Л. М Берестов, БЖПоплавский
Л.Я.Мирошниченко
ИДЕНТИФИКАЦИИ
ЛЕТАТЕЛЬНЫХ
АППАРАТОВ
Москва «Машиностроение» 1985

39.52
Б48
УДК 629.7.018
Рецензент д-р техн. наук проф. Ю. П. Гуськов
Берестов Л. JVL, Поплавский Б. К., Мирошниченко Л. Я.
Б48 Частотные методы идентификации летательных
аппаратов.— М.: Машиностроение, 1985, 184 с, ил.
60 к.
Рассмотрена методология применения математических моделей ЛА, приведены
методы определения частотных характеристик (ЧХ). Описаны расчетные схемы
определения параметров математических моделей по ЧХ„ основанные на анализе
амплитудно-фазовых частотных характеристик и совместном анализе АФЧХ и
балансировочных зависимостей. Дана оценка погрешностей идентификации и адекватности
математических "Мвдел-ей. реальному объекту.
Для инженерно-технических работников, специализирующихся в области
экспериментальных исследований динамики полета Л А.
3606030000-402 ББК 39.52
Б 038(01 И5 СВ0Д' ПЛа" П0АПИСНЫХ ИЗД- 1985 г« 6Т5.1
© Издательство «Машиностроение», 1985 г.

ВВЕДЕНИЕ
Развитие летных исследований самолетов и вертолетов на
современном этапе характеризуется следующими основными
особенностями. Осуществляется переход к автоматизированной обработке
результатов летных испытаний, что позволяет значительно
сократить сроки обработки и расширить арсенал применяемых
алгоритмов. В связи с усложнением авиационной техники и более широким
развитием работ по оптимизации ее характеристик при проведении
летных испытаний все чаще возникает потребность в определении
математических моделей, что позволяет наиболее полно оценивать
соответствие летательного аппапата заданным' требованиям, поли-
матьлричины появления тех или иных особенностей, находить пути
улучшения характеристик летательного аппарата..
Кроме того, в настоящее время возрастают объемы
моделирования, сопровождающего летный эксперимент, расширяется фронт
работ по полунатурному моделированию, проводимому с целью
.отработки, систем авиационной техники, создается система
управления экспериментом с обработкой в реальном времени, что также
требует разработки методов эффективного определения
коэффициентов математической модели (идентификации) объекта. Решение
задачи идентификации позволяет существенным образом увеличить
объем полезной информации, получаемой в полете, что повышает
эффективность и безопасность проведения летных испытаний.
Каждый метод идентификации, используемый в настоящее
время на'практике, обеспечивает решение задачи при выполнении
определенных условий, касающихся характера входного и
выходного сигналов идентифицируемого объекта, неучтенных внешних
возмущений, динамических характеристик
контрольно-измерительной аппаратуры. Невыполнение хотя бы одного из этих условий
приводит к необходимости поиска других методов,
соответствующих реальной комбинации условий Летных испытаний. В то же
время выполнение всех условий зачастую невозможно из-за
сложности организации летных испытаний или требует чрезмерного
увеличения сроков летных исследований. Создание
специализированных вычислительных комплексов для автоматизации обработки
позволяет существенно повысить возможность использования
материалов, полученных в летном эксперименте, за счет создания
набора программ, обеспечивающих решение данного типа задачи
идентификации при различных сочетаниях неблагопоиятных сЬакто-
ров. Этот набор неблагоприятных факторов трудно определить за-
з

ранее, и наиболее правильный путь оценки этого набора —
обобщение опыта летных исследований при проведении экспериментов по
оценке динамических характеристик различных объектов.
В книге рассмотрены методы идентификации в частотной
области, так как они обладают целым рядом преимуществ, к основным
из которых надо отнести следующие. Частотные характеристики,
которые являются исходными данными для определения
коэффициентов уравнений или передаточной функции, сами по себе уже
несут информацию об особенностях исследуемого объекта и могут
быть использованы вместо уравнений или передаточной функции
для определения реакции объекта на заданное входное возмущение.
Анализ частотных характеристик позволяет оценить влияние
факторов, не учитываемых в упрощенной математической модели,
таких, как аэроупругость конструкции, турбулентность атмосферы,
а также динамические искажения системы измерений. Неизбежная
при идентификации операция дифференцирования заменяется в
частотной области операцией умножения. Система частотных
характеристик при одной и той же частоте несет больше информации, чем
система значений переменных состояния в заданный момент, так
как при подстановке в уравнения движения частных решений,
соответствующих вынужденным колебаниям при заданной частоте,
в этих уравнениях фигурирует еще и время, а это дает более
широкие возможности для формирования массивов исходных данных.
Кроме того, частотные методы анализа процессов в реальных
системах позволяют с помощью одного и того же математического
аппарата рассматривать различные явления, они основаны на
наглядных физических представлениях.
В книге рассматривается задача усовершенствования частотных
методов идентификации за счет разработки методики
идентификации, позволяющей максимально использовать информацию,
содержащуюся в частотных характеристиках, полученных в полете с
погрешностями, с целью повышения эффективности летного
эксперимента за счет снижения требований, предъявляемых к исходной
полетной информации.
В работе ссущестспен подход к разработке методов оценки
параметров математической модели с позиций максимального
использования информации, содержащейся в частотных характеристиках,
которые являются исходным материалом при решении задача
идентификации. Наибольший интерес представляют следующие
методы:
методы определения коэффициентов дифференциальных
уравнений, описывающих движение летательного аппарата, которые я
отличие от существующих основаны на минимизации погрешностей
определения каждого из коэффициентов в отдельности. Эти методы
позволяют решать задачу идентификации не только линейных
систем при одном входном сигнале, но и оценивать динамические
характеристики в области нелинейной зависимости параметров
движения при известной структуре нелинейности, а также при
пространственно управляемом движении летательного аппарата. Воз-

можности данных методов показаны на примере решения задачи
определения производных аэродинамических сил и кюментов
уравнений бокового движения ряда самолетов и вертолетов;
методы определения коэффициентов передаточных функций
конструкции фюзеляжа вертолета, собственные частоты колебаний
которого достаточно далеко отстоят друг от друга. Повышение
точности определения коэффициентов достигается за счет взаимного
контроля результатов, полученных разными способами.
Возможности данных методов показаны на примере исследования упругих
колебаний фюзеляжа вертолета;
методы получения исходных данных, позволяющие решать
задачи определения частотных характеристик по записям полезного
сигнала и соизмеримого с ним шума, динамических характеристик
систем измерений, недостающих частотных характеристик по
записям других параметров.
Разделы 2.2; 3.2.2; 3.2.3; 4.1; 4.2; 4.3; 4.6 написаны Л. М.
Берестовым, глава 1, разделы 2.1; 4.4 — Б. К. Поплавским, разделы 2.3;
2.4; 3.1; 3.2.1; 3.2.3; 3.2.4; 4.5 —Л. Я. Мирошниченко.

Глава 1
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ
ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
В данной главе систематизированы основные виды
математических моделей движения самолета и вертолета, применяемые при
анализе материалов летных испытаний. Приведенные модели
ориентированы на последующее решение, задачи оценивания
производных аэродинамических сил и моментов путем обработки
измерительной информации, регистрируемой с помощью современных
информационно-измерительных систем. В качестве основного вида
математических моделей в данном разделе работы приняты системы
линейных или нелинейных обыкновенных дифференциальных
уравнений.
1.1. ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДВИЖЕНИЯ
ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ. ПРИМЕНЕНИЕ
РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ МОДЕЛЕЙ В АВИАЦИОННОЙ ПРАКТИКЕ
Основой для построения математических моделей движения
летательных аппаратов (ЛА) служат законы механики, из которых
следуют различные соотношения между рассматриваемыми
переменными, характеризующими движ^ни-е ЛА. В частности, движение
ЛА может быть описано обыкновенными дифференциальными
уравнениями, уравнениями в частных производных, разностными
уравнениями, алгебраическими уравнениями. Структура математической
модели выбирается на основе изучения априорной информации о
конкретном Л А с учетом задач, решаемых в процессе летных
испытаний. В зависимости от изучаемой области изменения параметров
движения ЛА математические модели могут быть линейными или
лслинейными, стационарными или нестационарными.
Наличие большого числа случайных факторов, действующих на
ЛА в полете, обусловливает необходимость рассмотрения наряду
с детерминированными моделями моделей стохастических. Как
правило,-математические модели, используемые для описания
движения ЛА, являются многомерными.
На рис. 1 приведена классификация детерминированных
математических моделей движения ЛА в зависимости от их структуры
и сложности, наиболее часто применяемых в практике летных
испытаний.

Рис. 1. Классификация детерминированных математических моделей движения:
/ — нелинейная математическая модель движения ЛА как системы материальных точек
(учет упругости конструкции, уравнения системы управления, уравнения СА и т. д.); 2 •—
нелинейная математическая модель продольного движения ЛА как системы материальных
точек; 3 — нелинейная математическая модель движения ЛА как материальной точки; 4 —
нелинейная математическая модель бокового движения ЛА как системы материальных
точек; 5 — линейная математическая модель продольного движения ЛА как системы
материальных точек; 6—уравнения движения ЛА в вертикальной плоскости как материальной
точки; 7 — уравнения движения ЛА в горизонтальной плоскости как материальной точки;
8 — линейная математическая модель бокового движения ЛА как системы материальных
точек; 9 — линейная математическая модель короткопериодического движения; 10 —
линейная математическая модель длиннопериодического движения; // — линейная математическая
модель изменения высоты; 12 — линейная математическая модель изменения тангажа и
скорости; 13 — линейная математическая .модель движения крена; 14— линейная
математическая модель движения рыскания; 15 — математическая модель изменения крена и боковой
скорости вертолета на висении; 16 — математическая модель движения рыскания вертолета
на висении
1.2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
1.2.1. Общая математическая модель
пространственного движения ЛА как системы материальных точек
Общая математическая модель пространственного движения ЛА
как системы материальных точек предусматривает учет упругости
конструкции, изменения массы ЛА с течением времени и ряда
других факторов, влияющих на аэродинамические силы и моменты,
действующие на ЛА в полете. Учет этих факторов приводит к
увеличению размерности модели по сравнению с математической
моделью ЛА как жесткого тела постоянной массы. Рассмотрим все
предлагаемые в книге методы на примере математической модели
ЛА как жесткого тела, полагая, что их, в случае необходимости
можно перенести и на математические модели ЛА с учетом упруго^
сти, изменения массы и т. д. Уравнения движения жесткого ЛА
относительно центра масс в связанной с ЛА системе координат
вследствие обращения в нуль центробежных моментов инерции JXz — 0 и
Jyz = 0 для симметричного ЛА относительно вертикальной
плоскости XOY могут быть записаны в виде [4]
0
I
J xy
0
0
.0
J,-
*x
^y

»z - Jytay<Oz
Mx
My
Mr
(1.1)
Здесь JXy Jy, Jz — осевые моменты инерции ЛА; Jxy— центробежный
момент инерции; сох, со*/, coz— проекции вектора угловой скорости
ЛА на связанные оси координат OXt OY, OZ; Мх, Му> Mz —
проекции вектора момента внешних сил, действующих на ЛА.
К проекциям моментов внешних сил для самолета следует
добавить гироскопический момент вращающихся частей двигателя
Мг
1 гир •
,ир
Мг гир=
р рг; г гир
J у J 2
где /р — приведенный момент вращающихся частей двигателя; сор —
угловая скорость ротора дзигателя. Для вертолета помимо
указанных выше уравнений добавляется уравнение равновесия моментов
относительно оси вала несущего винта
JynQ = MyB. (1.2)
Здесь Мув — момент, создаваемый силовой установкой
относительно вала несущего вшгга, действующий на несущую систему;
Q — угловая скорость несущего винта вертолета.
Уравнения движения центра масс ЛА в проекциях на связанные
оси координат можно записать в следующей форме:
т
wzVx-wxVz
X
(1-3)
Здесь m — масса ЛА; V=(VXy Vy, VZ)T — вектор скорости
движения центра масс ЛА (X1/Z)T==^(/) — главный вектор внешних сил,
действующих на ЛА, обусловленный действием аэродинамических,
гравитационных, переносных, кориолисовых сил и тяги двигателя
Переносными и кориолисовыми силами обычно можно пренебречь.
Проекции составляющих главного вектора внешних сил на
связанные с ЛА оси координат выразятся формулами
* аэр~ (-^аэр'аэр^аэр) \
Frp = (—G sin О — G cos 0 cos Y<5 cos ^ sin y)t;
р = (Рсоьсрд^5}псрдв0)г. (1.4)
Сумму ^аэр + Я обозначим через /?:

Проекции аэродинамических сил часто записывают в виде
-(
9V2 Sc ?V2 S с ?V2
Sc ?V2 S с
v 2
В приведенных формулах чрдв — угол между направлением тяги
двигателя и осью ОХ; Ф— угол тангажа ЛА (угол между продольной
осью ЛА ОХ и местной горизонтальной плоскостью OXgZg); -у —
угол крена (угол между местной вертикальной плоскостью,
проходящей через ось ОХ, и осью OY)\ сх, сУу сг — коэффициенты
проекций аэродинамических сил на оси связанной с ЛА системы
координат; р = р(#)—плотность воздуха, приближенно определяемая с
помощью таблиц стандартной атмосферы, как функция высоты
полета Я; Р = Р(Н, М) — вектор тяги двигателя Л А. Для определения
центра масс ЛА и ориентации связанной с ним системы
координат относительно земной системы координат дополнительно к
приведенным выше уравнениям Эйлера необходимо использовать шесть
вспомогательных уравнений связи. Три из них представляют собой
кинематические соотношения между проекциями вектора угловой
скорости на связанные оси координат и углами Эйлера ft, у, ф,
ориентирующими эту систему относительно земной системы координат:
<»y = ty cos ft cos Y+ &sin у; (1.5)
(ог = д cos Y—Ф cos ft sin y»
Здесь г|) — угол рыскания, т. е. угол между некоторым исходным
направлением оси OXg и проекцией связанной оси ОХ на
горизонтальную плоскость OXgYft.
Три других соотношения представляют собой кинематическую
связь между проекциями вектора скорости ЛА на земную и
связанную системы координат [4]:
Vxg=Vx cos & cos'^ — Vy(s\n Ь cos у cos ф —sin y sin
-f-Ve(sin fr sin y cos <b-fcos Ysin ф);
H = Vyg-—Vx sin ft-j-^f/ c°sfr -os Y~ Vz cos frsin Y;
V zg= — VA cos Ъ sin b-^-Vyism D cos y sin ф-j-sin y cos ф) —
— l/z(sin Ь sin Y sin ф— cos ycos ф).
Помимо углов Эйлера введем в рассмотрение следующие два угла:
угол атаки а —угол между проекцией вектора скорости ЛА V на
его плоскость симметрии и осью ОХ; угол скольжения р — угол
между вектором скорости и плоскостью симметрии летательного
аппарата. Выразим проекции вектора скорости на связанные оси
координат через углы аи р:
VX=V cos а cos fc

I/ = — Vsin acosp; (1.6]
У
У
Используя приведенные выше соотношения, запишем
математическую модель движения самолета в виде
tn[Vy+ uzVx-*xVz}=V===Va3v + P sin ?An--Qcosb cosy ==
= %y — G cos ft cos Y;
[ ] cos Dsin y =
Л ^ '> c'^ = Wr = ^гаэР; (1.7)
Jz) ®x<»z ~ Jxy%LOz = МУ = Муаэр + My гир;
+ Jxy (С4 — ^) =MZ = Мг аэр + Мггир;
+ ^y cos Y cos i> —Vzsin v
= шу sin y + 0)* cos Y;
— (coy cos Y — °>z sin Y) tg ft;
5cos Y~ coz sin Y); '
COS v
= arcsinf—^-
Лг = Аг(а, а, 3, 3, 0, cov, w//? сог, I/, рЛ/,
M, Re, Sn, оэ, 8н, 8КЭ 8р.у-д^
К = К(а, а, р, р, ft, у, &*> <°у сог» ^ Р//» м» Re, 8В,
К, \* 5к» Vy-д);
Z = Z(a, а, р, р, ft, y, ">*> %» 0)г» J^ Ря» М, Re, S3, 8Н, ок, ор.у.д)»
Мх=Мх(а, а, р, р, a>x, <v I/, ря, М, Re, оэ, он, 8К, ор.у.д)'»
Му—Му(а, а, р, р,^сох, ш^, озг# 1//ря» М, Re, 8Э, Вн$ §к, §р.у.д)»
10 ^J

Mz = Mz(a, «, Рэ P, «>хэ CV шг» V. Р//э M, Re, 8B, 8e, 8K, 8р>у#л).
(1.7)
Аэродинамические силы и моменты для самолета записываются
в виде
^аэР= —CrfS; . Mxa3p=mxqSl;
^аэР = CtJqS; VW,, аэр = myqSl;
n
Где <y = скоростной напор.
В соотношениях (1.7) приняты следующие обозначения: М —
число Маха; Re= '• число Рейнольдса; бв, б3, бн — углы от-
V
клонения руля высоты, элеронов, руля направления; бр.у.д —
отклонение органа управления тягой двигателя; бк — углы отклонения
щитков, закрылков, предкрылков, выпуск шасси и доугих
элементов конструкции ЛА, определяющих его конфигурацию.
Включение в систему уравнений движения самолета уравнения
для Н и соотношений для р, а, р, V обусловлено зависимостью от
этих параметров составляющих главного вектора внешних сил и
главного векгора внешних моментов.
При рассмотрении математической модели движения вертолета
к системе уравнений (1.7) следует добавить уравнения равновесия
моментов относительно вала несущего винта
JynQ = Mytn (1.8)
где MyB = MyB(VXi Vyy VZy сох, toy, a)2, ft, 6B, бк, 6Н, Ф, 1лв) — сумма
крутящего момента, создаваемого несущими винтами вертолета, и
момента, создаваемого силовой установкой; JyB — приведенный
момент инерции вращающихся элементов относительно оси вала
несущего винта вертолета; Q — угловая скорость вращения винта; |дв —
отклонение органа управления мощностью силовой установки; <р —
угол общего шага винта вертолета; бв, 6К, 6Н — эквивалентные
отклонения органов продольного, поперечного и путевого управления.
Входящие в уравнения движения вертолета проекции внешних-
сил и моментов, действующих на него в полете, являются
функциями следующих параметров:
X = X(VX4 Vy, Vz, »>x, oV «,2f d, Q, cp, 8Bf SK, SH..,);
Vy, Vz% o>x, ioy, coz;», Q, cp, »., &k, *■-..);
Vyy V2% мх, uy, со,, Q, cp, 8Bf 8^, 8H...);
VX% V^ V» *x, coy, co2, g, cp, jb, 8Ki 8H...);
VX4 Vy, V^ a)x, oV, co^icp, 8Bf 8Ю 8Н...);
X, Vy% Vz% *x% »y\ *„ 9, cp, 8Bf 8КЭ ан...).
11

Первые шесть уравнений системы (1.7)' приведем к нормально^
форме Коши, разрешив их относительно производных по времени
от параметров I/, а, р, со*, и>у, <о2. Для преобразования первых тре*
уравнений воспользуемся соотношениями, получаемыми путем диф.
ференцирования по времени соотношений (1.6):
Vх=V cos a cos Р—Vp cos а sin Р — Va sm a cos p;
Vy = —V sin a cos p-j-Vp sm a sin P — Va cos a cos p; (1.9
Используя соотношения (1.6), (1.9) и уравнения (1.7), можно за*
писать, что
V = -L [(X cos а —Г sin а) cos p -f Z sin P];
т
$=&у cosa+w^ sin а-| [(К sin а — X cos a) sm P + Z cos p];
а=(i)z+tg р (о>„ sin a — u>x cos a) l—— [X sin a+Y cos aj;
mV cos p
* х* у—*хУ Jx'y J хУ ^ х< у ~~~ J хУ
MxJxy + Mylx Jxy (Jz - Jx - Jy)
■- я s ">..«>,—
A*"* 71 J2 0>'<°г'
JХУ JxJy~~Jxy
Mz Jy — Jx Jxy / 2 2\ . /t 1Пч
*г * z *г
fi—V (sin & cos a cos p — cos & sin a cos p cos у — cos & sin Y sin p).
Проекции сил X, У, Z, входящие в первые три уравнения системы
(1.7), в ряде случаев удобно выразить через измеряемые в эксперт
менте проекции вектора перегрузки на связанные с ЛА оси коор
динат:
X=G(nx-~ si« Ь)=Хаэр+Р cos срдв — О sin &;
y=G(ny — cos Ь cos у)=Уаэ?+Р si« ¥дв — G c°s * cos v; (1Л1)
Здесь
0 — вес самолетя.
12

Подставляя выражения (1.11) в (1,10), получаем
ir=g[(nxcosa — пу sin a) cos $~\-nz sin ?-f(cosfr sin a cos Y~
— sifl & cos a) cos p -f- cos * s^n У sm $]*
p = (a)y cos a -f ш^ sin a) — — t(#r cosa — /^ sina)sinp — -
~-fe2cosP-4-(cos& sin a cos y — sin & cos a) sin (3 —cosft sm
=(a)v sin a —
Пх Sm a\n
И COS p
— si-n & sifl a — cos & cos a cos y].
Рассмотренная выше математическая модель состоит из системы
нелинейных дифференциальных уравнений. Для проведения
инженерных исследований эту систему можно упростить, если принять
ряд допущений, соответствующих выполнению в полете
характерных испытательных маневров.
1.2.2. Линейная математическя модель
пространственного движения ЛА
как системы материальных точек
Систему уравнений пространственного движения ЛА можно
существенно упростить, если принять допущение о малых изменениях
всех параметров относительно некоторого исходного движения.
В качестве исходного движения рассмотрим прямолинейный
установившийся полет с параметрами
ао==%—Чъ-=%==ыХо==що = ъго==(), д0, а0, Яо, Vo.
Представляя функциональные зависимости аэродинамических сил
и моментов, действующих на ЛА в полете, в виде рядов Тейлора
по степеням приращений параметров относительно исходного
режима полета и пренебрегая произведениями малых приращений,
получаем линеаризованную систему уравнений движения.
Для случая линеаризованных уравнений самолета пренебрежем
приведенным гироскопическим моментом вращающихся частей
двигателя и произведениями приращений параметров. Среди набора
независимых переменных, определяющих значения проекций аэро
динамических сил и моментов на принятые оси координат, выбе
рем основные, считая остальные переменные постоянными. Кроме
того, пренебрежем различием нормальной силы в связанных ося?
и подъемной силой. Полученная в результате указанных допущений
система уравнений может быть записана в виде [4]
В формулах (1.13)
тг X cos ccq — Y sin \xtj у '_ X sin а$ {- Y cos u.t) ~y Z
m mV0 mV0

со
IX
о
о
о
о
о
о
о
о
А. «5° о
8
О
О
О
О
о
о
15
й-
1^ IN
3 3)
Ч
3 3)
15
8
7
15
о о о о
а?
С
'55
"fe"
СО
3
I-
О
о о о о
о о о о
ьо
о
а
•a"
*>•

АЛ Мп
Jz Jy J х
Мх .
?=Ml-Mi(r'n—g- sin60); М1"* = М?*+М1\
При линеаризации уравнений движения вертолета в качестве
исходного режима рассматриваем прямолинейный- установившийся
полет с параметрами
Vx0, Vv» Vz0, 2o, г%> Yo» ^хо = Що==^го=0,
которым соответствуют исходные отклонения органов управления
Рассмотрим наиболее простую систему уравнений, описывающую
основные свойства вертолета как динамической системы. Элементы
конструкции вертолета считаем жесткими. Вертолет рассматриваем
как динамическую систему, состоящую из двух элементов. Первым
элементом является фюзеляж, на который действуют
аэродинамические силы и моменты и равнодействующие сил и моментов
несущего и хвостового винтов. Вторым элементом является несущая
система, вращающаяся относительно вала винта. Система
уравнений движения вертолета будет состоять из шести уравнений,
описывающих движение фюзеляжа как твердого тела, уравнения
равновесия моментов относительно оси вала несущего винта и
кинематических соотношений, связывающих углы #, у и -ф с угловйми
скоростями (Ох, с%, со2. Для удобства записи представим
линеаризованную систему дифференциальных уравнений движения вертолета в
матричной форме [1]
X = AX + BU, (1.14)
где
А =
XV*
Ж*
0
Ж*
Ml*
0
0
X у
Туу
Ж*
0
"К:
Zvy
ЖХУ
Жу1
0
0
ха*
мр
1
0
— sin Yo
Xй
F»
0
0
0.
0
0
0
0
0
Xs .
ж
0
ж»
Iя
Ж
0
0
0
lxv*
■ Yvz
ж*
0
ж^
Жуг
0
: 0
Xй*
У°х
Ж*
0
Ув
Z1"*
~М1*
1
0
Хау
Жу
sin Ъо
Z^y
ж>
-tg»0
1
0
0
0
0
0
ZT
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6
0
0
0
0
15

А„ I А,
в=
К5'
О
1
х*
у*
Щ
о
Ъ
о
о
о
о
о
о
'о '
о
о
о
о
А*.
Дер
л К л н
У6к р8н
Mlk Мг"
о о
У.""
My* My'
о о
о о
вп
Здесь i4n6, -Лбп, Впб и Вбп — матрицы, определяющие влияние пр
дольного движения вертолета на боковое и влияние бокового дв
жения на продольное; матрицы Ап и Вп определяют изолированн
продольное движение вертолета, матрицы Л$ и Be соответству!
изолированному боковому движению вертолета.
В полученных выражениях коэффициенты с чертой представл
ют собой частные производные следующих функций:
Му+Мх
•ху
'»-->
4-
т
'хУ
16

1.2.3. Линейная математическая модель
продольного движения самолета
как системы материальных точек
Линейная математическая модель продольного движения
самолета описывает изменение по времени параметров а, со*, О, Я
и V. '
Уравнения продольного движения самолета выделяются строго
йз уравнений пространственного движения в случае действия
возмущений в плоскости его симметрии, я*
При линеаризации уравнений примем допущение, что на
исходном установившемся режиме полета выполняются условия
6 = 0о; 0^fr0; а = аг.п;
Пренебрежем также центробежными моментами инерции.
Линеаризуя систему уравнений (1.10) и учитывая, что
^&-.а=6; .Ycosa — У svna=Xn;
=Xn — О ski 6;
cos 9
получаем
V
а
г
ь
н
=
si«8
Х\
—Yn
Ж
0
Xan-\-g cos 90
/р« £. si^ e \
ж
0
| -V0cos90
0
0
1
0
—g cos 90
g sine
^о' °
0
0
Vo cos 60
Х"п
-?"п
Ж
0
0
0
0
Ml
0
0
Здесь
X
AV
Да
Дд
ДЯ
а
+
Х^в
-VI*
ж>
0
0
Xn~Xnlm; Va=
mV '
X
(1.15)
I?

1.2.4. Линейная математическая модель бокового движения
самолета как системы материальных точек
—Уравнения бокового движения самолета определяют изменение
по времени параметров со*, щ, у, ($. Линеаризуя нелинейную систему
уравнений бокового движения относительно исходного движения
с параметрами
получаем следующую систему уравнений:
Y
Ml ^=-^о>Л
а
1
i T 8
-tg& cos y 0 mz tg $ sin
—cos & sin у
3
Здесь
Mi» My'
о о
c=—r^; ■^</=-
(1.16)
mV
(1.17)
1.2.5. Линейная математическая модель
продольного короткопериодического движения
(самолет, вертолет)
Рассмотрим математическую модель продольного
короткопериодического движения самолета для случая, когда линеаризация
уравнений движения выполняется относительно исходного
установившегося горизонтально полета с параметрами
l/0 = const; Яо—const; Y0 = 0; ^=0; 60=0; шго=0.
Рассматривая возмущенное движение на коротком интервале вре-
dV л гт
мени, пренебрежем изменением скорости полета"^"===и-
Предположим, что возмущенное движение самолета вызвано отклонением
органа управления продольным движением. Линеаризованные дви
жения самолета запишем в связанной с самолетом системе осей
координат:
а = шг — (К
mV \
Да
Ч 8 V;
J
16

y2(Lz=^Aa+Af^a>z+iW«(i+Af48B;
"1 О О .
Здесь
Да
a
Ml
0
(1Л9)
В отличие от самолета продольное короткопериодическое
движение вертолета может иметь место только при выполнении ряда
дополнительных условий, касающихся порядка величин
производных аэродинамических сил и моментов, действующих на вертолет
в полете, в частности, при значительной величине степени
статической устойчивости вертолета по углу атаки |Л/£|, когда
комплексные нули передаточной функции Wvyibb(p) приближаются к малым
комплексным полюсам. Вывод уравнений продольного короткопё-
риодического движения вертолета, основанный на анализе
траекторий нулей и полюсов передаточных функций, приведен в работе
[3]. В матричной форме записи уравнения продольного короткопе-
риодического движения вертолета имеют вид
Ж А
ш,
(1.20)
1.2.6. Линейная математическая модель,
описывающая изменение угла тангажа и скорости вертолета
Математическая модель изменения угла тангажа и скорости
вертолета может быть записана в виде системы уравнений
А»
Ж*
о
X"*
1
X*
О
О
AVX
»z
Д»
+
хъ*
О
(1.21)
Вывод приведенной системы уравнений дан в работе [3].
1.2.7. Линейная математическая модель изменения
высоты полета вертолета
Изменение высоты на режиме висения вертолета практически
не зарисит от небольших изменений углов тангажа и крена. По-
19

этому приближенно можно записать следующую систему уравне*
ний:
дя
Yvy YH
1 О
дя
у?
О
Аср.
(1-22)
1.2.8. Линейная математическая модель движения
крена самолета и вертолета
на режиме поступательного движения
Изолированное движение крена может быть приближенно
описано для самолета одним уравнением
(1.23;
На режиме поступательного движения вертолета при условии, что
|-M£|<|jW||, может быть выделено изолированное движение
крена, которое описывается системой уравнений
8К. (1.24;
<»х
=
0
1.2.9. Линейная математическая модель
изолированного движения рыскания самолета и вертолета
на режиме поступательного движения
Для самолета, пренебрегая движением крена, можно описать
движение рыскания системой уравнений
Z5»
(1.25;
На режиме поступательного движения вертолета при условии, чтс
|м£|<|Ж|/|, можно выделить движение рыскания, описываемое
системой уравнений
(1.26;
д<1>
zv* zmy
MVy* МуУ
д^г
+
Z5"
Wy»
0
1.2.10. Математическая модель, описывающая
боковое движение вертолета на режиме висения
Пренебрегая в линеаризованной системе уравнений бокового
движения вертолета уравнениями, описывающими движение рыс
кания, получаем систему уравнений, описывающую движение крена:
20

Ду
zv>
Ж'
0
Z"x
Мх
1
г
* 0
0
Ау
+
Z"
0
(1.27)
Движение рыскания вертолета на режиме висения может быть
описано одним дифференциальным уравнением
АЪН. (1.28 J
Глава 2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Методы экспериментального определения частотных
характеристик ЛА можно подразделить на прямые методы, основанные на
применении синусоидальных входных сигналов, подаваемых на
органы управления; методы, основанные на тестовых сигналах,
которые при обработке экспериментальных данных разлагают на
гармонические составляющие с помощью применения преобразования
Фурье; статистические методы, основанные на спектральном
анализе случайных входных сигналов и откликов ЛА на них.
2.1. МЕТОД, ОСНОВАННЫЙ НА АНАЛИЗЕ ПРОИЗВОЛЬНЫХ
ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
| Пусть переходные процессы в изучаемом объекте описываются
системой линейных уравнений с постоянными коэффициентами
х=Ах-\-В/,
(2.1)
где х — вектор-столбец состояния объекта размерности rXl; / —
вектор-столбец управления размерности dxl; А и В — матрицы
с постоянными элементами размерности гХги rxd соответственно.
Для любой линейной системы отклик на сумму различных
входных сигналов равен сумме откликов, соответствующих каждому из
входных сигналов в отдельности. Поэтому без потери общности
можно положить, что на объект действует один входной сигнал
fm(t). Рассмотрим изменение по времени одной из переменных
вектора состояния %n(t)m Исключая из уравнений (2.1) переменные
'*ь *2> ..., Хп-и Хп+и -у *гу получаем одно дифференциальное
уравнение
(2.2)

Положим 1т = !оеш- Частное решение уравнения (2.2) будем искать
в виде Хп = №(ш)еШ- Подставив его в уравнение (2.2), получим
. (2.3)
Из формулы (2.3) следует, что частотная характеристика объекта
Wn/m(to), определяющая реакцию системы по координате xn(t) на
гармоническое воздействие/m(/)=/oe/<D', имеет вид
Wn,m(i<»)=R(i«>)= -^ . (2.4)
У-о
Выражение (2.4) можно представить в следующей форме
m(<») =ЛЛ/т(о>) е^/^(й>), (2.5)
где ЛЛ/т (а))=?угСл/т(а))2-(-5л/лг(а))2—:амплитудная частотная
характеристика (отношение амплитуды выходного гармонического
сигнала к амплитуде входного гармонического сигнала); срЛ/т(а))=
Sn/m (<о)
=arctg— фазовая частотная характеристика (разность
Сп/т (ы)
фаз гармонического сигнала н& выходе и гармонического сигнала
на входе объекта).
Рассмотрим алгоритмы определения частотных характеристик
для случая произвольного (не гармонического) сигнала на входе
объекта. Умножим обе части уравнения (2.2) на функцию е~ш и
проинтегрируем обе части уравнения в пределах от 0 до оо,
предполагая существование соответствующих интегралов
2 aj f xfn (t) е-'»'Л=2 bj f /4 (/) e~Mdt. (2.6)
Введем в рассмотрение спектральные характеристики
б' (2.7)
Ф/т <*•>>= ]/т (О e~Mdt.
6
Относительно xn(t) и fm(0 предположим, что выполнены условия
х„ (0)=х(„п (0)=...—jcJT» (0)=0;
^ =...=4r~1) (oo)=0;
... = /if)(O)=O; (2.8)
=...=/%~1) (оо)=.0.
22

Применяя формулу интегрирования по частям, можно записать, что
*/'V) е-'"1 +... +
о 5
Подставив выражение (2.9) в формулу (2.6), найдем
k
/-о
Из сопоставления формул (2.10) и (2.4) следует, что частотная
характеристика по координате хп от возмущения fm при выполнении
условий (2.8) может быть рассчитана по формуле
l
Jm
(2.11)
Если входной сигнал fm(t) удовлетворяет условию /m(oo)=const
и соответственно хп{оо) = const, а остальные условия (2.8)
выполнены, то формулу для определений частотной характеристики
можно получить, предварительндг^родифференцировав по времени обе
части уравнения (2.2), а зате$? проинтегрировав-полученное
соотношение с весовым множителем е~ш:
^Т- <2Л2)
Дифференцирование экспериментальных записей параметров xn(t)
и fm(t) при наличии ошибок измерений может привести к
увеличению погрешностей результатов.
Введем формулу для определения частотных характеристик ЛА
в рассматриваемом случае непосредственно по записям
измеренных сигналов.
Предположим, что сигналы, подлежащие спектральному
анализу, могут быть представлены в виде
0 при t < 0;
fm(t) при /-=[074; xnit)=
[fM(T) при />Г;
0 при t <0;
xn(t) при /=[0^1; (2.13)
хп(Тх) при />Г1.
Для таких сигналов условия, при которых получена формула (2.11),
не выполнены. Введем в рассмотрение функции
23

для которых x*n(t)==O при
/;(о=о при *>г.
К обеим частям формулы (2.2) применим преобразование Лапласа
2 ajP'LXn(p)=^ibjp'L,m{p). (2.15)
Из формулы (2.15) следует, что
2 а/
(2Л6)
Подставив в формулу (2.16) выражение (2.14), получим
(2.17)
у-о
oo
где i) f r'rf
e(ro(/»)= f Jf^
Функции xn*(0 и /m*(0 заданы на конечных интервалах времени.
Для них выполнены условия существования интегралов
]х'"'
(=[хп№-'ше(Н;
Поэтому в формулах (2. 17) можно положить р=ш:
(2.18)

Сравнивая формулы (2.4) и (2.18), находим, что
(2.19)
Запишем выражения для Ф * (/со) и Ф * (/со):
хп *т
ТА
Хп
fm
(Tl)
/ю
(Г)
-X
(2.20)
(Ш
Подставив их в формулу (2.19), получим
(2.21)
Отделяя мнимую и действительную части в выражении (2.21),
преобразуем его к виду
^^^^f \ (2.22)
С/щ (<*>) + iSfm (со)
Здесь
7*1
О
74
С050)Г'
v г ./• wv jii r- ,тч sin <
)=\ /m(')COSC0to?/~-/m(F)
О
(«)= - j /m (« sin ш/Л - /„ (У) -^

Ап/т(<»)
Rxn (<Q) = УСхп ((0)2 + Sxn (Q))2 ,
(2.23)
Формулы (2.22) и (2.23) служат основой для построения
различных алгоритмов определения частотных характеристик ЛА из
анализа переходных процессов. Интегралы от экспериментально
полученных зависимостей xn(t) и fm(t), взятые с весовыми
функциями sin wt и cos со/, могут быть вычислены с помощью известных
методов численного интегрирования.
2.1.1. Детерминированные возмущения
Для определения частотных характеристик ЛА на исходном
установившемся режиме горизонтального полета при постоянной
высоте (Н = const) и постоянном числе Маха (М = const)
выполняются отклонения одного из органов управления ЛА с последующим
возвращением его примерно в исходное положение.
Типовыми режимами, используемыми для определения
частотных характеристик, являются импульсы, дачи и перекладывания
органов управления. Частотные характеристики определяются на
основании гармонического анализа входных возмущений и откликов
на него ЛА. Поэтому выбор входных воздействий основывается на
анализе их спектрального состава. Необходимо, чтобы амплитуды
гармонических составля-
-F(t) ющих в спектре входного
сигнала в интересующем
исследователя диапазоне
частот существенно
превышали уровень помех на
этих частотах. На рис. 2.1
показан спектральный
состав некоторых типовых
возмущений, а на рис.
2.2 — пример переходного
процесса в продольном
движении самолета при
импульсном отклонении
руля высоты
(стабилизатора).
Применяемые для
спектрального анализа
сигналов алгоритмы
основаны на обработке сигна-
^7
R(oj)
\
/1
L vf=
-———
10'
а)
15
t,c
\
Ю
15
20
6)
25 30 со,Г/е
Рис. 2.L Спектральный состав
некоторых типовых
возмущений
26

Н,м
/2000 -
11000 -
№00 -
WBOO -
U)z,t/c
о'Лг
-0,2
4г
3
2
1
if)
градус
A
V
1
H
V
УСТ
О
-I
-2
U)n, 1/C
';0
0
A
0,2
Q
-0,2
-0,4
4
2
0
-
-2
-
20
W
D
-7/7
$н,градус
20
10
0
-10
— fi
Рис. 2.2. Переходные процессы Л А, вызванные входным возмущением в виде
импульса руля высоты
лов, изменяющихся на некотором конечном интервале, времени
наблюдения [ОТ] и принимающих постоянные значения вне этого
интервала. Поэтому при определении частотных характеристик
неустойчивого объекта после начального отклонения органа управления
управление им должно выполняться так, чтобы за время
наблюдения режима он пришел к некоторому состоянию равновесия.
27

Частотные характеристики ЛА определяются в линейной
области зависимости аэродинамических коэффициентов ЛА от парамет*
ров полета. Им соответствуют линеаризованные уравнения
движения. Поэтому гармоническому анализу подвергаются зависимости
по времени отклонений параметров движения от их значений на
исходном установившемся режиме полета:
Lfm№=fmV)-mfm* bxn{t)=xn(t)-mxa* (2.24)
где fhj и fhx — оценки математических ожиданий параметров на
исходном установившемся режиме полета.
Первым этапом расчета частотных характеристик ЛА по
обработанной и отредактированной информации является определение
участка записи параметров для обработки. Выбранный участок
должен включать в себя записи параметров на исходном
установившемся режиме полета и при выполнении заданного испытательного
маневра. Для устойчивого ЛА записи параметров должны
рассматриваться вплоть цо момента практического затухания переходных
процессов, вызванных управляющим входным воздействием.
Выбранные для обработки интервалы записей изменения
параметров по времени должны удовлетворять ряду условий. В
частности, на исходном установившемся режиме прямолинейного
горизонтального полета изменение параметров движения, массы ЛА.
положения центра тяжести, моментов инерции, а также
конфигурации ЛА должны находиться в заданных пределах,
устанавливаемых экспериментатором. Конкретный набор сопровождающих па«
раметров определяется для каждого обрабатываемого испытатель-
ного режима.
Режимы, не удовлетворяющие указанным условиям, из
обработки исключаются. В процессе выполнения испытательного
маневра в соответствии с принятым алгоритмом обработки возмущающие
сигналы должны подаваться только на один из органов управления
ЛА. Значения возмущений и откликов ЛА на них должны быть
существенно выше уровня помех (шумов), действующих на ЛА и
измерительную систему в изучаемом диапазоне частот.
Обработка выбранных режимов начинается с вычисления
оценки математического ожидания параметров на исходном установив-*
шемся режиме полета:
(2.25|
где моменты f» принадлежат интервалу времени исходного
установившегося режима полета. Затем определяются отклонения пара*
метров на испытательном режиме от их значений на
установившемся режиме Afm{tf) и Д*п(1/) по формулам (2.24). Принимая время
28
/т^/тср"-^"" \j /

начала испытательного маневра /0=0, вычисляют комплексные
спектры (2.6) сигналов А/™(0 и Axn(t), определяемые с точностью
до масштабного множителя /- - * по формулам
)= Г
J
о
/со
(2.26)
Входящие в формулы (2.26) интегралы обозначим соответственно
через Ф/°> (/<») и ФЙ(/ю):
(2.27)
Интервал интегрирования [ОТ] соответствует времени действия
возмущающего сигнала Afm(t), а интервал [0Т\] — времени
наблюдения реакции ЛА на заданное возмущение от начала его действия до
практического затухания переходного процесса (для устойчивого
ЛА), вызванного входным возмущением.
Формулы (2.26) с целью определения амплитудного /?/m(coJ
и /?жп(<о) и фазового ф/т((о) и фхп(о>) спектров сигналов ЫШ(Ц
и Ахп (0 представим в виде
Здесь JRfm, Ф/m, Rxn, фхп определяются по формулам (2.23), в
которых вместо fm и хп взяты их приращения Afm и Ахп>
Значения Ап/т(ш) и ^рл/тС^) вычисляют для последовательности
значений растоты о)г(/'=0, 1, ..., k)y принадлежащих интересующему
экспериментатора диапазону частот по формулам (2.23).
Полученные в результате расчетов амплитудные и фазовые
частотные характеристики документируются в виде графических
зависимостей от частоты со или в виде таблиц. Кроме того, результаты
обработки накапливаются в памяти системы обработки для
совместного анализа частотных характеристик, получаемых по
материалам различных экспериментов. Для построения вычислительных
алгоритмов определения частотных характеристик ЛА по измери-
* Масштабный множитель г—- является несущественным при определении
частотных характеристик ЛА. В дальнейшем условимся его опускать.
29

тельной информации воспользуемся'одним из известных методов
численного интегрирования, заменяя интегралы в формулах (2.23)
соответствующими суммами. Вследствие приближенного
вычисления интегралов, а также из-за наличия ошибок в измерениях
вычислительные алгоритмы позволяют определять приближенные
значения спектров сигналов и соответственно приближенные значения
амплитудных и фазовых частотных характеристик. Приближенные
значения определяемых характеристик будем называть их
оценками и обозначать соответственно через ФХп(ш), Ф/
VxnW* 9/тМ И Т. Д.
Оценки значений спектра сигналов (2.28) Afm(t) и kxn(t) .для
некоторой заданной частоты (ог запишем в виде
Ф. (iv>r)=Cfmu
_ _ (^»-
где
"" sin (<ofГ);
= - V. piyA/m(/y)sin кудо-
Sxn (сог) = - 2 ?2уА^л (^) sin (ш,у ДО -
• \
а/, Р/ — коэффициенты, зависящие от выбранного спосооа числен
30

лого интегрирования, используемого для вычисления интегралов
(2.23).
Расчеты по формулам (2.29) выполняются по специальным
программам на системах автоматизированной обработки. Обычно
стандартные программы вычисления функции <p = arctgx позволяют
определять главные значения углов сре[—я/2; я/2]. Поэтому
фактические значения углов ф/т(со) и фхп(со) следует определять с
помощью проверки знаков оценок Sfmy C/w, 3xn, Схп. Можно записать,
налример, для ф/т(со)
arctg
и С/т(ш)>0;
И СГ/п(0>)<0 ИЛИ
й С/т(to)<0;^"
2n+arctg
Значения оценок амплитудной и фазовой частотных характеристик
определяются по формулам
При определении фазовой частотной характеристики фл/т(<ог) слг-
дует обратить внимание, что ее численное значение определяется
с точностью до угла, равного 2я. Признаком правильности
определения фазовой частотной характеристики является непрерывный
характер ее зависимости от частоты сог.
Дискретизация сигнала по времени накладывает ограничения
на диапазон частот сог, для которых имеет смысл определять
оценки частотных характеристик. Оценки комплексных спектров (2.26)
можно записать в виде
Фх
Слагаемые Ф/ш(«шг) и
(2.27):
Ф Z .(/»,)=
2
2
2
(2.32)
iu>r
r) являются оценками интегралов
<2-з3)
31

где
N
Cfm К) = 2 а»'Ь/т (УАО cos (о>гу Д/);
у=о
" sin(<
и 5^я(ш)вычисляются по аналогичным формулам.
Функции Ф/^(/о)г) и Ф?л(/«)г) являются периодическими функциям?
частоты (о с периодом S== . Действительно,
'V"«)«) Ч); (2.34:
Периодическими, с периодом 2 = — , являются также функции
At
S/°i(o)f); C^(cor), S2J(a)f)f Ci?i(a)r).Действительно, для любых
функций вида
N N
5(о))=2 dj sin о);Д/; С(ш)=2 *;Cos ">
условия периодичности S(co + Q) =S(co) и C(co + fi) =C((o) можно
записать в следующей форме:
N
2 я, [sin (ш-f 9)уД/ — sin соуД/]=0;
/-о
у-о
или
J y2 sin **±±- jM sin -|- уД/ =0.
2
(2.36)

При Й = 2я/Д/ условия периодичности (2.36) выполняются, так как
Q
sin — уД/= sin я/= 0.
Функции 5 (со) и С (со) помимо условий периодичности
удовлетворяют также следующим условиям:
5(со)=— S( — о); С(«))=С( —со). (2.37)
Поэтому справедливы равенства
Я \ e/Jt
со |= —5
,2.38)
показывающие, что значения периодических функций S(co) и С (со)
для любых значений аргумента со полностью определяются по их
значениям на интервале частот w£
Слагаемые ф^(/сог) и Ф^°л (/«>,) представим также в следующей
форме записи:
где
Заметим, что
п<°) / \ п(°) / , 2я \
Rfm К) = ^?/т (шг + —J :
(2.40)
Функции Rfrn(u>) и Rxn(®) являются симметричными относительно
значения аргумента ю=—:
2—1188 33

Следовательно, вычислять функции /?/!£(«>) и R^
(to),представляющие собой оценки амплитудных спектров сигналов, отличных от
нуля только на конечном интервале времени, имеет смысл только
в диапазоне частот о>гЕ= 0,— . Частоту со = я/Д/ называют
частотой Найквиста.
2.1.2. Методы вычисления оценок спектрального состава
детерминированных сигналов
Рассмотрим несколько конкретных алгоритмов вычисления
функций ф(°)(со); *5(°)((о); С(0)(со)- используемых при расчете
комплексных спектров (2.32) сигналов по дискретным измерениям
функции Af(t), выполненным в равноотстоящие моменты времени:
В качестве основной для вычисления функций ф(°)(ко); ()
£(0)((о) примем формулу, полученную заменой интегралов в
формулах (2.27) интегральными суммами
N
5(0) («))= -A/Va/ (tj) sin mi/,
C(0) (ш) = At
Формулам (2.41) соответствуют следующие соотношения для
определения функций Ф(/со); 3(ко) и С(ш):
Ф(/ш)=Ф(0)(/а))-|- Af(t]v) еГш*;
г со
5(ш)=5(0)(/«о)- A/(<Jv) coso)^; (2.42)
34

Ранее было показано, что выполнены условия
)=-S(0)(-«»); С(0)(ш)=С(0>(-а>); (2.43)
Соотношения (2.43) могут быть использованы для сокращения
числа необходимых вычислительных операций при расчетах на
цифровых вычислительных машинах значений функции, определяемых
формулами (2.42). С целью построения быстродействующих
алгоритмов вычисления функций (2.42) воспользуемся идеей
быстрого преобразования Фурье, заключающейся в представлении числа
слагаемых N в суммах (2.41) в виде произведения ряда
сомножителей N = r) г2...гр и вычислении частных сумм с числом членов,
определяемых этими сомножителями [2, 15].
В основу такого представления положен прием, который
проиллюстрируем на примере вычисления функции ф(°)(/со). Выделим
в выражении для ф(°)(ко) суммы с четными и нечетными номерами
и вынесем за скобки во второй сумме е~/соА/:
-f А/е-/<оА' [А/(АО + А/(ЗАОе~ы2и + Lfm(5A/)е~1шШ ...] =
= of> (/со) -f e-^A' Ф^ (/со). (2.44)
В формулах (2.44) при подсчете функций Ф^0)(/а)) и Ф^(/со)
используются одинаковые множители е~/а)2д/Л Число их в два раза
меньше числа различных сомножителей видае~~г'°^А', входящих в
формулу (2.41), однако перед функцией Ф^ (/со) появляется один
дополнительный множитель е~/соА/. В результате примерно в два
раза сокращается количество обращений к стандартным
программам вычисления функций sin (со2Л£/) и cos (со2Д£/), необходимых
для вычисления значении функции вида е К Одновременно
сокращается число необходимых операций за счет того
обстоятельства, что в формулах для Ф^0) (/со) и Ф^}(/со) роль At играет
величина, равная 2At. Следовательно, воспользовавшись формулами
2* 35

(2.43), можно ограничиться непосредственным вычислением сумм
Of} (/(о) и Ф^ (/со) для частот со е [о, —1 .
Действительно, суммы Ф*0) (/<*>) и фЦ\ш) являются
периодическими функциями с периодом Q=n/M, т. е. с периодом в два раза
меньшим, чем период функции ф(°)(/со). Представим их в виде
Для функций С£0)(со); SjO)(a)); С^(со) и 5^ (со) справедливы
формулы, аналогичные формулам (2.43).
Следовательно, для определения функций Ф^ (со) и Ф^(со)в
диапазоне частот со£= 0, 1 достаточно вычислить соответствующие
L kt J
суммы для со£= 0, -5— , а затем для определения значений Ф^0) (/со)
|_ 2AtJ
Ф1. (/со) в диапазоне частот со ее , — воспользоваться фор-
[ 2Д£ A/ J
мулами (2.43). Каждую из сумм Ф^0)(/со) и Ф^ (/со) в свою очередь
разобьем на две суммы, соответственно с четными и нечетными
индексами. Указанный процесс можно продолжать до тех пор, пока
количество операций, необходимых для вычисления функции
ф(°)(цо) для значений wE 0, — , не будет сведено к минимуму.
В реализованных в программах счета на ЭВМ алгоритмах
быстрого преобразования Фурье предусматривается одновременное
вычисление преобразования Фурье для N различных дискретных
значений частот (ог = 2яг/АгА/. Причем, обычно в алгоритме счета
предполагается, что количество измерений N параметра,
подвергаемого обработке, равно N = 2?. Следует отметить, что при
практических расчетах эти условия приводят, с одной стороны, к
неоправданному увеличению числа обрабатываемых измерений
(недостающие до 2р измерения дополняют нулями), а с другой стороны, к
вынужденному определению значений преобразования Фурье для
частот, не представляющих интереса для экспериментатора.
Значения частот Юг получаются при этом не кратными принятым
стандартным значениям, обычно используемым для построения
соответствующих графических зависимостей, что приводит к
дополнительным затратам машинного времени.
Недостатки быстрого преобразования Фурье приводят на
практике к снижению коэффициента ускорения вычислений,
определяемого как отношение числа машинных операций, необходимых для
непосредственного вычисления jV сумм вида (2.41), к числу операций,
получаемому при применении для вычислений быстрого
преобразования Фурье. Вследствие этого на практике применяются также
алгоритмы вычисления сумм вида (2.41), основанные на примене-
36

нии известной схемы Горнера [8]:
/ = 0
(2.46)
При применении формулы (2.46) выполняется только одно
обращение для каждой частоты сог к подпрограммам вычисления
значения функции е~/соЛ* = cos со At—i sin со At.
Дискретизация измерений по времени (замена интегралов в
формулах (2.27) суммой) приводит также помимо эффекта
периодичности к появлению дополнительной погрешности, появляющейся
в так называемом явлении «наложения частот». Для установления
этой особенности алгоритмов введем в рассмотрение функцию
N
У (2.47)
где 6(/—Atj)— обобщенная функция, определяемая следующими
условиями:
8(*-Д*/)=Г° "F" "~""y> (2.48)
* 0 при г1 ф Щ.
Г i(t)dt=\\
— оо —оо
Для этой функции можно записать, что
Ф(0) Ц(о) = Г A/(t)е~шrf/ = A/fVA/(Ltj)b(t — А/у)е~шdt =
J
О j» /
NT N
= Lt У А/ (А/у) Г В (t — А/у) е-ш dt = А/ V д/ (д/у) e-i^tj\ (2.49)
У=0 6 /=0
Формула (2.49) совпадает с формулой (2.41) для O(°)(ia>), т. е.
Поэтому свойства Функции ф(°)(1(о) можно определить, изучая
свойства функции ф(°)(/со). Применяя известное определение 6(0
функции, можно записать, что
N N
yib(t-Mj). (2.50)
7=0
Учитывая, что Af(—0=0; &1(Т + 1)=0; g^0, формулу (2.50)
можно записать в виде
(2.51)
37

Сумма JV 8(/ —Д/у) является периодической функцией с периодом,
/—00
равным At и, следовательно, ее можно разложить в ряд Фурье на
интервале ;[—At/29 At/2]:
V • — V "'it'
а//2 _2icft (2.52)
—Д//2
Используя формулы (2.52), найдем, что
д/(О=д/(о 2 е~'1Г • (2-53>
Функции А/т(Ол соответствует комплексный спектр Ф<°)(*со).
Запишем функцию Ф<°)(цо), соответствующую представлению
зависимости Afm(t), в виде
Ф(0) (/(.))= f | Л/(О У е"'17"' | e-'o'dt. (2.54)
Заметим, что
о L *=-°o J
£ •/ . 2гЛч
j
Поэтому можно записать, что
(2-55)
Выделим в этой сумме слагаемое, содержащее функцию Ф<°)(цо):
ф(°) гш) = Ф(°)Гш)4-\^ (ф(0) \i Ло 2nk \\ | Ф^о^Г; fco [ 2лк Х\\
{ { ^У L [ м )Г [ [ ^ At )\)'
(2.56)
Функция ф(0)(/со), определяемая по формулам (2.27), представляет
собой преобразование Фурье (комплексный спектр) непрерывного
сигнала А/(0, а функция Ф^(/со) — оценку преобразования Фурье,
полученную по дискретным измерениям. Из формул (2.56) следует,
что ошибка оценки ф(°)(ш), вызванная дискретизацией сигнала
Af{t) по времени, представляет собой сумму преобразований Фурье
непрерывного сигнала, сдвинутых по частоте на величины Дсо/? = —-—:
38

Из формулы (2.57) следует, что в случае, если функция ф(°)(£со)
отлична от нуля для частот о> ^ —•, то оценка спектра ф(°)(ио)
будет искажаться за счет эффекта наложения высокочастотных
составляющих комплексного спектра непрерывного сигнала на
низкочастотные составляющие:
С(0) (ш)=С<°>
=С<°)(о))+ДС(«в);
оо
§(0) (о>) = 5<°> (о))+ V! [s(0) L-f-^-)+S(0) L ——
; (2.58]
(со) -Ь Д5(со)
(оо) 4- AC (to)
Для оценки влияния дискретизации измерений по времени в
интересующем нас диапазоне частот ^ £ч 0, — вычислим сначала зна
чения функции Ф(О)(/со) по измерениям, выполненным с шагом ш
времени, равным At, а затем с шагом по времени At2=— . Есл>
[я ~\ ~~
О, — значения ф(°)(ш)
вычисленные по измерениям параметра, выполненным с шагом п<
времени At и с шагом At/2, мало отличаются друг от друга, то, по
видимому, можно считать, что погрешность един (ко) мала. В это:
случае примем, что для
_£!Ll • ф(0) /7оЛ~ ф(°) (ш)
At у к ;~ v Jm
Рассмотрим формулы для определения спектрального состав
сигналов, основанные на априорных предложениях о форме обрабг
тываемого сигнала.

Предположим, что сигнал А/(/) является постоянным на
интервалах времени между измерениями tj=Atj. Тогда
—tj) при /е=[о, г],
при /е [?", ooj,
(2.59)
где
при
Комплексный спектр функции A/i(f) определим по формуле
Т '—loot л г
1 А /• W ч ^ 7V^
■ . (2.60)
б
Подставляя выражение (2.59) для Af\(t), преобразуем формулу
(2.60) к виду
N
Ф, (/(*>)='
) J
Lt
J
—/со/ Л
A/(0) Г e-'tt/rf/.
J
(2.61)
' 2
Вычисляя интегралы, выполняя алгебраические преобразования
и пренебрегая последним слагаемым в формуле (2.61), получаем
Sin
о)
Т
-|e>(^+2")
• (2.62)
Сравнивая формулу (2.61) с формулой (2.41) для ф(°)(£со),
находим, что
—/со ( t дг+
)
(2.63)
Отделяя в формуле (2.62) действительную и мнимую части, получаем
40

sin Т
Sin '
A/
—
(2.64)
Соотношения (2.63) и (2.64) могут лечь в основу алгоритмов
определения оценок Oi(i(o); Ci (со) и Si (со), основанных на
предварительном расчете оценок Ф<°>(/со), (?°)(со)и S(0)(co) по формулам
(2.41). Эти оценки могут быть вычислены, например с применением
быстрого преобразования Фурье или по вычислительной схеме Гор-
нера.
Предположим, что сигнал А/г (0 является линейной функцией
параметра t на интервалах времени между измерениями
(2.65)
где
0, t&[tj, /7.+1], tr-
Комплексный спектр функции Д/2 (t) вычисляется по формуле
ф2(/со)= I A/2(Oc"-"fa)/rf^ -f--
у-о /у
А/ (<дг)
(2.66)
Выражение (2.66) преобразуем к виду
Ф2('«>)= V А/«у) j
У-0
41

= А/(0)
/со
Sin2 —— N
(2.67)
Сравнивая формулы (2.67) и (2.41), находим, что
ф (Ы)_
/ш
sin ■
(/ш).
+
(2.68)
Отделяя действительную и мнимую части в формулах (2.67),
получаем выражения для оценок С2(со) и 52((о):
sin •
IX
X
;) COS (otj —
cos
2 \ /A/ (tJ) sin i
I ~
(2.69)
IX
N
X
A/ (tN) sin <
у-о
; cos -
2 Т
^cos-
2 \/ /(^)COS(0V\
> /
А/о
(2.70
42

При практических расчетах оценки спектрального состава кусочно
линейных зависимостей (2.65) определяются на основании формуд
(2.68), причем предварительно вычисляется функция ф(°>(*со) с по
мощью рассмотренных ранее методов.
Формулы (2.63) и (2.68) существенно упрощаются, если обра
батываемый сигнал удовлетворяет условию Af(O)=Af(tN)=O:
sin
sin '
- Ф<°> (/о));
Ф<°> (До).
(2.71
(2.72
Следует отметить, что при расчете частотных характеристик вычис
ляется отношение спектров сигналов на выходе системы и сигнале
на входе. Поэтому влияние на частотные характеристики множите
. . а / > ч Л 4-
2
sin ■
sin
лей kx (со) =
и A2(u))=|
проявляется только за счег
2 ч 2
отличия от нуля членов в уравнениях (2.63) и (2.68), учитывающю
начальные Д/(0) и конечные /(/jv) значения сигналов. Множител1
&i(co) и Уе2(со) убывают с ростом со, тем самым как бы выделяя и:
спектров сигналов ф(°Цш) область низких частот.
Пусть на интервале времени [О, Т] функция Д/з(О задана в виде
среднеквадратичного кубического сплайна, проведенного по резуль
татам измерений зависимости Д/ (t) в N моментов tn = Atn. Разобь
ем интервал [О, Т] (рис. 2.3) на (/— 1) подынтервалов граничными
точками zo, z\, ..., zi, где Zo = to = O; Zi = tN = T, a Zj совпадает с од
ним из значений tn. На каждом из подынтервалов проведем свор
полином третьей степени при
условии обращения в минимум суммы
квадратов отклонений зависимости
&h(tj) от значений
соответствующего полинома. На коэффициенты
полиномов наложим дополнительные
условия непрерывности полиномов и
их первой и второй производных в
точках перехода от одного полинома
к другому. Полученную
непрерывную зависимость (лекальную
кривую) назовем среднеквадратичным
кубическим сплайном и обозначим Рис- 23- Аппроксимация сигнал,
; о ид и на интервале обработки с помо
через Spl (0 На интервале времени щью среднеквадратичного кубиче
Spl (t) представляет собой ского сплайна

полином третьей степени Pj(t):
Pj (t)=aoj + aXJt + a2jfi + a3jt\ (2.73)
Условия непрерывности сплайна в точках Zj+\ имеют вид
)=Pj+1(zJ+1); ^
dPj (О
Здесь приняты обозначения Pj(zj+l)=
dt
t-z4
7+1
Коэффициенты полиномов a0/, ai/, «2j, a3j(/=l, ..., /—1)
определяются путем решения задачи аппроксимации экспериментальной
зависимости с помощью метода наименьших квадратов при наличия
ограничений [21].
Вычислим преобразования Фурье от сплайна:
= У1 f PyCOe-^W + ^-^e-^. (2.75)
Выполняя интегрирование по частям в формуле (2.75) и учитывая
условия непрерывности (2.74), получаем
-— [P"i-i (zt) e l"*i — Pq (z0) e~ioiZo] —
-IV PmJ(t)e-Mdt+S'°liJ) e-^, (2.76)
Заметим, что
P0(20)=Spl(0); Pw(z,)=Spl'(7'); (2.77)
Я^1(г,)=8рГ(Г); 2го=О;. z, = T.
Поэтому
Ф3 (/(.>)= —L [Spl (Г)е-'<»Г - Spl (0)] + \ [SpV (T) e-'-r - Spl' (0)] +
г со о)2
44

l—l
-f-± [Spl" (Т)е-"*- Spl" (0)] + ± (1 -e-'»«) Y] a3;-e-'w/ +
+ — SpUDe-'»7". (2.78)
JO)
Разделяя действительную и мнимую части, получаем
Cs(o>)=— ISpl' (Г) cos и>Г - Spl' (0)1 Spl" (T) sin шТ4-
0)2 t03
A*
sin со r /—i
+ 12—j^- (sin^V
sin uzj ; (2.79)
)= __§РЩ 5Ё1Е1 sin шГ - — [Spl" (T) cos шГ - Spl" (0)1 +
(!) 0)2 O)3
12 sin
ч—-^— cos (-^) 2азу cos *Zj ~" (sin ^r) Sasj sin
(2.80)
где
Spl(0)=a00;
Spl'(0)=a10;
SPr(0)=a20;
Если экспериментальная зависимость была предварительно
аппроксимирована кубическим сплайном, то машинное время,
затрачиваемое на вычисление преобразования Фурье от сплайна,
меньше, чем время, затрачиваемое на вычисление преобразования Фурье
от исходной функции, так как l^N.
Предположим, что измеренный в моменты tj = Atj сигнал
„Д/4(0 содержит аддитивную случайную помеху
Д/4(*)=Д/4ист(') + е(/). (2.81)
Функцию А/4ист(0 представим в виде линейной комбинации
заданных линейно независимых функций yn(t):
2 (2.82)
п ft
45

Здесь R(t)—погрешность замены функции Д/4Ист(0 функцией
У(*)=2 PnVntf). (2.83)
n=-k
Оценку спектрального состава функции Af*(t) вычислим по
формуле
N
N
№tj). (2.84)
За оценку спектрального состава истинного сигнала Д/4Ист(0
примем
N N
2
у-о /=о
В соответствии с соотношениями (2.26) комплексный спектр
сигнала y(t) вычисляется по формуле
<i>)=\{ у (t) cos utdt- У^5[п^ \ +
° J
i {- \y(t) sin utdt-
(2.86)
Подставив в (2.86) выражение для y(t) и меняя порядок
суммирования и интегрирования, найдем
=У£ Рп j?,
п=—k
(2.87)
Потребуем, чтобы для любого сигнала y(t) оценки значений
спектрального состава, определенные по формуле (2.85), совпадали со>
значениями, найденными по формулам (2.87), т. е. для заданной
системы функций фп(0 оценки (2.85) должны быть точными.
Сформулированное выше условие назовем условием
несмещенности, т. е.
ft N ft
ft
7
N
n=—k
/г-—ft
ft
)=^] Pn
/z = —ft
cos (o^-
J
1
J
.88)
Условия несмещенности должны выполняться для любой линейной
комбинации функций фп(0> т- е- ДЛЯ любых рп. Следовательно, з
левых и правых частях формул (2.88) при коэффициентах рп долж-
.46

ны стоять одинаковые выражения
N Т
cos vtdt -
(2.89)
2
7 = 0
sin mat —
COS
#=—&,..., A.
Оценка спектрального состава Ф4(ко) определяется на
основании измерений функции Д/4(/), содержащей случайные ошибки.
Поэтому эта оценка является случайной. Разброс оценок (2.84)
условимся характеризовать их дисперсией.
Дисперсия величин £4(со) и 54 (со) может быть представлена з
виде [21]
N N
]=2
;=0 / = 0
N. N
(2.90)
7 = 0 / 0
где Kji — корреляционный момент погрешностей измерений
параметра Д/4(0» определяемый по формуле
Для построения оценки (2.84) необходимо определить
численные значения коэффициентов а/ и (3j. Найдем их из условия
обращения в минимум дисперсий D[C4(co)] и Д[£4(со)] при ограничениях
(2.89). Введем в рассмотрение следующие матричные обозначения:
/=(А/4(0)A/4(<i)...A/4(^))T— вектор измерений;
а= (ccoai ... ccjv)t — вектор-столбец размерности (Л/+1)Х1;
P=('PoPi ... Ря)т — вектор-столбец размерности (N+l)Xl\
K=[Kij] — корреляционная матрица погрешностей измерений
размерности (N+l)(N+l);
Г" т
Sin а)ГФ_ь (Г)
D_k (t) cos iridt
COS co^
(Т)
— вектор-столбец
косинус-преобразований
Фурье от системы
функций <?k(t)

s=
<p-ft(0 sin
-I-
sin mat —
cos ь>Туп(Т)
CO
sin ^^
cos
—вектор-столбец синус-
преобразований Фурье
от системы функций
(2fe+DXi;
— матрица значений системы
функций 0
2+1
F--=
Используя приведенные обозначения, запишем формулы для
оценок Ci(a), S^(u>), D[d(a)], D[Si((n)] и условий несмещенности
(2.89):
[С4(ш)] = а'Ка; D \S4(«о)] = ЗД;
(2.92)
Для определения элементов векторов аир необходимо решить
задачу на условный экстремум.
Составим функции Лагранжа ipi и фг:
^
где AiT и Я2Т — векторы множителей Лагранжа, содержащие 2&+1
элементов.
Значения аир, обращающие в минимум дисперсии оценок
64(0)) и i?4(co) при соблюдении условий несмещенности,
определяются из решения систем уравнений
да
д?
= 0;
•=0;
■=0.
Выполняя операции дифференцирования, находим
2Ka = F%\ Fa=C; 2K$=F%\ F$ =
48
(2.94)
(2.95)

Решая системы уравнений (2.95), получаем
a=K~lFr [FK-iJ*]-1 С;
1
(2.96)
При таких значениях коэффициентов дисперсии оценок £4(со) и
Si((>)) выразятся формулами
С^[Ф/С-1ФГ1С; (297)
]-1 S.
В качестве примера приведем случай, когда система функций фп(0
имеет вид
<ря(/)=е ^^ , *=-*,..., *. (2.98)
Функции фп(0 являются ортогональными на дискретном множестве
равноотстоящих точек tj=Atj, / = 0, 1, ..., N
N N 2п(п-г)
(звездочкой обозначены комплексно-сопряженные величины).
Поскольку функции (2.98) являются комплексными, то
комплексными будут и элементы векторов С и S, формально определяемые
по формулам (2.91). Коэффициенты оценок аир должны быть
действительными числами. Следовательно, справедливы соотношения
а* = а; £* = 3; ф*а = С*; Ф*? = £*. (2.100)
Решая системы уравнений
2Ка=Ф%; [2К$ = Ф%; 2 Ш1
Ф*а = С*; Ф*|3=5*,
получаем
р=д:-1фт [ф^л:-1 фт]-х 5*.
Заменяя величины, входящие в формулы (2.102),
комплексно-сопряженными и учитывая формулы (2.100), можно записать
ф]1С; 2
р=/С-1ф*т [Ф/^^Ф*]-15.
Формулы для дисперсии оценок С4(со) и 54(оз) при этом примут вид
D [С4 (а))]=С** [ФК-1ФЧ-1 С; {2 104)
£) [54 (а))] = 5*'[Фд:-1ф*т]-15.
Подставим выражения для функций фп(0 в формулы (2.91) и за-
49

пишем полученные после интегрирования выражения для векторов
С uS:
cos
2яЛГ
2л: (—^
2л (-^
+ 1)
(N -f 1)
2 sin а>*лг sin
cos
4-
- k — со^л, — 1
4- 1)
4-со
(N + 1)
2 sin о^дг sin
N 4- 1
cos
4- 1)
4- 1)
COS со/д, COS (—k)
N 4- 1
50

s=—
2nN
cos I tz : — wt\r I — 1
cos
2nN
(ЛГ -+- 1)
(N + 1)
■+(!)
cos &tM cos — k
sin
<-^)"шЧ"1 sin
2kN
2jt (—Jfe)
2 cos оо^лг sin
2л (-6
(АД + 1)
+ 0)
(—k)
sin
(N + 1) A^
2 cos co^ sin
(N + 1)
+ ■
Г
При равноточных измерениях и некоррелированных погрешностях
измерений
1 0 О
N
О
1
Г + 1
О О
о
1
(2.106)
и формулы для определения коэффициентов аир упростятся:
а=]7Т1фтС*; рвлГ^1Ф*5'-1 (2ло7)
Дисперсии оценок примут вид
(2.108)
51

Выполняя перемножение матриц в формулах (2.107), получаем
- j) Л
/г-Ьсо^дг!
а/ = ■
N+ 1
n=-k
(N -Ь 1)
со sin
jxN_
N 4- 1
(2.109)
CQS
+ 1)
cos со^д, sin
N+ 1
со sin
Формулы для дисперсии оценок (2.108) приводятся к виду
n=—k
sin2
и+1Л+ 2 j
2я/г
1)
sin2
/ 2яп \2
[ (N + 1) Д* "" 7
(2.110)
N + 1
r) - si
sin2 co^
2пп
(N + 1)
\2
0)2
sin
sin п 4- sin i
N 4- 1
sin
i^
iV т 1
n —
(ЛГ + 1)
2Я/2
Г + 1)
— со
52

W] = :
n=—h
2ял
(ЛГ+1) Д*
-Г О)2
/ 2nn \2
V (^ +1) м J
(2.110)
sin2
Из формул (2.109) и (2.110) следует, что для определения
комплексного спектра сигнала, несмещенного по отношению к системе
функций срЛ (t)= e (Л+1) Lt , для каждой частоты со следует выбирать
свой набор коэффициентов оценок синус- и
косинус-преобразований Фурье. Причем дисперсия оценок является функцией частоты r.j.
Несмотря на то, что полученные формулы сложны, преимущество
их — возможность получения несмещенных оценок спектра, если
априори известно, что обрабатываемый сигнал представляет собой
сумму заданных функций фп с произвольными неизвестными
коэффициентами.
2.1.3. Особенности определения спектрального состава
сигналов, полученных на режимах со слабым затуханием
переходных процессов
При выполнении испытательных режимов ЛА на больших
высотах и с большими числами М полета возможны случаи слабого
затухания переходных процессов, вызванных кратковременным
отклонением одного из органов управления от его балансировочного
положения, соответствующего исходному установившемуся
горизонтальному полету. Большая длительность по времени переходных
процессов приводит к накоплению ошибок и возможности наруше-
Ния условий, обеспечивающих правомерность применения выбран-
Hbix алгоритмов обработки, вследствие того, что летчик
непроизвольно или преднамеренно вмешивается в управление ЛА, не
дожидаясь затухания процессов, вызванных заданным возмущением.
-Возрастает вероятность появления неконтролируемых возмущений.
53

Если на рассматриваемом интервале времени можно выделить
участок свободного движения, на котором пилот не вмешивался бы
в управление ЛА, то, основываясь на предположении, что
поведение ЛА описывается линейным дифференциальным уравнением
iV-ro порядка с постоянными коэффициентами, можно
преобразовать полученную в эксперименте запись входного сигнала и
отклика на него ЛА таким образом, чтобы преобразованный переходный
процесс, отвечающий преобразованному входному возмущению,
отличался от нуля только на заранее выбранном интервале времени.
Для системы, описываемой линейным дифференциальным
уравнением, отклик системы на сумму различных входных сигналов
равен сумме откликов на каждый из них в отдельности.
.Умножению входного сигнала на некоторый весовой коэффициент km
соответствует умножение отклика на этот же коэффициент. Сдвигу т
времени на величину tm входного сигнала соответствует
аналогичный сдвиг отклика системы на этот сигнал. Поэтому, зная входной
сигнал и отклик на него системы, можно получить отклики на ряд
сигналов, отличающихся от исходного масштабными множителями
и сдвигами по времени. Величины масштабных множителей km и
значения сдвигов tm можно выбрать так, чтобы отклик системы на
сумму входных сигналов, принадлежащих указанному ансамблю,
представляющий собой сумму откликов на каждый из входных
сигналов в отдельности, тождественно обращался в нуль начиная с
некоторого заданного момента Тх. Поясним это на следующем
примере.
Пусть измеренный в эксперименте переходный процесс по
рассматриваемому параметру удовлетворяет дифференциальному
уравнению
[ 0 при t <0,
/(/)=] /(О при 0<*<7\ (2.111)
(О при *>7\
Рассмотрим какие-либо N различных сигналов kmf(t—tm).
Справедливо уравнение
N
tm), /ю = 0, l,...,N. (2.112)
Условимся считать, что значению т = 0 соответствуют ko=l, to = Of
т. е. зарегистрированные в эксперименте входной сигнал f(t) и
отклик на него ЛА x(t).
В качестве расчетного входного сигнала, определяемого по
записям сигнала f(t), выберем
N
F(t)=2 kmf(t-tm). _ (2.113)
54

Сигналу F(t) будет соответствовать отклик ЛА, вычисляемый по
формуле
Л'
=V kmx{t-tm). (2.114)
V
т=0
Сигналы F(t) и у(t) связаны между собой дифференциальным
уравнением, описывающим движение ЛА:
N
(2.115)
Сигнал F(t), определяемый формулой (2.113) для t^tN + T,
тождественно равен нулю. Поэтому
N
0=0 для t>tN + T. (2.116)
Предположим, что характеристическое уравнение, составленное для
дифференциального уравнения (2.115), не имеет кратных корней К.
Величины сдвигов по времени tm расположим в порядке
возрастания {tm+i>tm для любого т). Решение уравнения (2.116) можно
записать в виде
уЦ)=Ус^\ 1 + У *me-V« . (2.117)
= 2 срЧ \ 1 + V
Моменты tm и коэффициенты km выберем так, чтобы
y(t) = O для t^>tN + T, (2.118)
т. е. из условия
*me"x'^=0; i=l,...,N. (2.119)
Число различных коэффициентов km и сдвигов tm в совокупности
равно 2Ny а число уравнений для их определения равно N. Поэтому
N различных сдвигов tm можно задать произвольно. Полученная
при этом система уравнений (2.119) является линейной
относительно коэффициентов кт. Для ее решения необходимо знать корни
характеристического уравнения А/.
С целью упрощения расчетов заменим систему (2.119)
эквивалентной системой уравнений, в которую в качестве известных
коэффициентов входят значения измеренного в эксперименте
отклика Л A x(t) на интервале свободного движения. Заметим, что y(t)
для t^tx + T представляет собой решение однородного линейного
Дифференциального уравнения (2.116). Из теории линейных
однородных дифференциальных уравнений известно, что y(t)=O, если
значения y(t) обращаются в нуль в произвольной
последовательности W моментов tNf^tN-\-T; n=l,...,N.
55

А
V
h
v
л
Г\
К/ : V
X
Шу,!/С
00^
-0,0V
t, IJ
/■
ч/
/
л
/ V
i
L-/7;/74
so
\
\у
А
А
У
/
Ц
П IB 23 2 ч 23

рис. 2.4. Сведение к нулю переходного процесса в боковом движении Л А с
помощью дополнительных импульсов:
/—записанные в эксперименте сигналы; 2—5 — дополнительные сигналы, полученные из
записанных путем сдвига по времени и умножения на масштабные коэффициенты; 6 —
суммарные сигналы, отличные от нуля на выбранном интервале времени
Приравнивая нулю y(t) в моменты tn\ получаем для
определения коэффициентов km систему линейных алгебраических уравнений
о
•#••• 1—1
yNN+N + l j^ — tN)=0. ~
Моменты tn' и (tn—tm) должны принадлежать интервалу
свободного движения ЛА. Для определения частотных характеристик из
анализа режимов со слабым затуханием переходных процессов
следует задать последовательность сдвигов tm, составить систему
уравнений (2.120), решить ее относительно коэффициентов kmy
вычислить функции y(t) и F(t), определить их спектральный состав
и рассчитать частотные характеристики по формулам (2.31). На
рис. 2.4 проведен результат определения y{t)=yp km^y{t^tm) и
т = 0
4
F(х) =^? kmbH(t — tm) для случая анализа частотных
характерного
стик бокового движения ЛА. Наиболее простую интерпретацию
описанной методики можно привести для случая переходного процесса,
описываемого дифференциальным уравнением второго порядка.
Расчетный переходный процесс может быть определен как сумма
записанного а эксперименте сигнала и сигнала, сдвинутого по
времени на величину, кратную полупериоду свободных колебаний ЛА
i\ = TQ/2 и умноженного на масштабный множитель k\, равный
отношению значений сигналов на участке свободного движения ЛА.
При этом
—)=° Для t>t\ + T- (2.121)
2.1.4. Технология автоматизированной обработки
измерительной информации при определении
частотных характеристик
Пусть в процессе испытаний выполнены измерения входного
сигнала и откликов на него параметров состояния ЛА. Результаты
измерения регистрируются с помощью бортовой измерительной
системы на магнитные ленты бортовых магнитных накопителей в
дискретные моменты времени, с постоянным шагом по времени,
равным А/. По окончании эксперимента полученные магнитные записи
57

воспроизводятся на наземной части информационно-измерительной
системы (ИИС) и вводятся в систему автоматизированной обра- '
ботки. Обработка измерительной информации начинается с выбора
параметров (каналов магнитной записи), подлежащих анализу,
редактирования данных эксперимента, приведения измерений к
единым временным сечениям, устранения грубых промахов в
измерениях (сбоев), сглаживания случайных погрешностей в информации,
расчета физических значений измеряемых параметров и связанных
с ними косвенных параметров, внесения необходимых поправок
(например, поправок, учитывающих динамические искажения,
вносимые в результаты измерений датчиками, аэродинамических
поправок для приборных значений высоты и скорости полета, поправок,
учитывающих месторасположение и ориентацию датчиков по
отношению к принятым осям координат и т. п.), отображения
результатов эксперимента на экранах дисплеев, построения графиков
изменения параметров по времени на бумаге и формирования массивов
данных для последующей обработки.
Устранение сбоев в информации выполняется для большинства
каналов записи перед расшифровкой кодированных значений
параметров. Алгоритм устранения сбоев позволяет выявлять и устранять
единичные сбои, два или три сбоя, следующие подряд, но
пропускает без искажения более длительные по времени скачки в
информации, которые возможны, например, при переходе от одного
интервала обработки к другому, на каждом из которых справедлива
своя градуировочная характеристика, а также при
последовательной регистрации на один канал записи нескольких параметров
и т. д.
Алгоритм устранения сбоев реализуется следующим образом.
Определяется такой базовый участок из пяти последовательных
измерений каждого параметра, на котором заведомо отсутствуют
сбои. Выбранный базовый интервал последовательно сдвигается
на один шаг по времени, т. е. присоединяется следующее по
времени кодированное значение параметра и отбрасывается последнее
значение параметра (скользящий базовый интервал). Обнаружение
сбойных точек выполняется путем сравнения реальных отклонений
параметров в различных точках базового интервала с
максимально-возможными отклонениями каждого параметра. Вначале
исправляются единичные сбои, затем двойные и в последнюю очередь
тройные сбои в информации.
Точки скользящего базового интервала для параметра
пронумеруем в следующем порядке: я*_2, гц-и пи Лгч-ь ni+2-
Единичные сбои устраняются в случае, когда выполнены
неравенства
С2Л22)
58

Сбойной точкой в этом случае считается точка с номером i" + l
(средняя точка интервала с измерениями т, Я/+ь tii+2).
Исправление информации выполняется по формуле
п1+1 = ±(П1 + п1+2). (2.123)
После устранения единичного сбоя устраняется двойной сбой
в случае, если выполняются неравенства
| я,-*,.-! |>А/, (2.124)
I ni+2-nt^ | <ЗДУ.
Сбойными считаются значения щ и щ+\. Исправление
информации выполняется по формулам
., (
^+1 = ^/-!+ 2/3(^+2 — ^-1).
После устранения двойного сбоя устраняются три
последовательных сбоя в случае, если выполняются неравенства
! ni+2-niJrl | >Ау;
| йн-йн| >Д,-; (2.126)
Сбойными точками в этом случае считаются точки яг_ь т, Пц-\.
Исправление информации осуществляется по формулам
л", = Л/-2+ 1/2 (л/+2 - Л/-2); (2.127)
Л/ + 1 = Л4-_2 + 3/4 (Лх.+2 — Л/-2>-
Единичные, двойные и тройные сбои устраняются раздельно
на непересекающихся одновременно скользящих базовых
интервалах в строго определенной последовательности, указанной ранее.
Если проверяемые неравенства не выполняются, то во всех случаях
индекс i изменится на единицу, т. е. скользящий базовый интервал
сдвигается на один шаг по времени и проверка неравенств
выполняется снова в той же последовательности.
Изменение базового интервала происходит и после устранения
сбойных точек. Процесс устранения сбоев заканчивается, когда
последняя точка скользящего базового интервала совпадает с
последней точкой обрабатываемого режима. Для каждого параметра
задаются величины А/, которые не должны быть меньше возможного
59

приращения параметра за время между двумя последовательными
измерениями At. Приближенно они могут быть определены по
формуле
(2.128)
где М;ч = max
dx>
— максимум модуля первой производной
dt
обрабатываемого параметра; / — частота дискретизации; k—
коэффициент, выбираемый из условия достоверности оценки
величины Мц (обычно принимается равным 1,5...2).
Влияние случайной составляющей погрешностей измерений
может быть уменьшено за счет предварительного сглаживания
результатов изхмерений, которое выполняется обычно после
устранения свойств и расчета физических значений параметров. Алгоритмы
сглаживания получены для скользящего базового интервала,
содержащего 2т + 1 измерений параметра. Оценка сглаженного
значения параметра определяется в средней точке интервала по
формуле
т
(2.129)
где h = At — шаг по времени между измерениями; Ь\ — весовые
коэффициенты, выбираемые для каждого конкретного параметра из
условия минимума дисперсии оценки сглаженного значения и
условия несмещенности оценки по отношению к выбранной
экспериментатором системе функций cpn(O> T- е-
В процессе сглаживания базовый интервал последовательно
сдвигается на одно измерение. В результате расчетов
определяется последовательность сглаженных значений обрабатываемого
параметра. В качестве примера на рис. 2.5 приведены
амплитудно-частотные характеристики алгоритма сглаживания, полученные для
случая, когда в качестве системы функций фп(0 выбраны функции
1, ty t2, число точек на скользящем базовом интервале равно 11, шаг
по времени между измерениями /i=l/64c; 1/32 с; 1/16 с и 1/8 с,
частотная характеристика получена в предположении, что случайные
погрешности измерения параметра x(t) не коррелированы между
собой, а сами измерения равноточны. Фазовые частотные
характеристики для рассматриваемых алгоритмов равны нулю. Численные
значения коэффициентов bj для этого случая определяются по
формуле
3(З2 + Зт1)15Я
ь
] фп — 1) (2т -f I) (2m + 3)
60

w
;
0,5
\ \
\
\
\
. \
\
\
\
\
ш
\
\
\
\
\
\
\
\
ы
f
ч/
At
10
20
30
go,I/c
0,7
0,6
0,5
0,3
о,г
0,1
\
\\
V^
\
s
.3
j
i
*■—
— —
W W 60 m
Рис. 2.5. Частотная характеристика ал- Рис. 2.6. Зависимость среднеквадра-
горитма сглаживания погрешностей из- тичной погрешности сглаживания от
мерений степенным полиномом OL§-\-a\t-\- числа экспериментальных точек при
интерва- аппроксимации экспериментальной
зависимости полиномами рь. (х):
0—1; 2 — для £=2—3; 3 — для
на скользящем базовом
ле, содержащем 11 измерений:
/ — /г = 1/64 с; 2 — /1 = 1/32 с; 3 — /г = 1/16 с; 4 — 1 — для k
/г=1/8 с £ = 4-5
Дисперсия оценки функции при этом выражается формулой
где ах2 — среднеквадратичная
погрешность измерения
параметра x(t).
Зависимость
среднеквадратичной погрешности сглаживания
информации степенными
полиномами степени k от параметра
т приведена на рис. 2.6.
Вычисление физических
значений параметров выполня-
расчета физических
Рис. 2.7. Схема
параметров:
nj — текущее значение кода параметра;
п\ — код параметра, соответствующий
максимальному калибровочному
напряжению; п0 — код параметра,
соответствующий минимальному калибровочному
напряжению; Xj — физическое значение
измеряемого параметра; (r/R) — аргумент
тарировочной зависимости для потенцио-
метрического датчика
3 (3/тг2 + Зяг — 1)
(2т — 1) (2т + 1) (2т + 3)
(2.131)
забисимосгпь
магнитного
накопителя
Тарировочная забуси-*
мость датчика
61

ется с помощью калибровочной зависимости магнитного
накопителя и тарировочной зависимости датчика. На рис. 2.7 приведена
схема расчета физических значений параметров, измеряемых с
помощью однодиапазонных потенциометрических датчиков. Тарировоч-
ная зависимость определяется для каждого датчика в лабораторных
условиях. Для потенциометрических датчиков она представляет
собой связь между установившимися значениями параметра,
подаваемого на вход датчика, и установившимися показаниями датчика,
выраженными в величинах относительного сопротивления r/R.
Результаты обработки выдаются либо в виде таблиц, либо в
виде графических зависимостей, получаемых с помощью двухкоорди-
натных графопостроителей.
2.1.5. Погрешности определения частотных характеристик
Ошибки оценок частотных характеристик, вычисляемых с
помощью гармонического анализа заданных возмущений и откликов
на них ЛА, обусловлены влиянием следующих основных факторов:
— дискретизацией измерений по времени;
— дискретизацией измерений по уровню;
— наличием систематических ошибок в измерениях;
— несоблюдением заданных условий эксперимента;
— влиянием неконтролируемых возмущений;
— погрешностями алгоритмов обработки;
— вычислительными погрешностями.
Дискретизация параметров по времени приводит к ограничению
на максимальную частоту спектрального состава сигнала, на
которой можно определить значение частотной характеристики
вследствие эффекта периодичности спектра сигналов и явления
«наложения частот», описанных ранее. Величина ошибки в спектре сигнала,
вообще говоря, зависит от выбранного метода численного
интегрирования, используемого при расчете синус и косинус
преобразований Фурье (2.26). В простейшем случае вычисления интегралов
с помощью замены их интегральной суммой (2.41) ошибка,
вызванная дискретизацией по времени, определяется с помощью
формулы (2.57). Оценить величину ошибки в частотных
характеристиках, обусловленную квантованием по времени, можно сравнением
результатов, полученных при различных значениях шага
квантования.
На рис. 2.8 приведены частотные характеристики продольного
короткопериодического движения ЛА, рассчитанные с шагом по
времени, равным 0,2 и 0,1 с.
Дискретизация сигнала по уровню обусловливает появление
случайной ошибки измерения, не превышающей цены младшего
разряда шкалы квантования. Ее влияние на точность определения
частотной характеристики совместно с влиянием случайной ошибки
измерений также зависит от применяемых методов численного
интегрирования и может быть оценена на основании известных
статистических методов [5].
62

в" градус
A nu
1
j
П
j
/ 1
I
i
-
\
I
л
л
j/
—*c?
7
\=^т^ о
-
-200-
-300-
■4/7/7
1
/
\
\
\
— 7
V
\
1
—/
(—v
i
8
у, градус
Рис. 2.8. Влияние шага измерений на точность определения частотных
характеристик продольного короткопериодического движения:
частотные характеристики, рассчитанные по измерениям, выполненным с шагом по времени
Дг=0,1 (сплошные линии) и 0,2 с ( )
Рассмотрим влияние случайной составляющей ошибок
измерения и ошибок квантования на точность определения оценок
частотной характеристики ЛА. Расчетные алгоритмы определения
частотных характеристик определяются формулами (2.29) —(2.30).
Предположим, что измерения входного сигнала и отклика на него
летательного аппарата, полученные в дискретные, равноотстоящие
моменты времени, содержат аддитивную помеху
(2.132)
где /ifm(ti) и Axn{ti)— измеренные, а А/т(^) и Д*п(**■)— истинные
значения параметров.
Относительно помех &/т(^) и 8*л(/;)предположим, что их
математические ожидания М [bm(ti)] и М [8гя(*,-)] равны нулю, а
автокорреляционные функции
' + )] и KX(x) = M[bX(t)b
известны (рис. 2.9) и заданы в виде соответствующих
автокорреляционных матриц
(2.133)
Заметим, что оценки математических ожиданий синус- и косинус-
преобразований Фурье, используемые при расчете частотных
характеристик, являются несмещенными:
6$

X a^fm(tj) cos
A~fm (MAt) sin
=С/яии(»); (2.134)
[N
Ajm(NAt)cos(u>NAt)
Оценки амплитудного и
фазового спектра сигналов
£ (а)) ^ (со), ^/ ЫифПо))
Рис. 2.9. Экспериментальная корреляци-
онная функция погрешностей измерений
угловой скорости тангажа самолета
этим свойством не обладают.
Их статистические свойства зависят от конкретных алгоритмов
вычисления квадратного корня из числа и функции arctg x. Поэтому в
случае усреднения результатов по серии экспериментов,
выполненных в одинаковых условиях, для уменьшения влияния случайной
ошибки целесообразно усреднять не значения частотных
характеристик на каждой заданной частоте сог, а значения оценок синус- и
косинус преобразования Фурье. Вычислим дисперсии оценок:
D [S (со)] = М {[S (со) - 5ИСТ (со)]2} =
&yv cos со
D [С(ш)] = М {[С (<о)-Сист(ш)]2} =
г / дг \ 2п
л л \1 \П * а^ 5дг sin соА^ЛГ \
= Zj ау J C0S ° 7' I "
о 1О-
64

(Индексы fm и хп по возможности опускаем с целью сокращения
записи).
Формулы (2.135) путем несложных преобразований можно
привести к виду
N N
D [S (со)] = 2 2 Kr№ sb(l
/=0г=0
О)
3~°N N (2.136)
D [С (со)] =22 ^rJa^r cos (co^r) cos (^A'y) —
У=0г=0
В дальнейшем с целью экономии записи будем использовать
следующие матричные обозначения:
ат=[а0, аг cos (соА/),..., а;- cos (соLt-у),..., aN-x cos (соA/(TV — 1)),
/ / аулгч sin(coAW) \"|
адг cos (соДгДА) ^ '— ;
\ <* 7J
у),...^^-! cos(a)A/(iV—1)),
bT=[0, — PiSin (шМ),..., — pjsin(o>A*/)»..., — Pw-i sin(coA^(iV— 1)),
/o . . . ,,,. i cos
— 1$„ Sin (COAW)J
^ >-\ ;
61=[0, - pu sin («ДО,..., - рЛ sin (<oAf/),..., - Р(лг-1)1 sin (<оД^ (Л^г - 1)),
-(pOT sin (ШМ,)+ «*(»^>Д ; (2.137)
Используя их, можно записать, что
C/m(«>)=aT/m-5/m(a))=^/m; C^(co)=alxn; ^„(«0)=^,,. (2.138)
Дисперсии оценок (2.138) выразятся формулами
D [Cj =«1^^!; D [Sxn] =ЫКхаЬ1. (2.139)
3—1188 65

Рассмотрим равноточные измерения с некоррелированными
погрешностями. Для таких измерений справедливы соотношения
Kfm=G2fmE\ КХп = °2хпЕ (Е — единичная матрица) и, следовательно,
D[Cfm]=o)ma^ D[Sfm]=afmFb;
D [Схп] =a2xndlax; D [Sj = *\nb\bv (2.140)
Коэффициенты оценок дисперсии a, ab b, b\ зависят от выбранного
метода численного интегрирования, частоты со, количества
измерений N и N\.
Для вычисления интегралов, входящих в выражение для
комплексного спектра сигнала, с помощью интегральных сумм векторы
а и b равны
o)AO,..o cos((jV— 1)соД/),
(2Л41)
br= — A/[0, sin (a)AO, sin (2coA/),..., sin ((iV— 1)ojAO,
sin (iVcoAOH I .
Поэтому дисперсии оценок С (со) и S (со) могут быть вычислены
по формулам
9 1 ^^1 • / Sin (AreaА^) \2. I
~ L^ С05°Ш) Г08( шЛ) ^T-JJ'
(2.142)
r N-1 -|
гл Г С /, ч\7 а ^о_о I m 1 .:„о/ f a^\ i / _ • _ , л г л^\ i L(Jb ^iVUJa*-; \^
и [о (ci);j = /^
^Vsi
;=0
Выполняя суммирование в формулах (2.142), получаем
£> [С (щ)] _д/9 Г А^ + 1 .cos (JVcoAQ sin ((AT — 1) coAQ ,
a2 ~~ [ 2 ' 2 sin (a>A*) '
sin (А со АЛ \2] o 1ЛО
; (2.143)
D [S (со)] ,2 Г N—\ cos (AToAQ sin ((AT — 1) coAQ ,
a2 ~~ [ 2 2 Sin (coAO '
/ • /at л^ч I cos (A^«>AO \21
Sin (AftoA/) -| ^ £-
coA^ V J
Формулы (2.143) упрощаются, если обрабатываемый сигнал
отличен от нуля только на интервале обработки, а вне его равен нулю:
66

0,05
О 0,2 Ь 0,6 0,8 1,0 Ц /,'/ /,£ 18 2,0 2,2 ?,'/ 2,6 ш 1/с
— -
■*—-
11
•—■ —
1
— —
-
■
••
ш —
- —
mm
т. "
—
—
N-T"
0,1
Рис. 2.10. Зависимость относительной среднеквадратичной погрешности оценок
синус- и косинус-преобразования Фурье сигнала, отличного от нуля на конечном
интервале времени, от частоты со при различном числе точек N и постоянном
шаге по времени между измерениями Д£=1/32 с:
/ _#=300; 2 — #=250; 3 —N=200; 4 — JV=150, 5— tf=J00; 6 —N=50
D
1 , cos (NuAt) sin ((N — 1) (
2 ' 2 sin
а2 [2
— 1 cos (АГа)АО sin ((Л/" — 1)
2 sin
]•
(2.144)
На рис. 2.10 приведены зависимости a-/a и a^/a от частоты со
при ряде значений параметров N и At.
При применении формулы прямоугольников для вычисления
интегралов формулы для оценок Ci(co) и Si (со) могут быть приведены
к зиду
2 sin
Oi&t
; (2.145)
j=
67

t (»)= — ■
У A/, sin {Ш,)- */*«»(«**(*-1/2» .
(2.145)
Поэтому для этого случая
2 sin ■
ат=
О)
['■
sin
2 sin
[О, sin(o>Al),..o si
Sin ((iV—
(2.146)
-1/2))
sin
]■
При некоррелированных погрешностях равноточных измерений
формулы для дисперсий оценок, отнесенных к дисперсии
погрешностей обрабатываемого сигнала, могут быть приведены к виду
2
N + 1 | cos
£>[Ci(o>)]_/Sin 2
UN + 1 |
LI 2 "•"
sin (со (AT — 1) AQ
2 sin (a)A/)
'sin (o)(JV—1/2)
sin •
')T
(2.147)
О)
т
— I cos (ооЛШ) sin (a) (^ — 1)
2 sin
cos (а) (ЛГ — 1/2) AQ \2
sin
)Т
При линейной интерполяции сигнала на интервалах времени
между измерениями С2(со) и S2(co) могут быть приведены к виду
2
/ sin ■ „
А/о / 2
sin—-sin(<oA*(Ar- 1/2))
А/лг 2
r sin •
2
соД/ ч 2
ЛГ-1
cos (o
(2.148)
68

A/o
sin—— cos——
sin
2
ooAif N 2
+
sin cos (соД* (ЛГ — 1/2)) /si
2 ,„лм, + "
Поэтому для рассматриваемого случая
aT=^t Г1/2
[
V 2 J
N-l
VA/;(sino)A^)
;=i
2 sin
(2.148)
X
sin ■
XI
COS "
, sin
2sin-
— 1)),
—1/2))
2sin
Ш ч 2
'sin
(2.149)
При некоррелированных погрешностях неравноточных
измерений формулы для дисперсий оценок Сг(оз) и ^(со), отнесенных к
дисперсиям погрешностей обрабатываемого сигнала, могут быть
приведены к виду
j . . ЛГ — 1 , cos (соД W) sin (соД^ (АГ — 1))
' ' 2 ' 2 sin ((ОАО
— J/2)
4 sin2
1
uAt
]■
(2.150)
<Ш\2
cos-
2 sin
— 1 cos
2 2
sin (аШ (ЛГ — 1)) . cos2 coAl (N — 1/2)
2 sin
N—1/2) -i
G)A*
-2- J
69

Применяя формулы (2.143), (2.147) или (2.150), можно оценить
в первом приближении расчетные оценки влияния случайных
погрешностей на точность определения амплитудной и фазовой
частотных характеристик, воспользовавшись формулой переноса
ошибок [28]:
°Ап/т \ дСт J
2 / дуп/т \2 2 1^п/т\^ 2 (дУп/тХ* 2 f^n/m\2 2
где
(2.151)
Оценка дисперсии амплитудной и фазовой частотных
характеристик может быть получена непосредственно на основании
анализа разброса точек частотных характеристик, определяемых путем
обработки ансамбля экспериментальных режимов полета,
выполненных в одинаковых условиях:
М / М \2
(2.152)
где М — число обрабатываемых режимов.
Наличие систематических ошибок в измерениях параметров
приводит к систематическим ошибкам в спектральном составе
сигналов. Например, динамические искажения, вносимые в записи
датчиками перегрузок и угловых скоростей в первом приближении,
эквивалентны запаздыванию сигналов перегрузки и угловой
скорости по отношению к отклонению органа управления.
Следовательно, динамические искажения в большей степени будут
сказываться на определении фазовой частотной характеристики.
Действительно, при x(t) —0 для i0
f x{t — x)e-l<otdt= f x(z)e-i0i(z+^dz = e-i(»^x(z)e-l™zdz. (2.153)
6 _x 0
Постоянная составляющая систематической погрешности приводит
к ошибке, определяемой формулой
г
ДФ(/«>)=£ [e-latdt-\——е-1тт= — Г-^-(е-^— 1)1 +
J /со I io> J
Н—— е-'^ = -2— , (2.154)
Ш /со

т. е. эта ошибка влияет на точность оценки мнимой составляющей
спектра сигнала, причем наибольшее влияние оказывается на
малых частотах со.
Влияние случайных неконтролируемых возмущений,
действующих на ЛА в полете, может быть уменьшено за счет совместной
обработки ряда испытательных режимов, выполненных в
различных экспериментах, но при одинаковых значениях
сопровождающих параметров. Одной из существенных причин,
обуславливающих наличие ошибок в частотных характеристиках, является
несоблюдение заданных условий эксперимента. Например,
вмешательство пилота в управление ЛА до затухания переходных
процессов, изменение на исходном режиме полета высоты и скорости
полета, пилотирование при выполнении заданного маневра с выходом
на большие углы атаки в область нелинейной зависимости
коэффициентов математической модели движения ЛА от параметров поле-
та и т. д.
Погрешности алгоритмов обработки связаны с нарушением в
эксперименте условий их применения, а также с приближенным
характером тех допущений, которые были сделаны при выводе
конкретных расчетных формул, например, с предположением о линейной
зависимости параметров по времени на интервале времени между
двумя соседними измерениями в случае использования формул
(2.69) или с заменой интегралов, входящих в формулы для
определения преобразования Фурье интегральной суммой (2.41), и т. д.
Вычислительные погрешности обусловлены приближенным
характером вычислительных операций, выполняемых на ЭВМ, и
возможностью накопления ошибок.
В случае линейных преобразований информации
(интегрирование, дифференцирование, сглаживание и т. д.) вычислительные
погрешности алгоритмов, осуществляющих такие преобразования,
можно оценить с помощью частотных характеристик алгоритмов
обработки, сравнивая частотные характеристики конкретных
алгоритмов с частотными характеристиками точных преобразований.
2.2. ПРИМЕРЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ПРИ ЛЕТНЫХ ИСПЫТАНИЯХ
НЕУСТОЙЧИВЫХ ОБЪЕКТОВ
Специфика определения в полете частотных характеристик для
вертолета связана с его особенностями как динамического объекта.
В первую очередь необходимо отметить динамическую
неустойчивость вертолета, затем особенности несущей системы,
отличающейся тем, что она подвижна относительно фюзеляжа, выполняет
функции управления, в том числе непосредственное управление
подъемной силой. К тому же несущая система представляет собой
динамическую систему, имеющую запаздывание, что приводит в
определенных случаях к необходимости рассматривать вертолет как систему,
состоящую из нескольких тел. Силы и моменты, создаваемые
несущей системой, которые являются определяющими среди аэродина-
71

!/, градус
градус
W
1/с
ю
1/с
О
40
}
у*
\/
V
А.
А
20
30 t,C
Рис. 2.11. Пример полетной записи
реакции вертолета на импульсное отклонение
управления канала рыскания
мических сил и моментов,
действующих на вертолет, не зависят
от квадрата скорости полета, как
у самолета, что не дает
возможности при описании движения
вертолета перейти к управлению
с безразмерными
коэффициентами. Кроме того, необходимо
упомянуть и о проявляющемся на
вертолете в значительной степени
аэродинамическом взаимодействии продольного и бокового
движений.
При определении частотных характеристик вертолета основная
трудность — это его динамическая неустойчивость. Чтобы
преодолеть эту трудность, следует рассматривать маневры вертолета,
когда он является элементом устойчивой замкнутой системы. Обычно
в цепи обратной связи в этом случае используется или автопилот,
или летчик.
В настоящее время частотные характеристики вертолета при
летных испытаниях определяются только на основании анализа
произвольных переходных процессов по методике (см. разд. 1.1), которая
позволяет экономить полетное время и получать значения
частотных характеристик на частотах, близких к резонансной частоте.
К переходным процессам, которые используются для
определения частотных характеристик вертолета, предъявляются
следующие требования. Начало режима должно представлять собой
установившийся полет на заданной скорости и высоте. Если движение
вертолета на исследуемом режиме полета устойчиво, то в качестве
подобного переходного процесса может служить режим, который
используется для анализа свободного движения вертолета (рис.
2.11). Если же движение вертолета неустойчиво, то после
возмущающего отклонения органа управления соответствующими
отклонениями руля вертолет должен быть опять приведен к режиму
установившегося полета с параметрами, по возможности
максимально близкими к начальным. Подобные режимы называют обычно
стабилизирующими дачами. На рис. 2.12 представлен пример
подобного режима. Если режим выполняется с включенным
автопилотом, то наиболее приемлемые режимы получаются при подаче
на вход соответствующего канала автопилота импульсного
электрического сигнала. После окончания действия этого сигнала
автопилот приводит вертолет к исходному режиму (рис. 2.13). Назовем
режимы, представленные на рис. 2.13, режимами первого рода, а
представленные на рис. 2.12, — режимами второго рода.
Определение частотных характеристик предлагаемым способом
приводит к определенным затруднениям, связанным с тем, что
данный метод применим для линейных систем. Хотя движение вер-
79

градус
с
О
го
о
-20
АО}, А"у
градус Аи, &<%
-2Г градус О
4 An,
J _од/мин
20
/0L О
-W
градус
~ о
О
5
W
0,2 -
-
-
:
:
-
S
Ь
1 Аг!
/ ■
*^Ал^
AV
An.
20
О
-20
~г
2Lоб/мин
20
О
-20
-
-
-
-
■
AV
An
—
Рис. 2.12. Примеры переходных процессов продольного движения вертолета при
выключенном продольном канале автопилота
толета при малых изменениях параметров движения приближенно
описывается системой линейных дифференциальных уравнений,
при определении частотных характеристик описанным способом в
определенных диапазонах частот наблюдается существенный
разброс характеристик, полученных из различных переходных
процессов.
Анализ переходных процессов движения вертолета,
зарегистрированных в полете, показал, что при малых приращениях
параметров движения проявляется нелинейность, связанная с изменением
продольного момента из-за изменения величины
равнодействующей несущего винта. Здесь речь идет об изменении
приращения угла атаки винта из-за отклонения автомата перекоса и
изменения угла атаки фюзеляжа. Вследствие этого в
линеаризованных уравнениях продольного движения вместо члена MhzBAhB
следует рассматривать член
Уг
Уз
(2.155)
где Мz* в —управляющий момент, создаваемый несущим
винтом; ут — высота втулки несущего винта относительно центра масс
Еертолета; уэ — эффективная высота приложения
равнодействующей винта, учитывающая дополнительный управляющий момент от
73

А &в, градус
градус _2
-2
?
Ad
1
Any
{
12
, град ус
5 6
9 10
t,c
градус -2
5l
градус -fy
Z'~T~ _2
г Лпу
2
4
~\
0 1
\
■ ,
2Jf$&783 10 t с
градус
0 1 2 J
5 6 7 8 9 10 t,c
Рис. 2.13. Примеры переходных процессов продольного движения вертолета с
включенным автопилотом
разноса горизонтальных шарниров. Здесь для упрощения
объяснений рассматривается вертолет без крыла. При наличии крыла в
формуле (2.155) должна фигурировать перегрузка, создаваемая
только несущим винтом:
(Д8В, ny)=Ml*bK-\- —
Уъ
Здесь введено обозначение
(2.156)
MZ
(2.157)
Следовательно, влияние нелинейностей эквивалентно наличию
второго входного сигнала Абв. Данный сигнал можно вычислить по
74

25
20
15
W
1
1
и
!!
il
II"'
0 i
If
I/A/
11
%/sgj градус
200
100
/f
¥
-100
-200
COj/C v
Рис. 2.14. Частотные характеристики по углу тангажа, полученные для
вертолета Ми-4 в полете из переходных процессов с включенным автопилотом
формуле (2.157), используя экспериментальные значения Абв (t),
пу(1) и расчетные значения производных Ж^ в и Ж2Ч Поэтому
при определении частотных характеристик по переходным
процессам влияние нелинейностей приводит к тому, что полученные по
формулам (2.22) частотные характеристики эквивалентны
характеристикам линейной системы на тех частотах, на которых амплитуда
преобразования Фурье сигнала Абв(^) существенно превышает
амплитуду преобразования Фурье сигнала A8B(t).
Для оценки выполнения этого условия удобно рассматривать
отношение преобразований Фурье
л " . =А'ь ib ^e b/Sr • (2.г58)
А5в(гсо) °в/°в
Можно предположить, что если на каких-то значениях частоты
ее выполняется условие
в/ Sb
<
(2.159)
то влияние нелинейности (2.157) будет незначительно, и частотные
характеристики вертолета в этом диапазоне частот будут
соответствовать линейным уравнениям движения.
75

На рис. 2.14 в качестве примера влияния нелинейности (2.157)
на частотные характеристики представлены частотные
характеристики по углу тангажа вертолета Ми-4, полученные из режимов
первого рода, т. е. из режимов с включенным автопилотом (типа
представленных на рис. 2.13). На рис. 2.15, а приведены
соответствующие частотные характеристики по параметру АбЕ. Из
сопоставления рис. 2.14 и 2.15 видно, что при частотах со>1, при которых
выполняется условие (2.159), разброс значений амплитудных и
фазовых характеристик по углу тангажа незначителен.
На рис. 2.16 и 2.17 представлены среднеквадратичные значения
разброса частотных характеристик по углу тангажа, полученных в
полете для одновинтового вертолета Ми-4 в функции частоты со для
режимов первого и второго рода.
Сопоставление рис. 2.16 и 2.17 с рис. 2.15, а и 2.15, б
подтверждает, что диапазон частот, для которого выполняется условие
76

0,5
1
li
\j
Ремам 9 *
Режиме/
200
WO -
Q),f/C
Pew им 7 \
Режим 7
Режим 10
-WO
В)
0 _^
Рис. 2.15. Частотные характеристики по параметру, полученные для вертолета
Ми-4 в полете из переходных процессов:
а — с включенным автопилотом; б — с выключенным автопилотом
(2.159), совпадает с диапазоном частот, в котором наблюдается
малый разброс частотных характеристик для режимов первого и
второго рода.
ч
I—с
с,
I— —
Л
во
10
60
50
to
30
го
ю
J со, Г/с О
Рис. 2.16. Среднеквадратичные погрешности определения амплитудных и
фазовых частотных характеристик по углу тангажа в функции частоты для режимов
1-го рода
77
во
70
во
50
30
го
10
\
1
1
1
1
\
W
А

wo
50
\
\
¥—
I
/
/
/
WO
50
? си. Ус П
о
\
\
о >^
1
I
/
Рис, 2.17. Среднеквадратичная погрешность определения частотной
характеристики по тангажу в функции частоты для режимов 2-го рода
Нелинейности являются только одной из причин появления
погрешностей в определении частотных характеристик при обработке
переходных процессов. Эти погрешности зависят также от
погрешностей выполнения начальной и конечной фазы переходного
процесса, нерегистрируемых внешних возмущений, погрешностей
измерений, погрешностей обработки экспериментального
материала.
Для частотных характеристик вертолета по другим
параметрам движения разброс их в функции частоты to имеет характер,
подобный представленным на рис. 2.16 и 2.17 данным для
частотных характеристик по углу тангажа.
Если в полете получено достаточно переходных режимов для
одинаковых начальных условий, чтобы по разбросу точек
частотных характеристик на каждой частоте построить зависимости,
подобные представленным на рис. 2.16, то по этим зависимостям
можно выбрать диапазон частот, в котором характеристики получены с
приемлемой погрешностью. Практика показывает, что в этом
случае в качестве критерия можно выбрать величину относительной
78

среднеквадратичной погрешности определения амплитудной
частотной характеристики
ал<15...20%. (2.160)
Интересно отметить, что при проведении летных исследований
для определения частотных характеристик в достаточно широком
диапазоне частот необходимо выполнять режимы как с
включенным, так и с выключенным автопилотом. В итоге окончательный
вариант частотной характеристики будет составлен из двух частей:
на малых частотах по материалам обработки переходных процессов
с выключенным автопилотом, на больших частотах — по
материалам анализа режимов, выполненных с включенным автопилотом.
На рис. 2.18 представлен пример частотной характеристики
вертолета по углу тангажа, полученной подобным образом.
Если при проведении летного эксперимента не удалось
выполнить достаточное число переходных процессов, чтобы построить
зависимости типа представленных на рис. 2.16—2.17, то для выбора
диапазонов частот, в которых частотные характеристики
определяются с минимальной погрешностью, можно рекомендовать
следующее. Сопоставим зависимость погрешностей определения частотных
характеристик типа представленных на рис. 2.16 и 2.17 с
амплитудами преобразования Фурье входного сигнала Аь (о)), пример
которых для рассматриваемых режимов приведен на рис. 2.19.
Можно заметить, что максимуму кривых Аьв(и>) соответствует
минимум погрешностей определения частотных характеристик. Так
как в точке пересечения кривых Аь (со) при со = о)2 для
рассмотренных двух типов переходных процессов, как показывает опыт,
погрешности обычно имеют приемлемые величины, то эту амплитуду Аь (<*>)
и возьмем в качестве критерия определения диапазона частот, в
котором погрешности невелики. Таким образом, как следует из рис.
2.19, в диапазоне частот coi—<ог частотные характеристики
определяются с приемлемой погрешностью по режимам с выключенным
автопилотом, а в диапазоне о)2—соз — с включенным автопилотом.
2.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
ПО РЕЗУЛЬТАТАМ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Для определения коэффициентов уравнений движения по
частотным характеристикам необходимо иметь частотные
характеристики по всем параметрам движения. При проведении летных
испытаний определенные трудности возникают с непосредственным
измерением проекций вектора скорости полета на связанные оси
\х, Vv и Vz. Рассмотрим оценивание частотных характеристик по
этим параметрам по косвенным измерениям.
Для оценки частотной характеристики по параметру Vy
воспользуемся вторым уравнением системы
79

Режим первогорода
• -режим 7
0- ч 2
Ж- " 3
JL- ч 6
Режим бторогоро&а
о -режим 7
р- ч 8
К- " 9
d- " 10
" 11
100
50
0
0,1 0,5
гв, градус
0
d
0,1
d
0,
L
5
)
н
1,5
\
0
1,
5
7
2.5
i
\
0J,1/C
Рис. 2.18. Частотные характеристики по углу тангажа, полученные из режимов
первого и второго рода
80

А^градус
J
рис. 2.19. Определение амплитуды преобразо-
ваний Фурье входного сигнала:
для режимов с выключенным автопилотом; «
для режимов с включенным автопилотом
,- —для режимов с включенным автопилотом
/\
О со, 1
m{Vy
-Vzax)=Ry-G cos & cos y;
(2.161)
— Jz ) ^x^z — J
ху\ У z I wjc/ — ЛТ1у*
При выполнении режима с малыми изменениями угла тангажа
это уравнение имеет вид (для случая Vz~0, Vx~ Vo)
Vy= —V0<u2-\-gbny; Lny = ny—\. (2.162)
Имея полетные записи параметров coz и пу, определяем частотные
характеристики по Vy. Подставив в уравнение (2.162) выражения
для вынужденных составляющих
х^)=Ах((л) sin [<o^ + ?jr((O)b (2.163)
получим
sin
COS
y) = °^Л V *в C0S (°
8в COS (CO/
Отсюда находим
X
X
V
(2.164)
+ arctg-
81

; <Pr/se, градус
co,7/c
Допущение, что Vxuz^
~ l^ocoz, сделанное при
выводе уравнения
(2.164), справедливо
при условии, что
приращение скорости АКхна
исследуемом режиме
существенно меньше
исходной скорости
полета. Однако, если
переходный процесс
выполняется на малых
скоростях полета, это до-
Рис 2.20. Сравнение частотных характеристик лущение делать нельзя,
параметров Focoz(O и v(t)<dz(t): Поэтому уравнение
параметр lVoz; параметр r="Fcoz (2.164) НаДО раССМатрИ-
вать в виде
Vy = gLny-r% (2.165)
где r=Vx(oz.
По записи параметров Vx(t) и coz(/) вычисляем параметр r(t)
и находим характеристику
= AГ,ь (со)е
Используя тот же прием, что и при выводе формул (2.164),
получаем
X
- Аф& cos
— Ar/* sin •
sin
— A
г/8.
sin <
. (2.166)
На рис. 2.20 сравниваются частотные характеристики
и T«»
/
(«>)
с характеристиками
и <рг/вв(«>), полученными
Z/B рр
для вертолета Ми-4 на скорости, где условие Vo*>AVx не
выполняется. Видно, что определение частотной характеристики по Vy с
помощью формул (2.166) будет существенно точнее, чем по (2.164).
При необходимости переход от параметра Vy к параметру а может
быть произведен по формуле
a^-VylVQ. (2.167)
Рассмотрим теперь вопросы определения частотных характерис-
82

тик по параметру Vz. Для этого воспользуемся третьим уравнением
системы (2.161), которое для переходных процессов с малым
изменением параметров только бокового движения принимает вид
Vz = gnz + gb У + V^y - VyJ*x. (2 Л 68)
Если в полете записаны изменения по времени параметров
nz(i)\ y(t)\ ©v(0; °ь(0, ТО частотные характеристики по этим
параметрам обеспечат определение частотных характеристик по Vz
по следующим формулам, вывод которых аналогичен выводу
формул (2.164):
Zi в u)
(2.169)
где
*=8Апя/*в c°s <?nzfbB+gAVbn cos ?т/«в + 1Л>Ау«в cos ?«,/«,—
— Vy0AmjciiiBCos<faxfbB\
b = gAnz/ §B sin <tnz/ bB + gAVbB sin 9yba+Vy9Aay/ sB sin <^у/ 8в-
— Kt/^co^/ 8B sin
При необходимости переход от параметра Vz к параметру р может
быть произведен по формуле
f*=VVVV (2Л70)
Пример определения частотных характеристик по р по косвенным
измерениям для самолета представлен на рис. 2.21. Там же для
сравнения представлены частотные характеристики по р,
полученные по записям показаний датчика угла скольжения флюгерного
типа. Видно, что характер местного обтекания в месте установки
этого датчика вносит существенные погрешности в его показания,
откуда очевидно преимущество использования косвенных
измерений.
Определение частотных характеристик по скорости полета по
косвенным измерениям требуется главным образом при испытаниях
вертолетов. В этом случае, если частотные характеристики по
скорости полета определяются для режима горизонтального полета, то
на малых скоростях последним членом в правой части уравнения
(2.168) можно пренебречь. Для вертолетов обычной схемы, если
не обеспечена запись параметра пх, можно использовать
приближенное соотношение
gn^X^Ab^gD^ (2.171)
справедливое для описания изменения пх при колебаниях бв с
высокими частотами. При малых значениях частот (за исключением
83

0,2
с
•>
>ооо°
о
о
) хх
хх *
[
о
о
х о
200
700
°°oo<
—xx'
1
4,
>
6 oo,7/c
1200
200
30
20
70
0,5
0,25
О
градус
200
700
М/С
*' градус
Пй/йв
I
\
\
I
г
с
200
700
1
1
\
Vs.
V
ч
Рис. 2.21. Амплитудно-фазовые частот- Рис. 2.22. Сравнение частотных ха-
ные характеристики по углу скольжения рактеристик по параметру Vx, полу-
Р при входном сигнале бн: ченных по уравнениям движения и
О-по записям рм; х-по записям пара- почастотным характеристикам по
метров пх, coz, cov параметру О:
» по уравнениям движения;
— О—О— по Av/k и ф«/з
околонулевых значений) основную роль в правой части уравнения
(2.168) играет второй член.
С учетом этого можно получить следующие упрощенные
соотношения для определения частотных характеристик по скорости:
(2.172)
где
a=g(Dl — Am cos <?»/§ ); b= —
sin
На рис. 2.22 представлен пример определения частотной
характеристики по скорости, по частотной характеристике, по углу
тангажа.
Можно видеть, что эти приближенные формулы позволяют с
достаточной точностью определить Ау^/ь^ и ?к^/8в.
2.4. ПРИМЕР ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
ПРИ НАЛИЧИИ ПОЛИГАРМОНИЧЕСКОЙ ПОМЕХИ
При определении динамических характеристик конструкции
вертолета на записях регистрируемых параметров всегда присут-
84

ствуют случайные и полигармонические составляющие,
вызываемые внешними возмущениями, несущим и хвостовым винтами.
Особенно большой уровень помех присутствует на записях
параметров, определяющих упругие колебания лопасти несущего винта
вертолета, так как на его лопасть в полете действуют переменные
аэродинамические нагрузки, вызывающие переменные напряжения.
Рассмотрим методы выделения полезного сигнала из шума на
примере определения частотных характеристик лопасти несущего
винта вертолета.
Пусть имеется полетная запись изменения напряжения в
лонжероне лопасти o(t) на заданном радиусе г до и после приложения
возмущающей силы F(t). Определим реакцию лопасти oB{t) на это
возмущение.
Обозначив через аНв(£) напряжения в лонжероне, которые имели
бы место при отсутствии возмущения F(t), получим
*(0=*нв(0-К(0. <2-173>
Для определения оценки o(t) найдем оценку аНв(0-
Рассмотрим ансамбль из т участков полетной записи а(/)=аив(0> взятых
для тех моментов времени, когда F(t) = 0 и сгв = О.
Каждый из этих участков выберем исходя из следующих
условий:
— начало участка должно соответствовать одному и тому же
азимуту лопасти;
— продолжительность каждого участка по времени Т должна
быть равна времени выполнения лопастью заданного числа полных
оборотов;
— время Т должно быть близко к времени затухания
переходного процесса ав(/), вызванного импульсным возмущением F(t).
Необходимость этих условий будет видна из последующих
рассуждений.
На k-м участке длительностью Г, принадлежащем
рассматриваемому ансамблю, разложим функцию аНвь(0 в ряд Фурье.
При этом ограничимся конечным числом гармоник /, выбрав /
таким образом, чтобы в интервал 0<со<со/ входил диапазон
частот, для которого определяется частотная характеристика лопасти
°нв*(0«2 t^cosc^+ft^sin V)> (2.174)
л = 0
гДе o'HBfe — запись изменения изгибных напряжений относительно
установившихся значений
2 С
т
2 Т
о>пк=2лп/Т.
85

Найдем оценку математического ожидания функции для
рассматриваемого ансамбля, используя соотношения (2.144),
М К.*О] «2 (М К] cos V + ЛГ [Ьп\ sin co^)^
(2.175)
Любая к-я реализация из данного ансамбля в рассматриваемом
диапазоне частот будет отличаться от ЛЦанв(О] на величину
2 sinco^), (2.176)
где
АллЛ=аяЛ-Л1(ая); Lbrik=brik — M(ba).
Коэффициенты Aa7lk и A&n/t каждой /г-й гармоники представляют
собой статистические ряды, для которых можно найти дисперсии
D[art] и D[bn]. Эти дисперсии являются мерой отклонения п-и
гармоники одной из реализаций рассматриваемого ансамбля от ее
математического ожидания.
Нет оснований полагать, что на участке, где лопасть
подвержена воздействию возмущающей силы F(t), реакция лопасти аНв(0
не является элементом рассматриваемого ансамбля функций,
поэтому в качестве оценки напряжений oRB(t) используем М[аНв].
Определив из записи o(t) на возмущенном участке
(длительность которого также равна 7) коэффициенты разложения в ряд
Фурье ап и рп, найдем коэффициенты разложения в ряд Фурье
йвп и Ьвп реакции лопасти на приложенное возмущение F(t) по
формулам
1 (2.177)
Погрешности от замены аНв(0 на Л1[сгНв(^)] определяются
уравнением (2Л76), причем Аап и АЬп для каждой гармоники будут
иметь дисперсии D[an] и D[bn]. Представим уравнение (2.174)
в виде
i
онвЛ(/)«2 Ai*sin(V + <P,«). (2Л78)
/1 = 0
где
86

Для рассматриваемого ансамбля невозмущенных участков
М Кв О] ~ ^ V(M[an\? + (M\bn\? sin «>„ (/)+arctg
j ;
(2.179)
Найдем /)[Л„] и £>[фп].
п Ы[ап] \ dbn JM[bn]
D[bn]. (2.180)
) [n] + (^)
ап )м[ап] \ dbn )м[Ьп]
Найдем оценки дисперсий величин Авп и фВп, соответствующих
разложению в ряд Фурье функции oB{t). Вместо М[а,г] и М[Ьп]
подставим в формулы авп и Ьъп. В итоге получим
.-(■
<tBnD[bn]). (2.181)
Таким образом, если в качестве оценки аНв(0 на участке, где
F(i)=r^0 и ав(^):#:0, взять функцию М[онвк(1)]* определяемую
выражением (2.179), то дисперсия определится соотношением (2.181).
Очевидно, дисперсии /)[ЛВ7т] и О[фвп] включают в себя также
и погрешности обработки. Примем, что они одинаковы при
однотипной обработке как возмущенных, так и невозмущенных участков.
Выбор необходимого возмущения F(t) должен производиться
таким образом, чтобы при разложении в ряд Фурье полезного
сигнала сгв(/), равного
) (2.182)
и взятого при той же длительности, что и исследованный ансамбль
невозмущенных колебаний, выполнялось неравенство
]/ (2.183)
Если рассматривать определение частотной характеристики
методом вынужденных колебаний, когда к лопасти прикладывается
входное возмущение.
Fn[t)=APn sin(oV-]-cp^), (2.184)
87

то реакция лопасти на это возмущение будет равна
). (2.185)
Амплитудно-частотная характеристика определяется по формуле
А "*
AB/f=—— » а фазовая — по формуле ф = фВп, и физический смысл
условия (2.183) очевиден. Определим из летного эксперимента [без
возмущения лопасти дополнительной силой F(t)] зависимости
D[an]^=D[an(r)] и D[bn]=D[bn(r)] и перепишем условие (2.163)
для случая вынужденных колебаний, как
D[an]>D[bn];
(z. icD)
при D\bn]>D[an\.
Это объясняется следующим. Так как фаза q>Fn возбуждающей
силы F(t), зависящая от момента включения устройства, может
быть произвольной, то при Лвп = const, значения апп и Ьвп могут
меняться от нуля до Авп. Поэтому, как следует из формулы (2.181),
величина £)[ЛВП] будет меняться от D[an] до D[bn]:
^ , (2.187)
откуда
D\an\ <Л[ЛВ„] <D[6J при D[bn}>D\an};
(z. loo)
^[Лвл]<£>[ай] при D[bn\<D\an\.
Рассмотрим справедливость условия (2.183), когда входное
возмущение имеет произвольный характер. В этом случае частотная
характеристика определяется по отношению преобразования Фурье
выходного ав(0 и входного F(t) сигналов.
Так как выбираем продолжительность анализируемого участка
1 таким образом, чтобы при t>T на возмущенном участке
F(t) =0и oB(t) =0, то справедливо и соотношение
Л(а>)е^(»)=^»М =2 . (2.189)
о
При этом
г т
ов(/(!))== f aB(/) cos totdt — i f aB(t) sin o)tdt;
t t (2Л90)
F(fa)= ^F(t) cos utdt — i j*
6 6
88

Момент включения
. энергодатчика
рис. 2.23. Пример
осциллограммы с записями
возбужденных
колебаний лопасти несущего
винта при разных
входных сигналах (режим
гонки двигателя)
Для дискретных значений (оп=2пп/Т преобразование Фурье
сигналов aB(t) и F(t) можно выразить через коэффициенты ряда
Фурье ав:> и Ьвп для функпии ав(7) и aFn и bFn — для функции Fn.
Т
2 (2.191)
Подставив эти соотношения в выражение (2.159), получим
Л(
Как видно из выражений (2.191), частотная характеристика при
произвольном входном сигнале определяется также
коэффициентами разложений в ряд Фурье входного и выходного сигналов,
поэтому при выборе возмущающего сигнала необходимо, чтобы
реакция на него ка каждой частоте, представляющей интерес для
анализа, удовлетворяла условию (2.183).
На рис. 2.23 представлена запись параметров напряжения в
лонжероне лопасти несущего винта вертолета Ми-4 на различных
относительных радиусах. На записи видна реакция лопасти на
приложенное импульсное возмущение. На базе этих материалов,
полученных при отработке устройства, возбуждающего колебания
лопасти, была апробирована предлагаемая методика определения
частотных характеристик лопасти несущего винта, по записям переходных
процессов — при наличии шумов.
В соответствии с рассматриваемой выше методикой по
осциллограммам записи параметров на указанных режимах прежде всего
исследовался ансамбль невозмущенных участков для различных
относительных радиусов. Для каждого участка, соответствовавшего
четырем оборотам несущего винта, находились математические
ожидания коэффициентов Л1[ап], Л1[6П] и среднеквадратичные значе-
89

Ьп,Н/мм2
Oft
-Oft
-о,в
-16
-7
-ooo
I1
o°} 1
l°o?
I
с
n
poo°
о-Ьп
О * б 12
Рис. 2.24. Разложение в ряд Фурье
записи напряжений в возбужденной
лопасти, измеренных в сечении г=0,7
Рис. 2.25. Значения амплитуды
возбужденных колебаний и
среднеквадратичной погрешности (сечение г=
= 0,7)
ния •)/ D[an]mn 1^ D[bn] в функции номера гармоник разложения в
ряд Фурье. На рис. 2.24 приведены также зависимости,
определенные для г = 0,7. На этом же рисунке приведен пример определения
коэффициентов аВп и Ьвп для участка, на котором включали
энергодатчик, так как по предлагаемой методике коэффициенты авп и ЬЪПу
соответствующие реакции лопасти на возмущение F(t), находятся
из соотношений (2.177). Из материалов, приведенных на рис. 2.25,
следует, что указанные коэффициенты не будут определяться как
малая разность больших величин.
Это свидетельствует о том, что на рассматриваемых режимах
возмущающая сила F(t) была достаточной для возбуждения
переходного процесса. Кроме того, по найденным в соответствии с
соотношением (2.177) оценкам коэффициентов авп и Ьвп определялись
амплитуды разложения в ряд Фурье реакции лопасти на импульс и
среднеквадратичные погрешности У D[ABn], которые оценивались
для различных значений относительного радиуса г. На рис. 2.25
приведены значения амплитуды возбужденных колебаний А и
среднеквадратичные погрешности ол.
Аналогичные характеристики необходимо получить и для
входного сигнала F(t). Амплитуда преобразования Фурье для входного
возмущения F(t) представлена на рис. 2.26.
90

рйс. 2.26. Амплитуда преобразования
фурье входного сигнала
рис. 2.27. Амплитудно-частотная
характеристика (сечение r = 0J) вращающейся
лопасти несущего винта вертолета:
.. ■ расче!ная; экспериментальная
(сглаженная) q Q2
20
10
ч
i
I
0,01
200
ч/с
wo
CJJ/C
Амплитудная частотная характеристика лопасти определяется
как
AF (и))
(2.192)
На рис. 2.27 представлена полученная в соответствии с
соотношением (2.192) амплитудно-частотная характеристика
вращающейся лопасти несущего винта вертолета Ми-4. Среднеквадратичные
погрешности Л (со) рассчитаны по £)[ЛВП] и /)[Л^] в соответствии
с выражением
D[A}=-
■D[AF].
(2.193)
Глава 3
РАСЧЕТНЫЕ СХЕМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
Как известно, исходным выражением для определения
динамических характеристик объекта частотными методами является
отношение преобразования Фурье выходного сигнала к преобразованию
Фурье входного сигнала (2.21).
Пусть объект описывается линейной системой
дифференциальных уравнений (2.1), и на него воздействует один входной сигнал
МО-
Идентификацию будем осуществлять по двум направлениям:
определим коэффициенты передаточной функции и найдем
коэффициенты системы уравнений (2.1).
91

3.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ
ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ
Для определения коэффициентов передаточных функций
запишем систему (2.1), применив преобразование Лапласа в виде
(3.1)
где а*(0) —вектор начальных значений параметров; Е — единичная
матрица.
Введем в рассмотрение матричную передаточную функцию
W =
\jd
Wn/l...Wn/m...Wn/d
Wr
(3.2)
...Wr/m... Wr/d
Как известно, W= [Ер—А]~]В.
Передаточную функцию я-го выхода по m-му входу представим в
виде
Приравняем выражения (3.3), подставив в него р = т и (2.22). Для
фиксированной частоты cdj получим
r-i (ко .)г г
(3.4)
Разделив действительную и мнимую части, для каждой частоты <oj
получим два алгебраических уравнения, линейных относительно
неизвестных коэффициентов с и /:
--zj, (3.5)
где
УГ= \сг—\Сг—2 • • • coh—l*r—2 • • • А)]»
vj — матрицы-строки размерности 1х(2г), элементы которых
зависят от со/, ЛЛ/т(о)в,); Zj и -г — числа, зависящие от со/, Лп/т(со^-)
и фп/т(со',). Рассмотрев s значений частоты со, причем 2s» (2г),
получим систему алгебраических уравнений
vy = z9 (3.6)
где
Рассмотрим процедуру составления системы (3.6) для
передаточной функции, соответствующей системе второго порядка
W(p)= с;р + °\ . (3.7)
Pi + hp +10
92

Уравнение, соответствующее (3.4), для данного случая будет иметь
вид
(/0 — со2) -f- liia)
где А (со) и ср((о) —полученные из летного эксперимента
амплитудные и фазовые характеристики.
Преобразуем правую часть, используя формулу Эйлера:
A(w)e^((0)=A(co)coscp(co)-|-/A(co) sin ср(со).
Тогда представленное уравнение запишется следующим образом:
с°+ lCl{* = А (со) cos <p (со) -f M ((о) sin ср (со).
%0
(/0 — 0)2)
Отсюда имеем два алгебраических уравнения, соответствующие
(3.5):
со-\-1га)А(ы) sin ср (ш) — /0А (со) cos <?((»)= — со2Л (со) cos rf (cd);
^(0 — /хсоЛ (о)) COS ф (со) — /o^(w) sin ?(а))= — со2Л (со) sin <р(со).
Здесь в соответствии с принятыми для (3.5) обозначениями
^. = [0 1 coyA (со;.) sin cp(coy) — Л(сОу) COS cp(co;.)]T;
Zj= — coyA (coy) COS cp (coy);
<y = [coy 0 •— со;.Л (coy) COS cp(coy) — Л(соу) sin cp(cOy)]T;
Zj = — соуЛ (coy) sin cp (coy).
Система (3.6) в этом случае будет иметь вид:
О 1 со0Л (со0) sill ср (со0) — Л (u)0) COS cp (о)0)
О 1
sin ср(со5) — Л (со5) COS ср (cos)
со0 0 — со0Л (со0) COS ср (а)0) — Л (<о0) Sin ср (со0)
o)s 0 — cosA (o)5) COS ср (со5) — Л (со5) sin ср (со5)
— tOoi4((00)COS?(o)0)
(со^) COS ср (со5)
(со0) sin <p(to0)
— со^Л (со5) sin ср (со5)
93

Решая уравнение (3.6) каким-либо методом, например методом
наименьших квадратов, найдем оценку вектора коэффициентов
передаточной функции у.
Рассмотренные методы применимы для идентификации линейных
систем для случая, когда на вход исследуемой системы подается
только один возмущающий сигнал. Однако на практике приходится
встречаться с задачами, когда на вход системы подается
одновременно несколько возмущающих сигналов или когда математическая
модель системы при полученных в налете изменениях параметров
движения нелинейна. Учитывая преимущества частотных методов,
распространим их на эти «неклассические» случаи.
Пусть на вход линейной системы подано одновременно
несколько входных сигналов. Для определения коэффициентов
передаточной функции запишем соотношение между преобразованиями
Лапласа входных и выходных сигналов
(3.8)
где W(p)—матрица передаточных функций размерности rXd\
х(р) и }(р) —матрицы-столбцы размерности г и d соответственно;
г — число параметров движения; d — число входов.
Рассмотрим k-ю строку уравнения (3.8)
(3.9)
где Wh (p)=[Wk/u Wk/2y ..., Wk/dl — k-я строка матрицы W (р).
Выражение (3.9) можно записать следующим образом:
Разделив левую и правую части на f\(p), получим
Введем условные обозначения, приняв р = ш:
(*«>)
В этом случае последнее уравнение при подстановке р = ш примет
вид
• • • + ck/10]
] + . • • + [сщ (г-1) (ш)1-1 + • • • + ck/d0] X
X
(/co)r + lr-i (шу-1 + ... + l0 '
94

На основе этого соотношения, выделив действительную и мнимую
части, для ряда фиксированных значений со/ можно составить
уравнение, аналогичное (3.6), где вектор неизвестных коэффициентов
передаточных функций будет иметь вид
Ck/l{r~2) ,..., Ck/ю,..., Ckfd(r-l) ,..., Ck/do].
Здесь lr-\ — (/'—1)-й коэффициент знаменателя передаточных функ-
ций;^лд(г-1)— (/"—1)-й коэффициент числителя передаточной
функции /м'о параметра по первому входу.
Очевидно, задача существенно усложняется вследствие
возрастания размерности вектора у на число г от каждого дополнительного
входа.
3.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ
УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
3.2.1. Использование только амплитудно-фазовых частотных
характеристик
Для определения коэффициентов уравнений системы (2.1)
предлагается следующее. Рассмотрим k-e уравнение для одного т-го
сигнала
xk = Akx+bhmfm9 (ЗЛО)
/
где Ah — матрица-строка, равная k-к строке матрицы Л; Ьь —
элемент матрицы В, соответствующий k-и строке и m-му столбцу;
х — матрица-столбец параметров движения размерности г; хь — k-й
элемент вектора х. Уравнение (ЗЛО) представим в виде
■** = dMi + ... +akrxr + bkmfm. (ЗЛ1
Взяв преобразование Фурье от левой и правой частей уравнения
(ЗЛ1) и разделив все члены на Fm(iu)), получим
i *Ak/m (со) *рыт ^=akA1/m (ш) е/?1/« <«> +... +akrAr/m (со) &пт ^ + bkm.
Умножив левую и правую части этого уравнения на е"0*, используем
формулу Эйлера, после чего рассматриваем только мнимые члены:
^Ak/m (т) sin
-\-akrAr/fn(u) sin №-\-Чг/т{ы)\-\-Ькт sin со/. (3.12)
Видно, что для определения элементов матрицы Аи и Ьь.
необходимо знать амплитудно-фазовые частотные характеристики (АФЧХ)
всех элементов х по входу fm.
Уравнение (3,12) можно получить, подставив в уравнение (ЗЛО)
частные решения системы (2.1) при гармоническом (/m = sincoO
95

входном сигнале:
Xk=Ak/n(«>) ЫП
(«>)]•
Так как в уравнении (3.12) коэффициенты зависят от параметра ty
зададимся каким-либо значением /-•=// и из уравнения (3.12)
получим для значения фиксированной частоты со/ алгебраическое
уравнение
Vjy = Zj, (3.13)
где Vj — матрица-строка размерности 1Х(г+1), элементы которой
зависят от со/; Ап/т ; ф л/от и t\\ zj — величины, зависящие от ©/;
Ащт\ Чп/т й tj\ ут = [ак1, а*,,..., я*г» Ьът\ — матрица неизвестных
т
коэффициентов уравнения (3.12).
Задавая s различных значений частоты со/ так, чтобы
получаем систему линейных алгебраических уравнений
где
(r+ 1),
(3.14)
Решая систему (3.14) так же, как и систему (3.6), находим вектор
коэффициентов у. Повторив решение для остальных уравнений
системы (2.1), найдем матрицу А и т-к столбец матрицы В.
Используя АФЧХ по другим входам, находим все остальные элементы
матрицы В, т. е. непосредственно определяем коэффициенты
системы уравнений (2.1). Следует отметить, что, решая систему
(3.14), полученную при использовании выражения (3.12), имеем
дело с вектором неизвестных коэффициентов у размерности (г+ 1),
а решая систему (3.6), полученную при использовании выражения
(3.4), — с вектором размерности (2г), которая больше на величину,
равную числу коэффициентов числителя передаточной функции.
Такое увеличение размерности вектора неизвестных параметров
связано с тем, что при составлении системы (3.6) используется только
АФЧХ по одному параметру, а для системы (3.14) используется
АФЧХ по всем параметрам движения.
Рассмотрим предлагаемую методику на примере определения
коэффициентов уравнений бокового движения самолета в
вариациях
x = Ax + Bf, (3.15)
где
о
~мШ
МруМу*МуУ О
О 1 -tgb0 О
Z *«
0 0
; /=
Допустим, что в полете для данного самолета получены амплитуд-
96

но-фазовые частотные характеристики, соответствующие реакции
самолета на изменения входных сигналов Дбп и Д6Э.
При летных испытаниях вместо истинных значений матриц f и х
регистрируются приближенные значения / и х:
где 8/ и гх — векторы составляющих погрешностей соответствующих
параметров.
Частотные характеристики, являющиеся исходным материалом
для определения коэффициентов систем (3.15), вследствие этого
также вычисляются с погрешностями.
При определении коэффициентов уравнений бокового движения
самолетов по АФЧХ каждое уравнение системы (3.15)
рассматривается отдельно. В качестве примера выберем следующее
уравнение системы (3.15):
ш„ — М А? + 7ЛЧ*ъх + МуУ<йу + Му«кЪн+Му*ЬЪэ. (3.16)
Сначала рассмотрим в качестве входного сигнала отклонение
только руля направления А6ц(/). Этому входному сигналу будут
соответствовать следующие амплитудные и фазовые частотные
характеристики:
При входном возмущении Дбн(0=^вв sm(°t система (3.15)
будет иметь частные решения
Подставив их в уравнение (3.16), получим
^/5H(w) sin р+(р^8н W-f yj=SMp/8HW sin(o)/-f (pp/5H
+Му*Аа>у/ъя(<») sin №+?„у/*я(а))+Му* sin со/. (3.17)
Для определения коэффициентов My, M%x, МуУ, My" составим
систему из п линейных алгебраических уравнений. Каждое из
уравнений будет получено в результате подстановки в уравнение (3.17)
конкретных значений частоты со/ (/= 1, ..., п) и соответствующих им
значений амплитудных Л» /8 (о)у), Лр/s (<*>,-), Аш ,/ь (">/) и фазовых
4—1188 97

частотных характеристик, определенных экспериментально.
Частоты со/ выберем так, чтобы для них значения частотных
характеристик были известны с приемлемой погрешностью. В результате для
каждой частоты <о/ получим линейное алгебраическое уравнение^,
зависящее от параметра /:
Ж А р
sin
sin
sin (<о/ -f ^
н sin ю/
где е/(/) —невязка /-го уравнения.
Положим в этом уравнении t — t,-. В матричных обозначениях-
система из п линейных уравнений примет вид
Vy=z + e, (3.18)
где
У=
Ж
My»
; v=
vnv12v13v14
;z=
ZJ
;/г»4
vjA= sin иj
sin
sin
Решение этой системы найдем из условия обращения в мини-
п
мум среднеквадратичного критерия качества ^[sj (tj)]2. Вектор
7
7* параметров t\ выберем из условия минимального разброса
оценок искомых коэффициентов, полученного по ансамблю из k
однотипных режимов. Допустим, что невязку характеризует матрица
£[£(0)^)] 0 ... О
0 D[e(oht2)] ... О
О 0 ... D[s(iuntn)\
элементы которой определяются следующим образом. Пусть для;
каждой частоты известны дисперсии погрешностей определения
98
R
(3.19)

частотных характеристик:
допустим также, что эти погрешности некоррелированы. При
таком допущении дисперсия невязки в соответствии с [22] может
быть определена по формуле
дАм
(3.20)
Индекс / означает, что частные производные от аналитического
выражения невязки по параметрам и дисперсии рассматриваются
при значениях со/ = (оу//.
Решение системы (3.18) с нормированием невязок будет иметь
вид [28]
(3.21)
(3.22)
где W — весовая матрица, которая равна
Определение элементов матрицы R, необходимой для решения
уравнений системы (3.18), требует априорного знания элементов
вектора у.
Для иллюстрации предлагаемой методики было проведено
численное моделирование. По известной математической модели
гипотетического самолета определялись частотные характеристики, на
которые накладывались заданные случайные погрешности.
Полученные АФЧХ служили исходным материалом для определения
коэффициентов уравнений бокового движения самолета по
однотипным режимам.
При моделировании было принято, что этим известным
уравнениям при записи в виде (3.15) соответствуют следующие матрицы
А и В:
А =
и частотные характеристики, пример одной из которых представлен
на рис. 3.1.
При расчете АФЧХ принималось, что случайная погрешность с
нормальным законом распределения накладывается на действитель-
4* 99
-0,105
-18,38
-3,75
0
0
-1,617
-0,0885
1
1
-0
-0
0
,95
,457
0,0403
0
0
0
о
и —
0,0171
-2,24
-1,249
0
0
-8,
0,
0
316
316

1=3
о
pa
о
CQ
§
о
VO
CQ
О
C
с
s
s
Он
s
3
I
со
о"
100

Таблица 3.1
результаты решения системы (3.18)
0 методу наименьших квадратов для
рассматриваемого примера
s
.ализа
3.
L
2
3
4
5
6
7
8
9
10
M\y{\
—
-6
—2
—3
2
—4
—5
—3
—3
-3
-2
1
Полученные оценки
3
/
,П
,65
,67
,42
,08
,37
,21
,72
,65
,94
,782
,П
M<*y
уу
—0,358
—0,715
-0,645
-0,48
-0,332
—0,481
—0,168
—0,401
-0,603
-0,5
—0,468
0,154
-
—0
—0
—0
о
—0
—0
—0
—0
—0
—0
—0
0
°х
У
,418.
,0028
,211
,077
,125
,072
,0873
,111
,0048
,067
,118
,115
У
— I,
;
—
1 »
j
о,
1
25
19
22
21
20
15
4
24
26
22
23
063
0,6'
о
0,1
о
0,1
о
0.04
о
0,01
Истинные значения
■и)=О,5 //с
О 10 W 60 80 ЮО 120 ПО у,граду с
Ш=Ю //с
—3,75
—0,457
—0,0885
— 1,249 рис з.2. Дисперсия невязки в
функции фазового угла
ную и мнимую части частотной характеристики. На каждой частоте
относительная среднеквадратичная погрешность для
действительной или мнимой частей задавалась постоянной и равной 0,2. Для
частотной характеристики по каждому параметру рассчитывалась
среднеквадратичная погрешность амплитудной и фазовой частотных
характеристик по формулам
а также дисперсии невязки D[e] —по формуле (3.20).
На рис. 3.2 представлены полученные для рассматриваемого
примера зависимости D[e] от со/ для ряда значений со.
101

Уравнение (3.17) после подстановки в него конкретного
значения t — tf эквивалентно проекции на вертикальную ось векторной
диаграммы, повернутой на угол ф/ = а>^/. Зададим два значения
Ф, = 0 H<pj = tt/2.
В табл. 3.1 приведены результаты расчетов по определению ко-
эффициентов уравнения (2.1) на основании решения систем типа
(3.14), составленных для десяти вариантов АФЧХ с наложенными
на них случайными погрешностями. Это первое приближение
вектора неизвестных коэффициентов рассчитывалось по методу
наименьших квадратов в соответствии с выражением
y=(VV)-lVTz. (3*23)
Для каждого из десяти вариантов АФЧХ система типа (3.14)
составлялась для заданных вариантов ф/. Для определения первых
трех коэффициентов ух в табл. 3.1 задавалось ф/ = 0, для
четвертого <ру- = — . Видно, что все элементы вектора у, фигурирующего в
уравнении (3.18), могут быть определены по десяти режимам с
относительной среднеквадратичного погрешностью 3%.
Исключение составляет коэффициент Му*, полученный с погрешностью
до 40%, более точное определение которого ввиду его малости
предложенным способом при заданных в примере погрешностях
невозможно. Из сказанного следует, что результаты уже первого
приближения получены с удовлетворительной для целей практики
точностью. Это объясняется тем, что искомый коэффициент
определяется путем осреднения результатов обработки серии режимов.
Рассмотрим теперь случай, когда число режимов недостаточно
для повышения точности полученного результата путем
осреднения по режимам. Допустим, например, что АФХЧ получены только
Таблица 3.2
Сравнение результатов определения решения системы (3.18) по формулам
МНК и (3.21) для рассматриваемого примера
№
реализации
г
1
2
3
Полученные оценки
Ж
у
-6,И
—4,8
—2,65
-3,1
—3,68
—3,67
уу
—0,358
—0,4
—0,715
-0,52
—0,541
—0,645
у
—0,418
—0,25
—0,0028
-0,0091
—0,14
—0,211
Метод
МНК
норм МНК (3.21)
МНК
норм МНК (3.21)
МНК
норм МНК (3.21)
Истинные значения
—3,75 —0,457 —0,0885
1П9

для одного режима. Для уточнения полученных результатов
можно сделать второе приближение. При этом по коэффициентам
первого приближения, в качестве которых используются значения,
полученные описанным выше способом и рассчитанные в
соответствии с погрешностями определения АФЧХ, находим значения
дисперсии невязки £>[е(а)/)]. Найдя весовую матрицу (3.22), ищем
второе приближение вектора в соответствии с (3.21). Для примера
в табл. 3.2 приведены значения коэффициентов, полученные для
одного из режимов и определенные по формуле (3.21) с учетом
весовой матрицы. Видно, что применение «нормированного» метода
наименьших квадратов МНК позволяет приблизить результаты
каждого отдельного режима к истинным значениям, но отклонения
от истинных значений при этом больше отклонений от истинных
значений оценок математических ожиданий коэффициентов,
полученных для большого числа режимов по «ненормированному» МНК
(см. табл. 3.1).
3.2.2. Использование частотных и балансировочных
характеристик
Рассмотрим метод определения коэффициентов уравнений
движения самолета, основанный на использовании частотных и
балансировочных характеристик. Идея этого метода также заключается
в анализе каждого отдельного уравнения движения. Этот анализ
проводится с учетом векторных диаграмм сил и моментов,
величины и характера взаимодействия сил и моментов, действующих на
самолет при синусоидальных колебаниях органов управления. Эта
сторона методики особенно важна для случая, когда в уравнениях
движения много коэффициентов, соответствующих малым
приращениям сил и моментов. Для примера рассмотрим линеаризованные
уравнения продольного движения вертолета [3]. При колебаниях
автомата перекоса по закону A6B = sino)/ параметры вынужденного
движения будут меняться следующим образом:
Aft = Aq sin (W -j- cp0); o)z = Л^о) sin (ы -(- cp# -|—— j ;
= Л&СО2 sin (со/ -f cpa -f я); bVVl = AVyx sin (со/ -f- yVy)
c); А2 = Л2 sin (co/-j-cp2).
Ркпользуем уравнения продольного движения вертолета,
представленные в следующем виде
103

+ Ml
d%
dt
(3.24)
gbtly =
\
Подставив выражения для параметров вынужденного движения в
уравнения равновесия продольных моментов данной системы,
получим
sin
s'm
cos
sin
sin orf =
(3.25)
Каждый член этого уравнения можно рассматривать как проекцию
на ось абсцисс некоторого_вращающегося вектора. Например,
рассмотрим член уравнения МрА^ cos (0)^ + ?»), который
представляет собой текущее значение демпфирующего момента. Этот
член уравнения можно представить в виде вращающегося векторау
величина которого равна МрА^ы, повернутого при ^=0 на угол
(+/2)
(ф*/)
На рис. 3.3 приведено векторное представление функции sin со/ к
ее производных.
Так как сумма всех членов уравнения равна нулю,
следовательно, и сумма проекций вращающихся векторов, представляющих их>
равна также нулю в любой момент времени. Это означает, что из
этих вращающихся векторов можно составить замкнутый вращаю-
Рис. 3.3. Векторное представление функции sin Ы и ее производных
104

v=O,+ Vc
Масштаб
1-1/с
Рис. 3.4. Векторные многоугольники для уравнения равновесия моментов
тангажа
щийся векторный многоугольник. Каждая сторона этого
многоугольника представляет собой амплитуду одного из моментов,
действующих на вертолет. Например, член М\* sin urf можно рассматривать
как проекцию вектора с амплитудой Ж^в, вращающегося с
угловой скоростью со. В этом случае вместо уравнения (3.25) можно
исследовать замкнутый векторный многоугольник со сторонами,
равными
Л&со2; Mvz*Av ; M%y*Avy\ МрА^\ М*Л&; MqzAq и Mbz*.
В качестве примера на рис. 3.4 представлены векторные
многоугольники продольных моментов при разных частотах,
построенные для вертолета Ми-4. Частотные характеристики были
определены по уравнениям продольного движения вертолета Ми-4,
полученным расчетным путем. На рис. 3.5—3.7 приведены векторные
диаграммы для остальных уравнений системы (3.24).
Векторный многоугольник для каждого уравнения можно
спроектировать на две произвольные оси, в результате чего получается
система двух независимых алгебраических уравнений, в которых
неизвестными являются коэффициенты рассматриваемого
уравнения.
Для уравнения равновесия продольных моментов вертолета с
целью упрощения расчетов эти две оси удобнее всего выбрать
таким образом, чтобы одна из них была параллельна стороне МрА&юу
а другая — перпендикулярна первой. Это позволит в первом
алгебраическом уравнении исключить неизвестное Мр. В итоге будем
иметь систему двух алгебраических уравнений с пятью
неизвестными: МХХ> М^у\ Мр, УИг и Ml*.
105

Gu=O,fJ Г/с
Масса/лад
tOOff/c
GJ=O,J f/c
Рис. З.5. Векторные многоугольники для уравнения равновесия сил на ось OY
Масштаб
ЮС 1/сг
00=0,51/С
\
Arroo
M$° j
My"'A si
Av
Co=7 j/c
Mu'A о
_— ^
Масштаб
Ю 7/с z
m-A
Mfe
TsYu a
Рис. З.6. Векторные многоугольники для уравнения равновесия моментов
действующих относительно оси вращения несущего винта
106

Масштаб
WOm/cz
Av-gj
Масштаб
Юм/с2
Рис. 3.7. Векторные многоугольники для уравнения равновесия сил на ось ОХ
На рис. 3.4 видно, что при частотах со>1,5 1/с векторные
многоугольники моментов превращаются в треугольники со сторонами
А^2, Л&охЛО и Mbz*. Спроектировав этот треугольник на ось,
параллельную стороне А#со2, найдем коэффициент Мьгп. Он будет
являться пределом, к которому стремится правая часть выражения
с возрастанием частоты.
Таким образом, предложенная методика позволяет найти
коэффициент MzB и два алгебраических уравнения, связывающие
четыре неизвестных Mvzx, М^у, М** и УИ^-Эти уравнения должны
составляться для тех частот, у которых все приращения продольного
момента, вызванные колебаниями параметров движения, одного
порядка. Как видно из рис. 3.4—3.7, такая зона частот существует,
причем она одна и та же для всех уравнений системы (3.24). Эта
зона частот левее частоты соь где coj —частота, при которой A$~Di.
При колебаниях автомата перекоса с частотой cdi положение
несущего винта относительно набегающего потока практически не
меняется, а фюзеляж вертолета колеблется с амплитудой Л#.
Из рис. 3.4 видно, что для вертолета Ми-4 coi^l,5 1/с. Для
составления двух недостающих алгебраических уравнений
воспользуемся балансировочными характеристиками по скорости полета
и оборотам несущего винта. Подставим в уравнение равновесия
продольных моментов значения параметров движения, соответст-
107

вующие режиму балансировки вертолета на различных скоростях
при постоянном угле общего шага:
Q6 <yx) + Ж>Д8вб (Vx)=0. (3.26)
Здесь ЬУУ^(УХ)\ Д2б(У^); &Ъя6(Ух) —балансировочные
характеристики по скорости при постоянном угле общего шага.
Продифференцируем все члены этого уравнения по Vx-
\ Ж^ + Ж>5 + Ж^5+жМз=0, (3.27)
где
с dAQ6(Vx) я е dAbn6 (Ух)
О?
dVx ' ' dVx dVx
Точно также получим еще одно алгебраическое уравнение,
воспользовавшись балансировочными характеристиками по оборотам
где
4~
(3.28)
'ь—Щ'
Соотношения (3.27) и (3.28) являются недостающими двумя
алгебраическими уравнениями. Решая совместно систему полученных
четырех алгебраических уравнений, для каждой частоты найдем
искомые коэффициенты в функции частотных и балансировочных
характеристик.
Для определения коэффициента Ж2ф используем полученные
коэффициенты и балансировочные характеристики по углу общего
шага АУУ1б(ф) и Дйб(ф) и Д6Вб(ф):
M=-Mv2y>S6-WzS7-Ml*S8, (3.29)
где
При определении коэффициентов уравнения равновесия проекций
сил на ось OY примем Y^z—yb — O. Векторный многоугольник
сил проектируется на ось, параллельную стороне gAny, в
результате чего получается алгебраическое уравнение с неизвестными
Yvx, Yvy, К6в и Vs. Недостающие три алгебраические уравнения
получаем следующим образом. Два из них находим, воспользовавшись
балансировочными характеристиками по скорости полета и
оборотам несущего винта:
108

S3 = 0; (3.30)
0. (3.31)
В качестве четвертого алгебраического уравнения для
одновинтового вертолета без крыла можно использовать очевидное
соотношение
Рв=_ДГа ИЛИ y*B=piVQyVyl9 (3.32)
где D\ — передаточное отношение между углом отклонения
автомата перекоса и углом установки лопасти.
Для вертолета с крылом или для вертолета продольной схемы
это соотношение уже нельзя применять. Поэтому воспользуемся
тем, что при увеличении частоты более щ векторный
многоугольник сил, как это видно из рис, 3.5, вырождается в прямую линию,
т. е. две стороны (с амплитудой К8* и Anyg) становятся на
порядок больше остальных. Найдем коэффициент У8* как ординату
асимптоты, к которой стремится зависимость gAny(co) с ростом
частоты.
Таким образом, решив систему трех алгебраических уравнений
(3.30), (3.31) и соотношения, полученного из векторного
многоугольника сил, с использованием уравнения (3.32) или значения
Y\ полученного по частотной характеристике Апу при высоких
частотах, найдем искомые коэффициенты. Коэффициент Уф будем
искать с помощью полученных коэффициентов и балансировочных
характеристик по углу общего шага
F*= -yVy*S6 - FQS7 - y*»S8. (3.33)
При определении коэффициентов уравнения равновесия моментов
относительно оси вращения несущего винта будем считать Му = 0и
МР=0. Спроектируем векторный многоугольник моментов на оси,
одна из которых параллельна стороне М% Ле, а другая — стороне
Лдо)2. Это позволит получить два алгебраических уравнения с
неизвестными MVyx, мХУг, М*, My*. Еще одно алгебраическое
уравнение можно составить, воспользовавшись балансировочными
кривыми по скорости полета
Mx + My^S1+MyS2 + M^=0. (3.34)
Балансировочными характеристиками по оборотам в данном
случае пользоваться нельзя, так как для изменения оборотов
меняется мощность двигателя. Как и в предыдущем случае,
воспользуемся соотношением, связывающим производные по Vy1 и 5В:
~MI* = D1VqMWvx. (3.35)
Это соотношение справедливо только для одновинтовых вертолетов.
Для вертолетов других схем, как и в предыдущем случае,
воспользуемся тем, что при синусоидальных колебаниях автомата перекоса
109

с частотой (o>coi приращение_крутящего момента вследствие
отклонения автомата перекоса Ж#вД&в становится на порядок больше
приращений вследствие колебаний других параметров. Об этом
можно судить по векторным диаграммам на рис. 3.6. В результате
коэффициент Шув можно искать как предел, к которому
стремится величина Лдсо с ростом частоты.
Решив систему полученных выше четырех алгебраических
уравнений, найдем искомые коэффициенты Мууу, M%l9 Ml, М$*.
Коэффициент Ml получим, воспользовавшись балансировочными
характеристиками по углу общего шага и найденными
коэффициентами:
Ml=-Mvyy*S6-M*yS7--Mby»S8. (3.36)
Все коэффициенты уравнения равновесия проекций сил на ось
ОХ нельзя получить по материалам летных испытаний с
достаточной точностью. Это объясняется тем, что, как следует из анализа
рис. 3.7, на котором представлены векторные диаграммы проекций
сил на ось ОХ, при синусоидальных колебаниях автомата
перекоса три вектора на порядок больше остальных. Это — векторы с
амплитудами Х*А$У Хь* и Ау со. Следовательно, с помощью
частотных характеристик можно определять лишь коэффициенты
Х%, Х*в- Остальные векторы при всех частотах по
крайней мере на порядок меньше этих трех. Однако необходимости в
этом нет, так как Х*=— g, а коэффициент Хь* с достаточной
точностью можно найти по формуле
T»=Dlg. (3.37)
Вследствие того, что коэффициенты X*z, X2, XVy* и X* ввиду
их малости определить по материалам летных испытаний с
достаточной точностью нельзя, при составлении уравнения равновесия
сил на ось ОХ следует или использовать их расчетные значения,
или считать их равными нулю. Расхождения между расчетными и
фактическими значениями этих коэффициентов практически не
скажутся на точности определения приращения суммы всех
проекций сил на ось ОХ.
Коэффициент Xу* можно найти с помощью балансировочных
характеристик по скорости полета и расчетных значений
остальных коэффициентов:
где
Вследствие того, что последние два члена в этом уравнении на
порядок больше первых, погрешности расчета коэффициентов ХУу%
110

И XQ практически не повлияют на точность определения
производной ХУ*.
Таким образом, используя частотные характеристики и
балансировочные кривые по скорости, оборотам и углу общего шагаг
можно получить все коэффициенты уравнений продольного
движения вертолета за исключением коэффициентов X у\ X2, X**
и Хф, которые в силу своей малости не оказывают существенного-
влияния на динамику продольного движения.
Эта методика позволяет получить значения коэффициентов
уравнений движения при каждом заданном значении частоты со.
"Следовательно, в итоге можно получить значения данных
коэффициентов в функции частоты. Это позволяет, во-первых, повысить
точность определения оценок коэффициентов, осредняя их по
частоте, и, во-вторых, судить о линейности выбранной математической
модели по отсутствию изменения значений искомых коэффициентов
по частоте. Линейность балансировочных характеристик в
исследуемом диапазоне изменений параметров движения служит при
применении данного метода дополнительным критерием,
свидетельствующим о линейности используемой математической модели.
3.2.3. Особые случаи определения коэффициентов уравнений
На практике всегда приходится модифицировать применяемые
алгоритмы идентификации с учетом особенностей реального
эксперимента. Эти особенности отражены на схеме, приведенной на рис.
3.8. Как видно из схемы, алгоритмы идентификации можно разбить
на две части: определение исходных данных (частотных
характеристик) и определение параметров математической модели по
частотным характеристикам.
Несколько входных сигналов. Рассмотрим случай определения:
коэффициентов уравнений линейной системы дифференциальных
уравнений, описывающих движение ЛА, когда в полете получен
экспериментальный материал с реакцией летательного аппарата на
несколько одновременно действующих входных возмущений.
Для определения коэффициентов уравнений рассмотрим
преобразование Фурье от левой и правой частей &-го уравнения системы
(2.1):
Ыхк (/со)=aklxt (Ь) +... + akrxr (/со) -f bklfx (/со)-f... + bMfd (/со). (3.38^
Разделим левую и правую части на преобразование одного из
входных сигналов, например на /т(/со). Тогда получим
1ф*ь К°>) i?*, (o>) /<р* (со)
«1 f
(«>)е т , (3.39)
ш

Измеряемый
дходной
сигнал
I
I 1_^
х=Ах+8и+1.<о
CUdh\Z 7
дептор
измеэении
АФ4Х
и
J
Диапазон частот
Рис. 3.8. Схема влияния различных факторов на алгоритмы идентификации:
1 — исследуемый объект; 2 — система измерений; 3 — нерегистрируемое возмущение; 4 —
алгоритмы определения Л, В; 5 — алгоритмы определения АФЧХ; ^ —факторы,
влияющие на алгоритмы определения коэффициентов системы уравнений, описывающих
поведение исследуемого объекта; >— факторы, влияющие на алгоритмы определения амп»
литудно-фазовых частотных характеристик объекта
где
fmV»)
и т. д.
Эти соотношения преобразований Фурье Аи и щ отличаются от
т т
АФЧХ Ak и чи на дополнительное изменение параметра движения
т т
от дополнительного входа и будут свои для каждого конкретного
режима.
Умножив левую и правую части уравнения (3.39) на еш и
выделив мнимые части, после разложения экспоненциальной функции по
формуле Эйлера получим
sin
-\-akrA*L(u>) sin Lt-\-y*r_ {v)\
/тг \ m )
-f ftftm sin (o/ -f &
pl_ (со) J -
m m '
+i («>) sin /W-f cp^+i (o>)\
m \ m j
in /W + cp^_£ (o))N
\ m J
-f-
(3.40)
Для каждой частоты со — ©/, задавшись каким-либо значением f/,
получим алгебраические уравнения типа (3.13), где вектор неизвест-
112

ных коэффициентов у будет иметь размерность (r + d) и включать
в себя все коэффициенты £-го уравнения системы (2.1). Задавая s
значений соу таким, чтобы s^>{r + d)> получим систему типа (3.14).
решая ее, найдем у. Таким образом, при анализе уравнения (ЗЛО)
каждый дополнительный вход приводит к появлению еще одной
неизвестной. При наличии d входных сигналов размерность вектора у
равна (r-rd).
Проиллюстрируем данный прием на примере решения задачи
определения коэффициентов уравнений бокового движения самолета
при наличии двух входных сигналов'Д6н(*) и Абэ(^) при условии,
что АФЧХ получены с погрешностями. Рассмотрим систему
определения коэффициентов уравнений в этой системе на примере
определения коэффициентов уравнения равновесия моментов
рыскания (3.16). При наличии двух входных сигналов Д6Н(£) и
Д6г.(0 система (3.15) будет иметь соответствующие решения Др(/)»
о).\-(0» <%(/)> К0Т0РЬ1е удовлетворяют уравнению (3.16). Рассмотрим
преобразование Фурье левой и правой частей этого уравнения:
/(О) -{- Му*(йх (ДО) -f- МуУ0)у (ДО) -J-
Д8э (/ш). (3.41)
Разделим левую и правую части этого уравнения на Дбн(ко),
умножим их на еш и рассмотрим только мнимые части всех
слагаемых. В итоге получим уравнение, аналогичное уравнению (3.40)
(со) sin^^ + <p^/8H+-|-| = Л?Мр/внН sin
Sin ^ + T«,Jf/5HJ+/W?^<D /8н(со) Sin I
Al /8 (со) sin (<»)/ +cpj /в )-\-"My* sin arf, (3.42)
где
Как уже было указано, эти характеристики будут различны для
разных режимов, отличающихся входными сигналами. Дальнейший
ход определения неизвестных коэффициентов уравнения (3.16)
ничем не отличается от процедуры, описанной для одного входа.
Составляется система уравнений, аналогичная (3.18):
Vy = z9 (3.43)
5—1188 113

где
мЦ-
*r=[zl...zm...zn]; я
V =
«
12
«
14
sin
«m5=
Sin
Вектор неизвестных параметров у определяется по методике,
описанной выше. Как и для случая одного входного сигнала,
проведем численное моделирование, используя уравнения движения
гипотетического самолета. Случай двух входов на практике может
иметь место при определении коэффициентов уравнений самолета,
оборудованного всережимной системой улучшения характеристик
устойчивости и управляемости или автоматом перекрестной связи.
Выберем в качестве примера вариант перекрестной связи.
Зададимся с целью упрощения выкладок уравнением
Д&Н=М8Э = — ЛВЭ. (3.44)
На рис. 3.9 представлены рассчитанные для принятой в разд.
3.2.1 модели бокового движения самолета характеристики Ах^т(ы)=
= ^ш /6 s и ^///m^^^Wa Используя их, получим в соответ-
X Н Э J
ствии с методикой, изложенной выше, ряд вариантов зависимостей
с наложенными на них погрешностями. В табл. 3.3 приведены
оценки математических ожиданий и дисперсий коэффициентов
уравнения (3.16), полученные для рассмотренного ансамбля частотных
характеристик.
Сравнение полученных оценок коэффициентов с исходными
значениями в разд. 3.2.1 подтверждает, что они получены с приемлемой
для целей практики точностью (расхождения в коэффициентах от
Здо9%).
114

\
\
Ь), 1/c 0 2 4 6 8 и, 1/с
Рис. З.9. Частотные характеристики бокового движения самолета, используемые
при статистическом моделировании
Таблица 3.3
Результаты определения коэффициентов в случае двух входных сигналов
Математические
[ у\ с>
—3,5
ожидания и дисперсии оценок коэффициентов
0,275
—0,413
0,003
м\мтА —
V у \ с
-0,081
[ у J «•
0,0001
При этом рассматривались следующие истинные значения
коэффициентов:
=-3,75—; Ж^=-0,457 —; Л7У
С2 С
-0,0885 —.
Наличие в уравнениях движения нелинейностей известного вида.
Если правая часть системы уравнений движения имеет
нелинейности, то систему уравнений (2.1) в общем случае можно записать
таким образом:
х=у(х, /). (3.45)
Предположим, что вектор-функция ф(х, /) состоит из линейной и
нелинейной частей и что, например, k-й элемент этой
вектор-функции имеет вид
(3-46)
Тогда k-e уравнение системы (3.45) можно представить как
£2 л> /х (3-47)
115

Допустим, что вид нелинейности известен и нелинейный член
уравнения (3.47) может быть представлен как
с матрицей коэффициентов при нелинейностях
где xc+i — известные нелинейные функции от элементов векторов
А' И /.
Введя дополнительный вектор параметров, представим
уравнение (3.47) в виде
xk=Akx + Bkf+7ikx, (3.48)
где Ak — матрица-строка коэффициентов при линейных членах,
включающих параметры движения; Bk— матрица-строка
коэффициентов при линейных членах, включающих параметры
управления; х и / — матрицы-столбцы параметров движения и управления;
Ak — матрица-строка коэффициентов при нелинейных членах; х —
матрица-столбец с элементами хс+\ ••• xc+i.
Уравнение (3.48) с помощью блочных матриц можно
представить как
[] • (3.49)
Это уравнение — линейное относительно элементов матриц х и
х и подобно уравнению (3.10). Из эксперимента определяются
x(i) и /(£), а по ним вычисляется x(t), так как принято, что вид
нелинейности известен^Дальнейший ход решения по определению
элементов матриц А]и Ak и Bk аналогичен принятому при
рассмотрении уравнений с двумя входами, т. е. по функциям x(t), x(t) и /(/)
определяются амплитудно-фазовые частотные характеристики,
составляются для ряда значений частот уравнения типа (3.42),
которые представляют систему алгебраических уравнений вида
(3.43). В этом уравнении
Решение этого уравнения позволит найти вектор неизвестных
параметров У, полностью определяющий правую часть уравнений
системы (3.45). Каждая нелинейность приводит к увеличению
размерности вектора неизвестных параметров у на /.
Наличие неизвестных нелинейностей в уравнениях движения.
Рассмотрим, как можно расширить область применения частотных
методов идентификации, распространив их на случай исследования
нелинейной математической модели с нелинейностями
неизвестного вида. В качестве примера для оценки возможности решения
такой задачи возьмем систему линейных уравнений, описывающих

продольное короткопериодическое движение самолета:
Да = — У аДа + "2 — ^
<р, (3.50)
и заменим первый член правой части первого и второго уравнений
нелинейными зависимостями ДУ(Да) и ДМг(а), наиболее часто
встречающимися на практике. В этом случае система (3.50)
примет вид
у. (3.51)
В первом и втором уравнениях вместо первых членов нельзя
ввести новые переменные, так как функции ДУ(Да) и ДМ2(Да) по
условию задачи неизвестны. Рассмотрим в качестве примера
второе уравнение этой системы. __
Дополнительную информацию о функции ДМ2(Да) можно
получить, зная балансировочную кривую по углу атаки Дфб(Да).
Условие балансировки самолета по углу атаки на заданной скорости
V'c записывается так:
о)2 = а = 0. (3.52)
Из первого уравнения системы (3.51) с учетом этих условий найдем
Подставив эти условия во второе уравнение системы (3.51),
получим
Шг (Да)= -MpLY (Да)- (Щ + МрУ") Д% (Да). (3.53)
Методы определения балансировочных кривых по углу атаки
Лсре(а) в настоящее время хорошо отработаны [23] и внедрены при
автоматизированной обработке результатов летных испытаний.
Если подставить выражение (3.53) для ДМ2(Да) во второе
уравнение системы (3.51), то, используя первое уравнение этой системы
вместо в_торого уравнения системы (3.51) с неизвестной
нелинейностью АЛ/г(Да), будем иметь
7*) Дер- (М9г + М°Щ Дсрб(Да).
(3.54)
Дальнейший ход определения коэффициентов этого уравнения
аналогичен описанной в предыдущем разделе методике
определения коэффициентов уравнения для случая, когда вид нелинейности
известен.
Рассмотрим его для определения коэффициентов уравнения
(3.54). Для /г-го режима полета будем иметь запись изменения по
времени всех параметров движения и управления о)2П(0> Дап(0»
117

что позволяет получить уравнение
Афт? (О- Это позволяет для данного п-то режима ввести новую
переменную
О), (3.55)
я(')- (3.56)
Допустим, как это принято делать при анализе короткоперио-
дического движения самолета, что на рассматриваемом режиме
скорость полета не успела заметно измениться. Тогда
коэффициенты уравнения (3.56) можно считать постоянными и рассматривать
его как линейное. Для данного режима по записям параметров
движения и управления находим, приняв Д<рп(О в качестве входа,
характеристики
(3.57)
Как и в предыдущем разделе, используя эти характеристики,
получим алгебраическое уравнение
sin
sin
sin
(3.58)
Зададимся ^ = 0 и рассмотрим уравнение (3.58) для ряда
значений частоты ©1, (о2, •••, сот. Это позволит получить систему m
алгебраических уравнений
Вх=с, (3.59)
где
В:
#12~
#22
Luml
sin
sin
118

Решая систему (3.59) каким-либо способом, определяем
объемом априорных сведений о погрешностях вычисления
характеристик (3.57), находим неизвестные коэффициенты
Используя значение последнего коэффициента и полученную
ранее балансировочную кривую Дфб(Да), с помощью соотношения
(3.53) находим нелинейную функцию [AMz(ka)-\-MzzkY(Да)].
Полученные три коэффициента являются коэффициентами следующего
дифференциального уравнения, которое получается при
подстановке во второе уравнение системы (3.51) со* из первого:
ш, = [д}Й,(Да) + дадГ(ДаЯ^
(3.60)
Следовательно, предлагаемым способом в полете могут быть
получены коэффициенты данного уравнения, соответствующего системе
(3.51) с неизвестной нелинейностью.
Совершенно ясно, что, так как предлагаемый метод основан на
замене неизвестной нелинейности в уравнении известной
балансировочной кривой, этот метод может быть использован только в том
случае, когда в каждом уравнении движения фигурирует только
одна нелинейность. Аналогично могут быть получены и
коэффициенты первого уравнения, но так как в настоящее время хорошо
разработаны методы определения зависимости су(а) во временной
области, то для ее определения следует пользоваться ими.
Рассмотрим случай, когда при выполнении испытательного
режима имело место существенное изменение скорости полета. В этом
случае коэффициенты уравнения (3.56) уже нельзя считать
постоянными, так как
Щ - Мр7*=(mzSbAp -r^—+mPd 4
(3.61)
Подставив соотношения (3.61) в уравнение (3.56), получим
*гп=аУ (/) Да„ (t)+a2V (t)2 Дср„ (/) - a2V {tf Д%„ (*). (3.62)
Введем новые переменные
119

В этом случае уравнение (3.62) становится линейным:
(3.63)
По известным функциям времени о)2п(О» Да(0 и Дфп(О и Дфбп(0
находим частотные характеристики
л J*".«.-. <*z*("°) .
0)
Используя их и уравнение (3.63), получаем алгебраическое
уравнение типа (3.58), с помощью которого находим при / = 0 систему
алгебраических уравнений вида (3.59):
sin ?^
(3.64)
Решая эту систему, находим неизвестные коэффициенты а\ и а2)
а далее с помощью соотношений (3.53) и (3.61) — неизвестные
коэффициенты уравнения (3.60) для V=V0.
Рассмотрим теперь результаты моделирования на ЭВМ по
апробации предлагаемой методики. Возьмем математическую модель
продольного движения гипотетического самолета при допущении,
что рассматриваются маневры с малыми изменениями скорости
полета __ __
Ди = ГДа + со + ГДср;
(о.оо)
со
следующими значениями коэффициентов:
*= -0,296 1/с;
Уа= -0,34^; Т9= -0,05^;
?" = -0,259^; М1=- 11,45^
^ ^/ ^ о,? №
-h-l
• -Ц
-0,2
-0,3
-он
N
N
\
АМ2(й
'ос),pad
Рис.
120
3.10. Нелинейные зависимости
Нелинейная зависимость
AM2(Aa) представлена на
рис. 3.10.
В качестве примера
рассмотрим два режима
движения самолета при
ступенчатом отклонении
стабилизатора. В первом режиме
величину возмущения выберем
таким образом, чтобы
изменение угла атаки
соответствовало линейному участку
зависимости AMz(Aa)y т. е.,
чтобы можно было считать

U,2
(1,1
V
-о,:
дД
ид
О
О
ш
вм
ш
л.
! I1/V
I
■*—а—
-D <f
Л
W
1
—п—
0,6
0,4
0,2
о
-02
0,5
ОМ
0,3
0,1
0,1
о
Г
\ А „
)
L ■
1
А
\
1
1
1
S 12 16 20 Ь,с
12 15
-ОД
-0,16
1
1 1
Рис. 3.11. Пример переходного про- Рис. 3.12. Пример переходного
процесса для линейной системы цесса для нелинейной системы
(Да=О)
Да
(3.66)
Решение системы (3.65) для этого случая представлено на
рис. 3.11.
Во втором режиме зададим такое отклонение стабилизатора
Аф(0» чтобы изменение угла атаки при этом не позволяло бы
считать функцию АМ2(Да) линейной. Переходный процесс, полученный
при решении системы (3.65) для этого случая, приведен на
рис. 3.12. Для первого режима движение самолета описывается
линейной системой уравнений (3.50), поэтому характеристики,
представляющие собой отношение преобразований Лапласа выходных
сигналов и входного сигнала, являются частотными
характеристиками самолета. Эти характеристики, которые получены при обра-
ботке приведенного на рис. 3.11 переходного процесса по
описанным алгоритмам, представлены на рис. 3.13 и 3.14.
Для второго режима (рис. 3.12), описываемого системой
нелинейных уравнений (3.65), характеристики, полученные аналогичным
6—1188 121

«се/у
J
/
/
\
\
\
\
Рис. 3.13. Результаты обработки
переходного процесса, представленного на
рис. 3.11
ы, 1/с
a,f/c
способом (рис. 3.15, 3.16), существенно отличаются от частотных
характеристик самолета как линейной системы (см. рис. 3.13, 3.14).
Для первого режима полета можно получить следующие
уравнения:
sin
±-\ =
sin
sin
sin
у] = Л7Ма sin
sin
sin
sin
(3.68)
которые при / = 0 и при ряде значений частоты со; (i=l ...m)
позволят составить систему линейных алгебраических уравнений
Вх=с, (3.69)
№
У
f
/
\
\
200
100
ш,?/с О
у
■
\
V
/А
Рис. 3.14. Результаты обработки переходного процесса, представленного на
рис. 3.11
122

рис. 3.15. Результаты обработки пере-
ходного процесса, представленного на
рис. 3.12
100
—^
1
\
\
\
ч
/ 2 3 4
к
\
i Ш, //С
где
Ajwjsln
sin
-|-J
Используя значения частотных характеристик, представленных
на рис. 3.13 и 3.14, решая систему уравнений (3.69) по методу
наименьших квадратов, можно найти вектор неизвестных коэффи-
10
/
Л
\
ч
100
-100
-200
S*—
—«^^^
1 i
\
\Ь),1/С
\
в 1 2 3 h ш,1/с
Рис. 3.16. Результаты обработки переходного процесса, представленного на
рис. 3.12
б* 123

ь
1
"V
о -режим 1
jy- режим 2
"^
к
ч-
5 z,f/c
No
О2 U 6 8 Iff It ft 16
-0,08
-0,11
-0,16
-0,20
-0,24
-плв
\\
I
1 (1
л
ш
11/
i
л
/■\у
i
Рис. 3.17. Графическая
расчетной схемы (3.70)
интерпретация Рис. 3.18. Зависимость от времени:
балансировочного отклонения
стабилизатора
диентов х. Для наглядности i-e уравнение системы (3.69)
представим в виде
где
(3.70)
Уравнение (3.70)—это уравнение прямой линии в координатах уг9
неизвестные коэффициенты хг = Щ — MpY* и х2=1™
параметры этой прямой динии, которые можно найти методами
регрессионного анализа.
На рис. 3.17 в координатах yz нанесены точки, соответствующие
точкам частотных характеристик, приведенным на рис. 3.13 и 3.14.
Видно, что значения параметров х\ и Х2 соответствуют принятым
при расчете значениям коэффициентов. Совершенно ясно, что при
подстановке в уравнение системы (3.69) характеристик,
соответствующих нелинейной системе на рис. 3.15 и 3.16, искомые
коэффициенты не могут быть найдены. В качестве примера на рис. 3.17
нанесены точки, полученные при подстановке в уравнение (3.70)
значений характеристик с рис. 3.15 и 3.16. Для определения в этом
случае частотными методами коэффициентов уравнений системы
(3.65) воспользуемся методикой, изложенной выше. Исходными
данными являются записи переходного процесса (см. рис. 3.12) к
124

/
Г\
ч
\
N
ft
-wo
-200
-300
-m
"73b ш,1/с
Рис. 3.19. Частотные характеристики по фб
балансировочная кривая Дфб(Да). Эта балансировочная кривая
для рассматриваемого примера представлена на рис. 3.10. Процесс
идентификации заключается в следующем.
1. По балансировочной кривой и имеющейся записи изменения
угла атаки по времени определяется зависимость по времени
балансировочного отклонения стабилизатора для данного режима
(3.55). Эта зависимость приведена на рис. 3.18.
2. Определяются характеристики (3.57). Характеристики
Ла/ср, сра/ср; Л„ /ср, <Ра> /<р представлены на рис. 3.15, 3.16,
характеристики Ау /<р и ср? /<р —на рис. 3.19.
3. Составляется система алгебраических уравнений (3.58),
коэффициенты которых определяются характеристиками,
представленными на рис. 3.15, 3.16 и 3.19, а в качестве неизвестных
фигурируют xl=~Mp-{-Maz и х2—М1 — МрУ?. Решение этой системы по
методу наименьших квадратов позволяет найти эти неизвестные
коэффициенты. На рис. 3.20 представлена графическая интерпретация
решения этой системы, полученная при построении зависимости ти-
-10
-5
-10
-15 —
Рис. 3 20. Графическая интерпретация расчетной схемы (3.70) для уравнений
(3.58)
125

па (3.70) для уравнений системы (3.59). Здесь у(0)=х2, -^ = хь
Как можно видеть, полученные значения коэффициентов х\ и х2
согласуются с принятыми при расчете значениями.
4. Далее, используя балансировочную кривую Дфб(Ла) и полу-
ченные значения коэффициентов х\ и х2, на основании соотношения
(3.53) находим нелинейную функцию
Таким образом, апробация на расчетных исходных данных
предложенной методики подтвердила возможность определения
коэффициентов нелинейной системы с неизвестной нелинейностью
частотными методами. Когда в качестве исходных данных будут
рассматриваться полетные записи с неизбежными погрешностями
измерений, для повышения точности решения систем (3.58) или (3.64)
должны использоваться все разработанные ранее методы снижения
влияния этих погрешностей, анализ возможностей которых
представляет самостоятельную задачу.
3.2.4. Получение коэффициентов дифференциального
уравнения второго порядка по амплитудной частотной
характеристике по методу «фиктивных частот»
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго
порядка
-{-u>Qx = ku, (3.71)
применяемое при анализе короткопериодического продольного
движения или изолированного бокового движения рыскания.
Допустим, что условия проведения летного эксперимента позволили
получить в ограниченном диапазоне частот только
амплитудно-частотную характеристику Ах/и(ы). Для этого случая рассмотрим так
называемый мегод «фиктивных частот», опыт применения которого
при определении математической модели упругих колебаний
фюзеляжа вертолета продемонстрировал его достаточно хорошую
эффективность. Амплитудно-частотная характеристика,
соответствующая уравнению (3.71), определяется выражением
Лх/и («>)= , 9 * =. (3.72)
Г (cog _ 0,2)2 |422
Для определения коэффициентов /i2, k2, co20 формулу (3.72)
приведем к виду
2
Кроме того, используем функцию y* = f{x) с параметрами со и g>0*:
у* = ±Л L ; Х = ! . (3.74)
4о>2 4 Л2 (со) 0)2
126

Исключив параметр со из формул (3.74), определим зависимость
y*=f(x, щ). '(3.75)
Сравнивая между собой формулы (3.73) и (3.74), видим, что при
*2 2
условии ^о =^о зависимость (3.75) становится линейной, т. е.
(3.76)
Величина х рассчитывается по формуле (3.74) с ошибкой,
связанной с погрешностью определения амплитудно-частотной
характеристики Л ((о). Таким образом, величины со02, Ь2 и U2 можно
определить с помощью метода наименьших квадратов из условия
N
R=min
т1пУ\у*(х19 щ)-(-h2+k2xt)]2 . (3.77)
Аналитическое решение указанной задачи приводит к
необходимости решения нелинейной системы уравнений:
dS n OS /-v dS ~
^о)л ^/г2 ^2
Поэтому для определения параметров со02, h2, k2 зададим
последовательность значений со0*
^оу £Е [соо1 ?•••» ^oivj (3.78)
так, чтобы ожидаемое значение величины со о принадлежало
интервалу
w0E= [woi, соодг] . (3.79)
Выберем также последовательность значений параметра со* (£=1, ...
..., л), для которых известно значение экспериментально
определенной частотной характеристики Л(сог). Затем для каждого из
выбранных значений («оу с помощью формул (3.74) рассчитаем
последовательность значений у*(т) и х(о)г), i=l, ..., л. В результате
получим семейство функций y* = f(x, соо*) с параметром соо*. В
качестве примера на рис. 3.21 приведена расчетная АФЧХ, а на рис. 3.22
соответствующее ей семейство кривых y* = f{x) для различных
значений G)Jb*.
Для примера использовалась расчетная частотная
характеристика, соответствующая одному из тонов упругих колебаний
фюзеляжа вертолета. Из рис. 3.21 видно, что при о>о* = «о = 31 зависимость
у*(х) линейная, как это и следует из уравнения (3.76).
Каждую из функций у* = /(х, юоу) аппроксимируем линейной
зависимостью вида (3.76), применяя метод наименьших квадратов.
Значения Л*2 и к**2, соответствующие заданному значению ^оу>
определяются из условия
£[</*(*/> юоу)-( —А2 + *2**)]2. (3.80)
127

А-10~'.м/н
10
в
6
и
у
/
/
/
/
\
\
\
\
ч
27 29 31 3d 35 и>,7/е
2000
0
\
\
ч
\
Ч
у
А
1
/
25 28 27 28 29 30 31 32 33 ш*1/с .
Рис. 3.21. Расчетная амплитудная Рис. 3.22. Дисперсии, получаемые при
частотная характеристика о)0=31 1/с; аппроксимации кривых 7*=f(*) пря-
/i=l,35 1/с; 6=0,001 м/Н мыми
Сравнивая между собой полученные значения /?/*(/= 1, ..., N),
определяем величину
^о/. (3.81)
*2
Значение параметра о>оу» обращающее в минимум величину
/?/(а>о/)» примем за оценку величины со02, а соответствующие ей
значения h*2 и fe*2 — за оценки параметров Я2 и k2. Зависимость
D [R*(u>lj)] , определенная для расчетной АЧХ, приведена
п — р
на рис. 3.23 в виде кривой. Минимум этой кривой соответствует
(Оо;- = со0.
Заметим, что ошибка, получаемая при определении величин №
и &2, зависит не только от ошибок, с которыми определяются
величины h*2 и fe*2, но и от ошибки, с которой определяется величина
соо2.
Дисперсию оценки со0 найдем следующим образом. Примем, что
оценка о70, полученная методом фиктивных частот, отличается от
истинной соо на величину ошибки До. Подставив в формулу (3.73)
значение (о0 = соо + Дсо, получим, пренебрегая членами второго
порядка малости,
о>2
(382)
что соответствует первым двум членам разложения в ряд Тейлора
функции у в окрестности точки соо* = соо- Множеству coe[coi, (On]
соответствует система
и = АЬ, (3.83)
128

где
Дсо
k2
h2
Решив систему (3.83), например
методом наименьших квадратоз,
найдем значение Лео, что позволит
уточнить оценку соо и, кроме того,
получить с помощью формулы для
дисперсионной матрицы оценки
элементов вектора 0
У,Ус
150
[ J
А
У
А
у
V
i
\
У
J ч
(44)
TV —3 Рис. 3.23. Зависимость Y* = f(x)
при разных значениях фиктивной
вечичину среднеквадратичной ошиб- собственной частоты о)0* = 3о, 25,
ки'о.. 28323031
собственной
28,32,30,31
Глава 4
ПРИМЕРЫ ПРАКТИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ
ЧАСТОТНЫХ МЕТОДОВ ИДЕНТИФИКАЦИИ
ПРИ ЛЕТНЫХ ИСПЫТАНИЯХ
Как показывает опыт проведения летных испытаний Рвение за
дачи идентификации с использованием в качестве исходных данных
реального летного эксперимента неизмеримо сложнее
ТоГРп7Тин^й^третьей главе схеме идентификации
вид математической модели задается на основе априорных
сведений об испытываемом летательном аппарате и предварительном
7гпявным[образом качественном) анализе характера полетных
Описей Призом конечно, не исключается возможность различия
принятой модели и модели реального летательного аппарата
вследствие недостаточной обоснованности допущений о линейности, ста-
129

ционарности, влиянии упругости конструкции, колебаниях топлива
в баках, динамике приводов и силовой установки и т. п.
Во-вторых, в реальном полете на летательный аппарат
воздействуют неконтролируемые внешние возмущения (порывы ветра,
изменение скорости ветра и температуры по высоте, попадание в спут-
ный след другого летательного аппарата, дождь и т. п.).
В-третьих, на полученные в полете записи изменения параметров
движения и управления летательного аппарата по времени
наложены погрешности измерений. Эти погрешности состоят из
случайной составляющей, которая определяется внутренними шумами и
внешними воздействиями, и методической погрешности, зависящей
от расположения датчика на летательном аппарате, динамики
системы измерений, внешних условий и ряда других факторов. При
проведении летного эксперимента не всегда имеется возможность
учесть все указанные факторы или хотя бы иметь характеристики
погрешностей измерений.
В-четвертых, при летных испытаниях невозможно обеспечить
непосредственное измерение в полете некоторых параметров
движения, что приводит к необходимости определения их по другим
параметрам, регистрацию которых можно осуществить.
В процессе идентификации на основе анализа результатов
летного эксперимента большую роль играет проблема оценки
адекватности полученной математической модели полетным записям. Так
как в силу перечисленных четырех факторов решение проблемы
адекватности на основе теоремы о единственном решении системы
дифференциальных уравнений не может быть реализовано, для
доказательства адекватности приходится применять ряд
выработанных на основе практического опыта приемов, которым уделено
достаточно много места в данной главе.
4.1. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫБОРУ ВИДА
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
Вид математической модели, параметры которой требуется
найти по материалам летных испытаний, определяется, в первую
очередь, задачей, для решения которой эта модель необходима.
Практика летных исследований показывает, что наиболее часто
параметры математической модели, описывающей движение
летательного аппарата, определяются в полете для решения следующих
задач:
— выявления причин появления особенностей в характеристиках
устойчивости и управляемости ЛА в процессе проведения его лег-
ных исследований и правильного решения по их устранению;
— оценки сходимости результатов летных испытаний и
аэродинамического расчета с целью совершенствования в случае
необходимости расчетных методов;
— проведения моделирования и расчетов с целью получения
достоверных материалов при оценке эффективности ЛА и его систем,
130

обеспечения безопасности полетов, сокращения объема летных
испытаний, отработки систем и т. д.;
— определения по коэффициентам уравнений нормируемых
критериев, характеризующих устойчивость и управляемость ЛА;
— определения наличия отказа или разрушения конструкции,
которые можно выявить по их влиянию на параметры математической
модели ЛА. Наиболее часто эта задача встречается при
определении причин летных происшествий;
— оценки правильности настройки системы автоматического
управления летающих лабораторий с переменными характеристиками
устойчивости и управляемости при моделировании в полете
динамики какого-либо летательного аппарата;
— при определении исходных данных, необходимых для
использования ЛА в качестве измерительного эталонного средства.
Например, при необходимости самолеты используются как средства
для измерения уровня атмосферной турбулентности или для оценки
статистических характеристик неровностей ВПП аэродрома.
Для успешного решения задачи идентификации из выбранного'
класса моделей (описывающих движение упругого ЛА либо
жесткого; движение ЛА как материальной точки или системы
материальных точек; движение ЛА с учетом либо без учета динамики
системы управления и т. д.) необходимо выбрать модель наиболее
простой структуры при условии, конечно, что она достаточно точно
описывает движение ЛА при выбранных начальных условиях и
ограничениях параметров.
Легко показать, что необоснованное усложнение моделей может
привести к необходимости решать слабообусловленную систему
уравнений для определения характеристик этой модели.
Рассмотрим в качестве примера математическую модель, описывающую*
реакцию летательного аппарата на отклонение поперечного органа*
управления. Самая простая математическая модель для этого
случая — это уравнение изолированного движения крена, которое,
например, для самолета имеет вид
Передаточная функция, соответствующая этому уравнению,
будет следующей:
где
В общем случае, когда рассматриваются линеаризованные
уравнения бокового движения самолета типа (3.15), передаточная
функция М?шж/8эимеет вид
131

Представим это выражение в другом виде, используя нули р\ и
полюсы р{ передаточной функции. Тогда
vy ш /о ( /7 )
(/> - Pi) (Р - Pi) (р2 + ЪзлР + 4з,4) '
Корни квадратичных трехчленов в числителе и знаменателе
соответствуют комплексным сопряженным полюсам р3,4 и нулям р2,з-
Как показывает опыт, при определенных условиях (см., например,
[4]) нули р\ и р2,ъ и полюсы р2 и рз.4 могут быть близки, вследствие
чего происходит их взаимная компенсация, и передаточная функция
(4.3) превращается в передаточную функцию (4.2). Это означает,
что если в данном случае по полетной записи со* (0 и 6э(0 определять
коэффициенты системы (3.15) или передаточной функции (4.3), то
используемые для этой цели системы алгебраических .уравнений
типа (3.14) или (3.7) будут слабо обусловленными.
Решение о возможности использования той или иной
математической модели при решении задачи идентификации обычно
принимается на основе анализа следующих материалов.
4.1.1. Полетная запись переходных процессов движения
летательных аппаратов
Анализ изменения по времени параметров движения и
управления самолета на выполняемом в полете режиме позволяет получить
следующую информацию, необходимую для выбора вида
соответствующей этому режиму математической модели:
— сведения о начальных условиях;
— сведения о диапазоне изменения параметров движения;
— сведения о соответствии характера изменения параметров
движения при типовых входных воздействиях определенным
классам математических моделей;
— сведения о наличии упругих колебаний конструкции;
— сведения о нелинейности математической модели при
различии характера переходных процессов для типовых воздействий,
отличающихся по величине или знаку, или при изменении периода
или декремента свободных колебаний по времени.
На практике приходится рассматривать два пути получения
переходных процессов:
— получение переходного процесса, максимально
удовлетворяющего заданной математической модели за счет выбора диапазона
изменения параметров движения и управления, выбора каналов
управления для создания управляющих воздействий, выбора
начальных условий и т. д.;
— использование для определения параметров математической
модели, записи режима полета, выполненного не в целях
идентификации.
В этом случае при определенных характеристиках объекта уже
нельзя использовать максимально упрощенную математическую
132

модель, так как на данном режиме, например, могут быть
получены настолько большие изменения параметров движения, что
уравнения движения нельзя линеаризовать, или начальные условия
могут потребовать учета упругости конструкции.
4.1.2. Полученные в полете балансировочные характеристики
Определение балансировочных характеристик является
обязательным элементом летных испытаний по оценке устойчивости и
управляемости самолетов и вертолетов. Эти характеристики
позволяют оценить диапазон параметров движения, в котором
появляются нелинейности в зависимости сил и моментов от указанных
параметров, а, следовательно, нельзя пользоваться
линеаризованными уравнениями движения.
Балансировочные характеристики дают возможность определить
группу коэффициентов уравнений, которые могут нелинейно
изменяться при изменении параметра движения, по которому строятся
балансировочные кривые. Например, рассмотрим балансировочную
кривую отклонения руля направления по скольжению бнб(Р). Если
подставить условия балансировки по углу скольжения ((% = ();
<о.г. = 0; о)у = 0) в уравнение равновесия моментов рыскания, то
получим для линеаризованных уравнений
Ж£др+Л1 $«Д8нб (?) + Ж^э.б (3) = 0. (4.4)
Из этого уравнения следует, что если для рассматриваемого
диапазона углов скольжения хотя бы один из коэффициентов
{Ml,MyH или Aiy3) изменяется в функции угла скольжения или
углов отклонения рулей бн и бэ, то балансировочная зависимость
бн(,Р) в этом диапазоне [3 будет нелинейной. Однако установить, что
нелинейность какого-либо коэффициента существенно меньше
остальных, предлагаемым способом практически невозможно.
4.1.3. Частотные характеристики, полученные в результате
обработки записанных в полете переходных процессов
Рассмотрение частотных характеристик дает возможность
получить следующие сведения о математической модели летательного
аппарата:
— информацию о соответствии данной частотной
характеристики определенным классам математических моделей;
— информацию о нелинейности уравнений движения при
различии частотных характеристик, полученных на основе обработки
записей переходных процессов с различными входными
воздействиями;
— информацию о необходимости учета дополнительных степеней
свободы при составлении математической модели, например, о
необходимости учета упругости или динамики системы управления
при появлении характерных изменений амплитудной или фазовой
характеристик.
133

4.1.4. Априорные сведения об исследуемом
летательном аппарате
К таким сведениям в первую очередь относится информация о
типе и конструктивных особенностях исследуемого аппарата
(самолет, вертолет, их конструктивная схема, весовая категория, схема
системы управления и т. д.), в значительной степени определяющих
вид математической модели. Во вторую очередь следует назвать
априорные сведения о силах и моментах, действующих на ЛА,
полученные на основании продувок в аэродинамических трубах,
расчетов, испытаний прототипов.
Анализ этих данных в сочетании с моделированием,
проведенном на их основе, дает предварительное представление о наиболее
простой математической модели, описывающей движение ЛА на
исследуемых режимах.
Рассмотрим пример выбора наиболее простой математической
модели, описывающей движение ЛА на исследуемом режиме.
Допустим, что ставится задача определения по материалам летных
испытаний параметров математической модели, описывающей
реакцию самолета на отклонение элеронов. Допустим далее, что на
основании априорных сведений в качестве наиболее простой модели
можно принять рассмотренное выше уравнение (4.1).
1. Модель (4.1) можно использовать при выполнении следующих
условий:
— из анализа переходных процессов следует, что Да~0, АУ^О
(это означает, что можно рассматривать боковое движение
изолированно), что при дачах элеронов p = const ovy~0 (это
свидетельствует о компенсации трех нулей и трех полюсов передаточной
функции (4.3); что изменение сох пропорционально изменению 6?
при выполнении режимов с одинаковыми по форме, но различными
по величине отклонениями бэ (это свидетельствует о линейности
уравнения (4.1);
— из анализа частотных характеристик Ат /ьэ(и>) и <Ро> /8ЭС«>)
следует, что они соответствуют дифференциальному уравнению
первого порядка типа (4.1) и совпадают при определении их в
результате обработки ряда режимов, выполненных при одинаковых
начальных условиях (свидетельство линейности).
2. Модель изолированного бокового движения (4.1) должна быть
заменена следующей по сложности линейной моделью (3.15) при
следующих условиях:
— из анализа переходных процессов следует, что при
выполнении условий предыдущего пункта нарушается условие (3^0
и (Оу^О, а на записи переходного процесса сох(О при
ступенчатом, отклонении элеронов четко видны свободные
колебания;
— из анализа частотных характеристик следует, что при
сохранении условий предыдущего пункта указанные характеристики
соответствуют системе дифференциальных уравнений четвертого
порядка типа (3.15);
134

— балансировочные кривые Л6н(р) и Д6э(р) в рассмотренном
диапазоне изменения угла скольжения линейны.
3. Дальнейшее усложнение линейной модели (3.15),
заключающееся в презращении ее в нелинейную, необходимо осуществить
при нелинейном характере изменения перечисленных выше
балансировочных характеристик по углу скольжения или при
несовпадении частотных характеристик, полученных из разных режимов при
одинаковых начальных условиях.
4. При одновременном изменении параметров бокового и
продольного движения, т. е. при условии, что /±УфО и Да^О,
необходимо перейти к еще более сложной математической модели — к
дифференциальным уравнениям типа (1.1) и (1.2), описывающим
пространственное движение летательного аппарата.
5. Если частотные характеристики Аа>х/ьэ (ю) и <Ро> /8 (t0),
полученные в результате обработки полетных записей, будут
отличаться от характеристик, соответствующих модели типа (1.2),
которые свидетельствуют о влиянии первых тонов упругих колебаний
конструкции на динамику движения ЛА, то модель, принимаемая
для решения задачи идентификации, должна быть еще более
усложнена, чтобы соответствовать движению реального объекта.
В этом случае должна рассматриваться модель, описывающая
движение упругого ЛА. При принятии решения о применении подобной
модели следует также использовать априорную информацию об
исследуемом ЛА для предварительной оценки близости частот
собственных колебаний параметров движения ЛА как твердого тела
ш частот первых тонов упругих колебаний конструкции.
Этот пример выбора наиболее простой модели, объективно
описывающей движение реального объекта при принятых начальных
условиях и ограничениях на параметры движения и в то же время
обеспечивающей решение задачи, для которой выполняется
идентификация, не отхватывает, конечно, все возможные виды
математических моделей, необходимых для решения всех подобных задач.
В определенных условиях к уравнениям, описывающим движение
летательного аппарата, необходимо добавлять уравнения,
описывающие динамику силовой установки, системы управления, системы
автоматического управления, динамику датчиков, систем измерений
и т. д.
4.2. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ ОБ ОЦЕНКЕ АДЕКВАТНОСТИ
Цель идентификации при летных испытаниях — это
определение параметров математической модели, позволяющей предсказать
динамику исследуемого типа летательного аппарата с требуемой
точностью. При этом, как уже говорилось во введении к данной
главе, несоответствие расчетов использованию полученной модели
и поведению реального летательного аппарата связано с
несовершенством выбранной модели, наличием неконтролируемых
возмущений, погрешностями измерений и несовершенством алгоритма
идентификации.
135

Степень соответствия указанных расчетов и поведения
реального аппарата характеризует адекватность полученной модели
реальному аппарату.
С оценкой адекватности модели оригиналу приходится
встречаться при решении любой задачи, связанной с использованием
моделей. Если рассматривать узкий круг задач, в которых
применяются только математические модели, оценка адекватности про-
изводится в двух случаях: при проведении математического
моделирования и при идентификации. Вполне понятно, что без
обеспечения адекватности при математическом моделировании с
использованием конкретной модели нельзя оценивать адекватность при
идентификации.
Математическое моделирование проводится главным образом на
аналоговых (АВМ) или цифровых вычислительных машинах
(ЦВМ). В этом случае оценка адекватности сводится к оценке
соответствия принятой для моделирования модели результатам
моделирования. При моделировании на АВМ причиной неадекватности
может быть несовершенство АВМ, ошибки набора задачи, отказы
отдельных блоков АВМ. При этом адекватность оценивается на
основе сравнения результатов моделирования с результатами
решения принятой для моделирования системы дифференциальных
уравнений другими средствами, сравнения расчетных и полученных
при моделировании параметров свободных колебаний и
балансировочных характеристик, сравнения значений левых частей
дифференциальных уравнений, полученных на АВМ и вычисленных в
соответствии с параметрами заданной модели и др. При моделировании
на ЦВМ причиной неадекватности является, главным образом,
несовершенство принятых в каждом конкретном случае численных
методов интегрирования дифференциальных уравнений и ошибки
программирования. Сложность оценки адекватности в этом случае
связана с трудностью получения эталонных материалов, с
которыми необходимо сравнивать результаты моделирования. Особенно
большие трудности в оценке адекватности в этом случае имеют
место при решении нелинейных систем дифференциальных уравнений
высокого порядка, описывающих поведение неустойчивого объекта.
В данной книге на этой проблеме подробно останавливаться не
будем, так как этот вопрос достаточно подробно рассматривается в
работах по численным методам.
Ряд приемов оценки адекватности, разработанный при
моделировании, стал использоваться при оценке адекватности при
идентификации, хотя специфика этой последней задачи потребовала
разработки и других методов.
Оценка адекватности, полученной по результатам летного
эксперимента модели и реального летательного аппарата, затруднена
не только тем, что параметры модели определяются по
экспериментальным данным с погрешностями, но и тем, что сами полетные
записи, которые служат при этой оценке в качестве эталона,
получены с погрешностью. По этой причине наиболее удачное с нашей
точки зрения определение адекватности может быть взято из работы
136

[20]: «Модель адекватна оригиналу, если при ее интерпретации
возникает портрет, в высокой степени сходный с оригиналом. При этом,
как правило, сходство оригинала и его портрета, полученного с
помощью модели, нуждается в количественной оценке».
Из этого определения следует, что процедура оценки
адекватности в какой-то степени близка к процедуре распознавания
образов. Как известно, решение задачи распознавания образов в
значительной мере зависит от выбора системы признаков,
характеризующих данный образ. Поэтому рассмотрим эти признаки
применительно к рассматриваемой задаче.
Пусть принятая для идентификации модель имеет вид
х=/(х, и), (4.5>
где х и и— векторы параметров движения и управления; f(x, и) —
вектор-функция правых частей уравнений.
Можно предложить следующую систему признаков
соответствия оценки модели (4.5), полученной по результатам летных
исследований, испытываемому летательному аппарату. Обозначим
полученную в результате идентификации модель следующим образом:
х=/(х, и). (4.6>
Порядок системы дифференциальных уравнений (4.6),
описывающих движение исследуемого летательного аппарата и вид их
правых частей f(xf и), т. е. тип модели должен качественно
соответствовать полетным записям. Иными словами, в соответствии с
[20]: «Модели поведения должны адекватно отражать под
определенным углом зрения поведение реальных систем в смысле
соответствия между причинами и следствиями». Объяснение, что такое
«определенный угол зрения» при решении рассматриваемой задачи,
т. е. рекомендации по выбору типа модели (4.5), соответствующей
реальному объекту, изложены в предыдущем разделе. Переходные
процессы x(t), полученные при моделировании с использованием
найденной в результате идентификации модели (4.6) и входных
сигналов u(t), которые имели место в полете, соответствуют
зарегистрированным в' полете переходным процессам x(t). Этот
признак в первую очередь рассматривается при оценке адекватности
полученной модели и объекта по следующим причинам. Если бы
задача идентификации решалась без погрешностей и эталонные
полетные записи были бы получены тоже без погрешностей, то в
силу теоремы о единственности решения системы
дифференциальных уравнений имело бы место равенство x(i)=x(t). Однако, как
уже говорилось, и параметры модели (4.5), и эталонные записи
x(t) определяются с ошибками, поэтому на практике говорят об
адекватности модели (4.6) реальному летательному аппарату в том
случае, если x(t) и x(t) достаточно хорошо совпадают. В силу
того, что это доказательство нечеткое и требует количественного
представления, предлагается рассматривать критерий качества
типа [20]
137

где фг-(0 — монотонно неубывающая функция.
В действительности, задача осложняется еще и тем, что пр«*
оценке адекватности полученной модели в целом летательному
аппарату чаще всего приходится рассматривать вектор
т. е. многомерный критерий качества.
В работе [20] не предлагаются практические рекомендации по
выбору количественных значений этого критерия, а высказывается
лишь мысль о том, что удобно говорить о высоком правдоподобии
модели, если значение QM; мало.
Вполне понятно, что критерий качества QMi зависит от класса
входных сигналов и((). Это объясняется тем, что чувствительность
решения системы (4.6) x%(t) к изменениям (ошибкам определения)
параметров правых частей fi(x, и) существенно зависит от входного
возмущения u(t). Действительно, всегда можно подобрать такой
вид сигнала u(t), который приведет к наибольшему изменению
элемента правой части fi(x, и), зависящего от оцениваемого
параметра. Поэтому очень важно оценить критерий QM; для всей
допустимой области входных сигналов u(t)y а не для ограниченного
множества входных воздействий.
Кроме того, чувствительность решения системы (4.6) xi(t) к
изменениям (ошибкам определения) различных параметров правых
частей fi(x, и) может существенно отличаться. Поэтому малость
критерия <2мг еще не означает, что погрешности определения всех
элементов правых частей fi(x, и) также малы.
При решении практических задач рассматривается обычно один
из следующих видов функции г|э, определяющей критерий качества:
6
'= ' Xl'—*i I ПРИ Хт = Хтз\
i — *i I dt\ ф/= | xL — xt | при t = tl\ (4.8)
при xi = xlmSL;
где Хтз и U — заданные значения параметров.
Выбор вида критерия определяется в основном задачей, для
решения которой определяется модель.
Первые два критерия наиболее универсальны и пригодны
практически для всех перечисленных в разд. 4.1 задач. Последние три
критерия в значительной степени определяются характером
решаемой с использованием модели задачи. Например, третий критерий
очень удобен при оценке адекватности моделей, применяемых для
исследования поведения летательного аппарата при парировании
138

различного рода отказов, когда необходимо оценить максимальные
изменения параметров движения и сопоставить их с
существующими ограничениями. Четвертый и пятый критерий необходимы в том
случае, когда полученная модель используется для оценки
поведения летательного аппарата при каких-либо граничных условиях или
заданных промежутках времени, например при иссследовании
поведения самолета в момент отрыва от ВПП или касания ВПП, при
оценке движения летательного аппарата при имитации отказа с
невмешательством летчика в течение заданного промежутка времени.
Вполне понятно, что предложить обоснованные методы выбора
значений критериев (4.8) весьма трудно. Величину этих критериез
можно лишь задавать, исходя из общих физических соображений
о той задаче, которую требуется решать с помощью модели.
Например, значения критериев (4.8) можно выбирать с условием, чтобы
разность \xi—xi\ была одного порядка с погрешностью измерения
в полете параметра Xi(t). Поэтому на практике при оценке
адекватности полученной модели реальному летательному аппарату чаще
всего приходится ограничиваться качественной оценкой разности.
При малой (но качественной оценке) величине этой разности
модель считается адекватной оригиналу при удовлетворении еще
ряду перечисляемых здесь признаков.
Частотные характеристики, определенные с использованием
параметров модели, соответствуют частотным характеристикам,
полученным в результате обработки полетных записей. Этот признак
в отличие от предыдущего позволяет рассматривать адекватность
модели определения каждого параметра в отдельности. Условием
адекватности полученной модели и оригинала служат малые
отличия амплитудной и фазовой частотных характеристик,
соответствующих модели и полетным записям. Понятие малые отличия
относится к качественной оценке, которую в ряде случаев сводят к
количественной, причем эти отличия должны быть соизмеримы с
погрешностями определения частотных характеристик по полетным
записям.
Вполне понятно, что соответствие частотных характеристик по
одному параметру еще не говорит об адекватности полученной
системы дифференциальных уравнений в целом и реального
объекта испытаний. Однако в том случае, когда известны коэффициенты
уравнений, определяющие полюсы и нули передаточной функции
по конкретному параметру движения, рассматриваемый признак
свидетельствует об адекватности по данному набору
коэффициентов.
Балансировочные кривые, определенные с помощью модели,
соответствуют балансировочным характеристикам, полученным в
летном эксперименте. Это условие позволяет оценивать адекватность
модели оригиналу в статике, причем вследствие этого уменьшается
число рассматриваемых коэффициентов дифференциального
уравнения.
Отдельные дифференциальные уравнения модели соответствуют
переходным процессам реального летательного аппарата, зареги-
Ш

стрированным при летных испытаниях. В этом случае для каждого
i-го уравнения системы (4.5) оценивается разность [xi—f (x, и)].Опа.
получается в результате подстановки зарегистрированных в полете
значений параметров движения x(t) и управления u(t) в правую
часть полученных в результате идентификации уравнений (4.6) и
вычитания полученных величин из записанных в полете значений
производной xi.
Выбирая промежутки времени, на которых один или несколько
параметров движения или управления малы, можно на основании
малости рассматриваемой разности [xi—f/(x, и)] судить об
адекватности группы коэффициентов уравнения (4.6), соответствующих
другим параметрам. Например, в начальные моменты времени
после резкого изменения управляющего сигнала u(t) параметры
движения не успеют существенно измениться. Но в эти моменты
времени будут наблюдаться существенные изменения производной xt.
Сопоставление элемента fi(x, и), соответствующего
управляющему сигналу, с полетной записью ±\ позволит оценить адекватность
этого элемента модели реальному объекту.
Еще одним способом оценки адекватности может служить
рассмотрение векторых диаграмм, описанных в разд. 3.2.2 (рис. 3.4—
3.7). Такая векторная диаграмма, построенная для отдельного
уравнения системы (4.6) с использованием полученных при
идентификации коэффициентов уравнений и полученных по полетным записям
частотных характеристик, будет свидетельствовать об адекватности
данного уравнения реальному летательному аппарату в случае
замыкания этого многоугольника или малости вектора ошибки по
сравнению с векторами, из которых он составлен.
Как следует из анализа векторных диаграмм (см. рис. 3.4—3.7),
в случае, если строить их для различных значений частоты со, можно
добиться того, что некоторые векторы, соответствующие различным
коэффициентам, будут малыми по сравнению с остальными. Это
значит, что в случае неадекватности модели и оригинала можно
более точно установить группу коэффициентов, за счет которых это
произошло. Векторные диаграммы для каждого из уравнений
системы (4.6) могут быть построены с использованием параметров
режима свободных колебаний, если в полете удалось
зарегистрировать подобный режим. Подробное описание методики построения
подобных векторных диаграмм по материалам летных испытаний
можно найти в работах [1] и [30]. Эти диаграммы, с одной стороны,
позволяют получить еще одно доказательство адекватности и,
с другой стороны, дают возможность исключить из рассмотрения
коэффициенты уравнения (4.6), связанные с параметрами
управления. '
Соответствие полученных с помощью модели и найденных на
основе анализа зарегистрированных в полете переходных процессов
обобщенных критериев, характеризующих устойчивость и
управляемость. К таким критериям относятся период и декремент
свободных колебаний, отношение амплитуд свободных колебаний угловых
скоростей крена и рыскания х, время первого достижения парамет-
140

ром уровня установившегося значения при ступенчатом входном
сигнале (так называемое время срабатывания) и т. п.
Для линейных систем дифференциальных уравнений удается
получить выражения, определяющие зависимость этих критериев
от определяющих их коэффициентов уравнений.
Например, если изменение угла крена описывается
уравнением (4.1), то можно получить следующие известные [1; 3]
соотношения для действительной и мнимой частей комплексного
сопряженного полюса, а также для критерия и:
L ; (4.9)
Z?) ; (4.10)
(4.11)
)2
г
v-
Для других сочетаний значений коэффициентов уравнений
системы (3.15) выражения для £, со и % будут сложнее, однако
приближенные соотношения, определяющие их связь с коэффициентами
уравнений (3.15), известны (например, [4]).
Сопоставляя полученные по полетным записям значения
декремента и частоты свободных колебаний |, со, а также критерия %
с их значениями, вычисленными по полученным в результате
идентификации коэффициентам уравнений движения, можно не только
сделать вывод об адекватности характеристик свободных
колебаний модели и объекта, но и, используя соотношения (4.9) — (4.11),
судить об адекватности элементов модели, т. е. определенных групп
коэффициентов уравнений реальному объекту.
Например, используя то обстоятельство, что в правых частях
соотношений (4.9) — (4.11) первый член значительно больше других
по величине, можно предложить следующую схему оценки
адекватности ряда элементов модели. Из соответствия \ делаем вывод об
адекватности МуУ, далее из соответствия со — вывод об адекват
ности М?Д а после этого из соответствия к — об адекватности
Мх&. Привлекая другие критерии устойчивости и управляемости,
например сортах (угловая скорость крена при максимальном откло
нении элеронов), можно оценить адекватность и других элементов
модели.
Таким образом, сформулирована последовательность прнзнаког
адекватности модели, получаемой при идентификации, пспытывае
мому летательному аппарату. Эти признаки перечислялись в иерар
хической последовательности, обеспечивая оценку адекватности
начиная с самых общих характеристик модели и кончая ее элемен
тамн. На рис. 4.1 показана схема построения предлагаемой система
признаков. Если оценить адекватность модели оригиналу в соответ
ствни с этой схемой, используя все признаки, то даже при качест
14

признаков оценки:
Рис. 4.1. Схема построения системы
адекватности модели оригиналу:
/ — тип модели; 2 — модель в целом; 3 — передаточные функции;
4 — модель в статике, 5 — отдельные уравнения; 6 — обобщенные
характеристики
венном (без количественной оценки критериев
адекватности) удовлетворении этим признакам
можно судить об адекватности полученной
модели и ее элементов реальному объекту.
Однако на практике не всегда нужно
рассматривать все признаки. Решение о том, с
какого признака на схеме рис. 4.1 следует начинать и
до какого признака следует продвигаться вниз
по схеме, целесообразно принимать в
соответствии с той задачей, для решения которой будет
использоваться полученная модель. Если, к
примеру, модель определяется для выявления
причин появления особенностей в характеристиках
устойчивости и управляемости, для чего
необходимо подробно рассмотреть отдельные элементы
правых частей уравнений системы (4.6),
целесообразно на схеме рис. 4.1 рассмотреть признаки
4—6. Если же, например, модель предназначена
для проведения моделирования с целью
прогнозирования движения летательного аппарата,
отработки управления, отработки структуры средств
автоматизации управления и т. д., то достаточно рассмотреть
признаки 1—3.
4.3. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА
В данном разделе рассмотрен вопрос о повышении точности
идентификации в частотной области за счет выбора системы
оптимальных планов эксперимента, позволяющих последовательно
получать каждый из определяемых коэффициентов с минимальной
погрешностью. Статистическое моделирование показало
преимущества предлагаемого метода перед традиционным методом
планирования эксперимента с помощью Д-оптимальных планов в случае,
если определяемые коэффициенты существенно различаются по
величине или при наличии высокого уровня помех измерений.
Рассмотрим вопрос планирования эксперимента на примере
решения задачи определения коэффициентов линейной системы
дифференциальных уравнений:
х=Ах-]-Ва, (4.12)
где х — вектор состояния, размерности /2X1; и — вектор
управления; А и В — матрицы, коэффициенты которых необходимо найти
по полученным в полете записям по времени элементов векторов х
и и.
142

Рассмотрим метод решения данной задачи, основанный на
использовании частотных характеристик и описанный в разд. 3.2.1.
Рассматривается поочередно каждое из уравнений системы для
одного из входных сигналов. Пусть это будет i-e уравнение с га-м
входным сигналом
l = ailxl-\-ai2x2-\-...+ainxn-{-bi
(4.13)
На экспериментальный режим накладывается требование
выдерживания нулевых начальных условий в течение нескольких секунд
перед созданием возмущения и нулевых условий в течение
нескольких секунд после затухания возмущаемого движения.
При этих условиях возьмем интеграл Фурье от левой и правой
частей уравнения (4.13) для конкретного режима полета. Разделим
левую и правую части на преобразование Фурье F[um(t)] входного
сигнала um(t)y умножим левую и правую части на еш и запишем
мнимую часть полученного уравнения
sin
(«О sin
sin
X
Здесь
X sin [arf -f <?xnium(*)\ + blm sin arf. (4.14)
iam ——L_i—i— частотная характеристика
параметра Xi ПО ВХОДУ Um.
Зададимся / значениями частот со и подставим значения
частотных характеристик для каждой частоты в уравнение (4.14). В
результате получим систему / линейных относительно неизвестных
коэффициентов а и Ъ уравнений
cz = D, (4.15)
где 2= \cLi\ui2 \ dinbim\T — вектор неизвестных коэффициентов;
; D=
_ £/1^22 ••• Cln Sin (Ot(t) _
Здесь
с=
спс12 ...cln sin (Qx(t)
c2lc22... с2п sin u2(t)
_ ^/1^22 ••• Cln Sin (Ot(t)
sin
di = ^Ax./Um(cousin
В каждом из уравнений системы (4.15) зададим соответствующее
значение t. Решая эту систему, найдем вектор неизвестных
коэффициентов z. Систему (4.15) можно представить как
% (4.16)
143

где v — вектор погрешностей измерений и обработки. Если принять,
что матрица с ошибок не содержит и
M[v] = 0, M[vv'] = *lElxl, (4.17)
то переопределенную систему (4.16) можно решить методом
наименьших квадратов [21].
Несмещенная оценка вектора z будет определяться выражением
cTD. (4.18)
Ошибка оценивания при этом определяется диагональными
элементами ковариационной матрицы
jV = ol(c^c)~\ (4.19)
т. е. дисперсия оценки i-ro элемента п\ вектора z равна j-му
диагональному элементу матрицы N:
°2а = пи. (4.20)
Решение задачи идентификации на современном уровне не
ограничивается минимизацией суммы квадратов невязок при решении
системы (4.16), что достигается решением (4.18). Дополнительно
ставится задача уменьшения погрешностей оценок искомых
коэффициентов (4.20) путем так называемого планирования эксперимента
[16]. Наиболее часто применяется планирование эксперимента с
использованием критерия /^-оптимальности, суть которого
заключается в выборе элементов матрицы с в уравнении (4.16),
минимизирующих объем эллипсоида рассеяния оценок коэффициентов аи
Критерий /)-оптимальности требует такого выбора плана
эксперимента, т. е. матрицы с, чтобы достигался минимум определителя
ковариационной матрицы N. Часто используемой разновидностью
критерия /^-оптимальности является критерий Л-оптимальности,.
требующий такого выбора элементов матрицы с, чтобы след
матрицы п имел минимальную величину:
minSpN, (4.21)
т. е. минимизируется сумма дисперсий (4.20) ошибок оценок
искомых коэффициентов.
Критерий (4.21) имеет тот недостаток, что если среди элементов
вектора z существует хотя бы один, существенно меньший
остальных, то при формировании матрицы с, удовлетворяющей этому
критерию, не исключено, что указанный малый коэффициент может
быть определен с очень большой относительной погрешностью.
Целесообразно предложить следующий способ планирования
эксперимента.
Сначала формируется матрица с, дающая минимум первому
диагональному элементу ковариационной матрицы N, определяется
вектор z с помощью соотношения (4.18), и из него берется только
первый коэффициент. Затем составляется снова матрица с, дающая
минимум следующему диагональному элементу и определяется сле-
144

дующий элемент вектора гит. д., пока таким способом не будут
определены все элементы вектора г. Это означает, что составляется
столько планов эксперимента, т. е. матриц с, сколько неизвестных
коэффициентов, и столько же раз решается система (4.16). Это
позволяет каждый неизвестный коэффициент найти с минимальной
погрешностью.
Этот подход уже встречался в литературе в виде предложений,
например [31], но конкретных обоснованных рекомендаций по
выбору элементов матрицы с и примеров идентификации с
использованием данной идеи в известных авторам работах не встречалось.
Для частотных методов идентификации вопросы планирования
эксперимента облегчаются тем обстоятельством, что в каждом из
уравнений системы (4.15) элементы матрицы с зависят от двух
параметров— со и t. Идеология выбора диапазона частот со для
идентификации рассмотрена в главе 2. Поэтому планирование
эксперимента в соответствии с предлагаемой для рассмотрения идеей
последовательного определения неизвестных коэффициентов с
минимизацией погрешности определения каждого из этих
коэффициентов будем осуществлять за счет варьирования параметра t
в уравнениях (4.15). Идея выбора плана эксперимента, т. е.
матрицы с, может быть сформулирована следующим образом.
Для системы (4.15) из I уравнений, каждое из которых
соответствует конкретной частоте со*, требуется найти вектор
/ = «>Л, (4.22)
обеспечивающий минимум элементу яп ковариационной матрицы
(4.19). При этом значения co^i подставляются в уравнения системы
(4.15), определяется вектор z, и из его элементов считается
окончательно определенным только элемент ги = ац. После этого
ищется вектор ф227, обеспечивающий минимум элементу п^
ковариационной матрицы (4.19), находится элемент z2 = cii2 и т. д.
В данном разделе рассмотрена задача разработки практических
приемов реализации предлагаемой идеи планирования
эксперимента путем разработки метода определения вектора ф.г. и апробации
работоспособности метода и оценки преимуществ данной идеи
планирования эксперимента на основе статистического моделирования.
Необходимо отметить, что рассмотренная схема решения
системы (4.16) методом наименьших квадратов справедлива при
выполнении требований (4.17) к параметрам вектора v и при условии, что
этот вектор определяется погрешностями измерений и обработки
только правой части системы (4.15), т. е. вектора D, который в
связи с этим часто называют вектором измерений. Однако, как следует
из выражений (4.15), элементы матрицы с также определяются с
погрешностями. Поэтому найдем приближенное выражение для
вектора v с учетом характера уравнений системы (4.15), используя,
как это предложено в работе [22], первые части разложения
погрешностей в ряд Тейлора. Как следует из выражения (4.16),
v = cz — D.
145

Тогда
k=l
со
Здесь С{ — /-я строка матрицы С; D [^Vttml и ^ vxk/um]—
дисперсии погрешностей определения амплитудной и фазовой
характеристик по параметру Xk. Если подставить в формулу (4.23) выражения
для элементоз матриц с и D, то легко заметить, что элементы
матрицы v не удовлетворяют условию (4.17). В этом случае введем
понятие ковариационной матрицы
О
'VD[vt]
О
0
о
о
о
(4.24)
составленной при упрощающем допущении о некоррелированное™
значений частотных характеристик при различных частотах. В этом
случае решение системы (4.16) будет (в соответствии, например,,
с работой [14]) иметь вид
Этот вид решения обеспечивает уже не минимизацию суммы
квадратов невязок, как при использовании метода наименьших
квадратов, а минимизацию дисперсии ошибки оценивания.
Рассмотрим в качестве примера определение коэффициентов
уравнения, описывающего продольное короткопериодическое
движение самолета
А а + 2/*Да + k2Aa =
(4.26)
где
( Г* К К*\.
Если использовать частотную характеристику
ЛДа (со)ехр(/срДа/Д8 ((!>))=
в
А5в(ш)
(4.27)
то можно получить следующее алгебраическое уравнение, аналогич-
146

ное уравнению (4.14):
Sin
b А8в) —2:3 sin °J'» (4.28)
где zi=2ft, z2 = &2, г3 = а.
Для статистического моделирования зададимся погрешностью
определения действительной и мнимой частей частотной
характеристики (4.27):
D [/] = £>[/?]. (4.29)
В этом случае, используя только первые члены разложения в ряд
Тейлора погрешностей Лда/д8в и ?да/д8в, т. е. выражения, подобные
(4.23), получим
(4.30)
Б уравнении (4.28) коэффициенты при Zi получаются с
погрешностями (4.30). Найдем выражение для погрешности о, определяемой
как разность между левой и правой частями уравнения (4.28), ис-
лользуя соотношение
D\v] =
dv
дА
•Да/Д8
dv
ГДа/Д§
Подставив в это соотношение выражение для v, соответствующее
уравнению (4.28), выражения (4.30) и аналитическое выражение
для частотной характеристики, соответствующее уравнению (4.26),,
будем иметь
■ D[v] = D[I] f3 . (4.31)
Отсюда следует, что операция нормирования уравнений системы
(4.16), реализуемая в формуле (4.26), эквивалентна в данном
примере умножению левой и правой частей уравнения (4.28) на
переменную составляющую , , т. е. на Лда/дз . С учетом этого
/D[v] *
для идентификации коэффициентов уравнения (4.26) получим
нормированную переопределенную систему алгебраических уравнений
cz = D, (4.32)
где
? Г Oh Ь2 /у 1т.
Q
147

Здесь
сц = Лд,/д6в (со0) cos (i*iti + срДа
Ci2 = Лда/Д6в(а)/) Sin (о)///
£/3= — Лда/д8в (а)х.) sin о)^.;
где
Реализация рассмотренного метода оценки параметров модели
движения летательного аппарата предполагает решение следующих
задач нелинейного программирования. Необходимо найти такой
набор значений
чтобы достигался минимум функции
tb...Ji). (4.33)
Величины qa((i=ly 2, 3) представляют собой диагональные
элементы обратной матрицы
с помощью которой определяется решение (4.18), получаемое
методом наименьших квадратов для задачи (4.15).
В качестве варианта для сравнения рассмотрен также метод,
основанный на минимизации следа матрицы (4.21):
J=yiJi. (4.34)
/=1
Целевые функции (4.33), (4.34) являются суперпозицией
периодических функций и содержат операцию обращения матрицы.
Методы оптимизации, предназначенные для минимизации (4.33) или:
(4.34), должны обладать достаточно высокой сходимостью, как,
например, методы поиска по сопряженным направлениям и
деформируемого многогранника [27].
Алгоритмы указанных методов были приняты за основу при
программировании процедуры оценки параметров модели (4.26).
Набор программ для реализации данной процедуры разработан
канд. техн. наук. О. В. Саенко.
Теоретические методы оценки сходимости алгоритмов поиска
экстремума применимы для весьма ограниченного класса задач.
На практике в этих целях используется численный эксперимент.
Экспериментальный подход заключается в следующем.
Задаются различные начальные значения искомого вектора
/о—£oi к /02^ дЛЯ каждого из которых определяются векторы Z\l it
148

A
Ar100%
2/г,
0,
o,
o,
1/c
810
811
I
k2, 1/c
8,601
8,596
0,05
Таблица 4.1
2
a, 1/c2
10,979
10,893
0,7
Таблица 4.2
4
A2.I00%
2Л
o,
o,
4
, Ус
68
71
ft2,
7,
8,
12
1/c2
75
66
a, 1/c2
10,1
11,2
10
£2*' (t=l, 2). Векторы Zi*' рассчитываются методом минимизации
диагонального элемента, а векторы z2l — непосредственно методом
наименьших квадратов, т. е. согласно соотношению
z£=(cTc)-icTD|#e/0/. (4.35>
Компоненты векторов Z\l и z2l, соответствующие различным t01,
сравниваются, что позволяет получать физически значимую оценку
сходимости.
В табл. 4.1 и 4.2 даны примеры найденных таким образом
величин Z\l и z2\ а также их относительных разностей:
(4.36)
Результаты получены применительно к начальным значениям:
l,5c; /=1,2,...20.
=\c; t?
Поиск для условий t[l= lc осуществляется методом
«деформируемого многогранника», а для условий tt = 1,5с — по «сопряженньш
направлениям». Исходный набор
Дер
Д-р J
); 0,5; ...5— ,
где
имитировался наложением случайной ошибки на амплитудную и
фазовую характеристики модели короткопериодического движения
с параметрами 2Л=^0,895 1/c; fe'2 = 8,66 1/c2; а= 11,45 1/с2.
Как видно из таблиц, относительные разности оценки
параметров модели при минимизации диагонального элемента на один-два
порядка меньше, чем при непосредственном применении метода
наименьших квадратов, а величины Ai можно считать
пренебрежимо малыми. Полученные с помощью существенно различных
алгоритмов минимизации результаты дают основания предполагать,
что реализуемые процессы поиска экстремума сходятся к
глобальному минимуму целевой функции (4.33).
149

Анализ сходимости для функции (4.34) позволяет сделать
аналогичные выводы. Быстродействие методов при решении
рассматриваемых задач оказалось практически одинаковым. Время
расчета вариантов (4.33) и (4.34) составляет на ЕС ЭВМ
приблизительно 200 с.
Рассмотрим результаты оценки посредством статистического
моделирования методов планирования эксперимента
применительно к решению поставленной ранее задачи идентификации.
Предлагаемые варианты расчета были описаны в предыдущих разделах,
к ним целесообразно добавить используемый на практике подход,
при котором величины anti задаются постоянными для всех
значений сог, например
«>А = -§- . (4.37)
При проведении сравнительной оценки методов идентификации
используются критерии, характеризующие как точность
определения параметров модели, так и трудоемкость соответствующих
процедур. Для несмещенных оценок показателями точности могут
служить величины среднеквадратичных отклонений azu <Ь2> <Ьз-
Трудоемкость рассматриваемых методов существенно различна.
Действительно, процедура обращения матрицы, требующая
основных затрат машинного времени при реализации подхода (4.37),
многократно применяется в процессе минимизации диагональных
элементов либо следа матрицы. Поэтому последние два метода
целесообразно применять в условиях достаточно больших лимитов
времени, например при вторичной обработке результатов
эксперимента.
Ряд факторов, оказывающих заметное влияние на точность
идентификации, в реальных условиях может изменяться в
достаточно широких пределах. К ним, в первую очередь, относятся
соотношения между параметрами z\ модели движения, а также уровень
погрешностей (4.30) определения исходных данных. Сравнительная
оценка рассматриваемых методов планирования эксперимента
должна осуществляться при варьировании указанных влияющих
факторов.
В этих целях параметры исходной модели при расчетах вводятся
согласно соотношениям
2i = 0,895 kx\ z2 = 8,66&2;
z3= 11,45/г3, а коэффициенты k\, k2i къ изменяются в желаемых
диапазонах.
Уровень погрешностей а\Аь*/ъв] определяется в долях от
максимального значения амплитуды
а [Лда/6в] = £ (max Лда/зЛ (4.38)
где для модели (4.26)
max Лд.= ,/*3 _ . (4.39)
бв zx У b'Z2 — zx
150

Погрешность фазовой характеристики согласно (4.30)
вычисляется по формуле
А
(4.40)
•Да/«
При проведении статистического моделирования предполагалось,
что значения амплитудной и фазовой характеристик для данной
частоты сог распределены по нормальному закону с
математическими ожиданиями
М Ида/5 ]=-
(4.41)
и среднеквадратичными отклонениями (4.38), (4.40).
Процедура статистического моделирования строится на
известных алгоритмах формирования нормально распределенных
случайных чисел. Пример гистограмм реализаций параметров zu z2, z3, п0~
лученных для условий ki = k2 = k3=l, fe = 0,05 методом минимизации
диагональных элементов, приведен на рис. 4.2.
8,5
N
W
0,9
1,0 zt
rf
Рис. 4.2. Пример гистограмм
распределения" параметров
Рис. 4.3. Зависимость
среднеквадратичных отклонений (Jzi, 1/c; oZ2, 1/с2;
!Т2з, 1/с2 от величины t(kk
8,8 Zz
\
—
О
ы 4 о
\ы

Рис. 4.4. Варьирование уровня погрешностей ozu 1/с;
Oz2, l/c2-LozZ, 1/c2 (kx = k2=kz=\):
А *гсог-—const—я/2; ф— минимизация следа матрицы;
О — минимизация диагонального элемента
Рис. 4.5. Варьирование параметров модели (£=0,05;
#2 = ^3 = 1) •*
_ минимизация диагонального элемента-
минимизация следа матрицы
10
0,5
X
\
\
\ \
.. ■—•
—
=--—■
С 0,1
2 к,
Прежде чем перейти к анализу результатов сравнительной
оценки, необходимо определить рациональное значение mti для
третьего варианта планирования эксперимента. На рис. 4.3 даны
зависимости среднеквадратичных отклонений oz\, oZ2 и огъ для различных
величин mti применительно к единичным значениям ku k2y k3 и
Л = 0,05.
Из графиков видно, что изменение
°
со
от со/^=15° до
рф
©Л = 90° практически не оказывает влияния на oZi и oZ2, в то же
время при стремлении со^ к я/2 погрешность оценки гъ
уменьшается. Аналогичные выводы могут быть сделаны и при других уровнях
помех (4.30), поэтому в дальнейшем реализуется третий вариант
с (оЖ = я/2, t=l, 2, ..., 20.
Зависимости аги Ъгь вгз от параметра k, характеризующего [см.
(4.40)] уровень погрешностей (4.30), приведены на рис. 4.4.
Полученные данные показывают, что минимизация диагональных
элементов позволяет получить наименьший разброс в определении
параметров модели (4.26) при любых значениях k. В наибольшей мере
это проявляется при оценке параметра z\ в условиях неточной
исходной информации. Так, для & = 0,35 первый вариант
планирования эксперимента позволяет получить oz\~0,48 1/с, в то время как
остальные методы дают a2i^0,68 1/с, т. е. разброс больший в 1,62
раза. При оценке z2 и г3 методы минимизации как диагонального
элемента, так и следа матрицы дают приблизительно равные
результаты, отличающиеся в лучшую сторону по сравнению с третьим
вариантом. Например, при А = 1 первый и второй методы приводят
152

к Oz2~0,41 1/с2, а2з~0,9 1/c2, третий вариант —к aZ2~0,54 1/с2,
0z3^l 1/с2. При уменьшении погрешностей исходных данных
отличие оценок zu z2 и г3, полученных разными методами, как и
следовало ожидать, уменьшается.
Рассмотрим результаты сравнения методов идентификации при
варьировании исходных параметров модели.
На рис. 4.5 даны зависимости oz\, <Ь2 и az3 от величины k\ [см.
(4.39)] при /г2 = &з=1 и & = 0,05. Из графиков видно, что при малых
значениях параметра k\ погрешность оценки Z\ путем минимизации
следа матрицы намного превосходит погрешность, полученную при
применении ozb методом минимизации диагонального элемента.
Так, при &i = 0,l величина az составляет 0,18 и 0,66 для первого и
второго вариантов соответственно. В рассмотренном диапазоне
изменения k\ погрешности оценок qz2 и а2з, определяемые обоими
методами, приблизительно одинаковы. Это свойство сохраняется, как
показывают расчеты, и при варьировании коэффициентов къ
и k2.
Таким образом, полученные данные демонстрируют
повышенную точность оценки параметров модели (4.26) с помощью метода
минимизации диагональных элементов. Наиболее значительно это
преимущество проявляется при больших погрешностях в исходных
данных либо при малых величинах параметра Z\.
Рассмотренный в работе метод построения системы
оптимальных планов эксперимента, направленных на минимизацию
погрешностей определения каждого из параметров модели, позволяет
повысить точность идентификации в частотной области. Результаты
статистического моделирования при сравнении предлагаемого
метода с методом Д-оптимальных планов показывают, что
среднеквадратичные отклонения оценок параметров идентифицируемой модели
при их существенном различии, а также в случае больших
погрешностей исходной информации могут быть существенно уменьшены.
Используемые для реализации рассмотренного метода
идентификации алгоритмы поиска по «сопряженным направлениям» и
«деформируемого многогранника» обеспечивают, как показывает
численный эксперимент, сходимость процедур минимизации. Применение
предлагаемого метода при проведении летных исследований
показало его эффективность.
Приведем пример идентификации параметров модели
продольного короткопериодического движения самолета Ту-154 с
использованием метода минимизации диагонального элемента.
Необходимые для расчетов амплитудно-фазовые частотные характеристики
были построены на основе анализа экспериментальных записей
отклонений руля высоты и угла атаки. На рис. 4.6 приведен пример
полученных по полетным записям частотных характеристик. На
основе разработанных процедур идентификации были оценены
коэффициенты уравнения (4.26)
/с, & = 8,66 1/с, а= 11,45 1/с2.
7—1188 153

1,0
0,8
0,6
0,<*
0,2
градус
0
an
-160
J
к
1,0
1,5
1,0
0,5
0
-V
-1,0
-1,5
~l,0
г з чь\1
Рис. 4.6. Частотные
характеристики продольного движения
самолета Ту-154, полученные по
полетным записям
Сравнение
экспериментальных и расчетных переходных
процессов (рис. 4.7)
свидетельствует о
работоспособности и достаточно высокой
точности предложенного
метода.
градус
10
- 8
- Ц
*> 0
[
\
\
\
В t°,Q
Рис. 4.7. Сравнение экспериментальных и
расчетных переходных процессов
продольного движения самолета Ту-154:
—полетная запись; расчетные
данные
4.4. ПРИМЕР ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ
ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
В данном разделе приведен пример определения коэффициентов
передаточных функций ЛА. В качестве исходных данных
используются частотные характеристики, определенные на основе анализа
записей переходных процессов, вызванных заданными
отклонениями рычагов управления ЛА. В основу методики определения
коэффициентов передаточной функции положена аппроксимация
экспериментальных частотных характеристик их аналитическими
выражениями, полученными из принятой математической модели
движения ЛА.
4.4.1. Постановка задачи определения коэффициентов
передаточных функций
Задачу определения коэффициентов передаточной функции
рассмотрим на примере модели продольного короткопериодического
движения самолета. Уравнения движения самолета представим
в виде
154

Да + А Да
Д5В. (4.42)
Ахр
Из уравнений (4.42) следует, что передаточные функции коротко-
периодического движения самолета имеют вид
(443)
Соответствующие им аналитические выражения для частотных
характеристик продольного короткопериодического движения
представим в следующей форме:
(4.44)
где
Аш /8 (СО)
■У о v
= ]/■
- И2)2
- «2)2
(co)=arctg
B
pa/s (co)=arctg
[Bl3 (Ao
Рассматриваемая ниже задача состоит в оценке величин
коэффициентов передаточных функций (4.43) по частотным
характеристикам продольного короткопериодического движения, определенным
по экспериментальным данным, аналитические выражения которых
заданы соотношениями (4.44).
7* -J 155

4.4.2. Расчетня схема определения коэффициентов
передаточных функций
Для получения расчетных алгоритмов оценки коэффициентов АОт
Аи Вои Д1Ь Д02, Вх2, Воз, £13, В2г преобразуем формулы,
описывающие амплитудные частотные характеристики продольного
движения самолета к виду
А2/8в И [(Д, - о)2)2 + Л?о>2] - В12 - Д^2=0; (4.45)
Л1у/Ьв (0)) [(Л - 0)2)2 + ^ __ (5()з _ £2з(0)2 _ 523а)2= 0.
В формулы (4.45) подставим вместо Adz/8b(«>), Ла/8в(со) и ЛЛ /8в(а>)
найденные^в эксперименте оценки амплитудных частотных
характеристик Лсо^/бв(о)), Аа/ьв(^), Дг^/8в(^)для выбранной
последовательности ЧаСТОТ G)re[(0i, COjv].
В результате получим относительно следующих комбинаций ко-
00 ОООООО О
эффициентов Ло, Д — 2Л0; 5Ш; 5ц; Д02; 5i2*, Доз; ^1з — 2В0гВ2з\ В2з
переопределенные системы линейных алгебраических уравнений
I* (сог) + (А\ - 2Л0) Л2 /s (а)г) со2 -
л В Z а
— Вог — Д110)? + ^юг/8в (^г) ^г = £1 (^г)'»
г/8в (
К) -f (Л? - 2 Ло) Л2/6в (шг) со2 - (4.46)
— Д02 ~ Д22^г + Л2/§в (сог) со^ = е2 (сог);
i - 2 Ло) Л2 у/1в К) со2 -
' 2^ = 1,..., W.
Здесь 8i(cor); 82(o)r); ез(озг) — невязки уравнений, осбусловленные
наличием ошибок в оценках частотных характеристик Лау5в(сог);
Ла/8вК); An /5в((Ог)> а также возможным несоответствием принятоГ!
математической модели анализируемому процесу. Для сокращения
записей представим системы уравнений (4.46) в матричной форме
^1 = фЛ + 81*» Я2=ф2^2 + £2; Яз=фз£з + £з. (4.47)
Здесь
01= [—Л^/з^^)...— Л«г/8в(«>лг)]т;
а [Л

cx=[Al Ai-2A0, Blu B2uY;
c2 = [Al Ai-2A(), Bl2, B212]T;
[^0' ^1 — 2Л0, Воз, В\з — 2Bq3B23i
<">! =
H П
1 2 И
— 1 — СОх
— Z'T"\;
2 -I 2
I — 1 —COX —CO
^2 | ^2
Элементы векторов с\, с2, с$ оценим из условия обращения в
минимум сумм квадратов невязок систем уравнений (4.47)
Сх С2 С3
В соответствии с методом наименьших квадратов найдем
г —[ф^Ф I"*1 Ф^О • /—1 2 Я (А 4Я^
Коэффициенты передаточных функций (4.43) выразим через
значения элементов векторов сь с2, с3. С этой целью введем в
рассмотрение следующие функции:
аз)=А г<»и<ог,ъл (со)гъ
(со) = АхШа/к (со) + (Л о - о)2) 1/а/8в (со);
^1(со)=(Л0—со2)^/^ /§в(со) — A^Vou /5в(со);
Х2 (со) = ( Ло — со2) Ua/bB (со) — Л 1со1/а/5в (со) ;
Легко убедиться, используя выражения для U(со) и F(co), что
справедливы соотношения
157

= B
0l;
Из (4.50) следует, что коэффициенты 5ц, £12, fii3, Вои В02, В03
будут положительны (отрицательны), если при со>0 будут
положительны (отрицательны) значения соответствующих функций \|?i, г|)2,
фз, Хь Х2, Воз—Хз(со).
Вычислим коэффициенты передаточных функций. Для
передаточной функции Wo> /g
rcn; (4.51)
^oi = T^i3signXi(("ft); Bn = yrclisign^1(a>l!). (4.52)
Для передаточной функции Wa/bB
Л —гПГ' A —V~r
/i 0 — P 21» 1 — r
/5
Л /5
Для передаточной функции
^оз = /^зз sign Хз(0); ^2з = / % sign фзЮ;
5i3 = 1^34 + 2 /^3 sign Хз (0) — / % si gn фз Ы sign (Z3 («>Л) — Вог).
(4.54)
В приведенных выше формулах ЫкФО есть некоторое
произвольно выбранное значение, принадлежащее исследуемому диапазону
частот.
Определив значения коэффициентов Ао, А\ по ранее
приведенным формулам, можно вычислить значения функций грг(со) и х*^)
для выбранной последовательности значений сог и в соответствии с
формулами (4.50).
Определение коэффициентов Вои В02, В0з, fin, #12, fii3 и В2$
осуществим графическим методом или методом наименьших квадратов.
4.4.3. Результаты определения коэффициентов
передаточных функций продольного короткопериодического
движения на примере модели самолета
Для определения исходных частотных характеристик в полете
выполнялись импульсы рулем высоты. На рис. 4.8 и 4.9 приведены
примеры таких режимов. Частотные характеристики, полученные
158

градус
Рис. 4.8. Сравнение экспериментальных и расчетных переходных процессов в
продольном короткопериодическом движении при импульсном входном сигнале
(импульс руля «на себя»):
экспериментальная зависимость; расчетная зависимость
при обработке этих режимов, приведены на рис. 4.10. По
частотным характеристикам, по методике, изложенной в разд. 4.4.2,
определялись коэффициенты передаточных функций. В табл. 4.3 даны
численные значения коэффициентов, соответствующих режимам,
приведенным на рис. 4.8 и 4.9.
Таблица 4.3
Коэффициенты
Ао , 1/с2
Ах , 1/с
В01, '/с
Sll. 1/C2
Режим 1
10,13
1,38
— 19,81
— 16,23
Режим 2
И,21
1,66
— 17,73
—22,43
Коэффициенты
в1
■#13
#23
Режим 1
9,66
1,28
—3,26
0,41
0,087
Режим 2
10,82
1,45
—4,22
0,98
—0,13
159

Рис. 4.9. Сравнение экспериментальных и расчетных переходных процессов в
продольном короткопериодическом движении по перегрузке пу и угловой
скорости тангажа coz при импульсном входном сигнале (импульс руля «от себя»):
экспериментальная зависимость; расчетная зависимость
160

• градус
"уft в 'градус
1
В.5
4
1 \
!
\
К
!
|
j
•
10 15 и, //<
I \
г V
у 1
-----
1
^-—*~*-
w
■J —th
/J, 1JC О
Рис. 4.10. Сравнение амплитудных частотных характеристик продольного корот-
копериодического движения самолета — аналога Ту-144, полученных путем
спектрального анализа записей, приведенных на рис. 4.6, 4.7 и рассчитанных по»
найденным из этих же режимов аэродинамическим коэффициентам:
-результаты спектрального анализа; расчеты по коэффициентам
4.4.4. Качественная оценка адекватности параметров
математической модели и характеристики исследуемого объекта
Приведенные в табл. 4.3 результаты оценивания коэффициентов
передаточных функций по угловой скорости тангажа и перегрузке
необходимо проверить на соответствие реальным свойствам
исследуемого объекта. Оценка коэффициентов передаточных функций
определены на основании измерений, содержащих различного рода
случайные и систематические ошибки, и принятой математической
модели. Поэтому указанные оценки сами являются случайными.
Разброс оценок будем характеризовать величиной
среднеквадратичной ошибки.
Оценка среднеквадратичной ошибки может быть получена либо
непосредственно по результатам обработки совокупности
испытательных режимов, выполненных в идентичных внешних условиях,
либо расчетным путем на основании известных свойств метода
наименьших квадратов, используемого для определения комбинаций
этих коэффициентов (4.48), с последующей линеаризацией
выражений (4.53), (4.54), (4.55) и применением известной из теории веро-
161

а
аЛ1, I/C2
О)
а,
0,14
0,81
0,58
0,23
см
К
а>
0,14
0,78
0,60
0,22
а
аВ0г
£>l3
#23
У в
S
S
а
0,10
0,27
0,18
1,30
0,27
см
S
S
а»
а,
0,07
0,26
0,13
0,42
0,20
Таблица 4.4. ятностей формулы переноса
ошибок, например,
и Wn
/8в
2 2
'£ и
I /
и т. д. Вследствие этого
расчетные оценки
среднеквадратичных погрешностей
коэффициентов
определяются весьма приближеннэ.
В табл. 4.4 приведены
расчетные значения
среднеквадратичных ошибок
определения коэффициентов
передаточных функций
для двух режимов полета, приведенных на рис. 4.8
и 4~9.
Расчетные оценки среднеквадратичных ошибок коэффициентов
дают ориентировочное представление о точности определения
значений коэффициентов. Например, сопоставление данных таблицы
среднеквадратичных ошибок с данными, приведенными в таблице
коэффициентов, показывает, что коэффициенты В13 и В2з>
по-видимому, практически не определяются из приведенных режимов.
Проведенное моделирование на ЭВМ показало, что отклонение
значений коэффициентов В^ и В2з от полученных значений слабо влияет
на характер переходного процесса по перегрузке на
рассматриваемых режимах. Проверку соответствия полученных коэффициентов
реальному объекту осуществим сравнением экспериментальных
частотных характеристик и расчетных частотных характеристик,
определенных по найденным коэффициентам и принятой
математической модели. На рис. 4.10 расчетные частотные характеристики
нанесены пунктирной линией. Кроме того, по найденным
коэффициентам определим переходные процессы путем решения
дифференциальных уравнений при фактическом заданном входном сигнале.
Сравнение переходных процессов по перегрузке и угловой скорости
тангажа приведено на рис. 4.8 и 4.9. Совпадение экспериментальных
и расчетных частотных характеристик и экспериментальных и
расчетных переходных процессов свидетельствует о том, что
полученная модель отражает основные динамические свойства самолета на
рассматриваемых режимах полета.
4.5. ПРИМЕРЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ
УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
ПО ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ
В данном разделе представлены примеры определения
коэффициентов уравнений, описывающих боковое движение летательного
аппарата.
162

ID
5
0
-5
-10
-15
-29
-25^
шх
Чс
0,25
020
0,15
0,10
0,05
0
-0,05
-0,10
-0.15
,y
0,20
г 0,15
■ 0,10
0,05
■ 0
-0,05
-0,10
-Ц15
-0,70
0,30
0,20
0,10
0
-0,10
-0,20
r ~W
• -0,40
-0,50
■ 30
■ 25
■ 20
- 15
- 10
■ 5
- 0
■ -5
t-io
45
-20
-25
-30
ft, 2 niihjc
A I? u
10
20
JO
Рис. 4.11. Записи параметров движения при импульсе рулем направления бн
Для определения исходных данных — частотных характеристик,
на заданном режиме полета выполнялись импульсы рулем
направления. На рис. 4.11 представлен пример такого режима для
самолета Ан-12, а на рис. 4.12 приведены частотные характеристики,
полученные при обработке подобных режимов по методике,
изложенной в гл. 2. На рис. 4.13 представлен пример частотных
характеристик вертолета Ми-8, полученных по методике, изложенной
в гл. 2.
Если переходные процессы типа, например, приведенных на
рис. 4.11, свидетельствовали о том, что движение самолета на этих
режимах описывается линейной системой дифференциальных
уравнений вида (3.15), то частотных характеристик, представляемых
на рис. 4.10, достаточно для определения коэффициентов уравнений
бокового движения. Если же анализ переходных процессов,
используемых для определения частотных характеристик, показывал, что
пользоваться линейными уравнениями (3.15) нельзя, то
определялись частотные характеристики по дополнительным параметрам,
перечисленным в третьей главе. Например, когда решалась задача
определения зависимости коэффициентов уравнений бокового
движения в функции угла атаки, режимы импульсов педалями
выполнялись после выхода самолета на заданный угол атаки. Так как в
этом случае оо2^О, и в общем случае трудно добиться, чтобы
выполнялось условие со2 = const, то в левой части второго и третьего
уравнений системы (3.15) должны появиться члены *"" у со ^ и
163

•v,1/c
•
•
*•
100
-zoo
хх
•
•
X
%ххх
Ххх»
О 1 1 ш,1/с С
|~3J
200
wo
°
-WO
О 1 2 3 ш,1/с О
1,1
0,8
1 ш, 1/с О
X
X У
• •
.'х
X X
X
X
X
""$
X
вх
©х
X
300
100
100
1 ш,1/с О
1 Ш, 1/с
X
X
•х
•
хххх
хх?:х
Рис. 4.12. Амплитудно-фазовые частотные характеристики самолета Ан-12,
полученные по материалам летных исследований при импульсе рулем
направления 6Н:
0— режим 1; X — режим 2
— -(о/г соответственно. Поэтому в соответствии с методи-
кой определения коэффициентов системы уравнений при наличии
в них известных нелинейностей (см. разд. 3.2.3) необходимо
определять частотные характеристики по этим нелинейностям, в данном
случае параметры # = co?/ = coz и #2 = o)xcoz. На рис. 4.14 представлен
чо
20
м
0,8 16 2,1* 3,2 и, 1/С
CfA
7
/
h
*—-
60
40
20
О 0,8 16 21* 3,2 ш, 1/с
10
—-——.
о
16 2М 3.7 й), 1/С
иоо
200
О
0,8 1,6 2,h 3,2 ы, 1/с 0 0,8 1,5 2- 3,2 и, 1/с 0 0,8 IS 2h 3,2 ш 1/с
Р Р
Г Г
л м.
Рис. 4.13. Сравнение амплитудно-фазовых частотных характеристик вертолета
Ми-8, рассчитанные по коэффициентам, полученным разными методами:
полетные данные; расчетные данные по коэффициентам для метода 1;
0 — расчетные данные по коэффициентам для метода 2
164

•
•
•
®с
©
е
о
• •
•
•
е
е
«8
• в
• ©
О ©
300
zoo
109
6 и, 1/с О
•
©
а
•а
V
6 ш, //с
Рис. 4.14. Отношение преобразования Фурье параметра x2=(ux(uz к
преобразованию Фурье входного сигнала бн
пример частотных характеристик параметра Х2, полученного при
определении коэффициентов уравнений легкого транспортного
самолета.
По частотным характеристикам по методике, изложенной в разд.
4.2.3, определялись коэффициенты уравнений. При этом
необходимость использования ковариационной матрицы типа (4.24)
оценивалась путем анализа изменения по частоте со невязки v в
системе уравнений (4.16). Оценка величины этой невязки
определялась с использованием приближенного соотношения (4.23) и
значений элементов вектора неизвестных коэффициентов г, найденных
при решении системы (4.16) по методу наименьших квадратов. На
рис. 4.15 представлен пример зависимости дисперсии невязки D(v)
•от частоты со для одного из уравнений движения легкого
транспортного самолета, на основании анализа которой можно сделать вывод
о том, что невязка в данном случае практически не меняется по
частоте со, а это позволяет использовать для определения вектора
^неизвестных коэффициентов систему (4.16), находя ее решение
:в виде (4.18), и не искать решение в виде (4.25).
В результате использования частотных характеристик,
представленных на рис. 4.12, для одного из режимов были получены сле-
Таблица 4.5
щ
-0,428
—0,148
—0,83
—0,304
—0,476
—0,26
—0,23
1
!осР|и ^
о
О
6 со, //с
—0,397 Рис. 4.15. Пример зависимости
дисперсии невязки D[v] от часто-
ты со
. 165

дующие коэффициенты второго и третьего уравнений системы
(3.15) для самолета Ан-12 (см. табл. 4.5).
Для легкого транспортного самолета по аналогичной методике
были получены коэффициенты уравнений системы (3.15). В
качестве примера приведем матрицу коэффициентов А и матрицу
управления В для одного из режимов:
А =
В процессе выполнения процедуры нормирования были определены
дисперсии искомых коэффициентов как диагональные элементы
матрицы N:
D [Л7£] =0,21 1/с4; D[Mp]=0,\2 1/с2;
О[Мр]=0,Ш 1/с2; D\M$*\ =0,047 1/с4; -
0,275
60,5
3,12
0
0,0525
-1,4
' 0,007
1
1
0
-1,06
0
0,0215"
0
0
0
; в=
- о
-1,05
-1,25
0
=0,6 1/с4; Я
=0,001 1/с2;
=0,33 1/с2;
Г>]=0,048 1/с4.
Так как погрешность определения коэффициента Мшху велика,
значение этого коэффициента на основании априорных данных было
принято равным нулю.
Коэффициенты системы (3.15) были получены для нескольких
углов атаки. При определении коэффициентов в случае пу> 1
учитывались частотные характеристики по нелинейностям типа
представленных на рис. 4.14. В качестве примера полученных таким
образом данных на рис. 4.16 представлена зависимость
коэффициента Му$ от угла атаки а.
Коэффициенты системы уравнений (3.15) для вертолета
определялись как по частотным характеристикам, приведенным на
_fi ^ 4.13, так и по частотным
характеристикам и балансировочным кривым,,
рассматриваемым в разд. 3.2.2.
В табл. 4.6 представлены
коэффициенты бокового движения вертолета
Ми-8 для скорости полета V=
= 200 км/ч.
Как видно из рассмотрения
таблицы, все определяющие характер
бокового движения вертолета
производные, полученные по
материалам летных исследований двумя
методами, имеют отличия, приемлемые
для целей практики. Оценка
адекватности полученных результатов
-W0
-10
/
/
к
\
ос, градус
Рис. 4.16. Пример зависимости
производной М х от угла
атаки а
166

Таблица 4.6
Коэффициент
Методы 1
Метод 2
м\-м\
Щ
К
— I
—I
0
1/с2
,3
4
ПГу,
у
— I
— 1
0,
1/с
,55
,14
26
У
0
0
0
,8
,4
М н, 1/с2
У
1,85
—
мх
I
— 1
0,
1/с2
,43
,57
I
X
—0,42
X
—0
—0
о,
, 1/с
,55
,37
33
X *
1/с»
—30
—30,40
0,013
производилась по методике, изложенной в разд. 4.2. Рассмотрим
некоторые примеры.
Достоверность полученной математической модели в целом
оценивалась следующим образом.
Сравнивались записанные в полете переходные процессы по всем
параметрам движения с переходными процессами, полученными в
результате расчета, в котором использовались найденные
коэффициенты. Примеры приведены выше в разделе 4.3.
Сопоставлялись АФЧХ, которые служили исходным материалом
для решения задачи идентификации, с АФЧХ, полученными по
найденным коэффициентам уравнений. На рис. 4.11 приведен пример
подобной проверки.
Достоверность всего набора коэффициентов отдельного
дифференциального уравнения оценивалась следующим образом:
— строилась векторная диаграмма, соответствующая отдельному
дифференциальному уравнению, в которое подставлялась
вынужденная составляющая решения системы (3.15) при суносоидальном
входном сигнале. При построении • диаграммы использовались
АФЧХ, полученные в полете, и коэффициенты рассматриваемого
уравнения, найденные по этим АФЧХ. Если векторная диаграмма
практически замыкалась, что определяется вектором невязки, то это
свидетельствовало о достоверности определения всего набора
коэффициентов анализируемого уравнения;
— строилась векторная диаграмма режима свободных
колебаний, пример которой приведен на рис. 4.17/Для свободных
колебаний
' sin
*' sin
sin (
Шу (со));
(4.55)
где
£—действительная часть корня характеристического уравнения;
шу, ер — значения сгибающих свободных колебаний в момент,
(со), срр(со) —углы сдвига
167
принятый за начало отсчета; <рш (<О,

Рис. 4.17. Векторная диаграмма,
соответствующая режиму свободных колебаний
Рис. 4.18. Пример сопоставления левой и правой частей третьего уравнения
системы:
{ Щ — полетная запись; О — расчет;
tt*y f (oydt; 4—М^н \ bbHdt; 5—со^
О О
по фазе параметров угловых скоростей и угла скольжения
свободных колебаний.
Подставим, например, значения этих параметров в третье
уравнение движения системы (3.15.) Сократив на е«* левую и правую
части, получим
Сш % Sin (o^-f-cp^ (co))-|-Cco^ COS
=ШуЧ^ sin (со/ -f Tco,(^)) + MyV.c»y sin (со/ + ?ш^ Ы +
•); (4.56)
— сопоставлялись левая и правая части уравнений системы (3.15).
На рис. 4.18 приведен график изменения угловой скорости соу = /(/).
На него нанесены точки, определенные по переходным
процессам, полученным в полете, и точки, которые рассчитаны следующим
образом.
Рассмотрим третье уравнение системы (3.15):
Ш
Проинтегрируем левую и правую части
Z =М [Wdt+МуУ Uydt + MZ* Г со^/ + Ж,8н f Д8н£#. (4.58)
8 о ' о о6
Расчетные точки и определяют сумму членов £равш части, причем
величины аэродинамических коэффициентов My, Мр, М%* и My»
168

получены по методу наименьших квадратов, а Др^)> ®y(t), (ox(ty
и Абн(0—переходные процессы, полученные в полете. Из
сопоставления графиков видно, что у них приемлемая сходимость. Для
проверки достоверности этих коэффициентов использовались
обобщенные характеристики переходных процессов, таких, как период
и декремент затухания свободных колебаний и коэффициент х.
Как известно, действительную часть корня характеристического
уравнения £ можно определить по огибающей свободных
колебаний. Как показано в работе [4], этот же коэффициент можно
оценить по формуле
± (4.59)
где А = -.——г,-; Z — производная боковой силы по углу скольже-
(мх*)
ния, отнесенная к массе и скорости полета; Z =— .
Найдем из выражения (4.59) значения коэффициента Мру
подставив в него значения М\ и М%х, определенные по
результатам летных испытаний. Сопоставление значения коэффициента
МуУ, найденного из приведенного выражения, со значением,
определенным в полете, дает возможность оценить адекватность.
По формуле, приведенной в работе [4], найдем
— p. (4.60)
Подставив в (4.60) значение Л, полученное из анализа
переходного процесса (А=—0,57), и найденные по МНК значения
УИ>=0,8, полученные в полете, определим М\= — 4,2 1/с.
Сравнение этого значения My со значением коэффициента My,
найденного по частотным характеристикам, позволяет судить о его
достоверности.
По переходному процессу можно определить также отношение
максимальных значений угловых скоростей при свободных
колебаниях
В соответствии с методикой определения этого критерия [1]
му
откуда
169

Подставив значения х, полученные из анализа переходного
процесса, а также значения коэффициентов М"* и Му, найденных по
частотным характеристикам, в последнее выражение, получим М\.
Сопоставляя значение коэффициента М\ со значением этого же
коэффициента, определенного по частотным характеристикам,
оценим достоверность его определения.
4.6. ПРИМЕРЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДЛЯ ВЕРТОЛЕТОВ
В качестве примера рассмотрим определение по материалам
.летных испытаний коэффициентов системы уравнений (3.14),
описывающей продольное движение, для вертолета Ми-4.
Идентификация осуществлялась по методике, изложенной в разд. 3.2.2. Сначала
по методике, описанной в гл. 2, для ряда исходных скоростей полета
были получены частотные характеристики по параметрам d, ny, Q
и V. По частотным характеристикам по параметрам О и пу
в соответствии с методикой разд. 2.2.5 определялись частотные
характеристики по параметру а или по параметру Vy = aV.
Кроме частотных характеристик для определения
коэффициентов продольного движения [1] были получены следующие
балансировочные характеристики:
— по скорости полета при постоянном общем шаге и режиме
работы двигателя;
— по оборотам несущего винта при постоянной скорости полета
и постоянном общем шаге;
— по общему шагу при постоянной скорости полета и при
неизменном режиме работы двигателя.
Примеры балансировочных характеристик для У0 = 44 м/с
представлены на рис. 4.19—4.21. Угол атаки определяем следующим
образом:
Vu
a = fr — В = Ь — arcsin — .
С использованием этих исходных данных были определены
коэффициенты второго, третьего и четвертого уравнений системы
(3.24). На рис. 4-22—4.24 в качестве примера приведены значения
коэффициентов Yvy, Nl\* и My в соответствии с изложенной
методикой для ряда значений частоты со на каждой исходной скорости
полета. Зачетным значением искомого коэффициента принималось
математическое ожидание приведенных на каждой подобной
фигуре значений этого коэффициента.
Для оценки эффективности используемого метода
идентификации был проделан следующий комплекс проверок адекватности
полученной математической модели реальному полету на основании
сравнения ряда характеристик, определенных расчетным путем при
использовании полученной математической модели, и
характеристик, записанных непосредственно в полете.
170

Рис. 4.19.
Балансировочные характеристики по
скорости:
О — полет 1; ф — полет 2;
Л — полет 3
й&в,градус
-2
,10 15
ii5 50 55 С>0 V, м/с
В первую очередь следует убедиться в том, что полученная пэ
материалам летных исследований математическая модель в целом
соответствует исследуемому вертолету. Наиболее наглядный и
действенный способ проверки соответствия математической модели в
целом основан на использовании переходных процессов, которые
служили исходным материалом для определения частотных
характеристик. При этом осуществляется сравнение изменений по
времени параметров движения, записанных в полете, с изменением
этих же параметров, полученных на основании решения систем
дифференциальных уравнений с найденными в полете
коэффициентами при входном сигнале —отклонении руля, записанном в
полете (рис. 4.25). Хотя указанное сопоставление позволяет убедиться
в соответствии полученной в полете математической модели
вертолета записанным в полете переходным процессам, но при этом
нельзя определить из-за погрешностей каких коэффициентов
наблюдаются некоторые несоответствия в сравниваемых переходных
процессах. г
Следующим способом проверки соответствия исследуемому
объекту полученной математической модели в целом является
сравнение амплитудно-фазовых частотных характеристик, полученных в
полете, с характеристиками, полученными расчетным путем с ис-
171

* •*
Дав, градус
/
AQ, °
градус
20 x 1
л
и L
градус
.,
О
м\с
z
Аа,
градус
Ют- Р
6
ч
Z
0
-1
-6
—6
L _^
о
1
/1
X
5
/
О
^^
Q
8
*^
о
д
N
/
к/
7
N
д
Л
о|э
О Л
"То
г
- У
г
О
8—
У
/
i
i
1
!
9
У
s
0
о
-■ ■
Л
°/
Ч
4>0.L
^_
О—
О
0
и .градус
Рис. 4.20. Балансировочные характеристики по общему шагу при Fo=44 м/с
$ = 0:
О — полет 1; Л — полет 2
272

Рис. 4.21.
Балансировочные характеристики по
оборотам несущего
винта при У0=44 м/с;
88
0 — полет 2; О — полет 1;
Л — полет 3
Щ
oh
0,2
0
-0,2
градус
А \/
м/с
1
0
-2
-1
Да,
градус
'2
0
-2
R
градус
*
1^
| !
I j
| |
I
I
i
i
>
***
!
1
->*
1
1
^ L
L
0
I f
- ^s ~
- At
G
©
i
1 ' jd
—W
A
Л
2л
>^
i
j |
>
)
A
970
WOO
1050
о Й
•
1 °
S 3
' a j
7 I
«
i
7/7
JMuJ/c
ujj/o
Рис._4.22. Значения коэффициен- Рис 4.23. Значения коэффициента М 8в,По-
та Ул у, полученные из различных z
переходных процессов: лученные из различных переходных про-
_ f цессов:
С — режим 1; 0—режим 2; ^~
фежим 3; V —режим 4; А — режим 5 О — режим 1; 0— режим 2; ^— режим 3;
V — режим 4; А — режим 5; Ц — режим 6
М 5в 4,5 1/с2
173

#
0
5
о
о
•
д
0.5
O.B
0,7 0,8 ш, J/ci
Рис. 4.24. Значения коэффициента Млу ,
полученные по частотным характеристикам для
режимов второго типа:
О — режим 1; 0 — режим 2; Л — режим 3
7ма =з _рад/°2 )
9ср рад /
пользованием значений коэффициентов уравнений движения,
найденных в летном эксперименте.
Это сравнение в данном случае позволяет судить о надежности
метода, потому что коэффициенты определяются не только по
частотным характеристикам, но и по балансировочным кривым. Для
примера на рис. 4.26 сравниваются подобные частотные
характеристики вертолета Ми-4. Как видно, эти характеристики хорошо
совпадают, что свидетельствует о работоспособности метода.
Небольшие расхождения сравниваемых фазовых характеристик при
больших частотах объясняются тем, что в уравнениях системы (3.24) не
учитывается динамика несущего винта.
Весьма интересным способом оценки адекватности является
проверка каждого дифференциального уравнения. При этом для
Ад, градус
10
А^градус
I
-I
1
\
J
/
300
200
100
\
i
ь —
\
ч
-—,
1
—
i
t
1—1
I
1
А
О
3
0 0,5
Щ, градус
50
И
-50
h
/
2,0
2,5 и
1
Рис. 4.25. Запись возмущенного Рис. 4.26. Частотные характеристики верто-
движения вертолета: лета Ми-4 по углу тангажа, полученные не-
полетные данные; посредственно в полете и по коэффициен-
расчетные данные
гам уравнений:
по произвольным полетным записям;
расчетные данные; О — вынужденные
колебания в полете
174

Рис. 4.27. Переходный
зтроцесс продольного
^движения вертолета
,Ми-4
20^ п
J 10
0
-3
о
/
д
--1
-2
10
5
Q
щ
. /77
АПу п
0,1
п
-0,4
-// а
рад
градус /
\
V
.—*
/
/,
/
/
——
^^
^-
^
— —
*А&
. _
■
- —""
\
\
\
"An у
\
S
ч
6 t,C
каждого момента времени любого переходного процесса
вычисляются левые части дифференциальных уравнений движения, которые
находятся по правой части этих уравнений с полученными в полете
коэффициентами подставкой текущих значений приращений
параметров. Затем эти величины левых частей сравниваются с их
фактическими значениями, найденными в результате
дифференцирования параметров движения. Конечно, такой способ проверки не
очень точный, вследствие того, что в исследуемых уравнениях не
учитывается динамика несущего винта, но он все-таки годится для
качественной оценки.
Для иллюстрации такого способа рассмотрим пример проверки
результатов (идентификации математической модели) вертолета
Ми-4 на одной из скоростей полета. На рис. 4.27 представлена
запись начального участка одного из переходных процессов,
выполненных в полете для определения частотных характеристик.
На рис. 4.28—4.30 приведены результаты вычисления левой
части дифференциальных уравнений движения по их правым
частям, равным сумме произведений найденных в полете
коэффициентов на приращения соответствующих параметров движения,
которые представлены на рис. 4.27. Там же изменения по времени
полученных левых частей уравнений сравниваются с их
фактическими значениями, полученными дифференцированием
соответствующих параметров движения. Это сравнение указывает на то, что
уравнения с коэффициентами, полученными в полете,
удовлетворяют реальному переходному процессу.
Представленные на рис. 4.28—4.30 графики изменения по
времени левых частей уравнений движения вертолета определялись
для линейной системы (3.24). На тех же рисунках показаны
моменты, которые появляются при учете изменения величины равно-
175

Рис. 4.28. Изменение по времени приращений продольного момента, вызванных
приращениями отдельных параметров движения:
1 — у м : 2-ш : 3-Ж2Д2; 4-MvW; 5-ЖаД*; б-Ж^со и,.; 7—Ж^со.;
V
г
действующей несущего винта. Видно, что на режиме с малым
изменением вертикальной перегрузки нелинейные факторы оказывают
слабое влияние на динамику продольного движения вертолета.
Из анализа рис. 4.28—4.30 следует, что при предлагаемом
способе проверки нельзя убедиться в правильности определения ряда
малых коэффициентов вследствие погрешностей
дифференцирования параметров движения, определения больших по величине
коэффициентов и пренебрежения динамикой несущего винта. Поэтому
целесообразно дополнительно проверить полученные результаты
путем анализа характеристического уравнения системы уравнений
движения вертолета, полученного с помощью найденных в полете
коэффициентов.
В этом случае по корням характеристического уравнения
находятся параметры свободных колебаний, которые сравниваются с
аналогичными параметрами, полученными по записи в полете дви--
176

Рис. 4.29. Изменение по
времени приращений проекции сил
на ось OY, вызванных
приращениями отдельных параметров
движения:
1- V У; 2-Lnyg\ 3-Т2Д2;
4-YVbV\ 5-Г6вда ; 6-ТаДа
жения вертолета с зажатой ручкой управления. Например, на
рис. 4.31 приведена запись выполненного в полете режима с
зажатым управлением. По этим записям можно найти период Т и время
удвоения амплитуды колебаний параметров движения U (Г = 34 с
и ^2= Ю2 с). Значения этих же параметров свободного движения,
вычисленные с помощью полученных в полете коэффициентов,
равны Г = 33,5 с, /2 = 92 с.
Достаточно хорошее совпадение значений Т и t2, полученных по
полетным записям свободного движения и расчетным путем,
также свидетельствует об адекватности полученных параметров
математической модели и ЛА.
При проведенной оценке адекватности несоответствие в
отдельных случаях расчетов по полученной в результате идентификации
модели и полетных записей объяснялось отсутствием учета
динамики несущего Бинта в системе (3.24), при составлении которой
предполагалось, что несущий винт мгновенно реагирует на отклонение
автомата перекоса и на приращение параметров движения.
Рассмотрим, нужно ли учитывать динамику несущего винта при
определении коэффициентов уравнения.
В работе [11], в которой теоретически исследовалась динамика
несущего вин га, показано, что передаточную функцию несущего
177

у
V
градус
Г
1
г
._
-г
j
I
i
л
2
3
/
^^—ч
1
^ ^
-^J
Г
^^
-
7 2 7 ^ 6,Г
Рис. 4.30. Изменение по времени приращений момента относительно оси
времени несущего винта, вызванных приращениями отдельных параметров движе-
1-Д2; 2-2'V 3~^А2' 4-AI^AV; 5-л5^вДбв; 6-Ж^Да
винта, описывающую движение равнодействующей при отклонении
автомата перекоса, можно с достаточной точностью представить
в виде
V+1
В случае, если динамикой несущего винта пренебрегаем, т. е.
полагаем Де = £)1А6в, передаточные функции вертолета по
параметрам О, VVl9 1/ий будут определяться системой уравнений (3.24).
Обозначим эти передаточные функции как
Этим передаточным функциям будут соответствовать частотные
характеристики
178

которые уже
использовались в гл. 3 для
построения векторных диаграмм.
Если учитывать динамику
несущего винта, то
передаточные функции
вертолета будут равны
произведению передаточных
функций без учета
динамики несущего винта на
передаточную функцию
несущего винта:
Де ,„, I
A i% градус
-k
о
-1
Рис.
Ми-4
/
/
\
/
\
\
\
/
30 НО 50 ВО
80 t,c
4.31. Свободные колебания вертолета
AV
AQ
£>1 ДЬВ
I Де
£>1 Л&в
1 Де
£>1 А5В
Положив p = iG), найдем частотные характеристики продольного
движения вертолета с учетом возмущенного движения несущего
винта:
' = /\у
В результате получим выражения для учета динамики
несущего винта:
179

Из этих выражений следует, что для реальных значений Ть =
= 0,05 ...0,15 с при частотах coZ3 1/с, а частотные характеристики
вертолета для более высоких частот нет необходимости определять,
возмущенным движением несущего винта при определении
амплитудных частотных характеристик можно пренебречь. В случае
определения фазовых частотных характеристик поправка,
учитывающая динамику несущего винта, равна Аф = со7'. Как показывает
опыт летных исследований, для определения коэффициентов
уравнений обычно используются частотные характеристики при
(oZl 1/с, когда Акр не превышает 4—6°, что более чем в два раза
меньше среднеквадратичной погрешности определения фазовых
частотных характеристик. Следовательно, в случае использования
частотных характеристик при частотах, меньших о) = 1 1/с,
динамикой несущего винта можно пренебречь.
Этот вывод относится к учету переходных процессов движения
равнодействующей к оси конуса лопастей при отклонении только
автомата перекоса. Однако его можно распространить вообще на
учет динамики несущего винта в целом, так как постоянные
времени, учитывающие запаздывание равнодействующей к оси конуса
лопастей при изменении других параметров движения, такого же
порядка, что и Гб.
В изложенной выше методике предлагается ряд коэффициентов
определять при больших частотах. Поэтому следует рассматривать
вопрос о необходимости учета динамики несущего винта при
определении фазовых частотных характеристик для этих частот.
Проиллюстрируем это на примере определения коэффициента
Ml3. Как уже говорилось, векторный многоугольник продольных
моментов в случае, когда динамикой несущего винта пренебрега-
ется, вырождается при больших частотах в треугольник. Построим
векторный многоугольник с учетом динамики несущего винта, для
чего воспользуемся приведенной выше передаточной функцией.
Демпфирующий момент будем считать равным Мшго*г, где со2* и
o)z связаны [11] передаточной функцией
Построим векторный многоугольник моментов для частоты со =
= 3 1/с. Этот многоугольник представлен на рис. 4.32.
Спроектировав его на ось, параллельную стороне Л^со2, будем
иметь
C°S f?my"eCP«*^+^BC0SCP*""
У ( "z**) +
T со
V (
sin (?5-<
В этом уравнении при больших значениях со второй и четвертый
180

Рис. 4.32. Векторная
диаграмма продольных
моментов вертолета Ми-4 при
A6B=sin(u£, построенная с
учетом динамики несущего
винта (со = 3 1/с)
b))2** Масштаб 1 >/c2
/
члены на порядок больше остальных. Это позволяет упростить
первый и третий члены, сделав следующие предположения (см.
рис. 4.30):
cos (?«*-
1;
Sin (cpe — с
С учетом этих предположений получим следующее выражение для
производной:
я/f 8_
Вследствие того, что при больших значениях (ocoscp#~l, а
постоянные времени Тш И7"8 примерно на порядок меньше единицы я
близки по величине, вторым членом в знаменателе выражения для
определения м%я можно пренебречь. В этом случае будет получено
выражение, уже выведенное выше без учета динамики несущего
винта.
Следовательно, при определении коэффициента Mz* по частотным
характеристикам при co>(Oi возмущенным движением несущего
винта можно пренебречь.
Точно так же можно доказать, что динамику несущего винта
можно не учитывать при определении коэффициентов Мув и К*в
по частотным характеристикам при больших значениях частоты..
Следовательно, пренебрежение динамикой несущего винта в
уравнениях (3.24) не вносит существенных ошибок в определение
коэффициентов этих уравнений по частотным характеристикам. Однако
это допущение надо иметь в виду при оценке адекватности (см.
рис. 4.26—4.28) и особенно при использовании методов
идентификации во временной области для вертолетов.
18Е

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Акимов А. И., Берестов Л. М., Михеев Р. А. Летные испытания
вертолетов. М.: Машиностроение, 1980. 399 с.
2. Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов: Пер. с
англ. М.: Мир, 1974. 464 с.
3. Берестов Л. М. Моделирование динамики вертолета в полете. М.:
Машиностроение, 1978. 158 с.
4. Бюшгенс Г. С, Студнев Р. В. Динамика пространственного движения
самолета. М.: Машиностроение, Г979. 349 с.
5. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1964. 676 с.
6. Гроп Д. Методы идентификации систем: Пер. с англ. М.: Мир, 1979,
302 с.
7. Дейч А. М. Методы идентификации динамических объектов. М.: Энергия.
1979. 240 с.
8. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.
•Физматгиз. 1960, 659 с.
9. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения: вып. 1—2
Пер. с англ. М.: Мир. 1971. вып. 1—2, 316 с.
10. Калачев Г. С. Показатели маневренности, управляемости и устойчивости
самолетов. М.: Оборонгиз. 1958. 132 с.
11. Кожевников В. А. Автоматическая стабилизация вертолета. М.:
Машиностроение. 1977. 152 с.
12. Колесников К. С, Сухов В. Н. Упругий летательный аппарат как объект
•автоматического управления. М.: Машиностроение. Г974. 268 с.
13. Кузовков Н. Т. Теория автоматического регулирования, основанная на
частотных методах. М.: Оборонгиз. 1960. 446 с.
14. Кузовков Н. Т., Карабанов С. В. Непрерывные и дискретные системы
управления и методы идентификации. М.: Машиностроение. 1978. 221 с.
15. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа: Пер. с англ. М.
Физматгиз, 1961. 517 с.
16. Планирование эксперимента в исследовании технологических процессов./
.Под ред. Э. К. Лецкого М.: Мир. 1977. 552 с.
17. Мановцев А. П. Основы радиотелеметрии. М.: Энергия, 1973. 592 с.
18. Остославский И. В. Аэродинамика самолета. М.: Оборонгиз, 1957. 560 с.
19. Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов. Пер: с англ.
М.: Мир, 1982. 428 с.
20. Пешель М. Моделирование сигналов и систем: Пер. с нем. М.: Мир, 1981.
300 с.
21. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ: Пер. с англ. М.: Мир, 1980.
156 с.
22. Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В. Курс теории вероятностей и
математической статистики для технических приложений. М.: Наука, 1965. 511 с.
23. Снешко Ю. И. Исследование в полете устойчивости и управляемости
самолета. М.: Машиностроение, 1971. 327 с.
24. Солодовников В. В. Частотный метод в теории автоматического
регулирования. — В кн.: «Автоматическое управление и вычислительная техника», вып.
8. Частотные методы. М.: Машиностроение, 1968. 529 с.
25. Трахтман А. М. Введение в обобщенную спектральную теорию сигналов.
М.: Советское радио, 1972, 352 с.
26. Харкевич А. А. Спектры и анализ. М.: Физматгиз, 1962. 236 с.
27. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование: Пер. с англ.
М.: Мир, 1975. 534 с.
28. Худсон Д. Статистика для физиков: Пер. с англ. М.: Мир, 1970. 296 с.
29. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления: Пер. с англ. М.:
Мир, 1975. 583 с.
30. Doetch К. Н. The Time Vector Method for Stability Investigation. ARC
ЯМ. 1957, N 2945. 36 p.
31. Grabe M. Note on the application on the method of least Squares Metro-
logia. 1978, 14, N 4, p. 143—146.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1 3
Математические модели движения летательных аппаратов
1.1. Формы представления математических моделей движения летательнь ' 6
аппаратов. Применение различных видов моделей в авиационной практик4
1.2. Уравнения движения летательных аппаратов # ~.
1.2.1. Общая математическая модель пространственного движения* Л А
как системы материальных точек j
1.2.2. Линейная математическая модель пространственного движения
Л А как системы материальных^ точек 13
1.2.3. Линейная математическая модель продольного движения
самолета как системы материальных точек 17
1.2.4. Линейная математическая модель бокового движения самолета
как системы материальных точек ,. . 18
1.2.5. Линейная математическая модель продольного короткопериоди-
ческого движения (самолет, вертолет) 18'
1.2.6. Линейная математическая модель, описывающая изменение угла
тангажа и скорости вертолета 19*
1.2.7. Линейная математическая модель изменения высоты полета
вертолета 19*
1.2.8. Линейная математическая модель движения крена самолета и
вертолета на режиме поступательного движения 20
1.2.9. Линейная математическая модель изолированного движения
рыскания самолета и вертолета на режиме поступательного движения 20!
1.2.10. Математическая модель, описывающая боковое движение
вертолета на режиме висения 20:
Глава 2
Определение частотных характеристик 21
2.1. Метод, основанный на анализе произвольных переходных процессов 21
2.1.1. Детерминированные возмущения 26'
2.1.2. Методы вычисления оценок спектрального состава
детерминированных сигналов 34
2.1.3. Особенности определения спектрального состава сигналов,
полученных на режимах со слабым затуханием переходных процессов . . 53
2.1.4. Технология автоматизированной обработки измерительной
информации при определении частотных характеристик 57
2.1.6. Погрешности определения частотных характеристик 62
2.2. Примеры определения частотных характеристик при летных
испытаниях неустойчивых объектов 71
2.3. Определение частотных характеристик по результатам косвенных
измерений 79
2.4. Пример определения частотных характеристик при наличии
полигармонической помехи 84
Глава 3
Расчетные схемы определения параметров математической модели . . 91
3.1. Определение коэффициентов передаточных функций 921
3.2. Определение коэффициентов уравнений движения летательного
аппарата 95
3.2.1. Использование только амплитудно-фазовых частотных
характеристик 95
3.2.2. Использование частотных и балансировочных характеристик . 103
3.2.3. Особые случаи определения коэффициентов уравнений 111
3.2.4. Получение коэффициентов дифференциального уравнения
второго порядка по амплитудной частотной характеристике по методу
«фиктивных частот» 126;
:18а

Глава 4
Примеры практического применения частотных методов
идентификации при летных испытаниях 129
4.1. Рекомендации по выбору вида математической модели 130
4.1.1. Полетная запись переходных процессов движения летательных
аппаратов 132
4.1.2. Полученные в полете балансировочные характеристики . ... 133
4.1.3. Частотные характеристики, полученные в результате обработки
записанных в полете переходных процессов 133
4.1.4. Априорные сведения об исследуемом летательном аппарате . . 134
4.2. Общие соображения об оценке адекватности 135
,4.3. Планирование эксперимента 142
4.4. Пример определения коэффициентов передаточных функций летатель-
лых аппаратов 154
4.4.1. Постановка задачи определения коэффициентов передаточных
функций 154
44.2. Расчетная схема определения коэффициентов передаточных
функций 156
44.3. Результаты определения коэффициентов передаточных функций
продольного короткопериодического движения на примере модели
самолета 158
444. Качественная оценка адекватности параметров математической
модели и характеристики исследуемого объекта 161
4.5. Примеры определения коэффициентов уравнений движения
летательных аппаратов по частотным характеристикам 162
4.6. Примеры определения параметров математической модели для
вертолетов 170
Список литературы ' . 182
Борис Кириллович Поплавский,
Леонид Михайлович Берестов,
Людмила Яковлевна Мирошниченко
ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ
ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
Редактор Я. А. Суворова. Художественный редактор В. В. Лебедев.
Обложка художника Е. Н. Волкова. Технический редактор Я. М. Харитонова.
Корректор Л. Е. Сонюшкина
ИБ № 4704
Сдано в набор 25.01.85. Подписано в печать 03.04.85. Т-08132.
Формат 60x90Vi6- Бумага типографская №^2. Гарнитура литературная.
Печать высокая. Усл. печ. л. 11,5. Усл. кр.-отт. 11,75. Уч.-изд. л. 11,83.
Тираж 1207 экз. Заказ 1188. Цена 60 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Машиностроение»
107076, Москва, Стромынский пер., 4
Московская типография № 8 Союзполиграфпрома при Государственном комитете
СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
101898, Москва, Центр, Хохловский пер., 7.