МОСКОВСКИИ
ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРудовоrо KPACHOrO ЗНАJ\'iЕНИ
rОСУДАРСТВЕННЫf1 УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА
Механико"матеl\'lатический факультет
f (, f\.
r.....  I ' """  """'" --......)
" .... ........J --'"
· - . \;::>. . , -----:......
'-...- ' 1 \  (.. '. 
. , \......} .J 'L
, ...
На правах рукописи
В. и. ЛРI-IОЛ ьд
МАЛЫЕ ЗНАМЕНАТЕЛИ И ПРОБЛЕМА УСТОЙЧИВОСТИ
В КЛАССИЧЕСКОЙ И НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКЕ
\
Автореферит диссертаЦИ..
на соискание ученой степени
доктора физикома1емаТИЧССI\ИХ наук
'.
..
МОСК ВА ......196i1

\1 ac;..;..P\::,;11I1
I 6 с l. ; .r.. J. А I
t иrvН.-J
\ D И. 1 E ИНД 
 19J-3 !:: 368 lj!l
Как известно, качественное исследование движениi1 в KOH
сервативных систеlVlах (проблемы устойчивости и т. п.) чрез
вычайно затруднено, если только систеlVlа не является «инте
rрируемой» (сраВНИlVl задачи 2x и 3x тел). Для изучения дви
жен.ий систеl\1, близких к интеrрпруеМЫlVl, в небесной механт/п«('
давно разработаны методы т. н. «теории возмущений». До по
следнеrо вреlVlени эти методы не получили CTpororo математи
ческоrо обоснования, rлавным сбраЗОl\1 изза расходимости ря
дов, к которым опи приводят. Указанные ряды имеют вид 1
+ uo ( I )
, ei ;п.х I 11 У
 а т1l "1' + '10
ifOJ] I ")
nl. п:=:-  C'/I 
II расходятся изза «малы; знаменателеЙ» ПI(I) 1 +11(1)2, в связи 'L
С точной или приБJlI!)кеНIIОй сонз1\'Iернl\Iостыo частот (Оl. (1.)2.
Эта трудность встречается, в частности, при ИССtilедовании
устоЙчивости ПОЛО;:\:Е.'ний равновесия и периодических движе
ни й !\онсервативныIx систеlVl (Т. Н. «предельное выро)кдение» в
теории ВОЗl'лущениf!). Ситуация осложняется еще больше, Kor
да одна из частот ltJ MHoro больше друrой (т. Н. «собственное
вырождение», примерзадача об адиабатичеСКОl\1 инвариан
те). в задаче о дви)кен ии  планет оба вида вырождения BCTpe
чаются BlVleCTe.
В статьях [1], [2], [3], [4] aBTOpOl\1 разработаны lVlетоды по
строения сходящихся рядов ОДНОI'О из вариантов теории воз
М)'IlLений для случаев предеЛЬНОI'О и собственноrо вырожде
ния. Эти работы СУlцест;венно опираются на исследования
А. Пуанкаре [5], Д)lС Д. Биркrоrра [6], K. Л. Зиrеля [7] и
А. Н. КОЛl\10foрова 18].
Развитые lVlетоды ПРИlVlенены к ряду конкретных проблем
динамики. 13 частности:
1. Доказана устойчивость flОЛQJfCений равновесия и перио
Duческих РЕшений консервативных систем с двумя степенями
свободы в т. н. общеlVl эллиптичеСКОl\1 случае*' [1].
2. Доказана вечная адиабатическая инвариантность пере..
Аlенной действия при медленном Приодическом изменении
с.рункции rаlVIильтона колебательноЙ системы с одноЙ CTe
пеныIo свободы. У стяновлено, что «МQ2Нflтная лову,ыка» с окси"
1

ально симметричным ма2НИТНblМ полеJl;L способна вечно yдep
живать заряженные частицы [3].
3. Найдены условнопериодические движения в задаче
А'lНО2ИХ тел. Если l\1aCCbI п «планет» достаточно малы по
сравнению с массоЙ цеrrтральноrо тела, то движение условно
периодично д.пя большинства начальных условий, при KOTO
рых эксцентриситеты и наклонения кеплеровых эллипсов Ma
лы. При этом большие полуоси вечно остаются вблизи своих
начальных значений, а эксцентриситеты u наКj10неНUЯJ.tа./lbl
ми [4].
Диссертация содер)кит полные доказательства указанных
результатов.
Работа состоит из 5 rлав. в первой, вводной rлаве, кратко
описаны идеи и конструкции, применяемые в rл. 2 и 3 и CTpO
ro обоснованные в rл. 4 и 5. .
Мы рассматриваем поведение канонических систеlVl с п CTe
пенями свободы в случае «собственноrо выро}кдения». HeCTpo
rая теория возмущений описывает в этом случае дви)кение
так. В первом приближении движение условнопериодично с
по «БЫСТРЫlVIИ» ..частотами. «Вековые возмущения» приводят в
следующих приближениях к появлению пl «медленных» час
тот, так что движение о.казываетсяприб.пиженноусловно
периодичным с п==nО+nl частотами.
Мы обосновываем эту приб.пиженную картину, показыва5i,
что истинное ДВИ)l{ение в течение бесконечноrо ПРОI\1{;)I{утка
времени устроено имено так (при достаточно ма.lJОЙ, но конеч
ноЙ величине возмущения f-l) для болыпинства начпльных
условий, в предположении, что
1) функция rамильтона аналитична и имеет вид
Н -: 110 Со t' . . ., Р по) + rrHt (Р 1J · . : ' Р n; q 1, . . ., q ,J  . . . ,
rJ(e H 1 + ... «ВОЗМУIllение» lIерИvда 2л по Ql, . . .,....... q 1l;
2) «вековая часть» возмущения
2п 2п
Hl == (2п)пи.\ · · · I H,dq, · . . dqll()
() О
не зависит С'т фаз lVlедленных движениЙ qno+l  ... , qll:
Н 1 === Н) (Рl' ... , Рn);
3) выполнены условия
\
д 2 Н о
det д д Ф О,
Pi Pj
(i, j == 1, .", по)
а;д 2 Н
det 1 =1= О.
др1дРj
(1, j==п o +l, ...,11)
* Этот результат автора был заТ!VI УСlIлен ю. мозсrом [а].
....
2

Вторая rлава посвящена изучеНИIО поведения адиабатиче
CKoro инварианта колебательной системы с одноЙ степенью
свободы ПРII 1\1ед.пеННQМ пс.РИОДIРIССI{0l\1 изменении пара 1\leT
ров. Оказывается, что в неJПlltt'iiн()ji систеlVlе, в отличие от ЛII
неЙноli, LtДl1абатический инвариапт сохраняется вечно (см.
[3]). Полученные результаты ПРИIVlеняются к исследоваНИIО
«l\fаrнитных ловушек».
В 'rретьеЙ r лаве рассматривается, следуя [4], задача о дви"
ении 1\1 атериальных точек lVJ алой м ассы (<<планет») 'вокру!
«центральноrо тела»материальной точки большой lVlaCCbI.
В этой задаче собственное вырождение (наличие быстрых и
медленны"\{ движений) комбинируется с предельным (при Ma
лых эксцентриситетах и наклонениях). В соответствии с этим
lVIbI комбинируем в [4] методы [1] и [2], [3].
Все результаты rлав 2, 3 основаны на построеии в фазо
ВО1\l пространстве Р, q аналитических инвариантных торов, за
полненных условнопериодическими траекториями.
В четвертоЙ r.лаве дано полное ДОЕазательство cYHI.ecTBOBa
нин таких торов I3 довольно общих предполо)кениях, выпол
HeHHЫX в частности, в задаче lVIноrих тел (основная теоре1\1а
rл. 4). Это доказательство технически сло)кно. Оно базируется
на нескольких COBCel'vl простых идеях, изло)кенных в rлаве 1,
и на БQ1ЬШОlVl количестве почти тривиальных оценок, собран
h
н ы1 Х В r л . о.
Автор пользуется с.пучаеJ\1 выразить блаrодарность
А. 11. I(олмоrорову, чьи лекции привлекли ero ВНИl\лание к за
дачам с «малыми знаменателями», а так)ке В. М. Алексееву и
Б. В. ЧИРИI-ОВУ за .ценные оБСУ)I<:дения вопросов, paCCl\10TpeH
ных 'в rл. 2 и 3.
,

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
[1] А р н о л ь Д В. и. Об устойчивости поло)кеНll Р2ВНОВСИЯ rаМИЛL
тоновой системы обыкновенных дифференциальных уравнениЙ 13 общеы
эллиптическом случае. ДАН СССР, 137 Ng 2, 1961, 255257.
[2] А р н о л ь Д В. И. О рождеНIlIl условноп.еРIIодическоrо движения
из семейства периодических движении. ДАН СССР, 138 ,N'g 1, 1961, 1315.
[3] А р н о Jl Ь Д В. и. О поведеНIlИ адиабаТIIческоrо инварианта при
медленном периодическом I1зменеНIIII функции rаМlIльтона. ДАН СССР.
142 Ng 4, 1962, 758761.
[4] А р н о !] ь Д В. и. О клаССllческоЙ теОрИIJ возмущений 1I проблемr
устойчивости планетных систем. ДАН СССР, 145 Ъ 3, 1962, 487 490.
[5] Н. Р о i 11 С а r е, Zes metodes поuvеilеs de 1з mecanip'ue celcste,
Paris, 1, J891; 11, 18qз 111, 1899.
[6] Б и Р к r о Ф Д)к. Д. Динамические системы. М.Л., rтти, 19'11.
[7] 3 и r е л ь К. Л. Лекции по небесной механике. ИЛ, 1959.
[8] К о л м о r о р о в А. Н. Общая теория динамических ClITeM Il кла('
СlIческая механика. МеждународныЙ. математичеСКIIЙ KOHr)ecc в Al\1CTep
даме. Физматrиз, 1961, 187208.
[9] М о з ерЮ. О кривых, инвариантных при отображениях кольца,
сохраняющих площадь. Сб. переводuв Математика. ИЛ, 1962, Т. 6, в. 5,
51 67.
...
т 02395 16/IV 1963 r.
Объем О,2Е п. Л.
Зnк. 752, тир. 250
[а 11 )rрафия MOCKoBCKoro института радиоэлектроники п rорноЙ элеКТРОМСХ<1НИКI:I
ЛенинскиЙ проспект, 6.
"-,