АКАДЕМИЯ НАУК СССР
ИНСТИТУТ ФИЛОСОФИИ
А.А.ЗИНОВЬЕВ
КОМПЛЕКСНАЯ
ЛОГИКА
«Н«
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
МОСКВА 1970

В книге дается систематическое изложение формального ап-
парата разработанной автором комплексной логики. В ней
рассматривается общая теория дедукции и ее расширения,
включая теорию предикации, кванторов, условных форм, мо-
дальностей, существования, норм, терминов, отношений и фи-
зического следования. Автор приводит доказательства непроти-
воречивости и полноты систем комплексной логики относи-
тельно определенных семантических интерпретаций, выясня-
ет место классической и интуиционистской логик в теории
логического следования.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР
П. В. ТАВАНЕЦ
1-5-7
№86-70(1)

ВВЕДЕНИЕ
§ 1, Цель книги
В данной книге дается систематическое изложение
теории логического следования (вывода, дедукции), ко-
торая разрабатывалась автором в работах [3—8] и назва-
на комплексной логикой. Сравнительно с упомянутыми
работами здесь внесены значительные изменения и допол-
нения. Кроме того, здесь использованы работы других со-
ветских логиков [1, 2, 9—16], посвященные проблемам
комплексной логики. Автор рассматривает излагаемую
теорию не как окончательную по виду отдельных ее раз-
делов и по широте охвата проблем логики, но лишь как
первоначальный вариант, который может быть усовер-
шенствован и развит детальнее.
§ 2. Предмет логики
Логика изучает термины и высказывания, конкрет-
нее говоря — правила, по которым из данных терминов и
высказываний образуются новые термины и высказыва-
ния и которые позволяют судить о значениях одних тер-
минов и высказываний на основе сведений, которые име-
ются относительно значений других. Подробнее это рас-
смотрено в [3, 4].
Термины и высказывания образуются из данных тер-
минов и высказываний так, что при этом последние оп-
ределенным образом группируются в пространстве и вре-
мени, модифицируются и соединяются с особого рода
3

предметами, изобретенными специально для этой цели. Эти
предметы мы будем называть логическими операторами.
Логика, определяя свойства различного рода конст-
рукций из терминов и высказываний, определяет тем
самым и свойства логических операторов, поскольку
они являются в известном смысле показателями (или
представителями) типов структур терминов и высказыва-
ний. И в этом смысле логика есть наука о логических
операторах.
§ 3. Логические операторы
Роль логических операторов в языке выполняют сло-
ва «и», «или», «не», «нет», «но», «все», «некоторые» и т. п.,
а также запятые, точки и другие средства языка. В логи-
ке для изображения логических операторов изобрета-
ются особого рода символы не только для удобства за-
писи и обозримости утверждений логики, но прежде всего
потому, что одни и те же языковые средства выполняют
различные функции, а в качестве одних и тех же логиче-
ских операторов используются различные языковые сред-
ства.
Логические операторы разделяются на две группы:
1) терминообразующие операторы (например, слово
«который» в выражении «число, которое делится на семь»);
2) высказываниеобразующие операторы (например,
слово «не» в предложении «Число тринадцать не де-
лится на семь»).
Имеются логические операторы, которые относятся
только к первой группе (например, оператор «который»),
которые относятся ко второй группе (например, операто-
ры «все» и «некоторые») и которые могут относиться к
первой и второй группе (таковы, например, операторы
«и», ,«или», «не»). Какими являются операторы в третьем
случае, всецело зависит от их положения в терминах и
высказываниях.
4

Мы в дальнейшем будем рассматривать следующие ло-
гические опер аторы :
1) <—, Я, V, -»-, ~~|, ? — высказываниеобразующие
операторы соответственно «имеют признак» («характери-
зуется тем, что» и т. п.), «некоторые», «все», «если то», отри-
цание «не» и оператор неопределенности, употребляемые
(последние два) только совместно с предшествующими
четырьмя операторами;
2) |, [ ] — терминообразующие операторы «который»,
и «термин (или высказывание)...»;
3) •, г, V» ~ ~~ логические операторы «и», («каждый из»),
«или» сильное («одно и только одно из»), «или» ослаблен-
ное («по крайней мере одно из») и «не», которые могут иг-
рать роль как терминообразующих, так и высказывание-
образующих операторов.
Будем употреблять также круглые скобки, запятые и
точки, но не в качестве логических операторов, а в качест-
ве подсобных средств языка, регулирующих однознач-
ность чтения сложных символов, определяющих их гра-
ницы и строение.
§ 4. Термины
Термины разделяются на субъекты и предикаты,. Мы
предполагаем, что даны какие-то предметы, относитель-
но которых известно, что они суть простые субъекты и
простые предикаты. Правила образования субъектов и
предикатов из простых субъектов и предикатов и выска-
зываний задаются определениями такого вида.
DÏ Предикат:
1) простые предикаты суть предикаты;
2) если а есть предикат, то — а ж а суть предикаты;
3) если а1,..., ап (п>2) суть предикаты, то (а1-...-ап)
и {ax\/..\/(in) суть предикаты;
4) если а1,... ,ап (п > 2) суть предикаты, то • (а1,... ,ап)
и \/ (а1,...^71) СУТЬ предикаты;
5

5) если х есть высказывание, то х \ есть предикат;
6) если х есть высказывание, а а есть предикат, то
а \ х есть предикат;
7) нечто есть предикат лишь в силу пунктов 1—6.
2)2 Субъект:
1) простые субъекты суть субъекты;
2) если а есть субъект, то ~-» а и а суть субъекты;
3) если ах,...,ап (п >> 2) суть субъекты, то (а1- ,..-ап)
и (а1 V ... V ап) суть субъекты;
4) если аг,...,ап (/г ]> 2) суть субъекты, то- (аг,...,ап)
и V (а1,...,^71) суть субъекты;
5) если а1,...,а" (тг > 2) суть субъекты, то (ах,...,ап)
есть субъект;
6) если х есть высказывание, то \ х есть субъект.
7) если х есть высказывание, а а есть субъект, то а \ х
есть субъект;
8) если а есть высказывание, субъект или предикат, то
[а] есть субъект;
9) нечто есть субъект лишь в силу пунктов 1—8.
D3. Субъекты и предикаты (и только они) суть тер-
мины.
Термины, указанные в Dl и Z)2, читаются так:
1) ~ а — предмет, не обозначаемый термином а.
2) (а1-...-а71) — предмет, обозначаемый каждым из
терминов а1, ..., ап;
3) (а1 V ... V ап) — предмет, обозначаемый по крайней
мере одним из терминов а1, ...,ап;
4) • (а1, ..., ап) — каждый из предметов а1, ..., ап;
5) V (а1, ..., ап) — по крайней мере один из предметов
Cv, ...,66 ,
6) а — предмет не-а (противоположный а);
7) | # — тот факт, что х\
8) х \ — такой, что х\
9) а \ х — а такой, что х\
10) [а] — термин а.
6

§ 5. Высказывания
Субъект, указанный в пункте 5 определения Д2 пред-
шествующего параграфа, называется одноместным при п =
= 1, двуместным при п = 2 и т. д., вообще — энместным
в зависимости от п.
Предикаты в свою очередь разделяются на одномест-
ные, двуместные и т. д. (вообще на энместные, где п > 1).
Мы предполагаем, что это разделение дано каким-то об-
разом, т. е. предполагаем известным, каким является тот
или иной предикат с этой точки зрения.
Если даны термины и выполнено только что приведен-
ное допущение, то правила образования высказываний из
терминов и высказываний задаются определениями та-
кого вида.
Di, (а «— Ь), (а """] <— Ъ) и (а? <— Ь) суть основные вы-
сказывания, если и только если а есть субъект, а Ь — пре-
дикат, причем, если а есть энместный субъект, то Ъ есть
столь же местный (энместный) предикат.
Высказывания, указанные в 2)1, читаются так:
1) (а -*- Ъ) — «а имеет признак Ь»; «а имеет о»; «а ха-
рактеризуется тем, что Ь»; «Ъ присущ а» и т. п.;
2) (а | «— Ь) — «а не имеет о»;
3) (а? «— Ь) — «а неопределенно имеет Ь (нельзя уста-
новить (а <— Ъ) или (а ~~] <— Ь); не известно, (а <-- Ь) или
(а -| «- Ь))».
2)2. Высказывание:
1) основные высказывания суть высказывания;
2) если жесть высказывание, то ~ х есть высказывание;
3) если х1, ..., хп (п > 2) суть высказывания, то {х1-...
-хп), (ж1: ... :хп) и (х* V ••• V хП) СУТЬ высказывания;
4) если а есть термин, а х есть высказывание, то
(Va) х, (За) ж, П Va) х, П За)я; (?Va) ж и (? За) х
суть высказывания;
7

5) если х и у суть высказывания, то (х —> у), (х~~\ —>у
и (ж? —> г/) суть высказывания;
6) нечто есть высказывание лишь в силу 1—5.
D3. Высказываниеобразующий оператор будем назы-
вать главным в данном высказывании в таких слу-
чаях:
1) ч- есть главный оператор в (а «-- Ь), (а ~~~| <— Ъ) и
(а? <- Ь);
2) • есть главный оператор в (х1 •... • хп), \/ — главный
в (яЛ/.-Л/ ^n)v — главный в (ж1:... :яп);
3) V есть главный оператор в (Va) х, (~~| Va)# и (? Va) ж;
Я — главный в (Яа) о:, (П^я) х и (? Яа) а:;
4)->-есть главный оператор в (#->-#), (ж"~|->-у) и
(xi ->у)\
5) оператор, являющийся главным в а:, является глав-
ным и в ~ ж.
Высказывания, указанные в D2, читаются так:
1) ~ л: — «Не-#», «Не так, как говорится в х»;
2) (xi-...-xn) — «х1 и х2 и...и #п», «Каждое из ж1, ...,
• • • , tX/ I " ,
3) (a:1 :...: яп) — «Либо а:1, ..., либо хп», «Одно и только
одно из я1, ..., хп»;
4) (аЛ/ ... V^n) — <<a;1 или--- или #п»,«По крайней мере
одно из х1, ..., #п»;
5) (Va) х, (Яа) ж, П Va) ж, П За) х, (? Va) s, (? Яа)я
— соответственно «Все а таковы, что х», («Для всех a име-
ет силу #» и т. п.), «Некоторые a таковы, что х»г «Не все a
таковы, что #», «Нет таких а, что я», «Неопределенно (нель-
зя установить, не известно и т. п.), (Va) x или("~] Va) # »,
«Неопределенно, (Яа) х или (~~"| Яа) х»;
6) (# -^i/), (яГ~| ->*/), (х? -+у) — соответственно «Если
#, то I/» («Признание а: обязывает признать у»), «Признание
х не обязывает признать г/», «Неопределенно, (х-+у)
или (#~~"| -> г/)».
8

§ 6. Расширения алфавита
и правил образования
Приведенный алфавит логических операторов и пере-
чень правил образования терминов и высказываний не
исчерпывают сферу логики. В частности, помимо кванто-
ров «все» и «некоторые» употребляются операторы «один»,
«два», «большинство», «меньшинство», «третья часть» и т. п.
(см. [3]); помимо обычной конъюнкции «и» употребляются
упорядоченные «и затем», «и до этого», «и справа от этого»
и т. п. Мы привели лишь операторы и правила образова-
ния терминов и высказываний, рассмотрение которых обра-
зует ядро логики, а также основу и образец для рассмот-
рения других операторов и правил. И в дальнейшем по мере
изложения мы будем осуществлять некоторые расширения
такого рода, каждый раз поясняя их место и отношение к
фундаментальным логическим объектам.
§ 7. Вхождение
D1. Одно высказывание входит в другое (есть вхожде-
ние в другое), если и только если первое есть графическая
часть второго. Аналогично — для вхождения термина
в высказывание, высказывания в термин, термина в тер-
мин и логического, оператора в термин и высказыва-
ние. Высказывание входит само в себя. Термин входит сам
в себя.
Согласно Dl не всякая графическая часть высказыва-
ния есть вхождение в него другого высказывания, если
даже в нее и входят высказывания. Например, х : у гра-
фически есть часть высказывания (х : у : z), однако в по-
следнее не входит высказывание (х : у), ибо по определе-
нию высказывания выражение х : у не есть высказывание
(отсутствуют внешние скобки). Аналогично в высказыва-
ние (х'у-z) не входит высказывание (х-у), хотя в него вхо-
9

дит каждое из х и у. Аналогичное положение имеет силу
для соотношений терминов и высказываний, а также тер-
минов и терминов, являющихся их частями. Короче гово-
ря, не всякая часть термина или высказывания есть вхож-
дение в него термина или высказывания.
§ 8. Логическое следование
Будем употреблять символ |— как знак логического
следования (в смысле «из... логически следует...»). Выра-
жение вида х\— у будет читаться буквально так: из вы-
сказывания х логически следует высказывание у. Слово
«логическое» («логически») в выражении «логическое сле-
дование» («логически следует») будем для краткости опу-
скать и говорить просто «следование» («следует»).
751. х\— у есть утверждение (или формула) следования,
если и только если х и у суть высказывания.
D2. Высказывание х в х (— у называется посылкой
для г/, высказывание у — заключением (или следствием)
высказывания х.
Утверждение х \— у не есть высказывание, состоящее
из высказываний хжу. Это — высказывание, состоящее из
двух терминов «высказывание х» и «высказывание у»,
обозначающих высказывания соответственно х и у, и двух-
местного предиката «из первого следует второе». Если
записать его в соответствии с определениями, данными в
параграфах 4 и 5, то оно примет такой вид: ([#], [у] <— (|— )).
Так что оно является простым высказыванием.
D3. Вхождение высказывания в формулу следования;
1) высказывание х входит в формулы следования х\— у
и у \-х;
2) если высказывание х входит в высказывание у, а
у входит в формулу следования z [— г?, то х входит
В Z |— V.
3) высказывание входит в формулу следования только
в силу 1 и 2.
10

ZM. Вхождение термина в формулу следования: тер-
мин а входит в х f— у, если и только если он входит в х
или (не исключающее «или») в у.
Символ |— будем употреблять также как знак того, что
высказывания принимаются из чисто логических сообра-
жений. При этом выражение \— х можно рассматривать
как следование х из пустого множества посылок (как вырож-
денное следование).
D5. \—х есть формула вырожденного следования, если
и только если х есть высказывание.
D6. Высказывание х входит в |—х; если высказывание
(или термин) у входит в х, то у входит в \— х.
Выражение |— х точно также не есть высказывание,
состоящее из высказывания х и оператора |—. Символ |—- не
есть логический оператор. Это — особый предикат «при-
нимается из логических соображений» («логически истин-
но» и т. п.). А выражение |— х есть элементарное выска-
зывание ([х]) <- ((—)), состоящее из субъекта [х] и преди-
ката f—.
Учитывая сказанное, мыв дальнейшем будем рассмат-
ривать только такие формулы следования, которые со-
держат один и только один символ |—. Выражение вида
(х Ь U/H0)» (*|— У) \- 2, (х |— У) (« |— г?) |— (а |— Ь) и т. п.,
в которых символ (— встречается два и более раза, фигури-
ровать у нас не будут. Такого рода выражения на самом деле
лишь сокращенная запись высказываний соответственно
([*], [([у], Ы) «- (h)]) «- (H, (KW, [у]) *- (HL M) +-
ч- ((—) и т. п. Логические правила для таких высказыва-
ний получаются как производные от правил, рассматрива-
емых в данной книге.
§ 9. Классический и неклассический случаи
Будем различать классический и неклассический слу-
чаи в теории следования по такому признаку: в системах
для неклассического случая будут фигурировать два раз-
11

личных оператора отрицания и оператор неопределенности,
в системах же для классического случая операторы отри-
цания не различаются (остается одно отрицание), а опера-
тор неопределенности отсутствует. Смысл различения двух
видов отрицания и введения оператора неопределенности
подробно разъяснен в работах [3, 4].
Такое употребление выражений «классический» и «не-
классический» отличается от принятого в логике их упот-
ребления: неклассическими системами принято называть
системы, которые уже классического исчисления предика-
тов по классу доказуемых формул. Однако упомянутое
сужение класса доказуемых формул поддается разумному
и простому (на наш взгляд) объяснению лишь при условии
различения двух форм отрицания (или двух различных по-
зиций отрицания) в высказываниях. В дальнейшем мы
будем рассматривать системы, которые можно истолковать
как сужение классической логики, но в которых фигури-
рует только один оператор отрицания и отсутствует опе-
ратор неопределенности, а также системы с двумя отрица-
ниями и с оператором неопределенности, содержащие в
себе (в известном смысле) системы классической логики«
Потому принятое деление систем логики на классические
и неклассические оказывается здесь неопределенным и
даже противоречивым. И потому мы от него отказались.
§ 10. Технические замечания
При построении логических систем (исчислений) в даль-
нейшем будем употреблять выражения «аксиомная схе-
ма» и «теоремная схема» в смысле, несколько отличном от
принятого в логике. Дело в том, что мы не будем вводить
в алфавит наших систем переменные символы (пропозицио-
нальные переменные, индивидные переменные и т. п.).
Мы будем использовать употребляемые ниже буквы х, у,
z, я1, #2, ..., а, Ь, с, ... и т. д. как переменные в следующем
смысле: 1) каждая буква по отдельности будет обозначать
12

любое высказывание или любой термин (что именно, будет
ясно из контекста), а также высказывание или термин за-
даваемого контекстом типа; 2) различие же совместно встре-
чающихся (в одном утверждении, в одной формуле, в од-
ном рассуждении) букв будет означать, что термины (или
высказывания) могут как-то различаться (если в контексте
не сказано, как именно они различаются).
Такое использование букв соответствует употреблению
переменных метасимволов. Введение переменных симво-
лов в алфавит логических систем не избавляет от необхо-
димости введения переменных метасимволов, тогда как
употребление последних делает первые практически из-
лишними. В случае индуктивных доказательств мы можем
любую букву использовать в качестве объекта для базисно-
го шага, просто приписав ей необходимые для этого свойст-
ва (сказав, например, «Пусть а есть элементарный термин»).
Кроме того, мы будем использовать употребляемые ни-
же буквы как обозначения именно высказываний и терми-
нов, а не как лишенные значения символы, нуждающиеся
в интерпретации. Поэтому формулируемые нами логи-
ческие системы по способу построения суть теории, описы-
вающие свойства высказываний и терминов определенного
вида. Никаких дополнительных формальных трудностей
из-за этого не возникает, зато с самого начала исключают-
ся спекуляции на счет особенностей логических построе-
ний и их отношения к реальным языкам.
Так что в дальнейшем, принимая х\—у (или |— х) как
аксиомную схему в некоторой логической системе, мы
будем иметь в виду следующее: если х и у суть высказыва-
ния, то формула следования х\— у (или }— х) принимает-
ся в данной системе. Аналогично для терминов. В прави-
лах вывода будет предполагаться, что употребляемые бук-
вы суть высказывания (или термины).
Конечно, в данном случае можно было бы просто гово-
рить об аксиомах (или постулатах) в том смысле, в каком
говорят о них в научных теориях вообще. Но мы все же бу-
13

дем говорить о схемах аксиом, предполагая связь с логи-
ческой традицией: наши системы легко превращаются в
исчисления, отвечающие традиции (с точки зрения правил
построения, а не содержания), путем незначительных мо-
дификаций. Так, если в излагаемой ниже общей теории
дедукции вместо элементарных высказываний говорить о
пропозициональных переменных, то получим обычные (по
форме) исчисления с аксиомными схемами.
К теоремным схемам относится сказанное выше об ак-
сиомных схемах. Доказать теоремную схему х |— у или |—#,
значит доказать, что это утверждение верно для любых вы-
сказываний (терминов) с такой структурой, какая указана
вжиу.
Определения будем нумеровать символами Di ж Dikl9
аксиомные схемы — Ai и Aïkl, теоремные схемы — Ti и
Tiki, где i есть номер определения, аксиомной или теорем-
ной схемы в данном параграфе, к — номер главы, I — номер
параграфа. При доказательстве теоремных схем в некото-
рых случаях будем под их формулировкой записывать ша-
ги доказательства. Справа от теоремных схем в квадрат-
ных скобках будем писать, на основе каких теоремных
схем и правил вывода получается соответствующая тео-
ремная схема или сделан соответствующий шаг в ее дока-
зательстве.
Утверждения о свойствах формул логической системы
суть метаутверждения по отношению к теоремам этой
системы. Будем их нумеровать символами вида MTi и
MTikl, где i, к и I те же, что и выше.

ГЛАВА ПЕРВАЯ
СИЛЬНОЕ СЛЕДОВАНИЕ
§ 1. Система 8х
Логические операторы:
1) • — конъюнкция («и», «каждое из»);
2) : — сильная дизъюнкция («либо», «одно и только
одно из») ;
3) ~ — отрицание («не», «не так»).
Di. Высказывания, которые нельзя расчленить на дру-
гие высказывания и логические операторы •, : и ~, суть
элементарные относительно S1 высказывания.
D2. Высказывание:
1) элементарные относительно S1 высказывания суть
высказывания;
2) если х есть высказывание, то ~ х есть высказыва-
ние;
3) если х1, ..., хп (п > 2) суть высказывания, то (ж1-...
...-хп) и (я1:... :хп) суть высказывания;
4) нечто есть высказывание лишь в силу 1—3.
Для упрощения записи будем скобки в ряде случаев
опускать, полагая, что конъюнкция связывает сильнее
дизъюнкции, а обе они — сильнее знака следования. Зна-
ки конъюнкции будем опускать записывая соединяемые
ими формулы рядом, без интервала.
Аксиомные схемы S1:
УА А . X I '"^-/ '■■■"■■' X
А2. — — х\—х
A3. ху\—х
15

A4. xy\—yx
АЪ. xlx2 ... xn ]— у,
где г/ отличается от (х1х2...хп) лишь какой-то расстановкой
скобок, удовлетворяющей D2.
AQ. у\—х1х2 ... хп,
где у то же, что в -45.
Al. ~(ху)\-~ху\х~у\~х~у
АЪ. — ху : х — у : —х — у\—— (ху)
А§. —(х: у)\— ху : ~х — у
— (х1 : х2 : . .. : хп) \— у1 : у2 : .. . : ут,
тде У1у У2J • ••* Ут есть множество попарно различных выска-
зываний, в которые включаются (х*х2 ... хп) и всевозмож-
ные высказывания, отличающиеся от него наличием одного
и только одного оператора отрицания перед всеми я1, я2, ...
хп или перед i из них, где 1 ^ i <^ п — 2.
AiO. ху:—ж — jI (ж:|/)
у1: у2:... :ут\— — (х1:х2:... : хп),
**Де J/1» У21 •••> Ут те же> чт0 и в ^49.
ЛИ. а;1:л;2: ...:#nf—#,
где у отличается от (х1 : х2: .... :хп) лишь какой-то расста-
новкой скобок, удовлетворяющей определению D2.
Ai2. у\— х1 :х2:. .. :хп,
где каждое из ж1, ж2, ..., хп есть либо (a11 z1 • ... • aimzm)
(где aü> ..., аiw означают наличие или отсутствие отри-
цания, а все (а*1 я1 • ... • aimzm) попарно различны), либо
~ zl^z1, а у отличается от (х1 : х2: ... :#п) лишь расста-
новкой скобок.
16

AIS. xy:yz\—(x:y)z
xxy : x2y :... : xny |— (x1 : x2 :... : xn) y
Ali. (x:y) z\—xz: y
(x1 : x2 : ... : xn) y |— хгу : x2 : . .. : xn
(x1 : x2 :... : xn) (y1 : ... : ym) |—
J U* t/ • • . • .«*/ U • t*/ . . . . • *l/
Аксиомные схемы -46, -49, AW, AIS и Л14 можно рас-
сматривать как множества аксиомных схем. Но можно так-
же последние строки в них рассматривать как запись общих
случаев, а предшествующие им строки — как частные
случаи, поясняющие общие случаи.
Правила вывода £д:
R1. Если х\— у ъ у \— z, то а: (— z
R2. Если х \— у и х \— z, то x f— yz
RS. Если х f— у и у f— х, то z |— г?,
где г? получается из 2 путем замены вхождения высказы-
вания х (не обязательно всех) в z высказыванием у,
D6. Формула следования х\— у доказуема в S1 (есть
теорема 51), если и только если она есть аксиома S1
или получается из доказуемых в S1 формул следования по
правилам вывода S1.
Система S1 была сформулирована (в несколько ином
виде) автором в работах [3, 5, 8]. Излагаемые ниже доказа-
тельства непарадоксальности, непротиворечивости, неза-
висимости и полноты S1 даны Г. А. Смирновым в работе
[12].
§ 2. Некоторые теоремные схемы
Приведем ряд теоремных схем, которые потребуются в
дальнейшем (доказательство дано Г. А. Смирновым в [12]).
В качестве сокращения для х |— у и у Ь- х будем употреб-
лять символ х —| [— у.
17

Tl. xy\-y [Л4.43, Л1]
T2. x\-x 1-41,-42, Ж]
ГЗ. x\-xx [Г2, Л2]
Г4. ##f— # [-43]
Г5. уяг|— xy [44]
T6. x:y\—y : x
l.~(x:y)\-yx:~y~x [A9, -44, Г5, ЛЗ]
2. ~ (ж : y) | (y:x) [1, -410, Л1]
3.~(y:*)H~(*:») [2]
4. (ж : y) | fo : x) [2, 3, ЛЗ]
5. x:y\— у : x [-41, 4, Л1]
Г7. y:s|-a::y [Т6].
T8. Доказательство правила коммутации для случая
я1: ... :#п (п > 2) опирается на -45, -46, Л9—Л12, Г6, Г7.
Ниже ссылки на Al, -45, -46, Г2—Г8 в большинстве
случаев опускаются как очевидные.
Г9. (# : у) z \— xz : yz
l.{x:y)z\-(y\xz)z [-414, И, Л2]
2. (#: у) z|— xz : z/z [1, 414, Л1]
ПО. Для случая х1: ... : хп (п ^ 2) доказательство
аналогично доказательству Г9.
HI. #|-а;:а;~а;:я~.г [ГЗ, Г4, Л1, -47, Д1, ЛЗ]
П2. я:я~<а;:а;~я1— х [AIS, И, Л1]
ИЗ. х\— x: x — х
1.~х\-~(х:х~х:х~х) [П1, П2, ЛЗ]
[ЛИ, 412]
3. ~a:|— ~ (ж : (ж ~ ж : ж ~ ж)) [1, 2, ДЗ, Л1]
[3, Л9, Ш]
18

5. x — x : x — #—I(—--- (x : ~ x) [410]
6.— x |— x (x — x : x ~ x) : — x (x : ~ #)
[4, 5, ДЗ, Ж]
^* i
/- ■ <У* I . <Y» • /V» /V» • /V» _ /V» • /V» /V»
[6, 413, ПО, 412, ДЗ,Ж]
8.#|— (# : x — x:x — x) : x — x [7, 411, Л1]
9.o:(-a::a;~a: [8, Г11, Г12, ДЗ, Ж]
Г14. #:я~я|-а; [413, Г1, Ж]
Г15. x:y\—x— y:—xy
i.x:y\ (xy:~x~y) [41, 49, ДЗ, Ж]
2.x:y\— x~xy~ y:~{xy)~{~x~y)
[1, 49, RI]
3. (ж : г/) J— rr: — г/ : — жг/
[2, 47, 413, ПО, 411, 412, Г13, Г14, RS, RI]
П6. x — у:—ху\—х:у
1.х~у:~ху\ (х~ху~у\~(х~у)~(ху))
[41, 49, Ж, RS]
2.х~у\~ху\-~~(ху\~х~у)
[1, 411, 412, ПО, 48, 47, Г13, Г14, RS, Ж]
S.x~y:~xy\-x:y [2, 410, 41, RS, Ж].
Г17. Для случая х1 : х2: ...: хп (п > 2) доказательство
аналогично Т15 и Г16.
Г18. х[~х(х:~х) [Г13, 413, Ж]
Г19. х(х:~х)\-х [43]
Г20. xz : у \— (xz : у) (х : — #)
1.^2 : у[— xz — у : ~(xz)y [Til]
2.xz:y\— xz~у : ~азд : a; — zz/ : —x — zy
[1, 48, 413, Г10, RS, 412, 43]
3. xz:y\— (xz — у : ~ #zz/ : x—zy : ~x —zy) (x : —x)
[2, Г18, Г19, RS, 413, 43].
19

T21.
T22.
Г23.
4. xz : y \—x:—x
5. xz : y \— {xz :y)(x: —
(xz : y) (x : ~ x) \— xz : y
(x:y)x\ y
1. (x : y)x\— x: xy
2.(x:y)x\-(x\ xy)(y:
3.(x:y)x\—~y:y:y
£.(x:y)x\ y
(x:y)~x\-y
l.(x:y)~x\— x~y : *
2. (x : y) ~ x |— ~ a: : —
3. (# : z/)— a; |— (~ x : —
b.(x:y)~x\-y
•x)
~»)
-яу
■»
-iO~
[2,
[3,
'Ж
414,
Til,
[3, Г2, Д2]
[4, T2, R2]
[АЪ]
[ПО]
[1, 7*20, Ri]
AiS, A3, Ri]
, Aid, Ti, Ri]
[AS, Til, Ri]
[1, Til, Ri]
[2, Ti, R2]
[3, Г22, Л1].
§ 3. Некоторые сокращающие определения
Dl. (x id у) есть сокращение для ху : ~ xy: ~ x ~ у.
Символ ZD есть знак материальной импликации. По-
следняя не имеет никакого иного смысла, кроме указан-
ного в D1.
D2. (х\у у) есть сокращение для ~ (~ х ~ у); xi V
V#2V • • • V хП есть сокращение для ^(-^х1 ~ х2 ... ~хп).
Символ V есть знак соединительной дизъюнкции и чи-
тается как «по крайней мере одно из».
Операторы =э и \/ могут быть приняты как первичные.
Тогда для них потребуется дополнительные аксиомные
схемы:
Л15. х id у\— ху : -—ху :—х — у
Л16. ху:—ху\—х — у\— xiDy
АП. х1У\/х2\/ ...\ухп\ (~хг~а?...~хп)
-418. — (—х1 ~х2... ~хп)\~ хг\/ х2\/... V*2
20

§ 4. Непарадоксальность
В отношении S1 имеет силу следующая метатеорема:
MTi. Если х\—у есть теорема Si (доказуема в £*),
то в у не входят элементарные высказывания, которые не
входят в х (или в у входят только такие элементарные вы-
сказывания, которые входят в х).
Доказательство MTi. Случай 1: х \—у есть аксиома
Si. Легко убедиться путем пересмотра аксиомных схем
51, что в у не входят элементарные высказывания, отсутст-
вующие в х. Случай 2: а: [— г/ получена из # |-— zt&z\— y
по правилу Ri. Очевидно, что если в у не входят элемен-
тарные высказывания, отсутствующие в z, а в z не входят
элементарные высказывания, отсутствующие в х, то в у не
могут входить элементарные высказывания, отсутствующие
в х. Случай 3: х |— у имеет вид х |— zv и получена из х |— z
и х |— V по правилу R2. Очевидно, что в zv входят только
такие элементарные высказывания, которые входят в z
или (не исключающее «или» ) v. И если в z и в v не входят
элементарные высказывания, отсутствующие в х\ то в у
точно также не могут входить элементарные высказыва
ния, отсутствующие в х. Случай 4: у в х |— у получено из
х по правилу R3 путем замены вхождения z в х высказы-
ванием v. Если z\— v и г; [— js доказуемы, то множества
элементарных высказываний, входящих в z и г;, совпадают.
Поэтому в у не могут оказаться элементарные высказыва-
ния, отсутствующие в х.
Из MTi вытекают следующие метатеоремы:
МТ2. Если х |— у и у \— х суть теоремы S1, то множе-
ства элементарных высказываний, входящих в х и i/, сов-
падают.
МТЗ. Формулы следования вида х |— у:~ г/, ~ хх [—
\—у, х\— ~ (~ z/z/), х |— у ZD х, x\-~xzDy; x\-y\/
V — у недоказуемы bS1. Выражения вида х |— (у |— х) и
# (— (~# |— у) не являются формулами следования, дока-
зуемыми в S1.
21

Согласно МТЗ в S1 исключаются следствия, подобные
парадоксам материальной и сторогой импликации. Поэто-
му МТ1 мы называем теоремой непарадоксальности, а
систему S1 непарадоксальной в смысле МТ1.
§ 5. Главная семантическая интерпретация
Примем следующую семантическую интерпретацию,
которую будем считать главной (поскольку относительно
ее будет в дальнейшем определяться полнота S1):
1) элементарным высказываниям приписываются зна-
чения 1 и 0 (соответственно «истинно» и «неистинно»);
2) если х имеет значение 1, то ~ х имеет значение 0;
если х имеет значение 0, то ~ х имеет значение 1;
3) (ж1- ... -хп) имеет значение 1 тогда и только тогда,
когда все х1, ..., хп имеют значение 1;
4) (х1:... :хп) имеет значение 1 тогда и только тогда, ког-
да одно и только одно из х1, ..., хп имеет значение 1;
5) х |— у имеет значение 0 тогда и только тогда, когда
х имеет значение 1, а у — значение 0.
Dl. Формула следования есть тавтология, если и толь-
ко если она принимает значение 1 при любых значениях
входящих в нее элементарных высказываний.
D2. Высказывание есть тавтология, если и только если
оно принимает значение 1 при любых комбинациях значе-
ний входящих в него элементарных высказываний.
Z)3. Высказывание есть противоречие, если и только
если его отрицание есть тавтология.
МТ1. Если х (— у — теорема S1, то она является тав-
тологией.
Доказательство МТ1. 1 случай: х\— у является акси-
омой S1. Легко проверить, что х \— у является тавтологи-
ей. Для аксиом, охватываемых схемами Al — -48, -413
ж АН это тривиально просто сделать. Ограничимся лишь
рассмотрением аксиом, указанных в схемах -49 — -412.
22

Пусть в -49 высказывание у1: ... :ут принимает значе-
ние 0. Это возможно лишь при условии, если все ух% .., ут
принимают значение 0: если одно из них имеет значение 1,
то все остальные имеют значение 0, и все высказывание
имеет значение 1. А это означает, что одно и только одно
из х1, ..., хп имеет значение 1. Отсюда следует, что х1: ...
...: хп имеет значение 1, а ~ (#1:...:#п) имеет значение 0.
Таким образом, формулы следования, указанные в А9,
не могут принять значение 0.
Пусть в А10 высказывание у1: ... :ут принимает зна-
чение 1. Это значит, что одно из г/1, ..., ут принимает зна-
чение 1 (пусть это у1), а остальные принимают значение 0.
Если у1 есть конъюнкция всех я1, ..., хп без отрицаний,
то хх:...:хп имеет значение 0, а ~ (х1:...^71) — значение 1.
Если в yi два или более из я1, ..., хп имеют впереди отрица-
ние, то возможны два случая. Первый случай — отрицание
стоит перед всеми ж1, ..., хп, и тогда все #г, ..., хп прини-
мают значение 0, х1: ... : хп принимает значение 0, ~ (х1'-
.». : хп) принимает значение 1. Второй случай — по край-
ней мере перед двумя х1, ..., хп отрицание отсутствует.
Тогда эти два из я1, ..., хп принимают значение 1, х1 :...: хп
принимает значение 0, ~ (х1:... : хп) принимает значение J,
Если в -411 высказывание х1: ... : хп принимает значе-
ние 1, то одно и только одно из х1, ..., хп принимает зна-
чение 1. И как бы мы ни расставили скобки, в полученной
дизъюнкции так или иначе только один член будет иметь
значение 1. Следовательно, у примет значение 1, и все ак-
сиомы, соответствующие All, суть тавтологии.
Если в А12 высказывание у имеет значение 1, то это
означает, что одной только одно из х1, ..., хп имеет значе-
ние 1: все высказывания вида ~ z\z\zl имеют значение 0,
а все (a11 ^-...-а1™ zm) попарно различны за счет распре-
деления отрицаний у z1, ..., zm, так что если одно из них
имеет значение 1, то все остальные имеют значение 0. Сле-
довательно, х1: ...: хп принимает значение 1, и аксиомы,
соответствующие А12, суть тавтологии.
23

2 случай: о: |— г/ получена путем применения правила
R1 шх\— z ж z\— у. Утверждение а: |— г/ принимает зна-
чение 0 только в том случае, когда х имеет значение 1,
ai/ — значение 0. Если формулы х |— z и z |— у являются:
тавтологиями, то во всех случаях, когда х имеет значение
1, z и у принимают значение 1. Тогда формула х\— у так-
же является тавтологией.
3 случай: х [— у имеет вид х |— zv и получена из х |— z
ж х\— V путем применения правила Л2. Если формулы
х\— z и х [— V являются тавтологиями, то z и V принимают
значение 1 во всех случаях, когда х имеет значение 1. Тогда
формула х \— zv также является тавтологией.
4 случай: у в х [— у получено из х путем замены вхож-
дения (по крайней мере одного) высказывания z в # высказы-
ванием v. Если z \— V и V f— z являются тавтологиями, то
z и V принимают одинаковые значения истинности при од-
ной и той же комбинации значений истинности входящих
в них элементарных высказываний. Тогда у будет прини-
мать те же значения истинности, что и х, при одной и той
же комбинации значений истинности входящих в них эле-
ментарных высказываний, так что и х \— у будет являться
тавтологией.
Из МТ1 вытекают следствия:
МТ2. Если х [— уесть теорема Sinx имеет значение 1,
то у имеет значение 1.
МТЗ. Если х f— у есть теорема S1 иг/ имеет значение 0,
то х имеет значение 0.
M ТА. Если х (— у и у \— х суть теоремы S1, то х и у
равнозначны (т. е. принимают одно и то же значение при
одной и той же комбинации значений входящих в них эле-
ментарных высказываний).
МТ5. Если х |— у есть теорема S1, то х zd y есть тавто-
логия.
24

§ 6. Непротиворечивость S1
Система S1 непротиворечива в смысле следующих ме-
тате орем:
МТ1. Если х\— у есть теорема S1 и при этом х не есть
противоречие, то х\—,— у не есть теорема S1 (недоказуема
в S1).
MТ2. Если х |—— уу есть теорема S1, то х есть проти-
воречие.
Доказательство MTi. Так как о: |— г/ есть теорема S1,
то на основании MTÏ предшествующего параграфа она
есть тавтология. При этом, поскольку — а; не является
тавтологией, высказывание х принимает значение 1 по
крайней мере при одной комбинации значений входящих в
него элементарных высказываний. Из интерпретации зна-
ка |— следует, что высказывание у при три же комбинации
значений элементарных высказываний также принимает
значение 1. Тогда высказывание ~ у при этой комбинации
значений элементарных высказываний имеет значение 0.
Поэтому при данной комбинации значений входящих в х
элементарных высказываний формула следования х\— ~ у
принимает значение 0. Следовательно, она не является
тавтологией. Поэтому, в силу МТ\ предшествующего па-
раграфа она не есть теорема S1.
Справедливость МТ2 видна из следующего: ~ уу есть
противоречие, т. е. всегда имеет значение 0; согласно МТЪ
предшествующего параграфа х всегда имеет значение 0,
т. е. есть противоречие.
§ 7. Цолнота 8 х
Dl. Формула следования х \— у есть сильная тавтоло-
гия, если и только если х\—у есть тавтология в смысле DÏ
пятого параграфа и при этом в у не входят элементарные
высказывания, отсутствующие в х.
D2. Каноническая форма высказывания:
1) х: ~ х находится в канонической форме;
25

2) ximm...:xn(n > 1) находится в канонической форме,
если выполнены следующие условия: а) х1, ..., хп суть
высказывания вида (а11 а11 .... . alm aim) (m > 1), где а*1,
..., aim означают наличие или отсутствие отрицания;
Ь) все oLikaik попарно различны и упорядочены так, что
если в <xirair и aisais элементарное высказывание air
предшествует в алфавитном порядке элементарному выска-
зыванию ais, то г < s; если же в air air и ais aü элементар-
ные высказывания air и ais совпадают, air означает отсут-
ствие, a ais — наличие отрицания, то г < s; с) все х1
попарно различны;
3) высказывание находится в канонической форме толь-
ко в силу пунктов 1 и 2.
D3. Высказывание у есть каноническая форма для
высказывания х, если и только если у находится в кано-
нической форме, и х \— г/ и г/ j— х суть теоремы S1.
Z>4. Формула следования х [— у находится в канони-
ческой форме, если и только если хну находятся в канони-
ческой форме, множества элементарных высказываний,
входящих в хну, совпадают, и в у входят все те высказы-
вания вида ~ zz, которые входят в х.
D5. Формула следования х* [— у** есть каноническая
форма для х |— у, если и только если х* есть каноническая
форма для х, имеющая вид х1: ... : хп (п ^ 1), а у** есть
каноническая форма для y*z (v : ~ v), где у* есть канони-
ческая форма для у, z есть высказывание вида z*z2 ... zm
т^О) (где zl есть высказывание вида ~ аа, входящее в
#*, но не входящее в z/*), a г; есть конъюнкция элементар-
ных высказываний, которые не входят в у*, но входят в
х*, за исключением таких, которые входят в х1 вместе с
их отрицанием.
Т1. х — х : ху |— ху
1. х~х:ху\-у [Л13, Г23 12, R1]
2. х~х:ху\-х [413, 71 12, Ri]
3. х~х:ху[— ху [1, 2, R2]
26

T2. ху\— #~х : ху
1. ху\-ху(х:~х) [Т18 12, Г19 12, ДЗ]
2. ху\-х~х\ху [1, Т10 12, 413, 43, R1]
ТЗ. х — xz\y\— y
1. х <■—' #z : у \— (х ~ #z : у) (х : <■—' х) (z : ~ г)
[Г20 12, Д2]
2. #—xz: у \— (у : х— xz) (xz :х — z : <■—'xz : —# •
~z) [1, 413, ПО 12, ЯЗ, Ж]
3. а;— xz\y\— (xzy : я — xz) : х~^ zy:
:~xzy:~x~zy [2, 414, 411 RI]
4. # — xz\y\— xzy : # ~ zz/ : — zzi/ :— ж — zy
[3, 413, ПО 12, #3, 74, Г2, Л1]
5. x~xz\y\-y [4, 413, П 12, RI]
MT1. Для любого высказывания х может быть найде-
на его каноническая форма у.
Доказательство МТ1. 1 случай: х совпадает с у. По
Г212 получаем х\— у и у \— х. 2 случай: в х не входит
знак дизъюнкции, а знак отрицания находится только перед
элементарными высказываниями. По T3I2 и T4I2 получаем
х\— У я у \— х, 3 случай: х имеет вид х1: ...: хп. Если не
имеет место 1 случай, по Г1712, 47, 48,413, Г1012,Г 1312,
Г1412 получаем х\—уиу\—хЛ случай : х имеет вид ~ (х1 :...
...: хп). На основании 49, 410, 47, 48, 413, Г1012, Г1312,
Г1412 получаем х \— у и у \— х. 5 случай: х имеет вид yz.
Если не имеют места 1 и 2 случаи, по 47—410, 413, Г1012,
Г1312, Г1412 получаем х \— v и v \— #, где v есть высказы-
вание вида х1: ... :хп. По 3 случаю имеем v f— у и у |— v. От-
сюда на основании правила Ri получаем х [— у и у (~ х.
6 случай: х имеет вид ~ (zv). По 47, 48 и далее как в 3
случае получаем х \— у и у (— х.
МТ2. Если х \— у есть сильная тавтология, то для нее
может быть найдена каноническая форма х* (— у**. По-
следняя также есть сильная тавтология.
п

Доказательство МТ2 . В силу МТ\ для любой х [— у
может быть найдена формула х* {— у*, где х* и у* суть
соответственно канонические формы для х и у. Из #3,
МТ2Ы и MT415 следует, что х ях*, у иу* соответственно
равнозначны, и множества элементарных высказываний,
входящих в них, совпадают. Поэтому если а; |— г/ есть силь-
ная тавтология, то и х* |— у* есть сильная тавтология.
Так как в у0 входят только те элементарные высказывания,
которые входят в х*, то может быть найдено такое y*z
(и: ~ г;), удовлетворяющее условиям D5, что множество
элементарных высказываний, входящих в него, совпадет
с множеством элементарных высказываний, входящих в
х. На основании MTÏ для y*z (v : ~ v) может быть найдена
каноническая форма у**. Если ~ х не есть тавтология, то
у** есть каноническая форма для у* (v : ~ v). Очевидно,
что в этом случае у** равнозначно у*. Следовательно,
х* \— у** в данном случае является сильной тавтологией.
Если ~ х — тавтология, то х* в х* |— у** принимает
значение 0 при любых комбинациях значений входящих в
него элементарных высказываний. Поэтому и в этом случае
х* |_ у** является сильной тавтологией.
МТЪ. х\— у есть теорема S1, если и только если ее
каноническая форма х* |— у** есть теорема S1.
Доказательство MГЗ. Пусть о: |— г/ есть теорема S1.
Покажем, что в .этом случае х* [— у** есть также теорема
S1. Формула х* |— у*, где х* и у* суть канонические формы
для х ж у, является теоремой S1, так как она может быть
получена по правилу RI из х \— у на основании D2 и МТ1.
Если множества элементарных высказываний, входящих
в х и у, совпадают, ивж* нет вхождений вида ~ аа, кото-
рых не было быв у*, то х* \— у** совпадает с х* f— y*. Если
в х* входят высказывания z1, ..., zw, которые не входят в
у*, то на основании А13, Т112, Л1, R2 получаем х* [—
[—г/*2, где z есть высказывание вида z1- ... *zm. Если в #*
входят элементарные высказывания г;1, ..., vk, которые не
входят в г/*, то по Г2012 , используя All и А12 и применяя
28

Ш и jR2 получаем х* \— у* (v : ~ v), где v есть v1 • ... -vk.
Таким образом, мы показали, как от х f— y перейти к х* \—
[— y*z (v : ~ v). По Г1012 и RÏ отсюда следует х* f— г/**.
Пусть х* [— у** есть теорема S1. Покажем, что тогда
х |— у также является теоремой S1. Действительно, на
основании 413, Г1012, A3, Г112, R2 и ЯЗ от #* [- г/**
можно перейти к ж* (- i/* и далее в силу 02 и МП полу-
чить х |— г/.
МГ4. Пусть формула о? J— г/ есть сильная тавтология, в
канонической форме, имеющей вид х1: ...: х1 [— г/1: ... : укш
Если ~ х не является тавтологией, то я1, ..., я1 имеют
такое вхождение в у, что совпадает с некоторыми (не обяза-
тельно со всеми) из у1, .., ук, так что к^ i.
Доказательство MГ4. Так как ~ х не есть тавтология,
то из D2 следует, что при любой комбинации значений вхо-
дящих в х элементарных высказываний либо все xi прини-
мают значение 0, либо одно и только одно из xß принимает
значение 1, а остальные принимают значение 0. При этом
каждое из х$ принимает значение 1 при одной и только од-
ной комбинации значений входящих в х элементарных вы-
сказываний. То же самое справедливо и для i/1, ..., ук.
Из D1 и DS следует, что множества элементарных выска-
зываний, входящих в xi и yi, совпадают. На основании D1
отсюда вытекает, что я1, ..., х1 должны совпадать с выска-
зываниями из у1, ..., ук. Действительно, если xî не совпадает
ни с одним из I/1, ..., ук, то при некоторой комбинации зна-
чений входящих в х элементарных высказываний & при-
нимает значение 1, а у — значение 0. Поэтому если х \— у
есть тавтология, то х1, ..., х1 входят в г/, так что к > 1.
МТ5. Если х |— у есть сильная тавтология, находящая-
ся в канонической форме, то она есть теорема S1.
Доказательство МТ5. Пусть в х \— у не входит выска-
зывание вида ~ аа. Тогда х\—у имеет вида:1 :... : xi |— у1:...
...: ук (1 ^ i ^ 2Г, где г есть число элементарных выска-
зываний, входящих в а; [— у). В силу МТА и на основании
закона коммутации для дизъюнкции Г812 достаточно по-
29

казать, что формула ж1: ... : х1 (— х1 : ... хк (i ^ А: ^ 2Г)
есть теорема S1. В зависимости от А: доказательство подра-
зделяется на четыре случая. 1 случай: i = &. Тогда х\— у
имеет вид я1: ... : #( (— ж1 :...:#* и доказуема согласно
Г212. 2 случай: к = 2'. По Г2012, используя 411 и 412,
имеем
х1 : . . . : х1 \— (х1 : . .. : х1) {х1 : <--> х1).
Отсюда по T1I2 и Ж получаем:
х1 : . . . : х1|— х1 :— я1
Согласно 47 и А8 отрицание конъюнкции, содержащей г
различных элементарных высказываний, дает канониче-
скую форму, состоящую из2г— 1 члена. Следовательно, на
основании правила R3 и 412 получаем:
х1 : ~ х11— х1 : . .. :хк (к = 2Г).
Отсюда по правилу Ri имеем:
х1 : . . . : х1 |— я1 : . .. : хк (к = 2Г).
3 случай: к = 2Г — 1. Согласно 2 случаю имеем:
х1 : . . . : х1[— х1 : . . . : хк (к = 2Г).
Используя Г812, 411, 47, 48 и R3 получаем:
хх:... :*k|-s*:~s'(i"<J<2r).
По правилу jRl отсюда следует:
и/ • • . . • vv I tA/ • t*/ •
Применяя правило i?l к полученной формуле и к формуле,
доказанной в 1 случае, имеем:
х1: . . . : х1\—(х1 : — х1) (х1 : . . . : х1).
На основании 414 получаем:
(х1 : — х1) (х1 : ... : #*) |— х1хг : ... : #*#* : ~ о:1
30

Отсюда по правилу i?l следует:
х1 : ... : х11— х1хг : ... : х1хх : — х1.
Так как х1 не входит в х1 : ... :#% а все члены канониче-
ской формы различны, то в xlxi (1 <! / ^ i) есть элементар-
ное высказывание вместе с его отрицанием. Используя -411
и применяя i раз Г315, получаем:
•Д/ *С/ • . . . • iA/ iA/ • • "— t*/ I ь^- i*/ •
По правилу Л1 имеем;
х1 :... :ж* J— ~xl.
По -47 следует:
~хх\-х* : ... : #* : ... : я'-1 : xl+1 : . . . : хк (к = 2Г — 1).
Следовательно, по правилу ßl,
а:1 : ... : а*|- ж1 : ... : хк (к = 2Г — 1)
4 случай: i < я < 2Г — 1. Пусть Z = i + 1.
Согласно 3 случаю,
м/ • . . . * *С/ I «С/ • . . . * «С/ • t*/ • « . . • *С/ .
Пусть Z = г + 2 . Тогда по 3 случаю,
х1 : ... : х11 #i+2
По правилу Л2, используя одновременно Г812, получаем;
х1: ... :xl\— {xi+2 : х1 : ... : х* : xi+* : ... : хк) — xi+2
На основании -414 имеем:
(#i+2 : х1 :... : хк) — xi+2|— xi+2 — xi+2 : х1 :... : хк
По Г315, используя -411, получаем:
xi+2~xi+2:x1:...:xk[-x1: .. . :хк (А: = 2Г — 2)
Применяя правило R1 к трем последним формулам, имеем:
х1 : ... : ^f-*1 : • • •: х* (к = 2Г- 2).
31

Действуя аналогичным образом, можно исключить любой
#^<^<ч2г) член дизъюнкции
Пусть в х |— у входит высказывание вида ~аа. Тогда
х\— у имеет вид
x1:...:xi\-y1:...:yk (1<г<28, 1<A<2S),
где s есть число элементарных высказываний z1, ..., я5,
входящих в х\— у, за исключением а. По Г2012, Г112,-411,
-412 и R1 имеем:
х1:... : xl\— z: ~ z,
где 2 есть конъюнкция z{,..., zs. По -413, Т112 и Л1 полу-
чаем:
х1 :.. . : хх \— w,
где W есть конъюнкция всех высказываний вида ~ аа.
Из полученных формул по R2 следует:
х1 : ... : xl\—w(z : — z).
Отсюда по -47, -48, Г1012, RS и Л1 получаем:
х1:. ..:х1\-уг:...:у* (к = 28)
На основании Г812, Г317, -411 и Л1 получаем искомую
формулу.
Из МТ2 — Л/Т5 следует метатеорема:
МТб. Если о: |— г/ есть сильная тавтология, то она есть
теорема S1.
Система S1 полна в смысле МТ6.
МП. Если х ZD у есть тавтология, и при этом в у не
входят элементарные высказывания, не входящие в хч
то х |— у есть теорема дУ1.
MГ8. Если а: |— г/ доказуема в^и при этом в х fc y
входят одинаковые элементарные высказывания, то ~ у |—
[— ~ # доказуема в дУ1.
Теорему МГ8 можно рассматривать как производное
правило вывода (правило контрапозиции). Она есть
следствие МТ&.
32

§ 8. Независимость 8х
Независимость ряда аксиомных схем устанавливается
посредством истинностных таблиц с двумя значениями ис-
тинности 1 и 0 (отмеченное значение 1):
1) для -41 принимается ~ х — О и х1 : ... : хп = х1- ...
•.. • х .
2) для -42 принимается ~ х = 1 их1 : ... : хп = х1 \J ...
...\/#п»гДе\/есть соединительная дизъюнкция (a^V-• -\Z%n==:
= 0, ее ли и только если все я1, ..., хп имеют значение 0);
3) для АЪ принимается ~ х = х, ху = 1, х1: ... : хп =
= 1
4) для -44 принимается ~х — х, ху = х, х1 : ... \хп =
= хх
5) для Al принимается ~ х = х, х1: ... :хп = 0
6) для Л9 принимается ~ х= х,хх:... :хп= х1\/ ...\/хп
7) для АЮ принимается х1 : ... : хп = х1\/ ... \/хп
8) для -411 принимается х = ~ х, х1 : #2 = 0, ж1:...
... : хп = 1, если все х1 = 1, и я1 : ... : #п = 0 в осталь-
ных'случаях (п > 2); рассматривается частный случай
а1 : а2 :... :ап f— (а1 : а2 :... : ап~1) : а
Для доказательства независимости -45 и 46 можно
воспользоваться трехзначными таблицами с 0 в качестве
единственного отмеченного значения. Следующие таблицы
являются общими для -45 и А6: 1) ~ а; = 1, если # = 1;
~ я; = 2, если # = 0; —х — 0, если # = 2; 2) #i/ = 0,
если и только если # = 0иг/ = 0;в остальных случаях
ху = 1; 3) я1 : ... : хп = 1 (п > 2); 4) (о: J— г/) = 2, если
х = 0 ж у = 1 или г/ = 2; (х |— у) = 0 в остальных слу-
чаях. Затем:
9) для -45 принимается xi • ... -хп = 0 (п > 2)
10) для Л6 принимается ж1- ... -#п = 1 (дг>2).
Независимость Л 8 и -413 устанавливается посредством
трехзначных таблиц с отмеченными значениями 0 и 1.
2 А. А. Зиновьев 33

Общие для них таблицы : 1) ~ х = 1, если х — 1; ~ х= 2,
если # = 0; ~ х = 0, если # = 2 ; 2) (х |—- г/) = 2, если
ж = 0 или ж = 1, a j/ = 2; (ж|- */) = О в остальных слу-
чаях. Затем:
И) для -48 принимается ху = 2, если и только если
г/ = 2 (или то и другое); ху = 0 в остальных слу-
чаях; я1 : ... : хп — 0 (п ^ 2), если одно и только одно хх
равно 0, а все остальные xi равны 2; х1 : ... : хп = 2, если
все #* равны 2; ж1: ...:жп = 1 в остальных случаях;
12) для -413 принимается ху = 2, если и только если
# = 2 или г/ = 2 (или то и другое); в остальных случаях
<у»7/ 4 • т! • *^у»Т1 —-. 4
»*/<^ Ху *v • ... .«л/ "~~ X .
Независимость Л12 и -414 доказывается посредством
четырехзначных таблиц с единственным отмеченным зна-
чением 0. Для А12 берется частный случай у1: ( у2:...: ут)\—
\— У1 'У2 --- -У™, и независимость его доказывается при усло-
вии, что -411 имеет вид х1: ... : хп |— х, где х отличается от
х1: ... : хп расстановкой скобок, за исключением случая,
когда в скобки берется и хп. Такой формулировки -411 до-
статочно для доказательства Г812, с помощью которой лег-
ко получить исключенный случай.
Общие для -412 и 414 таблицы: 1) ~ х = х, если х = 1
или х = 2; ~ х — 3; если х = 0; ~ х = 0, если # = 3;
2) ху = 0, если и только если х = 0 и у = 0; в остальных
случаях ху = 1; 3) (я [— */) = 2, если и только если х = 0,
а г/ = 1, г/ = 2 или г/ = 3; (о: ]— у) = 0 в остальных слу-
чаях. Затем:
13) для -412 принимается х1: ... :хп = 0, если хп = 2;
х1 : ... :хп = 2 в остальных случаях;
14) для -414 принимается х1: ... хп = 1, если хотя бы
одна х1 равна 1; х1: ... : хп = 0 в, остальных случаях;
Для доказательства независимости правил RÏ и R2
достаточно двухзначных таблиц. Таблицы для RÏ : ~ х =
= 0; #г/ = 0; х1: ... : хп = 0; (о: |— г/) = 0, если и только
если х = 1 и у = 1. При этом а |— а не будет тавтологией.
Таблицы для R2: ~ х = х; ху = 0; я1: ... :хп = 0;
34

(x\— y) = О, если и только если х = 1 и у = 0. При этом
а [— аа не является тавтологией.
Для доказательства независимости ЛЗ воспользуемся
трехзначными таблицами с отмеченным значением 0:
1) ~ х = 1, если а; = 1; ~ х = 2, если # = 0; —х = 0,
если # = 2; 2) ад = 0, если и только если х = 0 и у = 0;
ху = I в остальных случаях; 3) я1 : ... : хп = 1; 4) (# f—
I— г/) = 2, если и только если х = 0, а у = 1 или у = 2;
(# |— г/) = 0 в остальных случаях. При этом а\— а \ ~аа
не является тавтологией.
§ 9. Правило подстановки
МТ1. Если х\— у доказуема в S1, то 2 |— г;, получаю-
щаяся из х [— I/ путем подстановки высказывания а на
место элементарного высказывания b везде, где b входит в
# |— У> доказуема в S1.
Теорему МТ1 можно использовать как производное
правило вывода (правило подстановки в элементарное вы-
сказывание, аналогичное правилу подстановки в пропо-
зициональную переменную).
2*

ГЛАВА ВТОРАЯ
СИЛЬНОЕ СЛЕДОВАНИЕ
(ДРУГОЙ ВАРИАНТ)
§ 1. Система 8t
Система Sx отличается от S1 лишь тем, что вместо силь-
ной дизъюнкции используется ослабленная (или соедини-
тельная) дизъюнкция (V)» и списком аксиомных схем.
Дизъюнкция \/ читается как «По крайней мере одно
из». Семантически она интерпретируется так: х*\/ ... \/хп
(п > 2) имеет значение 0, если все я1, ..., хп имеют значе_
ние 0, и значение 1 во всех остальных случаях:
Аксиомные схемы S^.
Al. — — х\— х
А2. х\— <-'— х
A3. ху\—х
A4. ху\—ух
АЪ. ххх2. . . о:^ |— г/э
где у отличается от (х*х2 ... хп) только какой-то (любой)
расстановкой скобок, удовлетворяющей определению D2I1
-46. z/|— хгх2. . . хп,
где у то же, что и в АЪ
А7. {z\/y)z\-xz\/y
А8. xz\Jyz\—(x\/y)z
А9. ~{ху)\ х\/~у
~ (хгх2 ...хп)\ х1 V ~ х2 \/ .. . V ~яп
410. ~x\J~y\ (ху)
~хг\/~х2\/ ... V~*nl (x1*2- -хП)
All. xy\/z\-(xy\/z)(y\/~y).
36

Для #! имеют силу метатеоремы непротиворечивости и
непарадоксальности, аналогичные метатеоремам МП 14 —
MГ314, МТП6 и MT2I6. Доказательства их аналогичны
доказательству упомянутых метатеорем, и мы их здесь опу-
скаем. Вместо ЛИ может быть принята «более простая»
аксиомная схема
A*ll. x\J— yyz\~ х
Сильная дизъюнкция может быть введена посредством
определения:
Di. х : у есть сокращение для х ~ y\J ~ ху\ х1 : х2 : ...
...: хп есть сокращение для г/1 V ...\/ уп, где у1 (i = 1, ...
..., ri) есть конъюнкция #{ и отрицаний всех остальных выс-
казываний из числа х1, ..., хп.
Если сильная дизъюнкция принимается как первичный
оператор, вместо Di принимаются дополнительные аксиом-
ные схемы:
А12. х1 :. .. : хп \— у1 \/ ... V уп,
где У1 {i = 1> .-•> ri) есть конъюнкция х1 и отрицаний всех
остальных высказываний из числа я1, ..., хп.
А13. у1 V - . . V Уп h" s1 : • • •: xUi
где у1, ..., */п те же, что и в 412.
Система S± сформулирована в [4,5].
§ 2. Полнота
Если х |— у и г/ |— х, будем для краткости писать, как и
выше, о: —[ |— г/.
Tl. х —| |— х (р V ~ р), где р входит в х.
Доказательство П.
1. х1 • ... • хп —| |— г/, где */ отличается от ж1 • ... -а;п
любой расстановкой скобок, отвечающей определению
высказывания или последовательностью записи ж1, ..., хп
37

[A4— AG, Ri, R3].
2. x1\/...\/xn-\\ (—ж1- ... .~xn)
[A9, AiO, Ai, A2, R3]
3. xiy...\/xn-{[-y,
где у отличается отж'у ... \J xn расстановкой скобок или
порядком записи х1,..., хп [1, 2, R3, Ri].
4. хх—\\-х [A3, Ai, AI, Ri, R2]
5. x\Jx-{\-x [4, AQ, AiO, R3, Ri, Ai, A2]
6. (x\/y) z-\\-xz\/yz [A8, Al, A3, R2]
7. x-\\-x{p\/~p)
где p входит в ж.
Теорема 7 доказывается индукцией по числу вхождений
логических операторов в х. Пусть х есть р. В таком случае
P-W-P(PV-P) [Ai, А2, Ri, Ail, 6, 7, R2, A3]
Если х есть~ р, аналогично получим ~р —1| р (р\/
~ р). Пусть х есть y\Jz. Если v входит в г/, то по индуктив-
ному предположению у —| (— г/ (р \/ — р).
Последовательно получаем:
a)yV*4bifO>V~P)V* [ДЗ.Л11
6)»V*Hf-w>Vto~pV*) [б,лз,Д1,3]
в) у\/*-{\-(УР\/У~р\/1){р\/~р)
\Aii,3,R3,Ri]
г) у V^41-(j/(pV~p)V2)(pV~p) [аз, Ri,6]
Д)у\ЛЧЫу\Л)(р\/~.Р) [Al, 6, R3, Ri\
Аналогичный результат получим, если р входит в z.
Пусть далее, х есть yz. Пусть р входит в у. По индуктив-
ному предположению
y-\[-y(pV—p)
В таком случае получим:
а) 0*ЧЬ"0(Р\/~'Р)* Ml. 42, 1, ДЗ, RI]
б) y*4Mv*)(pV~p) [44, аз, Л1,1]
Аналогичный результат получим, если v входит в 2. Слу-
38

чай, когда х есть ~ г/, сводится к рассмотренным ранее«
где р входит в х, а в у не входят элементарные вы-
сказывания, отсутствующие в х.
Доказательство Г2.
1. ~№V~P)HI * [ЛЗ, 7изГ1, Л1, ill, -42]
2. ~#\/p~p4l-~* [ДЗ, Д1, 49, Л10, 2изП]
3. ^VP — pHh^ [дз» Я!> -41, ^2]
4. л# \/*ЧЬ~~(**/\Л) [-41, А2]
5. ~(*i/Vs)HM~*V~ï/)~s [-49, 410, 2 из П]
6. <~(##VZ)4I z~z\/~y~z
[R3, RI, 5, 6изГ1]
7. ау\ЛЧ1 (-^zV^J-2) [ЯЗ,Д1,4, 6]
8. ^v«4h-( *\/~~*)(~~У\Л 2)
[ДЗ, Я1, 7, 49, 410]
9. xy\/*ЧЫ*\Л)(У V«) I8» Ä3> Ж, 41, -42]
10. x \— x\/ у, где в i/ входят только те элементарные
высказывания, которые входят в х [-41, -42, Л1, ЛЗ].
11. о: —11— х\у ~ рру, где в ~ рру не входят элемен-
тарные высказывания, которые не встречаются в х [10, 9,
43, 3].
Dl. Будем говорить, что высказывание находится в ка-
нонической форме, если и только если оно имеет вид у*\/.ш.
• ••V Уп (п^ 2) и удовлетворяет следующим условиям:
1) каждое из у1 есть (а1;?1- ... • атрт), где р1, ..., рт суть
все элементарные высказывания, входящие в х\ а1,..., ат
означают наличие или отсутствие отрицания, и все а1»1,...
..., <xwpm попарно различны; 2) если р* входит в некоторое
yi без отрицания, то среди у1, ..., i/n найдется такое у*
(не обязательно другое), в которое входит ~ р% и наоборот;
3) все у1, ..., уп попарно различны.
D2. Будем говорить, что х\— у находится в канониче-
ской форме, если и только если оба хжу находятся в кано-
39

нической форме, и множества входящих в них элементар-
ных высказываний совпадают.
МТ1. Для всякой х \— у может быть найдена х* |— у*
в канонической форме такая, что х —]\—х* и у —\\—у*
доказуемы в S±.
Доказательство M Tl.
1. Для всякого х может быть найдено у, находящееся в
канонической форме такое, что а:—| |— у. Это утверждение
доказывается методом математической индукции по числу
логических операторов, встречающихся в х. Если х есть
Р, то
P4hPV~PP [ЗизП].
Аналогично
Пусть х есть х1 \/ х2. По индуктивному предположению
где у1 и у2 находятся в канонической форме. В таком случае
xi у Ж2 _| |_ ух у уъ \R\m\
*л v ^ ч н о/1 v j/w v ~ «г1) i7из m,
где q1 есть элементарное высказывание, отсутствующее в
у1 или в у2.
уг\/у%-[\-у1(я1\/ -qWvWV-q1)
[ЛЗ, Д1, 6изГ1]
Пусть у1 есть z1 V ... V zn, а г/2есть21\/ ... \/zm- Соглас-
но 6 из TÏ имеем
*/1V*/Mb*yV..-VsVV*1~?1V--.\/
Аналогично для прочих q\ отсутствующих в у1 или у2,
получим
^ V У2 Ч h *V . .. Як V - - - V «V - - ■ Я* V - - - V
V*i ~ я1.. • ~ як V • • • V zm ~ я1 • • • ~ як-
40

Используя 4 из П и 5 из Л, ЛЗ и Я1, получим
где I/ находится в канонической форме, и
Пусть # есть я1:*:2. По индуктивному предположению
^ЧЬг/1 ^2 —11— г/2,
где у1 и г/2 находятся в канонической форме. Пусть у1 есть
21V ... V*n> a У2 есть 2iV ••• V V- Имеем
у'у2 Ч Ь *% \/ ... V *%> V - V *% V ••• V*n*m
[ДЗ,Д1, 6 из 74].
Используя 1, 4 и 5 из Л, получим
»V Ч h- У>
где I/ находится в канонической форме. Поскольку
х1х2 —| |— уУ,
имеем
Л;2 Ч |— У>
Случай, когда х есть ~ я1, сводится к рассмотренным выше.
2. Пусть р1, ..., pfr суть все элементарные высказыва-
ния, входящие в # и отсутствующие в у.
*H»(^V~P1)--.(P*V~P*) [7 из 7И, Д2, Д1].
Для а; согласно 1 из ГЗ может быть найдено х* в канони-
ческой форме такое, что
х Ч Ь- я*.
Аналогично для г/ (р1 N/ ~ jp1) ... (pfeV ~ jpfr) может быть
найдено у* в канонической форме такое, что
y(p1\/-P1)---(pkV-pk)-\'t-]J\
а по определению %* |— у* есть каноническая форма для
х\-у.
41

MT2. Если х\— у есть тавтология, то х* (— у* есть
тавтология, где х* |—- у* та же, что и в МТ1 (теорема оче-
видна).
МТЗ. Если доказуема х* |— у*, то доказуема х (— у,
где ж* [— г/* та же, что и в МП (теорема очевидна).
МТА. Если а; |— у есть тавтология и находится в кано-
нической форме, то х (— г/ доказуема в З^.
Доказательство Л/Т4. Пусть х есть z1 \/ ... \/zk, a i/
есть z1 V ... V2*- Возможны два случая: 1) у есть проти-
воречие; 2) у выполнимо (т. е. не есть противоречие).
Рассмотрим первый случай. Если у есть противоречие,
то и # есть противоречие. Значит, все zl и Zj суть проти-
воречия. Пусть г;1, ..., vm суть всевозможные противоре-
чия, образованные из элементарных высказываний, входя-
щих в х и у у такие, что v1 \/ ... \/ vm находится в каноничес-
кой форме. Очевидно, среди г?1, ..., vm имеются все zl и z7-.
В St доказуема vi V ... V vm (— v1 V ... V vm. По Т2 получа-
ем, что v' V ••• V v7n H ziV ••• \Л*И ziV ••• V2* h-^V •••
... V vm доказуемы. Значит, доказуема z1 \/.. ; \/ z)l: |— z1 V...
...V zh т. e. x\— y.
Для второго случая возможны два подслучая. Первый
— у не есть тавтология. Если у выполнимо, то выполнимы
я*1> ..., Zir (г > 1), где zu, ..., Zir суть какие-то из z19..., zt.
Пусть ни одно из 2ц, ..., zir не входит в х. При этом х
должно быть противоречием (иначе оно может быть истин-
ным при неистинном у). Поскольку х (— х, по Г2 имеем
х\— х\/ у ж х\— у. Пусть z;1, ..., Zjs (s> 1) суть все из
Zu, ... Z|r, входящие в х. Так как i/не есть тавтология, в х
не должны входить другие выполнимые zl. Значит, все
остальные zl суть противоречия. Имеем 2д \/ ... \/ 27-s |—
Ь- zn V ••• V *jS> и п0 т2zi V — V *fe h- % V — V zis>
«jiV--- V2ish% V ••• V^^V--- V*fcl— *i V ••• Vzh
т. e. # |— i/.
Второй подслучай второго случая — i/ есть тавтоло-
гия. При этом в у входят всевозможные выполнимые выс-
казывания с соответствующими элементарными высказы-
42

йаниями. Если в # не входит йй одно из выполнимых zu
то все 21, ..., zk суть противоречия (этот случай уже рас-
смотрен). Если в х входит хотя бы одно выполнимое z^
то и этот случай рассмотрен выше. Таким образом если
х\—у есть тавтология, то она доказуема в S±. И в силу МТ2
и МТЪ будет верна метатеорема полноты:
МТЪ. Если х |— у есть тавтология и при этом в у не
входят элементарные высказывания, отсутствующие в
х (т. е. х |— у есть сильная тавтология), то она есть тео-
рема S±.
Теоремы Г1, Г2, и МТ1 доказаны в работе А. М. Фе-
диной [14].
МТ6. Если х \— у\/ z и z \— V доказуемы в Sx, то
х H У V v Доказуема в 51.
M Tl. Если х \— у и z (-» г; доказуемы в £lf то аЛ/z |—
|— г/ \/ г? доказуемы в Sx.
Теоремы МТ6 и МТ1 суть следствия МТЪ. Их можно
использовать как производные правила вывода.
§ 3. Независимость 8Х
Независимость S1 доказана Е. А. Сидоренко [11]. Не-
зависимость большинства аксиомных схем S± доказывает-
ся посредством интерпретации с двумя истинностными
значениями 1 и 0 (отмеченное значение 1). Формуле следо-
вания х f— y приписывается значение 0 только в одном
слунае, когда значение х равно 1, а значение у равно 0. При
этом для доказательства независимости аксиомных схем
Ai — -49 принимаем:
1) для Ai принимаем, что ~ х = 1 (тот факт, что ин-
терпретация логического оператора не указывается, оз-
начает, что имеется в виду принятая выше интерпретация);
2) для А2 принимаем, что ~х = 0 и что формуле сле-
дования приписывается значение 1 также и в тех случаях,
когда в нее входит по крайней мере один из знаков • или \J\
3) для А3 принимаем, чтоху = 1, х \/ у = 1, ~ х — х;
43

4) для -44 принимаем, что xy — x,x\J y = х, ~ х = х\
5) для АЪ принимаем, что xix2 ... хп = 1, если п > 2;
6) для -46 принимаем, чтоя1 я2...а;п = 0, если п^>2\
7) для Л 7 будем считать, что знак \/ связывает силь-
нее, чем • ;
8) для А8 условимся, что формуле х |— у приписывает-
ся значение 0 также в тех случаях, когда она имеет вид
xi V х2 |— У\Уъ-> и ПРИ этом не выполняется ни одно из
следующих условий: а) в х [— у входит знак ~; в) в х
не входят элементарные высказывания, отсутствующие в уг
или г/2; с) хх f— х2 и х2 |— a:x доказуемы в «Si;
9) для А9 принимаем, что х\/ у = у.
Независимость 410 и All доказывается посредством
истинностных таблиц с тремя значениями истинности 1, 2,
и 3 (отмеченное значение 1);
10) для -410 принимаем, что ху = 3, если х = 3 или
у = 3, и ху = 1 в остальных случаях; #\/ г/ = min (x, у);
— х = 4 — х\ формула х \— у получает неотмеченное зна-
чение только в случаях, когда значение х равно 1, а зна-
чение у равно 3, и когда значение х равно 2, а значение у
равно 1 или 3;
11) для -411 принимаем, что ху = max (#, г/), х \/ у =■
= min (х, у),~ х = 4 — х, формула х\— у принимает
значение 1 тогда и только тогда, когда значение х больше
или равно значению у.
Независимость правила RI доказывается в трехзначных
таблицах: ху = max (#, у), x\J у = min (х, у), ~ х =
= 4 — #, формула х |— у имеет неотмеченное значение
только в случае, когда значение х равно 1 или 2, а значение
у равно 3. При этом теорема р\/ ~ qq\— p (# V ~ g)
имеет неотмеченное значение при р = 3 и q = 2.
Для доказательства независимости правила R2 достаточ-
но воспользоваться двузначными таблицами: ху = 1, x\J
\/ у = 1, ~ х = 1, формула х\— у имеет значение 0 толь-
ко в одном случае, когда значение обоих хжу равно 0.
При этом теорема р\— р имеет значение 0 при р = 0.
44

Независимость правила R3 доказывается с помощью
следующих трехзначных таблиц: ху = 1, когда х = 1 и
у = 1, и ху = 3 в остальных случаях; х\/у = 3, когда
ж = 3иг/ = 3, иж\/1/ = 1 в остальных случаях; —# =
= 4 — #; х\— у принимает значение 1 тогда и только тогда,
когда значение х больше или равно значению у. При этом
Р Ь~ РР принимает неотмеченное значение при р = 2.
§ 4. Эквивалентность 8х и 8±
Если в S1 —принято D2I3 или приняты All и -418,
ав^! принято #119 или приняты Л12 и А13, то в силу те-
орем полноты МТ6П и MT5I10 будет иметь силу следую-
щая теорема эквивалентности S1 и S±.
M Tl. Если о: J— г/ доказуема в S1 (или в SJ, то она
доказуема в S± (соответственно в S1), т. е. множества теорем
S1 и iSj совпадают.
§ 5. Сильное следование
Системы S1 и St суть системы сильного логического сле-
дования. Они определяют правила сильного логического
следования для высказываний с операторами конъюнкции,
дизъюнкции, отрицания и другими, производными от них
операторами. Будем символом Ss обозначать S1, S1 и лю-
бую другую логическую систему, эквивалентную S1 и St.
Возможны различные варианты Ss, отличные от S1 и
S1. Приведем некоторые из них, рассмотренные Е. А. Си-
доренко в работе [10].
Система ££ , эквивалентная S± , получается из S± путем
замены аксиомных схем А8 ж All на аксиомную схему А*11
и правило Л*4:
A*ll. x\J—хх\-х
Д*4. Если д: |— г/, то о: |— г/ \/ js, где в z нет элементар-
ных высказываний, отсутствующих в х.
45

В S\ имеют силу теоремнме схемы:
74. ж[— х(у V~J/)> гДе У входит в х.
1. ~х\/~уу\ х [4*11]
2. ~х\ х\/~уу [RH]
3. х\ {~ху~уу) [1,2, Ж]
4. х\-х(у\/~у) [3, 49, 410, Д1, Л2]
72. жу V z|-Оп/V z)(У V ~У) [Т1]
73. xz\Jyz\-{x\/y)z
1. (x\/y)x\-x(y\J~y) [71,43]
2. х(у\/~у)\-(х\/у)х [A3, Д*4, ДЗ]
3. ху\/х-\\-х\/~уу [1,2, Д1, 49,410]
4. жг V yz (— zz V J/z V z V ~ J/J/ V ~ xx [R*i]
5. xz\/yz\-z\/~xx\/~yy [3,4, Д1, Я2]
6. xz\/yz\-z [5, 4*11, Д2]
7. xz(yV — J/H^V^V^^V — ^H^Vi/)!—
\-xVy [61
8. ^(|,V~!/)4hH(sV~!/)^Vy)
[43, R4, ЛЗ]
9. у*(*у~*)ЧЬ(У*)(*У~*)(*\/0)МЗ,Я*4,ЛЗ]
io. xz (y v ~ j/) V yz (x V ~ x) h *z (г/ V—у) •
•(x\/y)\/yz(x\/~x)(x\/y) 18, 9, i?l, Д2]
11. ass(yV~y)VlM*\/~*)|-*V0 (7, 10, R2]
12. (a»V»*)(*V~*)(0V~0)H**(yV~ff)V
\/yz(x\J~x) [43, 47, i?2, A3]
13. xz\/yz\-(xz\/yz)(x\/~x)(y\/~y) [71, R2]
14. xz\/yz\-x\/ y [11, 12, 13, i?2]
15. ä«v»*|-(*V»)* I6« 14- д3]
Аксиомная схема 411 системы <S1 есть частный случай
71, а 73 есть 48. Отсюда следует эквивалентность Sx и S\ .
Система St удобнее, чем Sx, в таком смысле: благо-
даря R*l многие важные теоремы доказываются проще, чем
в 5Х. А доказательство Ri* в St довольно громоздко.
46

Независимость -4*11 доказывается той же интерпрета-
цией, что и независимость -411 в Sl9
Независимость правила R1 доказывается в трехзнач-
ных таблицах: ху = max (х, у), x\J у = min (x, у), ~х —
= 4 — х, х[— у принимает неотмеченное значение только
в случае, когда значение х равно 1, а значение у равно 2
или 3. Приэтом теорема р V q \— (р \/ р) (g V—q) прини-
мает неотмеченное значение -при р = 1 и q = 2.
Независимость правила i?*4 можно доказать, принимая
интерпретацию, с помощью которой в S1 доказывалась
независимость -48.
Для доказательства независимости остальных аксиом
и правил вывода SI принимается та же интерпретация, что
и в системе S±.
Система Sx , эквивалентная £1э получается из Sx за-
меной аксиомных схем -49 — АН ж правила -R3 на аксиом-
ные схемы А9 — А1Х и правило Ro**:
Л" 9. ~(*V»)I Х~У
Л**10. ~х~у\ (x\Jy)
4"il. х\>~уу\-х
В**Ъ. Если х\— у, то ~у \— ~х, где в х и у входят
одни и те же элементарные высказывания.
В системе Si правило R3 системы S± получается как
производное, что отвечает традиции.
Независимость схем-4**9 и -4**11 доказывается той же ин-
терпретацией, что и 49 и 411 в Si.
Независимость -4**10 доказывается с помощью трехзнач-
ных таблиц: ху = 1, когда х = 1 и у = 1, и ху = 3 в ос-
тальных случаях; х \/ у = 3, когда # = 3иг/ = 3, и
х\/ у = 1 в остальных случаях; ~хравно3, когда х =
= 1, и—ж = 1 в остальных случаях; х\—у прини-
мает неотмеченное значение только в случае, когда значе-
ние х равно 1, а значение у равно 2 или 3.
47

Для доказательства независимости, -43 условимся,
что х\— у получает неотмеченное значение: когда в х
входят элементарные высказывания, отсутствующие в у.
Независимость Л**3 доказывается той же интерпретаци-
ей, что и RS в S±.
Независимость остальных аксиом и правил доказывает-
ся тем же способом, что л в St.
Система S*1, эквивалентная S1, получается из S1 пу-
тем замены R3 на Л*3:
Л*3. Еслия|— у : ziiz\—v, чох f— y : и; если х\— у1 :...
... : уп: z и z f— v, то х \— у1: ... : уп : v.
Система 5?, эквивалентная 51? получается из Sx пу-
тем аналогичной замены ДЗ (с той разницей, что вместо
знака : фигурирует знак \/).

ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ОСЛАБЛЕННОЕ СЛЕДОВАНИЕ
§ 1. Система S2
Система S2 получается из S1 благодаря присоединению
к аксиомным схемам S1 аксиомной схемы А15 и ограниче-
нию правила R1:
415. —х\ (ху)
R1. Если х |— у и у |— х ж при этом в х, у и z входит
по крайней мере одно одинаковое элементарное высказы-
вание, то х (— z.
Поскольку в S2 доказуемы формулы х \— у такие, что в
у входят элементарные высказывания, отсутствующие в
х, то система S2 может быть названа теорией ослабленного
следования. Система S2 сформулирована в [4, 5]. Ограниче-
ние на RÏ предложено Г. А. Смирновым. Им же доказана
в [13] непарадоксальность и полнота S2.
Непротиворечивость S2 следует из того обстоятельства,
что все аксиомы вида ~х |— ~ (ху) суть тавтологии. Не-
зависимость А15 следует из того, что она есть единствен-
ная аксиомная схема, в которой в формулах х |— у в зак-
лючении у допускаются элементарные высказывания, от-
сутствующие в посылке х.
§ 2. Непарадоксальность 82
Система S2 непарадоксальна в смысле следующей мета-
теоремы:
МТ1. Если х (— у доказуема в S2, то в х и у входит по
крайней мере одно одинаковое элементарное высказывание.
49

Доказательство M Tl. 1 случай: х \— у есть аксиома
системы S2. Путем проверки можно установить, что в х
и у входит по крайней мере одно одинаковое элементарное
высказывание. 2 случай: х \— у получена из х\— z и z\— y
путем применения правила Д1. Так как правило RÏ при-
менимо только в том случае, если в х, у и z входит по край-
ней мере одно одинаковое элементарное высказывание, то
в х\— у жъ хжу входит по крайней мере одно одинаковое
элементарное высказывание. 3 случай: х [— у имеет вид
х |— vz и получена по R2 из х |— и и х |— z. Если в послед-
них в х и у, а также в х и z соответственно есть по крайней
мере одно одинаковое вхождение элементарного высказы-
вания, то и в а; |— увхжву входит по крайней мере одно оди-
наковое элементарное высказывание. 4 случай: у в х |— у
получено из х путем замены вхождения (по крайней мере
одного) z в х на у, причем z |— v и v |— z. Если в z
и у есть по крайней мере одно одинаковое вхождение эле-
ментарного высказывания, то и в я |— у в х и у входит
по крайней мере одно одинаковое элементарное высказы-
вание.
Из MTÏ следует, что формулы вида ~хх \— у,х |— у :
: ~у, а:|— г/\/ ^—- г/, х\—~ (~уу) недоказуемы в S2. Ана-
логично выражения вида х f— (у |— х) и х \— (— х |— у) не
являются формулами следования, доказуемыми в S2.
Таким образом, ив52 исключаются «парадоксы», подобные
«парадоксам» материальной и строгой импликации.
§ 3. Полнота 82
Tï. z\-x(y:~y) [A15, R2]
Т2. х(у:~у)[-х [А2]
D1. х** |— у** есть каноническая форма для х (— у,
если и только если: 1) х** есть каноническая форма для.
х* (z : ~ z), где х* есть каноническая форма х, а 2 есть конъ-
юнкция элементарных высказываний z1, ..., z1 (l > 0),
50

Которые входят в г/, но не входят в х; 2) у** есть канони-
ческая форма для у*и (w : ~w), где у* есть каноническая
форма у, и есть и1- ... • ит (иг]> 0) (где у* есть ~а*а\ ко-
торое входит в #*, но не входит в г/*), а м; есть конъюнкция
и?1, ..., м/ (г > 0), которые входят в х, но не входят в у,
за исключением элементарных высказываний, входящих в
х* вместе с их отрицанием.
МТ1. Если х \— у — тавтология, и при этом в х и
у есть по крайней мере одно одинаковое вхождение элемен-
тарного высказывания, то для нее может быть найдена
каноническая форма х** f— y**. При этом х** |— у**
«сть тавтология, причем множества элементарных выска-
зываний, входящих в х** и у**, совпадают.
Доказательство МТ1. В силу МТ117, для любой х\— у
может быть найдена х* |— */*, где х и у* суть канониче-
ские формы для х ж у соответственно. По D3I7, MГ214,
MT4I5 следует, что х и х*, у и у* соответственно равнознач-
ны, и множества элементарных высказываний, входящих в
них, совпадают. Поэтому если х (— у есть тавтология, и в
хну есть по крайней мере одно одинаковое вхождение эле-
ментарного высказывания, то и х* \— у* есть тавтология,
причем в х* и у* входит по крайней мере одно одинаковое
элементарное высказывание. При этом может быть найдено
такое х* (z : ~z), удовлетворяющее условиям D1, что
множество элементарных высказываний, входящих в него,
совпадает с множеством элементарных высказываний,
входящих в у. С другой стороны, всегда найдется у* v (w :
: ~ to ), удовлетворяющее условиям D1, такое, что множе-
ство элементарных высказываний, входящих в него, сов-
падает с множеством элементарных высказываний, вхо-
дящих в х. Приведение этих высказываний к канонической
форме не изменит их значений и множеств, входящих в них
элементарных высказываний. Следовательно, может быть
найдена х** [—у** с одинаковыми вхождениями элемен-
тарных высказываний в х** и у**. Если ~ х не есть тавто-
логия, то х** и у** соответственно равнозначны х* и у*,
51

так что х* (— z/** также есть тавтология. Если ^х яв-
ляется тавтологией, то х** всегда принимает значение 0;
следовательно, х** ]— г/** и в данном случае является тавто-
логией.
МТ2. х |— у доказуема в S2 , если и только если ее ка-
ноническая форма х** |— у** доказуема в S2.
Доказательство МТ2. Пусть х \— у доказуема в S2.
Тогда на основании MT1I7 доказуема х* \— */*, где х
и у* суть канонические формы для х и у соответственно.
Используя Т1 и Г2, можно получить х* (z : ~ z) f—
\—у* (w : ~w). От этой формулы на основании Л13, A3,
R2 можно перейти к х* {z : ~ z) \— y*v (w : ~ w). Приведе-
ние данной формулы к канонической форме дает формулу
Пусть х** (— у** доказуема в S2. На основании А13,
Г1012, Г1,Г2, A3, R3 и Д1 можно получить формулу х* |—
f— у*. В силу ДТП 17 отсюда имеем, что х\— у также дока-
зуема в S2.
МТЗ. Если х \— у — тавтология, в х и у есть по край-
ней мере одно одинаковое вхождение элементарного выска-
зывания, и при этом х \— у находится в канонической фор-
ме, то она доказуема в S2.
Доказательство МТЗ полностью совпадает с доказа-
тельством аналогичной метатеоремы для системы S1. Из
МТ1 — MТЪ следует:
MГ4. Если х\— у есть тавтология, и в х и у есть по
крайней мере одно одинаковое вхождение элементарного
высказывания, то х |— у доказуема в S2.
§ 4. Система 82
Система S2 ослабленного следования получается из S±
так же, как S2 из S1 (дополнительная аксиомная схема
будет иметь номер А12). Система S2 сформулирована в
[4, 5].
52

Доказательство полноты S± сохраняет силу и для 52,
как показала А. М. Федина [14], поскольку в доказательст-
ве всех ранее рассмотренных теорем МТИ12 — MГ5Н2
ограничение на Ri выполняется. Только незначительно
модифицируется доказательство MTIII2 следующим до-
полнением. Пусть q1, ...,ql суть все элементарные выска-
зывания, входящие в у и отсутствующие в #. В таком случае
x{qx\J~qx)---W\J~ql)\-
\-y(plV-p1)---(pl!V-pl!)-
А для х (ql V ~qx) ...(ql V —Я1) имеется х* в канониче-
ской форме такое, что
*(«1V~«1)-.-(«,V~?,)-II-**
Из полноты S2 и S2 следует и эквивалентность.
§ 5. Системы Sw
Системы ослабленного следования S2 и S2 и другие,
эквивалентные им системы будем обозначать символом Sw.
Е. А. Сидоренко в работе [10] исследовал такие системы
Sw.
Система SI ослабленного следования получается из SI
путем снятия ограничения на Л*4 и принятия ограничения
на Ri, аналогичного ограничению Ri в S2.
Если в S*i отбросить А8, снять ограничение на ЛЗ**, а
правило Ri принять с указанным в SI ограничением, то
получим систему S2 , эквивалентную £2. В этой системе
правило подстановки эквивалентности (правило RS) не
является основным.
Аксиомная схема А 8 не является независимой в S2
это видно уже из того, что она не является таковой в SI .
Независимость Ai2 в S2 следует из того факта, что это
единственная схема, которая в правой части формул х [— у
допускает элементарное высказывание, отсутствующее в
левой.
53

Доказательство независимости остальных схем и пра-
вил не отличается от доказательства их независимости в
s,.
Проблема независимости Si решается тем же способом,
что и для Sï .
Для доказательства независимости S2 принимается
та же интерпретация, что и для соответствующих схем и
правил системы <SX .
Доказательство 48 в S2:
1. х(х\/у)Ь-х [A3]
2. х\-х [Al, А2, RI]
3. х\-хуу [412]
4. х\-х{х\/у) [2, 3, Д2]
Ь. ~(х(х\/у))\ х [1, 4, Ri]
7. *(-ж\/^ [-412]
8. х\/ху\— х [6]
9. xz\/yz\-xz\/yz\/z [412]
10. a:z\/yz[-z [7—9, i?l]
11. zz(o:VJ/)VJ/z(*Vl/)|-*Vi/ [10]
12. xz{x\/y)\-xz [A3]
13. *zI- xz (x V У) [412, A3, Ri, 2, i?2]
14. yz\-yz{x\/y) [13, 44]
15. y*(*V»)f-0* ИЗ]
16. zz VУ31- xVУ [11—15, Ri]
W. xzy yz\-(xy y) z [10, 16, Л2]
§ 6. Системы, сходные с Sw
Если в системах Аккермана, Андерсона и Белнапа
(см. о них в [8]) только один знак сильной импликации
рассматривать как знак следования в нашем смысле, то
54

полученные системы будут непарадоксальны в том же смы-
сле, что и Sw. Но эти системы не являются полными
в смысле полноты Sw.
Неполнота системы Аккермана видна из такого рас-
суждения. В системе Аккермана доказуемы формулы (стрел-
ка — знак сильного следования)
~-'ХХ-^~-'ХХ\/ — Ху
~хх\/~ху->~х(х\/у),
из которых по транзитивности получилась бы парадок-
сальная формула
— хх—> г/,
если бы была доказуема формула
~х(х\/у)-*у.
Во избежание парадокса система построена так, что по-
следняя оказалась недоказуемой. Так что целый класс
формул, удовлетворяющих теореме непарадоксальности
Sw, здесь выпадает. Аналогично обстоит дело с системами
сильной импликации Андерсона и Белнапа.
Система, непарадоксальная в смысле Sw, но точно так-
же неполная, построена Л. А. Бобровой в работе [2]
(путем ослабления нашей системы S*). Система Бобровой
с точки зрения теории логического следования безусловно
предпочтительнее систем Аккермана, Андерсона. и Бел-
напа, в которых исключение парадоксов материальной и
строгой импликации достигается ценой исключения правил
следования, интуитивно непарадоксальных и вообще не
вызывающих сомнений (подробнее об этом см. [8]).
Неполнота систем следования в нашем смысле не исклю-
чает их полноту в некотором другом смысле. Такой яв-
ляется, как показал Е. А. Сидоренко [10], система S\,
в которой принимаются аксиомные схемы Al — Л10
55

системы /Si и следующие правила вывода:
Л1. Если о: |— г/, то —у\— — х
R2. Если х\— у и y\—z, то х\—z
R3. Если х\—у я z\— у, то х\/z\—y\/ и.
Выражение «дизъюнктивная нормальная форма» будет
употребляться здесь в обычном смысле: хг\/...\/хп(п > 1)
находится в дизъюнктивной нормальной форме, если и
только если каждое х1 (1 ^ i ^L n) есть конъюнкция, обра-
зованная из элементарных высказываний и отрицаний
элементарных высказываний. Элементарные высказывания
и отрицания элементарных высказываний, входящие в #*,
суть конъюнктивные составляющие х1. Высказывание х
приводится к дизъюнктивной нормальной форме у (или
у есть дизъюнктивная нормальная форма х), если и
только если у находится в дизъюнктивной нормальной
форме, и при этом х |— у и у (— х доказуемы в данной си-
стеме.
Правила R2 и ЛЗ системы Sx тривиально получаются
в S\. Обозначим их соответственно В*А и iî*5. Доказу-
ема теоремная схема х\— х\/ у. Доказуема также мета-
теорема о том, что каждое высказывание в S\ приводится
к дизъюнктивной нормальной форме, и все вытекающие
из нее следствия.
Нам важны здесь такие метатеоремы S\:
M Tl. Если х \— у доказуема в *?2,нн при этом х1 N/ ...
... V хп есть дизъюнктивная нормальная форма х, а у1 \/ .,.
... \/ут есть дизъюнктивная нормальная форма у, то для.
каждого х1 найдется у* такое, что xi |— yî есть тавтоло-
гия, и каждая конъюнктивная составляющая yi входит
в х1.
МТ2. Если хг\/ ... \/хп есть дизъюнктивная нормаль-
ная форма х, ьу1\/...\/ут дизъюнктивная нормальная фор-
• • • •
ма у, и если для каждого хг найдется z/'такое, что хг |— у1
5*

есть тавтология, и каждая конъюнктивная составляющая
yî входит в х1, то х\— у доказуема в S\ (теорема пол-
ноты).
Справедливость MTÎ видна из того, что она имеет
силу для всех аксиом S\, a правила вывода S\ сохраня-
ют это свойство. Справедливость МТ2 видна из следую-
щего: если х1 \— yi есть тавтология указанного вида, то
она доказуема в S\\ тогда согласно теоремной схеме
а\—а\/Ь будет доказуема х1|— у1 \/ ... Vут\ а так как
по условию это имеет место для каждого х1, то доказуемы
х1\—у1\у/... \/ут, ..., хп\-у1 V ••• V Ут и согласно ЛЗдо-
казуема х1 V ... \у хп \— у1 \у ... V ут; поскольку доказуемы
хЧ h"я1 V — VхПиУ Ч \— У1 V ••• V У™' по д*5 доказуема
х[-у.
В S\ является производным следующее интересное
правило вывода:
Л*6. Если х |— z/, где х и у находятся в дизъюнктивной
нормальной форме, то х* |— у*, которая получается из
х \— у путем подстановки на место конъюнктивных со-
ставляющих в х и в у любых высказываний, причем вме-
сто элементарного высказывания и его отрицания могут
быть подставлены разные высказывания.
МТЗ. Если правило R*6 принять в качестве основного,
то присоединение к аксиомам полученной системы любой
недоказуемой формулы позволяет доказать в ней любую
формулу а f— Ь.
Доказательство МТЪ. Пусть х \— у недоказуема в S\.
Пустьх1 V ... \/хп и у1 \/ ... \/ ут суть дизъюнктивные нор-
мальные формы соответственно х ну. В силу теоремы пол-
ноты найдется такое х1, что среди у1, ..., ут нет такого у\
что все его конъюнктивные составляющие входят в х1.
В противном случае х \— у была бы доказуема. Добавим
х \— у к аксиомным схемам^ и добавим к правилам вывода
й*6. В таком случае будет доказуема х1 \/... V хп \— у1 \/ ...
... V Ут1 и в СИЛУ теоремной схемы а (— а \/ Ь получим
х1 \— y1 V ••• V Ут- Тогда во всякое у' будет входить какая-
57

то конъюнктивная составляющая, отсутствующая в х\
JB силу jR*6 мы можем вместо таких составляющих подста-
вить высказывание z с элементарными высказываниями»
отсутствующими в рассматриваемой формуле. В силу A3
имеем у* |— z. Согласно теоремной схеме ас V be f—
\—(а V Ъ)с получим у1 V ... \/уш \— z, и по Л2 получим #* |— Z\
Подставляя вместо конъюнктивных составляющих х
любое высказывание v по Д*6, получим v |— z, где и и z
суть любые высказывания.
Таким образом, система S\ с правилом Д*6 полна
в смысле МТЪ.

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
ДРУГИЕ ФОРМЫ СЛЕДОВАНИЯ
§ 1. Максимальное следование
Система S3 максимального следования, изложенная
в [3, 5], получается из S1 путем принятия такого огра-
ничения -43: в у входят только те элементарные высказы-
вания, которые входят в х.
Формулировку S3 можно ослабить, как показал Г. А.
Смирнов [13], приняв такое ограничение к A3: в х и у
входят одинаковые элементарные высказывания.
Непротиворечивость S* очевидна (из непротиворечи-
вости S1).
M Tl. Если х\— у доказуема в £3, то множества входя-
щих в х и у элементарных высказываний совпадают.
Доказательство МТ1 тривиально: все аксиомы S3 обла-
дают указанным свойством, а правила вывода это свойство
сохраняют.
Tl. (x:y)z\—xz:yz
1. {x:y)z\-y:xz [414, Т8 12, R2]
2. (x:y)z\-(x:y)z [Т2 12]
3. {х :y)z\-(y: xz) z (х : у) z
[1, 2, Я2, Г312, Г412, R3]
4. (x:y)z\-(y:xz)z [3, A3, M]
5. (x:y)z\-xz: yz [4, 414, ЗГ8 12, RI]
T2. xz:y\—(xz: y) (x : ~ x)
1. xz:y\-xz~y:~{xz)y [Г17 12]
59

2. xz : y \— xz ~ y : ~ xzy : x ~ zy : ~x ~ zy
[1, Л7, Л13, ПО 12, A3, 412, Ri]
3. tfz : y [— (#z — г/ : — xzy :x —zy:~x — zy)-
.(*:—*) [2, У18 12, 749 12, i?3, Л13, Д1]
4. м:уН(»:»)(«-'~«) I3» ^11, 24712,713, Д1]
Исдользуя данные для S1 определения канонической
формы высказываний, введем определение:
Di. Формула х* |— у** есть каноническая форма для
х |— г/, если и только если а:* есть каноническая форма для
х, а у** — для y*z, где г/* есть каноническая форма для
i/, a z есть высказывание вида z1-z2-...-zm (т^ 0) (где
zf есть ~а1а1, которое входит в каноническую форму для
х, но не входит в каноническую форму для у).
В отношении S3 будут иметь место следующие метатео-
ремы, доказательство которых получается путем очевид-
ных модификаций доказательства МТ2П и Д/ТЗГ7.
МТ2. Если х \— у есть тавтология, и множества эле-
ментарных высказываний, входящих в х и у, совпадают,
то для нее может быть найдена каноническая форма х* (—
f—y**. При этом в ж*|- у** множества элементарных вы-
сказываний, входящих в х* и г/**, точно также совпадают.
МТЗ. Формула- х \— у доказуема в S3, если и только
если ее каноническая форма х* (— у** доказуема в S3.
МТ4. Если х\— у есть тавтология, множества элемен-
тарных высказываний, входящих в х и у совпадают, и
при этом х |— у находится в канонической форме, то х \— у
доказуема в S3.
Доказательство MTk совпадает с доказательством
МТ5П, за исключением тех шагов в доказательстве
Д/Т517, где применяется ГЗ/7, недоказуемая в S3. Не-
трудно убедиться, что применение Г317 при доказатель-
стве полноты S3 можно заменить применением выводимых
в S3 теорем Г1312 и Г1412 с использованием АН, Ai2
и R3.
60

Из МТ2 — МТА следует:
МТ5. Если х\— у есть тавтология, и множества входя-
щих в х и у элементарных высказываний совпадают, то
х 1~~ У доказуема в S3.
Изложенное доказательство МТЪ (т. е. полноты S*)
дано Г. А. Смирновым в [13].
Система S3 максимального следования, эквивалентная
S3, образуется из S± путем аналогичного ограничения.
Для доказательства полноты S3, как показала А. М.
Федина [14], достаточно доказать MT 4I12 так, чтобы вы-
полнилось ограничение на A3. Оно примет такой вид.
1. (x\/y)z\-(x\/y)z
2. (x\/y)z\-(xz\/y) [Al]
3. {x\Jy)zY-{x\fy)z{xz\fy) [Д2, 1, 2]
4. (x\/y)z(xz\/y)\-(xz\/y)z
5. (xz\/y)z\-(xz\/yz) [Al, Ai]
6. {x\Jy)z[-{xz\fyz) [Д1, 3, 4, 5]
7. (xz\/yz)\-(x\/y)z [A8]
При доказательстве остальных метатеорем ограниче-
ние на A3 выполняется.
Другой вариант системы максимального следования
SI, предложенный Е.А.Сидоренко [10], получается из
S3 заменой RÏ и R3 соответственно на R*i и R*3 и добав-
лением аксиомной схемы 4*12:
4*12. х\/х\-х
Л*3. Если х\~ у и z |— и, то х\/ z\— y \у v.
Эквивалентность SI nS3 получается путем доказатель-
ства RÏ (методом математической индукции по числу вхож-
дений логических операторов вж)и R4 (оно следует из
Д*3, й*1, 49, 410, 4*12) в 55.
Независимость аксиомных схем и правил S3 доказы-
вается (это сделано в работе Е. А. Сидоренко [11]) той
же интерпретацией, что и независимость соответствующих
61

аксиомных схем и правил системы 51в Независимость
аксиомной схемы A3 в SI доказывается при помощи трех-
значных таблиц: ху = 2, когда х или у равно 2, и ху =
= max (х, у) в остальных случаях; х V У — 2, когда я
или г/ равно 2, и # \/ z/=min (#, г/) в остальных случаях;
~# = 2, когда я = 3, и ~# = 3 в остальных случаях;
я |— у принимает неотмеченное значение только в случае,
когда значение х равно 1 или 2, а значение у равно 3.
При этом теорема ~рр \—р принимает неотмеченное
значение при р = 3. Независимость А*12 доказывается
при помощи трехзначных таблиц: ху = 1, когда х = 1
и у = 1, и ху — 3 в остальных случаях; х \/ у = 3;
когда ж = 3 и I/ = 3, и ж\/у = 1 в остальных случаях,
~ я = 4 — я; значение а; |— у равно 1 тогда и только тог-
да, когда значение х больше или равно значению у. Не-
зависимость правила Л*3 доказывается при помощи трех-
значных таблиц: ху = max (х, у); х \/ у = 2, когда х и у
равны 2, х \/ у = 3, когда х ж у равны 3, и х \J у = 1
в остальных сдучаях; ~х = Зг когда я = 1, и ~# = 1
в остальных случаях; х\— у принимает неотмеченное зна-
чение только в случае, когда значение х равно 1, а значе-
ние у равно 2 или 3. При этом теорема р \у q |—
|— — — р V q принимает неотмеченное значение при р = 2
и q = 3. Для доказательства независимости остальных
аксиомных схем и правил принимается та же интерпре-
тация, что и в Si-
Системы максимального следования, эквивалентные
S3 и S3, обозначим Sm.
§ 2. Конверсное следование
Система £4 конверсного следования, сформулирован-
ная в [4, 5], получается из £3 путем добавления аксиом-
ной схемы
Л15. ~#[ (ху).
62

Прежде всего заметим, что все теоремы и метатеоремы S3
имеют силу в отношении £4, так как S3 является частью
системы S4. Непротиворечивость S4 следует из того факта,
что все аксиомы вида ~ х f— ~ (х у) суть тавтологии.
В iS4 имеет место следующая метатеорема:
МТ1. Если х (— у доказуема в 54, то в х входят только
те элементарные высказывания, которые входят в у.
Доказательство МТ1. 1 случай: а: |— г/ — аксиома S4.
Легко проверить, что в х входят только те элементарные
высказывания, которые входят в у. 2 случай: х |— у по-
лучена из # |— z ж z\— у путем применения правила Ri*
Если в х входят только те элементарные высказывания,
которые входят в z, а в z входят только те, которые входят
в у, то и в х будут входить только те элементарные выска-
зывания, которые входят в у. 3 случай: х (— у имеет вид
х |— zv и получена из # |— z ж х\— и путем применения
правила R2. Если в посылках ж[-2 и жру в а; входят
только те элементарные высказывания, которые входят
в z и и, то и в заключении х \— zu в х будут входить только
те элементарные высказывания, которые входят в zu.
4 случай: у в х |— у получено из х путем замены вхожде-
ния (по крайней мере одного) z в х на у, причем z \— и
ж и\— z. Если в z \— и в z входят только те элементарные
высказывания, которые входят в у, а в у[- z в и входят
только те элементарные высказывания, которые входят
в z, то множества элементарных высказываний, входящих
в и ж в z, совпадают. Поэтому в заключении х \— у в х
входят только те элементарные высказывания, которые
входят в у.
Т1. х\-х(у:~у)
1. ~х\— ~х~^у:ху\—х — у [А\ЪЛ Al, Ri]
2. х\- ху:~ х~у \х~у [1]
3. х\-(~х~у:ху:х~у)х [2, 5Г212, Г812,
#2, Ri]
63

4. x}~xy:x~y [3, AU, A11-A13, 71012,
П312, П412, ЯЗ, Я2]
5. х\-х{у:~у) [4, 413, Я1]
Введем, далее, определение канонической формы для
формулы следования системы S1.
Dl. Формула х** f— у** есть каноническая форма для
х \— у, если и только если: 1) х** есть каноническая форма
для х* (z: ~z), где х* есть каноническая форма для х,
a z есть конъюнкция элементарных высказываний, входя-
щих в у, но не входящих в х; 2) у** есть каноническая
форма для y*v, где у* есть каноническая форма для у,
а и есть z1- ... • zm {m > 0) (гдеzlесть~а%% входящее в х*,
но не входящее в у*).
МТ2. Если о: |— г/ — тавтология, я в х входят только
те элементарные высказывания, которые входят в у, то
для нее может быть найдена каноническая форма х** f—
|— у**. При этом х** |— у** является тавтологией, и множе-
ства элементарных высказываний, входящих в х** и у**
совпадают.
Доказательство МТ2. Не основании A/T1I7, имеющей
силу и для £4, для любой формулы х (— у может быть най-
дена формула х |— у*, где х* и у* суть соответственно
канонические формы для хну. Из определения канони-
ческой формы для высказываний, МТ115 и A/T4I5 сле-
дует, что х и х*, у жу* соответственно равнозначны, и мно-
жества элементарных высказываний, входящих в них,
совпадают. Так как в х входят только те элементарные
высказывания, которые входят в г/, то может быть найдено
такое х* (z : ~z), удовлетворяющее условиям /Л, что
множество элементарных высказываний, входящих в него,
совпадает с множеством элементарных высказываний,
входящих в у. С другой стороны, может быть найдено та-
кое y*v, удовлетворяющее условиям «D1, что все выска-
зывания вида ~ а*а\ входящие в #*, будут входить и в у**.
Для х* (z : ~ z) и у*и может быть найдена их канониче-
64

екая форма. Очевидно, что множества элементарных
высказываний, входящих в х** и г/**, совпадают. При
этом, если ~х не есть тавтология, у** имеет вид г/*, и
значение х** |— у** совпадает с х (— у*. Следовательно,
х** |— у** является в данном случае тавтологией. Если
~ х есть тавтология, то х** принимает значение 0 при
любых комбицациях значений входящих в него элемен-
тарных высказываний. Поэтому и в этом случае х** \— у**
есть тавтология«
M TS. Формула х (— у доказуема в *S4, если и только
если ее каноническая форма х** |— у** доказуема в £4.
Доказательство M TS. Пусть х \— у доказуема в £4.
В силу Д/ТП5, ЖГ415, МТ2 формула х** |- y** яв-
ляется тавтологией, причем множества элементарных вы
оказываний, входящих в х** и г/**, совпадают. Так как
S3 полна относительно тавтологий вида о: }— г/, где в х
и в у входят одни и те же элементарные высказывания, то
х** |_ у** доказуема в £4.
Пусть х** (— у** доказуема в £4. Тогда на основании
DÏ и Т1 доказуема формула х* |— у**. Отсюда по -413
и AS получаем формулу х* f— y*. От этой формулы на
основании MTÏYI можно перейти к формуле х \— у.
МТ4:. Если формуда л: |—- г/ — тавтология, в х входят
только те элементарные высказывания, которые входят
в у, и при этом # [— у находится в канонической форме, то
она доказуема в Я4,
Доказательство Д/Т4 совпадает с доказательством
МТ5П. Из МТ2 — МГ4 следует:
МТЪ. Если х\— у есть тавтология, ивх входят только
те элементарные высказывания, которые входят в г/, то
х \— у доказуема в Sé.
Изложенное доказательство МТЪ (полноты £4) дано
Г. А. Смирновым [13].
Система £4 конверсного следования, эквивалентная S4,
получается из £3 путем добавления аксиомной схемы
Ai2. x\-z\/y
3 А. А. Зиновьев
65

Независимость А12 в S4 (как и в 54) очевидна: она —
единственная схема, допускающая появление в консек-
венте доказуемых формул таких элементарных высказы-
ваний, которые отсутствуют в антецеденте.
Доказательство полноты £4» построенное А. М. Фе-
диной [14], имеет следующий вид.
Пусть х \— у — тавтология. Тогда в силу MT11I2
формула х* (— у*, где х* и у* суть канонические формы
хну соответственно, так же является тавтологией. Под-
становка вместо элементарного высказывания g*, встреча-
ющегося в х, а значит иву, выражений вида ql (pk V — рк),
где рк — элементарное высказывание, встречающееся в г/,
но отсутствующее в я, так же дает нам тавтологию. Приме-
нение ПП2 и A3 к полученным выражениям дает нам
опять-таки дизъюнкцию конъюнкций всех элементарных
высказываний или их отрицаний, встречающихся в. х
плюс рк. Таким образом, в х* вводятся все элементарные
высказывания, встречающиеся в у, но отсутствующие в х.
В у повторения элементарных высказываний элимини-
руются по zz —1|— z. При этсм получается х** [— у**
сохраняющая свойство тавтологичности и обладающая!
тем свойством, что в антецеденте и консеквенте встреча-
ются одни и те же элементарные высказывания. Дальней-
шее доказательство теоремы о полноте остается тем же, что
и в S±.
Система SI, эквивалентная S&, получается из S& путем
замены ЛЗ, А8 и All на аксиомную схему А**12 и пра-
вило R*5:
А**12. z±-z(jf\/~y)
Л*5. Если х (— z и при этом в у не входят элементар-
ные высказывания, отсутствующие в я, то ху (— z.
Независимость R*5 доказывается той же интерпрета-
цией, что и независимость A3 в S±. Независимость осталь-
ных аксиомных схем и правил доказывается так же, как
в £2.
66

.**
Система S& , эквивалентная S^ получается из £3
добавлением А*12. При этом отпадает необходимость
в ЛЗ. Системы £4 и S& найдены и исследованы Е. А.Си-
доренко [10].
Системы конверсного следования, эквивалентные £4
и £4, будем обозначать символом 5е.
§ 3. Вырожденное следование
Система S5 с вырожденным следованием, сформули-
рованная в [3—5], получается путем принятия S8 и сле-
дующих дополнений к ней.
Z>1. |— о: есть формула' вырожденного следования, если
и только если х есть высказывание.
Дополнительная аксиомйая схема:
A4. | (~хх)
Дополнительное правило:
Rdl. Если х |— у и |— х, то |— у.
D2. Формула |—я доказуема (есть теорема) в S5, если
и только если она есть аксиома или получается из доказу-
емых формул по правилу Rdl.
МТ1. Если \—х доказуема в S5, то х есть тавтология.
Теорема MTÏ очевидна: Adï есть тавтология, a Rdl
свойство тавтологичности сохраняет.
МТ2. Если х есть высказывание, а у есть его канони-
ческая форма, то о; —11— г/ доказуемы в S5.
Доказательство MT2. Пусть х есть элементарное вы-
сказывание р. В таком случае каноническая форма для х
есть р\/ ~рр
1. р\-р 5. pV~pp\-ppV~pp
2. P\-P(pV~P) 6- PPV~PPh(pV~P)P
з. p\-ppV~pp 7- (pV~p)p\-p
4. P\-PV~PP 8. pV^PhiP
67

Таким образом, доказуема а; —11— г/. Аналогично для
~ р.
Пусть х есть г/1. .., -уп (п > 2); уг, ..., уп суть
канонические формы соответственно для у1, ..., уп;
^ —11— 2/г доказуемы; vx\/...\J vm есть каноническая форма
ДЛЯ X.
1. У1 • ... -*/пЧ|— »1- ••• 'Уп
2. yi-...-y»4b-*1V."V»m
3. г/1-... -»Л—|h-»xV- .-^m
Таким образом, х —| \— у доказуема.
Пусть х есть у1 V ... V Уп> Уь и у1 V ••• V уШ те же>
что и выше.
1. ^V-'-V^Hh-tfiV-'-Vyn
2. j/iV...V^4h^V...\/^w
3. у1 V • • - V г/"" —IЬ- ^г V - - • V ^w
Таким образом, доказуема х —\\— у.
Пусть, наконец, х есть ~z; и есть каноническая форма
для z\z—\ \—v доказуемы; ип\/ ... V vm есть каноническая
форма для х.
1. —js: —| ( • t?
2. ~y-||_i;i\/...Vym
з. —zHj-^v. ..\/ym
Таким образом, о: —11— г/ доказуема.
МТЗ. Если х находится в канонической форме и есть
тавтология, то |— х доказуема в S5.
Доказательство МТЗ. Пусть в х входит только одно
элементарное высказывание р. В таком случае х есть
р\у ~р. Но |— (pV ~р) доказуема в силу Adi, A9, 410,
RH.
Пусть в # входит п элементарных высказываний р1, ...
...,рп (п > 2) и не входят никакие другие. В таком случае
х имеет вид у1 V ••• \/Ук* гДе У1» •••» У* СУТЬ всевозможные
68

конъюнкции, образованные из р1, ..., рп и их отрицаний
(к = 2").
1. \-({р1-...-рп)\/-(Р1-----Рп))
2. \-«pi.... .р») V (-Р1 V • • • V ~рп))
3. ь-((рх- • • • -рп)V(~pxV- ■ ■ V~pn)) (pnV~pn)
4. \-((Pu----Pn)(PnV-Pn)V
V(~plV---V~pn)(pn\/~pn))
5.(pi.... -p-Xj^V—^nhCp1---- -Pn)
6. (~plV---V~pn)(P,lV~Pn)4l-
Hl p1 (pnV~pn)V- ■ ■ V~Pn(PnV~pn)
7. t-iP1- ■ ■ ■ -pn)V(~p4pnV~pn)V■ ■ -V~Pn)
Аналогично для остальных п — 1 элементарных выска-
зываний. В результате получим, что
Ь- (Р1-... •Pn)V(~p1(PnV~/>n)-(P2V~p2)) V-
• • • V (~ рп (Рп~1 V -р""1) • • • (р1 V ~ Р1))
доказуема в S5. Отсюда в соответствии с АЪ — А8 полу-
чаем, что доказуема f— у1 \/ ... N/ z/fc.
Из «Л/Г2 следует: если г/ есть каноническая форма для
ж, и при этом х есть тавтология, то у есть тавтология.
Отсюда получаем: если х есть тавтология, то у есть тавто-
логия, и (—у доказуема (в силу Д/ТЗ). Но согласно МТ2
формула у \— х доказуема. Отсюда по Rdl получаем, что
\—х доказуема. Таким образом, верна теорема полноты S5:
MT А. Если х есть тавтология, то|— х доказуема в S5.
Изложенное доказательство MГ4 дано Л. А. Бобро-
вой в [1].
Независимость Ах и Rx и непротиворечивость S5
очевидны.
МТ5. Если ж(—г/ и [— ~г/ доказуемы в S5, то|— ~ж
доказуема в S5.
MTß. Если |— о: и |— г/ доказуемы в S5, то[— ху доказу-
ема в S6.
69

Теоремы M ТЬ и MT6 следуют из M TA. Их можно ис-
пользовать как производные правила вывода. Поскольку
в дальнейшем в связи с расширением S5 эти правила ока-
жутся независимыми от Л1? поэтому мы примем также
следующие правила:
Rd2. Если о: j— г/ и |— ~ г/, то |— ~ х.
Rd3. Если |— х и [— у, то ]— ху.
МТ7. Если [— а; доказуема в S5, то |— у, образующаяся
путем подстановки высказывания z на место элементар-
ного высказывания и везде, где и входит в #, доказуема
в S5 (правило подстановки).
§ 4. Квазиследование
Система S6 квазиследования, сформулированная в [3—
5], образуется путем присоединения к S5 следующего
правила:
RH. Если xz |— у и f— z, то х \— у.
МТ1. Если х\— у доказуема £6, то она есть тавто
логия (теорема очевидна)
МТ2. Если х \— у есть тавтология, то она доказуема
в S*.
Доказательство МТ2. Пусть х\— у есть тавтология.
Возможны три случая вхождения элементарных выска-
зываний в х и у : 1) множество элементарных высказываний,
входящих в у, совпадает с множеством элементарных вы-
сказываний, входящих в х] 2) в у входят только те элемен-
тарные высказывания, которые входят в х\ 3) в у входит
по крайней мере одно элементарное высказывание, не вхо-
дящее в х. Если имеют место случаи 1 и 2, то х |— у дока-
зуема в S*. Если о? |— j/ есть тавтология вида 1 или 2, то
л; |— г/ доказуема в S8 согласно теореме о подноте S8.
Но согласно определению доказуемой формулы квазисле-
дования имеем: если х ~ (~рр) \— у и f— ~ (^рр)
доказуемы, то х f— у доказуема. Формула |— ~ (~рр),
очевидно, доказуема. Формула х ~(~рр)\—у доказу-
70

ема согласно Ri и доказанным выше формулам. Таким
образом, х \— у доказуема. Рассмотрим случай 3. Пусть
р1, ...,рп (п > 1) суть все элементарные высказывания,
входящие в у и не входящие в #. В таком случае формула
х ((р1. ... -рп) \у ~ (р1- ... -pn))|— y будет тавтологией и
будет доказуема в Ss в силу теоремы о полноте. Но фор-
мула \— (р1. ...-pn)V ~(рг- ••• *РП) доказуема в А6. Сле-
довательно , х |— г/ доказуема согласно определению дока-
зуемой формулы квазиследования.
Система квазиследования £*6, эквивалентная S6, по-
лучается из S2 путем снятия ограничения на R2.
МТЗ. Если х id у есть тавтология, то х \— у доказу-
ема в 5*6.
Доказательство МТЪ.
1. х(у\/~У)\-х
2. #f— zy\J х
3. 2г/У*Ь(*УУ*)(2/\Л
4. si/\/#b-уУ — У
5. л:|— 2/ \/ — 2/
6. х \—х
7. х[-х(у\/~у)
8. *_j|_s(„v~y)
[А12,
~У)
m,
Пусть р1, ..., рп суть все элементарные
[-43]
, а\/Ь\-Ь\/а)
[411]
[43, i?l]
[2, 3, 4, Д1]
[41, 42, М]
[5, 6, Я2]
[1, 7]
высказывания,
входящие в у и не входящие в х. Если х (рх\/ ~рх) ...
... (рп V ~.Pn) Ь~ У есть тавтология, то она доказуема в Ss,
а значит и в £*в. Но а: |— х (p1N\/ ~РХ) ••• (рп V ~РП)
доказуема в *S*6 в силу теоремы 8. Следовательно, в си-
лу i?i доказуема о: |— г/.
Доказательство МТ2 и МТЗ изложено в работе Л. А.
Бобровой [1].

ГЛАВА ПЯТАЯ
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДЕДУКЦИИ
§ 1. Общая теория дедукции
Рассмотренные выше системы образуют общую теорию
дедукции. Прочие разделы логики будут строиться, как
это и принято в современной логике, путем присоединения
к ней новых элементов алфавита, определений, аксиомных
схем и правил вывода.
§ 2. Общая теория дедукции
и классическая логика
Интерпретация, приведенная выше для доказательства
непротиворечивости и полноты систем общей теории де-
дукции, образует функционально полную двузначную
пропозициональную алгебру. Причем, знак следования
в ней интерпретировался как знак материальной импли-
кации.
Отсюда в силу теорем полноты и непарадоксальности
для систем общей теории дедукции и в силу дедуктивной
эквивалентности классического пропорционального ис-
числения и двузначной алгебры получаем такие следствия
(выражению «элементарное высказывание» при этом будет
соответствовать выражение «пропозициональная пере-
менная»):
M Tl. Формула х f— у доказуема в Ss, если и только
если х ZD у доказуема в классическом пропозициональном
исчислении и при этом в у не входят элементарные выска-
зывания, отсутствующие в х.
72

MT2. Формула х\— у доказуема в Sm, если и только
если х ZD у доказуема в классическом пропозициональном
исчислении и при этом в х и у входят одинаковые элемен-
тарные высказывания.
МТЗ. Формула х \— у доказуема в Sw, если и только
если х ZD y доказуема в классическом пропозициональном
исчислении и при этом в хжу входит по крайней мере одно
одинаковое элементарное высказывание.
MГ4. Формула х |— у доказуема в Sc, если и только
если х id у доказуема в классическом пропозициональном
исчислении и при этом в х не входят элементарные выска-
зывания, отсутствующие в у.
МТБ. Формула (— х доказуема в S5, если и только если
х доказуема в классическом пропозициональном исчисле-
нии.
МТ6. Формула х\— у доказуема в S6, если и только
если х ZD y доказуема в классическом пропозициональном
исчислении.
Как видим, классическая логика сохраняется в общей
теории дедукции в смысле МТБ и МТ6.
В силу определений формулы следования выражения
вида (х J— (у \- х)), (х \- ( ~ х |— у)), (х\- у) (у (— z) f-
f— (х f— z) и т. п., содержащие по два или более знака
следования, не являются формулами следования в систе-
мах общей теории дедукции. Так что не каждой правильно
построенной формуле классического пропозиционального
исчисления вида х zd y соответствует формула х\— у
в системах общей теории дедукции. С этой точки зрения
даже система S6 не совпадает с классическим пропози-
циональным исчислением. В силу теорем непарадоксаль-
ности в системах Ss, Sw, Sm и Sc недоказуемы формулы
х H ~ ( ~yy)i — 0:0:|— г/, о: |— г/ \/ ~ у и т. п., в которых
посылка и заключение не содержат одинаковых элемен-
тарных высказываний. Тем самым наши системы исклю-
чают парадоксы, подобные парадоксам материальной
импликации.
73

§ 3. «Парадоксы» следования
В системах Ss доказуемы формулы вида А : х \— х: ~ х,
х^—х\/ ~х, ~хх\—х. Их иногда рассматривают как
частный случай парадоксальных формул вида В: х \— у :
~ у, х \— у\/ ~ г/, ~хх\—у. Но что такое «частный
случай формулы»? Неявно полагается, что формула а
есть частный случай формулы ft, если первая получается
из второй подстановкой в элементарные высказывания,
входящие во вторую. Однако, в Ss недоказуемы формулы
вида J5, и формулы вида А получаются не из них. И если
формулы вида А не нравятся по каким-то соображениям,
то эти соображения должны быть сформулированы неза-
висимо от формул В.
Разумеется, можно какие-то доказуемые в некоторой
системе формулы отвергнуть по каким-то мотивам и стро-
ить более узкие исчисления. Однако, в этом случае при-
дется просто перечислять исключаемые формулы или ука-
зывать их некоторые общие структурные признаки. Напри-
мер, можно потребовать, чтобы были недоказуемы формулы
вида а \— а : х, а |— а: х1: ...: хп. Однако, во всех случаях
такого рода нельзя сформулировать априорные требова-
ния, не зависящие от конкретной структуры формул.
Отношения формул по длине здесь ничего не дают, а вхо-
дить в конкретную структуру формул — значит отказать-
ся от некоторого априорного (интуитивного) понятия логи-
ческого следования, не зависящего от вида формул и ис-
числений, т. е. снять проблему вообще.
Формулы типа А — законная плата за дедуктивный
метод и за полноту охвата формул определенного вида
в том или ином исчислении.
74

§ 4. Общая теория дедукции
и интуиционистская логика
В интуиционистском пропозициональном исчислении
доказуемы формулы х zd (у zd я), х zd ( ~ х zd г/), ~xxzd
=> у, у ZD х\/ ~Х) порождающие парадоксы, аналогич-
ные парадоксам материальной и строгой импликации.
Но зато в нем недоказуемы формулы ~ ~ # гэ # и ~ x\J
V х. Так что при интерпретаций его в качестве системы
общей теории дедукции получается система с бесмыСлен*
ным на уровне общей теории дедукции ограничением. Это
не означает, что интуиционистские ограничения клас-
сической логики вообще лишены смысла. В дальнейшем
мы будем постоянно рассматривать неклассические слу-
чаи, соответствующие этим идеям. Это означает лишь то,
что на уровне общей теории дедукции интерпретация
интуиционистского пропозиционального исчисления как
системы следования дает неполную систему, да к тому же
с парадоксальными следствиями.
§ 5« Неклассический случай
на уровне общей теории дедукции
Различение классических и неклассических случаев
в рамках общей теории дедукции лишено смысла, посколь-
ку операторы "~~| и ? могут стоять только перед оператора-
ми <—, V, Я и ->- (из тех, которые были указаны во вве-
дении). Перед операторами, рассматриваемыми в общей
теории дедукции (•, :, \Д ~), они не могут стоять в силу
самих правил построения высказываний такого типа.
Однако, мы все же сформулируем добавление к системам
общей теории дедукции, благодаря которому полученные
системы можно рассматривать как системы для некласси-
ческих случаев. Обозначим их символами Sni *5п и т. д.
в зависимости от выбора Ss, Sw и т. д., к которым делается
это дополнение.
75

Дополнение к определению высказывания: если х есть
высказывание с главным оператором V, 3, <- или —>,
не содержащее ~~| и?, то ~~| х и ?х суть высказывания, обра-
зованные из х путем помещения операторов соответственно
"1 и ? перед главным оператором х. Например, если х
есть а «— Ь,то~~\х есть а | <— Ь, a ?д; есть а? «— Ь; если х
есть (Va) х, то """| # есть ("""] Va) ж, а ?х есть (?Va) a;.
Дополнительные аксиомные схемы:
АН. ~х\- ~~\x\fix
Ап2. ~\х\/?х\ х
Апг. ~n*b*V?#
A4. х\/?х\ -\х
Ап6. ху-\ху-~Чх
Главная семантическая интерпретация операторов ~~|
и ?:
1) если одно их х и ~~\х имеет значение 1, то друго
имеет значение 0;
2) если одно из х и-]^ имеет значение 0, то значение
другого не зависит от первого (не исключается случай,
когда оба они имеют значение 0);
3) 1х равнозначно ~х ~~"|#.
МТ1. Все доказуемые в Sln формулы суть тавтологии
поскольку все А™ — А™ суть тавтологии).
МТ2. Если х\— у доказуема в Sn, то в у не входят
элементарные высказывания, отсутствующие в х. Анало-
гично для 5£, £™ и Sn имеют силу соответствующие
теоремы непарадоксальности. МТ2 очевидна из вида
А\-Апь.
Из МТ1 следует:
МТЗ. Формулы ~~~\х\— хж\— х\у ~~]х недоказуемы
в Sn (поскольку не являются тавтологиями).
Недоказуемость формул ~~~\ х\— х и \— х\/ ~~] х
в Sn соответствует недоказуемости законов снятия двой-
76

ного отрицания и исключенного третьего в интуиционист-
ской логике.
Приведем некоторые интересные теоремные схемы Sln:
Tl. х-\\ —\х~?х Т8. ?х\ х
Г2. х\ П* ^9- ?*| Iх
ГЗ. х\-~?х ПО. | (*~~И
ТА. ~]х-\\ x~ïx TU. | (х?х)
Т5. -]«| * Г12. I П«?«)
Г6. -|*1 ?* г13- I (х^[х?х)
ТТ. *>х-\\-~х~~~[х ri^l-aîVn^V?*
Классический случай систем общей теории дедукции
можно получить двумя путями: 1) просто исключить при-
нятые в данном параграфе дополнения; 2) принять допол-
нительную аксиомную схему
Ап7 ~ х \— ~~| х.
Благодаря Ап1 будут доказуемы ^^Hh"!^
~~~"|#|— #, |— х\у~1 о:, j— — ?о: и другие формулы, делаю-
щие излишними оператор неопределенности и различение
двух отрицаний.
§ 6. Классические и неклассические
отношения высказываний
Dl. Будем говорить, что у1, ..., ут не расширяют числа
возможностей по я1, ..., хп, если и только если доказуема
формула |— ~ (х1: ... :хп: у1: ...:ут) или формула х1:...
♦ ..: хп: у1:... :ут\—х1: ... :хк, где х±, ...<, хн суть высказы-
вания из множества высказываний я1, ..., хп (1 ^ к <1 п)
или их отрицаний.
МТ1. Если г/1, ..., ут (иг>> 1) не расширяют числа воз-
можностей по я1, ..., хп, то у1, ..., ут, i/w+1 точно также не
расширяют числа возможностей по я1, ..., хп.
77

Справедливость МТ1 видна из того, что если доказу-
ема х1: ...:xn:yh ... :ут H хг: ... :хк, то либо доказуема
х1: ... \хп:уг: ... :ym:j/w+11— х\\ ... \х\* где 1 < 1 < Ä, а
#î, ..., ж} суть какие-то из x±i .,., #Ä, либо доказуема
| (ос1: ... :xn:yh ... :#w:i/w+1), и если доказуема (—
—-(Л ... :хп:уи.... :#т), то доказуема и | (х1: ... :хп:уг:
... :г/т : ут+1).
МТ2. Каждое из ху, —ху, х—у, х, у, —ж, — г/
не расширяет числа возможностей по х и у.
Теорема верна, поскольку в S5 доказуемы формулы
х\у\ху\-х\у
х:у:~ху\—х
х\у\х~у\-у
х:у:х\-у
х:у:у\—х
х:у:~х\—~у
х\у\^у\ х
МТЗ. Любая комбинация из ху, ~ху, х ~у, х, у,
~ х и ~ у не расширяет числа возможностей по ж и у
(следует из MTÏ и МТ2).
МТ4. Высказывание ~ х ~ у расширяет число воз-
можностей по х и у.
Теорема верна, поскольку в S5 недоказуемы формулы
х:у:~х~ у\— х\у, х\у\~х~у\-у
х:у:~х~у\-х, f—~(#: у : ~ х~у)
МТ5. Любая конъюнкция z из х, у и их отрицаний не
расширяет числа возможностей по х, у и ~ х ~ у.
Доказательство МТЪ. Пусть z есть ~х ~у. В S5
доказуема х:у: ~ х ~ у: ~ х ~ у \- х : у. Пусть z от-
лично от ~ х ~ у. В таком случае МТЪ верна в силу МТЪ
и МП.
МТ6. Любая конъюнкция z жзх, у, ~ х ~ у и из отри-
цаний не расширяет числа возможностей по х, у и ~ х ~ у.
Теорема jlf Г6 есть следствие JWT5.
78

Из MТЬ и MTß следует, что ~ х ~ у есть единствен-
ное расширение возможностей по х и у и предельное (даль-
нейшее расширение исключено).
МТ7. Расширение числа возможностей по х и ~х
невозможно.
МТ8. Высказывание ~ х ~ ~~] х является единствен-
ным расширением числа возможностей по # и ~~~\х.
D2. Будем говорить, что высказывания х и у находят-
ся в классическом отношении, если и только если доказу-
ема \-~х:у.
2)3. Будем говорить, что высказывания х и у находятся
в неклассическом отношении, если и только если доказу-
ема }— х : у : ~ х ~ I/, но недоказуема |— х:у.
МТ9. Высказывания х и ~ х находятся в классическом
отношении, а высказывания жи"]ж — в неклассическом.
А/ПО. Классическому отношению высказываний соот-
ветствует одно и только одно неклассическое.
Таким образом, рассматриваемые нами неклассиче-
ские случаи систем следования являются единственно
возможными.
§ 7. Расширение общей теории дедукции
В дальнейшем мы будем излагать только те дополне-
ния, которые должны быть сделаны к общей теории де-
дукции, чтобы получить соответствующий раздел.логики
(подобно тому, как это сделано в § 5). В зависимости от
того, какая система общей теории дедукции будет выбрана,
получатся различные системы и варианты систем данного
раздела логики.
§ 8. К семантической интерпретации
знака следования
Знак следования в формулах х (— у мы выше семанти-
чески интерпретировали так, что выполнялось утвержде-
ние: х |— у есть тавтология, если и только если х zd y
79

есть тавтология. Это было сделано исключительно из
«технических» соображений и для удобства сравнения
наших логических систем с традиционными системами
классической математической логики, а не как определе-
ние условий истинности высказываний о следовании.
Для наших целей была бы вполне достаточна такая
интерпретация знака следования: х \— у имеет значение 1,
если и только если приписав х значение 1 (у значение 0),
мы вследствие этого вынуждены приписать у значение 1
(х значение 0). Однако и эта интерпретация не есть опре-
деление условий истинности х \— у. Последние опреде-
ляются так: высказывание «Из х следует у» истинно, если
и только если действительно имеется логическое правило
(утверждение), согласно которому из х следует у. А так
как в логике приходится устанавливать сами эти правила,
то семантическая интерпретация знака следования может
быть лишь «техническим» подсобным средством решения
этой задачи, и не более того. Подробно вопрос о семанти-
ческой стороне дела в проблеме следования рассмотрен
в работах [3, 81.
§ 9. К полноте логических систем
Мы выше определили полноту систем общей теории
дедукции относительно определенных классов формул
х f— У (эти формулы суть тавтологии в принятой интер-
претации и удовлетворяют определенному ограничению
на соотношения элементарных высказываний, входящих
в х и у). Однако эта полнота является в некотором роде
избыточной: в наших системах доказуемые некоторые фор-
мулы, которые бесполезны с точки зрения использования
правил следования (таковы, например, формулы, указан-
ные в § 3). Поэтому полезно сформулировать другое (более
узкое) понятие полноты, подобно тому, как это сделано
Е. А. Сидоренко (см. § 6 третьей главы).
80

Введем следующую операцию замены отрицаний выс-
казываний. Если в х\— у высказывание х есть противоре-
чие или у есть тавтология (или и то и другое), то из х |—- у
получается формула х* f— y* следующим образом:
1) все вхождения вида а1: ... :ап в х f— y заменяются
на ft1: ... :ftn, где каждое ft1 (i = 1, ..., п) есть конъюнкция
а{ и отрицаний всех остальных из а1, ..., ап;
2) все вхождения вида ~ ~ с заменяются на с до тех
пор, пока не останется высказывание без отрицания во-
обще или только с одним отрицанием;
3) если в полученной формуле х* |— у* в х* или в у*
входит z без отрицания и с отрицанием, то ~z везде за-
меняется на высказывание у, которое не входит в о:* |— г/*;
4) сказанное в пункте 3 делается для всех пар выска-
зываний и их отрицаний, входящих в х* или у*; получен-
ная формула есть х** \— у**.
Системы общей теории дедукции можно считать доста-
точно полными, если в них доказуемы все непарадоксаль-
ные тавтологии х \— у такие, что формулы х** \— у**,
полученные в результате рассмотренной операции замены
отрицаний высказываний, доказуемы в соответствующих
системах. С этой точки зрения система S\ не является пол-
ной, поскольку в ней недоказуема формула (х \/ у) •
— х h" У1 к которой наша операция замены неприменима (ибо
(х V У) ~ х не есть противоречие, а у не есть тавтология).
Благодаря приведенной операции замены рассматри-
ваются только такие х \— г/, в которых х может принять
значение 1, а у — значение 0. Так что приведенная в § 8
интерпретация оказывается вполне достаточной.
Мы не настаиваем на таком сужении наших систем, что-
бы в них были доказуемы только формулы, отвечающие
третьему условию (т. е. чтобы в них не были доказуемы
формулы, не отвечающие третьему условию), хотя и не
исключаем его. Если та или иная система полна в таком
более узком смысле, то она дает исчерпывающее определе-
ние операторов, рассматриваемых в данном разделе логики.

ГЛАВА ШЕСТАЯ
УСЛОВНЫЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ
§ 1. Условные высказывания
Системы, образующие теорию условных высказываний
получаются благодаря таким дополнениям к системам
общей теории дедукции.
Дополнение к алфавиту:
1) ->• — высказываниеобразующий оператор «если, то»
(оператор условности);
2) "~1 — внутреннее отрицание;
3) ? — оператор неопределенности.
D1. Дополнение к определению высказывания
(х ->*/)» (х~~\-*-у) и (#? -»- у) суть высказывания, если
и только если хну суть высказывания.
Z>2. Высказывания х и у суть соответственно анте-
цедент и консеквент высказываний (х —> у), (х~~[->у)и
(я? -* у).
D2. Элементарное высказывание в теории условных
высказываний:
1) если оператор условности не входит в высказывания
х и у, то эти высказывания суть элементарные высказы-
вания, входящие в (х -> г/), (х ~~| -*■ у), (#? -*■ г/);
2) если (х ->• у), (х "~| -*■ У) или (#? -*■ У) входит в z,
то элементарные высказывания, входящие в х и у, суть
элементарные высказывания, входящие в z;
3) высказывание элементарно лишь в силу 1 и 2.
Дополнительные аксиомные схемы и правила вывода
укажем ниже. Системы теории условных высказываний
рассматривались в [3—5].
82

§ 2. Условные высказывания и следование
Высказывания «Если х, то у» обычно смешивают с вы-
сказываниями «Из х следует уъ. Это смешение — грубая
ошибка: высказывание «Если #, то уь состоит из высказы-
ваний х и у и высказываниеобразующего оператора, тог-
да как высказывание «Из х следует у» состоит из субъек-
тов «высказывание х» и «высказывание у» и предиката «из
первого следует второе».
Имеется еще одно принципиальное их различие. Во-
прос о том, когда истинны высказывания вида «Из х сле-
дует у» есть вопрос, решаемый в рамках логики и только
логики. Установление этого есть главная задача логики.
Тогда как вопрос о том, когда истинны высказывания вида
«Если х, то у», лишь частично решается в логике, да и то
как производный от первого, т. е. лишь в силу принципа:
если верно, что из х следует г/, то верно «Если х, то г/».
В остальных случаях, когда высказывания «Если х, то
у» получаются не из отношений следования, логика совер-
шенно не компетентна судить об их истинности. И не во
всех случаях, когда истинно «Если #, то у» будет истинно
«Из х следует у».
Известны многочисленные случаи, когда условное выс-
казывание является истинным, а антецедент и консеквент
его не содержат никаких одинаковых терминов и выска-
зываний.
§ 3. Условные высказывания
и материальная импликация
Оператор условности обычно отождествляют с опера-
тором материальной импликации. Это отождествление
точно так же ошибочно, на что указывали многие логики
(в частности, Айдукевич). Этот вопрос рассматривался
в [3, 8]. Добавим еще несколько примеров, наглядно ил-
люстрирующих ошибочность такого отождествления.
83

Для оператора материальной импликации имеют силу
утверждения:
ху\- (#=>*/), ~х~ у\- (х=>у), ~ху\-(х=>у)
~(#~y)f-(zzDz/), ~(xzzy)\-x~y, ~х\/у\-(х^у).
Эти утверждения суть тавтологии и в силу полноты Ss
доказуемы в ней. Но аналогичные утверждения для опера-
тора условности
ху\-(х->у), ~х~у\-{х-+у), ~ху\-(х->у)
ошибочны. Если мы в какой-то ситуации установили истин-
яость хну, это еще не дает нам права принимать за истин-
ное у всякий раз, когда истинно х (т. е. это не исключает
Ситуации, когда истинные и ~ у). Аналогично для случаев
~ # ~ У> ~ Щ}, ~{х ~у) ъ ~ x\J у. Отрицание х -*■ у
означает, что признание х не дает нам права на признание у.
Но из отрицания этого права не следует, что неверно
х ~у.
Для материальной импликации верно утверждение
(Ху ZD Z V V) \- (X 3) Z) V (у ZD и),
являющееся тавтологией и доказуемое в Ss. Но аналогич-
ное утверждение для оператора условности
(xy->z\/v) \-(x-*z)\/(y-+v)
ошибочно: возможно верно ху -* z или ху -*■ у, но невер-
ны оба х-+ z лу -+■ v. В частности, для наступления собы-
тий, фиксируемых в z и у, нужны оба события, фиксиру-
емые в х и у, а по отдельности они для этого недостаточны.
Или возможно, что z и и следуют только из ху, а из х и у
по отдельности нет. Так, в S8 доказуемо ху |— у V х,
и значит истинно ху ~> у \/ х; но в 5s недоказуемы о: |— г/
и у |— #, т. е. оба х -+ у иу -+ х могут оказаться ложными.
Для материальной импликации верно утверждение
(ху ZD Z) [- (X ZD Z) \/ (у ZD z),
84

являющееся тавтологией и доказуемое в *Se. Аналогичное
утверждение для условных высказываний
(xy->z) [- (xr>z) \/(y->z)
ошибочно: например, высказывание ху *->• ху истинно,
а х ->• ху и у ->- ху могут быть ложными. И такого рода
примеры можно приводить сколько угодно.
Отождествление х-^ужх гэ у явилось следствием того
(если не принимать во внимание увлечение идеями и дру-
гие социально-психологические обстоятельства), что в ма-
тематике, для которой в основном и разрабатывалась ма-
тематическая логика, антецеденты и консеквенты услов-
ных высказываний универсальны, т. е. не изменяют значе-
ний истинности в зависимости от условий, места и времени.
Кроме того, в математике условные высказывания прини-
маются исключительно из отношений следования, и при-
ведение примеров такого рода, как выше, априори исклю-
чается. Короче говоря, при этом из класса условных
высказываний выделяются только такие, которые в силу
самой априорной установки (способа выбора) можно рас-
сматривать как материальные импликации. Но употреб-
ляемые в науке (и вне ее) условные высказывания часто
содержат антецеденты и консеквенты, значения истинности
которых зависят от условий, места и времени. И получа-
ются эти высказывания не из отношений следования, а из
наблюдений и экспериментов или просто постулируются
ради каких-то целей (например, для того, чтобы можно
было логически вывести какие-то иные высказывания).
Мы не отвергаем сходства х -+ у ж х ^э у. В частности,
для них имеют силу сходные утверждения
(xZDy)x\-y, (x-*y)Xy-y
(XZDy)~y\ X, (х-+у)^у\-^х
{x=>y)\-(~yZD~X), (x-^y)\-{~y->~x)
\-(xyiD~(xiD~y), [~(Ху->~(х->~у)
85

и т. п. Кроме того, между ними имеет место логическая
связь, устанавливаемая утверждениями
\-{x-»y)-+(zzDy)
[- ~ (X ZD у ) ~> ~ (X -» у) .
Однако, это не отвергает следующее принципиально
важное утверждение: не всякому приемлемому утвержде-
нию х\— у, содержащему оператор id, соответствует приемле-
мое утверждение z [— v, получающееся из х |— у путем
замены оператора zd на оператор —>■ по крайней мере
в одном месте. Это — априорная предпосылка построения
теории условных высказываний.
§ 4. Интерпретация
Отступим от принятого выше порядка изложения и
сформулируем сначала семантическую интерпретацию вы-
сказываний с оператором условности.
Условным высказываниям значения приписываются
по таким правилам:
1) если приписали х-^-у значение 1 и при этом при-
писали х значение 1, то должны приписать у значение 1;
2) если приписали х -> у значение 1 и при этом
приписали у значение 0, то должны приписать х значе-
ние 0;
3) если приписали х —>■ у значение 0 и при этом при-
писали х значение 1, то значение у не зависит от зна-
чения х, т. е. имеем право приписать у как значение 1,
так и значение 0 (если значение у уже не задано), и оба
случая должны быть рассмотрены;
4) если приписали х-^-у значение 0 и при этом при-
писали у значение 0, то значение х не зависит от значения у\
5) если приписали х значение 1 и вследствие этого вы-
нуждены приписать у значение 1, то должны приписать
х -> у значение 1;
86

6) если приписали у значение 0 и вследствие этого вы-
нуждены приписать х значение 0, то должны приписать
х-*~у значение 1 ;
7) если приписали х значение 1, и это не обязывает нас
приписывать у значение 1 (т. е. мы можем при этом при-
писать у значение 1 и 0), то можем приписать х-+у зна-
чение 0;
8) если приписали у значение 0, и это не обязывает нас
приписывать х значение 0, то можем х-+у приписать
значение 0;
9) если х приписали значение 0 (или у приписали зна-
чение 1), то значение х-+у не зависит от значения х
(и, соответственно, у)\
10) если одно из х-*- у и о: | —>- г/ имеет значение 1,
то другое имеет значение 0;
11) если одно из х-^-у их | -*■ у имеет значение 0,
то значение другого не зависит от значения первого (т. е.
другое может принять как значение 1, так и значение 0):
12) х? -*• у равнозначно ~ (х ->• у) ~ (х ~~~| ->■ у).
Рассмотрим несколько примеров использования приве-
денных семантических правил. Возьмем формулу z \—
|— (х ->- z). Приписав z значение 1, мы тем самым не опреде-
ляем значение х ->• z: последнее при этом может иметь зна-
чение 0 согласно пункту 9; кроме того, здесь z получает
значение 1 не вследствие того, что х приписано значение 1-
В высказывании же ху ->■ х консеквент принимает значение
1, если антецедент принимает значение 1, и это выска-
зывание согласно пункту 5 имеет значение 1. В формуле
(х -*■ у) (у ->• z) (— (х -»- z) мы, приписав (х -> у), (у -*■ z)
и х значение 1, вынуждены приписать и z значение 1, так
что должны и х -*■ z приписать значение 1.
Можно показать, что приведенные во втором парагра-
фе неприемлемые формулы с условными высказываниями
не являются тавтологиями. Так, припишем в формуле
(ху ->■ z) f— (x -> z) V (у -*■ z) высказыванию ху -> z зна-
чение 1. Согласно пункту 2 мы должны приписать ху зна-
87

чение 0, приписав z значение 0. Но, приписав z значение О,
мы не обязаны вследствие этого приписывать х значение О,
так как ху может иметь значение 0 за счет того, что значе-
ние 0 имеет у. Потому х -*• z можем приписать значение 0.
Аналогичное рассуждение имеет силу для у -*■ z. Так что
(х ->■ z) \у (у -> z) может иметь значение 0 в то время, как
(ху -*- z) имеет значение 1.
Аналогично обстоит дело с формулой (х -> у V z) f—
f— (x -*■ у) \/ (х ->■ z), которая на первый взгляд кажется
приемлемой. Приписав х и х ->■ г/ \/ 2 значение 1, мы дол-
жны приписать у \J z значение 1. Но это не означает, что
мы непременно у должны приписать значение 1. Потому
х -*■ у может иметь значение 0. Это также не означает, что
мы должны непременно z приписать значение 1. Потому
х ->■ z может иметь значение 0. Значит данная формула не
есть тавтология. Это соответствует тому, что оба х ->■ у
и х ->• z могут быть ложными, а х ->■ у V z при этом может
быть истинным. В частности, если х, то какая-то из возмож-
ностей у is. z непременно реализуется. Но какая именно,
по х судить невозможно. Для материальной импликации
формула, аналогичная рассматриваемой, есть тавтология.
Принятая интерпретация условной импликации отли-
чается от табличного определения материальной импли-
кации. В самом деле, х ->• у может иметь значение 0 в слу-
чаях, когда х имеет значение 1 и у имеет значение 1, а
также в случаях, когда х имеет значение 0 и у имеет зна-
чение 1. Единственное, в чем они сходны, если рассматри-
вать исключительно зависимость значения х ->- у от зна-
чений х иг/, это случай, когда х имеет значение 1, а у —
значение 0. В этом случае х —>• у принимает значение 0.
Таким образом, не всякому x zd z/, имеющему значение
1, соответствует х ->■ г/, имеющее значение 1. Другими сло-
вами, из этого, что x ZD y истинно (имеет значение 1), не
следует, что х-+у истинно (имеет значение 1). Но если
истинно х -> г/, то истинно x zd у.
88

§ 5. Классический и неклассический случаи
Системы для неклассического случая содержат следу-
ющие аксиомные схемы:
Ап1. (х->у)\- ~ (х~^[->у) ~ (х?->у)
А»2. ~(х-[->у)~(х?->у)\-(х->у)
4»3. (*П-*У)| >(z-+y)~(xî^y)
Ап4. ~ (х-^ у) ~ (х? ->у)\- (х-\->у)
Л»5. (х?-*у)\ (х^у)~(х-{->у)
ЛЛ6. ~(х^у)~(х~\-^у)\-(х'?^у)
Системы для классического случая получаются либо
путем исключения Ап 1 — Ап 6, исключения из алфавита
операторов внутреннего отрицания и неопределенности
и исключения из DI—D3 первого параграфа символов
с этими операторами, либо путем принятия дополнитель-
ной аксиомной схемы:
МТ\. В системе, полученной за счет присоединения
Ап1 — Ап7 к *S5, будет доказуема формула |— ~ (#? -> г/).
В этой системе будет доказуема также ~ (х ~П -*• J/) H
Д/Т2. Легко убедиться, что все формулы, указанные
в4М - Ап6, суть тавтологии и непарадоксальны в том
смысле, что множества элементарных высказываний, вхо-
дящих в посылки и заключения, совпадают.
МТЗ. Формулы ~ (х~^\-+ у)\— (х ->■ у) тавтологией не
является и потому недоказуема в системах, полученных
путем добавления к системам общей теории дедукции акси-
омных схем -4M — Ап&. Аналогично не является тавто-
логией (а значит недоказуема) ~ (х ->- у) \— (х ~~| ->• у).
Другой вариант систем неклассической логики, экви-
валентный изложенному выше, получится, если вместо
4п5и4п6 принять D* 1, вместо Ап 1 — Ап 4 принять акси-
89

омные схемы A*l — -4*4, из алфавита и определений ис-
ключить оператор неопределенности и все символы, со-
держащие его.
Z>*1. (#?—> у) есть сокращения для — {х—> г/) ^—- (а; | —>у).
Л*2. (х-\-*у)\ (х->у)
4*3. ~(х-\-*у)\-(х->у)\/~(х-*у)~(х-]->у)
A4. (х->у)\ (х-]-*у)
§ 6. Система 8#
Дополнительные аксиомные схемы:
Al. {x-*y)x\-y
Al. (х->у)\-(~у-*~х)
АЪ. (x-*y)(y->z)[-(x->z)
44. (х -» yz) f- (x -> у) (х -+ z)
Ab. (xy->z)\—(x->(y->z)
Л6. (x-+(y->z))\-(xy->z)
Al. (x^>y)(z-^v)\—(xz->yv)
A8. (x-+y)\/(z->v)\-(xz-+y\/v)
M Tl. Все доказуемые в S\f формулы суть тавтологии
(теорема легко доказывается путем перебора всех аксиом-
ных схем Al — -48).
MТ2. Если х\— у доказуема в £?/, то в у не входят
элементарные высказывания, отсутствующие в х (теорема
верна, поскольку Al — -48 явно ей удовлетворяют).
МТЪ. Если х\— у доказуема в Sf/ и в у входит опера-
тор условности, то он входит и в х (теорема очевидна из
вида Al — -49).
Согласно MТЪ в S\f не может быть доказуема формула
вида х \— (у -»- z), в которой в х отсутствует оператор ус-
ловности.
90

Приведем некоторые теоремные схемы (в квадратных
скобках укажем лишь аксиомные и теоремные схемы
5|/, позволяющие получить данную теоремную схему).
Tl. (X->y)(yz-+v)\-(xz*->v) [Ab, A3, А6]
Т2. (x->y\/z)(z-+v)\-(x->y\/v) [А2, Г1, А2]
ТЪ. (x\/y-+z){v-+x))-{v\/y->z)
[А2, 44, A3, Al, A2]
74. (х-+у)~у\ х [42, Al]
ТЪ. (x->y\/z)~yl-(x-*z) [42, Ab, Ai, A2)
TG. (xy-*z)x}-(y-+z) [Ab, Al]
Tl. (x\/y-+z)l-(x-*z)(y->z) [42, 44, A2]
T8. (x^z)(y->z)\-(x\/y-+z) [42, Al, A2]
T9. (zr+y\/z)\-{~y-+{x-+z)) [42, Ab, A3, A2]
TW. (~y->(z-»z))\-(z->(y\/z)) [A2, Aß, A2]
TU. (x-+y)(v-»z)\-(x\/v->y\/z) [A2, Al, A2]
§ 7. Система 8?f
Система Sff образуется путем дополнения к S\f акси-
омной схемы
49. (x-*y)\-(xz->y).
M Tl. Если х\- у доказуема в Sff, то в х и у входит
по крайней мере одно одинаковое элементарное высказы-
вание (теорема очевидна из вида -49).
МТ2. Если х\— у доказуема в S ff, что она есть тавто-
логия (поскольку 49 есть, очевидно, тавтология).
Tl. (x->y)\-(x-»y\/z) M2, Л99 A2]
§ 8. Система 8%
Система S% получается путем добавления к S\f правила:
Ri. Если х \— у, то (— (х ->• у)*
91

M Tl. Если [— (x -> у) доказуема, то она есть тавтоло-
гия (очевидно в силу Л1),
МТ2. Если |— (о: —>- г/) доказуема, то х =э у есть тав-
тология.
МТЗ. Если |— (о: —>- г/) и \— х доказуемы, то \— у до-
казуемо.
Доказательство M TS: (x -*■ у) x [— у доказуема; в си-
лу Ri доказуема f— ((х -> у) х -> г/); доказуема ((ж ->• г/) ж—►
-*• У) ((# -+ У) х) \— У\ по условию доказуемы \— (х -> у)
и |-ж; значит доказуемо |— ((о: -*■ у) о: ->■ г/) (# -*■ г/) х;
отсюда получаем, что доказуемо |— у.
МТ4. Если \— (х ->■ г/) и \— ~ у доказуемы, то доказу-
емо^—х. Доказательство аналогично. Дополняется лишь
то, что согласно А2 системы S*f доказуема f— (~у ->■ ~ х).
Некоторые теоремные схемы:
Tl. \-((x-+y)^{xz-+y))
Tl. \-(z~y^>~(x^y))
ТЪ. \-((x^y)^~(x~y))
TL \-{(xy-+z)(x~y^z)^>(x-+z))
ТЪ. I—(У-^~*V«)
ТЪ. \-(~уу-*х)
Tl. |_ (*-»(£_►*))
ТЪ. \-(х-+{~х^у))
T9. }-((x:y)-+(x-+~y){~x^y))
TIO. \-((x->~y)(~x^y)-*(x:y))
TU. \-{{x\/y)-+(~x^y){~y^x))
T12. h((-^ï)->(*Vï))
743. \-(x-*x\/y)
TIA. \-((x-+y)(x-+~y)-+~x)
T15. \-(x^y)(y-*z)^{x-+z)
MT5. Если (— (x гэ у) доказуема в S6, то \~ (х ->■ у)
доказуема в Sf/.
92

Доказательство МТЪ. Для каждой аксиомной схемы
х |— у системы S* в S\f доказуема |— (х -*■ у). Поскольку
в Sif верна ПЗ, то каждой аксиомной схеме х\— у системы
Sw будет соответствовать доказуемая в Sif формула
[-"(#-*" У)- А так как в Sy доказуема формула Г15, соот-
ветствующая правилу транзитивности системы Sw без
ограничения, то (в силу эквивалентности Sw с правилом
транзитивности без ограничения классическому исчисле-
нию высказываний) наша теорема верна.
МТ6. Если хну суть высказывания в S5 и если
\—(х-+у) доказуема в Sif, то f— (х zd у) доказуема в S5
(теорема верна в силу Ri и MT1I5).
МП. Если f— х доказуема в S\p то в S5 доказуема
f— у, где I/ образуется из х путем замены всех вхождений
оператора условности на оператор материальной импли-
кации.
Однако утверждение «Если в S\f доказуема f— (x -*■ у),
то в S5 доказуема |— (х zd у)» неверно. Например, в Sff
доказуема \— (х -+ у) (у ->- z) -> (х ->■ г), тогда как в £5
[— (ж -*■ у) (у -+■ z) zd (# -*■ г) недоказуема. Неверно так-
же утверждение, обратное МИ. Например, |— ((ху zd
zd z\/ v) zd ((x zd z) V (У ^ у))) доказуема в «S5, но
\-{(ху -> 2 V у) -*■ ((* -* 2) V (У ->■ г))), конечно, недока-
зуема в 5?/.
§ 9. Система #?/
Система £*/ получается путем присоединения к S5
аксиомных схем Al — A3 и правила Й1:
Л1. (#->у)#|—у
А2. {х->у)~у\-~х
A3. \-((xy->z)-+(x->(y-*z)))
Ш. Если х\-у, то |— (х->у).
93

В S\f имеют силу теоремные схемы:
Tl. Ы(*->0)*-*у)
Т2. \-{{х->у)->{~у-*~х))
TS. \-((x-*yz)->(z-+y){z^.z))
П. t-((zy^z)-*(x^(y->z)))
Tb. l-((x^(y->z))->(xy->z))
TQ. \-{{x^y){z^v)->{xz^yv))
Tl. \-{(x^y)\/{z-*v)-*{xz-*y\/v))
T8. }-((x^y)(y->z)-+(x->z))
M Tl. Если |— (x-+ у) доказуема в <Sf/, то она доказу-
ема в SXf\ и наоборот (теорема верна, поскольку в SXf
имеют силу TÏ — Г8, а в S% доказуемы Al и A3).
§ 10. Парадоксы S\f
Очевидно, что для (— (х ->• у) имеют силу «парадоксы»,
подобные парадоксам материальной и строгой имплика-
ции, поскольку доказуемы формулы (— (х-*- (у -»- #)),
(— (х-+ (~х-+у))> [— (х-* у V ~У)> \-(~УУ-+х)-
Чтобы избежать их, необходимо из доказуемых формул
исключить формулы вида
{xy^z)\-{x-*{y->z)
\-((xy->z)-+{x->(y->z))
(при сохранении остальных элементов систем S\f), или
внести другие ограничения. Но. это принципиально ничего
не меняет.
В самом деле, интуитивно несомненно, что если ху ->- z
и при этом у истинно, то х ->■ z. Так что исключив упомя-
нутые парадоксы из логической системы, мы не в состоя-
нии будем исключить их из ситуаций, в которых правила
этой системы будут использоваться.
94

Для исключения указанных формул достаточно акси-
омную схему -45 системы S\f заменить на аксиомную схе-
му -4*5, а аксиомную схему -43 системы Sif зам енить на
аксиомную схему -4*3:
А*5. (xy->z)\-{x->(y->z)),
где (— (х -»- z) и \— {у -*- z) недоказуемы в S%.
А*Ъ. l-((xy->z)->(x->(y-+z)))1
где [— (х -*■ z) и \—(у -> z) недоказуемы в fit/.
Можно также аксиомным схемам -4*5 и -4*3 придать
такой вид:
.4*5. (xy->z)~(x->z)~(y-+z)[-(x-*{y->z))
л#3, }-((xy->z)~{x->z)~(y->z)^{x->{y-^z))).
Для систем с приведенным ограничением неверна тео-
рема, аналогичная теореме MТЪ для S%. Все доказуемые
в них формулы |— (о: —>- г/) непарадоксальны в том же смы-
сле, что и формулы систем общей теории дедукции.
§ 11. Полнота
Проблема полноты для формул вида f- (x -*■ у) ре-
шается метатеоремами, сформулированными выше.
Те критерии полноты, которые мы применяли к систе-
мам общей теории дедукции для формул вида х (— у, не-
достаточны для теории условных высказываний вот по
какой причине. Возьмем формулу (ху -»- z) |— (ху ->■ у).
В ней высказывание ху ->■ у всегда имеет значение 1, так
что эта формула есть тавтология. Причем, она удовлетво-
ряет требованию непарадоксальности в следующем смы-
сле: в заключение не входят элементарные высказывания,
отсутствующие в посылке. Однако такая формула в ка-
честве правила следования неприемдема: если верно
ху -*• z, из этого не следует, что будет верно высказывание,
95

в котором вместо z стоит другой консеквент. И то, что
ху-+у истинно, есть частный случай, в котором истинность
заключения установлена не путем логического следования
его из ху -*- z. Неприемлемы также в качестве правил
следования формулы вида (ху ->■ ~ х ~ у) |— (у -*■ я),
(z-+ х ~ z) [— (х-+z) и т. п., которые являются тавто-
логиями и непарадоксальны в упомянутом смысле. По-
этому мы при построении систем теории условных выска-
зываний ориентировались на более узкое понятие полноты.
Логическая теория строится с таким расчетом, чтобы
цатъ исчерпывающий перечень правил оперирования дан-
ными логическими операторами. И если мы такой пере-
чень нашли, это еще не означает, что свойства этих опера-
торов вообще исчерпаны. Возможно введение нового опе-
ратора, и для комбинаций его с данными операторами по-
требуется новый перечень правил и т. д. Мы уже рассмот-
рели операторы, правила для которых образуют общую
теорию дедукции. И вопрос о полноте теории условных
высказываний может быть здесь решен лишь для комбина-
ций этих операторов и оператора условности. Определим
для этой цели базисную формулу следования.
Dl. Формула х \— у является базисной формулой тео-
рии условных высказываний, если и только если она имеет
такой вид:
1. {a-*b)c\-d 11. (ab->c)\-z
2. (a->b){c-+d)\-(e*->f) 12. (a-+bc)[~ z
3. (a->b)(c^d)\-(ac-+bd) 13. (a\yb-*c)[-z
4. (a-+b){c->d)\-(a\/c->bd) 14. (a->b\/c)[-z
5. (a-*b)(c->d)\-(ac->b\/d) 15. (ab>-+cd)\-z
6. (a^b)(c-+d)\-{a\/c->b\/d) 16. (ab->c\/d)\-z
7. {a->b)\/ {c->d)\-{ac->bd) 17. (a\/b->cd)\-z
8. {a-+b)\/{c-*d)\-(a\/c^bd) 18. (a\/b-+c\/d)\-z,
9. (a->b)\/(c^d)[-(ac->b\/d)
10. (a->b)\/(c->d)\-(a\/c->b\/d)
96

где a, b, с, d, e, f суть элементарные высказывания или
отрицания элементарных высказываний, a z суть выска-
зывания, образованные из а, Ь, с, d, их отрицаний и опе-
раторов -, V» ~ и->.
D2. Теорию условных высказываний мы будем считать
достаточно полной, если и только если выполняются усло-
вия:
1) все базисные формулы х |— у, являющиеся тавто-
логиями и непарадоксальные, доказуемы;
2) все формулы х \— у, образующиеся из базисных
путем подстановки любых высказываний на место элемен-
тарных, доказуемы.
Пункт второй выполняется в силу того, что мы исполь-
зуем аксиомные схемы. Распространить правила для ба-
зисных формул на любое число членов дизъюнкций и конъ-
юнкций не представляет труда. Отрицания в антецеден-
тах и консеквентах высказываний х ->■ у всегда могут быть
доведены до элементарных высказываний. Так что ос-
тается выяснить, удовлетворяют наши системы пункту 1
определения D2 или нет. Мы не будем приводить здесь
доказательство того, что наши системы полны в смысле
/>2. Оно осуществляется путем пересмотра всех случаев
(что довольно громоздко, хотя и не представляет прин-
ципиальных трудностей), выяснения непарадоксальных
тавтологий и доказательства их.
Указанный метод не отличается таким изяществом, ка-
ким обладают методы доказательства полноты систем клас-
сической логики. Но он вполне правомерен и даже оказы-
вается незаменимым, стоит только перейти от того крайне
упрощенного подхода к проблемам логики, какой имел
место в классической математической логике, к более
детальному и дифференцированному подходу.
4 А. А. Зиновьев

ГЛАВА СЕДЬМАЯ
ТЕОРИЯ КВАНТОРОВ
§ 1. Высказывания с кванторами
Системы теории кванторов комплексной логики рас-
сматривались в [4, 5]. Они образуются благодаря излага-
емым ниже дополнениям к системам общей теории дедук-
ции и модификациям их.
По некоторым соображениям рассмотрение систем тео-
рии кванторов удобнее начать с классического случая, а
неклассический случай затем получить путем дополнений
к алфавиту, определениям и прочим элементам теории
кванторов, а также некоторых их изменений.
Алфавит:
1) V — квантор общности («все»);
2) Я — квантор существования («некоторые»);
3) ■< оператор предикативности.
Dl. Элементарное высказывание: (а ч- Ь) есть элемен-
тарное высказывание, если и только если а есть субъект,
а Ъ есть соответственно местный предикат.
D2. Высказывание:
1) элементарное высказывание есть высказывание;
2) если х, х1, ..., хп суть высказывания, то ~ х, (х1* ...
... >хп) и (хг\/ ... \/хп) суть высказывания;
3) если а есть термин (субъект или предикат), а х
есть высказывание, то (Va) x и (Яа)# суть высказыва-
ния;
4) нечто есть высказывание лишь в силу 1—3.
Z)3. Кванторная группа: (Va) и (Яа) суть кванторные
группы, если а есть термин.
98

£)4. Свободные и связанные термины: если термин а
входит в высказывание х, а кванторные группы (Va)
и (За) не входят в ж, то а свободен в х (не связан в х\
входит свободно в х); если а входит в а;, то а связан (не
свободен; входит связанно) в (Va)x и (ЧКа)х.
Db. Свободное и связанное вхождение термина в выс-
казывание: если а связан в #, то все вхождения а в х
суть связанные вхождения; если х входит в у, и при этом
а связан в #, то вхождение а в х есть связанное вхождение
а в у; в остальных случаях вхождение а в у является
свободным.
DG. Кванторная группа (Ка) является вырожденной
в (Ка) х, если и только если в х нет свободных вхождений а
(или а не входит свободно в #); К есть V или Я.
jD7. Бескванторная форма формулы х\— у (формулы
(— х) есть формула, которая образуется из нее путем ис-
ключения всех кванторных групп.
§ 2. Система Sscq
Система Sscq сильной теории кванторов для классиче-
ского случая получается путем добавления к Ss того, что
приведено в § 1, и следующих аксиомных схем и правил
вывода.
Аксиомные схемы
Al. (Va)x\-x
Al. х \- (Яа) х
A3. (Va)x(äa)y^(äa)(xy)
Л4. (Va)(x\/y)\-(Va)x\/(äa)y
Ab. (Яа)я|— (Va)x,
где а не выходит свободно в х.
Л6. (\[а)х\ (Яа)~#
А7. ~(Яа)~я|-(Уа)а;
99 4*

Правила вывода:
RI. Если х\-у, то (Va)х|— (Va)у.
R2. Если х\-уу то Çaa)x\— (3a)y.
Непротиворечивость, независимость и отчасти про-
блема полноты Sscq рассмотрены в работе Г. М. Щеголь-
ковой [16].
§ 3. Непарадоксальность Sscq
M Tl. Система Sscq непарадоксальна в том же смысле,
что и Ss: в доказуемых формулах а; [— г/ в заключение у
не входят элементарные (в смысле теории кванторов)
высказывания, отсутствующие в посылке х. Теорема оче-
видна из вида дополнительных аксиомных схем и правил:
в аксиомцых схемах в заключения и посылки входят одни
и те же высказывания, если отбросить кванторные группы
и отрицания и исключить повторения; правила вывода
это свойство сохраняют.
МТ2. Формулы.
(Уа)(*и-Ь)[-(сч-&)
(с«_ь)[_(Эа)(а4-Ь)
и другие формулы х |— у, в которых в заключение входят
термины, отсутствующие в посылке, недоказуемы в Sscq
(следствие МТ1).
МТЗ. Если х\— у доказуема в Sscq, то ее бескванторная
форма доказуема в Ss (теорема очевидна из вида бескван-
торных форм аксиом и получаемых из них бескванторных
формул по правилам вывода).
§ 4. Непротиворечивость Sseq
Для доказательства непротиворечивости S£g достаточно
показать, что бескванторные формы доказуемых формул
SL доказуемы в Ss (т. е. суть тавтологии). А это действи-
100

тельно так, поскольку бескванторные формы аксиом
имеют вид соответственно
х\— х х\—х
х\—х х\ х
ху\-Щ) ~~х\—х,
а правила вывода из бескванторных формул х \— у позво-
ляют получить только сами эти формулы.
§ 5. Независимость 8%q
Для доказательства независимости аксиомных схем,
правил вывода Sscq примем исключающие семантические
правила и общее семантическое правило (в каждом случае
сначала применяется первое, затем — второе).
Для -41: если в х \— у термин а в у входит свободно, а
в а нет, то х \— у имеет значение 0. При этом формула
(Va) (a <— Ъ) \— (а <— Ъ) имеет значение 0.
Для -42: если в х [— у термин ав х входит свободно, а
в у нет, то х f— у имеет значение 0. При этом формула
(а <— Ъ) |— (За) (а «— Ь) имеет значение 0.
Для -43: (Ya)x заменяется на (За) #; если а входит
свободно в х, то а: заменяется на (За) х; если ~ входит
во все аксиомы данной аксиомной схемы, то (За) ~ х
заменяется на ~ (За) х.
Для -44: (За)# заменяется на (Va)#; если a входит
свободно в х, то х заменяется на (Va) х; если ~ входит
во все аксиомы данной аксиомной схемы, то (За) ~ х
заменяется на ~ (Va) x.
Для -45: отбрасывается ограничение на вхождение а
в х.
Для -46: если (ЗЬ) —>z имеет значение 1, то (Vb)z имеет
значение 1.
Для -47: если (3b)~z имеет значение 0, то (V6) z
имеет значение 0.
101

Для RI : если (V Ъ) zv имеет значение 1, и при этом
в z входит термин, отсутствующий в г;, то (Vb) z
имеет значение 0. С помощью Ri доказуема формула
(Vb) (zv) \—(Yb) z, принимающая значение 0, если z
есть (Ь+- с), a v есть (Ь <— d).
Для R2: если (ЯЬ) (zi?) имеет значение 1, и при этом z
содержит термин, отсутствующий в г;, то (ЯЬ) z имеет
значение 0. С помощью R2 доказуема формула (ЯЬ) (zv) |—
f— (ЯЬ) z, принимающая значение 0, если z есть (& <— с),
а г? есть (Ь <— d).
Общее семантическое правило: все прочие формулы,
к которым неприменимо исключающее семантическое пра-
вило, равнозначны своим бескванторным формам.
§ 6. Некоторые следствия
В дальнейшем будем делать ссылки только на аксиом-
ные схемы, правила вывода, теоремные схемы и метатео-
ремы Sscq. Что касается соответствующих элементов общей
теории дедукции, то будем ограничиваться лишь ссылкой
на систему (в данном случае — на Ss) или вообще будем
их опускать как тривиальные.
МТ1. Если х f— yz и z\— v доказуемы, то x |— yv
доказуема (в силу Ss); если ху (~ z и v f— x доказуемы, то
vy \— z доказуема (в силу Ss).
МТ2. Если х\— у доказуема в Sscq, и множества эле-
ментарных высказываний, входящих в х и г/, совпадают,
то ~ у \— ~ х доказуема в SI .
Доказательство МТ2. В Sfa имеют силу следующие
теоремные схемы:
х [46, Ä7]
x [A6, Al]
[А2, Т2]
[А^АЧ, Ali
Г2. (Яа)а:|-~(Уа)~<
ГЗ. ~я| (Ya)x
Г4. ~ С3.а)х\-~х
102

ТЪ. ~(Щ(ху)\-~((Щх(Щу)[АЬ,АЪ,А1,тиТ2\
T6. ~{{Щх\/(Щу)\ (Ya)(x\/y)
[АЗ,А6,А7,Т1,Т2]
Tl. ~{Va)x\ (За)ж,
где а не входит свободно в х [-45, П, Т2, А6, Al]
Г8. (Яа)~#| (Va)х (-А6, Al]
Г9. ~(Щх\ (Яа)~я [А6,А1]
В Sscq имеют силу также следующие утверждения, ко-
торые можно рассматривать как производные правила
вывода:
MT* 1. Если х \— у доказуема в Sscq, и при этом мно-
жества элементарных высказываний, входящих в х и у,
совпадают, то ~ (Va) у |— ~ (Va) x доказуема в Sscq.
MT* 2. Если x f— y доказуема в Sscq, то при этом же
условии, что и в M Г*1, доказуема и ~ (Яа) у \— ~ (За) х.
Справедливость МТ*1 видна из следующего: если
х \— у такова, как сказано в МТ*1, то согласно ГЗ— Г9
доказуема ~ у |— ~ х; по правилу R2 доказуема (Яа) ~ у\—
\— (Яа) ~ х, откуда по TÏ и Т2 имеем, что доказуема
~ (Va) y \— ~ (Va) x. Аналогично для МТ*2 (только
используется Ж, -46 и -47).
Поскольку для каждой аксиомы х\— у доказуема
~ У I— ~ х, (ТЪ — ГЭ), а правила вывода это сохраняют
(МП и МГ2), то МТ2 доказана.
МТЪ. Если х\— y\j zthz\— v доказуемы, и множества
элементарных высказываний, входящих в заключения и
посылки этих формул, совпадают, то х |— у V v доказуема
(следствие МТ1 и МТ2).
MT4t. Если х\/ у [— z и v\— x доказуемы, то при том
же условии, что в МГЗ, доказуема v \/ у |— z (следствие
МП и МТ2).
МТЪ. Если ~ х\— упх\— v доказуемы, то при том же
условии, что в МТЗ, доказуема ~ v |— у; если x |— ~ y
103

и v (_ у доказуемы, то при том же условии, что в МТЪ,
доказуема a; j— — г? (следствие MTi и МТ2).
В Slq имеют силу также следующие теоремные схемы
ПО. (Ya)x(Vb)x[-(Va)(Sb)x [Ai, A2, Ri, Til]
TU. (Ya)x(äb)x\-(Ya)(äb)x [Ai, Ri, Til]
Т12. (äa)x(Yb)x\-(äa)(Yb)x [А2]
743. (За) х (ЛЬ) х \- (За) (ab) х [А2]
744. (Ya)(Yb)x\-(Vb)(Va)x [Ai,RI,Til]
Tib. (За) (Yb) x \- (Yb) (За) х
[Ai,A2,Ri,Til,R2,T18]
Tib. (За) (36) x \- (ЗЬ) (За) x [A2, R2, 748]
Til. x\— (Va) ж, где а не вхедит свободно в x [A2]
Ti8. (За) ж (—ж, где а не входит свободно в ж [.41]
749. (Va) ж (Va) у H (Va) (жу) [Л1, Ri, Til]
Т20. (Ya)(xy)\-(Ya)x(Ya)y [Ai, Ri, Til]
721. (За) (ху) \- (За) x (За) j/ [i?2]
Г22. (За) (ж V У) h- (Щ * V (Яа) У [^19, ггО, 46, 47]
723. (За) х V (Яа) у \- (За) (ж N/ ») [Ti9, T20, Aß, Al]
TM. (Va) ж V (Va) j/f-(Va) (ж V У) [T2i,MT2, Aß, Al]
T25. (Ya)x\/(äa)y\-(äa)(x^y) [Т2Ъ, Ai, A2, МТЦ
T26. (За) x V (Va) у f- (За) (ж V У) [T2S, Ai, А2, МТ4]
Т21. (Va) ж [-(За) ж [Ai, A2]
Т28. ~(3а)ж[-~^а)ж [Т21,МТ2]
Г29. (Va) (жу) \- (Va) ж (За) у [Т20,Т21]
ГЗО. (Va) (жу) |- (За) ж (Va) у [Г20, Т21]
ТЫ. (Vx)(xy)\-(3.a)x(äa)y [Т20, Т21]
Г32. (Ya)(z\/y)\-(Za)x\/(Ya)y [AS]
ГЗЗ. (За)^&)жЬ-(ЗЬ)(За)ж [Ti5, T21]
TU. (Va) (жV У) Ь (За) ж V (За) У [ЛЗ.МГЗ]
Г35. (Va) ж V (Va) y Ь (За) (ж V У) [Г24, Г27]
Г36. (Va^(Va)y|-(3a)^y) [749, Г27]
104

Г37. ~(Ya)~x\-(üa)x [Aß, А7]
Г38. (Va) (Yb)x\-(Yb) (За) я [Al, А2, RI, ТП]
Г39. (Va)(Vb)*|-(3b)(Va)* [Al, RI, R2, Г18]
Г40. (Va) (V6) ж|~ (3b) (3a) ж [41, 42]
Г41. (Va)(ЗЬ)ж(-(ЗЬ)(3a)x [Al,T16]
T42. (räa)x(Ya)y]-(^a)(xy) [ЛЗ]
§ 7. Главная интерпретация
Возможны две равноценные (по результатам) семан-
тические интерпретации кванторов — прямая и косвен-
ная.
Косвенная заключается в следующем.
D1. Отмеченный термин: если a есть термин, то ia
(i = О, 1, 2, ...) есть его отмеченный термин.
Символом x (ia) будем обозначать высказывание, кото-
рое образуется из х путем замены a на ia везде, где a
входит свободно в х.
D2. Интерпретационная форма данной формулы х \—у
есть формула, которая получается из нее в результате
следующих операций.
1) если a входит свободно в х \— у, то х (— у заменяется
на (Va)а; \— (Va) у или (За)# |— (За) у; и так для всех
терминов, имеющих свободные вхождения в х \— у;
2) все вырожденные кванторные группы отбрасыва-
ются;
3) все вхождения вида (Yb) z заменяются конъюнк-
циями z (lb) z (nb)\ все вхождения вида (ЗЬ) z заме-
няются дизъюнкциями z (lb) V ... \Jz (nb)\ если п = О, то
(ya)z и (3a)z заменяются на z,
Z>3. Формула х\— у есть тавтология, если и только
если каждая ее интерпретационная форма есть тавтология
при любом числе отмеченных терминов для каждого тер-
мина, входящего в нее.
105

Прямая интерпретация имеет такой вид:
1) если (Va) х приписали значение 1, то должны и х
приписать значение 1 ; если х имеет значение 1, то значение
(Va) х не зависит от х\
2) если (Va) х приписали значение 0, то значение х
не зависит от значения (Va) х; если х имеет значение 0, то
(Va) х имеет значение 0;
3) если при установлении значения формулы следова-
ния, в которую входит х, мы, приписав посылке значение 1
или заключению значения 0, вынуждены вследствие этого
приписать х значение 1, то должны (Va) x, входящему
в ту же формулу, приписать значение 1; если же мы при
этом не вынуждены приписывать х значение 1 (т. е. оста-
ется возможность приписать х значение 0), то (Va) x при-
писывается значение 0;
4) (За) х равнозначно ~ (Va) ~ х\
5) если a не входит свободно в х, то х равнозначно
(Va) x и (За) х.
/)*3. Формула a: |— г/ есть тавтология, если и только
если она имеет значение 1 для любых комбинаций значе-
ний входящих в нее высказываний, допускаемых правила-
ми приписывания значений.
Рассмотренные интерпретации равноценны в том смы-
сле, что если с помощью одной из них некоторой формуле
приписывается значение 1 (или 0), то и с помощью другой
этой же формуле приписывается зцачение 1 (соответствен-
но 0). Эти способы приписывать значения высказываниям
и формулам следования эффективны в том смысле, что для
любого высказывания и любой формулы, рассматриваемым
в теории кванторов, можно установить, являются они
тавтологиями или нет. Тот факт, что при построении ин-
терпретационных формул число отмеченных терминов не
ограничено, принципиальных препятствий не создает,
ибо методом математической индукции можно построить
доказательство для любого числа отмеченных терминов.
106

§ 8. Полнота 8cq
В логической системе, определяющей свойства кван-
торов, должны быть доказуемы формулы, которые интер-
претируются так: 1) как правила введения и удаления
кванторов; 2) как правила, разрешающие перестановку
кванторов; 3) как правила замены одних кванторов дру-
гими; 4) как правила, разрешающие вынос кванторов из
дизъюнкций и конъюнкций и внесение их в конъюнкции
и дизъюнкции; 5) как правила введения и удаления отри-
цаний у кванторов. Поэтому специфические правила
следования, определяющие свойства кванторов, должны
быть такими, чтобы в формулах х |— */*, являющихся
бескванторными формами формул х\— у, посылки х и
заключения у* были тождественными или различались бы
только так, что одни из них можно было получить из
других заменой вхождений ~ ~ z на z (или наоборот).
Проблема полноты Sseq в узком смысле выглядит так:
все или не все тавтологии такого типа доказуемы в Slq-
Покажем, что система Sscq полна прежде всего в этом
узком смысле.
Z)le Формула х\-у является базисной формулой, если
и только если она есть одна из формул такого вида:
1. a(Ka)ßz[— ïz
2. rz[-oc(Ka)^z
3. a(K4i)ßzhr(Kaa)oz
4. oi(K1a)(zu)\-^(K2a)zr(K3a)u
5., a (Кга) (z V v) \- ß (K2a) z V Г (K3a) v
6. a (Kxa) *ß (K2a) v \- r (K3a) (zv)
7. a (Кга) 2 V ß (K2a) y |- r (K3a) (z V у)
8. aWP^^hrCT*^)«,
где К, К1, К2 и К3 суть V и Я в любых комбинациях,
а a? ß, 7 и Ö означают наличие или отсутствие отрицания
в любых комбинациях.
107

MTi. Если базисная формула х \— у есть тавтология
(с ограничением § 9 пятой главы), она доказуема в Slq.
Теорема MTÏ доказывается путем пересмотра всех
возможных базисных формул. Поскольку в Sscq доказуемы
формулы
(Va) ж-|| (Щ~х
(За)#-|| (Va)~#
— — х—\\—х
*V»4l-~(~*~'»)
то число случаев, которые необходимо рассмотреть, сокра-
щается. Эти случаи сводятся к случаям 1—8 без отрицаний
перед кванторами. Кроме того, в Slq доказуемы формулы
(Ка)х-\\-х (Кха)х-] \- (К2а)х,
в которых a не входит свободно в х.
Дальнейший метод перебора базисных формул таков.
В первом случае остается четыре подслучая
(Щу}-У №<*)у\-у
(Va)~y|-y (3a) ~ у f- y.
Из них только одна формула (Va) y \— y есть тавтология,
и она доказуема в SScq(Al).
Во втором случае остается четыре подслучая
х[— (Ya)x x\— (З.а)х
х |— (Va) — х х\— (За) ~ х,
и только в одном из них формула есть тавтология, а имен-
но—а; f— (За) х. Она доказуема в S*cq (A2).
108

В третьем случае остается восемь подслучаев
(Va)zf—(Va)z
(За) z \~ (Va) z
(Va) z \- (За) z
(За) z |— (За) z
(Va)-
(Va)~
(Яа)~
(За)~
--z(—(Va)z
~z(-(3a)z
- z \— (Va) z
~zf-(3a)z
Из них только первый, третий и четвертый суть тавтоло-
гии, и они доказуемы в Slq (а\— а системы iSs и Î"27VII6).
В четвертом случае остается восемь подслучаев
(Va) (zv) (— (Va) z (Va) y (3a) (zv) f— (Va) z (Va) v
(Va) (zy) f- (Va) z (3a) y (3a) (zy) \- (Va) z (3a) y
(Va) (zi>) f- (3a) z (Va) v (3a) (zy) |— (3a) y (Va) y
(Va) (zv) f- (3a) z (3a) v (3a) (zv) [- (3a) y (3a) v
Из них только первые четыре и последний суть тавтологии,
и они доказуемы в Sscq (Т20, Г29, ТЗО, Г31, Г21 из § 6).
В пятом случае остается восемь подслучаев
(Va) (z V v) \- (Va) z V (Va) y
(Va) (z V f) h- (Va) z V (3a) v
(Va) (z V у) h- (3a) z V (Va) y
(Va) (z V v) H (3a) z V (3a) v
(3a) (z V v) \- (Va) z V (Va) y
(3a) (z V v) H (Va) z V (3a) v
(3a) (z V v) h (3a) z V (Va) y
(3a) (z V v) \- (3a) z V (3a) y
Из них только вторая, третья, четвертая и восьмая суть тав-
тологии, и они доказуемы в 5^ (А4, Г32, Г34 и Г 22 из § 6).
В шестом случае остается восемь подслучаев
(Va) z (Va) у J- (Va) (я;) (Va) z (Va) y f- (3a) (zy)
(Va) z (3a) y f- (Va) (zv) (Va) z (3a) y |— (3a) (zv)
(3a) z (Va) y H (Va) (zy) (3a) z (Va) y f- (3a) (zv)
(3a) z (3a) y |— (Va) (zy) (3a) z (3a) y |— (3a) (zv)
109

Только первый, пятый, шестой и седьмой из них суть
тавтологии, и они доказуемы в Slq (Г19, Г36, .43, Г42
из § 6).
В седьмом случае остается восемь подслучаев
(Va) z V (Va) v \- (Va) (z V v)
(Va) z V (3a) v f- (Va) (z V у)
(3a) z V (Va) p |- (Va) (z V у)
(3a) z V (3a) y f- (Va) (z V у)
(Va) z V (Va) y [- (3a) (z V f)
(Va) z V (3a) v \- (3a) (z V у)
(3a) z V (Va) y |- (3a) (z V *>)
(3a) z V (3a) v |- (3a) (z V у)
Из них тавтологиями являются только первый, пятый,
шестой, седьмой и восьмой, и они доказуемы в SSC4 (T2A,
Г35, Г25, Г26, Г23 из § 6).
Наконец, в восьмом случае остается шестнадцать под-
случаев
(Va) ( V6) z f- ( V6) (Va) z (3a) (V6) z |- (V6) (Va) z
(Va) (V6) z |- (Yb) (3a) z (3a) (Vb) z (- (Vb) (3a) z
(Va) (Vb) z |- (3b) (Va) z (3a) (Vb) z f- (3b) (Va) z
(Va) ( Vb) z (- (3b) (3a) z (3a) (V6) z f- (3b) (3a) z
(Va) (3b) z f- (Vô) (Va) z (3a) (36) z H (Yb) (Va) z
(Va) (36) z (- ( Vb) (3a) z (3a) (3b) z |- (Vb) (3a) z
(Va) (3b) z 1- (3b) (Va) z (3a) (36) z f- (3b) (Va) z
(Va) (36) z \- (3b) (3a) z (3a) (36) z H (36) (3a) z
Из них только первый, второй, третий, четвертый, восьмой,
десятый, двенадцатый и шестнадцатый суть тавтологии.
И они доказуемы в Saeq (Г14, Г38, Г39, Г40, TAI, Г15,
733, Г16 из § 6).
МТ2. Если формула
(Ka) (z42... z") \- (Kla) z1 (K2a) z2... (Kna) z»
есть тавтология (с ограничением), она доказуема в Slq.
110

Доказательство МТ2. Если наша формула есть тавто-
логия, то тавтологиями будут все формулы А1
{Ka)(z42. . ^(-(КЪ)*1,
где i = 1, 2, ..., п. В силу S8 доказуемы
(Ka)(z4* . . . ^)Н(-(Ц№ . . . zn-i)),
где zx, ..., zn_i суть все остальные изя1,..., zn, отличные от
2*. Очевидно, если будут доказуемы формулы В1
(Ka)(^(%...^n-i))b(K%)^,
то будут доказуемы и формулы А1. И если А1 суть тавто-
логии, то и 2?* суть тавтологии, и наоборот. Но если В1
есть тавтология (с ограничением), будет тавтологией ба-
зисная формула
{Ka){zi{z1. . . zn^1))h-(Kia)zi(K*a)(21. . . zn-i).
Согласно МТ1 последняя доказуема. Значит согласно S*
доказуема В1 и А1. Поскольку это касается всех А1, то
неоднократным применением jR3 системы Ss по.йучим, что
наша формула доказуема.
МТЗ. Если формула
(Кга) z1 (К2а)z2 . . . (Kna)zn\-(Ka){z1z2. . . zn)
есть тавтология, то она доказуема в Sscq.
Доказательство МТЪ. Если данная формула есть тав-
тология и К есть V, то все К* должны быть тоже V. Но
в таком случае последовательно доказываются формулы
(Va) z1 (Va) z21- (Va) (zV)
(Va) (z1**) (Va) z3 \- (Va) ((zV) z3)
(Va)(( . . . (zH^z*). . . )z"-1)(Va)zn[-
|-(Va)(( . . . (zV). .. )zn~1)zn)
(Va)(( . . . {(z42)zz) . . . )zn-1)zn)\-{Va){z1z* . . . zn),
111

Если К есть Я, то доказательство аналогично (добавля-
ется лишь использование r27VII6).
МТА. Если формула
(KöO^V^V - . * V2n)b(K1a)21 V(K2a)z2V • • •
. . . \/{Kna)zn
есть тавтология (с ограничением), она доказуема в Sscq.
Доказательство MГ4. Если К есть V, то данная фор-
мула может быть тавтологией лишь при условии, если ни
один из К\...,КП не есть V или только один из них
есть V (в чем легко убедиться, допустив два отмеченных
термина). Если К есть Я, то все К1, ..., Кп должны быть
тоже Я. Пусть К есть V. В таком случае доказуемы
формулы
(Va) (z1 V (*2 V • - - V *n)) h (Va) z1 V
V(aa)(*2V--- \ЛП).
(Va) (*i V (*2 V • • - V *n)) h (3a) *l V
V (Va) (s2 V... У^-
Если К1 есть V, выбираем первую из них, если К1 есть Я,
выбираем вторую. В первом случае будут доказуемы
(За) (z2 V (*3 V • • • V г")) Ь
Ь(Яа)22\/(За)(23\/---\Лп)
(3a)(Z3V(z4V--.\/z"))|-
\-(Щг*\/(Щ(г*\/ ...X/z»)
(За) (z"-1 V zn) [- (За) г« V (За)z"
Отсюда в силу MTÏ имеем
(Va) (z1 V • • • V 2") H (Va) гг V (Зй)z2 V • • • V (3a) z».
Во втором случае проделываем то же, что и в первом,
но для формулы (Va) (z2V ... Vz")- Если К есть 3, то
112

доказуемы
(aa)(ziV(z2V---Vzn))l-
I- (За) z1 V (За) (z2 V • • • V z")
(За) (z""1 V zn) I— (За) z"-1 V (За) z",
откуда по MTi имеем
(3a)(z1V • . . Vzn)(-(За)z1 V • • • \/(Щгп.
МТЪ. Если формула
{КЧ) z1 V . . . V (К"а)г» h (Ка) (z1 V . . . V z")
есть тавтология (с ограничением), она доказуема в Slq^
Доказательство МТЪ. Если К есть V, то данная форму-
ла может быть тавтологией лишь при условии, если все
К1, ..., Кп суть Y (в чем легко убедиться на примере
случая двух отмеченных терминов и п = 3). В таком слу-
чае будут доказуемы
(Уа)гх\/. • .V(Va)znb-
f-(Va)z1V . - . V(Va)(zn_1Vzn)
{Щ&У . • • V(Va)znb-
1- (Va) z1 V ••• V (Vû0 (z"~2 V (zn_1 V zn))
(Va)z*V-- .V(Va)z»|-
h-(Va)(z1 V(z2V( • • - V(zn-xVzn)- - • ).
откуда по Ss получаем
(Va)*1 V • ■ ■ V (Va)**Ь(Va)О*1 V ■ ■ • V*n)-
Если К есть Я, то данная формула будет тавтологией
при любом наборе К1, ..., Кп. При этом будет иметь силу
рассуждение, отличающееся от предшествующего только
тем, что в нем будет фигурировать по крайней мере один
квантор Я или будет использована r27VII6.
МТ6. Если формула
(R1a1)(K2a2) . . . (Knan)z|-!;,
113

где v отличается от посылки лишь иным порядком кванто-
ров, есть тавтология (с ограничением), она доказуема в Slq.
Доказательство MTQ. Случай 1: v отличается от по-
сылки только порядком двух первых кзанторов. В этом
случае формула есть базисная тавтология и согласно МТ1
доказуема. Аналогично в случае 2, когда v отличается от
посылки лишь порядком двух последних кванторов. Слу-
чай 3: v отличается от посылки лишь порядком двух кван-
торов (К*а*) и (Ki+1ai+1), где i > 1 и i + 1 < п. В этом
случае будет доказуема базисная тавтология
(KV)(K*+V+1) . . . (RV)2h
f-(Ki+1ai+1)(KV). . . (Knan)zt
is. согласно RI и R2 доказуема данная формула. Случай 4:
тавтологиями являются формулы
(К1а1)(К2а2) . . . (K^zl-v1
и1}— у2, . . . ,umf—у,
где v1 отличается от посылки лишь порядком двух кван-
торов, v2 отличается от v1 лишь порядком двух кванторов
..., v отличается от vm лишь порядком двух кванторов
(m ^ 2). Приведенные формулы суть базисные тавтологии,
и согласно МТ\ и S* будет доказуема наша формула.
МП. Если а: |— г/ есть тавтология, х* \— у* есть ее
бескванторная форма, х* и у* тождественны или одна из
них может быть получена из другой путем замены вхожде-
ний вида ~ ~ z на z, то # |— у доказуема в Slq.
Теорема МТ1 доказывается путем пересмотра всех воз-
можных соотношений структур х и у. Для х возможны
только такие случаи, когда оно есть:
1) элементарное высказывание;
2) (Va) z
3) (3a)z
4) ^V . - - \Лп(и>2)
5) z1- . . . .zn(n>2)
6) ~s
114

Аналогично для у возможны только такие случаи, когда
оно есть:
1) элементарное высказывание;
2) (Vb)v
3) (3ft) и
4) ply . . . V*>m(™>2)
5) и1- . . . •yTn(m>2)
6) ~v
Шестой случай в силу Ss и аксиомных и теоремных схем
46, Al, HVII6, r2VII6, 77VII6, T28VII6, Г37УП6
системы SsCq сводится к остальным. Комбинации указан-
ных случаев для х\— у будем обозначать символами
i f— &, где l^i^5 и 1^А^5.
Рассмотрим все возможные i f— к. Для 1 [— 1 теорема
верна в силу Ss. Случаи 1|— 2 и 1 |— 3 сводятся к базис-
ным. Случаи 1 |— 4 и 1 |— 5 исключаются. Случай 2 |— 1
сводится к базисному. Для 2 |— 2: если а есть ft, то 2 |— 2
есть тавтология лишь при условии, что z |— v есть тавто-
логия; если z[— v доказуема, то 2 (— 2 доказуема в силу
Ш; если а и Ъ различны, то 2 (— 2 может быть тавтологией
лишь при условии, что z |— (Vft) v есть тавтология; а если
z f— (Vft) г; доказуема, то доказуема 2 |— 2 в силу -41.
Для 2 J— 3 рассуждение аналогично предшествующему
(дополнительно используется T27VII6). Случай 2 |— 4
сводится к базисному или к случаю, рассмотренному
в M ТА. Случай 2 [— 5 сводится к базисному или к случаю,
рассмотренному в МТ2. Случай 3 j— 1 сводится к базис-
ному. Для случая 3 [— 2: если а и Ъ одинаковы, то 3 |— 2
может быть тавтологией лишь при условии, что а не вхо-
дит свободно в z ж z \— (Vft) v есть тавтология или а не
входит свободно в г; и (За) z \— v есть тавтология (или и
то и другое); а если эти формулы доказуемы, то доказуема
данная формула в силу П7УП6 или П8УП6; если а и
ft различны, то 3 |— 2 может быть тавтологией лишь при
условии, что z |— (Vb) v есть тавтология, и а не входит
115

свободно в г;; а если z \— (Yb) v доказуема, то при этом
условии 3 |— 2 доказуема в силу Г18УП6. Для 3 |— 3:
если ажЪ одинаковы, то 3 (— 3 есть тавтология лишь при
условии, что z\— v есть тавтология; а если z (— v доказу-
ема, то 3 \— 3 доказуема в силу Л2; если а и Ъ различны,
то 3 f— 3 может быть тавтологией лишь при условии, что
(За) z f— v есть тавтология; а если (За) z \— v доказуема,
то 3 f— 3 доказуема в силу R2. Случаи 3 f— 4 и 3 [— 5
сводятся к базисным и к случаям, рассмотренным в МТ2—
МТ5. Случаи -4 ]— 1, -4 |— 5, 5|— 1и5|— 4 исключаются.
Случаи 4Ь-2, 4[-3, 4 [- 4, 5 |— 2, 5 [- 3 и 5 h 5 сво-
дятся к базисным и к случаям, рассмотренным в МТ2—
МТ5.
Таким образом, система Sscq определяет исчерпывающим
образом свойства кванторов для высказываний с операто-
рами -, V и ~ в смысле МТ7.
§ 9. Проблема разрешимости
Однако полнота Sscq, о которой говорилось в предше-
ствующем параграфе, еще не достаточна для решения про-
блемы разрешимости для Sscq. Для этого необходимо пока-
зать, что S^q полна в смысле МТ6, формулируемой ниже.
Dl. Контрольной формой формулы х\— у будем назы-
вать формулу, которая образуется из нее в результате
таких операций:
1) если бескванторные формы формул (— у и [— ~ х
недоказуемы в S5, то х \— у оставляется без изменения;
2) если бескванторная форма формулы |— у или (— ~ х
оказуема в дУ5, то все вхождения высказываний в х [— у,
не содержащие кванторов, заменяются их дизъюнктивной
нормальной формой в обычном смысле (см. гл. III, § 6);
все вхождения вида ~ ~ а, где а есть элементарное вы-
сказывание, заменяются на а; если элементарное высказы
вание а входит в х (или в у) без отрицания и с отрицанием
(и это — разные вхождения), то ~ а повсюду заменяется
116

любым элементарным высказыванием, не входящим в
х |— у; и так для всех пар элементарных высказываний
и их отрицаний, совместно (но в разных местах) входящих
в х (или в у).
M Tl. Если х* f— y* есть контрольная форма формулы
а: I— г/, и ж* |— г/* при этом есть тавтология, то х \— у
есть тавтология (но не всегда наоборот).
Теорема MTÏ очевидна из способа построения кон-
трольной формы: если Ь есть элементарное высказывание,
подставляемое на место ~ а, и х* |— у* есть тавтология,
то это значит, что она имеет значение 1 для всех четырех
комбинаций значений а и ft, и в том числе — для двух ком-
бинаций, которые получаются для а и—а. И так для всех
заменяемых элементарных высказываний с отрицаниями.
МТ2. Если х* |— у* есть контрольная форма формулы
# \— У> а #** h* У** есть бескванторная форма х*\— у*,
то \—у** и |— ~ х** недоказуемы в Sb (т. е. у** не есть
тавтология, а х** не есть противоречие); недоказуемы
в S5 также |— х** и f— ~ у** (поскольку ни одно выска-
зывание не входит в х** и в у** совместно с его отрица-
нием).
МТЗ. Если х\— у доказуема в Slq, то доказуема и
ее контрольная форма (это очевидно из вида аксиомных
схем и правил Sscq).
MIA. Если доказуема контрольная форма х* |— у*
данной формулы х\— у, то доказуема и сама х\— у (по-
скольку доказательство х* f— y* легко превратить в до-
казательство о: |— г/, заменив повсюду соответствующие
элементарные высказывания на подходящие элементар-
ные высказывания, входящие в х\— у).
МТЬ. Пусть х\— у есть тавтология, совпадающая со
своей контрольной формой, а ее бескванторная форма
х* |— у* доказуема в Ss. В таком случае х\— у доказуема
В £сд*
Доказательство МТ5. Возможны два случая: 1) х* |—
|— у* и у* |— х* доказуемы обе, и тогда множества элемен-
117

тарных высказываний, входящих в х* и у* (а значит в х
и у), совпадают; 2) х* (— у* доказуема, sl у* \— х* нет.
Второй случай сводится к первому следующим образом:
если х |— у есть тавтология, то х\— ух есть тавтология,
и наоборот; если х \— ух доказуема, то х |— г/ доказуема;
если ж* |— г/У доказуема, то х\— ух доказуема, посколь-
ку она есть тавтология, и доказуема у*х* |— х*. Для пер-
вого же случая МТБ доказывается аналогично доказатель-
ству МТ1 предшествующего параграфа. Только при этом
необходимо принять во внимание то, что в силу указан-
ного в МТЪ ограничения на#|— у в х ж у яе входят эле-
ментарные высказывания совместно со своими отрица-
ниями.
Рассмотрим случаи i ]— к. Для 1 (-— 1 теорема верна
в силу Ss. Для ± j— 2: 1 }— 2 есть тавтология лишь при
условии, что Ъ не входит свободно в v\ но если х \— v
доказуема при этом условии, то 1 (— 2 доказуема в силу
ri7VII6. Для 1 \— 3: если х\— v доказуема, то 1 |— 3
доказуема в силу А2. Для 1 |—• 4: 1 ]— -4 есть тавтология,
если и только если найдется такое vl (i = 1, ..., m), что
х\— vl есть тавтология; а если х \— vl доказуема, то в силу
Ss доказуема 1 \— 4. Для 1 |— 5: ± j— 5 есть тавтология,
если и только если каждая из х \— vl (i = 1, ..., m) есть
тавтология; а если все х\— vl доказуемы, то в силу S
доказуема 1 |— 5. Для 2 J— 1 : если z \— х доказуема, то
2 |— 1 доказуема в силу Al. Для 2 |— 2 и 2 (— 3 рассужде-
ние аналогично таким же случаям в доказательстве МТ1
предшествующего параграфа. Для 2 |— 4: 2 (— 4 есть тав-
тология при условии, что найдется такое w, что z \— w
есть тавтология, a (Va) w \— (v1 \/ ... \/vm) есть тавтология
и относится к числу формул 2 |— 4, рассмотренных в МП
предшествующего параграфа; а если z |— w и (Va) w \—
|—(^V ... V vm) доказуемы, то доказуема 2 [— 4 в силу Ss.
Для 2 |—• 5: 2 |— 5 есть тавтология при условии, что най-
дется такое ш, что z \— w есть тавтология, а (Va) w \— г;1-
vm есть тавтология и относится к числу формул
118

2 I— 5, рассмотренных в МП предшествующего парагра-
фа; а если z |— w и (Va) w f— v1» ... •v™ доказуемы, то
доказуема 2 f— 5 в силу £*. Случай 3 |— ± сводится к ба-
зисному. Для 31— 2 и 3 |— 3 рассуждение аналогично
таким же случаям в доказательстве МТ7 предшествую-
щего параграфа. Для 3 f—4 рассуждения аналогично слу-
чаю 2 |— 4, а для 3 j— 5 — случаю 2 |— 5. Для 4 (— 1:
4 |— 1 есть тавтология при условии, что каждое из zl f— у
есть тавтология; а если все zi\— y доказуемы, то 4 |— 1
доказуема в силу MT2YUQ и S8. Для 4 \— 2: 4 \- 2 есть
тавтология при том условии, что найдется такое w, что
w\— V есть тавтология, а zl\/ ... \/zn\— (Va) и? есть тав-
тология и относится к числу формул 4 |— 2, рассмотрен-
ных в МП предшествующего параграфа; а если z1 V ...
...\/ zn[—(Yb) w и w\— v доказуемы, то доказуема 41— 2*
Для 4 |— 3 рассуждение аналогично 4 [—• 2. Для 4 |— 4:
если 4 |— 4 не содержит кванторов, она доказуема в силу
полноты S8] если же она содержит кванторы, то она либо
доказуема в силу S8, либо недоказуема в силу S8; в послед-
нем случае она есть тавтология лишь при условии, если
найдутся w1 и w2 такие, что ^N/••• V*n I— wi и w* Ь~
|— v1 V ... \/vm суть тавтологии и относятся к числу формул
4 |— А: и i f— 4, рассмотренных в А/Т7 предшествующего
параграфа, а wi \— w2 есть тавтология; если последние
три формулы доказуемы, то доказуема 4 |— 4. Для 4 f— 5
рассуждение аналогично (только нужно сослаться на 4 f— к
и i |— 5 предшествующего параграфа). Для 5 |— 1:5 |— 1
есть тавтология при условии, что среди z1, ..., zn найдется
zl такое, что zx\— y есть тавтология; а если zl\— y дока-
зуема, то доказуема 5 |— 1 в силу S8. Для 5 J— 2, 5 j— 3,
5 f— 4 и 5 |— 5 рассуждения аналогичны случаям 4 (— 2,
4 [- 3, 4 f- 5 и 4 f- 4.
Из МП — MГ5 следует полнота £сд в смысле следую-
щей теоремы:
МТЬ. Пусть х* \— у* есть контрольная форма формулы
х |— г/, а #** f— г/** есть бескванторная форма формулы
119

x* \— у*. Если х* |— у* есть тавтология, а х** |— у**
доказуема в S8, то х |— г/ доказуема в £*д.
Поскольку для любой данной формулы х |— у можно
(по самому способу приписывания значений входящим
в нее высказываниям или по ее интерпретационной форме)
установить, является она тавтологией или нет, благодаря
МТ6 имеется стандартная процедура, посредством которой
для любой данной формулы о: |— г/ можно установить,
доказуема она в Sscq или нет.
Пусть дана формула х\— у. Чтобы установить, доказу-
ема она в Slq или нет, надо осуществить следующие опе-
рации (а эти операции осуществимы для любой формулы):
1) образовать бескванторную форму х* f— у* формулы
x f— у и установить доказуема она в Ss или нет; если х* f—
|— у* недоказуема в Ss, то x f— у недоказуема в Sscq\
если же х* |— у* доказуема в Ss, то надо осуществить
следующий шаг;
2) образовать контрольную форму х** \— у** данной
формулы x (— y и установить, является она тавтологией
или нет; если х** \— у** есть тавтология, то x |— y дока-
зуема в Sscq; если х** \— у** тавтологией не является, то
х\— у недоказуема в Slq.
§ 10. Другие системы
для классического случая
Другие системы теории кванторов для классического
случая получаются путем присоединения к Sw, Sm, Sc,
Sb и S6 таких же дополнений, какие сделаны выше к Ss.
В системе Slq принимаются еще дополнительные правило
и определения.
Л1. Если |— х, то |— (Va) x.
Di. Интерпретационной формой формулы |— х назы-
вается формула, которая получается из нее так: если тер-
мин а входит свободно вх, то |— х заменяется на |— (Va) x;
и так для всех терминов, имеющих свободные вхождения
120

в х; в остальном имеют силу пункты 2 и 3 определения
P2VII7.
D2. Формула |— х есть тавтология, если и только если
х есть тавтология при любом числе отмеченных терминов
для каждого термина, входящего в х.
В случае прямой интерпретации Dl и D2 излишни.
МТ1. Если \—х доказуема в Slq, то она есть тавтология
(теорема очевидна, поскольку если \— х доказуема, то
значит любая х (id) и их конъюнкция есть тавтология).
МТ2. Формулы
\-(Ya){a+-b)zi(c±-b)
Р(с*-&):э(За)(а«-Ь)
недоказуемы в Sscq (поскольку они не тавтологии).
§11. Расширение Sscq
Расширим систему iSjg, заменив аксиомную схему
Л5 на такую:
4*5. (З.а)х\- {Ya)x,
где а не входит свободно в х или (— х доказуема в Sb.
Для такой Sq имеют силу теоремные схемы Т\ — Г4,
в которых доказуема |— х (т. е. х есть тавтология):
Tï. x[-(Va)x
Т2. (Щх\-х
ТЗ. (Щ~х\-~х
Г4. ~х\-(Щ~х
В случае ТЗ и ТА высказывание ~*> х есть противоречие.
ТЪ. х\-{Ча)(х\/~х)
TQ. [Щ(~хх)\-х
Формулы типа ТЪ и TQ недоказуемы в Slq.
121

Систему Sel можно получить также, добавив к акси-
омным схемам Slq схему A8:('äa)<^-((x1...xn)~(x1...xn))\—
|-(Va)~((a:1...a:n)~(a:1...a;n)), где тг>1,
В расширенной таким образом Ss^ будет иметь силу
утверждение:
M Tl. Если х f— у есть тавтология, а ее бескванторная
форма доказуема в Ss, то х [— у доказуема в Slq.
Доказательство MTÏ отличается от доказательства
МТЪ из § 9 только двумя случаями, когда в бескванторной
форме х* \— у* формулы х[— у высказывание у* есть тав-
тология (|— у* доказуема в Sb) или х* есть противоречие
(|— ~ х* доказуема в S5).
При рассмотрении i (— к эти случаи охватываются
посредством -4*5 и П — Г4.
§ 12. Система 8anq
Система сильной теории квадторов для неклассического
случая получается путем следующих дополнений к Sscq
и модификаций последней.
Дополнение к алфавиту:
1) "") — внутреннее отрицание;
2) ? — оператор неопределенности.
Дополнение к определению высказывания: если а
есть термин, а х есть высказывание, то ("~] Va) х, (?Va) xf
("""] Яа) х и (? Яа) х суть высказывания.
Дополнение к определению кванторной группы:
(~~| Va), (? Va), (""I Яа) и (? Яа) суть кванторные группы,
если a есть термин.
В определение свободных и связанных терминов добав-
ляется ссылка на кванторные группы ("~~| Va), (? Va),
ПЗа) и (?Яа).
122

Вместо аксиомных схем AQ и Al системы Stg принима-
ются такие аксиомные схемы:
A4. (¥а)ж|-ПЯа)~а:
A4. П Va) ж [-(На) ~ ж
A4. (? Уо)ж^-(?аа)~ж
Л *7. П Яа) ~ х \- (Va) ж
А*7. {Щ~х\-{-\Уа)х
Л87. (?Яа)~ж|-(? Va^
Дополнительные аксиомные схемы:
А18. (Va)x\-~Ç-]Va)x~(?Va)x
Аг8. ("1Va)a;| (Va) ж ~(?Va) x
А38. (?Va)ж| (Va)z~f"|Va^
^9. ~nVa^~(?Va^|-(Va)a
А2 9. ~ (Va) ж ~ (?Va) ж |- (~1 Va) ж
Л8 9. ~ (Va) ж ~ П Va) ж |- (?Va) ж
410. C]Va)(xy)\-r\Ya)x\/C}Va)y
AU. П Va)ж V П Va) j/ H П Va) (жу)
Л12. ( -| Яа) ж V П Яа) у |- П За) (ху)
§ 13. Непротиворечивость #«д
2)1. Бескванторная форма ж |— г/ есть формула, кото-
рая образуется из нее так:
1) все вхождения вида (?Vb) z и (?Я&) z заменяются
соответственно на ~ (Vb) z ~ ( | Vb) z и ~ (ЯЬ) z •
- П ЯЬ) z;
2) все вхождения вида Ç~~\ Yb) z и ("~1 ЕГЬ) 2 заменяются
соответственно на ~ (Vft) 2 и ~ (3&)z;
3) все кванторные группы из полученной формулы ис-
ключаются.
123

Бескванторные формы формул АЩ — Л36, A4 — А37,
А*8 — Л38, Ai(è — 439, 410, ЛИ и 412 суть соответст-
венно
х\— г^~х —х — — х\— — х— — х
— х\— ~->х ~~>х~ (~ х ~-> — х)\— х
~х~— х\ ~>х— — — х
— X ~ (~ Х~~Х)\— — X
— <-^х\— х —х~~ х\ х — — х
~х\-~х ~(Щ})\ х\/~У
~ — х~*~ — — х\— ~х х — х\/—у\-~ ~(ху)
х\-~~х~(~х~~х\ ~#V~J/I toi)
— X [— ~ X ~ (~ X — — X)
Все эти формулы доказуемы в S8. Правила вывода это
свойство сохраняют. Тем самым доказана непротиворечи-
В ОСТЬ iSng.
§ 14. Некоторые следствия в S
nq
МТ1. Если х \— у доказуема в S^, то в у не входят
элементарные высказывания, отсутствующие в х (эта
теорема непарадоксальности очевидна из вида аксиомных
схем и правил вывода ищ).
Tl. (ïïa)x-\\-{~\Va)~z
Tl. ПЗа)х-\\-(Va) — x
ТЪ. (? Яа)ж-||-(? Va) —ж.
Тк. ~(Va)x-\\-(-\Ya)x\/(? Va)x
Tb. ~C\Va)x-\\-(Ya)x\/(? Щх
Тв. ~(? Va)x-\\-(Va)x\/(-\Va)x
Tl. (Яа)(ж\/г/)ЧЬ(За)ж\/(За)г/
TS. (Va)x\/(Va)y\-{Ya)(xyy)
124

§ 15. Главная семантическая интерпретация
Косвенная интерпретация отличается от таковой для
Scq следующими дополнениями и изменениями:
1) если х есть высказывание, то {х} есть высказыва-
ние;
2) если одно из {х} и {~ х} имеет значение 1, то дру-
гое имеет значение 0; если же одно из них имеет значение 0,
то значение другого не зависит от первого;
3) интерпретационная форма формулы х (■— у получает-
ся так:
a) вхождения (?V6) z и (?ЯЬ) z заменяются соответст-
венно на ~ (Yb) z ~ ("~| Vb) z и ~ (ЯЬ) z ~ (И ЯЬ) z\
b) вхождения (~~]Yb) z и (~"~| ЯЬ) z заменяются соот-
ветственно на (Я&) ~ z и (Vb) ~ z;
c) вхождения (Vb) z и (ЯЬ) z заменяются соответст-
венно на {z {lb)}- ... -{z (nb)} и {2 (lb)} V ••• V {z (пЩ-
Прямая интерпретация отличается от таковой для
Sscq тем, что принимаются такие дополнения:
1) (? Ка) х равнозначно ~ (Ка)х~ (""| Ка) х, где К есть V
или Я;
2) если одно из (Ка) х и (~| Ка) х имеет значение 1,
то другое имеет значение 0, если же одно из них имеет
значение 0, то значение другого не зависит от первого;
3) соотношение (Ya)x и х аналогично Sscq; если воз-
можно (невозможно) приписать х значение 1, то (Яа) х
имеет значение 1 (значение 0); если (Яа)# имеет значе-
ние 0, то х имеет значение 0; если х имеет значение 0
(или (Яа) х значение 1), то значение (Яа)х (соответствен-
но значение х) не зависит от х (от (Яа) х).
МТ1. Если х \— у доказуема в Stiq, то она есть тав-
тология.
МТ2. Формулы
— (~~\Ya)x |— (V#)#~("~laa)#[— (Яа)#
недоказуемы в Ssnq (поскольку они не являются тавтоло-
гиями).
125

МТЗ. В Snq недоказуемы формулы
~(Уа)~х\-{Щх ~ (За) ~ x [-(Va) х
и т. п., поскольку не являются тавтологиями.
§ 16. Другие системы
для неклассического случая
Другие системы теории кванторов для неклассического
случая образуются аналогично таковым для классиче-
ского случая.
В системе Snq имеют силу теоремные схемы: (К есть
V или Я):
Tl. | ((Ka)яПKa)#)
Т2. \-~((Ка)х(?Ка)х)
ТЪ. \-~(С]Ка)х(?Ка)х)
ТА. \-(Ка)х\/(-^Ка)х\/(?Ка)х
ТЪ. \-(Ка)х:С^Ка)х:(?Ка)х
Г6. \-(Ка)х:(^Ка)х:~(Ка)х~(-^Ка)х
ТТ. \- (Ка) х : (?Ка) х : ~ (Ка) х ~ (?Ka) x
Т8. |- (ПКа)х: (?Ка)ж:-ПКа)ж-(?Ка)х
M Tl. Формулы вида
(а Ка)х : (ßKa) х:~ (а Ка) х — (ß Ка) х |— (а Ка) х: (ß Ка) х,
где К есть V или 3, а а и ß различаются как """),?
или отсутствие обоих, в неклассических системах недока-
зуемы. Так что высказывания (аКа)х и (ß Ка)х нахо-
дятся в неклассическом отношении.
МТ2. Если f—x доказуема в Ящ, она есть тавто-
логия.
M TS. Формулы
[-~ПКа)ж=>(Ка)ж
h(Kfl)^VdKa)^
126

недоказуемы в Sng (поскольку они не тавтологии). Ана-
логично недоказуемы
H (Ка)ж V (?Ка)я H П Ка)х\/(Жа) х
§ 17. Другой вариант классического случая
Системы для классического случая можно получить из-
систем для неклассического случая, приняв дополни-
тельную аксиомную схему:
4*13. ~(Ча)х\-{~[Ча)х
При этом будут иметь силу теоремные схемы:
И. | {?Ка)х
Т2. (Уа)аНЬ-~(За)~я
TS. |-(Ка) я V П Кл) *•
§ 18. Полнота А««
Проблему полноты Stiq и *Sng мы не рассматриваем.
Ограничимся лишь следующими замечаниями.
Определение базисной формулы для Ssnq отличается
от такового для Sscq тем, что перед символами К, К1, К2
и К3 в скобках ставятся буквы, обозначающие наличие
одного из ~~~| и ? или отсутствие обоих (в любых комбина-
циях). Соответственно увеличивается и число случаев,
которые надо рассмотреть при доказательстве полноты
Snq и SSnq (a они, как мы предполагаем, полны соответ-
ственно в смысле МТ7 восьмого параграфа и МТ6 де-
вятого параграфа).
Возможен другой путь решения проблемы. В аксиом-
ных схемах вхождения вида ("~"|V6) z заменить на (ЯЬ) — z,
(? Vft) z заменить на ~ (Vft )z ~ (ЯЬ) ~ z, f~| ЯЬ) z
заменить на (Vb) ~z, (?ЯЬ) z заменить на ~ (ЯЬ) z»
~ (Yb) ~ z. Принять семантические правила: 1) если
одно из (Vfc) z и (ЯЬ) ~ z имеет значение 1, то другое име-
127

ет значение 0; если же одно из них имеет значение 0, то
значение другого не зависит от первого; 2) если (ЗЬ) z
имеет значение 0, то z имеет значение 0; если (ЗЬ) z имеет
значение 1, то значение z не зависит от (ЗЬ) z; если z
имеет значение 0, значение (3b)z не зависит от z\ если z
может принять значение 1, что (36) z принимает значение
1; отношение (Vb)z и z аналогично Sscq.
Аксиомные схемы Л*6 — А19,А10 —- А12 примут такой
вид:
1. (Va)x[-(Va) х
2. (Щ~х\-(Щ~х
3. ~ Çia)x~(Ra)~x\ (3a)s~(Va)~*
4. (Va) ~~ x h (Va) x
5. (За)~я^-(3а)~я
6. <—' (3a) x — (Va) — x f— — (Va) x ~ (3a) ~ #
7. (Va)*(-~(3a)~*^~(Va)a;~(3a)~a;)
8. (3a)~a;^~(Va)a:~(~(Va)a;~(3a)~a;)
9.~(Va)#~(3a)~*| (Va) x ~ (3a) ~ x
10. — (3a) ~ x ~ (~ (Va) # ~ (3a) ~ a;) |- (Va) a:
11. ~ (Va) # ~ ( ~ (Va) я ~ (3a) ~ s) |- (3a) ~ ж
12. ~(Va)*~(3a)~*|---~(Va)a;~(3a)~a;
13. (3a)~(a#)|—(3a)~*V(3a)~i/
14. (Ъа)~х\/{Ъа)~у\-{Щ~<{ху)
15. (Va)~*V(Va)~»b(Va)May)
Очевидно, схемы 1—4, 5, 6, 9, 12 отпадают как зави-
имые. Остальные присоединяются к схемам Sscq (или
£Jg), без А6 и Al. И вопрос о полноте i5£g (или Snq) сво-
дится к вопросу о полноте полученной системы.
128

§ 19. Правила подстановки
МТ1. Если формула х \— у, не содержащая кванто-
ров, доказуема в S3, то в S8 будет доказуема формула
z |— V, которая образуется из х |— у путем подстановки
любого высказывания Ъ на место элементерного выска-
зывания а везде, где а входит в х |— у.
Справедливость МТ1 видна из следующего: если
х \— у есть аксиома, то и z |— и есть аксиома; если х \— у
есть теорема, то доказательство ее легко превратить в до-
казательство z f— у, заменив повсюду а на Ь.
В Sscq доказуемы следующие теоремы (где с есть а, Ь,
а1, а2, Ъ1 или Ь2, a все а, Ь, а1, а2, Ь1 и Ь2 суть простые
термины):
1. ( Ye) (а «- Ь) |- (а <- 6)
2. (а «г- Ъ) \- (Яс) (а -е- Ь)
3. (Vc) (а «-Ь)[-~(Яс)~ (*«-&)
4. ~(Hc)~(a<-b)b(Vc)(a-*-&)
5. (Vc) (а1 <- Ъ) (Яс) (а2 «- Ь) H (Яс) ((а1 *- 6) (а2 «- Ъ))
6. (Vc) (а «- Ь1) (Яс) (а <- Ь2) \- (Яс) ((а «- Ь1) (а <- Ь2))
7. ( Vc) ((а1 <- Ь) V (д2 «- ь)) Ь (Vc) (а1<-Ь) V (Яс) (я2^-Ь)
8. ( Vc)((a <е- Ь1) V (л «- b2))h (Vc) (а «- Ь1) V (Яс)(а <е- Ь2)
9. (Vc)(a^-b)h-(Vc)(Vc)(a<-6)
10. (Яс)(ач-Ь)|-(Ус)(Яс)(а«-Ь)
11. (Яс) (Яс) (а <- Ь) |- (Яс) (а -е- о)
12. (Hc)(Vc)(a^b)b-(Vc)(a*-6)
13. (а^-^Ь-СУл^Сач-Ь)
14. (Яа1) (а «- 6) |- (а «- Ь)
Л/Т2. Если а: |— у есть одна из П — Г12, а у(-2
образуется из нее путем подстановки любого высказыва-
ния на место элементарного высказывания везде, где оно
входит в х \— у, то V \— z доказуемо в Sscq.
5 А. А. Зиновьев
129

МТЗ. Если х\—у есть одна из ЗГ1 — Т12, a v |— z
образуется из нее путем подстановки любого предиката
(субъекта) Ъ на место простого предиката (субъекта) а
везде, где а входит в х (— у, то v\— z доказуема в Slq-
M TA. Если х \— у суть одна из TIS и Г14, ТО В SCq'
доказуема формула и f— z, аналогичная таковой в MT2,
если выполнено условие: в высказывание, которое под-
ставляется на место элементарного, не входит а1.
МТЪ. Если х |— у одна из Г13 и Г14, то в Sscq дока-
зуема формула v |— 2, аналогичная таковой в МТЗ, если
выполнено условие: подставляемый предикат (субъект)
не есть а1 и не содержит а1.
Теоремы MTÏ — МТЪ можно рассматривать как про-
изводные правила подстановки. Приняв в качестве ак-
сиом TÏ — TIA и аксиомы Ss (получаются заменой букв
в аксиомных схемах S8 символами элементарных выска-
зываний), а в качестве правил вывода правила Ss, допол-
нительные правила Sscq и МТ1 — МТЪ, получим систе-
му, эквивалентную Sscq. Аналогично можно сделать для
прочих систем S\q и Snq.
§ 20. Расширения систем теории кванторов
Рассмотренные системы теории кванторов определяют
свойства кванторов только в сочетании их друг с другом
и с высказьсваниеобразующими операторами общей тео-
рии дедукции. Этим не исчерпываются свойства кванто-
ров, и мы в дальнейшем приведем немало примеров в
подтверждение этого утверждения. Кроме того, мы рас-
смотрели и будем рассматривать здесь лишь кванторы V
и Я, которыми не исчерпываются все виды возможных
кванторов (см. об этом [3]).
В частности, если принимаются во внимание термины
вида (а1,..., а71), то к аксиомным схемам систем теории
кванторов должны быть добавлены схемы А*1:
(Ка){КЬ)х-\\-(К(а,Ь))х
130

где К есть V или 3.
Можно ввести в рассмотрение кванторные группы вида
((К1«) • (К2Ь)), ((Юа)\/(К*Ъ))
и т. п. Для них возможно принять аксиомные схемы А* II:
(а (К1**) ß(К2&))Hha(К1**)*ß(К2Ь)а:
где a и ß означают наличие я отрицаний ^—' (7г^0):
(а (К1**) V ß (К2Ь)) ж Ч h « №) х V ß (К2Ь) ж
~ (а (К1**) ß (К2Ь)) ж Ч Ь ( ~ * (К1**) V ~ ß (К2&)) *
~ (а (Кха) V ß (К2Ь)) ж Ч h ( ~ а (Кха) ~ ß (К2Ь)) ж
Аналогично для любого числа кванторных групп и для
кванторных групп с внутренним отрицанием и оператором
неопределенности.
§ 21. Кванторы и условные высказывания
При соединении теории кванторов и теории условных
высказываний надо добавить определение высказывания
в теории условных высказываний к определению выска-
зывания в теории кванторов и принять следующие ак-
сиомные схемы:
1. (х^у)\- (Ya)(x->y)
2. (Щ(х-[^у)}г-(х-\^у)
3. (Щ(х?->у)[-~(х-+у)
4. (*->*/)4f-(*-*(Va)i/)
5. (х->у)-{\-((Щхг>у)
В классическом случае (в зависимости от способа по-
строения систем) либо принимается схема
(Яа) ~ {х-> у) | (х-> у),
либо она доказывается.
5*

ГЛАВА ВОСЬМАЯ
ТЕОРИЯ ПРЕДИКАЦИИ
§ 1. Системы Sp
Системы Slp теории предикации (сформулированы в
[3—5]) получаются благодаря таким дополнениям к си-
стемам общей теории дедукции, а также к другим систе-
мам, которые рассмотрены или будут рассмотрены ниже.
Дополнение к алфавиту:
1) | и ? суть операторы соответственно внутреннего
отрицания и неопределенности;
2) < оператор предикативности.
Di. Дополнение к определению высказывания: если
а есть энместный субъект, а Ъ есть соответственно энме-
стный предикат, то (а <— Ъ) , (а """] <— Ь) и (ai <— Ъ) суть
высказывания.
D2. Высказывания вида (а «— Ь) являются элементар-
ными для теории предикации.
Высказывание (а <- Ъ) входит в (а ~~1<— Ь) и (а? <— Ь).
Дополнительные аксиомные схемы:
Al. (а«-Ь)| (а,-\*-Ъ)~(а? <-Ь)
А2. ~фН<-Ь)~(я? *-Ь)|-(а<-Ь)
A3, (а !<—&)! (а«-Ь)~(а? *-Ь)
Л4. ~(а<-Ь)~(а? ч-Ь)[-(аП«-Ь)
45. (а? *-Ь)|-~(а+-Ь)~(аИ*-*)
44. — (а ч-Ь) ~ (а П «-Ь) Ь (*? <-Ь)
МП. Если д: |— г/ доказуема в Sp, то в у не входят
элементарные для теории предикации высказывания, от-
сутствующие в х (теорема очевидна из вида Ai — -46).
132

Для Sp имеют силу теоремные схемы:
Т2.~(а-\*-Ъ)-\\-{а+-Ъ)\/(а?±-Ь)
r3.~(a?^b)H[-(a^b)V(Ä"1^b)
Г4.(а<-Ь)| (а"1*-Ь)
Т5.(а<-Ъ)\-~(а?<-Ъ)
Г6.(а~|<«-Ь)Ь-~(*«-Ь)
Г7.(а~|*-Ь)| (а?+-Ъ)
Для *Sp имеют силу теоремные схемы:
Г6. f- (а«-Ь) : (а~| <-Ь):(а ? ч-Ь)
Г7.|-(а<-Ь)\/(лП^Ь)\/(«?^Ь)
Г8. |- ~ ((а+- Ь) (а П «- Ь))
Г9.| ((а «-Ь) (а ? «-Ь))
П0.| ((аП^Ь)(д?^-Ь))
§ 2. Интерпретация
Примем следующую интерпретацию:
1) если одну из (а <— Ь) и (а "~| <- Ь) приписывается
значение 1, то другому из них приписывается значение 0;
2) если одному из (а <— Ъ) и (а ~~] <— Ъ) приписывается
значение 0, то значение другого остается неопределенным
(независимым от значения первого);
3) (а? <— Ъ) равнозначно ~ (а <— Ъ) ~ {а ~~| <— Ъ).
Равносильной с приведенной является следующая ин-
терпретация:
1) (а ~~1 <— Ь) равнозначно ~ (а <— Ь) х, где а: есть
элементарное высказывание, не входящее в формулу, в
которую входит (а "~| ч- Ь) (и значение которой выясняется);
2) (а? <— Ь) равнозначно ~ (а <— Ь) ~ (а ~~| «— Ь).
Равносильность этих интерпретаций видна из следую-
щего: если (а «- Ь) имеет значение 1, то ~ (а <— Ь) имеет
133

значение 0, и ~ (а <— Ъ) х имеет значение О независимо
от значения х\ если ~ (а «— b) x имеет значение 1, то
~ {а <— Ъ) имеет значение 1, и (а «— Ъ) имеет значение 0;
если {а <г- Ъ) имеет значение 0, то ~ {а <— Ъ) имеет зна-
чение 1, и значение ~ (а <— Ъ) х оказывается зависимым
исключительно от х, т. е. ~ {а <— Ъ) х может принять как
значение 1, так и значение 0; если ~ (а <— b) x имеет зна-
чение 0, то либо ~ (а <г- Ь) имеет значение 0, либо ~ (а <—
<г- Ъ) имеет значение 1 иж имеет значение 0, либо обе
~ (а <— Ъ) их имеют значение 0; так что (а <— Ь) может
принять как значение 1, так и значение 0.
МТ1ш Все формулы х \— у и |-— х, доказуемые в систе-
мах Sp, суть тавтологии (поскольку все Al — -46 суть
тавтологии).
МТ2. Формула ~ (а П «- Ъ) \— (а +- Ъ) в Sv недо-
казуема (поскольку не является тавтологией). Формулы
f- {а <- Ъ) V {а И +- Ъ), h (а «- Ъ) V (*? - Ь).Н (* 1«-
«— Ь) V (а? <— Ь) в 5р недоказуемы (поскольку не явля-
ются тавтологиями).
M TS. Высказывания (а <— Ъ) и (а | ^— Ь) находятся
в неклассическом отношении. Аналогично — пары (а <— Ъ)
и (а? ч- Ь), (а ~~1 <— Ь) и (а? <~ Ь).
§ 3. Классический случай
В классическом случае теория предикации излишня,
поскольку отрицания совпадают, а неопределенность
исключается. Аксиомные схемы Al —-46 принимают вид
{а <— Ъ) —| (— ~ ~ {а <— Ь) и ~ (а <— Ъ) —I \— ~ (а <— Ь).
Тот же эффект получится, если Al — А6 добавить эк-
ономную схему (а | <— Ь) |— ~ (а <— Ъ).
§ 4. Полнота
ZM. Базисные формулы теории предикации суть фор-
мулы вида а |— &, а& I— с, с |— ab, а\/ b (— с, с\— а\/ b
134

и (— 2, где а, Ъ и с суть элементарные для теории преди-
кации высказывания или их отрицания (внешние и внут-
ренние) и неопределенные формы, a z есть высказывание,
образованное исключительно из таких высказываний и
операторов общей теории дедукции.
MTi. Если базисная формула х \— у есть тавтология,
и в х и у входят одинаковые элементарные для теории пре-
дикации высказывания, то х \— у доказуема в Sp. Если
базисная формула |— z есть тавтология, то она доказуема
в Sp. Теорема доказывается путем пересмотра всех слу-
чаев базисных формул.
§ 5. Дедуктивно связанные предикаты
Dl. Предикаты b я с дедуктивно связаны, если и толь-
ко если доказуема хотя бы одна из формул (а <— Ъ) \— (а <—
<— с) и (а <— с) |— (а <— Ь).
D2. Предикат b дедуктивно включается в с, если и
только если доказуема (а -*— с) \— (а <— Ь).
D3. Предикаты b и с дедуктивно эквивалентны, если
и только если доказуемы обе (а «— b) f— (а <- с) и (а <— с) (—
H (а «- Ь).
Z>4. Предикат b дедуктивно сильнее предиката с,
если и только если доказуема (а <— Ь) \— (а <— с) и недо-
казуема (а «— с) |— (а <— Ь).
D5. Предикат b дедуктивно категорически сильнее
предиката с, если и только если доказуемы (а <- Ь) \—
f— (а <- с), (а ~~| «- с) (•— (а "~~| «- Ь) и (а? «- с) f— ~ (а -*—
В классическом случае в Z>5 достаточно принять (а <—
<— Ь) [— (а <- с) и ~ (а «— с) [— ~ (а <- Ь).
§ 6. Теория предикации и кванторы
Как уже отмечалось, в Stiq недоказуемы формулы
~ ( Va) <— х -| f- (Щ х ~(Яа)~аН|— (Ya)x
135

й т. п. Но в теории кванторов, расширенной за счет до-
полнения, изложенного в § 1, имеют силу следующие тео-
ремные схемы:
И. ~(Va)~(a+-b)\-
MnVa)~(a«-b)V(?Va)~(a<-ft)
Т2. ~(Va)~(a*-b)|-nVa)((an^-b)V
V (а? +- ft)) V (?Va) ((a~| <- 6) V (*? «-b))
ГЗ. (Va) (a*-ft) f- П 3a) (аП^Ь) П Яа) (а? *-ь)
Г4. ("| Va) (а <- ft) |- (За) (а ~| «- Ь) V (За) (а? *~ ь)
ТЪ. (П Va) (а П «- Ь) Ь- (Яа) (а «- ь) V (Эл) (Ä? «- ь)
Г6. (П За) (а -е- 6) h- (Va) (а~| <- ft) \/ (3ä) (*? «- ь)
§ 7. Расширения теории предикации
Теория предикации может быть расширена, если учесть
строение субъектов и предикатов. Это мы покажем ниже.
Здесь мы хотим обратить внимание читателя на следующее
обстоятельство, которое в какой-то мере оправдывает
употребление названия «комплексная логика» примени-
тельно к излагаемой концепции. Построение логики есть
процесс, протекающий в различных планах («измерениях»),
так что построить логику как одну систему цо образцу
Ss, Slq и т. п. (в одной «плоскости») невозможно. Кроме
того, логические системы остаются всегда незамкнутыми
в том смысле, что определенные в них операторы остают-
ся неопределенными относительно их комбинаций с дру-
гими возможными операторами, отсутствующими в этих
системах.

ГЛАВА ДЕВЯТАЯ
ТЕОРИЯ ТЕРМИНОВ
§ 1. Термины
Системы теории терминов S] образуются благодаря из-
лагаемым в этой главе дополнениям к ранее рассмотрен-
ным системам. Эти системы рассматривались в [4—5].
Излагаемая ниже теория терминов есть лишь набросок и
ориентир для отыскания возможной теории, которая мо-
жет быть обработана в соответствии с правилами логиче-
ской техники.
Алфавит:
1) простые предикаты и субъекты;
2) sc — универсальный субъект («объект»);
3) рс — универсальный предикат («признак»);
4) —*> — двухместный предикат включения одного тер-
мина в другой по значению.
D1. Предикат:
1) простые предикаты суть предикаты;
2) если а1,..., ап (п ^ 2) суть предикаты, то (а1-...
... -ап), (а1 V ... V<*nM- (а1,...,*»)), (V (л1.-. *п)) суть
предикаты;
3) если а есть предикат, то ~ а и а суть предикаты;
4) если х есть высказывание, а а — предикат, то а \ х
есть предикат;
5) если х есть высказывание, то х \ есть предикат;
6) нечто есть предикат лишь в силу 1—5.
Символ —* мы не включили в öl потому, что это про-
стой предикат, и он охвачен пунктом 1.
Z?2. Субъект:
137

1) простые субъекты суть субъекты;
2) если а1,..., ап (п ^ 2) суть субъекты, то (а1-...-^),
(а1 V - Van)> (• (а1,..., ап)), (V^i — t я71)) и (л1 >•••> <*п)
суть субъекты;
3) если а есть субъект, то ~а и а суть субъекты;
4) если # есть высказывание, а а есть субъект, то а \ х
есть субъект;
5) если х есть высказывание, то \ х есть субъект;
6) если а есть субъект или предикат, то [а] есть субъ-
ект;
7) нечто есть субъект лишь в силу 1—6.
D3. Субъекты и предикаты (и только они) суть тер-
мины.
Определения Dl и D2 отнюдь не исчерпывают всех
возможных субъектов и предикатов. Они означают толь-
ко то, что в данной главе будут рассматриваться только
такие термины. В следующей главе, например, мы будем
рассматривать термины, не охватываемые определением
D2. Как «читаются» введенные в D± и D2 термины, об этом
сказано во введении. Приведем лишь несколько поясняю-
щих примеров. Пример для различия а и ~а: «стол» —
«не-стол» («не являющийся столом», «не называемый сто-
лом»). Примеры для различия а ж а: «знание» — «незна-
ние», «умение» — «неумение», «возможность» — «невоз-
можность» и т. п. Термином (ab) может обозначаться не
всякий предмет, называемый а, и не всякий предмет, на-
зываемый ft, а лишь такой, который может быть назван и
а и Ь. Например, не всякий писатель и не всякий худож-
ник есть писатель и художник (писатель — художник)
одновременно. Термин (• (а, ft)) имеет смысл не сам по се-
бе, а лишь как часть высказывания. Так, в предложении
«Писатель и художник создает духовные ценности» имеет-
ся в виду то, что как писатель, так и художник создает
духовные ценности (т. е. каждый из них). Указать пред-
мет, который обозначает термин (• (а, ft)) независимо от
его роли в высказываниях, невозможно. Это — термин
138

иного типа, чем (ab). Аналогично для соотношения тер-
минов (а V Ь) и (\у(а9 Ь)). На смешении терминов рассмат-
риваемого типа безируются многочисленные недоразу-
мения и затруднения как в операциях с языком, так и в
исследующей эти операции логике.
Высказывание о том, что термин а включается по зна-
чению в термин Ь, будет иметь вид
([а], М) «-(■*).
В дальнейшем для упрощения будем квадратные скоб-
ки опускать, полагая, что в формулах с предикатом —*
они всегда предполагаются, и будем вместо приведенного
выше символа употреблять более наглядный символ
а-^Ь.
Знак конъюнкции будем опускать на тех же основаниях,
что и в общей теории дедукции.
Символ а —^ Ъ можно пояснить так: каждый предмет,
обозначаемый термином Ь, может быть обозначен также и
термином а. Например, таково отношение пар терминов
«Геометрическая фигура» и «Треугольник», «Равносто-
ронний четырехугольник» и «Ромб». Символ а —*• Ъ чи-
тается так же, Как «Ь есть а». Так что теорию терминов
можно рассматривать как теорию высказываний со зна-
ком «есть».
D4. Будем в качестве сокращения для (а —* Ъ) (Ь —* а)
употреблять символ а ^ Ъ.
§ 2. Общая теория терминов S*
Аксиомные схемы Al:
1. | а^а
2. |— а^аЪ
3. |— ab -^ Ъа
4. [— (а1а2 . . . ап) ^ Ь,
139

где Ъ отличается от а1а^...ап лишь какой-то расстановкой
скобок, удовлетворяющей Dl и D2.
5.| (аЬ)^(~а\/~Ь)
6.|-(а-*Ь)-»(~Ь-*~а)
7. f- (a ^ b) (Ь -- с) -* (а _^ с)
8. |- (а_^с) (Ь-- с) -> (аЬ^ с)
№.\-(афа)
ll.|-(Sb)^(aVb)
12.|-(~а-^а)
Некоторые теоремные схемы:
П. (— а V &-^ Ä
ГЗ. |— аа^а
T4.\-(ad^c)-+(a^c)
ТЪ. }-(а^Ь) (а-^с)->(а^Ь\/с)
T6.\-(a^b\/c)-+(a-*bc)
Т7.\-а\/Ъ-*Ъ\/а
T8.\-(a^b)(c^d)^(a\/c^b\yd)
T9.}-a^a\/~bb
M Tl. Если доказуема f— (а —* Ь), то в а и Ъ входит
по крайней мере один одинаковый термин.
Справедливость МТ1 видна из следующего рассужде-
ния. Аксиомы 1—5 удовлетворяют МТ1. Из доказуемых
формул вида |— (а —^ ab) в соответствии с аксиомами 7
можно получить лишь формулы вида f— ( a ^.ab1... Ьп),
а в соответствии с аксиомами 6 — лишь формулы вида
f— ( ~ (ab1... bn) -^ ~ а), удовлетворяющие МП. Фор-
140

мулы, получающиеся в соответствии с аксиомами 8, явно
удовлетворяют МТ1. '
Будем приписывать терминам значения 1 и 0 и будем
считать, что а —*■ Ъ равнозначна Ъ zd a, где а и Ь рассмат-
риваются как высказывания.
МТ2. Все доказуемые в S\ формулы суть тавтологии.
Справедливость теоремы легко усматривается из обзора
аксиомных схем.
МТЪ. Если |— (а —^ Ь) есть тавтология такая, что в а
и Ъ входит хотя бы один одинаковый термин, то она до-
казуема.
Справедливость МТЗ усматривается из того, что каж-
дой доказуемой в классической пропозициональной ло-
гике формуле Ъ ZD а (а значит и каждой тавтологии Ь :э a)
соответствует доказуемая в нашей системе формула
\~ (а ^ Ъ).
Аксиомные схемы АН:
1. |—(а1, а2, . . . ,ап)^6,
где Ь отличается от (а1, а2,..., ап) лишь какой-то расста-
новкой скобок.
2.\-{a^b)(c-*i)-» ((а, с) ^(Ь, d))
3. \- ((а,с)-*(b,d))-+ (a-^b) (c^d)
Аксиомные схемы АIII:
1. \-(Va)x(3.b)~x->~(a-^b)
где у образуется из х путем замены вхождения а в х на Ь.
§ 3. Теория субъектно-предикатных терминов
Система £2 получается путем следующего расшире-
ния S].
141

Аксиомные схемы Al:
1. (a^b) (Va) (aa «- c) \- (Yb) (бос «- c)
2. (а-±Ь)(Щ(Ъх+-с)\-(Щ(ах^с)
3. (a-±b)(c+-b)\-(c+-a)
4. (a-^b)(c~l<-a)l-(c"1^-b)
5. (a -s. &) (c? ■«- a) |— ~ (c <- b)
Некоторые следствия:
2*1. I- (a <- (be)) -* (a <- Ь) (a <- с)
Г2. h-(an^b)V(«n^-c)-^(a-l^^)
ГЗ. ^(fl^i)V(a^c)^(e^(JVc))
Г4. |_(а-|<-(Ь\Л))-*(«'~1*-Ь)(«-'1«-<0
У5. | (а *- Ь) -* ~ (а «- Ьс)
Г6. |_~(а<-(Ь\/с))^~ (а«-Ь)
Аксиомные схемы ЛИ:
1. 1 (а «-(-»))
2. [_(а«_&)\/(а< 6)
Аксиомные схемы ЛIII:
1. (а-«-( 4M))) ЧЬ («*-*) («*-*)
2. ((.(в,Ь))«-с)-||-(а«-е)(Ь*-с)
3. (а *- (V (Ь, с)) -\ h (а *- 6) V (а *- с)
4. ((V(a,6))*-c)Hh(MV(**-')
5. (o^)Hh(tt_l^b)
(аП<-Ь)ЧЬ(«<-Ь)
(а? «-£) -| H (й? *- &)
6. (Va) (а «- с) (Vft) (Ь «- с) |- (Y (ab)) ((ab) «- с)
7. П V (ее)) ((ab) *- с) h CI Va) (a *- с) V П V6)
(Ь^с)
8. (3 (а*)) ((вЬ) «- с) |- (За) (а <- с) (36) (6 «- с)
142

9. П За) (a+-c)V П Щ (b «- с) (- П Я (об))
((а* «- с))
10. (За) (а -е- с) V (36) (Ь «- с) H H (3 (а V 6)) ((а V
V *)*-*)
И. Паа)(а^-с)ПЯЬ)(Ь^-с)Н1-Па(а\/Ь))
((oV*)*-c)
12. (Va) (а ^ с) V (V6) (6 <- с) Ь ( V (а V 6)) ((« V &) «- с)
13. nV(oVb))((eV*)*-0H(~|Va)(a*-c)-
• П Щ (Ъ «- с)
14. (Va) (а «- с) (ЯЬ) (Ь<-е)\- (Я (aft)) ((ад) <- с)
15. П 3 (ab)) ((ab) *- с) |- П Va) (а *- с) V П 36)
Некоторые следствия:
Г7. | (а«-(Й))
Г8. (а «-Ь) |-~ (а «-5)
Г9. (а«-Ь)р.~(а«-Ь)
ПО. (а«-Ь)|-(а< Ь)
TU. | ((а<-ft) (а<- ft))
Утверждения, аналогичные Г8 и Г11, для ~Ь непри-
емлемы: предмет а может иметь признак, обозначаемый
термином ft, и другой признак, который не обозначается
термином ft. И оно недоказуемо в нашей системе. Это,
кстати сказать, одна из причин того, почему нельзя
принимать
J— (а <— ft) (а <— с) —> (а <— (be)).
Приняв такое утверждение, мы должны были бы принять
[~(а±-Ь)(а< Ь) -► (а «- (~ ЪЬ))
и согласно A III и S5 принять
| ((a«-ft)(a« b)),
143

что не соответствует принятому смыслу термина ~ Ь.
Аксиомные схемы АIV:
1. [-(а I х) J у^{а \ у) I х
2. f— х->{а-^а \ х)
3. |— {а | х^а),
где а не входит свободно в х или \— х доказуема.
4. (| «^ J, I/) —II— (^ \ ^У I)
5. \-(l x^ J у)->{х->у){у->х)
6. \— (х -> (а «- (х I ))
7. |— (а<-(х I ))->х
8. |-(а | #)*-(* |)
Dl. aa l b есть сокращение для a j (а а <— Ь),
Ьа j а есть сокращение для Ь J (а а <— Ь), где а озна-
чает наличие или отсутствие ~, | или ?.
Аксиомные схемы AV:
1. J a^(b~] i (рс ja))
2. J а — (&? | (рс J, а))
3. | а-^(Ь | (рс~~\ I а))
4. | а^(Ь I (рс? l а))
5. (-(аа <^-с) (6ß *-с) ^ ~ (а-*. 6)
6. H (ах +- Ъ) (ф ^- с) -* ~ (6 -^ с)
где аир различны (в 5 и 6).
Аксиомные схемы AVI:
1. f-(pc^a),
где а есть предикат.
2. .|— (sc-^a),
144

где а есть субъект.
3. \—sc\ (рс I а)-^а
4. |— />с J, (sc l a)-^a
5. |— (аа «— ft) —> (scol \ Ь-^ а)
6. |— (аа «— ft) —5- (рса J, a-^ft)
Аксиомные схемы AVII:
1. (Va) ((aß J ft) а «-с) |-(V (aß 1 ft)) ((aß |Ь)«^^)
2. (V(aß l ft)) ((aß | ft) а ^ с) |- ( Va) ((aß J ft) а «-с)
Аксиомные схемы AVIII:
1. (Va)s(V(a | ж))»h (Va)y
2. (3a)*(V(a [х)) у \- (За) у
§ 4. Силлогистика предикатов
Используя правила образования терминов, можно по-
строить силлогистику предикатов.
Неклассическая система при этом образуется путем
присоединения к ранее рассмотренным системам следую-
щих аксиомных схем:
Al. (За) (а «- ft) H h (Я (se j ft)) ((sc j Ь)-€-(рс | а))
Л2. (Va)(aa*-ft)Hb-(V(scß [ b))((ecß J Ь)П<-
*-(/* 1 «)) (V(5cr | b))((scr l ft)H<-(Pc I a))
где a, ß и у означают наличие или отсутствие 1 или?,
причем — все они различны.
Классический случай получается из неклассического
путем замены схем А2 схемами:
А*2. (Va)(a+-ft)4h(V(e*~ I ft))
<—- ((sc— I b)<r-(pc [ a))
US

Силлогистика предикатов, как видим, довольно гро-
моздка и неудобна в обращении. Фактически рассмат-
риваемая в логике силлогистика является силлогистикой
классов (см. ниже).
§ 5. Определения
Вопросы, связанные с теорией определений, рассмот-
рены в [3, 4]. Здесь же мы ограничимся лишь несколькими
замечаниями.
Определения суть соглашения о том (или намерения
считать), что некоторого заданного вида предметы а1,...
..., ап (п ^ 1) будут терминами такими, что будут верны не-
которые заданные утверждения я1,..., хт (т 1> 1), в ко-
торые входят выражения с а1,..., ап и предикатом ^.
Утверждения а:1,..., хт должны быть подобраны так, чтобы
для каждого а1 были верны утверждения а1—*- Ъ1 ,...
...,а* —* Ьк жЪ1 V ...V Ьк -^ а\ гдеЬ1,..., Ьк суть термины,
через которые определяется а*.
Утверждения я1,..., хп, о которых говорилось выше,
имеют такой вид. Случай 1: определяется один термин а
независимо от других определяемых терминов. Простей-
ший вариант этого случая: 1) а —*■ Ь; 2) Ь —*- а. Более
сложный (общий) случай — рекурсивные определения:
1. а-^Ь1, . . . ,а^Ьг(г>1)
2. (а-^с1)- . . . .(а-^с*)-*
-*{a-^dl). . . . .(a^d*)(*>l, f>1)
3. ^V - - - V^V^V-- . W-**
Случай 2: определяются термины a1,..., an (n > 2) одно-
временно так, что одни из них используются при опре-
делении других.
Если определение принято, то утверждения я1,..., хт,
указанные выше, принимаются как доказуемые (или ис-
тинные). Так, пусть принято определение: «Предмет а
14$

будет термином таким, что а ^ Ъ \ с». В таком случае
принято |— (а ^ ft I с). Этот принцип позволяет полу-
чать следствия из определений. Так, в нашем примере
имеем:
1) (— (a^b l с)— согласно определению;
2) |— ({Ь I с)<г-с)— согласно S2t;
3) H(V(b I c))((b J с) <- с) — согласно S%q\
4) \-(а^Ъ I c)(V(b I c))((b I c)<-c)-+
—> (Va) (a <— c) — согласно S*]
5) |— (Va) (a<— с) — согласно 1,2 и £!/.
Частный случай определений — определения с пере-
менными, область значения которых суть термины. Они
имеют вид намерений (соглашений) считать b термином
таким, что верно х, если и только если а1,..., ап (п ^> 1)
суть термины такие, что верно у. Здесь х есть высказы-
вание, содержащее ft; у есть высказывание, содержащее
; ft, a1,..., an суть переменные, области значения
которых суть термины.
Правило для таких определений: в самом определении
и в вытекающих из него следствиях на место переменных
а1,..., ап нельзя подставлять ft и все те термины, которые
содержат ft или определяются с использованием ft. Это
правило есть следствие содержащегося в самом опреде-
лении условия, что а1,..., ап должны быть терминами
независимо от определения ft (т. е. ft в их число не вклю-
чается).
§ 6. Логически взаимозаменимые предикаты
D1. Предикаты b я с логически взаимозаменимы, ес-
ли и только если для них доказуемы формулы
1. (а «- ft) f— (oca ~"I «- с)
2. (a ~"~I «— ft) |— (oca <— c)
U7

3. (a? <- b) f- (aÄ? <- c)
4. (a<-c)|— (aa~"~|«-&)
5. (û~]^-c)|- (aa*-b)
6. (a? <— c) |— (aa? <— b)
в неклассическом случае, и доказуемы формулы
1. (а <— Ь) \— ~ (aa «г- с)
2. —(а <— ft) |— (aa <— с)
3. (а <— с) | (оса <— ft)
4. — (а <е- с) f— (аа <— ft)
в неклассическом случае (a a означает а, ~а или а).
С примерами дедуктивно связанных и логически взаи-
мозаменимых предикатов мы встретимся ниже. Аналогич-
ные отношения имеют место, как известно, и для логичес-
ких операторов. Таковы, например, операторы конъюнк-
ции и слабой дизъюнкции. Для них имеют силу утвержде-
ния ху\-х\/у, ~ (х V У) H ~ (я»)| ~ (х V У) Ь*
J— -—^ ^г: —- г/, х V у —| f— ~ ( ~ х \/— г/) и т. п. Как мы
видели выше, кванторы V и 3 связаны и взаимозамени-
мы также и в смысле определений для неклассического
случая.
§ 7. Логические термины
Логика не ограничивается рассмотрением логических
операторов. Она исследует также особого вида термины и
правила оперирования ими, не сводимые к правилам для
логических операторов. Это — термины существования,
модальностей, классов, отношений и т. д. Так как устано-
вление свойств этих терминов есть дело логики (а не ка-
кой-либо иной конкретной науки), будем называть такие
термины логическими.

ГЛАВА ДЕСЯТАЯ
ЛОГИКА КЛАССОВ
§ 1. Классы
Логика классов образуется благодаря излагаемым ни-
же дополнениям к ранее рассмотренным системам. Си-
стемы логики классов рассматривались в [3—5].
Алфавит:
1) ЕЕ — двухместный предикат включения индивида в
класс;
2) cz — двухместный предикат включения класса в
класс;
3) К — классообразующий оператор.
Предикаты Еис суть простые предикаты.
2)1. Если а есть субъект, то Ка есть термин класса
(читается «Класс- а»). Термин класса есть субъект.
Высказывания о включении индивидов в классы и
классов в классы имеют вид
(a, Kb) +- (s)
(Ка, КЪ)*-(С2)
Мы будем употреблять более наглядные (и общепринятые)
символы
aŒKb
KaczKb
§ 2. Система Si
Система S\ получается путем добавления к Sscq того,
что сказано в § 1, и следующих аксиомных схем:
149

Аксиомные схемы:
Ai. (Яа)(ае КЪ)\- (ЯЬ)(6е Ко)
А2. ~(aŒKb)\-(aŒK~b)
AS. (a<=K~b)\-~(aŒKb)
Ai. (a G Kb) (Vb) (b G Kc) |-(а£ JTc)
,45. |_ (а е Я (a \/b))
Л6. (Va) (a g tfb) h (Ka с ÜT6)
Л7. ( Ka czift>)|-(Va) (a G #fc)
Если Si строится независимо от теории терминов, не-
обходимо принять следующие правила замены терминов:
Ri. Замена термина ~~ a термином а, и наоборот.
R2. Замена термина ab термином Ъа.
R3. Замена термина a термином аа, и наоборот.
RA. Замена термина a1- ...-alai+1- ,..-an(i > 0, п ^ 1)
термином a1- ...-al(ai+1- ...-ап), и наоборот.
R5. Замена термина ~ (ab) термином ~а\/ ~ Ь, и
наоборот.
Т\. (Va)(aŒ Kb) (Vb) (b G Kc) H (Va) (a G Kc)
T2. (Яа) (a G Kb) (Vb) (b G Kc) |- (Яа) (a G Kc)
ГЗ. (Va) (a G Kb) |- (V ~ b) ~ (~ b G Ka)
Г4. (V~b)~(~bŒKa)\-(Va)(aŒKb)
Г5. (-afcG^a
Г6. h^ûczif(aVb)
Г7. [- # (ab) a Ka
Примем следующую семантическую интерпретацию (ко-
торая в пунктах 1—3 предложена А. М. Фединой):
1) если a G Kb приписывается значение 1, то a Œ
G К ~Ъ приписывается значение 0, значения ~ a G Kb
и ~ a G i£ ~ Ь не зависят от a Œ Kb, ~b G К ~ a
приписывается значение 1;
150

2) если a ЕЕ Kb приписывается значение 0, то а ЕЕ
ЕЕ К ~ b приписывается значение 1, a b ЕЕ Ка — зна-
чение 0;
3) если а ЕЕ Kb и Ъ ЕЕ Кс приписывается значение 1,
то а ЕЕ Кс приписывается значение 1 ; если а ЕЕ Kb при-
писывается значение 1, a b ЕЕ Кс — значение 0, то û E Кс
приписывается значение 0; если а ЕЕ Kb приписывается
значение 0, то значение а ЕЕ Кс остается неопределен-
ным, какое бы значение ни приписали b Œ Кс;
4) а ЕЕ К (а V Ъ) и ab ЕЕ Ка всегда принимают зна-
чение 1;
5) (Va) (а ЕЕ Kb) и Ка a Kb равнозначны;
6) правила замены дают равнозначные высказывания.
МТ1. Все доказуемые в S\ формулы суть тавтологии.
Если принять аксиомные схемы
(а ^ Ь) (— ( V&) (Ь Œ Ка)
(Vb)(bŒKa)\-(a^b),
то некоторые аксиомные схемы Si окажутся зависимыми
в теории терминов, расширенной за счет логики классов.
§ 3. Система S%
Система S% отличается от S\ лишь тем, что вместо ак-
сиомной схемы A4 принимаются аксиомные схемы:
АЧ.(Ча)х(ЪсЕКа)}~у,
где у образуется из х путем замены а на b везде, где а
входит в х.
A4.x(bŒKa)[-('aa)y1
где у образуется из х путем замены b на а везде, где b
входит в х.
Аксиомная схема А 4 получается в Si как следствие из
АН. В Si доказуема также формула
(Ь Œ Кс) (b Œ Ка) |- (ВЦ (а е Кс)
151

§ 4. Силлогистика классов
Аксиомные схемы Al — A4 достаточны для полной
силлогистики классов. Доказательство этого утвержде-
ния дано А. М. Фединой в работе [15]. Для доказатель-
ства этого утверждения достаточно взять частичную си-
стему S*.
Аксиомные схемы Si-
А 1. х\ — х
А 2. х\—х
А 3. ху\—х
А 4. ху\—ух
А 5. (Ya)x\—x
А 6. x\-Çaa)x
А 7. (Ya)x\ (Щ~х
А 8. ~(Щ~х\-(Ча)х
А 9. (Va) (a Œ Kb) (Yb) (b Œ Kc) [~ (Va) (a Œ Kc)
410. (Щ (a Œ Kb) (Yb) (b Œ Kc) |- (Яа) (a Œ Kc)
All. (Ya)(aŒKb)\-(Y~b)~(~bŒKa)
A12. (V-6)-(-Jg Ka) f- (Va) (a ΠKb)
A13. (3a) (a Œ Kb) |- (Щ (b Œ Ka)
Правила вывода:
Rl. Если х\— у и у \— х, то 2 |— и, где у получается
из z заменой вхождения х в z на t/.
jR2. Если a: J— г/ и у \— z, то х \— z.
R3. Если ж |— г/ и а; f— 2, то х f— yz.
RA. Если у образуется из х путем замены ~~а на а
(или a на ~~а), то х |— г/.
Z)l. Простой категорический силлогизм есть формула
вида
KV (a1 Œ ХЬА) К2а2 (a1 Œ #bw) h К3а3 (а1 е #Ь2),
где а1, а2, а3 означают наличие или отсутствие отрицания;
К1, К2, К3 суть кванторные группы; i^. 3, к ^ 3, Z <1 3,
иг <1 3; высказывания а1 ЕЕ КЬк и а1 ЕЕ КЪт различны.
152

M Tl. Если простой категорический силлогизм х[—у
есть тавтология, то х \— у доказуема в Si.
Доказательство ЛТП. Посылка х |— у может иметь вид
la. (Va)(aŒKc) За. (Vb)(bŒKc)
lb. (Ra)(aŒKc) ЗЬ. (Щ(Ь^Кс)
le. (Va)~(aŒKc) 3c. (Yb)~(bŒKc)
Id. (äa)~(a(=Kc) 3d. Çab)~(b(=Kc)
2a. (Yc)(cŒKa) 4a. (Vc)(c<=Kb)
2b. Çac){cŒKa) 4b. (3c)(cG^)
2c. (Vc) ~ (c e #a) 4c. (Vc) -(ce #6)
2d. (Яс) ~ (c œ #a) 4d. (Зс)-(се^)
Заключение х \— у может иметь вид:
5a. (Va) (a e ДГЬ) 5c. (3a) (a e Kb)
5b. (Va)~(agif ft) 5d. (3a)-(ßEJTft)
Всего возможно 512 простых категорических силло-
гизмов. Нам достаточно рассмотреть 256, поскольку ос-
тальные 256 получаются из них согласно A4. Кроме то-
го, имеют силу следующие правила, сокращающие число
рассматриваемых случаев.
Д*1. Если заключение простого категорического сил-
логизма х\— у имеет вид 5Ь или 5d, и если х (-— у при-
нимает значение 0, хо простой категорический силлогизм,
отличающийся от него только тем, что заключение его
имеет вид соответственно 5а или 5с, также принимает
значение 0 (это очевидно из того, что (Ya)x имеет значе-
ние 0, если (Яа)# имеет значение 0).
Д*2. Если один из конъюнктивных членов посылки
простого категорического силлогизма х |— у имеет вид
ia (i = 1, 2, 3, 4) или ic, и если х\— у имеет значение 0,
то простой категорический силлогизм, отличающийся от
него только тем, что соответствующий конъюнктивный
член посылки имеет вид ib или, соответственно, id, точно
153

так же имеет значение 0 (это очевидно из того, что (З.а)х
имеет значение 1, если (Ya)x имеет значение 1).
Путем пересмотра всех простых категорических сил-
логизмов устанавливаем, какие из них могут принимать
значение 0 и какие нет (т. е. являются тавтологиями). Так,
формулы вида
1а-3а|-— ЪЪ 1аЛа\-~Ы 2а-3а|—5а
могут принять значение 0, а формулы
1аЛа\—5а la-4cf—5с
суть тавтологии. Одним словом, устанавливаем, что тав-
тологиями являются лишь 19 модусов, категорического
силлогизма. И все эти модусы доказуемы в ££. Для дока-
зательства необходимо производное правило Л*3 и пред-
варительные теоремы Ы — L5.
Производное правило:
RSS. Если #ЧЬ-#> то ~УНН~#
[R1, Ai, А2, R5, Д4]
Предварительные теоремы:
M. (Va)^(aŒKb)-\\-(Va)(aŒK~b)
[AU, 412, Я*3, R2, M]
L2. (Va)(aeXb)Hh-(V~b)(~bŒu:— a)
[A4, AU, Л12, LI]
Lb. (V~b)(~bŒK~a)\-(Ya)(aŒKb)
[L2, R2, RS]
L4. (3a)-(flG^)Hh(3û)(aG/f-6)
[LI, Д4, Al, A8, Al, А2, R8S, R2, RS]
L5. (Va) ~(ас=КЬ)~-{[- (Vb) ~ (b Œ К a)
[Li, i?4, Л2, L2, LS, Л5]
154

Модусы простого категорического силлогизма:
74. (Vc) (с G Kb) (Va) (a G ÜTc) H (Va) (a S Kb)
[Д2, 49, Ri, 44, R5]
T2. (Vc) ~(cŒ Kb) (Va) (a G Kc) \- (Va) -(ее Kb)
[49, LI, L2, Д2 —Д5]
ТЪ. ( Vc) (с G Kb) (Яа) (a G Kc) f- (Яа) (a G Kb)
[44, 410, Ri, R2, Д5]
TA. (Vc)~(cgK&)(Яа) (aG#c) [-(Яа)~(а<= Kb)
[AT, A8, Li, ТЪ, R2, RA, R5]
ТЪ. (Vb)~(iGKc) (Va)(aG Kc)|- (Va)~(ogif6)
[47, 48, L2, 74, Д2, #4, #5]
7*6. (Vb) (b G Kc) (Va) ~ (a G Kc) \- (Va) ~(a G Kb)
[41, 42, LI, T5,Rl,RA,R5]
T7. (V6) ~(Jg Kc) (Яа) (a G Kc)}- (Яа) ~(«G Kb)
[ТА, L5, RA, R5]
T8. (Vb) (b G Kc) (Яа) ~ (a G Kc) \- (Яа) ~ (a G K6)
[44, 42, 47, 48, 77, LI, R2, RA, R5]
Г9. (Vc) (с G Kb) (Vc) (с G Ka) f- (Яа) (a G Kb)
[43, 45, 46, 413, ТЪ, Rl, RA, Л5, Д6]
740. (Vc) — (с G Kb) (Vc) (с G Ka) J- (Яа) ~ (a g Kb)
[A7,A8,T9,Ll,R2,RA,R5]
Til. (Яс) (с g Kb) (Vc) (с G Ka) Ь- (Яа) (a G Kb)
[410, 413, R2, RA, R5]
742. (Vc) (с G Kb) (Яс) (с G Ka) |- (Яа)(а G Kb)
[413, ГЗ, Д4, Д5]
743. (Яс) ~ (с G Kb) (Vc) (с G Ka) (- (Яа) — (a G Kb)
[47, 48, 741, Li, R2, RA, R5]
TIA. (Vc) ~(c(= Kb) (Яс) (с G Ka) |- (Яа) — (a G Kb)
[Al, A8, 742, Ll, R2, RA, R5]
745. (Vb) (b G Kc) (Vc) (c G Ka) (- (Яа) (a G Kb)
[46, 49, 413, 45, Д1, R2, RA, R5)
746. ( Vb) (b G Kc) (Vc) ~ (c G Ka) |- (Va) ~(«G K&)
[Д4, Д5, 7"6, L5]
155

Г17. (Я&) (b Œ Kc) (Щ (с Œ Ка) [- (За) {a Œ Kb)
[Я4,Д5,П1,Л13]
Г18. (V6) ~ (Ь Œ Яс) (Ye) (с е #а) h (За) ~ (а G #Ь)
[i?4, Л5, ПО, Lb]
Г19. ( Vft) ~ (b <= #с) (Зс) (с е if а) h (За) ~ (а Œ #Ь)
[Д4,Д5,Г14,£5]
Теоремы П — Г19 суть соответственно модусы Bar-
bara, Celarent, Darii, Ferio, Cesare, Camestres и т. д.
В силу непротиворечивости Si остальные простые
категорические силлогизмы недоказуемы.
D 2. Категорический силлогизм есть формула вида
KV (a1 Œ Kb1)..... Knocn (an œ Kbn) J- Ка (а Œ Kb\
где гг !> 2, и все а* Œ Kb1 попарно различны.
M T2. Если категорический силлогизм х\— у есть тав-
тология, то х |— у доказуема в £&.
Теорема МТ2 доказывается методом математической
индукции по числу конъюнктивных членов в посылке.
Базисный шаг, когда п = 2, уже доказан выще. Пусть тео-
рема верна для п членов конъюнкции. Рассмотрим кате-
горический силлогизм А
/y»l/y»2 /*»7i+l I ч*
Возможны два случая. Случай 1:
х1- . . . • #"[— а;
есть тавтология и, согласно допущению, доказуема;
очевидно, будет тавтологией и доказуемой формула А.
Случай 2: указанная в случае 1 формула не есть тавтоло-
гия. В этом случае может быть найдена такая z, что
х1- . . . -хп\— z zxn+1 \—х
суть тавтологии и доказуемы, причем — вторая формула
есть простой категорический силлогизм. Отсюда получа-
ем, что будет доказуема А.
156

§ 5. Силлогистика классов
и силлогистика предикатов
Имеет место связь силлогистики классов и классиче-
ской силлогистики предикатов. Она устанавливается, в
частности, аксиомными схемами:
(я «- (х I ) ) H f- (a Œ К (sc \ х) ).
§ 6. Квазиклассический случай
в теории кванторов
Примем аксиомную схему:
А1.\-а<=КЪ.
Из Al следует:
Tl.\-(Va)(aŒKb)
Аксиомная схема Al означает допущение того, что об-
ласти значения всех простых субъектов совпадают,— до-
пущение, лежащее в основе классического и интуициони-
стского исчислений предикатов. Лишь при условии такого
допущения в этих исчислениях оказываются обще-
значимыми и формулы вида (Va) (a <— Ъ) гэ (с «— Ъ) и
(с*-Ъ) ZD (За) (а+-Ъ).
Благодаря Al на уровне систем цвазиследования будут
доказуемы формулы (Va) (a <— b) [— (с «— b) и (с <— Ъ) |—
f-- (За) (а <г- Ь), в общем случае — формулы (Va)# |— y
и у f— (За) #, где у образуется из х путем замены
вхождений a в а; на с.
В самом деле, согласно Si доказуемы (Va) (a <— b)-
-(с œ Ko) \-{c+-b) и (C4-J)(CE #a) h (3a) (a <- b).
(Согласно 41 и по правилу квазиследования получим
Va) (a <«- Ь) f- (с -» Ь) и (с «- Ь) |- (За) (а «- Ь).
157

§ 7. Классы классов
Термин «класс» (будем употреблять буквы kl) интуи-
тивно означает следующее: если а есть термин, то Ка есть
kl, т. е. |— (kl —*■ Ка). Отсюда получаем, что если а есть
термин, то \— (YKa) (Ка Œ Kkl). Однако это рассужде-
ние содержит ошибки.
Прежде всего надо различать термин «класс» (буквы
kl) и классообразующий оператор «класс» (буква К),
который термином не является. Определение же термина
kl имеет такой вид.
2)1. Пусть kl будет термином таким, что если а есть
термин, то \— (kl -*■ Ка). Поскольку (kl —*- Ка) \— (YKa)
(КасвКкГ), определению можно придать такой вид:
2)*1. Пусть kl и Kkl будут терминами такими, что
если а есть термин, то [— (VKa) (Ка ЕЕ Kkl).
Выражение «Пусть kl будет термином» имеет опреде-
ленные логические свойства: оно превращает вещь вида
kl, которая до этого и независимо от этого не была терми-
ном, в термин. И выражение «если а есть термин» благо-
даря этому позволяет в качестве а брать только такие вещи,
которые уже являются терминами или становятся терми-
нами независимо от принятия 2)1. Короче говоря, 2)1
есть определение с переменной, правило для которого ука-
зано выше. Роль переменной здесь играет а (область ее
значения — термины, не зависящие по значению от kl).
Согласно правилу построения определений такого ти-
па из 2)1 не может быть получено следствие «Если а
есть термин, то kl —*• Ка (или Ка Eî Kkl; или (Va)
(kl —* Ка); или (Va) (Ка ее КМ))», где а есть любой тер-
мин, в том числе — термин kl. He могут быть получены и
утверждения kl —* Kkl и Kkl ЕЕ Kkl. Из 2)1 может быть
выведено лишь такое утверждение:
МТ1. Если а есть термин, не зависящий по значению
от kl (т. е. значение которого может быть установлено без
2)1), то Ы -- Ка (то Ка Œ Kkl).
158

Вопрос о том, как бытье упомянутыми выше утвержде-
ниями, зависит от внешних для них обстоятельств: они
могут быть приняты или не приняты как аксиомы в зави-
симости от того, нужно это или нет, и в зависимости от
того, приведет это к противоречиям или нет.
§ 8. Парадокс класса нормальных классов
Выражение «нормальный класс» (или «нормальное
множество») определяют так: класс называется нормаль-
ным, если и только если он не является элементом само-
го себя. Это определение непригодно потому, что в нем
явно не выражено то, что класс есть всегда класс чего-то.
Примем определение, устраняющее этот недостаток:
DÏ. Если а есть термин и при этом — (Ка се Ка),то
Ка будем называть нормальным классом (вместо выраже-
ния «нормальный класс» будем писать буквы пк).
Выражение «Будем называть» имеет логические свой-
ства, которые выражаются в случае с Dl таким образом:
D*l. Пусть пк будет термином таким, что пк^ Ка (или
Ка Ez Кпк), если и только если а есть термин и при этом
~ (Ка е Ка).
Здесь опять-таки имеет место определение с перемен-
ной: роль переменной здесь играет буква а; область зна-
чения а — термины, не зависящие по значению от пк.
При получении парадокса класса нормальных классов
забывают (или не замечают) того, что на место а не может
быть подставлен термин пк и любой другой термин, опре-
деляемый через пк, и определению придают вид утвержде-
ния А: если а есть термин, и —' (Ка £Е Ка), то Ка ЕЕ
Ez Кпк\ если а есть термин и Ка ÇE Ка, то ~ (Ка Eî Кпк).
Подставляя на место а термин пк, получают утверждения
В: если — (Кпк G Кпк), то (Кпк е Кпк); если (Кпк ее
Œ Кпк), то ~ (Кпк Œ Кпк).
Но утверждение А неверно. Верным будет такое след-
ствие D1 : если а есть термин, не зависящий по значению
159

от пк, и — (Ка Œ Ка), то Ка е Кпк; если ÜTa e ^а, то
при том же условии относительно а будет ~ (Ка ЕЕ Кпк).
А так как пк зависит по значению от самого себя (мы не
можем знать значение пк, не определив пк), получить ут-
верждение В нельзя.
Вопрос же о том, принимать или не принимать утвер-
ждение пк —* Кпк (и вытекающее из него следствие Кпк ЕЕ
Œ Кпк), остается открытым. Оно безразлично по отно-
шению к Di в том смысле, что, приняв пк —*■ Кпк и Di,
мы еще не можем получить отсюда логическое противоре-
чие. Противоречие не получится и в случае, если мы при-
мем Di и ~ (Кпк Œ Кпк) и вытекающее из него следствие
— (пк -* Кпк)).
§ 9. Производные классы
Расширим понятие «термин класса».
Di. Термин класса:
1) если а есть субъект, то (Ка) есть термин класса,
2) если (а) есть термин класса, то (а) есть термин клас-
са;
3) если а и Ъ суть термины классов, то (а) [) (Ь) и
(а) П (Ь) суть термины классов; аналогично если а1,...
..., ап суть термины классов, то (а1) [} (a2) (J ... (J (ап) и
(а1) П (а2) П ••• Л (а?г) СУТЬ термины классов.
Принято называть (а) дополнением к (а), (а) [} (Ь) —
суммой (а) и (Ь), (а) f| (b) — произведением (а) и (Ь).
Примем аксиомные схемы:
Ai.\-(Kâ)^(K~a)
А2. j- ((Ка) U (Щ)^(К(а\/ Ъ))
\-((КаУ) U (Ка2) U ... U ^(^»^(^(^V^V-
... Van))
A3, h №0 П (ЯЬ)) ^ (К (ab))
[-((Ка1) П (Ка2) П . . . П (Jfaw)) ^ (if (aV. . .a»))
Очевидно, знаки —, (J и f] обладают свойствами,
аналогичными —, N/ и • (при соответствии ^ и —\ [—).

ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ
ЛОГИКА СУЩЕСТВОВАНИЯ
§ 1. Экзистенциальные предикаты
Предикат существования («существует») является про-
стым (с точки зрения логики) предикатом. Будем изобра-
жать его символом Е. На него распространяется все, что
верно в отношении предикатов вообще. Но он обладает
некоторыми специфическими свойствами, которые яв-
ляются предметом внимания особого раздела логики.
Смысл предиката существования в каждой науке уста-
навливается определенными способами. Эти способы под-
даются, надо думать, обобщению и классификации. Но
для нас здесь достаточно знать, что такие способы имеют-
ся. Рассматриваемые в логике правила от них, однако,
не зависят.
Через Е можно определить другие предикаты, кото>г
рые точно так же относятся к числу экзистенциальных, в
частности — предикат «универсально». Будем изобра-
жать его символом U. Предикаты Е и U являются ло-
гически взаимозаменимыми. Первый из них категориче-
ски сильнее второго.
Высказывания, содержащие экзистенциальные преди-
каты, суть экзистенциальные высказывания.
Системы логики существования рассматривались в
[3-5].
В дальнейшем для упрощения записи высказывания
а <г-Ь, а"]^6 и я? «— ft будем изображать символами
соответственно ft (а), ~~| Ъ (а) и ? Ъ (а).
i/4 б А. А. Зиновьев
161

§ 2. Система 8п
Алфавит:
1) Е — предикат существования;
2) U — предикат универсальности.
Аксиомные схемы Al:
1. Eia1, ...,ап)\-Е(а1)- ... -Е(ап)
2. £(аг) ..... £(ап)\-Eia1,...,ап)
3. -|Е(а\ ..,,о")(- -]Е(а1) у .. • V"1 Е(ап)
4. П Е (а1) V ... V "1Е («п) Ь 1 Е (а1 °п)
5. U (а\ ...,an)\-U (а1) • ... . U (ап)
6. U (а1) • ... - U (ап) \- U (а\ ...,ап)
l.-\U (а1) V - - - V "I U (а») |_ J U (а*)у.. -УП^ Ю
8. -]U (а1,..., а") h- И U (а1, ..., ап)
Аксиомные схемы ЛИ:
1. Е(а)~]Е(а [ b)\-E(a~\ \ Ь)
2. Е(а)?Е(а [ 6)|-£(а? J, Ь)
3. Е(а)~Е{а \ Ь)\-Е(а~ j 6)
Аксиомные схемы А III:
1. (За) £ (а) (- £ (а)
2. ~£(а)|— (Va)~£(a)
Аксиомные схемы Л IV:
1. #(а)|--|Я(~а), 17Ц*)|-""1ЯЦ~*)
2. n^(~e)h-^(e). П^Ц-*)!-#(!*)
3. -\U(a)\-E(~a), ~\U( I x)\-E( J, — x)
A. E(~a)\-~\U(a), JB( J ~*)Н~1#U *)
5. {7 (а) [-Я (e), f(| ж)Н^(|ж)
Аксиомные схемы 4 V:
1. \—~]Е(~ аа)
2. ±-—\E(aä)
162

Аксиомные схемы А IV:
1. (Яа)х\-Е(а | х)
2. Е(а | ж)|— (Зя)а;
3. ("~|Яа)а:^-"~1^(а I *)
4. """]#(« 1 *) К Cl я«0 *.
где (в схемах 1—4) предикат /? не входит в х.
Аксиомные схемы А VII:
1. Е(аЬ)\-Е(а)Е(Ь) Е( [(ху))[-Е(\ х)ЕЦ у)
2. Е (а\/Ь)-\\-Е (а)\/Е ф)
Е([(х\уУ))-{\-Е([х)уЕау)
3. ~] я («) V П я (*>) Ь-H я И)
-\Е( I x)V~\E( | у)|-"1^( I Ш)
4. ~| Я О* V *0 Ч H H Я («) И Я (*0
~|Я( 1(х\/у))-\\--]Е( I х)-]Е( I у)
5. U{а)Е(Ъ)\-Е(ab) U( [ х)Е( [ у)\-Е( [(ху))
6. U(a\/b)]-U(a)\/E(b) U( l(x\/y))t-U( | *)V
Аксиомные схемы -4 VIII:
1. x\-E(i x)
2. tf(| z)\-z
3. Я( j я) [-#(<* J x)
4. Я(а J *)|-#U x)
где (в 3 и 4) a входит свободно в х.
5. Е (а I х)\-Е(а)
6. ~\В(а)\-~\Е(а I х)
7. ?Я(а)| Е(а [ х)
где (в 5—7) Е не входит в х.
Правило вывода:
RÏ Если |— #, то |— U ( | #).
1/2 7 A. А. Зиновьев
163

§ 3. Некоторые следствия в 8е„
1. E(abc)[-E(a)
2. ПЕ(ауЬ\/с)-\\--[Е(а)~\Е(Ь)-]Е(с)
3. U (ab) -\ f- U (a) U (Ъ)
4. -\E(a)V~]E(b)\/-\E(c)l--}E{abc)
5. |- (а ^ Ъ) Е (Ь) -> £ (а)
6. |- (а -*. 6) "~| Е (а) -* -| Е ф)
7. |-(а-^ Ь) ? £ (а)-> ~ £ (Ь)
8. \-—\Е(~ааЬ)
9. l-^(«V~«)
10. h*7(aV~«V*>)
11. ~£( j *)| х
12. £/• (а) H ~1 U (~ с)
13. ~1 Е (~ а) h E (а)
14 ~£(а)| tf(a)
15. С/(а)Ь^(а)П^(~а)
16. ff(| x)\~-\U([ —ж)
17. (Уа)ж(-П^(а 4 ~«)
18. nVa)a:b-E(a | — ж)
19. \-U ( \ (х\/~х))
20. |-tfU(*V~*V0))
21. \--\Е(К~хх))
22. l-tfÜ (a»-»-*))
23. \--\E(l(x->~x))
24. С/ (а) |— (Va) ~ Е (~ а)
25. | (?Яа)£(а)
§ 4. Теорема универсальности
МП. |— U (а) доказуема в таких и только таких слу-
чаях:
1) если а есть [ х, где х есть высказывание, то х есть
тавтология (или |— х доказуема);
164

2) если является тавтологией высказывание а*, кото-
рое образуется из а путем замены входящих в него терми-
нов на высказывания (на место разных терминов ставятся
разные и на место одинаковых одинаковые высказыва-
ния).
Для случая, когда а есть \ х, теорема очевидна, ибо до-
казуемые |— U ( I х) получаются лишь в силу Ri. Во втором
случае доказуемые \— U(а) получаются лишь в силу AV,
AlVlvL A IV2. То, что доказуемой |— U (а) соответствует
тавтология а*, очевидно. С другой стороны, если а* есть
тавтология, то ее каноническая форма аг \/ ... V ак
есть тавтология. Но в общей теории дедукции доказуемы
формулы ах \J ... \/ afc |— аг \у ~~ ах и ах \/ ~* ах |—
|— ах \J ... \/ afc. Следовательно, формула ах \/ ~ ах
есть тавтология. Но в нашей системе доказуема формула
\— U \ (ах \у ~ ах)), что и требовалось доказать.
§ 5. Кванторы и предикаты существования
Из аксиомных схем 4III и -4VI вытекает следующее
важное следствие:
1) формулы с кванторами всегда могут быть заменены
на бескванторные формулы с предикатами существова-
ния;
2) формулы вида аЕ(а) и all (а) могут быть заме-
нены на формулы с кванторами и без предикатов существо-
вания лишь в случаях, когда а ^ (b l х); если же а не-
возможно представить в таком виде, то элиминировать
предикаты существования нельзя.
§ 6. Семантическая интерпретация
Примем следующую интерпретацию:
1) субъектам приписываются значения 1 и 0;
2) Е (а1,..-! ап) равнозначна Е (а1)...../? (ап);
165
Т

3) x -> у равнозначна x zd y;
4) E (a V b) равнозначна E (a)\/ E (b);
5) если a ж b оба имеют значение 1, то значение ab
остается неопределенным; если ab имеет значение 0, то
значения а и b остаются неопределенными; если по край-
ней мере один из а и b имеет значение 0, то ab имеет зна-
чение 0; если ab имеет значение 1, то a и & имеют значе-
ние 1;
6) если один из a и —а имеет значение 1 (0), то дру-
гой имеет значение 0 (1);
7) х, I х и а \ х равнозначны;
8) если значения а и b равны, то равны значения E (à)
и Е (Ь), а также значения ~~| Е (а) и ""] E (b);
9) если Е (а) и a E (а \ Ъ) имеют значение 1, то
Е {аа \ Ъ) имеет значение 1 (а означает наличие "~| или ?
или отсутствие обоих);
10) если Е (а) имеет значение 1 (0), то а имеет значение
1 (0); если а может (не может) принять значение 1, то
Е (а) имеет значение 1 (значение 0);
11) U (а) равнозначно ""] Е (— а); | С/ (а) равно-
значно Е (—а); аналогично для U ( | х) и (~] Е ( \ ~#),
-]U(iz) mE(l^x);
12) (a3a) E (а) равнозначно a E (а);
(аЯа) х равнозначно a E (а [ х);
13) если а не может принять значение 1, то ? Е (а)
имеет значение 0:
МТ1. Все доказуемые в S£ формулы суть тавтологии
(и система непротиворечива).
МТ2. Формулы
Е(а)В(Ъ)\-Е(аЬ), Е( \х)Е( \ у)\-Е( \ (ху))
-[E{ab)\--\E(a)\/-\E(b),
~Е(аЬ)\-~Е(а)\/~Е(Ъ),
-]E(l (**/)h~-"|£Ü*)VnU у)
недоказуемы в S£, поскольку не являются тавтологиями.
166

§ 7. Система $
Для классического случая достаточно следующих ак-
сиомных схем. Из аксиомных схем Al остаются первые
четыре. Вместо аксиомных схем All принимается
Е(а)~Е(а J, х)\-Е(а I ~ж)
Из аксиомных схем ЛIII остается лишь первая. Вместо
аксиомных схем АIV принимаются:
1. U(a)\ Я(~а), U(i x)\ ЕЦ —ж)
2. ~ E(~a)\-U(a)9 ~Е( \ ~я) \-U{ i х)
3. U (а) \-Е (а)
Аксиомная схема ЛV принимает вид: |— — Е (— аа).
От аксиомных схем Л VI остаются первые две. От акси-
омных схем ЛVII остаются первая, вторая, пятая, седь-
мая и восьмая, а шестая заменяется на такую:
~ЯЦ*)\/~ЯЦ У)\ ЕШ*У))
Аксиомные схемы Л VII и правило RÏ остаются без из-
менения.

ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ
МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА
§ 1. Модальные предикаты
Модальные предикаты суть предикаты «возможно»,
«необходимо», «случайно» и «вероятно (возможно) со сте-
пенью». К ним относится все, сказанное о предикатах
вообще. Кроме того, они обладают специфическими
свойствами, которые фиксируются в логике. Системы
модальной логики такого рода, как излагаемые ниже,
рассматривались в [3 — 5].
§ 2. Система S%x
Алфавит:
1) M — предикат «возможно»;
2) N — предикат «необходимо»;
3) С — предикат «случайно».
Dl. Модальные предикаты суть M, N и С ж только они.
£)2. Высказывания, содержащие модальные преди-
каты, суть модальные высказывания.
Аксиомные схемы Al:
1. N([ х)\-х
2. *|-М(| х)
Аксиомные схемы All:
1. N(i aOI-H^U —*)
2. -\M(l z)\-N([ ~x)
168

3. ~]N(l x)\-M(\, ~ж)
4. M(l x)\--]N(i ~x)
Аксиомные схемы Alll:
1. C(l x)\-M(\ x)M(], ~ж)
2. M{\ x)M(l ~a:)b-C(| x)
3. ~\C{i x)\~M{\ x)~\M(i ~x)
4. M{\ x)~\M(i х)[-~\СЦ x)
5. 1C(\ x)\-M{\ x)1M{\ ~x)
6. МЦ x)?M([ —jc)[— ?C( 4, ж)
Аксиомные схемы АIV:
1. M([(x\yy))\-M (i x)y M{I y)
2. M{\x)\/M{\y)\-M{\{x\Jy))
3. N{\ x)N{\y)Y~N{\{xy))
4. ЛГЦа:)М( [y)]-M(i (xy))
5. iV(|(^Vî/))b-iV(|a:)VM(|y)
6. M(\ x)?M([ у)\-Ш{\ (xy))
7. N(lx)?N(ly)t-?N(l(xy))
8. ?М(|а:)?М(41/)Ь-?М(И^))
9. ?yV(|a;)?iV(lj/)H?^(H^/))
Аксиомные схемы AV:
1. aÇ(fl)haÇ(l(£(«)))
2. a Ç ( J(£ (<*))) H « ? (<*),
где (в 1 и 2) Q есть модальный предикат, а a означает на-
личие одного из "~] и ? или отсутствие обоих.
3. M (a, b) \- M (a) M (b)
4. M (a) M (b) \~ M (a, b)
5. N(a,b)\-N(a)N(b)
6. N(a)N(b)[~N(a,b)
7. -\M(a,b)\--\M(a)\/-\M(b)
169

8. -\М(а)\/-~\М(Ъ)\--\М(а,Ъ)
9. -\N(a,b)\--\N(a)\/-\N(b)
10. -| N (а) V ~| N (Ь) \- "1ЛГ (а, Ь)
Аксиомные схемы А VI:
1. Q(l((aKa)x))\-(KKa)Q(lx)
2. («Ka)Ç(J*)f-0U((«Ka)*)),
где Q есть модальный предикат, К есть V или 3, а а
означает наличие ~~| или Î или отсутствие обоих.
Аксиомные схемы ЛУП:
2. м ц (* ~ у)) ь (* ~И г/)
3. (x-^y)N(ix)\-N(iy)
4. (х-^у)М([х)\-М{\у)
5. (x-*y)-[MUry)\--\M(lx)
6. (*-н.»)-|^(|У)|-"1^(1*)
7. (*->у)?МЦгО| М([х)
8. (*->у)?ЛГЦЮ| N([x)
9. A4(|af)Af(|y)(*-|-^«~y)(»"l-»—*)Ь-^(ИЧГ))
Аксиомные схемы ЛУШ:
1. (аЗа) M (а) ^ а Af (a)
I.V. M (а) h-(«a а) M (а)
Аксиомные схемы ЛIX:
1. aÇ(|ar)f-iV(|(a <?Ц*)))
2. M(4(aÇ(|*)))H«Ç(|*).
где Q есть модальный предикат, а а есть ~~) или ? или от-
сутствие обоих.
Правила вывода:
Ri. Если х\-у, то JV( ;х)f- ЛГ( |^).
Л2. Если a:J-j/, то M ( \х)[-М{ \у).
170

§ 3. Некоторые следствия
Tl. N(i(xy))[-N(]fx)N(iy)
Tl. М(\ху)\-М{\х)М{\у)
TS. С{\(ху))\-М{]/х)М{\у)
Ti. -\N(l(xy))[--[N(lx)\/-[N(ly)
ТЪ. -\Nax)V-\N(ly)\--\N(l(xy))
Т6. Ы([х)[--[СЦх)
Tl. -]C{\x)\-N{\x)
Т8. аС(\х)\-М{\,х)
Г9. N(lx)\-NN(ix)
ПО. M(\x)\-NM(\x)
Tii. M M ( l x) \- M ( \ x)
Til. MN( \x)\-M(\x)
TIS. ~N{\x)\~N{\ (~iV( j x)))
TIA. ?N(l(xy))[-(?N(ix)\/?Nay))-
~N(lx)~~[N(ly)
745. Ш{\(ху))\-(}М(\х)\/Ш{\у))-
~-1М({х)~-\Мау)
§ 4. Модальные операторы
Слова «возможно», «необходимо» и «случайно» могут
играть роль логических операторов. Будем для этой цели
употреблять символы соответственно M, N и С.
Система S™2, определяющая свойства модальных опе-
раторов, получается путем добавления к S™1 таких акси-
омных схем.
Аксиомные схемы Al:
1. (ocQa) x (— aQ (a J, x)
2. aQ (a J, x) j— (ocQa) x
171

3. (<%Q (a, b)) x |- (aQa) ж (aQb) a;
4. (aQa) # (aQb) ж f— (aQ (a, b)) a;
5. (a^a1) .. . («"QVl^ht^QV) x .... . (anQnan)я
6. (a^a1) a;.... . (anQ"an) x |— (a^a1) (anQ*an) a;,
где Q, Q1,..., Qn суть модальные операторы, <x, a1,..., an
означают наличие ~~| или ? или их отсутствие, Q есть мо-
дальный предикат, соответствующий Q (если Q есть М,
то Q есть Мит. д.).
Аксиомные схемы All:
1. (aQa) x f— (aQb) ж,
где a и & свободно входят в #, а Q есть модальный опе-
ратор.
2. (Ma)s(N(a | а?))»Ь(Ма)у
3. (Na) x (N (а | ж)) у [- (Na) г/
Аксиомные схемы АIII:
1. (аКа) (ßQb) х \- (аКа) ((ßQb) x)
2. (аКа) ((ßQb) ж) (- (аКа) (ßQb) а?
3. (Qa) х (V (а J *)) i/ u. (Qa) i/,
где Q есть модальный оператор, К есть V или Я, a и ß
означают ~~| или ? или их отсутствие.
§ 5. Интерпретация
Примем следующую интерпретацию:
1) если х приписывается значение 1, то M ( \х) при-
писывается значение 1 ; если M ( | х) имеет значение 1,
то х может принять значение 1; и если х может принять
значение 1, то M ( [ х) имеет значение 1 ; если M ( | х)
приписывается значение 0, то # приписывается также
значение 0;
172

2) N ( J x) равнозначно ~~| M ( \ ~ x); ~[ N ( ^ x)
равнозначно M (I —x);
3) С ( I x) равнозначно M ( \ x) M ( [ ~ x)\ ~~| С ( \ x)
равнозначно M ( \ x) ~~] M Q ~ #); ? С Ц #) равно-
значно M ( J #) ? M ( J ~ x);
4) если а и Ъ равнозначны, то равнозначны a Q (а)
и a Ç (Ь);
-5) (a Q a) ж равнозначно a(? (a | #);
6) (a Q (а, Ь)) # равнозначно (a Q a) x (a Q &) #;
7) (cHQ1 a1)... (anQnan) x равнозначно (а^а""1)^-...-
•(an Qnan) х;
8) если (Qa) x и (N (а\х)) у имеют значение 1, то
(Qa) у имеет значение 1; аналогично для (Qa) #, (V(a j #)) i/
и (Qa) y;
9) (а Ка) Q ( |"я) и равнозначно Q ( | ((а Ка) #));
10) (а Ка) (ß Q Ъ) х равнозначно (a Ka) ((ß Qb)x).
MTi. Все доказуемые в S™1 и S™2 формулы суть тав-
тологии.
§ 6. Классический случай
Система S™1 классической теории модальностей полу-
чается из S™1 путем исключения формул со знаком не-
определенности, замены повсюду внутреннего отрицания
на внешнее и исключения повторений и зависимых схем.
§ 7. Основная модальная логика
В современной логике в качестве модальной логики
имеется в виду обычно лишь такая часть ее, в которой рас-
сматриваются отношения модальных знаков M ж N ж опе-
раторов -, V» ~> ^ (последний рассматривается как знак
следования или «если, то»). В изложенной нами системе
можно выделить часть, которая будет выполнять функции
модальной логики в традиционном смысле,— основную
модальную логику.
8 А. А. Зиновьев
173

Система S„ основной модальной логики образуется из
таких аксиомных схем и правил.
Аксиомные схемы S™0:
Al. N([x)\~x
Al. х Y- M ( \ x)
АЪ. N(\x)\--[M(\~x)
A4. ~\M{\ ~x)\-N(\ ~x)
Ab. ~\N{\x)\-M{\~x)
A6. M(l~x)\--]N(lx)
Al. M( i (x\yy))\-M( \x)y M( iy)
A8. M{\x)\/M{]fy)[~M{]f{x\Jy))
Л9. N(\x)M{\y)\-M{l(xy))
Aid. N(\x)\/N{\y)\-N{\t{x\/y))
Ali. N{\(x\/y))\-.N(\x)\/M{\y)
Ail. M( [x)1 M( [y)\-?M ( l (xy))
413. ?М(1х)?М(\у)\-?М(Цху))
AU. N(ix)\-N(l(N(ix)))
A15. M{\(M(\x)))\-M(\x)
Правила вывода:
Ri. Если х\-у, то N([x)\-N( [y)
R2. Если х\-у, то М{\х)\-М(\у)
Система S™0 основной модальной логики для классиче-
ского случая отличается от S™0 тем, что исключаются ак-
сиомные схемы А12 и А13, а аксиомные схемы A3 — Aß за-
меняются на такие:
N(\x)\ M (J, ~аг)
~üf(J, ~x)\~N{\x)
174

§ 8. Логические модальности
Употребляют выражения «логически возможно», «ло-
гически необходимо» и «логически случайно». Введем для
этих предикатов символы LM, LN и LC. Их свойства
определяются аксиомными схемами Л* и правилом Я*1:
4*1. LN(lx)\ LM{\~x)
Л*2. ~LM(i ~x)[-LN{\x)
4*3, LiV(|ar)|-iV(|a:)
4*4 M(ix)\-LM(ix)
4*5. LC( J#)|-LM( J*)LM( J — я)
4*6. LM(\x)LM{\ ~x)[~LC{\x)
Я*1. Если f-ж, то \-LN{\x).
Т\.\-М{\х)\/М{\~х).
§ 9. Модальность и существование
Соотношение модальных и экзистенциальных преди-
катов (помимо аналогии) определено аксиомными схемами
4VI и 4V2. Кроме того, имеют силу теоремные схемы:
П. Е{\х))-М{\х)
Г2. N{\x)[~E{\x)
TS. \J(lx)\-N(lx)
Г4. П U (i*)}-M(i ~x)
ТЬ. С{\х)[~"\ U (\х)
Т6. ~^М{\х){-~^Е{\х)
§ 10. Модальность и условность
Формула ~~1 M ( I (х — у)) |— (х -> у) в Sn не яв-
ляется доказуемой (поскольку не является тавтологией),
а формула ~ M ( | (#— г/)) (— (# —> */) недоказуема в
S™'. Так что "1 M (| (s— у)) и ~ М( J (я — i/)) нельзя
рассматривать как сокращение для (х->у).
175
8*

§ 11. Модальности и кванторы
Имеет место совпадение теории кванторов и теории
модальностей в следующем смысле. Пусть (х\—. y)q есть
формула теории кванторов, а (х |— у)т — формула тео-
рии модальностей. Пусть одна из них образуется из дру-
гой путем следующих замен: 1) все вхождения вида (aVa)z
заменяются на вхождения (a Na) z (или наобо-
рот); 2) все вхождения вида (a3a) z заменяются на вхож-
дения вида (a M a) z (или наоборот). В таком случае будет
иметь силу теорема:
МТ1. Если (х |— y)q доказуема, то (х |— у)т доказуе-
ма; и наоборот.
Справедливость MTÏ усматривается из соответствия
определенных аксиомных и теоремных схем и правил вы-
вода модальной логики с аксиомными схемами и прави-
лами вывода теории кванторов.
Будет иметь силу также теорема МТ2, аналогичная
МТ1, но в которой (х |— у)т образуется из (х \— y)q и (на-
оборот) путем следующих замен: 1) все вхождения вида
(aVa) z заменяются на вхождения вида a N ( J, z) (или
наоборот); 2) все вхождения вида (a3a) z заменяются на
вхождения вида a M ( j z).
§ 12. Вероятностная логика
К числу модальных предикатов относятся такие пре-
дикаты, в которых фиксируется степень возможности на-
ступления событий или вероятность. Система S™p вероят-
ностной логики образуется благодаря следующим допол-
нениям к S™.
Алфавит: р = а, р > a, р <С a » р > a, р^а, где
O^a^l, суть предикаты вероятности («возможно со
степенью а», «возможно со степенью большей, чем а»
и т. д.).
176

Вместо символов вида Цх)^~{р = а), (|#)«-(Р>
> а) и т. п. будем употреблять более удобные адек-
ватные им общепринятые символы вида р (| х) — ос,
р(\х)~^> а и т. п. («Вероятность того, что наступит \ х,
равна а» и т. д.).
Аксиомные схемы <S™P:
Ai. |-0<рЦ х)<1
42. H(PÜ*) = 0)->.-|MU*)
АЪ. \- ~\M ( \ х) -> (р ( | х) = 0)
44. 1- (р ( J, ж) = 1) -+ iV ( j. ж)
45. |-iV(| ж)-*(р( j. х) = 1)
46. |—М( | *)-► (0 < р ( J, ж))
Л7. M0<pU*))-^U*)
48. |-М(| ~ж)-*(рЦж)<1)
49. |-(р( ; *)< 1)-► АГ( J, — ж)
410. |— р I (х1-...-хп)^тт(р(1х1),...,р([хп))
Ali. \~р i (xxV ...V хп)^тах(р( ix1),..., p(\xn))
Ail. H(*^(P(l») = «))(P(^) = ß)-^(P(iJ')<
Возможны различные соглашения для установления
вероятности событий в случаях, указанных в -412. В част-
ности,
4*12.M*-*(PÜy) = «)(P(l*) = ß)-*(P(iy) = «-ß)

ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ
ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ
§ 1. Предикаты отношений
Предикаты отношений суть предикаты вида «первый
ближе второго», «первый раньше второго», «первый пра-
вее второго», «первый находится между вторым и третьим»
и т. п. Среди них выделяются две группы предикатов:
1) предикаты сравнения;
2) предикаты порядка.
Свойства этих предикатов рассматриваются в логике от-
ношений.
Выражения «способ сравнения» и «способ установле-
ния порядка» («способ упорядочивания») здесь не опре-
деляется. Заметим лишь, что рассматриваемые ниже пра-
вила логики имеют силу лишь при том условии, что эти
способы так или иначе известны и являются стандартны-
ми для предметов того или иного рода. В частности,
в рамках одного и того же утверждения предполагается
тождество способов установления порядка и сравнения
для всех фигурирующих в них предикатов порядка и
сравнения.
§ 2. Логика сравнения
Система Sn теории сравнения для неклассического слу-
чая образуется благодаря таким дополнениям к ранее
принятым системам.
Алфавит:
1) ^> — знак превосходства («превосходит»);
178

2) <C—знак, противоположный превосходству («ус-
тупает»);
3) = — знак тождества («тождественно»).
Di. Если а есть предикат, то (> а), « а) и (= а)
суть предикаты сравнения.
D2. Высказывания, содержащие предикаты сравнения,
суть высказывания сравнения.
Высказывания сравнения читаются так:
1) (а > с) (а, Ь) — «а превосходит (не превосходит,
неопределенно превосходит) в по признаку с»;
2) (а < с) (а, Ь) — «а уступает (не уступает, неопре-
деленно уступает) Ъ по признаку с»;
3) (а = с) (а, Ъ) — «а тождественно (не тождественно,
неопределенно тождественно) Ъ по признаку с».
В дальнейшем вместо символов вида (а ^> с) (а, Ь),
(а <[ с) (а, Ъ) и (а = с) (а, Ь) будем для простоты и нагляд-
ности употреблять символы, соответственно (а<х ( ^> с) Ь);
(а а « с) Ъ) и (а а(= с) Ь). Предикат с будем опускать, пола-
гая, что в рамках одного и того же утверждения во всех
высказываниях сравнения имеется в виду один и тот же
предикат с.
Аксиомные схемы -41:
1- Ь-(я~1>А)
2. (<г>Ь)ЫЬП>я)
3. (а-\>Ъ)\-((Ъ>а):(а = Ъ))
4. (а?>Ь)[-(Ь?>я)
5. (а>Ь)(Ь><0Ы«><0
6. (а>Ь)(Ь = с)Ь(*>с)
7. (аЛ>*)(ЬП>')М*П>*)
8. (а?>Ь)(Ь==с)Ь-(*?>с)
9. (а<Ь)|-(Ь>*)
10. (а>Ь)Ы&0)
11. (аП<Ь)Ыа>Ь):(А = Ь)
179

12. (а>Ь):(а = Ь)|-(а-|<Ь)
13. (а?<Ь)|-(*?>в)
14. (Н>а)|—(а?<Ь)
15. (а = Ь)|-(а_|>Ь)(Ь_1>а)
16. (аП>Ь)(ЬП>а)Ь(«=Ь)
17. (а"~| = Ь)|-(в>Ь):(Ь>а)
18. (а>Ь):(Ь>а)|-(аП = Ь)
19. (a? = b)|-((a?>b)V(b?>a))
20. ((а?>&)\/(*>?>«)) — («>*>)-
Следствия Л1:
Tl. | (а>а)
7*2. (а>Ь)| (6>в)
ГЗ. (а?>Ь)| (в>Ь)
Г4. | ((а>Ъ)(Ь>а))
ТЪ. | ((а > Ь) (а П > *))
Аксиомные схемы All:
1. (а-е-с) (6 П *-в) h (в О с) Ь)
2. (о-|<-0(Ь~1*-с)|-(в(=с)Ь)
3. (а?«-е)(&?-«-е)|-(в(=е)&)
4. (а •«-с) (Ь ? •*-в) Ь-(в ? О с) 6)
5. (a?^-c)(6n^-c)j-(a?(>c)b)
Классический случай Si1 имеет такой вид.
Аксиомные схемы Ас1:
1. J— ~->(а^>а)
2. (а>Ь)| (6>а)
3. ~(а>Ь)|— (6>о):(в = Ь)
4. (а>Ь)(Ь>с)|-(в>с)
5. (а>Ь)(Ь = с)|г-(в>с)
6. ~(«>Ь)~(Ь><01 (а>с)
~ (а >Ь)-(*>>«)
(Ь>а)|-(*? = &)
180

7. (а<Ь)Ь(Ь>Д)
8. (a>ft)f-(ft<>)
9. (а = b) I (а>Ь)~(Ь>а)
10. ~(а>Ь)~(Ь>а)|-(а = Ь)
Аксиомные схемы Ас11:
1. (а<-с)~(Ь^с)1-(а(>с)Ь)
2. ~(а^с)~(Ь«-с)[-(а( = с)ь)
§ 3. Логика порядка
Система Srn теории порядка для неклассического слу-
чая получается благодаря таким дополнениям к ранее
принятым системам.
Алфавит: знаки ^>, <С и = » как в S^1.
Dl. Если с есть субъект, то О с), (<СС) и (= с) СУТЬ
предикаты порядка.
Высказывания, содержащие предикаты порядка, суть
порядковые высказывания. Они читаются так:
1) а 0> с) (а> Ь) — «а превосходит (не превосходит,
неопределенно превосходит) ft по порядку относительно
с»;
2) а (< с) (а, Ъ) — «а уступает (не уступает, неопре-
деленно уступает) Ь по порядку относительно с»;
3) а ( = с) (а, Ъ) — «а тождественно (не тождествен-
но, неопределенно тождественно) Ъ по порядку относи-
тельно с».
Как и в § 2, вместо символов а 0> с) (а, ft), а (< с)
(а, ft) и а (= с) (а, ft) будем употреблять более простые и
наглядные символы соответственно а а{^> с) ft,
ûa(<c)iïïaa(=c) ft. Символ с будем опускать на тех
же основаниях, что и с в § 2.
Аксиомные схемы логики порядка имеют тот же вид,
что и аксиомные схемы А\ логики сравнения, с той лишь
разницей, что в них вместо предиката с повсюду фигури-
рует субъект с. Аналогично для классического случая.
181

§ 4. Интерпретация
Примем следующую интерпретацию (в пунктах 1—5
знак с есть предикат или субъект):
1) область значения субъектов — множество нату-
ральных чисел;
2) a Q> с) Ъ имеет значение 1, если и только если зна-
чение а больше значения ft; а~~] £> с) Ъ имеет значение 1,
если и только если значение а равно или меньше значения
ft; ai £> с) Ъ имеет значение 1, если и только если
соотношение а и ft не известно;
3) а а (< с) Ь равнозначна формуле, стоящей справа
от знака следования в схемах соответственно 9, 11, 13;
4) а а (= с) Ъ равнозначна формуле, стоящей справа
от знака следования в схемах соответственно 15, 17, 19;
5) если с1 и с2 различны, то значения а а (^> с1) Ь
и а а (]> с2) Ъ независимы;
6) если й<-си!)"|<-с имеют значение 1, то значе-
ние а больше значения ft; соотношение значений а и Ъ
для пар а <— с и ft? <— с, а? <— с и ft ~~~] «— с не изве-
стно; если а | <— с и ft ~~| <— с имеют значение 1, то
значения а и ft равны; аналогично для пары ai <— с и
ft? ±-с.
МТ1. Все доказуемые в принятых системах формулы
суть тавтологии.
МТ2. Если с1 и с2 различны, то формулы а а (> с1) Ь(—
(— я а (> с2) ft недоказуемы, поскольку они не являются
тавтологиями. Аналогично — для < и = .
§ 5. Производные термины порядка
Через предикаты порядка, рассмотренные выше, оп-
ределяется совокупность порядковых терминов «находит-
ся между», «структура», «ряд» и т. п. Они рассматривались
в работах [3, 7].
182

§ 6. Система S'
Алфавит: R, R1, R2,... — знаки порядка («до этого»,
«после этого», «в десяти метрах от», «через три часа» и
т. п.)
Di. Если Л есть знак порядка, а ж есть высказывание,
то (R | х) есть предикат порядка.
Высказывания вида (Л \ х) ({у) читаются так: « \ х
имеет место в отношении йк | х». Например, «Гром про-
гремел через пять секунд после того, как сверкнула мол-
ния». В дальнейшем ради упрощения стрелки будем опус-
кать, полагая при этом, что все употребляемые термины
суть термины типа | х.
Аксиомные схемы Sr3:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
И.
12.
13.
14.
15.
(Rx)y\-(Rx)~y
Rx)~y\ (Rx)y
Rx)y(Rx)z\-(Rx)(yz)
Rx)(yz)\-(Rx)y(Rx)z
[Rx)y\y(Rx)z\-(Rx)(y^z)
[Rx)(y\y z)\-(Rx)y\/ (Rx)z
(/?%) (R*y)) z \- (Rh) z (R*y) z
[Rh;) z (R2y) z b- ((Rh) (R*y)) z
(Rh) V (Д2У)) z h (Rh) z V (Я*У) *
[Rh) z V (X2y)z \- ((Rxx) V (R*y)) z
■R(x\Jy))z\-((Rx)\/(Ry))z
(Rx)\/(Ry))z\-(R(xVy))z
R(xy))z\-((Rx)(Ry))z
(Rx)(Ry))z\-.(R(xy))z
Rh) y (aRxb -* bR2a) \- (R*y) x)
183

§ 7. Упорядоченные конъюнкции и дизъюнкции
Встречаются высказывания вида «х и затем у», «х и
перед этим у», «х и слева от этого у» и т. п. Эти своеобраз-
ные упорядоченные конъюнкции нередко употребляются
неявно и смешиваются с обычными. Аналогично обстоит
дело с упорядоченными дизъюнкциями. Именно на этом
смешении базируется, на наш взгляд, исключение некото-
рых законов классической логики в «логике микромира».
В общем случае упомянутые конъюнкции и дизъюнкции
имеют вид
x(Rx)y х\/{Дх)у,
где R есть какое-то отношение порядка («ж и в отношении
R к этому у», «х или в отношении R к этому г/»).
Для рассматриваемых высказываний не имеют силы
формулы вида
x(Rx)y\-y(Ry)x x\J{Rx)yy-y\/{Ry)x
Для них имеют силу лишь формулы вида -41:
1. (х (Л1*) у) (aRlb -* bR9a) \- (у (Д2у) х)
2. (х V {Rxx) y) (aR4 -* bR4) \-(у\/ (R*y) x)
В остальном для упорядоченных конъюнкций и дизъ-
юнкций имеют силу правила, аналогичные обычным, на-
пример — такие:
Tï. ~{x{Rx)y)-^\ x\/{Rx)~y
Т2. ~(x\/(Rx)y)-\\ x{Rx)~y
TS. (x V (R1*) У) (R2a) z\-x (R2a) z V (R1*) У
Примем также аксиомные схемы All:
1. х (R'x) у (R2y) z \~ (x (Rix) y) (y (R*y) z)
2. (x {R4) y)(y (R*y) z)\r~x (R^x) y (Д2*/) z
3. a; V (R1*) У V (ФУ) z h (* V (&*) У) (У V №) *)
4. (xv(R1*)y)(y V(R2y)*) Ь * V(R1*)у V№)*
5. x\/{R^x)y (R*y)z[~(xy (R*x)y)(y (R*y)z)
184

6. (x v (Л1*) у) (у (R2y) z)\-*V (R1*) у (№у) *
7. х(Я*х)Уу (R*y) z \- (х(R4)у) (у V (R2y) z)
8. (х (№х) у) (у V (R2y) z)[-x (R*x) y V (R2y) z
Обычные (коммутативные) конъюнкцию и дизъюнкцию
можно рассматривать как частный случай упорядоченных
приняв аксиомные схемы АIII:
1. (x (Rx) y-^y (Ry) x) (y (Ry) x->x (Rx) y) \- ху
2. ху |— (x (Rx) y-+y (Ry) x) (y (Ry) x->x (Rx) y)
3. (x\J (Rx)y-^y\/ (Ry)x)(y\/ (Ry)x-+x\/ (Rx)y)Y-
\-z\/y
4. x\/y\r~(x\/(Rx)y^y\/ (Ry)x)(y\J (Ry)x^
->x\J(Rx)y)
§ 8. Логика изменения
Система Sch получается благодаря таким дополнениям
к ранее изложенным системам:
Алфавит: =Ф — предикат превращения.
Высказывание (=4>) ( l x, | у) читается так: «Ситуа-
ция, в которой имело место j x (было истинно х), превра-
тилась в ситуацию (или заменилась на ситуацию), в ко-
торой имеет место | у (в которой истинно у)». Вертикаль-
ные стрелки у высказываний будем для упрощения запи-
си опускать, полагая, что буквы x, y, z,... суть термины
j #, [у, !z,... Будем употреблять более наглядную за-
пись высказываний в форме х а =Ф у, где а означает "~~|
или ? или отсутствие обоих. Выражения «вслед за этим»
и «одновременно с этим» здесь не определяются.
Di. Элементарные высказывания изменения суть выс-
казывания Q (а) =4> ""| Q (а) и """] Q (а) =ф Q (а), где Q есть
предикат, и только эти.
D2. Высказывания изменения:
1) элементарные высказывания изменения суть выска-
зывания изменения;
185

2) если х =4> у и г4^ суть высказывания изменения,
то (х =4> г/) (Л {х =Ф г/) (z =Ф г;)) есть высказывание изме-
нения при условии, что R (х =Ф у) есть «одновременно
с | (х =$> у)» или «вслед за I (х =$> у)»;
3) нечто есть высказывание изменения лишь в силу 1
и 2.
Аксиомные схемы Al (символ R означает «вслед за
этим» или «после этого»):
1. Q(a)(R(Q (а))) П Q (а) \- (Q (а) =» ~\ Q (а))
2. (Q (а) =Ф ~| <? (a)) \- Q (a) (R (Q (a))) ~\ Q (a)
3. -| Q (a) (R ( П Q(a)))Q(a) \- ( ~| Q («) =* Q И)
4. П Ç (а) =4. Ç (а)) |- ~\ Q (a) (R ( ~| Ç (а))) С (а)
Аксиомные схемы Al означают, что предикат превра-
щения (изменения) является производным от предикатов
порядка.
Аксиомные схемы All:
1. {х^у)[~у
2. (х^\=±у)\-(х=*~у)
3. (s=»~y)|-(*~~l=»0)
4. (x?=ïy)\-~x~y
5. ~x~y\—(x?=ïy)
Аксиомные схемы ЛИГ.
1. (x=¥y)(R(x=$y))(y=$z)[-(x=$z),
где R есть «вслед за этим» («затем»).
2. (x=îy)(R(x=±y))(z=¥v)\-{xz=¥yv),
где Л есть «одновременно с этим».
3. ((x=ïy)->(R(x=ïy))(z=ïv))\-(y->(Ry)v),
где R есть «вслед за этим».
Для классического случая достаточно в аксиомных
схемах Al, All и Alll заменить ~~| на —, а аксиомные
схемы 4П4и А115 исключить.
186

Интерпретация :
1) если х =» у имеет значение 1, то а; имеет значение О
и у имеет значение 1; х *=$> у имеет значение 0, если у
имеет значение 0;
2) х П=^2/ равнозначно х=$>~у\
3) х?=$у равнозначно ~ х — у ;
4) (R (х =» у)) (у =ф z) равнозначно #=»z;
5) (R (х =$> у)) (z =$> v) равнозначно xz=s>yv.
MTl. Все формулы, доказуемые в изложенной систе-
ме, суть тавтологии (и система непротиворечива).
§ 9. Физическое следование
Система Svh физического следования (рассматривалась
в [3, 4]) получается благодаря таким дополнениям к
ранее принятым системам.
Условные высказывания вида х а —> (Rx) y суть вы-
сказывания о физическом следовании.
Аксиомные схемы Al:
1. (x->(Rx)y)\r-(V(lx))((Rx)y)
2. (^(ix))((Rx)y\r~(x^(Rx)y)
3. (x->(Rx)y)t-N(l((Rx)y))
4. N(U(Rx)y))\-(x-+(Rx)y)
5. (x П -+ (Rx) У) h (Я ( I x)) ((Rx) ~ у)
6. (Я ( \ x)) ((Rx) ~у)у-{х-\^ (Rx) у)
7. (x-[-*{Rz)y)\-M(l ((Rz)~y))
8. M(\ ((Rx)~y))\-(x^\-*(Rx)y)
Следствия Al:
Tl. (x?-+(Rx)y)-{\r-(?V(lx))((Rx)y)
T2. (x?-^(Rx)y)-{\r-?N(l((Rx)y))
TS. (x?-»(Rx)y)-\\-(?n(lz))((Rx)~y)
П. (x?-+(Rx)y)-{[-?M(i((Rx)~y))
187

Аксиомные схемы All:
1. (х -» (R*x) у) (aRlb -► W?2a) |- ( ~ у -^ (Я2 ~ у) ~ х)
2. (х-*(Rlx)у) (у-». (i?2i/) z) ((ай'Ь) (ЬД2с) -* (aR*c)) |-
|— (а:-»(й3ж)г)
3. (х ->• (Дт) у) (у —> z) |— (ж —► (Rx) z)
4. (ж-> (Д1^) г/) (ж-+ (Д2ж) z) ((аДгЬ) (аД2с) -*
Следствия А II:
Л. (ж -► (Ас) (у«)) H H (« -* (Rx) у) (х -► (Ar) z)
Т2. (х-> (Лаг) у) V (*-* (Л«) *) Ь (*-► (Ас) (г/ V 2))

ГЛАВА ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ
НОРМАТИВНЫЕ ПРЕДИКАТЫ
Нормативные высказывания суть высказывания, субъ-
екты которых суть названия действий, а предикаты суть
выражения «обязательно», «разрешено», «запрещено», «без-
различно» и т. п. На эти предикаты распространяются об-
щие правила логики, относящиеся к любым предикатам.
Что касается специфических свойств этих предикатов, то
в рамках логики можно лишь установить их взаимоот-
ношения. Да и то это будет не столько расширение логики,
сколько отнесение нормативных предикатов к определен-
ным логическим типам предикатов (дедуктивно связанных,
логически взаимозаменимых и т. п. ).
Система S£ нормативной логики образуется благодаря
таким дополнениям к ранее рассмотренным системам*
Алфавит:
1) О — предикат «обязательно»;
2} Р — предикат «разрешено»;
3) 3 — предикат «запрещено»;
4) Б — предикат «безразлично»;
5) H — предикат «необязательно».
Аксиомные схемы -41:
1. 0(а)\-Р(а)
2. -|*(*)ЬП0(а)
3. ?Р(а)| 0(a)
189

Аксиомные схемы -411:
1. 0(a)-l\--\P(ä)
2. -| О (а) Ч H P (а)
3. ?Ö(a)H|-?P(a)
Аксиомные схемы АIII:
1. 3 (а) -| J- И Р (а)
2. И 5 (а) Ч J- P («)
3. ?3(а)-\\-?Р(а)
Аксиомные схемы АIV:
1. Б(а)-]\-Р(а)Р(а)
2. -\Б(а)-^}--[Р(а)\/-\Р(а)
3. pßteHM^WV?^)--!^«)--!^)
Аксиомные схемы AY:
1. Я(а)ЧЬПО(а)
2. ПЯ(а)ЧЬОИ
3. ?Я(а)НЬ?0(а)
Согласно -41 предикаты О ж Р дедуктивно связаны,
причем первый категорически сильнее второго. Согласно
ЛИ предикаты О и Р логически взаимозаменимы. Логи-
чески взаимозаменимы также предикаты 3 и Р (согласно
АIII) и предикаты H ж О (согласно А V). Предикат Б
определяется через Р (согласно АIV).
Система S™ для классического случая получается пу-
ем исключения всего, что связано с оператором ?, и за-
мены | на ~. Аксиомные схемы Snc таковы:
1. 0(а)\-Р(а)
2. ~Р{а)у-~0{а)
3. 0(а)-\\--~Р(а)
4. 3(а)Ч1 Р(а)
5. Б(а)-{\-Р(а)Р(а)
6. Н(а)-\\ 0(a)
190

Как видим, нормативная логика сама по себе есть не-
что очень тривиальное. Сложности здесь возникают в ре-
зультате неясности терминологии и неявных допущений.
В частности, в случаях употребления нормативных преди-
катов неявно предполагаются кванторы, которые в логи-
ческих теориях не выявляются. Например, высказывание
«Действие а разрешено» фактически употребляется как
«Всякое действие, называемое а, разрешено » (подобно то-
му, как высказывание «Сумма углов треугольника равна
двум прямым» фактически употребляется как высказы
вание «Сумма углов всякого треугольника равна двум
прямым»).
Собственно говоря, при более полной (чем это сделано
у нас) разработке теории терминов (и теории предикации в
том числе) должен будет измениться, надо думать, и вид
таких разделов логики как модальная и экзистенциаль-
ная логика.

приложение
Сформулируем подробнее правила приписывания зна-
чений высказываниям с кванторами и формулам следова-
ния в случае прямой интерпретации.
Пусть дана формула х |— у. В высказываниях х и
у все вхождения вида ~ (а*а2...ап) (где п ^ 2), ~ (а1 V
V а2 V ... V ап), ~ ~а, ( За) b заменяем формулами со-
ответственно вида ~ а1 \/ ~ а2 \/ ... \/— an, ~ai*
~ а2... ~ ап, а, ~ (V а) ~ Ъ. Все вырожденные квантор-
ные группы исключаются. Полученные высказывания х*
и у* равнозначны соответственно х и г/, а формула
х \— У равнозначна х* |— у*. Последующие правила от-
носятся к высказываниям и формулам х, у, х |—- у, приве-
денным к виду х*, г/*, х* f— y*.
Правила для конъюнкции, дизъюнкции и отрицания
обычные (с той лишь разницей, что дизъюнкции и конъ-
юнкции могут быть сколь угодно местными). Додолнитель-
ные правила для кванторов: 1) если вхождению (Va) b
в некоторое высказывание приписали значение 1 (или 0),
то всем остальным вхождениям (Va) b в это же высказы-
вание точно так же приписывается значение 1 (соответ-
ственно 0); 2) если (V a) b приписали значение 1, то дол-
жны b приписать значение 1; если (Va) b приписали зна-
чение 0, то этим самым значение b еще не определяется
(оно не зависит в этом случае от значения (Va) b); 3) если
приписали b значение 0, то должны (V а) Ъ приписать
значение 0 ; если приписали b значение 1, то значение (Va)b
этим еще не определяется.
192

Правила для формул следования. Выясняем, можно
или нет приписать х значение 1 (или у значение 0) в
формуле х |— у в силу правил для конъюнкции, дизъюнк-
ции и отрицания, а также кванторов. Если х есть проти-
воречие (или у есть тавтология) в силу этих правил, то
х\— у есть тавтология. Если же х не есть противоречие в
силу этих правил (х может принять значение 1), а у не
есть тавтология, то поступаем так: приписываем х зна-
чение 1 (или у значение 0) и рассматриваем последствия
этого шага для высказываний, входящих в х (соответст-
венно в у), и затем для высказываний, входящих в у (со-
ответственно в х), и для у (для х) в целом. Например, при-
писав х значение 1, мы должны приписать обоим а и Ъ
значения 1, если х есть ab, приписать b значение 1, если
х есть (Va) b, приписать хотя бы одному из a и b значение 1,
если х есть а \/ Ь, и т. п. В этом случае примем такие
дополнительные правила для кванторов: 4) если припи-
сав х значение 1 (у значение 0), мы вследствие этого вы-
нуждены приписать значение 1 (не имеем возможности
приписать значение 0) некоторому высказыванию Ь, вхо-
дящему в у (входящему соответственно в х), то мы должны
(Va) Ь, входящему в у (входящему соответственно в х),
приписать значение 1; 5) если же приписав х значение 1
(у значение 0), мы вследствие этого не вынуждены припи-
сывать b значение 1 (имеем возможность приписать ему
значение 0), то мы должны (Va) b приписать значение 0.
2)1. Формула х\—у есть тавтология, если и только
если она принимает значение 1 для всех вариантов (ком-
бинаций) приписывания значений частям х и у по уста-
новленным правилам.
Упомянутые в 2)1 варианты возникают за счет того, что
возможны различные комбинации значений а1,..., ап
для случаев, когда a1 N/ ... V ап имеет значение 1 и а1...
...ап имеет значение 0, а также различные комбинации зна-
чений (Va) bub для случаев, когда b имеет значение 1
и (Va) b имеет значение 0.
193

Рассмотрим два примера. Формулу (Va) (ЗЬ) х \—
[— (3&) (Va) #приводим к виду (Va)— (Vfe) — х\ (Vfe)
~ (у а) х' Приписываем посылке значение 1. Значит дол-
жны ~ (Vb) ~ х приписать значение 1, а (Vft) ~x зна-
чение 0. Значение ~ х не зависит от (Vb) ~ х, т. е. можем
ему приписать как значение 1, так и значение 0. Но в
таком случае (Va) х имеет значение 0, его отрицание —
значение 1, (Vb) ~ (Va) x — значение 1, а его отрица-
ние — значение 0. Значит, наша формула не есть тавто-
логия. Формула (Va) x (3a) у |— (За) (ху) приводится к
виду (Va) x ~ (Va) ~ у | (Va) (—х V ~ у). При-
писав посылке значение 1, мы должны приписать (Va) x
и ~ (Va) ~ у значения 1, х значение 1 и (Va) ~ y зна-
чение 0. Значит обоим х и у можно приписать значение 1,
а ~ х V ~ у значение 0. Таким образом, (Va) ( ~ х \/
V ~#) имеет значение 0, а его отрицание — значение 1.
Других вариантов нет, а проверка со стороны заключения
дает тот же результат. Значит формула есть тавтология.
Примем, далее, определения для прямой интерпрета-
ции формул (— х.
D2. Формула |— х есть тавтология, если и только ес-
ли х есть тавтология.
D3. Представительством высказывания х в классе-
формул следования будем называть множество формул
следования, которые получаются так: 1) х путем эквива-
лентных преобразований приводится к виду (Юа1)...
...(Кпап) у, где К1,..., К71 есть какая-то комбинация из кван-
торов V и 3, а у есть ~ а, а \/ Ъ или ab; 2) ~ а приво-
дится к виду с V d или cd; 3) к каждому из a и Ъ в ab
применяется 1 и 2; все это делается до тех пор, пока не
получится множество формул вида с \J d; если a или Ъ
есть элементарное высказывание, заменяем их соответ-
ственно на а \у а и Ъ \J b; 4) все эти формулы вида с \/
\у d заменяются соответственно на формулы вида ~ с |— d,
которые и образуют представительство х в классе формул
следования.
194

Очевидно, для каждого высказывания может быть най-
дено его представительство в классе формул следования
(согласно D3). В дальнейшем условимся, что для устано-
вления того, является высказывание тавтологией или нет,
мы будем пользоваться методом отыскания его предста-
вительства в классе формул следования, т. е. примем сле-
дующее дополнение к прямой интерпретации: 5) высказы-
вание имеет значение 1, если и только если все формулы,
образующие его представительство в классе формул сле-
дования, имеют значение 1.
МТ1. Высказывание есть тавтология, если и только
если тавтологиями являются все формулы, образующие
его представительство в классе формул следования.
МТ2. Высказывание (V а) х есть тавтология, если и
только если х есть тавтология; аналогично для (Яя) х.
МТЗ. Высказывание (К1^1)... (Кпап) х есть тавтоло-
гия, если и только если х есть тавтология (следует из
МТ2):
Изложенный способ приписывать значения истинности
формулам х \— у и \—х делает излишней гипотезу, соглас-
но которой область значения субъектов (индивидных пере-
менных) непуста.
Рассмотрим систему S6cq с аксиомной схемой -45,
принятой в §11 седьмой главы.
МТБ. Если х\— у доказуема в S%, то она есть тавто-
логия (очевидно из вида аксиомных схем и правил вывода).
MT6. Если х\— у есть тавтология, то она доказуе-
ма в оСд.
Доказательство МТ6 отличается от доказательства
полноты Slq лишь дополнительными случаями, когда в у
фигурирует элементарное высказывание, отсутствующее в
х. Если х |— у есть тавтология, то тавтологией будет
х V ~ zz |— */, где z есть любое высказывание, содержа-
щее все те элементарные высказывания, которые входят
в у и отсутствуют в х. Но в силу полноты Sscq формула
х\у ~ zz\— у доказуема в S%, а формула х (— х \/ ~zz
195

доказуема в силу S6. Отсюда по правилу транзитив-
ности получаем, что доказуема х\— у.
МТ7. Если |— х доказуема в Slq, то она есть тавтоло-
гия (очевидно из вида аксиомных схем и правил вывода).
МТ8. Если |— х есть тавтология, то она доказуема в
об
О eg.
Доказательство MT8: если |— х есть тавтология, то х
есть тавтология; если х есть тавтология, то ~ (~уу) \— х
есть тавтология и доказуема в Slq; но (— ~ {~уу) до-
казуема, значит, согласно S6 будет доказуема f— x.
Таким образом, для S^q имеется процедура разреши-
мости: 1) если формула имеет вид х |— у, то достаточно
выяснить, является она тавтологией (и в этом случае она
доказуема) или нет (и тогда она недоказуема); 2) если фор-
мула имеет вид |— х то вопрос о ее доказуемости сводится
к вопросу о доказуемости формул, образующих предста-
вительство х в классе формул следования, т. е. к пункту 1.
Но система S%q еще не эквивалентна классическому
исчислению предикатов: наше определение тавтологии не
совпадает с определением общезначимой формулы для
классического исчисления предикатов. Так, формула
(V а) Р (a) ZD Р (Ь) общезначима, но не есть тавтология
в нашем смысле. И в S% не будут доказуемы формулы
(Va) Р (a) h Р (Ь) и Ь- (V а) Р (а) =э Р (Ъ).
Рассмотрим систему Sk, которая образуется так.
В определении D2 VIII в пункте 3 остается только субъект,
т. е. исключается квантификация предикатов. Прини-
мается Slq с этим ограничением и принимаются дополни-
тельные аксиомные схемы Ак: (V а) х |— у и 2/f—(дя)ж,
где у получается из х путем замены всех свобод-
ных вхождений a в х на Ь, причем, в х нет вхождений
вида (Vb) z и (ЗЬ) z таких, что а свободно входит в z.
Система Sk эквивалентна классическому исчислению
предикатов в смысле таких теорем:
МТ9. Формула о: |— г/ доказуема в £*, если и только если
x ZD y доказуема в классическом исчислении предикатов.
196

M ПО. Формула |— х доказуема в Sk, если и только
если х доказуема в классическом исчислении предикатов.
Построим систему Si с тем же алфавитом и теми же
определениями высказывания и формулы следования, что
и в Scq, и таким определением доказуемой формулы:
D\ Формула х\- у доказуема в S1 (есть формула пе-
реименования), если и только если у образуется из х
путем замены нуля или более вхождений вида (yd) z и
(да) z соответственно на (yb) v и (дЬ) у, где v образует-
ся из z путем замены всех вхождений а в z на Ь, при-
чем Ъ не входит в z.
Для S1 имеется процедура разрешимости (она три-
вильна и дана в /)*).
Класс формул следования, доказуемых в SH, теперь
можно разбить на три подкласса: 1) формулы, доказуе-
мые в S6cq; 2) формулы переименования; 3) формулы, не-
доказуемые в S% и S1 (смешанные формулы). Можно
строить различные системы, в которых будут доказуемы
также и смешанные формулы. Они заключены в интер-
вале между S6cq и Sk. Среди них возможны такие, для
которых имеется процедура разрешимости. Такова, на-
пример, система Sr, задаваемая определением («S^g и Si
предполагаются):
Dr. Формула х\—у доказуема в Sr в таких и только
таких случаях: 1) если найдется последовательность
формул х \— v и и \— у такая, что каждая из этих
формул доказуема в Slq или S1; 2) если х\—у есть одна
из аксиом Ап системы Sk.
Для Sr имеется простая процедура разрешимости.
Для пункта 2 определения Dr она очевидна. Для пунк-
та 1 она заключается в пересмотре всех возможных вы-
сказываний, образуемых из х или у путем переименова-
ния входящих в них связанных субъектов, или всевоз-
можных пар таких высказываний, образуемых из а; иг/.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Изложенная концепция логики нуждается в дальней-
шей разработке с точки зрения отыскания подходящих
формулировок проблемы полноты для ряда рассмотрен-
ных исчислений и модификаций их в зависимости от ре-
шения этих проблем, с точки зрения выяснения взаимо-
отношений этих исчислений, их возможных вариаций
сужений и расширений. Интересно также выяснить, ка-
кие преимущества дает изложенная концепция в решении
проблем логики и методологии науки. Пути подхода к
последним частично намечены в работах [3, 4, 6, 7].
198

ЛИТЕРАТУРА
1. Боброва Л. А. Полнота систем вырожденного следования и ква-
зиследования. «Неклассическая логика» (в печати).
2. Боброва Л. А. К проблеме логического следования.— «Вест-
ник МГУ», № 2, 1966.
3. Зиновьев А. А. Основы логической теории научных знаний.
М., 1967.
4. Зиновьев А. А. Комплексная логика.—«Исследование логи-
ческих систем». М., 1970.
5. Зиновьев А. А. Комплексная логика (формальное построение).—
«Неклассическая логика» (в печати).
6. Зиновьев A.A. Классические и неклассические ситуации в нау-
ке.— «Вопросы философии», 1968, № 9.
7. Зиновьев А. А. О пространственной и временной терминоло-
гии.— «Вопросы философии», 1969, № 5.
8. Зиновьев А. А. Логическое следование.— «Проблемы логики
и теории познания». М., 1968.
9. И вин А. А. Коннексивная импликация.—«Исследование логи-
ческих систем». М., 1970.
10. Сидоренко Е. А. Варианты систем логического следования.—
«Неклассическая логика» (в печати).
11. Сидоренко Е. А. Независимость в системах логического сле-
дования.— «Неклассическая логика» (в печати).
12. Смирнов Г. А. Доказательство основных теорем теории силь-
ного логического следования.— «Логическая семантика и мо-
дальная логика». М., 1967.
13. Смирнов Г. А. О видах логического следования.—«Исследо-
вание логических систем». М., 1970.
14. Федина А. М. О полноте систем логического следования.—
«Неклассическая логика» (в печати).
15. Федина А, М. О силлогистике классов.— «Неклассическая
логика» (в печати).
16. Щеголькова А. М. Некоторые теоремы теории кванторов.—
«Неклассическая логика» (в печати).
199

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
3
§ 1. Цель книги 3
§ 2. Предмет логики 3
§ 3. Логические операторы 4
§ 4. Термины 5
§ 5. Высказывания 7
§ 6» Расширения алфавита и правил образования 9
§ 7. Вхождение 9
§ 8. Логическое следование 10
§ 9. Классический и неклассический случаи 11
§ 10. Технические замечания 12
ГЛАВА ПЕРВАЯ. СИЛЬНОЕ СЛЕДОВАНИЕ 15
§ 1. Система S1 15
§ 2. Некоторые теоремные схемы 17
§ 3. Некоторые сокращающие определения 20
§ 4. Непарадоксальность 21
§ 5. Главная семантическая интерпретация 22
§ 6. Непротиворечивость S1 25
§ 7. Полнота S1 25
§ 8. Независимость S1 33
§ 9. Правило подстановки 35
ГЛАВА ВТОРАЯ. СИЛЬНОЕ СЛЕДОВАНИЕ (другой вариант) 36
§ 1. Система 6*1 36
§ 2. Полнота 37
§ 3. Независимость S± 43
§ 4. Эквивалентность S1 и £х 45
§ 5. Сильное следование 45
ГЛАВА ТРЕТЬЯ, ОСЛАБЛЕННОЕ СЛЕДОВАНИЕ 49
§ 1. Система S2 49
§ 2. Непарадоксальность S2 49
§ 3. Полнота S2 50
200

§ 4. Система S 2 52
§ 5. Система Sw 53
§ 6. Системы, сходные с Sw 54
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. ДРУГИЕ ФОРМЫ СЛЕДОВАНИЯ 59
§ 1. Максимальное следование 59
§ 2. Конверсное следование 62
§ 3. Вырожденное следование 67
§ 4. Квазиследование 70
ГЛАВА ПЯТАЯ. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДЕДУКЦИИ 72
§ 1. Общая теория дедукции 72
§ 2. Общая теория дедукции и классическая логика 72
§ 3. «Парадоксы» следования 74
§ 4. Общая теория дедукции и интуиционистская логика 75
§ 5. Неклассический случай на уровне общей теории дедукции 75
§ 6. Классические и неклассические отношения высказываний 77
§ 7. Расширения общей теории дедукции 79
§ 8. К семантической интерпретации знака следования 79
§ 9. К полноте логических систем 80
ГЛАВА ШЕСТАЯ. УСЛОВНЫЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ 82
§ 1. Условные высказывания 82
§ 2. Условные высказывания и следование 83
§ 3. Условные высказывания и материальная импликация 83
§ 4. Интерпретация 86
§ 5. Классический и неклассический случаи 89
§ 6. Система Sy 90
§ 7. Система Sff 91
§ 8. Система^ 91
§ 9. Система Sff 93
§ 10. Парадоксы S\f 9't
§11. Полнота 95
ГЛАВА СЕДЬМАЯ. ТЕОРИЯ КВАНТОРОВ 98
§ 1. Высказывания с кванторами 98
§ 2. Система SsGq 99
§ 3. Непарадоксальность Sscq Ю0
§ 4. Непротиворечивость Sscq 1СЮ
§ 5. Независимость Slq *01
§ 6. Некоторые следствия 102
§ 7. Главная интерпретация 105
201

§ .8. Полпота Sscq 1°7
§ 9. Проблема разрешимости 116
§ 10. Другие системы для классического случая 120
§ 11. Расширение £*д 121
§ 12. Система Ssrq 122
§ 13. Непротиворечивость S* 123
§ 14. Некоторые следствия в Ss 124
§ 15. Главная семантическая интерпретация Ss 125
§ 16. Другие системы для неклассического случая 126
§ 17. Другой вариант классического случая 127
§ 18. Полнота S^ 127
§ 19 Правила подстановки 129
§ 20. Расширения систем теории кванторов 130
§ 21. Кванторы и условные высказывания 131
ГЛАВА ВОСЬМАЯ. ТЕОРИЯ ПРЕДИКАЦИИ 132
§ 1. Системы Slv 132
§ 2. Интерпретация 133
§ 3. Классический случай 134
§ 4. Полнота 134
§ 5. Дедуктивно связанные предикаты 135
§ 6. Теория предикации и кванторы 135
§ 7. Расширения теории предикации 136
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ. ТЕОРИЯ ТЕРМИНОВ 137
§ 1. Термины 137
§ 2. Общая теория терминов S\ 139
§ 3. Теория субъектно-предикатных терминов 141
§ 4. Силлогистика предикатов 145
§ 5. Определения 146
§ 6. Логически взаимозаменимые предикаты 147
§ 7. Логические термины 148
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ. ЛОГИКА КЛАССОВ 149
§ 1. Классы 149
§ 2. Система S\ I49
§ 3. Система S\ 151
§ 4. Силлогистика классов 152
§ 5. Силлогистика классов и силлогистика предикатов 157
§ 6. Квазиклассический случай в теории кванторов 157
§ 7. Классы классов 158
§ 8. Парадокс класса нормальных классов 159
§ 9. Производные классы 160
202

ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ. ЛОГИКА СУЩЕСТВОВАНИЯ
§ 1. Экзистенциальные предикаты 161
§ 2. Система S* 162
§ 3. Некоторые следствия в Sen ^
§ 4. Теорема универсальности 164
§ 5. Кванторы и предикаты существования 165
§ 6. Семантическая интерпретация 165
§ 7. Система Sec 167
ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ. МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА 168
§ 1. Модальные предикаты 168
§ 2. Система «С1 168
§ 3. Некоторые следствия 171
§ 4. Модальные операторы 171
§ 5. Интерпретация 172
§ 6. Классический случай 173
§ 7. Основная модальная логика 173
§ 8. Логические модальности 175
§ 9. Модальность и существование 175
§ 10. Модальность и условность 175
§ 11. Модальности и кванторы 176
§ 12. Вероятностная логика 176
ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ. ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ 178
§ 1. Предикаты отношений 178
§ 2. Логика сравнения 178
§ 3. Логика порядка 181
§ 4. Интерпретация 182
§ 5. Производные термины порядка 182
§ 6. Система £гз 183
§ 7. Упорядоченные конъюнкции и дизъюнкции 184
§ 8. Логика изменения 185
§ 9. Физическое следование 187
ГЛАВА ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ. НОРМАТИВНЫЕ ПРЕДИКАТЫ 189
ПРИЛОЖЕНИЕ 192
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 198
ЛИТЕРАТУРА

Александр Александрович Зиновьев
КОМПЛЕКСНАЯ ЛОГИКА
Утверждено к печати
Институтом философии АН СССР
Редактор Я. И. Кондаков
Технический редактор Э. Л. Кунина, Л. Н. Золотухина
Сдано в набор 26/11970, г. Подписано к печати 15/V1-1970 г.
Формат 84X108Va« Бумага № 2
Условн. печ. л. 10,71 Уч.-изд. л. 8,1
Тираж 8800 экз. Т-10204 Тип. ваказ № 228
Цена 49 коп.
Издательство «Наука».
Москва К-62, Подсосенский пер., 21
2-я типография издательства «Наука»
Москва Г-99, Шубинский пер.. 10.