|<8(8>0). (10)
Пусть тогда i{f) является решением уравнения (1), определенным
в [^0, -j-oo). Докажем, что не существует значения t, начиная с
которого i'(t) не обращается в нуль.
В самом деле, предположим, что i'(t)^0 при t^t. Тогда
функция i(t) монотонна и могут представиться три случая:
lim i(t)—-\-oo, lim i(t) = — оо, lim i(t) конечен.
£-> -f оо £->+оо £->+оо
В первом и во втором случаях в силу (8) и (6) функция E(t)
будет убывать, начиная с некоторого значения t, и функция i(t) будет
ограниченной, вопреки предположению. Поэтому нам достаточно
рассмотреть случай
lim i(t) = im,
t-» + oo
где too—конечно.
Если /О'оо)>0, то из (8) следует, что E(t), начиная с некоторого
значения t, становится убывающей функцией, а потому в силу (7)
существует lim di/dt, равный, очевидно, нулю. В силу (1) суще-
*->+оо
ствует и lim d2i/dt2, который также равен нулю, а тогда /00=0,
t-*+ 00
/(0)>0 вопреки (10).
Если /0'оо)<0, то из (8) следует, что, начиная с некоторого
значения t, функция E(t) возрастает. Следовательно, в силу (7)
существует lim di/dt, равный, очевидно, нулю, и, применяя снова (7), мы
*-> + оо
получаем, что i^^O. Из уравнения (1) следует тогда, что
существует lim d2i/dt2, также равный нулю, а следовательно, im = 0, в то
*->+ оо
время как мы вывели, что im^0. Отсюда следует, что/(г'оо) = 0.
Если г'оо>0, то из (9) вытекает, что lim i (t) = — 00, чего не
*-> + оо
может быть. Аналогично, если im < 0, то lim i' (t) = -\- оо, чего
*->+оо
также не может быть. Таким образом, мы получаем, что /оо = 0,
21 Зак. 1072. Дж. Сансоне

'SUU Гл. ХП. Об уравнениях, встречающихся в приложениях
/(0) = 0, а это противоречит условию (10), так как, согласно этому
условию, /(0)< 0.
Итак, сделанное нами вначале предположение привело к
противоречию. Поэтому при указанных выше условиях функция i'{t)
бесконечно много раз обращается в нуль, когда t стремится к -\- оо.
В силу указанного в п. 3 и решение i(f) бесконечно много раз
обращается в нуль, причем нули функций i(t) и i'(/) разделяют друг
друга.
6. Преобразование уравнения Лиенара в нелинейное уравнение
первого порядка. Прежде чем перейти к доказательству теоремы
существования периодического решения уравнения (1), полезно будет
преобразовать это уравнение в нелинейное уравнение первого
порядка г— уравнение характеристической кривой (см. п. 10),
Пусть i(t)-^~решение уравнения (1). Положим
| = /' = ш*. (11)
Если принять на дуге интегральной кривой, на которой i(t) монотонно
изменяется, в качестве независимой переменной величину i, то мы
получим
du_ __)_(&__ Г_ _ Р_ .„_ 2 rfa
di в) di Ы' vfiu' di
и уравнение (1) примет вид
Решение уравнения (1) эквивалентно тогда решению уравнения
первого порядка (12). Решения этого уравнения, следовательно,
представляются в параметрической форме
i = i(f), u = i'(t)lo>.
Итак, любой паре начальных значений /0, и0, не равных
одновременно нулю, соответствует одна и только одна интегральная
кривая u(i) уравнения (12), проходящая через точку (i0, и0);
следовательно, единственной особой точкой этого уравнения,
находящейся на конечном расстоянии, является точка /=0, и = 0.
7. Существование периодических решений. Мы можем теперь
доказать следующую общую теорему существования периодических
решений. Пусть в уравнении (1) со > 0, а функция f(i)
удовлетворяет следующим предположениям:
а) функция f(i) непрерывна на всей прямой,
б) существуют такие числа Ь_г < 0 и Ь1 > 0, что при
Ь_1<^1<^.Ь1 функция f(i) отрицательна, а при /<8_1, равно как
и при />§!, функция f it) положительна (/(8_1)=/(81) = 0),

§ 3. Уравнение релаксации 323
в) положим
i
F(i) = jf(s)ds, (3)
о
1^(81)1 +^(8-i) = M (13)
тогда выполняется по крайней мере одно из следующих четырех
условий:
1) существует такое i0 > 8Х, что
4М0 + 4ЛГ2 < [F (у _ F (8i)]2; (14l)
2) существует такое i0 < 8_1( что
4A/|/0| + 4/V*<[/=-(g-/=-(8_1)]2; (142>
3) выполняется соотношение
Нш /=■(/) = +оо; (143)
4) выполняется соотношение
Urn |f(0| = + oo. (14J
/7ри 5/мил; предположениях уравнение (1) имеет по крайней
мере одно периодическое решение.
а) Предположим, что выполняется требование (14j) или (143)
(случаи, когда выполняется требование (142) или (14J, сводятся к
рассматриваемым заменой в уравнении (1) i на —/).
Рассмотрим решения уравнения (1), удовлетворяющие начальным
условиям
<('<,) = <о> <*('<,) = 0 «о>0). О5)
где /0>0, т. е. решения уравнения (1), имеющие в t0 точку
максимума.
Пусть
8 = min(|8_1|, Sj), (16)
и пусть начальное значение /(*0) удовлетворяет условию
0<;(У<8. (17)
Обозначим через t2 абсциссу точки максимума для i(t), следующей
за tQ, положим i (^2) = /2 и докажем, что
<о < h- (18)
Доказательство проведем от противного. Предположим, что i(tf2)<^
</(у<8и обозначим через tx абсциссу точки минимума функции i(f),
заключенной между tQ и tv Тогда t0 < tl < t2, i(^)<0, i'(tl) = 0.
21*

324 Гл. Xtt. Об уравнениях, встречающихся в приложениях
Докажем, что г'(^)>—>8. Если бы было I(^Х! — 8, то нашлась бы
такая точка t, t1 <[ t < t2, что i (() = — 8. Но тогда при t < t < t2
мы имели бы /(г)<0 и в силу (8) функция Е(() возрастала бы
в ((, (2), следовательно,
f» (^4-0)382 = Е(Т)<Е (/,) = 0)2/2 (д,
а потому 8<i(^2), вопреки предположению.
Итак, г(^)>—8, и потому /(£)<0 при t0^.t^.ti,
следовательно, Е(() возрастает в [^0, t3], а тогда
0)2 /2 (,о) = Е (у < £ (у = шЧ« (^
и потому /(*о)</(4)> вопреки сделанному предположению.
Итак, мы доказали, что если i(t) является решением
уравнения (1), определяемым начальными условиями (15), и если
выполнено условие (17), то имеет место неравенство (18).
б) Пусть i(t) — решение уравнения (1), определяемое начальными
условиями (18). Докажем, что- если i0 достаточно велико, то
k>h, (19)
где /2==г(^2)> а h является абсциссой точки максимума функции i(t),
следующей за точкой ^Q.
Обозначим через tt абсциссу точки минимума функции i(t),
заключенной между tQ и t2, и предположим сначала, что
Пусть A, D, L — такие точки интегральной кривой /(/), что (см.
фиг. 36)
A SB fa, i0), Dss(tlt i(/,)). Isft, h)>
и пусть, каково бы ни было i0, имеем
Покажем, что это предположение приведет нас к противоречию.
Обозначим через В и С точки дуги t^jAD кривой /(/), имеющие
соответственно ординаты 8Х и 8_j, а через F и И—точки дуги kj DL
кривой i(t), имеющие соответственно ординаты 8_, и bv
Так как на дугах <j AB и kjCDF кривой /(/) имеем /(0>0,
то в силу (8) на этих дугах d E(t)jdt<0, а потому функция E(f)
убывает; на дугах же kj ВС и <j FH имеем f(i) < 0 и функция E{t)
возрастает. Можно вывести неравенство для приращения функции E{f)
на этих дугах.

§ 3. Уравнение релаксации
325
На дуге о ВС имеем: /(/) < 0, di/dt < 0, следовательно, в силу (8)
1 dYE(t) _ [dijdt±
^ Ji ~TKl) YE(t)'
Так как Е~^ (t) | di/dt | < 1, /(i) Е-'-'2 (<) | Л/Л | > /(i), то
1 d /£ (О
ш di
>
5,
0
S-,
1
/
i0
\
W
HI
1р /
1 "<i /
\с
L
'г
■ ■ -■*
If
у
9
Фиг. 36.
>/(/), откуда, обозначая через £(Р) значение функции £(0 в точке
Р === [£, i (£)] кривой i (f), имеем
*.
o<±iVe(C)-Ve(b)}< j |/(01л.
Аналогично имеем на дуге cj FH / (0 < 0, di/dt у 0, а потому
2а. yg Л /W/I ^1' W1,
«.
0<-^[/Е (Я)-/£(/>)]< J |/(01Л.
Положим
й0 = *'(£)/<■>•

326 Гл. XI!. Об уравнениях, встречающихся в приложениях
Так как
со
ТО
УЁЩ < }/"$ + %+ 2 f |/(0 | Л = У~а\±Ъ\+™*)• (20)
Положим еще
Fi®={f(?)di=F® — F<*i)- (21)
»»
Интегрируя равенство (12) от 8Х до i, 81<i<[i0, получаем
«(0 — «о = — ^i (0 — / ^ rfs-
и так как на дуге <и ВА а < 0, то
. . .« .
l"ol = l«(0|-/?i(0+/|^1^. (22)
Из (12) вытекает, что когда i изменяется по дуге о АВ, то
^5 —2«/(0 = 2|«|/(0.
Следовательно, а2-}-'"2 возрастает вместе с i на дуге о ВЛ, откуда
Й > й8 (0 + '8> «о + 8? (i0 > / > 8J.
Поэтому при S^i^Vag^gJ
|e(0l>/e» + 8? —i».
*) Выше было доказано, что на дуге kjCDF функция E{t) убывает и,
следовательно, Е(F)<Е(С). Но тогда
УШ1<ЦШ + j |/(0|Л<£т+ /.,/»,*<
-_ «, «1
<3L|W. + 2 J 1/(01 di<Vu20 + bl + 2 J" -1/(01 Л.
8-»
— Прим. перев.

$ 5. Уравнение релаксации
327
Но тогда из формулы (22) следует, что
|во|<|в(0|-/*1(0+Г-7===Ц==-<&,
(У ul + ot-s*
I «о I < I «(О I ~ Ft (0 ~ /eJ + 8? —Р+| и01,
откуда
^i(0+/eS+-8!—/»<|e(/)j
и
t^i (о+/«;+«!-*» Iе + '«ч< «2 (о+р < й-
Поэтому для рассматриваемых значений i, 8Х <]г *CV и1-\-§1> имеем
/^(0 + 2^(0/^+8^^+^ + 83 < Р0. (23)
Во всех точках дуги о Я/., исключая ее концы Н и /., имеем
/(0>0> dildt>0, и функция £;(*) убывает. Поэтому £(0><оа/|и,
следовательно,
1 rfl^£(0 —»2/?
d/
<-|/(0|.
Интегрируя это неравенство по / от bt до г2, имеем
ML) ^
^+[/l/(*)l<&]" = 4 + /',i(«.
Так как мы предположили, что ta^.{*0, то
^>*+/>2(У (24)
и в силу неравенства (20)
lV^!+8f+-2N]«>/5+/>;(y,
a2 + 82 + 4^ + 4./VK"^qr8b>^ + ^(g.
В силу неравенства (23) имеем
4ЛГа + 4ЛГУ^+8*> /7J(i0) + /7f(0+
+2^(/)УИ|+8|-г;2, (25)

328 Гл. XII. Об уравнениях, встречающихся в приложениях
Так как У «jj-|-82</0, то
.4.V» + 4M0>/75(«0).
чего не может быть, если выполнено условие (14±).
Покажем, что и в случае, когда выполняется условие (143), мы
также приходим к противоречию. Из неравенства (25) следует при
/ = ХУ«Л + Ч« где 0<Х<1, (Xl/"af+8f>8l), что
4№ + wVK+4 > F\{i0)+Fl{\ V^f+8g) +
He может иметь места неравенство
ут=х»л (х V4+4) > 2N<
так как тогда мы имели бы FA (i0) > 2N, что несовместимо с
неравенством (26). Поэтому
/Т^Гхз ^ (X V^f+Ч) < 2/V.
Выберем любое i0 > 2М; из неравенств (20) и (24) следует, что
y-uJ^>¥£m_2N>i0-2N.
Поэтому если i0 таково, что Х(/0— 2/V)^81, то
УТ=Т* F1[k(l0—2N)]<2N.
Так как выбор /0 не ограничен сверху, то мы пришли к
противоречию с условием (148).
Из доказанного следует, что при значениях i0 > 8t (/0 < 8j),
для которых
4.V»+4Vi0<[/7(/0)-/7(81)]a.
4/VS+4V|/0|<[/7(/0)-/'(8_1)p,
или лри значениях /0 > 0 (/0 < 0), которым можно сопоставить
число X, 0 < X < 1, так что
X(/0-2/V)>81, V'b^fW'o —2Л01 — /7 (&,)}> 2ЛГ,
X (i0 + 2Л0 < 8_р VT=W {- F [X (/0 + 2N)] + F(8^)} > 2N,
решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям
' (^о) = 'о> '' (^о) — 0, удовлетворяет неравенству i0 > /g (| i0 | > | % |).
Этот вывод сохраняется, если i(^1)>8_1, причем
соответствующие рассуждения упрощаются, так как в этом случае достаточно
рассматривать лишь дуги <j BD и kjBH кривой /(/),

§ 3. Уравнение релаксации
329
в) Рассматривая 12 как функцию от i0, где 0 < i0 < -f~oo, мы
получаем, что при i$ < min(|S_11, §j) выполняется неравенство (18),
а при достаточно больших i0— неравенство (19). Докажем теперь,
что t3 является непрерывной функцией от i0. Из этого будет
следовать, что по крайней мере для одного положительного
значения i0, решение i(t) уравнения (1), удовлетворяющее в точке t0
начальным условиям (15), т. е. имеющее в t$ точку максимума, имеет
в следующей точке максимума с абсциссой 4 ТУ же ординату. Иными
словами, это решение удовлетворяет условиям
m = io> '*('2) = 0. (15')
Но это решение i(t) периодично; в самом деле, замена независимой
переменной t=^t-\-{t2 — t0) не изменяет уравнения (1) и переводит
начальные условия (15) в начальные условия (15').
Доказательство того, что i2 является непрерывной функцией от i0,
проводится путем следующих рассуждений.
Если точка Р пробегает дугу интегральной кривой i(t)
уравнения (1) между двумя соседними точками экстремума, то в силу
рассуждений, проведенных в „б", изменение величины УЕ(Р)1<а не
превосходит N. Поэтому, если о АВ является дугой интегральной
кривой i(t) уравнения (1), начинающейся в точке А и кончающейся
в точке В, на которой кроме А есть еще п точек относительного
экстремума, то, какова бы ни была точка Р дуги ^ АВ, имеем
В2<Ш+^+1).
О) О) ' '
Пусть точка А соответствует начальному значению t0 аргументе t и
пусть при t = t0 заданы начальные значения i(tQ) = i0, i'(t0) = i'0.
Тогда Е(А) = /д3 —J— co2/g. Рассмотрим некоторый отрезок [t0, Т\, Г> t0,
и пусть наибольшее целое число, содержащееся в (Г—t^wjn, равно
п— 1 (п > 1). Тогда в силу (5) решение i(t) имеет не более п точек
экстремума, отличных от точки А и принадлежащих этому отрезку.
Но тогда в силу доказанного выше для любого значения /,
принадлежащего отрезку [t0, Т],
Vi'2 (f)+<Л'2 (*) < УЩА)+N («+*) °> ■
Поэтому, если значения i0, i0 изменяются в ограниченной двумерной
области, то соответствующие решения i(t) и их производные остаются
равномерно ограниченными на отрезке [t0, Л- Применяя тогда
известное рассуждение Каратеодори к системе (4) и принимая во внимание
справедливость для этой системы теоремы единственности, получаем,
что i(t), [P(t)] и i'(t) непрерывно зависят от начальных условий i0,
i'Q (см. Каратеодори [1J, стр. 678; см. также гл. I, § 3, п. 3, „г").

330 Гл. XI!. Об уравнениях, встречающихся в приложениях
Пусть теперь i(t) — решение дифференциального уравнения (1),
удовлетворяющее начальным условиям
/Оо) = *о>0. /'('<>) = 0,
и пусть xt и т2— первые нули функции i(t), следующие за точкой t0
(фиг. 37):
/ (yj) = 0, i (т2) = 0, t0 < xt < т2.
В точках хх и т2 имеем /' (t) ф 0, так как единственным решением
уравнения (1), обращающимся в некоторой точке в нуль вместе со
Фиг. 37.
своей первой производной, является тождественно равное нулю
решение. В нашем случае мы имеем
i'W<0, i'(x2)>0.
В силу доказанной выше непрерывной зависимости решений уравне-'
ния (1) и их производных от начальных данных можно найти такие
положительные числа р и d,- что если
. I *о — 'о I < d>
то решение i(f), удовлетворяющее начальным условиям i(t0)=-i0,
' Со) — 'о» таково, что
/'(/)< 0 при xt — р</<т1-]-р,
i'(t)>0 при т2 —р<*<т2.
Обозначим через ?) наименьшее значение функции \i(i)\ на
отрезках [t0, xt — р], [Tj—[—р, т2 — р] и пусть е— положительное число,

§ 3. Уравнение релаксации 331
меньшее, чем ч\. Уменьшим, если это необходимо, d настолько, чтобы
выполнялось неравенство
\~i(f)— '(91 О при 4)<'<V
Тогда мы имеем
~i(t)>i{t) — s>i(t)-rl>0 в [t0, х1 — р],
/(/) убывает в [tx—:р, xt—{—pi,
i(0<'(0+»<«"(0+4<0 в [Tt + p. тВ;—р].
i (f) возрастает в [т2— р, т2],
и потому i(t) имеет в промежутке (£0, т2— р) только один нуль,
принадлежащий отрезку [xt—р, т±—j—р].
Так как i' (-zt -f- p) < 0, i'(т2 — р) > 0, то решение / (*) имеет
в №)• %! единственный минимум (отрицательный) в некоторой точке \
•промежутка (тц т2). Если t± — абсцисса точки минимума функции i(f),
лежащей в том же промежутке (xv т2), и если, например, |/(^)|!>
!> | / (tt) |, то мы имеем
о < | i (tj | -1 /" (О |< | i (tt) | - j Jit,) \ = \i (tj - i(t±) |< в.
Отсюда следует, что ордината i(^) первого минимума функции i{t),
следующего за максимумом Iq, непрерывно зависит от i0.
Аналогично, ордината it максимума i(f) непрерывно зависит от
/(^) и, следовательно, /2 является непрерывной функцией от Iq1).
Итак, нами доказано, что при указанных выше предположениях
существует, по крайней мере, одно периодическое решение
уравнения (1).
8. Монотонность последовательности максимумов и
последовательности минимумов решений, а) Прежде чем изложить в п. 9
и 10 достаточные критерии для существования единственного
периодического решения уравнения (1), рассмотрим сначала
последовательность максимумов и последовательность минимумов любого решения
этого уравнения.
Пусть в уравнении (1) функция f (i) удовлетворяет указанным в
п. 5 условиям, обеспечивающим колебательный характер решения
i(f) при t—*--\~oo.
Пусть t0 и *2 — соседние точки максимума для i(f), t0<t2 и пусть
i(t0) = i0, /(*2) = /2 [?(*о) = 0, i'(Q = 0].
*) Относительно рассуждения, аналогичного проведенному здесь, см.
гл. IV, § 6, п. 3, „б".

332 Гл. XII. Об уравнениях, встречающихся в приложениях
Если i0 = i2, то решение i (t) периодическое; в самом деле, как мы
заметили в п. 7, „в", это уравнение остается неизменным при замене
независимой переменной t — t-\-{t2 — t0). В этом случае i(t)
определено на всей прямой и все ординаты точек максимума функции i(t)
равны между собой; то же самое имеет место и для ординат точек
минимума.
б) Предположим теперь, что i0 ф ц,, и обозначим через tt абсциссу
точки максимума функции i(t), идущей за t2, а через tt и ts — абсциссы
В
Фиг. 38.
точек минимума функции i(t), лежащих, соответственно между t0 и t2
и между t2 и £4. Пусть
Л a ft, У, B = [tv у, C=[t2, у, D==K3, у,
FBs[tv у, [i(tr) = ir, г = 0, 1, 2, 3, 4].
Докажем, что если, например (фиг. 38),
k>h(.k<h)> (27)
то
Ч<%<0 (0>i1>is), (Mi)
;2 > i4 > о (i2 < g. (282)
Если вдоль дуги ^j АВ кривой i(() мы положим i?(f) = &u0,
а вдоль дуги о CD положим г' (t) = ши2, то в двух точках дуг <j Лв
и о CD, имеющих равные ординаты, будем иметь
и0<н2<0. (29)
Аналогично, если положить вдоль дуг о ВС и о D/7 соответственно
*' (0 = «0%, »' (0 = <он3, то в точках этих дуг, имеющих равные
ординаты,
Н > н8 > 0. (30)

§ 3. Уравнение релаксации
333
Для доказательства этих утверждений обозначим через G, Н,
L, М точки, в которых дуги kj АВ, о ВС, kjCD, о DE кривой i(t)
пересекают ось t, а через хг, t2, xs, xi— абсциссы этих точек.
Тогда i(xr) = 0 при г*=1, 2, 3, 4.
Если А* является точкой дуги ^jAC, имеющей ту же ординату г2,
что и точка С, то вдоль дуг kj A*C и kj CL имеем, согласно (12),
di IK) V dl } К)- н2*
Следовательно,
d(M2 —ц0) __i u2 — u0
di н0ио
Функция и2 (0 — ио(') положительна при / = /8 и не может
обратиться в нуль при 0^.1-^.1^, так как в противном случае в силу
теоремы единственности для уравнения (12) мы имели бы iQ = it,
вопреки предположению. Отсюда следует, что при 0^г'<[г2
выполняется неравенство (29) и разность и2(0— ио(0 остается
положительной и при отрицательных значениях i, принадлежащих общей
области существования функций и0 и и2.
Легко теперь видеть, что имеет место неравенство (28J. Так
как в силу (27) решение i(f) непериодическое, то если бы мы имели
'(*л) >'(4)> т0 на дУге ^-> LD существовала бы точка [t, i(t)],
ордината которой равна г'(^), и мы имели бы и2 (/(£)]— u0[i(t)] =
= и2[г'(£)]<0, т. е. разность и2 — и0 была бы отрицательной,
вопреки доказанному выше.
Проведя аналогичные рассуждения для точек дуг kjBHC и kjDMF
кривой i(t)t имеющих одинаковые ординаты, мы убеждаемся в
-справедливости неравенств (30) и (282).
Из доказанного следует, что если i(t) является непериодическим
решением уравнения (1), удовлетворяющим начальным условиям
i(t0)z=i0>6, i'(tQ) = 0, и если t0, tv t2, ...—последовательность
нулей функции i(t), расположенных в порядке возрастания, а тр
т2, ... —последовательность нулей функции i(f), то
^о < Ti < ^1 < т2 < ^2 < ^з < • • •
и последовательности {|*'(*2n)l}> {|'(^«+i)l}> {I''(T2n+1) I} >
строго монотонны.
Если максимумы i(t) убывают, то
*(<о) > «"(4) >■->'■('««) > — >°. }
*«i)<«'tt>)<----<'(<9»+l)<---<0, I
i"W<';^X'"W<'-<^ \
nx,)>i'(-4)>i'(zs)>...>0, J
(31)
(32,)
(32а)

Ш 1*л. Xii. дб уравнениях, ёбтрёчАидщихбй 6 приЛбжёкиЯХ
а если максимумы i(t) возрастают, то
0<i(t0)<i(t,)<...<i(t,n)<..., \
0>j'(*i)><"(*3)><"(%)>--.. \ (33)
0<^(Ta)<i/(x4)<i/(Te)<.... J 2
в) Пусть функция f(i) удовлетворяет указанным в п. 7
условиям, обеспечивающим существование, по крайней мере, одного
периодического решения, и пусть i(t) является решением уравнении (1),
максимумы i(t<zn) которого образуют возрастающую (убывающую)
последовательность. Ординаты этих максимумов не могут стремиться
к бесконечности (к нулю) при п —*■ оо, так как в силу доказанного
в п. 7, „бц (п, 7, „а"), если i(t2n) достаточно велико (мало), то
ордината следующего максимума /(^п+2) меньше (больше), чем i(tg„).
Поэтому, если i(t) является любым решением уравнения (1), то
предел последовательности \i{tin)} при п-*со конечен и
положителен.
Полагая
lim i(lin)=A,
й->00
имеем А > 0. Докажем, что решение i(t) уравнения (1),
удовлетворяющее условиям
;(*о) = л, f(70) = o,
периодично.
Предположим, что решение i(f) не имеет периода, и пусть в
следующей точке максимума Т2 функции i(t) имеем i(t2) = B, где
А — ВфО. Найдем в соответствии с результатами из п. 7, „в"
(непрерывной зависимости ординаты следующего максимума от
ординаты предыдущего) такое положительное число d, d < А, что если
\i0 — А | < d, то для следующего максимума В* решения i (t),
определяемого начальными условиями /(£0) = i0, i'^^^O, выполняется
неравенство \В* — В| < | А — В|/2.
Тогда можно найти такое п0, что при п > п0 имеем | i(t2n)—А | < d,
и потому при п > п0, |i(f2ra+2) — В\<\А — B\j2, а следовательно,
если В > А, то i(*2n+<>)>B— (В — Л)/2 > Л, а если В < А, то
'(^и+2) < В~\~(А — S)/2 < Л. В обоих случаях lim i(t?n) не рав-
Я-»оо
нялся бы Л, вопреки предположению.
Аналогичные рассуждения показывают, что если i(l) является
любым решением уравнения (1), то lim i(t2nn) отрицателен, и,
П-КОО
полагая lim i(t2n+1) = — В, имеем 0<Б<-|-оо. При этом ре-
И->оо

$ 3. Уравнение релйкбацйй 335
шение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям
76) = — В, ?(71) = 0,
периодично.
При предположениях из п. 7 любое решение уравнения (1)
ограничено в [t0, ~\- оо).
9. Обобщенная теорема Лиенара о существовании
единственного периодического решения, а) Для приложений представляет
значительный интерес получение достаточных критериев для того, чтобы
уравнение (1) имело единственное периодическое решение, а все
остальные решения этого уравнения при г-»—[-оо асимптотически
стремились к периодическому решению в смысле, который будет
указан в „б". Имеет место следующая обобщенная теорема Лиенара1):
Пусть в уравнении
&+"№% + "Ч = 0 (ш > 0, ш = const) (1)
1) функция /(/) непрерывна на всей прямой;
2) при b_t < i < 8lt 8_х < 0 < bt имеем /(/) < 0, а при i < 8_х
и при i>i1 имеем f(i)>0 [/(8_1)=/(81) = 0j;
3) существует такое положительное число Д, что
F(—A) = F(A) = 0, (34)
где
F(i)=jf(i)di; (3)
о
4) выполняется по крайней мере одно из следующих условий
\\т F(t)=-j-oo, (35x)
lim F(x) = —oo. (35g)
Тогда заведомо существующее при этих условиях
периодическое решение уравнения (1) (см. п. 7) единственно.
Мы видели в п. 1, что уравнение (1) эквивалентно нормальной
системе уравнений относительно искомых функций Р и г.
?=-<"<• £-°1Р-г№ (4)
Проведем на плоскости ортогональные оси i, P и изучим поведение
характеристических кривых системы (4), т. е. решений уравнения
Ш ^ Г (i) — Р ' (36>
!) Мы опускаем предположение о четности функции/(/), которое делают
А. Картан и Э. Картан, Лиенар, Лефшец, и предполагаем лишь, что
определенная формулой (3) функция F(i) имеет два нуля, абсцисса одного из
которых равна —Д, а другого равна Д.

336 Гл. Xlt, Об уравнениях, встречающихся в приложениях
изображающих на плоскости (г, Р) интегральные кривые уравнения (1).
Рассмотрим для этого кривую, имеющую уравнение P = F{i), или,
как ее называет Хааг ([2], стр. 36), фундаментальную кривую
уравнения (1).
Функция F{i) отрицательна в промежутках (—со, —Д), (О, Д),
положительна в промежутках (— Д, 0), (Д, -\- со), обращается в нуль
=F(i)
Фиг. 39.
в точках —Д, 0, Д, возрастает, когда / изменяется от —со до 8_t
и от \ до -f- °°у и убывает в промежутке (8_1, 8t).
Фундаментальная кривая и ось Р делят поэтому плоскость (i, P) на четыре
области, внутренние точки которых характеризуются соответственно
следующими условиями (фиг. 39):
I: />0, P<F(i), ^>0;
II: «<0, P<F(i), ^<0;
dP
III: г<0, P>F(i),
di
dP
0:
IV: />0, P>F(i), ^<0.

§ 3. Уравнение релаксации
337
Пусть, согласно обозначениям из п. 8, t2r, t2r+v *%г+2 — ТРИ
последовательно идущих нуля функции Г(t), i(tir)>0 и пусть г2г+1,
V+2 — такие НУЛИ Функции i(t), что t.ir < x2r+1<t2r+1 < г2г+2 <t2r+2.
Найдем на плоскости (/, Р) изображение
решения i(f) уравнения (1) для значений t, лежащих между t2r и ^+2,
т. е. рассмотрим поведение соответствующей характеристической
кривой.
Когда t изменяется от t2r до х2г+1, то характеристическая кривая
выходит из точки А =г [i(t2r), F(i(t2r))] фундаментальной кривой, имея
в этой точке касательную, параллельную оси Р, проходит в области/,
причем i(t) и P(t) убывают, и заканчивается в точке Вг=[0, /' (х2г+1)/ш],
имея в этой точке касательную, параллельную оси /. Дальнейшим
отрезкам изменения t [x2r+v t^.+ 1], [t2r+1, t2r+2], [г2г+2, *2r+2]
соответствуют дуги о ВС, о CD, о DE характеристической кривой,
проходящие соответственно в областях II, III, IV, где
C^[i(t2r+1), F(i(t2r+1))), De=[0, i'(x2r+2)H,
E=[i(t2r+2), F(i(t2r+2))).
Касательная к характеристической кривой в точках С к Е
параллельна (как и в точке А) оси Р, а касательная в точке D (как и
в точке В) параллельна оси i. Кроме того, в области II t(t) убывает,
a P{t) возрастает, в области III i(t) к P{t) возрастают, и в
области IV /(/) возрастает, a P(t) убывает.
Из теоремы единственности для системы (4) получаем в силу
проведенных выше рассмотрений, что характеристическая кривая имеет
вид спирали, причем при возрастании t точка движется по этой
спирали вокруг начала координат по часовой стрелке.
Если i = i(t) является периодическим решением уравнения (1), то.
i(t2r) = i(t2r+2), а потому точка А совпадает с точкой Е (см.
введенные выше обозначения), и обратно. Поэтому для того, чтобы
решение i—i(t) было периодическим, необходимо а достаточно, чтобы
соответствующая характеристическая кривая была замкнутой.
Замкнутая характеристическая кривая пересекается с
фундаментальной кривой в двух точках, причем в этих точках касательная
к характеристической кривой параллельна оси Р. Обозначим через
г(^2г)> КЧгл-д' '(*2r)>0 >'(*2r+i) абсциссы этих точек. Тогда любая
прямая, параллельная оси Р, абсциссы точек которой заключены
в промежутке (i(t2r+1), i{t2r)), пересекает замкнутую характеристику
в двух и только в двух точках, принадлежащих областям I и IV или
II и III.
Аналогично, замкнутая характеристическая кривая пересекается
с осью Р в двух точках [г'(т2г+1)/си, 0], [? (г2г+2)/а), 0], где
/'(г2г+1)/«о < 0 < /'(т2г+2)/(о. Любая прямая, параллельная оси /, орди-
22 Зак. 1072. Дж. Саисоне

338 Гл. Xtl. Об уравнениях, встречаю щихдЯ в приложениях
наты точек которой принадлежат промежутку (г'(т2г+1)/ш, V (т2г+2)/ш),
пересекается с характеристической кривой в двух точках.
Если обозначить через М текущую точку характеристической
кривой, то
6M> = i* + P* = P + [i(§) + F(i(t))]\
и в силу (36)
jdOM* = F(i)dP.
Пусть T — ABCDE— замкнутая характеристическая кривая (т. е. А
совпадает с Е), пробегаемая по часовой стрелке. Тогда в силу
изложенного выше криволинейный интеграл
J* F(i)dP
г
(пропорциональный рассеянной энергии системы) равен нулю.
Легко видеть, что не может существовать замкнутой
характеристической кривой Г, для которой проекция точки А лежит в
промежутке (О, Д), а проекция точки С лежит в промежутке (— Д, 0), так
как вдоль такой кривой мы имели бы /7(/)dP>0.
Точно так же не может существовать замкнутой кривой Г, для
которой абсцисса точки А была больше Д, а абсцисса точки С лежала
между — Д и 0. В самом деле, обозначим через Нг точку
пересечения прямой 1 = Д с дугой kj AB и через К—точку пересечения
дуги о ВС с осью i; так как вдоль дуги kj НгВС имеем F(i)dP =
— -yd (ОМ)2 > 0, то наименьшее расстояние от текущей точки М
дуги о Н^ВС до начала координат О равно ОНг, а потому
Д<0#1<0/С<|.— Д[. Полученное противоречие доказывает наше
утверждение.
Аналогично, не может существовать и замкнутая
характеристическая кривая Г, для которой проекция точки А на ось i лежит между 0
и Д, а проекция на ту же ось точки С лежит между —со и -—Д.
В самом деле, обозначим через //3 точку пересечения дуги о CD с
прямой i== — Д и через L — точку пересечения дуги ^jDE с осью /.
Так как вдоль дуги kjHJ^E имеем /7(i)rfP>0, то наименьшее
расстояние от О до текущей точки М дуги kj HaDE равно ОЯ3. Но
тогда мы получаем противоречивое неравенство |—Д | < HOa<C OL< Д.
Итак, мы доказали, что если Г = ABCDA является замкнутой
характеристической кривой, то точки А и С пересечения кривой Г с
фундаментальной кривой проектируются на ось / в точки, расстояние
которых от точки О больше, чем Д. Исходя из этого, докажем,
согласно Лиенару [1], что для уравнения (36) не могут существовать
две замкнутые характеристические кривые.

$ 3. Уравнение релакбации ЗЗЙ
Предположим обратное и обозначим через Г = ABCDA, Г' =
= A'B'C'D'A' две замкнутые характеристические кривые для
уравнения (36), причем пусть Г лежит внутри Г'. Пусть, далее, прямая Д = i
пересекает дуги характеристической кривой о АВ, о DA, о А'В',
kjD'A' соответственно в точках Hlt Hit Hlt Hit а прямая i = — Д
пересекает дуги о ВС, kj CD, kj B'C, <u CD' соответственно
в точках H2, Н3, Н2, Hs (см. фиг. 39).
Если обозначить через Н[, Н2, И3, Нц точки, в которых прямые,
проведенные через точки Hv Н2, Иъ, Н4 параллельно оси i,
пересекают дуги иЛ'В', <иВ'С, <uCD', kj D'А', то
0= J F(i)dP-{- j F(i)dP-{- j F(i)dP-{- j FiOdP.itfJ
B±BB2 ЩОЩ В3ЛЩ BiABi
0 = f F(i)dP+ f F{i)dP-\- f F(i)dP+ f F(i)dP + S, (372)
н\в'в\ К°'В3 B3D'B'i KA'B'i
где
S= j F(i)dP-\- j F(i)dP+ j F(i)dP + j F{i)dP. (38)
н1н1 н2н2 H3Bs HiBi
Но равенства (371) и (372) несовместны. В самом деле, если (i, Pt)
и (i, Pa) являются точками дуг kj НХВН^ и kj Н\В И2, имеющими
одинаковые абсциссы, то
J F(i)dP= f Р(0т^-р.М,
BiB Ba BiB Во
BiB B2 BiB вг
Принимая во внимание, что iF(i)di > 0, 0</7(i) — P1<F(i)— Я2,
имеем
f F(i)dP> f F(i)dP. (39t)
Аналогично доказывается, что
j F(i)dP> f F(i)dP. (392)
Если (i1( P) и (i2, P) являются точками дуг о H^CHQ, kjH2CH3
с одной и той же ординатой Р, то
J F(i)dP= f FiiJdP; f F{i)dP= f F(ia)dP.
в2ов3 в2ов3 b\gbI bWbb
22*

Ы6 Рл. Xli. Об уравнениях, вдтрёчающиХся в приложениях
Но dP>0, и так как в промежутке (—оо, —Д) функция F(V
отрицательна и возрастает, F(y < f (У < 0, то
j F(i)dP> j F(i)dP (39з)
и, аналогично,
j F(i)dP> j F(i)dP. (394)
Так как подинтегральные выражения всех четырех интегралов,
стоящих в правой части равенства (38), отрицательны, то
О > S. (39Б)
Суммируя неравенства (39t)—(395), убеждаемся в несовместности
равенств (37t) и (372).
б) Примем во внимание доказанные в п. 8 результаты, а также
то, что интегральные кривые уравнения (36) не- могут иметь общих
точек. Из этого, следует, что если обозначить через А и —В
соответственно максимум и минимум периодического решения и если I (i)
является любым другим решением уравнения (1), то
Ш i(t) = A, Hm i(t) = — B,
t-4-i-co г-»+со.
причем максимумы (минимумы) этого решения образуют
монотонную последовательность, стремящуюся к А (—В), или, иными
словами, все решения уравнения (1) устойчивы в (t0, -f-oo) и
асимптотически приближаются при £->-}-оо к периодическому решению.
10. Обобщенная теорема Левинсона и Смита о существовании
одного и только одного периодического решения. Докажем еще
следующую теорему существования одного и только одного
периодического решения, доказанную Левинсоном и Смитом в предположении,
что функция /(/) дифференцируема, но справедливую и в случае,
когда функция f(l) только непрерывна:
Пусть в уравнении
/"-J-<o/(t)t/4-<o2/ = 0 (<о>0, <й = const) (1)
функция f(i) непрерывна на всей прямой и удовлетворяет
следующим условиям
/(О < 0 при — 8 < I < 8, /(/) > 0 при | /| > 8. (40)
Кроме того, пусть
+ оо 0
f/(0d« —+ оо \или J/(i)A' =+ оо|. (41)
О —оо

§ 3. Уравнение релаксации
341
Тогда уравнение (1) имеет одно и только одно периодическое
решение.
Существование, по крайней мере, одного периодического решения
вытекает из теоремы, доказанной в^п. 7. Мы должны поэтому
доказать здесь лишь
единственность этого решения.
Так как, полагая (см.
п. 6)
■агви"' <п>
мы получаем для и
дифференциальное уравнение
(характеристических кривых)
аи ,,„. t
(12)
Фиг. 40.
то нам остается лишь
показать, что это уравнение имеет
только одну замкнутую
интегральную кривую, а для
этого достаточно повторить
рассуждения Левинсона и
Смита ([1], стр. 389—391,
см. также Карман [1], стр.
623—624), которые, как мы
уже указывали, сохраняют
силу и без предположения
о существовании
производной у функции /(О-
Рассмотрим на плоскости (/, и) интегральную кривую Г
уравнения (12), выходящую из точки А, лежащей на оси и и имеющей
положительную ординату и0:
Ш = и0 (и0 > 0).
Пусть это будет кривая ABCDEFGA1 (фиг. 40), где через о BCD
и о EFG обозначены дуги кривой Г, лежащие вне полосы,
ограниченной прямыми / = ±:8; через о АВ,- о DE, uG/4t — дуги,
лежащие в этой полосе, и через Ах — вторая точка пересечения Г с лучом
i = 0, и > 0.
Так как в силу (12) имеем
то, полагая
d (и2-]-/2) = — 2н /(0 di, (42)
Д (и0) = ^(OAl- О А2) = - J и (0/ [* (*)] -g- dt,

342 Гл. XII. Об уравнениях, встречающихся в приложениях
мы получаем, что Д (н0) является непрерывной функцией от н0(п. 7, „в").
Найдем выражение для dk(u0)jdu0, когда значение н0 соответствует
замкнутой кривой Г {Ау — A).
Согласно известным результатам о дифференцировании решений
дифференциальных уравнений по начальным данным (см. гл. I, § 5, п. 2),
имеем из уравнения (12)
откуда
_rf_ / ди \ = J_ ( ди\
di\du0) и^Кдио)'
d .
-р- In
di
ди
ди0
i
/(О
1 du
и di '
Но, в силу начальных условий,
ди
дип
= 1, In
'ди
ди
= 0,
о U
и поэтому, интегрируя вдоль пути Г, имеем
In
ди
1Г0
А,
г г
dt.
(43)
Из уравнения (42) следует, что
1 d(«2-H2)_
2и
/(0,
н» — /а — 82 di aa + ia —
и, интегрируя вдоль замкнутого пути Г, получаем
(44)
г г
На дугах *и BCD, *u EFG имеем |г'|>8, f[i(f)]~>0, а поэтому
ыа-|_ (ia — 52;
f[i(t)]<f[i(t)].
На дугах же ^ АВ, ^j DE, <j ОА имеем |i|< 8, /[г'(0] < 0. Но
тогда из (42) следует, что на дуге ^j DE функция и2—{—г2 принимает
наименьшее значение в точке D, а на дуге <j GAB — в точке G.
Поэтому это наименьшее значение больше, чем 82, и
-fmxfvXf)).
U2 _ (§2 _ p.)
Но тогда из (44) следует неравенство
jf[i(t)]dt>0
и из (43) вытекает, что
In
ди
г
<о,
ди
~дйо
А-,
<1,

§ 4. Вынужденные колебания маятника. Уравнение Дуффинга 343
а поэтому, если Г является замкнутой кривой, то
А- Д« Г du А
dun
du
u°~dirn
>La«0
i <o.
Отсюда легко следует, что при сделанных предположениях
существует только одно периодическое решение уравнения (1), или, что
то же самое, только одна замкнутая интегральная кривая Г
уравнения (12); в самом деле, для двух соседних нулей функции Д(к0) не
могут выполняться одновременно неравенства db. (a0)/rfa0 < 0.
§ 4. Вынужденные колебания маятника. Уравнение Дуффинга
1. Уравнение задачи. Тяжелая материальная точка Р массы т
движется без сопротивления среды по находящейся в вертикальной
плоскости окружности с центром в точке О и радиусом /. В момент
времени t = 0 точка Р находится в наиболее низком положении А.
На точку действует возмущающая сила, тангенциальная компонента
которой в момент t равна k sin t (k —
постоянная).
Примем точку О за полюс, а
радиус ОА за полярную ось полярной
системы координат и обозначим через х
угол, который образует в момент
времени t радиус-вектор ОР с
полярной осью, а через s — дугу иЛР
(фиг. 41). Тогда уравнение движения
точки по окружности имеет вид
ms"-\-p sin x = k sin t,
где p = mg (g—ускорение силы
тяжести). Так как s" = lx", то, полагая
gjl=as, kjml = ^, получаем
~ -f a2 sin * = р sin t (1)
Фиг. 41.
(уравнение Дуффинга [1]).
Мы хотим доказать, что это
уравнение (нелинейное) обладает
непрерывными нечетными периодическими решениями с периодом 2тг. Эти
решения должны, следовательно, удовлетворять условиям х(—1) =
= — x(f), x(0) = х(к) = 0. В силу (1), достаточно найти решение,
удовлетворяющее на отрезке [0, к] краевым условиям
jc(0) = jc(u) = 0.
2. Случай а2 < 1; доказательство существования
периодического решения по методу последовательных приближений, а) Све-

344 Гл. XII. Об уравнениях, встречающихся в приложениях
дем, согласно Гамелю [1], нашу задачу к интегральному уравнению.
Рассмотрим уравнение
-^ = ?('). (2)
где q(t)— нечетная (q(—t) — — q(t)) непрерывная периодическая
функция, период которой равен 2ти, и будем искать непрерывное
нечетное периодическое решение этого уравнения, имеющее период 2ти.
Иными словами, будем искать решение, удовлетворяющее условиям
дг(—/) —— x(f), x(0) = х(ти) = 0, или, что то же самое, решение
уравнения (2), удовлетворяющее на отрезке [0, тг] краевым условиям
х (0) = х (тс) = 0.
Общее решение уравнения (2) имеет вид
t
x(f)~ Г {t—z)q{x)dx-\-cit-\-c2 (cv c2 — постоянные). (З)
о
Из условия х(0) = 0 следует, что с2 = 0, а из условия х(ти) = 0
вытекает, что
Поэтому
Г (ти — -с) q (т) di~j- qu = 0.
о
гс
x(f)=j K(t, т)?(т)Л,
где
K(t, т) = т(*/ти— 1) при 0<т</,
K(t, т) == /(т/т: — 1) при / < т < ти.
Но известно, что а)
оо
VI 2 COS Я<0 <iia . л2
= -g tuo>-|--s- (0<<о<2тс),
^ л3 2 ' 3
П = 1
а поэтому K(t, т) можно записать следующим образом:
со
2 VI sin rt sin rx
i^/ч \ 2 V slim sin re
АГ(/, т) = —-2, ^ (0</, т<тс). (4)
r=l
Таким образом, для того чтобы х (f) было непрерывным
нечетным решением уравнения (1), имеющим период 2т:, необходимо и
*) См. Г. П. Толстое [1], стр. 49, формула (13.8). В частности, имеем
со
2 1/я2 = я2/6 (см. там же, стр. 50). Эта формула будет использована в (8)
П=1
этого параграфа. — Прим. перед.

§ 4. Вынужденные колебания маятника. Уравнение Дуффинга 345
достаточно, чтобы x(f) удовлетворяло нелинейному
интегральному уравнению
% . тс
х (0 = — «з Г K(t, т) sin х (г) dx-j- Р Г К (Л т) sin x d-c
о о
(О <*<*).
Но решением уравнения л;" = sin /, удовлетворяющим условиям х (0) =
г=д;('7г) = 0, является х = — sin t, а поэтому x(f) должно
удовлетворять уравнению
х (0 = — а2 Г #(/, т) sin х (т) dt — р sin/. (5)
о
Когда Р = 0, уравнение (1) превращается в уравнение свободных
колебаний маятника d? xjdfi-\-a* sia x = 0. При а2 < 1
периодические решения этого уравнения, амплитуда колебаний которых равна ш,
имеют период Т
О < с = sin -2-
(см. Т. Карман и М. Био [1], стр. 108—ПО, или Т. Леви-Чивита и
У. Амальди [1], стр. 43—45).
Мы будем предполагать и в нашем случае, что <х9.< 1, т. е.
будем рассматривать случай, при котором не может встретиться так
называемое явление резонанса с возмущающей силой ksin/ (см. гл. VI,
§ 1, п. 7, „б"), и решим уравнение (5) по методу последовательных
приближений.
Примем в качестве первого приближения для x(f) функцию
х1 = — р sin t, (6j)
в качестве второго приближения
1С
х2 = а2 Г K(t, t) sin (P sin т) dt — р sin t (62)
о
и вообще
тс
Xn = -oL*fK(t, ^smix^i^dx — psin*(« = 3, 4, ...). (6n)

346 Гл. XII. Об уравнениях, встречающихся в приложениях
Очевидно, что —K{t, т)>0, а следовательно,
тс
xn+i — хп = — <*2 § K{t, t) (sin xn — sin хп_г) rfT =
0
= _ a» f /f (/, t) 2 sin *"~*»-i cos *» + *»-t rfT>
0
1С
|*я+1—*J< — a*JV(<, ^^„-x.^ldT (л = 2, 3, ...)•
о
Если положить (см. гл. II, § 6)
1С It
К» С *) = J" • • • J" ff ('• Tl) * <V T2) • • • K<?n-V "0 rfTl ^2 • • • Ля_,,
о о
re-1
TO
*»+i(0-*»W|<es{"-1)(-l),,-1/^»-i('. r)\x^)-x^)\dz. (7)
0
Так как ряд, стоящий в правой части формулы (4), равномерно
сходится на отрезке [0, те], то
оо
ts ,i ч 2 VI sin Л!" sin Ух
**('• *)= ^2j—я—■
и вообще
со
2 VI sin rt sin rr
ад -=)=(-!)» -12
!«»('. ')1<^2т5Г<1 (8)
2£_1 .„
CO
(напоминаем, что 2 1/я2 = я2/6). Поэтому, если на отрезке [0, те]
имеем | х2 — х1 ] <; L, то из формулы (7) следует неравенство
K+1(0-*re(0|<4La2(re-1)-
Поэтому последовательность {xn(t)} равномерно сходится на отрезке-
[0, те] к некоторой функции x(f), а тогда, переходя в формуле (6ге)
к пределу при п ->■ оо, убеждаемся, что х (t) удовлетворяет
уравнению (5),

$ 5. Дифференциальное уравнение Эмдена
347
Единственность решения следует из того, что если х(() является
решением уравнения (5), то, вычитая из x(t) (6И), имеем
х (t) — хп it) = — а2 Г K(t, х) [sin х (т) — sin xn_x (т)] dx,
о
1С
о
те
< «2 «^ (- I)""1 / *»_! (Л х) | X (x) — Xl (х) | dx
о
и потому lim | х (t) — хп (f) ] = 0.
И->оо
б) Гаммерштейн рассматривал более общее уравнение
-|£+а« sin * = *(/), (9)
где функция h(t) непрерывна на отрезке [0, тс] и а2 — постоянная
(см. Гаммерштейн [1]; см. также Иглиш [1], [2], [3]). Он доказал,
что для данной функции h(t) можно найти такое число а, что при
а !>- а0 число решений этого уравнения, удовлетворяющих краевым
условиям х (0) = х (тс) = 0, превосходит а/3, причем по крайней
мере два таких решения имеют только два нуля на отрезке [0, тс],
по крайней мере два решения имеют три нуля на этом отрезке и т. д.
Относительно доказательства этой теоремы мы отсылаем читателя
к цитированной работе Гаммерштейна.
§ 5. Дифференциальное уравнение Эмдена для политропного
газа :)
1. Уравнение Эмдена равновесия сферы из политропного
газа, а) Газовая масса, на которую действуют силы взаимного
гравитационного притяжения частиц, а на ограничивающую ее поверхность —
постоянное давление (равное, быть может, нулю), принимает
шарообразный вид, если она находится в равновесии 2). При этом
плотность и давление обладают сферической симметрией (т. е. зависят
лишь от расстояния от центра шара). Рассмотрим задачу об
определении плотности р и давления Р в некоторой точке как функций
расстояния г этой точки от центра симметрии О.
Рассмотрим элемент шаровой поверхности площади о и радиуса г
и газовый цилиндр с основанием о и высотой dr; на этот цилиндр
действуют сила давления adP и гравитационное притяжение pgodr
1) Эмден [1], стр. 40 и гл. X и XIII; Эддингтон [1], стр. 79 и ел,
2) Лихтенштейн [1], стр. 26,

348 Гл. XII. Об уравнениях, встречающихся в приложениях
(g— ускорение силы гравитации в точках цилиндра). Поэтому для
равновесия необходимо, чтобы выполнялось равенство
adP-\-pgadr = 0
или
^+?g-0. (1)
По закону Ньютона g— GMrr~^t где о— гравитационная
постоянная, а Мг — масса газа, заключенная в сфере с центром в точке О
и радиусом г. Масса, заключенная между сферами радиусов г и r-\~dr,
равна 4itr2prfr, а поэтому
г
Мг = 4и Г r2p dr, (2)
о
и из уравнения (1) имеем
f+^/'-V'-o. (3)
о
Умножая это равенство на г2/р и дифференцируя по г, имеем
_L_1
ла dr
("f f-)+4*°P = °- W
£ел# «в/и обмена тепла между газовой сферой и окружающим
пространством, то уравнение газового равновесия имеет вид
Р = fept+i/» (5X)
и > 0), где k и и — положительные числа. Полагая
имеем
1 dP __ йФ ■ ■,,..
Р dr~ dr' {(>s)
Но тогда уравнение (4) принимает вид
"2| + ^§+«аФ"=о, (6l)
где
и задача, которую мы рассматриваем, эквивалентна задаче о
нахождении решений уравнения (6j), удовлетворяющих условиям
Ф(0) = Ф0>0, Ф'(0) = 0 (6а)
(в 0 имеем g=Q, dPjdr — Q, а потому ф'(0) = 0).

-f- ^fr~ / r2P dr = const,
§ 5. Дифференциальное уравнение Эмдена 349
Обратно, пусть дано решение уравнения (6^, удовлетворяющее
начальным условиям (63). Вычисляя Р и р по формулам (52),
получаем
dP_ , 4«Gp
dr
о
но Р'(0) = 0, откуда и следует (3).
Заменяя переменные по формулам
Ф=ф0Г1( ' = —|гг, (54)
получаем, наконец, уравнение
для которого мы должны найти решения, удовлетворяющие
начальным условиям
0(0)= 1, 6'(0) = 0. (12)
Заметим, что если газовый шар имеет конечный радиус R, то
Р (/?) = 0, р (/?) = 0, а поэтому, если |0 = a. R Ф0 2 , то Ф($о)=0.
Следовательно, задача о существовании положения равновесия газового
шара конечного радиуса эквивалентна задаче о нахождении решения
6 ($) (если оно существует) системы (IJ, (I2), имеющего
положительный нуль £0 и остающегося ограниченным и положительным между
нулем и S0-
Так как точка £ = 0 является особой точкой уравнения (1Х), мы
не можем воспользоваться ранее установленными теоремами
существования и единственности; существование решения может быть
установлено поэтому только путем непосредственного изучения этого
уравнения.
б) При замене переменной
1
уравнение (1Х) принимает вид
—--и —= 0
dx* ' дг* .
Если п = 0, то получившееся уравнение имеет решение 6 = сх -|—
-j- с2аг—1/бл;2, и, следовательно, при й = 0 общее решение
уравнения (1х) имеет вид
Ъ = с1-\-с£~1—£2/6 (Cj, c2 — произвольные постоянные).
Точно так же, если положить
Ь=уЦ

350 Гл. XU. 06 уравнениях, вбтречающихся в приложениях
то уравнение (Ij) примет вид
,.п
Если п = 1, то получившееся уравнение имеет решение у = ct cos \ -\-
+ c2sinS, а поэтому при п== 1 общее решение уравнения (Ij) имеет
вид 6 = £-1 (ct cos ?-)-са sin $), где q и с2—произвольные постоянные.
2. Потенциальная энергия газового шара и неравенство л < 5
для сферы конечного радиуса. Предположим, что газовый шар имеет
конечный радиус R, т. е., что существует такое решение системы
(6J. (63). что Ф(г)>0 при 0<r<R и Ф(#) = 0.
Если М — масса шара, то по формуле (2) получим
М = An j r2p dr.
Определим, согласно Эмдену, потенциальную энергию, которой
обладает газовый шар, т. е. работу, произведенную силами
тяготения для того, чтобы перевести газ из состояния рассеяния на
бесконечности в рассматриваемое состояние.
Рассмотрим два слоя, заключенных между сферами с центром О,
из которых внутренний заключен между сферами с радиусами s,
s-\-ds и имеет массу dMe, а внешний заключен между сферами
с радиусами г и r-\-dr и имеет массу dMr. Взаимная
потенциальная энергия. притяжения этих масс равна
GdMrdMJr.
Поэтому взаимная потенциальная энергия притяжения между dMr и
всей массой, лежащей внутри сферы радиуса г, равна
г
0Шх_[ dM =£MrdMr
г J a г
Следовательно, полная потенциальная энергия газового шара равна
м
2 = 0/^=4/^- <7>
о о
Интегрируя по частям, получаем
п 1 GAP , 1 п Г ЛИ п

§ 5. Дифференциальное уравнение Эмдена 351
Из (1) и (53) имеем g = — d^jdr, а поэтому
GMr ^Ф
г* ~ dr '
и формула (8) дает
(9)
Ф=0
2 = 4Т-т° J M-d*- (10)
ф=ф„
Из (I) имеем dMr = 4w2p dr, и по (7) и (9)
д
2 — — 4я Г рг8 -г- dr.
Но по Первой из формул (52) имеем р — кФп, где X = [(n-J-l)ftl и,
а поэтому
Q== 4«Х Фг"в^йФя+1 = -^-Гг*ф-+1йг =
л+ 1 J л-f 1 J •
Ф=Ф0 О
о лг=о
и, интегрируя по частям, получаем
ф=оз
Q= ?-р Г МГ<*Ф.
л + 1 J
Ф = Фо
Сравнивая эту формулу с формулой (10), имеем
5 — л R
Так как 2 > 0 и конечно, то необходимым условием
существования газового шара конечного радиуса является выполнение
неравенства и < 5.
Это условие также и достаточно, т. е. если 0 <^ и < 5, то
решение 9 (S) уравнения (/j), удовлетворяющее начальным условиям (/2),
определено на отрезке [0, ?0], где £0 положительно и конечно и
6(5) ограничено и положительно при 0 <;$<£<,, 9($0) = 0.
Мы докажем эту теорему в п. 4 (при 1<и<[3) и изучим
непосредственно'случай й = 5 вп, 3, „б" (относительно общего
изучения случая и > 0 см. Сансоне [3]). Приведем из упомянутой выше
работы Эмдена таблицу значений 60> вычисленных как функции от и
(см. Эмден [1], стр. 84).

352 Гл. Xlt. 06 уравнениях, встречающихся в приложениях
п
'. *0
0
2,4494
0,5
2,7528
1
3,1415
1,5
3,6571
2
4,3518
2,5
5,4172
3
6,9011
4
14,999
4,5
32,140
4,9
169,47
5
°9
>5
ОО
3. Уравнение Фаулера и эквивалентная ему нормальная
система дифференциальных уравнений; случай я = 5. а) Рассмотрим
вместо уравнения (/j) уравнение
где X > 0, п > 0 !).
Предполагая п действительным (не обязательно целым) числом,
ограничимся нахождением решений 6, удовлетворяющих условию
6 ($) ^ 0 во всей области их определения, и назовем решением Эм-
дена решение G (£), удовлетворяющее условиям 6 (£) !> 0, lim 6 ($) =
= 6(Г>0 (60 конечно)2). е-> + оо
С помощью преобразования л: = 1/S получаем
3+*-*-* ^ о-
(12в)
Если переменные 5 и 0 связаны с переменными t и и соотношениями
5 = — ==«-*, 6 = ей-* и = $-^ и=д:^и,
где
¥■ =
то из уравнения (11) получаем
л —1 '
(13)
(14)
S + (2p-l)|f + !iG*-l)« + «» = 0.
.(12*)
Полагая и' = v, приводим это уравнение к эквивалентной
нормальной системе уравнений
du
dv
-jt = —(2|i—l)« —|i(|i—l)e—«".
dt
02e)
Почленно деля друг на друга полученные уравнения, получаем
уравнение первого порядка
р(р— l)u-\-Un
v
dv ,0
Ти = -№-
1)"
(12*)
!) Изучение уравнения (11) и других более общих уравнений было
проведено Фаулером в работах [1], [2], [3]. См. также Фейрклауг [1], Милн Е.
[1], Э. Гопф [1]. Результаты последней работы указаны в п." 4 и 5.
2) Относительно доказательства существования решения б (?) Эмдена,
соответствующего заданному значению 60 см. Сансоне [3]. В этой же работе
доказано, что условие 2). — п -+- 1 > 0 необходимо и достаточно для того,
чтобы решения Эмдена имели нуль на конечном расстоянии.

$ 5. Дифференциальное уравнение Эмдена ЗГ>3
б) Заметим, что в случае уравнения Эмдена А —2 и если п = 5,
то jx = 1/2, а поэтому
v- -_4-иБ = 0, г>2 — -г-{--- = const.
du 4 ' 4 '^ 3
Но из условия, что 6(0) конечно и в'(0) = 0, вытекают соотношения
lim и = 0, lim v = 0. Следовательно,
г,2_и2/4-|-и6/3 = 0,
и/2 = и2/4—и6/3,
/=s_ln[l + |/ri_|e*J/yr|.e»4-!nCI
6 в е-. e £ [ 1 + / 1_4 „,]//| Л
в = |/3 С2 (C2|2-f-1) а (С= const).
В частности, при ге = 5 решение системы (/j), (/2) имеет вид
•/3 + 5*
и 6 (5) > 0, каково бы ни было I (в таблице из п. 2 при п = 5
имеем So = + оо).
в) Заметим, наконец, что система (12с) имеет частное решение
1
в = [|»(1—I»)]"-1, *> = 0
и, следовательно, уравнение (11) имеет при [i. ф 1 частное решение
1'
6 = [,х(1— I»)?-*]»-*. (15)
4. Поведение интегральных кривых. Кривая Е и кривые F
и Af. а) В этом пункте мы изучим поведение интегральных кривых
уравнения (12d) или эквивалентной ему нормальной системы
уравнений
$ = «. ^-=-(2,*—1)<,-,*(,»-1)«-«» (12с)
Знание поведения этих кривых облегчит нам в п. 5 изучение свойств
интегральных кривых уравнения (11).
Начиная отсюда, мы будем предполагать, что п — действительное
число,
га>1, [х>1 (1<га<А + 1),
23 Зак. 1072. Дж. Сансоне

354 Гл. xtl. 6$ уравнениях, ёётреЧающихбя в приложениях
включая, таким образом, в рассмотрение интересные для астрофизики
случаи
3
1 = 2,
, 3.
Из предположения о действительности п следует, что если
u = u(t), v = v(t) (16)
является (действительным) решением'системы (12с), то и(?)>0.
Отметим, что если задано конечное значение t0 аргумента /, то
такое решение однозначно определяется в некоторой окрестности
точки tQ заданием начальных условий
«%) =
««D —«Ь. (17)
где й0 > 0. Если же и0 = 0, v0 > 0, то
решение (16) определено на некотором
отрезке вида [t0, /], а если и0 = 0, v0 < 0,
то решение (16) определено на некотором
отрезке вида [t, t0\; для доказательства
достаточно продолжить функцию
■ (2[х — 1) v — [х ([* — 1) и •
■ип
П(и'<0,и'<0)
на полуплоскость и < 0, положив ее там
равной—(2а—l)v, применить теорему
существования и единственности и принять
во внимание первое из равенств (12с).
Отметим, наконец, что если и(£0)==
= и0 = 0, v (t0) — v0 = 0 (t0 конечно), то
фиг 42 решение системы (12с) имеет вид и==0,
г» = 0.
б) Заметим теперь, что уравнения (16) могут рассматриваться
как параметрические уравнения некоторой кривой Г плоскости (и, v).
Дуга этой кривой; лежащая в первом или в четвертом квадрантах,
может быть представлена в виде v = v(u); в самом деле, в этих
квадрантах имеем соответственно и' > 0, и' < 0, а поэтому функция
u(t) монотонна в них.
Рассмотрим кривую f, лежащую в полуплоскости а>0и
имеющую уравнение
Г- (2^— 1) •» -f- Н- СИ- — 1)и + аП = °
(фиг. 42). Эта кривая проходит через начало координат и лежит
в четвертом квадранте; когда и->--(-оо, то г>-> — оо, монотонно
убывая. Положительно направленная полуось и и кривая f делят

§ 6. Дифференциальное уравнение Змдена 355
полуплоскость и > 0 на три области, обозначенные на фиг. 42
I, II, III. В этих областях и' и v' имеют соответственно знаки
I: и'>0, ■а/<0; II: и'< 0, i»'<0;
III: и'<0, i/>0.
Изучим теперь поведение кривой Г, выходящей из некоторой
точки оси v, имеющей положительную ординату, т. е. предположим,
что
И (*„)=: 0, V(t0)>0.
В силу непрерывности существует такое t0, что
v(t)>0 при /<><'<"*<>. №
а поэтому в силу первого из уравнений (12с)
и(*)>0 при t0<t^l0. (182)
Отсюда следует, что при t0 <;/<!/ функция u(t) положительна и
возрастает, а функция v(t) положительна и убывает.
Обозначим через t1 верхнюю грань значений /, для которых
ф(£)>0, и докажем, что t1 конечно. Если бы для всех значений
/>^о мы имели г»(/)>0, то функция a(t) была бы положительной
и «аарастающей, a v(f) убывало бы, следовательно
v < — ип < - и» (g, v (о < v ф—и» (70) у- д,
и Hm v(t) = — оо, вопреки предположению. Итак, tx конечно. Не
может иметь места неравенство v (/х) > 0, так как тогда и (fx) > О
и tt не было бы верхней гранью значений /, для которых v (t) > 0;
итак,
«&) = 0.
и потому кривая Г пересекает в точке [a(/i), v(tj)] под прямым
углом ось и. Если />/j и достаточно близко к tv то в силу
второго из уравнений (12е) <»(/)< 0 и кривая Г переходит, таким
образом, из области I в область II. Докажем теперь, что эта
кривая пересекает кривую f в некоторой точке, отличной от начала
координат и соответствующей конечному значению /. Доказательство
этого утверждения проведем от противного. Предположим, что
кривая Г остается все время в области II, и пусть t2— верхняя грань
значений t, для которых tt < / и v' (t) < 0; тогда в промежутке
(/j, g функция v(t) отрицательна и убывает, а функция u(f)
убывает. Существует предел Hm и (/), являющийся положительным
t->*,-o
числом, так как если бы этот предел равнялся нулю, то кривые Г
и f пересекались бы. Далее, существует предел Urn v (t). Так как
23*

356 Лг. Xtt. 06 уравнениях, встречающихся б приложениях
этот предел не может равняться —оо, ибо иначе кривые Г и f
пересекались бы, то lim v(t) = v < 0, где v — конечно. Если бы t2
*->f2-o
равнялось -J-00» Т0 из первого уравнения (12с) следовало бы, что
lim u(f)~ — оо, вопреки доказанному выше. Поэтому t2 является
*->+оо
конечным числом. Так как и (t2) > 0, то i/(*2) = 0, ибо из
неравенства г»'(^2)<0 следовало бы, что кривой Г принадлежат точки
области II, соответствующие значениям t^>tv Итак, кривая Г
пересекает кривую f в точке [и(*2), г>(*2)], причем касательная к Г
в этой точке параллельна оси и, а сама кривая Г переходит в этой
точке из области II в область III, так как в точке пересечения
этих кривых
v" =ь= — [|а (|а — 1) -\- ии»-1] и' > 0.
Для того чтобы изучить поведение кривой Г в области III,
обозначим через /3 верхнюю грань значений t, таких, что t2 < t и
v (t)<. 0 (и (t) ^ 0). Если 4 конечно, то не могут одновременно
выполняться равенства a(t3) = Q, v(t3) — Q, так как тогда мы имели
бы u(t)=sQ, v(t)es0; не могут выполняться одновременно
соотношения и (^) > 0, v (tu) < 0, так как тогда /3 не было бы верхней
гранью значений t, для которых г»(^)<0; не могут выполняться
одновременно соотношения и(^3)>0, г»(^) = 0, так как тогда
кривая Г пересекала бы кривую f, переходя из области III в область II.
Остается поэтому лишь случай u(ts) = 0, v(i3)<.0, при котором
кривая Г остается целиком в области III, заканчиваясь в некоторой
точке оси v, имеющей отрицательную ординату.
Пусть теперь t3=-\-oo, т. е. пусть при любом *>*2 имеем
г>(£)<0; так как дуга кривой Г, соответствующая таким
значениям t, не имеет других общих точек с кривой f, кроме начала
этой дуги, то v(t) будет в этом случае отрицательной возрастающей
функцией, и u(t)— положительной убывающей функцией. Не может
выполняться соотношение lim v(t) — v*<0, так как тогда из пер-
вого уравнения (12с) мы имели бы, что lim и = —оо; поэтому
lim v(t) = 0, lim u(t) = u*^0. Если бы и* было больше нуля,
то мы имели бы lim v'(t) = — |а(|а—1)и* — и*п<0, чего не мо-
жет быть, а поэтому lim и (0 = 0, lim г>(*) = 0.
Из изложенного следует: Если u = u(t), v = v(t) являются
уравнениями интегральной кривой Г системы (12с),
удовлетворяющей начальным условиям
и(*0) = 0, v(t0)>0,
то кривая Г при возрастании t проходит из области
^область II и далее в область III; если она не пересекает ось v

§ «5. Дифференциальное уравнение Эмдена
357
в точке с отрицательной ординатой, соответствующей
конечному значению t, то
lim и if) = 0, lim v (t) = 0.
*->+оо <-»+оо
в) Можно обратить доказанное в „б" утверждение следующим
образом: Какова бы ни была интегральная кривая Г системы (12с),
проходящая через некоторую точку (и, г>), u(t) = u, г>(*) = г>
(я ^> 0, t конечно), и2 -j- г/2 > 0. можно считать, что эта
кривая начинается в некоторой точке оси v, имеющей
положительную ординату.
Предположим, что кривая Г проходит через некоторую точку
(и, v) области III (этот случай наиболее сложен для доказательства).
Иными словами, пусть и ^ 0, v < 0, v' (t) > 0. Обозначим через t2
нижнюю грань значений t<^t, для которых г>'(£)>0. Докажем,
что £2 конечно. Пусть t2 = — оо, тогда из второго равенства (12с)
имеем
лК-^-У 09)
и из (12d) получаем dvjdu^> — (2[i—1),
v(u)>~v — (2[i— 1)(и — й). (20)
Но неравенства (19) и (20) противоречат друг другу при достаточно
больших значениях и. Поэтому функция и (t) ограничена сверху,
а так как и (t) возрастает с убыванием t, то
lim и (t) — и > 0, где и конечно.
*-> -00
Но при любом t < t имеем v < v < 0, и' (f)<.v, и (/) — и (if) <
< г>(£—0> a потому и (£) ->-f- °°> когда t-+ — оо, вопреки
предположению.
Итак, tu конечно; так как и (t2) > 0, то v'(t2) = 0, и при
значениях i, меньших, чем t2, и достаточно близких к t%, точка \u{t),
v(f)] кривой Г лежит в области II.
Пусть теперь tx является нижней гранью значений t, для
которых г>(£)<0. Покажем, что tt ф—оо, т. е. что точка [u(t), v(f)]
не может все время оставаться в области II. Так как в этой области
функции и (t) и v (t) возрастают с убыванием t, то существуют
пределы
lim и (0 = и*, (20^
* -> -со
lim i>(Q = »*■<(). (202)
*-*-оо

358 Гл. XII. Об уравнениях, встречающихся в приложениях
Если бы мы имели и* = -f- °°> то ПРИ достаточно больших
значениях и из (12d) следовало бы, что
d£ = -^-i)+^-^ + un>iun (/>о),
а следовательно, v > /ип+1/(и -\- 1) — ср и потому lim i;=-f-°°>
!*-> +00
вопреки (202). Итак, и* конечно и при ^ >' имеем 0<и(£2)<
< и(0< и*. В равенстве (202) должно быть и* = 0, так как в
противном случае из первого уравнения (12с) следовало бы, что
Hm a(t)— -f- оо. Но тогда из второго уравнения (12с) следует, что
lim v'(f) = — {iCt1— 1)»* — и*«<0,
а потому существует такое число /2, что ,и'(^)</1<0, при
t < £2 < £2. Поэтому при £ < t9 имеем г; (72) — v (t) < /j (72 — £), а тогда
lim v(f)= -j- 00. вопреки (202). Итак, ^ конечно, и так как не
может выполняться неравенство г;(^)<0, то г>(^) = 0.
Следовательно, кривая Г пересекает ось а в точке с положительной
абсциссой, и при значениях t меньших, чем tx и достаточно близких к tx,
точка [u(t), v(f)] принадлежит области I.
Осталось доказать, что существует конечное значение t0 для /,
t0<Z.tv такое, что u(t0) = 0. В самом деле, пусть t0— нижняя грань
таких значений t, меньших, чем tv что и(£)>0. Докажем, что
t0 ф — оо, т. е. что точка [и (f), v(t)] не может при t<Ctx
оставаться все время в области I. В самом деле, в этой области при
убывании t функция u(f) убывает, а функция v{f) возрастает, и
если t < ll < /j, то
v(t)>v (7,) > 0, и' (t) > v (7j), и (7,) — и (0 > v(7,) (7, — t),
а тогда Hm 11(f) — — 00, чего не может быть. Итак, t0 конечно,
*-> —со
и так как не может иметь места неравенство и(^о)>0, то u(t0) = 0.
Мы получили, таким образом, обращение утверждения,
доказанного в „б".
Следует заметить, что в области I вогнутость кривой Г
направлена в сторону отрицательного направления оси v, а в области II —
в сторону положительного направления этой оси; в самом деле, из
(12^) имеем
dh> _ р.(;х—l)-f ДЦ"-1 | у-(у-— l)u + u»dv
du*~ v ■" »а du '
и потому tPv/du2 < 0 в области I и cftv/du2 > 0 в области II.
Заметим, наконец, что в силу теоремы единственности две
различные интегральные кривые уравнения (12с) не могут иметь общих
точек, соответствующих конечным значениям t.

§ S. Дифференциальное уравнение Эмдена 359
г) Докажем, что существует одно и только одно решение
« —й(£), v = v(t) системы (12с), такое, что
lim u(f) = 0, Urn v(f) = 0, Hm v(f)/u(t) = — ц.
Пусть v(u, v0) является решением уравнения
(^^.удовлетворяющим начальному условию г; (0, г>0) = г>0<0. Докажем, что это
решение существует, по крайней мере, на отрезке [0,2~2'^п-1'>] и
удовлетворяет на этом отрезке неравенству
г/(a, v0)< — у.и + 2й" [0<и<2-2Лга-1), v0<0].
Рассмотрим уравнение
^ = _(2ц— I)—^- 1)_|-8]£ (8 = const, 8>0) (21)
и найдем решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному
условию да (0) .= да0 ф 0. Для этого достаточно заменить уравнение
(21) системой уравнений
S=sW' ^== — С2^—l>w — Ii^O*— 1>Ч-81 в (22t)-
и найти решение этой системы, удовлетворяющее начальным условиям
я(0) = 0, да(0) = дао. (22а)
Исключая да из системы (223), получаем для и уравнение второго
порядка
и"4-(2р. — 1) и' 4- fo О* — 1) 4" 8] « = °-
Характеристическое уравнение
p24-(2^-i)p + ^(^-i)4-8i = °
имеет корни — pt, — р2,
pi = (i__|_|_|/*±_8, p^-i-j/^-S, (23)
и, принимая во внимание (22j), (222),~имеем
а = дал —
e-Pi*_e-p**
•а) = да.
ip2—Pi
"° P2—Pi
Но тогда
да-]-р2я = да0е-Р'*, да-|-рхя = да0е-Р2*,
ч потому искомое решение уравнения (21) дается равенством

360 Гл. XII. Об уравнениях, встречающихся в приложениях
При 8 < 1/4 имеем (1/4 — б)1^ > 1/2 — 28, а поэтому, принимая
во внимание, что \х ;> 1 > 28, получаем из первого равенства (23)
соотношение
Pl>!x — 28 > 0 (0 < 8 < 1/4). (25)
Уравнение (21) имеет также частное решение
которое можно получить из решения (24), устремляя w0 к -j- 0.
Из уравнения (12d) имеем
dv
du
< — (2jx— 1)— [|i.([x— l) + 8] -^ при K<81/(ra-D„ г><0.
Подставляя в уравнение (21) w = — pta и вычитая из
получающегося тождества доказанное сейчас неравенство, получаем, что
fu>^"'vw+buA (»<*V(»-1). «<<». (26)
где
A = — hu — v(u, v0) (г>0<0).
Имеем Д(0) =— vQ > 0, а так как, согласно (26), In А
возрастает с возрастанием и, когда »<0 и и < б1^-'), то [см.
неравенство (25)]
v (и, v0) < — ptu < — (|х — 28) и
при v < 0, и < 8V(»-i), 8 < 1/4.
Из неравенства v(u, v0) < — рхи следует, что г;(и, г/0)
отрицательно, если и < б1^™-1)!), а поэтому
•у (и, г/0)< — ptu<— (ji — 28) и при a<81/(»-D, 8 < 1/4.
Пусть теперь 0 < и < (1/4)1/(га~1); полагая 8 = и»-1 + е<1/4 и
устремляя е к -j- 0, получаем из последнего неравенства, что
v(и, v0) < — [хи + 2ига, 0 < и < (l/4)'/(»-i), (27)
как мы и утверждали ранее.
Заметим теперь, что если v0 < v0 < 0, то по теореме
единственности до тех пор, пока функции v(u, vQ) и v(u, v0) остаются
отрицательными, выполняется неравенство v(u, v0)<Cv(u, v0). Переходя
тогда к пределу в неравенстве (27) при v0 ->• — 0 и полагая
litn v(u, v0) = vE(u),
«о-»-о
!) Если бы функция v (и, »0) обратилась в нуль при изменении и от
нуля до S1^™-1) , то кривая v — v (и, va) пересекалась бы с лучом
v = — pi« во вторрм квадранте и существовало бы такое значение и, что
v (и, »0) = — pi«, чего не может быть по указанному неравенству.

§ 5. Дифференциальное уравнение Эмдена 361
получаем
Мя)< — |Ш + 2гЛ 0 < я'< 4-V(»-D. (28)
Функция vE(u) удовлетворяет в промежутке (О, 4_1>'(»-1))
уравнению (12й). В самом деле, на любом отрезке со, лежащем
внутри этого промежутка, функции v(u, v0) в силу (12d) и
неравенства г/(и, г>0) <—р±и равномерно ограничены и равностепенно
непрерывны; они равномерно сходятся, следовательно, на отрезке со
к непрерывной функции vE(u) (гл. I, § 6, п. 2, стр. 38,
примечание 1). Переходя к пределу при v0-+-—0, мы убеждаемся в
справедливости нашего утверждения. Кроме того, lim vE(u) = Q.
«->+ о
Решению v = vE(u) уравнения (12й) соответствует решение
u = u(t), v — vE(t) системы (12с). По доказанным в „в"
результатам мы можем считать, что это решение начинается в некоторой
точке оси v с положительной ординатой. Докажем, что
«я(«)> —НИ, к>0. (29)
Из уравнения (12d) имеем
^>-(2|А-1)-|А(|х-1)^, vE<0.
Вычитая отсюда равенство (21) и полагая 8 = 0 [ге>(0) = w0 < 0],
получаем
fu>^-^' A = o,-«. «*<0- (30)
Но да(0) = 'ш0<0, lim г;„(я) = 0, а поэтому Д(0)>0, следо-
М-»+0
вательно, Д > 0 и
vE>w (31)
в любом промежутке, в котором vE < 0, w < 0. Но если в (24)
устремить w0 к —0, то получим lim w = — |ая, и из (31) выте-
И),,-»-0
кает неравенство (29).
Из (28) и (29) следует, что (lim vE(a) = 0)
lim 11'-=~~^ (32)
М->+0 " Ч '

362 Гл. XII. Об уравнениях, встречающихся в приложениях
Отсюда следует, что кривая v = vE (и) касается в начале
координат прямой v = — [ли й остается все время по одну и ту же
сторону от этой прямой1).
Докажем, наконец, что решение vE(u) единственно, т. е. что
если v(u) является другим решением уравнения (12d), имеющим те
же свойства, что и vE(u), а именно
lim v (н) = 0, lim *—^- = — \i,
и-» + 0 м->-(-0 и
то v(u)=svE(a).
Без потери общности мы можем считать, что при v < 0 имеем
i'e< v < 0. Тогда
D = v — vE>0, lim - = 0. (33)
м-Я-0 а
Из уравнения (12d) следует, что
<1Р _ [к-(к-— \)и + ип]Р
а поэтому
In D ,.__ и dD ,._ ,..,.. ,ч i ,.«_-,, и и , 1
lim -ii^= Hm -£^ = lim [pfo— l)0-.aw-i] — = =1 —■
In —
lim -rJL = _l<0.
Но последнее неравенство не может иметь места, так как
■со.
lim 1пи = — со, а по (33) Hm lni5. —.
И-*+0 U-++0 U
д) Мы можем теперь описать поведение интегральных кривых
уравнения (12d) на плоскости и, v [а тем самым и поведение
интегральных кривых системы (12е)].
Обозначим через Е (Эмден) кривую в полуплоскости и>-0,
имеющую уравнение v==v^ (и); обозначим через vE точку пересечения
этой кривой с осью v, имеющую положительную ординату (фиг. 43).
J) На самом деле мы имеем fB> — jj-и, ибо если бы в некоторой точке
былогв.р= — \ш, то в этой точке vE(u) касалось бы прямой v = -^^.u,
и мы имели бы »в(и) = —ц.. Но тогда из (12<j) следовало бы, что
дткуда^м = 0.

§ 5. Дифференциальное уравнение Эмдена 363
Любая интегральная кривая v = v(a) уравнения (12d), выходящая из
некоторой точки vQ промежутка (0, vnE), проходит через начало
координат и целиком лежит в области, ограниченной кривой Е и
отрезком [0, v°J. Если же эта интегральная кривая выходит из
некоторой точки оси v0, ордината которой больше тРЕ, то другой конец
этой кривой лежит на оси v
и имеет отрицательную
ординату, причем эта кривая
целиком лежит вне
указанной выше области. Назовем
интегральные кривые
первого рода кривыми М (Милн)
для уравнения (12d), а
кривые второго рода кривыми F
(Фаулер). Кривая Е
разделяет кривые М и кривые F
(см. фиг. 43).
5. Асимптотическое
поведение решений
уравнения Фаулера. Теорема
Фаулера. а) Если известно
некоторое решение и~и (t),
v = v(t) системы (12е), то
соответствующее решение
уравнения (И) Фаулера
дается формулами
6 = ."*.
в(0==^*в(0 = Г|1в(—Ы),
Если заметить, что функции
u = u(t-\-c), v=v(t-\-c)
(с — const) также являются
решениями этой системы, то мы получаем, что наряду с решением Ь (£)
уравнение Фаулера имеет еще группу решений вида
где А—произвольная постоянная.
Изучим поведение этой кривой в случаях, когда u~u(t), v = v (t)
является кривой Е, или кривой М, или кривой F.
Покажем сначала, что решению u = ue (f), v = ve (t)
соответствует решение 6 (£), удовлетворяющее условию конечности
предела lim 6(S).
%-*■¥ ■ '• "

364 Гл. XII. Об уравнениях, встречающихся в приложениях
Из (13) имеем
в = ?|({)1в+^ = ^ + |ш = -^ dV
Из (32) следует, что lim ue/ue = — ц, следовательно, ид = е ,
где lim е = 0, а поэтому в силу соотношений (28), (29), (34)
0<g<2e-n(,1+e)Vf.
Но —[х(и—1) = — X, и потому
0<^-<2e-<x+'")f. (35)
at '
Существует такое значение tQ, что при t > t0 имеем A-j-ие > Xj > 0.
Следовательно, если />^0, то 0 < db/dt<^ 2e~xJ,
0 < 6 (f) _ 6 (g < 2- (е-М. _ е-Ч) (*0 < О-
Поэтому функция 6(£) при £->-|-0 (/->-j-oo) положительна и воз*
растает, причем lim 6(£) = 60>0 (60 конечно).
Легко доказать, что с помощью описанного процесса мы получаем
все решения Эмдена для уравнения (И).
Пусть, в самом деле, 6 = 6 (?) является таким решением
уравнения (11), что lim 6 (£) = 80 > 0 (60 конечно). Тогда
£->+о
и для соответствующего решения u = u(t), v = v(f) имеем1)
= _ 1 lim 1 ГиЁ5.1 = о
i) Заметим, что lim S 6' (?) = 0; в самом деле, в удовлетворяет уравне-
£->■+<>
нию 26' (?) + ?6" (5) + б"?*""1 = 0. Интегрируя это равенство от 5 до ?0, ? < ?0,
получаем
8 (So) + У (?о) - в (5) - W (?) + J в"^-1 d? = 0,
а потому функция ?8' (?) ограничена на некотором отрезке вида [0, ?].

§ S. Дифференциальное уравнение Вмдена 365
Следовательно, lim v/u = — ц и решение 6 = 9 (£) принадлежит
в силу результатов из п. 4, „г" к искомой группе решений.
Заметим, далее, что из равенства (34) и неравенства (28) для
и = ue = e-fa+'V имеем
|| | = | v+|« | *(,1+1) * < 2«"Л+1) * = 2е(1-х-я,) *,
а потому «/?й X > 1 для решения Е уравнения Фаулера
справедливо соотношение
lim ^i = o
£-»+о ^5
б) Рассмотрим решение 9 = 6 (I), соответствующее некоторому
решению F; в обозначениях из п. 4, „б" имеем a(tf0) = 0, a(tf3)=^=0,
и потому функция 9 (?) положительна при е-*» > £ > е-*3 и обращается
в нуль при I = е-'», $ = е-*».
в) Изучим теперь поведение решений, соответствующих
решениям М] мы рассмотрим здесь случай ц> 1, а в „г" изучим
случай \к = 1.
Итак, пусть |i> 1; любое решение 9 ($) определено при
достаточно малых £. Так как функция в == 9 (1/лг), где 1=1/х,
удовлетворяет уравнению (120), то d2bjdx2 < 0, а поэтому функция db/dx
убывает. Но db/dx > 0 (в противном случае dbjdx •< 0 мы имели бы
lim 9 = — оо), поэтому существует конечный предел lim db/dx =
= С^0 и, следовательно,
lim $e = lim I = lim ^1 = с i). (36)
Докажем, что если [А > 1, то С>0.
Предположим, что С = 0. Заметим, что не существует такого
числа т > 1, что lim л:т [db/dx] = 0. В противном случае функция 9
была бы ограниченной и решение 9 = 9 ($) соответствовало бы
решению Е, в то время как оно должно соответствовать решению М.
Так как lim db/dx = 0, то наибольшее неотрицательное число т,
£Е->+0О
для которого при любом 8 > 0 имеем lim лгт-8 [db/dx] = 0, должно
удовлетворять неравенству
0<т<1.
Покажем, что этот результат приводит к противоречию. В самом
деле, 9 = о(л:-т+6+1)2), и из (12а) получаем
^ = о[л:'>(1-т)-х-2+п81,
*) Применяется обобщенное правило Лопиталя (см. Леттенмейер [1]).
2) Относительно этого обозначения см. Ландау [1].

Збб Рл. Xtt. 66 уравнениях, АЬтрёЫЮщихся в приложениях
откуда следует, что ddfdx = о [хп(1~^-х-1+пЬ]. Так как 8 произвольно,
то отсюда вытекает, что —п(\ — т) —|— X —|— 1 <[т, т <; 1 —А/(я— 1) =
= 1 — [а < 0, в то время как т ;> 0.
Итак, С>0, и из (36) имеем
litn 9& = С>0 (37)
5-»+о
или, как пишут,
6~| (С>0). (370,
г) Предположим, наконец, что (л = 1. В этом случае система (12„)
принимает вид
da dv
- = <,, _ = _*_H«,
а поэтому
£+!+£-0 (п>1). (38)
Мы должны изучить поведение интегральных кривых уравнения (38)*
для которых lim v(u) — 0. Для этого достаточно ограничиться рас-
смотрением дуг этих кривых, принадлежащих области, которую
в п._4, „б", мы обозначили как область III. Пусть г» = г»(н), 0< и ^ и,
[v'(u) — 0\— уравнение такой дуги. Тогда v > vE, но в силу (29)
ve^- — н> а следовательно, г»>- — и. С другой стороны, для точки
(и, v) области III имеем v < — и", а поэтому
— ип > г» > — в.
Далее, dt»/da = г/ < 0 и из (38), так как г»<0, получаем v' > — 1,
а следовательно,
— 1< г/ < 0.
Поэтому HmV;>—1, lim г/<! 0. Если бы одновременно
выполняйте "->+°
лись неравенства lim v' > — 1, lim г»'<0, то существовали бы
такие числа U)t и ш2, что
— К —<»i< г»'< —со2 < 0.
В этом случае мы имели бы — &1н < v < — ш2н и в силу (38)
1 = \v'\ -j- ига l^l-1 < <«! -j-ю"1»"-1, что невозможно, так как
lim ((Uj-j-co-^™-1) — («j < 1-
«->+о
Поэтому должно выполняться по крайней мере, одно из
соотношений
lim v' (и) = — 1, lim v' (я) = 0. (39)
«5to *->+0

$ S. Дифференциальное уравнение дмЬёнй 5(5?
Легко видеть, что для решений М можно найти промежуток вида
(О, г»), на котором функция v' (и) монотонна. В самом деле,
освобождаясь в уравнении (38) от знаменателя и дифференцируя два раза,
получаем vv'"-\-Zv'v"-\-n(n — 1)ип_2 = 0. Если при некотором
значении и* для и, 0<и*<а, имеем г»"(а*) = 0, то {v'"v < 0) имеем
также г»'"(и*)>0, а потому функция v''(и) имеет в точке и* мини-
.мум. Так как функция v' (и) непрерывна и ограничена в промежутке
0 < и <С и, то она не может иметь двух минимумов, между которыми
нет максимума. Поэтому .функция г»'(и) монотонна либо в промежутке
(0, и), либо в промежутке (0, и*). Из доказанного и из (39) следует
тогда, что выполняется одно из двух соотношений:
lim v' = — 1 либо Нт v' — 0.
М->+0 U->+0
Но если lim i/ — — 1, то v = v(u) является решением Е."Сле-
«->+о
довательно, для любого решения М имеем lim if = 0 и, согласно (38),
м->+о
lim v/un = — 1,
W->+0
..и' it- U ,
'"? ^ = _1' ,1тг—~ тТл^1У=1-
[(n-l)(t-c)\
Полагая с = — In С и вспоминая, что 0 = \~хи, a t = — In I, получаем-
i
1 "ln-l
a(S), (40)
-i[
("-l)lny
где lim a (&) = 1 или, как пишут,
•~т[—ч?Г- <4°'>
д) Изложим в заключение следующую теорему Фаулера.
Пусть 50 > 0 и пусть 60 = Ь ($0) > 0, 6J = 6' (£0). Тогда и0 = $в0,
г»0 -j- |ш0 = — ^+1б' (мы сохраняем применявшиеся выше обозначения).
Таким образом, если дана точка (60, Й0) плоскости (£, Й) (£0 > 0, 9Q ^ 0),
то при изменении Ь'0 от —оо до -[-оо соответствующая точка (и0, vQ)
плоскости (и, v) описывает прямую и = uQ.
Кривая Е пересекает ось и в точке с положительной абсциссой
а>0 (см. фиг. 43). Если и0 > а, т. е. O0>a$-il, то интегральная
кривая системы (12с), проходящая через точку (и0, v0), является
кривой F, а соответствующее решение 6 = 0 (£), проходящее через точку
(So, 60), всегда имеет два и только два нуля с абсциссами Slf l2,

368 Гл. Xtl, Об уравнениях, встречающихся в приложениях
Если и0 — а, (О0 = а.%-*) и ?>0 ф 0, то решение 6 (I),
соответствующее интегральной кривой системы (12с), проходящей через точку
(йо> vo)> имеет вышеуказанное свойство; но если ©0 = 0, [% =
= — pl-fa+Va], то соответствующее решение 6(1) проходит через
точку (£0, 80) кривой 6 = а$-и- и касается там этой кривой.
Получаемое таким образом решение в(£) является решением Эмдена.
Если 0<«0<а [60<а0^и'], то прямая « = «0 пересекает
кривую и — им((), v=vE{t) в двух точках (и0, /t) и (и0, /2), где /х < 0 < /2.
Если ©о > /2 или Vq < /j, т. е.
(&2 < 8Х < 0), то решения 6 = Q (£) уравнения Фаулера, проходящие
через точку (Sq, 60) с угловым коэффициентом Ь'0 < &2 или 60 > &t,
соответствуют решениям F системы (12е). Каждое из этих решений
имеет поэтому два и только два нуля с абсциссами \v S2, ^ < Eg,
0 < Et <! S0 <! Eg- Далее, также при предположении, что в0<а0&Г1\
интегральные кривые уравнения Фаулера, проходящие через точку
Фиг. 44.
(£о> &о) с угловым коэффициентом 6' = 02, 6' = bv являются
решениями Эмдена, а решения, проходящие через точку (?0, 60) с таким
угловым коэффициентом Ь'0, что 02 < 6^ < &1( соответствуют
решениям М системы (12с). Эти решения пересекают ось \ в точке, абсцисса
которой не меньше, чем £0, и когда £->--}-0, то асимптотическое
!) Так как /j> —цц0== —ц^в0, то »i<0.

§ 6, Уравнения Польвани движения электрона 369
поведение этих решений выражается соответственно формулами (37'),
(40'), в зависимости от того, будет ли \i > 1 или [л= 1.
Назовем кривую 6 = а;-!1 критической кривой для уравнения
Фаулера. Критическая кривая является, следовательно,
огибающей решений Эмдена для данного уравнения. Из изложенного выше
следует, что через любую точку ($0, 60), $0 > 0, %^>0,
принадлежащую критической кривой, проходит одно и только одно
решение Эмдена для уравнения Фаулера; через любую точку первого
квадранта, лежащую ниже критической кривой, проходят два и
только два решения Эмдена (с угловыми коэффициентами $)2 и Oj),
а через любую точку первого квадранта, лежащую выше
критической кривой, не проходит ни одного решения Эмдена.
Результаты теоремы Фаулера представлены на фиг. 44.
§ 6. Уравнения Польвани движения электрона в магнетроне
Хэлла. Теоремы Асколи об асимптотическом
поведении решений
1. Общие замечания. При теоретическом изучении движения
электрона в цилиндрическом диоде, находящемся в продольном
магнитном поле (магнетрон Хэлла), Польвани вывел в 1934 г.
дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет радиус-вектор г
электрона, выраженный как функция времени/(см. Польвани, Асколи,
Джакомини [1], стр. 297). Это уравнение можно записать в виде
W = 2?~T+27S (X > 0, X —параметр). (1)
Для этого уравнения мы не обладаем ни эффективными методами
решения, ни методами численного решения, пригодными для
нахождения с помощью быстро сходящегося процесса значений г как
функций от X и t. Асколи ([4]) изучил, однако, асимптотическое
поведение решений этого уравнения при t—>—|-oo. Использованные им
методы и полученные результаты могут быть обобщены на более
широкие классы уравнений.
2. Область существования решений, а) Отнесем плоскость к
ортогональной системе декартовых координат t, r и определим области
плоскости (t, r), в которых интегральные кривые обращены
вогнутостью вниз, и области, в которых эти кривые обращены
вогнутостью вверх.
Правая часть уравнения (1) может быть записана в виде
где
24 Зак. 1072. Дж. Сансоне

370 Гл. XII. Об уравнениях, встречающихся в приложениях
Поэтому прямая г = 0 и кривая С,
С: r = ±m(f),
делят плоскость на четыре области, в самой верхней из которых
интегральные кривые уравнения (1) обращены вогнутостью вниз,
причем направление вогнутости меняется при переходе от одной области
к смежной с ней.
Назовем кривую С (действительную ветвь кривой четвертого
порядка г4 — ХЧг2—1=0) кривой перегибов.
Простое вычисление показывает, что
2"W(0 = (\Ч+ V\4l + 4)v* (№ + 4ТНУ№ + 4 — 2ХЧ).
Поэтому ветвь кривой CV лежащая в верхней полуплоскости,
возрастает и обращена на промежутке (•—оо, 2/Х2 |/3) вогнутостью вверх,
а в промежутке (2/^.-1^3, -f-oo)— вогнутостью вниз (фиг. 45).
R=R (t)
r=r(t)
Фиг. 45.
Вынесем в выражении для <»(/) за знак корня при положительных
значениях t множитель k^t, а при отрицательных значениях t
множитель l/ky—t и разложим (o(Y) в биномиальный ряд. Тогда мы
получим, что
1 -Ш+-] ^>°);
<o(/)=4^(l+^a
...] <*<о).

$ 6. Уравнения Польвани движения электрона 371
Отсюда следует, что когда t—*--{-oo, то <a(t) является бесконечно
большой величиной порядка 1/2, а когда t-*- — оо, то <о(г) является
бесконечно малой величиной порядка 1/2 по сравнению с t.
б) Точки оси г=0 являются особыми точками для уравнения (1).
Изучим поведение решений уравнения относительно этой оси.
Пусть (^0, г0) — точка плоскости (t, r), rQzpO. Рассмотрим
интегральную кривую уравнения (1), выходящую вправо (влево) из этой
точки в заданном направлении, и докажем,, что эта кривая остается
по одну и ту же сторону от оси t и не может стремиться ни
к какой точке этой оси.
Пусть г0 > 0 и пусть решение r = r(f) стремится при t->i\ — О
{tx конечно) к нулю, т. е. пусть r(t) > 0 при ^0<^<^, Hm r(f) = 0.
*-»*,-о
Покажем, что это предположение приводит к противоречию. В самом
деле, при значениях t, достаточно близких к tt, имеем /'(/)> О,
следовательно rr(t) возрастает, и потому существует предел
Hm г'(0>—оо. Положим г(^) = 0; так как
,-ft-ft)-r ft) _ г ft -ft) .
—ft — —ft "^ '
то
r' (tt — 0) = k <; 0 (k конечно),
а следовательно, r(t) убывает слева от точки t-r
Если принять на некотором промежутке вида (I, tj за
независимую переменную г' —р, то можно заменить уравнение (1) системой
уравнений
dt_ 2/-з dr 2r*p ,~
dp ~ )2гЧ -Н+Г dp~~ 'i?r4 — r* + Г ^ '
которая обладает решением t—t{p), r = r(p), соответствующим
начальным условиям t(k) — tv r(k) = 0 и не сводящимся к
постоянной.
Но система (2) обладает также решением t=t1(t1 = coasi), г = 0,
которое удовлетворяет тем же начальным условиям. Так как к
системе (2) можно применить теорему существования и единственности,
мы получаем противоречие. Итак, при t—tt^ — 0 интегральная кривая
r = r(t) не может стремиться ни к какой точке оси t.
Заметим, что вообще, если r = r(f) является решением
уравнения (1), то и г = — r(t) является решением того же уравнения.
Поэтому доказанное утверждение остается справедливым и в случае,
когда г0 < 0.
в) Начиная отсюда мы ограничимся» по сделанному выше
замечанию, изучением поведения интегральных кривых в верхней
полуплоскости г > 0.
Докажем, что если решение r = r{t) имеет минимум (максимум)
в точке t0, то для любого ^> t0(t<^ t0) будет г > r0(r < rQ).
24*

372 Гл. Xtl. Od уравнениях, встречающихдя в приложениях
Предположим, что существует первое значение tx > t0 (^ < *0),
такое, что r{t0) = r{tl), и при tQ < t < tL (f0>*>^) имеем r(f)>
>r(t0)(r(t)<r(t0)).
Рассмотрим вспомогательную функцию
U = г>* _ кЧ(\п л - in г0) +1 + i.
Тогда
£/' = 2г'(г* - ^ -|-1 — зУ — X2 (In г — In г0) = - X» (In г - In г0).
и потому f/'(0 < 0(^(0 >Р) при *„<*<<! tt>>f>*i). т.е.
{/(<) убывает в промежутке (<0, /:) (возрастает в промежутке (/1, /0)),
а следовательно, L/(<0) > (/(^), 0 = г' (£0) > г'" (^), чего не может
быть.
Отсюда получаем, что если решение r — r(f) имеет несколько
максимумов и минимумов, то как те, так и другие возрастают
при увеличении t.
г) Мы можем теперь доказать, что любое решение уравнения (1)
определено на всей прямой.
Предположим, что решение уравнения (1), определенное
начальными условиями /• (£0) = л0 > 0, r'(ta) = r'0, может быть продолжено
вправо от t0 только вплоть до некоторого конечного значения tY (само
значение tY исключается), и приведем это предположение к
противоречию. Рассмотрим lim r(t), lim r(t) и докажем, что эти пределы
t-*b-o f->*,-o
должны быть конечны и положительны. В самом деле, если
на некотором промежутке вида (t, tt) функция r{t) убывает, то
lim r(/)= lim r(f)= lim r(t) и в силу „б" lim /•(*)>0; если же
*-»*,-(> *-»*,-(> *->*,-<> *-»*,-0
на некотором промежутке такого вида функция r(f) возрастает или
совершает бесконечно много колебаний, то в силу „в" функция r(t)
принимает значения, большие некоторого положительного числа k,
и легко доказать, что она остается также ограниченной и сверху.
Действительно, существует такое положительное число т, что
при to^t^ty и /•>-& имеем Щ2г — л/2+1/2л2<от, а потому
в силу (1) r"<m, r'<mt-\-r'Q—mt0, r <1и*»/2 + С"£—»Ц>)('—'о) +
-j- г0 и функция г ограничена сверху в [t0, ty).
Так как оба числа lim r(t), lim r{t) положительны и конечны,
то из (1) следует, что функция г" (t) остается ограниченной при
f0^f<fj и по теореме Коши о среднем значении существует предел
lim r' (t), который мы обозначим через г'. В силу аналогичных
рассуждений существует и предел lim r(t) — r,, причем в силу
доказанного в „б" число гх отлично от нуля. Но тогда, исходя из

.$ 6. Уравнения Польвани движения электрона 373
начальных значений r(t1) = r1, r'(tl) = r'1, мы можем продолжить
решение r(f) вправо от точки ^.
Итак, полученное противоречие показывает, что tt = -J- oo.
Аналогичные рассуждения проводятся для точек слева от t0.
3. Существование бесконечного множества общих точек у двух
интегральных кривых. Докажем теперь, что две интегральные
кривые уразнения (1) (принадлежащие одной и той же полуплоскости
г > 0 или г < 0) всегда имеют бесконечное множество общих
точек, имеющих положительную абсциссу, причем разность
абсцисс двух соседних общих точек меньше, чем тс|/2.
Пусть и {t), v(t) — две интегральные кривые уравнения (1),
лежащие в верхней полуплоскости /■> 0,
и ~2и 2~^2и^' ~~2v 2^2ifi'
Вычитая и полагая и — v = w, имеем
та" + Л(0™ = 0, (3)
где
Л^ = 2^+У+ 2uJ ■ (4)
Но при £>0 имеем Л(£)> 1/2 и, сравнивая по теореме Штурма
(гл. IV, §2, п. 6, „а") уравнение (3) с уравнением z"-\-(\lY%f z =■ 0,
получаем, что функция w(t) имеет при ^> 0 бесконечно много
нулей (которые изолированы и не имеют предельных точек на
конечном расстоянии, см. гл. IV, § 2, п. 2 „а"). При этом разность
абсцисс двух соседних нулей меньше, чем itY^2.
4- Особенные решения, а) Для того чтобы установить понятие
особенного решения уравнения (1), докажем, следуя Асколи, такое
предложение:
Не существует интегральной кривой г = r(t) уравнения (1),
остающейся при t^>t0 все время заключенной между осью t и
кривой перегибов r = a>(t), т. е. такой, что при t>t0, 0 </■(/)<
< ш (t) (или 0 > г (t) > — ш (t)).
Предположим, что при t > t0, 0 < г (f) < ш (f), и приведем это
предположение к противоречию. В силу результатов из п. 2, „а",
в этом случае г" > 0, и поэтому r' (f) возрастает. Следовательно,
существует предел lim r' — k. Но тогда по обобщенному правилу
Лопиталя. (см. примечание на стр. 365) имеем lim r\t= k. Так как
0<r(t)/t<(o(t)/t, a lim ш (f)/t, то k = 0, т. е. lim r'(t) = 0, а так
как г'(f) возрастает при t^>t0, то г' (f) < 0 при этих значениях t.
Поэтому при t > tQ функция г (t) положительна и убывает. Таким

374 Гл. XII. Об уравнениях, встречающихся в приложениях
образом, если положить lim r{f) = kr, то число kt неотрицательно,
и из уравнения (1) следует, что lim r"(t)= -j- 00. Итак, функции
г'(t) и г (t) стремятся к -}- оо, когда f-+-\-oo, в то время как мы
доказали, что функция r(t) положительна и убывает. Полученное
противоречие и доказывает наше утверждение.
Из этого утверждения следует, что интегральная кривая r = r(t)
уравнения (1) должна обладать одним из следующих двух свойств:
1) либо начиная с некоторого значения t эта кривая
принадлежит области г > u>(t) (г < —">(£)), т. е. существует такое t0,
что при t^>t0 имеем r{f)~~>u>{t) (r(f)<—<»(£));
2) либо эта кривая бесконечно много раз пересекает кривую
перегибов.
Решения, которые обладают свойством 1), мы будем, следуя
Асколи, называть особенными.
б) Прежде чем доказывать, что уравнение (1) не может обладать
в полуплоскости г > О (/• < 0) двумя различными особенными
решениями, докажем сначала следующее предложение:
Если r = R(t) является особенным решением уравнения (1),
лежащим в полуплоскости г > 0 {г < 0), то разность R (t) — ХУТ
становится при стремлении t к -)-оо положительной
{отрицательной) и стремится к нулю при £->-j-oo. Кроме того, это
решение абсолютно интегрируемо на любом промежутке (t0, -j- сю),
где t0 > 0.
Так как R" < 0, то функция R'(t) убывает и существует
предел lim R'{t) — k, где &<-]-со. По обобщенной теореме Лопиталя
f->+oo
тогда k = lim R(t)Jt, но R(t)lt~^>o)(t)/t, а поэтому k^-0. Неравен-
£-»+со
ство k > 0 выполняться не может, так как тогда мы имели бы
lim R(t)== -j- оо, lim t/R(t)= \/k и из уравнения (1) следовало бы,
что lim R" (f) = — оо, откуда lim R' (t) = — оо, чего не может быть.
Итак, lim R' (t) = 0. Но функция R' (t) не может обратиться в нуль
<->+оо
начиная с некоторого значения t, так как уравнение (1) не имеет
решения вида /? = const. Поэтому начиная с некоторого значения t
функция R'(t) положительна, lim R'(t) = 0 и, следовательно,
при t^>t0 функция R(t) положительна и возрастает.
Имеем
/?"— ^_j?._l _L n — ^_J?_J L
2^? 2 +2№' 2» 2 ~^2<оз''
откуда, вычитая первое равенство из второго, получаем, что
* -(^-(u)№ + ^H 2#V J-

§ 6. Уравнения Польвани движения электрона 375
Множитель в квадратных скобках положителен при (>0 и больше,
чем »/2, —R" > 0; предполагая, что t0 > 0, имеем при t^>-t0
со
0<R — о)<— 2R", 0< j(R — <*)dt<2R'(t).
Поэтому интеграл
+ СО
J" (R — a>)dt (5)
абсолютно сходится.
Докажем теперь, что lim (R — ш) = 0. В самом деле,
*-М-оо
[/? (д -«) (gi — [/? &) - « (^)] = а2—^ [./?' р*) - со' (^)],
где tx<_t* <C t2. Но lim R' (t) = 0, lim ш' (Y) = 0, и поэтому функ-
ция R(t)—a>(t) равномерно непрерывна в (t0, -|-оо). Предположим
теперь, что lim (R — a>)= h > 0, и приведем это предположение
к противоречию. В самом деле, в случае справедливости нашего
предположения существуют сколь угодно большие значения t для t,
при которых R(t) — со(£)>3/г/4. Но в силу сходимости интеграла (5)
неравенство R(t) — u>(if)>/i/2 не может выполняться для всех
значений t, начиная с некоторого. Поэтому существуют сколь угодно
большие числа р и q, такие, что R(q) — ш (^) = З/г/4, R(p) — ш(р) =
= /г/2, в то время как h/2<_R(t) — u>(f)<3/i/4 при p<.t<q. Так
как [R(q) — w(</)]— [R(p) — ">(/?)] постоянно, то в силу равномерной
непрерывности функции R (t) — ш (t) имеем \q — р\ > 8 > 0, а поэтому
а
(R — ш) dt > А8/2. Но тогда интеграл (5) не может сходиться.
р _ ' _
Итак, lim (R — ш) = 0; но ш — \Yt >0 и разность ш — \У*
t-*+ca
интегрируема в промежутке (t0, -\- со), (t0 > 0), следовательно,
интегрируема и разность R — \Yt. Кроме того, lim (R — \Yt) — Q,
так как lim (ш-—\Yt) — ®-
в) Мы можем теперь доказать, что не существует двух
различных особенных решений.
Пусть и и v — два особенных решения уравнения (1). Если
положить u — v — w, то функция w удовлетворяет уравнению (3).
Можно положить
и = кУТ-\-а, v = \Y^-\-$>
где | а | и |р| стремятся к нулю, когда t-*■■-{-оо, и интегрируемы
в промежутке (tQ, -j-оо). Тогда из (4) следует, что A(t)= 1—Q(t),
/■

376 Гл. XII. Об уравнениях, встречающихся в приложениях
где Q(t) стремится к нулю, когда t-+-\-oo, и абсолютно
интегрируемо в (^0, -f~ оо).
Из результатов гл. VII, § 4, п. 3, следует, что так как Q(t)
удовлетворяет указанным сейчас условиям, то существует одно V.
только одно решение уравнения (3), стремящееся к нулю, когда t-t-
—>-^-оо. Этим решением является решение w(t) = 0 (в обозначениях
из гл. VII, § 4, п. 3, „б", имеем <х1 = а2 = 0). Поэтому u(t)=sv(t).
Утверждение доказано.
5. Теоремы Асколи об асимптотическом поведении решений.
Углубляя изучение асимптотического поведения, решений уравнения (1),
Асколи доказал следующие теоремы, которые мы ради краткости
лишь сформулируем.
1) Для положительного особенного решения R = R(t)
уравнения (1) имеет место асимптотическое выражение
1 V 4 ' 2\У t" t"
2) Для любого положительного неособенного решения r = r(t)
уравнения (1) имеет место асимптотическое выражение
r = */r+Crin(*+1|Lln*—Т)+0(*-'/.),
в котором Сиу —- некоторые постоянные. Такое решение
обладает бесконечным множеством максимумов и минимумов, абсциссы
которых имеют следующие асимптотические выражения:
(n + -j)*-1§Lin(«+!),t + T+0(«-vo
(относительно символа О см. примечание на стр. 22).
§ 7. Уравнение Томаса — Ферми. Доказательство теоремы
существования и единственности
а) Уравнение
с краевыми условиями
у (0) = 1, lim .у (х) = 0
было рассмотрено в работах Томаса [1] и Ферми (см. [1], стр. 605
при изучении распределения электронов в тяжелом атоме, Эффективные
доказательства теоремы существования для этого уравнения и для
некоторых более общих случаев были последовательно даны Скорца-
Драгони ([9], [10], [3], стр. 104—112), Мамбриани [2], [1], Лампа-
риелло [1]. Вместо указанного Ферми значения У(0) = — 1,58, Зом-

§ 7. Уравнение Томаса — Ферми
377
мерфельд [1] и Миранда [1] дают для У (0) значения —1,589 и
— 1,588.
Мы ограничимся изложением доказательства теоремы
существования в форме Мамбриани, но отметим, что это доказательство может
служить и для получения критериев существования решения уравнений
вида y"—f(x, у, у') (см. Тонелли [5], примечание на стр. 76).
б) Пусть в уравнении
/ = ?<*. .уЖ*) (1)
функции о(х, у) и ty(x) удозлетворяют следующим
предположениям:
1) функция <?(х, у) непрерывна относительно совокупности
переменных х, у в области х^-0, у~^-0;
2) <р(*. у) > 0 при х > 0, у > 0;
3) ф(дг, 0) = 0 при л:>0;
4) ср(лг, у) является относительно у возрастающей функцией,
причем разностные отношения относительно у ограничены в
любой замкнутой ограниченной области;
5) при любом с>0 функция ?(лг, с) имеет в [0, -j-oo)
положительный нижний предел;
6) функция >]* (лг) непрерывна, положительна при любом х > 0,
интегрируема на любом отрезке [0, Х\, где <Y>0, причем
Г <h(x)dx = ~|~ со.
о
Тогда при любом у0^0 дифференциальное уравнение (1) имеет
одно и только одно решение, определенное в [0, -|— со) и
удовлетворяющее краевым условиям
У(0)=у0, .у(+оо) = 0. (2)
Единственность.
Если у^х) и у$(х) являются решениями уравнения (1),
определенными на отрезке [0, 8] и
Л(0) = Л(0), Л(8)=Л(8),
то Ух(х) и у%(х) совпадают на [0, 8].
Для доказательства будем рассуждать так же, как в гл. VIII,
§ 6, п. 2, „б".
Предположим, что в некоторой точке х промежутка (0, 8) имеем
_у, (дг) > _у2 (лг), и пусть £— точка этого промежутка,'в которой
функция уг(х)—Уъ(х) принимает наибольшее значение. Тогда
0<£<8, .у, (5)—Л(6)>0.

378 Гл. XII. Об уравнениях, встречающихся в приложениях
Но
у" (6) - у% (0 = [<? (?. л (О) - ?(«. л ©)1 ^ (6) > о, (3)
что приводит к противоречию.
Отсюда следует, что если решения _у, (х) и у.2(х) уравнения (1)
определены в [0, -\- со) и
Л(0)=Л(0), (4,)
lim _у!(л:)= lim _Уг (х) — конечной величине, (42)
то решения ух (х) и _у-2 (■*) совпадают в [0, -f- со). В самом деле,
если эти решения не совпадают, то из изложенного выше следует,
что при любом £ > О выполняется неравенство у1 (Е) ф _Уа(Е)> а поэтому
можно принять, что при Е>0 имеем ^(Е) >.уа(Е). Но тогда в силу
(3) у[(1)—у'2{1) возрастает, а так как у[ф)—У^Ф)~^-0, то функция
у[(£)—J^CE) положительна и возрастает. Поэтому
lim [лф—Л ($)] = +оо,
вопреки (42). Единственность решения, удовлетворяющего
поставленным краевым условиям, доказана.
Существование.
Если _уо = 0, то решением уравнения (1), удовлетворяющим
условиям (2), является у = 0. Предположим поэтому, что _у0 > 0-
Из теоремы существования и единственности г) следует, что,
каково бы ни было число -у, из точки (0, у0) выходит одно и только
одно решение _уТ(х) уравнения (1), удовлетворяющее начальным
условиям
У,Ф)=Уо. ^(0) = Т
и определенное на некотором отрезке [0, 8]. При этом у (х) и у'Лх)
являются непрерывными функциями параметра f.
Заметим, что если f^-0, то уу(х) является возрастающей
функцией от х на отрезке [0, 8]; в самом деле, в силу (1) имеем у"(х) > о
при 0 < х <; 8, следовательно, у' (х) возрастает при 0 ^ х ^ 8 и
у' (х) > f >- 0 при 0 < х <! 8. Но тогда при i >- 0 решения _ут (х)
можно продолжить на всю полупрямую [0, -f-00)' причем _у, (х) > 0,
lim у (х) = -|- со (так как при х^-8 имеем З''(Jf) !> З''(8) > 0) 2).
3!->+О0. .
1) См. гл. VIII, § 8, п. 1, „б„; гл. I, § 6, п. 3, „г"; для приложения
указанных теорем следует положить у{х, _у) = 0 при_у<0. Нас будут
интересовать лишь части интегральных кривых, принадлежащие первому квадранту.
2) Отсюда следует, что решение у (х), удовлетворяющее условиям (2),
может существовать лишь в случае Y<^'

§ 7. Уравнение Томаса — Ферми
379
Обозначим теперь через М наибольшее значение функции о(х, у)
в прямоугольнике 0-^x^1, 0 ^.у ^.у0 и пусть х1 — наибольшее
число из отрезка [0, 1], такое, что
х,
$ b(x)dx*£l/M.
0. ,
Докажем, что решения у„(х) уравнения (1), соответствующие таким
значениям f, что f < — (yJXj-^-l), обращаются в нуль при некотором
значении х, меньшем, чем х{. Действительно, из уравнения (1) следует,
что для рассматриваемых значений f и при 0 < х <С х1 имеем
X
y'.l(x) = t+ /'•?(■*■ У)'НУ)а*<
о
X
<т + Л||ф(*)й*<т+1<—^-.
о
Следовательно, ^(^)<^о — хУо1х1> и поэтому у.((х) должно
обратиться в нуль при некотором значении х, меньшем, чем х,.
Пусть теперь -у является верхней гранью значений -у, для
которых у„(х) пересекает ось х. Тогда —Уо1хх— 1 ^-f ^0, и если
у(х) является решением уравнения (1), соответствующим значению f,
то оно определено на всей полупрямой [0, -j-oo), причем
УО)>0, lim у(х) = 0.
В самом деле, предположим, что при некотором конечном
значении х > 0 имеем у(х) = 0; в точке х не может иметь место
неравенство у' (х) > 0, так как тогда в точках, находящихся достаточно
близко слева от х, функция у(х) была бы отрицательна; не может
выполняться и равенство у'(х) = 0, так как уравнение (1) имеет
единственное решение у(х) = 0, удовлетворяющее одновременно условиям
у(х) = 0, у'(х) = 0. Следовательно,
у(х) = 0, /(*)<0,
но тогда для значений f> больших, чем -р и достаточно близких
к f, решение у (л:) пересекает ось х]), вопреки определению f-
Итак, каково бы ни было х, имеем у(х)^>0.
3) Заметим, что если положить у(х, у) = 0 при _у<0 и рассмотреть
уравнение (1) в полуплоскости х^0, то любая интегральная кривая у., (х),
выходящая из точки (0, уп), Су0>0) в направлении f и пересекающая (без
касания) ось х, продолжается в полуплоскость у < 0 лучом. Так как при
таком продолжении интегральная кривая у=у(х) имеет точки с отрица-

380 Гл. XII. Об уравнениях, встречающихся в приложениях
Далее, каково бы ни было х, имеем у'(х)-^.0. В самом деле,
предположим, что в некоторой точке £ > 0 выполняется неравенство
_y'(S)>0; так как у'(х) возрастает при х > S, то у'(х) >.у'(&), и
потому функция у(х) возрастает при х~^\; следовательно, наименьшее
значение у(х) положительно. Если придать f некоторое значение,
меньшее, чем f> и достаточно близкое к f, то функция у,(х) также
будет положительной и возрастающей при х ^> \ и сколь угодно
близкой к у(х) на отрезке [0, £]. Но тогда кривая у (х) не
пересечет ось х, вопреки определению f. Так как функция у' (х)
возрастает, то при х > 0 имеем у'(х)<С0, а поэтому функция у(х)
убывает и существует предел lim y(x) = c(c^-0). Докажем теперь,
что с = 0. В самом деле, если бы с было больше нуля, то из
у(х) > с > 0 следовало бы X — min <s(x, с) > О,
X
7(х) = "(-\- f <?(x, y)6(x)dx>f-\-
о
4- Г <?(л;, с) <{* (л:) djc > 7 + >. Г ^ (л:) rfx,
о о
где 0<!x<-j-oo. Но тогда lim у' {х) = -j-°°> ЧТЙ невозможно.
ж-» + оо
Теорема доказана.
§ 8. Об уравнении Шредингера для двух частных задач
1. Гармонический осциллятор. Собственные значения и
собственные функции, а) Уравнение Шредингера (см. Шредингер [I])1)
имеет вид
Для так называемой одномерной задачи квантовой механики (для
стационарных состояний) уравнение Шредингера принимает в случае
движения частицы по оси х следующий вид:
^Н—р-[Я—t/(*)]« = 0. (а)
тельными ординатами, то и при значениях •[, больших, чем y. и достаточно
близких к Yi кривая у^(х) также должна иметь точки с отрицательными
ординатами и потому пересекать ось х.
1) См. также Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшид [1], стр. 65; Д. И. Блохин-
цев [1], стр. 109. — Прим. перее.

$ 8. Об уравнении Шрёдингера для двух Частных задач 381
Здесь h—постоянная Планка, т— масса частицы, Е— энергия,
U(x) — потенциальная энергия, а | а (л:) j2—вероятность того, что
частица имеет абсциссу х 1). Из физических соображений следует,
что [н(х)[ стремится к нулю, когда х—*-т£.оо. Это условие
приводит к задаче о нахождении значений параметра Е, для которых
существует, по крайней мере, одно решение уравнения (а), имеющее
желаемое асимптотическое поведение.
б) В этом пункте мы ограничимся рассмотрением задачи о так
называемом гармоническом осцилляторе, т. е. задачи о движении
частицы по оси х под действием притяжения к началу координат
силой, пропорциональной расстоянию частицы от начала координат.
Так как действующая сила равна — kx (k — положительная
постоянная), то потенциальная энергия U равна kx2/2, и уравнение
Шрёдингера принимает вид
d4 ■ 8я%г
йГлг2 ' №
или же, если ввести частоту
вид
d'2u . 8я2т, „ п „ , „, „
Делая замену переменной Ь — xY^mvJh, получаем
&и , ,, „ON„ Л . , 2£
«£ + (X_^B==0,X = g, (I)
и задача, которой мы занимаемся, сводится к определению значений к,
которым соответствуют решения уравнения (1), удовлетворяющие
условию
lim и (х) = 0. (II)
ге-»± оо
Полагая
2 *
н = е * v,
получаем для v уравнение
v"— 2xv'-\-(k — l)o = 0, (F)
для которого надо найти решения, удовлетворяющие условию
1 *=
lim е а и = 0. ■ (II')
!) Точнее говоря, | и (х) |2 йлг равно вероятности того, что абсцисса частицы
заключена между х и x-\-dx.— Прим. перев.

382 Гл. XII. Об уравнениях, встречающихся в приложениях
Известно (см. Пиконе [6]), что если наложить на решения
уравнения: (I') более слабое, чем (1Г), требование, а именно потребовать,
чтобы при \х\—>--}-оо выполнялось, начиная с некоторого значения л;,
неравенство вида
\е 2 v\<M\x\*,
где М > О, а > 0, то X — 1 = 2п, где п — целое неотрицательное
число, а функция v совпадает с точностью до постоянного
множителя с п-м многочленом Чебышева— Эрмита
Следовательно, собственные значения уравнения (1) являются
нечетными положительными числами X = 2п-\- 1, а
соответствующие им собственные функции имеют вид
-■Lot
ип(х) = ъ-11<(2"п\у'/*е 2 Нп(х):
Функции ип(х) имеют асимптотические выражения
(_1)п 1 / ч\„по,„1/-Л„ i 1, h(2n,x)
и1п
<*-Ч*-^-®«**у**ъ-Ш-
и (x)-(-Vn+l ' Л zAZm\xV\n~T^\ h(2n+l>x)
и2»+1 (*) - у- яч, [1 - 8п) sm [* К 4я -+- d] у^р '
О < st < 1, 0 < s2 < 2, | А (га, дг) | < | х |V. при я = О, 1, ... ..
в) Докажем при более общих условиях указанную выше теорему,
а именно докажем, что если ц является действительным или
комплексным параметром, a v(x) не равным тождественно нулю
решением уравнения Чебышева — Эрмита
v" — 2xi/ + 2[*г> = О (Н)
и если существует такое число х0 > 0, что для всех
действительных чисел х, для которых \ х | > х0, имеем
| v (х) | < Мекх\ (1)
где
М>0 (0</г< 1, М — const), (2)
то |л должно быть равно целому неотрицательному числу п,
a v (х) должно с точностью до постоянного множителя совпадать
с п-м многочленом Чебышева — Эрмита Нп (х)
/fib
нп(х) = *"£пе-* ■. (я=1, 2,...). (3)
Н0(х) = 1
!) См. Джексон [2], стр. 194—202. — Прим. перев.

§ 8. Об уравнении Шредингера для двух частных задан 383
(относительно вопросов, рассматриваемых в п. 1, „в" и в п.. 2, „б",
см. Сансоне [4]).
1) Докажем, что если v(x) удовлетворяет условию (1), то для
любого числа kv k < kt < 1, найдется такое положительное число Mv
что
\v'(x)\<M1e^ (|*|>х0). (4)
Предположим, что лг>х0 (аналогично проводятся рассуждения и
в случае х <—л:0).
Интегрируя уравнение (Н) от х0 до х, получаем
X X
v' (x)-v' (x0) — 2 J bo' (t)dt-{- 2р Г v{f)dt = О,
X Х0
откуда, интегрируя первый интеграл по частям, выводим, что
х
v' (x) = v' (x0) -\- 2xv (x) — 2x0v (x0) — 2(\i-}-l)(v(f)dt.
от,,
Умножая обе части на е~к&й, получаем неравенство
1 е - *.•" У (х) |< | v' (x0) — 2x0v (x0) \e~ *.<* +
X
-\~2\x\e- Л-*)*' | e-*x*v (х) | + 2 | р + 1 | е-№ Г | v (/) | dt. (5)
Но
X X
е-к&' f | v (t) J <tt< е-.<*--*>ж3 J е-*'а| в(01 Л < Ж (ж — х0) в-№.-*>*'
и поэтому правая часть в неравенстве (5) стремится к нулю, когда
х —> -4- оо, откуда и следует неравенство (4).
2) Предположим теперь, что (х не равно никакому
неотрицательному целому числу, и приведем это предположение к противоречию.
Из уравнения (Н) имеем
~[е-жУ] + 2[хе-^г/ = 0. (6)
Но /и-й многочлен Чебышева — Эрмита удовлетворяет уравнению1)
-~ \е-х2Н'т] + 2те~х'Нт = 0 (и = 0, 1, 2, . . .)■ '(6J
Поэтому, умножая уравнение (6) на Яте, а уравнение (6т) на v и
вычитая, получаем
d
dx
{в'** [v (х) Нт (х) — v (х)И'т (*)]} -4- 2 (|i — от) е~х\Нт = 0.
х) См. Джексон [2], стр. 199. — Прим.. перев.

384 Гл. Xth Об уравнениях, встречающихся в приложениях
Интегрируя это равенство от —lL до /2, выводим, что
{«Г*3 [v (х)Нт (х)- v (х) Н'т (х)] )lZllh +
-\- 2 (]х — т) Г e~x'v (х) Нт (х) dx = 0.
-г,
Но так как Нт(х) является многочленом от х, то из (1) и (4)
следует, что первый член слева стремится к нулю, когда 1г —► -j- оо,
/2-*-|-оо, и поэтому
+ оо
(]i — m) j e-"'v(x)Hm(x)dx = 0 (m — Q, 1, 2, ...),
— оо
откуда следует, что
+оо
j е-х\ (х) Н.т (х) dx = 0 (т = 0, 1, 2, . ..).
— ОО
Если &s — такое положительное число, что 1—k.2 > k> то
-f-oo
J e-M*/(x)Hm (x)dx = 0 (m = 0, 1, 2, . ..).
— оо
где
/ (х) = е~ ^-^) x'v (дг) = е~ <»-*•-*) *' [е-^Ч» (*)].
Так как в силу (1) функция |/(*)| имеет суммируемый квадрат
в промежутке (—оо, -|-оо), то из теоремы замкнутости
многочленов Чебышева — Зрмита в промежутке1) (— оо, ~\- оо) следует, что
функция f(x) почти всюду в (—оо, -j-oo) равна нулю, а тогда
в силу непрерывности /(лг)ггО, следовательно v(x)=s0, вопреки
предположению.
Полученное противоречие показывает, что если выполнено
условие (1), то существует такое целое неотрицательное число п, что
\i = n, т. е. v(x) удовлетворяет уравнению
v" — 2xv' -j- 2nv = 0 (n >- 0, n целое).
3) Легко теперь доказать, что v(x) отличается лишь постоянным
множителем от Нп(х). В самом деле, имеем
Hi — 2^ + 2яЯ„ = 0.
Полагая при достаточно больших значениях |дг| (больших, чем
наибольший модуль нулей многочлена Нп(х)) v — Hn(x)z, получаем
НУ = (2хНя — 2Н'п)г,
!) См. И. П. Натансон [2], стр. 472. — Прим. перев.

§ 8. Об уравнении Шредингера для двух частных задач 385
откуда
z — сех Нп " (с = const).
Но z =(vjHn) , а поэтому v Ип — vHn = cex, и в силу (1) и (4)
получаем при | х | > х0
| с | ех* < Lek^xn (0 < kx < 1, L — const).
Но это возможно лишь в случае, когда с = 0, г' = 0, и поэтому
■»(лг) отличается от Ип(х) лишь постоянным множителем1).
2. Водородоподобные системы. Собственные значения и
собственные функции, а) При изучении движения электрона вокруг
ядра (водородоподобные системы) получают, исходя из уравнения
Шредингера, уравнение
&у , Г 1 , А 1(1+1)1
Физическая задача приводит к необходимости найти такие значения
параметра А, которым соответствуют решения, удовлетворяющие
условиям 2): _у(0) = 0, j_у (лг) [ ограничено на полупрямой [0, -f-oo).
Точка х = 0 является правильной особой точкой для уравнения (7)
(гл. III, § 3, п. 2), и соответствующее определяющее уравнение
р2 — р — /(/-{- 1) = 0 имеет корни 1-\- 1 и —I. Общее решение этого
уравнения имеет поэтому вид
оо оо
у = сгх~г [1+2 апхп] -\- с2хг+1 [l -f- 2 а'пХп]
n=l п-1
(cv c2—произвольные постоянные), причем ряды, стоящие в
квадратных скобках, голоморфны в некоторой окрестности нуля. Из того,
что функция у обращается в нуль при х = 0, следует, что сг = 0;
таким обрезом, решения уравнения (7), обращающиеся в нуль при
!) Следует отметить, что неравенство (1) текста не может быть улучшено.
В самом деле, можно найти настолько большое N, что при х > N
e-x*H-2>Wekx'kx,
а следовательно,
*(л:)-*(Л0= f exSH-2dx>2M(.e"x'-ekN*).
N
Можно, далее, найти настолько большое Мь что при х > Nt имеем
г > Ме1™0*, а тогда решение v = Hnz уравнения (Я) не может удовлетворять
неравенству (1) для таких значений х, что \Нп(х)\^>\.
2) См., например, Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц [1], стр. 147, где р = х,
у
R = —. — Прим. перев.
25 Зак. 1072. Дж. Сансоие

386 Гл. XII. 06 уравнениях, встречающихся в приложениях
х — 0, имеют в этой точке нуль (/—j-l)-ro порядка. Задача сводится,
таким образом, к следующему: среди решений уравнения (7),
имеющих при х — О нуль порядка 1-\-1, определить то, которое остается
ограниченным на полупрямой [0, -[-оо). Здесь следует рассмотреть
два случая.
Если в уравнении (7) перед 1/i стоит знак -\~, то по известным
результатам (см. гл. VII, § 4, п. 2, „д") при любом действительном
значении А решение у (х) остается ограниченным на полупрямой
[О, -[-оо), колеблясь бесконечно много раз вокруг оси х, и
удовлетворяет соотношению
й^ |У(3)|=Ц- Ш \у{х)\ [«2=1/4].
a;->'+co z оо-^ + оа
Отсюда следует, что в рассматриваемом случае любое
действительное значение А является собственным значением для
уравнения (7), или, как говорят, уравнение (7) имеет непрерывный спектр
собственных значений.
Нам осталось теперь исследовать уравнение (7) в случае, когда
перед 1/4 стоит знак минус, т. е. уравнение
*у ,Г * , л '(' + 1)1 п
d^ + 1-т+т ifl—\y = °-
Преобразование
приводит это уравнение к виду
jto"+(2/+2 — x)rf-\-\v = Q [k=A — (/+OJ.
и мы должны решить для этого уравнения следующую задачу: найти
решения этого уравнения, удовлетворяющие при х^> х0 > 0 неравенству
\v(x)\<Me*''2,
производная которых v' (x) ограничена на некотором промежутке
вида (0, х).
Как мы увидим в „б", даже при менее ограничительных условиях
на v(x) параметр к должен равняться некоторому целому
неотрицательному числу п, a v(x) с точностью до постоянного
множителя совпадает с п-м многочленом Чебышева — Лагерра
б) Докажем с помощью рассуждений, совершенно аналогичных
проведенным в п. 1, „б", следующее утверждение:
J) См. для случая 2/ + 1 =0 Пиконе [6], а относительно приведенного
в тексте доказательства Сансоне [4]. [Относительно свойств многочленов
Чебышева — Лагерра см. Джексон [2], стр. 203—210. — Прим. перев.]

$ 8. Об уравнении Шребингера для двух частных задач Stfi
Пусть к — действительный, или комплексный, параметр,
a v(x) — не равное тождественно нулю решение уравнения Чебы-
шева — Лагерра
лгг/'-j-O — лг-f-l) г;'-|-^г; = 0, а > — 1, (L)
определенное в промежутке (О, -j-oo) оси х. Если существует
такое х0 > 0, что при х !> х0 имеем
\v{x)\<Mekas (0<fc< 1, лг>лг0>0, M — постоянная) (8)
и, кроме того, при лг —>■—J—О
lim xa+1v'(x) = 0, (9)
то л равно некоторому неотрицательному целому числу п,
a v(x) совпадает с точностью до постоянного множителя с п-м
многояленом Чебышева —- Лагерра
Ln\x)=^fj^\x^e-\ (« = 1,2,...). (Ю)
1) Докажем, что для любого положительного числа kv k < kx < 1,
можно найти такое положительное число Mv что при лг>-лг0
выполняется неравенство
\v'(x)\<M1ek^. (11)
Интегрируя уравнение (I) от х0 до х (лг0 < лг), имеем
х
j tv"(t) Л+(« +1) v (x) - (а-f 1) v(лг0) -
х,
X X
— J tv' (t) dt+X j v (t) dt = 0.
Интегрируя по частям первый и второй интегралы, получаем
х
xv' (лг) = x0v' (х0) — (а — х) v (лг) -f- (ос — лг0) v (лг0) — (k -j-1) J* v (t) dt.
щ
Умножая на е-н>х, выводим, что
e-*v лгг/ (лг) =
= [лг0г/' (лг0)4-(« — лг0) v (лг0)] е-**0 — (а — д^-Л-*)^-** v (лг)] —
— (Л + 1)е-М j v(t)dt. (12)
25*

Й88 Гл. Xtl. Об уравнениях, встречающихся в приложениях
Но
X X
и, принимая во внимание, что первый и второй члены в правой части
равенства (12) стремятся к нулю, когда х-+-\-со, убеждаемся
в справедливости (11).
Заметим, далее, что из (9) следует также и для отрицательных
значений а соотношение*)
lim x*+1v(x) = 0. (13)
2) Предположим теперь, что выполняются соотношения (8) и (9),
а к не равно никакому неотрицательному целому числу, и приведем
это предположение к противоречию.
Уравнение (£) можно записать в виде
A.\X'+1e-a!^\-{-he-xx'v = 0. (14)
Далее, т-й многочлен Чебышева — Лагерра удовлетворяет
уравнению
, r rf/Wi
^[^+ie-.^]+«e-VlS? = 0 (15)
(см. Джексон [2], стр. 205). Умножая уравнение (14) на L(m,
уравнение (15) на v и вычитая, получаем, что
и i i dv dL^ i
£{Х-»*-*[1£ъ-*-аГ }+^~m)e-xx^v^0.
Интегрируя это равенство от s до /, 0 < е < /, имеем
-|-(А — /и) f е~х х" Z.W (х) v (х) dx = 0. (16)
Принимая во внимание соотношения (8), (9), (11), (13), неравенство
А — т ф 0 и переходя к пределу при а —> —f-0, /->-j-oo, полу-
J) В силу (9) для любого е > 0 найдется такое 8 > 0, что при 0 < х <! 8
имеем \v'(x)\<ex-(*+1\ \v(x) — v(b) |<(8 — x) елг-(а+1),
1 ж"+1 г/(дг)|</+1|» (S) | + (8 — х) е,
откуда и следует неравенство (13) текста.

§ 8. Об уравнении Шредингера для двух частных задач 389
чаем, что
+ 0О
Г e-xx?L<${x)v(x)dx = Q.
о
Но тогда
+со
Г e-xxa+1v(x)xmdx = 0 (m = 0, 1, 2, .. .),
о
и если А2 — такое положительное число, что 1 — k2 > k > 0, то
j" е~к^f (x) xm dx = О (/и = 0, 1, 2, . . .),
о
где
/(х) = е-(1-У * [*«+! г»(л:)] == е-а-*.-*)**«+! [е-** w(д.)].
Так как функция / (л:) имеет суммируемый квадрат в [0, -j- оо),
то отсюда .следует!), что /(#) = 0, а поэтому v(x)s=0.
Итак, А равно неотрицательному целому числу п, и v(x)
удовлетворяет уравнению
xv" -f (а — х-\-1) v'-{~nv = 0.
Полагая здесь v = 1$ (х) г, имеем
Z' = «+?,», > (С = Const' Ln (*) = 4К)(^)) ■
Следовательно,
л: (v'Ln — vLn) = ce ,
и в силу (8) и (11) при л:^л:0 получаем
\c\ex<M2e^xxn^+1 (0< At< 1, Ж2== const).
rW,
Отсюда следует, что с = 0, г' = 0, а потому г* отличается от Z,^ (x)
лишь постоянным множителем.
1) Из полноты системы многочленов Лагерра относительно веса
р (х) = е~х на [0, со) следует, что единственной непрерывной функцией, удо-
оо
влетворяющей равенствам | e~xf{x)xmdx = 0 (m = 0, l, 2, ...), является
о
функция f(x}=0. Делая подстановку х = Щ, убеждаемся в справедливости
сделанного нами утверждения. (Относительно полноты системы многочленов
Лагерра см., например, И. П. Натансон [2].—Прим. перев.)

ЛИТЕРАТУРА
А б д а н к-А баканович (Abdan k-A bakanowlcz Br.)
[1] Les Integraphes, la courbe Integrate et ses applications, Etude sur un
nouveau systeme d'integrateurs mecanlques, Paris, 1886.
А д е м a p (d'A d h ё m a r R.)
[1] La ballstique exterleure, Memorial des, Sciences Math., fasc. 65, Paris,
1934.
А й н с Э. A.
[1] Обыкновенные дифференциальные уравнения, Харьков, 1939.
Александров П. С, Колмогоров А. Н.
[1] Введение в теорию функций действительного переменного, М. — Л.,
1938.
Армеллини (Armellini G.)
[1] Sopra un'equazione dlfferenzlale della Dinamka, Rend. R. Ace. Naz. del
LIncel (6), 21 (1935) 111—116.
Асколи (Ascoli G.)
[1] Sul comportamento asintotico degll Integral! delle equaztonl differenzlall
linear! dl T ordlne, Rend. R. Ace. Naz. del LIncel (6), 22 (1935), 234—243.
[2] Sul comportamento asintotico e sulla valutazione approsslmata degll
integrali delle equazlonl differenzlall del prlmo ordlne, ScrittI Mate-
maticl offertl a Lulgl Berzolari (Pavla, 1936), 617—635.
[3] Sulla decomposizione degll operatori differenzlall linear! infattorllinearl e
sopra alcune question! geometrlche che ve si rlconnettono, Revlsta Mat.
у FIs. Teorica, (Tucuman), 1 (1940), 180—215.
[4] Sopra una parttcolare equazlone differenzlale del secondo ordine, Rend.
R. 1st. Lombardo Sc. e Lettere, 69 (1936), 167—184, 185—197.
Б а р б у т и (B a r b u 11 U.)
[1] Sull'lntegrale massfmo e minlmo e sull'unlcHil della soluzione delle
equazlonl del slsteml differetlziall del prlmo ordlne, Rend. Ace. Naz. LIncel
(8), 3 (1947), 272—276.
Барчнелл, Ченди (Burchnall J. L., Chaundy T. W.)
[1] Commutative ordinary differential operators, Proc. of the London Math.
Soc. (2), 21 (1922), 420—440.
Б a x м а н (Bachmann)
[1] Zahlentheorle, 1894.
Бели, Сомервилл (Bay ley V. A., So m e r vll 1 e J. M.)
[1] The graphical solution of ordinary differential equations, Phllos. Mag.,
26 (1938), 1—31.
Бендиксон (Bendlxon I.)
[1] Sur les courbes deflnles par des equations dlfferentielles, Acta Math., 24
(1901), 1—88. [Часть работы переведена: Успехи матем. наук, IX (1941),
191—211. — Прим. перев.]
Бернулли И. (Bernoulli I.)
[1] Modus generalis construendl omnes aequationes dlfferentlales prlml gra-
dus, Acta Erud. (Llpslae, 1694), 435—437.
Б е р н ш т е й н С. Н.
[1] Об уравнениях вариационного исчисления, Успехи матем. наук, вып.
VIII (1940), 32—74.

Литература
391
Биркгоф (Birkhoff G. D.)
[1] On the asymptotic character of the solutions of certain linear differential
equations containing a parameter, Trans, of the Am. Math. Soc, 9(1908),
219 231
Биркгоф и Келлог (Birkhoff G. D., Kellog O. D.)
[IJ Invariant points In function space, Trans, of the Am. Math. Soc, 23
(1922), 96—115.
Бирнацкий (Blernacki M.)
[1] Sur Г equation differentielle x" + A (t) x = 0, Prace Mat. Fizy.,40 (1933),
163—171.
Блохинцев Д. И.
[1] Основы квантовой механики, М. — Л., 1949.
Бомпиани (Bompiani E.)
[11 Un teorema di confronto ed un teorema di uniclta" per l'equazione
differenziale y> =f(x, v), Rend. R. Ace Naz. del Lincei (6), I (1925),
298—302.
Бохер (Bocher M.)
[1] Введение в высшую алгебру, М. — Л., 1934.
Брассин (Brasslnne E.)
[1] Analogie des equations differentielles Hneaires к coefficients variables,
avec les equations algebriques, Cours d'Analyse par Ch. Sturm (12 ed.,
.1901), T. 3, 345.
Браччно (Braccio R.)
[1] Espresslone generale dell'integrale di una equazione differenziale lineare
omogenea e di tipo normale di ordine pari, Rend. R. 1st. Lombardo Sc.
e Lett. (2), 62 (1929), 760—773.
Бриссон (Brisson B.)
[1] Sur Integration des equations differentielles partielles, Journ. de ГЕс.
Polytech., VII (14 cahier, 1808), 191—261.
Бромвич (Bromwich T. J.)
[1] An introduction to the theory of infinite series, London, 1931.
[2] Normal coordinates in dynamical systems, Proc. of the London Mat.
Soc. (2), 15 (1915), 401—448.
Буль (Boole G.)
[1] A treatise on differential equations, London, 1877.
[2] The Cambridge Math. Journ., 2 (1841).
BypraTTH(BurgattiP.)
[1] SugH integral! singolari delle equazloni a detivate ordinarie del second,
ordine, Rend. Ctrc. Mat. Palermo, 20 (1905), 251—264.
ByTfleBCKHft(ButiewskiE.)
[11 Sur les integrates d'une equation differentielle du second ordre, Mathe-
matica (Cluj), XII (1936), 36—48.
Бутру (BoutrouxP.)
[1] Lecons sur les fonctlons deflnies par les equations differentielles du
premier ordre, Paris, 1908, p. 1—90.
Бэшфорт, Адаме (Bashforth F., Adams J. C.)
[1] Theories of capillary action, Cambridge, 1883.
В а л л е-П у с с е н
[1] Курс анализа бесконечно малых, М. — Л., 1933.
Ватсон (Watson G. N.)
[1] Теория бесселевых функций, ч. I, M., 1949.
Виддер Д. В. (Widder D. V.)
[lj The Laplace Transform, Princenton, 1946.
Виллерс (Willers Fr. A.)
[1] Methoden der practischen Analysis, BeiHn, 1928.
[2j Математические инструменты, М., 1949.

392 Литература
В им ан (Wiman A.)
[1] Ueber die reellen LOsungen der Iinearen Differenlialgleichungen zweiter
Ordnung, Arkiv f6r Matem., Astr. och Fysik, 12, № 14 (1917).
[2] Ueber eine StabiHtatsfrage in der Theorie der Iinearen
Differenlialgleichungen, Acta Math., 66 (1936), 121—145.
Винер (Wiener N.)
[1] The operational calculus, Math. Ann., 95 (1926), 557—584.
Виола (Viola" Т.)
[1] Dimonstrazione della conveigenza di tin procedimento di M. Picone per il
calcolo degli autovalori, Rend. Ace. Naz. dei Lincei (6), 29 (1939), 180—185.
Вьеторис (Vietoris L.)
[1] Об интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений
посредством итерации, Успехи матем. наук, вып. 4 (1938), 45—78.
[2] Ein einfacher Intergraph, Zeitschr. fur Ang. Math, und Mech., 15 (1935),
238—242.
Гамбье (Gambler B.)
[1] L'equation differentielle Hneaire du second ordre x" -\-xA (t) = 0, Nouv,
Ann. de Math. (6), 2 (1927), 2—23.
Г а м е л ь (Ha me 1 G.)
[1] Uber erzwungene Schwingungen bei endllchen AmpHtuden, Math. Ann.,
86 (1922), 1—13.
Гаммерштейн (Hammerstein A.)
[1] Eine nichtlineare Randwertaufgabe (Erzwungene Pendelschwingung),
Jahresberichte der deutschen Math. Verein., 39 (1930), 59—64.
Гаммерштейн (Hammerstein H.)
[1] Nichtlinearen Intergralgleichungen nebst Anwendungen, Acta Math., 54
(1930), 117—176.
Гарднер М. Ф. и Берне Дж. Л.
[1] Переходные процессы в линейных системах, М. — Л., 1951.
ГельфандИ. М.
[1] Лекции по линейной алгебре, 2-е изд., М. — Л., 1952.
Геронимус Я. Л.
[1] Теория ортогональных многочленов, М.— Л., 1950.
Гиршфельд (Hlrschfeld H. О.)
[1] A generalization of Picard's method of successive approximation, Proc.
Cambridge Philos. Soc, 32 (1936), 86—95.
Г и ц е т т и (G h i z г е 11 i A.)
[1] Sul comportamento asintotico degli integral! delle equazioni differenziali
linear! omogenee, Giorn. di Mat. di Battaglini (4), 77 (1947), 5—27.
[2] Calcolo simbolico. La transformazione di Laplace e il calcolo simbolico
degli elettrotecnid, Bologna, 1943.
Г л а гол е в Н. А.
[1] Начертательная геометрия, М., 1953.
Гольдштейн (Goldsteins.)
[1] A note on certain approximate solutions of lineai differential equations
of the second order, with an application to the Mathieu eguation (2),
Proc. of the London Math. Soc, 28 (1928), 81—90.
[2] A note on certain approximate solutions of linear differential equations
of fhe second order, Proc. of the London Math. Soc, &3 (1932), 246—252.
Гопф (Hopf E.)
[1] On Emden's differential equation, Monthly Not. of the Royal Astr. Soc,
91 (1931), 653—663.
Горн (Horn J.)
[1] GewOnliche Differentialgleichungen, Berlin, 1927.
Граф фи (Graffi D.)
[1] Considerazioni sul metodo degli operator! functionali, Mem. Pont, Acad.
Scient. Novi Lyncae! (3), 2 (1936), 211—262.

Литература
393
[2] Sull'appHcazlone del calcolo operatorio funczionale ai circuiti elettrici,
Comment. Pont. Acad. Sd., 3 (1939), 369—402.
[3] Sopra alcune equazloni differenziali della radiotecnica, Mem. della R.
Ace. delle Sc. dell'Ist. di Bologna (9), 9 (1942), 8.3—91.
[4] Sopra alcune eguazlonl differenziali non lineari della Fisica Matematlca,
Mem. della R. Ace. delle Sc. dell'Ist. di Bologna (9), 7 (1940), 121—129.
Грейвс и Гильдебрандт (Graves L. M., Hildebrandt Т. Н.)
[1] ImpHcit funkHons and their differentials in general analysis, Trans, of
the Am. Math. Soc, 39 (1936), 1—17.
Гроппи (Groppi I.)
[1] A proposite di alcunl cdterl di confronto per le equazloni differenziali
del'secondo ordlne, Boll. Un. Mat. It., 17 (1938), 179—182.
Г у р с а
[1] Курс математического анализа, М. — Л., т.т. 1 и 2, 1936, т. 3, 1933.
Гусаров Л. А.
[1] Об ограниченности решений линейного уравнения второго порядка,
ДАН СССР, LXVII1, № 2 (1949), 217-220.
Дарбу (Darboux G.)
[1] Sur les solutions slngulieres des equations aux derivees ordinaires du
premier ordre, Bull, des Sc. Math., 4 (1873), 158—176.
Деч (Doetsch G.)
[1] Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation, Berlin, 1937.
[2] Uberblick iiber Gegenstand und Methode der Funktionalanalysis, Jahr.
der Deutsch. Math. Ver., 36 (1927), 1—30.
[3] Die Anwendung von Funktionaltransformationen in der Theorie der
Differentialgleichungen und die symbolische Methode (Operatorenkalkul),
Jahr. der Deutsch. Math. Ver., 43 (1934), 238—251.
Джексон (Jackson D.)
[1] A generalized problem in weighted approximation, Trans, of the Am.
Math. Soc, 26 (1924), 133—154.
[2] Ряды Фурье и ортогональные полиномы. М., 1948.
Джеффрейс (Jeffreys H.)
[1] On certain approximate solutions of linear differential equations of the
second order, Proc. of the London Math. Soc. (2), 23 (1924), 428—436.
[2] Asymptotic solutions of linear differential equations, Philos. Mag. (7), 21
(1936), 544—546.
[3] Operational methods in Math. Phys., Cambridge, 1931.
Джорджи (G i о г g i G.)
[1] II metodo simbolico nello studio delle correnti variabili, Atfi Ass. Elettr.
It., VII (1904), 65—143. .
[2] Sul calcolo delle soluzioni funczionali originate da problemi di elettro-
dinamica, Atti Ass. Elettr. It., IX (1905), 651—699.
[3J The functional dependence of physical variables, Proc. of the Math.
Congress of Toronto, II (1924), 355—361.
[4] Lezioni di Fisica Matematica tenute nella R. Universita di Cagliari,
vol. I, Roma, 1927, cap. XI, XII, XIV.
Д ж у л и а н о (G i u 11 a n о L.)
[1] Sull'unicita delle so'uzioni dei sistemi di equazioni differenziali ordinarie,
Boll. Un. Mat. It. (2), 2 (1940), 221—227.
[2] Su un notevole teorema di confronto e su un teorema di unicita per i
sisfemi, Rend. R. Ace. d'ltalia (7), 1 (1940), 330—336
Дзондадари (Zondadari E.)
[1] Integrazione grafica e studuo delle equazioni differenziali ordinarie
(Milano — Roma, Soc. Ed. Dante Alighieri, 1917).

394
Литература
Дйгель (Dig el E.)
fl] Ober den Verlauf der Integralkurven des Systems dxjdt=f(x, y),
dy/dt = g(x, y) in der Umgebung eines singularen Punktes (Tubingen,
Diss., 1934, 1—18).
Д и н и (D i n i U.)
[1] Studi sulle equazioni differenziali lineari, Ann. di Mat. pura ed appl.
(3), 2 (1899), 297—324; 3 (1899), 125—183.
[2] Lezioni di Ana'isi Infinitesimale, vol. II, Calcolo Integrate (2a p. 1915).
Д итки н В. A.
[1] Операционное исчисление, Успехи матем. наук, II, вып. 6 (22) (1947),
72—158.
ДиткинВ. А., Кузнецов П. И.
[1] Справочник по операционному исчислению, М. — Л., 1951.
Дулак (Dulac H.)
[1] Curvas definidas рог una ecuacion dlferencial de primer orden у de
primer grado, Madrid, 1933, p. 1 — 180 (библиография на стр. 178).
[2] Points singuliers der equations differentielles, Memorial des Scienc. Math.,
fasc. 61 (Paris, 1934), 1—67.
Д у ффинг (Duffing G.)
[1] Erzwungene Schwingungen bei veranderlichei Eigenfrequenz und ihre
technische Bedeutung, Berlin, 1918, S. VI+ 134.
Жакоб (Jacob L.)
[1] Le calcul mecanique, Appareils aritmetiques et algebriques, Integrateurs,
Paris, 1911.
Завиша (Zawischa K.)
[1] Ueber die Differentialgleichung y' = kf(x, y) defen LOsungkurve durch
zwei gegebene Punkte hindurchgehen soil, Monafsh. fur Math, und
Phys., 37 (1930), 103—124.
3apeM6a(ZarembaS. K.)
[1] Sur l'allure des integrates d'une equation differentielle ordinaire du
premier ordre dans le voisinage de l'integrale singuliere, Bull. Int. de l'Ac.
Polonaise de Sc. et de Lettres (Math.) (1931), 288—321.
[2] Les fonctions reelles поп analytiques et les solutions singulieres des
equations differentielles du premier ordre, Ann. Soc. Polon. Math., I
(1922), 1—28!
Зигмунд
[1] Тригонометрические ряды, М. — Л., 1937.
Зоммерфельд (Sommerfeld A.)
[1] Integrazione asintotica dell'equazione di Thomas — Fermi, Rend. R. Ace,
Naz. dei Lincei (6), 15 (1932), 788—792.
И г л и ш (I g 1 i s c h R.)
[1] Zur Theorie der Schwingungen, Monatsh. Mr Math, und Phys., 37 (1930),
325—342; 39 (1932), 173—220; 42 (1935), 7—36.
[2] Ober die LSsungen des Duffingschen Schwingungsproblems bei grossen
Parameterwerten, Math. Ann., Ill (1935), 568—581.
[3] Die erste Resonantzkurve beim Duffingschen Schwingungsproblems,
Math. Ann., 112 (1936), 221—246.
И ос и да (Yosida К.)
[1] On the asymptotic property of the differential equation y"-\- H(x)y =
=f(x,y,y'), Jap. Journ. of Math., IX (1932), 145—152.
Кал иго (С а И go D.)
[1] Un criterio suffiziente di stabiUta per le soluzioni dei sistemi di equazioni
integrali lineari e sue appiicazioni, Rend. R. Ace. d'ltalia (7), 1 (1940),
497—506.
Камке (К a m k e E.)
[1] Differentialgleichungen reeler Funktionen, Leipzig, 1930.
|2J Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, М., 1951.

Литература
395
Камынин Л. И.
[1] Об ограниченности решений дифференциального уравнения у"-\-
+ F(x)y = 0, Вестник МГУ, № 5, сер. физ.-матем. № 3 (1951), 3—12.
Каратеодори (Caratheodory С.)
[1] Vorlesungen fiber reelle Funktlonen, 2-te Aufl., Leipzig, 1927.
К а р л и н и (С а г 1 i n 1 F.).
[1] Rlcerche sulla convergenza della serie che serve alia soluzlone del
problema dl Keplero, Milano, 1817.
Карман (КйгшйпТ.)
[11 The engineer grapples with non-linear problems, Bull, of the Am. Math.
Soc, 46 (1940), 615-683.
Карман Т. и Б и о М.
[1] Математические методы в инженерном деле, М. — Л., 1948.
Картан А. и Картан Э. (Cartan H., Cartan Ё.)
[1] Note sur la generation des oscillations entretenues, Ann. des Poste,
Telegraphes et Telephone, 14 (1935), 1196—1207.
Картан Е. (Cartan Ё.)
[1] Les fonctions reelles non analyflques et les solutions singulieres des
equation dlfferentielles du premier ordre, Ann. Soc. Pol. Math., II (1923),
1—18.
К а с с и н и (С a s s i n i s G.)
[1] Calcoli numerici, grafici e meccanici, Pisa, 1928.
Каччиополи (Caccloppoli R.)
[1] Una questione di stability, Rend. R. Ace. Naz. dei Lincei (6), 11 (1930),
251—254.
[2J Problemi non lineari in analisi funzionale, Rend. Sem. Mat. di Roma
(3), 1 (1933), 13—22.
[3] Un teorema generale sull'esistenza di element! unit! in una transforma-
zlone funzionale, Rend. R. Ace. Naz. dei Lincei (6), 11 (1930), 794—799.
Каччиополи и Гицетти (Caccloppoli R., Ghizzetti A.)
[1] Ricerche asintoticheper una particolare equazione differenziale non lineare
Rend. R. Ace. d'ltalia (7), 3 (1942), 427—444.
К е л и (С а у 1 e у А.)
[1] On the theory of the singular solutions of differential equations of the
first order, Messenger of Math., II (1873), 6-12.
Кельвин (Kelvin)
[1] On graphic solution of dynamical problems, Philos. Mag. (5), 34 (1892),
443—448.
Кембел, Фостер (Cambell G. A., Foster R. M.)
[1] Fourier integrals for practical applications, Bull. Teleph. System, Teen,
publications, 1931.
KeHHrc6eprep(KoenigsbergerL.)
[1] Lehrbuch der Theorie der Differentialglelchungen mit einer unabhan-
gigen Variabeln, Leipzig, 1889.
Клеро (Clairaut A. C.)
[1] Memolres Ac. Sc. Paris, 1734, p. 209.
К.незер (К n e s e r A.)
[1] Un tersu chung und asymptodsche Darstellung der Integrale gewisser
Dlfferentialgleichungen bei grossen reelen Werten des Arguments, Journ.
fur die reine und ang. Math.
а) 116 (1896), 178—212;
б) 117 (1897), 72-103;
в) 120 (1899), 267—275.
[2] Ein Beitrag zur Theorie der Integralgleichungen, Rend. Circ. Mat,
Palermo, 22 (1906), 233—240.

396
Литература
Ко л л атц (CoIIa tz L.)
[1] Genaherfe Berechnung von Eigenwerten, Zeitschr. fur Ang. Math, und
Mech., 19 (1939), 224—249, 297—318.
Крылов А. Н.
[1] Лекции о приближенных вычислениях, М. — Л., 1950.
Крылов Н. М.
[1] Les methodes de solution approchee des problemes de la Physique
mathematique, Memorial des Sciences Math., fasc. 49 (Paris, 1931).
[2] Основные проблемы математической физики и техники, Киев, 1932.
Кун и Гордон (Coon E. M., Gordon R. L.)
[Г] Singular solutions of differential equations of the second order, Ann. of
Math. (2), 21 (1919), 98—103.
К у р о ш А. Г.
[1] Курс высшей алгебры, М. — Л., 1952.
Кутта (Kutta W.)
[11 Beitrag zur naherungweisen Integration totaler Differentialgleichungen,
Zeifschr. fur Math, und Phys., 46 (1901), 435—452.
Лаврентьев М. A.
[11 Sur une equation differentielle du premier ordre, Math. Zeitschr., 23
(1925), 197—209.
Лаврентьев М. А., Люстерник Л. А.
[1] Учебник по вариационному исчислению, 2-е изд., М. — Л„ 1952.
Л а гр а н ж (L a gr a ng e С. L.)
[11 Sur les integrales particulieres des equations differentielles, Oeuvres, vol.
IV, p. 5—108.
[2] Sur differentes questions d'Analyse relative a la theorie des integrales
partictrlieres, Oeuvres, vol. IV, p. 585—634.
[3] Oeuvres, vol. I (Paris, 1867), p. 481—490.
Лампариелло (Lampariello G.)
[1] Su una classe notevole di equazioni differenziali del secondo ordine non
Iineari, Rend. R. Ace. Naz. dei Lincei (6), 9 (1934), 284—290, 386—393.
Л а н г e p (L a n g e r R. E.)
[1] On the asymptotic solutions of ordinary differential equations with an
application to the Bessel functions of large order, Trans, of the Am.
Math. Soc, 33 (1931), 23—64.
[2] ibid. Trans, of the Am. Math. Soc, 34 (1932), 447-480.
[3] The asymptotic solutions of certain linear ordinary differential equations
of the second order, Trans of the Am. Math. Soc, 36 (1934), 90—106.
Ландау (Landau E.)
[1] Prlmzahlen, Bd. I, 1909.
[2J Ober die Grundlagen der Theorie der Fakultatenreihcn, Sitz. Miinchn.
Akad., 36 (1906), 151—218.
Ландау Л. Д. и ЛифшицЕ. М.
[1] Квантовая механика, ч. I, M. — Л., 1948.
Леви-ЧивитаТ. и АмальдиУ. (Levl-CivitaT. e AmaldiU.)
[1] Курс теоретической механики, М., 1951.
[2] Nozloni di ballstica esterna, Bologna, 1935.
Левинсов (Levinson N.)
[1] The Fourier transform solution of ordinary and partial differential
equations, Journ. of Math, and Phys. (Massachusetts Inst.), 14 (1935),
Л е в и н с о н и Смит (Levinson N., S m i t h О. К.)
[1] A general equations for relaxation oscillations, Duke Math. Journ., 9
(1942), 382—403.
Лерх (Lerch M.)
fl] Sur un point de la theorie des fonctions generatrice d'Abel, Acta Math.,
27 (1903), 339-351,

Литературй
397
Леттенмейер (LettenmeyerF.)
[1] Ober die sogennante Hospitalscheregel, Journ. fur die reine und ang.
Math., 174 (1936), 246-247.
Лефшец (LefschetzS.)
[1] Lectures on differential equations, Princeton, 1946, p. 188—194.
Ли и Шефферс (LieS., ScheffersO.)
[1] Geometrie der Beruhriingstransformationen, Leipzig, 1896, S. 188.
Л и б р и (L i b r i G.)
[1] Memoire sur la resolution..., Journ. fur die reine und ang. Math., 10
(1833), 167—194.
[2] Sur des rapports qui existent entre la theorie des equations algebriques
et le theorie des equations lineaires aux differentielles et aux
differences, Journ. de Math. pur. et appl., I (1836), 10—13.
Лиенар (L i ё n a r d A.)
[1] Etude des oscillations entretenues, Revue General de I'Electricite, 23
(1928), 901—912, 946—954.
[2] Oscillations autoentretenues, Proc. of the Third' Int. Congr. of Appl.
Mech. (Stockholm, 1930), 3 (1930), 173—177.
Линделёф (Lindelof)E.
[1] Remarques sur l'integration numerique des equations differentielles ordi-
naires, Acta Soc. Sc. Fennicae (N. Series), II, № 13 (1938), 1—21.
Лихтенштейн (LichtensteinL.)
[1] Gleichgewfchtsfiguren rotierender Fiilssigkeiten, Berlin, 1933.
Л о н н (L о n n E.)
[1] Knoteninvarianz bei Differentialgleichungen, Jahr. der Deutsch. Math.
Vei., 43 (1934), 232—237.
Лурье А. И.
[1] Операционное исчисление, М. — Л., 1950.
Любин (LublnC. I.)
[1] Transformation of differential equations in the neighborhood of singular
points, Duke Math. Journ., 3 (1937), 394—417.
Ляпунов А. М.
[1] Общая задача об устойчивости движения, М. — Л., 1950.
Мак-Ивен (McEvenW. H.)
[1] Problems of closest approximation connected with the solution of linear
differential equations, Trans, of the Am. Math. Soc, 33 (1911), 979—997.
[2] On the approximate solution of linear differential equations with
boundary conditions, Bull, of the Am. Math. Soc, 39 (1932), 887—894.
Мак-Лахлан (М с L а с hi a n N. W.)
[1] Modern Operational Calculus with applications in technical mathematics,
London, 1948.
Мальмстен (M a 1 ms t ё n С. J.)
[1] De l'equation dffferentielle..., Journ. fur die reine und ang. Math., 39
(1850), 99—107.
Мамбриани (MambrianiA.)
[1] Su un teorema relativo alle equazlonl differenziali ordinarie del 2° ordine,
Rend. R. Ace Naz. dei Lincei (6), 9 (1929), 620—622.
[2] Su una particolare equazione differenziale, Rend. R. Ace. Naz dei Lincei
(6), 9 (1929), 142—144.
Маммана (MammanaG.)
[1] La decomposizione delle espressioni differenziali lineari omogenee in
fattori simbolici di primo ordine, Rend. R. Ace. Naz. dei Lincei (6), 9
(1929), 538—544.
]2] Alcune applicazioni della decomposizione delle espressioni differenziali
lineari omogenee alio studio delle equazionl differenziali lineari
omogenee, Rend. R. Ace. Naz. dei Lincei (6), 9 (1929), 608—615.

ш
Литература.
[3] Decomposizione delle espressioni differenziali linear! ornogenee in pro-
dotto di fattori, e applicazione relative alio studio delle equazioni
differenziali-linear!, Math. Zeltschr., 33 (1931), 186—231.
Манна (Mania B.)
[1] Sopra i sistemi di equazioni differenziali in forma implictta, Rend. R.
1st. Lomb. Sc. e Lett. (2), 69 (1936), 461—476.
Маркушевич А. И.
[1] Теория аналитических функций, М. — Л., 1951.
Массо (MassauJ.)
[1] Revue Univ. de Mines (Liegi) (2), 22 (1887).
Мателль (Matell M.)
[1] Asymptotische Eigenschaften gewisser linearen Differenlialgleichungen,
Dissertation, Uppsala, 1924.
M и з е с (M i s e s R.)
[1] Uber deh Verlauf der Integralkurven einer Differentialglekhung erster
Ordnung, Compositio Math., 6 (1938), 203—220.
Миллер (М i 11 e r N.)
[1] A first course in differential equations, Oxford, 1936, p. 1—148.
M и л л у (М i 11 о u x H.)
(1] Sur l'equation differentielle x" + A(t)x = 0. Prace Mat. Fizy., 41 (1934),
39—54.
Мили (Milne E. A.)
[1] Note on steady-state distributions which are given by solutions of Em-
den's differential equations, Monthly Not. of the Royal Astr. Soc, 91
(1931), 751—756.
Милн (M i 1 n e W. E.)
[1] Damped vibrations, University of Oregon Publication, 2, № 2 (1923),
1—37.
Миранда (Miranda C.)
[1] Teoreml e metodi per I'integrazione numerica dell'equazione differenziale
di Fermi, Mem. della R. Ace. d'ltalia, 5 (1934), 285—322.
Монтель (Montel P.)
[1] Sur l'integrale superieure et l'integrale inferieure d'une equation
differentielle, Bull, des Sciences Math., 50 (1926), 205—217.
Мюллер (Miiller M.)
[1] Neuere Untersuchungen iider den Fundamentalsatz in der Theorie der
gew6hnlichen Differentialgleichungen, Jahrb. der Deutsch. Math. Ver.,
37 (1928), 33—48.
[2] Ueber die Eindeutigkeit der Integrale eines Systems gew6hnlicher
Differentialgleichungen und die Konvergenz einer Gattung von Verfahren
zur Approximation dieser Integrale, Sitz. der Heidelberger Ak. Wiss.
Math. Nat. Klasse, 9 (1927), 38.
Нагумо (NagumoM.)
[1] Eine hinreichende Bedingung fur die Unitat der Lesung von
Differentialgleichungen erster Ordnung. Jap. Journ. of Math., 3 (1926), 107—112.
[2] Ueber die Differentialglekhung y" —f(x, у, у'), Proc. Phys. Math. Soc.
Japan (3), 19 (1937), 861—866.
Натансон И. П.
11 Теория функций вещественной переменной, М. — Л., 1950.
2] Конструктивная теория функций, М. — Л., 1949.
Н е м ы ц к и й В. В., С т е п а н о в В. В.
[1] Качественная теория дифференциальных уравнений, М. — Л., 1949_
Ни стрём (Nystr6nfE. J.)
[1] Uber die numerische Integration von Differentialgleichungen, Acta Soc.
Fennkae, L, № 13 (1925). 1—55.

Литература
Ш
О с гуд (Osgood W. F.)
[1] Beweis der Existenz einer LOsung der Differentialgleichung y' =f (x,y),
ohne Hinzunahme der Cauchy — Lipschitz'schen Bedingung, Monatsh.
fur Math, und Phys., 9 (1898), 331—345.
Паркер ванЦандт (Parker J. van Zandt)
[1] Oscillating systems damped by resistance proportional to the square of
the velocity, Phys. Rev. (Lancaster), XV (1917), 415—431.
Паскаль (Pascal E.)
[1] I miei integrafi per equazioni differenziali, Mem. R. Ace. Sc. Napoli (2),
XV, № 16 (1913), 1—76.
[2] La risoluzione meccanica esatta delle equazioni differenziali lineari ge-
nerali di secondo ordine, Rend. R. Ace. Naz. Lincei (5), 25 (1916),
401—405.
[3] Sull'integrazione meccanica delle equazioni differenziali, e in particolare
di quella Hneare di 2° ordine ausiliaria dell'altra non lineare che ё fon-
damentale per la fislca atomica, Mem. della R. Ace. d'ltalia, XI (1940),
209—243.
П е а н о (Реапо О.)
[lJ.Sull'integrabilita' delle equazioni differenziali di prima ordine, Atti R. Ace.
Sc.» Torino, 21 (1885—1886), 437—445.
[2] Demonstration de l'integrabilite des equations differentielles ordinaires,
Math. Ann., 37 (1890), 182—228.
Перрон (Perron O.)
[1] Ueber lineare Differentialgleichungen.bei denen die unabhangige Variable
reelle ist, Journ. fur die reine und ang. Math., 143 (1913), 254—270.
[2J Ueber nichthomogene lineare Differentialgleichungen, Math. Zeitschr.,
6 (1920), 161—106.
[3] Ueber einen Grenzwertsatz, Math. Zeitschr., 17 (1933), 149—152.
{4J Eine hinreichende Bedingung fur die Unitat der LOsung von
Differentialgleichungen erster Ordnung, Math. Zeitschi., 28 (1928), 216-219.
[5] Eine neurer Existenzbeweis fur die Integrale der Differentialgleichung
y' =f(x, y). Math. Ann., 76 (1915), 471—484.
[6] Uber die Gestalt der Integralkurven einer Differentialgleichung erster
Ordnung in der Umgebung eines singularen Punktes, Math. Zeitschr.,
15 (1922), 121—146; 16 (1923), 273—295.
Петровский И. Г.
[1] Uber das Verhalten der Integralkurven eines Systems gewOhnlicher
Differentialgleichungen in der Nahe eines singularen Punktes, Матем. сб.,
41 (1931), 107—155.
П ика р (Pic a r d Ё.)
[1] Sur l'application des methodes d'approximation successives a l'etude de
certaines equations differentiel'es ordinaires, Journ. de Math. pur. et
appl. (4), 9 (1893), 217—271.
[2] Lemons sur quelques problemes aux limites de la thdorie des equations
differentielles, Paris, 1930.
[3] Traite d'Analyse, 3-е ed., Paris, 1928.
Пиконе (Picone M.)
[1] MagViorazione dell'errore d'approssimazione nel metodo di integrazione
di Cauchy — Lipschitz dei sistemi di equazioni dfflerenziale, ordinarie,
Rend. R. Ace. Naz. dei Lincei (6), 15 (1932), 859-864.
[2] Sulle autosoluzioni e sulle formule di maggiorazione per gH integrali
delle equazioni differenziali lineari ordinarie autoaggiunte, Math. Zeitschr.,
28 (1928), 519—555.
[3] Sul metodo delle minime potenze ponderate e sul metodo di Ritz per
il calcolo approssimato nei problemi della fisica — matematica, Rend
Circ. Mat. Palermo, 52 (1928), 225—253.

400
Литература
[4] Sul moto dei gravi nell'atmosfera, Boll. Un. Mat. It., 9 (1930), 96—102,
125—132.
[5] Sul moto dei gravi in un mezzo resistente, Boll. Un. Mat. It., 10 (1931),
150—167.
[6] I polinomi di Laguerre e di Hermite come autosoluzioni, Boll. Un. Mat
It., 16 (1937), 205—218.
П и н и (P i n i E.)
[1] Sulla cortinuita" degli integrali dell'equazione y' =f(x, y, i) rispetto ai
valori iniziali, Rend. R. 1st. Lombardo Sc. e Lett. (2), 63 (1930), 531—534.
Пинкерле (Pincherle S.)
[1] Sur les fonctions determinantes, Ann. Sc. de Г Ёс. Norm. Sup. (3), 22
(1905), 9—58.
[2] Quelques remarqties stir les fonctions determinates, Acta Math., 36 (1913),
269—280.
[3] Delia transformazione di Laplace e di alcune sue applicazioni, Mem. R.
Ace. deirist. di Bologna (4), 8 (1887), 125—143.
Пинкерле и Амальди (Pincherle S., AmaldiU.)
[1] Operazioni distributive, Bologna, 1901.
Ван дер Поль (van der Pol В.)
[1] A simple proof and an extension of Heaviside's operational calculus for
invariable systems, Phil. Mag., 7 (1929), 1153—1162.
[2] Sur les oscillations de relaxations, The Philosophical Magazine (7), 2
(1926), 978—992.
[3] The non linear theory of electric oscillations, Proc. Inst. Radio Engr.,
22 (1934), 1051—1086.
Ван дер Поль и Бреммер
[I] Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования
Лапласа, М., 1952.
Польвани, Асколи, Джакомини (Polvani G., Ascoli G.,
G i а с о m i n i A.)
[1] Question! riguardanti il magnetron, Rend. Sem. Mat. e Fisico di Milano,
10 (1936), 279—338.
Попов (Р о р о f f К.)
[1] Das Hauptproblem der ausseren Ballistik, Leipzig, 1932.
Привалов И. И.
[1] Введение в теорию функций комплексного переменного, М. — Л., 1948.
Пуанкаре (PoincareH.)
[1] Les Methodes nouvelles de la Mecanique Celeste, Paris, 1892.
[2] Sur les integrates irregulieres des equations lineaires, Acta Math., 8
(1886), 295—344.
[3] О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, М. — Л.,
1947.
П у л ь Е. (Р о о I e E. G.)
[1] Introduction to the theory of linear differential equations, Oxford, 1936.
Pay с (Routh E. J.)
[I] Essay on the stability of steady motion, Cambridge, 1877.
Ритц (Ritz W.)
[1] Uber eine neue Methode zur Losung gewisser Variationsprobleme der
mathematischen Physik, Journ. Mr die reine und ang. Math., 135 (1908),
1—61.
[2] Oeuvres completes de W. Ritz, avec tine preface de P. Weiss, Paris, 1911.
Розенблатт (Rosenblatt A.)
[1] Ueber die Existenz von Integralen gewOhnlicher Differentialgleichungen,
Archiv for Matem. Astr. och Fysik, 5, № 2 (1909), 4.
[2] Sull'unicite della soluzione di un sistema di equazioni differenziali
ordinance, Rend. R. Ace. Naz. dei Lincei (6), 8 (1928), 41—45.

Литература
401
[3] Sur les theoremes de M. Picard dans la theorie des problemes aux lirai-
tes des equations differentielles du second ordre non lineaires, Bull, des
Sciences Math., 57 (1933), 100—106.
Росс ё ланд'(Rosseland S.)
[1] Mechanische Integration von Differentialgleichungen, Naturwissenschaften,
27 (1939), 729—735.
Рунге (Runge C.)
[1] Uber die nuraerische Auflosung von Differentialgleichungen, Math. Ann.,
46 (1895), 167—178.
Рунге и Виллерс (Runge С, WillersFr. A.)
[1] Nuraerische und graphische Quadratur und Integration gewohnlicher und
parfieller Differentialgleichungen, Encykl. der Math. Wissensch., II, C, 2
(Leipzig, 1915).
Рунге и Кениг (Runge С, KonigH.)
[1] Vorlesungen fiber numerisches Rechnen, Berlin, 1924.
Сансоне (Sansone G.)
1] Sviluppi in serie di Funzioni Orfogonali, 2a ed., Bologna, 1946.
2] Scritti Materaatici offerti a Luigi Berzolari, Pavia, 1936, p. 385—403.
3] Sulle soluzioni di Eraden dell'equazione di Fowler, Rend. Sera. Mat. di
Roma (5), I (1940), 163—176.
[4] I polinomi di Hermite e di Laguerre come autosoluzioni, Boll. Un. Mat.
It. (2), 2 (1940), 193—200.
[5] Lezioni di Analisi Matematica, vol. II, Padova, 1948.,
С а т о (S a t б Т.)
[1] Ueber Stabilitat einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung,
Jap. Journ. of Math., X (1933), 195—197.
[2] Sur l'equation dif.erentielle y" =/(*, y, y'\ Proc. of the Imp. Ac. of
Japan, 13 (1937), 348—351.
Сбрана (Sbrana E.)
[1] Sopra cerfe equazioni differenziali del secondo ordine, Boll. Un. Mat.
It., 3 (1924), 200—206.
[2] Considerazioni sul calcolo degli operatori funczionali che si presentano
nella Fisica-Materaatica, Atti Congresso Int. di Matematica (Bologna,
1928), vol. V, p. 143—149.
Северини (SeveriniC.)
[1] Sopra gli integrali del'e equazioni differenziali ordinarie d'ordine supe-
riori al prirao con valori prestabiliti in punti dati, Atti della R.
Ace. Sc, Torino, 40 (1905), 858—869.
Cere (S z e g 0 E.)
[1] Asyraptotische Entwicklungen der Jacobischen Polynorae, Schr. d. Кб-
nigsberger Gel. Ges., 10 (1933), 35—112.
С иаччи (Si а с ci F.)
[1] Sulla velocita minima, Rivista di Artiglieria e Genio, 18 (1901), vol. I,
p. 287—297.
Синьорини (SignoriniA.)
[1] Sulla velocita minima, Rend. R. Ace. Naz. dei Lincei (5), 31 (1931, 2°
sem.), 101—104.
[2] Un teorema di confronto in balistica esterna e alcune sue applicazioni,
Rend. Circ. Mat. Palermo, 43 (1919), 357—393.
[3] Sul moto di un punto soggetto a resistenza idraulica e forza di richiamo,
Atti R. 1st. Veneto di Sc. Lett, ed Arti., 73 (1913—1916), p 2a, 803—858.
Скатицци (ScatizziP.)
[1] Nuovo integrafo per equazioni di Abe! e di Riccati, Giorn. di Mat. di
Battaglini, 55 (1917), 43—47.
Скорца-Драгони (Scorza-Dragoni G.)
[1] A proposito di un teorema di Rosenblatt, Rend. R. Ace. Naz. dei Lincei
(6), 14 (1931), 7—11.
26 Зак. 1072. Дж. Сансоне

402
Литература
[2] Sulle condizioni suffiziente per I'urilciti degli integrali di un'equazione
differenzialle, Rend. Circ. Mat. Palermo, 54 (1930), 430—448.
[3] II problema d^i valori ai limiti studiato in grande per gli integrali di
una equazione differenziale del secondo ordine, Giorn. di Mat. di Bat-
taglini, 69 (1931), 77—112.
[4] A proposito di alcuni teoremi relaiivi ad un problema ai limiti per una
equazione differenziale del secondo ordine, Rend. R. Ace. Naz. dei
Lincei (6), 22 (1935), 44—48.
[5] 11 problema dei valori ai limiti studiato in grande per le equazioni dif-
ferenziali del secondo ordine, Math. Ann., 105 (1931), 133—143.
[6] Su un problema dei valori ai limiti per le equazioni differenziali del
secondo ordine, Rend. Sem. Mat. di Roma (4), 2 (1938), 177—215.
[7] Elementi unili di transformation!" funziona'i e problemi di valori ai limiti,
Rend. Sem. Mat. di Roma (4), 2 (1938), 255—275.
[8] 11 moto dei gravi in un mezzo resistente, Boll. Un. Mat. It., 10 (1931),
141—149.
[9] A proposito di un'equazione differenziale, Rend. R. Aec. Naz. dei Lincei
(6), 8 (1928), 361—362.
[10] Su un'equazione differenziale particolare, Rend. R. Ace. Naz. dei Lincei
(6), 9 (1929), 623—625.
Соболь И. M.
[1] Исследование асимптотического поведения решений линейного
дифференциального уравнения второго порядка при помощи полярных
координат, Матем. сб., 28 (70), 3 (1951), 707—714.
С т а х о (S t а с h 6 Т.)
[11 Operationalkalkul von Heaviside und Laplacesche Transfomation, Acta
Szeged, 3 (1927), 107—120.
С т е п а н о в В. В.
[1] Курс дифференциальных уравнений, М. — Л., 1950, стр. 318.
TaKaxauiH(TakahaschiS.)
[1] Die Differentialgleichung у' = kf(x, у). Tohoku Math. Journ., 34 (1931),
249-256.
Тамаркин (Taraarkin J.)
[1] Some general problems of the theory of ordinary linear differential
equations and expansion of an arbitrary function in series of
fundamental functions, Math. Zeitschr., 27 (1927), 1—54.
[2] Sur le theoreme d'unicite des solutions des equations differentielles
ordinaires, Math. Zeitschr., 16 (1923), 207—213.
[3] Sur la methode de С Stormer pour I'integration approchee des
equations differentielles ordinaires, Math. Zeitschr., 16 (1923), 214—219.
Темпль (Temple G.)
[1] The computation of characteristic numbers and characteristic functions,
Proc. of the Lond. Math. Soc. (2), (1929), 257—280.
T итчма рш
[1] Введение в теорию интегралов Фурье, М. — Л., 1948.
Толлмин (TollmienW.)
[1] Uber die Fehlerabschatzung beim Adamschen Verfahren zur Integration
gewohnlicher Diffefentialgleicriungen, Zeitschr. fiir Ang. Math, und
Mech., 18 (1938), 83—90.
To лс то в Г. П.
[1] Ряды Фурье, М. —Л., 1951.
Томас (Thomas L. Н.)
[1] The calculation of atomic fields, Proc. of the Cambridge Phil. Soc, 23
(1927), 542—548.
T о м e (T h о m ё L. W.)
[1] Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen, Journ. fur die reine
und ang. Math., 95 (1883), 44—104.

Литература
403
Тонелли (Ton elli L.)
[1] Scritti Matematici offerti a Luigi Berzolari, Pavia, 1936, p. 404—
405.
[2] Sulla unicita della soluzione di un'equazione differenziale ordinaria, Rend.
R. Ace. Naz. dei Lincei (6), I (1925), 272—277.
[3] Un'osservazione su un teoreraa di Sturm, Boll. Un. Mat. It., 6 (1927),
126—128.
[4] Sulla rappresentazione analitica delle functioni di piu variabili reali,
Rend. Circ. Mat. Palermo, 29 (1910), 1—36.
[5] Sull'equazione differenziale y" =f(x, у, y'), Ann. delle R. Sc. Norm.
Sup. di Pisa (2), 8 (1939), 75—88.
[6] Fondamenti di Calcolo delle Variazioni, vol. I, Bologna, 1921, vol. II,
1923.
Тржитцинский (TrjitzinskyW. J.)
[1] Theory of linear differential equations containing a parameter, Acta
Math., 67 (1936), 1—50.
T p и к о м и (Т г i с о m i F.)
[1] Integrazione di un'equazione differenziale presentatasi in Elettrotecnica,
Ann. R. Sc. Norm. Sup. di Pisa (2), 2 (1933), 1—20.
[2] A proposito della mia nota „Integrazione di un'equazione...", Rend. R.
Ace. Naz. dei Lincei (6), 18 (1933), 26—28.
Уиттекер и Ватсон
[1] Курс современного анализа, М. — Л., 1934.
Уиттекер и Робинсон
[1] Математическая обработка результатов наблюдений, М. — Л., 1933.
Ф а е д о (F a e d о S.)
[1] И teorema di Fuchs per le equazioni differenziali lineari a coefficienti
non analitici e proporieta analitiche delle soluzioni, Ann. di Mat. pura
e appl. (4), 25 (1946), 111—133.
[2] Propriety asintotiche delle soluzioni dei sistemi differenziali lineari, Ann.
di Mat. pura e appl. (4), 26 (1947), 207—215.
Фантаппие (FantappieL.)
[1] La giustificazione del calcolo simbolico e le sul applicazioni all'integra-
zione delle equazioni a derivate parziali, Mem. della R. Ace. d'ltalia, I
(1930), mem. № 2, 1—35.
[2] Integrazione con quadrature dei sistemi a derivate parziali lineari e a
coefficienti costanti in due variabili, mediante il calcolo degli operatori
lineari, Rend. Circ. Mat. Palermo, 57 (1933), 137—195.
[3] Integrazione in termini finiti di ogni sistema od equazione a derivate
parziali, lineare e a coeffieienti costanti, d'ordine qualunque, Mem. della
R. Ace. d'ltalia, 8 (1937), 611—653.
' Ф а у л e p (Fowler R. H.)
[1] The form near infinity of real continuous solutions of a certain
differential equation of the second order, The Quarterly Journ. of Math., 45
(1914) (Cambridge Series), 289—350.
[2] The solutions of Emden's and similar differential equations, Monthly
Not. of the Royal Astr. Soc, 91 (1930), 63—91.
[3] Further studies of Emden's and similar differential equations, The
Quarterly Journ. of Math., 2 (1931) (Oxford Series), 259—288.
Фейрклауг (Fairclouch N.)
[1] Numerical integration of Emden's polytropic equation of index three,
Monthly Not. of the Royal Astr. Soc, 91 (1930), 55—63".
Ф ер м и (F ermi E.)
[1] Un metodo statistico per la determinazione di alcune proprieta deH'atomo,
Rend. R. Ace. Naz. dei Lincei (6), 6 (1927), 602—607.
ФихтенгольцГ. М.
[1] Курс дифференциального и интегрального исчисления, М.— Л., 1948.
26*

404
Литература
Форстер (ForsterH.)
[1] Ober das Verhalten der Integralkurven einer gewohnlichen
Differentialgleichung erster Ordnung in der Umgebung eines singularen Punktes,
Math. Zeitschr., 43 (1937), 271-320.
Фрез ер, Дункан, Коллар
[1] Теория матриц и её приложения к дифференциальным уравнениям и
динамике, М., 1950.
Фроммер (Ftommer M.)
[1] Ober das Auftreten von Wirbeln und Strudeln (geschlossner und spira-
liger Integralkurven) in der Umgebung rationalen Unbestimmtheitsstellen,
Math. Ann., 109 (1934), 395—424.
[2] Интегральные кривые обыкновенного дифференциального уравнения
первого порядка в окрестности особой точки, имеющей рациональный
характер. Успехи матем. наук, т. IX (1941), 212—253.
Ф у б и н и (F u b i n i G.)
[1] Studi asintotici per alcune equazioni differenziali, Rend. R. Ace. Naz. dei
Lincei (6), 26 (1937), 253—259.
Ф у к с Б. А., Левин В. И.
[1] Функции комплексного переменного и некоторые их приложения,
М. —Л., 1951.
X а а г (На ag J.)
[1] Sur les propietes des integrates de certaines equations differentielles,
Bull, de Sc. Math. (II), 60 (1936), 131—138.
[2] Etude asymptotique des oscillations de relaxation, Ann. Ec. Norm. Sup.
(3), 60 (1943), 35—111.
[3] Exemples concrete d'etude asymptotique d'oscillations de relaxation, Ann.
Ec. Norm. Sup. (3), 61 (1944), 73—117.
Хан (Hah n H.)
[1] Ueber die Lagrangesche Multiplikatorenmethode in der Variationsrech-
nung, Monathsh. fur Math, und Phys., 14 (1903), 325—342.
Хикозака-Нобори (Hikosaka-Nobory)
[1] Untersuchung uber die Unitat der LOsung der Differentialgleichung
y'— lf(x, y), in Bezug auf den Parameter £, Proc. Phys. Math. Soc.
Japan (3), 2 (1929), 73—83.
Хукухара (HukuharaM.)
[1] Sur les points singuliers des equations differentielles lineaires: domaine
reel, Journ. of the Fac. of Science Hokkaido Imp. Un. (1), H (1934),
13—88.
Хукухара и Нагумо (HukuharaM., NagumoM.)
[1] On a condition of stability for a differential equation, Proc. of the Imp.
Acad, of Japan, 6 (1930), 131—132.
Цвирнер (Zwirner G.)
[1] Sulle condizioni sufficienti per 1'unicita degli integrali di un sistema di
equazioni differenziali, Rend. Sem. Mat. di Roma (4), I (1937), 235—252.
|2J Sull'equazione y'=lf(x, y), Rend. Sem. Mat. Padovo, 15 (1946),
33—39.
Церф (С erf G.)
[1] Sur les solutions singulieres des equations differentielles d'ordre quelcon-
que, Journ. de Math. pur. et appl. (9), 8 (1929), 161—172.
Ч е з а р и (С esa r i L.)
[1] Un nuovo criterio di stability per le soluzioni delle equazioni
differenziali linear!, Ann. R. Sc. Norm. Sup. Pisa (2), 9 (1940).
Ч е н д и (C h a u n d у T. W.)
[1] Singular solutions of first-order differential equations, Quarterly Journ.
of Math. (Oxford series), 3 (1932), 238—240.

Литература
405
Ченди и Ленчбери (ChaundyT. W., Launchbury H. R.)
[1] Systems of ordinary differential equations with constant coefficients, The
Quarterly Journ. of Math. (Oxford Series), 8 (1937), 214—219.
Чинквини (Cinquini S.)
[1] Sopra i problemi di valori al contorno pev equazioni differenziali non
lineari, Boll. Un. Mat. It., 17 (1938), 99—105.
[2] Problemi di valori al contorno per equazioni differenziali (non lineari)
del secondo ordine, Ann. della R. Sc. Norm. Sup. di Pisa (2), 8 (1939),
1—22.
Шапиро Я. М.
[1] Внешняя баллистика, М., 1946.
Шепелев В. М.
[1] К вопросу об устойчивости движения, Прикл. матем. и мех., ст.
серия, III, вып. 1 (1936), 144—148.
Шлезингер (SchlesingerL.)
[1] Einfflhrung in die Theorie der gewohnlichen Differentialgleichungen,
3-te Aufl., Lipsia, 1922.
[2] Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen (Leipzig,
1895).
Ш о x а т (S h о h a t J.)
[1] A new analytical method for solving van der Pol's and certain
homogeneous and non homogeneous equations, Journ. Appl. Phys., 14 (1943),
40—48.
[2] On van der Pol's and non linear differential equations, Journ. Appl.
Phys., 15 (1944), 568—574.
Шредингер (SchrOdingerE.)
[1] Quantisierung als Eigenwertproblem, Ann. der Phvs. (4), 79 (1926),
489-527.
Штёрмер (S farmer С.)
[1] Methode d'integration numerique des equations differentielles ordinaires,
Congres Intern, des Mathematicien, Strasbourg, 1920, p. 243—257.
Штернберг (S t e r n b er g W.)
[1] Ueber die asymptotische Integration von Differentialgleichungen, Math.
Ann., 81 (1920), 119—186.
Эддингтон (E ddi n g ton A. S.)
[1] The internal constitution of the stars, Cambridge, 1926.
Эйлер (E u 1 e г о L.)
[1] Mechanica sive motus scientia analytice, т. 2, Петербург, 1736,
стр. 155—156.
[2] Inst. Calc. Iut. (1769).
[3] Opera Omnia. Institutiones Calculi Integralis, Serie 1, vol. XII, 1914,
p. 381—403.
[4] De constructione aequationum ope motus tractorii..., Comm. Ac. Petrop.,
VIII (1736, publ. 1741), см. также Opera, Serie I, vol. XXII, p. 83—107.
Э м д е н (E m d e n R.)
[1] Gaskugeln, Leipzig, 1907.
Я к о б и (J а с о b i)
1] Gesammelte Werke, T. VII (1891).
2] Astr. Nach., XXX (1850), 197—254.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Асимптотическая формула Карлини
для функций Бесселя 65
Асимптотические ряды 10
— формулы для функций Бесселя 35
Асимптотическое поведение решений
дифференциальных уравнений 3—
65
— разложение решений, способ Фу-
бини 31
Вариационный метод Ритца 255
Водородоподобные системы 385
Гармонический осцилляр 381
Графическое решение
дифференциальных уравнений 269—379 •
Движение -тяжелой точки в
сопротивляющейся среде 286
Дискриминант 144
Дискриминантная кривая 144, 148,
150,273
Дифференциальные операторы 156,
157, 160
— системы второго порядка 253
— уравнения, асимптотическое
поведение решений 3
внешней баллистики 286
— ■— второго порядка,
асимптотические разложения решений 8—15
асимптотическое
поведение решений 3—65
представление
решений 63—65
теорема единственности
108, 109
сравнения 107, 108
— — графическое решение 169—279
при помощи прозрачной
бумаги 278
коэффициентами которых
являются многочлены 237
метод численного решения Рун-
ге—Кутта 237
Эйлера 234
механическое решение 279—285
первого порядка, особые точки
129-139
Дифференциальные уравнения Поль-
вани движения электрона в
магнетроне Хелла 369
представление решений с
помощью определенных интегралов
187
численное решение с помощью
апроксимационных многочленов
241
Задача Коши 209
Изоклины 269
Индикатриса 269, 272
Индикатрисный многоугольник 272
Интеграл Лапласа 191, 192, 194, 201
Интегральная кривая, область
существования 68
Интегральные кривые, выходящие из
точки 73
геометрическое место точек
касания 148, 273
перегиба 154
— — проходящие через две заданные
точки 103
Интегральный многоугольник 272
Интеграторы 279
Интеграфы 279
— Вьеториса 282
— Паскаля 280
Интегрометры 279
Итерация по трактрисам 284
эвольвентам 283
Краевые задачи 109—119
Кривая дискриминантная 150
Линейные дифференциальные
операторы 156, 157, 160
Линейный элемент точечно особый 142
Ляпунов А. М., критерий
устойчивости 6
Магнетрон Хелла 369
Метод Бромвича интегралов в
комплексной области 223
— Джорджи (функциональное
исчисление) 226
— изоклин 269

Предметный указатель
407
Метод Коши—Липшица 249
— наименьшей потенциальной энергии
Крылова Н. М. — Пиконе — Мак-
Ивена 259
— огибающих 275
— операционный Хевисайда 220
— Пиконе 250
— последовательных приближений
Пикара — Пеано 233
— радиуса кривизны 276
— Ритца приближенного решения
дифференциальных уравнений 255
— Рунге — Кутта численного решения
дифференциальных уравнений 237,
240
— Фубини для асимптотического
разложения решений 31
— Ченди 152
— Эйлера численного решения
дифференциальных уравнений 234—237
Механическое решение
дифференциальных уравнений 279—285
Многоугольник индикатрисный 272
■— интегральный 272
Неравенство Кнезера 253
— Шмидта 252
Нормальный ряд Пюме 15
Оператор регулярный 157
Операторы линейные
дифференциальные 156, 157, 160
Операционное исчисление Хевисайда
220
Определитель Вандермонда 20
Особая точка, бесконечно удаленная
дифференциального уравнения 9
Особые решения 139—155
— точки 129—139
классификация Пуанкаре 133
Осциллятор гармонический 381
Преобразование Лапласа 191, 209, 220
— — двустороннее 196
для некоторых функций 197
производных 199
— ■ целых функций
экспоненциального типа 204
формула обращения 207
— Фурье, формула обращения 207
Пуанкаре, изучение поведения
интегральных кривых 138
— классификация особых точек 133
Пучок Пеано 78
Решение дифференциального
уравнения общее 140
' Решение дифференциального
уравнения особое 141, 142
. •— частное 140
Решения дифференциального
уравнения верхнее и нижнее 74
Ряды асимптотические 10
Свертка двух функций 202
Системы водородоподобные 385
— диагональные 181
— дифференциальных уравнений,
теоремы существования и
единственности 125, 126
устойчивые и неустойчивые
решения 3—8
• — численное решение по
методу последовательных приближений
232
— линейных дифференциальных
уравнений с переменными
коэффициентами 185
■ с постоянными
коэффициентами 178, 216
Теорема Армеллини — Тонелли — Сан-
соне 56
— Асколи об асимптотическом
поведении решений 376
— Бендиксона 138
— Бомпиани — Тоннели — Монтеля 87
— Дарбу—Кели 144, 145
— единственности Каратеодори 123
Осгуда и Тамаркина 90
Пеано 88
Тоннели 90
— Каччионоли — Гицетти 316
— Ландау 192
— Лерха 201
— Либри 176
— Ляпунова А. М. об устойчивости 6
— об отделении нулей решений
дифференциальных уравнений 105
— о переходе к пределу для решений
дифференциальных уравнений 82
— Пеано — Перрона 93
— Пинкерле 191, 198
— Сиаччи 295, 297, 298
— сравнения для дифференциальных
уравнений вторая 85
первая 83
Синьорини 295, 298
— существования Каратеодори 120
и единственности Мюллера и
Перрона 97
Розенблатта и Скорца —
Драгони 92
Нагумо и Перрона 91

408
Предметными указатель
Теорема существования Скорца —
Драгони 109, ПО
Тонелли 115, 119
Цвирнера 98
Чинквини 104, 115
— Фаулера 367
— Хукухара 22
Теоремы единственности 88—93, 97,
109, 123, 126
— Перрона 15
-и Хукухара об асимптотическом
поведении решений 15
— сравнения для дифференциальных
уравнений 83, 85
— существования и единственности
66—128
Точка особая, бесконечно удаленная
дифференциального уравнения 9
— Пеано 66
Точки критические решения
дифференциального уравнения 130
— неопределенности 132
— особые дифференциального
уравнения 129
классификация Пуанкаре
133
Уравнение Дуффинга 343
— затухающих колебаний 300
— Лагранжа 172
— Лапласа 188
— Лиенара 316, 317, 322
— Польвани 376
— релаксации 316
— Томаса — Ферми 376
— Фаулера 362, 363
— характеристическое 156
Уравнение Шрёдингера 380
— Эйлера 171
Уравнения в вариациях 4, 5
Устойчивость безусловная (в смысле
Дирихле) 3
— частная (в смысле Фаусса) 3
Фокус 136, 137
Формула Адамса 244
— Нистрема 244
— обращения Лапласа 209
Пинкерле 204, 205
Фурье 208
— Хевисайда 221
— Штёрмера 244, 248
Функции Бесселя, асимптотическая
формула Карлини 65
асимптотические формулы 35
Функциональное исчисление Джорджи
226
Функция регулярная 207
— экспоненциального типа 205
Характеристическое уравнение 156
Центр 136
Циклы и спирали 138
Численное решение
дифференциальных уравнений 232—248
— метод последовательных
приближений 232
Рунге — Кутта 237
Эйлера 234
Явление Лаврентьева М. А. 67
— Пеано 67

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Глава VII
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
§ 1. Устойчивые и неустойчивые решения систем дифференциальных
уравнений 3
1. Безусловная устойчивость (устойчивость в смысле Дирихле) и
частичная устойчивость (устойчивость в смысле Рауса) .... 3
2. Уравнения в вариациях. Решение при помощи
дифференцирования 4
3. Критерии устойчивости А. М. Ляпунова. Приложения 6
§ 2. Асимптотические разложения решений дифференциального
уравнения второго порядка с изолированной неправильной особой точкой
на бесконечности 8
§ 3. Теоремы Перрона и Хукухара об асимптотическом поведении
решений линейных дифференциальных уравнений и систем
линейных дифференциальных уравнений . . 15
1. Теоремы Перрона .* 15
2. Теорема Хукухара 22
§ 4. Изучение асимптотического поведения решений уравнения у"-\-
+ А(х)у=0 23
1. Общие замечания 23
2. Случай, когда 0 < а3 ■< А (л:) ■< ft3. Исследования Кнезера —
Асколи 24
3. Уравнение у+ [1—Q(x)]y = 0, lim Q (x) = 0; способ Фу-
бини для асимптотического разложения решений : 31
4. Асимптотические формулы для функций Бесселя 35
5. Случай,, когда lim А {х) = 0 41
оо
6. Случай, когда А (дг)< 0, I | A (x) | dx = + оо 43
7. Уравнение .у" — [I-\-Q (х)]у = 0, lim Q (х) = 0; асимптоти-
ческое разложение решений 47
8. Случаи, когда lim А (х) = + оо, lim А (х) = 0; асимптотиче-
ские выражения для максимумов и минимумов функций \у(х)\,
1У(*)| 49

410
Оглавление
Стр.
9. Случай, когда функция А (х) положительна, не убывает и
имеет непрерывную производную; Urn А (х) = -\- со; теоремы
х-> + оо
Армеллини —Тонелли—Сансоне 56
§ 5. Асимптотическое представление решений дифференциальных
уравнений второго порядка при больших значениях параметра .... 63
1. Уравнение У — (№а + ty.i +1->)У = ^ 63
2. Асимптотическая формула Карлини для функций Бесселя
большого порядка 65
Глава VIII
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ В ЦЕЛОМ
ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Теоремы существования для уравнения у' —f{x, у) 66
1. Точки Пеано для уравнения у' =f(x,y) . . . 66
2. Решения уравнения y'=f(x, у), определенные в конечном
промежутке 67
3. Область существования интегральной кривой . 68
4. Об интегральных кривых, выходящих из некоторой точки . . 73
5. Верхнее и нижнее решения. Точки и связки (пучки) Пеано . . 74
6. Области непрерывной зависимости верхних и нижних решений
от координат начальной точки 79
§ 2. Теоремы сравнения и теоремы единственности для уравнения
У=/(дг, У) 82
1. Теорема о переходе к пределу для решений
дифференциальных уравнений у' =fn(x, у) . . . 82»
2. Первая теорема сравнения для дифференциальных уравнений
первого порядка 83
3. Вторая теорема сравнения 85
4. Оценка разности между решениями, проходящими через одну
и ту же точку. Теорема Бомпиани — Тонелли—Монтеля ... 87
5. Теоремы единственности Пеано, Тонелли, Осгуда и Тамаркина 88
6. Теорема существования и единственности Розенблатта, Нагумо
и Перрона 91
7. Теоремы существования и единственности Розенблатта и Скорца-
Драгони 92
8. О границах связки интегральных кривых, проходящих через
некоторую точку. Теорема Пеано — Перрона 93
§ 3. Область существования и теоремы единственности для решений
систем дифференциальных уравнений с заданными начальными
условиями 95
1. Область существования интегральных кривых 95
2. Обобщение теоремы Нагумо на системы дифференциальных
уравнений, данное Мюллером и Перроном 97
3. Обобщение Цвирнера теоремы Скорца-Драгони на системы
дифференциальных уравнений 98
§ 4. Уравнение у' = lf(x,y) 99
§ 5. Интегральные кривые уравнения у" =f(x, у), проходящие через
две заданные точки, как экстремальные кривые . 103*

Оглавление
411
Стр.
§ 6. Теоремы отделения, сравнения и единственности для уравнений
второго порядка 105
1. Теорема Тонелли об отделении нулей решений однородных
дифференциальных уравнений второго порядка ....... . 105
2. Теоремы сравнения для решений дифференциальных
уравнений второго порядка. Теоремы единственности 107
■•
§ 7. Краевые задачи для уравнения у" =/(х, у, у'). Теоремы
существования 109
1. Решения, принадлежащие области, ограниченной двумя
интегральными кривыми. Теорема существования Скорца-Драгони.
Доказательство Чинквини 109
2. Существование интегральной кривой, проходящей через две
заданные точки, для случая, когда функция / (х; у, у')
ограничена 113
3. Случай, когда функция / (х; у, у') не ограничена. Теоремы
существования Тонелли. Теорема существования Чинквини . . 115
§ 8. Теоремы существования и единственности Каратеодори 120
1. Теоремы существования и единственности Каратеодори для
нормальных систем дифференциальных уравнений 120
2. Теоремы существования и единственности для систем
дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно
производных 125
Литература 126
Глава IX
ОСОБЫЕ ТОЧКИ. ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ
§ 1. Особые точки дифференциальных уравнений первого порядка вида
>=*£ + £ ■ 129
1. Общие замечания 129
2. Точки неопределенности. Канонические формы 130
3. Уравнение вида dy/dx = (ix + 8у)/(вдг + (Jy) в действительной
области 132
4. Классификация Пуанкаре особых точек в действительном случае 133
5. Интегральные кривые уравнения d.yjdx = Q(x, y)/P(x, у).
Циклы и спирали 138
§ 2. Особые решения 139
1. Общее решение. Особые решения 139
2. Уравнение F (х, у, р) = 0 в случае, когда F является
многочленом относительно р 142
3. р-Дискриминант. Теорема Дарбу — Кели 144
4. Необходимые условия и достаточные условия для
существования особой интегральной кривой 146
5. Кривая касаний . .■ 148
6. с-Дискриминантная кривая . , 150
7. Нахождение особых решений в случае, когда известно
параметрическое представление общего решения как функции от
производной и от произвольной постоянной . . . , 152
8. Геометрическое место точек перегиба интегральных кривых . 154

412
Оглавление
Стр.
Глава X
ОПЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
§ 1. Линейные дифференциальные операторы порядка л 156
1.. Общие замечания 156
2. Дифференциальные операторы и линейные однородные
дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами . . .* 160
3. Операторы (D — р)~* F (t), p~l{D)F{t), где р (D) —
многочлен от D. Разложение p~l (D) на простые операторы в
случае, когда p(D) имеет постоянные коэффициенты 162
4. Вычисление p~l{D)^ct, p~l (D) sin kt, р~г (D) cos kt, где
р (D) — многочлен с постоянными коэффициентами 165
5. Вычисление р-1 (D)F(t) для голоморфных функций F (t) . . . 167
6. Уравнения Эйлера и Лагранжа 171
§ 2. Наибольший общий делитель двух линейных дифференциальных
операторов и общие решения двух линейных дифференциальных
уравнений 172
1. Наибольший общий делитель двух линейных
дифференциальных операторов 172
2. Общие решения двух уравнений 175
3. Теорема Либри 176
4. Наименьшее общее кратное двух дифференциальных операто-
рЪв 177
§ 3. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами 178
1. Общие замечания. Системы п линейных однородных
дифференциальных уравнений с и неизвестными, определитель
которых постоянен и отличен от нуля 178
2. Диагональные системы 181
3. Сведение системы с отличным от нуля определителем к
эквивалентной диагональной системе . 182
§ 4. Системы линейных дифференциальных уравнений с переменными
коэффициентами 185
1. Преобразование системы линейных дифференциальных
уравнений в диагональную систему частного вида 185
§ 5. Представление решений дифференциальных уравнений с помощью
определенных интегралов 187
1. Основа метода 187
2. Уравнение Лапласа 188
§ 6. Преобразование Лапласа 191
1. Преобразование Лапласа. Оригинал. Изображение. Абсцисса
сходимости и абсцисса абсолютной сходимости 191
2. Преобразования Лапласа для некоторых функций 197
3. Преобразование Лапласа для производных 199,
4. О соответствии между оригиналом и изображением 201
5. Теорема о свертке 203
6. Преобразование Лапласа целых функций экспоненциального
типа. Формула обращения Пинкерле 204
7. Формулы обращения для преобразований Фурье и Лапласа . . 20?

Оглавление
413
Стр.
§ 7. Приложения преобразования Лапласа к дифференциальным
уравнениям, коэффициентами которых являются постоянные или
многочлены, и к системам дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами 209
1. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами. Нахождение решения,
удовлетворяющего начальным условиям 209
2. Дифференциальные уравнения, коэффициентами которых
являются многочлены 215
3. Системы линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами. Нахождение решения,
удовлетворяющего начальным условиям . 216
4. Преобразование Лапласа и операционное исчисление Хевисайда 220
§ 8. Метод Бромвича интегралов в комплексной области ........ 223
§ 9. Функциональное операторное исчисление Джорджи и
дифференциальные уравнения 226
1. Функциональное исчисление Джорджи < . . . . 226
2. Приложения к расчету электрических цепей 228
Глава XI
ЧИСЛЕННОЕ, ГРАФИЧЕСКОЕ И МЕХАНИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Численное решение систем дифференциальных уравнений по методу
последовательных приближений 232
1. Общие замечания 232
2. Оценка погрешности приближения при методе
последовательных приближений 233
§ 2. Методы численного решения Эйлера и Рунге — Кутта 234
1. Метод Эйлера и видоизмененный метод Эйлера 234
2. Оценка погрешности 236
3. Метод Рунге — Кутта численного решения дифференциальных
уравнений 237
4. Применение метода Рунге — Кутта к численному решению
систем дифференциальных уравнений 240
§ 3. Численное решение дифференциальных уравнений с помощью
апроксимационных многочленов . . 241
1. Основы метода. Оценка погрешности т 241
2. Формула Адамса 244
3. Формула Нистрема 244
4. Формула Штермера для численного решения уравнения
y"=f(x.y) •„ 245
5. Формула Штермера для решения системы вида у{ =/( (х, у ,
Уг ут) (i=U2,...,m) 248
§ 4. Метод Коши — Липшица 249
1. Метод. Коши — Липшица для систем дифференциальных
уравнений 249
2. Видоизменение Пиконе и оценка погрешности приближения . 250
§ 5. Вычисление собственных значений и приближенное решение
дифференциальных систем с заданными краевыми условиями 251
1. Общие замечания. Оценки для собственного значения,
имеющего наименьшую абсолютную величину 251

414
Оглавление
Стр.
2. Дифференциальные системы второго порядка. Оценка сверху
наименьшего собственного значения и оценка решения в
неоднородном случае 253
3. Метод Ритца для приближенного решения дифференциальных
уравнений второго порядка 255
4. Метод Н. М. Крылова — Пиконе — Мак-Ивена наименьшей
потенциальной энергии для приближенного решения линейных
дифференциальных систем любого порядка 259
§ 6. Графическое решение дифференциальных уравнений 269
1. Метод изоклин. Интегральные линии. Производные линии.
Индикатрисы 269
2. Геометрическое истолкование /J-дискриминантной кривой . . . 273
3. Построение геометрического места точек касания
интегральных кривых 273
4. Метод огибающих 275
5. Графическое решение уравнений второго порядка по методу
радиуса кривизны 276
6. Метод графического решения при помощи прозрачной бумаги 278
§ 7. Механическое решение дифференциальных уравнений 279
1. Проблема механического решения. Интеграторы. Интегром"етры.
Интеграфы 279
2. Декартов интеграф Паскаля 280
3. Интеграф Вьеториса 282
Глава XII
О НЕКОТОРЫХ ВСТРЕЧАЮЩИХСЯ В ПРИЛОЖЕНИЯХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
§ 1. О движении тяжелой точки в сопротивляющейся среде 286
1. Дифференциальные уравнения главной задачи внешней
баллистики 286
2. Область существования траектории. Изменение наклона траек^
тории и горизонтальной проекции скорости 288
3. Пределы наклона и скорости в случае, когда функция
сопротивления зависит только от скорости движения 293
4. О наименьшей скорости. Теорема Сиаччи. Теорема сравнения
Синьорини 295
§ 2. Уравнение затухающих колебаний 300
1. Существование решений в [f0, +co) 300
2. Решения уравнения в случае В2 — 4АС^0 302
3. В случае, когда В2 — 4АС<^0, все решения уравнения
колеблются 306
4. Разделение нулей функций у (t) и у' (t) в случае, когда
В8 — 4ЛС<0. Неравенства для расстояния между соседними
нулями решения и для максимумов решения 309
5. Ограниченность снизу последовательности нулей решения в
случае выполнения условия: lira F (v) = + оо . . . 314
6. Колебания в случае периодической возмущающей силы.
Теорема Каччиополи — Гицетти 316
§ 3. Уравнение релаксации 316
1. Уравнение Лиенара 316
2. Существование решений i(t) при изменении i в (—оо, -j-oo),
если функция f\i) непрерывна и ограничена 318

Оглавление 415
Стр.
3. Неравенство, ограничивающее снизу расстояние между двумя
соседними нулями решения, при условии непрерывности /(/)
на всей прямой 318
4. Случай непрерывной функции /(/); область существования
решений [tn, -{- ее) . . . . . 319
5. {колебательный характер решений в [;'0, -)- оо) 321
6. Преобразование уравнения Лиен'ара в нелинейное уравнение
первого порядка 322
7. Существование периодических решений . 322
8. Монотонность последовательности максимумов и
последовательности минимумов решений 331
9. Обобщенная теорема Лиенара о существовании
единственного периодического решения 335
10. Обобщенная теорема Левинсона и Смита о существовании
одного и только одного периодического решения 340
§ 4. Вынужденные колебания маятника. Уравнение Дуффинга 343
1. Уравнение задачи . 343
2. Случай аа<С1; доказательство существования периодического
решения по методу последовательных приближений ...... 343
§ 5. Дифференциальное уравнение Эмдена для политропного газа . . 347
1. Уравнение Эмдена равновесия сферы из политропного газа . . 347
2. Потенциальная энергия газового шара и неравенство л<5
для сферы конечного радиуса 350
3. Уравнение Фаулера и эквивалентная ему нормальная система -
дифференциальных уравнений; случай п = 5 352
4. Поведение интегральных кривых. Кривая Е и кривые F и М 353
5. Асимптотическое поведение решений уравнения Фаулера.
Теорема Фаулера 363
§ 6. Уравнения Польвани движения электрона в магнетроне Хэлла.
Теоремы Асколи об асимптотическом поведении решений 369
1. Общие замечания 369
2. Область существования решений 369
3. Существование бесконечного множества общих точек у двух
интегральных кривых 373
4. Особенные решения 373
5. Теоремы Асколи об асимптотическом поведении решений ... 376
§ 7. Уравнение Томаса — Ферми. Доказательство теоремы
существования и единственности 376
§ 8. Об уравнении Шредингера для двух частных задач • • 380
1. Гармонический осциллятор. Собственные значения и
собственные функции 380
2. Водородоподобные системы. Собственные значения и
собственные функции 3!35
Литература 390
Предметный указатель 406