3. СОПРОТИВЛЕНИЕ ТРЕНИЯ ПРИ ОБТЕКАНИИ
ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНКИ
Котелкин В. Д.
Для практических приложений большой интерес представляют силы
взаимодействия между газом и движущимся в газе телом (аэродинамиче-
ские силы). Величина подъемной силы определяет грузоподъемность
летательного аппарата, а от силы сопротивления зависят скорость и эко-
номичность полета. При полете с постоянной скоростью развиваемая
двигателем мощность равна произведению силы сопротивления на ско-
рость. Прямое измерение интегральных аэродинамических сил можно
выполнить с помощью аэродинамических весов. Однако для создания
совершенных моделей летательных аппаратов конструктору недостаточ-
но информации только о полных аэродинамических силах, необходимо
также знать как эти силы распределены по поверхности аппарата. Только
зная детальное распределение сил давления и трения на поверхности
летательного аппарата можно вычислить силы и моменты, действующие
на отдельные элементы конструкции, т. е. получить информацию, необ-
ходимую для обеспечения запаса прочности изделия и безопасности
полета, поскольку крылья большого размаха и площади подвергаются
воздействию как больших сил, так и значительных крутящих и изгибаю-
щих моментов.
Понятно, что проведение местных поверхностных измерений требу-
ет гораздо больших затрат труда, чем интегральные измерения. Пред-
принимались попытки прямого измерения локальных сил с помощью так
называемого «плавающего элемента», т. е. элемента заделанного «запод-
лицо» с поверхностью и могущего смещаться под действием сил со сто-
роны потока. Этот подход не получил распространения на практике из-за
своей сложности. Нашли применение подходы, основанные на измере-
нии статического давления на поверхности и скорости вблизи поверхно-
сти и последующем вычислении поверхностных сил. Измерение скоро-
сти потока на малом расстоянии от обтекаемой поверхности и вычисле-
ние местной силы трения составляет основное содержание настоящей
работы.
Измерение скорости на малых расстояниях от поверхности также
вызывает серьезные трудности, поскольку здесь имеют место большие
градиенты скорости в поперечном направлении, а сама скорость стре-
мится к нулю. Для измерения скорости в работе используются маленькие
37
зонды-трубки полного давления (трубка Пито, представляющая усечен-
ный вариант трубки Пито-Прандтля), скорость вычисляется из интеграла
Бернулли, где статическое давление определяется в результате отдель-
ных измерений. Ясно, что с помощью трубки Пито нельзя провести из-
мерения на расстоянии меньше радиуса трубки, это в лучшем случае дает
0,1 мм.
Применение для измерения скорости термоанемометров позволяет
приблизиться к поверхности на расстояние порядка 0,01 мм. Термоане-
мометром называется зонд, у которого чувствительным элементом явля-
ется нагретая электрическим током проволочка из платины, длиной око-
ло 1 мм и диаметром до 0,01 мм и менее. Проволочка натянута на конце
вилочки, ножки которой являются проводниками электрического тока и
присоединены к мостику Уинстона с измерительными приборами и элек-
тропитанием. Под действием воздушного потока проволочка меняет
свою температуру, а следовательно и электрическое сопротивление, что
регистрируется измерительными приборами. Однозначная зависимость
показаний электроприборов от скорости воздушного потока, перпенди-
кулярного к проволочке, устанавливается тарировкой.
Вязкие внутренние напряжения
Первые уравнения движения жидкостей и газов (Л. Эйлер, 1755), в
качестве внутренних напряжений содержали только силы давления, хо-
рошо известные из гидростатики plJ = -р- glJ . Эти уравнения при ста-
ционарном обтекании тела приводят к парадоксу Даламбера-Эйлера, т. е.
отсутствию силы сопротивления согласно теории и наличию последней в
экспериментах. Понадобилось немало времени и усилий эксперимента-
торов для открытия эффекта трения на молекулярном уровне и измере-
ния коэффициента этого трения, получившего название коэффициента
молекулярной вязкости. Было установлено, см. рис. 1, что при обтекании
на элемент поверхности со стороны потока кроме силы давления ~рп
действует сила трения т, называемая касательным напряжением. Со
стороны стенки на поток действует такая же по величине, но противопо-
ложная по направлению сила, которая тормозит поток у стенки, рис. 1,
причем на самой стенке это торможение является полным (за исключе-
нием разреженных газов), что используется в качестве граничного усло-
вия, называемого условием прилипания вязкой жидкости. Естественно
ожидать, что касательные напряжения будут возрастать с увеличением
38
скорости потока, для многих жидкостей и газов справедлива линейная
зависимость (закон трения Ньютона)
Такие среды называются ньютоновскими. Коэффициент пропорциональ-
ности р зависит от молекулярного состава сплошной среды (а также ее
температуры), он измеряется экспериментально и называется динамиче-
ским коэффициентом молекулярной вязкости. Наряду с коэффициентом
динамической вязкости р используется также коэффициент кинемати-
ческой вязкости v = ц/р. Уравнения движения с учетом вязких напря-
жений р'* = -р • были выведены Стоксом в 1845 году.
Уравнения пограничного слоя
Как показали опыты, для наиболее интересного с прикладной точки
зрения класса течений, который будет определен далее, существенное
воздействие вязких сил на течение наблюдается только вблизи поверхно-
сти обтекаемого тела, где они поддерживаются силой поверхностного
трения, и их действие быстро убывает при удалении от этой поверхности.
Именно по этой причине область влияния вязких сил, которую назвали
пограничным слоем, рис. 2, и сами вязкие напряжения долгое вркмя
оставались неизвестными, а парадокс Даламбера-Эйлера не раскрытым.
Определение. Если в основном потоке силы трения малы по
сравнению с силами инерции, то пограничным слоем называется тонкая
область вблизи обтекаемой поверхности, в которой силы трения име-
ют тот же порядок, что и силы инерции.
39
Получим уравнения для приближенного описания течения в погра-
ничном слое классическим приемом механиков, а именно: оценим от-
дельные члены в точных уравнениях Навье-Стокса и сохраним только
члены ведущего порядка. Для оценки производных по порядку величины
будем использовать отношение масштаба функции к масштабу аргумен-
та, на котором происходит изменение функции. В нашем случае функ-
циями являются компоненты скорости, а аргументами - пространствен-
ные координаты. При проведении оценок будем исходить из экспери-
ментального факта, заключающегося в том, рис. 2, что поперечный мас-
штаб изменения скорости - толщина пограничного слоя 8 «L - про-
дольного масштаба изменения скорости.
Тогда для продольной скорости имеем
u~V^, duldx-V^IL, duldy-V^IS,	(3.1)
откуда видно, что д / дх ~ 1 / Z, д / ду -1 / 5, т. е. справедливо неравен-
ство 51ду»д1дх.
Оценки вторых производных получим рассматривая их как после-
довательные первые производные
a2w/ar2 = dl8x(duldx)~VaiII2, д2и/ду2 ~^/82
Для оценки поперечной скорости v и ее производных используем
уравнение несжимаемости течения. Входящие в это уравнение члены
должны быть одного порядка, что достигается щ>и

(3.2)
40
V^/L V^S/LS
du/dx + dv/dy = 0
Отметим еще одно неравенство справедливое в пограничном слое
и » v
Согласно (3.2) для производных поперечной скорости получаем
оценки
dv/dx ~ V^/L2, dv/dy - VJL, д^/дх2 ~ K^/Z3, д2у/ду2 ~ VJ8L
Используя полученные соотношения оценим члены в уравнениях
Навье-Стокса
Силы инерции =Силыдавл. + Силы трения.
V2ILV2IL	vV^/L2	«vV^/82
иди/дх + уди/ду = -1/рдр / дх + v(d2 и / дх2 + д2и/ду2)
V2S/L2 V28/L2	vV^g/L3 vVx/3L
иду/дх + уду1ду = -\1 рдр / dy + v(d2y / дх2 +д2у/ду2)
Откуда при условии 5«L получим уравнения Прандтля
(L.Prandtl, 1904) для течения в пограничном слое.
a</ax:+av/ay = o	(з.з)
иди/дх + ч-ди/ду » -1/ р-др/дх + чд2и/ду2	(3.4)
др/ду^О	(3.5)
Приравнивая, согласно определению пограничного слоя, порядки веду-
щих членов сил инерции и сил трения, получим оценку толщины этого
слоя
V2/L ~ vV^/82	62 ~ vL/V^ =>
d-JvLIVn	(3.6)
41
Из этой оценки видно, как толщина погранслоя растет с увеличени-
ем вязкости и линейного размера обтекаемого тела и убывает с ростом
скорости набегающего потока
Используя определение числа Рейнольдса, характеризующего от-
ношение сил инерции к силам трения во внешнем потоке,
Re = K00L/v
получим оценку относительной толщины пограничного слоя
6/L~l/TRe.
Заметим, что именно это отношение определяет точность погран-
слойного приближения уравнений Навье-Стокса и, в частности, выпол-
нение условия (3.5) постоянства статического давления поперек погра-
ничного слоя (при этом динамическое давление или скоростной напор
резко изменяется поперек слоя).
Условие (3.5) означает, что в пограничном слое давление является
функцией только продольной координаты р » р(х) и совпадает с давле-
нием во внешнем потоке. Таким образом для расчета хорошо (безотрыв-
но) обтекаемых тел можно сначала решить задачу обтекания идеальной
жидкостью или газом (уравнения Эйлера) и из интеграла Бернулли найти
распределение давления на поверхности тела, а затем с помощью урав-
нений (3.3, 3.4) найти скорости и(х,у) и v(x,y) в пограничном слое.
Для более реальных отрывных турбулентных течений распределение
давления на поверхности тела измеряется экспериментально в аэродина-
мических трубах и затем распределение вязких касательных напряжений
находится в результате решения уравнений Прандтля (3.3,3.4).
Сравнение результатов получаемых из уравнений погранслоя с
опытными данными дает хорошее согласие и подтверждает правиль-
ность уравнений, полученных из нестрогих традиционных оценок. Важно
помнить, что класс течений, описываемых теорией пограничного слоя,
ограничен условием Re »1.
42
Течение в пограничном слое на плоской пластинке
Наиболее простым и удобным для исследования является обтекание
полуплоскости, расположенной параллельно набегающему потоку. Для
обтекания такой бесконечно тонкой пластинки идеальной жидкостью
имеем тривиальное по возмущениям решение - однородный поток, ско-
рость и давление, в котором везде одинаковы, поэтому член с градиен-
том давления в уравнении (3.4) тождественно равен нулю.
Отсутствие геометрического масштаба задачи приводит к автомо-
дельному течению в пограничном слое. Для отыскания этого решения
(Н Blasius, 1908) рассмотрим течение в некотором участке пограничного
слоя, расположенном на расстоянии х = L от начала пластинки. Перей-
дем к безразмерным переменным и будем искать решение, зависящее от
одной переменной - безразмерной поперечной координаты
П = ^/8(£),
и удовлетворяющее опенкам (1,2,6)
« = v = V^Vir^L^L, 8 = JvLIVx (3.7)
Воспользуемся отсутствием линейного размера и заменим в форму-
лах (3.7) масштаб L на координату х, т. е. будем использовать в качестве
продольного масштаба расстояние от начала пластинки до исследуемого
участка. Тогда
8 =	« = VxU(if), v = К0ОИ(7>5(х)/х = ^vV^lx V(r})
и решение ищется в виде
и(х,^) = V(x,y) = 4vV^lxV(i]), 7 =	(3.8)
Подставим (3.8) в уравнения (3.3, 3.4) и, используя правило диффе-
ренцирования сложной функции и выражения для частных производных
переменной Блазиуса
?1х=-?]/2х, Tfy /vx = l/<5
43
получим
-{TlllxyjJ'+V^V'SlixS) = О
- (rj 12x)V2UU’+Vlv(ji\51 x\U’ 18) =	/ 62
и после сокращения, искомую (не содержащую х, у !) систему обыкно-
венных дифференциальных уравнений
-^С/72 + К' = 0
-TjUU'll + VU'^U"
где «'» означает обыкновенную производную.
Исключая K(q)= |т)«Я/(т])/2, найдем уравнение для U(rf)
2(/' + t/'jWq = 0
(3-9)
Решение уравнения (3.9), определяющее профиль скоростей у пло-
ской пластинки, должно удовлетворять граничным условиям
£7(0) = К(0) = 0, С/(оо) = 1. Это решение было получено численно и ис-
пользуется при расчете пограничных слоев в табличном виде. Распреде-
ление касательных напряжений на поверхности пластинки найдем, диф-
ференцируя по у первое соотношение (3.8)
Г(х)-д21	- pvil2U'(«yJ^
Ч=о
Полное сопротивление трения прямоугольного участка (с одной
стороны пластинки) ширины b и длины L представляется интегралом
£	L ,
Xmp=b[tdx=bpv^uxoyR f-==2*p^/2t/'(0bA7
о	oVx
Коэффициент сопротивления трения равен
44
Схтр ~
Х„р 4£/'(0)
Численное решение дает значение £/'(0) = 0,332.
ЭКСПЕРИМЕНТ
Установка и приборы
Эксперимент проводится в трубе прямого действия А-2 с закрытой
рабочей частью квадратного сечения 125x125 мм и длиной 500 мм. Схе-
ма установки приведена на рис. 3.
Рис.З
В рабочей части трубы в горизонтальном положении помещается
полированная с верхней стороны стальная пластинка. Ширина пластины
совпадает с шириной рабочей части, толщина равна 10 мм, передний
конец заострен. Пластина установлена с небольшим наклоном так, чтобы
ее верхняя сторона обтекалась безотрывно. Верхняя стенка рабочей час-
45
ти профилирована таким образом, чтобы компенсировать падение стати-
ческого давления вдоль трубы расширением сечения и приблизить гра-
диент давления к нулю. На верхней стенке рабочей части установлен
координатник, позволяющий перемещать трубку Пито полного давления
как в вертикальном, так и в горизонтальном направлении. Перемещение
вдоль пластинки определяется с точностью 1 мм, вертикальное переме-
щение с точностью 0,1 мм. Внешний диаметр стальной трубки полного
давления - 0,6 мм, и если трубка касается пластины, то ее центр нахо-
дится на расстоянии 0,3 мм от поверхности пластины. Статическое дав-
ление снимается со стенки рабочей части. Для определения скоростного
напора основного течения в рабочей части трубы служит манометр № 1,
измеряющий разность между атмосферным давлением и статическим
давлением в рабочей части; атмосферное давление в случае трубы пря-
мого действия совпадает с давлением торможения. Скоростной напор в
пограничном слое измеряется манометром № 2, фиксирующим разность
между полным давлением, снимаемым трубочкой Пито, и статическим
давлением в рабочей части. Манометр № 3 измеряет разность давлений в
дренажных отверстиях, расположенных в начале и в конце рабочей час-
ти. Эта разность характеризует градиент статического давления вдоль
пластины, который в случае правильно подобранного расширения сече-
ния должен равняться нулю.
Порядок проведения эксперимента
Проверить установку и монтаж приборов по схеме на рис. 3; прове-
рить герметичность соединений шлангов манометров и горизонтальность
расположения манометров по уровням. Горизонтальная установка мано-
метров достигается регулировкой опорных винтов.
Заполнить таблицы 1 и 2 данными об условиях опыта и о приборах.
Таблица 1 Условия опыта
Барометрическое давление В (мм рт. ст.)	
Температура t°C	
Коэффициент кинематической вязкости у(см2/сек)	
Труба прямого действия с закрытой рабочей ча- стью сечением ( мм2)	
Пластинка: ширина b (мм) Длина L(mm)	
46
Таблица?. Данные манометров
	Манометр №1	Манометр №2	Манометр №3
sin а;			
ki			
у г/см3			
hOi мм			
Здесь otj - углы наклона отсчетных трубок манометров, kj -тарировоч-
ные коэффициенты, / - удельный вес жидкости в манометрах, hOi -
нулевые уровни.
Заготовить таблицу 3 для экспериментальных данных и их бработки
Таблица 3. Экспериментальные результаты
№	X	Ук	У	hi	© хз 1 Л*	h2	1*2 -hoj	h3	hj-hoj	V»	и	n
												
В этой таблице фиксируются координаты точки, в которой прово-
дится измерение, и показания манометров; последние столбцы таблицы 3
предназначены для обработки результатов.
Включить трубу и, медленно регулируя скорость вращения элек-
тромотора вентилятора, установить намеченную для опыта скорость
потока в трубе, которая контролируется с помощью манометра № 1.
Работая координатниками, поместить трубку полного напора на пе-
редний край пластинки так, чтобы трубка касалась пластины и не загиба-
лась вверх. При этом х - 0, у = 0,3 мм. Записать показания манометров
в таблицу. Скользя трубкой полного напора по пластине, увеличить х и,
когда мениски установятся, снять отсчеты манометров и записать данные
в таблицу. Повторить эту операцию около 10 раз, все более удаляясь от
передней кромки пластины и следя за тем, чтобы трубка касалась пла-
стины во время снятия отсчетов с манометров.
Установить трубку полного давления как можно дальше от передне-
го края пластинки там, где течение в пограничном слое остается лами-
нарным и безотрывным. При помощи вертикального координатника
47
найти положение, в котором трубка касается пластинки, но не прижата к
ней. Записать показания координатников и манометров в таблицу 3. Уве-
личить показания вертикального координатника на 0,1 мм и, когда мени-
ски установятся, снять показания. Повторить эту процедуру постепенно
наращивая шаг по , так чтобы за 10 измерений пройти весь погранич-
ный слой.
Обработка результатов эксперимента
Заполнить оставшиеся графы таблицы 3, проведя необходимые вы-
числения. Величина скорости потока в рабочей части трубы определяет-
ся с помощью интеграла Бернулли по формуле
_ 2kiy(hi-hoi)sinai
1 . А • р»
где pw = 0,125 кГ с2 / м4 - плотность воздуха при нормальных условиях
д 288 В
А = — -	- коэффициент отклонения условий опыта от нормальных
условий.
Величина относительной скорости и = и/Г^ и переменная Бла-
зиуса tj рассчитываются по формулам
I к2(^2 - fan) sin аг
Кинематическая вязкость v берется из лабораторной таблицы по услови-
ям эксперимента.
По двум последним столбцам таблицы 3 построить на милли-
метровке график зависимости £7Сп) • По оси абсцисс откладывается ту, а
по оси ординат (/, причем по оси U выбирается масштаб в 5 раз больше,
чем по оси 7. Точки, получившиеся в результате первой серии измерений
при фиксированной координате у и второй серии измерений при фикси-
рованном х, обозначить на графике различными значками. Обе серии
точек, в силу автомодельности, должны лечь на одну и ту же кривую. По
экспериментальным точкам через начало координат провести (с помо-
щью лекала) плавную кривую. Построить касательную к полученной
48
кривой в начале координат и найти тангенс ее угла наклона к оси абсцисс
(отношение ординаты к абсциссе), который представляет значение
£7'(0). Сравнить полученное значение с теоретическим. Используя экс-
периментальное значение вычислить коэффициент трения и силу трения,
действующую на одну сторону пластинки. Полученные результаты зане-
сти в таблицу 4.
Таблица 4. Основные результаты эксперимента
Скорость набегающего потока (м/сек)	
Число Рейнольдса	
и'(0)	
Коэффициент сопротивления трения	
Сила трения (кГ)	
ЛИТЕРАТУРА
1.	Лойцянский Л. Г. Ламинарный пограничный слой. М., Физматгиз,
1962.
2.	Попов С. Г. Измерение воздушных потоков. М.-Л., Гостехиздат,
1947.
3.	Седов Л. И. Механика сплошной среды, 2-й том. М., Наука, 1984.
4.	Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М., Изд-во иностр, лит-
ры, 1956.
49