АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР
НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ^ИНСТИТУТ СОДЕРЖАНИЯ
И МЕТОДОВ ОБУЧЕНИЯ
Ю. Н. МАКАРЫЧЕВ, К. И. НЕШКОВ
МАТЕМАТИКА
В НАЧАЛЬНЫХ
КЛАССАХ
ЧАСТЬ II
Под редакцией действительного члена АПН СССР
проф. А. И. МАРКУШЕВИЧА
Издательство «Педагогика»
МОСКВА 1 970

1
Макарычев Ю. H.f Нешков К. И.
Математика в начальных классах, часть II.
Под ред. действительного члена АПН СССР проф.
А. И. Маркушевича. М., «Педагогика», 1970.
168 с. (Академия педагогических наук СССР, Научно-
исследовательский институт содержания и методов обучения).
Предлагаемое пособие является продолжением книги
«Математика в начальных классах, часть Ь, Оно предназначено для применения
в качестве основного учебного пособия при обучении математике во IL
классе по экспериментальной программе, составленной проф. А. И. Map-
кушевичем.
6-5 51 (076) (021)
БЗ-70

1
ЧЕТЫРЕ ДЕЙСТВИЯ В ПРЕДЕЛАХ 100
§ 1. МНОЖЕСТВА
1. ОБОЗНАЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ БУКВАМИ
Все насекомые, изображённые на рисунке 1, разбиты на два
множества. В одно множество входят майский жук, стрекоза, бабочка и пчела,
а в другое — кузнечик, оса и гусеница. Это показано на рисунке с
помощью фигурных скобок.
—3-

[•
2. Запишите с помощью фигурных скобок множества:
а) различных слов в предложении: «Я нашёл большой, большой гриб»;
б) различных букв в слове «головоломка»; ф
в) слов, которые можно получить из слова «тополя», если брать в нём
подряд несколько букв, включая и само слово «тополя»;
г) слов, которые можно получить из слова «кот», переставляя в нём
буквы, включая и само слово «кот».
3. Составьте множество двузначных чисел, в которых:
а) сумма числа десятков и числа единиц равна 5;
б) разность числа десятков и числа единиц равна 8;
в) число единиц больше числа десятков на 8;
г) число десятков отличается от числа единиц на 7.
-4—

Множествам, как и людям, дают имена,
только более короткие (рис. 4).
Имя множества — заглавная буква
латинского алфавита. Например, В (читают: бэ),
Л (а), С(ц), 0(дэ), £(е), /С(ка), М(эм),
Л^(эн), Х(икс). Дадим множеству {21, 38,
О, 7, 70, 63, 19} имя В. Говоря иначе,
обозначим множество {21, 38, 0, 7, 70, 63,
19} буквой В. Применяется запись: В = {21,
38, 0, 7, 70, 63, 19}. Её можно прочитать
так: В — это множество чисел 21, 38, 0, 7,
70, 63, 19.
4. Прочитайте записи:
а) Л-{а, м, к, ф, у); в) С = {X, М, N),
б) В= {5, 55, 7, 77}; г) D = {' }.
5- Запишите с помощью знака равенства и
фигурных скобок предложение:
а) С—это множество чисел 80, 97, 45, 43, 16;
б) М — это множество чисел, которые
больше 66 и меньше 72;
в) Е — это множество двузначных чисел,
оканчивающихся цифрой 3;
г) К — это множество гласных букв
русского алфавита, исключая буквы «ё» и «я».
6- Обозначьте буквой и запишите с помощью
фигурных скобок множество:
а) двузначных чисел, в которых имеется
лишь цифра 8 или 6;
б) двузначных чисел, в которых имеются
лишь цифрьиО, 5 или 7.
7. По какому признаку составлено множество:
а) Х- {30,31,32,33,34,35,36,37,38, 39};
б) А = {55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63,
64, 65!;
в) С- (23, 22, 21,20, 19, 18, 17, 16, 15};
г) В= {9, 12, 10, 13, 11, 14, 15, 16};
д) Е= {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9};
е) М = {50, 30, 80, 20, 10, 90, 70, 60, 40}?
—5-

2. ЭЛЕМЕНТЫ МНОЖЕСТВА
Множество А (рис. 5) состоит из трёх
элементов: всадника, машины и стула. Машина
является одним из элементов множества Л.
Говорят, что машина принадлежит
множеству А. Интересно, что колесо машины или
любая другая её часть не принадлежит
множеству А (не является элементом этого
множества).
8- Множество В (рис. 6) состоит из пяти
элементов (Буратино, Мальвина, Пьеро, пёс Ар-
темон, Карабас-Барабас). Принадлежит ли
множеству В:
а) Карабас-Барабас; г) нос Буратино;
б) Мальвина; д) хвост Артемона;
в) доктор Айболит; е) борода Карабаса-
Барабаса?
9. Множество С состоит из чисел 1, 17, 83, 77 и
38. Принадлежат ли этому множеству числа
1, 77, 17, 71, 7, 87?
10. Множество К состоит из двузначных чисел,
больших 71. Назовите пять чисел, которые
принадлежат множеству К> и пять чисел,
которые ему не принадлежат.
Буква «б» принадлежит множеству D. Эту
фразу можно записать короче: б £ D
(читается: б принадлежит множеству D). Если
буква «с» не принадлежит множеству D, то
пишут: с ^ D.
4 11. Прочитайте записи:
J а) 85 £ М; г) «f А Л;
б) 90 I М; д) Волга Ф К\
в) Щ £ Л; е) круг £ /С.
12. Запишите короче фразы:
а) число 77 принадлежит множеству В;
б) число 9 не принадлежит множеству В;
в) слово «метр» принадлежит множеству Е;
г) буквы «м», «е», «с» не принадлежат
множеству Еу а «т» и «р» принадлежат этому
множеству.
13. Дано множество А = {5, 72, 0, 30, 48.}
Какие числа принадлежат этому множеству?

Назовите три числа, не
принадлежащие этому множеству. Сделайте
записи.
14. К — множество чисел, больших 25 и
меньших 31. Принадлежат ли этому
множеству числа 30, 20, 26, 25, 31?
Назовите два числа, одно из которых
принадлежит множеству /С, а другое
не принадлежит ему.
15. М — множество животных.
Принадлежит ли этому множеству:
а) слон; г) щука;
б) муравей; д) куриное яйцо;
в) сосна; е) хобот слона?
16. -/V — множество многоугольников.
Коля нарисовал семиугольник, круг,
двадцатиугольник и отрезок. Какие из
этих фигур принадлежат множеству N?
17. С — множество чисел, меньших 7.
М — множество чисел, больших 4 и
меньших 11. Какому из этих множеств
принадлежит каждое из чисел: 0, 4,
6, 8, 11, 20?
ь 3. РАВЕНСТВО МНОЖЕСТВ
Рассмотрим множества:
А = (42, 80, 73, 9, 15};
В = {9, 42, 15, 80, 73);
С = (42, 80, 73, 9, 16}.
Множества А и В состоят из
одних и тех же элементов. Говорят, что
эти множества равны:
{42, 80,73, 9, 15} - {9, 42, 15, 80, 73}.
Множество А не равно множеству С,
так как число 15 входит в множество
Л и не входит в множество С. Такие
множества не равны:
{42,80,73,9, 15} Ф {42, 80, 73, 9, 16}.

18. Вместо звёздочки напишите знак = или знак ф\
а) {75, 60, 3, 86, 68, 44} * {3, 44, 60, 75, 68, 86);
б) {28, 31, 5, 60, 4} * {2, 8, 31, 54, 60};
в) {гул, нос, вол) * {луг, сон, лов};
г) {спортзал, бокс} * {спорт, зал, бокс}.
19, Для каждого из слов: «сосна», «осколок», «насос», «колос» —
составьте множество его различных букв. Имеются ли среди этих множеств
равные множества?
20, М = {6, 15, 24, 33, 51, 42, 60}; К — множество двузначных чисел, в
которых сумма числа десятков и числа единиц равна 6; Е = {24, 60,
33, 15, 42, 51}; С = {24, 60, 33, 15, 42, 51, 6). Какие из этих множеств
равны между собой?
21. А = {28, 29, 30, 31, 32}; В = {30, 31, 32, 33, 34}; С — множество
чисел, больших 27 и меньших 33; М — множество чисел, больших 30 и
меньших 34. Напишите вместо звёздочки знак = или ф:
а) 5* С; в) А*М;
б) Л*С; г) 5*М.
22, В нашей семье, которая живёт в отдельной квартире, пятеро детей:
два мальчика и три девочки. Мой брат Андрюша составил из членов
нашей семьи четыре множества: А — множество детей, живущих в
нашей квартире; В — множество братьев и сестёр Андрюши; С —
множество сыновей и дочерей моих родителей; М — множество моих
братьев и сестёр. Есть ли среди этих множеств равные множества?
23. Р — множество квадратов; К — множество прямоугольников; С —
множество четырёхугольников с прямыми углами; Я — множество
прямоугольников с равными сторонами. Какие из этих множеств
равны между собой?
4. МНОЖЕСТВО РЕШЕНИЙ НЕРАВЕНСТВА
Если в неравенство х + 5 < 9 подставить вместо х число 2, то
получится верное неравенство 2 + 5 < 9. Поэтому число 2 называют
решением неравенства х + 5 < 9.
Если в то же самое неравенство вместо х подставить число б, по
получится неверное неравенство 6 + 5 < 9. Значит, число 6 не является
решением неравенства х + 5 < 9.
Имеет ли неравенство х + 5 < 9 другие решения, кроме числа 2?
—8—

Чтобы ответить на этот вопрос, составим таблицу:
X
0
1
2
3
4
5
6
х + Ъ < 9
1 А
0 + 5 < 9
1+5 <9
2 + 5 < 9
3 + 5 < 9
4 + 5< 9
5 + 5< 9
6 + 5<9
Какое получилось
неравенство?
верное
верное
верное
верное
неверное
неверное
неверное
Является ли значение х
решением неравенства? i
да
да
да
да
нет
нет
нет
Из таблицы видно, что любое число, большее трёх, не может быть
решением неравенства х-\- 5 < 9.
Неравенство дс + 5< 9 имеет четыре решения: 0, 1, 2, 3. С помощью
фигурных скобок можно записать множество решений этого
неравенства:
{0, 1, 2, 3}.
24. Служит ли число 7 решением неравенства:
а) х-+ 1 > 4;
б) 10<a-f 3;
в) 20 — р> 10;
г) k — 3<5;
д) а—\ >9;
е) у< 17?
25. Какие из чисел: 2, б, 7,10, 0 и 5 — являются решениями неравенства:
а) с— 1 > 5;
б) с—1< 5;
в) 2
г) 2
Р<Ь;
р>5?
26. Найдите какое-нибудь
а) у — 20 > 43;
б) 21 < с+ 11
в) 1+ а>98
решение неравенства:
г) 45 — а < 40;
д) х ■ 9 < 20;
е) 5 • а > 40.
—9—

27. Найдите три решения неравенства:
а) 40— х> 10; в) 6 • k < 42;
б) р+14<20; г) 8<у • 3.
28. Назовите два числа, одно из которых является, а другое не является
решением неравенства:
а) х + 71 > 0; в) 80 + а < 90; ,
б) 90— с<40; г) 8 • х > 23.
29. Составьте неравенство, решением которого было бы число 25.
30. Найдите множество решений неравенства:
а) х<7; д) 15 — k>9;
б) 8>а; е) 12 —р<8;
в) 2 + k < 6; ж) 3 • х < 22;
г) с — 8<4; з) 18 > 9 • у.
31. Коля сказал, что у него 10 белых грибов. Серёжа сказал, что в его
корзине меньше белых грибов, чем у Коли. Сколько белых грибов может .
быть в корзине у Серёжи?
Составьте по условию этой задачи неравенство и напишите множество
его решений. >
32. У Юры сегодня день рождения. Юра моложе своей сестры, которой ис-
, полнилось 7 лет. Сколько лет может быть Юре? i
Составьте неравенство и напишите множество его решений.
33. В ящике 12 гвоздей. Сколько гвоздей можно взять из ящика, чтобы в нём
осталось меньше 7 гвоздей? Составьте неравенство и напишите
множество его решений.
34. На дереве42 яблока. Сколько яблок можно сорвать с дерева, чтобы на &
нём осталось более 35 яблок? Составьте неравенство и решите его
(найдите множество решений).
35. На ёлке виситЭЗ игрушки. Сколько игрушек ещё можно повесить на
ёлку, чтобы всего на ней было меньше 99 игрушек? Составьте
неравенство и решите его.
§ 2. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ
5. ОБЪЕДИНЕНИЕ И ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ
Лопата, котелок, фляга, кружка, хлеб, консервы и книга составляют
множество А (рис. 7). Топор, мяч, хлеб и консервы образуют
множество J3. Составим ещё два множества С и D. В множество С включим все
предметы, которые входят в А или В (или в А, или в В, или в оба эти мно-
—10-

жества). Множество D образуем из тех
предметов, которые входят в А и В
(рис. 8). Множество С называют
объединением множеств А и В, а
множество D — пересечением А и В.
36. Даны множества Р = {а, б, в, г, д, е};
£; = {а, ж, з, е, к}. Пусть Л —
объединение множеств Р и Еу а В — их
пересечение. Запишите множества А
и В с помощью фигурных скобок.
Изобразите множества Р и Е так, как
на рисунке 7. Покажите объединение
и пересечение этих множеств.
37. Составьте объединение и пересечение
каждой пары множеств:
А = {26, 39, 5, 48, 17};
В = {14, 5, 17, 37, 26, 80};
С- {80, 14, 37}.
38- М — множество чисел, меньших 5,
К — множество чисел, меньших 7.
Составьте объединение и пересечение
этих множеств.
39. Составьте объединение и пересечение
множеств £ и Л, если известно, что
Е — множество различных букв в
вашем имени, А — множество гласных
букв русского алфавита.
40. С — множество домашних животных,
Р — множество птиц. Объединение
и пересечение этих множеств
обозначены соответственно буквами А и /С.
Принадлежат ли множеству С птицы:
курица, петух, воробей, гусь, сорока?
Принадлежат ли множеству Р
животные: медведь, утка, курица, лошадь,
ворона? Принадлежат ли множеству
А утка, собака, тигр, сова, сом, сосна?
Принадлежат ли множеству К петух,
индюк, кошка, корова, синица,
скворец, гусь? Коля нарисовал животное,
которое принадлежит множеству Л.
Можно ли утверждать, что это живот-
-11-

ное принадлежит множеству С, множеству Р, множеству /С? Лена
вылепила из пластилина животное, принадлежащее множеству К-
Принадлежит ли это животное множеству С, множеству Р, множеству Л?
41, Е — множество решений неравенства х < 14, К — множество
решений неравенства х < 6. Составьте объединение и пересечение этих
множеств. Обозначьте объединение буквой М, а пересечение буквой N.
Назовите какое-нибудь решение одного из неравенств. Принадлежит
ли это число множеству М, множеству N? Назовите число, которое
служит решением обоих неравенств. Содержится ли это число в множестве
М, в множестве W? Назовите число, входящее в объединение. Является
ли это число решением какого-нибудь из данных неравенств? Назовите
число, входящее в пересечение. Служит ли это число решением
каждого из данных неравенств?
42, Напишите неравенство, все решения которого составляют множество:
а) {0,1,2,3}; в) {5,7,0,2,4,1,3,6};
б) {0}; г) {5,4,3,2,1,0}.
43, Составьте неравенство, множество решений которого состоит из всех
чисел по порядку счёта:
а) от 0 до 12, исключая число 12;
б) от 0 до 25, включая число 25;
в) от 0 до 49, включая число 49;
г) от 0 до 99, исключая число 99.
44, По поляне проходят две тропинки (рис. 9). На каждой из них по шести
лягушек. Сколько лягушек на этих тропинках?

45. Наш класс должен составить команду для участия в соревнованиях по
шашкам и шахматам. В команду надо включить пять лучших
шахматистов класса и трёх лучших шашистов. Сколько человек может
оказаться в команде? Рассмотрите различные случаи.
6. СЛОЖЕНИЕ
На стене висит несколько картинок. На двух из них нарисованы кошки,
а на трёх — цыплята. Сколько картинок висит на стене?
Обозначим буквой А множество картинок, на которых нарисованы
кошки, а буквой В множество картинок, на которых нарисованы
цыплята. В множестве А содержится два элемента, а в множестве В —
три. По условию задачи надо узнать, сколько элементов в
объединении этих множеств. Могут быть различные случаи.
Если на двух картинках изображены кошки и цыплята (рис. 10), то
в объединении три элемента. Если лишь на одной картинке нарисована
кошка и цыплёнок (рис. 11), то в объединении четыре элемента. Если
В
— 13—

в
нет таких картинок, на которых нарисованы кошка и цыплёнок
(пересечение множеств пустое), то в объединении пять элементов (рис. 12).
Число элементов в объединении двух множеств зависит не только от
числа элементов в каждом множестве, но и от числа элементов в их
пересечении. Если в пересечении множеств А и В два элемента, то в
объединении три элемента. Если в пересечении один элемент, то в
объединении четыре элемента. Если пересечение пустое, то в объединении пять
элементов.
С помощью сложения находят число элементов объединения двух
множеств с пустым пересечением (рис. 13). В нашем примере числа 3 и 1
называют слагаемыми, а число 4 — суммой. Суммой называют также
—14—

выражение вида 3 + 1. В задаче легко догадаться по смыслу, о какой
сумме идёт речь (о числе или о выражении).
46. В пятом классе преподают 6 учителей, а в шестом — 8. Сколько учителей
работает в этих двух классах? Рассмотрите различные случаи.
47. В сорока дворах нашей деревни есть дворняжки, а в десяти —
овчарки. В скольких дворах деревни есть собаки? Рассмотрите различные
случаи.
48. Заполните пустые места в таблице:
Множество С
{1.2,3,4,5}
{1.2,3,4,5}
{1,2,3,4,5}
{1.2.3,4,5}
{1,2,3,4,5}
Множество К ЧиСЛ0 ЭЛем< В
Множество А пересечении q и К
{2,3.4.5}
{3,4,5.6}
{4,5.6,7}
{5,6,7,8}
{6,7,8,9}
Число элем, в
объединении С и К \
49. На станцию поступило 14 вагонов угля, 27 вагонов дров и 22 вагона
торфа. Сколько вагонов топлива поступило на станцию?
50. Юра поймал утром 8 окуней и 9 краснопёрок, а вечером 11 окуней и
12 краснопёрок. Сколько рыбок поймал Юра за день?
51. Начертите два отрезка, один из которых равен 7 см, а другой на 4 см
длиннее первого.
52. Начертите отрезок больший, чем 3 см. Начертите другой отрезок,
который меньше первого на 2 см.
53. Коля тяжелее Пети на 6 кг. Серёжа тяжелее Коли на 3 кг. На сколько
килограммов Серёжа тяжелее Пети?
54. Составьте сумму четырёх слагаемых и найдите её значение:
а) 16,24,32и 8; в) 8+8, 8 + 8,8и8;
б) 19,21,23и 17; г) 6, 11 + 11+ 11,3 и1.
^ 55. Найдите значение выражения:
I а) 22 + 23 + 8+7; в) 58 + 5 + 25 + 10+2;
1 б) (27 + 1) + (43 + 19); г) 14 + 16 + 18 + 22.
\ 56. Составьте выражение и найдите его значение:
* а) к сумме 54 и 9 прибавьте 26;
б) к числу 45 прибавьте сумму 5 + 29;
в) к сумме 13 + 17 прибавьте сумму 24 + 8;
г) к сумме 12 + 0 прибавьте сумму 0 + 39.
—15—

7. ДОПОЛНЕНИЕ. ВЫЧИТАНИЕ
Какими элементами надо дополнить множество Л, чтобы получилось
множество В (рис. 14)? Такими элементами являются огурец и помидор.
Они образуют множество С, которое называют дополнением множества
В до множества Л.
57. Найдите дополнение множества М до множества N, если:
а) М = {а, б, с, д, е, ж, з}; N = (а, б, с, д, е, ж, з, и};
б) N = {40, 41, 42, 43, 44}; М = {41, 42};
в) ЛГ = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16); М = {4, 8, 12, 16};
г)М={7); ЛГ = {1, а, 3, 5, б, 7}.
58. Напишите с помощью фигурных скобок дополнение множества .
двузначных чисел до множества всех чисел по порядку счёта от 1 до 99
включительно.
59. А - {9, И, 48, 50, 69, 70, 79); В - (9, 69, 79}.
Сколько элементов в множестве А и сколько в В? Сколько элементов в
дополнении множества В до множества А?

Множество К является дополнением множества С до множества D
(рис. 15). Объединение множеств С и К есть множество D.
С помощью вычитания находят число элементов дополнения одного
множества до другого.
В равенстве 5 — 3 = 2 число 5 называется уменьшаемым, число 3 —
вычитаемым, число 2—разностью. Разностью называют также
выражение вида 5 — 3.
Равенство 5—3 = 2 показывает, что: 1) число 5 больше числа 3 на 2;
2) число 3 меньше числа 5 на 2.
60. Сколько элементов в дополнении множества однозначных чисел до
множества {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13)?
61. Множество N есть дополнение С до Л. В множестве А содержится 22
элемента, а в множестве С— 15. Сколько элементов в множестве N?
62. Правильно ли сделано вычитание:
а) 68 — 57= 11; в) 52—14 = 42;
б) 97 — 39=58; г) 51—22 = 29?
63. Как называется каждое число в равенстве:
64.
65. Запишите в виде равенства фразу:
а) число 80 больше числа 75 на 5;
б) число 31 меньше числа 46 на 15;
в) число 72 на 24 больше числа 48;
г) число 31 на 35 меньше числа 66;
д) число 54 больше, чем число 39, на 15 единиц;
е) число 78 меньше, чем число 80, на 2 единицы.
66. Прочитайте различными способами равенство:
а) 87 — 32 = 55; г) 42 + 52 = 94;
б) 1 + 69 = 70; Д) 80+ 1 =81;
в) 35 — 1 = 34; е) 80 — 1 = 79.
67. Я задумал число, обозначил его буквой х и составил равенство:
а) 50 — 17 = 33;
б) 25 -f 43 = 68;
Верно ли равенство:
а) 60 — 45 = 15;
б) 52 + 17 = 70;
в) 64 — 46 = 18;
в) 71—40 = 31;
г) 65 + 34 = 99?
г) 84 + 7 =
д) 76 — 56 =
е) 62 — 37 =
= 91;
;20;
27?
а) х — 27 = 40; в) 5 + х = 27;
б) 27— х= 15; г) х = 9 + 27.
2 Зак. 1872
—17—

Узнайте, не находя числа ху что больше: х или 27
ниц.
68. Составьте равенство, если известно, что:
а) число х больше числа 17 на 5;
б) число с меньше числа 29 на 18;
в) число 52 больше числа р на 11;
г) число 60 меньше числа к на 23;
д) число 31 больше числа 25 на х\
е) число 49 меньше числа 80 на у.
69. Прочитайте различными способами равенство:
а) * + 41=50; в) с —28 = 42;
6)60— с -36; г) 45+ р = 64.
70. Миша нашёл 37 белых грибов, а Коля на 18 грибов больше, чем Миша.
Сколько грибов нашли мальчики?
71. Лена собрала и сдала на заготовительный пункт 42 кг клюквы, а Таня
на 13 кг меньше. Сколько килограммов клюквы сдали девочки?
72. Медведь встретил Лису. «Ты, я вижу, на рыбалке была,— сказал он.
— Сколько же поймала?» — «28 пескарей», — ответила Лиса. «Ты
поймала меньше, чем я, на 23 пескаря»,— похвастался Медведь.
Сколько пескарей поймали Медведь и Лиса?
73. На станцию прибыл поезд с автомашинами и тракторами. Автомашин
было на 27 больше, чем тракторов. Сколько всего машин пришло на
станцию, если автомашин было 45?
74. Маша купила арбуз и дыню. Дыня оказалась дороже арбуза на 5 коп.
За дыню Маша заплатила 52 коп. Сколько копеек стоит вся покупка?
75. Мне 8 лет. Я моложе мамы на 25 лет. Сколько лет нам с мамой?
76. Нам с папой 43 года. Мне 9 лет. На сколько лет папа старше меня?
77. Мы с Лидой прочитали вслух книгу, в которой было 82 страницы. Лида
прочитала 39 страниц. Как вы думаете, кто из нас прочитал больше
и на сколько страниц?
78. На нижней полке стоит 25 книг, на средней полке на 2 книги больше,
чем на нижней, а на верхней на 9 книг больше, чем на средней. Сколько
книг на средней полке? Сколько книг на трёх полках? На какой полке
книг больше: на верхней или на нижней? На сколько? Что ещё можно
узнать, используя числа, данные в задаче, и числа, полученные при
решении?
79. Моему брату 24 года. Сестра моложе брата на 7 лет, а я моложе сестры,
на 5 лет. Сколько лет нам вместе? Придумайте другие вопросы и найдите
на них ответы.
80. Мальчик везёт на велосипеде корзину с ягодами. Корзина легче
велосипеда на 5 кг. Мальчик тяжелее велосипеда на 23 кг. Вес велосипеда
12 /сг. Сколько килограммов груза везёт велосипед?
и на сколько еди-
— 18—

81. Коля, Ваня и Серёжа соревновались по прыжкам в высоту. Коля
прыгнул на 64 см. Ваня прыгнул выше Коли на 17 см, а Серёжа выше
Коли на 9 см. Кто прыгнул выше: Серёжа или Ваня? На сколько
сантиметров?
82. Мальчики играли в «космонавтов». Один из них пробыл в космосе
32 минуты, второй на 13 минут меньше, чем первый, а третий на 8
минут меньше, чем первый. На сколько минут больше был в космосе
третий мальчик, чем второй?
83. В кувшине на 10 л молока меньше, чем в бидоне, и на 5 л меньше, чем
в ведре. Сколько литров молока в бидоне и ведре, если в кувшине 3 л?
84. Найдите значение выражения:
а) (82 — 47) + 35; е) (61 + 35) — (41 + 35)
б) 70 — (90 — 58); ж) (76 — 19) + (21 + 19)
в) 82 — (35 + 28); з) (38 + 27) — (28 + 37)
г) (47 + 43) — 68; и) (45 + 19) + (38 — 29)
д) 84 + (90 — 84); к) (97 — 39) — (45 — 26)
85. Составьте выражение и найдите его значение:
а) к сумме 54 и 16 прибавьте разность 51 и 47;
б) к разности 86 и 59 прибавьте сумму 8 и 28;
в) из суммы 47 и 27 вычтите разность 50 и 15;
г) из разности 78 и 9 вычтите сумму 23 и 28;
д) из разности 66 и 37 вычтите разность 98 и 89;
е) к разности 64 и 48 прибавьте разность 48 и 0.
86. Найдите разность, если:
а) уменьшаемое 91, а вычитаемое 78;
б) вычитаемое 39, а уменьшаемое 82;
87. Найдите сумму, если:
а) первое слагаемое 43, а второе 47;
б) одно слагаемое 14, другое 27 и третье 38.
88. Увеличьте:
а) сумму чисел 27 и 34 на 38;
б) разность чисел 80 и 65 на 47.
89. Уменьшите:
а) сумму чисел 65 и 18 на 37;
б) разность чисел 91 и 22 на 69.
2* —19-

8. ОБОЗНАЧЕНИЕ ТОЧЕК И ОТРЕЗКОВ БУКВАМИ. МИЛЛИМЕТР
Чтобы отличить точки друг от
друга, им дают имена. Имя точки —
большая буква латинского алфавита. На
рисунке 16 изображены четыре точки:
Л, В, С и /С.
Отрезки обозначаются двумя
заглавными буквами. На рисунке 17
показаны два отрезка: отрезок MN и
отрезок PD.
90. Назовите точки и отрезки,
изображённые на рисунке 18.
91. Какие фигуры изображены на
рисунке 19? Назовите концы каждого
отрезка. Каким отрезкам принадлежит
точка Р, точка D?
92. Сколько точек и сколько отрезков
изображено на рисунке 20? Имеют ли
общий конец отрезки:
а) DE и KD;
б) DK и BD;
в) DC и BD;
г) ВС и ED?
16
А
17
В
К
с
N
М
Р
D
— 20-

93. Назовите каждую точку, обозначенную на рисунке 21. Сколько на
рисунке отрезков, одним из концов которых служит точка /С?
22
9 10 11 12
При измерении толщины проволоки сантиметр оказывается слишком
крупной единицей. Десять витков проволоки, уложенные подряд
(рис. 22), составляют всего лишь один сантиметр. Витки проволоки
разделили сантиметр на 10 равных частей. Каждую часть называют
миллиметром. Значит, толщина проволоки, показанной на рисунке 22,
равна одному миллиметру. Пишут короче: 1 мм. В одном сантиметре
содержится 10 миллиметров:
1 см = 10 мм.
94. Если длина отрезка АВ равна 7 сантиметрам 5 миллиметрам, то пишут:
АВ = 7 см 5 мм (отрезок АВ равен 7 сантиметрам 5 миллиметрам).
Начертите три отрезка, измерьте их в сантиметрах и миллиметрах и
запишите результат, обозначив отрезки буквами.
95. Начертите отрезки:
а) СК = 8 см 2 мм; в) MP = 2 см 8 мм\
б) СН = 6 см 6 лш; г) АВ =12 см 3 лш.
96. Начертите ломаную линию, состоящую из трёх звеньев: АВ, ВС и СК,
если АВ = 2 см 8 мм, ВС = 3 см 4 мм к СК = 4 см 5 мм. Найдите
длину ломаной АВСК.
97. Начертите ломаную линию, состоящую из двух звеньев. Измерьте
каждое звено в сантиметрах и миллиметрах и вычислите длину ломаной
линии.
—21 —

9. ДЛИНА ПУТИ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ
От села к заводу идут три пути: дорога по берегу реки, тропинка через
луг и шоссейная дорога (рис. 23). Мы видим, что самым коротким из
них является тропинка.
От точки А к точке В (рис. 24) можно провести различные пути; по
отрезку АВ, по ломаной АКБ, по кривой АСВ, по ломаной АРМВ.
Из всех путей, ведущих от точки А к точке В, самый короткий путь по
отрезку АВ. Поэтому расстояние между двумя точками измеряют по
отрезку, соединяющему эти точки. Отрезок короче любой другой линии,
которая соединяет его концы.
98. Выполните необходимые измерения (рис. 24) и сравните длину
отрезка АВ с длиной ломаной линии АРМВ.
99. Начертите какой-нибудь отрезок.
Соедините его концы ломаной
23 линией, состоящей из двух
звеньев. Выполните измерения и
сравните длину ломаной с длиной
отрезка.
100. Лиса, Волк и Медведь решили
установить между своими
домами телефонную связь (рис. 25).
Каждый из них предложил свой
проект. Какой из этих проектов
выгоднее?
На рисунке 26 отмечены четыре
точки. Измерьте расстояние
между каждыми двумя точками
и запишите результат.
Отметьте в тетради точки А, В,
С, М и К. Найдите расстояние
от точки К до каждой из
остальных точек.
101.
102.
24
103.
104.
Отметьте точку О. Отметьте ещё
5 точек, расстояние которых от
точки О равно 3 см 2 мм.
Отметьте точки А и В,
расстояние между которыми равно 8 см
/it ММ. Отметьте такую точку Р,
расстояние которой от точки А
и от точки В равно 4 см 1 мм.
—22—

105. 'Отметьте точки М и К так,
чтобы МК = 3 см 8 лш.
Отметьте ещё две точки Ли 5,
если известно, что AM = 5 слс
и /СВ = 2 еле. Измерьте
расстояние между точками А и В.
106. Отметьте точку О и
проведите из неё отрезок ОА9
равный 2,см 8 мм, и отрезок 05,
равный 4 см 2 мм. Найдите
расстояние между концами
отрезков ОА и ОВ.
107. Начертите два отрезка А В и КР
и измерьте расстояние между их
концами.
108. Начертите треугольник ABC и
отметьте точку Р. Измерьте
расстояние от точки Р до каждой
вершины треугольника.
26
6
я
с

27
28
10. ПЕРИМЕТР МНОГОУГОЛЬНИКА
109.
110.
Ломаная линия ABCDE состоит из четырёх звеньев (рис. 27). Эти звенья
можно расположить так, чтобы концы ломаной линии совпали
(ломаная замкнулась). На рисунке 28 показана замкнутая ломаная линия
ABCDA. Она служит границей многоугольника ABCD.
Волейбольная площадка (рис. 29) представляет прямоугольник,
длина которого равна 18 м, а ширина 9 м. Граница этой площадки —
замкнутая ломаная линия, состоящая из четырёх звеньев. Легко найти
длину границы волейбольной площадки: 18 + 9+ 18 + 9 — 54 (м).
Длина границы многоугольника называется периметром
многоугольника. Чтобы найти периметр многоугольника, надо измерить все его
стороны и сложить их длины.
Начертите многоугольник АСВКМ. Назовите и покажите каждую
сторону многоугольника и его границу.
Выполните необходимые измерения (рис. 30) и найдите длину ломаной:
а) КОР;
б) РКО;
в) РКОР;
г) ВМС]
д) BMCN;
е) BMCNB.
111. Отметьте в тетради на пересечении линий точку А. Отсчитайте от точки
А две клетки вниз и пять клеток вправо и отметьте точку В. От точки
В семь клеток вниз и одну влево — отметьте точку С. От точки С одну
клетку вверх и пять влево — отметьте точку Z). Соедините отрезками
точку AcB,BcC,CcDnDcA. Найдите периметр получившегося
многоугольника.
—24—

112. Начертите треугольник и четырёхугольник и найдите периметр каждого
из них.
113. Найдите периметр треугольника, если:
а) одна сторона равна 26 см, другая 18 см и третья 38 см;
б) одна сторона 15 см, другая 17 см, а третья меньше второй на 6 см;
в) две стороны по 24 см, а третья на 8 см больше каждой из них;
г) одна сторона 32 см, вторая на 9 см меньше, а третья на 5 см больше,
чем первая.
114. Найдите периметр многоугольника, если его стороны равны:
а) 5 см 7 мм, 4 см 8 мм, 3 см 9 мм и 2 см 2 мм;
б) 21 см 1 мм, 13 см 6 мм и 31 еж 9 мм.
115. Найдите периметр многоугольника, если:
а) одна его сторона равна 8 см, а сумма длин двух остальных сторон
равна 13 см;
б) одна сторона равна 54 см, а сумма
длин трёх остальных сторон равна
56 см.
116. Вырежьте из бумаги пятиугольник,
измерьте его стороны и найдите
периметр.
—25 —

117. На рисунке 31 изображены многоугольники,
составленные из квадратных сантиметров.
Найдите периметр и площадь каждого
многоугольника.
118. Начертите четыре различных
многоугольника, площадь каждого из которых равна
4 кв. см. Найдите периметр каждого
многоугольника.
§ 3. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ
11. УМНОЖЕНИЕ
Три ученика московской школы ведут
переписку с пятью школами Новосибирска.
Каждый ученик написал в каждую
школу одно письмо. Сколько писем написали
ученики?
На рисунке 32 изображены ученики и
школы. От каждого ученика к каждой школе
проведена стрелка. Стрелок столько,
сколько писем написали ученики. Поэтому при
решении задачи вместо писем можно
сосчитать стрелки.
* Сделаем проще. Например, стрелку,
которая идёт от ученика а к школе 1, обозначим
парой а\. На первом месте в паре стоит
элемент из множества учеников, а на втором —
элемент из множества школ. Составим все
такие пары.
Множество учеников Множество школ
{а, в, с} {1, 2, 3, 4, 5}
Множество пар
{al, a2, аЗ, а4, а5,
в1, в2, вЗ, в4, в5,
cl, с2, сЗ, с4, с5)
—26—

32
Сколько же получилось пар? В первом множестве 3 элемента, во
втором 5. Число пар, как нам известно, находится умножением 3 на 5 или
5 на 3:
3-5 - 5-3= 15.
С помощью умножения находят число пар, составленных из элементов
двух множеств.
В равенстве 3-5 = 15 числа 3 и 5 называют множителями, а число 15
произведением. Произведением называют также выражение вида 3-5.
Представляет интерес умножение в тех случаях, когда один из
множителей равен единице или нулю. Пусть пары составляются из элементов
множества учеников и множества школ. Сколько получится пар, если
в первом или втором множестве будет лишь один элемент?
Множество учеников
{а}
1
Множество учеников
{а, в, с}
3
Множество школ
(1, 2, 3, 4, 5}
5
Множество школ
1
Множество пар
{al, a2, аЗ, а4, а5}
5
Множество пар
{al, в1, cl}
3
Если один из множителей равен единице, то произведение равно
другому множителю.
—27—

Сколько получится пар, если в первом или втором множестве будет
нуль элементов?
Множество учеников Множество школ Множество пар
О
Множество учеников
{а, в, с}
3
Множество школ
{1,2,3,4,5}
5
Множество школ
{ )
О
О
Множество пар
{ 1
О
Если один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю.
119. Составьте пары из элементов множеств {1, 2, 3, 4, 5, 6} и {1, 2, 3, 4}.
На первом месте в паре пишите элемент из первого множества, на
втором — из второго. Сколько получилось пар?
120. Даны множества А = {5, 6, 7, 8} и В = {а, б, в}. Запишите с помощью
фигурных скобок множество пар, в которых на первом месте ставится
элемент из множества Л, на
втором—из В. Сколько элементов в
каждом из данных множеств?
Сколько элементов в множестве
пар?
121. Даны множества С= {+, —} и D =
= {3,9, 2, 1,4}. Составьте
множество пар (на первом месте элемент
из С, на втором — из D).
Сколько элементов в каждом из
множеств С и D? Сколько
получилось пар?
122. Даны два множества цифр М = {2,
4,5} и N= {2,0,8}. /( —
множество двузначных чисел, в которых
первая цифра принадлежит
множеству М, а вторая — множеству
N. Принадлежат ли множеству К
числа 44, 22, 85, 42? Сколько
составлено двузначных чисел?
123. В классе проводятся соревнования
по шашкам между двумя
командами: А = {М, Т, С, В} и Е --= {К,
Ж, Б, Г} (указаны первые буквы
имён участников). Каждый ученик
команды А должен сыграть одну
партию с каждым учеником коман-
—28—

ды Е. Сколько партий будет сыграно? Изменится ли число
сыгранных партий, если изменить число учащихся в команде А?
Приведите примеры.
124. Четверо ребят пришли в гости к дедушке. Каждому из них он разрешил
сорвать по одному яблоку с восьми яблонь. Сколько яблок сорвали
ребята?
125. Из Языково в Каменку можно пройти по двум различным дорогам.
Из Каменки в Котлы можно пройти по четырём дорогам. Сколькими
способами можно выбрать дорогу из Языково в Котлы через Каменку?
Сделайте чертёж и покажите на нём каждый путь.
126. Волшебник приказал кузнецу сделать для его дворца 9 замков и к
каждому замку 3 ключа: медный, серебряный и золотой. Сколько
ключей должен сделать кузнец (рис. 33)?
127. Из избушки в замок ведут 5 дорог (рис. 34). Сколькими путями
можно пройти из избушки в замок и обратно?
12. СВЯЗЬ УМНОЖЕНИЯ СО СЛОЖЕНИЕМ
Умножение однозначных чисел выполняется с помощью таблицы,
которую мы знаем наизусть. Надо ли составлять и запоминать таблицу
двузначных чисел? Нет. Произведение любых чисел можно найти с
помощью сложения. Потом мы увидим, что с помощью таблицы
умножения однозначных чисел и сложения можно легко находить какое угодно
произведение.
Составим пары из элементов множеств {1, 2, 3, 4, 5, 6} и {а, б, в, г}.
Припишем букву «а» по очереди ко всем числам из первого множества.
Все пары запишем в одну строку. Так же поступим с буквами «б», «в»
—29—

и «г». Получим множество пар», записанных в виде прямоугольной
таблицы:
1а, 2а, За, 4а, 5а, 6а,
16. 26, 36, 46, 56, 66,
1в, 2в, Зв, 4в, 5в, 6в,
1г, 2г, Зг, 4г, 5г, 6г.
Число пар находится с помощью умножения: 6-4 = 24. Но это же
число можно найти с помощью сложения: 6 + 6 + 6+6 (в первой
строке 6 пар, во второй 6, в третьей бив четвёртой 6). Или иначе:
4+4+4+4 + 4 + 4 (в первом столбце 4 пары, во втором 4, в
третьем 4, в четвёртом 4, в пятом 4, в шестом 4). Произведение можно
представить в виде суммы:
6-4 = 6 + 6 + 6 + 6;
4-6 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4.
С помощью умножения можно находить сумму нескольких одинаковых
слагаемых.
Пример 1. Найдём с помощью сложения произведение: 12-4.
Представим это произведение в виде суммы:
12-4 =12+12+12+ 12 = 48.
Пример 2. Найдём с помощью умножения сумму:
8+8 + 8+8 + 8+8 + 8. Представим эту сумму в виде
произведения:
8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 8- 7 = 56.
128. Запишите сумму в виде произведения и выполните умножение:
а) 9 + 9 + 9+9+9+9 + 9+9+9 + 9;
б) 10 + 10+ 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10;
в) 7+7+7+7 + 7+7 + 7+7+7; .
г) 2 + 2 + 2 + 2+2 + 2 + 2+2.
129. Запишите произведение в виде суммы (двумя способами) и выполните
сложение:
а) 5 • 4; б) 3 ■ 7.
130. Найдите произведение с помощью сложения:
а) 4 • 15; в) 31 . 3;
б) 45-2; г) 5 - 12.
-30—

131. Сколько кеглей осталось сбит%
(рис. 35)? Найдите результат двумя
способами.
132. Прямоугольник (рис. 36) разбит на
квадратные сантиметры. Найдите
двумя способами площадь
прямоугольника.
133. Первые 3 ряда в кинотеатре заняли
ребята нашей школы. В каждом ряду
их сидело 27. Сколько учащихся
нашей школы было в кинотеатре?
134. Вера сажала цветы. На каждый
цветок у неё уходило 6 минут. За
сколько минут она посадила 9 цветков?
135. Миша нашёл 8 подосиновиков. Коля
нашёл подосиновиков в 3 раза больше,
а Лена на 10 больше, чем Миша.
Сколько подосиновиков нашёл Коля
и сколько Лена?
136. Мужчина купил в магазине 3 стула по
7 рублей и 7 табуреток по 3 рубля.
Сколько рублей он заплатил за стулья
и табуретки?
137. Каждое из чисел; 7, 5, 9 и 11 —
увеличьте в 4 раза. На сколько единиц
увеличилось каждое число?
138. Придумайте число, которое больше,
чем 8, в 3 раза, в 5 раз, в 6 раз,
в 9 раз.
139. Какое число в 6 раз больше, чем
число 2, число 5, число8, число И?
140. Составьте произведение трёх
множителей и найдите его значение:
а) 2, 7 и 5; в) 3+ 1, 3 и 2;
б) 3, 8 и 2; г) 5,12—10 иЗ.
141. Найдите значение выражения:
а) 2 . 2 ■ 2 • 2 - 2; г) (3 + 5) - 7;
б) 3-3.3-3; д) ( 9-8)-28;
в) (4-2). (2-3); е) 52-(7-7);
—31 —

к) ( 4.
л) (74-
м) ( 5
■9)+(45-
-26)-(
• 6) + ( 4
-28);
6-8);
•3)+(
ж) ( 7.8)-( 4-5);
з) (43 — 37) • (71—62);
и) (91-88) •( 2+ 7); м) ( 5 • 6) + ( 4 • 3) + ( 7 • 8).
142. Составьте выражение и найдите его значение:
а) сумму 2 и 7 увеличьте в 5 раз;
б) произведение 9 и 3 уменьшите на 19;
в) разность 48 и 39 увеличьте в 7 раз;
г) произведение 8 и 8 уменьшите на 8;
д) к произведению 5 и 4 прибавьте произведение 7 и 7;
е) из разности 80 и 24 вычтите произведение 4 и 6.
143. Не вычисляя, докажите, что верно равенство:
а) 4 + 4 + 4 + 4 + 4-5 + 5 + 5 +5;
б) 7 + 7 + 7 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3;
в) 12+12-2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2;
г) 68 + 4 + 4 + 4-3 + 3 + 3 + 3 + 68.
144. Выполните действия:
а) (7-8)+ (25- 9); д) ( 4 • 6) + ( 8-3) + 47;
б) (78 — 69) • (37 — 29); е) ( 7 . 7) + 17+(45 — 36);
в) (24 + 32) + ( 5 • 7); ж) 37 -4- '(56 — 56) + ( 9 • 6);
г) (84 — 83) . (71 + 25); з) (65 — 64) . (54 — 47) - (76 — 76).
145. Из элементов множеств А и В составлены все пары, в которых на
первом месте стоит элемент из Л, а на втором — из В:
аЗ, а4, а5, аб, а7, а8, а9;
63, 64, 65, 66, 67, 68, 69;
вЗ, в4, в5, вб, в7, в8, в9;
жЗ, ж4, ж5, жб, ж7, ж8, ж9.
Запишите с помощью фигурных скобок множества А и В.
146. Выберите из русского алфавита 12 букв и расположите их в
прямоугольную таблицу так, чтобы:
а) в таблице было 3 строки;
б) в каждой строке было 6 букв.
147.. Расположите 27 чисел в прямоугольную таблицу так, чтобы в каждой
строке было 9 чисел. Сколько строк в таблице?
148. Расположите 20 букв в прямоугольную таблицу так, чтобы в ней было
5 строк. Сколько букв в каждой строке?
13. ДЕЛЕНИЕ
Если в прямоугольной таблице 8 строк и в каждой строке 9 элементов,
то с помощью умножения легко найти число элементов таблицы:
8-9-72.
-32—

При решении других задач может оказаться неизвестным число строк
в прямоугольной таблице или число элементов в каждой строке. Такие
задачи решаются делением.
Пример 1. В прямоугольной таблице 72 элемента расположены в 8
строк. Сколько элементов в каждой строке?
72 : 8 = 9 (элементов).
Пример 2. В прямоугольной таблице 72 элемента расположены по 9
элементов в каждой строке. Сколько строк в таблице?
72 : 9 - 8 (строк).
С помощью деления находят число строк или число элементов в каждой
строке прямоугольной таблицы.
8 равенстве 72 : 8 = 9 число 72 называют делимым, 8 — делителем,
а 9 — частным.
Равенство 72 : 8 = 9 показывает, что: 1) число 72 больше числа 8 в
9 раз; 2) число 8 меньше числа 72 в 9 раз.
149. В прямоугольной таблице 28 элементов, а в каждой строке 7 элементов.
Найдите с помощью вычитания число строк таблицы.
150. В прямоугольной таблице 56 элементов, расположенных в 8 строк.
Сколько элементов в каждой строке? Проверьте результат
умножением.
151. Правильно ли выполнено деление:
а) 42 : 6 - 7; г) 40
б) 36 : 4 - 9; д) 24
в) 56 : 7 - 8; е) 0
4 = 10;
1 -24;
16= 0?
152. Докажите, что деление выполнено неправильно:
а) 47 : 7 = 7; в) 56 : 6 = 9;
б) 64 :9 =8; г) 70: 10 = 8.
tSJ. Верно ли равенство:
а) 81 : 9 = 9; в) 4 . 8 = 32;
б) 54 : 8 = 7; г) 7 . 8 = 54?
♦54. Как называется каждое число в равенстве:
а) 27 : 3 = 9; в) 5 • 8 = 40;
б) 11 • 2 =22; г) 48 :4 = 12?
3 Зак. 1872
-33—

155. Запишите в виде равенства фразу:
а) число 81 больше числа 27 в 3 раза;
б) число 20 меньше числа 80 в 4 раза;
в) число 75 в 5 раз больше числа 15;
г) число 16 в 2 раза меньше числа 32;
д) число 56 больше, чем число 28, в 2 раза;
е) число 12 меньше, чем число 84, в 7 раз;
ж) число 42 больше, чем число 1, в 42 раза;
з) число 1 меньше, чем число 19, в 19 раз.
156. Прочитайте различными способами равенство:
а) 50: 5-10; г) 7 - 11 -77;
б) 2 -21 -42; Д) 64 : 4 = 16;
в) 58 : 1 = 58; е) 37 . 1 = 37.
157. Я задумал число, обозначил его буквой х и составил равенство:
а) х : 6 = 12; в) х - 2 = 6;
б) 6 : х == 3; г) х - 3 = 6.
Узнайте, не находя числа ху что больше: х или 6 — и во сколько раз.
158. Составьте равенство, если известно, что:
а) число р больше числа 3 в 5 раз;
б) число х меньше числа 24 в 6 раз;
в) число 36 больше числа с в 9 раз;
г) число 72 в 8 раз больше числа а;
д) число 12 в л: раз меньше, чем число 48;
е) число 35 в у раз больше, чем число 5;
ж) число 1 в 43 раза меньше числа р;
з) число 18 в 18 раз больше числа k.
159. Прочитайте различными способами равенство:
а) с 6 =72; в) х : 13 = 3; •'
б) 68 : у = 34; г) 8 ■ р = 96.
160. Найдите частное, если:
а) делимое 45, делитель 5; б) делитель 11, делимое 33.
161. Найдите произведение, если:
а) первый множитель 12, второй 3;
б) первый множитель 2, второй 5, а третий 6.
162. Таня поливала огород. На каждую грядку у неё ушло 6 вёдер воды.
Всего она вылила 48 вёдер. Сколько грядок полила Таня?
-34-

163. Сколько мороженых можно купить.на 54 коп., если одно мороженое
стоит 9 коп.?
164. Вес четырёх одинаковых гирь 32 кг. Сколько килограммов в каждой
гире?
165. 12 булок весят 3 кг. Сколько надо взять булок, чтобы их вес равнялся 1 кг?
166. 3 петуха могут разбудить своим криком 9 человек. Сколько
человек может разбудить один петух?
167. Цапля, стоящая на двух ногах (рис. 37), весит 4 кг. Сколько весит
цапля, когда она стоит на одной ноге?
168. На каток пошло 18 ребят, а на лыжную горку в 3 раза меньше. Сколько
ребят пошло на лыжную горку?
169. Отрезок АВ равен 2 см. Начертите отрезок С/С, если ондлиннее
отрезка АВ в 5 раз.
170. Начертите прямоугольник, одна
сторона которого равна 5 см 6 мм, а
другая в 7 раз меньше. Найдите периметр
этого прямоугольника.
171. В прямоугольнике ABCD АВ = 3 см,
ВС = 6 см. Начертите прямоугольник
МКРХ, в котором МК в 2 раза
больше, чем АВ, и КР в 2 раза меньше,
чем ВС. Найдите периметр каждого
прямоугольника.
172. Папа в 5 раз старше меня. Ему 40 лет.
Сколько лет мне?
173. Я моложе брата в 2 раза. Мне 8 лет.
Сколько лет брату?
174. Я старше сестры на 5 лет. Мне 7 лет.
Сколько лет сестре?
175. Я моложе мамы на 25 лет. Мне 9 лет.
Сколько лет маме?
176. Каждое из чисел: 2, 8, 10, 1 —
увеличьте в 6 раз. На сколько единиц
увеличилось каждое число?
177. Каждое из чисел: 60, 36, 54, 42, 6 —
уменьшите в 6 раз. На сколько
единиц уменьшилось каждое число?
178. Каждое из чисел: 5, 1, 6, 10 —
увеличьте на 30. Во сколько раз
увеличилось каждое число?
179. Каждое из чисел: 18, 24, 13, 16, 14 —
уменьшите на 12. Во сколько раз
уменьшилось каждое число?
з*
—35-

С* •D
38 180. Можно ли, не измеряя
отрезков, узнать, во сколько
/] Ш II ив ущипни in I %Q раз отрезок CD (рис. 38)
больше отрезка МК>
отрезок МК меньше отрезка
АВ? Измерьте каждый
отрезок и проверьте
вычислением.
181. Стадо коров разбилось на
две части. В одной из них
оказалось 72 коровы, а в
другой в 8 раз меньше.
Сколько коров в стаде?
182. У Ани 5 яблок, а у Веры в 5 раз больше. На сколько яблок у Ани
меньше, чем у Веры?
183. Ваня ехал в поезде целые сутки, а на машине в 6 раз меньше, чем
в поезде. Сколько часов Ваня был в дороге? На сколько часов больше
ехал Ваня в поезде, чем на машине?
184. Лёня решил 3 задачи, а Вася на 9 задач больше. Во сколько раз меньше
задач решил Лёня, чем Вася?
185. На оформление первой клумбы пошло 54 кирпича, а второй на 45
кирпичей меньше. Во сколько раз больше кирпичей пошло на первую
клумбу, чем на вторую?
186. На столе лежит 6 пачек по 6 тетрадей. Коля собрал эти тетради и сделал
из них 4 равные пачки. Сколько тетрадей стало в каждой пачке? На
сколько тетрадей в каждой пачке стало больше, чем было?
187. 8 коржиков стоят 64 коп. Сколько копеек стоят 6 коржиков?
188. 3 одинаковых арбуза весят 12 кг. Сколько килограммов весят 7 таких
же арбузов? .
189. За смену, которая продолжалась 7 час, рабочий сделал 70 деталей.
Сколько деталей может сделать рабочий за 9 час?
190. Мы ловили ершей. Я поймал в 4 раза меньше, а дедушка на 19 больше,
чем папа. Папа поймал 32 ерша. Сколько ершей мы поймали втроём?
191. В нашем саду растёт 6 груш. Яблонь в саду в 7 раз больше, чем груш,,а
вишен на 15 больше, чем груш. Сколько яблонь, вишен и груш в нашем
саду?
192. Трое покупали газеты. Женщина купила 2 газеты. Мужчина купил на
3 газеты больше, чем женщина, а мальчик в 5 раз меньше, чем мужчина.
Сколько газет купил мальчик? Придумайте другие вопросы и ответьте
на них.
193. Во дворе находятся куры, гуси и утки. Число гусей 7. Уток на 5
больше, чем гусей. Кур в 8 раз больше, чем гусей. Что можно узнать,
используя данные в условии числа?
—36—

194. Найдите значение выражения:
а) (10-5) +38; д) (49:7) — 7;
б) (72:8) +47; е) (6.4).—23;
в) 93 —(4-7); ж) 8+ (9- 9);
г) 46 + (60:6); з) 57 — (48 : 6).
195. Найдите:
а) разность произведения 8-8и
произведения 6-6;
б) произведение суммы 8 + 6 и
разности 8 — 6;
в) сумму частного 56 : 8 и
произведения 7-7;
г) частное суммы 67 + 13 и разности
31 — 23.
196. Выполните действия:
а) (7 • 3) + (4 • 9);
б) (6. 5)-(72: 8);
в) (35 : 5) + (36 : 6);
Г) (48: 8)-(40: 8);
д) (2+ 5). (80-71);
е) (29+ 52): (0 + 9);
ж) (98 —35) : (51 — 44);
з) (54 + 27) • (86 — 86).
14. СВОЙСТВО СТОРОН ПРЯМОУГОЛЬНИКА
В четырёхугольнике ABCD (рис. 39)
стороны АВ и CD лежат одна против
другой. Поэтому такие стороны
называют противолежащими сторонами.
В том же четырёхугольнике есть ещё
две противолежащие стороны ВС и AD.
197. Назовите противолежащие стороны
четырёхугольника KPMN (рис. 40).
, Измерьте каждую сторону и сравните
противолежащие стороны.
198. Сравните противолежащие стороны*
четырёхугольника (рис. 41) и
запишите результат.
—37—

199. Начертите какой-нибудь четырёхугольник, в котором две
противоположные стороны равны между собой, а две другие не равны. Найдите
периметр этого четырёхугольника.
200. Начертите два прямоугольника KPCD и АВХО. Сравните в каждом из
них противолежащие стороны и сделайте вывод.
201.
В любом прямоугольнике противолежащие стороны равны. Если одну
из сторон прямоугольника принять за его длину, то противолежащая
сторона также является его длиной. Каждую из двух других сторон
называют шириной прямоугольника.
Можно ли построить такой прямоугольник, у которого длина равна
ширине? Как называется такой прямоугольник?
202. Заполните таблицу:
! Длина прямоугольника
1 12 см
12 см
12 см
! 9 дм
7 м
19 м
Ширина прямоугольника
5 см
14 см
12 см
8 дм
35 м
20 м
Периметр
прямоугольника
42
S
Ns
W&
7см
2\СМ
203. Начертите такую фигуру, как на
рисунке 42. Разбейте её на два
прямоугольника и найдите длину и ширину
каждого из них.
204. Длина прямоугольника 13 см. Она
больше его ширины на 5 см. Найдите
периметр прямоугольника.
205. Ширина прямоугольника 4 см. Она
меньше длины в 7 раз. Найдите
периметр прямоугольника.
-38-

206- От тюка материи, ширина которой 75 см (рис. 43), отрезали три
прямоугольных куска длиной 25 см> 75 см и 2 ж. Сравните длину и ширину
каждого куска.
207. Начертите прямоугольник, длина которого в 3 раза больше ширины.
Найдите его периметр.
208. Начертите прямоугольник, длина которого на 6 см меньше ширины.
Найдите его периметр.
15. ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА

46
211. Фигура (рис. 46) разбита на
отдельные квадратные сантиметры.
Сколько квадратных
сантиметров содержится в этой фигуре?
Подсчитайте различными
способами. Сколько квадратных
сантиметров надо добавить к этой
фигуре, чтоб она превратилась в
прямоугольник?
212. Найдите площадь каждой
фигуры, изображённой на рисунке 47.
213. Начертите с помощью
чертёжного треугольника
прямоугольник, разбейте его на квадратные сантиметры и найдите площадь.
Стороны прямоугольника равны:
и
шшшшш
а) 3 см и 5 см;
б) 6 см и 6 см;
в) 7 см и 2 см;
г) 3 см и 8 см.
214. Заполните таблицу:
Длина

прямоугольника
7 см
7 см
1 7 см
7 см
Ширина

прямоугольника
1 см
2 см
3 см
4 см
Площадь

прямоугольника
i
Длина

прямоугольника
7 см
7 см
7 см
7 см
Ширина
прямо:
угольника
6 см
8 см
10 см
11 см
Площадь |

прямоугольника
,~
-40—

48
ГТ*^!%!ШЩ ШШШ ШШ.
И1 49
215.
216.
Выведем правило, с помощью которого легко находить плошадь
прямоугольника. Разобьём прямоугольник, длина которого 5 см и ширина
3 см, на квадратные сантиметры (рис. 48). Найдём число квадратных
сантиметров. Все квадратные сантиметры составляют несколько рядов.
В каждом ряду 5 квадратных сантиметров (столько, сколько
сантиметров в длине прямоугольника). Рядов получилось столько, сколько
сантиметров в ширине прямоугольника. Площадь прямоугольника равна:
5 + 5 + 5 = 5-3= 15 (квадратным сантиметрам).
Площадь того же прямоугольника можно найти иначе (рис. 49). Все
квадратны,е сантиметры составляют несколько столбцов. В каждом
столбце 3 квадратных сантиметра (столько, сколько сантиметров в
ширине прямоугольника). Столбцов получилось столько, сколько
сантиметров в длине прямоугольника. Площадь прямоугольника равна:
3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3-5= 15 (квадратным сантиметрам).
Мы видим, что для нахождения площади прямоугольника нет
надобности разбивать его на отдельные квадратные сантиметры.
Достаточно измерить длину и ширину в сантиметрах и перемножить
полученные числа. В результате получается площадь прямоугольника в
квадратных сантиметрах. Площадь прямоугольника равна
произведению его длины и ширины.
Найдите площадь прямоугольника, длина и ширина которого равны:
а) 9 см и 5 см;
б) 2 см и 11 см;
в) 6 см и 10 см;
г) 8 см и 8 см;
д) 10 см и 9 см;
е) 5 см и 5 см;
ж) I см и 45 см;
з) 29 см и 1 см.
Начертите по клеткам тетради прямоугольник, длина которого равна
12 клеткам, а ширина 16 клеткам. Измерьте стороны в сантиметрах и
вычислите площадь.
—41-

217. Отметьте в тетради на пересечении линий точку Л. Отточки А
отсчитайте 8 клеток вправо и 6 вниз — отметьте точку В. От точки В
отсчитайте 8 клеток вниз и 6 клеток влево — отметьте точку С. От точки С
отсчитайте 8 клеток влево и 6 вверх — отметьте точку /С. Если соединить
эти точки отрезками, то получится прямоугольник ЛВС/С. Измерьте
его стороны и найдите площадь.
218. На пересечении линий в тетради поставьте точку М. Отсчитайте от
М 8 клеток вправо и отметьте точку /С. От точки К через 12 клеток
вниз расположена точка С. Через 4 клетки от С влево расположена
точка В. Через 4 клетки вверх от В расположена точка Л. И наконец,
через 4 клетки влево от Л расположена точка Р. Соедините отрезками
точки М и К, /Си С, С и В, В и А, А и Р, Р и М. Разбейте
получившуюся фигуру на два прямоугольника. Найдите площадь фигуры.
219. Найдите длину, ширину или площадь прямоугольника, если:
а) длина 6 см, ширина 8 см;
б) длина 27 см, площадь 27 кв. м;
в) ширина 3 см, площадь 24 кв. см;
г) площадь 72 кв. см, ширина 9 см;
д) площадь 80 кв. см, длина 8 см;
е) ширина 1 см, площадь 91 кв. см.
§ 4. НЕРАВЕНСТВА И УРАВНЕНИЯ
16. ДВОЙНОЕ НЕРАВЕНСТВО
Из двух неравенств 2<5 и 5<8 можно составить двойное неравенство
2< 5<8, которое читается так: два меньше пяти и пять меньше
восьми. Если каждое из двух неравенств верно, то считают верным и
двойное неравенство. Если хотя бы одно из двух неравенств неверное, то
считают неверным и двойное неравенство. Например, неравенство
2<5<8 верно, так как верны неравенства2<5 и 5<8. Неравенство
4<9<7 неверно, так как неверно неравенство 9<7.
220. Прочитайте двойное неравенство и выясните, верное оно или неверное:
а) 22 < 30 < 97
б) 54 < 65 < 64
в) 68 < 86 < 91
г) 47 < 48 < 83;
д) 75 < 69 < 95;
е) 32 < 27 < 25.
221. Из двух неравенств составьте одно двойное неравенство:
а) 7 < 23 и 23 < 39
б) 81 < 83 и 83 < 92
в) 40 < 52 и 52 < 69
г) 0 < 1 и 1 < 99
д) 0 < 14 и 14 < 17
е) 65 < 77 и 77 < 83
ж) 28 < 37 и 37< 41
з) 47 < 62 и 62 < 84
-42—

222. Из трёх чисел составьте верное двойное неравенство:
а) 0, 5 и 9; в) 81, 23 и 18;
б) 97, 49 и 35; г) 42, 64 и 37.
223. Подставьте в двойное неравенство вместо буквы х поочерёдно числа
39, 51, 64, 71, 82. Когда получается верное неравенство и когда
неверное:
а) 42<*<71; б) 63<*<80?
224. Найдите три числа, при подстановке которых вместо буквы
получается верное двойное неравенство:
а) 7<#<87; б) 0<с<5.
Если в двойное неравенство 16<а<25 подставить вместо а число 19,
то получится верное неравенство. Число 19 называют решением
двойного неравенства 16<а<25. Число 34 не является решением этого
неравенства, так как при подстановке его вместо а получается неверное
неравенство.
225. Найдите три решения неравенства:
а) 2 < х < 25; в) 49 < с < 72;
б) 30 < k < 60; г) 53 < р < 83.
226. Имеет ли неравенство хотя бы одно решение:
а) 25 < р < 23; в) 9 — х > 8;
б) 2 > х\ г) 37 < k < 37?
227. Запишите с помощью фигурных скобок множество решений неравенства:
а) х< 12; д) 25 < k < 32;
б) р< 1; е) 30<.*< 38;
в) 7— с> 2; ж) 49<р<51;
г) 10< л:< 13; з)60<у<61.
228. Даны множества А =={10, И, 12, 13, 14, 15, 16}, В ={13, 14, 15, 16},
С ={16, 17, 18, 19). Какое из этих множеств является множеством
решений неравенства:
а) 12 < с< 17; б) 16<х<20?
229. А — множество решений неравенства 24<х<30, В — множество
решений неравенства 25<д:<31. Принадлежат ли множеству А числа
24, 26, 31, 38? Принадлежат ли множеству В числа 26, 30, 31, 60?
Составьте пересечение множеств А и 5.
230. Множество М составлено из однозначных чисел, являющихся решениями
неравенства х>4, а множество Р составлено из решений неравенства
-43-

х<8. Сравните пересечение множеств М и Р с множеством решений
двойного неравенства 4<*<8.
231. Составьте двойное неравенство, множество решений которого равно:
а) {52, 53; 54}; г) {0, 1, 2, 3, 4, 5};
б) {74, 75, 76, 77, 78}; д) {92};
в) {19, 20, 21, 22}; е) { }.
17. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
К какому числу надо прибавить 25, чтобы получить в результате 51?
Эту задачу можно записать короче с помощью равенства, если
обозначить неизвестное число буквой х:
. х + 25 = 51.
Такие равенства называются уравнениями.
Если в уравнении х + 25 = 51 вместо х подставить число 26, то
получится верное равенство:
26 + 25 = 51.
Число 26 называют решением уравнения. Число 30 не является
решением уравнения х + 25 = 51, так как обращает его в неверное
равенство:
30 + 25 = 51.
Мы умеем решать уравнения с небольшими числами. Их решения мы
находим по таблицам сложения или умножения. Как же решаются
уравнения с большими числами?
А

Множество Р (рис. 50) есть объединение множеств А и В. Поэтому
сумма чисел элементов А и 5, какими бы ни были эти числа, равна числу
элементов Р:
2 + 3-5.
Если бы мы не знали числа элементов Л, то мы могли бы составить
уравнение:
х + 3 = 5,
Множество А есть дополнение множества В до Р. Поэтому х находится
с помощью вычитания, независимо от того, какие числа входят в
уравнение:
х = 5 — 3.
Если рассмотреть другие уравнения, то можно прийти к выводу о том,
что все уравнения одного и того же вида решаются одним и тем же
способом.
Например, уравнение 6 : х — 3 решается делением б на 3. Значит, и
уравнение 96 : а — 24 решается делением 96 на 24.
Пусть требуется решить уравнение х — 68 — 27. Составим уравнение
такого же вида, но с небольшими числами. В уравнении х — 68 = 27
разность * и 68 равна 27. Возьмём и мы разность 5 и 2 и составим
равенство:
5 — 2-3.
В. разности х — 68 неизвестно уменьшаемое. Заменим уменьшаемое
в разности 5 — 2 буквой а:
а— 2-3.
Получилось уравнение такого же вида, как и уравнение х — 68 — 27.
Но мы видим, что число а (число 5) находится сложением 3 и 2. Значит,
и число х находится сложением 27 и 68:
х—68-27; * = 27 + 68;
5 — 2 = 3; х - 95.
а— 2 - 3;
232.. Решите уравнение и сделайте проверку:
а) х +46 = 91; г) 6 ♦ # -42;
б) 4 • k = 32; д) 32 + с - 42;
в) р • 7 - 35; е) k + 38 - 50.
233. Решите уравнение:
а) Ъх= 15; в) с + 17-37;
б) 54-а+48; г) 18 -3-р;
—45—

д) 98 -f с =99
е) 10 у =70:
ж) р-9 =27
з) 6 + 88 = 90;
и) 64 = k ■ 8;
к) х+45=45;
л) 8 • с = 8;
м) х- 7 = 0.
234. Имеет ли уравнение хотя бы одно решение:
а) 59 + У = 79;
б) с • 3 =16;
в) р + 33 = 38;
г) а + 29 = 25;
Д) 8 • k =48;
ё) р • 9 =3?
235. Найдите решение уравнения и сделайте проверку:
а) 60 — а = 49
б) 56 : х = 7
в) Л —8 = 63
г) р : 7 = 9
Д) с • 9 = 36;
е) с —9 =36;
ж) 64 : х = 8;
з) 88 — а = 79.
236. Решите уравнение:
а) k — 39=50
б) 81 : р = 9
в) 43 — с = 28
г) у : 7=6;
д) х — 78=14:
е) £ : 10= 5
ж) 56 : х = 8
з) «/—38 = 65
и) 42— Л = 42
к) у— 0 = 99
л) х : 8=0
м) 8 : х— S.
237. Имеется ли среди чисел 24, 35 и 17 решение уравнения:
а) х — 24= 11; б) 0 : у_ = 0?
238. Решите уравнение:
а) у + 66 = 87;
б) 48— /7 = 29;
в) 9 • 6 = 63
г) 21 : с= 3;
д) х — 46 = 36;
е) у : 2 = 11;
ж) 6 • л: = 48
з) 54 : k =- 6
и) а : 7= 8
к) 41— р = 39
л) х — 7 = 87
м) 77 + а = 86
—46—

18. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ
С помощью уравнений легко решать довольно трудные задачи. Чтобы
научиться этому, нам придётся начать с лёгких задач. Рассмотрим
одну из них: «На столе лежало несколько яблок. После того как
мама положила на стол ещё 8 яблок, их стало 14. Сколько яблок
лежало на столе?»
Сначала кратко запишем условие задачи:
х яблок, 8 яблок, 14 яблок.
Из условия задачи видно, что если к числу х прибавить 8, то
получится 14:
х + 8 = 14.
Решим составленное уравнение х + 8 = 14:
х = 14 — 8,
х = 6.
На столе лежало х яблок. Мы узнали, что х равно 6. Значит, на столе
лежало 6 яблок.
239. У Маши было 7 коп. После того как папа дал ей ещё несколько копеек,
у неё стало 12 коп. Сколько копеек дал папа Маше?
240- В зале горело несколько лампочек. После того как погасили 45
лампочек, осталось гореть 28. Сколько лампочек было в зале?
241. На яблоне висело 62 яблока. После того как с неё упало несколько
яблок, на ней осталось 48 яблок. Сколько яблок упало с яблони?
242. Коля купил несколько карандашей по 6 коп. и заплатил за них 36 коп.
Сколько карандашей купил Коля?
243. Мальчик разложил 24 шашки в несколько рядов так, что получилось в
каждом ряду по 6 шашек. Сколько оказалось рядов?
244. Рабочий сложил 40 брёвен в штабель так, что всего оказалось 5 рядов.
Сколько брёвен было в каждом ряду?
245. Паслось стадо коров. После того как стадо увеличилось на 6 коров,
в нём стало 95 коров. Сколько коров было в стаде?
246. В сарае стояло несколько лопат. Когда число лопат уменьшилось на
17, их осталось 35. Сколько лопат стояло в сарае?
В цехе было 52 рабочих. Когда число рабочих уменьшилось на
несколько человек, их стало 43. На сколько человек меньше стало рабочих
в цехе?
248. Утром на озере плавало несколько гусей. К вечеру их число
увеличилось в 6 раз и гусей оказалось 42. Сколько гусей было на озере утром?
249. В пионерской комнате было несколько ребят. Прозвенел звонок, и их
число уменьшилось в 4 раза. Сколько ребят было в пионерской комнате
до звонка, если после звонка их осталось 8 человек?
250. В зале несколько рядов, по 12стульев в ряду. Всего в зале48 стульев.
Сколько рядов в зале?
—47—
247.

251. Коля задумал число. Если это число увеличить в 5 раз, то
получится 45. Какое число задумал Коля?
252. Таня задумала число. Если это число разделить на 7, то в результате
получится 8. Какое число задумала Таня?
253. Число 26 мальчик увеличил на несколько единиц и получил в
результате 51. На сколько единиц мальчик увеличил число?
254. Число 63 Серёжа уменьшил в несколько раз и получил в результате 7.
Во сколько раз Серёжа уменьшил число 63?
19. УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 1
51
255. М — объединение множеств В и С, а Р — пересечение этих множеств.
Запишите с помощью фигурных скобок множество В, если:
М = {м, р, а, ч, л, ю, у, ф, п, т};
Р= {а, п, у};
С = {м, а, л, у, п, т}.
256. Уменьшаемое равно 52, разность 13. Найдите вычитаемое.
257. Разность равна 46, вычитаемое 29. Найдите уменьшаемое.
258. Делимое равно 54, частное 9. Найдите делитель.
259. Частное равно 8, делитель 7. Найдите делимое.
260. Представьте число 71 в виде суммы двух слагаемых, одно из которых
равно 19.
261. Представьте число 26 в виде разности так, чтобы вычитаемое равнялось
45.
262. Представьте число 24 в виде произведения двух множителей, один из
которых равен 3.
263. Представьте число 5 в виде частного так, чтобы делимое равнялось 40!
264. Придумайте два числа, разность которых равна 49.
265. Придумайте два числа,
произведение которых равно 40.
266. Найдите два числа:
а) сумма которых равна
произведение 6;
б) произведение которых
12, а сумма 7;
в) произведение которых
18, а разность 3;
г) сумма которых равна
разность 2.
267. Найдите площадь фигуры,
изображённой на рисунке 51.
5, а
равно
равно
Ю, а
—48-

Площадь прямоугольника равна 24 кв. см.
Какими могут быть длина и ширина
прямоугольника?
Площадь квадрата равна 16 кв. см. Найдите его
периметр.
Сумму чисел 15 и 12 разделите на их разность.
Произведение чисел 6 и 2 разделите на их ча-х
стное.
Разность чисел 8 и 7 умножьте на их
произведение.
Восстановите пропущенные цифры:
а) *4 б) 8* в) *7 г) *1
+ 37 ~~ *9 + ** "19
5^ 35" 32" ЬГ
Найдите с помощью сложения значение каждого
произведения:
23-3; 4-21; 37-2; 3-33.
Я задумал число, умножил его на 2 и к
произведению прибавил 1. В результате получилось 17.
Какое число я задумал (рис. 52)?
276. Я задумал число, умножил его на 3 и вычел из произведения 2. В
результате получилось 25. Найдите задуманное мной число.
277. Если задуманное число разделить на 5 и к частному прибавить 1, то
получится 4. Найдите задуманное число.
278. Если задуманное число уменьшить на 3 и разность разделить на 4, то
получится 7.
279. Увеличьте числа 7, 5, 9 и 11 в 4 раза. На сколько единиц увеличилось
каждое число?
280. Уменьшите числа60,36,54,42 и 6 в 6 раз. На скодько единиц
уменьшилось каждое число?
281. Выпишите в одну строку числа 32, 37, 42, 47, 52, 57. Каждое из них
уменьшите сначала на 13, а затем ещё на 17. Подпишите результат
под числом. Как легче получить тот же самый результат?
282. Выпишите в одну строку числа 66, 63, 60, 57, 54, 51. Каждое из них
увеличьте сначала на 9, а затем ещё на 11. Результат запишите под
числом. Как легче получить тот же самый результат?
283. Каждое из чисел: 3, 10, 17, 24, 31 и 38—сначала увеличьте на 44, а
затем уменьшите на 34. Как легче решить задачу?
4 Зак. 1872 —49 —
52
268.
269.
270.
271.
272.
273.
274.
275.
^

284. Числа 19, 21, 23, 25, 27 сначала уменьшите на 18, а затем увеличьте
на 16. Как легче получить тот же самый результат?
285. Ширина прямоугольника 2 дм 7 см, а длина на 3 дм 5см больше.
Найдите длину прямоугольника.
286. Длина прямоугольника 3 м 5 дм, а ширина на 2м 3 дм меньше длины.
Найдите периметр прямоугольника.
287. У Коли две бабушки. У одной бабушки он был летом 3 недели 5 дней,
а у другой 4 недели 2 дня. Сколько дней гостил Коля у своих бабушек?
Решите двумя способами.
288. У Тани и у Саши по 18 шашек. Саша отдал Тане 4 шашки. На сколько
шашек стало у Тани больше, чем у Саши?
289. У Тани и у Саши по 12 конфет. Саша отдал Тане 4 конфеты. Во сколько
раз у Тани стало больше конфет, чем у Саши?
290. У Лены столько же цветных карандашей, сколько у Юры. Лена
отдала Юре 3 карандаша. На сколько карандашей у Лены стало меньше,
чем у Юры? Приведите пример.
291. После того как Люба отдала Люде 9 конфет, а Люда Любе 5, у девочек
стало по 11 конфет. Сколько конфет было у каждой девочки? Как проще
распределить конфеты поровну?
292. Женя отдал Мише 7 орехов, Миша отдал Володе 5 орехов, а Володя
Жене 3. После этого у мальчиков стало по 18 орехов. Сколько орехов
было у каждого мальчика? Могли ли мальчики проще распределить
орехи поровну?
293. Витя собрал на 15 камешков больше, чем Толя. Витя дал Толе 8
камешков. У кого из них стало больше камешков и на сколько?
294. В совхозе на 12 тракторов больше, чем в соседнем колхозе. У кого
станет тракторов больше и на сколько, если совхоз передаст колхозу
5 тракторов?
295. Запишите фразу в виде равенства или неравенства:
а) 72 больше 38 на 34;
б) число 54 больше 46;
в) число 18 меньше 45 на 27;
г) число 18 меньше 27;
д) число 60 в 5 раз больше 12;
е) число 7 в 11 раз меньше 77;
—50—

ж) число х больше 65 на 13; (
з) число 80 больше р\
и) число 16 меньше k на 9;
к) число у меньше 69;
л) число 4 в 7 раз меньше х\
м) число 6 в 10 раз меньше k.
296. Напишите вместо звёздочки один из знаков + , —, •*, :,=,<, >, чтобы
получилось верное равенство или неравенство:
а) 98 * 0 - 98; д) 2 * 2 = 4;
б) 14 -28*2; е) 80-4*20;
в) 76 * 25 + 38; ж) 33 • 3 * 89;
г) 9 + 9 + 9*27; з) 36 : 4*50 — 41.
297. Найдите все двузначные чисЛа, у которых:
а) число десятков на 2 больше, чем число единиц;
б) число единиц на 5 больше, чем число десятков;
в) число единиц в 3 раза меньше, чем число десятков;
г) число десятков в 2 раза меньше, чем число единиц.
298. Запишите с помощью фигурных скобок множество двузначных чисел,
в которых:
а) число десятков в 7 раз больше числа единиц;
б) число единиц на 9 меньше числа десятков;
в) число единиц на 10 меньше числа десятков;
г) число десятков в 10 раз больше числа единиц.
299. Можно ли в фигурных скобках написать все элементы множества
решений неравенства д:>5?
300. Даны два неравенства 8 + х < 20 и 8 + х > 12. Можно ли
найти число, которое было бы решением:
а) первого и второго неравенств;
б) только первого неравенства;
в) только второго неравенства?
301. Из числа 90 вычтите число 13. Из полученной разности снова вычтите
13. Продолжайте вычитание до тех пор, пока не получится число,
оканчивающееся цифрой 5.
302. К числу 24 прибавьте число 14. К полученной сумме снова прибавьте
14. Продолжайте сложение до тех пор, пока не получите число,
оканчивающееся цифрой 4.
303. Напишите два числа: 2 и 3. Напишите третье число, равное сумме
первого и второго. Напишите четвёртое число, равное сумме второго и
4* —51 —

третьего чисел. Таким же образом можно получить пятое, шестое,
седьмое и т. д. числа. Найдите шестое число. Получится ли в этом ряду
число 89?
304. Число 64 разделите на 2. Полученное частное снова разделите на 2.
Если продолжать деление таким образом дальше, то получится 1.
Сколько раз придётся выполнить деление, чтобы получить 1?
305. Поставьте во всех пустых клетках по одному числу так, чтобы сумма
чисел в каждых трёх соседних клетках равнялась 23 (рис. 53). Сколько
различных чисел написали во всех клетках? Понадобятся ли новые
числа, если справа присоединить ещё сколько угодно клеток?
53
I I М I I I I I I I I
54
1—1—
JLM_1J
_Е_
1 1 1 1-1
55
"TTFI
20
тшшшяш
глп~гп
306. Во всех пустых клетках (рис. 54) напишите по одному числу. Сумма
чисел в каждых трёх соседних клетках должна равняться 50.
307. Напишите по числу в свободных клетках (рис. 55). Сумма чисел в
каждых четырёх свободных клетках должна равняться 75.
308. Девочки собирали чернику. За равные промежутки времени они
поровну набирали черники (что это означает?). Одна из них собирала
чернику 2 час. 30 мин., другая 1 час 40-мин. и третья 3 час. 10 мин. Мы
узнали, что Лена собрала черники меньше, чем Таня, а Нина больше,
чем Таня. Сколько времени каждая девочка собирала чернику?
309. Три мальчика соревновались в беге от леса до берега реки. Результаты
оказались следующими: 18 сек., 21 сек., 16 сек. За сколько секунд каж-
—52—

дый мальчик пробежал расстояние, если известно, что Коля бежал
быстрее Миши, а Миша — быстрее Лёвы?
310. Моему брату сегодня исполнилось ровно 18 месяцев. Когда он родился,
мне было 3 года 2 месяца. Сколько лет мне теперь?
311. Маме 24 года, а мне 3. Во сколько раз мама старше меня? Во сколько
раз мама будет старше меня через 4 года?
312. Папе 45 лет, а мне 9. Во сколько раз папа старше меня? Во сколько раз
папа был старше меня 5 лет назад, 8 лет назад?
313. Девочка покупала книгу. В уплату она подала кассиру две монеты по
15 коп. и четыре монеты по 5 коп. Сколько стоит книга, если девочка
получила 3 коп. сдачи?
314. Мороженое стоит9 коп. Продавец имеет только трёхкопеечные монеты,
а покупатель — только пятикопеечные. Покупатель берёт одно
мороженое. Могут ли они произвести точный расчёт?
315. Можно ли трёхкопеечными и пятикопеечными монетами набрать сумму:
а) 7 коп., б) 12 коп., в) 13 коп., г) 17 коп.?
316. В одной стопке 5 трёхкопеечных монет, а в другой 5 пятикопеечных.
Сколько монет надо переложить из одной стопки в другую, чтобы в
стопках оказалось поровну копеек?
317. В одной кучке 6 двухкопеечных и 5 трёхкопеечных монет, а в другой 3
пятикопеечных. Какие монеты надо переложить из первой кучки во
вторую, чтобы в них стало копеек поровну?
318. Два мальчика стоят лицом друг к другу. Между ними расстояние 72
шага. Какое расстояние будет между мальчиками, если они сделают
навстречу друг другу по 19 шагов?
319. Расстояние между двумя девочками 84 м. Какое расстояние будет
между ними после того, как одна из них пройдёт навстречу другой 26 ле,
а другая навстречу первой 37 м?
320. Имеется прямоугольник и треугольник. Если прямоугольник увеличить
на 24 кв. см, а треугольник на 15 кв. см, то получатся фигуры с равными
площадями. Что больше: площадь прямоугольника или площадь
треугольника?
321. Валя и Миша весят столько же, сколько Боря и Володя. Миша весит
32 кг, Боря 40 кг. Кто тяжелее: Валя или Володя?
322. Ученик купил книгу, авторучку, цветные карандаши и чернила. За
книгу и цветные карандаши он заплатил больше, чем за авторучку и
чернила. Авторучка дороже, чем книга. Что дороже: цветные
карандаши или чернила?
—53—

ihSiv Ъ-'"Л — »'A^
S £ u ЛИСЗ НЗбрали в Реке воды
(рис. 56) и отправились домой. От берега
реки до берлоги Медведь прошёл 28 Та
Лисадосвоеи норы 33 м. Какое расстояние
реГЙ^ И Н°Р°Й> — »52

324.
325.
326.
327.
328.
В чемодане лежат три пары пеочатгж и* и*,™ „~
Будут ли среди них перчикиТо^ой пары? Д0СТаЛИ ЧвТЫРе пеРчатки'
нитками? Достала «Xy"c^*Sr«- C ^ми
Есть ли в каждом букете ромашки? ДРуГОИ ~ «^ьные.
Сравните отрезки АВ и С/С, если:
а) Л5 = 6 дм 1 еж, С/С = 4 дм 9 сяс-
б)АВ = 8дм,СК = 6дм6см;М'
BlJ* = *M7dM,CK=-5Ml дм;
т) АВ^2м2 дм, СК = 31 дм.
329. Отрезок АВ на 3 еж меньше отрезка МК. Начертите отрезки АВ иМК,
если Л5 = 2 еж.
330. Начертите отрезки АВ, ВС и ЛС так, чтобы АВ = 2 см, ВС = 3 см и
ЛС — 5 еж.
331. Из двух равных прямоугольников со сторонами 4 еж и 5 еж сложили
один прямоугольник. Найдите периметр полученного прямоугольника.
Рассмотрите два случая.
Отметьте в тетради три точки А, В, С, которые будут изображать
города. Мы находимся в городе А и должны побывать в двух других
городах. Как лучше выбрать маршрут, если АВ = 32 км (32 километрам),
АС = 40 км, ВС = 28 км?
Периметр квадрата 28 еж. Найдите площадь квадрата.
Площадь квадрата 36 кв. см. Найдите периметр квадрата.
Периметр прямоугольника 20 еж, ширина 3 еж. Найдите площадь
прямоугольника.
Площадь прямоугольника 72 кв. см, а длина 9 еж. Найдите периметр
прямоугольника.
Начертите три прямоугольника с периметром 24 еж. Найдите площадь
каждого прямоугольника.
Начертите три прямоугольника с площадью 12 кв. см. Найдите
периметр каждого прямоугольника.
Начертите прямоугольник, длина которого 7 клеток, а ширина 4
клетки. Найдите площадь прямоугольника (в квадратных сантиметрах)
и его периметр.
332.
333.
334.
335.
336.
337!
338.
339.
-55—

58
340. Вырежьте из клетчатой бумаги такие
фигуры, как показано на рисунке 57. Составьте
из всех фигур один прямоугольник.
341. Деревни Л, В и С соединены дорогами
(рис. 58). Сколькими способами можно
выбрать путь:
в) из С в Л через В;
г) из Л в Л через 5 и С?

2
ЧЕТЫРЕ ДЕЙСТВИЯ В ПРЕДЕЛАХ 1000
§ $. ТРЁХЗНАЧНЫЕ ЧИСЛА
20. ЧТЕНИЕ И ЗАПИСЬ ТРЕХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ
Счёт предметов до десяти ведут единицами: один, два, три, четыре, пять,
шесть, семь, восемь, девять, десять. Для десяти единиц придумали
особое название — десяток.'Далее счёт ведут десятками и единицами.
Например, два десятка и пять единиц, или, короче, двадцать пять.
Таким образом считают до девяноста девяти. Для десяти десятков так-
59
/ сотня
(10 десятков)
2 десятка
5 единиц
1 с2д5е.
—57—

343.
же придумали особое название — сотня. Далее счёт ведут сотнями,
десятками и единицами. Всего точек, изображённых на рисунке 59,
1 сотня 2 десятка 5 единиц.
342. На столе лежат яйца (рис. 60).
В каждой большой коробке 1
сотня яиц, в каждой маленькой
1 десяток. Сколько яиц лежит
на столе?
В детский сад привезли сахар
(рис. 61). В каждом большом
мешке 1 сотня килограммов, в
каждом маленьком 1 десяток
килограммов, и в каждом пакете
килограмм. Сколько сахара
привезли в детский сад?
В одной сотне 10 десятков.
Сколько десятков в двух, трёх,
семи и девяти сотнях?
Выразите в десятках:
а) 4 с 8 д; г) 7 с 2 д;
б) 8 с 4 д; д) 9 с 4 д;
в) 1 с 7 д; е) 5 с 0 д.
Выразите в сотнях и десятках:
а) 32 д; б) 75 д; в) 68 д; г) 19 д.
346.
Числа вида 5 с 4 д 8 е
записывают короче: 548. На первом
месте справа пишут число единиц,
на втором — число десятков и на
третьем — число сотен.
Полученное трёхзначное число 548
можно прочитать так: пятьсот
сорок восемь. г
Пусть в числе 7 сотен, 0
десятков и 4 единицы. Его следует
записать так: 704. В этой записи
цифра 0 так же важна, как и
любая другая цифра. Если её не
писать, то получится совсем
другое число — 74. Подобно этому
число сто (1с Од Ое) записывают
в виде трёхзначного числа:
1с Од 0 е = 100.
-58—

Число, в котором Ос5 д 3 е, не записывают в виде трёхзначного числа,
потому что его можно записать с помощью лишь двух цифр:
О с 5 д 3 е = 53.
Поэтому ни двузначное, ни трёхзначное число не может начинаться
с цифры 0. Нуль впереди числа не пишут.
347. Запишите короче и прочитайте числа:
а) 5 с 6 д 6 е; ж) 8 с 3 д 0 е;
б) 1 с 1 д 5 е; з) 9 с 0 д 9 е;
в) 4 с 4 д 4 е; и) 3 с 0 д 0 е;
г) 6 с 8 д 1 е; к) 5 с;
д) 2 с 9 д 2 е; л) 0 с 8 д 6 е;
е) 7 с 0 д 7 е; м) 0 с 0 д 8 е.
348. Сколько сотен, десятков и единиц в числе:
а) 375
б) 911
в) 777
г) 806; ж) 86;
д) 220; з) 48;
е) 500; и) 5?
349. Прочитайте числа 248, 675, 599, 201, 604, 640, 910, 109, 700, 300, 900.
350. Прочитайте число. Составьте другое число, записанное теми же
цифрами в обратном порядке. Прочитайте получившееся число:
а) 872;
б) 123;
в) 393;
г) 509;
Д) 888;
е) 248.
351. Запишите число, в котором:
а) семь сотен и шесть единиц;
б) девять сотен и четыре десятка;
в) семь десятков и три единицы;
г) восемь сотен.
352. Запишите и прочитайте число, в котором:
а) сотен 3, единиц 5, а десятков на 2 меньше, чем сотен;
б) десятков 7, сотен 8, а единиц в 4 раза меньше, чем сотен;
в) единиц 2, число десятков в 2 раза больше числа единиц, а число сотен
на 3 меньше числа десятков;
г) десятков 5, сотен на 2 больше, чем десятков, а единиц на 2 меньше,
чем десятков.
353. В трёхзначном числе х 87 содержится х сотен. Подставьте вместо х по
очереди все цифры из множества {1, 3, 5, 7, 9} и запишите
получившиеся числа.
—59—

354. Выразите в сантиметрах:
а) 6 ж 7 дм 5 еж;
б) 2 м 9 дм 4 еж;
в) 1 ж 6 дж;
г) 5 ж 8 еж.'
355. Выразите в метрах, дециметрах
и сантиметрах:
а) 275 еж;
б) 771 см;
в) 806 см;
г) 190 еж.
356. Выразите в миллиметрах:
а) 5 дм 6 еж 7 жж;
б) 6 дж 1 еж 1 жж;
в) 2 дж 9 еж;
г) 4 дм 4 жж.
357. Выразите в дециметрах,
сантиметрах и миллиметрах:
а) 368 мм;
б) 669 мм;
в) 705 мм;
г) 250 жж.
358. На рисунке 62 указаны
некоторые размеры радиоприёмника в
миллиметрах. Выразите их в
дециметрах, сантиметрах и
миллиметрах.
359. Рубль — это сто копеек (рис. 63).
Выразите в рублях и копейках:
а) 246 коп.;
б) 755 коп.;
в) 504 коп.;
г) 230 коп.
360. Выразите в копейках:
а) 7 руб. 56 коп.;
б) 8 руб. 88 коп.;
в) 4 руб. 80 коп.;
г) 3 руб. 7 коп.

361. Центнер — это сто килограммов
(рис. 64). Выразите в центнерах
и килограммах:
а) 456 кг; в) 230 кг;
б) 777 кг; г) 420 кг.
362. Выразите в килограммах:
64
а) 7 ц 24 кг;
б) 1 ц 14 /сг;
в) 5 ц 60 /сг;
г) 9 ц.
363. На рисунке 65 указан вес
животных в килограммах. Выразите
вес каждого животного в
центнерах и килограммах.
65
570«Г
40бкГ
135 к Г
-61 —

СЧЕТЫ
mm mm
km mm
И mmm
Ытт м|
I ШШ4ННИН
С давних пор для облегчения
вычислений используют простой
прибор — счёты (рис. 66). На
каждой проволоке счётов имеется
10 костяшек, с помощью
которых выполняют действия над
числами.
Выберем три проволоки. На
верхней проволоке будем
откладывать число сотен, на
средней — число десятков и на
нижней— число единиц. На рисунке
67 показаны счёты, на которых
отложили (влево) число 542. На
других счётах отложено число
807. В этом числе 0 десятков,
поэтому на средней проволоке не
отложили ни одной костяшки.
364. Прочитайте и запишите числа,
отложенные на счётах (рис. 68).
365. Отложите на счётах и прочитайте
число, в котором:
а) 2 сотни 3 десятка 4 единицы;
б) 9 сотен 9 десятков 2 единицы;
в) 4 сотни 7 десятков 1 единица;
г) 6 сотен 7 единиц;
д) 5 сотен 3 десятка;
е) 2 десятка 8 единиц.
366. Прочитайте числа и отложите их
на счётах: 242, 321, 123, 213, 546,
823, 916, 222, 307, 405, 606, 809,
107, 802, 320, 760, 560, 480, 990,
360, 65, 78, 90, 20, 5, 8, 7, 9.
367. Отложите на каждой проволоке
указанное число костяшек.
Прочитайте и запишите отложенное
число:
—62—

368.
а) на верхней 7, на средней 6,
на нижней 5;
б) на средней 1, на нижней 6,
на верхней 8;
в) на нижней 5„ на верхней 3, на
средней 1;
г) на средней 9, на верхней 5;
д) на нижней 7, на верхней 2;
е) на средней 4, на нижней 6.
Ученик отложил на нижней
проволоке сначала 6 костяшек,
потом ещё 4 костяшки. Какое число
отложил ученик? Как ещё
можно отложить на счётах это же
число?
68
369. Какое получится число, если
отложить на средней проволоке
сначала 7 костяшек, потом ещё
3 костяшки? Как ещё можно
отложить это же число?
370. Какое число отложено на счётах
(рис. 69)? Как отложить на
счётах то же самое число при
помощи меньшего числа костяшек?
371. Выполните на счётах действие:
а) 23+ 16;
б) 35 — 24; %
в) 13+72;
г) 25 -f 74;
Д) 41 + 28;
е) 98 — 75;
ж) 78 — 75;
з) 16+ 3.
юоо-
0000*0000-
-ооойоооа
VWWVWVII
т-
[||WWV»WW II
Ikkkmmoooo—/
—63-

22. СРАВНЕНИЕ ЧИСЕЛ
При счёте предметов числа называют в строгом порядке: один, два, три,
четыре и т. д. Чем раньше называют число, тем оно меньше. Так, 99
меньше 100, так как 99 раньше идёт при счёте предметов, чем 100. Число
567 больше числа 328, так как 567 при счёте идёт позже, чем 328.
Сравнить два числа — это значит узнать, будет ли первое меньше
второго, равным ему или больше его. Результат сравнения записывают в
виде неравенства.
372. Запишите числа от 98 до 112 в том порядке, в котором их называют
при счёте.
373. Назовите по порядку все числа:
а) от 236 до 248; г) от 309 до 333;
б) от 498 до 513; д) от 758 до 780;
в) от 675 до 700; е) от 893 до 909.
374. Посчитайте пб порядку:
а) от 190 до 220 через одно число;
б) от 401 до 430 через два числа;
в) от 700 до 750 через четыре числа;
г) от 800 до 900 через девять чисел.
375. Поставьте вместо звёздочки знак < или > так, чтобы получилось
верное неравенство:
а) 567 * 601
б) 876 * 598
в) 300 * 299
г) 199 * 303;
д) 465 * 464;
е) 401 * 500.
376. Какую цифру следует поставить вместо звёздочки, чтобы получилось
верное неравенство:
а) * 75 < 229; г) 8 * 1 < 832;
б) 251 > 24*; д) 589>*90;
в) * 00 < 800: е) 9*2 > 901?
377. Запишите с помощью фигурных скобок множество решений неравенства:
а) 813 < х < 820; г) 799 < k < 802;
б) 279 < у < 287; д) 506 < х < 508;
в) 301 < р < 306; е) 97 < х < 105.
—64—

378. Сравните числа:
а) 875 и 678; в) 58 и 124;
б) 902 и 807; г) 502 и 600.
379. Составьте двойное неравенство, множество решений которого равно:
а) {100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109};
б) {238, 239, 240, 241, 242};
в) {987, 988, 989, 990, 991, 992, 993, 994, 995, 996, 997};
г) {501, 502, 503, 504, 505, 506}.
380. В — множество решений неравенства 398 < Ъ < 405, X — множество
решений неравенства 396 < х < 401. Составьте объединение и
пересечение множеств В и X.
381. Запишите с помощью фигурных скобок пересечение множеств решений
двух неравенств: 354<х<359 и х<356.
382. М — множество трёхзначных чисел, оканчивающихся двумя нулями,
К — множество трёхзначных чисел с тремя одинаковыми цифрами,
Р — множество трёхзначных чисел, оканчивающихся двумя пятёрками.
Напишите объединение множеств М и К и пересечение множеств К и Р.
23. ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ
383. Отметьте на листе тетради точки Л, В и С и измерьте расстояние между
каждой парой точек в сантиметрах и миллиметрах.
384. Отметьте точку /(. Отметьте ещё две точки М и Р так, чтобы КМ =
= 3 см 2 мм, КР = 2 см 8 мм.
385. Отметьте точку О. Отметьте ещё две точки так, чтобы одна из них была
удалена от О на 3 см, а другая на 5 см.
386. Отметьте точки А и С. Постройте (на глаз) точку /С, которая была бы
удалена от А на такое же расстояние, как и С. Сделайте проверку с
помощью циркуля.
387. Отметьте точку М. Постройте пять точек, удалённых от точки М на
3 см.
388. Отметьте точки Р и /С. Постройте ещё 10 точек, расстояние которых от
точки Р равно длине отрезка /СР.
389. Отметьте точку О. Отметьте ещё 32 точки на расстоянии 3 см от точки О
5 Зак. 1872 —65—

70 71 72
•В
• • . *«^ ^ £
•
•А/
• • _
\ У о
На рисунке 70 отмечено 32 точки, удалённые от О на 3 см. Если
отметить все такие точки, то получится линия, которая называется
окружностью (рис. 71). Точка О называется центром окружности. Окружность
является границей известной нам фигуры — круга. Центр окружности
называется центром круга. Если соединить отрезком какую-нибудь
точку окружности с её центром (рис. 71), то получится радиус
окружности. Радиусом окружности называется отрезок, соединяющий точку
окружности с её центром.
390. Начертите с помощью циркуля окружность с центром в точке В и
радиусом, равным Ъсм 5мм. Проведите четыре радиуса этой окружности.
391. На рисунке 72 окружность обозначена буквой С. Какая из
отмеченных точек является центром окружности? Как это проверить? Какие из
отмеченных точек принадлежат окружности, принадлежат кругу?
Какие точки не принадлежат окружности, не принадлежат кругу?
Чему равна длина радиуса окружности, если известно, что расстояние
между точками Р и А равно 2 см? Чему равно расстояние между
точками Р и /С? Сравните расстояние между точками Р и В с расстоянием
между точками PhD.
392. Точка О — центр окружности (рис. 73). Какие фигуры изображены на
рисунке 73? Какие точки принадлежат окружности и какие точки
принадлежат кругу? Принадлежит ли центр окружности кругу или
окружности? Какие отрезки принадлежат кругу? Принадлежит ли
окружности хотя бы один отрезок? Какие отрезки служат радиусами
окружности?
393. Какие фигуры изображены на рисунке 74? Какие точки принадлежат
окружности? Назовите центр окружности. Какие отрезки
принадлежат кругу? Назовите радиусы круга (радиусы соответствующей
окружности). Назовите треугольники, некоторые вершины которых
принадлежат окружности. Назовите треугольники, каждая вершина которых
принадлежит окружности.
—66—

394. Начертите окружность с центром в точке М и радиусом, равным
3 см 8 мм.
Отметьте на окружности точки Л, В и С. Проведите отрезки МА, МВ>
МС, АВУ АС и ВС. Какие из этих отрезков являются радиусами
окружности? Закрасьте один треугольник, две стороны которого служат
радиусами.
395. Начертите окружность с центром в точке О, радиус которой равен 4 см.
Проведите радиус ОВ. Проведите отрезок ВС так, чтобы точка С была
на окружности. Из точки С через центр проведите отрезок СР, второй
конец которого также лежит на окружности. Соедините точки В и Р.
Закрасьте часть круга, не принадлежащую треугольнику ВСР.
396. Отметьте точку О. С центром в этой точке проведите три окружности,
радиусы которых равны 2 см 5 мм, 3 см, 3 см 5 мм. Закрасьте кольцо
между первой и второй окружностями одним цветом, а кольцо между
второй и третьей окружностями другим цветом.
397. Начертите окружность, радиус которой равен 4 см 5 мм. Начертите
ещё три равные окружности внутри получившегося круга. Раскрасьте
фигуру.
§ 6. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ
24. СЛОЖЕНИЕ
Монтёр менял электропроводку в двух комнатах. На одну комнату
пошло 4 м 7 дм 5 сму а на другую 3 м 4 дм 2 см провода. Сколько провода
израсходовал монтёр?
Для решения задачи сложим 4 м 7 дм 5 см и 3 м 4 дм 2 см. Сложим
отдельно числа метров, дециметров и сантиметров:
5*
—67—

Am 7 дм 5 см + 3 м 4 дм 2 см = 7 м 11 дм 7 см.
Мы знаем, что 11 дм составляют 1 м 1 дм. Значит, в результате
получится 8 м 1 дм 7 см.
Гораздо удобнее вычисление располагать столбиком.
_|_4 м 7 дм 5 см _|_ 4 м 7 дм 5 см
3 м 4 дм 2 см 3 м 4 дм 2 см
т= г-р-^—=— или короче: -5 . - -
7 м II дм 7 см г 8 м I дм 7 см
8 м I дм 7 см
Таким же образом можно складывать любые трёхзначные числа.
Найдём сумму 286 и 371:
" . 2 с 8 д 6 е
+ 3 с 7 д 1 е
6 с 5 д 7 е.
398. Выполните сложение:
а) 3 м 7 дм 2 см
"■ 1 м 1 дм 7 см
б) 4 м 5 дм 6 см
~г~ 2 м 8 дм I см
399. Найдите сумму:
a) i 4 с 2 д 8 е 428 б) , 5 с 6 д 4 е , 564
"*" 5 с 6 д Ге ^ 561 **■ 2 с 5 д 3 е ^ 253
400. Запишите столбиком и выполните действие:
а) 4 м 5 дм 6 см + 3 м \ дм 9 см;
б) 8 мес. 3 нед. 4 дн. + 1 мес. 2 нед. 5 дн.;
в) 7 дм 2 см 7 мм + 1 дм 9 см 2 мм;
г) 5 ц 58 кг + 2 ц 7\ кг.
Примечание. Считайте, что в одном месяце 4 недели.
Теперь при сложении чисел не будем вести двойную запись, как это
делали при выполнении упражнения 399. Запись и объяснение будем
вести так же, как при сложений двузначных чисел.
, 286
+ 371
657
в) 8 дм 0 см 6 мм
*" 1 дм 8 см 2 мм
г) 2 дм 6 см 4 мм
' 5 дм I см 9 мм
—68—

401. Выполните сложение:
а) 241 + 435; г) 554 + 204; ж) 822 + 175; к) 28 + 960;
б) 333 + 415; д) 345 + 654; з) 629 + 220; л) 700 + 101;
в) 615 + 314; е) 785+ 104; и) 660+ 109; м) 222+ 7.
402. Найдите сумму:
а) 869+122; в) 347 + 208; д) 365+181; ж) 428+280;
б) 408 + 326; г) 562 + 408; е) 623 + 285; з) 469 + 460.
403. Найдите значение выражений:
а) 268 + 352; в) 547 + 184;
б) 654+ 257; г) 298+612.
25. ВЫЧИТАНИЕ
Длина водопроводной трубы 4 м 5 дм 2 см. После того как удлинили
эту трубу, её длина стала 8 м 2 дм 4 см. На сколько удлинили трубу?
Из 8 м 2 дм 4 см вычтем 4 м 5 дм 2 см:
_8 м
4 м
7 м
4 м
2 дм 4 см
5 дм 2 см
12 дм 4 см
5 дм 2 см
3 м 7 дм 2 см
Значит, трубу удлинили на 3 м 7 дм 2 см.
Таким же образом выполняется вычитание трёхзначных чисел:
712
361
351
7 с 1 д 2 е
3 с 6 д 1 е
6 с 11 д 2 е
3 с 6 д 1 е
3 с 5 д 1 е
Выполните вычитание:
а) 4 м 6 дм 5 см в) 7 дм 6 см 5 мм
2 м 1 дм 3 см 4 дм 5 см 1 мм
б) 8 м 3 дм 6 см г) 6 дм 4 см 2 мм
5 м 7 дм 4 см I дм 2 см 6 мм
—69—

405. Найдите разность:
а) 541 5 с 4 д
408.
126
1
1 е
с 2 д 6 е
б)
628
232
6 с
2 с
2 д
3 д
8 е
2 е
406. Запишите столбиком и выполните действие:
а) 7 м 6 дм 4 см — 2 м 3 дм 5 см;
б) 3 мес. 4 нед. 2 дн. — 1 мес. 1 нед. 6 дн.;
в) 5 дм 4 см 8 мм — 3 дм 6 см 8 мм;
г) 5 ц 60 кг — 3 ц 14 кг.
В дальнейшем запись и объяснение при вычитании будем вести так же,
как при вычитании двузначных чисел.
407. Выполните вычитание:
а) 386 — 245;
б) 497—456;
в) 466 — 356;
г) 637 — 435;
д) 978—571
е) 703—602:
ж) 921—710
з) 305 — 203
Найдите разность:
а) 582 —237; в) 420—109;
б) 637— 128; г) 550 — 249;
409. Выполните действие:
а) 412 — 103; в) 385 — 295;
б) 682 — 571; г) 568 — 559;
410. Найдите значение выражений:
а) (814 — 808) • 9;
б) (483+209) —612;
в) 81 : (622 — 613);
г) (773 — 728) : (103 —98);
и) 740 —240
к) 954 — 854
л) 129—109,
м) 888 — 828.
д) 724-251;
е) 804 — 621;
д) 376 — 268;
е) 571—481;
ж) 847 — 357;
з) 540 — 370.
ж) 416 — 326;
з) 810—720.
д) (561-512) : 7;
е) 820 —(309 + 202);
ж) (389 — 389) • (547+219);
з) (72 : 8)+ (645+216).
411. Каждое из чисел:
а) 507, 691, 444, 799, 321 — увеличьте на 200;
б) 775, 698, 807, 311, 542 — уменьшите на 300. .
412. Утром в кассе было 816 руб. Днём из неё выдали 509 руб., а приняли
208 руб. Сколько денег стало в кассе к концу дня?
413. На складе было 706 мешков муки. Потом привезли с мельницы ещё
138 мешков, а 604 мешка отправили в пекарню. Сколько мешков муки
стало на складе?
—70—

414. К нам во двор привезли 285 саженцев. Вечером мы посадили 7 рядов по
8 штук в каждом. Сколько саженцев осталось?
415. После того как 12 человек купили по 3 билета, в кассе осталось 314
билетов. Сколько билетов было в кассе?
416. Миша купил два арбуза по 36 коп. Сколько денег осталось у Миши,
если до покупки арбуза у него было 1 руб. 68 коп.?
417. На одну машину погрузили 6 велосипедов, общий вес которых 54 кг,
а на другую — один такой же велосипед и станок. Станок весит 512 кг.
Сколько груза на второй машине?
418. В куске 120 м материи по 8 руб. за 1 м. От него отрезали двум
покупателям на 72 руб. Сколько метров материи осталось в куске?
419. Моему папе 28 лет. Дедушка старше папы на 23 года. Папин дедушка
старше моего дедушки на 39 лет. Сколько лет моему прадедушке?
420. Тётя Оля весит 72 кг. Она легче дяди Стёпы на 30 кг. А я легче дяди
Стёпы на 61 кг. Найдите мой вес.
421. Школа на 240 м ближе к моему дому, чем стадион. От дома до школы
310 м. Из дома я иду в школу, а оттуда на стадион. Какой длины путь
я проделываю'в один конец?
422. Вычислите в метрах и сантиметрах периметр:
а) треугольника, если его стороны равны 26 см, 61 см и 52 см;
б) прямоугольника, длина которого 60 сму.а. ширина 39 см.
423. Выполните действие:
а) 226 — 138; в) 502 + 299; д) 265 + 355; ж) 713 — 524;
б) 479 + 361; г) 937 — 858; е) 570 — 281; з) 467 + 43&
424. Найдите значение выражения:
а) 456 + 375; г) 112— 98; ж) 548+ 78;
б) 379 — 294; д) 99 + 843; з) 411 — 308;
в) 7 + 399; е) 541 — 182; и) 68 + 79.
425. Найдите разность:
а) 710 — 58; в) 300 — 67; д) 100— 85;
б) 100—13; г) ПО— 27; е) 200—177.
426. Выполните вычитание и сделайте проверку сложением:
а) 405—124; в) 805 — 566; д) 202— 49; ж) 707— 28;
б) 307 — 288; г) 901— 35; е) 506 — 318; з) 401— 3.
427. Найдите разность, если:
а) уменьшаемое 403, вычитаемое 98;
б) вычитаемое 468, уменьшаемое 700;
в) уменьшаемое 690, вычитаемое 593;
г) вычитаемое 429, уменьшаемое 810.
—71 —

428.
429.
430.
431.
Каждое из чисел: 812, 654,425, 602 и 380 — уменьшите сначала на 310,
а потом ещё на 68.
На сколько единиц каждое число нижней строки больше стоящего над
ним числа верхней строки:
546, 127, 888, 507, 621, 427,
604, 288, 888, 611, 810, 516?
Составьте из чисел 504, 212 и 606 все разности и найдите их значения.
Составьте из чисел 546, 188 и 209 все суммы с двумя слагаемыми и
найдите их значения.
26. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
В уравнении 347 + х = 519 слева от знака равенства (рис. 75) стоит
выражение 347 + х. Это выражение называют левой частью уравнения.
Число 519 называют правой частью уравнения, потому что оно стоит
справа от знака равенства.
Точно так же в неравенстве слева от
знака неравенства стоит левая часть,
справа — правая часть. Например, в
неравенстве 67>45 — у число 67 —
левая часть неравенства, а
выражение 45 — у — правая часть.
432. Назовите левую и правую части
уравнения или неравенства:
а) 560 = а + 210;
б) 387 — с = 98;
в) 56 : х = 8;
г) 507 — у < 200;
д) а — 404 > 507;
е) 45 > 60 : у.
433. Составьте уравнение, в котором:
а) левая часть — сумма с неизвестным
слагаемым, а правая — число;
б) левая часть — число, а правая —
разность с неизвестным вычитаемым;
в) левая часть — разность с
неизвестным уменьшаемым, а правая — число;
г) левая часть — произведение с
неизвестным множителем, а правая —
число;
д) левая часть — число, а правая —
частное с неизвестным делимым;
—72—

е) левая часть — частное с неизвестным делителем, а правая — число.
434. Составьте неравенство, в котором:
а) левая часть — сумма с неизвестным слагаемым, а правая — число;
б) левая часть — разность с неизвестным вычитаемым, а правая —
число; в) левая часть — число, а правая — разность с
неизвестным уменьшаемым; г) левая часть — число, а правая —
произведение с неизвестным множителем; д) левая часть — частное с
неизвестным делимым, а правая — число; е) левая часть — число, а
правая — частное с неизвестным делителем.
435. Из трёх чисел 10, 20 и 2 и знака действия составьте четыре верных
равенства и два верных неравенства. Назовите левую и правую части
каждого равенства и каждого неравенства.
436. Решите уравнение:
а) 87+ р =305; в) х+ 567 = 833;
б) 600 = 241 + k\ г) 700 = у + 692.
437. Запишите предложение в виде уравнения и решите это уравнение:
а) если число х увеличить на 237, то получится 610;
б) если число 453 увеличить на k, то получится 522;
в) число 804 равно сумме чисел у и 766;
г) сумма чисел р и 561 равна числу 923.
438. Какое из двух чисел больше и на сколько единиц:
а) 805 и 178; б) 625.и 729; в) 493 и 570; г) 831 и 555?
439. Какое из двух чисел меньше и на сколько единиц:
а) 375 и 411; б) 530 и 472; в) 604 и 921; г) 708 и 546>
440. Запишите предложение в виде равенства:
а) 810 больше 320 на 490; в) 715 меньше 905 на 190;
б) х меньше 564 на 219; г) у больше 427 на 65.
441. Что больше: х или 457 — и на сколько единиц, если:
а) х —457= 96; в) 457— х =322;
б) 345= х —457; г) 123 = 457— х?
442. Прочитайте различными способами уравнение (см. упр. 440):
а) 650 — k = 548; в) р — 420 = 435;
б) х —88 = 400; г) 832 — у = 1.
443. Решите уравнение:
а) Ю0+ х -200
б) 120— k = 80:
в) р —240 = 400:
г) х + 68 = 320
Д) а +378 = 612;
е) х — 79 = 425;
ж) 817— а =520;
з) 238 + в = 600.
—73—

444. Составьте уравнение, решите его и ответьте на вопросы:
а) К какому числу надо прибавить 26, чтобы в результате получилось
44?
б) Какое число надо прибавить к 28, чтобы получилось 73?
в) Из какого числа надо вычесть 41, чтобы получилось 19?
г) Какое число надо вычесть из 50, чтобы получилось 38?
445. Мальчик не помнит, сколько рыб он поймал у моста. У обрыва он поймал
69. Всего оказалось 112 рыб. Сколько рыб мальчик поймал у моста?
446. Девочка собирала грибы и не считала их. Когда надо было идти домой,
она отдала маме 78 грибов, да у неё осталось 65. Сколько грибов собрала
девочка?
447. В магазин привезли плащи. После того как продали 126, осталось
85 плащей. Сколько плащей привезли в магазин?
448. В наш класс поступило 5 новых мальчиков. Теперь у нас 43 ученика.
Сколько учеников было в нашем классе?
449. В книге 208 страниц. Часть книги я уже прочитал, и осталось ещё
69 страниц. Сколько страниц я прочитал?
450. В Сосновке на 237 жителей меньше, чем в Никольском. Сколько
жителей в Никольском, если в Сосновке 584 жителя?
451. На ферме овец на 456 больше, чем коз. Сколько коз на ферме, если овец
910?
452. Угадайте, сколько мне лет, если 4 года назад мне было 7 лет.
453. Сколько лет моей маме, если через 25 лет ей будет 54 года?
27. РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ
Решениями неравенства 5<л:<11 являются все числа по порядку от
5 до 11, не считая чисел 5 и 11. Если мы хотим, чтобы числа 5 и 11
были также решениями неравенства, мы должны вместе со знаком
«меньше» писать знак «равно»: 5<лс<11. Обычно пишут:
5 < х < 11.
Знак < читается: меньше или равно.
Решением неравенства 5<л:<;11 являются все по порядку числа от 5
до 11, считая числа 5 и 11. Можно составить и taKoe двойное
неравенство, в котором одно из чисел будет его решением, а другое нет.
Рассмотрим четыре двойных неравенства и под каждым из них
напишем множество его решений:
5<х< 11 5<х< 11
{6, 7, 8, 9, 10}; {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11};
5<х< 11 5<л:< 11
{5, 6, 7, 8, 9, 10}; {6, 7, 8, 9, 10, 11}.
—74-

454. Прочитайте неравенство:
а) 450 < у < 500; в) 507 < а < 678;
б) 214 < х < 980; г) 0 < р < 999.
455. Составьте множество решений неравенства:
а) 595<х<603; г)897<#<902;
б) 399 < р < 401; д) 769 < k < 773;
в) 102 < f/ < 104; е) 0<х< 5.
456. Найдите три решения двойного неравенства: *
а) 867 < у < 905; в) 426 < х < 765;
б) 0<*<987; г) 25<р<250.
457. Какое из чисел: 568, 421, 309, 4, 97 — является решением двойного
неравенства 6<:#<568?
458. Составьте двойное неравенство, множество решений которого равно:
а) {607, 608, 609, 610); в) {299, 300);
б) {300, 301, 302,; 303, 304}; г) {999}.
459. Напишите двойное неравенство, решениями которого являются все
числа по порядку:
а) от 76 до 650, включая 76 и 650;
б) от 2 до 800, включая 2 и исключая 800;
в) от 547 до 933, включая 933 и исключая 547;
г) от 438 до 587, исключая числа 438 и 587.
460. А — множество чисел, больших 489 и меньших 495, В — множество
чисел, больших 493 и меньших 498. Запишите с помощью фигурных
скобок объединение и пересечение множеств А и В.
461. К — множество решений неравенства 607<&<612, С —множество
решений неравенства 610<с<614. Запишите с помощью фигурных
скобок объединение и пересечение множеств С и К.
462. В — множество решений неравенства 256<х<;261. Поставьте вместо
звёздочки знак £ или ^ :
а) 260 * В; в) 255 * В\ д) 270 * В\
б) 261 * В; г) 256 * В; е) 259 * Б.
463. Найдите три решения неравенства:
а) X + 457 < 760; в) 245 + у < 630;
б) 540— р >300; г) х — 257 > 50.
464. Составьте множество решений неравенства:
а) с + 320 < 325; б) 600 — х > 596.
—75—

28. ХОРДА ОКРУЖНОСТИ. ДИАМЕТР
Отметим на окружности (рис. 76)
точки С и л\ Соединим их
отрезком. Полученный отрезок
называют хордой.
Хордой называется отрезок,
соединяющий две точки
окружности.
Хорда АВ проходит через центр
окружности. Такую хорду
называют диаметром. Диаметром
окружности называется хорда,
проходящая через центр этой
окружности.
465. Точка О — центр окружности
(рис. 77). Назовите все
изображённые на рисунке отрезки. Чем
в окружности служит каж-
Р дый из этих отрезков?
466. Назовите радиусы, диаметры и
хорды, изображённые на
рисунке 78.
467. Назовите фигуры, изображённые
на рисунке 79. Является ли
ломаная линия АРВ хордой
окружности? Является ли она
диаметром?
468. Одна из точек О или К является
центром окружности (рис. 80).
Какая? Как это проверить?
469. Начертите окружность с центром
в точке О и радиусом 4 см.
Отметьте на окружности точку В и
проведите из неё четыре хорды
так, чтобы одна хорда была диа-
В. метром.
470. Начертите окружность, радиус
которой равен 4 см 5 мм.
Проведите хорды АВ, АС, АКу /СР.
471. Начертите окружность, радиус
—76—

которой равен 3 см 8 мм. Постройте треугольник ABC, две стороны
которого были бы хордами. Будет ли хордой третья сторона
треугольника?
472. Вообразите, что начертили окружность и четырёхугольник АВСК.
Точки Л, В, С лежат на окружности, а точка К не лежит на окружности.
Какие стороны четырёхугольника являются хордами?
473. Начертите какую-нибудь окружность. Постройте треугольник АВК так,
чтобы стороны АВ и В К были хордами, а сторона А К — диаметром
окружности.
474. Начертите окружность, радиус которой равен 5, см. Отметьте на
окружности пять точек так, чтобы они разделили её на равные дуги (части
окружности). Соедините отрезками эти точки через одну. Раскрасьте
получившуюся звезду.
475. Начертите окружность, радиус которой равен 4 см. Отметьте на
окружности точку А. Проведите хорды АВ, ВС, С/С, КЕ, КМ и МА, каждая
из которых равна 4 см. Закрасьте получившийся шестиугольник.
476. Начертите два треугольника ABC и ВСР так, чтобы все их вершины
лежали на одной и той же окружности. Назовите получившиеся хорды.
477. Две стороны четырёхугольника АВМК—радиусы окружности, а
две другие — хорды. Выполните чертёж.
478. Одна сторона четырёхугольника — диаметр окружности, а остальные
стороны — хорды. Сделайте чертёж.
479. Начертите отрезок АВ, длина которого 4 см. Постройте две равные
окружности с радиусами 3 см и с центрами в точках А и В. Проведите
общую хорду этих окружностей.
480. Точка О — центр двух окружностей, радиусы которых 3 см 5 мм и
4 см 5 мм. Выполните чертёж. Проведите четыре диаметра большого
круга. Раскрасьте получившуюся фигуру.
§ 7. УМНОЖЕНИЕ НА ОДНОЗНАЧНОЕ ЧИСЛО
29. УМНОЖЕНИЕ ДВУЗНАЧНОГО ЧИСЛА, ОКАНЧИВАЮЩЕГОСЯ
НУЛЁМ, НА ОДНОЗНАЧНОЕ
Умножим число 30 на 6. Представим произведение 30-6 в виде
суммы 30-6 = 30 + 30 + 30 + 30 + 30 + 30. Найдём значение суммы:
30 + 30+ 30 - 90, 90 + 90 - 180.
481. Выполните сложение:
а) 50 -f 30 + 50 + 40; в) 20 + 70+ 10 + 80;
б) 10 + 20 + 30 + 40 + 50; г) 90 + 80 + 70.
—77—

482. Найдите значение выражения:
а) 10+10+10+10+ 10;
б) 40 + 40 + 40 + 40 + 40;
в) 60 + 60 + 60 + 60;
г) 90 + 90 + 90.
суммы и выполните сложение:
483. Представьте произведение в виде
а) 20-3; в) 50-5;
б) 80-2; г) 70-4.
При умножении нам приходилось складывать равные числа. Такое
сложение можно выполнить проще. Рассмотрим пример:
90-7 = 90 + 90 + 90 + 90 + 90 + 90+90 =
= 9д+9д + 9д + 9д+9д+9д + 9д =
=(9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9)д = (9 -7)д = 63д = 630.
Мы видим, что достаточно число десятков умножить на 7, чтобы
получить произведение в десятках:
90-7 = 9д-7 = 63д = 630.
484. Выразите в единицах:
а) 87 д; в) 59 д; д) 5 д 6 е;
б) 92 д; г) 40 д; е) 65 д 7 е.
485. Выполните умножение:
а) 3 д • 5; в) 6 д • 5;
б) 8 • 7 д; г) 8 • 4 д.
486. Найдите значение выражения:
а) 40-4; в) 2-70; д) 4-80; ж) 60-7;
б) 50-8; г) 90-8; е) 90-5; з) 6-70.
487. Составьте выражение и найдите его значение:
а) из числа 700 вычтите произведение 80 и 6;
б) к произведению 70 и 7 прибавьте произведение 7 и 7;
в) к произведению 6 и 9 прибавьте произведение 60 и 9;
г) из произведения 7 и 50 вычтите частное 72 и 8.
488. Найдите частное и проверьте умножением:
а) 80 : 4; г) 630 : 9;
б) 490 : 7; д) 720 : 80;
в) 240 : 6; е) 320 : 40.
489. Выполните действия:
а) ( 40 • 5) —( 30
б) ( 9 • 60) —(450
в) (300 : 5) + (400
• г) (911 —88) —(640
490. Найдите площадь прямоугольника, если его стороны равны:
а) 7 см п 30 см; в) 80 см и 8 см;
б) 50 еж и 6 см; г) 6 еж и 90 см.
4);
5);
5);
8);
д) (3 ■
е) (40
ж) (20
з) (50
80) + ( 3 •
8)+ (30 •
5)+ (70 •
• 7)+ (10 •
70)
8)
5)
7)
—78—

81
491- Площадь
прямоугольника 480
кв. см. Одна
сторона
прямоугольника 8 см.
Найти
остальные стороны.
492. Найдите двумя
способами
площадь
прямоугольника,
размеры которого показаны на рисунке 81.
493. Наша семья летом путешествовала 3 недели на автомашине и 5 недель
на пароходе. Сколько дней путешествовала наша семья? Решите двумя
способами.
494. В канистру входит 20 кг бензина. Пустая канистра весит 2 /сг-.Сколько
килограммов весят 3 полных канистры? Решите двумя способами.
4см
-^ — ^
Зсм
ц
30. УМНОЖЕНИЕ СУММЫ НА ЧИСЛО
Площадь прямоугольника АВМК (рис. 82) можно найти по-разному.
Первый способ. Найдём длину прямоугольника: 12 + 8 =
= 20 (см). Вычислим площадь: 20-4 = 80 (кв. см).
Второй способ. Найдём площадь прямоугольника ABCD:
12-4 = 48 (кв. см). Найдём площадь прямоугольника DCMK: 8-4 =
=- 32 (кв. см). Найдём площадь прямоугольника АВМК: 48 + 32 =
= 80 (кв. см).
Решение задачи первым и вторым способами можно записать в виде
выражений (12 + 8)-4 и (12-4) + (8-4). Эти выражения равны, так
как они представляют площадь одного и того же прямоугольника:
(12+ 8).4 = (12-4) + (8-4).
Рассмотрим это равенство. В левой части сумма 12 и 8 умножается на
число 4, а в правой слагаемые 12 и 8 умножаются на число 4 и
складываются полученные произведения.
p^mwwwwmi»
12 см
Шмш
ММММЬм
с
ИММ^чт**^^^
—^-
D
—«
^тттш*щтгт*ттш
___8см_
4PNHPI
^
м
82

Чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число
каждое слагаемое отдельно и сложить полученные произведения.
Это правило верно для любых чисел и для любого числа слагаемых.
С помощью этого правила можно выполнять умножение многозначных
чисел. Рассмотрим пример умножения однозначного и двузначного
чисел.
Пример. Найдём произведение 15 и 4. Представим число 15 в виде
суммы двух однозначных чисел, например 7 и 8:
15-4 - (7+ 8).4 = (7-4) + (8-4) = 28 + 32 = 60.
495. Найдите значение выражений двумя способами:
а) (2+ 6). 9; в) (7+3). 8;
б) (4+ 5). 5; г) (10+7). 10.
496. В произведении первый множитель представлен в виде суммы двух
слагаемых. Найдите значение произведений:
а) 17 . 3 = (9 + 8) . 3; в) 13 - 7 = ( 8 + 5) • 7;
б) 16 • 9 = (6 + 10) -9; г) 31 • 4 = (30 + 1) • 4.
497. Представьте первый множитель в виде суммы двух равных слагаемых и
найдите значение произведений:
а) 18- 5; в) 16 -6;
б) 14 • 9; г) 20 • 7.
498. Представьте первый множитель в виде суммы двух слагаемых и найдите
значение произведений:
а) И . 8; в) 15 . 6;
б) 12 • 5; г) 19 . 8.
499. Выполните умножение:
а) 13 . 5; в) 16 • 3;
б) 4 • 17; г) 23 • 4.
31. УМНОЖЕНИЕ ДВУЗНАЧНОГО ЧИСЛА НА ОДНОЗНАЧНОЕ
При умножении 12 rta 9 число 12 можно представить в виде суммы
различными способами, например 7 + 5 или 10 + 2. Выполним
умножение:
12-9 = (7 + 5)-9= (7-9) + (5 9) = 63 + 45 = 108;
12-9 = (Ю + 2) • 9 = (10-9) + (2-9) - 90 + 18 = 108.
—80—

Мы видим, что выгоднее представлять один из множителей в виде суммы
однозначного числа и числа, оканчивающегося нулём.
Пример. 84-7 = (80 + 4).7 = 560 + 28 = 588.
500. Найдите значение выражения:
а) (40+ 7). 9; в) (50+ 6) - 8;
б) (20 +8). 5; г) (3+70). 6.
501. В произведении первый множитель представлен в виде суммы двух
слагаемых. Найдите значение произведений:
а) 55 • 5 = (50+5) -5; в) 7 . 26 = (20+ 6) . 7;
б) 39 • 9 - (30+9) -9; г) 4 . 76 - ( 6+ 70) - 4.
502. Представьте первый множитель в виде суммы и найдите значение
выражения:
а) 32 • 7; в) 35-6;
б) 79 . 5; г) 53 • 4.
503. Выполните умножение:
а) 47-7; в) 2-82;
б) 99-8; г) 6-69.
При умножении двузначного числа на однозначное записи удобно
располагать столбиком и вычисления начинать с конца. Умножим 63 на 7.
Подпишем одно число под другим так, чтобы единицы были под
единицами. Умножим 3 на 7, получится 21. Умножим 60 на 7, получится
420:
63 7
" 7_ 63
-L 21 ,21
^ 420 ^ 420
441 441
504. Выполните умножение столбиком:
а) 67 . 5; в) 12 . 8;
б) 4-45; г) 6 ■ 76.
505. Составьте выражение и найдите его значение:
а) из произведения 24 и 6 вычтите частное 360 и 9;
б) к частному 180 и 6 прибавьте произведение 31 и 7.
506. Длина прямоугольника 55 см, а ширина 8 см. Найдите площадь
прямоугольника.
507. Сторона квадрата 26 см. Найдите периметр квадрата.
6 Зак. 1872 —81 —

508. Купили 78 тетрадей по 2 коп. Сколько сдачи получили с 2 руб.?
При умножении столбиком запись можно производить короче. Для
этого придётся некоторые вычисления производить в уме. Умножим,
например, 87 на 6. Умножаем 7 на 6, получаем 42. Пишем 2 единицы, а
4 десятка запоминаем. Умножаем 8 десятков на 6, получаем 48
десятков да 4 десятка (те, которые запомнили) — всего 52 десятка.
Произведение 87 и 6 равно 522:
87
' 6
522
509. Выполните умножение:
а) 79 • 6; в) 27 . 3; д) 91 • 7; ж) 99 . 9;
б) 6 . 52; г) 34-8; е) 8 • 73; з) 4 • 82.
510. Составьте выражение и найдите его значение:
а) из произведения 84 и 8 вычтите произведение 63 и 8;
б) из суммы 207 и 693 вычтите частное 450 и 50;
в) к разности 610 и 444 прибавьте произведение 25 и 8;
г) произведение 4 и 25 разделите на частное 300 и 30.
511. Найдите значение выражения:
а) 719 —(49-8); г) ( 28 • 9) —(420 : 7);
б) (360 : 6)+(360: 9); д) ( 54 • 5) —(600 —457);
в) (427 + 193) — ( 6 • 38); ^ е) (500 — 222) + ( 37 - 6).
512. Поезд от Москвы до Кратово идёт 46 мин. Инспектор ездит на работу из
Москвы в Кратово 3 раза в неделю. Сколько времени в неделю тратит
инспектор на дорогу?
513. В книге 220 страниц. Толя читал эту книгу 6 дней, по 27 странице
день. Сколько страниц осталось прочитать Толе?
514. Одна деталь весирб кг. Сколько килограммов весят 12, 17, 23, 48, 76
таких деталей? Заполните таблицу:
Число деталей
Вес деталей
12
17
23
48
76 |
32. УМНОЖЕНИЕ ТРЁХЗНАЧНОГО ЧИСЛА НА ОДНОЗНАЧНОЕ
Найдём периметр прямоугольника, сторона которого равна 200 см.
Для этого надо 200 умножить на 4. Как это сделать?
Можно произведение 200-4 представить в виде суммы 200 -f 200 +
—82—

+ 200 + 200 и выполнить сложение. А можно сделать проще. Выразим
* сторону квадрата в метрах: 200 см = 2 м. Умножим 2 на 4 и получим
периметр в метрах:
2-4 -8 (ж).
Выразим периметр в сантиметрах: 800 см. Значит,
200-4 = 800.
Мы нашли хороший способ умножать несколько сотен на однозначное
число:
200-4 = 2с-4 - (2-4)с = 8с = 800.
При умножении 2с на 4 достаточно число сотен умножить на 4, чтобы
получить результат в сотнях. Ещё пример. Найдём произведение 300
и 2. Умножим число сотен 3 на 2 и получим результат в сотнях:
300-2 = 600.
515. Выразите в единицах:
а) 4 с; в) 7 с; д) 8 с;
б) 9 с; г) 3 с; е) 4 с.
516. Выразите в,сотнях: 200, 300, 600, 800, 100, 900.
517. Выполните умножение:
а) 400 * 2; в) 3 . 200;
б) 300 -2; г) 100 . 7.
Умножим число 319 на 3. Представим первый множитель в виде суммы
300 + 10 + 9 и умножим на 3 каждое слагаемое:
319-3- (300+ 10 + 9)-3 = (300-3) + (10-3) + (9-3) = 900 +
+ 30 + 27 - 957.
При умножении трёхзначного числа на однозначное вычисления удобно
располагать столбиком и умножение начинать с единиц. Подпишем одно
число под другим. 9 умножаем на 3, получаем 27, 7 единиц пишем,
2 десятка запоминаем. 1 десяток умножаем на 3, получаем 3 десятка,
3 десятка да 2 десятка — 5 десятков. Пишем: 5 десятков. 3 сотни
умножаем на 3 — 9 сотен. Пишем 9 сотен. Получаем результат 957:
319 3
' 3 " №_
957 957
518. Найдите значение выражения:
а) (400 + 20 + 1) • 2; в) (200 + 80 + 3) - 3;
б) (100+ 10+8).7; г) (300+60 + 5)-2.
б*
-83-

519. Представьте первый множитель в виде суммы трёх слагаемых и найдите
значение произведения:
а) 249 - 2; б) 325 • 3.
520. Выполните столбиком умножение:
521.
а) 111 -9;
б) 428 • 2;
в) 158-4;
г) 206 • 4;
Найдите значение i
а) 910 —(108
б) (218 • 4) —
в) 78+ (106
г) (257 -f 158)
•5);
599;
•6);
•2;
Д) 4 • 202;
е) 307 • 3;
ж) 8 • 108;
з) 105 • 9.
выражения:
Д) (269 +
е) ( 36 •
ж) ( 80 :
з) (400 —
34)
7)
10)
129)
(700 — 697);
( 24 : 12);
( 76 +' 26);
• ( 50 : 25)
522. Известно, что произведение 59 и 6 равно 354. Как найти, не выполняя
умножения, произведение:
а) 59 • 7; в) 59 • 5;
б) 8-59; г) 4 - 59?
523. Известно, что произведение.65 и 13 равно 845. Найдите, не выполняя
умножения, произведение:
а) 65 • 12; в) 65 . 14;
б) 11-65; г) 15-65.
524. В один магазин привезли 47 стиральных машин. В другой — в 8 раз
больше, чем в первый, а в третий — в 2 раза больше, чем во второй.
На сколько больше стиральных машин привезли в третий магазин,
чем в первый?
525. При заготовке леса спилили 81 ель. Дубов спилили в 9 раз меньше, чем
елей, а сосен в 106 раз больше, чем дубов. На сколько меньше спилили
дубов, чем сосен?
526. С огорода собрали арбузы, дыни и картофель. Арбузов собрали на 479 кг
больше, чем дынь. Дынь собрали 204 кг. Картофеля собрали в 4 раза
больше, чем дынь. Чего и на сколько килограммов больше собрали с
огорода: арбузов или картофеля?
527. Около дома растут яблоня, слива и груша. На яблоне 142 яблока.
На груше на 59 плодов больше, чем на яблоне, а на сливе в 2 раза
больше, чем на яблоне и груше. Сколько плодов на сливе?
—84—

33. ПЕРЕГИБАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР
528.
529.
530.
531.
532.
Проведем в круге (рис. 83) хорду, не проходящую через центр. Эта
хорда разобьет круг на две части. Перегнём круг по хорде так чтобы
одна часть наложилась на другую (рис. 84). Теперь фигуры А и В имеют
общие точки. Если на фигуре А отметить любую точку, то она будет
принадлежать фигуре Я. На фигуре В можно отметить такую точку
которая не принадлежит фигуре А. При таком наложении нам не удалось
совместить всеми точками фигуру А с фигурой 5.
Если перегнуть круг по диаметру (рис. 85), то одна часть совпадёт с
другой всеми своими точками. Пересечением фигур А и В после
наложения является как фигура Л, так и фигура В.
Вырежьте из бумаги круг. Сложите его вдвое так, чтобы одна часть
совпала всеми точками с другой. Разверните круг и покажите отрезок
сгиба. Чем является этот отрезок в круге? Таким же способом
проведите в этом круге ещё два диаметра.
Вырежьте из бумаги круг и отметьте на его окружности точки А В и
С. Перегните круг по хордам ЛВ, ВС и СА. Какую фигуру образовали
линии сгиба?
В вырезанном из бумаги круге проведите четыре радиуса с помощью
двух перегибов круга.
Вырежьте из клетчатой бумаги прямоугольник, стороны которого
равны 8 см и 12 см. Сколькими способами можно сложить этот
прямоугольник точно вдвое? Сложите прямоугольник вчетверо. Какая получилась
фигура? Можно ли сложить вдвое полученную фигуру? Назовите
домашние вещи, которые можно складывать точно вдвое один или
несколько раз.
Покажите на бумажной модели, как разделить прямоугольник с
помощью складывания:
а) на четыре части; б) на три равные части.
-85-

86
87
88
533. Сколькими способами можно сложить вдвое квадрат? Какие фигуры
получаются при каждом складывании?
534. Перегните квадрат так, чтобы получились линии сгиба, показанные на
рисунке 86. Сложите квадрат по линиям сгиба вдвое так, чтобы снова
получился квадрат.
535. Отметьте точки Л, В и С так, как показано на рисунке 87. Начертите
и вырежьте треугольник ABC. Можно ли треугольник ABC сложить
точно вдвое?
536. Можно ли любой треугольник сложить точно вдвое? Вырежьте из
бумаги треугольник с различными сторонами и попробуйте сложить его
точно вдвое.
537. Как вырезать из бумаги какую-нибудь фигуру, которую можно сложить
точно вдвое? х
538. Сложите круг вчетверо и отрежьте от него часть по отрезку MN (рис. 88).
Разверните оставшуюся часть. Какая получилась фигура? Как это
проверить?
539. Вырежьте из бумаги восьмиугольник таким способом, каким был
вырезан четырёхугольник (см. упр. 538).
§ 8. ДЕЛЕНИЕ НА ОДНОЗНАЧНОЕ ЧИСЛО
34. ВСЕГДА ЛИ ВЫПОЛНИМО ДЕЛЕНИЕ!
В нескольких больших клетках содержится 125 попугаев, по 5
попугаев в каждой клетке. Сколько было клеток?
В х клетках попугаи. В каждой клетке их 5. Если умножить 5 на лс, то
получится 125:
5л: = 125.
Неизвестный множитель находится с помощью деления: х = 125 : 5.
Число х равно 25, так как произведение 25 и 5 есть число 125. Значит,
клеток было 25.

Рассмотрим ещё одну задачу. Можно ли 36 деревьев посадить в 5 рядов
так, чтобы во всех рядах деревьев было поровну?
Если в каждом ряду будет у деревьев, то произведение у и 5 должно
равняться 36:
#•5 = 36.
Чтобы решить задачу, достаточно 36 разделить на 5. Частное 36 : 5 не
может равняться 7, так как произведение 7-5 меньше 36. Это частное
не может быть равным и 8, так как произведение 8*5 больше 36.
Значит, нет такого числа, при умножении которого на 5 получилось бы 36.
Выражение 36 : 5 не имеет смысла. В таких случаях говорят, что одно
число не делится на другое. Число 36 не делится на 5, а число 125
делится на 5.
Мы видим, что одни числа на 5 делятся, а другие не делятся. Так ведут
себя все делители, за исключением единицы и нуля. На единицу делится
каждое число. На нуль же делить нельзя никакое число. Постараемся
это понять. Попробуем разделить число 7 на 0. Чему может быть равно
частное? Предположим, что оно равно 7(7 : 0 -= 7). Тогда при
умножении 0 на 7 должно получиться 7. Но это неверно. Произведение 0 и 7
равно 0. Предположим, что частное равно 0 (7 : 0 = 0). При умножении
0 на 0 теперь должно получиться 7. Это также неверно. Произведение
0 и 0 равно 0. Мы знаем, что произведение любого числа и 0 равно 0.
Поэтому нет такого' числа, при умножении которого на 0 получилось
бы 7. Значит, частное 7 : 0 не имеет смысла.
Чему равно частное 0 и 0? Какое число надо умножить на 0, чтобы
получить 0?Мы уже видели, что таким числом может быть любое число.
Значит, и в выражении 0 : 0 мало смысла, так как его значением
может быт^ любое число. Поэтому делить на 0 запрещается во всех случаях.
Делить на нуль нельзя.
. Придумайте три числа, каждое из которых делится:
а) на 2; в) на 5;
б) на 8; г) на 3.
. Придумайте три числа, которые не делятся:
а) на 4; б) на 7.
. Можно ли найти такое число, которое:
а) делится на 2 и делится на 3;
б) делится на 5 и делится на 2;
в) делится на 3 и не делится на 2;
г) не делится на 2 и не делится на 3?
—87—

543. Объясните, почему при делении любого числа на единицу получается
то же число.
544. Можно ли 75 человек распределить на 9 машин так, чтобы на всех
машинах людей было поровну?
545. Можно ли 60 книг расставить на 5 полках, чтобы на всех полках книг
было поровну?
546. Можно ли разбить 46 учеников на команды по 6 учеников в каждой?
547. Можно ли 19 учеников рассадить за 11 парт?
548. У девочки 30 коп. Может ли она купить 4 булки по 7 коп. ?
35. ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ
549.
550.
551.
89
Возьмите 12 монет (или других мелких вещей) и расположите их в
прямоугольную таблицу с тремя строками. Сколько монет в каждой
строке? Запишите решение в виде равенства. Сделайте проверку
умножением.
Можно ли 19 монет расположить в прямоугольную таблицу с четырьмя
строками? Возьмите 19 монет и положите в каждую строку сначала по
одной монете, потом по другой и т. д. Сколько монет оказалось в каждой
строке?Сколько монет лишних ? Можно ли решение задачи записать в
виде равенства 19: 4=4? Верное ли это равенство? Проверьте умножением.
Лена и Маша разделили поровну между собой 7 яблок. Сколько
целых яблок получила каждая девочка? Можно ли решение задачи
записать в виде равенства 7:2 = 3? Сколько яблок получила каждая
девочка?
—88—

552. Три девочки купили 5 м ленты и разрезали её так, что все получили
поровну. Сколько целых метров ленты получила каждая девочка? Верно
ли равенство 5:3= 1?
553. На решение 8 задач Миша потратил 52 мин. Он заметил, что на каждую
задачу уходило одно и то же время. Сколько целых минут ушло на
каждую задачу? Верно ли равенство 52 : 8 = 6? Сколько минут тратил
Миша на каждую задачу?
554. Корабль разбился о скалы около необитаемого острова. Команда была
выброшена волной на берег. Из всех запасов продуктов удалось спасти
47 банок консервов. Было решено съедать ежедневно 5 банок. На
сколько дней хватит консервов (рис. 89)?
Попытаемся расположить 26 пуговиц в прямоугольную таблицу с
шестью строками. Если в каждую строку положить по одной пуговице,
то понадобится 6 пуговиц. Положим в каждую строку по 2 пуговицы.
Всего уйдёт 12 пуговиц. Положим по 3 пуговицы. На это уйдёт 18
пуговиц. Положим но 4 пуговицы. Уйдёт 24 пуговицы. Если положить по
5 пуговиц, то понадобится 30 пуговиц. А всего в нашем распоряжении
26 пуговиц. Значит, в каждую строку можно положить 4 пуговицы и
ещё останется 2 пуговицы (рис. 90).
Число 26 не делится на 6. И все же при решении задачи нам пришлось
26 пуговиц разделить поровну на 6 строк. При этом 2 пуговицы остались
лишними. В таких случаях говорят, что число 26 разделили с
остатком на 6. В частном получилось 4 и в остатке 2. Это записывают так:
26 : 6^4 (ост. 2).
Знак zz читается: приближённо равно. Следует запомнить, что остаток
всегда должен быть меньше делителя.
Пример 1. Разделим с остатком 53 на 9. Число 53 не делится на 9, так
как произведение 5 и 9 меньше 53, а произведение 6 и 9 больше 53
(5-9 = 45, 6-9 = 54). Значит, в числе 53 содержится 5 раз по 9 и ещё
8 единиц:
53 : 9 ^ 5 (ост. 8).
Пример 2. Разделим с остатком 5 на 8. В числе 5 содержится 0 раз по 8
я ещё 5 единиц:
5:8^0 (ост. 5).
—89—

555. Верно ли выполнено деление с остатком:
а) 75:9;
б) 12:5:
в) 38 : 8:
;8(ост. 3)
: 1 (ост. 7)
;4(ост. 6):
г) 32
Д) 4
е) 5
22 як 1 (ост.
8 як 0 (ост.
25. як 0 (ост.
Ю);
4);
5)?
556. Выполните деление с остатком:
559.
560.
561.
562.
563.
а) 65 : 7:
б) 3:8
"' 8:
6
8:3
в) 71
г) 43
Д)
е) 1
ж) 2
з) 21
и) 33
к) 20
7
4:
6
10
43:
л) 15
м) 91
н) 30
о) 6
п) 24
13
9
4
12
21
557. Выполните деление (с остатком или без остатка):
а) 72 : 8;
б) 72 : 7;
в) 48 : 8;
г) 4
Д)64
е) 85
5;
9;
10;
ж) 47
з) 8
и) 10
9;
9;
15.
558. В приближённом равенстве найдите неизвестное делимое или
неизвестный остаток:
а) х : 8;
б) 39 : 7;
:4(ост. 3);
; 5 (ост. у);
в) 86
г) У
39;
23;
:2 (ост. х);
;3 (ост. 1).
Может ли получиться при делении какого-нибудь числа:
а) на 7 остаток 9; в) на 42 остаток 1; д) на 61 остаток 61;
б) на 10 остаток 9; г) на 86 остаток 75; е) на 50 остаток 70?
Найдите два числа, при делении каждого из которых на 5 получается
в остатке 3.
Напишите множество двузначных чисел, которые при делении на
число 9:
а) дают в остатке 1; б) дают в остатке 5.
А —множество двузначных чисел, дающих при делении на 10 в
остатке 5, В — множество однозначных чисел, дающих в остатке 1 при^
делении на 2. Запишите с помощью фигурных скобок эти множества.
Каждое число из верхней строки таблицы разделите на 5. Если число
делится на 5, то напишите под ним 0, если число не депится на 5, то
напишите под ним остаток от деления его на 5:
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
_J
—90—

564. Придумайте три числа, которые при делении на 4 да!°т остатки 1, 2, 3.
565. Можно ли найти такое число, которое при делении на 4 даст в остатке 5?
566. Сколько порций мороженого по 9 коп. можно купить» имея 50 коп.?
567. На каждую машину можно поместить 9 станков. Ск<>лько потребуется
машин, чтобы погрузить 50 станков?
568. В автобус входит не более 50 человек. Сколько рейс#в должен сделать
автобус, чтобы отвезти за город 195 человек? Решите с помощью
вычитания.
569. Лифт может поднять не более 280 кг. За сколько раз можно поднять на
лифте груз в 920 кг? Решите вычитанием.
570. Выполните деление с остатком с помощью вычитание
а) 870 : 540; в) 630 : 220;
б) 202 : 95; г) 387 : 111.
571. Можно ли число 47 представить в виде суммы нескольких слагаемых,
каждое из которых равно 5?
572. Можно ли число 54 представить в виде суммы нескольких слагаемых,
каждое из которых равно 6?
573. Делятся ли на 9 числа 28 и 53? Делится ли на 9 их сумма?
36. ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ НА ОДНОЗНАЧНОЕ ЧИСЛО
Покажем более удобную запись деления с остатком. Разделим 75 на 8.
Есть ли такое число, при умножении которого на 8 получается 75?
Будем умножать по очереди числа 1, 2, 3, 4 и т. д. на 8:
1 . 8 = 8 — мало; 6 • 8 = 48 — мало;
8=16 — мало; 7 • 8 = 56 — мало;
8 = 24 — мало; 8 • 8 = 64 — мало;
8 = 32 — мало; 9 • 8 = 72 — мало;
8 = 40 — мало; 10 • 8 = 80 — много.
Значит, число 75 не делится (без остатка) на 8. Если же 75 делить на 8
с остатком, то в частном получится 9 и в остатке 3. При нахождении
частного мы провели очень много испытаний. Их число можно сократить.
Это зависит от нашей сообразительности и от тех чисел» которые
участвуют в делении. В нашем примере можно было сразУ увидеть, что
произведение 10 и 8 не намного больше 75. Испытаем число 9.
Произведение 9 и 8 уже меньше 75. Значит, частное равно 9. Запишем так:
_75:8^9(ост. 3)
72
—91-

574. Выполните деление с остатком:
575.
а) 37 : 4;
б) 51 : 6
в) 45 : 8
г) 16 : 9
Найдите
а) 19 : 2
б) 19 : 3
в) 19 : 4
г) 19 : 5
Д) 19 :6
Д) 61 : 7;
е) 26 : 3;
ж) 80 : 9;
з) 75 : 7;
частное й остаток:
е) 19 : 7;
; ж) 19 : 8;
з) 19 :9;
и) 37 :9;
; к) 38 : 9;
и) 58:
к) 5:
л) 69 :
м) 9
л) 39
м) 40
н) 41
о) 42
п) 43
8;
7;
Ю;
10.
:9;
:9;
:9;
9;
:9.
576. Найдите неизвестное делимое:
а) х : 5^3(ост. 2);
б) а : 7^4(ост. 1);
в) в : 9^2 (ост. 7);
г) с :2« 7(ост. 1)
д) р : 6 ^ 9 (ост. 5)
е) к : 3^12 (ост. 2)
Рассмотрим более трудные примеры.
Пример 1. Разделим 86 на 3. В частном получится двузначное число.
Сначала найдём в нём число десятков. Если 2 десятка умножить на 3,
то получится 6 десятков — 6 десятков меньше 86. Если 3 десятка
умножить на 3, то получится 9 десятков. Это уже больше 86. Значит, в
частном 2 десятка. Число десятков частного можно найти проще, если
8 десятков разделить на 3 (в числе 86 содержится 8 десятков). Разделим
8 на 3, в частном получим 2 (десятка) и в остатке 2 (десятка). В числе
86 есть ещё 6 единиц. Разделим 2 десятка и 6 единиц (число 26) наЗ.
В частном получится 8 единиц и в остатке 2 единицы. При делении 86 на
3 в частном получается 28 и в остатке 2:
_8д6е:3^2д8е (ост. 2)
6д
2д бе
2д 4е
2е
86:3^28 (ост. 2)
_6
26
~_24
2
Пример 2. Разделим 795 на 2. Деление начинаем с числа сотен.
Разделим 7 на 2. В частном получается 3 сотни. Умножаем 3 сотни на 2 и
произведение (6 сотен) вычитаем из делимого. В остатке получается
1 (сотня). Остаток меньше делителя. Значит, можно продолжать деле-
—92—

ние. К остатку приписываем цифру 9. Говорят проще: «Сносим цифру
9». Делим 19 десятков (осталась 1 сотня да в числе было ещё 9 десятков)
на 2. В частном получается ещё 9 десятков и в остатке 1. Сносим цифру
5. Число 15 делим на 2. В частном получили 7 единиц и в остатке
единицу. Остаток меньше делителя, и все цифры делимого использованы.
Поэтому деление окончено. В результате получилось 397 и в остатке 1:
7с 9д 5е:2=кЗс 9д 7е (ост. 1)
6с
1с 9д
1с 8д
_1д 5е
1д 4е
1е
795:2 «397 (ост.
6
19
18
15
14
1
Пример 3. Разделим 831 на 4. Делим 8 на 2. В частном получаем 2.
Число 2 умножаем на 4 и произведение вычитаем из 8. Остаток 0 можно не
писать. Сносим цифру 3. Делим 3 на 4. В частном получаем 0. Число 0
умножаем на 4 и произведение вычитаем из 3. В остатке получается
3 (меньше делителя). Сносим цифру 1. Делим 31 на 4. В частном
получаем 7. Число 7 умножаем на 4 и произведение вычитаем из 31.
В остатке получаем 3. Деление окончено. Частное 207 и остаток 3:
4^ 2с Од 7е (ост. 3) 831 : 4^207 (ост. 3)
_8_
_3
0_
_31
28
Зе 3
Пример 4. Разделим 272 на 7. Делим 2 на 7. В частном получается
0 (сотен), но 0 впереди числа не пишут. Делим 27 на 7 (2 сотни и 7
десятков). В частном получаем 3 (десятка). Умножаем 3 на 7 и произведение
вычитаем из 27. В остатке получается 6 (меньше делителя). Сносим
цифру 2. Делим 62 на 7. В частном получаем 8. Умножаем 8 на 7 и
произведение вычитаем из 62. В остатке получается 6. Деление окончено:
8с Зд 1е
8с
Зд
Од
_3д 1е
2д 8е
2с 7д 2е: 7 ss Зд 8е (ост. 6)
2с 1д
_6д 2е
5д бе
бе
272 : 7 = 38 (ост. 6)
21
62
56
6
-93-

577. Выполните деление с остатком:
а) 39 : 2; в) 94 : 5; д) 897 : 7;
б) 78 :3; г) 569 : 2; е) 614 : 4.
578. Найдите частное и остаток:
а) 616 :3; в) 929 : 3; д) 511 : 8;
б) 822 : 4; г) 804 : 9; е) 129 : 4.
579. Найдите неизвестное делимое:
а) х : 7 ж 104 (ост. 6); в) у : 9 ж 48 (ост. 7);
б) а : 5^ 163(ост. 1); г) р : 6^91 (ост. 4).
37. ДЕЛЕНИЕ НА ОДНОЗНАЧНОЕ ЧИСЛО
Если при делении тем способом, который мы применяли, получится в
остатке 0, то это означает, что одно число делится на другое (без остатка).
Значит, деление одного числа на другое без остатка можно выполнять
по тому же правилу, что и деление с остатком.
Пример. Разделим 824 на. 8. Делим 8 на 8. В частном получается
единица. Умножаем 1 на 8 и произведение вычитаем из 8. Сносим цифру
2. Делим 2 на 8. В частном получается 0. Умножаем 0 на 8 и
произведение вычитаем из 2. В остатке получается 2. Сносим цифру 4. Делим
24 на 8. В частном получается 3. Умножаем 3 на 8 и произведение
вычитаем из 24. В остатке получается 0. Значит, число 824 разделилось на 8;
__824:8=103
8_
2
— 0
24
— 24
0
580. Выполните деление:
а) 32 : 2; д) 99 : 9; и) 96 : 4;
б) 56 : 4; е) 84 : 7; к) 87 : 3;
в) 65 : 5; ж) 93 : 3; л) 86 : 2;
г) 72 : 6; з) 88 : 8; м) 78 : 6.
-94—

581. Найдите значение частного:
582.
а) 648 : 6;
б) 945 : 3;
в) 945 :5;
г) 921 :3;
Выполните
а) 686 : 7;
б) 222 : 6;
в) 112:4;
г) 736 :8;
Д) 978
е) 505
ж) 812
з) 959
деление:
Д) 322
е) 468
ж) 512
з) 513
•6;
5;
:4;
:7;
:7;
6;
8;
:9;
и) 570 .
к) 920
л) 999
м) 728
и) 819
к) 455
л) 365
м) 475
2;
5;
9;
8.
:9;
:5;
:5;
:5.
583. Выполните деление и сделайте проверку умножением:
а) 816 :8; в) 756 : 7; д) 318 : 3;
б) 510:5; г) 872 : 8; е) 981 : 9.
584. Длина верёвки 71 м. Её разрезали на 7 равных частей. Сколько целых
метров в каждой части?
585. Периметр квадрата равен 476 см. Найдите сторону квадрата.
586. Длина рейки 125 см. Из неё решили нарезать палочки по 9 см. Сколько
палочек выйдет из этой рейки?
587. Чтобы наполнить 6 одинаковых ящиков, понадобилось 432 банки
консервов. Сколько банок вошло в каждый ящик?
588. На станцию надо привезти 116 ящиков. Сколько машин потребуется
для перевозки, если на каждую машину можно поместить 9 ящиков?
589. На переправе работает лодка, которая может поднять, не считая
перевозчика, 7 человек. Сколько рейсов придётся сделать перевозчику
чтобы переправить на другой берег 132 человека?
590. Килограмм сахара стоит 96 копеек. Сколько копеек стоит пол кило
сахара? Найдите стоимость 2 кг сахара и выразите её в рублях и
копейках.
591. Найдите значение выражения:
а) ( 87 • 6) —(75 : 3); д) (39 : 3)+ (27 . 8)
б) ( 25 • 8) + (56 : 4); е) (91 : 7) — (78 : 6)
в) ( 52 : 4) + (46 . 7); ж) (90 : 3) — (80 : 4)
г) 711 — (58 : 2); з) 698 + (98 : 7).
592. Составьте выражение и найдите его значение:
а) из произведения 89 и 7 вычтите частное 328 и 8;
б) сумму 453 и 289 разделите на разность 281 и 274;
в) к частному 880 и 5 прибавьте произведение 32 и 8;
—95—

г) частное 987 и 3 вычтите из произведения 204 и 2;
д) разность 800 и 794 умножьте на частное 738 и 6;
е) к частному 304 и 1 прибавьте частное 628 и 4.
593. Найдите значение выражения:
а) (398 + 456) : 7;
б) (7 • 75) + 375;
в) (910 —788)-8;
г) (840 : 8) —99;
д) (137 + 105) • 4;
е) (3-208) —568;
ж) (963 —218): 5;
з) (654 :6) + 491;
и) 501—(666:9);
к) 4-(139 + 65);
л) 379+(123 • 4);
м) 9 • (774 — 670);
н) 811—(714 : 7);
о) 738 : (2 + 7);
п) 478+ (624 : 3);
р) 708 : (998-992)
5*4. Выполните действия:
а) ( 88 • 5) + (127 • 3);
б) (715 — 508) • (612 — 506);
в) (807 : 3) —(708 : 3);
г) (337 — 269) : (4 + 0);
д) (118 + 86) • (0+7);
е) (896 : 4) —(54 • 4);
ж) ( 68 + 804) : (367 — 359);
з) (247 • 2) + (945 : 7).
-18;
317.
595. Сумму разделите на разность:
а) 376 + 171 + 245 + 108 и 27
б) 86 + 613 + 68 + 143 и 324 -
596. Найдите делимое, если:
а) делитель 4, а частное 223; б) частное 497, а делитель 2.
597. Найдите делитель, если:
а) делимое 951, а частное 3; б) частное 8, а делимое 896.
38. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
598.
599.
600.
601.
в) 312 =р • 3;
г) х ■ 4 = 820.
Решите уравнения:
а) 8 • у = 704;
б) 903 = 7 • р;
Запишите предложение в виде уравнения и решите это уравнение:
а) если число х увеличить в 8 раз, то получится 856;
б) если число 3 увеличить в у раз, то получится 741.
Какое из двух чисел больше и во сколько раз:
а) 8 и 256; в) 405 и 5;
б) 108 и 9; г) 1 и 763?
Во сколько раз одно число меньше другого:
а) 208 и 4; в) 138 и 3;
б) 9 и 522; г) 856 и. 8?
—96—

602. Запишите предложение в виде равенства:
а) 925 больше 37 в 25 раз; в) 576 больше 24 в 24 раза;
б) 31 меньше 930 в 30 раз; г) 17 меньше 221 в 13 раз.
603. Что больше; х или 84 — и во сколько раз, если:
604.
605.
а) 84 : л: = 6;
б) 5 = х : 84;
Прочитайте различными
а) 660 : х = 33;
б) 14 = р : 37;
Решите уравнение:
а) 111 : * = 3;
б) у : 8 = 109;
в) 207 : х = 9;
г) 3 • р = 624;
в) х : 84 = 9;
г) 4 = 84 : х? ч
способами равенство:
в) у : 28 = 140;
г) 1 = 279 : с.
д) 896 = 7 • р;
е) с : 203 = 3;
ж) 812 : 6 = 4;
з) 444 = с • 6.
606. Составьте уравнение, решите его и ответьте на вопрос:
а) Какое число надо умножить на 7, лтобы получилось 756?
б) Какое число надо разделить на 5, чтобы получилось 86?
в) На какое число надо разделить 804, чтобы получилось 3?
г) На какое число надо умножить 2, чтобы получилось 606?
607. Я не помню, сколько парт в нашей классной комнате, но. знаю, что
за каждой партой сидит 2 человека. В классе 38 учеников. Сколько парт
в нашей классной комнате?
608. На лугу паслось очень много коров. Когда их число уменьшилось в
80 раз, коров осталось 8. Сколько коров паслось на лугу?
609. В наш магазин привезли несколько холодильников, а в соседний в 4
раза больше. Сколько холодильников поступило в наш магазин, если
в соседний поступило 876?
610. В Ивановке в 3 раза меньше жителей, чем в Заречье. Сколько жителей
в Заречье, если в Ивановке их 285?
611. Сестра старше меня в 2 раза. Ей 18 лет. Сколько лет мне?
612. Я моложе своей мамы в 5 раз. Мне 8 лёт. Сколько лет маме?
613. Найдите три решения неравенства:
а\6.л;<246; б) с:8> 101.
614. Запишите с помощью фигурных скобок множество решений неравенству:
а) 12 : х < 12; б) 11 • р< 100.
7 Зак. 1872 —97—

39. СКОРОСТЬ
615. Пассажирский поезд каждый час проходит 80 км. Сколько километров
он пройдёт за 2, 3, 5, 7, 9 час? Составьте таблицу.
616. Сколько километров пройдёт человек за 12 час, если он будет
проходить каждый час 4 км?
617. Велосипедист проезжает в час 15 км. Доберётся ли он за 4 часа до
города из деревни, если расстояние между деревней и городом 58 км?
618. Я не могу пройти за час более 7 км. Могу ли я пройти:
а) 25 км за 3 часа; б) 13 км за 2 часа?
619. Катер находится в открытом море на расстоянии 100 км от гавани.
Капитан получил сообщение о том, что через 4 часа начнётся ураган.
Успеет ли катер укрыться в гавани, если в час он может проходить 28 км?
620. «Москвич» шёл 6 час. и каждый час проходил 70 км. «Волга» шла 5 час
и каждый час проходила 85 км. Какая машина прошла большее
расстояние и на сколько километров?
621. Почтовый голубь пролетел за 3 часа 180 км. Сколько киломе*ров
пролетал почтовый голубь за каждый час? Будем считать, что голубь
пролетал за каждый час одно и то же число километров.
622. Каждый час кит проплывает 30 км. За сколько часов он проплывёт
60 км, 120 км, 150 км?
6*23 Ри п.* ирплогжт в минуту 220 км. Сколько километров она пролетит
ui Л(\ ivk. (полминуты)?
За 2 часа катер прошёл 36 км, а моторная лодка за 5 час 75 км. Что
двигалось быстрее: катер или лодка?
Чтобы ответить на вопрос задачи, надо сравнить расстояние, которое
прошла лодка, с расстоянием, которое прошёл катер, за одно и то же
время. Узнаем, сколько километров в час проходил катер: 36 : 2 ~ 18.
Катер проходил 18 км в час Теперь найдём, сколько километров в час
проходила лодка: 75 : 5 = 15. Моторная лодка проходила 15 км в час
Значит, катер шёл быстрее, чем моторная лодка.
Каждый час лодка проходила 15 км. Путь, проходимый лодкой- за
1 час, называют её скоростью. Можно сказать, что моторная лодка
двигалась со скоростью 15км в час(15 километров в час). Катер двигался
со скоростью 18 км в час.
Если говорят, что трамвай идёт со скоростью 500 м в мин., то это
означает, что каждую минуту он проходит 500 м.
91
—98-

624. Объясните смысл фразы:
а) самолёт ИЛ-62 летит со скоростью 800 км в час;
б) ракета достигла скорости 9 км в сек.;
в) муха летит со скоростью 5 м в сек.;
г) скорость черепахи 120 см в мин. (рис. 91).
625. Автомашина шла со скоростью 49 км в час. Какой путь она прошла
за 7 час?
626. ЗаЗ часа велосипедист проехал 72 км. Найдите скорость велосипедиста.
627. Человек прошёл 48 км со скоростью 4 км в час. Сколько часов он шёл?
628. Один велосипедист проехал за 3 часа 54 км, а другой за 4 часа 64 км.
Кто из них ехал быстрее? На сколько километров в час скорость одного
велосипедиста больше скорости другого?
629. Космический корабль пролетел 420 км со скоростью 4 км в сек. Сколько
секунд корабль летел? Выразите результаты б минутах и секундах.
630. В воскресенье я отправился в туристский поход. Сначала я ехал 2 часа
в поезде со скоростью 80 км в час, а потом 5 час. шёл пешком со
скоростью 4 км в час. Какой путь я проделал в воскресенье?
631. Мотоциклист ехал 4 часа со скоростью 75 км в час и 3 часа со скоростью
60 км в час. Сколько километров проехал мотоциклист?
632. Поезд проходит 248 км за 2 часа. Переход за то же время проходит
8 км. Во сколько раз скорость пешехода меньше скорости поезда?
633. Автомобиль «Москвич» за 4 часа прошёл 328 км. Сколько километров
он пройдёт за 9 час, если будет идти с той же скоростью?
634. За 3 часа вертолёт пролетел 615 км. Сколько километров он пролетел
за первые 2 часа полёта?
635. Крылья ветряной мельницы делают 270 оборотов за 6 мин. Сколько
оборотов они сделают за 10 мин.?
636ь За 7 час. катер прошёл 168 км. Сколько километров пройдёт за 7 час.
теплоход «Ракета», если его скорость в 3 раза больше, чем скорость
катера?
6?7. Улитка проползла 99 см за И мин. Сколько сантиметров проползёт
улитка с той же скоростью за 2 мин., Змин., 4 мин., 6 мин., 15 мин., 1 час?
\
7* —99—

40. ИЗОБРАЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР С ПОМОЩЬЮ НИТИ
92 /X
X
93
94
95
96
Ах)
644.
С помощью двух гвоздей, вбитых в доску,
и кусочка нити можно изобразить отрезок
(рис. 92). Изобразим ещё несколько фигур.
Для решения задач понадобится шесть
гвоздей и кусок цветной нити (около метра)..
Фигуру будем строить из одного куска
нити, причём ни один отрезок не должен быть
двойным.
Начертите на куске фанеры окружность,
радиус которой равен 5 см. Отметьте на
окружности пять точек (рис. 93) так, чтобы
расстояние между соседними точками было
5 см 8 мм. В каждую точку вбейте гвоздь
и постройте с помощью нити пятиконечную
звезду.
Изобразите на куске фанеры с помощью
нити каждую фигуру (рис. 94).
Можно ли с помощью одного куска нити без
двойных отрезков построить такую фигуру,
которая изображена на рисунке 95?
Постройте с помощью нити ломаную линию
ABCDKACKBDA. Изобразите
получившуюся фигуру в тетради.
Начертите, не отрывая карандаша от
бумаги и не проводя дважды один и тот же
отрезок, фигуры (рис. 96).
Начертите на куске картона окружность,
радиус которой равен 5 см. Сделайте по
окружности шесть отверстий так, чтобы
расстояние между соседними отверстиями было
5 см. Постройте с помощью одного куска
нити какой-нибудь треугольник на одной
стороне картона и такой же треугольник
на другой стороне. Двойных сторон
треугольника не должно быть.
, Изобразите на том же куске картона с
помощью одного куска нити на каждой
стороне картона без двойных сторон:
а) четырёхугольник; б) пятиугольник.
— 100—

41. УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 2
645. Представьте каждое из чисел: 348, 270, 426, 424, 500 — в виде суммы
двух слагаемых, оканчивающихся одинаковыми цифрами.
646. Представьте каждое из чисел: 126, 248, 612, 300 — в виде разности
двух чисел, у которых одинаковые первые (слева) цифры.
647. Представьте тремя способами в виде произведения двух чисел каждое
„ из чисел: 12, 16, 24.
648. Представьте каждое из чисел: 999, 315, 717, 606 — в виде
произведения двух множителей, один из которых равен 3.
649. Представьте двумя способами каждое из чисел: 11, 20, 35, 67— в виде
частного двух чисел.
650. Одно слагаемое в 2 раза больше другого. Во сколько раз произведение
больше меньшего слагаемого? Придумайте два примера.
651. Сумма двух чисел в 5 раз больше одного из них. Придумайте пример.
Во сколько раз второе число больше«первого?
652. Уменьшаемое в 4 раза больше вычитаемого. Придумайте пример. Что
больше: вычитаемое или разность? Во сколько раз?
653. Разность в 6 раз меньше уменьшаемого. Придумайте пример. Что
меньше: вычитаемое или разность? Во сколько раз?
-654. Уменьшаемое на 37 больше вычитаемого. Придумайте пример. Что
больше: разность или вычитаемое? На сколько единиц?
655. Делимое в 4 раза больше делителя. Придумайте два примера. Что
больше: частное или делитель? На сколько единиц?
656. Каждое из чисел: 745, 568, 391, 457, 206 — сначала уменьшите на 102,
затем увеличьте на 98. Как получить тот же результат более простым
способом?
657. Каждое из чисел: 666, 801, 900, 550, 611 —сначала увеличьте на 38,
потом ещё на 52. Можно ли получить тот же результат более легким
способом?
658. Каждое из чисел: 24, 45, 54, 120 — сначала увеличьте в 4 раза, затем
уменьшите в 2 раза. Как получить тот же результат более простым
способом?
659. Я задумал число, увеличил его в 5 раз и из произведения вычел 40.
В результате получилось 20. Какое число я задумал?
660. Я задумал число, увеличил его на 15 и сумму разделил на 6. В
результате получилось 5. Какое число я задумал?
— 101 —

661. Я задумал число и разделил его на 8. После того как частное увеличил
на 29, в результате получил 31. Какое число я задумал?
662. Задуманное число я увеличил в 7 раз, а произведение уменьшил
на 69. В результате получилось 8. Какое число было задумано?
663. Придумайте число, которое:
а) делится на 2 и на 5;
б) делится на 2 и не делится на 5;
в) делится на 5 и не делится на 2;
г) не делится на 2 и не делится на 5.
664. В трёхзначном числе 83* одну цифру заменили звёздочкой. Какая это
цифра, если известно, что число делится на% 9?
665. Число 576 делится на 12. Не выполняя деления, найдите последнюю
цифру частного.
666. Два числа имеют одну и ту же последнюю цифру. Может ли их сумма
оканчиваться той же цифрой?
667. Сначала выполнили действие, потом стёрли некоторые цифры и на их
месте поставили звёздочки. Какие цифры стёрли?
а) . *78 в) 8*0
+'4*5 ~ *37
95* 26*
б) 74* г) *3*
+ 1*2 '— *7
*10 44
668. К числу 73 справа приписали цифру 6. На сколько.единиц увеличилось
число?
669. К каждому из чисел: 57, 12, 80 — справа приписали цифру 9. На
сколько единиц увеличилось каждое число?
670. К двузначному числу слева приписали цифру 5. На сколько единиц
увеличилось число? Рассмотрите три примера и сделайте вывод.
671. К однозначному числу слева и справа приписали одновременно
цифру 4. На сколько единиц увеличилось при этом число? Рассмотрите
три примера и сделайте вывод.
672. К однозначному числу справа приписали цифру 0. Во сколько раз
увеличилось при этом число? Рассмотрите несколько примеров и сделайте
вывод.
— 102-

673, Поставьте вместо звёздочки один из знаков + ,—-,-, : , = , <; >
так, чтобы получилось верное равенство или неравенство:
а) 675*675= 1; в) 0 : 308*0; д) 69 . 0*69;
б) 0 • 920 * 0; . t) 0 + 85 * 0; е) 0 : 306 * 306.
674, Запишите с помощью фигурных скобок множество решений неравенства:
а) 48-f х<54; в) 100 — р > 91; д) 12 : с> 2;
б) у— 27 < б; г) 4 • а<20; е) k : 3 < 15.
675, Запишите с помощью фигурных скобок множество цифр, при
подстановке которых вместо звёздочки получается верное неравенство:
а) 3*2 > 355; г) 406 <4*7;
б) * 68 < 443; д) * 68 < 268;
в) 875 >87* ; е) 7* 1 > 794.
676, Составьте множество трёхзначных чисел, в
которых:
а) число десятков равно числу единиц, а
число сотен на 1 меньше числа десятков;
б) число сотен равно числу десятков, а
число единиц на 4 больше числа сотен;
в) число сотен равно числу единиц, а число
десятков в 2 раза больше,чем число сотен;
г) число десятков равно числу сотен, а
число единиц в 5 раз меньше, чем число
десятков.
677, Распределите числа: 1,2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8
по клеткам прямоугольника (рис. 97) так,
чтобы:
а) сумма чисел в каждом столбце была
одной и той же;
б) сумма чисел в каждой строке была
одной и той же.
678, Начертите квадрат со стороной 4 см и
разбейте его на 16 равных квадратов.
Распределите по маленьким квадратам числа от 1 до
16 так, чтобы сумма чисел в каждой строке
была одной и той же.
97
— 103-

98
99
686.
687.
688.
689.
690.
100
679. Часы показывают 23 часа 58 мин.
Известно, что они опаздывают на 7 мин. Какое
время в действительности (рис. 98)?
680. Часы показывают 2 часа 3 мин. дня.
Известно, что они спешат на 4 мин. Какое время в
действительности (рис. 99)?
681. Сегодня 26 сентября, вторник. Когда будет
следующий вторник?
682. Сегодня 5 декабря, вторник. Когда был
ближайший вторник? Когда будет
следующий вторник?
683. Когда отцу было 30 лет, сыну было 6.
Теперь сыну И. Сколько лет теперь отцу?
684. Когда матери будет 41 год, дочери будет 11.
Теперь матери 33 года. Сколько лет теперь
дочери?
685. Во втором классе 46 учеников, а в третьем 40.
Половина всех ребят записалась в
кружок. Сколько ребят записалось в кружок?
Машина идёт со скоростью 80 км в час. Сколько километров она
пройдёт за два с половиной часа? Сколько километров она пройдёт за то же
время, если её скорость уменьшится вдвое?
Баржа идёт по реке со скоростью 16 км в час, а теплоход «Ракета» —
втрое быстрее. Сколько километров пройдёт «Ракета» за полтора часа?
Машина вышла из совхоза в 11 час. утра и прибыла в город в 3 часа
того же дня. С какой скоростью шла машина, если расстояние от
совхоза до города 168 км?
По дороге скачут 5 пар лошадей, подкованных на две ноги, и 4 тройки,
подкованных на все ноги. Сколько пЪдков на ногах лошадей?
Скорость трактора 16 км в час. Скорость грузовой машины в 4 раза
больше. Грузовая машина от станции до совхоза может дойти за
2 часа. Что можно узнать, используя эти сведения (рис. 100)?
Ёв,
'^___JT¥Tr^i _ || ■'■'■
-104—

691. Магазин получил книги на английском языке. После того как продали
гж книг, осталось еще половина того, что получил магазин. Сколько
книг на английском языке получил магазин?
Один покупатель купил 300 г колбасы, а другой 200. Вместе они
заплатили 1 руб. 10 коп. Сколько заплатил каждый? Сколько стоит 1 кг
колбасы?
692
693.
694.
Бидон наполненный мёдом, весит 42 кг. Если наполнить мёдом
половину бидона, то получится вес 27 кг. Найти вес пустого бидона.
В 8 пакетов разложили поровну 840 г конфет. 4 пакета подарили
девочкам, а оставшиеся мальчикам. Сколько граммов конфет получили
мальчики? J
695. Из фанеры вырезали квадрат со стороной 10 см и его стороны окрасили
в желтый цвет. Затем квадрат распилили наЛОО маленьких квадратов
(рис. Ш1). Сколько маленьких квадратов с двумя окрашенными
сторонами, с одной окрашенной стороной, без окрашенных сторон?
Каждая сторона шестиугольника в 2 раза длиннее стороны квадрата.
Сторона квадрата 2 дм 3 см. Найти периметр шестиугольника.
Кузнецу принесли 6 кусков цепи и попросили сделать из них одну цепь
(рис. 102). Можно ли сделать цепь, расковав лишь 4 звена?
698. Расстояние от села до ближайшей пристани машина проходит за 5 час.
со скоростью 50 км в час. Какое расстояние от села до пристани? Во
сколько часов машина должна выйти из села, чтобы застать пароход,
который отправляется в 4 часа 30 мин. дня?
696.
697,
102
■105—

701.
702.
703.
704.
705.
Из точки А в точку В ведут два
пути (рис. 103). Который из этих
путей короче? Сначала
определите на глаз, а потом с помощью
измерений.
Среди трёх одинаковых по виду
колец два одинаковых по весу,
а третье легче их. Как с помощью
одного взвешивания (рис. 104)
найти лёгкое кольцо?
Из четырёх одинаковых по виду
колец одно тяжелее трёх
остальных. Как найти тяжёлое кольцо
с помощью двух взвешиваний?
Имеется ведро и две банки;
трёхлитровая и пятилитровая
(рис. 105), Как с помощью этих
банок налить в ведро:
а) 2 л воды; б) 1 л воды?
Как отмерить 2 л воды, если
имеется:
а) ведро, трёхлитровая и
четырёхлитровая банки;
б) трёхлитровая и
четырёхлитровая банки?
Имеется две гири: одна 5 /сг, а
другая 3 кг. Как с их помощью
отвесить:
а) 2 кг пшена; б) 14 кг пшена?
Вырезать из бумаги круг и
найти его центр с помощью
перегибания.
105
—106-

706. Если рядом с буквой А поставить
зеркало, то в нём также
получится буква Л (рис. 106). Какие
ещё буквы имеют это же
свойство?
707. Какие буквы перейдут в такие
же, если сверху над ними
поставить зеркало?
708. Может ли одна буква или цифра
с помощью зеркала перейти в
другую какую-нибудь букву или
цифру? Проведите испытания.
709. Напишите на.кальке (прозрачная
бумага) какое-нибудь
предложение. Как легко прочитать
это предложение, если смотреть
с другой стороны листа?
Проделайте тако&же опыт при помощи
копировальной бумаги.
106

3
ЧЕТЫРЕ ДЕЙСТВИЯ В ПРЕДЕЛАХ 1000000
§ 9. ЧЕТЫРЁХЗНАЧНЫЕ, ПЯТИЗНАЧНЫЕ И ШЕСТИЗНАЧНЫЕ ЧИСЛА
42. ТЫСЯЧИ, ДЕСЯТКИ ТЫСЯЧ, СОТНИ ТЫСЯЧ
о
Десять единиц называют десятком. Десять десятков называют сотней.
Если к числу 999 прибавить 1, то получится 10 сотен. В нашей системе
записи нет цифры, которой можно обозначить 10 каких-нибудь
единиц (единиц, десятков или сотен). Поэтому нужно ввести новую
единицу. Десять сотен называют тысячью. Число тысяч изображают цифрой,
занимающей четвёртое место справа. Например, в числе 5679 содержится
5 тысяч 6 сотен 7 десятков 9 единиц. Поэтому число 5679 можно
прочитать так: пять тысяч шестьсот семьдесят девять.
710. Сколько тысяч в числе: 7541, 4056, 8333, 9004, 1020, 3000, 3200, 1948,
5555?
711. Прочитайте числа: 2456, 1521, 3773, 8855, 6444, 2450, 3900, 8000^ 4000,
4005, 2408, 4508, 6075, 2050, 1001.
712. Запишите короче и прочитайте числа:
а) 4 т 5 с 9 д 1 е; д) 8 т 0 с 7 д 2 е;
б) 3 т 8 с 6 д 8 е; е) 3 т 2 с 5 е;
в) 5 т 6 с 6 д 6 е; ж) 1 т 7 е;
г) 4 т 7 с 7 д 0 е; з) 2 т.
713. Выразите в сотнях:
а) 3 т 6 с; б) 4 т 4 с; в) 5 т 9 с; г) 7 т 0 е.
714. Выразите в тысячах и сотнях:
а) 67 с; б) 23 с; в) 91 с; г) 50 с.
715. Запишите и прочитайте число, в котором:
а) единиц 1, десятков 2, сотен 0, тысяч 5;
б) единиц 9, десятков 0, сотен 3, тысяч 7;
в) единиц 0, десятков 0, сотен 8, тысяч 1;
г) единиц 4, десятков 0, сотен 4, тысяч 0.
—108—

Десять тысяч называют десятком тысяч, а десять десятков тысяч
—сотней тысяч. Число десятков тысяч пишут на пятом, а- число сотен
тысяч — на шестом месте справа. Например, в числе 765 891 содержится
7 сотен тысяч и 6 десятков тысяч.
716. Сколько единиц, десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч и сотен тысяч
в числе: 65 425, 78 211, 33 333, 102 832, 200 501, 700 040?
717. Запишите, не читая, число, в котором:
а) 5 сотер тысяч 7 десятков тысяч 8 тысяч 3 сотни 4 десятка 8 единиц;
б) 9 десятков тысяч 9 тысяч 8 сотен 8 десятков 7 единиц;
в) 1 сотня тысяч 1 десяток тысяч 4 тысячи 9 сотен 7 десятков 0 единиц;
г) 8 десятков тысяч 0 тысяч 0 сотен 0 десятков 9 единиц.
43. КЛАСС ЕДИНИЦ И КЛАСС ТЫСЯЧ
Чтобы легче читать большие числа, единицы, десятки и сотни
объединяют в один класс — класс единиц, а тысячи, десятки тысяч и сотни
тысяч в другой класс — класс тысяч. Например, в числе 102 670 в классе
тысяч 102 единицы, а в классе единиц 670 единиц.
При записи чисел класс от класса отделяют промежутком. При
такой записи легче видеть, сколько единиц в каждом классе. Например, в
числе 606 003 в классе тысяч содержится 606 единиц, а в классе единиц
3 единицы. При'чтении четырёх-, пяти- и шестизначных чисел называют
сначала число единиц класса тысяч с. добавлением слова «тысяч», затем
число в классе единиц. Название класса единиц не произносится.
Например,_число 54 870 читают так; пятьдесят четыре тысячи
восемьсот семьдесят.
718. В каждом числе подчеркните одной чертой класс единиц и двумя — класс
тысяче 819, 368 875, 442 566, 54 708,9 670, 24 078, 30 005, 120 080,
56 000, 800 000, 700 004.
719. Сколько единиц в каждом классе числа: 997 806, 221 111, 345 087,
84 752, 37 002, 7 833, 5 065, 4 006, 6 700, 6 070, 6 007, 400 800, 40 800,
4 800, 40 800, 4 008?
«0. Прочитайте числа: 255 276, 333 333, 77 856, 707 850, 4 566, 6 554,
4 665, 12 377, 20 654, 10 383, 400 761, 300 832, 900 999,^800 700, 70 870,
1 700, 5 086, 4 009, 64 087, 52 090, 124 080, 6 008, 65 090, 70 080, 20 002,
500 005.
Обычно класс в числе записывается с помощью трёх цифр. Но в
четырёх- и пятизначных числах класс тысяч оказывается неполным, так
как число не может начинаться цифрой 0. Если в классе тысяч есть хотя
бы одна единица, то класс единиц должен быть полным. Число единиц
— 109—

в нём должно быть записано с помощью трёх цифр. Так, при записи
числа семьдесят пять тысяч восемьдесят четыре число 84 в классе
единиц следует записать тремя цифрами, поставив перед цифрой 8
цифру 0: 75 084.
721. Запишите короче и прочитайте числа: 6 т 876 е, 46 т 577 е, 254 т 897 е,
375 т 243 е, 770 т 505 е, 25 т 093 е, 809 т 006 е, 89 т 006 е, 900 т 025 е,
300 т 003 е.
722. Запишите цифрами числа: 45 тысяч 876, 2 тысячи 564, 6 тысяч 546,
7 тысяч 865, 2 тысячи 896, 1 тысяча 373, 12 тысяч 256, 25 тысяч 876,
424 тысячи 764, 676 тысяч 777, 587тйсяч 880, 654 тысячи 907, 406 тысяч
751, 200 тысяч 370, 40 тысяч 930.
723. Запишите цифрами число и назовите число единиц каждого класса:
а) шесть тысяч восемьдесят девять;
б) восемь тысяч шестьдесят семь;
в) четыре тысячи девяносто девять;
г) пять тысяч сорок;
д) семь тысяч пятьдесят;
е) восемь тысяч восемьдесят;
ж) тысяча двадцать;
з) две тысячи тридцать;
и) сорок две тысячи семьдесят пять;
к) пятьдесят тысяч восемьдесят шесть;
л) восемьдесят тысяч шестьдесят;
м) сто двадцать тысяч девять;
н) семьдесят одна тысяча один;
о) семнадцать тысяч;
п) две тысячи;
р) четыреста двадцать тысяч;
с) двести тысяч;
т) девятьсот тысяч.
107
— 110—

J 44. КИЛОМЕТР, ТОННА, ГРАММ
I Для измерения больших расстояний применяется известная нам еди-
I ница длины — километр. В одном километре-содержится тысяча метров
I (рис. 107): 1 км = 1000 м: Выразим 3 км 245 м в метрах. В одном кило-
1 метре тысяча метров, а в трёх кидометрах 3 тысячи метров. Значит,
I всего получится 3 245 ж: 3 км 245 м = 3245 м. Выразим 5600 м в кило-
1 метрах и метрах. В числе 5600 содержится 5 тысяч, а каждая тысяча
J метров составляет километр. Поэтому в 5600 м содержится 5 км 600 м:
J _ 5600 м = 5 км 600 ж.
I 724. Выразите в километрах и метрах:
I а) 5706 ж, 7564 ж, 8979 ж, 9111 ж, 3456 ж;
J б) 56 131 м, 17 899 ж, 24 555 ж, 470 700 ж;
в) 5087 ж, 4091 ж, 45 066 м, 999 050 м, 666 060 ж;
г) 4005 ж, 8001 ж, 49 009 ж, 97 002 ж, 900 000 ж.
725. Выразите в метрах:
а) 32 км 670 ж, 70 /еж 860 ж, 1 /еж 860 ж, 409 км 409 ж, 645 км 600 ж;
б) 65 км 67 ж, 2 /еж 2ж, 202 км 5 ж, 800 км 8 ж, 89 км 97 ж, 43 /еж.
При взвешивании больших грузов применяется новая единица веса —
I тонна. В одной тонне содержится 1000 килограммов (рис. 108): l/w =
| — 1000 кг. Мешок с картофелем весит 50 кг. Чтобы получить вес 1 т,
I надо 20 таких мешков.
1 При взвешивании небольших грузов используется ещё одна единица
I веса — грамм. В килограмме содержится 1000 г: 1 /сг = 1000 г.
I Монета в 1 копейку весит один грамм. Кусочек пилёного сахара весит
] около 5 г, майский жук (рис. 109) весит около 1 г.
108
-111-

726. Выразите в тоннах и килограммах: 6802 кг, 70 903 кгу
34 521 кг, 3075 кг, 12 080 кг, 765 009 кг.
727. Выразите в килограммах и граммах: 4566 г, 51 287 г,
8052 г, 38 050 г, 754 008 г.
728. Выразите в килограммах: 2 щ 765 /сг, 40 т 750 /сгг
8 m 90 кг, 57 000 г, 8000 г, 8 m 75 /сг, 203 m 5 /сг,
4 т8 /сг.
729. Выразите в граммах: 9 кг 678 г, 10 /сг 233 г, 37 /сг 750 г,
88 кг 23 г, 421 кг 800 г, 1 /сг 9 г, 8 /сг 8 г.
730. В таблице показан вес машин в килограммах. Выразите вес каждой
машины в тоннах и килограммах.
Название машины
«Волга»
Газ-51
Автобус ЗИЛ-158
МАЗ-525
Вес без нагрузки
1 460
2 710
11 150
22 000
Вес с нагрузкой
1 885
5 360
14 950
49 520
731- Вес Миши 24 кг 800 г, вес Коли j30 кг 550 г, вес Тани 18 кг 750 г.
Выразите вес каждого ребёнка в граммах.
45. СРАВНЕНИЕ, ЧИСЕЛ
По-прежнему будем считать из двух чисел меньшим-то, которое идёт
раньше при счёте предметов. Например, число 578 008 меньше, чем
611 001, а число 611 001 больше, чем 578 008.
732. Назовите по порядку счёта все числа:
а) от 999 до 1012; д) от 5 998 до 6 007;
б) от 995 до 1020; е) от 25 990 до 26 007;
в) от 1001 до 1014; ж) от 123 765 до 123 778;
г) от 998 до 1021; з) от 983 999 до 984 005.
733. Запишите все числа от 9999 до 10 004 в том порядке, в котором их
называют при счёте предметов.
734. Какое из двух чисел меньше:
а) 29 987 или 30 006; в) 200 085 или 199 876;
б) 201 001 или 201 100; г) 87 085 или 87 058?
—112—

735. Какое из двух чисел больше:
а) 357 999 или 329 999; в) 40 000 или 39 999;
б) 270 007 или 280 001; . г) 0 или 999 999?
736. Поставьте вместо звёздочки знак < или знак >:
а) 987 * 1256; г) 78 009 * 78 008;
6)54 060*2450; д) 12 063* 14 063;
в) 99 888 * 100 000; е) 456 078 * 256 080.
737. Назовите число:
а) наибольшее однозначное; д) наибольшее пятизначное;
б) наименьшее четырёхзначное; е) наименьшее пятизначное;
в) наибольшее трёхзначное; ж) наибольшее шестизначное;
г) наибольшее четырёхзначное; з) наименьшее шестизначное.
738. Запишите с помощью фигурных скобок множество решений неравенства:
а) 998 < х < 1003
б) 999^г а< 1001
в) 1002 < а < 1004
г) 22 997 < у < 23 002;
д) 546 769 < с <546 773;
е) 999 995 <а < 999 999.
739. X — множество решений неравенства 25371<лс<30025. Какое из
пятизначных чисел, оканчивающихся тремя нулями, принадлежит
множеству X? Сделайте запись.
740. А —множество решений неравенства 649 009 < а < 671 999. Какие из
шестизначных чисел, оканчивающихся тремя девятками, принадлежат
множеству А? Принадлежит ли этому множеству хотя бы одно число,
все цифры которого одинаковы? Принадлежит ли множеству А хотя
бы одно число, все цифры которого различны?
741. X — множество решений неравенства 6007<лс<6012, Y — множество
решений неравенства 6010<;#< 60Л4. А —объединение множеств X и
У, В — пересечение множеств X иУ. Запишите с помощью фигурных
скобок множества X, Y, А и В. Каким из этих множеств принадлежат
числа 6007, 6010, 6011, 6012, 6014?
742. Р— множество решений неравенства 398<jp<409, К — множество
решений неравенства 398<&<409, X — объединение, a Y —
пересечение множеств Р и /С. Запишите с помощью фигурных скобок
множества Р, УС, X и Y. Какие из чисел 397, 398, 400, 409, 410
принадлежат и какие не принадлежат этим множествам?
743. Запишите с помощью фигурных скобок множество четырёхзначных
чисел, при записи которых используются лишь цифры 5 или 0.
744. Сколько таких трёхзначных чисел, которые можно записать с помощью
цифр 2 или 4?
8 Зак. 1872 —113—

46. ШКАЛА
745.
Температуру воздуха в комнате измеряют с помощью комнатного
термометра (рис. 110). Чем теплее в комнате, тем длиннее становится
столбик ртути (или другой жидкости) в термометре. Было бы неудобно
каждый раз, когда нужно узнать температуру, измерять длину столбика и
производить вычисления. Чтобы этого не делать, термометр снабжают
линейкой с делениями. Эту линейку с делениями называют шкалой.
Шкала — это отрезок (или другая линия), разбитая на части. Каждая
часть называется делением. Одна часть от другой отделяется штрихом.
На шкале нашего термометра около каждого штриха стоит число,
которое показывает температуру в градусах. Этот термометр показывает
22 градуса.
При записи температуры вместо слова «градус» можно писать знак «°».
Запись «14°» означает 14 градусов.
Запишите короче фразу:
а) 42 градуса; в) 20 градусов;
б) 31 градус; г) 5600 градусов.
746. При какой температуре:
а) замерзает вода; б) кипит вода?
747. Какая температура воздуха:
а) в классе; б) на улице?
Ш
т
ЩШ
10*0
0*0
-114-

112
I II
|50
^ ШШ
20 |||
10 Ш
, 113
Li? ^ЩЩ i l 20
^°!1ШШ
60
748. Какая температура тела человека считается нормальной?
749. Какую температуру показывает каждый термометр (рис. 111)?
На рисунке показана лишь часть шкалы термометра.
750. На рисунке 112 изображена шкала термометра. Как изменится
температура (повысится или понизится и на сколько градусов), если
верхний конец ртутного столбика:
а) поднимется на одно деление; в) опустится на три деления;
б) поднимется на три деления; г) опустится на половину деления?
751. Прочитайте и запишите температуру, которую показывает термометр
(рис. ИЗ).
752. На шкале весов (рис. 114) стрелка показывает вес предмета в
килограммах. Сколько килограммов весит каждый предмет?
114
8*
—115-

116
753. На шкале торговых весов обозначен вес в граммах. Какой вес
показывает стрелка (рис. 115)? Сколько граммов приходится на одно деление
шкалы?
754. На весах (рис. 115) взвешивали сахар. Сначала стрелка показывала
500 г. Потом она переместилась вправо на два деления. Добавили
сахара на весы или убавили? Сколько граммов? Сколько сахара отвесили?
755. Весы показывают (рис. 115) 300 г. На весы положили ещё 600 г.
В каком направлении переместится стрелка и на сколько делений?
Если на шкале мелкие деления, то числа пщнут не. .около, каждого
штриха, а через несколько штрихов (рис. 116). Какое же число
приходится на одно деление? Возьмём два соседних штриха, около которых
—116—

120
стоят числа, например 30 и 20. Между этид^и штрихами 10 делений,
на которые приходится 10 градусов (30 — 20= 10). Число градусов,
которое соответствует одному делению, называют ценой деления.
756. На рисунке 117 изображено пять различных шкал. Найдите цену
деления каждой шкалы.
757. Первый (слева) термометр показывает температуру, которая была в
Москве (рис. 118), а второй — температуру в то же время в
Ленинграде. В каком городе выше быда температура и на сколько градусов?
758. Числа на шкале торговых весов (рис. 119) обозначают вес в граммах.
Найдите цену деления. Какойвес показывает каждая стрелка?
759. На рисунке 120 показана шкала прибора для определения скорости
движения автомашины. Числа на шкале обозначают скорость в
километрах в час. Найдите цену деления. Прочитайте скорость, которую
показывает каждая стрелка.
760. Циферблат часов есть шкала (рис. 121), на которой числа показывают
время в часах. Найдите цену деления в минутах. Кйкое время
показывает часовая стрелка на каждых часах? Минутная стрелка на часах
не изображена. ,
9. Зак. 1872
—117—

§ 10. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ
47. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ. ПРОВЕРКА СЛОЖЕНИЯ
И ВЫЧИТАНИЯ
Сложение и вычитание четырёх-, пяти- и шестизначных чисел
выполняется так же, как сложение и вычитание трёхзначных чисел.
Рассмотрим примеры:
86 709 132 057
+ 457 892 ~ 67 248
544 601 64 809
Правильно ли мы выполнили сложение? Сложение можно проверить,
как. нам известно, вычитанием. Вычтем из суммы одно слагаемое.
Если в результате получится другое слагаемое, то сложение выполнено
верно:
544 601
~457 892
86 709
Правильно ли мы выполнили вычитание? Вычитание можно проверить,
как нам известно, сложением и вычитанием. Сложим разность и
вычитаемое. Если в результате получится уменьшаемое, то вычитание
выполнено верно. Можно проверить иначе. Вычтем из уменьшаемого разность.
Если получится вычитаемое, то вычитание выполнено верно:
. 67 248 132 057
+ 64 809 — 64 809
132 057 67 248
761. Выполните сложение и сделайте проверку:
а) 343 162+ 14 491; в) 621 115 + 254 265;
• б) 91076 + 71312; г) 311 238+510629.
762. Выполните вычитание и сделайте проверку сложением:
а) 246 870 — 140 359; б) 405 766 — 32 243.
763. Выполните вычитание и сделайте проверку вычитанием:
а) 587396 — 22 153; б) 555 444 — 123 321.
764. Найдите сумму:
а) 24 876 + 5 759; д) 546 337 + 253 663;
б) 46 708 + 122 370; е) 507 904 + 26 789;
в) 666 666 + 66 666; ж) 8904 + 202 765;
г) 97 + 99 903; з) 789 995 + 10 005.
—118—

765. Найдите разность:
а) 48139 — 23 715;
б) 574 264 — 363172;
в) 875419 — 863 317;
г) 291088—182 078;
д) "567380 — 229 154
е) 832 500 — 601231
ж) 647903—128251
з) 425333 — 325444
766. Найдите значение выражения:
а)
б)
в)
г)
7 421-
32 845 -
- 6579;
-12 746;
48975+41025;
10027-
д) 882 107-
- 9031;
-777 095;
е) 248354+ 151649;
ж) 102 425— 8678
з) 456 876 — 356 876
и) 607 387+ 92413
к) 907 000 — 816 021
л) 570042 — 560049:
м) 97635+ 3 375
в) (749 : 7) + 86 866;
г) 7 .(14 101 — 13 993).
в) (428 : 4) + (228 . 4);
г) (900: 2)-(870:3).
767. Выполните действия:
а) 202 000—(3 . 304);
б) (70616 — 69 796) :4;
768. Найдите значение выражения:
а) (268 • 3) + (60540 — 24 333);
б) (2-376) —(3. 176);
769. Составьте сумму и найдите её значение:
а) из произведения 12У-8 и частного 975 : 3;
б) из разности 946 751 -^ 639 862 и произведения 237-4;
в) из частного 816 : 4 и частного 925 : 5;
г) из разности 50006 — 8705 и разности 211387 —50 006.
770. Составьте разность и найдите её значение:
а) из произведения 107-9 и частного 847 : 7;
б) из суммы 87 327 + 181 329 и произведения 116-8;
в) из суммы 35 074 + 243 009 и разности 100 000 — 54 870;
г) из разности 200 007 — 158 и суммы 76 504 + 85 090.
771. Стороны треугольника 875 ж, 1024 ж, 900 лс% Найдите периметр
треугольника и выразите его в ^илометрах и метрах.
772. Один реактивный самолёт летит медленнее другого'на 340 км в час.
С какой скоростью летит второй самолёт, если первый летит со
скоростью 1675 км в час?
773. Ржи собрали с одного гектарднаЭОО кг больше, чем пшеницы. Сколько
килограммов ржи собрали с одного* гектара, если пшеницы собрали
2780 кг? Выразите результат в тоннах и килограммах.
774. На птицефабрике 23 005 уток, а гусей на 8760 меньше. Сколько гусей
и уток на птицефабрике?
-119-

775. В питомнике приготовили для отправки в город 40 780 саженцев клёна,
а липы на 2920 больше. Сколько саженцев приготовили для отправки
в город?
776. В парниках вырастили 36 750 корней рассады помидоров й капусты.
Капусты было 19 800 корней. На сколько больше вырастили в парниках
корней капусты, чем помидоров?
777. На острове растёт 430 000 сосен, елей и берез. Берёз на этом острове
118700, а елей на 76 000 больше, чем берёз. Чего больше на острове:
сосен или елей?
778. Маша за 5 час. проехала на велосипеде 60 км, а Лёва за 4 часа 56 км.
Кто из них ехал с большей скоростью?
779. Трактор прошёл за 8 час. 144 /еж, а «Волга» за 3 часа 270/еж. Во сколько
раз «Волга» шла быстрее трактора?
780. Толя прошёл 44 км. со скоростью 4 км, в час, а Лёша 50 км со
скоростью 5 км в час. Кто из них затратил на путь больше времени?
781. Теплоход «Ракета» шёл по реке 3 часа со скоростью 75 км в час.
Скорость парохода в 3 раза меньше, чем скорость «Ракеты», но времени на
путь он потратил в 3 раза больше. Сравните пути, пройденные «Ракетой»
и пароходом.
48. РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ И УРАВНЕНИЙ
782. Назовите три решения двойного неравенства;
а) 25 008 < х < 431 000; б) 80 999 < у < 90 000.
783. Даны два неравенства х<4560 и лс>3221. Найдите:
а) два решения первого неравенства;
б) два решения второго неравенства;
в) одно общее решение этих неравенств.
784. Составьте двойное неравенство, множество решений которого равно:
а) (999, 1000, 1001, 1002, 1003, 1004, 1005, 1006};
б) {5009, 5010, 5011, 5012, 5013, 5014, 5015};
в) {78 998, 78 999, 79 000, 79 001, 79 002};
г) {467 568, 467 569, 467 570, 467 571}.
785. Напишите двойное неравенство, решениями которого являются все
числа по порядку:1
а) от 27 до 95 777, включая эти числа;
б) от 1000 до 100 000, исключая эти числа.
786. Найдите два решения неравенства:
а) у + 33 765 < 40 000; в) а — 5 670 > 10;
б) 9 864 + р > 10 000; г) 82 700 — х < 700.
— 120—

787. Составьте множество решений неравенства:
а) 209 — у < 200; б) х + 830 < 835.
788. Найдите уменьшаемое, если:
а) вычитаемое 9078, разность 9079;
б) разность 32 875, вычитаемое 57 008.
789. Найдите вычитаемое, если:
а) уменьшаемое 22 540, разность 7563;
б) разность 75 680, уменьшаемое 82 671.
790. Найдите слагаемое, если:
а) сумма 125 700, другое слагаемое 5388;
б) сумма 71 000, другое слагаемое 70 993.
791. Решите уравнение:
а) 8546 + Х-9000; в) у — 56735 = 87;
б) х+39 = 100371; г) 85600 — с =19.
792. Решите уравнение и сделайте проверку:
а) 7 687 + р = 19 200; б) k — 38 005 - 876.
793. Решите уравнение:
а) 2783+ 1217=х+79; г) 40050 — 20 100 = 314 + у;
б) р — 875 = 20830 + 760; д) у — 3613 = 51 008-^-50400;
в) 68111—6 = 37 022+88; е) 90000 —р = 100001—35 500.
794. Составьте уравнение и решите его:
а) К какому числу надо прибавить 7088, чтобы получилось 10 000?
б) Из какого числа надо вычесть 18 956, чтобы получилось 1967?
в) Какое число надо прибавить к 908, чтобы получилось 1515?
г) Какое число надо вычесть из 12 000, чтобы получилось 8?
795. Запишите фразу в виде уравнения и решите его:
а) 7 608 больше х на 990; в) а меньше 3 780 на 2 800;
б) у больше 5 004 на 375; г) 8 900 меньше р на 1 720.
796. После, того как из кассы выдали 2509 руб., в кассе осталось 802 руб.
Сколько рублей было в кассе?
797. На складе было 1606 мешков муки. После того как часть муки
отправили в пекарню, осталось 1009 мешков. Сколько мешков муки
отправили в nпекарню?
798. Прилетели скворцы. Если бы прилетело на 59 скворцов больше, то
их было бы 320. Сколько прилетело скворцов?
799. Если бы в нашей школе было на 140 учеников меньше, то в школе
оказалось бы 980 учеников. Сколько учеников в нашей школе?
.800. В начале декабря в бочке было 275 кг огурцов. Сколько килограммов
огурцов было съедено за месяц, если к концу декабря их осталось 168 кг?
— 121 —

49. ДИАГРАММЫ
122
801.
Каждое деление шкалы обозначает какое-то число (цена деления).
Например, на шкале весов (рис. 122) одно деление
представляет 2 кг, два деления 4 /сг, три деления 6 кг. Число 8 на этой
шкале изображается отрезком, состоящим из четырёх делений.
На шкале числа изображаются точками (штрихами) или
отрезками. Для изображения чисел используют и другие фигуры,
например части круга, прямоугольники. Изображение чисел
фигурами помогает иногда при решении задач. Рассмотрим
задачу. Квартира состоит из двух комнат: бабушкиной и нашей.
Площадь бабушкиной комнаты 12 кв. м. Наша комната в 2 раза
больше бабушкиной комнаты. Какова площадь двух этих
комнат? Сначала найдём площадь нашей комнаты: 12-2_= 24 (кв. м).
Теперь вычислим площадь двух комнат: 24 + 12 = 36 (кв. м).
Эту задачу можно решить легче, если условие задачи
изобразить на рисунке. Тёмным прямоугольником (рис. 123) изображена
комната бабушки (12 кв. м), а белым — наша комната. Наша комната,
в 2 раза больше бабушкиной. Значит, в ней 2 раза по 12 кв. м. А в двух
комнатах 3 раза по 12 кв. м: 12-3 = 36 (кв. м).
На всём участке посадили огурцы и помидоры. Под помидоры отвели
140 кв. м, а под огурцы в 6 раз больше. Изобразите в виде
прямоугольника с длиной 3 клетки и Шириной 2 клетки часть участка, занятую
помидорами. Изобразите в виде прямоугольника с той же длиной часть
участка, занятую огурцами. Во сколько раз весь участок больше его
части, занятой помидорами? Найдите площадь участка.
123
— 122—
I

802. Коробка для печенья весит 125 г, а вес печенья в 4 раза больше веса
коробки. Изобразите прямоугольником со сторонами 5 клеток и 3
клетки вес коробки. Изобразите прямоугольником вес печенья. Во сколько
раз коробка с печеньем тяжелее пустой коробки? Найдите вес
коробки с печеньем.
803. По дороге движется колонна машин, состоящих из ЗИЛов и МАЗов.
В колонне 28 МАЗов, а ЗИЛов в 3 раза больше. Изобразите одним
прямоугольником число МАЗов и другим прямоугольником число ЗИЛов.
• Сколько машин в колонне?
804. На поле прилетели птицы: грачи и скворцы. Грачей на поле 35, а всего
птиц в 8 раз больше, чем грачей. Изобразите одним прямоугольником
число грачей. Изобразите другим прямоугольником число всех птиц.
Первый прямоугольник должен составлять часть второго. Во сколько
раз скворцов больше, чем грачей?
805. Миша с дедушкой ловили раков. Дедушка поймал 32 рака, а Миша в
4 раза больше. Сколько раков поймали дедушка и Миша? Решите
двумя способами.
806. Трамваев и автобусов в парке в 4 раза больше, чем одних трамваев.
Сколько выпарке автобусов, если в нём 28 трамваев? Решите двумя
способами (рис. 124).
В книгах и газетах можно часто встретить чертёж, на котором
несколько чисел изображены прямоугольниками или другими фигурами.
Такие чертежи называют диаграммами. На рисунке 125 показана
диаграмма выпуска телевизоров заводом за три месяца.
— 123—

807. В каком месяце (рис. 125) выпустили больше
телевизоров: а) в январе или феврале; б) в январе
или марте; в) в феврале или марте? Сколько
телевизоров было выпущено в каждом месяце? На
сколько больше телевизоров выпустили: а) в
январе, чем в феврале; б) в марте, чем в январе?
На сколько телевизоров меньше выпустили в
феврале, чем в марте?
7
7
вин
400А
200А
о*-
Янбарь
125
Февраль
Март
126
808. На рисунке 126 показана
диаграмма роста
мальчика. Какой рост имел
мальчик, когда ему было
1 год, 2 года, 4 года,
7 лет, 9 лет и 11 лет? На
сколько сантиметров
вырос мальчик за время:
а) от 1 до 4 лет, б) от 4 до
7 лет, в) от 2 до 4 лет,
г) от 9 до 11 лет?
4 7
Возраст в годах
—124-

809. Рассмотритедиаграмму скоростей (рис. 127), ^
сформулируйте несколько вопросов и от- V^
ветьте на них.
127
000\

worn

Horn-
wo-\
80
60
40
20 -|
О
Улитка Мальчик Мотоцикл ЙбтомоЬипь Вертолет
810. Начертите диаграмму веса девочки. На
горизонтальном отрезке отметьте возраст
в годах, а на вертикальном — вес в
килограммах. Данные указаны в таблице:
Возраст в годах
Вес в килограммах
1
10
4
15
7
24
10
30
811. Начертите диаграмму распределения
уроков по предметам за неделю. На
горизонтальном отрезке напишите названия
предметов, а на вертикальном — число уроков
в неделю по этому предмету.
— 125—

§11. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ
50. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ НА ОДНОЗНАЧНОЕ ЧИСЛО
815.
816.
Мы уже научились умножать и делить трёхзначные числа на
однозначные. Таким же образом выполняют умножение и деление любого
многозначного числа на однозначное. Покажем это на примерах:
2 765 18 027:9 = 2003
4 —18
812.
813.
814.
11 060
Выполните умножение:
а) 224 • 6; г) 90 708 • 8;
б) 5-8765; д) 2 107-3;
в) 32 378-7; е) 9-21456;
Выполните деление:
а) 7 035 : 3; г) 208 004 : 4;
б) 3 654 :7; д) 27 819 : 9;
в) 998 145: 5; е) 842 264 : 4;'
Выполните действия:
0
" 0
2
_ 0
27
— 27
0
ж) 70 080-
з) 9 999 •
ж) 761 238
з) 749 497
а) (123 456 : 3) : 4; д) (20703 • 6) : 2;
б) ( 91784 : 7) : 2; е) (50 495 : 5) • 7;
в) 9 -(2 087-5); ж) (4 -31715) : 5;
г) (49 108 • 3) • 5; з) 6 • (241 248 : 4).
2;
9.
:6
:7
Составьте сумму и найдите её значение:
а) из произведения 45 607 • 8 и частного 23 870 : 10;
б) из разности 42 070 — 4387 и произведения 7 • 54 077;
в) из частного 278 109 : 9 и частного 902 455 : 5;
г) из разности 50 006 — 8705 и разности 211 387 — 50 006.
Составьте разность и найдите её значение:
а) из произведения 54 804-5 и суммы 87 056 + 765;
б) из произведения 90 650-8 и произведения 90 650-7;
в) из частного 75 061 : 7 и частного 12 385 : 5;
г) из суммы 99 201 + 118 147 и частного 411 972 : 3.
— 126—

817. Составьте произведение и найдите его значение:
а) из суммы 65 780 + 40 760 и разности 542 245 — 542 237;
б) из частного 654 735 : 5 и разности 876 899 — 876 899;
в) из разности 245 703 — 245 695 и частного 2424 : 8;
г) из разности 54 680 — 54 674 и произведения 207 • 3.
818. Составьте частное и найдите его значение:
а) из суммы 84 197 + 725 704 и.разности 10 002 — 9999;
б) из произведения 24 330-6 и частного 48: 16.
819. Найдите значение выражений: ,
а) 800 670 — (7065 . 8); д) (29 803 • 9) + (71 232 : 4) + 99;
б) (7 . 6005) -f 76 005; е) (7848 : 8) + (4505 . 8) + 860 009; '
в) 80 122 — (654 222 : 6); ж) (80 109 • 6) — (21 364 : 7); '
г) (96 550 : 10) — 8878; з) (981 340 : 10) — (2300 . 3).
820. Каждое из чисел: 2456, 708, 3328, 309 и 905 — сначала увеличьте в
6 раз, а затем результат уменьшите в 3 раза.
821. Каждое из чисел: 3234, 606, 9708 и 516 — сначала уменьшите в 6 раз
а затем результат увеличьте в 2 раза.
822. Найдите произведение, если
а) один множитель 8, а другой 808;
б) один множитель 7045, а другой 6.
823. Найдите частное, если:
а) делимое 1260, делитель 6; б) делитель 7, делимое 14 959.
824. Решите уравнения:
а) 8- х -3216; д) х ■ 7 = 37 107;
б) */:6300 = 5; е) а : 2801 -9;
в) 5656.: k = 7; ж) р—87060 = 3987;
г) 28609 — k = 9807; з) 42528 : с = 6.
825. Найдите площадь прямоугольника, длина и ширина которого равны:
а) 359 см и 8 см; б) 4 см и 5920 см.
826. Найдите длину прямоугольника, если его площадь равна 4842 кв. см,
а ширина 6 см.
827. Найдите периметр квадрата, сторона которого равна 357 см.
828. Найдите периметр равностороннего треугольника, если его сторона
равна 676 см. Выразите периметр в метрах и сантиметрах.
829. Площадь прямоугольника 720кв. см, а длина 10 см. Найдите периметр
этого прямоугольника.
— 127—

830. В магазин привезли галоши, боты и резиновые сапоги. Бот привезли
на 285 пар больше, чем галош, а резиновых сапог в 3 раза больше, чем
бот. Сколько пар резиновой обуви привезли в магазин, если галош было
привезено 1980 пар?
831. По реке плывут три плота. В первом плоту 840 брёвен. Во втором в 2
раза больше, чем в первом, а в третьем на 560 меньше, чем во втором.
Сколько брёвен в трёх плотах? .
832. Бригада рыбаков поймала 820 кг щук. Судаков бригада поймала на
450 кг больше, чем щук, а лещей в 2 раза меньше, чем судаков. Сколько
килограммов рыбы поймала бригада?
833. Туристы прошли от Васильевки до Двориков через Пироговку и
Песчаное (рис. 128). От Васильевки до Пироговки 8 км 600 м. Расстояние
от Пироговки до Песчаного в 2 раза меньше, чем от Васильевки до
Пироговки, и на 1 км 700 м меньше, чем от Песчаного до Двориков.
Какой путь прошли туристы?
834. Я видел в зоопарке крокодилов, медведей и обезьян. Крокодилов было
17, медведей в три раза больше, чем крокодилов, и в 2 раза меньше, чем
обезьян. Что можно узнать, используя эти сведения?
— 128—

51. УМНОЖЕНИЕ НА НЕКОТОРЫЕ ДВУЗНАЧНЫЕ ЧИСЛА
Если двузначное число можно представить в виде произведения двух
однозначных множителей, то на него легко умножить любое число.
Пример 1. Умножим 374 на 15. Представим 15 в виде произведения
двух однозначных чисел 3 и 5. Умножим 374 на произведение 3 и 5:
374.(3-5)-374.3-5-5610.
374 1870
'_ 5 I 3
1870 5610
Пример 2. Умножим 81 на 208. Представим 81 в виде произведения
однозначных чисел:
81-208 = 208 9-9= 16 848.
208 1872
'_ 9 ; 9
1872 16 848
835. Представьте в виде произведения двух однозначных чисел следующие
числа: 10, 12, 20, 24, 36, 45, 56, 63, 72.
836. Какие из чисел: 16, 21, 22, 30, 13, 50, 54 — можно представить в
виде произведения двух однозначных чисел?
837. Объясните, как выполнялось умножение:
а) 35 - 4 = 70 * 2 = 140; б) 25 • 8 = 50 • 4 = 100 . 2 = 200.
838. Найдите двумя различными способами значение выражений:
а) 3 • 69 • 8; б) 225 - 6 . 7.
839. Представьте один из множителей в виде произведения однозначных
чисел и выполните умножение:
а) 72 . 12; г) 241 . 16; ж) 49 . 56;
б) 14-96; д) 23-35; з) 125-28;
в) 18 • 15; е) 42 • 37; и) 36 • 47.
840. Выполните умножение:
а) 54 • 20; в) 50 . 40; д) 67 . 10;
б) 30-81; г) 160-40; е) 10-432.
841. Выполните действие:
а) 39 • 10; б) 10 - 243; в) 315 • 10; г) 10 - 68.
842. Выразите:
а) 7 т в сотнях; в) 6 д в единицах; д) 5 д в единицах;
б) 9 с в десятках; г) 8 с в десятках; е) 3 т в сотнях.
— 129—

52. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ НА 10
Число 10 можно представить в виде произведения однозначных чисел
2 и 5. Поэтому при умножении любого числа на 10 можно умножить это
число сначала на 5, потом ещё на 2. Для умножения числа на 10
существует другой, более простой способ. Умножим 267 на 10. Представим
267 в виде суммы 2 сотен, 6 десятков и 7 единиц. Умножим на 10
каждое слагаемое:
267-10 - (2с + 6д + 7е) • 10 - 20с + 60д + 70 е = 2т + 6с + 7 д =
- 2670. •
При умножении на 10 каждая сотня превращается в тысячу, каждый
десяток — в сотню и каждая единица — в десяток. Поэтому
рассуждения можно вести короче. Найдём произведение 425 и 10. Умножим 4
сотни на 10 — получим 4 тысячи; умножим, 2 десятка на 10 — получим
2 сотни; умножим 5 единиц на 10 — получим 5 десятков. На месте
единиц мы должны написать 0:
% 425-10 = 4250.
843. Увеличьте в 10 раз каждое из чисел: 58, 87, 91, 426, 756.
844. Умножьте на 10: 6547, 7865, 1111, 2422, 3762.
845. Решите уравнение:
а) 10>£ = 540; в) т- 10-820;
б) 46-х = 460; г) п . 18 = 180.
846. Найдите частное и проверьте умножением:
а) 580 : 10; в) 800 : 10; д) 750 : 10;
б) 330 : 33; г) 640 : 64; е) 400 : 40.
При умножении любого числа на 10 в произведении появляются в том
же порядке те же цифры, что и в самом числе, кроме последней цифры 0.
Отсюда получается правило умножения любого числа на 10.
Чтобы умножить число на 10, достаточно приписать к нему справа
нуль.
Так же легко разделить число, оканчивающееся нулём, на 10. Разделим
350 на 10. Какое число при умножении на 10 даёт 350? К какому числу
надо приписать справа нуль, чтобы получить 350? Это число легко
найти, если в делимом 350 отбросить нуль. Значит, частное равно 35, так
как 35-10 = 350. Чтобы разделить число, оканчивающееся нулём, на
10, достаточно отбросить этот нуль.
— 130—

847. Выполните действия:
а) 38 • 10; д) 8080 • 10; з) 7201 • 10;
б) 860 : 10; е) 10 • 209; и) 125 000 ; 10;
в) 569 -10; ж) 5640 : 10; к) 200060 : 10.
г) 8200: 10;
848. Увеличьте в 10 раз числа 37, 303, 582, 750, 3829, 26 540, 10 000, 20 020,
74 000.
849. Уменьшите в 10 раз числа 80, 760, 240, 1450, 22 400, 35 800, 87 000,
10 000.
850. Решите уравнения:
а) х • 10 = 350; д) 10 • х = 200; и) у • 700 = 7000;
б) 760 : х = 76; е) у : 10 = 555; к) р • 25 = 250;
в) 658 • с = 6580; ж) а • 10 = 8640; л) а • 10 = 80 100;
г) k : 10 = 483; з). 9230 : у = 10; м) 840 ; с = 10.
851. Выразите в сантиметрах:
а) 5 дм, 8 дм, 12 дм, 54 дм, 66 дм, 90 дм, 211 дм, 302 дм, 510 дм;
б) 20 мм, 40 мм, 60 мм, 90 лш, 150 мм, 420 лл, 560 лш, 2000 мм.
852. Выразите в дециметрах:
а)4м,7 м,9 м, 12 ж, 42 м, 76 л, 809 м, 780 л, 800 л, 450 м;
б) 80 см, 90 см,, 40 еж, 30 см, 250 ей, 380 ел, 400 см, 560 ок.
853. Выразите в метрах: 60 дм, 70 дм, 30 дле, 370 дм, 500 <?л, 760 Ли, 430 дм,
2200 ал, 5400 дм, 3800 йи, 3000 Ли.
854. Выразите в тоннах; 50 ц, 40 ц, 70 tf, 210 ц, 990 ч, 800 ц, 180 ц, 6060 ч,
4000 ц.
855. Выразите в центнерах: 2т, Зот, 7 /и, 9 /л, 25 т, 65 /и, 88 /п, 750 т,
240 т, 500 т.
856. Выполните действия:
а) 56 • 10 • 10; д) 87 • 10 • 10; з) 10 • 303 • 10;
б) (4500 : 10) : 10; е) 10 • 756 • 10; и) (900 : 90) : 10;
в) ,10 • 10 • 906; ж) (8600 : 10) : 10; к) 10 - 10 - 37.
г) (760 : 76) : 10;
857. Найдите значение выражений:.
а) (876 + 259) • 10; д) (64 507 — 38 807) : 10;
б) 10 • (9000 — 8097); е) 7560 : (8654 — 8644);
в) (54 211 — 27 181J : 10; ж) (386 + 246> • (786 — 776);
г) (64 254 — 64 004) : 25; з) (78 546 — 78 116) : (1245 — 1202).
858. Найдите:
а) сумму произведения 1953-10 и произведения 2047-10;
— 131 —

б) разность частного 74 080 : 10 и частного 14 070 : 10;
в) сумму частного 3510 : 351 и частного 6490 : 10;
г) разность произведения 10-148 и произведения 10-19;
д) разнобть частного 840 : 84 и произведения 0-10;
е) сумму произведения 5401-10 и частного 45 600 : 10.
859. Выполните действия:
а) (2546 - 6) - 10; в) (5642 : 7) : 2; д) (27 810 : 10) : 9;
б) (7560 : 10) - 9; г) (8408 : 4) - 10; е) (4572> 10) : 6.
860. Найдите периметр десятиугольника, каждая сторона которого равна
24 мм, 32 см, 76 дм, 90 м.
861. Найдите периметр квадрата, сторона которого равна 10 мм. Выразите
результат в сантиметрах.
862. Периметр десятиугольника, все стороны которого равны, составляет
8700 мм. Найдите длину его стороны. Выразите результат в
сантиметрах.
863. Периметр квадрата равен 440 см. Чему равна длина стороны квадрата в
дециметрах?
864. Периметр равностороннего треугольника равен 3120 дм. Чему равна
сторона треугольника в метрах?
865. Ломаная линия состоит из семи равных отрезков. Длина ломаной линии
455 дм. Найдите длину каждого отрезка в сантиметрах.
866. В таблице указаны длина и ширина прямоугольника. Найдите периметр
и площадь прямоугольника и результаты запишите в таблицу;
Длина
Ширина
Площадь
Периметр
6 см
10 см
\2дм
10 см
7 дм
8 см
90 см
1 дм
Юсм
72 дм
53. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ НА 100 И 1000
Умножать число на 100 и 1000 так же легко, как и на 10. Умножим 93
на 100. Представим 100 в виде произведения 10 и 10:
93-100 = 93.10-10 = 930-10 - 9300.
При умножении числа на 100 умножаем это число на 10 и полученный
результат умножаем снова на 10. Таким образом, мы приписываем
к умножаемому числу справа два раза цифру 0. Чтобы умножить число
на 100, достаточно приписать к нему справа два нуля.
Разделим 7600 на 100. Какое число при умножении на 100 даёт 7600?
— 132—

/
Другими словами, к какому числу надо приписать справа деа нуля,
чтобы получилось 7600? Это число легко найти, если в делимом
отбросить два нуля. Значит, частное равно 76, так как 76-100 = 7600.
Чтобы разделить на 100 число, оканчивающееся двумя нулями,
достаточно отбросить эти нули.
867. Выполните действия:
а) 8 • 100; д) 45 • 100; з) 4200 : 109;
б) 100 • 7; е) 50 • 100; ' и) 65000 : 100;
в) 96 • 100; ж) 216 • 100; . к) 56 700 : 100."
г) 700 : 100;
868. Увеличьте в 100 раз каждое из чисел: 7, 8, 2, 76, 21, 30, 450, 777,57, 88.
869. Уменьшите в 100 раз каждое из чисел: 600,900, 2400, 3200,800,400, 200,
4200, 5000, 8000, 75 000.
870. Представьте множитель 1000 в виде произведения 100 и 10 и выполните
умножение:
а) 5 • 1000; в) 46 - 1000;
б) 15 • 1000; г) 87 • 1000.
871. Выполните умножение и сформулируйте правило умножения числа на
1000:
а) 6 • 1000; в) 58 • 1000;
б) 24 • 1000; г) 99 • 1000.
872. Какое число надо умножить на 1000, чтобы получилось 63000, 78000
20 000? Сформулируйте правило деления числа на 1000.
873. Выполните действия:
а) 51 • 1000;
б) 61000 : 1000;
в) 930 • 10;
г) 1000 • 19;
д) 30 000 : 1000;
е) 60 100 : 10;
874. Решите уравнения:
а) 100 • * = 2300;
б) 7800 : k = 78;
в) с ■ 1000 = 3000;
г) а : 5 = 1000;
87У. Выразите в сантиметрах: 2 м, 6 м, 7 м, 12 м, 17 м, 49 м.
ж) 1000 • 37;
з) 84 000 : 1000;
и) 70 • 100;
к) 1000 • 69;
л) 10 000 : 1000;
м) 42 000 : 100.
Д) у. 100 = 10800;
е) 9 000 :р= 1000;
ж) р : 69 = 100;
з) 4500 : с = 45.
—133—

876. Выразите в метрах:
а) 300 см, 900 см, 2100 см, 3500 см, 9700 см, 5000 см, 37 000 см;
б) 4 о*, 8 /еж, 7 /еж, 13 /еж, 25 км, 17 /еж, 92 /еж, 100 /еж»
877. Выразите в килограммах:
а) 5 4, 8 ц, 6 ц, 24 ц, 42 ц, 55 ц, 24 ц, 214 ц, 837 ц;
б) 3 т, 5 т, 7 т, 9 т, 13 т, 15 /п, 35 т, 49 /и", 218 /л.
878. Выразите в центнерах: 200 кг, 400 /ег, 700 кг, 800 /сг, 2100 /ег, 3800 /ег,
5000 кг.
879. Выразите в тоннах: 2000 кг, 3000 кг, 6000 /ег, 54 000 кг, 77 000 /ег,
80000 кг, 215 000 /ег.
880. Выразите в копейках: 4 руб., 6 руб., 2 руб., 8 руб., 25 руб., 10 руб.,
50 руб,, 80 руб., 100 руб.
881. Выразите в рублях: 100 коп., 200 коп., 500 коп., 700 коп., 43 000 коп.,
8000 коп., 42 000 коп., 875 000 коп.
882. Найдите значение выражений:
а) (45 387 + 29 213) : 100; г) (76 052 — 75 946) • 100;
б) 100 • (52 525 : 5); д) 100 : (42 567 — 4? 557);
в) (70 333 + 9667) : 100; е) 100- (564 787 —5С4 687).
883. Выполните действия:
а) (91 . 100) — (287 - 7); г) (453 . 8) + (35 • 100);
б) (833 300 : 100) + (253 -9); д) (2339 - 9) — (179 000 : 1 000);
в) (707 • 100) —(706 . 100); с) (28900 : 100)—(288 000 : 1000),
884. Составьте из четырёх чисел выражение, в котором должно быть
умножение на 10 и деление на 100. Найдите значение составленного
выражения.
885. Скорость поезда 100 км в час. Сколько километров пройдёт поезд за
несколько часов? Составьте таблицу, если известно, что поезд шёл
2 часа, 5 час, 7 час, 11 час, 23 часа, 47 час
886. В бидон входит 10 кг масла. Сколько масла войдёт в несколько таких
бидонов? Составьте таблицу, если имеется 4 бидона, 8 бидонов, 25
бидонов, 76 бидонов.
54. УМНОЖЕНИЕ НА ЧИСЛА ВИДА 30, 400, 8000
'* Мы умеем умножать на любое однозначное число и, кроме того, на 10,
100 и 1000. Зная это, можно любое число умножить на такое число, как
30, или 400, или 8000.
-134—

Умножим 572 на 60. Представим число 60 в виде произведения 6 и 10.
Теперь достаточно 572 умножить на 6 и полученное произведение
умножить на 10 (к полученному произведению приписать справа нуль):
572 . 60 = 572 . 6 • 10 = 3432 -10-34 320.
572
' 6
3432
Получается всё гораздо проще, если вычисления располагать
столбиком. Напишем число 60 под числом 572 так, чтобы цифра 0 была под
цифрой 2. При такой записи легко умножить 572 на 6. Останется лишь
приписать нуль. Можно начать с приписывания нуля, так как он
выражает единицы числа. Пишем под единицами нуль, а затем умножаем
572 на 6:
572
' 60
34320
Умножим 48 на 400. Представим число 400 в виде произведения 4 и 100.
Умножим 48 на 4 и к полученному произведению припишем справа два
нуля. Умножение в столбик начинаем с приписывания двух нулей:
48
' 400
19200
887. Представьте каждое из чисел: 50, 20, 80, 140, 420 — в виде
произведения двух множителей, один из которых число 10.
888. Представьте каждое из чисел: 400, 900, 300, 8500 — в виде
произведения двух множителей, один из которых равен 100.
889. Выполните умножение:
а) 47-20; г) 15-80; ж) 29 -90;
б) 53 . 30; д) 93 - 70; з) 68 - 40.
в) 61 • 50; е) 37 . 60;
890. Найдите значение произведений:
а) 81 - 200; г) 27 - 500; ж) 108 - 900;
б) 95 • 700; д) 112- 800; з) 555 - 600.
в) 66 • 400; е) 204 . 300;
891. Выполните действие:
а) 456 • 30; г) 929 • 400; ж) 471 - 200;
б) 280 • 50; д) 300 • 840; з) 805 • 600;
в) 720 • 70; е) 60 • 250; и) 27 • 3000;
к) 5000 • 92.
-135— *

892. Найдите значение выражений: -
, а) (875 — 815) - 244; в). (237 • 30) + (9107 : 7);
б) 508 • (217+383); г) (43 800 : 100) - (80 000 : 1000). -
893. Сколько километров пролетит за сутки самолёт со скоростью 800 км
в час?
894. Сравните пути, пройденные поездом со скоростью 90 км в час за 16 час.
и самолётом со скоростью 650 км в час за 3 часа.
895. В школьной библиотеке 985 книг, а в районной в 20 раз больше. На
сколько книг больше в районной библиотеке, чем в школьной?
55. КВАДРАТНЫЙ ДЕЦИМЕТР. КВАДРАТНЫЙ МЕТР
I
896. В таблице указаны длина и ширина прямоугольников. Выразите длину
и ширину каждого прямоугольника в сантиметрах и найдите его
площадь:
Длина
Ширина
3 дм
2 дм
8 дм
5 дм
4 м
7 м
6 м
5 м
897. Найдите в квадратных сантиметрах площадь квадрата, сторона
которого равна 20 см, 40 см, 5 дм, 9 дм, 1 дм.
Площади больших фигур неудобно измерять в квадратных сантиметрах.
Поэтому ввели новые единицы измерения: квадратный дециметр и
квадратный метр.
Квадратным дециметром называется квадрат, сторона которого равна
1 дм. Квадратным метром называется квадрат, сторона которого равяа-
1 м.
898. Начертите в тетради квадратный дециметр и разбейте его на квадратные
сантиметры. Сколько квадратных сантиметров в квадратном дециметре?
899. Выразите в квадратных сантиметрах: 5 кв. дм, 8 кв. дм, 20 кв. дм,
32 кв. дм, 84 кв. дм, 740 кв. дм.
900. Выразите в квадратных дециметрах: 600 кв. см, 300 кв. см, 800 кв. см,
2400 ке. см, 75 000 кв. см.
901. Измерьте в дециметрах длину и ширину стола и вычислите его
площадь в квадратных дециметрах.
— 136—

902. Найдите площадь прямоугольника, если его стороны равны:
а) 5 см и 18 см; в) 70 см и 9 дм;
б) 40 дм и 85 дм; г) 6 дм и 12 еж.
903. Начертите на классной доске квадратный метр. Найдите его площадь
сначала в квадратных дециметрах, а затем в квадратных сантиметрах.
Сколько квадратных дециметров содержится в 1 кв. ж? Сколько
квадратных сантиметров содержится в 1 кв. ж?
904. Выразите в квадратных дециметрах:
а) 7 кв. ж, 4 кв. ж, 23 кв. ж, 11 кв. ж, 50 кв. ж, 86 кв. ж;
б) 500 кв. см, 700 кв. см, 3400 /се. ж, 5500 /се. ж, 80 000 кв. м.
905. Измерьте длину и ширину классной комнаты (в метрах) и найдите её
площадь (в квадратных метрах).
906. Выполните измерения и вычислите площадь одной из комнат вашей
квартиры.
907. Найдите площадь прямоугольника, если его стороны равны:
а) 4 ж и 45 ж; г) 60 дм и 23 ж;
б) 80 см и 36 см; д) 80 дм и 120 дж;
в) 50 дм и 73 дж; е) 5 ж и 400 см.
908. Периметр квадрата равен 36 ж. Чему равна длина стороны квадрата?
909. Найдите площадь каждой фигуры, изображённой на рисунке 129.
Юм 30дм
k
!
, 15 дм ^
\
I
-si
!
iJ
4 м
10 Зак. 1872 —137—

\
56. МНОГОГРАННИК
Мяч имеет форму шара. Совсем другую форму имеет коробка (рис. 130)
или клин (рис. 131). Их поверхность состоит из многоугольников,
называемых гранями. В такой фигуре, как коробка, 8 граней: 2
шестиугольника и 6 четырёхугольников. Можно построить фигуру, поверхность
которой будет состоять из ста или тысячи граней. Такие фигуры
называют многогранниками. Коробка (рис. 130) является восьмигранником,
а клин (рис. 131) — пятигранником.
Грани многогранника—многоугольники. Каждую сторону
многоугольника называют ребром многогранника, а каждую вершину —
вершиной многогранника. Многогранник, изображённый на
рисунке 132, имеет 7 граней, 15 рёбер и 10 вершин.
910. Сколько граней, рёбер и вершин имеет клин (рис. 131)?
■ 32 [рань
I Вершина
911. Из проволоки сделана модель многогранника (рис. 133). Сколько
граней, рёбер и вершин имеет этот многогранник?
912. Гранёный неочиненный карандаш имеет форму многогранника.
Назовите число вершин, рёбер и граней этого многогранника.
—138—

913. Сделайте из кусков проволоки или палочек и пластилиновых шариков
такой многогранник, который изображён на рисунке 134. Сколько
надо приготовить шариков и кусков проволоки?
914. Вылепите из пластилина какой-нибудь многогранник и сосчитайте в
нём рёбра, вершины и грани.
915. Комната имеет форму многогранника. Назовите число рёбер, вершин и
граней.
916. Назовите предметы, имеющие форму шара. Назовите предметы,
имеющие форму многогранника.
917. Кремлёвская звезда имеет форму многогранника (рис. 135). Сколько
граней и сколько вершин имеет такой многогранник?
918. Вырежьте из плотной бумаги равносторонний треугольник (рис. 136)
и начертите на нём отрезки, соединяющие середины сторон. Перегните
треугольник по этим отрезкам. Сложите из него многогранник
(рис. 137) и наклейте на каждое ребро узкую полоску цветной бумаги.
—139—

§ 12. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ
57. УМНОЖЕНИЕ НА ДВУЗНАЧНОЕ ЧИСЛО
Умножим 248 на 35. Представим 35 в виде суммы 30 и 5. Умножим 248
на каждое слагаемое и сложим полученные произведения:
248-35 = 248-(30 + 5) = 7440 + 1240 = 8680.
248 248 , 7440
' 30 ' 5 + 1240
7440 1240 8680
919. Представьте второй множитель в виде суммы числа, оканчивающегося
нулём, и однозначного числа. Умножьте число на сумму:
а) 712 • 84; б) 537 • 29.
920. Выполните умножение:
а) 821 • 56; г) 4007 • 21;
б) 2015-77; д) 588-11;
в) 315-12; е) 111-63.
При умножении на двузначное число удобно записывать вычисления
столбиком. Рассмотрим пример. Умножим 863 на 59. Умножаем 863 на
50 — пишем нуль и произведение 863 и 5. Умножаем 863 на 9.
Складываем полученные результаты. Можно сделать иначе: сначала умножить
на 9, а затем на 50 и сложить полученные результаты.
863 863
■ 59 - 59
, 43150 , "7 767
+ 7 767 + 43 150
50917 50917
921. Найдите произведение двумя способами (сначала умножьте на десятки,
потом на единицы; сначала умножьте на единицы, потом на десятки):
а) 372-63; б) 728-52.
922. Выполните умножение одним способом:
а) 499 - 18; б) 627 • 32.
923. Найдите произведение двумя способами (первый множитель умножьте на
второй; второй множитель умножьте на первый):
а) 25 • 82; б) 33 • 97.
—140—

924. Найдите различными способами произведение 44 и 61.
925. Выполните умножение (сначала решите, на какой множитель выгоднее
умножать):
926.
927.
928.
929.
930.
931.
932.
а) 55 • 64;
б) 42 • 48;
в) 69 • 86;
г) 38 • 74;
Д) 51 • 88;
е) 69 • 73;
«ыполните действие:
а) 44 • 85;
б) 17 -175;
в) 106 • 45;
г) 19 • 19;
д) 802 • 24;
е) 3117- 61;
ж) 71 .
з) 212 •
и) 82-
к) 25-
л) 16-
м) 15-
ж) 16 • 82;
з) 99-21.
55;
37;
923;
88;
155;
4078.
Составьте выражение и найдите его значение:
а) сумму 246 и 157 умножьте на 32;
б) разность 1208 и 849 умножьте на 43;
в) к произведению 216 и 73 прибавьте 85;
г) из произведения 54 и 307 вычтите 8904.
В настоящее время иногда применяют старую единицу веса — пуд.
Пуд содержит 16 лег. Выразите в килограммах: 5 пудов, 10 пудов,
42 пуда, 100 пудов, 256 пудов.
Сердце человека делает 75 ударов в минуту. Сколько ударов сделает
сердце за неделю?
«Волга» расходует 15 л бензина на 100 км, а «Москвич» 9 л. На сколько
литров бензина меньше израсходует «Москвич», чем «Волга» , если они
пройдут 3200 км?
Я купил 6 пачек бумаги по 250 листов в пачке. 100 листов этой бумаги
стоят 32 коп. Сколько денег я заплатил за бумагу?
Десяток яиц стоит 95 коп. Сколько стоят 180 яиц? Результат выразите
в рублях и копейках.
58. ДЕЛЕНИЕ НА ДВУЗНАЧНОЕ ЧИСЛО
Деление на двузначное число выполняется так же, как и на
однозначное. Разделим, например, 14 652 на 36. Делим 1 на 36, в частном
получается 0 и в остатке 1. Но 0 впереди числа не пишем. Поэтому при
делении на двузначное число следует сразу выделять две цифры. Число 14
— 141 —

меньше 36. В этом случае мы должны выделить три цифры. Делим 146
на 36. Сколько раз 36 содержится в 146? В числе 146 имеется 14 десятков,
а в числе 36 — почти 4 десятка. Делим 14 на 4, получается 3. Умножаем
36 на 3 и произведение вычитаем из 146. В остатке получилось 38.
Остаток больше делителя. Значит, мы взяли мало, потому что в 38 число
36 содержится один раз. Теперь видно, что надо взять 4. Написанную в
частном цифру 3 зачеркнём. Подчеркнём остаток и перепишем число
146. Умножаем 36 на 4 и произведение вычитаем из 146. В остатке
получилось 2. Сносим цифру 5. Делим 25 на 36. В частном получаем 0 и
в остатке 25. Сносим цифру 2 и делим 252 на 36. В частном получаем
7 и в остатке 0. Число 14 652 разделилось на 36 без остатка, в частном
получилось 407:
14652:36 = 2 407
~ 108
38
146
144
25
0
252
252
Д)
е)
0
933. Выполните деление:
а) 8240 : 20; г) 9540 : 60;
б) 7110:30; в) 13950:50;
934. Найдите частное:
а) 992 : 31; г) 7236 : 18;
б) 5488 : 49; д) 1596 : 19;
в) 6622 :22; е) 10 829:49;
21200
42350
80;
70.
935. Найдите значение выражений:
а) 3648 : 12
б) 42 840 : 42
в) 65520: 13
г) 81 540 : 27
д) 4230
е) 23 582
ж) 34 578
з) 140310
18
26
34
45
936. Выполните действия:
а) 260-31; д) 61 -750;
б) 52 722 : 58; е) 65 764 : 82;
в) 880 • 57; ж) 490 • 46;
г) 50410:71; з) 137 496 : 68;
ж) 14 981 :71;
з) 18 786 :62.
и) 34 884:57;
к) 59 730 : 66;
л) 66686:79;
м) 170604 :84.
и) 14 • 770;
к) 72 270:73;
л) 590 • 82;
м) 19018:37.
—142—

937. Составьте выражение и найдите его значение:
а) число 56 умножьте на сумму 87 и 96;
б) сумму 11 748 и 9067 разделите на 23;
в) число 492 умножьте на разность 4208 и 3159;
г) разность 252 501 и 207 429 разделите на 18;
д) к числу 8773 прибавьте произведение 51 и 217;
е) произведение 437 и 68 разделите на 17;
ж) из числа 524 870 вычтите произведение 840 и 21;
з) число 25 840 разделите на частное 1020 и 12.
938. Найдите значение выражения:
а) (199 + 5282) : 27; д) (27 812 — 5402) : 30;
б) 54 . (20 870 — 20 065); е) (40 000 — 39 917) • 64;
в) (1006 . 9) : 18; ж) 11 088 : (7131—7109);
г) 4001 — (6090 : 15); з) (80 100 : 20) + 99 889.
939. Выполните действия:
/ а) 25 • 78 • 4; г) (7 . 86) + (3 • 86);
б) 47 • 125 . 8; д) (471 . 23) + (77 • 471);
в) (450 : 15) • 22 • 10; е) 387 + 999 + (33 033 : 33).
940. Найдите значение выражения:
а) (1009 + 857) • (5300 : 100); д) (24 048 : 6) ■ (5 - 12);
б) (2008—1769) . (6321 —6302); е) (333 . 25) : (720 : 48);
в) (90240 : 48) + (749 . 13); ж) (1885 . 16) + (16 848 : 72);
г) (91 802 + 2736) — (7992 : 37); з) (97 920 : 24) + (84 . 153).
941. Составьте суммы:
а) из произведения 823 и 17, разности 261 и 72, частного 572 и 22;
б) из частного 2016 и 42, частного 4221 и 67, произведения 92 и
942. Составьте произведение:
а) из частного 97 281 и 9, разности 4256 и 4256, частного 640 и 64;
б) из суммы 67 и 25, частного 5616 и 78, разности 5008 и 4999.
943. Найдите площадь прямоугольника, если его стороны равны:
а) 12 см и 73 см; г) 5 дм и 65 см;
б) 42 дм и 81 дм; д) 82 ж и 35 дм;
в) 43 ж и 68 м; е) 75 см и 2 м.
-143-

944. В таблице указаны длина, ширина или площадь прямоугольника.
Заполните пустые места в этой таблице:
Длина
Ширина
Площадь
Периметр
28 см
80 см
37 дм
888 кв. дм
65 дм
4225 кв. дм
42 м
4200 кв. дм
103 ж
34 м
945.
Решите уравнение:
а) х : 76-313;
б) 21 . а = 168;
в) 210 : ^ = 35;
г) с : 80 = 420;
д) k • 38 = 190;
е) 414 :р = 46.
946. Решите уравнение и сделайте проверку:
я) 19 034 : х = 8 000 — 7693; б) 46 000 — k = 502 - 38.
947. Решите задачу, составляя уравнение:
а) До обеда в магазине продано несколько бутылок молока, а после
обеда ещё 820 бутылок. За весь день продано 1916 бутылок. Сколько
бутылок молока продано до обеда?
б) В одном ведре несколько литров воды, а в другом на 4 л
меньше. Сколько воды в первом ведре, если во втором 6 л?
в) Дед старше внука на 71 год. Сколько лет внуку, если дедушке 78
лет?
г) Внучка моложе своей бабушки в 11 раз. Внучке 6 лет. Сколько лет
бабушке?
948. Из города в деревню через совхоз велосипедист ехал несколько часов со
скоростью 18 км в час. Сколько часов ехал велосипедист, если от
города до совхоза 15 км, а от совхоза до деревни 75 км? Выполните
чертёж и составьте уравнение.
138
Хк/%
АП-йД
—144—

140
jipo
Л*.
949. Придумайте задачи, используя
рисунки 138, 139 и 140. Составьте
уравнения и решите их.
950. Взрослый человек может поднять
груз не более 100 кг. Сумеет ли он
поднять восьмилитровую банку,
наполненную ртутью. Один литр
ртути весит 13 кг 600 г.
951. За два дня путешественник проехал
на «Москвиче» 928 км. С какой ско-
, ростью ехал путешественник, если
в первый день он был в пути 7 час,
а во второй 9 час?
952. По плану токарь должен был
сделать за 27 дней 756 деталей. Токарь
делал в день 36 деталей. Выполнил
ли он план в срок? Что можно ещё
узнать по данным этой задачи?
59. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ НА ТРЁХЗНАЧНОЕ ЧИСЛО
Умножим 256 на 247. Представим 247 в виде суммы чисел 200, 40 и 7.
Умножим 256 на каждое слагаемое и сложим полученные результаты.
Вычисления удобно располагать в столбик:
256
247
256
247
+
51200
10 240
1792
63 232
1792
+ 10240
51200
63 232
Рассмотрим ещё один пример. Умножим 455 на 308. В этом
произведении выгоднее представить число 308 в виде суммы 300 и 8 (два
слагаемых вместо трёх). Получим запись:
455 455
308 ' 308
+
92 400
3 640
96 040
+
3640
92 400
96 040
—145—

953. Выполните умножение:
а) 564 • 348;
б) 123-321;
в) 831 • 156;
г) 953 • 459.
954. Объясните, как выполнялось умножение:
а) .602 б)
956.
602
381
602
381
-1-
602
48160
180600
229362
955. Найдите произведение:
а) 444
б) 809
в) 206
г) 712
625:
432
547
606
Д) 901
е) 408
ж) 705
з) 608
867
509
736
222;
. 228600
+ 762
229362
и) 137-405;
к) 501 ■ 722;
л) 564 • 208;
м) 903 • 309.
Объясните, как выполнялось деление. Сделайте проверку с помощью
умножения:
а) 80434 : 262 = 307;
_786
б) _ 45762: 526 = 87
4208
183
0
3682
3682
1834
1834
0
0
957. Выполните действия:
а) 1207-213;
б) 41 066 : 342;
в) 84822:402;
г) 2111 -307;
д) 70296: 101;
е) 64 890:630.
958. Составьте выражение и найдите его значение:
а) к произведению 307 и 421 прибавьте частное 7696 и 37;
б) из произведения 641 и 402 вычтите частное 32 100 и 50;
в) разность 29 072 и 28 765 умножьте на частное 89 082 и 441;
г) сумму 58 258 и 9768 разделите на разность 9189 и 8888.
— 146—

959. Найдите значение выражений:
а) 2607 — (86 580 : 37); г) 243 001 — (78 822 : 87);
б) (487 • 120) + 141 560; д) (482 • 205) — 69 907;
в) (243 • 801) — (724 • 108); е) (333 • 150) : (20759 — 20684);
ж) (1278+724) • (21 000 — 20975);
з) (42 604 — 32 725) : (36 186 : 326);
и) (89375 + 31941)-(78947 —78947);
к) (420 • 207) + (304 -310);
л) (67266: 222)+.(507- 120);
м) (202-226) : (16 564 : 41).
960. Составьте разность
а) из произведения
б) из суммы 293 Ш
961. Составьте частное:
а) из произведения 235 и 309 и частного 299 460 и 372;
б) из суммы 293 186 и 706 813 и произведения 456 и 879.
Составьте частное:
а) из суммы 81 029 и 21 208 и разности 36 508 и 36 021;
б) из произведения 624 и 418 и частного 54 288 и 87.
962. Выполните действия:
а) 28-75; д) 2115:75;
б) 2009 - 75; е) 4816 : 2408;
в) 247 - 3081; ж) 6150 : 3075;
г) 409- 1832; з) 39015: 13005.
963. Найдите значение выражений:
а) (8426 : 4213) • (75 043 — 9874);
б) (811 • 1079) — (92 143 + 237 475);
в) (4218-2) : (1000 —297);
г) (4446 : 342) • (2704 : 208) • 10.
964. Решите уравнения:
а) х + 56 = 34 + 76; ж) к • 12 = 48 + 12;
б) 45 + а =10 -5; з) 22-k = 700— 18;
в) 92 — #=249 — 197; и) 288 : х = 2 • 72;
г) 426 — а = 125-3; к) у : 4 = 143 — 99;
д) р — ы =201—192; л) 55 : у = 275 : 25;
е) k — 37 = 2828: 14; м) с : 201 = 4 • 37.
965. Решите с помощью уравнения задачу:
а) Миша задумал число и умножил его на 121. В результате
получилось 605. Какое число задумал Миша?
ю*
—147—

б) В клетке несколько кроликов. У них 84 ноги. Сколько кроликов в
клетке?
в) Лёва рассчитал: если разделить бревно на 6 равных частей, то длина
одной части будет 125 см. Найдите длину бревна.
г) В доске просверлили несколько отверстий, которые разделили
доску на 12 равных частей. Расстояние между соседними отверстиями
равно 32 см. Какова длина доски?
д) Молоко разлили в 4 бидона. Во второй бидон налили 35 л, в третий
41 л, в четвёртый 43 л. В первом и втором бидонах оказалось молока
столько же, сколько в третьем и четвёртом. Сколько молока налили в
первый бидон?
е) Сеня наклеивал марки в альбом. На первую страницу он поместил
18 марок. Из них 5 марок были польские, а остальные советские.
На вторую страницу он наклеил 7 болгарских, а на третью —
несколько чехословацких марок. Болгарских и чехословацких марок
оказалось столько же, сколько советских. Сколько чехословацких
марок наклеил Сеня?
ж) На скотном дворе было 27 лошадей, 79 коров, 8 верблюдов и
несколько коз. Коров было меньше, чем коз, на столько, на сколько лошадей
было больше, чем верблюдов. Сколько коз было на скотном дворе?
з) Три слона носили брёвна. Первый слон принёс 31 бревно, второй 25
брёвен. Первый и второй слоны принесли брёвен в 2 раза больше, чем
третий. Сколько брёвен принёс третий слон?
и) Обезьяны ели бананы. Одна из них съела несколько бананов,
вторая 6, а третья 2. Первая и вторая обезьяны съели вместе в 5 раз
больше бананов, чем третья. Сколько бананов съела первая обезьяна?
к) Волк, Лиса и Медведь делили рыбу. Медведь взял себе половину
улова, Волк 7 /сг, а Лисе досталось 9 кг. Сколько рыбы наловили звери?
966. Мальчики связали две верёвки длиной 2 м 8 см и 3 м 14 см. От
полученной верёвки они отрезали половину. Какую длину имеет оставшаяся
часть верёвки?
967. На ёлке было 39 детей. Каждый из них получил 6 яблок и 3 груши.
Сколько фруктов получили дети? Решите двумя способами.
968. За 6 кг ранней капусты заплатили 2 руб. 40 коп. Найти стоимость
18 кг капусты. Решите двумя способами.
969. Вес 5 одинаковых шаров равен 4 кг 500 г. Сколько весят 6 таких шаров?
Решите двумя способами.
970. За 4 часа самолёт израсходовал 192 кг бензина. На сколько часов хватит
двух баков бензина по 96 кг? Решите несколькими способами.
— 148—

60. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД
На рисунке 141 изображён многогранник,
который имеет такую же форму, как
кирпич, спичечная коробка, ящик. Грани этого
многогранника — прямоугольники. Всего
граней 6. Шестигранник, у которого
каждая грань — прямоугольник, называют
прямоугольным параллелепипедом*
971. Имеет ли форму прямоугольного
параллелепипеда спичечная коробка, кубик, линейка?
972. Назовите предметы, имеющие форму
прямоугольного параллелепипеда.
973. Прямоугольный параллелепипед —
многогранник. Грани, рёбра и вершины этого
многогранника называются гранями, рёб1
рами и вершинами прямоугольного
параллелепипеда. Сколько граней, рёбер и
вершин имеет прямоугольный параллелепипед?
974. Назовите грани, рёбра и вершины
прямоугольного параллелепипеда (рис. 142).
Имеет ли прямоугольный параллелепипед
равные грани или равные рёбра? Назовите
рёбра, имеющие одинаковое направление.
975. Какие рёбра (рис. 142) прямоугольного
параллелепипеда сходятся в вершине В?
Назовите два ребра, имеющие общую точку.
Можно ли найти четыре ребра, имеющие
общую точку?
976. Три ребра прямоугольного
параллелепипеда, сходящиеся в одной точке, имеют длину
20 см, 30 см и 50 см. Сколько понадобится
проволоки, чтобы сделать модель такого
прямоугольного параллелепипеда? Сколько
—149—

и каких прямоугольников надо
вырезать из бумаги, чтобы сделать модель
такого же прямоугольного
параллелепипеда?
977. Назовите рёбра прямоугольного
параллелепипеда,(рис. 143), принадлежащие
каждой грани. Найдите две пары
противолежащих граней,
противолежащих рёбер и противолежащих
вершин.
978. Измерьте на модели прямоугольного
параллелепипеда рёбра и вычислите
площадь каждой его грани.
979. Из костей домино сложен
прямоугольный параллелепипед (рис. 144, 145).
Сколько костей пошло на постройку
прямоугольного параллелепипеда?
Сложите такой же прямоугольный
параллелепипед.
980. Сколько кирпичей в штабеле
(рис. 146)?
981. Сколько шашек пошло на постройку
фигуры (рис. 147)?
982. Из пятикопеечных монет сложена
фигура (рис. 148). Сколько монет в
этой фигуре и сколько копеек в этих
монетах?
147 148
—150—

61. КУБ. КУБИЧЕСКИЙ САНТИМЕТР
Прямоугольный параллелепипед, в котором все рёбра равны,
называется кубом. Грани, вершины и рёбра такого прямоугольного
параллелепипеда называют гранями, вершинами и рёбрами куба.
983. Каким многоугольником является каждая грань куба?
984. Ребро куба равно 45 см. Сколько понадобится проволоки, чтобы
сделать модель куба?
985. Ребро куба 2 дм. Сколько понадобится бумаги, чтобы сделать модель
куба? Из бумаги вырезаются грани куба.
986. На сколько кубов разрезан прямоугольный параллелепипед (рис. 149)?
987. Куб, ребро которого равно 9 см, разделён на равные маленькие кубы
(рис. 150). Сколько маленьких кубов получилось? Чему равно ребро
маленького куба?
988. Фигура (рис. 151) разбита на равные кубы. Сколько получилось кубов?
Куб, ребро которого равно 1 см, называется кубическим сантиметром.
На рисунке 152 изображены сантиметр, квадратный сантиметр и
кубический сантиметр. Каждая грань кубического сантиметра
представляет квадратный сантиметр, а каждое ребро — сантиметр.
149 150 151 152
^—151 —

153
989.
990.
Ученик построил из кубических сантиметров
высотное здание (рис. 153). Сколько
кубических сантиметров пошло на постройку?
Постройте сами из кубических сантиметров
какую-нибудь фигуру и посчитайте
использованные кубические сантиметры.
Сделайте из пластилина прямоугольный
параллелепипед с рёбрами 2 см, 2 см и
3 см. Разрежьте его на отдельные
кубические сантиметры.
154
992.
993.
Квадрат (рис. 154) разбит на квадратные сантиметры. На каждый
квадратный сантиметр кладётся один кубический сантиметр. Сколько
понадобится кубических сантиметров, чтобы образовать 1 слой, 3 слоя 10
слоев?
На прямоугольник, длина которого 4 см, а ширина 5см, уложили в
несколько слоев вплотную друг к другу кубические сантиметры.
Сколько кубических сантиметров пошло на 1 слой, 2 слоя, 5 слоев
и 100 слоев?
62. УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 3
994. Могут ли оканчиваться одной и той же цифрой два числа и их сумма?
Рассмотрите все случаи.
995. Могут ли оканчиваться одной и той же цифрой два числа и их
произведение? Рассмотрите все случаи.
152-

996. Может ли сумма двух чисел быть равной:
а) одному из слагаемых; б) каждому слагаемому?
997. Может ли разность двух чисел равняться:
а) уменьшаемому; б) вычитаемому?
998. Может ли произведение двух чисел быть равным:
а) одному из множителей; б) каждому множителю?
999. Может ли частное равняться:
а) делимому; б) делителю?
1000. Может ли сумма двух чисел равняться их разности?
1001. Придумайте такие два числа, произведение которых равно их частному.
1002. Найдите три числа, произведение которых равно их сумме.
1003. Найдите два таких числа, произведение которых меньше их суммы.
1004. Частное двух чисел равно единице. Приведите пример. Чему равна
разность этих чисел?
1005. Разность двух чисел равна нулю. Приведите пример. Чему равно
частное этих чисел?
1006. Возьмите два числа. Найдите их сумму и разность. Сложите сумму с
разностью. Сумели ли вы заметить что-нибудь интересное? Проверьте
это на других числах.
1007. Придумайте какое-нибудь число. Умножьте его на 3. Вычтите из
произведения то число, которое умножали на 3. Полученную разность
разделите пополам. Что интересное вы заметили? Проверьте это на другом
числе.
1008. Задумайте двузначное число, оканчивающееся цифрой 8, и прибавьте
к нему 2. Полученную сумму умножьте на 10. Вычтите из
произведения 20 и результат разделите на 10. Что вы заметили? Проверьте на
другом числе.
1009. Задумайте число и прибавьте к нему такое же число. Умножьте сумму
на 3 и разделите результат на задуманное число. Проделайте те же самые
действия с другим числом. Получится ли тот же самый результат с
третьим числом?
1010. Найдите четырёхзначное число, оканчивающееся цифрой 7, которое
меньше, чем 1016.
1011. Какое пятизначное число, оканчивающееся цифрой 7, больше, чем
99 987?
1012. Сколько таких чисел, которые больше, чем 3123, и меньше, чем 3321,
и при записи которых получаются три одинаковые цифры?
1013. Сколькими способами можно представить число 8 в виде суммы двух
слагаемых?
1014. Представьте число 5 сначала в виде суммы двух слагаемых, затем трёх,
четырёх и пяти чисел. Можно ли число 5 представить в виде суммы ста
слагаемых?
— 153—

1015. Какие из двузначных чисел, оканчивающихся цифрой 5, делятся без
остатка на 3? на 9?
1016. Придумайте число, которое делится на 9. Делится ли оно на 3?
Придумайте число, которое делится на 3. Делится ли оно на 9?
1017. Сначала выполнили действие, потом стёрли некоторые цифры и на их
место поставили звёздочки. Какие цифры стёрли?
в) 5*2*4
*6*97
^33^
г) 51
9*
###
**9*
***6
приписали справа и слева цифру 3.
На сколько единиц увеличилось каждое число?
1019. В трёхзначном числе имеются цифры 2, 3 и 8. Порядок расположения
цифр неизвестен. Если в этом числе зачеркнуть цифру 2, то число
уменьшится на 740. Найдите трёхзначное число.
1020. Запишите с помощью фигурных скобок множество решений неравенства:
а) 98 + а < 104; г) 2 • k < 20;
б) х — 80 < 9; д) х • 10 < 100;
в) 18 — р> 10; е) 36 : k > 3.
1021. Имеют ли неравенства хотя бы одно общее решение:
а) х > 3206 иО 4750; в) р < 809 и р < 433;
б) k > 564 и k < 865; г) с > 856 и с < 203?
1022. Составьте множество двузначных чисел, в которых:
а) сумма числа единиц и числа десятков равна 5;
б) разность числа десятков и числа единиц равна 2.
1023. Составьте множество чисел, в которых сумма всех разрядных единиц
(сумма единиц, десятков, сотен и т. д.) была бы равна 4 и в которых
нет ни одной цифры 0.
1024. Мотоциклист ехал 7 час. В первый час он проехал 20 км, а каждый
следующий на 10 км больше, чем в предыдущий. Сколько километров
проехал мотоциклист?
а) , *666*
"^ 9*0*7
*31*95
б) . *8
*3
11*
' AAA*
*#9*
1018. К каждому числу: 6, 45, 218
— 154—

1025. Поставили подряд 8 мешков. Вес первого мешка 88 /сг, а вес каждого
следующего на 8 кг меньше предыдущего. Найдите вес всех мешков.
1026. Около каждой вершины треугольника поставьте какое-нибудь
число. Напишите возле каждой стороны треугольника число, равное
сумме чисел, стоящих у её концов. Теперь каждое число, стоящее
около вершины, сложите с числом, стоящим около противолежащей
стороны. Почему равны все три получившиеся суммы?
1027. Найдите значение каждого выражения: 11-99; 22-99; 33-99; 44-99;
55-99; 66-99; 77-99; 88-99; 99-99—и постарайтесь заметить правило, по
которому легко получить результат.
1028. Буквой «а» обозначена одна и та же цифра. Узнайте эту цифру:
, Заа
+ 15а
а10
1029. Составьте выражение, используя знаки действий и цифру 9 так, чтобЬг
его значение было равно 90.
1030. Составьте из знаков действий и четырёх цифр 9 число 100.
1031. Сравните суммы чисел, расположенных в первом и втором столбцах:
12345 1
1234 21
123 321
12 4321
1 54321
1032. Как изменится сумма двух чисел, если к каждому из них приписать
справа нуль? Рассмотрите несколько примеров и сделайте вывод.
1033. Как изменится разность, если уменьшаемое и вычитаемое увеличить
в 10 раз? Рассмотрите примеры и сделайте вывод.
1034. Как изменится произведение двух чисел, если:
а) одно из чисел увеличить в 10 раз;
б) каждое из чисел увеличить в 10 раз?
1035. Как изменится частное, если к делимому и делителю справа приписать
нуль?
1036. Разместите числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 по одному около вершин треугольника
и около середин его сторон. Возле каждой стороны треугольника
окажется три числа — два у концов стороны и одно возле середины. Сумма
чисел возле каждой стороны должна равняться одному и тому же числу.
—155—

1037. Сделайте из бумаги восемь квадратов и
напишите на них по одному числу от 1 до 8.
Расположите квадраты так, как показано на рисунке
155. Найдите сумму чисел каждого столбца.
Равны ли получившиеся суммы? Можно ли
поменять местами два квадрата так, чтобы суммы в
столбцах оказались равными? Сколькими
способами можно это сделать?
1038. Вася решил составить таблицу. Он узнал, что
ему был 1 год, когда его папе был 21 год. В то
время папа был старше его в 21 раз (рис. 156).
Возраст Васи
1
2
5
10
20
Возраст его папы
21
Во сколько раз
папа старше Васи
21
1039. Оля и Серёжа собрали 840 г земляники и
разложили её поровну в 8 пакетов. 4 пакета они
подарили своей бабушке, а остальные оставили
себе. Сколько граммов земляники они оставили
себе?
1040. В 4 ящиках 48 кг яблок. Сколько яблок в 6 таких
ящиках? Решите тремя способами.
—156—

1041. В двух комнатах 86 человек. Когда из одной комнаты вышло 30, а из
другой 40 человек, то людей в комнате осталось поровну. Сколько
человек было в каждой комнате?
1042. В двух корзинах 120 груш. После того как из этих корзин взяли груш
поровну, в одной осталось 24, а в другой 36 груш. Сколько груш было
в каждой корзине? ,
1043. В палатку привезли 860 кг муки и развесили её в пакеты по 2 кг и 3 кг.
8 пакетах по 2 кг оказалось столько же муки, сколько в пакетах по
3 кг. Каких пакетов было больше, и на сколько (рис. 157)?
1044. Имеется некоторый запас овса. Если курам давать по 5 кг в день, то
его хватит на 18 дней. На сколько дней хватит запаса, если давать по
9 кг овса в день? По скольку килограммов овса надо давать в день,
чтобы всего запаса хватило на 15 дней?
1045. На клёне и берёзе 26 птиц. С берёзы 6 птиц улетело, а 4 птицы с клёна
перелетели на берёзу. После этого на деревьях птиц стало поровну.
Сколько птиц было на каждом дереве?
1046. В книге 240 страниц. Подсчитайте, сколько времени уйдёт у вас на
чтение этой книги.
Подсчитайте, сколько слов в минуту вы можете написать.
1047. Если на одну чашку весов положить кирпич, то на другую чашку для
равновесия надо положить гирю в 1 кг и полкирпича. Сделайте рисунок
и сообразите, сколько весит кирпич.
1048. В ряду 10 деревьев. Расстояние между соседними деревьями 5 ж. Рядом
с крайним деревом расположен водопроводный кран. Надо полить
деревья. Имеется только одно ведро. На каждые два дерева нужно одно
ведро воды. Какой путь придётся проделать при поливке всех деревьев?
Выполните рисунок.
—157—

1049. Через деревню проходят.две телефонные линии. В первой линии
расстояние между столбами 40 ж, а во второй 50 м. Где больше
расстояние: по первой линии от первого до двенадцатого столба или по второй
от первого до десятого столба?
1050. Расстояние от города А до города В 32 км, от Л до С 40 км, от В до С
28 км. Выполните чертёж. Курьер находится в городе А, но ему надо
посетить города В и С, не возвращаясь назад в город Л. Какой путь ему
выбрать?
1051. В Москве февральская ночь длиннее дня, апрельская короче. Что
длиннее: но^ь в феврале или ночь в апреле?
1052. Я иду от дома до школы 30 мин., а мой брат 40, У кого из нас больше
скорость? Догоню ли я брата, если он выйдет из дома в школу на 5 мин.
раньше меня? Рассмотрите другие случаи.
1053. Периметр равностороннего треугольника равен периметру
шестиугольника с равными сторонами. Что длиннее: сторона треугольника или
сторона шестиугольника. Рассмотрите пример.
1054. Лист фанеры имеет размеры 1 м 20 см и 1 м 60 см. Сколько из этого
листа можно вырезать кругов, если диаметр круга 40 см?
1055. Ширина линолеума 2 м. Сколько метров линолеума потребуется, чтобы
покрыть пол, длина которого 5 ж, а ширина 4 м? Выполните чертёж.
1056. Длина пола 6 м, а ширина 5. Сколько квадратных плиток со стороной
2 дм потребуется, чтобы покрыть весь пол? Сделайте чертёж.
1057. Начертите две окружности. Радиус одной окружности должен быть
3 см, другой 4 см, а расстояние между центрами 5 см. Измерьте общую
хорду этих окружностей.
1058. Из 12 спичек (рис. 158) составлены четыре равных квадрата малых и
один большой. Уберите две спички так, чтобы получилось:
а) два неравных квадрата; б) три равных квадрата.
1059. В фигуре, составленной из 12 спичек (рис. 158), переложите три спички
так, чтобы получилось три равных квадрата.
1060. Пусть каждая спичка представляет дециметр.
Сложите из 12 спичек такую фигуру (спички
укладывать только по границе фигуры), площадь
которой равна:
а) .3 кв. дм; в) 6 кв. дм;
б) 5 кв. дм; г) 8 кв. дм.
— 158—
I —* 1
• • •
158

160
1061. Пусть каждая спичка представляет
сантиметр. Сложите из спичек
различные фигуры так, чтобы площадь
каждой из них равнялась 4 кв. см.
Нарисуйте каждую фигуру и
найдите её периметр.
1062. Вырежьте из бумаги пять красных
и пять белых равных кругов.
Сложите из них фигуру, показанную на
рисунке 159. Придумайте сами
несколько фигур. Сложите их из
кругов, а потом нарисуйте в тетради.
1063. Нарисуйте квадратный ковёр со
стороной 10 еж (рис. 160). Закончите
раскраску ковра.
1064. Две шестерни сцеплены одна с
другой (рис. 161). У одной шестерни 60
зубьев,' у другой 12. В каком
направлении будет вращаться большая
шестерня, если малую вращать так,
как вращается часовая стрелка?
Сколько оборотов сделает малая
шестерня, если большую повернуть
на один оборот? Сколько оборотов
сделает большая шестерня, если
малую шестерню повернуть на 10
оборотов?
1065. Три шестерни сцеплены так, как
показано на рисунке 162. Покажите,
— 159—
164

в каком направлении будут вращаться шестерни А и 5, если
шестерню С вращать против часовой стрелки. Сколько оборотов сделают
шестерни В и С, если шестерня А сделает один оборот?
1066. Построили машину из четырёх шестерён (рис. 163). Будет ли работать
эта машина? Вращайте одну шестерню и рассмотрите вращение
остальных шестерён. Будет ли работать машина, составленная таким же
образом из пяти шестерён? Выполните чертёж и рассмотрите вращение.
1067. Четыре колеса соединены между собой ремнями (рис. 164). В каком
направлении вращается каждое колесо, если одно из них вращать по
часовой стрелке (например, правое нижнее)? Можно ли снять какой-либо
ремень, чтобы при этом машина работала (при вращении одного
колеса должны вращаться все остальные)?
ТАБЛИЦА
некоторых единиц длины, площади, веса и времени
1 км = 1000 ж 1 кв. м. = 100 кв. дм
1 ж— 10 дж 1 кв. дм.— 100 кв. см
I дм = 10 см 1 кв. см = 100 кв. мм
1 см = 10 мм
1 /п= 1000 кг 1 сутки = 24 часа
1 ц = 100 кг 1 час = 60 мин.
1 кг = 1000 г 1 мин. = 60 сек.

Эта книга является продолжением
«Математики в начальных классах»,
части I. Она предназначена для применения
в качестве основного пособия при
обучении математике во II классе по
экспериментальной программе1. Отдельные задачи
и даже целые фрагменты задач, взятые из
системы упражнений, а также некоторые
способы изложения материала могут
использоваться учителями начальных
классов, ведущими преподавание по обычной
программе. В книге могут найти ряд
интересных задач родители, пожелавшие
дополнительно заняться математикой со
своими детьми.
1. Структура учебного пособия.
Пособие состоит из трёх глав. Каждая
глава разбита на параграфы, а каждый
параграф — на пункты. В конце каждой главы
помещены упражнения к главе.
Каждый параграф содержит материал,
объединяющий небольшую тему. Его
подразделение на пункты предпринято с целью
распределить содержание параграфа на
более мелкие порции. В начале пункта
дается объяснение нового материала, затем
идут упражнения. В конце параграфа, как
правило, помещен пункт (иногда два),
содержащий геометрический материал. Все
по порядку пункты с геометрическими
сведениями образуют определенную
последовательность в раскрытии геометрического
материала.
Упражнения к главе содержат
несколько фрагментов, в каждом из которых
дан подбор задач на определенную тему.
По содержанию легко увидеть, какие
относятся к одному фрагменту.
1 О задачах и целях эксперимента расе
шевича, которое помещено в I части книги.
УКАЗАНИЯ
2. Пояснения к отдельным темам.
Первая глава «Четыре действия в
пределах 100» носит повторительный характер.
В ней систематизируются отдельные
сведения, приобретенные учащимися в I классе,
происходит дальнейшее углубление
содержания материала.
В § 1 вводятся буквы для
обозначения множеств, уточняется понятие
«элемент множества», рассматриваются
примеры равных множеств. Серьезное внимание
уделяется понятиям «множество решений
неравенства» и «уравнения». Условия
начальной школы позволяют дать
основательную пропедевтику этим важным для
дальнейшего обучения математике
понятиям. Упражнения 24—30 доступны, как
показал эксперимент, всем учащимся и
хорошо раскрывают смысл понятий
«решение неравенства», «множество решений
неравенства».
Одна из задач арифметики
начальной школы состоит в том, чтобы научить
учащихся правильно решать простые
задачи, например на сложение. Для ответа
на вопрос» какие задачи решаются
сложением, в методической литературе часто
приводятся чисто внешние критерии. Например,
утверждается, что если в вопросе задачи
встречаются слова (так называемые слова-
признаки) «всего» или «вместе», то задача
решается сложением. В пособиях (часть I и
часть II) приводится ряд задач, в которых
в вопросе задачи стоят слова всего или
вместе, но задача решается вычитанием,
а не сложением. По существу, никакие
слова-признаки не помогут ученику
разобраться в задаче, если он не усвоит основно-
в предисловии проф. А. И. Марку-

го математического содержания: с помощью
сложения отыскивается число элементов
объединения двух множеств с пустым
пересечением.
В § 2 рассматриваются задачи на
объединение и пересечение двух множеств,
задачи на сложение и вычитание. В двух
последних пунктах параграфа приводится
геометрический материал.
В § 3, так же как и в предыдущем
параграфе, раскрывается теорико-множест-
венное содержание понятия, «действия с
натуральными числами». Рассматриваются
задачи с конкретным содержанием,
которые приводят к составлению множества
пар — декартова произведения одного
множества на другое (сам термин «декартово
произведение» вводится лишь в III
классе). При решении подобных задач
учащимся, как правило, приходится
отыскивать число пар, которое не зависит от
того, в каком порядке находится
декартово произведение. Отсюда учащиеся сразу
убеждаются в справедливости перемести-
тельного свойства умножения и
бессмысленности различать множимое от
множителя. Учащимся разрешается находить
произведение двух чисел в любом
порядке: умножать тетради на копейки или
копейки на тетради — всё равно.
В § 2 и 3 учащимся показывается
равносильность равенств: 48—17 = 31,
17 + 31 = 48 или 48 —31 = 17. Если верно
одно из них, то непременно верны и два
других. Эти знания существенно помогают
учащимся при решении задач.
В п. 15 § 3 учащимся даётся правило
для вычисления площади прямоугольника.
Подготовительная работа к этому велась
в течение длительного времени в I классе.
Некоторые учителя, ведущие
экспериментальную работу с использованием
настоящего пособия (часть I), правило для
вычисления площади прямоугольника ввели
в конце I класса: настолько
подготовленными они считали учащихся.
В § 4 вводится двойное неравенство,
рассматриваются примеры уравнений,
решаются простейшие задачи на составление
уравнений. Введение двойных неравенств
позволяет решать содержательные задачи
на отыскание пересечения и
объединения множеств решений неравенств.
Здесь уже заложена пропедевтика
решения систем неравенств.
При решении уравнений с учащимися
не разучиваются многочисленные правила
зависимости результатов действий от
компонентов действий. Учащимся
показывается, как при этом можно пользоваться
моделью. Например, учащемуся нужно
решить уравнение: 86 — х = 27. Он на
«маленьких» числах составляет модель: 5 —
— 2 = 3. Число 2 замгняет на *,
получает уравнение: 5 — х ---- 3. Здесь уже легко
сообразить, что х ~ 5 — 3. Практически
учащиеся это делают так:
86 — х - 27,
5 — х = 3. _86
х = 86 —27, 27
х = 59. 59
Глава «Четыре действия в пределах
4000» начинается с введения трёхзначных
чисел. Здесь так же, как и в I классе,
используется более подробная, но более
понятная на первых порах учащимся
запись: 256 = 2с 5д бе (2 сотни 5 десятков
6 единиц). Эта запись оказалась весьма
эффективной при объяснении действий с
трёхзначными числами, особенно там, где
требуется «переходить» через десяток.
Умножение двузначного числа на
однозначное объясняется не сразу. Этому
предшествуют подготовительные этапы:
умножение двузначного числа,
оканчивающегося нулём, на однозначное, умножение
суммы на число (общий случай),
умножение суммы (двузначное число
представляется в виде суммы целых десятков и еди-.
ниц) на число и, наконец, умножение
двузначного числа на однозначное
столбиком. При этом здесь сначала вводится
более подробная запись (по аналогии с
той, которая принята при записи в
строчку). Приведём пример:
63 7
И ' —
+ 21 -4- 21
+420 +420
44Т 441
После решения десятка примеров с
подробной записью переходят к обычной
записи умножения одного числа на дру-
— 162—

roe столбиком. Практика подтвердила
целесообразность промежуточных этапов.
Особенно это важно для слабых
учащихся. При такой системе обучения они
быстрее усваивают алгоритм умножения
однозначного числа на многозначное.
Обучение делению многозначного
числа на однозначное также проводится в
несколько этапов. Сначала на
содержательных задачах показывается, что
действие деление не всегда выполнимо.
Рассматривается особый случай деления на
нуль. На примерах выясняется, почему
на нуль делить нельзя. Затем
рассматривается деление с остатком. Сюда
включается и тот случай, когда делимое меньше
делителя. Употребляются записи:
53 : 9 « 5 (ост. 8); 2:7^0 (ост. 2).
Деление с остатком, когда делимое
меньше делителя, очень важно для
усвоения полного алгоритма деления
многозначного числа на однозначное. Особенно
это оказывается эффективным в случае,
когда нуль в частном. Вот как при этом
выглядит запись:
_824 : 8 = 103
8_
2
"~~0
24
24
0
При таком способе обучения
учащимся практически всё равно, есть нуль в
частном или его нет. Ошибок, когда нуль
в частном, учащиеся экспериментальных
классов по существу не допускали. .
В этой главе продолжается решение
уравнений и неравенств.
В главе «Четыре действия в пределах
1 000 000» вводятся четырёхзначные,
пятизначные и шестизначные числа. Изучение
их и действий над ними осуществляется
в той же системе, что и изучение
трёхзначных чисел.
В главу включены сведения о
шкалах и диаграммах. Учащиеся решают
задачи, в которых используются различные
шкалы (термометра, торговых весов, часов,
спидометра и др.). Эти сведения
изучаются с большим интересом. Не меньший
интерес вызывает у учащихся построение и
чтение диаграмм. Практическая и
теоретическая ценность таких вопросов очевидна.
В конце главы учащиеся знакомятся
с понятием прямоугольного
параллелепипеда. Изучению этого вопроса
предшествует знакомство учащихся с понятием
многогранника. Вводятся термины «вершина»,
«ребро» и «грань» многогранника. На
различных моделях учащиеся показывают
вершины, рёбра и грани многогранников,
считают число вершин, рёбер и граней
рассматриваемых фигур. Интересно, что
некоторые учащиеся подмечают зависимость,
которая существует между числом рёбер,
вершин и граней многогранника и носит
название формулы Эйлера:
В + Г = Р+2.
Здесь В — число вершин, Г — число
граней и Р — число рёбер многогранника.
Прямоугольный параллелепипед уже
рассматривается как частный случай
многогранника. Наряду с изучением его
некоторых свойств решаются задачи,
готовящие к изучению объёма прямоугольного
параллелепипеда. Здесь же вводятся
понятия куба и кубического сантиметра.
3. Как пользоваться пособием. В
начальной школе процесс обучения
протекает более эффективно, если учащиеся в
течение урока выполняют различные
задания, требующие работы головы, рук и т. д.
В экспериментальных классах такая
система обучения, при которой в течение
урока учащиеся выполняли четыре-пять
различных заданий, оказалась
оправданной.
Обычно урок начинался с устного
счёта (3 — 5 минут). Затем решалась
задача на отыскание объединения или
пересечения двух множеств (или решение од-
ного-двух уравнений), далее идёт пример
на вычисление (например, нахождение
значения выражения), рассматривается
упражнение с использованием
геометрического материала и, наконец, решается
арифметическая задача или задача на
соображение.
Приведём примеры нескольких уроков
во II экспериментальных классах.
— 163—

Урок 1.
1. Устный счёт. Сколько будет,
если из 63 вычесть 20; к 17 прибавить
40; 7 умножить на 9; 6 умножить на 9?
Найдите разность 51 и "8; сумму 67 и 5;
произведение 8 и 8. Какое число нужно
умножить на 8, чтобы получить 56? На
какое число нужно умножить 4, чтобы
произведение равнялось 32? Число 7
увеличьте на 7. Число 7 увеличьте в 7 раз.
На сколько 49 больше 7? Во сколько раз
49 больше 7? Длина прямоугольника 10 еж.
Она на 4 см больше ширины. Какова
площадь этого прямоугольника?
2. Запишите множества: А— {а, б, в,
г, д, е) и В = {а, ж, э, е, к}. Найдите
их объединение и пересечение.
Объединение обозначьте одной буквой, а
пересечение—другой.
3. Запишите выражения:
произведение частного 72 и 8 и частного 36 и 4;
сумма разности 90 и 76 и разности
65 и 38. Найдите значение каждого
выражения.
4. Лиса, Волк и Медведь решили
установить между своими домами телефонную
связь (см. рис. 1). Каждый из них
предложил свой проект. Какой из этих
проектов выгоднее?
На доске выполнены соответствующие
чертежи (три ломаные линии) и
указаны размеры. Учащиеся делают такие же
рисунки в своих тетрадях и решают
задачу-
5. У Коли две бабушки. У одной
бабушки он был летом 3 недели 5 дней,
а у другой 4 недели 2 дня. Сколько дней
гостил Коля у своих бабушек? Решите
задачу двумя способами.
Урок 2.
1. Устный счет. Найдите
разность 44 и 6; сумму 57 и 9; разность 63
и 50; сумму 72 и 28; произведение 15
и 3; произведение 19 и 4; частное 42 и 3,
частное 60 и 4. Число 18 увеличьте в 4
раза; число 18 увеличьте на 4; число 60
уменьшите на 5; число 60 уменьшите
в 5 раз. На сколько 25 меньше 75? Во
сколько раз 25 меньше 75? Килограмм
сахара стрит 90 коп. Сколько стоит
полкило? 2 кг? 5 кг? Сколько метров в 1 км?
Сколько граммов в 1 кг? Сколько метров
в 7 км? Сколько граммов в 5 кг?
2. Запишите множество решений
каждого неравенства: 321 < х < 329 и 327 <
< х < 331. Найдите пересечение множеств
решений этих неравенств.
Найдите пересечение множеств
решений неравенств у < 8 и у > 5.
3. Найдите значение выражения
(321:3) —(364:7).
4. Радиусом 3 см начертите
окружность. Разделите ее на три части, точки
деления обозначьте буквами. Соедините
отрезками каждые две точки деления.
Проведите радиусы в точки деления
окружности. Покажите и назовите
геометрические фигуры, которые вы видите на
своем чертеже.
5. Имеется ведро, трехлитровая и
пятилитровая банки. Как с помощью этих
банок налить в ведро точно 2 л воды?
1 л воды?
Урок 3.
1. Устный счет. Уменьшаемое
85, вычитаемое 19. Найдите разность.
Уменьшаемое 56, разность 18. Найдите
вычитаемое. Частное 51 и 17 увеличьте
в 100 раз. Произведение 40 и 8
уменьшите в 10 раз. Во сколько раз 72 больше 24?
На сколько 72 больше 24? Найдите
четвертую часть суммы 48 и 12. Какое
число делится на два, на 3 и на 5
одновременно? Площадь прямоугольника равна
1200 кв. см. Длина равна 60 см. Чему
равна ширина этого прямоугольника?
2. Решите уравнения: £ — 81 367 =
=^968, 501611— с = 457.
3. Найдите значение выражения
(406-250) —(78 822:87).
4. Начертите диаграмму
распределения уроков по предметам за неделю. На
горизонтальном отрезке напишите
название предметов, а на вертикальном —
число уроков в неделю по этому предмету.
5. Дети собирали грибы.. Они
набрали 54 белых и подосиновиков. Грибы они
разложили в кучки так, что в каждой
кучке было 3 белых гриба и 6
подосиновиков. Сколько белых и подосиновиков
нашли ребята?
Большим интересом у учащихся
пользуются задачи, которые собраны в разде-
—164—

л ах «Упражнения к главе».
Систематическое использование их на уроке (одна-две
задачи на урок) послужило, по-видимому,
одной из причин выработки у учащихся
умения решать разнообразные задачи.
Следует отметить, что отработка навыков
в решении так называемых типовых задач
с учащимися экспериментальных классов
не производилась.
Данное пособие «Математика в
начальных классах», (часть II), не содержит
полного набора задач, достаточного для
преподавания по экспериментальной
программе для II класса. В нём недостаёт
обычных тренировочных текстовых задач
и примеров на вычисление. Учителя
начальных классов, которые работали по
этому пособию, обычно дополнительно
использовали стабильный учебник для II и
III классов, в котором в избытке имеются
тренировочные упражнения.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОГРАММА
ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ II КЛАССА
А. Арифметические действия в пределах
100 (50 час.)
1. Устная и письменная нумерация в
пределах 100. Меры длины: миллиметр,
сантиметр, дециметр, метр. Измерение
отрезков в метрах и дециметрах, в
дециметрах и сантиметрах, в сантиметрах и
миллиметрах. Выражение результата
измерения в дециметрах, сантиметрах,
миллиметрах. Примеры числовых множеств.
Использование фигурных скобок для
обозначения множеств. Решение неравенств вида
х<5, 2<лс<7. Множество решений
неравенства, в том числе пустое множество.
2. Объединение, пересечение и
дополнение множеств. Численность
объединения, пересечения и дополнения. Сложение
и вычитание чисел в пределе 100.
Решение задач на увеличение и уменьшение
числа на несколько единиц. Длина пути
по заданной ломаной. Периметр
многоугольника. Решение примеров вида х +
+ 68 = 90.
3. Умножение однозначных чисел.
Деление на однозначное число. Таблица
умножения. Площадь прямоугольника и
других фигур, составленных из
многоугольников. Увеличение числа в несколько
раз. Решение примеров вида 7х = 56.
Б. Арифметические действия над
многозначными числами (130 час.)
1. Устная и письменная нумерация
многозначных чисел (классы единиц,
тысяч и миллионов). Ознакомление со
счетами. Меры длины: миллиметр, сантиметр,
дециметр, метр и километр. Меры веса:
грамм, килограмм, центнер, тонна.
Изображение чисел отрезками. Диаграммы.
Точка, отрезок, луч. Изображение чисел
точками на луче. Решение неравенств.
Задание конечных числовых множеств с
помощью неравенств.
2. Сложение и вычитание
многозначных чисел. Выражения вида 2 + 47, 58 —
— 9. Составление более сложных
выражений. Использование круглых скобок.
Решение примеров вида 56 — 2 = х + 31.
3. Переместительное и сочетательное
свойства умножения. Вычисление
площадей и объемов. Распределительный закон
умножения. Умножение двузначных и
трехзначных чисел на однозначное.
Деление на однозначное число. Умножение на
двузначное число. Умножение на 10.
Деление на двузначное и трехзначное числа
в тех случаях, когда в частном
получается однозначное число. Увеличение и
уменьшение числа в несколько раз.
Решение примеров вида 3* = 240, 5лг = 11 +
+ 19.
В. Отношения между элементами
множеств (18 час.)
1. Примеры отношений между
элементами множества: отношение родства
в множестве людей; отношения «меньше»
и «больше» в множестве натуральных
чисел; отношения «меньше», «больше» и
«равно» в множестве отрезков и т. п.
Свойства отношений: рефлексивность,
антирефлексивность, симметричность,
транзитивность. Отношения эквивалентности
и порядка. Составление всех подмножеств
данного множества (на простейших
примерах). Отношение включения и его
свойства. Отношения между элементами двух
множеств. Декартово произведение двух
множеств. Изображение отношений
точками и линиями.
—165—

2. Примеры пропорциональной
зависимости: длина отрезка в сантиметрах и
миллиметрах, основание прямоугольника
и его площадь при данной высоте,
количество товара и его стоимость при данной
цене, время, пройденный за это время
путь при данной скорости. График
пропорциональной зависимости. Примеры
обратно пропорциональной зависимости:
основание прямоугольника и его высота при
заданной площади, цена и количество
купленного товара при заданной сумме.
График обратно пропорциональной
зависимости .
Эта программа не получила полного
отражения в этой книге. Некоторые
вопросы (например, понятие луча, числового
луча) вводились в экспериментальном II
классе. Однако проверка показала, что
эти вопросы целесообразнее изучать в
III классе, где будут созданы лучшие
условия для их изучения. В книгу не
вошел раздел, связанный с изучением
отношения между элементами множеств, так
как не было возможности проверить этот
раздел экспериментально.
Понятие отношения между элементами
множеств изучалось в экспериментальном
III классе. Изучение прошло успешно и
вызвало большой интерес учащихся.
Авторы надеются, что в будущем эта тема
будет изучаться во II классе.
В то же время некоторые вопросы
оказалось целесообразным перенести из
III класса во II. Например, было уделено
больше внимания решению текстовых
задач с помощью уравнений, введено
обозначение множеств буквами.
Проведенный в I—III классах
эксперимент показал, что
теоретико-множественный подход к изучению математики в
начальных классах делает более
доступным изучение традиционных вопросов,
способствует развитию интереса к
изучению математики, значительно повышает
общую и математическую культуру
учащихся.
Авторы выражают благодарность всем
учителям, принявшим участие в
проведении эксперимента. Их труд, протекавший
в весьма тяжелых условиях
(отсутствовали учебники и необходимые наглядные
пособия), сделал возможным написание
этой книги.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ЧЕТЫРЕ ДЕЙСТВИЯ В ПРЕДЕЛАХ 100
§ 1. Множества 3
1. Обозначение множеств
буквами 3
2. Элементы множества . . 6
3. Равенство множеств ... 7
4. Множество решений
неравенства 8
§ 2. Сложение и вычитание ... 10
5. Объединен из и
пересечение множеств ..... 10
6. Сложение 13
7. Дополнение. Вычитание 16
8. Обозначение точек и
отрезков буквами.
Миллиметр 20
9. Длина пути между
двумя точками 22
10. Периметр многоугольника 24
§ 3. Умножение и деление ... 26
11. Умножение 26
12. Связь умножения со
сложением 29
13. Деление 32
14. Свойство сторон
прямоугольника 37
15. Площадь прямоугольника 39
§ 4. Неравенства и уравнения . . 42
16. Двойное неравенство . . 42
17. Решение уравнений ... 44
18. Решение задач с
помощью уравнений 47
19. Упражнения к главе 1 48
ЧЕТЫРЕ ДЕЙСТВИЯ В ПРЕДЕЛАХ 1000
§ 5. Трёхзначные числа ..... 57
20. Чтение и запись
трёхзначных чисел 57
21. Счёты 62
22. Сравнение чисел .... 64
23. Окружность и круг ... 65
6. Сложение и вычитание ... 67
24. Сложение 67
25. Вычитание 69
26. Решение уравнений ... 72
27. Решение неравенств ... 74
28. Хорда окружности.
Диаметр 76
7. Умножение на однозначное
число 77
29. Умножение двузначного
числа, оканчивающегося
нулём, на однозначное . . 77
30. Умножение суммы на
число 79
31. Умножение двузначного
числа на однозначное . . 80
32. Умножение трёхзначного
числа на однозначное . . 82
33. Перегибание
геометрических фигур 85
8. Деление на однозначное
число 86
34. Всегда ли выполнимо
деление? 86
35. Деление с остатком . . 88
36. Деление с остатком на
однозначное число ..... 91
37. Деление на однозначное
число 94
38. Решение уравнений и
неравенств 96
39. Скорость 98
40. Изображение
геометрических фигур с помощью
нити 100
41. Упражнения к главе 2 101
— 167—

ЧЕТЫРЕ ДЕЙСТВИЯ В ПРЕДЕЛАХ
1 000 000
§ 9. Четырёхзначные, пятизначные
и шестизначные числа ... 108
42. Тысячи, десятки тысяч,
сотни тысяч 108
43. Класс единиц и класс
тысяч 109
44. Километр, тонна, грамм 111
45. Сравнение чисел .... 112
46. Шкала 114
§ 10. Сложение и вычитание ... 118
• 47. Сложение и вычитание.
Проверка сложения и
вычитания 118
48. Решение неравенств и
уравнений 120
49. Диаграммы 122
§ 11. Некоторые случаи умножения
и деления 126
50. Умножение и деление на
однозначное число ... 126
51. Умножение на некоторые
двузначные числа ... 129
52. Умножение и деление
на 10 130
53. Умножение и деление на
100 и 1000 132
54. Умножение на числа вида
30, 400, 8000 134
55. Квадратный дециметр.
Квадратный метр .... 136
56. Многогранник ...... 138
12. Умножение и деление ... 140
57. Умножение на
двузначное число 140
58. Деление на двузначное
число 141
59. Умножения и деление на
трёхзначное число ... 145
60. Прямоугольный
параллелепипед 149
61. Куб. Кубический
сантиметр . 151
62. Упражнение к главе 3 152
Методические указания 161
Юрий Николаевич Макарычев
Константин Иванович Нешков
МАТЕМАТИКА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ, ч. II
Редакторы Л. А. Сидорова и М С. Федорова
Художник Е. В. Викторов
Художественные редакторы И. Л. Волкова и Е. Б. Шапалина
Технический редактор О. Н. Сёмина
Корректор Г. А. Шапилова
Подписано к печати 4/IX 1970 г. 70X90Vie. Бум. типогр. № 2. Печ. л. 10,5 (12,29). Уч.-изд. л. 10,03.
Тираж 260 тыс. (140001—260000) экз. (Б. 3. № 19—1970 г, № 14).
Издательство «Педагогика» Академии педагогических наук СССР и Комитета по печати при Совете
Министров СССР.
Отпечатано с диапозитивов полиграфкомбината им. Я. Коласа Государственного комитета Совета
Министров БССР по печати в типографии издательства ЦК КПБ. Минск, Ленинский пр-кт, 79.
Заказ 1132/1872
Цена без переплета 27 к., переплет 15 к.