A.	Г. Мерзляк
B.	М. Поляков
j
1
’ЯБчтвн1ввМгв1йпимв№ояавквш
4. * —
JГГ , лт;
§И2?
5$Й :л'^'й йй'

р
оссиискии
учебник
A.	Г. Мерзляк
B.	М. Поляков
ГЕОМЕТРИЯ
ИГ
Москва
Издательский центр
«Вентана-Граф»
2019
■
■
■
□Г
к.
&
■
с
t
□
■
Г i
Г J
■
К/
ia
с с
Ч».
ч
,
Н
,
V
к.
■
0
Уч
[еб
HI
1К
—
Под i
оед
)акии
ей
ж
Е~
П(
оде
)ЛЪ
ск
ого
'—-я
2-
е и
ЗД1
шие,
ис
прав.
че!
1ное

L
Ре
KOI
viei
НДС
ЭВс
IHO
Министерством
п
ЭОС
ве
ще
ни
я
Росси
1ЙС
KOI
й с|
редерац
ИИ

От авторов
Дорогие семиклассники!
Вы сделали серьёзный шаг в своей жизни: решили продолжать
образование в классе с углублённым изучением математики. Мы по¬
здравляем вас с этим выбором и надеемся, что вы не разочаруетесь в
своём решении.
Учиться в математическом классе непросто. Надо быть настойчи¬
вым и увлечённым, внимательным и аккуратным, при этом самое
главное — не быть безразличным к математике, а любить эту краси¬
вую науку.
Вы начинаете изучать новый школьный предмет — геометрию.
Обратите внимание, что в словах «география» и «геометрия» одинако¬
вая часть — «гео», что в переводе с греческого означает «земля»- Но
если на уроках географии в 6 классе вы действительно занимались
землеописанием («графия» — по-гречески «описание»), то на уроках
геометрии вам не придётся заниматься землемерием («метрео» — по-
гречески «мерить»).
Геометрия — одна из самых древних наук. Её название можно
объяснить тем, что зарождение и развитие геометрии было тесно свя¬
зано с разнообразной практической деятельностью человека: размет¬
кой границ земельных участков, строительством дорог, оросительных
каналов, зданий и других сооружений, т. е. геометрия, как говорят в
таких случаях, была прикладной наукой. Постепенно, шаг за шагом
человечество накапливало знания, и геометрия превратилась в краси¬
вую и совершенную, строгую и последовательную математическую те¬
орию. Знакомиться с этой наукой и учиться применять полученные
знания на практике вы и будете на уроках геометрии.
Знать геометрию чрезвычайно важно. Действительно, посмотри¬
те вокруг — везде геометрия, точнее, предметы, имеющие форму та¬
ких геометрических фигур, как треугольник, прямоугольник, круг,
прямоугольный параллелепипед, шар и т. п.
Без глубоких геометрических знаний не могли появиться слож¬
ные строительные конструкции (рис. 1, 2), корабли (рис- 3), самолёты
и даже детали детского конструктора и узоры вышивок (рис. 4). Созда¬
ние узоров требует от мастерицы знаний о таких геометрических поня¬
тиях, как симметрия и параллельный перенос- Не зная геометрии, не¬
возможно стать хорошим инженер ом-конструктором, токарем, столя¬
ром, учёным, архитектором, дизайнером, модельером, специалистом в
области компьютерной графики и т. д. Вообще, геометрические зна¬
ния — важнейшая составляющая человеческой культуры.
3

Геометрия — очень интересный предмет. Мы надеемся, что вы в
этом скоро убедитесь, и поможет этому учебник, который вы держите
в руках. Познакомьтесь с его структурой.
Учебник разделён на четыре главы, каждая из которых состоит
из параграфов. В них изложен теоретический материал, при изучении
которого особое внимание обращайте на текст, напечатанный жирным
шрифтом, жирным курсивом и курсивом; так в книге выделены
определения, правила и важнейшие математические утверждения.
Как правило, изложение теоретического материала завершается
примерами решения задач. Эти записи можно рассматривать как один
из возможных образцов оформления решения.
К каждому параграфу подобраны задачи для самостоятельного
решения, к которым мы советуем приступать только после усвоения
теоретического материала. Среди заданий есть как простые и средние
по сложности упражнения, так и трудные задачи.
Кроме того, в учебнике вы сможете прочитать рассказы по исто¬
рии геометрии.
Дерзайте! Желаем успеха!
4

Условные обозначения
±
Простые задачи
О О
Задачи среднего уровня сложности
ООО
Сложные задачи
^
Задачи высокой сложности
®й> Ключевые задачи, результат которых можно использовать
при решении других задач
Окончание доказательства теоремы
ш	Окончание доказательства следствия
■	Окончание решения задачи
4.9.	Задания, рекомендуемые для устной работы
4.10.	Задания, рекомендуемые для домашней работы
5

Что изучает геометрия?
Геометрия — новый для вас учебный предмет. Однако на уроках
математики вы уже знакомились с азами этой мудрой науки. Так, все
геометрические фигуры, изображённые на рисунке 5, вам хорошо из¬
вестны.
Вы умеете с помощью линейки соединять две точки отрезком
(рис. 6), с помощью циркуля строить окружность (рис. 7), с помощью
линейки и угольника проводить перпендикулярные и параллельные
прямые (рис. 8), измерять длину отрезка и строить отрезок заданной
6

г Рис. 8
длины с помощью линейки с миллиметровыми делениями (рис. 9), на¬
ходить величину угла и строить угол заданной величины с помощью
транспортира (рис. 10), классифицировать треугольники.
Однако знать, как «выглядит» фигура, или уметь выполнять про¬
стейшие построения — это всего лишь самые начальные знания науки
о свойствах геометрических фигур, т. е. геометрии.
При изучении систематического курса геометрии вы будете по¬
степенно в определённой последовательности изучать свойства геоме¬
трических фигур, а следовательно, и сами фигуры, как знакомые вам,
7

г Рис. 10
так и новые. Это означает, что вы должны научиться, используя одни
свойства фигуры, находить, а главное, доказывать другие её свойства.
Многие знакомые вам реальные предметы или объекты имеют
форму известных геометрических фигур, или, как ещё принято гово¬
рить, являются моделями геометрических фигур. Мы часто говорим:
«лист бумаги имеет форму прямоугольника, футбольный мяч имеет
форму шара, кирпич имеет форму прямоугольного параллелепипеда»
ит. п. След, оставленный на бумаге остро заточенным карандашом, да¬
ёт представление о точке; поверхность водоёма в безветренную погоду
может служить моделью плоскости.
Таким образом, изучая геометрию, мы познаём окружающий
нас мир1.
Школьный курс геометрии традиционно делится на планиме¬
трию и стереометрию. Планиметрия изучает фигуры на плоскости
(«планум» в переводе с латинского — «плоскость»), стереометрия —
фигуры в пространстве («стереос» в переводе с греческого — «про¬
странственный »).
Итак, мы приступаем к изучению планиметрии.
1 Лучше понять, каким эффективным инструментом познания является геоме¬
трия, вы сможете, если примете участие в проекте «Геометрия вокруг нас»
(см. с. 190).
8

глава
Простейшие геометрические
фигуры и их свойства
□	В этой главе рассматриваются знакомые вам из курса математики
предыдущих классов геометрические фигуры: точки, прямые, отрез¬
ки, лучи и углы.
□	Вы узнаете больше о свойствах этих фигур. Некоторые из этих
свойств научитесь доказывать. Слова определение, теорема, аксиома
станут для вас привычными, понятными и часто употребляемыми.
^ Точки и прямые
Точка — самая простая геометрическая фигура. Это единствен¬
ная фигура, которую нельзя разбить на части. Например, каждая из
фигур, изображённых на рисунке 1.1, разбита на части. И даже о фи¬
гуре, изображённой на рисунке 1.2, которая состоит из двух точек,
можно сказать, что она состоит из двух частей: точки А и точки В.
На рисунке 1.3 изображены прямая а и две точки А и В. Говорят,
что точка А принадлежит прямой а, или точка А лежит на прямой
а, или прямая а проходит через точку А и, соответственно, точка В
не принадлежит прямой а, или точка В не лежит на прямой а, или
прямая а не проходит через точку В.
Прямая — это геометрическая фигура, обладающая определён¬
ными свойствами.
□ □ф Основное свойство прямой
Через любые две точки1 можно провести прямую, и притом только
одну.
1 Здесь и в дальнейшем, говоря «две точки», «три точки», «две прямые» и т. д.,
будем подразумевать, что это разные точки и разные прямые. Случай их совпа¬
дения будем оговаривать особо.
9

Почему это свойство прямой считают
основным?
Пусть о некоторой линии известно
лишь то, что она проходит через точки А и В.
Для того чтобы составить представление об
этой фигуре, такой информации явно недо¬
статочно. Действительно, ведь через точки А
и В можно провести много различных линий
(рис. 1.4). Прямая же задаётся этими точками однозначно. В этом и со¬
стоит суть основного свойства прямой.
Это свойство позволяет обозначать прямую, называя две любые
её точки. Так, прямую, проходящую через точки М и N, называют
«прямая MN» (или «прямая NM»).
Основное свойство геометрической фигуры ещё называют аксио¬
мой (подробнее об аксиомах вы узнаете в § 6).
Если надо разъяснить смысл какого-либо понятия (термина), то
используют определения. Например:
1)	часами называют прибор для измерения времени;
2)	геометрия — это раздел математики, изучающий свойства фи¬
гур.
Определения есть и в геометрии.
□□ф Определение
Две прямые, имеющие общую точку, называют пересекающимися.
На рисунке 1.5 изображены прямые а и
6, пересекающиеся в точке О.
Часто справедливость (истинность) ка¬
кого-либо факта устанавливают с помощью
логических рассуждений.
Рассмотрим следующую задачу. Из¬
вестно, что все жители Геометрической ули¬
цы — математики. Женя живёт по адресу
у л. Геометрическая, 5. Является ли Женя
математиком?
По условию задачи Женя живёт на Геометрической улице. А по¬
скольку все жители этой улицы математики, то Женя — математик.
Приведённые логические рассуждения называют доказатель¬
ством того факта, что Женя — математик.
В математике утверждение, истинность которого устанавливают
с помощью доказательства, называют теоремой.
10

□ □ф Теорема 1.1
Любые две пересекающиеся прямые имеют только одну общую
точку.
Доказательство
Пусть пересекающиеся прямые а и Ь,
кроме общей точки А, имеют ещё одну общую
точку В (рис. 1.6). Тогда через две точки А и
В проходят две прямые. А это противоречит
основному свойству прямой. Следовательно,
предположение о существовании второй точ¬
ки пересечения прямых а и b неверно. ■
1.	Какую фигуру нельзя разбить на части?
2.	Сформулируйте основное свойство прямой.
3.	Какое свойство прямой позволяет обозначать её, называя любые
две точки прямой?
4.	Для чего используют определения?
5.	Какие две прямые называют пересекающимися?
6.	Как называют утверждение, истинность которого устанавливают
с помощью доказательства?
7.	Сформулируйте теорему о двух пересекающихся прямых.
^ Практические задания
1.1.	Проведите прямую, обозначьте её буквой т. Отметьте точки А и
В, лежащие на этой прямой, и точки С, Z), Е> не лежащие на ней.
1.2.	Отметьте точки М и К и проведите через них прямую. Отметьте
на этой прямой точку Е. Запишите все возможные обозначения
полученной прямой.
1.3.	Проведите прямые а и b так, чтобы они пересекались. Обозначь¬
те точку их пересечения буквой С. Принадлежит ли точка С пря¬
мой а? Прямой b?
1.4.	Отметьте три точки так, чтобы они не лежали на одной прямой,
и через каждую пару точек проведите прямую. Сколько образова¬
лось прямых?
1.5.	Правильность изготовления линейки можно проверить так. Че¬
рез две точки с помощью линейки провести линию. Затем линей¬
ку перевернуть и через эти же точки вдоль того же края линейки
вновь провести ещё одну линию. Если линии совпадут, то линей¬
ка изготовлена правильно. Объясните почему.
11


1.6.	Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересека¬
лись. Отметьте точки пересечения этих прямых. Сколько можно
получить точек пересечения?
1.7.	Отметьте четыре точки так, чтобы при проведении прямой через
каждые две из них: 1) образовалась одна прямая; 2) образовалось
четыре прямых; 3) образовалось шесть прямых. Проведите эти
прямые.
:>
1.8.
1.9.
Упражнения * 1Пользуясь рисунком 1.7:
1)	укажите все отмеченные точки, принадлежащие прямой а;
прямой МК;
2)	укажите все отмеченные точки, не принадлежащие прямой а;
прямой МК;
3)	определите, пересекаются ли прямые а и МК;
4)	укажите все отмеченные точки, принадлежащие прямой а, но
не принадлежащие прямой МК.
Пользуясь рисунком 1.8, укажите:
1)	какие из отмеченных точек принадлежат прямой р, а какие не
принадлежат ей;
2)	каким прямым принадлежит точка А; точка В; точка С; точ¬
ка D; точка Е;
3)	какие прямые проходят через точку С; точку В; точку А;
4)	в какой точке пересекаются прямые /г и р; прямые т и k;
5)	в какой точке пересекаются три из четырёх изображённых на
рисунке прямых.
О—.^
1.10.	Точка С принадлежит прямой АВ. Являются ли различными пря¬
мые АВ и АС? Ответ обоснуйте.

1.11.	Провели четыре прямые, каждые две из которых пересекаются,
причём через каждую точку пересечения проходят только две
прямые. Сколько точек пересечения при этом образовалось?
ООО
1.12.	Как надо расположить шесть точек, чтобы они определяли шесть
прямых?
1.13.	Данную прямую пересекают четыре прямые. Сколько может об¬
разоваться точек пересечения этих прямых с данной?
1.14.	Провели четыре прямые, каждые две из которых пересекаются.
Сколько точек пересечения может образоваться?
1.15.	Провели пять прямых, каждые две из которых пересекаются. Ка¬
ково наименьшее возможное количество точек пересечения этих
прямых? Какое наибольшее количество точек пересечения может
образоваться?
1.16.	Можно ли провести шесть прямых и отметить на них 11 точек
так, чтобы на каждой прямой было отмечено ровно четыре точки?
1.17.	На плоскости проведены три прямые. На первой прямой отмети¬
ли пять точек, на второй — семь точек, а на третьей — три точки.
Каким может быть наименьшее количество отмеченных точек?
1.18.	Можно ли отметить несколько точек и провести несколько пря¬
мых так, чтобы на каждой прямой лежали ровно три отмеченные
точки и через каждую точку проходили ровно три из проведён¬
ных прямых?
1.19.	Даны п прямых. Известно, что имеется пять точек, каждая из ко¬
торых принадлежит хотя бы двум из данных прямых. Найдите
наименьшее значение п.
1.20.	На плоскости даны 10 точек. Известно, что из любых четырёх то¬
чек можно исключить одну так, что оставшиеся три точки лежат
на одной прямой. Докажите, что девять из данных точек лежат
на одной прямой.
2
Отрезок и его длина
На рисунке 2.1 изображена прямая а,
проходящая через точки А и В. Эти точки
ограничивают часть прямой а, выделенную
синим цветом. Такую часть прямой вместе с
точками А и В называют отрезком, а точки
А и В — концами этого отрезка.
13

Для любых двух точек М и N существует
единственный отрезок, для которого эти точки
являются концами (рис. 2.2), т. е. отрезок своими
концами задаётся однозначно. Поэтому отрезок
обозначают, называя его концы. Например, отре¬
зок, изображённый на рисунке 2.2, обозначают
так: MN или NM (читают: «отрезок MN» или «от¬
резок NM»).
На рисунке 2.3 изображены отрезок АВ и
точка X, принадлежащая этому отрезку, но не со¬
впадающая ни с одним из его концов. Точку X на¬
зывают внутренней точкой отрезка АВ. В этом
случае также говорят, что точка X лежит между
точками А и В.
Таким образом, отрезок АВ состоит из точек А и В, а также всех
точек прямой АВ, лежащих между точками А и В.
□ □ф Определение
Два отрезка называют равными, если их можно совместить наложе¬
нием.
А X
В
"рис. 2.3
На рисунке 2.4 изображены равные отрезки АВ и CD. Пишут:
АВ = CD.
Вы знаете, что каждый отрезок имеет определённую длину, и для
её измерения надо выбрать единичный отрезок. В качестве единично¬
го можно выбрать любой отрезок.
Например, будем считать единичным отрезок MN на рисун¬
ке 2.5. Этот факт записывают так: MN = 1 ед. Тогда длину отрезка АВ
считают равной трём единицам длины и записывают АВ = 3 ед. Также
14

принята запись АВ = 3, её читают: «отрезок АВ равен трём». Для от-
2
резка CD имеем: CD =
На практике чаще всего используют такие единичные отрезки:
1 мм, 1 см, 1 дм, 1 м, 1 км.
В зависимости от выбора единицы длины меняется числовое зна¬
чение длины отрезка. Например, на рисунке 2.6 имеем: АВ = 17 мм,
или АВ = 1,7 см, или АВ = 0,17 дм и т. д.
На производстве и в быту используют раз¬
личные приборы для измерения длины отрезка:
линейку с делениями, рулетку, штангенциркуль,
микрометр, полевой циркуль (рис. 2.7).
Равные отрезки имеют равные длины, и наоборот, если длины
отрезков равны, то равны и сами отрезки.
Если длина отрезка АВ больше длины отрезка MN, как, напри¬
мер, на рисунке 2.5, то говорят, что отрезок АВ больше отрезка MN, и
записывают: АВ > MN. Также можно сказать, что отрезок MN меньше
отрезка АВ, и записать: MN < АВ.
15

В дальнейшем, говоря «сумма отрезков», будем подразумевать
сумму длин этих отрезков.
во^ Основное свойство длины отрезка
Если точка С является внутренней точкой от¬
резка АВ, то отрезок АВ равен сумме отрезков
АС и СВ, т. е.
АВ = АС + СВ (рис. 2.8).
□	□ф Определение
Расстоянием между точками А и В называют длину отрезка АВ. Если
точки А и В совпадают, то расстояние между ними считают равным
нулю.
□	□ф Определение
Серединой отрезка АВ называют такую его
точку С, что АС = СВ.
На рисунке 2.9 точка С — середина отрез¬
ка АВ.
Задача. Точки А, В и С принадлежат одной прямой, АВ = 8 см,
отрезок АС на 2 см длиннее отрезка ВС. Найдите отрезки1 АС и ВС.
Решение. В условии не указано, каково взаимное расположение
данных точек на прямой. Поэтому рассмотрим три возможных случая.
1)	Точка В — внутренняя точка отрезка АС (рис. 2.10). Тогда от¬
резок АС больше отрезка ВС на длину отрезка АВ, т. е. на 8 см. Это
противоречит условию. Следовательно, такой случай невозможен.
2)	Точка С — внутренняя точка отрезка АВ (рис. 2.11). В этом
случае АС + СВ = АВ. Пусть СВ = х см, тогда АС = (х + 2) см. Имеем:
х + 2 + х = 8;
х = 3.
Следовательно, ВС = 3 см, АС = 5 см.
А С
В
г Рис. 2.9
А СВ
АВ = АС + СВ
| Рис. 2.8
А В С
А СВ
В А С
88 Рис. 2.10
в Рис. 2.11
" Рис. 2.12
1 Часто вместо «Найдите длину отрезка...» говорят: «Найдите отрезок...».
16

3)	Точка А — внутренняя точка отрезка ВС (рис. 2.12). В этом
случае АВ + АС = ВС и тогда АС < ВС. Это противоречит условию. Сле¬
довательно, такой случай невозможен.
Ответ: АС = 5 см, ВС = 3 см. ■
1.	Сколько существует отрезков, концами которых являются две дан¬
ные точки?
2.	Какие два отрезка называют равными?
3.	Можно ли любой отрезок выбрать в качестве единичного?
4.	Что можно сказать о длинах равных отрезков?
5.	Что можно сказать об отрезках, имеющих равные длины?
6.	Сформулируйте основное свойство длины отрезка.
7.	Что называют расстоянием между двумя точками?
8.	Чему равно расстояние между двумя совпадающими точками?
^ Практические задания
2.1.	Отметьте две точки А и В и проведите через них прямую. Отметь¬
те точки С, D и Еу принадлежащие отрезку АВ, и точки F, М
и К, которые не принадлежат отрезку АВ, но принадлежат пря¬
мой АВ.
2.2.	Проведите прямую и отметьте на ней три точки. Сколько образо¬
валось отрезков?
2.3.	Отметьте на прямой точки А, В, С и D так, чтобы точка С лежа¬
ла между точками А и В, а. точка D — между точками В и С.
2.4.	Отметьте на прямой точки А, В и С так, чтобы выполнялось ра¬
венство АС = АВ + ВС.
2.5.	Сравните на глаз отрезки АВ и CD (рис. 2.13). Проверьте свой вы¬
вод измерением.

2.6.	Сравните на глаз отрезки АВ и
ВС (рис. 2.14). Проверьте свой
вывод измерением.
Упражнения
2.7.	Назовите все отрезки, изобра¬
жённые на рисунке 2.15.
2.8.	Найдите длину каждого из
отрезков, изображённых на
рисунке 2.16, если единич¬
ный отрезок равен отрезку:
1) АВ; 2) MN.
2.9.	Какая из точек, отмечен¬
ных на рисунке 2.17, лежит
между двумя другими? За¬
пишите соответствующее
равенство, следующее из
основного свойства длины
отрезка.
2.10.	Между какими точками ле¬
жит точка В (рис. 2.18)?
Для каждого случая запишите соответствующее равенство, сле¬
дующее из основного свойства длины отрезка.
S
Т
Е
F
Kt
Р
М
N
С
D
А
В
Рис. 2.16
18

2.11.	Точка D — внутренняя точка отрезка ME. Найдите:
1)	расстояние между точками М и £, если MD =1,8 дм, DE =
= 2,6 дм;
2)	отрезок MD, если ME = 42 мм, DE = 1,5 см.
2.12.	Точки А, В и С лежат на одной прямой (рис. 2.19). Какие из сле¬
дующих утверждений верны:
1)	АВ + ВС = АС;
2)	АС+ АВ = ВС?
2.13.	Точка К является серединой отрезка MN. Можно ли совместить
наложением: 1) отрезки МК и KN; 2) отрезки МК и MN?
2.14.	Точка К — середина отрезка MN, точка Е — середина отрезка
KN, EN = 5 см. Найдите отрезки МК, ME и M7V.
2.15.	Точка С — внутренняя точка отрезка АВ, длина которого равна
20 см. Найдите отрезки АС и ЕС, если:
1)	отрезок АС на 5 см больше отрезка ВС;
2)	отрезок АС в 4 раза меньше отрезка ВС;
3)	АС : ВС = 9 : 11.
2.16.	Точка К принадлежит отрезку CD, длина которого равна 28 см.
Найдите отрезки СК и KD, если:
1)	отрезок СК на 4 см меньше отрезка KD;
2)	отрезок СК в 6 раз больше отрезка KD;
3)	СК : KD = 3:4.

2.17.	Отрезки АВ и CD равны (рис. 2.20). Докажите, что отрезки АС и
ВВ также равны.
2.18.	Отрезки ME и FN равны (рис. 2.21). Докажите, что MF = EN.
2.19.	Точка С делит отрезок АВ, длина которого равна а, на два отрез¬
ка. Найдите расстояние между серединами отрезков АС и ВС.
2.20.	Точки А, В и С лежат на одной прямой. Найдите отрезок ВС, ес¬
ли АВ = 24 см, АС = 32 см. Сколько решений имеет задача?
ООО
2.21.	На прямой отмечены точки А, В и С так, что АВ =15 см, АС = 9 см.
Найдите расстояние между серединами отрезков АВ и АС.
19

2.22.	Отрезок EF равен 12 см. Найдите на прямой EF все точки, сумма
расстояний от каждой из которых до концов отрезка EF равна:
1) 12 см; 2) 15 см; 3) 10 см.
2.23.	Через точки А и В проведена прямая. Где на этой прямой лежит
точка С, расстояние от которой до точки В в 2 раза больше рас¬
стояния от неё до точки А?
2.24.	Отрезок, длина которого равна 32 см, разделили на три неравных
отрезка. Расстояние между серединами крайних отрезков равно
18 см. Найдите длину среднего отрезка.
2.25.	На прямой последовательно отметили точки А, В, С, D и Е так,
что АВ = 15 см, СЕ = 45 см, АС = BD. Найдите отрезок DE.
2.26.	На прямой отмечены точки А, В, С и D так, что АВ = 8 см,
ВС = 30 см, CD = 12 см, DA = 10 см. Найдите отрезок АС.
2.27.	Можно ли на прямой отметить точки А, В, С, D и Е так, чтобы
расстояния между ними оказались равными: АВ = 4 см, ВС = 7 см,
CD = 9 см, DE = 6 см, АЕ = 8 см?
2.28.	Можно ли на прямой отметить точки А, В, С, D и Е так, чтобы
расстояния между ними оказались равными: АВ = 6 см, ВС = 7 см,
CD = 10 см, DE = 9 см, АЕ = 12 см?
2.29.	Точка В принадлежит отрезку АС. Известно, что АВ = 2 см,
ВС = 1 см. На прямой АВ укажите все точки М такие, что
AM + МВ = МС.
2.30.	На прямой последовательно отметили точки А, 5, Си!) так, что
расстояние между любыми двумя соседними точками равно 1 см.
На данной прямой найдите все такие точки X, чтобы сумма
ХА + ХВ + ХС + XD принимала наименьшее значение.
2.31.	Какое наименьшее количество внутренних точек надо отметить
на отрезках, изображённых на рисунке 2.22, чтобы на каждом из
них было отмечено по две внутренние точки?
2.32.	Сколько точек надо отметить между точками А и Б, чтобы вместе
с отрезком АВ образовалось шесть отрезков?
20

2.33.	На прямой последовательно
отметили точки А, Б и С
так, что АВ = 3 см, ВС = 5 см.
Пользуясь только цирку¬
лем, разделите отрезок АВ арИс. 2.23
на три равных отрезка.
2.34.	На шкале линейки нанесены только деления 0 см, 5 см и 13 см
(рис. 2.23). Как, пользуясь этой линейкой, можно построить от¬
резок длиной: 1) 3 см; 2) 2 см; 3) 1 см?
2.35.	На шкале линейки нанесены только деления 0 см, 7 см и 11 см.
Как, пользуясь этой линейкой, можно построить отрезок длиной:
1) 8 см; 2) 5 см?
3
Луч. Угол. Измерение углов
Проведём прямую АВ и отметим на ней произвольную точку О.
Эта точка разбивает прямую на две части, выделенные на рисунке 3.1
разными цветами. Каждую из этих частей вместе с точкой О называют
лучом или полупрямой. Точку О называют началом луча.
Каждый из лучей, изображённых на рисунке 3.1, состоит из точ¬
ки О и всех точек прямой АВ, лежащих по одну сторону от точки О.
Это позволяет обозначать луч, называя две его точки: первой обя¬
зательно указывают начало луча, второй — любую другую точку, при¬
надлежащую лучу. Так, луч с началом в точке О (рис. 3.2) можно обо¬
значить ОМ или ON.
Лучи О А и О В (см. рис. 3.1) дополняют друг друга до прямой.
Также можно сказать, что объединением этих лучей является прямая.
□ □ф Определение
Два луча, имеющих общее начало и лежащих на одной прямой, на¬
зывают дополнительными.
Например, лучи ВС и ВА — дополнительные (рис. 3.3). Их объе¬
динением является прямая АС. Заметим, что, объединив лучи СА и

АС у мы тоже получим прямую АС. Однако эти лучи не являются до¬
полнительными: у них нет общего начала.
На рисунке 3.4, а изображена фигура, состоящая из двух лучей
О А и О В, имеющих общее начало. Эта фигура делит плоскость на две
части, выделенные разными цветами. Каждую из этих частей вместе
с лучами О А и О В называют углом.
Лучи О А и О В называют сторонами угла, а точку О — вершиной
угла.
Как видим, углы на рисунке 3.4, а внешне существенно различа¬
ются. Это различие определено следующим свойством. На лучах ОА и
ОВ выберем произвольно точки М и N (рис. 3.4, б). Отрезок MN при¬
надлежит «зелёному» углу, а «фиолетовому» углу принадлежат лишь
концы отрезка.
В дальнейшем, говоря «угол», будем подразумевать только тот,
который содержит любой отрезок с концами на его сторонах. Ситуа¬
ции, в которых придётся рассматривать углы, не обладающие этим
свойством, будут специально оговариваться.
Есть несколько способов обозначения углов. Угол на рисунке 3.5
можно обозначить так: ZMON, или ZNOM, или просто ZO (читают со¬
ответственно: «угол MON», «угол NOM», «угол О»).
На рисунке 3.6 изображено несколько углов, имеющих общую
вершину. Здесь обозначение угла одной буквой может привести к пута¬
нице. В таких случаях углы удобно обозначать с помощью цифр: Z1,
Z2, Z3 (читают соответственно: «угол один», «угол два», «угол три»).
□ □ф Определение
Угол, стороны которого являются дополнительными лучами, назы¬
вают развёрнутым.
На рисунке 3.7 лучи О А и О В являются дополнительными, по¬
этому углы, выделенные зелёным и фиолетовым цветами, являются
развёрнутыми.

Любая прямая делит плоскость на две полуплоскости, для кото¬
рых эта прямая является границей (рис. 3.8). Считают, что прямая
принадлежит каждой из двух полуплоскостей, для которых она явля¬
ется границей. А поскольку стороны развёрнутого угла образуют пря¬
мую, то можно также сказать, что развёрнутый угол — это полупло¬
скость, на границе которой отмечена точка — вершина угла.
□	□ф Определение
Два угла называют равными, если их можно совместить наложе¬
нием.
На рисунке 3.9, а изображены равные углы АВС и MNK. Пишут:
ZABC = ZMNK.
Понятно, что все развёрнутые углы равны.
□	Основное свойство откладывания углов
Для данного угла АВС и данного луча В1С1 существует единственный
угол AjBjCj, равный углу АВС, такой, что точка Ах лежит в заданной
полуплоскости относительно прямой В1С1 (рис 3.9, б).
На рисунке 3.10 изображены угол АОВ и луч ОС, принадлежа¬
щий этому углу, но отличный от его сторон. Будем говорить, что луч
ОС проходит между сторонами угла АОВ и делит его на два угла АОС
и СОВ.
23

□□ф Определение
Биссектрисой угла называют луч с началом в вершине угла, деля¬
щий этот угол на два равных угла.
На рисунке 3.11 луч ОК — биссектриса угла АОВ. Значит,
ZAOK = ZKOB.
Вы знаете, что каждый угол имеет определённую величину. Для
её измерения нужно выбрать единицу измерения — единичный угол.
Выбрать его можно, например, так. Разделим развёрнутый угол на 180
равных углов (рис. 3.12). Угол, образованный двумя соседними луча¬
ми, принимают за единичный. Его величину называют градусом и за¬
писывают: 1°.
Например, градусная мера (величина) угла АОВ (рис. 3.13) равна
20° (этот факт легко установить с помощью транспортира). В таком
случае говорят, что угол АОВ равен 20°, и записывают: ZAOB = 20°.
г Рис. 3.11	Г Рис. 3.12	а Рис. 3.13
Из принятого определения градуса следует, что градусная мера
развёрнутого угла равна 180°.
Для измерения углов на практике, помимо транспортира, ис¬
пользуют и другие приборы специального назначения (рис. 3.14):
астролябию, теодолит — для измерений на местности; буссоль — в ар¬
тиллерии; секстант — в морском деле.
Для более точных результатов измерения углов используют части
градуса: — градуса равна одной минуте (1'), т. е. 1° = 60'; — минуты
60 ‘ 60
называют секундой (1"), т. е. 1' = 60". Например, запись 23°15'И" оз¬
начает, что градусная мера угла составляет 23 градуса 15 минут 11 се¬
кунд.
Существуют и другие единицы измерения углов, например, в
морском деле используют единицу 1 румб (11° 15').
24

Астролябия
Г Рис. 3.14
Теодолит
Буссоль
Секстант
ппф Определения
Угол, градусная мера которого меньше 90°, называют острым
(рис. 3.15, а).
Угол, градусная мера которого равна 90°, называют прямым
(рис. 3.15, б).
Угол, градусная мера которого больше 90°, но меньше 180°, называ¬
ют тупым (рис. 3.15, в).
Равные углы имеют равные величины, и наоборот, если величи¬
ны углов равны, то равны и сами углы.
Если величина угла АВС больше величины угла MNP, то гово¬
рят, что угол АВС больше угла MNP, и записывают: ZABC > ZMNP.
Также говорят, что угол MNP меньше угла АВС, и записывают:
ZMNP < ZABC.
В дальнейшем, говоря «сумма углов», будем подразумевать сум¬
му величин этих углов.
25

нш^| Основное свойство величины угла
Если луч ОС делит угол АОВ на два угла АОС и СОВ, то
ZAOB = ZAOC + ZCOB (рис. 3.16).
Задача. На рисунке 3.17 ZlAMC = ZDMB, ZBMC = 118°. Найдите
угол1 AM В.
Решение. Имеем: ZAMC = ZAMB + ZBMC,
ZZ>M£ = ZDMC + ZBMC.
Поскольку ZAMC = ZDMB, то ZLAMB = ZDMC.
Запишем: ZAMB + ZBMC + ZCMB = ZAMD =180°.
Тогда 2ZAMB + 118° = 180°. Отсюда ZAMB = 31°.
Ответ: 31°. ■
1.	Как обозначают луч?
2.	Какие два луча называют дополнительными?
3.	Как обозначают угол?
4.	Какой угол называют развёрнутым?
5.	Как называют части, на которые прямая делит плоскость?
6.	Какие два угла называют равными?
7.	Сформулируйте основное свойство откладывания углов.
8.	Что называют биссектрисой угла?
9.	Какой угол называют острым? Прямым? Тупым?
10.	Что можно сказать о величинах равных углов?
11.	Что можно сказать об углах, величины которых равны?
12.	Сформулируйте основное свойство величины угла.
^ Практические задания
3.1. Проведите два луча АВ и АС так, чтобы они не были дополни¬
тельными. Постройте для каждого из этих лучей дополнитель¬
ный луч. Обозначьте и запишите все образовавшиеся лучи.
1 Часто вместо «Найдите градусную меру угла...» говорят: «Найдите угол...».
26

3-2. Проведите отрезок АВ и два луча АВ и ВА. Являются ли эти лу¬
чи дополнительными? Ответ обоснуйте.
3.3.	Начертите угол MNE и проведите лучи NA и NC между его сто¬
ронами. Запишите все образовавшиеся углы.
3.4.	Проведите лучи О А, О В, ОС и OD так, чтобы луч ОС проходил
между сторонами угла АО В, а луч OD — между сторонами угла
ВОС.
3.5.	Начертите два луча так, чтобы их общая часть была: 1) точкой;
2)	отрезком; 3) лучом.
ф_
3.6.
3.7.
Упражнения * 1 2Прямая EF пересекает прямые АВ и CD (рис. 3.18). Укажите:
1)	все образовавшиеся лучи с началом в точке М;
2)	все пары дополнительных лучей с началом в точке К.
Запишите все лучи, изображённые на рисунке 3.19. Укажите, ка¬
кие из них являются дополнительными лучами с началом в точ¬
ке О.
3.8.	Можно ли угол, изображённый на рисунке 3.20, обозначить так:
1) ZABC;	3) ZADC;	5) ZACE;	7) ZBDE;
2) ZACD;	4) ZDCA;	6) ZBCD;	8) ZECD?
3.9.	Запишите все углы, изображённые на рисунке 3.21.
27

3-10. На рисунке 3.22 ZAOB = ZBOC =
= ZCOD = ZDOE = ZEOF.
1)	Какой луч является биссектри¬
сой угла АОС? Угла DOF? Угла
BOF?
2)	Биссектрисой каких углов явля¬
ется луч ОС?
3.11.	Луч ОС — биссектриса угла АОБ.
Можно ли совместить наложением:
1) углы АОС и ВОС; 2) углы АОС и АОВ?
3.12.	Луч ББ делит угол АБС на два угла. Найдите:
1)	угол АБС, если ZABD = 54°, ZCBD = 72°;
2)	угол CBD, если ZABC = 158°, ZABD = 93°.
3.13.	Луч ОБ проходит между сторонами угла МОК. Найдите угол
МОР, если ZMOK = 172°, ZPO# = 85°.
3.14.	Верно ли утверждение:
1)	любой угол, который меньше тупого угла, — острый;
2)	угол, который меньше развёрнутого угла, — тупой;
3)	угол, который в 2 раза меньше тупого угла, — острый;
4)	сумма двух острых углов больше прямого угла;
5)	угол, который в 2 раза меньше развёрнутого угла, больше лю¬
бого острого угла;
6)	угол, который больше прямого угла, — тупой?
3.15.	Из вершины прямого угла ВОМ (рис. 3.23) провели два луча ОА
и ОС так, что ZBOC = 74°, ZAOM = 62°. Найдите угол АОС.
3.16.	Из вершины развёрнутого угла АСР (рис. 3.24) провели два луча
СТ и CF так, что ZACF = 158°, ZTCP = 134°. Найдите угол TCF.
3.17.	Угол CEF равен 152°, луч ЕМ проходит между его сторонами,
угол СЕМ на 18° больше угла FEM. Найдите углы СЕМ и FEM.
3.18.	Луч АК принадлежит углу BAD. Найдите углы ВАК и DAK, ес¬
ли угол ВАК в 7 раз меньше угла DAK и ZBAD =72°.
28

3.19.	На рисунке 3.25 равные углы отмечены дугами. Найдите углы
АВС у МКЕ и STK, если в качестве единичного угла взять: 1) угол
АВС; 2) угол МКЕ.
3.20.	Луч ОА образует со сторонами угла ВОС равные углы. Верно ли,
что он является биссектрисой этого угла?
3.21.	Точки А, В и С расположены на прямой так, что АВ = 3,2 см,
АС = 4,8 см, ВС = 8 см. Являются ли лучи АВ и АС дополнитель¬
ными?
3.22.	На рисунке 3.26 угол АВС — прямой, ZABE = ZEBF = ZFBC, лу¬
чи BD и ВК — биссектрисы углов АВЕ и FBC соответственно.
Найдите угол DBK.
3.23.	На рисунке 3.27 ZAOC = ZCOD =
= ZDOFy луч ОВ — биссектриса угла
АОСу луч ОЕ — биссектриса угла
DOFy ZBOE = 72°. Найдите угол
AOF.
3.24.	На рисунке 3.28 ZAOB = ZDOC.
Есть ли ещё на этом рисунке равные
углы? Ответ обоснуйте.
3.25.	Углы FOK и МОЕ равны (рис. 3.29).
Равны ли углы FOM и КОЕ?
29

3.26.	Луч ВК является биссектрисой угла
CBD, ZABK = 146° (рис. 3.30). Най¬
дите угол CBD.
3.27.	Луч ВК является биссектрисой угла
CBD, ZCBD = 54° (рис. 3.30). Найди¬
те угол АВК.
3.28.	На сколько градусов поворачивается
за 1 мин: 1) минутная стрелка; 2) ча¬
совая стрелка?
3.29.	Найдите угол между стрелками часов, если они показывают:
1)	3 ч; 2) 6 ч; 3) 4 ч; 4) 11 ч; 5) 7 ч.
3.30.	Угол АВС равен 30°, угол CBD — 80°. Найдите угол ABD. Сколь¬
ко решений имеет задача?
3.31.	Найдите угол МОК, если ZMON = 120°, ZKON = 43°. Сколько ре¬
шений имеет задача?
ООО
3.32.	Луч, проведённый из вершины прямого угла, делит его на два уг¬
ла. Докажите, что угол между биссектрисами образовавшихся
углов равен 45°.
3.33.	Точка М принадлежит углу АОВ, луч ОС — биссектриса этого уг-
ла. Докажите, что угол МОС равен полуразыости углов АОМ и
ВОМ.
3.34.	Точка М лежит вне угла АОВ, луч ОС — биссектриса этого угла.
Докажите, что угол АОС равен полусумме углов АОМ и ВОМ.
3.35.	Лучи ОС, OD и ОЕ принадлежат тупому углу АОВ. Известно, что
угол АОС прямой, а лучи OD и ОЕ — соответственно биссектри¬
сы углов АОВ и ВОС. Найдите угол DOE.
3.36.	Лучи ОС, OD и ОЕ принадлежат углу АОВ, градусная мера кото¬
рого равна 150°. Известно, что ZAOC = 50°, ZCOD = 40°,
ZDOE =15°. Найдите угол ВОЕ.
3.37.	Лучи ОБ, OD и ОЕ принадлежат углу АОС, градусная мера ко¬
торого равна 160°. Известно, что ZAOB = 120°, ZBOD = 30°,
ZDOE = 20°. Найдите угол СОЕ.
3.38.	Как, имея шаблон угла, равного 70°, построить угол, равный 40°?
3.39.	Как, имея шаблон угла, равного 40°, построить угол, равный 20°?
3.40.	Как, имея шаблон угла, равного 35°, построить угол, равный 5°?
3.41.	Как, имея шаблон угла, равного 13°, построить угол, равный 2°?
3.42. Лучи ОА, ОБ, ОС и OD таковы, что ZAOB = ZBOC = ZCOD и
ZAOB = 3ZAOD. Найдите угол AOD.
30

3.43.	Как построить угол, равный 1°, используя шаблон угла, равного:
1)	19°; 2) 7°?
3.44.	Проведите шесть прямых, пересекающихся в одной точке. Верно
ли, что среди образовавшихся при этом углов есть угол, который
меньше 31°?
3.45.	Лучи ОС и OD принадлежат прямому углу АОВ. Они проведены
так, что ACOD = 10°. Из пяти образовавшихся острых углов вы¬
брали наибольший и наименьший. Оказалось, что их сумма рав¬
на 85°. Найдите углы, на которые лучи ОС и OD разделили угол
АОВ.
Смежные и вертикальные углы
□ □ф Определение
Два угла называют смежными, если у них одна сторона общая, а две
другие являются дополнительными лучами.
На рисунке 4.1 углы МОЕ и EON смежные.
□ □ф Теорема 4.1
Сумма смежных углов равна 180°.
Доказательство
Пусть углы АОС и СОВ смежные (рис. 4.2). Надо доказать, что
ААОС + АСОВ = 180°.
Так как углы АОС и СОВ смежные, то лучи О А и О В являются
дополнительными. Тогда угол АОВ — развёрнутый. Следовательно,
ААОВ = 180°. Луч ОС принадлежит углу АОВ. По основному свойству
величины угла имеем: А АОС + АСОВ = А АО В = 180°. ■
31

□ □ц> Определение
Два угла называют вертикальными, если стороны одного угла явля¬
ются дополнительными лучами сторон другого.
На рисунке 4.3 углы АОВ и COD вертикальные.
На рисунке 4.4 стороны «фиолетового» угла являются дополни¬
тельными лучами сторон «зелёного» угла. Поэтому эти развёрнутые
углы являются вертикальными.
Очевидно, что при пересечении двух прямых образуются две па¬
ры вертикальных углов, отличных от развёрнутого. На рисунке 4.3
углы АОС и BOD также вертикальные.
□ □ф Теорема 4.2
Вертикальные углы равны.
Доказательство
Если вертикальные углы являются развёрнутыми, то они равны.
На рисунке 4.5 углы 1 и 2 вертикальные и отличные от развёрну¬
того. Надо доказать, что Zl = Z2.
Каждый из углов 1 и 2 смежный с углом 3. Тогда Zl + Z3 = 180°
и Z2 + Z3 = 180°. Отсюда Z1 = 180° - Z3 и Z2 = 180° - Z3. Получаем,
что градусные меры углов 1 и 2 равны, а значит, равны и сами углы. ■
Задача. На рисунке 4.6 ZABE = ZDCP. Докажите, что
ZFBC + ZBCP =180°.
32

Решение. ZDCP + ZBCP = 180°, так как углы DCP и ВСР смеж¬
ные. Углы DCP и АВЕ равны по условию. Углы АВЕ и FBC равны как
вертикальные.
Следовательно, ZDCP = ZFBC. Тогда ZFBC + ZBCP = 180°. ■
1.	Какие два угла называют смежными?
2.	Чему равна сумма смежных углов?
3.	Какие два угла называют вертикальными?
4.	Сформулируйте теорему о свойстве вертикальных углов.
Ф Практические задания
4.1.	Начертите три угла: острый, прямой и тупой. Для каждого из
них постройте смежный угол.
4.2.	Начертите два неравных смежных угла так, чтобы их общая сто¬
рона была вертикальной.
Упражнения
4.3. Укажите пары смежных углов (рис. 4.7),
4.4. Являются ли углы АВС и DBE вертикальными (рис. 4.8)?
33

4.5.	Сколько пар смежных углов изобра¬
жено на рисунке 4.9? Назовите их.
Укажите пары вертикальных углов.
4.6.	Могут ли два смежных угла быть рав¬
ными: 1) 24° и 156°; 2) 63° и 107°? От¬
вет обоснуйте.
4.7.	Найдите угол, смежный с углом:
1)	29°; 2) 84°; 3) 98°; 4) 135°.
4.8.	Может ли пара смежных углов состоять:
1)	из двух острых углов;
2)	из двух тупых углов;
3)	из прямого и тупого углов;
4)	из прямого и острого углов?
4.9.	Один из смежных углов — прямой. Каким является второй угол?
4.10.	Найдите угол, смежный с углом АБС, если: 1) ZABC = 36°;
2)	ZABC = 102°.
4.11.	Найдите углы 2, 3 и 4 (рис. 4.10), если
Z1 = 42°.
4.12.	Найдите смежные углы, если:
1)	один из них на 70° больше другого;
2)	один из них в 8 раз меньше другого;
3)	их градусные меры относятся как
3 : 2.
4.13.	Найдите смежные углы, если:
1)	один из них в 17 раз больше другого;
2)	их градусные меры относятся как 19 : 26.
4.14.	Верно ли утверждение:
1)	для каждого угла можно построить только один вертикальный
угол;
2)	для каждого угла, отличного от развёрнутого, можно постро¬
ить только один смежный угол;
3)	если углы равны, то они вертикальные;
4)	если углы не равны, то они не вертикальные;
5)	если углы не вертикальные, то они не равны;
6)	если два угла смежные, то один из них острый, а другой — ту¬
пой;
7)	если два угла смежные, то один из них больше другого;
8)	если сумма двух углов равна 180°, то они смежные;
9)	если сумма двух углов не равна 180°, то они не смежные;
10)	если два угла равны, то смежные с ними углы также равны;
11)	если смежные углы равны, то они прямые;
34

12)	если равные углы имеют общую вершину, то они вертикаль¬
ные;
13)	если два угла имеют общую сторону, то они смежные?
4.15.
4.16.
Сумма двух углов, образованных при пересечении двух прямых,
равна 140°. Докажите, что эти углы вертикальные.
Найдите углы, образованные при пересечении двух прямых, если:
1)	сумма двух из них равна 106°;
2)	сумма трёх из них равна 305°.
4.17.
4.18
4.19
вертикальных углов.
4.22.
Углы ABF и FBC смежные,
ZABF = 80°, луч BD принадлежит углу
ABFy ZABD = 30°. Найдите угол меж¬
ду биссектрисами углов DBF и FBC.
4.23. Углы АОВ и ВОС смежные, луч OD —
биссектриса угла АОВ, угол BOD на
18° меньше угла ВОС. Найдите углы
АОВ и ВОС.
4.24.
4.25.
4.26.
4.27.
Найдите смежные углы МКЕ и РКЕ,
если угол FKE на 24° больше угла РКЕ,
где луч KF — биссектриса угла МКЕ.
На рисунке 4.13 ZMAB + ZACB = 180°.
Докажите, что ZMAB = ZKCB.
На рисунке 4.14 ZMBC = ZBEF. До¬
кажите, что ZABE + ZBED = 180°.
Два угла имеют общую сторону, а их
сумма равна 180°. Можно ли утверж¬
дать, что эти углы являются смежны¬
ми?
Найдите углы, образованные при пе¬
ресечении двух прямых, если разность
двух из них равна 64°.
Три прямые пересекаются в одной точ¬
ке (рис. 4.11). Найдите Z1 + Z2 + Z3.
Прямые АВ, CD и МК пересекаются в Г рис 4-11
точке О (рис. 4.12), ZAOC = 70°,
ZMOB = 15°. Найдите углы DOK,
АОМ и AOD.
4.20.	Найдите угол между биссектрисами
смежных углов.
4.21.	Найдите угол между биссектрисами
г Рис. 4.12
А В/
/м
S с
D /Е
F
■рис. 4.14
35

4.28.	Верно ли утверждение:
1)	если два угла имеют общую вершину и их биссектрисы явля¬
ются дополнительными лучами, то эти углы — вертикальные;
2)	если биссектрисы двух равных углов лежат на одной прямой,
то эти углы — вертикальные?
4.29.	На листе бумаги изображён угол.
В пределах листа находятся его верши¬
на и столь малые части сторон, что для
его измерения невозможно воспользо¬
ваться транспортиром (рис. 4.15). Как
найти градусную меру этого угла?
Перпендикулярные прямые
На рисунке 5.1 отмечены четыре угла, которые образовались при
пересечении прямых а и Ь. Легко показать (сделайте это самостоятель¬
но), что если один из углов прямой (например, угол 1), то и углы 2, 3 и
4 также прямые.
Определение
Две прямые называют перпендикулярными, если при их пересече¬
нии образовался прямой угол.
На рисунке 5.1 прямые а и Ъ перпендикулярны. Пишут: а ± b или
Ъ _1_ а.
На рисунке 5.2 прямые AD и ВС не перпендикулярны. При их
пересечении образовались пара равных острых углов и пара равных
тупых углов. Величину образовавшегося острого угла называют углом
между прямыми AD и ВС.
Если прямые перпендикулярны, то считают, что угол между ни¬
ми равен 90°.
Из сказанного следует, что угол между двумя прямыми не пре¬
восходит 90°.
36

□ □Ф Определение
Два отрезка называют перпендикулярными, если они лежат на пер¬
пендикулярных прямых.
На рисунке 5.3 отрезки АВ и CD перпендикулярны. Пишут:
АВ _L CD.
Также можно рассматривать перпендикулярность двух лучей,
луча и отрезка, прямой и луча, отрезка и прямой. Например, на рисун¬
ке 5.4 изображены перпендикулярные отрезок CD и луч АВ.
На рисунке 5.5 изображены прямая а и перпендикулярный ей от¬
резок АВ, конец В которого принадлежит прямой а. В таком случае го¬
ворят, что из точки А на прямую а опустили перпендикуляр АВ. Точ¬
ку В называют основанием перпендикуляра АВ.
Пусть X — произвольная точка прямой а, отличная от точки В
(рис. 5.6). Отрезок АХ называют наклонной, проведённой из точки А
к прямой а.
Часто в повседневной жизни нам приходится искать расстояние
от данного местоположения до какого-то объекта (школы, дороги, ре¬
ки и т. п.). Аналогом такой задачи в геометрии является поиск рассто¬
яния от данной точки до данной фигуры. Решая эту задачу, стараются
указать отрезок наименьшей длины, соединяющий данную точку с
точкой фигуры. Если такой отрезок существует, то его длину называ¬
ют расстоянием от точки до фигуры.
37

В § 17 будет доказано, что если из одной точки к прямой проведе¬
ны перпендикуляр и наклонная, то перпендикуляр меньше наклонной
(см. рис. 5.6). Таким образом, перпендикуляр, опущенный из данной
точки на прямую, — это отрезок наименьшей длины, соединяющий
данную точку с точкой прямой. Поэтому целесообразно принять следу¬
ющее определение.
□	□ф феделеиие
Расстоянием от точки, не принадлежащей прямой, до этой прямой
называют длину перпендикуляра, опущенного из данной точки на
прямую.
Если точка принадлежит прямой, то считают, что расстояние от этой
точки до прямой равно нулю.
На рисунке 5.5 длина отрезка АВ — это расстояние от точки А до
прямой а.
На рисунке 5.7 изображён перпендику¬
ляр ОМ, опущенный из точки О на прямую
АВ. Точка М, его основание, принадлежит от¬
резку АВ (лучу АВ). Понятно, что в этом слу¬
чае длина перпендикуляра ОМ меньше любого
отрезка, соединяющего точку О с любой другой
точкой отрезка АВ (луча АВ), отличной от точ¬
ки М. Поэтому расстояние от точки О до отрез¬
ка АВ (луча АВ) — это длина отрезка ОМ.
На рисунке 5.8 изображён перпендику¬
ляр ОМ, опущенный из точки О на прямую
АВ. Точка М, его основание, не принадлежит
отрезку АВ (лучу АВ). В этом случае отрезок
ОА меньше любого отрезка, соединяющего точ¬
ку О с любой другой точкой отрезка АВ (лу¬
ча АВ). Этот факт будет доказан в § 17. Поэтому расстояние от точки О
до отрезка АВ (луча АВ) — это длина отрезка ОА.
□	□ф Теорема 5.1
Через каждую точку прямой можно провести прямую, перпендику¬
лярную данной, и притом только одну.
Доказательство
Отметим на прямой АВ произвольную точку М и сначала пока¬
жем, что через точку М можно провести прямую, перпендикулярную
прямой АВ. Отложим от луча МВ (рис. 99) угол СМВ, равный прямо¬
38

му (это можно сделать в силу основного свой¬
ства откладывания углов). Тогда прямая
СМ перпендикулярна данной прямой АВ.
Предположим, что через точку М прохо¬
дит еще одна прямая, отличная от СМ и пер¬
пендикулярная прямой АВ. Пусть точка D
этой прямой лежит в той же полуплоскости от¬
носительно прямой АВ, что и точка С (см. рис.
99). Тогда получаем, что от луча МВ в одну по¬
луплоскость отложены два угла СМ В и DM В,
равные прямому, что противоречит основному
свойству откладывания углов. ■
Вы умеете через произвольную точку М,
не принадлежащую прямой а, проводить пря¬
мую b, перпендикулярную прямой а (рис. 5.10).
То, что такая прямая b единственная, будет до¬
казано в § 7.
1.	Какие две прямые называют перпендикулярными?
2.	Каким символом обозначают перпендикулярные прямые?
3.	Что называют углом между двумя пересекающимися прямыми?
4.	Какие два отрезка называют перпендикулярными?
5.	Что называют расстоянием от точки до прямой?
6.	Сколько через каждую точку прямой можно провести прямых,
перпендикулярных данной?
^ Практические задания
5.1.	Перерисуйте в тетрадь рисунок 5.11. Пользуясь угольником, про¬
ведите через точку М прямую, перпендикулярную прямой а.
5.2.	Проведите прямую с и отметьте на ней точку К. Пользуясь уголь¬
ником, проведите через точку К прямую, перпендикулярную
прямой с.
39

5.3.	Проведите прямую d и отметьте точку М, не принадлежащую ей.
С помощью угольника проведите через точку М прямую, перпен¬
дикулярную прямой d.
5.4.	Начертите угол АВК, равный: 1) 73°; 2) 146°. Отметьте на луче
ВК точку С и проведите через неё прямые, перпендикулярные
прямым АВ и ВК.
5.5.	Начертите два перпендикулярных отрезка так, чтобы они: 1) пе¬
ресекались и не имели общего конца; 2) не имели общих точек;
3)	имели общий конец.
5.6.	Начертите два перпендикулярных луча так, чтобы они: 1) пересе¬
кались; 2) не имели общих точек.
5.7.	Перерисуйте в тетрадь рисунок 5.12. Постройте отрезок, длина
которого равна расстоянию от точки А: 1) до прямой MN; 2) до
отрезка MN; 3) до луча MN.
Упражнения
5.8.	Прикладывая угольник то одной, то
другой стороной, ученик через точку А
провёл два перпендикуляра к прямой а
(рис. 5.13). Что можно сказать об этом
угольнике?
5.9.	Может ли угол между прямыми быть
равным: 1) 1°; 2) 90°; 3) 92°?
5.10.	Прямая т проходит через вершину пря¬
мого угла и перпендикулярна одной из
его сторон. Докажите, что прямая т со¬
держит другую сторону угла.
О О
f Рис. 5.13
5.11.	Докажите, что если биссектрисы углов АОВ и ВОС перпендику¬
лярны, то точки А, О и С лежат на одной прямой.
5.12.	На рисунке 5.14 АВ 1 CD, ZCOK = 42°, ZMOC + ZBOK = 130°.
Найдите: 1) угол МОК; 2) угол MOD.
40

5.13.	На рисунке 5.15 АС 1 DK, OB ± BFy ZDBO = 54°. Найдите
угол ABF.
5.14.	Угол АВС равен 160°, лучи ВК и ВМ проходят между сторонами
этого угла и перпендикулярны им. Найдите угол МВК.
5.15.	На рисунке 5.16 BF ± АС9 BD ZBK. Докажите, что ZABD = ZFBK,
5.16.	На рисунке 5.16 ZABD = ZFBK, ZDBF = ZKBC. Докажите, что
BF _L АС.
5.17.	Лучи ОС и OZ) принадлежат развёрнутому углу АОВ. Известно,
что углы АОС и BOD равны. Как с помощью угольника построить
биссектрису угла COD?
О О О					_____
5.18.	Из вершины угла АВС, равного 70°, проведены лучи BD и BF
так, что BD _L ВАУ BF J_ ВС> лучи BD и ВС принадлежат углу
ABF. Найдите углы DBF и ABF.
5.19.	Прямые тип содержат биссектрисы углов, образованных при пе¬
ресечении прямых а и Ь. В каком случае прямые а и b содержат
биссектрисы углов, образованных при пересечении прямых тип?
5.20.	Существует ли точка, расстояние от которой до данного отрезка
АВ больше, чем расстояние до луча АВ?
5.21.	Пользуясь угольником и шаблоном угла, равного 17°, постройте
угол, равный: 1) 5°; 2) 12°.
5.22.	Пользуясь угольником и шаблоном угла,
равного 20°, постройте угол, равный 10°.
5.23.	Можно ли с помощью шаблона угла, рав¬
ного 27°, построить перпендикулярные
прямые?
5.24.	Углы АОВ и MON расположены так, что
ОМ _L ОА и ON _L ОВ (рис. 5.17). Докажи¬
те, что каждая точка угла MON равноуда¬
лена от сторон угла АОВ.

□ Аксиомы
В предыдущих пунктах были доказаны четыре теоремы. Каждый
раз, доказывая новое свойство фигуры, мы опирались на ранее извест¬
ные геометрические факты. Например, при доказательстве теоремы о
вертикальных углах было использовано свойство смежных углов. Ру¬
ководствуясь этим принципом, мы докажем ещё много новых теорем.
Но уже сейчас, на начальном этапе изучения геометрии, возникает
естественный вопрос: если свойства геометрических фигур изучают по
принципу «новое из старого», то должны существовать первоначаль¬
ные факты, и тогда на чём основано доказательство их истинности?
Ведь до них никаких истинных утверждений не было. Решить эту про¬
блему можно единственным способом: принять первые свойства без до¬
казательств. Так и поступают математики. Эти свойства называют ак¬
сиомами.
В качестве аксиом выбирают утверждения, которые просты, оче¬
видны и не вызывают сомнений. Ведь недаром слово «аксиома» про¬
исходит от греческого «аксиос», что означает «достойный призна¬
ния» .
Некоторые аксиомы были сформулированы в предыдущих пун¬
ктах. Мы называли их основными свойствами.
Часть аксиом мы не выделяли каким-то специальным образом,
а просто привели как наглядно очевидные утверждения. Так, в § 2, 3
были сформулированы следующие аксиомы:
•	для любых двух точек существует единственный отрезок, для ко¬
торого эти точки являются концами;
•	каждый отрезок имеет определённую длину;
•	каждый угол имеет определённую величину.
Мы опирались и на некоторые другие истинные утверждения,
принятые без доказательства, т. е. по сути аксиомы, которые, однако,
не были сформулированы в явном виде. Например, в § 1, описывая ри¬
сунок 1.3, мы фактически использовали такую аксиому:
•	какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие
этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
Строя отрезок, равный данному, и угол, равный данному, мы по
сути опирались на такие аксиомы:
•	на любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный
данному, и притом только один;
•	от любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол,
равный данному, и притом только один.

Аксиомы используют не только в математике. Нередко в обыден¬
ной жизни любое истинное, не требующее обоснования утверждение
называют аксиомой. Например, говорят: «После марта наступит
апрель. Это аксиома».
Аксиомы возникают не только из практики или наблюдений.
Для каждого гражданина России Конституция — это список ак¬
сиом. Поэтому аксиому можно рассматривать как закон или правило.
Но законы (правила игры) принимают, то есть они возникают в ре¬
зультате договорённости людей между собой. Следовательно, и аксио¬
мы геометрии можно рассматривать как утверждённые правила, на
основании которых геометры, как каменщики, строят здание науки
(рис. 6.1).
Тогда у вас может возникнуть вопрос: «Неужели на геометрию
можно смотреть как на игру, например такую, как шахматы?» В какой-
то степени — да. Но при этом надо понимать, что шахматные правила,
а значит, и сама игра возникли благодаря человеческой фантазии.
Вместе с тем геометрические правила (аксиомы) возникли из практи¬
ки и наблюдений. Поэтому геометрия, в отличие от шахмат, использу¬
ется очень широко.
Если вы изберёте профессию математика, то сможете ознако¬
миться с совершенно иными геометриями, которые отличаются от изу¬
чаемой в школе тем, что они строятся на других аксиомах.
43

КОГДА СДЕЛАНЫ УРОКИ
Из истории геометрии
Когда и где возникли первые геометрические сведения? Специа¬
листы не отвечают на этот вопрос однозначно. Одни считают, что пер¬
вооткрывателями были египетские и вавилонские землемеры, жившие
за 4000 лет до н. э., другие полагают, что геометрия зародилась в Древ¬
нем Египте 5000 лет назад.
■ - • -	' '-г ■
, - -
i-v-s-
I'&wfcu
?Ч-Г	ияЧг-J—-
иг»Л£4—	trraw .
-31!».|ад1»«и.«зйП1,!'*А.	•• *H.U4—— .jn-riUiu’
.Лкл&ЗЗЗС'.’	v зЛЦ££Й>л."1ХпкТ
■-'•-'“"-.(tVxjWyj	a—
« ft>i
«a- a
		i--	VJ-
w'-7*!L_u	ШтеМЙ
виилиетЛД.-л -’.ja ;•
Iv ' JJ
Древний папирус
Египетские пирамиды
Может показаться странным, но вопрос, когда возникла наука
геометрия, не вызывает споров. Историки едины во мнении: в VI в. до
н. э. Такое единодушие, на первый взгляд, может удивить: ведь и до
того времени народы древнего мира накопили огромный объём геоме¬
трических знаний. Например, совершенно очевидно, что без геометри¬
ческого опыта египтяне не подарили бы миру
одно из семи чудес света — пирамиды. И всё-
таки, почему обилие накопленных геометриче¬
ских фактов неравносильно существованию гео¬
метрической науки?
Геометрия стала наукой лишь тогда, ког¬
да её истины начали устанавливать путём
доказательства.
Появление «доказательной геометрии»
связано с именем первого из «семи мудрецов» —
Фалеса Милетского1 (ок. 625—547 гг. до н. э.) —
философа, учёного, купца и государственного
деятеля.
1 Милет — порт в Малой Азии на побережье Эгейского моря.

Задолго до Фалеса было известно, что вер¬
тикальные углы равны, что диаметр делит круг
на две равные части. Никто в истинности этих
фактов не сомневался. А Фалес доказал их, тем
самым прославив себя.
В VI—III вв. до н. э. благодаря учёным
Древней Греции, таким как Пифагор, Евдокс,
Архит, Теэтет, Евклид (Эвклид), Архимед, гео¬
метрия из прикладной науки превратилась в ма¬
тематическую теорию.
Книгу, по которой учили геометрию более
2000 лет, без преувеличения можно назвать ве¬
ликой. Она называется «Начала», её автор — Евклид (ок. 365—300 гг.
до н. э.). К сожалению, о самом Евклиде мало что известно. В таких
случаях личность обрастает легендами, одна из которых весьма поучи¬
тельна. Царь Птолемей I спросил Евклида, су¬
ществует ли более простой путь познания геоме¬
трии, чем изложенный в «Началах». Евклид от¬
ветил: «В геометрии нет царских дорог».
А какой же путь в геометрию избрал Ев¬
клид в своих «Началах»? Аксиоматический. В
фундаменте науки — список простейших фак¬
тов. Их называют постулатами (от латинского
postulatum — «требование») и аксиомами. Затем
на их основе путём логических рассуждений до¬
казывают все другие свойства — теоремы.
Постулатов у Евклида пять. Приведём пер¬
вые четыре.
I	постулат
II	постулат
III	постулат
IV	постулат
Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно
было провести прямую линию.
И чтобы каждую прямую можно было неограниченно продолжить.
И чтобы из любого центра можно было описать окружность любо¬
го радиуса.
И чтобы все прямые углы были равны.
О пятом постулате мы расскажем после § 14.
На протяжении многих веков с «Началами» Евклида по популяр¬
ности могла сравниться разве что Библия. Так, ещё в конце XIX в.
в ряде европейских стран геометрию преподавали по упрощённым из¬
даниям «Начал». И сейчас геометрия, которую изучают в школе, во
многом следует идеям Евклида.
45

Основное свойство прямой
Через любые две точки можно провести прямую, и притом
только одну.
Пересекающиеся прямые
Две прямые, имеющие общую точку, называют пересекающи¬
мися.
Теорема о двух пересекающихся прямых
Любые две пересекающиеся прямые имеют только одну общую
точку.
Равные отрезки
Два отрезка называют равными, если их можно совместить
наложением.
Равные отрезки имеют равные длины, и наоборот, если дли¬
ны отрезков равны, то равны и сами отрезки.
Основное свойство длины отрезка
Если точка С является внутренней точкой отрезка АВ, то отре¬
зок АВ равен сумме отрезков АС и СВ, т. е. АВ = АС + СВ.
Расстояние между точками
Расстоянием между точками А и В называют длину отрезка АВ.
Дополнительные лучи
Два луча, имеющие общее начало и лежащие на одной прямой,
называют дополнительными.
Развёрнутый угол
Угол, стороны которого являются дополнительными лучами,
называют развёрнутым.
Равные углы
Два угла называют равными, если их можно совместить на¬
ложением.
Равные углы имеют равные величины, и наоборот, если ве¬
личины углов равны, то равны и сами углы.
Основное свойство откладывания углов
Для данного угла АВС и данного луча ВХСг существует един¬
ственный угол А1В1С1, равный углу АВС, такой, что точка Ах
лежит в заданной полуплоскости относительно прямой BXCV
46

Биссектриса угла
Биссектрисой угла называют луч с началом в вершине угла, де¬
лящий этот угол на два равных угла.
Острый, прямой, тупой углы
Угол, градусная мера которого меньше 90°, называют
острым.
Угол, градусная мера которого равна 90°, называют пря¬
мым.
Угол, градусная мера которого больше 90°, но меньше 180°,
называют тупым.
Основное свойство величины угла
Если луч ОС делит угол АОВ на два угла АОС и СОВ, то
ZAOB = ZAOC + АСОВ.
Смежные углы
Два угла называют смежными, если у них одна сторона общая,
а две другие являются дополнительными лучами.
Свойство смежных углов
Сумма смежных углов равна 180°.
Вертикальные углы
Два угла называют вертикальными, если стороны одного угла
являются дополнительными лучами сторон другого.
Свойство вертикальных углов
Вертикальные углы равны.
Перпендикулярные прямые
Две прямые называют перпендикулярными, если при их пере¬
сечении образовался прямой угол.
Расстояние от точки до прямой
Расстоянием от точки, не принадлежащей прямой, до прямой
называют длину перпендикуляра, опущенного из данной точки
на прямую. Если точка принадлежит прямой, то считают, что
расстояние от этой точки до прямой равно нулю.
Теорема о существовании и единственности прямой,
перпендикулярной данной
Через каждую точку прямой проходит только одна прямая,
перпендикулярная данной.

г л
в а
V
а
Треугольники
□ Как, не накладывая один треугольник на другой, узнать, равны ли
они? Какими свойствами обладают равнобедренный и равносторон¬
ний треугольники? Как «устроена» теорема? На эти и многие другие
вопросы вы найдёте ответы в данной главе.
Равные треугольники. Высота, медиана,
биссектриса треугольника
Рассмотрим три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой.
Соединим их отрезками АВ, ВС и С А. Полученная фигура ограничива¬
ет часть плоскости, выделенную на рисунке 7.1 зелёным цветом. Эту
часть плоскости вместе с отрезками АВ, ВС и С А называют треуголь¬
ником. Точки А, В и С называют вершинами треугольника, а отрезки
АВ, ВС и С А — сторонами треугольника.
Треугольник называют и обозначают по его вершинам. Треуголь¬
ник, изображённый на рисунке 7.1, обозначают так: аАВС (читают:
«треугольник АВС»), или АВС А (читают: «треугольник ВС А»), или
аАСВ и т. д.
Углы ВАС, АВС и ВСА (рис. 7.2) называют углами треугольника
АВС.
В треугольнике АВС (рис. 7.2), например, угол В называют
углом, противолежащим стороне АС, углы А и С — углами, прилежа¬
щими к стороне АС, сторону АС — стороной, противолежащей углу
В, стороны АВ и АС — сторонами, прилежащими к углу А.
□аф Определение
Периметром треугольника называют сумму длин всех его сторон.
48

Периметр обозначают буквой Р. Например, для периметра тре¬
угольника MNK используют обозначение PiV#vjr
□□Ф Определения
Треугольник называют остроугольным, если все его углы острые
(рис. 7.3, а).
Треугольник называют прямоугольным, если один из его углов пря¬
мой (рис. 7.3, б).
Треугольник называют тупоугольным, если один из его углов тупой
(рис. 7.3, в).
□аф Определение
Два треугольника называют равными, если их можно совместить
наложением.
На рисунке 7.4 изображены равные
треугольники АВС и А1В1С1. Записывают:
аАВС = ААуВуСу. Эти треугольники можно
совместить так, что вершины А и Av В и
Bv С и Су совпадут. Тогда можно записать:
ZA = ZAy, ZB = ZBiy ZC = ZCy, АБ = A^,
50 = 5^, CA = CyAy.
Те стороны и те углы, которые совме¬
щаются при наложении равных треуголь¬
ников, называют соответственными сторо¬
нами и соответственными углами. Так, на
рисунке 7.4 стороны АС и АхСу, углы А и
А у — соответственные.
Обычно на рисунках равные стороны отмечают одинаковым ко¬
личеством чёрточек, а равные углы — одинаковым количеством дуг
(рис. 7.4).
49

Заметим, что в равных треугольниках против соответствен¬
ных углов лежат соответственные стороны, и наоборот: против со¬
ответственных сторон лежат соответственные углы.
Вы знаете, что на любом луче от его начала можно отложить от¬
резок, равный данному, и притом только один, и от любого луча в дан¬
ную полуплоскость можно отложить угол, равный данному, и притом
только один. Похожим свойством обладают треугольники.
□	□е|§ Основное свойство равенства треугольников
Для данного треугольника АВС и данного луча АХМ существует тре¬
угольник А1В1С1, равный треугольнику АВС, такой, что АВ = АХВХ,
ВС = В1С1, АС = АХСХ и сторона АХВХ принадлежит лучу АХМГ а вер¬
шина Cj лежит в заданной полуплоскости относительно прямой А ХМ
(рис. 7.5).
□	□ф Теорема 7.1
Через точку, не принадлежащую данной прямой, можно провести
прямую, перпендикулярную данной, и притом только одну.
Доказательство
Рассмотрим прямую MN и не принадлежащую ей точку О. Сна¬
чала покажем, что через точку О можно провести прямую, перпенди¬
кулярную прямой MN.
От луча MN отложим угол OxMN, равный углу OMN. Пусть точ¬
ка 02 такова, что МО = МОх (рис. 7.6). Точку пересечения прямых ООх
и MN обозначим буквой А.
От луча МА отложим треугольник 02МА, равный треугольнику
ОМА. Каждый из углов АМОх и АМ02 равен углу AM О, поэтому углы
АМОх и АМ02 равны. Следовательно, очка 02 принадлежит лучу MOv
Кроме того, каждый из отрезков МОх и М02 равен отрезку МО. Зна¬
чит, точки Oj и 02 совпадают. Таким образом, треугольники АМОх и
АМ02 совпадают. Из равенства треугольников АМО и АМОх следует
50

равенство углов О AM и ОхАМ. Поскольку эти углы являются смежны¬
ми, то каждый из них прямой. Итак, прямая OOl перпендикулярна
прямой MN.
Предположим, что через точку О проходят две прямые О А и ОБ,
перпендикулярные прямой MN (рис. 7.7, а).
В силу основного свойства равенства треугольников существует
треугольник ОхАВ, равный треугольнику ОАВ (рис. 7.7, б). Тогда
ZOAB = АОгАВ = 90°. Отсюда ZOAOx = 180°, а значит, точки О, А, Ol
лежат на одной прямой. Аналогично можно доказать, что точки О,
Б, Ol также лежат на одной прямой. Но тогда прямые О А и О В имеют
две точки пересечения: О и Ог А это противоречит теореме 1.1. Следо¬
вательно, наше предположение неверно. Таким образом через точку О
проходит единственная прямая, перпендикулярная прямой MN. ш
Возможно, вы заметили, что определения равных отрезков, рав¬
ных углов и равных треугольников очень похожи. Поэтому целесо¬
образно принять следующее определение равных фигур.
□	□с|> Определение
Две фигуры называют равными, если их
можно совместить наложением.
На рисунке 7.8 изображены равные фигу¬
ры Ф1 и Ф2. Пишут: Фх = Ф2.
Любые две прямые (два луча, две точки)
равны.
□	□ф Определение
Перпендикуляр, опущенный из вершины тре¬
угольника на прямую, содержащую противо¬
лежащую сторону, называют высотой тре¬
угольника.
На рисунке 7.9 отрезки ВВХ и ССХ — высо¬
ты треугольника АВС.
оаф Определение
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противо¬
лежащей стороны, называют медианой треугольника.
На рисунке 7.10 отрезок AM — медиана треугольника АВС.
51

□ □ц> Определение
Отрезок биссектрисы угла треугольника, со¬
единяющий вершину треугольника с точкой
противолежащей стороны, называют бис¬
сектрисой треугольника.
На рисунке 7.11 отрезок BL — биссектри¬
са треугольника АВС.
Каждый треугольник имеет три высоты,
три медианы и три биссектрисы.
Часто длины сторон треугольника, проти¬
волежащих углам А, Б, С, обозначают соответ¬
ственно а, 6, с. Длины высот обозначают hu, hb,
hc, медиан — та, ть> тс, биссектрис — 1и, /6, /с,.
Индекс показывает, к какой стороне проведён
отрезок (рис. 7.12).
7.1
7.2.
1.	Как называют и обозначают треугольник?
2.	Что называют периметром треугольника?
3.	Какой треугольник называют прямоугольным? Тупоугольным?
Остроугольным?
4.	Какие два треугольника называют равными?
5.	Как называют те пары сторон и пары углов равных треугольников,
которые совмещаются при наложении?
6.	Какие две фигуры называют равными?
7.	Что называют высотой треугольника? Медианой треугольника?
Биссектрисой треугольника?
Практические задания * 1Начертите треугольник:
1)	остроугольный;
2)	прямоугольный;
3)	тупоугольный.
Проведите из каждой вершины тре¬
угольника высоту.
Перерисуйте в тетрадь рисунок 7.13,
проведите высоту, общую для трёх изо¬
бражённых треугольников. У какого из
них эта высота расположена вне тре¬
угольника?
Рис. 7.13
52

о
7.J. Перерисуйте в tvriuuw треугольники, изображённые ни рисуя -
ке 7.14, процедите а плащом па ituz асе выелпи.
7.4.	Н-оюртяте прои,1Нпд|.ииЛ треугольник и irpote-литс вес гто мслолпм.
7.5.	Начертите произвольный треугольник и проведите все его бис-
спет рисы,
Упражнения Лтввш
7.6.	Начертите проипккгытый треугольник, обошппьте его оеркшпы
б\ KB.1M11 .W. А’ и Е. Унижите.
1)	сплюну, противолежащую углу V.
2)	угол, противолежащий eropouo МК;
Я) Стороны. Him лежащие к углу А';
41 угии, прилежащие к стороне А"А'.
7.7.	Запишите стороны, иершины. углы
треугольника СЕР (рис 7.1Ь). Ука¬
жите:
11 угол. ирогмиолежлший стороне СР;
2) утлы. прилежащие к сторон* СЕ;
3> сторону, противолежащую углу Е;
4) стороны, прилежащие к углу F
7 Л. Одна на сюром грсугодьпякн п 5 рай меньше тггороП п им 23 су
MdMi.m* ТрСТЬ*ft НюТд.ит" стороны треугольники. «-С.ТИ его нерн
метр ровен 74 см.
7.9 Стороны треугольника относится как 3 : 7 : 11, в сумма наиболь¬
шей и шшмеимигй старой равви 80 ем. Вы-шслк-тс периметр три
угольника.
7.10. Периметр грсугольинка равен 48 см, в его стороны относится хин
7:9:8. Найдите стороны треугольники.
5)

7.11.	Треугольники АР К и MCE равны, углы А и С соответственные,
РК = 10 см. Найдите сторону ME.
7.12.	Треугольники АВС и DEF равны, стороны АВ и DE, ВС и БЕ со¬
ответственные, ZB = 32°. Найдите угол D.
7.13.	Треугольники АВС и КТМ равны, углы А и М, Би! соответ¬
ственные, ZC = 40°, МАГ = 5 см. Найдите угол Т и сторону АБ.
7.14.	Верно ли утверждение:
1)	если треугольники равны, то их периметры также равны;
2)	если периметры двух треугольников равны, то и сами тре¬
угольники равны?
7.15.	Какие из элементов треугольника — биссектриса, медиана, высо¬
та — всегда принадлежат треугольнику?
7.16.	Какой из элементов треугольника — биссектриса, медиана, высо¬
та — может совпадать с его стороной? Укажите вид треугольни¬
ка, для которого это возможно.
7.17.	1) Может ли одна высота треугольника принадлежать ему, а две
другие — нет?
2)	Может ли только одна высота треугольника совпадать с его
стороной?
3)	В каком треугольнике три высоты пересекаются в его вершине?
^
7.18.	Медиана BD треугольника АВС разбивает его на два треугольни¬
ка, периметры которых равны 32 см и 36 см. Найдите периметр
треугольника АБС, если BD = 10 см.
7.19.	Медиана треугольника, периметр которого равен 60 см, разбива¬
ет его на два треугольника, периметры которых равны 36 см и
50 см. Чему равна длина этой медианы?
Первый и второй признаки равенства
треугольников
Если для треугольников АБС и А1В1С1 выполняются шесть усло¬
вий: ZA = ZAV ZB = ZBV ZC = ZCV AB = AXBV BC = BXCV CA = CXAV
то очевидно, что эти треугольники совпа¬
дут при наложении. Значит, они равны.
Попробуем уменьшить количество
условий. Например, оставим лишь два
равенства: АВ = АХВХ и ВС = В]С1. В этом
случае треугольники АБС и А1В1С1 могут
оказаться неравными (рис. 8.1).
54

Как же сократить список требований до минимума, но при этом
сохранить равенство треугольников? На этот вопрос отвечают теоре¬
мы, которые называют признаками равенства треугольников.
□	□ ф Теорема 8.1
(первый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между
ними)
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны со¬
ответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольни¬
ка, то такие треугольники равны.
Доказательство
Рассмотрим треугольники АВС иА1В1С1,
у которых АВ = А1В1, ВС = BXCV ZB = ZBl
(рис. 8.2). Докажем, что ААВС = аА1В1С1.
Наложим треугольник АВС на треуголь¬
ник А1В1С1 так, чтобы луч ВА совместился с
лучом BrAv а луч ВС совместился с лучом
Б1С1. Это можно сделать, так как по условию
ZB = ZBV Поскольку по условию В А = В ХАХ и
ВС = BXCV то при таком наложении сторона
ВА совместится со стороной BXAV а сторона
ВС — со стороной В1С1. Следовательно, тре¬
угольники АВС и А1В1С1 полностью совместятся, значит, они равны. ■
□	□ф Определение
Прямую, перпендикулярную отрезку и проходящую через его сере¬
дину, называют серединным перпендикуляром отрезка.
На рисунке 8.3 прямая а — серединный
перпендикуляр отрезка АВ. Заметим, что точ¬
ки А и Б равноудалены от прямой а.
□	□ф Теорема 8.2
Каждая точка серединного перпендикуля¬
ра отрезка равноудалена от концов этого
отрезка.
Доказательство
Пусть X — произвольная точка серединного перпендикуляра а
отрезка АВ. Надо доказать, что ХА = ХВ.
55

Пусть точка М — середина отрезка АВ. Если точка X совпадает с
точкой М (а это возможно, так как X — произвольная точка прямой
а), то ХА = ХВ.
Если точки X и М не совпадают, то рассмотрим треугольники
АХМ и ВХМ (рис. 8.4). В этих треугольниках AM = МВ, так как точ¬
ка М — середина отрезка АВ, сторона ХМ общая, ZAMX = ZBMX = 90°.
Следовательно, треугольники АХМ и ВХМ равны по двум сторонам и
углу между ними, т. е. по первому признаку равенства треугольников.
Значит, отрезки ХА и ХВ равны как соответственные стороны равных
треугольников. ■
□ пф Теорема 8.3
(второй признак равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим
к ней углам)
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника рав¬
ны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого
треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство
Рассмотрим треугольники АВС и А1В1С1, у которых АС = AXCV
ZA = ZAV ZC = ZCj (рис. 8.5). Докажем, что ААВС = аА1В1С1.
Наложим треугольник АВС на треугольник А1В1С1 так, чтобы
точка А совместилась с точкой Av отрезок АС — с отрезком А1С1 (это
возможно, так как АС = АХСХ) и точки В и Вг лежали в одной полупло¬
скости относительно прямой AXCV Поскольку ZA = ZAX и ZC = ZCV то
луч АБ совместится с лучом AXBV а луч СВ — с лучом ClBv Тогда точ¬
ка В — общая точка лучей АВ и СВ — совместится с точкой BL — об¬
щей точкой лучей АХВХ и С1В1. Значит, треугольники АВС и А1В1С1
полностью совместятся, следовательно, они равны. ■
56

Задача. На рисунке 8.6 точка О —
середина отрезка BD, ZABO = ZCDO.
Докажите, что ВС = AD.
Решение. Рассмотрим треугольни¬
ки АОВ и COD. Так как точка О — сере¬
дина отрезка BD, то ВО = СШ. По усло¬
вию ZABO = ZCDO. Углы АОВ и COD
равны как вертикальные. Следователь¬
но, ААОВ = ACOD по стороне и двум прилежащим углам, т. е. по вто¬
рому признаку равенства треугольников. Отсюда АВ = CD как соответ¬
ственные стороны равных треугольников. Заметим, что отрезок BD —
общая сторона треугольников ABD и CDB. Также по условию
ZABD = ZCDB. Следовательно, треугольники ABD и CDB равны по
двум сторонам и углу между ними, т. е. по первому признаку равен¬
ства треугольников. Тогда ВС = AD. ■
1.	Сформулируйте первый признак равенства треугольников.
2.	Какую прямую называют серединным перпендикуляром отрезка?
3.	Каким свойством обладают точки серединного перпендикуляра
отрезка?
4.	Сформулируйте второй признак равенства треугольников.
Практические задания
8.1.	С помощью линейки и транспортира постройте треугольник, две
стороны которого равны 3 см и 6 см, а угол между ними — 40°.
8.2.	С помощью линейки и транспортира постройте треугольник, две
стороны которого равны 3 см и 4 см, а угол между ними — 90°.
Укажите вид этого треугольника.
8.3.	С помощью линейки и транспортира постройте треугольник, од¬
на сторона которого равна 3 см, а углы, прилежащие к этой сто¬
роне, — 100° и 20°. Укажите вид
этого треугольника.
8.4.	С помощью линейки и транспорти¬
ра постройте треугольник, одна
сторона которого равна 6 см, а уг¬
лы, прилежащие к этой стороне, —
90° и 45°.
8.5.	Перерисуйте в тетрадь рисунок 8.7.
С помощью угольника и линейки
найдите на прямой I точку, равно-
57

8.6.
>
8.7.
8.8.
удалённую от концов отрезка
АВ.
Перерисуйте в тетрадь рису¬
нок 8.8. С помощью угольни¬
ка и линейки найдите точку,
которая равноудалена от то¬
чек А и Б и в то же время рав¬
ноудалена от точек С и П.
Упражнения
На рисунке 8.9 АС = DC, ВС = ЕС. Докажите, что ААВС = ADEC.
На рисунке 8.10 АВ = ADy ABAC = ZD АС. Докажите, что
ААВС = AADC.
8.9.	На рисунке 8.11 АВ = СП, Zl = Z2, АП = 7 см, ZC = 34°. Найдите
отрезок ВС и угол А.
8.10.	На рисунке 8.12 АО = ОП, БО = ОС. Найдите сторону СП и угол
ОСП треугольника ОСП, если АБ = 8 см, ZOBA = 43°.
8.11.	Дано: ОА = ОС, ОБ = ОП (рис. 8.13). Докажите, что ZOAD = ZOCB.
8.12.	Из точек А и Б, лежащих в одной полуплоскости относительно
прямой а на одинаковом расстоянии от неё, опущены на эту
прямую перпендикуляры АС и БП. Найдите угол АСБ, если
ZADC = 25°.
58

8.13.	Отрезки AD и ВС пересекаются в точке О и делятся этой точкой
пополам. Найдите угол ACD, если ZABC = 64°, ZACO = 56°.
8.14.	На рисунке 8.14 АВ A. BD, CD _L BD, точка О — середина отрезка
BD. Докажите, что ААВО = ACDO.
8.15.	На рисунке 8.15 Zl = Z2, Z3 = Z4, АВ = 8 см, ВС = 6 см. Найдите
стороны AD и CD треугольника ADC.
8.16.	На рисунке 8.16 ZABC = ZDEF, ВО = ОБ. Докажите, что
АВСО = A EFO.
8.17.	На рисунке 8.17 ZBAO = ZDCO, ZBAC = ZDCA. Докажите, что
ЛАНС = ACDA.
8.18.	На сторонах угла с вершиной в точке Б отмечены точки А и С,
а на его биссектрисе — точка Б так, что ZADB = ZCDB. Докажи¬
те, что АБ = БС.
8.19.	Через точку М, принадлежащую
биссектрисе угла с вершиной в точ¬
ке О, провели прямую, перпенди¬
кулярную этой биссектрисе. Эта
прямая пересекает стороны данно¬
го угла в точках А и Б. Докажите,
что AM = МВ.
8.20.	На рисунке 8.18 аАВС = AADC.
Докажите, что ААВК = AADK.
59


8.21.	На рисунке 8.19 аАВС = aA1B1Cv ZDBC = ZD1B1CV Докажите,
что aDBC = AD1B1CV
8.22.	На рисунке 8.20 Л МКО = АМРО. Докажите, что А КОЕ = АРОЕ.
8.23.	На рисунке 8.21 ВМ 1 AD, СК _L AD, ВМ = СК, AM = JTD. Дока¬
жите, что AABD = A CD А.
8.24.	Докажите, что биссектрисы равных треугольников, проведённые
из вершин соответственных углов, равны.
8.25.	Докажите, что в равных треугольниках медианы, проведённые к
соответственным сторонам, равны.
8.26.	На продолжении медианы AM треугольника АВС за точку М от¬
ложен отрезок МК, равный отрезку AM. Найдите расстояние от
точки К до вершины С, если АВ = 6 см.
8.27.	Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О и делятся точкой пере¬
сечения пополам. Докажите, что ААВС = A BAD.
8.28.	На рисунке 8.22 прямые тип — серединные перпендикуляры
сторон АВ и АС треугольника АВС. Докажите, что точка О рав¬
ноудалена от всех вершин данного треугольника.
8.29.	Для нахождения расстояния от точки В до колокольни А, распо¬
ложенной на другом берегу реки (рис. 8.23), с помощью вешек,
рулетки и астролябии отметили на местности точки С, D и Е так,
60

что точки Ву С и D лежат на одной прямой, причём точка С явля¬
ется серединой отрезка BD. Затем наметили прямую АЕ, прохо¬
дящую через точку С, причём ZABC = ZCDE. Потом, измерив од¬
ну из сторон треугольника CDE, определили расстояние от точки
В до точки А. Какую сторону измерили? Ответ обоснуйте1.
8.30.	Для определения ширины озера (рис. 8.24) на его берегу отмети¬
ли точки А и Б, а потом ещё точки С, D и О так, чтобы точка О
была общей серединой отрезков АС и BD. Как можно определить
ширину озера? Ответ обоснуйте.
8.31.	Докажите равенство двух треугольников по стороне, медиане,
проведённой к этой стороне, и углу между этой стороной и меди¬
аной.
8.32.	Докажите равенство двух треугольников по стороне, прилежаще¬
му к ней углу и биссектрисе треугольника, проведённой из вер¬
шины этого угла.
8.33.	Докажите равенство двух треугольников по биссектрисе, углу, из
вершины которого проведена эта биссектриса, и углу, образован¬
ному биссектрисой со стороной, к которой она проведена.
8.34.	Серединный перпендикуляр стороны ВС треугольника АВС пере¬
секает сторону АВ в точке D. Найдите отрезок AD, если CD = 4 см,
АВ = 7 см.
8.35.	Серединный перпендикуляр стороны АВ треугольника АВС пере¬
секает сторону ВС в точке М. Найдите сторону АС треугольника
АВСу если ВС = 16 см, а периметр треугольника АМС равен
26 см.
1 Узнать подробнее о методах и приборах, которые используют при измерениях
па местности, вы сможете, приняв участие в проектной работе «Построения па
местности с помощью специальных приборов и инструментов» (см. с. 191).
61

♦ ♦
8.36.	На рисунке 8.25 ОА = OD. Добавьте ещё
одно условие так, чтобы треугольники
АОС и DOB оказались равными:
1)	по первому признаку равенства тре¬
угольников;
2)	по второму признаку равенства тре¬
угольников.
8.37.	Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О
и делятся этой точкой пополам. На отрезке АС отмечена точ¬
ка М, а на отрезке BD — точка К так, что AM = ВК. Докажите,
что: 1) ОМ = ОК; 2) точки М, О и К лежат на одной прямой.
8.38.	Равные отрезки АВ и CD пересекаются в точке О так, что ОА = ОС.
Прямые AD и ВС пересекаются в точке М. Докажите, что
В
MD = МВ.
8.39.	На одной стороне угла с вершиной в точ¬
ке О (рис. 8.26) отмечены точки А и В,
а на другой — точки С и D так, что
ОА = ОС у АВ = CD. Докажите, что луч ОМ
является биссектрисой угла BOD, где М —
точка пересечения отрезков AD и ВС.
8.40.	На сторонах острого угла А отмечены точ¬
ки В и С так, что АВ = АС. Как с помощью
угольника построить биссектрису угла А?
8.41.	Докажите равенство двух треугольников по медиане и углам, на
которые эта медиана делит угол треугольника.
8.42.	Можно ли утверждать, что треугольники равны по двум сторонам
и углу?
8.43.	Можно ли утверждать, что тре¬
угольники равны по двум сторонам
и высоте, проведённой к третьей
стороне?
8.44.	Докажите, что на рисунке 8.27
угол ВАС прямой.
8.45.	На стороне АС треугольника АВС
отметили точки М и N так, что
AM = MN, ВС = 2ВМ и BN — бис¬
сектриса угла МВС. Докажите, что
АВ = NC.
Рис. 8.27
62

8.46.	На медиане СМ треугольника АВС отметили точки К и Е так, что
ZAKM = 90° и СЕ = 2МК. Докажите, что BE = АС.
8.47.	На медиане AM треугольника АВС отметили точки К и L так,
что АК = 2LM, ZALC = 90°. Докажите, что ZBKM = ZCAM.
8.48.	В треугольнике АВС точка D лежит на стороне АС. Биссектриса
СЕ треугольника АВС пересекает отрезок BD в точке О. Извест¬
но, что OD = ОЕ, ZDOE = 120°. Докажите, что BD — биссектриса
треугольника АВС.
9
Равнобедренный треугольник
и его свойства
□ □ф Определение
Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобе¬
дренным.
На рисунке 9.1 изображён равнобедрен¬
ный треугольник АВС, у которого АВ = ВС.
Равные стороны равнобедренного тре¬
угольника называют боковыми сторонами,
а третью сторону — основанием равнобедрен¬
ного треугольника.
Вершиной равнобедренного треугольни¬
ка называют общую точку его боковых сторон
(точка В на рисунке 9.1). При этом угол В на¬
зывают углом при вершине, а углы А и С —
углами при основании равнобедренного тре¬
угольника.
□ □q> Определение
Треугольник, у которого все стороны рав¬
ны, называют равносторонним.
На рисунке 9.2 изображён равносторон¬
ний треугольник АВС. Равносторонний тре¬
угольник — частный случай равнобедренного
треугольника.
Следующая теорема выражает свойства
равнобедренного треугольника.
63

□ □ф Теорема 9.1
В равнобедренном треугольнике: 1) углы при основании равны;
2)	биссектриса треугольника, проведённая к его основанию, являет¬
ся медианой и высотой треугольника.
Доказательство
Рассмотрим равнобедренный треуголь¬
ник АВС, у которого АВ = ВС, отрезок BL —
его биссектриса (рис. 9.3). Требуется доказать,
что ZA = ZC, AL = LC, BL 1 АС.
В треугольниках ABL и CBL сторона
BL — общая, ZABL = ZCBL, так как по усло¬
вию луч BL — биссектриса угла АВС, сторо¬
ны АВ и ВС равны как боковые стороны равно¬
бедренного треугольника. Следовательно,
ЛABL = ACBL по первому признаку равенства
треугольников. Отсюда можно сделать такие
выводы: 1) ZA = ZC; 2) AL = LC; 3) ZALB = ZCLB.
Так как отрезки AL и LC равны, то отрезок BL — медиана тре¬
угольника АВС.
Углы ALB и CLB смежные, следовательно, ZALB + ZCLB = 180°.
Учитывая, что ZALB = ZCLB, получаем: ZALB = ZCLB = 90°. Значит,
отрезок BL — высота треугольника АВС. ■
Из теоремы 9.1 следует, что:
1)	в треугольнике против равных сторон лежат равные
углы;
2)	в равнобедренном треугольнике биссектриса, высота
и медиана, проведённые к его основанию, совпадают;
3)	в равностороннем треугольнике все углы равны;
4)	в равностороннем треугольнике биссектриса, высота
и медиана, проведённые из одной вершины, совпадают.
□□ф Определение
Если в треугольнике длины всех сторон различны, то такой тре¬
угольник называют разносторонним.
Задача. Отрезок AD — медиана равнобедренного треугольника
АВС, проведённая к основанию. На сторонах АВ и АС отмечены соот¬
ветственно точки М и К так, что ВМ = СК. Докажите равенство тре¬
угольников AMD и AKD.
64

Решение. Точка М принадлежит отрезку
АВУ а точка К — отрезку АС, следовательно,
АВ = AM + ВМу АС = АК + СК (рис. 9.4).
Поскольку АВ = АС и ВМ = СКУ то
AM = АК.
Углы BAD и CAD равны, поскольку
медиана равнобедренного треугольника, про¬
ведённая к основанию, является его биссек¬
трисой.
Заметим, что отрезок AD — общая сто¬
рона треугольников AMD и AKD.
Следовательно, треугольники AMD и AKD равны по двум сторо¬
нам и углу между ними, т. е. по первому признаку равенства треуголь¬
ников. ■
1-Какие существуют виды треугольников в зависимости от количе¬
ства равных сторон?
2.	Какой треугольник называют равнобедренным? Равносторонним?
Разносторонним?
3.	Какие стороны равнобедренного треугольника называют боко¬
выми?
4.	Какую сторону равнобедренного треугольника называют основа¬
нием?
5.	Сформулируйте свойство углов равнобедренного треугольника.
6.	Сформулируйте свойство биссектрисы равнобедренного треуголь¬
ника, проведённой к основанию.
7.	Каким свойством обладают углы треугольника, лежащие против
его равных сторон?
8.	Сформулируйте свойство углов равностороннего треугольника.
9.	Каким свойством обладают биссектриса, высота и медиана равно¬
стороннего треугольника, проведённые из одной вершины?
^ Практические задания * 19.1.	Начертите:
1)	разносторонний остроугольный треугольник;
2)	равнобедренный прямоугольный треугольник;
3)	равнобедренный тупоугольный треугольник.
9.2.	Начертите:
1)	разносторонний прямоугольный треугольник;
2)	разносторонний тупоугольный треугольник.
65

9.3.	Начертите равнобедренный треугольник с боковой стороной, рав¬
ной 3 см, так, чтобы его угол при вершине был: 1) острым; 2) пря¬
мым; 3) тупым. В построенных треугольниках проведите высоты
к боковым сторонам.
Упражнения
9.4.	1) Найдите периметр равнобедренного треугольника, основание
которого равно 13 см, а боковая сторона — 8 см.
2) Периметр равнобедренного треугольника равен 39 см, а осно¬
вание — 15 см. Найдите боковые стороны треугольника.
9.5.	Периметр равнобедренного треугольника равен 28 см, а боковая
сторона — 10 см. Найдите основание треугольника.
9.6.	Найдите стороны равнобедренного треугольника, периметр кото¬
рого равен 32 см, а основание на 5 см больше боковой стороны.
9.7.	Найдите стороны равнобедренного треугольника, периметр кото¬
рого равен 54 см, а основание в 4 раза меньше боковой стороны.
9.8.	В равнобедренном треугольнике АВС сторона АС — основание,
ZBCA = 40°, ZABC = 100°, отрезок BD — медиана. Найдите углы
треугольника ABD.
9.9.	На рисунке 9.5 АВ = ВС, отрезок BD — медиана треугольника
АВС, ZABD = 53°. Найдите углы АВС и ADE.
9.10.	На рисунке 9.6 МК = КЕ, ОЕ = 6 см, ZMKE = 48°, ZPOE = 90°.
Найдите сторону ME и угол МКО.
9.11.	На рисунке 9.7 АВ = ВС, Z1 = 140°. Найдите угол 2.
9.12.	Угол, вертикальный углу при вершине равнобедренного тре¬
угольника, равен 68е. Найдите угол между боковой стороной тре¬
угольника и медианой, проведённой к основанию.
9.13.	Угол, смежный с углом при вершине равнобедренного треуголь¬
ника, равен 76°. Найдите угол между боковой стороной треуголь¬
ника и высотой, опущенной на основание.
66

9.14.	На рисунке 9.8 АВ = ВС, DC = DE. Докажите, что ZA = Z£.
9.15.	Прямая пересекает стороны угла А в точках В и С так, что
АВ - АС (рис. 9.9). Докажите, что Z1 = Z2.
9.16.	На рисунке 9.10 АО = СО, ZAOB = АСОВ. Докажите, что тре¬
угольник АВС равнобедренный.
9.17.	Треугольник АВС — равнобедренный с основанием АС, отре¬
зок BD — его биссектриса, отрезок DM — биссектриса треуголь¬
ника BDC. Найдите угол ADM.
9.18.	Один ученик утверждает, что некоторый треугольник равнобе¬
дренный, а другой ученик — что этот треугольник равносторон¬
ний.
1)	Могут ли оба ученика быть правыми?
2)	В каком случае прав только один ученик и какой именно?
9.19.	Используя признаки равенства треугольников, докажите при¬
знак равенства равнобедренных треугольников по боковой сторо¬
не и углу при вершине.
9.20.	Известно, что треугольники АВС и ADC равнобедренные и пря¬
моугольные. Следует ли отсюда, что ZABC = ZADC?
9.21.	Используя признаки равенства треугольников, докажите при¬
знак равенства равнобедренных треугольников по основанию и
прилежащему к нему углу.

9.22.	На основании АС равнобедренного треугольника АВС отмечены
точки М и К так, что точка М лежит между точками А и К, при¬
чём AM = СК. Докажите, что треугольник МВК равнобедрен¬
ный.
9.23.	В треугольнике МКЕ МК = ME. На стороне КЕ отмечены точки
F м N так, что точка N лежит между точками F и Е, причём
ZKMF = ZEMN. Докажите, что ZMFN = ZMNF.
9.24.	На боковых сторонах СА и СВ равнобедренного треугольника
АВС отложены соответственно равные отрезки СК и СМ. Дока¬
жите, что: 1) ЛАМС = АВКС; 2) ААМВ = АВКА.
67

'o'\D
9.25.	В равнобедренном треугольнике АВС с
основанием АС на медиане BD отметили
произвольную точку М. Докажите, что:
1) ААМВ = А СМ В; 2) AAMD = A CMD.
9.26.	Все звенья ломаной ABCDE равны, при¬
чём ZABC = ZCDE (рис. 9.11). Докажите,
что середина отрезка BD равноудалена от
точек А и Е.
Докажите, что биссектрисы равнобедрен-
.27.
ного треугольника, проведенные из вершин углов при основании,
равны.
9.28.	Докажите, что медианы равнобедренного треугольника, прове-
в» дённые к боковым сторонам, равны.
9.29.	Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника
являются вершинами равнобедренного треугольника.
9.30.	Найдите третью сторону равнобедренного треугольника, если две
другие его стороны равны 7 см и 4 см. Сколько решений имеет за¬
дача?
Одна из сторон равнобедренного треугольника равна 4 см. Найди¬
те две другие стороны, если периметр треугольника равен 14 см.
Верно ли утверждение:
1)	биссектриса равнобедренного треугольника является его высо¬
той и медианой;
2)	биссектриса равностороннего треугольника является его высо¬
той и медианой;
3)	если периметр треугольника в 3 раза больше одной из его сто¬
рон, то этот треугольник равносторонний?
9.33. Точки А, В, С и D лежат на одной прямой, причём отрезки АВ и
CD имеют общую середину. Точка Е такова, что треугольник
АЕВ — равнобедренный с основанием АВ. Докажите, что тре¬
угольник CED — равнобедренный с основанием CD.
9.31.
9.32.
9.34.
Точки А у В, С и D лежат на одной пря¬
мой. Точка Е такова, что треугольники
АЕВ и CED — равнобедренные с основа¬
ниями АВ и CD соответственно. Докажи¬
те, что отрезки АВ и CD имеют общую се¬
редину.
9.35.	На сторонах равностороннего треугольни¬
ка АВС (рис. 9.12) отметили точки М, К
и D так, что AD = ВМ = СК. Докажите,
что треугольник MKD равносторонний.
В
Л
л/\
\ Г
a^d
"рис. 9.12
68

р__<^>
9.36.	На продолжениях сторон АВ, ВС и АС рав¬
ностороннего треугольника АВС (рис. 9.13)
за точки А у В и С соответственно отложили
равные отрезки AD, ВК и СЕ. Докажите,
что треугольник DEK равносторонний.
9.37.	Треугольник DKE равносторонний и
ZKDB = ZDEA = ZEKC (рис. 9.13). Дока¬
жите, что треугольник АВС равносторон¬
ний.
9.38.	Основание равнобедренного треугольника
равно 20 см, а его медиана разбивает данный треугольник на два
треугольника так, что периметр одного из них на 6 см меньше пе¬
риметра другого. Найдите боковую сторону данного треугольни¬
ка. Сколько решений имеет задача?
9.39.	Точка D — середина основания АС равнобедренного треугольни¬
ка АВС. На сторонах АВ и ВС соответственно отметили точки М
и N так, что ZMDA = ZNDC. Докажите, что AN = СМ.
9.40.	На стороне АС треугольника АВС отметили точки М и N так, что
АВ = AM и СВ = CN (рис. 9.14). Докажите, что если ВМ = BN, то
треугольник АВС равнобедренный.
9.41.	На основании АС равнобедренного тре¬
угольника АВС отметили точки М и N
так, что АВ = AM и СВ = CN (рис. 9.14).
Докажите, что ВМ = BN.
9.42.	В равнобедренных треугольниках АВМ и
ABN отрезок АВ является основанием. Из¬
вестно, что ZANB = 100°. Найдите угол
ANM.
9.43.	В равнобедренных треугольниках АВЕ и
АВК отрезок АВ является основанием.
Медианы этих треугольников, проведённые из вершин Е и К со¬
ответственно, равны 10 см и 6 см. Найдите отрезок ЕК.
9.44.	В треугольнике АВС (ZB = 90°) биссектриса АЕ равна отрез¬
ку ЕС. Докажите, что АС = 2АВ.
9.45.	В треугольнике АВС биссектриса АЕ равна отрезку ЕС. Извест¬
но, что АС = 2АВ. Найдите угол АВС.
9.46.	На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отметили соответствен¬
но точки К и D. Отрезки AD и СК пересекаются в точке М. Из-
69

вестно, что СМ = 2КМ, AM = MD = £)С. Докажите, что отре¬
зок СК — высота треугольника АВС.
9.47.	В треугольнике АВС проведена биссектриса BL. На продолжении
отрезка BL за точку L отметили точку К так, что ZBAK + ZBAL =
= 180°. Известно, что BL = АВ. Докажите, что ВК = ВС.
9.48.	На медиане BD треугольника АВС отметили точки Е и К так, что
BE = ЕК = KD. Известно, что AD = АК и АВ = 10 см. Найдите от¬
резок СЕ.
9.49.	В треугольнике АВС медиана ВМ в два раза меньше стороны АВ.
Докажите, что ZMBC = ZBCA = ZCAB.
9.50.	В треугольнике АВС сторона АВ больше стороны ВС и биссектри¬
са AL равна стороне АС. На биссектрисе AL отметили точку К
так, что СК = BL. Докажите, что ZCKL = ZABC.
Признаки равнобедренного треугольника
В предыдущем параграфе мы рассмотрели свойства равнобедрен¬
ного треугольника. А как среди треугольников «распознавать» равно¬
бедренные? На этот вопрос дают ответ следующие теоремы-признаки.
□ □Ф Теорема 10.1
Если медиана треугольника является его высотой, то этот треуголь
ник равнобедренный.
Доказательство
Рассмотрим треугольник АВС, в котором
отрезок ВМ — медиана и высота. Надо дока¬
зать, что АВ = ВС (рис. 10.1).
Из условия теоремы следует, что прямая
ВМ — серединный перпендикуляр отрезка АС.
Тогда по свойству серединного перпенди¬
куляра АВ = ВС. ■
□ □ф Теорема 10.2
Если биссектриса треугольника является его
угольник равнобедренный.
Доказательство
Рассмотрим треугольник АВС, в котором отрезок BL — биссек¬
триса и высота. Надо доказать, что АВ = ВС (рис. 10.2).
высотой, то этот тре
70

В треугольниках ABL и CBL сторона BL — общая, ZABL = ZCBL
(так как по условию луч BL — биссектриса угла ABC), ZALB = ZCLB = 90°
(так как по условию отрезок BL — высота треугольника АВС). Следо¬
вательно, треугольники ABL и CBL равны по второму признаку равен¬
ства треугольников. Тогда стороны АВ и ВС равны как соответствен¬
ные стороны равных треугольников. ■
□ □ ц> Теорема 10.3
Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобе
дренный.
Доказательство
Рассмотрим треугольник АВС, в котором ZA = ZC. Надо дока¬
зать, что АВ = ВС.
Проведём серединный перпендикуляр а стороны АС. Докажем,
что прямая а проходит через вершину В.
Предположим, что это не так. Тогда прямая а пересекает во вну¬
тренней точке либо сторону АВ (рис. 10.3), либо сторону ВС
(рис. 10.4).
Рассмотрим первый из этих случаев. Пусть К — точка пересече¬
ния прямой а со стороной АВ. Тогда по свойству серединного перпен¬
дикуляра (теорема 8.2) АК = СК. Следовательно, треугольник АКС
равнобедренный, а значит, ZA = ZACK. Но по условию ZA - ZACB.
Тогда имеем: ZACB = ZACK, что противоречит основному свойству ве¬
личины угла (§3).
Аналогично можно получить противоречие и для второго случая
(рис. 10.4).
Следовательно, наше предположение неверно. Прямая а прохо¬
дит через точку В (рис. 10.5). Тогда по свойству серединного перпенди¬
куляра ВА = ВС. ■
71

Из этой теоремы следует, что:
1)	в треугольнике против равных углов лежат равные
стороны;
2)	если в треугольнике все углы равны, то этот тре¬
угольник равносторонний.
□ □ф Теорема 10.4
Если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот тре¬
угольник равнобедренный.
Доказательство
Рассмотрим треугольник АВС, в котором отрезок ВМ — медиана
и биссектриса. Надо доказать, что АВ = ВС.
На луче ВМ отложим отрезок MD, равный отрезку ВМ (рис. 10.6).
В треугольниках AMD и СМВ имеем: AM = МС (так как по усло¬
вию отрезок ВМ — медиана), ВМ = MD по построению, углы AMD и
СМВ равны как вертикальные. Следовательно, треугольники AMD и
СМВ равны по первому признаку равенства треугольников. Тогда сто¬
роны AD и ВС, углы ADM и СВМ равны как соответственные элемен¬
ты равных треугольников.
Так как луч BD — биссектриса угла АВС, то ZABM = ZCBM. По¬
скольку ZCBM = ZADM, то получаем, что ZABM = ZADM. Тогда по
признаку равнобедренного треугольника (теорема 10.3) получаем, что
треугольник DAB равнобедренный, откуда AD = АВ. И уже доказано,
что AD = ВС. Следовательно, АВ = ВС. ■
Задача. В треугольнике АВС проведена биссектриса ВМ
(рис. 10.7), ZBAK = 70°, ZAKC = 110°. Докажите, что ВМ _L АК.
72

Решение. Поскольку углы ВКА и АКС смежные, то ZBKA = 180е -
- ZAKC. Тогда ZBKA = 180° - 110° = 70°.
Следовательно, в треугольнике АВК получаем, что ZBAK =
= ZBKA = 70°. Треугольник АВК — равнобедренный с основанием АК,
и его биссектриса ВО (О — точка пересечения АК и ВМ) является так¬
же высотой, т. е. ВМ J_ АК. ■
1.	Сформулируйте признаки равнобедренного треугольника.
2.	Какова связь между равными углами и равными сторонами тре¬
угольника?
3.	Что можно сказать о треугольнике, если все его углы равны?
Упражнения
10.1.	В треугольнике АВС медиана ВК перпендикулярна стороне АС.
Найдите угол АВС, если ZABK = 25°.
10.2.	Серединный перпендикуляр стороны АС треугольника АВС про¬
ходит через вершину В. Найдите угол С, если ZA = 17°.
10.3.	В треугольнике АВС известно, что ZACB = 90°, ZA = ZB = 45°, от¬
резок СК — высота. Найдите сторону АВ, если СК = 7 см.
10.4.	На рисунке 10.8 ZAMK = ZACB,
АК = МК. Докажите, что треуголь¬
ник АВС равнобедренный.
10.5.	Прямая, перпендикулярная биссек¬
трисе угла А, пересекает его сторо¬
ны в точках В и С. Докажите, что
треугольник АВС равнобедренный.
10.6.	Биссектрисы AM и С К углов при
основании АС равнобедренного тре¬
угольника АВС пересекаются в точ¬
ке О. Докажите, что треугольник АОС равнобедренный.
10.7.	В треугольнике АВС биссектриса ВК является его высотой. Най¬
дите периметр треугольника АВС, если периметр треугольни¬
ка АВК равен 16 см и ВК = 5 см.
о о
10.8.	Верно ли утверждение:
1)	если медиана и высота треугольника, проведённые из одной
вершины, не совпадают, то этот треугольник не является равно¬
бедренным;
2)	если биссектриса треугольника делит противолежащую сторо¬
ну пополам, то этот треугольник равнобедренный?
73

10.9.	Медианы АЕ и CF, проведённые к боковым сторонам ВС и АВ
равнобедренного треугольника АВС, пересекаются в точке М. До¬
кажите, что треугольник AM С равнобедренный.
10.10.	Точки М и К принадлежат соответственно боковым сторонам АВ
и ВС равнобедренного треугольника АВС, AM = СК. Отрезки Aif
и СМ пересекаются в точке О. Докажите, что треугольник АОС
равнобедренный.
10.11.	На сторонах АС и ВС треугольника АВС отметили соответствен¬
но точки D и Е так, что BE = DE. Известно, что АЕ _L BD. Дока¬
жите, что АВ = AD.
<!><€><§>
10.12.	На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отметили соответствен¬
но точки D и Е так, что ZEAC = ZDCA. Отрезки АЕ и CD пересе¬
каются в точке F, DF = EF. Докажите, что треугольник АВС рав¬
нобедренный.
10.13.	Через середину D стороны АВ треугольника АВС проведены
прямые, перпендикулярные биссектрисам углов АВС и ВАС. Эти
прямые пересекают стороны АС и ВС в точках М и К соответ¬
ственно. Докажите, что AM = ВК.
10.14.	В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) точка пересече¬
ния серединного перпендикуляра стороны ВС и биссектрисы уг¬
ла С принадлежит медиане ВМ. Докажите, что треугольник АВС
равносторонний.
10.15.	В остроугольном треугольнике АВС медиана AM равна высо¬
те ВК и ZMAB = ZKBA. Докажите, что треугольник АВС равно¬
сторонний.
10.16.	Медиана AD, высота BE и биссектриса CF треугольника АВС
пересекаются в точке О. Известно, что ВО = СО. Докажите, что
треугольник АВС равносторонний.
10.17.	На стороне АС треугольника АВС отметили точки К и Е так, что
АК = КЕ = ЕС. Могут ли при этом выполняться равенства
ZABK = ZKBE = ZCBE?
10.18.	Медиана AM треугольника АВС перпендикулярна его биссек¬
трисе ВК. Найдите сторону АВ, если ВС = 16 см.
10.19.	Через вершины А и С треугольника АВС проведены прямые,
перпендикулярные биссектрисе угла АВС. Эти прямые пересека¬
ют прямые ВС и В А в точках К и М соответственно (рис. 10.9).
Известно, что ВМ = 8 см, КС = 1 см. Найдите сторону АВ.
10.20.	В треугольнике АВС АВ = 3 см, АС = 6 см. На стороне ВС отме¬
тили точку М такую, что СМ = 1 см. Прямая, проходящая через
точку М перпендикулярно биссектрисе угла АСВ, пересекает от-

резок АС в точке К, а прямая, проходящая через точку К перпен¬
дикулярно биссектрисе угла ВАС, пересекает прямую АВ в точ¬
ке D. Найдите отрезок BD.
10.21.	Прямая, проходящая через вершину А треугольника АВС пер¬
пендикулярно его медиане BD, делит эту медиану пополам. Най¬
дите отношение длин сторон АВ и АС треугольника АВС.
10.22.	В треугольнике АВС известно, что ZC = 90°, ZA = 67,5°,
АВ - 22,5°, отрезок СК — биссектриса треугольника АВС, отре¬
зок СМ — биссектриса треугольника ВСК (рис. 10.10). Докажи¬
те, что точка М — середина отрезка АВ.
10.23.	В треугольнике АВС на стороне АВ отметили точку К и провели
биссектрису КЕ треугольника АКС и высоту КН треугольника
ВКС. Известно, что ZEKH = 90° и НС = 5 см. Найдите сторону ВС.
10.24.	В «звезде» ACEBD (рис. 10.11) равны углы при вершинах А и В,
углы при вершинах Е и С, а также равны отрезки АС и BE. До¬
кажите, что AD = BD.
10.25.	Длины сторон треугольника, выраженные в сантиметрах, равны
трём последовательным натуральным числам. Найдите стороны
этого треугольника, если одна из его медиан перпендикулярна
одной из его биссектрис.
10.26.	Из точки В на биссектрисы углов А и С треугольника АВС опу¬
стили перпендикуляры ВМ и ВК. Известно, что ВМ = ВК. Дока¬
жите, что треугольник АВС равнобедренный.
10.27.	На стороне ВС треугольника АВС отметили точку F. Отрезок AF
пересекает медиану BD в точке Е. Известно, что АЕ = ВС. Дока¬
жите, что FB = FE.
75

10.28.	На стороне АВ треугольника АВС отметили точку К. Отрезок
СК пересекает медиану AM в точке F. Известно, что KF = КА.
Докажите, что CF = АВ.
10.29.	В треугольнике АВС провели медиану ВМ. Известно, что
ZMBC = ZBAC = ZBCA. Докажите, что АВ = 2ВМ.
10.30.	Точка D — середина медианы AF треугольника АВС. Прямая
CD пересекает сторону АВ в точке Е. Известно, что BD = BF. До¬
кажите, что АЕ = DE.
10.31.	На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отметили соответствен¬
но точки Е и М так, что отрезок СЕ пересекает отрезок AM в его
середине — точке О. Известно, что АВ = СО и ЕА = ЕО. Докажи¬
те, что отрезок AM — медиана треугольника АВС.
10.32.	В треугольнике АВС медиана AF равна стороне АВ. На луче АВ
отметили точку D так, что АВ = BD. Прямая DF пересекает сто¬
рону АС в точке Е. Докажите, что EF = ЕС.
Третий признак равенства треугольников
□ □ф Теорема 11.1
(третий признак равенства треугольников: по трём сторонам)
Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём
сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство
Рассмотрим треугольники АВС и А1В1С1 (рис. 11.1), у которых
АВ = AXBV ВС = В1С1, СА = СГА1 (эти равенства указывают, какие сто¬
роны треугольников соответствуют друг другу). Докажем, что
аАВС = аА1В1С1.
76

Расположим треугольники АВС и А1В1С1 так, чтобы вершина А
совместилась с вершиной Av вершина В — с вершиной Bv а вершины
С и Cj лежали в разных полуплоскостях относительно прямой АВ
(рис. 11.2). Проведём отрезок ССГ Так как АС = AXCV то треугольник
С}АгС равнобедренный, а значит, Zl = Z2. Аналогично можно дока¬
зать, что Z3 = Z4. Следовательно, ZAlClBl = ZAlCBl. Тогда треуголь¬
ники А1С1В1 и А1СБ1 равны по двум сторонам и углу между ними, т. е.
по первому признаку равенства треугольников.
Казалось бы, доказательство завершено. Однако мы рассмотрели
лишь случай, когда отрезок ССг пересекает отрезок А1В1 во внутрен¬
ней точке. На самом деле отрезок ССХ может проходить через один из
концов отрезка AlBv например через точку (рис. 11.3), или не
иметь общих точек с отрезком AYBX (рис. 11.4). В каждом из этих слу¬
чаев доказательства будут аналогичны приведённому. Проведите их
самостоятельно. ■
Из третьего признака равенства треугольников следует, что тре¬
угольник — жёсткая фигура. Действительно, если четыре рейки скре¬
пить так, как показано на рисунке 11.5, а, то такая конструкция не
будет жёсткой (рис. 11.5, б, в). Если же добавить ещё одну рейку, то
получим два треугольника (рис. 11.5, г), и тогда конструкция станет
жёсткой. Этот факт широко используют на практике (рис. 11.6).

Рис.
Опоры линий электропередачи
Жёсткие конструкции
Шуховская телебашня
□ □ф Теорема 11.2
Если точка равноудалена от концов отрезка, то она принадлежит се¬
рединному перпендикуляру этого отрезка.
Доказательство
Пусть точка X равноудалена от концов от¬
резка АВ, т. е. ХА = ХВ (рис. 11.7). Рассмотрим
треугольники АХМ и ВХМ, где точка М — се¬
редина отрезка АВ. Тогда ААХМ = АВХМ по
трём сторонам, т. е. по третьему признаку ра¬
венства треугольников. Отсюда ZAMX = ZBMX.
Сумма этих углов равна 180°, следовательно,
каждый из них равен 90°. Значит, прямая
ХМ — серединный перпендикуляр отрезка АВ.
Заметим, что мы рассмотрели случай, ког¬
да точка X не принадлежит прямой АВ. Если точка X принадлежит
прямой АВ, то она совпадает с серединой отрезка АВ, а значит, при¬
надлежит его серединному перпендикуляру. ■
-
А л
й Рис. 11.7
л с
1.	Сформулируйте третий признак равенства треугольников.
2.	Где находятся точки, равноудалённые от концов отрезка?
<>
Упражнения
11.1.	На рисунке 11.8 АВ = CD, ВС = AD. Докажите, что ZB = ZD.
11.2.	На рисунке 11.9 АС = AD, ВС = BD. Найдите угол ВАС, если
ZBAD = 25°.
78

11.3.	Докажите, что два равнобедренных треугольника равны, если бо¬
ковая сторона и основание одного треугольника соответственно
равны боковой стороне и основанию другого треугольника.
11.4.	Докажите, что два равносторонних треугольника равны, если
сторона одного треугольника равна стороне другого треугольни¬
ка.
11.5.	На рисунке 11.10 аАВС = ADCB, причём АВ = CD. Докажите, что
AABD = ADCA.
11.6.	На рисунке 11.10 АВ = CD, АС = BD. Докажите, что треуголь¬
ник ВОС равнобедренный.
11.7.	Каждая из точек М и N равноудалена от концов отрезка АВ. До¬
кажите, что прямая MN — серединный перпендикуляр отрез¬
ка АВ.
11.8.	На рисунке 11.11 АВ = КЕ, ВС = КМ, AM = ЕС. Докажите, что
АЛМК = АВСЕ.
11.9.	На рисунке 11.12 АВ = CD, ВС = AD, луч ВМ — биссектриса уг¬
ла АВС, луч DK — биссектриса угла ADC. Докажите, что
ААВМ = A CDK.
11.10.	Равные отрезки АВ и CD пересекаются в точке О так, что
ОА = OD. Докажите, что ААВС = ADCB.
11.11.	Отрезки BD и BlD1 — биссектрисы треугольников АВС и А1В1С1
соответственно, АВ = AlB1, BD = BlD1, AD = AXDV Докажите, что
ААВС = АА1В1С1.
79

11.12.	Коля утверждает, что ему удалось сделать рисунок, на котором
АВ = АС и AM = AN (рис. 11.13). Прав ли Коля?
11.13.	Можно ли утверждать, что два треугольника равны, если каж¬
дой стороне одного треугольника равна некоторая сторона друго¬
го треугольника?
11.14.	Точка М — середина стороны АС треугольника АВС. На сторо¬
нах АВ и ВС соответственно существуют такие точки Е и К> что
АК = СЕ и ME = МК. Докажите, что треугольник АВС равнобе¬
дренный.
11.15.	На рисунке 11.14 точки М и N — середины равных отрезков АН
и ВС. Серединные перпендикуляры отрезков АВ и CD пересека¬
ются в точке Р. Докажите, что серединный перпендикуляр отрез¬
ка MN проходит через точку Р.
11.16.	На рисунке 11.15 серединные перпендикуляры равных отрезков
АВ и CD пересекают отрезок AD в его середине. Докажите, что
АС = BD.
11.17.	Докажите равенство двух треугольников по двум сторонам и ме¬
диане, проведённой к третьей стороне.
Теоремы
Вы видите, что в учебнике появляется всё больше и больше тео¬
рем. И это не удивительно: ведь геометрия в основном состоит из тео¬
рем и их доказательств.
Формулировки всех теорем, которые мы доказали, состоят из
двух частей. Первую часть теоремы (то, что дано) называют условием
80

теоремы, вторую часть теоремы (то, что требуется доказать) — заклю¬
чением теоремы.
Например, в теореме 8.1 (первый признак равенства треугольни¬
ков) условием является то, что две стороны и угол между ними
одного треугольника равны двум сторонам и углу между ни¬
ми другого треугольника, а заключением — равенство тре¬
угольников.
Все известные вам теоремы можно условно разделить на теоре¬
мы-свойства и теоремы-признаки. Например, теорема 1.1 устанавли¬
вает свойство пересекающихся прямых, теорема 9.1 — свойство равно¬
бедренного треугольника.
Теоремы-признаки перечисляют свойства, по которым можно
распознать фигуру, т. е. отнести её к тому или иному виду (классу).
Так, теоремы-признаки равенства треугольников указывают тре¬
бования, по которым два треугольника можно причислить к классу
равных. Например, в теоремах 10.1—10.4 сформулированы свойства,
по которым распознают равнобедренный треугольник.
Теоремы, которые следуют непосредственно из аксиом или тео¬
рем, называют теоремами-следствиями или просто следствиями.
Например, свойство углов, противолежащих равным сторонам
треугольника, является следствием из теоремы 9.1.
Если в теореме 8.2 о свойстве серединного перпендикуляра поме¬
нять местами условие и заключение, то получим теорему 11.2. Две тео¬
ремы, каждую из которых можно получить из другой, поменяв места¬
ми условие и заключение, называют взаимно обратными. Если какую-
то из этих теорем назвать прямой, то вторую теорему будут называть
обратной.
Меняя местами условие и заключение теоремы, надо быть очень
внимательными: не всегда можно получить истинное утверждение.
Например, утверждение, обратное теореме 4.1 о сумме смежных углов,
неверно. Действительно, если сумма каких-то двух углов равна 180°,
то совершенно не обязательно, чтобы эти углы были смежными.
Вы знаете, что справедливость теоремы устанавливают путём ло¬
гических рассуждений, т. е. доказательства.
Теорема 1.1 была доказана методом от противного. Название это¬
го метода фактически отражает его суть. Мы предположили, что за¬
ключение теоремы 1.1 неверно. На основании этого предположения с
помощью логических рассуждений мы получили факт, который про¬
тиворечил основному свойству прямой.
Методом от противного также были доказаны и другие теоремы,
например теоремы 5.1, 10.3.
81

Очень важно, чтобы доказательство теоремы было полным, т. е.
были рассмотрены все возможные случаи. Так, полное доказательство
теоремы 11.1 (третий признак равенства треугольников) потребовало
рассмотрения трёх возможных случаев.
Умение видеть все тонкости и нюансы доказательства — важней¬
шее качество, формирующее математическую культуру. Если бы, на¬
пример, при доказательстве теоремы 8.2 о свойстве серединного пер¬
пендикуляра отрезка мы не рассмотрели отдельно случай, когда точка
X является серединой отрезка АВ> то для этого случая обращение к
треугольникам АХМ и ВХМ было бы невозможным.
При доказательстве теоремы 10.4 (признак равнобедренного тре¬
угольника) мы использовали приём дополнительного построения: ри¬
сунок дополнили элементами, о которых не шла речь в условии теоре¬
мы. Этот метод является ключом к решению многих задач и доказа¬
тельству ряда теорем. Поэтому очень важно научиться видеть
«выгодное» дополнительное построение — то, которое поможет полу¬
чить нужный результат.
А как приобрести такое «геометрическое зрение»? Вопрос непро¬
стой, и на него сложно ответить конкретными рекомендациями. Но
всё же мы советуем, во-первых, не быть равнодушными к геометрии,
а полюбить этот красивый предмет, во-вторых, решать больше задач,
чтобы развить интуицию и приобрести нужный опыт.
1- Из каких двух частей состоит формулировка теоремы?
2.	Как называют теорему, в которой перечислены свойства, позволя¬
ющие отнести фигуру к какому-то виду (классу)?
3.	Как называют теорему, непосредственно следующую из аксиомы
или другой теоремы?
4.	Как называют пару теорем, в которых условие и заключение по¬
меняли местами?
5.	В чём состоит метод доказательства от противного?
6.	Какие из теорем 1.1, 4.2, 5.1, 8.3 доказаны методом от противно¬
го?
7.	В чём состоит приём дополнительного построения?
Упражнения
12.1.	В теоремах 4.1, 8.2, 9.1, 10.3, 11.2 укажите условие и заключе¬
ние теоремы.
12.2.	Из теорем 4.1, 8.2, 9.1, 10.3, 11.2 выберите: 1) теоремы-свойства;
2) теоремы-признаки.
82

12.3.	Сформулируйте утверждение, обратное данному:
1)	если треугольник равносторонний, то его углы равны;
2)	если два угла вертикальные, то их биссектрисы являются до¬
полнительными лучами;
3)	если угол между биссектрисами двух углов прямой, то эти
углы смежные;
4)	если сторона и противолежащий ей угол одного треугольника
равны соответственно стороне и противолежащему ей углу друго¬
го треугольника, то эти треугольники равны.
Для каких из данных утверждений:
а)	прямое и обратное утверждения истинны;
б)	прямое утверждение истинно, а обратное — ложно;
в)	прямое утверждение ложно, а обратное — истинно?
12.4.	Сформулируйте утверждение, обратное данному:
1)	если точка В лежит между точками А и С, то АВ + ВС = АС;
2)	если два треугольника не равны, то их периметры также не
равны;
3)	если градусная мера угла больше 90°, то он тупой.
Для каких из данных утверждений:
а)	прямое и обратное утверждения истинны;
б)	прямое утверждение истинно, а обратное — ложно;
в)	прямое утверждение ложно, а обратное — истинно?
12.5.	Сформулируйте утверждение, отрицающее данное:
1)	отрезок АВ пересекает прямую т;
2)	градусная мера угла АВС больше 40°;
3)	из двух смежных углов хотя бы один не больше 90°;
4)	лучи О А и О В не являются дополнительными;
5)	отрезок имеет только одну середину.
12.6.	Сформулируйте утверждение, отрицающее данное:
1)	угол АВС не является прямым;
2)	треугольник МКЕ равнобедренный;
3)	через точку на прямой можно провести только одну прямую,
перпендикулярную данной;
4)	луч АС делит угол ВАК пополам.
Ф Ф
12.7.	Докажите, используя метод от противного, что если ни одна из
высот треугольника не совпадает с биссектрисой, проведённой из
этой же вершины, то треугольник не является равнобедренным.
12.8.	Докажите, используя метод от противного, что если стороны АВ
и ВС треугольника АВС не равны, то его медиана BD не являет¬
ся его высотой.
83

12.9.	Докажите методом от противного, что если разность двух углов
равна 1°, то они не могут быть вертикальными.
12.10.	Докажите методом от противного, что из двух смежных углов
хотя бы один не меньше 90°.
12.11.	Сформулируйте и докажите признак равенства равнобедренных
треугольников по боковой стороне и медиане, проведённой к бо¬
ковой стороне.
12.12.	Сформулируйте и докажите признак равенства треугольников
по стороне, медиане, проведённой к этой стороне, и углу между
медианой и этой стороной.
84

Равные фигуры
Две фигуры называют равными, если их можно совместить на¬
ложением.
Основное свойство равенства треугольников
Для данного треугольника АВС и данного луча А^М существует
треугольник А1В1С1, равный треугольнику АВС, такой, что
АВ = AyBv ВС = Б1С1, АС = А1С1 и сторона АхВг принадлежит
лучу АХМ, а вершина Сх лежит в заданной полуплоскости отно¬
сительно прямой АгМ.
Теорема о существовании и единственности прямой,
перпендикулярной данной
Через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит
только одна прямая, перпендикулярная данной.
Высота треугольника
Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на пря¬
мую, содержащую противолежащую сторону, называют высо¬
той треугольника.
Медиана треугольника
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой
противолежащей стороны, называют медианой треугольника.
Биссектриса треугольника
Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий верши¬
ну треугольника с точкой противолежащей стороны, называют
биссектрисой треугольника.
Первый признак равенства треугольников:
по двум сторонам и углу между ними
Если две стороны и угол между ними одного треугольника рав¬
ны соответственно двум сторонам и углу между ними другого
треугольника, то такие треугольники равны.
Второй признак равенства треугольников:
по стороне и двум прилежащим к ней углам
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольни¬
ка равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней
углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
85

Третий признак равенства треугольников: по трём сторонам
Если три стороны одного треугольника равны соответственно
трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники
равны.
Серединный перпендикуляр отрезка
Прямую, перпендикулярную отрезку и проходящую через его
середину, называют серединным перпендикуляром отрезка.
Равнобедренный треугольник
Треугольник, у которого две стороны равны, называют равно¬
бедренным.
Равносторонний треугольник
Треугольник, у которого все стороны равны, называют равно¬
сторонним.
Разносторонний треугольник
Если в треугольнике длины всех сторон различны, то такой тре¬
угольник называют разносторонним.
Свойства равнобедренного треугольника
В равнобедренном треугольнике: 1) углы при основании рав¬
ны; 2) биссектриса, высота и медиана, проведённые к его осно¬
ванию, совпадают.
Признаки равнобедренного треугольника
Если медиана треугольника является его высотой, то этот
треугольник равнобедренный.
Если биссектриса треугольника является его высотой, то
этот треугольник равнобедренный.
Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник
равнобедренный.
Если медиана треугольника является его биссектрисой, то
этот треугольник равнобедренный.
Свойства треугольников, следующие из свойств и признаков
равнобедренного треугольника
В треугольнике против равных сторон лежат равные углы.
В треугольнике против равных углов лежат равные стороны.
В равностороннем треугольнике все углы равны.
В равностороннем треугольнике биссектриса, высота и ме¬
диана, проведённые из одной вершины, совпадают.
Если в треугольнике все углы равны, то этот треугольник
равносторонний.
86

глава
Параллельные прямые.
Сумма углов треугольника
□ Как установить параллельность двух прямых? Какими свойствами
обладают параллельные прямые? Чему равна сумма углов любого
треугольника? Какими свойствами обладает прямоугольный тре¬
угольник? Изучив материал этой главы, вы получите ответы на по¬
ставленные вопросы.
Q Параллельные прямые
□□ф Определение
Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
На рисунке 13.1 изображены параллельные прямые а и Ь. Пи¬
шут: а || b (читают: «прямые а и b параллельны» или «прямая а парал¬
лельна прямой Ь»).
Если два отрезка лежат на параллельных прямых, то их называ¬
ют параллельными. На рисунке 13.2 отрезки АВ и CD параллельны.
Пишут: АВ || CD.
Также можно говорить о параллельности двух лучей, луча и от¬
резка, прямой и луча, отрезка и прямой. Например, на рисунке 13.3
изображены параллельные лучи АВ и CD.
□ □S> Теорема 13.1
(признак параллельности прямых)
Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
Доказательство
На рисунке 13.4 а ± с и b ± с. Надо доказать, что а || Ь.
87

Предположим, что прямые а и b пересекаются в некоторой точ¬
ке М (рис. 13.5). Тогда через точку М, не принадлежащую прямой с,
проходят две прямые а и 6, перпендикулярные прямой с. Это противо¬
речит тому, что через точку можно провести только одну прямую, пер¬
пендикулярную данной (теорема 7.1). Значит, наше предположение
неверно, следовательно, а || Ь.
Случай, когда точка М принадлежит прямой с, рассмотрите са¬
мостоятельно. ■
Доказанная теорема разъясняет, почему с помощью линейки и
угольника можно строить параллельные прямые так, как показано на
рисунке 13.6.
□ □ф Следствие
Через данную точку М, не принадлежащую прямой а, можно прове¬
сти прямую Ь, параллельную прямой а.
Доказательство
Пусть точка М не принадлежит прямой а
(рис. 13.7).
Проведём через точку М прямую с, пер¬
пендикулярную прямой а. Теперь через точку М
проведём прямую 6, перпендикулярную пря¬
мой с. В силу признака параллельности прямых
(теорема 13.1) получаем, что а\\Ь.ш
м
С
Ь
J
а
" Рис. 13.
J
7
Можно ли через точку М (рис. 13.7) провести ещё одну прямую,
параллельную прямой а? Ответ на этот вопрос даёт основное свойство
параллельных прямых.
88

ияЩ Основное свойство параллельных прямых
(аксиома параллельности прямых)
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна
прямая, параллельная данной.
□ □ф Теорема 13.2
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
с
М ''
b
ж:
	\
а
Чч
" Рис. 13.8
Доказательство
Пусть b || а и с || а. Докажем, что b || с.
Предположим, что прямые b и с не
параллельны, а пересекаются в некоторой
точке М (рис. 13.8). Получается, что через
точку М проходят две прямые, параллель¬
ные прямой а, что противоречит аксиоме
параллельности прямых. Значит, наше
предположение неверно; следовательно,
b || с. ш
Off Задача. Докажите, что если прямая
пересекает одну из двух параллельных
прямых, то она пересекает и другую.
Решение. Пусть прямые а и b парал¬
лельны, прямая с пересекает прямую b в
точке М (рис. 13.9). Предположим, что
прямая с не пересекает прямую а, тогда с || а. Но в этом случае через
точку М проходят две прямые Ь и с, параллельные прямой а, что про¬
тиворечит аксиоме параллельности прямых. Значит, наше предполо¬
жение неверно; следовательно, прямая с пересекает прямую а. ■ 11.	Какие две прямые называют параллельными?
2.	Каким символом обозначают параллельность прямых?
3.	Как читают запись т || п!
4.	Какие отрезки называют параллельными?
5.	Каково взаимное расположение двух прямых, перпендикулярных
третьей прямой?
6.	Сформулируйте аксиому параллельности прямых.
7.	Каково взаимное расположение двух прямых, параллельных тре¬
тьей прямой?
8.	Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то
как эта прямая расположена относительно второй из них?
89

Практические задания
Ф
13-1- Перерисуйте в тетрадь рисунок 13.10. Проведите через каждую
из точек А и В прямую, параллельную прямой т.
13.2.	Начертите треугольник и проведите через каждую его вершину
прямую, параллельную противолежащей стороне.
13.3.	Перерисуйте в тетрадь рисунок 13.11. Проведите через точку В
прямую т, параллельную прямой АС, а через точку D — пря¬
мую п, параллельную прямой АС. Каково взаимное расположе¬
ние прямых т и п?
Упражнения
13.4.	Можно ли провести прямую, которая была бы параллельна каж¬
дой из пересекающихся прямых а и b?
13.5.	Прямая а параллельна стороне АВ треугольника АВС. Может ли
прямая а быть параллельной стороне АС? Стороне ВС?
13.6.	Прямые а и b пересекаются. Можно ли провести такую прямую с,
которая была бы параллельна прямой а и пересекала прямую Ь?
13.7.	Можно ли утверждать, что два отрезка параллельны, если они не
имеют общих точек?
13.8.	Даны прямая и точка, лежащая вне её. Можно ли утверждать,
что существует только один луч, параллельный данной прямой,
началом которого является данная точка?
13.9.	Сколько можно провести отрезков, параллельных данной пря¬
мой, через точку, не принадлежащую этой прямой?
13.10.	Прямые а и b перпендикулярны прямой с, прямая d пересекает
прямую а. Пересекает ли прямая d прямую Ь?
90


13-11. Докажите, что если любая прямая, пересекающая прямую а, пе¬
ресекает и прямую Ь, то прямые а и b параллельны.
13.12.	Докажите, что если прямые а и b параллельны и а 1 с, то
b 1с.
13.13.	Прямые тип перпендикулярны соответственно сторонам О А и
ОВ угла АОВ, отличного от развёрнутого. Докажите, что пря¬
мые тип пересекаются.
13.14.	На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника
АВС отметили соответственно точки М и N так, что ВМ = BN.
Докажите, что MN || АС.
13.15.	В равнобедренном треугольнике АВС
(АВ = ВС) проведены медианы AN и СМ.
Докажите, что MN || АС.
13.16.	В равнобедренном треугольнике АВС
(АВ = ВС) проведены биссектрисы AN и
СМ. Докажите, что MN || АС.
13.17.	На рисунке 13.12 АВ = CD и ZA = ZD.
Докажите, что AD || ВС.
Щ Признаки параллельности двух прямых
Пусть прямая с пересекает прямые а и Ь. Прямую с называют се¬
кущей прямых а и Ь. Рассмотрим 8 углов (рис. 14.1).
Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
Углы 6 и 2, 5и1,3и7,4и8 называют соответственными.
□ □Ф Теорема 14.1
Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух
прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
Доказательство
На рисунке 14.2 прямая с является секущей прямых а и Ь,
Zl = Z2. Докажем, что а || Ь.
Доказательство достаточно провести для случая, когда углы 1 и 2
не тупые.
Если Zl = Z2 = 90° (рис. 14.3), то параллельность прямых а и Ъ
следует из признака параллельности прямых (теорема 13.1).
Пусть теперь прямая с не перпендикулярна ни прямой а, ни пря¬
мой Ь. Обозначим буквами А и В точки пересечения прямой с с прямы-
91

ми а и Ь соответственно. Отметим точ¬
ку М — середину отрезка АВ (рис. 14.4).
Через точку М проведём перпендикуляр
ME к прямой а. Пусть прямая ME пересе¬
кает прямую b в точке F. Имеем: углы 1 и 2
равны по условию; углы 3 и 4 равны как
вертикальные. Следовательно, треугольни¬
ки АМЕ и BMF равны по стороне и двум
прилежащим к ней углам, т. е. по второму
признаку равенства треугольников. Отсюда
ZAEM - ZMFB = 90°. Мы показали, что
прямые а и b перпендикулярны прямой
EF, значит, они параллельны. ■
Рис. 14.4
опф Теорема 14.2
Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении
двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
Доказательство
На рисунке 14.5 прямая с является
секущей прямых а и b, Zl + Z2 = 180°. До¬
кажем, что а || Ь.
Углы 1 и 3 смежные, следовательно,
Zl + Z3 = 180°. Поскольку Zl + Z2 = 180°,
то Z2 = Z3. А углы 2 и 3 накрест лежащие,
поэтому в силу теоремы 14.1 а || Ь. ■
□ □ф Теорема 14.3
Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух
прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
92

Доказательство
На рисунке 14.6 прямая с является секу¬
щей прямых а и Ьу Zl = Z2. Докажем, что а || Ъ.
Углы 1 и 3 равны как вертикальные. По¬
скольку Zl = Z2 и Zl = Z3, то Z2 = Z3. Но углы
2 и 3 накрест лежащие. Поэтому в силу призна¬
ка параллельности двух прямых (теорема 14.1)
а || Ь. ■
Задача. На рисунке 14.7 АВ = CD,
ZABD = ZCDB. Докажите, что ВС || AD.
Решение. Для треугольников ABD и CDB
имеем: АВ = CD и ZABD = ZCDB по условию,
отрезок BD — общая сторона. Значит, тре¬
угольники ABD и CDB равны по двум сторонам
и углу между ними, т. е. по первому признаку
равенства треугольников.
Тогда ZBDA = ZDBC. Поскольку углы BDA и DBC — накрест ле¬
жащие при прямых ВС и AD и секущей BD и эти углы равны, то
ВС II AD. ш
1.	Какими должны быть накрест лежащие углы, образованные при
пересечении двух прямых секущей, чтобы данные прямые были
параллельными?
2.	Какими должны быть односторонние углы, образованные при пе¬
ресечении двух прямых секущей, чтобы данные прямые были па¬
раллельными?
3.	Какими должны быть соответственные углы, образованные при
пересечении двух прямых секущей, чтобы данные прямые были
параллельными?
Ф Практические задания * 114.1.	Проведите две прямые АВ и CD. Проведите прямую МК, пересе¬
кающую каждую из прямых АВ и CD. Обозначьте точку пересе¬
чения прямых АВ и МК буквой О, а прямых CD и МК — бук¬
вой Е. Заполните пропуски в тексте:
1)	углы АОМ и ... — соответственные;
2)	углы АОЕ и ... — соответственные;
3)	углы АОЕ и ... — накрест лежащие;
4)	углы АОЕ и ... — односторонние.
93

Укажите, какими углами (соответственными, накрест лежащими
или односторонними) являются:
1) ZBOM и ZDEM;	2) ZBOE и ZDEM;	3) Z£0£ и ZOEC.
14.2.	Начертите две прямые и проведите их секущую. Пронумеруйте
углы, образованные при пересечении данных прямых секущей.
Укажите среди этих углов все пары:
1)	соответственных углов;
2)	односторонних углов;
3)	накрест лежащих углов.
Упражнения 114.3.	На рисунке 14.8 укажите все пары накрест лежащих, односто¬
ронних и соответственных углов.
14.4.	Запишите, какие углы на рисунке 14.9 являются:
1)	односторонними при прямых ВС и AD и секущей АВ;
2)	односторонними при прямых СЕ и CD и секущей AD;
3)	накрест лежащими при прямых ВС и AD и секущей СЕ;
4)	соответственными при прямых СЕ и CD и секущей AD;
5)	односторонними при прямых ВС и AD и секущей СЕ.
Грис. 14.10
94

14.6.	Параллельны ли изображённые на рисун¬
ке 14.11 прямые а и Ь, если:
1)	Z3 = Z6;
2)	Z2 = Z6;
3)	Z4 = 125°, Z6 = 55°;
4)	Z2 = 35°, Z5 = 146°;
5)	Z1 = 98°, Z6 = 82°;
6)	Z1 = 143°, Z7 = 37°?
14.7.	На каких из рисунков 14.12, а—г прямые
тип параллельны?
Грис. 14.11
14.8.	На рисунке 14.13 укажите все пары параллельных прямых.
14.9.	Запишите, какие прямые на рисунке 14.14 являются параллель¬
ными, если Z1 = 53°, Z2 = 128°, Z3 = 127°.
14.10. На рисунке 14.15 АВ = ВС, CD = DK. Докажите, что АВ || DK.
95


14.11.	На рисунке 14.16 луч АК — биссектриса угла ВАС, AM = МК.
Докажите, что МК || АС.
14.12.	На рисунке 14.17 ZACB = ZACD, AD = CD. Докажите, что
ВС II AD.
14.13.	В треугольнике АВС АВ = ВС,
ZA = 60°, угол BCD смежный с углом
АСВУ луч СМ — биссектриса угла BCD.
Докажите, что АВ || СМ.
14.14.	Отрезки АВ и CD пересекаются в точ¬
ке О и делятся этой точкой пополам.
Докажите, что АС || BD.
14.15.	На рисунке 14.18 АВ = CD у ВС = AD. Докажите, что АВ || CD.
14.16.	На рисунке 14.19 изображены прямые а, b и /г. Известно, что не¬
которая прямая т пересекает прямую а. Пересекает ли прямая т
прямую b?
14.17.	Каково взаимное расположение прямых CD и EF на рисун¬
ке 14.20?
96

14.18.	Угол АВС равен 60°, а угол BCD — 120°. Можно ли утверждать,
что прямые АВ и CD параллельны?
14.19.	Угол между прямыми а и с равен углу между прямыми b и с.
Можно ли утверждать, что прямые а и b параллельны?
14.20.	Из восьми углов, образованных при пересечении прямых а и b
прямой с, четыре угла равны 40°, а четыре угла равны 140°. Мож¬
но ли утверждать, что прямые а и b параллельны?
ООО
14.21.	Прямая пересекает биссектрису ВМ треугольника АВС в точ¬
ке О, являющейся серединой отрезка ВМ, а сторону ВС — в точ¬
ке К. Докажите, что если OK _L ВМ, то МК || АВ.
14.22.	Отрезки AM и СК — медианы треугольника АВС. На продолже¬
нии отрезка AM за точку М отложен отрезок MF, а на продолже¬
нии отрезка СК за точку К — отрезок KD так, что MF = AM,
KD = СК. Докажите, что точки В, D и F лежат на одной прямой.
14.23.	На рисунке 14.21 ZBAD = ZBCD. Бис¬
сектриса угла В пересекает отрезок AD
в точке Р. На отрезке ВС выбрана такая
точка Q, что AQ _L ВР. Докажите, что
PQ || DC.
14.24.	На рисунке 14.22 ZABC =	30°,
ZBCD = 70° и ZCDE = 40°. Докажите,
что АВ || DE.
14.25.	На рисунке 14.23 ZABC = 120°,
ZBCD = 80° и ZCDE = 160°. Докажите,
что АВ II DE.
Рис 14.21
14.26. Биссектрисы углов А и С треугольника АВС пересекаются в точ¬
ке О. На сторонах АВ и ВС выбраны соответственно точки М п N
так, что МА = МО и NO = NC. Докажите, что точки М, О и N ле¬
жат на одной прямой.
97

КОГДА СДЕЛАНЫ УРОКИ
Пятый постулат Евклида
В § 6 вы узнали, что в качестве аксиом выбирают очевидные ут¬
верждения. Тогда почему бы, например, теоремы 1.1 и 5.1 не вклю¬
чить в список аксиом, ведь они тоже очевидны? Ответ на этот вопрос
понятен: если какое-то утверждение можно доказать с помощью акси¬
ом или уже доказанных теорем, то это утверждение — теорема, а не
аксиома.
С этой точки зрения очень поучительна история, связанная с пя¬
тым постулатом Евклида (напомним, что в рассказе «Из истории гео¬
метрии» мы сформулировали четыре первых постулата).
V постулат И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя дру¬
гими прямыми образует с ними односторонние углы, сумма ко¬
торых меньше двух прямых углов, эти прямые пересекались с той
стороны от секущей, с которой эта сумма меньше двух прямых
углов (рис. 14.24).
Можно показать, что пятый постулат и
сформулированная нами в § 13 аксиома па¬
раллельности прямых равносильны, т. е. из
постулата следует аксиома и наоборот — из
аксиомы следует постулат.
Более двадцати веков многие учёные
пытались доказать пятый постулат, т. е. вы¬
вести его из других аксиом Евклида. Лишь в
начале XIX в. несколько математиков неза¬
висимо друг от друга пришли к выводу: утверждение, что через дан¬
ную точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только
одну прямую, параллельную данной, является аксиомой.
Вам может показаться, что в этом выводе ничего особенного нет:
присоединяем аксиому параллельности к уже существующему списку
аксиом-правил, а дальше доказываем теоремы.
Однако если в футболе добавить хотя бы одно правило, например
разрешить полевым игрокам играть и руками, то мы получим совер¬
шенно другую игру.
Если пятый постулат — это правило, которое мы принимаем, а не
теорема, то его можно заменить другим правилом — утверждением,
противоположным ему.
98

Так и поступил выдающийся русский математик Н. И. Лобачев¬
ский. Он заменил лишь одно правило — аксиому параллельности пря¬
мых — другим: через точку, не лежащую на данной прямой, прохо¬
дят по крайней мере две прямые, не пересекающие данную. Новая ак¬
сиома позволила построить новую геометрию — неевклидову.
С подобной идеей несколько позже выступил венгерский матема¬
тик Янош Бойяи (1802—1860).
Николай Иванович Лобачевский (1792—1856)
Выдающийся русский математик, профессор Казан¬
ского университета
Свойства параллельных прямых
□ □ф Теорема 15.1
(обратная теореме 14.1)
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то углы, обра¬
зующие пару накрест лежащих углов, равны.
Доказательство
На рисунке 15.1 прямые а и Ь парал¬
лельны, прямая с — секущая. Докажем, что
Z1 = Z2.
Предположим, что Z1 Ф Z2. Тогда через
точку К проведём прямую ах так, чтобы
Z3 = Z2 (рис. 15.1). Углы 3 и 2 являются на¬
крест лежащими при прямых aY и b и секу¬
щей с. Тогда по признаку параллельности
двух прямых (теорема 14.1) ах || Ь. Получили,
что через точку К проходят две прямые, па¬
раллельные прямой Ь. Это противоречит аксиоме параллельности пря¬
мых. Таким образом, наше предположение неверно, и, следовательно,
Zl = Z2. ■
99

□	□Ф Теорема 15.2
(обратная теореме 14.3)
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то углы, обра¬
зующие пару соответственных углов, равны.
Доказательство
На рисунке 15.2 прямые а и b парал¬
лельны, прямая с — секущая. Докажем, что
Zl = Z2.
По свойству параллельных прямых (те¬
орема 15.1) углы 3 и 2 равны как накрест ле¬
жащие при параллельных прямых а и b и се¬
кущей с. Но углы 3 и 1 равны как вертикаль¬
ные. Следовательно, Zl = Z2. ■
□	□Ф Теорема 15.3
(обратная теореме 14.2)
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма
углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.
Доказательство
На рисунке 15.3 прямые а и Ь парал¬
лельны, прямая с — секущая. Докажем, что
Zl + Z2 = 180°.
По свойству параллельных прямых (те¬
орема 15.1) углы 3 и 2 равны как накрест ле¬
жащие при параллельных прямых а и b и се¬
кущей с. Но углы 3 и 1 смежные, поэтому
Zl + Z3 = 180°. Следовательно, Zl + Z2 =
= 180°. ■
□	□Ф Следствие
Если прямая перпендикулярна одной из
двух параллельных прямых, то она пер¬
пендикулярна и другой (рис. 15.4).
Докажите это следствие самостоятель¬
но.
Заметим, что с доказательством этого
утверждения, не использующим теорему 15.3,
вы познакомились, решая задачу 13.12.
г Рис. 15.3
а
С
L
Ъ
" Рис. 15.4
Г Рис. 15.2
100

ОТ Задача 1, Докажите, что все точки одной из двух параллельных
прямых равноудалены от другой прямой.
Решение. Пусть прямые а и b парал¬
лельны (рис. 15.5), М и N — две произ¬
вольные точки прямой а. Опустим из них
перпендикуляры МК и NP на прямую Ь.
Докажем, что МК = АР.
Рассмотрим треугольники MKN и
PNK. Отрезок ifA — их общая сторона.
Поскольку МК Lb и АР _1_ 6, то МК || NP,
а углы MKN и PAlf равны как накрест ле¬
жащие при параллельных прямых МК и
АР и секущей KN.
Аналогично углы MNK и PKN равны как накрест лежащие при
параллельных прямых MN и КР и секущей KN. Следовательно, тре¬
угольники MKN и PNK равны по стороне и двум прилежащим углам,
т. е. по второму признаку равенства треугольников. Тогда МК = NP. ш
В § 5 вы познакомились с понятием расстояния от точки до фигу¬
ры. Аналогично вводят понятие расстояния между двумя произволь¬
ными фигурами: ищут отрезок наименьшей длины, соединяющий точ¬
ки данных фигур. Если такой отрезок удаётся найти, то его длину на¬
зывают расстоянием между двумя данными фигурами.
В § 17 будет доказано, что если из од¬
ной точки к прямой проведены перпенди¬
куляр и наклонная, то перпендикуляр
меньше наклонной. Отсюда в свою очередь
следует, что перпендикуляр, опущенный
из любой точки одной из параллельных
прямых на другую, не больше любого от¬
резка, концы которого лежат на данных
параллельных прямых (рис. 15.6). Поэто¬
му целесообразно принять следующее
определение.
□ □Ф Определение
Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют рас¬
стояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.
Например, на рисунке 15.5 длина отрезка МК — это расстояние
между параллельными прямыми а и Ь.
101

Задача 2. На рисунке 15.7 отрезок АК —
биссектриса треугольника АВС, МК || АС. Дока¬
жите, что треугольник АМК равнобедренный.
Решение. Поскольку отрезок АК — биссек¬
триса треугольника АВС, то ZMAK = ZKAC.
Углы К АС и МКА равны как накрест лежа¬
щие при параллельных прямых МК и АС и секу¬
щей АК. Следовательно, ZMAK = ZMKA.
Тогда треугольник АМК равнобедренный. ■
1- Каким свойством обладают накрест лежащие углы, образованные
при пересечении двух параллельных прямых секущей?
2.	Каким свойством обладают соответственные углы, образованные
при пересечении двух параллельных прямых секущей?
3.	Каким свойством обладают односторонние углы, образованные
при пересечении двух параллельных прямых секущей?
4.	Известно, что прямая перпендикулярна одной из двух параллель¬
ных прямых. Обязательно ли она перпендикулярна другой пря¬
мой?
5.	Что называют расстоянием между двумя параллельными пря¬
мыми?
Упражнения
15.1.	На рисунке 15.8 найдите угол 1.
15.2.	На рисунке 15.9 найдите угол 2.
15.3.	Разность односторонних углов, образованных при пересечении
двух параллельных прямых секущей, равна 50°. Найдите эти
углы.
15.4.	Один из односторонних углов, образованных при пересечении
двух параллельных прямых секущей, в 4 раза больше другого.
Найдите эти углы.
102

15.5.	Найдите все углы, образованные
при пересечении двух параллель¬
ных прямых секущей, если:
1)	один из этих углов равен 48°;
2)	отношение градусных мер двух
из этих углов равно 2:7.
15.6.	Найдите все углы, образованные
при пересечении двух параллель¬
ных прямых секущей, если один
из них на 24° меньше другого.
15.7.	На рисунке 15.10 т || п, р || /г, Z1 = 50°. Найдите углы 2, 3 и 4.
15.8.	Прямая, параллельная основанию АС равнобедренного треуголь¬
ника АВС, пересекает его боковые стороны АВ и ВС в точках D
и F соответственно. Докажите, что треугольник DBF равнобе¬
дренный.
15.9.	Прямая, параллельная стороне АС равностороннего треугольни¬
ка АВСу пересекает его стороны АВ и ВС в точках D и F соответ¬
ственно. Докажите, что треугольник DBF равносторонний.
15.10.	На продолжениях сторон АС и ВС равнобедренного треугольни¬
ка АВС (АВ = ВС) за точки А и В отметили соответственно точ¬
ки Р и К так, что РК || АВ. Докажите, что треугольник КРС рав¬
нобедренный.
15.11.	Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, АО = ВО, АС || BD.
Докажите, что СО = DO.
15.12.	Отрезки МК и DE пересекаются в точке F, DK || ME, DK = ME.
Докажите, что AMEF = ЛKDF.
15.13.	Ответьте на вопросы.
1)	Могут ли оба односторонних угла при двух параллельных пря¬
мых и секущей быть тупыми?
2)	Может ли сумма накрест лежащих углов при двух параллель¬
ных прямых и секущей быть равной 180°?
3)	Могут ли быть равными односторонние углы при двух парал¬
лельных прямых и секущей?
15.14.	На рисунке 15.11 АВ || СО, ВС || AD. Докажите, что ВС = AD.
15.15.	На рисунке 15.11 ВС = AD, ВС || AD. Докажите, что АВ || CD.
15.16.	На рисунке 15.12 МК || EF, ME = EF, ZKMF = 70°. Найдите
угол MEF.
15.17.	Через вершину В треугольника АВС (рис. 15.13) провели пря¬
мую МК, параллельную прямой АС, ZMBA = 42°, ZCBK = 56°.
Найдите углы треугольника АВС.
103

15.18.	Из вершины В равнобедренного треугольника АВС провели луч
ВК параллельно основанию АС. Докажите, что этот луч является
биссектрисой угла, смежного с углом АВС.
15.19.	Прямая, проведённая через вершину А треугольника АВС па¬
раллельно его противолежащей стороне, образует со стороной АС
угол, равный углу ВАС. Докажите, что треугольник АВС равно¬
бедренный.
15.20.	На рисунке 15.14 ZMAB = 50°, ZABK = 130°, ZACB = 40°, луч
СЕ — биссектриса угла ACD. Найдите углы треугольника АСЕ.
15.21.	На рисунке 15.15 BE ZAK, CF ±АК, луч СК — биссектриса уг¬
ла FCD, ZABE = 62°. Найдите угол АСК.
15.22.	На рисунке 15.16 ВС || МК, ВК = КЕ, СК = KD. Докажите, что
AD || МК.
15.23.	На рисунке 15.17 АВ = АС, AF = FE, АВ || EF. Докажите, что
АЕ 1 ВС.
104

15.24.	На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отметили соответствен¬
но точки М и D так, что MD || АС и ZMDA = ZMDB. Известно,
что AD = 6 см. Найдите DC.
15.25.	Треугольник АВС — равнобедренный с основанием АС. Через
произвольную точку М его биссектрисы BD проведены прямые,
параллельные его сторонам АВ и ВС и пересекающие отрезок АС
в точках Е и F соответственно. Докажите, что DE = DF.
15.26.	В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) проведены бис¬
сектрисы AM и CN. Докажите, что угол BMN в два раза больше
угла AMN.
15.27.	На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника
АВС отметили соответственно точки N и М так, что AN = СМ.
Известно, что угол BMN в два раза больше угла AMN. Докажи¬
те, что отрезки AM и CN — биссектрисы треугольника АВС.

15.28.	На рисунке 15.18 АВ || DE. Докажите, что ZBCD = ZABC + ZCDE.
15.29.	На рисунке 15.19 АВ || ВВ, ZABC = 120°, ZCDE = 150°. Докажи¬
те, что ВС _L CD.
15.30.	Через вершину В треугольника АВС провели прямую, парал¬
лельную его биссектрисе AM. Эта прямая пересекает прямую АС
в точке К. Докажите, что треугольник ВАК равнобедренный.
15.31.	Через точку О пересечения биссектрис АЕ и CF треугольника
АВС провели прямую, параллельную прямой АС. Эта прямая пе¬
ресекает сторону АВ в точке М, а сторону ВС — в точке К. Дока¬
жите, что МК = AM + СК.
15.32.	Биссектрисы углов ВАС и ВС А треугольника АВС пересекаются
в точке О. Через эту точку проведены прямые, параллельные
прямым АВ и ВС и пересекающие сторону АС в точках М и К со¬
ответственно. Докажите, что периметр треугольника МОК равен
длине стороны АС.
105

15.33.	В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) провели биссек¬
трису AD. Известно, что BD = АС. Докажите, что AD = АС.
15.34.	На сторонах АВ, ВС и АС равнобедренного треугольника АВС
(.АВ = ВС) отметили соответственно точки М, D и К так, что
AM = 2DC и ZAMD = ZKDC. Докажите, что MD = BD.
15.35.	На стороне АС равностороннего треугольника АВС отметили
точку М, а на продолжении стороны ВС за вершину С отметили
точку N так, что AM - CN. Докажите, что ВМ = MN.
15.36.	На стороне АС равностороннего треугольника АВС отметили
точку Му а на продолжении стороны ВС за вершину С отметили
точку N так, что ВМ = MTV. Докажите, что AM = CN.
15.37.	На продолжении стороны АС равностороннего треугольника
АВС за точку С отметили точку О, а на продолжении стороны ВС
за вершину С отметили точку Е так, что AD = СЕ. Докажите, что
BD = DE.
15.38.	На сторонах АВ, ВС и АС равностороннего треугольника АВС
отметили соответственно точки М, N и К так, что BN = 2NC,
С К = 2АК и МК _L iVB. Докажите, что MN = 2 AM.
15.39.	Точка В — середина стороны АС треугольника АВС. На стороне
ВС отметили точку В так, что ZBEA = ZCED. Известно, что
ВВ = 5 см. Найдите отрезок АВ.
15.40.	В треугольнике АВС проведена медиана ВМ. На продолжении
стороны АВ за точку В отметили точку В. Известно, что
АВ = 2ВМ. Докажите, что луч ВС является биссектрисой угла
МВК.
Сумма углов треугольника
Треугольник — ключевая фигура планиметрии. Мир треугольни¬
ков разнообразен. Но всем им присуще свойство, которое раскрывает
следующая теорема.
□ □ф Теорема 16.1
Сумма углов треугольника равна 180°.
Доказательство
Рассмотрим произвольный треугольник АВС. Требуется дока¬
зать, что ZA + ZB + ZC = 180°.
106

Через вершину В проведём прямую а, параллельную прямой АС
(рис. 16.1). Имеем: ZA и Z1 равны как накрест лежащие при парал¬
лельных прямых а и АС и секущей АВ. Аналогично можно доказать,
что ZC = Z3. Но углы 1, 2 и 3 составляют развёрнутый угол с верши¬
ной В. Следовательно, ZA + ZABC + ZC = Zl + Z2 + Z3 = 180°. ■
янф Следствие
Среди углов треугольника не менее двух углов острые.
Докажите это следствие самостоятельно.
Из этого следствия вытекает, что угол при основании равнобе¬
дренного треугольника всегда острый.
□ □(£> Определение
Внешним углом треугольника называют угол, смежный с углом это¬
го треугольника.
На рисунке 16.2 углы 1, 2 и 3 являются внешними углами тре¬
угольника АВС.
□ оф Теорема 16.2
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника,
не смежных с ним.
Доказательство
На рисунке 16.2 углы 1, 2 и 3 — внешние углы треугольника
АВС. Надо доказать, что Zl = Z5 + Z6, Z2 = Z4 + Z6, Z3 = Z4 + Z5.
Докажем, например, первое из этих трёх равенств (остальные ра¬
венства доказывают аналогично).
По свойству смежных углов Zl + Z4 = 180°. По теореме о сумме
углов треугольника Z4 + Z5 + Z6 = 180°. Тогда Zl + Z4 = Z4 + Z5 + Z6,
отсюда Zl = Z5 + Z6. ■
107

□ □ ф Следствие
Внешний угол треугольника больше каждого из углов треугольника,
не смежных с ним.
Докажите это следствие самостоятельно.
Задача 1. В треугольнике АВС известно, что ZA = а. Биссектри¬
са
сы углов В и С пересекаются в точке О. Докажите, что ZBOC = 90° + —.
2
Решение. Для треугольника АВС имеем: ZA + ZB + ZC = 180°.
Тогда ZB + ZC = 180° - а. Поскольку лучи ВО и СО — биссектрисы со¬
ответственно углов АВС и АСВ (рис. 16.3), то ZOBC + ZOCB =
= *(180° -а) = 90°--.
2 2
Для треугольника ВОС имеем: ZOBC + ZOCB + ZBOC = 180°. Тог¬
да ZBOC = 180° - (ZOBC + ZOCB) = 180° -
90° + -. ■
2
Задача 2. Отрезок ВМ — медиана треугольника АВС. Известно,
что ZABM = 40° и АВ = 2ВМ. Найдите угол АВС.
Решение. На продолжении отрезка ВМ за точку М отметим точ¬
ку К так, что ВМ = МК. Соединим точки А и К (рис. 16.4).
Поскольку В К = 2 ВМ, то АВ = В К. Следовательно, треугольник
АВК равнобедренный и ZBAK = ZBKA. Имеем: ZBAK = ZBKA =
= 180° - ZABK = 180° - 40° = 140°. Тогда ZBAK = ZBKA = 70°.
Легко показать (сделайте это самостоятельно), что треугольники
АМК и СМВ равны по первому признаку равенства треугольников.
Тогда ZAKM + ZCBM как соответственные углы равных треугольни¬
ков. Получаем, что ZCBM = 70°. Тогда ZABC = 110°.
Ответ: 110°. ■
1.Чему равна сумма углов треугольника?
2.	Какое наименьшее количество острых углов есть в любом тре¬
угольнике?
108

3.	Какой угол называют внешним углом треугольника?
4.	Как связаны внешний угол треугольника и два угла треугольника,
не смежные с ним?
5.	Сравните внешний угол треугольника с углом треугольника, не
смежным с ним.
Упражнения
16.1.	Найдите угол треугольника, если два других его угла равны 35°
и 96°.
16.2.	Один из углов треугольника в 3 раза меньше второго угла и на 35°
меньше третьего. Найдите углы треугольника.
16.3.	Найдите углы треугольника, если их градусные меры относятся
как 2:3:7.
16.4.	Найдите углы равностороннего треугольника.
16.5.	Найдите углы равнобедренного прямоугольного треугольника.
16.6.	Угол при основании равнобедренного треугольника равен 63°.
Найдите угол при вершине этого треугольника.
16.7.	Найдите углы при основании равнобедренного треугольника, ес¬
ли угол при вершине равен 104°.
16.8.	Найдите углы равнобедренного треугольника, если угол при вер¬
шине в 4 раза больше угла при основании.
16.9.	Найдите углы равнобедренного треугольника, если угол при ос¬
новании на 48° меньше угла при вершине.
16.10.	Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из них
равен: 1) 110°; 2) 50°. Сколько решений имеет задача?
16.11.	Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из них
равен: 1) 42°; 2) 94°. Сколько решений имеет задача?
16.12.	В треугольнике АВС известно, что ZC - 90°, отрезок АК — бис¬
сектриса, ZBAK = 18°. Найдите углы АКС и АВС.
16.13.	В треугольнике АВС известно, что АВ = ВС, отрезок СК — бис¬
сектриса, ZA = 66°. Найдите ZAKC.
16.14.	Биссектрисы АК и СМ треугольника АВС пересекаются в точ¬
ке О, ZBAC = 116°, ZBCA = 34°. Найдите угол АОС.
16.15.	В равнобедренном треугольнике АВС с углом при вершине В,
равным 36°, провели биссектрису AD. Докажите, что треугольни¬
ки ADB и CAD равнобедренные.
16.16.	В треугольнике АВС провели биссектрису BF. Найдите угол С,
если ZA = 39°, ZAFB = 78°.
16.17.	Докажите, что если один из углов треугольника равен сумме
двух других углов, то этот треугольник прямоугольный.
109

16.18.	На рисунке 16.5 укажите внешние углы:
1)	при вершинах Е и F треугольника MEF;
2)	при вершине Е треугольника МКЕ.
16.19.	На рисунке 16.6 укажите треугольники, для которых внешним
углом является: 1) угол АМВ; 2) угол BMD.
16.20.	Один из внешних углов треугольника равен 75°. Найдите:
1)	угол треугольника при этой вершине;
2)	сумму двух углов треугольника, не смежных с ним.
16.21.	Может ли внешний угол треугольника быть меньше смежного с
ним угла треугольника? В случае утвердительного ответа укажи¬
те вид треугольника.
16.22.	Определите вид треугольника, если один из его внешних углов
равен смежному с ним углу треугольника.
16.23.	Один из внешних углов треугольника равен 136°, а один из
углов треугольника — 61°. Найдите неизвестный угол треуголь¬
ника, не смежный с данным внешним.
16.24.	Один из внешних углов треугольника равен 154°. Найдите углы
треугольника, не смежные с ним, если один из этих углов на 28°
больше другого.
16.25.	Один из внешних углов треугольника равен 98°. Найдите углы
треугольника, не смежные с ним, если один из этих углов в 6 раз
меньше другого.
16.26.	Найдите углы равнобедренного треугольника, если внешний
угол при его вершине равен 38°.
16.27.	Докажите, что если два угла одного треугольника равны соот-
ветственно двум углам другого треугольника, то и третьи углы
этих треугольников равны.
16.28.	В треугольнике АВС биссектрисы углов А и С пересекаются в
точке О. Найдите угол АОС, если ZB = 100°.

16.29.	Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его
внешних углов равен: 1) 54°; 2) 112°. Сколько решений имеет за¬
дача?
110

16.30.	Внешний угол равнобедренного треугольника равен 130°. Най¬
дите углы треугольника. Сколько решений имеет задача?
16.31.	Биссектрисы углов при основании АС равнобедренного тре¬
угольника АВС пересекаются в точке О. Докажите, что угол АОС
равен внешнему углу треугольника АВС при вершине А.
16.32.	На рисунке 16.7 ВС || AD, ZA = 25°, ZB = 55°. Найдите угол
CMD.
16.33.	Отрезок ВК — биссектриса равнобедренного треугольника АВС
с основанием ВС, ZAKB = 105°. Найдите углы треугольника
АВС.
16.34.	На стороне АВ треугольника АВС отметили точку D так, что
BD = ВС, ZACD = 15°, ZDCB = 40°. Найдите углы треугольни¬
ка АВС.
16.35.	На сторонах треугольника АВС (рис. 16.8) отметили точки Е и
F так, что Zl = Z2. Докажите, что Z3 = Z4.
= 100°, ZACD = 95°, ZD = 45°. До¬
кажите, что АВ = ВС.
16.37.	Через вершину С треугольника
АВС проведена прямая, парал¬
лельная биссектрисе AM треуголь¬
ника и пересекающая прямую АВ
в точке К. Найдите углы треуголь- рис. 16.9
ника АКСУ если ZBAC = 70°.
16.38.	Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равно¬
бедренного треугольника параллельна его основанию.
16.39.	Докажите, что если биссектриса внешнего угла треугольника
параллельна его стороне, то этот треугольник равнобедренный.
16.40.	Угол при основании АС равнобедренного треугольника АВС
в 2 раза больше угла при вершине, отрезок AM — биссектриса
треугольника. Докажите, что ВМ = АС.
D

16.41.	Треугольник АВС равнобедренный с основанием АС. На сторо¬
не ВС отметили точку М так, что ВМ = AM = АС. Найдите углы
треугольника АВС.
16.42.	Докажите, что в любом треугольнике существует угол: 1) не
меньше 60°; 2) не больше 60°.
16.43.	Определите вид треугольника, если:
1)	один из его углов больше суммы двух других;
2)	любой из его углов меньше суммы двух других.
16.44.	Определите вид треугольника, если сумма любых двух его углов
больше 90°.
16.45.	Существует ли треугольник, две биссектрисы которого перпен¬
дикулярны?
16.46.	Существует ли треугольник, в котором одна биссектриса делит
пополам другую биссектрису?
16.47.	Высота СН и биссектриса АК прямоугольного треугольника
АВС (ZC = 90°) пересекаются в точке М. Докажите, что треуголь¬
ник СМ К равнобедренный.
16.48.	Высота CD и биссектриса ВМ треугольника АВС пересекаются в
точке М. Известно, что СМ = CN. Найдите угол АСВ.
16.49.	На продолжениях стороны АС треугольника АВС за точки А и С
отметили соответственно точки М и N так, что АВ = AM и
СВ = CN. Известно, что ZABC = 80°. Найдите угол MBN.
16.50.	На стороне АС треугольника АВС нашлись такие точки М и N,
что АВ = AM и СВ = CN (точка N принадлежит отрезку AM). Из¬
вестно, что ZABC = 80°. Найдите угол MBN.
16.51.	В треугольнике АВС известно, что АВ = 2АС и ZA = 60°. Найди¬
те угол С.
16.52.	В треугольнике АВС известно, что АВ = 2АС и ZB = 30°. Найди¬
те угол С.

16.53.	Найдите углы треугольника АВС, если биссектриса угла В раз¬
бивает его на два равнобедренных треугольника.
16.54.	В треугольнике АВС известно, что ZA = а, биссектрисы внеш¬
них углов при вершинах В и С пересекаются в точке О. Найдите
угол ВОС.
16.55.	На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольни¬
ка АВС отметили соответственно точки Е и F так, что
АС = AF = EF = BE. Найдите углы треугольника АВС.
16.56.	Петя Заплутайкин предложил такое доказательство теоремы
о сумме углов треугольника: «Пусть S — сумма углов тре¬
угольника АВС. Проведём в треугольнике АВС отрезок BD

(рис. 16.10). Тогда Zl + Z2 + Z3 = S, Z4 + Z5 + Z6 = S Сложим
эти два равенства: 2S = Zl + Z2 + Z3 + Z4 + Z5 + Z6. Имеем:
Z3 + Z4 = 180° как смежные углы. Отсюда 2S = Zl + Z2 + 180° +
+ Z5 + Z6. Но Zl + Z2 + Z5 + Z6 — это сумма углов треугольника
АВС, т. е. эта сумма равна S. Отсюда: 2£ = S + 180°, В = 180°». Со¬
гласны ли вы с Петиным доказательством?
16.57.	Найдите сумму углов, отмеченных на рисунке 16.11.
16.58.	В прямоугольном треугольнике ABC (ZC = 90°) провели высо¬
ту СН. На сторонах АВ и АС отметили соответственно точки М и
N так, что ВМ = ВС и CN = СН. Докажите, что MN ± АС.
16.59.	В прямоугольном треугольнике ABC (ZC = 90°) провели высо¬
ту CD. Докажите, что биссектрисы углов АВС и ACD перпендику¬
лярны.
16.60.	На сторонах АС и АВ прямоугольного треугольника АВС
(ZC = 90°) отметили соответственно точки D и Е так, что BD = AD
и СВ = СЕ. Докажите, что BD _L СЕ.
16.61.	Точки М и N лежат на стороне АВ, точка Р — на стороне ВС,
точка Q — на стороне СА равностороннего треугольника АВС.
Найдите угол между прямыми МР и NQ, если известно, что
МА + AQ = NB + ВР = АВ.
16.62.	В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) ZABC = 70°. На
стороне АС отметили точки В и В, а на сторонах АВ и ВС соответ¬
ственно — точки Р и Q так, что АР + АЕ = CQ + CF = АС. Найди¬
те угол между прямыми PF и EQ.
16.63.	В треугольнике АВС проведена медиана ВМ. Известно, что
ZABM = 80° и ZCBM = 50°. Докажите, что АВ = 2ВМ.
113

16.64.	В равнобедренном треугольнике АВС известно, что ZBAC = 120°.
На продолжении стороны АС за точку А отметили точку D так,
что AD = 2АВ. Докажите, что треугольник BDC равнобедрен¬
ный.
16.65. Угол ВАС треугольника АВС равен 120°. На биссектрисе этого
угла взята точка D так, что AD = АВ + АС. Докажите, что тре¬
угольник ВВС равносторонний.
16.66.	Угол С треугольника АВС равен 60°. На продолжении стороны
ВС за точку С отметили точку D так, что DC + СА = ВС. Докажи¬
те, что треугольник ABD равнобедренный.
16.67.	На рисунке 16.12 ZBAD = ZCDA = 60° и ZCAD = ZCDB. Дока¬
жите, что АВ + CD = AD.
16.68.	В треугольнике АВС проведена высота CD. Известно, что
ZACB = 135° и BD - AD = АС. Найдите угол СВ А.
16.69.	В треугольнике АВС известно, что ZB = 20°, ZC = 40° и длина
биссектрисы AM равна 2 см. Найдите разность ВС - АВ.
16.70.	В треугольнике АВС провели высоту BD. Известно, что
ZACB = 80° и АС - ВС = 2DC. Найдите угол АВС.
16.71.	В треугольниках АВС и А1В1С1 известно, что ZA = ZAV ZC = ZCX
и АС + АВ = АХСХ + AjBr Докажите, что треугольники АВС и
А1В1С1 равны.
16.72.	Докажите равенство треугольников по двум углам и периметру.
16.73.	В треугольниках АВС и АХВХСХ известно, что ZA = ZAV ZC = ZCX
и АС - АВ = АХСХ - АгВх. Докажите, что треугольники АВС и
А1В1С1 равны.
16.74.	На координатной плоскости отмечены точки Н (-1; 2) и М (3; -1).
Найдите угол НОМ, где О — начало координат.
16.75.	Плоскость расчерчена на равносторонние треугольники, как по¬
казано на рисунке 16.13. Найдите величину угла АВС.

16.76.	На листе бумаги нарисовали равносторонний треугольник и
полностью накрыли его двумя другими равносторонними тре¬
угольниками разных размеров. Докажите, что для покрытия хва¬
тило бы одного из этих треугольников.
16.77.	В равнобедренном треугольнике АВС угол В, противолежащий
основанию, равен 20°. На стороне АВ отметили точку D так, что
BD = АС. Найдите угол ACD.
Ц Q Неравенство треугольника
□ □ф Теорема 17.1
(неравенство треугольника)
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сто¬
рон.
Доказательство
Рассмотрим треугольник АВС (рис. 17.1). Надо доказать, что:
1)	АВ <АС + СВ; 2) АС < АВ + ВС; 3) ВС < ВА + АС.
Докажем первое из этих неравенств (два других можно доказать
аналогично).
Пусть доказываемое неравенство неверно. Тогда АВ > АС + СВ
или АВ = АС + СВ.
1) Пусть АВ > АС + СВ. Тогда на стороне АВ можно отметить точ¬
ки Cj и С2 такие, что АС = АС1 и ВС = ВС2 (рис. 17.1). Поскольку мы
предположили, что АВ > АС + СВ, то АВ > АСХ + ВС2. Следовательно,
отрезки АСХ и ВС2 не имеют общих точек.
Углы АСХС и ВС2С являются острыми как углы при основании
равнобедренных треугольников АС{С и ВС2С соответственно. Тогда
углы 1 и 2 являются тупыми как углы, смежные с острыми. Получили
противоречие: в треугольнике СгСС2 два тупых угла.
115

2)	Пусть АВ = АС + СВ. На стороне АВ отметим точку D так, что
АС = AD (рис. 17.2). Тогда BD = ВС. Углы ADC и BDC являются остры¬
ми как углы при основании равнобедренных треугольников ADC и
BDC. Тогда их сумма меньше 180°. Вместе с тем эти углы смежные.
Получили противоречие. ■
янф Следствие
1)	если длина одного из трёх данных отрезков не меньше суммы
длин двух других, то эти отрезки не могут служить сторонами тре¬
угольника (рис. 17.3);
2)	каждая сторона треугольника больше разности двух других его
сторон;
3)	если для трёх точек А, В \л С выполняется равенство АВ = АС + СВ,
то точка С является внутренней точкой отрезка АВ (рис. 17.4);
4)	для любых трёх точек А, В и С выполняются неравенства:
АВ < АС + СВ;
АС < АВ + ВС;
ВС < ВА + АС.
Докажем свойство 3) (свойства 1), 2) и 4) докажите самостоя¬
тельно).
Поскольку речь идёт о трёх точках, то точка С не может совпа¬
дать ни с точкой А, ни с точкой В. Предположим, что точка С не явля¬
ется внутренней точкой отрезка АВ. Тогда точка С или не принадле¬
жит прямой АВ, или принадлежит прямой АВ, но не принадлежит от¬
резку АВ.
Если точка С не принадлежит прямой АВ (рис. 17.5), то в силу
неравенства треугольника можно записать АВ < АС + СВ. Но по усло¬
вию АВ = АС + СВ. Получили противоречие.
Если точка С принадлежит прямой АВ, но не принадлежит отрез¬
ку АВ (рис. 17.6), то она расположена или на луче AM, или на луче
BN. Для каждого из этих случаев легко убедиться (сделайте это само¬
стоятельно), что равенство, указанное в условии, не выполняется.
Заметим, что доказанное свойство является утверждением, об¬
ратным основному свойству длины отрезка, сформулированному в § 2.
116

В § 25 будет показано, что если каждый из трёх данных отрезков
меньше суммы двух других, то эти отрезки могут служить сторонами
треугольника.
Вы уже знаете, что в треугольнике против равных сторон лежат
равные углы, и наоборот: против равных углов лежат равные стороны
(§ 9, 10). Эти свойства дополняет следующая теорема.
□ □ф Теорема 17.2
В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и на¬
оборот, против большего угла лежит большая сторона.
Доказательство
1)	Рассмотрим треугольник АВС, в ко¬
тором АВ > ВС. Надо доказать, что ZACB > ZA
(рис. 17.7).
Поскольку АВ > ВС, то на стороне АВ
найдётся такая точка М, что ВМ = ВС. Полу¬
чили равнобедренный треугольник МВС, в
котором ZBMC = ZBCM.
Так как угол ВМС — внешний угол треугольника АМС, то
ZBMC > ZA. Следующая «цепочка» неравенств доказывает первую
часть теоремы:
ZACB > ZMCB = ZBMC > ZA.
2)	Рассмотрим треугольник АВС, в ко¬
тором ZC > ZA. Надо доказать, что АВ > ВС.
Поскольку ZACB > ZA, то угол АС В
можно разделить на два угла ACM и МСВ
так, что ZACM = ZA (рис. 17.8). Тогда тре¬
угольник АМС равнобедренный с равными
сторонами МА и МС.
Для сторон треугольника ВМС запишем неравенство треугольни¬
ка: МС + МВ > ВС. Имеем: АВ = AM + МВ = МС + МВ > ВС. ш
Заметим, что вторую часть теоремы 17.2 можно доказать методом
от противного: предположить, что ВС > АВ, а далее воспользоваться
уже доказанной первой частью теоремы. Проведите это доказательство
самостоятельно.
В § 5, рассматривая понятие расстояния от точки до фигуры, мы
пользовались целым рядом фактов, не доказывая их. Теперь с помо¬
щью теоремы 17.2 мы можем эти факты доказать.
117

□ □ ф Следствие
Если из одной точки, не лежащей на прямой, к этой прямой прове¬
дены перпендикуляр и наклонная, то перпендикуляр меньше на¬
клонной.
Доказательство
На рисунке 17.9 отрезок АВ — перпендикуляр, отрезок АХ —
наклонная. В треугольнике АВХ угол АВХ прямой, а угол АХ В
острый. Следовательно, ZABX > ZAXB. Тогда в силу теоремы 17.2 по¬
лучаем, что АВ < АХ. ■
Пусть точка О не принадлежит прямой АВ и основание перпен¬
дикуляра ОМ, опущенного из точки О на прямую АВУ принадлежит
отрезку АВ (лучу АВ) (рис. 17.10). Из сформулированного выше след¬
ствия получаем, что отрезок ОМ меньше любого другого отрезка, сое¬
диняющего точку О с точкой прямой АВ (отрезка АВ, луча АВ). Сле¬
довательно, длина отрезка ОМ — это расстояние от точки М до пря¬
мой АВ (отрезка АВУ луча АВ).
Пусть теперь основание перпендикуляра ОМ не принадлежит от¬
резку АВ (лучу АВ) (рис. 17.11). Угол О AM является острым углом
прямоугольного треугольника ОАМ. Следовательно, смежный с ним
угол ОАХ является тупым. Значит, в любом треугольнике ОАХу
где X — произвольная точка отрезка АВ (луча АВ)У угол ОАХ являет¬
ся наибольшим. Тогда из теоремы 17.2 следует, что О А < ОХ. Таким
образом, при описанном взаимном расположении точки О и отрезка
АВ (луча АВ) (см. рис. 17.11) длина отрезка ОА является расстоянием
от точки О до отрезка АВ (луча АВ).
Задача. Из точки М, не принадлежащей прямой а, проведены две
наклонные МА и МВ и перпендикуляр MD (точка D принадлежит от¬
резку АВ). Докажите, что если DA > DBy то МА > МВ.
118

Решение. По условию DA > DB
(рис. 17.12). На отрезке DA отметим точку
К так, что DK = DB. В треугольнике КМВ
отрезок MD является медианой и высотой.
Следовательно, этот треугольник равнобед¬
ренный. Тогда угол MKD является острым,
а смежный с ним угол АКМ — тупым. Из
теоремы 17.2 следует, что в тупоугольном
треугольнике против тупого угла лежит
наибольшая сторона. Значит, МА > МК. Но МК = МВ. Следовательно,
МА > МВ. ш
1.	Сформулируйте теорему о неравенстве треугольника.
2.	Сформулируйте теорему о соотношении между сторонами и угла¬
ми треугольника.
Упражнения
17.1.	Периметр треугольника равен 30 см. Может ли одна из его сторон
быть равной: 1) 20 см; 2) 15 см?
17.2.	Длины двух сторон треугольника равны 7 см и 9 см. Может ли
периметр этого треугольника быть равным: 1) 20 см; 2) 32 см;
3)	18 см?
17.3.	Существует ли треугольник, одна из сторон которого на 2 см
меньше второй и на 6 см меньше третьей, а периметр равен
20 см?
17.4.	Сравните углы треугольника АВС, если:
1)	АВ>АС> ВС;
2)	АВ = ВС, ВС > АС.
17.5.	В треугольнике АВС известно, что ZA = 34°, ZB = 28°. Сравните
стороны АВ, ВС и АС.
17.6.	Сравните стороны треугольника АВС, если:
1)	ZC> ZA> ZB;
2)	ZB > ZC, ZA = ZB.
17.7.	Лежат ли точки P, R и T на одной прямой, если:
1) PR = 1,8 см, РТ = 3,4 см, РТ - 1,6 см;
2) PR = 2,4 см, РТ - 5,6 см, RT = 7,2 см?
В случае утвердительного ответа укажите, какая точка лежит
между двумя другими. Ответ обоснуйте.
17.8.	Может ли точка Е лежать между точками С и D, если СЕ = 6,3 см,
ED = 2,7 см, CD = 8,9 см? Ответ обоснуйте.
119

17.9.	Точки А, В и С расположены так, что АВ = 3,2 см, АС = 4,8 см,
ВС = 8 см. Являются ли лучи АВ и АС дополнительными?
♦ ♦
17.10.	В треугольнике АВС угол В тупой. На продолжении стороны АВ
за точку А отметили произвольную точку D. Докажите, что
CD > АС.
17.11.	В треугольнике АВС известно, что ZC > 90°. На стороне ВС от¬
метили произвольную точку D. Докажите, что AD > АС.
17.12.	Докажите, что отрезок, соединяющий вершину равнобедренно¬
го треугольника с точкой, лежащей на его основании, не больше
боковой стороны треугольника.
17.13.	Докажите, что отрезок, соединяющий вершину треугольника
с точкой, лежащей на противолежащей стороне, не больше хотя
бы одной из двух других сторон.
17.14.	Две стороны равнобедренного треугольника равны 9 см и 20 см.
Найдите третью сторону треугольника.
17.15.	Две стороны равнобедренного треугольника равны 8 см и 16 см.
Найдите длину основания этого треугольника.
17.16.	Основание D высоты AD треугольника АВС является внутрен¬
ней точкой отрезка ВС. Известно, что ZBAD > ZCAD. Сравните
длины сторон АВ и АС.
17.17.	Основание D высоты AD треугольника АВС является внутрен¬
ней точкой отрезка ВС. Известно, что АВ > АС. Сравните величи¬
ны углов BAD и CAD.
17.18.	Докажите, что в треугольнике любая сторона меньше половины
периметра.
17.19.	В треугольнике АВС провели биссектрису BD. Докажите, что
АВ > AD и ВС > CD.
17.20.	На стороне АС треугольника АВС отметили точку D. Известно,
что AD > BD. Докажите, что АС > ВС.
о о о
17.21.	На прямой т (рис. 17.13) найдите такую
точку С, чтобы сумма расстояний от неё до то
чек А и В была наименьшей. Ответ обоснуйте.
17.22.	Одна сторона треугольника равна 2,8 см, а
вторая — 0,6 см. Найдите третью сторону
этого треугольника, если её длина, выражен¬
ная в сантиметрах, равна целому числу.
17.23.	Одна сторона треугольника равна 5,6 см, а вторая — 0,5 см.
Найдите третью сторону этого треугольника, если её длина, вы¬
раженная в сантиметрах, равна целому числу.
120

17.24.	На рисунке 17.14 указаны длины от¬
резков, выраженные в сантиметрах.
Найдите длину неизвестного отрезка,
если х — натуральное число.
17.25.	Какое наименьшее значение может
принимать периметр разностороннего
треугольника, длины сторон которого в
сантиметрах выражаются натуральны¬
ми числами?
17.26.	В треугольнике АВС проведена биссектриса СК. Известно, что
АС > ВС. Докажите, что угол АКС тупой.
17.27.	В треугольнике АВС проведена биссектриса СК. Известно, что
угол ВКС острый. Докажите, что АС > ВС.
17.28.	На стороне ВС равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС) от¬
метили точку М. Отрезок AM пересекает высоту BD в точке К.
Докажите, что ВЫ > КМ.
17.29.	В треугольнике АВС известно, что ZB = 60° и ВС > ВА. Докажи¬
те, что ВС — наибольшая сторона треугольника АВС.
17.30.	В треугольнике АВС известно, что ZA > ZB. Докажите, что
АВ < 2ВС.
17.31.	На сторонах АВ и ВС треугольника АВС выбрали соответствен¬
но точки К и Е так, что ZKEB = 25°. Известно, что ZC = 50°. До¬
кажите, что АС + СЕ > АК.
17.32.	Из вершины А треугольника АВС опустили перпендикуляр АК
на биссектрису внешнего угла при вершине В. Докажите, что пе¬
риметр треугольника АКС больше периметра треугольника АВС.
17.33.	В равнобедренном треугольнике АВС {АВ = ВС) провели биссек¬
трису АК. Докажите, что АК < 2СК.
17.34. Отрезок AM — медиана треугольника АВС. Известно, что
ZCAM > ZBAM. Докажите, что АВ > АС.
17.35.	Докажите, что сумма длин двух сто¬
рон треугольника больше удвоенной
длины медианы, проведённой к третьей
стороне.
17.36.	Отрезок AM — медиана треугольника
АВС. Известно, что АВ > АС. Докажи¬
те, что ZCAM > ZBAM.
17.37.	На рисунке 17.15 ВС = 1 см, AD = 3 см,
ZA = ZB. Докажите, что CD > 2 см.

17.38.	В треугольнике АВС угол А в три
раза больше угла С. Докажите, что
4АВ > ВС.
17.39.	На рисунке 17.16 АС = ВС,
AD > DC, ZADC = 60°. Докажите,
что AD + DC > BD.
17.40.	В равнобедренном треугольнике
АВС (АВ = ВС) ZB = 20°. Докажи¬
те, что АВ < 3АС.
17.41.	На основании АС равнобедренного треугольника АВС отметили
точку D, а на его продолжении за точку С — точку Е. Известно,
что AD = СЕ. Докажите, что BD + BE > 2ВС.
18
Прямоугольный треугольник
На рисунке 18.1 изображён прямоугольный
треугольник АВС, в котором ZC = 90°.
Сторону прямоугольного треугольника, про¬
тиволежащую прямому углу, называют гипотену¬
зой, а стороны, прилежащие к прямому углу, —
катетами (см. рис. 18.1).
Для доказательства равенства двух треуголь¬
ников находят их равные элементы. У любых двух
прямоугольных треугольников такие элементы
есть всегда — это прямые углы. Поэтому для прямоугольных треуголь¬
ников можно сформулировать «персональные» признаки равенства.
□ □Ф Теорема 18.1
(признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету)
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соот¬
ветственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольни¬
ки равны.
Доказательство
Рассмотрим треугольники АВС и
А1Б1С1, у которых ZC = ZCX = 90°,
АВ = AXBV АС = АХСХ (рис. 18.2). Надо
доказать, что АЛБС = А А1В1С1.
Расположим треугольники АВС и
А1Б1С1 так, чтобы вершина А совмести¬
122

лась с вершиной Ах, вершина С — с вершиной
Сх, а точки В и Вх лежали в разных полупло¬
скостях относительно прямой АгСг (рис. 18.3).
Имеем: ZAXCXB + ZAXCXBX = 90° + 90° =
= 180°. Значит, угол ВС1В1 развёрнутый, поэ¬
тому точки В, Сх и jВ1 лежат на одной прямой.
Получили равнобедренный треугольник ВАХВХ
с боковыми сторонами АХВ и АХВХ и высотой
АХСj (см. рис. 18.3). Тогда отрезок АХСХ — ме¬
диана этого треугольника, т. е. СХВ = CXBV
Следовательно, треугольники АХВСХ и АХВХСХ равны по третьему при¬
знаку равенства треугольников. ■
При решении задач удобно пользоваться и другими признаками
равенства прямоугольных треугольников, непосредственно следующи¬
ми из признаков равенства треугольников.
шяЩ Признак равенства прямоугольных треугольников
по двум катетам
Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно
равны катетам другого, то такие треугольники равны.
■	шф Признак равенства прямоугольных треугольников
по катету и прилежащему острому углу
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольно¬
го треугольника соответственно равны катету и прилежащему к не¬
му острому углу другого, то такие треугольники равны.
Очевидно, что если острый угол одного прямоугольного треуголь¬
ника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то
равны и два других острых угла. Воспользовавшись этим утверждени¬
ем, список признаков равенства прямоугольных треугольников можно
дополнить ещё двумя.
■	Признак равенства прямоугольных треугольников
по катету и противолежащему острому углу
Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоуголь¬
ного треугольника соответственно равны катету и противолежаще¬
му ему острому углу другого, то такие треугольники равны.
123

ввф Признак равенства прямоугольных треугольников
по гипотенузе и острому углу
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольни
ка соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то та¬
кие треугольники равны.
□ □ф Теорема 18.2
Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон.
Доказательство
Очевидно, что вершина угла обладает доказываемым свойством.
Каждая точка X биссектрисы развёрнутого угла равноудалена от
его сторон. Действительно, расстояния от точки X до сторон В А и ВС
развёрнутого угла АВС равны расстоянию от точки X до прямой АВ
(рис. 18.4).
Рассмотрим угол АВС, отличный от развёрнутого, и произволь¬
ную точку X, которая не совпадает с вершиной этого угла и принад¬
лежит его биссектрисе. Опустим перпендикуляры ХМ и XN соот¬
ветственно на стороны ВА и ВС (рис. 18.5). Надо доказать, что
ХМ = XN.
В прямоугольных треугольниках ВХМ и BXN гипотенуза ВХ —
общая, ZMBX = ZNBX, так как луч ВХ — биссектриса угла АВС. Сле¬
довательно, треугольники ВХМ и BXN равны по гипотенузе и острому
углу. Отсюда ХМ = XN. ■
Задача. Докажите равенство прямоугольных треугольников по
острому углу и биссектрисе, проведённой из вершины этого угла.
Решение. В треугольниках АВС и А1В1С1 (рис. 18.6) ZC- ZCX - 90°,
ZBAC - ZB1A1Ciy отрезки AD и A1D1 — биссектрисы, AD = AXDV
124

Имеем: ZCAD = - ZBАС = ■iz^1A1C1 = ZC^A^. Поскольку AD =
2 2
= AXDV то прямоугольные треугольники ACD и AjCjDj равны по гипо¬
тенузе и острому углу. Отсюда АС = AjCj, и так как ZBAC = ZD1A1C1,
то прямоугольные треугольники АБС и А1В1С1 равны по катету и при¬
лежащему острому углу. ■
|р 1. Какой треугольник называют прямоугольным?
2.	Какую сторону прямоугольного треугольника называют гипотену¬
зой?
3.	Какую сторону прямоугольного треугольника называют катетом?
4.	Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников
по гипотенузе и катету.
5.	Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников
по двум катетам.
6.	Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников
по катету и прилежащему острому углу.
7.	Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников
по катету и противолежащему острому углу.
8.	Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников
по гипотенузе и острому углу.
■1 ■
Ф Практические задания ш
18.1.	С помощью транспортира и линейки постройте прямоугольный
треугольник:
1)	катеты которого равны 3 см и 4 см;
2)	один из катетов которого равен 2,5 см, а прилежащий к нему
угол — 40°;
3)	гипотенуза которого равна 6 см, а один из острых углов ра¬
вен 70°.
Обозначьте построенные треугольники, укажите в каждом из них
катеты и гипотенузу.
18.2.	С помощью транспортира и линейки постройте равнобедренный
прямоугольный треугольник:
1)	с катетом, равным 5 см;
2)	с гипотенузой, равной 4 см.
Упражнения
18.3.	На рисунке 18.7 изображён треугольник МКЕ с прямым углом
при вершине К. Укажите:
125

1)	катеты и гипотенузу треугольника;
2)	катет, прилежащий к углу Е;
3)	катет, противолежащий углу М.
18.4.	На рисунке 18.8 отрезок AD — высота треугольника АВС. Най¬
дите на этом рисунке прямоугольные треугольники, укажите в
каждом из них катеты и гипотенузу.
18.5.	Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 43°.
Найдите другой острый угол.
18.6.	В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) проведена высота
АН. Найдите угол САН, если ZB = 76°.
18.7.	Угол между основанием равнобедренного треугольника и высо¬
той, проведённой к боковой стороне, равен 19°. Найдите углы
данного треугольника.
18.8.	На рисунке 18.9 АВ _1_ ВС, CD _1_ ВС, АС = BD. Докажите, что
АВ = CD.
18.9.	На рисунке 18.10 МО = FO, ZMEO = ZFKO = 90°. Докажите, что
А МЕО = A FKO.
18.10.	Из точек А и В, лежащих в одной полуплоскости относительно
прямой а, опущены перпендикуляры AM и ВК на эту прямую,
AM = ВК. Докажите, что АК = ВМ.
18.11.	На рисунке 18.11 АВ = CD, АВ || CD, ВМ 1 АС, DK 1 АС. Дока¬
жите, что ВМ = DK.
126

18.12.	На рисунке 18.12 АВ = ВСУ CD1AB,
АЕ _1_ ВС. Докажите, что BE = BD.
18.13.	На сторонах угла с вершиной в точ¬
ке В отметили точки А и С так,
что АВ = ВС. Через точки А и С про¬
вели прямые, перпендикулярные
сторонам ВА и ВС соответственно
и пересекаются в точке О. Докажи¬
те, что луч ВО — биссектриса угла
АВС.

18.14.	Докажите, что высоты равнобедренного треугольника, прове-
дённые к его боковым сторонам, равны.
18.15.	Докажите, что если две высоты треугольника равны, то этот
треугольник равнобедренный.
18.16.	Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и
биссектрисе, проведённой из вершины прямого угла.
18.17.	Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и
высоте, проведённой из вершины прямого угла.
18.18.	Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и
биссектрисе, проведённой из вершины прилежащего к этому ка¬
тету острого угла.
18.19.	Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и
медиане, проведённой к другому катету.
18.20.	Докажите, что в равных треугольниках высоты, опущенные на
соответственные стороны, равны.
18.21.	Докажите равенство остроугольных треугольников по стороне и
двум высотам, проведённым из концов этой стороны.
18.22.	Докажите равенство треугольников по стороне и проведённым к
ней медиане и высоте.
18.23.	Прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС соот¬
ветственно в точках М и К, являющихся серединами этих сто¬
рон. Докажите, что вершины данного треугольника равноудале¬
ны от прямой МК.
18.24.	Прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точ¬
ках М и К соответственно. Вершины данного треугольника рав¬
ноудалены от прямой МК. Докажите, что точки М и К являются
серединами сторон АВ и ВС соответственно.
ООО
18.25.	Высоты AM и С К треугольника АВС пересекаются в точке Н,
НК = НМ. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.

18.26.	Высоты ME и NF треугольника MKN пересекаются в точке О,
ОМ = ON, MF = КЕ. Докажите, что треугольник MKN равносто¬
ронний.
18.27.	Высоты АК и BD остроугольного треугольника АВС пересека¬
ются в точке Н. Известно, что АН = ВС. Найдите угол ВАС.
18.28.	Высоты АК и BD остроугольного треугольника АВС пересека¬
ются в точке Н. Известно, что ZBAC = 45°. Докажите, что
АН = ВС.
18.29.	Отрезки AM и BN — биссектрисы острых углов прямоугольного
треугольника АВС. Из точек М и N на гипотенузу АВ опустили
перпендикуляры МР и NQ. Найдите угол QCP.
18.30.	В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) на стороне ВС
отмечена точка М так, что отрезок МС равен высоте треугольни¬
ка, проведённой к боковой стороне. На стороне АВ отмечена точ¬
ка К так, что КМ _L ВС. Найдите угол АСК.
18.31.	Можно ли утверждать, что если две стороны и высота, проведён¬
ная к третьей стороне, одного треугольника соответственно рав¬
ны двум сторонам и высоте, проведённой к третьей стороне дру¬
гого треугольника, то эти треугольники равны?
18.32.	Докажите равенство треугольников по двум углам и высоте,
проведённой из вершины третьего угла.
18.33.	На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС отметили
точки D и Е так, что ВС = BD и АС = АЕ. Из точек D и Е опусти¬
ли перпендикуляры DM и EF соответственно на катеты АС и ВС.
Докажите, что DE = EF + DM.
18.34.	На катетах АС и ВС прямоугольного треугольника АВС по¬
строили равнобедренные прямоугольные треугольники АСЕ
и BCF такие, что ZEAC = ZFBC = 90°. Из точек Е и F на прямую
АВ опустили перпендикуляры ЕМ и FN. Докажите, что
АВ = ЕМ + FN.
18.35.	Равнобедренные прямоугольные треугольники АВС и MNK
(ZC = ZN = 90°) расположены так, что вершины М, N и К принад¬
лежат соответственно сторонам АВ, ВС и СА. Докажите, что
АК = 2CN.
18.36.	Докажите равенство прямоугольных треугольников по острому
углу и сумме гипотенузы и катета, прилежащего к этому углу.
18.37.	Докажите равенство прямоугольных треугольников по острому
углу и сумме катетов.
128

19
Свойства прямоугольного треугольника
@57 Задача 1. Докажите, что катет, лежащий против угла, величина
которого равна 30°, равен половине гипотенузы.
Решение. Рассмотрим треугольник АБС, в котором ZACB = 90°,
ZBAC = 30°. Надо доказать, что ВС = - АВ.
2
На луче ВС отложим отрезок CD, равный
отрезку ВС (рис. 19.1). Проведём отрезок AD.
Тогда в треугольниках АВС и ADC имеем:
ZACB = ZACD = 90°, стороны ВС и CD равны по
построению, отрезок АС — общая сторона этих
треугольников. Следовательно, эти треугольни¬
ки равны по двум катетам. Тогда ZDAC = 30°,
отсюда ZBAD =	2 ZDAC =	60°. Имеем:
ZABD - 90° - 30° = 60°. Тогда ZADB = 60° и треугольник ABD — рав¬
носторонний. Значит, ВС = —BD = —АВ. ■
2 2
@57 Задача 2. Докажите, что если катет равен половине гипотенузы,
то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.
Решение. Рассмотрим треугольник АВС, в котором ZACB = 90°,
ВС = ^ АБ. Надо доказать, что ZBAC = 30°.
2
На луче ВС отложим отрезок CD, равный отрезку БС (рис. 19.1).
Тогда АВ = ББ. Кроме того, отрезок АС является медианой и высотой
треугольника BAD, следовательно, по признаку равнобедренного тре¬
угольника АБ = AD. Получаем: АВ = BD = AD, поэтому треугольник
BAD равносторонний, следовательно, ZBAD = 60°.
Поскольку отрезок АС — биссектриса треугольника БАБ, то
ZBAC = -ZBAD = 30°. ■
2
@57 Задача 3. Докажите, что медиана прямо¬
угольного треугольника, проведённая к гипо¬
тенузе, равна её половине.
Решение. На рисунке 19.2 изображён
прямоугольный треугольник АБС (ZC = 90°),
в котором проведена медиана СМ. Докажем,
что СМ = - АБ.
2
129

На продолжении отрезка СМ за точку
М отметим точку D так, что СМ = MD. Про¬
ведём отрезок AD (рис. 19.3). Имеем:
AM = МВ по условию, СМ = MD по постро¬
ению, углы AMD и СМВ равны как верти¬
кальные. Следовательно, треугольники
AMD и СМВ равны по первому признаку
равенства треугольников. Отсюда AD = СВ
и ZADM = ZBCM.
Имеем: ZACM + ZBCM = 90°. Но
ZADM = ZBCM. Тогда ZACM + ZADM = 90°.
Отсюда получаем, что ZDAC = 90°. Следовательно, треугольники DAC
и ВСА равны по двум катетам (AD = СВ и катет АС — общий). Отсюда
CD = АВ. Следовательно, СМ = \-CD = - АВ.
2 2
% Задача 4, Медиана СМ треугольника
АВС равна половине стороны АВ. Докажи¬
те, что треугольник АВС прямоугольный.
Решение. На рисунке 19.4 изображён
треугольник АВС, в котором медиана СМ
равна половине стороны АВ. Докажем, что
ZC = 90°.
По условию AM = СМ. Тогда в тре¬
угольнике АМС углы А и ACM равны.
По условию ВМ = СМ, тогда в треугольнике ВМС углы В и ВСМ
равны.
В треугольнике АСВ имеем: ZA + ZB + ZACB = 180°. Учитывая,
что ZA = ZACM и ZB = ZBCM, получаем: ZACM + ZBCM + ZACB =
= 180°. Так как ZACM + ZBCM = ZACB, то 2ZACB = 180°. Тогда
ZACB = 90°.
Следовательно, треугольник АВС прямоугольный. ■
1-Каким свойством обладает катет, лежащий против угла, равного
30°?
2.	Какова градусная мера угла, лежащего против катета, равного по¬
ловине гипотенузы?
3.	Каким свойством обладает медиана прямоугольного треугольни¬
ка, проведённая к гипотенузе?
4.	В каком треугольнике медиана равна половине стороны, к кото¬
рой она проведена?
130

Упражнения
19.1.	Докажите, что в прямоугольном треугольнике катет меньше ги-
®5? потенузы.
19.2.	Стороны прямоугольного треугольника равны 24 см, 10 см и
26 см. Чему равен наибольший катет данного треугольника?
19.3.	В прямоугольном треугольнике DEF гипотенуза DE равна 18 см,
ZD = 30°. Найдите катет ЕЕ.
19.4.	В прямоугольном треугольнике МКС известно, что ZM = 90°,
ZC = 60°, СМ = 7 см. Найдите гипотенузу СК.
19.5.	В равностороннем треугольнике АВС точка D — середина сторо¬
ны АВ. Из этой точки опущен перпендикуляр DE на сторону АС.
Найдите отрезки, на которые точка Е разбивает отрезок АС, если
сторона данного треугольника равна 16 см.
19.6.	Один из углов прямоугольного треугольника равен 30°, а раз¬
ность гипотенузы и меньшего катета — 5 см. Найдите эти сторо¬
ны треугольника.
19.7.	В треугольнике АВС известно, что ZA = 30°, ZB = 45°, отрезок
СК — высота, АС = 10 см. Найдите отрезок ВК.
19.8.	В треугольнике АВС известно, что ZC = 90°, ZA = 30°, отрезок
CD — высота, BD = 7 см. Найдите гипотенузу АВ.
19.9.	В треугольнике АВС известно, что ZC = 90°, отрезок СК — высо¬
та, СК = 7 см, АС - 14 см. Найдите угол В.
19.10.	В остроугольном треугольнике АВС проведены медиана ВМ и
высота СН. Найдите сторону АС, если МН = 10 см.

19.11.	На рисунке 19.5 отрезок АВ — перпенди¬
куляр, отрезок АС — наклонная, АС = 2 см.
Найдите угол АСВ и длину перпендикуля¬
ра АВ, если эта длина, выраженная в сан¬
тиметрах, равна целому числу.
19.12.	Основание равнобедренного треугольника
равно 18 см, а один из углов — 120°. Най¬
дите высоту треугольника, проведённую
из вершины угла при его основании.
19.13.	В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС провели
высоту ВМ длиной 7,5 см, ZMBC = 15°. Найдите боковую сторо¬
ну треугольника.
19.14.	Существует ли равнобедренный треугольник, у которого каждая
высота вдвое меньше одной из его сторон?
131

19.15.	Существует ли прямоугольный треугольник, который можно
разрезать на три равных треугольника?
19.16.	Один из углов треугольника на 120° больше другого. Докажите,
что биссектриса треугольника, проведённая из вершины третьего
угла, в два раза больше высоты, проведённой из той же вершины.
19.17.	Биссектрисы AM и ВК равностороннего треугольника АВС пе¬
ресекаются в точке О. Докажите, что АО : ОМ = 2:1.

19.18.	В треугольнике АВС известно, что ZC = 90°, ZB = 30°. Середин¬
ный перпендикуляр отрезка АВ пересекает его в точке М, а отре¬
зок ВС — в точке К. Докажите, что МК = ^£С.
19.19.	Серединный перпендикуляр гипотенузы АВ прямоугольного
треугольника АВС пересекает катет АС в точке М. Известно, что
AM = 2МС. Найдите острые углы треугольника АВС.
19.20.	В треугольнике МКЕ известно, что ZK = 90°, ZE - 30°,
КЕ = 12 см. Найдите биссектрису МС треугольника.
19.21.	В треугольнике АВС известно, что ZC = 90°, ZBAC = 60°, отре¬
зок AD — биссектриса треугольника АВС, отрезок CD на 3 см
меньше отрезка BD. Найдите биссектрису AD.
19.22.	Докажите, что любой треугольник можно разрезать на несколь¬
ко равнобедренных треугольников.
19.23.	В остроугольном треугольнике АВС проведены высота AAV бис¬
сектриса ВВу и медиана ССГ Треугольник А1В1С1 равносторон¬
ний. Докажите, что треугольник АВС также равносторонний.
19.24.	На стороне ВС треугольника АВС отметили точку К так, что
ZBAK = 20°. На отрезке АК отметили точку М так, что
ZABM = 90°. Оказалось, что AM = 2ВК. Найдите угол АВС.
19.25.	В треугольнике АВС известно, что АВ = 2 см, ZA - 60°, ZB - 70°.
На стороне АС отметили точку D так, что AD = 1 см. Найдите
углы треугольника В DC.
19.26.	В равнобедренном треугольнике с основанием АС проведена бис¬
сектриса угла С, которая пересекает боковую сторону АВ в точке
D. Точка Е лежит на основании АС так, что DE ± DC. Найдите от¬
резок AD, если СЕ = 2 см.
19.27.	В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведе¬
на биссектриса CD угла С. На прямой АС отмечена точка Е так,
что ZEDC = 90°. Найдите отрезок ЕС, если AD = 1 см.
19.28.	Высоты АЕ и BF остроугольного треугольника АВС пересекают¬
ся в точке Н. Точки М и N — середины отрезков АВ и СН соот¬
ветственно. Докажите, что MN _L FE.
132

19.29.	В треугольниках АВС и ABD известно, что ZACB = ZADB = 90°
и ZABC = ZBAD = 30°. Найдите отрезок CD, если АВ = 6 см.
19.30.	В прямоугольном треугольнике один из углов равен 15°. Дока¬
жите, что высота, проведённая к гипотенузе, в четыре раза мень¬
ше гипотенузы.
19.31.	В прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипоте¬
нузе, в четыре раза меньше гипотенузы. Докажите, что один из
острых углов данного прямоугольного треугольника равен 15°.
19.32. В треугольнике АВС известно, что ZA = 15° и ZB = 30°. На сто¬
роне АВ отметили такую точку Е, что ZACE = 90°. Найдите отре¬
зок АЕ, если ВС = 2 см.
19.33.	На рисунке 19.6 ZABC = ZADC = 90° и ZBCD = 30°. Известно,
что BD = 5 см. Найдите отрезок АС.
19.34.	На рисунке 19.7 ZA + ZD = 90°, AD = 10 см, ВС = 4 см. Точки М
и iV — середины отрезков ВС и AD соответственно. Докажите,
что MN > 3 см.
19.35.	В треугольнике АВС сторона АС наибольшая. На продолжении
стороны АС за точку С отметили точку D так, что CD = СВ. Дока¬
жите, что угол ABD не является острым.
19.36.	На рисунке 19.8 ZA = 90°. Докажите, что периметр треугольни¬
ка BCD больше, чем 2АС.
133

1
1тоги и
■
главы
■э
■
3
Параллельные прямые
Две прямые называют параллельными, если они не пересека¬
ются.
Основное свойство параллельных прямых (аксиома
параллельности прямых)
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только
одна прямая, параллельная данной.
Признаки параллельности двух прямых
•	Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, парал¬
лельны.
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они па¬
раллельны.
Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересече¬
нии двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
Если сумма односторонних углов, образующихся при пере¬
сечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые парал¬
лельны.
Если соответственные углы, образующиеся при пересечении
двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
Свойства параллельных прямых
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то:
•	углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны;
углы, образующие пару соответственных углов, равны;
сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна
180°.
Расстояние между параллельными прямыми
Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют
расстояние от любой точки одной из прямых до другой пря¬
мой.
Сумма углов треугольника
Сумма углов треугольника равна 180°.
Внешний угол треугольника
Внешним углом треугольника называют угол, смежный с углом
этого треугольника.
134

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треуголь¬
ника, не смежных с ним.
Внешний угол треугольника больше каждого из углов треуголь¬
ника, не смежных с ним.
Неравенство треугольника
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его
сторон.
Следствия из неравенства треугольника
1)	Если длина одного из трёх данных отрезков не меньше сум¬
мы длин двух других, то эти отрезки не могут служить сторона¬
ми треугольника;
2)	каждая сторона треугольника больше разности двух других
его сторон;
3)	если для трёх точек А, В и С выполняется равенство АВ =
= АС + СВ, то точка С является внутренней точкой отрезка АВ;
4)	для любых трёх точек А, В и С выполняются неравенства:
АВ < АС + СВ;
АС < АВ + ВС;
ВС < ВА + АС.
Сравнение сторон и углов треугольника
В треугольнике против большей стороны лежит больший угол,
и наоборот, против большего угла лежит большая сторона.
Гипотенуза и катет
Сторону прямоугольного треугольника, противолежащую пря¬
мому углу, называют гипотенузой, а стороны, прилежащие к
прямому углу, — катетами.
Признаки равенства прямоугольных треугольников
По гипотенузе и катету, если гипотенуза и катет одного пря¬
моугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и
катету другого, то такие треугольники равны.
По двум катетам: если катеты одного прямоугольного тре¬
угольника соответственно равны катетам другого, то такие тре¬
угольники равны.
По катету и прилежащему острому углу если катет и приле¬
жащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника
соответственно равны катету и прилежащему к нему острому
углу другого, то такие треугольники равны.
135

По катету и противолежащему острому углу, если катет и
противолежащий ему острый угол одного прямоугольного тре¬
угольника соответственно равны катету и противолежащему
ему острому углу другого, то такие треугольники равны.
По гипотенузе и острому углу если гипотенуза и острый
угол одного прямоугольного треугольника соответственно рав¬
ны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники
равны.
Свойства прямоугольного треугольника
• Гипотенуза больше катета.
Катет, лежащий против угла, величина которого равна 30°,
равен половине гипотенузы.
Если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий
против этого катета, равен 30е.
Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к ги¬
потенузе, равна её половине.
136

глава
Окружность и круг.
Геометрические построения
□ В этой главе вы познакомитесь со свойствами окружности. Узнаете,
как, отказавшись от привычных инструментов — угольника и транс¬
портира, используя лишь циркуль и линейку без делений, выполнить
многие построения.
Геометрическое место точек. Окружность и круг
Любое множество точек — это гео¬
метрическая фигура. Изобразить про¬
извольную фигуру легко: всё, что на¬
рисуете, — это геометрическая фигура
(рис. 20.1). Однако изучать фигуры,
состоящие из хаотически расположен¬
ных точек, вряд ли целесообразно. По-
Рис 20.1
этому есть смысл выделить тот класс
фигур, все точки которых обладают каким-то характерным свойством,
Каждую из таких фигур называют геометрическим местом точек.
□ □ф Определение
Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество всех то¬
чек, обладающих определённым свойством.
Образно ГМТ можно представить так: задают некоторое свойство,
а потом на белой плоскости все точки, обладающие этим свойством,
красят в зелёный цвет. Полученная при этом «зелёная фигура» и будет
ГМТ.
Например, отметим две точки А и
В. Для всех точек зададим свойство:
одновременно принадлежать лучам АВ
и В А. Ясно, что указанным свойством
обладают все точки отрезка АВ и толь¬
ко они (рис. 20.2). Поэтому отрезок АВ является ГМТ, обладающих
указанным свойством.
Рассмотрим перпендикулярные прямые а и Ь. Для всех точек за¬
дадим свойство: принадлежать прямой Ъ и находиться на расстоянии
1 см от прямой а. Очевидно, что точки А и В (рис. 20.3) удовлетворя-
А
В
г Рис. 20.2
137

ют этим условиям. Также понятно, что никакая
другая точка, отличная от А и Б, этим свойством
не обладает. Следовательно, искомое ГМТ — это
фигура, состоящая из двух точек А и В.
Чтобы какое-то множество точек можно бы¬
ло называть геометрическим местом точек, обла¬
дающих некоторым свойством, надо доказать две
взаимно обратные теоремы:
1)	прямая теорема: каждая точка данного
множества обладает заданным свойством;
2)	обратная теорема: если точка обладает заданным свойством,
то она принадлежит данному множеству.
□	□ф Теорема 20.1
Серединный перпендикуляр отрезка является геометрическим ме¬
стом точек, равноудалённых от концов этого отрезка.
□	□Ф Прямая теорема
Каждая точка серединного перпендикуляра отрезка равноудалена
от его концов.
Доказательство
По теореме 8.2 каждая точка серединного перпендикуляра обла¬
дает заданным свойством.
□	□ ф Обратная теорема
Если точка равноудалена от концов отрезка, то она принадлежит се¬
рединному перпендикуляру этого отрезка.
Доказательство
По теореме 11.2, если точка обладает заданным свойством, то она
принадлежит серединному перпендикуляру. ■
□	□ф Теорема 20.2
Биссектриса угла является геометрическим местом точек, принадле¬
жащих углу и равноудалённых от его сторон.
□	□ф Прямая теорема
Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон.
Эта теорема была доказана в § 18 (теорема 18.2).
138

□ □q> Обратная теорема
Если точка, принадлежащая углу, равноудалена от его сторон, то она
лежит на биссектрисе этого угла.
Доказательство
Очевидно, что вершина угла обладает доказываемым свойством.
Рассмотрим произвольную точку X, принадлежащую углу АВС,
которая не совпадает с его вершиной и равноудалена от его сторон.
Опустим перпендикуляры ХМ и XN соответственно на прямые ВА
и ВС.
Если одна из точек М или N принадлежит продолжению стороны
угла, например точка N (рис. 20.4), то расстояние от точки X до сторо¬
ны ВА угла АВС равно длине отрезка ХМ, а расстояние от точки X до
стороны ВС — длине отрезка ХВ. Но в прямоугольном треугольнике
ХМВ выполняется неравенство ХВ > ХМ, что противоречит условию
равноудалённое™ точки X от сторон угла. Следовательно, если точка,
принадлежащая углу, равноудалена от его сторон, то основания пер¬
пендикуляров, опущенных из этой точки на прямые, содержащие
стороны угла, принадлежат его сторонам (рис. 20.5).
Если данный угол АВС является развёрнутым, то точка X этого
угла, равноудалённая от его сторон, принадлежит лучу, проходящему
через вершину угла и перпендикулярному его сторонам, т. е. принад¬
лежит биссектрисе развёрнутого угла (рис. 20.6).
Рассмотрим произвольную точку X, принадлежащую неразвёр¬
нутому углу АВС, не совпадающую с его вершиной и равноудалённую
от его сторон (см. рис. 20.5).
В прямоугольных треугольниках ВХМ и BXN гипотенуза ВХ об¬
щая, отрезки ХМ и XN равны по условию. Следовательно, треуголь¬
ники ВХМ и BXN равны по гипотенузе и катету. Отсюда ZMBX = ZNBX,
т. е. точка X принадлежит биссектрисе угла АВС. ш
139

Задача. Найдите геометрическое место точек, равноудалённых от
сторон данного неразвёрнутого угла.
Решение. Рассмотрим данный угол АВС. Будем искать ГМТ как
среди точек угла АВС, так и вне его. Из теоремы 20.2 следует, что бис¬
сектриса этого угла принадлежит искомому ГМТ.
Теперь найдём геометрическое место точек, равноудалённых от
сторон угла АВС и не принадлежащих этому углу. Проведём через точ¬
ку В прямые MN и EF перпендикулярно лучам ВА и ВС соответствен¬
но (рис. 20.7).
Если точка X принадлежит углу MBF, то основания перпендику¬
ляров, опущенных из этой точки на прямые ВА и ВС, не принадлежат
сторонам угла (см. рис. 20.7). Следовательно, расстояния от точки X до
лучей ВА и ВС равны длине отрезка ХВ, т. е. точка X равноудалена от
сторон угла АВС, Значит, все точки угла MBF принадлежат искомому
ГМТ.
Понятно, что никакая точка ни угла MBA, ни угла FBC, не при¬
надлежащая сторонам этих углов, не может быть равноудалена от лу¬
чей ВА и ВС.
Итак, искомым ГМТ является объединение угла MBF и биссек¬
трисы угла АВС. ш
Заметим, что геометрическим местом то
чек, равноудалённых от сторон развёрнутого уг¬
ла, является прямая, проходящая через вершину
угла перпендикулярно его сторонам (рис. 20.8).
□ □Ф Определение
Окружностью называют геометрическое ме¬
сто точек, расстояния от которых до заданной
точки равны данному положительному числу.
Л
А В
^ Рис. 20.8
С
140

Заданную точку называют центром
окружности. На рисунке 20.9 точка О —
центр окружности.
Любой отрезок, соединяющий точку
окружности с её центром, называют радиусом
окружности. Длину этого отрезка также при¬
нято называть радиусом. На рисунке 20.9 от¬
резок ОХ — радиус. Из определения следует,
что все радиусы одной окружности равны.
Отрезок, соединяющий две точки окруж¬
ности, называют хордой окружности. На ри¬
сунке 20.9 отрезки АВ и BD — хорды. Хорду,
проходящую через центр окружности, называют диаметром. На ри¬
сунке 20.9 отрезок BD — диаметр окружности. Очевидно, что
BD = 20Х, т. е. диаметр окружности в два раза больше её радиуса.
Из курса математики 6 класса вы знаете, что фигуру, ограничен¬
ную окружностью, называют кругом (рис. 20.10). Теперь определение
круга можно сформулировать с помощью понятия ГМТ.
□	□Ф Определение
Кругом называют геометрическое место точек, расстояния от кото¬
рых до заданной точки не больше данного положительного числа.
Заданную точку называют центром круга. Ра¬
диус окружности, которая ограничивает круг, на¬
зывают радиусом круга.
Если X — произвольная точка круга с цен¬
тром О и радиусом R, то ОХ < R (рис. 20.10). Если
ОХ < R, то говорят, что точка X лежит внутри
окружности, ограничивающей данный круг. Точка
У кругу не принадлежит (рис. 20.10). В этом случае
говорят, что точка У лежит вне окружности, ограничивающей круг.
Из определения круга следует, что окружность, ограничивающая
круг, ему принадлежит.
Хорда и диаметр круга — это хорда и диаметр окружности, огра¬
ничивающей круг.
□	□Ф Определение
Точку называют внутренней точкой фигуры, если существует круг
с центром в этой точке, все точки которого принадлежат данной фи¬
гуре.
141

Например, на рисунке 20.11 точка X
является внутренней точкой треугольни¬
ка АВС.
Из определения следует, что вну¬
тренняя точка фигуры принадлежит этой
фигуре.
Любая точка стороны треугольника
принадлежит ему, но не является внутрен¬
ней точкой треугольника (подумайте по¬
чему).
□ □Ф Определение
Точку фигуры называют граничной
точкой фигуры, если любой круг с
центром в этой точке содержит как
точки, принадлежащие этой фигуре,
так и точки, не принадлежащие ей.
Например, любая точка стороны тре¬
угольника является его граничной точкой
(рис. 20.12).
Множество всех граничных точек
фигуры образуют границу фигуры.
Так, границей круга является окруж¬
ность, ограничивающая этот круг.
На рисунке 20.13 изображена точка
X, лежащая внутри окружности. Однако
эта точка не является внутренней точкой
окружности. Вообще, окружность не име¬
ет внутренних точек. Любая её точка яв¬
ляется граничной.
Рассмотрим фигуру, состоящую из
всех точек круга, за исключением точек
ограничивающей его окружности. Эта фи¬
гура примечательна тем, что все её точки
являются внутренними.
Г Рис 20.11
Задача. На продолжении хорды CD окружности с центром О за
точку D отметили точку Е такую, что отрезок DE равен радиусу
окружности. Прямая ОЕ пересекает данную окружность в точках А и
В (рис. 20.14). Докажите, что ZAOC = 3ZCEO.

Решение. Пусть ZCEO = а.
Поскольку треугольник ODE равнобедренный, то ZDOE =
= ZCEO = а.
Угол О DC — внешний угол треугольника ODE. Тогда ZODC =
= ZDOE + ZCEO = 2а.
Поскольку треугольник COD равнобедренный, то ZOCD =
= ZODC = 2а.
Угол АОС — внешний угол треугольника СОЕ. Тогда ZAOC =
= ZOCH + ZCEO = 2а + а = За, т. е. ZAOC = SZCEO. ■
1.	Какое множество точек называют геометрическим местом точек?
2.	Какие две теоремы надо доказать, чтобы некоторое множество
точек можно было назвать ГМТ, обладающих некоторым свой¬
ством?
3.	Какая фигура является геометрическим местом точек, равноуда¬
лённых от концов отрезка?
4.	Какая фигура является геометрическим местом точек, принадле¬
жащих углу и равноудалённых от его сторон?
5.	Что называют окружностью? Радиусом окружности? Хордой окруж¬
ности? Диаметром окружности?
6.	Что называют кругом?
7.	Какую точку называют внутренней точкой фигуры?
8.	Какую точку называют граничной точкой фигуры?
^ Практические задания * 120.1.	Начертите окружность с центром О и радиусом 3,5 см. Отметьте
на этом рисунке какие-нибудь:
1)	точки А и В такие, что ОА < 3,5 см, ОВ < 3,5 см;
2)	точки С и D такие, что ОС = 3,5 см, OD = 3,5 см;
3)	точки Е и F такие, что ОЕ > 3,5 см, OF > 3,5 см.
20.2.	Начертите отрезок АВУ длина которого равна 3 см. Найдите точ¬
ку, удалённую от каждого из концов отрезка АВ на 2 см. Сколь¬
ко существует таких точек?
20.3.	Начертите отрезок СП, длина которого равна 4 см. Найдите точ¬
ку, удалённую от точки С на 2,5 см, а от точки D — на 3,5 см.
Сколько существует таких точек?
20.4.	Начертите окружность, диаметр которой равен 7 см. Отметьте на
окружности точку А. Найдите на окружности точки, удалённые
от точки А на 4 см.
143

Упражнения
20.5.	На рисунке 20.15 изображена окружность с центром В. Укажите
радиус, хорду и диаметр окружности. Сколько изображено на ри¬
сунке радиусов? Хорд?
20.6.	Хорды АВ и CD окружности с центром О равны. Докажите, что
ZAOB = ZCOD.
20.7.	На рисунке 20.16 точка О — центр окружности, ZCOD = ZMOK.
Докажите, что хорды CD и МК равны.
20.8.	Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что
ZBAC = ZCDB.
20.9.	Отрезки МК и EF — диаметры окружности с центром О,
МК = 12 см, ME = 10 см. Найдите периметр треугольника FOK.
20.10.	Отрезки АС и АВ — соответственно диаметр и хорда окружно¬
сти с центром О, ZBAC = 26° (рис. 20.17). Найдите угол ВОС.
20.11.	Отрезки МР и МК — соответственно хорда и диаметр окружно¬
сти с центром О, ZPOK = 84° (рис. 20.18). Найдите угол МРО.
20.12.	Отрезки АВ и АС — соответственно диаметр и хорда окружности,
хорда АС равна радиусу этой окружности. Найдите угол ВАС.
20.13.	Отрезок CD — диаметр окружности с центром О. На окружно¬
сти отметили точку Е так, что ZCOE = 90°. Докажите, что
СЕ = DE.
20.14.	Чему равен диаметр окружности, если известно, что он на 4 см
больше радиуса данной окружности?
20.15.	Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что
АС || BD.
^
20.16.	Хорда пересекает диаметр окружности под углом 30° и делит его
на отрезки длиной 4 см и 10 см. Найдите расстояние от центра
окружности до этой хорды.
144

20.17.	Хорда CD пересекает диаметр АВ
в точке М, СЕ _L АВ, DF J_ АВ,
ZAMC = 60°, ME = 18 см, MF = 12 см
(рис. 20.19). Найдите хорду CD.
20.18.	Найдите геометрическое место цен¬
тров окружностей данного радиуса,
проходящих через данную точку.
20.19.	Найдите геометрическое место цен¬
тров окружностей, проходящих че¬
рез две данные точки.
20.20.	Найдите геометрическое место то¬
чек, равноудалённых от двух данных
пересекающихся прямых.
20.21.	Найдите геометрическое место вершин равнобедренных тре¬
угольников, имеющих общее основание.
20.22.	Найдите геометрическое место точек, равноудалённых от двух
параллельных прямых.
20.23.	Найдите геометрическое место точек, удалённых от данной пря¬
мой на заданное расстояние.
20.24.	Даны точки А и В. Найдите геометрическое место точек X та¬
ких, что точки А, В и X являются вершинами равнобедренного
прямоугольного треугольника.
20.25.	Даны точки А и В. Найдите геометрическое место точек X та¬
ких, что точки А, В и X являются вершинами равностороннего
треугольника.
20.26.	Отрезок АВ — диаметр окружности, М — произвольная точка
@5? окружности, отличная от точек Л и В. Докажите, что ZAMB = 90°.
	!
20.27.	Даны точки А и В. Найдите геометрическое место точек X та¬
ких, что АХ > ВХ.
20.28.	Даны точки А и В. Найдите геометрическое место точек X та¬
ких, что АХ > АВ.
20.29.	Найдите геометрическое место точек, удалённых от данного от¬
резка на заданное расстояние.
20.30.	Найдите геометрическое место точек, удалённых от данного лу¬
ча на заданное расстояние.
20.31.	Дан треугольник АВС. Найдите геометрическое место точек X
таких, что прямая СХ пересекает отрезок АВ.
20.32.	Дан треугольник АВС. Найдите геометрическое место точек X
таких, что: 1) луч СХ пересекает отрезок АВ; 2) отрезок СХ пере¬
секает отрезок АВ.
145

20.33.	Дан прямой угол COD. Рассматриваются все прямоугольные
треугольники АОВ с гипотенузой АВ, равной d, вершины А и В
которых принадлежат лучам ОС и OD соответственно. Найдите
ГМТ середин гипотенуз этих треугольников.
20.34.	Даны точки А и В. Найдите геометрическое место точек X та¬
ких, что точки А, В и X являются вершинами равнобедренного
треугольника.
20.35.	Дана окружность радиуса 1 см. Найдите геометрическое место
точек, удалённых от данной окружности на 1 см.
20.36.	Даны точки А, Б и С, не лежащие на одной прямой. Найдите
геометрическое место точек X таких, что ближайшей к точке X
среди точек А, В и С является точка А.
20.37.	Дан угол АВС, равный 60°. Найдите ГМТ, удалённых от сторон
данного угла на расстояние, равное 3 см.
20.38.	Дан квадрат ABCD. Найдите геометрическое место точек X та¬
ких, что сумма высот треугольников АХ В и CXD, проведённых
соответственно к сторонам АВ и CD, равна сумме высот треуголь¬
ников ВХС и AXD, проведённых соответственно к сторонам ВС
и AD.
^ Щ Свойства окружности. Касательная к окружности
□ □Ф Теорема 21.1
Диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит эту хорду по¬
полам.
Доказательство
Если хорда является диаметром, то за¬
ключение теоремы очевидно.
На рисунке 21.1 изображена окруж¬
ность с центром О, М — точка пересечения
диаметра CD и хорды АВ, отличной от диа¬
метра окружности, CD J_ АВ. Докажем, что
AM = МВ.
Проведём радиусы О А и ОВ. В равнобе¬
дренном треугольнике АОВ (ОА = ОВ) отре¬
зок ОМ — высота, а значит, и медиана, т. е.
AM = МВ. ш
146

□ □ф Теорема 21.2
Диаметр окружности, делящий хорду, отличную от диаметра, попо¬
лам, перпендикулярен этой хорде.
Докажите эту теорему самостоятельно. Подумайте, будет ли вер¬
ным это утверждение, если хорда является диаметром окружности.
На рисунке 21.2 показаны все возможные случаи взаимного рас¬
положения прямой и окружности: они не имеют общих точек
(рис. 21.2, а), имеют две общие точки (рис. 21.2, б), имеют одну общую
точку (рис. 21.2, б).
□	□ф тределеиие
Прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку, назы¬
вают касательной к окружности.
На рисунке 21.2, в прямая а — касательная к окружности с цен¬
тром в точке О, А — точка касания.
Касательная к окружности имеет только одну общую точку с кру¬
гом, ограниченным этой окружностью. Также говорят, что эта прямая
является касательной к кругу, ограниченному данной окружностью.
Так, на рисунке 21.3 прямая а — касательная к кругу с центром в точ¬
ке О.
Если отрезок (луч) принадлежит касательной к окружности и
имеет с этой окружностью общую точку, то говорят, что отрезок (луч)
касается окружности. Например, на рисунке 21.4 изображён отрезок
А£, который касается окружности в точке С.
□	□ф Теорема 21.3
(свойство касательной)
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому
в точку касания.
147

Доказательство
На рисунке 21.5 изображена окружность с центром О, А — точка
касания прямой а и окружности. Надо доказать, что О А _1_ а.
Предположим, что это не так, т. е.
отрезок О А — наклонная к прямой а. Тог¬
да из точки О опустим перпендикуляр ОМ
на прямую а (рис. 21.6). Поскольку точка
А — единственная общая точка прямой а
и круга с центром О, ограниченного дан¬
ной окружностью, то точка М не принад¬
лежит этому кругу. Отсюда ОМ = МВ + ОБ,
где В — точка пересечения окружности и перпендикуляра ОМ. Отрез¬
ки О А и ОБ равны как радиусы окружности. Таким образом, ОМ > О А.
Получили противоречие: перпендикуляр ОМ больше наклонной ОА.
Следовательно, ОА 1а. ■
□ □ф Теорема 21.4
(признак касательной к окружности)
Если прямая, проходящая через точку окружности, перпендикуляр¬
на радиусу, проведённому в эту точку,
тельной к данной окружности.
Доказательство
На рисунке 21.5 изображена окруж¬
ность с центром О, отрезок ОА — её ради¬
ус, точка А принадлежит прямой а,
ОА 1 а. Докажем, что прямая а — каса¬
тельная к окружности.
Пусть прямая а не является каса¬
тельной, а имеет ещё одну общую точку Б
с окружностью (рис. 21.7). Тогда отрезки
ОА и ОБ равны как радиусы, следовательно, треугольник АОВ равно¬
бедренный. Заметим, что ZOAB = 90°. Тогда ZOBA = ZOAB = 90°. По¬
та эта прямая является каса-
148

лучили противоречие: в треугольнике АОВ есть два прямых угла. Сле¬
довательно, прямая а является касательной к окружности. ■
□ о d> Следствие
Если расстояние от центра окружности до некоторой прямой равно
радиусу окружности, то эта прямая является касательной к данной
окружности.
Докажите это следствие самостоятельно.
@5? Задача. Докажите, что если через
данную точку к окружности проведены
две касательные, то отрезки касательных,
соединяющих данную точку с точками ка¬
сания, равны.
Решение. На рисунке 21.8 изображе¬
на окружность с центром О. Прямые АВ и
АС — касательные, В и С — точки каса¬
ния. Надо доказать, что АВ = АС.
Проведём радиусы ОВ и ОС в точки касания. По свойству каса¬
тельной (теорема 21.3) ОВ _!_ АВ и ОС _L АС. В прямоугольных треуголь¬
никах АОВ и АОС катеты ОВ и ОС равны как радиусы одной окружно¬
сти, отрезок АО — общая гипотенуза. Следовательно, треугольники
АОВ и АОС равны по гипотенузе и катету. Отсюда АВ = АС. ш
1.	Как делит хорду перпендикулярный ей диаметр?
2.	Чему равен угол между хордой, отличной от диаметра, и диаме¬
тром, делящим эту хорду пополам?
3.	Опишите все возможные случаи взаимного расположения прямой
и окружности.
4.	Какую прямую называют касательной к окружности?
5.	Каким свойством обладает радиус, проведённый в точку касания
прямой и окружности?
6.	Сформулируйте признак касательной к окружности.
7.	Каким свойством обладают касательные, проведённые к окружно¬
сти через одну точку?
^ Практические задания
21.1.	Начертите окружность с центром О, проведите хорду АВ. Пользу¬
ясь угольником, разделите эту хорду пополам.
149

21.2.	Начертите окружность с центром О, проведите хорду CD. Пользу¬
ясь линейкой со шкалой, проведите диаметр, перпендикулярный
хорде CD.
21.3.	Начертите окружность, отметьте на ней точки А и В. Пользуясь
линейкой и угольником, проведите прямые, касающиеся окруж¬
ности в точках А и В.
21.4.	Проведите прямую а и отметьте на ней точку М. Пользуясь
угольником, линейкой и циркулем, постройте окружность ради¬
уса 3 см, касающуюся прямой а в точке М. Сколько таких окруж¬
ностей можно построить?
Упражнения * 1 221.5.	На рисунке 21.9 точка О — центр окруж¬
ности, диаметр CD перпендикулярен
хорде АВ. Докажите, что ZAOD = ZBOD.
21.6.	Докажите, что равные хорды окружно¬
сти равноудалены от её центра.
21.7.	Докажите, что если хорды окружности
равноудалены от её центра, то они рав¬
ны.
21.8.	Можно ли утверждать, что прямая, пер¬
пендикулярная радиусу окружности, ка¬
сается этой окружности?
21.9.	Прямая CD касается окружности с цен¬
тром О в точке А, отрезок АВ — хорда
окружности, ZBAD = 35° (рис. 21.10).
Найдите угол АО В.
21.10.	Прямая CD касается окружности с цен¬
тром О в точке А, отрезок АВ — хорда
окружности, ZAOB = 80° (рис. 21.10).
Найдите угол ВАС.
21.11.	Дана окружность, диаметр которой ра¬
вен 6 см. Прямая а удалена от её центра:
1) на 2 см; 2) на 3 см; 3) на 6 см. В каком случае прямая а явля¬
ется касательной к окружности?
21.12.	В треугольнике АВС известно, что ZC = 90°. Докажите, что:
1)	прямая ВС является касательной к окружности с центром А,
проходящей через точку С;
2)	прямая АВ не является касательной к окружности с цен¬
тром С, проходящей через точку А.
150


21.13.	Докажите, что диаметр окружности больше любой хорды, от-
©И1 личной от диаметра.
21.14.	В окружности с центром О через середину радиуса провели пер¬
пендикулярную ему хорду АВ. Докажите, что ZAOB = 120°.
21.15.	Найдите угол между радиусами О А и ОВ окружности, если рас¬
стояние от центра О окружности до хорды АВ в 2 раза меньше:
1) длины хорды АВ; 2) радиуса окружности.
21.16.	В окружности провели диаметр АВ и хорды АС и CD так, что
АС = 12 см, ZBAC = 30°, АВ _L CD. Найдите хорду CD.
21.17.	Две окружности имеют общий центр. Прямая пересекает
большую окружность в точках А и В, а меньшую — в точках С и
D. Докажите, что АС = BD.
21.18.	Через точку М к окружности с центром О провели касательные
МА и МВ, А и В — точки касания, ZOAB = 20°. Найдите угол
AM В.
21.19.	Через концы хорды АВ, равной радиусу окружности, провели
две касательные, пересекающиеся в точке С. Найдите угол
АС В.
21.20.	Через точку С окружности с центром О провели касательную к
этой окружности, хорда АВ — диаметр окружности. Из точки А
на касательную опущен перпендикуляр AD. Докажите, что луч
АС — биссектриса угла BAD.
21.21.	Прямая АС касается окружности с цен¬
тром О в точке А (рис. 21.11). Докажите,
что угол ВАС в 2 раза меньше угла АО В.
21.22.	Отрезки АВ и ВС — соответственно хор¬
да и диаметр окружности, ZABC = 30°.
Через точку А провели касательную к
окружности, пересекающую прямую ВС
в точке D. Докажите, что треугольник
ABD равнобедренный.
21.23.	Известно, что диаметр АВ делит хорду
CD пополам, но не перпендикулярен ей.
Докажите, что хорда CD также является диаметром.
21.24.	Найдите геометрическое место центров окружностей, которые
касаются данной прямой в данной точке.
21.25.	Найдите геометрическое место центров окружностей, которые
касаются обеих сторон данного угла.
21.26.	Найдите геометрическое место центров окружностей, которые
касаются данной прямой.
Рис.21.11
151

21.27.	Хорда CD окружности пересекает её диаметр АВ в точке М. Из¬
вестно, что СМ = 5 см, MD = 3 см, ZCMB = 45°. Найдите расстоя¬
ние от центра окружности до хорды.
21.28.	Хорда CD окружности пересекает её диаметр АВ в точке М. Из¬
вестно, что СМ = 8 см, MD = 5 см, AM = 4 см, МВ = 10 см. Най¬
дите угол СМ В.

21.29.	Вершина М равностороннего треугольника CMD принадлежит
окружности с центром О, а вершины С и D — хорде АВ этой
окружности. Известно, что АС = CD = DB. Найдите угол АО В,
21.30.	Через точку Р, лежащую вне окружности, проведены две пря¬
мые, одна из которых пересекает окружность в точках А и В, а
другая — в точках С и D. Точка А лежит между точками Р и В,
точка С — между точками PhD. Известно, что АВ = CD. Дока¬
жите, что РА = PC.
21.31.	Через точку Р, лежащую вне окружности, проведены две пря¬
мые, одна из которых пересекает окружность в точках А и В, а
другая — в точках С н D. Точка А лежит между точками Р и В,
точка С — между точками PhD. Известно, что РВ = PD. Дока¬
жите, что АВ = CD.
21.32.	На стороне С А прямого угла АСВ отметили точки М н N так,
что СМ = 4 см и CN = 6 см. Найдите радиус окружности, проходя¬
щей через точки М н N н касающейся луча СВ.
21.33.	На стороне С А прямого угла АСВ отметили точки М н N так, что
СМ = 3 см и CN = 9 см. Окружность радиуса 6 см проходит через
точки М и N. Докажите, что эта окружность касается прямой СВ.
21.34.	Через точку М, лежащую вне окружности с центром О, проведе¬
ны касательные МА и МВ к окружности (А и В — точки каса¬
ния). Известно, что окружность делит отрезок МО пополам. В ка¬
ком отношении прямая АВ делит отрезок МО?
21.35.	Через точку М, лежащую вне окружности с центром О, проведе¬
ны касательные МА и МВ к окружности (А и В — точки каса¬
ния). Отрезок ОМ пересекает окружность в точке К. Известно,
что прямая АВ делит отрезок О К пополам. В каком отношении
точка К делит отрезок МО?
21.36.	Прямые, касающиеся окружности с центром О в точках А и В, пе¬
ресекаются в точке К, ZAKB = 120°. Докажите, что АК + ВК = ОК.
21.37. Точки М, N н К — середины соответственно сторон АВ, ВС и С А
равностороннего треугольника АВС. Окружность проходит через
152

точки М, В и N. Докажите, что прямая KN является касательной
к этой окружности.
Описанная и вписанная окружности
треугольника
°°ф Определение
Окружность называют описанной около треугольника, если она про
ходит через все его вершины.
На рисунке 22.1 изображена окруж¬
ность, описанная около треугольника. В этом
случае также говорят, что треугольник впи¬
сан в окружность.
На рисунке 22.1 точка О — центр окруж¬
ности, описанной около треугольника АВС.
Отрезки ОА, О В и ОС — радиусы этой окруж¬
ности, поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно,
центр описанной окружности треугольника
равноудалён от всех его вершин.
□ аф Теорема 22.1
Около любого треугольника можно описать окружность.
Доказательство
Для доказательства достаточно показать, что для любого тре¬
угольника АВС существует точка О, равноудалённая от всех его вер¬
шин. Тогда точка О будет центром описанной окружности, а отрезки
ОА, О В и ОС — её радиусами.
На рисунке 22.2 изображён произволь¬
ный треугольник АВС. Проведём серединные
перпендикуляры k и I сторон АВ и АС соот¬
ветственно. Пусть О — точка пересечения
этих прямых. Поскольку точка О принадле¬
жит серединному перпендикуляру /г, то
О А = ОВ. Поскольку точка О принадлежит се¬
рединному перпендикуляру /, то ОА = ОС.
Значит, ОА = ОВ = ОС, т. е. точка О равноуда¬
лена от всех вершин треугольника. ■
153

Заметим, что около треугольника можно описать только одну
окружность. Это следует из того, что серединные перпендикуляры k и /
(см. рис. 22.2) имеют только одну точку пересечения. Следовательно,
существует только одна точка, равноудалённая от всех вершин тре¬
угольника.
□	□Ф Следствие 1
Три серединных перпендикуляра сторон треугольника пересекаются
в одной точке.
□	□ф Следствие 2
Центр окружности, описанной около треугольника, — это точка пе¬
ресечения серединных перпендикуляров сторон треугольника.
□□ф Определение
Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается
всех его сторон.
На рисунке 22.3 изображена
окружность, вписанная в треугольник.
В этом случае также говорят, что тре¬
угольник описан около окружности.
На рисунке 22.3 точка О — центр
окружности, вписанной в треугольник
АВС, отрезки ОМ, ON и ОР — радиу¬
сы, проведённые в точки касания,
ОМ _L АВ, ON _L ВС, OP _L АС. Посколь¬
ку ОМ = ON = ОР, то центр вписанной окружности треугольника
равноудалён от всех его сторон.
□ □ф Теорема 22.2
В любой треугольник можно вписать окружность.
Доказательство
На рисунке 22.4 изображён про¬
извольный треугольник АВС. Прове¬
дём биссектрисы углов А и В, отметим
точку О их пересечения. Из точки О
опустим перпендикуляры ОМ, ON и
ОР соответственно на стороны АВ, ВС
и СА треугольника АВС. Поскольку
154

точка О принадлежит биссектрисе угла А, то по теореме о биссектрисе
угла (теорема 20.2) получаем, что ОМ = ОР. Аналогично, так как точ¬
ка О принадлежит биссектрисе угла В, то ОМ = ON. Пусть ОМ = г. Тог¬
да ОМ = ON = ОР = г. Следовательно, точка О удалена от каждой сто¬
роны треугольника АВС на одно и то же расстояние г. Тогда в силу
следствия из признака касательной к окружности (следствие из теоре¬
мы 21.4) точка О является центром окружности радиуса г, которая ка¬
сается сторон АВ, ВС и СА. ■
Заметим, что в треугольник можно вписать только одну окруж¬
ность. Это следует из того, что биссектрисы углов А и В (см. рис. 22.4)
пересекаются только в одной точке. Следовательно, существует только
одна точка, равноудалённая от сторон треугольника.
□	□ф Следствие 1
Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке.
□	□Ф Следствие 2
Центр окружности, вписанной в треугольник, — это точка пересече¬
ния биссектрис треугольника.
CW Задача. Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямо-
„	„	а + b - с
угольный треугольник, можно наити по формуле г =			, где г —
2
радиус вписанной окружности, а п b — катеты, с — гипотенуза.
Решение. В треугольнике АВС
имеем: ZACB = 90°, ВС = а, АС = b,
АВ = с, точка О — центр вписанной
окружности, Му Е и К — точки каса¬
ния вписанной окружности со сторо¬
нами ВСу АС и АВ соответственно
(рис. 22.5).
Отрезок ОМ — радиус окружно¬
сти, проведённый в точку касания.
Тогда ОМ _L ВС.
Так как точка О — центр вписанной окружности, то луч СО —
биссектриса угла АСВ, следовательно, ZOCM = 45°. Тогда треугольник
СМ О — равнобедренный прямоугольный. Отсюда СМ = ОМ = г.
Используя свойство отрезков касательных, проведённых к окруж¬
ности через одну точку, получаем, что СЕ = СМ. Поскольку СМ = г, то
СЕ = г. Тогда АК = АЕ = Ь - г, ВК = ВМ - а - г.
155

г =
Так как АК + ВК = АВУ то b-r+a-r = c. Отсюда 2г = а + Ь - с;
а + b - с
	. ■
2
1- Какую окружность называют описанной около треугольника?
2.	Какой треугольник называют вписанным в окружность?
3.	Около какого треугольника можно описать окружность?
4.	Какая точка является центром окружности, описанной около тре¬
угольника?
5.	Какую окружность называют вписанной в треугольник?
6.	Какой треугольник называют описанным около окружности?
7.	В какой треугольник можно вписать окружность?
8.	Какая точка является центром окружности, вписанной в треуголь¬
ник?
Практические задания
22.1.	Начертите разносторонний остроугольный треугольник.
1)	Пользуясь линейкой со шкалой и угольником, найдите центр
окружности, описанной около данного треугольника.
2)	Опишите около треугольника окружность.
Выполните задания 1 и 2 для разносторонних прямоугольного и ту¬
поугольного треугольников.
22.2.	Начертите:
1)	равнобедренный остроуголь¬
ный треугольник;
2)	равнобедренный тупоуголь¬
ный треугольник.
Выполните задания 1 и 2 из
упражнения 22.1.
22.3.	Перерисуйте в тетрадь рисунок
22.6. Проведите через точки А,
В и С окружность, пользуясь
линейкой со шкалой, угольни
ком и циркулем.
22.4.	Начертите разносторонний
треугольник.
1)	Пользуясь линейкой и транспортиром, найдите центр окруж¬
ности, вписанной в данный треугольник.
2)	Пользуясь угольником, найдите точки касания вписанной
окружности со сторонами треугольника.
3)	Впишите в данный треугольник окружность.
Грис. 22.6
156

22.5.	Начертите равнобедренный треугольник. Выполните задания 1, 2
и 3 из упражнения 22.4.
Упражнения
22.6.	Докажите, что центр описанной окружности равнобедренного
треугольника принадлежит прямой, которая содержит медиану,
проведённую к его основанию.
22.7.	Докажите, что центр вписанной окружности равнобедренного
треугольника принадлежит высоте, проведённой к его основа¬
нию.
22.8.	Докажите, что если центр вписанной окружности треугольника
принадлежит его высоте, то этот треугольник равнобедренный.
22.9.	Докажите, что центр описанной окружности равностороннего
треугольника является точкой пересечения его биссектрис.
22.10.	На рисунке 22.7 в треугольники ABD и CBD вписаны окружно¬
сти с центрами Ох и 02 соответственно. Докажите, что угол 01D02
прямой.
22.11.	На рисунке 22.8 в треугольники ABD и CBD вписаны окружно¬
сти с центрами Ох и 02 соответственно, ZABC = 50°. Найдите угол
ОгВОг
22.12.	Через центр О окружности, описанной около треугольника АВС,
провели прямую, перпендикулярную стороне АС и пересекаю¬
щую сторону АВ в точке М. Докажите, что AM = МС.
22.13.	Окружность, вписанная в треугольник АВС (рис. 22.9), касает¬
ся его сторон в точках М, К и Е, ВК = 2 см, КС = 4 см, AM = 8 см.
Найдите периметр треугольника АВС.
157


22.14.	Докажите, что если центр окружности, описанной около тре¬
угольника, принадлежит его высоте, то этот треугольник равно¬
бедренный.
22.15.	Докажите, что если центр окружности, вписанной в треуголь¬
ник, принадлежит его медиане, то этот треугольник равнобедрен¬
ный.
21.16.	Докажите, что если центры вписанной и описанной окружно-
стей треугольника совпадают, то этот треугольник равносторон¬
ний.
22.17.	В двух равнобедренных треугольниках равны основания и ради¬
усы описанных окружностей. Можно ли утверждать, что эти тре¬
угольники равны?
22.18.	В двух равнобедренных треугольниках равны основания и ради¬
усы вписанных окружностей. Можно ли утверждать, что эти тре¬
угольники равны?
22.19.	Точка касания вписанной окружности равнобедренного тре¬
угольника делит его боковую сторону в отношении 7:5, считая
от вершины равнобедренного треугольника. Найдите стороны
треугольника, если его периметр равен 68 см.
22.20.	Периметр треугольника АВС, описанного около окружности,
равен 52 см. Точка касания окружности со стороной АВ делит эту
сторону в отношении 2:3, считая от вершины А. Точка касания
со стороной ВС удалена от вершины С на 6 см. Найдите стороны
треугольника.
22.21.	В треугольник с углами 30°, 70° и 80° вписана окружность. Най¬
дите углы треугольника, вершины которого являются точками
касания вписанной окружности со сторонами данного треуголь¬
ника.
22.22.	Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник АВС, ка¬
сается катетов АС и ВС в точках М и N соответственно и гипоте¬
нузы АВ в точке К. Найдите угол MKN.
22.23.	Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник АВС,
касается его боковых сторон АВ и ВС в точках М и N соответ¬
ственно. Докажите, что MN || АС.
22.24.	Докажите, что если центр окружности, описанной около тре-
угольника, принадлежит его стороне, то этот треугольник прямо¬
угольный.
22.25.	Докажите, что центр окружности, описанной около прямоуголь-
@1? ного треугольника, является серединой гипотенузы.
158

р__<^>
22.26.	Докажите, что если центр окружности, описанной около тре-
угольника, лежит внутри треугольника, то этот треугольник
остроугольный.
22.27.	Докажите, что если центр окружности, описанной около тре-
©й? угольника, лежит вне треугольника, то этот треугольник тупо¬
угольный.
22.28.	Докажите, что если треугольник остроугольный, то центр его
описанной окружности лежит внутри треугольника, а если тре¬
угольник тупоугольный, то — вне треугольника.
22.29.	В прямоугольном треугольнике АВС отрезок CD — высота, про¬
ведённая к гипотенузе АВ. Радиусы окружностей, вписанных в
треугольники ACD, BCD и АВС, равны соответственно rv г2 и г.
Докажите, что rx + r2 + г = CD.
22.30.	Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник,
равен полуразности катетов. Найдите острые углы треугольника.
22.31.	Сумма радиусов вписанной и описанной окружностей прямо¬
угольного треугольника равна одному из катетов. Найдите острые
углы треугольника.
22.32.	На боковой стороне ВС равнобедренного треугольника АВС
(АВ = ВС) отметили точку М так, что СМ = СА. Докажите, что
центр окружности, вписанной в треугольник АВС, совпадает с
центром окружности, описанной около треугольника АМС.
22.33.	В треугольнике АВС проведена биссектриса АК. Центр окруж¬
ности, вписанной в треугольник АКВ, совпадает с центром
окружности, описанной около треугольника АВС. Найдите углы
треугольника АВС.
22.34.	Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его сто¬
рон АВ и АС соответственно в точках М и N. Докажите, что
BN > MN.
22.35.	В треугольник АВС вписана окружность, касающаяся стороны
АВ в точке М, ВС = а. Докажите, что AM -р - а, где р — полупе-
риметр треугольника АВС.
22.36.	Через центр окружности, вписанной в треугольник АВС, прове¬
ли прямую MN параллельно стороне АВ (точки М и N принадле¬
жат соответственно сторонам ВС и АС). Найдите периметр четы¬
рёхугольника ABMN, если известно, что АВ = 5 см, MN = 3 см.
22.37.	Прямая, параллельная стороне АВ треугольника АВС, пересе¬
кает стороны ВС и АС в точках М и N соответственно. Известно,
что MN = ВМ + AN. Докажите, что центр окружности, вписанной
в треугольник АВС, принадлежит отрезку MN.
159

22.38.	В треугольнике АВС отрезок BD — медиана, АВ = 7 см, ВС = 8 см.
В треугольники ABD и В DC вписали окружности. Найдите рас¬
стояние между точками касания этих окружностей с отрезком BD.
22.39.	В треугольнике АВС известно, что АВ = 5 см, ВС = 7 см,
С А = 4 см. На стороне ВС отметили точку D так, что окружности,
вписанные в треугольники ABD и ADC, касаются отрезка AD в
одной точке. Найдите отрезок BD.
22.40.	Каждый из углов ВАС и АСВ треугольника АВС разделили на
три равные части (рис. 22.10). Докажите, что ZAMN = ZCMN.
22.41.	Точки F и О — центры вписанной и описанной окружностей
равнобедренного треугольника АВС соответственно (рис. 22.11).
Они находятся на одинаковом расстоянии от его основания АС.
Найдите углы треугольника АВС.
22.42.	В прямоугольном треугольнике АВС (ZC = 90°) проведены высо¬
та СН и медиана СМ. Окружность, вписанная в треугольник
НСМ, касается сторон СМ и СН в точках Е и F соответственно.
Прямая EF пересекает катеты СА и СВ в точках Р и Q соответ¬
ственно. Докажите, что CP = CQ.
22.43.	На гипотенузу АВ прямоугольного треугольника АВС опущена
высота CD. Отрезки СК и СМ — биссектрисы треугольников ACD
и DC В соответственно. Докажите, что центр окружности, описан¬
ной около треугольника КСМУ яв¬
ляется центром окружности, впи¬
санной в треугольник АВС.
22.44.	Пусть вершина угла В недоступна
(рис. 22.12). С помощью транспор¬
тира и линейки без делений по¬
стройте прямую, содержащую бис¬
сектрису угла В.
160

22.45.	Биссектрисы ВВХ и ССХ треугольника АВС пересекаются в точ¬
ке О. Известно, что АО _1_ BXCV Докажите, что треугольник АВС
равнобедренный.
22.46.	Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник АВС, ка¬
сается катетов АС и ВС в точках М и N соответственно и гипоте¬
нузы АВ в точке К. Биссектриса угла А пересекает отрезок NK в
точке Е. Найдите угол МЕК.
22.47.	В треугольник АВС вписана окружность с центром О. На пря¬
мой ВС отметили точки Ах и А2, на прямой АС — точки Вх и В2,
на прямой АВ — точки Сх и С2 так, что ОАх = ОА2 = ОА,
ОВх = ОВ2 = ОВ и ОСг = ОС2 = ОС. Докажите, что АХА2 + ВХВ2 +
+ СгС2 = АВ + ВС + АС.
22.48.	Две вершины треугольника расположены в точках А и Б, а тре¬
тья вершина X перемещается так, что разность ХА - ХВ равна d,
где d — заданное число. Докажите, что центры окружностей,
вписанных в треугольники АХВ, принадлежат одной прямой.
Вневписанная окружность треугольника
Проведём биссектрисы двух внешних углов с вершинами А и С
треугольника АВС (рис. 23.1). Пусть О — точка пересечения этих бис¬
сектрис. Эта точка равноудалена от прямых АВ, ВС и АС.
161

Проведём три перпендикуляра: ОМ _L АВ, OK _L АС, ON _1_ ВС.
Длины этих перпендикуляров — это расстояния от точки О до прямых
АВ, АС и ВС. Поэтому ОМ = OK = ON. Следовательно, существует
окружность с центром в точке О, касающаяся стороны треугольника и
продолжений двух других его сторон. Такую окружность называют
вневписаныой окружностью треугольника АВС (см. рис. 23.1).
Так как ОМ = ON, то точка О принадлежит биссектрисе угла
АВС.
Теперь можно сделать такой вывод: биссектрисы двух внешних
углов треугольника и угла треугольника, не смежного с данными
внешними углами, пересекаются в одной точке.
Очевидно, что любой треугольник имеет три вневписаыных
окружности (рис. 23.2) с центрами Од, Ов и Ос, касающиеся сторон
ВС, АС и АВ соответственно. Радиусы этих окружностей обозначим со¬
ответственно гА, гв и г(Г
©й? Задача 1. Вневписанная окружность треугольника АВС касается
продолжения стороны АВ за точку А в точке М. Докажите, что
ВМ = р, где р — полупериметр треугольника АВС.
Решение. Пусть данная вневписанная окружность с центром О
касается стороны АС в точке К, а продолжения стороны ВС — в точ¬
ке N (см. рис. 23.1). По свойству касательных, проведённых к окруж¬
ности через одну точку, имеем: СК = CN, АК -AM. Тогда АС - CN + АМ.
Следовательно, периметр треугольника АВС равен сумме ВМ + BN.
Однако ВМ - BN. Тогда ВМ = BN = р, где р — полупериметр треуголь¬
ника АВС. ш
Задача 2. В треугольнике АВС с углом В, равным 120°, проведе¬
ны биссектрисы AAV ВВХ и CCV Найдите угол А1В1С1.
Решение. Пусть ZMBC —
внешний угол треугольника АВС
при вершине В (рис. 23.3). Очевид¬
но, что ZMBC = 60°. Тогда луч
ВАХ — биссектриса угла MBBV Сле¬
довательно, точка Ах — центр вне-
вписанной окружности треугольни¬
ка ABBV Тогда луч ВХАХ — биссек¬
триса угла ВВХС. Аналогично луч
В1С1 — биссектриса угла АВХВ.
Следовательно, ZA1BlCl равен половине развёрнутого угла, т. е.
ZAlBlCl = 90°. ■
162

1.	Какую окружность называют вневписанной окружностью тре¬
угольника?
2.	Сколько вневписанных окружностей имеет треугольник?
<>
Упражнения
23.1.
23.2.
23.3.
23.4.
23.5.
23.6.
Треугольник АВС равнобедренный (АВ = ВС). Докажите, что
прямая ВОв делит отрезок АС пополам.
Докажите, что если центр вневписанной окружности треугольни¬
ка принадлежит прямой, содержащей его высоту, то этот тре¬
угольник равнобедренный.
Угол А треугольника АВС равен 40°. Найдите угол ВОЛС.
Центр вписанной окружности, центр вневписанной окружности
и одну из вершин треугольника соединили отрезками и получили
некоторый треугольник. Докажите, что полученный треугольник
прямоугольный.
Докажите, что вершины треугольника АВС принадлежат сторо¬
нам треугольника ОаОвОс.
Докажите, что высоты треугольника ОаОвОс содержат биссек¬
трисы треугольника АВС.
^
23.7.	Вневписанная окружность треугольника АВС касается стороны
АС в точке К. Докажите, что КС = р - а и КА = р - с, где р — по-
лупериметр треугольника АВС.
23.8.	В треугольнике АВС известно, что К и L — точки касания сторо¬
ны АВ со вписанной и вневписанной окружностями соответствен¬
но. Докажите, что AL = В К.
23.9.	В треугольнике АВС радиус вневписанной окружности, касаю¬
щейся стороны АС, равен полупериметру данного треугольника.
Докажите, что угол АВС прямой.
23.10.	В прямоугольном треугольнике
АВС известно, что АВ = с, АС -Ь и
ВС = а. Найдите радиус вневписан¬
ной окружности, касающейся ги¬
потенузы АС.
23.11.	Через точку С проведены каса¬
тельные АС и ВС к окружности, А
и В — точки касания (рис. 23.4).
На окружности отметили произ¬
вольную точку М, лежащую в одной полуплоскости с точкой С
относительно прямой АВ. Через точку М провели касательную к
163

окружности, пересекающую прямые АС и ВС в точках D и Е со¬
ответственно. Докажите, что периметр треугольника DEC не за¬
висит от выбора точки М.
23.12.	К окружности, вписанной в равносторонний треугольник со сто¬
роной а, провели касательную, пересекающую две стороны тре¬
угольника. Найдите периметр треугольника, который эта каса¬
тельная отсекает от данного.
23.13.	В равнобедренный треугольник с основанием 12 см вписана
окружность, а к ней проведены три касательные так, что они от¬
секают от данного треугольника три треугольника по одному воз¬
ле каждой вершины. Сумма периметров трёх образовавшихся
треугольников равна 48 см. Найдите боковую сторону данного
треугольника.
23.14.	В треугольник со сторонами 6 см, 10 см и 12 см вписана окруж¬
ность. К окружности проведена касательная так, что она пересе¬
кает две большие стороны треугольника. Найдите периметр тре¬
угольника, который касательная отсекает от данного треуголь¬
ника.
23.15.	Пусть вневписанные окружности треугольника, касающиеся
сторон АС и ВС, касаются прямой АВ в точках Р и Q соответ¬
ственно. Докажите, что середина стороны АВ совпадает с середи¬
ной отрезка PQ.
23.16.	Выразите углы треугольника О хОвОс через углы треугольника
АВС.
23.17.	Докажите, что окружность, касающаяся боковых сторон АВ и
ВС равнобедренного треугольника АВС в точках А и С соответ¬
ственно, проходит через центр вневписанной окружности тре¬
угольника АВС.
23.18.	В треугольнике АВС проведены биссектрисы АК и BL. Найдите
угол А у если луч KL — биссектриса угла АКС.
23.19.	В треугольнике АВС провели биссектрису АЕ. На стороне АС
отметили точку D так, что ZBAC + ZBCA = ZDBC. Докажите, что
луч DE — биссектриса угла BDC.
23.20.	На сторонах AD и CD квадрата ABCD выбраны точки Q и Р со¬
ответственно так, что ZABQ = 15°, ZPQD = 30°. Найдите угол
QBP.
23.21.	На сторонах ВС и CD квадрата ABCD отметили соответственно
точки М и N так, что ZMNC = 2ZNAD. Найдите угол MAN.
164

23.22.	На сторонах ВА и ВС равностороннего треугольника АВС отме¬
тили соответственно точки М и N так, что ZNMA = 2ZNAC. Че¬
рез точку В проведена прямая, параллельная стороне АС и пере¬
секающая прямую MN в точке К. Найдите угол NAK.
23.23.	В квадрате ABCD со стороной 1 см на сторонах АВ и ВС выбра¬
ны соответственно точки Р и Q так, что периметр треугольника
PBQ равен 2 см. Найдите угол PDQ.
23.24.	В остроугольном треугольнике АВС провели биссектрису АЕ и
высоту BD. Докажите, что ZCDE > 45°.
23.25.	В треугольнике АВС провели биссектрису АЕ и медиану ВМ.
Известно, что ZBAC = 20° и АВ = 2ВМ. Найдите угол ВЕМ.
23.26.	В треугольнике АВС известно, что ZB = 100°, отрезок СЕ — бис¬
сектриса треугольника. На стороне АС отметили точку D так, что
ZDBC = 20°. Найдите угол CED.
23.27.	В треугольнике АВС известно, что ZA = 135°, отрезок BE — бис¬
сектриса треугольника. На стороне ВС отметили точку D так, что
ZBAD = 90°. Найдите угол BED.
23.28.	В треугольнике АВС провели высоту BD (точка D принадлежит
стороне АС) и биссектрису АЕ. Известно, что ZAEB = 45°. Дока¬
жите, что ZEDC = 45°.
23.29.	В треугольнике АВС провели медиану CD. Известно, что
ZA = 30° и ZB = 15°. Найдите угол ADC.
Задачи на построение
С помощью линейки с делениями, цир¬
куля, угольника, транспортира, лекал
(рис. 24.1) вам не раз приходилось выпол¬
нять различные геометрические построения.
А можно ли обходиться меньшим ко¬
личеством чертёжных инструментов? Ока¬
зывается, что во многих случаях достаточно
использовать только циркуль и линейку без
делений. Например, чтобы провести биссек¬
трису угла, совсем не обязательно иметь
транспортир, а разделить отрезок пополам
можно и тогда, когда на линейку не нанесе¬
на шкала.
А стоит ли в наше время, когда созда¬
ны точнейшие приборы и совершенные ком-
165

пыотерные программы, позволяющие выполнять сложнейшие измере¬
ния и построения, обходиться такими скудными средствами, как цир¬
куль и линейка? На практике, конечно, нет. Поэтому, например,
конструкторы, строители, архитекторы, дизайнеры не ограничивают
себя в выборе инструментов.
Однако при построении фигур в геометрии договорились придер¬
живаться таких правил:
1)	все построения выполняют только с помощью циркуля и ли¬
нейки без делений;
2)	с помощью линейки можно через заданную точку провести
прямую, а также через заданные две точки А и В провести прямую
АВ;
3)	с помощью циркуля можно построить окружность с данным
центром и радиусом, равным заданному отрезку.
Итак, договоримся, что если в задаче требуется построить какую-
то фигуру, то построение выполняют по описанным выше правилам.
Решить задачу на построение — это значит:
1)	проанализировав условие, составить план (алгоритм) построе¬
ния фигуры;
2)	реализовать план, выполнив построение;
3)	доказать, что полученная фигура является искомой.
Вы часто встречались с задачами, которые имели одно, два, бес¬
конечно много решений или вообще решений не имели. Подобные си¬
туации встречаются и в задачах на построение. Поэтому ещё одним
важным этапом решения может стать исследование. Например, если
поставлена задача построить треугольник, стороны которого равны
1 см, 2 см и 100 см, то такая задача решений не имеет. Если же надо
построить окружность радиуса 5 см с центром в данной точке, то эта
задача имеет единственное решение. Как правило, этап исследования
завершает задачу на построение.
Рассмотрим основные задачи на построение.
фур Задача 1. Постройте угол, равный данно¬
му, одна из сторон которого является данным
лучом.
Решение. На рисунке 24.2 изображены
угол А и луч ОК. Надо построить угол, рав¬
ный углу А у одной из сторон которого являет¬
ся луч О К.
Проведём окружность произвольного ра¬
диуса г с центром в точке А. Точки пересече¬
166

ния этой окружности со сторонами угла А обо¬
значим В и С (рис. 24.3). Тогда АВ = АС = г.
Проведём окружность радиуса г с цен¬
тром в точке О. Пусть она пересекает луч ОК
в точке М (рис. 24.4, а). Затем проведём
окружность радиуса ВС с центром в точке М.
Пусть окружности с центрами О и М пересе¬
каются в точках Е и F (рис. 24.4, б). Проведём
лучи ОЕ и OF (рис. 24.4, в).
Покажем, что каждый из углов ЕОМ и FOM — искомый. Дока¬
жем, например, что ZEOM = ZBAC.
Рассмотрим треугольники АВС (рис. 24.3) и OEM (рис. 24.4, в).
Имеем: АВ = ОЕ = г = АС = ОМ. Кроме того, по построению ЕМ = ВС.
Следовательно, треугольники АВС и OEM равны по трём сторо¬
нам, т. е. по третьему признаку равенства треугольников. Отсюда
ZEOM = ZBAC. Аналогично можно показать, что ZBAC = ZFOM. ш
Мы построили два угла ЕОМ и jFOM, удовлетворяющие условию
задачи. Эти углы равны. В таких случаях считают, что задача на по¬
строение имеет одно решение.
CW Задача 2. Постройте серединный перпендикуляр данного отрез¬
ка.
Решение. Пусть АВ — данный отрезок
(рис. 24.5). Проведём две окружности с цен¬
трами А и В и радиусом АВ. Точки пересече¬
ния этих окружностей обозначим буквами М
А
В
Г Рис. 24.5
167

и N (рис. 24.6, а). Проведём прямую MN (рис. 24.6, б). Докажем, что
прямая MN является искомой.
Из построения следует, что МА = МВ = АБ и JVA = ЛГБ = АВ
(рис. 24.7). Следовательно, точки М и N принадлежат серединному
перпендикуляру отрезка АВ. Тогда прямая MN и является середин¬
ным перпендикуляром отрезка АВ. ■
Поскольку прямая MN пересекает отрезок АВ в его середине,
точке О, то тем самым решена следующая задача.
Задача 3. Разделите данный отрезок пополам.
©й» Задача 4. Даны прямая и не принадлежащая ей точка. Через эту
точку проведите прямую, перпендикулярную данной.
Решение. Пусть т — данная прямая,
А — не принадлежащая ей точка. Прове¬
дём окружность с центром в точке А так,
чтобы она пересекла прямую т в двух точ¬
ках. Обозначим эти точки буквами М и N
(рис. 24.8).
Поскольку AM = AN, то точка А при¬
надлежит серединному перпендикуляру от¬
резка MN. Построив этот серединный пер¬
пендикуляр (см. задачу 2), мы тем самым
решим задачу. ■
168

9gp Задача 5. Даны прямая и при¬
надлежащая ей точка. Через эту точ¬
ку проведите прямую, перпендику¬
лярную данной.
Решение. Пусть т — данная
прямая, А — принадлежащая ей точ¬
ка. Проведём окружность произволь¬
ного радиуса с центром в точке А. Она
пересекает прямую т в двух точках.
Обозначим эти точки буквами М и N
(рис. 24.9).
Поскольку AM = AN у то мы свели задачу к построению середин¬
ного перпендикуляра отрезка MN. ■
Sir? Задача 6. Постройте биссектрису данного угла.
Решение. Пусть А — данный угол. Проведём окружность произ¬
вольного радиуса с центром в точке А. Эта окружность пересекает сто¬
роны угла в двух точках. Обозначим эти точки буквами М и N
(рис. 24.10, а). Тем же радиусом проведём две окружности с центра¬
ми М и N. Обозначим точку их пересечения, отличную от точки А,
буквой К (рис. 24.10, б). Проведём луч АК (рис. 24.10, в).
Докажем, что луч АК — искомая бис
сектриса.
Действительно, треугольники АМК и
AN К (рис. 24.11) равны по трём сторонам,
т. е. по третьему признаку равенства тре¬
угольников. Следовательно, ZMAK = ZNAK. ш
Задача 7, Постройте прямоугольный
треугольник по гипотенузе и катету.
169

Решение. Пусть даны два отрезка, длины
которых равны с и Ь, причём b < с (рис. 24.12).
Поскольку гипотенуза больше катета, то гипоте¬
нуза искомого треугольника равна большему из
данных отрезков, а катет — меньшему. Следова¬
тельно, надо построить прямоугольный треуголь¬
ник АВС, в котором ZC = 90°, АВ = с, АС = Ь.
г
Рис. 24.12
Проведём две перпендикулярные прямые тип. Пусть С — точ¬
ка их пересечения. На прямой т отложим отрезок С А, равный данно¬
му катету Ъ (рис. 24.13, а). Проведём окружность с центром в точке А
радиусом, равным данной гипотенузе с. Пусть эта окружность пересе¬
кает прямую п в двух точках BY и В2 (рис. 24.13, б). Каждый из тре¬
угольников АСВХ и АСВ2 — искомый.
п
С
А
т
"
Рис. 24.13
а
6
Поскольку треугольники АСВХ и АСВ2 равны, то задача имеет
единственное решение. ■
Задача 8. Постройте треугольник по стороне и высотам, прове¬
дённым к двум другим сторонам.
Решение. На рисунке 24.14 изо¬
бражён треугольник АВСУ отрезки АА}
и ССг — его высоты. Если известны от¬
резки АС, ААХ и CCV то можно постро¬
ить прямоугольные треугольники ААХС
и ССХА по гипотенузе и катету (см. зада-
чу 7).
Приведённые рассуждения назы¬
вают анализом задачи на построение.
Он подсказывает план построения.
170

Построим прямоугольный треугольник ААХС, в котором гипоте¬
нуза АС равна данной стороне, а катет ААг — одной из данных высот
(рис. 24.15, а). В построенном треугольнике угол АСАХ равен одному
из углов, прилежащих к заданной стороне искомого треугольника.
С помощью аналогичного построения можно получить другой приле¬
жащий к данной стороне угол. На рисунке 24.15, б это угол СХАС.
Теперь осталось построить треугольник АВС по стороне АС и
двум прилежащим к ней углам. Выполните это построение самостоя¬
тельно. ■
Задача 9. Постройте треугольник по углу и проведённым из вер¬
шины этого угла высоте и биссектрисе.
Решение. Проведём анализ задачи на построение. На рисун¬
ке 24.16 изображён треугольник АВС, в котором отрезок BD — высо¬
та, отрезок ВК — биссектриса.
Если известны длины отрезков BD и ВК, то прямоугольный тре¬
угольник BDK можно построить по гипотенузе и катету. Также отме¬
тим, что если известен угол АВС, то можно построить углы АВК и К ВС,
каждый из которых равен — ZABC. Отсюда получаем план построения.
2
Строим прямоугольный треугольник BDK, в котором гипотенуза
ВК равна данной биссектрисе, а катет BD — данной высоте (рис. 24.17).
Строим два угла, каждый из которых равен половине данного, так,
чтобы луч ВК был их общей стороной. На рисунке 24.17 это углы АВК
и КВС. Треугольник АВС — искомый. ■

1-С помощью каких инструментов выполняют геометрические по¬
строения? Какие построения можно ими выполнять?
2. Что значит решить задачу на построение?
Упражнения
24.1.	Начертите: 1) острый угол; 2) тупой угол. Постройте угол, рав¬
ный начерченному.
24.2.	Начертите острый угол АВС и проведите луч DK. Постройте угол
MDK такой, что ZMDK = 2ZABC.
24.3.	Разделите данный отрезок на четыре равные части.
24.4.	Начертите произвольный угол. Разделите его на четыре равные
части.
24.5.	Постройте угол, равный: 1) 45°; 2) 60°; 3) 75°; 4) 120°.
24.6.	Постройте угол, равный: 1) 30°; 2) 22°30'; 3) 15°.
24.7.	Начертите: 1) остроугольный треугольник; 2) тупоугольный тре¬
угольник. Постройте все высоты этого треугольника.
24.8.	Начертите треугольник АВС. Постройте его: 1) высоту AM; 2) ме¬
диану BD; 3) биссектрису СК.
24.9.	Через данную точку, не принадлежащую данной прямой, прове¬
дите прямую, параллельную данной.
24.10.	Постройте треугольник:
1)	по двум сторонам и углу между ними;
2)	по стороне и двум прилежащим углам.
24.11.	Постройте окружность данного радиуса, касающуюся данной
прямой в данной точке.
24.12.	Через данную точку, принадлежащую углу, проведите прямую,
отсекающую на сторонах угла равные отрезки.
24.13.	Постройте касательную к окружности, проходящую через дан¬
ную точку окружности.
24.14.	Постройте окружность, касающуюся сторон данного угла.
24.15.	Дан угол, равный 30°. Постройте окружность заданного радиуса
так, чтобы центр окружности принадлежал одной из сторон дан¬
ного угла и окружность касалась другой стороны угла.
24.16.	Постройте окружность, касающуюся сторон данного угла, при¬
чём одной из них — в данной точке.
24.17.	Постройте прямоугольный треугольник:
1)	по двум катетам;
2)	по гипотенузе и острому углу;
3)	по катету и прилежащему острому углу.

24.18.	Постройте прямоугольный треугольник по катету и противоле¬
жащему острому углу.
24.19.	Постройте равнобедренный треугольник:
1)	по боковой стороне и углу при вершине;
2)	по высоте, опущенной на основание, и углу при вершине;
3)	по основанию и медиане, проведённой к основанию;
4)	по основанию и высоте, проведённой к боковой стороне.
24.20.	Постройте равнобедренный треугольник:
1)	по основанию и углу при основании;
2)	по боковой стороне и углу при основании;
3)	по боковой стороне и высоте, проведённой к основанию.
24.21.	Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник:
1)	по катету;
2)	по гипотенузе.

24.22.	Постройте окружность, центром которой является данная точка
на стороне данного острого угла и которая отсекает на другой сто¬
роне угла отрезок данной длины.
24.23.	Как разделить пополам отрезок, длина которого в несколько раз
больше наибольшего раствора циркуля?
24.24.	Постройте прямоугольный треугольник:
1)	по острому углу и биссектрисе этого угла;
2)	по катету и высоте, проведённой к гипотенузе.
24.25.	Постройте прямоугольный треугольник:
1)	по катету и медиане, проведённой к другому катету;
2)	по острому углу и высоте, проведённой из вершины прямого
угла.
24.26.	Постройте равнобедренный треугольник по основанию и радиу¬
су вписанной окружности.
24.27.	Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и
биссектрисе треугольника, проведённой из вершины этого угла.
24.28.	Постройте треугольник по стороне, медиане, проведённой к од¬
ной из двух других сторон, и углу между данной стороной и ме¬
дианой.
24.29.	Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней острому
углу и высоте, проведённой к данной стороне.
24.30.	Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, проведённой
к одной из этих сторон. Сколько решений может иметь задача?
24.31.	Постройте треугольник по стороне и проведённым из одного и
того же конца данной стороны медиане и высоте. Сколько реше¬
ний может иметь задача?
173

24.32.	Постройте треугольник по стороне и проведённым к этой сторо¬
не высоте и медиане.
24.33.	Постройте треугольник по высоте и двум углам, которые эта вы¬
сота образует со сторонами треугольника, имеющими с высотой
общую вершину. Сколько решений может иметь задача?
24.34.	Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, проведённой
к третьей стороне. Сколько решений может иметь задача?
24.35.	Постройте треугольник по двум сторонам и углу, противолежа¬
щему одной из этих сторон. Сколько решений может иметь зада¬
ча?
24.36.	Постройте треугольник по стороне, прилежащему углу и медиа¬
не, проведённой к данной стороне. Сколько решений может иметь
задача?
ООО
24.37.	Постройте треугольник по углу и высотам, проведённым из вер¬
шин двух других углов.
24.38.	Постройте треугольник по двум высотам и углу, из вершины ко¬
торого проведена одна из данных высот. Сколько решений может
иметь задача?
24.39.	Постройте прямоугольный треугольник по катету и радиусу
вписанной окружности.
24.40.	Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и
радиусу вписанной окружности.
24.41.	Постройте треугольник по радиусу вписанной окружности и от¬
резкам, на которые точка касания вписанной окружности делит
одну из сторон.
24.42.	Постройте треугольник, если даны три точки, в которых впи¬
санная окружность касается его сторон.
24.43.	По точкам Оа, Ов и Ос, являющимся центрами вневписанных
окружностей треугольника АВС, восстановите треугольник АВС.
24.44.	По точкам О v Ов и О, где точка О — центр вписанной окружно¬
сти треугольника АВС, восстановите треугольник АВС.
Метод геометрических мест точек
в задачах на построение
Известно, что если смешать синий и жёлтый цвета, то получим
зелёный. Пусть на плоскости надо найти точки, обладающие какими-
то двумя свойствами одновременно. Если синим цветом покрасить точ¬
ки, обладающие первым свойством, а жёлтым — обладающие вторым

свойством, то понятно, что зелёные точки будут обладать сразу двумя
свойствами. В этом и состоит идея метода ГМТ в задачах на построе¬
ние. Решим с помощью этого метода несколько задач.
@5? Задача 1. Постройте треугольник по трём
данным его сторонам.
Решение. Пусть даны три отрезка, длины
которых равны а, b и с (рис. 25.1). Надо постро¬
ить треугольник АВС, в котором АВ = с, АС = b,
ВС = а.
Проведём произвольную прямую. С помо¬
щью циркуля отложим на ней отрезок ВС, равный а (рис. 25.2). Зада¬
ча свелась к построению третьей вершины треугольника, точки А.
Воспользуемся тем, что точка А обладает сразу двумя свойствами:
1)	принадлежит геометрическому месту точек, удалённых от точ¬
ки В на расстояние с, т. е. окружности радиуса с с центром в точке В
(на рисунке 25.2 это «зелёная окружность»);
2)	принадлежит геометрическому месту точек, удалённых от точ¬
ки С на расстояние b, т. е. окружности радиуса b с центром в точке С
(на рисунке 25.2 это «фиолетовая окружность»).
а
Рис. 25.1
В качестве точки А можно выбрать любую из двух образовавших¬
ся «зелёных точек».
Полученный треугольник АВС является искомым, поскольку в
нём АВ = с, АС = Ь, ВС = а. ш
Из описанного построения следует, что если каждый из трёх
данных отрезков меньше суммы двух других, то эти отрезки могут
служить сторонами треугольника.
175

Задача 2. Постройте фигуру, все точки которой принадлежат дан¬
ному углу, равноудалены от его сторон и находятся на заданном рас¬
стоянии а от его вершины.
Решение. Искомые точки принадлежат сразу двум геометриче¬
ским местам точек: биссектрисе данного угла и окружности с центром
в вершине угла и радиусом, равным а.
Построим биссектрису угла и указанную окружность (рис. 25.3).
Их пересечением является искомая точка X. ш
Задача 3. Постройте центр окружности данного радиуса R, кото¬
рая проходит через данную точку М и касается данной прямой а.
Решение. Поскольку окружность касается прямой а, то её центр
находится на расстоянии R от этой прямой. Геометрическим местом то¬
чек, удалённых от данной прямой на данное расстояние, являются две
параллельные прямые (см. задачу 20.23). Следовательно, центр окруж¬
ности находится на прямой b или на прямой с (рис. 25.4).
Геометрическое место точек, являющихся центрами окружно¬
стей радиуса R, проходящих через точку М, — это окружность радиу¬
са R с центром в точке М. Поэтому в качестве центра искомой окруж¬
ности можно выбрать любую из точек пересечения построенной окруж¬
ности и одной из прямых b или с в зависимости от того, в какой
полуплоскости находится точка М относительно прямой а (на рисун¬
ке 25.5 это точки Оа и 02).
ъ
°1 \°2 Ь
м •
а
Г м*
\ У а
с
с
■ Рис. 25.4
■рис. 25.5
Если построенная окружность не имеет общих точек ни с пря¬
мой 6, ни с прямой с, то задача не имеет решений.
Построение для случая, когда данная точка принадлежит данной
прямой, рассмотрите самостоятельно. ■
В задаче 3 мы рассмотрели ситуацию, когда задача имеет два ре¬
шения. Подумайте, сколько решений может иметь задача в зависимо-
176

сти от взаимного расположения точки М и прямой а, а также значения
величины R.
Задача 4. Постройте треуголь¬
ник по стороне, медиане, проведённой
к этой стороне, и радиусу описанной
окружности.
Решение. Построим окружность
данного радиуса и проведём хорду
АВ, равную стороне искомого тре¬
угольника. Тогда концы хорды явля¬
ются двумя вершинами искомого тре¬
угольника. Понятно, что третья вер¬
шина принадлежит одновременно
построенной окружности («чёрная
окружность») и окружности с цен¬
тром в точке О, являющейся серединой хорды АВ, и радиусом, равным
данной медиане («зелёная окружность»). Каждый из треугольников
АВСХ и АВС2 (рис. 25.6) является искомым. ■
Построение треугольника по трём сторонам (задача 1), а также
условия, при которых три данных отрезка могут служить сторонами
треугольника, помогают исследовать возможности взаимного располо¬
жения двух окружностей.
Рассмотрим окружности с центрами Ох и 02 и радиусами R и г
(R > г) соответственно. Пусть расстояние между центрами этих окруж¬
ностей, т. е. длина отрезка 0Х02, равно cl.
1) Если d > R + г, то отрезки, длины которых равны d, R и г, не
могут служить сторонами треугольника. Тогда данные окружности
не имеют общих точек и расположены так, как показано на рисун¬
ке 25.7.

2)	Если d = R + г, то на отрезке 0Х02 существует такая точка М,
что ОхМ = R и М02 = г. Тогда данные окружности имеют только одну
общую точку М (рис. 25.8). В этом случае говорят, что окружности ка¬
саются внешним образом.
3)	Если R - г < d < R + /*, то можно построить треугольник, сторо¬
ны которого равны df R и г. Это значит, что данные окружности имеют
две общие точки (рис. 25.9).
4)	Если d = R - г, то R = d + г. В этом случае на продолжении отрез¬
ка Ох02 за точку 02 существует такая точка М, что Ох02 = d и 02М = г.
Тогда данные окружности имеют только одну общую точку М (рис. 25.10).
В этом случае говорят, что окружности касаются внутренним образом.
5)	Если d < R - г, то R > d + г. В этом случае на продолжении от¬
резка Ог02 за точку 02 существует такая точка М, что ОгМ = R и
о2м > г. Тогда данные окружности не имеют общих точек и окруж¬
ность меньшего радиуса располагается внутри окружности большего
радиуса (рис. 25.11).
6)	Если d = 0, то центры окружностей совпадают (рис. 25.12). Та¬
кие окружности называют концентрическими.
Упражнения
25.1.	Даны прямая т и точки А и В вне её
(рис. 25.13). Постройте на прямой т точку,
равноудалённую от точек А и В.
25.2.	Точки А и В принадлежат прямой т. По¬
стройте точку, удалённую от прямой т на
расстояние а и равноудалённую от точек А | Рис. 25.13
и jВ. Сколько решений имеет задача?
.В
т
25.3.	Точки В и С принадлежат разным сторонам угла А, причём
АВ Ф АС. Постройте точку М, принадлежащую углу, равноуда¬
лённую от его сторон и такую, что МВ = МС.
178

25.4.	Точки В и С принадлежат разным сторонам угла А. Постройте
точку D, принадлежащую углу, равноудалённую от его сторон и
такую, что DC = ВС. Сколько решений может иметь задача?
25.5.	Постройте равнобедренный треугольник по основанию и боковой
стороне.

25.6.	Для данной окружности постройте точку, являющуюся её цен¬
тром.
25.7.	Постройте окружность данного радиуса, центр которой принад¬
лежит данной прямой, так, чтобы эта окружность проходила че¬
рез данную точку.
25.8.	Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две
данные точки.
25.9.	Найдите все точки, принадлежащие данной окружности и равно¬
удалённые от концов данного отрезка. Сколько решений может
иметь задача?
25.10.	Даны две пересекающиеся прямые т и п и отрезок АВ. По¬
стройте на прямой т точку, удалённую от прямой п на расстоя¬
ние АВ. Сколько решений имеет задача?
25.11.	В треугольнике АВС известно, что Z.C - 90°. На катете АС по¬
стройте точку D, удалённую от прямой АВ на расстояние CD.
25.12.	Постройте равнобедренный треугольник по основанию и радиусу
описанной окружности. Сколько решений может иметь задача?
25.13.	Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведён¬
ной к одной из данных сторон.
25.14.	Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и
медиане, проведённой к боковой стороне.
ООО
25.15.	На данной окружности постройте точку, находящуюся на дан¬
ном расстоянии от данной прямой. Сколько решений может
иметь задача?
25.16.	На данной окружности постройте точку, равноудалённую от
двух данных пересекающихся прямых. Сколько решений может
иметь задача?
25.17.	Между двумя параллельными прямыми дана точка. Постройте
окружность, проходящую через эту точку и касающуюся данных
прямых. Сколько решений имеет задача?
25.18.	Постройте окружность, проходящую через данную точку А и
касающуюся данной прямой т в данной точке В.
25.19.	Даны две параллельные прямые и секущая. Постройте окруж¬
ность, касающуюся этих трёх прямых.
179

25.20.	Постройте треугольник по двум сторонам и радиусу описанной
окружности. Сколько решений может иметь задача?
25.21.	Постройте треугольник по стороне, высоте, проведённой к этой
стороне, и радиусу описанной окружности. Сколько решений мо¬
жет иметь задача?
25.22.	Постройте равносторонний треугольник по радиусу описанной
окружности.
25.23.	Три прямые попарно пересекаются и не проходят через одну
точку. Постройте точку, равноудалённую от всех трёх прямых.
Сколько решений имеет задача?
25.24.	Постройте прямоугольный треугольник по катету и сумме гипо¬
тенузы и другого катета.
25.25.	Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и сумме
катетов.
25.26.	Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и разно¬
сти катетов.
25.27.	Постройте прямоугольный треугольник по катету и разности ги¬
потенузы и другого катета.
25.28.	Постройте равнобедренный треугольник по основанию и разно¬
сти боковой стороны и высоты, опущенной на основание.
25.29.	Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и
сумме двух других сторон.
25.30.	Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и
разности двух других сторон.
25.31.	Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и
разности двух других сторон.
25.32.	Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и
сумме двух других сторон.
25.33.	Постройте треугольник по стороне, разности углов, прилежа¬
щих к этой стороне, и сумме двух других сторон.
25.34.	Постройте треугольник по периметру и двум углам.
25.35.	Постройте остроугольный треугольник по периметру, одному из
углов и высоте, проведённой из вершины другого угла.
25.36.	Постройте треугольник по высоте и медиане, проведённым из
одной вершины, и радиусу описанной окружности.
25.37.	Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведён¬
ной к третьей стороне.
25.38.	Постройте треугольник по стороне, высоте, проведённой к этой
стороне, и медиане, проведённой к одной из двух других сторон.
180

КОГДА СДЕЛАНЫ УРОКИ
Из истории геометрических построений
Умение достигать результат, используя минимальные средства,
всегда считалось признаком высокого мастерства. Видимо, поэтому в
Древней Греции в значительной степени было развито искусство вы¬
полнять геометрические построения с помощью только двух инстру¬
ментов: дощечки с ровным краем (линейки) и двух заострённых пало¬
чек, связанных на одном конце (циркуля). Такое ограничение в выбо¬
ре инструментов историки связывают с древнегреческой традицией,
согласно которой прямую и окружность считали самыми гармоничны¬
ми фигурами. Так, в своей книге «Начала» великий учёный Евклид
описывал построения геометрических фигур, выполненные лишь цир¬
кулем и линейкой.
Существует много задач на построение. С некоторыми из них вы
уже успели познакомиться. Однако есть три задачи на построение, ко¬
торые сыграли в развитии математики особую роль. Эти задачи стали
знаменитыми.
Задача о квадратуре круга. Построить квадрат, площадь которо¬
го равна площади данного круга.
Задача о трисекции угла (от латинских tri — «три» и section —
«разрезание»). Разделить угол на три равные части.
Задача об удвоении куба. Построить куб, объём которого в 2 раза
больше объёма данного куба.
Эти задачи занимали умы людей на протяжении тысячелетий.
Их пытались решить и такие выдающиеся учёные древности, как Гип¬
пократ Хиосский, Евдокс Книдский, Евклид, Эратосфен, Аполлоний
Пергский, Герои, Папп, Платон, Архимед, и гении Нового времени —
Рене Декарт, Франсуа Виет, Исаак Ньютон. И лишь в середине XIX ве¬
ка была доказана их неразрешимость, т. е. невозможность выполнить
указанные построения с использованием лишь циркуля и линейки.
Этот результат был получен средствами не геометрии, а алгебры, бла¬
годаря переводу этих задач на язык уравнений.
Об этих трёх знаменитых задачах вы сможете узнать больше, если
примете участие в работе над проектом «Три знаменитые задачи древно¬
сти — трисекция угла, квадратура круга, удвоение куба» (см. с. 191).
181

Когда вы решали задачи на построение, особенно те, которые от¬
мечены знаком '.'Г , вы, по-видимому, испытали сложности, связан¬
ные с ограниченностью арсенала инструментов. Поэтому предложение
ещё больше сузить возможности применяемых приборов может пока¬
заться по меньшей мере неожиданным. Однако ещё в X в. персидский
математик Мохаммед Абу-ль-Вефа описал решение целого ряда задач
на построение с помощью линейки и циркуля, раствор которого нель¬
зя менять. Совсем удивительной является теорема, опубликованная в
1797 г. итальянским математиком Лоренцо Маскерони (1750—1800):
любое построение, выполнимое циркулем и линейкой, можно проде¬
лать одним циркулем. При этом Маскерони обусловливал следующее:
поскольку самим циркулем провести прямую нельзя, то прямая счита¬
ется построенной, если построены какие-нибудь две её точки.
В XX в. была обнаружена книга датского учёного Георга Мора
(1640—1697), в которой он также описал построения одним циркулем.
Поэтому сформулированную выше теорему называют теоремой Мора—
Маскерони.
182

Итоги
Геометрическое место точек (ГМТ)
Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество всех
точек, обладающих определённым свойством.
Серединный перпендикуляр отрезка как ГМТ
Серединный перпендикуляр отрезка является геометрическим
местом точек, равноудалённых от концов этого отрезка.
Биссектриса угла как ГМТ
Биссектриса угла является геометрическим местом точек, при¬
надлежащих углу и равноудалённых от его сторон.
Окружность
Окружностью называют геометрическое место точек, расстоя¬
ния от которых до заданной точки равны данному положитель¬
ному числу.
Круг
Кругом называют геометрическое место точек, расстояния от
которых до заданной точки не больше данного положительно¬
го числа.
Хорда окружности
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называют хор¬
дой окружности.
Диаметр окружности
Хорду, проходящую через центр окружности, называют диаме¬
тром.
Свойства окружности
Диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит эту хор¬
ду пополам.
Диаметр окружности, делящий хорду, отличную от диаметра,
пополам, перпендикулярен этой хорде.
Касательная к окружности
Прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку,
называют касательной к окружности.
183

Свойство касательной
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, прове¬
дённому в точку касания.
Признаки касательной к окружности
Если прямая, проходящая через точку окружности, перпендику¬
лярна радиусу, проведённому в эту точку, то эта прямая являет¬
ся касательной к данной окружности.
Если расстояние от центра окружности до некоторой прямой
равно радиусу окружности, то эта прямая является касательной
к данной окружности.
Свойство касательных, проведённых к окружности
через одну точку
Если через данную точку к окружности проведены две каса¬
тельные, то отрезки касательных, соединяющие данную точку с
точками касания, равны.
Окружность, описанная около треугольника
Окружность называют описанной около треугольника, если
она проходит через все его вершины.
Около любого треугольника можно описать окружность.
Центр окружности, описанной около треугольника
Центр окружности, описанной около треугольника, — это точ¬
ка пересечения серединных перпендикуляров сторон треуголь¬
ника.
Окружность, вписанная в треугольник
Окружность называют вписанной в треугольник, если она каса¬
ется всех его сторон.
В любой треугольник можно вписать окружность.
Центр окружности, вписанной в треугольник
Центр окружности, вписанной в треугольник, — это точка пере¬
сечения биссектрис треугольника.
184

Дружим с компьютером
Изучая математику в 5 и 6 классах, вы уже пользовались компьюте¬
ром и оценили, каким надёжным помощником он может быть. Поможет
он и в изучении геометрии.
Геометрия изучает фигуры: отрезки, треугольники, прямоугольни¬
ки, прямоугольные параллелепипеды, шары и т. п. Поэтому полезно нау¬
читься пользоваться графическим редактором, с помощью которого
можно работать с геометрическими фигурами и строить чертежи. При¬
мерами таких редакторов могут быть CorelDRAW, Microsoft Visio и т. п.
Выберите вместе с учителем графический редактор для выполнения ри¬
сунков к заданиям этого раздела. Кроме этих заданий, можно с помо¬
щью этого графического редактора иллюстрировать задачи, которые вы
решаете. А если вы захотите сделать доклад или интересное сообщение
для товарищей, то сможете с помощью программ для построения пре¬
зентаций (например, Microsoft PowerPoint) создать даже мультфильм из
«жизни» геометрических фигур.
Существует много программ, созданных специально для школьников
и предназначенных помочь им в изучении математики: мультимедийные
образовательные программы, программы для выполнения геометриче¬
ских построений. Вы найдёте их в сети Интернет. А может, по мере приоб¬
ретения знаний и умений вы и сами будете разрабатывать полезные про¬
граммы для изучения геометрии.
Приведённые ниже задания вы сможете выполнять с помощью ком¬
пьютера по мере изучения соответствующих тем. Большая их часть — за¬
дания на построение геометрических фигур, которые вы будете выпол¬
нять с помощью выбранного графического редактора.
Точки и прямые
1.	Вы знаете, что в геометрии точка размеров не имеет. Поэтому
при графических построениях приходится изображать точки условно, ма¬
ленькими кружочками (см. рисунки к § 1) или отдельными пикселями на
экране. Аналогично прямая, изображённая на экране, будет иметь толщи¬
ну (в отличие от прямых, рассматриваемых в геометрии).
Освойте в графическом редакторе инструменты для изображения
точек и прямых, научитесь проводить прямую через две точки.
2.	Освойте инструмент, позволяющий подписывать точки и прямые
прописными и строчными буквами латинского алфавита.
185

Отрезок и его длина
3.	Изобразите две точки, постройте отрезок, концами которого яв¬
ляются две заданные точки.
4.	Найдите, каким образом графический редактор указывает длину
отрезка.
5.	Постройте отрезок заданной длины.
6.	Найдите инструмент, с помощью которого можно перемещать и
поворачивать фигуры.
7.	Постройте два отрезка одинаковой длины и совместите их нало¬
жением.
8.	Постройте чертёж, иллюстрирующий основное свойство длины от¬
резка. Проверьте, выполняется ли это свойство, определив длины постро¬
енных отрезков.
9.	Есть ли в выбранном вами графическом редакторе средство для
нахождения середины отрезка?
Луч. Угол
10.	Постройте несколько различных углов. Найдите инструмент, с по¬
мощью которого можно определять величину угла и строить углы задан¬
ной величины.
11.	Постройте чертёж, иллюстрирующий основное свойство величи¬
ны угла. Проверьте, выполняется ли это свойство, определив величины
построенных углов.
12.	Найдите инструмент, который позволяет рисовать дуги. Нарисуй¬
те несколько углов и обозначьте равные углы одинаковым количеством
дуг. Обратите внимание на то, что на рисунках основные и вспомогатель¬
ные линии имеют разную толщину. Найдите инструмент, позволяющий
выбирать толщину линии.
13.	Изобразите смежные и вертикальные углы.
Перпендикулярные прямые
14.	Найдите в графическом редакторе инструмент, предназначен¬
ный для построения перпендикулярных прямых. Постройте с помощью
этого инструмента прямой угол.
15.	Нарисуйте прямую и точку, лежащую на данной прямой. Прове¬
дите через эту точку прямую, перпендикулярную данной.
16.	Нарисуйте прямую и точку, не лежащую на данной прямой. Про¬
ведите через эту точку прямую, перпендикулярную данной.
186

Треугольник. Высота, медиана, биссектриса
треугольника
17.	Чтобы изобразить треугольник, обычно рисуют три отрезка,
представляющие собой его стороны. Нарисуйте эти три отрезка. Найдите
инструмент, который позволяет «склеить» эти отрезки и далее рассматри¬
вать их как единую фигуру — треугольник.
18.	Нарисуйте остроугольный, прямоугольный и тупоугольный тре¬
угольники.
19.	Найдите инструмент, который позволяет копировать уже нарисо¬
ванную фигуру, и инструмент, который позволяет перемещать и повора¬
чивать фигуры. С помощью этих инструментов изобразите несколько рав¬
ных треугольников.
20.	Постройте произвольный треугольник и из каждой его верши¬
ны проведите высоту, медиану, биссектрису. Какие инструменты вы ис¬
пользуете для того, чтобы построение было точным? Выполните такое
построение для остроугольного, прямоугольного, тупоугольного тре¬
угольников.
Равнобедренный треугольник
21.	Постройте равнобедренный и равносторонний треугольники.
Какие возможности графического редактора облегчат построение?
22.	Как можно использовать теорему 10.3 для построения равнобед¬
ренного треугольника?
Признаки равенства треугольников
23.	Постройте два треугольника, у которых две стороны и угол меж¬
ду ними соответственно равны. Как продемонстрировать, что построен¬
ные треугольники равны?
24.	Нарисуйте отрезок и постройте его серединный перпендику¬
ляр.
25.	Постройте два треугольника, у которых сторона и два прилежа¬
щих к ней угла соответственно равны. Как продемонстрировать, что по¬
строенные треугольники равны?
26.	Выполните рисунок, иллюстрирующий свойство серединного
перпендикуляра. Выберите на серединном перпендикуляре несколько то¬
чек. С помощью какого инструмента можно проверить, что эти точки рав¬
ноудалены от концов отрезка?
187

Параллельные прямые
27.	Выполняя предыдущие задания, вы освоили инструменты, позво¬
ляющие копировать и перемещать уже построенные фигуры. Как с помо¬
щью этих инструментов построить параллельные прямые?
28.	Придумайте, как строить параллельные прямые, используя тео¬
рему 13.1.
29.	Нарисуйте прямую и точку, ей не принадлежащую. Проведите че¬
рез эту точку прямую, параллельную данной. Увеличьте полученный рису¬
нок. Может ли этот рисунок убедительно проиллюстрировать аксиому па¬
раллельности прямых? Почему?
Этот пример показывает, что все геометрические построения, кото¬
рые мы можем выполнить либо на бумаге, либо с помощью компьютера,
достаточно условны. Поэтому, даже сделав прекрасный рисунок, надо по¬
лагаться не на него, а на математические факты и доказательства.
30.	Постройте несколько пар параллельных прямых. Как, используя
инструменты графического редактора, показать, что построенные прямые
действительно параллельны?
31.	Сделайте несколько рисунков, иллюстрирующих свойства парал¬
лельных прямых. С помощью инструментов графического редактора пока¬
жите, что эти свойства выполняются.
32.	Нарисуйте две параллельные прямые. Как определить расстоя¬
ние между ними?
Сумма углов треугольника
33.	Нарисуйте произвольный треугольник. Постройте все его внеш¬
ние углы. Пользуясь средствами графического редактора, найдите величи¬
ны всех построенных углов.
Прямоугольный треугольник
34.	Нарисуйте прямоугольный треугольник и отметьте его прямой
угол «уголком» с использованием тонких линий (см. рис. 18.1).
35.	Постройте пары треугольников, иллюстрирующие признаки ра¬
венства прямоугольных треугольников. Отметьте на рисунке равные сто¬
роны одинаковым количеством чёрточек, а равные углы — одинаковым
количеством дуг.
36.	Постройте прямоугольный треугольник, острый угол которого
равен 30°. Проверьте, выполняются ли для него утверждения ключевых за¬
дач 1 и 3 параграфа 19.
188

Окружность и круг
37.	Освойте инструмент для рисования окружностей и кругов. Чем
отличаются изображения окружности и круга? Какой инструмент нужен,
чтобы из изображения окружности сделать изображение круга?
38.	Нарисуйте окружность, проведите её хорду и диаметр. Какой
элемент изображения окружности нужен, чтобы точно провести диаметр?
39.	Нарисуйте окружность и отметьте на ней точку. Какие инстру¬
менты надо использовать, чтобы провести касательную к окружности в
этой точке?
Описанная и вписанная окружности треугольника
40.	Нарисуйте произвольный треугольник. Постройте его вписанную
и описанную окружности, не пользуясь теоретическим материалом § 22.
Теперь постройте эти же окружности, пользуясь следствиями 2 из теорем
22.1 и 22.2. Получилось ли это построение более быстрым и точным?
Задачи на построение
41.	В задачах на построение используют циркуль и линейку. Если вы
хотите выполнить построение с помощью графического редактора, то ка¬
кие его инструменты можно использовать вместо циркуля и линейки?
42.	Освойте инструмент, позволяющий изображать различные гео¬
метрические фигуры различными цветами.
43.	Есть ли в выбранном вами графическом редакторе инструмент,
позволяющий автоматически находить пересечение нарисованных геоме¬
трических фигур?
Проектная работа
Эта рубрика адресована прежде всего тем, кто хочет научиться при¬
обретать знания самостоятельно, творчески мыслить, формировать, выра¬
жать и отстаивать свою точку зрения, выдвигать гипотезы, находить
наиболее рациональные и нестандартные решения.
Первым шагом, который может помочь в реализации этих целей, яв¬
ляется участие в проектной работе.
Проект — это самостоятельное исследование по выбранной теме,
которое можно выполнять как индивидуально, так и в группе.
Дадим несколько советов по организации работы над проектом и
оформлению результатов исследования.
189

1.	При выборе темы необходимо учитывать её актуальность, нали¬
чие источников информации в литературе и интернет-ресурсов. Здесь
важно ваше желание проявить себя в качестве исследователя в работе
именно над выбранной темой.
2.	Работу начинают с составления предварительного плана, в кото¬
ром отражается замысел и этапы реализации задуманного. После знаком¬
ства с основными источниками и литературой при помощи руководителя
проекта составляют окончательный план.
3.	Важно чётко сформулировать цели исследования. Они могут быть
записаны в такой форме: изучить, описать, проанализировать, доказать,
сравнить и т. п.
4.	Работа завершается подведением итогов исследования, делаются
выводы, намечаются перспективы дальнейшего изучения темы.
5.	Примерный объём работы — 10—15 страниц. Дополнительно мо¬
жет прилагаться иллюстративный материал.
6.	Работа может быть оформлена в виде реферата, доклада, компью¬
терной презентации.
Ниже приводится рекомендуемый список тем, которые могут быть
выбраны для проектной работы.
1.	Геометрия вокруг нас
Рекомендуемая литература
1.	Депман И. Я*, Виленкин Н* Я. За страницами учебника математи¬
ки: пособие для учащихся 5—б классов средней школы. — М.: Про¬
свещение, 1989.
2. Шарыгин И. ФЕрганжиева Л. Н. Наглядная геометрия: учеб¬
ное пособие для учащихся 5—б классов. — М.: Дрофа, 2002.
3.	Энциклопедический словарь юного натуралиста / сост. А. Г. Рогож¬
кин. — М.: Педагогика, 1981.
4.	Энциклопедия для детей. Математика. — М.: Аванта +, 2003. Т. 11.
2.	Ножницы в руках геометра
Рекомендуемая литература
1.	Байиф ЖгК* Логические задачи. — М.: Мир, 1983.
2.	Гарднер М, Математические головоломки и развлечения. — М.:
Мир, 1999.
3.	Данилов Ю. Головоломки художника Громова // Квант. — 1977. —
№ 2.
4.	Данилов Ю* Стомахион // Квант. — 1978. — № 8.
5. Екимова М. А„ Кукин ГП. Задачи на разрезание. — М.:
МЦНМО, 2002.
6.	Савин Л. Задачи на разрезание // Квант. — 1987. — 7.
190

3.	Геометрия и искусство
Рекомендуемая литература
1.	Пидоу Д. Геометрия и искусство. — М.: Мир, 1979.
2.	Энциклопедия для детей. Математика. — М.: Аванта +, 2003.
Т. 11.
4.	Евклид и его великая книга «Начала»
Рекомендуемая литература
1.	Глейзер В И. История математики в школе: VII—VIII кл. — М.: Про¬
свещение, 1982.
2.	Энциклопедия для детей. Математика. — М.: Аванта +, 2003. Т. 11.
5.	Геометрия — одна из самых древних наук
Рекомендуемая литература
1.	Глейзер Р И. История математики в школе: VII—VIII кл. — М.: Про¬
свещение, 1982.
2.	История математики / под редакцией А. П. Юшкевича. — М.: На¬
ука, 1970.
3.	Энциклопедия для детей. Математика. — М.: Аванта +, 2003. Т. 11.
6.	Три знаменитые задачи древности — трисекция угла,
квадратура круга, удвоение куба
Рекомендуемая литература
1.	Прасолов В* В. Три классические задачи на построение: удвоение
куба, трисекция угла, квадратура круга. — М.: Наука, 1992.
2.	Энциклопедия для детей. Математика. — М. : Аванта +, 2003. Т. 11.
7.	Одна задача — два решения
Рекомендуемая литература
1.	Понарин Я. 77. Задача одна — решений много // Математика в
школе. — 1992. — № 1.
2.	Готман Э. В, Скопец 3. А. Задача одна — решения разные. — Ки¬
ев: Радянська школа, 1983.
8.	Метод ГМТ в задачах на построение
Рекомендуемая литература
Блинков А. Д.> Блинков Ю. А. Геометрические задачи на построе¬
ние. — М.: МЦНМО, 2010.
9.	Построения на местности с помощью специальных приборов
и инструментов
Рекомендуемая литература
1. Антимонов 77. А. Школьные походы по изучению рек, озёр и бо¬
лот родного края. — М.: Учпедгиз, 1963.
191

2.	Ганьшин В. Н. Простейшие измерения на местности. — М.: Не¬
дра, 1983.
3.	Математическая составляющая / Ред.-сост. Н. Н. Андреев, С. П. Ко¬
новалов, Н. М. Панюнин. — М.: Фонд «Математические этюды»,
2015.
4.	Перельман Я. И■ Живой учебник геометрии. — М.: ACT: Астрель,
2009.
5.	Уилсон Н■ Руководство по ориентированию на местности. Выбор
маршрута и планирование путешествия. Навигация с помощью карт,
компаса и природных объектов. — М.: ФАИРПРЕСС, 2004.
10.	Возникновение геометрии как науки и основные этапы её
развития
Рекомендуемая литература
1.	Александрова Н. В. История математических терминов, понятий,
обозначений: словарь-справочник. — М.: Издательство ЛКИ, 2008.
2.	Болгарский Б. В. Очерки по истории математики. — М.: Высш.
школа, 1979.
3.	Глейзер Г. И. История математики в школе: IV—VI классы. — М.:
Просвещение, 1981.
4.	Глейзер Г И. История математики в школе: VII—VIII классы. — М.:
Просвещение, 1982.
5.	Даан Далъмедико А. и др. Пути и лабиринты. Очерки по истории
математики. — М.: Мир, 1986.
6.	Малаховский В. С. Избранные главы истории математики. — Ка¬
лининград: Янтарный сказ, 2002.
7.	Мацуо Комацу. Многообразие геометрии. — М.: Знание, 1981.
8.	Млодинов Л■ Евклидово окно. История геометрии от параллель¬
ных прямых до гиперпространства. — М.: Гаятри/Livebook, 2014.
9.	Наука. Величайшие теории: вып. 14: Трёхмерный мир. Евклид. Гео¬
метрия. — М.: Де Агостини, 2015.
192

Ответы и указания к упражнениям
Глава 1- 1.14. 1 точка, или 4 точки, или 6 точек. 1.15. Наименьшее
возможное количество точек пересечения — 1, наибольшее — 10.
1.16. См. рисунок. 1.17. 12 точек. 1.18. См. рисунок. 1.19. 4. Указание.
На рисунке проведены 4 прямые и отмечены 5 точек, удовлетворяю¬
щих условию задачи. Покажите, что п - 3 не удовлетворяет условию
задачи. 2.20. 8 см или 56 см.
2.22.	1) Все точки отрезка EF;
2) точки А и В (см. рисунок); 3) та¬
ких точек не существует. 2.23. Та¬
ких точек две. Одна из них являет¬
ся такой внутренней точкой С от¬
резка АВ, что АС : ВС = 1 : 2, а вторая — такова, что точка
А — середина отрезка ВС. 2.24. 4 см. 2.25. 30 см. 2.26. 22 см. 2.27. Мож¬
но. 2.28. Можно. 2.29. Две точки прямой АВ, удалённые от точки А на
1 см. 2.30. Все точки отрезка ВС. 2.31. а) 4 точки; б) 3 точки; в) 4 точ¬
ки; г) 3 точки. 2.34. Указание. Воспользуйтесь равенством:
1) 13 - 2 • 5 = 3; 2) 3 • 5 - 13 = 2; 3) 2 • 13 - 5 • 5 = 1. 2.35. Указание.
Воспользуйтесь равенством: 1)2*11-2*7 = 8;2)3*11-4*7 = 5.
3.22.	60°. 3.23. 108°. 3.26. 68°. 3.27. 153°. 3.28. 1) 6°; 2) 0,5°. 3.30. 50°
или 110°. 3.31. 77° или 163°. 3.35. 45°. Указание. Воспользуйтесь клю¬
чевой задачей 3.33. 3.36. 45°, или 75°, или 125°. 3.37. 30°, или 50°, или
90°. 3.41. Указание. Отложите от произвольного луча данный угол по¬
следовательно 14 раз. Воспользуйтесь тем, что полученный таким об¬
разом угол на 2° больше развёрнутого угла. 3.42. 36° или 45°. Указа¬
ние. Рассмотрите два случая: когда сумма углов АОВ, ВОС и COD
меньше 360° и больше 360°. 3.43. 1) Указание. Воспользуйтесь тем, что
19° • 19 = 361°. 3.44. Да. Указание. Предположите, что такого угла не
существует, и получите противоречие. 3.45. 65°, 10°, 15°. Указание.
193

Докажите, что наименьший угол не
может иметь общую сторону с пря¬
мым углом. 4.20. 90°. 4.21. 180°.
4.22. 75°. 4.23. 108°, 72°. 4.24. 136°,
44°. 4.28. 1) Нет; 2) нет. 5.12. 1) 124°;
2) 98°. 5.13. 126°. 5.18. 70°, 160°.
5.19. Если прямые а и b перпендику¬
лярны. 5.20. Существует. 5.21. 1) Ука¬
зание. 90° = 17° • 5 + 5 . 5.23. Можно.
Указание. 90° = 270° - 180°. 5.24. Ука¬
зание. Основания перпендикуляров,
опущенных из произвольной точки X угла MON на прямые О А и ОБ,
принадлежат лучам, дополнительным к лучам О А и ОБ.
Глава 2. 7.18. 48 см. 7.19. 13 СМ. 8.34. 3 см. 8.35. 10 см. 8.37. 2) Ука¬
зание. Докажите, что ZAOM = ZBOK. Угол АОВ — развёрнутый. Тог¬
да ZAOM + ZMOB = 180°. Отсюда ZMOB + ZBOK = 180°. 8.41. Указа¬
ние. Продлите медиану за точку, принадлежащую стороне треугольни¬
ка, на отрезок, равный медиане. 8.42. Нет. Указание. Рассмотрим
острый угол М. На одной из сторон угла отметим точки Б и С и прове¬
дём серединный перпендикуляр отрезка ВС. Пусть А — точка пересе¬
чения этого перпендикуляра с другой стороной угла. Рассмотрите тре¬
угольники АМС и АМВ. 8.43. Нет. 8.44. Указание. Отметьте точку М
так, как показано на рисунке. 8.45. Указание. На луче ВМ отметьте
точку D так, чтобы ВМ = MD. Докажите, что треугольники BCN и
DBC равны. 8.46. Указание. На луче КМ отметьте такую точку N, что
КМ = MN. Докажите равенство треугольников BNE и АКС. 8.48. Ука¬
зание. Проведите биссектрису угла БОС. 9.20. Не следует. 9.30. 4 см
или 7 см. 9.31. 4 см и 6 см или 5 см и 5 см. 9.33. Указание. Пусть точка
О — середина отрезков АВ и CD. Тогда прямая ЕО — серединный пер¬
пендикуляр отрезка CD. 9.38. 26 см или 14 см. 9.40. Указание. Дока¬
жите, что треугольники АВМ и CBN равны. 9.42. 50° или 130°. Указа¬
ние. Рассмотрите три случая: точки М и N лежат в разных полуплоско¬
стях относительно прямой АВ; точка N принадлежит треугольнику
АМВ; точка М принадлежит треугольнику ANB. 9.43. 16 см или 4 см.
9.44. Указание. Отметьте на стороне АС точку М так, чтобы АВ = AM.
9.46. Указание. Пусть точка Е — середина отрезка МС. Докажите ра¬
венство треугольников АКМ и DEM. 9.47. Указание. Докажите, что
треугольники ВАК и BLC равны. 9.48. 10 см. Указание. Докажите,
что треугольники АВК и CED равны. 9.49. Указание. На луче ВМ от¬
ложите отрезок МК, равный отрезку ВМ. Воспользуйтесь тем, что
ZMBC = ZMKA и ZMCB = ZMAK. 9.50. Указание. На стороне АВ от-
194

метьте точку Е так, что АК = АЕ. Докажите, что треугольники АСК и
ALE равны. 10.13. Указание. Воспользовавшись тем, что если биссек¬
триса треугольника является его высотой, то треугольник — равнобе¬
дренный, докажите, что треугольники MAD и KBD равнобедренные.
10.15. Указание. Докажите, что треугольники АВК и ВАМ равны.
10.17. Не могут. 10.18. 8 см. 10.19. 9 см. 10.20. 2 см. Указание. Дока¬
жите, что треугольники КМС и KDA равнобедренные.
10.21. АВ : АС =1:2. 10.23. 10 см. Указание. Докажите, что отрезок
КН — биссектриса треугольника ВКС. 10.24. Указание. Треугольники
ACG и BEF (см. рисунок) равны по стороне и двум прилежащим углам.
Следовательно, ZAGC = ZBFE и AG = BF. 10.25. 2 см, 3 см, 4 см. Удса-
зание. Отрезок BD — биссектриса треугольника АВС (см. рисунок),
отрезок СЕ — его медиана, BD _L СЕ. Докажите, что треугольник СВЕ
равнобедренный (ВС = BE). Тогда АВ = 2ВС и могут иметь место такие
случаи: АВ - ВС = 1 см или АВ - ВС = 2 см, т. е. ВС = 1 см или
ВС = 2 см. 10.26. Указание. Пусть D и Е — точки пересечения прямых
ВК и ВМ с прямой АС соответственно. Докажите, что треугольники
DCB и ЕАВ равны. 10.27. Указание. На луче BD отметьте точку М
так, чтобы BD = DM. Докажите, что треугольник МАЕ равнобедрен¬
ный. 10.29. Указание. На луче ВМ отметьте точку D так, чтобы
ВМ = MD. Воспользуйтесь тем, что ZMBC - ZMDA и ZMCB - ZMAD.
10.30. Указание. Докажите, что треу¬
гольники ADB и DFC равны. 10.31. Ука¬
зание. Докажите, что треугольники АОВ
и ОМС равны. Далее докажите, что треу¬
гольник ОВМ равнобедренный.
10.32.	Указание. Докажите, что треу¬
гольники AFC и DBF равны. 11.13. Нет.
Указание. Рассмотрите треугольники,
изображённые на рисунке. 11.15. Указа-
195

ние. Докажите равенство треугольников APD и ВРС. Далее восполь¬
зуйтесь ключевой задачей 8.25.11.17. Указание. Пусть ABC иАхВхСх —
данные треугольники, АВ = AXBV АС = AXCV отрезки AM и АХМХ —
медианы треугольников АВС и АХВХСХ соответственно. На
продолжениях отрезков AM и АХМХ за точки М и Мх отложите соот¬
ветственно отрезки MD и MlD1 такие, что MD = AM и MXDX = АХМХ.
Докажите, что АС = BD и АХСХ = BXDX. Далее докажите равенство тре¬
угольников ABD и AXBXDV MBD и MXBXDX и, наконец, АБС и А1В1С1.
Глава 3. 13.9. Бесконечно много. 13.11. Указание. Предположим, что
прямые а и b пересекаются. Выберем произвольную точку, принадле¬
жащую прямой а, отличную от точки пересечения а и Ь. Через выбран¬
ную точку можно провести прямую, пересекающую прямую а и парал¬
лельную прямой Ь, что противоречит условию. 13.12. Указание. Пусть
прямая b не перпендикулярна прямой с. Тогда через произвольную
точку М прямой Ь проведём прямую Ьх перпендикулярно прямой с. По
теореме 13.1 устанавливаем, что а || bv Получили, что через точку М
проходят две прямые, параллельные прямой а. 13.13. Указание. Вос¬
пользуйтесь результатом задачи 13.12. 13.14. Указание. Проведите
биссектрису угла В. 13.17. Указание. Продлите отрезки АВ и CD до пе¬
ресечения. 14.18. Нет. 14.21. Указание. Докажите, что ВКМ равнобе¬
дренный. 14.22. Указание. Докажите, что BF || АС и BD || АС, и восполь¬
зуйтесь аксиомой параллельности прямых. 14.23. Указание. Докажи¬
те, что ZBAP = ZBQP. 14.24. Указание. Проведите луч СМ так, что
ZBCM = 30° и ZMCD = 40°. 14.26. Указание. Докажите, что МО || АС
и ON || АС. 15.16. 40°. 15.20. 40°, 70°, 70°. 15.21. 121°. 15.28. Указание.
Проведите через точку С прямую, параллельную АВ. 15.31. Указание.
Докажите, что треугольники АМО и СКО равнобедренные. 15.33. Ука¬
зание. На стороне АВ отметьте точку К так, что KD || АС. Докажите,
что треугольники KBD и DAC равны. 15.34. Указание. На стороне АВ
отметьте точку N так, что ND || АС. Докажите, что треугольники NDM
и CKD равны. 15.35. Указание. На стороне АВ отметьте точку К так,
чтобы МК || АС. Докажите, что треугольники ВМК и MNC равны.
15.37. Указание. На отрезке СЕ отметьте точку F так, что DF || АВ. До¬
кажите, что треугольники DBC и DEF равны. 15.38. Указание. На от¬
резке АС отметьте точку F так, что NF || АВ. Пусть D — точка пересе¬
чения прямых АВ и NK. Докажите, что NF = AD = AM. Далее докажи¬
те, что треугольник DMN равнобедренный. 15.39. 10 см. Указание. На
луче ED отметьте точку F так, что ED = DF. Докажите, что треуголь¬
ник AEF равнобедренный. 16.28. 140°. 16.34. 25°, 55°, 100°. 16.37. 35°,
35°, 110°. 16.40. Указание. Найдите углы треугольника АБС и дока¬
жите, что треугольники АМВ и MAC равнобедренные. 16.41. 36°, 72°,
196

72°. 16.42. Указание. Примените метод до¬
казательства от противного. 16.44. Остро¬
угольный. Указание. Рассмотрите по оче¬
реди каждый угол треугольника. Так как
сумма двух других углов больше 90°, то
рассматриваемый угол меньше 90°. Так как
все углы меньше 90°, то треугольник —
остроугольный. 16.45. Нет. 16.48. 90°.
16.49. 130°. 16.50. 50°. 16.51. 90°. 16.52. 90°.
16.53. 36°, 72°, 72°
или 90°, 45
16.54.
а
•
16.55.
( 540 ^
• f54°i. f
2
I 7 ;
l 7 ) {
45°.
180 Y
7 J
16.57. 720°. 16.61. 60‘
Указание. Докажите, что треугольники ANQ и ВРМ равны, и пока¬
жите, что ZPMB = ZQNA = 120°. 16.62. 55°. Указание. Докажите, что
треугольники PAF и ECQ равны. 16.65. Указание. На луче AD отметь¬
те точки М и N так, что AM = АВ и AN = АС. Докажите, что треуголь¬
ники BMD, DNC и АВС равны. 16.66. Указание. На стороне ВС от¬
метьте точку К так, что ВК = CD. 16.68. 15°. Указание. На продолже¬
нии стороны АВ за точку А отметьте точку К так, чтобы АК = АС.
Воспользуйтесь тем, что треугольники АКС и КСВ являются равнобед¬
ренными. 16.70. 60°. Указание. На продолжении отрезка CD за точку
D отметьте точку К такую, что DK = DC. 16.71. Указание. На продол¬
жениях сторон АС и А1С1 за точки А и Аг отметьте соответственно точ¬
ки К и Кг так, что АК = АВ и АхКг = AlBv Воспользуйтесь равенством
треугольников КВС и KlB1Cv 16.74. 135°. Указание. Отметим точку
А (1; -2) (см. рисунок). Треугольники ОВА и ADM равны по первому
признаку равенства треугольников. Тогда ZAOB + ZDAM = 90°. Дока¬
жите, что треугольник ОАМ равнобедренный и прямоугольный.
16.75. 120°. Указание. Треугольники АКВ и ВМР (см. рисунок) равны
по первому признаку равенства треугольников. 16.76. Указание. Лю-
К	В	М
Рис. к задаче 16.75
197

бой отрезок, содержащийся в равностороннем треугольнике, меньше,
чем его сторона. Две вершины исходного треугольника принадлежат
одному из двух треугольников, которые его покрывают. А значит, сто¬
рона этого треугольника больше или равна стороне исходного. Таким
образом, этого треугольника будет достаточно для покрытия исходно¬
го треугольника. 16.77. 70°. Указание. Постройте равносторонний тре¬
угольник АМС так, чтобы точка М принадлежала треугольнику АБС,
и докажите, что АAMВ = аСББ. 17.10. Указание. В треугольнике DAC
угол DAC тупой. Следовательно, DC > АС. 17.14. 20 см. 17.15. 8 см.
17.16. АВ > АС. 17.17. ZBAD > ZCAD. 17.21. Указание. Отметьте на
прямой т произвольную точку X и сравните сумму АХ + ВХ с длиной
отрезка АВ. 17.22. 3 см. 17.23. 6 см. 17.24. 9 см. 17.25. 9 см. 17.28. Ука¬
зание. Воспользуйтесь тем, что ZKAD < ZBCD. 17.29. Указание. Вос¬
пользуйтесь тем, что в данном треугольнике против угла, величина ко¬
торого равна 60°, не может лежать наибольшая сторона. 17.30. Указа¬
ние. Проведите медиану СМ треугольника АВС. 17.31. Указание.
Продлите отрезок КЕ до пересечения с прямой АС. 17.32. Указание.
Пусть прямая АК пересекает прямую СВ в точке М. Воспользуйтесь
тем, что СК + КМ > СМ. 17.33. Указание. На стороне АВ отметьте точ¬
ку М такую, что КМ || АС. Воспользуйтесь тем, что КМ = МА = КС.
17.34. Указание. На продолжении медианы AM за точку М отложите
отрезок MD, равный этой медиане, и рассмотрите треугольник ABD.
17.37.	Указание. Докажите, что BD > AD. 17.38. Указание. На стороне
ВС отметьте точку М так, что ZMAC = ZMCA. 17.39. Указание. Дока¬
жите, что AD > АС. Тогда AD + DC > АС + CD. 17.40. Указание. По¬
стройте треугольники АВМ и СБХ, равные треугольнику АБС. Вос¬
пользуйтесь тем, что треугольник MBN равносторонний. 17.41. Указа¬
ние. На основании АС отметьте точку К так, что СХ = СЕ. На луче ВС
отметьте точку Т так, что ВС = СТ. Воспользуйтесь тем, что
BE + ЕТ > ВТ. 18.25. Указание. Докажите равенство треугольников
АКН и СМИ. 18.26. Указание. Докажите, что А МЕХ = ANFM. Отсю¬
да следует, что МК = NK. Кроме того, КЕ = FM = NE. Значит,
МК = MN. 18.27. 45°. Указание. Докажите, что треугольники AHD и
BCD равны. 18.29. 45°. Указание. Докажите, что треугольники СМР и
CNQ равнобедренные. 18.30. 45°. Указание. Проведите высоту CD. До¬
кажите, что треугольники СМ К и CDK равны. 18.31. Нет. 18.33. Ука¬
зание. Проведите высоту СН треугольника АВС. Докажите, что лучи
CD и СЕ — биссектрисы соответственно углов МСН и HCF, а далее
воспользуйтесь теоремой 18.2. 18.34. Указание. Проведите высоту СН
треугольника АВС. 18.35. Указание. Из точки М опустите перпенди¬
куляр MD на катет ВС. Докажите, что треугольники NMD и KNC рав-
198

ны. 18.36. Указание. Рассмотрим прямоугольные треугольники АВС и
AlB1Cl (ZC = ZCX = 90°), в которых ZB = ZB1 и АВ + ВС = А1В1 + В1С1.
На лучах СВ и СуВх соответственно отметим точки D и Dx так, что
BD = АВ и BlD1 = А1В1. Докажите, что треугольники ACD и AlC1Dl
равны. 19.11. 30°, 1 см. 19.12. 9 см. 19.13. 15 см. 19.14. Существует.
19.15. Существует. 19.19. 60°, 30°. 19.20. 8 см. 19.21. 6 см. Указание.
Докажите, что треугольник ADB равнобедренный. 19.22. Указание.
Проведите высоту треугольника, ему принадлежащую. Далее восполь¬
зуйтесь ключевой задачей 3 § 19. 19.23. Указание. Треугольник ААХВХ
прямоугольный, поэтому в силу ключевой задачи 3 § 19 получаем, что
А1С1 = —АВ. Тогда В1С1 = —АВ. Тогда в силу ключевой задачи 4 § 19
2 2
получаем, что ZAAXB = 90°. Таким образом, биссектриса ВВг являет¬
ся высотой, а значит, и медианой треугольника АБС. 19.24. 120°. Ука¬
зание. Проведите медиану BE треугольника АВМ. 19.25. 90°, 40°, 50°.
Указание. Рассмотрите треугольник DAK, где точка К — середина
АВ. 19.26. 1 см. Указание. Проведите медиану DM треугольника
ADC. Докажите, что DM || ВС. 19.28. Указание. Рассмотрите отрезки
FM и ЕМ у а также отрезки FN и EN как медианы соответствующих
прямоугольных треугольников. 19.29. 3 см или 6 см. Указание. От¬
метьте точку М — середину отрезка АВ. Рассмотрите два случая: точ¬
ки С и Б лежат в одной полуплоскости относительно прямой АВ и
в разных полуплоскостях. 19.30. Указание. Проведите из вершины
прямого угла медиану данного прямоугольного треугольника.
19.32.	4 см. Указание. Проведите высоту CD треугольника АВС.
19.33.	10 см. Указание. Пусть точка М — середина отрезка АС. Дока¬
жите, что треугольник BMD равносторонний. 19.34. Указание. Пусть
прямые АВ и DC пересекаются в точке Е. Тогда ZAED = 90". Восполь¬
зуйтесь тем, что MN > EN - ЕМ. 19.35. Указание. На стороне С А от¬
метьте точку К так, что СК = СВ. Тогда ZKBD = 90°. 19.36. Указание.
Пусть М — середина отрезка BD. Тогда ВС + CD > 2СМ (см. зада¬
чу 17.35) и BD = 2AM.
Глава 4- 20.16. 1,5 см. 20.17. 60 см. 20.18. Окружность данного ради¬
уса с центром в данной точке. 20.19. Серединный перпендикуляр от¬
резка, соединяющего данные точки. 20.20. Две прямые, состоящие из
биссектрис четырёх углов, образованных при пересечении данных
прямых. 20.21. Все точки серединного перпендикуляра данного осно¬
вания, кроме точки пересечения этого перпендикуляра с основанием.
20.22.	Прямая, являющаяся серединным перпендикуляром отрезка,
который перпендикулярен данным прямым и концы которого принад¬
лежат данным прямым. 20.23. Пара параллельных прямых, каждая из
199

которых удалена от данной прямой на данное расстояние. 20.24. Ука¬
зание. Искомое ГМТ состоит из шести точек. 20.26. Указание. Восполь¬
зуйтесь ключевой задачей 4 § 19. 20.27. Все точки полуплоскости, ко¬
торая содержит точку В и границей которой является серединный пер¬
пендикуляр отрезка АВ, за исключением границы этой полуплоскости.
20.28. Все точки плоскости, не принадлежащие кругу с центром А и
радиусом АВ. 20.29. Искомое ГМТ выделено на рисунке зелёным цве¬
том, d — заданное расстояние. 20.30. Искомое ГМТ выделено на рисун¬
ке зелёным цветом, d — заданное расстояние. 20.31. Два вертикаль¬
ных угла, один из которых — это угол АС В, за исключением точки С.
20.32. 1) Угол АСВ, за исключением точки С; 2) угол АСВ, за исключе¬
нием точек треугольника АВС, не принадлежащих стороне АВ (см. ри-
d
сунок). 20.33. Дуга окружности радиуса — с центром в точке О, при-
2
надлежащая углу COD, без точек, лежащих на лучах ОС и OD (см. ри¬
сунок). Указание. Воспользуйтесь ключевой задачей 3	§ 19.
20.34.	Искомое ГМТ — это объединение таких фигур: серединного пер¬
пендикуляра отрезка АВ и окружностей с центрами А и В радиусами,
равными АВ, за исключением точек, принадлежащих прямой АВ (см.
рисунок). 20.35. Искомое ГМТ — это объединение центра данной
окружности и окружности радиуса 2 см, центр которой совпадает с
центром данной окружности. 20.36. Угол, образованный серединными
перпендикулярами отрезков АВ и АС, содержащий точку А (см. рису-
200

нок). 20.37. Искомое ГМТ — это объединение точки, принадлежащей
биссектрисе угла АВС и удалённой от его вершины на 6 см, и дуги
окружности радиуса 3 см с центром в точке В, содержащейся в угле
MBF, где луч ВЫ перпендикулярен лучу ВА и луч BF перпендикуля¬
рен лучу ВС (см. рисунок). 20.38. Искомое ГМТ — это объединение
прямых АС и BD и точек квадрата, за исключением его сторон (см. ри¬
сунок). 21.15. 1) 90°; 2) 120°. 21.16. 12 см. 21.18. 40°. 21.19. 120°.
21.24. Все точки прямой, проходящей через данную точку перпендику¬
лярно данной прямой, кроме данной точки. 21.25. Все точки биссек¬
трисы угла, за исключением вершины угла. 21.26. Все точки плоско¬
сти, за исключением данной прямой. 21.27. 1 см. 21.28. 60°. Указание.
Опустите перпендикуляр из центра окружности на хорду CD.
21.29. 120°. 21.30. Указание. Опустите из центра окружности перпен¬
дикуляры на хорды АВ и CD. 21.31. Указание. Рассмотрите треуголь¬
ники РОВ и POD у где точка О — центр окружности. 21.32. 5 см. Ука¬
зание. Докажите, что центр окружности и середина отрезка MN нахо¬
дятся на одинаковом расстоянии от прямой СВ. 21.34. 3:1, считая от
точки М. Указание. Докажите, что ZAOM = 60°. 21.36. Указание. Рас¬
смотрев треугольник ОАКу докажите, что ОК = 2АК. 21.37. Указание.
Пусть точка F — середина хорды МВ. Докажите, что прямая NF со¬
держит диаметр окружности. Далее вы¬
числите угол KNF. 22.19. 24 см, 24 см,
20 см. 22.20. 20 см, 14 см, 18 см.
22.21. 50°, 55°, 75°. 22.22. 45°. 22.26. Ука¬
зание. Пусть О — центр окружности,
описанной около треугольника АВС (см.
рисунок). Тогда ZBAO = Z1 и ZBCO = Z2.
Имеем: Zl < ZBAC и Z2 < ZBCA. Отсюда
2Z1 + 2Z2 < 180°. Тогда ZABC < 90°. Ана¬
логично доказываем, что два других угла
201

треугольника тоже острые. 22.28. Указание. Воспользуйтесь методом
доказательства от противного и с помощью ключевых задач 22.26,
22.27 получите противоречие. 22.29. Указание. Воспользуйтесь клю¬
чевой задачей § 22. 22.32. Указание. Проведите серединные перпенди¬
куляры отрезков АС и AM. 22.33. 72°, 72°, 36°. 22.35. Указание. Вос¬
пользуйтесь свойством касательных, проведённых к окружности через
одну точку. 22.36. 11 см. Указание. Докажите, что MN = ВМ + AN.
22.37.	Указание. Проведите биссектрису угла А треугольника АВС.
22.38.	0,5 см. Указание. Пусть Мг и М2 — точки касания окружно¬
стей, вписанных соответственно в треугольники ABD и DBC. Для от¬
резков DM1 и ВМ2 воспользуйтесь результатом задачи 22.35.
22.39.	4 см. 22.40. Указание. Воспользуйтесь тем, что биссектрисы тре¬
угольника, в частности треугольника АМС, пересекаются в одной точ¬
ке. 22.41. 36°, 36°, 108°. Указание. Воспользуйтесь тем, что треуголь¬
ники FAO и БОА равнобедренные. 22.42. Указание. Докажите, что
треугольники PCF и QCE равны. 22.43. Указание. Воспользуйтесь
тем, что треугольники ACM и ВСК равнобедренные. 22.44. Указание.
Отметьте на разных сторонах угла точки М и N. Проведите биссектри¬
сы углов BMN и BNM. Далее отметьте на разных сторонах угла точки
Е и. F. Проведите биссектрисы углов BEF и BFE. 22.45. Указание. До-
кажите, что прямая АО является серединным перпендикуляром отрез¬
ка СХВ±. 22.46. 90°. Указание. Воспользуйтесь результатом задачи
22.22.	22.47. Указание. Пусть М, N и К — точки касания вписанной
окружности со сторонами АВ, ВС и СА соответственно. Докажите, что
АгА2 = AM + АК, ВгВ2 = ВМ + BN, СгС2 = СК + CN. 22.48. Указание.
Пусть окружность, вписанная в треугольник АХВ9 касается отрез¬
ка АВ в точке JT. В силу ключевой задачи 22.35 АК =	+ ^. Это оз-
2
начает, что центр вписанной окружности принадлежит прямой, пер¬
пендикулярной отрезку АВ и проходящей через точку JT. 23.3. 70°.
23.10. Д + Ь + С. 23.12. а. 23.13. 18 см. 23.14. 16 см. 23.17. Указание.
2
Пусть биссектриса угла В пересекает данную окружность с центром О
в точке М. Имеем: ОМ = ОС и ZOCB = 90°. Докажите, что луч СМ —
биссектриса внешнего угла при вершине С треугольника АВС.
23.18. 120°. 23.19. Указание. Докажите, что луч ВС — биссектриса
внешнего угла треугольника ABD. 23.20. 45°. Указание. Докажите,
что точка В — центр вневписанной окружности треугольника QPD.
23.21. 45°. Указание. Докажите, что точка А — центр вневписанной
окружности треугольника MNC. 23.22. 30°. Указание. Докажите, что
точка А — центр вневписанной окружности треугольника KBN.
202

23.23.	45 . Указание. Проведите окружность с центром в точке D и ра¬
диусом 1 см. Эта окружность касается прямых АВ и CD. Предполо¬
жим f что она не касается PQ. Тогда проведём касательную к этой
окружности параллельно прямой PQ. Пусть и Q± — точки пересече¬
ния этой прямой соответственно со сторонами АВ и ВС квадрата. В си¬
лу ключевой задачи § 23 периметр треугольника P1BQ1 равен 2 см. По¬
лучили противоречие. Следовательно, построенная окружность явля¬
ется вневписанной для треугольника PBQ. 23.24. Указание. Проведите
биссектрису внешнего угла при вершине В треугольника АВС. Дока¬
жите, что центр вневписанной окружности треугольника ABD лежит
на продолжении отрезка АЕ за точку Е. 23.25. 80°. Указание. На про¬
должении отрезка ВМ за точку М отметьте точку так, что ВМ = МК.
Докажите, что BE || АК. Далее воспользуйтесь результатом задачи
15.18. 23.26. 10°. Указание. Продлите сторону СВ за точку В. Докажи¬
те, что точка Е — центр вневписанной окружности треугольника BDC.
23.27. 45°. Указание. Докажите, что точка Е — центр вневписанной
окружности треугольника ABD. 23.28. Указание. Пусть Z.BAD = 2а.
Покажите, что ZDBE = а + 45°. Покажите, что внешний угол треуголь¬
ника АВС при вершине В также равен а + 45°. 23.29. 45°. Указание.
Пусть Е — точка пересечения серединного перпендикуляра стороны
АВ треугольника АВС с лучом АС. Докажите, что точка С — центр
вневписанной окружности треугольника ЛЕВ. 24.22. Указание. Прове¬
дите через данную точку, лежащую на стороне угла, перпендикуляр к
другой стороне угла. 24.24. 1) Указание. Постройте прямоугольный
треугольник, в котором гипотенуза равна данной биссектрисе, а острый
угол равен половине данного угла. 24.26. Указание. Постройте прямо¬
угольный треугольник, в котором один из катетов равен половине
данного основания, а другой — радиусу окружности. 24.29. Указание.
Постройте прямоугольный треугольник по катету, равному данной вы¬
соте, и противолежащему острому углу, равному данному. 24.31. Ука¬
зание. Постройте прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза
равна данной стороне, а катет — данной высоте. 24.39. Указание. По¬
стройте прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен
разности длины катета и радиуса, а другой — радиусу. Тогда угол, про¬
тиволежащий другому катету, равен половине острого угла искомого
треугольника. 24.42. Указание. Постройте окружность, проходящую
через три заданные точки. 24.43. Указание. Воспользуйтесь результа¬
том задачи 23.6. 25.10. Указание. Искомая точка принадлежит ГМТ,
удалённых на расстояние АВ от прямой п. Это ГМТ — пара прямых,
параллельных прямой п. Каждая из точек пересечения этих прямых
с прямой т удовлетворяет условию. Задача имеет два решения.
203

25.17. Указание. Проведите отрезок, перпендикулярный двум данным
параллельным прямым, концы А и В которого принадлежат этим
прямым. Тогда центр искомой окружности принадлежит двум ГМТ:
первому — равноудалённых от точек А и В и второму — удалённых
от данной в условии точки на расстояние — АВ. 25.18. Указание. Гео-
2
метрическим местом центров окружностей, касающихся данной пря¬
мой в данной точке В, является прямая, перпендикулярная данной и
проходящая через эту точку (данная точка В не принадлежит ГМТ).
Геометрическим местом центров окружностей, проходящих через точ¬
ки А и В, является серединный перпендикуляр отрезка АВ. 25.24. Ука¬
зание. Постройте прямоугольный треугольник BCD, в котором катет
ВС равен данному катету, а катет ВС — сумме гипотенузы и другого
катета. Тогда вершина А искомого треугольника АВС принадлежит се¬
рединному перпендикуляру отрезка BD. 25.25. Указание. Постройте
треугольник АВВ, в котором ZD = 45°, сторона DB равна сумме дан¬
ных катетов, сторона АВ — данной гипотенузе. 25.26. Указание. По¬
стройте треугольник АВВ, в котором ZB = 135°, сторона DB равна раз¬
ности данных катетов, сторона АВ — данной гипотенузе. 25.27. Указа¬
ние. Постройте треугольник ВВС, в котором ZC = 90°, катет СВ равен
данному катету, катет СВ — разности гипотенузы и другого катета.
Тогда искомая вершина А лежит на серединном перпендикуляре отрез¬
ка DB. 25.29. Указание. Постройте треугольник АВС, в котором сторо¬
на АС равна данной, сторона ВС — сумме двух других сторон, угол
ВС А — данному углу. 25.30. Указание. Постройте треугольник ADC
по данной стороне АС, данному углу С и стороне ВС, равной данной
разности сторон. Вершина В искомого треугольника АВС лежит на се¬
рединном перпендикуляре отрезка АВ. Описанное построение приме¬
нимо к случаю, когда заданный угол С прилежит к большей из двух
неизвестных сторон. 25.31. Указание. Постройте треугольник АВС, в
котором ZB = 90° +
Р
2s
где р — данный угол, сторона АС равна данной
стороне, сторона АВ — данной разности сторон. Тогда искомая верши¬
на В лежит на серединном перпендикуляре отрезка ВС. 25.32. Указа¬
ние. Постройте треугольник АВС, в котором ZB
Р
2’
где р — данный
угол, сторона АС равна данной стороне, сторона АВ — данной сумме
сторон. Тогда искомая вершина В лежит на серединном перпендикуля¬
ре отрезка ВС. 25.33. Указание. Постройте треугольник АВС, в кото¬
ром АС — данная сторона, отрезок ВС равен сумме неизвестных сто¬
рон, ZDAC = 90° + а, где а — половина разности углов, о которой гово-
204

рится в условии. 25.35. Указание. Постройте прямоугольный
треугольник по катету, равному высоте, и противолежащему углу, рав¬
ному данному. Гипотенуза этого треугольника — одна из сторон иско¬
мого. Теперь задача свелась к задаче 25.29. 25.36. Указание. Построй¬
те прямоугольный треугольник BDM, в котором гипотенуза ВМ равна
данной медиане, катет BD — данной высоте. Тогда центр описанной
окружности искомого треугольника лежит на прямой, перпендикуляр¬
ной отрезку DM, проходящей через точку М. 25.37. Указание. По¬
стройте треугольник ABD, в котором стороны АВ и AD равны двум
данным сторонам, а сторона BD в 2 раза больше данной медианы.
25.38. Указание. Постройте треугольник ADC, в котором АС — данная
сторона, сторона АП в 2 раза больше данной медианы, а высота, прове¬
дённая из вершины П, равна данной высоте. Покажите, что сторона
DC равна одной из неизвестных сторон искомого треугольника.
Алфавитно-предметный указатель
Аксиома 42
—	параллельности прямых 90
Анализ задачи на построение 170
Астролябия 25
Биссектриса треугольника 52
—	угла 24
Боковая сторона равнобедрен¬
ного треугольника 63
Буссоль 25
Величина угла 24
Вершина равнобедренного тре¬
угольника 63
—	треугольника 48
—	угла 22
Взаимно обратные теоремы 81
Вневписанная окружность тре¬
угольника 162
Внутренняя точка отрезка 14
	фигуры 141
Высота треугольника 51
Геометрическое место точек 137
Геометрия 3, 6
Гипотенуза 122
Градус 24
Градусная мера угла 24
Граница полуплоскости 23
—	фигуры 142
Граничная точка фигуры 142
Деление отрезка пополам 168
Диаметр круга 142
—	окружности 146
Длина отрезка 14
Доказательство 10
Единица длины 14
Задача об удвоении куба 181
—	о квадратуре круга 181
—	о трисекции угла 181
Заключение теоремы 81
Касательная к кругу 147
	окружности 147
Катет 122
Концы отрезка 13
Круг 141
205

Луч 21
Лучи дополнительные 21
—	параллельные 87
—	перпендикулярные 37
Медиана треугольника 51
Метод геометрических мест то¬
чек 172
—	доказательства от противно¬
го 81
Микрометр 15
Минута 24
Наклонная 37
Начало луча 21
Неравенство треугольника 115
Окружность 140
—	вписанная в треугольник 154
—	описанная около треугольни¬
ка 153
Определение 10
Основание перпендикуляра 37
—	равнобедренного треугольни¬
ка 63
Основное свойство 42
	величины угла 26
	длины отрезка 16
	параллельных прямых 89
	 прямой 9
	равенства треугольников 50
Отрезки параллельные 87
—	перпендикулярные 37
Отрезок 13
—	единичный 14
Периметр треугольника 48
Перпендикуляр 37
Планиметрия 8
Полуплоскость 23
Полупрямая 21
Построение биссектрисы угла
169
—	прямой, перпендикулярной
данной 168
—	серединного перпендикуляра
отрезка 167
—	треугольника по гипотенузе
и катету 169
—	треугольника по данным сто¬
ронам 175
—	угла, равного данному 166
Постулат 45
Приём дополнительного постро¬
ения 82
Признаки касательной 148
—	параллельности прямых 87,
91, 92
—	равенства прямоугольных
треугольников 122, 123, 124
		треугольников 55, 56, 76
—	равнобедренного треугольни¬
ка 70, 71, 72
Прямая 9
Прямые параллельные 87
—	пересекающиеся 10
—	перпендикулярные 36
Равные отрезки 14
—	треугольники 49
—	углы 23
—	фигуры 51
Радиус круга 141
—	окружности 141
Расстояние между двумя парал¬
лельными прямыми 101
		точками 16
	фигурами 101
—	от точки до прямой 38
		до фигуры 37
Рулетка 15
Румб 24
Свойства внешнего угла тре¬
угольника 107, 108
—	окружности 146, 147
206

—	параллельных прямых 99,
100
—	прямоугольного треугольни¬
ка 129,130
—	равнобедренного треугольни¬
ка 64
Свойство вертикальных углов 32
—	касательной 147
—	накрест лежащих углов 99
—	односторонних углов 100
—	смежных углов 31
—	соответственных углов 100
Секстант 25
Секунда 23
Секущая 92
Середина отрезка 16
Серединный перпендикуляр от¬
резка 55
Следствие 81
Стереометрия 8
Стороны треугольника 48
—	угла 22
Сумма отрезков 16
—	углов 25
—	углов треугольника 106
Теодолит 25
Теорема 10
—	обратная 81
		признак 81
—	прямая 81
	свойство 81
	следствие 81
Точка 9
—	касания 147
—	пересечения биссектрис тре¬
угольника 155
—	пересечения серединных пер¬
пендикуляров сторон треуголь¬
ника 154
Треугольник 48
—, вписанный в окружность
153
—, описанный около окружно¬
сти 154
—	остроугольный 49
—	прямоугольный 49
—	равнобедренный 63
—	равносторонний 63
—	разносторонний 64
—	тупоугольный 49
Углы вертикальные 32
—	накрест лежащие 92
—	односторонние 92
—	смежные 31
—	соответственные 92
Угол 22
—	единичный 24
—	между прямыми 36
—	острый 25
—	при вершине равнобедренно¬
го треугольника 63
—	при основании равнобедрен¬
ного треугольника 63
—	прямой 25
—	развёрнутый 22
—	треугольника 48
		внешний 107
—	тупой 25
Условие теоремы 80
Хорда круга 141
—	окружности 147
Центр круга 141
—	окружности 141
	, вписанной в треугольник
155
—	—, описанной около тре¬
угольника 154
Циркуль полевой 15
Числовое значение длины отрез¬
ка 15
Штангенциркуль 15
207

Оглавление
От авторов	 3
Что изучает геометрия?	 6
Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства
§ 1. Точки и прямые 	 9
§ 2. Отрезок и его длина	 13
§ 3. Луч. Угол. Измерение углов 	 21
§ 4. Смежные и вертикальные углы	 31
§ 5, Перпендикулярные прямые 	 36
§ 6. Аксиомы 	 42
Из истории геометрии	 44
Итоги главы 1 	 46
Глава 2. Треугольники
§ 7. Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса
треугольника	 48
§ 8. Первый и второй признаки равенства треугольников ...	54
§ 9. Равнобедренный треугольник и его свойства 	 63
§ 10. Признаки равнобедренного треугольника 	 70
§ 11. Третий признак равенства треугольников	 76
§ 12. Теоремы 	 80
Итоги главы 2	 85
Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника
§ 13. Параллельные прямые	 87
§ 14. Признаки параллельности двух прямых	 91
Пятый постулат Евклида	 98
§ 15. Свойства параллельных прямых	 99
§ 16. Сумма углов треугольника 	 106
§ 17. Неравенство треугольника 	 115
§ 18. Прямоугольный треугольник 	 122
§ 19. Свойства прямоугольного треугольника	 129
Итоги главы 3	 134
Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения
§ 20. Геометрическое место точек. Окружность и круг 	 137
§ 21. Свойства окружности. Касательная к окружности	 146
§ 22. Описанная и вписанная окружности треугольника	 153
§ 23. Вневписанная окружность треугольника 	 161
§ 24. Задачи на построение 	 165
§ 25. Метод геометрических мест точек в задачах на
построение 	 174
Из истории геометрических построений 	 181
Итоги главы 4	 183
Дружим с компьютером	 185
Проектная работа	 189
Ответы и указания к упражнениям	 193
Алфавитно-предметный указатель	 205
208

Первый признак равенства треугольников:
по двум сторонам и углу между ними
Второй признак равенства треугольников:
по стороне и прилежащей к ней углам
Третий признак равенства треугольников:
по трём сторонам

Признаки параллельности прямых
Сумма углов треугольника

Свойства равнобедренного треугольника
Окружность, описанная около треугольника
Окружность, вписанная в треугольник

Латинский алфавит
Печатные буквы
Названия букв
л
а
a
В
ь
бэ
с
С
ЦЭ
D
d
ДЭ
Е
е
С
F
f
эф
G
g
жэ
Н
h
аш
I
i
и
J
j
ж и
К
k
ка
L
i
ЭЛЬ
м
m
эм
N
n
ЭИ
О
о
о
Р
p
пэ
Q
q
ку
R
r
эр
S
S
эс
т
l
тэ
и
u
V
/
V
V
вэ
W
w
дубль-вэ
X
X
икс
Y
У
игрек
Z
z
зед
Греческий алфавит
Печатные буквы
Названия букв
А
а
альфа
В
р
бета
Г
Y
гамма
Д
5
дельта
Е
г
эпсилон
Z
с
дзета
н
ч
эта
0
е, #
тста
I
1
йота
К
К
каппа
А
X
лямбда
М
р
мю
N
V
ню
•н
%
кси
о
0
омикрон
п
к
ни
р
р
р°
I
сигма
т
т
тау
Y
V
ипсилон
Ф
ч>. Ф
фи
X
X
хи
ХР
V
пси
п
СО
омега