СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА
Редакционный совет:
А. В.Болсинов
А. В.Борисов
И. С. Мамаев
И. А. Тайманов
Д. В. Трещев
Вышли в свет:
П. И. Голод, А. У. Климык. Математические основы теории симметрии
М. Громов. Гиперболические группы
М. Громов. Знак и геометрический смысл кривизны
Дж. Д. Мур. Лекции об инвариантах Зайберга-Виттена
Дж. Милнор. Голоморфная динамика
И. Р. Шафаревич. Основные понятия алгебры
И. Добеши. Десять лекций по вейвлетам
Э. Столниц, Т. ДеРоуз, Д. Салезин. Вейвлеты в компьютерной графике
К. Касселъ, М. Россо, В. Тураев. Квантовые группы и инварианты узлов
Ж. П. Рамис. Расходящиеся ряды и асимптотические теории
Готовятся к печати:
О. В. Богополъский. Введение в теорию групп
А. Д. Морозов. Введение в теорию фракталов
С. П. Новиков. Топология
Я. Лесин. Теория размерности
А. И. Шафаревич. Введение в теорию квазиклассического квантования
изотропных многообразий

SOCIETE MATHEMATIQUE
DE FRANCE
PANORAMAS
ET
SYNTHESES
SERIES DIVERGENTES
ET
THEORIES ASYMPTOTIQUES
Jean-Pierre RAMIS
Supplement au bulletin de la SMF r
hors abonnement TOME 121 ANNEE 1993
Publie avec le concours du la Recherche et de I'Enseignement Superieur

Жан-Пьер Рамис
РАСХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ
И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ
ТЕОРИИ
Перевод с французского
В. В. Шуликовской
Москва ¦ Ижевск
2002

УДК 517
Интернет-магазин ,
F • физика
• математика
• биология
http://shop.rcd.ru * техника
Рамис Жан-Пьер.
Расходящиеся ряды и асимптотические теории. — Москва-Ижевск: Инсти-
Институт компьютерных исследований, 2002, 80 стр.
В книге известного французского специалиста в сжатой, компактной форме из-
изложена современная асимптотическая теория и методы суммирования расходящих-
расходящихся рядов. Изложение вполне доступно для неспециалистов и снабжено различными
примерами.
Для студентов и аспирантов математических специальностей университетов,
специалистов по математическому анализу и динамическим системам.
ISBN 5-93972-169-9
© Институт компьютерных исследований, 2002
http://rcd.ru

Оглавление
Введение 7
1. Кое-что из истории расходящихся рядов 8
1.1. Суммирование расходящихся рядов: на что можно на-
надеяться? 8
1.2. Функциональное уравнение для ("-функции. Ряд Эйлера 16
1.3. Эйлер, Коши, Пуанкаре и суммирование до наимень-
наименьшего члена 18
1.4. Стоке и каустики. Феномен Стокса 22
1.5. Суммирование сходящихся рядов вне их области схо-
сходимости: Борель, Линделеф, Харди 24
1.6. Борель и Стильтьес 32
1.7. Пуанкаре и асимптотическая теория 33
2. Асимптотические разложения и суммируемость 35
2.1. Асимптотические разложения Жевре 35
2.2. /с-суммируемость 40
2.3. Мультисуммируемость 43
3. Расходящиеся ряды и динамические системы 50
3.1. Формальные решения дифференциальных уравнений . 50
3.2. Нормальные формы дифференциальных уравнений
и диффеоморфизмы 52
3.3. Сингулярные возмущения, запаздывание бифуркации
и утки 56
3.4. q-разностные уравнения 63
3.5. Множественность естественных процессов суммиро-
суммирования, ветви функций и последнее письмо Эвариста
Галуа 67
Литература 77

Break on through to the other side1.
Jim Morrison
. all prohibitions are made only to be broken, must be broken1.
A. S. Byatt. Possession
Введение
Эти два доклада3 посвящены одной очень старой теме и нескольким
из многочисленных недавних выводов из нее.
• В первой части мы покажем теоретическую и практическую эффек-
эффективность применения расходящихся рядов на нескольких исторических
примерах.
• Вторая часть будет посвящена строгому обоснованию теории расхо-
расходящихся рядов, которым мы сегодня располагаем благодаря совсем
недавним достижениям4, и их связям с теорией асимптотических раз-
разложений.
• Мы завершим изложение — в третьей части — несколькими приложени-
приложениями к динамическим алгебраическим (или аналитическим) системам.
Прорывайся вперед, к другому берегу.
2... все запреты, созданные только для того, чтобы их разрушить, надо разрушить.
3Этот текст взят из двух докладов, представленных автором в журналах X-UPS в 1991 году.
Первая версия появилась в предварительных публикациях Математического Центра Политех-
Политехнической Школы.
4С недавних пор эту теорию можно изложить с помощью средств элементарной и клас-
классической математики. Доказательства зачастую остаются долгими, техническими и тонкими,
они требуют некоторых новых методов, которые невозможно изложить здесь.

1. Кое-что из истории расходящихся рядов
Речь пойдет не о том, чтобы развить полное историческое исследование
применения расходящихся рядов в математике (эту работу еще предстоит
сделать), но о том, чтобы на некоторых примерах показать важность пред-
предмета, констатировать эффективность этого применения, выделяя несколько
методов и оставляя теоретические объяснения для второй части. С этой це-
целью я решил описать несколько решающих этапов: Лейбниц, Эйлер, Коши,
Стоке, Стильтьес, Пуанкаре, Борель и Харди. (К нынешним достижениям
я вернусь позже.)
1.1. Суммирование расходящихся рядов: на что можно надеяться?
В работе над этим разделом я использовал замечательный об-
обзор [Du]. Для начала я процитирую несколько фраз английского математика
Дж. Э. Литлвуда, взятых из предисловия к посмертному изданию работ его
друга:
Заголовок содержит любопытный отзвук прошлого, в том числе про-
прошлого Харди. В 1828 году Абель писал: «Расходящиеся ряды — это изобре-
изобретение дьявола, и постыдно основывать на них какое бы то ни было доказа-
доказательство». В последовавший период критического пересмотра результатов
от расходящихся рядов просто отказались. Затем настало время, когда
обнаружилось, что с ними все-таки иногда можно иметь дело. Сейчас
это само собой разумеется, но в начале века эта тема, hukowm образом не
мистическая и вполне строгая, считалась сенсационной, что же касается
нынешнего заголовка — как бесцветен в нам аромат парадокса и дерзости.
Г. X. Харди, Расходящиеся ряды. [Н1 ]
Чаще всего к сходящимся рядам и их суммам прибегают с целью до-
доказать числовые или функциональные равенства, такие как

1. Кое-что из истории расходящихся рядов
казать числовые или функциональные равенства, такие как
Интересно было бы упорядочить многочисленные равенства этого типа:
второе из них, очевидно, лучше первого для приближенного вычисле-
вычисления log 2, так как быстрее сходится. Отсюда стремление обобщить пре-
преобразования на случай расходящихся рядов и их возможные «суммы», что-
чтобы увеличить арсенал имеющихся тождеств. Именно в таком духе работа-
работали математики XVIII века, в частности, Л. Эйлер. Разумеется, чтобы слу-
служить основанием для таких вычислений, суммирование расходящихся рядов
должно подчиняться некоторым правилам: грубо говоря, нужно иметь воз-
возможность заменить — в вычислениях, содержащих обычные операции, —
ряд на его сумму без противоречий.
Пусть Т> — это С-алгебра числовых рядов с комплексными членами
(сходящихся или нет): есть операции сложения, умножения на скаляр и про-
произведение по Коши. Обозначим через С подалгебру абсолютно сходящихся
рядов. Имеем гомоморфизм С-алгебр
S: С^С,
оо
который сопоставляет сходящемуся ряду а = Y1 ап его сумму S(a).
Мы хотим определить оператор суммирования S* для «каких-то» рас-
расходящихся рядов. Вот первые правила для S*, кажущиеся разумными (мож-
(можно привести их и в другом варианте):
(si) Правило регулярности: если а сходится, то
S{a) = S*(a), то есть S* продолжает S.
(s2) Правило инвариантности по сдвигу:
=ao
(s3) S* должен быть С-линейным.
(s4) S* — гомоморфизм по умножению.

10 Расходящиеся ряды и асимптотические теории
На практике будет естественным определить приемы суммирования S*,
применимые к некоторым совокупностям рядов Т>\\ С С Т>\ <ZT>. Различа-
Различаются случаи:
• Т>\ — векторное подпространство Т>, и S{ удовлетворяет правилам 1,
2,3;
• Т>\ — подалгебра Т>, и 5* удовлетворяет правилам 1, 2, 3, 4.
Этот последний случай — очевидно, куда более полезный для генерации
интересных тождеств — наиболее сложен при теоретическом обосновании
(правило 4 нелегко проверить). +оо
Возникает естественная идея заменять числовые ряды ^ ап формаль-
+ оо и=0
ными рядами Y1 о,пхп и затем попытаться «положить х = 1».
и=0
Тогда мы получаем оператор суммирования 5, определенный на диф-
дифференциальной5 С-алгебре сходящихся рядов (С{а;}; x2d/dx) и принима-
принимающий значения на дифференциальной С-алгебре (Oo;x2d/dx) ростков
функций, голоморфных в начале координат. Задача состоит в том, чтобы
определить дифференциальные алгебры Л\ формальных расходящихся ря-
рядов: С{х} С Л С С [[ж]] и операторы 5|: Л\ —>?, удовлетворяющие «ра-
«разумным» правилам:
E1) Правило регулярности: 5J продолжает 5.
E2) 5J — гомоморфизм дифференциальных алгебр.
E3) Если J — оператор «асимптотического разложения» (раздел 1.7),
то JSI — тождество на Л\.
Остается решить, где принимает свои значения отображение
SI: Лг ->?.
Это не может быть Oq\ условие 3 влечет тогда Л\ = С{а;}. В дей-
действительности мы увидим, что требуется «поляризация» за счет выбора
направления d, исходящего из начала координат. Тогда получим ? = Ad —
дифференциальной С-алгебре функций, голоморфных на ростках секторов,
рассеченных направлением d (размыкание и лучи сколь угодно малы). Мы
увидим, что для фиксированного направления d есть два «естественных»
оператора суммирования 5j~ и 5^ (боковые суммирования). В то же время
5С-алгебра называется дифференциальной, если она снабжена С-линейным эндоморфиз-
эндоморфизмом 6, который является производной: 6(ab) = аб(Ь) + б(а)Ь.

1. Кое-что из истории расходящихся рядов 11
для рядов с действительными членами хочется принять за ? ростки дей-
действительных аналитических функций на ростках из М+ — {0} или Ш~ — {0}
в начале координат. Эта точка зрения сходна со взглядами Эйлера. Мы уви-
увидим, что она приводит к определенным затруднениям.
Вернемся к числовым рядам и рассмотрим два примера:
сг0: 1 — 1 + 1 — 1 + 1 — 1 + ...,
Предположим, что эти ряды принадлежат совокупности рядов Т>\, снабжен-
снабженной оператором суммирования S*, удовлетворяющим условиям (s2) и (s3),
и обозначим суммы наших двух рядов So и S± соответственно. Имеем So =
= 1 — So, откуда So = - и
Si = 1-2 + 3-4 + 5-6 + ...
= 0 + 1-2 + 3-4 + 5-...,
откуда 2Si = 1-1 + 1-1 + 1-1 + ...и Si = |. Итак,
1-1 + 1-1 + 1-1 + ...= |,
1-2 + 3-4 + 5-6 + ...= |.
По-видимому, Лейбниц был первым, кто приписал сумме 1 — 1 + 1 — 1 +
+ 1 — 1 + ... значение ^
Все время рассматривая наши два примера, можно угадать два способа
суммирования, кажущиеся разумными и позволяющие оправдать только что
проведенное чисто формальное рассуждение. Эти два способа — дающие
возможность больших обобщений — суммирование в среднем и суммирова-
суммирование Абеля.
Суммирование в среднем
Идея этого суммирования — в попытке построить положительную ме-
оо
ру d? полной массы 1 на подмножествах N и определить сумму ряда ^ an
и=0
как

12
Расходящиеся ряды и асимптотические теории
snd?(n),
где sn обозначает частичную сумму
р=0
Результат не должен зависеть от первых членов ряда. Следовательно, мера
должна обращаться в 0 на любом конечном подмножестве N, что приво-
приводит к противоречию, если предполагать меру сг-аддитивной! Итак, прихо-
приходится ослабить требования и заменить понятие меры на понятие плотно-
плотности [FGA]. Если ? — подобная плотность, обозначим ?(Е) массу Е под-
подмножества N (если она существует). Проще всего построить такую плот-
плотность, используя среднее арифметическое по Чезаро: распределить единич-
единичную массу между п + 1 точкой 0, ..., п6 и перейти к пределу по п. Средние
Sq + sl + • • • + sn
соответствующие ряду 1 — 1 + 1 — 1 + 1 — 1 + ..., стремятся к ^ при п —> +оо
(sn принимает значения 1 и 0 поочередно).
Если обозначить через Е множество четных чисел, получим ?(Е) =
= limfj,n{E) = |.
Ряд 1 — 2 + 3 — 4 + 5 — 6 + ... этим способом не суммируется. Но,
применив этот способ дважды, получим в качестве суммы —.
В более общем случае для каждого целого п можно распределить еди-
единичную массу по некоторому конечному подмножеству N и предполагать,
что если Е конечно, то ?(Е) = 0. Если, кроме того, предположить, что цп
сосредоточена на отрезке [1, п], задача сведется к заданию правильной теп-
лицевой матрицы, то есть бесконечной треугольной матрицы
А =
«10
0
аи
Л
0
о-по о,п\ апп 0 0
: ; ; ; ; ... о .../
6Соответствующая мера равна цп = (So + ... + Sn)/(n + 1).

1. Кое-что из истории расходящихся рядов
13
коэффициенты которой — положительные действительные числа, суммы по
строкам тождественно равны 1, а столбцы представляют собой последова-
последовательности, сходящиеся к нулю. Тогда матрица-столбец, составленная из tn,
получается умножением А на матрицу-столбец частичных сумм sn.
Композиция двух суммирований в среднем, очевидно, соответствует
произведению матриц. Например,
/1 0 0 ...\
С =
1
2
1
100
1
2
1
100
0
1
100
соответствует методу Чезаро, а
С2 =
A
100
4
11
18
0
1
4
5
18
0
0
2
18
\
¦I
его использованной выше итерации.
Преобразование Эйлера соответствует теплицевой матрице:
/
Т =
0
•¦Л
гхП П гхП П
• ?Q о
Это преобразование усредняет ряды путем преобразования
ьп = ^^"(^«ao + wai + ... + Спап).
Оно усредняет формальные ряды, связанные с томографическим преобра-

14 Расходящиеся ряды и асимптотические теории
зованием (считая 1 неподвижной точкой):
f(x) = J2 апхп, д(у) = J2
я=0 я=0
-у
тт
Это преобразование было введено Эйлером как ускоряющее сходи-
сходимость. Например, для ряда
2 + 3 ¦"
оно дает
2 222 233 ¦"'
что ускоряет вычисление log 2.
Вместо того чтобы использовать меры \хп с параметром п G N и конеч-
конечным носителем, можно использовать меры /ij с параметром t > 0 и произ-
произвольным носителем. Основным примером служит плотность Бореля, свя-
связанная с семейством мер Пуассона:
л=0
Этот метод, возникший благодаря Борелю A899), сопоставляет ряду
оо
^2 ап в качестве суммы предел (если он существует)
и=0
lim e-*5(t), где
t—>+оо ТЫ
и=0
В дальнейшем мы вернемся к этому фундаментальному методу. Применяя
его к «ряду Лейбница» 1 — 1 + 1 — 1 + ..., найдем
lim есЫ = \.
t^+oo 2
Методы Абеля
Описав методы усреднения, переходим к методам Абеля. Самый про-
оо
стой из них основан на теореме Абеля: если ряд Y1 ап сходится, то его
и=0
сумма задается равенством

1. Кое-что из истории расходящихся рядов 15
lim
а<1 И=0
Отсюда идея — которую можно найти у Эйлера — для некоторых расходя-
оо
щихся рядов принять за определение суммы ряда ^ ап предел (если он
я=0
существует)
оо
а<1 И=0
Применяя этот метод к ряду Лейбница, находим
оо
\^(-\)пхп = —!— и lim
- . _ - ,х 2'
И=0 ¦<<!
как и ожидалось.
• Для ряда 1 — 2 + 3 — 4 + 5 — 6 + ... находим
„2 , _ 1
1 - 2х + Зж^
-ЖJ
с пределом -.
Этот метод обобщается следующим образом. Полагаем х = е~г, тогда
хп = e~tn. Пусть {Аи} — данная строго возрастающая последователь-
последовательность строго положительных действительных чисел, стремящаяся к +оо.
оо
Сопоставляем ряду Y1 ап функцию
и=0
я=0
(если она существует для всех достаточно малых t > 0) и — обязательно
при условии существования — определяем сумму как
оо
lim У^ ane~tx".
*>о и=0

16 Расходящиеся ряды и асимптотические теории
В дальнейшем мы остановимся на следующих примерах:
. /О еслитг = 0\
А„ = < , „ > (Линделеф):
\n\ogn еслитг>0/ V VJl
\ /° если п = 0, 1, 2\
А„ = < . , ,, ч _ > (Харди [Н2], 1941).
\nlognlog(logrc) если гг > 2 J v F L J' '
1.2. Функциональное уравнение для ^-функции. Ряд Эйлера
Более детальное рассмотрение изложенных ниже вопросов можно най-
найти в [HI] и [Ваг]. Мемуар Л. Эйлера [Eul] начинается так:
Соотношение, которое я собираюсь здесь рассмотреть, касается
сумм следующих двух обобщенных бесконечных рядов:
уп _ 2т + Зт _ 4™ + 5™ - 6™ + 7™ - 8™ + . . . ,
1 т пт * от лт * сттг ^ттг * >ут от \ • • • •
Задачей Эйлера было изучение равенства
Is-1 - 2s-1 + 3s-1 - ... (s-l)lBs-l) п ч
-cos -sir).
J__J_ , J__ Bs-1-1)tts V2
Is 2s 3s
Точнее, он собирался «проверить» это равенство для всех целых s, для
s = ^ и s = |. Для этого нужно суммировать расходящиеся ряды
хт 2™ + 3™ - 4™ + 5™ - 6™ + 7™ - 8™ + ....
Эйлер использует метод Абеля. Для т = 0 и 1 он получил два изученных
выше ряда с сумма
получает при к > 1
выше ряда с суммами =- и ^ соответственно. В более общем случае он
l2fe - 22к + 32fe - ... = О,
22к-1
_ 2
В случае Re s > 0 ("-функция Римана определена равенством

1. Кое-что из истории расходящихся рядов 17
Сопоставим ей функцию
ф) = l~s -2~s + 3~s -....
Имеем
и знаменитое функциональное равенство Б. Римана для ("-функции запи-
запишется в виде
Bs-1 - 1O7A - S) = -Bs - lOr-scos(|S7r)r(S)r/(S).
Мы узнаем тождество, угаданное Эйлером за сто лет до Римана.
Заметим, что теоретический подсчет, основанный на использовании
сумм расходящихся рядов, приводит к строгому доказательству формулы
в случае целых s. (Эйлер не намеревался приводить такое доказательство.)
Метод, которым Эйлер обосновывал возможность вычислений с помо-
помощью расходящихся рядов, во многом взят из его исследования ряда Эйлера:
п=0
Это обоснование, по большей части «экспериментальное», очень любопыт-
любопытно. Много деталей, связанных с этим примером, можно найти в [Ваг]. В со-
современных терминах общую идею Эйлера можно изложить следующим
образом: пусть дан ряд с общим членом ап; следует найти программу (или
программы), порождающие ап. Процитируем Эйлера A749):
Но я уже отмечал по другому поводу, что слову «сумма» надо придать
более широкое значение и понимать под ним дробь или другое аналитиче-
аналитическое выражение, которое, будучи разложено [в ряд] согласно принципам
анализа, приводит к тому же самому ряду, чью сумму мы ищем.
В другом месте он пишет:
...summa cujusque seriei est valor expressionis illius finitae, ex cujus
evolutione ilia series oritur1.
7 ... сумма некоторого ряда — это значение конечного выражения, чье разложение приводит
к данному ряду.

18 Расходящиеся ряды и асимптотические теории
В [Еи2] Эйлер описал четыре (новых) способа для суммирования ряда
оо
X/ (~1)ии!. Путем прямого подсчета можно проверить, как согласуются
и=0
эти разные приближения. Мы не будем описывать эти способы (что очень
хорошо сделано в [Ваг]). В связи с ними нас больше всего интересует тот
факт, что соответствующий формальный ряд
оо
ЛтЛ = \ (— 1 \пп 1тп~Ь~
я=0
является формальным решением дифференциального уравнения Эйлера
х2у' + у = х.
Среди других методов рассмотрим преобразование в непрерывную сходя-
сходящуюся дробь
и итерация преобразования Эйлера следует из суммирования до наимень-
наименьшего члена, описанного в следующем параграфе. (Этот метод очень хорошо
объяснен в трактате по анализу, принадлежащем Лакруа.) Метод, основан-
основанный на дифференциальном уравнении Эйлера, связан с суммированием Бо-
реля-Лапласа и будет играть основополагающую роль в дальнейшем. (Само
же суммирование Бореля-Лапласа связано с борелевской плотностью, опи-
описанной выше [HI].)
Позднее Харди [Н2] суммировал ряд Эйлера, используя описанный
выше метод Абеля:
+ ОО
:-ib2 + 2b3 + ]T(-i;
я=3
1.3. Эйлер, Коши, Пуанкаре и суммирование до наименьшего члена
В начале главы VIII второго тома «Новых методов небесной механи-
механики» [Р] А. Пуанкаре пишет:
Между геометрами и астрономами есть определенного рода недора-
недоразумения в связи со значением слова сходимость. Геометры, озабоченные
совершенной строгостью и зачастую слишком безразличные к громозд-
громоздкости запутанных вычислений, с помощью которых они обосновывают

1. Кое-что из истории расходящихся рядов 19
возможность, не задумываясь о ее эффективном использовании, говорят,
что ряд сходится, когда сумма членов стремится к определенному пре-
пределу, даже если первые члены убывают слишком медленно. Астрономы,
напротив, имеют привычку говорить, что ряд сходится, когда, к примеру,
двадцать первых членов убывают очень быстро, даже если следующие чле-
члены должны неопределенно возрастать. Так, в качестве простого примера
рассмотрим два ряда с общими членами 1000и/п! и п!/1000п.
Геометры скажут, что первый ряд сходится, причем быстро,...; но
второй ряд они сочтут расходящимся...
Астрономы, напротив, сочтут первый ряд расходящимся,... а вто-
второй — сходящимся.
Оба эти правила корректны: первое — для теоретических исследова-
исследований, второе — для численных приложений.
Итак, можно говорить о сходящихся рядах «в смысле геометров» или
«в смысле астрономов». Заметим, что на практике, в приложениях, мож-
можно констатировать, что прежде всего сходящиеся «в смысле астрономов»
ряды имеют очень быстро возрастающий общий член, хотя изначально он
убывал. Итак, то, что Пуанкаре рассматривал как возможность, на самом
деле — правило. Он не отдавал себе отчет в этом явлении — хотя был очень
хорошо с ним знаком, — приводя определение асимптотических разложе-
разложений. Наибольшие недостатки теории Пуанкаре связаны с этим замечанием.
Чтобы преодолеть их, надо обратиться к работам других математиков. Уже
оо
упомянутый нами ряд Эйлера J^ (—l)nnlxn+1 (смежный с рядом, на кото-
п=0
рый ссылается Пуанкаре) позволит нам начать понимать, что надо делать.
В конце концов мы получим теорию, точную асимптотическую теорию,
в которой противоречие между двумя отмеченными Пуанкаре понятиями
сходимости исчезнет.
Следующий анализ ряда Эйлера считается классическим (ср., напри-
например, Олвера [О]). Пусть
+ ОО
p-t/x
№ = /
о

20 Расходящиеся ряды и асимптотические теории
Заметим, что
fn{x) = х- Их2 + 2\хг + ... + (-l)™-1^ - 1)\хп,
+ ОО
/j.na—t/x
4+rdt
О
Легко проверить, что
f(x) = fn(x)+Rn(x),
+ OO
Rn{x)\ < j tne~t/xdt = n\xn+1.
0
Итак, остаток Rn(x) имеет тот же знак, что и первое из опущенных сла-
слагаемых (—1)пп\хп, и его модуль мажорируется модулем этого слагаемого.
Рассуждая как в случае знакочередующегося ряда при проверке «особого
критерия», получаем оценки
hP(x) < f(x) < /2р+1(х)
для всех целых р > 1.
Если х > 0 фиксировано, то это не позволяет (как в случае проверки
особого критерия для ряда, общий член которого стремится к нулю) по-
получить сколь угодно точную оценку для f(x) (здесь общий член быстро
стремится к +оо). Но мы получаем оценку, качество которой зависит от х.
Точнее, мы увидим, что она экспоненциально хороша, когда х «мало».
Ясно, что при фиксированном х > 0 наилучшее приближение f(x)
последовательностью /„ (х) получается (этим методом), когда скачок
\f2P+i(x) - f2p(x)\ = Bр)!х2р -
наименьший из возможных, то есть когда общий член ряда Эйлера
оо
Y^ (—l)nn\xn+1 — наименьший из возможных по абсолютной величине.
и=0
В таком случае есть смысл остановить суммирование на соответствую-
соответствующем индексе: это и есть суммирование до наименьшего члена.
Здесь отношение двух последовательных членов равно пх по абсолют-
абсолютной величине. Если фиксированное х > 0 «мало», а п меняется, то это

1. Кое-что из истории расходящихся рядов 21
соотношение меньше 1 при п < х^1 — 1 и больше 1 при п > х~г — 1. Итак,
общий член убывает до п = N ~ х~г, а затем неопределенно возрастает.
При малых х получаем ряд, сходящийся в смысле астрономов. Качество
аппроксимации равно NlxN ~ N\N~N. По формуле Стирлинга,
N1 ~ V2nNNNe~N,
и мы видим, что порядок аппроксимации равен
то есть экспоненциален.
Следуя концепции, выдвинутой Пуанкаре в 1886 году (раздел 1.7), ска-
скажем, что ряд Эйлера
оо
f{x) = ^(-1)ип!а;и+1
п=0
это асимптотическое разложение функции
+ ОО
в начале координат.
На практике — в многочисленных случаях, когда асимптотическое раз-
разложение имеет действительные знакочередующиеся коэффициенты, — знак
погрешности совпадает со знаком первого из опущенных слагаемых, а ее
модуль мажорируется модулем этого слагаемого. Сделанный нами анализ
можно продолжить. Точно так же можно констатировать, что ошибка столь
же мала, как экспонента некоторого порядка (то есть как е~х при под-
подходящем целом к). Например, как показал Коши [С], это имеет место для
ряда Стирлинга
+оо (!)г-1В
^ 2rBr - 1)г2г-г
Большее удивление вызывает тот факт, что суть предыдущего резуль-
результата, то есть что суммирование до наименьшего члена обеспечивает экс-
экспоненциальную точность (возможно, некоторого порядка к), приложима на
практике к асимптотическим разложениям с комплексными членами в гораз-
гораздо более общем случае, чем к знакочередующимся разложениям. Этот факт

22 Расходящиеся ряды и асимптотические теории
устанавливался экспериментально в течение нескольких веков, он широко
используется математиками, физиками и астрономами, хотя и не получил
удовлетворительного объяснения вплоть до недавнего времени, в результа-
результате систематического изучения асимптотических разложений Жевре (раз-
(раздел 2.1).
На практике установлено, что наименьший член часто получается при
N ~ а/х (или N ~ а/хк), где а > 0 зависит от задачи. В задачах, тре-
требующих тонких оценок, по-видимому, сложно предвидеть точный номер
наименьшего члена (или наименьшего уже неподходящего члена). Тогда
берут «псевдонаименьший член» при фиксированном хеС, выбирая в ка-
качестве N целую часть -^— (где к и а зависят от структуры изучаемой
\х \
задачи).
1.4. Стоке и каустики. Феномен Стокса8
Еще в начале XIX века английский физик Стоке хорошо понимал раз-
различие между рядами, сходящимися в смысле геометров и в смысле астро-
астрономов. О первых он часто говорил, что они «сперва расходятся, а затем
сходятся», а о вторых — что они «сперва сходятся, а затем расходятся».
Более того, он заметил тот существенный момент, о котором мы говори-
говорили выше (и который, по-видимому, полностью ускользнул от Пуанкаре):
суммирование до наименьшего члена в общем случае имеет экспоненци-
экспоненциальную точность. И поэтому вычисления с помощью расходящихся рядов
парадоксальным образом оказываются гораздо точнее и быстрее, чем с ис-
использованием сходящихся рядов! Стоке дает очень красивую иллюстрацию
этого принципа, вычисляя (с помощью расходящихся рядов) каустические
полосы в волновой оптике.
Каустики — это огибающие световых лучей в геометрической опти-
оптике. В волновой оптике наблюдатель помещается на малом перпендикуляре
к каустике, и требуется определить, где находятся полосы, то есть где об-
обращается в нуль функция интенсивности света.
Теория — созданная английским астрономом Эйри — позволяет пока-
показать, что в подходящих единицах измерения интенсивность света на попе-
8Можно также говорить явление Стокса. — Прим. ред.

1. Кое-что из истории расходящихся рядов 23
речнике пропорциональна квадрату интеграла (интеграла Эйри)
+ОО
Ai(z) = \ \ cos(|t3 + ztj dt,
где z — параметр, зависящий от положения поперечника и обращающийся
в нуль на каустике.
В связи с этой задачей ставились замечательные физические опыты:
Миллер измерил положение 25 первых полос с точностью почти до четы-
четырех десятичных знаков. Следовало сопоставить теоретические величины (то
есть нули функции Ai) с экспериментальными. Первый результат принадле-
принадлежал Эйри: используя формулы квадратур и таблицы логарифмов с десятью
десятичными знаками, он получил правильное значение (до четырех деся-
десятичных знаков) для положения первой полосы. Теперь следует заметить,
что функция Эйри — это решение дифференциального уравнения Эйри
У" -zy = 0.
Этот факт позволяет получить разложение Ai(z) в сходящийся ряд в начале
координат (то есть по возрастающим степеням z):
Ai(z) = З-2/3 V ^ - З-4/3 Vz
9и!Г[ + |J
=о 9итг!Г[п + |J и=о 9итг!Г[п + |
Функция Ai — целая, так как область сходимости этого ряда беско-
бесконечна. Он сходится в смысле геометров! Используя этот ряд, Эйри находит
положение второй полосы. Вычисления трудоемки: хотя ряд сходится, но
сперва он расходится... До успеха, достигнутого опытным путем, было еще
далеко, когда появился Стоке. У последнего была во всех отношениях за-
замечательная идея: найти разложение функции Ai на бесконечности вместо
нуля (то есть по возрастанию степеней 1/z). Он получил это разложение
с помощью дифференциального уравнения Эйри.
Заметим, что это разложение несколько сложнее, чем просто ряд, и еще
следует добавить, что оно берется не по z, а по одной из ветвей z1/4. По-
Последний факт поставил перед Стоксом задачу, на которую ему пришлось
потратить многие годы. (Решение — открытие явления Стокса — было еде-

24 Расходящиеся ряды и асимптотические теории
лано в три часа утра мартовской ночью 1857 года9 [Sto3].) Функция Ai(z)
допускает следующее выражение для своего асимптотического разложения
на бесконечности:
з™
я=0
Ряд
и=0
расходится (в смысле геометров!), но сходится в смысле астрономов, если z
не слишком мало. Это позволило Стоксу очень легко вычислить положение
всех полос с четыремя верными знаками, за исключением первой полосы,
где было только три верных знака и где Стоке проигрывал в сравнении
с Эйри (z слишком мало). Совпадение с опытом было полным, но тео-
теория — чрезвычайно эффективная количественно — оставалась теоретически
необоснованной.
1.5. Суммирование сходящихся рядов вне их области сходимости:
Борель, Линделеф, Харди
^ +оо
Пусть /(ж) = Y1 апХп — сходящийся ряд с радиусом сходимости
и=0
R > 0. Пусть хо G С таково, что |хо| > R. Нам нужно найти сумму
+ОО
расходящегося ряда ^ апх$.
и=0
Для этого можно попытаться использовать аналитическое продолже-
продолжение суммы /, соответствующей ряду /, вне области сходимости. Это даст
нам метод суммирования, «хороший» в указанном выше смысле, так как
'Лондон, март, 19/57. Кот из дома — мыши в пляс. Ты кошка, а я бедный мышонок. Я делал
то, что, как я думаю, ты бы не позволила мне сделать во времена семейной жизни, я сидел до
трех часов утра, мужественно сражаясь с математическими сложностями. Несколько лет назад
я атаковал интеграл Эйри и после сурового разбирательства свел его к легко вычисляемому
виду. Но там была сложность, которую я не смог преодолеть, хотя почти заболел от попыток
сделать это, и наконец мне пришлось забросить ее и признать себя неспособным ее победить.
Несколько дней назад я вновь принялся за нее, и после двух- или трехдневного сражения,
причем в последний день я сидел до трех, я наконец победил ее...

1. Кое-что из истории расходящихся рядов 25
аналитическое продолжение сохраняет суммы, произведения и производ-
производные и является инъекцией.
Пытаясь сделать этот метод более точным, мы немедленно сталкива-
сталкиваемся с проблемами существования (возможно, не существует непрерывного
пути 7, связывающего начало координат с х$ и такого, чтобы функцию /
можно было аналитически продолжить вдоль 7; в худшем случае / вообще
нельзя продолжить вне ее области сходимости) и единственности (аналити-
(аналитические продолжения вдоль разных путей могут дать разные результаты).
В этом разделе мы ограничимся только продолжениями вдоль отрезка
7 = [0, хо], связывающего начало координат с xq. Используя эти продолже-
продолжения, продолжим функцию / аналитически на наибольшую (включающую
область сходимости) открытую звезду (относительно начала координат),
называемую звездой Миттаг-Леффлера для ряда /. Обозначим эту об-
область Et(f). Обозначим (/, Et(f)) аналитическое продолжение / (опре-
(определенной на области {\х\ < R}) на Et(f). Сразу проверяем — то есть
предоставляем читателю возможность проверить, — что оператор «сумми-
«суммирования»
/ ^ (/, Ettf))
— инъективный гомоморфизм дифференциальных алгебр.
Все вышесказанное снабжает нас (в некоторых случаях) хорошим те-
+ ОО
оретическим методом суммирования ряда ^ апХу, но, очевидно, хоте-
и=0
лось бы располагать «явным» методом вычисления соответствующей сум-
суммы f(xo) (то есть одним или несколькими алгоритмами ее вычисления,
лучше всего — с возможностью программирования на машине и приво-
приводящими к результату, точному в разумных пределах, за разумное время).
Я изложу некоторые из этих методов, не занимаясь здесь их вычислитель-
вычислительной эффективностью.
Сперва заметим, что само аналитическое продолжение (если вспомнить
его определение) приводит к явному численному алгоритму, который можно
использовать на ЭВМ [СС]. Алгоритм сводится к конечному числу этапов
+ ОО
следующего типа. Ряд ^ ап(х — х\)п сходится с радиусом сходимости
и=0
Ri > 0. Возьмем тогда х%, где \х% — х\\ < R\. В окрестности х-2 имеем
+ ОО +ОО
п=0 п=0

26 Расходящиеся ряды и асимптотические теории
и остается вычислить Ьп как функции от ап. Ясно, что это возможно, но
при этом используются сходящиеся ряды. Так что получается ступенчатый
процесс.
Перейдем к другим методам. Кажется разумным использовать абелевы
методы суммирования, о которых мы говорили выше. Пусть Л = {Аи} —
данная строго возрастающая последовательность строго положительных
оо
действительных чисел, стремящаяся к +оо. Ряду ^ ап сопоставим функ-
и=0
цию
и=0
(если она существует при достаточно малых t). Теперь остается изначаль-
изначально выбрать последовательность {Ли} так, чтобы ряд, определяющий ft(x),
сходился. Зная о сходимости данного ряда f(x) = ^ апхп, получаем нера-
и=0
венства вида
\ап\ <САп
для подходящих С > 0 и А > 0. Сразу находим простую последователь-
последовательность Л такую, что ряд, определяющий ft(xo), сходится для всех t > 0
и всех Xq ? С:
1 logп если тг > 0] ._ ,.
1 (Линделеф).
У этого метода есть варианты:
оо п
lira У~^ и о— (Миттаг-Леффлер);
^ ГA + (тг)
lira > —^- ^апХп (Леруа).
C^i-^ ГA+тг) ° V FJ '
Имеем следующие результаты:
^ оо
Теорема (см. [HI], 4.11, р. 77-79). Пусть / = ^ ап — сходящийся
я=0
ряд. Пусть Xq — точка, принадлежащая звезде Миттаг-Леффлера для /.
Обозначим f(xo) значение аналитического продолжения (обычной) суммы
ряда f в этой точке. Тогда

1. Кое-что из истории расходящихся рядов 27
(г) Если \п = п log п при п > 0 и \q = 0, тогда предел
oo
lira 2_,'
*^ и=0
существует и равен /(хо).
(и) Предел
существует и равен f(xo).
(in) Предел
lim
"A + ™) П °
существует и равен J(xq).
Иначе говоря, методы Линделефа, Миттаг-Леффлера и Леруа позволя-
позволяют суммировать сходящийся ряд / в его звезде Миттаг-Леффлера.
Ясно, что эти методы применимы при как максимум геометрическом
+ОО
возрастании ап. Они неприложимы к ряду Эйлера ^ (—1)пп\хп+1. Пы-
я=0
таясь суммировать расходящийся ряд этого типа методами Абеля, нужно
выбирать последовательность Л, возрастающую «гораздо быстрее». Следу-
Следующая последовательность (подобранная Харди [Н2], 1941) хорошо приспо-
приспособлена к ряду Эйлера и рядам с аналогичным типом возрастания коэффи-
коэффициентов 10 (ряды Жевре (Gevrey), раздел 2.1):
п log n(log(log п)) если п > 2
О если п = 0, 1, 2.
Прежде чем проверять эффективность соответствующего метода для
расходящихся рядов, естественно будет проверить его на сходящихся рядах!
Вот что позволяет утверждать следующий результат (Харди):
^ оо
Теорема (см. [Н2]). Пусть / = Y1 ап — сходящийся ряд. Пусть хо —
точка, принадлежащая звезде Миттаг-Леффлера для /. Обозначим
'"Возрастание вида |о„| < С(п\)вАп, где С, A, s > 0.

28 Расходящиеся ряды и асимптотические теории
значение аналитического продолжения [обычной) суммы ряда / в этой
точке. Выберем \п = nlognlog(logn), если п > 2, и \п = 0, если
п = 0, 1, 2. Тогда предел
оо
lim ]>>иа;™е-*л"
*>о п=0
существует и равен f(xo).
В дальнейшем мы увидим, что этот метод суммирования Харди (недав-
(недавно вновь открытый и обобщенный профессором Жюрка (Jurkat)) очень эф-
эффективен: с его помощью находятся суммы «мультисуммируемых» рядов
в их «обобщенной звезде Миттаг-Леффлера» [J].
Предыдущие две теоремы сперва были доказаны в случае геометриче-
геометрической прогрессии f(x) =1 + х + х2 + ...с суммой A — х)~г. Затем можно
легко перейти к общему случаю, используя теорему Коши.
В дальнейшем мы увидим, что многие решения аналитических функ-
функциональных уравнений в формальных рядах мультисуммируемы (например,
в случае решений аналитических дифференциальных уравнений). К сожа-
сожалению, формальные ряды, являющиеся решениями аналитических q-диффе-
ренциальных уравнений (даже линейных), имеют вид не Жевре, но только
2
(/-Жевре (раздел 3.4). (Имеются оценки вида \ап\ < Cqn An с q > 1 и
А > 0.) Итак, эти ряды не мультисуммируемы. Тем более ясно, что к ним
нельзя применить метод суммирования Харди. Тогда можно попытаться вы-
выбрать последовательность Л, возрастающую еще быстрее, например, \п =
= дп2 или, в более общем виде, Ли = /т° (с \i > 0 и а > 1). Соответству-
Соответствующие абелевы методы суммирования недавно были изучены А. Фрушаром
(A. Fruchard) [F2].
К сожалению (как предостерегал Харди по случаю абелевых методов
суммирования, определенных для слишком быстро возрастающих последо-
последовательностей Л), соответствующие методы суммирования уже не позволяют
находить сумму сходящегося ряда в его звезде Миттаг-Леффлера, но, в об-
общем случае, только в гораздо меньшей области. Это видно уже на примере
геометрической прогрессии: получается не вся звезда (здесь: С — [1; +оо]),
но только область, в которую переходит левая часть полосы {0 < Im z < 2тг}
без двух прямых К.ег7Г/2° и г + К.ег7Г/2° под действием экспоненты. (Можно
получить и всю звезду Миттаг-Леффлера, устремляя параметр а к 1 при
фиксированном xq, принадлежащем звезде.)

1. Кое-что из истории расходящихся рядов
29
Вспомним теперь о методе суммирования по борелевской плотно-
плотности, изложенном в разделе 1.1, в применении к целому сходящемуся ряду
^ +оо
f(x) = S апХп с радиусом сходимости R > 0. Пусть х — комплексное
число, удовлетворяющее условию \х\ < R. Для t > 0 положим
sn =
р=0
Имеем
и=0
откуда
= ао+
= а0
Отсюда легко выводим, что
+ОО
и=0
=ао+
и=0
/¦ \п
d(xu) =
и=0
я=0
и=0
Чтобы упростить дальнейшее изложение, предположим, что ао = 0
(отсюда легко перейти к общему случаю). Принимая во внимание предыду-
предыдущие вычисления, приходим к рассмотрению борелевского преобразования
формального ряда /: Bf = ф, где

30 Расходящиеся ряды и асимптотические теории
Ряд ф имеет бесконечный радиус сходимости; поэтому его сумма ф — целая
функция. Можно проверить, что скорость ее возрастания экспоненциальна,
не более чем первого порядка. Имеем
/(<) =
Итак, можно найти сумму / ряда / в его области сходимости как преобра-
преобразование Лапласа целой функции ф.
В более общем случае можно заменить «контур интегрирования» Ш+ =
= [0, +оо] в интеграле Лапласа на произвольный луч d, исходящий из
начала координат. Получаем
+ ОО
+ ОО „
"=1
Сейчас мы увидим, что этот формализм часто можно использовать,
получая также сумму ряда / в некоторой части его звезды Миттаг-Леффле-
Миттаг-Леффлера, вне области сходимости.
Для х ? С назовем областью Бореля, соответствующей точке х, за-
замкнутый круг с диаметром [0, х]. Обозначим его Dx. Получаем следующий
результат:
Теорема ([Bol]). Пусть / — сходящийся ряд. Если хо — отличная от
нуля точка звезды Миттаг-Леффлера ряда / такая, что область Боре-
Бореля DXo содержится в звезде Et(f), и если ф — сумма формального боре-
левского преобразования ряда f, a d — луч, исходящий из начала координат
и содержащий х$, то интеграл
Ш)(?) =
d
сходится и равен
К сожалению, процедура суммирования методом Бореля-Лапласа не
позволяет в общем случае вычислить f{x$) в каждой точке Xq звезды Мит-
Миттаг-Леффлера ряда /, но только в подходящей открытой выпуклой области,

1. Кое-что из истории расходящихся рядов 31
лежащей в звезде и содержащей область сходимости. В простейших случаях
получаем выпуклый многоугольник (ограниченный или нет). Например, для
геометрической прогрессии находим полуплоскость {Re а; < 1}.
На самом деле ряд / легко суммировать во всей его звезде Миттаг-Леф-
флера, если в методе суммирования Бореля-Лапласа ввести переменный
параметр и получить так называемый метод суммирования Бореля-Лапла-
Бореля-Лапласа fc-ro уровня. Пусть к > 0. Введем оператор разветвления, рассматривая
функции (определенные наримановой поверхности логарифма) pk{f){x) =
= f(x1/k). Положим Вк = (рк)~гВкРк и Ск-4 = (рк)~г ^ Рк (где направ-
направление dk соответствует d для разветвления рк).
Обозначим Dfc образ борелевской области D при конформном преоб-
преобразовании х н-> хх1к. Если 0 < к < ^, этот образ берется на римановой
поверхности логарифма. При к = 2 образ ?>2 ограничен полулемнискатой
Бернулли. Мы будем говорить, что Dk — это fc-область Бореля, и fc-область
Бореля «диаметра» [0, хо] обозначим Dk,Xo-
Теорема. Пусть к > 0, а / — сходящийся ряд. Если х$ — отличная
от нуля точка звезды Миттаг-Леффлера ряда / такая, что к-область
Бореля DXo содержится в звезде Et(f), и если ф — сумма формального
борелевского преобразования Bk(f) ряда f, a d —луч, исходящий из начала
координат и содержащий хо, то интеграл
сходится и равен
При ^ < к угол fc-области Бореля в начале координат равен тт/к. Чем
больше к, тем сильнее «разрежены» fc-области Бореля. Легко видеть, что,
так как xq — фиксированная точка звезды Et(/), всегда существует действи-
действительное fco > 0 такое, что для всех к > ко fc-область Бореля содержится
в звезде. Тогда можно вычислять /(хо), используя интегральный метод Бо-
Бореля-Лапласа произвольного уровня к > fco.
Если обозначить S оператор суммирования сходящегося ряда в его
области сходимости, то только что описанные нами методы суммирования
выражаются через операторы суммирования (по направлению d):
Sd = ?-d,SB (Борель-Лаплас);
Sk;d = ?-k,dSBk (Борель-Лаплас уровня к).

32 Расходящиеся ряды и асимптотические теории
1.6. Борель и Стильтьес
В 1886 году в [Stil] Стильтьес изучает суммирование ряда Эйлера
при отрицательных значениях переменной. Это куда сложнее, чем в случае
положительных переменных, так что теперь речь идет о суммировании рас-
расходящегося ряда, все члены которого положительны. Стильтьес предлагает
следующий результат:
7Г + Л + 4 + 4 + ---=0' 0455055614585 ...,
а а2 ал а4
где е° = 1010 (то есть а ~ 23, 025851), и показывает, что качество аппрок-
аппроксимации экспоненциально порядка е~ал/2~тг/а, то есть 10~10.
Достоинство метода Стильтьеса в том, что он наделяет ряд из действи-
действительных членов действительной суммой. Для метода суммирования Бореля
это не так: для него отрицательное направление действительной оси син-
сингулярно, и там есть два разных оператора суммирования S+K- и <S~K-.
Можно проверить, что сумма Стильтьеса — не что иное, как среднее ариф-
арифметическое двух сумм Бореля. Суммы Бореля отличаются от суммы Стиль-
Стильтьеса на мнимое число порядка 10~10г.
Мы видели, что суммы Бореля приводят к инъективным гомоморфиз-
гомоморфизмам дифференциальных алгебр и поэтому превосходно согласуются с вы-
вычислениями с помощью расходящихся рядов. То же самое можно показать
для суммы Стильтьеса (Ж.Экалль недавно замечательно обобщил соответ-
соответствующую идею под названием усредненное суммирование Бореля-Лапласа
(см. также [Di], гл. 1, Е., стр. 811 и [MR3], стр. 358).
Этот результат тем более удивителен, что он не очевиден с перво-
первого взгляда. Действительно, рассмотрим, что происходит при разложении
функции л/1 + х в сходящийся ряд в начале координат:
I i I т _ IТ2 , 1 3 5_ 4 ,
i+ 2X 8 + 16 128 +'-'-
Если мы хотим суммировать этот ряд при х = —2, то есть
то одним из естественных способов было бы использование аналитического
продолжения, избегая сингулярности при х = — 1. Но тогда получатся два
11 Половина разрывности в форме возникает, когда мы достигаем луча Стокса, а половина —
когда покидаем его с другой стороны.

1. Кое-что из истории расходящихся рядов 33
естественных решения, соответствующие двум ветвям функции л/1 + х;
получаем ±г. Ясно, что здесь нет естественного действительного решения.
(Если бы f(x) была естественной действительной суммой для х < — 1, мы
бы получили /(а;J = 1 + х < 0, что невозможно.)
В первом случае две суммы Бореля также соответствуют в некотором
смысле (к которому мы вернемся в разделе 3.5) двум ветвям одной функ-
функции (эта идея появляется уже у Стокса: аналогично смене знака в радика-
радикале [Sto2]), но смена ветви (явление Стокса) — в этом случае — происходит
в параметрической группе. Действительно, автоморфизм дифференциаль-
дифференциальной алгебры, соответствующий явлению Стокса, — это экспонента произ-
производной, которая коммутирует с производной алгебры: посторонняя точечная
производная Ж. Экалля. Подобная ситуация уже не имеет места для обыч-
обычной (алгебраической) смены ветви во втором случае (раздел 3.5).
1.7. Пуанкаре и асимптотическая теория
Классическая асимптотическая теория создана Пуанкаре. Последний
разработал ее с намерением применить к аналитическим дифференциаль-
дифференциальным уравнениям: основным его мотивом было придать смысл формальному
решению такого дифференциального уравнения, записанному в виде рас-
расходящегося ряда, то есть «воплотить» формальное решение в настоящее.
Следует заметить, что принадлежащее Пуанкаре определение, которое мы
сейчас приведем, не имеет ничего общего с его собственными замечаниями
о свойствах изначально сходящихся, но затем расходящихся асимптотиче-
асимптотических рядов (то, что он называет сходимостью в смысле астрономов), как
было бы естественно ожидать (и что привело к суммированию до наимень-
наименьшего члена в разделе 1.3). Сегодня известно, что в действительности это
общее свойство формальных решений аналитических дифференциальных
уравнений.
Определение. Пусть V — открытый сектор с вершиной 0 на ком-
комплексной плоскости (или на римановой поверхности логарифма). Пусть / —
голоморфная на V функция и / = Y1 а,пхп е С[[х]]. Говорят, что / асим-
и=0
птотически приближается рядом / на V, если для любого компактного
подсектора W из V U {0} и любого целого п G N существует действитель-
действительное Mw,n > 0 такое, что

34 Расходящиеся ряды и асимптотические теории
п-1
fix) -}_^ap
p=0
< M
для всех х G W.
При выполнении этих условий мы обозначаем / ~ / или / = J(f).
Множество голоморфных на V функций, допускающих асимптотиче-
асимптотическое разложение в начале координат (снабженное операциями +, •, x2d/dx),
является дифференциальной С-алгеброй, обозначаемой A{V). Имеем точ-
точную последовательность дифференциальных алгебр
О -> A<0(V) -> A(V) -^ С[[х\] -> 0.
Сюръективность отображения J составляет теорему Бореля-Ритта (Borel-
Ritt): любой формальный ряд / может порождать12 функцию /, голоморф-
голоморфную на V. К сожалению, это воплощение не единственно, функцию / можно
выбирать (по модулю «пространства ошибок» A<0(V), состоящего из го-
голоморфных на V функций, бесконечно плоских в начале координат). Иначе
говоря, у нас нет естественного вложения / —> / такого, что J(/) = /; нет
теории суммирования в определенном выше смысле. Это один из наиболь-
наибольших недостатков теории Пуанкаре (центральный недостаток классифика-
классификации Пуанкаре [Di] — отсутствие единственности для функции, представ-
представленной асимптотическим разложением, составляет различие с суммами
сходящихся рядов [О]).
Применяя теорию Пуанкаре к аналитическим дифференциальным
уравнениям, следует начать с формального ряда / как решения аналити-
аналитического уравнения
(х,у,...,уЫ)=0,
где G(x, Yq, ..., Yn) — аналитическая функция п + 2 переменных
и G(x, /, ..., f^) = 0 и, воплотить / в истинное решение /
(G(x, /, ..., /'¦ )) = 0). Тогда совокупность «возможных ошибок» (неуве-
(неуверенности относительно /) заметно уменьшается (для линейного уравнения
она, очевидно, конечномерна, тогда как A<0(V) бесконечномерно), хотя
в общем случае она, к сожалению, нетривиальна. За недостатком единствен-
единственности, мы, во всяком случае, имеем весьма удовлетворительный результат
существования. Это фундаментальная теорема об асимптотических раз-
разложениях.
12Incarner (франц.) — можно также перевести породить, материализовать. — Прим. ред.

2. Асимптотические разложения и суммируемость 35
Теорема. Пусть G(x, Y, ..., Yn) — аналитическая функция п + 2 пе-
переменных и ряд / ? С [[ж]] — формальное решение дифференциального урав-
уравнения
G(x, у, ..., уп) = 0 (то ecmbG(x, /,..., f-n)) =0). A)
Тогда существует действительное к > 0 такое, что для любого открыто-
открытого сектора V с вершиной в начале координат, с углом раствора < тт/ku до-
достаточно малым радиусом существует функция f, являющаяся решением
дифференциального уравнения A) и имеющая / своим асимптотическим
разложением на V.
В таком виде (то есть без каких бы то ни было ограничивающих ги-
гипотез) этот результат был получен достаточно недавно, он принадлежит
Рамису и Сибуя (Ramis et Sibuya) [RSI]. Первые частные случаи, установ-
установленные Пуанкаре и [RS1], успешно улучшались многими авторами.
2. Асимптотические разложения и суммируемость
Сейчас мы вкратце обозначим, как можно преодолеть недостатки асим-
асимптотической теории Пуанкаре, чтобы перейти к «точной асимптотической
теории». Этапы таковы:
• асимптотические разложения Жевре,
• fc-суммируемость,
• мультисуммируемость13.
2.1. Асимптотические разложения Жевре
Для начала сделаем несколько замечаний о явлениях, которые систе-
систематически встречаются при практическом использовании асимптотических
разложений, но не приняты в расчет в теории Пуанкаре.
(а) Можно констатировать, что большая часть встречающихся формаль-
+ ОО
ных рядов Y^ anxn явно удовлетворяют условию вида
и=0
аг.
13Многочисленные направления современных исследований развиваются в том же духе:
теории рекурсий и ускорения сходимости Экалля [El], [E2], [ЕЗ], работы русской школы:
Ильяшенко, английской школы: гиперасимптотики [ВН].

36 Расходящиеся ряды и асимптотические теории
где С, А, к > 0 — подходящие действительные числа. Для примера можно
открыть одну из «библий», посвященных специальным функциям ([AS],
[MOS], [Lu]), и подтвердить это наблюдение экспериментально.
(b) Можно констатировать, что на практике неопределенность, вноси-
вносимая в искомую функцию / с известным асимптотическим разложением14, —
это не только голоморфная функция, бесконечно гладкая на некотором сек-
секторе, но, точнее, голоморфная функция с экспоненциальным убыванием
некоторого порядка к > 0:
—а
\f(x)\ < Сех (С, а > 0 — подходящие действительные числа).
(c) При изменении х номер наименьшего члена в общем случае бли-
близок к номеру N = целой части — при подходящем выборе Ь, к > 0 (для
хк
ряда Эйлера, например, к = 1 и Ъ = 1). Это приводит нас к определению
+ ОО
квазисуммирования до наименьшего члена: в качестве суммы ряда ^ апхп
и=0
N
берется число ^ апхп, где N — целая часть -^-, параметры Ъ и к выбра-
ны заранее. На практике можно наблюдать, что при правильном выборе
констант этот метод очень эффективен численно.
Существует простое видоизменение асимптотической теории Пуанка-
Пуанкаре, превосходно объясняющее эти три замечания: это асимптотическая те-
теория Жевре15.
Определение. Пусть к > 0 — действительное число. Пусть V — от-
открытый сектор с вершиной 0 на комплексной плоскости (или на римановой
поверхности логарифма). Пусть / — голоморфная на V функция, а / =
+ ОО
= ^Г апхп ? С [[ж]]. Говорят, что / асимптотически приближается по
и=0
Жевре порядка к рядом / на V, если для любого компактного подсекто-
подсектора W из V U {0} и любого целого п ? N существуют действительные
^Неопределенность, которая может возникнуть из-за погрешностей или из-за того, что есть
несколько «естественных» решений задачи (двойственность).
15Можно показать эквивалентность трех свойств (а), (Ь) и (с), если сформулировать их
подходящим образом. Я отметил эквивалентность (а) Ф> F) в 1978 году; на эквивалентность
(а) <?> (с) мне несколько позже указал Б. Мальгранж.

2. Асимптотические разложения и суммируемость 37
> 0 и Aw > 0 такие, что
п—1
2_
<C(n\)kAn,
р=0
для всех х ? W.
Множество голоморфных на V функций, допускающих асимптотиче-
асимптотическое разложение по Жевре порядка s = — > 0 в начале координат (снаб-
/С
женное операциями +, •, x2d/dx), является дифференциальной С-алгеброй,
обозначаемой А1 (V).
к
Если V — открытый сектор с размыканием < тг/к (малый сектор), то
получаем точную последовательность дифференциальных алгебр
О ^ A<-\V) ^ A^V) ^ C[M]i ^ 0.
к к
Сюръективность отображения J следует из теоремы Бореля-Ритта-Жевре
(которую можно доказать с помощью «неполного преобразования Лапла-
Лапласа»).
Аналогом фундаментальной теоремы об асимптотических разложениях
является фундаментальная теорема об асимптотических разложениях по
Жевре [RS1].
Теорема. Пусть G(x, Y, ..., Yn) — аналитическая функция п + 2 пе-
переменных, a/eC[[i]]i — формальный ряд Жевре порядка j, являющийся
т
к
решением дифференциального уравнения
G(x, у, ..., г/(и)) = 0 (mo ecmbG(x, /,..., f-n)) =0). A)
Тогда существует действительное к' > 0 такое, что для любого открыто-
открытого сектора V с вершиной в начале координат, размыканием < inf(p Щ),
достаточно малого радиуса существует функция / — решение диффе-
дифференциального уравнения A), асимптотически приближаемая рядом fnaV
в смысле Жевре порядка —.
Вся польза этой теоремы обнаруживается, если принять во внимание
следующий результат.

38 Расходящиеся ряды и асимптотические теории
Теорема (Мелле (Maillet) [М]). Пусть G(x, Y, ..., Yn) — аналити-
аналитическая функция п + 2 переменных, a f ? С[[х\] — формальный ряд, явля-
являющийся решением дифференциального уравнения
G(x, у, ..., у{п)) = 0 (то естьв(х, /,..., f-n)) = 0). A)
Тогда существует действительное к > 0 такое, что формальный ряд /
имеет тип Жевре порядка 1/fc.
Мелле доказал эту теорему с помощью непосредственных оценок. В об-
общем случае результат далек от оптимального (действительное число к не
наименьшее из возможных). Мы вернемся к этому вопросу в разделе 3.1.
Для подготовки к дальнейшему изложению (и чтобы объяснить взаи-
взаимосвязь вышеприведенных замечаний (а) и (Ь)) я собираюсь ввести «более
геометрическую» концепцию ряда Жевре, используя понятие к-точной ква-
зифункции. (На самом деле в литературе, на которую я ссылаюсь, в неко-
некоторой степени используются когомологии пучков, но сейчас мне нужно
передать основные идеи, оставаясь на элементарном техническом уровне.)
Рассмотрим открытый сектор V на С (возможно, круг D* без од-
одной точки) или на римановой поверхности логарифма. Используем по-
покрытия {Vi}i(zi на V. Предположим, что все эти покрытия конечны, ра-
радиус каждого Vi совпадает с радиусом V, все тройные пересечения пусты.
Предположим также, что I = [1, т] и занумеруем Vi по часовой стрелке.
Обозначим V^+i = Vi П V^+i (если V = D*, то индексы считаются по
модулю т + 1). Будем рассматривать голоморфные 0-коцепи, совпадающие
с последовательностями {/»}, где /j голоморфна на Vi и соответствующие
l-кограницы A-коцепи), то есть последовательности {hi}, где hi = fi+i — fi-
Определение. Пусть к > 0. Тогда к-точная квазифункция на секто-
секторе V задается некоторой голоморфной 0-коцепью {fi}, ассоциированной
с покрытием {Vi}i(zj, причем hi = /i+i — fi убывают на Vii+i экспонен-
экспоненциально порядка к. Два таких набора ({fi}; {V}iei) и ({fij}; {Wj}jej)
отождествляются, если для каждого непустого пересечения Vi П Wj раз-
разность (fi — (jj) убывает на этом пересечении экспоненциально порядка к.
Иначе говоря, понятие fc-точной квазифункции — это формализация
понятия голоморфной функции, «известной с экспоненциальной точностью
почти до порядка fe».

2. Асимптотические разложения и суммируемость 39
Произвольная fc-точная квазифункция называется ограниченной, если
все fi ограничены.
Покрывая проколотый диск D* секторами с размыканием < тг/fc
и используя теорему Бореля-Ритта-Жевре, можно каждому ряду Жевре
/ ? C[[x]]i/fc сопоставить единственную (по модулю проведенного отожде-
отождествления) fc-точную квазифункцию, то есть его квазисумму (аналогичную
функции, равной сумме сходящегося ряда). Если {fi} представляют ква-
квазисумму ряда /, тогда fi ~ / на V% в смысле Жевре порядка 1/к. Также
как голоморфная функция, ограниченная на проколотом круге D*, является
суммой некоторого сходящегося ряда (принцип несуществующих особен-
особенностей Римана), так и fc-точная квазифункция, ограниченная на проколотом
круге D*, является квазисуммой некоторого ряда Жевре порядка 1/к.
Это существенный результат, он доказывается как обычно, с помощью
интеграла Коши ([Ral], [Sil], [Si2], [Si3, th. 3.2]). Благодаря ему у нас есть
«когомологический» метод доказательства того, что некоторый ряд имеет
тип Жевре: это проверяется до «бесконечно гладкой поправки», чье экс-
экспоненциальное убывание надо изучить. Как оказалось, этот метод мощнее
обычных (то есть прямой оценки коэффициентов, теорем о неявных функ-
функциях и т.д.). Среди прочего, он допускает линеаризацию задачи (смотри
часть 3).
Основания асимптотической теории Жевре и теории fc-суммируемости
(раздел 2.2), найденные и развитые мной начиная с 1978 года, в действи-
действительности датируются началом этого века и принадлежат английскому ма-
математику Г. Ватсону [Wat2], [Wat3]. По-видимому, работы Ватсона не имели
большого успеха, и его идеи были забыты16. Еще сегодня можно найти от-
отголоски суровой критики, которой должен был подвергаться Ватсон, в двух
наиболее известных (и лучших) книгах по асимптотической теории [Di],
[О]: Дингл, упоминая об асимптотических разложениях Жевре и о введен-
введенной Ватсоном ассоциированной суммируемости, писал:
Ценой заметного усложнения основная неточность определения Пу-
Пуанкаре может быть устранена... Было сказано достаточно для демон-
демонстрации всей сложности природы Этого (получившегося) определения...
Доказательство среди этих рядов полных асимптотических разложений
требует все более сильных и усиливающихся знаний [предположений)...,
16Однако следует отметить, что эти работы вызвали появление теории классов квазиана-
квазианалитических функций Данжуа - Карлемана [Са] (также [Ne]), вновь возникшую в последних
исследованиях Ж. Экалля о суммируемости расходящихся рядов: связанные функции.

40 Расходящиеся ряды и асимптотические теории
чтобы реализовать обманчиво естественную идею, как это оказалось вна-
вначале, построить подходящий базис определений. Исключением являются
простейшие асимптотические разложения, вычисляемые элементарными
методами...
Еще суровее — Олвер [О, стр. 543]:
К сожалению, удовлетворительное определение полной пригодности
недостижимо. Другой недостаток теории Ватсона — необходимость неко-
некоторых свойств у остаточного члена, которые, по-видимому, достижимы,
если только известна реалистичная граница остаточного члена. Так что
эта теория, в основном, бесполезна.
Мы надеемся, что следующая часть этих заметок убедит читателя в со-
совершенной неточности этих суждений. (Очень удивляет ошибочная оценка
у Дингла, который превосходно понимал важность экспоненциально малых
ошибок в асимптотической теории и был так близок к правильной точке
зрения!)
2.2. fc-суммируемость
Пусть к > 0. Если V — открытый сектор с углом раствора < тг/к
(малый сектор), то, как мы видели, получается точная последовательность
дифференциальных алгебр:
0 ^ A<~k(V) -+ A1/k(V) Л С[[х]]1/к -+ 0.
Совсем иная ситуация возникает, когда V — открытый сектор с раз-
размыканием > тг/к (большой сектор). Тогда получается следующая точная
последовательность дифференциальных алгебр:
0 ^ A1/k(V) ± C[[x]]1/k ^ 0.
В этом случае отображение J уже не сюръективно. Напротив, оно инъек-
тивно, как показывает следующий результат.
Теорема (Ватсон [Wat2]). Пусть к > 0 действительно, а V — откры-
открытый сектор с вершиной в начале координат и раствором > ж/к. Пусть f —
голоморфная на V функция, убывающая на V экспоненциально порядка к.
Тогда / тождественно равна нулю.

2. Асимптотические разложения и суммируемость 41
Эта теорема — следствие теоремы Фрагмена-Линделефа (один их вари-
вариантов принципа максимума). В случае большого сектора мы теряем суще-
существование, но получаем единственность суммы формального ряда Жевре.
Это приводит к следующему понятию суммируемости.
Определение. Пусть к > 0 действительно, a d — фиксированное на-
направление. Формальный ряд / называется к-суммируемым по направле-
направлению d, если существует функция /, голоморфная на некотором секторе V
с биссектрисой d и размыканием > тг/к, асимптотически приближаемая
на V рядом / в смысле Жевре порядка 1/к.
Согласно теореме Ватсона при этих условиях функция / единственна
(вблизи сектора определения V). Мы будем говорить, что / — это сум-
сумма ряда / по направлению d в смысле /с-суммирования. Будем обозначать
f = Sk-df-, a через С{ж} г обозначим совокупность /с-суммируемых по
направлению d рядов. Сразу проверяем, что С{х} г — дифференциальная
подалгебра С [[ж]] г, а вложение
к
Sk;d ¦ С{х} ! -> Ad -
к'4
инъективный гомоморфизм дифференциальных алгебр. (Здесь Ad обозна-
обозначает алгебру ростков голоморфных функций на открытых секторах с бис-
биссектрисой d, произвольным размыканием и радиусом.)
Это определение /с-суммируемости приемлемо (и очень полезно, на-
например, для проверки /с-суммируемости ряда, являющегося формальным
решением функционального аналитического уравнения), но оно не позво-
позволяет явно вычислять сумму. Для этого используется эквивалентное опреде-
определение (эквивалентность легко доказать).
Определение. Пусть к > 0 действительно, ad — фиксированое направ-
направление. Формальный ряд / называется к-суммируемым по направлению d,
если его формальное преобразование Бореля ф = Bkf уровня к сходится
и его (обычная) сумма аналитически продолжается голоморфной функцией
(уже обозначенной) ф и возрастает экспоненциально порядка более чем к

42 Расходящиеся ряды и асимптотические теории
в открытом секторе с биссектрисой d. При этих условиях говорят, что
/(ж) =k ф(?)е х" i^di = Ck-dJ{x) -
d
это сумма ряда / по направлению d в смысле /с-суммируемости.
Оператор В к '¦ С [[ж]] —> С [[ж]] был определен в разделе 1.5. Отметим,
что оператор Лапласа Ck;d уровня к, введенный этим определением, задан
на большей области, чем одноименный оператор, введенный в 1.5. Имеем
*-*k\d — ^k\d-d^ &к •
Для к = 1 получаем метод суммирования Бореля (в действительности,
изначальный метод Бореля имеет несколько более общий вид).
Также /с-суммируемый ряд можно суммировать по направлению d, ис-
используя один из абелевых методов, суммирование Харди-Жюрка (без явно-
явного использования параметра к).
Теорема (Жюрка [J]). Пусть к > 0, ad — исходящее из начала ко-
ординат направление. Пусть / ? С [[ж]] = Y апХп — формальный ряд,
71 = 0
к-суммируемый по направлению d. Его сумма f no направлению d ана-
аналитически продолжается вдоль максимального открытого интервала 7<ь
отложенного вдоль d, функцией, которая тоже обозначается /. Если жо —
точка из 7d, то предел
+ ОО
11111 I U/Q ~J~ U/\.J; ~\~ U/^.Jy ~\~ 7 LLji^b о I
t^O \ ^-—^ /
*>" 71=3
существует и равен /(жо).
Легко видеть, что наша формулировка точнее, чем в [J]. Этот результат
можно доказать — используя результаты автора этих заметок, — обратившись
к случаю, когда коэффициенты ап /с-суммируемого ряда Y а-пХп являются
моментами некоторой функции ф, определенной на [0, а] С R и убыва-
убывающей в начале координат экспоненциально17 порядка к:
17Если к = 1, а функция ф принимает положительные действительные значения, сумму
Бореля можно вычислить, преобразовав степенной ряд ^2 а-пХх в непрерывную сходящуюся
дробь (Лагерр, Стильтьес, Борель [Во1], гл. 2, Падэ).

2. Асимптотические разложения и суммируемость 43
а
ап = [ 4>(t)t-{n+1)dt.
о
Готовясь к изучению мультисуммируемости, мы переформулируем по-
понятие /с-суммируемого ряда немного более «геометрическим» способом,
с помощью понятия квазифункции.
Определение. Пусть к > i и / е C[[a;]]i/^. Ассоциированная с / к-по-
следователъностъ по направлению d — это последовательность (Д, /г),
где /г — квазифункция, fc-точная квазисумма ряда /, а Д — функция, го-
голоморфная на секторе V наС с биссектрисой d и размыканием > тг/fc;
функция Д как /с-точная квазифункция равна ограничению Д. на У.
По теореме Ватсона, такая последовательность единственна, если она
существует. Сразу проверяем, что такая /^-последовательность существует
тогда и только тогда, когда ряд / /с-суммируем по направлению d; в этом
случае Д равна сумме ряда / по направлению d в смысле /с-суммируемости.
2.3. Мультисуммируемость
После того как Эмиль Борель открыл борелевскую суммируемость,
а Леруа [Le] и Неванлинна [Ne] вскоре обобщили ее в понятие /с-сумми-
руемости, многие математики пытались доказать, что формальные ряды —
решения дифференциальных алгебраических уравнений — всегда /с-сумми-
руемы. Уже в 1903 году эту задачу изучал Мелле [М]. К сожалению, как
я показал в 1979 году в [Ra2], это неверно, причем по причине, в сущности,
достаточно очевидной, так что удивительно, почему подобное замечание не
было сделано раньше.
Интуитивно понятно, что когда к ^ к', методы /с-суммирования
и /с'-суммирования «достаточно далеки друг от друга» и почти несравнимы:
если к < к', то асимптотические оценки, нужные для /с'-суммируемости, бу-
будут строже, зато необходимое размыкание сектора (больше, чем тг/к') —
меньше (требования к размыканию сектора менее строгие). Интуиция под-
подтверждается следующей «тауберовой» теоремой.
Теорема [Ra7]. Пусть к и к' — два действительных числа, причем
к' >к>0. Тогда
С[[х}]1_ПС[[х]}±=С{х}.
к к'

44 Расходящиеся ряды и асимптотические теории
Теперь, желая построить искомый контрпример, мы приходим к рас-
рассмотрению суммы / формального к\ -суммируемого решения Д линейного
алгебраического дифференциального оператора D\ и формального /сг-сум-
мируемого решения Д линейного алгебраического дифференциального опе-
оператора ?>2- Эта сумма будет решением линейного алгебраического диффе-
дифференциального оператора D.
Наиболее простой пример получается, если взять в качестве Д ряд
Эйлера, а в качестве Д — ряд Эйлера, в котором х заменен на ж2. Тогда Д
будет 1-суммируемый, Д — 2-суммируемый ряд, но сумма
= fi + h, j[x) = у д-l) nix ^ -
и=0 и=0
не будет /с-суммируема ни для одного действительного к > 0. Более того,
сумма / — решение следующих линейных алгебраических дифференциаль-
дифференциальных уравнений [RS1, 3.75, 7.6]:
• Dy = 0;
D= -^Ix5B-x)-^ - х2Bх3 - Ъх2 - 4)-р + 2(ж2 - х ¦
(IX ^ (IX &%
• ж5B - х)у" - х2{2х3 - Ъх2 - А)у' + 2{х2 - х + 2)у = -Зх4 + Юж3 +
+ 2х2 +Ах.
Если нам нужен метод, пригодный для суммирования формальных ре-
решений дифференциальных алгебраических уравнений (даже только линей-
линейных), то, как можно видеть, кажется разумным искать метод, позволяющий
суммировать конечные суммы /с-суммируемых рядов (по одному и тому
же фиксированному направлению d) при разных к. Очевидно, можно поду-
подумать, что для / = Д + Д сумму ряда / можно определить как сумму сумм
рядов Д и Д.. Но тут же возникает затруднение: надо доказать, что получен-
полученная таким образом сумма / не зависит от разложения (то есть от выбора Д
и Д>). Более того, мы желаем работать с алгеброй, поэтому нам надо изу-
изучить, как раскладывается в сумму произведение. Наконец, если мы хотим
применить все это к дифференциальным уравнениям (линейным или нет),
то нам нужно будет выяснить, как раскладывается в сумму /с-суммируемых
рядов (по одному и тому же направлению) формальный ряд, являющийся
решением такого уравнения.

2. Асимптотические разложения и суммируемость 45
По прошествии многих лет — и благодаря усилиям многих математи-
математиков — на все эти вопросы были даны удовлетворительные ответы. Проще
всего определить мультисуммируемость, используя следующий результат.
Теорема. Пусть d — исходящее из начала координат направление.
Сумма
, 1
k>2
комплексных векторных подпространств из С[[х]} является дифферен-
дифференциальной подалгеброй алгебры (С[[ж]], x2d/dx). Более того, существует
единственный инъективный гомоморфизм дифференциальных алгебр
Sd: Y,Cixh.d^Ad
k>\
такой, что ограничение Sd на каждое пространство С{х} г (при к > ^)
T'd
совпадает с оператором к-суммирования по направлению d:
Заменяя в формулировке теоремы переменную х на одну из ветвей
переменной хт (где m e N*), получаем инъективный гомоморфизм диф-
дифференциальных алгебр (тоже обозначаемый Sk-,d)'-
Обозначим
Итак, C{x}.-d
s ¦ 1 1 У
m6N* 1
к> —
С\х\ и - 1 1 У
m?N*
k>
— дифференциальная
U E
m?N* 1
k>-
1
fe'
1
1 fe'
2
подалгебра алгебры
fe;d

46 Расходящиеся ряды и асимптотические теории
которая содержит алгебры С{х} 1 для всех к > 0. Действительно, имеем
к4
равенство
ПС[[х]] = С{х}
Получаем инъективный гомоморфизм дифференциальных алгебр
1 [[]] {} г
T\d —r\d
к тк
ограничение которого на каждую из алгебр С{х} 1 при к > 0 совпадает
4
1
к/4
с оператором /с-суммирования по направлению d.
Формальный ряд /, принадлежащий С{х}.;^, называется мультисум-
мируемым по направлению d, если для некоторого подходящего т € N
имеем
г=1 к> '
Определение. Пусть к\, ..., кг — действительные числа такие, что
к\ > &2 > ... > кг > 0, a d — исходящее из начала координат направление.
Если / принадлежит
г=1 Ki
то говорят, что ряд / (fci, ..., кг)-суммируемый по направлению d, и обо-
обозначают / ? С{ж}1 г
Существуют два достаточно различных доказательства только что
сформулированной теоремы. Первое использует теорию ускорения Ж. Экал-
ля [Е4] и обобщает метод приближения интегральной формулой и ана-
аналитическое продолжение (Боре ля-Лаплас а) для /с-суммируемости. Это до-
доказательство подробно изложено в [MR3]. Второе, более геометрическое,
принадлежит Б.Малыранжу и Ж.-П.Рамису [MaR], оно существенно ис-
использует понятие экспоненциально малой поправки. Грубо говоря, метод
таков.
Пусть k\, &2, ..., кт — действительные числа такие, что к\ > к-2, >
... > кт > 0, a d — исходящее из начала координат направление. Пусть

2. Асимптотические разложения и суммируемость 47
j e C[[i]| [ и V\ С • • • С Vr — вложенные открытые секторы с одинаковым
радиусом и биссектрисой. Предположим, что угол раствора V% > n/ki.
Ассоциированная с / (fci, ..., кг)-последователъностъ задается по-
последовательностью (Д, ..., fr, /r+i), где Д — функция, голоморфная
на секторе V\, /r+i — /сг-точная квазифункция, определенная рядом /,
а Д>, ..., fr — соответственно к\, ..., /сг-1-точные квазифункции, опре-
определенные на секторах V-2, ..., Vr соответственно; ограничение Д+1 на Vt
совпадает с /^-точной квазифункцией, ассоциированной с fcj_i-точной ква-
квазифункцией /j для г = 1, ..., г (по определению считаем fco = +оо).
Относительная квазианалитическая теорема, которую мы сформулиру-
сформулируем дальше, позволяет увидеть, что если ассоциированная с / {к\, ..., кг)-по-
кг)-последовательность существует, то она единственна. При этих условиях гово-
говорят, что / мулътисуммируем по направлению d, а Д — его сумма по направ-
направлению d. Тогда легко проверить, что / >—> Д — инъективный гомоморфизм
дифференциальных алгебр (Д допускает / в качестве асимптотического
разложения в начале координат). После некоторых усилий получаем опи-
описанные выше свойства разложений в сумму к -суммируемых рядов.
Теорема (Б. Мальгранж [Mai]). Пусть к' > к > 0. Пусть V — от-
открытый сектор на комплексной плоскости {или на римановой поверхности
логарифма) с вершиной в начале координат и раствором > тг/fc. Пусть / —
k-точная квазифункция на V, убывающая на V экспоненциально порядка к'
[то есть f представима некоторой 0-коцепью {fi}, где Д убывают на Уг
экспоненциально порядка k, a Д^+i убывает на Vi,i+\ экспоненциально по-
порядка к). Тогда f — нулевая к-точная квазифункция на V {то есть все fi
убывают на V% экспоненциально порядка к).
Эта теорема обобщает сформулированную в 2.2 теорему Ватсона с ана-
аналогичной формулировкой, в которой квазифункции заменены на функции.
Относительная квазианалитическая теорема Мальгранжа эквивалентна «та-
уберовой» теореме Ж.Мартине и Ж.-П.Рамиса [[MR2], chap. 2, prop. 4.3].
Теорема. Пусть 0 < к' < к, к = —, ad — исходящее из начала
{к — к )
координат направление. Если формальный ряд f ? C[[a;]]i/^ k'-суммируем
по направлению d, то он к-суммируем по любому направлению сектора
с биссектрисой d и раствором -к/к.

48 Расходящиеся ряды и асимптотические теории
Очень близкое к этой теореме утверждение получили еще Г. X. Хар-
ди [НЗ] (при — = 2) и его ученик Гуд (Good) [Goo].
к
По поводу природы тауберовых теорем Г.X.Харди писал в [HI, 6.1,
р. 121]:
Существует другой, менее очевидный предел для эффективности этих
методов и всего, что было доказано полезного. Ни одним методом нельзя
суммировать ряд, расходящийся слишком быстро; но также нельзя сум-
суммировать расходящийся ряд со слишком медленной расходимостью18. Те-
Теоремы, воплощающие этот принцип, принадлежат... к так называемому
тауберову классу. В них утверждается, что если ряд суммируем (Р) и удо-
удовлетворяет еще какому-то условию Кр {которое меняется в зависимости
от Р, но, во всяком случае, влечет за собой некоторую замедленность
возможной расходимости), то он сходится.
В некотором смысле этот принцип был обобщен позже, согласно идеям
Харди и Литлвуда. Процитируем Гуда [Goo, p. 145], который сравнивает два
метода суммируемости /ид:
Итак, очень часто мы получаем принцип суммируемости Харди-Литл-
вуда: если метод / имеет более широкую область приложения, чем д,
и если д приложим, а / эффективен, тогда g эффективен.
Сформулированная выше тауберова теорема хорошо иллюстрирует
этот последний принцип.
Недостаток приближения с помощью только что очерченного нами ме-
метода мультисуммируемости состоит в том, что у нас нет явного удобного
способа для вычисления суммы. Можно получить такой способ с помощью
ускорения, которое мы здесь описывать не будем (можно обратиться к ввод-
вводной статье в [LR2]). Еще можно использовать метод итераций преобразо-
преобразований Лапласа (разных уровней), принадлежащий Бальсеру (Balser) [Ba2].
Он действует так.
Пусть к\ > ... > кг > 0. Определим строго положительные действи-
действительные числа fci, ..., кг условиями к^1 = к^1 и к~г = к^1 — к^\ при
i = 2, ..., г так, что
k = i+---+k при *=1---->-
Обозначим через .^ аналитическое продолжение по направлению d.
18Выделено Харди.

2. Асимптотические разложения и суммируемость 49
Теорема. Пусть d — исходящее из начала координат направление,
к\ > ... > кг > 0 и к\1 ..., кг определены выше. Для / ? С [[ж]] следующие
условия эквивалентны:
(i) ряд / (fci, ..., кТ-суммируем по направлению d);
(ii) ряд Вк,. ¦ ¦ ¦ Вкг f сходится, и для всех i = г, ..., 2 функция
.dJCkrd ¦ ¦ ¦ C-k,.-dSBkr ¦ ¦ ¦ Bkif
голоморфна и возрастает экспоненциально порядка ki-\ на подходящем
секторе с биссектрисой d.
При выполнении этих условий функция Cki-d ¦ ¦ ¦ C-kr-dSBk,, ¦ ¦ ¦ B^f су-
существует и равна сумме (в смысле мультисуммируемости) ряда / по на-
направлению d.
Этот метод допускает численные приложения [Th2]. Другой явный ме-
метод суммирования мультисуммируемого ряда — элегантный, но менее под-
подходящий для численных приложений — задается следующим результатом
Жюрка [J]19.
Теорема. Пусть d — исходящее из начала координат направление
м / ? С[[ж]] = ^2 апхп — формальный ряд, мультисуммируемый по на-
71=0
правлению d. Его сумма / по направлению d аналитически продолжает-
продолжается вдоль максимального открытого интервала 7d, отложенного вдоль d,
функцией, тоже обозначаемой /.
Если хо — точка на "/d, то предел
+ ОО
KnWao + а\х + а2ж2 + ^ апхпe~tnlosnios^°sn^\
*>0 71=3
существует и равен
Иначе говоря, мультисуммируемость включает суммируемость абеле-
вым методом Харди-Жюрка.
Заметим, что для разработки явных методов суммирования, осно-
основанных на мультисуммируемости (суммируемость ускорением или итера-
итерациями преобразований Лапласа), необходимо знать критические уровни
19В действительности доказанный Жюрка результат менее точен. Нужно обобщить его до-
доказательство, используя [MaR].

50 Расходящиеся ряды и асимптотические теории
к\, ..., кг. Напротив, для суммирования абелевым методом Харди-Жюр-
ка их знать не надо: последний метод «мощнее» (он суммирует больше
расходящихся рядов). Мы встретились с ситуацией, аналогичной суммиро-
суммированию сходящегося ряда в его звезде Миттаг-Леффлера: когда абелев метод
Линделефа позволяет находить сумму во всей звезде, метод Бореля-Лап-
Бореля-Лапласа (Вк, ?к) требует выбора параметра к в зависимости от точки звезды,
в которой мы желаем найти сумму. За мощность метода надо платить чис-
численной неэффективностью.
Такова иллюстрация общего феномена, открытого Харди и Литлвудом:
чем мощнее метод суммирования, тем он чувствительнее (тоньше). Вновь
процитируем Харди [НЗ], р. 153:
Мы с Литлвудом часто настаивали на общем принципе, который
трудно сформулировать точно, но который в общих чертах можно обо-
обозначить так: чувствительность метода суммирования стремится быть
обратно пропорциональной его мощности.
3. Расходящиеся ряды и динамические системы
3.1. Формальные решения дифференциальных уравнений
Здесь я не буду говорить особо о линейном случае. По поводу
численных аспектов можно обратиться к обзору М. Лодэ-Ришо (Loday-
Richaud) [LR1] и к [ТЫ] и [Th2].
Сейчас я вернусь к теореме Мелле, сформулированной в 2.1. Целью
Мелле было просуммировать формальные ряды, являющиеся решениями
алгебраических дифференциальных уравнений. Он думал, что здесь можно
добиться успеха с помощью /с-суммируемости; установленное им свойство
Жевре было бы необходимым условием. Мы видели, что в действительности
этот план сам по себе нерационален, и оказалось необходимым прибегнуть
к мультисуммируемости. Сейчас мы увидим, что ее достаточно: любой фор-
формальный ряд, являющийся решением аналитического дифференциального
уравнения (линейного или нет), мультисуммируем по всем направлениям,
кроме разве что некоторого конечного числа.
Для начала улучшим условия Жевре в теореме Мелле. Простейший
случай — линейный, с которого мы и начнем.
Определение. Будем говорить, что формальный ряд / имеет тип Жев-

3. Расходящиеся ряды и динамические системы 51
ре точного порядка 1/к, если он имеет порядок 1/к, и не существует дей-
действительного к' > к такого, чтобы ряд имел порядок 1/к.
С каждым ростком линейного аналитического дифференциального
уравнения
Dy = апу(п> + ... + аоу = 0,
в начале координат свяжем многоугольник Ньютона N(D) [Ral]. Имеет
место следующий результат.
Теорема. Пусть Dy = 0 —росток аналитического дифференциально-
дифференциального уравнения в начале координат комплексной плоскости. Если / ? С [[ж]] —
формальное решение этого уравнения, то f либо сходится, либо имеет
тип Жевре точного порядка 1/к, где к — одна из строго положительных
сторон многоугольника Ньютона N{D) для D.
Этот результат получен О. Перроном в случае линейного алгебраиче-
алгебраического дифференциального уравнения и мной — в аналитическом случае [Ре],
[Ral, 5]. (В линейном аналитическом случае оценки Мелле были улучшены
в работе Джингольда [Gi].)
Перейдем к нелинейному случаю. Рассмотрим аналитическое диффе-
дифференциальное уравнение
G(x,y,...,yM)=0. A)
Предположим, что это уравнение допускает формальное решение / е С [[ж]].
Мы можем сопоставить паре (G, /) многоугольник Ньютона N(G, /) (мно-
(многоугольник Ньютона функции G вдоль /). Можно получить точные оценки
в теореме Мелле.
Теорема. Пусть G(x, Y\, ..., Yn) — аналитическая функция п + 2
переменных и f ? С[[х]] — формальный ряд, являющийся решением диффе-
дифференциального уравнения
G{x,y,...,yM) = 0. A)
Тогда / сходится или имеет тип Жевре точного порядка 1/к, где к — одна
из строго положительных сторон многоугольника Ньютона N(G, /).
Сначала Б. Мальгранж показал, что формальное решение всегда имеет
тип Жевре порядка 1/к', если к' — наименьшая сторона N(G, /) [МаЗ].

52 Расходящиеся ряды и асимптотические теории
Сформулированный выше результат принадлежит И.Сибуя [Sil], который
доказал его с точки зрения когомологий, оценивая с помощью линеаризации
1-коцепь экспоненциальных ошибок, ассоциированных с квазифункцией,
определенной рядом /.
Предыдущие результаты улучшаются с помощью мультисуммируемо-
сти.
Определение. Пусть к\ > ki > ... > кт > 0 — действительные числа.
Мы будем говорить, что / е С [[ж]] является (к\, ..., кг)-суммируемой, если
она (к\, ..., кг)-суммируема по всем направлениям, кроме, может быть,
некоторого конечного числа.
Теорема. Пусть G(x7 Y\, ..., Yn) — аналитическая функция п + 2
переменных и f ? С [[ж]] — формальный ряд, являющийся решением диффе-
дифференциального уравнения
Пусть к\ > к-2 > ... > кТ > 0 — строго положительные стороны много-
многоугольника Ньютона N(D, /). Тогда / (fci, ..., кг)-суммируема.
В линейном случае первое доказательство этого результата принадле-
принадлежит автору этих заметок [Ra2], [MR3]; другие доказательства можно найти
в [BBRS] и [Маг]. В нелинейном случае этот результат недавно доказал
Брааксма (Braaksma), использовавший подход Ж. Экалля. В настоящее вре-
время готовится доказательство Рамиса и Сибуя в стиле [RS1].
3.2. Нормальные формы дифференциальных уравнений
и диффеоморфизмы.
Сначала рассмотрим случай локальных голоморфных диффеоморфиз-
диффеоморфизмов в начале координат комплексной плоскости. Такой диффеоморфизм
определен сходящимся рядом
+ ОО
/(ж) = Аж + ^2 апХп € жС{ж},
71=1
где А е С*.

3. Расходящиеся ряды и динамические системы 53
Пуанкаре доказал, что при |А| ф 1 такой диффеоморфизм аналитиче-
аналитически сопряжен со своим касательным линейным отображением /о: а; н-> \х
в начале координат. Иначе говоря, существует аналитическая замена пе-
переменных х = tp(t), удовлетворяющая условию гр'(О) ф 0 и такая, что
/ = Ф ° /о о Ф~Х или / о ф = ф о /0.
• Если |Л| ^ 1, то говорят, что Л лежит в области Пуанкаре, иначе
говорят, что Л лежит в области Зигеля.
• Если А — корень из единицы, то говорят, что это резонансный диффео-
диффеоморфизм.
• Если | А| = 1, но А — не корень из единицы, то можно доказать, что / ли-
линеаризуема формально (существует формальная замена переменных гр,
сопрягающая / и /о), но не всегда линеаризуема аналитически (ряд гр
не обязательно сходится). Мы больше не будем задерживаться на этом
сложном случае, его изучение связано с задачами об аппроксимации
действительных чисел рациональными.
Нас интересует резонансный случай. Диффеоморфизм / в общем слу-
случае уже не будет формально линеаризуемым, и первая из возникающих
здесь задач состоит в формальной классификации резонансных аналитиче-
аналитических диффеоморфизмов. Чтобы упростить изложение, отныне мы ограни-
ограничимся диффеоморфизмами /, касательными к тождественному:
+ ОО
Каждый класс формальной эквивалентности (то есть по модулю фор-
формальной замены переменных) представляется (сходящейся) нормальной
формой, выбранной произвольно (ищут «самую простую из возмож-
возможных форм»). В качестве нормальных форм удобно выбирать множество
/;заа = ехрр^з^л) с параметрами (/3, к, А) е С х N* х С, где Хр,к,\ -
векторное поле
Можно легко свести все к случаю /3 = 2гтг и обозначить Х2т,к,х = -ХГ/с,а-
Чтобы еще больше упростить изложение, мы ограничимся случаем, когда

54 Расходящиеся ряды и асимптотические теории
нормальная форма равна
/1,0 (X) =
X
1 - 2тх
с Х\ to = 2mx2d/dx. Томографическая замена координат х = | на римано-
вой сфере сопрягает нормальную форму /i о с переносом T(z) = z — 2т.
Заметим, что функция е'э постоянна на орбитах /i о- Она позволяет отож-
отождествить пространство орбит для /^о с римановой сферой с разрезом от О
до сю, то есть с С* (которое топологически эквивалентно цилиндру S1 x R).
В дальнейшем будем обозначать /о = fifi. Имеем
/о(ж) = х - 2тх2 - 4тт2х3 +
Любой локальный диффеоморфизм, голоморфный форме
f(x) =x- 2шх2 - 4тг2ж3 + О(ж4),
формально сопряжен с /о (но, в общем случае, не сопряжен аналитиче-
аналитически). Точнее, существует единственный формальный диффеоморфизм ф,
касательный к тождественному и такой, что / о ф = ф о /0. Этот диффео-
диффеоморфизм «в общем» расходится, но важно то, что он 1-суммируем по всем
направлениям, кроме действительных полуосей Ш и Ш~. Суммы фд диф-
диффеоморфизма ф по разным направлениям d суммируются, когда d меняется,
не пересекая действительной оси. Итак, в конечном счете получаем две сум-
суммы ф+ и ф~ (верхнюю и нижнюю) диффеоморфизма ф. Они определены
на соответствующих секторах с размыканием Зтг. Пересечение этих секто-
секторов состоит из двух секторов с размыканием тг, содержащихся в Re x > О
и Re ж < 0 соответственно. В каждом из этих секторов сумму можно опре-
определить двояко, здесь и возникает феномен Стокса.
Обратимся теперь к классификации голоморфных локальных диффео-
диффеоморфизмов, формально сопряженных с /о, по аналитическому модулю экви-
эквивалентности (два диффеоморфизма эквивалентны, если они сопряжены ана-
аналитически). Удивляет тот феномен, что фактор-пространство очень велико:
оно бесконечномерно. Оно существенно параметризуется парами (ipo, (р^),
где (ро и (foo — локальные диффеоморфизмы римановой сферы, касательные
к тождественному преобразованию в 0 и в сю соответственно, но, вместе
с тем, совершенно произвольные.
Действительно, локальный голоморфный диффеоморфизм /, формаль-
формально сопряженный с /о, существенно классифицируется своим пространством

3. Расходящиеся ряды и динамические системы 55
орбит. Это пространство легко описать с помощью феномена Стокса. Оно
представляет собой «связную (неразделенную?) комплексную кривую», по-
получаемую следующим образом.
Каждая сумма ф+ и гр~ диффеоморфизма ф, сопрягающего / и /о, поз-
позволяет отождествить некоторое подмножество пространства орбит / с про-
пространством орбит /о, то есть с цилиндром С* = Рг(С) - {0, сю}. Если
сравнить эти два отождествления с помощью двух явлений Стокса по на-
направлениям R+ и R~, то получим две копии римановой сферы Рг{С),
склеенные в 0 и в сю аналитическими диффеоморфизмами щ и (р^, ка-
касательными к тождественному. Можно доказать (теорема синтеза), что эти
диффеоморфизмы выбираются произвольно.
Предыдущие результаты получены Т. Кимурой, Ж. Экаллем [Е2],
Б. Мальгранжем [Ма4] и Ворониным.
Классифицировав резонансные диффеоморфизмы, можно перейти
к аналогичной задаче для ростков в @, 0) — начале координат С — анали-
аналитических дифференциальных уравнений вида со = Р dy + Q dx = 0, где Р
и Q принадлежат С{х7 у}. 1-струя функции со в начале координат имеет
вид Jxco = Xxdy + цу dx. Если Л, \i ? С* и Х/ц е С — R, то мы находимся
в области Пуанкаре и ю аналитически сопряжено с Jxco. Иначе рассуждения
усложняются. Как и для диффеоморфизмов, нас будут интересовать только
резонансные случаи. Это случаи, когда Л или ц (но не оба вместе) рав-
равны нулю (вырожденный случай) или когда Л, /j, не равны нулю и X/ ц е Q~
(невырожденный случай). Геометрически (ссылаясь на действительный слу-
случай) в вырожденном случае имеем узловую горловину20, в невырожденном —
резонансную горловину.
Узловая горловина описывается уравнением xk+1dy + Xy dx + ... = 0,
где к е N* и Л е С.
Резонансная горловина описывается как pxdy + qydx + ... = 0, где
p,qe N*.
Как и в случае резонансных диффеоморфизмов, формальные нормаль-
нормальные формы параметризуются конечным числом параметров, а замены пере-
переменных, сводящие резонансное уравнение к его нормальной форме, требуют
использования рядов типа Жевре. Можно доказать, что эти ряды fc-сумми-
руемы. При фиксированной формальной нормальной форме резонансные
дифференциальные уравнения аналитически существенно классифициру-
20noeud-col (франц.)

56 Расходящиеся ряды и асимптотические теории
ются пространствами их листов (т. е. слоения). Это пространство описы-
описывается с помощью феномена Стокса.
Действительно, классификация уравнений связана с классификацией
диффеоморфизмов посредством голономии. Узловая горловина всегда до-
допускает гладкий аналитический лист в качестве решения в начале координат
(сильное многообразие). Резонансная горловина всегда допускает два таких
решения (трансверсальных). Конечно, требуется удалить начало координат:
тогда эти решения существуют в окрестности начала координат в проко-
проколотых кругах. Можно изобразить комплексную трансверсаль к одному из
этих проколотых кругов, затем — простой разрез с началом на трансверса-
ли, к проколотому кругу. Используя этот разрез, мы получаем перестановку
листов, которую рассматриваем как диффеоморфизм на трансверсали: это
диффеоморфизм голономии. В случае резонансной горловины классифика-
классификация уравнений отождествляется с классификацией их голономии. В случае
узловой горловины мы не получим всех голономии. В качестве примера
возьмем формальную нормальную форму узловой горловины:
и>о = х dy + у dx = 0.
Ее голономия /о(ж) = г.
A — 2тх)
Аналитические узловые горловины, формально сопряженные с loq = 0,
существенно классифицируются парами локальных диффеоморфизмов
(аналитических и касательных к тождественному) ((ро, (рж) в 0 и в со на
римановой сфере (где щ произвольно, но (р^ — перенос).
Эти результаты получены Ж. Мартине и Ж.-П. Рамисом [MR1], [MR4],
[MR5] и [Ма4]. Они играют фундаментальную роль при ответе на некоторые
предположения Р. Тома о голоморфных листах [Мои] и в недавнем решении
задачи Дюлака (конечность количества предельных циклов для алгебраиче-
алгебраического дифференциального уравнения Р dy + Q dx = 0 на действительной
плоскостиJ1.
3.3. Сингулярные возмущения, запаздывание бифуркации и утки
Как мы видели, теория асимптотических разложений Жевре очень эф-
эффективна при изучении существенных особенностей дифференциальных
уравнений. Речь идет об особенностях переменных. Эта теория точно так же
21 Задача Дюлака — это подзадача второй части шестнадцатой проблемы Гильберта.

3. Расходящиеся ряды и динамические системы 57
используется при изучении некоторых задач, требующих введения особен-
особенностей в параметре: задач о сингулярных возмущениях. Вот существенный
результат в данном направлении.
Теорема (И. Сибуя). Пусть п ? N* — фиксированное целое число.
Рассмотрим дифференциальное уравнение вида
где и ? N*, е, х ? С, у ? Сп, f,Fu все fp принимают значения из С™,
а А принимает значения из End(n, С). Предположим, что F — аналити-
аналитическая по (х, s, у) в окрестности @, 0, 0), /@, 0) = 0, а матрица А@, 0)
обратима. При этих условиях:
(i) уравнение A) допускает единственное формальное решение вида
у = fix) = У^ ап(х)еп,
где ап — функции, голоморфные в одном и том же круге D плоскости
переменных х.
(и) Приуменьшении круга D функции ап удовлетворяют оценкам Жев-
ре порядка 1/а:
: Сп\1/аАп,
при подходящих С, А > 0 (здесь \\ап\\ = supxgi;) ||аи(х)||/
И. Сибуя дал когомологическое доказательство этого результата в [Si2].
В действительности он доказал более точный результат, построив 0-ко-
цепь fi решений уравнения A), где /$ голоморфны по (ж, е) на произве-
произведении D и сектора по е, допускают асимптотическое разложение в ряд /
типа Жевре порядка 1/а по е равномерно по х из D. М. Каналис-Дюран
(Canalis-Durand) дал доказательство этой теоремы при п = 1 с помощью
прямых оценок [CD2]. С другой стороны, Шеффке (Schaffke) недавно по-
получил новое доказательство, обратившись к уточненной форме теоремы
Мелле [Sc].
Следуя идее Ж. Мартине [MaR], мы применим вышеуказанный резуль-
результат к задаче об запаздывании бифуркации. Здесь будет удобно перенестись
в рамки нестандартного анализа22.
Дальнейшее легко можно прочитать на эвристическом уровне. В действительности все

58 Расходящиеся ряды и асимптотические теории
Основная идея — принадлежащая Ж. Мартине [MaR] — состоит в том,
чтобы смоделировать классическую среду численного анализа: вычисли-
вычислительная машина (возможно, это математик, снабженный бумагой и каран-
карандашом) обеспечивает некоторую ограниченную точность при вычислении
значений функции. Возможность обращения с большими числами ограниче-
ограничена; слишком маленькое число считается нулем, слишком большое рассмат-
рассматривается как бесконечность (переполнение). Эту ситуацию можно смодели-
смоделировать, задав раз и навсегда бесконечно малое действительное число е' > 0:
мы «не увидим» комплексное число а порядка е' (иначе говоря, такое, что
а/е' ограничено, то есть не бесконечно велико); с другой стороны, а не
будет «показано», если его модуль не бесконечно мал по сравнению с 1/е'
(то есть если as' не бесконечно мало).
Тогда можно переделать предыдущее описание квазифункций, заме-
заменяя экспоненциально малые поправки на поправки порядка е'. Получаем
словарь для двух точек зрения на одну и ту же область (на плоскость —
нестандартную — комплексной переменной s), где функция е~°/? (со стан-
стандартным или ограниченным а) имеет порядок е'.
Явление запаздывания бифуркации происходит от феномена экспонен-
экспоненциального сжатия-взрыва траекторий. Простейшая из ситуаций, в которой
можно наблюдать этот феномен, следующая. Рассмотрим систему диффе-
дифференциальных уравнений
(х = ^
где s > 0 — бесконечно малое фиксированное действительное число, a /j,
и х — действительные переменные. Если ненулевой параметр ц фиксирован,
получаем дифференциальное уравнение
х = цх.
Точка х = 0 — устойчивая стационарная при ц < 0 и неустойчивая при
\i > 0. Если изменять ц, то при ц = 0 устойчивость меняется на неустойчи-
неустойчивость. Теперь рассмотрим решение A), определенное начальными услови-
условиями х = хо и /i = цо < 0. Обычное интегрирование показывает, что реше-
решением здесь будет
2 2
х = хо
2е
обсуждается очень строго. Использована точка зрения Нельсона в ANS [DR]; необходимая
величина из ANS... бесконечно мала.

3. Расходящиеся ряды и динамические системы 59
Оно бесконечно мало (экспоненциально по е) при д e [до, —до]. Оно
«убывает почти вертикально» от (до, xq) до (до, 0), продолжается «экс-
«экспоненциально почти вдоль» действительной оси вплоть до (—до, 0), затем
«поднимается почти вертикально». Имеем (почти...) «вход» в точке (до, 0)
и «выход» в точке (—до, 0).
Теперь рассмотрим систему (размерности р + 1):
' Щ- = x = F(x, А),
И Л B)
Л
где е > 0 — бесконечно малое фиксированное комплексное число (или
«малый параметр», по выбору), х — переменая из Ср, А — комплексная
переменная, F — голоморфная функция со значениями в Ср. Из системы B)
можно вывести дифференциальное уравнение
^=F(x,X). C)
Полагая е = 0, получаем «медленную кривую» F(x, Л) = 0. Предположим,
что эта кривая Со — график аналитической функции х = со(Л).
Теперь предположим следующее:
ар
(i) Матрица тг-@, 0) обратима.
(ii) Медленная кривая Со трансверсальна полю
Если медленная кривая инвариантна в этом поле, мы получаем ситу-
ситуацию, очень близкую к вышеописанной. Это — экспоненциальное сжатие-
взрыв. Случай, когда выполняется условие (ii), сложнее. Мы покажем, что
здесь всегда есть экспоненциальное сжатие-взрыв (в выбранной подходя-
подходящим образом окрестности начала координат), «сводя все к предыдущему
случаю», то есть используя экспоненциально точную квазикривую (ква-
зи)инвариантную в поле B').
Эта квазикривая является «графиком» некоторой квазифункции — (ква-
зи)решения уравнения C), полученного следующим образом. По сформу-
сформулированной выше теореме Сибуя уравнение C) допускает формальное ре-
решение (формальное по е, аналитическое по А):
5(А, е)= ~

60 Расходящиеся ряды и асимптотические теории
Более того, все с„ — ограниченные голоморфизмы на одном и том же кру-
круге D (стандартного) радиуса г > 0 на плоскости переменных А и удовле-
удовлетворяют неравенствам Жевре первого порядка:
при подходящих С, А > 0 (здесь \\сп\\ = supxer) ||с„(х)||).
Квазисумма этого ряда (полученная, например, с помощью неполного
преобразования Лапласа) 1-точна, она будет квазирешением (то есть реше-
решением до экспоненциальных погрешностей близкого порядка, типа е~°/е, где
а — ограниченное положительное число). В действительности можно найти
представление {д{\ этого квазирешения, где д{ — точные решения C). Отсю-
Отсюда легко делаем вывод (например, используя аргументы «экспоненциальной
выпуклости», см. [BCDD]).
Первые математические результаты в задаче об опаздывании к бифур-
бифуркации принадлежат Нейштадту. Его метод — вариант вышеописанного ква-
квазисуммирования до наименьшего члена: осуществляется некоторое (боль-
(большое) число N замен переменных (где N — целая часть 1/е). Еще существу-
существует достаточно геометрический подход к задаче, предложенный Ж.-Л. Калло
(J.-L. Callot) в 1991 году.
Вместо того чтобы брать медленную производную векторного поля,
как в только что изученной нами задаче, можно взять медленную произ-
производную от отображения итерации. Пусть везде е > 0 — бесконечно малое
действительное число. Расмотрим отображение
F? : К. -> Ш;
D)
(ж, А)н^ (/(ж, А), А + ?). W
Предположим, что существует аналитическая кривая со (А), состоящая из
фиксированных точек. Можно найти медленную производную отображения
Фейгенбаума:
f(x,X) = Xx(l-x),
которое дает нам пример хаоса. Наблюдаем запаздывание бифуркации при
«удвоении периодов».
Эту ситуацию анализировали А. Фрюшар [F1] и С. Бэсенс (С. Вае-
sens) [Bae]. Методы [F1] следуют тому же направлению, что и Нейштадт;
методы [Вае] используют аргументы Ж. Мартине для случая полей.

3. Расходящиеся ряды и динамические системы 61
Для отображения D) инвариантной кривой будет график функции
Л ^ [/(Л, е), где F(U(\, е), А) = U(\ + е, е). Если dxF(\, со(Л)) ф 1,
то существует единственная формальная инвариантная кривая
п(Х, е)= ^
где сп — ограниченные голоморфизмы на одном и том же круге. В общем
случае этот ряд расходится, но имеет тип Жевре 1 [Вае]. Как и в случае
полей, получаем квазиинвариантную квазикривую.
Теперь мы увидим, что если в анализе Ж. Мартине отказаться от усло-
условия обратимости (i), то могут произойти очень интересные явления: появ-
появляются утки. Для этого мы обсудим уравнение Ван дер Поля (в котором
феномен утки был открыт в [BCDD]) с точки зрения Жевре. Здесь мы сле-
следуем (высказывая оригинальную точку зрения на феномен уток) недавней
работе М. Каналиса-Дюрана [CD1], [CD2].
Рассмотрим сингулярно возмущенную форму уравнения Ван дер По-
Поля A920) с действительным бесконечно малым е > 0:
ех + {х2 - 1)х + х = 0. E)
Полагая и = ех + -х3 — х, переходим к плоскости Лъенара. Получаем
й = —х.
Векторное поле {{и — Узя;3 + х)/е, —х) «медленно-быстрое»: его горизон-
горизонтальная составляющая бесконечно велика за исключением медленной кри-
кривой — кубической параболы и = ^ х3 — х, на которой она обращается в нуль.
Часть кубической параболы между точками В(—1, ф и АA, —4)~ оттал-
отталкивающая, остальная часть — притягивающая.
Можно показать, что система E) имеет предельный цикл. Этот цикл
«медленно-быстрый». Он бесконечно близок к стандартному циклу, обра-
образованному двумя дугами медленной кривой (заканчивающимися в А я В)
и двумя горизонтальными отрезками (исходящими из А и В), которые на-
называют его тенью. Кроме того, у системы есть неустойчивая неподвижная
точка @,0).

62 Расходящиеся ряды и асимптотические теории
Теперь рассмотрим уравнение Ван дер Поля со вторым членом
ех + (х2 -1)х + х = а, G)
где а — действительный параметр. Будем изменять этот параметр от 0 до 2
и следить за ситуацией на плоскости Льенара. Неподвижная точка S(a) пе-
перемещается по медленной кубической параболе: 5@) = @, 0) и 5A) = А.
• для 0 < а < 1 эта точка неустойчива;
• для а > 1 она устойчива, но предельный цикл исчезает.
Значение а = 1 — это бифуркация Хопфа. Задача в том, чтобы понять,
как может проявиться эта бифуркация, если принять во внимание медлен-
медленно-быстрый характер поля. Наблюдая за изменением тени предельного цик-
цикла в момент его исчезновения, мы заключаем, что при некоторых частных
значениях эта тень должна на момент вытянуться вдоль отталкивающей ча-
части медленной кривой (от А к В). По определению, соответствующие значе-
значения параметра называются значения с утками, а соответствующие циклы —
утками (с головой или без головы, в зависимости от того, находится точка В
в их тени или вне ее).
Чтобы получить значение с уткой, очевидно, необходимо, чтобы а было
меньше 1 и бесконечно близко к 1, но хотелось бы знать о нем больше. Тогда
можно доказать, что все значения а с уткой имеют одно и то же разложение
по е-тени:
Это приводит к мысли, что «жизнь уток коротка». Действительно, их жизнь
экспоненциально коротка: если а\ и а^ — значения с уткой, то ||<2i —
— а.21| < е~ъ/? для подходящего ограниченного Ь. Экспериментально можно
установить, что:
• При е = о?; уток можно наблюдать примерно между 0,9934909
и 0,9934915.
• При е = -^j- уток можно наблюдать примерно между 0,9987404512
и 0,9987404513, то есть на промежутке длиной 10~10 ... Так что очень
сложно «поймать» уток, даже если известно их разложение по ?-тени.

3. Расходящиеся ряды и динамические системы 63
Все это привело меня где-то в 1980 году к гипотезе, что разложение по
?-тени значений с уткой для уравнения Ван дер Поля имеет тип Жевре 1.
Если оставить в стороне теоретические вопросы, положительный ответ на
эту гипотезу был интересен мне для получения численного метода охоты
на уток: если ряд имеет тип Жевре, то, суммируя его с помощью неполно-
неполного преобразования Лапласа (или квазисуммирования до наименьшего чле-
члена), найдем значение, определенное до экспоненциально малой поправки
порядка почти е. Итак, ошибка — величина того же порядка, что и про-
продолжительность существования искомого значения с уткой. Эта гипотеза
(с ее численным приложением) сначала была проверена экспериментально,
а недавно ее доказал М. Каналис-Дюран [CD1], [CD2], используя среди
прочего улучшение вычислений при рекуррентной зависимости коэффици-
коэффициентов сп, изложенное в [ZS].
М. Каналис-Дюран показал также, что разложение траектории утки
по е-тени само по себе имеет тип Жевре 1 и этим вновь доказал существо-
существование уток (с помощью неполного преобразования Лапласа). Его теория
приложима к семейству более общих систем, чем уравнение Ван дер Поля.
Это семейство содержит такие классические системы, как системы типа
брюсселятора.
3.4. g-разностные уравнения
Алгебраическим линейным уравнением в (конечных) разностях в ком-
комплексном поле называется функциональное уравнение вида
an(x)f(x + п) + ... + аг{х)!{х + 1) + ao(x)f(x) = 0,
где a,i — многочлены (с комплексными коэффициентами), а / — неизвестная
функция. Например,
f(x+l)-xf(x)=0-
разностное уравнение, допускающее в качестве решения функцию
f(x) = Г(х).
От дифференциального уравнения к разностному можно перейти, за-
заменяя инфинитезимальный автоморфизм d/dx на автоморфизм переноса
х н-> х + 1. Это томография римановой сферы, допускающая сю в каче-
качестве неподвижной точки. Можно использовать и более «общую» томогра-
томографию, допускающую две различные неподвижные точки, например, х н-> qx

64 Расходящиеся ряды и асимптотические теории
с ненулевым комплексным q и неподвижными точками 0 и сю. Тогда при-
приходим к понятию q-разностного (линейного алгебраического) уравнения:
an(x)f{qnx) + ...+ ai{x)f{qx) + ao(x)f(x) = 0.
Можно доказать, что формальные ряды, являющиеся решениями ана-
аналитических разностных уравнений, даже нелинейных, имеют тип Жевре:
это аналог теоремы Мелле [GL]. Напротив, для q-разностных уравнений
ситуация совсем иная. В этом случае, вообще говоря, оценок Жевре не бу-
будет, будут только оценки q-Жевре (по терминологии, недавно введенной
Ж.-П. Безивином (J.-R Bezivin)).
Мы ограничимся тем, что происходит в случае \q\ ^ 1. Имея возмож-
возможность заменять q на q-1, мы можем предполагать, что \q\ > 1.
Определение. Пусть f(x) = Yl an,xn — формальный ряд. Говорят,
и=0
что / имеет (/-тип Жевре вида s, если для подходящих С, A, s > 0
sn(n+l)
Еще говорят, что вид s оптимален, если не существует оценки такого же
рода для s' < s.
С каждым q-разностным алгебраическим линейным оператором Т
можно связать многоугольник Ньютона N(T), аналогично случаю диффе-
дифференциальных операторов. Имеем следующий результат.
Теорема (Ж.-П. Безивин). Пусть
= an(x)f(qnx) + ...+ ai(x)f(qx) + ao(x)f(x) = 0 A)
q-разностное линейное алгебраическое уравнение, где \q\ > 1. Тогда
существует конечное число положительных действительных чисел
s\ < ... < sr, заданных сторонами многоугольника Ньютона N(T) и та-
таких, что каждый формальный ряд /, являющийся решением A), обладает
следующим свойством: f или сходится, или имеет q-mun Жевре оптималь-
оптимального вида с одним из Sj.
Существуют (/-разностные алгебраические линейные уравнения второ-
второго порядка с решениями в виде расходящихся формальных рядов (Адаме).

3. Расходящиеся ряды и динамические системы 65
Так что существуют расходящиеся решения (/-разностных уравнений, не
допускающие оценок Жеере.
Вот простой пример. Определим оператор aq условием aqf(x) =
= f(qx). Обозначим
oo n{n+l)
.ra+1
n(x,q) =2_^(-l)nq 2 x
и=0
Тогда xaq (q 2 xn+1) = q 2 xn+2, откуда
(xaq + l)U(x, q) = aqU(x, q) + U(x, q) = x. B)
Оператор xaq — аналог дифференциального оператора x2d/dx; уравне-
уравнение A) — (/-аналог уравнения Эйлера
а ряд Q(x, q) — (/-аналог ряда Эйлера J^ (—l)nn\xn+1. При q < 1
и=0
ряд Q(x, q) связан с б'х-функцией Якоби. Из условия (aq — q){xaq + 1) =
= qxa2 — xuq + q — 1 выводим, что ряд Q(x7 q) — решение q-дифференци-
ального уравнения второго порядка
(qxa2 -xaq+q- l)f(x) = qxf(q2x) - xf(qx) + (q - l)f(x) = 0.
С точки зрения суммируемости, случай разностных уравнений сложен: фор-
формальные решения не будут в общем случае мультисуммируемы [ЕЗ]. Для
(/-разностных уравнений можно развивать теорию, заменяя асимптотиче-
асимптотические разложения Жевре на асимптотические разложения q-Жевре, при этом
экспоненциальное убывание заменяется на оценки вида
/ log ж
|/0г)|<е~М№
Имеются также q-аналоги преобразований Бореля и Лапласа и /с-суммиру-
емости: числа п\ — это моменты функции е~":
Т(п + 1)=п\ =

66 Расходящиеся ряды и асимптотические теории
_
Вычислим моменты функции q 2 для действительных q > 1:
_
= unq 2 du,
•J
о
log и
с г> = и и = q . Находим
logq
цп = ^2тгlogqq $q 2
Заменяя и на t;/x, получаем
Г(тг + 1)а;и+1 = гг!а;и+1 =
о
где ? — преобразование Лапласа и
1 я(я+1) +5° w(w
log ? — log ж log^/ж
с го = —— ^— = —. Имеем
log q log q
logq
о
Так что естественно будет определить ^-преобразование Лапласа как
/2тг log q
о
log $ — log ж „
с го = —?1-^ 2—. Отсюда
log g
Все эти задачи изучаются в настоящее время. (Я предполагаю также, что
существует (/-вариант теоремы Мелле в нелинейном случае.)

3. Расходящиеся ряды и динамические системы 67
3.5. Множественность естественных процессов суммирования, ветви
функций и последнее письмо Эвариста Галуа
Как можно было видеть по предыдущему изложению, возникает воз-
возможность приписать расходящемуся ряду «естественную» сумму и ради-
радикально улучшить асимптотическую теорию Пуанкаре, заменив ее точной
теорией. Так что выполняется программа, намеченная Э.Борелем [Во2]:
Расходящиеся ряды могут сослужить большую службу не только
с формальной точки зрения (в чем никто никогда не сомневался) и с точки
зрения приближенных вычислений {асимптотические ряды), но в некото-
некоторых случаях их еще и можно точно вычислить. Расходящийся числовой ряд
может иметь определенное значение.
Но при более внимательном рассмотрении ситуация кажется менее
идиллической. Мы видели, что в действительности в некоторых случаях по-
появляется не одна, а несколько различных естественных сумм. Д. Дюмон во
введении к своей книге [Du] цитирует приведенный выше текст и характе-
характеризует мнение Э. Бореля как оптимистичное в сравнении с Г. X. Харди [HI]:
Разные методы могут давать разные суммы для одних и тех же
рядов...
С моей точки зрения, феномен множественности естественных сумм
это:
• менее удивительно, чем если бы этого не было;
• больше заметных преимуществ, чем неудобств.
Э.Борель23 и Г. X. Харди24 очень хорошо понимали то, что, по мо-
моему мнению, является одной из фундаментальных причин этого феномена:
множественность аналитических продолжений. Больше всего оба они на-
настаивали на том факте, что хорошая теория суммирования должна быть
основана на изучении аналитических продолжений.
23Здесь важно сделать существенное замечание: если аналитическая функция ф(г) не од-
однозначна, то предыдущая теория ведет к тому, что с расходящимся рядом ф(го) связывает
несколько разных значений, даже бесконечных [Bol, chap. 4, 6.3, р. 153].
24Если Y1 а,пхп сходится при малых ж и определяет функцию /(ж) комплексного пере-
переменного х, однозначную и регулярную в открытой и связной области, содержащей начало
координат и точку ж = 1, и если /(ж) = s, тогда мы назовем s б-суммой ряда JZ о,п. Значе-
Значение s может естественным образом зависеть от выбора области.

68 Расходящиеся ряды и асимптотические теории
Г. X. Харди называет ©-методом метод суммирования с помощью ана-
аналитического продолжения, на который мы ссылались в 1.5:
...тогда мы называем &-суммой сумму ряда Y^ a,n. Значение s может
естественным образом зависеть от выбора области.
Он также писал по поводу идей Эйлера о суммировании, о которых мы
говорили выше, в 1.1:
Невозможно точно установить принцип Эйлера, не имея ясного пред-
представления о функциях комплексного переменного и об аналитическом про-
продолжении.
Этот фундаментальный феномен появился уже при изучении аналити-
аналитического продолжения сходящегося ряда вне его области сходимости. Чтобы
увидеть это, вернемся к уже изученному в 1.6 примеру:
1_ , 2V2 ) j, , 2V2
?, \ 1,1 , 2 V2 )
f(x) = 1 + -х+ x {
При \х\ < 1 сумма ряда / равна f(x) = \/1 + х. Если бы надо было
суммировать ряд
{-2? 4-
то можно было бы одинаково использовать аналитическое продолжение
вдоль луча, исходящего из начала координат с аргументом тг — е (с малым
? > 0) и соединенного с дугой, «убывающей» до —2, и аналитическое про-
продолжение вдоль луча, исходящего из начала координат с аргументом тг + е
и соединенного с дугой, «возрастающей» до —2: это и есть выбор ветви
или двойственность. В первом случае получаем г, во втором г. Сравне-
Сравнению двух методов суммирования отвечает, в случае ряда /, преобразование
/ н-> — / (действие монодромии вблизи особой точки — 1, порождённое осо-
особым направлением Ж~ с аргументом тг).
Феномен Стокса, открытый Стоксом при изучении уравнения Эй-
ри A.4), полностью аналогичен только что описанному нами феномену
смены ветви (как мы отметили выше, эту аналогию можно найти уже в ме-
муаре СтоксаJ5. С этой точки зрения, феномен Стокса можно описать так.
Расходящиеся ряды обычно делят на два класса, в зависимости от того, все ли время

3. Расходящиеся ряды и динамические системы 69
Пусть f(x)= Yl anXn — формальный ряд, суммируемый (или, в бо-
п=0
лее общем случае, мультисуммируемый) по любому направлению, близко-
близкому к направлению а, за исключением (особого) направления а. Применяя
к ряду / операторы бокового суммирования S~ и 5+, мы получаем две
разные суммы f~ и /+. Здесь также имеет место выбор ветви, то есть
двойственность. Работая с подходящей дифференциальной алгеброй, опре-
определим автоморфизм Стокса, ассоциированный с особым направлением а:
В подходящем формализме (см. [MR2] и [MR3]) этот автоморфизм диффе-
дифференциальной алгебры интерпретируется как монодромия вокруг бесконечно
близкой к началу координат особой точки, определённой вдоль особого на-
направления а.
Описание феномена Стокса, данное Стоксом для формальных реше-
решений уравнения Эйри на бесконечности, очень похоже на только что рас-
рассмотренное нами. Грубо говоря, он действует следующим образом: строит
базу В решений уравнения Эйри, используя сходящиеся разложения в нача-
начале координат (восходящие ряды). Затем он вновь суммирует формальные
решения на бесконечности по разным направлениям (нисходящие ряды)
с помощью экспоненциально точного численного метода (вариант сумми-
суммирования до наименьшего члена). Этот метод достаточно точен, чтобы позво-
позволить Стоксу выразить суммы формальных рядов на бесконечности в базе В
с помощью произвольных констант; сегодня это выражение известно как
формула связи. Тогда возникает вот какая проблема: разложения в нача-
начале координат — целые функции (начало координат — регулярная точка),
и поэтому монодромия вокруг начала координат тривиальна, тогда как рас-
расходящиеся разложения на бесконечности содержат л/х и их монодромия
(формальная монодромия) нетривиальна, что явно противоречит только что
проведенному анализу. Именно это противоречие вызывало у Стокса рас-
растерянность в течение долгих лет, прежде чем он нашел ключ к загадке
(см. процитированное выше письмо к невесте):
положительны их члены или попеременно положительны и отрицательны..., ряды предыду-
предыдущего вида появляются как особый вариант общего случая обращения с расходящимися рядами
согласно степеням мнимой переменной, как неопределенные формы, при прохождении через
которые аналитическое выражение терпит разрыв, аналогичный смене знака в радикале [Sto2,
р. 78].

70 Расходящиеся ряды и асимптотические теории
...поскольку нисходящие ряды содержат радикалы, которые не появ-
появляются в восходящих рядах, мы можем видеть a priori, что произвольные
константы должны быть разрывны.
Описанная нами двойственность появляется также как разрывность
констант связи при пересечении особой прямой: для особой прямой точ-
точность численного метода суммирования Стокса недостаточна для вычисле-
вычисления произвольных констант (одна из них теряется; в действительности речь
идет о точном вычислении экспоненциально разбегающегося решения, а для
этого надо располагать достаточной экспоненциальной точностью; вдоль
особой прямой разбегающееся решение слишком мало, чтобы рассматри-
рассматривать его численно с помощью используемого метода!). Продолжим анализ
Дингла [Di, chap. I, p. 7]:
Лучи Стокса для асимптотических рядов определяются теми фазами,
для которых ряд [включая его множитель) достигает максимума экспо-
экспоненциального преобладания над связанной с ним функцией.
(Разрывность произвольных констант появляется в момент максималь-
максимального преобладания экспоненциально доминантного символа над экспонен-
экспоненциально рецессивным.)
Только что развитая нами точка зрения заметно отличается от тради-
традиционного подхода к феномену Стокса26. Согласно этому подходу феномен
состоит в смене преобладания среди двух экспонент; итак, его можно на-
наблюдать вдоль линий осцилляции или линий Стокса. Напротив, в нашем
описании (и у самого Стокса) феномен проявляется на особых прямых
(которые иногда называют линиями анти-Стокса). Источник этого разли-
различия — в противопоставлении традиционного видения расходящихся рядов
как асимптотических и концепции расходящихся рядов как кодирующих
точные решения. В одном случае акцент делается на асимптотике в смыс-
смысле Пуанкаре (и фундаментальная природа феномена не воспринимается),
в другом случае используется точная асимптотика (см. также [CNP]).
Продолжим сравнивать смену алгебраических ветвей и смену ветвей
в феномене Стокса. Если между этими двумя феноменами есть глубокая
аналогия (речь идет о двух случаях преобразований Галуа: об автоморфиз-
автоморфизмах дифференциальных алгебр), то есть также и радикальные различия.
26Только Дингл, по-видимому, устраняется от этого подхода и продолжает оригинальные
идеи Стокса. Впрочем, он называет линиями Стокса то, что другие авторы называют линиями
анти-Стокса (у нас: особые прямые). Это соответствует смыслу одной из его центральных
идей: поиску точной асимптотической теории. Его полные асимптотические разложения —
прообраз трансасимптотических разложений.

3. Расходящиеся ряды и динамические системы 71
Например, матрица смены ветви для (л/1 + х, \А + а;3) равна
-1 О
О -1
тогда как такая же матрица феномена Стокса Stw для уравнения Эйлера
(соответственно для уравнения Эйри) имеет вид
1 р
О 1
где C — ненулевое комплексное число.
Вторая матрица унипотентна, так как феномен Стокса не обнаружи-
обнаруживается асимптотически при переходе через особую прямую: после перехода
асимптотические разложения решений не изменились (что совершенно не
так в случае смены алгебраических ветвей). Можно показать — в основном,
с помощью тех же рассуждений, — что операторы Стокса всегда унипо-
тентны. Отсюда фундаментальное следствие: операторы Стокса St a — это
инфинитезимальные порождающие (логарифмы), обозначаемые Аа:
где оператор Аа — производная Галуа, то есть производная, коммутиру-
коммутирующая с обычной, именуемая ориентированной посторонней производной.
Это позволяет изучать феномен Стокса инфинитезимально. Эту точку зре-
зрения открыл и систематически изучал Жан Экалль: Восходящие функции, По-
Постороннее дифференциальное исчисление, Ускорение [Е1], [Е2], [ЕЗ], [Е4],
[Са] и [CNP].
Накануне дуэли, на которой ему предстояло умереть, Эварист Галуа
писал в своем последнем письме, адресованном своему другу Огюсту Ше-
Шевалье [G1]:
Знаешь, мой дорогой Огюст, эти темы — не единственные, которые
я исследовал. С некоторых пор главные мои размышления были направлены
на приложение теории двойственности к трансцендентному анализу. Хо-
Хотелось бы a priori увидеть связь между трансцендентными величинами,
или трансцендентными функциями, увидеть, какие замены можно было
бы сделать, какие величины можно было бы подставлять вместо данных
так, чтобы эта связь не могла исчезнуть. Это заставляет сразу признать
невозможными многие выражения, которые можно было бы искать. Но

72 Расходящиеся ряды и асимптотические теории
у меня нет времени, а мои идеи на этой, вообще говоря, обширной почве
еще не очень развиты.
Значение этого текста, по-видимому, долгое время оставалось довольно
загадочным. Но сегодня мне кажется возможным прояснить большую его
часть. В своем предисловии к Полному собранию сочинений Галуа [G3] Жан
Дьедонне писал:
...но остается место для раздумий о том, что он должен был быть
очень близок к идее «римановой поверхности», связанной с алгебраической
функцией, и что такая идея должна была стать фундаментальной в его
исследованиях, которые он называл «теорией двойственности»... .
Эта гипотеза несколько проясняет вопрос, но если внимательно перечи-
перечитать слова Галуа, то кажется очевидным, что идея римановых поверхностей
в лучшем случае касается только одной части его «теории двойственности».
Я думаю, что Софус Ли, Эмиль Пикар и особенно Жюль Драш угадали, в ка-
каком направлении в действительности шли последние исследования Галуа.
В своем предисловии к Полному собранию сочинений Галуа [G2] Эмиль
Пикар писал:
...он ...создал бы, в ее существенной части, теорию алгебраических
функций одной переменной в том виде, в каком мы ее знаем сегодня. Раз-
Размышления Галуа шли еще дальше; он заканчивает свое письмо словами
о приложении теории двойственности к трансцендентному анализу. Мож-
Можно почти угадать то, что он под этим понимал, и на этой обширной, как
он говорил, почве еще и сегодня остается много открытий, которые пред-
предстоит совершить...
Очевидно, нам остается угадать, что хотел сказать Пикар! Если вспо-
вспомнить, что он один из основателей дифференциальной теории Галуа (тео-
(теория Пикара-Вессио), то кажется достаточно разумным думать, что, по его
убеждению, у Галуа были некоторые идеи относительно этой теории. Во
всяком случае, в этом был убежден Жюль Драш, написавший в конце своей
диссертации:
Мы были бы счастливы, если бы наша работа могла привлечь внимание
к нескольким строкам, которыми заканчивается письмо Галуа, и если бы ее
можно было рассматривать как первую попытку объяснить выраженные
там мысли.
Вместе с тем, несколькими годами раньше, в 1895, во время своей
лекции об этой работе Галуа в честь столетия Высшей Нормальной Школы
Софус Ли выступил точно в том же духе [L]:

3. Расходящиеся ряды и динамические системы 73
Последние указания в научном завещании Галуа не менее замечатель-
замечательны, хотя он выразил их в такой смутной форме, что с трудом можно
угадать его мысль. Действительно, нельзя сомневаться, что Галуа наме-
намеревался исследовать не только группы подстановок, но и группы преобразо-
преобразований с совершенно общей точки зрения и что он мечтал об их применении
в анализе. Сейчас практически невозможно понять, думал он о непрерыв-
непрерывных группах, или о разрывных, или о тех и других одновременно; и мы
не можем сказать, какую пользу он собирался из них извлечь, но, конечно
же, Галуа предчувствовал значение, которое могли приобрести в других
областях те идеи, которые привели его к столь блистательному успеху
в теории алгебраических уравнений.
Со своей стороны, вот уже несколько лет как я читаю письмо Галуа,
и мне сразу показалось очевидным27, что идеи Галуа по теории двойствен-
двойственности предварили дифференциальную теорию Галуа и даже — в некоторой
мере — то, что я недавно читал по этой теории. Невозможно узнать, имел
ли Галуа понятие о феномене Стокса и о его природе, связанной с теорией
Галуа, что я счел очевидным в [Ra3]. (Изучение фрагментов вычислений,
найденных в его бумагах [G3], не позволяет делать такие выводы.) Напро-
Напротив, я, как и Жюль Драш, уверен, что Эварист Галуа понимал, что некоторые
преобразования в комплексном анализе (двойственности...) имеют «приро-
«природу Галуа», как, например, «рекалибровка» экспонент (ее прототипом будет
1_ i_
замена е х на Ае х с фиксированным ненулевым комплексным числом А во
всех формулах). Очевидно, эта уверенность очень субъективна, и я не в со-
состоянии обосновать это утверждение, что не мешает мне верить в него... Во
всяком случае, я считаю, что развитие исследований в этой области должно
в конце концов сделать «очевидным» понимание последних размышлений
Галуа.
Для дифференциальных уравнений дифференциальная теория Галуа
играет ту же роль, что и классическая теория Галуа для алгебраических
уравнений. Чтобы как следует понять этот предмет, лучше всего обратиться
к оригинальной идее Галуа, выраженной им в особенно ясной манере [G2],
[G3]:
27Во время этого чтения я не знал ни о тексте Драша, случайно открытом мной несколькими
неделями позже, когда я искал ссылку по просьбе Н. Камрана, ни о тексте Пикара, о котором
мне сообщил Д. Беннекин после обзора моей интерпретации последнего письма Галуа на
моем семинаре в Страсбурге, ни о тексте С. Ли, о котором мне сообщил Ж. Б. Бост после
опубликования первой версии этого текста...

74 Расходящиеся ряды и асимптотические теории
Предложение I ЗЬ. Пусть дано уравнение, имеющее т корней
а, 6, с, ... Всегда найдется группа перестановок букв а, 6, с, ..., удовле-
удовлетворяющая следующему условию:
1) пусть каждая функция корней, инвариантная при подстановках из
этой группы, будет рационально-известной;
2) обратно, пусть каждая рационально определенная функция корней
будет инвариантна при этих подстановках.
Дифференциальная теория Галуа была открыта Пикаром и Вессио [Pi],
[V]. Заинтересованный читатель может просмотреть замечательное вве-
введение [Ка]. Так же можно использовать [MR2], [Ra6] и более техни-
технические статьи [Ra4], [Mi], чтобы узнать больше о связи расходящих-
расходящихся рядов с дифференциальной теорией Галуа. Здесь мы удовлетворим-
удовлетворимся несколькими указаниями и при этом ограничимся линейным случа-
случаем. Пусть (К, д) — дифференциальное тело нулевой характеристики,
а С = {с € К; дс = 0} — тело его констант. (Например, для (С(х), d/dx),
(С{а;}, x2d/dx) и (С{{а;}}, x2d/dx) телом констант будет С.)
Пусть D = an(d/dx)n +.. . + aid/dx + cio — дифференциальный опера-
оператор с коэффициентами из К. Связанное с Dрасширение Пикара-Вессио L —
дифференциальное надтело для К, дифференциально порожденное над К
фундаментальной системой решений D; при этом тело констант С остается
неизменным. Если С алгебраически замкнуто, то такое расширение су-
существует и единственно (с точностью до изоморфизма). По определению,
дифференциальная группа Галуа оператора D над телом К — это группа
Gali^(-D) = Aut/?¦(?) -ftT-автоморфизмов дифференциального тела L. Эле-
Элемент а из Gal /f(.D) — это векторное С-пространство решений D в L. Отсю-
Отсюда выводим (фиксируя базис этого пространства) представление Gal k{D)
в GL(n; С). Полученная подгруппа группы GL(n; С) — алгебраическая (то
есть она определена многочленами п2 переменных).
Дифференциальные группы Галуа можно вычислять, зная монодромию
(формальную или нет), упомянутую выше «рекалибровку» экспонент и фе-
феномен Стокса.
Чтобы закончить это направление, процитируем довольно удивитель-
удивительный результат, полученный К. Мичи (С. Mitschi) с помощью суммирования

3. Расходящиеся ряды и динамические системы 75
расходящихся рядов [Mi]28. Рассмотрим функцию
+ оо 1
K(t) = f x~2e-x7-txdx.
о
1
Эта функция — преобразование Лапласа для х 2 е~х , она удовлетворя-
удовлетворяет линейному алгебраическому дифференциальному уравнению седьмого
порядка:
DKK = 7К^ + Ш' + ±К = 0.
Если в этом дифференциальном уравнении произвести замену переменной
/1 \7
z = (=?) (ветвление), то полученная из К функция U удовлетворяет
обобщенному конфлюэнтному гипергеометрическому дифференциальному
уравнению
D7AU = 0,
i7ieD7tl = z(d+±)+ l?=0 (d-\r)nd = z d/dz.
Можно показать, что для ?>7,i дифференциальная группа Галуа равна29
GalC(x)(D7,i) =G2 xZ/2Z.
Монодромия оператора Dk очевидно тривиальна; отсюда: дифферен-
дифференциальная группа Галуа для Dk равна
Связь между «особой функцией» К и группой исключений Gi по-
похожа на связь, существующую между функциями Эйри А или В и груп-
группой SLB; С) [MR2].
В конце этой работы мне остается отметить, что я не смог рассказать
обо всех приложениях расходящихся рядов, даже ограничиваясь случаем,
28Несколько раньше Н. Кац [Кай], [Kat3] получил тот же результат с алгебраической точки
зрения.
29Группа G-2. (или скорее ее представление в размерности 7) — это алгебраическая подгруппа
комплексной размерности 14 специальной ортогональной группы SOG; С). Действительно-
Действительнозначная разновидность этой группы обладает хорошими свойствами: это группа автоморфиз-
автоморфизмов алгебры октав Кэлли и — топологически — слой базы сферы S6, чьи слои — это слои
базы S5 и слоя S3 [Pos].

76 Расходящиеся ряды и асимптотические теории
когда имеют место оценки Жевре и/или экспоненциально малые поправ-
поправки. (Среди наиболее значительных пропусков я бы процитировал недавние
замечательные работы о стационарном уравнении Шредингера в полуклас-
полуклассической «точной» постановке [Vo], [CNP], как и принадлежащее Шеффке
и Фолькмеру доказательство несуществования изокордных овалов с двумя
«центрами».) Другие области математики или физики
• адиабатические инварианты,
• квантовая теория поля (инстантоны, ренормалоны, ряды возмущений
и т. д.),
• «термодинамическое» изучение задачи о коммивояжере,
• солитоны и т. д.,
очевидно, зависят от этой последней проблематики, хотя на данный мо-
момент здесь немного точных теоретических результатов. Остается огромное
количество работы!

Литература
[AS] M. Abramowitz, I. Stegun. Handbook of mathematical functions. National
Bureau of Standard, U.S.A. A964).
[Ai] Airy. On the Intensity of Light in the Neighbourhood of a Caustic. Camb.
Phil. Trans., Vol. VI, 379.
[Bae] C. Baesens. Courbes invariantes d'une application lente rapide analytique
et retard a la bifurcation de doublement de periode. Preprint CEN Saclay,
France A991).
[Bal] W. Balser. A different characterization of multisummable power series.
Preprint Universitat Ulm, A990).
[Ba2] W.Balser. Summation of formal power series through iterated Laplace
transform. Universitat Ulm, preliminary version A991).
[BBRS] W.Balser, B.L. J.Braaksma, J.P.Ramis, and Y. Sibuya.
Multisummability of Formal Power Series Solutions of Linear Ordinary
Differential Equations. Preprint Institute for Mathematics and its Applications,
University of Minnesota, Minneapolis, IMA 717 A990), to appear in
Asymptotic Analysis A991).
[Bar] E. J. Barbeau. Euler subdues a very obbstreperous series.
Amer. Math. Monthly 86 A979), p. 356-372.
[BCDD] E.Benoit, J.-L. Callot, F.Diener, M.Diener. Chasse аи canard.
Collectanea Mathematica, 32, 45-75. 1-3 A981), p. 37-119.
[BH] M. V Berry, C. J. Howls. Hyperasymptotics for Integrals with Saddles.
Preprint H.H.Wills Physics Laboratory, Bristol A991).
[Be] J. P. Bezivin. Sur les equations fonctionnelles aux q-differences. Preprint
Paris VI A990).

78 Литература
[Bol] E. Borel. Legons sur les series divergentes. Deuxieme edition A928),
Gauthier-Villars, Paris.
[Bo2] E. Borel. Memoire sur les series divergentes. Ann. Sc. Ecole Norm. Sup.,
Paris C), 16A899).
[Brl] B. L. J. Braaksma. Multisummability and Stokes Multipliers of Linear
Meromorphic Differential Equations. J. Differential Equations 92 A991),
p. 45-75.
[Br2] B. L. J. Braaksma. Multisummability of formal power series solutions of
nonlinear meromorphic differential equations. Preprint University og Gronin-
genA991).
[CD1] M. Canalis-Durand. Caractere Gevrey des solutions canard de Г equation
de Van der Pol. C.R. Acad. Sc. Paris 311, Serie I, 1 A990), p. 27-30.
[CD2] M. Canalis-Durand. Caractere Gevrey des solutions canard de Г equation
de Van der Pol. Preprint Universite de Nice-Sophia-Antipolis, 264 A990).
[Can] B. Candelpergher. Une introduction a la resurgence. Gazette des
Mathematiciens (Soc. Math. France), 49 A989).
[CNP] B. Candelpergher, J. C.Nosmas, F. Pham. Approche de la resurgence.
Hermann, Paris 1993.
[Ca] T. Carleman. Les Fonctions quasi-analytiques. Gauthier-Villars, Paris
A926).
[C] A.L.Cauchy. C.R. Acad. Sc. Paris 23 A846), p. 251-255.
[CC] D. V. Chudnovsky, G. V. Chudnovsky. Computer assisted number theory.
Springer Lecture Notes in Math, 1240, 1987, p. 1-68.
[DR] F. Diener, G. Reeb. Analyse Non Standard. Hermann, Paris A989).
[Di] R. B. Dingle. Asymptotic Expansions: their Derivation and Interpretation.
Academic Press A973).
[Du] D. Dumont. Les series divergentes, livre en cours de redaction, version
provisoire d'aout 1987.

Литература 79
[DM] A. Duval, C.Mitschi. Matrices de Stokes et groupes de Galois des
equations hypergeometriques confluentes generalisees. Pacific Journal of
Mathematics, vol. 138, 1 A989), p. 25-56.
[El] J. Ecalle. Les Fonctions Resurgentes. t. I, Publ. Mathematiques d'Orsay
A981).
[E2] J. Ecalle. Les Fonctions Resurgentes. t. II, Publ. Mathematiques d'Orsay
A981).
[E3] J. Ecalle. Les Fonctions Resurgentes. t. Ill, Publ. Mathematiques d'Orsay
A985).
[E4] J. Ecalle. Introduction a I'acceleration et a ses applications, book submitted
to Travaux en Cours A992).
[Eul] L. Euler. Remarques sur un beau rapport entre les series des puissances
tant directes que reciproques. Commentatio 352 indicis Enestroemani,
Memoires de l'Academie des Sciences de Berlin, 17, 1761 A768), p. 83-106.
[Eu2] L. Euler. De Seriebus Divergentibus. Lconardi Euleri Opera Omnia 1.14,
Teubner, Leipzig-Berlin A925), p. 601-602. Traduction anglaise par
E. J. Barbeau et P. J. Leah, Historia Mathematica, 3 A976), p. 141-160.
[Fl] A.Frachard. These. Univ. Paris 7 A991).
[F2] A. Fruchard. Prolongement analytique et systemes discrets. Preprint
Strasbourg A991).
[FGA] A. Fuchs, R. Giuliano-ANTONINI. Theorie generate des densites.
Ann. Acad. Lincei A991).
[Gl] E.Galois. Lettre a Auguste Chevallier, dans Ecrits et memoires
mathematiques d'Evariste Galois. Gauthier-Villars, Paris A962).
[G2] E. Galois. Euvres Mathematiques d'Evariste Galois. Gauthier-Villars, Paris
A897).
[G3] E.Galois. Ecrits et memoires mathematiques d'Evariste Galois.
Gauthiers-Villars, Paris A962).
[GL] R. GErard, D. A. Lutz. Maillet Type Theorems for Algebraic Difference
Equations. Kumamoto J. Math., 3 A990), p. 11-26.

80 Литература
[Ge] M. Gevrey. La nature analytique des solutions des equations aux derivees
partielles. Ann. Sc. Ecole Norm. Sup. C), 25 A918), p. 129-190.
[Gi] H. Gingold. A Necessary Condition for a Power Series to be a Formal
Solution of a Singular Linear Differential Equation of Order k.
J. Math. Anal. Appl. 52 A975), p. 546-552.
[Goo] I. J. Good. Some relations between certain methods of summation of
infinite series. J. London Math. Soc. A941), p. 144-165.
[HI] G. H. Hardy. Divergent Series. Clarendon Press. Oxford A949).
[H2] G. H. Hardy. Note on a divergent series. Proc. Camb. Phil. Soc, 37 A941),
p. 1-8.
[H3] G. H. Hardy. On the summability of series by Borel's and Mittag-Leffler's
methods. J.London Math. Soc. 9, A934), p. 153-157.
[IP YEY] Y. Il'yashenko, P. M. Elizarov, Y. Yakovenko. The Stokes Effect in Non
Linear Analysis, livre en preparation, A.M.S.
[J] W. Jurkat. Summability of Asymptotic Series. Preprint Universitat Ulm,
A990).
[Ka] I. Kaplansky. An Introduction to Differential Algebra. Hermann, Paris
A957).
[Katl] N. M. Katz. On the calculation of some differential Galois Groups.
Inventiones Math. 87 A987).
[Kat2] N. M. Katz. Exponential sums and differential equations, book to appear
(preprint 1989).
[Kat3] N. M. Katz. Exponential Sums over Finite Fields and Differential
Equations over the Complex Numbers: some Interactions. A.M.S. winter
meeting, 1989.
[L] S. Lie. Influence de Galois sur le developpement des mathematiques.
Le centenaire de l'Ecole Normale Superieure, 1795-1895, Paris, Libraire
Hachette, 1895, p. 481^89 (Gesammelte Abhandlugen, VI, p. 592-601).
[Le] E.Leroy. Sur les series divergentes et les fonctions definies par
un developpement de Taylor. Ann. Fac. Univ. Toulouse A900), p. 317^30.

Литература 81
[LR1] М. Loday-Richaud. Sommation des series provenant de systemes
differentiels lineaires. Journees X-UPS, Prepublications du Centre
de Mathematiques de l'Ecole Polytechnique, 1991.
[LR2] M. Loday-Richaud. Introduction a la multisommabilite. Gazette des
Mathematiciens, Soc. Math. France (avril 1990).
[Lu] Y.L.Luke. The Special Functions and their Approximations, vol. 1,
Academic Press A969).
[MOS] W. Magnus, F. Oberhettinger, R. P. Soni. Formulas and Theorems for the
Special Functions of Mathematical Physics. Springer- Verlag Berlin A966).
[M] E. Maillet. Sur les series divergentes et les equations differentielles.
Ann. Ёс. Norm. Sup. Paris A903), p. 487-518.
[Mai] B.Malgrange. Equations differentielles a coefficients polynomiaux.
Progress in Math., Birkhauser A991).
[Ma2] B. Malgrange. Equations differentielles lineaires et tranformation
de Fourier: une introduction. Conferences а Г1МРА, Rio de Janeiro A988).
[МаЗ] В. Malgrange. Sur le theoreme de Maillet. Asymptotic Analysis 2 A989),
p. 1-4.
[Ma4] B.Malgrange. Travaux d'Ecalle et de Martinet-Ramis sur les systemes
dynamiques. Sem. Bourbaki 1981-82, exp. 582, Asterisque 92-93 A982).
[MaR] B. Malgrange, J.-P. Ramis. Fonctions Multisommables. Ann. Inst. Fourier,
Grenoble 42, 1 A992).
[Mar] J. Martinet. Les derniers manuscrits de Jean Martinet. Ann. Inst. Fourier,
Grenoble 42, 31 A992).
[MR1] J. Martinet, J.-P. Ramis. Problemes de modules pour des equations
differentielles поп lineaires du premier ordre. Publ. Math. I.H.E.S. 55 A982),
p. 64-164.
[MR2] J. Martinet, J.-P. Ramis. Theorie de Galois differentielle et resommation.
Computer Algebra and Differential equations (E. Tournier ed.), Academic
Press A989), p. 117-214.

82 Литература
[MR3] J. Martinet, J.-P. Ramis. Elementary acceleration and multisummability.
Preprint I.R.M.A. Strasbourg, 428/P-241 A990), Ann. Inst. Henri Poincare,
Physique Theorique, 54, 4 A991), p. 331-401.
[MR4] J. Martinet, J.-P. Ramis. Classification analytique des equations
differentielles поп lineaires resonnantes du premier ordre. Ann. Scient. Ecole
Normale Sup., 16 A983), p. 571-621.
[MR5] J. Martinet, J.-P. Ramis. Analytic Classification of Resonant Saddles and
Foci. Singularities and Dynamical Systems, North-Holland Math. Studies,
103 A985), p. 109-135.
[Mi] C. Mitschi. Differential Galois groups and G-functions. Proceedings
CADE 2, 1990, Academic Press A991).
[Мои] R. Moussu. Les conjectures de R. Thorn sur les singularites de feuilletages
holomorphes. preprint Dijon.
[Ne] Nevanlinna. Zur Theorie der Asymptotischen Potenzreihen. Ann. Acad.
Scient. Fennicae, ser. A, From XII A919), p. 1-81.
[O] F. W. J. Olver. Asymptotics and Special Functions. Academic Press A974).
[Pe] O. Perron. Uber lineare Differentialgleichungen mit rationalen
Koeffizientezn. Acta Math. 34 A910), p. 139-163.
[Pi] E. Picard. Analogies entre la theorie des equations differentielles lineaires
et la theorie des equations algebriques. Gauthier-Villars, Paris A936).
[P] H. Poincare. Sur les groupes des equations lineaires. Acta. Math. 5 A884),
p. 240-278.
[Pos] M. Postnikov. Lecons de geometric, groupes et algebres de Lie, editions
MIR, Moscou A982), traduction francaise A985).
[Ral] J.-P. Ramis. Devissage Gevrey. Asterisque 59-60 A978), p. 173-204.
[Ra2] J.-P. Ramis. Les series k-sommables et leurs applications. Analysis,
Microlocal Calculus and Relativistic Quantum Theory, Proceedings Les
Houches 1979, Springer Lecture Notes in Physics 126 A980), p. 178-199.
[Ra3] J.-P. Ramis. Phenomene de Stokes et filtration Gevrey sur le groupe de
Picard-Vessiot. С R. Acad. Sc. Paris, t. 301 A985), p. 165-167.

Литература 83
[Ra4] J.-P. Ramis. Phenomene de Stokes et resommation. C. R. Acad. Sc. Paris,
T. 301 A985), p. 99-102.
[Ra5] J.-P. Ramis. Theoremes d'indices Gevreypour les equations differentielles
ordinaires. Memoirs Am. Math. Soc. 296 A984), p. 1-95.
[Ra6] J.-P. Ramis. A short introduction to differential Galois theory. New Trends
in Non Linear Control Theory, J. Descusse, M. Fliess, A. Isidori, D. Leborgne
Eds., Springer Lecture Notes in Control and Information Sciences 122, A989),
p. 143-159.
[Ra7] J.-P.Ramis. Filtration Gevrey sur le groupe de Picard-Vessiot d'une
equation differentielle irreguliere. Preprint Institute de Matematica Рига е
Aplicada (IMPA), Rio de Janeiro, 45 A985), p. 1-38.
[RSI] J.-P. Ramis, Y. Sibuya. Hukuhara 's Domains and Fundamental Existence
and Uniqueness Theorems for Asymptotic Solutions of Gevrey Type.
Asymptotics 2 A989), p. 39-94.
[RS2] J.-P. Ramis, Y. Sibuya. Asymptotic expansions with Gevrey estimates and
cohomological methods, livre en preparation.
[Sc] R. Schaffke. On a Theorem of Y. Sibuya. Letter to Y. Sibuya A991).
[Si 1 ] Y. Sibuya. Linear Differential Equations in the Complex Domain: Problems
of Analytic Continuation. Transl. Mathematical Monographs, vol. 82, A.M.S.
A990)
[Si2] Y. Sibuya. Gevrey property of Formal Solutions in a Parameter. Preprint
School of Mathematics, Univ. Minnesota, Minneapolis A989).
[Si3] Y. Sibuya. Gevrey Asymptotics and Stokes Multipliers. Proceedings
CADE 2, 1990, Academic Press A991).
[Stil] Stieltjes. Recherches sur quelques series semi-convergentes. Ann. Sc.
Ecole Normale Sup., Paris C), 3, 1886, p. 201-258.
[Sti2] Stieltjes. Recherches sur les fractions continues. Ann. Fac. Sc. Univ.
Toulouse, t. VIII et IX 1894 et 1895, p. 1-122 et 1^7.
[Stol] G. G. Stokes. On the Numerical Calculation of a Class of Definite
Integrals and Infinite Series. Trans. Camb. Phil. Soc, vol. IX A857).

84 Литература
[Sto2] G. G. Stokes. On the Discontinuity of Arbitrary Constants which Appear
in Divergent Developments. Trans. Camb. Phil. Soc, vol. X A857),
p. 106-128.
[Sto3] G. G. Stokes. Early Letters to Lady Stokes, London, March 17, 1857.
Memoirs and Scientific Correspondance, vol. 1, Cambridge University Press,
A907), p. 62.
[Thl] J. Thomann. Resommation des series formelles solutions d'equations
differentielles lineaires ordinaires du second ordre dans le champ complexe аи
voisinage de singularites irregulieres. Numer. Math. 58 A991), p. 503-535.
[Th2] J. Thomann. Problemes algorithmiques poses par la resommation.
Journees GRECO de Calcul Formel A990).
[Toul] J. C. Tougeron. An introduction to the theory ofGevrey expansions and to
the Borel-Laplace transform with some applications, preprint Univ. Toronto,
Canada A990).
[Tou2] J. C. Tougeron. Sur les ensembles analytiques-reels definis par des
equations Gevrey аи bord. manuscrit, Rennes A990).
[Tour] E. Tournier. Solutions formelles d 'equations differentielles. Le logiciel de
calcul formel DESIR. Etude theorique et realisation. These, Grenoble A987).
[V] Vessiot. Sur les equations differentielles lineaires. These, Ann. Ecole
Normale Superieure A891).
[Vo] A. Voros. The Return of the Quartic Oscillator (the Complex WKB Method),
Ann. Inst. H.Poincare 29, 3 A983).
[Wa] W. Wasow. Asymptotic Expansions for Ordinary Differential Equations.
Interscience Publishers New-York A965), reprint Dover PubL, New-York
A987).
[Watl] G.N.Watson. The transformation of an asymptotic series into a
convergent series of inverse factorials. Circ. Math. Palermo Rend., 34 A912),
p. 41-88.
[Wat2] G. N. Watson. A theory of Asymptotic Series. Philosophical Transactions
of the Royal Society of London, ser. A, vol. CCXI A911), p. 279-313.

Литература 85
[Wat3] G.N.Watson. The characteristics of Asymptotic Series. Quart. J. Math.,
vol. XLIII A912), p. 65-77.
[ZS] A. K. Zvonkin, M. A. Shubin. Non Standard Analysis and Singular
Perturbations of Ordinary Differential Equations. Russian Math. Surveys. 39,
2 A984), p. 69-131.

Интересующие Вас книги нашего издательства можно заказать почтой
или электронной почтой:
subscribe@rcd.ru
Внимание: дешевле и быстрее всего книги можно приобрести через
наш Интернет-магазин:
http://shop.rcd.ru
Книги также можно приобрести:
1. Москва, ФТИАН, Нахимовский проспект, д. 36/1, к. 307,
тел.: 332—48—92, (почтовый адрес: Нахимовский проспект, д. 34).
2. Москва, ИМАШ, ул. Бардина, д. 4, корп. 3, к. 414, тел. 135-54-37.
3. МГУ им. Ломоносова (ГЗ, 15 этаж).
4. Магазины:
Москва: «Дом научно-технической книги» (Ленинский пр., 40)
«Московский дом книги» (ул. Новый Арбат, 8)
«Библиоглобус» (м. Лубянка, ул. Мясницкая, 6)
С.-Пб.: «С.-Пб. дом книги» (Невский пр., 28)
Рамис Жан-Пьер
Расходящиеся ряды и асимптотические теории
Дизайнер М. В. Ботя
Технический редактор А. В. Широбоков
Корректор 3. Ю. Соболева
Подписано в печать 29.06.02. Формат 60 х 84У16.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 4,65. Уч. изд. л. 4,13.
Гарнитура Тайме. Бумага офсетная №1.
Тираж 1000 экз. Заказ №
АНО «Институт компьютерных исследований»
426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1.
Лицензия на издательскую деятельность ЛУ №084 от 03.04.00.
http://rcd.ru E-mail: borisov@rcd.ru