Интенсификация тепло и массообмена на макро, микро и наномасштабах - Дзюбенко Б.В., Кузма-Кичта Ю.А., Леонтьев А.И., Федик И.И., Холпанов Л.П.

Author: Дзюбенко Б.В. Кузма-Кичта Ю.А. Леонтьев А.И. Федик И.И. Холпанов Л.П.
Tags: физика математическая физика атомная физика издательство цнииатоминформ
ISBN: 5-87911-166-0
Year: 2008
Similar
Тепло и массообмен в РЭА
Атлас макро и микро структур металлов и сплавов
Теплообменные устройства газотурбинных и комбинированных установок
Пространство и время в макро-, мега- и микромире
Text
                    Б.В. Дзюбенко, Ю.А. Кузма-Кичта, А.И.Леонтьев,
И.И. Федик, Л.П. Холпанов
ИНТЕНСИФИКАЦИЯ
ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА
на макро-, микро- и наномасштабах
Дзюбенко Борис Владимирович,
профессор, доктор технических наук
Кузма-Кичта Юрий Альфредович,
профессор, доктор технических наук
Леонтьев Александр Иванович,
профессор, академик РАН,
доктор технических наук,
заслуженный деятель науки и техники РФ,
член Инженерной академии США
Федик Иван Иванович,
член-корреспондент РАН,
профессор, доктор технических наук,
заслуженный деятель науки и техники РФ,
президент Ядерного общества России
Холпанов Леонид Петрович,
профессор, доктор технических наук
Б.В. Дзюбенко, Ю.А. Кузма-Кичта, А.И. Леонтьев,
И.И. Федик, Л.П. Холпанов
Интенсификация
тепло- и массообмена
на макро-, микро-
и наномасштабах
Под редакцией профессора,
доктора технических наук
Ю.А. Кузма-Кичты
Москва
ФГУП «ЦНИИАТОМИНФОРМ:
2008
ККЭ5ЛЗ
WG6J0l5-23
Инг 73
Дзюбенко Б.В., Кузма-Кичта Ю.А., Леонтьев А.И.,
Федик И.И., Холпанов Л.П.
Инт73 Интенсификация тепло- и массообмена на макро-, микро-
и наномасштабах. - М.: ФГУП «ЦНИИАТОМИНФОРМ», 2008,
с цв. вкладкой.
ISBN 5-87911-166-0
Представлены результаты теоретических и экспериментальных исследо-
ваний интенсификации тепло- и массообмена на макро-, микро- и наномасш-
табах в одно- и двухфазных средах, колебаний поверхности раздела фаз, се-
парации гетерогенных систем. Исследования, проведенные в целях повыше-
ния безопасности и эффективности энергетических установок, позволили
разработать новые методы интенсификации тепло- и массообмена, сфор-
мировать новые научные направления, создать новые аппараты, математи-
ческие модели процессов и инженерные методы их расчета. Дополнитель-
но рассмотрены энергодвигательные установки космических аппаратов для
пилотируемой экспедиции на Марс и используемые в них методы интенси-
фикации теплообмена, методы расчета тепломассообмена в условиях со-
леотложений при течении в витых трубах и трубах с кольцевыми диафрагма-
ми, расчет гидродинамики многофазных гетерогенных сред в центробежном
поле, представлены результаты исследования влияния поверхности рельефа
на теплообмен при кипении на сфере, обобщения данных по влиянию закру-
ченной ленты на критическую тепловую нагрузку. Представлены результаты
сравнения характеристик трубчатых и пластинчатых теплообменников с ин-
тенсификаторами теплообмена, характеристики теплообменных аппаратов
с витыми трубами, исследования интенсификации тепломассообмена при
конденсации водяных паров из уходящих дымовых газов котлов.
Для специалистов, занимающихся разработкой энергетического обору-
дования.
ББК35.113
ISBN 5-87911-166-0
© Авторы, 2008
© ФГУП «ЦНИИАТОМИНФОРМ», 2008
3
ВВЕДЕНИЕ
К началу 21 -го столетия методы интенсификации тепло- и массооб-
мена широко применяются в элементах оборудования в энергетике.
Наиболее распространенные методы интенсификации тепло- и
массообмена при конвекции — использование эффекта начально-
го участка, искусственная турбулизация потока, осуществляемая в
пристенном слое или по всему сечению потока с помощью кольцевых
или спиральных канавок, лунок, оребрения поверхности, закручен-
ных лент, шнеков, спиральных труб [1—8], струйное натекание теп-
лоносителя на поверхность, пористые и щеточные вставки [9—13],
колебания расхода [14], воздействие ультразвуковых колебаний [15],
электрического поля [16]. Влияние пристенных интенсификаторов
теплосъема на теплоотдачу при ламинарном течении исследовано в
работе [17].
•Для интенсификации теплообмена при кипении широко исполь-
зуются пористые покрытия [18—21], менее эффективны в этом случае
методы искусственной турбулизации потока.
Интенсификация теплообмена при конденсации осуществляется
за счет создания капельной конденсации, и в случае пленочной кон-
денсации для интенсификации теплообмена применяются накатка,
оребрение, изменение наклона поверхности [22].
Комбинированные методы интенсификации теплоотдачи основа-
ны на использовании, по крайней мере, двух методов повышения ин-
тенсивности теплосъема. Например:
—	использование искусственной шероховатости поверхности и
закрученной ленты;
—	использование спиральной трубы и пористого покрытия;
—	использование кольцевой накатки и закрутки потока в витых
трубах.
Интенсификация тепло- и массообмена позволяет существенно
улучшить характеристики оборудования. Например, интенсификация
теплообмена в пучках стержней с интенсификаторами-завихрителя-
ми способствовала повышению мощности реактора кипящего типа.
В работе [23] предложено совместить функции дистанционирующей
решетки и интенсификатора теплообмена. Разработанные и исследо-
ванные на полномасштабных стендах решетки-интенсификаторы осе-
вой закрутки внедрены на первом и втором блоках Игналинской АЭС.
Внедрение в конструкцию ТВС решеток-интенсификаторов позволи-
ло увеличить мощность каждого энергоблока в 1,5 раза.
4
Введение
Проблемы при разделении гетерогенных систем рассмотрены в
работах [24, 25].
В России сформировались авторитетные научно-производствен-
ные центры специалистов по теплофизике и химической гидроди-
намике, внесших заметный вклад в выдающиеся достижения нашей
страны в вышеназванных направлениях. К числу таких центров отно-
сятся ФГУП «НИИ НПО «Луч» (г. Подольск), Институт проблем хи-
мической физики РАН (г. Черноголовка), технические университеты
МАИ, МЭИ, МВТУ им. Баумана. Специалисты этих организаций и со-
ставляют авторский коллектив данного издания.
Приведены результаты известных и собственных теоретических
и экспериментальных исследований интенсификации тепло- и массо-
обмена в одно- и двухфазных средах, колебаний поверхности раздела
фаз и сепарации гетерогенных систем. Эти исследования проведены
в целях повышения безопасности и эффективности энергетических
установок. Выполненные исследования позволили разработать новые
методы интенсификации тепло- и массообмена, сформировать новые
научные направления, создать новые аппараты гидроциклонного типа,
математические модели процессов и инженерные методы их расчета.
В новом издании представлен обзор исследований в области ин-
тенсификации теплообмена на макро-, микро- и наномасштабах. Под-
робно рассмотрены имеющиеся исследования теплообмена и гидро-
динамики для поверхностей с луночным рельефом, моделирование и
визуализация смерчевой интенсификации теплообмена в канале с по-
лусферическими лунками, модернизация теплообменника для тепло-
снабжения за счет использования витых труб.
Рассмотрены известные представления о термогидродинамике на
микро- и наномасштабах: теплообмен при конденсации на макро- и
микрорельефах, теплообмен при кипении на поверхностях с порис-
тыми покрытиями и выступами, образующими однородный рельеф,
теплообмен при конвекции в микроканалах, возникновение проскаль-
зывания на стенке при течении жидкости по ультрагидрофобной по-
верхности, влияние сформированных на поверхностях молекулярных
слоев поверхностно-активных веществ на гидравлическое сопротивле-
ние трубопроводов.
Проанализированы методы расчета тепломассообмена в услови-
ях солеотложений при течении в витых трубах и трубах с кольцевы-
ми диафрагмами, расчет гидродинамики многофазных гетерогенных
сред в центробежном поле, представлены результаты исследования
влияния луночного рельефа на теплообмен при кипении на сфере,
обобщения данных по влиянию закрученной ленты на критическую
тепловую нагрузку.
Введение
5
Рассмотрены энергодвигательные установки космических аппа-
ратов для пилотируемой экспедиции на Марс и используемые в них
методы интенсификации теплообмена.
Анализируются характеристики трубчатых и пластинчатых теп-
лообменников с интенсификаторами теплообмена. Приведены ре-
зультаты исследования интенсификации тепломассообмена при кон-
денсации водяных паров из уходящих дымовых газов котлов.
О материалах, представленных в первом издании, положи-
тельно отзывались академик РАН, лауреат Нобелевской премии
А.М. Прохоров, академик РАН Г.Г. Девятых, академик РАН Г.А. Фи-
липпов. А.М. Прохоров отмечал, что материалы, содержащиеся в
монографии, представляют собой энциклопедический обзор мето-
дов интенсификации тепло- и массообмена на различных масшта-
бах в одно- и двухфазных средах в элементах энергетического обо-
рудования. В монографии описаны уникальные теплофизические и
испытательные стенды, оригинальные датчики и методики экспери-
ментальных исследований, разработанные при участии авторов, ко-
торые позволяют на высоком научном уровне проводить теплофи-
зические исследования не только в лабораторных условиях, но и на
головных образцах в натурных условиях работы реакторных, элект-
рофизических и лазерных установок.
Выполненные исследования направлены на решение следующих
проблем:
—	надежное охлаждение при высоких тепловых нагрузках
(1 кВт/см2 и выше) и «затягивание» кризиса теплообмена при кипе-
нии теплоносителя в энергонапряженных конструкциях;
—	термостатирование и минимизация термического деформиро-
вания теплонапряженных конструкций с интенсивным и неравно-
мерным энерговыделением;
—	организация высокоэффективных теплообменных процессов
с помощью жидких металлов;
—	создание и испытание конструкций различных интенсифика-
торов тепло- и массообмена при течении газовых и жидких теплоно-
сителей и плавлении теплоаккумулирующих фаз;
—	детальное изучение структуры турбулентных потоков в глад-
ких и шероховатых каналах и пористых средах с разной струк-
турой;
—	разработка теоретических моделей и обобщающих критери-
альных зависимостей для расчета и прогнозирования интенсивно-
сти тепло- и массообмена;
—	разработка и испытание энергетических установок с интенси-
фикаторами тепло- и массообмена;
6
Введение
—	концептуальное проектирование перспективных физико-энер-
гетических установок с интенсивными процессами тепло- и массооб-
мена;
—	повышение эффективности разделения гетерогенных систем в
тепло- и массообменных аппаратах.
Благодаря тесному сотрудничеству с ведущими академическими и
отраслевыми научными центрами, разработанные авторами методы
интенсификации тепло- и массообмена внедрены в различные энер-
гетические установки. Это позволило обеспечить их массогабарит-
ные и удельные параметры, а также безопасность и эффективность
на уровне лучших мировых образцов. В частности, результаты иссле-
дований авторов использованы в проектировании и создании таких
уникальных энергетических установок, как газоохлаждаемые ядер-
ные реакторы с витыми твэлами из карбидов тугоплавких металлов,
термоэмиссионные ядерные реакторы-преобразователи с жидкоме-
таллическим охлаждением, прошедшие испытания в космосе, мише-
ни и резонаторы для ускорительных установок, охлаждаемые зерка-
ла для мощных лазерных комплексов и приемников инфракрасного
излучения, высокоэффективные гидроциклоны для химической, гор-
норудной и металлургической промышленности, компактные тепло-
обменники различного назначения, испарители для обессоливания
воды, абсорбционные и компрессионные холодильники, охладители
жидкостей, кондиционеры и др. Авторы внесли также большой вклад
в разработку отечественных концептуальных проектов инерциаль-
ных термоядерных реакторов со струйным жидкометаллическим
бланкетом и реакторов-лазеров с пленочным ядерным топливом.
Настоящая монография является расширенным, дополненным и
переработанным изданием книги «Интенсификация тепло- и мас-
собменав энергетике», вышедшей в 2003 г. [26].
В новом издании сохранены разделы, представленные в первом
издании и написанные Кутеповым А.М., Свириденко И.П. и Харито-
новым В. В.
Введение
7
Список литературы
1.	Мигай В.К. Повышение эффективности современных теплообменников. Л.:
Энергия, 1980.
2.	Калинин Э.К., Дрейцер Г.А., Копп И.З., Мякочин А.С. Эффективные по-
верхности теплообмена. М.: Энергоатомиздат, 1998.
3.	Щукин В.К. Теплообмен и гидродинамика внутренних потоков в полях мас-
совых сил. М.: Машиностроение, 1970.
4.	Каменьщиков Ф.Т., Решетов В.А., Рябов А.А., Поляков В.К., Емель-
янов А.И. Вопросы механики вращающихся потоков и интенсификация теп-
лообмена в ЯЭУ. М.: Энергоатомиздат, 1984.
5.	Жукаускас А.А. Конвективный перенос в теплообменниках. М.: Наука,1982.
6.	Субботин В.И., Ибрагимов М.Х., Ушаков П.А. и др. Гидродинамика и теп-
лообмен в атомных энергетических установках. М.: Атомиздат, 1975.
7.	Кикнадзе И.А., Олейников В.Г. Самоорганизация смерчеобразных вих-
ревых структур в потоках газов и жидкостей и интенсификация тепломассо-
обмена: Препринт Института теплофизики Сибирского отделения АН СССР
№ 227-90. Новосибирск, 1990.
8.	Холпанов Л.П., Шкадов В.Я. Гидродинамика и теплообмен с поверхностью
раздела. М.: Наука, 1990. 271 с.
9.	Поляев В.М., Майоров В.А., Васильев Л.Л. Гидродинамика и теплообмен
в пористых элементах конструкций летательных аппаратов. М.: Машиностро-
ение, 1988.
10.	Мегерлин Ф.Е., Мерфи Р.В., Берглес А.Е. Интенсификация теплообмена
в трубах с помощью сетчатых и щеточных вставок//Теплопередача. 1974.
№ 2. С. 30-38.
11.	Аполлонов В.Б., Быстров П.И., Гончаров В.Ф. и др. Перспективы исполь-
зования пористых структур для охлаждения элементов силовой оптики//
Квантовая электроника. 1979. Т. 6, № 12. С. 2533-2545.
12.	Зейгарник Ю.А. и др. Теплообмен и термические деформации в охлаждае-
мых многослойных системах. М.: Изд-во ИВТАН СССР, 1982.
13.	Петухов Б.С., Алексеев В.А., Зейгарник Ю.А. и др. Проблемы тепло-
обмена в охлаждаемых зеркалах технологических лазеров/ДВТ. 1985. Т. 23,
№6. С. 1200-1210.
14.	Гапицейский Б.М., Рыжов Ю.А., Якуш Е.В. Тепловые и гидродинамические
процессы в колеблющихся потоках. М.: Машиностроение, 1977.
15.	Накоряков В. Е., Бурдуков А. П., Болдарев А. М., Терлеев П. Н. Теплообмен
и массообмен в звуковом поле. Новосибирск, 1970.
16.	Назмеев Ю.Г. Интенсификация теплообмена при ламинарном течении. М.:
МЭИ, 1971.
17.	Болога М.К., Смирнов Г.Ф., Дидковский А.Б., Климов СМ. Теплооб-
мен при кипении и конденсации в электрическом поле. Кишинев: Штиинца,
1987.
18.	Ковалев С.А., Соловьев С.Л. Испарение и конденсация в тепловых трубах.
М.: Наука, 1989.
8
Введение
19.	Мапышенко С.П., Андрианов А.Б. Неравновесные фазовые переходы
при кипении на поверхностях с пористыми покрытиями: Препринт ИВТАН.
№ 1-293. М., 1990.
20.	Красноухов Ю.В., Федорович Е.Д. Гидравлическое сопротивление винто-
вых змеевиков при движении однофазных и двухфазных потоков//Повыше-
ние эффективности теплообмена в энергетическом оборудовании. Л.: Наука,
1981.
21.	John R. Thome. Enhanced boiling heat transfer. Hemisphere Publishing
Corporation. N.-Y., 1990.
22.	Будов B.M., Дмитриев C.M. Форсированные теплообменники ЯЭУ. М.:
Энергоатомиздат, 1989.
23.	Aden V.G., Asmolov V.G., Blagovestova T.I., Kapustin V.A., Kobzar L.L.,
Kudriavtzev Y.V., Osmachkin V.S., Riabov AN., Philippov V.N. Study of heat
exchange enhancement in models of fuel elements bundles at the coolant boiling.
VI Inter.Heat Transfer Conf., Toronto, Canada, 1978.
24.	Поваров А.И. Гидроциклоны. M.: Госгортехиздат, 1961.
25.	Поваров А.И. Гидроциклоны на обогатительных фабриках. М.: Недра, 1978.
26.	Дзюбенко Б.В., Кузма-Кичта Ю.А., Кутепов А.М., Свириденко И.П.,
Федик И.И., Харитонов В.В., Холпанов Л.П. Интенсификация тепло- и
массообмена в энергетике. М.: ФГУП «ЦНИИАТОМИНФОРМ», 2003. С. 232.
Глава /
ВЫБОР И ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДОВ ИНТЕНСИФИКАЦИИ
ТЕПЛООБМЕНА
1.1. ИНТЕНСИФИКАТОРЫ ТЕПЛООБМЕНА МАКРО-, МИКРО-
И НАНОМАСШТАБОВ
Интенсификаторы теплообмена макромасштаба при конвекции
Распространенные методы интенсификации теплообмена в кана-
лах с однофазным теплоносителем — искусственная турбулизация по-
тока, осуществляемая с помощью кольцевых или спиральных канавок,
оребрения поверхности, спиральных или витых труб, шнеков, закру-
ченных лент [1.1.1 — 1.1.14], организация теплообмена на начальном
участке, струйного натекания теплоносителя на поверхность [1.1.6].
На эффективность теплообмена при течении однофазных сред
оказывают влияние колебания расхода, и при резонансе с собствен-
ными колебаниями контура коэффициент теплоотдачи увеличива-
ется [1.1.7].
Поверхность с регулярной шероховатостью
Шероховатость поверхности — это отклонения рельефа реаль-
ной поверхности от идеально гладкой. Высота этих отклонений мо-
жет быть соизмерима с толщиной вязкого подслоя и промежуточного
слоя. Поэтому воздействие шероховатости поверхности сосредоточе-
но в сравнительно тонком пристенном слое и не приводит к возник-
новению вторичных течений, охватывающих весь поток, что харак-
терно для спиральных ребер, закрученных лент или шнеков.
Шероховатость поверхности характеризуется высотой и формой
ее элементов, их плотностью (числом на единицу поверхности) и вза-
имным расположением. Структура течения и перенос теплоты вблизи
шероховатой поверхности зависят от большого количества факторов.
Течение в трубах с шероховатостью, образованной плотно при-
мыкающими друг к другу одинаковыми элементами — зернами пес-
ка, наклеенными на поверхность трубы, исследовал Д. Никурадзе. В
10
Глава 1
этом случае шероховатость характеризуется одной величиной — вы-
сотой элемента песочной шероховатости к. Сопротивление и тепло-
обмен будут зависеть лишь от одного дополнительного параметра —
относительной шероховатости к/г.
Высоту элемента шероховатости можно представить и в другой
безразмерной форме, используя тот же масштаб длины (у), что и в
универсальной координате т| = (V*y/V), т.е. величину V7V*.
Тогда безразмерная высота элемента песочной шероховатости
примет вид
К = Vk/V =-ReT^/8	(1.1.1)
d
и ее удобно сравнивать с такими характерными величинами, как без-
размерная толщина вязкого подслоя (8V*/V)=5 или промежуточного
слоя (8V*/V)=30, где 8 — толщина пограничного слоя, V* — динамиче-
ская скорость, V — кинематическая вязкость жидкости.
Теплоотдача в шероховатой трубе может быть как выше, так и
ниже, чем в гладкой трубе. Это определяется формой, высотой, вза-
имным расположением элементов шероховатости и числами Re и Рг.
Выступы с прямоугольным и плавным профилями, расположен-
ные на одинаковом расстоянии друг от друга, приведены на рис. 1.1.
Шероховатость с прямоугольными выступами характеризуется
высотой элементов к, шагом I и шириной впадины Zr На рисунке ил-
люстрируется картина течения вдоль стенки с прямоугольными эле-
ментами. В результате отрыва потока за выступом возникает вихре-
вая зона, протяженность которой до точки присоединения составляет
примерно 8к (см. рис. 1.1, а). За этой зоной формируется поле скоро-
сти, аналогичное полю в гладкой трубе. Перед следующим выступом
также возникает неболь-
шая вихревая область про-
тяженностью (1—2)к. Если
расстояние между высту-
пами составляет пример-
но 4к, то вихревая зона за-
полняет всю впадину (см.
рис. 1.1, б). Срыв потока на
выступах шероховатости
Рис. 1.1. Поверхность с высту-
пами, имеющими прямоуголь-
ный (а, б) и плавный (в) про-
фили
Глава 1
11
ведет к усилению турбулентного переноса у верхней границы вих-
ревой зоны и в окрестности точки присоединения. В результате теп-
лоотдача в этих зонах улучшается. Застойные зоны во впадинах при-
водят к снижению теплоотдачи иногда до уровня более низкого, чем
в гладких трубах.
Таким образом, по длине впадины теплоотдача распределена не-
равномерно. В застойных зонах она понижена, вблизи точки присо-
единения максимальна, а вдали от выступа, где влияние вихревой
зоны ослабевает, снова уменьшается. Длина впадины, соответству-
ющая максимуму средней по поверхности теплоотдачи, составляет
(10- 12)к.
Рациональная высота элемента шероховатости соизмерима с тол-
щиной пристенного слоя, в котором сосредоточена основная доля
термического сопротивления и которая зависит от числа Рг. Так, при
числах Рг, равных 1,5,50, относительная высота шероховатости к* со-
ставляет, соответственно, 250, 50, 10.
При рациональных характеристиках искусственной шерохова-
тости можно повысить коэффициент теплоотдачи в два—три раза.
Однако важно, чтобы рост теплоотдачи сопровождался не слиш-
ком большим увеличением гидравлического сопротивления. Поэто-
му нерациональны элементы двумерной шероховатости с острыми
кромками. Возникающие за ними мощные вихревые зоны и высокое
сопротивление формы ведут к большим потерям энергии. Выгоднее
элементы шероховатости с плавными очертаниями (см. рис. 1.1, в),
для которых характерны меньшие потери энергии. В трубах с плав-
но очерченными выступами шероховатости при оптимальном отно-
шении l/к увеличение теплоотдачи сопровождается меньшим ростом
гидравлического сопротивления, чем в случае шероховатости, имею-
щей острые кромки.
При достаточно большой относительной шероховатости опреде-
ленный вклад в увеличение теплоотдачи вносит «эффект оребрения»,
т.е. увеличение поверхности шероховатой стенки по сравнению с
гладкой. Конечно, при условии, что элементы шероховатости имеют
хороший тепловой контакт со стенкой. В случае так называемой нало-
женной шероховатости, например проволоки, расположенной у стен-
ки и не припаянной к ней, эффект «оребрения» отсутствует.
Для расчета теплообмена в шероховатых трубах^ имеются эмпи-
рические и полуэмпирические зависимости. Полуэмпирические за-
висимости основываются на двух-, трех- и даже четырехслойных мо-
делях течения вдоль шероховатой стенки. Для каждого слоя подбира-
ются эмпирические зависимости для коэффициентов турбулентного
переноса.
12
Глава 1
Для расчета теплоотдачи в трубах с естественной и искусствен-
ной однородной шероховатостью, элементы которой имеют различ-
ную форму (проволоки, сферы, пирамиды, цилиндры и др.) и близко
расположены друг к другу, так что течение между ними определяется
их размерами и формой, в работе [1.1.8 ] предложено уравнение
Nu =------------------V^RePr--------- -----------
2,121п(г/к) + 0,55(Рг2/3-0,2)^)1/Ч10-(р-^уу+ 6,6,Д78
(1.1.2)
гдеЫи = ad/л; a — коэффициент теплоотдачи, отнесенный к поверх-
ности гладкой трубы с диаметром d = 2г, взятым во впадине.
Коэффициент сопротивления определяется по формуле Д. Нику-
радзе для песочной шероховатости. Высота песочной шероховатости,
эквивалентная заданной действительной шероховатости, находится
по таблице или экспериментально. Уравнение (1.1.2) справедливо для
100 < К < 4000, т.е. для режима с полным проявлением шероховатости
при достаточно больших числах Re в диапазонах к/г от 0,005 до 0,18
и чисел Рг от 0,7 до 9. Для указанных условий независимо от формы
элементов шероховатости отклонение измеренных чисел Nu от рас-
считанных не превышает 10%. Хотя уравнение получено для гранич-
ного условия первого рода, им можно пользоваться также при гра-
ничном условии второго рода.
Гидродинамика и теплопередача в винтообразно
профилированных трубах
Винтообразно профилированная труба представляет собой тру-
бу с прямолинейной осью, на стенках которой образованы винто-
вые выступы. Винтовая накатка может иметь различное число заходов.
Рис. 1.2. Винтообраз-
но профилированная
труба
На рис. 1.2 показана труба с двухзаходной накат-
кой. Внутри трубы с винтообразной канавкой
образуется выступ, закручивающий поток.
В результате закрутки теплоносителя умень-
шается термическое сопротивление конвектив-
ному переносу тепла через пограничный слой.
Вследствие этого теплообмен интенсифициру-
ется, но одновременно возрастает гидравличе-
ское сопротивление. Винтообразно профили-
рованные трубы в теплообменниках передают
значительно больше тепла, чем круглые гладкие
трубы. Такие трубы позволяют создать само-
Глава 1
13
очищающиеся поверхности нагрева и поддержать постоянным зна-
чение коэффициента теплоотдачи.
На рис. 1.3 представлено изображение поля скоростей, получен-
ное в работе [1.1.9].
Скоростное поле воспроизведено по измерениям в 78 точках вы-
ходного сечения винтообразно профилированной трубы. Труба име-
ет шаг двухзаходной винтовой накатки — 640 мм, радиус выступа
(для внутренней поверхности трубы) — 10 мм. Длина опытного участ-
ка трубы составляет 4817 мм. Поле скоростей замерялось при сред-
ней скорости потока 22,2 м/с, что соответствует значению числа Рей-
нольдса 54000. По значениям скорости в точках замера в плоскости
поперечного сечения винтообразно профилированной трубы прове-
дены изотахи.
По расположению изотах видно, что поле скоростей в поперечном
сечении трубы с двухзаходной винтовой накаткой растянуто по на-
правлению закрутки потока S-образно. На рис. 1.3 направление за-
крутки показано пунктирной линией А-В.
На основе анализа направлений векторов скорости установле-
но, что поток закручивается по всему сечению трубы неравномерно,
если не считать небольшую область в непосредственной близости от
продольной оси трубы.
Теплоотдача от внешней поверхности трубы с винтообразной на-
каткой исследовалась в аэродинамической трубе. Шаг накатки со-
ставлял 145 мм при наружном диаметре ненакатанной трубы 18 мм.
Площадь поверхности трубы в результате накатки не изменилась.
Опыты проводились также и с гладкой
круглой трубой с наружным диаметром
18 мм и внутренним 16 мм, изготовлен-
ной из того же материала, что и винтооб-
разно профилированная.
Скорость воздуха изменялась от 1,9
до 16,2 м/с, что соответствовало числам
Рейнольдса от 2230 до 18430. Температу-
ра стенки труб поддерживалась в преде-
лах от 83 до 90 °C, а температура возду-
ха — от 22 до 29 °C.
При расчете чисел Рейнольдса и Нус-
сельта за определяющую скорость при-
нята скорость потока воздуха w, под-
считанная в самом узком поперечном
сечении аэродинамической трубы, т.е. в
плоскости продольной оси трубки.
Рис. 1.3. Поле скоростей в
плоскости поперечного сече-
ния винтобразно профилиро-
ванной трубы
14
Глава 1
В качестве характерного размера d для обеих труб бралась вели-
чина наружного диаметра гладкой трубы. При увеличении числа за-
ходов и глубины накатки, а также при уменьшении ее шага вводи-
лась поправка на изменение миделева сечения.
В результате обработки данных эксперимента для гладкой круг-
лой трубы получена следующая зависимость:
Nu = O,2ORe0,61,	(1.2.3)
которая практически совпадает с рекомендациями А. А. Жукаускаса.
Для исследованной винтообразно профилированной трубы зависи-
мость имеет следующий вид:
Nu = O,27Re0'60.	(1.1.4)
Как установлено, даже при относительно невысокой температуре
стенки трубы поправкой на излучение пренебрегать не следует.
Анализ показал, что теплоотдача для трубы с винтовой накаткой
примерно на 25% выше, чем для гладкой трубы.
На рис. 1.4—1.7 показаны эффективности винтообразно профи-
лированных труб с одноходовой, трехходовой, двухходовой накаткой
с различным радиусом закругления профиля [1.1.9] . Эффективность
профилированных труб увеличивается с уменьшением скорости теп-
лоносителя. Так, например, коэффициент теплоотдачи для трубы № 1
(см. рис. 1.4) с относительным шагом одноходовой накатки f/d3 = 2,26
при одинаковых затратах удельной мощности, No = 5 Вт/м2, на переме-
щение теплоносителя, отнесенных на 1 м2 поверхности, на 50% выше,
чем для гладкой трубы (01). Для трубы № 2 (t/d3 = 1,72) с двухходовой
накаткой коэффициент теплоотдачи при одинаковых с гладкой трубой
затратах удельной мощности, No = 10 Вт/м2, примерно на 70% выше, чем
для гладкой трубы, а при No = 20 Вт/м2 — выше на 30% (см. рис. 1.6).
Рис. 1.4. Теплогидродинамическая эффективность труб
с одноходовой винтовой накаткой
Глава 1
15
Рис. 1.5. Теплогидродинамическая эффективность труб
с трехходовой винтовой накаткой
Рис. 1.6. Теплогидродинамическая эффективность труб
с двухходовой винтовой накаткой г=3,2 мм
Рис. 1.7. Теплогидродинамическая эффективность труб
с двухходовой винтовой накаткой г= 3,5 мм
16
Глава 1
Для трубы с трехходовой накаткой (см. рис. 1.5) (t/d3 = 3,72) при
N0=2 Вт/м2 (Re=104) коэффициент теплоотдачи а в 1,7 раза выше, чем
для гладкой трубы.
Теплоотдача зависит от профиля накатанной канавки. Сравнива-
лась теплоотдача в трубе с двухходовой накаткой с радиусом высту-
па внутри трубы 3,2 и 3,5 мм. При небольших числах Re коэффици-
ент теплоотдачи выше внутри труб с меньшим радиусом выступа, то
при больших скоростях эффективнее оказались трубы с г = 3,5 мм
(см. рис. 1.6 и 1.7)
Опыты по определению теплоотдачи в поперечном потоке воздуха
на внешней поверхности трубы диаметром 18 мм, имеющей двуххо-
довую винтовую накатку с шагом t = 145 мм, показали, что при оди-
наковой с гладкой трубой площади поверхности коэффициент теп-
лоотдачи для профилированной трубы примерно на 25% выше, чем
для гладкой трубы. С увеличением числа Рейнольдса эффективность
профилированной трубы уменьшается. Результаты опытов с гладкой
трубой практически совпали с данными А. А. Жукаускаса.
Гидравлическое сопротивление при течении воздуха и воды ис-
следовалось для 35 винтообразно профилированных труб с одно-,
двух- и трехходовой накаткой. Относительный шаг накатки t/d3 на-
ходился в диапазоне 1,7—32,9. Трубы — стальные, бесшовные с внут-
ренним диаметром ненакатанной части, равным 16 мм. Большее со-
противление создавали трубы с меньшим шагом накатки.
Для диапазона чисел Re от 7000 до 30000 экспериментальные дан-
ные для труб с одноходовой винтовой накаткой аппроксимированы
уравнением
-4 = 1.81g
Re
Re0,72 '
t/d3
(1.1.5)
8 +
Для приближенных расчетов предложена более простая формула:
£ = 0,452Re'°'24 + ——.	(1.1.6)
t/d3
Данные, полученные из опытов с двух- и трехходовой накаткой,
обобщены видоизмененной формулой Колбрука:
1
~^ = "219
2,5
(1-1.7)
где К — переменная величина, характеризующая условную шерохо-
ватость труб, зависит как от относительного шага накатки, так и от
числа Re. Для t/d3>3,5 в пределах чисел Рейнольдса от 9403 до 3,2404
для определения величины К предложены зависимости:
Глава 1
17
1-^lgRe
(1.1.8)
Значения коэффициентов для исследованных труб приведены в
табл. 1.
Таблица 1
Значения коэффициентов для исследованных труб
Коэффициент	Количество заходов накатки z			
	2		3	
	3,5<f/d3<10	t/d>lO	t/d3<ll	t/d3>l 1
а	0,36	0,17	0,35	0,093
b	0,022	0,006	0,025	0,0019
Теплоотдача внутри винтообразно профилированных труб иссле-
дована как при охлаждении воздуха, так и при нагреве воды.
Гидродинамические и тепловые процессы внутри винтообразно
профилированных труб можно рассматривать как результат дейст-
вия закрутки потока в каналах некруглого сечения.
Для труб с накаткой в диапазоне чисел Рейнольдса 15-103—50403
для воздуха опытные данные по теплоотдаче в работе [1.1.9] аппрок-
симированы соотношением:
Nu = O,O32Re0'76.	(1.1.10)
В числах Нуссельта и Рейнольдса за определяющий размер при-
нят эквивалентный диаметр d3 = 0,038 м.
Из формулы (1.1.10) видно, что значения коэффициента теплоот-
дачи для воздуха в исследованном диапазоне чисел Рейнольдса в про-
филированной трубе выше, чем в гладкой трубе. Однако ввиду того,
что показатель степени при числе Re равен 0,76, тогда как для глад-
кой трубы он равен 0,80, тепловая эффективность профилированной
трубы несколько уменьшается с повышением числа Re.
Установлено, что применение профилированных труб эффектив-
нее при нагреве теплоносителя, чем при охлаждении.
При нагреве исследовалась область чисел Рейнольдса от ЗТО3 до
28-103. Температурный напор составлял 5—27°С, тепловая нагрузка —
8 — 64 кВт/м2.
18
Глава 1
Данные обработаны в виде
K = CRe?d,
(1.1.11)

Рг/0'43
Pff
Prw
(1.1.12)
Трубы с одноходовой накаткой эффективнее труб с двух- и трех-
ходовой накаткой. Для трубы с одноходовой накаткой t/d3= 2,25 при
Re = 10000 коэффициент теплоотдачи примерно в 2,2 раза выше,
чем для круглой трубы. Стабилизация зависимости K(Ref,d) для труб
с меньшим значением t/d3 наступает при меньших значениях Re
по сравнению с круглой ненакатанной трубой или трубами с боль-
шим значением t/d3. Так, например, для труб с относительным ша-
гом накатки t/d3< 6 развитый турбулентный режим наступает при
Re = (7—8) 103, в то время как для труб с t/d3 >10 — при Re > 9-103.
Установлено, что на вид кривой K(Re) существенно влияет фор-
ма накатанной канавки (выступа внутри трубы). При меньшем ради-
усе выступа г показатель степени п в уравнении выше, поэтому с из-
менением числа Рейнольдса коэффициент теплоотдачи изменяется
больше, чем в трубах с большим радиусом выступа. По этой причине
результаты исследования теплоотдачи внутри труб с двухходовой на-
каткой представлены отдельно для двух групп — для труб с г = 3,2 мм
и для труб с г > 3,3 мм.
В результате аппроксимации зависимости n(t/d3) с помощью ин-
терполяционной формулы Чебышева для труб с одноходовой накат-
кой в диапазоне t/d3 от 2,3 до 21,4 получена зависимость
n=0,001(t/d3)2 —0,025(t/d3) + 0,78.
(1.1.13)
Вначале, с увеличением t/d3 примерно до 12, значения п уменьша-
ются, после чего — вновь увеличиваются.
Для труб с двух- и трехходовой накаткой характерно уменьшение
значения п до t/d3 = 12—15, после чего оно стабилизируется, достигая
0,8. Это означает, что при указанном значении t/d3 меняется режим
потока. Об этом свидетельствуют также результаты изучения гидро-
динамики изотермических потоков в винтообразно профилирован-
ных трубах.
Рациональная интенсификация теплообмена
Она характеризуется условием
' Nu >f
< (^игл ) J Re-idem v ^гл J Re=idem
(1.1.14)
Глава 1
19
где Nu, % — число Нуссельта и коэффициент гидравлического сопро-
тивления для каналов с турбулизаторами; NurA, %гл — число Нуссель-
та и коэффициент гидравлического сопротивления для идентичных
по геометрии каналов с технически гладкой поверхностью.
Получение опережающего роста теплоотдачи относительно гид-
равлического сопротивления считалось невозможным. Основани-
ями для этого служили допущения, согласно которым выполняется
аналогия Рейнольдса и турбулентное число Прандтля равно едини-
це или по крайней мере постоянно по потоку, и опытные данные для
сред с низкими числами Прандтля.
Однако в работе [1.1.1] показано, что для турбулентных течений с
отрывами вихревые зоны служат источником дополнительной тур-
булизации потока и интенсификации теплообмена, и представлены
экспериментальные подтверждения соотношения (1.1.14).
Теоретическое и экспериментальное обоснование соотношения
(1.1.14) явилось предметом научного открытия со следующей фор-
мулой: установлена неизвестная ранее закономерность изменения
теплоотдачи на стенках каналов с дискретной турбулизацией пото-
ка при вынужденной конвекции, заключающейся в том, что в опре-
деленном соотношении размеров и расположений турбулизаторов
рост теплоотдачи больше роста гидравлического сопротивления по
сравнению с аналогичным гладким каналом [1.1.10].
Теплоотдача и сопротивление в каналах с кольцевой накаткой
Накатка — эффективный метод интенсификации теплоотдачи в
трубчатых теплообменных аппаратах. При этом на наружной повер-
хности трубы образуются периодически расположенные кольцевые
канавки, а на внутренней — кольцевые выступы с плавным профилем
(рис. 1.8).
Этот метод разработан Э.К. Калининым, Г. А. Дрейцером, Е.В. Дуб-
ровским, С.А. Ярхо, Г.И. Ворониным [1.1.1, 1.1.10].
Трубы с кольцевыми канавка-
ми достаточно просто изготовить,
возможна накатка труб с произво-
дительностью до 9 м/мин. В тру-
бах с кольцевыми турбулизатора-
ми образуется меньшая толщина
слоя отложений. Именно в трубах
с накаткой была обнаружена но-
вая закономерность — опережа-
ющий рост коэффициента теп-
t
Рис. 1.8. Труба с кольцевой накаткой:
t — шаг накатки; h — высота выступа;
d — внутренний диаметр трубы; d} —
минимальный диаметр трубы в зоне
выступов
20
Глава 1
лоотдачи по сравнению с увеличением гидравлического сопротив-
ления. Эта закономерность, которая была признана в качестве науч-
ного открытия, наблюдается в определенном диапазоне размеров и
расположений турбулизаторов.
При анализе эффекта накатки выделены три области:
—	Re < ReKp, где теплоотдача для трубы с накаткой может быть
больше или меньше, чем для трубы с технически гладкой поверхно-
стью, в зависимости от числа Рг и параметров накатки;
-	ReKp< Re Re‘- где аш >:> агл;
—	Re > Re*, где аш /агл > 1 = const.
Во второй области наблюдается повышение теплоотдачи до двух —
трех раз в результате более раннего перехода к турбулентному тече-
нию. Более эффективными оказываются турбулизаторы сравнительно
большой высоты. С увеличением числа Re (третья область) турбулент-
ный обмен в ядре усиливается и термическое сопротивление сосре-
дотачивается полностью в тонком пристенном слое. Толщина слоя
становится соизмеримой с высотой турбулизатора. Пока высота тур-
булизатора меньше толщины слоя жидкости, имеющего основное тер-
мическое сопротивление, рост чисел Re и Рг сопровождается повыше-
нием интенсивности теплообмена. Таким образом, в области слабо
развитой турбулентности наиболее эффективными оказываются вы-
сокие турбулизаторы.
При развитом турбулентном течении применение высоких тур-
булизаторов нецелесообразно, так как увеличение переноса теплоты
вдали от стенки не дает существенного увеличения теплоотдачи, но
Рис. 1.9. Изменение отношения чисел
Нуссельта (1) и коэффициентов гид-
равлического сопротивления (2) для
трубы с накаткой и без нее от относи-
тельной высоты турбулизатора при те-
чении воздуха
вызывает большой рост гидравли-
ческого сопротивления.
На рис. 1.9 показаны измене-
ния отношения Num/NurA (1) и
£,ш/£,гл (2) от относительной вы-
соты турбулизатора при тече-
нии воздуха в трубе с накаткой
[1.1.10]. В случае малых высот ди-
афрагмы повышение коэффици-
ента гидравлического сопротив-
ления и теплоотдачи примерно
одинаковое. В случае больших
высот накатки рост гидравличе-
ского сопротивления опережает
рост теплоотдачи.
Шаг расположения турбули-
затора существенно влияет на
Глава 1
21
теплоотдачу и гидравличе-
ское сопротивление. Коэф-
фициент теплоотдачи в зави-
симости от отношения шага
расположения турбулизатора
к его высоте достигает макси-
мума при t/h х 10. Отношение
коэффициентов гидравличе-
ского сопротивления £,ш/£,гл
примерно постоянно до значе-
ний t/h < 10, далее с ростом t/h
оно уменьшается.
£
101
10-2
10 4
Рис. 1.10. Зависимость коэффициента гид-
равлического сопротивления от числа Re
для технически гладкой трубы (1) и труб
с турбулизаторами плавной (2) и прямо-
угольной (3) формы
Коэффициент гидравлического сопротивления существенно зависит
от формы турбулизатора. Зависимости %(Re) для трубы с турбулизатора-
ми различной формы и без турбулизаторов представлены на рис. 1.10
[1.1.10]. Величина £ в случае турбулизатора с плавным очертанием су-
щественно меньше, чем с прямоугольным профилем. С ростом числа Re
до 5-105 различие между £,ш и £,гл увеличивается и достигает трех раз.
Механизм интенсификации теплоотдачи в каналах
с шероховатой поверхностью
Интенсификация теплоотдачи в случае искусственной шерохова-
тости обусловлена следующим:
1.	В результате создания отрывных зон и вихревых структур уве-
личивается интенсивность турбулентных пульсаций. Одним из рас-
пространенных средств образования вихревых структур являются
поперечные выступы, канавки на поверхности нагрева.
2.	При ступенчатом расширении канала размеры вихревой зоны
больше и интенсивность генерации турбулентности ниже, чем при
плавном изменении сечения канала.
3.	Наибольшая генерация турбулентности происходит на верх-
ней границе вихря, где наибольшие градиенты осредненной скоро-
сти и наибольшие касательные напряжения и пульсации скорости. В
этой зоне генерация турбулентности больше диссипации энергии. У
стенки диссипация энергии преобладает над генерацией турбулент-
ности. Известные методы расчета теплоотдачи для канала с турбули-
заторами используют аналогию Рейнольдса. Эта аналогия не спра-
ведлива в зоне отрывных течений. В зоне отрыва потока и вблизи нее
нет подобия профилей скорости и температуры. Для часто располо-
женных элементов шероховатости вне вихрей эта аналогия прибли-
женно соблюдается и теплоотдачу можно рассчитывать по гидравли-
ческому сопротивлению.
22
Глава 1
Влияние интенсификации теплоотдачи на солеотложения
в трубах
В технике часто необходимо наряду с интенсификацией теплоот-
дачи обеспечить предотвращение или снижение интенсивности рос-
та солеотложений на поверхности теплообмена. Образование отложе-
ний зависит от таких факторов, как солевой и ионный состав воды и
концентрация в ней солей, тепловая нагрузка, температура и скорость
движения жидкости, свойства материала поверхности нагрева.
Перечисленные факторы определяют состав, структуру, интенсив-
ность, термическое сопротивление отложений.
Существующие методы борьбы с солеотложением сводятся в ос-
новном к предварительной обработке воды, чаще всего химическими
реагентами. Эти методы непригодны в случае, если требуется обрабо-
тать большое количество воды. Кроме того, неприемлемы и такие спо-
собы борьбы с накипеобразованием, как контактная стабилизация,
добавление зернистых присадок, ультразвуковая, магнитная и радиа-
ционная обработка воды. Применение полимерных покрытий затруд-
нено ввиду их малой стойкости к уносу, сложности нанесения и боль-
шого термического сопротивления.
Представляет интерес исследование возможности снижения соле-
отложений на поверхностях теплообмена за счет искусственной тур-
булизации потока.
Как показали экспериментальные исследования, применение тур-
булизаторов позволяет значительно уменьшить солеотложения в теп-
лообменниках [1.1.1]. Термическое сопротивление отложений R* на
этих поверхностях, в отличие от гладких, изменяется асимптотически
от времени. В этом случае имеется возможность эксплуатации тепло-
обменника длительное время без специальных мероприятий по удале-
нию отложений (естественно, в случае приемлемой величины R* при
времени т—>°°).
Особенности образования отложений на стенке
с интенсификаторами теплосъема
При взаимодействии потока со стенкой происходит не только от-
ложение осадков, но и их унос из верхнего слоя отложений. При уве-
личении скорости потока w затрудняется образование отложений,
поэтому наблюдаются меньшие значения R*. Очевидно, что турбули-
зация потока пристенными интенсификаторами теплосъема затруд-
няет образование отложений на стенке.
Скорость уноса отложений с поверхности раздела определяется
действием потока (касательными напряжениями) на слой отложе-
Глава 1
23
ний, зависит от концентрации примесей, толщины слоя отложений.
Очевидно, что на поверхностях с турбулизаторами при той же скоро-
сти потока касательные напряжения больше, чем на гладкой поверх-
ности, и унос отложений также больше.
Влияние облунения поверхности на теплоотдачу
и гидравлическое сопротивление
В работе [1.1.15] дан обзор исследований интенсификации тепло-
обмена с помощью полусферических лунок.
Одно из первых исследований влияния полусферических лунок
на теплообмен и гидродинамику выполнено в 1961 г. [1.1.16] и содер-
жало результаты измерения гидравлического сопротивления и теп-
лоотдачи в плоских щелевых каналах с чередующимися рядами сфе-
рических лунок и выступов.
В работах [1.1.17, 1.1.18] содержатся резуль-
таты измерения сопротивления полету мяча
(рис. 1.11) для игры в гольф по сравнению с
гладким мячом и мячами с песочношерохова-
той поверхностью (рис. 1.12). На рис. 1.13 пред-
ставлены данные по дальности полета мяча для
игры в гольф в зависимости от глубины лунок
на его поверхности. Мяч при оптимальной глу-
бине лунок пролетает при одинаковой силе уда-
ра в пять раз большее расстояние.
Рис. 1.11. Мяч для игры
в гольф
Рис. 1.12. Зависимость коэффициента сопро-
тивления CD для шаров с гладкой и шерохо-
ватой поверхностью и мяча для игры в гольф:
1 — мяч с гладкой поверхностью; 2 — мяч
с h/d = 150-105; 3 - мяч с h/d = 500-10‘5;
4 —мяч с h/d = 1250-10’5; d — диаметр мяча;
h — высота шероховатости (2, 3, 4), глубина
лунки на мяче для игры в гольф (h/d = 900)
Рис. 1.13. Зависимость дально-
сти полета L мяча для игры в
гольф от глубины полусфери-
ческого углубления hc на его
поверхности
24
Глава 1
При обтекании облуненной поверхности выделены два режи-
ма обтекания лунки: безотрывное и отрывное. Полусферические
лунки, имеющие относительную глубину h/d = 0,1—0,2, обтекают-
ся практически безотрывно (рис. 1.14) (где h — глубина, d — диаметр
лунки), что подтверждено измерениями в работе [1.1.19]. Измерения
профиля статического давления в продольном направлении пока-
зали, что в передней половине лунки по ходу потока возникает по-
ложительный градиент давления, а в задней — отрицательный. В
лунке, подобно диффузорно-конфузорным каналам, могут сущест-
вовать нестационарные микроотрывы. Они появляются, если при
скруглении кромки лунки протяженность выпуклого участка скруг-
ления меньше глубины лунки h. При наличии острой кромки микро-
отрыв возможен, если угол между касательной к поверхности лун-
ки в области кромки и исходно гладкой поверхностью превышает
0,1 рад. Кроме того, на вогнутой поверхности лунки могут существо-
вать продольные микровихри, подобные микровихрям Тейлора—Гер-
тлера. Нестационарные микроотрывы на передней кромке сфериче-
ской лунки и продольные пристеночные микровихри могут привести
к интенсификации теплообмена.
Обтекание полусферических лунок с относительной глубиной
h/d > 0,1...0,2 происходит в условиях отрыва потока.
При этом, как установлено в ряде работ, например [1.1.20—1.1.29],
в лунке наблюдается самоорганизующееся смерчеобразное вихре-
вое течение. Вихревые структуры перемещаются в поперечном на-
правлении из одного дискретно-стационарного положения в другое
и обратно. Оси вихревых структур наклонены по отношению к на-
правлению внешнего набегающего потока.
Рис. 1.14. Картина течения в полусферической лунке:
а — при безотрывном обтекании (h/d <0,1 ...0,2): 1 — микроотрыв на пере-
дней кромке лунки; 2 — продольные вихри; б — при отрывном обтекании
(h/d >0,1 -0,2)
Глава 1
25
Исследование структуры течения в одиночной полусферической
лунке (h/d = 0,5) выполнено в работе [1.1.26]. Установлено, что эпи-
центр вихря перемещается из левой половины полусферы в правую
и обратно. Несмотря на нестабильность смерчеобразных вихревых
структур, определены координаты точек, где эпицентры вихрей диск-
ретно существуют. Эти точки расположены под углами + 45° и — 45° по
отношению к продольной плоскости симметрии лунки и на расстоянии
(0,25 — 0,3)h от дна лунки.
В работе [1.1.26] показано также, что осредненная скорость воз-
вратного течения составляет примерно 0,41^. Выходящий из полу-
сферической лунки вихрь образует «газодинамическое тело», от-
тесняющее от лунки внешний набегающий поток. Циркуляционное
течение в лунке образует замкнутый контур: часть поступающего в
лунку потока возвращается снова в лунку, а часть выносится во внеш-
ний набегающий поток.
По данным различных исследований [1.1.30, 1.1.31] область присо-
единения вихрей расположена на расстоянии примерно (0,5—2,5)d от
центра лунки вниз по потоку. При этом, как показано в [1.1.31], об-
ласти присоединения вихревых структур не соответствуют зонам с
максимальной теплоотдачей за лункой. Выходящие из лунки смерче-
образные вихри оказывают возмущающее воздействие на структуру
течения за лункой на расстоянии (3—5)d вниз по потоку.
Данные по гидравлическому сопротивлению в каналах со сфериче-
скими лунками получены в работах! 1-1-16, 1.1.21 — 1.1.24, 1.1.32 —1.1.48].
Приведенные в работе [1.1.32] результаты экспериментов пока-
зывают, что зависимость £, = f(Re) более пологая, чем по закону Бла-
зиуса. В работах [1.1.33, 1.1.38, 1.1.39] показано, что практически для
всех каналов в выражении
£ = ARen	(1.1.15)
показатель степени п = -0,25, что соответствует турбулентному по-
граничному слою в гладком канале. Лишь в канале с двухсторонним
расположением лунок, имеющих острые кромки, п = —0,23. Значе-
ние п = —0,25 получено также в работах [1.1.23, 1.1.35 — 1.37].
Согласно работе [1.1.43], коэффициент гидравлического сопро-
тивления изменяется в зависимости от числа Re в соответствии с со-
отношением
= 0,364 Re018.	(1.1.16)
Согласно работе [1.1.44], при Re = 7-103...2,2-104 наклоны зависи-
мостей £= f(Re) для гладкого канала и канала с лунками совпадают.
Так, для канала с лунками получено уравнение
Е, = 0,242 Re016.	(1.1.17)
26
Глава 1
Рис. 1.15. Влияние плотности расположения
лунок на относительный коэффициент со-
противления: 1 — h/d = 0,5; H/d = 0,2 —0,7;
2 - h/d = 0,5; H/d = 0,1; 3 - h/d = 0.1;
H/d = 0,1
Таким образом, согласно
многим исследованиям влия-
ние числа Рейнольдса на гид-
равлическое сопротивление
каналов с полусферическими
выемками описывается урав-
нением, в котором показатель
степени п = —0,25.
По данным различных
исследований, с увеличени-
ем глубины и плотности рас-
положения выемок, а также
стесненности канала коэф-
фициент гидравлического со-
противления возрастает. На
рис. 1.15 представлены резуль-
таты работ [1.1.33, 1.1.38, 1.1.39]
по влиянию относительной плотности расположения лунок на отно-
сительный коэффициент гидравлического сопротивления.
Скругление кромок приводит к снижению гидравлического со-
противления каналов с полусферическими лунками. Рекомендации
по радиусу скругления кромок даны в работе [1.1.46].
По результатам исследований [1.1.37] в коридорном пучке попе-
речно обтекаемых трубок с лунками гидравлическое сопротивление
снижается на 25%, а в шахматном пучке — на 35% по сравнению с
пучком гладких трубок.
В работах [1.1.20-1.1.23] получена эмпирическая зависимость гид-
равлического сопротивления от относительной глубины лунок и
плотности их расположения на поверхности, найденная при обра-
ботке данных для различных вариантов плоского щелевого канала с
лунками (h/d = 0...0.5):
^гл = 1 + 6,5fsin[3,14(h/d)].	(1.1.18)
В нестесненных каналах, в которых H/d > 0,7, для «безотрывных»
лунок (h/d < 0,1...0,2) по данным [1.1.35] и [1.1.36] коэффициенты гид-
равлического сопротивления для гладкого канала и канала с лунка-
ми практически не отличаются. Для стесненного канала (H/d = 0,1)
по данным работ [1.1.33, 1.1.38, 1.1.39] увеличение f от 0 до 0,7 приво-
дит к возрастанию относительного коэффициента гидравлического
сопротивления до 1,5 раз. Для глубоких лунок (h/d = 0,5) в стеснен-
ных каналах с увеличением f от 0 до 0,7 относительный коэффициент
гидравлического сопротивления возрастает до трех раз.
Глава 1	27
В работах [1.1.24, 1.1.41, 1.1.42] получено увеличение относитель-
ного коэффициента гидравлического сопротивления до трех раз при
увеличении f от 0 до 0,7 в неглубоких лунках с h/d = 0,13 в диапазоне
H/d от 0,16 до 1,0.
В работе [1.1.48] обсуждаются результаты продувок в аэродинами-
ческой трубе пластин с нанесенными на обеих сторонах полусфери-
ческими лунками. Получено, что некоторые пластины имеют коэф-
фициент аэродинамического сопротивления, превышающий всего
на (8—10)% его величину для гладкой пластины.
Для ламинарного обтекания пластин с полусферическими лунка-
ми относительной глубиной h/d — 0,14...0,18 при числе Re = 30...100 в
работе [1.1.49] получено уменьшение коэффициента гидравлическо-
го сопротивлениядо 18% по сравнению с гладкой пластиной.
Конвективный теплообмен
В работе [1.1.32] получена зависимость с показателем степени п в
формуле (1.1.19), равным 1,07:
Nu = ARen.	(1.1.19)
По данным работ [1.1.33, 1.1.38, 1.1.39], для каналов с односторон-
ним расположением лунок показатель степени в указанной зависи-
мости п = 0,8, а с двухсторонним — п = 0,76.
В работах [1.1.21—1.1.23, 1.1.34, 1.1.36, 1.1.37 ] получена зависимость
с показателем степени п = 0,8:
Nu = ARe0,8.	(1.1.20)
В работе [1.1.43] предложена зависимость
Nu = ARe0-74	(1.1.21)
для f= 0,78, h/d = 0,1 и H/d = 0,33...1.
В работе [1.1.44] при Re >7-103 получено соотношение
Nu = 0,04 Re°'8Pr°’4,	(1.1.22)
и при Re = З-Ю3... 7-103
Nu = 0,0068 RePr0-4.	(1.1.23)
Таким образом, согласно многим работам теплоотдача для каналов
с полусферическими лунками описывается зависимостью (1.1.20).
Влияние на среднюю теплоотдачу относительной глубины
лунок, относительной высоты канала, плотности
расположения и радиуса скругления кромок лунок
В работах [1.1.33, 1.1.38, 1.1.39] исследовано влияние параметров
h/d и H/d на теплоотдачу при одностороннем и двухстороннем распо-
28
Глава 1
ложении лунок с острыми и скругленными кромками. Исследовались
стесненные каналы (H/d < 0,4) с максимальной плотностью лунок
(f = 0,69). При этом был реализован односторонний подвод теплоты
к каналу. Полученные данные показывают, что в каналах с полусфе-
рическими лунками интенсивность теплоотдачи повышается до 4—6
раз. Из полученных данных также следует, что независимо от того,
скруглены кромки или нет, влияние относительной глубины лунок на
среднюю теплоотдачу одинаково. С увеличением h/d двухсторонний
рельеф лунок становится более предпочтительным.
Анализ изменения коэффициента теплоотдачи и гидравличе-
ского сопротивления при обтекании лунок с острыми и скруглен-
ными кромками показал, что скругление кромок для h/d = 0,5 при-
водит к снижению коэффициента гидравлического сопротивления
примерно на 20—30% и коэффициента теплоотдачи примерно на
10-15%.
Большинство имеющихся исследований посвящено изучению об-
текания неглубоких лунок в условиях, когда относительная высота
канала H/d практически не влияет на интенсификацию теплоотдачи
(H/d > 0,7).
Как следует из работы [1.1.37], в которой исследовали теплоотда-
чу в коридорном пучке поперечно обтекаемых трубок, интенсифи-
кация теплообмена имеет место только для первого ряда трубок. Для
глубинного ряда трубок небольшая интенсификация теплоотдачи
наблюдалась при Re > 104. Для шахматного пучка трубок отмечена
интенсификация теплоотдачи не только для первого ряда, но и для
глубинных рядов. Рост теплоотдачи в этом случае составлял пример-
но 20% по сравнению с пучком гладких трубок.
Данные по влиянию геометрических параметров на интенсифи-
кацию теплообмена полусферическими лунками приведены в рабо-
тах [1.1.24,1.1.41,1.1.42]. Некоторые из этих результатов приведены на
рис. 1.16.
В работе [1.1.26] получено распределение местных коэффициен-
тов теплоотдачи в полусферической лунке для h/d = 0,5. Это распре-
деление неравномерно и имеет минимум в донной области. Коэффи-
циент теплоотдачи больше в части лунки, расположенной ниже по
потоку. Этот факт качественно подтвержден опытами [1.1.31].
Исследования [1.1.29,1.1.50] теплоотдачи за одиночной лункой
(h/d = 0,5) не обнаружили каких-либо эффектов, которых можно
было ожидать в случае присоединения за лункой смерчеобразной
вихревой структуры. В работе [1.1.31] зафиксированы периодиче-
ские перемещения эллипсообразных областей с повышенной тепло-
отдачей с одной половины на другую поверхности между лунками.
Глава 1
29
Рис. 1.16. Влияние параметров облунения
поверхности на интенсификацию теплоот-
дачи: а — влияние относительной глубины
лунок, f = 0,35: 1 - H/d = 0,17; 2 - 0,33;
3 — 0,66; б — влияние относительной
высоты канала, f — 0,35: А — h/d = 0,07;
В - 0,13; С - 0,28; 1 - h/H = 0,13; 2 - 0,2;
3 — 0,33; 4 — 0,8; в — влияние плотности
расположения лунок, h/d = 0,13: 1 —
H/d = 0,17; 2 - 0,33; 3 - 0,66; 4-1,0
По данным работы [1.1.51], коэффициент теплоотдачи за полусфе-
рической лункой монотонно падает. Как установлено, коэффициент
теплоотдачи уже на расстоянии x/d > 2 практически совпадает с его
величиной для гладкой поверхности.
Эффективность интенсификации теплообмена
Для сопоставления теплообменников по эффективности можно
использовать предложенный в работе [1.1.52] коэффициент
Е = g/N,	(1.1.24)
где q — плотность теплового потока через рабочую поверхность теп-
лообменника; N — затраты мощности на прокачку теплоносителя.
В то же время, например, в системах воздушного охлаждения газо-
турбинных двигателей и энергоустановок сопоставление и выбор
целесообразных вариантов охлаждаемых элементов проводится на
основе анализа затрат на организацию охлаждения. В этих и других
случаях необходима информация по теплогидравлическим характе-
ристикам каналов [1.1.53].
30
Глава 1
Ниже сопоставлены результаты исследования влияния сфериче-
ских лунок на относительные коэффициенты теплоотдачи и гидрав-
лического сопротивления, отражающие эффективность интенсифи-
кации теплообмена:
Nu/NurA = f(^rA).	(1.1.25)
Здесь £ и £,гл — коэффициенты гидравлического сопротивления
для канала с лунками и без лунок соответственно.
В качестве характерного линейного размера в числа Re и Nu вхо-
дит гидравлический эквивалентный диаметр D3 = 4Г/П (F — пло-
щадь поперечного сечения канала, П — его периметр). В случае кана-
ла с лунками гидравлический диаметр определялся по «смоченному
периметру», т.е. с учетом увеличенной поверхности за счет лунок.
Таким образом обрабатывались опытные данные в работах [1.1.16,
1.1.33, 1.38, 1.39] для глубоких лунок.
На рис. 1.17 заштрихованной областью показаны результаты из-
вестных экспериментальных исследований теплообмена и гидрав-
лического сопротивления в каналах с полусферическими лунками
[1.1.33, 1.38, 1.39].
Приведенные данные охватывают широкий диапазон измене-
ния параметров, а именно кольцевые коаксиальные и плоские кана-
лы с относительной глубиной лунок — h/d = 0,07...0,5; относитель-
ной высотой канала H/d = 0Д...1; плотностью расположения лунок
f — 0,16...0,78; при размещении лунок с острыми или скругленными
кромками в шахматном и коридорном порядке.
Как видно из рис. 1.17, несмотря на
значительный разброс опытных дан-
ных, выполняется соотношение
Nu/NurA=^rA. (1.1.26)
Лишь в области больших значе-
ний Nu/NurA и £>/^гл наблюдается
опережающий рост теплоотдачи по
сравнению с увеличением гидрав-
лического сопротивления. Этот ре-
зультат, полученный в работах [1.1.34,
1.1.38, 1.1.39], относится лишь к стес-
ненным каналам с относительно глу-
бокими лунками. Кроме того, в этих
работах показано, что каналы с лун-
ками на одной стороне энергети-
чески более выгодны, чем на двух.
Причем наиболее эффективный ва-
Рис. 1.17. Эффективность интенси-
фикации теплообмена полусфе-
рическими лунками по данным
различных исследований
Глава 1
31
риант — с односторонним расположением лунок и скругленными
кромками, а наименее эффективный — с двухсторонним расположе-
нием лунок и острыми кромками.
Анализ имеющихся работ показал, что большинство исследова-
ний гидродинамики и теплообмена проведено в случае неглубоких
полусферических лунок. Основной массив точек в этом случае кон-
центрируется около линии Nu/NurA=^/^rA.
Ниже сопоставлены два способа интенсификации теплообме-
на: с помощью полусферических лунок и поперечных кольцевых выс-
тупов.
На рис. 1.18 заштрихованной областью отмечены данные для на-
иболее выгодных диапазонов изменения геометрических парамет-
ров каналов с поперечными кольцевыми выступами применитель-
но к газам: относительный шаг поперечных кольцевых выступов
t/D = 0,25...1,0; отношение внутреннего диаметра трубы в области
выступов к внутреннему диаметру гладкой трубы d/D — 0,90...0,95
(для t/D = 1 значения d/D = 0,90...0,93).
Из сопоставления рассмотренных данных можно заключить сле-
дующее. Поперечные кольцевые выступы в области рациональных
значенийгеометрическихпараметровпозволяютобеспечиватьравен-
ство Nu/NurA = £>/£>гл. Имеется даже некоторое опережение роста теп-
лоотдачи по сравнению с ростом сопротивления. Область равенства
(Nu/NurA) и (£>/£>гл) располагается в диапазоне изменения £>/£>гл от 1,0
до 1,9—2,0. В этой области оба сопо-ставляемых способа интенсифи-
кации теплообмена имеют одинаковую эффективность. Интересно
отметить, что как раз в эту область
попадают данные для мелких лунок.
Дальнейшее увеличение теплоот-
дачи при (Nu/NurA) > 2 с помощью
поперечных кольцевых выступов
сопровождается опережающим уве-
личением гидравлического сопро-
тивления. При использовании же
полусферическихлунок удается обес-
печить одинаковый рост теплоотда-
чи и сопротивления до значительно
большего значения относительного
числа Нуссельта.
Значит, можно констатировать,
что если предельный уровень интен-
сификации теплообмена для попереч-
ных кольцевых выступов составляет
Рис. 1.18. Эффективность интенси-
фикации теплообмена поперечны-
ми кольцевыми выступами в круг-
лом канале
32
Глава 1
(Nu/NurA) = 1,9...2,0, то для сферических лунок — более 4. В послед-
нем случае реализуется смерчевой механизм интенсификации теп-
лообмена, характерный для глубоких лунок.
Таким образом, результаты исследований указывают на то, что на-
несение на теплообменную поверхность полусферических лунок яв-
ляется эффективным способом интенсификации теплообмена. Сле-
дует отметить, что анализ полученных данных свидетельствует о том,
что, по-видимому, существует оптимальная геометрия профилирован-
ной поверхности, обеспечивающая максимально выгодные условия
теплообмена при минимальных энергетических затратах.
Влияние внешних условий
Влияние внешних условий на интенсификацию теплообмена ис-
следовали на одиночных полусферических лунках.
Влияние внешней турбулентности на теплоотдачу в полусфери-
ческой лунке исследовали в работе [1.1.26]. Относительная глубина
лунки h/d составляла 0,5; число Red = (18,2...33,1) 104. Результаты ис-
следований показали, что турбулизация внешнего потока влияет на
теплоотдачу от лунки. Увеличение степени турбулентности набега-
ющего потока приводит к уменьшению частоты перемещения смер-
чеобразного вихря в полусферической лунке, и положение, вихря ста-
билизируется в той или другой половине полусферы.
Влияние продольного градиента давления на воздействие полу-
сферической лунки исследовано в работах [1.1.54, 1.1.55]. Лун-
ка относительной глубиной h/d = 0,5 имела острую кромку. Число
Re = 9,2-104...3,7-105; формпараметр F изменялся от 0 до — 2-10'3, па-
раметр ускорения К от 0 до 540’6. Показано, что с возрастанием сте-
пени конфузорности потока средняя теплоотдача в полусфериче-
ской лунке увеличивается по закону, близкому к линейному. Так, при
К = 5-106 средняя теплоотдача в ней возрастает примерно в два раза
по сравнению со случаем безградиентного течения. При этом осо-
бенно интенсивно теплоперенос возрастает в области эпицентров
вихря.
По данным работы [1.1.30], продольный градиент давления влия-
ет на частоту перемещения эпицентра вихря. С увеличением поло-
жительного продольного градиента давления частота перемещения
уменьшается, а с увеличением отрицательного градиента частота
возрастает по сравнению с безградиентным течением.
Таким образом, из анализа следует, что уровень турбулентности,
а также величина и знак продольного градиента давления внешнего
течения изменяют как гидродинамику, так и теплообмен в лунке.
Глава 1
33
В работе [1.1.74] исследована интенсификация теплоотдачи в теп-
лообменнике типа труба в трубе. Для повышения теплоотдачи ис-
пользовано облунение внутренней трубы. Опыты проведены в диа-
пазоне чисел Re (7,5-103) — (5,2-104). Температура воды йа входе 68 °C.
Исследованы шесть труб с различным облунением и одна труба
без облунения. Обнаружено повышение теплоотдачи от 25 до 137%
при постоянном числе Re. Отношение коэффициента теплоотдачи к
коэффициенту трения для облуненной и гладкой трубы изменяется
от 0,93 до 1, 16.
В работе [1.1.57] проведен анализ самоорганизации смерчеобраз-
ных струй на основании:
—	визуальных наблюдений за обтеканием лунок;
—	результатов исследований гидродинамики и тепломассообмена
при обтекании одиночных лунок й рельефов;
—	решений нестационарных уравнений Навье-Стокса и нераз-
рывности, описывающих эволюцию смерчеобразных потоков вязкой
жидкости.
При анализе использовались видеозапись и фотографии, сделан-
ные совместно с В.Б. Хабенским и М.И. Рабиновичем в Институте
прикладной физики РАН в Нижнем Новгороде. В работе высказано
мнение, что самоорганизация смерчеобразных вихрей при обтека-
нии рельефов TLT обусловлена действием на жидкость в лунке сил,
возникающих при обтекании криволинейной поверхности. Эти силы
и создают условия для самоорганизации смерчеобразных струй по
мере увеличения скорости.
Циркуляционное движение приводит к возникновению в углуб-
лении трехмерного пограничного слоя, состоящего из вихрей типа
вихрей Гертлера или их ансамблей. Эти мелкомасштабные вихри вы-
полняют роль мелкодисперсной структуры.
Для выполнения прандтлевского условия прилипания вторич-
ной вихревой структуры к криволинейной поверхности углубления
во всем диапазоне исследованных чисел Re (103 < Red < 2-105) необ-
ходимо, чтобы в торцах вихря возникало малодиссипативное тече-
ние не только при ламинарном, но и при турбулентном обтекании
рельефов, когда азимутальная скорость вихря в лунке достаточно
высока и составляет, согласно измерениям, » (0,3—0,4)V,. Герт-
леровские вихри связывают торцы вихрей с поверхностями углуб-
лений и обеспечивают выполнение условий «прилипания». Герт-
леровский вихрь действует как колесо, катящееся по поверхно-
сти углубления, всегда имея скорость Vw = 0 на поверхности лун-
ки, а в остальных точках — скорость среды в торце вихревой струк-
туры. Вихревая структура в углублении при своей эволюции ис-
34
Глава 1
пользует гертлеровские вихри в качестве вихревого подшипника.
Другими словами, смерчеобразный вихрь «катается» на гертлеров-
ских вихрях по поверхности лунки, удовлетворяя условиям «прили-
пания» Л. Прандтля [1.1.57].
Формирование в углублениях вторичных вихревых структур во
всем диапазоне режимов их обтекания и трехмерного пограничного
слоя из вихрей Гертлера следует из анализа материалов визуализации
течения как при ламинарных, так и при турбулентных режимах.
Изложенные представления о роли вихрей Гертлера в формиро-
вании пограничного слоя на криволинейной поверхности и смерче-
вых структур и описание эффектов, сопровождающих это явление,
важны, потому что попытки использовать для этого известные ха-
рактеристики пограничного слоя не дают адекватного объяснения
наблюдаемых фактов. Взаимодействие между вихревыми структу-
рами в углублениях, пространственная ориентация и динамичность
вихревых структур на рельефах, а также данные по снижению тре-
ния и интенсификации тепло- и массообмена не находят объяснения
в рамках традиционных представлений гидродинамики и тепломас-
сообмена. Исследование взаимодействия смерчеобразного закручен-
ного потока с обтекаемой поверхностью в торце вихря, проведенное
М. А. Гольдштиком в 1960 г., показало, что такой вихрь сшивается с по-
верхностью лишь в одной точке, вращаясь вокруг нее подобно волч-
ку. Попытки связать торец вихря с обтекаемой поверхностью по всей
его площади приводят, как показал М.А. Гольдштик, к разрушению
закрученного потока. Этот важный результат указывает на непри-
менимость жесткого условия прилипания Л. Прандтля к вихревым
структурам в общем случае и смерчеобразным вихрям на рельефах.
Таким образом, самоорганизация вихревых структур в углубле-
ниях приводит к непрерывной генерации гертлеровских вихрей на
криволинейных поверхностях углублений, а также к их непрерыв-
ному отсосу смерчеобразной закрученной струей. Отсос гертлеров-
ских вихрей приводит к наполнению ими ствола вихря, выносяще-
го эту массу в основной поток, и обновлению вихревого подшипника
в торцах вихревых структур. Что касается внешней границы смер-
чеобразного вихря, то она встроена в основное течение и имеет та-
кую же скорость Vm. В ламинарных режимах обтекания рельефов,
когда вихревые структуры в углублениях замыкаются своими тор-
цами на боковые по потоку скаты лунок, это приводит к возникно-
вению поверхностей раздела между вихревыми структурами в лун-
ках и основным течением. Поверхности раздела, возникающие там,
где вектор азимутальной скорости вихревой структуры не сов-
падает с вектором скорости основного потока V*, неустойчивы, и
Глава 1
35
достаточно малого возмущения в основном потоке, чтобы вызвать
их разрушение. Процесс разрушения приводит к большей разно-
сти скоростей между основным потоком и вихрем в лунке, причем
эта разность может возрастать в одних местах и уменьшаться в дру-
гих, нарушая симметрию вихревых структур. Нарушение симмет-
рии происходит даже в том случае, когда пульсации составляют
0,05 % от средней скорости VM. Даже в таком потоке, судя по кад-
рам видеозаписи, не удается наблюдать стационарную симметрич-
ную структуру в лунке. Истекающая струя, как за «веревочку»,
тянет вихревую структуру, сопряженную с поверхностью лунки по-
средством «подшипников» из вихрей Гертлера, за собой, поворачивая
ее на небольшой угол относительно мидельного сечения углубления.
Однако, учитывая, что в лунке происходит поворот всей структуры,
необходимо принять, что происходит перенос массы среды внутри
вихревой структуры от одного ее торца к другому, это прослеживает-
ся при просмотре видеозаписи. Такой процесс не стационарен в свя-
зи с наличием в потоке, движущемся со скоростью V., различных по
амплитуде и направлению пульсаций скорости V/ [1.1.57].
Изложенный выше механизм описывает формирование вихревых
структур в углублениях рельефа. При увеличении скорости основно-
го течения повышается азимутальная составляющая скорости
вихревой структуры в лунке. Увеличение V , в свою очередь, вызыва-
ет уменьшение давления в стволе вихря, пропорциональное V 2 В свя-
зи с этим возрастает разность давлений во внешнем потоке и в ство-
ле вихревой структуры в лунке, что увеличивает расход среды через
вихрь, обеспечивая повышение радиальной VR и продольной Vz ком-
понент вихревой скорости в цилиндрических координатах.
Снижение давления внутри вихревой структуры приводит к вы-
равниванию давления во внешнем потоке и стволе вихря. Повыше-
ние скорости натекающего потока приводит к сжатию вихря в лун-
ке. На циркулирующий в лунке вихрь со стороны основного потока
действует подъемная сила. Эта сила стремится оторвать вихрь от по-
верхности лунки. Однако отрывается лишь один торец вихря, через
который происходит истечение среды из лунки в основной поток и ко-
торый связан с поверхностью углубления слабее, чем всасывающий
торец вихря. Наблюдения потока позволили проследить его эволю-
цию, сжатие вихря и изменение вихревой структуры в углублении.
Необходимо отметить, по крайней мере, две особенности обтекания
лунки и формирования закрученного течения. Одна из них связана с
возникновением достаточно четкой границы вихря, что свидетельст-
вует об отсутствии обмена средой между внешним течением и вих-
рем через его боковую поверхность. Обмен происходит лишь через
36
Глава 1
Рис. 1.19. Модель головного вагона
межконтинентального экспресса
ICE в 1/20 натуральной величины
с рельефом TLTна обтекаемой по-
верхности
торцы вихря. Вторая особенность со-
стоит в том, что всасывание среды в
вихрь происходит лишь из тонкой
пристенной области вблизи границы
сопряжения лунки с исходно гладкой
поверхностью.
Рельефы были нанесены на по-
верхность модели головного вагона
скоростного межконтинентального
экспресса, и полное сопротивление
модели уменьшилось примерно на
17% по сравнению с моделью, име-
ющей гладкую поверхность [1.1.57].
На рис. 1.19 показана эта модель с рельефом на обтекаемой поверх-
ности.
На рис. 1.20 [1.1.57] зафиксирована структура течения в лунке и
вокруг нее, соответствующая обтеканию поверхности потоком воды
при комнатной температуре при числе Red«2-105, определенном по ди-
аметру лунки dc « 50-Ю’3 м. Фотография получена с помощью мельчай-
ших пузырьков газа, подаваемых в поток воды специальным элект-
рохимическим приспособлением. Поток двигался слева направо. В
левой части фотографии, т.е. выше по потоку, видны газовые пузырь-
ки. Этот участок течения отмечен стрелкой с цифрой 1. На выпуклой
части углубления, сопрягающей исходно гладкую поверхность с вог-
нутой частью лунки, в поток встраиваются струйки, образуется трех-
мерный пограничный слой, состоящий из вихрей типа вихрей Герт-
лера. Эта зона течения обозначена стрелкой с цифрой 2. Стрелка с
цифрой 3 направлена на область, со-
стоящую из вихрей вторичного за-
крученного потока, истекающего из
лунки. Ствол вихря, обозначенный
стрелкой с цифрой 4, наполнен струй-
ками, втекающими в углубление по
его выпуклым скатам и генерируемы-
ми в торце вихря на криволинейной
поверхности вогнутой части углубле-
ния. Темный участок в закрученной
струе за пределами углубления в пра-
вой части фотографии рядом со стрел-
кой 4 свидетельствует о повороте вих-
ревой струи, истекающей из лунки
под углом -45° к направлению основ-
Рис. 1.20. Структура смерчеоб-
разной струи, истекающей из
углубления, визуализированная
с помощью мелких газовых пу-
зырьков
Глава 1
37
ного течения, и подстройке вектора скорости вихревой струи к век-
тору скорости основного потока. Стрелка с цифрой 5 указывает на
вихри, снесенные на нижние по потоку скаты углубления. Эти вихри
также всасываются смерчеобразным вихрем и переносятся в основ-
ное течение.
Эксперименты по визуализации обтекания углублений дали воз-
можность определить структуру поля скоростей в самоорганизу-
ющейся смерчеобразной вихревой струе. Считается, что вихрь состо-
ит из совокупности ni тонких слоев, для каждого из которых выполня-
ется условие:
R^Zi =const.	(1.1.27)
Уменьшение толщины пограничного слоя на рельефах по сравне-
нию с гладкой поверхностью подтверждено прямыми измерениями
профилей скорости в основном потоке.
В работе проведены измерения поля давлений на поверхности
лунки диаметром dc » 40-10'3 м и при глубине hc « 10’3 м и вокруг нее в
канале (рис. 1.21) [1.1.57].
В работе [1.1.61] приводятся результаты экспериментального ис-
следования обьемных флуктуаций потока за «мелкими» (h/D < 0,1)
одиночными, а также установленными в ряду сферическими и ци-
линдрическими углублениями. Исследование выполнено в услови-
ях ламинарного потока перед углублением (или рядом углублений),
когда влияние пристенной турбулентности отсутствует. Изучены
как одиночные углубления,
так и установленные в одно-,
двух- и трехрядной конфигура-
циях. Частота флуктуаций за
углублением определялась по
материалам видеосъемки. По-
лученные видеофильмы преоб-
разовывались в цифровой фор-
мат с последующей обработкой
при уменьшенной скорости вос-
произведения. Для визуализа-
ции потока перед углублением
и внутри него выполнялись по
пять отверстий диаметром 1 мм,
через которые подавалась под-
крашенная жидкость пяти раз-
личных цветов. Форма углубле-
Рис. 1.21. Безразмерное поле давления
на поверхности углублений. Измере-
ния проведены в 45 точках относитель-
но локального давления PQ в выбранной
точке на исходно-гладкой поверхности
38
Глава 1
ния, скоростьпотока, относительнаятолщинапограничного слояперед
углублением играют существенную роль в формировании флуктуа-
ций потока за ним, причем увеличение толщины пограничного слоя
подавляет флуктуации. Эксперименты выполнены в водяной трубе
Военно-воздушной академии США (г. Колорадо-Спрингс), работаю-
щей в интервале входной скорости от 0,05 до 0,5 м/с. Число Рей-
нольдса ReD, вычисленное по диаметру углубления, составляло от
3200 до 24500.
Экспериментальный участок (рис. 1.22) представлял собой плас-
тину из пластика толщиной 19 мм, в которой выполнялись одиночные
цилиндрические или полусферические углубления, а также один, два
или три ряда поперечных углублений с «шахматным» расположени-
ем [1.1.61].
Пластина имела эллиптическую переднюю кромку для обеспе-
чения безотрывного течения, длина пластины — 1220 мм, а шири-
на — 381 мм. Углубления имели диаметр 50,8 мм, глубину 5,08 мм или
2,54 мм.
Цилиндрические углубления получены с помощью сверления и
преобразовывались в сферические углубления заполнением полос-
ти отверстия твердеющим пластиком. Экспериментальный участок
располагался в испытательной секции таким образом, чтобы неста-
ционарные вихревые структуры могли наблюдаться через прозрач-
ное дно с помощью наклонной зеркальной поверхности, установлен-
ной под испытательной секцией. Поэтому углубления располагались
на нижней поверхности экспериментального участка. Две цифровые
видеокамеры SONY-DSR VX2000 использовались для записи образу-
ющихся вихревых структур в реальном масштабе времени.
Зависимость числа Струхаля от числа Рейнольдса для одиночных
углублений имеет максимум (рис. 1.23) [1.1.61]. Существует корреля-
ция между отрывом потока внутри углубления и переходом к турбу-
Направление
потока
Рис. 1.22. Экспериментальный участок
Цилиндрическое
углубление
Сферическое
углубление
Глава 1
39
Число Рейнольдса, ReD
Рис. 1.23 . Флуктуации потока за одиночным
цилиндрическим (0,0) и сферическим (А) уг-
лублениями: О — h/D = 0,1; О — h/D = 0,05;
А - h/D = 0,10
лентному режиму за ним.
Возникновение турбулен-
тности наблюдалось толь-
ко в пристенной области, а
большая часть профиля со-
храняла форму при лами-
нарном течении. Вследст-
вие этого объемные флук-
туации потока за углубле-
нием при визуализации
представляли собой лами-
нарновихревые структу-
ры. Сравнение интенсив-
ности флуктуаций для одиночного цилиндрического и сферического
углублений показывает, что геометрическая форма углубления игра-
ет важную роль в формировании нестационарных флуктуаций пото-
ка. Что касается максимальной интенсивности флуктуаций, цилинд-
рическое углубление предпочтительно в области ReD = 8000... 11000,
а сферическое — при Rep >12500. В области ReD <7500 геометри-
ческая форма углубления не оказывает влияния на величину чис-
ла Струхаля. При ReD > 9500 для x/D = 4,7 и при ReD >11000 для
x/D = 8,36 одиночное сферическое углубление генерирует более ин-
тенсивные объемные флуктуации потока, чем цилиндрическое.
За цилиндрическим и сферическим углублением во втором ряду
обьемные флуктуации потока уменьшаются по сравнению с флукту-
ациями в первом ряду при сохранении числа Рейнольдса, соответст-
вующего максимуму числа Струхаля (рис. 1.24). При Rep < 14000 ци-
линдрическое углубление
во втором ряду генерирует
более интенсивные флук-
туации, чем сферическое.
Общий вывод состоит в
том, что для цилиндриче-
ского и сферического уг-
лублений флуктуации по-
тока во втором и третьем
рядах меньше, чем в пер-
вом. Это связано с тем, что
флуктуации первого ряда
генерируют внешнюю тур-
булентность для второго и
третьего ряда углублений.
Рис. 1.24. Флуктуации потока за углублением
во втором ряду цилиндрических и сфери-
ческих углублений: О — х/£>=2,96. Цилинд-
рическое углубление во втором ряду; А —
х/£>=2,96. Сферическое углубление во вто-
ром ряду
40
Глава 1
Особенно заметно это проявляется для цилиндрического углубле-
ния в третьем ряду, которое располагается в «следе» за углублением
первого ряда. Для сферического углубления флуктуации в третьем
ряду меньше флуктуаций во втором ряду только при ReD >12500, т.е.
геометрическая форма углубления играет заметную роль в характе-
ре подавления флуктуаций в нижележащих рядах углублений.
Обоснование опережающего роста теплоотдачи от стенки канала
с полусферической лункой по сравнению с увеличением гидравли-
ческих потерь исследовано в работе [1.1.76, 1.1.77]. Вихревая интен-
сификация теплообмена путем нанесения на стенки канала луночных
рельефов оказывается более привлекательной по сравнению с други-
ми способами генерации вихрей (например, с помощью выступов или
наплывов) из-за возможности получения опережающего роста коэф-
фициента теплоотдачи по сравнению с гидравлическими потерями. В
принципе вполне благоприятной можно считать ситуацию, когда тем-
пы роста теплоотдачи и гидравлических потерь оказываются близки-
ми даже при опережении последних. Ведь для наплывов теплогидрав-
лическая эффективность, определяемая как (Nu/NupZ)/(£,/£,p/), гораздо
меньше единицы (здесь — коэффициент гидравлических потерь
тракта с периодическими наплывами).
Как отмечалось ранее, в экспериментальных работах 4 определя-
ется по перепаду статического давления между выбранными сечени-
ями. Однако в отрывных и в особенности пространственных течени-
ях существенный вклад в £, должна вносить неравномерность полей
скорости во входном и выходном сечениях, которая не учитывается в
физических измерениях, но может достаточно легко быть оценена в
численных расчетах. Тем не менее до сих пор это не было сделано ни
в одной из процитированных работ.
Роль сглаживания или скругления кромок сферической лунки
представляется чрезвычайно важной, и это подчеркивается в ис-
следованиях Г.А. Кикнадзе и им вводится определение поверхности
двойной кривизны, имея в виду радиус кривизны вогнутости и ради-
ус скругления кромки.
В работе [1.1.76] рассматривается влияние радиуса скругления г
сферической лунки (А = 0,28,6 = 0,15) в прямоугольном канале (Н>3;
Re = 104) на характеристики теплоотдачи и сопротивления Nu/Nup/,
£>/£,р/и (Nu/NupZ)/(^/y участка, окружающего лунку (рис. 1.25). Пред-
ставлены также результаты исследования теплообмена при турбу-
лентном обтекании поверхности с трансистентными траншейными
лунками.
Как и для сферических лунок, увеличение глубины траншейной
лунки сопровождается интенсификацией самоорганизующегося в
Глава 1
41
ней смерчевого потока.
При умеренной глуби-
не лунки отрывная зона
занимает большую пло-
щадь лунки и внутри ее
образуется закручен-
ное струйное течение,
наклоненное по отно-
шению к набегающему
потоку под углом уста-
новки траншейной лун-
ки. Далее с ростом Д от-
рывная зона охватывает
всю площадь лунки, т.е.
линия присоединения
потока практически сов-
падает с границей лунки.
Рис. 1.25. Влияние радиуса скругления г сфериче-
ской лунки (Д = 0,28, 5 = 0,15) в прямоугольном
канале (Н> 3; Re = 104) на значения Nu/Nup/, £/£р/
и (Nu/Nup/)/(£/£p;) участка, окружающего лунку
И, наконец, начиная с некоторой глубины, за лункой образуются вто-
ричные отрывные зоны.
Анализ картин изолиний относительных чисел Нуссельта показы-
вает, что на наветренной стороне траншейной лунки при всех глуби-
нах тепловые потоки меньше, чем на плоской стенке. По мере роста Д
увеличивается площадь наветренной части лунки, на которой наблю-
дается рост теплоотвода. Однако главное достоинство лунок как вихре-
генераторов состоит в интенсификации теплообмена в следе за ними.
При анализе теплогидравлической эффективности участка с тран-
шейной лункой на плоской стенке размером 3x2 (рис. 1.26) по мере
заглубления лунки от-
мечается опережающий
рост относительного ко-
эффициента теплоотда-
чи по сравнению с уве-
личением гидравличе-
ских потерь, причем в ди-
апазоне больших глубин
(от 0,18 до 0,34) значения
Nu/Nup/ и растут ли-
нейно от Д [1.1.76, 1.1.77].
Однако следует отметить,
что рост коэффициен-
та теплоотдачи сочетает-
ся с низкими гидравличе-
Рис.1.26. Влияние глубины траншейной лунки на
относительные характеристики теплоотдачи и со-
противления Nu/NUp,, £Др/ и (Nu/Nup/)/(£/S,p/)
42
Глава 1
скими потерями, что предопределяет локальный максимум тепло-
гидравлической эффективности (Nu/NupZ)/(^/^pZ) при А порядка 0,06.
Второй локальный максимум, примерно вдвое превышающий пер-
вый, имеет место при больших глубинах лунки. Для А >0,34 гидрав-
лические потери для участка с траншейной лункой превышают ко-
эффициент относительной теплоотдачи и, таким образом, глубина
траншейной лунки, равная 0,34, представляется оптимальной по теп-
логидравлической эффективности и по эффекту интенсификации
теплообмена.
Ориентация траншейной лунки оказывает существенное вли-
яние на теплоотвод от поверхности с лункой. Для умеренной глубины
лунки установлено, что при угле (р ее наклона по отношению к набега-
ющему потоку, равному 60°, коэффициент относительной теплоотда-
чи максимален. На рис. 1.27 приведены некоторые из результатов по
теплогидравлической эффективности лунок при изменении <р от 30
до 90°, т.е. до положения лунки, при котором она ориентируется попе-
рек набегающего потока [1.1.76, 1.1.77].
В целом, подтверждаются ранее сделанные выводы для лунок
умеренной глубины. Угол наклона, равный 60°, является предпочти-
тельным по максимуму относительной теплоотдачи и наибольшей
теплогидравлической эффективности. Минимум £/£pZ соответствует
ср =75°. Тепловая эффективность Nu/NupZ рельефа с оптимальным
углом ориентации траншейной лунки больше на 10%, чем при по-
перечном ее расположении.
Траншейные лунки в узком канале сравниваются по теплогид-
равлической эффективности с полусферическими. Смена режимов
обтекания от двухъячеистой структуры к моносмерчевой проис-
Рис. 1.27. Влияние ориентации траншейной лун-
ки (L= 1; Д = 0,22; г= 0,1) на отношения Nu/Nu z,
^р/и (Nu/NupZ)/(^/y. Re= 104
ходит под воздействием
возмущений. В рассмат-
риваемом случае располо-
жения лунки на стенке в
широком канале переход
к моносмерчевому режи-
му обтекания происходит
при больших глубинах.
Полусферическая лунка с
безразмерным радиусом
окружности по кромке
0,5 продуцирует доволь-
но протяженную, но уз-
кую зону повышенных
(по сравнению с плоской
Глава 1
43
стенкой) тепловых потоков в следе. В то же время такая же зона за
траншейной и эквивалентной лунками заметно шире. В работе сде-
лан вывод, что траншейная лунка по теплоотводу представляется
предпочтительнее эквивалентной.
Влияние на течение и теплообмен плотности и расположения
полусферических лунок на стенке узкого канала
Конструирование луночных рельефов, составленных из сфери-
ческих лунок, в основном сводится к их расположению на стенке в
коридорном или в шахматном порядке. Заданные шаги между цент-
рами лунок в продольном (по потоку) и поперечном направлениях
могут быть сведены к одному интегральному параметру у, характе-
ризующему плотность нанесения лунок на поверхности и определя-
емому отношением площади лунок к площади прямоугольного участ-
ка, на котором они расположены. В этом случае необходимо задать
топологию луночного рельефа, т.е. определить взаимное положение
лунок относительно друг друга. Первый тип, обозначенный А, пред-
ставляет собой конфигурацию лунок с расположением ближайших
центров в виде равностороннего треугольника. Второй тип Б пост-
роен на квадратной сетке из центров лунок с расположенными в сере-
дине квадратов дополнительными лунками. Продольные ряды лунок
в таких пакетах обычно ориентируются по потоку. В работе [1.1.78]
задаются близкими расстояния между центрами лунок в поперечных
рядах независимо от типа луночного пакета (1,4 для А и 1,6 для Б). Тог-
да плотность луночного пакета для A-типа равна 0,4, а для Б-типа — 0,6.
Турбулентный режим обтекания луночных рельефов рассчитывается
при Re = 104, степени турбулентности и температуре набегающего по-
тока 1,5% и 293К. Стенка с лунками нагрета др температуры 373К.
Для рельефа A-типа из 25 лунок глубиной 0,22 с радиусом скругле-
ния кромок 0,1 при толщине пограничного слоя в окрестности участ-
ка с лунками 5 = 0,5 на рис. 1.28 демонстрируется формирование в
пристеночном слое асимметричных согласованных вихревых струк-
тур, обеспечивающих интенсификацию теплообмена порядка 18%. В
пристеночном слое возникает самоорганизующееся упорядоченное
вихревое движение — вихревой слой, покрывающий рельеф. Имен-
но благодаря ему реализуется интенсификация теплообменных про-
цессов по сравнению с неупорядоченным вихревым движением в ок-
рестности плоской стенки. Анализ распределений относительных
чисел Нуссельта Nu/Nup/ в окрестности полусферических лунок в па-
кете показывает, что конфигурации зон повышенных тепловых пото-
ков в пределах лунок и в следе за ними такие же, как для уединенных
лунок на плоской стенке.
44
Глава 1
б
Рис. 1.28. Картины растекания (а) и распределений относительных чисел Нуссель-
та Nu/Nup/ (б) для рельефа с 25 полусферическими упорядоченными лунками глу-
биной 0,22 с плотностью пакета 0,46. Re = 104; 8 = 0,5; г = 0,1. Оцифрованные
линии соответствуют изолиниям: 1 — Nu/Nup/ = 0,2; 2 — 0,5; 3 — 1,25; 4 — 1,4;
5 — 2; 6 — 3. Штриховыми линиями нанесены края лунок
На рис. 1.29 приводится сравнение полей относительных тепло-
вых потоков и продольных распределений осредненных поперек по-
лосы пакетов типа А и Б из 18 глубоких (0,28) полусферических лунок
в каналах. Кромки лунок сглажены незначительно — г = 0,05.
Несмотря на существенное различие в плотности луночных паке-
тов, картины локальных относительных чисел Nu/NupZ весьма схо-
жи. Это сходство в тепловых полях у стенок подчеркивается и корре-
ляцией максимумов распределений осредненных по ширине полосы
с лунками отношения чисел Nu/NupZ. Для пакета типа Б минимумы
отношений Nu/NupZ заметно выше, чем в случае А.
С увеличением у коэффициент относительной теплоотдачи рас-
тет. Оценка относительных гидравлических потерь дает не-
сколько неожиданный результат — их превышение над Nu/NupZ. В
итоге теплогидравлическая эффективность рельефов с луночными
пакетами на стенке оказывается меньше 1 (порядка 0,9). Правда, сле-
дует отметить, что кромки полусферических лунок скруглены очень
мало, а это приводит, как отмечалось ранее, к высоким гидравличе-
ским потерям при обтекании такого рельефа.
В работе [1.1.76, 1.1.78] представлены результаты исследований
вихревой интенсификации теплообмена при ламинарном обтекании
пакетов лунок (типа Б). Число Рейнольдса равно 103. Глубина лунок —
Глава 1
45
а
б
Рис. 1.29. Сравнение распределений относительных чисел Нуссельта Nu/Nup/ для
пакетов из 18 сферических лунок (Д = 0,28; г = 0,1) на стенке канала с плотностя-
ми пакетов А — у — 0,46 (а) и Б — у — 0,6 (б). Re= 104; 8 =0,175. Оцифрованные ли-
нии соответствуют изолиниям: 1 — Nu/Nup/ = 0,3; 2 — 0,99; 3 — 1,5; 4 — 2; 5 — 4
0,28, радиус скругления — 0,05. Толщина пограничного слоя на вхо-
де в канал варьируется в сочетании с высотой канала. Следует отме-
тить, что интерес к ламинарным режимам обтекания лунок возрастает
в связи с многообразием технических приложений, в которых требу-
ется создать интенсификацию теплообмена в мини- и микромасштаб-
ных областях.
Несмотря на сравнительно малый прирост теплоотдачи в каналах,
за счет существенного снижения гидравлических потерь достигается
значительная теплогидравлическая эффективность. И еще один важ-
ный вывод: интенсификация теплообмена в ламинарном режиме на-
иболее предпочтительна применительно к узким каналам.
Траншейные лунки (£ = 1; ср = 45°) при глубинах 0,1< А <0,38 гене-
рируют устойчивые смерчеобразные вихри, обуславливающие высо-
кий уровень относительной теплоотдачи. Отношение чисел Nu/Nup/( А)
от участка с лункой возрастает почти линейно и быстрее, чем £/£,р/(А).
При А = 0,06 гидравлические потери предопределяют локальный мак-
симум теплогидравлической эффективности, отличающийся почти
вдвое от максимума при А = 0,34. Глубина лунки А = 0,34 представ-
ляется также предпочтительной по наибольшему теплоотводу
Nu/Nup/.
46
Глава 1
Наклон глубокой траншейной лунки (Д = 0,22) под углом 60° к набе-
гающему потоку является предпочтительным по максимумам Nu/Nup/
и (Nu/Nup/)/(^p/). При <р = 75° наблюдается минимум £/£р/. По теп-
ловой эффективности Nu/Nup/ рельеф с оптимальным углом наклона
траншейной лунки оказывается на 10% лучше, чем при ее поперечном
расположении.
Численно подтверждено предположение Г.И. Кикнадзе о самоорга-
низации в пристеночном слое при обтекании луночного рельефа упо-
рядоченного струйно-вихревого движения, обладающего преимущест-
вом по сравнению с неупорядоченным переносом жидкости вблизи
плоской стенки в отношении интенсификации теплообменных про-
цессов. На примере обтекания 25 сферических лунок глубиной 0,22
демонстрируется синхронизация вихревых структур в лунках, обус-
лавливающих тепловую эффективность относительных чисел Nu/Nup/
порядка 20%.
Сравнение упорядоченных рельефов лунок подтверждает, что уве-
личение плотности пакета у от 0,4 до 0,6 приводит к двукратному (от 40
до 80%) возрастанию Nu/Nup/. Однако теплогидравлическая эффек-
тивность из-за опережающего роста гидравлических потерь оказыва-
ется порядка 0,9.
При ламинарном обтекании рельефа сферических лунок по-
казано, что несмотря на сравнительно малый прирост теплоотда-
чи в каналах за счет существенного снижения гидравлических
потерь достигается значительная теплогидравлическая эффектив-
ность.
Теплообмен и структура потока при турбулентном течении
вблизи пластины с лунками
В работе [1.1.60] рассмотрено влияние лунок на поверхности на
теплообмен и структуру потока при различных конфигурациях об-
лученных каналов. Исследованная облуненная поверхность показа-
на на рис. 1.30, а схема мгновенной структуры потока при ее обтека-
нии — на рис. 1.31.
Исследование воздействия мелкого полусферического углубления
на структуру потока и теплообмен показывает, что поток обычно явля-
ется симметричным и возникает стабильная циркуляция. Поток дви-
жется вдоль подковообразной вихревой линии, и при этом формиру-
ется спиралевидное течение.
Для каждого Y/H нормальные напряжения растут с увеличением
глубины лунок. Нормальные напряжения Рейнольдса также растут с
уменьшением Y/H в диапазоне Y/H< 0,5.
Глава 1
47
На рис. 1.32 и 1.33 показаны резуль-
таты [1.1.60], иллюстрирующие влияние
глубины лунок в канале на число Нуссель-
та и коэффициент трения. На рис. 1.32
изображено отношение локального чис-
ла Нуссельта облуненного канала к чис-
лу Nu0 для гладкого канала в зависимо-
сти от Х/D вдоль центральной продоль-
ной линии поверхности Z/D = 0. Соглас-
но данным, отношение чисел Нуссельта
уменьшается, затем возрастает. Наиболь-
шее локальное значение Nu/Nu0 отмече-
но у внешней кромки лунки. Отношение
чисел Нуссельта для величины 5/D = 0,3
выше приблизительно на 25%, чем для
d/D = 0,2, и выше приблизительно на
50%, чем для 6/D = 0,1.
Отношение средних чисел Нус-
сельта является практически посто-
(б)
Направление потока
Форма
лунки
Рис. 1.30, Схема облуненной
поверхности (размеры даны
в сантиметрах)
Рис. 1.31. Схема мгновен-
ной структуры потока. От-
ношение высоты канала
к диаметру лунки — 0,5,
а отношение глубины к
диаметру лунки — 0,2. Чис-
ло Рейнольдса, определя-
емое по высоте канала, рав-
но 1250
янным при возрастании числа ReH (см. рис. 1.33). Для всех чисел ReH
данные, приведенные на рис 1.33, свидетельствуют об увеличении
отношения чисел Нуссельта с ростом &/D.
На рис. 1.34 показано отношение локального числа Nu для облу-
ненного канала к Nu0 для плоского канала в зависимости от попереч-
ной координаты Z/D, измеренной при различных H/D в 11 ряду лунок
вдоль постоянной линии Х/D, равной 8,50. Области с наибольшим зна-
чением Nu/Nu0 представлены при различ-
ных значениях Z/D. Показано, что области с
малыми отношениями чисел Нуссельта ме-
няются незначительно с изменением Z/D,
когда H/D — различно. Напротив, отноше-
ние чисел Нуссельта возрастает с уменьше-
нием H/D для плоской поверхности между
лунками.
На рис. 1.35 представлено отношение
осредненных чисел Нуссельта в зависимо-
сти от отношения коэффициентов трения.
В случае вихревой камеры получено на-
ибольшее повышение теплообмена. В ряде
случаев оребренные поверхности показы-
вают сопоставимые с вихревой камерой
отношения чисел Нуссельта. Однако поте-
48
Глава 1
Рис. 1.32. Отношение локального числа Нуссельта облуненного канала к числу
Nu0 для гладкого канала в зависимости от Х/D вдоль центральной продольной ли-
нии поверхности Z/D = 0:	• — область лунки
0	20000 40000 60000 80000 ReH
Рис. 1.33. Отношения осредненных чисел Нуссельта (а) и коэффициентов трения
(б) для облуненного и плоского канала в зависимости от числа Рейнольдса для
различных отношений глубины лунки к диаметру лунки 6/D
0
20000 40000 60000 80000 ReH
Рис. 1.34. Отношение локального чис-
ла Nu для облуненного канала к Nu0
для плоского канала в зависимости от
поперечной координаты Z/D, изме-
ренной при различных Н/D в 11 ряду
лунок вдоль постоянной линии X/D,
равной 8,5:
Nu/Nu0
0 4-------1----—।-------1--------1------1—
-1,35 -0,85 -0,35 0,15 0,65	1,15 Z/D
	H/D	ReH	Т /Т or W	X/D
О	0,20	9,800	0,93	8,50
д	0,25	8,800	0,92	8,50
о	0,50	10,200	0,94	8,50
□	1,00	10,300	0,92	8,50
Глава 1
49
Рис. 1.35. Отношение осредненных чисел Нусселъта в зависимости от отноше-
ния коэффициентов трения: х — для оребренной поверхности; А — поверхности
с выступами;  — вихревой камеры; • — облуненной поверхности с плоскими
участками; А — облуненной поверхности с выступами; О — полностью облунен-
ной поверхности; -I- — шероховатой поверхности; □ — гладкого канала
ри давления у оребренных поверхностей и вихревой камеры также
достаточно велики.
На рис. 1.36 представлено сравнение эффективности различных
интенсификаторов теплосъема. Наибольшая эффективность тепло-
отдачи получена для облуненной поверхности с плоскими участками,
а наименьшая — для оребренной поверхности.
Рис. 1.36. Сравнение эффективности различных интенсификаторов теплосъема:
х — оребренная поверхность; ▲ — поверхность с выступами;  — вихревая каме-
ра; • — облуненная поверхность с плоскими участками; А — облуненная поверх-
ность с выступами; О — полностью облуненная поверхность; + — шероховатая
поверхность; □ — гладкий канал
50
Глава I
В целом, эти результаты показывают, что облуненные поверхно-
сти являются эффективным и важным средством интенсификации
теплообмена при сравнительно небольшом повышении потерь дав-
ления.
Применение результатов исследований теплоотдачи
и гидродинамики для облуненных поверхностей на практике
Полусферические лунки в качестве интенсификаторов тепло-
обмена использованы при охлаждении турбинных лопаток [1.1.24].
Интенсификация теплообмена полусферическими лунками реали-
зована в авиационных газотурбинных двигателях четвертого и пя-
того поколений. Рельеф в виде полусферических лунок выполнялся
на поверхности охлаждающих трактов профильной части лопатки,
удлиненной ножки и замковой области рабочих лопаток турбин вы-
сокого и низкого давления. Плотность размещения лунок на поверх-
ности лопатки составила 0,4—0,5, относительная глубина h/d = 0,135.
Отмечено, что опыт эксплуатации лопаток с лунками дал положи-
тельные результаты. Во-первых, по сравнению с интенсификацией
теплообмена поперечными выступами (имеющими относительный
продольный шаг t/h = 12,5 и относительную высоту h/D = 0,156, где
D — эквивалентный гидравлический диаметр канала) уменьшилось
гидравлическое сопротивление и увеличилась пропускная способ-
ность охлаждающих трактов лопаток примерно на 25%. Во-вторых,
при сохранении располагаемого перепада давления охлаждающего
воздуха теплосъем в охлаждающих каналах увеличился примерно
на 30%, а долговечность лопатки возросла в 3—4 раза. В-третьих, при
одном и том же расходе охладителя теплосъем возрос на 10%, а ре-
сурс лопатки увеличился вдвое.
При использовании системы полусферических лунок в воздухо-
распределительных каналах рабочих лопаток турбины высокого дав-
ления удалось увеличить теплосъем на 20% и уменьшить температу-
ру стенки в условиях эксплуатации на 20—25 К [1.1.24]. Наряду с этим
удалось устранить неравномерность температурного поля на участ-
ках, где интенсификация теплообмена совсем не применялась.
Исследование интенсификации теплообмена полусферическими
лунками применительно к различным техническим устройствам
проведено в работах [1.1.15; 1.1.16; 1.1.23; 1.1.24; 1.1.26—1.1.51; 1.1.53—
1.1.78].
Метод интенсификации теплообмена с помощью полусфериче-
ских лунок нашел применение в системах охлаждения мощных полу-
проводниковых пребразователей энергии [1.1.72, 1.1.73].
Глава 1
51
Нетрадиционный способ использования полусферических лунок
в топках предложен в работе [1.1.30]. Здесь анализируется возмож-
ность реализации эффективного теплообменника-водонагревателя,
в котором полусферические лунки используются в различных целях:
в одном случае осуществляется сжигание газовоздушной смеси и от-
вод тепла от горячего газа к «холодному» теплоносителю, в другом —
только отвод тепла. Важно отметить, что в первом случае смерчевой
эффект, кроме интенсификации теплообмена, обеспечивает устой-
чивую стабилизацию пламени. Во втором случае происходит интен-
сификация конвективного теплообмена.
Интенсификаторы теплообмена макромасштаба
при конденсации
Для интенсификации теплообмена в конденсаторах поверхност-
ного типа используется создание капельной конденсации, оребре-
ние труб, вибрация поверхности, расположение трубного пучка под
наклоном [1.1.1].
В отличие от оребрения накатка позволяет интенсифицировать теп-
лоотдачу как на наружной, так и на внутренней поверхностях трубы.
Вибрация поверхности интенсифицирует теплоотдачу на обеих по-
верхностях трубы и предотвращает их загрязнение. Возможны как ис-
кусственная вибрация поверхности, так и регулирование естественной
вибрации. Однако вибрация может привести к разрушению труб.
Расположение трубного пучка под наклоном позволяет устранить
заливание конденсатом части поверхности труб, уменьшить паровое
сопротивление, улучшить деаэрацию конденсата.
В повышении теплопередачи в конденсаторах большую роль иг-
рает теплоотдача к охлаждающей воде, ее также необходимо увели-
чивать. Следует заметить, что пристенные турбулизаторы на внут-
ренней поверхности конденсатора не только интенсифицируют
теплоотдачу, но и уменьшают отложения на стенке.
При пленочной конденсации на наружной поверхности труб с ка-
навками интенсификация теплообмена обусловлена действием поверх-
ностного натяжения на пленку кон-
денсата. В результате пленка стекает в
канавки труб и ее толщина на осталь-
ных участках трубы уменьшается.
Этот эффект усиливается при
уменьшении относительного шага
канавок, а также в случае волново-
го профиля трубы (рис. 1.37). Пере-
менное сечение трубы с плавными
Рис. 1.37. Профилированная гори-
зонтально расположенная труба
52
Глава J
Рис. 1.38. Коэффициенты теплоотда-
чи при конденсации водяного пара
на горизонтальной латунной трубе
без накатки (1) и с накаткой (2)
переходами приводит к стеканию
конденсата в канавки. В результате
уменьшается толщина конденсатной
пленки на выступах трубы и ее тер-
мическое сопротивление. Стекание
конденсата в канавки снижает устой-
чивость пленки и приводит к ее сры-
ву. Перераспределение конденсата
по длине трубы ведет к росту средне-
го коэффициента теплоотдачи.
Коэффициенты теплоотдачи при
конденсации водяного пара на гори-
зонтальной трубе из латуни с накат-
кой (линия 2) и без накатки (линия 1),
полученные Г.А. Дрейцером, пред-
ставлены на рис. 1.38. Наружный
диаметр трубы 18,3 мм. Для трубы с
накаткой: dH/DH = 0,893; t/DH= 0,37;
R/DK= 0,76;Ro/DK= 0,062. Давле-
ние водяного пара (0,157 — 0,323)
МПа, температура стенки (75,2 — 98,3) °C; скорость пара менее 5 м/с;
RenA = 25— 150. Как установлено, коэффициент теплоотдачи для тру-
бы с накаткой растет больше, чем в два раза.
Рост коэффициента теплоотдачи тем больше, чем больше глубина
канавок, чем меньше их шаг и радиус закругления выступающих час-
тей труб.
Полученные опытные данные описаны зависимостью [1.1.1]
Г /7
-S- = 2,47(l-jfi-)(l-0,387*-)exp 3,65(1-^)
ЧГл	^Ат
(1.1.28)
н
ТА	Н
в диапазонах dH/DH= 0,89—0,95; t/DK= 0,283—0,37; R/DH= 0,5 — 1.
Теплоотдача для гладкой горизонтальной трубы описывается
уравнением
агл = 0,73^(r)3p3gr/(n'(/H-tc)DH ),	(1.1.29)
полученным для пленочной конденсации пара на горизонтальной
трубе. Свойства величин, входящих в уравнение (1.1.29), определя-
ются по температуре насыщения.
Трубы с накаткой испытаны в подогревателе сетевой воды, со-
стоящим из 214 труб длиной 4 м, диаметром 16 мм, толщиной стенки
0,85 мм. Ориентация труб горизонтальная. Параметры накатки: сна-
Глава 1
53
ружи трубы — dH/DH = 0,932, t/DH = 0,31; внутри трубы — d/D = 0,932,
t/D = 0,357. Испытания подогревателей проведены при одинаковых
давлениях греющего пара. При использовании труб с накаткой теп-
ловая мощность и коэффициент теплопередачи в подогревателях
увеличиваются более чем в два раза.
Интенсификация теплоотдачи при вертикальном расположении
трубы проявляется слабее, чем при ее горизонтальном расположе-
нии. Влияние накатки на теплоотдачу растет с увеличением RenA,
глубины накатки и уменьшением ее шага (рис. 1.39). При RenA < 400
снижение t/h меньше 8 не сопровождалось дальнейшим ростом от-
ношения чисел Нуссельта для труб с накаткой и без накатки. Это
объясняется удерживанием конденсата в канавках силами поверх-
ностного натяжения.
Для расчета средней теплоотдачи в трубе с накаткой получено
уравнение
д/з'
Nu
NurA
„	5400
1 +----7--
Кепл
(1.1.30)
гдеКепл= Суд/ц'= 40—3000; Суд— удельный расход конденсата;
= 0,925 Re" 3 [1+0,04 Re^+2,23-10"3 Rejf
Нс
и'
1/8
Визуальные наблюдения и фотосъемка процесса конденсации
пара на трубе с кольцевыми канавками показали, что при RenA< 500—
700 рост теплоотдачи вызван крупномасштабными изменениями
пленки конденсата — срывом с частотой до 1 Гц конденсата в виде со-
литонов протяженностью 50—100 мм. При высоких числах Рейнольд-
Рис. 1.39. Влияние накатки на
теплоотдачу при конденсации
на вертикальной трубе:
	d /D и и		ДЛОН	
•	0,933	0,37	0,5	0,092
о	0,931	0,283	0,5	0,095
л	0,910	0,37	0,5	0,093
X	0,927	0,53	1,0	0,053
А	0,913	0,32	0,5	0,094
54
Глава 1
Рис. 1.40. Труба с нака-
танными кольцевыми
канавками
са (RenA> 700) наблюдаются повышенная тур-
булентность, вихреобразование пленки.
При незначительном наклоне трубы (3—5°)
интенсификация теплоотдачи за счет канавок
на поверхности усиливается. Эта особенность
использована в трубах с накатанными коль-
цевыми канавками (рис. 1.40). Канавки распо-
ложены параллельно одна другой под углом,
меньшим 90° к оси трубы.
Расстояние между канавками равно их ут-
роенной ширине, глубина канавок определя-
ется из выражения
h = [ЗСкг/(^рдг5та)]1/3,
где GK — расход конденсата, образующегося
на поверхности трубы между двумя соседними канавками. Между
канавками могут быть расположены несообщающиеся с ними ребра
или канавки, ориентированные параллельно оси трубы. Это улучша-
ет стекание конденсатной пленки и способствует большей интенси-
фикации теплоотдачи.
На теплоотдачу при конденсации может оказать влияние материал
стенки. Механизм этого влияния — неоднородное распределение тем-
пературы стенки в случае низкого коэффициента теплопроводности.
Введение безразмерного комплекса \8с/(Хплс?э), где Хс, Хпл — коэф-
фициенты теплопроводности материала стенки и пленки; 5с —толщи-
на стенки; d3 — эквивалентный диаметр кольцевого канала, позволя-
ет обобщить данные по теплоотдаче при конденсации паров бензина
и воды в кольцевом канале единой зависимостью:
= 1 + 0,5 5 (АА)О,629 (1,196 - 0,79t / DH) х
^гл	^пл.э
(J
1-у^-
( 1.1.31)
Уравнение справедливо в диапазонах
ХД/(Х d) = 2,576-8,514; t/D = 0,25-0,44; d /D = 0,876-0,938.
Теплоотдача при конденсации паровой смеси R113/H2O на го-
ризонтальных оребренных трубах исследована в МЭИ [1.1.79]. На
рис. 1.41 показаны ребра и шипы на горизонтальных трубах, полу-
ченные методом деформирующего резания, который разработан в
МГТУ им. Баумана.
На рис. 1.42 представлены данные по теплоотдаче, полученные при
конденсации паров исследованной смеси на горизонтальной трубе с
Глава 1
55
Рис. 1.41. Ребра и шипы на горизонтальной трубе, полученные методом
деформирующего резания
Рис. 1.42. Коэффициенты теплоотдачи при конденсации паровой смеси R113/Н2 О
на горизонтальной трубе с шипами (3) и технически гладкой поверхностью (1)
при давлении 0,2 (а) и 0,4 (б) МПа; 1,3 — данные [1.1.79]; 2 — расчет по формуле
Нуссельта
56
Глава 1
шипами на наружной поверхности. На нем же представлены рассчи-
танные коэффициенты теплоотдачи при конденсации чистого фре-
она-113 и смеси R113/H2O на гладкой трубе диаметром 16 мм, из кото-
рой изготавливались трубы с шипами.
Увеличение коэффициента теплоотдачи для трубы с шипами, не
связанное непосредственно с развитием поверхности, оказалось до-
статочно большим и составило 1,5 и 1,7 для давлений 0,2 и 0,4 МПа.
Для трубы с ребрами и шипами обнаружена особенность, состоящая в
том, что коэффициент теплоотдачи слабо изменяется с ростом темпе-
ратурного напора.
Согласно методике определения коэффициента теплоотдачи при
конденсации на горизонтальных оребренных трубах бинарных сме-
сей паров, образующих несмешивающиеся жидкости, развитая по-
верхность трубы разделяется на две зоны — залитую и незалитую
конденсатом. Предложенная методика тестируется путем сравнения
с имеющимися опытными данными.
Интенсификаторы теплообмена макро- и микромасштаба
при кипении
На теплоотдачу при кипении оказывают влияние характеристики
поверхности (шероховатость, смачиваемость жидкостью, теплофи-
зические свойства стенки и жидкости, пористые покрытия, рельеф),
состояние теплопередающей среды (кипение в условиях свободной и
вынужденной конвекции), закрутка жидкости, электрическое поле.
Влияние шероховатости поверхности
Рис. 1.43. Кривая кипения хладона-113
в большом объеме при атмосферном
давлении: 1 — поверхность, обработан-
ная крупной наждачной шкуркой; 2 —
поверхность, обработанная мелкой
наждачной шкуркой
С ростом шероховатости стен-
ки до определенного предела на-
блюдается увеличение теплоот-
дачи. Как показано на рис. 1.43
[1.1.8], для поверхности, обрабо-
танной грубой наждачной шкур-
кой, кривая пузырькового кипе-
ния хладона-113 при атмосферном
давлении сдвигается влево (кри-
вая 1) по сравнению с поверхнос-
тью, обработанной мелкой на-
ждачной шкуркой (кривая 2). Для
активизации центров парообра-
зования в крупных порах требу-
ется меньший температурный на-
пор, чем в мелких порах.
Глава 1
57
Влияние резервуарных впадин на поверхности
На рис. 1.44 представлены известные данные по влиянию на теп-
лоотдачу при кипении искусственных впадин резервуарного типа.
Как установлено, для поверхности с впадинами резервуарного типа
уменьшается ДГНК, повышаются теплоотдача и устойчивость кипе-
ния.
На рис. 1.45 показаны положения границы раздела фаз при обра-
зовании парового пузыря в резервуарной впадине. Внутри резервуар-
ной впадины радиус кривизны границы раздела фаз отрицательный
(J?<0) и капиллярное давление компенсирует давление жидкости. В
этом случае давление в паре может быть меньше давления в жидкос-
ти, и пар может существовать во впадине при температуре, меньшей
температуры насыщения. При повышении тепловой нагрузки темпе-
ратура стенки растет, увеличиваются температура пара, его объем,
граница раздела фаз перемещается вверх. Чтобы пузырек пара вы-
шел из впадины, должно быть Тс > Т.
Рис. 1.44. Кривая кипения натрия в боль-
шом объеме: 1 — поверхность со впа-
динами резервуарного типа; 2 — поверх-
ность со сварными швами; 3 — зеркаль-
но-гладкая поверхность
Рис. 1.45. Положения границы
раздела фаз при возникнове-
нии парового пузыря в резерву-
арной впадине
Влияние пористых покрытий на теплоотдачу при кипении
Исследование кипения на поверхности с резервуарными впади-
нами предшествовало разработке чрезвычайно эффективного мето-
да интенсификации теплоотдачи с помощью пористого покрытия.
В 1970 г. инженер В. Мартин (фирма «Линде», ФРГ) предложил
способ интенсификации теплоотдачи при кипении — нанесение спе-
канием на поверхность нагрева покрытий, который оказался очень
эффективным. В этом случае резко уменьшается температурный на-
пор начала кипения (до 1 К) и повышается коэффициент теплоотда-
58
Глава 1
чи (до 10 раз). Это было объяснено возникновением большого коли-
чества пор, различных по форме и размерам, что привело к резкому
увеличению плотности активных центров парообразования. После
этого были разработаны самые различные технологии изготовления
пористых покрытий и проведено большое количество исследований.
На рис. 1.46, 1.47 приведены фотографии шлифов спеченного пок-
рытия, изготовленного по технологии, предложенной в работе [1.1.80].
Видно, что частицы покрытия практически не деформированы. Рас-
пределение пор по размерам (рис. 1.48) таково, что имеются мелкие
поры, по которым подтекает жидкость, и крупные поры, по которым
выходит пар [1.1.81].
Рис. 1.46. Фотография шлифа
спеченного покрытия
Рис. 1.47. Поверхности с пористым покрытием: а — инконель-600; б — сталь (уве-
личение в 100 раз)
Глава 1
59
Рассмотрим закономерности влияния пористых покрытий на теп-
лоотдачу при кипении.
На рис. 1.49 приведены зависимости д(ДТ) при кипении фреона-
22 (Ts = 283 К) для трубы без покрытия, с оребрением и различными
покрытиями: напыленным покрытием из нержавеющей стали (по-
ристость 40%), спеченным покрытием из нержавеющей стали (порис-
тость 50%), напыленным покрытием из бронзового порошка [1.1.82].
Наибольшая интенсификация теплообмена достигнута в случае
бронзового напыленного покрытия, и превышение коэффициента
теплоотдачи по сравнению с поверхностью без покрытия составляет
около 10 раз.
Рис. 1.49. Кривые кипения фре-
она-22 при температуре насыщения
283 К: 1 — поверхность без покры-
тия; 2 — поверхность с оребрени-
ем; 3 — поверхность с напыленным
покрытием из нержавеющей стали
(пористость 40%); 4 — поверхность
со спеченным покрытием из нержа-
веющей стали (пористость 50%); 5 —
поверхность с напыленным покры-
тием из бронзы
Рис. 1.48. Распределение частиц по раз-
мерам в пористом покрытии из инко-
нель-600
Классификация пористых покрытий
В работе [1.1.83] предложена классификация пористых покрытий
при кипении. Классификация распространена на покрытия, элемен-
ты которых контактируют между собой и с поверхностью, на кото-
рую они нанесены, и имеют характерный внутренний размер I, соиз-
меримый с радиусом критического зародыша при парообразовании
в названной системе.
В качестве основных параметров выбрана величина, равная отно-
шению характерного внутреннего размера слоя (например, диаметр
поры ///) к внешнему характерному размеру /I/ (толщина слоя)
60
Глава 1
L* = — ,k эффективная пористость £Эф. Последняя характеризует сте-
пень искривления и деформации пор, наличие замкнутых пустот. Ве-
личина эффективной пористости определяется из выражения
( е Y71-еэл)2 ДРэЛ
---эф =----эф,	(1.1.32)
^эф J < 1 — ^э.с у	Д^э.с
где £эс — пористость эталонного слоя, полученного без объемной
усадки и имеющего такие же характерные внутренний и внешний
размеры, как исследуемое покрытие; ДРЭф, АРЭ с “ паДение давления
при течении жидкости с одинаковым расходом через исследуемый и
эталонный пористые слои.
Согласно классификации, пористые покрытия разделены на
одно- и двухпараметрические. Механизм переноса теплоты при ки-
пении на поверхностях с однопараметрическими покрытиями {L* < 1)
принципиально такой же, как и на поверхности без покрытия. Осо-
бенности обусловлены специфичностью формы и распределения по
размерам готовых центров парообразования и термическим сопро-
тивлением покрытия.
Если форма впадин покрытия близка к резервуарной и распреде-
ление способных к активизации впадин охватывает узкий диапазон
размеров, то зарождение и развитие кипения происходит следующим
образом. Сначала в узком интервале перегревов стенки происходит
резкая активизация центров парообразования и коэффициент тепло-
отдачи резко возрастает, а затем с увеличением температурного на-
пора плотность центров слабо увеличивается и коэффициент тепло-
отдачи практически остается постоянным. Для этого типа пористых
покрытий обнаружены значительные эффекты по теплоотдаче.
Двухпараметрические покрытия (Z/L « 1) в зависимости от эф-
фективной пористости могут быть непроницаемыми, полупроница-
емыми и проницаемыми. Отвод теплоты от стенки с проницаемым и
полупроницаемым покрытиями осуществляется теплопроводностью
через пленку жидкости в основании покрытия с последующим испа-
рением и уносом образующегося пара через покрытие, а также теп-
лопроводностью через каркас пористой структуры.
В случае двухпараметрических пористых покрытий обнаруже-
но явление гистерезиса кривой кипения, исследованное детально
С.А. Ковалевым и С.Л. Соловьевым [1.1.84] и С.П. Малышенко [1.1.85].
При значительной толщине покрытия растет сопротивление выходу
пара и возникает внутрислойный кризис теплообмена. Теплоотдача
может быть ниже, чем для поверхности без покрытия.
Глава 1
61
Рис. 1.50. Кривые кипения воды при
атмосферном давлении на медной
пластине: 1 — пластина без покрытия;
2 — пластина со спеченным медным
покрытием толщиной 0,4 мм
Рассмотрим закономерности
влияния однопараметрического
пористого покрытия с высоким
коэффициентом теплопровод-
ности и относительно небольшой
толщины. Это реализуется в слу-
чае кипения воды на медной плас-
тине с медным пористым покры-
тием при атмосферном давлении.
Пористое покрытие нанесено ме-
тодом порошковой металлургии.
Диаметр частиц порошка меди
/ = 0,06 — 0,10 мм. Толщина порис-
того слоя L = 0,4 мм. Пористость
покрытия составляет пример-
но 55%. Плотность вероятности
распределения пор имеет форму,
близкую к прямоугольной, и ох-
ватывает узкий диапазон размеров. На рис. 1.50 представлены кри-
вые кипения для поверхности с пористым покрытием и без покры-
тия. Данные по теплоотдаче с покрытием отнесены к температуре
границы раздела покрытия и поверхности, на которую нанесено пок-
рытие.
Для поверхности с высокотеплопроводным пористым покрытием
установлены следующие закономерности:
—	кипение начинается при температурном напоре менее ГС;
—	кривая кипения имеет две характерные области: в первой из них
наблюдается резкий рост теплового потока, что соответствует скачко-
образной активизации центров парообразования, во второй — коэф-
фициент теплоотдачи примерно постоянный. Таким образом, опыт-
ные данные подтверждают предполагаемое поведение коэффициента
теплоотдачи в зависимости от перегрева стенки;
—	коэффициент теплоотдачи для поверхности с пористым покры-
тием значительно больше (в области малых тепловых нагрузок до 10 раз),
чем для поверхности без покрытия. С ростом АТ влияние пористого
покрытия на теплоотдачу ослабевает, хотя остается заметным;
—	положение кривой кипения не изменилось в течение 500 ч;
—	согласно визуальным наблюдениям при низких температурных
напорах образуется большое количество паровых пузырей небольшо-
го диаметра, отрывающихся с большей частотой, по сравнению с ки-
пением воды на поверхности без покрытия. Отрывной диаметр паро-
вых пузырей с ростом перегрева стенки увеличивается.
62
Глава 1
Проблема заноса пористых покрытий
С течением времени может происходить занос пористых покры-
тий вследствие образования отложений и уменьшение коэффициен-
та теплоотдачи. Этот процесс проявляется в меньшей мере при ки-
пении криогенных жидкостей и в большей мере при кипении воды
и хладонов. Ряд особенностей кипения на поверхности с пористым
покрытием приводит к уменьшению интенсивности образования от-
ложений. К ним относятся понижение температурных напоров, при
которых происходит парообразование, уменьшение отрывных диа-
метров и рост частоты отрыва паровых пузырей.
Проявление этих особенностей приводит к самоочистке порис-
тых покрытий при кипении. В настоящее время известны данные ре-
сурсных испытаний, которые свидетельствуют о стабильности эф-
фекта интенсификации теплоотдачи со временем.
Кипение на поверхности с микрорельефом
В работе [1.1.86] на основе анализа факторов, влияющих на тепло-
отдачу при кипении, предложена поверхность для получения высо-
кой теплоотдачи.
На рис. 1.51 представлена микрофотография поверхности со
столбчатым рельефом. Данный рельеф был получен с помощью элект-
роосаждения металла на поверхности.
Характеристики кипения на гори-
зонтальной трубке с предложенной
поверхностью при кипении в большом
объеме показаны на рис. 1.52 [1.1.86].
Кривые кипения получены для раз-
личных участков трубки. В верхней
части трубки перегрев стенки прак-
тически не зависит от теплового по-
тока. Снижение перегрева стенки с
ростом теплового потока объясняет-
ся протыканием пузыря элементами
теплоотдающей поверхности. Как ус-
тановлено, для гладкой трубы проис-
ходит рост перегрева стенки с ростом
теплового потока, перегрев структу-
рированной поверхности наоборот
остается почти постоянным в области
развитого кипения вследствие того,
Рис. 1.51. Микрофотография по-
верхности с микростолбчатым
рельефом
Глава 1
63
Рис. 1.52. Теплоотдача при кипении
фреона на трубке с нанесенным
микростолбчатым рельефом (О, □,
А) и без рельефа на поверхности
Ж А) : А, ▲ — верхняя образу-
ющая; □, 	— боковая образу-
ющая; О, •	— нижняя образу-
ющая
что растущий пузырь взаимодействует с несколькими элементами
микро столбчатой поверхности.
Интенсификаторы теплообмена микро- и наномасштабов
при конвекции
В настоящее время известны следующие методы снижения гид-
равлического сопротивления:
— изменение свойств жидкости (например, путем введения в нее
полимерных добавок),
— изменение рельефа поверхности (рис. 1.53) [1.1.87].
Рис. 1.53. Различные виды рельефа поверхности: а — жидкость проникает в про-
странство между выступами; б — жидкость не проникает в пространство между
выступами; в — фотография листа лотоса
64
Глава 1
Рис 1.54. Микрофотография поверх-
ности с ультрамалой шероховатостью
двойной кривизны
Капли скатываются с листа ло-
тоса при крайне малом угле накло-
на вследствие особенности релье-
фа его поверхности. Структура
листа лотоса состоит из комбина-
ции двух масштабов: один — 10 нм,
другой — 100 нм. Кроме того, лист
покрыт воском. Комбинация
рельефа поверхности и покрытие
воском создают супергидрофоб-
ность листа лотоса.
В работе [1.1.88] исследовано
гидравлическое сопротивление
при течении воды в канале с поверхностью с ультрамалой шерохова-
тостью двойной кривизны (рис. 1.54). Такая поверхность была изго-
товлена с использованием литографии и ионного травления и имела
покрытие.
На рис 1.55 показана зависимость коэффициента гидравличе-
ского сопротивления от числа Re для гладкой поверхности и поверх-
ности с микрошероховатостью двойной кривизны без покрытия и с
покрытием. Установлено, что коэффициент гидравлического сопро-
тивления в трубах с шероховатостью двойной кривизны и покрыти-
ем ниже, чем в гладких трубах. Для поверхности с высотой шерохо-
ватости 5 мкм и покрытием получено снижение сопротивления на
10% при числе Re = 65000. Снижение сопротивления на 8 % получено
также для мембраны из политетрафторэтилена с порами размером
0,8 мкм при числе Re = 60000.
Рис. 1.55. Зависимость коэффициента гидравлического сопротивления от числа
Re для гладкой поверхности(1); поверхности с микрошероховатостью двойной
кривизны без покрытия (2) и с покрытием (3)
Глава 1
65
В работе [ 1.1.89] исследовано влияние микро- и нанорельефа повер-
хности на краевой угол. Исследованы различные рельефы поверхнос-
ти: микролинейчатый, микростолбчатый, наностолбчатый (рис. 1.56).
Рис. 1.56. Различные рельефы поверхности: а — микролинейчатый; б — микро-
столбчатый; в — наностолбчатый
В работе показано, что увеличение краевого угла на поверхности с
наностолбчатым рельефом составило более 90%. Увеличение угла сма-
чивания на микролинейной поверхности составило 30 — 60% и 60% на
поверхности с микростолбчатым рельефом (рис. 1.57).
Для создания гидрофобных поверхностей в работе [1.1.90] пред-
ложен метод формования плотноупакованных упорядоченных моле-
кулярных слоев ПАВ на внутренней поверхности трубы. Формование
молекулярных слоев осу-
ществляется за счет адсор-
бции ПАВ на поверхности
металла из водных раство-
ров (рис. 1.58).
Измерение углов сма-
чивания поверхности без
покрытия и поверхности,
покрытой слоем ПАВ, по-
казало, что для исследу-
емых образцов смачивание
оказалось минимальным и
не зависящим от величины
исходной шероховатости.
В трубе с адсорбированны-
ми ПАВ на внутренней по-
верхности проведены из-
мерения гидравлического
сопротивления (рис. 1.59).
1 мм
1 мм
тефлон, 0 = 120’
микролинейная
структура, 0= 150*
наностолбчатая
структура, 0 = 160*
микростолбчатая
структура, 0 = 160*
Рис. 1.57. Фотографии капель жидкости на по-
верхностях с различным рельефом
66
Глава 1
Рис. 1.58. Схема расположения
молекул ПАВ на металлической
поверхности при формирова-
нии плотноупакованного гид-
рофобного слоя
В работе показано изменение во времени относительной величи-
ны гидравлического сопротивления в результате сорбции молекул
ПАВ на поверхности трубы. Верхняя кривая на рис. 1.59 соответству-
ет изменению гидравлического сопротивления трубопроводов без
дозирования ПАВ, нижняя — при наличии в потоке молекул ПАВ.
Таким образом, данные свидетельствуют о резком снижении гид-
равлического сопротивления трубопровода при сорбции ПАВ на его
внутренней поверхности. По мнению авторов [1.1.90], сорбция про-
Рис. 1.59. Изменение относительной величины гидравлического сопротивления
в трубах при сорбции молекул ПАВ: ♦ — без дозирования;  — с дозированием
ПАВ
Глава J
67
исходит вплоть до появления упорядочен-
ных слоев ПАВ, сравнимых по толщине с
величиной шероховатости исходной по-
верхности. Предложенный в работе спо-
соб позволяет снизить гидравлическое
сопротивление трубопроводов более чем
на 20 % , при этом он является простым и
экономически выгодным.
В работах [1.1.91, 1.1.92] исследовано
взаимодействие потока жидкости с про-
филированной стенкой (рис. 1.60) и пока-
Рис. 1.60. Взаимодействие
воды с ультрагидрофобной
поверхностью
зано, что при обтекании микропрофилированной поверхности воз-
можно локальное проскальзывание на стенке (рис. 1.61).
Рис. 1.61. Измеренный профиль ско-
рости при обтекании микропрофили-
рованной поверхности
Теплообмен и гидродинамика в мини- и микроканалах
В настоящее время большое внимание уделяется исследованиям
гидродинамики и тепломассопереноса в мини- и микроканалах. Это
связано с тем, что на практике требуется передать большие тепловые
потоки в ограниченном пространстве и объеме.
В каналах с поперечным размером, равным и меньшим капилляр-
ной постоянной, капиллярные силы и стесненность оказывают су-
щественное влияние на течение и теплообмен. При кипении жид-
кости в мини- и микроканалах поперечный размер канала становится
сопоставимым с размером центра парообразования, отрывным ди-
аметром парового пузыря, диаметром капель жидкости. Поэтому за-
кономерности теплообмена, кризиса кипения, структуры потока бу-
дут иными, чем в большом объеме или в обычных каналах. Приклад-
68
Глава 1
ные аспекты рассматриваемой проблемы связаны с перспективой
применения каналов малого и сверхмалого диаметра в промышлен-
ности для интенсификации тепломассопереноса в испарителях-кон-
денсаторах энергетических устройств, новых паровых котлах, тепло-
вых насосах и других устройствах.
В работе [1.1.93] предлагается следующее разделение каналов по
гидравлическим диаметрам:
—	обычные каналы — <2г>3мм;
—	миниканалы — 200 мкм < dr < 3 мм;
—	микроканалы — 10 мкм < dr < 200 мкм;
—	" наноканалы — dT< 10 мкм.
По сравнению с каналами большого размера в каналах малого ди-
аметра заметную роль могут приобретать силы поверхностного натя-
жения и шероховатость поверхности, характерный размер которой
в некоторых случаях становится соизмеримым с диаметром канала.
Эти два фактора могут оказывать заметное влияние на гидродина-
мические и теплообменные процессы в каналах малых размеров.
В работе [1.1.94] исследована гидродинамика в канале кругло-
го сечения диаметром 100 мкм и длиной 64,5 мм. Опыты прове-
дены при течении воды при давлении на входе в рабочий участок
0,2; 1,4; 3,4; 13,7 МПа. Массовая скорость воды изменялась в диапазо-
не от 20 до 4000 кг/(м2-с).
Полученные экспериментальные данные по коэффициенту гид-
равлического сопротивления для воды хорошо согласуются с рас-
считанными по классическим соотношениям (рис. 1.62). Как видно
из графика, переход от ламинарного к турбулентному режиму тече-
ния происходит при Re = 1900—2000. 100 _ I I 111||||	I I 11||||-	I I 11||||	I I I lij't - £ = 64/Re 10 = = 1 = Е	X ^ = 0,3164Re-0 25 |Е 0,1 = \ 0,01 I I I 11 Illi 	Ill	1 1 iiiiiI | ,11.111.11 1	10	100	1000	10000 Re	Рис. 1.62. Зависимость ко- эффициента гидравличе- ского сопротивления от числа Re
Глава 1
69
В работе [1.1.95] измерены потери давления при течении воды в
каналах круглого сечения с гидравлическим диаметром от 50 до
254 мкм, изготовленных из нержавеющей стали и плавленого кварца
(см. таблицу). Эксперименты проводились при условиях: р = 0,1 МПа;
Т = 20°С.
Размеры рабочих участков
Материал РУ	Диаметр канала, мкм	Длина короткого РУ, мм	Длина длинного РУ, мм
	63	30	55
	101	40	61
Нержавеющая	130	42	81,5
сталь	152	48	80
	203	35	61
	254	50	88
	50	28,5	53
	76	32	59
	80	37	63
Плавленый	101	33	62
кварц	150	34	64,5
	205	32	61
	250	31	62
Характерный размер шероховатости — 1,75 мкм			
Экспериментальные данные [1.1.95] в виде зависимости коэффи-
циента гидравлического сопротивления от числа Рейнольдса приведе-
ны на рис. 1.63. Как видно, для значений Re < 500 наблюдается хорошее
совпадение с классической теорией. В интервале чисел Рейнольдса от
500 до 1800 наблюдается переходный режим течения, а при Re > 1800
имеет место развитое турбулентное течение, что подтверждается
согласованием с соотношением Блазиуса. Столь раннее начало пере-
хода от ламинарного к турбулентному режиму течения авторы объяс-
няют заметным влиянием шероховатости поверхности.
Влияние диаметра канала на гидродинамику потока воды изуча-
лось в работе [1.1.96]. Эксперименты проводились в каналах, изготов-
ленных из полированного стекла и кремния. Все экспериментальные
точки хорошо согласуются с формулой Пуазейля. Переход от лами-
нарного к турбулентному режиму течения в микроканалах происхо-
дит при Re = 2000-5-2300, что подтверждает вывод о влиянии на него
шероховатости поверхности.
70
Глава 1
Рис. 1.63. Зависимость коэффициента гидравлического сопротивления для пото-
ка воды в гладких микроканалах
Влияние размеров канала на перепад давления в газожидкост-
ном потоке исследовали в работе [1.1.97]. Рабочие участки были из-
готовлены из плавленого кварца с каналами круглого сечения ди-
метрами 75; 100 и 251 мкм и, соответственно, длиной 60, 85 и 135 мм.
Эксперименты проводились на газожидкостной смеси азота и вод-
ного раствора этанола различной концентрации, а также азота и
дистиллированной воды. Для однофазного потока числа Рейнольд-
са изменялись в диапазоне от 2 до 2000, для газожидкостной смеси
скорость газа — 0,01—7,6 м/с; жидкости — 0,01—1,0 м/с. Для однофаз-
ного потока данные описываются классическими соотношениями.
Ранний переход от ламинарного к турбулентному течению в работе
не наблюдался.
В работе [1.1.98] изучалось течение воды и водовоздушного ади-
абатного потока в прямоугольных каналах шириной 20 мм, высотой
от 0,4 до 2 мм и длиной 230 мм. Для однофазного потока наблюдалось
согласование экспериментальных данных с классическими соотно-
шениями для ламинарного и турбулентного течений. Для двухфазно-
го потока экспериментальные данные с точностью до 20% описыва-
лись моделью, предложенной для труб большого размера.
Режимы течения двухфазного потока фреона R134a в трубе ди-
аметром 2,01 и 4,26 мм при различных давлениях (0,6; 1,0; 1,4 МПа)
Глава 1
71
исследованы в работе [1.1.99]. Выделены шесть режимов течения:
дисперсно-пузырьковый, пузырьковый, снарядный, эмульсионный,
кольцевой и дисперсный. Таким образом, структура двухфазных по-
токов в канале, согласно [1.1.99], соответствует известным представ-
лениям. С уменьшением диаметра канала возрастает влияние сил по-
верхностного натяжения, что приводит к смещению границ режимов
и исчезновению дисперсного режима течения для канала диаметром
2,01 мм.
Результаты исследования режимов течения водовоздушного по-
тока в прямоугольных каналах высотой 1,0; 0,6; 0,3 мм, шириной 12 мм
и длиной 260 мм представлены в работе [1.1.100]. Для первых двух ка-
налов наблюдались такие же режимы течения, как и в обычных тру-
бах: пузырьковый, снарядный, эмульсионный и кольцевой; однако
переходы между режимами течения начинались раньше. При те-
чении же в канале высотой 0,3 мм пузырьковый режим течения не
наблюдался.
В работе [1.1.101] исследовано течение фреонов Р134а и R245fa в
канале диаметром 0,5 и 0,8 мм и выделены четыре режима течения:
пузырьковый, снарядный, эмульсионный и кольцевой. Влияния диа-
метра канала на режимы течения не обнаружено.
В работе [1.1.102] проведено исследование теплообмена при лами-
нарном течении дистиллированной воды в каналах трапецеидально-
го сечения с гидравлическими диаметрами 62,3; 63,1; 114,5; 168,9 мкм.
Диапазон чисел Рейнольдса составлял от 100 до 1500. Удовлетвори-
тельного описания экспериментальных данных численной моделью
удалось добиться, лишь при учете шероховатости поверхности.
Экспериментальное исследование гидродинамики и однофазно-
го теплообмена проведено в работе [1.1.103]. Использовались рабочие
участки с тремя диаметрами: 520; 290 и 172 мкм, в качестве рабоче-
го тела выбрана вода. Диапазон чисел Рейнольдса составлял от 200
др 6000. Полученные экспериментальные данные сравнивались с из-
вестными соотношениями. При ламинарном течении для чисел Рей-
нольдса, меньших 900, наблюдается согласование, для больших Re
экспериментальные данные лежат несколько выше расчетных. При
турбулентном течении экспериментальные данные для всех диамет-
ров находятся в удовлетворительном согласии с известными соотно-
шениями.
Экспериментальное исследование теплообмена при течении в
прямоугольном канале размерами 0,3x12,7x200 мм проведено в работе
[1.1.104]. В качестве рабочей жидкости использовались вода и этанол.
Опыты проведены при следующих параметрах: массовая скорость от
50 до 500 кг/(м2-с), плотность теплового потока до 400 кВт/м2, давле-
72
Глава 1
Рис. 1.64. Изменение коэффициента теплоот-
дачи при течении воды в микроканале длиной
25 мм при изменении его поперечного размера
ние на выходе из рабочего
участка 0,1 МПа. Как обна-
ружено, эксперименталь-
ные данные согласуются с
известными соотношени-
ями.
В работе [1.1.105] ис-
следован теплообмен при
течении воды в прямо-
угольном канале размера-
ми 0,8x2,0x330 мм при мас-
совых скоростях от 50 до
1000 кг/(м2-с) и атмосфер-
ном давлении на выходе из
рабочего участка. Для одно- и двухфазного потока эксперименталь-
ные данные удовлетворительно согласуются с известными соотноше-
ниями в диапазоне чисел Рейнольдса от 700 до 2000.
Экспериментальное исследование гидродинамики и однофазно-
го теплообмена при течении воды в микроканалах проведено в ра-
боте [1.1.107]. На рис. 1.64 и 1.65 представлены полученные данные по
влиянию на теплоотдачу и потери на трение поперечного размера ка-
нала длиной 25 мм при массовых скоростях от 56 до 1170 кг/(м2-с).
Как обнаружено, с уменьшением поперечного размера канала ко-
эффициент теплоотдачи резко увеличивается, и коэффициенты тепло-
отдачи при поперечных размерах, равных 1 мм и 0,06 мм, отличаются
в 20 раз. Потери давления
Рис. 1.65. Потери давления по длине микрокана-
ла при различных тепловых нагрузках
с уменьшением величины
зазора также сильно воз-
растают.
Экспериментальные
данные по теплообмену
при кипении Я318С при
массовых скоростях от 200
до 900 кг/(м2-с) и давлении
0,8 МПа в кольцевом ка-
нале длиной 400 мм и за-
зором 0,95 мм получены в
работе [1.1.108]. Обнару-
жено удовлетворительное
согласование с известны-
ми зависимостями. В этой
же работе приводятся экс-
Глава 1
73
периментальные данные по кипению фреона 7?21 в прямоугольном
канале размерами 1,6x6,3x290 мм. Эксперименты проводились при
давлении 0,25 МПа и массовой скорости 50 кг/(м2 с). В этом случае эк-
спериментальные данные лежат существенно выше расчетных зави-
симостей. Повышение значений коэффициента теплоотдачи объяс-
няется авторами влиянием капиллярных сил.
Анализ и обобщение данных по кипению в миниканалах пред-
ставлены в работе [1.1.106]. Анализировались данные, в которых гид-
равлический диаметр каналов составлял от 400 до 2970 мкм, массовая
скорость — от 50 до 1600 кг/(м2-с), плотность подводимого теплово-
го потока — от 5 до 600 кВт/м2, в качестве теплоносителей исполь-
зовались фреоны ЛИ, Л12, ЛИЗ, Л123, Л124, Л134а, Л141Ь и FC-84. Для
анализа использовалось соотношение Kandlikar, разработанное для
труб большого размера. На основе анализа были сделаны следующие
выводы: для каналов с гидравлическим диаметром, превышающим
1 мм, достигается согласование соотношения с экспериментальными
данными. Для меньших диаметров экспериментальных данных не-
достаточно для анализа и обобщения.
В работе [1.1.109] исследовано кипение в одиночных микроканалах
с различной формой поперечного сечения, но одного гидравлическо-
го диаметра: круглый микроканал диаметром 210 мкм и квадратный
микроканал с поперечным сечением 214 мкм х 214 мкм (рис. 1.66). Тон-
кая пленка оксидов индия и олова нанесена на внешней поверхности
трубок для прямого джоулевого нагрева.
В квадратном микроканале схема изменения структуры потока
более простая: больше ядер зарождения пузырьков и больший коэф-
фициент местного теплообмена при более низком паросодержании.
Это достигается благодаря углам квадратного микроканала, которые
служат центрами образования пузырьков. Углы также способству-
Рис. 1.66. Схема рабочего участка
74
Глава 1
Рис. 1.67. Зависимость ко-
эффициента теплоотдачи
от паросодержания для
квадратных (□) и круглых
(О) каналов при кипении
HCFC123 и массовой скоро-
сти pw = 400 кг/(м2с)
ют формированию жидкостной пленки и образованию контактной
линии (линии стыка) между жидкостью и стенкой, которые стабили-
зируют поток. Местные коэффициенты теплоотдачи снижаются при
повышении паросодержания (рис. 1.67).
На рис. 1.68 показана зависимость числа центров парообразова-
ния от числа кипения для исследованных микроканалов. В квадратном
микроканале число центров нуклеации возрастает с повышением чис-
ла кипения. В круглом микроканале на зависимости количества цент-
ров нуклеации от числа кипения имеется максимум.
На рис. 1.69 показано изменение потерь давления во времени для
квадратных и круглых микроканалов. Обнаружены большие флук-
туации потерь давления как в круглых, так и в квадратных микрока-
налах. Амплитуда колебаний потерь давления составляет примерно
10—15 кПа, что происходит вследствие изменения структуры потока
в микроканалах.
Рис. 1.68 Зависимость числа центров
парообразования от числа кипения для
круглых и квадратных микроканалов:
□ — 214 мм; О — 0,21 мм
Рис. 1.69. Изменение потерь давле-
ния во времени в квадратных (1, 3)
и круглых (2) микроканалах при ки-
пении НС123 и массовой скорости
pw = 400 кг/(м2-с): 1 — q = 39 кВт/м2;
2 — q = 37 кВт/м2; 3 — q = 25 кВт/м2
Глава I
75
Щелевые каналы
Теплосъем при высоких тепловых нагрузках (q > 1 — 2 кВт/см2)
жидкими теплоносителями становится проблематичным из-за огра-
ничений, накладываемых кризисом кипения. Вот почему предложены
способы сохранения гидродинамической устойчивости двухфазно-
го пограничного слоя, исходя из имеющегося запаса по предельному
метастабильному состоянию жидкостей [1.1.110—1.1.112]. Сохранить
эту устойчивость удалось, подвергнув пристенный слой жидкости
воздействию дополнительных сил. Это было достигнуто увеличением
кинетической энергии жидкости за счет принудительной подачи ее
непосредственно в пристенный слой, что существенно ослабило дина-
мический напор пара, вытесняющий жидкость из пограничного слоя.
Анализ этих сил показал, что таким образом может быть достиг-
нут ускоренный отрыв и унос паровых конгломератов от теплооб-
менной поверхности.
При вынужденной конвекции принудительная подача жидкости
осуществляется через щелевую интенсифицирующую вставку, ус-
тановленную на расстоянии от поверхности теплосъема, примерно
равном толщине двухфазного слоя. Щелевые каналы подачи жидко-
сти в ней чередуются со щелевыми каналами отвода двухфазной сре-
ды. Для сведения к минимуму неравномерности, обусловленной дис-
кретностью обтекания поверхности струями из щелевых каналов,
размеры каналов и промежутки между ними выбираются соизмери-
л и I
мыми с величиной капиллярной константы Лапласа b - —------г ,
VtP'-Pj
так как она определяет размер паровых образований у стенки (для
воды b = 2,5 мм). При этом щелевые каналы подачи жидкости выпол-
няются несколько уже, чем значение Ь, а каналы отвода парожидкост-
ной смеси — несколько шире.
В случае кипения фреона-ИЗ на горизонтальной поверхности в
условиях естественной конвекции теплообменная поверхность раз-
бивалась на микроучастки с характерным размером в несколько ка-
пиллярных постоянных (рис. 1.70) [1.1.111]. На каждом таком участ-
ке близко к теплообменной поверхности расположен капиллярный
канал размером поперечного сечения, большим Ь. Образующийся на
теплообменной поверхности пар поступает в расположенные выше
капиллярные каналы, которые объединяются в общий парожидкост-
ный канал. Жидкость опускается к теплообменной поверхности сна-
ружи парожидкостного канала и распределяется вдоль нее между ка-
пиллярными каналами. Таким образом, в режиме кипения устанав-
ливается направленная циркуляция жидкости, причем скорость этой
76
Глава 1
Капиллярная сборка
Рис. 1.70. Влияние капиллярной сборки на критический тепловой поток
циркуляции зависит от разности плотностей жидкости и парожидкост-
ной смеси, а также высоты парожидкостного канала. В результате воз-
никшей циркуляции паровые конгломераты отрываются от теплооб-
менной поверхности и уносятся через капиллярные каналы.
В экспериментах при вынужденном движении воды удалось от-
вести тепловые потоки плотностью до 2,5 кВт/см2, при этом скорость
воды в щелевых каналах была -14 м/с, а давление -3 кг/см2. Тепло-
вая нагрузка на исследуемую поверхность (медное донышко 0 14 мм)
создавалась дуговым плазмотроном. Предварительно с помощью
каллориметрического датчика исследовалось радиальное распреде-
ление теплового потока, которое перед экспериментом было получе-
но также расчетным путем.
При кипении в большом объеме жидкого азота и фреона отводи-
мые от исследуемой поверхности тепловые потоки в 3 и 10 раз, со-
ответственно, превысили критические значения для гладких повер-
хностей.
Таким образом, описанный способ затягивания кризиса теплооб-
мена позволяет увеличить критические тепловые нагрузки в 10 и бо-
лее раз [1.1.111—1.1.112]. Этот способ нашел применение при охлаж-
дении силовой электроники. Он может быть успешно применен при
охлаждении мишеней сильноточных ускорителей, а также в тепло-
вой защите диверторов термоядерных реакторов.
Пористые и микроканальные вставки
Выбор метода интенсификации теплообмена в лазерных зерка-
лах диктуется требованиями к минимизации термического дефор-
мирования отражающей поверхности. В работах [1.1.113—1.1.115]
Глава 1
77
получен исключительно важный для термомеханики лазерных
зеркал и редкий для теории термоупругости результат — найдено
точное решение осесимметричной задачи термоупругости для ко-
нечного цилиндра, нагреваемого и охлаждаемого с торцов. Это ре-
шение позволяет определить термические напряжения и деформа-
ции в дисковых зеркалах, широко применяемых в технологических
лазерах. Из точного общего решения следует ряд принципиальных
и заранее неочевидных выводов, подтвержденных эксперименталь-
но [1.1.115], а именно: для зеркал мощных лазеров, где поглощаемые
тепловые потоки велики, систему охлаждения необходимо разме-
щать не снаружи, а внутри зеркала максимально близко к отража-
ющей поверхности с целью существенного снижения проникающе-
го в жесткую основу зеркала теплового потока. В связи с этим охлаж-
даемое зеркало структурно представляет собой трехслойную конст-
рукцию, состоящую из тонкого отражающего слоя, охлаждаемого
слоя с многоканальной (пористой) структурой и жесткой массивной
основой (рис. 1.71, 1.72).
Рис. 1.71. Многослойные и многозаходные системы охлаждения лазерных зеркал
 мишеней электрофизических установок: а — струйное охлаждение в цилинд-
рических ячейках; б — пористое охлаждение с прямоугольными коллекторами;
в — с цилиндрическими коллекторами
Рис. 1.72. У по ряд очные (регулярные) структуры пористого охлаждаемого слоя
зеркала или мишени
78
Глава 1
К системе охлаждения зеркала предъявляется ряд противоречи-
вых требований: обеспечить высокую теплоотдачу и механическую
жесткость охлаждаемого слоя, а также минимизировать проникно-
вение тепла в толстую основу Разработаны технологии изготовления
охлаждаемого слоя в виде упорядоченной структуры (компланарная,
щелевая, щеточная, вафельная и др.) и хаотической структуры (спе-
ченные порошки, сетки, пружины, порометаллы и др.). Поперечные
размеры каналов для теплоносителя в указанных системах охлажде-
ния могут быть от нескольких миллиметров до долей миллиметра в
зависимости от мощности и назначения установки. В качестве мате-
риалов зеркал используют медь, бериллий, молибден, вольфрам, кар-
бид кремния, инвар и др. [1.1.113, 1.1.114, 1.1.116—1.1.124].
ОБОЗНАЧЕНИЯ:
D f h ReD Rexo Sh sx	—	диаметр углубления, м; —	частота обьемных флуктуаций за углублением, с1; —	глубина углубления, м; —	число Рейнольдса для углубления, V^D/v; —	число Рейнольдса перед углублением, V^/v; —	число Струхаля, fD/Vj —	шаг между углублениями в продольном направле- нии, м;
Sz	— шаг между углублениями в поперечном направле- нии, м;
Tu K,	—	интенсивность пульсаций, %; —	скорость потока перед экспериментальным участ- ком, м/с;
X	— расстояние от передней кромки пластины, продоль- ная координата, м;
8	— толщина пограничного слоя, м;
V A, r, L, H	— кинематическая вязкость потока, м2/с. — глубина лунки; радиус скругления кромки, длина цилиндрической вставки и высота канала;
Nu, Re, Pr Cp	—	числа Нуссельта, Рейнольдса и Прандтля; —	давление и трение, отнесенные к удвоенному ско- ростному напору;
Y <P	—	коэффициент гидравлических потерь; —	плотность пакета лунок; —	угол наклона траншейной лунки.
Глава 7
79
Нижние индексы:
О — параметры потока перед углублением;
00 — параметры потока на плоской пластине;
pl — параметр на стенке.
Список литературы
1.1.1.	Калинин Э.К., Дрейцер Г.А., Копп И.З., Мякочин А.С. Эффективные
поверхности теплообмена. М.: Энергоатомиздат.1998.
1.1.2.	Ашмантас Л.-В.А., Дзюбенко Б.В. Проблемы теплообмена и гидроди-
намики в ядерных энергодвигательных установках космических аппара-
тов. Вильнюс: Pradai, 1997.
1.1.3.	Поляев В.М., Майоров В.А., Васильев Л.Л. Гидродинамика и тепло-
обмен в пористых элементах конструкций летательных аппаратов. М.:
Машиностроение, 1988.
1.1.4.	Справочник по теплообменникам. Т.1.: Пер. с англ./Под ред. Б.С. Петухо-
ва, В.К. Шикова. М.: Энергоатомиздат, 1987.
1.1.5.	Стырикович М.А., Полонский В.С., Циклаури Г.В. Тепломассообмен
и гидродинамика в двухфазных потоках атомных электрических станций.
М.: Наука, 1982.
1.1.6.	Исаченко В.П., Кушнырев В.И. Струйное охлаждение. М.: Энерго-
атомиздат, 1984.
1.1.7.	Галицейский Б.М., Рыжов Ю.А., Якуш Е.В. Тепловые и гидродинами-
ческие процессы в колеблющихся потоках. М.: Машиностроение, 1977.
1.1.8.	Петухов Б.С., Генин Л.Г., Ковалев С.А. Теплообмен в ядерных энерге-
тических установках. М.: Энергоатомиздат, 1986.
1.1.9.	Савельев П.А. Исследование гидродинамики и теплообмена потоков
в винтообразно профилированных трубах: Автореф. дис.... канд. техн,
наук. Рига, 1971.
1.1.10.	Калинин Э.К., Дрейцер Г.А., Ярхо С.А. Интенсификация теплообмена
в каналах. М.: Машиностроение, 1990.
1.1.11.	Ибрагимов М.Х., Номофилов Е.В., Субботин В.И. Теплоотдача и гид-
равлическое сопротивление при винтовом движении жидкости в трубе//
Теплоэнергетика. 1961. № 7. С. 57.
1.1.12.	Каменьщиков Ф.Т., Решетов В.А., Рябов А.А., Поляков В.К., Емель-
янов А.И. Вопросы механики вращающихся потоков и интенсификация
теплообмена в ЯЭУ. М.: Энергоатомиздат, 1984.
1.1.13.	Мигай В.К. Повышение эффективности современных теплообменни-
ков. Л.: Энергия, 1980.
1.1.14.	Kuzma-Kichta Yu.A. Coiled tube (flow and pressure drop and heat transfer
in)//lnt. Encyclopedia Heat and Mass Transfer. New York: CRS Press. 1997.
P. 167-170.
80
Глава 1
1.1.15.	Щукин А.В. и др. Интенсификация теплообмена сферическими выем-
ками//Изв. РАН. Энергетика. 1998. № 3.
1.1.16.	Федоров И.Г., Щукин В.К., Мухачев Г.А., Идиатуллин Н.С. Теп-
лоотдача и гидравлическое сопротивление щелевых каналов со сфе-
рическими выштамповками//Изв. вузов. Авиац. техника. 1961. № 4.
С. 120-127.
1.1.17.	Bernman P.W., Haivey I. К. Golfball aerodynamics//Aeronautical Quarterly.
1976. V. 27. Pt. 2. P. 112-122.
1.1.18.	Piesser K.H. Empirische Gleichungen zur Berechnung der Stoff - und
Waermeuebertragung fuer den Spezialfall der abgenssenen Stroemung//
Int. J Heat and Mass Transfer. 1972. V. 15. P. 2447-2471.
1.1.19.	Афанасьев B.H., Чудновский Я.П. Экспериментальное исследование
структуры течения в одиночной впадине//Вестник МГТУ. Сер. Машино-
строение. 1993. № 1. С. 85-95.
1.1.20.	Кикнадзе Г.И., Гачечиладзе И.А., Олейников В.Г. и др. Механиз-
мы смерчевой интенсификации тепломассообмена//Тр. 1-й Рос. нац.
конф, по теплообмену. М.: Изд. МЭИ. 1994. Т. 8. С. 97-106.
1.1.21.	Кикнадзе Г.И., Краснов ЮЖ., Подымако Н.Ф. и др. Самоорганиза-
ция вихревых структур при обтекании водой полусферической лунки//
ДАН СССР. 1986. Т. 291, №6. С. 1315-1318.
1.1.22.	Гачечиладзе И.А., Кикнадзе Г.И., Краснов ЮЖ. и др. Теплообмен
при самоорганизации смерчеобразных структур//Тр. Минского между-
нар. форума. Проблемные доклады. Секция 1-2. Минск: Наука и техни-
ка, 1988. С. 83-125.
1.1.23.	Кикнадзе Г.И., Олейников В.Г. Самоорганизация смерчеобразных
вихревых структур в потоках газов и жидкостей и интенсификация теп-
ло- и массообмена: Препринт № 227. Ин-т теплофизики СО АН СССР,
1990.45 с.
1.1.24.	Нагога Г.П. Эффективные способы охлаждения лопаток высокотемпе-
ратурных газовых турбин. М.: Изд. МАИ, 1996.100 с.
1.1.25.	Снидекер Р., Дональдсон К. Исследование течения с двумя устой-
чивыми состояниями в полусферической каверне//Ракетная техника и
космонавтика. 1966. № 4. С. 227-228.
1.1.26.	Кесарев В.С., Козлов А.П. Структура течения и теплообмен при обте-
кании полусферического углубления турбулизованным потоком возду-
ха//Вестник МГТУ. Сер. Машиностроение. 1993. № 1. С. 106-115.
1.1.27.	Громов П.Р., Зобнин А.Б., Рабинович М.И., Сущик М.М. Рождение
уединенных вихрей при обтекании сферических углублений//Письма в
ЖЭТФ. 1986. Т. 12, №21. С. 1323-1328.
1.1.28.	Леонтьев А.И. Современные проблемы теплопередачи//Вестник
МГТУ. Сер. Машиностроение. 1993. № 1. С. 54-59.
1.1.29.	Волчков Э.П., Калинина С.В., Матрохин И.П. и др. Некоторые ре-
зультаты экспериментального исследования аэродинамики и теплооб-
мена на поверхности с полусферическими кавернами//Сиб. физ.-техн,
журн. 1992. Вып. 5. С. 3-9.
Гн»? 7
81
1Л.30. Chudnovsky Ya.P., Kozlov A.P., Schukin A.V. et al. Combustion
enhancement and flame stabilization due to vortex generation//AFRC Intern.
Symp. «Combustion Technologies for Improving Productivity and Product
Quality», Sept. 21-24, Chicago, USA. 1997.
1-1-31. Езерский А.Б., Шехов В.Г. Визуализация потока тепла при обтекании
уединенных сферических углублений//Изв. АН СССР МЖГ. 1989. № 6.
С. 161-164.
1-1.32. Александров А.А., Горелов Г.М., Данильченко В.П., Резник В.Е.
Теплоотдача и гидравлическое сопротивление при обтекании поверх-
ностей с развитой шероховатостью в виде сферических углублений//
Пром, теплотехника. 1989. Т. 11, № 6. С. 57-61.
1-1.33. Амирханов Р.Д. Теплообмен и гидродинамика в щелевых каналах с по-
верхностными интенсификаторами: Автореф. дис. ... канд. техн. наук.
Казань, 1996. 16 с.
1-1.34. Арсеньев Л.В., Везломцев С.К., Носов В.В. Интенсификация про-
цесса теплоотдачи в щелевых каналах с генераторами вихрей в систе-
мах кондиционирования воздуха//Сб. Охрана труда и охрана окружа-
ющей среды. Николаев: НКИ, 1988. С. 14-20.
1.1-35. Афанасьев В.Н., Чудновский Я.П. Теплообмен и трение при без-
отрывном обтекании сферических углублений турбулентным пото-
ком воздуха//Вестник МГТУ. Сер. Машиностроение. 1991. № 4. С. 15-
25.
1.1.36. Беленький М.Я., Готовский М.А., Леках Б.М. и др. Эксперименталь-
ное исследование тепловых и гидравлических характеристик теплооб-
менных поверхностей, формованных сферическими лунками//Тепло-
физика высоких температур. 1991. Т 29, № 6. С. 1142-1147.
1-1.37. Беленький М.Я., Готовский М.А., Леках Б.М. и др. Интенсифика-
ция теплообмена при использовании поверхностей, формованных сфе-
рическими лунками//Тез. докл. конф. «Тепломассообмен ММФ-92».
Минск: ИТМО. АНБ, 1992. Т. 1. Ч. 1. С. 90-92.
1-1.38. Гортышов Ю.Ф., Амирханов Р.Д. Теплообмен и трение в каналах со
сферическими углублениями//Сб. «Рабочие процессы в охлаждаемых
турбомашинах и энергетических установках». Казань: КГТУ, 1995. С.
87-90.
1.1-39	. Гортышов Ю.Ф., Олимпиев В.В., Амирханов Р.Д. Расчетное и опыт-
ное моделирование теплообмена и сопротивления в каналах со сфе-
рическими выемками на стенках//Тез. докл. конф. «Тепломассообмен
ММФ-96». Минск: ИТМО АНБ, 1996. Т. 1. Ч. 2. С. 137-141.
1-1.40	. Шанин Ю.И., Афанасьев В.А., Шанин О.И., Емельянов О.С. Интен-
сификация теплоотдачи посредством сферических лунок на стенках ка-
налов//Г1роблемы теплофизики в ядерной энергетике. М.: МИФИ, 1991.
С. 62-66.
1.1.41.	Нагога Г.П., Ануров Ю.М. Результаты модельных и натурных иссле-
дований интенсификации «смерчевым» способом//Тез. докл. 2-й Рес-
публ. конф. «Совершенствование теории и техники тепловой защиты
энергетических устройств». Киев: Наукова думка, 1990. С. 25-26.
82
Глава 1
1.1.42.	Нагога Г.П., Рукин М.В., Ануров Ю.М. Гидравлическое сопротивле-
ние в плоских каналах со сферическими углублениями//Сб. Охлаждае-
мые газовые турбины двигателей летательных аппаратов. Казань: КАИ,
1990. С. 40-44.
1.1.43.	Почуев В.П., Луценко Ю.Н., Мухин А. А. Теплообмен в охлаждае-
мых лопатках высокотемпературных газовых турбин//Тр. 1-й Рос. наци-
ональной конф, по теплообмену. М.: МЭИ, 1994. Т. 8. С. 178-183.
1.1.44.	Туркин А.В., Сорокин А.Г., Брагина О.Н. и др. Интенсификация теп-
лообмена при помощи лунок в плоском канале при низких скоростях
движения воздуха//Тез. докл. конф. «Тепломассообмен. ММФ-92».
Минск: ИТМОАНБ, 1992. Т. 1.4. 1.€. 18-21.
1.1.45.	Афанасьев В.Н., Леонтьев А.И., Чудновский Я.П. Трение и теплооб-
мен на поверхностях, профилированных сферическими углублениями:
Препринт № 1-90. М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана.
1.1.46.	Streamlined Surface. Международная заявка PCT/RU92/00106, номер
международной публикации WO 93/20355, 14 1093, Россия. 9 с.
1.1.47.	Козлов А.П., Щукин А.В., Агачев Р.С. Гидродинамические эффекты
от сферических углублений на поверхности поперечно обтекаемого ци-
линдра//Изв. вузов. Авиац. техника. 1994. № 2. С. 27-34.
1.1.48.	Afanasiev V.N., Chudnovsky Ya.P., Kozlov A.P. et al. Hydrodynamic
and heat transfer in case of streamlining of plate surfaces with hemispheric
cavities//lnt. Symp. Heat Transfer Enhancement in Power Machinery.
Moscow, Russia, 1995. Pt. 1 . P. 87-90.
1.1.49.	Клешканов В.И. Технологические способы повышения надежности
и долговечности авиационных гидроагрегатов: Автореф. дис. ... канд.
техн..наук. М., 1989. 16 с.
1.1.50.	Терехов В.И., Калинина С.В., Мшвидобадзе Ю.М. Конвективный
теплообмен на поверхности в области за каверной сферической фор-
мы//Теплофизика и аэромеханика. 1994. Т. 1. № 1. С. 13-18.
1.1.51.	ЩукинА. В., Козлова. П., Дезидерьев С. Г. и др. Конвективный теп-
лообмен за полусферической выемкой в диффузорном канале//Изв.
вузов. Авиац. техника. 1994. С. 24-30.
1.1.52.	Кирпичев М.В., Михеев М.Л. Моделирование тепловых устройств.
М.: Изд-во АН СССР. 1936. 320 с.
1.1.53.	Арсеньев Л.В., Везломцев С.К., Носов В.В. Исследование струк-
туры потока при течении в щелевом канале с генераторами вихрей//
Судостроительная промышленность. Промышленная энергетика,
охрана окружающей среды, энергосбережение судов. 1991. № 5. С. 25-
29.
1.1.54.	Щукин А.В., Козлов А.П., Дезидерьев С.Г. и др. Теплообмен в сфе-
рической выемке//Изв. вузов. Авиац. техника. 1996. № 3. С. 22-26.
1.1.55.	Щукин А.В., Козлов А.П., Дезидерьев С.Г. и др. Влияние положи-
тельного градиента давления на теплообмен в сферическом углубле-
нии//Там же. 1991 № 4. С. 74-78.
1.1.56.	Чудновский Я.П. Интенсификация теплообмена генерацией вихрей:
Автореф. дис.... канд. техн. наук. М., 1990. 170 с.
Глава 1
83
1.1.57.	Кикнадзе Г.И., Гачечиладзе И.А., Алексеев В.В. Самоорганизация
смерчеобразных струй в потоках вязких сплошных сред и интенсифи-
кация теплообмена, сопровождающая это явление. М.: Изд-во МЭИ,
2005. 84 с.
1.1.58.	Веселкин В.Ю. Исследование механизма интенсификации теплооб-
мена на профилированных сферическими углублениями поверхностях:
Автореф. дис.... канд. техн. наук. М., 1995. 199 с.
1.1.59.	Bungov V.V., Isaev S.A., Dilevskaya E.V. Numerical simulation of steady
turbulent flow and transfer in the channel with boundaries covered by
cavities//Heat Transfer Enhancement in Machinery. Int. Symp. Moscow,
Russia, 1995. Pt. 1. P. 130-131.
1.1.60.	Ligrani P. M. Dimple Array Effects on Turbulent Heat Transfer and Flow
Structure Turbulence, Heat and Mass Transfer 5 K. Hanjalic, Y. Nagano and
S. Jakirlic (Editors), 2006. Begell House, Inc.
1.1.61.	Халатов A.A. Теплообмен и гидродинамика околоповерхностных уг-
лублений (лунок). Киев, 2005. 76 с.
1.1.62.	Быстров Ю.А., Исаев С.А., Кудрявцев Н.А., Леонтьев А.И. Числен-
ное моделирование вихревой интенсификации теплообмена в пакетах
труб. СПб: Судостроение, 2005. 398 с.
1.1.63.	Исаев С.А., Леонтьев А.И., Баранов П.А., Усачов А.Е. Бифуркация вихре-
вого турбулентного течения и интенсификация теплообмена в лунке//
Докл. РАН. 2000. Т. 373, № 5. С. 615-617.
1.1.64.	Гачечиладзе И.А., Кикнадзе Г.И., Королев Г.Л. и др. Расчет обте-
кания трехмерных вогнутостей//Совр. проблемы газодинамики и теп-
лообмена и пути повышения эффективности энергетических установок.
Тез. докл. 8-й школы-семинара. М., 1991. С. 38-39.
1.1.65.	Afanasiev V.N., Leontiev A.I., Chudnovsky Ya.P. et al. Measurement
and numerical simulation vortex turbulent flow and heat transfer in spherical
cavity//Refined Flow Modelling and Measurements. Proc. 5th Int. Symp.
Paris, France, 1993.
1.1.66.	Исаев C.A., Чудновский Я.П. Численное исследование теплообмена
и механизмов вихревой динамики при обтекании сферических углубле-
ний//Интенсификация теплообмена. Тр. 1-й Рос. нац. конф, по теплооб-
мену. М.: Изд-во МЭИ, 1994. Т. 8. С. 80-85.
1.1.67.	Исаев С.А., Леонтьев А.И., Усачев А.Е., Фролов Д.П. Численное
исследование струйно-вихревого механизма интенсификации тепло-
массообмена в окрестности сферической лунки на плоскости при об-
текании ее потоком несжимаемой вязкой жидкости с учетом влияния
асимметрии формы, естественной конвекции и нестационарных про-
цессов//2-я Рос.нац. конф, по теплообмену. М., 1998. Т.6.
1-1.68. А.с. 1538190. СССР. Тонкостенная оболочка тепловыделяющего эле-
мента контейнерного типа ядерного реактора/Ю.В. Чушкин, Г.И. Кик-
надзе, О.Е. Коляскин//Б.И. 1990. № 3.
1.1.69.	А.с. 1570181 СССР. Способ обработки цилиндрической поверхности
деталей теплообмена/Кирсанов Г.Н., Ласточкин С.С., Чушкин Ю.В. и
др.//Б.И. 1988. №2.
84
Глава 7
1.1.70.	Кикнадзе Г.И. Запустите смерч в теплообменник//Энергия. 1991. № 6.
С.29-31.
1.1.71.	Кикнадзе Г.И., Крючков И.И., Чушкин Ю.В. Кризис теплоотдачи при
самоорганизации смерчеобразных вихревых структур в потоке теп-
лоносителя: Препринт ИАЭ. № 4841/3. М.: ЦНИИатоминформ, 1989.
29 с.
1.1.72.	Дилевская Е.В., Чудновский Я.П., Михайлов С.Н. Интенсификация
теплообмена на поверхностях охладителей силовых полупроводнико-
вых приборов//Тр. 1-й Рос. нац. конф, по теплообмену. М.: Изд-во МЭИ,
1994. Т. 8. С. 70-75.
1.1.73.	Dilevskaya E.V., Chudnovsky Ya.P., Mikhailov S.N. New method of
augmentation of heat transfer on the surfaces of power semiconductor
devices coolers//Proc. 10th Int. Heat Transfer Confer. Brighton. UK. 1994.
1.1.74.	H. Mueller-Steinhagen etal. Heat transfer enhancement in dimpled tubes//
App. Ther. Eng. 2001. N 21. P. 535-547.
1.1.75.	Кузма-Кичта Ю.А. Методы интенсификации теплообмена. М.: Изд-во
МЭИ, 2001.
1.1.76.	Исаев С.А., Леонтьев А.И., Баранов П.А. и др. Численный анализ
вихревой интенсификации теплообмена в канале с пакетом глубоких
сферических лунок на одной из стенок//Докл. РАН. 2002. Т. 386, № 5.
С. 621-623.
1.1.77.	Исаев С.А., Леонтьев А.И., Кудрявцев Н.А., Баранов П.А., Жуко-
ва Ю.В. Интенсификация вихревого теплообмена в пакете поперечных
труб с упорядоченными траншеями//ИФЖ. 2005. Т. 78, № 1. С. 112-
122.
1.1.78.	Исаев С.А., Леонтьев А.И., Кикнадзе Г.И. и др. Сравнительный ана-
лиз вихревого теплообмена при турбулентном обтекании сферической
лунки и двумерной траншеи на плоской стенке//То же. № 4. С. 1-12.
1.1.79.	Анисимов С. В., Рыжова Е.И., Смирнов Ю.Б. Теплообмен при кон-
денсации азеотропной паровой смеси R-113/H2O на горизонтальных
трубах с ребрами и шипами сложной формы//Тр. 2-й Рос. нац. конф, по
теплообмену. М. 1998. Т. 6.
1.1.80.	А.с. 1237310.1984. Способ получения покрытия на внутренней по-
верхности трубы и устройство для его осуществления/А.С. Комен-
дантов, Ю.А. Кузма-Кичта, Ю.Г. Хасанов, Б.А. Штутман, В.А. Леньков,
А.Т. Воронцов, В.Д. Ляховский//Б.И. 1966. № 22.
1.1.81.	Kuzma-Kichta Yu.A., Komendantov A.S., Bakunin V.G., Bartsch G.,
Goldschmidt R., Stein M. Enchancement of Heat Transferat Boiling with
porous coating Surface//Proc. 3 Europ. Thermal Science Conf. 2000.
Ueidelberg. P. 809-814.
1.1.82.	Гоголин A.A., Данилова Г.Н., Азарсков B.M., Медникова М.Н. Ин-
тенсификация теплообмена в испарителях холодильных машин. М.:
Легкая и пищевая промышленность, 1982.
1.1.83.	Алешин А.А., Кузма-Кичта Ю.А., Москвин В.Н., Сорокин Д.Н. Ис-
следование теплообмена при парообразовании на поверхности с по-
ристым покрытием//ТВТ. 1980. Т. 18. № 5. С. 1098-1101.
Глава 1
85
1.1.84.	Ковалев С.А., Соловьев С.Л. Испарение и конденсация в тепловых
трубах. М.: Наука, 1989.
1.1.85.	Малышенко С.П., Андрианов А.Б. Неравновесные фазовые перехо-
ды при кипении на поверхностях с пористыми покрытиями: Препринт
ИВТАН N1-293. М., 1990.
1.1.86.	Mitrovic J. How to create an efficient surface for nucleate boiling?//lntern.
J. of Thermal Sciences. 2006. № 45. P. 1-15.
1.1.87.	Xue-Mei Li, Reinhoudt D., Crego-Calama M. Whot do we need for
superhyd rophobic surface? A review on the recent progress in the preparation
of superhydrophobic surfaces//J. Chemical Society Reviews. 2007. DO
1:10.1039/b602486f.
1.1.88.	Kazufumi Kaneko and others. Drag Reduction on Ultra Small-Scale
Concave-Convex Surface//Transactions of the Japan Society of Mechanical
Engineers. 2000. № 4.
1.1.89.	Kim J. and Kim C.-J. Nanostructured Surfaces for Dramatic Reduction of
Flow Resistance in Droplet-based Microfluids//Technical Digest, IEEE Conf,
on MEMS, Las-Vegas, Jan. 2002.
1-1-90. Рыженков B.A., Седлов A.C., Рыженков A.B. О возможности сниже-
ния гидравлического сопротивления трубопроводов систем теплоснаб-
жения// Энергосбережение и водоподготовка. 2007. Окт. № 5(49).
1.1-	91. Chang-Hwan Choi, Johan К., Westin A. and Kenneth S. Breuer. Apparent
slip flows in hydrophilic and hydrophobic microchannels//Physics of fluids.
2003. V. 15, N 10.
1132. Jia Ou, Rothstein J. P. Drag Reduction and PIV Measurements of the flow
past Ultrahydrophobic Surfaces//Phys. Fluids, 2005. V. 17.103606.
HI-93. KandlikarS. Fundamental issues related to flow boiling in minichannels
and microchannels//Experimental Thermal and Fluid Science. 2002. N 26.
P. 389-407.
11-94. Kawahara A., Chung P., Kawaji M. Investigation of two-phase flow pattern,
void fraction and pressure drop in a microchannel//lnt. J. Multiphase Flow.
2002. N 28. P. 1411-1435.
1.1-95. Mala Gh., Li D. Flow characteristics of water in microtubes//lnt. J. Heat and
Fluid Flow. 1999. N 20. P. 142-148.
1.1-96. Guo Z. Characteristics of microscale fluid flow and heat transfer//! MEMS.
In: Proceedings of the Int. conf, on Heat Transfer and Transport Phenomena
in Microscale, Banff, Canada, 2000. P. 24-31.
1.1-97. Kawahara A., Sadatomi M., Okayama К., Kano K. Pressure drop for
gas-liquid two-phase flow in microchannels - effects of channel size and
liquid properties//3rd Int. Symposium on Two-Phase Flow Modelling and
Experimentation, Pisa, 22-24 Sept., 2004.
1.1.98.	LeeH., LeeS. Pressure drop correlationsfortwo-phaseflowwithin horizontal
rectangular channels with small heights//lnt. J. Multiphase Flow. 2001. N 27.
P. 783-796.
UI-99. Chen L., Tian Y., Karayiannis T. R134A flow patterns in small diameter
tubes//3rd Int. Symposium on Two-Phase Flow Modelling and Expe-
rimentation, Pisa, 22-24 Sept., 2004.
86
Глава 1
1.1.100.	Qu J. Experimental study on gas-liquid two-phase flow regimes in rectangu-
lar channels with mini gaps//lnt. J. Heat and Fluid Flow. 1999. N 20. P. 422-
428.
1.1.101.	Revellin R., Thome J. Experimental investigation of R-134a and R-245fa
two-phase flow in microchannels for different flow conditions//!bid. 2007.
N 28. P. 63-71.
1.1.102.	QuW., MalaGh. M., Li D. Heat transfer for water flow in trapezoidal silicon
microchannels//lnt. J. Heat and Mass Transfer. 2000. N 43. P. 3925-3936.
1.1.103.	Bucci A., Celata G., Cumo M., Serra E., Zummo G. Fluid flow and single-
phase flow heat transfer of water in capillary tubes//First Int. Conf, on Mic-
rochannels and Minichannels, Rochester, New York, USA. April 21-23, 2003.
1.1.104.	Diaz M., Schmidt J. Experimental investigation of transient boiling heat
transfer in microchannels//lnt. J. Heat and Fluid Flow. 2007. N 28. P. 95-102.
1.1.105.	Shuai J., Kulenovic R., Sobierska E., Mertz R., Groll M. Flow boiling
heat transfer in a vertical narrow channel//3rd Int. Symposium on Two-Phase
Flow Modelling and Experimentation, Pisa, 22-24 Sept., 2004.
1.1.106.	Kandlikar S., Steinke M. Flow Boiling Heat Transfer Coefficient in Mini-
channels - Correlation and Trends//12th Int. Heat Transfer Conf. Grenoble,
France. Aug. 2002. P. 1178.
1.1.107.	Satish G., Kandlikar S., William J. Grande Evaluation of Single Phase
Flow in Microchannels for High Heat Flux Chip Cooling—Thermohydraulic
Performance Enhancement and Fabrication Technology//Heat Transfer
Engin. 2004. V. 25(8). P. 5-16.
1.1.108.	Накоряков B.E., Кузнецов В.В. Тепломассообмен при фазовых пе-
реходах и химических превращениях в микроканальных системах/Др.
РНКТ-4. 2006. Т. 1. С. 33-37.
1.1.109.	Tzu-Hsiang Yen, Masahiro Shoji et al. Visualization of convective boiling heat
travsfer in single Micro-conduits with different Shapes of cross sections//
Intern. Confer, on Microchannels and Minichannels. June 13-15, 2005.
Toronto, Ontario, Canada.
1.1.110.	Свириденко И.П. и др. Разработка конструкции интегральной линейки
лазерных диодов с использованием для жидкостного охлаждения ка-
пиллярно-пористой структуры//Докл. на Минском межд. семинаре «По-
лупроводниковые лазеры и системы на их основе», 22-24 июня 1999 г.
1.1.111.	Свириденко И.П. и др. Способы затягивания кризиса теплообмена в
большом объеме и при вынужденном движении/Др. 1-й Российской
нац. конф, по теплообмену. Т. IV. 1994. С. 214.
1.1.112.	Свириденко И.П. и др. Тепло- и гидравлические исследования жид-
кометаллической пористой тепловой защиты энергонапряженных
конструкций/Др. VI Всероссийской конф. «Инженерные проблемы тер-
моядерных реакторов». Спб., 1997. С. 163 .
1.1.113.	Харитонов В.В. Теплофизика лазерных зеркал. М.: МИФИ, 1993.152 с.
1.1.114.	Субботин В.И., Колесов В.С., Кузьмин Ю.А., Харитонов В.В. и др.
Точное решение пространственной задачи термоупругости для конеч-
ного цилиндра//Докл. АН СССР. 1988. Т. 301, № 6. С. 1380-1384.
1.1.115.	Харитонов В.В. и др. Термические деформации охлаждаемых диско-
вых зеркал технологических лазеров: измерение и расчет/ДВТ. 1996.
Т. 34, №3. С. 419-422.
Глава 1
87
1.1.116.	Харитонов В.В. Температурная зависимость критериев стабильности
лазерных зеркал//Физика и химия обработки материалов. 1984. № 2.
С.139-141.
1.1.117.	Кузьмин Ю.А., Харитонов В.В. и др. Предельная мощность локально-
го источника тепла на поверхности многослойной стенки с внутренним
охлаждением/ДВТ. 1986. Т. 24, № 5. С. 948-956.
1.1.118.	Харитонов В.В. и др. Сравнение точного и приближенного выражений
для расчета осесимметричных термических перемещений конечного
цилиндра//Инж.-физ. журн. 1989. Т. 56, № 5. С. 857.
1.1.119.	Кузьмин Ю.А., Плаксеев А.А., Харитонов В.В. и др. Нестационар-
ный термический изгиб многослойных пластин с внутренним охлажде-
нием/Дам же. 1989. Т. 57, № 6. С. 1005-1010.
1.1.120.	Субботин В.И., Харитонов В.В. Теплофизика охлаждаемых лазерных
зеркал/ДВТ. 1991. Т. 29, № 2. С. 365-375.
1.1.121.	Харитонов В.В. Теплоотдача оребренной мишени при локальном на-
гревании мощным электронным пучком//Изв. АН СССР. Энергетика и
транспорт. 1991. № 4. С. 144-151.
1.1.122.	Тарутин Д.Ю., Харитонов В.В. Точные выражения для термических
деформаций охлаждаемых зеркал при осесимметричном освещении//
Оптико-механич. пром. 1991. № 12. С. 6-9.
1.1.123.	Харитонов В.В. и др. Тепловые режимы охлаждаемых медных мишеней
при интенсивном локальном нагреве/ДВТ. 1991. Т. 29, № 5. С. 941-948.
1.1.124.	Харитонов В.В. и др. Расчетная оптимизация микроканальной си-
стемы охлаждения силовых лазерных зеркал/Дам же. 1993. Т. 31, № 1.
С. 69-72.
12.	ЗАКРУТКА ПОТОКА В ТРУБАХ И ПУЧКАХ ТВЭАОВ И ТРУБ
Интенсификация теплоотдачи с помощью закрученной ленты
При закрутке потока лентой в поперечном сечении происхо-
дят перетекания от периферии к центру в результате градиен-
та давления (рис. 1.73). Жидкость из пограничного слоя проника-
ет (показано стрелками) в ядро потока. Эти
движения приводят к возникновению че-
тырех вихревых областей, которые способ-
ствуют усилению обмена и совместно с действи-
ем центробежных сил уменьшают толщину пог-
раничного слоя. Кроме того, вихревое смешение
(вводит к возникновению турбулентного тече-
кя при меньших числах Re.
Таким образом, повышение теплоотдачи при
закрутке потока с помощью ленты обусловлено
«зедующим:
—	увеличением пристеночной скорости;
Рис. 1.73. Схема об-
разования вторичных
течений в трубе с за-
крученной лентой
88
Глава 1
—	перестройкой потока и появлением вторичных течений и
вихрей;
—	повышением турбулентности потока.
Закрутку потока можно также осуществить с помощью при-
стенных завихрителей. При использовании пластинчатых спираль-
ных завихрителей турбулентность в пристенном слое повышается
вследствие закрутки и срыва потока. Оптимальные размеры плас-
тинчатых завихрителей составляют l/d = 3,5—4; h/d = 0,2.
Рассмотрим закономерности влияния закрученной ленты, уста-
новленной плотно в трубе, на теплоотдачу и гидравлическое сопро-
тивление. В работе [1.2.1] установлена зависимость отношения числа
Nu в случае закрутки потока воды к числу Nu0 для прямолинейного
потока от величины, обратной коэффициенту закрутки ленты. Рабо-
чий участок — труба с внутренним диаметром 12 мм. Площадь сече-
ния ленты 12x1 мм2. Коэффициент закрутки ленты у равен отноше-
нию длины участка /, на котором происходит поворот ленты на 360°, к
внутреннему диаметру трубы d. В качестве определяющей выбрана
средняя температура воды. В числе Nu за определяющий размер взят
гидравлический диаметр канала. Установлено, что закрутка потока
приводит к повышению теплоотдачи на 33% при у = 8 по сравнению
с прямолинейным течением.
Для расчета теплоотдачи предложена зависимость
Nu = Nu0K,	(1.2.1)
где
Nu0 = 0,021 Re0,8 Рг0-43 (Pr/PrJ0-25;
К = l+5652Re0,5d/Z.
Формула (1.2.1) справедлива в диапазоне 0 < D/1 < 0,125.
Повышение теплоотдачи на 33% сопровождается ростом гидрав-
лического сопротивления на 70—80%.
В работе [1.2.1] установлена зависимость коэффициентов гидрав-
лического сопротивления в случае закрученного и прямолинейно-
го потока от величины, обратной коэффициенту закрутки ленты (у).
При (1/у) < 0,05 гидравлическое сопротивление не зависит от закрут-
ки потока. При увеличении 1/у гидравлическое сопротивление воз-
растает и его можно определить по формуле
= ^(1+2,ЗОу’4),	(1.2.2)
где Ёф — коэффициент гидравлического сопротивления для прямоли-
нейного потока.
Конвективный теплообмен в канале с закруткой потока определя-
ется двумя составляющими. Одна связана с трением, другая с вихре-
вым смешением вследствие тангенциальной составляющей скорости.
Глава 1
89
Влияние закрученной ленты на
теплоотдачу и гидравлическое соп-
ротивление при числе Re = 34О4 по
данным различных исследований
иллюстрируется рис. 1.74 [1.2.2]. Ко-
эффициент К характеризует зак-
рутку потока:
I = 3,14.
(nd//)2
к -----------у , где
l+(7id//)2
По вертикали на рис. 1.74 отло-
жены отношения чисел Нуссельта
и коэффициентов гидравлического
Рис. 1.74. Зависимость отношения
чисел Нуссельта в случае закручен-
ного и прямолинейного потока от
коэффициента К, характеризующе-
го закрутку потока, по данным раз-
личных исследований
сопротивления для закрученного и
прямолинейного потока. С ростом К
отношение чисел Nu увеличивается,
при К = 0,5 теплоотдача увеличивается на 25 — 75%, коэффициент гид-
равлического сопротивления — в два—три раза. Разброс данных по
теплоотдаче и гидродинамике вызван тем, что в различных исследова-
ниях могли быть различными длина
участка стабилизации потока, ше-
роховатость трубы и лент, шаг скру-
ченной ленты.
На рис. 1.75 сравниваются харак-
теристики различных закручива-
ющих устройств в виде отношения
чисел Nu (1, 2, 3) и коэффициентов
гидравлического сопротивления (4,
S. 6) для каналов с интенсификато-
ром теплосъема и без него. Кривые
1 и 4 соответствуют использованию
спиральной накатки, кривые 2, 5 —
закрученной ленты, кривые 3, 6 —
пластинчатого завихрителя [1.2.3].
Как показывает сравнение,
наибольшее повышение теплоотда-
Рис. 1.75. Изменение отношения чи-
сел Нуссельта (1, 2,3) и коэффициен-
тов гидравлического сопротивления
(4,5,6) от числа Re: 1,4 — спиральная
накатка; 2, 5 — закрученная лента; 3,
6 — пластинчатый завихритель
чи получено для пластинчатого завихрителя, однако при наибольшем
росте коэффициента гидравлического сопротивления.
Особенности гидродинамики в змеевиках
Змеевики обеспечивают существенную интенсификацию тепло-
отдачи по сравнению с прямыми трубами и компактность теплооб-
иенных поверхностей.
90
Глава 1
Ось змеевика
Рис. 1.76. Вторичное
течение в спираль-
ной трубе
Течение жидкости в криволинейных кана-
лах, в частности в спиральных трубах, происхо-
дит под действием сил инерции, направленных
перпендикулярно оси потока. На более быстрые
частицы, движущиеся в середине трубы, дейст-
вует большая центробежная сила, чем на ме-
нее быстрые частицы жидкости вблизи стенки.
В результате жидкость в центральной части тру-
бы движется к наружной образующей, а вблизи
стенки — вдоль нее по направлению к внутренней
образующей. Таким образом, в трубе возникает
вторичное течение в виде пары симметричных
вихрей в поперечном сечении (рис. 1.76). На рис. 1.77 и 1.78 представле-
ны рассчитанные распределения скоростей при Re = 2-105; dmin/d = 24
(d — диаметр трубы, равный 0,03 м; dmin — диаметр спирали). Распре-
деление относительной скорости осевого течения w* = w/wQ, где w —
Рис. 1.78. Распределение относительной
скорости вторичных течений при числе
Re = 2105 и отношении диаметров на-
вивки спирали и трубы, равном 24
Рис. 1.77. Распределение отно-
сительной скорости осевого
течения при числе Re = 2-105 и
отношении диаметров навивки
спирали и трубы, равном 24
локальная продольная скорость; v/Q — продольная скорость на оси
трубы) в спиральной трубе характеризуется тем, что максимум w‘ на
кривой находится вблизи наружной образующей. Относительная ско-
рость вторичных течений v* = v/ v0 (v — локальная скорость вторичных
течений, v0 — скорость вторичных течений на оси) в ядре потока пос-
тоянная, и основное изменение v* происходит вблизи стенки.
Теплоотдача в спиральной трубе
Средняя теплоотдача при ламинарном течении в спиральной тру-
бе рассчитывается по формуле
№л = 0,06Re07Pr043(P^/Prc)0,25(dmin/d)018,	(1.2.3)
Глава 7
91
где Re = wd/v; Nu = ad/X; w — осевая скорость; d — диаметр тру-
бы; a — средний по периметру трубы коэффициент теплоотдачи;
л — коэффициент теплопроводности жидкости; v — кинематиче-
ский коэффициент вязкости; Рг — числа Прандтля, определяемые
при температуре жидкости и стенки.
Среднее число Нуссельта при турбулентном течении для спираль-
ных труб
NUT = Nuof(dmin/d),	(1.2.4)
где Nu0 — среднее число Нуссельта при течении в прямой трубе сре-
ды с числом Рг = 0,7 — 2 определяется уравнением
Nu0 = 0,023Re°’8Pr0'4.	(1.2.5)
Значение функции f(dmin/d) определяется на основе данных опы-
тов.
При турбулентном течении в спиральной трубе распределение
коэффициента теплоотдачи по периметру существенно неоднород-
ное. Неравномерность распределения коэффициента теплоотда-
чи по периметру трубы вызвана неоднородностью распределения
скорости и температуры потока по его сечению. Кроме того, неод-
нородность распределения температуры стенки по периметру тру-
бы может вызвать значительные перетоки тепла от внутренней об-
разующей к наружной и привести к изменению теплоотдачи. На
рис. 1.79 представлено распределение числа Нуссельта по периметру
спиральной трубы (d . /d = 16) с вертикальной осью навивки при
Re = 2-104, рассчитанное при реше-
нии сопряженной задачи по мето-
дике МЭИ (линия 1) [1.2.4].
Как видно из рисунка, интен-
сивность теплоотдачи в окрест-
ности наружной образующей
45е < ср < 45°) примерно постоян-
ная. По мере приближения к внут-
ренней образующей теплоотдача
уменьшается. Отношение коэффи-
циентов теплоотдачи для наруж-
ной и внутренней образующей со-
ставляет около трех. Коэффициент
НЕНлоотдачи в окрестности внут-
ренней образующей змеевика при-
мерно совпадает с величиной а для
римой трубы (линия 2).
Рис. 1.79. Распределение числа Нус-
сельта по периметру спиральной тру-
бы при числе Re = 2-104 и отношении
диаметров навивки спирали и трубы,
равном 16: 1 — спиральная труба;
2 — прямая труба
92
Глава I
Механизм интенсификации теплоотдачи в спиральной трубе
Анализ имеющихся представлений [1.2.2—1.2.5] показывает, что
интенсификация теплоотдачи вследствие закрутки потока в змееви-
ке обусловлена:
—	повышением градиентов скорости около стенки трубы;
—	перетеканием более горячего теплоносителя с меньшей плот-
ностью в результате возникновения вторичных течений в централь-
ной зоне потока. Этот эффект интенсифицирует теплоотдачу при
нагреве теплоносителя и ухудшает ее при охлаждении;
—	возникновением и развитием вихревых структур, зоны с дву-
мерными и трехмерными вихрями с противоположным направле-
нием вращения под воздействием центробежных сил в криволиней-
ных каналах. Это приводит к дополнительной турбулизации всего по-
тока, росту теплоотдачи и гидравлического сопротивления. Наличие в
потоке макровихрей, охватывающих все течение, приводит к сущест-
венной неравномерности распределения теплоотдачи по периметру
канала.
Интенсификация теплообмена в витых трубах
Рис. 1.80. Труба с трех-
ходовой винтовой на-
Метод интенсификации теплообмена в витых трубах деталь-
но исследовал Б.В. Дзюбенко [1.2.5]. Для усиления эффекта интен-
сификации теплообмена предложено использовать витые трубы
трехлопастного профиля, имеющие большую жесткость (рис. 1.80).
Витая труба трехлопастного профиля может рассматриваться как
круглая труба с трехходовой винтовой накаткой. При этом высту-
пы внутри трубы наряду с закруткой допол-
нительно турбулизируют поток за счет вих-
реобразования в тонком пристенном слое.
По существу, в витой трубе сочетаются пре-
имущества двух методов интенсификации
теплообмена, а именно закрутки потока и на-
катки.
При течении в витых трубах с интенсифи-
каторами теплосъема коэффициент гидрав-
лического сопротивления растет за счет об-
разования в пристенном слое периодических
областей отрывного течения. Уменьшение ко-
эффициента гидравлического сопротивления
в. витых трубах по сравнению с круглыми (как
гладких, так и с интенсификаторами тепло-
Глава J
93
съема) при Re>5000 связано с тем,
что на выпуклых и вогнутых частях
профиля витой трубы возникают
области с повышенной и понижен-
ной скоростью.
Теплогидравлическую эффек-
тивность поверхностей с интен-
сификаторами теплосъема можно
оценить, рассмотрев соотношения
между ростом теплоотдачи и коэф-
фициента гидравлического сопро-
тивления (рис. 1.81). При этом от-
ношение чисел Нуссельта растет с
уменьшением числа Re. Витая труба
с винтовой накаткой (линия 2) поз-
воляет интенсифицировать тепло-
обмен по сравнению с гладкой ви-
той трубой примерно в 1,9 раза при
Re = 10000. Однако с уменыпени-
Рис. 1.81. Изменение отношения
чисел Нуссельта (1, 2, 3) и коэффи-
циентов гидравлического сопро-
тивления (4, 5, 6) при течении воды
в витой трубе: технически гладкой,
с винтовой и кольцевой накаткой
ем числа Re этот эффект ослабляется. Витая труба с кольцевой на-
каткой (линия 3) позволяет увеличить интенсивность теплообмена в
2,2 раза по сравнению с гладкой витой трубой. Труба с винтовой на-
каткой (трехлопастная витая труба) (линия 5) благодаря движению
потока в пристенном слое по винтовым траекториям имеет меньшее
гидравлическое сопротивление, чем труба с кольцевой накаткой (ли-
ния 6). Для круглой трубы с кольцевой накаткой получен наибольший
рост теплоотдачи при Re = 10000 (отношение чисел Нуссельта рав-
но 3) при отношении коэффициентов гидравлического сопротивле-
ния 2,65.
Пучки витых твэлов и труб
Выбор метода интенсификации теплообмена определяется при-
кладными целями и условиями и базируется на изучении структуры
турбулентного потока в конкретных типах каналов и ее направлен-
ном изменении. Такая постановка задачи диктуется необходимо-
стью создания теплообменных аппаратов, к которым предъявляют-
ся высокие требования по массогабаритным характеристикам и за-
тратам мощности на прокачку теплоносителя. Важной проблемой яв-
ляется надежное дистанционирование труб или тепловыделяющих
стержней в теплообменных аппаратах и устройствах, а также хоро-
шее перемешивание потока в межтрубном пространстве для вырав-
94
Глава 1
Рис. 1.82. Теплообменный аппарат с
продольным обтеканием витых труб:
1 — витая труба; 2 — трубная доска;
3 — кожух; 4 — днища
нивания неоднородностей темпе-
ратур и скоростей при его нагреве.
Одновременное решение этих про-
блем, наряду с интенсификацией
теплообмена, может быть достиг-
нуто при продольном и поперечном
обтекании плотноупакованных
пучков витых труб (рис. 1.82—1.84),
поперечное сечение которых име-
ет овальную форму или форму
прямоугольника со скругленными
углами [1.2.6—1.2.16]. В этих пучках
возникают упорядоченные вих-
ревые структуры, приводящие к
струйному натеканию теплоноси-
теля на поверхность теплообмена и дополнительной турбулизации
потока, а возникающие вихревые структуры и конвективные потоки
существенно интенсифицируют тепло- и массообмен между сосед-
ними ячейками и в масштабе пучка витых труб [1.2.17—1.2.22].
Использование метода интенсификации тепло- и массообмена пу-
тем закрутки потока позволило решить проблему создания высоко-
температурных тепловыделяющих сборок (ТВС) газоохлаждаемого
гетерогенного ядерного реактора, предназначенного для энергодви-
гательной установки (ЯЭДУ) космических аппаратов [1.2.22, 1.2.23].
Твэлы и ТВС реактора ЯЭДУ должны обладать высокой надежностью
и способностью работать длительное время при высоких температу-
рах и плотностях теплового потока в водородной среде при много-
кратных сменах режима работы с двигательного на энергетический
Рис. 1.83. Теплообменный аппарат с поперечным обтеканием витых труб: 1 — ви-
тая труба; 2 — трубная доска; 3 — щелевой канал между трубами; 4,5 — коллекто-
ры подвода и отвода теплообменивающихся сред
Глава /
95
и обратно. Для обеспечения темпе-
ратуры теплоносителя на выходе
из ТВС на уровне 3000—3100 К твэ-
лы изготавливаются из карбидов
тугоплавких металлов [1.2.23]. Для
частичного выравнивания поля
энерговыделения осуществляется
концентрационное профилирова-
ние загрузки урана-235 по радиусу
и длине ТВС, для чего твэлы дела-
ются разрезными по длине. Витые
твэлы упираются торцами друг в
друга и размещаются в теплоизо-
лированной обойме с опорной (вы-
ходной) решеткой и системой вы-
равнивающих решеток на входе.
Перед нагревными секциями (ак-
Рис. 1.84. Теплообменный аппарат
с закрученным пучком витых труб:
1 — кожух; 2 — трубная доска; 3 — за-
крученный пучок витых труб; 4 — ви-
тая труба; 5 — прямой круглый конец
трубы; 6,7 — патрубки; I —IV — ряды
труб в пучке
тивной зоной ТВС) размещаются элементы торцевого отражателя и
радиационной защиты, малая пористость которых приводит к нате-
канию потока теплоносителя на пучок твэлов в виде системы струй
малого диаметра (рис. 1.85). Неравномерности полей скорости и тем-
пературы, сформированные входными узлами ТВС и неравномер-
ным полем тепловыделения, выравниваются при обтекании потоком
теплоносителя пучков витых твэлов за счет межканального переме-
шивания и выравнивающего действия гидравлического сопротивле-
ния пучка.
Требования технологичности, безопасности, надежности и удобс-
тва в эксплуатации являются определяющими при выборе методов
интенсификации тепло- и массобмена, в том числе и метода закрут-
ки потока.
Проведенное численное моделирование переходных процессов
в реакторе ЯЭДУ позволило определить оптимальные законы изме-
нения реактивности реактора для обеспечения быстрого перехода с
энергетического к двигательному режиму работы и обратно при ус-
ловии выполнения ограничения по ядерной безопасности и термо-
прочности витых твэлов из карбидов тугоплавких металлов [1.2.21,
1.2.22].
Выполненные экспериментальные и теоретические исследования
полей скорости и температуры позволили выбрать варианты проточ-
ной части ТВС ЯЭДУ, при которых обеспечивается благоприятный
теплосъем с твэлов всех секций при обеспечении заданных выход-
ных параметров теплоносителя (рис. 1.85).
96
Глава 1
Рис. 1.85. ТВС с витыми стержневыми твэлами:
а — схема ТВС: 1 — радиационная защита; 2 — отражатель; 3,12 — решетки; 4, И,
13 — корпус; 5 — витые твэлы; 6, 9 — пружины; 7, 10 — фиксаторы блоков актив-
ной зоны; 8 — тепловая изоляция;
б — поперечное сечение пучка твэлов с вытеснителями: 1 — 3 — номера зон с раз-
личной концентрацией урана-235;
в — поле энерговыделения по радиусу ТВС: 1 — 3 — поля энерговыделения для
входных, центральных и выходных нагревных секций (пучков) соответственно;
4 — расчетное поле энерговыделения
Применение витых труб в теплообменных аппаратах (ТА) поз-
воляет существенно уменьшить их массу и габариты и, следова-
тельно, металлоемкость и стоимость изготовления, а за счет гаран-
тированного взаимного касания витых труб в плотных пучках (см.
рис. 1.82) — существенно снизить вероятность возникновения вибра-
ций и повысить надежность. Кроме того, интенсификация массооб-
мена в пристеночном слое потока внутри витых труб и в межтрубном
пространстве пучка позволяет существенно снизить интенсивность
образования отложений на теплопередающих поверхностях и расхо-
ды на периодическую очистку ТА. ТА с витыми трубами для пищевых
производств имеют преимущество перед ТА с трубами, оснащенны-
ми интенсификаторами теплообмена в виде выступов или канавок
различной формы, поскольку пучки витых труб имеют гладкую теп-
лопередающую поверхность и постоянную по длине ТА площадь про-
ходного сечения, что позволяет легко удалять с теплопередающей по-
Глава 1
97
ерхности отложения путем мойки, а при производстве шампанских
вин предотвратить выделение газа из вина.
К особенностям ТА пищевых производств следует отнести и тре-
бование малых перепадов давления, и, соответственно, малых ско-
ростей течения пищевых продуктов. Так, при производстве шам-
панских вин это требование связано с необходимостью сохранить
качество продукта при его термической обработке, а при произ-
водстве маргарина, растительных масел и жиров обуславливается
ж условиями работы ТА в составе технологической линии. Поэтому
в ТА пищевых производств обычно реализуется ламинарный или
ереходный режим течения при числах Рейнольдса Re « 600—3000.
Именно в этом диапазоне чисел Рейнольдса витые трубы характе-
ризуются наибольшей эффективностью по сравнению с другими
теплопередающими поверхностями, что подтверждается сравни-
тельным анализом при помощи метода эффективных параметров
|1_2.22, 1.2.24].
Для сопоставления теплогидравлической эффективности пуч-
ов витых труб с пучками гладких круглых труб и круглых труб с
вальцевой накаткой и другими поверхностями был разработан ме-
тод эффективных параметров, согласно которому определялись за-
висимости эффективного числа Нуссельта Nueff от эффективного
числа Рейнольдса КееЯдля каждого из рассматриваемых видов тече-
ния (рис. 1.86). Метод эффективных параметров основан на сравне-
нии площадей теплопередающих поверхностей в теплообменниках,
рассчитанных на равные значения основных рабочих параметров:
тепловой мощности Q = idem', мощности на прокачку теплоносителя
М= idem; расхода теплоносителя G = idem [1.2.23].
Вас. 1.86. Сравнение эффективности пучков витых, круглых и накатанных труб:
«12- витые трубы с Fr = 64 и 232 соответственно; 3 — круглые трубы; б: 1 —
вне трубы, 2 — круглые трубы; 3 — накатанные трубы
98
Глава 1
При этом эффективные числа Рейнольдса и Нуссельта вводятся в
виде:
1
4 Nu <£„
(1.2.6)
Nue//=Nu——,
^eq
(1.2.7)
где р — произвольная постоянная с размерностью длины, которую
удобно выбрать равной 1 м. Выражения (1.2.6) и (1.2.7) позволяют срав-
нивать теплогидравлическую эффективность теплопередающих по-
верхностей на основе зависимостей Nue// от Ree//, которые можно
получить в результате обработки экспериментальных данных, пред-
ставленных в произвольной форме Nu = Nu(Re), = ^( Re). Тогда ра-
венство эффективных чисел Рейнольдса будет означать равенство
основных рабочих параметров (G, Q, N — idem), а отношение эффек-
тивных чисел Нуссельта будет обратно пропорционально отноше-
нию площадей теплопередающих поверхностей. Чем выше значение
эффективного числа Нуссельта при заданном значении эффективно-
го числа Рейнольдса, тем выше теплогидравлическая эффективность
рассматриваемой теплопередающей поверхности.
Как видно из рис. 1.86, в области малых чисел Ree//(Ree/f< 5-Ю4),
соответствующей области малых Re, пучки витых труб характери-
зуются большей теплогидравлической эффективностью по сравне-
Рис. 1.87. Влияние закрутки потока на теп-
логидравлическую эффективность при тече-
нии внутри витых труб: 1 — 3 — витые трубы с
s/d = 6,2, 8,2 и 12,2; 4 — круглая труба
нию с гладкими круглыми
трубами и круглыми тру-
бами с накаткой. При этом,
чем больше закрутка пото-
ка (чем меньше шаг закрут-
ки труб s/d и число Frm), тем
больше теплогидравличе-
ская эффективность пучка
витых труб. Оценка тепло-
гидравлической эффектив-
ности при течении внутри
витых труб с использова-
нием зависимостей (1.2.6) и
(1.2.7) показала, что эффек-
тивность витых труб также
выше, чем эффективность
круглых труб (рис. 1.87).
Глава /
99
Эффективность поверхности с искусственной турбулизацией по-
тока оценивалась также отношением между ростом коэффициен-
тов теплоотдачи (Nu/NurA) и ростом гидравлического сопротивления
(1/^.J, т.е. параметром эффективности ц = (Nu/Nu^/^/^J. Если
т] < 1, то объем и масса ТА уменьшаются за счет сокращения его дли-
ны с увеличением числа труб и поперечного сечения пучка. При ц > 1,
объем и масса ТА уменьшаются за счет сокращения длины, числа
труб и поперечного сечения пучка. Метод, обеспечивающий условие
Л > 1, особенно эффективен. На рис. 1.88 видно, что для гладкой витой
трубы с s/d = 6,2 и круглой трубы с винтовой накаткой (s/d = 1,31) во
всем интервале чисел Re параметр ц > 1, а в круглой трубе с кольце-
вой накаткой, пучках витых труб и в витых трубах с накаткой пара-
метр т| > 1 только в ограниченных интервалах чисел Re.
«МЧЖл а
2	3	4	6	8	10 ReTp10~3 0,04	0,06	0,08	0,1	Ree„105
₽Вс 1.88. Сравнение теплогидравлической эффективности теплопередающих по-
верхностей: а: 1—6 — зависимости отношений Nu/NurA от Re^ для витых труб:
емдкой, с винтовой и кольцевой накаткой, пучка гладких витых труб, круглых
1руб с винтовой и кольцевой накаткой соответственно; 7 — 12 — зависимости от-
жжпений (£/£гл) от Re^ для тех же труб соответственно; б: 1 — 6 — зависимости
>fin^/f(Reeff) для гладкой витой трубы, витой трубы с винтовой накаткой, витой
хртоы с кольцевой накаткой, гладкой круглой трубы, круглой трубы с винтовой
мягкой и круглой трубы с кольцевой накаткой соответственно
Сравнение эффективности исследованных теплопередающих по-
верхностей с интенсификацией теплообмена методом эффективных
араметров позволяет установить области течения по числам Re, где
наблюдается преимущество одной теплопередающей поверхности
ад другой при использовании различных методов интенсификации
тепло- и массообмена [1.2.22, 1.2.24].
100
Глава 1
Список литературы
1.2.1.	Ибрагимов М.Х., Номофилов Е.В., Субботин В.И. Теплоотдача и гид-
равлическое сопротивление при винтовом движении жидкости в трубе//
Теплоэнергетика. 1961. № 7. С. 57.
1.2.2.	КаменьщиковФ.Т., Решетов В. А., Рябов А. А., ПоляковВ.К., Емелья-
нов А.И. Вопросы механики вращающихся потоков и интенсификация
теплообмена в ЯЭУ. М.: Энергоатомиздат, 1984.
1.2.3.	Мигай В.К. Повышение эффективности современных теплообменников.
Л.: Энергия, 1980.
1.2.4.	Kuzma-Kichta Yu.A. Coiled tube (flow and pressure drop and heat transfer
in)//lntern. Encyclopedia Heat and Mass Transfer. New York: CRS Press.
1997. P. 167-170.
1.2.5.	Ашмантас Л.-В.А., Дзюбенко Б.В. Проблемы теплообмена и гидроди-
намики в ядерных энергодвигательных установках космических аппара-
тов. Вильнюс: Pradai, 1997.
1.2.6.	Дзюбенко Б.В. и др. Энергетические спектры турбулентности в теп-
лообменнике с закруткой потока//Изв. АН СССР. Энергетика и транс-
порт. 1983. №4. С. 125-133.
1.2.7.	Дзюбенко Б.В. и др. Нестационарное перемешивание теплоносителя в
теплообменнике с витыми трубами//Там же. № 3. С. 125-133.
1.2.8.	Дзюбенко Б.В. Теплообмен на начальном участке в теплообменнике с
закруткой потока//ИФЖ. 1982. Т. 42, № 2. С. 230-235.
1.2.9.	Дзюбенко Б.В. Гидравлическое сопротивление в теплообменнике с за-
круткой потока//Там же. 1983. Т. 44, № 3. С. 357-362.
1.2.10.	Дзюбенко Б.В. Влияние различных факторов на коэффициент гидрав-
лического сопротивления в теплообменнике с закруткой потока//Меж-
вуз. сб. науч, трудов «Современные проблемы гидродинамики и тепло-
обмена в элементах энергетических установок и криогенной технике».
М.: ВЗМИ, 1982. Вып. II. С. 70-77.
1.2.11.	Дзюбенко Б.В., Ашмантас Л.-В.А. Тепломассообмен в пучках ореб-
ренных стержней//ИФЖ. 1984. Т. 47, № 3. С. 357-363.
1.2.12.	Дзюбенко Б.В. и др. Перемешивание теплоносителя в теплообменнике
с закруткой потока/Дам же. 1981. Т. 40. № 5. С. 773-779.
1.2.13.	Дзюбенко Б.В. и др. Межканальное перемешивание теплоносителя в
пучке витых труб/Дам же. 1983. Т. 45, № 1. С. 26-31.
1.2.14.	А.с. 761820 СССР. Дзюбенко Б.В., Вилемас Ю.В. Кожухотрубный теп-
лообменник//БИ. 1980. № 33. С. 194.
1.2.15.	А.с. 840662 СССР. Дзюбенко Б.В., Дрейцер Г.А., Вилемас Ю.В. и др.
Кожухотрубный теплообменник/Дам же. 1981. № 23. С. 178.
1.2.16.	А.с. 937954 СССР. Дзюбенко Б.В., Вилемас Ю.В., Варшкявичюс Р.Р.,
Дрейцер Г.А. Кожухотрубный теплообменник/Дам же. 1982. № 23. С. 189.
1.2.17.	Данилов Ю.И., ДзюбенкоБ.В., ДрейцерГ.А., АшмантасЛ.-В.А. Теп-
лообмен и гидродинамика в каналах сложной формы. М.: Машинострое-
ние, 1986.
1.2.18.	Дзюбенко Б.В., Дрейцер Г. А, Ашмантас Л.-В.А. Нестационарный теп-
ломассообмен в пучках витых труб. М.: Машиностроение, 1988.
Яша J
101
1L2-19. Вилемас Ю.В., Дзюбенко Б.В. и др. Интенсификация теплообмена.
Успехи теплопередачи. Ч. 2. Вильнюс: Мокслас, 1988.
1-2.20. Дзюбенко Б.В., Ашмантас Л.-В.А., Сегаль М.Д. Моделирование ста-
ционарных и переходных теплогидравлических процессов в каналах
сложной формы. Вильнюс: Исток, 1994.
1-2^1. Дзюбенко Б.В., Сакалаускас А.В., Ашмантас Л.-В.А., Сегаль М.Д.
Турбулентное течение и теплообмен в каналах энергетических устано-
вок. Вильнюс: Исток, 1995.
1-2.22. Ашмантас Л.-В.А., Дзюбенко Б.В. Проблемы теплообмена и гидроди-
намики в ядерных энергодвигательных установках космических аппара-
тов. Вильнюс: Исток, 1997.
1-2-23. Федик И.И. и др. Обобщение опыта реакторной отработки стержневых
карбидныхтвэлов ЯРД и ЯЭДУ на стендовом комплексе «Байкал-1» и раз-
вития прикладных технологий//Сб. докл. 5-й отраслевой конф. «Ядерная
энергетика в космосе». Подольск, 1999. С. 49-60.
1-2.24. Дрейцер Г.А., Дзюбенко Б.В., Якименко Р.И. Интенсификация теп-
лообмена и анализ методов сравнения теплогидравлической эффектив-
ности теплопередающих поверхностей//Тр. 2-й Рос. нац. конф, по тепло-
обмену. М.: МЭИ, 1998. Т. 6. С. 99-102.
1-3. КОЛЕБАНИЯ ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА ФАЗ
Существующие зависимости для расчета теплоотдачи при пле-
ночном кипении на горизонтальном цилиндре [1.3.1; 1.3.2] получены
в предположении, что тепло передается теплопроводностью через
ленку пара, толщина которой во времени не меняется. Однако это
допущение не соответствует имеющимся данным.
Методика лазерного зондирования процесса кипения
Впервые колебания границы раздела фаз при пленочном кипении
фреона-113 на горизонтальном цилиндре в окрестности нижней об-
разующей были зафиксированы
вработе [1.3.3]. Согласно разрабо-
танной в ней методике (рис. 1.89),
пучок лазерного излучения на-
правляется близ горизонталь-
ной трубки, которая нагрева-
ется за счет пропускания через
её переменного электрическо-
го тока. Перемещение трубки в
горизонтальном и вертикальном
вправлениях осуществлялось
с помощью микрометрического
Рис. 1.89. Схема измерения колебаний
толщины паровой пленки при пленоч-
ном кипении
102
Глава 1
устройства. После прохождения пучка излучения вблизи рабочего
участка, на котором устанавливается пленочное или пузырьковое
кипение, его интенсивность изменялась, что фиксировалось с помо-
щью фотоприемника.
Пленочное кипение. Толщина паровой пленки
На рис. 1.90 представлено изменение толщины паровой пленки
при пленочном кипении фреона-113 в большем объеме при атмосфер-
ном давлении на горизонтальном цилиндре в окрестности нижней
образующей [1.3.4]. Как установлено, колебания толщины паровой
пленки в окрестности нижней образующей цилиндра при пленоч-
ном кипении жидкости представляют собой случайный гауссовский
процесс.
В 1982 г. на Международной конференции по теплообмену был
представлен доклад Тода и Мори [1.3.5], исследовавших колебания
толщины паровой пленки при пленочном кипении воды на сфере
и проволоке. Тода и Мори воспроизвели разработанную методику
лазерного зондирования [1.3.4] и подтвердили полученные законо-
мерности колебаний толщины паровой пленки при пленочном ки-
пении.
В работе [1.3.6] впервые при квазистационарном пленочном кипе-
нии получены взаимные спектры колебаний толщины паровой плен-
ки и давления. Обнаружено, что наибольшая корреляция наблюда-
ется в диапазоне 0,5—2 кГц. С ростом недогрева жидкости пик на
взаимном спектре смещается в сторону низких частот.
В работе [1.3.7] колебания толщины паровой пленки учтены при
моделировании пленочного кипения. Согласно модели, предполага-
лось, что толщина паровой пленки меняется во времени по синусои-
дальному закону, и рассчитаны локальная плотность теплового пото-
ка, средняя толщина паровой пленки, а также амплитуда колебаний
границы раздела фаз.
5, мм
0,05	0,10	0,15 т, с
Рис. 1.90. Колебание тол-
щины паровой пленки в
окрестности нижней обра-
зующей трубки d = 2 мм
[1.3.4]
Глава I
103
Пузырьковое кипение. Колебания парового пузыря
В кипении фундаментальным вопросом является взаимосвязь
между теплопередачей и образованием пузырей. В работе [1.3.8] для ис-
следования колебаний парового пузыря, растущего на стенке, усовер-
шенствована методика [1.3.3]. Пучок излучения вырезается диафраг-
мой, имеющей характерный размер, превышающий диаметр парового
пузыря (рис. 1.91).
Рис. 1.91. Схема исследования колебаний парового пузыря при его росте на стен-
е (а); сигнал фотоприемника в опыте (б); калибровочная кривая (в)
Возникновение пузырей влияет на теплообмен при кипении через
образование и испарение в основании пузыря микро- и макрослоя,
испарение и конденса-
цию на поверхности пу-
зыря и теплообмен, вы-
званный конвекцией,
возникающей вблизи
ншреваемой поверх-
ности. Поэтому законо-
мерен интерес к изуче-
нию динамики паровых
пузырей при кипении.
J^hthtto по динамике
врового пузыря, рас-
тущего на стенке, пред-
ставлены в работе [1.3.8]
IRC. 1.92).
R, мм
Рис. 1.92. Колебания растущего парового пузыря:
Р = 0,1 МПа, вода, ДТ = 9,2 К
104
Глава 1
М. Шоджи и др. [1.3.9] изучали движение жидкости, вызванное
растущим паровым пузырем, используя анемометр с горячей прово-
локой, расположенной вблизи поверхности нагрева. Рабочим учас-
тком являлся нагреватель в виде диска диаметром 2 мм. Экспери-
менты проводились при кипении воды в состоянии насыщения при
атмосферном давлении. По данным измерений вычислялись спектр
Фурье и показатель Ляпунова. Как выяснилось, показатель Ляпу-
нова всегда получался положительным. Этот результат совместно с
широкополосными энергетическими спектрами показывал, что об-
разование парового пузыря является хаотическим процессом.
В работе [1.3.10] был использован комбинированный оптико-акус-
тический метод исследования динамики паровых пузырей при кипе-
нии жидкого гелия. Были получены фотографии растущего парового
пузыря на поверхности нагревателя (рис. 1.93) и зарегистрированы
колебания давления в жидкости с большой амплитудой, вызванные
его ростом и схлопыванием. Давление в опытах соответствовало тем-
пературе насыщения 1,9 К для гелия-2.
Также построены аттракторы (рис. 1.94) по измеренным флук-
туациям давления в жидкости и вычислены значения показателей
Ляпунова [1.3.10]. Максимальный и средний показатели оказались
положительными величинами, что свидетельствует о хаотической
природе колебаний давления в жидкости, вызванных ростом и ос-
цилляциями единичного парового пузыря.
Колебания давления наблюдаются в широкой полосе частот (от 2
до 300 Гц) со степенным законом спада интенсивности по спектру.
Указано, что колебания растущих и схлопывающихся паровых пузы-
рей сопровождаются значительными механическими вибрациями и
слышимым шумом. Причины подобных колебаний, однако, в работе
не указаны.
Рис. 1.93. Рост (а) и схлопывание (б) парового пузыря гелия-2
Жидкий Не-2
Паровой
пузырь
Поверхность
нагрева
Глава I
105
Рис. 1.94. Аттрактор, построенный по экспериментальным данным для
флуктуаций давления и его проекции на плоскости фазового пространства
При исследовании кипения воды с недогревом при давлении на-
сыщения 40 кПа комбинированным методом [1.3.11] с помощью гид-
рофонов были получены данные по колебаниям давления, вызван-
ным ростом единичного парового пузыря, при недогревах от 5 до 20К.
Одновременно использовалась скоростная киносъемка для измере-
ния радиуса единичного парового пузыря в зависимости от времени.
Эти данные приведены на рис. 1.95. Частоты колебаний, приведен-
ные в работе [1.3.11], согласуются с данными работы [1.3.8].
В работе [1.3.12] был использован теневой фотографический ме-
тод для исследования кипения метанола при атмосферном давлении
с недогревом. Показано, что при недогревах жидкости около 20К на
поверхности парового пузыря в определенный момент его роста на-
блюдается выброс тепла в виде струи в окружающую жидкость, а
граница раздела фаз испытывает колебания.
Связь процессов, происходящих на поверхности кипения, меж-
ду собой, а также их связь с динамикой паровых пузырей была ис-
Вк_ 1.95. Радиус парово-
го пузыря и соответству-
гонжй ему сигнал гидро-
Радиус пузыря, мм
106
Глава 1
следована с помощью методов нелинейного и хаотического анализа.
Характеристики паровых пузырей, растущие на искусственной впа-
дине, регистрировались высокоскоростной видеокамерой, а с помо-
щью термопар было проведено измерение флуктуаций средней тем-
пературы центра парообразования. Результаты представлены в виде
аттракторов для измеренных флуктуаций температуры (рис. 1.96)
[1.3.12], q = 26 кВт/м2, временная задержка 0,023 с.
Рис. 1.96. Трехмерные аттракторы для флуктуаций температуры центра
парообразования
Изображение а на рисунке иллюстрирует отношение расстоя-
ния между двумя соседними искусственными центрами парообра-
зования к отрывному диаметру парового пузыря, равному 0,3; б, в,
г —соответственно, 0,75, 1,2 и 1,75. Таким образом, процессы теплопе-
редачи, происходящие в поверхности кипения, а также гидродина-
мическое и тепловое взаимодействие между пузырями и поверхнос-
тью и между самими пузырями нельзя рассматривать в отрыве друг
от друга. Связь микропроцессов в кипении является нелинейной, и в
столь сложной системе с многочисленными внутренними связями с
большой степенью вероятности можно ожидать наступление хаоса
[1.3.13, 1.3.14].
Глава 1
107
Список литературы
1.3.1.	Кутателадзе С.С. Теплоотдача при конденсации и кипении. М., 1949.
1.3.2.	Bromley L.A. Heat transfer in stablefilm boiling//Chem. Eng. Progr. 1950.
V. 46, p. 221.
1.3.3.	Ковалев C.A., Жуков B.M., Кузма-Кичта Ю.А. Методика исследова-
ния колебаний границы раздела фаз при плёночном кипении жидкости с
помощью оптического квантового генератора//ИФЖ. 1973. Т. 25. №. 1.
1.3.4.	Petukhov B.S., Kovalev S.A., Zhukov V.M., Kuzma-Kichta Yu.A.
Investigation of the mechanism of heattrasfer upon film boiling of liquid//Proc.
5th Int. Heat Transfer Conf. Tokyo. 1974. N 4. P. 96.
1.3.5.	Toda S., Mori M. Proc. 7th Int. Heat Transfer Conf. Munich. 1982. P. 173-
176.
1-3.6. Кузма-Кичта Ю.А., Молошников A.C., Нигматулин Б.И. и др. Иссле-
дования колебаний границы раздела фаз при пленочном кипении. 1-я
часть//ТВТ. 1994. Т. 32. № 2. С. 255-260.
1-3.7. Кузма-Кичта Ю.А., Молошников А.С., Нигматулин Б.И. и др. Иссле-
дования колебаний границы раздела фаз при пленочном кипении. 2-я
часть//Там же. 1995. Т. 33. № 2. С. 273-278.
1.3.8.	Кузма-Кичта Ю.А., Зудин Ю.Б., Бакунин В.Г., Устинов А.А. и др.
Исследование колебания границы раздела фаз с помощью лазерной
диагностики/XII школа-семинар молодых ученых и специалистов под
руководством акад. РАН А.И. Леонтьева «Проблемы газодинамики и теп-
ломассообмена в энергетических установках». М., 25-28 мая 1999.
1.3.9.	Masahiro Shoji, Yuto Takagi. Bubbling features from a single artificial
cavity//lnt. J. Heat and Mass Transfer. 2001. N 44.
13-10. Zhang P., Murakami M-, Wang R.Z. Investigation of chaotic pressure
fluctuations induced by the vapor bubble oscillations in the film boiling of
superfluid helium//Heat and Mass Transfer. 2003. V. 39. P. 477-482.
13.11.	Schroeder J.J., Bode A. Pressure Pulse Generation by Single Bubbles in
Subcooled Pool Boiling/ Boiling-2000 Phenomena & Emerging applications
Conf., Anchorage, Alaska, 2000, April 30-May 5. V. 1. P. 81-99.
13-12. Boming Yu., Ping Cheng. A fractal model for Nucleate Pool Boiling Heat
Transfer/J. Heat Transfer. Dec. 2002. V. 124.
13-13. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. М.: Мир, 1988. 240 с.
13.14. Устинов А.А. Исследования колебаний границы раздела фаз при кипе-
нии. Дис. канд. техн. наук. М.: Моск, энерг. ин-т. 2005.
Глава 2
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ МЕТОЛЫ ИССЛЕЛОВАНИЯ
ИНТЕНСИФИКАЦИИ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА
2.1. ПУЧКИ ВИТЫХ ТВЭЛОВ И ТРУБ
Метод интенсификации тепло- и массообмена путем закрут-
ки потока в каналах сложной формы, образованных пучками ви-
тых тепловыделяющих элементов (твэлов), первоначально полу-
чил применение в конструкциях тепловыделяющих сборок (ТВС)
ядерного ракетного двигателя (ЯРД) [2.1.1]. В каналах, образован-
ных пучками витых твэлов и труб овальной формы наблюдается
сложное пространственное течение теплоносителя с закруткой
потока. Поэтому возникла задача исследования турбулентной
структуры потока в пучках витых труб и твэлов и разработки ма-
тематической модели течения, описываемой системой уравне-
ний, поддающейся численному решению, а также методов расче-
та стационарных и нестационарных теплогидравлических задач.
В разработанной модели течения гомогенизированной среды
[2.1.1—2.1.4] течение в реальном пучке витых стержней замене-
но потоком двухфазной среды с неподвижной твердой фазой, в
котором источники объемного тепловыделения qv и гидравличе-
ского сопротивления %pu2/2deq распределены по определенному за-
кону (% — коэффициент гидравлического сопротивления). Эффект
гомогенизации учитывается введением в уравнение энергии мно-
жителя (1—е)/е, где £ — пористость пучка по теплоносителю, опре-
деляемая с учетом толщины вытеснения пограничного слоя. Прини-
мается, что вектор скорости потока параллелен оси пучка, градиент
давления в поперечном сечении пучка равен нулю, а диффузион-
ные члены в уравнениях энергии и движения учитывают влияние
различных механизмов переноса в пучке витых твэлов или труб.
При этом система уравнений теплообмена и гидродинамики, опи-
сывающая стационарное в среднем течение гомогенизированной
среды имеет вид:
_£_Э_|\ эД
+ г2Э(р( ett Э<р?
ЭТ 1-е	1 Э < _ ЭТА
РисРЧ~ =---
и Эх	8	г ЭД Эг)
(2.1.1)
Глава 2
109
др 1 Э (	ди] 1 д (	ЭиЛ е ри2
r = T+“r rf'v="r +“r PVetfX- -<
дх дх гдг\	дг J г оф<	Эф J 2deq
2л
G = 8 J J purdztftp,
о о
(2.1.2)
(2.1.3)
р = pRT.
Граничные условия задачи:
u(r,ф,0) = ивх(г,ф); Т(г,ф,0) = Твх(г,ф); р(0) = рвх,
и(г,ф,х) = и(г,ф 4- 2тс,х); Т(г,ф,х) = Т(г,ф 4- 2п,х).
(2.1.4)
(2.1.5)
(2.1.6)
(2-1.7)
Задача (2.1.1) —(2.1.4) с граничными условиями (2.1.5)—(2.1.7) ре-
шалась численными методами (методом установления и методом
матричной факторизации) [2.1.3, 2.1.4].
Система уравнений, описывающая турбулентное течение в пуч-
ках витых твэлов с учетом влияния межканального перемешивания
теплоносителя и эффектов нестационарности на поля температур
теплоносителя и витых твэлов (твердой фазы) при использовании
двухтемпературной модели течения гомогенизированной среды в
предположении, что возмущения параметров, определяющих про-
цесс течения невелики, а их длительность значительно превосходит
время распространения звуковой волны по длине пучка, для неста-
ционарной осесимметричной задачи имеет вид [2.1.1, 2.1.3—2.1.14]:
dTs
4СС8
(Ts -т)
1 д(.
+ — — fk,
г дг\ ‘
‘sr
дТЛ д	дТЛ
dr ) Эх< дх J
(2.1.8)
дТ	дТ 4а z	. Эр 1 Э ( .
рс₽3-+рисрТ- = 7~(^"Т) + Т"+~ЗГ гХ<
Эт	дх dPrT	' Эт г ЭН
эт
eff дг
Э ( дТ}
(2.1.9)
ди др е pu2 1 Э .
3	+ prVeffТ"
дх дх 2dpn г дг\ дг
Эи^
э7;’
гк
G(t) - 2я J Epurdr,
о
(2.1.10)
(2.1.11)
р = pRT.	(2.1.12)
Система уравнений (2.1.8—2.1.12) позволяет рассчитать поля тем-
ератур при нестационарных теплогидравлических процессах как
в моделях пучков витых труб (стержней) при их нагреве электриче-
ским током, так и в ТВС с витыми твэлами при математическом мо-
110
Глава 2
делировании переходных процессов в гетерогенном ядерном реакто-
ре, который в этом случае заменяется на эквивалентный гомогенный
реактор, к которому затем применяется диффузионная теория. К
этой системе уравнений присоединяются уравнения, описывающие
кинетику реактора с учетом запаздывающих нейтронов и обратных
связей по температурному и плотностному эффектам реактивности.
Граничные условия задачи:
х = 0:
и = ивх(г-т)- Р = РвхМ- т = ГвхМ, Ts = Tsbx(t,t),
Г = 0:
=()
Эг г=0
(2.1.13)
(2.1.14)
ЭТд(г,х,т)
ЭТ(г,х,т)
ЭТ5(г,х,т) =() ЭТ(г,х,т)
Эх Х=1	' Эх
ди(г'х^ =0,	(2.1.15)
дг г=гк
(2.1.16)
При т = 0 распределения температур Ts(r,x) и Т(г,х) являются за-
данными. Задача (2.1.8) —(2.1.12) с граничными условиями (2.1.13) —
(2.1.16) решалась в два этапа: решение уравнений теплообмена и сов-
местное решение уравнений движения и неразрывности, которые
затем увязывались через уравнение состояния и итерационные цик-
лы. Уравнения теплопроводности и энергии решались методом пере-
менных направлений при записи численных аналогов уравнений по
неявной схеме и использовании метода прогонки. Уравнения газовой
динамики решались методом прогонки с помощью подстановки Си-
муни. Сходимость процесса контролировалась по температуре теп-
лоносителя.
Эффективные коэффициенты турбулентной теплопроводности
Хе//и вязкости ve/f входящие в уравнения энергии (2.1.1), (2.1.9) и дви-
жения (2.1.2), (2.1.10) и используемые для замыкания систем уравне-
ний (2.1.1) —(2.1.4) и (2.1.8), (2.1.12), определялись для стационарного
течения и для каждого из рассматриваемых типов нестационарнос-
ти. При этом предполагали, что турбулентные числа Прандтля и Лью- >
иса равны единице, т.е. Pr/J; = pveffcp/Xe{{ = 1, Lem = pDef{cp/\ff = 1. ,
а опытные значения безразмерного эффективного коэффициента i
Глава 2
111
турбулентной диффузии К = Deff/udeq. Тогда искомые значения ко-
эффициентов ХеЯ и veff в каждый момент времени и для каждой точки
потока определялись по зависимостям Xeff — Kpucpdeq, veff = Kudeq.
Коэффициент К описывает переносные свойства турбулентного по-
тока во времени, но является неизменным для всей области течения в
фиксированный момент времени т, а параметры р, и и ср зависят как
от времени, так и от пространственного положения расчетной ячей-
ки. При этом предполагается, что в каждый фиксированный момент
времени коэффициенты переноса Л(>я и veff зависят от производных
некоторых эффективных средних значений температур и скоростей
в потоке с закруткой потока, где существенна диффузия турбулент-
ности и ее конвективный перенос осуществляется со средней скоро-
стью потока. Этот метод замыкания системы исходных уравнений с
помощью экспериментально определяемых коэффициентов X /f и veffl
основанный на использовании гипотезы о локальном подобии и фор-
мально-математическом подходе, был обоснован экспериментально.
При стационарных режимах безразмерный эффективный ко-
эффициент турбулентной диффузии в пучках витых стержней яв-
ляется функцией критериев подобия, характеризующих особен-
ности течения в ТВС Kqs = K(Frjn,Re,£), где критерий Frm = s2/ddeq
характеризует действие закрутки потока на его переносные свойст-
ва; Re = umde(p/p — критерий Рейнольдса, который при Re > 8403
фактически не влияет на коэффициент Kqs; £ — пористость пучка по
теплоносителю. В случае нестационарного протекания теплогидрав-
лических процессов в пучке витых твэлов эффективный коэффици-
ент турбулентной диффузии Кип зависит также от критерия Фурье
Р°Ь = V ^pPtX ) и безразмерного параметра G2/Gv представля-
ющего собой отношение расхода теплоносителя после внесения воз-
мущения G2 к первоначальному расходу теплоносителя Gr через пу-
чок стержней: Кип = К(Ргет, Fob, Re, G2/Gp£). При обобщении опытных
данных по коэффициенту Кип использовался относительный коэф-
фициент перемешивания к = Kun/Kqs = f(Fob, G2/Gp Frm).
Задачи эксперимента для метода интенсификации тепло- и мас-
«ообмена путем закрутки потока витыми твэлами или трубами были
сформулированы следующим образом:
—	экспериментальное обоснование модели течения гомогенизи-
рованной среды, ее математического описания и методов расчета пу-
мм сопоставления теоретически рассчитанных и экспериментально
жямеренных полей температур и скоростей теплоносителя и иссле-
дования структуры потока;
—	получение замыкающих экспериментальных зависимостей
в критериальной форме для расчета коэффициентов теплоотдачи,
112
Глава 2
гидравлического сопротивления и эффективного коэффициента
турбулентной диффузии, а также определение областей изменения
режимных и геометрических параметров, где обеспечивается мак-
симальная эффективность от применения метода интенсификации
тепло- и массообмена путем закрутки потока в пучках витых твэлов
и труб овального профиля;
—	комплексные испытания пучков витых твэлов на электромо-
делирующих установках при моделировании неравномерного поля
тепловыделения в поперечном сечении пучка;
—	натурные петлевые реакторные испытания пучков витых
стержневых твэлов при нагреве водорода до максимально возмож-
ных температур;
—	испытания натурных ТВС с витыми твэлами ЯРД в составе кон-
кретных изделий [2.1.15, 2.1.16].
Методы теплогидравлического расчета тепловыделяющих
сборок с витыми твэлами
В настоящее время в качестве одного из вариантов энергодвига-
тельного обеспечения марсианской экспедиции в XXI веке может
рассматриваться ядерная энергодвигательная установка (ЯЭДУ) с
твердофазным ядерным реактором [2.1.17]. Этот гетерогенный га-
зоохлаждаемый реактор содержит высокотемпературные тепло-
выделяющие сборки (ТВС) с пучками витых твэлов двухлопастного
профиля и замедлитель из гидрида циркония, в котором размеща-
ются с определенным шагом эти ТВС. ЯЭДУ работает по определен-
ной циклограмме то на двигательном, то на энергетическом режиме
при изменении тепловой мощности реактора и расхода теплоносите-
ля — водорода на несколько порядков. При этом число Рейнольдса из-
меняется также в широком диапазоне, охватывающем переходную и
турбулентную области течения.
Особенности газодинамики и теплообмена в пучках витых твэлов
или труб связаны с особенностями трехмерного закрученного по-
тока, формируемого этими пучками. Прежде всего, закрутка пото-
ка при продольном обтекании таких пучков существенно расширяет
область ядра потока с примерно одинаковой скоростью и образует
тонкий пристенный слой, где составляющие осредненной скорости
изменяются от нуля на стенке до максимального значения на внеш-
ней границе пограничного слоя. При этом интенсифицируются про-
цессы тепломассообмена также и за счет обмена порциями жидкости
между пристенным слоем и ядром потока, вызванного распределени-
ем составляющих скорости в поперечном сечении канала, образован-
Глава 2
113
ного пучком витых стержней или труб [2.1.18, 2.1.19]. Такой характер
течения позволил путем введения понятия средней толщины при-
стенного слоя в качестве определяющего размера обобщить данные
по теплообмену и гидравлическому сопротивлению в определенном
диапазоне изменения параметров для геометрически неподобных
мучков витых твэлов или труб, введя новый критерий подобия, учи-
тывающий интенсивность закрутки потока [2.1.4].
Наряду с таким представлением данных, в монографии рассмат-
ривается метод анализа и обобщения, основанный на использовании
в качестве определяющего размера эквивалентного диаметра пучка,
что позволяет наглядно продемонстрировать эффект интенсифика-
ции теплообмена по сравнению с теплообменом в круглых трубах.
Для определения характера перехода от ламинарного к турбулентно-
жу режиму течения в пучках витых стержней был исследован коэф-
фициент гидравлического сопротивления для стержней малого ди-
аметра различной формы, изготовленных из различных реакторных
материалов (графита, карбидов тугоплавких металлов и нержаве-
нцей стали). Данные этих исследований обобщаются с использова-
нием в качестве характерного размера средней толщины пристен-
ного слоя и эквивалентного диаметра, а также в форме многочленов
второго порядка в логарифмических координатах, что позволяет
обобщить опытные данные единой зависимостью для переходной и
турбулентной областей течения.
Концепция ЯЭДУ, которая может быть применена для пилотиру-
емого марсианского комплекса и при решении других транспортных
авдач в космосе, базируется на использовании отдельных модулей,
чмо повышает надежность установки, так как при неисправности мо-
држь может быть отделен от космического корабля. Каждый модуль
представляет собой самостоятельную двигательно-энергетическую
установку, в состав которой входят ядерный реактор и замкнутый
егур с турбомашинным циклом преобразования теплоты в элект-
рмескую энергию. Эта концепция является одной из перспектив-
кх концепций, поскольку в этом случае один ядерный реактор ис-
мжьзуется и для получения тяги и для выработки электроэнергии.
Цри работе на двигательном режиме максимальная температура во-
|ррода на выходе из реактора может достигать 2900...3100К, а макси-
ильная температура рабочего тела (смеси гелия и ксенона) перед
турбиной при работе на энергетическом режиме — 1200К.
Наиболее теплонапряженным элементом ЯЭДУ является высо-
втемпературный ядерный реактор, содержащий тепловыделяю-
е сборки с витыми твэлами, поэтому для обеспечения надежной
работы реактора и установки, которая должна эксплуатироваться в
114
Глава 2
космосе в течение нескольких лет, необходимо провести комплекс
детальных исследований теплообмена и гидродинамики, теплогид-
равлических и реакторных испытаний при стационарных и нестаци-
онарных режимах и разработать надежные методы теплогидравли-
ческого расчета ТВС и ядерного реактора.
При разработке ядерных реакторов для транспортных энергодви-
гательных установок, в том числе и космического назначения, возни-
кает необходимость в выборе наиболее эффективного метода интен-
сификации тепломассообмена, который учитывал бы особенности
работы высокотемпературного газоохлаждаемого ядерного реакто-
ра. Таким методом интенсификации тепломассообмена является ме-
тод интенсификации процессов турбулентного переноса тепла, мас-
сы и количества движения путем закрутки потока в каналах сложной
формы, образованных пучками витых тепловыделяющих элементов
(твэлов) различного профиля (овального, крестообразного и др.). При
продольном обтекании плотноупакованных пучков витых твэлов
возникают вихревые структуры, дополнительно турбулизирующие
поток, и конвективные течения в поперечном сечении пучка, кото-
рые существенно интенсифицируют межканальное перемешивание
теплоносителя и тепломассообмен.
Этот метод интенсификации позволяет создать компактный ядер-
ный реактор, в котором при эквивалентном гидравлическом диа-
метре пучка витых твэлов deq& 1... 2 мм и большом числе твэлов >151,
благодаря интенсивному межканальному поперечному перемешива-
нию теплоносителя, сводится к минимуму неблагоприятное влияние
допусков на геометрические размеры канала, присущее изолирован-
ным каналам с малыми диаметрами d = deq = 1... 2 мм и приводящее
к снижению средней выходной температуры теплоносителя на не-
сколько сот градусов. В то же время для космической ядерной энер-
годвигательной установки (ЯЭДУ) для полета к Марсу в 2011—2018 гг.,
чтобы обеспечить удельный импульс тяги на двигательном режиме
-9500 м/с, требуется нагреть теплоноситель (водород) до среднемас-
совой температуры на выходе из реактора -3000К.
В настоящее время такие выходные параметры ЯЭДУ можно
обеспечить только при использовании ядерных реакторов с виты-
ми стержневыми твэлами фасонного профиля, изготовленными из
твердого раствора карбидов урана, ниобия, циркония или тантала.
При этом одновременно обеспечивается безопасная работа ЯЭДУ на
различных режимах при ее многоразовых запусках. В ядерных ре-
акторах с витыми твэлами для частичного выравнивания неравно-
мерностей полей энерговыделения осуществляется также концент-
рационное профилирование загрузки урана-235 по радиусу и длине
Глава 2
115
ТВС, для чего твэлы делаются разрезными по длине. Витые твэлы
упираются торцами друг в друга и размещаются в теплоизолирован-
ной обойме с опорной (выходной) решеткой и системой выравнива-
ющих решеток на входе. Перед нагревными секциями (активной зо-
ной ТВС) размещаются элементы торцевого отражателя и радиаци-
онной защиты, малая пористость которых приводит к натеканию
потока теплоносителя на пучок твэлов в виде системы струй малого
диаметра (рис. 2.1).
Для теплогидравлического расчета ТВС с витыми стержневыми
твэлами может быть использовано одномерное описание течения
теплоносителя, если предположить, что поле энерговыделения по
радиусу и азимуту реактора и ТВС является равномерным. Этот теп-
логидравлический расчет ТВС по средним параметрам практически
равноценен модели течения в системе параллельных каналов, кото-
рые имеют диаметр, равный эквивалентному диаметру пучка — deq с
мгновенным выравниванием неравномерностей всех параметров по
радиусу и азимуту ТВС. Эта модель течения используется для сведе-
ния теплового баланса и баланса давлений на ТВС и реакторе, для оп-
ределения перепада давлений на длине ТВС и определения распреде-
ления давлений по ее длине при проведении теплового расчета ТВС и
гидравлического расчета ядерного реактора при его настройке с по-
мощью сменных шайб [2.1.17], а также для увязки схемы ЯЭДУ. Кроме
того, если путем радиального профилирования можно обеспечить
равномерное поле энерго-
ыделения по радиусу ТВС
^коэффициент неравномер-
ности Кт » 1,0) и получить
равномерное поле энерговы-
деления по радиусу реакто-
ра (коэффициент неравно-
мерности KR« 1,02...1,03), то
тогда можно ограничиться
теплогидравлическим рас-
четом по средним парамет-
рам при одномерном описа-
нии течения в ТВС [2.1.20].
Однако реальный прото-
чит гетерогенного реактора
•ЭДУ) с 3-зонным профи-
лированием U-235 по ра-
ЛМусу ТВС и с барабанной
«□темой регулирования
энерговыделения по длине ТВС: 1 — расчет
с учетом торцевых отражателей; 2 — за-
кон синуса (qVCD = smnx); 3 — эксперимент
[2.1.22]
116
Глава 2
имеет существенную неравномерность энерговыделения по радиусу
и азимуту ТВС и ядерного реактора [2.1.17]. Поэтому для определения
трехмерных полей температур теплоносителя и стенки твэлов разра-
ботан теплогидравлический расчет ТВС по локальным характерис-
тикам потока и энерговыделения [2.1.3, 2.1.19].
Разработанные методы теплогидравлического расчета ТВС с ви-
тыми твэлами по средним и локальным параметрам позволили оп-
ределить температурное состояние витых твэлов при испытании
модельных ТВС в исследовательском графитовом реакторе (ИГР)
и предельные уровни теплового потока, характеризующие термо-
прочность твэлов из карбидов тугоплавких металлов, и выполнить ва-
риантные расчеты ТВС ЯЭДУ с учетом межканального перемешивания
теплоносителя и эффектов нестационарности [2.1.3, 2.1.19, 2.1.21].
Метод теплогидравлического расчета тепловыделяющих
сборок с витыми твэлами по средним параметрам
Метод теплогидравлического расчета ТВС с витыми твэлами по
средним параметрам при одномерном описании течения позволяет
определить распределение среднемассовой температуры рабочего
тела и распределение давления по длине ТВС. При этом предполагает-
ся, что распределения загрузки урана-235 и относительного нейтрон-
ного потока по длине ТВС являются заданными [2.1.22] (см. рис. 2.1).
Тогда, разбивая активную зону ТВС по длине на i участков длиной
Дхг- (рис. 2.2) можно определить распределение относительного теп-
ловыделения по длине ТВС:
gv. = P'^fcP = 2L_ i = 1, 2,.п,	(2.1.17)
2L Pi Qvicp S
i=l	i=l
где Qvicp =fep/<7vmaxcP; Р/ “ загрузка урана-235 на z-м участке ТВС.
Расчет проводят методом итераций в два этапа. Сначала при рас-
чете не учитывают потери тепла через теплоизоляционную обойму
ТВС. Тогда для пучка твэлов с заданными геометрическими размера-
ми и формой твэлов можно определить интегральную толщину при-
стенного слоя [2.1.23]:
5 = 0,5deg (l+3,6Frm0'357)’4,	(2.1.18)
а зная температуру рабочего тела на входе в ТВС и на выходе из нее,
можно вычислить прирост энтальпии при нагреве газа в ТВС без уче-
та потерь тепла:
= 'вых^вх'	(2.1.19)
Глава 2
117
О-
СР
Рис. 2.2. Схема активной зоны ТВС с расчетными участками по ее длине: 1 — вы-
ходная решетка; 2 — витые твэлы; 3 — многослойная теплоизолирующая обойма;
4 — кольцевой канал системы наружного охлаждения ТВС; 5 — входная решетка;
6 — торцевой отражатель; 7 — радиационная защита; 8 — корпус ТВС; 9 — вход
рабочего тела; 10 — сопло
1де энтальпии /вых = ДТвых,рвых) и ZBX = f(TBX,pBX) определяют по гра-
фику на рис. 2.3; рвых — давление газа на выходе из ТВС, практи-
чески равное давлению газа перед соплом рк, является заданным;
Твых ~ Тк — температура газа перед соплом. Затем расчет проводят в
следующем порядке.	(
1.	Определяют: увеличение энтальпии газа на i-м участке
(2.1.20)
i=i
распределение энталь-
ии рабочего тела по дли-
яеТВС
+	(2-1.21)
1=1
 температуру Т- = Д/рР,-).
2.	Рассчитывают сред-
жий тепловой поток с твэ-
жж на i-м участке
GMj
ПобЛх,
(2.1.22)
цме Поб — обогреваемый
ериметр активной зоны
ТВС
Рис. 2.3. Зависимость энтальпии водорода с при-
садкой метана (0,5% мольных) от температуры и
давления
118
Глава 2
3.	Определяют среднюю температуру рабочего тела на i-м
участке
Гср,- =0,5(Ти + 7}).
4.	Задавая в первом приближении распределение температуры
стенки твэлов Tw;- по участкам, например Twi = доп, определяют
методом итераций температуру Twi, используя закон теплообмена в
пучке твэлов [2.1.23] в виде:
где	NuSml. = 0,020Re^ Pr°f,	(2.1.23) ReSm'=7?~'A'	(2L24) Nu. . = ^Prffi.L_	(2.1.25) 5mi (I .-Мн .
В формулах (2.1.23) —(2.1.25) в качестве определяющей температу-
ры используется средняя температура в пристенном слое на твэлах:
^ = 0-5(7;.+ Twi),
(2.1.26)
при которой определяют динамический коэффициент вязкости
= f(Tm;) (рис. 2.4) и число Prm. = Рг(ТП11). Напор энтальпий в при-
стенном слое на выходе из z-ro участка Iwi — L = AJcpi определяют ис-
пользуя уравнение (2.25), т.е.
Л Г =
с₽/ " Ыибпн.Ип„.
(2.1.27)
5.	Распределения энтальпий и температур стенки определяют по
формуле
^=Г/+Чр,-	(2.1.28}
Twi = fUwi'Pi> ~ по графику на рис. 2.3.
Рис. 2.4. Зависимость коэффициента вязко-
сти водорода с присадкой метана (0,5% моль-
ных) от температуры
Далее находят относи-
тельную ошибку при опре-
делении температуры стен-
КИ Twi
Т -Т'
т
л WI
которую сравнивают с за-
данной величиной е (на-
пример, принимается, что
£ = 10'4). При достижении
этой точности итерации
прекращают.
Глава 2
119
6.	Определяют коэффициенты теплоотдачи от газа к стенке теп-
лоизолирующей обоймы ТВС:
q — NUSmiHmi'A^cpi	^2 1 29)
ДТср,Ргт,8 
»еДГср. = Twi~ Ti’
а также потери тепла через теплоизоляцию на i-м участке ТВС:
г).=яАу1(А~Гохл1)	(2.1.30)
-^-+Е~7-1п-^-+-------—
7=1^7	^7	®охл1*^0
хде Тохл/ — температура теплоносителя в кольцевом канале системы
охлаждения ТВС; с?к — диаметр пучка твэлов (внутренний диаметр
обоймы); Л., (у = 1, 2,..., т) — коэффициент теплопроводностиу-го слоя
многослойной теплоизоляционной обоймы; аохл/ — коэффициент
теплоотдачи к потоку теплоносителя в рубашке охлаждения ТВС;
djg — наружный диаметр металлического корпуса ТВС (внутренний
диаметр кольцевого канала охлаждения ТВС). При этом наиболее це-
лесообразно для теплоизоляции использовать высокопористые мате-
риалы из карбидов тугоплавких металлов (карбоволокниты, пенокар-
биды, пирографиты и др.). Коэффициент вычисляют при средней
температуре по толщине каждого слоя j = 1, 2,..., т.
1. Определяют суммарные потери тепла через теплоизоляцию
п
ТВС: X Он и суммарную тепловую мощность ТВС:
1=1
п
Qz=G^ + ^Qni.	(2.1.31)
1=1
На втором этапе расчета ТВС по средним параметрам (при одно-
мерном описании течения) рассчитывают параметры рабочего тела с
учетом потерь тепла через теплоизоляционную обойму ТВС в следу-
хцем порядке:
— определяют напор энтальпии при условии, что температура пе-
ред реактивным соплом Тк = Твых:
ДАп=Ч +
Д/Е G
Ош.
G '
(2.1.32)
— рассчитывают энтальпию газа
i
Ап - Азх + S
1=1
(2.1.33)
120
Глава 2
и находят Т.п = f(/zn,pz);
— определяют распределение теплового потока по длине ТВС с
учетом потерь тепла
<7,„=-^-;	(2.1.34»
поДХг-
—	методом итерации уточняют температуру стенки Twin, исполь-
зуя выражения:
N1W. = 0,020Re^,n Pr°£,	(2.1.35J
„ G5	Т	(2.1.36)
"пИлгш	т ' ЛШ1П	
(2.1.37)!
NUgminMinm	j
= 0-5(Г1П + Twiny,	(2.1.38)
—	рассчитывают энтальпию рабочего тела при температуре на
стенке твэлов: Iwin = Iin + Д/ср-п и определяют по графику (см. рис. 2.3)
температуру Twin = f(Iwin,Pi).
Затем определяют относительную ошибку £ = (Twin — Twi)/ Twin, и
после достижения заданной точности £ = 10’4 полученная температу-
ра Twin стенки считается окончательной.
Для определения температуры на внутренней поверхности теп-
лоизоляционной обоймы расчет проводят в следующем порядке:
—	вычисляют плотность теплового потока на i-м участке:
9о(=<?п(/(П0Лх(),	(2.1.39)
где По = 7ido — периметр обоймы;
—	рассчитывают средний напор энтальпий на стенке обоймы:
АТ _Т _Т _ Яо1 РГдП $	(2.1.40)
MJoi •‘in 1woi NT	'
UgfljjnHnnn
где числа Nu5mzn и Re5mfn определяют по формулам (2.1.35) и (2.1.36)
при характерной температуре Tmoi = 0,5(Twoi + TJ;
—	определяют энтальпию рабочего тела при температуре стен-
ки обоймы: Iwoi = Iin — AIoi, а затем и температуру стенки обоймы
^woi ^woi’ Р^'
По предложенной методике была составлена программа расче-
та (рис. 2.5), которая состоит из массива начальных данных и собст-
венно программы счета. Массив начальных данных включает в себя:
расход рабочего тела — G, давление и температуру перед соплом рк
и Тк, диаметр твэла — d, площадь проходного сечения ТВС— S, шаг
закрутки твэлов — deq, периметр обоймы — По, длину z-ro участка —
Глава 2
121
Рис. 2.5. Блок-схема программы теплового расчета ТВС
при одномерном описании течения
122
Глава 2
тела по длине активной зоны ТВС при номи-
нальном двигательном режиме работы
Ах., значение Frm = s2/ddeqt
длину активной зоны ТВС-1,
температуру рабочего тела
на входе в ТВС — Твх, тем-
пературу газа в системе ох-
лаждения ТВС — Тохл, рас-
пределение давлений по
длине активной зоны ТВС
(рис. 2.6). Кроме того, зада-
ны распределения величины
Kt = pzgvicpl геометрические
характеристики входной и
выходной решеток и вход-
ных узлов ТВС и геомет-
рические характеристики
слоев теплоизоляционной
обоймы ТВС. Известны так-
же местные коэффициенты гидравлического сопротивления по про-
точному тракту ТВС и графики зависимости I = 1(Т,р) и ц = ц(Т) для
рабочего тела (см. рис. 2.3, 2.4).
Распределение температуры рабочего тела по длине ТВС, рас-
считанное по представленной методике теплового расчета (рис. 2.7),
является исходным для проведения гидравлического расчета ТВС
в предположении, что поток теплоносителя стационарный, а газ —
идеальный, т.е. применимо уравнение состояния в виде: р = pRT. Кро-
ме того, предполагается, что отбор и вдув газа по длине ТВС отсутст-
Рис. 2.7. Распределение среднемассовой тем-
пературы рабочего тела по длине активной
зоны ТВС: 1 — для расчетного распределения
qv; 2 — для закона синуса; 3 — для расчетно-
го распределения qv = const (х) и теплоемко-
сти ср = const(x)
вуют, т.е. ри = const, по-
скольку возможные протеч-
ки теплоносителя в высоко-
пористой волокнистой теп-
лоизоляции ТВС и в зазоре
между обоймой и металли-
ческим корпусом пренебре-
жимо малы. Принимается
также, что давление и тем-
пература газа по длине рас-
четного участка изменяются
линейно, а давление газа пе-
ред соплом равно давлению
на выходе из ТВС. Измене-
ние числа Re по длине ТВС
представлено на рис. 2.8.
Глава 2
123
Результаты теплогидрав-
лического расчета по из-
ложенной методике для
ТВС, работающей на 40%
мощности от номиналь-
ного режима, представле-
ны на рис. 2.9.
Расчет распределений
давлений по длине ТВС
проводится по тем же рас-
четным участкам (см. рис.
£2), что и при тепловом
Рис. 2.8. Распределение чисел Рейнольдса по
длине активной зоны ТВС: 1, 2 — при рп =
= 370 кг/(м2-с) и температурах Твх = 450 и 300К
соответственно; 3 — то же при ри = 148 кг/(м2-с)
и Твх = 300К
расчете, начиная с выход-
ного сечения ТВС (z = п),
методом итераций. В от-
личие от теплового рас-
чета гидравлический рас-
чет проводится не только для активной зоны ТВС, но и для выходных
я входных узлов ТВС (см. рис. 2.2). Поэтому для расчета потерь давле-
ния необходимо знать, наряду с коэффициентами гидравлического
сопротивления, характеризующими линейные гидравлические по-
тери, и коэффициенты местного сопротивления, которые учитыва-
®т резкое изменение сечения и формы канала. Эти коэффициенты
местных потерь могут быть взяты из соответствующих справочни-
ов при известных геометрических размерах элементов проточного
хракта ТВС или определены экспериментально при гидравлических
испытаниях натурных ТВС.
Рассмотрим методику расчета гидравлических потерь в ТВС при
известных коэффициентах гидравлического сопротивления. Тог-
зная параметры рабочего тела перед соплом (Тк, рк) и принимая
Вас. 2.9. Результаты теп-
аагадравлического рас-
чета при одномерном
течении водорода в ТВС
С витыми твэлами при
КМ = 148 кг/(м2-с)
124
Глава 2
рвыхр = Рк' опРеДелим перепад давления на выходной решетке в пер-
вом приближении
РТК
2р/
(2.1.41)
и давление на входе в решетку рвхр - рк + Др'.
Затем определим Др" во втором приближении
АРр ^вых р
vFnJp
RTK { G ] RTK
2Pbx p \ Jp Pk
RTK '
Рвхр ,
(2.1.42)
и давление pBX p = pK + App и т.д. до получения повторяющихся резуль-
татов. Определенное таким образом давление на входе в выходную
решетку ТВС рвх будет равно давлению на выходе из активной зоны
ТВС (из расчетного участка i = п согласно схеме на рис. 2.2). Расчет
перепада давления на каждом расчетном участке при известном дав-
лении на выходе из него (р2;) ведется также методом последователь-
ных приближений начиная с участка i = п (рис. 2.2). При этом:
— определяется перепад давления в первом приближении
Др;	А(Т Г ),	(2.1.43)
2p2i	Pli
давление на входе в z-й участок = p2i + и среднее давление
Рср;
Pli + Pli .
2	'
— определяется перепад давления во втором приближении
АР/=51
Дх/ G?RTcpf
^eqi V Ji 2рсрг-
р£
Pu >
(2-1.44) ]
<Fn)i Pli <
давление р1г-
л ”	” Plz + P2z
р2/ + Ар, и рср/ = ——~ и т.д. до получения повторя-
ющихся результатов.
В уравнениях (2.1.43) и (2.1.44) коэффициент гидравлического со-
противления пучка витых твэлов может быть определен по формуле;
приведенной в работе [2.1.23]:
0,266
Re0'25'
ке5Л
(2.1.45)
Глава 2
125
где Re5/l = G5/(Ffii[icp), p./f определяется на расчетном участке Ах;. при
средней температуре потока Tfcp = 0,5(Tf_1 4- Г.) (ц для водорода не за-
висит от давления (см. рис. 2. 4)).
Поскольку ТВС с витыми твэлами является, по-существу насып-
ной конструкцией, которая состоит из нескольких нагревных сек-
ций (НС), размещенных между входной и выходной решетками (см.
рис. 2.2), то на границах расчетных участков, где твэлы соседних НС
упираются торцами друг в друга, необходимо учитывать потери дав-
ления на стыках между НС. При этом расчет проводится по форму-
лам:
— для первого приближения
/?ТВХ;-
G
bp'd =Q
•^nJc ^Pbxi
— для второго приближения
РвЫХ1-1 РвХ! + ДрС1 |
(2.1.46)
АЙ =4
R jQXI-
< /с 2рвь1Х1-1
RT^xi
Рвх1
| Pbxi
Рвых/-1?
(2.1.47)
Рвьш-1 = Pbxi + Арй и Т-А-	(2.1.48)
После определения давления на входе в активную зону ТВС
|ва входе в первую НС) рассчитывают потери давления на вход-
ной решетке, а затем — на торцевом отражателе нейтронов и
а радиационной защите (рис. 2.10—2.12) по формулам (2.1.41) и
1X1.42), используя известные коэффициенты гидравлических соп-
ротивлений этих узлов ТВС (рис. 2.13, 2.14), а также полученные из
редыдущих расчетов значения давлений на входе в них. При этом
ринимается, что температура рабочего тела на элементах радиаци-
онной защиты, торцевого отражателя и входных решеток равна тем-
пературе газа на входе в активную зону ТВС (на входе в первую на-
ревную секцию).
В результате гидравлического расчета ТВС определяются сум-
марные потери давления на всех элементах ТВС:
1-п	к-т
bps = X АР/ + X ДРмА-	(2.1.49)
1=1	к=1
г- т — число местных сопротивлений узлов ТВС. Тогда давление
а на входе в ТВС будет равно
Рвхтвс = Рк + APz-	(2.1.50)
Результаты теплогидравлического расчета ТВС с витыми твэла-
при работе ядерного реактора на мощности, составляющей 40%
ве номинального значения, представлены на рис. 2.9, а результаты
126
Глава 2
Рис. 2.10. Проточный тракт ТВС с витыми твэлами (вариант 1):
1 — входной и выходной узлы; 2 — радиационная защита; 3 — отражатель и вход-
ная решетка; 4 — нагревные секции с промежуточными решетками; 5, 6 — соот-
ветственно промежуточная и выходная решетки
Глава 2
127
F= 177 мм2
d= 15 мм
031
Fn = 297 мм2
d__ = 1,138 мм
eq
100
600
Рис. 2.11. Проточный тракт ТВС с витыми твэлами (варианты 2-4):
Я — узел входа; 2 — радиационная защита; 3 — отражатель; 4 — система входных
|рвиветок № 1 и № 2 для вариантов 2 — 4; 5 — нагревные секции без промежуточ-
их решеток
128
Глава 2
Рис. 2.12. Проточные тракты радиационной защиты (1) и отражателя (2) ТВС с
витыми твэлами (вариант 5) при системе входных решеток по варианту 3 и при
нагревных секциях по вариантам 2 — 4
оценки вклада составляющих гидравлических потерь на отдельных
узлах ТВС в суммарные потери давления ТВС на различных режи- '
мах работы при давлении водорода на входе в сопло рк = 4,9 МН/м2 и ;
Тк = 3050К приведены в таблице 2.1.1.
Полученные данные по потерям давления позволяют оценить на-
грузку на витые твэлы для определения их работоспособности при
высоких температурах, что позволяет избежать явления ползуче-
Рис. 2.13. Зависимость коэффициента гидравли-
ческого сопротивления радиационной защиты от
числа Re для различных вариантов конструкции
ТВС с витыми твэлами
сти материалов твэлов.
При этом надо учитывать
предварительное поджа-
тие пружиной активной
зоны ТВС с торцевым
отражателем с усилием
примерно 10 кгс.
Коэффициенты мест-
ных сопротивлений для
различных вариантов
конструкций, их зависи-
мости от числа Рейнольд-
са для радиационной за-
щиты (^р з) и для торцево-
го отражателя с сис темой
решеток Котр+р) приведе-
ны на рис. 2.13 и 2.14.
Глава 2
129
Таблица 2.1.1
Результаты оценки вклада составляющих гидравлических потерь
а отдельных узлах ТВС в ДрЕ для различных вариантов конструкции
(см. рис. 2.10—2.12)
1 Вариант конструкции входных узлов	1			2	3
J Расход газа, кг/с	0,1045	0,1045	0,0418	0,1045	0,0418
Температура Гвх, К	450	300	300	450	300
Давление на входе в ТВС рвх, МН/м2	9,6	9,05	5,87	8,9	5,745
Jpv. МН/м2	4,7	4,15	0,97	4,00	0,845
|-4.3/APz	0,224	0,177	0,186	0,112	0,086
Г^Ротр + вх.р /APl	0,0966	0,073	0,073	0,094	0,0697
	0,524	0,570	0,606	0,615	0,697
Г^Рвых.р /^Рг	0,1585	0,179	0,124	0,186	0,149
Г^Рн.с ^Ротр + вх.р /^Рг	0,6206	0,6430	0,679	0,709	0,767
Шотери, связанные с ускорением |жутокаДруск/Дрх	0,0667	0,0752	0,053	0,0765	0,0661
Коэффициенты С,рз
 являются сум-
^спр + р	/
тарными коэффициен-
тами сопротивления.
Эго связано с тем, что
форма гидравлическо-
го тракта этих узлов
весьма сложная и раз-
йктъ его на отдельные
таементы не представ-
лялось возможным.
Результаты экспери-
ментального определе-
тая местных сопро-
•иилений для различ-
ных вариантов конст-
рукции ТВС представ-
лены в таблице 2.1.2.
>отр+р
											
											
											
											
											
											
											
									▲ - eapi • - вари	1ант4 ант 5	
											
2	3	456789105	2	3 Re
7
6
5
4
3
2
Рис. 2.14. Зависимость коэффициента гидравличе-
ского сопротивления отражателя с системой реше-
ток от числа Re для вариантов 4 и 5 конструкции
130
Глава 2
Таблица 2.1.2
Коэффициенты местных гидравлических сопротивлений
для различных вариантов конструкций (см. рис. 2.10—2.12)
Наименование узлов и элементов	Вариант конструкции				
	1	2	3	4	5
Узел входа	—	1,35	1,35	1,35	1,35
Радиационная защита	5.4	13,5	13,5	13,5	35,5
Отражатель	0,47	—	—	—	4
Входная решетка	1,85	—	—	—	2,2
Отражатель вместе с системой входных решеток	—	5,5	5,6	5,6	6,2
Промежуточные решетки	1,3... 1,9	—	—	—	—
Стык между нагревными секциями	—	0,2...0,3	0,2...0,3	0,2...0,3	0,2...0,3
Выходная решетка	1,65	1,65	1,65	1,65	1,65
Варианты конструкции решеток 2—5 обладают общим недостат-
ком, связанным с перекрытием периферийного ряда твэлов, что при-
водит к появлению в этой зоне циркуляционного течения и участка
выравнивания неравномерностей скорости по длине первой нагрев-
ной секции. Однако этот недостаток не сказывается на работоспо-
собности конструкции ТВС этих вариантов [2.1.17].
Методы расчета ТВС по локальным параметрам
Эти методы основаны на использовании модели течения гомо-
генизированной среды, в которой течение в реальном пучке витых
стержней заменено потоком двухфазной среды с неподвижной твер-
дой фазой, где по определенному закону распределены источники
объемного тепловыделения qv и гидравлического сопротивления
E,pu2/2deq. В случае нестационарного протекания процесса модель те-
чения гомогенизированной среды описывается системой уравнений,
содержащей, наряду с уравнениями энергии, движения, неразрывно-
сти и состояния для теплоносителя, и уравнение теплопроводности
для «твердой фазы» — витых труб. При этом решается сопряженная
задача: учитываются краевые эффекты и используются понятия ко-
эффициента теплоотдачи и эффективного коэффициента турбулент-
ной диффузии, зависящих от граничных условий [2.1.3].
Глава 2	131
Для численного решения стационарных задач тепломассообмена
в пучках витых труб были использованы различные методы. В слу-
чае асимметричной неравномерности тепловыделения в поперечном
сечении пучка наиболее приемлемым методом расчета является ме-
тод матричной факторизации, развитый Г.И. Марчуком примени-
тельно к решению уравнений параболического типа. Этот метод был
обобщен для случая течения гомогенизированной среды, которое
описывается системой параболических уравнений с нелинейностя-
ми и коэффициентами, зависящими от решения [2.1.3]. Для записи
численных аналогов исходных уравнений использовалась неявная
конечно-разностная схема. Для осесимметричной неравномерно-
сти тепловыделения расчет стационарных полей температур может
проводиться также методом сеток с использованием явной схемы и
методом установления, основанным на замене стационарной задачи
нестационарной задачей и доведении решения до момента, когда оно
перестает меняться во времени [2.1.3].
Для численного моделирования нестационарных задач был раз-
работан метод расчета, основанный на раздельном решении урав-
нений энергии и теплопроводности и уравнений гидродинамики с
увязкой их через уравнение состояния и итерационные циклы. Урав-
нения энергии и теплопроводности решались методом переменных
направлений как для осесимметричной, так и асимметричной нерав-
номерностей тепловыделения. При этом численные аналоги исход-
ных уравнений расписывались по неявной схеме и решались мето-
дрм прогонки, изложенным в работах А. А. Самарского, Г.И. Марчука
н Н.Н. Яненко. При решении уравнений движения и неразрывности,
записанных в квазистационарном приближении, для их решения ис-
пользовали метод прогонки с помощью подстановки Симуни [2.1.24].
Расчет стационарных режимов ЯЭДУ. Для расчета полей тем-
ператур и скоростей в пучках витых твэлов на стационарном ре-
жиме использовали метод матричной факторизации и на его осно-
ве строили алгоритм решения. Этот метод был обобщен на случай
решения нелинейной системы уравнений в цилиндрических ко-
ординатах [2.1.3]. Вся область определения искомых функций раз-
вивалась на т секторов по азимуту, п концентрических колец по
радиусу и h слоев по длине. Поскольку решали уравнения парабо-
лического типа, то число слоев по длине не ограничивали, так как
а каждом последующем слое по длине решение строили на осно-
вании результатов расчета предыдущего. Расчетные точки были по-
вицены в узлах пространственной сетки, нулевая точка — на оси
рассчитываемой ТВС, а граница ТВС — в середине последнего рас-
путного интервала по радиусу. Согласно этому методу все произ-
132
Глава 2
водные заменены конечно-разностными соотношениями по класси-
ческой неявной конечно-разностной схеме, обладающей абсолютной
устойчивостью при решении линейных уравнений.
Для расчета градиентного течения в цилиндрическом канале мето-
дом Л.М. Симуни вводилась некоторая дополнительная функция, не
имеющая физического смысла, но позволяющая расщепить уравнение
движения (2.1.2.) на два уравнения и находить градиент давления из со-
отношения для расхода теплоносителя, значение которого задано и не
изменяется по длине канала, так как отношение dp/dx в рамках приня-
той постановки задачи является функцией только одной переменной.
Этот прием для трехмерной задачи был обобщен в работе [2.1.3].
Трехмерное уравнение движения записывается в конечно-разно-
стном виде:
д^к+lk+l , л тк+1 „к+1 , пк+1 „к+1 , /~)к+1 „к+1 ,
+ ^i+ij^+ij + Л-,у-1^’./-1+ 4j+iu< j+i +
/ . чк+1
+C^lu^'=D^ + E^'\^\ ,	(2.1.51)
где z, у, к — индексы расчетных узлов по радиусу, азимуту и длине со-
dp	„	~
ответственно; —— — продольный градиент давления. Все величины
. dx
с индексом к полагаем известными из расчета предыдущего слоя по дли-
к+1
не, а коэффициенты при неизвестных величинах ц- • также извест-
ны. Если предположить, что решение уравнения (2.1.51) имеет вид
(2.1.52)
то исходное уравнение (2.1.51) после подстановки в него (2.1.52) мож-
но разбить на два: одно относительно , другое относительно z^:
+	= D*, (2.1.53)
+ "Дц4ц + CZ“ + +Ci.J 'Z-.J1 =<	<21-54»
Решив эти уравнения, получим величины и zf., которые затем
будем использовать для нахождения искомого градиента давления.
Интегрируя уравнение (2.1.52) и используя выражение для расхода
теплоносителя в интегральной форме, получим:
2я гк
G-eJ J pwrdrcfcp
/^„>к+1
^+1=^+1+zk+1
IdxJ
е J J pzrdrdcp
о о
Глава 2
133
С учетом принятого разбиения области определения искомых
функций можно получить выражение для определения градиента
давления при численном нахождении двойных интегралов в форму-
ле (2.1.55):
dp
dx
„ I 7th2 « 2ih2'
G'E ~7~Powo + X
I 4________
'jth2 "2ih2:
E ~rPozo + Z
ч	»=1
'7Г т
т j=l
71 S	Л
т м	)
(2.1.56)
TT	-
Нелинейные выражения типа pu— линеаризуются и представ-
ляются в виде:	х
3	,-k+l „к
du ( чк+1/2 ui,j ~ui,j
ри— = (ри).. —-------------—,
н дх V	I
(2.1.57)
причем индекс к 4- 1/2 означает, что величина берется в «полуцелой»
точке по длине.
Коэффициенты, находящиеся под знаками дифференциалов,
осредняются по шести точкам в соответствии с направлением диф-
ференцирования, после чего они выносятся из-под знаков диффе-
ренциала.
1 д ди
Например, выражение Veff7" в линеаРизованном виде за-
писывается так:
1 д (	ди\	1 с) f	/о л го»
“У Р^Г— =PVetf-T- Ь	(2Л>58)
гдг\	dr J	г дг\ дг)
причем средняя величина pve// по радиусу определяется уравне-
нием
(-	? РУ*Х + 2ру.У +PVJHJ +Pvf-i,j +2р< +PVM.J	(2.1.59)
eff i.i	8
а средняя величина (pv)e// по азимуту уравнением
—	_ (pv)*/-i+2(pv)‘,H + (pv),^! + (pv),yJ + 2(pv)^ + (pv)?J+1 (2 J 59a)
(pVeff)j.	-	. (	•
С учетом изложенных преобразований численный аналог исход-
ят системы уравнений имеет вид:
— аналог уравнения движения относительно w{.
134
Глава 2
(	\к+\/2
2(р^),;у 2Ы„,- (М;1'2
h2 g2r2 2deq
(2.1.60)
— аналог уравнения движения относительно zt-
, J 2(М.У 2(М, (м*;|/2
I	+ZiJ h2 g2r2 2deq
(P^effkj
h2
Л+1
Pveff)..	PM-.
!____'ч . 7k+\ 2_____22.
g2r2	g2r2
— аналог уравнения энергии
'т’к+1 тк	.
(г.	\k+i/2 li,i li,i _ ^к+1/2 1 ~ £
\Р UCp\,j	I qvi'j е
'7’if + l ryrk+1 , 'Т’к+1
г- ‘J+IJ ^^i,j +	^eff,i,j
2hr;
(2.1.61)
(2.1.62)
2 2
g ъ
-k+l Q'T’/c+l
i,j-l Z1i,j
— уравнение состояния
р = pRT,
— уравнение теплообмена
(1-E)deg
'	^=T + (?v	.2-g
4осе
(2.1.63)
(2.1.64)
Глава 2
135
Уравнения (2.1.60) —(2.1.64) дополняются соотношением для на-
хождения градиента давления (2.1.56).
В матричной форме записи численные аналоги исходных уравне-
ний упрощаются. Обозначим значения искомых функций w, z и Т на
I-м радиусе искомого слоя по длине через W^,Tf, индекс принад-
лежности данных функций к искомому слою АН-1 по длине опустим,
а величины, известные из расчета предыдущего слоя, будем обозна-
чать верхним индексом «*». Векторная форма записи означает, что
все азимутальные значения искомой функции на данном радиусе яв-
ляются элементами столбца.
Например:
(2.1.65)
Аналогичная форма записи выполняется и для величин V^.,Zf,qvf.
Затем каждый из численных аналогов исходных уравнений приво-
дят к виду:	л л	_>
(2.1.66)
иде At,Bi,Ci — матрицы, составленные из коэффициентов исходных
уравнений; — неизвестная функция; f. — величина, известная из
расчета предыдущего слоя.
Матрицы Ai и Ci — однодиагональные и имеют вид:
— для уравнений относительно W^Z,:
(2.1.67)
136
Глава 2
— для уравнения энергии:
^-+^1,0...о
h2 Ни-
g g heffijn [ heffi,m
....... h2 2hrt
(2.1.68)
heff i,l _ ^effi,\ л
~P ~2h^' .................
h2 2hrf
Матрица Bi формируется таким образом, чтобы можно было на
каждом радиусе искомого слоя удовлетворить условие периодично-
сти искомых функций по радиусу:
4444г	(2.1.69)
Условие периодичности выполняется, если ввести в матрицу Bi
угловые элементы, при этом сама матрица должна быть трехдиаго-
нальной. Для уравнений движения относительно w и z матрица Bt
имеет вид:
2ЮЫ. м;2. >4... нт Ы,.0 0 KI
g2r2 2deq h2 I ' g2r? ' ...................... g2r2
(ЯД2 2(Rff),2.	2(^ff),2 , (pu)iy Ы,.2
ff2r,2 ’ g2//2	t? I • g2r^ ............
(2.1.70)
KL n n KL 2KI+(^pC+2KL+(pC
2 2 -°- —-°- —~2^~’ ~?~2	—+ Г2 + 'j—
и для уравнения энергии соответственно:
Глава 2
137
2Лед;., (pucp),,i Kttu XeffM
h2 g2r? I ' g2r?.............................g2r?
^eff i 2 2Xe/fl2
2 2 ’	Г2 2 2
9 rf h
X.- 9
—— 0
2 2 ,v'
9 li
(2.1.71)
K,m n n Km 2Km K,m ^UCp\,m
g rf g^i h g*rf I
Еде g = 2п/т, а осреднение величин veff, Xeff проводится в соответст-
вии с направлением дифференцирования. Порядок всех матриц и
столбцов равен т — числу секторов по азимуту принятой пространст-
венной сетки.
Источник ff в правой части уравнения (2.1.66) для величины Wf-
редставляет собой суперпозицию величин, известных из расчета
предыдущего по длине слоя:
(2.1.72)
Для уравнения относительно zf источник записывается в виде
столбца порядка т, состоящего из минусовых единиц, а для уравне-
ния энергии величина ff представляет собой суперпозицию источ-
ника тепловыделения qv и величин температуры в соответствующих
уздах расчетной сетки, полученных на предыдущем по длине расчет-
ном слое:
.1/2 1~£
1 с (рПСр)1/2
„1 /2 1-£ . V	рЛ,1	т*
Qvi.i +	1	А’,1
е	I
(2.1.73)
\1/2
I
i,m
1/2 1-е
Таким образом, численные аналоги исходных уравнений (2.1.60) —
®1_64), в которых искомая функция в каждом узле расчетной сетки
138
Глава 2
определялась через значения в пяти соседних узлах, сведены к более
простым трехточечным соотношениям.
При решении уравнений методом матричной факторизации для
каждой z-й точки можно записать следующую систему уравнений:
АЛЛА
₽,.+1=С1+1(В,-₽(Г',	(2.1.74)
ё,+1=^+1(ё,+Л).	(2.1.75)
*;=С^+1Ф,+1+0/+1).	(2.1.76)
причем	С = А~' С, В = А~' В, F = A~' f.	(2.1.77)
Видно, что, определив совокупность значений вспомогательных
функций Pp0f во всех точках по радиусу, можно найти и всю сово-
купность значений неизвестной функции У,- и, тем самым, решить
задачу. При этом значения функций	вычисляются с помо-
щью уравнений (2.1.74) —(2.1.76), связывающих эти значения в двух
соседних по радиусу точках. Эта процедура носит название прямой
прогонки. При этом величины Рр©, находим в порядке возрастания
индекса z, т.е. от левой границы (оси теплообменника) к правой (пря-
мая прогонка), а искомая функция Фг, наоборот, — от внешней гра-
ницы теплообменника к оси с использованием граничных условий
по радиусу (обратная прогонка). Рассмотрим более подробно реше-
ние каждого из трех уравнений.
При решении уравнения движения относительно для нахож-
дения начальных значений вспомогательных функций р. и 0, не-
обходимо воспользоваться выражением, определяющим величину
W. на оси канала, которое в векторно-матричной форме записыва-
ется в виде [2.1.3]:
где Е — полная единичная матрица порядка т. С другой стороны, из
уравнения (2.1.76), записанного для z = 0, получаем соотношение, свя-
зывающее величины W, и Wo:
W0=C^,(^W1+§1).	(2.1.791
Приравнивая соответствующие члены в выражениях (2.1.78) 
(2.1.79), получим соотношения для определения начальных значение
Глава 2
139
Р; и 0г, необходимых для проведения прямой прогонки и нахож-
дения всей совокупности значений этих величин вплоть до точки
i — п:
(2.1.80)
Чтобы найти последнее по радиусу значение величины Wn и осу-
ществить обратную прогонку, используют граничное условие на
внешней границе ТВС (теплообменника) (см. уравнение 2.1.6), кото-
рое в конечно-разностном виде с учетом, что внешняя граница рас-
считываемой области помещена в середине последнего интервала по
радиусу, имеет вид:
W„_1=Wn.	(2.1.82)
Из уравнения (2.1.76) при i = п — 1 имеем:
W„_I=C;I(pJ1Wn+en).	(2.1.83)
Тогда из выражений (2.1.82) и (2.1.83) можно получить формулу для
определения Wn, т.е.
W„=0n(Cn-₽„r.	(2.1.84)
и осуществить обратную прогонку для определения всей совокуп-
ности величин W,- вплоть до значений Wt и Wo. Аналогичным спо-
собом решаем уравнение движения относительно Z,. Величина р в
этом случае совпадает с аналогичной величиной уравнения (2.1.80), а
находим по формуле
где D — столбец из единиц порядка т.
(2.1.85)
140
Глава 2
Для решения уравнения энергии используются векторно-матрич-
ная форма для записи значения Ti на оси и уравнение (2.L76) для
i = 0, чтобы получить выражения для определения величин и 0г:
4а2/	* £
m(4a2/+h2) ' ’
(2.1.86)
ё =	//12дУ02(1-е)	' Tph2
1’[е[(риСр)1;2Л2 + 4/^2] 4а2/+Л2
Q2 _ ^еДр('~Е)
е(р«ср)0 '
(2.1.87)
(2.1.88)
Для определения Тп используется граничное условие на внешней
границе ТВС в конечно-разностном виде:
Atfn-,/2., Tn,i = «п-1/2,/	(2.1.89)
Выражение (2.1.89) представляет собой систему алгебраических
уравнений с коэффициентами теплопроводности и теплоотдачи
а, которые могут меняться по периметру внешнего канала охлажде-
ния ТВС так же, как и температура окружающего потока TQx в систе-
ме охлаждения корпуса ТВС.
Применяя векторно-матричную форму записи и учитывая, что
Twj может быть определена как полусумма значений Тп- и Тп1-, пере-
пишем уравнение (2.1.89) в виде:
~	(Тп ~ Тп-i) ~ А (Тп + Тп-i— 2Tqx ),	(2.1.90)
причем матрицы л и А — однодиагональные порядка ш
	^еЯп-1/2'0...,0		an-l/2-0,...,0	
				
л =		, А =		(2.1.91)
	0,..., 0,	/ 2,щ		0,..., 0,	
Используя уравнение (2.1.90)и уравнение (2.1.76), записанное для
i = п — 1, и исключая вектор Tn_lf получим выражение для определения
Тп, чтобы провести обратную прогонку и найти все значения вектора Tf:
(2.1.92)
Глава 2
141
Температуру теплоносителя на оси вычисляют по формуле со-
гласно работе [2.1.3]
4^1/2/(1-е)
э /	\к+1/2
eh (pucp)o
4X*%Z2/(l-e) ” к+1,
,7/
emh (pucp)o 7-1
<?vo1/2/(»-e) t
/	\k+l/2+J0
e(pucp)0
(2.1.93)
Таким образом, задача нахождения значений температуры и ско-
рости во всех точках выбранной радиально-азимутальной сетки на
данном расчетном слое по длине полностью решена.
Рассмотренная расчетная методика использует метод матричной
факторизации совместно с итерационными циклами по нелиней-
ностям, учитывающими зависимости коэффициентов, входящих в
уравнения, и граничные условия от искомых температуры и других
параметров. В то же время метод матричной факторизации приме-
ним только к решению линейных уравнений с постоянными коэф-
фициентами. Поэтому возникает следующий алгоритм реализации
расчетной методики. Первым (известным) слоем считается вход в
ТВС, где заданы радиально-азимутальные поля скоростей и темпе-
ратур, а также давление теплоносителя. По этим параметрам можно
рассчитать все коэффициенты уравнений, полагая для первой ите-
рации равенство величин в полуцелых по длине точках соответству-
ющим величинам на первом слое. Имея набор коэффициентов, мож-
но решить систему уравнений (2.1.60) —(2.1.64) и получить всю сово-
купность значений	в каждом узле пространственной сет-
ки для второго слоя по длине.
Предположив, что давление на втором слое равно давлению на
первом (известном слое), можно отыскать распределение плотностей
р/;. газа по рассчитанному на втором слое распределению темпера-
тур. При известном распределении плотности газа и известных зна-
чениях величин и определяют градиент давления по форму-
ле (2.1.56), давление и распределение скорости газа на втором слое по
длине из соотношений:
p2 = p‘+f^fh,	(2.1.94)
\dxj
2
(2.1.95)
2	2	2 (dp
dx
142
Глава 2
и проводят уточненный расчет распределения плотности теплоноси-
теля на втором слое с использованием полученного значения давле-
ния р2.
Затем определяют все искомые величины на оси [2.1.3] по фор-
мулам (2.1.78) — для и z0, по формуле (2.1.93) — для То и темпера-
туру «твердой фазы» в гомогенизированной постановке по формуле
(2.1.64).
Поскольку температура Tw определяется с помощью коэффициен-
та теплоотдачи, зависящего не только от параметров потока и физиче-
ских свойств теплоносителя, но и от температурного фактора (Tw/Tf),
то неизбежно появление еще одного итерационного цикла внутри
процедуры вычисления температуры «твердой фазы».
Таким образом, после проведения первой итерации имеются все
рассчитываемые параметры второго слоя по длине теплообменника,
и можно вновь уточнить значения коэффициентов, входящих в урав-
нения, в первую очередь, в полуцелых точках. С этими значениями
коэффициентов проводят новый расчет для получения второго при-
ближения и далее до сходимости.
Сходимость итерационного процесса необходимо оценивать по
всей совокупности значений искомых функций. Однако для систем
уравнений, описывающих течение в ТВС с теплообменом и с пере-
менными физическими свойствами жидкости, давление является
необходимым и достаточным критерием сходимости итерационного
процесса. Численное значение этого критерия было определено при
достаточно широкой вариации параметров, определяющих режим
течения и соотношения шагов расчетной пространственной сетки
[2.1.3]. При этом учитывались требуемая для инженерной практики
точность расчета полей температур теплоносителя и затраты машин-
ного времени. Установлено, что приемлемым условием сходимости
итерационного процесса является отличие значений давления теп-
лоносителя для двух последовательных итераций не более чем на
0,01%.
Расчет нестационарных режимов ЯЭДУ. Рассмотрим алгоритм ре-
шения нестационарной задачи (2.1.8) —(2.1.12) с граничными услови-
ями (2.1.13) —(2.1.16). При этом уравнения теплопроводности (2.1.8) и
энергии (2.1.9) записываются согласно классическому методу пере-
менных направлений.
Все коэффициенты в уравнениях, зависящие от решения исход-
ной системы, осредняются по времени и пространству. Конечно-раз-
ностные аналоги уравнений (2.1.8) и (2.1.9) имеют вид:
направление х:
Глава 2
143
/«T’V+1/2___qt’V+1/2 , «T’V+1/2
^sy+l Z11sij
(2.1.96)
-rV+1/2 «pV	«pV «pV+1/2	.
о v	v	^0	У“1	I'rV-i
2pcn ————+pucn —---------------------=------
P p At	p Ax dea' slJ
v+l/2
Pij+1-Pij
At
Ku VftV T<-ij)	/ v
-27;;+^)+
, ^eff /«pV+1/2	o'T’V+1/2 , -pV+1/2
A?' 0+1 ij /7-1
(2.1.97)
направление r:
T’V+l _«T’V+1/2
2(pscs)^4^=gv7/2
К (Га|-+/ r»f-v ) К iTv
rt 2Дг Д?^я+1у
4oiE	/«t’V+I _ y v+l \ ,
(l-e)de/ s" «
К
Ax2
hV+1/2___q«t’v+l/2 . «T’V+1/2 \
sij+1 £1sij 'isij-l J’
(2.1.98)
rp>y
2Pcp ——------------+Puc .
p At	p Ax
"V+l___«T’V+1/2
ij
«T’V+1/2	«pV+1/2
1ij
—	/«T’V+I _ «T’V+I \
d \ sii У I
ueq
^V+l „V
Pij Pij
At
^eff
rV+l
i+1;
2Ar
nV+1 _Q«pV+l
i+lj
Ax2
r v+l/2 o«pV+l/2
y+1 -ZJy
(2.1.99)
где i, j, v — индексы расчетного узла по радиусу, длине и времени со-
ответственно.
Суть метода переменных направлений заключается в том, что на
каждом направлении решается уравнение параболического типа с
источником, которое может быть записано с помощью трехточечной
схемы в виде:
144
Глава 2
^i,j"
(2.1.100)
Это уравнение решается методом прогонки, изложенным достаточ-
но подробно в работах А.А. Самарского, Г.И. Марчука и Н.Н. Яненко.
В качестве примера использования граничных условий для пост-
роения алгоритма решения рассмотрим граничное условие сим-
метрии на оси рассматриваемой области. Оно используется для на-
хождения прогоночных коэффициентов и 0j для осуществления
«прямой» прогонки.
Система уравнений для нахождения прогоночных коэффициен-
тов и искомых функций имеет вид:
'+' В,-₽,
0,+1=3,+1(е,+Л).	(2.1.101)
г,=(₽,+1г,+1+ем)/с,+1.
Запишем численный аналог уравнения теплопроводности в точ-
ке г = 0, где имеется особенность, согласно правилу Лопиталя. Тогда
уравнение в этой точке будет иметь вид:
Pscs^ = <?v + 2Asr^4+Xsx-^4.	(2.1.102)
s 5 Эт v sr dr2 Эх2
Используя условие симметрии в точке г — 0, означающее, что
Tf. = Ttj (i — индекс по радиусу;; — индекс по длине), получим конеч-
но-разностное выражение, связывающее значение искомой функ-
ции Т на оси канала и в первой точке по радиусу:
r.V+1 _ yV+1 / Ps^s ,
so =z?* aJ
(2.1.103)
где Ar — шаг разбиения расчетной сетки по радиусу; f — член,, вклю-
чающий в себя объемное энерговыделение, величину Т^, известную
из расчета предыдущего слоя по времени, и величину л —у-, извест-
дхЛ
ную из расчета по направлению х. Имея условие связи величин 7^ и
TS1 из уравнения (2.1.101), записанного для i = 0, легко найти значе-
ния прогоночных коэффициентов pt и ®р а значит, и всю совокуп-
ность прогоночных коэффициентов и значений искомой функции 7^
от i = 1 до i = N, где N — число разбиений по радиусу.
Аналогичным образом решается уравнение энергии с той лишь
разницей, что в уравнении энергии присутствует конвективный
член, записанный с помощью разностей «против потока».
Глава 2
145
Уравнение движения расщепляется на два уравнения в соответст-
вии с методом расчета градиентного течения в цилиндрическом кана-
ле, предложенным Л.М. Симуни, и определяется градиент давления из
соотношения для расхода теплоносителя. Этот метод подробно рас-
смотрен при решении стационарной задачи в ТВС в начале раздела.
Поскольку для ТВС ЯЭДУ характерное время изменения парамет-
ров, определяющих теплогидравлические процессы, значительно
превосходит время распространения слабых возмущений по длине
пучка твэлов, то в этом случае система уравнений газовой динами-
ки была упрощена и записана в квазистационарном приближении
(уравнения (2.1.10) — (2.1.11)), что подтверждается оценкой порядковых
членов, выполненной при использовании в качестве базового време-
ни для обезразмеривания исходных уравнений величины тб = — (где
Ц,
I — длина пучка твэлов (/ < 1 м), иь — скорость распространения воз-
мущений, равная скорости звука).
Действительно, если характерное время изменения основных па-
раметров значительно превышает транспортное время, то в ряде слу-
чаев можно воспользоваться квазистационарным приближением не
только для уравнений газовой динамики, но и для уравнения энер-
гии. Однако для данной задачи целесообразно ограничиться случа-
ем, когда характерное время значительно превышает величину 1/иь,
и с помощью квазистационарной модели исследовать теплогидрав-
лические процессы, в которых возмущение основных параметров
происходит за время, много большее 0,1 с.
В качестве граничных условий для уравнений движения и нераз-
рывности, заменяемого уравнением расхода (2.1.11), задается значе-
ние расхода теплоносителя в зависимости от времени и статического
давления на входе в канал р = ръх(т) согласно уравнению (2.1.13).
При численном расчете переходных процессов в ядерных реакто-
рах космических энергодвигательных установок [2.1.17, 2.1.19] к си-
стеме уравнений (2.1.8) — (2.1.12) необходимо добавитьу равнения нейт-
ронной кинетики, описывающей изменение мощности реактора во
времени:
Tz^- = (pz-1)N + N- аТ	(2.1.104)
= \	i=l, 2,... 6,	(2.1.105) (2.1.106)
ewe
Глава 2
"fee т, — среднее время жизни одного поколения нейтронов деле-
ния с учетом наличия запаздывающих нейтронов, отнесенное к ре//;
£0. — доля запаздывающих нейтронов от числа нейтронов деления
(Ь,ля реактора на тепловых нейтронах т, « 0,1 с); N,N — соответс-
твенно мощность реактора и мощность, обусловленная делениями за
' Ьчет запаздывающих нейтронов; — постоянная распада i-й груп-
пы запаздывающих нейтронов; рх — суммарная реактивность ре-
актора, отнесенная к эффективной доле запаздывающих нейтронов
6
(pZ =P/Peff) J Peff =
i=l
К системам уравнений (2.1.8) —(2.1.12) и (2.1.104) —(2.1.106) для уче-
та влияния изменения теплогидравлических параметров на свойства
размножающейся среды и мощность реактора добавляется также со-
отношение для эффектов реактивности:
[„рдау JvPr5ydV
JvdV + f vdV
Рх=Р|.<гЙФ +
(2.1.107)
а для учета зависимости энерговыделения от р-, у-распада накопивших-
ся в реакторе осколков деления — формула Антермайера — Вайлса
= No+10) °'2 -0,87(ts +2-1O7)-0'2 -
/	\-0,2	/	7\-0,2
-(ts+tNo+10)	+0,87(ts +tNo +2-107)	].	(2.1.108)
В формулах (2.1.107) и (2.1.108) приведены параметры: 8Ф— смеще-
ние регулирующих органов от начального положения; 8Тт, бу — со-
ответственно изменение температуры материала активной зоны и
плотности теплоносителя; No — мощность реактора на режиме номи-
нальных параметров до выключения; ts — время, прошедшее после
останова реактора; tn — время работы реактора на режиме номи-
нальных параметров.
Физический смысл эффектов реактивности заключается в том,
что повышение температуры материалов активной зоны приводит к
изменению эффективного коэффициента размножения в результа-
те изменения геометрических характеристик реактора при тепловом
расширении. Существуют и более тонкие эффекты, обусловленные
изменением физики процесса замедления и поглощения нейтронов.
Значение температурного эффекта реактивности рт = /(Тт) получа-
ют путем нейтронно-физических расчетов.
Аналогично температурному эффекту реактивности определя-
ют и плотностный эффект реактивности ру , обусловленный исполь-
зованием в качестве теплоносителя водорода, являющегося эффек-
тивным замедлителем нейтронов. Заполнение реактора водородом
Глава 2
147
приводит к заметному увеличению эффективного коэффициента
размножения нейтронов.
Кроме того, реактивность системы изменяется в результате пере-
мещения регуляторов (5Ф) (см. формулу 2.1.107).
Система уравнений динамики реактора должна быть дополнена
уравнением (2.1.108), описывающим зависимость энерговыделения
от р-, у-распада накопившихся в реакторе осколков деления, посколь-
ку этот процесс играет очень важную роль в определении теплового
режима реактора после его останова. В отличие от энергоустановок,
использующих энергию химических реакций, ядерный реактор не
может быть мгновенно остановлен. После перевода в подкритиче-
ское состояние реактор еще долгое время выделяет энергию в резуль-
тате распада накопившихся в нем осколков деления. Уровень мощ-
ности этого «остаточного тепловыделения» в первые минуты после
останова составляет несколько процентов от мощности на рабочем
режиме.
Учет остаточного тепловыделения исключительно важен для
ядерных энергетических установок, а также при анализе различных
аварийных ситуаций, сопровождающихся экстренным переводом
реактора в подкритическое состояние.
Необходимость учета зависимости энерговыделения от р-, у-рас-
пада накопившихся в реакторе осколков деления можно обосновать
примером. Предположим, что реактор ЯЭДУ пилотируемого мар-
сианского комплекса проработал 1 час в двигательном режиме на
мощности 300 МВт. Согласно формуле (2.1.108), через 100 с после вы-
ключения реактора его мощность составит -6000 кВт, а через 1 час
-900 кВт соответственно. Поскольку замкнутый энергетический
контур рассчитан на предельную мощность 200 кВт, то все излишнее
тепло должно быть снято водородным теплоносителем и сброшено
в Космос. Этот процесс необходимо поддерживать до тех пор, пока
мощность остаточного тепловыделения не станет равной мощности
энергетического режима.
Для завершения математического описания задачи необходимо
добавить некоторые ограничения на основные параметры, характе-
ризующие переходные процессы.
Так, если математическая модель, описывающая динамику реак-
тора, используется для выбора способа реализации переходного про-
цесса от энергетического режима к двигательному, то из условий со-
хранения целостности конструкционных элементов активной зоны
и ядерного горючего необходимо, чтобы темп нагрева, абсолютные
значения температуры и тепловых потоков с поверхности тепловы-
деляющих элементов не превосходили предельно допустимых вели-
148
Глава 2
чин. Аналогичные ограничения должны быть сформулированы и при
реализации переходного процесса от двигательного режима к энер-
гетическому: термические удары при резком уменьшении мощности
реактора могут разрушить тепловыделяющие элементы.
Полная система уравнений вместе с ограничениями решалась
численными методами и реализована в виде программ расчета на
компьютере. Для решения системы уравнений нейтронной кинети-
ки использовался алгоритм, предложенный Я.В. Шевелевым в работе
[2.1.25].
Необходимо отметить, что одной из целей изучения переходных
процессов в энергонапряженных ядерных реакторах (ЯР) является
определение во времени термопрочностных характеристик конст-
рукционных материалов ТВС и карбидных твэлов. Очевидно, что при
реализации того или иного переходного процесса нельзя превышать
предельных для данного материала значений рабочих температур,
темпов нагрева или охлаждения, а также допустимых тепловых по-
токов, определяющих величины термических напряжений в элемен-
тах конструкции.
При этом следует иметь в виду, что при быстром разогреве ядер-
ного реактора влияние эффектов нестационарности на коэффици-
ент теплоотдачи (на тепловой поток) может быть весьма значитель-
ным, причем нестационарное значение коэффициента теплоотдачи
может как превышать квазистационарное значение коэффициента
теплоотдачи в несколько раз, так и быть меньше этого значения. Ана-
логичная картина наблюдается и для безразмерного эффективного
коэффициента турбулентной диффузии (перемешивания). Быстрое
изменение тепловой мощности или расхода теплоносителя приводит
к большим изменениям этих коэффициентов по сравнению со значе-
ниями, вычисленными при квазистационарном приближении. Наи-
более сильно этот эффект проявляется в пучках витых твэлов при
спиральной закрутке потока.
Рассмотрим результаты вариантных расчетов нестационарных
полей температур для двух типов переходных процессов: с увеличе-
нием мощности реактора с витыми твэлами на несколько порядков
(переход от энергетического режима к двигательному) и с уменьше-
нием мощности при переходе от двигательного режима к энергети-
ческому. И первый и второй процессы желательно провести доста-
точно быстро и с максимальной эффективностью с точки зрения
использования водородного теплоносителя, запас которого на бор-
ту ограничен. При этом для первого процесса весьма существенным
ограничением является максимальная величина вводимой реактив-
ности и скорость ее введения. Действительно, в реакторе со спект-
Глава 2
149
ром нейтронов, имеющих время жизни т,« 10‘5 с и характерных для
быстрого реактора, введение реактивности, превышающей величи-
ну эффективной доли запаздывающих нейтронов, приводит к вы-
ходу цепной реакции из-под контроля и к разгону реактора на мгно-
венных нейтронах. Поэтому одной из целей теплогидравлического
расчета было определение оптимального закона изменения реактив-
ности, с точки зрения ядерной безопасности и ограничений по тер-
мопрочности топливной композиции для реализации быстрого пере-
ходного процесса, с увеличением мощности.
В результате проведения численных расчетов при широкой вари-
ации законов изменения реактивности и подачи расхода теплоноси-
теля был выбран основной вариант переходного процесса, представ-
ленный на рис. 2.15. Согласно этому варианту, необходимо линейно
вводить положительную реактивность до величины ~0,9реЯсо скоро-
стью не более 1 ₽ef/c, а расход теплоносителя линейно за 3 с довес-
ти до номинального значения. При реализации такого переходного
процесса требуемое значение
температуры водородного
теплоносителя на выходе из
реактора (-2900К) достигается
примерно через 10 с после на-
чала перемещения регулято-
ров, а уровень мощности дви-
гательного режима (300 МВт)
примерно через 9 с при стар-
товом уровне мощности (уров-
не энергетического режима)
-200 кВт. Процесс происходит
достаточно плавно без пере-
регулирования мощности или
температуры.
Температура топливной
оппозиции нигде не превы-
шает допустимую. Что касается
закона изменения реактивно-
сти во времени, обусловлен-
ного перемещением регулято-
ре». с учетом и температурно-
о и плотностного эффектов
реактивности, то он представ-
ят т собой плавную кривую с
небольшим перегибом в точке
Рис. 2.15. Нестационарный процесс,
при котором мощность реактора увели-
чивается с 10 кВт до номинального зна-
чения: 1 — мощность; 2, 3 — температу-
ра соответственно твэлов и теплоноси-
теля на выходе из_реактора;_4 — расход
рабочего тела; N = N/N0,G = G/G0 —
мощность и расход, отнесенные к их
значениям на номинальном режиме;
7-г.вых ~ ^т.вых /^т.вых0' ^вых ~ ^вых /^вых0' ^т.выхд
и Твыхо — температура твэлов и теплоноси-
теля на выходе из реактора на номиналь-
ном режиме его работы (те же обозначе-
ния на рис. 2.17 —2.19 и рис. 2.21)
150
Глава 2
Рис. 2.16. Изменение реактивности реак-
тора ЯЭДУ для переходного процесса с
увеличением его мощности: 1 — суммар-
ная реактивность р^; 2 — реактивность,
вносимая органами регулирования Ррег;
3,4 — соответственно температурный Рг и
плотностный эффекты реактивности
т = 9 с (рис. 2.16). Это обсто-
ятельство представляется до-
статочно важным, поскольку
сложные законы зависимости
реактивности от времени,
требующие изменения на-
правления движения органов
регулирования, предъявля-
ют повышенные требования к
конструкции электромехани-
ческих систем, приводящих в
действие регуляторы.
При реализации более
жесткого варианта переход-
ного процесса было достиг-
нуто уменьшение времени
выхода на номинальные пара-
метры по температуре газа пу-
тем подбора соответствующе-
го закона изменения расхода
водородного теплоносителя,
так как увеличение скорости
нарастания мощности реактора по сравнению с базовым вариан-
том (см. рис. 2.15) нежелательно по соображениям ядерной безопас-
ности.
Результаты расчета представлены на рис. 2.17. Видно, что требу-
емое значение температуры водорода на выходе из реактора будет
достигнуто уже через 5 с после
начала переходного процесса.
Однако при этом наблюдается
заброс температуры топливной
композиции и газа примерно на
15% от номинального значения.
Поэтому такой вариант перехо-
да на двигательный режим воз-
Рис. 2.17. Нестационарный процесс,
при котором мощность реактора уве-
личивается с 1 МВт до номинального
значения: 1 — мощность; 2, 3 — со-
ответственно температура твэлов и
рабочего тела на выходе из реактора;
4 — расход рабочего тела
Глава 2
151
ложен только в том случае, если существующий запас термопрочно-
сти топливной композиции позволяет выдерживатьподобные кратко-
временные тепловые воздействия.
Разработанная математическая модель и программа расчета
Р-1.19] позволили осуществить изучение еще одного на сегодняшний
день мало исследованного процесса, связанного с формированием
температурных полей в топливной композиции и теплоносителе при
подаче холодного газа в разогретую активную зону реактора. Знание
особенностей такого процесса представляет практический интерес
как для разработчиков ядерных космических энергоустановок, так
 для разработчиков энергетических установок, использующих в ка-
честве теплоносителя криогенные жидкости. Расчеты показали, что
этот процесс зависит от скорости подачи теплоносителя, скорости
нарастания мощности во времени, а также определяется величина-
ми характерных времен теплового внутреннего, внешнего и транс-
портного запаздывания т-, те, xfr [2.1.19].
На рис. 2.18 показано изменение во времени температуры топ-
ливной композиции и газового теплоносителя на выходе из реактора
при мгновенной подаче теплоносителя в активную зону, прогретую
др 2000К, с расходом, равным
поминальному. При этом од-
новременно начинается про-
цесс увеличения мощно-
сти реактора по закону, изоб-
раженному на рис. 2.17 и 2.18,
 формируется температур-
ная волна, характеризующая-
ся чрезвычайно большими (до
1500—2000К/с) производны-
ми температуры, имеющими
к тому же разные знаки в раз-
личные моменты времени (см.
рис. 2.18). По-видимому, такие
производные температуры мо-
1ут привести к термическому
разрушению топливной ком-
позиции.
На рис. 2.19 изображен ва-
риант расчета, когда расход
теплоносителя подается по ли-
нейному закону. В этом случае
также формируется темпера-
Рис. 2.18. Нестационарный процесс, при
котором мощность реактора увеличивает-
ся (с предварительно разогретой активной
зоной) до температуры Гт = 2000К при
мгновенной подаче расхода теплоносите-
ля: 1 — мощность; 2, 3 — соответственно
температура твэлов и теплоносителя на
выходе из реактора; 4 — расход рабочего
тела
152
Глава 2
Рис. 2.19. Нестационарный процесс, при
котором мощность реактора с предвари-
тельно разогретой активной зоной уве-
личивается до температуры Гт = 2000К
при изменении расхода по линейному
закону: 1 — мощность; 2, 3 — соответ-
ственно температура твэлов и теплоно-
сителя на выходе из реактора; 4 — рас-
ход рабочего тела
турная волна, но производная
температуры не превышает по
абсолютной величине 1000К/с.
Таким образом, в принци-
пе, возможен способ организа-
ции переходного процесса, ког-
да происходит интенсивный
разогрев реактора в безрасход-
ном режиме благодаря кратко-
временному перерегулирова-
нию по мощности, а далее следу-
ет подача расхода по линейному
закону (с учетом ограничений по
допустимым значениям произ-
водной температуры топливной
композиции и элементов конст-
рукции).
Ключевым, с точки зрения
экономии рабочего тела, явля-
ется процесс расхолаживания
реактора при переходе от двига-
тельного режима к энергетиче-
скому Как следует из зависимости Антермайера—Байлса, мощность
реактора непосредственно после перевода его в подкритическое со-
стояние может составлять до 3—5% от того уровня, на котором он
эксплуатировался. Абсолютная величина этой мощности зависит от
длительности периода эксплуатации и определяется энерговыделе-
нием от р-, у-распада накопившихся продуктов деления. Этот про-
цесс не поддается регулированию, а зависимость энерговыделения
от времени подчиняется закону NOCT ~ т-0,2 (см. формулу (2.1.108)).
Если мощность реактора на энергетическом режиме составляет ~10-1
от соответствующей мощности на двигательном режиме, то процесс
расхолаживания должен длиться несколько часов. При этом вся вы-
деляющаяся тепловая энергия должна быть снята теплоносителем,
который затем выбрасывается в космическое пространство. С точки
зрения экономии рабочего тела целесообразно использовать эту энер-
гию для создания дополнительного импульса тяги. С наибольшей эф-
фективностью это можно сделать, если поддерживать в течение всего
процесса расхолаживания температуру истекающего теплоносителя
на уровне номинального значения температуры рабочего тела на дви-
гательном режиме, т.е. расход теплоносителя должен изменяться во
времени в соответствии с темпом уменьшения мощности.
Глава 2
153
Однако с учетом сложности в
технической реализации подобно-
го процесса на основании числен-
ных расчетов был выбран вариант
перехода от двигательного режи-
ма к энергетическому, согласно
которому с помощью органов ре-
гулирования реактор переводит-
ся в подкритическое состояние
таким образом, что его тепловая
мощность уменьшается до 10% от
номинального значения пример-
но за 5 с (рис. 2.20). При этом одно-
временно с началом перемещения
регуляторов начинает уменьшать-
ся расход теплоносителя до ве-
личины, равной 30% от значения
расхода на двигательном режиме,
как это изображено на рис. 2.21.
К 10-й секунде процесса расхола-
живания удается сэкономить -60%
массы теплоносителя по сравне-
нию с расхолаживанием при со-
хранении номинального расхода.
При этом ступенчатое снижение
расхода позволит избежать слиш-
ком резкого захолаживания топ-
ливной композиции, возможной
воломки и разрушения тепловыде-
ляющих элементов.
Что касается дальнейшего
протекания процесса, то по мере
уменьшения мощности в резуль-
тате 0- и у-распада накопивших-
ся продуктов деления необходи-
мо уменьшать и расход. При этом
длительность «ступеней» будет
возрастать, поскольку темп умень-
иения мощности замедляется со
временем. Весьма интересным
Составляется вопрос о мини-
чьно возможном значении рас-
Рис. 2.20. Изменение реактивно-
сти реактора ЯЭДУ для процес-
сов с уменьшением его мощности:
1 — суммарная реактивность р^;
2 — реактивность, вносимая орга-
нами регулирования ррег; 3, 4 — со-
ответственно температурный р?. и
плотностной ру эффекты реактив-
ности
Рис. 2.21. Нестационарный процесс,
при котором мощность реактора
уменьшается, а расход рабочего тела
ступенчато снижается: 1 — мощность;
2, 3 — соответственно температура
твэлов и теплоносителя на выходе из
реактора; 4 — расход рабочего тела;
5 — температура твэлов на рассто-
янии 100 мм от входа в активную
зону
154
Глава 2
хода теплоносителя. Если уровень мощности энергетического режи-
ма составляет 10‘3 от двигательного, то расход при расхолаживании
должен быть не меньше 10’3 от номинального, что составляет -10 г/с.
Если в реакторе имеется всего 10 каналов, то расход через канал дол-
жен быть -1 г/с. При таких параметрах течения процессы теплоотда-
чи и перемешивания недостаточно интенсивны, что может привес-
ти к локальному расплавлению топливной композиции и элементов
конструкции. Поэтому, несмотря на возможный проигрыш в массе
теплоносителя на расхолаживание, необходимо увеличить мини-
мальное значение расхода теплоносителя через реактор. Оконча-
тельный ответ на этот очень важный вопрос может дать, наряду с
численным расчетом процесса расхолаживания, экспериментальное
изучение особенностей теплообмена и перемешивания при реализа-
ции так называемых вялых, или ползучих, течений с малыми числа-
ми Рейнольдса.
В заключение отметим, что для приведенных параметров дли-
тельность процесса расхолаживания составляет около 3 часов. Если
верхняя граница значения расхода теплоносителя составляет 1% от
номинального (-100 г/с), то для расхолаживания необходимо -1 т во-
дорода, если же — 0,5%, то — 600 кг.
Таким образом, предложенная постановка задачи позволила вы-
брать оптимальные законы изменения реактивности реактора при
быстрых переходах с двигательного на энергетический режим ра-
боты и обратно при условии ограничений по ядерной безопасности
и термопрочности карбидных материалов витых твэлов при нагреве
водорода до температур, равных 2900—3100К.
Надежность рекомендаций, полученных при численных тепло-
гидравлических расчетах тепловыделяющих сборок ЯЭДУ была под-
тверждена при моделировании теплогидравлических процессов в
натурных условиях в испытательном графитовом реакторе (ИГР) на
моделях ТВС [2.1.17]. При испытаниях в таком реакторе моделей теп-
ловыделяющих сборок с витыми твэлами ЯЭДУ реализовывались ре-
жимы с одновременным ростом мощности и уменьшением расхода
теплоносителя, когда эффекты нестационарности, характерные для
случаев N = var при G = const и G = var при N = const, накладыва-
ются, резко увеличивая коэффициенты перемешивания теплоноси-
теля Кип и теплоотдачи а в первые моменты времени. Так, с ростом
мощности N расход G уменьшался, что способствовало поддержа-
нию постоянного перепада давлений на ТВС, а эффекты нестаци-
онарности суммировались. При этом интенсивность турбулентности
потока в пучке витых твэлов и коэффициенты теплоотдачи и пере-
мешивания росли по сравнению с их квазистационарными значени-
Глава 2
ОШ
ями. Типичные режимы испытаний модельныхсТВСшри резкам (рос-
те мощности представлены на рис. 2.22,а, а режимыфасхолажйва-
ния — на рис. 2.22,6. Максимальные параметры при испытания^ мо-
дельных ТВС достигали следующих значений: мощность N = 142...
...275 кВт, температура теплоносителя на выходе из ТВС Tmax t =
= 3600...3650К,массоваяскоростьтеплоносителяри = 100...186кг/(м2с),
средняя плотность теплового потока qmean = 8... 18 МВт/м2 и
(г)тЛ	(
—	= 250... 450 К/с. При расхолаживании ТВС: —	= (-150)...
Углах	Углах
... (-778) К/с.
Отсутствие принудительного охлаждения активной зоны испыта-
тельного графитового реактора и ограничение интегрального энер-
говыделения максимальной температурой активной зоны, которая
аккумулирует тепло при работе реактора благодаря своей теплоем-
кости, ограничивали время
испытания ТВС десятками
секунд (см. рис. 2.22). Усло-
вия испытания модельных
ТВС, в которых использо-
вались пучки из 7 твэлов
четырехлопастной формы,
выполненных из карби-
дов тугоплавких металлов
с шагом закрутки s/d — 30
(Frm = 4300), были близки
к натурным условиям по
уровню нейтронного по-
тока и концентрации 235U,
Рис. 2.22. Изменение расхода и
температуры теплоносителя во
времени: а — при росте мощ-
ности; б — при расхолаживании
модельных ТВС (для различных
режимов испытания): 1 —4 — рас-
ход, отнесенный к расходу при
т = 0 для режимов 1 — 4 соот-
ветственно; 5 — 8 — температу-
ра для тех же режимов соответ-
ственно; Go, То — значенияСиТ
при т = 0; Ттах — максимальная
температура рассматриваемого
рабочего режима в соответствии
с табл. 2.1.3
G Т
156
Глава 2
а также по использованию водорода с ингибирующей углеводород-
ной присадкой.
Кроме того, при этих испытаниях были достигнуты максималь-
но возможные температуры теплоносителя на выходе из ТВС и плот-
ности теплового потока. При этом в начальные моменты времени
при запуске реактора ИГР для рассматриваемого типа нестационар-
ности коэффициент теплоотдачи и плотность теплового потока в не-
сколько раз превышали свое квазистационарное значение. При этом
У mean max ~ (2- 3) Я mean (таблица 2.1.3), ЧТО ДЛЯ некоторых КраткОСрОЧ-
ных режимов испытания могло приводить к растрескиванию твэлов
из твердого раствора карбидов урана и циркония (UC-ZrC). Однако
для рассмотренных в статье режимов испытания (т = 20 и 30 с) ТВС с
витыми твэлами сохранили свою работоспособность при многократ-
ных испытаниях.
Таблица 2.1.3
Максимальные параметры испытаний ТВС в испытательном
графитовом реакторе
Параметр	Номер режима			
	1	2	3	4
(дТ/дт)тах, К/с (на рабочем режиме)	380	280	250	450
(<П7Эт)	, К/с (на режиме расхолаживания)	-340	-150	-250	-778
т	к 1 max out1	3600	3600	—	3650
ри, кг/(м2-с)	186	133	—	100
Чтеап max' МВт/м	18	8	—	9
Выполненные исследования показали, что для оценки величины ко-
эффициента перемешивания теплоносителя кцп при одновременном
изменении мощности и расхода могут быть использованы критери-
альные зависимости для расчета этого коэффициента при изменении
во времени лишь одного параметра: мощности или расхода, с учетом
наложения действия различных эффектов в ту или иную сторону.
Нестационарные режимы работы ЯЭДУ могут повлиять на ее ра-
ботоспособность, в основном, в первые моменты времени при резком
изменении мощности и расхода теплоносителя, когда коэффициен-
ты теплоотдачи и турбулентного переноса в потоке теплоносителя
также резко изменяются из-за нарушения баланса между энергией,
подведенной к турбулентному потоку, ее диссипацией, турбулент-
ной диффузией и конвекцией турбулентных молей. При переходе
Глава 2
157
на новый режим работы этот баланс постепенно восстанавливается
благодаря перестройке температурных полей теплоносителя и дейст-
вию механизмов, компенсирующих первоначальное возмущение
турбулентности и связанных с закруткой потока витыми твэлами и
тепловой инерцией системы.
Теплогидравлический расчет теплообменных аппаратов
с витыми трубами
Методы теплогидравлического расчета теплообменных аппара-
тов (ТА) с витыми трубами как с продольным, так и с поперечным об-
теканием пучка витых труб, аналогичны методам теплогидравличе-
ского расчета ТА с гладкими круглыми трубами и отличаются только
использованием критериальных уравнений теплоотдачи и гидрав-
лического сопротивления, учитывающих эффект закрутки потока
витыми трубами при течении в них теплоносителей и в межтрубном
пространстве с такими трубами.
Наиболее распространенным в инженерной практике констру-
ирования ТА является метод, согласно которому проводится сначала
тепловой расчет для определения площади теплопередающей повер-
хности и других геометрических размеров каналов и ТА, а затем —
гидравлический расчет, и определяются потери давления ТА, кото-
рые не должны превышать заданной величины этих потерь.
Для расчета ТА необходимо прежде всего задать исходные дан-
ные. Так, для теплообменника, представленного в работе [2.1.18], ис-
ходными данными для теплогидравлического расчета являются сле-
дующие.
1. Характеристика теплообменного аппарата: ТА трубчатый,
противоточный; трубы витые овального профиля с круглыми кон-
цами, заделанными в трубные доски; внутри труб протекает горя-
чий теплоноситель; в межтрубном пространстве нагреваемый теп-
лоноситель продольно обтекает пучок витых труб; размещение труб
в пучке — шахматное с взаимным касанием труб. Материал труб и
других элементов ТА — нержавеющая сталь 12Х18Н10Т.
2. Геометрические размеры ТА и витых труб: максимальный
размер профиля витой трубы задается в зависимости от исходно-
го диаметра круглой трубы, учитывая, что для сварки прямых кон-
цов витой трубы с трубной доской требуется определенное рас-
стояние между осями труб, равное dH = l,23dKpH (dB = l,23dKpB);
dH и dB — максимальные размеры овала с наружной и внутрен-
ней стороны трубы; dB = dK — 28 (где 8 — толщина стенки трубы;
dKp.H' dKP.B ~ Диаметры исходной круглой трубы); s — шаг закрутки
158
Глава 2
профиля трубы; deqx = —— — эквивалентный диаметр пучка витых
Пх	р
труб (межтрубного пространства); ех =	— пористость пучка
труб по нагреваемому теплоносителю (где — суммарная площадь
поперечного сечения теплообменника; Fnx, Fn г — площади проход-
ных сечений ТА по холодному и горячему теплоносителям:
far = ^+(d„-dOr)dOr = 4ab+(rc-4)b2,	(2.1.109)
где dOr — минимальный размер витой трубы по горячей стороне
(внутри канала); а и b — максимальный и минимальный радиусы
овального профиля внутри витой трубы соответственно: a = dB/2 и
b = d0r/2; ПгиПх - омываемые периметры труб и пучка.
Для расчета геометрических размеров овального профиля витой
трубы необходимо иметь в виду что под термином «овальный про-
филь» понимается плоский канал со скругленными концами по мак-
симальному размеру профиля dB. Тогда эквивалентный диаметр ви-
той трубы (по горячей стороне) будет равен:
= 4fn.r = Ttd0r+3 4(dB-d0i )d0r = 8аЬ+2(я-4)Ь2	„ t uo)
едг Пг	jtd0r + 2(dB-d0r)	2а+(я-2)Ь
Минимальный размер проходного сечения внутри витой трубы
(ширина плоского канала) — dOr определяется из условия, что внут-
ренний периметр витой трубы равен внутреннему периметру круг-
лой исходной трубы — 7tdKp в, из которой изготовлена витая труба пу-
тем протягивания через фильеру:
ndKn в - 2dB jrdKD в - 4a
= — к^в---в = —кр^----= 2Ь
Ог п-2	п-2
7idKnB -4a
при b = —.	(2.1.111)
F 2(п-2)
3. Заданные параметры:
— Gr и Gx — расходы горячего и холодного теплоносителей;
— Тг и Тт — среднемассовые температуры горячего теплоноси-
теля на входе и выходе соответственно;
— рт — давление горячего теплоносителя на входе в теплообмен-
ник;
— Дрг — потери давления по горячей стороне;
2
159
теплофизические свойства горячего и холодного теплоноси-
—	Тх — среднемассовая температура нагреваемого теплоноси-
1ля на входе в ТА ;
—	рх и Дрх — соответственно давление на входе и допустимые
утери давления по нагреваемому теплоносителю.
В результате расчета определяют коэффициенты теплоотдачи аг
о^, коэффициент теплопередачи К, поверхность теплообмена So6,
юло труб N, площади проходных сечений по горячему Fn и нагре-
*емому Fn х теплоносителям, габаритные размеры теплообменника.
Расчет теплообменника при одномерном описании течения теплоно-
гтеля проводится в следующей последовательности. Определяются:
—	тепловая мощность теплообменника
Q = GTcpT(TT-TT),	(2.1.112)
срг — средняя изобарная удельная теплоемкость теплоносителя,
/кг К, определяемая при Тт = 0,5(тт +Т^;
—	среднемассовая температура нагреваемого газа на выходе из
ктрубного пространства
"	> Q
''рх'“’х
срх — средняя изобарная удельная теплопроводность газового
лоносителя, определяемая при Тх = 0,5(тх' + ТХ"
—	среднелогарифмический температурный напор для противо-
(2.1.113)
• •• ।
Т -Т
In Л *
Т -Т
—	число Рейнольдса при течении внутри витых труб
Rer=A^L;
^п.г Мт
—	число Нуссельта внутри труб рассчитывается
< 7-103 по формуле
(2.1.114)
(2.1.115)
при числах
3,0384
(s/d)0'97
— коэффициент теплоотдачи в витых трубах
NurXr
ct =---—— ’
Г rl '
aeqr
Nur= 0,0486 1+
Re0,698 Рг0'4:
(2.1.116)
(2.1.117)

160
Глава 2
—	число Рейнольдса при течении нагреваемого теплоносителя в
межтрубном пространстве теплообменника с витыми трубами
Rex=^Sl;
Льх Их
—	число Нуссельта в межтрубном пространстве определяется по
формуле
(2.1.18)
Nux = 6,0540S 6 * ВFr"2’494+0’235IgFrn’ -Rex+aIgRCx
T
Prf’4, (2.1.119)
где п = _i(575Fr9-01661-°-043731gFr-; a = О^бОРг^0149-0’0104^^;
—	коэффициент теплоотдачи в межтрубном пространстве ТА с
витыми трубами
NuxXx
a =—
&eqx
— коэффициент теплопередачи, отнесенный к средней поверхно-
сти теплообмена витых труб по формуле для плоской стенки
к=-1—л
ССГ ^х
—	потребная поверхность теплообмена (по среднему диаметру
исходных круглых труб)
S —5—
06 Д7-срК’
— суммарная потребная длина пучка витых труб
Lz= S°6
^ср^ср^
(2.1.120)
(2.1.121)
1 ’
(2.1.122)
(2.1.123)
где dcp = кр'н -кр— — для исходной круглой трубы; N — число труб
в пучке.
В случае модульной конструкции аппарата выбирают длину од-
ной секции (модуля) и определяют необходимое число секций.
Далее проводится гидравлический расчет теплообменника при
заданных давлениях горячего и холодного теплоносителей на входе в
ТА и перепадах давлений для каждой из сторон ТА. Обычно оговари-
вается, чтобы этот перепад давления был не более определенной ве-
личины для ТА, устанавливаемых в технологических линиях различ-
ных производств и в энергетических установках. Если же перепад
давления будет меньше необходимой величины, то его можно всегда
Глава 2
161
компенсировать установкой дополнительного регулировочного гид-
равлического сопротивления или путем уточнения геометрических
параметров ТА в повторном расчете.
Общие потери давления в витых трубах определяются как сумма
потерь давления на трение в каналах (&Pfriction) и потерь давления на
локальных сопротивлениях (Лр1г):
ДРг = ^Pfnction + АР/г =	(2.1.124)
deqr 2	<=1	2
где pr=f(pr,Tr) — средняя плотность горячего теплоносителя;
Тг =(тг + Гг)/2 — средняя температура; рг =р'г + (Дрг/2) — среднее
давление.
В формуле (2.1.124) коэффициент гидравлического сопротивле-
ния 2, в витых трубах определяется при Re < 7-103 по формуле
с 4,804	3,0384
^Re°’632|_ (s/d)0'97
(2.1.125)
или по формулам работы [2.1.19] для чисел Re > 7-103.
Коэффициенты местного сопротивления д. берут из справочни-
ков для мест с резким сужением и расширением канала, для поворо-
та потока на 180° и других видов местного сопротивления, связанных
с особенностями проточной части конструкции ТА.
В межтрубном пространстве ТА общие потери давления при тече-
нии в пучке витых труб равны
Дрх=5-А-й^х+^,Т2&;	(2.1.126)
deqx 2	2
где px=f(px,Tx) “ средняя плотность холодного теплоносителя;
Тх = (тх + Тх)/2 и рх = рх + (Дрх /2) — соответственно средние тем-
пература и давление по холодной стороне. Коэффициент гидравли-
ческого сопротивления пучков витых труб определяется по форму-
лам:
для Frm > 100 и Re = З Ю3... 5-Ю4
0,3164<	3,6 '
Re0'25 ( Fr0'357J’
для Frm = 63,6 и Re = 2103... 5104
= 89,4Re’1,2322+0,121gRe
для Frm = 232 и Re=2103... 5104
= 156Re’1,4323+0,13761gRe
(2.1.127)
(2.1.128)
(2.1.129)
162
Глава 2
для Frm = 1052 и Re = ЗЮ3... 4-Ю4
— Д 67'103Re"2,2431+0,23981gRe
для Frm = 63,6... 1052 и Re = 104
= 10,5Fr”1,6181+0,263lgFrm ,
(2.1.130)
(2.1.131)
для Frm < 100
0,3164
Re0,25
4 3,110е
1ч--------
г; 3,38
(2.1.132)
В качестве примера рассмотрим результаты теплогидравличе-
ского расчета по представленной методике кожухотрубного ТА с ви-
тыми трубами, предназначенного для охлаждения вина в техноло-
гической линии производства шампанского производительностью
2000 литров в час на Московском комбинате шампанских вин. Тече-
ние теплоносителей в ТА организовано по схеме противотока: вино
течет внутри труб, а охлаждающая среда — водный раствор хлорис-
того кальция (СаС12) — в межтрубном пространстве. Температура
рассола СаС12 на входе в ТА равна (— 6±2) °C. Вино поступает в теп-
лообменник с температурой (+12±2) °C и охлаждается до темпера-
туры (—2±1) °C. Перепад давления на длине ТА должен быть менее
5-Ю4 Па. Теплообменный аппарат с витыми трубами заменил тепло-
обменник с прямыми круглыми трубами, который ранее использо-
вался в линии производства вина и имел внутренний диаметр труб
21 мм, общую длину труб 522 м и массу 1500 кг. Низкий коэффициент
теплопередачи К = 55 Вт/(м2К) при ламинарном течении в таком ТА
Рис. 2.23. Схема противоточного теплооб-
менного аппарата с витыми трубами для ох-
лаждения шампанского: 1 — 8 — модули ТА;
9 — патрубки; 10, 11 — соответственно вход
и выход виноматериала; 12 — выход рассола
СаС12; 13 — вход рассола СаС12
не обеспечивал охлаждение
вина с заданным расходом
до заданной температуры.
Для облегчения разбор-
ной мойки . ТА в процессе
эксплуатации при разработ-
ке нового ТА с витыми тру-
бами была выбрана модуль-
ная схема, представленная
на рис. 2.23. Новый ТА со-
стоит из 8 модулей, соеди-
ненных последовательно
при помощи патрубков. Мо-
дули смонтированы на тех-
нологической раме. Внутри
кожуха каждого из моду-
Глава 2
163
лей размещен пучок из 7 витых труб овального профиля, закреп-
ленных прямыми круглыми концами в трубных досках. Взаимное
касание витых труб обеспечивает высокую вибростойкость конст-
рукции ТА [2.18]. Теплогидравлический расчет аппарата с витыми
трубами проводился по изложенной методике с использованием
приведенных в методике критериальных зависимостей для расче-
та теплообмена и гидравлического сопротивления. Так, для течения
вина внутри витых труб расчет числа Nud/ и коэффициента £ про-
водился соответственно по формулам (2.1.116) и (2.1.125). Для расче-
та числа Nudf при течении рассола СаС12 в межтрубном пространст-
ве пучка витых труб использовалась зависимость (2.1.119) с учетом
поправки на особенности течения в пучке с числом витых труб мень-
ше 19, а для расчета коэффициента £ — формула (2.1.127). Теплофи-
зические свойства пищевых продуктов определялись по справочным
данным. Результаты расчета представлены в таблице 2.1.4.
Таблица 2.1.4
Теплогидравлические характеристики теплообменного аппарата
с витыми трубами (d = 24,6 мм; 5 = 200 мм; s/d=8,1; N-29 кВт)
Расчетные параметры	Течение вина внутри труб	Течение рассола СаС12 в межтрубном пространстве
Расход, кг/с	0,539	1,093
Скорость потока, м/с	0,4375	0,5560
Число Рейнольдса	1702	2947
Число Нуссельта	19,4	33,2
Коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2К)	670	1051
Потери давления на длине аппарата, Па Коэффициент теплопередачи, Вт/(м2К) Расчетная площадь теплопередающей поверхности, м2 Расчетная длина аппарата, м	17169	26020 400 9,4 22,38
Длина одного модуля теплообменного аппарта была выбрана рав-
ной 3 м, что при числе модулей, равном 8, соответствует суммарной
длине аппарата 24 м и площади теплопередающей поверхности 10 м2.
Габариты ТА — 3300x700x360 мм. С учетом массы труб, кожухов, пат-
рубков, рамы и других элементов конструкции суммарная масса из-
готовленного ТА с витыми трубами, определенная экспериментально
путем взвешивания, составила около 350 кг, что в 4,3 раза меньше, чем
масса старого ТА с круглыми трубами. Таким образом, интенсифика-
ция теплообмена путем закрутки потока привела к существенному
164
Глава 2
выигрышу по массе. При этом ТА с витыми трубами позволил охла-
дить вино с температурой на входе (+12±2) °C до температуры -4 °C,
более низкой, чем охлаждает ТА с круглыми трубами (-1... -2 °C). Па-
раметры ТА с витыми трубами, представленные в таблице 2.1.4, были
подтверждены экспериментально при его испытании в составе тех-
нологической линии с использованием штатной измерительной си-
стемы на Комбинате шампанских вин.
Выполненные теплогидравлические расчеты ТА для охлаждения
шампанского и оценка его массогабаритных характеристик показа-
ли, что применение витых труб в аппарате позволяет путем интен-
сификации существенно уменьшить их массу и габариты и, следо-
вательно, металлоемкость и стоимость изготовления, а благодаря
гарантированному взаимному касанию витых труб в плотных пуч-
ках существенно снизить вероятность возникновения вибраций и
повысить надежность. Кроме того, интенсификация массообмена в
пристеночном слое потока пищевого продукта внутри витых труб
и в межтрубном пространстве пучка витых труб позволяет сущест-
венно снизить интенсивность образования осадков на теплопереда-
ющих поверхностях и операционные расходы на их периодическую
очистку.
Тепло- и массообмен при солеотложепиях
Для изучения влияния закрутки потока на уменьшение солеот-
ложений при течении внутри витых труб было проведено экспери-
ментальное исследование процесса минеральных отложений при
нагревании воды с большим содержанием минеральных солей мето-
дом теплообмена типа «труба в трубе» [2.1.26]. Этот метод исследо-
вания был ранее использован для изучения отложений солей снару-
жи труб с кольцевой накаткой [2.1.27]. При этом было обнаружено,
что использование интенсификаторов на поверхностях труб позво-
ляет значительно уменьшить загрязнения в теплообменниках и что
термическое сопротивление слоя загрязнения на поверхностях труб
асимптотически стремится с течением времени к постоянному зна-
чению этого сопротивления [2.1.28]. Такое поведение термического
сопротивления загрязнения в каналах с интенсификаторами тепло-
обмена позволяет обеспечить работоспособность теплообменных ап-
паратов в течение длительного периода их эксплуатации без очистки
поверхности от загрязнений, что невозможно для аппаратов с глад-
кими круглыми трубами.
Целью выполненного исследования было также получение обоб-
щающих зависимостей для расчета термического сопротивления
Глава 2
165
загрязнений в широком диапазоне изменения режимных и геомет-
рических параметров для витых труб, труб с кольцевой накаткой и
круглых гладких труб.
Управление процессами загрязнения поверхности теплообмена
при использовании охлаждающей воды, содержащей соли времен-
ной жесткости, является весьма важной проблемой. При использова-
нии такой воды, температура которой растет в направлении потока,
на поверхностях теплообмена образуются отложения солей. Поэто-
му необходимо либо предотвратить интенсивность роста загрязне-
ний на теплообменных поверхностях, либо ее уменьшить.
В последнее время большой интерес проявлялся к проблеме
уменьшения солеотложений на поверхностях теплообмена путем ис-
кусственной турбулизации потока [2.28, 2.27]. Уменьшение солеот-
ложений в каналах с дискретной турбулизацией и закруткой потока
связано с интенсивным обменом порциями жидкости между при-
стенным слоем и ядром потока в этих каналах. При этом современ-
ные концепции механизма солеотложений на гладких поверхностях
[2.1.29—2.1.33] могут быть использованы при построении качествен-
ной модели, описывающей процесс солеотложения на поверхностях
с искусственной турбулизацией потока и позволяющей получить
структурную форму для эмпирических зависимостей, которые наи-
более полно учитывают влияние различных факторов на процесс со-
леотложения и хорошо обобщают опытные данные.
Толщина слоя загрязнений на теплообменной поверхности зави-
сит от геометрических параметров канала, времени с начала работы
ТА, температуры потока теплоносителя и стенки, скорости течения,
давления и концентрации присадок в охлаждающей воде (ее жест-
кости). В опытах обнаружено, что рост скорости потока препятству-
ет образованию слоя загрязнений на стенке трубы как при закрутке
потока, так и при дополнительной турбулизации потока кольцевы-
ми диафрагмами. Экспериментально было также показано, что рост
термического сопротивления загрязнений на этих поверхностях со
временем значительно уменьшается и после достижения некоторой
величины термическое сопротивление становится независимым от
времени (по истечении некоторого времени с начала процесса). Та-
кой закономерности не наблюдается на внутренних поверхностях
гладких круглых труб. Таким образом, при закрутке потока в витых
трубах и при турбулизации потока кольцевыми диафрагмами терми-
ческое сопротивление отложений описывается экспоненциальной
зависимостью:
Rfoui = RfouiJ - ехр(-₽т)1	(2.1.133)
где Rfoui„ — термическое сопротивление отложений при т
166
Глава 2
Дело в том, что при отложениях происходят два одновременных
процесса: солеотложение и вынос из пристенного слоя осадков, не
осевших на стенке:
__ л dRfoul _	„
, Pfoul^foul j ^dep '^'car'
ат	ат
(2.1.134)
где &car — скорость выноса солеотложений с поверхности.
Скорость отложений &dep пропорциональна концентрации солей
С в потоке жидкости
®dep Pfoul^“foul^l
' с
1/Kp+1/KR^
-KDCW,
(2.1.135)
где Kv Кр, KRI KD — коэффициенты, зависящие от скорости течения,
температуры и геометрических параметров канала. Процесс выпа-
дения осадков определяется процессом массообмена из-за разности
концентрации солей и процессом протекания химических реакций
на границе раздела фаз.
Скорость выноса солеотложений с поверхности раздела фаз оп-
ределяется поверхностной силой, с которой поток воздействует на
слой отложений и которая возрастает с увеличением толщины слоя
отложений, т.е. с ростом Rfoul. В трубах с кольцевыми диафрагмами и
витых трубах при одной и той же скорости течения касательные нап-
ряжения больше, чем в гладких круглых трубах, и скорость выноса
солеотложений также более существенна:
®car K^wRfoul	Rfoul'
(2.1.136)
где£ = вт^/pw2 — коэффициент гидравлического сопротивления; К2
иК3 — коэффициенты.
Подставляя в (2.1.134) значения ®dep и ®car из выражений (2.1.135) и
(2.1.136), можно получить путем интегрирования выражения (2.1.134)
(с граничными условиями: при т = О Rfoul = 0, при т —> <=° RfouJ = Rfoulco)
уравнение (2.1.133) [2.1.26].
Тогда зависимость для расчета термического сопротивления слоя
отложений можно представить в виде:
Уравнение (2.1.137) отражает влияние скорости течения, кон-
центрации присадки в охлаждающую воду, параметров закрутки и
турбулизации потока на термическое сопротивление отложений. В
уравнении (2.1.137) коэффициент К3 зависит от скорости и геометри-
Глава 2
167
ческих параметров турбулизаторов на поверхности трубы и закрут-
ки потока.
Таким образом, при обобщении опытных данных необходимо оп-
ределить зависимости термического сопротивления слоя отложений
от следующих параметров:
—	для витых труб
Rfoui=t^C'C^^' s/dl	(2.1.138)
—	для труб с кольцевыми диафрагмами
Rfoui=f(RGc'C' d/D, t/D),	(2.1.139)
Pwde(J
где Rec =---- — число Рейнольдса; D — внутренний диаметр тру-
M-f
бы; deq — эквивалентный диаметр канала витой трубы; d — диаметр
кольцевой диафрагмы и максимальный размер овала витой трубы;
s — шаг закрутки витой трубы; t — шаг кольцевой накатки.
Схема экспериментальной установки для изучения процесса соле-
отложений внутри витой трубы с относительными шагами s/d = 6,2
и 12,2 была аналогична схеме установки для изучения солеотложе-
ний снаружи труб с кольцевой накаткой (рис. 2.24) [2.1.27]. Отличие
состояло только в том, что греющий теплоноситель — хлопковое мас-
ло — подавалось в кольцевой канал теплообменника типа «труба в
трубе», а нагреваемая соленая вода протекала внутри витой трубы
овального профиля и труб с кольцевыми диафрагмами. Теплооб-
менник работал по противоточной схеме. Хлопковое масло предва-
рительно нагревалось до температуры 110—115 °C. Холодная вода с
Рис. 2.24. Схема установки для изучения процесса солеотложения в каналах с ин-
тенсификацией теплообмена: 1 — баллон с СО2; 2 — бак с соленой водой; 3 — ро-
таметр; 4 — расходный бак; 5, 15 — насосы; 6 — резервуар с водой, содержащей
соли заданной концентрации; 7,8 — теплообменник типа «труба в трубе»; 9, 12 —
термометры; 10 — холодильник; 11 — расходомер; 13 — бак для хлопкового масла;
14 — электронагреватель; 16 — смесительная камера; 17 — термопара
168
Глава 2
заданным солесодержанием обладала карбонатной жесткостью до
20 мг(экв)/л. В ходе экспериментов заданная карбонатная жесткость
воды поддерживалась путем добавления в циркулирующую холод-
ную воду некоторого количества воды с более высокой жесткостью
из специального резервуара (см. рис. 2.24). В опытах измерялась тем-
пература на входе и выходе из теплообменника для греющего и хо-
лодного теплоносителей, а также их расход.
При заданных параметрах жидкостей на входе в теплообменник
опыты продолжались до момента времени, когда прекращалось вре-
менное изменение термического сопротивления солеотложений.
Этот- момент времени зависел от скорости течения w, температуры,
концентрации примесей и геометрических параметров, определя-
ющих эффект интенсификации тепломассообмена в исследуемых
каналах.
Исследуемые трубы имели внешний диаметр Dout = 10,4 мм (исход-
ный диаметр витой трубы) и внутренний диаметр D = 10 мм. Трубы
были изготовлены из нержавеющей стали. Внутренний диаметр внеш-
ней трубы теплообменника типа «труба в трубе» составлял 26 мм,
а ширина кольцевого канала — 5 мм. При этом эквивалентный ди-
аметр кольцевого канала deq =10 мм. Длина теплообменника Z = 2,5 м.
Методика эксперимента позволяла определять изменения термиче-
ского сопротивления в зависимости от роста слоя солеотложений. По
результатам определения линейных коэффициентов теплопередачи
в начальный и конечный моменты времени:
кю = О0/(^Т0),	(2.1.140)
Klx = Q/(nlbT)	(2.1.141)
определялся линейный термический коэффициент слоя солеотло-
жений:
п _ 1____________* _ foul
Ifoul if if У Г)
Л/0 ^fou!U
(2.1.142)
в предположении, что процесс солеотложений не влияет на коэффи-
циенты теплоотдачи снаружи и внутри исследуемой трубы. Терми-
ческое сопротивление внутри трубы
(21143)
где Rlfoul рассчитывается по уравнению (2.1.142). Необходимо заме-
тить, что эта методика определения Rfoul исключает необходимость
измерять температуру стенки трубы, значительно упрощая экспе-
римент. Знание коэффициентов теплоотдачи на горячей стороне поз-
воляет выполнить точные расчеты этой температуры. Помимо двух
витых труб овального профиля с относительным шагом закрутки
Глава 2
169
s/d = 6,2 и 12,2 были исследованы гладкие круглые трубы и трубы с
кольцевыми диафрагмами со следующими параметрами турбулиза-
ции потока d/D и t/D, равными 0,91 и 0,5; 0,91 и 0,25; 0,885 и 0,5.
При этом исследования проводились в следующем диапазоне па-
раметров:
—	температура холодной воды на входе в теплообменник
1'= 20... 30 °C;
—	скорость воды w = 0,05... 1,82 м/с;
—	число Рейнольдса Rec = (3... 25)-103;
—	температура стенки tw = 70... 100 °C;
—	карбонатная жесткость воды С = 5, 10 и 20 мг(экв)/л;
—	время непрерывного проведения исследования — до 360 ч.
Результаты экспериментального исследования процесса солеот-
ложения в витых трубах, гладких круглых трубах и трубах с коль-
цевыми диафрагмами представлены на рис. 2.25—2.28. Из рис. 2.25
видно, что для гладких круглых труб коэффициент теплопередачи
уменьшается в течение 280 ч приблизительно в 2,5 раза при концент-
рации соли (карбонатной жесткости воды) С = 10 мг(экв)/л и в 3—
4 раза при С = 20 мг(экв)/л. В этом случае термическое сопротивление
слоя солеотложений не достигает асимптотического значения. Для
витых труб и труб с кольцевыми диафрагмами при С = 10 мг(экв)/л и
Rec = 4-103 за 200—240 ч работы коэффициент теплопередачи умень-
шается только на 25%, а термическое сопротивление выходит на свое
toe 2.25. Изменение коэффициента теплопередачи во времени: а — С =
ж 10 мг(экв)/л; б — С = 20 мг(экв)/л; 1 — труба с кольцевыми диафрагмами при
в = 4-103, d/D = 0,91 и t/D = 0,5; 2 — витая труба с s/d = 6,2 при Re = 4-103;
Ж 4 5 - гладкая круглая труба при Re = 16-Ю3; 14-Ю3 и 3,2-Ю3 соответственно
170
Глава 2
Рис. 2.26. Изменение коэффициен-
та теплопередачи в зависимости от
безразмерного времени т/т^ при
С = 10 мг(экв)/л и Re=104 (тм =
= 250 ч): 1, 2, 3 — трубы с кольце-
выми диафрагмами при d/D = 0,91
и t/D = 0,5; d/D = 0,91 и t/D = 0,25;
d/D = 0,935 и t/D = 0,5 соответ-
ственно; 4, 5 — витые трубы при
s/d = 6,2 и s/d = ^^соответствен-
но; 6 — гладкая круглая труба
асимптотическое значение. При
концентрации С = 20 мг(экв)/л ко-
эффициент теплопередачи для труб
с интенсификацией уменьшается
на 40—50%, что значительно мень-
ше, чем для гладких круглых труб.
Таким образом, коэффициент теп-
лопередачи в витых трубах и трубах
с кольцевыми диафрагмами при со-
леотложении превышает значения
этого коэффициента в гладких тру-
бах в начальный момент времени,
когда отложения отсутствуют.
Эффективность труб с интен-
сификаторами и закруткой потока
при солеотложений увеличивается
по сравнению с эффективностью
гладких круглых труб. Это видно
из рассмотрения рис. 2.26. Если в
начальный момент процесса соле-
отложения (т = 0) отношение ко-
эффициента теплопередачи труб с
кольцевыми диафрагмами и витых
труб к коэффициенту теплопереда-
чи гладких труб составляет K/Klsm = 2,5... 3, то прит/тто — 1 отноше-
ние К/К[8т = 3,5... 5.
На рис. 2.27 показано влияние концентрации соли на термическое
сопротивление слоя солеотложений
для труб с кольцевыми диафраг-
мами с различными параметрами
турбулизаторов потока для момен-
та времени, когда т —> °о Обнаруже-
но, что с увеличением высоты ди-
афрагм величина Rfoul уменьшается.
Так, для d/D = 0,91 и t/D = 0,5 тер-
Рис. 2.27. Зависимость термического со-
противления солеотложений Rfoul от жес-
ткости холодной воды С при Re = 14-103:
1 — гладкая круглая труба; 2, 3, 4 — трубы
с кольцевыми диафрагмами при d/D =
0,935; 0,91; 0,91 и t/D = 0,5; 0,25; 0,5 соот-
ветственно
Глава 2
171
мическое сопротивление слоя солеотложений в 4—5,3 раза меньше,
чем в гладкой круглой трубе.
Результаты экспериментального исследования процесса солеот-
ложения в трубах с закруткой потока и с кольцевыми диафрагмами
были обобщены зависимостями вида (2.1.138) и (2.1.139) для расчета
термического сопротивления слоя солеотложений [2.1.26]. Для труб с
кольцевыми диафрагмами экспериментальные данные хорошо опи-
сываются степенной зависимостью:
( \0-129/ .х 0,701	.
RfouI = ll,81Re^'29C°’214 —	—	(0,062+1,2-10"3—), (2.1.144)
\DJ	D
которая справедлива для = 250 ч и следующего диапазона измере-
ния параметров: d/D = 0,91... 0,94; t/D = 0,25... 0,5; Rec = (4... 25)-103;
С = 5... 20 мг(экв)/л.
Для витых труб опытные данные по солеотложению в условиях
закрутки потока хорошо обобщаются следующей зависимостью
Rfoul
0,204Re^1227
£0,36
/ х 0,236 ,	0,447
Т	|S|
^oj	IdJ
(2.1.145)
полученной в диапазоне изменения параметров: s/d = 6,2... 12,2;
Rec = (3,2... 25)-103; С = 5... 20 мг(экв)/лпри = 250 ч. В зависимостях
(2.1.144) и (2.1.145) термическое сопротивление слоя солеотложений
Rfoul измеряется в (м2К)/Вт.
В результате экспериментального исследования процесса соле-
отложения было показано, что искусственная турбулизация потока
внутри витых труб и труб с кольцевыми диафрагмами позволяет су-
щественно уменьшить солеотложения на их внутренних поверхно-
стях (рис. 2.26 и 2.27).
Влияние солеотложений на коэффициент теплопередачи учиты-
валось введением величины термического сопротивления солеотло-
жений в выражение, определяющее этот коэффициент для цилинд-
рической стенки:
1	1	1 , Dout п 1
--- --------*--л--In-------R-lfoul "I-------
К, atD 2Х„ D ы a2Dout
(2.1.146)
где Oj и «2 - коэффициенты теплоотдачи внутри и снаружи трубы;
Дьо/ — линейное термическое сопротивление слоя солеотложений
ва внутреннем диаметре трубы.
При постоянном расходе холодной воды в исследованных каналах
рост солеотложений во времени приводит к увеличению гидравли-
ческого сопротивления. Из рис. 2.28 видно, что за 240 ч относительный
прирост во времени гидравлического сопротивления из-за солеотло-
172
Глава 2
Рис. 2.28. Изменение во вре-
мени гидравлического^ сопро-
тивления труб при различных
числах Рейнольдса и солеот-
ложениях с жесткостью хо-
лодной воды С = 20 мг(экв)/л:
1 — труба с кольцевыми ди-
афрагмами (d/D = 0,91 и
t/D = 0,5); 2 — витая труба
(s/d = 6,2); 3 — гладкая круг-
лая труба
жений при различных числах Рейнольд-
са составляет примерно 100% для глад-
ких круглых труб и 30—50% для витых
труб и труб с кольцевыми диафрагмами.
В то же время абсолютный прирост пе-
репада давления Д р за 240 ч в трубах с
кольцевыми диафрагмами в 2 раза пре-
вышает абсолютный прирост перепада
давления в витых трубах и гладких круг-
лых трубах при одинаковых значениях
числа Рейнольдса. Это объясняется тем,
что в трубах с кольцевыми диафрагма-
ми потери давления можно разделить на
потери на трение и местные гидравличе-
ские потери на диафрагмах. При этом
из-за отрывных течений на диафрагмах
толщина солеотложений различна по
длине канала на гладких участках тру-
бы в направлении течения, и это разли-
чие увеличивается с течением времени,
увеличивая долю перепада давлений на
местных сопротивлениях в суммарном
значении перепада давлений. В витых
трубах имеет место только линейное
гидравлическое сопротивление, и тол-
щина солеотложений распределена по
поверхности трубы достаточно равно-
мерно, что приводит к меньшему абсо-
лютному приросту перепада давлений в
витых трубах, а интенсивный вынос отложений с границы раздела
фаз в поток существенно уменьшает относительный прирост пере-
пада давлений по сравнению с гладкими круглыми каналами.
Выполненные исследования показали, что закрутка потока внут-
ри витых овальных труб и турбулизация потока кольцевыми ди-
афрагмами позволяют значительно интенсифицировать тепломас-
сообмен в этих каналах и уменьшить благодаря этому солеотложения
на внутренних поверхностях. При этом обнаружено, что с течени-
ем времени термическое сопротивление слоя солеотложений внут-
ри этих труб асимптотически приближается к своему постоянному
значению, что не наблюдается на внутренних поверхностях гладких
круглых труб. Интенсификация тепломассообмена в трубах позво-
ляет уменьшить минеральные отложения на внутренней поверхно-
Глава 2
173
сти примерно в 5 раз по сравнению с гладкими круглыми трубами.
При этом замена гладких круглых труб витыми трубами или трубами
с кольцевой накаткой позволяет обеспечить надежную работу труб-
чатых теплообменных аппаратов без специальной очистки их поверх-
ностей от солеотложений.
ОБОЗНАЧЕНИЯ:
a	— коэффициент температуропроводности, м2/с;
ср	— удельная изобарная теплоемкость, Дж/(кг-К);
С — концентрация солей в воде, мг(экв)/л;
Deff — эффективный коэффициент турбулентной диффузии,
м2/с;
D — внутренний диаметр трубы, м;
d — максимальный размер овала, м;
deq — эквивалентный диаметр, 4Ff/Hwet, м;
Ff — площадь проходного сечения пучка, м2;
Fob - критерий Фурье, V/fCpP^d2,,^);
Frm — модифицированный критерий Фруда, s2/(ddeq);
G — массовый расход теплоносителя, кг/с;
I — энтальпия, Дж/кг;
К — коэффициент теплопередачи, Вт/(м2К) (безразмерный
эффективный коэффициент турбулентной диффузии,
KD — коэффициент массообмена на поверхности раздела фаз,
м3/с;
К1 — линейный коэффициент теплопередачи, Вт/(мК);
Кр — коэффициент массообмена солей в воде, м3/с;
KR — постоянная химической реакции образования солей на
поверхности, м3/с;
Кип — нестационарный коэффициент перемешивания тепло-
носителя (эффективный коэффициент турбулентной
диффузии);
I	—	длина, м;
Le	—	критерий Льюиса, pc^)eff/Xe^
М	—	число Маха;
т	—	величина отложений на единице поверхности, кг/м2;
N	—	мощность, Вт;
— мощность, выделяющаяся за счет z-й группы запаздыва-
ющих нейтронов, Вт;
174
Глава 2
Nu Р Рг Q Чщеап Чу г Гк — bundle R К foul	—	критерий Нуссельта, adeg/X; —	давление, Н/м2; —	число Прандтля, срр/Х; —	тепловой поток, тепловая мощность, Вт; —	средняя плотность теплового потока, Вт/м2; —	плотность объемного тепловыделения, Вт/м3; —	радиальная координата; —	радиус пучка витых труб, м; —	удельная газовая постоянная, Дж/(кг К); —	термическое сопротивление слоя отложений, м2К/Вт;
Re S ^об S Т t и	—	число Рейнольдса, udeq/v; —	площадь поверхности теплообмена, м2; —	обогреваемая площадь поверхности, м2; —	шаг закрутки, м; —	температура, К; —	шаг турбулизаторов, (кольцевой накатки) м; —	продольная скорость, м/с;
w	— среднерасходная скорость, кг/с;
X a Peff Pi	—	продольная координата; —	коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2-К); —	эффективная доля запаздывающих нейтронов; —	доля запаздывающих нейтронов i-й группы;
5	— интегральная толщина пристенного слоя, м; тол- щина стенки тубы, м;
Sfoul AT	— толщина отложений, м; — перепад температур, К;
e к	—	пористость пучка по теплоносителю, e=Ff/FT; —	относительный коэффициент нестационарного перемешивания, Kun/Kqs;
X	— теплопроводность, Вт/(м-К);
Ц V £ P P Pl	—	динамический коэффициент вязкости, Па-с; —	кинематическая вязкость, м2/с; —	коэффициент гидравлического сопротивления; —	смоченный периметр пучка, м; —	плотность, кг/м3; —	реактивность реактора; —	суммарная реактивность реактора, отнесенная к Peff'
Глава 2
175
Рг р,	—	температурный эффект реактивности твэлов; —	плотностной эффект реактивности теплоносите- ля;
Ррег	— эффективность регулирующих органов реактора, отнесенная к ре//;
Т V	— время, с; — среднее время жизни одного поколения нейтро- нов, с;
Ъ	— время, прошедшее после остановки реактора, с.
Индексы:
в	—	внутренний;
вх —	входные параметры;
вых —	выходные параметры;
г	—	горячий;
гл	—	гладкая;
и	—	режим испытаний ТВС;
к	—	корпус; камера;
кк —	кольцевой канал;
кр н	—	круглая; наружный;
о	—	обойма;
п	—	проходное течение;
р тр	— х	—	режим расхолаживания ТВС; труба; холодный;
ср ъ bundle d eff	среднее значение; среднемассовый; пучок; определено по deq; эффективный;
eq f foul — I	эквивалентный; жидкость; отложение; линейный;
m	—	среднее по толщине пристенного слоя;
max —	максимальный;
out —	внешний диаметр; выходной параметр;
176
Глава 2
р	— при давлении р — const;
qs	— квазистационарный;
г	—	по оси г;
s	—	твердая фаза;
sm	—	гладкая;
ип	—	нестационарный;
w	—	стенка;
1	— параметры до внесения возмущения в систему;
2	— параметры после завершения переходного процесса;
5	— определено по толщине пристенного слоя;
S	— суммарное значение параметра на длине ТВС;
Список литературы
2.1.1.	Дьяков Е.К., Нежевенко Л.Б., Подладчиков Ю.Н., Федик И.И. Ре-
зультаты разработки и испытаний ТВС активных зон реакторов ЯРД/Тру-
ды 3-й межд. конф. «Ядерная энергетика в космосе. Ядерные ракетные
двигатели». Подольск, 1993. Т. 1. С. 27-32.
2.1.2.	Паршин Н.Я., Попов Е.В., Федоров Э.М. Расчетно-теоретическое
обоснование работоспособности ТВС реакторов ЯРДДруды 3-й межд.
конф. «Ядерная энергетика в космосе. Ядерные ракетные двигатели».
Подольск, 1993. Т. 1. С. 143-149.
2.1.3.	Дзюбенко Б.В., Ашмантас Л.-В.А., Сегаль М.Д. Моделирование ста-
ционарных и переходных теплогидравлических процессов в каналах
сложной формы. Вильнюс: Исток, 1994.
2.*1.4	. Дзюбенко Б.В. Теплообмен при турбулентном течении в пучках витых
стержней и проблема замыкания системы уравненийДруды 2-й Россий-
ской национальной конф, по теплообмену. М.: МЭИ, 1998. Т. 6. С. 83-86.
2.1.5.	Дзюбенко Б.В., Дрейцер Г.А., Ашмантас Л.-В.А. Нестационарный
тепломассообмен в пучках витых труб. М.: Машиностроение, 1988.
2.1.6.	Дзюбенко Б.В., Сегаль М.Д., Ашмантас Л.-В.А. Нестационарное пе-
ремешивание теплоносителя в теплообменнике с витыми трубами/Изв.
АН СССР. Энергетика и транспорт. 1983. № 3. С. 125-133.
2.1.7.	Дзюбенко Б.В. Теплообмен на начальном участке в теплообменнике с
закруткой потока//ИФЖ. 1982. Т. 42, № 2. С. 230-235.
2.1.8.	Дзюбенко Б.В. Гидравлическое сопротивление в теплообменнике с за-
круткой потока/Дам же. 1983. Т. 42, № 3. С. 357-362.
2.1.9.	Дзюбенко Б.В., Вилемас Ю.В., Ашмантас Л.-В.А. Перемешивание
теплоносителя в теплообменнике с закруткой потока/Дам же. 1981. Т. 40,
№ 5. С. 773-779.
Глава 2
177
2.1.10.	Дзюбенко Б.В., Ашмантас Л.-В.А., Богдановичюс А.Б. Нестационар-
ное перемешивание при увеличении расхода теплоносителя в пучке ви-
тых труб/Дам же. 1988. Т. 55, № 3. С. 357-363.
2.1.11.	Дзюбенко Б.В., Ашмантас Л.-В.А., Богдановичюс А.Б. Закономер-
ности нестационарного перемешивания при уменьшении расхода тепло-
носителя в пучке витых труб/Дам же. 1989. Т. 56, № 1. С. 5-11.
2.1.12.	Дзюбенко Б.В., Ашмантас Л.-В.А., Богдановичюс А.Б. Нестационар-
ное перемешивание при уменьшении расхода теплоносителя в пучке ви-
тых труб//Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1989. № 2. С. 102-114.
2.1.13.	Дзюбенко Б.В., Ашмантас Л.-В.А., Богдановичюс А.Б. Межканальное
перемешивание теплоносителя при периодическом изменении расхода
во времени в пучках витых труб // ИФЖ. 1991. Т. 60, № 5. С. 724-729.
2.1.14.	Дзюбенко Б.В., Богдановичюс А.Б., Калятка А.В., Ашмантас Л.-В.А.
Нестационарный тепломассообмен при одновременном изменении мощ-
ности тепловой нагрузки и расхода теплоносителя/Дам же. 1992. Т. 62,
№ 3. С. 349-355.
2.1.15.	Приймак С.П., Федик И.И. Особенности метрологического обеспече-
ния измерений температуры термоэлектрическими преобразователя-
ми в условиях интенсивного реакторного облучения/Друды 3-й межд.
конф. «Ядерная энергетика в космосе. Ядерные ракетные двигатели».
Подольск, 1993. Т. 3. С. 327-334.
2.1.16.	Федик И.И. и др. Измерение высоких температур термопреобразова-
телями на основе тугоплавких металлов и карбидов//Преобразователи и
приборы для измерения температуры. Киев: Знание, 1978. С. 6-7.
2.1.17.	Ашмантас Л.-В.А., Дзюбенко Б.В. Проблемы теплообмена и гидроди-
намики в ядерных энергодвигательных установках космических аппара-
тов. Вильнюс: Pradai, 1997. 370 с.
2.1.18.	Дзюбенко Б.В., Вилемас Ю.В. Кожухотрубный теплообменник//Ав-
торское свидетельство СССР № 761820. М.: Бюллетень изобретений,
1980. №33. С. 194.
2.1.19.	Дзюбенко Б.В., Сакалаускас А.В., Ашмантас Л.-В.А., Сегаль М.Д.
Турбулентное течение и теплообмен в каналах энергетических устано-
вок/Под ред. Б.В. Дзюбенко. Вильнюс: Pradai, 1995. 300 с.
2.1.20.	Дзюбенко Б.В. Методика теплогидравлического расчета тепловыделя-
ющих сборок с витыми твэлами ядерной энергодвигательной установки.
М.: Изд-во МАИ, 2003. 24 с.
2.1.21.	Данилов Ю.И., Дзюбенко Б.В., Дрейцер Г. А., Ашмантас Л.-В.А. Теп-
лообмен и гидродинамика в каналах сложной формы/Под редакцией
В.М. Иевлева. М.: Машиностроение, 1986. 200 с.
2.1.22.	Проблемы нейтронной физики и ядерной безопасности реактора ЯРД
минимальных размеров/В.А. Коновалов, Г.В. Конюхов, Ю.В. Мамаев и
др.//Труды 3-й отраслевой конференции «Ядерная энергетика в космо-
се. Ядерные ракетные двигатели». Семипалатинск, 1992. С. 29-30.
2.1.23.	Дзюбенко Б.В., Иевлев В.М. Теплообмен и гидравлическое сопротив-
ление в межтрубном пространстве теплообменника с закруткой потока//
Известия АН СССР. Энергетика и транспорт. 1980. № 5. С. 117-125.
178
Глава 2
2.1.24.	Симуни Л.М. Численное решение задачи о неизотермическом движении
вязкой жидкости в плоской трубе.//ИФЖ. 1966. Т. 10, № 1. С. 86.
2.1.25.	Крамеров А.Я., Шевелев Я.В. Инженерные расчеты ядерных реакто-
ров. М.: Энергоатомиздат, 1984.736 с.
2.1.26.	Dreitser G. and Dzyubenko В. Decrease of Salt Depositions in Channels with
Discrete Turbulence Promoters and Flow Swirling//Proc. ECI conf, on Heat
Exchanger Fouling and Cleaning: Challenger and Opportunities, June 5-10,
2005, Kloster Irsee, Germany, 6 p.
2.1.27.	Dreitser G.A., Dubrovskiy Ye.V., Dzyubenko B.V., lyevlev V.M., Kali-
nin E.K., Simonis V.M., Slanciauskas A.A., Vilemas J.V., Voronin G.I.,
Zakirov S.G., Zukauskas A.A. and Yarkho S. A. Heat transfer: Soviet reviews,
Vol. 2. Enhancement of heat transfer, eds. A.A. Zukauskas, E.K. Kalinin, and
J. Taborek, Hemisphere, New York, 1990.
2.1.28.	Kalinin E.K. and Dreitser G.A. Heat Transfer Enhancement in Heat
Exchangers, Advances in Heat Transfer, Academic Press, New York, 1998,
Vol. 31, pp. 159-332.
2.1.29.	Chan S.H. Heat and mass transfer in fouling, in Annular Review of Heat
Transfer, Hemisphere Publishing, New York, 1992, Vol. 4, pp. 363-402.
2.1.30.	Knudsen J.G. and Roy B.U. Influence of fouling in heat transfer, Proc. 7 th
Int. Heat Transfer Conference 1982, Hemisphere, New York, 1982, Vol. 2, pp.
289-300.
2.1.31.	MQIIer-Steinhagen H. Fouling: The ultimate challenge for heat exchanger
design, Transport Phenomena in Thermal Engineering, Begell House, Inc.
Publishers, New^York, 1993, Vol. 2, pp. 811-823.
2.1.32.	Kim M.-H. and Webb R.L. Particulate fouling inside tubes having a re-shaped
two-dimensioned roughness by a flowing suspension of aluminium oxide in
water. Proc. 9th Int. Heat Transfer Conference 1990, Hemisphere, New York,
1990, Vol. 5, pp. 139-144.
2.1.33.	Pinhero J. Fouling of heat transfer surfaces, In Heat Exchangers-Thermal
Hydraulic Fundamentals and Design, eds. S. Kakas, A.E. Bergles, and
F. Meinger, McGraw-Hill, New York, 1981, pp. 1013-1035.
2.2. ГИДРОДИНАМИКА МНОГОФАЗНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ
СРЕД ПРИ ДЕЙСТВИИ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ СИЛ
Одним из наиболее перспективных методов интенсификации тех-
нологических процессов является проведение этих процессов в цент-
робежном поле при тонкослойном режиме течения. Указанный ме-
тод реализуется в различных центробежных аппаратах, таких, как
роторно-пленочные аппараты, центрифуги, гидроциклоны, жидкост-
ные тарельчатые сепараторы. Расчет таких аппаратов требует знания
гидродинамических характеристик течений с учетом особенностей,
возникающих в результате протекающего в аппарате конкретного
технологического процесса.
Глава 2
179
В работе [2.2.1] изучается ламинарное установившееся осесим-
метричное течение слоя многофазной гетерогенной среды по поверх-
ности вращающихся насадок. Рассматривается также напорное те-
чение во вращающейся щели; учитываются явления расслоения и
сгущения среды, а также наличие гидродинамического начального
участка течения; реологическое уравнение состояния неоднородной
среды описывается степенной моделью.
Пусть по поверхности вращающейся криволинейной насадки те-
чет слой многофазной гетерогенной среды со свободной поверхно-
стью. Вращающаяся насадка представляет собой поверхность враще-
ния, которая задана уравнением z = f(r). Течение рассмотрим в орто-
гональной системе координат (х,у,ср), координата х которой совпадает
с образующей ротора. Коэффициенты Ламе равны: Нх — 1, Н2 — 1,
Н3 = г. Тогда упрощенные уравнения механики многофазных сред
запишутся в виде:
Э|шй) + Э(фЩ = а	, = -
дх ду
dU, r, dU, W,2 Эг
I дх ду г дх
е
-X ^ijx +РЛХ;
7=2
W,2 Эг др Л _	_
Г ду ду j=2 Jy У
(2.2.2)
(2.2.3)
	f aw, aw,				)r, wm aY		
Pl	Г1 ax +v* ay +		r	Эх г Эу?			
	j__a_ г2 dy	r3mE" L	wY		e X Fijq> +PiA 7=2	Ф’	(2.2.4)
Pi	(„ dU,- TZ Э1/, W? di 1 Эх	оу г Эл			J	=-aI^+E^x+p2^x- (7X y=1 i^j		(2.2.5)
—?+£%+₽,-fy.	<2-2-6)
г ду ду j=i Jy у
180
Глава 2
А Г Г dW^17 dw2^w2U2 drW2V2 Эг |
dx dy r dx r dy J
e	__
= Х^Ф+РЛр. z = 1-6;
j=i
i^j
(2.2.7)
где E =
f dWiV Гец fl2
---- + ----
v Эу J { dy J
интенсивность скоростей деформации.
Приведенная система уравнений должна решаться при следу-
ющих граничных условиях, учитывающих фильтрационный отток
жидкости через проницаемую поверхность:
у = 0: U,=0, Уп=-А£_Р“ ш=0;
’	'	1 v d
Массовая сила складывается из центробежной силы, силы Кори-
олиса и гравитации
= (со2г — 2(oWI)sinp — pcosp,
Fiy = (со2/- — 2соИА)со8Р — gsinp,
Fi(f) = 2cot7fsinp — 2coVfcosp.
Решение уравнений механики гетерогенных сред с учетом ука-
занных особенностей течения и граничных условий вызывает боль-
шие трудности из-за нелинейности дифференциальных уравнений
в частных производных. Одним из перспективных методов решения
таких уравнений является метод поверхностей равных расходов.
Преимущество данного метода заметно возрастает в случае исследо-
вания процессов, протекающих в гетерогенных средах, поскольку он
позволяет непосредственно определять траектории частиц составля-
ющих фаз [2.2.2—2.2.5].
В соответствии с этим методом введем в поле течения суспензии
индивидуальные поверхности равных расходов (линии тока) для каж-
дой z-й фазы: у* = у*(х), к = l,Nif z = 1,8 и обозначим Uk = Ц [х,у* (х)],
V,* = [х,у* (х)], Wk = Wt [х,у* (х)], где Uk (х), Vk (х), Wk (х) - ком-
поненты скорости z-й фазы для k-го слоя в направлении координат
х,у,<р. Здесь Nt — количество введенных линий для z-й фазы (N — NJ.
Причем линия у- совпадает с поверхностью течения, а линия у/7 —
со свободной поверхностью.
Глава 2
181
Сведем задачу о развитии течения слоя суспензии к численному
определению полей скоростей и линий тока. Обозначим изменение
расхода z-й фазы между линиями у*"1 и у* через Ф^(х). По опреде-
лению интегральное условие сохранения имеет вид:
я у*	__ ________
Ф*(х) =— J 2TtraI-[7Idy1 / = 1,0, k = 2,Nf.	(2.2.8)
dx v*~i
Ji
Определим введенные функции Ф*(х) в предположении, что мас-
сообмен отсутствует. Для чего запишем интегральное условие сохра-
нения количества z-й фазы в пленке суспензии
h	х
f 2лгаД^у+ J 27irV1(0)dx =
0	xH
 продифференцируем no x
d h
— f 271га, 17. dy =27trVi(O).
dx J
Аналогичным образом записываются балансовые соотношения
для каждого слоя [у*-1 .у*]. Очевидно, что при отсутствии массо-
•бмена расход сплошной фазы может изменяться из-за фильтрации
жидкости через проницаемую поверхность и поэтому
Ф?(х) = 271га, УДО),
Ф^(х) = 0, z = lj, к = ЗЛ-.
Уравнения движения фаз записываются на своих линиях тока и
^результате приводятся к следующим обыкновенным дифференци-
альным уравнениям:
kdU*	дг Р1ЧF .1 = tv ' dx	г дх М	J 7=2 „idW*	W,kf кдг РА ,1 = Pl 1 dx	г	Эд j=2	dp*	, , ,dyk “* dx	dx + +P1F*,	(2.2.9) ,rk ЭгА эГ „„..aw.*" dyj Эу |_	Эу (2.2.10)
182
Глава 2
р1и'~г7=~р1-
dx
6	7	/
” E Ад * PiFix '
J=2
dr dPi т / i dYi
-— а.	+ a.Jz (х, у	-
*Ч	I у	I I \	* J f _Т
дх dx	dx
(2.2.11)
, dWl_ W{_[ , Эг , Эг) °	,
P‘Ui dx ~ Pl r (U‘ dx V' ду)	P,Fi9'	(2’2Л2)
e .	____ _______ • ___
где Jt(x,y) = Xp,F*, k = 2,Nt, / = 2,N„ 1 = 2,6.
J=1
В этих уравнениях присутствуют слагаемые, содержащие част-
ную производную дрк/дх. Для вычисления этого градиента давления
интегрируем на интервале [у*-1, у* ] и затем продифференцируем по
переменной х
dpk-i dPk д У,с vf Pj№j)2 dr 'I	——
=	J J T+PjFjy dY< k = Nit2.
dx dx dx k-i i=1 r dy J J)
V; J 1\	J
(2.2.13)
у.
Поскольку среда представляется как взаимопроникающий конти-
нуум с общим давлением, градиент давления для разных фаз вычисля-
ется по общей формуле, но на своих индивидуальных линиях тока у*.
Для дисперсных фаз эти рекуррентные вычисления имеют особен-
ности. В зоне [hf,h], где i-я фракция частиц отсутствует, при вычисле-
ниях градиента давления используются линии тока сплошной фазы.
После вступления в область присутствия i-й фазы рекуррентные вы-
числения проводятся по линиям тока данной фракции.
Чтобы воспользоваться рекуррентными соотношениями общей
формулы, нужно задавать значение dpN/dx. Экспериментальные и
теоретические исследования течений по вращающимся поверхно-
стям показывают наличие входного участка, где происходит разгон
пленки и стабилизация полей скоростей. На малых радиусах вход-
ного участка не вся поступающая жидкость может быть увлечена во
вращательное движение. В результате наблюдается захлебывающий-
ся режим, когда поверхность пленки имеет значительное искривле-
ние в виде локального максимума. На начальном участке таких тече-
ний давление Лапласа ра может оказаться существенным, поэтому
нужно принять dpN/dx= dpa/dx.
Давление, обусловленное продольной и поперечной кривизнами,
определяется известными формулами как функция от h, h', h". Поскольку
в полученных уравнениях эта сила присутствует в составе градиента дав-
Глава 2
183
ления, порядок производных повышается на единицу. При каждом вы-
числении правых частей уравнений эти производные вычисляются чис-
ленно.
Уравнения для поверхностей равных расходов записываются сле-
дующим образом:
dyl = dy{ 1 +	2УД0) g_ у/-у/ 1 х
dx dx аДСГ/' + с//"1) 2 ra^U!+U/~l)
x ra.-—-+ra,-
' dx
dU! dU! 1 TTi da{ rr»-idaf
——!— + tjj —l-+rU! —-
dx dx dx
rri dr rri~l dr
+a.U—+оШ/ —
1 1 dx 1 1 dx
/ = 1,0.
(2.2.14)
Здесь значения верхних индексов j, равных к (k = 2,Nt) и I
у = 2,Nit i = 2ДЭ), указывают соответственно на сплошные и дисперс-
ные фазы.
Скорости осаждения фракций УДО),/= 2,0 определяют из систе-
мы алгебраических уравнений (2.2.6). При этом скорость сплошной
фазы УДО) находят отдельно через скорость фильтрации, поэтому
при решении этой системы алгебраических уравнений она счита-
ется известной. Кроме того, чтобы воспользоваться рекуррентными
соотношениями (2.2.14), нужно задавать значение dyf/dx.
Для вычисления слагаемых, представляющих в уравнениях
движения изменения тензора вязкого напряжения, а также ско-
ростей между линиями тока, сеточные решения L7* = Ц [х,ук (х)],
W* = Wj [x,yk (х)] представим в виде разложения в ряд по полной си-
стеме базисных функций:
N{
Ц = Д.Дх)+ X Ау(х)Т(/.(х,у),	(2.2.15)
7=2
N,
WJ- = Bfl(x)+ X ВуДх^Дх.у),	(2.2.16)
>2
W 4<(x, у) — полная система базисных функций, удовлетворяющая
соответствующим граничным условиям для скоростей Ц., Wv Для
степенной реологической модели среды они выбираются исходя из
вда профиля течения в стабилизированном участке.
Потребуем, чтобы скорости, определяемые из этих двух уравне-
ний, совпали с Ц*(х), И^-*(х) на линиях у*(х). Тогда для нахождения
коэффициентов А~(х), В~(х) получим систему алгебраических урав-
нений:
184
Глава 2
Nf	__ ____
A1W+ Е А,(х)^(х,у) = ^; A = 1,N,; 1 = 1,1;	(2.2.17)
7=2
Nf	__ _
Вп(х)+ S В^х^х.у) = wf',. к = l,Nf; i = и.	(2.2.18)
J=2
Определив значения А^(х), В^(х) из этой системы уравнений и про-
дифференцировав соотношения (2.2.15) —(2.2.16), можно найти ком-
поненты тензора вязкого напряжения.
Линии тока z-й фазы вычисляют с помощью рекуррентных со-
отношений (2.2.14) снизу вверх, а градиент давления, согласно
(2.2.13), — сверху вниз. Поэтому для вычисления правых частей си-
стемы уравнений (2.2.9) —(2.2.12), (2.2.14) необходимо использовать
процедуру прогонки. Эта система построенных обыкновенных диф-
ференциальных уравнений позволяет моделировать работу осади-
тельных и фильтрующих центрифуг.
В режиме разделения среды с расслоением фаз необходимо учи-
тывать наличие слоя осадка. В центробежных аппаратах непрерыв-
ного действия осажденная масса непрерывно выносится из рабочей
зоны. Изменения толщины 6 текучего осадка можно описать с помо-
щью дифференциального уравнения (см. работу [2.2.4])
л б	е
a»—ft/2ody=Ia.v;(O).	(2.2.19)
d*o	i=2
Система (2.2.9) —(2.2.12), (2.2.14), (2.2.19) должна решаться при на-
чальных условиях:
х = хн : Ui = UiH (у), у* = у£, 5 = 0, где 6 - толщина.
На участке напорного фильтрования фильтрующей центрифуги
происходит сгущение неоднородной среды. Изменение средней кон-
центрации многофазной неоднородной среды, аср может быть опре-
делено с помощью дифференциального уравнения, приведенного в
работе [2.2.5]
darn	/?
—— = ~acprVI(O)/frUcpdy.	(2.2.20)
ax	/0
Это уравнение решается совместно с уравнениями (2.2.9)—(2.2.12),
(2.2.14) при начальных условиях:
х — хн . Uf — t^IH(y)f Yi — YiHi ocCp — ^cp|H •
Форма вращающейся насадки описывается уравнением z — f(r),
выраженным через тригонометрические функции:
Глава 2
185
sin 0=1/yjl+fdz/dr)2 ,
cos 0 = (dz/dr)Iy[l+(dz/dr)2 .
Угол p в общем случае является функцией относительно криволи-
нейной координаты х. Поэтому в полученных соотношениях присут-
ствуют производные от тригонометрических функций sinp и cosp.
Для выбранной поверхности течения необходимо установить
связь между продольной координатой х и радиусом г. Координата х
при заданном радиусе определяется, по сути, длиной дуги:
х = ^1+(dz/dr)2dr.
о
Кроме того, в уравнениях движения (2.2.9) присутствует произ-
водная дг/дх и для каждой конкретной формы насадки нужна соот-
ветствующая формула для ее вычисления. Для решения построен-
ной системы обыкновенных дифференциальных уравнений все эти
величины должны быть определены [2.2.5].
Использованный выше метод поверхностей равных расходов мо-
жет быть успешно применен при математическом моделировании
напорных течений. Рассмотрим течение гетерогенной среды во вра-
щающейся осесимметричной щели, образованной двумя поверхно-
стями вращения произвольной формы z = f(r). Такое течение реа-
лизуется, например, в межтарелочном зазоре жидкостных тарель-
чатых сепараторов. Течение рассматривается в ортогональной си-
стеме координат (х,у,ф) с коэффициентами Ляме 1, 1, г, координата х
которой совпадает с образующей тело вращения. Радиус г для про-
извольной точки межтарелочного зазора вычисляется по формуле
г = г0(х) — ycos0, где г0(х) — расстояние от текущей точки поверхно-
сти тарелки (у — 0) до оси вращения. Тогда упрощенные уравнения
сохранения массы и импульсов для тонкослойного течения запишут-
ся в виде (2.2.1) —(2.2.7).
Применим для решения этих уравнений метод поверхностей рав-
ных расходов и введем в поле течения индивидуальные линии тока
для каждой i-й фазы. Пусть поверхность у? совпадает с нижней та-
релкой, а — с поверхностью верхней тарелки. Изменения расхо-
да между линиями у, и yf определяются с помощью балансовых
соотношений (2.2.8). Положения поверхностей равных расходов оп-
ределяются из дифференциальных уравнений (2.2.14). Преобразо-
ванные уравнения движения, записанные на своих индивидуальных
линиях тока, имеют вид (2.2.9)—(2.2.12). Для вычисления вязкостно-
186
Глава 2
го члена, а также скоростей фаз между линиями тока, используются
разложения (2.2.14)—(2.2.15).
Трудности интегрирования этих уравнений для напорных тече-
ний связаны с определением падения давления по длине канала. Из-
менение давления вызывается затратой энергии на трение между
средой и стенкой, а также изменением кинетической энергии потока
вследствие перестройки профиля скорости. Вычисление градиента
давления на основе балансовых соотношений, дифференциальные
формы которых записаны в виде (2.2.14), позволяет учитывать все на-
званные источники потери давления.
При решении системы (2.2.14) для сплошной фазы положения
двух поверхностей равного расхода из N введенных уравнений
считаются известными, поскольку они совпадают с поверхностями
вращения, ограничивающими область течения. Так как эта систе-
ма для сплошной фазы состоит из N — 1 дифференциальных урав-
нений, одно уравнение освобождается для определения градиента
давления dp/dx.
Приведем некоторые результаты численных расчетов течения
слоя неоднородной среды со свободной поверхностью по коническо-
му ротору. Особенно интересные результаты получены для входного
участка, где одновременно происходят два процесса. С одной сторо-
ны, на начальном участке происходит развитие радиального тече-
ния от заданного начального профиля до параболического. С другой
стороны, возникает явление отставания текущей среды от враща-
ющейся поверхности под воздействием силы Кориолиса. При расче-
тах были использованы различные виды начального профиля: рав-
номерный, треугольный, параболический. Во всех случаях профиль
радиальной скорости развивался до некоторого установившегося
Рис. 2.29. Линии тока на поверхностях рав-
ных расходов при к = 0, со = 30 с1, Wj = 0,
Р = 45°, Re/Fr = 72:----без учета отстава-
ния, -----с учетом отставания
вида, который не зави-
сит от выбора начального
профиля.
На рис. 2.29 показа-
ны линии тока, характер-
ные для вращающихся
насадок. Они не имеют
асимптоту и непрерывно
растекаются по поверх-
ности ротора. Зависимо-
сти продольных скоро-
стей на поверхностях рав-
ных расходов от продоль-
ной координаты показаны
Глава 2
187
на рис. 2.30. Поскольку каса-
тельное напряжение по на-
правлению от стенки к сво-
бодной поверхности убывает,
кривые ближе к свободной
поверхности сгущаются. Раз-
витие тангенциальной ско-
рости показано на рис. 2.31.
Скорость отставания имеет
явно выраженный максимум.
Влияние отставания замет-
но на рассмотренных графи-
ках линии тока и продольных
скоростей. Графики отноше-
ния скорости на свободной
поверхности к вычислен-
ной средней скорости облада-
ют ярко выраженной асимп-
тотой. Полученные результа-
ты хорошо согласуются с из-
вестными в литературе дан-
ными. Как видно из рис. 2.32,
при отсутствии фильтрации
отношение скорости на по-
верхности к средней скоро-
сти имеет асимптоту в окрест-
ности 3/2. Для проницаемой
стенки асимптота не наблю-
дается.
Изменение средней кон-
центрации среды в режи-
ме фильтрования без обра-
зования осадка показано на
рис 2.33. С ростом скорости
вращения растет скорость
фильтрации, что приводит к
ускорению роста концентра-
ции частиц. На рис. 2.34 при-
веден характерный вид изме-
нения толщины образован-
ного осадка. С уменьшением
коэффициента консистенции
Рис. 2.30. Радиальные скорости налиниях
тока при к = 0, со = 30 с4, И<| =0, р = 45°,
Re/Fr = 72:------без учета отставания,
— — с учетом отставания
Рис. 2.31. Тангенциальные скорости на
линиях тока при к = 0, со = 30 с4, Re/Fr
= 72, р = 45°:_ИЛ|н =0, _ _ _ И/|н = сот
Рис. 2.32. Зависимость отношения
скорости на поверхности к средней
скорости от продольной координаты
при к = 0, со = 10 с4, р = 45°: кривая
1 — Re/Fr = 6,45; Re = 1,614; кривая
2 — Re/Fr = 51,64; Re = 3,228; кривая
3 — Re/Fr = 174,28; Re = 4,814; кривая
4 - Re/Fr = 413,1; Re = 6,455
188
Глава г
Рис. 2.34. Влияние консистенции
осажденной массы на толщину слоя
осадкаприкн = 1О‘4,Л1 = 0,01 (кг-сп'2)/м;
ОсР|н =0,01; а20 = 0,6; 0 = 45°;
со = 30 с1: кривая 1 — с = 50 (кг-сп'2)/м;
кривая 2 — с = 40 (кг-сп'2)/м; кривая
3 — с = 30 (кг-сп 2)/м
Рис. 2.33. Влияние скорости вращения
на изменение концентрации дисперс-
ной фазы при к = 4.54-10’3, 0 = 45°,
Re =	1,61: кривая 1 — со	=	30	с1;
Re/Fr	= 58,09; кривая 2	—	со	=	40	с1;
Re/Fr	= 103,3; кривая 3	—	со	=	50	с1;
Re/Fr	= 161,4; кривая 4	—	со	=	60	с1;
Re/Fr = 232,4
уменьшается интенсивность роста слоя, поскольку растет скорость
продольного движения осадка. Полученные результаты согласуются
с физической картиной рассматриваемых процессов.
ОБОЗНАЧЕНИЯ:
с	— коэффициент консистенции осадка, кг-ся’2/м;
d	— толщина проницаемой стенки, м;
Fjx ,Fiy ,'F[	— проекции на оси х,у,ср вектора ускорения массовых
сил, действующего на i-ю фазу, м/с2;
FiJX ,РуylFiJ(p — проекции на оси х,у,<р вектора силы взаимодействия
между i-й и j-й фазами, кг/(м2-с2);
h	— толщина пленки смеси, м;
к	— коэффициент проницаемости, м2;
т	— коэффициент консистенции гетерогенной среды,
кг-сп‘2/м;
п	— реологический коэффициент нелинейности среды;
N-	— количество поверхностей равных расходов для i-й
фазы;
Ра’ Р& Р ~ Давление, соответственно, атмосферное, Лапласа и
в пленке смеси, Н/м2;
Ц-, Vi,Wi — компоненты скорости i-й фазы смеси в направле-
нии координатх,у,<р (м/с);
Сэд	“ скорость движения осадка в направлении коорди-
наты х, м/с;
ос	— объемная концентрация i-й фазы;
Глава 2
189
/
аср = У а, — средняя концентрация дисперсных частиц в смеси;
а20 1=2	— доля дисперсных частиц в осадке;
р	— угол наклона образующего конуса;
5	—	толщина осадка, м;
§2	—	дельта-функция;
0	—	количество фаз;
рг	—	плотность z-й фазы, кг/м3;
о)	—	скорость вращения, с1;
Т	—	эквивалентная вязкость, кг-сп‘2/мп;
Re = рйц U| /т — число Рейнольдса;
Fr =	L /~ число фРУАа-
Индексы:
а	—	атмосферное;
н	—	начальное значение;
ср	—	среднее значение;
z	—	номер фазы или фракции;
к, I — номера поверхностей равных расходов для сплошной и
дисперсной фаз;
20	— осадок.
Список литературы
2.2.1.	Kholpanov L.P., Ibyatov R.l. Calculation the multiphase heterogeneous
medium hydrodynamic in a centrifugal field. Heat Trasfer Research. 2006.
V. 37. N 4. P. 307-320.
2.2.2.	Ибятов Р.И. Методы расчетов гидродинамических процессов при фильт-
ровании и центрифугировании суспензий: Автореферат, дис. на соиска-
ние ученой степени д-ра техн. наук. Казань: Казанский государственный
технологический университет. 2005.38 с.
2.2.3.	Холпанов Л.П., Ибятов Р.И., Ахмадиев Ф.Г., Фазылзянов Р.Р. Мате-
матическое моделирование гидродинамики на проницаемых поверхно-
стях//ТОХТ. 2003. Т. 37. № 3. С. 227-237.
2.2.4.	Ибятов Р.И., Холпанов Л.П., Ахмадиев Ф.Г. Течение многофазной
среды по проницаемой поверхности с образованием осадка//ИФЖ. 2005.
Т. 78. № 2. С. 65-72.
2.2.5.	Ибятов Р.И., Холпанов Л.П., АхмадиевФ.Г., Фазылзянов Р.Р. Мате-
матическое моделирование течений гетерогенных сред по вращающим-
ся проницаемым поверхностям//ТОХТ. 2003. Т. 37. № 5. С. 479-492.
190
Глава 2
2.3. ВОЛНООБРАЗОВАНИЕ В ТОНКОЙ ПЛЕНКЕ ЖИДКОСТИ
Массообмен при волнообразовании
Теоретические основы массообмена в тонкой пленке жидкости
при волнообразовании подробно описаны в работах [2.3.1—2.3.8], где
предложен механизм массообмена при волнообразовании. Механизм
переноса вещества при волновом режиме представлен в виде следу-
ющей модели. От некоторой точки в седловине волны с концентраци-
ей на межфазной поверхности ср начинает развиваться диффузион-
ный слой. Под диффузионным слоем будем понимать то расстояние
от поверхности раздела фаз, на котором концентрация распределя-
емого вещества отличается на 1% от концентрации в ядре потока. По
толщине пленки концентрация распределяемого вещества на неко-
тором начальном участке, равном длине волны, меняется от ср на меж-
фазной границе до нуля на границе диффузионного слоя 5. В конце
этого участка вследствие существования вихрей происходит полное
перемешивание жидкости. В результате этого концентрация распре-
деляемого вещества выравнивается по толщине пленки и становится
равной с1. Таким образом, концентрация на границе диффузионного
слоя меняется от 0 при х = 0 до с1 при х = X, где X — длина волны. На
последующем участке, также равном длине волны, опять происходит
рост диффузионного слоя, но с той разницей, что концентрация на
его границе становится равной с1. Поэтому на втором участке необ-
ходимо решать задачу с граничными условиями с — ср на поверхно-
сти раздела и с = с1 на границе диффузионного слоя. Решение, полу-
ченное с этими граничными условиями, качественно не изменится
от решения, найденного на первом участке. Однако количество ве-
щества, перешедшего из газа в жидкость на втором участке, будет не-
сколько меньше, чем на первом, за счет уменьшения движущей силы
процесса, т.е. Дс = ср — 0 > ср — с1.
Достаточным условием, позволяющим проводить решение урав-
нения конвективной диффузии на длине волны, доказано с помощью
результатов расчета гидродинамики пленочного течения [2.3.2] и ис-
следования нелинейных динамических систем (рис. 2.35, 2.36).
Количество вещества Q, перешедшего из газовой фазы в жидкую
на длине волны:
л
О = РжДспс?р$,	(2.3.1)
о
где Рж — коэффициент массоотдачи; d — диаметр трубки; ds —
элемент поверхности. С другой стороны:
Глава 2
191
х
Q = nd J j^ds,	(2.3.2)
о
где Д — плотность диффузионного потока на
длине волны. Откуда
х
jhds
₽ж=-е-г-.	(2.3.3)
Acfds
о
Таким образом, в случае полного переме-
шивания волн в седловинах задача сводится к
определению величины диффузионного слоя
на расстоянии вдоль поверхности массообме-
на, равном первой длине волны. Эту величину
определим из решения уравнения конвектив-
ной диффузии
дс дс дс _ д2с	п Q ,4
^7 + VxV- + Vy4- = Or-2	(2-34>
dt дх у ду ду
с граничными условиями
с = ср при у=угр= а0[1 + asinn(x-cot)],
фазовой скорости от
амплитуды: сплошная
линия — расчет по
нелинейной теории
[2.3.4]; точки — экспе-
риментальные данные
работы [2.3.11].
(2.3.5)
с = 0 при у-> 0 (вдали от поверхности раздела).	(2.3.6)
Рис. 2.36. Зависимость относительной фазовой скорости
от относительной амплитуды [2.3.12]
Е	f = 9, Re = 90	7=7, Re = 125	7 = 9, Re = 200	7=8, Re = 400
2,5	1	5	9	13
7,5	2	6	10	14
12,5	3	7	И	15
15,0	4	8	12	16
192
Глава 2
(2.3.7)
Особенность постановки данной задачи состоит в том, что кон-
центрация распределенного вещества (условие (2.3.5)) задается на
искомой волновой поверхности пленки. Эта нелинейность приводит
уравнение (2.3.4) также к нелинейному по переменным уравнению.
В уравнении (2.3.4) их, иу являются функциями х, у, t. При парабо-
лическом распределении скорости в пленке [2.3.2] имеем:
(	2 Л
— У У
и = Зи -—,
a 2a2
_	Un - co	.	....
гдеи = со + ----------—, a = ao[l+acp(n(x-cot))].
l+acp(n(x-cot))
Разделим второй член последней формулы на соотношение
[1 + a<P(^)].
В результате получим формулу, составленную из суммы скоро-
стей для гладкой пленки и возмущения скорости, возникшего из-за
наличия волн на поверхности пленки
u = 3uq 7^-775- +3(w-Uo)aq)©[l-aq>fi)]
I ho 2/iq)	l^ho 271q
= и+и',	(2.3.8)
V A) 2h0>
где a0 — средняя толщина пленки; co = voz — фазовая скорость;
n = 2я/Х — волновое число; и0 — средняя скорость жидкости. Если
известна компонента скорости их, то значение иу определяется из ус-
ловия неразрывности:
J-7^dy-
о dx
Из выражения (2.3.8) следует формальное представление актуаль-
ной скорости в виде осредненной и пульсационной, напоминающее о
турбулентном характере переноса количества движения. Однако, как
будет показано, этот формальный признак не является полной харак-
теристикой турбулетного переноса. Эргодический характер в явлении
переноса допускает существование периодических составляющих.
При решении уравнения (2.3.4) значения составляющих скоро-
стей их и иу возьмем на поверхности раздела, т.е. при у — угр. Это оп-
равдано тем, что процесс переноса осуществляется в диффузионном
слое, непосредственно примыкающем к поверхности раздела. Под-
ставляя значения их и иу при у — угр в уравнение (2.3.4), получим:
дс	.	..
—+аполПл cosn(x - cot) х
1+a sin n(x - cot) J dx
1-z
дс 3
dt + 2
в,
1-z
х 0,5z+l,5
1+a sin п(х - cot) J ду
дс _ d2c
dp'
(2.3.9)
Глава 2
193
Переходя к новым переменным ц = у — угр, £ = п(х — (Dt), х = xv
приведем уравнение (2.3.9) к виду:
*\2 л
(l+asin£)K—-^--|(d+esin^)-—-(g + hsin£) = 0,	(2.3.10)
Эц Э£	dxj
где к = D/von; е = 0,5za; d — 1,5— z; g = 1,5/n; h = l,5za/n.
Будем искать решение уравнения (2.3.10) в виде ряда Фурье
c = c0(T],x) + c10(T],x)sin^+c11(T],x)cos^+
+c20(T],x)sin2£+c21(T],x)cos2£-l-...	(2.3.11)
Для коэффициентов ряда Фурье получим систему уравнений
ксс.. е Эсп 1 , Эсщ л
кс0 +—По + “И i-о———h—— = 0,
0 2 10 2 11 У Эх 2 Эх
..	..	,	. Эсп	Эс1П
кас0 +кс0 +dcn-h—g—= О,
дх	дх
Эс
Kc0-dc10-g—— = 0.
Эх
(2.3.12)
Решим эту систему уравнений методом интегральных соотноше-
ний. В этом случае коэффициенты ряда Фурье ищем в виде полино-
мов:
2	3
ц	ту	ту
с0 ~с01 + с02 т + Соз Т2 + с04 ТУ,
О	о	о
Ц	Т]2	Т]3
С10 -С101 +С10 2 7Г + С10 3Т7 + С10 4—з-'
о	5	8
2	3
Т]	Tf	ТГ
С11 -Сц 1+Сп 2 х +Сц з~2+с11 4Тз"»
о	8	8
в которых коэффициенты и 8 являются функциями х. Граничные
условия (2.3.5) и (2.3.6) в новых переменных запишутся как:
л = 0 с0=ср
т) = -5 с0 = О
сю ~ ci i - 0>
сю =си
(2.3.13)
Для гладкости функций с- потребуем, чтобы ц = — 8, тогда:
дс/дц = 0, где i = 0, 10, И.
Проинтегрируем каждое уравнение системы (2.3.12) по ц от 0 до
—8. После несложных преобразований получим систему нелиней-
ных дифференциальных уравнений относительно Д = 82(х):
194
Глава 2
-Зк-С102
кос е _
----+----с112
2 24 112
А +
gd&
8 dx
h А dcl02 сю2 dA
— д--------+-------
241 dx 2 dX;
d
12
hdA
8 dx
g(dc102 c102 dA^
12^ dx 2 dx>
(2.3.14)
_ dCiQ2&
KCi 12
112	12
g(.dcl02 ci02 dA^
12^ dx 2 dx>
где c102-c102/c0, c112-c112/c0.
Запишем нелинейную систему уравнений (2.3.14) в виде, более
удобном для численного интегрирования:
^ = F.
dx
dc1I2	р _	12
-----~	Q19 н	А,
dx----2Д	дД
dx Al h 2 102J
24
Л-А
где
F = 8(f2h - 2flg)/(h2 -2g2), fi =3k+c102^-^Ac112;
d_ A ,	_ dA_
f2 - 3Kd + KC102	f3 - Kc112 +	c102-
(2.3.15)
Для x = О начальное условие A = 0, а для c112, c102 начальные ус-
ловия находили на основании системы (2.3.15) с учетом уравнений
(2.3.13) и А = 0 при х = 0. Поскольку для системы уравнений (2.3.15)
имеется неопределенность при А = 0, решение начинали со значения
х ф 0. Для этого функции А, с102, с112 разлагали в ряды, причем ко-
эффициенты рядов находили обычным способом. Полученное чис-
ленное решение нелинейной системы (2.3.15) аппроксимировалось
формулами, пригодными для инженерных расчетов: выражение для
относительной амплитуды и величины диффузионного слоя имеют
соответственно вид:
Iga =-0,71g—+0,91;
К
(2.3.16)
5(х) = >/кехр(1,5-0,71пос) 1-ехр -а^
\ I Л,
\1/2
(2.3.17)
Глава 2
195
где
A =f9c'
D
дп
(2.3.18)
сх-0 ,57 п о
а =-------2,3 при 0,6 < а,
0,01 F
а-0,39
а =------2,3 при 0,6 > а.
0,097
Определим плотность диффузионного потока на длине волны:
। дс л дс л дс дс
= — cos(nx)+—— cos(ny) = — cos 6 - — SinG,
т]=о	дУ	dy dx
где 0 = arctgdy/dx.
Переходя в этом выражении для диффузионного потока от пере-
менных х, у к переменным хр т), получим:
А • de	е дс дс^ дс _
^- = sm0   a0ancos£— + п—	cosO.
D	dr) dtj Эт]
Подставляя в формулу (2.3.19) вместо производных их значения
после усреднения по периоду, получим соотношение
2 " з
1+-(аоап)2 ,
А
D
дс
(2.3.19)
Пр ОСП
2
А = 2£
Дс 6(х)
где 5(х) дано выражением (2.3.17), записанным с учетом уравнений
(2.3.18). Для определения Рж подставим в формулу (2.3.13) значение
]\/Ас и, проинтегрировав по х от 0 до X, получим:
— 1+—(арап)2 ехр(0,71па-1,5) 1+*—ехР( . (2.3.21)
4 J	L а
Величина 1п(4 — ехр(—а))/а во многих случаях составляет 1—2%,
поэтому для простоты расчетов ее не учитываем. Без учета этого чле-
на формула (2.3.21) после несложных вычислений может быть пред-
ставлена в следующем виде:
₽Ж=7’5Й
5
4
1-
(2.3.20)
(2.3.22)
г voz
где I = —--частота волны; z — безразмерная фазовая скорость.
Л
Как отмечалось выше, формулы (2.3.21) и (2.3.22) получены при
условии существования вихревой когерентной структуры при вол-
нообразовании.
Однако, если предположить, что перемешивание раствора от-
сутствует, а величина диффузионного слоя постепенно растет по
всей длине трубки, то зависимость с(х) = Д/к от числа волн t = х/Х
описывается формулой
196
Глава 2
Hx) = AW-(1,6~a2)*
1 ’ к 0,017 Л’
откуда величина диффузионного слоя
(2.3.23)
1,6-а2 Щ
0,034л у
В этом случае баланс вещества для всей длины трубки можно со-
ставить следующим образом:
L	L
(ЗжЛспс? J ds - rcdj j[ds,
о	о
ад=
(2.3.24)
(2.3.25)
откуда
р = ° Дс-
Рж L
jds
о
Подставляя в эту формулу значение диффузионного потока
(2.3.20) и учитывая выражение (2.3.23), получим:
о i-96
(2.3.26)
1+НооОл)2
Руо
L
(2.3.27)
Таким образом, на основе решений уравнений переноса количест-
ва движения и вещества (см. формулы (2.3.21) и (2.3.22)) ясна сущ-
ность этого механизма при волнообразовании. Она состоит в том,
что массообмен происходит порциями по длине, почти «квантами»
только с позиций макрокинетики. Он назван «спиновым массообме-
ном». Массообмен при волнообразовании, согласно предложенному
механизму, определяется когерентной волновой самоорганизуемой
структурой, а характерным размером в этом случае является длина
волновой структуры, а не размер контактного устройства (напри-
мер трубки), как это принималось ранее. Длина волны когерентной
структуры, ее характерный размер намного меньше длины контакт-
ного устройства (например длины трубки).
В то же время, как это следует из формул (2.3.21), (2.3.27), харак-
терный размер находится в обратной зависимости в выражении для
расчета эффективности, то есть
р, = 1,673а0'7. или Рх = 1,673а0,7./—,	(2.3.28)
V л	V z
р1=.	--7^71,
VI, 6 -а2
(2.3.29)
Глава 2
197
где а — амплитуда волны; X — длина волны; L — длина контактно-
го устройства; и0 — средняя скорость; D — коэффициент диффузии;
f = —— — частота волны; z — безразмерная фазовая скорость. Из со-
Л
отношений (2.3.28) и (2.3.29) видно, что при волновом пленочном
течении эффективность массообмена повышается. При этом коге-
рентная структура, рассчитанная по формуле (2.3.28), намного пре-
вышает повышение интенсивности массообмена, определенной из
уравнения (2.3.29). Это превышение можно оценить по следующему
соотношению:
(2.3.30)
При параметрах: а =0,6, X = 2 см, L = 100 см, часто встречающих-
ся в процессах, согласно формуле (2.3.30), массообмен при волно-
образовании будет теоретически повышен до 5 раз. На самом деле,
практически интенсивность массообмена при волнообразовании
повышается в 2—4 раза в зависимости от числа Рейнольдса, что мож-
но объяснить неполным перемешиванием в седловине волны.
Пленочный режим в условиях волнообразования широко исполь-
зуется в высокоэффективных тепломассообменных аппаратах при
организации различных процессов: абсорбции, теплообмене, в том
числе с фазовыми переходами (конденсации, испарении), массооб-
мен при режимах восходящего прямотока интенсифицируется на
порядок.
Теоретическая зависимость, представленная формулой (2.3.30),
носит предсказательный характер при создании искусственно коге-
рентных структур в самоорганизующихся системах. Такие явления
имеют место в процессах тепломассообмена при создании искусст-
венной шероховатости, а также при использовании в тепломассооб-
менных аппаратах различного рода вставок и завихрителей с опре-
деленным шагом.
Предсказательный характер формулы (2.3.28) преследует цель со-
здания регулярной структуры, обеспечивающей при минимуме гид-
равлического сопротивления высокую интенсивность тепломассо-
обмена.
Таким образом, уравнение конвективной диффузии при волнооб-
разовании допускает два решения при малых и сравнительно боль-
ших числах Рейнольдса. Представим эти решения в безразмерном
виде:
Sh 1,96	11 бряайЛ2 М1/2
Sh0 5/1,6-а2 X J _\6у
(2.3.31)
198
Глава 2
^ = l,21a°'’f-'l .	(2.3.32)
Sh0	W
Формулы (2.3.31) и (2.3.32) получены делением формул (2.3.28) и
(2.3.29) соответственно на одну из известных формул, применяемых
для расчета пленочного массообмена в гладкую пленку, например на
формулу Левича [2.3.13]:
1/2
Sh
Re1/2
, где Re = q/v.
(2.3.33)
0 D ImJ
Из формул (2.3.31) и (2.3.32) следует, что если при массообмене, со-
ответствующем непрерывному росту диффузионного слоя, увеличе-
ние массообмена возможно на несколько процентов, то при когерент-
ном переносе скорость массообмена может возрастать в несколько
раз (формула (2.3.30)).
Следует еще раз обратить внимание на формулу для диффузион-
ного слоя при когерентном режиме массообмена. Она отражает но-
вый тип массообмена, обусловленный существованием продольно-
го пограничного слоя. Физически это означает, что при когерентном
массообмене существует продольная область, в которой происходит
основное изменение концентрации (до этого были известны области,
в которых основное изменение концентрации происходило в попе-
речном направлении). Это создало такие понятия, как пограничные
слои: гидродинамический, тепловой и диффузионный. Из теорети-
ческого исследования когерентного массообмена впервые получена
величина продольного пограничного слоя, указывающая на область
основного изменения концентрации в продольном направлении, сов-
падающем с направлением течения. Это, по существу, является те-
оретическим объяснением применения различных турбулизаторов
для интенсификации процесса тепломассообмена.
Отметим еще одну особенность гидродинамики и массообмена
при пленочном течении. Обратим внимание на характер распределе-
ния скорости, представленный формулой (2.3.8). Он вносит сущест-
венные коррективы в природу уравнения конвективной диффузии
для волновой пленки. На самом деле, если первый член этого урав-
нения по форме напоминает уравнение переноса вещества в гладкой
жидкой пленке (при a -> 0), то его второй член, имеющий пульсаци-
онную природу, характеризует волновую природу массообмена.
При волновом течении пленки жидкости и массообмене в ней
формально соблюдаются основные внешние признаки турбулент-
ности — добавка к осредненной скорости пульсационного движения
(2.3.8), как это имеет место при турбулентном движении. Однако эти
Глава 2
199
добавки не носят случайный характер. Об этом также свидетельст-
вует наличие периодической составляющей в зависимости корре-
ляционной функции от частоты. Спектральная плотность для это-
го случая показывает наличие доминирующей частоты. Показатели
Ляпунова имеют отрицательные значения [2.3.4].
Все это указывает на вероятность проявления эргодичности дви-
жения в фазовом пространстве. Поскольку для такого движения без-
различно, является траектория системы случайной или периоди-
ческой, то наличие в распределении скоростей двух составляющих
(средней и пульсационной) не противоречит проявлению когерент-
ных структур при пленочном волновом течении.
К тому же, при пленочном волновом течении проявляются дина-
мические свойства системы, отвечающие закономерностям возник-
новения самоорганизации и турбулентности [2.3.3; 2.3,4; 2.3.9; 2.3.10].
Именно в этих работах доказано, что условием возникновения тур-
булентности (хаоса) в неустойчивых системах является нелинейная
зависимость фазы (для распределенных систем) либо частоты (для
нераспределенных систем) от амплитуды возмущений. Необходи-
мым условием возникновения самоорганизации является линейная
зависимость фазы (частоты) от амплитуды. Естественно, возможны
и случаи вырождения этой зависимости: равенство нулю углового
или свободного члена в зависимости фазы (частоты) от амплитуды
возмущения. Как следует из рис. 2.35 и 2.36, действительно имеет
место линейная зависимость фазовой скорости от амплитуды, что
характерно для процессов, характеризуемых возникновением само-
организации. Эта зависимость следует как из решения нелинейного
уравнения Навье — Стокса [2.3.3; 2.3.4; 2.3.9; 2.3.10], так и из экспери-
ментальных данных работы [2.3.11].
Из сказанного следует, что возмущение, накладываемое на основ-
ное движение, может оказывать двоякое воздействие. При малой ам-
плитуде в уравнении поверхности пленки жидкости в виде периоди-
ческой функции влияние возмущения на характер движения будет
незначительным (рис. 2.37,а). В этом случае решение уравнения для
конвективной диффузии будет мало отличаться от решения уравне-
ния для гладкой пленки (некоторое увеличение вызвано увеличени-
У
ем поверхности контакта).	/	\
На рис. 2.37,а указаны значения функции тока у —	, изме-
У
няющиеся по длине волны и по толщине пленки жидкости [здесь
е 2я,	„
£ =—(x-cof)], рассчитанные по нелинейной теории течения тон-
Л
ких слоев жидкости при волнообразовании [2.3.2, 2.3.4]. Точ-
ки равных расходов в пленке жидкости соединены линиями. Как
200
Глава 2
Рис. 2.37. Мгновенная картина течения в пленке жидкости [2.3.2 —2.3.4]: а — при
Л = 0,095, Ga = g/i^/v2 = 18,193, ReL = 3g/v = 20,365; б — прит] = 0,165, Ga = 62,5,
ReL = 87,45
показано на рис. 2.37,а, в седловине волны функция тока име-
ет положительное значение по всей длине волны, т.е. в седлови-
не волны отсутствует перемешивание. Незначительное повышение
коэффициента массообмена обусловлено увеличением поверхности
контакта фаз; второй член уравнения (2.3.8) мало влияет на резуль-
тат решения. Формула (2.3.29) для коэффициента массоотдачи прак-
тически совпадает с формулой для гладкой пленки.
С увеличением амплитуды возмущение может изменить харак-
тер движения, а следовательно, и массообмен в пленке. Функция
тока V
на линиях равного расхода принимает отрицательное
значение в седловине волны (см. рис. 2.37,6). В этом случае второй
член уравнения (2.3.8) приобретает существенное значение. Форму-
ла (2.3.28) для коэффициента массоотдачи качественно отличается от
формулы (2.3.29).
Следует отметить, что рис. 2.36 и рис. 2.37 доказывают необходи-
мость решения уравнения конвективной диффузии на длине волны,
т.е. по модели полного перемешивания на длине волны.
В таблице 2.3.1, как пример, показано сопоставление результатов
расчета по формулам (2.3.28) и (2.3.29) с экспериментальными данны-
ми работы [2.3.14]
Следует отметить, что уже при Re£ = 4q/v = 35 данные расчетов
по формуле (2.3.29) становятся меньше экспериментальных данных Р'.
Начиная примерно с этих чисел ReL, в седловинах волн функция тока
Глава 2
201
Таблица 2.3.1
Сравнение коэффициента массоотдачи,
полученного экспериментально [2.3.14] и коэффициентов,
рассчитанных по формулам (2.3.28) и (2.3.29)
Re£	Коэффициент массоотдачи, м/ч		
	Р'	Р"	Р'"
	0,13	0,084	0,136
	0,115	0,077	0,12
	0,17	0,0965	0,167
04	0,154	0,0886	0,148
Примечание. В числителе — при десорбции О2, в знаменателе — при абсорбции СО2; Р' —
экспериментальные данные работы [2.3.14], Р" рассчитан по формуле (2.3.29), Р'" — по фор-
муле (2.3.28).
принимает отрицательное значение (см. рис. 2.37,6), то есть rotv =/- 0,
что указывает на завихренность течения. Пульсационная составля-
ющая (второй член в формуле (2.3.8)) возрастает, профиль скорости
становится более заполненным в седловинах волн. Отрицательное
значение функции тока в седловине волны указывает на существо-
вание когерентного характера переноса вещества при волнообразо-
вании в пленочном течении, что способствует интенсификации мас-
сообмена, поскольку в этом случае в качестве характерного размера
выступает длина волны, а не длина контактного устройства, напри-
мер трубки.
В табл. 2.3.2 приведены результаты сравнения коэффициен-
тов массоотдачи, рассчитанных по формуле (2.3.28) и полученных
экспериментально [2.3.63] на длинных трубках на расстоянии
2386 мм от верхнего среза трубы для системы О2—Н2О при 20 °C,
*>о2-н2о = 19-10’mVc.
Таблица 2.3.2
Сравнение коэффициентов массоотдачи,
рассчитанных по формуле (2.3.28) и полученных экспериментально
Re£ = 4q/v	а	Z	f, с1	Ррасч105- м/с	Рэксп105- м/с
60	0,40	1,95	3,30	4,98	4,7
100	0,49	1,65	3,60	6,53	6,1
200	0,53	1,60	5,09	8,44	8,4
400	0,574	1,51	5,966	10,09	10,0
800	0,643	1,36	6,85	12,03	10,3
1200	0,643	1,36	7,50	12,57	11,02
1600	0,643	1,36	7,50	12,57	11,09
202
Глава 2
Следует отметить, что до Re£ = 60 на интенсивность массообмена
существенную роль оказывает поверхность пленки, а не новая форма
организации интенсивности массообмена, связанная с его когерент-
ной структурой и использующая в качестве характерного размера
длину волны. Выше Re£ = 1600 существенную роль в интенсивности
массообмена начинают оказывать турбулентные пульсации и про-
цесс массообмена.
Интенсификация тепло- и массообмена на стенках аппаратов
с регулярной шероховатостью
Однофазная задача. Подобный подход был применен при исследо-
вании процессов тепломассообмена на стенках аппаратов с регуляр-
ной шероховатостью [2.3.2].
На основе теоретических решений уравнений переноса количест-
ва движений и вещества получено выражение для интенсивности
массообмена в пленке жидкости, текущей по шероховатой поверх-
ности:
₽S = J^-[1+O,6(anho)2^(a),	(2.3.34)
2тс
где S — расстояние между выступами шероховатости; п = — — вол-
Л
новое число; hQ —средняя толщина пленки жидкости;
ф(а) = 1,22 — 0,23а при а < 0,4;
ф(а) = 1,1 при а >0,4;
а = ——— (к — высота выступа).	(2.3.35)
к + 2/?0
Заметим, что формулы (2.3.28) и (2.3.34) идентичны по своей
структуре. В формуле (2.3.28) когерентная структура создается са-
мим течением, а в формуле (2.3.34) — регулярной шероховатостью. В
обоих случаях интенсивность массообмена обратно пропорциональ-
на длине регулярной структуры, которая в несколько раз превышает
длину контактного устройства, обеспечивая тем самым повышение
интенсивности массообмена.
Как видно из формулы (2.3.34), коэффициент массоотдачи зави-
сит также от геометрических характеристик регулярной шерохова-
тости, т.е. от расстояния между выступами шероховатости и высоты
самого выступа. Тогда зависимость, характеризующая повышение
интенсивности пленочного массообмена на стенке с регулярной ше-
роховатостью, например при а = 0,6, будет иметь вид:
Глава 2	203
|s.=0,685А	(2.3.36)
Pl »Ь
Для реальных конструктивных и расчетных параметров шерохо-
ватости при оптимальном режиме процессов массообмена в пленке,
текущей по стенке с регулярной шероховатостью, оптимальный ре-
жим реализуется при соотношении S/к = 6... 8, причем в этом случае
волновое течение повторяет структуру шероховатости, т.е. S = X. При
таком же соотношении реализуется режим оптимального тепломас-
сообмена при пленочном течении на пластине с регулярной шерохо-
ватостью. Расчет по формуле (2.3.34) показывает, что использование
при пленочном массообмене контактных устройств с регулярной ше-
роховатостью приводит к повышению интенсивности массообмена
примерно в 2 раза и более.
Результаты сравнения расчетов по формуле (2.3.34) с опытны-
ми данными работы [2.3.15] приведены в таблице 2.3.3. Как следует из
этой таблицы, с возрастанием числа Рейнольдса наблюдается улучше-
ние сходимости расчетных и экспериментальных данных. Отклонение
между расчетами и экспериментом при низких значениях чисел Рей-
нольдса связано, возможно, с тем, что расчетная формула получена без
учета установления оптимального гидродинамического режима.
Таблица 2.3.3
Сравнение значений коэффициентов массоотдачи, полученных
экспериментально [2.3.15] и рассчитанных по формуле (2.3.34)
	ReM = q/v	Толщина пленки h0, см	Рж40'2, см/с	
			экспериментальный	рассчитанный по формуле (2.3.34)
	170	0,046	1.9	2,46
	400	0,072	2,7	3,1
	700	0,095	3,5	3,74
	1000	0,12	4,0	4,31
	1500	0,14	4,8	4,9
Помимо всего прочего коэффициент массоотдачи при наличии
искусственной шероховатости существенно отличается от коэффи-
циента массоотдачи для гладкой поверхности при соблюдении про-
чих равных условий.
На основе теоретических исследований массообмена в аппаратах
с контактными устройствами с регулярной шероховатой поверхно-
204
Глава 2
2	6 Ю2 2	6 1 03 2	6 1O*Re
Рис. 2.38. Зависимость коэффициента мас-
соотдачи Рж от числа Re = q/v при абсорбции
СО2: сплошные линии — эксперименталь-
ные данные, приведенные в работе [2.3.15]
при различных отношениях расстояния
между выступами (S) к высоте выступа (к);
о° — данные, соответствующие массоотдаче
в гладкую пленку (6 = 24°56'); пунктирная
линия 1 — расчет по формуле (2.3.34) для оп-
тимального соотношения S/к = 6,7; штрих-
пунктирная линия 2 — расчет по формуле из
работы [2.3.15]
ке с регулярной шероховатостью, при различных отношениях S/k.
стью были разработаны
новые поколения аппара-
тов и систем кондициони-
рования воздуха. При этом
был отмечен эффект, свя-
занный с опережающим
ростом тепломассообмена
по сравнению с гидравли-
ческим сопротивлением,
отмеченный ранее при ис-
следовании массообмена в
пленке жидкости при вол-
нообразовании [2.3.16].
На рис. 2.38 представле-
но сопоставление резуль-
татов расчета по формуле
(2.3.34) с опытными данны-
ми работы [2.3.15]. Сопо-
ставление проведено с ко-
эффициентом массоотдачи
при абсорбции СО2 пленкой
жидкости, текущей по стен-
Двухфазная задача. Рассмотрим двухфазный массообмен при ус-
ловии, что сопротивление массопередаче остается в пленке жидкос-
ти. Влияние газа на массообмен в этом случае учтено касательным
напряжением на границе раздела пленки: жидкость — газ. Такая
постановка задачи при решении уравнений гидродинамики впервые
была предложена в линейной [2.3.1—2.3.3] и нелинейной [2.3.4—2.3.8]
постановках. В этих работах было получено выражение функции
тока для течения волновой пленки жидкости по гладкой поверхности
в спутном потоке газа в линейной и нелинейной постановках зада-
чи. Строго говоря, к данной задаче эта функция тока не применима,
так как в ней не учтено наличие шероховатости. Но если учесть, что
процесс массопередачи сосредоточен в тонком слое вблизи свобод-
ной поверхности, а отличие течений по гладкой и шероховатой по-
верхностям наблюдается в слое, примыкающем к стенке, то с боль-
шой степенью точности можно использовать формулы для скорости
течения около свободной поверхности.
Выражение для скоростей на поверхности раздела с учетом каса-
тельного напряжения на поверхности раздела, согласно полученной
в работах [2.3.4—2.3.8] функции тока, имеет вид:
Глава 2
205
Гз 1
1
u = Uq----------+—T(l+asinnx) ;
[_21+asinnx 4	J
U Г3 1 Um  Л
\) = nhGUQ cos nx-------+ -T(1+asinnx) ,
_21+asinnx 4
(2.3.37)
(2.3.38)
где T = Toho/p.uo — безразмерное касательное напряжение; n = 2ti/X;
u0 — средняя скорость; a — амплитуда волны; hQ — средняя толщина
пленки.
При этих предположениях механизм массоотдачи в пленке жидко-
сти, текущей по стенке с регулярной шероховатостью, можно счи-
тать частным случаем модели массопереноса в пленке жидкости при
волнообразовании, предложенной ранее.
Коэффициент массоотдачи рассчитывают по формуле
S	S
^=fjsdl/^dl,	(2.3.39)
О	о
где величина диффузионного потока определяется, в свою очередь,
из решения уравнения конвективной диффузии
дс дс д2с	[п о дгп
и— + O—- = D--Z-	(Z.J.4U)
Эх Эу Эу2
с граничными условиями
с = ср при у = угр = Йо(1 + asinnx),	(2.3.41)
с -> 0 при у —> 0 (вдали от поверхности раздела).
Несмотря на то, что уравнение (2.3.40) и граничные условия (2.3.41)
для двухфазной задачи формально совпадают с уравнениями и гра-
ничными условиями для однофазной задачи, данные уравнения су-
щественно отличаются между собой, так как в уравнение (2.3.40) сле-
дует вставить распределение скоростей из формул (2.3.37) и (2.3.38),
полученное с граничным условием
ди
И Эу = Т° ПРИ У = Угр'	(2.3.42)
учитывающим касательное напряжение т0 на границе раздела плен-
ки: жидкость—газ.
С учетом формул (2.3.37) и (2.3.38) уравнение (2.3.40) примет вид:
ЦрГ 6
4 1+asinnx
+ Т(1+asinnx)
Эс	Эс"1	Э2с
—+nh0acosnx— = D—т.
Эх	OyJ	Эу
(2.3.43)
Отметим, что при Т = 0 (отсутствует взаимодействие газа с плен-
кой жидкости) уравнение (2.3.43) переходит в уравнение для случая
гравитационного стекания пленки жидкости, текущей по стенке с
регулярной шероховатостью.
206
Глава 2
С введением новых переменных л = у — угр, угр = Ло(1 + asinnx),
хг = их уравнение (2.3.43) и граничные условия (2.3.41) приводятся к
виду:
6+Т(1+asinxj2 дс	д2с	толлх
пил-------------— -— = D—-,	(2.3.44)
4(14-a sin xj dxj Эт)2
с = ср прит] = 0, с = 0 прит| —> —оо.	(2.3.45)
Опуская промежуточные выкладки, которые аналогичны при ре-
шении однофазной задачи, приведем выражение для коэффициента
массоотдачи в жидкой фазе для случая двухфазной задачи [2.2]:
j 1+(anhQ cos (2тсх1) )2
₽Ж =	1--------—------------.	(2-3.46)
J1+(anhQ cos (2 Tuq) )2dxj
о
где
0 4t
t// 4(l+gSinx) х
o 64-T(14-asinx)
Аппроксимировав результаты численных решений интегралов в
уравнение (2.3.46), получим окончательную формулу для коэффици-
ента массоотдачи в жидкой фазе в условиях регулярной шерохова-
тости при наличии газового потока:
₽Ж =7Duo/A[l+O,6(anho)2K(7-),	(2.3.47)
где
f(T) = 1,1 + 0,113Т при Т<4,
ДГ) = 10,04л/Т/(14-5,97>/Т) при Т>4.	(2.3.48)
При X = S формула (2.3.47) принимает вид
₽ж =7Duo/S[l+O,6(anho)2]f(7’).	(2.3.49)
Величину амплитуды волны определяем по формуле из работы
[2.3.2]:
a (^тах ^minJ/^max + ^minb
причем это соотношение получено из условия сохранения расхода, а
именно, толщина пленки жидкости над выступом шероховатости та-
кая же, как и средняя толщина пленки. В этом случае
a = к/(к + 2Л0),	(2.3.50)
где к — высота выступа.
Глава 2
207
В табл. 2.3.4 сопоставлены экспериментальные данные для коэф-
фициентов массоотдачи, полученные в работе [2.3.25], с расчетными
данными по формуле (2.3.49) с учетом уравнений (2.3.48) и (2.3.50).
Расчет проведен для случая оптимального соотношения S/к = 6,7... 8,5
при различных нагрузках по жидкости и газу.
Из таблицы следует, что при числах Яеж = 693... 1128 и скорос-
тях газа до 30 м/с (до турбулентной области) наблюдается замет-
ное превышение расчетных данных над экспериментальными
(см. № 1—17). При этих числах Яеж заметное влияние оказывают
входные эффекты. При числах Иеж, соответствующих волновому
режиму, наблюдается удовлетворительное согласие теории и экс-
перимента (см. № 4—6, 20, 21, 23, 24, 26, 27, 29). При скоростях газа
более 30 м/с и числах Яеж, соответствующих переходу в турбулент-
ную область, турбулизация пленки жидкости возрастает, и это ска-
зывается на отклонениях расчетных и экспериментальных данных
(см. № 22, 25, 28, 30).
Совпадение расчетных и экспериментальных данных для режи-
ма, при котором наблюдаются на поверхности пленки стоячие вол-
ны, указывает на то, что выбранная математическая модель удовлет-
ворительно описывает сложный режим двухфазного массообмена
в пленке жидкости, текущей по стенке с регулярной шероховато-
стью.
Отклонение расчетных данных от экспериментальных для ре-
жимов, при которых необходимо учитывать либо входные эффек-
ты, либо развитую турбулентность, указывает на один из возмож-
ных подходов для теоретического исследования этой сложной проб-
лемы.
Надо полагать, что при рассмотрении вопроса массопередачи
в волновую пленку, движущуюся по поверхности с рёгулярной
шероховатостью, а также в условиях ее взаимодействия с газо-
вым потоком, при снятии предположения о наличии стоячих волн,
вид формул (2.3.34) и (2.3.49) сохранится. Тогда, заменяя в этих
формулах u0/A, = Uq/S = f/z (где f — частота волн; z — безразмер-
ная фазовая скорость), получим обобщенную зависимость для
коэффициента массоотдачи в пленку жидкости на регулярной ше-
роховатости:
Р, =В,4Шг,
где для i = 4 (однофазная задача) В4 = [1 + O,6(anho)2](p(a),
а <р(а) представлена функциями (2.3.35), и для i = 5 (двухфазная за-
дача) В5 = [1 + O,6(anho)2]/(T) (где f(T) представлена формулами
(2.3.48)).
208
Глава 2
Таблица 2.3.4
Десорбция кислорода водой в трубке с элементами шероховатости
прямоугольного профиля при восходящем движении
двухфазного потока
Номер по пор.	пг. м/с	<7, см2/с	Др, мм вод. ст.	к, мм	р, см/с		Иеж = 4q/v
					рассчитан- ный по фор- муле(2.3.49)	опытные данные [2.3.25]	
		Высота выступа к			= 0,3 мм		
1	20,31	1,733	88	2	0,15£3	0,0960	693
2	24,79	1,733	120	2	0,1705	0,1200	693
3	28,56	1,733	146	2	0,1798	0,1445	693
4	31,85	1,733	178	2	0,1879	0,1663	693
5	34,80	1,733	202	2	0,1946	0,1926	693
6	39,99	1,733	260	2	0,2200	0,2120	693
7	20,30	1,733	92	2,5	0,1357	0,1050	693
8	24,77	1,733	128	2,5	0,1465	0,1330	693
9	31,80	1,733	190	2,5	0,1620	0,1830	693
10	39,39	1,733	276	2,5	0,1770	0,2400	693
		Высота выступа к =			= 0,25 мм		
И	20,17	1,733	82	2	0,1500	0,0900	693
12	24,66	1,733	110	2	0,1600	0,1160	693
13	34,61	1,733	186	2	0,1836	0,1784	693
14	39,77	1,733	232	2	0,1939	0,2180	693
15	42,06	1,733	256	2	0,1983	0,2355	693
16	20,09	2,82	ИЗ	2	0,1728	0,1360	1128
17	24,53	2,82	218	2	0,1840	0,1726	1128
18	31,48	2,82	218	2	0,2090	0,2380	1128
19	39,43	2,82	312	2	0,2183	0,3200	1128
		Высота выступа к			= 0,3 мм		
20	20,16	3,74	166	2	0,1946	0,1750	1496
21	24,52	3,74	320	2	0,2101 	0,2246	1496
22	31,35	3,74	182	2	0,2300	0,3080	1496
23	20,23	3,74	182	2,5	0,1930	0,1861	1496
24	24,55	3,74	242	2,5	0,2100	0,2394	1496
25	31,36	3,74	350	2,5	0,2264	0,3212	1496
26	20,09	4,6	198	2	0,2090	0,2240	1840
27	24,44	4,6	266	2	0,2234	0,2637	1840
28	31,20	4,6	390	2	0,2419	0,3601	1840
. 29	20,05	4,6	216	2,5	0,2044	0,2276	1840
30	24,35	4,6	280	2,5	0,2182	0,2885	1840
Примечание: иг — скорость воздуха в трубке; q — плотность орошения; Др — перепад дав-
ления в трубке; = 16,8 мм; I = 150 мм; Гводы = 20 °C; 1водывх = 19,9 °C; £водывых = 19,7 °C.
Глава 2
209
Совместный тепло- и массообмен в многокомпонентных,
многофазных и струйных системах
Совместный расчет тепло- и массообмена базируется на решении
следующей системы уравнений и граничных условиях:
	^(pv)+V(pw) = pf+Vn..;	+V(pv) = 0.	(2.3.51) dt	Ч	dt Эс —+(v-V)c = £)VVc+F(c).	(2.3.52) dt ^+|vV)T = aVVT + O(T).	(2.3.53) ot f dv- ч	ч dx - dx- \ J 1J
На входе:	Т = Т0Й; c = c0(?).	(2.3.54)
Вдали от поверхности раздела:
	дс T = Tw{r)- — = 0.	(2.3.55) w	on
На поверхности раздела:
	1	f	дТ	/Гу П c = dT + b; —= 	 —.	(2.3.56) dn \AHDJdn
Пленка, капля, струя:
	₽,тм = ₽Л	(2.3.57) aiTM = az^2'	(2.3.58) /j =l(l-Ka/VLu);	f2 =l(l-VLu/Ka).	(2.3.59)
Здесь Lu = a/D — число Льюиса; Ка = AHd/pcp — число Кутателадзе;
ср — теплоемкость; d, b — параметры, характеризующие равновесие
между концентрационными и тепловыми полями.
На основе теоретических решений этих уравнений, описыва-
ющих совместный перенос, количество движения, вещества и энер-
гию применительно к течениям по шероховатой поверхности, в систе-
мах, состоящих из совокупности капель или пузырей, в многокомпо-
нентных системах, при пленочном и струйных течениях в различных
гидродинамических режимах (ламинарном и турбулентном), уста-
новлена общая закономерность [2.3.2], представленная формулами
(2.3.57—2.3.58).
210
Глава 2
Сущность этой закономерности в том, что она определяется про-
изведением двух членов: один член является общим для всех ти-
пов (для многокомпонентного массообмена он имеет векторный вид
[2.3.2]), другой член соответствует каждому из рассмотренных типов
тепло- и массообмена.
В формулах (2.3.57) и (2.3.58) pf, af. — коэффициенты абсорбции
и теплоотдачи для изотермических процессов. Они соответствуют
каждому из рассмотренных типов тепло- и массообмена. В то время
как f. и f2 являются общими функциями, они сохраняют свое пос-
тоянное значение в различных гидродинамических режимах и ус-
ловиях и имеют вид, представленный формулами (2.3.59). Данные
закономерности обобщают работы, проводимые под руководством
академика В.Е Накорякова.
Отметим, что вид добавочных множителей f\ и f2 в формулах ана-
логичен, полученному ранее в работах [2.3.46—2.3.47].
Таким образом, для того чтобы рассчитать коэффициенты массо-
отдачи (теплоотдачи) при неизотермической абсорбции, достаточно
провести расчет коэффициентов абсорбции (теплоотдачи) при изо-
термических условиях и полученное выражение умножить на или
f2. Например, формула для коэффициента массоотдачи в волновую
пленку при неизотермической абсорбции (по модели полного пере-
мешивания) имеет следующий вид:
Ртм -^>5
ехр (0,7 In а-1,5Ц,
(2.3.60)
где fj дана формулой (2.3.59).
На рис. 2.39 проведено сопоставление результатов расчета по фор-
муле (2.3.60) с опытными данными работ [2.3.46—2.3.47].
Рис. 2.39. Зависимость эффективности тепло-
массообмена при неизотермической абсорб-
ции водяного пара растворами бромистого
лития (•) и хлористого кальция (4-) от соотно-
шения Re-Pr(h0/X):
1 - Nu = l,673a017(l+(an)2^y-^V(l-Ka/^);
2 - Nu = l,673a0,7(l+(an)2 Re1/2 Рг1/2х
где Nu = P/Iq/Д Ка = &Hd/pc ; с = dT + b;
Lu = a/D; Re = UQhQ/v
Глава 2
211
Результаты теоретического и экспериментального исследования
процессов совместного тепло- и массообмена использованы при раз-
работке солнечной системы охлаждения и кондиционирования воз-
духа [2.3.16].
Гидродинамика в волновой пленке
Уравнения количества движения, переноса массы и энергии, яв-
ляющиеся предметом исследования нелинейной гидродинамики,
имеют вид:
^-(pv) + p(vV)v = pf + Vm-;	(2.3.61)
dt	J
-^+V(pv) = 0;	(2.3.62)
dt
где f — объемная сила;
ПУ = ~Pij + MdUi/dXj + diij/dxJ - (2/3)^(дик/дхк);
i,j,k= 1...3.	(2.3.63)
Граничными условиями являются:
—	прилипание на твердой поверхности
у = О, U = V = 0;
—	отсутствие влияния газового потока на течение пленки жидко-
сти, т.е. пленка жидкости стекает под действием силы тяжести
У = Л, тху = 0.
Течение тонких слоев в условиях волнообразования описывает-
ся системой уравнений (2.3.61)—(2.3.62), которую с помощью безраз-
мерных переменных: £ = (п/й0)(х — cof), ц = y/(hQh) (где со — фазовая
скорость, п = 2яй0/Х —волновое число; hQ, h — средняя и локальная
толщина пленки, х, у — продольная и поперечная координаты) сов-
местно с граничными условиями можно записать, согласно моногра-
фии [2.3.2], в виде:
А=-
Эт]
з
G ---д- + Н h +
.3
Эй
dh	Эу	Э2у (Эу
zh-^+zhu]—^------
д£>	Эт]	Эт)2


г
-й zh
Э2у Эу Э2у Эу Э2у^
Эт)Э£ Vr) Эт]Э£ + Э£ Эт]2
(2.3.64)
212
Глава 2
при Г) = 0: ig = O, Эу/Эц = О;
*~\2
при Т] = 1: —у = О, — (\g-zh) = O.
0Т]
(2.3.65)
Коэффициенты Е, G и Н выражаются через определяющие пара-
метры следующим образом:
Е = 3/(Re-n); G = 9n2y-Gal/3 / Re2; п =	/X;
Re = 3uo/lo/v; H = 9Ga/(Re2-n);	(2.3.66)
Y = op-1(gv4)-1/3; (0=21/0; Ga = gift /v2.
Решение нелинейного уравнения (2.3.64) с граничными условия-
ми (2.3.65) подробно рассмотрено в монографии [2.3.2]. В частности,
получена полная информация о течении волновой пленки (распреде-
ление скоростей, изолиний функций тока) и ее характеристиках (ам-
плитуде, длине волны, фазовой скорости и т.д.) Результаты расчета
удовлетворительно согласуются с известными экспериментальными
данными.
При изменении физико-химических свойств жидкой пленки (на-
пример вязкости) на несколько порядков (у = 2850... 1,7) расхождение
результатов расчета и эксперимента для амплитуды волны а колеб-
лется в пределах нескольких процентов (рис. 2.40).
Как следует из рисунка, кривые, представляющие собой зависи-
мость амплитуды волны от числа Рейнольдса, различаются по пара-
метру у.
Рис. 2.40,а. Сравнение теоретических и экс-
периментальных данных для зависимости
амплитуды волн оптимального режима а
от числа Рейнольдса: кривые 1—5 — рас-
считанные амплитуды волн для у = 2850 (1),
200 (2), 20 (3), 6,9 (4) и 1,7 (5); эксперименталь-
ные данные (точки) при у = 2850 и v =1,4 сСт
[2.3.11]; у = 700 и v = 1,6 сСт [2.3.11]; у = 6,9
иу = 59сСт [2.3.11]; у = 1,7 и v = 168 сСт
Это связано с тем, что
для течений с поверхно-
стью раздела существу-
ют два характерных числа:
Re и у = op’2(gv4)1/3, ответ-
ственных за смену гидро-
динамических режимов
(переход от ламинарного
режима течения пленки к
турбулентному).
Факт перехода ламинар-
ного режима течения плен-
ки в турбулентный в зави-
симости от чисел Re и у был
установлен эксперимен-
тально [2.3.86, 2.3.87].
Глава 2
213
Используя сочетание ука-
занных чисел, можно пост-
роить единую зависимость
(рис. 2.40,6), которая обобщает
экспериментальные данные в
широком интервале изменения
физико-химических свойств.
Для практического расчета ре-
комендованы следующие соот-
ношения:
а = 0,094(Re/y3711)1-74;
Re/y3711^ 1,26;
а = (Re/y3711)/(l,44 Re/у3711 + 5’;
l,26<Re/y3/n;
а = 0,505 + 2,05-10'3Re/y3711;
Re/у3711 >Ц,
Рис. 2.40,6. Обобщенная зависимость ам-
плитуды а от параметра Re/y3/11: сплошная
линия — результаты численного расчета;
пунктирные линии — теоретические за-
висимости (2.3.85): 1 — a = 0,l(Re/y3/11)1-83;
2 — а = 0,29; экспериментальные точ-
ки — см. рис. 2.40,а
где а = (hmax — ^min)/(hmax +	— относительная амплитуда; h —
толщина пленки.
Показана особенность течения волновой пленки жидкости, за-
ключающаяся в том, что зависимость толщины пленки от расходных
параметров проходит через экстремальное значение [2.3.2].
Отметим, что методы, применяемые при решении системы урав-
нений, описывающей нелинейные колебания, могут быть с успехом
использованы для других нелинейных колебательных систем.
Синфазность в процессах переноса
Процессы переноса вещества и энергии, как правило, проходят в
интенсивных гидродинамических режимах. Это и понятно, так как в
уравнения переноса входят конвективные члены, зависящие от гид-
родинамической обстановки. Но сама обстановка неоднородна и ею
можно управлять, например геометрией единичного тела или сис-
темы тел, взаимодействующих со средой. Все сказанное указывает
на возможность существования определенных соотношений меж-
ду гидродинамическими, концентрационными полями и геометри-
ческими характеристиками контактных устройств, в том или ином
виде взаимодействующими с потоками сплошной среды. Эти соот-
ношения должны обеспечить максимальный перенос вещества или
высокоэффективный массообмен. Одним из таких способов интен-
сификации процессов переноса является его проведение в режиме
214
Глава 2
синфазности геометрических, гидродинамических и концентраци-
онных полей.
Синфазность может быть организована на телах, пассивно влия-
ющих на сплошную среду, а также на телах или системе тел, активно
взаимодействующих со сплошной средой.
Примером проявления синфазности на телах, пассивно взаимо-
действующих со сплошной средой, является массообмен в волновую
пленку жидкости (1-й случай), стекающую по гладкой поверхности
под действием силы тяжести. Автоколебательная система, какой яв-
ляется волновая пленка, создает когерентную структуру. Перенос
вещества происходит в сплошной среде с когерентной структурой,
и при отсутствии сдвига фаз в геометрических и концентрационных
колебательных полях создаются условия, приводящие к повышению
интенсивности массообмена. Это имеет место в массообмене при на-
личии волнообразования, когда массоотдача определяется когерент-
ной структурой сплошной среды.
Примером проявления синфазности на телах, активно взаимо-
действующих со сплошной средой, является массообмен:
—	в волновую пленку, стекающую по стенкам канала с регуляр-
ной шероховатостью (2-й случай). В результате такого взаимодействия,
при определенных геометрических соотношениях между длиной ре-
гулярной шероховатости и ее высотой и длиной волны при пленоч-
ном течении по стенкам с регулярной шероховатостью, наступает ре-
жим, при котором сплошная среда повторяет структуру регулярной
шероховатости. В этом случае синфазность гидродинамических и
концентрационных полей достигается только при определенных со-
отношениях геометрических характеристик контактируемой среды
(формула (2.3.35), а именно, оптимальный режим реализуется при со-
отношении S/к = 6... 8, где S — расстояние между выступами, причем
в этом случае волновое течение повторяет структуру шероховатости,
т.е. S = X, к — высота этих выступов;
—	в аппарате с дискретно расположенными вдоль потока телами
различной геометрической формы (3-й случай) [2.3.32—2.3.33].
В отличие от синфазности, организуемой при течении пленки
жидкости по поверхности с регулярной шероховатостью, активно
взаимодействующей со сплошной средой, в данном случае синфаз-
ность организована системой тел, дискретно расположенных вдоль
потока сплошной среды, образуя эффективное контактное устройст-
во. Если при обтекании одиночного тела, образуемая при опреде-
ленных значениях числа Рейнольдса дорожка Кармана постепен-
но размазывается по потоку сплошной среды, то в случае дискретно
расположенных по потоку тел последующие тела способствуют со-
Глава 2
215
хранению дорожки Кармана, организуя когерентную структуру по
ходу расположения всей гирлянды тел.
Общим для рассмотренных случаев является наличие оптималь-
ных значений на зависимостях между гидродинамическими, массооб-
менными характеристиками и геометрическими размерами как самих
тел, так и расстояниями между ними. В первом случае (течение плен-
ки в условиях волнообразования) наблюдается оптимальная зави-
симость между числом Рейнольдса и длиной волны при постоянной
толщине пленки (наличие оптимальных расходов [2.3.1]. Во втором
случае наблюдается оптимальная зависимость коэффициента мас-
соотдачи пленки жидкости от расстояния между выступами шеро-
ховатости на стенке с регулярной поверхностью. В третьем — имеет
место оптимальная зависимость гидравлического сопротивления от
шага дискретно расположенных тел. Различие этих трех случаев со-
стоит в способах организации когерентных структур.
Данное явление нашло применение в процессах интенсификации
тепло- и массообмена, особенно при решении экологических проблем.
Математическое моделирование турбулентного массообмена
при пленочном течении
При гравитационном течении пленки жидкости уравнение пере-
носа пленки имеет вид
r_du _ди'
р u—+v —
I Эх ду)
Эр Э
дх ду
, .ди
Эу J
ди ди
дх ду
_Эс — дс д
дс
(D+Dt)— ,
оу ду [ ду
(2.3.67)
(2.3.68)
где р — плотность; и , с — осредненные скорости и концентрации
распределяемого компонента; ц, pf и D, Dt — коэффициенты динами-
ческой вязкости и диффузии при молекулярном и турбулентном пе-
реносе.
В общем случае коэффициенты переноса являются функцией
f(o, р, hQ, е). Впервые такая зависимость была предложена Левичем:
капиллярное давление, противостоящее динамическому напору, со-
ответствует тому усилию, которое гасит турбулентное движение,
уменьшая масштаб турбулентности. Эта сила препятствует выходу
турбулентных пульсаций за пределы поверхности пленки. Позже
216
Глава 2
авторы Prasher B.D., Fricke A.L. придали этой модели вероятностный
характер: коэффициенты турбулентной диффузии являются прояв-
лением двух независимых событий, совершающихся вблизи поверх-
ности пленки жидкости. Одно из них обусловлено капиллярными
силами, другое — диссипацией энергии вследствие интенсивного ха-
рактера мелкомасштабных движений. Таким образом,
/ 33
a = Go£	.	(2.3.69)
nt gv J
Расчеты по этим моделям мало различаются между собой, но по-
следнее соотношение подтверждает наличие двух характерных па-
раметров при течении систем с поверхностью раздела, что было нами
теоретически и экспериментально доказано. Особенность формулы
(2.3.69) состоит в том, что она имеет размерность. Поэтому в дальней-
шем принято, что Oq = a'o / 4птим - где 4птим — постоянное значение оп-
тимальной частоты волновой пленки, соответствующее доминиру-
ющей величине спектральной плотности волнового течения.
Отметим, что пленка имеет две поверхности раздела: стенка —
пленка жидкости и пленка жидкости — газ (пар). Этим объясняется
тот факт, что коэффициент турбулентности достигает своего макси-
мального значения в объеме пленки жидкости (крупномасштабные
турбулентные пульсации, зародившиеся в объеме пленки жидкости,
постепенно затухают, приближаясь к поверхности раздела и транс-
формируясь при этом в мелкомасштабные пульсации). Математиче-
ски это выражается следующими уравнениями:
уэф / V = 1+(VT / V) = 1+ге(Ло-По):
Взф/D = 1+(Г>г /D) = 1+ЩПо -По)-	(2.3.70)
где ТВ = абр / v; TD = ТВРг; ц0 = у/6р. Для расчета параметра а исполь-
зовалась функциональная зависимость (2.3.67).
Системы уравнений (2.3.67), (2.3.68) вместе с выражениями (2.3.69)
и (2.3.70) решены с учетом длины входного участка методом, изложен-
ным выше. Величина входного участка была получена при различных
значениях величины характеризующей отклонение рассчитанного
профиля скорости и толщины пленки от их стационарных значений
b = ZBX = тк2Ър Re£ = З.бЬпбрПо / v,	(2.3.71)
где т, к2 — коэффициенты пропорциональности; т = 0,3 при = 0,02
(рассчитанный профиль скорости и толщина пленки жидкости отли-
чались на.2% от их стационарных значений); т = 1, к2 = 3,61 при =
= 0,0002; 6р = 5,3-10’4 м при Re£ = 4qr/v = 1500, т.е. за величину 5р прини-
Глава 2
217
мали значение, равное предельной толщине пленки, соответствую-
щей переходу к турбулентному режиму.
В результате аппроксимации численных решений системы урав-
нений (2.3.65), (2.3.66) получена формула (2.3.69), которая зависит от
длины входного участка.
Входной участок:
^/D1/2 =
l,37+2,28oj/25p
rUohoy/4'U/2
I v J b1/2'
(2.3.72)
где oj/2 = 0-055 , a b = lBX дано формулой (2.3.69).
Подставляя в уравнение (2.3.70) зависимость (2.3.69), получим:
.,1/2
P2/D1/2=A^— + В| Re2/4,	(2.3.73)
8Р к о )
А = 1,32, В = 2,85-Ю*2 при Re L = 4q/v = 1500 и 6 = 5,310‘4.
Стабилизированный участок:
Формулы (2.3.72) и (2.3.73) позволяют рассчитывать массообмен в
турбулентную пленку в канале конечной длины с учетом входного
участка. При бесконечном удалении от оросителя, что практически
означает проведение массообмена в канале достаточно большой дли-
ны, концентрация распределяемого компонента становится зависи-
мой только от поперечной координаты и независимой от продольной.
В этом случае система уравнений сохранения количества движений
и вещества упрощаются. Турбулентный перенос описывается урав-
нением
у|1+ТО(у-у2)]^ = 0,
dy	dy
где TD = ТВ Рг; ТВ = aft2 /D; q =
/ о о х 1/2
ti$E3
(2.3.74)
(2.3.75)
a^2=2,5ctf2, aj/2 =0,055, Oqi =1,8940"2.
Таким образом, вид зависимости (2.3.75) такой же, как и на на-
чальном участке (2.3.69), однако коэффициент пропорциональности
может быть другим.
Граничные условия следующие:
с = ср при у = 0 (на поверхности);	(2.3.76)
с = Cj при у = 1 (на стенке)	(2.3.77)
либо
с = q при у —> (вдали от поверхности).	(2.3.78)
218
Глава 2
Для решения уравнения (2.3.74) достаточно двух граничных усло-
вий: одно задается на поверхности пленки жидкости (например ус-
ловие (2.3.76)), другое — на некотором характерном расстоянии от
поверхности раздела. В частности, таким характерным расстоянием
может быть орошаемая поверхность канала, на которой задано гра-
ничное условие в виде, например, соотношения (2.3.77). Тогда реше-
ние дифференциального уравнения (2.3.74) с граничными условиями
(2.3.76) и (2.3.77) предполагает, что диффундирующее вещество рас-
пределено по всей толщине пленки жидкости и, по существу, пред-
ставляет одну из возможных моделей массопереноса.
Если же задается граничное условие на достаточно большом удале-
нии от поверхности раздела, что означает использование граничных
условий (2.3.76) и (2.3.78), то в такой постановке предполагается су-
ществование диффузионного пограничного слоя, в котором происхо-
дит основное изменение концентрации распределяемого компонента.
В этом случае решение задачи (2.3.74) с граничными условиями (2.3.76)
и (2.3.78) представляет другую модель массопереноса вещества.
Проведенный расчет показывает, что окончательный результат
практически одинаков для обеих моделей и имеет вид
₽3/О,/2 = Д
I р
11 а.
1/2Г/1о3£зу/4
< ffv ,
(2.3.79)
или, выражая в этой формуле энергию диссипации через среднюю
скорость течения пленки жидкости (Е = ди0), получим:
л\1/2	h \3/4
(ffV)1/2(^	,
a; I v J
^/Dl/2=Ai
/	\1/2
Р3 /Г>1/2 = 3,1 -10-21	I (ReL)3/4,
V о )
(2.3.80)
где Д = 0,63aJ(2; aj{2 = 2,5aJ/2; aj/2 = 0,055; Д = 0,63aJ{2 = 8,бб40"2;
ReL = 4q/v.
Как уже упоминалось, значение толщины пленки 6р принимается
равной предельной толщине — 0,053 см, соответствующей переходу к
турбулентному режиму. Это соответствует ReKp L = Re£ = 4q/v = 1500.
Если турбулентную пленку жидкости hQ определить по известной
формуле из работы [2.3.28]:
1 Гзу2У/3Г<Г|8/15
4001/\ д J I vj
(2.3.81)
то, подставляя это значение h0 в формулу (2.3.80) и проведя необходи-
мые расчеты для водяной пленки жидкости, получим:
Глава 2
219
ZBX = 4,996(q/v)7/15.	(2.3.82)
Из формулы (2.3.81) следует, что величина входного участка при
турбулентном течении пленки жидкости отличается от величины
входного участка при ламинарном течении (2.3.120), (2.3.121) не толь-
ко коэффициентом перед числом Re, но и показателем степени при
Re. Показатель степени при числе Re для турбулентного выражения
равен 0,75, для ламинарного — 1,0, то есть развитие всех величин
(скорости, толщины пленки и т.д.) при турбулентном течении гра-
витационной пленки жидкости происходит медленнее, чем при ла-
минарном. Это объясняется особенностью турбулентного течения
в пленке жидкости. На входе в канал пленка жидкости приобретает
ускорение. Так как ускоренное течение более устойчиво против раз-
личных возмущений, то на входе в канал образуется участок, на ко-
тором масштаб турбулентности имеет порядок всей толщины плен-
ки, так называемый участок с внешним масштабом турбулентности.
И только пройдя этот участок, в пленке жидкости в полной мере раз-
вивается турбулентность с Колмогоровским масштабом турбулент-
ности, иногда называемым «внутренним масштабом турбулентно-
сти» [2.3.29]. Обычно расчет турбулентного массообмена проводится
с учетом только внутреннего Колмогоровского масштаба турбулент-
ности, а следовательно, не учитывается зависимость турбулентных
переносных свойств от продольной координаты х, что невозможно
объяснить влияние длины орошаемого канала на коэффициент мас-
соотдачи в турбулентную пленку. Вот почему при расчете турбулент-
ного массообмена в пленку жидкости необходимо учитывать зависи-
мость коэффициентов турбулентного переноса от продольной коор-
динаты, что и сделано при использовании зависимостей (2.3.70). Этим
и объясняется более высокое значение величины входного участка
при турбулентном течении пленки жидкости.
Расчет с учетом длины канала (трубки)
1	.При/0Х</
₽ср=₽2^+₽з^-	(2-3.83)
2	. Если ZBX > Z, то ZBX = Z (расчет следует проводить по формуле
(2.3.72).
Эти два положения очевидны. Действительно, если входной учас-
ток занимает всю длину трубки (Z), то он, естественно, и будет харак-
терным линейным размером, т.е. ZBX =Z. Второе положение, записан-
ное в формуле (2.3.83), означает, что когда входной участок занимает
только часть трубки Z и, следовательно, ZBX < Z, то существует длина
220
Глава 2
трубки, в которой массообмен определяется формулой для началь-
ного участка (2.3.73), а за пределом этой длины массообмен — форму-
лой (2.3.80) для стабилизированного участка трубы (канала). Тогда
коэффициент массоотдачи для этого случая будет определяться фор-
мулой (2.3.83).
Результаты расчета длины входного участка и приведенного коэф-
фициента массоотдачи р^О/Рпри абсорбции СО2 турбулентной пленкой
жидкости (0 = (v2/qr)1/3, £>СО2 = 1,77-10'5 см2/с, t = 20 °C) для турбулент-
ного течения при разных числах ReL = 4q/v представлены в табл 2.3.5.
Таблица 2.3.5
Результаты расчета длины входного участка и приведенного
коэффициента массоотдачи
Re, = 4g/v	1600	3000	5000	8000	10000
ZBX, см	81,79	109,68	139,2	172,55	191,45
Z, = 57 см, Р10/Г>	4,658	7,388	11,132	16,543	20,082
Z2 = 250 см, рсре/£>	3,421	5,213	7,311	9,945	11,400
Z3 = 600 см, Рср0/£>	3,278	5,136	7,400	10,337	12,070
Видно, что уже при числах Re£ = 1600 величина входного участка
становится значительной. При изменении числа ReL почти на целый
порядок входной участок изменился только в 2 раза.
На рис. 2.41 сопоставлены расчетные коэффициенты массоотда-
чи (сплошная линия) и результаты
работы [2.3.30] (штрихпунктир-
ная линия), в которой обобщены
практически все известные экспе-
риментальные данные, полученные
при исследовании массоперено-
са в турбулентную пленку жидко-
сти, стекающую под действием
Рис. 2.41. Сопоставление теоретических
и экспериментальных данных коэффи-
циента массоотдачи:-расчетные дан-
ные, полученные решением уравнений
(2.3.72), (2.3.83) в зависимости от длины
входного участка; — — — эксперимен-
тальные данные работы [2.3.30]; тонкой
кривой обозначена зона разработки дан-
ных
Глава 2
221
силы тяжести. Как следует из рисунка, наблюдается удовлетвори-
тельное совпадение расчетных и экспериментальных данных.
Массоперенос в режиме восходящего прямоточного течения
В работе [2.3.4] проведено исследование механизма массоперено-
са и его расчет в турбулентной пленке жидкости при наличии газово-
го потока или градиента поверхностного натяжения на основе реше-
ния уравнений переноса количества движения и вещества с учетом
входных эффектов и при условии, что турбулентный перенос изме-
няется по длине пленки жидкости. Поверхность пленки жидкости
при этом была искомой величиной. Получено общее выражение для
коэффициента массоотдачи
р =	(1+1,66л/ТБ)4/2>/*
(2.3.84)
где x = b/8pRePr; b = 3,61n?82uo/v = l,2998pReI/15/0; 6 = (v2/g)’/3
т = 0,3; ТБ = об2 / V, б = 5,ЗЮ'4 м; Re = 48 un/v = 4q/v;
lgA0 = (0,88B1/4 + 0,33)/(3,92 - 1,53В1'4), при В » 0,12;
Ло= 1,88 при 0< В <0.12, В = 8рт0/рэффи0.	(2.3.85)
Суммарная энергия диссипации двухфазного потока в режиме
спутного течения может быть представлена в следующем виде:
е = guo +rgurA/o/g(p-pr)//i0,
(2.3.86)
где у — коэффициент пропорциональности.
Подставляя это соотношение в формулу (2.3.84), получим:
В	А,	/ i \3/4 z , X1/2
^ = 0,9624/2^+1,124/24/2(3	х
xRe^/4 1+у-Ю2
_____Мт __________
(d — 211q )Мж
О
д(р-Рг)
-13/4
(2.3.87)
где а0 = 2-Ю'2; у = 1,22; d — диаметр трубки; Rer = ur(d — 2h0)/vr;
цг,	— динамическая вязкость газа и жидкости. Выражение для
Ао = 1,88 дано формулой (2.3.85).
Коэффициент пропорциональности найден по эксперименталь-
ным данным работы [2.3.31]. Первым членом в правой части формулы
(2.3.87) можно пренебречь вследствие его малости. В этом случае эта
формула принимает вид:
222
Глава 2
-^ = 0,4 • 4/24/2 (^1/2 Re3/4 х
х l + Y-102
______Hr ___________
(^ ~ 2/1q ) Цж В.еж
^(Р-Рг)
(2.3.88)
или, вычисляя коэффициенты, приведенные в уравнении (2.3.8), по-
лучим:
-^Е5- = 7,76-10‘2(^) Re3/4x
D1/2	I о )
х 1+у402------PrRei-----
(с?-2Ло)|1хжКеж
-13/4
д(р-Рг)
(2.3.89)
Результаты расчета по формулам (2.3.87) и (2.3.89), представлен-
ные на рис. 2.42, достаточно хорошо согласуются с эксперименталь-
ными данными работы [2.3.31].
рхЮ3, м/с
4 -
3 - •
2 
1 ’
10	20	30	40	ц., м/с
Рис. 2.42. Зависимость коэффициента
массоотдачи р в турбулентной пленке
жидкости от скорости газа иг в условиях
восходящего прямотока;-----расчет
по формуле (2.3.85); (2.3.87); *, о, + — экс-
периментальные данные работы [2.31]
Особенности энергетики индукционных полей
в не сильно проводящих движущихся средах
В технологических процессах, где необходимо использовать теп-
ловую энергию, неизбежно встает вопрос оптимального ее получе-
ния из электрической. Так, наиболее эффективным способом элект-
рическогонагреваявляетсяиндукционныйнагревпеременнымэлект-
ромагнитным полем, когда электрическая энергия преобразуется в
тепло (Джоулева тепловая диссипация) непосредственно внутри не-
которого приповерхностного слоя (скин-слоя) нагреваемого тела.
Причем ширина этого слоя зависит от частоты внешнего индукци-
онного поля и электромагнитных характеристик нагреваемого тела.
Например, индукционный нагрев сверхвысокочастотными (СВЧ) по-
Глава 2
223
лями, как правило, является поверхностным ввиду малости ширины
(порядка миллиметров и менее) скин-слоя даже для не сильно про-
водящих тел. По мере перехода к более низким частотам, скажем по-
рядка промышленной частоты 50 Гц, ширина скин-слоя возрастает,
тем более, если проводимость тела оказывается невысокой.
Химически превращающиеся жидкогазофазные системы, за-
нимающие ведущее место в химической технологии при отсутст-
вии поляризации и наличии весьма умеренных электропроводя-
щих свойств, зачастую обладают слабо выраженными магнитными
свойствами. Тем самым поля промышленной частоты здесь могут зна-
чительным образом проникать внутрь среды, что, помимо более рав-
номерного распределения тепловой Джоулевой диссипации, делает
значимым и характер распределения пондеромоторного воздействия
поля, усиливающего (или инициирующего) перемешивание (турбо-
лизацию) жидкогазофазной системы внутри скин-слоя. Причем ши-
рина скин-слоя в этом случае может достигать нескольких десятков
сантиметров.
Еще одним весьма важным обстоятельством для многих химико-
технологических процессов является наличие движения самой ре-
агирующей системы (например в проточных реакторах), причем со
скоростью, несравнимо малой со скоростью света.
Тем самым для проведения практических расчетов тепловой ди-
намики химически активных жидкогазофазных систем, слабо дви-
жущихся в индукционном электромагнитном поле, востребованы
методы анализа моделей теории квазистационарных электромагнит-
ных полей в медленно движущихся средах.
Эта теория успешно развивается уже более века, но вплоть до на-
стоящего времени она не содержит описания энергообмена между
индукционным полем постоянной частоты и медленно движущимся
полупроводящим неполяризующимся полупространством с непод-
вижной внешней границей (границей втекания среды).
Судя по всему, причин этому несколько. Выделим две из них, на
наш взгляд, наиболее главные. Первой и, наверное, самой главной яв-
ляется то обстоятельство, что ранее эта задача просто не была вост-
ребована ни в теории, ни на практике. По сравнению, например, с
такими объектами магнитогидродинамики, как магнитные жидко-
сти или плазма, эффекты, связанные с внешним индукционным по-
лем в средах, которые имеют электромагнитные свойства, подобные
вышеотмеченным свойствам реагирующих химических жидкогазо-
вых систем, будут иметь куда более слабо выраженный характер.
Второй, безусловно, тоже решающей, явилась разработка универ-
сальных методов решения электродинамических задач, имеющая бо-
224
Глава 2
лее чем вековую историю. Даже простой перечень имеющихся здесь
результатов потребовал бы куда больше места, чем формат насто-
ящей работы. Поэтому принято считать, что во всяком случае мето-
дическая база имеется и для рассматриваемой задачи.
В настоящее время оба указанных момента являются уже несо-
стоятельными. Главным недостатком приложений всех имеющих-
ся методов к рассматриваемой задаче является их исключительная
опора на конструкцию распространения электромагнитных волн в
среде. Для СВЧ-нагрева такой подход физически оправдан ввиду ма-
лости длин возникающих волн по сравнению с шириной скин-слоя.
Однако в применении к движущейся жидкогазофазной реагиру-
ющей смеси СВЧ-нагрев далеко не всегда является не только опти-
мальным, но и просто неприменимым, так как часто чреват иници-
ацией интенсивного фазового превращения жидкости в газ в очень
узком приповерхностном слое, например у границы входа в систему.
Поля промышленной частоты в данном случае оказываются предпоч-
тительней. Но именно для таких полей метод распространения элект-
ромагнитных волн теряет физическую наглядность, так как длины
волн в этом случае на порядки превышают ширину скин-слоя. Бо-
лее того, описание энергообмена поля и среды (который и представ-
ляет основной интерес для приложений в химической технологии),
опирающееся на электромагнитные волны (распространяющиеся
со скоростями, близкими к скорости света), имеет пространственно-
временные масштабы, не сочетающиеся с масштабами химико-тех-
нологических задач.
В работе [2.3.88] предложен нетрадиционный метод расчета энер-
гообмена поля постоянной частоты со со средой, имеющей постоян-
ные электромагнитные характеристики и движущейся, начиная
с некоторой плоскости входа в систему, с постоянной скоростью и.
Особенность предлагаемого метода состоит в том, что в результате
замены неизвестных в уравнениях Максвелла, предложенной в рабо-
те [2.3.89], удается сразу уйти от промежуточного этапа вычисления
электрической и магнитной составляющих поля к его энергетиче-
ским составляющим, на которые раскладывается вектор Пойтинга. В
отличие от работы [2.3.89], где исследовался вопрос энергетики волн
применительно к задачам оптики, в предлагаемом методе вообще не
рассматривается объект типа электромагнитной волны, а строится
физически наглядная картина стационарных колебаний индуциро-
ванного поля как вращения вокруг оси его энергетических составля-
ющих.
Исследование рассматриваемой задачи возможно с помощью чис-
ленного анализа, аналитического и комбинацией обоих этих подхо-
Глава 2
225
дов. В работе [2.3.88] авторы остановились на третьем, указав, с од-
ной стороны, точные формулы для полного аналитического решения
выделенной ими канонической задачи, а с другой — проведя числен-
ное исследование полученного решения, сделав его максимально на-
глядным с помощью графических средств. Проведенный анализ поз-
волил по-новому взглянуть на вопрос о глубине проникновения поля
в среду и привел к некоторым нетривиальным выводам, имеющим
общий характер. Представленные в работе формулы легко позволя-
ют построить численные алгоритмы для более общих случаев (на-
пример, с зависящими от пространственной координаты скоростью
и электромагнитными характеристиками) стационарно движущих-
ся систем. В работе [2.3.88] получено решение уравнения Максвелла
применительно для не сильно проводящих неполяризующихся дви-
жущихся систем.
Новая форма аналогии между количеством движения,
вещества и энергии
В основу новой формы аналогии положено понятие о вихревых
силах сопротивления в сплошных средах, причем возникновение
вихревых сил рассматривается как результат нелинейных взаимо-
действий. Установлена аналогия между гидродинамическими, теп-
ловыми и диффузионными процессами в системах, находящихся в
условиях взаимодействия различных силовых полей (гидродинами-
ческих, электрических, магнитных, скрещенных электрических и
магнитных). Для подтверждения этой формы аналогии использован
практически весь известный экспериментальный материал, накоп-
ленный в мировой практике [2.3.48].
Предложенный новый тип аналогии между количеством движе-
ния, вещества и энергии [2.3.48] может быть использован в расчетах
при разработке новых типов высокоэффективных контактных уст-
ройств в случае ограниченных экспериментальных данных в экстре-
мальных условиях.
Для того чтобы пояснить вывод нового типа аналогии, представим
уравнение равновесия единицы объема жидкости в следующем виде
[2.3.48]:
p£=_p,+^+^+£4±£Fj> (2390)
I э 1=1	1=1
где Р' — отнесенная к единице объема движущая сила; I — физи-
чески обоснованный характерный размер: гидравлический ди-
226
Глава 2
аметр канала и щели (dr = 4со/%) или эффективный диаметр частицы
(с?Эф =y/bV/п);к — коэффициент формы, например для сферы А: = 18,
для обтекаемого кругового цилиндра к = 8, для диска, установлен-
ного поперек потока, к = 10,2 [2.3.48]; о — средняя скорость потока;
j
— отнесенные к единице объема суммарные силы, вызывающие
м	/
(подавляющие) внутренние течения жидкости; 1ч — отнесенная к
1=1
единице объема равнодействующая внешних сил.
Для внутренней гидродинамической задачи Р' = ДР/L, а для внеш-
ней — Р' = Р/V, где Р — сила лобового сопротивления; V — объем тела.
Если в качестве характерного размера в уравнении (2.3.90) при-
нять параметр -ЛГ = y/l2/к , то уравнение для установившегося тече-
ния примет вид:
=	Л-	(2.3.91)
к \кк i=i i=i
Параметр л/k7 для данной системы (трубы, канала, сферы, ци-
линдра и др.) представляет собой соотношение гидравлического ди-
аметра и коэффициента формы в степени 1/2. Для пористых сред (см.
работу [2.3.48]) квадрат этого параметра является ни чем иным, как
коэффициентом проницаемости этой среды.
Преобразуем уравнение (2.3.91) в безразмерный вид, вводя обоз-
начения
P'J7
к =	(2.3.92)
ро
Re = P^.	(2.3.93)
П
Запишем уравнение (2.3.91) в виде:
X = 1/В,	(2.3.94)
где В назовем обобщенным критерием гидродинамического подобия
[2.48]:
Re
В =---------—-------:---.	(2.3.95)
n	ifik YFtk
l + ~7==Re+ —--------
y/k цо цо
Комплекс (2.3.95) характеризует соотношение силы инерции к
сумме сил, препятствующих движению, и учитывает все гидроди-
Глава 2
227
намические особенности течения. Если знаменатель этой формулы
равен единице, то коэффициент сопротивления будет обратно про-
порционален числу Рейнольдса, что имеет место при ламинарном те-
чении без учета вихревых сил сопротивления. Наличие вихревых
сил сопротивления изменяет выражение для коэффициента сопро-
тивления. Второй член в знаменателе этой формулы ответственен за
проявление сопротивления, возникающего при турбулентном тече-
нии. Коэффициент п можно определить аналитически, зная харак-
тер распределения давления в жидкости при безвихревом течении,
или получить из известных эмпирических зависимостей гидроди-
намического сопротивления от числа
Рейнольдса. Последний член в знамена-
теле представляет проекцию внешних
сил на ось движения.
В работе [2.3.48] показано, что зави-
симость (2.3.94) обобщает практически
весь накопленный в мировой практике
материал по гидравлическому сопро-
тивлению в системах, находящихся в
условиях взаимодействия различных
силовых полей: гидродинамических,
электрических, магнитных, скрещен-
ных электрических и магнитных.
В качестве примера на рис. 2.43
обобщены опытные данные по течению
жидкостей и газов в различных систе-
мах согласно зависимости (2.3.94).
На рис. 2.44 представлены резуль-
таты обобщения различных опытных
данных по течению жидкости и тепло-
обмену с помощью предложенной ана-
логии гидродинамических и тепломас-
сообменных процессов.
Эта зависимость имеет вид:
12Nu3
Re2Prd/£
Л = ув,
(2.3.96)
где критерий В представлен формулой
(2.3.95).
Зависимость (2.3.96) — это анали-
тический вид новый формы аналогии
между гидродинамическими, тепловы-
Рис. 2.43. Обобщение опытных
данных по течению жидкости с
помощью уравнения (2.3.94): 1 —
ньютоновская жидкость в пря-
мой гладкой трубе; 2 — жидкий
металл в трубе в продольном
магнитном поле; 3 — неизотер-
мический поток воды в горизон-
тальной трубе; 4 — газожидкост-
ная смесь в вертикальной трубе;
5 — поток жидкости и газа через
кипящий слой твердых частиц
неправильной формы; 6 — сус-
пензия в вертикальной трубе;
линии 1—6 смещены: 1 — вверх
на ЮЛ.; 2 — вверх на Ю2Л,; 3 — на
ЮЛ; 4 — не смещена; 5 — вниз
на 102Л. и вправо на Ю3В; 6 — не
смещена
228
Глава 2
Рис. 2.44. Обобщение опытных
данных по течению жидкости на
основе предложенной аналогии
гидродинамики и теплообмена
с помощью уравнения (2.3.96):
1 — жидкий металл в прямой тру-
бе; 2 — гидродинамический стаби-
лизированный поток газовоздуш-
ной смеси в прямой гладкой трубе;
3 — вода в прямой вертикальной
трубе; 4 —газографитовая смесь в
вертикальной трубе; 5 — галлий в
круглой трубе в продольном маг-
нитном слое; 6 — кипящий слой
в вертикальном аппарате; линии
2 — 6 смещены: 2 — вверх на 10у;
3 — вправо на 10В; 4 — вправо на
10В; 5 — вверх на Ю2/; 6 — вниз на
105/ и вправо на 104В
вались, для каждого
ми и диффузионными процессами.
От известных она отличается тем,
что учитывает вихревую природу
течения. Отметим, что аналитиче-
ские формы аналогии, получаемые
из законов сохранения количества
движения вещества и энергии, спра-
ведливы только при равенстве еди-
ницы тепловых и диффузионных
чисел Прандтлд. Другие формы ана-
логии не затрагивают природу тече-
ния, как это получено при представ-
лении уравнения (2.3.9).
Зависимости у = f(B), построен-
ные по уравнению (2.3.96), являют-
ся аппроксимацией опытных дан-
ных для случая теплообмена жидких
металлов в прямых трубах, для мас-
сопереноса в прямых трубах, для
теплообмена при движении воды в
вертикальных трубах, для теплооб-
мена между стенкой трубы и газо-
графитовой взвесью, для теплооб-
мена при течении галлия в трубе и
для теплообмена между стенкой вер-
тикального цилиндрического аппа-
рата и кипящим слоем.
Опытные данные рис. 2.44 обобще-
ны соответствующей линией, удов-
летворяющей уравнению (2.3.96). Для
того чтобы точки на графике не сли-
случая линии 2 — 6 сдвинуты по координатным
осям, на что даны поясняющие ссылки в подрисуночной подписи.
Уравнение (2.3.96) может быть использовано, очевидно, и для дру-
гих, по-видимому любых, систем.
При этом появляется возможность существенного упрощения
расчетов в заданной системе: потерь энергии и коэффициентов кон-
вективного тепло- и массопереноса при известных геометрических
параметрах системы и физических свойствах среды.
Расчет величины обобщенного критерия гидродинамического по-
добия (2.3.95) обеспечивает оценку коэффициентов сопротивления,
а также коэффициентов тепло- или массопереноса. В то же время
Глава 2
229
если для системы определен один из упомянутых коэффициентов, то
из формулы (2.3.96) следует, что известны и два других коэффициен-
та и, кроме того, обобщенный критерий гидродинамического подо-
бия (см. уравнение (2.3.95)).
Для неизученных систем можно, в частности, определять: коэффи-
циент п, соотношение к* = P/к; для процесса теплопередачи при извест-
ных характеристиках системы и физических свойствах жидкости —
температурный напор, т.е. температуру поверхности частиц в слое (ста-
ционарном или кипящем), стенок и элементов теплообменника и др.
Анализируя гидродинамические или тепломассообменные харак-
теристики аппаратов, можно выявить действие неизвестных ранее
силовых полей, вызывающих внутренние течения в этих системах, и
оценить величину этих сил.
Влияние входных гидродинамических эффектов
на эффективность тепло- и массообмена
Существование известных пограничных слоев: гидродинамиче-
ского, теплового и диффузионного в гидродинамических и тепломас-
сообменных процессах обусловлено наличием малых параметров
при старших производных в уравнениях переноса.
При решении уравнений переноса в полной постановке они про-
являются автоматически. Если длина контактного устройства намного
превышает длину входного гидродинамического слоя, на котором эф-
фективность тепломассообмена выше, чем на гидродинамически ста-
билизированом участке, то это превышение остается вне поля зрения
исследователя. Для тепломассообмена с поверхностью раздела при пле-
ночном, струйном течении, в том числе с фазовыми превращениями,
влияние входного гидродинамического участка на превышение тепло-
массообмена становится заметным, особенно если длина контактного
устройства соизмерима с величиной самого входного участка.
Расчет тепломассообмена с учетом входного участка (эффектов)
является сложной математической задачей, так как величина разви-
тия поверхности, соответственно и длина входного участка, является
искомой величиной.
В качестве примера приведем расчет массообмена с учетом вход-
ных эффектов при ламинарном режиме течения пленки жидкости и
формулы для расчета массообмена при турбулентном режиме, пре-
следуя цель — раскрыть существо метода.
Разнообразные случаи расчета тепломассообмена в различных
гидродинамических режимах, в том числе с фазовыми превращени-
ями, рассмотрены в монографии [2.3.2].
230
Глава 2
Ламинарный режим
Интерес к пленочному течению на входном участке за последнее
время возрос. Помимо применения результатов исследования гид-
родинамики и массообмена на входном участке в пленочных тепло-
массообменных аппаратах, результаты ускоренного течения пленки
жидкости на вертикальной и наклонной поверхностях могут быть
использованы при исследованиях гидродинамики и массообмена
в насадочных колоннах, в которых движется пленка жидкости по
элементам насадки (рис. 2.45).
В местах соприкосновения элементов насадки равномерность те;
чения нарушается. В результате потери части кинетической энергии
скорость падает, а в силу сохранения расхода толщина пленки меня-
ется в своих размерах. Миновав этот участок, пленка вновь приобре-
тает ускорение, которое происходит на безволновом участке, так как
ускоренное течение весьма устойчиво против различных возмуще-
ний. Как показано в монографии [2.3.2], турбулентное течение может
вновь стать ламинарным, если оно подвержено ускорению.
При изучении гидродинамики в пленке жидкости на входном
участке применяются различные методы решения, в которых дости-
галась разная точность. Исследование массообмена в пленке жидко-
сти на входном участке не проводили из-за сложности решения
задачи. Между тем развитие профиля скорости и толщины пленки
на входном участке непременно должно сказаться на дальнейшем
формировании пленочного течения и массообмена в ней. К тому же
на основании результатов экспериментальных исследований извест-
но, что на входном участке пленочного аппарата пленка жидкости
остается гладкой даже при больших числах Рейнольдса. Поэтому
Рис. 2.45. Течение пленки жидко-
сти на входе: а — плоский ороша-
емый канал, б — элементы насад-
ки, в — одиночные волны
исследования гидродинамики и мас-
сообмена на входном участке имеют
как научный, так и практический ин-
терес.
Наиболее плодотворным и эффек-
тивным методом для исследования
гидродинамики и тепломассообме-
на на входном участке оказался ме-
тод поверхностей равных расходов
[2.3.2]. Применим этот метод к иссле-
дованию гидродинамики и тепломас-
сообмена при пленочном течении по
гладкой поверхности в трубе или ка-
нале.
Глава 2
231
Система уравнений Навье-Стокса, уравнения конвективной диф-
фузии на входном участке в слое жидкости переменной толщины 5(х)
при ламинарном течении (случай, когда сопротивление массопереда-
чи сосредоточено в жидкой пленке) имеют вид:
Эи	ди	1 др	д2и
и—+т>— = gsincq —-^+V—у;	(2.3.97)
Эх	ду	р Эх	Эу
Эи Эн _
^-+3“ = 0:
дх ду
дс дс _ Э2с
дх ду ду
(2.3.98)
у = 0, и = в = 0, с = 0; х = 0, с = 0;	(2.3.99)
у = 5(х), ди/ду = 0, с — сг	(2.3.100)
Граничное условие (2.3.99) предполагает «прилипание жидкости»
к твердой поверхности канала; на входе в канал подается жидкость,
в которой отсутствует распределяемый компонент. Решение задачи
не изменяется, если на вход в канал подается жидкость с постоянной
концентрацией распределяемого компонента.
Граничное условие (2.3.100) предполагает отсутствие касатель-
ного напряжения на поверхности раздела; ускоренное стекание
гладкой пленки жидкости переменной толщины, величина которой
определяется из решения системы уравнений (2.3.97)—(2.3.100), про-
исходит только под действием сил гравитации и сил давления. В ряде
случаев силами давления, ввиду их малости по сравнению с силами
гравитации, можно пренебречь. Концентрация на поверхности плен-
ки жидкости принимается постоянной и равной сг
Обезразмеривание скоростей и и в и поперечной координаты у в
системе уравнений (2.3.95) и (2.3.96) можно проводить двояко:
—	текущую скорость можно относить к скорости в начальном се-
чении, а поперечную координату — к размеру щели Н(0), из которой
истекает жидкость;
—	текущую скорость можно относить к скорости на устано-
вившемся участке, а поперечную координату — к толщине пленки
на нем.
Обезразмеривание уравнений (2.3.97) и (2.3.98) и граничных усло-
вий (2.3.99) и (2.3.100) проведено по второму способу:
u = UqU, x = 6pRex, у = 6ру, c = qc,
(2.3.101)
232
Глава 2
1/3
/ \
где un — средняя скорость жидкости; 8„ = 3v2 / psinc^ р Re
L v	dx 7
толщина пленки жидкости; Re = (u05p)/v; Рг = v/D; Re = u08p/D.
Система уравнений и граничные условия (2.3.97)—(2.3.100) в без-
размерных переменных (2.3.99) примут вид:
_дй _Эй	Э2й
и —+ V— = 3 + —у;
Эх	Эу	Эу2
(2.3.102)
Эи Эн _ _Эс _Эс 1 Э2с
—+ — = 0; и — + D— =-------т;
Эх ду дх ду Рг Эу2
у = 0, и = о = 0, с = 0; х = 0 с = 0;
у = 8(х)/8р Эй/Эу = О, с=1.
(2.3.103)
(2.3.104)
В дальнейшем для простоты написания черточки в уравнениях и
граничных условиях (2.3.102) —(2.3.104) опущены.
Для решения задачи применим метод равной поверхности [2.3.2].
С этой целью представим профиль скорости и(х,у) в виде:
uk = YAj(x)Ujk[(yk(x)],	(2.3.105)
j=i
где N — номер приближения; Ujk(yk) — полная система функций по-
верхностей ук(х), через которые не проходит поток жидкости.
Введем в поле течения пленки жидкости линии ук = ук(х) и обоз-
начим
ик(х) = и[х, ук(х)], ик(х) = и[х, ук(х)], ск(х) = с[х, ук(х)],
где ик(х), нк(х) — компоненты скорости на поверхности ук(х) в направ-
лении координат х и у в условиях стационарного течения, рассматри-
ваемого в настоящей главе. Поставим цель — свести задачу о разви-
тии течения в пленке жидкости и массообмена в ней к численному
определению полей скоростей uk(x) и ък(х) и концентрации ск(х), а
также межфазной поверхности 8(х).
Из определения ук(х) как линии равного расхода, а также из усло-
вия сохранения расхода и уравнения неразрывности следует:
vk=uk^-.	(2.3.106)
Эх
Из постоянства расхода по длине массообменного аппарата сле-
дует:
д у*
( udy = 0.	(2.3.107)
Эх v
Ук-1
Глава 2
233
После замены интеграла конечно-разностным выражением полу-
чим уравнение для линий постоянного расхода
dyk
~^ = Fk,	(2.3.108)
dx
р _ dYk-i У к ~Ук-1 { duk du*x А
dx ик-ик_х\ dx dx J
Уравнение (2.3.102) с учетом условий (2.3.106), (2.3.107) примет вид
Uk*k=3A
dx ду2к
(2.3.109)
Чтобы рассчитать правые части в двух последних уравнениях, не-
обходимо иметь производные скорости по у, для вычисления которых
воспользуемся представлением профиля скорости через полные си-
стемы функций Цк[ук(х)]. Согласно соотношению (2.3.105), эта систе-
ма может быть представлена различными полиномами: ортогональ-
ными полиномами Чебышева, Лежандра и полиномами вида:
\YnJ
\YnJ
(2.3.110)
где yN(x) — поверхность пленки.
Полиномы Чебышева в полной системе функций Ujk применялись
в виде:
2
Ujk(y*) = r,+i(z*)-7)+i(O)-[7)(zt)-Ty(O)]4^-,	(2.3.111)
гдегк = yk(x)/yN(x).
Отметим, что существенного различия в результатах расчета при
применении полиномов (2.3.110) и (2.3.111) не наблюдалось, однако
требуемая точность при применении полиномов Чебышева дости-
галась меньшим числом членов. Выбор полиномов Чебышева обус-
ловлен еще и тем, что, во-первых, сходимость этих полиномов самая
сильная, во-вторых, погрешности в этих полиномах распределены
наивыгоднейшим образом, а именно равномерно по всему интервалу.
Поэтому в дальнейшем все расчеты проведены, в основном, с исполь-
зованием полиномов Чебышева. При вычислении коэффициентов
многочлена Чебышева использовалось рекуррентное соотношение
^}+JzJ ~ ^ZkTj^Zl) ~
Потребуем, чтобы скорость, определяемая по формуле (2.3.105),
совпала со скоростью ик(х) на линиях ук(х). Тогда коэффициенты Ак(х)
определим из системы алгебраических уравнений:
N
Б AjUjk [у* (х)] = Ui(x), 4=1,2.N.	(2.3.112)
/=1
234
Глава 2
После этого по формуле (2.3.105) найдем производные скорости
по ук. Системы уравнений (2.3.108), (2.3.105) и (2.3.112) решаем одно-
временно.
В сечении х = 0 должны быть заданы начальные условия. Мож-
но задавать профиль скорости и по заданному начальному профилю
определять А.-, можно также задавать коэффициенты А. и по ним оп-
ределять начальный профиль скорости в сечении пленки жидкости.
Зададим в начальном сечении профиль скорости, причем использу-
ем в расчетах как постоянный профиль, так и параболический. Сет-
ку линий по сечению пленки жидкости при х = 0 можно задавать как
переменной, так и равномерной (в расчетах применялась равномер-
ная сетка расчетных линий прих = 0: yk(0) = k/(N — 1), где N — номер
приближения).
При расчете массоотдачи в жидкую фазу уравнение конвектив-
ной диффузии с учетом соотношения (2.3.106) преобразовывалось к
виду, удобному для интегрирования:
dck _ 1 д2ск
Uk dx Рг дук '
где
dck = дск । дск дук .
dx дх дук дх '
N
ск(х,у)= ЁА1уМд(Ук(х)).
М
Концентрацию распределяемого вещества, подобно скорости,
разложим на полную систему функций Nljk. При расчете правой час-
ти уравнения (2.3.113) концентрация распределяемого вещества, вы-
раженная через полную систему функций, может быть представле-
на различными полиномами. В расчете применялись ортогональные
полиномы Чебышева, которые с учетом граничных условий (2.3.104)
имели вид:
My*(zt) = L+1(zt)+7)+i(0)(2zl-zt-l).	(2.3.116)
Система уравнений (2.3.108), (2.3.109), (2.3.113) с граничными ус-
ловиями (2.3.104) решаем методом Рунге-Кутта с постоянным и ав-
томатическим шагом. Для гладких решений шаг имеет порядок 0,02;
для случаев, когда перед второй производной стоит существенно
малый параметр, шаг, как показали расчеты, имеет порядок 0,005.
(В некоторых случаях удобно ввести безразмерную переменную вида
х = 8рРех1, где Ре = RePr, тогда в уравнении (2.3.103) исчезает малый
параметр при старшей производной.)
(2.3.113)
(2.3.114)
(2.3.115)
Глава 2
235
Изложенный алгоритм применен
для расчета на входном участке полей
скоростей и концентраций в зависи-
мости от ширины щели Н и числа Re,
толщины пленки по длине орошаемо-
го канала, касательного напряжения
на стенке, коэффициента массоотда-
чи в жидкую пленку, что дало возмож-
ность получить полную информацию
о течении ламинарной безволновой
пленки на входном участке.
На рис. 2.46 показана зависимость
локальной толщины пленки (как
конструктивного параметра колон-
ного аппарата) от безразмерной дли-
ны входного участка при различных
отношениях щели к толщине пленки
жидкости, рассчитываемой по форму-
ле Нуссельта. Существенное влияние ширины щели на ускоренное
течение пленки жидкости наблюдается до отношения Н/5р = 3. При
Н/бр > 3 ширина щели влияет незначительно на ускоренное течение
пленки жидкости (кривые 3, 4). На этом рисунке проведено сравне-
ние расчетных данных, найденных по предложенному алгоритму, с
экспериментальными данными [2.3.26], относящимися к ускоренно-
му течению пленки в орошаемом канале. Согласование теоретиче-
ских и экспериментальных данных, как видно из рисунка, можно
считать удовлетворительным. Фор-
мула для локальной толщины пленки,
полученная аппроксимацией числен-
ных решений на ЭВМ, для Н/5р » 1,1
имеет вид:
6(х) = 6р (Я / 6р ,	(2.3.117)
где x = x/5pRe.
На рис. 2.47 построена зависи-
мость локальной поверхностной ско-
рости от безразмерного расстояния от
входа. Показано, что профиль безраз-
Рис. 2.46. Изменение толщины
пленки жидкости на входном
участке: кривая 1 — Н/6р = 1,0;
кривая 2 — Н/8 = 1,5; кривая 3 —
Н/8Р = 3,0; кривая 4 — Н/8р = 10,0;
кривая 5 — Н/6Р = 0,5; • — экс-
периментальные данные [2.3.26]
для Н/5Р = 0,47
Рис. 2.47. Изменение поверхност-
ной скорости на входном участ-
ке: кривая 1 — Н/6р = 1,0; кривая
2 — Н/8 = 1,5; кривая 3 — Н/8Р =
= 3,0; кривая 4 — Н/8р = 10,0
мерной поверхностной скорости су-
щественно зависит от безразмерной
ширины входной щели до Н/бр = 3.
При Н/6р > 3 это изменение незначи-
236
Глава 2
тельно. Формула для поверхностной скорости, полученная аппрок-
симацией численных решений на ЭВМ для Н/8р » 1,1, имеет вид:
и(1)/п0=Ал/^+В,	(2.3.118)
где
А = ехр(2,ЗН1/(4,35Н1+21,5)); В = 0,33 + 0,44/у[Н^; Нх = Н/\. (2.3.119)
За длину активного гидродинамического участка принималось
расстояние от входа, на котором рассчитанные профиль скорости на
поверхности пленки жидкости и толщина пленки жидкости отлича-
лись на величину е от аналогичных, рассчитанных для случая стаби-
лизированного течения (решение Нуссельта). При G = 0,02 (это от-
личие составляет 2% от решения Нуссельта) длина входного участка,
полученная аппроксимацией численного решения на ЭВМ, выража-
ется формулой
/вх =exp(2,3H1/(20-28H1))5pRe;	(2.3.120)
при G = 0,0002
ZBX =2ехр(-2,ЗН1/(28Н1 -20))5pRe.	(2.3.121)
Другой важной характеристикой пленочного течения является
касательное напряжение на стенке орошаемого канала. (Авторам не-
известно о таких расчетах, проведенных ранее, несмотря на то, что
величина касательного напряжения связана с локальным градиен-
том скорости и перепадом давления и с ее помощью можно опреде-
лять гидравлические потери в пленочных аппаратах.)
На рис. 2.48 представлена характерная зависимость касательно-
го напряжения на входе в орошаемый канал при различных величи-
нах безразмерной ширины щели. Как видно из рисунка, наблюдает-
Рис. 2.48. Изменение касательного напряжения на входе в орошаемый канал: а —
Н/8Р = 0,5;.б — Н/8Р = 1,0 (кривая 1); Н/6Р = 1,5 (кривая 2); Н/5Р = 3,0 (кривая 3);
Н/8р = 10 (кривая 4)
Глава 2
237
ся резкое изменение касательного напряжения по длине орошаемого
участка, причем для < 1 оно падает, а для Hr > 1 — возрастает, при
этом падение касательного напряжения на стенке при Н{ < 1 обус-
ловлено ростом толщины пленки, а его возрастание — уменьшением
толщины пленки по длине орошаемого канала.
На рис. 2.49 проведено сравнение расчетных безразмерных тол-
щин пленок (а) и безразмерных касательных напряжений (б) при раз-
личных размерах щели с экспериментальными результатами работы
[2.3.26]. Как следует из рисунка, участки стабилизации для пленки
жидкости и касательного напряжения совпадают. Этот факт впер-
вые экспериментально отмечен в работе [2.3.26]. Последнее обстоя-
тельство, вероятнее всего, является условием сохранения расхода:
незначительное изменение профиля скорости, а соответственно, и
касательного напряжения на стенке орошаемого канала вызывает
изменение и в толщине пленки жидкости. И только при большой ста-
билизации профиля скорости (касательного напряжения) наблюда-
ется полная стабилизация пленки жидкости при условии сохране-
ния расхода.
Аппроксимация численного решения для касательного напряже-
ния на стенке орошаемого канала имеет следующий вид (для » 1,1):
1g—= -1/(А1х + 2),
тр
(2.3.122)
где
At = exp(2,3Hi/(0.73HJ-0,26)); х = х/6рRe.
сосредоточено в пленке жидко-
Как было отмечено, при расчете массообмена предполагалось,
что сопротивление массопередаче
Рис. 2.49. Сравнение теоретических и экспериментальных данных: а — по толщине
пленки; б — по касательным напряжениям; кривая 1 — Re = q/v = 75, Н/8Р = 3,7;
кривая 2 — Re = q/v = 455, Н/5Р = 1,0; кривая 3 — Re = q/v = 1805, Н/8Р =1,3
238
*»
Глава 2
сти. Для расчета коэффициента массоотдачи в ней использовано ра-
венство
( йсУ
D —
vdyj
d УР
= 7Г / ис<1У-
dx 0
(2.3.123)
Y=Yn
Это равенство может быть получено после интегрирования урав-
нения конвективной диффузии для пленки переменной толщины с
учетом кинематического условия на поверхности раздела (2.3.106),
выражающего тот факт, что поверхность пленки жидкости является
линиями тока.
Усреднив выражение (2.3.123) по продольной координате на участ-
ке с характерной длиной Ь, получим*:
1 d yN
dx = — — j (uc)dy dx.
Y=Yn Ь
После усреднения обеих частей равенства (2.3.124) по поверхно-
сти контакта, вычисления интеграла в правой части с учетом гранично-
го условия (2.3.114) и приведения к безразмерному виду х = 5р RePr^
получим:
1 Yn
₽ч>=г J исаУ =
ь о
На рис. 2.50 построена зависимость безразмерной величины HR2
от безразмерной координаты x^x/SpRePr при различных чис-
лах Рг. Линия 1 соответствует расчету HR2 в зависимости от х{ для
Рг = 300, линия 2 — для Рг = 1000. Параллельные линии, находящие-
ся между прямыми 1 и 2, отличаются одна от другой числом Рг. Выше
числа Рг = 1000 все расчетные линии в интервале от 1000 до 2500 сов-
пали с линией 2. Как видно из этого рисунка, влияние числа Рг на
величину отрезка, отсекаемого на оси HR2, незначительно. В частно-
сти, в интервале чисел Рг от 500 до 1000, где наблюдается различие в
расчете HR2 в зависимости от числа Рг, величина отсекаемого отрез-
ка колеблется от 0,98-10'2 до 1-Ю'2. Для этого интервала формула для
отсекаемого отрезка имеет вид:
br = ехр(—2,ЗРг/(0,5013Рг - 1,3)).	(2.3.126)
Зависимость nR2 от безразмерной длины выражается формулой
nR = 7155xi + b.	(2.3.127)
de
1 о
bo ((1У)
uo5pci 7	.
—-— j uedy
о
b
d УГ
dx 'о
(2.3.124)
-X!=b/5pRePr
.	(2.3.125)
* Градиент концентрации необходимо рассчитывать по нормали к поверхности пленки, то
есть j = D(dc/dn). Расчеты в связи с этим усложнялись, однако существенной разницы в ко-
нечных результатах не наблюдалось, так как dc/dy » dc/dx. Поэтому в дальнейшем сред-
ний коэффициент массоотдачи Рср рассчитывался по соотношению (2.3.125).
Глава 2
239
Формула для среднего коэффициента
массоотдачи в жидкую фазу с учетом урав-
нений (2.3.126) и (2.3.127) принимает вид
ц2'5р0'5 | bi6DPe
Pq, =₽2Ь = 125=2^-J1+0,65^-2—, (2.3.128)
где Ре = RePr.
Поскольку изменение в широком ин-
тервале изменения числа Рг незначительно,
в дальнейшем принято, что = 10’2. С уче-
том этого формула (2.3.128) принимает вид:
Рсп=1,254^[1+0,65Ь1
ср V b 1
SpPe"
b ,
(2.3.129)
ПЯ2 отхр а — Рг = 300 (ли-
ния 1); Рг — 1000 (линия 2);
б — форма волны, разви-
вающейся с расстоянием
где b — некоторый параметр длины.
Если за характерный параметр принять
длину входного участка, то b = Ьг Это соот-
ветствует случаю массообмена, при котором длина контактного уст-
ройства соизмерима с длиной входного участка. Такой случай имеет
место в насадочных аппаратах или в аппаратах с приставками, тур-
булизаторами. Если они намного меньше длины колонны, то их от-
ношение будет характеризовать ускорение массообмена. Если дли-
на орошаемого участка намного больше длины входного участка, а
осреднение коэффициента массоотдачи проводится на всю длину
орошаемого участка, то за характерный размер принимается длина
орошаемого канала, т.е. b = /. И формула (2.3.129) для гладкой пленки
с учетом входного участка принимает вид:
n	6-Ре^1
ft =1,25 р- 1+0,65^-^—
V 1 I 1 )
(2.3.130)
Формула (2.3.130), учитывающая развитие течения во вход-
ном участке, отличается от известных формул добавочным членом
^1+0,65^ (5рРе) / /, учитывающим массообмен на входном участке.
Влияние этого члена на коэффициент массоотдачи в жидкой фазе
возрастает с увеличением чисел Re.
В работе [2.3.27] исследовано гравитационное течение волновой
пленки жидкости и определены ее параметры. В частности, найдены
волны, имеющие относительную амплитуду а =	ПОрЯДка
240
Глава 2
единицы и длину волны Ход = 30,5 см в интервале чиселКе^ = (4U0h0)/v
от 900 до 6000. По форме волна имела вид, показанный на рис. 2.50, б.
Это — одиночная волна, развивающаяся с расстоянием. По виду она
схожа с ускоренным течением пленки жидкости на входном участ-
ке, что дает основание предполагать о возможном сходстве также и
в процессе массопереноса. В этом случае коэффициент массоотдачи
будет изменяться по зависимости (2.3.129).
В качестве характерного параметра используется длина волны.
Формула для массопередачи в жидкую фазу при этом предположе-
нии примет вид:
и?*5!)0'5 I	SDPe
p2=l,25^	1+0,65b,^—,	(2.3.131)
^од v	^°д
где Лод — длина волны [2.3.27], равная 30,5 см.
Ранее для расчета массоотдачи в жидкую пленку при волнообра-
зовании она имела вид [2.3.22]:
Рж = Р1Ь = 1,673a07 y/of7z.	(2.3.132)
Поскольку массообмен проходит при одновременном проявлении
входного участка и волнообразовании, имеющем место после вход-
ного участка, то общий коэффициент массообмена при волнообразо-
вании с учетом входного участка должен принимать вид:
Робщ =Р1Р2Ь +Р2р1ь»	(2.3.133)
где ₽2Ь = ₽/•
В формуле (2.3.133) коэффициенты массоотдачи при волнообра-
зовании с учетом входного участка входят со своими весовыми ко-
эффициентами, причем их сумма равна единице. Этим, вероятно,
можно объяснить тот факт, что ускорение массообмена при волнооб-
разовании отличается от действительного, поскольку длина входного
участка больше длины волны. А как было показано, эффективность
массообмена находится в обратной зависимости от этих величин.
В первом приближении весовые коэффициенты можно принять в
расчетах равными, т.е. pt = р2 = 0,5.
Моделирование гетерогенных сред
Моделирование нелинейного теплообмена дисперсной смеси при
пленочном течении. В монографии [2.3.49] предложена замкнутая
система уравнений механики гетерогенных сред. Здесь же приведе-
ны методы решения этой системы уравнений применительно к раз-
личным теплофизическим и химико-технологическим процессам.
Решим эту систему с использованием метода, изложенного в работе
Глава 2
241
[2.3.8],	на примере решения системы уравнений движения и энергии
дисперсной смеси для случая двухфазного пленочного течения.
Отметим, что течение дисперсной смеси при пленочном течении
находит применение в различных отраслях химической и нефтепе-
рерабатывающей промышленности. Дисперсной средой может быть
система пузырей, капель, а сплошной — жидкость с различной рео-
логией.. Решение данной задачи связано, например, с переработкой
тяжелой пиролизной смолы, которая образуется при производстве
этилена на комплексе Э-200. Пиролизная смола в этом случае пред-
ставляет собой монодисперсную двухфазную эмульсию. Сплошную
фазу составляют углеводы, дисперсную фазу — вода. В настоящей
статье метод поверхностей равного расхода применен для решения
нелинейного тепломассообмена дисперсной смеси при пленочном
течении.
Уравнения движения и энергии дисперсной смеси [2.3.49] для слу-
чая двухфазного пленочного течения имеют вид (z = 1 — сплошная
среда, i = 2 — дисперсная фаза):
VpiVi - 0, Vp2V2 - 0;	(2.3.134)
Р'1- a1Vp+Vn< dt	(2.3.135)
1 = a2Vp + f12+p2g2; dt	(2.3.136)
^- = -Vg1+O21+KIf12(V1-V2); dt	(2.3.137)
= -Vg2 + Q12+K2f12(V, - V2), dt	(2.3.138)
где: Vlr V2 —скорости соответственно дисперсной и сплошной фаз; ир
и2, otp «2 — соответственно их свободные энергии и концентрации;
Tj1 — тензор напряжений в i-й фазе; f12 — сила межфазного взаимо-
действия; q. — приток тепла за счет теплопроводности i-й фазы; Q- —
контактный приток тепла от j-й фазы к i-й фазе; ф / dt = Э / dt + VJ"Vn.
Уравнения (2.3.134) —(2.3.138) в проекциях на оси х и у имеют вид
(рр р2 = const, стационарный режим, погранслойное приближение):
Эг1у dviy	0v7y dv2y
——+—- = 0;	—— = 0;
Эх	Эу	Эх	Эу
(2.3.139)
9vlv Эг1г <Xi Эр Э , Эг^ „ ,
Р1,^Г ,2/р,+£71: ( Л40)
242
Глава 2
-«14^-42=0;	(2.3.141)
Эу
V2X^+''2y^L=-—^-+fn/P2 + g2.	(2.3.142)
дх у ду р2 дх
••|Е-/12/р2 = 0;	(2.3.143)
Рг «У
00<	00t	. д Г. 00^
vix~^~ + viyЧ““(1/Р1ср1)ч“	+<^12/ср1Рп	(2.3.144)
дх у ду р Эу^ ду)
002	Э02 л/ . д Л 0O2^	/о о 1 игл
v2x ^7 + У2у	= (1 /Р1ср2) эД Z2	+ 012 /ср2Р2- (2.3.145)
Граничными условиями для системы уравнений (2.3.139) —(2.3.145)
в плоскости х, у (где х — координата, совпадающая с направлением
силы тяжести, у — координата, перпендикулярная ей) являются сле-
дующие соотношения:
х = о 4 = 4°; ог=О1°;
дТ	d
У = ВД Лфф1 — =р(ДН,— J uixdy, где i = 1, 2. (2.3.147)
ду	dx 0
Для решения указанной системы уравнений применим метод по-
верхностей равных расходов [2.50]. В соответствии с этим методом
скорости сплошной и дисперсной фаз представим в виде VJx,yk(x)]
где уА(х) — линия тока. Для сплошной фазы полный дифференциал
равен:
^Щх _ 0ц1х । ^Ук
dx дх ду dx
Заменив в уравнении (2.3.140) частную производную си1х/дх, со-
гласно формуле (2.3.148), получим:
dvlx dv,	dyA
, (yiy vix , )~
dx	dy	7 dx
(2.3.148)
др d
дх dy
— -WPi+ffi-
Представим давление в виде:
dp 0р | др dyk
dx дх ду dx
(2.3.149)
(2.3.150)
Глава 2
243
и заменим в формуле (2.3.149) др/дх через — из формулы (2.3.150) с
dx
учетом уравнения (2.3.141). Тогда:
dvlx dvlx .	dyk ч	,	. „ dp
vlx	Л (Vly " Vlx = - «1 /Р1 ~
dx ду 3 dx	dx
-й2/р1) 1+4^+?1+1г
\ dx) ду
, i . dv,-
Эу
(2.3.151)
Второй член в левой части формулы (2.3.151) выразим следующим
образом:
— J vi*dy= J-JT
dx о о Эх
dx
= - J ~?Ldy+vix = ~viy +vix	(2.3.152)
0 оу	dx r dx
Учитывая последнее соотношение и изменение расхода по длине
пленки между линиями ук и ук+1, имеем:
d
— / Ри*<*у = Ф(х);
dx У к
выражение для скорости vlx приведем к виду:
vix	=^ф(*-1)-(“1/Р1)^-(А2/Pi)f 1+^-1+
dx ду	dx	V dx J
+31+x~ (P/P1)
Эу _
(2.3.153)
Э+1Х
ЭУ .
Аналогично можно получить выражение для дисперсной фазы и
для распределения температур сплошной и дисперсной фаз. Опус-
кая промежуточные выводы, приведем окончательные выражения
для k-го слоя:
V2x^' = ^i<I>(j£''1)_(“2/P2)dx+(/12/p2)0+^) + ff2: (2'ЗЛ54)
^1=эе1ф(к_1)+(1/ э_Г	(23155)
dx ду	р Эу^ ду J	р
V2x	=“^'Ф(^“1) + (1/Р2ср2)^'	“^12/Ср2Р2-	(2.3.156)
Уравнение для поверхности пленки определим из уравнения
(2.3.152), для чего представим интеграл по одной из формул числен-
ного интегрирования и затем продифференцируем полученную раз-
244
Глава 2
костную формулу по х. Если проинтегрировать уравнение (2.3.152) по
формуле трапеции, то уравнение для определения формулы поверх-
ности примет вид:
<?У* . fot-i ! 2Ф yjt-yt-T , duk-iY
dx d uk + ukA uk + uk_{ у dx dx J'
^ = o	(2-3.157)
dx
Система уравнений (2.3.153), (2.3.154)—(2.3.157) вместе с гранич-
ными условиями (2.3.146), (2.3.147) представляют замкнутую систему,
решить' которую при известных правых частях можно одним из чис-
ленных методов решения обыкновенных дифференциальных урав-
нений, например методом Рунге-Кутта.
Для определения выражения в правых частях представим реше-
ние щ(х, ук(х)), еДх, ук(х)) в виде:
<рА(х)= £ Л(х)Ук(У*(х))-	(2.3.158)
Jt=i
где <рк(х) = и((х, ук(х)), 0;(х, ук(х)), причем полиномы <рк(ук (х)) считаются
заданными функциями.
Расчет этой системы изложен в работе [2.3.2]. При расчете следует
иметь в виду, что 04 + 02= 1; f12 — сила межфазного взаимодействия;
Q- — контактный приток тепла от j-й фазы к i-й. Их значения можно
найти, например, в монографии [2.3.49].
Данный метод нашел применение для решения различных задач
при пленочном течении [2.3.51—2.3.55].
Математическое моделирование гидродинамики
на проницаемых поверхностях
В работе [2.3.2] были показаны широкие возможности примене-
ния метода поверхностей равных расходов для решения сложных не-
линейных задач гидродинамики и тепломассообмена при пленочном
течении как в ньютоновской, так и в неньютоновской жидкостях. В
работе [2.3.8] данный метод распространен на исследования нели-
нейной гидродинамики и тепломассообмена дисперсной смеси при
пленочном течении. В основу были положены уравнения сохране-
ния движения и энергии, предложенные в монографии [2.3.49]. При
этом в качестве дисперсной среды исследовалась система пузырей,
капель, твердых частиц, а в качестве сплошной — жидкости с раз-
личными реологическими свойствами.
Глава 2
245
Для расчета движения гетерогенной среды по поверхности порис-
того тела произвольной формы при наличии фильтрации применим
метод поверхностей равных расходов [2.3.52].
В тепломассообменных аппаратах контактные устройства с про-
ницаемыми поверхностями широко применяются для интенсифика-
ции многих технологических процессов. При расчете таких аппара-
тов возникают как внутренние, так и внешние гидродинамические
задачи. Внутренние задачи связаны с напорными течениями в раз-
личных каналах и трубах; внешние — с действием массовых сил на
движение рабочей среды со свободной поверхностью. Изучение и
выявление закономерностей таких течений представляет как теоре-
тический, так и практический интерес, поскольку эти процессы име-
ют различные технологические приложения: при разделении или
сгущении гетерогенных сред в фильтрующих аппаратах, при реали-
зации интенсивного тепломассопереноса в пленочных течениях, при
управлении пограничным слоем.
Постановка задачи и метод решения. Пусть по поверхности порис-
той пластины произвольной геометрической формы, имеющей посто-
янную толщину 5, происходит течение гетерогенной среды. При те-
чении гетерогенных сред по проницаемым поверхностям сплошная
фаза просачивается через стенку, а дисперсная фаза задерживается
в рабочей зоне. При этом возможны два случая. В первом случае при
значительных касательных напряжениях на стенке, создаваемых
потоком разделяемой среды и массовыми силами, частицы, задер-
жанные на поверхности, увлекаются потоком. В этом случае проис-
ходит фильтрование без образования осадка или сгущение разделя-
емой среды с изменением средней концентрации по длине аппарата.
Во втором случае при недостаточных касательных напряжениях на
стенке происходит фильтрование с образованием осадка.
Расчет течения гетерогенных сред без образования осадка. Урав-
нения сохранения массы и движения гетерогенной среды для случая
стационарного двухфазного течения имеют вид [2.49]:
VpjVj = 0, Vp2V2 = 0,	(2.3.159)
Pi(viv)vi = -«iVp+VTj -F12 +PtF,	(2.3.160)
p2(V2V)V2 =-a2Vp + Fi2 +p2F,	(2.3.161)
где F (Fv F2, F3) — вектор массовых сил и его компоненты в направле-
нии координат хр х2, х3; F12 — вектор силы межфазного взаимодейст-
вия; V/ (Ц, V., ИЛ) — вектор скорости z-й фазы и его компоненты в на-
246
Глава 2
правлении координат xv х2, х3, м/с; af — объемная концентрация z-й
фазы; Р;°, р,- = cc;pz°, Р = Pi + Р2 ~ соответственно плотность z-й фазы,
приведенная плотность и плотность смеси, кг/м3; тк1 — компоненты
тензора вязких напряжений.
В условиях слабой скоростной неравновесности, когда локальная
скорость относительного движения фаз мала по сравнению со сред-
необъемной скоростью потока, можно принять квазигомогенную
модель течения [2.49]. Уравнение сохранения среды в этом случае по-
лучается путем суммирования соответствующих уравнений
VpV = О,
p(W)V = -Vp+VT+pF.	(2.3.162)
В том случае, когда размеры включений и разности плотностей зна-
чительны, относительное движение фаз может существенно искажать
динамику движения неоднородной гетерогенной двухфазной смеси.
Для этого случая необходимо решать систему уравнений (2.3.159) —
(2.3.161). Рассмотрим методом поверхностей равных расходов [2.3.2],
примененным для расчета гидродинамики и тепломассообмена в не-
однородных гетерогенных средах [2.52 — 2.53], оба случая.
Выберем ортогональную систему координат, у которой одна из
координатных поверхностей х} = const совпадает с поверхностью те-
чения, а координатные линии (поверхности) х2 = const составляют
семейство нормалей к ней. Для оценки членов системы уравнений
(2.3.162) используем безразмерные переменные:
x,=x,/L, х2 = х2/Н, V = V/V., U = U/U., p = p/(pU?);
6 = H/L = V-/U., Re = HU-/v, Fr,=l7?/(H/<),	(2.3.163)
где V,, U., L — характерные скорости и размер области течения; Н —
начальная толщина слоя.
Тогда в ортогональной системе координат уравнение (2.3.162) с
учетом формул (2.3.163) преобразуется к виду (черточки опущены):
( U dU V dU UV днЛ з V2 дН2
<Н1	Н2 дх2 НГН2 дх2 J	НГН2 дх{
£2	1 ЭН2^зтп т22 дН2 ।
Re^H^Hg dxj НХН2 дхх
1	3 f Э(У/Н2)^
Н*Н2Н3дх2{	Эх, ))
1	1 Э f Н±Нз Э(1//Н1)'| е Эр 1
Re Н?Н2Н3 Эх2 ( Н2 Эх2 J Ht Эх, Fr,'
(2.3.164)
Глава 2
247
2 и av v av uv эн2 и2 эн,
Эхх H2 Эх2 HXH2 dXi J HiH2 dx2
£	1	Тц dHi [
' тЦ НХН2Н3	Эх2 НГН2 дх2
+2 \—//Н1Н2Н3 Э(У/Н1)Т| +
Н^НзЭхД	Эх2 ))
Е3 1 а Гн2н3 д(у/н2)}____i__ap_ i
Re HrH2H3 3xt [ Hr axj J H2 dx2 Fr2'
(2.3.165)
где Frf. — число Фруда, определяемое компонентом массовой силы,
направленной по координате xf.; Re — число Рейнольдса; Н. — коэф-
фициенты Ламе.
Полагая для тонкослойных течений малым параметр е и пренеб-
регая слагаемыми, величина которых на порядок меньше, чем масш-
таб градиента давления, получим:
„ ( и ди V ди UV днЛ
Ree —— +—-—+-----------!• =
<	Н2 ®^2	^1^2 ^^2
1 Э ГН,3Н3 Э(и/Н1)"| Ree др Re
н2н2н3 Эх2 k н2 Эх2 ? н{ axt Frt ’
и2 _______1 Эр 1
НХН2 дх2 Н2 дх2 + Fr2 ’
(2.3.166)
(2.3.167)
Произведение Ree дает число Рейнольдса, определяемое по скоро-
сти, нормальной к поверхности течения:
Rev = eRe = HV/v.	(2.3.168)
На начальном участке слагаемые с коэффициентами eRe должны
всегда учитываться. В области установившегося течения для непро-
ницаемой границы Rev -» 0; поэтому в уравнении (2.3.166) конвектив-
ными членами и градиентом давления можно пренебречь. Однако в
условиях фильтрации на участке установления скорость V. по поряд-
ку величины совпадает со средним значением скорости протекания
на границе. Следовательно, число Рейнольдса Rev определяется ин-
тенсивностью фильтрации. Поэтому вышеназванные слагаемые в
общем случае должны быть учтены.
С учетом приведенных оценок уравнения сохранения механики
гетерогенных сред (2.3.159) —(2.3.161) в ортогональной системе коор-
динат запишутся в следующем виде:
248
Глава 2
Э(Н2Н3р,и,) , Э(Н,Н3р,У,) = 0.
cbq	Эх2
Pl	ЭЦ У, ЭН, u,v, эн/ < Hi	H2 Эх2 HiH2 dx2;	=	
= -	_ eg Эр	1 ЭНрН3т12 _ Hi dxi HiH2H3 Эх2	^bxj +PiA«	(2.3.170)
U? ЭН, a! Эр P1 HjH2 Эх2 H2 dx2 12X2	1 2'			(2.3.171)
Э(Н2НзР2П2) + Э(Н,НзР2У2) = 0; Эх2			(2.3.172)
p2	'иг ди2' v2 du2! U2V2 dHt' < Hi 3xt H2 Эх2 HiH2 dx2		
= -	a2 Эр _ rr 2 +^12X1+P2^1> Hi dxi	1		(2.3.173)
U2 dHi a2 Эр _ —p2 —— —-1 = —-z^+Fl2x2 4 2 H{H2 Эх2 H2 Эх2 12		P2^2-	(2.3.174)
Движущими силами процесса фильтрации являются разность
давлений и массовая сила. Когда толщина пористой пластины на-
много меньше ее продольного размера, для расчетов можно при-
нять модель одномерной фильтрации. Уравнения неразрывности и
фильтрации в ортогональной системе координат в этом случае при-
мут вид:
дН,Н3У0 _
Uj
Эх2
цДН2Эх2
(2.3.176)
При фильтрации сплошной фазы имеет место сгущение среды,
сопровождающееся изменением концентрации твердой фазы. Для
того чтобы это учесть, представим при математическом моделиро-
вании изменение концентрации твердой фазы как функцию про-
дольной координаты 02 = a^Xj). Построим уравнение для ее опреде-
ления.
Количество твердой фазы остается неизменной. Тогда
02(х1) =	= const.	(2.3.177)
Глава 2
249
Расход жидкой фазы меняется из-за фильтрации согласно соот-
ношению
Q|x,) = Q(xte)+ J j‘a10V0(6)H1H3dx3dx1,	(2.3.178)
х1п х3п
где Vo — скорость фильтрации в направлении координаты х2, м/с;
5 — толщина пористого тела, м.
Дифференцируем эти два соотношения по х{
a2(xi№i)+a2(xi)O'(x1) = 0;
О'(х,) = J*a10V0(8)H|H3dx3,
*3n
найдем изменение концентрации дисперсной фазы
/ ОСо
= ~ J «iovo(8)WlH3dx3.	(2.3.179)
Граничные и начальные условия для решения системы уравне-
ний (2.3.169) —(2.3.176), (2.3.179), а также условия сшивания по коорди-
нате Xj следующие:
при	х2 = 0 р0 = рв, Ц=0;	(2.3.180)
при	х2 5 р0 р,	(2.3.181)
при	х2 = h(x) р = рА, т12 = 0;	(2.3.182)
при	xi ~ хщ ^2 ~— ^\п' h ~ Н,	(2.3.183)
где xin, xik — начальное и конечное значения z-й координаты; ain —	
объемная концентрация z-й фазы на входе.
Следует отметить, что, когда толщина пористого тела незначи-
тельна, уравнения фильтрации (2.3.175) —(2.3.176) заменяются гра-
ничными условиями на проницаемой стенке и решается система
уравнений (2.3.169) —(2.3.174). Граничные условия (2.3.180) —(2.3.181)
заменяются условиями:
♦
к
при х2=0 р0=рв, Ц=0,	V1=-----(Р-Рв);	(2.3.184)
Р1
а условия (2.3.182) —(2.3.183) остаются в силе.
Вначале определим параметр фильтрационного течения в порах
пористого тела. Скорость фильтрации жидкости находим из уравне-
ния (2.3.175)
V0=^l,	(2.3.185)
H1H3
где С — постоянная интегрирования.
250
Глава 2
Из уравнения (2.3.176) с учетом выражения (2.3.185) находят зави-
симость для давления
PO=-T-CHX1)J2(X1-X2)-P?^1(X1-X2) + C2(X1)-
к
где Ji(Xi,x2) = $H2F2dx2l J2(xvx2) = f-^-dx2.
Определив из граничных условий (2.3.180) —(2.3.181) с учетом
уравнения (2.3.170) постоянные интегрирования CJXj) и С2(х{), полу-
чим выражение для полей давления и скорости
Ро = Рв +	^7*'^’[ft “Рв+Р1 (Л(х1.8)-Л(х1.°))]+
J2(x1,0)-J2(x1,5) l	j
+pf(J1(x1,0)-Jl(x1,x2));	(2.3.186)
к Pj-pB+pflJilXpSl-J^XpO))
Vn —------------------------“----•	IZ.J.lorl
0 И1 H1H3(J2(x1,0)-J2(x1,5))
В этих формулах давление на стенке рг является искомой вели-
чиной.
Определим поля скоростей для слоя (h—6), где происходит движе-
ние гетерогенной среды. Уравнения движения (2.3.170), (2.3.173) обра-
зуют систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных
производных, которые в квадратурах не интегрируются. Нелиней-
ную систему (2.3.169)—(2.3.174) решаем методом поверхностей рав-
ных расходов [2.2]. В работах [2.50] —[2.53] показана возможность
применения этого метода при математическом моделировании раз-
личных процессов в гетерогенных средах.
В соответствии с этим методом введем в поле течения суспензии
линии тока ук = y^xj и представим компоненты скорости i-й фазы для
k-го слоя в виде Uf =Ut xr,ук(xt)], V* = Vrf[x1,yJt(x1)]. Здесь k = l,N,
где N — количество введенных линий тока. Причем линия у{ совпада-
ет с поверхностью пористого тела х2 = 6, а линия yN — со свободной
поверхностью. Сведем задачу о развитии течения слоя суспензии к
численному определению полей скоростей и линии тока.
Для сплошной фазы полный дифференциал равен
А=^ц+ эц H2d&	(23188)
Н^х{ Hfixi Н2дук H^dXi
Заменив частную производную дГ^/дх^ согласно выражению
(2.3.188), получим:
Глава 2
251
H2dyky _
1	1 HydXy
(2.3.189)
(2.3.190)
pM dUy _ C4 Эр р1ЭС71
Ну dxy Ну Эху Н2Ъх2
РАУ, эн, эн2н3т12
Н,Н2 Эх2 Н,2Н2Н3Эх2 ,2х' Р1 '
Второй член правой части выразим через расход между линиями
тока. Расход сплошной фазы через произвольное сечение Ху за еди-
ницу времени определится соотношением
f / CLyUy[Xy,x2,x3)H2H3dx3dx2.
5x3n
Рассмотрим гидродинамическое течение без массообмена. Оче-
видно, что при отсутствии массообмена изменение расхода сплошной
фазы может происходить из-за фильтрации жидкости через прони-
цаемую поверхность. Предположим, что система координат выбрана
так, что величины ар 5, h, Uv Vt не зависят от координаты х3 и обоз-
начим Z = Н3(х3к — х3п). Тогда интегральное условие сохранения коли-
чества сплошной фазы для произвольного сечения запишется в виде:
jayZUyH2dx2 + J a10Z|V^(8)|H1dx1 = Qln. (2.3.191)
5 Х1П
При раскрытии модуля скорости нужно учитывать направление
фильтрации относительно оси х2. Продифференцируем соотноше-
ние (2.3.191) по Ху
d h
—— $ayZUyH2dx2 = oc10ZVr0(5).
8
Обозначим величину изменения расхода первой фазы для всей
пленки гетерогенной среды через OJxJ. По определению [2.3.2]
d л
Ja,Zt7,H2dx2 = Ф,(х,).
HjClXi б
Соответственно величина изменения расхода между линиями ук
и ук+1 составит:
—J a1ZUlH2dx2=0f(x1).
Сравнивая уравнения (2.3.192) и (2.3.193), получим
<t>i(x,) = a10ZV0(8).	(2.3.195)
Если соотношения (2.3.191) записывать для расхода между лини-
ями yt = 5 и у2, то после выполнения аналогичных выкладок получим
такое же выражение, т.е.
Ф,(х,) = а1огуо(5).
(2.3.192)
(2.3.193)
(2.3.194)
(2.3.196)
252
Глава 2
(2.3.197)
Это означает, что, когда изменение расхода происходит только из-
за фильтрации, выполняются соотношения:
Ф1(х)) = Ф1(х,)=а102У0(8)1
ф{с(х1) = 0, к = 2,77-1.
Применим правило Лейбница для дифференцирования интегра-
ла (2.3.194)
^к 1 у*,+1 Эа^ЦНо ,	.	dyjt+i , ^тт x dYk
Ф1 I -------4 dx2 + (ai^i^2)k+i773^_^ai^i^2)k773~-
yk dxr	H{dx{	HidXi
Интеграл в правой части полученного соотношения вычисляют с
учетом уравнения неразрывности, и тогда
Ф* = a,zf Vtk -U? ^Ук
-atZ V/
£+1 _	H2dyk+1
1 1
Hxdx}
Отсюда, с учетом кинематического условия на свободной поверх-
ности и соотношений (2.3.197), получим:
.к fytyk
1 Htdxt
a{Z Vf-U\
= 0, k = 2,N;
(2.3.198)
4
1 Hxdxx
=ф‘.
(2.3.199)
к

oqZ У/-Ц1
Отметим, что подстановка формулы (2.3.196) в соотношение
(2.3.199) подтверждает выполнение граничного условия (2.3.181).
На основе полученных соотношений можно сделать вывод, что на
линиях тока второй член правой части уравнения (2.3.189) пропадает.
Представим давление в виде (2.3.188) и выразим частное произ-
водное по Xj через полный дифференциал
дРк _ dPi<$Рк	(2.3.200)
Htdx{ H\dxr Н2дук H{dx{
Из суммы уравнений (2.3.171) и (2.3.174) находим
= pF2 + Plt7|2+P2t/2	(2.3.201)
HiH2 дх2
Интегрируя это уравнение на интервале [уА, ук+1], имеем:
Pk+i-Pk=Mk, k = lN^i,	(2.3.202)
гдеМк(х!)= J J(xltx2)dx2, J(xvx2) = H2pF2 +
и1 дХ2
дРк
Н1дук
Глава 2
253
Отсюда:
dpM dpk . dMk
(2.3.203)
(2.3.204)
(2.3.205)
k = l,N-l.
(2.3.207)
dxx dxi dxi
Учитывая, что pN = pat, рекуррентное соотношение (2.3.202) мо-
жет быть приведено к виду:
Рк=Ро1-1'мк. к=1УП.
Х=к
Дифференцируем полученное соотношение
dpk= NfldM^
dxi £к dxY '
Заменив дрк/дх} в уравнении (2.3.189) согласно (2.3.200) с уче-
том выражений (2.3.201) и (2.3.202), а также используя соотношение
(2.3.198), определим распределение скорости
рА*	, dyk
Ht dx, H,£idx, 1	" 2 H,dx,
ЭН, ЭнЗНоТ^о k	---
- 1 1	- + - 9~	—+P1F1- k = 2,N.	(2.3.206)
HiH2 dx2 H2H2H3dx2 12X1 H 1	1 J
Аналогично можно получить уравнения для дисперсной фазы.
Опуская промежуточные выводы, приведем окончательное выраже-
ние для распределения скорости U2 :
p2U2 dU2 a2NJdMk „	dyk
dXl	Hlktk dx{	211
p9UnV2 dH k	--
--2 2 2	- + Д2Х + P2^2- k = 2,N.
H{H2 dx2 12X1 K2 2
Если размер включений и разность плотностей фаз имеют неболь-
шие значения, относительное движение фаз может оказаться незна-
чительным. Тогда можно пользоваться квазигомогенной моделью.
В квазигомогенном приближении линии тока вводятся вполне одно-
значно для некоторой эффективной среды с переменными по про-
дольной координате характеристиками p(a2(Xj)), pfa^Xj)). Преобра-
зованное уравнение движения эффективной среды можно получить,
сложив уравнения (2.3.206) и (2.3.207), т.е.
P^dU^+P£ldUl = ±Ny'dMk+J х dy,
Н{ dx{ Hl dxx Hlk^k dx{ ° 2 H^Xi
Эх2 H?H2H3dx2 1 ''
н,н2
254
Глава 2
Когда U = Ц ® U2 и V = Vj« V2, последнее уравнение примет вид:
pUdU 1 N^dMk ri ч dyk
Н.	dx. H.£k dx.	2’H.dx.
puv dH, ЭН?Н3т*2
------  1 x----------1- OFi .
H.H2 dx2 H.H2H3dx2
(2.3.208)
Уравнения для поверхностей равного расхода определим из выра-
жения (2.3.194). Для этого, представив интеграл по одной из формул
численного интегрирования, продифференцируем полученную раз-
ностную формулу по хг Если проинтегрировать указанное выраже-
ние по формуле трапеций, то уравнение для определения поверхно-
сти будет иметь вид:
dyk+i = dyk t 2Н.Ф. $к yk+i -ук dAk ,
dx. dx. Дк	ДА dx.	(2.3.209)
^- = 0, k = 2JV,
dx.
где Д^ = (a.H2ZU.)k + (о^Н^Ц^+г
На реологию среды ограничения не накладывались. Несмотря на
это, можно считать, что для тонкослойных течений тензор вязкого
напряжения определяется градиентом dU./dx2. Для вычисления про-
изводных пох2 в уравнениях (2.3.206) сеточные решения представим
в виде разложения в ряд по полной системе базисных функций, удов-
летворяющих граничным условиям (2.3.182):
U=lAj(x.)Ukj(x.).	(2.3.210)
Систему базисных функций можно выбрать в виде [2.2]:
либо
(2.3.211)
(2.3.212)
где Tj — полиномы Чебышева первого рода;
j = UV; k = lN.
П*(Х1) =
УИ*|).
У1у(*1)’
Потребуем, чтобы скорость, определяемая из уравнения (2.3.210),
совпала с U.(x.) на линиях yjxj. Тогда коэффициенты Aj(x.) опреде-
лим из системы алгебраических уравнений:
Глава 2
255
XA;(x1)l/J[.[yJt(x1)] = <71i(x1), k = lN,	(2.3.213)
7=1
затем найдем производные скорости по х2 и вычислим правые час-
ти системы уравнений (2.3.206) или (2.3.209). Система уравнений
(2.3.179), (2.3.206)—(2.3.208) или (2.3.209) и граничные условия (2.3.183)
представляют замкнутую систему уравнений, решение которых при
известных правых частях можно получить одним из численных мето-
дов решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
a- N~ldM\
Нетрудно заметить, что слагаемое — у---------—, входящее в пра-
х=к dx{
вые части системы (2.3.206) —(2.3.209), содержит искомую величину
dyN/dxv поэтому вычисление правых частей системы состоит из два
этапа:
1.	вычисление прогоночных коэффициентов и расчет по ним не-
известного dyN/dXp
2.	вычисление собственно правых частей.
Для этого необходимо представить искомые функции dyk/dxi в
виде прогоночных соотношений
(2.3.214)
(2.3.215)
^ = AJy»+Bk, к = ^.
dx, dx, к
Подставляя эти выражения в уравнения (2.3.206) —(2.3.209) и счи-
тая, что Ak V Вкл известны, получим явные выражения прогоноч-
ных коэффициентов. После их вычисления из уравнения системы
(2.3.214) определяем
йУы _ BN
dx{ l-AN
После этого обратной прогонкой вычисляем значения правых
частей системы дифференциальных уравнений (2.3.206) —(2.3.208).
Находить явные выражения прогоночных коэффициентов целесооб-
разно после конкретизации области течения и определения коэффи-
циентов Ламе: Нр Н2, Н3. Рассмотрим несколько примеров течения
гетерогенной среды без образования осадка.
Течение по поверхности плоской пористой пластины. Рассмотрим
течение гетерогенной среды по поверхности наклонной плоской по-
ристой пластины единичной ширины. Выберем декартовую систему
координат (х, у, z) с коэффициентами Ламе: Нг = 1, Н2 = 1, Н3 = 1. Для
этого течения не только коэффициенты Ламе, но и компоненты мас-
совых сил являются постоянными, поэтому:
F^gsirnp, F2=-grcosq), J(x,y) = pF2, Z = l,
Л(х.У) = /72У. Л(*.У) = У. Mk=pF2(yM-yk).
(2.3.216)
256
Глава 2
С учетом этих выражений уравнения для полей давления и скоро-
сти в порах пористого тела примут вид:
Ро=Рв + РА-Рв-^-^-у-.	(2.3.217)
О
Vo = -Af ~Рв ~P^<h~5Lp«F2l	(2.3.218)
Mil 8	J
Для давления в слое гетерогенной среды из соотношения (2.3.204)
получим:
Рк = Ра -Р^2(Л"У)«	(2.3.219)
Слагаемые, учитывающие в уравнениях (2.3.206) —(2.3.208) пере-
пад давления, примут вид:
dMk . dyk _ Г, .dp dyN ’
У1У-У*)-Т~+Р Я 
к=к dx	dx L dx dx J
Тогда дифференциальное уравнение (2.3.208), позволяющее опре-
делять скорость среды для плоской пластины на линиях равных рас-
ходов, принимает вид:
pl/‘^ = F r(y у )^P+p^Nl+|Ea+pF (2.3.220)
dx L dx dx J oyk
Система (2.3.209) для пластины единичной ширины (Z = 1) запи-
шется в виде:
dyk+i = ЛУк , 2аО1Уо Ьк
dx dx ai(Uk+Uk+l) 1
aJC^ + C^dxL	J
^ = 0,	k = 2,N.
dx
Изменение концентрации дисперсной фазы определяется из диф-
ференциального уравнения
dO2 =_а2ао.1.Уо	(2.3.222)
dx Q2
Приведем к безразмерному виду выражения (2.3.218), (2.3.220) —
(2.3.222) с помощью следующей подстановки:
х = HRex, у = Ну, 8 = Н8,
U _	9_	(2.3.223)
ц = Vo=—Vo, к = Н2к,
Глава 2
257
где U. — средняя скорость в начальном сечении; Н — величина щели,
из которой истекает смесь; Re = САН/v; Rez = и-Н/\\; Frz = СА2/(Н/<);
vo = Mi/Р? J vi = М/Р' = Безразмерное уравнение движе-
ния для случая ньютоновского реологического закона в новых пере-
менных примет вид (черточки опущены):
dx
(Ук-Ук)
Др da2
р dx
dx
1 d2Uk Re
---Ч 5~ + ,
Fr2 Эу2 Fij
dyk = ЛУк-i t 2а01У0	_
dx dx ai(Uk +Uk~l) 1
Ук-Ук-i d[ai(C/ +uk !)]	(2.3.224)
a{(Uk+Uk~l) dx
da2 а^оЛо
dx a2n
V0=kRef-Re1^-+-^-yN~S+^- .
t 1 S Fr2 5 Fr2 J
Для вычисления правых частей методом прогонки первые два
уравнения этой системы приведем к виду:
Ук ~ У к-1 + ^к^к-1 + ^к^к ~ ^к<
Uк — Dk +	,
ч _ Ук-Ук-1 п _ 1 (Р'Ун-Ук , 32Ut , Re'
* Uk+Uky к уДр Fr2 Эу2 FrJ'
С* = У Fr ' £jf = а (У +У )&* +Sk^k+Uk->hA (2-3-225)
Здесь номера поверхностей расходов (в обозначениях скорости)
для удобства даны в нижнем индексе, а штрихи означают производ-
ные по безразмерной координате х.
Представим искомую функцию у'к в виде прогоночного соотно-
шения
Ук=АкУы+Вк	(2.3.226)
и подставим его в уравнение (2.3.225). После несложных преобразо-
ваний получим явные выражения прогоночных коэффициентов в
виде следующих рекуррентных соотношений:
Ак = ^k-l ~ ^к^к-1~ Sk^k’
Bk=Bk.i-SkDk_l-SkDk + Ek.	(2.3.227)
258
Глава 2
Из условия Фк = ^Щ- = 0 и из системы уравнений (2.3.225) нахо-
dx dx
дим значения прогоночных коэффициентов при к = 2
А2 = -S2C2, В2 = Е2 -S2D2.	(2.3.228)
Остальные коэффициенты при k = 3,N вычисляем по соотноше-
ниям (2.3.227). При к = N из уравнения (2.3.226) имеем:
о
y'N=T^--	(2-3.229)
Далее, обратной прогонкой вычисляем значения правых частей
системы дифференциальных уравнений (2.3.225).
Течение по внутренней поверхности вращающегося конического
пористого ротора. Применим построенную систему дифференци-
альных уравнений (2.3.179), (2.3.208) —(2.3.209) для расчета процесса
сгущения гетерогенной среды в фильтрующей центрифуге. Выбе-
рем коническую систему координат х{ = х, х2 = у, х3 = ср с коэффи-
циентами Ламе: = 1, Н2 — 1, Н3 — г. Массовая сила определяется
компонентами вектора центробежного ускорения:
Tj = (02nsin<p, F2 = -(o2rcos(p, r = xsin<p. (2.3.230)
Кроме того,
^i=yF2« ^2=У/г- J = PF2- Z = 2nr, Mk=pF2(yk+l-yk). (2.3.231)
В общем случае, поля давлений и скорости в порах пористого ро-
тора определяются из соотношений (2.3.217) — (2.3.218). Однако, когда
толщина материала ротора незначительна, скорость фильтрации оп-
ределяется из граничного условия (2.3.184). В фильтрующих центри-
фугах разделение смесей происходит за счет центробежной силы, и на
практике перепад давления в разных сторонах фильтрующей перего-
родки не создается (рА = рв). С учетом сказанного для скорости филь-
трации несущей фазы из выражений (2.3.184) и (2.3.219) получим:
Vo=— phF2.	(2.3.232)
Hi
Дифференциальные уравнения для поверхностей равных расхо-
дов, скоростей и концентрации принимают вид:
ГТ dUk d(pF2).	.	„ dyN Эт^2
Put~r- = -^- Ум"У* +Р^-г!1+-у1+РЛ
dx dx	dx ayk
= dy* +—?Wo—5*-------Ук+1-Ук----—[ra(Uk +Uk+I)],
dx dx at(Uk+Uk+l) 1 rat(Uk+Uk+l)dxl K K+‘ 1 (2.3.233)
da2 _ 27tra2a01V0
dx Q2
Глава 2
259
Исключим размерность в системе уравнений (2.3.232) —(2.3.233)
с помощью подстановки выражения (2.3.223). Кроме того, учтем, что
к = Нк и Q2 = 2nrna2nU-H (к' — коэффициент проницаемости стен-
ки, м). После перехода к безразмерным переменным получим (чер-
точки опущены):
dx
. Apda2 dyN yN-yk
p dx dx x
1 d2Uk Re
—н—;
Fr2 dy2 Frt
dyk . dyk_, ,	2a01V0	yt-yt_, d[ra,(t/* H-t/*'1)]
dx dx а{(ик+Uk~l) 1 ta{(Uk +Uk~l) dx
da2 = alaolVo x .
dx a2n xn'
(2.3.234)
к Re2 h
Fr2
Искомая величина y'N в правой части этой системы уравнений
определяется методом прогонки. Для этого система приводится к
виду (2.3.225), где
n _ 1 Гум-УкЛр<*«2 , Ук’}'!, J’4
—  -----------------1-------1--—_ -|-
Fr2 Р dx xFl2 9y2 Fr1?
Ek =	2a°1V°	8*
a,(l7k + l7k_,)

(2.3.235)
atdx )'
а зависимости Sk, Ck по форме остаются неизменными. Вычисления
прогоночных коэффициентов и собственно правых частей системы
выполняют по формулам (2.3.225)—(2.3.229).
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений (2.3.224)
и (2.3.234) с начальными условиями (2.3.185) решены численно мето-
дом Гира.
Обсуждение результатов численного решения. Рассмотрим случай
непроницаемой стенки. Задача решена методом Рунге-Кутты с авто-
матическим выбором шага. Характерная зависимость толщины по-
верхностей равных расходов от продольный координаты представ-
лена на рис. 2.51.
При течении среды по плоской пластине толщина пленки выходит
на постоянную величину. Результаты расчетов при различных значе-
ниях отношения чисел Рейнольдса и Фруда показаны на рис. 2.52.
При течении смеси по внутренней поверхности вращающего-
ся конического ротора с частотой вращения (о, с*1) толщина плен-
260
Глава 2
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 х
Рис. 2.51. Зависимость безразмерной
толщины поверхностей равных расхо-
дов от безразмерной продольной коор-
динаты для непроницаемой стенки при
Re/Frx = 8,5
ки не имеет асимптоту, посколь-
ку текучая среда растекается по
увеличивающемуся периметру.
Характерный вид поверхностей
равных расходов в случае тече-
ния по коническому ротору по-
казан на рис. 2.53.
В случае течения по проница-
емой поверхности объем среды
под нижней поверхностью тока
будет убывать из-за фильтрации
жидкости. Когда нижняя поверх-
ность тока достигнет проница-
емой стенки (у2 = yj, происхо-
дит уменьшение степени разло-
жения в ряд сеточного решения
(формула (2.3.210)). Изменение аппроксимации скорости вносит воз-
мущение в числовое значение .тензора вязкого напряжения и, следо-
вательно, в слагаемое &Uk/dy2. Резкое изменение отдельных членов
уравнения сохранения импульсов уравновешивается изменением
гидродинамических параметров. В результате этого числовое реше-
ние yN(x) терпит локальное искривление. Расчеты показывали, что
одношаговый метод Рунге-Кутты, как правило, не в состоянии пре-
одолевать такие пикообразные участки. Для преодоления этой осо-
бенности был применен метод Гира, предназначенный для решения
жесткой системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Рис. 2.52. Зависимость безразмерной
толщины пленки смеси от безразмер-
ной продольной координаты для непро-
ницаемой стенки: кривая 1 — Re/Fr* =
= 8,5; кривая 2 — Re/Frx = 3,4; кривая
3 - Re/Frx = 2,l
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 х
Рис. 2.53. Зависимость безразмерной
толщины поверхностей равных расхо-
дов от безразмерной продольной ко-
ординаты для непроницаемого ротора
при входном Re/Frx = 1,01 и (О = 10 с*1
Глава 2
261
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 х
Рис. 2.54. Зависимость безразмерной
толщины поверхностей равных рас-
ходов от безразмерной продольной
координаты для проницаемой стенки
npnRe/Frx = 8,5; к = 7,57-10*
Для случая проницаемой стен-
ки характерный вид зависимо-
сти толщин поверхностей равных
расходов от продольной координа-
ты показан на рис. 2.54—2.56. Из
этих рисунков видно, что при ис-
чезновении нижнего слоя, осталь-
ные линии имеют пикообразные
возмущения (рис. 2.55). Причем,
чем меньше остается введенных
поверхностей равных расходов,
тем заметнее становится локаль-
ное возмущение решения. В рас-
четах вначале были введены семь
поверхностей равных расходов
(N = 7). Из рис. 2.54 следует, что
возмущения, вносимые в расчеты при исчезновении первых четырех
поверхностей, незначительны. В точке х = 0,56, после исчезновения
пятой линии тока, числовое решение имеет заметное возмущение.
Следующее пикообразное изменение решения наблюдается после
исчезновения шестой, предпоследней линии тока. Подобное поведе-
ние числового решения было получено и для других режимов тече-
ния. Отсюда можно сделать вывод, что в разложении (2.3.210) коли-
чество слагаемых должно быть больше двух (N> 3).
Рис. 2.55. Зависимость безразмерной
толщины поверхностей равных рас-
ходов от безразмерной продольной
координаты для проницаемой стенки
при Re/Frx — 0,085; к — 1,9310 5
Рис. 2.56. Зависимость безраз-
мерной толщины пленки смеси от
безразмерной продольной коор-
динаты для проницаемой стенки:
кривая 1 — Re/Frx = 8,5; кривая 2 —
Re/Frx = 3,4; кривая 3 — Re/Frx = 2,1;
к =1,13-10-8
262
Глава 2
Рис. 2.57. Зависимость безразмер-
ной толщины пленки смеси от без-
размерной продольной координаты
для проницаемой стенки: кривая 1 —
Re/Frx = 0,085; кривая 2 — Re/Frx =
= 0,034; кривая 3 — Re/Frx = 0,021;
к = 1,93-10'5
Результаты расчетов толщины
пленки в плоском течении для
проницаемого ротора при раз-
личных отношениях гидродина-
мических параметров показаны
на рис. 2.57—2.59. Наиболее су-
щественное влияние на характер
течения оказывает отношение
числа Рейнольдса к числу Фру-
да (см. рис. 2.57) при значениях
этого отношения, меньших еди-
ницы. С увеличением этого отно-
шения различия нивелируются
(рис. 2.59).
На рис. 2.58 показан характер-
ный вид поверхностей равных
расходов для проницаемого рото-
ра. Увеличение скорости вращения ротора приводит к уменьшению
толщины пленки (см. рис. 2.59).
Характерный вид изменения напряжения по продольной коорди-
нате для проницаемой стенки и вращающегося ротора показан на
рис. 2.60—2.61. В обоих случаях энергия диссипации вблизи от входа
затрачивается на развитие профиля скорости, причем для пластин-
ки продольная скорость увеличивается, прижимаясь к поверхности
0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 х
Рис. 2.58. Зависимость безразмерной тол-
щины поверхностей равных расходов от
безразмерной продольной координаты
для проницаемого ротора при входном
Re/Frx = 1,01; к =3,0340-6; со = Юс*
Рис. 2.59. Зависимость безразмер-
ной толщины пленки от безраз-
мерной продольной координаты
для проницаемого ротора при
к = 3.03-10'7; а2 = 0; кривая 1 —
Re/Frx = 9,ll,co = 10 с1; кривая 2—
Re/Frx = 20,5, (О = 20 с1; кривая
3 — Re/Frx = 36,4, со = 30 с‘
Глава 2
263
Рис. 2.60. Зависимость напряжения
от безразмерной продольной коор-
динаты для проницаемой стенки:
кривая 1 — Re/Frx = 8,5; кривая 2 —
Re/Frx = 3,4; кривая 3 — Re/Frx = 2,1,
к =1,13-10-8
Рис. 2.61. Зависимость напряжения от
безразмерной продольной координа-
ты для проницаемой стенки: кривая
1 — Re/Frx = 0,085; кривая 2 —
Re/Frx = 0,034; кривая 3 — Re/Frx =
= 0,021; к = 1.9310-3
Рис. 2.62. Зависимость концентрации
а2 от безразмерной продольной ко-
ординаты для проницаемой стенки:
кривая 1 — Re/Frx = 8,5; кривая 2 —
Re/Frx = 3,4; кривая 3 — Re/Frx =2,1;
к = 1,93107
пленки (см. рис. 2.60), для ротора, наоборот, — уменьшается, прижи-
маясь к его поверхности (см. рис. 2.61). Характерный вид увеличения
концентрации второй фазы от продольной координаты показан на
рис. 2.62.
Математическое моделирование динамики дисперсной фазы
Преобразуем векторное уравнение движения в Лагранжевой си-
стеме координат в систему двух скалярных уравнений для опреде-
ления модуля относительной скорости частицы и ее направления.
Полученную систему, записанную в коэффициентах Ламе, решим
совместно с уравнениями движения сплошной среды в эйлеровой
системе координат. На примерах покажем течение неоднородной
смеси между проницаемыми параллельными стенками и гетероген-
264
Глава 2
ной среды неньютоновского реологического поведения по поверх-
ности ротора осадительной центрифуги.
К вопросу моделирования динамики многофазных сред можно
подойти двумя путями.
В первом из них основным объектом исследования является
сплошная среда, а дисперсная фаза учитывается как дополнитель-
ное явление. Математическое моделирование среды основывается
на уравнениях типа Навье-Стокса, в которых влияние дисперсных
включений учитывается через концентрацию фаз, силы их взаимо-
действия и так далее. В этом направлении имеются существенные
достижения [2.3.49]. Однако использование для каждой из фаз пол-
ной системы уравнений сохранения, записанных в эйлеровой систе-
ме координат, вызывает трудности реализации решения. Кроме того,
определение химико-физических коэффициентов требует дополни-
тельной информации.
Во втором подходе «центр тяжести» ложится на дисперсную сре-
ду. При этом расчет движения частицы обычно базируется на урав-
нении динамики материальной точки, записанном в лагранжевой
системе координат. При этом предполагается, что траектория час-
тицы совпадает с траекторией средней скорости основного потока,
а влияние сплошной среды определяется через коэффициент сопро-
тивления частицы в неоднородной среде, определяемый из опыта. В
уравнениях сплошной среды такие частицы учитываются через эф-
фективную вязкость.
В действительности траектория частицы не может совпадать с
траекторией средней скорости основного потока, поскольку локаль-
ные компоненты тензора напряжений для двумерного вихревого по-
тока, влияющие на траекторию частицы, неоднородны. К тому же
такой подход не может воспроизвести полную картину траектории
частицы в вихревом потоке. В этом состоит существенный недоста-
ток второго подхода.
Достаточно привлекательным и перспективным является ком-
бинация этих двух подходов, когда векторное уравнение движения
дисперсной частицы в лагранжевой системе координат решается
совместно с уравнением движения сплошной среды в эйлеровой си-
стеме координат. С этой целью векторное уравнение для дисперсной
частицы [2.3.56]—[2.3.57] запишем в виде
= -kw2e + F,	(2.3.236)
где к = 0,75Cpj/(p2d); e=(e1,e2,e3) = cosa-7’ + sina-J+0-£ — единичный
вектор направления относительной скорости частицы VOT. Посколь-
Глава 2
265
ку задача рассматривается в двумерной
постановке, поэтому е3 = 0. Положение
этого вектора задается углом а, равным
значению угла поворота от орта i коор-
динаты Xj до вектора ё (рис. 2.63).
Положительным направлением угла
поворота будем считать, как это приня-
то в тригонометрии, направление про-
тив часовой стрелки. Тогда изменение
угла а от тс до 2тс соответствует осажде-
нию, а от 0 до тс — всплытию дисперс-
ной частицы (см. рис. 2.63). Вектор ус-
корения массовых сил F определяется
суммой векторов внешней силы и подъ-
емной силы Архимеда.
всплытие, б — осаждение час-
тицы
Скорость дисперсных частиц представим в виде суммы скорости
сплошной фазы и относительной скорости V2 = + VOT. Компоненты
скорости сплошной фазы обозначим через (U, V), а относительную
скорость выразим через модуль относительной скорости w = |VOT| и
угла а
Кт = cos ос, w since) = we.
Тогда
dV2 dV,	de dw _
dt	dt	dt dt
и уравнение (2.3.236) движения частицы принимает вид:
de dVx
dw . 2^1- de dVi -
—+ kw e + w— =-------------+F.
dt
dt dt
(2.3.237)
В этом уравнении учтена скорость движения сплошной среды в
той же точке.
Для полной производной несущей среды имеем:
dt dt \dt J
Так как частица находится на траектории движения сплошной
среды, можно положить dr/dt = V2. Отсюда для стационарного случая
получим:
^ = (V,-V)V1 + (VOT.V)V1.	(2.3.238)
Правую часть этого уравнения с помощью коэффициентов
Ламе запишем в криволинейной ортогональной системе координат
266
Глава 2
(хр х2, х3) и выразим его через векторные функции. Из векторного
анализа известно, что [2.3.58]:
grad(a • b) = (а • V)b + (b • V)a + a • rot b + b • rot a,
rot (a • b) = -(a • V)b+(b • V)a + adiv b - bdiv a.
Сумма этих уравнений будет равна
2(b-V)d = grad(d-b)+rot(d-b)-a-rotb-b-rotd-
-adiv b + bdiv a.	(2.3.239)
Если в этом равенстве предположить a = b = , то с учетом несжи-
маемости сплошной фазы имеем
(Vt • V) Vi = grad( V2 / 2) - Vi • rot Vj.
Поскольку
Vi2=C72 + V2,
1 f dH2V
HiH2( dXi
rot Vi =0-z +0-j +
ЗЩ7
3x9
к,
запишем векторные функции в правой части этого равенства в орто-
гональных координатах:
grad
Yl
2
Hi axi	axi ?
ox2	3x2 ?
ViXrotVi =
V (дН2У 3HjlfU U (dH2V dH^
HjH2 k dxi 3x2 , H{H2 k dxi 3x2 ,
Отсюда получим
(Vi • V)Vi = P(r) = Pi -Г+P2 J,	(2.3.240)
где:
p ~	U dU i V	dU i UV dHj	V2 dH2
1"	Hj 3X1	H2	3x2	HiH2 3x2	HiH2 3xi '
n	U 3V	V	3V	UV dH2	и2 ЭН1
2	Hi 3xi	H2	3x2	HiH2 3xi	HiH2 3x2 v	1
Теперь примем a = Vp b = VOT, тогда зависимость (2.3.239) с учетом
условия divVi = 0 запишется в виде
(Vot • V)V1 = [grad(Vi • VOT)+rot(VfVOT)-Vyrot VOT -
- VOT -rot Vi - Vjdiv VOT ]: 2.
(2.3.242)
Глава 2
267
Так как
Vj VOT = Uw cos a+Vw sin a,
VOT = 0* +0j + (Uw sin a - Vw cos a)k,
rotVOT = 0z + 0j +
1 ( 3H2wsina
dH{w coso?
Эх2 ,
^1^21
то несложно получить
grad(V1VOT) =
d(Uw cos a + Vw sin a) - d(Uw cos a + Vw sin a) -
H{dx{	H2dx2
-	_ ЭН3 (Uw sin a - Vw cos a) - dH3 (Uw sin a - Vw cos a) -
rot,v'v-)=—й^ —'	й^ }’
VJrotV^ =
V ГdH2wsma dHjVvcosc?
H^H2 0X|	0X2 у
dH2wsina dHjWcosoc^-
0Xj
dx2
VOTrotVi =
wsincc rdH2V _ дН^ - v^cosa r dH2V dHft'
HXH2 djq dx2 J HrH2 3xj Эх2 ?
Кроме того,
Vj divVOT = C/divVOTr+VdivVOTJ,
-	1	(dH2H3wcosa SHiHoWsinc?
где divVnT =-------------------+—i— -------- — скалярная ве-
H\H2H31 9xt	Эх2 J
личина.
Подставляя полученные выражения в уравнение (2.3.242), найдем
= Ё(г) = ДГ+B2J,	(2.3.243)
где
1 3(L/wcosa + Vwsina)	1 dH3(Uw sina-Vwcosa)
Hi	3xt	H2H3	dx2
w sin ar dH2V dH{U
^1^2 k dxi Эх2
V Г 3H2wsina ^H{w cqscC
H1H2 0X|	^-^2 у
U Г dH2H3wcosa
H!H2H3(
dH{H3w sin a
Эх2
(2.3.244)
268
Глава 2
1 3(LWcosoc + VW sin а)	1 3H3(LWsina-VWcosa)
H2 dx2	#iH3
wcosocf dH2V дНЛ}'
+------ —--------4—
HlH2 < 3-Xj ^x2 >
U ( dH2w sin а
#1^2 < dXi
dll\w cos a
Эх2
V Г dH2H3wcosa ^дР^Н^жьтс^
Hj/f2H3 <	dx2 }
Компоненты Fp F2 массовой силы определим после выбора систе-
мы координат с учетом условия проведения процесса в конкретном
аппарате.
С учетом выражений (2.3.238), (2.3.240) и (2.3.243) уравнение
(2.3.237) перепишем так:
(^L+kw^\e + w— = -P(r)-E(r) + F.	(2.3.245)
V dt J dt
Умножим скалярно обе части этого уравнения на вектор ё, а за-
тем — на de/dt. Вследствие ортогональности ё и de/dt получим:
^-+kw2 = -P(r)e - E(r)e + F e,
dt
( de
dt
2	_ _______ _____
-_х de	de - de
= -Р(г)—-Е(г)—+Р—.
dt	dt dt
(2.3.246)
W
После вычисления скалярных произведений соответствующих
векторов уравнения (2.3.246) принимают вид:
= -kw2 -(Д + Еу - Д )cosoc-(Р2 + Е2 -F2)sin а;	(2.3.247)
da /п . гт t-xsina /	xcosa
— = (Pi+Ei-Fi]--------(P2+E2-F2) .
dt v 17 w v	7 w
(2.3.248)
Таким образом, вместо исходного векторного уравнения (2.3.236)
получили систему двух скалярных уравнений (2.3.247) и (2.3.248) для
определения модуля относительной скорости частицы и ее направ-
ления. Полученные уравнения содержат компонент полей скоростей
несущей фазы и его дифференциальных характеристик. Поэтому,
для того чтобы определить движение дисперсной частицы в потоке
несжимаемой жидкости, необходимо решить совместно систему ска-
лярных уравнений и систему уравнений движения несущей среды.
Отличительной особенностью такого подхода к описанию дви-
жения гетерогенных сред является возможность раздельного реше-
ния соответствующих уравнений сохранения сплошной и дисперс-
Глава 2
269
ной фаз. Практическая ценность такого разделения определяется не
только облегчением решения системы дифференциальных уравне-
ний, но и наличием огромного количества решенных гидродинами-
ческих задач для сплошной среды. С помощью полученной системы
скалярных уравнений, записанной в коэффициентах Ляме, многие
решения могут быть обобщены на случай течения гетерогенной сис-
темы. Приведем несколько примеров.
В работе [2.3.59] рассматривается начальный участок течения «сте-
пенной» жидкости по наклонной плоскости. Решение получено в виде:
п+1
2п+1 Q
п+1 h v h)
Alh2~2n -h3
h' = —---------
^2
(2.3.249)
2п+1
п
где Ax =
n m „ A 2(2n+l) Q2
I ---rtf ; A2=—----------о - расход жидко-
pg smp	3n + 2 gsm[3
сти, m2/c; h — толщина пленки, м.
С учетом уравнения (2.3.249) из уравнения неразрывности нахо-
дим поперечную скорость жидкости
V = —yh'.	(2.3.250)
h
Из уравнений (2.3.249) и (2.3.250) легко определить дифференци-
альные характеристики течения, необходимые для решения систе-
мы скалярных уравнений, т.е.
ди = 2п+1дГ уАй ди_= (
ду п Л21 h) ' дх +УЭу]й'
ЭУ_ 31/ XL
ду дх ' дх
V ду 7 /г h
h„ 2A,(l-n)h|-Zn-3h2 ,
А2
(2.3.251)
При известных полях скоростей несущей фазы и их дифференци-
альных характеристиках с помощью скалярных уравнений (2.3.247) —
(2.3.248) можно вычислить траектории дисперсных частиц в движу-
щемся слое «степенной» жидкости.
В работе [2.3.60] решение уравнения (2.3.249) обобщается на слу-
чай, когда жидкая среда стекает по поверхности пористого тела про-
извольной формы при наличии фильтрации. Полученные результаты
также могут быть использованы совместно со скалярными уравне-
ниями при расчете траектории дисперсных включений.
270
Глава 2
В работе [2.3.61] рассматривается течение жидкости между про-
ницаемыми параллельными стенками, движущимися в своих плос-
костях с заданными постоянными скоростями. Уравнения Навье-
Стокса с соответствующими граничными условиями решаются с
помощью преобразования Лапласа. Окончательные формулы для
полей скоростей и давления получены в виде бесконечной суммы
элементарных функций, которые легко дифференцируются по про-
дольным и поперечным координатам. В частности, учитывая первые
два члена разложения, получены следующие предельные формулы
для расчета гидродинамики течения на достаточно большом удале-
нии от входа:
3/7 f v2Vr,	A Wi~Wn	Ш + Ж
U =	1-^2 Y-sh(kx/h)-B2ch(kx/A) + 1	2y+ 1	2,
4	/2 \	/ Zn	Z
,3
v =	2__y bBiCh(Xx//i)-B2Xsh(Xx/12)),
4 3/r h J
3B2C7„u	«	... BiUj,	.	.
P = P^+ —2 H - sh(Xx / h) —ch(Xx / h),
2Л.Л	2k
где В, = KP1U„ (B2 -2B3); B2 = (W, - W>)/C7H -2; B3 = Ap/ftt/2; Л = ЗцК/h;
Др — разность давлений; Wv W2 — скорости движения стенок, м/с;
h — полурасстояние между стенками, м.
Отсюда дифференциальные характеристики течения находим
без проблем:
— = Щ/1 _Z_Y^ch(kx/B)-^sh(Xx/h)];
Эх 4 I h Ik h	h	)
dU 3UHy(Bi	..Л Wi~W2
эг=-^Tsh,Xx/71)-B2Ch(Xx/h,J+"^~:
ЭУ 3U„( у3 у Y В,	... В2Л2 '
---= ——	— sh/x/Л)—-—ch/x/й)
Эх 4 ^ЗВ3 АД*	Л ')
дУ
Эу
зц/ у2
4В Л2
1 [B1ch(>x/B)-B2/sh(>.x/ft)J
7
Следовательно, с учетом системы скалярных уравнений (2.3.247) —
(2.3.248), решение, изложенное в работе [2.3.61], можно обобщить на
случай течения многофазной неоднородной среды.
Глава 2
271
Численный расчет траектории частиц покажем на примере реше-
ния уравнений (2.3.249) —(2.3.251). В декартовой системе координат
компоненты Рр Е;, Ff. скалярных уравнений примут следующий вид:
дх ду	дх ду
А
Г	dU . ЭсЛ
= w cosa——+sina— ,
I	Эх ду)
г,	dv . av]
E7=w coscct—+sina— ;
l Эх Эу J
(2.3.252)
^I=g(l-p?/p2)sinp,
F2=-g(l-p1%2)cosp.
С помощью подстановки
eReL* _	_	_
t =———t, x = ERe£*x, y = hHy, d = hHd, U-U^U,
V* _	hV.
V =w = utWi	e = -^- =—	(2.3.253)
ERe	£* U*
перейдем к безразмерным переменным. Полученные выражения
(2.3.253) позволяют уравнения (2.3.247) — (2.3.248), решения (2.3.249) —
(2.3.251) и соотношения (2.3.252) привести к виду (черта сверху опу-
щена)
---= -Rekw2 -(Pj +Ei -F1)cosa-(P2 + E2 -F2)sina; (2.3.254)
da , r- c\sina / n , с c\cosa
— = (p+F -F)---------(P2+B2-F2--------;
dt	w	w
dh 3n + 2 f2n + lA ,2-2n „ 3
— =-------- ------- h2 -Eh3 ,
dx 2(2n+l) V n J	1
(2.3.255)
(2.3.256)
n TTdU	dU „ U dv V dv
где Pi=L7—+V—P2=——+——,
dx	dy Re dx Re dy
f	Э17	ЭС7)
= w cosa——+Resin a— ;
4	ox	dy J
„ f cosa dV .
E2 = w----—-+sma—- ;
Re Эх	Эу J
Re
Re „ pi . n
1 = f7 sin₽:
P27
Fr
Frl P2,
cosp;
2n + l
n+1 h
V=u^—, —
hdx' Эх
^dh
h dx'
272
Глава 2
ди 2n+l 1 Л yAn dV Г auAyfdhV у d2h
— =-----7II--I , — = - 2СГ + у—рУ— +U-—тг;
ду п h2\ h) дх	Jdyjh2\dx) hdx2
dV dU d2h Зп+2 (2п+1\п	«_2п 3 ^2 dh
dy dx dx2 2n+l v n J	2 dx
Выражение (2.3.256), в отличие от уравнений (2.3.254) и (2.3.255),
содержит производную искомой функции по координате х. Перей-
дем к производным по времени, а также построим уравнение для
расчета траектории дисперсной частицы. Изменения ее координат
за время At в безразмерных обозначениях определим следующими
соотношениями:
x(t + At) - x(t) = U At + w cosa At,
у(t + At) - у(t) = V At + Re w sin a At.
Отсюда, при At -> 0 получим:
— = [7 + wcosa;
dt
dy
— = V + Rewsina.
dt
(2.3.257)
(2.3.258)
Последнее уравнение позволяет рассчитать траекторию частиц
по времени и с учетом выражения (2.3.257) оно приводится к виду:
dh
dt
Зп + 2 (2п + 1Л ,2-2п
-------- ------- Л zn
2(2n+l) V п J
-Fih3 (U + wcosa).
(2.3.259)
Таким образом, задача сводится к численному интегрирова-
нию системы дифференциальных уравнений (2.3.254) —(2.3.255),
(2.3.258) —(2.3.259). Для расчета траектории относительно продоль-
ной координаты можно перейти к производным по переменной х с
помощью выражения (2.3.257). В этом случае уравнение (2.3.256) ре-
шается совместно с уравнениями:
dw _	1 dw
dx U+wcosa dt ’
da _	1 da
dx U+wcosadt'
dy _V + Re w sin a
dx	U + wcosa
Глава 2
273
Уравнение (2.3.255) при w = 0 имеет свою особенность. Вместе с
тем за начальное условие для относительной скорости следует при-
нимать wH = 0. Для раскрытия неопределенности в начальном сече-
нии разобьем уравнение (2.3.255) на две части:
da Ei sin ос Eicosa
— = _1-----+ _------(
dt w w
[(P1-E1)sina-(P2-E2)cosa]|H =0.
Тогда неопределенность в этом уравнении раскрывается в виде:
^cosocBV . dVy
+ smoc——
Эу
da
It
. (	dU „ . ЭсЛ
= sma cosa——+Resina—
н I.	Эх	ду)
+ cosa-----—
k Re Эх
н
н
а начальное значение ан находим из соотношения
tgaH =
P2-F2
(2.3.260)
Причем ан выбираем так, чтобы (dw/dt) | >0. Зависимость (2.3.260),
в свою очередь, позволяет существенно упростить уравнения для от-
носительной скорости (2.3.254), которое с учетом wH = 0 преобразует-
ся к виду:
dw _ Ei -Р{
dt н cosa н
Некоторые результаты численного решения безразмерных уравне-
ний (2.3.254) — (2.3.255), (2.3.258) — (2.3.259) приведены на рис. 2.64 — 2.69.
Как показал анализ полученных результатов, интенсивные изменения
модуля относительной скорости w и угла а происходят на начальном
участке течения. Этот участок соответствует режиму ускоренного дви-
жения частицы. Затем, когда сила сопротивления среды уравновесится
массовыми силами, функции w и а выходят на асимптоту. При этом час-
тица движется равномерно, с постоянной скоростью. Предельные зна-
чения этих функций зависят от множества параметров.
На картину течения сильно влияют реологические характеристи-
ки несущей среды. При уменьшении коэффициента консистенции
т модуль относительной скорости w и угол а растут (см. рис. 2.64,а
и б). В результате интенсивность осаждения частицы возрастает. На-
пример, при изменении коэффициента т от 0,02 до 0,005 второе сла-
гаемое Rewsina в правой части уравнения (2.3.258), подсчитанное по
предельным значениям w и а (кривые 1 и 3 на рис. 2.64,а и б), увели-
чивается более чем в три раза: от 2,17 до 6,74. Траектории осаждения
частицы при различных значениях коэффициента консистенции по-
274
Глава 2
Рис. 2.64. Результаты численного решения безразмерных уравнений: а — за-
висимость w от t; б — зависимость а от t при различных т для О = 0,0002 м2/с,
h = 0,002 м, Р =30°, п = 0,8, р° = 1000 кг/м3, р° = 3000 кг/м3, d = 0,002 м,
Fr = 0,5; кривая 1 - т = 0,02 (кг-сЛ‘2)/м, Re = 21,8; кривая 2 - т - 0,01 (кгсЛ'2)/м,
Re = 43,7; кривая 3 — т = 0,005 (кг-сл’2)/м, Re = 87,5
казаны на рис 2.65,а, б, в. Направление влияния реологического ко-
эффициента нелинейности среды п такое же, т.е. его уменьшение вы-
зывает рост значений функций ж и а (рис. 2.65,6 и в).
Рис. 2.65. Траектории осаждения частиц: а — за-
висимость h (сплошные линии) и у (пунктирные
линии) от t при различных т для Q = 0,0002 м2/с,
йн = 0,002 м, р = 30°, п = 0,8, р? = 1000 кг/м3,
р° = 3000 кг/м3, d = 0,002 м, Fr = 0,5: кривая
1 — т = 0,02 (кг-сЛ'2)/м, Re = 21,8; кривая 2 —
т = 0,01 (кг-сЛ’2)/м, Re = 43,7: кривая 3 —
т = 0,005 (кг-сЛ'2)/м, Re = 87,5; б и в — зави-
симости соответственно ю а от f при различ-
ных п для Q = 0,0002 м2/с, йн = 0,002 м, р = 45°,
т = 0,005 (кг-сЛ'2) /м, р? = 1000 кг/м3,
р° = 2000 кг/м3, d = 0,0025 м, Fr = 0,5: кри-
вая 1 — л = 0,6, Re = 191; кривая 2 — л = 0,8;
Re = 87,5; кривая 3 — л = 1,0; Re = 40; кривая
4 - л = 1,2, Re = 18
Глава 2
275
Рис. 2.66. Влияние диаметра частицы на параметры w и а на интенсивность осаж-
дения: а — зависимость w от t при различных d для О = 0,0002 м2/с, hK = 0,002 м,
Р = 45°, т = 0,005 (кг.сп2)/м, п = 0,8, pf = 1000 кг/м3, = 2000 кг/м3, Re = 87,5,
Fr = 0,5: сплошная линия — ун = hH; пунктирная линия — ун = hH/2; кривая 1 —
d = 0,002 м, кривая 2 — d = 0,0005 м, кривая 3 — d = 0,0001 м; б — зависимость h
(сплошная линия) и у (пунктирные линии) от t при различных d для Q = 0,0002 м2/с,
hH = 0,002 м, р = 45°, т = 0,005 (кг-сп’2)/м, п = 0,8, р° = 1000 кг/м3, р° = 2000 кг/м3,
Re = 87,5, Fr = 0,5; кривая 1 — d = 0,002 м, кривая 2 — d = 0,0005 м, кривая 3 —
d = 0,0001 м
Как и ожидалось, при уменьшении диаметра частицы наблюда-
емые параметры wn а, а также интенсивность осаждения, уменьша-
ются. На рис. 2.66,6 приведены траектории частиц, которые начина-
ют осаждаться от свободной поверхности слоя. Соответствующие
этим траекториям значения w показаны на рис. 2.66,а сплошными
линиями. Поскольку дифференциальные характеристики сплош-
ной среды по толщине слоя изменяются, значения угла осаждения
и относительной скорости на начальном участке зависят от началь-
ной координаты частицы. Для частиц с одинаковыми диаметрами и
разными начальными координатами ун эти характеристики со вре-
менем выходят на общую асимптоту
В зависимости от отношения плотностей сплошной фазы и дис-
персных включений может наблюдаться как осаждение, так и всплы-
тие частиц. Когда р?/р5 <1,, уменьшение этого отношения вызывает
рост относительной скорости и угла осаждения частицы (рис. 2.67,а).
При этом время осаждения до поверхности течения уменьшается
(рис. 2.67,6). В случае Р?/р2>1 при уменьшении отношения плот-
ностей угол а и время всплытия частицы растут, а предельное значе-
ние w падает. Время всплытия или осаждения зависит от начального
местоположения частицы (см. рис. 2.67,6). От исходного положения
частицы зависят значения функций w и а, которые на участке рав-
276
Глава 2
а	б
Рис. 2.67. Влияние отношения плотностей сплошной фазы и дисперсных включе-
ний на траектории частиц: а — зависимость а от t; б — зависимость h (сплошная
линия) и у (пунктирные линии) от t при различных р° > Pi для Q = 0,0002 м2/с,
h = 0,002 м, 0 = 30°, т = 0,005 (кг.сп'2)/м, п = 0,8, р° = 1000 кг/м3. d = 0,0005 м,
Re = 87,5, Fr = 0,5; кривая 1 — р° = 2000 кг/м3, у = hH, кривая 2 — р^ = 6000 кг/м3,
ун = hH, кривая 3 — р° = 2000 кг/м3, ун = йн/2, кривая 4 — р° = 6000 кг/м3,
у“ = hH“/2
номерного движения стремятся к своим предельным значениям. Что
касается выхода кривых на общую асимптоту, то, как показано на
рис. 2.67,а, она связана с достижением частицей границы течения и
завершением относительного
Рис. 2.68. Зависимость а от t при раз-
личных U. для h = 0,002 м, Р = 30°,
т = 0,005 (кг-с)/м, п = 1, р? = 1000кг/м3,
р° = 3000 кг/м3, d = 0,0005 м; кривая
1 — U. = 0,1 м/с, Re = 40, Fr = 0,5;
кривая 2 — U. = 0,2 м/с, Re = 80,
Fr = 2,0; кривая 3 — U. = 0,4м/с, Re = 160,
Fr = 8,2; кривая 4 — U. = 0,6 м/с,
Re = 240, Fr = 18,3
движения в направлении оси у.
При этом относительное движе-
ние частицы в продольном на-
правлении с постоянной скоро-
стью сохраняется.
При постоянных физико-
химических свойствах фаз из-
менение расхода на динамику
частицы влияет через гидроди-
намические характеристики не-
сущей среды. Характерная тол-
щина слоя на входе Лн и средняя
скорость подачи U,, которые оп-
ределяют расход жидкости Q, на
характеристики осаждения вли-
яют по-разному. Например, при
увеличении U. число Re и угол а
возрастают (рис. 2.68), отноше-
ние Re/Fr и относительная ско-
рость w уменьшаются.
Глава 2
277
Траектории частиц приведены на рис. 2.69. На характер кри-
вых влияет способ обезразмеривания переменных. Из выражения
(2.3.253) следует, что безразмерная скорость V пропорциональна ха-
рактерной толщине hw, а безразмерное время обратно пропорцио-
нально квадрату этой толщины (Т = (v/h£)t, V = (hH/v)V, U = U/U^.
Поэтому при увеличении Лн безразмерное время осаждения резко
падает (см. рис. 2.69,6). Безразмерные Vh t от выбора U. не зависят, а
безразмерная скорость U обратно пропорциональна U., поэтому при
увеличении скорости подачи наблюдается относительно небольшой
разброс траектории частиц (см. рис. 2.69,а). Как видим, при росте ско-
рости подачи среды безразмерное время осаждения уменьшается.
Расчеты показали, что при росте отношения Re/Fr безразмерная тол-
щина слоя уменьшается (см. рис. 2.65,а; 2.69,а и б).
Отметим, что при анализе предельных значений угла осажде-
ния а необходимо учесть, что координатная ось Ох с горизонтальной
линией составляет угол 0. Приведенные результаты численных рас-
четов качественно согласуются с реальной картиной течения. Дан-
ный подход может быть успешно применен для расчета динамики
дисперсных частиц при моделировании различных гидромеханиче-
ских процессов.
Безусловно, область применения векторного уравнения (2.3.236),
преобразованного в систему (2.3.247) —(2.3.248), не ограничивается
модернизацией уже полученных решений. Подход может быть ус-
Рис. 2.69. Зависимость h (сплошные линии) и у (пунктирные линии) от t: а —
при различных [/. дляЛ = 0,002м: кривая 1 — U. = 0,1 м/с, Re = 40, Fr = 0,5; кривая 2 —
U. = 0,2 м/с, Re = 80, Fr = 2,0; кривая 3 — U. = 0,4 м/с, Re = 160, Fr = 8,2;
кривая 4 — U. = 0,6 м/с, Re = 240, Fr = 18,3; б — при различных hH для
[/. = 0,1 м/с: кривая 1 — hH = 0,002 м, Re = 40, Fr = 0,5, кривая 2 — hH = 0,004 м,
Re = 80,Fr = 0,25; кривая3 — hH = 0,012м,Re = 240,Fr = 0,085(0 = 30°,m = 0,005(кг.с)/м,
n = 1, p° = 1000 кг/м3, p° = 3000 кг/м3, d = 0,0005
278
Глава 2
пешно использован при математическом моделировании различных
гидромеханических процессов с гетерогенными рабочими средами.
Поскольку в обозначениях выражений (2.3.241) и (2.3.244), входящих
в уравнения (2.3.247) и (2.3.248), присутствуют не только поля ско-
ростей, но и дифференциальные характеристики течения несущей
фазы, эта особенность должна быть учтена при разработке или мо-
дернизации соответствующего численного метода.
Один из перспективных методов, позволяющий учитывать слож-
ную геометрию течения и нелинейную реологию среды, — это ме-
тод поверхностей равных расходов [2.3.2], [2.3.52], [2.3.53]. Он дает
возможность численно находить как поля скоростей и давления, так
и дифференциальные характеристики различных гидродинамиче-
ских процессов. Покажем особенности применения метода поверх-
ностей равных расходов в сочетании с уравнением (2.3.236), то есть с
системой (2.3.247) —(2.3.248).
В соответствии с методом поверхностей равных расходов введем в
поле течения среды линии тока ук = ук (xt), к = 1,N. Положения вве-
денных линий определяются с помощью дифференциальных урав-
нений [2.3.53]
^УкЦ йУк , 2HiZV0 yttl -yt dAt. k=2jj.
dx} dxx &k	&k dx{
^ = 0;	(2.3.261)
dx{
rAe	= (alH2ZU)k +(a1^2^^)k+l-
Распределение скоростей несущей среды на линиях тока опреде-
ляется из преобразованного уравнения движения, которое записыва-
ется в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Рик dUk=J_N^ldMx+J{	}_dYk—?UkVkdHi+Tk
Ъ dxx Hx£k dxx 7Hxdxx HXH2 dx2
(2.3.262)
где
Уа+i	orj2 др-г
Мк(х{) = f J(xi,x2)dx2,	J(x1,x2) = H2pF2+—^—1
y>	°X2
m
H? дх2 V J
^2 ^X2
Для вычисления производных по поперечной координате х2 пред-
ставим сеточные решения в виде разложения в ряд по полной систе-
ме базисных функций:
Глава 2
279
N
l/=EA7(x1)4'lg[yt(x1)].
J=i
Вид базисных функций, удовлетворяющих соответствующим
граничным условиям, выбирают исходя из геометрии области и ус-
ловия течения [2.3.2].
После интегрирования системы (2.3.261) —(2.3.262) с помощью од-
ного из численных методов решения обыкновенных дифференци-
альных уравнений определяют положения поверхностей равных
расходов ук и значения скоростей Uk на них. При известных значе-
ниях производных dUk/dxv которые вычисляются как правые части
дифференциальных уравнений (2.3.262), частные производные нахо-
дят по формулам:
дик dUk dVkdyk' к = —
dxx дук dx{ '
Согласно уравнению неразрывности, имеем:
дНхН3Ук^ дн2н3ик
Эх2	Э*!
(2.3.263)
(2.3.264)
Кроме того, из определения ук как линии равного расхода следует:
vk=uk— - k =	(2.3.265)
dx{
Отсюда
dUk , тт „ , —
3-L = ^-i-yi+t/tyl. * = 2,N.	(2.3.266)
vX| C/Xj
В этом соотношении значения ук определяют из уравнения
(2.3.261), а вторые производные — расчетным путем:
у№1)=У*-<-ХУ-^)-2У*^)+У*(х» + Ах1).	(2.3.267)
ДХ1
Анализ структуры последней формулы показывает, что коорди-
наты начального положения дисперсной частицы должны задаваться
в сечении х1н + Дхг
Поскольку траектории частиц отличаются от положения поверх-
ностей равных расходов, возникает необходимость вычисления ком-
понентов скоростей несущей фазы и их дифференциальных харак-
теристик между линиями тока. Поэтому, исходя из полученных зна-
чений искомых величин на линиях тока, на каждом шаге вычислений
решается задача аппроксимации. Полученные характеристики несу-
щего потока используются в уравнениях (2.3.247) и (2.3.248) для рас-
чета траектории движения дисперсных частиц.
280
Глава 2
В качестве примера рассмотрим течение гетерогенной среды не-
ньютоновского реологического поведения по поверхности ротора
осадительной центрифуги. Выберем коническую систему координат
= х, х2 = у, х3 = <р с коэффициентами Ламе: Нг = 1, Н2 = 1, Н3 = г,
у которой координата х совпадает с образующей ротора. Компонен-
ты векторов Р и Е вычисляются по формулам (2.3.252). Массовую
силу определяем следующими составляющими вектора центробеж-
ного ускорения:
Ft = со2х sin2 р, F2 = -со2х sin р cos Р.
Для определения динамических характеристик несущего потока
применим метод поверхностей равных расходов. В конической си-
стеме координат уравнения (2.3.261) и (2.3.262) запишутся в виде:
&Ук+1 _&Ук Ук+1~Ук Ук+1~Ук (и )
dx dx х (Uk +Uk+i) dx k k+l
dUk CD2sinPf 4 . o dyN\
=	-- (yw-yJsmP-xcosP—+
dx Uk <	dx J
ac/J"
дУ ,
m d
4----——
p(7t Эу
2	• 2
CO xsin ф
~Uk
Алгоритм решения данной системы приведен в работе [2.3.62]. Ос-
тальные характеристики потока определяются из формул (2.3.263)—
(2.3.267).
Закономерности возникновения самоорганизации
и динамического хаоса
Интенсивные тепломассообменные процессы в химико-техноло-
гических и теплообменных устройствах сопровождаются развитием
неустойчивых режимов в отдельных подсистемах: ламинарные ре-
жимы течения жидких пленок переходят в волновые и турбулентные
течения, в барботажных аппаратах развивается неустойчивость Тей-
лора, на поверхности жидкой фазы в массообменных аппаратах воз-
никает неустойчивость Марангони, в неоднородно-обогреваемых
емкостях образуются конвективные токи. Предотвратить развитие
неустойчивости в большинстве случаев невозможно, а в некоторых
случаях и нецелесообразно, так как возникающие неустойчивости
интенсифицируют тепломассообменные процессы.
Развитие неустойчивости приводит к появлению самоупорядо-
ченных монохроматических, маломодовых хаотических и многомо-
довых турбулентных режимов [2.3.64—2.3.66].
Глава 2
281
Для хаотических и турбулентных режимов характерны значи-
тельные разбросы гидродинамических и тепломассообменных пара-
метров. Вероятность выхода системы на аварийный режим работы
при хаотической неустойчивости выше, чем при других видах неус-
тойчивости.
Монохроматические режимы сочетают высокую интенсивность
тепломассообменных процессов, обусловленную упорядоченным
конвективным движением жидкости, с незначительными разбросами
тепломассообменных параметров и устойчивостью к возмущениям.
В целях предотвращения аварийных ситуаций в высокоэффек-
тивных процессах целесообразно использовать самоорганизующие-
ся режимы, для чего необходимо исследовать условия возникнове-
ния и закономерности долговременного развития неустойчивых ре-
жимов, провести их классификацию и найти условия перехода хао-
тических и турбулентных режимов в самоорганизующиеся.
Современная нелинейная динамика переживает радикальные
изменения. В нелинейных динамических системах, описываемых
нелинейными уравнениями с регулярными (неслучайными) коэф-
фициентами, совершающих колебания под действием регулярных
внешних сил периодической и особенно непериодической природы,
возникают непредсказуемые и хаотические на вид случайные коле-
бания. Иными словами, решения этих уравнений сильно зависят от
начальных условий. Другое свойство хаотических колебаний — они
«забывают» о начальных условиях. Хаотическая динамика (или ди-
намический хаос), свойственная всем нелинейным явлениям нежи-
вой и живой природы, вызвала в современной нелинейной динамике
революцию. До этого были известны три типа динамического движе-
ния: равновесное, периодическое (или предельный цикл) и квазипе-
риодическое. Эти состояния динамических систем на фазовой плос-
кости получили название «аттракторы», поскольку при затухании
движения или в случае потери устойчивости система «притягивает-
ся» к одному из перечисленных состояний. Хаотические колебания
и их нелинейные взаимодействия создали новый тип движения, свя-
занный с состоянием, получившим благодаря работам Рюэля, Такен-
са, Лоренца название «странный» аттрактор.
Возникновение аттракторов различной формы связано с нели-
нейным взаимодействием эволюционирующих возмущений. Извест-
ны модели (Гинзбурга-Ландау, Свифта-Хоэнберга, Ньюэлла-Уайхе-
да-Сегеля, Ван-дер-Поля), описывающие бифуркационные процессы
в нелинейных системах. Однако эти модели оставляют еще много не-
решенных вопросов, связанных с учетом различных видов нелиней-
ных взаимодействий возмущений.
282
Глава 2
Общее нелинейное параболическое уравнение (ОНПУ)
Большой класс неустойчивых теплофизических, физико-хими-
ческих, химически реагирующих, электрохимических, физических,
биологических и гидродинамических нелинейных процессов опи-
сывается известными системами нелинейных дифференциальных
уравнений в частных производных [2.3.67]:
?^(ф)+1о1(Ф)^4м,у(ф)-^ = 0.	(2-3.268)
dt /=1 dXi ij=i J дх,дх}
где ф = Цфр..., фп||Г — вещественный вектор, определенный в области
D = {(£, ххх2 )|t > 0, - оо < Xi < оо}; N = ||Nj,..., Nn ||Г; Q, М - матрицы пхп;
^12 = ^21’
Первые два слагаемых уравнения представляют собой известные
уравнения кинетики и биофизики, а при соответствующей конкре-
тизации вида коэффициентов — уравнения кинетики реакций типа
Белоусова-Жаботинского. Первое, второе и четвертое слагаемые
описывают те же реакции с диффузией, а также теплопроводность
с нелинейными источниками (стоками) энергии. В полном виде урав-
нения типа (2.3.268) характеризуют различные гидродинамические
явления и могут быть преобразованы в систему квазилинейных диф-
ференциальных уравнений с Источниковыми (стоковыми) членами,
исследованную в работе [2.3.68]. В общем случае данная система мо-
жет описывать совмещенные процессы, например конвективный
тепломассообмен, поскольку на вектор N не накладываются ограни-
чения на природу субстанции.
Пусть уравнение (2.3.268) допускает стационарное решение ф = ф0,
которое в открытой системе в результате внешнего воздействия либо
случайным образом при некоторых значениях параметров теряет ус-
тойчивость. В закритической области, согласно этому уравнению,
возбуждаются и растут возмущения, принадлежащие непрерывной
полосе спектра волновых чисел.
Зададим возмущенное решение уравнения (2.3.268) в виде:
ф =ф0 + ф.	(2.3.269)
Задача о нелинейном развитии возмущений из непрерывной по-
лосы спектра волновых чисел решается с помощью волновых паке-
тов [2.3.69-2.3.74]:
_	^20 +
ф = J J	F(kl,k2)expi(klxl + к2х2-а)1)с1к^к2 + к.с., (2.3.270)
к10-Д*! jc20-m2
Глава 2
283
где к10, к20 — центры волнового пакета по осям хр х2 соответственно;
Дкр Дк2 — ширина волнового пакета по осям хр х2 соответственно;
со = cor + zcOp к.с.— комплексно-сопряженные величины.
При допущениях:
= 0(e);	= 0(e);	= 0(e); (Зсо£/3 k)/co/=s0 = 0(e); е «1 (2.3.271)
к20 Фо
спектрально узкий волновой пакет может быть представлен в виде
квазимонохроматической волны
_ kjo+Akj к20+Дк2
ф= f J F(k1,k2)expz(k1x1 + k2x2-cot)dk1dk2 + K.c.=
ki0-Aki к20-Дй2
= Aexpz(kioxj +k20x2-co(klo,k2O)t)+K.c.=
= a(EtfE2t,Ex1,Ex2)expzO(Et)xexpz(klox1 + к2х2) + к.с.,	(2.3.272)
где
Akt AA2
A= J f F(k10+8k1,k2+8k2)expz(8k1x1 + 8k2x2-
-Akt -Дк2
' do/
if a2co
2l 3k2
= A(x11,x21,x12,x22,t1,t2)+0(E3).
8к^-
' 3co л
3k7i
я. < 1
6k2t— —-
2 2( 3 k,
32co
3kp3k:
(5k2)2t-
(5ki)2t-
6 kfi k2t) 38^38^ + 0(e3 ) =
(2.3.273)
Из формул следует, что сумму т гармоник, принадлежащих спект-
рально узкому волновому пакету, можно представить в виде квазимо-
нохроматических волн, причем амплитуда а и фаза 0, как видно из фор-
мулы (2.3.273), являются функциями медленных переменных (st, ex):
tg — t; tj — Et; t2 = E t; x^ — x^q; x2 = x2q; Хц = exp x2j — ex2;
x12 = e2xp x22 = e2x2 .	(2.3.274)
Введем разложение
Ф = Фо + £ X expz'ZfkjXjo + k2x20 -corto)+K.c.,
j=i /=-«
(2.3.275)
а также следующие операторы, учитывающие тот фактор, что про-
цессы протекают на многих масштабах:
284
Глава 2
д	д	Э	2	Э
---=----+ е--+ е -—;
dxj	Эх10	Эг)1	Эх12
Э	д	д	2	д
— = -—+Е-—+е -—;
дх2	Эх2о	vT]2	дх22
д	д	Э(йг Э	Эсог Э	2 д
dt dt0	Эк.! Эщ	дк2 Эт]2 dt2'
Л1=£(Xi-1sr^; Л2=е(Х2”1^)'А'7)
(2.3.276)
(2.3.277)
где а!// — вектор, комплексно-сопряженный с Aj;\
Таким образом, редукция уравнения (2.3.268) к уравнению для амп-
литуды нелинейного возмущения проводится комплексно: с использо-
ванием волновых пакетов (2.3.270), методов многих масштабов (2.3.276),
модификацией метода Мандельштама, согласно которому т гармони-
ческих волн с различными волновыми числами и частотами преобразу-
ются к виду квазимонохроматических волн с нелинейными амплитудой
и фазой, зависящими от медленных переменных. Эта идея была исполь-
зована при преобразовании спектрально узкого волнового пакета (фор-
мулы (2.3.272), (2.3.273)). Наконец, было использовано преобразование
(2.3.277), учитывающее групповую скорость огибающей волны, что ха-
рактерно для реальной нелинейной диспергирующей среды.
Нелинейная система дифференциальных уравнений в частных
производных в е-м приближении, полученная после подстановки
разложения (2.3.275) в систему (2.3.268) с учетом уравнений (2.3.276)
и (2.3.277), становится несовместной. Для ее разрешимости требует-
ся, чтобы правая часть полученной системы была ортогональна лю-
бому решению однородной сопряженной системы, как это было ра-
нее проведено [2.3.69—2.3.72]. Эта трудность преодолена с помощью
другого метода, изложенного в работах [2.3.67, 2.3.73, 2.3.74].
С учетом уравнений (2.3.276) и (2.3.277) в системе дифферен-
циальных уравнений, полученной после подстановки выражения
(2.3.275) в уравнение (2.3.268), выделим линейную часть, обозначив
ее матричным оператором через L, оставшуюся нелинейную часть —
также матричным оператором той же системы через V. Тогда полу-
(2.3.278)
(2.3.279)
ченную систему уравнений можно представить в виде:
Глава 2
285
Умножим левую и правую части этой системы на сопряженную
матрицу L*, получим:
L‘LX = L‘V.	(2.3.280)
Разложим эти матрицы по малому параметру в:
L = Lo + eLj + e2L2 + e3L3;
X = Xo + eXt + e2X2 + e3X3;
L =L0 + eL1 + e2L2 + e3L3;
V = Vo + еУ + £2 V2 + e3 V3.
Соберем члены при одинаковых ск, к = 0, 1, 2, 3.
при Е° : L0L0X0 = Vo;
при е1 : (LqL! +L1Lo)Xo +L LqX.| = Vp	(2.3.281)
при E2 : (L0L2 + LjLj + L2L0 )Xo + (ЬдЦ + LjL0 )Xj + L0L0X2 = V2
ит.д.
Последовательно исключая секулярные члены различных при-
ближений в системе (2.3.281), выделим секулярные члены третьего
приближения. Такая процедура позволила получить уравнение для
амплитуды огибающей волны в третьем приближении
0t2 дк^ Эх12
zY Э2сог _Э2со,
’А Э*Г+'Эк?) Эп?
/ Э2сог 32coz- 4
\ Э^Э^
ЭД) l Эсог дА$ Эсог ЭД)	i Эсо, dA$ i dcoz ЭД)
Эк2 Эх22 tdki Этц еЭ£2 Эт]2
if d2cor + . Э2сог Э2 Д
Ч Эк^ +Z J Эг|2
311'^- + (₽1+'₽2)|A)|2A)=0,
Э&1Эк2 у оГ|1Эт]2
(2.3.282)
где Рр Р2 — константы Ландау, причем Pj характеризует нелиней-
ное затухание возмущений, р2 — нелинейную дисперсию. Эти кон-
станты могут быть найдены из предыдущего приближения.
Подставляя в полученную формулу амплитуду волны Ао в виде:
Д = А+ exp z 8ksxs +	8ks + - ~ 8ks8kt 11 ,
+	s s s 2dks^kt s J
где повторяющиеся индексы в 8ksxs указывают на суммирование,
и переходя от переменных масштаба t2, х12, х22 к переменным t2,
Эсо	Эсог х
Л12 = х12 —^22 = х22“T7“f2 ' для амплитуды А. волнового па-
oki	ок2
286
Глава 2
кета, центр которого смещен на 6кр 6к2 от кривой нейтральной ус-
тойчивости, получим общее двумерное нелинейное параболическое
уравнение в виде:
z г Эсо,- ЭА.
E^d/q Эщ Эк2 Эт)2 2
. d2O)i Э2А+ .Г
|2 k дкхдк2
ЭА+
8t2
Эсо. ЭаЛ if Э2сог
2^ дк}
Ч ., Э2ш,2
,Э2соЛ Э2А
И Э со
2 Эк2 Эк2 J Эт)2
=	-(₽! +'’Р2)|Л|2 А
Е
Запишем в безразмерных переменных
ЧЧ drft
'l ЭЧ
Эк^ J Эт^Эпг
(2.3.283)
Лю=Л1

Тогда
ЭА / ЭА
ЧГ + г «31
2со,-
Е2
Э2СО;-
"akf
А = А
' Л20 ~ Л2
е2₽;
со,-
ЭА
+о22 -----
дТ]1О ^20
(	^2(Oi
+ sgn------1-
дт
д2А
о---^'«12	9
Эк2 ) Эт]20
2со,
Э2со,-
2 О СО;
г
(2.3.284)
где
( ^2coj •
+ sgn—f-zan
k dki
. ч Э2д
xr-^ih—ч—:
д2А

(2.3.285)
_эЧ/э*2. „ _Ч/< „ _₽2.
“’аЧ/Эк2'	12 эЧМ2' 2 ₽,'
Эсо,-
«31 =^—~
31 Э^
а
2____
d2COz
2 *>Ч
дкгдк2
эЧ
Ч
эЧ
Ч
Эсо.-
«32=—L
«/ =
2
Эк2
2 Э2со;-
Эк^к2
Э2сог-
Эк?
Э2соу

дк%
(2.3.286)
Глава 2
287
Анализ численных решений ОНПУ. Безразмерные комплексы
(2.3.286), являющиеся критериями динамических нелинейных си-
стем, имеют простой физический смысл: а^. характеризует отноше-
ние дисперсии групповой скорости в j-м направлении к дисперсии
инкремента, a3j- — отклонение центра волнового пакета в j-м направ-
лении от гармоники максимального инкремента; а2 — нелинейную за-
висимость фазы (частоты) от амплитуды, т.е. нелинейную дисперсию.
Уравнение (2.3.285) описывает эволюцию огибающей волны, по-
явившейся в результате нелинейного взаимодействия возмущений,
заданных в виде волнового пакета. Из этого уравнения получаются,
как частные случаи, известные уравнения, приведенные в работах
[2.3.75-2.3.76].
Для характеристики поведения динамических систем использова-
лись показатели Ляпунова, энтропия Колмогорова-Синая и отображе-
ние Пуанкаре. Например, для консервативных систем физики плаз-
мы, нелинейной оптики и гидродинамики идеальной жидкости при
сог = Р; = 0 уравнение (2.3.285) приводится к хорошо известному нели-
нейному параболическому уравнению Шредингера [2.3.75 — 2.3.76].
Количественной характеристикой аттрактора являются показа-
тели Ляпунова, определяемые для нелинейных динамических сис-
тем по методу, изложенному в работе [2.3.77]. Для системы (2.3.285)
показатели Ляпунова находились в пространстве ап, 0П:
1
МапоЛо)=Ит-1п||и(т,апО,0пО)||,
Т—»оо Т
где п(т, ап0, 0лО) — вектор функций чувствительности (касательный
поток). Причем, если все показатели Ляпунова отрицательны, то
система сжимается по всем направлениям ап, 0п и аттрактором в про-
странстве ап, 0п является устойчивый узел или устойчивый фокус. Об-
ращение в нуль одного из показателей Ляпунова (при отрицательном
значении всех остальных) свидетельствует о наличии предельного
цикла. Равенство нулю показателей Ляпунова п при отрицательных
значениях остальных показателей соответствует существованию
n-мерного тора. Появление положительных показателей указывает
на возникновение стохастического аттрактора.
Для характеристики динамического хаоса была также исполь-
зована энтропия Колмогорова-Синая. Этот метрический инвариант
динамических систем впервые был введен Колмогоровым [2.3.78].
Впоследствии это направление развито Синаем [2.3.79]. Мерой раз-
вития турбулентности являлась положительность метрического ин-
варианта динамических систем, приводящая к разбеганию экспо-
ненциально фазовых траекторий.
288
Глава 2
Наконец, для характеристики поведения динамических систем
использовалось также отображение Пуанкаре на плоскости.
Комплексное исследование этих положений для количествен-
ной и качественной характеристики нелинейных динамических
систем позволило проследить качественные изменения траекторий
этих систем при изменении параметров уравнения (2.3.286) при чис-
ленном решении общего нелинейного параболического уравнения
(2.3.285), т.е. исследовать бифуркацию.
При этом на разных стадиях эволюции нелинейного взаимодейст-
вия возмущений проявлялись известные последовательности би-
фуркаций, приводящих к странному аттрактору, к перемежаемости,
к удвоению периода по Фейгенбаумому, к рождению и разрушению
трехмерного тора, и, наконец, последовательность, приводящая к го-
моклиническому контуру.
На основе численного решения уравнения (2.3.285) [2.3.67,2.3.69—
2.3.74] установлено, что все управляющие безразмерные параметры
ау азу а2' названные нами критериями нелинейных динамических
систем, влияют на характер возмущения, но доминирующую роль
в перестройке возмущений, определяющих появление либо самоор-
ганизации, либо хаоса (турбулентности), играет о^. Учет влияния
и других критериев уравнения (2.3.286) на характер взаимодействия
и развития возмущений позволил установить следующие закономер-
ности возникновения самоорганизации и турбулентности (хаоса)
и перехода между ними в гидродинамических, теплофизических,
физических, химически реагирующих и биологических системах
[2.3.67, 2.3.73, 2.3.74]:
I.	Линейная зависимость фазы для распределенных систем или
частоты для нераспределенных систем от амплитуды возмущения
является необходимым условием самоорганизации. Возможны и вы-
рожденные случаи этой линейной зависимости: равенство нулю уг-
лового коэффициента или свободного члена либо того и другого од-
новременно.
Увеличение дисперсии способствует возникновению самоорга-
низации.
II.	Основным условием возникновения турбулентности (хаоса) яв-
ляется нелинейная зависимость фазы для распределенных систем или
частоты для нераспределенных систем от амплитуды возмущения.
III.	В хаотических, неупорядоченных системах самоорганизация,
когерентные структуры, порядок возникают в результате нелиней-
ного взаимодействия возмущений и наоборот.
IV.	Переход от одного вида нелинейного взаимодействия к друго-
му, а также возникновение структуры или явления сопровождаются
Глава 2
289
изменением распределения энергии по спектру, т.е. сужением (само-
организация) либо расширением (турбулентности) энергии по спект-
ру Возможно промежуточное состояние.
Указанные закономерности получены на основе анализа числен-
ных решений уравнения (2.3.285) и могут быть использованы для уп-
равления явлениями самоорганизации и турбулентности (хаоса).
Физическое представление явления самоорганизации и хаоса
(турбулентности) можно пояснить с помощью рис. 2.70. На этом ри-
сунке дано модельное представление самоорганизации и хаоса как
режимов, получившихся в результате нелинейного взаимодействия
возмущений в закритической области после потери устойчивости.
Режим 1 соответствует самоорганизации; режим 2 — явлению пере-
хода от самоорганизации к хаосу; режим 3 — хаосу.
Режим 1
i
i
Hmm®
»©©©©©©©©
Кельвинские кошачьи глазки
Многорукавные спиральные волны в сре-
де с реакцией Белоусова-Жаботинского.
Интервал между кадрами 15 с
Режим 2
!>©
|©©@© ©@>©|
te© ®@@@
»©©©©©©©©«
I ©>©©	©®в)(В1
Режим 3
Неупорядоченное поле капиллярных волн
Рис. 2.70. Модельное представление самоорганизации и хаоса (турбулентности)
290
Глава 2
Как следует из рисунка, возникшая структура характеризуется
постоянной амплитудой и фазой для огибающей волны; элементы
структуры можно опоясать периодической линией. Такой же лини-
ей можно опоясать и более сложные структуры, как, например, кель-
винские кошачьи глазки и многорукавные спиральные волны в сре-
де с реакцией Белоусова — Жаботинского. В обоих случаях имеем
огибающую волну с постоянной амплитудой и фазой. Для возникно-
вения самоорганизации необходимо выполнение пунктов I, II,III. По-
нятно, что такую огибающую периодическую волну нельзя постро-
ить для режимов 2 и 3, для которых необходимо выполнение пунктов
II, Ш, IV.
е
Рис. 2.71. Самоорганизация случайного поля
возмущений амплитуды (а—е) и фазы (ж —к)
в среде без дисперсии (ап = а12 = а2 — 0) в
результате самоорганизации во всех точках
пространства значения а и 0 постоянны
Такое упрощенное тол-
кование явлений самоор-
ганизации и хаоса вытека-
ет из сложных теорети-
ческих расчетов, изложен-
ных выше, и закономер-
ностей, представленных
пунктами I—IV, для различ-
ных видов сценарий, при-
водящих к бифуркации.
В качестве численного
анализа решений ОНПУ
приведем характерные
примеры, характеризу-
ющие возникновение са-
моорганизации либо тур-
булентности.
Развитие случайного
поля возмущений амплиту-
ды и фазы в среде без дис-
персии (ан = а12 = а2 = 0),
приводящее к самоорга-
низации, представлено
на рис. 2.71. В начальный
момент (т = 0) выбрано слу-
чайное поле возмущений
амплитуды и фазы из таб-
лицы случайных чисел. В
процессе развития исполь-
зовано условие I. Характе-
ристики волнового пакета
Глава 2
291
(амплитуда и фаза волны) эво-
т = 8,0 т=14,0
т = 4,0
Рис. 2.72. Сужение волнового пакета при
возникновении самоорганизации в сре-
де без дисперсии (ап = а12 = а2 = 0)
люционировались к монохро-
матической огибающей волне,
полученной в результате нели-
нейного взаимодействия воз-
мущений (условия I, III).
В этом случае непрерывный
спектр волновых чисел волно-
вого пакета сужается. Волновой
пакет эволюционирует к моно-
хроматической волне — усло-
вие IV (рис. 2.72).
В случае нелинейной зави-
симости фазы (частоты) от амплитуды график зависимости амплиту-
ды возмущения а принимает вид острых клиньев (рис. 2.73).
При многомодовой неустойчивости возбуждаются и растут воз-
мущения, принадлежащие широкой полосе спектра волновых чисел.
Происходит расширение волнового пакета при развитии многомо-
довой турбулентности (см. рис. 2.74). Амплитуды, симметричные от-
носительно центра волнового пакета, не равны друг другу. Энергия
возмущения достаточно равномерно распределена по спектру воз-
бужденного волнового пакета.
Траектории первоначально близких систем расходятся экспонен-
циально. В системе развивается многомодовая турбулентность.
Из рис. 2.73 и 2.74 следует, что первоначально в процессе име-
ло место моногармоническая волна. Затем с помощью тех или иных
взаимодействий, вынужден-
ных или естественных, флук-
туационных, выполнялось ус-
ловие II, а именно, фаза (либо
частота) нелинейно зависела
от амплитуды. В этом случае,
как видно из рис. 2.74, происхо-
дит расширение спектра вол-
новых чисел. Произошел пе-
реход к турбулентности, о чем
свидетельствуют все извест-
ные критерии для динамиче-
ских систем, характерные для
этого режима.
Таким образом, условие IV
является обязательным для
Рис. 2.73. Эволюция огибающей волны
при возникновении турбулентности
292
Глава 2
Рис. 2.74. Расширение волнового пакета
при развитии многомодовой неустойчи-
вости в среде с а2 * О
всех переходов, характеризу-
ющих качественные измене-
ния траектории динамических
систем, т.е. переход системы к
самоорганизации сопровож-
дается сужением спектра, а
переход турбулентности —
расширением спектра. В обо-
их случаях переход сопровож-
дается переносом энергии по
спектру (см. рис. 2.72, 2.74).
Предотвратить возникно-
вение многомодовой турбу-
лентности можно увеличени-
ем линейной дисперсии или уменьшением нелинейной зависимости
частоты от амплитуды. Увеличение дисперсии способствует образо-
ванию типа когерентных структур. В течениях несжимаемой жидко-
сти увеличение дисперсии волн Толлмина-Шлихтинга может быть
получено изменением состава движущейся среды, введением в
жидкость высокомолекулярных соединений. Изменить характер не-
линейного взаимодействия волн можно также уменьшением длины
периода L или значительным увеличением амплитуды начального
монохроматического возмущения, что может приводить к увеличе-
нию дисперсии. Расчеты уравнения (2.3.285) показали, что в линейно
недиспергирующей среде с сильной зависимостью фазы от амплиту-
ды воздействие белого шума на многомодовый турбулентный режим
может привести к установлению в системе упорядоченного монохро-
Рис. 2.75. Развитие амплитуды несущей
волны в среде при = 0; a2 = 3; a3 = 0;
кривая 1 — при отсутствии шума, кривая
2 — при действии «белого» шума
магического режима или пре-
дельного цикла.
На рис. 2.75 показана эво-
люция амплитуды несущей
волны в системе с au = a31 = 0,
a2 = 3, L = 50 при отсутствии
шума (кривая 1) и при нали-
чии «белого» шума (кривая 2).
Самоорганизация хаотиче-
ских режимов под действием
«белого» шума объясняется
тем, что в недиспергирующих
системах, наряду с предель-
ными циклами и хаотически-
ми аттракторами, существуют
Глава 2
293
устойчивые узлы, соответствующие монохроматическим режимам.
«Белый» шум способствует попаданию системы в область притяже-
ния устойчивого узла.
Скорость распространения фронтов локализованного волнового
пакета в диспергирующих средах выше, чем в недиспергирующих,
в результате дисперсионного расплывания волнового пакета. С рос-
том амплитуды волнового пакета изменяется фаза, в результате чего
растет отличие локальных волновых чисел на фронтах волнового па-
кета от волнового числа несущей волны, что вызывает самосжатие
волнового пакета, аналогичное самосжатию в консервативных си-
стемах. Самосжатие, проявляющееся в резком возрастании ампли-
туды в окрестности гребня огибающей волны, приводит к появле-
нию узких иглообразных волновых пакетов с большой амплитудой.
Большие градиенты амплитуды на фронтах иглообразных волновых
пакетов вызывают рост градиентов фазы, приводящих к появлению
локальных декрементов и затуханию иглообразных волновых паке-
тов. Эволюция огибающей волны в системах с < О определяется
динамикой возникновения, роста и затухания иглообразных волно-
вых пакетов, в которых сосредоточена основная часть энергии волно-
вого движения. В системах с > О монохроматическое экспонен-
циально растущее решение неустойчиво. Развитие неустойчивости
сопровождается появлением отдельных пиков большой амплитуды.
В последующем при разрушении этих пиков образуются турбулент-
ные пятна, распространяющиеся на весь волновой пакет. Отдельные
стадии образования иглообразного волнового пакета, приводящего
к возникновению турбулентного пятна, а также перенос энергии по
спектру приведены на рис. 2.76—2.78. Отметим, что возникновение
турбулентного пятна аналогично известному 6-слою [2.3.68]. Отли-
чие состоит в том, что явление возникновения турбулентных пятен,
как следует из рис. 2.76, 2.77, свойственно как живой, так и неживой
природе. Картина развития нескольких турбулентных пятен приве-
дена на рис. 2.78.
Классификация закритических режимов является одной из цент-
ральных проблем теории диссипативных структур [2.3.74]. Она поз-
воляет выделить отдельные существенные стороны объекта либо яв-
ления и определить условия перехода между ними.
Классификация закритических режимов, в которых на многих
масштабах кратные и некратные гармоники могут существенно вли-
ять на картину поведения нелинейных систем на аттракторе, про-
ведена по виду волны огибающей, по пространственным спектрам
волновых чисел, по временным частотным спектрам амплитуд и фаз
отдельных гармоник [2.3.74].
294
Глава 2
Рис. 2.76. Стадия развития турбулентного пятна из иглообразного волнового
пакета при модуляционной неустойчивости
Рис. 2.77. Эволюция спектра волновых чисел в процессе образования иглообраз-
ного волнового пакета и турбулентного пятна в среде с линейным затуханием
n
Рис. 2.78. Самосжатие волнового пакета, при-
водящее к появлению иглообразных волно-
вых пакетов — системы турбулентных пятен
Глава 2
295
Механизм возникновения турбулентности. Как было отмечено,
огибающая волна является топологическим отображением нелиней-
ного взаимодействия возмущений. Для многомодовой турбулентно-
сти огибающая волна разбивается на клиновидные волновые пакеты
с достаточно большими пространственными и частотными спектра-
ми. В среде возникает неоднородность по групповой скорости. Груп-
повая скорость коротких волн, входящих в волновой пакет, выше
групповой скорости самой несущей волны, в результате чего корот-
кие волны обгоняют несущую волну и концентрируются на перед-
нем фронте волнового пакета. Групповая скорость длинных волн
меньше групповой скорости несущей волны, поэтому длинные вол-
ны находятся в задней части волнового пакета. Поскольку нелиней-
ное долговременное развитие возмущений методом волновых паке-
тов исследовано в закритической области для непрерывной полосы
спектра волновых чисел, то по разные стороны несущей волны об-
разуются волны различной природы. Каждый вид волн в результа-
те нелинейного взаимодействия образует аттракторы, в том числе и
«странные» аттракторы. Между «странными» аттракторами проис-
ходит взаимодействие.
Естественные возмущения являются волновыми пакетами [2.3.81],
содержащими десятки мод, а число эффективно взаимодейству-
ющих мод, возникающих при комбинированных волновых числах при
возбуждении двух мод, равно (при нелинейной зависимости фазы,
частот) десяткам, сотням мод. Число мод возрастает в геометриче-
ской прогрессии, поэтому заполнение спектра волновых чисел про-
исходит очень быстро.
Таким образом, турбулентность есть результат взаимодействия
достаточно большого количества «странных» аттракторов. Этот вы-
вод согласуется с ранее высказанным предположением о механиз-
ме возникновения турбулентности [2.3.82, 2.3.83] и с результатами
экспериментальных исследований турбулентности в круглой трубе
[2.3.84].
Предложенный механизм не противоречит известным моделям,
согласно которым крупномасштабные возмущения (длинные вол-
ны в задней части волнового пакета) оказываются неустойчивыми,
создавая возмущения с мелким масштабом (короткие волны на пе-
реднем фронте волнового пакета). Поскольку концентрация волн
на границах волнового пакета есть нечто материальное, то это так-
же согласуется с выводами работ [2.3.82, 2.3.83], что при возникно-
вении турбулентности существенную роль играют «квазичастицы»,
составляющие «газ» турбулентности.
296
Глава 2
ОБОЗНАЧЕНИЯ:
F12 д к к*	—	вектор силы межфазного взаимодействия, Н; —	ускорение свободного падения, м/с2; —	коэффициенты Ламе; —	коэффициент удельного сопротивления, м2; —	коэффициент проницаемости стенки, м;
р0, Pv Ра< Рв’ Р ~ давление соответственно в порах осадка, на
поверхности пористого тело, атмосферное, за по-
Q oin Vp и., v., wt	ристым телом, в пленке жидкости, Н/м2; —	поток среды, м3/с; —	поток на входе, м3/с; —	вектор скорости i-й фазы и его компоненты в направлении координатхр х2, х3 соответственно, м/с;
Vo	— скорость фильтрации в направлении координа- ты х2, м/с;
xi Xin'Xik	— ортогональные координаты, м; — соответственно начальное и конечное значение хР м;
ai ain aoi 5 5? M. Hl	—	концентрация i-й фазы; —	концентрация i-й фазы на входе, об. доля; —	порозность пористого тела; —	толщина пористого тела, м; —	дельта-функция; —	эффективная вязкость дисперсной фазы и дис- персионной среды соответственно, Па-с;
V	— кинематическая вязкость, м2/с;
р9 r р. = cczp°, р = Pi + Р2 ~ соответственно плотность i-й фазы, при-
веденная плотность и плотность смеси, кг/м3;
Тк1 С d q (ер е2, е3)	—	компоненты тензора вязких напряжений; —	коэффициент сопротивления; —	диаметр частицы, м; —	единичный вектор направления относительной скорости частицы и его компоненты;
F(F„F2)	— вектор ускорения массовых сил, Н, и его компо- ненты в направлении координат xv х2, м/с2;
Глава 2
297
h	— толщина пленки смеси или полурасстояние между
стенками, м;
i, j, к	—	орты координатных осей xv х2, х3;
L	—	размер области течения;
т	—	коэффициент консистенции, кг-сп'2/м;
п	—	коэффициент нелинейности;
t	—	время, с;
V()	—	скорость фильтрации в направлении координаты
х2, м/с;
Wp W2	—	скорости движения стенок, м/с;
w	—	модуль относительной скорости, м/с;
Z	—	ширина области течения, м;
а	— угол между вектором ё и осью 0хр
Р	—	угол наклона;
О)	—	скорость вращения, с1;
Fr = U2 / (дЛц)	— число Фруда
Re = U?”п	/ т — число Рейнольдса.
Индексы:
i = 1	—	дисперсионная среда;
i = 2	—	дисперсная фаза.
н	—	начальное значение;
от	—	относительное значение;
— характерный размер.
Список литературы
2.3.1.	Холпанов Л.П., Шкадов В.Я., Малюсов В.А., Жаворонков Н.М.
О массообмене в пленке жидкости при волнообразовании. Теор. основы
хим. технол. 1967. Т. 1. № 1. С. 73-79.
2.3.2.	Холпанов Л.П., Шкадов В.Я. Гидродинамика и тепломассообмен с по-
верхностью раздела. М.:Наука. 1990. 271 с.
2.3.3.	Холпанов Л.П., Запорожец Е.П., Зиберт Г.К., Кащицкий Ю.А. Мате-
матическое моделирование нелинейных термогидрогазодинамических
процессов. М.: Наука. 2002. 605 с.
2.3.4.	Холпанов Л.П. Физико-химические и гидродинамические основы нели-
нейных процессов химии и химической технологии. Известия АН. Серия
химическая. 1996. № 5. С. 1065-1090.
298
Глава 2
2.3.5.	Холпанов Л.П., Кениг Е.Я., Малюсов В.А. Многокомпонентный теп-
ломассообмен при турбулентном течении пленки жидкости. ИФЖ. 1989.
Т. 57. №1.С. 16-22.
2.3.6.	Холпанов Л.П. Методы расчета гидродинамики и тепломассообмена в
системах с подвижной поверхностью раздела. Теор. основы хим. технол.
1993. Т. 27. № 1. С. 18-28.
2.3.7.	Холпанов Л.П. Турбулентный двухфазный массообмен в пленке
жидкости. Теор. основы хим. технол. 1997. Т. 31. №2. С. 131-139.
2.3.8.	Холпанов Л.П. Математическое моделирование нелинейных процес-
сов. Теор. основы хим. технол. 1999. Т. 33. № 5. С. 466-484.
2.3.9.	Холпанов Л.П. Самоорганизация и динамический хаос. Теор. основы
хим. технол. 1998. Т. 32. № 4. С. 355-368.
2.3.10.	Холпанов Л.П. Самоорганизация и динамический хаос в химико-тех-
нологических и теплообменных устройствах. Пр