П. ШАМБАДАЛЬ
РАЗВИТИЕ
И ПРИЛОЖЕНИЯ
ПОНЯТИЯ
ЭНТРОПИИ
Перевод с французского
в. г. хозяиновл
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1967

536
Ш 21
УДК 536.75
EVOLUTION
ЕТ APPLICATIONS
DU CONCEPT
D'ENTROPIE
PAR P. CHAMBADAL
DUNOD PARIS 1963
Развитие и приложения понятия энтропии. П. Ш а м б а-
д а л ь. Перевод с французского.
Подробно излагается история возникновения и развития понятия
энтропии, играющего фундаментальную роль в современной науке.
Помимо чисто статистических приложений исследуется вопрос о
возможности применения понятия энтропии к живым системам.
Книга заканчивается главой, посвященной философским аспектам
понятия энтропии.
Таблиц 1, иллюстраций 35, библиогр. 76.
2-3-5
115-67

Оглавление
От редакции 6
Предисловие ?
Глава первая
ДВА ПРИНЦИПА ТЕРМОДИНАМИКИ
§ 1. Первый принцип, или принцип эквивалентности . . 11
§ 2. Место первого принципа в ряду физических законов 13
§ 3. Внутренняя энергия 14
§ 4. Приложения первого принципа 17
§ 5. Энтальпия 22
§ 6. Следствия из первого принципа 25
§ 7. Второй принцип, или принцип Карно 26
§ 8. Физический смысл второго принципа 29
§ 9. Обратимые процессы 33
§ 10. Цикл Карно 35
§ 11. Эквивалентность рабочих тел и влияние необратимости 39
§ 12. Замечания о свойствах цикла Карно 42
§ 13. Значение второго принципа 44
Глава вторая
ЭНТРОПИЯ И ЕЕ РОЛЬ В ТЕОРИИ
ТЕПЛОВЫХ МАШИН
§ 14. Происхождение понятия энтропии 47
§ 15. Математическая интерпретация 51
§ 16. Представление цикла Карно на диаграмме Г, S . . . 53
§ 17. Произвольный обратимый цикл 54
§ 18. Вмешательство необратимости 57
§ 19. Интерпретация энтропии с помощью аналогий ... 61
§ 20. Физический смысл энтропии 63
§ 21. Построение диаграммы Г, S для газа 68
§ 22. Построение диаграммы Я, 5 для газа или смеси газов 71
§ 23. Построение диаграммы Т, S для пара 76
§ 24. Представление тепловых циклов водяного пара на
диаграмме Т, S 80
§ 25. Эпюра Бульвена 86
§ 26. Диаграмма Я, S для паров воды 91

4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава третья
ЭНТРОПИЯ И ЭНЕРГИЯ
§ 27. Полезная энергия 95
§ 28. Выражение полезной энергии рабочего тела .... 98
§ 29. Производство работы с помощью вспомогательного
рабочего тела 102
§ 30. Коэффициент энергетического использования . . . 104
§ 31. Диаграммы полезной энергии воздуха и газообразных
продуктов горения 109
§ 32. Диаграммы полезной энергии паров воды 113
§ 33. Энергетический к. п. д 116
§ 34. Энергетический баланс 121
§ 35. Энтропия и энергия физико-химических превращений 127
§ 36. Условия равновесия и термодинамические потенциалы 131
§ 37. Диаграммы G, Н Коломби 135
§ 38. Принцип максимальной работы и третий принцип
термодинамики 137
§ 39. Энтропия и энергия излучения 140
Главая четвертая
ЭНТРОПИЯ И ВЕРОЯТНОСТЬ
§ 40. Возникновение механической теории тепла .... 144
§ 41. Элементы кинетической теории газов 146
§ 42. Кинетическая теория и тепловые свойства газа . . . 149
§ 43. Формула Больцмана. Первый вывод 153
§ 44. Определение постоянной в формуле Больцмана . . . 156
§45. Формула Больцмана. Второй вывод 160
§£46. Формула Больцмана. Третий вывод 163
§^47. Парадокс Лошмидта 166
§48. Сравнение формулы Больцмана с двумя другими зна-
(с| менитыми формулами 169
§ 49. Приложение формулы Больцмана ко всей Вселенной 171
§ 50. Слабость формулы Больцмана 174
§ 51. Формула Больцмана в свете современной логики . . . 177
§ 52. Критика формулы Больцмана в работе Верле . . . 180
Глава пятая
ЭНТРОПИЯ И ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ
§ 53. Связь между информацией и энтропией 182
§ 54. Измерение информации 185
§ 55. Составные и частичные информации 188
§ 56. Введение постоянной Больцмана и его следствия . . 189
§ 57. Физический смысл отождествления информации и
энтропии 192
§ 58. Двойной дуализм энтропия — информация .... 194

ОГЛАВЛЕНИЕ
5
§ 59. Задача Сциларда: производство работы с помощью
одной молекулы 196
§ 60. Критический анализ решения задачи Сциларда . . . 199
§ 61. «Демон» Максвелла 203
§ 62. Попытки «изгнания» демона 207
§ 63. Связи между термодинамикой и теорией информации 211
Глава шестая
ЭНТРОПИЯ И ТЕОРИЯ СМЕШЕНИЯ ГАЗОВ
§ 64. Предварительные замечания 216
§ 65. Смешение двух тождественных газов при различных
температурах или давлениях 217
§ 66. Смешение различных газов, находящихся при одном
давлении и одной температуре 218
§ 67. Парадокс Гиббса 221
§ 68. Полезная энергия смеси газов 223
§ 69. Частный случай: смесь азота и кислорода 226
§ 70. Диффузия газов сквозь полунепроницаемые
перегородки 229
§ 71. Разделение компонентов смеси с помощью
полунепроницаемых перегородок 232
§ 72. Несимметричные полунепроницаемые перегородки 237
§ 73. Демон-«разделитель» 241
§ 74. Промышленное разделение смесей газов 242
§ 75. Заключительные замечания к теории смешения . . . 245
Глава седьмая
ЭНТРОПИЯ И ФИЛОСОФСКАЯ МЫСЛЬ
§ 76. Необычайная судьба понятия энтропии 247
§ 77. Космология Больцмана 249
§ 78. Теорема Пуанкаре и замечания Бореля 252
§ 79. Понятие энтропии в философской концепции Эддинг-
тона 254
§ 80. Критика космологических теорий, основанных на
втором принципе термодинамики 258
§ 81. Энтропия и жизнь 261
§ 82. Энтропия и философское мировоззрение 267
§ 83. Другой принцип Карно 274
Предметный указатель 277

ОТ РЕДАКЦИИ
Энтропия — одно из важнейших и
фундаментальных понятий, выдвинутых наукой за последнее
столетие. История ее появления и становления в физике —
яркий пример борьбы идей и проникновения человека
в тайны материального мира. Сама идея о
необратимости, возникающей в системах, где действуют вполне
обратимые законы механики, объяснение общих
законов термодинамики на основе молекуляр
но-кинетических представлений — принадлежат к блестящим
достижениям человеческого разума. Сегодня энтропия
заняла прочное место в самых различных областях
науки и техники и является одним из краеугольных камней
нашего миропонимания. В то же время в широких
кругах неспециалистов до сих пор распространены довольно
превратные представления о сущности и роли энтропии
в окружающем нас мире.
Книга П. Шамбадаля предназначена в первую очередь
для тех, кто хочет уяснить себе эти основополагающие
идеи современного естествознания. Это не специальное
исследование, хотя книга и содержит некоторые
оригинальные результаты. Три первые главы имеют более
технический характер и посвящены довольно
подробному изложению теории тепловых машин, что,
вероятно, объясняется профессиональными интересами
автора. Однако затем книга меняет свой облик и
приближается скорее к научно-популярному очерку,
написанному с большим блеском.
В книге рассмотрены и некоторые спорные вопросы,
причем трактовка их целиком лежит на совести автора,
который сам делает оговорку, что постановку и решение
им ряда проблем нельзя считать окончательными.
Это относится прежде всего к проблеме «демона»
Максвелла, задаче о смешении газов и т.д. Вопросы эти нельзя
считать решенными, как, конечно, и саму проблему
логического обоснования статистической механики.
Несколько субъективным является освещение автором
философских проблем, да и сам выбор философских
концепций, которые он разбирает. Однако вдумчивый
читатель найдет в книге П. Шамбадаля много интересных
мыслей, которые, возможно, приведут его к собственным
оригинальным выводам.

Предисловие
Необыкновенная судьба ожидала функцию, введенную
в 1850 г. Клаузиусом и названную им энтропией.
Встреченная сначала с некоторым недоверием, она в
дальнейшем не только заняла почетное место в термодинамике, но
и завоевала такие области, которые на первый взгляд были
ей совершенно недоступны.
В отличие от других физических величин, типа
температуры и давления, энтропия не поддается
непосредственному восприятию и не может быть легко измерена. Она
определяется лишь математическим выражением и
выглядит поэтому абстрактной, если не искусственной
величиной. Недаром появление энтропии в термодинамике
вызвало ожесточенную полемику и оставшиеся навсегда
знаменитыми споры. Полемика эта не помешала, однако,
энтропии с самого начала занять важнейшее место в теории
тепловых машин — именно этими приложениями понятия
энтропии мы и займемся в первую очередь. Вначале мы
напомним основные положения термодинамики, обратив
особое внимание на понятие обратимого процесса и
принцип Карно. Затем мы покажем, насколько плодотворным
оказалось введение в термодинамику понятия энтропии,
и выясним основные причины такого успеха. Это поможет
нам установить, что физический смысл энтропии отнюдь
не столь непостижим, как это принято иногда думать,
и что величина, скрывающаяся за интегралом Клаузиуса,
не более таинственна, чем, скажем, удельная теплоемкость
вещества. Поскольку в теории тепловых машин изменения
энтропии часто выражают с помощью соответствующих
диаграмм, то мы укажем методы построения некоторых
так называемых «энтропийных» диаграмм для газов
и для паров воды.
Особенно интересный пример использования понятия
энтропии в термодинамике представляет ее применение для
определения полезной энергии. Мы установим выражение

8
ПРЕДИСЛОВИЕ
для полезной энергии, обращая особое внимание на
возможность различных физических толкований этой
величины. Далее будут приведены некоторые диаграммы
полезной энергии и введены два связанных с ней важных
понятия: коэффициент полезного действия и
энергетический баланс тепловой машины. Известно, что понятие
энтропии относится не только к чисто термодинамическим,
но и к физико-химическим процессам, причем энтропия
входит в выражения для термодинамических потенциалов.
О возможных применениях их мы расскажем. Наконец,
среди различных форм энергии, при исследовании которых
применяется понятие энтропии, фигурирует и энергия
излучения. Это приведет нас к изучению энтропии с новой
точки зрения — к рассмотрению ее как статистической
величины.
Чтобы сделать возможно более ясным понятие
энтропии в этом аспекте, мы изложим основы кинетической
теории газов и покажем, каким образом последняя
позволила объяснить тепловые свойства газообразных тел.
Энтропия потребовала особой интерпретации, которой мы
обязаны Больцману и для которой характерны
представления о дискретности и вероятности. Формулу Больцмана
можно вывести несколькими способами, имеющими
различные достоинства. Мы считаем полезным
последовательно разобрать эти способы, прежде чем перейти к
парадоксу Лошмидта и тем ограничениям, которые надо иметь
в виду, применяя соотношение между энтропией и
вероятностью.
Это соотношение привело многих физиков к
установлению связи между энтропией и информацией: энтропия,
которая, согласно формуле Больцмана, есть мера
беспорядка в системе, становится, таким образом, мерой нашего
незнания деталей внутреннего строения системы.
Элементарное изложение основ теории информации покажет, что
между этой теорией и термодинамикой действительно
существует связь; вместе с тем исследование физического
смысла отождествления информации с энтропией поможет
нам показать сомнительность некоторых выводов, которые
пытались делать на основе такого отождествления. Этот
важный вопрос будет проиллюстрирован некоторыми
примерами, среди которых фигурирует и парадокс Максвелла:

ПРЕДИСЛОВИЕ
9
с нашей точки зрения «демон», выдуманный Максвеллом,
не поддается так легко «изгнанию», как это думают
некоторые специалисты по теории информации.
Существует по крайней мере одна область, где два
аспекта энтропии (макроскопический и микроскопический)
проявляются одновременно: это теория смешения газов.
В своем современном виде она ведет к парадоксу Гиббса,
согласно которому возрастание энтропии происходит и в том
случае, когда обе компоненты смеси, которые, как
предполагается, имеют одинаковое давление и одинаковую
температуру,— суть тождественные газы. Такой вывод
скорее всего указывает на ошибочность современной теории
смешения газов. Мы приведем здесь исследование этого
вопроса, недавно опубликованное нами в двух
специальных журналах (французском и английском); в обоих
случаях оно вызвало дискуссию. Эта дискуссия позволила
уточнить и углубить различные проблемы, возникающие
в этой теории, а также ту роль, которую играет «энтропия
смешения» в каждой из них.
Не удивительно, что столь своеобразное и тонкое
понятие, как энтропия, привлекло внимание многих ученых
и мыслителей, интересы которых были очень далеки от
термодинамики и которые стремились приписать энтропии
не всегда оправданный философский смысл. Пример был
подан самим Клаузиусом, который видел в законе
возрастания энтропии свойство, присущее всей Вселенной,
взятой в целом. С тех пор закон изменения энтропии в одном
определенном направлении, а также статистическая
природа этой величины многократно использовались в
космологических, биологических и даже философских
исследованиях. Последнюю главу этой книги мы посвятили
истории вторжения понятия энтропии в общее научное и
философское мышление, вторжения, не позволившего решить
ни одной из великих проблем, стоящих перед разумом
человека, но именно поэтому чрезвычайно поучительной.
Таким образом, предлагаемая книга имеет двоякую цель:
будучи в основном посвящена практическим применениям
понятия энтропии, она в то же время стремится освободить
это понятие от слишком часто окружающего его тумана.
Иными словами, эта книга предназначается инженерам
и физикам, а также всем тем, кто интересуется развитием

10
ПРЕДИСЛОВИЕ
научной мысли в более широком плане. Я пытался сделать
книгу по возможности доступной всем читателям, даже тем,
кто не знаком с термодинамикой. Чтение ее облегчается еще
и тем, что математический аппарат сведен к минимуму.
Как можно понять из предшествующего, в моем понимании
энтропии главную роль играет вовсе не ее математическое
выражение.
Но я отнюдь не стремился создать исчерпывающее
руководство по всем вопросам, касающимся применения понятия
энтропии. Поэтому во избежание перегрузки книги были
опущены некоторые безусловно интересные вопросы,
скажем, такие, как вопрос об использовании понятия
энтропии в теории холодильных машин. По тем же причинам
некоторые проблемы рассмотрены довольно бегло. Но при
этом всюду указана литература, где читатель может
получить дополнительные и более точные сведения.
Наконец, если в некоторых случаях (в частности, в гл. 5,
6 и 7) позиция автора не совпадает с общепринятой, он
нисколько не стремится навязать ее читателю. Я буду
считать, что моя цель достигнута, если мне удалось ясно
показать тесную связь понятия энтропии с большим числом
проблем различного рода, причем каждая из этих проблем
достойна размышления. Мои собственные взгляды на
проблемы энтропии формировались в процессе изучения
тепловых машин. Сравнительное исследование различных
источников энергии заставляет постоянно прибегать к
фундаментальным принципам термодинамики и тем
приложениям, которые эти принципы находят не только в различных
областях техники, но и в сфере человеческой мысли в самом
широком смысле. Однако развитые здесь идеи — в любой
области —, естественно, целиком лежат на совести
автора книги.

Глава первая
Два принципа термодинамики
§ 1. Первый принцип, или принцип эквивалентности
В своем современном состоянии термодинамика — наука
очень широкого профиля, так как она занимается всеми
физическими или химическими изменениями и
превращениями тел. Но первоначально, как показывает само
название, эта наука ограничивалась исследованием связей между
тепловыми и механическими явлениями; соответственно
первый принцип термодинамики, или принцип
эквивалентности, относится только к двум формам энергии: тепловой
и механической.
Этот принцип (как, впрочем, и все другие научные
принципы) имеет эмпирическое происхождение. Уже в конце
XVIII века было известно, что расточка ствола пушки
приводит к его нагреванию, и граф Румфорд (из Мюнхена)
пришел к заключению, что в результате работы сил трения
возникает тепло. Но этот вывод был отвергнут
современниками, так как он противоречил их концепции
«теплорода»— невесомой жидкости, якобы не исчезающей и не
возникающей вновь. И только к середине XIX века была
окончательно признана возможность превращения тепла
в работу *). Чтобы определить соотношение между
некоторым количеством тепла и сопоставляемой ему работой, надо
рассмотреть систему, которая способна обмениваться
работой или теплотой с окружающей ее средой, а в конце
опыта возвращается в первоначальное состояние. Это
последнее условие очень важно, так как оно накладывает
ограничения на возможные превращения, претерпеваемые системой
в процессе указанных взаимодействий. Первый принцип
х) Заметим, что еще в 1750 г. М. В. Ломоносов в своей
работе «Размышление о причине теплоты и холода» высказывался
против учения о теплороде и' доказывал, что теплота — это движение
частиц вещества. (Прим. перев.)

12
ДВА ПРИНЦИПА ТЕРМОДИНАМИКИ
[ГЛ. 1
утверждает, что при выполнении данного условия
отношение количеств тепла и работы, которыми система
обменивается со средой, остается всегда постоянным. Так, если
над системой была произведена работа W, причем по
возвращении в начальное состояние система отдала
(например, какой-то массе воды) количество тепла Q, то величины
W и Q связаны соотношением
WWQ, (1)
где J — постоянный коэффициент, значение которого
зависит только от выбора единиц измерения .W и Q.
Величина J впервые была установлена Р. Майером,
который в статье, опубликованной в 1842 г., определил ее
из величин удельных теплоемкостей газа при постоянном
давлении сР и постоянном объеме cv. Соотношение Майера
гласит:
Ср-С = 4-- (2)
Здесь R — постоянная, характеризующая
рассматриваемый газ и входящая в уравнение состояния газа (по
предположению идеального)
pv = RT, (3)
где р — давление газа, v — его удельный объем, аГ —
абсолютная температура.
В следующем (1843) году величина J была
экспериментально измерена Джоулем. В дальнейшем, правда, новые
эксперименты привели к более точному значению J,
отличному от найденных Джоулем и Майером. Если выражать
количество тепла в килокалориях, а работу — в
килограммометрах, то J = 427, что можно выразить словами
так: механический эквивалент одной килокалории равен
427 килограммометрам. Нетрудно, конечно, получить
численное значение /ив любой другой системе единиц. Так,
выражая работу в киловаттчасах, находим значение
теплового эквивалента киловаттчаса, равное 860 ккал, откуда
J = 1/860, т. е. механический эквивалент одной
килокалории равен 1/860 квт-час.

§2]
МЕСТО ПЕРВОГО ПРИНЦИПА
13
§ 2. Место первого принципа в ряду
физических законов
Принцип эквивалентности работы и теплоты — это лишь
частный случай более общего принципа — принципа, или
закона, сохранения энергии. Именно в результате открытия
принципа эквивалентности «теплород» перестал играть роль
неразрушимой жидкости и был произведен в ранг одной из
форм энергии. Изменению общих взглядов на природу
теплоты способствовали труды Клаузиуса, который показал,
что теплота не отличается принципиально от механической
энергии, так как она проявляется в виде кинетической
энергии частиц, составляющих рассматриваемое
физическое тело (мы вернемся к этому вопросу в гл. 4).
Однако сам закон сохранения энергии, несмотря на
кажущуюся ясность и простоту, в действительности нельзя
считать ни простым, ни ясным. Этот закон выражает
постоянство суммы трех слагаемых: 1) кинетической энергии,
2) потенциальной энергии, зависящей от положения тела,
и 3) внутренней молекулярной энергии в формах тепловой,
химической или электрической. При этом, как указывает
Пуанкаре *), такое выражение закона не представляло бы
затруднений, если бы между указанными слагаемыми можно
было провести строгое различие, т. е. первое слагаемое
зависело бы только от скоростей, второе не зависело бы от
скоростей и внутреннего состояния тел, а третье зависело
бы только от внутреннего состояния тел. На самом же
деле это не так, ибо, например, в случае
наэлектризованных тел их электростатическая энергия зависит и от
состояния тел, и от их положения в пространстве: если же
тела еще и движутся, то их электродинамическая энергия
зависит уже не только .от состояния тел и их положения
в пространстве, но и от их скоростей. Пуанкаре показывает,
что в этих условиях выбор функции, которую мы называем
«энергией», оказывается условным, и, следовательно,
единственная возможная формулировка закона сохранения
энергии гласит: «существует нечто, остающееся постоянным».
г) Н. Р о i п с а г ё, La science et l'hypothese, Paris, Flamma-
rion, 1908, chap. 9 (есть перевод первого издания: Пуанкаре
Гипотеза и наука, М., 1903).

14 ДВА ПРИНЦИПА ТЕРМОДИНАМИКИ [ГЛ. Г
Это замечание Пуанкаре становится еще более важным
потому, что, согласно теории относительности, само
вещество должно рассматриваться как некая форма энергии.
Действительно, Эйнштейн показал, что массе т
соответствует энергия £, согласно формуле
Е = тс2,
где с — скорость света. Поскольку с равно примерно
3 • 108 м/сек, то мы находим, что массе в 1 г соответствует
энергия Е, равная приблизительно 25 • 106 квтчас. Итак,
к трем формам энергии, фигурирующим в рассуждении
Пуанкаре, надо добавить еще и четвертую: энергию,
заключенную в самом веществе. Таким образом, формулировка
«существует нечто, остающееся постоянным» охватывает
как закон сохранения энергии, так и закон сохранения
массы, причем это «нечто» не является ни веществом, ни
энергией, а представляет собой некоторую математическую
функцию, физический смысл которой интуитивно не ясен.
Все эти замечания были сделаны только для того, чтобы
показать, что два важнейших физических принципа
(сохранение массы и энергии) в настоящее время не имеют тога
абсолютного характера, который приписывался им в Х1Хве-
ке. Однако превращение массы в энергию проявляется
только при использовании (как в мирных, так и в военных
целях) ядерной энергии; вместе с тем, тепловая и
механическая формы энергии в достаточной степени разделимы
и независимы друг от друга, чтобы можно было применять
закон сохранения. Отсюда следует, что в теории тепловых
машин принцип эквивалентности теплоты и работы можно
применять без всяких ограничений.
§ 3. Внутренняя энергия
В § 1 рассматривался ряд превращений, приводящий
рассматриваемую систему вновь в ее первоначальное
состояние, т. е. замкнутый цикл. Теперь мы предположим,
что система переходит из состояния А в отличное от него
состояние В. Во время превращения АВ система получает
количества тепла Q и совершает работу W. Ясно, что обе
эти величины не зависят друг от друга и знать состояния
А и В недостаточно, чтобы определить величины Q и W.

§ з]
ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ
15
Однако с помощью принципа эквивалентности можно
показать, что величина JQ — W полностью определяется
начальным и конечным состояниями и не зависит от
эволюции системы между этими состояниями.
В самом деле, предположим, что система переходит и:*
состояния А в состояние В двумя различными путями,
причем величины Q и W принимают соответствующие
значения Qi, Wi и Q2, W2. Поскольку мы рассматриваем здесь
только перемещения системы в пространстве и изменения
ее температуры, всегда можно заставить систему вернуться
в свое исходное состояние. Предположим, что возвращение
из состояния В в состояние А происходит в обоих
случаях одинаковым образом, причем соответствующие величины
тепла и работы равны Q3 и й?з. Таким образом получаются
два замкнутых цикла превращений, для каждого из
которых справедливо соотношение (1). Следовательно,
W. + Ws^JiQ. + Qs)
W2 + W3-=J(Q2 + Q3),
вычитая одно равенство из другого, находим
JQi-Wi = JQ2-W2.
Отсюда следует, что при различных переходах из
состояния А в состояние В величина JQ — W сохраняет
постоянную величину; эта величина, стало быть, представляе-
собой изменение некоторой функции состояния. Эта функг
ция называется внутренней энергией системы и
обозначается буквой U. Итак, по определению
UB-UA = Q-^-; (4}
здесь UA и UB — значения функции U в состояниях - А
и В, a Q и W — количество тепла, полученное системой,,
и работа, произведенная ею в процессе перехода между
этими состояниями. В дифференциальной форме
соотношение (4) записывается в виде
dU = dQ—lTdW. (4')
Мы видим, с одной стороны, что внутренняя энергия
выражается в формуле (4) в тепловых единицах, а с другой

16 ДВА ПРИНЦИПА ТЕРМОДИНАМИКИ [ГЛ. 1
стороны, что определяется только изменение этой
величины, но не ее абсолютное значение. Таким образом,
внутренняя энергия известна только с точностью до некоторой
аддитивной постоянной, что, однако, не приводит к
трудностям, так как при всех практических приложениях
проявляются только изменения этой величины.
Физический смысл внутренней энергии можно без труда
понять, рассматривая особенно простой случай нагревания
газа при постоянном объеме. В этом случае W = О, так
что соотношение (4) сводится к
UB-UA = Q.
В данном примере все тепло Q, полученное газом, идет
на увеличение энергии движения составляющих газ
молекул, так что, говоря об увеличении внутренней энергии
системы, мы подразумеваем увеличение энергии движения
молекул газа. Уточним еще, что здесь под внутренней
энергией мы понимаем только энергию движения молекул,
отвлекаясь от всех остальных форм энергии, например
химической или электрической. Соответствующий опыт
(известный как опыт Джоуля) показывает, что для
идеального газа определенная таким образом внутренняя энергия
зависит только от температуры; то же справедливо и для
теплоемкостей cv и ср.
Тот же пример позволяет установить соотношение между
внутренней энергией и температурой идеального газа.
В самом деле, по определению теплоемкости cv получим
в случае нагревания при постоянном объеме Т2
т2
Q= \ cvdT,
Ti
где Т1 и Т2 — начальная и конечная температуры газа.
Следовательно,
То
UB-UA = Q= \c»dT, (5)
Ti
или, если изменением cv можно пренебречь,
UB-UA = cv(T2-T±). (6)

MJ
ПРИЛОЖЕНИЯ ПЕРВОГО ПРИНЦИПА
17
Таким образом, внутреннюю энергию идеального газа
можно выразить с точностью до аддитивной постоянной
через cv и Г, гдеТ — абсолютная температура газа.
Конечно, это выражение оказывается лишь приближенным даже
для идеального газа, и еще менее точным для реальных
газов, так как в случае реального газа cv изменяется не
только с температурой, но и с давлением.
Из соотношения (5) сразу же получаем
dU
dT
= cv.
(7)
§ 4. Приложения первого принципа
Превращения, испытываемые жидкостями и газами
(рабочим телом) в тепловых машинах, почти всегда
сопровождаются изменениями объема; только сгорание в
Рис. 1. Динамическая диаграмма
поршневого двигателя.
двигателях внутреннего сгорания можно считать
происходящим частично при постоянном объеме.
На рис. 1 представлен схематический разрез поршневого
двигателя. Двигатель снабжен входным А и выходным Е

[S ДВА ПРИНЦИПА ТЕРМОДИНАМИКИ [ГЛ. 1
клапанами: мы предположим, что они закрыты. Пусть
непосредственно перед закрытием клапана А в цилиндр
проник 1 кг газа (по предположению идеального) при
давлении р\ и температуре Т±, которые нам известны;
тогда мы можем найти удельный объем газа, что
определяет точку 1 на диаграмме /?, v г), представляющую
состояние газа в рассматриваемый момент. Начиная с этого
момента, движение поршня слева направо приводит к
непрерывному возрастанию объема газа и понижению его
давления; на диаграмме /?, v изменение состояния газа
изображается кривой 1—2, причем абсцисса v2
соответствует крайнему правому положению поршня. Мы
предполагаем, что движение поршня происходит без трения и, кроме
того, оно настолько медленно, что изменениями
кинетической энергии поршня и газообразной массы в цилиндре
можно пренебречь. Каждому положению поршня
соответствует давление р газа на левую поверхность поршня;
если площадь поверхности поршня равна S, то сила,
действующая со стороны газа на поршень, равна pS. При
элементарном перемещении поршня dl эта сила производит
элементарную работу (мы ее будем считать
положительной), равную
dW^pSdl.
Поскольку, с другой стороны,
Sdl=dv,
то можно написать
dW = pdv.
Отсюда следует, что работа, соответствующая
превращению 1—2, запишется в виде
W^2= jj pdv. (8)
На рис. 1 эта работа выражается площадью 6—/—2—7—6.
Чтобы вычислить ее, надо установить соотношение
между величинами р и v и ввести его в выражение (8). В
принятых нами идеальных условиях (идеальная машина,
х) Эта диаграмма называется также динамической
диаграммой, или диаграммой Клапейрона.

§ 4]
ПРИЛОЖЕНИЯ ПЕРВОГО ПРИНЦИПА
19
адиабатический процесс, т. е. процесс, не
сопровождающийся теплообменом с внешней средой) искомое
соотношение имеет вид
/?1>Y — COnst,
где у = cp/cv. Однако на основе первого принципа можно
определить значение W> даже не производя
интегрирования. Действительно, применяя соотношение (4), где надо
принять Q = О, получаем сразу
где Ui и Uг — внутренние энергии газа в тепловых
единицах в начале и в конце процесса расширения (точки 1 и 2).
Аналогично, применяя соотношение (6), получаем
^1-2 = ^,(7^--72), (9)
где Т\ и Т2 — температуры, соответствующие точкам 1 и 2.
Нетрудно проверить, что этот результат совпадает с тем,
который получается из выражения
Wi-2 = PiVl \ v-vdv.
vi
Но расширение 1—2 — это только один из процессов,
происходящих с газом в машине. В самом деле, этому
расширению предшествует процесс поступления газа в
цилиндр под давлением р& работа, производимая газом при
этом процессе (5—1) на рис. 1, равна
№5-i = Pii>i.
Из рис. 1 понятно, что i>i — это объем, заключенный
между стенкой цилиндра и поршнем в положении,
соответствующем моменту закрытия входного клапана Л. Мы
предполагаем, что в цилиндре нет «мертвого пространства»,
т. е. в одном из своих крайних положений поршень касается
стенки цилиндра, так что вся масса газа, занимающая
объем vif поступила в цилиндр тогда, когда был открыт
входной клапан А.
Точно так же, с момента, когда объем газа достигает
значения v2, поршень, двигаясь справа налево, выталкивает
газ при постоянном давлении р2 через выходной клапан Е.

20
ДВА ПРИНЦИПА ТЕРМОДИНАМИКИ [ГЛ. 1
При перемещении (2—4) поршень развивает некоторое
усилие, действующее на газ, и, следовательно, производит
работу; она отрицательна и равна
Полная работа, совершаемая газом за все три процесса
в машине (поступление газа, расширение, выхлоп газа),
дается выражением
W = pivi+ \j pdv — p2v2. (10)
Из рис. 1 видно, что эта работа представляется
площадью 1—2—4—5—); аналитическое ее выражение можно
записать в виде
VI
W= \ vdp.
V2
Таким образом, если интеграл
pdv
(площадь 6—1—2—7—6) выражает работу, совершаемую
только во время расширения 1—2, то интеграл
VI
v dp
V2
представляет полную работу, совершаемую 1 кг газа с
учетом работ, обусловленных процессами поступления и
выхлопа газа из цилиндра.
Отметим, что полученные нами результаты справедливы
с точностью до знака, если вместо двигателя рассматривать
поршневой компрессор. В этом случае стрелки на рис. 1
должны быть направлены в противоположную сторону:
газ будет поступать в цилиндр через клапан Е под
давлением р2 при перемещении поршня 4—2 (ход всасывания);
перемещение 2—3 (справо налево) будет соответствовать
сжатию газа, которое представляется кривой 2—1\ наконец,
между точками 1 и 5 будет происходить выталкивание

§ 4]
ПРИЛОЖЕНИЯ ПЕРВОГО ПРИНЦИПА
21
газа через клапан А под давлением /?4. В отмеченных выше
условиях работа, соответствующая сжатию 2—7, дается
формулой
W^^^pdv^-JciTi-Tz), (11)
а полная работа выражается соотношением
V2 V2
W= —piVi— \ pdv + p2v2 = \ vdp. (12)
vi Pi
В частном случае, когда процесс расширения (или
сжатия) является изотермическим, 7i = Т2, откуда PiVt =
= /72^2- Полная работа W, представленная формулами (10)
или (12), не отличается в этом случае от работы W\-2,
которая выражается формулой (8), или — для сжатия — от
работы fl72-i = — Wi-2\ кривая /—2 имеет вид
равнобочной гиперболы, и площади
\ pdv и \ vdp
Vi Р2
равны между собой. Величину работы можно без труда
вычислить, учитывая соотношение
pv = pivi = RTi,
после подстановки его в выражение для W получим для
двигателя
W = RTi\n^- = RT1\n^-; (13)
для случая компрессора знак надо изменить (символ In
обозначает натуральный логарифм).
Если газ считается идеальным, то постоянство
температуры влечет за собой постоянство внутренней энергии /У.
Приложение первого принципа, согласно соотношению (4),
показывает, что в этом случае W = JQ. Другими словами,
при изотермическом процессе работа W, совершаемая
газом или над газом, эквивалентна количеству тепла,
которое газ получает от горячего внешнего источника, или,

22
ДВА ПРИНЦИПА ТЕРМОДИНАМИКИ
[ГЛ. 1
наоборот, которое газ передает внешнему холодному
поглотителю, например, воде охладителя компрессора.
Итак, мы убедились, что процесс, при котором одна из
трех величин W, Q и U обращается в нуль, имеет вполне
определенный физический смысл, причем применение
первого принципа всегда ведет к очень простому соотношению
между остающимися двумя величинами. Вообще говоря
(хотя это и не всегда было так), в настоящее время принцип
эквивалентности не встречает никаких возражений и его
практическое использование не наталкивается на
затруднения.
§ 5. Энтальпия
Учитывая соотношения (6), (8), (9) и (10), полную работу,
совершаемую 1 кг газа в поршневом двигателе без
теплообмена, можно записать еще в виде
У = /[(£/1 + ай)-(£/,+«*)]. (и.
Таким образом, работа выражается как изменение
величины U + pvlJ, которая играет очень важную роль
в практических приложениях и называется энтальпией.
Эта величина, обозначаемая обычно буквой Я, выражается,
как и внутренняя энергия, в тепловых единицах (например,
в килокалориях на килограмм) и определяется формулой
H = U + ^. (15)
Внутренняя энергия U и произведение pv = RT
являются функциями состояния газа, поэтому энтальпия также
является функцией состояния: для идеального газа она
зависит только от температуры, а для реального газа —
от температуры и от давления. Кроме того, подобно
внутренней энергии, энтальпия определяется только с
точностью до аддитивной постоянной.
Из этого определения энтальпии следует, что она равна
сумме внутренней энергии и работы (выраженной в
тепловых единицах), совершаемой при расширении газа при
постоянном давлении от объема, равного нулю, до
рассматриваемого объема v\ такое расширение может иметь место

§ 5]
ЭНТАЛЬПИЯ
23
только в случае идеального газа, так,как объем реального
газа никогда не может быть равен нулю.
Вместе с тем, рассматривая нагревание газа при
постоянном давлении, можно написать, учитывая определение
теплоемкости ср:
dQ = cpdT.
Здесь Q — передаваемое газу тепло, а Г — температура
газа. Но записывая (15) в дифференциальной форме и
учитывая, что dp = О, мы получим
dH = dU + ±pdv = cvdT + ^dT=(^cv+^dT.
Поскольку, согласно соотношению Майера, ср = cv + R/J,
то dH = dQ, т. е. при нагревании газа при постоянном
давлении увеличение энтальпии равно количеству тепла,
получаемому 1 кг газа *).
Изменение энтальпии служит также мерой работы,
затраченной на сжатие 1 кг газа. Как в случае двигателя,
так и в случае компрессора соотношение
W=JAH (16)
справедливо только тогда, когда процессы, происходящие
в газе, адиабатические, т. е. не сопровождаются
теплообменом с внешними источниками. Однако это единственное
условие, ограничивающее область применения
соотношения (16), что чрезвычайно существенно. Соотношение (16)
справедливо даже тогда, когда рассматриваемая машина
отличается от идеальной, т. е. когда поступление газа
в машину сопровождается внутренним трением. Вообще
говоря, соотношение (16) учитывает все отклонения от
идеальных условий (или, следуя обычному выражению,
все «внутренние потери»), т. е. отступления от идеальных
условий или потери, оказывающие влияние на состояние
газа (рабочего тела). Помимо работы, выражаемой
формулой (16), в расчет должны входить только внешние
отклонения от идеальных условий и потери, скажем, за счет
*) Впрочем, можно провести и обратное рассуждение и
получить отсюда соотношение Майера. Это соотношение, вообще
говоря, можно получить различными способами: мы предполагаем,
что они читателю известны.

24
ДВА ПРИНЦИПА ТЕРМОДИНАМИКИ [ГЛ. 1
трения движущихся частей машины, которые, конечно,
никак не влияют на энтальпию рабочего тела.
Чтобы ввести понятие энтальпии, мы рассматривали
действие поршневого двигателя (или компрессора). Мы
видели, что исследование кривой процесса расширения или
сжатия по диаграмме /?, v, полезное при расчете машины
или при анализе ее действия, не позволяет само по себе
(кроме частного случая изотермического процесса)
определить полную работу, совершаемую 1 кг газа, так как
в полную работу входит и работа, совершаемая при
поступлении газа в машину и при выхлопе. Мы видели также,
что при отсутствии теплообмена с внешней средой переход
от работы ^!_2 (или W2-i) к полной работе W (отвлекаясь
от всех внешних потерь) отвечает подстановке вместо
изменения внутренней энергии AU соответствующего изменения
энтальпии А#. Однако в случае турбомашин (аксиальные
и радиальные турбины, аксиальные компрессоры или
центрифуги) такое различие между полной работой и
парциальными работами различного рода не сказывается, так как
эти машины работают на принципе непрерывного истечения,
и поэтому газ никогда не оказывается заключенным в
замкнутую полость. Таким образом, для машин подобного типа
работа, отдаваемая или поглощаемая 1 кг рабочего тела,
всегда определяется изменением энтальпии (но не
внутренней энергии), если, конечно, не учитывать внешние потери.
Добавим, что, согласно первому принципу, изменение
энтальпии может служить для определения отдаваемой или
поглощаемой работы даже при наличии теплообмена со
средой, если только учитывать этот теплообмен в выражении
для работы. Так, для паровой или газовой турбины, где
энтальпия газа на входе имеет значение #ь а на выходе —
значение Н2 и где количество тепла, передаваемое 1 кг газа
в процессе расширения, равно Q, работа, совершаемая
проходящим через турбину 1 кг газа или пара, дается
выражением
W = J(H1-H2 + Q).
Аналогично, рассмотрим сжатие упругой среды,
например, в центробежном компрессоре; пусть #i — энтальпия
среды при всасывании, Я2 — ее энтальпия при выхлопе,
Q — количество тепла, передаваемое воде системы охлажде-

§ 6] СЛЕДСТВИЯ ИЗ ПЕРВОГО ПРИНЦИПА 26
ния 1 кг среды; тогда работа, затраченная на сжатие 1 кг
среды, выражается формулой
W = J(H2-Hi + Q).
Заметим, что эти два выражения для работы
справедливы независимо от способа теплообмена между рабочим
телом и внешним источником. Этот теплообмен может быть
как непрерывным, так и прерывным: в последнем случае
он может происходить в одной или нескольких фазах. На
практике работу W часто выражают в тепловых единицах,
что позволяет опустить коэффициент эквивалентности J.
Вместе с тем эти выражения для W предполагают, что
на входе и на выходе машины кинетическая энергия
рабочего тела пренебрежимо мала. В противном случае к
каждой из рассматриваемых энтальпий надо добавить
соответствующую кинетическую энергию, выраженную в
тепловых единицах и отнесенную к 1 кг\ полученная таким
образом величина есть «полная энтальпия» рабочего тела
в рассматриваемой точке и именно изменение этой величины
служит мерой работы, отдаваемой или поглощаемой 1 /сг
рабочего тела.
§ 6. Следствия из первого принципа
Нетрудно получить некоторые следствия из первого
принципа, которые особенно важны, ибо их можно считать
связующим звеном между первым и вторыми принципами.
Рассматривая адиабатическую систему (Q = 0),
находим, что, согласно выражению (4), такая система может
совершить и некоторую работу, но только за счет своей
внутренней энергии. Поскольку начальная температура
системы (а следовательно, и ее внутренняя энергия) не
бесконечно велики, изменение внутренней энергии
неизбежно ограничено, и поэтому конечна и производимая
системой работа. Таким образом, машины, которая бы вечно
производила работу, не заимствуя при этом в той или иной
форме энергию внешней среды, существовать не может.
Этот вывод, очевидно, есть лишь следствие общего
принципа сохранения энергии. Тот же вывод можно
сформулировать иначе, например, утверждая невозможность вечного
движения «первого рода», В дальнейшем мы увидим, в чем

26 ДВА ПРИНЦИПА ТЕРМОДИНАМИКИ [ГЛ. I
состоит различие между вечными движениями первого
и второго рода; однако, как заметил Ш. Фабри*), эту
формулировку нельзя считать безупречной, поскольку
вечное движение, хотя оно практически и неосуществимо,
все же вполне мыслимо (оно требует только полного
отсутствия трения), тогда как вечно производимая работа без
расходования энергии немыслима2).
В приложениях термодинамики к теории тепловых
машин встречаются только две формы энергии: теплота
и работа. Для тепловых двигателей (любого типа) указанное
выше следствие из первого принципа можно формулировать
следующим образом: бесконечное выполнение работы без
затраты тепла невозможно. Но если вместо двигателей
рассматривать «генераторные» машины, например,
компрессоры, то из закона сохранения энергии можно вывести
и второе следствие, формулировка которого обратна
предыдущей: бесконечное расходование работы без создания
тепла невозможно. Добавим к этому, что такое создание
тепла не обязательно связано с рабочим телом,
испытывающим сжатие, так как сжатие теоретически может
происходить и при постоянной температуре; однако в этом случае
некоторое количество тепла, эквивалентное затраченной
работе (с точностью до внешних потерь), передается системе
охлаждения компрессора.
§ 7. Второй принцип, или принцип Карно
Принцип Карно не противоречит принципу
эквивалентности, но добавляет к нему некоторые ограничения,
поскольку он уточняет условия, при которых работа может
быть получена за счет эквивалентного количества тепла.
Формулировка второго принципа не столь проста, как
первого. В самом деле, второй принцип содержит несколько
утверждений, из которых только одно (касающееся
производительности цикла Карно) имеет количественный харак-
г) Ch. Fabry, Elements de thermodynamique. Collection
Armand, Colin, № 101.
2) П. Дюгем в книге «Les origines de la statique» (Paris,
Hermann, 1905) проводит различие между «вечным двигателем»
и «perpetuum mobile». Впрочем, уже в мемуаре Карно проводится
то же различие, правда, в ином выражении.

§ 7] ВТОРОЙ ПРИНЦИП, ИЛИ ПРИНЦИП карно 2 7
тер; остальные утверждения только качественные. Мы
начнем именно с этих последних, так как они кажутся
наиболее трудными для восприятия. Трудность здесь
связана с тем, что эти утверждения выражают некоторые
свойства энергии, которые на первый взгляд кажутся почти
таинственными. Дело здесь идет именно о свойствах
энергии, так как эти свойства не зависят от природы рабочего
тела, используемого для преобразования тепла в работу;
однако мы увидим, что таинственность сохраняется лишь
в той мере, в какой мы абстрагируемся от рабочего тела,
совершенно необходимого для действия теплового двигателя.
В самом деле, если передача тепла не обязательно
требует наличия некоторой материальной среды (так,
например, происходит передача солнечного тепла на
Землю), то совершение работы за счет тепла возможно лишь
при наличии такой среды или, точнее, рабочего тела. Во
всех тепловых двигателях полезная мощность непрерывно
выделяется на вращающемся валу, а его вращение
происходит 1благодаря действию упругой среды (газа или
пара) на поршень или на лопатки турбины, т. е. на
металлические пластины, перемещающиеся вследствие разности
давлений или использования кинетической энергии, но не
в результате непосредственной передачи тепла.
Следовательно, тепло сначала должно передаваться упругой среде
и только потом превращаться в работу; чтобы это
превращение происходило непрерывно, рабочее тело обязательно
должно периодически возвращаться в начальное состояние,
т. е. должно проходить тепловой цикл (этим словом
обозначают совокупность изменений, претерпеваемых рабочим
телом между двумя тождественными состояниями). Таким
образом, слово «цикл» имеет смысл замкнутой цепи
последовательных термодинамических изменений. Уточним, что
здесь имеются в виду именно термодинамические изменения,
а не химические реакции: считается, что химическая
природа рабочего тела остается неизменной.
Согласно второму принципу, нельзя осуществить
двигатель на основе теплообмена только с одним «источником»,
т. е. с одной средой определенной температуры. Если бы
такой двигатель мог быть получен, то он совершал бы
работу за счет, скажем, тепла атмосферы или тепла океанских
вод; его действие не противоречило бы первому принципу,

28
ДВА ПРИНЦИПА ТЕРМОДИНАМИКИ [ГЛ. 1
а поскольку используемое тепло в этом случае нам ничего
бы не стоило, то работа подобного двигателя получалась
бы даром. Практическое значение его можно сравнить
с ролью двигателя, функционирующего вообще без затраты
тепла, т. е. вечного двигателя первого рода. Это
обстоятельство оправдывает предложенное в свое время В.
Оствальдом название — вечный двигатель «второго рода» для
машин, сообщающихся с единственным источником тепла.
Невозможность вечного двигателя второго рода влечет
за собой следующее утверждение, которое служит еще одной
формулировкой второго принципа: тепловой двигатель
может функционировать лишь при условии обмена теплом
с двумя источниками различной температуры, причем
двигатель получает тепло от источника с высокой
температурой (нагреватель) и отдает тепло источнику с низкой
температурой (холодильник).
Оба приведенных выше утверждения, разумеется, имеют
эмпирическую природу. Однако недостаточно было бы
сказать, что экспериментальное исследование показало
невозможность создания вечного двигателя второго рода,
так как в действительности дело идет о более прямом опыте.
Действие теплового двигателя подразумевает передачу тепла
некоторому материальному телу (точнее, упругому рабочему
телу), но непосредственный опыт показывает, что,
прикасаясь к некоторому предмету, мы получаем от него тепло
только тогда, когда он теплее прикоснувшейся к нему
руки. Точнее можно сказать, что «горячее» тело — это тело,
которое передает тепло руке, а «холодное»— это тело,
которое при прикосновении руки получает тепло от нее.
Отсюда следует, что утверждение, согласно которому
упругое рабочее тело может получать тепло только от
нагревателя, является почти тавтологией.
Но действительная трудность состоит в том, что только
некоторая часть тепла, передаваемого нагревателем, может
быть преобразована в работу, а остаток должен быть передан
холодильнику. Пока мы не будем заниматься
математическим соотношением между теплом, преобразуемым в работу,
и всем полученным теплом; для нас важно, что это
соотношение никогда не может быть простым равенством. Работа
может быть преобразована в тепло без остатка (например,
3 опыте Джоуля, который послужил для определения

§ 8] ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ВТОРОГО ПРИНЦИПА 29
коэффициента эквивалентности «/), тогда как обратное
преобразование может быть только частичным. Этот факт
не находится в противоречии с первым принципом, так как
производимая работа действительно эквивалентна разности
между теплом, полученным от одного источника, и теплом,
переданным другому источнику. Однако он нарушает
симметрию между работой и теплом и эти две формы энергии
получают как бы различную ценность: работа представляет
собой как бы более «благородную» форму энергии, чем
тепло. С экономической точки зрения такое различие между
ними вполне оправдано, так как на практике, чтобы
получить единицу энергии в форме работы, надо затратить
примерно три единицы энергии в форме тепла.
Рассматривая только превращения энергии, мы можем
констатировать этот факт как неопровержимо следующий
из опыта, но и только; нетрудно получить его
математическое выражение, гораздо труднее понять его физический
смысл. Но мы уже указывали, что превращение тепла
в работу происходит только с помощью некоторого
материального носителя. С тех пор как «теплород» был изгнан
из категории материальных тел и по справедливости
помещен в категорию энергии, часто допускают
противоположную ошибку, полностью отвлекаясь от вещества и
рассматривая только различные формы энергии в чистом виде.
Мы покажем, что, возвращая веществу подобающее ему
место, легко устранить трудности физической
интерпретации второго принципа термодинамики.
§ 8. Физический смысл второго принципа
Рассмотрим 1 кг идеального газа, находящегося вначале
при давлении и температуре внешней среды р0 и Г0, и
предположим, что этот газ нагревается за счет некоторого
внешнего источника тепла до температуры Т\. Ради
определенности предположим, что нагревание газа происходит
при постоянном давлении; в целях упрощения будем
считать также, что теплоемкость ср постоянна. При этих
условиях тепло, переданное газу, равно ср (Ti — Т0) ккал.
Если в дальнейшем подвергнуть этот газ адиабатическому
расширению в идеальном двигателе (например, в турбине)

30
ДВА ПРИНЦИПА ТЕРМОДИНАМИКИ
[ГЛ. 1
до температуры Г0, то в тепловых единицах работа,
производимая газом при расширении, будет равна сР (Т i — Т0).
Таким образом, первый принцип применяется здесь
без каких-либо ограничений, так как все тепло, полученное
рабочим телом от нагревателя, оказывается
преобразованным в работу и никакой передачи тепла холодильнику
не происходит.
Но, как уже было указано, здесь надо рассматривать не
только преобразование тепла в работу в единичном акте,
а непрерывное (и бесконечно продолжительное) действие
теплового двигателя, что требует наличия замкнутого цикла
изменений рабочего тела двигателя. Отсюда следует, что
после расширения газа он должен вернуться в свое
начальное состояние. Но в процессе нагревания при постоянном
давлении объем газа увеличился, затем произошло
дальнейшее увеличение объема газа при его адиабатическом
расширении; поэтому после окончания расширения
удельный объем v0 газа превосходит удельный объем v0,
соответствующий начальному состоянию. Возвращение к
начальному состоянию требует, следовательно, уменьшения
объема, т. е. расходования энергии, что сокращает
полезную работу, получаемую при расширении. Второй
принцип выражает, таким образом, необходимость затраты
энергии для возвращения рабочего тела в начальное
состояние, позволяющее возобновить замкнутый
термодинамический цикл.
То же рассуждение остается справедливым и для
тепловых циклов, отличающихся от рассмотренного. Оно прило-
жимо также в том случае, когда рабочим телом,
расширяющимся в двигателе, служит не идеальный газ, а водяной
пар. В первом случае превращением, возвращающим
рабочее тело в начальное состояние, является изотермическое
сжатие и, поскольку энтальпия газа при этом остается
неизменной, затраченная энергия (с помощью системы
охлаждения компрессора) передается холодильнику. Во втором
случае процесс идет при постоянной температуре и
постоянном давлении, причем затраченная энергия соответствует
скрытой теплоте конденсации. Общим для всех случаев
является то обстоятельство, что, независимо от типа
теплового цикла и природы рабочего тела, возвращение
в начальное состояние сопровождается уменьшением объе-

§ 8] ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ВТОРОГО ПРИНЦИПА 31
ма, занимаемого рабочим телом, т. е. затратой энергии;
именно в этом и состоит физический смысл второго
принципа.
Рассмотрим теперь случай, когда процесс изменений,
претерпеваемых рабочим телом, не замкнут, т. е. когда за
расширением рабочего тела не следует его возвращение
в начальное состояние; мы рассмотрим последовательно
совершение работы с помощью газа, который мы считаем
идеальным, и с помощью пара (скажем, водяного).
Как и ранее, при адиабатическом расширении 1 кг газа
в идеальном двигателе до конечной температуры Т0
получаем механическую энергию, равную тепловой энергии,
поставляемой нагревателем, т. е. в рассматриваемом
примере ср (Ti — Т0) ккал. Впрочем, надо еще проверить,
возможно ли при отсутствии механизма возвращения
в начальное состояние расширение вплоть до
температуры T0i пусть даже в идеальном двигателе. В конце такого
расширения состояние газа характеризуется давлением/?^,
температурой Т0 и удельным объемом v'0 (¾ > v0), но,
согласно уравнению состояния идеального газа, р'0 v'Q =
= PqVq (ро и ^о — давление и удельный объем газа в
начальном состоянии); следовательно, должно бытьр0' < р0.
Расширение газа вплоть до температуры Т0
холодильника возможно поэтому только при том условии, что выход
двигателя будет связан с полостью, где давление меньше
первоначального. Однако создание такой депрессии на
выходе двигателя несомненно требует затраты энергии;
в частности, если совершение работы должно быть
непрерывным, газ, не возвращаясь к нагревателю, должен тем
не менее приводиться в свое начальное состояние, т. е.
вновь должен описывать замкнутый тепловой цикл, хотя
циркуляция газа в двигателях является открытой. Какова
бы ни была эта циркуляция, полезная работа, совершаемая
газом, должна быть меньше работы, эквивалентной
количеству тепла, передаваемого нагревателем.
Конечно, можно предположить, что выход с пониженным
давлением существует в природных условиях, и тогда мы
будем избавлены от необходимости сжимать газ от
давления р'0 до давления р0. Действительно, теоретически ничто
не мешает нам представлять существование в атмосфере зон
с различными давлениями, разделенных границами. Подоб-

32
ДВА ПРИНЦИПА ТЕРМОДИНАМИКИ [ГЛ. 1
ная атмосфера будет аналогична массе воды,
распределенной по поверхности земного шара на различных уровнях,
что, между прочим, часто используется для производства
электроэнергии. Но если бы так оно было, то не было бы
никакой необходимости добиваться соприкосновения газа
перед расширением с источником тепла. Как и в
гидравлической турбине, двигатель будет работать за счет разности
давлений между слоями атмосферы, преобразуя в работу
не тепло, а потенциальную энергию. Что же касается
совершения работы за счет тепла, то очевидно, что во всех
случаях она может быть только частичной, так как
даже при открытой циркуляции возвращение к
начальному давлению /?0 неизбежно, а это требует затраты
энергии.
Перейдем теперь к случаю, когда рабочим телом,
расширяющемся в двигателе, является водяной пар. Обычно
этот пар после расширения переходит в конденсор, где
конденсируется при температуре, близкой к температуре
холодильника; соответствующее давление р'0 — порядка
нескольких сотых от атмосферного. По выходе из конденсора
пар в жидком состоянии возвращается в нагревательный
котел, причем скрытая теплота конденсации передается
воде из системы охлаждения. Скажем сразу же, что если
бы атмосферное давление было равно р'0 (т. е. примерно
в тридцать раз меньше истинного давления), то расширение
пара совершало бы одинаковую работу как при выходе пара
из двигателя непосредственно в атмосферу, так и при
переходе его в конденсор. Но это предположение, на первый
взгляд весьма обещающее, ничего не меняет в полученном
результате: скрытая теплота конденсации пара просто будет
уноситься окружающим воздухом, а не передаваться воде
из системы охлаждения, так что в конце процесса
расширения энтальпия пара будет равна получаемой на выходе
турбин с конденсацией. Такая разреженная атмосфера
позволит избежать применения конденсора, но эта
экономия лишит нас зато преимущества иметь дистиллированную
воду для питания нагревательного котла; положительный
результат в смысле увеличения производимой работы
теоретически будет равен нулю.
Завершая обсуждение этого вопроса, можно сказать,
что ограничения, накладываемые вторым принципом на

§9]
ОБРАТИМЫЕ ПРОЦЕССЫ
33
превращение тепла в работу, не связаны с наличием
некоторых тайных качеств теплоты, а объясняются просто тем
обстоятельством, что это превращение обязательно требует
увеличения объема упругого рабочего тела.
§ 9. Обратимые процессы
Второй принцип термодинамики, однако, не только
констатирует, что лишь часть затраченного количества
тепла может быть преобразована в работу. Он утверждает
еще, что указанная доля имеет некоторую верхнюю
границу, причем именно в математическом выражении этой
границы и заключено количественное содержание второго
принципа. Чтобы достичь этой верхней границы, тепловой
цикл должен удовлетворять двум условиям: одно из них
касается свойств процессов, составляющих цикл, второе
относится к форме самого цикла.
Условие, относящееся к свойствам процессов,
образующих цикл, состоит в требовании их обратимости. Это
выражение может заставить думать, что дело идет только о
возможности пройти рассматриваемый цикл преобразований
в обратном направлении. Эта возможность, которую Мон-
тейль назвал *) «возвратимостью», действительно
необходима, но отнюдь не достаточна. Надо, чтобы в процессе
преобразований система проходила через последовательность
состояний, бесконечно близких состоянию равновесия;
иными словами, бесконечно малое изменение внешних
условий достаточно для того, чтобы перевести систему из
данного равновесного состояния в другое равновесное
состояние, причем направление этого перехода определяется
вызывающим его изменением. Если это изменение вызвано
источником тепла, то условие обратимости требует, чтобы
температура источника бесконечно мало отличалась от
температуры системы, с которой происходит теплообмен.
Аналогично, если изменение касается некоторого агента
механической природы (скажем, силы, действующей на
поршень), то условие обратимости требует полного
отсутствия всякого трения. При выполнении этих двух условий
рассматриваемое преобразование может быть повторено
х) С. Mont ei 1, Principes generaux de thermodynamique et
de mecanique des fluides.

34 ДВА ПРИНЦИПА ТЕРМОДИНАМИКИ [ГЛ. 1
в обоих направлениях бесконечное число раз, причем
количество передаваемого тепла и количество произведенной
или затраченной работы каждый раз будут иметь одно и то
же абсолютное значение; по возвращении системы в
начальное состояние полное количество переданного тепла равно
нулю, то же самое справедливо относительно
произведенной или затраченной работы.
Ясно, что на практике эти условия никогда не
выполняются, так что всякое реальное преобразование всегда
необратимо. Среди главных причин необратимости
фигурируют, с одной стороны, тот факт, что теплообмен всегда
происходит при конечных разностях температуры, и, с
другой стороны, что всякое движение сопровождается
механическим трением. Действительно, если теплообмен
между двумя телами происходит при конечной разности
температур, то бесконечно малого изменения температуры
одного из тел недостаточно, чтобы изменить направление
теплообмена; таким образом, теплообмен необратим. Точно
так же, если движение поршня, например воздушного
компрессора, сопровождается трением, то работа,
соответствующая этому трению, преобразуется в тепло, обратное же
восстановление той же работы за счет тепла невозможно;
таким образом, движение поршня необратимо.
Итак, обратимые процессы происходят только в
идеальных условиях; значение их заключено именно в том факте,
что они фиксируют предел, которого можно теоретически
достигнуть, если отвлечься от всех несовершенностей
наших тепловых машин. В качестве примера рассмотрим
изотермическое и обратимое расширение идеального газа,
т. е. расширение, происходящее без трения или какой-либо
другой формы диссипации энергии и сопровождаемое
непрерывно идущим теплообменом между нагревателем
постоянной температуры и газом, причем разность температур
нагревателя и газа все время остается бесконечно малой.
Предшествующие рассуждения показывают, что для
обратимого процесса (не замкнутого) количество тепла,
полученное системой, и работа, произведенная системой, зависят
только от начального и конечного состояний системы;
обозначим эти величины буквами Q и W. Если вместо
обратимого расширения рассматривать теперь расширение,
сопровождающееся трением, то, с одной стороны, мы кон-

§ ю! Цикл кар но 35
статируем, что полезная работа W', производимая
расширением, меньше W (так как часть полной работы идет на
преодоление трения), а с другой стороны, тепло Q',
полученное газом, меньше Q (так как работа трения
преобразуется в тепло и увеличивает внутреннюю энергию газа). Таким
образом, W < W и Q' < Q. В предельном случае можно
даже предположить, что расширение имеет место в
дроссельном клапане; такое расширение, которое называется
«прокаткой», оставляет неизменной энтальпию газа (а,
следовательно, и его температуру, так как мы рассматриваем
идеальный газ), так что Q' = 0, W = 0. В самом общем
случае в процессе расширения между двумя данными
состояниями количество тепла, полученное рабочим телом,
и произведенная им работа — наибольшие, если процесс
обратимый. Аналогично можно показать, что в случае
сжатия между двумя данными состояниями обратимому
процессу соответствуют наименьшие значения затраченной
работы и количества тепла, переданного рабочим телом
холодильнику.
§ 10. Цикл Карно
Рассмотрим некоторый тепловой цикл, образованный
обратимыми или необратимыми процессами. Мы видели, что
осуществление такого цикла требует присутствия двух
источников тепла. Обозначим через Qi количество тепла,
передаваемое рабочему телу нагревателем, а через Q0 —
количество тепла, отдаваемое рабочим телом холодильнику,
отнесенные к единице массы рабочего тела. Согласно
первому принципу, произведенная работа, также отнесенная
к единице массы, дается формулой
W=J(Qt-Q0).
Однако тепло Q0, отдаваемое холодильнику, не имеет для
нас никакого значения, так как количество тепла при
температуре холодильника практически безгранично.
Наоборот, тепло Q4 имеет реальную ценность, так как его
получение требует осуществления химической (сжигание
топлива) или ядерной (деление) реакции. Коэффициент
полезного действия (к. п. д.) цикла, т. е. отношение полезной
произведенной энергии к затраченной энергии, дается

36 ДВА ПРИНЦИПА ТЕРМОДИНАМИКИ [ГЛ. 1
выражением
Заметим, что, используя одинаковые единицы (тепловые
или механические) для QA и Q0, мы получаем выражение
для г], не зависящее от выбора единиц.
В своем знаменитом труде «Reflexions sur la puissance
motrice du feu et sur les machines propres a developper
cette puissance» Сади Карно*) показал, что при
заданных значениях температур нагревателя и холодильника
к. п. д. г) не может превзойти некоторого предельного
значения, причем это предельное значение зависит
только от температуры источников, но не от природы
рабочего тела, описывающего тепловой цикл. Замечательно,
что исследования Карно дали правильные результаты
и влияние их на научную мысль (и не только на теорию
тепловых машин) можно считать огромным, хотя его
представления о природе тепла были ошибочными. Как и его
современники, Карно считал, что «теплород» является
неразрушимой субстанцией, поэтому изменения
температуры тел связаны с переходом тепла от одного тела к
другому, но полное его количество, содержащееся в данной
системе, должно оставаться постоянным. Согласно этой
концепции, совершение работы в тепловом цикле происходит
не вследствие превращения тепловой энергии в
механическую, а в результате «падения» тепла от более высокой
температуры к более низкой, падения, аналогичного
падению воды с одного уровня на другой. Именно таким путем
Карно пришел к представлению о роли температур
нагревателя и холодильника, но по счастью выводы, которые он
сделал, не зависят от правильного понимания природы
теплоты.
Рассмотрим тепловой цикл, проходимый 1 кг идеального
газа между двумя источниками тепла, абсолютные темпе-
*) Этот мемуар, опубликованный в 1824 г., вначале оставался
незамеченным; он стал знаменитым только с 1849 г., когда В. Том-
сон вновь открыл его и сделал достоянием науки. [Есть перевод:
Сади Карно, Размышления о движущей силе огня и о
машинах, способных развивать эту силу, М.— П., Госиздат, 1923; а
также сборник «Второе начало термодинамики», М.— «П., Гос. техн.-
теор. издат., 1934. (Прим. перев).]

§ ю]
ЦИКЛ КАРНО
37
ратуры которых (по предположению постоянные) мы
обозначим с помощью Т± и Г0 (Ti>r0). Мы уже видели, что
для обеспечения высокого к. п. д. г] необходимо допустить,
что изменения, претерпеваемые газом, обратимы (впрочем,
мы вернемся к этому вопросу в § 12). Но это условие
предполагает, что при теплообмене с источниками
температура газа с точностью до
бесконечно малой величины равна
температуре соответствующего
источника. Поэтому газ получает
тепло, находясь при
температуре Ти и отдает тепло,
находясь при температуре Т0, так что
его тепловой цикл содержит две
изотермы. Но осуществление
замкнутого цикла требует пере- _______
хода от температуры 7\ к тем- v
пературе Г0, а также обратного Рис. 2< представление цик-
перехода, а ПОСКОЛЬКУ Оба ЭТИ Ла Карно на динамической
перехода не сопровождаются те- диаграмме.
плообменом, то они
соответствуют адиабатическим процессам. Такой цикл, состоящий из
четырех обратимых процессов, т. е. двух изотерм и двух
адиабат, называется циклом Карно. Представляя этот цикл
на диаграмме Клапейрона, получаем рис. 2, где кривые
1—2 и 3—4 соответствуют двум изотермическим процессам,
а кривые 2—3 и 4—/ — двум адиабатическим процессам.
Исходя, например, из точки 3, мы видим, что газ
претерпевает два последовательных сжатия, одно (3—4) при
постоянной температуре (что требует, конечно,
непрерывного и чрезвычайно эффективного охлаждения компрессора),
другое (4—1)— без какого-либо обмена тепла. Достигнув
в точке 1 температуры Т± нагревателя источника, газ
остается в контакте с этим источником во время своего
расширения 1—2, после чего он продолжает расширение
вплоть до температуры Т0 без теплообмена (_—3).
Определив таким образом эти четыре процесса, нетрудно
вычислить количества тепла Q4 и Q0, которые передаются,
соответственно, от нагревателя к газу и от газа к
холодильнику. Действительно, поскольку во время расширения 1—2
внутренняя энергия газа остается постоянной, работа,

38
ДВА ПРИНЦИПА ТЕРМОДИНАМИКИ [ГЛ. 1
производимая при этом расширении, согласно первому
принципу, эквивалентна полученному количеству тепла Qi*
Но, согласно рис. 2,
1 <j f i
где Vi и t>2 — удельные объемы газа в точках 1 и 2.
Следовательно,
Аналогичное рассуждение, примененное к нижней
изотерме, ведет к соотношению
где у3 и 1>4 — удельные объемы в точках 3 и4. Общая
формула для обратимых адиабатических процессов
pvy = const
ведет к соотношению
ln-^- = (Y—1)1п^ = 1п-^- ,
^2 Т0 Щ
так что
Следовательно,
V2 _ ^3
«1 ^
Qi ^1
Qo т0 '
(18)
Мы видим, что в цикле Карно количества тепла,
которыми обмениваются газ и источники, пропорциональны
соответствующим абсолютным температурам. Заменяя в
общем выражении (17) отношение Q0/Qi его значением из
(18), получаем
^1=1-¾. (19)
Таким образом, к. п. д. цикла Карно зависит только
от отношения абсолютных температур двух источников
тепла.

§ 11] ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ РАБОЧИХ ТЕЛ И НЕОБРАТИМОСТЬ 39
§ 11. Эквивалентность рабочих тел
и влияние необратимости
Мы предполагали, что рабочим телом в цикле Карно
является идеальный газ; именно на этом предположении
было основано доказательство Карно, к нему же применимо
и графическое представление цикла Карно по Клапейрону
(рис. 2). Но идеальный газ можно заменить другим телом
с отличными физическими
свойствами, например, насыщенным Р\
водяным паром, т. е. паром,
находящимся в постоянном
контакте со своей жидкостью.
Такой пар тоже может
осуществлять цикл Карно из двух
изотерм и двух адиабат, но в этом
случае изотермы будут
одновременно и изобарами, так что на
диаграмме /?, v цикл имеет фор- v
му, представленную на рис. 3. Рис 3. Цикл Карно для
Изотерма /—2 соответствует ИС- насыщенного пара.
парению воды, а изотерма
3—4 — конденсации пара, тогда как кривые 2—3 и 4—/
представляют адиабатическое расширение и сжатие смеси
воды и пара.
Но несмотря на глубокое различие между изотермами,
представленными на рис. 2 и 3, выражение (19) для к. п. д. rj
остается справедливым для обоих этих случаев. Чтобы
показать это, предположим, что два цикла функционируют
с одинаковыми тепловыми источниками (т. е.
температуры Ti и Т0 в обоих случаях одинаковы) и, кроме того,
нагреватель поставляет в обоих случаях одинаковое
количество тепла Qi. Это последнее предположение
оправдывается тем фактом, что к. п. д. т) зависит только от отношения
Qo/Qi, так что всегда можно заменить данный цикл
подобным циклом, в котором все количества тепла увеличены
в одинаковое число раз. Эквивалентность двух циклов
будет установлена, если удастся показать, что количество
тепла Qo, передаваемое холодильнику, одинаково для обоих
циклов.

40
ДВА ПРИНЦИПА ТЕРМОДИНАМИКИ
[ГЛ. 1
Оригинальное доказательство этого было предложено
еще Карно. Поскольку два рассматриваемых цикла
составлены из обратимых процессов, то можно принять, что один
из них проходится в противоположном направлении, т. е.
рабочее тело проходит через те же самые состояния, но
в обратном порядке: 4—3—2—/—4 вместо /—2—3—4—/.
Тогда «прямой» цикл будет производить работу, а
«обратный», отбирающий тепло от холодильника и передающий
тепло нагревателю, наоборот, требует некоторой затраты
работы.
Предположим, что две машины связаны между собой.
Тогда, если циклы не эквивалентны, работа,
произведенная одним из них, будет больше работы, затраченной
вторым (можно предположить, что прямой цикл имеет
более высокий к. п. д.). Следовательно, две спаренные
машины произведут некоторую положительную работу.
Но эта система не извлекает тепла из нагревателя, так
как одна из машин возвращает источнику все тепло,
полученное другой, поэтому вся работа производится
вследствие теплообмена с одним-единственным источником
(а именно, с холодильником), а это невозможно. Полная
работа обязательно должна быть равна нулю, так что
равенство двух количеств тепла Qi влечет за собой
равенство количеств тепла Q0, а поэтому и к. п. д. т|. Какой бы ни
была природа рабочего тела, к. п. д. машины дается
выражением (19); эту формулировку принципа Карно часто
называют «принципом эквивалентности рабочих тел».
Сравним теперь цикл Карно (например,
представленный на рис. 2) с циклом, хотя бы один из процессов
которого необратим. Пусть природа рабочего тела и
температуры источников в обоих случаях одинаковы; это позволит
нам установить, какое влияние на к. п. д. цикла оказывает
необратимость. Проведем это сравнение с помощью
рассуждения, похожего на использованное нами при
установлении эквивалентности рабочих тел. Итак, предположим,
что обратимый цикл проходится в «обратном» направлении
и работа, необходимая для его осуществления, поставляется
двигателем, работающим по необратимому циклу. Как
и в предшествующем случае, примем еще, что этот
двигатель получает от нагревателя количество тепла, равное
передаваемому этому источнику второй машиной, работаю-

§11] ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ РАБОЧИХ ТЕЛ И НЕОБРАТИМОСТЬ 41
щей по обратимому циклу, так что полный теплообмен
между нагревателем и рассматриваемой системой равен
нулю. Сразу же видно, что система из двух машин не может
производить положительной работы, ибо в противном
случае она представляла бы собой вечный двигатель
второго рода.
С другой стороны, полная работа может быть равна
нулю только при условии, что тепло, извлеченное
«обратным» циклом из холодильника, равно теплу, переданному
этому источнику прямым циклом. Но в этом случае первый
цикл должен подвергаться всем изменениям, связанным
с необратимостью второго, а это противоречит нашему
предположению. Следовательно, количество тепла, переданное
холодильнику в необратимом цикле, по абсолютному
значению может быть только больше количества тепла,
извлеченного из этого источника в обратимом цикле, т. е. к. п. д.
необратимого цикла ниже к. п. д. обратимого.
Принцип эквивалентности рабочих тел и превосходство
обратимого цикла были установлены Карно. Он указал
еще последовательность процессов, составляющих цикл,
носящий его имя, и показал, что к. п. д. цикла (который
не может быть превзойден) зависит только от температур
двух источников тепла. Однако соотношение (19) между
к. п. д. и температурами источников установил не сам
Карно. Здесь мы получили это соотношение наиболее
простым способом, обратившись к свойствам идеальных газов
и предполагая, что определение абсолютной температуры
известно.
Вообще же, в более общем случае, можно показать,
что к. п. д. цикла Карно выражается через отношение
двух «термодинамических» температур, шкала которых не
зависит от специфических свойств рассматриваемых тел,
и что эти температуры (которые и являются абсолютными
температурами) совпадают с точностью до произвольной
постоянной с температурами, измеряемыми с помощью
термометра с идеальным газом. Отсюда следует, что
выражение для к. п. д. (19) справедливо независимо от свойств
идеальных газов и даже от того, существуют ли газы,
которые можно было бы считать идеальными. Мы не будем
однако останавливаться на этом вопросе, так как он не
имеет прямого отношения к содержанию нашей книги.

42
ДВА ПРИНЦИПА ТЕРМОДИНАМИКИ
[ГЛ. 1
§ 12. Замечания о свойствах цикла Карно
Было бы неправильно говорить (как это иногда делают)
о превосходстве цикла Карно над всеми остальными
циклами между температурами Т± и Т0. Верно, конечно, что
никакой другой цикл с теми же источниками тепла не
может иметь к. п. д. выше, чем цикл Карно, но существуют
циклы, эквивалентные циклу Карно. Высокий к. п. д.
цикла Карно проистекает не от его специфической формы,
а от обратимости всех составляющих его процессов. Но
это последнее условие может быть выполнено различными
способами. В качестве примера
можно заменить
адиабатические процессы 2—3 и 4—1
на рис. 2 изобарными
процессами, сопровождающимися
обратимым обменом тепла
между газом, охлаждающимся вдоль
2—3, и газом, нагревающимся
вдоль 4—/. Такой цикл,
предложенный Эриксоном, может
рассматриваться как идеальный
цикл газовой турбины. Он
представлен на рис. 4У где 1—2
обозначает изотермическое
расширение газа в турбине, 2—3 —
охлаждение при постоянном давлении в теплообменнике (или
рекуператоре), 3—4 — изотермическое сжатие и, наконец,
4—/ — нагревание при постоянном давлении в
теплообменнике. Чтобы цикл был обратимым, необходимо, конечно,
чтобы в любой точке обменника разность температур
нагревающего и нагреваемого газов была бесконечно малой. Это
условие аналогично тому, которое мы имели в случае
теплообмена с источниками. Если оно выполняется, то
цикл Эриксона становится эквивалентным циклу Карно
и его к. п. д. также дается формулой (19) *).
гг
Рис. 4. Представление цикла
Эриксона на динамической
диаграмме.
х) Другим примером служит цикл Стирлинга, где процессы
/—2 и 3—4 остаются изотермическими, а процессы 2—3 и 4—1
идут при постоянном объеме (изохоры).

§ 12] ЗАМЕЧАНИЯ О СВОЙСТВАХ ЦИКЛА КАРНО 43
Заметим, что цикл, представленный на рис. 4, содержит,
как и тот, что представлен на рис. 3, две изобары, но
в том случае изобары /—2 и 3—4 являлись в то же время
и изотермами, а на рис. 4 изотермы отличаются от
изобар.
С другой стороны, как в случае, показанном на рис. 2,
так и в случае, представленном на рис. 4 (но не в случае
рис. 3), значения давлений газа не входят в выражения для
к. п. д.; принцип эквивалентности рабочих тел для
идеального газа может быть дополнен принципом эквивалентности
давлений рабочего тела.
Следует сделать еще замечание относительно
физических ограничений при реализации цикла Карно. Так, для
пара в состоянии насыщения верхняя изотерма не может,
очевидно, соответствовать температуре выше критической
температуры пара. Но, что гораздо более важно, обычно мы
обладаем только одним источником тепла при постоянной
температуре; таков холодильник (вода в реке или море,
атмосфера), тепло которого мы получаем даром.
Нагреватель же должен быть создан искусственно с помощью
химического или ядерного топлива, причем этот источник почти
никогда не бывает изотермическим *).
Тем не менее получение изотермы в верхней части
цикла оказывается возможным: например, тепло
нагретого газа может быть использовано для получения
насыщенного пара, который, по крайней мере теоретически,
может проходить цикл Карно, представленный на
рис. 3. Но эта изотерма реализуется даже в идеальных
условиях при более низкой температуре, чем температура
нагревателя. В гл. 3 мы увидим, какие следствия
получаются из этого замечания. Сейчас достаточно лишь
констатировать, что "при осуществлении цикла Карно
необходимо делать различие между верхней
температурой рабочего тела и температурой нагревателя, и не
только по практическим причинам (технологические
ограничения, необходимость скачка температуры для
теплопередачи), но и потому, что нагреватель обычно не является
изотермическим.
х) Мы говорим «почти», так как это правило знает
исключения: например, ядерные реакторы с кипящей водой.

44
ДВА ПРИНЦИПА ТЕРМОДИНАМИКИ
[ГЛ. 1
§ 13. Значение второго принципа
Мы видели, что второй принцип имеет различные
аспекты, причем сами идеи, выражаемые принципом, не всегда
тесно связаны между собой. Поэтому неудивительно, что
второй принцип допускает различные формулировки и что
разные авторы отдавали предпочтение одному
определенному аспекту принципа либо потому, что считали его
наиболее интересным, либо потому, что рассчитывали,
опираясь на одну формулировку, уничтожить весь
принцип целиком.
Что касается самого Карно, то в начале своего труда он
четко перечислил те вопросы, которые собирался
подвергнуть, по его выражению, «продуманному исследованию».
И в первую очередь: «ограничена ли двигательная сила
тепла или она не имеет границ; имеют ли предел
возможные усовершенствования машины, предел, который нельзя
превзойти по самой природе вещей никаким образом, или
же, наоборот, эти усовершенствования могут быть
безгранично продолжены». Другой вопрос, поставленный Карно,
касается влияния природы рабочего тела, используемого
для «проявления двигательной силы огня». Он спрашивает
себя, например, не обладает ли атмосферный воздух в этом
отношении большими преимуществами по сравнению с
парами воды. Мы уже знаем, что в труде Карно на эти вопросы
даны совершенно правильные ответы: 1) преобразование
тепла в работу может быть только частичным и 2) к. п. д.
этого преобразования в идеальных условиях зависит только
от температур двух источников тепла, но не от природы
рабочего тела.
Р. Клаузиус в своей работе «Theorie mecanique de la
chaleur» («Механическая теория тепла»)г) подтвердил и
уточнил результаты, полученные Карно. Мы будем говорить
о работе Клаузиуса в гл. 2, а сейчас отметим, что он
основывал свои рассуждения на следующем постулате (носящем
его имя): «тепло не может само по себе перейти от тел менее
нагретых к телам более нагретым», или в другой форме:
«передача тепла от менее нагретого тела к более нагретому
*) Перевод см. в сборнике «Второе начало термодинамики»,
М.— Л., Гос. техн.-теор. изд., 1934. (Прим. перев.)

§ 13] ЗНАЧЕНИЕ ВТОРОГО ПРИНЦИПА 45
не может происходить без компенсации». Этой
компенсацией может служить одновременная передача тепла в
противоположном направлении или «некоторый процесс,
обладающий тем свойством, что он не может идти в обратном
направлении, не вызывая непосредственно или с помощью
других агентов аналогичную передачу тепла в
противоположном направлении». Этот постулат Клаузиуса
настолько важен, что часто рассматривается как основное
утверждение второго принципа термодинамики.
Другим аспектом второго принципа является различие
между обратимыми и необратимыми процессами, и именно
в этом пункте проявились наиболее существенные
расхождения во мнениях. Согласно Максу Планку *), «значение
второго принципа термодинамики состоит в том, что он
дает необходимый и достаточный критерий, чтобы решить,
обратим ли некоторый процесс, совершаемый в природе».
Дж. Свинберн2) видит в понятии обратимого процесса
как раз слабость второго принципа, так как «случай
идеально обратимой операции» является «гипотетическим и
нереализуемым случаем». Совершенно иная точка зрения
(цитируем мы ее ради любопытства) была выражена Л. Сель-
мом 3), который считает, что надо отбросить именно
необратимые процессы, так как необратимость может быть сделана
«сколь угодно малой» при условии принятия
«соответствующих мер»; отсюда, в частности, следует, что теплота есть
форма энергии, «не хуже других».
В действительности, хотя понятие обратимости играет
очень важную роль в рассуждениях Карно, оно, однако,
не заслуживает самого первого места среди различных
аспектов второго принципа. В теории тепловых машин
обратимость и необратимость — только условия (если не
синонимы) идеальности и неидеальности. Совершенно
очевидно, что идеальные машины существуют только в
теории, и это сводит их роль к некоторому предельному
х) М. Plank, Lecons de thermodynamique, § 114, Paris,
Hermann (есть перевод: M. П л а н к, Термодинамика, М., 1925).
2) Цитировано в работе: A. S t о d о 1 a, Turbines a vapeur et
a gaz, § 216.
3) L. S е 1 m е, Principe de Carnot contre la formule empirique
de Clausius, Paris, Dunod et Pinat.

46 ДВА ПРИНЦИПА ТЕРМОДИНАМИКИ [ГЛ. 1
образцу, к которому должны стремиться (не надеясь,
однако, его достигнуть) конструкторы реальных машин. Этой
ролью, конечно, нельзя пренебрегать, но она не очень
оригинальна, так как понятие идеальной машины известно
также и в механике. С другой стороны, если в
действительности нельзя подойти к обратимости «сколь угодно близко»,
то не менее справедливо, что в теории не существует
непрерывного перехода от обратимости к необратимости:
необратимость имеет различные степени и ее влияние на
производительность цикла может изменяться в очень широких
пределах. Так, теплообмен при скачке температуры в 5°
несомненно необратим, но влияние этой необратимости гораздо
менее заметно, чем при скачке температуры в 50°. Важно
то, что даже в том случае, когда все процессы обратимы,
теплота не является формой энергии, «не хуже других»,
ибо даже в этом случае превращение тепла в работу может
быть только частичным. Необратимость несомненно
ухудшает положение дела, но ее влияние лишь количественное:
к. п. д. необратимого цикла ниже к. п. д. обратимого, но
и он всегда меньше единицы. Мы видели, что этот
результат связан с тем обстоятельством, что превращение тепла
в работу всегда требует увеличения объема упругого
рабочего тела; оно вызывает, следовательно, изменения в
других телах, изменения, которые, согласно Клаузиусу, можно
рассматривать как «компенсации». С этой точки зрения
второй принцип может быть выражен следующим
утверждением, форма которого аналогична постулату Клаузиуса:
Преобразование тепла в работу не может происходить без
компенсации. Эта компенсация, которая никогда не бывает
равна нулю, достигает своего минимального значения,
когда преобразование осуществляется с помощью
обратимого теплового цикла.

Глава вторая
Энтропия и ее роль в теории тепловых машин
§ 14. Происхождение понятия энтропии
Дело, начатое Сади Карно, завершили Клапейрон,
В. Томсон (лорд Кельвин) и Клаузиус. Первый дал циклу
Карно графическое представление, второй выдвинул идею
термодинамической шкалы температуры, а третий имеет
тройную заслугу—устранение гипотезы о неразрушимом
теплороде*), установление правильного выражения для
к. п. д. цикла Карно и введение в термодинамику понятия
энтропии. Это последнее понятие может быть установлено
следующим образом.
Соотношение (18) может быть записано в виде
0л__ Со.
Ti ~ Т0 '
Но в этом равенстве мы рассматриваем только абсолютные
значения обоих отношений. А в действительности, если
температуры Т{ и Т0 имеют один знак (поскольку
абсолютная температура всегда положительна), то количества
тепла Qi и Qo имеют противоположные знаки, ибо первое
рабочим телом приобретается, а второе — им
затрачивается. Чтобы учесть это различие, можно считать, что рабочее
х) Заметим, однако, что после опубликования своего мемуара
«Размышления о двигательной силе огня» Карно, по-видимому,
отказался от этой гипотезы. Так, в своих записках
(опубликованных Академией наук в 1927 г.) он пишет: «Если какая-то гипотеза
уже не способна объяснить явления, ее следует отбросить. Именно
в этом положении находится гипотеза о теплороде как веществе,
как материальной субстанции». Продолжение этих записок
показывает, что Карно знал также принцип эквивалентности и
механическую теорию теплоты. Но он не мог пересмотреть свой труд,
так как через восемь лет после его опубликования умер от холеры
(ему было тогда 36 лет).

48 ЭНТРОПИЯ И ЕЕ РОЛЬ В ТЕОРИИ ТЕПЛОВЫХ МАШИН [ГЛ. 2
тело получает от нагревателя тепло Qb а от
холодильника — тепло Q0; тогда мы получаем
Я.
Ti
*-+ -^ = 0.
i Л
(20)
Итак, в цикле Карно происходит обмен только
количествами тепла Qi и Q0, причем этот обмен имеет место вдоль
изотерм /—2 и 3—4 (см. рис. 2 и 3); остальные два процесса
являются адиабатическими. Мы видим, таким образом, что
между точками 1 и 3 величина Q/T (где Т— абсолютная
температура, при которой
происходит обмен теплом)
претерпевает одно и то же
изменение при движении по пути
/—2—3 или по пути /—4—3.
Когда рабочее тело описывает
полный цикл, т. е. когда
после ряда обратимых
превращений оно возвращается в
начальное состояние, полное
изменение величины Q/T равно
нулю.
Рассмотрим теперь более
общий случай обратимого
цикла, представленного на
диаграмме/?, v замкнутой кривой С
(рис. 5). Выберем на этой кривой две бесконечно близкие
друг другу точки 1 и 2. Проведем через эти точки две
кривые, определенные соотношением pv^ = const и
представляющие поэтому обратимые адиабатические превращения
(значение у зависит, конечно, от свойств рабочего тела,
которые могут быть выбраны произвольно). Эти две кривые
пересекут нижнюю часть кривой С в точках 4 и 3. Мы
совершим только пренебрежимо малую ошибку,
рассматривая кривые 1—2 и 3—4 как изотермы. Обозначим
соответствующие температуры с помощью Тх и Т'0. Получаем,
таким образом, элементарный цикл Карно, в котором
рабочее тело получает от нагревателя количество тепла dQ' при
температуре Т\ и отдает холодильнику количество тепла
dQ'0 при температуре Т0. Применяя к этому циклу
Рис. 5. Представление
некоторого обратимого цикла на
динамической диаграмме.

§ 14] происхождение понятия ЭНТРОПИИ 49
соотношение (20), получаем
dQi , dQo n
J 1 '0
Таким же образом для другого элементарного цикла,
скажем, 5—6—7—8—5, находим
dQi , dQj ___ п
Г// ~Т" т" —
1 уо
Так можно разделить рассматриваемый цикл на
бесконечное число элементарных циклов, каждый из которых
составлен из четырех обратимых процессов: двух
адиабатических (по построению) и двух изотермических (пренебрегая
бесконечно малыми величинами). Совокупность этих
элементарных циклов эквивалентна первоначальному циклу,
так как адиабаты 1—4, 2—3, 5—5, 6—7 и т. д. исключатся,
потому что каждая из них проходится два раза в
противоположных направлениях (расширение и сжатие).
Складывая почленно для всех элементарных циклов уравнения,
написанные выше, получаем новое уравнение
jjfUo; (21)
С
интегрирование производится по всему циклу,
представленному замкнутой кривой С.
Клаузиус, первым получивший этот результат,
сформулировал его следующим образом: «Если для замкнутого
обратимого цикла каждый элемент тепла (положительный
или отрицательный)^ полученный телом, разделить на
абсолютную температуру, при которой был получен этот
элемент, и если вычислить интеграл от полученного
частного вдоль всего замкнутого цикла, то этот интеграл равен
нулю» х). Следовательно, этот интеграл равен нулю всякий
раз, когда тело возвращается в начальное состояние,
независимо от формы цикла, при единственном условии,
что он обратим. Более того, любое состояние из
проходимых телом при осуществлении цикла может рассматриваться
как начальное, так что интеграл обращается в нуль всякий
*) С 1 a usi us, Theorie mecanique de la chaleur, гл. 3, § 9.

50 ЭНТРОПИЯ И ЕЕ РОЛЬ В ТЕОРИИ ТЕПЛОВЫХ МАШИН [ГЛ. 2
раз, когда тело повторно проходит через состояние,
представленное некоторой точкой на кривой С. Далее, интеграл
между двумя данными точками кривой, например, 1 и 8
8
J т '
1
имеет одно и то же определенное значение, осуществляется
ли переход /—8 через точку 5 или через точку 4 .
Действительно, в первом случае мы имеем
8 1
\ —— (через точку 5) + \ —— (через точку 4) = 0,
1 8
а во втором:
8 1
\ —— (через точку 4) + \ —— (через точку 4) = 0.
1 8
Отсюда следует, что между любыми двумя точками А и В
значение интеграла
i т
не зависит от пути перехода из Л в Б, если только этот
переход совершается обратимо. Если ввести обозначение
Sf-
■SA| (22)
то мы определим функцию S, которая, как мы только что
видели, зависит только от состояния тела, но не от способа,
которым это состояние было получено. Именно эту функцию
Клаузиус назвал энтропией (от греческого слова етроят),
что значит превращение или изменение). В теории тепловых
машин энтропия (как внутренняя энергия и энтальпия)
определяется только с точностью до произвольной
постоянной, хотя принцип Нернста позволяет определить в
принципе значение этой постоянной (см. §38). Впрочем, удобно

§15] МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ 51
определить энтропию в дифференциальной форме:
dS = -^- . (23)
Напомним, что, поскольку мы рассматриваем только
обратимые превращения, абсолютная температура Т есть
одновременно температура рабочеттела и источника,
участвующего в обмене элементарного количества тепла dQ.
Очевидно, что знак dS зависит от принятого знака для dQ.
Клаузиус считал положительными количества тепла,
переданные источниками рабочему телу, и это условие,
фиксирующее направление изменения энтропии, до нашего времени
принимается в теории тепловых машин. Как бы то ни было,
согласно (23), dS обращается в нуль вместе с dQ. Но, по
определению, условие dQ = 0 характеризует
адиабатические процессы; следовательно, обратимые адиабатические
процессы идут при постоянной энтропии. Такие процессы
называются изэнтропшескими.
§ 15. Математическая интерпретация
Интеграл, фигурирующий в уравнении (22), служащем
определением энтропии (или интеграл Клаузиуса), есть
интеграл от полного дифференциала. Смысл этого
утверждения может быть понят с помощью следующего рассуждения.
Рассмотрим два состояния 1 и 2 некоторого тела,
например идеального газа. Каждое из этих состояний полностью
определяется значениями двух переменных, например,
давлением р и удельным объемом и. Следовательно, оно может
быть представлено некоторой точкой на диаграмме р, v
(рис. 6). Можно перевести рабочее тело из первого
состояния во второе беконечным числом различным способом,
скажем 1—3—2 и 1—4—2, при условии, что каждый переход
происходит обратимо и в каждом случае затрачивается
количество тепла Q и работа W (конечно, каждая из этих
величин может быть положительной и отрицательной). Но
именно величина Q, как и W, зависит от пути перехода из
1 в 2; вычисляя частную производную Q, например, по р,
а затем частную производную получающейся функции
(т. е. dQIdp) по v, получаем результат, который будет иным,
если вычисление производных провести в обратном порядке.

52 ЭНТРОПИЯ И ЕЕ РОЛЬ В ТЕОРИИ ТЕПЛОВЫХ МАШИН [ГЛ. 2
Величины dQ и dW не являются полными
дифференциалами, напротив, величины dU и dH — полные
дифференциалы, так как внутренняя энергия U и энтальпия Я
представляют собой функции состояния, и их изменение между
точками / и 2 не зависит от формы кривой перехода,
связывающей эти точки. Энтропия S также есть функция
состояния, так что dS, подобно dU
и dH,—полный дифференциал.
Чтобы получить этот
дифференциал, нам потребовалось
умножить dQ на 1/Т;
величина, обратная абсолютной
температуре, таким образом,
есть интегрирующий
множитель для dQ. Это
математическое свойство абсолютной
v температуры может быть поло-
Рис. 6. Открытые процессы жено в основу ее определения.
между двумя заданными со- Мы не будем останавли-
стояниями. J
ваться здесь на
математической стороне вопроса, ибо, несмотря на выяснение
математических свойств энтропии (а может быть, и вследствие этого),
понятие энтропии по справедливости считается
«замечательно абстрактным». Математические вопросы представляют
несомненный интерес и должны найти себе место в любом
курсе термодинамики. Но наша цель — не создание полного
курса термодинамики, а исследование развития
представления об энтропии. Поэтому мы рассматриваем энтропию не
как математическую функцию состояния тела, а как
величину, имеющую по необходимости физический смысл,
который мы и стремимся выяснить. Как сказал Анри Пуанкаре:
«Математические теории не предназначены устанавливать
истинную природу вещей; такие претензии к ним были бы
неразумными. Их единственная цель состоит в координации
физических законов, которые нам поставляет опыт, но
которые, без помощи математики мы не могли бы даже
сформулировать» *). И действительно, чтобы определить энтропию,
нам потребовалось использовать математическое соотноше-
*) Н. Р о i п с а г ё, La science et Thypothese, гл. 2. (См. сноску
на стр. 13.)

§ 16] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЦИКЛА КАРНО НА ДИАГРАММЕ Т, S 53
ние (22), но истинная природа этой величины откроется нам
только тогда, когда мы исследуем внимательно те
приложения, которые понятие энтропии нашло в различных областях
знания и, для начала, в теории тепловых машин.
§ 16. Представление цикла Карно на диаграмме Т, S
Сравнение рис. 2 и 3 ясно показывает, что форма цикла
Карно на диаграмме р, v зависит от природы рабочего тела.
Даже для идеального газа ход
адиабат 2—3 и4—1 на рис. 2 не
фиксирован раз и навсегда, а
зависит от молекулярного
строения этого газа, так как
именно от молекулярного строения
газа зависит величина
показателя степени 7 в уравнении
pvy~ const (у имеет значения
5 7 4
-тр -^ или -д~, если молекула
газа состоит, соответственно, из
одного, двух и трех атомов).
Но в § 14 мы видели, что во
всех случаях при обратимом
адиабатическом процессе
энтропия сохраняет свою
величину. Отсюда следует, что, откладывая на одной из осей
значения энтропии, мы в этой системе координат
получим диаграмму, на которой обратимые адиабатические
процессы будут выражаться прямыми, перпендикулярными
этой оси, независимо от свойств рабочего тела. На такой
диаграмме энтропия S заменяет одну из величин (р или v),
использованных нами* ранее для определения состояния
рабочего тела. Если, кроме того, заменить вторую из этих
величин температурой Г, то изотермические процессы будут
представлены прямыми, перпендикулярными первым
прямым. Диаграмма, где на оси ординат отложены значения
температуры, а на оси абсцисс — значения энтропии,
называется энтропийной диаграммой. На такой диаграмме
цикл Карно для любого рабочего тела представляется
прямоугольником 1—2—3—4—/, стороны которого
параллельны осям координат (рис. 7).
Рис. 7. Представление
цикла Карно на энтропийной
диаграмме.

54 ЭНТРОПИЯ И ЕЕ РОЛЬ В ТЕОРИИ ТЕПЛОВЫХ МАШИН [ГЛ. 2
Диаграмма Т , S замечательна не только своей
исключительно простой формой, но также и тем, что она дает сколь
возможно ясную иллюстрацию смысла выражения (19)
для к. п. д. г]. Согласно формуле (22), количество тепла Qb
переданное нагревателем рабочему телу при абсолютной
температуре Tif выражается соотношением
Qi = Ti(s2~si)1
где Si и S2 — значения энтропии в точках 1 и 2.
Следовательно, в масштабах диаграммы это количество выражается
площадью прямоугольника /—2—6—5—/ *). Аналогично,
количество тепла Q0, переданное рабочим телом
холодильнику при абсолютной температуре Г0, выражается формулой
и представляется площадью прямоугольника 6—3—4—5—6.
Поэтому к. п. д. цикла дается отношением площадей
/—2—3—4—/ и /—2—6—5—/, т. е. отношением
Tj-Tq
тх '
что согласуется с формулой (19).
§ 17. Произвольный обратимый цикл
Рассмотрим теперь не цикл Карно, а некоторый
произвольный обратимый цикл, представленный, например,
контуром С на диаграмме р, v рис. 5. Замкнутая кривая С —
это геометрическое место точек, представляющих
состояния 1 кг рабочего тела, претерпевающего данный
замкнутый цикл превращений. Мы предполагаем, что эти
превращения обратимы, т. е. все состояния рабочего тела
равновесны. В этих условиях приложение принципа
эквивалентности к элементу рассматриваемого цикла позволяет
написать
dQ = dU-\--j-pdv,
где dQ — количество тепла, передаваемое рабочему телу,
*) В начале координат (точка 0) абсолютная температура
имеет значение Т — 0, а энтропия 5 может иметь некоторое
конечное (Значение.

§ 17] ПРОИЗВОЛЬНЫЙ ОБРАТИМЫЙ ЦИКЛ 55
a dU — соответствующее изменение внутренней энергии.
Интегрирование по всему замкнутому контуру С ведет
к соотношению
Q - j ^/7 dv =
где Q = Qi — Q0 — разница между теплом, полученным
рабочим телом, и теплом, переданным холодильнику.
Действительно, поскольку в конце цикла рабочее тело
возвращается к своему исходному состоянию, его внутренняя
энергия (которая зависит только от состояния рабочего
тела) не испытывает изменений и, следовательно, не входит
в результат интегрирования. Поскольку, с другой
стороны, величина
\ pdv
представляется площадью, ограниченной кривой С, то мы
делаем вывод, что работа, совершаемая 1 кг рабочего тела
в некотором обратимом цикле, /-\
может быть найдена по
величине площади, ограниченной
кривой, описывающей данный
цикл на диаграмме /?, v.
Тот же вывод справедлив,
когда цикл представлен на
диаграмме Т, S. Однако эта
диаграмма позволяет еще
определить количества
тепла Qi и Q0 и вывести отсюда #1
к. п. д. г] = Q/Qi. Если мы
представляем произвольный
обратимый цикл, то на
диаграмме Т, S получаем
замкнутую кривую типа кривой С
(рис. 8). Вдоль верхней части
кривой рабочее тело получает тепло. Количество тепла,
полученное между двумя бесконечно близкими точками 3
и 4, равно dQ = Т dS, где Т — абсолютная температура
в точке 3. Это элементарное количество тепла
представляется площадью 7—3—4—8—7, а полное количество затрачен-
Рис. 8. Представление
некоторого обратимого цикла на
энтропийной диаграмме.

56 ЭНТРОПИЯ И ЕЕ РОЛЬ В ТЕОРИИ ТЕПЛОВЫХ МАШИН [ГЛ. 2
ного тепла Qi — площадью 10—1—3—2—9—10.
Аналогично, вдоль нижней части кривой рабочее тело отдает тепло,
и количество тепла, отдаваемое между двумя близкими
точками 5 и 6, представляется площадью 5—6—7—8—5,
так что полное количество отдаваемого тепла Q0 выражается
площадью 2—5—1—10—9—2. Таким образом, разность
Qi-
-Qo = Q=4
дается площадью, ограниченной кривой С, а к. п. д. т|
равен отношению площадей, представляющих количества
тепла Q и Qi. Заметим,
между прочим, что элементарный
цикл типа 3—4—5—6—3
может быть отождествлен с
циклом Карно между
соответствующими температурами
(7-s и Гв).
Но если верхняя часть
кривой на рис. 8 может иметь
произвольную форму, то
нижняя часть представляющей
кривой подвержена ряду
ограничений. Действительно,
тепловые машины обычно
связаны с изотермическим
холодильником и, поскольку рассматриваются обратимые
циклы, то необходимо ввести в цикл изотермическое
преобразование при температуре Т0. С другой стороны, этому
последнему преобразованию всегда предшествует расширение,
которое в принципе является адиабатическим, т. е. в
настоящем случае изэнтропическим. Учитывая эти замечания,
обратимому циклу надо придать форму типа 1—2—3—1
(рис. 9), причем кривая 1—2, вообще говоря, может
содержать угловые точки и прямые сегменты, в частности
сегменты, параллельные одной из координатных осей.
Рассмотрение цикла на рис. 8, конечно, справедливо и для рис. 9;
но здесь, как и в цикле Карно (рис. 7), количество тепла,
отдаваемое рабочим телом, дается соотношением
Рис. 9. Цикл, включающий
изотермический процесс.
и следовательно, представляется площадью прямоугольни-

§ 18]
ВМЕШАТЕЛЬСТВО НЕОБРАТИМОСТИ
57
ка, заключенного между изотермой Т0 и осью абсцисс
(прямоугольник 6—3—4—5—6 на рис. 7, прямоугольник
4—3—1—5—4 на рис. 9). Но величина Q0 зависит только
от S2, т. е. от энтропии рабочего тела в точке 2 рис. 9,
а не от пути перехода из начального состояния 1 в
состояние 2. Мы увидим, что в теории тепловых машин это
свойство энтропии более важно, чем то, которое выражается
условием
$£-°-
где интегрирование идет по полному обратимому циклу.
§18. Вмешательство необратимости
В § 11 мы видели, что если цикл, имеющий форму цикла
Карно, составлен хотя бы частично из необратимых
процессов, то при заданных значениях Ti9 Т0 и Q4 значение Q0
больше, чем в том случае, когда весь цикл полностью
обратим. Отсюда следует, что вместо равенства (20) мы имеем
здесь неравенство
^ + f<0. (24)
Как и при обратимом цикле (§ 14), обобщение этого
результата производится без затруднений. Для некоторого
необратимого цикла мы имеем всегда
\^-<0; (25)
С
здесь символ С указывает на то, что интегрирование
производится по всему рассматриваемому замкнутому циклу.
Соотношение (25) называется неравенством Клаузиуса.
Знак этого неравенства, впрочем, совершенно условен, так
как он зависит от выбора знаков для количеств тепла,
обмениваемых между рабочим телом и источниками, а
этот выбор, вообще говоря, произволен, если только
знаки Qi и Qo противоположны. Но то обстоятельство,
что во всех практических приложениях интеграл Клаузиуса
подчиняется неравенству, имеющему всегда один и тот же
знак, часто волновало воображение исследователей. Пыта-

58 ЭНТРОПИЯ И ЕЕ РОЛЬ В ТЕОРИИ ТЕПЛОВЫХ МАШИН [ГЛ. 2
лись даже в соотношении (25) видеть таинственное свойство
теплоты, тогда как на самом деле интеграл Клаузиуса
всегда отличен от нуля по той простой причине, что наши
тепловые машины не достаточно идеальны для того, чтобы
происходящие в них процессы были обратимы. Неравенство
Клаузиуса есть математическое выражение следующего
очевидного заключения: тепловые машины, как и все
в этом мире, несовершенны. Иными словами, это
неравенство попросту тривиальность, выраженная с помощью
интеграла.
Возрастание количества тепла Q0 под влиянием
необратимости имеет и другое следствие. Если, как мы
предполагаем, это тепло передается рабочим телом холодильнику
при температуре Т0, то оно может быть выражено
произведением Г0Д5, так что увеличение Q0 влечет за собой
увеличение AS. Если в обратимом цикле AS = S2 — Sx
(см. рис. 9), то в цикле, содержащем необратимости, должно
быть AS = Sg — Si, где S^> S2. Для такого цикла на
рис. 9 количество тепла Q0 будет представлено площадью
прямоугольника 7—6—1—5—7 (а для обратимого цикла
4—3—/—5—4). Состояние, представляемое точкой 6, может
быть достигнуто рабочим телом различными путями, в
зависимости от природы необратимостей. Так, можно себе
представить адиабатическое расширение водяного пара
в турбине, которая была бы идеальной, если бы не включала
потерь энергии за счет остаточной скорости на выходе;
в этом случае необратимость локализована в выходной части
турбины и именно здесь происходит возрастание
энтропии пара. В реальных условиях расширение пара или газа
всегда необратимо с начала до конца процесса; кривая 2—6,
представляющая этот процесс, отклоняется от изэнтропи-
ческой кривой 2—3 с самого начала и заканчивается в
точке 6, которая располагается справа от точки 3 (Sr2 > S2).
Надо заметить, что кривую 2—6 можно рассматривать
как представляющую обратимое превращение рабочего тела
в идеальной машине, которое, однако, не адиабатично, но
сопровождается непрерывным нагреванием рабочего тела.
Но в этом последнем случае вдоль кривой 2—6 должно
выполняться соотношение dS = dQ/T, так что количество
тепла, передаваемое рабочему телу во время расширения
будет представляться площадью 4—2—6—7—* , а работа

§ 18]
ВМЕШАТЕЛЬСТВО НЕОБРАТИМОСТИ
59
производимая вследствие этой дополнительной передачи
тепла,— площадью 3—2—6—3. Полные количества тепла —
переданное рабочему телу, отданное холодильнику и
преобразованное в работу — будут соответственно
представляться площадями 5—1—2—6—7—5, 7—6—1—5—7 и
/—2—6—L Ввиду того, что реальное расширение
необратимо, тепло, переданное холодильнику, по-прежнему
представляется площадью 7—6—1—5—7, а тепло, полученное
рабочим телом, дается площадью 5—1—2—4—5, так что
тепло, преобразованное в работу, представляется
разностью площадей 1—2—3—/ и 7—6—3—4—7. В сравнении
с обратимым циклом 1—2—3—1 реальный цикл
обнаруживает увеличение количества тепла Q0:
kQo^ToiS't-Sz)
и, следовательно, согласно первому принципу, уменьшение
произведенной работы:
ДИ7 = -JAQ0= ~JT0(S'2-S2).
Таким образом, работа всякой реальной тепловой
машины сопровождается увеличением энтропии, ибо она
неизбежно сопровождается необратимыми процессами. Но
необратимость имеет место во всех естественных физических
явлениях, так как в каждом из них всегда присутствуют
процессы трения, теплообмен при конечных разностях
температур и т. д.; следовательно, сумма энтропии тел,
принимающих участие в этих явлениях, всегда возрастает.
Клаузиус распространил этот вывод на всю Вселенную
в целом, рассматривая ее как замкнутую изолированную
систему, и пришел, таким образом, к своему знаменитому
изречению: «Энтропия Вселенной стремится к максимуму».
Вполне естественно, что это свойство Вселенной,
полученное на основе термодинамики, оказало огромное
влияние на умы и в областях, далеких от теории «тепловых
машин». Не менее естественно, что среди философских
интерпретаций этого открытия можно найти наряду с очень
глубокими замечаниями, гораздо менее глубокие и даже
порой, совершенные несообразности. Мы подробно займемся
влиянием понятия энтропии на философскую мысль в гл. 7,
а здесь не будем отвлекаться от области тепловых машин.

60 ЭНТРОПИЯ И ЕЕ РОЛЬ В ТЕОРИИ ТЕПЛОВЫХ МАШИН [ГЛ. 2
Итак, в этой области необратимость проявляется
в возрастании энтропии, но не всей Вселенной, а очень
малой ее части — рабочего тела, используемого для
преобразования тепла в работу. Вследствие этого возрастания
точка на диаграмме Т, S (рис. 9), представляющая состояние
рабочего тела, в конце расширения перемещается вправо
и количество тепла Q0, передаваемое конденсору,
умножается на отношение
S2 — Si
Таким образом, с нашей точки зрения необратимость не
вносит нового качественного элемента. Такой элемент
появляется, когда мы рассматриваем полный замкнутый
цикл, так как подстановка цикла /—2—6—/ (который
содержит хотя бы частично необратимые процессы) вместо
обратимого цикла 1—2—3—1 влечет за собой замену
равенства
неравенством Клаузиуса. Этот элемент качественный, так
как он не дает никаких численных указаний относительно
влияния необратимости. И наоборот, рассматривая
открытые процессы /—2—3 и 1—2—6, мы констатируем, что
в этом случае необратимость имеет чисто количественное
влияние, так как она лишь увеличивает значение
некоторой величины (Q0), которая и без необратимости не равна
нулю. Более того, в этом случае просто определяется
численный эффект необратимости, что имеет большое
значение для инженера.
Подводя итоги, мы видим, что исследование замкнутых
циклов превращений, проведенное нами в начале этого
параграфа, позволяет только выяснить, обратим ли
рассматриваемый цикл или нет. Теоретический интерес такого
исследования несомненен, но практическое его значение
равно нулю, так как мы заранее знаем, что все реальные
циклы необратимы. Важное значение имеет возможность
с достаточной точностью определить влияние необратимости
на к. п. д. цикла, но для этого достаточно рассмотреть
открытый процесс между состояниями, где энтропия дости-

§ 19] ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЭНТРОПИИ С ПОМОЩЬЮ АНАЛОГИЙ 61
гает одного или другого экстремального значения. Это
касается не только всего открытого процесса, но и каждого
его элемента: в течение такого процесса всякое возрастание
энтропии dS в конечном счете соответствует
увеличению dQ0 = TdS количества тепла, передаваемого
холодильнику.
§ 19. Интерпретация энтропии с помощью аналогий
Среди различных величин, определяющих физическое
состояние тела, энтропия занимает особое положение, так
как она определяется только математическим выражением
и не поддается простому интуитивному представлению. Но
поскольку эта величина играет важную роль как в
теоретической термодинамике, так и во всех приложениях этой
науки, то неудивительно, что делались многочисленные
попытки уточнить ее физический смысл; эти попытки
обычно основаны на аналогиях между энтропией и
другими величинами, более доступными нашей интуиции.
Чаще всего эти попытки опираются на сравнение,
сделанное самим Сади Карно, между «двигательной силой»
тепла и падающей воды: «Двигательная сила падающей
воды зависит от высоты падения и количества жидкости;
двигательная сила тепла зависит также от количества
используемого теплорода и от того, что можно считать
и что мы будем называть высотой его падения, т. е. от
разности температур тел, между которыми происходит
обмен теплородом». Именно это сравнение с производством
работы с помощью падающей воды было подхвачено в
некоторых попытках интерпретировать энтропию. Метод
действительно кажется очень заманчивым, ибо работа,
совершаемая падающей водой, выражается произведением двух
факторов, каждый из которых имеет вполне определенный
физический смысл: вес воды и высота падения, т. е.
разница уровней. Существует, впрочем, несомненная аналогия
между совершением работы при падении воды или с
помощью силы, перемещающей точку своего приложения вдоль
своего направления, или с помощью рабочего тела,
подверженного давлению и претерпевающего изменение объема.
В каждом из этих случаев работа дается произведением
двух факторов: согласно терминологии Ренкина; «активного

62 ЭНТРОПИЯ И ЕЕ РОЛЬ В ТЕОРИИ ТЕПЛОВЫХ МАШИН [ГЛ. 2
фактора» и «пассивного фактора». В трех приведенных
выше примерах роль активного фактора играют высота
падения, сила и давление, а роль пассивного фактора — вес
воды, перемещение и изменение объема. Предпочтительнее
принять наименования, предложенные Гиббсом, и
рассматривать величины первой категории как «переменные
напряжения», а второй категории — как «переменные
положения». Ясно, что, принимая такую классификацию, надо
температуру поместить среди переменных напряжения, так
как аналогия между разностью температур и разностью
уровней особенно прозрачна, что отметил Карно. Чтобы
завершить аналогию между работой и теплом и между
высотой падения и разностью температур, остается только
найти в тепловой области величину, аналогичную весу,
и, поскольку величина эта должна быть частным
количества тепла и температуры, естественно, приписать эту роль
энтропии.
Точно так же, если представлять работу произведением
силы на перемещение или давления на объем, то именно
перемещение и объем будут аналогичны энтропии. Во всех
случаях энтропия сравнивается с «пассивными факторами»
или «переменными положения», или еще с
«экстенсивными величинами».
Конечно, все эти сравнения достаточно искусственны
и их польза при интерпретации понятия энтропии
сомнительна. Прежде всего аналогия с падающей водой будет пол-
ной только при том условии, что работа, совершаемая
тепловым двигателем, будет выражаться произведением
разности температур на разность энтропии. Но это условие
реализуется только в случае цикла Карно или
эквивалентного цикла (в последнем случае надо рассматривать только
изменение энтропии вдоль изотермы, а не полное
изменение энтропии рабочего тела). Далее, при данных условиях
функционирования работа теплового двигателя, как и
гидравлического двигателя, пропорциональна массе рабочего
тела, проходящего через двигатель, но если масса входит
в одном случае, она должна появиться и в другом.
Следовательно, для теплового двигателя надо рассматривать не
удельную энтропию (т. е. энтропию, отнесенную к единице
массы), а произведение удельной энтропии на массу. Таким
образом, находим в обоих случаях одну величину (массу),

§ 20]
ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ЭНТРОПИИ
63
которая играет еще и одинаковую роль; сократив этот
общий фактор, находим, с одной стороны, удельную
энтропию, а вот для сравнения, с другой стороны, ничего
эквивалентного нет.
Это замечание не относится к аналогии между
энтропией и объемом. Действительно, можно рассматривать
единицу массы рабочего тела и применить к каждому ее
элементарному превращению соотношения dQ = Т dS и dW =
= р dv. Поскольку величины Q и W, а также Тир
аналогичны, то мы замечаем, что изменения энтропии можно
сравнить с изменениями объема без необходимого введения
понятия массы. Но это рассуждение относится только к
обратимым процессам, так как лишь в этом случае площади
диаграмм р, v и Г, S эквивалентны, ибо дают в
соответствующих масштабах работу, производимую рабочим телом.
Отсюда следует, что даже эта последняя аналогия
несправедлива при реальных процессах х).
§ 20. Физический смысл энтропии
Определения энтропии не достаточно, чтобы установить
физический смысл этой величины, но оно дает нам ценное
указание на этот счет, ибо позволяет найти размерность
единицы энтропии. Не зная пока, что мы измеряем, можно
хотя бы точно сказать, как мы это делаем. Что же касается
физического смысла измеряемой величины, то он может быть
установлен, если помимо размерности принять во внимание
также и практические приложения данной величины.
В дальнейшем под словом «энтропия» мы будем
понимать удельную энтропию, т. е. энтропию, отнесенную к
единице массы. Впрочем, для сокращения письма так всегда
поступают и относительно внутренней энергии и энтальпии.
Отсюда следует, что dQ в соотношении (23), определяющем
энтропию: dS = dQ/T, обозначает элементарное
количество тепла, передаваемое единице массы рабочего тела.
Мы видим, таким образом, что энтропия имеет ту же
г) Об аналогии между энтропией и объемом можно найти
в книге Ch. В г и п о 1 d, L'entropie. Son role dans le developpe-
ment historique de la thermodynamique, Paris, Masson.
Впрочем, мы не разделяем всех взглядов, высказываемых
этим автором.

64 ЭНТРОПИЯ И ЕЕ РОЛЬ В ТЕОРИИ ТЕПЛОВЫХ МАШИН [ГЛ. 2
размерность, что и удельная теплоемкость: это количество
тепла, отнесенное к единице массы и единице температуры.
Следовательно, энтропию надо рассматривать некоторым
образом как удельную энергию.
Но здесь мы имеем дело с удельной энергией особого
рода. Сравним определения энтропии: dS = dQ/T и
удельной теплоемкости с = dQ/dT; нам приходится делать два
заключения:
1) В данном состоянии рабочего тела удельная
теплоемкость с имеет вполне определенное значение, если указан
способ передачи тепла рабочему телу (например, при
постоянном давлении, постоянном объеме и т. д.). Энтропия
также является функцией состояния, но ее значение не зависит
от изменения рабочего тела вблизи заданного состояния.
Следовательно, именно теплоемкость — величина
переменная, а энтропия — величина статическая. Но, что очень
важно, энтропия в противоположность теплоемкости
известна (или по крайней мере может быть известна) только
с точностью до аддитивной постоянной; во всех
приложениях надо рассматривать не значение энтропии в данном
состоянии, а разность значений энтропии в этом состоянии
и другом состоянии, которое на первый взгляд можно
выбирать произвольным образом.
2) В определение теплоемкости температура входит
в дифференциальной форме; ее можно измерять в градусах
Цельсия или в градусах Кельвина, причем выбор шкалы
не скажется на значении теплоемкости. Не так обстоит дело
в случае энтропии, где фигурирует абсолютная
температура 7\ Поэтому можно дополнить (словесное) определение
энтропии, сказав, что эта величина есть энергия,
отнесенная к единице массы и единице абсолютной температуры.
Вернемся теперь к практическому использованию
понятия энтропии, которым мы занимались в конце § 18. Мы
видели, что при всяком открытом процессе, завершающемся
при температуре холодильника Т0> конечная энтропия
рабочего тела позволяет непосредственно найти энергию,
необходимую для возвращения рабочего тела в начальное
состояние (точка 1 на рис. 9), причем это начальное
состояние обыкновенно определяется температурой Т0 и давлением
окружающей среды. Было отмечено, что это справедливо
и для обратимого процесса, а влияние необратимости

§ 20] ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ЭНТРОПИИ 65
состоит в увеличении разницы между начальной и
конечной энтропиями. Однако этот вывод можно распространить
и на открытый процесс, не заканчивающийся при
температуре Т0- Рассмотрим пример открытого процесса 1—2
(рис. 10) либо изолированного, либо составляющего часть
полного цикла. Какой бы ни была физическая
интерпретация энтропии, известно, что эта
величина остается неизменной при
адиабатическом и обратимом
процессе. Поэтому вместо открытого
процесса 1—2 можно
рассматривать открытый процесс 1—2—3 без
каких-либо изменений величины
AS (AS = S2 — S^, а
следовательно, и произведения T0AS.
Естественно выбрать в качестве
вычитаемого Si значение энтропии,
соответствующее начальному
состоянию 1\ это соглашение
приводит к выбору в качестве
температуры Г, входящей в определение
энтропии, фиксированного
значения Т0, соответствующего как
стоянию. Если выбор значения
Рис. 10. Интерпретация
физического смысла
энтропии.
раз начальному со-
Si в принципе
свободный и не вносит нового элемента в интересующую нас
проблему, то принятие фиксированного значения для Т
должно заметно облегчить решение задачи, т. е. выяснение
физического смысла энтропии. Физический смысл энтропии
может быть выражен следующим образом:
Энтропия (отнесенная к единице массы) есть удельная
энергия, необходимая для того, чтобы после адиабатического
и обратимого процесса, завершающегося при температуре,
соответствующей начальному состоянию, возвратить
рабочее тело обратимым путем в это начальное состояние.
Условие обратимости, фигурирующее здесь, ясно
показывает, что дело идет о минимальной удельной энергии.
Теперь становится ясно, почему согласно второму
принципу, передаваемое количество тепла имеет тем большую
ценность, чем больше температура, при которой происходит
эта передача тепла рабочему телу. Передавая рабочему телу
количество тепла dQ при температуре Т, мы увеличиваем

66 ЭНТРОПИЯ И ЕЕ РОЛЬ В ТЕОРИИ ТЕПЛОВЫХ МАШИН [ГЛ. 2
его энтропию; это означает, что мы увеличиваем на dQ0
энергию Q0, необходимую для возвращения рабочего тела
в начальное состояние. Но это увеличение затраты энергии
при заданном dQ тем меньше, чем выше температура Т.
Отсюда следует, что при возрастании Т уменьшается dQ0
и, следовательно, количество тепла, преобразующееся
в работу, т. е. dQ — dQ0, увеличивается.
Эта физическая интерпретация позволяет также понять,
не прибегая к математическому определению энтропии,
смысл утверждения: «обратимые адиабатические процессы
являются изэнтропическими». Рассмотрим 1 кг идеального
газа, находящегося в цилиндре, снабженном поршнем,
который может перемещаться без трения настолько
медленно, что можно пренебречь изменением кинетической
энергии как поршня, так и газа. Предположим, что стенки
цилиндра и поршня теплонепроницаемы, так что изменения
газа происходят адиабатически. Кроме того, допустим, что
давления на обе стенки поршня одинаковы, так что
бесконечно малое изменение давления на внешнюю стенку
поршня вызывает изменение состояния газа, а
последовательность двух изменений давления разных знаков, но одной
абсолютной величины возвращает рабочее тело в начальное
состояние. Мы видим, что это условие обратимости. Если
мы будем медленно менять давление, действующее на
внешнюю стенку поршня, то для каждого внешнего давления
получим соответствующее равное давление внутри цилиндра.
Более того, последовательности давлений ри р2, . . ., рп
соответствует в цилиндре последовательность температур
Ти Т2, . . ., Тп, а также удельных объемов vi9 v2, . . ., vn.
Эту операцию можно повторять сколько угодно раз, и все
же соответствие между величинами р, Т и v не нарушится.
Указанное соответствие может быть представлено
графически кривыми в системах координат Т, р и и, р или же
в системе 7\ v\ в каждой из этих систем координат
рассматриваемый процесс представляется единственной кривой.
Предположим теперь, что 1 кг того же самого газа
помещен в другой цилиндр, где давлению р4 соответствует
температура Т[, отличающаяся от Ти и, следовательно, объем
его v[ отличается от и1# Ясно, что, подвергая газ во втором
цилиндре обратимому и адиабатическому превращению,
как в предшествующем случае, получим новое соответст-

§ 20]
ФИЗИЧЕСКИЙ смысл ЭНТРОПИИ
67
вие между давлением и температурой и удельным объемом,
так что представление эволюции рабочего тела в системах
координат Г, р\ и, р и Г, v дает новые кривые, не имеющие
ни одной общей точки с первыми. Каждая из этих кривых
характеризуется, следовательно, некоторым параметром,
определяющим обратимый и адиабатический процесс в
рассматриваемой массе газа. Мы знаем, что таким параметром
служит энтропия газа, однако нам нужно выявить
физический смысл этой величины. Он станет ясным, если мы
определим, какое изменение следует внести в первую систему,
чтобы сделать ее тождественной со второй, т. е. чтобы
совместить кривые, описывающие эволюцию двух систем
на одной диаграмме, скажем на диаграмме Т, р. Чтобы это
изменение было тоже обратимым, нужно, чтобы оно было
изотермическим и происходило в идеальной машине.
Таким образом, это изменение есть обратимое расширение
или сжатие, происходящее при постоянной температуре.
Отвлечемся от направления изменения (расширение или
сжатие) и рассмотрим только абсолютное значение
соответствующей энергии Q. Нетрудно проверить, что величина Q
не фиксирована, она изменяется пропорционально
абсолютной температуре Г, при которой происходит
рассматриваемое изотермическое изменение. Частное Q/T имеет
постоянное значение и именно это частное определяет
изменение параметра, характеризующего две кривые
Т = f (р) и Т = ф (р). Данный параметр (т. е. энтропия)
действительно является удельной энергией, необходимой
для перевода рабочего тела путем обратимого
изотермического процесса из заданного состояния в другое состояние,
причем эта энергия отнесена к единице массы и единице
абсолютной температуры, одинаковой для двух состояний.
Вместо того чтобы рассматривать изменения этого
параметра между двумя кривыми, выбирая при вычислении Q
некоторую температуру 7\ удобнее полагать значение
параметра равным нулю для некоторого выбранного
состояния, которым может быть состояние холодильника. Тогда
для всякого состояния рабочего тела энтропия может быть
вычислена в предположении, что в результате обратимого
и адиабатического процесса температура рабочего тела
становится равной Т0> что соответствует начальному
состоянию, а затем определяя расход энергии, необходимый для

68 ЭНТРОПИЯ И ЕЕ РОЛЬ В ТЕОРИИ ТЕПЛОВЫХ МАШИН [ГЛ. 2
возвращения рабочего тела при этой температуре обратимым
путем в начальное состояние.
Вполне понятно, что это рассмотрение применимо не
только к идеальному газу, но и к любому рабочему телу,
однако в случае насыщенного пара обратимое
адиабатическое превращение может быть представлено соотношением
между р и v или между Т и и, но не между Тир. Во всех
случаях интерпретация физического смысла энтропии
требует введения некоторого состояния отсчета (или
«начального» состояния) и обратимого изотермического процесса,
возвращающего рабочие тела в это состояние.
§ 21. Построение диаграммы 7, 5 для газа
Как указывалось в § 16, диаграмма Г, S, или
энтропийная диаграмма, хорошо подходит для изображения
цикла Карно, так как содержит в этом случае только прямые,
параллельные осям координат. В противоположность этому
изобарные и изохорные процессы на такой диаграмме
представляются кривыми, а на диаграмме р, v, или
динамической диаграмме,— прямыми, параллельными осям. Мы
видели также, что на обеих диаграммах полный тепловой
цикл представляется замкнутой кривой, и в случае, когда
имеют место только обратимые процессы, работа,
совершаемая 1 кг рабочего тела, дается площадью внутри этой
кривой. Но, в противоположность динамической диаграмме,
энтропийная диаграмма позволяет также определить тепло,
полученное или отданное рабочим телом. В этом как раз
и состоит ее главный интерес. Диаграммы такого рода
получили широкое распространение после того, как сама
идея диаграммы была выдвинута Бельпером в 1872 г.,
а первое применение ее было осуществлено спустя 17 лет
Греем.
Удобно использовать энтропию в качестве одной из
величин, характеризующих состояние рабочего тела в тепловом
цикле, однако изменения этой величины только отражают
изменения других величин, с которыми непосредственно
имеет дело конструктор. Действительно, в любом проекте
тепловой машины, согласно некоторым законам,
предлагается изменять давление, температуру или удельный
объем рабочего тела, но отнюдь не его энтропию. Чтобы

§ 21] ПОСТРОЕНИЕ ДИАГРАММЫ Т, S ДЛЯ ГАЗА 69
иметь возможность представить эти изменения на
энтропийной диаграмме, надо уметь изобразить на диаграмме Т, S
сетку изобар и изохор. Особенно просто сделать это, если
рассматриваемым рабочим телом является идеальный газ.
Попробуем изобразить на энтропийной диаграмме
идеального газа изобару при некотором давлении р0.
В какой-то точке изобары выполняется соотношение
и, поскольку по определению теплоемкость ср идеального
газа зависит только от температуры, это соотношение
между dS и dT не зависит от принятой величины давления
р0. Пусть S0 есть энтропия, соответствующая температуре
Т0, которая служит началом координат; причем выбор S0,
конечно, произволен. Интегрируя, получаем
т.
S=--S0+\cp*f. (26)
То
Чтобы получить искомое соотношение между S и Г,
достаточно знать закон изменения ср при изменении температуры.
Полагая в первом приближении ср = const, находим, что
изобара имеет вид экспоненциальной функции.
Предположим теперь, что при данной температуре Т
давление газа изменяется на dp. Это изменение давления
соответствует изменению энтропии dS, согласно равенству
J J р
откуда после интегрирования имеем
5 = 5о~Т1п^- (27)
Эта формула показывает, что вдоль любой изотермы
изменение энтропии между двумя данными изобарами имеет
фиксированное значение. Отсюда следует, что при наличии
одной изобары ро нетрудно получить все другие изобары,
перемещая имеющуюся изобару параллельно самой себе
в направлении, перпендикулярном оси ординат.

70 ЭНТРОПИЯ И ЕЕ РОЛЬ В ТЕОРИИ ТЕПЛОВЫХ МАШИН [ГЛ. 2
Аналогично, изохора, соответствующая удельному
объему v0, может быть построена с помощью равенства
т
S = S0+^cv-^-, (28)
То
имея в виду, что по соотношению Майера всегда
с -с -½
Как и изобары, все изохоры могут быть получены из
одной путем трансляции вдоль оси абсцисс. Действительно,
комбинируя (27) с законом Бойля — Мариотта pv = RT,
находим
S = S0--yln
V
(29)
Получаемая таким образом диаграмма представлена на
рис. 11.
Какой бы ни была кривая на диаграмме Г, S,
касательная к ней в некоторой точке характеризуется, конечно,
производной dT/dS, под-
касательная на оси абсцисс
(7=0) имеет значение
TdS
dQ
(dT/dS)
dT
dT
Ho dQ/dT— это
теплоемкость, соответствующая
рассматриваемым процессу
и состоянию.
Следовательно, для изобары подкаса-
тельная в данной точке
измеряет теплоемкость ср в
этой точке; аналогично,
для изохоры подкасатель-
энтропий- ная измеряет теплоемкость
идеального cv. Немедленно отметим,
что подкасательная
бесконечно велика для изотермы
и равна нулю для изэнтропическои кривой; это вполне
согласуется с теми удельными значениями теплоемкостей,
которые мы должны приписать этим двум процессам.
Рис,
ной
11. Построение
диаграммы для
газа.

§ 22] ПОСТРОЕНИЕ ДИАГРАММЫ И, S ДЛЯ ГАЗА 71
Но вместо того, чтобы строить диаграмму Г, S для
каждого конкретного газа, можно построить диаграмму,
справедливую для всех идеальных газов одного молекулярного
строения. Известно, что, рассматривая вместо 1 кг газа
1 кмоль его, получаем для теплоемкостей (которые теперь
обозначаются как Ср и Cv) значения, общие для всех
идеальных газов, имеющих одинаковое число атомов в молекуле.
С другой стороны, разность Ср — Cv постоянна для всех
идеальных газов независимо от их молекулярного строения.
Эта разность, приближенно равная 2 (истинное ее
значение 1,986), соответствует константе*
R = J(CP — С) -427-1,986 = 848 кг/кмоль,
одинаковой для всех идеальных газов.
Некоторые реальные газы (азот, кислород, воздух,
гелий и т. д.) в обычных условиях обладают свойствами,
приближающими их к идеальному газу, так что
энтропийная диаграмма этих газов может быть получена на
основе предшествующего рассмотрения. Но когда состояние
газа приближается к критическому, т. е. в области
высоких давлений или низких температур, реальный газ не может
быть сопоставлен с идеальным газом; в этих условиях
необходимо учитывать изменение теплоемкостей Ср и Cv не
только с температурой, но и с давлением. Иллюстрацию
к этому замечанию можно найти на рис. 12, где
представлена энтропийная диаграмма гелия.
§ 22. Построение диаграммы //, 5 для газа
или смеси газов
Мы уже говорили о важности применения диаграммы
Т, S при исследовании-тепловых циклов рабочего тела.
Но практическое использование этой диаграммы
представляет некоторые трудности: определение количества тепла,
преобразующегося в работу (или работы,
преобразующейся в тепло), требует измерения площади, а эта площадь
представляет количество преобразуемой энергии только
при условии обратимости цикла. Эту двойную трудность
можно было бы обойти, если бы в каждой точке диаграммы
была непосредственно известна энтальпия рабочего тела.
Действительно, мы видели (§ 5), что для адиабатических

7 V
., 1
4-
j
7
44
ig]
4
£
45
л
7/7 ]
4
5
4*
4
/
1
£
47
<50
-r*
4,
/Л
7
4,8
E?yq
fllj
Ъ
9
4
/
z.
__
/
4
^
p
jSy
'X
\л>
Л,
w
=^K
9
5,0
vL
л^
Y
Л
ъ*
%
vj
£7
4/
|
И
/f
Л
4
и
^4
V
85i
7
7
z
/
Щ
•A
4
*
7 —
/J
^
/
^:
/
/
A
Щ
У
4'
%z
f50
^
^
/
Г
^r
^
/
^
p
t
/
/
_^
74-
^
—^
^
¢/
:£
4
^
3J£
7
-^
•
/
"7
/
7
V"
t2
^
5,4
^-
>_,
/
/
7
И
^z
/^
7
Z.
7"
^
2;
^
in-
7
jL
/
/
7\
7
7
7
X
&
$
z
*
45
Щ
/
7
—+
/~
j.
У
7
^
^
<j%>
—г*
3
4
-7
7
/
/
7
й
-^
Ca
^
t
7*
5
5,6
t
V
7
-¥
r
t—
/-
/
7
^
j£,
W
'£
*/
^
4
W*
/
l_
7
/
7
7
У.
7^
7
y.
7*~
^.
Ъ
^
6
5,7
W,
/
У
t—
7
/
L
,
L.
/-—
7
У
~C-
r/
и
z
ZL
ZL
,/
7
~?
'5,
5,1
\Т
7Ц>
706a\i
?->
7
7
/
у
r-
-7
7
[_,
7
7
|И
7^
ъ
ту
У,
-2
г*—
%/
7
А
4
л
-V
А
Л.
7Г
At
7Г
И
й
7Т
7]
—\/
1
7А
А
У у
ък
*%
Н"
У\1
уА
5,6

7Q0O
66/7
700
50O
400
300
280
5,8 5,6 6,0 6.7 . 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6
7,7 7,8 7,9 3,0 8,7 $2 б)? ¢4 ¢5 0,6 0,7
3#т/?ол£/я,)с/гал/хео0
Рис. 12. Диаграмма энтропия — температура для гелия.

72 ЭНТРОПИЯ И ЕЕ РОЛЬ В ТЕОРИИ ТЕПЛОВЫХ МАШИН [ГЛ. 2
процессов изменения энтальпии (которые получаются
простым прочтением двух чисел) эквивалентны произведенной
или затраченной работе, даже если процессы не обратимы.
Поэтому диаграмму Г, S часто снабжают кривыми
постоянной энтальпии или изэнтальпическими кривыми; это
проделано, в частности, на рис. 12. В той мере, в какой газ
можно рассматривать как идеальный, эти кривые являются
прямыми, параллельными оси абсцисс, так как в этом
случае всякая изотерма одновременно есть и изэнтальпиче-
ская кривая. Заметим, между прочим, что знак кривизны
изэнтальпических кривых зависит от природы
рассматриваемого газа.
Но в некоторых случаях может оказаться удобнее
откладывать по оси ординат непосредственно значения
энтальпии, а по оси абсцисс, как и ранее, значения энтропии.
Так получается диаграмма Я, S, которую также называют
диаграммой Молье. На такой диаграмме строят изотермы,
изобары и, наконец, изохоры; в зоне, где свойства газа мало
отличаются от идеальных, изотермы параллельны оси
абсцисс, а изобары и изохоры идут примерно так же, как
и на диаграмме Г, 5, ибо соотношения (27) и (29)
справедливы в обоих случаях. Изменение энтальпии вдоль
изобары дается равенством
dH^cpdT,
откуда, интегрируя, получаем
т
# = //o+$cPd7\ (30)
То
где #о — энтальпия (в килокалориях на килограмм),
соответствующая начальному состоянию,
характеризуемому температурой Т0 и, если газ не идеальный, некоторым
давлением р0. В последнем случае необходимо учитывать
изменение ср в зависимости от температуры и давления,
так что изобары не могут быть получены все из одной
простой трансляцией вдоль оси абсцисс.
Само собой разумеется, что диаграмма Молье может быть
построена для 1 кмоля газа. Использовать эту единицу
особенно удобно, когда диаграмма строится для смеси
газов, потому что, каков бы ни был состав смеси, если раз-

§ 22] ПОСТРОЕНИЕ ДИАГРАММЫ И, S ДЛЯ ГАЗА 73
личные компоненты можно считать идеальными газами,
константа R всегда имеет одно значение, именно 848 кг/кмоль.
Обозначая с помощью пи п2 и т. д. числа киломолей
каждой компоненты, а с помощью п сумму щ + п2 + . • .,
получаем, что объем V смеси при давлении р и абсолютной
температуре Т дается формулой
V = -^. (31)
С другой стороны, согласно закону Дальтона, давление р
смеси есть сумма парциальных давлений ри р2, ...
компонент, т. е. давлений, которые имели бы эти компоненты,
если бы занимали по одиночке объем V. Каждое из
парциальных давлений дается формулой
Pk'~=—у— = — Р- \62)
Нетрудно определить удельный объем смеси, а также
теплоемкости при постоянном давлении р. постоянном
объеме. Ясно поэтому, что построение энтропийной диаграммы
для смеси газов данного состава не представляет
трудностей, ибо такая смесь может рассматриваться как
однородное рабочее тело.
Не так обстоит дело, когда мы хотим построить одну
диаграмму Я, S для смесей с различными составами. Этот
случай, однако, имеет большое практическое значение,
ибо это случай горючей газовой смеси. Так, в газовой
турбине с открытой циркуляцией работа производится при
расширении газовой смеси, состав которой зависит, с одной
стороны, от химического состава сжигаемого топлива,
а с другой — от отношения веса воздуха, теоретически
необходимого для сгорания, и реального веса потребляемого
воздуха. Мы будем обозначать это отношение буквой г х).
Эти два фактора могут меняться в широких пределах даже
при заданной конструкции двигателя, так как топливо не
имеет всегда постоянного состава, и даже при заданном
составе топлива отношение г заметно меняется в различных
режимах работы машины.
2) Надо заметить, что «реальный» вес воздуха включает и
«вторичный» воздух, т. е. тот, который смешивается с продуктами
горения, чтобы понизить температуру до нужного значения.

74 ЭНТРОПИЯ И ЕЕ РОЛЬ В ТЕОРИИ ТЕПЛОВЫХ МАШИН [ГЛ. 2
Было установлено, что при обычно используемых жидких
топливах термодинамические свойства газа зависят
практически только от одного параметра, которым является
отношение г\ влиянием состава топлива можно пренебречь.
Это свойство облегчает, конечно, построение диаграммы,
однако в сравнении с чистым газом или смесью постоянного
состава здесь возникает необходимость учитывать
дополнительный параметр, изменяющийся от нуля до единицы.
Были предложены разные методы введения этого параметра
(или параметра К = Mr, который изменяется от единицы
до бесконечности) в диаграмме Я, S. Изложим коротко
принцип метода, использованного нами для построения
такой диаграммы х).
Диаграмма строится для 1 кмоля чистого воздуха (что
соответствует г = 0), а затем тот же масштаб энтальпии
и те же изобары используются для случая, когда
отношение г отлично от нуля. В области, интересной для газовых
турбин, воздух можно считать идеальным газом, так что
изменения теплоемкостей ср и cv зависят только от
температуры; то же самое справедливо для газов сгорания и,
следовательно, энтальпия их зависит только от г и t2). На
рис. 13 точка 1 с ординатой Я4 соответствует в случае
воздуха (г = 0) определенной температуре ti9 но при г,
отличном от нуля, эта энтальпия соответствует температуре t'lf
отличающейся от ^. Аналогично, энтропия S[,
соответствующая г > 0, отличается от энтропии Su которая
соответствует г = 0, причем разность между двумя энтропиями
зависит только от г и t. Отсюда следует, что для всякого г,
отличного от нуля, изэнтропическая кривая не является
прямой, параллельной оси ординат. В действительности
она очень мало отличается от прямой и полностью
определяется своим наклоном, который зависит только от г.
Наклон изэнтропических кривых дается вспомогательными
прямыми г = const, нанесенными слева на рисунке; эти
прямые пересекаются изотермами, построенными так, что
точки пересечения дают температуру, соответствующую г
и Я.
г) P. Chambadal, Les diagrammes enthalpie-entropie,
Applications a Pair et aux gaz de combustion, Paris, Dunod.
2) Буквой t мы обозначаем температуру, измеряемую в
градусах Цельсия.

§22] ПОСТРОЕНИЕ ДИАГРАММЫ Я, S ДЛЯ ГАЗА 75
Чтобы проиллюстрировать способ работы с этой
диаграммой, рассмотрим наиболее простой цикл газовой турбины.
Состояние воздуха на входе в компрессор определяется
давлением р0 и температурой t0 (и, конечно, г = 0). Это
состояние представлено на диаграмме точкой 2.
Изэнтропическое сжатие воздуха между р0 и pi представляется
прямой 2—3, параллельной оси ординат; соответствующая
Рис. 13. Диаграмма Н, S для газообразных
продуктов горения.
температура есть t3. На выходе из камеры сгорания мы
получаем смесь, состояние которой определено значением
г (г = rt), а также температурой t[\ состояние это
представлено точкой /. Наконец, изэнтропическое расширение
смеси изображается прямой 1—4, параллельной прямой
г = г и температура, соответствующая точке 4, есть t\
(мы видим, что температуры t0 и t3 прочитываются на
прямой г = 0, а температуры t[ и t\ — на прямой г = rt).
Работа, произведенная при расширении 1 кмоля газа,
дается разностью (Hi — Я4) ккал, а работа, затраченная
на сжатие 1 кмоля воздуха, равна (Н3 — Я2) ккал.
Нетрудно учесть в этом построении к. п. д. компрессора
и турбины, а также потери в воздухе и газе. Аналогично

76 ЭНТРОПИЯ И ЕЕ РОЛЬ В ТЕОРИИ ТЕПЛОВЫХ МАШИН ГЛ. 2
могут быть рассмотрены циклы, включающие охлаждение
воздуха в процессе сжатия, нагревание газа в процессе
расширения или теплобмен между расширившимся газом
и сжатым воздухом.
§ 23. Построение диаграммы Т, S для пара
Энтропийная диаграмма (7\ S) пара (например, пара
воды) должна быть построена так, чтобы позволить
графически изобразить все превращения пара, составляющие
цикл в некотором двигателе (поршневом или турбинном).
Как мы увидим в дальнейшем (§ 26), это замечание не
относится к диаграмме Молье (Я, S). Поскольку при этих прев-
вращениях пар претерпевает изменение физического
состояния, энтропийная диаграмма должна быть установлена
также для жидкого состояния, и поэтому ее форма заметно
отличается от формы энтропийной диаграммы газа.
Для определенности построим энтропийную диаграмму
паров воды. Обычно за начало координат в диаграмме
принимают точку, соответствующую жидкому состоянию при
температуре t = 0° С (или Т = 273,15° К) и
соответствующему давлению кипения (равному 0,00628 кг/см2) х).
Именно для этого состояния воды мы будем полагать S = 0;
однако чтобы сделать более понятным построение
диаграммы, возьмем за начало координат абсолютный нуль
температуры и будем измерять последнюю в градусах Кельвина.
Если предположить, что температура воды возрастает,
а давление все время равно давлению кипения при данной
температуре, то для каждого значения температуры мы
получим совершенно определенное значение энтропии.
Значения энтропии, которые можно получить из таблиц,
удовлетворяют, конечно, соотношению
ds = !9- = °J*L,
т т
где сг — теплоемкость жидкой воды в данном состоянии,
а Т — абсолютная температура воды. Это соотношение
между температурой и энтропией представлено на рис. 14
кривой 1—6. Между точкой /, соответствующей S = 0
*) Числовые данные в этом параграфе взяты из таблиц «Tables
VPI des constantes de la vapeur d'eau». (Springer, 4-е издание).

§ 23] ПОСТРОЕНИЕ ДИАГРАММЫ 7\ S ДЛЯ ПАРА 77
и Т = 273,15° К, и некоторой точкой 2 этой кривой
нагревание воды требует количества тепла, определяемое
выражением
273,15 О
На диаграмме это количество тепла представляется
площадью 0—/—2—5—0.
Если, начиная с температуры Г2, вода получает тепло
при постоянном давлении, то это тепло ведет к испарению
воды и, поскольку это превращение идет при постоянной
температуре, оно
представляется на диаграмме прямой
2—3, параллельной оси
абсцисс. Конечная точка 3
прямой соответствует полному
испарению воды; если
обозначить через lv скрытую
теплоту испарения, то получим
S3 — S2 — y~ •
Таким образом, скрытая
теплота /„ = Т2 (S3 —S2)
представляется площадью
прямоугольника 5 — 2 — 3 — 4 — 5.
При увеличении
температуры испарения (кипения)
скрытая теплота lv
уменьшается; она обращается в нуль при
достижении критического состояния, которое на рис. 14
представляется точкой 6 {t = 374,15° С, р = 225,65 кг/см*,
Н = 501,5 ккал/кг, S = 1,058 ккал/кг-град,
v= 0,00318 мъ1кг). Кривая /—6 соответствует жидкой воде
в равновесии со своими парами, а кривая 6—7
соответствует насыщенному сухому пару. Всякая точка,
заключенная между этими двумя кривыми, представляет смесь
жидкой воды и пара. Эта смесь характеризуется
температурой (или давлением) и паросодержанием, т. е. отношением
веса пара к полному весу смеси. Обозначая паросодержание
смеси буквой х9 находим, что для всякой точки кривой 1—6
273,75
Рис. 14. Построение
энтропийной диаграммы для
водяного пара.

78 ЭНТРОПИЯ И ЕЕ РОЛЬ В ТЕОРИИ ТЕПЛОВЫХ МАШИН [ГЛ. 2
паросодержание х = О, а для всякой точки кривой 6—7,
соответственно, х = 1. В некоторой точке 8 на изотерме Г
количество тепла, поглощаемое при частичном испарении
воды, равно Т2 (S8 — 52) и представляется площадью
5—2—8—6—5. Отсюда следует, что в этой точке
паросодержание х дается отношением
где 2—8 и 2—3 — длины соответствующих сегментов.
Чтобы нанести на диаграмме кривые постоянного паро-
содержания (например, х = 0,1, 0,2, . . ., 0,9),
достаточно разделить несколько сегментов типа 2—3 на одинаковое
число равных частей и соединить между собой
гомологические точки. Все полученные таким образом кривые
проходят через точку 6. Величина 1— х, т. е. степень влажности
смеси, дается отношением
Если, начиная с состояния, представляемого точкой 3,
пар получает дополнительное тепло, он переходит в
перегретое состояние.
Этот процесс представляется изобарой 3—10, а
соответствующее количество тепла — площадью 4—3—10—//—4.
Таким образом, полагая энтальпию начального
состояния 1 равной нулю, получаем для энтальпии перегретого
пара в точке 10 площадь 0—1—2—3—10—//—0.
Исследование энтропийной диаграммы паров воды
показывает, что вдоль кривой воды (х = 0) производная dTldS
всегда положительна, за исключением, конечно,
критической точки, где она равна нулю. Начиная с этой точки
(т. е. вдоль кривой х = 1), производная отрицательна.
Поэтому изэнтропическое расширение от точки первой
кривой приводит к возрастанию паросодержания, а от
точки второй кривой — к понижению паросодержания,
т. е. к частичной конденсации пара. Аналогично,
изэнтропическое сжатие от точки на кривой х — 1 всегда ведет
к состоянию перегретого пара.
Это свойство кривой насыщения (х = 1) является общим
для большинства паров. Но в некоторых случаях кривая

§ 23] ПОСТРОЕНИЕ ДИАГРАММЫ Т, S ДЛЯ ПАРА 79
может иметь особенный ход, что изменяет природу
превращений, претерпеваемых первоначально насыщенным и
сухим паром. Так, для некоторых органических соединений
Рис. 15. Форма энтропийной Рис. 16. Энтропийная диаг-
диаграммы некоторых органи- рамма с двойным перегибом
ческих соединений. кривой насыщения.
Рис. 17. Ход энтропийной диаграммы для трех фазовых
состояний С02.
диаграмма Т, S имеет форму, представленную на
рис. 15; здесь вдоль кривой х = 1 производная dT/dS > О,
так что, начиная от точки /, паросодержание понижается
при изэнтропическом сжатии (1—2), а в зоне перегретого
пара происходит изэнтропическое расширение (1—3).

80 ЭНТРОПИЯ И ЕЕ РОЛЬ В ТЕОРИИ ТЕПЛОВЫХ МАШИН |ТЛ. 2
В других случаях на кривой насыщения могут оказаться
две точки инверсии: это точки / и 2 на рис. 16. В этих
случаях, состояние рабочего тела в конце изэнтропического
процесса, очевидно, зависит не только от начального
состояния (предполагая для этого состояния х = 1)
и направления этого процесса, но и от интенсивности
процесса. Например, исходя из точки 3, находящейся на
кривой х = 1 между точками инверсии, получаем, что слабое
изэнтропическое расширение (3—4) перегревает пар, а более
сильное расширение (3—5) влечет за собой частичную
конденсацию.
Энтропийная диаграмма может быть построена при
учете не только жидкой и газообразной фаз тела, но и
твердой фазы последнего. Поскольку твердая фаза в теории
тепловых машин не рассматривается, мы не будем здесь
останавливаться на этом вопросе х); ограничимся тем, что
в качестве примера приведем форму такой диаграммы в
частном случае С02 (рис. 17).
§ 24. Представление тепловых циклов водяного пара
на диаграмме Т, S
Диаграмма Т, S особенно удобна для описания
теплового цикла водяных паров в поршневой машине или
турбине. Не следует, однако, забывать, что при этом описании
мы отвлекаемся от нагревателя, так что сама по себе такая
диаграмма не позволяет найти отношение количества тепла,
преобразованного в работу с помощью данной машины
и данного цикла, к полному количеству затраченного
тепла, а также максимальное значение работы, которое
можно получить с помощью рассматриваемого источника
тепла. Этот вопрос будет рассмотрен в следующей главе,
и мы увидим, что понятие энтропии играет там очень
важную роль. Здесь же мы займемся только циклами, как
таковыми, и покажем, что для каждого из них диаграмма
Т9 S позволяет без труда проследить за превращениями
пара, а также найти отношение количества тепла,
преобразованного в работу, к полному количеству тепла,
переданному пару нагреванием, иными словами, к. п. д. изучаемо-
*) См., например, G. Gour (let et A. Proust, Les diag-
rammes thermodynamiques, Paris, Dunod, 1950, гл. 10, |

24] ТЕПЛОВЫЕ ЦИКЛЫ ВОДЯНОГО ПАРА НА ДИАГРАММЕ Т, S 81
Я%Г5
го цикла. Во всех случаях мы будем предполагать, что
расширение пара происходит в идеальной машине, т. е. не
сопровождается увеличением энтропии. Как и на рис. 14,
мы будем отсчитывать температуры от абсолютного нуля,
чтобы лучше выявить различные количества тепла,
входящие в выражение для к. п. д.
(конечно, в практических
приложениях температуры
отсчитываются от нуля
шкалы Цельсия).
Наиболее простой цикл
паров воды, так называемый
цикл Ренкина, представлен на
рис. 18 трапецией 4—1—2—
3—4, где сторона 4—1
криволинейна. Вода нагревается
в жидком состоянии (4—/)
от начальной температуры Т0
до температуры кипения 7\;
при этой температуре вода
превращается в сухой и
насыщенный пар (1—2); далее пар
расширяется при постоянной
энтропии {2—3), и, наконец,
конденсируется при температуре Т0 (3—4). Тепло Qly
полученное 1 кг пара, выражается площадью 6—4—3—5—6,
а площадь 6—4—3—5—6 представляет тепло Q0,
отдаваемое холодильнику. Мы видим, что это количество тепла,
необходимое для возвращения пара в первоначальное
состояние, равно произведению Т0 (S5 — S6), где S5 и S6 —
экстремальные значения энтропии рабочего вещества в
рассматриваемом цикле. Количество тепла, превращающееся
в работу, т. е. Qj> — Q0, выражается площадью 4—/—2—3—4.
Следовательно, к. п. д. цикла равен отношению
Площадь 4 — 1—2 — 3 — 4
Рис. 18. Цикл Ренкина и
цикл с непрерывным отбором
пара.
Т] =
Площадь 6—4 — /—2 — 5 — 6
Таким образом, к. п. д. данного цикла ниже к. п. д.
цикла Карно в том же интервале температур Т0 и 7\.
Чтобы получить этот к. п. д., т. е. чтобы перейти от цикла
Ренкина к циклу Карно, достаточно заменить процесс 4—1

82 ЭНТРОПИЯ И ЕЕ РОЛЬ В ТЕОРИИ ТЕПЛОВЫХ МАШИН [ГЛ. 2
изэнтропическим процессом 7—1, но этот процесс —
сжатие смеси воды с паром — труднее осуществить, чем
нагревание воды в жидком состоянии. Кроме того, на практике
такое сжатие все равно не будет изэнтропическим, что
отнимает по крайней мере часть его преимущества.
Возможно, однако (во всяком случае теоретически),
получить в интервале температур 7\ и Т0 цикл,
эквивалентный циклу Карно, не прибегая к сжатию смеси воды и пара.
Этого можно достигнуть, снабдив турбину устройством
для непрерывного отбора пара и дополнительного подогрева
жидкой воды. В теории такого цикла энтропия играет
особенно интересную роль.
Известно, что в цикле Ренкина возвращение пара
в начальное состояние требует отдачи холодильнику
тепла Q0, равного Т0 (S5 — S6); но при заданных
значениях Т0 и Г1 три величины, входящие в выражение для Q0,
имеют фиксированные значения. Остается возможность
воздействовать на массу пара, поступающего в конденсор
и отдающего свое тепло холодной воде: вместо того чтобы
нагревать воду, следуя 4—1 , за счет внешнего источника
тепла, можно реализовать этот процесс с помощью
непрерывного отбора пара во время расширения 2—3. Можно
предположить, например, что турбина содержит
бесконечное число ступеней расширения, каждая из которых
сопровождается элементарным отбором пара dy. Каждый из
этих отобранных порций пара питает элементарный
нагреватель, где она смешивается с жидкой водой. Поскольку
разность температур пара и воды бесконечно мала,
повторное нагревание — процесс обратимый. Полный вес пара,
отбираемого в интервале между температурой 7\ и
некоторой температурой Т, равен у кг, а вес пара, остающегося
в турбине, равен, следовательно, (1 — у) кг. Этот вес равен
весу воды, поступающей в нагреватель при температуре Т,
так как вес этот равен сумме весов пара, входящего в
конденсор, и веса всех отбираемых порций в интервале
температур Т и Т0.
Если расширение газа происходит изэнтропически,
то энтропия в любой точке остается равной S5 (рис. 18).
Обозначим энтропию воды при температуре Т (точка 9)
буквой Sij а разность S5 — St буквой s. Тогда тепло,
отдаваемое паром, равно Ts dy, а тепло, полученное водой

§ 24] ТЕПЛОВЫЕ ЦИКЛЫ ВОДЯНОГО ПАРА НА ДИАГРАММЕ Т, S 83
в том же нагревателе, равно
(l-y)Tds.
Поскольку эти два количества тепла должны быть
одинаковы, получаем следующее дифференциальное
уравнение:
Tsdy = (l — у) Тds.
или
ds dy
s ~" 1— у
Отсюда следует
5(1— #)— const.
Мы видели, что при переходе от температуры 7\ к
температуре Т0 вес пара и вес воды, выражаемые величиной
1 — У> уменьшаются. Следовательно, если умножить все
значения абсцисс вдоль прямой 2—3 и кривой /—4 на
соответствующее значение 1 — у, то получаются кривые типа
2—10 и /—//. Но произведение s (1 — у) есть постоянная,
т. е. она всюду имеет значение при начале расширения, где
у = 0 и s (1 — у) = S5 — S8. Таким образом, площадь
/—2—10—11—/, выражающая работу, производимую 1 кг
пара, входящего в турбину, равна площади
прямоугольника 1—2—3—7—/, соответствующего циклу Карно. Но
затраченное тепло тоже одинаково в обоих случаях (оно
выражается площадью 8—/—2—5—5), поэтому полученный цикл
имеет тот же к. п. д., что и цикл Карно в интервале тех же
температур. Замечательно, что указанная эквивалентность
с циклом Карно получена здесь при воздействии не на
природу процессов, а на массу рабочего тела: удельная
энтропия пара в конце расширения остается неизменной,
уменьшается произведение удельной энтропии на массу, причем
это уменьшение компенсирует разность между S8 и S6,
устраняя, таким образом, неблагоприятное влияние
треугольника 4—/—7—4.
Непрерывный отбор пара существует, конечно, только
в теории, однако современные паровые турбины большой
мощности работают при достаточно большом числе актов
отбора (от 7 до 9), так что получаемый эффект мало отли-

84 Энтропия и ее роль б теории тепловых машин [гл.2
Яф5
чается от непрерывного отбора (которому соответствует
бесконечное число элементарных актов отбора).
Современные паровые турбины работают почти всегда
на перегретом паре х). Наиболее простой случай
соответствует циклу Гирна, представленному на рис. 19. Он
отличается от цикла Ренкина тем, что перед поступлением
в турбину пар претерпевает изобарный перегрев (5—1 на
рис. 19). К- п. д. такого цикла
дается отношением площади
3—4—5—1—2—3 к площади
7—3—4—5—1—6—7, из
которых первая выражает работу,
производимую 1 кг пара, а
вторая— тепло, затраченное для
производства пара. Это
количество тепла передается пару
внешним источником во время
процессов 3—4, 4—5 и 5—1.
Ясно, что, отвлекаясь от
возможностей, связанных со
сжатием пара (практическая
ценность которого сомнительна),
и выбирая в качестве верхней
температуры значение,
существенно превосходящее критическое, мы получаем цикл,
по форме сильно отличающийся от цикла Карно
3—8—1—2—3. Увеличение энтропии пара (т. е. энергии,
которую нужно отдать холодильнику, чтобы обеспечить
возвращение пара в начальное состояние) сопровождается здесь
затратой тепла, меньшей, чем соответствующая изотерме
8—1, что, конечно, влечет за собой уменьшение к. п. д.
Этот недостаток цикла Гирна по сравнению с циклом
Карно может быть уменьшен с помощью непрерывного
отбора пара, что, как и в случае рис. 18, позволяет сократить
количество тепла, передаваемое холодильнику. Но, во-
первых, этот способ позволяет воздействовать только на
процесс 3—4, а не на процессы 4—5 и 5—1 (а ведь все они
Рис. 19. Цикл Гирна.
х) Исключение представляют паровые турбины атомных
электростанций, работающих с реакторами на воде под давлением или
на кипящей воде.

§ 24] ТЕПЛОВЫЕ ЦИКЛЫ ВОДЯНОГО ПАРА НА ДИАГРАММЕ Т, S 85
отличаются от изотермы 8—1), а во-вторых, само
воздействие на процесс 3—4 нельзя считать полным, так как часть
отбираемого пара находится в перегретом состоянии и
передача его тепла воде происходит необратимо. Необратимость,
происходящая от конечной разницы температур
нагреваемого и нагревающего рабочих веществ, может быть
£7%75
273,75
Рис. 20. Цикл с повторным Рис. 21. Цикл с непрерывным
перегревом. перегревом.
уменьшена некоторыми специальными приемами, на
которых мы не будем останавливаться, ибо это уведет нас
слишком далеко от предмета книги.
Помимо перегрева перед входом в турбину пар может
быть подвергнут одному или нескольким повторным
перегревам или промежуточным перегревам, каждый из которых
происходит после частичного расширения. На рис. 20
изображен цикл с одним повторным перегревом (2—6),
завершающимся при начальной температуре 7V Расширение
повторно перегретого пара завершается обычно как
на рис. 20 в зоне насыщения (точка 7). К- п. д. цикла,
равный отношению площадей 3—4—5—1—2—6—7—3 и
9—3—4—5—1—2—6—8—9, зависит от температуры Т2,
соответствующей началу повторного перегрева. Обозначая
через Т2 опт значение Г2, позволяющее получить
максимальную величину к. п. д. rjMaKC, можно показать, что эти две

86 ЭНТРОПИЯ И ЕЕ РОЛЬ В ТЕОРИИ ТЕПЛОВЫХ МАШИН [ГЛ. 2
величины связаны соотношением *)
п — 1 т°
Чмакс — А
* 2 ОПТ
Бесконечно увеличивая число промежуточных
перегревов, каждому из которых предшествует расширение,
получаем в пределе цикл с непрерывным повторным перегревом;
на рис. 21 этот перегрев представлен участком /—2
изотермы Т±. К. п. д. цикла проходит через максимум т)маКс
при некотором определенном положении точки 2 на
изотерме Ti, или, что то же самое, при некотором положении
точки 6 на конечной изобаре р0. Оптимальная ордината
этой точки Т 6 опт превосходит Т0 и связана с %акс
соотношением
<vi — 1 6 ОПТ
Чмакс — * — •
11
§ 25. Эпюра Бульвена
Энтропийная диаграмма водяного пара дает
великолепное средство анализа работы не только паровой турбины,
но и поршневого двигателя. Однако в последнем случае
необходимо иметь еще и динамическую диаграмму, так как
именно по ней непосредственно определяется давление
в цилиндре в зависимости от положения поршня; известно,
впрочем, что такая диаграмма для работающей машины
может быть получена прямо с помощью индикатора Уатта.
Переход от динамической диаграммы к энтропийной
(и наоборот) осуществляется с помощью графического
построения, которое называется эпюрой Бульвена.
Нанесем переменные v, р, t и S вдоль четырех
перпендикулярных осей (рис. 22). Так получим четыре квадранта,
которые перенумеруем согласно порядку, принятому на
рисунке
1(/7, и), II (t, р), III (*,S), IV (5, и).
Изобразим в квадранте III две основные кривые
энтропийной диаграммы: кривую жидкой воды 1—2 и кривую насы-
х) Доказательство этого и следующего соотношений можно
найти в статье автора: Contribution а 1'etude des cycles thermiques,
Chaleur et Industrie, декабрь (1959).

§ 25]
ЭПЮРА БУЛЬВЕНА
87
щения 3—4. Между этими кривыми всякой температуре t
соответствует определенное давление /?, которым является
давление насыщения (или кипения); его можно найти в
таблицах свойств водяного пара. Если построить в квадранте II
кривую /—5, представляющую зависимость р = f {t) для
насыщенного пара, то точке 6 этой кривой, например,
Рис. 22. Эпюра Бульвена.
соответствует в квадранте III не одна точка, а целый
сегмент 7—5, заключенный между кривыми /—2 и 3—4.
Перейдем теперь к квадранту I. Таблицы водяного пара
позволяют получить кривую 9—10, выражающую
зависимость v = F (/?) для насыщенного сухого пара (х =■■ 1).
Что же касается зависимости между р и v для жидкой воды
(х = 0), то ее кривая практически совпадает с осью
давлений, ибо удельный объем воды очень мал по сравнению
с удельным объемом пара.
Таким образом, с одной стороны, соответствие между
кривыми х = 0в квадрантах II и III, а, с другой — между

88 ЭНТРОПИЯ И ЕЕ РОЛЬ В ТЕОРИИ ТЕПЛОВЫХ МАШИН [ГЛ. 2
кривыми х -=- 1 в тех же квадрантах, причем это двойное
соответствие обеспечивается кривой 1—5 квадранта II.
Так, точкам 11 и 12 квадранта I соответствуют точки 7 и 8
квадранта III. Аналогично, точке 13, находящейся между
12 и 11 (квадрант I), должна соответствовать точка 14,
находящаяся между 7 и 8 (квадрант III). Однако здесь
кривая 1—5 дает непосредственно только ординату искомой
точки в квадранте III, а чтобы найти абсциссу этой точки,
требуется дополнительное построение.
Это построение основано на одной из формул
Клапейрона, известной также как формула Томсона, которую мы
приведем без вывода:
/ Т dp , ч
здесь lv — скрытая теплота испарения, соответствующая
давлению р (и температуре Г); vv и vt — удельные объемы
пара (насыщенного и сухого) и воды; J — механический
эквивалент единицы теплоты.
Поскольку Vi мал по сравнению с vv, то формула может
быть записана в виде ~- = ^ у—'. Но пренебрегая
членом vi, имеем v = xvv, так что
l0x __v{dp/dT)
' Т ~ J
Однако согласно сказанному в § 23, левая часть
равенства представляет собой изменение энтропии между точкой
7 и искомой точкой 14. В правой же части J — постоянная,
v — ордината точки 13 (в квадранте I), a dpIdT — тангенс
угла наклона кривой /—5 в точке 6. Значит, чтобы найти
точку 14, достаточно провести через точку 7' (проекция
точки 7 на ось энтропии) прямую, параллельную
касательной к кривой /—5 в точке 6, и нанести на эту прямую
точку 7" (квадрант IV), имеющую ту же ординату,что и
точка 13. Параллель к оси t через точку 7" определяет своим
пересечением с изотермой t точку 14, такую, что сегмент
7—14 представляет искомую величину: JlvxlT.
На практике для увеличения точности надо проводить
прямую 7'~7" согласно значению dpIdT , взятому из таблиц
(а не параллельно касательной к 1—5 в точке 6).

§ 25]
ЭПЮРА БУЛЬВЕНА
89
Таким образом, проблема перехода от диаграммы /?, v
к диаграмме t, S (и обратно, так как построение для
обратного перехода не составляет труда) решается для всякой
точки в области насыщенного пара, причем паросодержание
может иметь значение от нуля до единицы. Посмотрим теперь,
как осуществить переход для точки, располагающейся
в области перегретого пара.
Рассмотрим в квадранте I точку 15 на той же изобаре,
что и точки 11, 12, 13, но выше кривой 9—10. Удельный
объем в точке 15 выше, чем в точке 12, но для последней
х — 1, значит, точка 15 действительно находится в области
перегретого пара.
Если мы проведем для точки 15 описанное выше
построение, то получим в квадранте III точку 16, ордината которой
совпадет с ординатой точки 6, а абсцисса — с абсциссой
точки 7'", получаемой проектированием точки 15 на
прямую 7'—7". Точка 16 чисто фиктивная, так как искомая
точка должна находиться, очевидно, на изобаре (а не на
изотерме), проходящей через точку 8. Однако отыскание
точки 16 нельзя считать бесполезным, ибо она поможет
найти истинное положение на энтропийной диаграмме
точки, гомологичной точке 15. Переход от точки 16 к
искомой точке 17 возможен, потому что всякий элементарный
цикл, исходящий из каждой из этих точек, должен
охватывать на энтропийной диаграмме одинаковые площади.
Такой элементарный цикл можно получить, например,
проводя через точку 15 изотерму, на которой мы выберем
точку 15 и рассмотрим, кроме того, изобарные процессы
12—15 и 15'—12', а также процесс 12'—12, составляющий
элемент кривой насыщения 9—10. Точно так же как
точка 15 дает в квадранте III фиктивную точку 16, так и точка
15' даст фиктивную точку 16'. Циклу 15—15'—12'—12—15
на динамической диаграмме будет соответствовать на
энтропийной диаграмме фиктивный цикл 16—16'—8'—8—16,
площадь которого выражает количество тепла,
эквивалентное работе, представляемой площадью 15—15'—12'—12—15.
Истинным положением точки, гомологичной точке 15',
очевидно, является пересечение изобары 15' (которая
известна) и изотермы 17 (которую мы еще не знаем). Это
будет точка типа 17', причем контур 17—17'—8'—8—17
на диаграмме Т, S представит цикл 15—15'—12'—12—15

90 ЭНТРОПИЯ И ЕЕ РОЛЬ В ТЕОРИИ ТЕПЛОВЫХ МАШИН [ГЛ. 2
диаграммы /?, v. Изотерма точек 17 и 17' должна быть
такой, чтобы совпадали площади 17—17'—8'—8—17
и 16—16'—8'—8—16.
Первая из этих площадей равна произведению
(Тп— Тв) (S17—S17),
где Г17 и Т8 — температуры, соответствующие точкам 17
и 5, a S17' и 517 — энтропии точек 17' и 17. В тех же
обозначениях вторая площадь дается произведением
(Г]6 — Г16') (516 —S8),
так что справедливо равенство
(Г17 - Т8) (Str - S17) = (Г16 - Tw) (Sie - S8).
С другой стороны, расстояние между двумя изобарами
вдоль направления оси энтропии постоянно *), что
позволяет заменить в этом равенстве S17> — S17 на S18 — S8, где
точка 78 представляет собой пересечение изобары 8'—17'
с изотермой точки 8. Поэтому получаем соотношение
Siq~S8 Si8 — Sg
Свяжем точки 8' и 18 прямой и продолжим ее до
пересечения 19 с прямой 16—19, параллельной сегменту 8'—8.
Треугольники 8— 8'—18—8 и 16—19—18—16 подобны,
откуда следует
Но когда точка 15' стремится к точке 15, то точка 8'
стремится к точке 8, а точка 18 приближается к точке 8. В
пределе S18 = 58 и сравнение двух полученных равенств
показывает, что Т17 = Т19. Неизвестная Т17 может быть
получена графическим построением, которое дало нам Ti9,
но теперь надо считать точку 8' совпадающей с точкой 8.
Прямая 8'—19 сливается с касательной к изобаре 8—17
в точке 8, а прямая 16—19 параллельна касательной к
кривой насыщения в той же точке 8. Точка 19, лежащая на
пересечении этих двух прямых, имеет ту же ординату, что
*) Это свойство строго справедливо только для идеального газа.

§ 26J
ДИАГРАММА И, S ДЛЯ ПАРОВ ВОДЫ
91
и искомая точка 17. Чтобы найти эту точку, достаточно
спроектировать точку 19 на кривую 8—17 параллельно
оси энтропии.
Совершенно очевидно, что методы построения,
изложенные нами, позволяют транспонировать из одной
диаграммы в другую не только отдельные точки, но и целые
кривые, описывающие различные термодинамические
процессы, а также замкнутые контуры, представляющие
полные циклы, даже в том случае, когда они располагаются
по обе стороны предела насыщения. Конечно, масштабы
изображения различных величин должны быть выбраны
так, чтобы можно было определять площади с достаточной
степенью точности; эти масштабы не вполне произвольны,
ибо, согласно самому принципу построения, должно
выполняться соотношение
ттт Шкала 5
Шкала v ~~ттп -j—tpf-
J Шкала dp/dT
Но независимо от выбора масштабов, работа W,
выражаемая площадью на динамической диаграмме, и количество
тепла Q, выражаемое площадью на энтропийной диаграмме,
всегда удовлетворяют равенству
W = JQ.
§ 26. Диаграмма Я, S для паров воды
Замечания относительно преимуществ и недостатков
диаграммы 7\ S для газа (см. § 22) остаются
справедливыми и для случая водяного пара. Когда необходимо быстро
найти изменение энтальпии (в частности, в процессе
адиабатического расширения, все равно — обратимого или нет),
удобно использовать диаграмму Я, S независимо от
природы рабочего тела. Заметим, однако, что в случае пара
диаграмма Я, S мало пригодна для представления полного
теплового цикла: изменение энтальпии рабочего тела
между выходом из конденсора (в жидком состоянии) и
входом в турбину (в состоянии перегретого газа) слишком
велико, чтобы его можно было изобразить с достаточной
точностью на полной диаграмме, разве что диаграмма
будет невероятных размеров. Поэтому обычно
ограничиваются установлением диаграммы Я, S для области, важной

92
ЭНТРОПИЯ И ЕЕ РОЛЬ В ТЕОРИИ ТЕПЛОВЫХ МАШИН [ГЛ. 2
при функционировании только паровых турбин. Поскольку
на выходе турбины паросодержание редко опускается
ниже 0,85, диаграмму Я, S строят, выбирая для паро-
содержания предел не ниже порядка 0,7.
Энтропия
7,2 7,S 7,4 7,5
Рис. 23. Диаграмма Я, S для водяного пара
7,6 7,7 7,6
3#/лрал£/я£
7,6 2,6 2J
кхал//сг °6
На рис. 23 показана такая диаграмма. Видно, что
кривая насыщения (х = 1) проходит через максимум при
давлении около 30 кг/см2) соответствующая энтальпия равна

§ 26] ДИАГРАММА Н, S ДЛЯ ПАРОВ ВОДЫ 93
669,7 ккал1кг. Энтальпия сухого насыщенного пара имеет
одно значение, например, для давлений от 1 и примерно
до 126 кг/см2. Ход изобар может быть также найден,
учитывая, что при постоянном давлении как для
насыщенного, так и для перегретого пара //^
выполняется равенство
dH=TdS.
Отсюда следует, что в
некоторой точке изобары
касательная имеет угловой коэффициент
dH
ds
= Т.
Рис. 24. Расширение газа
во многоступенчатой
турбине.
Но выше кривой х = 1 изобары
одновременно являются
изотермами, следовательно, это
расходящиеся прямые, наклон
которых увеличивается с давлением
(давление меняется в том же
направлении, что и температура). Вдоль кривой х = 1
изобары насыщенного пара касательны к изобарам,
соответствующим перенасыщенному пару. Эти изобары имеют
вогнутость, обращенную вверх; в области низких
давлений и высоких температур изобары перегретого пара
похожи на изобары идеального газа, а изотермы мало
отличаются от прямых, параллельных оси абсцисс.
Можно привести пример использования диаграммы
Я, S. Рассмотрим расширение водяных паров в
многоступенчатой турбине. Состояние пара на входе первой
ступени и давление на выходе той же ступени известно;
если расширение изэнтропично, то оно может быть
изображено на диаграмме (рис. 24) сегментом 1—2, где
точка У — начальное состояние пара, а точка 2 находится
на пересечении изэнтропической кривой, проходящей через
точку 7, и изобары, соответствующей давлению на выходе
ступени. Изменение энтальпии в процессе расширения
в шкале оси ординат выражается длиной сегмента 1—2.
Фактически расширение, будучи адиабатическим,
необратимо и, следовательно, сопровождается ростом энтропии.
Состояние пара на входе второй ступени представляется

94 ЭНТРОПИЯ И ЕЕ РОЛЬ В ТЕОРИИ ТЕПЛОВЫХ МАШИН [ГЛ. 2
точкой типа 5, находящейся на той же изобаре, что и 2, но
справа (т. е. выше) от нее. Пренебрегая кинетической
энергией пара на входе и выхлопе, работа, производимая
расширением 1 кг пара в первой ступени, равна (Н^ — Н3) ккал,
а к. п. д. дается отношением
где #ь #2 и #з — энтальпии пара в точках У, 2 и 3.
Аналогично, расширения в последующих ступенях
представляются сегментами 3—4У 5—6 и т. д. Таким
образом, мы получаем «пилообразную» кривую, каждый зубец
которой представляет ступень турбины. При бесконечном
числе ступеней расширение представляется двумя
непрерывными кривыми, одна из которых располагается выше
кривой х =1, а другая — ниже ее. Если еще
предположить, что все ступени имеют один к. п. д., то можно
показать, что расширение является политропным процессом г).
Во всех случаях работа, производимая расширением 1 кг
пара, дается изменением энтальпии между ступенями
входа и выхода турбины.
Диаграмма Молье позволяет быстро найти изменения
энтальпии для обратимых или необратимых процессов
(расширений и сжатий), если только они адиабатические.
При нарушении этого условия диаграмма Я, S не может
быть использована; так дело обстоит, например, в случае
повторного изотермического перегрева (рис. 23) или
сжатия, сопровождающегося непрерывным охлаждением.
Однако в следующей главе мы увидим, что подобные случаи
могут быть также изучены с помощью некоторых диаграмм,
где энтропия играет важную роль.
*) Свойства политропных превращений изложены, например,
в нашей книге «Machines thermiques» (Collection Colin. Paris) как
для расширения и сжатия газа или перегретого пара (§ 14—18),
так и для расширения насыщенного водяного пара (§ 35 и 36).

Глава третья
Энтропия и энергия
§ 27. Полезная энергия
Мы видели, что исследование тепловых циклов,
например, с помощью диаграммы Т, S состоит в определении
условий совершения работы некоторым рабочим телом,
проходящим бесконечное число раз одну и ту же
последовательность состояний и получающим при каждом
проходе одно и то же количество тепла от нагревателя.
Исследование показывает в самом общем случае, что для
получения цикла с большим к. п. д. надо построить его таким
образом, чтобы при заданном расходе тепла изменение
энтропии рабочего тела в цикле было как можно меньше.
Если температура рабочего тела по каким-то причинам
не должна превышать некоторого предела, то условие
относительно изменения энтропии будет выполнено, когда
теплообмен между рабочим телом и нагревателем
происходит при постоянной температуре, равной
вышеуказанному пределу. Действительно, не трудно видеть, что
в этом случае при заданных значениях экстремальной
температуры и количества тепла, переданного рабочему
телу, увеличение энтропии рабочего тела во время
теплообмена меньше, чем в цикле, не содержащем в верхней
части изотермы. Именно в этом состоит преимущество
цикла Карно (и эквивалентных циклов, например, Эрик-
сона) над остальными тепловыми циклами. Однако
преимущество это существует только при наличии верхнего
предела для температуры рабочего тела. Если ограничение
на температуру снято, то можно пожертвовать формой
цикла и увеличить среднюю температуру, при которой
происходит передача тепла рабочему телу. Так, в случае,
представленном на рис. 25, количество тепла, переданное
рабочему телу в цикле Карно 1—2—3—4 вдоль
изотермы Ти дается площадью 6—/—2—5—6, а к. п. д. равен

96
ЭНТРОПИЯ и ЭНЕРГИЯ
[ГЛ. 3
отношению площадей 4—1—2—3—4 и 6—1—2—5—6. Но
если верхняя граница температуры рабочего тела не
обязательно равна Гь то можно передать то же количество
тепла, например, вдоль изобарыр4 (площадь 6—1—7—9—6=
=площади 6—1—2—5—6), тогда к. п. д., равный отношению
площадей 4—1—7—8—4 и 6—1—7—9—6, превосходит
к. п. д. первоначального цикла
Карно. Наша привязанность к
циклу Карно сохраняется с тех
времен, когда тепловой цикл
обязательно включал верхнюю
изотерму; это был цикл
насыщенного пара воды (цикл Рен-
кина). Конечно, это замечание
нисколько не умаляет великих
заслуг создателя
термодинамики х).
Циклы современных паровых
турбин, как мы видели,
включают изотерму только в
нижней холодной части; правда,
часть тепла, передаваемого пару,
приобретается им при
постоянной температуре (это скрытая
теплота испарения), но эта
температура заметно отличается от
верхней температуры цикла. В газовых турбинах и
двигателях внутреннего сгорания теплообмен никогда не
бывает изотермическим: здесь прежде всего нет места
для скрытого тепла, и, кроме того, даже когда сжатие
или расширение рабочего тела (воздуха или продуктов
горения) сопровождается теплообменом, этот теплообмен
не непрерывен и не столь эффективен, чтобы обеспечить
постоянство температуры. Конечно, температура холо-
U 7
у
у у
к7
/|
/_1
/jL
1
-..у1
.2 м
у
,0
5
Рис. 25. Влияние значения
верхней температуры на
к. п. д. цикла.
х) Замечательно, что Карно уже предвидел некоторые
усовершенствования, реализованные лишь много позже. Это прежде
всего комбинирование двигателей и турбин с паровыми котлами.
В своем труде Карно предлагает «воздействовать тем же теплом
последовательно на воздух и пары воды» и, «не выпуская воздух
непосредственно в атмосферу, заставить его обтекать паровой
котел, как если бы воздух выходил прямо из топки».

§ 27]
ПОЛЕЗНАЯ ЭНЕРГИЯ
97
дильника (атмосфера) фиксирует состояние воздуха,
поступающего в двигатель; кроме того, верхняя температура
цикла по техническим причинам также оказывается
ограниченной (особенно в случае газовых гурбин). Но каждая
из этих экстремальных температур встречается в
принципе только в одной точке цикла (или, как максимум,
в двух или трех точках, когда машина снабжена
теплообменниками), а не вдоль некоторого непрерывного
процесса. Само понятие цикла можно использовать в этих
машинах только в приближенном смысле: двигатели
внутреннего сгорания и большинство газовых турбин — это
машины с открытой циркуляцией и их действие
сопровождается изменением как массы, так и природы
проходящего через них рабочего тела. Добавим, что в атомных
электростанциях использование тепла, выделяющегося
при делении ядер урана, ставит проблемы, которые нельзя
разрешить, рассматривая только тепловые циклы. По всем
этим причинам исследование преобразования тепла в работу
требует введения понятия (впрочем, давно уже известного)
полезной энергии, т. е. максимального количества работы,
которое может быть произведено 1 кг рабочего тела данной
природы и в данном состоянии.
Понятие полезной энергии особенно интересно для нас
ввиду чрезвычайно важной роли, которую играет в нем
энтропия. Это понятие, однако, было введено не Клаузиу-
сом, а рядом английских физиков и Гуи х). Практические
приложения понятия полезной энергии исследовали в
первую очередь Е. Жуге, Ж- Вилли и Г. Дарье; за последние
годы эти приложения изучались во многих статьях и
книгах, которые будут цитироваться в этой главе.
Мы покажем, что математическое выражение полезной
энергии не зависит от способа превращения тепла в
работу; изложим принцип построения нескольких диаграмм
полезной энергии рабочего тела, а также перечислим
некоторые практические применения этого понятия.
х) В своей статье Sur l'energie utilisable, Journal de
Physique, ноябрь (1889) Гуи отмечает предшествующие работы В. Том-
сона, Тэйта и Максвелла, рассматривавших то же понятие под
названием «motivity», или «available energy»; он добавляет, что
«эти идеи имели бы большее развитие, если бы введение энтропии
Клаузиусом не направило термодинамику по несколько иному пути».

98
ЭНТРОПИЯ И ЭНЕРГИЯ
[ГЛ. 3
§ 28. Выражение полезной энергии рабочего тела
Рассмотрим 1 кг рабочего тела заданной природы под
давлением pi и при абсолютной температуре 7Y
Предположим, что оно не заключено в какую-то камеру, а
перетекает непрерывно, что соответствует условиям работы
турбомашин. Впрочем, те результаты, которые мы
получим, будут справедливы и для машин с замкнутыми
камерами (например, для поршневых машин) при условии,
что будет дополнительно учитываться работа введения
и вывода рабочего тела. Допустим еще, что
изменениями кинетической энергии рабочего тела можно
пренебречь.
Сделаем сразу же два утверждения, которые могут быть
проверены без вычислений. Во-первых, если полезная
энергия рабочего тела (скажем, идеального газа) зависит
от его давления pt и температуры Гь то она зависит и от
давления р0 и температуры Т0 окружающей среды.
Действительно, в частном случае р± = р0 и 7\ = Т0 полезная
энергия рабочего тела, очевидно, равна нулю, так как
работа может быть произведена только за счет некоторой
другой формы энергии, которой в этом случае нет. Подобно
энтропии, полезная энергия рабочего тела определяется
по отношению к некоторому уровню отсчета, который
должен быть установлен.
Второе утверждение можно сделать на основе рис. 25.
Замена изотермы 1—2 изобарой 1—7 ничего не меняет
в последующей эволюции рабочего тела; эта эволюция
всегда идет путем обратимых превращений, приводящих
рабочее тело вновь в состояние равновесия по давлению
и температуре с холодильником. Мы видели, что
максимальный к. п. д. полного цикла (т. е. работа, совершаемая
при данной затрате тепла) достигается, когда все процессы
цикла обратимы. Так же обстоит дело и для незамкнутого
процесса, когда путь прихода в рассматриваемое состояние
(точки 2 или 7, рис. 25) не принимается во внимание:
производимая работа будет максимальной (т. е. равна
полезной энергии), если, начиная с этого состояния, рабочее
тело участвует только в обратимых процессах. Это
заключение основано на том, что всякая необратимость
сопровождается увеличением энтропии и, следовательно, влечет

§ 28] ВЫРАЖЕНИЕ ПОЛЕЗНОЙ ЭНЕРГИИ РАБОЧЕГО ТЕЛА 99
за собой увеличение работы, необходимой для
возвращения рабочего тела в состояние р0, Т0 (точка 4).
Природа этих обратимых процессов может изменяться
в зависимости от значений pi и 7V Рассмотрим различные
возможные случаи и покажем, что полезная энергия
(которая, вообще говоря, может быть равной нулю и даже
отрицательной) во всех случаях
имеет одно математическое
выражение.
Предположим, что
рассматриваемое рабочее
тело— идеальный газ. На
диаграмме Т, S газа
(рис. 26) изобара р0 и
изотерма Т0 пересекаются в
точке 0, где давление и
температура газа равны
атмосферным,
и,следовательно, полезная энергия
равна нулю. Отметим на
изобаре р0 точку / выше
изотермы Т0 (Т± > Т0).
Хотя газ здесь находится под
атмосферным давлением, его
можно подвергнуть изэн-
тропическому расширению
вплоть до некоторого
давления р2 < Ро, а затем вновь сжать до давления р0. Во
время этого повторного сжатия газ будет охлаждаться
сколь возможно эффективно холодильником, который мы
предположим бесконечно большим; поэтому процесс будет
изотермическим, что фиксирует положение точки 2 и, в
частности, значение давления р2. Работа, производимая изэн-
тропическим расширением 1—2, дается выражением
Ti
Рис. 26.
Исследование
энергии газа.
полезной
Wd:
■ IcpdT^Hi — Ho ккал/кг.
То
В то же время работа, затраченная на изотермическое
сжатие 2—0, выражается площадью 3—2—0—4—3 и равна
Wc = Т0 (S4 — SQ) ккал/кг,

100
ЭНТРОПИЯ И ЭНЕРГИЯ
[ГЛ. 3
где разность Si — S0 дается формулой (27) (см. § 21).
Следовательно, полезная энергия в точке У, которую мы
обозначим Еи равна
Е± = Wd - Wc = Н± - Н0 - Т0 (S* — S0) ккал/кг.
Аналогичное рассуждение справедливо и для точек
типа 5 (р5 > ро) или 6 (р6 < р0). Обозначая энтальпию
и энтропию рассматриваемой точки буквами Н и S, в общем
случае имеем
Е = (Н - T0S) - (Но - T0So). (33)
Чтобы не спутать ее с аналогичной величиной, которую
мы встретим в дальнейшем (§ 35), заметим, что величина £,
определяемая формулой (33), называется полезной
энергией Г у и.
В § 30 мы увидим, что на практике часто бывает
необходимо найти изменения полезной энергии между двумя
состояниями рабочего тела; поскольку для данного
холодильника величины Го, Я0 и ^о фиксированы, то эти
изменения выражаются формулой
AE = A(H-T0S). (33г)
Рассмотрение рис. 27 показывает, что при достаточно
малом давлении значение Е может стать равным нулю
и даже отрицательным. Так, в точке 2, где Я = Я0, имеем
Е= —Т0 (Si — So),
а в точке 7 (Г7 < Т0, Pi < Ро) имеем
£•■= —(H0 — H1) — T0(Si — S0),
причем Я0 > Я7.
В частном случае точки типа 8, где S8 = S0, полезная
энергия сводится к разности Я — Я0: изэнтропический
процесс, идущий вплоть до температуры Г0, завершается
состоянием полного равновесия с атмосферой, так что
изотермический процесс становится лишним. Этот процесс
вновь становится необходим, когда S < S0, но только
в форме расширения, а не сжатия. Так, в точке 9 (р9 > р0,
Т9 > Т0, S9 > S0), имеем
Е = Н9 — Я0+ T0(S0 — S9),

§ 28] ВЫРАЖЕНИЕ ПОЛЕЗНОЙ ЭНЕРГИИ РАБОЧЕГО ТЕЛА Ю1
т. е. работа изотермического расширения по 10—0
складывается с работой, производимой изэнтропическим
расширением 9—10.
Этот результат показывает, в частности, что рабочее
тело может иметь некоторую полезную энергию, даже
если температура равна или меньше температуры
окружающей среды. Так, для точки 10 полезная энергия равна
То (S0 — S9) и даже для точки И, находящейся на
изобаре р0, член Т0 (S0 — Sh) все еще превосходит разность
#о — Яи- Газ при атмосферном давлении и при
температуре ниже температуры окружающей среды имеет
некоторую положительную полезную энергиюх). Изучение
процессов И—10 и 10—0 показывает ясно, почему это так:
в процессе расширения 10—0 газ получает некоторое
количество тепла из атмосферы и благодаря этому (даровому)
притоку тепла оказывается при более высокой температуре,
чем в процессе сжатия 11—10. Этот результат может
служить иллюстрацией того факта, что для производства
работы не обязательно наличие горячего тела: необходимо тело,
температура которого отличается от температуры среды,
независимо от знака этого различия 2). Но если давление
рабочего тела достаточно мало, то его полезная энергия,
очевидно, может быть только отрицательной, даже если
энтропия рассматриваемого состояния ниже S0 (точка 12).
Как уже указывалось ранее, предшествующее
рассмотрение приложимо в случае непрерывно протекающего
через машину рабочего вещества. В противном случае
выражение для полезной энергии должно быть изменено,
чтобы устранить член, соответствующий работам введения
и выведения рабочего тела; этот член равен pv и его
устранение, согласно выражению (15), эквивалентно
подстановке вместо энтальпии Я внутренней энергии U. Тогда
полезная энергия выражается разностью U — T0S, и это
выражение может быть использовано при исследовании
*) Можно проверить, что эта полезная энергия выражается
для точки // площадью //—10—0—11, а для точки /, также
находящейся на изобаре р0,— площадью /—2—0—/.
2) В качестве примера приведем метод использования
тепловой энергии океана Клода — Бушеро; этот метод основан на
существовании разности температур между поверхностными и
глубинными слоями океана.

102
ЭНТРОПИЯ и ЭНЕРГИЯ
[ГЛ. 3
процессов в камере постоянного объема. Если объем
рабочего тела меняется, то некоторая работа передается
атмосфере. Обозначая атмосферное давление с помощью ра,
находим, что эта работа равна ра (v2 — z>i); тогда полезная
энергия выражается суммой U — T0S + pav-
§ 29. Производство работы с помощью вспомогательного
рабочего тела
В предыдущем параграфе мы предположили, что
энергия, содержащаяся в рабочем теле, преобразуется в работу
с помощью двух обратимых процессов, из которых один
изэнтропический, а другой — изотермический. Эти
процессы возможны только при условии, что рабочее тело
обладает упругостью, т. е. находится, хотя бы частично,
в газообразном состоянии. Но даже в этом случае
производство работы за счет энергии рабочего тела идет не
непосредственно, как мы предполагали, а с помощью некоторого
вспомогательного рабочего тела. Так, горячие газы
(продукты горения) используются непосредственно для
производства работы только в двигателях и турбинах
внутреннего сгорания. В других случаях производства работы за
счет тепла продуктов горения получаются не
непосредственно: тепло газов служит для получения водяного
пара, который затем расширяется в поршневой машине
или в турбине.
То же замечание относится и к газу, используемому
для отбора тепла в некоторых ядерных реакторах. Такой
газ (С02, гелий), проходя через реактор, приобретает
тепло, освобождающееся при делении урана, так что
полезная энергия газа увеличивается. Однако на современном
уровне техники энергия эта используется не
непосредственно: тепло газа передается в обменниках
вспомогательному рабочему телу — воде и ее пару. Непрямое
использование даже неизбежно, если реактор охлаждается
не газом, а жидким натрием или органической жидкостью.
Поэтому важно исследовать выражение для полезной
энергии в этом случае.
Пусть Т^ — температура рассматриваемого рабочего
тела, а Т0 — температура холодильника. Далее, пусть с —
удельная теплоемкость рабочего тела, причем условимся,

§ 29] ПРОИЗВОДСТВО РАБОТЫ С ПОМОЩЬЮ РАБОЧЕГО ТЕЛА ЮЗ
что в случае газообразного тела с = ср. Но какова бы ни
была природа рабочего тела, будем предполагать, что оно
находится при атмосферном давлении или описывает
замкнутый цикл, где давление практически не меняется;
первый случай соответствует топкам котлов, второй —
большинству ядерных реакторов. Однако в обоих случаях
полезная энергия рабочего тела обязана своим
происхождением температуре (7\ > Т0), а не давлению.
Назовем горячее рабочее тело, полезную энергию
которого мы ищем, «первичным» рабочим телом, а
вспомогательное рабочее тело, служащее двигательным агентом,—
«вторичным» рабочим телом. Чтобы работа, производимая
вторичным рабочим телом, была равна полезной энергии
первичного, необходимо и достаточно, чтобы оба тела
испытывали только обратимые превращения. Это условие
будет удовлетворено для первичного рабочего тела, если
заставить его проходить через бесконечное число
элементарных обменников, где его температура непрерывно
изменяется между двумя крайними значениями 7^ и Т0.
В каждом из обменников температура первичного рабочего
тела изменяется от Т до Т — dT, а количество тепла,
передаваемое вторичному рабочему телу, выражается
формулой
dQ = cdT.
Что касается вторичного рабочего тела, то оно состоит
из бесконечного числа частей, каждая из которых проходит
один элементарный обменник, где получает количество
тепла dQ при температуре Т, равной температуре
первичного рабочего тела. Превращение вторичного рабочего
тела в обменнике составляет часть цикла Карно в
интервале температур Т и Т0; поэтому тепло dQ, получаемое
вторичным рабочим телом, используется с к. п. д.
Т-Т0
Т '
и работа, производимая за счет этого тепла, выражается
в тепловых единицах формулой

104
ЭНТРОПИЯ и ЭНЕРГИЯ
[ГЛ. 3
Следовательно, полная работа равна
V=f (l-^)£fQ=Q1-Q0^r0f^.
То Т0
Но Qi — Q0, т. е. полное количество тепла, отдаваемое
1 кг первичного рабочего тела, равно изменению
энтальпии Hi — Я0. С другой стороны, по определению
Ti
? dQ _ Q <,
To
так что выражение для W может быть записано в форме
W^Ht-Ho-ToiSi-So),
а это выражение тождественно с полезной энергией Е (33).
Эта энергия, таким образом, имеет то же значение, как
и в случае, когда производство работы идет
непосредственно, и это несмотря на существенные различия между
двумя способами. В первом случае теплообмен происходит
только между первичным рабочим телом и холодильником
при постоянной температуре, а во втором случае
теплообмен при постоянной температуре идет между вторичным
рабочим телом и холодильником, но вдобавок происходит
еще теплообмен при переменной температуре между
первичным и вторичным рабочими телами. В последнем
случае первичное рабочее тело остывает постепенно, не
производя и не поглощая работы, вплоть до температуры
холодильника Г0; оно отдает вторичному рабочему телу
не только свою энтальпию, но и энтропию. Именно через
посредство вторичного рабочего тела холодильник
получает причитающуюся ему порцию энтропии и замечательно,
что эта порция одинакова в обоих случаях.
§ 30. Коэффициент энергетического использования
Как мы видели, достаточно знать начальное состояние
рабочего тела, чтобы определить его полезную энергию
при заданном холодильнике. Но благоприятное начальное
состояние природа редко дарит (природный газ под
давлением, естественный источник горячей воды или пара

§ 30] КОЭФФИЦИЕНТ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ 105
и т. д.); обычно приходится создавать его искусственно,
затрачивая некоторое количество энергии. Разделив
полезную энергию на этот расход энергии (выраженные
в одних единицах), мы получим отношение, которое будем
называть коэффициентом энергетического использования
и обозначать г\е.
При выводе соотношения (33) мы предполагали, что
рассматриваемое рабочее тело, отдав всю свою полезную
энергию, оказывается в равновесии по давлению и
температуре с холодильником. Так обстоит дело, например,
когда рабочее тело претерпевает открытую
последовательность превращений. В этих условиях расход энергии
определяется разностью Я — Я0, т. е. изменением
энтальпии между состоянием р0, Т0 и рассматриваемым
состоянием р, Т. Отсюда следует, что коэффициент
энергетического использования выражается формулой
Н-Нп
(34)
Это выражение для v\e применимо, например, к газам —
продуктам сгорания, так как они всегда проходят
открытую последовательность превращений, где бы не
получались — в топке котла или в двигателе, или турбине
внутреннего или внешнего сгорания. Но оно применимо и к пару,
работающему в турбине с конденсацией, так как, хотя
последовательность превращений пара в этом случае обычно
замкнута (конденсор с поверхностью), в некоторой точке
этой цепи превращений рабочее тело находится в
равновесии с холодильником. Мы вернемся к этим вопросам
в § 33, где будут изучены практические приложения
понятия полезной энергии.
Не так обстоит дело с полезной энергией рабочего
тела, служащего для охлаждения ядерного реактора.
Такое рабочее тело (газообразное или жидкое) описывает
замкнутый цикл и его температура обычно остается выше
температуры холодильника. Обозначим две крайние
температуры рабочего тела 7\ и Т2 {Тх > Т2> Т0) и будем
рассматривать не полезную энергию состояния 1, а
изменение полезной энергии между состояниями 1 и 2. Это
изменение дается выражением (33'), которое может быть

106
ЭНТРОПИЯ И ЭНЕРГИЯ
[ГЛ. 3
записано в форме
Ei — E2 = Hi — #2 — Т0 (Si — 52).
Расход тепла в данном случае сводится к #! — #2,
что ведет к коэффициенту энергетического использования
^-1 Hi_h2 ' W
Примем ради простоты, что удельная теплоемкость
рабочего тела с постоянна; тогда
Я1-Я2 = с(Г1-Г8)
и
S± — S2 = с In -—-.
12
Выражение для г\е принимает вид
т|в=1—=Д=-1п^-. (35')
Конечно, когда Т2 стремится к Т0, выражения (35)
и (34) совпадают, принимая с — const. Можно также
проверить, что когда при заданных 7\ и Т0 значение Т2
стремится к Ти выражение (35') стремится к выражению
для к. п. д. цикла Карно:
Т0
На рис. 27 показана зависимость коэффициента
энергетического использования первичного рабочего тела
согласно упрощенному выражению (35') от температур tt
и t2, причем значение t0 предполагается равным 15° С
(т. е. Г0 = 288,15° К). Верхняя кривая (t2 = t{) дает
к. п. д. цикла Карно в интервале температур t{ и t0, так
как она соответствует случаю изотермического
нагревателя (разумеется, во всех случаях предполагается, что
все процессы обратимы). Нижняя кривая (t2 = t0)
соответствует случаю, когда первичное рабочее тело описывает
открытую цепь состояний, причем конечная температура
тела равна температуре холодильника. Промежуточные
кривые как раз соответствуют случаю атомных
электростанций, так как условие t± > t2 > t0 точно
характеризует эволюцию рабочего тела, пробегающего бесконечное

§ 30] КОЭФФИЦИЕНТ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ 107
число раз один и тот же замкнутый цикл между двумя
заданными температурами. Этот рисунок ясно
показывает, что коэффициент v\e изменяется в том же
направлении, что и температуры ^ и t2. Поскольку первая из этих
%=000°0
ш
500
200
700
и 700 200 500 400 500 600 700
tf°0
Рис. 27. Коэффициент энергетического
использования как функция температур первичного и
вторичного рабочих тел.
температур не может превзойти некоторого предела, то
для увеличения коэффициента использования надо для
второй температуры принять насколько возможно большое
значение, что уменьшает разность. Но уменьшение этой
разности ведет к увеличению расхода (дебита)
охлаждающего вещества, так как этот расход при заданной тепловой
мощности обратно пропорционален t± — t2. Увеличение
дебита, однако, влечет за собой ряд неблагоприятных
следствий, в частности возрастание мощности,
необходимой для обеспечения циркуляции первичного рабочего
тела. При выборе значения разности t± — t2 следует
учитывать это обстоятельство, ибо в конечном итоге
необходимо получить наибольший истинный коэффициент
07
0,0
0,5
0,4
0,0
42
0,7
\
кА
»\^-
Ф
^

108
ЭНТРОПИЯ И ЭНЕРГИЯ
[ГЛ. 3
использования установки, относящийся ко всей получаемой
мощности. Но мощность, затрачиваемая на циркуляцию
первичного рабочего тела, зависит, естественно, от его
природы. Так, для воды она меньше, чем для С02, при
прочих равных условиях. Отсюда следует, что оптимальное
значение разности ^ — t2 в первом случае меньше, чем
во втором. В свою очередь принятое значение для
разности оказывает заметное влияние на выбор теплового
цикла вторичного рабочего тела х).
Разумеется, бесконечное число теплообменников
существует только в теории; а в действительности передача
тепла между первичным и вторичным рабочими телами
происходит только в одном или в двух теплообменниках.
Если рассмотреть случай одного теплообменника, в
котором температура первичного рабочего тела изменяется
от Ti до Ту то количество тепла, получаемое вторичным
рабочим телом, выражается формулой с (7\ — Г), и
поскольку оно проходит цикл Карно в интервале температур Т
и Г0, то производит работу W, равную
W = с (Tt- Т) Т~Т° ккал/кг.
Приравнивая нулю производную dWIdT, немедленно
находим
T0n<r==VTJ\>, №м&кс = ср(Т1+Т0-2У1Щ>)-
Интересно заметить, что в этом случае количество тепла,
переданное вторичным рабочим телом холодильнику, т. е.
Ср (Tout — Т0) -~т = cp\V Т(Г0 — Т0),
1 опт
равно теплу, остающемуся в первичном рабочем теле по
выходе из теплообменника, причем это количество тепла
подсчитывается в интервале температур Гопт и Т0. Точно
так же можно показать, что в случае двух
теплообменников, если производимая работа равна своему максималь-
*) По этому вопросу предлагаем читателю нашу небольшую
книгу: P. Chambadal, Les centrales nucleaires (Paris, A. Colin) или
статью: Le choix du cycle thermique dans une usine generatrice
nucleaire, Revue Generale de l'Electricite, июнь (1958).

§ 31] ДИАГРАММЫ ЭНЕРГИИ ВОЗДУХА И ПРОДУКТОВ ГОРЕНИЯ 109
ному значению, тепло, остающееся в первичном рабочем
теле по выходе из второго теплообменника, равно
половине количества тепла, передаваемого всем вторичным
рабочим телом холодильнику.
§ 31. Диаграммы полезной энергии воздуха
и газообразных продуктов горения
Подобно другим функциям состояния (энтальпии,
удельному объему и т. д.), полезная энергия может быть
графически представлена как функция двух независимых
переменных. При этом получается «диаграмма полезной
энергии», форма которой может быть различной в
зависимости от природы рассматриваемого рабочего тела
и выбора переменных, определяющих его состояние.
В простейшем случае рабочее тело можно
рассматривать как идеальный газ; тогда полезная энергия
описывается кривыми, которые не зависят от принятых значений
для р0 и Т0, если, конечно, не учитывать изменение
удельных теплоемкостей с температурой. Действительно, в этих
условиях разность энтропии в выражении (33) может быть
записана в виде
S-50 = CpIn^-4-ln-£,
что ведет к следующему выражению для полезной энергии:
Разделив обе стороны равенства на срТ0 и учитывая
соотношение Майера, получаем
срТ0 Т0 Т0 у ро
Это выражение содержит только безразмерные
величины, в частности, температуры и давления рабочего тела
и холодильника входят только в виде отношений Т/Т0
и plp'o- Таким образом, можно построить диаграмму для
данного газа, откладывая по осям координат величины
р/ро и Т/Т0 и нанося кривые, соответствующие
постоянному значению отношения Е/срТ0.

no
ЭНТРОПИЯ и ЭНЕРГИЯ
[ГЛ. 3
На рис. 28 показан ход получаемых таким образом
кривых, в частности, видно, что полезная энергия может
быть положительной даже для отношений р/р0, меньших
единицы, при условии, что отношение Т/Т0 существенно
отличается от единицы в любую сторону.
Рис. 28. Диаграмма полезной энергии идеального газа.
На практике часто бывает необходимо знать полезную
энергию газообразных продуктов горения. Этот случай,
конечно, менее прост, чем случай воздуха, но зато, если
рассматривать только горение в топке котла, давление
газа можно считать равным атмосферному, что позволяет
исключить одну из переменных, определяющих состояние
рабочего тела (разумеется, это упрощение не относится

§ 31] ДИАГРАММЫ ЭНЕРГИИ Ё03ДУХА И ПРОДУКТОВ ГОНЕНИЯ Ш
к котлам с повышенным питанием топки, где горение
идет при более высоком давлении по сравнению с
атмосферным).
Диаграмма, дающая полезную энергию продуктов
горения, была установлена Рантом *) (этот автор предлагает
заменить термин «полезная энергия», или по-немецки
«technische Arbeitsfahigkeit», т. е. «технический запас
работы», словом «эксергия», которое может быть принято
во всех странах). Построение такой диаграммы облегчается
работами Розена и Фелинга, которые в 1929 г., опираясь
на выводы теории и статистические данные, показали, что
можно построить общую диаграмму энтальпия —
температура, справедливую с достаточной точностью для всех
горючих веществ, сгорающих в атмосферном воздухе.
Таким образом исключается влияние состава топлива
и энтальпию газа можно представить как функцию двух
переменных: температуры и избытка воздуха. При заданной
температуре энтальпия газа изменяется между двумя
пределами, один из которых соответствует бесконечному
избытку воздуха (т. е. чистому воздуху), а другой —
нулевому избытку, т. е. горению со стехиометрическим
количеством воздуха. Отсюда, учитывая, что рассматриваемый
газ находится при неизменном давлении, можно вычислить
его полезную энергию с помощью соотношения
г
Е = Н — Н0—Т0 \ —jt~ ,
То
где интегрирование может быть выполнено графически.
Эти результаты привели автора диаграммы к
представлению полезной энергии как функции энтальпии газа
с помощью единственной кривой, установленной для
среднего избытка воздуха (реальный избыток воздуха входит
тем не менее неявно, так как он учитывается в
диаграмме Я, f). В действительности такая кривая справедлива
г) Z. Rant, Exergiediagramme fur Verbrennungsgase, В. W. К.,
январь (1960). Укажем, что этот журнал посвятил исследованиям
полезной энергии специальный номер (ноябрь 1961), в котором
можно найти и библиографию по этому вопросу, включающую 116
названий.

112
ЭНТРОПИЯ и ЭНЕРГИЯ
[ГЛ. 3
только при заданном значении окружающей
температуры t0; диаграмма Ранта содержит три кривые для t0 = 0°,
15° и 30° С. Кроме того, поскольку на практике обычно
ищут полезную энергию как функцию температуры, а не
энтальпии, диаграмма включает еще вспомогательные
графики, дающие связь между энтальпией и температурой
при различных избытках воздуха. Наконец, другие
дополнительные графики позволяют учесть полезную энергию,
соответствующую конденсации паров воды, содержащихся
в продуктах горения, а также разницу между
теоретической и реальной температурами горения вследствие того,
что реальное горение не является адиабатическим, а
сопровождается потерями освобождающегося тепла.
Очевидно, что при заданном топливе полезная энергия
достигает максимального значения при адиабатическом
горении со стехиометрическим количеством воздуха. Эта
полезная энергия продуктов горения, отнесенная к
единице массы топлива, может рассматриваться как полезная
энергия топлива. Оказывается, что в случае угля полезная
энергия практически равна нижней теплотворной его
способности; Даррье, получивший этот результат, исходя
из работ Ле Шателье, указывает, что дело идет о простом
совпадении х). Рант в цитированной выше статье для угля
находит тот же результат, а для углеводородов,
содержащих более одного атома углерода на молекулу, он дает
эмпирические формулы
£ = 0,975ВТС
и
£-0,95ВТС,
где ВТС — верхняя теплотворная способность топлива.
Первая формула годится для жидкого топлива, а вторая —
для газообразного. Конечно, все эти результаты не
учитывают возможности предварительного разогрева воздуха,
которое влечет за собой повышение температуры
продуктов горения и, следовательно, увеличение их полезной
энергии.
*) G. D а г г i е u s, L'evolution des centrales thermiques et la
notion d'energie utilisable, Sciences et Industrie, март (1931).

§ 32] ДИАГРАММЫ ПОЛЕЗНОЙ ЭНЕРГИИ ПАРОВ ВОДЫ ЦЗ
§ 32. Диаграммы полезной энергии паров воды
Вычисление полезной энергии паров воды представляет
интересную особенность. Во всей области практических
применений изэнтропическое расширение пара,
продолженное до температуры холодильника Г0, завершается
в области насыщения пара. Пусть Hi и Si — энтальпия
и энтропия пара в рассматриваемом состоянии, Я2 —
энтальпия в конце изэнтропического расширения до
температуры Т0, а Я0 и S0 — энтальпия и энтропия воды при
температуре Т0 и соответствующем давлении кипения р0.
Именно это состояние водьь мы примем за начало отсчета
полезных энергий. Согласно выражению (33) можно
написать
E = Hi — Я0— Т0 (Si — SQ).
Но рассмотрение диаграммы Г, S водяного пара
показывает, что
Я0 + Т0 (Si — S0) -= Я2;
следовательно,
E^Hi-H^
Иными словами, полезная энергия водяного пара равна
энергии, выделяемой при адиабатическом и обратимом
расширении пара вплоть до температуры холодильника T0f
при условии, что расширение завершается в области
насыщения.
Укажем еще, что если последнее условие не
выполняется, мы должны остановить расширение либо при
давлении ро, либо при температуре Т0. В первом случае
конечная температура пара будет больше Т0, поэтому мы будем
иметь Е > Hi — Я2. Во ътором случае конечное давление
будет меньше р0, поэтому Е < ЯА — Я2 (разумеется,
в обоих случаях Я2 обозначает энтальпию в конце
расширения).
Поскольку величины Я0, S0 и Т0 постоянны,
изменения Е зависят только от разности Hi — TqS^ Но мы
уже видели (см. § 26), что на диаграмме Молье (Я, S)
величина T0Si представляется прямой линией, поэтому
на диаграмме линии Е = const — это прямые,
параллельные изотерме (которая является одновременно и изобарой),

114
ЭНТРОПИЯ и ЭНЕРГИЯ
[ГЛ. 3
нанесенной в области насыщения. Теперь нетрудно
построить на диаграмме Я, 5 ряд прямых равной полезной
энергии и получить значение Е для каждой точки
диаграммы.
Однако этот метод (предложенный Даррье) не учитывает
работу сжатия жидкой воды между давлением р0 и
давлением Pi пара в рассматриваемом состоянии. Эта работа
выражается следующим общим равенством:
Wc = -j- \ v dp ккал/кгг
Ро
и ее минимальное значение соответствует изотермическому
обратимому сжатию. Принимая, что работа Wc
вычисляется именно для такого сжатия, получаем для
исправленного выражения полезной энергии
E = Hi — #2—Wc,
или в более общем случае
Е = Я,- Но-Т0 (Sl-S0)-Wc.
Три диаграммы полезной энергии, учитывающие эту
поправку, прилагаются к монографии Гурде и Пруста г).
Для вычисления работы сжатия эти авторы используют
приближенное соотношение
Wc^-j-piVo,
где пренебрегают р0 по сравнению с pt и не учитывают
изменения удельного объема воды (они принимают
v0 = 0,001 м3/кг). На двух диаграммах по оси абсцисс
откладывается давление пара, а по оси ординат — полезная
энергия; они отличаются друг от друга только принятым
значением Т0 (Г0 - 300,15 или 312,65 °К). Каждая из
этих диаграмм содержит ряд изотерм с вогнутостью,
направленной вниз; значит, при постоянной температуре
полезная энергия как функция давления проходит через
максимум. На третьей диаграмме (Т0 = 288,15 °К) по оси
2) G. G о и г d е t, A. Proust, Les diagrammes thermody-
namiques, Paris, Dunod, 1950.

§ 32] ДИАГРАММЫ ПОЛЕЗНОЙ ЭНЕРГИИ ПАРОВ ВОДЫ Ц5
абсцисс отложена энтальпия пара, а по оси ординат, к|к
и ранее,— полезная энергия (но вместо килокалории
принята единица киловатт-час). Эта диаграмма содержит Не
только изотермы и изобары, но также кривые х = согш
(х — паросодержание) и, наконец, изэнтропы. Это
параллельные прямые, угловой коэффициент которых был бь!
равен единице, если бы градуировка осей была сделана
с одной единицей энергии и в одном масштабе. При
последнем предположении угловой коэффициент касательной
к изобаре равен 1 — Т0/Т, где Т — температура
рассматриваемой точки. Действительно, этот коэффициент
определяется равенством
и поскольку
dE = dH—T0dS,
то можно написать
tga=l-r0(^)p=l-^.
В области насыщения изобары представляют собой
прямые линии, в частности, изобара (или изотерма),
соответствующая температуре Т = Т0у параллельна оси
абсцисс. В области перегретого пара при увеличении
Т tg а стремится к единице, т. е., иными словами,
изобары стремятся стать параллельными изэнтропам.
Другая диаграмма полезной энергии водяного пара
была установлена Рантом *). Эта диаграмма (не
учитывающая работы сжатия) была построена для Т0 = 288,15° К,
но содержит вспомогательные шкалы, позволяющие
определить полезную энергию для других значений Т0.
Полезная энергия откладывается по оси ординат; по оси абсцисс
откладывается энтропия. Диаграмма содержит тесную
сетку изотерм и изобар, а также кривые х = const. Кроме
того, две дополнительные шкалы, помещенные вне
диаграммы, позволяют построить прямые равной энтальпии.
Помимо диаграммы полезной энергии водяных паров, тот
же автор установил аналогичную диаграмму для воды.
*) Z. Rant, Exergiediagramme fur Wasser und Wasserdampf,
B.W.K., июль (1960).

116
энтропия и ЭНЕРГИЯ
[ГЛ. 3
§ 33« Энергетический к. п. д.
Чтобы оценить качество установки, служащей для
преобразования тепла в работу (тепловая электростанция,
двигатель внутреннего сгорания и т. д.), обычно
используют понятие теплового к. п. д., который определяется
отношением произведенной работы к количеству
затраченного тепла, когда обе эти величины выражаются в одних
энергетических единицах. Известно, что в самых
благоприятных условиях это отношение редко превышает 0,4,
что заставляет думать, что все установки этого рода далеки
от совершенства. На самом же деле несовершенством
приборов нельзя объяснить столь низкое значение теплового
к. п. д.; другая причина (часто наиболее важная)
заключается в том, что технические условия заставляют
ограничивать температуру рабочего тела в начале расширения
и уменьшают таким образом полезную энергию на входе
машины. Понятие теплового к. п. д. страдает тем
недостатком, что оно учитывает только количество энергии,
но не качество (или стоимость) ее. Другими словами, это
понятие основывается только на первом законе
термодинамики, а не на втором. Чтобы получить более разумную
оценку тепловой машины, надо заменить количество тепла
количеством полезной энергии, находящейся в
распоряжении машины. Отношение количества развиваемой
механической энергии к изменению полезной энергии
называется энергетическим к. п. д. машины.
В практических применениях этого понятия надо
различать три случая. Пример первого случая дает
большинство построенных до сих пор атомных электростанций.
На этих электростанциях ограничения на температуру
вторичного рабочего тела в турбине накладываются не
конструкцией самой турбины, а устройством реактора.
Разность между максимальными температурами
первичного и вторичного рабочих тел определяется только
условиями теплопередачи от одного к другому. Поэтому
естественно в этом случае относить работу, производимую
вторичным рабочим телом, к изменению полезной энергии
первичного рабочего тела. Именно отношение этих двух
величин является энергетическим к. п. д. станции. Этот
к. п. д. может также выражаться частным теплового к. п. д.

§ 33]
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ К. П. Д.
117
(как он был определен в начале параграфа) и коэффициента
энергетического использования (см. § 30). Так, если
тепловой к. п. д. станции равен 0,3, а коэффициент
энергетического использования 0,5, то энергетический к. п. д.
равен 0,6. Эта величина позволяет лучше оценить степень
совершенства самой станции, так как она не приписывает
ей ограничения, накладываемые реактором, и оставляет
только потери, связанные с числом и размерами
теплообменников, формой теплового цикла и несовершенством
основных и вспомогательных машин. Возможности
усовершенствования станции определяются разностью между
0,6 и 1, а не между 0,3 и 1, что соответствовало бы
обычному определению к. п. д.
Второй случай составляют двигатели внутреннего
сгорания. Как и в первом случае, температура рабочего тела
в начале расширения здесь мало отличается от
максимальной температуры, возникающей при реакции (которая
здесь химическая, а не ядерная). Различие между этими
температурами связано с необходимостью осуществлять
сгорание с некоторым избытком воздуха, уходом тепла
в процессе горения, формой теплового цикла и т. д. Однако
в противоположность первому случаю здесь нет различия
между первичным и вторичным рабочими телами. Поэтому
в определении энергетического к. п. д. двигателя должна
входить полезная энергия газообразных продуктов
горения, отнесенная к окружающей среде, в предположении,
что теоретически сгорание происходит без избытка воздуха.
Но, как мы видели в § 31, эта полезная энергия,
вычисленная для единицы массы топлива, мало отличается от
теплотворной способности топлива. Отсюда следует, что для
двигателя внутреннего сгорания различие между тепловым
и энергетическим к. п. д. не имеет большого значения.
Это замечание, очевидно, справедливо для всех
установок, производящих механическую энергию за счет тепла,
освобождающегося при горении. Оно в равной мере при-
ложимо к паровым электростанциям и к газовым
турбинам с замкнутой циркуляцией. Но в этом третьем случае
технические соображения приводят к значительному
различию максимальных температур первичного и
вторичного рабочих тел. Это различие влечет за собой
уменьшение энергии, которое может быть приписано всему

118
ЭНТРОПИЯ и ЭНЕРГИЯ
[ГЛ. 3
устройству или техническому состоянию конструкции,
вынуждающему ограничивать температуру на входе
турбины. Первое обстоятельство сводит третий случай
полностью ко второму; второе заставляет ввести в определение
энергетического к. п. д. изменение полезной энергии
вторичного рабочего тела, что увеличивает численное
значение этого к. п. д.
Что касается газовых турбин с открытой циркуляцией,
то хотя они и не работают с двумя различными рабочими
телами, они могут быть отнесены к установкам,
составляющим третью группу машин, ибо, как и эти последние,
они характеризуются большой деградацией энергии.
Единственное отличие между установками (паровыми или
газовыми) с закрытой циркуляцией и установками с открытой
циркуляцией заключается в том, что в первых деградация
энергии связана с теплопередачей, а во вторых — со
смешиванием двух рабочих тел при различных
температурах.
Третий случай наиболее интересен. Мы изучим его более
подробно, взяв в качестве примера паровую
электростанцию. Полученные результаты позволяют сделать два
замечания.
1) Если определить энергетический к. п. д. станции
отношением получаемой энергии к полезной энергии
топлива, то получается численное значение, мало
отличающееся от теплового к. п. д.
2) Если отнести энергию, производимую турбиной,
к изменению полезной энергии пара, причем расширение
пара не сопровождается ни повторным перегревом, ни
отбором пара (либо для нагревания питающей воды, либо для
иных надобностей), то получаемый к. п. д. тождествен
тому, который получается при отнесении получаемой
энергии к изменению энтальпии пара при обратимом
адиабатическом расширении г).
Каждое из этих определений энергетического к. п. д.
может быть использовано без затруднений, но второй из
них оказывается простым только в рассмотренном частном
*) Мы предполагаем, конечно, что расширение заканчивается
в области насыщения (см. § 32). Это рассуждение неприложимо
поэтому к газовой турбине.

§ 33]
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ К. П. Д.
119
случае, который редко соответствует реальным условиям
работы современных паровых турбин. Если турбина
предназначена для производства электрической энергии на
станции большой мощности, то пар в процессе расширения
подвергается повторному
перегреву и отбору. Если
установка предназначена для
одновременного производства
электроэнергии и тепла,
турбина работает в цикле с
противодавлением или с
конденсацией и отбором или с
противодавлением и отбором. Во всех
этих случаях энергетический
к. п. д. может быть
определен различными способами,
обсуждение которых выходит
за рамки этой книги. Мы
ограничимся указанием двух
определений, предложенных
для к. п. д. тепловых машин.
При одном из них турбина
или некоторая ее часть рассматривается как устройство,
производящее работу и поглощающее полезную энергию.
Так, при адиабатическом расширении без отборов в
области перегретого пара {1—3 на рис. 29), пренебрегая
внешними потерями, определяем к. п. д. турбины по формуле
Ei — Es
где Ни H3l Ei и Е3 — энтальпия и полезная энергия пара
в начале и в конце реального расширения *). Нетрудно
проверить, что определенный таким образом к. п. д. может
быть записан также в форме
Н± — Н3
Ц== H^Hs+ToiSs-SJ '
причем St и S3—энтропии пара в точках 1 и 3.
*) Напомним, что, согласно обычному определению к, п. д.,
Рис. 29. Иллюстрация
определения к. п. д. турбины.
Т):
(36)
Т) =
На-Но

120
ЭНТРОПИЯ и ЭНЕРГИЯ
[ГЛ. 3
Числитель и знаменатель дроби в правой части зависят
от свойств (а значит, и от несовершенства) реальной
машины. Однако определение к. п. д. должно в принципе
включать идеальные величины, соответствующие совершенной
машине и поэтому имеющие фиксированное значение. Этот
результат может быть получен х), если рассматривать
турбину как устройство, поглощающее разность энтальпий
Hi — #2 (рис. 29) и производящее кроме работы Я4 — Н3
изменение полезной энергии Е3 — Е2, причем это изменение
возникает вследствие несовершенства машины. По этому
определению к. п. д. выражается формулой
Hi — H3+E3~E2 m.
или поскольку
Е3 — Е2 = Н3~Н2— Т0 (S3—S^,
то
^-¾¾^ (37')
Изменение полезной энергии Е3 — Е2 входит только,
если пар, выходящий из турбины (или части турбины),
должен продолжать свое расширение для производства
механической работы. Во всех случаях необходимо учитывать
возможность дальнейшего использования энергии пара
и форму этого использования (механическую или тепловую)
и даже эффективность.
Аналогичные рассуждения могут быть сделаны
относительно определения к. п. д. других составных частей
паровой электростанции, а также к. п. д. тепловых двигателей
и компрессоров. В последнем случае, если сжатый воздух
предназначен для производства работы при последующем
расширении, компрессор можно рассматривать как
источник полезной энергии. Но полезная энергия за счет
действия компрессора может расти по-разному, в зависимости
от того, как используется сжатый воздух: непосредственно
направляется в воздушный двигатель, в камеру
сгорания газовой турбины, или в теплообменник рядом с этой
камерой, или, наконец, в резервуар, где он теряет часть
своего тепла перед расширением.
х) См. статью: P. Chambadal, La definition du rendement
des rnoteurs thermiques, Chaleur et Industrie, июнь и июль (1946).

§ 34]
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ БАЛАНС
121
§ 34. Энергетический баланс
Включение полезной энергии в определение к. п. д.
тепловой машины, как мы видели, основано на некотором
соглашении. Впрочем всякое определение к. п. д. по
необходимости условно, что в известной мере ограничивает его
теоретическое и практическое значение. Однако понятие
полезной энергии можно использовать для установления
энергетического баланса тепловой машины, а знание этого
баланса гораздо более полезно, чем знание
энергетического к. п. д.
Анализ действия теплового двигателя может быть
основан как на первом, так и на втором принципе
термодинамики. Здесь мы вновь сталкиваемся с различием между
тепловым и энергетическим к. п. д., каково бы ни было
определение последнего. Оба метода анализа сводятся
к составлению баланса энергии, но в первом случае это
касается просто энергии, а во втором — полезной энергии.
В приложении к указанному анализу два принципа могут
быть сформулированы следующим образом: «энергия
преобразуется, но сохраняется» и «полезная энергия может
только уменьшаться». Можно и синтезировать оба
принципа в один в форме: «энергия сохраняется, но
деградирует». Конечно, деградация энергии, эквивалентная
уменьшению полезной энергии, связана с возрастанием
энтропии, которое сопровождает все процессы в тепловом
двигателе.
Рассмотрим сначала баланс энергии. Обычно в таком
балансе энергия выражается в тепловых единицах, так что
баланс называется «тепловым балансом». Будучи основан
на принципе сохранения энергии, тепловой баланс может
быть установлен как для тепловой электростанции, так,
скажем, и для печи. Единственной разницей будет то, что
на электростанции часть затраченного тепла преобразуется
в эквивалентное количество работы, а в печи тепло не
изменяет своей формы. Во всех случаях тепловой баланс
показывает, как распределяется затраченное тепло между
различными частями установки. Так, в тепловой
электростанции часть тепла, получаемого при горении, уносится
в атмосферу вместе с газами по дымоходной трубе, остальная
часть (с точностью до некоторых дополнительных потерь)

122
ЭНТРОПИЯ и ЭНЕРГИЯ
[ГЛ. 3
передается воде и ее пару; эта вторая часть в свою очередь
делится на несколько фракций, одна из которых
преобразуется в работу, а другая передается воде, циркулирующей
в конденсоре, и т. д. Распределение тепла графически может
быть представлено с помощью диаграммы Сенки:
количество тепла представляется шириной расчлененной на
долевые полосы ленты, причем ширина отдельных полосок
(сумма которых равна ширине первоначальной полосы)
пропорциональна соответствующим количествам тепла.
Перейдем теперь к энергетическому балансу, т. е.
балансу полезной энергии. Этот баланс можно графически
представить с помощью диаграммы, аналогичной диаграмме
Сенки. Поскольку полезная энергия топлива мало
отличается от его теплотворной способности, начальный вклад
энергии будет примерно такой же, как в предыдущем
случае; относительная ширина полоски, представляющей
производимую механическую энергию, не будет отличаться
ОТ диаграммы Сенки, что отражает приближенное
равенство теплового и энергетического к. п. д. Но распределение
первоначального вклада энергии по различным долям будет
сильно различаться в этих двух случаях, и именно в этом
состоит принципиальный интерес энергетического баланса.
Особенно бросается в глаза, что некоторые потери,
относительно большие в одном случае, равны нулю (или,
по крайней мере, могли бы быть теоретически равны нулю)
в другом случае. Рассмотрим несколько примеров.
Первая деградация энергии происходит во время самого
процесса горения. Эта реакция необратима; количество
воздуха, вводимое в топку, превосходит теоретически
необходимое значение, продукты горения смешиваются с
избыточным воздухом, температура которого заметно ниже,
несмотря на предварительный подогрев. Поэтому
температура конечной смеси ниже теоретической температуры
продуктов горения. Понижение температуры оставляет
неизменным количество тепла, содержащееся в газообразных
продуктах горения, но уменьшает их полезную энергию.
Таким образом, эти потери фигурируют в энергетическом
балансе установки, а не в ее тепловом балансе.
Так же обстоит дело при передаче тепла продуктов
горения воде и ее пару. Пренебрегая потерями на излучение
(которые, вообще говоря, очень малы), можно принять,

§ 34] ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ БАЛАНС 123
что тепловой к. п. д. этой теплопередачи равен единице,
т. е. количество тепла, теряемое одним рабочим телом,
равно количеству тепла, приобретаемому другим рабочим
телом. Иначе говоря, тепловой баланс не включает потерь,
соответствующих собственно теплопередаче. Но в каждой
точке различных теплообменников (перегреватель,
повторный перегреватель, испаритель) между двумя рабочими
телами существует значительная разность температур.
Поэтому теплопередача сопровождается деградацией энергии,
т. е. уменьшением полезной энергии. Если обозначить
элементарное количество обмениваемого тепла в некоторой
точке системы dQ, а соответствующие температуры газа
и пара Tg и Т„, то для увеличения энтропии,
сопровождающего теплообмен, получаем формулу
<«-<•£•-■£)■
Потеря полезной энергии г) в элементарном акте
теплообмена равна
rf£= Г0 dS = Т0 (-+-- -i-) dQ,
а полная потеря полезной энергии при передаче тепла
от газа к пару получается путем интегрирования этого
выражения с учетом изменения Tg и Tv в процессе
теплопередачи (температура Tv остается постоянной во время
испарения воды).
Чтобы понять важность этих потерь полезной энергии,
достаточно заметить, что на современцой тепловой
электростанции тепловой к. п. д. парового котла порядка 0,9, а его
энергетический к. п. д. только 0,5—0,6.
Разумеется, теплообмен происходит и в других точках
установки и всегда с конечным перепадом температуры,
-1) Заметим, что слово «потери» имеет разный смысл в
тепловом и энергетическом балансах. В первом случае «потерянная»
энергия — это энергия, не преобразованная в работу, т. е.
остающаяся в форме тепла. Во втором случае слово «потери» имеет
абсолютный смысл, так как потерянная полезная энергия не
преобразуется и не передается, а просто исчезает, оставляя в качестве
следа увеличение энтропии.

124
ЭНТРОПИЯ И ЭНЕРГИЯ
[ГЛ. 3
что также приводит к потерям полезной энергии. Эти потери,
хотя и меньше основных (т. е. при теплообмене между газом
и паром), но все же никогда не равны нулю, даже если
тепло, теряемое одним рабочим телом, в точности равно
теплу, приобретаемому другим.
Другим источником энергетических потерь (т. е. потерь
полезной энергии) является потеря напора при истечении
рабочего тела. Потери напора имеют место в
теплообменниках, трубах, приборах регулировки и т. д. В первом
случае они сопровождаются изменением энтальпии, во
втором случае энтальпия, в принципе, постоянна. Но снижение
давления рабочего тела всегда влечет за собой
уменьшение его полезной энергии и должно входить в общий
энергетический баланс.
Потери полезной энергии при расширении пара в
турбине мы уже рассматривали в предыдущем параграфе
и здесь не будем возвращаться к этому вопросу. Достаточно
заметить, что численное значение энергетического к. п. д.
турбины независимо от того, определяется ли оно по
формуле (36) или по формуле (37), мало отличается от
значения к. п. д. при обычном его определении без привлечения
понятия полезной энергии.
Особенно заметно различие между тепловым и
энергетическим балансами на выходе турбины. Даже для станции
с тепловым к. п. д. 0,4 (что находится на границе
возможного при современном уровне техники) количество тепла,
содержащееся в водяном паре, поступающем в конденсор,
превосходит 40% от количества тепла, освобождающегося
при горении, однако полезная энергия этого пара
составляет только около 3% от полезной энергии сжигаемого
топлива. Напомним, что только небольшая часть тепла,
передающегося воде, циркулирующей в конденсоре, связана
с необратимостью процессов. Большая часть этого тепла
обязана своим происхождением увеличению энтропии,
неизбежно сопровождающему переход воды из жидкого
состояния в состояние перегретого пара. Это лишний раз
подтверждает, что необратимость не составляет сущности
второго принципа, а лишь усугубляет связанные с ним
неблагоприятные эффекты.
Численные примеры энергетических балансов паровых
установок (электростанций или промышленных установок)

700%
Тепловой баланс
/7omepi/,%
Генератор 0,0
/7одшижаш ^
Маслол-
20,5
Дь/мояоЯ 42,0
0С/7Ш7£Н
баланса 7,0
65,5
54/5
0/ знергетауесхаа баланс
Потери, %
— Компрессор 8,3
к=
^
^
w 2fft2
Яробуехаи j3 8
расширение дп
Турбина '
0лехтри</ес/сс/е+ 7Р
побшилнхха ,,с
70,0
65,5
34.5
"О
н
5Г
А
гп
О
S
5-
от
>
>
X
О
Рис. 30. Тепловой и энергетический балансы газового генератора со свободными поршнями.

126
ЭНТРОПИЯ И ЭНЕРГИЯ
[ГЛ. 3
можно найти в ряде недавно опубликованных статей
и книг *). Конечно, аналогичные балансы можно построить
и для тепловых установок иных типов. Так, на рис. 30
представлены тепловой и энергетический балансы
поршневого газового генератора GS-342). Мы видим, что здесь,
как и в случае паровой установки, распределение потерь
существенно различается, когда энергию рассматривают
по первому и по второму принципу. Интерес
энергетического баланса именно в том и заключается, что он позволяет
установить наиболее важные потери с точки зрения
преобразования тепла в работу.
Но последнее замечание указывает еще те границы
области, где понятие полезной энергии и энергетический баланс
имеют действительное значение. Поскольку, по определению,
полезная энергия это энергия, которую можно (по крайней
мере теоретически) преобразовать в работу, ее появление
оправдано только, если мы стремимся преобразовать
некоторое количество тепла в механическую энергию. Мы
не разделяем мнения некоторых авторов, которые считают
необходимым распространить понятие полезной энергии
на исследования работы печей и составляют для них
энергетические балансы. Впрочем, даже когда рассматриваемая
операция включает производство или расходование работы,
полезная энергия не всегда входит в рассмотренной нами
форме. Как мы увидим в следующем параграфе, так обстоит
дело при некоторых химических превращениях. Вообще
говоря, функция
Е = И — T0S
не должна играть никакой роли, когда тепло только
переходит от одного тела к другому, но не преобразуется
в работу.
*) См., например, статью Ранта, цитированную в § 32, и его
же статью в Allgemeine Warmetechnik, № 2 (1957) под названием:
«Bewertung und praktische Verrechnung von Energien». Укажем еще
работу: С. A. M e у e r, G. J. S i 1 v e s t r i, J. A. M а г t i n,
Availability balance of steam power plants, Journal of Engineering for
Power, январь (1959), а также книгу: R. Z. В a r t 1 e t t, Steam
turbine performance and economies, New York, 1958, гл. 6.
2) Эти два баланса были установлены Обществом
механических и энергетических исследований.

§35] ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ 127
§ 35. Энтропия и энергия физико-химических
превращений
Определение полезной энергии в смысле Гун, как мы
видели, предполагает теплообмен с одним источником,
которым является холодильник. Именно при температуре
Г0 источника энтропия рассматриваемого рабочего тела
претерпевает изменение
AS = Si-~S0.
Однако многие процессы включают теплообмен не с
холодильником, а с другой средой с однородной температурой
Г, например, с некоторым резервуаром, обладающим
постоянной температурой. В противоположность рассмотренному
выше случаю теплообмену здесь не предшествует
адиабатическое превращение, завершающееся при температуре
внешней среды. Чтобы этот теплообмен был обратимым,
необходимо (но не достаточно), чтобы температуры тел,
принимающих участие в теплообмене, были равны; при этом
рассматриваемый процесс будет обратимым и
изотермическим.
Применим к такому процессу выражение (4) первого
принципа термодинамики в форме
где AU — изменение внутренней энергии системы, Q —
количество тепла, передаваемое ей при абсолютной
температуре Г, a W — работа, привносимая извне в том же
процессе. Можно написать
Q=TAS,
где AS — изменение энтропии системы. Как видно,
величина W/J дается изменением между начальным и конечным
состояниями системы величины
F = V — TS. (38)
Определенная таким образом функция F была названа
Гельмгольцем свободной энергией', она называется также
«полезной энергией» в смысле Максвелла. Первое название
кажется более предпочтительным, так как оно устраняет

128
ЭНТРОПИЯ И ЭНЕРГИЯ
[ГЛ. 3
опасность спутать его с полезной энергией в смысле Гуи;
заметим, что в обоих случаях энергия определяется только
с точностью до некоторой аддитивной постоянной.
Поскольку процесс обратим, значение F зависит только
от состояния системы. Изменение F между двумя
состояниями (характеризуемыми, разумеется, одной температурой)
определяет работу, полученную или произведенную
системой, причем возрастание F соответствует поглощению
работы. Максвелл предложил называть эту функцию «полезной
энергией», потому что уменьшение F определяет
максимальное значение работы, которое может быть произведено
в данном изотермическом процессе.
Внутренняя энергия системы является суммой двух
членов. Первый — это свободная энергия, а второй
U—F = Q=TS
называется по Гельмгольцу «связанной энергией».
Применяя соотношение (38) к двум состояниям 1 и 2,
имеем для обратимого изотермического процесса:
F2-Fl = U2~Ui-T(S2~Sl).
Но если процесс необратим, конечная энтропия системы
S'2 больше S2 и, следовательно, изменение свободной
энергии F'2 — Fi меньше F2 — Ft. Иными словами, чтобы
получить то же изменение свободной энергии, т. е. F2 — Fu
надо передать системе больше работы, чем в случае
обратимого процесса. И наоборот, если F2 < Fi и система,
следовательно, производит работу, необратимость при
данном изменении свободной энергии влечет за собой
сокращение работы. Постоянство температуры не меняет ничего
в общем правиле, по которому производимая работа
достигает своего максимального значения, когда
рассматриваемые процессы обратимы.
В самом общем случае имеем
F*-Ft<^-, (39)
где W — работа, производимая над системой, а знак
равенства соответствует обратимому процессу.

§35] ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ 129
В частном случае, когда процесс не только
изотермический, но и изохорный, W = 0 и, следовательно,
^2-Л<0.
Иными словами, в реальном процессе (т. е. необратимом),
протекающем при постоянных температуре и объеме,
свободная энергия может только уменьшаться.
Если же рассматривать температуру Т и удельный
объем v как переменные, то необходимо установить
соотношение, дающее изменение свободной энергии, как функцию
этих двух переменных. Для этой цели запишем уравнение
(38) в дифференциальной форме
dF = dU-TdS — SdT.
Но
TdS^dQ = dU + £^L,
откуда
dF=-P£--SdT;
это искомое соотношение между переменными F, Т и v.
Оно позволяет в свою очередь установить выражения для
/?, S и U при независимых переменных Т и v. Действительно,
U = F + TS = F-T(^)v. (40)
В другом важном случае рассматриваемая система,
обмениваясь теплом со средой однородной температуры,
подвергается (скажем, посредством поршня) действию постоянного
внешнего давления р. Если под действием этого давления
объем системы изменяется от и4 до и2 (v2 < Vi)9 то работа,
произведенная над системой, равна
W = p(vi — v2)>
Подставляя это выражение для W в (39), имеем
F2 + ^<Fi + -^L,
или
G2<Gj,

130
ЭНТРОПИЯ И ЭНЕР1ИЯ
[гл. а
где
G = F + ^.
Учитывая (38), получаем
G=:U + ^~-TS = H—TS, (41)
где Н — энтальпия системы. Определенная таким образом
величина G есть свободная энтальпия г). Как и свободная
энергия, свободная энтальпия может только уменьшаться;
она остается постоянной лишь в предельном случае
обратимого процесса. Аналогично тому, как мы это делали для
величин Т и v, возьмем теперь в качестве переменных
величины Тир. Дифференцирование (41) дает
dG = dU + Pdv+vdP—TdS-SdT,
или поскольку
dU=TdS—^L,
то имеем
dG^^-SdT.
Отсюда следует
-'(£),■ *--(#),■
H=G+TS = G—T (^r) .
Выражения для U и Н в (40) и (42) носят название
соотношений Гиббса—Гельмгольца.
В частном случае идеального газа внутренняя энергия
U и энтальпия Н зависят только от температуры Г, а
энтропия S есть функция температуры Т и давления р или
температуры Т и удельного объема v. Поэтому для идеального
газа величины F и G могут быть легко выражены либо
как функции Тир, либо как функции Т и v; эти выражения
будут установлены в § 37 для свободной энтальпии G.
*) В современной научной литературе эта функция обычно
называется термодинамическим потенциалом (см. стр. 132). (Прим.
перев.)

§ 36] УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ И ТЕРМОДИНАМИЧ. ПОТЕНЦИАЛЫ 131
§ 36. Условия равновесия и термодинамические
потенциалы
В самом общем случае состояние рабочего тела может
быть определено значениями двух переменных, которые
можно выбрать различными способами (р и 7\ и и S и т. д.).
Как показал Массье, для бивариантной системы можно
указать функции, частные производные которых позволяют
выразить различные свойства системы. Такая функция
называется характеристической функцией) соотношения
(40) и (42) показывают, что свободная энергия F и свободная
энтальпия G являются характеристическими функциями,
причем в первом случае независимыми переменными служат
Т и v, а во втором Тир. Эти две характеристические
функции, впрочем, не единственные, так как в качестве
независимых переменных можно выбрать и и S или р и S.
Характеристической функцией, соответствующей первой паре
переменных, является внутренняя энергия (/;
действительно, ее выражение в дифференциальной форме можно
записать в виде
dU = TdS — -jpdv,
откуда
*•-(&). - '=-'(£).• «з>
Аналогично, взяв в качестве переменных р и S,
находим, что характеристической функцией является
энтальпия Я, ибо
dH=TdS + -j-vdp
и, следовательно,
т<%\ " '-'(#)•• <44>
Здесь можно заметить, что одна из переменных в каждой
из четырех пар независимых переменных принадлежит
группе тепловых величин (Т и S), а другая — группе

132
ЭНТРОПИЯ и ЭНЕРГИЯ
[ГЛ. 3
механических величин (р и v). Мы можем представить
полученные результаты в форме следующей таблицы:
Тепловые величины
Механические величины
Характеристическая
функция
S
V
и
S
р
н
т
V
F
Т
Р
G
Главный интерес характеристических функций
заключен в том факте, что при заданных значениях двух
соответствующих переменных минимум функции характеризует
состояние термодинамического равновесия. Таким образом,
характеристические функции в термодинамике играют роль,
аналогичную роли, которую играет потенциальная энергия
в механике. Известно, что частные производные
потенциальной энергии определяют силы, действующие на
рассматриваемую систему, и что обращение в нуль этих производных
соответствует состоянию равновесия. Аналогично, частные
производные характеристических функций определяют
величины, описывающие состояние системы, а их обращение
в нуль соответствует состоянию термодинамического
равновесия. Вследствие этой аналогии Дюгем предложил
называть характеристические функции термодинамическими
потенциалами. Разумеется, это наименование должно быть
дополнено в каждом конкретном случае указанием тех
величин, которые предполагаются постоянными. Так,
свободная энтальпия G есть термодинамический потенциал при
постоянных температуре и давлении; ввиду особой
важности этой функции ее часто называют «термодинамическим
потенциалом при постоянном давлении», или просто
«термодинамическим потенциалом».
Несколько очень простых примеров помогут нам понять,
как различные термодинамические потенциалы позволяют
фиксировать условия равновесия системы. Если мы
рассмотрим изотермический и изохорный процесс, то должны взять
термодинамический потенциал при постоянных температуре
и давлении F. Как мы видели, тогда получается
/?2-Л<0.

§ 36] УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ И ТЕРМОДИНАМИЧ. ПОТЕНЦИАЛЫ 133
Исключая случай обратимого процесса, мы должны
сохранить здесь только знак неравенства. Отсюда всякий
реальный процесс при постоянных температуре и объеме
сопровождается уменьшением потенциала F. Состояние
равновесия будет достигнуто, когда F достигнет своего
минимального значения при заданных Т и v, что можно
выразить условием dF = 0.
Аналогично, при изотермическом и изобарном
реальном процессе потенциал G уменьшается, так что условие
равновесия записывается в виде dG = 0, причем в
состоянии устойчивого равновесия функция G имеет свое
минимальное значение.
Несколько особым является случай задания значений
v и S. Согласно сказанному выше, условием равновесия
является d(J = 0, т. е. внутренняя энергия должна иметь
минимальное значение, совместимое с заданными
значениями объема и энтропии. Но постоянство энтропии
предполагает, что либо процесс обратим, либо он не включает
никакого теплообмена и сводится к простому
механическому перемещению.
Наконец, последний пример,— процессы,
протекающие в изолированной системе, т. е. в системе, которая
не обменивается ни теплом, ни работой с окружающей
средой. Такие процессы, адиабатические всегда (т. е. при всех
реальных условиях), сопровождаются возрастанием
энтропии. Поэтому условием равновесия является dS = 0,
однако в противоположность другим случаям это условие
удовлетворяется, когда энтропия достигает своего максимума.
Но поскольку выбор знака энтропии условен, ничто не
мешает нам рассматривать вместо величины S величину —S,
которая будет, таким образом, играть роль
термодинамического потенциала для адиабатических процессов.
Во всех предшествующих рассуждениях
предполагалось, что состояние системы определяется значениями двух
переменных, причем выбор этих переменных определяет
термодинамический потенциал, подходящий для
исследования процессов в системе. Эти условия достигаются при
однородности системы, если же система состоит из
нескольких компонентов, то полное описание состояния требует
еще задания массы тг каждого из компонентов. Поскольку
в гетерогенной равновесной системе температура и давление

134
ЭНТРОПИЯ и ЭНЕРГИЯ
[ГЛ. 3
одинаковы для всех компонентов, естественно исследовать
протекающие в ней процессы с помощью
термодинамического потенциала G. Если Gb G2,...,
Gk—термодинамические потенциалы различных компонентов, то нетрудно
проверить, что
G^Gi + Ga+.-.+G*.
Ясно, что каждый потенциал Gt есть функция не только
состояния i-ro компонента, но и его массы mt. Если
элементарная масса dm переходит от компонента i к компоненту /,
то потенциалы Gt и Gj претерпевают изменения — dGt и dGy,
изменение потенциала G системы выражается формулой
так что условие равновесия (dG=0) записывается в форме
dGt dGj
dm ~ dm
Вместо массы mt часто удобнее использовать число щ
молей рассматриваемого компонента, причем величины
rtii и щ связаны соотношением
где Mt— молярная масса компонента. Поэтому вместо
частной производной dGldtrii можно рассматривать
величину
"'-(£Х.,- <45>
которую называют химическим потенциалом компонента i.
Применяя те же рассуждения к величинам £/, Н и F,
находим, что \ц с равным успехом можно определить
частными производными
dntJs,v \dtiijs,v кдпгут,*
причем все эти определения эквивалентны. С другой
стороны, можно показать, что если компонент системы
существует в различных фазах, то его химический потенциал
одинаков для всех фаз. Число фаз не может входить в общее

§ 37]
ДИАГРАММЫ G, Н КОЛОМБИ
135
условие равновесия. Это условие будет получено, если
записать соотношение (45) для всех компонентов и
потребовать dG^O. Тогда получаем
2 \ii dtix --= 0. (46)
г
§ 37. Диаграммы С, Н Коломби
Среди разнообразных характеристических функций
свободная энтальпия G представляет особый интерес при
исследовании не только физико-химических превращений,, но
и некоторых термодинамических процессов. Действительно,
мы знаем (см. §35), что
dG==zZdp__SdT.
отсюда следует, что для изотермического процесса (dT = 0)
dG = ^-.
Иначе говоря, для такого процесса изменение
термодинамического потенциала G непосредственно дает
теоретическое значение полученной или произведенной работы.
Изменение G может быть использовано для изучения работы
компрессоров, снабженных совершенным устройством
охлаждения, а также двигателей (паровых или газовых турбин),
где расширение рабочего тела сопровождается подогревом,
непрерывным и достаточно эффективным, чтобы
поддерживать температуру при постоянном значении.
Когда сжатие или расширение рабочего тела
адиабатические, положительная или отрицательная работа дается
изменением энтальпии рабочего тела. Аналогично,
изменение энтальпии выражает количество тепла, полученное
или отданное рабочим телом в изобарном процессе,
например в теплообменниках, снабженных компрессорами с
фракционированным охлаждением.
Эти соображения привели Ш. Коломби г) к созданию
теории диаграммы G, Н и построению такой диаграммы,
во-первых, для воздуха и, во-вторых, для двух веществ,
х) С. С о 1 о m b i, Le diagramme enthalpie-potentiel thermodi-
namique, Paris, Dunod.

136 ЭНТРОПИЯ и ЭНЕРГИЯ [ГЛ. 3
находящих широкое применение в охладительных
установках (аммиак и угольный ангидрид). Изложим коротко
главные особенности такой диаграммы, ограничиваясь
случаем, когда рабочее тело можно считать идеальным
газом.
Рассмотрим диаграмму, где по оси абсцисс отложена
энтальпия Я, а по оси ординат — термодинамический
потенциал G, который, согласно (41), определяется формулой
G=H — TS.
Ясно, что на такой диаграмме изэнтальпы(#=соп81;)—
это прямые, параллельные оси ординат. Если рабочее тело—
идеальный газ, то его энтальпия зависит только от
температуры, так что изотермы также прямые, параллельные оси
потенциалов.
Построение изэнтроп (S = const) также очень просто.
Действительно, мы знаем, что в этом случае
dG=dH — SdT
и, следовательно,
Таким образом, для изэнтропы S =0 угловой коэффициент
постоянен и равен единице. Эта изэнтропа представляется
поэтому прямой, наклоненной под 45°, при условии,
конечно, что величины G и Н нанесены на осях в одном масштабе.
Для других изэнтроп ввиду идеальности газа угловой
коэффициент равен
\dHjs ср '
так как
KdHjs ср'
Во всей области, где теплоемкость сР может считаться
постоянной, эти изэнтропы являются прямыми.
Что касается изобар, то для них мы имеем
dH=TdS,
и поэтому
dG= dH—TdS — SdT= —SdT.
Тогда выражение для углового коэффициента запишется

§ 38] ПРИНЦИП МАКСИМАЛЬНОЙ РАБОТЫ 137
в виде
КдН Л~ \dHjp'
это показывает, что для каждой изобары в точке
пересечения сизэнтропой S=0 касательная параллельна оси абсцисс
(эта точка соответствует максимуму изобары). Для
идеального газа угловой коэффициент, очевидно, равен —S/cp.
Наконец, угловой коэффициент изохор не допускает
простого аналитического представления; эти кривые могут
быть построены, исходя из изобар и изотерм, построенных
согласно сказанному выше.
Укажем еще, что диаграмма G,H может применяться
в вычислениях, где участвует одно из соотношений Гиббса —
Гельмгольца (42):
Действительно, при заданном состоянии Я и G могут быть
прочитаны непосредственно на диаграмме, а частная
производная ^ определяется по изменению G на одной изобаре
между двумя соседними изотермами.
§ 38. Принцип максимальной работы и третий принцип
термодинамики
Принцип Вертело, известный как «принцип
максимальной работы», может быть сформулирован следующим
образом: в данной системе, в которой может происходить
несколько химических превращений, реально происходит то
превращение, которое освобождает наибольшее количество
тепла.
Это утверждение вызывает сразу два замечания.
Прежде всего название принципа не соответствует его
содержанию, так как фактически здесь дело идет о максимальном
количестве освобождаемого тепла, а не о максимальной
работе. С другой стороны (и это гораздо серьезнее),
принцип находится в противоречии с результатами работ
Гельмгольца и Гиббса. Действительно, количество
освобождаемого тепла равно изменению внутренней энергии U или
энтальпии Н в зависимости от того, идет ли процесс при

138
энтропия и ЭНЕРГИЯ
[ГЛ. 3
постоянном объеме или постоянном давлении. При этом
условие равновесия должно выражаться минимумом одной
из этих функций. Но мы видели, что условием равновесия
системы является минимум свободной энергии F или
свободной энтальпии G. Принцип Вертело состоит в подстановке
функций U и Н вместо функций F и G и, следовательно,
может рассматриваться только как приближенный.
Чтобы определить степень точности принципа Вертело,
необходимо в каждом случае сравнивать между собой
изменения AU и AF (для процессов при постоянном объеме) или
изменения АН и AG (для процессов при постоянном
давлении). Но если вычислить AU или АН не так уж трудно,
то для AF и AG дело обстоит иначе, так как численные
данные для этих вычислений не всегда известны
достаточно точно. Но поскольку в выражениях F = U — TS
и G=^H — TS изменения TS в некоторых случаях
существенно меньше изменений U или Я, то применение принципа
Вертело оказывается оправданным, правда, только в
некоторой определенной области.
Опыт показывает, что это область низких температур.
На самом деле принцип Вертело оказывается часто
достаточно точным даже при обычных температурах, особенно
когда рассматриваются химические реакции между
твердыми и жидкими телами. Однако с уменьшением температуры
степень точности принципа растет, и в области очень
низких температур принцип Вертело прекрасно согласуется
с опытом.
Это привело Нернста (который помимо всего прочего
занимался исследованием теплоемкостей при очень низких
температурах) к созданию гицотезы, которая своим
следствием имеет совершенную строгость принципа Вертело
при абсолютном нуле. Согласно этой гипотезе, для нулевой
абсолютной температуры энтропия всякого химически
однородного тела не зависит от физического состояния тела
и рассматриваемого химического превращения (это тело
может быть только в твердом или жидком состоянии, ибо
никакой газ не может существовать при.абсолютном нуле)1).
Значение этой гипотезы возросло после того, как она была
х) Вполне строго рассматриваемое тело можно предполагать
находящимся в кристаллическом состоянии.

§ 38] ПРИНЦИП МАКСИМАЛЬНОЙ РАБОТЫ 139
дополнена Планком. В гипотезе Нернста оставался
открытым вопрос об аддитивной постоянной, входящей в
определение энтропии. Планк фиксировал значение этой
постоянной, приняв, что при абсолютном нуле энтропия всякого
химически однородного твердого или жидкого тела равна
нулю. Другими словами, общее выражение энтропии
О
не содержит более никакой произвольной постоянной.
Дополненную таким образом гипотезу Нернста часто
называют «третьим принципом термодинамики». Важность
его иллюстрируется одним из следствий,
подтверждающимся на опыте: когда температура тела стремится к нулю,
теплоемкость тела также стремится к нулю. Действительно,
если дело бы обстояло иначе, то энтропия при абсолютном
нуле температуры была бы равна не нулю, а — оо. Это
следствие кажется противоречащим закону Дюлонга и Пти,
по которому произведение удельной теплоемкости и атомно-
ного веса одинаково для всех простых тел. Однако это
общее значение произведения (приближенно равное 6)—
лишь то предельное значение, которое достигается
(впрочем, с некоторыми исключениями) при достаточно высокой
температуре; в области низких температур закон Дюлонга
и Пти неприменим. В области низких температур изменение
удельной теплоемкости с температурой подчиняется в
некотором приближении закону, установленному Эйнштейном
на основе квантовой теории. Эйнштейн рассматривает
каждый атом твердого тела как элементарный осциллятор,
энергия которого изменяется не непрерывно, а должна быть
целым кратным произведения /iv, где v — собственная
частота элементарного осциллятора, a h — постоянная
Планка. Однако средняя энергия в ансамбле осцилляторов
равна kT, где k — постоянная. При очень низких температурах
произведение kT может быть меньше кванта /iv, так что
большая часть осцилляторов находится в покое. Очень
малое возрастание температуры не меняет существенно дела;
полная энергия колебаний практически не меняется и,
следовательно, теплоемкость близка к нулевому значению.
Теория Эйнштейна была усовершенствована Дебаем, кото-

140
ЭНТРОПИЯ и ЭНЕРГИЯ
[ГЛ. 3
рый показал, что вблизи абсолютного нуля удельная
теплоемкость пропорциональна Г3. Формула Дебая,
подтверждающая обращение в нуль теплоемкости при абсолютном нуле
температуры, находится в хорошем согласии с
экспериментальными результатами.
Здесь мы видим первую связь между понятием энтропии
и квантовой теорией. В следующем параграфе мы убедимся,
что эта связь не единственная: если квантовая теория дает
обоснование третьего принципа термодинамики (в форме,
предложенной Планком), то понятие энтропии в свою
очередь сыграло некоторую роль в открытии законов теплового
излучения, которые лежат в основе квантовой теории.
Укажем еще, что, несмотря на огромное теоретическое
значение третьего принципа, его практическое применение
ограничивается областью физико-химических
превращений. Действительно, этот принцип не находит применения
в теории тепловых машин, ибо там всегда рассматриваются
только изменения энтропии, и они известны гораздо более
точно, чем абсолютное значение этой величины. Поэтому
в теории тепловых машин нет необходимости отказываться
от обычного метода, когда за начало отсчета энтропии
берется произвольная величина, например температура 0 °С *).
§ 39. Энтропия и энергия излучения
Известно, что замкнутая полость, стенки которой непро-
йицаемы для теплового излучения, имеет свойство
абсолютно черного тела, т. е. тела, поглощающего все излучения,
независимо от длины волны. Эти свойства не зависят от
формы и размеров полости, а также от находящихся в полости
тел, а зависят только от температуры и рассматриваемой
длины волны (закон Кирхгоффа). Исследование излучения
такого тела имеет две основные цели: определение полной
энергии, излучаемой телом, и спектральное распределение
этой энергии. Рассмотрим коротко эти вопросы в той мере,
в какой они связаны с понятием энтропии либо
непосредственно, либо посредством одной из величин, которые из нее
получаются.
г) Интересное рассмотрение вопросов, связанных с третьим
принципом, можно найти в книге: J. W i 1 k s, The third law of
thermodynamics, Oxford University Press.

§ 39]
ЭНТРОПИЯ И ЭНЕРГИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
141
Если R0 полная мощность, излучаемая во всех
направлениях и на всех длинах волн на единицу поверхности
черного тела, то согласно закону Стефана:
R° = oT*,
где а— постоянная (постоянная Стефана), численное
значение которой равно 5,7-10~5 CGS.
Этот закон был открыт экспериментально Стефаном
в 1879 г., а 5 лет спустя Больцман сумел вывести его на
основе термодинамики. Пусть V объем полости, a U— полная
внутренняя энергия излучения, отнесенная к единице
объема; в механических единицах эта энергия равна JU.
Вследствие своей электромагнитной природы тепловое излучение
оказывает на стенки полости некоторое давление р, которое
называют давлением излучения. Если вся энергия излучения
переносится пучком, перпендикулярным полностью
поглощающей стенке, то можно показать, что давление
излучения р равно внутренней энергии на единицу объема JU.
Но поскольку в полости энергия переносится во всех
направлениях, давление дается формулой
Это давление стремится, очевидно, увеличить объем
полости. Так, если полость образована цилиндром с
двигающимся поршнем, то действие давления р сводится к
выталкиванию поршня наружу. Если приложить к поршню
уравновешивающую внешнюю силу, то можно обеспечить
чрезвычайно медленное перемещение поршня, не
оказывающее влияния на температуру внутри полости. В этих
условиях процесс будет обратимым и изотермическим, так что
к нему можно применить одно из соотношений Гиббса—
Гельмгольца (40):
uv=-.f-t(-§\,
где UV— полная внутренняя энергия полости. Пусть объем
полости испытывает изменение dVy тогда полная энергия,
выраженная в тепловых единицах, изменяется на U dV
(ибо V dU =0), а изменение свободной энергии выражается

142
ЭНТРОПИЯ и ЭНЕРГИИ
[ГЛ. 3
(см. § 35) формулой
лг Р dV U <лт
так как 5 dT обращается в нуль.
Таким образом, получаем дифференциальное уравнение
ИЛИ
Интегрирование дает
U = aT\ (48)
где а— постоянная, связанная с постоянной Стефана.
Итак мы видим, что излучение допускает
термодинамическое рассмотрение; это позволяет, например, говорить
об удельной теплоемкости и энтропии излучения абсолютно
черного тела. Согласно предшествующему ясно, что каждая
из этих величин пропорциональна Т3. Так, для энтропии
излучения получаем выражение
о р d(UV) + (\/J)pdV __ ? VdU . f (PIJ + V)dV __
^~ ] f - )—f~+ ] f -
= ^4aVT2dT + ^aTsdV
и, поскольку dT =0,
S = ±aT*V, (49)
где a— постоянная, фигурирующая в (48).
Эти рассуждения, однако, касаются лишь полной
энергии излучения, а не распределения этой энергии по спектру
излучения черного тела. Известно, что каждое из излучений,
составляющих спектр, есть периодическое явление,
характеризуемое частотой v и длиной волны X = civ,
где с— скорость света. Распределение по длинам волн
подчиняется двум законам: закону смещения и закону
Вина, которые даются соотношениями
XmT = b и Im = BT6;

§ 395 ЭНТРОПИЯ и энергия излучения 143
здесь Хт—длина волны, для которой удельная интенсивность
излучения черного тела при данной температуре проходит
через максимум, 1т— максимальная интенсивность, Ъ и
В— постоянные.
Эти законы, открытые Вином чисто теоретически,
были подтверждены экспериментально; можно
проверить, что они находятся в согласии с законом
Стефана. Заметим, что вместо удельной интенсивности излучения
(т. е. излучения при данной частоте) можно
рассматривать также излучательную способность поверхности
черного тела; эти величины равны между собой.
Чтобы завершить теорию излучения черного тела,
оставалось еще найти зависимость интенсивности 1х от длины
волны X и температуры Т. Именно поиски этой зависимости
привели Планка к идее о дискретности излучаемой
энергии и отсюда к теории квантов. Планк начал с установления
(на основе закона Вина) соотношения между энтропией и
энергией резонатора; ему пришлось, впрочем, изменить это
соотношение, учитывая экспериментальные данные,
согласно которым законы Вина оказывались несправедливыми
при высоких значениях Т и X. В конечном счете Планку
удалось получить искомое соотношение между 1%, X и 7,
которое находилось в хорошем согласии с опытом. Но,
чтобы прийти к этому результату, ему потребовалось не
только принять гипотезу о дискретной структуре энергии,
но и использовать также соотношение между энтропией
и вероятностью, установленное Больцманом. Это
соотношение можно было применить к излучению именно на
основе предположения Планка, которое перенесло идею о
дискретной атомной структуре вещества в область энергии.
В следующей главе мы увидим, каким образом Больцман
установил свою знаменитую формулу, придавшую второму
закону термодинамики вероятностный смысл.

Глава четвертая
Энтропия и вероятность
§ 40. Возникновение механической теории тепла
После того как гипотезу о теплороде пришлось
отбросить и физики единодушно признали, что теплота есть
некоторая форма энергии, они тем не менее разделились на две
основные научные школы. Одна из них, школа энергетиков
(Майер, Оствальд, Дюгем), противопоставляла энергию
веществу. Они рассматривали энергию независимо от
вещества, но считали ее столь же реальной и неразрушимой, как
и вещество. В некоторых случаях «энергетики» доходили
даже до того, что провозглашали ненужность всякого
материального носителя энергии, так что последняя оставалась
единственным выражением физической реальности. Каково
бы ни было философское значение этой концепции, с
научной точки зрения она совершенно бесплодна, ибо, поднимая
энергию (и, в частности, тепловую энергию) до уровня почти
метафизической субстанции, она закрывает путь для
дальнейших исследований и поэтому мешает развитию науки.
В противоположность «энергетикам» механисты, или
атомисты (Джоуль, Больцман, Клаузиус), отказывались
разделить энергию и вещество; в одном они стремились
найти объяснение другого. Поэтому в теплоте они видели
незаметное движение наиболее малых составных частей
вещества, т. е., согласно представлениям той эпохи,
молекул или атомов. Теперь мы знаем, что все попытки свести
законы природы к законам классической механики
окончились неудачей. Однако в некоторых вполне
определенных областях попытки объяснить явления природы с
помощью законов механики дали превосходные результаты,
и одной из таких областей является теория тепловых явлений.
В наши дни, когда физики уже раскрыли многие
секреты строения атомных ядер, трудно представить себе, нас-

§40] ВОЗНИКНОВЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ТЕПЛА 145
колько смелой в начале второй половины XIX века была
идея отождествления теплоты сдвижением молекул. В
основе этой интерпретации тепловых явлений лежала модель,
родившаяся в голове физика, модель которая a priori могла
и не иметь реального смысла, а должна была быть принята
или отброшена в зависимости от совпадения получаемых
теоретических результатов сданными эксперимента. В
истории физики такие воображаемые модели, иногда чисто
интуитивные, сыграли важную роль. Конечно, некоторые
из них не выдержали проверки опытом, но даже эти
отрицательные результаты не были бесполезными, так как они
побудили ученых искать новые модели, более
соответствующие физической реальности. С общенаучной точки
зрения такой метод чрезвычайно плодотворен, ибо он ведет
ко все более глубокому проникновению в сущность
физических явлений. Наоборот, метод, в котором физическая
величина, какова бы она ни была, рассматривается как
qualitas occulta, неизбежно ведет в тупик.
Но как бы оно ни было увлекательным, и именно по этой
причине, построение моделей Вселенной с целью найти
для нее адекватное отображение содержит опасный
подводный камень. При наличии удачной и успешной модели
существует большой соблазн отождествить образ и реальность,
т. е. приписать образу или модели объективное
существование. На первый взгляд это кажется вполне
естественным, но размышление показывает, что подобная попытка
основана на утверждении метафизической природы, т. е.
на недоказуемом. Эта попытка тем что, менее оправдана,
с одной стороны, проверка гипотезы, абстрактной
или выраженной в форме модели, никогда не может
считаться окончательной, а с другой стороны,
удовлетворительные результаты при проверке могут давать и
различные гипотезы, которые по этой причине становятся
эквивалентными. К счастью, один из создателей
механической теории тепла, Людвиг Больцман, обладая богатым
воображением, сумел в то же время не поддаться соблазну
отождествить природу с нашими представлениями о ней, на
что указывают следующие выдержки из его работ1).
А) Цитируем по книге: R. D u g a s, La theorie physique dans
le sens de Boltzmann, Neuchatel, 1959.

146
ЭНТРОПИЯ И ВЕРОЯТНОСТЬ
[ГЛ. 4
«Никакая теория не является чем-то объективным и
тождественным природе; теория — это только образ или
картина реальных физических явлений». «Нельзя, а в этом
часто обвиняли атомистов, ослепляться образом или
картиной и видеть в них реальные факты. Любая теория ведет
к этой ошибке, если развивать ее слишком односторонне».
«С моей точки зрения, задача теории — построить картину
окружающего мира, которая должна служить руководящим
началом для теоретической мысли и эксперимента... ».
«Мне казалось еще, что споры о том, что существует —
вещество или энергия, были возвратом к старой метафизике,
которую, казалось, уже победили. Эти споры были
результатом непонимания того, что всякая концепция есть только
образ или картина».
Прежде чем перейти к рассуждениям, которые привели
Больцмана к его знаменитому соотношению между
энтропией и вероятностью, нам казалось полезным привести эти
короткие выдержки. Они показывают, что Больцман стоял
на позициях ученого, а не метафизика. Это тем более
необходимо, что соотношение Больцмана в дальнейшем
проникло в различные области науки, а также имело большое
влияние на философскую мысль. Как мы увидим в гл. 7,
философская интерпретация этого соотношения не всегда
соответствует тому научному духу, в котором оно было
получено.
§ 41. Элементы кинетической теории газов
Механическая теория тепла связывает эту форму
энергии с механической энергией материальных частиц, или
корпускул. Поэтому она справедлива независимо от
состояния рассматриваемого тела. Однако приложения этой
теории особенно просты, когда в качестве тела
рассматривается газ и особенно идеальный газ. Действительно, в этом
случае расстояния между молекулами настолько велики,
что их собственные размеры, а также взаимодействие
молекул друг с другом оказываются пренебрежимо малыми.
Молекулы при этом можно рассматривать как
материальные точки, между которыми нет никаких сил притяжения
или отталкивания. Молекулы движутся с большими
линейными скоростями и во время своего движения непрерывно

§ 41] ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ 147
сталкиваются как с другими молекулами, так и со стенками
сосуда, в котором они находятся. Эти столкновения
изменяют скорость молекул по величине и направлению.
Столкновения совершенно упруги, т. е. не влекут за собой
изменения полной кинетической энергии молекул. В этих
условиях траектории молекул имеют вид чрезвычайно сложных
ломаных линий, отдельные элементы которых надо
рассматривать как прямые. Кинетическая энергия молекул
макроскопически проявляется как тепловая энергия
рассматриваемого газа.
Этой интерпретацией свойств газа на основе
представления о молекулярном движении мы обязаны Д. Бернулли
(1730). Мы увидим, что она привела к интересным
результатам даже независимо от формулы Больцмана,
связывающей энтропию и вероятность. Полезно, однако, заметить,
что гипотезы, лежащие в основе кинетической теории газов,
не могут соответствовать реальности. Действительно, если
молекулы, как мы предположим, не имеют размеров, то
они не могут и сталкиваться и между ними не может
происходить обмена энергией. Следовательно, ничто не мешает
молекулам обладать самыми различными кинетическими
энергиями, что противоречит установлению теплового
равновесия в рассматриваемом сосуде. Аналогично, обмен
энергией между молекулами и стенками полости или
сосуда происходить не может, если они совершенно
адиабатические.
Отсюда следует, что фундаментальные гипотезы
кинетической теории газов должны рассматриваться только как
первое приближение, упрощающее теорию, и при переходе
к изучению реальных газов должны быть подвергнуты
известным усовершенствованиям и модификациям. Итак, чтобы
обмен энергией между молекулами и стенками полости был
возможен, надо предположить, что в последней, помимо
газа, содержится тело очень малых размеров и очень малой
теплоемкости, единственной ролью которого является
посредничество между молекулами и стенками. Кроме того,
как мы увидим позднее, для исследования теплоемкости
многоатомного газа (идеального или реального) надо
учитывать молекулярную структуру газа и допустить
возможность, помимо прямолинейного, и других видов движения
молекул.

148
энтропия и вероятность
[ГЛ. 4
Важно то, что, с одной стороны, вся внутренняя энергия
газа сводится к кинетической энергии его молекул, а с
другой, движения отдельных молекул не могут быть вычислены
и, следовательно, должны явиться предметом
статистического исследования. Мы не можем следить за движениями
отдельных молекул ввиду очень большого их числа и
чрезвычайно быстрых изменений их скоростей по величине
и направлению. Но замечательно, что именно эти факторы
позволяют применять при исследовании газа
статистические законы с надеждой получить результаты, практически
совпадающие с реальностью. Опыт подтверждает, однако,
что в этой области математическая вероятность
практически совпадает с достоверностью. Это согласие теории и
реальности оправдывает гипотезу, лежащую в основе приложения
статистических законов; а эта гипотеза есть гипотеза о
молекулярном хаосе. Ее можно сформулировать так: в газе,
находящемся в тепловом равновесии, распределение молекул
и их скоростей характеризуется статистическим
равновесием. Иными словами, если мы разделим полный объем
газа на большее число элементарных объемов, которые все
еще велики по сравнению с размерами одной молекулы, то
каждый из этих элементарных объемов содержит
практически инвариантное число молекул, ибо молекулы,
покидающие элементарный объем, в каждый момент заменяются
молекулами, входящими в этот объем. Более того, в
каждом из этих элементов направления скоростей молекул
распределены практически однородно по всем
направлениям, а распределение молекул по величинам скоростей
подчиняется закону, который не изменяется от элемента
к элементу. Эту однородность в распределении молекул
и скоростей можно выразить, сказав, что рассматриваемый
газ является гомогенным и изотропным. Это означает
отсутствие какой-либо выделенной точки или
привилегированного направления.
Что касается распределения скоростей по их величине,
то оно управляется законом, установленным Максвеллом,
на котором мы не будем останавливаться, ибо он не
потребуется нам в дальнейшем. Достаточно указать, что,
согласно этому закону, скорости распределяются по всем
направлениям, следуя формуле Гаусса. Этот результат не содержит
ничего удивительного, ибо формула Гаусса была установ-

§ 42] КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ И ТЕПЛОВЫЕ СВОЙСТВА ГАЗА 149
лена для вычисления ошибок на основе «закона больших
чисел», что обеспечивает ей в теории газов вполне
оправданную область применения.
Кинетическая теория газов позволяет вычислить
среднюю скорость молекул (т. е. среднее арифметическое
скоростей всех молекул), их наиболее вероятную скорость
и, наконец, их средний свободный пробег (т. е. среднее
расстояние, пробегаемое молекулой между двумя
последовательными соударениями), а также продолжительность
этого среднего пробега. Поскольку все эти величины не
имеют прямого отношения к содержанию нашей книги,
то мы перейдем сразу к той роли, которую кинетическая
теория газов сыграла в объяснении тепловых свойств
газа, ограничиваясь при этом наиболее простым случаем
идеального газа.
§ 42. Кинетическая теория и тепловые свойства газа
Мы увидим, что кинетическая теория газов позволяет
установить особенно простые соотношения между
механической энергией молекул и давлением, температурой,
теплоемкостью и т. д. Само собой разумеется, что основные
гипотезы кинетической теории были выбраны именно для
того, чтобы сделать возможным такой результат.
Например, отсутствие всякого взаимодействия между
молекулами было необходимо принять для того, чтобы
удовлетворить закону Джоуля, по которому внутренняя
энергия идеального газа зависит только от температуры. Если
бы молекулы испытывали действие сил притяжения или
отталкивания, то эти силы должны были бы зависеть от
расстояния между молекулами и поэтому являлись бы
функциями не только температуры, но и давления; вместе
с ними от давления зависела бы и внутренняя энергия
газа.
Посмотрим, как кинетическая теория газов позволяет
определить величину давления идеального газа. По
определению, это давление есть сила, действующая нормально
к поверхности стенки и рассчитанная на единицу площади
этой стенки. В то же время эта сила возникает вследствие
ударов молекул о стенку. Чтобы вычислить эту силу,
надо рассматривать только нормальные к поверхности

150
ЭНТРОПИЯ и ВЕРОЯТНОСТЬ
[ГЛ. 4
составляющие скоростей молекул; после удара
составляющая меняет знак, но сохраняет свою абсолютную
величину *). Если обозначить эту составляющую буквой и, то
изменение количества движения молекул при одном ударе
равно 2 ти (где т — масса молекулы). Но молекулы,
падающие на стенку в единицу времени, в начальный
момент должны по необходимости все содержаться в
цилиндре, основанием которого является рассматриваемый
участок стенки, а высота равна и. Поскольку площадь
рассматриваемого участка равна единице, то объем цилиндра
равен и, а число молекул, содержащихся в нем, равно
пи (где п — число молекул в единице объема газа).
Скорости распределены однородно по направлениям, поэтому
в единицу времени со стенкой столкнутся только пи/2
молекул; для остальных пи/2 молекул в цилиндре скорости
направлены от стенки сосуда. Отсюда следует, что сумма
изменений количеств движения молекул, участвующих
в образовании давления р, равна
2ти—^- = пти2.
Но эта сумма как раз и равна силе, действующей на
единицу площади стенки, т. е. давлению. Поэтому
р--пти2.
С другой стороны, составляющая и связана с полной
скоростью молекулы с соотношением
c2 = u2 + v2 + w2,
откуда
2 с2
"2 = -з--
Здесь v и w — составляющие скорости по двум другим
направлениям, причем распределение по направлениям
считается однородным. Тогда формула для давления газа
г) Это утверждение несомненно несправедливо для каждой
отдельной молекулы, ибо трудно представить себе совершенно
плоскую стенку в молекулярных масштабах. Однако ввиду
наличия очень большого числа молекул, можно предположить, что
их скорости равномерно распределены по всем направлениям как
до столкновений, так и после них.

§42] КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ И ТЕПЛОВЫЕ СВОЙСТВА ГАЗА 151
на стенку запишется в виде
птс2
Р
Нетрудно преобразовать это выражение так, чтобы
исключить число молекул п. Действительно, это число
равно отношению NIV, где N — число Авогадро (т. е. число
молекул в одном моле), а V — объем одного моля;
произведение Nm равно молярной массе М. Поэтому получаем
рУ = ±М* = \У£-. (50)
В этом соотношении Мс2/2 — полная кинетическая
энергия одного моля. Поскольку эта энергия
пропорциональна произведению pV, то она зависит только от
температуры Т газа и пропорциональна ей. Кроме того, при
заданной температуре эта энергия одинакова для всех
идеальных газов, ибо в соотношении pV = RT
(напомним, что V — объем одного моля) R есть универсальная
постоянная. Сравнение этого соотношения с формулой (50)
позволяет написать
!£~±PV = UT, (51)
ИЛИ
3 R T^^-kT, (51')
2 ~~ 2 N 2
где k = RIN — постоянная Больцмана:
k= l,38.10-leCGS, или 3,296-10-27 ккал/°С.
Скорость с, которую можно получить из выражений (51)
или (5Г), есть средняя квадратичная скорость, или
эффективная скорость молекул. В качестве примера укажем,
что для температуры Т = 273,15° К эта скорость для
водорода равна 1838 м/сек, для азота 493 м/сек, для
кислорода 461 м/сек.
Кинетическая теория газов позволяет также
интерпретировать теплоемкости газов. При нагревании одного моля
идеального газа при постоянном объеме всякому изменению
температуры dT соответствует изменение внутренней

152
ЭНТРОПИЯ и вероятность
[ГЛ. 4
энергии, которое, согласно (51), равно
J-/W,
или, в тепловых единицах,
TTdT-
Но количество тепла, передаваемое газу, выражается
формулой CDdT, где Cv — молярная теплоемкость при
постоянном объеме. Отсюда следует
г -1.JL
Uu~ 2 / '
и, учитывая соотношение Майера,
р /°i°
где R/J =- 1,986.
Получается, что отношение CPICV равно 5/3. Результат
согласуется с экспериментом для одноатомных газов; это
подтверждает сделанное выше предположение, что вся
внутренняя энергия газа (т. е. вся энергия, способная
изменяться с температурой) обусловлена энергией
поступательного движения молекул. Поскольку молекулы могут
•перемещаться в трехмерном пространстве, они обладают
тремя степенями свободы и их кинетическая энергия
равномерно распределяется по этим степеням свободы.
Но полученные результаты оказываются
несправедливыми в случае многоатомных молекул; для двухатомного
газа
Эти результаты можно интерпретировать, предположив,
что молекула двухатомного газа имеет пять степеней
свободы: к трем параметрам, описывающим поступательное
движение, добавляются два параметра, соответствующие
энергии вращения молекулы относительно двух
перпендикулярных осей, каждая из которых перпендикулярна
прямой, соединяющей центры атомов, составляющих
молекулу. Этот геометрический образ должен быть дополнен

§ 43] ФОРМУЛА БОЛЬЦМАНА. ПЕРВЫЙ ВЫВОД 153
принципом равнораспределения энергии Максвелла, согласно
которому полная энергия молекулы распределяется по
различным степеням свободы так, что на каждую степень
свободы приходится одно и то же количество средней
кинетической энергии молекулы.
Аналогично, в случае трехатомных молекул число
вращательных степеней свободы равно трем, так что полное
число степеней оказывается равным шести. В этом случае
должно быть
Г - 6 ± и Г - 8 R
откуда Cp/Cv = 4/3, что очень хорошо совпадает с
экспериментальными результатами для некоторых трехатомных
газов С02. На самом деле теплоемкость Cv трехатомных
газов обычно больше 6, что можно объяснить, принимая,
что помимо поступательного движения и вращения атомы
таких молекул участвуют еще в колебательных
движениях, увеличивающих число степеней свободы.
Колебания атомов около некоторого равновесного
положения позволяют объяснить также изменения теплоемкостей
газов в зависимости от температуры. Но эти вопросы
связаны с применением квантовой теории и не имеют прямого
отношения к предмету данной книги.
§ 43. Формула Больцмана. Первый вывод
Как уже было показано, кинетическая теория газов
дает простое, но совершенное объяснение давления,
температуры, внутренней энергии и теплоемкостей (Ср и Cv)
идеального газа. Это объяснение основано на элементарных
законах механики, а также на первом принципе
термодинамики и не представляет, таким образом, никаких
трудностей. Не так обстоит дело, когда на основе
кинетической теории газов надо дать интерпретацию столь
неощутимой термодинамической величины, как энтропия.
Для этого необходимо внести совершенно новое и на
первый взгляд неожиданное понятие вероятности. Благодаря
своей связи с вероятностью энтропия не подчиняется
абсолютному детерминизму, но выигрывает в тонкости
больше, чем теряет в строгости,

154
ЭНТРОПИЯ И ВЕРОЯТНОСТЬ
[ГЛ. 1
Связь между энтропией и вероятностью была
установлена Людвигом Больцманом и выражается знаменитой
формулой, носящей имя этого ученого. Однако доказательство
этой формулы, данное самим Больцманом, хотя и вполне
строгое, не очень наглядно. Поэтому в работах и книгах
по термодинамике мы встречаем доказательства,
отличающиеся от доказательства самого Больцмана и часто
различающиеся между собой. Мы приведем здесь три таких
доказательства и постараемся сделать это как можно
проще. Роль, которую сыграла формула Больцмана для
развития современной науки, столь велика, что важность
ее правильной интерпретации нельзя преувеличить. Но
чтобы попытаться дать такую интерпретацию, небесполезно
знать ход различных рассуждений, приводящих к
рассматриваемой формуле.
Одно из доказательств особенно просто, с него мы и
начнем. Однако простота эта связана с тем, что существование
связи между энтропией и вероятностью принимается
a priori, потому что эти две величины всегда изменяются
в одном направлении. С одной стороны, согласно
принципу Клаузиуса, всякая система эволюционирует так, что
энтропия ее возрастает. А с другой, эта эволюция
естественно направлена всегда к более вероятным состояниям.
Иначе говоря, вероятность последовательных состояний
системы растет вместе с энтропией этих состояний.
Ситуацию можно выразить математически, полагая S =/ (W),
где W — вероятность, a f — некоторая возрастающая
функция. Вид этой функции может быть без труда
установлен, исходя из того факта, что энтропия системы
равна сумме энтропии составляющих систему частей,
а вероятность некоторого состояния системы равна
произведению вероятностей состояний составляющих систему
частей. Если, например, число компонент системы равно
двум, то, с одной стороны,
О = Oj -f- о2,
а с другой,
W=WtW2,
где индексы 1 и 2 соответствуют двум компонентам системы.

§ 43] ФОРМУЛА БОЛЬЦМАНА. ПЕРВЫЙ ВЫВОД 155
Отсюда следует
f(WiW2) = f(Wl) + f(W2).
Чтобы решить это функциональное уравнение,
достаточно продифференцировать его последовательно по Wt
и W2. Первое дифференцирование ведет к уравнению
W2f,(WiW2) = f'(Wi)9
к уравнению
Г (Wiw2) + wiw2r (Wxw2) = о,
F(W) + wr(W) = o.
Общее решение этого дифференциального уравнения
имеет вид
f(W) = a\nW + C,
где а и С — постоянные интегрирования.
Отвлекаясь от аддитивной постоянной С и учитывая
соотношение / (W) = S, получаем формулу Больцмана
S^alnW. (52)
Таким образом, энтропия системы в некотором состоянии
пропорциональна логарифму вероятности этого состояния.
Это простое доказательство основано, как уже было
замечено, на гипотезе, которую можно считать
произвольной. Действительно, из того, что некоторые две величины
изменяются всегда в одном направлении, не следует
обязательно, что они связаны между собой. Конечно, наличие
такой связи получает серьезное подтверждение, если
перемена направления изменения одной величины влечет за
собой перемену направления изменения второй. Однако
здесь мы имеем дело с величинами, которые могут только
возрастать. Поэтому ничто не мешает нам a priori
рассматривать их изменения как параллельные друг другу,
но независимые. Оказывается, впрочем, что энтропия не
единственная физическая величина, изменяющаяся всегда
в одном направлении. Другой пример необратимой
эволюции дает нам расширяющаяся Вселенная, но никто
цока не пытался связать это расширение с понятием вероят-
а второе —
или

156
энтропия и ВЕРОЯТНОСТЬ
[ГЛ. 4
ности. В гл. 7 мы вернемся к вопросу о расширении
Вселенной, так как сравнение этого явления с эволюцией
энтропии имеет ряд интересных моментов. Здесь же нам
достаточно указать, что существование этого расширения
дает серьезный аргумент против безоговорочного
принятия основной гипотезы представленного доказательства.
Единственный полученный нами результат можно
сформулировать следующим образом: если энтропия,
соответствующая некоторому состоянию, и вероятность этого
состояния связаны между собой, то соотношение между
ними должно иметь форму (52).
В этом соотношении фигурирует постоянная а, которая,
как мы видели, есть просто коэффициент
пропорциональности. На первый взгляд численное значение этого
коэффициента имеет только второстепенное значение. Главный
вопрос состоит в том, соответствует ли формула (52)
физической реальности. Однако Больцман показал, что
коэффициент а имеет вполне определенное значение. Ясно, что
это обстоятельство (каким бы ни было это численное
значение) совершенно меняет ситуацию: формула (52) уже
более не формальное соотношение, выведенное из
произвольной гипотезы, она получает вполне конкретный смысл,
так что сама гипотеза оказывается подтвержденной.
§ 44. Определение постоянной в формуле Больцмана
Чтобы определить численное значение постоянной а
в формуле (52), надо уточнить понятие вероятности
состояния и попытаться придать этому понятию математическую
форму. Мы установим здесь это математическое выражение
вероятности, рассмотрев наиболее простой случай, когда
число параметров оказывается наименьшим.
Рассмотрим газообразную массу из N молекул (где N —
очень большое число); мы можем определить ее состояние,
указав, например, значения давления р и объема V. Но
знание этого макроскопического состояния ничего не
говорит нам о положении и скорости каждой отдельной
молекулы. А это сразу же показывает, что данное
макроскопическое состояние может быть реализовано очень большим
числом различных способов. Положение каждой из N
молекул, рассматриваемых как материальные точки, опре-

§ 44] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОЙ В ФОРМУЛЕ БОЛЬЦМАНА 157
деляется значениями трех ее координат; аналогично,
скорость молекулы определяется тремя ее составляющими
по направлениям трех осей координат. Отсюда следует, что
состояние каждой молекулы зависит от шести параметров
и, отвлекаясь от ограничений, накладываемых квантовой
теорией, можно считать, что каждый из этих параметров
меняется непрерывно *). В то же время гипотеза
молекулярного хаоса требует, чтобы параметры одной
молекулы были независимы от параметров других
молекул.
Кроме того, та же гипотеза заставляет принять, что
распределение значений каждого из параметров в пространстве
однородно.
Предположим, что мы сумели указать значения шести
параметров, фиксируя положение и скорость каждой
молекулы в данный момент времени. Совокупность этих 6N
параметров определяет микроскопическое состояние
рассматриваемого газа. Однако макроскопическое состояние
этого газа зависит от меньшего числа параметров, ибо,
с одной стороны, это состояние зависит от кинетической
энергии молекул, а не от направления их скоростей; с
другой стороны, все молекулы одинаковы, так что перестановка
их кинетических энергий не меняет макроскопического
состояния газа. Данное макроскопическое состояние может
быть реализовано с помощью некоторого числа комплексий.
По терминологии Больцмана, комплексия обозначает
некоторое распределение, где каждая индивидуальная (т. е.
различимая) молекула имеет данную кинетическую энергию,
и все комплексий, согласно гипотезе, равновероятны. Ясно,
что из двух заданных состояний то, которое может быть
реализовано с помощью большего числа комплексий,
имеет большую вероятность. Термодинамическая
вероятность состояния, или проще его вероятность, или еще
его статистический вес выражается числом комплексий,
позволяющих реализовать это состояние2).
г) Состояние данной молекулы может быть представлено
точкой в пространстве шести измерений, которое называют фазовым
пространством.
2) Это определение вероятности, таким образом, отличается
от математической вероятности, которая выражается всегда
некоторой дробью, меньшей единицы.

158
энтропия и вероятность
[ГЛ. 4
Остается теперь придать этой вероятности
математическое выражение. Сделаем это для особенно простого
случая, что потребует принятия некоторой новой гипотезы.
В предыдущем параграфе мы уже приняли существование
соотношения S = f (W) и констатировали, что оно должно
иметь форму (52). Предположим теперь, что это
соотношение единственное и универсальное, т. е. что коэффициент а
в формуле (52) имеет одно и то же численное значение для
всех процессов, сопровождающихся изменением энтропии.
Если это так, то значение а, полученное при исследовании
некоторого процесса, можно подставить в (52), что придаст
этому соотношению точность, которой пока у него нет.
Рассмотрим массу идеального газа, равную двум грамм-
молекулам, т. е. содержащую 2N молекул, и находящуюся
в сосуде объема 2V. В сосуде никаких внутренних
перегородок нет, но мы можем мысленно разделить его на две
части А и В равных объемов V. Отвлечемся от
кинетической энергии молекул и займемся только их положениями,
т. е. распределением молекул между двумя частями сосуда.
Поскольку все молекулы одинаковы, то каждое
распределение определяется числом молекул я, находящихся
в части А\ число молекул в части 5, очевидно, равно
2N — п. Но состояние, определяемое присутствием п
молекул в части Л, может быть реализовано с помощью ком-
плексий, число которых равно числу сочетаний из 2N
элементов по я, т. е.
Значение W максимально при я = N> т. е. при
однородном распределении газа между двумя частями сосуда;
это последнее распределение наиболее вероятно. Число
комплексий, позволяющих его реализовать, равно
Отсюда следует, что всякое распределение, при котором
число я отлично от N, будет стремиться к тому
распределению, когда оба эти числа равны между собой.
Рассмотрим в качестве начального чрезвычайно маловероятное
состояние, когда все молекулы находятся в части А сосуда,

§ 44J ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОЙ В ФОРМУЛЕ БОЛЫДМАНА 159
и получим для этого состояния Wi = 1. Наиболее
вероятное конечное состояние, как мы уже видели, имеет
вероятность
\у/ ___(2Л0!_
Подставляя эти два значения W в (52), получаем
S2-Si = a(lnW2-lnW1) = a(\n^~lnl^ .
Используя приближенную формулу Стирлинга *), находим
S2-S1 = a [In (2N)l - 2 In (Л/!)] - 2aN In 2.
В то же время при переходе от объема V к объему 2V
при постоянной температуре энтропия массы газа
изменяется на
S2-S1 = ^-\n2.
Приравнивая эти два выражения для изменения энтропии,
получаем
1 R
Но ранее (см. § 42) было указано, что отношение R/N
есть постоянная Больцмана. Следовательно,
k
подставляя это значение в (52), находим
JS = k\nW, (53)
или проще (меняя систему единиц):
S = k\nW. (53')
Таким образом, энтропия, соответствующая данному
состоянию, равна произведению постоянной Больцмана
на натуральный логарифм термодинамической вероятности
этого состояния.
х) Формула Стирлинга при очень большом N записывается
в виде N\ = (N/e)N, откуда In (N\) = N (In N—l).

160
ЭНТРОПИЯ и вероятность
[ГЛ. 4
§ 45. Формула Больцмана. Второй вывод
Полученный нами результат, строго говоря, не может
считаться вполне общим, так как он был получен для
особенно простого случая, и, как уже было указано, ничто
не дает нам права сейчас приписать соотношениям (52)
и (53) универсальный смысл. Поэтому мы повторим
доказательство формулы Больцмана, но на более общей основе.
Это доказательство тоже еще не будет полным, так как
подобно предыдущему, в нем будет рассматриваться только
пространственное распределение молекул, а не их
кинетические энергии. Однако этот вывод формулы позволит
выявить новый аспект интересующей нас проблемы.
Пусть N — полное число молекул газа, а У — объем
сосуда, в котором он находится. Мы рассматриваем одну
грамм-молекулу газа, поэтому N = 6,02-1023. Как и ранее,
газ предполагается идеальным, а сосуд адиабатическим,
так что температура газа и его внутренняя энергия
остаются постоянными. Но вместо того, чтобы делить весь объем
газа на две части, мы мысленно разделим его на большое
число одинаковых ячеек с элементарным объемом v\
следовательно, число ячеек п ^ V/v. Если мы рассмотрим
одну молекулу и характеризуем каждую комплексию
номером ячейки, в которой находится эта молекула, то
найдем, что число возможных комплексий равно п. Поэтому
если выделить в сосуде некоторую область объема Vly то
математическая вероятность присутствия молекулы в этой
области в данный момент равна V\IV < 1, а
соответствующая термодинамическая вероятность равна Viti/V. Оба
эти выражения относятся, конечно, к каждой из N
молекул. Отсюда следует, что математическая вероятность
одновременного присутствия двух определенных молекул
в области Vi есть (Vi/V)2, а термодинамическая вероятность
есть (VVz/V)2. Аналогично, для некоторого числа Nt
определенных молекул обе вероятности суть
(Л)». „ (il)»-;
для полного же числа молекул N математическая
вероятность равна (Vi/V)N, а термодинамическая вероятность

§ 45] ФОРМУЛА БОЛЬЦМАНА. ВТОРОЙ ВЫВОД ]6l
Для области Vu совпадающей с общим объемом У,
термодинамическая вероятность становится равной W2 — nN.
Сравнивая два распределения, из которых одно
определяется тем, что все N молекул помещаются только в
области Vu а другое характеризуется однородным
распределением молекул по объему У, находим
lnfl72-lnri = IVlnn~(Nln/i + iVln^)=JVlny-.
Учитывая соотношение (52), получаем
Sa-S1 = a^ln-^-,
но, поскольку для изотермического процесса
с о R 1 V
^2-^1 = 7" 1ПТ77'
в конечном счете получаем
__L R —А
а~ J N ~~ J #
Результат этот совпадает с полученным в предыдущем
параграфе, но это совпадение обязано тому, что в обоих
случаях рассматривались только разности логарифмов
вероятности, так что член, содержащий число я,
сократился. Однако выражения Wi и W2 содержат
множитель nN, который, во-первых, очень велик, а во-вторых,
включает число п, выбранное нами произвольно.
Кинетическая теория газов позволяет определить энтропию
только с точностью до аддитивной постоянной. Мы видели,
что лишь вмешательство квантовой теории дает
возможность устранить эту произвольную постоянную и
приписать энтропии абсолютное значение.
Присутствие аддитивной постоянной в выражении,
определяющем энтропию, не представляло бы серьезной
трудности при условии, что эта постоянная имеет
конечную величину. Единственное условие, налагаемое на
объем Vi элементарных ячеек, состоит в том, что он должен
быть достаточно большим, чтобы вместить по крайней
мере одну молекулу. Но если мы рассмотрим с точки зрения
кинетической теории идеальный газ, в частности
одноатомный газ, то будем считать молекулы материальными

162
энтропия и Вероятность
(ГЛ. 4
точками, и это позволит выбрать объем Vi равным нулю,
а следовательно, для числа п получить бесконечно большое
значение. Сразу же видно, какие возникают при этом
трудности определения энтропии. Не следует, однако,
забывать, что в микроскопических масштабах состояние газа
определяется не только пространственным распределением
молекул, но и кинетической энергией каждой из них.
А, согласно квантовой механике, мы не можем
одновременно точно задать положение частицы и ее состояние
движения, и это исключает (это считается невозможным
даже теоретически) отождествление материальной
корпускулы с геометрической точкой. Поэтому число п не может
быть бесконечно большим, а следовательно, и энтропия
всегда имеет конечное значение. Эти рассуждения
приводят еще к одному выводу: поскольку выражение
термодинамической вероятности содержит целые числа, эта
вероятность может изменяться только дискретным образом,
а значит, и энтропия не является непрерывной функцией
и должна рассматриваться как величина, изменяющаяся
дискретно. Этот вывод, вообще говоря, имеет лишь
теоретический интерес, так как число молекул обычно столь
велико, что изменение термодинамической вероятности,
а следовательно, и энтропии может практически считаться
непрерывным. Однако когда мы имеем дело с системой
из очень малого числа молекул, второй принцип не может
применяться без соответствующих оговорок.
Теперь становится ясно, почему значение энтропии
стремится к нулю, когда температура тела стремится
к абсолютному нулю. Действительно, при абсолютном
нуле кинетическая энергия молекул обращается в нуль;
рассматриваемое тело находится в кристаллическом
состоянии, так что каждая из молекул занимает совершенно
определенное и фиксированное положение.
Термодинамическая вероятность такого состояния равна единице
и, следовательно, энтропия, которая пропорциональна
логарифму вероятности, равна нулю.
Чтобы завершить эти рассуждения, надо сделать еще
одно важное замечание. В начале параграфа мы
рассматривали распределение определенных, т. е. различимых,
молекул. Но знание состояния газа ни в коем случае не требует
идентификации отдельных молекул. В действительности

§ 46] ФОРМУЛА БОЛЬЦМАНА. ТРЕТИЙ ВЫВОД 163
эта идентификация не оказывает никакого влияния на
вычисления, ибо мы предполагали, что все молекулы могли
бы находиться в парциальном объеме Vx. Повторим теперь
те же выкладки, считая молекулы неразличимыми, т. е.
принимая, что область Vi содержит N^ каких-либо
молекул; в остальной части сосуда объема V% = V — Vi будут
N2 = N — Nt молекул. Можно проверить, что
вероятность такого распределения равна
Nt\ N2\ V V J \ V J *
В то же время, обозначая с помощью N[ и N'2 число
молекул, находящихся в объемах У4 и 1/2 в случае
равномерного распределения, очевидно, имеем
V N V ~~ N *
Применение формулы Стирлинга (см. § 44) ведет к
соотношению
Вычисление изменения энтропии при переходе от
однородного распределения к распределению, когда в
объеме Vi содержится Л^ молекул, а в объеме У2 содержится N2
молекул, ведет к выражению S, которое при сравнении
с выражением для W непосредственно дает
соотношение (53) *). Интерес этого рассмотрения состоит в том, что
формула Больцмана (53) получается сразу, без
использования соотношения (52), т. е. без предварительного
допущения о существовании связи между энтропией и
вероятностью.
§ 46. Формула Больцмана. Третий вывод
Как бы ни был важен полученный нами результат, он
не составляет еще полного решения занимающей нас
проблемы, так как до сих пор рассматривалось только
пространственное распределение молекул, а состояние газа
существенно зависит от кинетической энергии молекул.
*■) См. A. S t о d о 1 a, Turbines a vapeur et a gaz, Paris, Dunod.

164
ЭНТРОПИЯ и ВЕРОЯТНОСТЬ
|ТЛ. 4
Полное доказательство формулы Больцмана должно
учитывать не только геометрические, но и механические
характеристики состояния газа. Резюмируем здесь
доказательство, проведенное самим Больцманом для случая
одноатомного идеального газа, помещенного в сосуд с идеально
упругими стенками при отсутствии каких-либо внешних сил.
Рассмотрим данный объем, например 1 см3, содержащий
п молекул газа. Скорость каждой из этих молекул может
быть представлена точкой в «пространстве скоростей»:
координаты этой точки равны трем проекциям скорости,
которые обозначим буквами и, v и w. Пусть dn — число
молекул, скорости которых имеют компоненты,
заключенные между и и и + du, v и v + dv, w и w + dw. Это число,
разумеется, изменяется со временем, но, чтобы упростить
рассуждения, примем, что распределение молекул и их
скоростей (по величине и направлению) однородны как
во времени, так и в пространстве. Это упрощение ведет
к тому, что устраняется зависимость от времени, а число dn
оказывается пропорциональным произведению du dv dw,
которое равно элементарному объему d%. Таким образом,
число dn может быть определено соотношением
dn = f (и, v, w)dr.
Заметим, что элементарные объемы dx «пространства
скоростей» играют здесь роль ячеек или элементарных
областей, которые мы рассматривали при изучении
распределения молекул в геометрическом пространстве.
Однако число молекул, распределяющихся по объему сосуда,
всегда конечно, а скорости молекул изменяются
непрерывно, и число возможных скоростей в принципе
бесконечно. Чтобы упростить вычисления, Больцман
предположил, что скорости молекул изменяются дискретным
образом, а мы уже видели, насколько плодотворным
оказалось введение дискретности в теории теплового
излучения. Гипотеза Больцмана ведет к допущению, что число
«точек скоростей» конечно, а следовательно, бесконечные
малые объемы dx должны быть заменены элементарными
объемами конечных размеров а; эти объемы, хоть и очень
малы, тем не менее достаточно велики, чтобы содержать
большое число «точек скоростей». Состояние газа как раз
и определяется числами точек пи Пъ nz, . . ., содержа-

§ 46] ФОРМУЛА БОЛЫДМАНА. ТРЕТИЙ ВЫВОД 165
щихся в элементарных объемах аи а2, а3, . . ., а
термодинамическая вероятность W этого состояния равна числу
способов, которыми можно осуществить это распределение.
Полное число перестановок п точек скоростей,
очевидно, равно п\. Но разбиение пространства скоростей на
элементарные объемы ведет к предположению, что
микроскопическое состояние газа не меняется, если внутри
каждого элементарного объема осуществить любую
перестановку точек скоростей, находящихся в этом объеме.
Число таких перестановок для элемента о^ равно щ\у для
элемента а2 равно п2!, и т. д. Следовательно, число
перестановок, которые надо рассматривать отличными друг
от друга, равно
а применение формулы Стирлинга позволяет написать
с точностью до аддитивной постоянной г)
\]\W'= — (Hi In ^-1-^2 \пП2 + П3\пП3-\- . . .).
Вернемся теперь к установленному выше соотношению
dn = f di.
Рассматривая величины п1у п2, ... как дифференциалы
и производя суммирование, получаем формулу
п1 + п2 + п3+ •.. = J fdT>
где интегрирование идет по всему пространству скоростей.
Основным пунктом доказательства Больцмана является
введение функции
Я- J flnfdx.
Замена интеграла функцией имеет особый интерес, потому
что величина Н равна с точностью до знака и аддитивной
постоянной In W> что нетрудно проверить, сравнив между
собой определение первой величины и выражение для
второй. Исследование движений молекул показывает, что
!) Эта постоянная зависит только от числа п и поэтому не
зависит от рассматриваемого распределения.

166
ЭНТРОПИЯ и вероятность
[ГЛ. 4
изменение функции Н со временем отрицательно или, в
предельном случае, равно нулю. Иными словами, функция Н
всегда убывающая, а функция W возрастающая. В то же
время функция / должна удовлетворять двум условиям:
постоянству полного числа молекул и внутренней энергии
газа. Учитывая эти условия и исследуя изменение
функции /, получаем для состояния термодинамического
равновесия распределение скоростей, установленное
Максвеллом, а также закон равнораспределения энергии. Наконец,
получаемые таким способом результаты позволяют
утверждать, что функция Н отличается от S только постоянным
отрицательным множителем. Таким образом, энтропия
пропорциональна логарифму термодинамической
вероятности, причем коэффициент пропорциональности
оказывается равным k в согласии с (53) *).
§ 47. Парадокс Лошмидта
Теория Больцмана и, в частности, утверждение о
существовании функции Ну временная производная которой
всегда отрицательна или равна нулю, вызвали много
возражений. Главным противником Больцмана был Лош-
мидт, который посвятил четыре работы опровержению
кинетической теории газов и ее приложений ко второму
принципу термодинамики; из возражений Лошмидта
наиболее известен так называемый парадокс обратимости.
Согласно теории Больцмана, если газообразная масса
находится в начальный момент t0 в состоянии, отличном
от состояния термодинамического равновесия, то
дальнейшая эволюция этой системы будет происходить так,
что функция Н будет уменьшаться. Так будет, например,
если все молекулы занимают одну часть сосуда или все
они имеют одну скорость, и т. д. Но законы механики не
мешают нам предположить, что в некоторый момент
скорости всех молекул меняются на противоположные, так
как механические явления обратимы. При этом эволюция
газа должна изменить направление на противоположное,
2) Подобный ход вычислений этого вывода можно найти,
например, в книгах: Е. В 1 о с h, Theorie cinetique des gaz,
Paris. Collection Armand Colin; R. D u g a s, La theorie physique
(jans le sens de Bolzmann, Neuchatel, 1959.

§ 47]
ПАРАДОКС ЛОШМИДТА
167
т. е. функция Н будет увеличиваться, а энтропия
уменьшаться. Лошмидт отсюда сделал вывод, что функция Н
имеет столько же шансов возрастать, сколько убывать;
следовательно, эволюция газа не обязательно происходит
в одном определенном направлении, как утверждает теория
Больцмана. Другими словами, обратимость механических
явлений препятствует использованию их для объяснения
необратимых термодинамических процессов.
Это рассуждение Лошмидта вызвало многочисленные
дискуссии, и разнообразие аргументов, выдвинутых для
опровержения «парадокса обратимости», ясно показывает,
что к нему нельзя относиться легкомысленно. Некоторые
авторы считают, что обращение эволюции газа. возможно
только, если одновременно обращаются все процессы во
всей Вселенной: «достаточно, чтобы одна молекула на
Сириусе изменила свое движение, чтобы почти
немедленно наш газ сошел с той последовательности состояний,
через которые он проходил до этого. Обращение
естественной эволюции поэтому не может практически
осуществиться...» 2). Такой аргумент не может убедить нас, ибо
выводы кинетической теории газов делаются на основе
предположения, что рассматриваемая масса газа
полностью изолирована от окружающего мира и не подвергается
никаким внешним воздействиям. Поэтому события,
происходящие на Сириусе, не могут выдвигаться для
опровержения парадокса Лошмидта. Другие авторы утверждают,
что строгое обращение эволюции практически невозможно,
так как даже очень малого отклонения при этом обращении
достаточно, чтобы газ не проходил в точности свои
предшествующие состояния в обратном порядке. Но это
возражение, как и предшествующее, необосновано, ибо
классическая механика и, в частности, кинетическая теория газов
рассматривают идеализированные состояния, и в рамках
этих теорий строгое обращение эволюции следует принять
как возможное. Укажем еще на одно рассуждение, по
которому парадокс Лошмидта вообще не имеет значения, так
как кинетическая теория газов и формула
Больцмана оправдываются своими следствиями. Это последнее
х) Е. В о г е 1. Mecanique statistique classique, Paris, Gauthier-
Villars,

168
энтропия и вероятность
[ГЛ. 4
утверждение справедливо, но оно не объясняет, почему
парадокс Лошмидта, несмотря на кажущуюся строгость,
не может все же лишить функцию Я ее замечательного
свойства изменяться всегда в одном направлении.
Возражение Лошмидта имело большое влияние на
творчество Больцмана, именно оно привело Больцмана к
вероятностной трактовке функции Я. Чтобы обойти трудность,
указанную Лошмидтом, Больцман связал второй принцип
с теорией вероятностей: возрастание функции// и убывание
энтропии не являются более невозможными, но только
чрезвычайно маловероятными. Согласно формулировке
самого Больцмана, «никакое неоднородное распределение,
сколь бы маловероятно оно ни было, не является строго
невозможным» и «предложение Лошмидта указывает
лишь на необходимость знать начальные условия, которые
приведут спустя некоторое время ti к в высшей степени
маловероятному распределению, но оно не исключает
существования бесконечно большего числа начальных
состояний, которые ведут к однородному распределению».
При настоящем уровне наших знаний парадоксу
обратимости можно дать следующее толкование.
1) Когда дело идет об одной молекуле (которая по
предположению не подвергается действию никаких внешних
сил), строгое обращение ее движения вполне возможно;
однако в случае одной-единственной молекулы понятие
энтропии не имеет смысла.
2) В случае газа, находящегося в состоянии
термодинамического равновесия, функция Я имеет свое
минимальное значение и, в принципе, остается постоянной; в
действительности, конечно, она испытывает малые
«флуктуации» около своего среднего значения, причем эти
флуктуации можно вычислить. Обращение в некоторый момент
времени скоростей всех молекул на обратные не будет
влиять на среднее значение Я и на величину флуктуации
около этого среднего значения.
3) Наиболее важен случай, когда газ не находится
в состоянии равновесия. Тогда движения молекул не
независимы, а скорости (или кинетические энергии) молекул
распределяются так, чтобы сделать функцию Я убывающей.
Скорости молекул, в отличие от предыдущего случая, не
произвольны, так что возможность их обращения в неко-

§ 48] ФОРМУЛА БОЛЫДМАНА II ДВЕ ДРУГИЕ ФОРМУЛЫ 169
торый момент — лишь неосновательная гипотеза. В
действительности эта возможность не полностью исключена,
ибо убывание функции Н только статистическая
закономерность, а условия, необходимые для такого обращения,
имеют столь мало шансов осуществиться, что вероятность
инверсии может практически считаться равной нулю.
4) Все эти рассуждения основывались на законах
классической механики и некоторых упрощающих
предположениях относительно свойств молекул газа. Однако они не
согласуются с квантовой теорией. Квантовая механика
учит, что положение и скорость частицы не могут быть
одновременно точно измерены, но ведь именно одновременное
знание этих двух характеристик движения молекулы
необходимо, чтобы вообще можно было представить себе
строгое обращение направления всех скоростей, которое
лежит в основе парадокса Лошмидта. Если этот парадокс
не может быть противопоставлен формуле Больцмана
даже в рамках классической механики, то его значение
еще более уменьшается в свете достижений современной
физики.
§ 48. Сравнение формулы Больцмана с двумя другими
знаменитыми формулами
Элегантностью и завершенностью формула Больцмана
напоминает ряд других известных формул, ставших
знаменательными этапами в истории развития науки. Здесь
мы укажем две такие формулы и, сравнив их с
формулой Больцмана, сможем лучше выявить смысл
последней.
Первая — одна из формул Эйлера:
еы = — 1,
а вторая — формула Эйнштейна, о которой мы уже
упоминали в § 2:
Е = тс2.
Формула Эйлера замечательна тем, что она
устанавливает простое соотношение между величинами, на первый
взгляд совершенно независимыми друг от друга и
обладающими, кроме того, особыми свойствами: две из них

170
ЭНТРОПИЯ и вероятность
[ГЛ. 4
являются трансцендентными, а третья получила
наименование мнимой. С этой точки зрения, формула Эйлера
может рассматриваться как одна из вершин, достигнутых
человеческим разумом в области математики.
Нет необходимости говорить, что еще более простая
формула Эйнштейна — это одно из самых крупных
достижений науки. Но эта формула в противоположность
формуле Эйлера содержит только физические величины, что,
впрочем, и обеспечивает возможность ее экспериментальной
проверки. Особенно поражает в этой формуле неожиданное
появление скорости света в выражении для энергии тела.
В обоих случаях особое восхищение вызывает открытие
связи между величинами, которые a priori кажутся
совершенно независимыми.
То же самое можно сказать и о формуле Больцмана.
Энтропия и вероятность — столь несхожие величины, что
открытие связи между ними (и очень простой связи)
несомненно является важнейшим научным достижением. Но
в противоположность формулам Эйлера и Эйнштейна
формула Больцмана в некотором смысле не однородна.
Если первая включает только математические величины,
а вторая — только физические величины, то третья
устанавливает связь между величинами различной природы.
Действительно, мы знаем, что энтропия—величина физическая
и ее численное значение зависит от выбранной системы
единиц, а термодинамическая вероятность — величина
математическая, ибо она определяется числом способов,
которыми может быть реализовано данное состояние
рассматриваемого газа. Коэффициент k обеспечивает
гомогенность формулы Больцмана, но именно соотношение
между двумя величинами различной природы, S и W,
составляет оригинальность и интерес этой формулы.
Это замечание не следует считать чисто формальным,
так как оно поможет нам объяснить (см. § 51) некоторые
особенности практического применения соотношения
Больцмана. Действительно, оценивая пользу от применения
этой формулы в конкретном случае, мы получаем довольно
разочаровывающий результат. Если состояние газа
известно (скажем, известны его температура и давление),,
нетрудно получить его энтропию, не прибегая к
величине W. Если же состояние газа неизвестно или известно

§ 49] ПРИЛОЖЕНИЕ ФОРМУЛЫ БОЛЬЦМАНА К ВСЕЛЕННОЙ 171
только частично (например, кроме массы известен только
объем газа), то мы не можем вычислить W, и,
следовательно, определить энтропию газа невозможно. Обратно,
если энтропия известна, то по формуле Больцмана можно,
конечно, найти величину W, но знать эту величину не
значит получить новые сведения о состоянии газа, ибо и без
формулы Больцмана мы знаем, что это состояние
соответствует некоторой точке на изэнтропе, однако положение
этой точки остается неизвестным. На практике вычисление
величины W полезно только в совершенно
исключительных случаях; не будет преувеличением сказать, что эти
случаи столь же редки, как и случаи обращения
эволюции функции Я (а значит, W и 5). Разумеется, формула
Больцмана имеет несомненный теоретический интерес —
она показывает, что кинетическая теория газов позволяет
интерпретировать не только давление и температуру газа,
но и его энтропию, причем изменение энтропии в одном
определенном направлении есть статистическая
закономерность. Более того, в § 39 мы уже говорили о роли
формулы Больцмана в истории создания квантовой теории.
Но в области практических применений значение этой
формулы невелико, во всяком случае несравнимо меньше
роли формулы Эйнштейна *).
§ 49. Приложение формулы Больцмана ко всей Вселенной
Но есть, однако, такое приложение формулы
Больцмана, которое не может рассматриваться как
практическое, хотя оно особенно эффектно и в то же время
совершенно неконтролируемо. Это приложение формулы
Больцмана ко всей Вселенной в целом. Как и газ, заключенный
в сосуд с упругими и адиабатическими стенками,
Вселенная эволюционирует в направлении все более вероятных
состояний, и поэтому ее энтропия все время возрастает.
Это утверждение обычно рассматривается как хорошо
установленная и даже очевидная истина. Не может быть
и речи о каких-либо сомнениях по этому поводу, но не
запрещается попытаться понять действительный смысл
этого утверждения, если, конечно, таковой существует.
*) Зто утверждение мы уточним в § 50.

172
энтропия и ВЕРОЯТНОСТЬ
[ГЛ. 4
Прежде всего это утверждение допускает две различные
интерпретации. Можно рассматривать его как самое
определение вероятности: именно эволюция Вселенной
определяет направление роста вероятности. Но в этом случае
утверждение ничему нас не учит, оно только уточняет
смысл слова «вероятность». Следовательно, мы должны
принять другую интерпретацию, согласно которой
действительно происходит эволюция Вселенной к состояниям
все более и более вероятным. Но возникает вопрос: что
означает это возрастание вероятности? Если
придерживаться определения Больцмана величины W, то для
всякого состояния Вселенной надо рассматривать число ком-
плексий, позволяющих реализовать это состояние. Тогда
сравнение этих чисел и позволит определить, какое
состояние более вероятно. Но эта задача, естественно, превосходит
человеческие возможности и по плечу только всеведующему
существу, изобретенному Лапласом. Надо, еще, чтобы это
существо способно было преодолевать законы квантовой
механики, которые делают не только невозможными, но
и непостижимыми такие сверхъестественные способности
познания. Однако задачу можно упростить, рассматривая
вместо термодинамической вероятности W вероятность
математическую Р, которая определяется отношением числа
комплексий, соответствующих данному состоянию, к
полному числу возможных комплексий. Эта вероятность
всегда выражается числом, меньшим единицы, и сравнение
двух вероятностей Pt и Р2 не потребует от нас особенных
усилий воображения. Кроме того, эта замена позволяет
выявить субъективную сторону нашей вероятности: если
эволюция Вселенной подчиняется статистическим
законам и, следовательно, несет в себе неопределенность
объективного свойства, то неполнота наших знаний этих законов
влечет за собой также неопределенность субъективного
характера. Математическая вероятность Р одновременно
есть мера «статистического веса» W и нашего невежества.
Рассмотрим два определенных момента t± и t2 будущего
развития Вселенной, и пусть эти моменты разделены
довольно большим отрезком времени. Если t2 больше tu
то мы говорим, что состояние Вселенной Е2 в момент t2
«более вероятно», чем состояние £"4 в момент ^. По смыслу
теории Больцмана это означает, что состояние Е2 может

§ 49J ПРИЛОЖЕНИЕ ФОРМУЛЫ БОЛЬЦМАМА К ВСЕЛЕННОЙ 173
быть реализовано большим числом способов, чем
состояние Et. Но поскольку ни одного из этих чисел мы не знаем
и не знаем даже, не бесконечно ли они велики, то мы не
имеем никакого права приписывать Вселенной свойство,
которое строго было доказано лишь для вполне
конкретного тела, к тому же для тела идеализированного.
Попробуем теперь интерпретировать это предсказание об
эволюции Вселенной с помощью вероятности Р, которая
вводит сразу и объективную и субъективную стороны
вопроса и только и может иметь для нас какой-либо смысл.
Утверждая, что состояние Е2 в момент t2 «более вероятно»,
чем состояние Ei в момент ti9 мы неявно предполагаем,
что эволюция Вселенной не совершенно беспорядочна, так
что если эту эволюцию нельзя подчинить строгому
детерминизму, у нас все же остается возможность применить
теорию вероятностей. Благодаря результатам этой теории
можно заранее предсказать вероятное состояние Вселенной
в моменты ti и t2, причем мы утверждаем, что второе
состояние более вероятно, чем первое. Предположим теперь,,
что,«*достигнув момента ti9 мы констатируем, что Вселенная
находится в состоянии Е2, которое мы предсказали для
момента t2\ хотя это состояние рассматривалось как «более
вероятное», мы тем не менее должны рассматривать
возникшую ситуацию как чрезвычайно маловероятную, ибо
она существенно отличается от предсказанной нами. Отсюда
следует, что вероятность каждого состояния должна
относиться к определенному моменту времени, а не к
произвольному моменту, т. е. безусловно верно, что в момент t2
состояние Е2 более вероятно, чем состояние Ei9 но зато в
момент ti более вероятно уже состояние Е±, а не состояние Е2.
Остается только сравнить между собой вероятность Р\
состояния Ei в момент ^ и вероятность Р2 состояния Е2
в момент t2. Обозначим начальный момент времени (т. е.
настоящий момент) t0 и примем, что t2—ti=^ti — t0.
Достигнув момента времени ti9 мы способны предсказать
состояние Вселенной в момент времени t2 с теми же
шансами на успех, что и при предсказании в момент t0
состояния Вселенной в момент ft *). Ясно, однако, что, пытаясь
х) Строго говоря, чтобы иметь одинаковые шансы на успех,
надо было бы выбрать для t± значение, отличающееся от (t0+t2)/2,
но это ничего не меняет в наших рассуждениях.

174
энтропия и ВЕРОЯТНОСТЬ
(ГЛ. 4
предсказать состояние Е2 уже сейчас, мы увеличиваем
возможность ошибки, и вероятность Р2 реализации нашего
предсказания может быть лишь меньше Р4. Такая
интерпретация ведет к заключению, что в противоположность
обычному мнению Вселенная эволюционирует в
направлении все менее и менее вероятных состояний.
Разумеется, этот результат не следует принимать
буквально, его надо рассматривать только как сведение
к абсурду попытки приложения ко всей Вселенной
эволюционного закона, доказанного только для изолированной
системы. Такая попытка ведет и к другим абсурдным
следствиям; о некоторых из них мы расскажем в гл. 7.
Впрочем, формула Больцмана не составляет исключения:
история философской и научной мысли показывает, что
любая попытка приписать Вселенной какие бы то ни было
физические или геометрические свойства всегда ведет
к неразрешимым противоречиям *). Поэтому
неудивительно, что то же самое относится к свойству необратимости
эволюции Вселенной во времени.
§ 50. Слабость формулы Больцмана
Последнее замечание в предыдущем параграфе
приводит нас к заключению, что метод, основанный на
формуле Больцмана, даже в случае изолированной системы
имеет существенную слабость.
Вернемся к случаю одноатомного идеального газа,
т. е. наиболее простому случаю, для которого только
и могла быть доказана формула Больцмана. Можно,
разумеется, сделать некоторое предположение относительно
микроскопического состояния газа, т. е. относительно
распределения молекул и их скоростей в начальный момент
времени t0. Но такое предположение, вполне оправданное
с математической точки зрения, не имеет никакой цены,
если стать на позиции физики. Борель говорит, что оно
не более чем «чисто абстрактная фикция» 2).
Действительно, число столкновений одной молекулы газа—порядка
г) По этому вопросу см. P. Chambadal, Physique moderne
et son interpretation, Paris, A. Colin.
2) E. В о г e 1, Le hasard, § 68 (последнее издание: Paris,
1948, есть перевод: Э. Борель, Случай, М., 1923).

§ 50]
СЛАБОСТЬ ФОРМУЛЫ БОЛЬЦМАНА
175
нескольких миллиардов в секунду, а ведь любого из этих
столкновений достаточно, чтобы разрушить всю
построенную нами мысленно картину микроскопического состояния
газа. Таким образом, мы приходим к рассмотрению не
одной газообразной массы, а очень большого числа
газообразных масс, отличающихся друг от друга
распределением скоростей их молекул. Если каждая из этих масс
представляет одну грамм-молекулу газа, то число
содержащихся в ней молекул порядка 1023; если, кроме того,
число возможных предположений для одной молекулы
равно N, то полное число возможных предположений
относительно микроскопического состояния газообразной
массы порядка N10'. Таково число моделей газа,
которое мы должны рассмотреть, чтобы описать все возможные
вариации структуры рассматриваемой газообразной массы.
Ансамбль таких моделей обладает определенными
свойствами, которые изучаются «статистической механикой»
в смысле Гиббса. Со статистической механикой, изучающей
свойства одной газообразной массы, обычно связывается
имя Максвелла. Первым идею изучения большого числа
систем вместо одной определенной системы в 1871 г.
выдвинул Больцман, но именно Гиббс развил метод ансамблей
в статистической механике и получил ряд
термодинамических аналогий, на которых мы не будем останавливаться.
Но как в случае одной-единственной системы, так
и в случае головокружительного числа N1q23 систем, мы
ждем от формулы Больцмана освещения хода эволюции
этих систем. После работ Клаузиуса мы знаем уже, что
эта эволюция характеризуется возрастанием энтропии со
временем. Больцман показал, что возрастание энтропии
связано с возрастанием термодинамической вероятности.
Более того, он не только установил форму соотношения
между этими двумя величинами, но и нашел численное
значение коэффициента пропорциональности в этом
соотношении. Но если благодаря Больцману нам известно теперь,
как связаны между собой величины S и W, то мы
по-прежнему не знаем, как изменяются одна и другая величины
во времени. Хотя формула Больцмана выражает закон
эволюции, она не включает основного для любого закона
параметра — времени. Величины, входящие в формулу
Больцмана, имеют вполне определенное значение и связаны

176
ЭНТРОПИЯ и вероятность
[ГЛ. 4
между собой вполне определенным образом, однако эта
формула имеет только качественный характер, ибо она
ограничивается только комбинацией двух величин,
изменяющихся во времени, но не дает никаких указаний
относительно скорости этого изменения, кроме некоторых
особенно простых случаев *).
Эта слабость формулы Больцмана усугубляется
следующим обстоятельством. Целью формулы является
определение закона эволюции газообразной массы,
изолированной от окружающего мира. Но в такой массе газа, вообще
говоря, нет никакой эволюции, если отвлечься от
«флуктуации», которые, впрочем, не входят в формулу:
функция Н имеет свое минимальное значение и газ находится
в состоянии термодинамического равновесия. Эволюция
возможна лишь, когда эта масса газа, продолжая
оставаться изолированной, испытывает действие внешних
механических сил — изменение объема при движении поршня,
деформация стенок сосуда и т. д. По завершении этого
воздействия быстро устанавливается новое состояние
равновесия вследствие бесчисленных обменов энергией
между молекулами в каждую секунду времени. Именно
в этом переходе из одного состояния равновесия в другое
и состоит эволюция газа. Естественно, что формула
Больцмана не позволяет предсказать будущие эволюции,
вызванные действием внешних причин; да и трудно требовать
этого, ибо будущее в общем случае непредсказуемо. Но
эта формула не позволяет также восстановить прошлое
газообразной массы, хотя в принципе прошлое должно
было бы быть известно. Когда мы имеем дело с
заключенной в изолированный сосуд газообразной массой в
термодинамическом равновесии, то мы на основе известного нам
соотношения между энтропией и вероятностью не можем
все же сказать, находится ли эта масса в этом состоянии
час или целый век, и не можем также определить
возмущения (т. е. эволюции), которые она претерпевала за время
своего предшествующего существования. Формула Больц-
*) Эта скорость может быть вычислена с помощью соотношений
Онсагера, которые выражают возрастание энтропии через сумму
произведений сил и потоков, им соответствующих. Соотношения
Онсагера основаны на формуле Больцмана, а также на теории
флуктуации и некоторых упрощающих предположениях.

§ 51] ФОРМУЛА БОЛЬЦМАНА В СВЕТЕ СОВРЕМЕННОЙ ЛОГИКИ J77
мана ничего не говорит нам ни о прошлой истории, ни
о будущем газообразной массы, и для каждой конкретной
эволюции она указывает только направление, а не скорость
эволюции. Однако этот пробел не обязательно характерен
для всякого закона, описывающего необратимую эволюцию.
Закон расширения Вселенной связывает возрастание
радиуса Вселенной со временем. Этот закон выражает,
следовательно, скорость расширения, тогда как формула Больц-
мана не выражает скорости возрастания энтропии.
Напомним, наконец, что эволюция изолированной
газообразной массы может мыслиться как обратимая, хотя
природа не дает нам подобных примеров. И если
необратимая эволюция рассматриваемой массы стремится
необходимо и очень быстро к остановке (причем эта остановка
соответствует состоянию термодинамического равновесия),
то обратимая эволюция, как раз наоборот — может
продолжаться бесконечно. Последовательность обратимых
адиабатических расширений и сжатий не сопровождается
никаким обменом энергией с внешней средой, и,
следовательно, ничто не мешает нам предположить, что эти
идеальные процессы длятся бесконечно долго. Но поскольку во
время такой безграничной эволюции энтропия газа остается
постоянной, такая эволюция не зависит от формулы Больц-
мана. С другой стороны, как эта формула не дает для
необратимой эволюции никаких условий временного
характера, так обратимая эволюция не подчиняется никаким
пространственным ограничениям: расширение и сжатие
газа могут иметь место в различных сосудах, не переставая
быть обратимыми. Разумеется, это замечание уводит нас
в сторону от формулы Больцмана.
§ 51. Формула Больцмана в свете современной логики
Предшествующее рассмотрение, естественно, поднимает
такой вопрос: не существует ли подобно соотношению
между энтропией и вероятностью связи между
гетерогенностью формулы Больцмана и бесплодностью последней *)?
х) Подчеркнем, что эту бесплодность надо понимать только
в смысле, уточненном в § 50, так как в теоретической области эта
формула как раз чрезвычайно плодотворна. Бесплодность формулы
относится к эволюции газообразной массы, а отнюдь не науки.

m
энтропия и вероятность
tm. 4
Некоторые идеи современной логики позволяют дать
положительный ответ.
Идеи эти касаются трудности перевода на обычный
язык математических соотношений, выражающих основные
достижения релятивистской и квантовой физики.
Трудность проистекает из того, что открытия современной науки
привели либо к изменению определения некоторых слов
общепринятого языка, либо ко введению новых и даже
неожиданных концепций. Так, слова «одновременность»
или «интервал» теперь уже имеют иной смысл, нежели
до возникновения теории относительности; аналогично,
понятия дополнительности или корпускулярной волны до
создания квантовой механики вообще не были известны.
И, что еще более важно, новая механика полностью
изменила аспект некоторых свойств вещества и энергии: если
классическая физика рассматривала эти свойства как
строгие и объективные, то квантовая физика превратила ид
в простые статистические вероятности. Этот переворот
коснулся даже таких хорошо установленных концепций,
как различимость элементарных частиц вещества и их
локализация в пространстве. Поэтому неудивительно, что
этой научной революцией были затронуты даже некоторые
фундаментальные принципы логики, в частности принцип
исключенного третьего. Известно, что, согласно этому
принципу, если некоторое предложение имеет смысл,
необходимо, чтобы либо это предложение, либо его
отрицание были верными. Так, если мы говорим «А больше В»,
мы должны обязательно считать справедливым либо это
предложение, либо его отрицание, т. е. предложение «А не
больше В», и всякая другая возможность должна быть
исключена. Этот принцип пришлось отбросить в области
квантовой физики, ибо он не мог быть согласован с
невозможностью приписать частице определенное место в
пространстве. Согласно классической логике, как и в обычном
языке, если частица находится в некотором сосуде, она
по необходимости должна находиться либо в правой, либо
в левой половине этого сосуда, тогда как по квантовой
механике оба эти утверждения могут оказаться ложными.
Это расхождение между обычным языком и языком
науки заставило некоторых ученых в области логики
(в частности, фон Вейцзекера) ввести понятие «уровня

§ 51] ФОРМУЛА БОЛЬЦМАНА В СВЕТЕ СОВРЕМЕННОЙ ЛОГИКИ 179
языка». Цель этого понятия — позволить делать различие
между предложениями и суждениями относительно этих
предложений. Так, фразы «Человек смертен» и «Верно,
что человек смертен» принадлежат различным уровням,
причем вторая фраза есть некоторое утверждение
относительно первой. Ясно, что оба эти предложения по
необходимости верны или ложны одновременно; так, если бы
второе предложение было ложным, то отсюда, очевидно,
следовало бы, что человек не смертен. Но так дело обстоит
только потому, что мы выбрали пример, относящийся
к классической логике. А вот в предыдущем примере если
предложение «верно, что частица находится в левой
половине» ложно, то из этого необходимо не следует, что частица
находится в правой половине. Как указывает Гейзенберг *),
вопрос может быть «не разрешимым», что не эквивалентно
термину «не известным». Этот термин означал бы, что
частица «действительно» находится справа или слева, но мы
не знаем, где именно, тогда как термин «не разрешимый»
указывает, что наше незнание проистекает не от
отсутствия информации, а от объективной неопределенности.
Но, разумеется, новые понятия вводились не только
научными открытиями нашего века; то же можно сказать
относительно многих достижений науки XIX века и среди
них — понятие энтропии. Эта величина, которая была
определена только своим математическим выражением
и способна изменяться только в одном направлении,
казалось, обладала некоторыми таинственными свойствами.
И чтобы сделать ее более приемлемой, ее много раз
пытались истолковать с помощью аналогий, но как уже
указывалось в § 19, ни одна попытка не привела к
удовлетворительному результату. Формула Больцмана, дающая
механическую интерпретацию, может рассматриваться как
попытка интерпретации энтропии с помощью другого
уровня языка. Исследования Клаузиуса завершились
знаменитой фразой: «Энтропия Вселенной всегда возрастает»,
и мы отвлекаемся здесь от ошибочности этого предложения.
Формула Больцмана выражает то же самое, но на другом
уровне, ибо она содержит суждение об этом предложении.
г) W. Н е i s е n b е г g, Physique et philosophic Paris, Albin
Michel, гл. 10.

180
энтропия и вероятность
[ГЛ. 4
Действительно, формула эквивалентна следующему
предложению: «Очень вероятно, что энтропия Вселенной всегда
возрастает». Конечно, формула Больцмана гораздо точнее
этого утверждения, так как она позволяет, в принципе,
вычислить вероятность возрастания энтропии, и это
уточнение, таким образом, связано с более высоким уровнем,
на котором находится формула Больцмана. Этот высший
уровень в данном случае есть математический уровень,
а низший уровень объектов и фактов — физический
уровень. Не следует забывать, что энтропия есть физическое
свойство тел, хотя ее физический смысл и может показаться
неясным, тогда как термодинамическая вероятность есть
чисто математическое понятие. С точки зрения логики,
гетерогенность формулы Больцмана (см. § 48) может быть
приписана тому факту, что эта формула выражает
предложение Клаузиуса, помещая его на высший уровень языка.
С этой точки зрения формула Больцмана есть лишь
перевод предложения Клаузиуса, несомненно
оригинальный и поучительный, — но перевод и только. Именно по
этой причине точная и элегантная формула Больцмана
несколько разочаровывает своей бесплодностью *).
§ 52. Критика формулы Больцмана в работе Верле
Мы не разделяем взглядов этого автора, но не можем
обойти молчанием приведенное в книге Ф. Верле2)
рассмотрение формулы Больцмана. Мы дадим лишь краткое
изложение сказанного этим автором, ибо его точка зрения
тесно связана с новой физической теорией, которой и
посвящена его книга.
Мы уже указывали на различие, существующее между
термодинамической вероятностью, выражаемой целым
числом (оно обычно очень велико), и вероятностью
математической, которая выражается дробью. Верле обвиняет
статистическую механику в использовании «искаженного
выражения вероятности», т. е. вероятности, сведенной
к числу благоприятных случаев. Исключение числа
возможных случаев оправдано только, если это число
) См. наше примечание на стр. 177.
') Ph. Wehrle, L'Univers aleatoire, Paris,Dunod, 1956, гл. XVI.

§52] КРИТИКА ФОРМУЛЫ БОЛЫДМАНА В РАБОТЕ ВЕРЛЕ 181
постоянно, что как раз имеет место в равновесном
изолированном газе. Но при процессе расширения Джоуля «число
возможных случаев растет вместе с числом благоприятных
случаев, что нетрудно проверить. Таким образом, при
джоулевском расширении идеального газа независимая
вероятность не изменяется». Действительно, даже в случае
идеального газа, поскольку размеры молекул конечны,
распределение молекул по объему подчиняется некоторым
ограничениям, так что между молекулами устанавливается
«зависимость вероятности», т. е. некоторая корреляция.
С другой стороны, «классическая статистическая механика
знает только независимую вероятность, ибо она
пренебрегает конечностью размеров молекул, ответственной за
зависимость вероятности идеального газа. Тем не менее
она не задумывается интерпретировать второй принцип
термодинамики как спонтанную тенденцию изолированной
системы к максимальной вероятности». Верле поэтому
считает, что создатели статистической механики «пришли
к правильным результатам только благодаря двойной
ошибке: опущение знаменателя вероятности количественно
компенсировало забвение зависимости». И он добавляет:
«Чем надо более восхищаться: интуицией этих физиков,
которые на основе ложных рассуждений предвосхитили
истину, или же их непринужденностью в обращении с
теорией вероятностей, так что они не обращали внимания ни
на априорную равновероятность, ни на зависимость?».
Резюмируя, Верле указывает, что классическая
вероятностная интерпретация «совершенно неадекватна
эволюции» и «законно приложима только к флуктуации около
состояния равновесия». Он рассматривает также второй
принцип как частный случай обобщенного Принципа
эволюции, в котором он видит универсальный закон
«максимальной экономии эволюционной способности Вселенной».
Отношение Верле к Максвеллу, Больцману и Гиббсу
мне кажется слишком строгим. Но мы должны здесь
отказаться от критики этого отношения, ибо такая критика,
чтобы быть полной, должна касаться всей совокупности
идей, изложенных в книге Верле, и выведет нас далеко
за рамки настоящей книги. Добавим, однако, что, вызывая
возражения, книга Верле тем не менее будет высоко
оценена всеми, кто интересуется философией физических наук.

Глава пятая
Энтропия и теория информации
§ 53. Связь между информацией и энтропией
Сколько бы неожиданным не могло показаться в XIX веке
открытие соотношения между энтропией и вероятностью,
наличие связи между энтропией и информацей на первый
взгляд еще более удивительно. Эти связи в
действительности не независимы: если энтропия связана некоторым
образом с информацией, то именно по той причине, что
формула Больцмана связывает ее с вероятностью.
Информация и вероятность более близкие понятия, нежели
энтропия и вероятность или энтропия и информация, но
тем не менее более полувека отделяет появление формулы
Больцмана от открытия соотношения между информацией
и энтропией, сделанного Л. Сцилардом *).
В том, что между энтропией и информацией
действительно существует связь, можно убедиться различными
способами. Но перечислять их заранее не стоит, так как по мере
изложения мы рассмотрим различные аспекты вопроса
и укажем те из них, которые могут служить исходными
для доказательства существования этой связи. Однако
мы считаем полезным уже сейчас дать такое
доказательство с помощью очень простого рассуждения, когда
вещество рассматривается в двух существенно различных
состояниях.
Предположим сначала, что рассматриваемое тело
находится при температуре, близкой к абсолютному нулю.
В § 38 мы уже излагали те причины, по которым удельную
теплоемкость и энтропию тела при этой температуре надо
считать равными нулю, по крайней мере в том случае,
когда рассматриваемое тело находится в кристаллическом
состоянии и химически однородно. Применение формулы
Больцмана немедленно показывает, что для такого тела
3) L. S г i 1 а г d, Z. f. Physik, 53, 840 (1929).

§ 53] СВЯЗЬ МЕЖДУ ИНФОРМАЦИЕЙ И ЭНТРОПИЕЙ 183
логарифм термодинамической вероятности W равен нулю,
а следовательно, эта вероятность равна единице.
Физический смысл результата совершенно ясен: рассматриваемое
состояние тела может быть реализовано с помощью только
одной комплексии, когда каждая молекула занимает
вполне определенное положение, а скорость ее равна нулю
(в действительности, если температура хоть немного выше
абсолютного нуля, молекулы могут принимать участие
в колебательном движении около положения равновесия).
В этих условиях наше знание микроскопического состояния
тела является полным. Какими бы ни были условия,
принятые для определения и измерения информации, можно
считать, что информация имеет наибольшее значение, так
как мы знаем все геометрические и механические
элементы, характеризующие не только состояние тела в целом,
но и состояние всех его компонент.
Перейдем теперь к случаю, когда рассматриваемое тело
есть идеальный газ, заключенный в сосуд с
адиабатическими стенками (т. е. изолированный) и находящийся
в состоянии термодинамического равновесия. Можно без
труда измерить давление, температуру и все другие
величины, характеризующие макроскопическое состояние газа,
но что касается его микроскопического состояния даже
в данный момент времени, то тут мы констатируем лишь
наше полное незнание его. Мы уже знаем, что в основе
кинетической теории газов лежит предположение о
молекулярном хаосе (см. § 41); эта гипотеза равноценна
признанию того, что мы бессильны проследить за движением
отдельных молекул, т. е. фиксировать положение и
скорость каждой из них в данный момент времени (и тем более
определить их перемещения и изменения скорости с
течением времени). Все что мы можем сделать, это определить
степень нашего незнания: мы можем вычислить число W
комплексии, позволяющих реализовать данное
макроскопическое состояние, и, поскольку комплексии надо
рассматривать как эквивалентные (т. е. как равновероятные),
ясно, что информация о микроскопическом состоянии тем
меньше, чем больше число W. Но, согласно формуле Больц-
мана, энтропия газа изменяется в том же направлении, что
и число W, так что юна достигает своего максимума, когда
информация имеет наименьшее значение,

184 ЭНТРОПИЯ И ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ [ГЛ. 5
Рассмотрение этих двух предельных случаев позволяет
сделать следующий вывод:
1) нулевой энтропии соответствует полная информация,
2) высокой энтропии соответствует практически
исчезающая информация.
Это краткое обсуждение показывает, что именно
термодинамическая вероятность W образует связь между
энтропией и информацией. Но эту связь можно также найти
в более наглядном, но менее четком понятии беспорядка.
В первом из рассмотренных случаев мы полностью знаем
микроскопическое состояние тела, потому что оно
совершенно упорядочено; во втором случае мы совершенно не
знаем его микроскопическое состояние, потому что оно
характеризуется максимальным беспорядком. Другими
словами, возрастание беспорядка сопровождается как
возрастанием энтропии, так и уменьшением информации,
так что энтропия и информация изменяются в
противоположных направлениях.
Но тут немедленно возникает вопрос: если энтропия
и информация связаны между собой, нельзя ли выразить
эту связь с помощью некоторого математического
соотношения? Мы увидим, что ответ здесь положительный и
математическое соотношение, связывающее эти величины,
находится без труда. Но прежде надо выяснить, каким образом
вообще измеряется информация, независимо от ее связи
с энтропией.
Развитие теории информации, и в частности связь
этой теории с термодинамикой, происходило в недавнее
время, поэтому в будущем вполне могут появиться новые
непредугаданные результаты. Мы уже указывали на работу
Сциларда, опубликованную в 1929 г., но не обратившую
тогда на себя должного внимания. Только двадцать лет
спустя Шеннон и Уивер *) вновь открыли
термодинамическую концепцию информации. Этому вопросу много работ
посвятил Бриллюэн 2), который не только углубил наше
*) С. Е. S. Shannon, W. Weaver, The Mathematical
Theory of Communications, University of Illinois Press, Urbana,
J 949.
?) L. В r i 1 1 о u i n, La science et la theorie del'information,
Paris, Masson; L. В r i 1 1 о u i n, Vie, matiereet observation, Paris,
Albjn Michel,

§ 54]
ИЗМЕРЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ
185
понимание связи между информацией и энтропией, но
сумел получить некоторые следствия, иногда выходящие
за рамки физической науки. Другие недавно
опубликованные работы по этому вопросу будут упоминаться в этой
главе по мере изложения.
§ 54. Измерение информации
Подбрасывая монету при игре в орлянку, мы каждый
раз сталкиваемся с задачей, имеющей два (в принципе
равновероятных) возможных решения. Если мы заменили
монету игральной костью, то число ответов, по-прежнему
равновероятных, уже достигает шести. Аналогично,
извлекая из полной колоды одну какую-нибудь карту, мы знаем,
что число возможных ответов равно числу карт в колоде,
т. е. 32 или 52.
В каждом из этих случаев знакомство с положением
монеты, выпавшей кости или вынутой из колоды карты
дает нам некоторую информацию, ибо позволяет
приобрести некоторое знание. Конечно, эта информация может не
представлять для нас никакого интереса, и тогда вопрос
о ее измерении даже не возникает. Но предположим, что
полученная подобная информация имеет для нас равную,
отличную от нуля ценность; это заставляет нас приписать
ей в каждом отдельном случае некоторый коэффициент
значения. Тотчас же мы видим, что этот коэффициент будет
не одинаков в трех рассмотренных примерах, ибо в каждом
из них мы получаем различное «количество информации».
Это количество информации тем больше, чем больше
степень неопределенности задачи, которая дается числом
возможных ответов в каждом из рассмотренных случаев.
При игре в орлянку мы имеем один шанс из двух правильно
предсказать результат, так что этот опыт дает только
небольшое количество информации. Но это количество
растет при игре в кости и особенно когда мы извлекаем
карту из колоды, потому что при переходе от первого
случая ко второму, а затем — к третьему правильное
предсказание результата опыта становится все более
трудным. Итак, если проблема содержит Р равновероятных
ответов, то знание точного ответа (т. е. в
рассмотренных примерах — результата опыта) дает нам количество

186 ЭНТРОПИЯ И ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ [ГЛ. 5
информации, изменяющееся в том же направлении,
что и Р.
Иными словами, количество информации / должно
быть возрастающей функцией Р.
Что касается формы этой функции, то она была выбрана
по предложению Хартли (в 1928 г.) в виде
I = K\ogP, (54)
где К — постоянный коэффициент, a log означает
логарифм с некоторым основанием.
Введение логарифмического закона имеет целью
позволить складывать информации, относящиеся к нескольким
независимым задачам. Полученная таким образом полная
информация оказывается суммой различных частичных
информации.
Аналогия между соотношением (54) и формулой Больц-
мана очевидна: величина Р играет ту же роль, что и
термодинамическая вероятность W, и выражается, как и
последняя, целым числом. Некоторые авторы удовлетворяются
этой аналогией, чтобы отождествить информацию и
энтропию. На самом деле здесь требуется более глубокий анализ,
ибо бросание кости, например, действительно дает нам
некоторую информацию, но совершенно не очевидно,
какое отношение к этому имеет второй принцип.
Выбор коэффициента К в формуле (54) в принципе
произволен и должен быть сделан на основе соображений
удобства. Эти соображения диктуются главным образом
задачей передачи информации, которая обычно
реализуется с помощью комбинаций двух элементарных
сигналов, причем правила таких комбинаций определяются
кодом. Два сигнала выражаются двумя возможными
состояниями электрической цепи: наличием или отсутствием
тока, переходом от одной интенсивности к другой,
изменением направления на обратное (при постоянном токе),
переходом от одной частоты к другой (при переменном
токе) и т. д. Отсюда следует, что если сообщение состоит
из п символов, то, поскольку каждый из них может иметь
два значения (которые часто обозначают как 0 и 1),
полное число возможностей равно Р = 2п, и, следовательно,
количество информации, заключенное в сообщении,.

§ 54J
ИЗМЕРЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ
187
равно
/ = /OogP = /Oilog2.
В целях упрощения устраняют два постоянных
коэффициента, полагая
/Clog2 = l;
тогда количество информации равно просто числу п.
Учитывая соотношение между Р и /г, удобно выбрать
логарифмы с основанием 2, что дает в конечном счете
/ = log2P. (55)
Таким образом, при измерении информации естественно
возникает бинарная система счета. Получающаяся единица
количества информации, согласно английскому
наименованию «binary digit», кратко обозначается словом «бит».
Возвращаясь к трем рассмотренным примерам,
получаем, что в наиболее простом из них, т. е. при
подбрасывании монеты, количество получаемой информации равно
/ = log2 2 = 1 бит;
в случае бросания кости
/ = log26 = 2,6 бит;
наконец, количество информации, получаемое при
извлечении одной карты из колоды в 32 карты, равно
I = log2 32 = 5 бит.
Как указывалось, выбор бинарной, или двоичной
системы счета при определении единицы количества
информации был связан с задачами передачи информации. Но
вполне законно использовать и другие единицы
информации. Так, в выражение для / можно ввести натуральный
логарифм Р и принять для К некоторое значение, скажем
К= 1; тогда получим
/ = 1пР.
Нетрудно проверить, что отношение определенной таким
образом единицы информации к бинарной единице равно
Iog2e, т. е. приблизительно 1,44,

188 ЭНТРОПИЯ И ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ [ГЛ. 5
В некоторых случаях удобнее использовать десятичные
логарифмы. Тогда единица неопределенности соответствует
опыту, который может иметь 10 равновероятных исходов;
отношение десятичной единицы к бинарной равно log2 10 ж
« 3,32 х).
§ 55. Составные и частичные информации
Из сказанного нам ясно, что принятая
логарифмическая форма соотношения между величинами / и Р должна
удовлетворять условию
/ = /(PA) = /1 + /2,
где Iiz=f(Pi) и /2 = / (Рг)» причем /4 и /2 — информации,
относящиеся к двум независимым задачам, имеющим
соответственно Pi и Р2 возможных ответов.
Природа этих задач может быть одинакова или
различна. Так, полная информация, получаемая при трех
последовательных бросаниях одной кости (или при
бросании трех костей), равна приблизительно 3-2,6, т. е.
приблизительно 7,8 бит, тогда как полная информация,
получаемая при подбрасывании монеты и извлечении одной
карты из колоды в 32 карты, равна 1+5 = 6 бит.
Очень важно, чтобы было выполнено условие
независимости. Так обстоит дело в случае монеты и игральной
кости, ибо каждый из этих предметов теоретически
недеформируем и может служить для испытания сколько угодно
раз. Но перед повторением испытания с колодой карт
необходимо вынутую карту помещать обратно в колоду
или проводить испытания с различными колодами. Если,
скажем, имеется четыре колоды по 32 карты и из каждой
колоды мы вынимаем по одной карте, то количество
получаемой информации равно
/ = 4 log2 32 =-20 бит.
Но если мы последовательно извлекаем карты из одной
колоды, не возвращая их обратно в колоду, то после
*) Примеры применения десятичной единицы можно найти
в книге: А. М. Я г л о м и И. М. Я г л о м, Вероятность и
информация, Физматгиз, 1960.

§ 56] ВВЕДЕНИЕ ПОСТОЯННОЙ БОЛЫДМАНА И ЕГО СЛЕДСТВИЯ 18§
каждого испытания мы уменьшаем степень
неопределенности задачи, так что полная получаемая информация
будет меньше 20 бит\ так, четвертое испытание добавляет
к полной информации только log2 29 « 4,86 бит, вместо
5 бит, которые дает цервое испытание.
Но можно не рассматривать составную информацию,
получаемую от этих четырех последовательных
испытаний, а сравнивать между собой степени неопределенности,
соответствующие состоянию колоды карт до и после серии
испытаний. Перед первым извлечением информация равна
нулю (/0 = 0) и существуют Р0=32 равновероятные
возможности. После четвертого извлечения информация
/i > 0, а число возможностей сокращается до Р\ =-28.
Количество информации, получаемое от четырех
испытаний, следовательно, равно
/i-log232 — log228 = 5 — 4,81 =0,19 бшя.
В общем случае и независимо от выбираемой единицы
информации переход от Р0 к Pi возможностям (при РА < Р0)
соответствует количеству информации
/ = tflog-pL.
г 1
Мы все время подразумевали, что рассматриваемые
возможности были равновероятны. Но не всегда так, и
Шеннон установил выражение для количества информации,
учитывая a priori возможность неравенства вероятностей
различных исходов. Мы не будем останавливаться на этом
вопросе, так как он не имеет прямого отношения к
соотношению между информацией и энтропией. Укажем только,
что наложение условия различной вероятности
рассматриваемых переменных сокращает неопределенность проблемы
и ведет поэтому к значению /, меньшему чем в случае
равновероятных возможностей.
§ 56. Введение постоянной Больцмана и его следствия
Каково бы ни было принято значение коэффициента К,
фигурирующего в выражении для /, эта величина
отличается от энтропии только постоянным множителем, на
что указывает сравнение формул (53) и (54). Но поскольку

190 ЭНТРОПИЯ И ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ [ГЛ. 5
коэффициент К может быть выбран произвольно,
припишем ему значение, равное коэффициенту k в формуле (53),
т. е. постоянной Больцмана. Тогда получаем формулу
/ = Л1пР. (56)
Величины S и I выражаются, таким образом, одной
формулой, причем переменные Р и W тождественны между
собой всегда, если Р равно числу возможностей,
соответствующих заданному макроскопическому состоянию.
Единица информации оказывается, таким образом, равной
единице энтропии, и изменения этих величин с точностью
до знака одинаковы. Итак, мы видим, что связь между
энтропией и информацией гораздо более тесная, нежели
это можно было предполагать вначале. Вместо
математического соотношения между двумя величинами мы
получаем тождественное равенство с точностью до знака. Такой
результат может показаться неожиданным, но все довольно
быстро становится очевидным, если продумать последова
тельные этапы наших рассуждений.
1) Задача, стоявшая перед нами, заключалась в
нахождении соотношения I = f (Р). Но переменная Р
аналогична переменной W в формуле Больцмана; в области
термодинамики эти переменные даже тождественны.
2) Чтобы обеспечить свойство аддитивности
информации, была принята логарифмическая форма зависимости f,
которая характеризует также и формулу Больцмана.
3) Используя произвол в выборе постоянной К,
входящей в искомое соотношение, мы сделали следующий шаг
и приписали этой постоянной численное значение, равное
постоянной Больцмана.
4) Но, что гораздо более важно, мы не ограничились
выбором для коэффициента К численного значения,
равного численному значению k, а приписали этому
коэффициенту еще и размерность постоянной Больцмана. В случае
формулы Больцмана размерность числового коэффициента
определяется необходимостью измерять энтропию
отношением энергии к температуре. Но такая единица
измерения отнюдь не необходима для информации: выражая
количество информации в двоичных или десятичных
единицах, мы не можем, разумеется, считать единицу
информации энергией, деленной на температуру, и подстановки

§ Ш ВВЕДЕНИЕ ПОСТОЯННОЙ БОЛЫ1МАНА И ЕГО СЛЕДСТВИЯ 191
постоянной k вместо К недостаточно чтобы придать
информации физический смысл, которого у нее не было до этой
подстановки. Конечно, можно было бы, следуя
предложению Белла, представлять как информацию, так и
энтропию в безразмерных единицах: для этого достаточно было
бы измерять температуру в энергетических единицах, но
это ничего не изменило бы в существе проблемы.
С другой стороны, как указывалось выше, выбор
коэффициента К обычно согласуется с задачами, возникающими
при передаче информации. Эта передача — явление чисто
физическое и, очевидно, теория некоторых способов
передачи информации может вполне содержать постоянную
Больцмана k. Но такое появление постоянной Больцмана
не имеет всеобщего значения, а поэтому ее введение в
выражение (54) должно считаться произвольным.
Итак, тождественность величин I и S происходит не
столько от самой природы вещей, сколько от нашего
произвола. Содержание § 53 показывает, что информация
и энтропия действительно связаны между собой, но только
через посредство переменной Р и в той мере, в какой эта
переменная может быть отождествлена с W. Когда
последнее условие удовлетворено, мы имеем
S=F(P) и / = /(Р);
однако этих соотношений недостаточно, чтобы приписать
величинам S и I одинаковую размерность. Например, для
насыщенного сухого водяного пара давление, удельный
объем, энтальпия и энтропия являются функциями
температуры (и только температуры), что не мешает этим
величинам иметь различные размерности.
Эти соображения должны нас предостеречь против
некоторых следствий, которые можно пытаться извлечь из
соотношения (56). Прежде всего использование этого
соотношения допустимо только в том случае, когда
величина Р имеет смысл термодинамической вероятности, ибо
только в этом случае единица энтропии может найти
применение для измерения информации. Но, несмотря на свою
очевидность, это условие не всегда соблюдается и
некоторые авторы говорят, например, об энтропии испытания,
которое состоит в извлечении белого шара из урны,
содержащей как белые, так и черные шары. Слово «энтропия»

192 ЭНТРОПИЯ И ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ [ГЛ. 5
здесь имеет смысл «степени неопределенности». Но если
второй термин заменяется первым для повышения
наглядности теории информации, то на самом деле эта замена
может призести к прямо противоположному результату.
Понятие энтропии достаточно тонко, а его применения
достаточно многочисленны, чтобы не было нужным вводить
его в область, где оно вовсе не необходимо.
Мы видели, что в этом нет необходимости даже тогда,
когда величина Р действительно совпадает с
термодинамической вероятностью W. Поэтому выражение (56) не
должно рассматриваться как физический закон. Однако
это не мешает приписывать ему некоторый условный смысл,
т. е. принимать его как некоторое полезное соглашение,
в тех случаях, конечно, когда это соглашение полезно.
Но прежде чем перейти к практической пользе
соотношения (56), надо остановиться на одном теоретическом
вопросе, который возникает при его сравнении с формулой
Больцмана.
§ 57. Физический смысл отождествления информации
и энтропии
Сколь бы различными ни казались величины,
представляемые символами S и /, если мы примем для них
тождественные выражения
S = k\nW и I = klnW (так как Р = 1Р),
мы должны допустить, что и сами величины
тождественны. Принятое здесь соглашение (подчеркнем еще раз —
это только соглашение) заставляет нас рассматривать
энтропию и информацию как два различных аспекта одной
и той же величины. Современная физика, вообще говоря,
приучила нас к такому положению вещей.
Можно пойти и далее. Как и в случае других физических
явлений, эти два аспекта, согласно знаменитому
выражению Нильса Бора, выражают «дополнительные стороны»
одной и той же реальности. Действительно, как мы видели в
начале этой главы, когда энтропия системы возрастает,
информация, которой мы располагаем относительно ее
микроскопической структуры, уменьшается, тогда как минимум
энтропии (S •= 0) соответствует наибольшей возможной

§ 57] ОТОЖДЕСТВЛЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ И ЭНТРОПИИ J93
информации. Аспекты «энтропия» и «информация» взаимно
исключают друг друга.
Но может оказаться удобнее рассматривать две
величины, изменяющиеся не в противоположных, а в одном
направлении; для этого достаточно изменить знак перед
одной из этих величин. Так, Бриллюэн рассматривает
отрицательную энтропию, которую он называет «негэн-
тропией»: N =—S. Разумеется, согласно второму
принципу, негэнтропия всегда уменьшается. Замена S на N
вполне законна, ибо знак, выбранный Клаузиусом для
величины S, вообще говоря, произволен. Но, возможно,
предпочтительнее использовать симметричный неологизм
и не связывать информацию с «негэнтропией», а связать
энтропию с «негинформацией». Действительно, выражения
для / типа (54), (55) и (56) могут привести к ошибке, так
как на первый взгляд они выражают находящуюся в нашем
распоряжении информацию, тогда как на самом деле они
представляют количество информации, которое можно
получить при решении данной задачи. В общем случае
в соотношении / = / (Р) величина / обозначает недостаток
информации перед решением задачи или, что то же самое,
информацию, которую мы получим, решив эту задачу.
Букву / надо считать начальной в слове «ignorance»
(незнание), а не в слове «information» (информация); однако
первое из этих слов с трудом может быть принято в научной
теории, а вот термин «негинформация» может быть
воспринят легче.
Разумеется, вопрос терминологии — вопрос
второстепенный. Но введение термина «негинформация», по-видимому,
облегчает решение задачи, поставленной в этом параграфе.
В изолированной и не подверженной действию никаких
сил системе энтропия и негинформация стремятся к
некоторому максимальному значению. Но мы знаем, что
энтропия это мера трудности возвращения системы в начальное
состояние; аналогично, негинформация это мера
трудности познания настоящего микроскопического состояния
системы. Можно даже попытаться связать эти трудности,
объяснив первую при помощи второй: именно вследствие
незнания положений и скоростей молекул системы
необходимо затратить много энергии для возвращения системы
в более упорядоченное состояние. Из двух аспектов одной

194 ЭНТРОПИЯ И ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ [ГЛ. 5
и той же функции состояния один имеет характер
объективный, а другой — субъективный. Как и в случае
формулы Больцмана, мы встречаемся здесь с двумя
выражениями молекулярного беспорядка, которые относятся
к двум различным уровням языка.
Ясно, что такое представление дуализма энтропия—
информация есть лишь перевод другого, основанного на
физической картине: энтропия это выражение
макроскопического состояния системы, тогда как информация
относится к микроскопическому состоянию. В таком
представлении дуализм энтропия —информация есть неоспоримая
истина; однако эта истина допускает две различные
интерпретации, и это основной пункт нашего обсуждения.
§ 58. Двойной дуализм энтропия — информация
Вернемся к простому рассуждению, изложенному
в § 53. Это рассуждение показало, что когда состояние
системы изменяется в направлении увеличения
молекулярного беспорядка, энтропия системы увеличивается и,
соответственно, наша информация о ее микроскопическом
состоянии уменьшается. Аналогично, если система
эволюционирует в направлении упорядоченности (например,
при уменьшении температуры), то ее энтропия
уменьшается, но зато увеличивается наша информация о ее
микроскопическом состоянии. Мы знаем, кроме того, что
увеличение информации связано в этом случае с
уменьшением числа комплексий, позволяющих реализовать
макроскопическое состояние рассматриваемой системы.
Дуализм энтропия — информация возникает здесь при
сравнении двух состояний одной и той же системы.
Но этот дуализм может быть представлен и иначе.
Рассмотрим газообразную массу в состоянии
термодинамического равновесия. Мы знаем энтропию этой массы, но,
конечно, совершенно не знаем ее микроскопического
состояния. В предшествующем случае, чтобы сократить
неизвестность, мы мысленно понижали температуру системы,
зная, что вблизи абсолютного нуля наша информация
окажется наибольшей. Теперь, чтобы получить тот же
результат, используем другую процедуру: будем
сокращать число возможных . комплексий, действуя на число

§ 58] ДВОЙНОЙ ДУАЛИЗМ ЭНТРОПИЯ - ИНФОРМАЦИЯ 195
присутствующих молекул. В пределе в рассматриваемом
сосуде останется только одна молекула газа, что
существенно сократит энтропию «системы» и наше незнание.
Будем сравнивать между собой не два состояния одной
системы, а две системы, сильно отличающиеся друг от
друга.
Со времени появления первой работы, касающейся
связи между энтропией и информацией (это была
упомянутая выше статья Сциларда), связь эта часто
иллюстрировалась примерами, придуманными именно в духе
второго варианта. Поэтому очень важно проверить
справедливость этого подхода. Нетрудно показать, что он не
законный.
Термодинамика — наука статистическая. Основные
величины термодинамики, такие как температура,
давление и энтропия, имеют смысл только, если
рассматриваемая «система» состоит из очень большого числа частиц.
Изолированные атом или молекула не имеют ни
температуры, ни энтропии. Эта истина слишком хорошо
известна, чтобы нужно было подробно говорить о ней, но если
необходимо для ее поддержки мнение неоспоримого
авторитета, то можно процитировать выдержку из книги Гей-
зенберга: «...Невозможно связать это понятие
«температура атома» с определенным свойством атома и можно
связывать его только, по крайней мере частично, с нашим
недостаточным знанием этого атома. Мы можем связать
значение температуры со статистическими вероятностями
свойств атома, но очень сомнительно, чтобы такое
свойство могло рассматриваться как объективное» *).
Системы, состоящие из малого числа молекул, не
подчиняются законам термодинамики. Конечно, понятие «малое
число» довольно расплывчато и нет возможности даже
определить его точнее, но эта трудность присуща всем
областям, где появляются статистические закономерности.
Впрочем, она была известна еще в древности в форме
«софизма кучи зерна»: одно зерно, очевидно, не составляет
кучи, так же дело обстоит для двух, трех или даже ста
зерен; где та граница, начиная с которой совокупность
зерен образует кучу? Граница эта, разумеется, не может
х) W. Н е i s е n b е г g, Physique et philosophic гл. 10.

196 ЭНТРОПИЯ И ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ [ГЛ. 5
быть точно указана, но это вовсе не означает, что понятие
«куча зерна» не имеет смысла. Но здесь различие
понятий — чисто словесное, в интересующем же нас вопросе
дело идет не об игре слов. Нам надо установить, в какой
степени некоторые физические законы оказываются
применимыми к системам с различным числом частиц. Ответ
на вопрос ясен: эти законы применимы тем лучше, чем
больше число молекул. Очевидно, что для данного
объема, скажем 1 дм3, законы термодинамики выполняются
лучше, когда этот объем содержит 1025 молекул газа, чем
когда число молекул равно только 105, и совершенно
неприменимы, когда объем содержит только одну молекулу.
В последнем случае, разумеется, действуют физические
законы, но это законы механики, классической или
квантовой, а не законы термодинамики. Для термодинамики
объем 1 дм3, содержащий только одну молекулу, есть
совершенно пустой объем, т. е. ничто. Но если энтропия
тела имеет определенный смысл, даже когда температура
тела близка к абсолютному нулю, пустота не имеет
никакой энтропии.
Мы увидим, как эти общие рассуждения можно
применить в некоторых частных случаях, касающихся связи
между энтропией и информацией.
§ 59. Задача Сциларда: производство работы
с помощью одной молекулы
В цитированной выше работе Сцилард исследовал
задачу о тепловой машине с одним источником тепла,
где рабочее тело сводится к одной-единственной молекуле.
Рассмотрение Сциларда было повторено и дополнено
Бриллюэном *). Мы изложим здесь эту работу Бриллюэна,
а затем перейдем к критическому анализу предложенного
решения.
Замкнутый цилиндр содержит в точности одну
молекулу. Объем V цилиндра может быть разделен подвижной
перегородкой на две части Vt и V2. В момент, когда
устанавливается перегородка, экспериментатор знает, что моле-
х) L. В г i 1 1 о u i n, La science et la theorie de l'information,
Paris, Masson, гл. 13.

§ 59]
ЗАДАЧА СЦИЛАРДА
197
кула находится в одном из объемов V\ или У2.
«Предположим, что она находится в объеме У^ Тогда перегородка
перемещается, подобно поршню, вдоль цилиндра, так что
объем Vi постепенно становится равным начальному
объему У, причем во время этого процесса температура системы
поддерживается постоянной с помощью термостата. За
время этого перемещения молекула несколько раз
сталкивается с перегородкой, так что возникает некоторое
среднее давление, аналогичное давлению идеального газа.
Производится некоторое количество работы. Затем
перегородка отодвигается в сторону и возвращается в свое
первоначальное положение, после чего всю операцию
можно повторить. Такая система производит
механическую работу. Используется только одна температура, но
необходимо иметь информацию относительно положения
молекулы»; эта информация связана с изменением энтропии.
В схеме, придуманной Сцилардом, экспериментатор
вводит перегородку в некотором положении, затем
выясняет, находится ли молекула в объеме Vi или в объеме У2;
наконец, учитывая эту информацию, он перемещает
поршень в ту или иную сторону. Чтобы локализовать
молекулу, экспериментатор использует два пучка света,
пересекающих объемы Vi и V2, а также два фотоэлемента,
получающих свет, рассеянный одним из этих объемов.
При локализации поглощается квант света hv (где h —
постоянная Планка, a v — частота света) и, следовательно,
происходит возрастание энтропии
Можно показать *), что AS удовлетворяет соотношению
AS>ftln2 = 0,7/e,
где k — постоянная Больцмана.
Вероятность найти молекулу в объеме У равна,
очевидно, pi=Vi/V\ если молекула действительно находится
в объеме Уь то получаемая информация равна
f1== —klnpi.
г) Доказательство можно найти в книге Бриллюэна. Мы не
приводим его, так как в дальнейшем оно нам не потребуется.

198 ЭНТРОПИЯ И ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ [ГЛ. 5
Аналогично,
h = — k\np2,
где р2 = V2/V— вероятность найти молекулу в
объеме V2i a i2 — соответствующая информация (ясно, что
/?i + P2=l)- Отсюда следует, что средняя информация
за операцию равна
/ = Pih + Pih =—k(pt In pi + р2 In р2) > 0.
Если с помощью AS обозначить среднее возрастание
энтропии за операцию, то
AS>/,
причем знак равенства имеет место только, если Vt =
= V2=V/2; в этом случае
7 = й1п2.
Исследуем теперь работу машины, применяя
классические формулы, относящиеся к идеальному газу. Введение
перегородки вызывает изменение энтропии, равное
A(Ti = k In -у- = k In pi < 0,
если молекула находится в объеме Vi, и
Аа2 = Л In -у- = & In /?2 < 0»
если молекула находится в объеме V2\ сразу же видно,
что эти изменения энтропии равны с точностью до знака
соответствующим информациям. Аналогично, обозначая
с помощью Да среднее уменьшение энтропии за операцию,
имеем Да ——/. С другой стороны, применяя к
рассматриваемой молекуле закон Бойля—Мариотта
pV = kT,
и предполагая, что молекула находится в объеме Vi,
находим
v v
W= \ pdV = kT \^- = kT\n^-,
Vi Vi
где W — работа, производимая молекулой; эта работа

§ 60] КРИТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ СЦИЛАРДА 199
должна быть эквивалентной количеству тепла Q, взятому
от термостата. Соответствующее изменение энтропии равно
-%- = k In-?- = -А(т1>0.
Аналогичные результаты получаются, когда молекула
находится в объеме V2.
§ 60. Критический анализ решения задачи Сциларда
Изложенное нами рассуждение несомненно весьма
тонко; но нетрудно показать, что оно содержит ряд слабых
пунктов.
Действительно, общее рассмотрение § 56—58
показывает, что если, исходя из задачи Сциларда, мы приходим
при некоторых условиях к равенству между изменением
энтропии и количеством информации, то это происходит
потому, что мы применяем и к энтропии и к информации
методы рассмотрения, справедливость которых еще нужно
доказать. Количество информации не могло бы быть равным
изменению энтропии, если бы мы не приписали им
одинаковые размерности, но, как уже указывалось выше, этот
метод измерения информации основан только на
формальной аналогии, а не на истинной природе вещей. С другой
стороны, закон Бойля — Мариотта и формула изменения
энтропии применимы к идеальным газам, но не применимы
ни к изолированной молекуле, ни к пустому объему, ни
в особенности к объему, содержащему одну-единственную
молекулу. Присутствие этой молекулы разрушает
единственное свойство, общее для идеального газа и пустоты,—
однородность. Таким образом, вся эта теория машины
Сциларда одновременно и сложная, и хрупкая.
В действительности, работа такой машины не имеет
отношения к термодинамике, и в теорию не должно входить
понятие энтропии. Вместо молекулы можно представить
себе маленький стальной шарик, движущийся с большой
скоростью и сталкивающийся после небольших
прямолинейных пробегов либо со стенками сосуда, либо с
поршнем. В последнем случае молекула передает поршню
некоторую часть своей кинетической энергии (которая
превращается, таким образом, в работу) и ее скорость

200 ЭНТРОПИЯ И ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ [ГЛ. 5
уменьшается. Но, поскольку с помощью внешнего
источника тепла температура стенок цилиндра поддерживается
постоянной, столкновения со стенками непрерывно
восстанавливают кинетическую энергию молекулы; эти
изменения скорости вследствие ударов о поршень немедленно
компенсируются. Присутствие термостата, следовательно,
не изменяет природы задачи, которая остается задачей
механики, но не термодинамики.
Остается вопрос о локализации молекулы; она может
быть достигнута гораздо более простыми способами, чем
тот, который описан в предыдущем параграфе. Ясно, что,
допустив возможность производства работы с помощью
одной-единственной молекулы, мы тем самым должны
предположить, что перегородка, играющая роль поршня,
не имеет никакой инерции и перемещается в цилиндре без
трения. В этих условиях мы будем информированы о
присутствии молекулы в объемах У4 или V2 после первого же
удара молекулы о подвижную перегородку, ибо этот удар
вызовет перемещение перегородки в ту или иную сторону.
Мы предполагаем также, что работа, производимая
молекулой, может поглощаться двумя устройствами,
расположенными на обоих концах цилиндра. Как только
поршень получит первый удар и начнет перемещаться, мы
соединим его (в зависимости от того, куда направлено это
перемещение) с тем или другим принимающим
устройством, которое в дальнейшем и будет поглощать
производимую работу, пока поршень не достигнет основания
цилиндра. Разумеется, это соединение двигающегося
поршня с поглощающим устройством может происходить
автоматически.
Таким образом, задача об информации касательно
локализации молекулы оказывается разрешенной чисто
механическим способом, без применения понятия
энтропии. На самом деле даже нет необходимости решать эту
задачу. Вообще говоря, можно, ничего не меняя в
принципе устройства прибора, реализовать его следующим
образом. Вводя перегородку в цилиндр, мы помещаем на
оси последнего два стержня, один из которых находится
справа от перегородки, а другой — слева (предполагаем,
что ось цилиндра горизонтальна). Эти два стержня
находятся в контакте с перегородкой, но не соединены с ней.

§ 60] КРИТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ СЦИЛАРДА 201
Тогда, каким бы ни было положение молекулы (в
объеме V\ или в объеме V2)< перегородка при перемещении
будет толкать один или другой стержень и приводить
в действие устройство, поглощающее производимую работу.
Таким образом, для обеспечения работы машины нет
необходимости иметь какую-либо информацию о
положении молекулы. Отсюда следует, что подобно
термодинамике, теория информации тоже не имеет никакого
отношения к решению проблемы Сциларда.
Но можно пойти и дальше. Вместо единственной
молекулы возьмем 3, 5 или 7 молекул; пока их число остается
нечетным, работа машины обеспечена, так как «средние
давления» на обе стороны перегородки по необходимости
различны. Но если бы мы захотели перед запуском машины
локализовать все эти молекулы, то быстро оказались бы
перед неразрешимой задачей: с ростом числа молекул
экспериментальное устройство, необходимое для их
локализации, становится все более и более сложным *). И
наоборот, используя простое механическое устройство,
описанное выше, мы обеспечим нормальную работу машины при
999 молекулах так же, как и при одной, поскольку его
функционирование не требует никакой информации. Но
независимо от того — знаем ли мы или не знаем
распределение молекул между объемами V\ и V2» если число их
(по условию нечетное) превосходит единицу и все они
не находятся по одну сторону от поршня, то поршень,
не доходя до основания цилиндра, остановится, ибо на
сторону поршня, обращенную к основанию, действует
отличное от нуля давление.
Сделаем еще один шаг. Введем нашу идеальную
перегородку в цилиндр, наполненный реальным газом, т. е.
в цилиндр, содержащий очень большое число молекул,
которое может быть четным или нечетным. Поскольку сил
инерции и трения нет, перегородка не оказывает никакого
сопротивления давлениям, действующим на обе ее стороны.
Но эти давления не одинаковы вследствие «флуктуации»
в обоих газообразных массах, связанных с локальными
х) Эта локализация должна быть одновременной, так как
в противном случае мы не сможем узнать, происходят ли
последовательные рассеяния света на одной молекуле или на различных
молекулах.

202 ЭНТРОПИЯ И ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ [ГЛ. 5
отклонениями температуры и плотности от средних
значений. Хотя эти отклонения очень малы и чрезвычайно
нерегулярны, они все же могут оказаться достаточными, чтобы
сообщить перегородке колебательное движение
(нерегулярное и очень малой амплитуды) около его положения
равновесия, и это движение теоретически может быть
использовано для производства работы. Как и в случае
единственной молекулы, эта работа будет производиться с помощью
только одного источника тепла. Однако природа явлений
в обоих случаях совершенно различна: в первом случае мы
имеем дело с механическим явлением, а второй есть
проявление статистического характера законов термодинамики.
Последнее явление, между прочим, аналогично
броуновскому движению или маятнику, сохраняющему бесконечно
долго нерегулярные колебания малой амплитуды. Здесь
необходимая для поддержания движения энергия также
берется из одного источника тепла.
Наконец, чтобы закончить этот анализ, рассмотрим
последний аспект вопроса. Если вместо одной молекулы по
одну сторону перегородки мы поместим очень большое их
число, а по другую сторону будет обеспечен абсолютный
вакуум, то можно, конечно, получить некоторое количество
работы при расширении рабочего тела. Но если в случае
одной молекулы эту операцию можно повторить сколько
угодно раз, перемещая время от времени перегородку, то в случае
газообразной массы использование одного источника тепла
позволяет получить работу только в продолжение одного
хода поршня. И в то же время в обоих случаях при
постоянной температуре кинетическая энергия молекул не
изменяется в продолжении хода поршня. Причина этого различия
ясна и ее вряд ли стоит уточнять. В случае единственной
молекулы единственным параметром, характеризующим
состояние системы, является кинетическая энергия
молекулы, поскольку эта энергия инвариантна, возвращение
в начальное состояние не требует затраты энергии. В случае
газообразной массы состояние системы характеризуется
как кинетической энергией молекул (температура), так
и средним расстоянием между ними (удельный объем);
только первая величина остается постоянной во время
процесса, вторая же возрастает. Во втором случае возвращение
р начальное состояние требует уменьшения среднего рассто-

ss 61]
«ДЕМОН» МАКСВЕЛЛА
203
яния между частицами, и чтобы это сокращение расстояния
поглощало количество энергии, меньшее, чем было
получено при расширении, необходимо, чтобы оно происходило
при более низкой температуре. В противоположность
изолированной молекуле газообразная масса может
производить работу неопределенно долгое время только при
наличии двух источников тепла. При заданной температуре
холодильника энтропия есть мера энергии, теоретически
необходимая для возвращения системы в начальное
состояние. Именно из-за того, что в случае изолированной
молекулы начальное и конечное состояния идентичны,
энтропия не должна входить в теорию машины Сциларда.
§ 61. «Демон» Максвелла
Парадокс Максвелла по справедливости
рассматривается как особенно наглядная иллюстрация связи между
энтропией и информацией, но анализ этого вопроса покажет нам,
что связь эта не столь тесная, как это принято думать.
В 1871 г. Максвелл придумал некое существо с
особыми способностями, позволяющими ему нарушить второй
принцип термодинамики х). Это существо, названное «демон
Максвелла», помещается перед перегородкой, разделяющей
две части А и В сосуда, наполненного газом при заданных
температуре и давлении. В перегородке имеется небольшое
отверстие, которое можно закрыть задвижкой или клапаном.
Демон способен различать молекулы и следить за их
движением, он оперирует клапаном так, что позволяет наиболее
быстрым молекулам перейти из части А в часть Б, а самым
медленным — из части В в часть А. Таким образом, демон
в конце концов повысит температуру в части В и понизит
ее в части Л, не производя никакой работы, что, конечно,
противоречит второму принципу.
Хотя ему скоро исполнится сто лет, демон еще до сих пор
мутит умы физиков. Относятся физики к нему, правда,
по-разному. Проще всего сказать (поэтому так часто и
делают), что никакой проблемы вообще нет, ибо демона
Максвелла в природе не существует, а наука не должна учитывать
вмешательства сверхъестественных существ. Пример такого
*) Та же идея гораздо раньше Максвелла была выдвинута
Лошмидтом.

204 ЭНТРОПИЯ И ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ [ГЛ. 5
отношения идет сверху: сам Клаузиус пренебрежительно
заявил, что второй принцип не касается того, что теплота
может делать с помощью демонов, а лишь того, что теплота
делает своими собственными силами. Больцман отбросил
идею Максвелла, исходя из того, что «если бы все
температурные разности нивелировались, то не могло бы
возникнуть и никакое разумное существо». Эйнштейн,
по-видимому, занимал ту же позицию, так как, согласно Перрену *),
он сказал: «Кажется вероятным, что в среде, находящейся
в равновесии, разумный механизм не может действовать».
Совсем недавно Коста де Борегар предложил 2) «исключить
идеальную перегородку Максвелла и его последователей
по причинам, аналогичным тем, которые заставили
отбросить светоносный эфир», ибо «такая идеальная совершенно
непроницаемая перегородка без массы, без трения и без
теплоемкости... есть химерический гибрид материального
и нематериального», как и светоносный эфир.
Несомненно, что судьба демона Максвелла подобна
судьбе эфира — не существовать, по крайней мере на
современном уровне наших знаний. Но на этом аналогия
кончается. Эфир был придуман физиками не ради удовольствия
сочинять парадоксы, он возник ввиду законного желания
иметь рациональную теорию распространения света. И они
верили в реальное существование эфира до тех пор, пока
эксперимент Майкельсона не заставил их отказаться от этой
веры, тогда как Максвелл, разумеется, не стремился кого-то
убедить в реальном существовании демона. Проблема,
поставленная Максвеллом, касается не существования
демона, а действий, которые он мог бы производить, если бы
существовал. Можно решать эту проблему по-разному, но
нельзя отбрасывать ее только на том основании, что демон
Максвелла — существо воображаемое. К тому же, если
бы мы должны были изучать только реально существующее,
нам пришлось бы отбросить и понятие обратимого
процесса, которое играет столь важную роль в термодинамике.
*) J. Р е г г i n, Les atomes. Цитировано: P. D е m е г s, Canad.
Journ. of Res., март (1944). Демер, впрочем, добавляет, что
неизвестно, относится ли оригинальный текст к проблеме Максвелла.
2) О. Costa de Beauregard, Sur l'equivalence entre
information et entropie dans le rapport Ilk In 2, C.R.A.S., заседание
5 декабря I960.

§ 61]
«ДЕМОН» МАКСВЕЛЛА
205
Аналогично, в теории смешения газов часто прибегают к
полунепроницаемым перегородкам, хотя в действительности
такие перегородки известны только в некоторых
исключительных случаях. Обращение к таким перегородкам вполне
законно, если иметь ясное понимание того, что дело идет
о фиктивном предмете, а это условие, между прочим, не
всегда выполняется. В следующей главе мы еще вернемся к
этому вопросу.
Итак, мы не можем обойти поставленный перед нами
вопрос: способен ли демон Максвелла действительно
нарушить второй принцип? Ответ на этот вопрос зависит от того,
как мы представляем себе демона и его возможности, или,
точнее, от того, насколько демон подчиняется естественным
законам. Поскольку эта часть постановки задачи не
уточнена, можно делать различные предположения о природе
демона, причем в каждом отдельном случае надо ожидать
получения различных ответов. Наиболее простым является
случай, рассмотренный самим Максвеллом; он определяет
демона как «существо со столь обостренными
способностями, что он может следить за движением каждой
молекулы и делать то, к чему мы в настоящее время неспособны».
Это определение вполне четко: согласно Максвеллу, демон
не подчиняется никаким ограничениям, которые
определяют деятельность человеческих существ х). Среди этих
ограничений некоторые носят субъективный характер,
а другие — объективный. Первые происходят от
несовершенства наших чувств и недостатка подвижности, вторые
будут уточнены в следующем параграфе. Создавая своего
демона, Максвелл освободил его только от ограничений
первого рода, ибо он не знал о существовании ограничений
второго рода. Но ничто не мешает нам наделить демона
всеми способностями, необходимыми для выполнения тех
действий, которые были задуманы его создателем, т. е.
предположить, что деятельность демона не подвержена
никаким ограничениям, ни объективным, ни субъективным.
х) Эддингтон выдвигает аналогичную идею, когда говорит
(New pathways in science, Cambridge University Press, 1934),
что, по-видимому, единственный способ помешать демону
Максвелла действовать — это превратить его в телесное существо,
«чтобы тело его расходовало упорядоченность, производимую
разумом».

206
ЭНТРОПИЯ И ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ
[ГЛ. б
Если мы примем эту гипотезу, то придем с
необходимостью к тому же заключению, что и Максвелл: демон
действительно способен без затраты энергии реализовать
температурную разность между двумя частями сосуда и,
следовательно, уменьшить энтропию полной массы
содержащегося в нем газа. Но находится ли этот вывод
действительно в противоречии со вторым принципом? Ответ
может быть только отрицательным. Второй принцип имеет
только статистическое значение и справедлив лишь в
макроскопических масштабах; он не вмешивается в явления,
происходящие на молекулярном уровне. Пусть клапан
приводится в движение не демоном, а некоторым
механизмом по определенному закону, т. е. независимо от
движения молекул. Даже в этом случае, спустя некоторое
время возможно появление разности температур между
двумя частями сосуда. Второй принцип не запрещает строго
возникновение такой разности, он ограничивается
утверждением, что появление разности крайне мало вероятно,
потому что число молекул в сосуде обычно очень велико.
Чтобы сделать понятнее роль этого числа, предположим,
что демон стремится произвести не разность температур,
а разность давлений между частями А и В сосуда. Для
этого он пропускает через отверстие все молекулы, идущие
из части А, какова бы ни была их скорость, и в то же
время задерживает все молекулы, идущие в обратном
направлении. Через некоторое время число молекул
в части В увеличится, а в части Л —уменьшится, что
проявится в появлении разности давлений между
частями А и В. Тот же результат мог бы быть получен,
если бы клапан управлялся механизмом (не придуманным
с целью получения разности давлений), но мы знаем, что
в нормальных условиях вероятность его создания
ничтожна. Если вернуться к предположению, сделанному
в § 60, и принять, что число молекул в сосуде равно,
скажем 3 или 5, то окажется, что на этот раз
неоднородное распределение молекул между двумя половинами
сосуда не только вероятно, но даже неизбежно. Мы могли
бы, следовательно, сказать, что в этом случае второй
принцип отказывает и без вмешательства воображаемого
существа. Однако проще принять, что второй принцип
не нарушается по той простой причине, что он неприло-

§ 62J
ПОПЫТКИ «ИЗГНАНИЯ» ДЕМОНА
207
жим к явлениям на молекулярном уровне, которые мы
здесь, рассматриваем. Аналогично, действие демона не
противоречит второму принципу, потому что протекает также
на молекулярном уровне, а не в макроскопических
масштабах, где только и имеет смысл принцип Клаузиуса.
§ 62. Попытки «изгнания» демона
Предположение. Максвелла о возможностях демона,
конечно, очень благоприятно, ибо приписывает ему
способность различать каждую молекулу без затраты энергии.
Во времена Максвелла это предположение не вызывало
особых возражений, так как современная теория излучения
(которой мы обязаны Планку) была тогда еще неизвестна.
Следовательно, Максвелл не знал, что помещает своего
демона в полость, наполненную излучением черного тела,
и демон никак не может видеть молекулы. Именно это
возражение выдвигают многие авторы против парадокса
Максвелла: демон мог бы видеть молекулы только, если бы они
были освещены каким-то внешним источником излучения,
а поскольку работа такого источника требует затраты
энергии, то активность демона в противоположность выводу
Максвелла не может быть даровой. По выражению Бриллю-
эна, демон Максвелла таким образом «изгнан».
Сила этого возражения заключается в том, что Максвелл
задумал демона чересчур антропоморфично. Если бы
знаменитый физик мог предвидеть теорию Планка, он, возможно,
наделил бы своего демона каким-то шестым чувством,
позволяющим выполнять задуманное без затраты энергии даже
внутри абсолютно черного тела, и тогда перед нами оказался
бы случай, рассмотренный в предыдущем параграфе.
Поэтому мы примем гипотезу современной теории информации,
согласно которой локализация молекул невозможна без
затраты некоторой энергии. Остается выяснить, достаточно
ли такого ограничения возможностей демона для полного
его «изгнания».
Это ограничение никак не повлияло бы на рассуждения
Максвелла, если бы затрату энергии, необходимой для
освещения молекул, можно было считать бесконечно малой. В
действительности это не так: затрата энергии не может быть
меньше ftv, где h—постоянная Планка, v—частота излуче-

208 ЭНТРОПИЯ И ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ [ГЛ. 5
ния. Проблема сводится к сравнению энергии,
передаваемой демону, с результатом деятельности последнего.
Эта проблема изучалась рядом авторов, в частности
Демером, который посвятил ей две статьи х). С помощью
численного примера Демер опровергает решение парадокса
Максвелла, предложенное Слэтером и основанное на
применении принципа неопределенности. Вместо этого принципа
Демер рассматривает излучение черного тела и квантовую
природу эмиссии, а также энергию, необходимую для
функционирования клапана (или задвижки). Ему удается
показать, что в некоторых частных случаях демон Максвелла
не может опровергнуть второй принцип, который можно
формулировать так: «Система с одной температурой не может
производить полезной работы». Однако автор признает, что
его доказательство не имеет общего значения, а главным
результатом работы является выяснение соотношений
между квантовой теорией и вторым принципом термодинамики.
Заметим, что в своих исследованиях Демер явно не
упоминает теорию информации. Роль этой теории в «изгнании»
демона Максвелла была изучена Джекобсоном 2), который
пришел к выводу, что теория информации не вносит новых
элементов в задачу, но позволяет исследовать некоторые
проблемы с большей общностью, чем это было возможно
до ее появления.
В противоположность этим авторам Бриллюэн
приписывает теории информации существенную роль. Чтобы
разрешить проблему демона Максвелла, он принимает следующую
схему. Излучение (скажем, от электрического светильника)
снабжает систему отрицательной энтропией, или
негэнтропией, из которой демон черпает информацию. Благодаря
этой информации он воздействует на клапан и вновь создает
негэнтропию. Цикл операций, таким образом, включает
последовательно снабжение негэнтропией, превращение ее
в информацию и, наконец, обратное превращение.
Возникающая при обратном превращении негэнтропия меньше
*) P. D е m е г s, Les demons de Maxwell et le second principe
de la thermodynamique, Canad. Journ. of Res., март (1944); Le second
principe et la theorie des quantas, ibid., май (1945).
2) H. J а с о b s о n, The role of information theory in the inac-
tivation of Maxwell's demon, Trans, of New York Academy of
Science, 14, 6 (1951).

§ 62] ПОПЫТКИ «ИЗГНАНИЯ» ДЕМОНА 209
той, которая поставляется системе извне, что соответствует
второму принципу и может даже служить для обобщения
последнего. Мы не будем приводить здесь вычислений,
приводящих к этому заключению; примем эти выкладки как
правильные, хотя, вообще говоря, они могут быть
подвергнуты критическому обсуждению. Особенно это касается
предположения, что температуры по обе стороны
перегородки в начальный момент сильно различаются, а роль демона
состоит в еще большем увеличении этой разницы. Но на наш
взгляд гораздо более важно выяснить, согласуется ли
полученный результат по необходимости со вторым принципом.
Ответ на этот вопрос может быть положительным или
отрицательным в зависимости от способностей демона и роли,
которая ему приписывается. Именно определенное
представление о демоне в теории информации приводит к
положительному ответу на поставленный вопрос, но это
представление, вообще говоря, не единственно возможное.
Согласно теории информации, роль демона состоит в
превращении информации в отрицательную энтропию. В
действительности это превращение возможно только ввиду
эквивалентности этих двух величин, но эта эквивалентность
была введена нами искусственно, когда в качестве меры
информации мы приняли единицу энтропии. Поэтому
следует предположить, что демон поставлен в известность об этом
соглашении, ибо предоставленный самому себе он, вероятно,
не нашел бы, что информация превращается в негэнтропию,
подобно тому как трение превращается в тепло. С другой
стороны, предполагая, что демон ограничится ролью
преобразователя с к. п. д., равным или меньшим единицы, мы,
по-видимому, преувеличиваем степень его послушания.
Весь смысл существования этого разумного агента состоит
в нарушении (по крайней мере кажущемся) второго
принципа; почему это он вдруг добровольно подчинится
требованию, которое заранее обрекает его на неудачу? Признавая
всю необходимость излучения от внешнего источника, он
может рассматривать это излучение как простое условие,
позволяющее сортировать молекулы, а вовсе не как
физическую величину, претерпевающую таинственные
превращения. Чтобы написать эти строки, мне необходим свет,
который я получаю либо от Солнца, либо от электрической
лампы; но роль этого света состоит лишь в том, чтобы

210 ЭНТРОПИЯ И ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ [ГЛ. 5
позволить мне нанести на бумагу достаточно различимые
знаки, а вовсе не в том, чтобы явиться первичной
материей для «информации», содержащейся в этих знаках,
которая, впрочем, может быть как положительной, так и
отрицательной в зависимости от того, верны или ложны
излагаемые мною идеи.
Бриллюэн справедливо указывает, что если используется
лампа, температура которой Т{ по необходимости превышает
температуру Т0 полости сосуда, то наиболее простой способ
создания в газе разности температур состоит в нагревании
части газа излучением лампы, тогда как другая часть газа
остается при температуре Т0. Аналогично, если мы хотим
создать в газе разность давлений, можно для получения
теплового двигателя, заставляющего работать компрессор,
использовать неравенство 7\ > Т0. В обоих случаях
активность демона является излишней. Но нам трудно допустить
вместе с Бриллюэном, что этот способ «оказывается более
эффективным, чем работа демона», т. е. что вмешательство
демона, не сопровождающееся никакими необратимыми
процессами, приводит к уменьшению к. п. д. всей операции.
Но даже если это и так, то результат нельзя рассматривать
как подтверждение второго принципа, ибо кванты света,
с одной стороны, и разность температур, создаваемая
демоном, с другой стороны, конечно, отнюдь не независимые
величины, однако они связаны друг с другом не вторым
принципом термодинамики. По гипотезе Максвелла демон
производит бесплатно полезную энергию; теория излучения
и квантовая теория заставляют нас признать, что, сохраняя
антропоморфическое представление о демоне, мы должны
передать ему некоторое количество энергии, но поскольку
вовсе не это количество энергии превращается в полезную
энергию, то последняя не должна по необходимости быть
меньше затраченной энергии.
Принимая необходимость затраты энергии для
локализации молекул, надо в то же время заметить, что эта энергия
должна передаваться не обязательно в форме энергии
излучения. Иными словами, демон мог бы, не пытаясь увидеть
молекулы, распознавать и сортировать их, измеряя, скажем,
силы Ван дер Ваальса или магнитные силы. Указывая на эту
возможность, Бриллюэн отмечает, что демон мог бы
использовать ее только, если молекулы находятся достаточно близ-

§ 63] СВЯЗИ ТЕРМОДИНАМИКИ И ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ 211
ко к перегородке, так что «силы, используемые демоном для
обнаружения и сортировки молекул, действуют и на сам
клапан или задвижку; для перемещения клапана нужна
затрата соответствующей работы и проблема становится
гораздо более сложной». Исследование этой задачи
действительно представляет большие трудности; но сама
постановка ее позволяет сделать два замечания. Прежде всего
проблема, как и ранее, заключается в сравнении между собой
двух количеств энергии, но на сей раз без вмешательства
негэнтропии, ибо вся информация, необходимая демону,
передается ему в форме механической величины (силы).
Второе замечание следует немедленно из первого:
невмешательство термодинамических величин устраняет
ограничения, накладываемые вторым принципом, так что мы не
можем a priori утверждать, что полезная энергия, создаваемая
демоном, обязательно должна быть меньше энергии,
затраченной на то, чтобы он смог распознать молекулы.
Таким образом, «изгнание» демона может быть
осуществлено, только если рассматривать его (как это делает теория
информации) просто как преобразователь величин,
выраженных в единицах энтропии. Но это представление о
демоне не единственно возможное, и, кроме того, оно более всего
отличается от представления самого Максвелла. Впрочем,
«изгнание» демона Максвелла не только не необходимо, но
даже нежелательно, ибо трудно найти более великолепную
иллюстрацию статистического значения второго принципа.
§ 63. Связи между термодинамикой и теорией информации
Пример парадокса Максвелла нам показал, что в
некоторых случаях теория информации позволяет исследовать
проблемы термодинамики в новом свете и, следовательно,
обогащает наши знания. Однако это обогащение в
настоящий момент имеет лишь качественную природу, ибо
привносимые им количественные элементы основаны на
соглашении, которое удобно для теории информации, но не очевидно
с термодинамической точки зрения. Так, в случае парадокса
Максвелла теория информации не может ни подтвердить,
ни отменить второй принцип, тем более, что этот парадокс
только кажущийся, ибо относится к области, где второй
принцип неприменим.

212 ЭНТРОПИЯ И ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ [ГЛ. 5
Можно также задать обратный вопрос, т. е. спросить,
какую помощь может оказать термодинамика теории
информации? Конечно, ответа надо ждать от специалистов этой
последней теории. Мы позволим себе, однако, поделиться
некоторыми наблюдениями, которые, естественно, не могут
служить ответом на поставленный вопрос, но покажут, что
этот ответ сопряжен с преодолением ряда трудностей.
Прежде всего применение термодинамики в теории
информации основано на неоспоримом факте: производство,
преобразование и получение информации всегда требуют
затраты энергии. Надо затратить некоторое количество
энергии, чтобы написать фразу или чтобы произнести ее
вслух, чтобы записать ее на бумаге или на магнитной
пленке, чтобы передать ее на расстояние по проводам или по
радио, наконец, чтобы познать ее в любой форме. Этот факт,
как уже было сказано, неоспорим, но дело идет по-прежнему
о качественной связи. Первая трудность возникает при
попытке установить количественное соотношение между
количеством информации и затраченной энергией, так как
одно и то же количество информации может
распространяться различными способами, требующими различной затраты
энергии. Какое же количество затраченной энергии должно
входить в искомое соотношение?
Чтобы установить это соотношение теория информации
фактически использует не количество затраченной энергии,
а соответствующую энтропию: поскольку информация
измеряется в единицах энтропии, получается однородное
соотношение. Но этот прием лишь добавляет новую трудность:
чтобы найти искомое значение энтропии (или негэнтропии),
мы должны измерить не только некоторое количество
энергии, но и абсолютную температуру, соответствующую этой
энергии. Но как определить температуру, соответствующую
энергии, затраченной автором некоторого написанного
текста, докладчиком, двигателем, приводящим в движение
диск фонографа, или слепым, читающим с помощью пальцев
текст, написанный методом Брайля? Нужно ли во всех этих
случаях учитывать температуру окружающей среды и
поэтому допустить, что негэнтропия, соответствующая данной
информации, может изменяться заметным образом в
зависимости от времени года или от интенсивности отопления
в данном помещении?

§ 63] СВЯЗИ ТЕРМОДИНАМИКИ И ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ 213
Все эти трудности проистекают от того, что метод,
основанный на сходстве (впрочем, условном) между выражением
количества информации и формулой Больцмана,
распространяется на области, где последняя формула не
действительна. Но если в области применений существуют
трудности, то теоретикам значительно легче установить гораздо
более глубокую связь между информацией и энтропией,
на что указывают последние попытки, касающиеся самого
понятия энтропии. Иными словами, проще установить
наличие такой связи, чем показать ее практический интерес
на числовых примерах. Эти попытки привели к обращению
естественного хода развития человеческой мысли и к
представлению о термодинамике как науке, основанной на
теории информации. Резюмируем кратко современное состояние
этого вопроса, хотя это неизбежно приведет нас к некоторым
повторениям.
Исходя из работ Шеннона, Джейнс х) показал, что
статистическая механика и теория информации могут быть
связаны между собой, если понятие энтропии,
фигурирующее в этой последней теории, может быть отождествлено
с тем, которое нам привычно в термодинамике. Таким
образом, понятие энтропии получает более глубокое содержание
и может, следовательно, служить отправной точкой теории.
Основным фактом является соотношение между энтропией
и неопределенностью касательно вероятностей
распределения. Ввиду того, что эти две величины имеют одно
математическое выражение, слова «энтропия» и «неопределенность»
могут рассматриваться как синонимы. Единственным
препятствием является присутствие в термодинамическом
выражении для энтропии постоянной Больцмана, но последняя
подходящим выбором единицы температуры может быть
сделана равной единице, причем энтропия становится
величиной безразмерной. С этой точки зрения понятие энтропии
является одновременно и субъективным и объективным:
с одной стороны, энтропия есть мера неопределенности,
а с другой, для равновесной системы она может быть
определена с помощью некоторых простых физических
измерений. Эта особая и фундаментальная роль энтропии лишает
*) Е. Т. J а у n е s, Information Theory and Statistical
Mechanics, Phys. Rev. 106, май (1957); 108, октябрь (1957).

214
ЭНТРОПИЯ И ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ
[ГЛ. 5
энергию того привилегированного положения, которое она
занимает в классической статистической механике. Кроме
того, субъективная интерпретация вероятностей позволяет
установить правила предсказания, не прибегая к некоторым
обычно используемым гипотезам. Принцип максимальной
энтропии перестает быть физическим законом и становится
просто методом рассуждений, позволяющим убедиться в
отсутствии всяких произвольных предположений, которые
могли быть сделаны бессознательно.
Все эти рассуждения касаются равновесных систем.
Но аналогичное рассмотрение было распространено Джейн-
сом на исследование явлений, изменяющихся во времени.
Если в начальный момент мы производим некоторые
измерения в рассматриваемой системе, то полученной нами
информации всегда недостаточно для определения
микроскопического состояния системы. С течением времени состояние
системы меняется под действием возмущений, которые
обычно остаются неизвестными, так что наша первоначальная
информация о системе постепенно теряется. Можно поэтому
принять, что в каждый момент времени система находится
во вполне определенном, но неизвестном состоянии, которое
изменяется под действием сил, также вполне определенных,
но неизвестных, так что вероятности выражают только
отсутствие сведений об этом состоянии. В этих условиях термин
«необратимость» характеризует не физическую эволюцию
системы, а скорее нашу способность следить за этой
эволюцией. Второй же принцип становится просто констатацией
того факта, что информация может теряться различными
способами, но чтобы приобрести ее, следует произвести
новые измерения. На этом субъективном понимании
вероятностей Джейнс основал метод вычислений, который мы
не можем здесь воспроизвести.
Исходя из формализма, развитого Джейнсом, Трайбес
сделал еще один шаг по тому же пути. Как показывает само
название его статьи х), автор стремится в основу изложения
термодинамики положить теорию информации. Он
показывает, в частности, что метод Джейнса позволяет установить
понятие обратимого процесса, принципы термодинамики
!) Myron Tribus, Information theory as the Basis for
Thermostatics and Thermodynamics, Journ. of Appl. Mech., март
(1961).

§ 63] связи ТЕРМОДИНАМИКИ И ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ 215
и т. д. Поскольку оба метода (классический метод и метод
Джейнса и Трайбеса) ведут к одинаковым результатам, то
оба они правомочны. И не только не противоречат один
другому, но счастливо дополняют друг друга: один из них
показывает макроскопический, или глобальный, аспект
явлений, а другой рассматривает их микроскопический
аспект и неопределенность наших знаний этого аспекта.
Выбор между двумя методами изложения термодинамики
должен основываться только на соображениях удобства
и эффективности.
Как показывает дискуссия по статье Трайбеса х), мнения
на этот счет разделились. Кажется несомненным, что метод
изложения и обучения, предложенный Трайбесом, требует
гораздо больших предварительных знаний, чем
классический метод. Поэтому он не дает выигрыша во времени,
особенно если поставить перед собой цель — дать более
глубокие знания учащимся. Основной пункт здесь, с нашей
точки зрения, тот результат, которого мы хотим здесь
добиться от студента. Если стремиться получить
специалиста по математической физике, то метод Трайбеса, пожалуй,
подходит лучше, но для формирования инженера более
важен макроскопический аспект явлений и предпочтителен
классический метод преподавания. Ибо если инженер
придет к понятию энтропии только через теорию информации
и субъективное понимание вероятностей, то его способность
рассчитать тепловую машину вызывает большие сомнения.
А если этот инженер признает, что энтропия для него
только мера его незнания, то скептицизм его собеседников
рискует превратиться в досадную уверенность.
) Опубликована в Journ. of Appl. Mech., сентябрь (1961).

Глава шестая
Энтропия и теория смешения газов
§ 64. Предварительные замечания
Свойства смесей газов, идеальных или реальных, хорошо
известны. Более того, в тех случаях, когда газы можно
считать идеальными, эти свойства выражаются особенно
простыми соотношениями, так что вычисления, касающиеся
термодинамических превращений газовых смесей, не
представляют труда. Так обстоит дело, например, когда нужно
найти энтропию смеси двух газов одной природы,
находившихся первоначально либо при одном давлении, но разных
температурах, либо при одной температуре, но разных
давлениях; оба случая рассмотрим в следующем параграфе.
Но есть еще один случай, на первый взгляд особенно
простой, исследование которого приводит к неожиданной
трудности: это случай смешения двух одинаковых газов,
находившихся первоначально при одинаковых температуре
и давлении. Обычное рассмотрение такой смеси приводит
к значению энтропии, которое недопустимо, но обычно все
же принимается; в этом состоит парадокс Гиббса. Парадокс
этот может быть разрешен; автор исследовал этот вопрос
в двух статьях, каждая из которых сопровождалась
дискуссией *), и идеи, высказанные в этих работах, будут изложены
в настоящей главе. Мы увидим, что парадокс Гиббса
проистекает от смешения макроскопического и
микроскопического аспектов состояний газовой смеси, а также от
использования понятия «полунепроницаемых» перегородок,
физическая реальность которых (за редкими исключениями)
не отличается от реальности демона Максвелла.
г) Sur les proprietes thermodynamiques des melanges de gaz,
Chaleur et Industrie, декабрь (1958) (дискуссия в номерах за апрель,
сентябрь и ноябрь 1959); Mixing Gases and Gibbs Paradox,
Engineering, сентябрь (1960) (дискуссия в номерах за 30 сентября, 7, 14
и 28 октября, 4 и 11 ноября, 2 и 23 декабря I960, 10 февраля и 3
марта 1961).

§ 65] СМЕШЕНИЕ ДВУХ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ГАЗОВ 217
§ 65. Смешение двух тождественных газов
при различных температурах или давлениях
Рассмотрим особенно простой случай смешения двух
равных масс одного и того же газа (по предположению
идеального), находившихся первоначально при одном
давлении р, но при различных температурах Т± и Т2 (Т\ > Т2).
Перед смешением обе массы находятся в закрытых сосудах,
разделенных перегородкой; каждый сосуд содержит 1 кг
газа, так что объемы сосудов равны
Vi =
*Ti „ и -XLl
р р '
где R— газовая постоянная рассматриваемого газа.
Устранение перегородки приводит к смешению двух масс
газа. Предполагая, что теплоемкость газа не изменяется
между температурами Tt и Г2, находим, что температура
смеси Тт будет равна арифметическому среднему
температур Tt и Т2, но поскольку объем смеси равен сумме Vt + V2,
то сразу же видно, что давление смеси остается равным р *).
Изобарные процессы, протекающие в газах при смешений,
приводят к изменениям энтропии газов
(AS), = -cpln-£-
1 т
И
(AS)2 = cpln-^.
1 2
Отсюда следует, что полное изменение энтропии,
отнесенное к 1 кг смеси, равно
AS==z(AS)i + (AS)2= Xn_Ti±T,
2 р 2(Т{Г2)1/* К f
Предположим теперь, что две массы газа, по 1 кг каждая,
находятся первоначально при одной температуре Г, но при
различных давлениях р4 и р2. В этом случае устранение
перегородки не изменяет ни температуры, ни полного
объема смеси, который равен
v.+v,=*r (£+£),
х) Ясно, что этот вывод справедлив только для
рассматриваемого случая, когда все основные предположения были предельно
упрощены.

218 ЭНТРОПИЯ И ТЕОРИЯ СМЕШЕНИЯ ГАЗОВ [ГЛ. 6
но давление, устанавливающееся в этом объеме, принимает
значение
__2PlP2
P1 + P2
Нетрудно проверить, что это изменение давления влечет
за собой изменение энтропии, которое, отнесенное к 1 кг
смеси, выражается формулой
"-«"-^'-■iiJsSfe- <58)
Сравнение выражений (57) и (58) показывает, что в обоих
случаях увеличение энтропии пропорционально логарифму
отношения среднего арифметического к среднему
геометрическому первоначальных значений величин (температур
или давлений). Сходство между этими выражениями
становится еще более наглядным, когда изменение энтропии
выражается как функция первоначальных объемов Vt и У2-
В первом случае получаем
(Д5Ь) = Ср1п2^^- (57')
а во втором
{AS)m^(cp-cv)\n^±^. (58')
Выражения для изменения энтропии при постоянном
давлении (AS)(P) и при постоянной температуре (AS)(T)
отличаются только постоянным множителем.
Нетрудно применить те же рассуждения к случаю, когда
смешивающиеся массы газов не равны по величине.
Вычисления несколько усложняются, если смешиваются газы
различной природы *), но ни в одном из этих случаев не
встречаются принципиальные трудности, подобные тем,
которые мы изложим ниже.
§ 66. Смешение различных газов, находящихся
при одном давлении и одной температуре
Предположим, что резервуар, разделенный на две части
1 и 2 перегородкой С (рис. 31), содержит по обе стороны
перегородки два различных газа, находящихся при одной
г) Некоторые примеры можно найти в письме Б. Коля
(В. N. Cole), опубликованном в Engineering, ноябрь (1960).

§ 66J
СМЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ГАЗОВ
219
с ^
1 \
2
Рис. 31. Состояние двух
газов до смешивания.
температуре Т и одном давлении р. Будем считать, что газы
можно рассматривать как идеальные, причем никакой
химической реакции между ними не происходит. Если устранить
перегородку С, то газы будут диффундировать друг через
друга и через некоторое время образуется однородная
смесь. При смешении газов
остаются неизменными температура ^
и давление в резервуаре, поэто- ^
му никакого изменения
внутренней энергии газа не
происходит. Но возникает вопрос:
каково влияние смешения на
энтропию, т. е. на полезную
энергию смешивающихся газов?
По-видимому, все
исследователи дают здесь одинаковый
ответ: смешение газов влечет
за собой увеличение энтропии
и, следовательно, уменьшение полезной энергии.
Рассуждения, приводящие к этому заключению, часто бывают
различными, но тем более замечательно, что они всегда
приводят к одинаковым численным результатам. Это согласие
в результатах можно объяснить либо справедливостью
всех рассуждений, либо тем фактом, что все они включают
одну и ту же неосновательную гипотезу (ибо если бы она
не была неосновательной, мы пришли бы к первому
объяснению). Покажем, что верно второе объяснение, так что
доказательства, приводимые в учебниках термодинамики,
отличаются друг от друга только способом введения этой
гипотезы в рассуждения. Наиболее прост случай, когда
гипотеза явно вообще не высказывается. Исследование этого
случая особенно интересно, ибо показывает одновременно
и необходимость гипотезы для получения указанного выше
результата и ее неосновательность.
Такое рассуждение приводится, например, в книге
Стодола х). Там показано, что смешение газов «определяет
увеличение энтропии вследствие увеличения объема. Все
происходит так, как если бы каждый компонент расширялся
без производства работы в пустом пространстве, равном
) A. S t о d о 1 a, Turbines a vapeur et a gaz, Paris, Dunod.

220 ЭНТРОПИЯ И ТЕОРИЯ СМЕШЕНИЯ ГАЗОВ [ГЛ. 6
сумме объемов других компонентов». Другими словами,
увеличение энтропии обязано тому, что в смеси парциальное
давление каждого компонента меньше давления /?, которое
компоненты имели первоначально и которое равно полному
давлению смеси.
Пусть nti и т2 — массы газов / и 2У a Ri и R2 — их газовые
постоянные, и пусть также сР1 и сР2 — удельные теплоемкости
при постоянном давлении. В первоначальных условиях
энтропии 5i и S2 двух газов даются с точностью до
аддитивной постоянной выражениями
Si = rriif cVl In Г j- \npj
и
S2 = m2 (^cP2 In T f- In p j .
Полная энтропия двух газов до смешения, очевидно,
равна сумме St + S2.
Что касается энтропии каждого газа после смешения,
то она получается при подстановке в выражения для Si
и 52 парциальных давлений pi и р2 вместо полного давления
р. Увеличение энтропии совокупности двух газов
выражается, следовательно, формулой
AS = ^r(miRiln-^ + m2R2ln^-') . (59)
J \ Pi Pi У
Значения парциальных давлений р i и р2 могут быть
найдены из соотношения
Р Pi Рг '
откуда
as==jt(^1пт£-+у*1пт£-) ' (60>
где Vi и V2 — первоначальные объемы газов 1 и 2 *), а V—
полный объем резервуара.
Вместо масс ту и т2 или объемов Vy и V2 можно
рассматривать числа tiy и п2 молей газов 1 и 2. Действительно,
г) Полагая Vl = V2i находим, что выражение (60)
тождественно полученному в § 44, но для случая, когда объем, занимаемый
газом, в два раза больше.

§ 67]
ПАРАДОКС ГИББСА
221
эти числа находятся из формул
miRi^tiiR и m2R2 = n2R,
где R— постоянная, общая для двух газов. Таким образом,
получаем
As=f (*in-£-+«» in-s0- (6i)
Это увеличение энтропии соответствует изменению
полезной энергии согласно формуле
Д£=— T0kS = — ^JL^ln^ + ^ln-^-) . (62)
Стодола приходит к тому же результату, но только с
температурой газа Т вместо температуры окружающей среды Г0,
что равносильно получению полезной энергии в смысле
Максвелла (см. §35), а не в смысле Гуи (как высказано
здесь). Получающийся результат может быть окончательно
записан в форме
AF-— TAS-— ^f ^ni\n^ + n2\n-j-^) . (63)
Стодола резюмирует этот результат следующим образом:
«Потеря работы вследствие смешения... равна сумме работ,
которые можно получить при изотермическом расширении
газов от давления р до их парциальных давлений».
Далее мы изложим и другие рассуждения, приводящие
к тому же результату, но уже сейчас покажем, что этот
результат недопустим и должен быть пересмотрен.
§ 67. Парадокс Гиббса
Согласно выражению (60), для изменения энтропии Д5
эта величина зависит только от состояний газов и объемов
Vi и V2, которые они занимали до смешения. Эта формула
не зависит от природы газов, составляющих смесь, и,
следовательно, должна была бы быть справедливой, когда эти
газы одинаковы. Так, если смешать две массы азота,
находившиеся первоначально при одинаковых давлении
и температуре, то никакого изменения ни температуры,
ни давления не произойдет, однако энтропия увеличится,

222 ЭНТРОПИЯ И ТЕОРИЯ СМЕШЕНИЯ ГАЗОВ [ГЛ. 6
а полезная энергия уменьшится. Именно этот удивительный
вывод известен как «парадокс Гиббса» (1875). Сам Гиббс
не смог разрешить этого парадокса и ограничился
замечанием, что в случае смешения энтропия ведет себя иначе, чем
энергия. Ясно, что такая позиция покорности недопустима,
однако все попытки обойти создавшуюся трудность,
по-видимому, не привели к цели.
Одна из попыток состояла в признании действительного
возрастания энтропии в случае смешения двух различных
газов, которое, однако, обращается в нуль, когда эти газы
тождественны. В последнем случае, в противоположность
первому, никакой эксперимент не позволяет нам найти
различие между компонентами смеси, что и является
причиной разрыва в значении изменения энтропии. Но
если бы это рассуждение было правильным, то
следовало бы еще объяснить, почему оно не находит
никакого отражения в выражении AS, которое не зависит
от природы компонентов. Можно, однако, выдвинуть
и более серьезное возражение. Заменим чистые газы 1 и 2
(рис. 31) смесями двух газов А и В. Смесь 1 содержит
х кг газа А и {1-х) кг газа В; точно так же смесь 2
содержит у кг газа А и (1 — у) кг газа В. Поскольку
у отличается от х, можно с помощью измерений установить,
что смеси 1 и 2 не тождественны. Устранение перегородки
С должно повлечь за собой увеличение энтропии, согласно
выражению (60). Но мы можем приготовить наши смеси 1 и 2
так, чтобы величины х и у были очень близки друг другу.
Применяя прежние рассуждения, констатируем, что
увеличение энтропии сохраняет ту же величину при у = 1000 л:
(предполагая, конечно, х < 0,001) и у= 1,001 х, но равное
нулю, когда у = х. Различие между у и х может быть даже
столь малым, что никакими измерениями его установить
нельзя, но достаточно, чтобы оно было отлично от нуля,
чтобы возрастание энтропии изменилось от нуля до
значения, определяемого выражением (60). Такой разрыв
функции в макроскопической области необъясним, но если
принять вместе с Гиббсом, что значение 5 остается неизменным
при переходе от у= 1000 х до у = ху то мы сталкиваемся
со столь же неприемлемой ситуацией.
Другая попытка разрешить парадокс Гиббса основана
на противоположном предположении: выражение (60) не

§ 68]
ПОЛЕЗНАЯ ЭНЕРГИЯ СМЕСИ ГАЗОВ
223
только применимо к смеси чистых газов, но всякий чистый
газ надо рассматривать как смесь некоторого числа
тождественных компонентов, которое в пределе равно числу
молекул, составляющих газ. Следовательно, чистый газ
обладает «энтропией смеси», численное значение которой
огромно, но мы соглашаемся не учитывать его. Эта
интерпретация не кажется более удачной, чем предшествующая;
она стремится показать, что смесь тождественных газов
ведет себя как смесь различных газов, но ничего не говорит
относительно применения выражения (60) в обоих случаях.
Можно, однако, занять по отношению к парадоксу
Гиббса более радикальную позицию: этот парадокс есть
логическое следствие некоторого рассуждения, значит, если
следствие неприемлемо, то само рассуждение базируется
на ошибочных предположениях. Другими словами, вместо
того, чтобы пытаться опровергнуть вывод, принимая
основную гипотезу, надо спросить себя, не является ли этот вывод
приведением к абсурду самой первоначальной гипотезы,
по которой энтропия газа получается из его парциального
давления. Мы покажем, что эта позиция по отношению
к парадоксу Гиббса вполне оправдана.
§ 68. Полезная энергия смеси газов
Вернемся к случаю резервуара (см. рис. 31),
разделенного перегородкой на две части, каждая из которых
содержит по 1 кг идеального газа, причем эти газы имеют
различную природу, но находятся при одинаковых давлении
р и температуре 7\ Устранение перегородки, разделяющей
оба газа, вызывает их смешение, но не сопровождается
ни теплообменом, ни производством работы; следовательно,
давление и температура газов остаются неизменными.
Поэтому если произвести необходимые измерения для
определения термодинамического состояния до устранения
перегородки и после смешения газов и затем сравнить
полученные результаты, то мы не найдем указания на возможность
какого-либо изменения полезной энергии. Только если мы
предупреждены о различной природе газов 1 и 2 и вместо
измеряемого давления р смеси подставим парциальные
давления pi и /?2, то получим возрастание энтропии по формуле
(60), и это независимо от природы рассматриваемых газов.

224 ЭНТРОПИЯ И ТЕОРИЯ СМЕШЕНИЯ ГАЗОВ [ГЛ. 6
Г
1 /
р/
ж
/ /
/ */
V АЛ
/° р' >
4/
4*
4
*/л*
7ГТ
4
ь
Рис. 32. Определение полезной
энергии чистого газа или смеси.
Таков результат, к которому приводит вычисление,
изложенное в § 66, из которого немедленно следует изменение
полезной энергии АЕ — — T0AS. Проверим теперь этот
результат, вычисляя
непосредственно
полезные энергии газов
1 и 2 и их смеси.
Напомним
рассуждение, позволившее
установить
выражение для полезной
энергии идеального
газа (см. § 28). На
энтропийной
диаграмме (рис. 32) начальное
состояние газа,
определяемое величинами
р и Г, представляется
точкой 1 с
координатами Г и 5. Полезная энергия газа зависит не только
от его начального состояния, но и от давления р0 и
температуры Г0 рассматриваемого холодильника, которым
может служить, например, окружающая атмосфера. Пусть
точка 3 представляет состояние газа, соответствующее
равновесию по давлению и температуре с атмосферой. Чтобы
получить полезную энергию газа, необходимо перейти
из состояния / в состояние 3 с помощью двух обратимых
процессов, из которых один есть изэнтропическое расширение
/—2 (между температурами Т и Г0), а другой —
изотермическое сжатие 2—3 (вплоть до окружающего давления р0). Мы
видели, что определенная таким образом полезная энергия
выражается равенством
Е = Н—Но — Т0 (S~S0) ккал/кг.
В этом соотношении энтальпия Н0 зависит только от Т0
(ибо газ по предположению идеальный), тогда как разность
5 — 50 (при заданных значениях р и Т) зависит и от Т0
и от ро. Поэтому холодильник должен быть в данном случае
задан как своей температурой Г0, так и давлением /?0-
Увеличим теперь объем, заключающий газ. Можно
предположить, например, что газ сначала находился в замкну-

§ 68] ПОЛЕЗНАЯ ЭНЕРГИЯ СМЕСИ ГАЗОВ 225
том цилиндре с поршнем, где занимал объем Vit а затем
перемещение поршня увеличило объем газа от значения
Vi до V, причем V > Vi. Благодаря притоку тепла
снаружи температура газа Т (а значит, и его энтальпия Н)
остается неизменной, но давление газа принимает значение
P\ = pV\IVy которое может быть меньше, равно или больше /?0.
На рис. 32 этот процесс представлен изотермой 1—4.
Отправляясь от нового состояния газа (точка 4), можно получить
его полезную энергию, заставляя газ претерпевать изэнтро-
пическое расширение 4—5 и изотермическое сжатие 5—3
(ибо pi < ро). Как и ранее, первый процесс обеспечивает
между газом и атмосферой равновесие по температуре,
а второй — равновесие по давлению. Новая полезная
энергия равна
Ei = H—#о—Т0 (Si—S0),
и поскольку Si > S, то, очевидно, £i < Е. Следовательно,
переход от давления р к давлению рх путем изменения
объема при постоянной температуре (предполагается, конечно,
что только рассматриваемый газ наполняет объем Vi и
конечный объем V) ведет к увеличению энтропии и
уменьшению полезной энергии. Мы привели этот хорошо известный
результат, чтобы подчеркнуть различие между этим
случаем и тем, который нас интересует в этой главе.
Возьмем теперь 1 кг газа в его начальном состоянии
(точка 1 на рис. 32) и смешаем его с другим идеальным газом,
находящимся при том же давлении р и той же температуре
Т. Мы знаем уже, что э?а операция не меняет температуры
газа, но увеличивает его объем и уменьшает его
парциальное давление. Как и ранее, новое состояние газа
представится точкой типа 4, причем парциальное давление
газа равно р4. Но слово «парциальное» ясно показывает,
что это давление имеет смысл только в той мере, в какой
рассматриваемый газ является компонентом смеси, причем
другой компонент смеси имеет парциальное давление
р2 = р — ри а отношения pjp Kp^lp остаются
инвариантными, какие бы термодинамические процессы не протекали
в смеси. Если искать полезную энергию рассматриваемого
компонента, то для начала следует заставить его претерпеть
изэнтропическое расширение 4—5, во время которого он
произведет работу Н — Я0. Но изотермическое сжатие,

226 ЭНТРОПИЯ И ТЕОРИЯ СМЕШЕНИЯ ГАЗОВ (ГЛ. 6
начинающееся в точке 5, должно быть остановлено как
только смесь достигнет давления р0. Тогда парциальное
давление рассматриваемого газа будет иметь значение p0i9
определяемое соотношением
Poi = Pi
Ро' Р '
а его энтропия Soi (в точке 6) будет, следовательно,
такой, что
Oj — о 01 = о о о»
Отсюда следует, что новая полезная энергия газа равна
первоначальной полезной энергии. Поскольку это
заключение применимо, разумеется, к любому компоненту смеси,
то мы констатируем, что полезная энергия смеси газов
равна сумме полезных энергий его компонентов в их
начальном состоянии.
Итак, мы видим, что давление p\<Lp входит в вычисление
энтропии и полезной энергии, когда это давление вызвано
увеличением объема, но когда указанное давление возникает
при смешении (т. е. в том случае, когда оно является
парциальным давлением), оно никак не влияет на эти две
величины. Это различие объясняется тем фактом, что в первом
случае аддитивная постоянная, определяющая энтропию,
остается неизменной (50 имеет постоянное значение), а во
втором случае эта «постоянная» изменяется так, чтобы
равновесие смеси с атмосферой достигалось при давлении /?0,
а не при более высоком давлении.
Этот результат дает решение парадокса Гиббса:
совершенно верно, что смесь одинаковых газов ведет себя так же,
как и смесь различных газов, но просто потому, что в обоих
случаях изменения энтропии и полезной энергии равны
нулю.
Однако этот вопрос имеет и другие интересные аспекты,
о которых мы расскажем.
§ 69. Частный случай: смесь азота и кислорода
Теперь мы предположим, что газы / и 2 в схеме на
рис. 31, представляют собой два главных компонента
воздуха и что отношение их объемов Vi и V2 как раз
соответствует составу атмосферы. Таким образом, другими

§ 69] ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ: СМЕСЬ A30f А И КИСЛОРОДА 227
компонентами воздуха мы будем пренебрегать; впрочем,
это условие не вносит никаких ограничений в ашу задачу.
Итак, поместим в объем Vi 0,768 кг азота, а в объем
V2—0,232 кг кислорода, причем эти газы находятся при
одинаковых давлении р и температуре Т. Поскольку
состояние атмосферы определяется давлением р0 и температурой
Г0, каждый из рассматриваемых газов имеет вполне
определенную полезную энергию. Устранив перегородку С, мы
получим в резервуаре 1 кг воздуха. Согласно сказанному
ранее, полезная энергия этого воздуха равна сумме
полезных энергий двух компонентов в их начальном
состоянии.
Но можно еще вообразить (вообразить, но не
осуществить) устройство, использование которого приведет к иному
результату.
Это устройство будет состоять из двух
полунепроницаемых перегородок, из которых одна пропускает азот,
но непроницаема для кислорода, а другая проницаема
только для этого газа. Если поместить первую из этих
воображаемых перегородок между объемом Vi и атмосферой,
то часть азота, находящегося в объеме, проникнет через
перегородку и давление его будет падать, пока не
сравняется с парциальным давлением азота в воздухе атмосферы,
причем это расширение азота произведет некоторую работу.
Аналогично, помещая вторую полунепроницаемую
перегородку между объемом V2 и атмосферой, мы вызовем
расширение кислорода, сопровождающееся производством работы.
Благодаря наличию полунепроницаемых перегородок азот
и кислород в раздельном состоянии обладают,
следовательно, некоторой полезной энергией, даже если их давление
р и температура Т не отличаются от атмосферных р0 и Г0,
тогда как полезная энергия их смеси в тех же условиях,
очевидно, равна нулю. Отсюда следует, что в указанных
условиях смешение газов действительно влечет за собой
уменьшение полезной энергии, которое как раз и дается
выражениями (62) или (63). Другими словами, эти выражения
справедливы в предположении (иногда неявном, но всегда
неосновательном) существования полунепроницаемых
перегородок, позволяющих произвести расширение каждого
компонента вплоть до парциального давления, которое он имеет
в смеси.

228 ЭНТРОПИЯ И ТЕОРИЯ СМЕШЕНИЯ ГАЗОВ [ГЛ. 6
Эта ситуация имеет несомненный теоретический интерес.
Она показывает, что полезная энергия газа (или смеси газов)
может зависеть не только от его макроскопического
состояния (определяемого, например, давлением и температурой),
но и от его микроскопического состояния, т. е. от его
химической природы. Но введение такой гипотезы встречает два
возражения.
1) Полунепроницаемые перегородки были осуществлены
для разделения некоторых растворов: перегородка
пропускает растворитель (например, воду), но непроницаема для
растворенного вещества (например, сахара). Но в
отношении газов такая перегородка известна только в одном
частном случае: очень тонкая пластина из платины или
палладия, раскаленная до бела, проницаема для водорода, но не
пропускает никакого другого газа. Именно этот пример
всегда приводят для иллюстрации возможности
осуществления полунепроницаемых перегородок для всех газов.
Однако помимо этого примера полунепроницаемые
перегородки для газов являются фикцией.
2) Мы видели, что полезная энергия газа зависит
одновременно от его макроскопического состояния и от
состояния рассматриваемой среды, которая играет роль
холодильника (например, атмосферы). Точно так же, принимая
гипотезу существования полунепроницаемых перегородок, надо
рассматривать не только природу данного газа,но и природу
холодильника. Так, в изученном выше примере смесь под
давлением р0 и при температуре Т0 не имеет никакой
полезной энергии, потому что ее состав тождествен составу
воздуха. Но дело обстояло бы совсем иначе, если бы отношение
количеств азота и кислорода в смеси отличалось от
введенного нами. В этом случае выражения (62) и (63) перестали
бы быть верными. Если бы вместо этих двух газов мы
рассматривали, скажем, гелий и неон, принимая, что их
парциальные давления в атмосфере равны нулю х), то мы
пришли бы к еще более поразительному результату: смешение
этих двух газов в любом отношении не влияет на их
полезную энергию, ибо каждый из них в отдельности может
расширяться сквозь полунепроницаемую перегородку вплоть
*) Это предположение не соответствует действительности и
имеет иллюстративный характер.

§ 70] ДИФФУЗИЯ ГАЗОВ СКВОЗЬ ПЕРЕГОРОДКИ 229
до парциального давления, которое он имеет в атмосфере,
причем такое расширение остается возможным и после их
смешения, и отношения pjp0 и р2/р0 не отличаются от
отношения р/р0у так как во всех случаях р0 = 0. Выражение
(62) для АЕ подразумевает, следовательно, не только то,
что каждый компонент смеси может расширяться сквозь
полунепроницаемую перегородку вплоть до парциального
давления, которое он имеет в холодильнике, но и то, что
состав холодильника и состав смеси одинаковы.
Это последнее замечание позволяет лучше понять
физический смысл, который обычно приписывают необратимости
процесса смешения газов. Для этого нам надо изучить
рассуждения, приводящие к тем же результатам, что и в § 66,
где полунепроницаемые перегородки играют, однако, более
непосредственную роль.
§ 70. Диффузия газов сквозь полу непроницаемые
перегородки
Вернемся к случаю резервуара, разделенного на два
объема 1Л и V2, но заменим перегородку С двумя пол у
непроницаемыми перегородками Рх и Р2 (рис. 33), из которых
первая проницаема только для газа
1, а вторая — только для газа 2.
Каждый из этих газов проникает
сквозь соответствующую
перегородку в пространство между
перегородками, где в конце концов
образуется однородная смесь. Каждая
из перегородок, следовательно,
испытывает С ОДНОЙ СТОрОНЫ давление рис 33. Диффузия двух
р газа, ДЛЯ КОТОРОГО ОН& непроНИ- газов через полунепро-
цаема, а другой газ давит на обе ницаемые перегородки.
стороны перегородки одинаковым
образом (/?! для перегородки Р± и р2 для перегородки Р2).
Можно рассматривать обе перегородки как поршни,
перемещающиеся в резервуаре (по предположению
цилиндрическом) без трения. Каждый из поршней перемещается
до соответствующего конца цилиндра, когда объем V между
поршнями становится равным сумме первоначальных
объемов Vx и Vz. Объем газа 1 изменяется от Vi до V2, и поскольку

230 ЭНТРОПИЯ И ТЕОРИЯ СМЕШЕНИЯ ГАЗОВ [ГЛ. 6
его температура остается неизменной, то происходит
изотермическое расширение, производящее работу
Аналогично, расширение газа 2 дает работу
W2 = pV2\n^.
Следовательно, полная произведенная работа равна
W = Wt + W2 = р (Vt In -£ + V2 In -^-) ,
и можно проверить, что это выражение тождественно
формуле (63). В согласии со вторым принципом производство
работы влечет за собой увеличение энтропии по
выражению (61), так что мы приходим к тем же результатам, что
и в § 66.
Исследуем справедливость наших рассуждений. Второй
принцип кажется здесь выполненным, ибо мы связали
работу IF с изменением энтропии. Но не так обстоит дело с
первым принципом. Мы рассмотрели здесь изотермическое
расширение идеального газа в идеальной машине. Однако
такое расширение производит работу только при том
условии, что газ получает во время расширения тепло от
внешнего источника, причем это тепло эквивалентно
произведенной работе W. А здесь резервуар, заключающий газы
1 и 2, по предположению изолирован от внешнего мира
и образует замкнутую систему, а в такой системе работа
может быть произведена только за счет внутренней энергии,
причем изменение последней не может согласовываться
с постоянством температуры. Так что если мы не
отказываемся от первого принципа, то наше рассуждение в начале
этого параграфа ошибочно.
Теперь нам ясно видна роль, которую призваны играть
в этом рассуждении полунепроницаемые перегородки:
перемещения этих перегородок, ограничивающих некоторые
объемы (как в случае поршня, перемещающегося в
цилиндре), должцы придать работе W более четкий физический

§ 70] ДИФФУЗИЯ ГАЗОВ СКВОЗЬ ПЕРЕГОРОДКИ 231
смысл, чем это было в рассуждениях § 66. Но мы покажем,
что диффузию газа через непроницаемые перегородки можно
представить себе, не требуя, чтобы они перемещались
и играли, таким образом, роль двигательных поршней.
Уберем, как и ранее, стенку, разделяющую две части
резервуара, но не будем заменять ее двумя
полунепроницаемыми перегородками Pi и Р2 (как на рис. 33), а введем
только одну перегородку Рь фиксируя ее в положении,
занимавшемся прежде стенкой. Поскольку эта перегородка
непроницаема для газа 2, то он останется в объеме У2,
который он занимал прежде, а газ 1 будет диффундировать
сквозь перегородку, пока его парциальное давление по обе
стороны перегородки не станет одинаковым. Заменим теперь
перегородку Pi перегородкой Р2, поместив ее в то же самое
место. На этот раз уже газ 2 диффундирует сквозь
перегородку, пока его парциальное давление не станет
одинаковым во всем объеме V=Vi+ V2. Теперь можно убрать
вторую перегородку; ничего не изменится внутри объема V,
который уже наполнен однородной смесью газов 1 и 2. Все
происходит так, как если бы мы просто убрали стенку С,
не заменяя ее последовательно перегородками Pi и Р2.
Отсюда следует, что в рассматриваемом случае гипотеза
полунепроницаемых перегородок не только
безосновательна, но и бесполезна.
Можно спросить себя, почему, допуская гипотезу
полунепроницаемых перегородок, мы находим, что газы 1 и 2,
отделенные один от другого, обладают некоторой полезной
энергией по отношению к атмосфере, состав которой
соответствует смеси этих газов, и это даже в том случае, когда
они находятся под давлением р0 и при температуре Т0
атмосферы (см. § 69), но не обладают этой энергией по
отношению к самой смеси. Ответ на этот вопрос очень прост.
Когда резервуар, содержащий газ 1 или газ 2, сообщается
с атмосферой с помощью перегородки, проницаемой для
этого газа (и только для этого газа), манометр, помещенный
в резервуар, показывает, что давление в нем уменьшается
вплоть до парциального давления этого газа в атмосфере.
Но когда объемы V± и V2 на рис. 33 сообщаются между собой
после устранения стенки С, давления в обоих объемах
остаются неизменными. Поэтому производство работы возможно
в первом случае и невозможно во втором.

232
ЭНТРОПИЯ И ТЕОРИЯ СМЕШЕНИЯ ГАЗОВ [ГЛ. 6
§ 71. Разделение компонентов смеси с помощью
полунепроницаемых перегородок
Если исследование образования смеси можно вести
с равным успехом, вводя воображаемые полунепроницаемые
перегородки и без этой гипотезы, то последняя особенно
полезна при исследовании обратного процесса, т. е.
разделения газов, образующих смесь. Действительно, указанная
гипотеза иллюстрирует
fr р2 Ъ возможность (по крайней
мере теоретическую)
осуществить этот процесс,
который в
противоположность первому
никогда не происходит
спонтанно.
Предположим *), что
цилиндрический
резервуар, содержащий смесь
газов 1 и 2 и
поддерживаемый при постоянной
температуре Т, имеет
две совершенно
непроницаемые стенки Fi и F2,
из которых вторая
подвижна, а также две
полунепроницаемые
перегородки Pi и Р2 (рис. 34, а). Перегородка Рх
пропускает только газ 1, а перегородка Р2 — только газ 2.
В начальный момент две перегородки находятся в
крайних положениях и объем V между ними занимается
смесью. Если одновременно перемещать перегородку Pt
и стенку F2 вправо на одинаковое расстояние (Ff и Р2
остаются фиксированными), то возникают три
отделения Си С и С2 (рис. 34, б), крайние из которых
содержат только один газ, проникающий в эти отделения
через соответствующую полунепроницаемую перегородку.
Рис. 34. Разделение смеси при
помощи полунепроницаемых'перегородок.
J) Мы следуем в этом параграфе изложению книги G. В г u h a t,
Cours de thermodynamique, Paris, Masson.

§71] РАЗДЕЛЕНИЕ КОМПОНЕНТОВ СМЕСИ 233
В момент, когда перегородка Р, достигнет перегородки Р2,
разделение газов будет закончено и каждый из них займет
теперь объем, равный объему первоначальной смеси V.
а давление каждого газа, следовательно, будет равно
парциальному давлению, которым он обладал в смеси
(Pi или р2).
Но во время перемещения перегородки Р4 и стенки F2
полный объем, занимаемый каждым из газов (т. е. сумма
объемов отделений Сх и С или отделений С2 и С), остается
инвариантным и равным V. Давление каждого из двух
газов остается все время равным парциальному давлению.
Отсюда следует, что во время своего перемещения
перегородка Pj должна преодолевать давление р2, а поскольку
это перемещение порождает объем V, то для его
осуществления необходимо затратить работу p2V. Что же касается
стенки F2, то во время движения на нее оказывается
давление р2 и, следовательно, ее перемещение производит
работу p2V. Полная работа, полученная и произведенная
системой, равна нулю, и, поскольку процесс обратим,
изменение полезной энергии системы также равно нулю.
Таким образом, полезная энергия смеси идеальных газов
равна сумме полезных энергий газов, составляющих смесь,
когда каждый из них занимает по отдельности при той же
температуре объем смеси, т. е. когда эти газы находятся
при своих парциальных давлениях в смеси рх и р2.
Придадим этому заключению математическое
выражение. Пусть rii и п2 — числа молей газов / и 2, а п — число
молей смеси: п = пх + п2. Пусть, далее, Fu F2 и F —
полезные энергии в смысле Максвелла (см. § 35) газов 1
и 2 по отдельности при давлении р и их смеси при том же
давлении. Тогда имеем
F^-^-iRTlnp + aJ,
F2^(RT\np + a2)9
F = -^(RT\np + a),
где аи а2 и а — постоянные, которые будут фиксированы
при рассмотрении изотермического обратимого разделения

234 ЭНТРОПИЯ И ТЕОРИЯ СМЕШЕНИЯ ГАЗОВ [ГЛ. 6
с помощью устройства, изображенного на рис. 34. Вывод,
который мы сделали из исследования этого процесса,
позволяет написать
F = -j- (ni%T ln Pi + п^Т1п Рг + п±а± + п2а2),
что, учитывая соотношения
П\ По
дает значение постоянной а:
Когда два газа разделены и каждый находится при
давлении /?, сумма полезных энергий, как мы видели, равна
Fi + F2 = -j-(nRT\np + niat + п2а2).
Поэтому диффузия газа влечет за собой изменение полезной
энергии
AF = F-(Fi + F2)=^(ni]n^- + n2\n^<0.
Итак, путем иного рассуждения, мы приходим к
выражению (63), установленному в § 66. Однако от этого
выражение не становится более строгим, ибо это новое
доказательство может так же легко быть опровергнуто.
Выше мы рассматривали изменения давления в
отделениях Си С и С2 во время перемещения перегородки Р±
и стенки F2i но ничего не сказали о давлении,
существующем справа от этой стенки. Мы указали, однако, что на
стенку действует только давление р2, что неявно
предполагает, что справа это давление равно нулю. Впрочем,
Макс Планк, приводящий то же рассуждение, уточняет,
что по предположению рассматриваемое пространство
остается пустым *). Однако если гипотеза
полунепроницаемых перегородок является даровой, то эвакуация
воздуха требует соответствующих затрат. Работа, необходи-
х) М. Planck, Lecons de thermodynamique, Paris, Hermann,

§ 71] РАЗДЕЛЕНИЕ КОМПОНЕНТОВ СМЕСИ 235
мая для такой эвакуации, должна входить в баланс
энергии, который поэтому изменяется. Обозначим давление
справа от стенки F2 (которое может быть, например,
атмосферным давлением) через р0. Перемещение перегородки Pt
требует, как и ранее, затраты работы p2V. В то же время
стенка F2 подвергается с левой стороны давлению р2,
а с правой стороны — давлению р0; ее перемещение
производит поэтому работу (р2 — р0) V, которая
положительна только, если р2 больше р0. Таким образом, полная
работа, получаемая системой, равна
P2V—(P2—Po)V = PoV,
так что только произвольное аннулирование давления р0
делает эту работу равной нулю *).
Эта работа должна быть вычтена из суммы полезных
энергий газов 1 и 2, отделенных один от другого при своем
парциальном давлении каждый. Эта сумма, таким образом,
меньше (а не равна) полезной энергии смеси, что отрицает
полученный ранее результат. Ошибка, которая привела
к этому результату, теперь ясна: нельзя отождествлять
случай, когда оба компонента смеси занимают один объем V
при парциальных давлениях pt и р2, и случай, когда те же
газы занимают порознь при тех же давлениях pL и р2 два
объема, каждый из которых равен V. Как в случае смеси,
так и в случае чистого газа увеличение объема может
привести только к понижению полезной энергии, так как
ему препятствует сопротивление внешнего давления,
которое исчезает только, если внешнее давление равно нулю.
Но, принимая эту последнюю гипотезу, мы изменяем
значение полезной энергии даже, когда речь идет о чистом
газе. Предположим, что' некоторая масса газа находится
при давлении р0 и температуре Т0 в цилиндре, снабженном
подвижным поршнем. Если состояние внешней атмосферы
характеризуется одинаковыми давлением и температурой,
*) Заметим, что произведение p0V есть теоретическая работа,
поглощаемая объемным вакуумным насосом, действующим с
мгновенным (а не постепенным) изменением давления и выталкивающим
в атмосферу весь воздух, занимающий объем V и находящийся
при атмосферном давлении. На диаграмме с координатами р, V
действие насоса представляется прямоугольником,

236 ЭНТРОПИЯ И ТЕОРИЯ СМЕШЕНИЯ ГАЗОВ [ГЛ. 6
то полезная энергия рассматриваемого газа, очевидно,
равна нулю. Но если мы мысленно исключим внешнее
давление, то приписываем газу в цилиндре некоторую
полезную энергию и, если длина цилиндра безгранична,
а поршень перемещается без трения, движение его может
продолжаться бесконечно.
Теперь смысл парадокса Гиббса, а также решения его
становятся совершенно ясными. Без полунепроницаемых
перегородок смесь газов 1 и 2, занимающая объем V при
давлении р и температуре Г, имеет полезную энергию,
равную сумме полезных энергий двух газов,
рассматриваемых порознь, при том же давлении р и той же
температуре Г, и занимающих объемы Vt и V2, (V =Vt + V2).
Но поскольку смесь самопроизвольно не разделяется,
то для осуществления этого процесса прибегают к помощи
полунепроницаемых перегородок. Действие этих
перегородок состоит в разделении газов, причем после такого
разделения они обладают своими парциальными
давлениями рх и р2, а объем каждого становится равным V.
что эквивалентно подстановке вместо первоначального
объема смеси в два раза большего объема {2V). Такая
подстановка влечет за собой уменьшение полезной энергии
совершенно независимо от химической природы газов,
занимающих различные рассматриваемые объемы. Это
заключение, следовательно, справедливо и в случае, когда
первоначальный объем V занят чистым газом, а не смесью.
Парадокс возникает только, если приписать разделенным газам,
занимающим полный объем 2V полезную энергию, равную
полезной энергии смеси, хотя объем последней в два раза
меньше. Как было показано, это предположение не
оправдано. Вывод Гиббса поэтому не имеет ничего
парадоксального. Наоборот, вполне естественно, что чистый идеальный
газ претерпевает то же изменение полезной энергии, что
и смесь идеальных газов, ибо это изменение происходит
в результате увеличения объема при постоянной
температуре. Единственная разница между этими двумя случаями
заключается в том, что для чистого газа увеличение объема
не может быть осуществлено при помощи
полунепроницаемых перегородок. Но едва ли стоит добавлять, что эти
гипотетические приспособления не необходимы для
получения желаемого эффекта.

§ 72] НЕСИММЕТРИЧНЫЕ ПЕРЕГОРОДКИ 237
§ 72. Несимметричные полунепроницаемые
перегородки
Может показаться удивительным, что три различных
доказательства были использованы, чтобы оправдать
предложение, которое, как мы видели, не выдерживает
критического рассмотрения. Объяснение заключается в том
факте, что получение газообразной смеси с помощью
диффузии a priori считается необратимым процессом, который
должен по необходимости сопровождаться возрастанием
энтропии. Нижняя граница такого возрастания может быть
определена с помощью полунепроницаемых перегородок,
ибо только они (по крайней мере в принципе) позволяют
осуществить разделение смеси, причем необратимым
образом. Это утверждение содержит, таким образом, две части,
из которых одна качественная, а другая количественная.
Рассмотрим их последовательно.
Причина необратимости, приписываемой газообразным
смесям, в некоторых работах г) указывается достаточно
ясно: получение смеси необратимо, потому что обратное
превращение (или разделение) никогда не происходит
самопроизвольно. Эта причина не кажется основательной.
Действительно, сжатие рабочего тела тоже никогда не
происходит самопроизвольно, что не мешает исследовать
обратимые расширения. Если невозможность спонтанного
разделения смеси служит причиной необратимости диффузии,
то эта необратимость имеет иной смысл, чем тот, который
обычно приписывается этому термину в термодинамике,
а следовательно, не влечет за собой обязательно
возрастания энтропии.
Как это ни кажется парадоксальным, понятие
необратимости даже лучше подходит к диффузии газов одной
природы (т. е. чистого газа), чем к диффузии смеси из
различных газов. Действительно, чтобы элементарный процесс А В
(где состояния А и В отличаются друг от друга только
бесконечно малыми изменениями физических величин)
был обратим, требуется не только, чтобы количества
энергии, соответствующие процессам АВ и ВА, были равны
х) Например, Е. S с h m i d t, Thermodynamics. Principles and
applications to engineering, Oxford University Press.

238 ЭНТРОПИЯ Й ТЕОРИЯ СМЕШЕНИЯ ГАЗОВ [ГЛ. 6
с точностью до знака, но (и прежде всего) чтобы
рассматриваемое тело могло переходить из Л в В и из В в А при
бесконечно малых изменениях внешних условий.
Образование же смеси из компонентов одной химической
природы не «обращается», ибо молекулы смеси неразличимы
и у нас нет возможности классифицировать молекулы по их
происхождению и таким образом вернуться к начальному
состоянию.
Априорное утверждение о необратимости смешения
газов поэтому не оправдано. Остается разобрать предло-
жение, согласно
которому разделение может
быть осуществлено
только с помощью
полунепроницаемых
перегородок, т. е. путем
увеличения полного объема,
занимаемого
компонентами смеси и
соответствующего увеличения
полной энтропии.
Отвлечемся здесь от
того обстоятельства, что
введение
полунепроницаемых перегородок в наши рассуждения бесполезно
(см. § 70) или сопровождается предположением, которое
явно противоречит действительности (см. § 71), но не
станем забывать фиктивную природу этих перегородок,
существующих (за некоторыми исключениями) только в
воображении физиков и самый смысл которых оправдан
лишь тем, что они помогают утверждению предвзятой
идеи. Поскольку в область нереального нас здесь вводит
сама классическая теория, то не будем бояться обвинения
в избытке воображения и несколько усовершенствуем
наши перегородки: предположим, что они не только
проницаемы для одного газа, но пропускают этот газ только
в одном направлении. Такие несимметричные перегородки
вполне мыслимы, хотя, конечно, и нереальны.
Действительно, полунепроницаемая перегородка классического типа
может быть мыслима как совокупность очень маленьких
отверстий, которые позволяют проходить сквозь них моле-
Рис. 35. Разделение смеси при
помощи несимметричных
полунепроницаемых перегородок.

§ 1й) НЕСИММЕТРИЧНЫЕ ПЕРЕГОРОДКИ 239
кулам одного компонента, но слишком малы, чтобы
пропустить молекулы второго компонента (мы рассматриваем
здесь, как и ранее, бинарную смесь)1). В случае
несимметричной полунепроницаемой перегородки эти отверстия можно
заменить подобием вытяжных труб; известно, что вытяжная
труба имеет коэффициент дебита более значительный
в направлении сужения, чем в противоположном
направлении.
Для наших воображаемых отверстий этот «коэффициент
дебита» будет иметь некоторое положительное значение
для течения в определенном направлении и значение,
равное нулю, для противоположного течения.
Что касается использования этих перегородок, то
можно мыслить его по-разному, получая, однако, один
и тот же результат. Рассмотрим вновь рис. 31 и
предположим, что стенка С убрана, а следовательно, объем V
заполнен однородной смесью газов 1 я 2. Вместо стенки
поместим перегородку, непроницаемую для газа 1, но
пропускающую газ 2 слева направо (и только в этом
направлении).
Перегородка имеет форму поршня Р (рис. 35),
способного перемещаться без трения. Прохождение газа 2
через перегородку Р приводит к увеличению давления
справа от нее, поэтому перегородка перемещается влево,
так что полное давление на обе стороны остается все время
одинаковым. Крайнее положение перегородки (Р* на
рис. 35) определяется тем обстоятельством, что объем между
этой перегородкой и стенкой F± содержит только
молекулы газа I, а объем между перегородкой и стенкой F2
содержит все молекулы газа 2 и часть молекул газа 1.
Заменим теперь прежнюю перегородку (в
положении Р') другой полунепроницаемой перегородкой, которая
*) Нетрудно видеть, что это представление о
полунепроницаемых перегородках приводит классическую теорию смешения к
дополнительной трудности, ибо, согласно этой теории, одна из
перегородок должна быть одновременно проницаема для молекул
большего объема и непроницаема для молекул меньшего размера. Эта
трудность, конечно, относится и к описанным в тексте
несимметричным перегородкам. И те и другие — конструкции искусственные,
но перегородки второй категории не претендуют на соответствие
физической реальности и даже на интерпретацию последней.

240 ЭНТРОПИЯ И ТЕОРИЯ СМЕШЕНИЯ ГАЗОВ [ГЛ. 6
пропускает только газ 1 и только справа налево (конечно,
эту замену следует проводить со всеми необходимыми
мерами предосторожности, чтобы избежать смешения газов).
Газ 2 целиком останется между новой перегородкой и
стенкой F2, а молекулы газа У, смешанные с газом 2, будут
проходить через перегородку, и там присоединятся к
молекулам 1, уже находящимся между перегородкой и
стенкой /V
Перегородка будет перемещаться вправо, и когда она
достигнет положения Р (т. е. того положения, которое
занимала стенка С в начале нашего воображаемого опыта),
ее движение прекратится, ибо разделение компонентов
смеси будет полным. Каждый из компонентов будет тогда
занимать свой первоначальный объем, так что полное
изменение объема между двумя перегородками будет
равно нулю. Разделение компонентов не потребует
никакой работы и никакого изменения полного объема двух
компонентов.
Можно представить себе также использование подобных
перегородок, без необходимости каких-либо перемещений
или замен.
После того как стенка С убрана (см. рис. 31) и оба
газа смешались, введем на место стенки
фиксированную перегородку, разделенную на две части (например,
вдоль диаметра): одна из частей пропускает газ 2 слева
направо, но непроницаема для газа 1, другая же
непроницаема для газа 2, но пропускает газ ] справа налево.
Одновременное прохождение двух газов в
противоположных направлениях приведет через некоторое время к
разделению смеси. Поскольку эта операция не
сопровождается изменением объема, она не требует затраты энергии.
В обоих случаях давление двух газов после разделения
равно полному давлению смеси. Это сохранение полного
давления связано с сохранением полного объема,
занимаемого компонентами. Поскольку разделение смеси не
влияет на температуру и давление газов, оно оставляет
неизменными их энтропию и полезную энергию. Эти
две последние величины изменяются только, если газы
разделяются несовершенными перегородками, причем это
несовершенство не оправдано даже тем, что оно
соответствует реальности.

§ 73]
ДЕМ0Н-«РАЗДЕЛИ'1ЕЛЬ»
241
§ 73. Демон-«разделитель»
Нетрудно видеть, что несимметричные
полунепроницаемые перегородки — лишь та маска, под которой действует
в данном случае демон Максвелла, знакомый нам по
предыдущей главе. Но здесь вместо демона «температуры»
или «давления» мы имеем дело с демоном «разделения»,
или демоном-«разделителем» х). Его роль сводится к
сортировке молекул по их свойствам, чтобы можно было
осуществить разделение смеси. Мы видели, что это
разделение (не приводящее к изменению полного объема)
не требует обязательно вмешательства сверхестественно-
го существа, так как может быть осуществлено с
помощью физического прибора, который хотя и не может
быть реализован на теперешнем уровне знаний, но
вполне мыслим.
Важно заметить, что существует большое различие между
деятельностью демона-«разделителя» и двух его собратьев.
Если демон сортирует молекулы, чтобы создать разность
давлений или температур, он производит уменьшение
энтропии, и мы пытались показать (в § 62), что с этим
результатом нельзя бороться во имя второго принципа,
ибо этот принцип неприменим к действиям, происходящим
на молекулярном уровне. Активность демона-«разделите-
ля» еще более законна, ибо она не ведет к уменьшению
энтропии и, следовательно, даже по внешнему проявлению
не противоречит второму принципу: этот демон
ограничивается тем, что избегает увеличения энтропии, которое
произошло бы при разделении с помощью симметричных
полунепроницаемых перегородок.
То, что сортировка, осуществляемая демоном-«разде-
лителем», не приводит к передаче энергии и поэтому к
изменению энтропии, можно было бы доказать, если нужно,
даже с помощью общепринятых аргументов, т. е.
принятых даже сторонниками классической теории смешения.
Действительно, согласно принципу равнораспределения
энергии, закон распределения скоростей в смеси имеет
х) Английские авторы называют его «sorting demon»
(сортирующий демон).

242 ЭНТРОПИЯ И ТЕОРИЯ СМЕШЕНИЯ ГАЗОВ [ГЛ. 6
одну форму для каждого компонента, а температура —
одно значение, определяем ли мы ее по средней
кинетической энергии всех молекул смеси или только одного
компонента. Роль демона здесь состоит только в изменении
пространственного распределения молекул, которые
являются (и остаются) термодинамически эквивалентными.
Так что никакой принцип не требует для этого затраты
энергии, ибо ни одна термодинамическая величина не
зависит от локализации молекул. Поэтому мы вполне можем
поручить демону Максвелла (и особенно его alter ego,
т. е. несимметричной перегородке) вернуть смесь газов в ее
первоначальное состояние, не боясь обвинений в нарушен
нии второго принципа. И только в одном случае демон не
сможет выполнить этой задачи: в случае, когда смесь
образуется химически идентичными газами, ибо, даже
если демон располагает неограниченными запасами
энергии, он не сможет найти никаких признаков, позволяющих
сортировать молекулы по их происхождению. Таким
образом, это единственный случай, когда образование смеси
не может быть «обращено». Но если даже в этом случае
придут к соглашению не рассматривать эту операцию как
необратимую (в термодинамическом смысле), то не будет
ли логичным занять ту же позицию по отношению к смеси
различных газов?
Лучшей иллюстрацией аллогизма классической теории
является вводимая ею непрерывность между случаем
смешения различных газов и случаем смешения
одинаковых газов. Концепция смешения, развитая нами в этой
главе, позволяет обойти этот камень преткновения:
независимо от того, тождественны или различны компоненты
смеси, величина, называемая «энтропией смешения», всегда
равна нулю.
§ 74. Промышленное разделение смесейгазов
Проблема разделения газовых смесей имеет не только
теоретический интерес, она возникает также в
промышленной практике и играет тем более важную роль, что
разделение компонентов газовой смеси требует затраты
энергии, которая в отдельных случаях может быть очень
значительной.

§ 74] ПРОМЫШЛЕННОЕ РАЗДЕЛЕНИЕ СМЕСЕЙ ГАЗОВ 243
Так как мы не обладаем симметричными или
несимметричными пол у непроницаемыми перегородками, то
вынуждены прибегать к другим методам, таким как
фракционная дистилляция или центрифугирование! Каждый из
этих методов требует затраты энергии даже в теории,
т. е. даже не учитывая несовершенства аппаратуры. Ни
один из приборов не может быть отождествлен с
несимметричной перегородкой и это, естественно, не должно нас
удивлять. Но, что более важно, действие сепарационных
газовых установок не согласуется и с принципом
симметричных полунепроницаемых перегородок, что
опровергает классическую теорию газовых смесей.
Действительно, согласно этой теории разделение газовой смеси
не зависит от природы компонентов. Парадокс Гиббса состоит
именно в том, что это утверждение должно было быть
верным и при разделении смеси одинаковых газов. Опыт
показывает, что это не верно, так как необходимое
количество энергии тем больше, чем меньше различия между
компонентами смеси.
Чтобы убедиться в этом, достаточно ознакомиться
с некоторыми численными данными, касающимися
разделения газовых смесей при приготовлении ядерного
горючего. Ж. Акере указывает х), что разделение смеси,
содержащей 99,3% U238F6 и 0,7% U235F6, требует .теоретически
(т. е. учитывая энтропию смешения) 0,023 квт-час на 1 кг
второго компонента, но действительная затрата энергии
достигает 1,2-106 квт-час, т. е. приблизительно в
пятьдесят миллионов раз больше. Автор приводит пример
американской установки по разделению изотопов урана,
которая одна потребляет электрической энергии больше,
чем вся Швейцария. Поистине о таком отношении между
реальной работой и работой «теоретической» стоит
задуматься. Сколь бы ни были несовершенны установки,
построенные человеком, особенно в области
преобразования энергии, их к. п. д. никогда не опускается до
значений порядка 0,000002%. Малость этого числа показывает,
что его нельзя рассматривать как к. п. д.; иначе
говоря, определение «теоретической» работы некорректно.
г) J.Ackeret, Die Entwicklung des Entropiebegriffes, Schwei-
zerische Bauzeitung, май (1959).

244 ЭНТРОПИЯ И ТЕОРИЯ СМЕШЕНИЯ ГАЗОВ [ГЛ. 6
Действительно, это определение не учитывает степени
различия природы двух компонентов. В рассматриваемом
случае реальная работа огромна именно потому, что
компоненты очень мало отличаются друг от друга. В
приложении к разделению, скажем, смеси С02 и гелия тот же
метод разделения потребовал бы гораздо меньше работы.
А в приложении к чистому газу он потребовал бы как раз
бесконечно большой работы, ибо все молекулы этого газа
одинаковы и неразличимы.
Достижения теории информации позволяют выяснить
механизм разделения газовой смеси. В общем случае этот
механизм можно сравнить с демоном Максвелла в духе
антропоморфизма, т. е. требующего для сортировки
молекул некоторой затраты энергии. Когда различие в природе
компонентов смеси стремится к нулю, «количество
информации», необходимое для их различения, бесконечно
возрастает. Если это количество информации поставляется
в форме тепловой энергии, то оно влечет за собой
возрастание энтропии, которое также стремится к
бесконечности. Если же два компонента сильно отличаются, их
можно различить с помощью малого возрастания энтропии,
так что разделение оказывается гораздо более легким.
Разумеется, возрастание энтропии вследствие «освещения»
молекул не должно по необходимости превосходить
некоторой границы, так как, с одной стороны,- разделение
смеси не уменьшает ее энтропии, а с другой стороны, как
и в случае, рассмотренном в § 62, действия на
молекулярном уровне не управляются вторым принципом
термодинамики.
Эти рассуждения приводят нас к довольно любопытному
заключению. Мы вновь находим здесь парадокс Гиббса,
но в обращенной форме: вместо того, чтобы говорить, что
возрастание энтропии имеет место даже для смеси газов,
мало отличающихся друг от друга, мы должны сказать,
что это возрастание имеет место особенно в этом случае.
Вместо того, чтобы быть независимым от различий
компонентов смеси, возрастание энтропии изменяется в
противоположном направлении от этого различия и стремится
к бесконечности, когда различие стремится к нулю. Но
это справедливо только, когда мы стремимся разделить
смесь, ибо в этом случае увеличение энтропии только изме-

§ 75] ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ К ТЕОРИИ СМЕШЕНИЯ 245
ряет трудность распознавания различных компонентов.
Правило неприменимо в том случае, когда мы интересуемся
только термодинамическими свойствами смеси, например
ее полезной энергией. Различие между этими двумя
случаями вполне согласуется с физическим смыслом энтропии,
как он был определен в §20: изменением энтропии
измеряется количество энергии, которое должно быть затрачено,
чтобы перевести рабочее тело из одного состояния в другое
и, следовательно, может и не быть одинаковым, когда
рассматриваемые состояния определяются макроскопически
(например, равновесием по давлению и температуре с
холодильником) или микроскопически (например, по полному
разделению компонентов).
§ 75. Заключительные замечания к теории смешения
Результаты, полученные в этой главе, могут быть
резюмированы следующим образом.
Теория смешения газов должна дать решение двух
различных проблем: определение полезной энергии смеси
и той энергии, которая необходима для разделения
компонентов. Классическая теория дает одно решение обеих
задач: всякая смесь газов несет в себе некоторую
«энтропию диффузии» (или «энтропию смешения»), которая не
зависит от химической природы компонентов смеси. Но
это решение неприемлемо ни для одной из задач, которые
призвана решать теория.
Когда дело идет о полезной энергии смеси идеальных
и химически нейтральных газов при одном давлении и
одной температуре, все происходит так, как если бы
энтропия диффузии равнялась нулю. Эта энтропия, как
ее определяет классическая теория, появляется только
при двойном условии. Первое условие состоит в наличии
полунепроницаемых перегородок, позволяющих
разделить компоненты смеси; это условие почти никогда не
выполняется, и этого уже достаточно, чтобы лишить теорию
практического значения. Второе условие заключается
в тождественности состава рассматриваемой смеси и
холодильника, т. е. атмосферного воздуха; мы имеем здесь
дело с частным случаем, который был исследован в § 69.
Другими словами, выражение для энтропии диффузии,

246 ЭНТРОПИЯ И ТЕОРИЯ СМЕШЕНИЯ ГАЗОВ [ГЛ. 6
установленное классической теорией, применимо только
к смеси (по весу) 76,8% азота и 23,2% кислорода, и это
в случае, когда мы располагаем полунепроницаемыми
перегородками, позволяющими разделить такую смесь. Дело,
следовательно, идет о приспособлении, которое существует
только в нашем воображении и, кроме того, имеет исчезающе
узкую область применения.
Переходя к вопросу о разделении смеси, мы
констатируем, что классическая теория здесь также терпит полный
провал. Она не только привлекает несуществующие
перегородки, но при использовании их допускает
неприемлемую «натяжку», ибо приписывает окружающей среде
нулевое давление, не учитывая в то же время энергии,
необходимой для создания вакуума. Кроме того, она
неизбежно приходит к парадоксу Гиббса, которому не
в состоянии дать удовлетворительного объяснения.
Неудивительно поэтому, что получаемые ею «теоретические»
результаты не имеют никакого отношения к
действительности. В определение энергии, необходимой для
разделения компонентов газовой смеси, входит не «энтропия
диффузии», а степень различия природы компонентов, и,
конечно, метод, использованный при разделении. Эти
представления позволяют обратить заключение Гиббса, но при
этом заключение перестает быть парадоксом. Нет
необходимости ^прибегать к спекулятивным рассуждениям, чтобы
придать ему видимость существования, как это делает по
отношению к парадоксу Гиббса классическая теория.

Глава седьмая
Энтропия и философская мысль
§ 76. Необычайная судьба понятия энтропии
Среди физических величин, вошедших в науку в XIX
веке, энтропия занимает особое место, причем в двух
отношениях (не независимых). С одной стороны, энтропия,
которая, казалось, меньше всего поддается интуитивному
восприятию или (что одно и то же) определению,
отличному от чисто математического, долго считалась наиболее
абстрактной физической величиной. С другой стороны,
в противоположность, скажем, давлению или энтальпии
энтропия быстро перешагнула границы физики, и
проникла в самые сокровенные области человеческой мысли.
Ясно, что этому проникновению, на первый взгляд
неожиданному, способствовал как раз отвлеченный
характер самого понятия энтропии.
Прежде чем рассмотреть роль энтропии в различных
философских концепциях, интересно выяснить причины
неудержимой экспансии одного из самых любопытных
понятий физики. Эддингтон приписывает этот успех тому
факту, что энтропия «была в большой милости у
инженеров. Их покровительство служило несомненным
свидетельством ее высоких качеств (good character), ибо в те
времена было принято считать, что Творение есть дело
рук инженера (а не математика, как модно думать теперь
в наши дни)» *). Эта шутка несомненно содержит большую
часть истины; но если она объясняет успех понятия
энтропии в прошлом, то может заставить думать, что в наши
дни энтропия потеряла какую-то часть своей
привлекательности. Однако это не так, ибо если со времен
Клаузиуса прерогатива Творения перешла от инженера
*) A. S. Е d d i n g t о n, The Nature of the Physical World,
Cambridge University Press, 1929, гл. 5,

248 ЭНТРОПИЯ и ФИЛОСОФСКАЯ МЫСЛЬ [ГЛ. 7
к математикам, то же самое произошло и с энтропией, так
что теперь она имеет новых покровителей, и не менее
уважаемых, чем в прошлом. Но только новые покровители
(как, впрочем, и сам Эддингтон) рассматривают энтропию
под иным углом зрения: теперь энтропия уже не служит
.мерой энергии, необходимой для возвращения данной
системы в некоторое начальное состояние, а стала мерой
беспорядка, царящего в системе и, следовательно, мерой
неопределенности наших знаний внутренней структуры
системы. Нет смысла подчеркивать тот факт, что эти два
понимания энтропии вовсе не взаимоисключающие, а
напротив, составляют два дополняющих друг друга аспекта
одной величины. Поэтому можно только сожалеть, что
современная теоретическая физика обнаруживает часто
тенденцию полностью завладеть понятием энтропии, как
если бы ее микроскопический аспект был единственным
имеющим смысл. Эта тенденция тем менее оправдана, что
макроскопический аспект энтропии имеет более твердые
основания: он был открыт в эпоху, когда связь
между энтропией и беспорядком была еще неизвестна, и
сохранится даже в том случае, если по каким-либо
причинам нам придется отказаться от этой связи. Впрочем,
если бы макроскопический аспект энтропии не заявил
о себе в теории тепловых машин, ни один физик и не
подумал бы, что можно измерять неопределенность с помощью
единицы размерности энергии, деленной на температуру,
и не стал бы предлагать новой системы единиц,
предназначенной именно для того, чтобы скрыть эту трудность.
Наряду с успехом, которым понятие энтропии
пользовалось среди инженеров, можно поставить и другой фактор,
игравший некоторую роль в том влиянии, которое это
понятие оказывало (и продолжает оказывать) на научное
и философское мышление: это название, которое ему было
присвоено Клаузиусом. Если бы функция, открытая этим
ученым, оставалась известной только в виде
математического выражения или как интеграл Клаузиуса, она,
вероятно, имела бы менее заметное и беспокойное существование.
Но Клаузиусу пришла идея дать своей функции греческое
имя и, согласно хорошо известному свойству
человеческого разума, это имя'сразу же привлекло внимание к
объекту, который должно было обозначать, и который вызывал

§77]
КОСМОЛОГИЯ БОЛЬЦМАНА
249
тем больше любопытства, чем менее уловимой была его
истинная природа.
f Однако главной причиной влияния энтропии на
философскую мысль неоспоримо было ее странное свойство
изменяться всегда в одном направлении или, другими словами,
быть необратимой. Когда Клаузиус объявил об этой
необратимости энтропии (в чрезвычайно наглядной форме), он
приписал этой величине свойство, которое до тех пор
рассматривалось как присущее только времени. В
дальнейшем теория расширяющейся Вселенной дала еще один
пример необратимости. Но необратимость времени
присуща, если можно так сказать, самому его определению,
а в теории расширяющейся Вселенной необратимость
касается расстояний между небесными телами. В обоих
случаях указанное свойство, хотя и крайне редкое, все же
выглядит вполне ясным. Не так обстоит дело в случае
энтропии: здесь мы не только сталкиваемся с
исключительным свойством, но не знаем даже строго, чему мы
приписываем это свойство.
В дальнейшем мы осветим роль, которую понятие
энтропии играло в некоторых космологических,
биологических и философских теориях. Первые касаются начала,
эволюции и конца физического мира, точнее, может быть,
назвать их космогоническими; мы встретим здесь имя
Больцмана, а также Эддингтона. В области
исследований, относящихся к генезису и эволюции жизни,
вмешательство энтропии связано с именами Бергсона, Леконта
дю Нойи, Шредингера и Бриллюэна. Наконец,
использованием понятия энтропии для разрешения философской
проблемы мы обязаны Е. Мейерсону1).
§ 77. Космология Больцмана
Чтобы понять интерес Больцмана к космологическим
проблемам, надо напомнить, что его основной противник
Лошмидт стремился опровергнуть концепции Клаузиуса
х) Заметим, что хотя автор и стоит на материалистических
позициях, он не владеет методом диалектического материализма.
Поэтому его критика идеалистических воззрений не всегда
оказывается последовательной. Советский читатель без большого труда
сумеет оценить некоторые философские высказывания, приводимые
ниже. (Прим. перге.)

250
ЭНТРОПИЯ И ФИЛОСОФСКАЯ МЫСЛЬ [ГЛ. 7
и Больцмана, чтобы спасти Вселенную от «тепловой
смерти». Безжалостный закон возрастания энтропии должен
был бы привести Вселенную в некоторое фиксированное
состояние, из которого она уже никогда не смогла бы
выйти. Лошмидт назвал этот результат «чудовищным»
и, чтобы опровергнуть его, предложил космологическую
теорию, которую Больцман в свою очередь считал
несостоятельной. Теория, предложенная Больцманом,
характеризуется атомистическим пониманием строения Вселенной
и вероятностной трактовкой ее эволюции.
Больцман представляет себе мир как «механическую
систему, состоящую из огромного числа частиц, обладающих
неизмеримо большим временем жизни, так что размеры
известного нам мира видимых звезд ничтожны по
сравнению с протяженностью Вселенной, а отрезки времени,
которые для нас являются вечными эрами, пренебрежимо
малы по сравнению с продолжительностью существования
Вселенной». Эта Вселенная, взятая в целом, почти повсюду
находится в состоянии теплового равновесия и,
следовательно, в состоянии смерти. Таким образом, для всей
Вселенной два направления времени неразличимы, подобно
тому как в пространстве не существует абсолютного верха
или низа. Но во Вселенной существуют индивидуальные
миры, т. е. относительно малые области (например,
порядка величины нашего звездного мира), которые в течение
сравнительно малых отрезков времени (порядка наших
эр) существенно отклоняются от теплового равновесия.
Среди таких индивидуальных миров «те, для которых
вероятность состояний растет, столь же многочисленны,
как и те, для которых эта вероятность убывает». Если это
так, то в каждом из двух случаев оба направления времени
легко различимы; следуя направлению эволюции
состояний, слово «будущее» должно обозначать либо
направление возрастающих вероятностей, либо направление
убывающих вероятностей, а слово «прошлое», естественно,
в каждом случае должно обозначать противоположное
направление. Однако Больцман не делает из своих
рассуждений этого очевидного вывода; увлеченный идеей
возрастающих вероятностей, он обходит молчанием другую
альтернативу и утверждает в !общем случае, что «всякое
живое существо в определенной фазе времени, находя-

§ 77]
КОСМОЛОГИЯ БОЛЬЦМАНА
251
щееся в таком индивидуальном мире, будет обозначать
направление менее вероятных состояний по-иному, чем
противоположное направление: первое будет для него
прошлым, или началом, второе же — будущим, или
концом; согласно такому обозначению, для одного
небольшого изолированного участка Вселенной всегда в начале
времен находится состояние невероятное».
Этот последний абзац находится, таким образом, в
противоречии с идеей существования равного числа
индивидуальных миров двух категорий. И противоречие это
усугубляется еще тем, что Больцман считает необходимым
объяснить исключительную редкость переходов от
состояния вероятного к состоянию невероятному; объяснение
заключено в предположении, что «начальное состояние
окружающей нас Вселенной было очень мало вероятным».
Кажется поэтому, что Больцман не удержался от соблазна
распространить на всю Вселенную особенные свойства
«индивидуального мира», в котором мы живем; можно
добавить в его оправдание, что этот мир есть единственный
нам доступный. Впрочем, Больцман прекрасно отдавал
себе отчет в этом, так как, говоря о мирах, где события
происходят в обратном порядке, он добавляет: «Но
существа, которые их наблюдают, может быть отсчитывают
время от менее вероятных состояний к более вероятным,
и нет никакой возможности выяснить, отсчитывают ли они
время в направлении, противоположном нашему, ибо они
отделены от нас во времени бесконечными эрами, а в
пространстве расстояниями порядка 101°10 расстояния до
Сириуса, и, кроме всего прочего, их язык не имеет никакой
связи с нашим».
Эта космологическая .гипотеза Больцмана изложена
в его трактате о Теории газов, который был опубликован
в конце XIX века *). Но за двадцать лет до этого, в статье,
посвященной возражениям Лошмидта, Больцман пришел
к совершенно иному выводу: «...Если вернуться к
состояниям Вселенной в бесконечно далеком прошлом, то
разумно считать вероятным, что мы придем к состоянию, где все
температурные разности исчезают, так же как и в состоя-
г) Изложение этой космологической теории можно найти
в книге Дюга (см. сноску на стр. 145).

252 ЭНТРОПИЯ и ФИЛОСОФСКАЯ МЫСЛЬ [ГЛ. 7
ниях самого далекого будущего. Это аналогично ситуации,
когда мы знаем, что в данный момент времени в газе, очень
долго не испытывавшем внешних воздействий, существует
неравновесное распределение. Мы должны сделать
заключение, что в очень давнем прошлом распределение было
однородным, а в настоящий момент мы имеем дело с
исключительным случаем».
Это рассуждение так же допустимо, как и
предшествующее. Их противоречивость показывает, насколько
иллюзорна всякая попытка определить законы эволюции нашего
«индивидуального мира», а особенно гипотетической
Вселенной, исходя только из того факта, что энтропия газа,
заключенного в сосуд, стремится к максимуму.
§ 78. Теорема Пуанкаре и замечания Бореля
В последней главе своей книги «Le hasard»1) Борель
критикует космологическую теорию Больцмана,
основываясь на теореме Пуанкаре, согласно которой эволюция
полностью изолированной системы сколь угодно близка
к периодической эволюции. При достаточно больших
периодах времени явления, противоречащие второму
принципу, будут столь же часты, как и явления, согласующиеся
с этим принципом. Эта теорема могла бы применяться ко
Вселенной, понимаемой как «механическая система,
определяемая конечным числом параметров, область изменения
которых также конечна». В такой Вселенной там и здесь
происходили бы переходы от более вероятного состояния
к менее вероятному, что согласуется с теорией Больцмана.
Однако Борель показывает, что этот вывод строг лишь,
если предположить абсолютное отсутствие всяких внешних
воздействий на Вселенную, т. е. если быть вполне
уверенным в том, что на огромном расстоянии где-то нет
другой Вселенной таких же размеров, как и наша, хотя
возможно и сильно от нее отличающейся, причем эта Вселенная
могла бы в течение времени воздействовать на нашу. Такое
воздействие «бесконечно вероятно», ибо продолжительность
времени, необходимого для применения теоремы
Пуанкаре, огромна. Отсюда следует, что «по крайней мере столь
же правдоподобно предположить, что законы нашего мира
г) См. сноску на стр. 174. (Прим, перев.)

§ 78] ТЕОРЕМА ПУАНКАРЕ И ЗАМЕЧАНИЯ БОРЕЛЯ 253
полностью модифицируются вследствие взаимодействия
с иным миром (на расстоянии, бесконечно большем, чем
расстояние между атомом на Земле и атомом на Сириусе),
как и предположить возможность изменения знака
эволюции энтропии». Таким образом, концепция Бореля
более определенна, чем концепция Больцмана. Он
принимает «регулярную эволюцию ко все более и более
вероятным состояниям... для всей Вселенной в целом,
если только не считать ее конечной и навсегда
изолированной в конечной области пространства системой, из
которой ничего не может выйти, ни вещество, ни энергия, ни
излучение, и в которую ничего не может войти». И немного
ниже Борель добавляет: «эволюция в направлении
наиболее вероятных состояний кажется мне наиболее общим
законом, который нельзя обойти».
! Но принимая этот общий закон развития Вселенной,
Борель в то же время считает, что этот закон не обязательно
ведет к смерти Вселенной, и в этом состоит наиболее
оригинальная часть его рассуждений. Чтобы избежать этой
смерти от возрастания энтропии, «достаточно представить
себе, что беспорядок, т. е. разности температур,
неоднородности вещества и т. д., возрастает при переходе ко все
более мелким масштабам, тогда как порядок, конечно,
уменьшается в тех масштабах, где возрастает беспорядок,
но может увеличиваться и даже совершенствоваться в еще
более мелких масштабах. Иными словами, структура мира
становится все более и более тонкой... Эволюция мира
тогда может пониматься как тенденция к образованию
все более сложных состояний, которые могут быть
восприняты и использованы только все более и более малыми
существами». Эти существа могли бы быть «по отношению
к молекулам тем, чем мы являемся по отношению к
Солнцу», но «нет никаких причин, по которым бесконечное
усложнение мира могло бы помешать существованию таких
живых существ (если их еще нет на самом деле) с
относительно более сложной структурой, чем наша». В заключение
Борель утверждает, что такая эволюция Вселенной,
которая есть своего рода гомотетическое сокращение,
сопровождающееся, может быть, все более и более значительной
тенденцией к порядку в высоком смысле, «не противоречит
последним результатам науки о случае».

254 ЭНТРОПИЯ И ФИЛОСОФСКАЯ МЫСЛЬ [ГЛ. 7
Верно, что эта концепция не противоречит науке, но
это лишь слабое утешение. Ибо на современном уровне
знаний такая эволюция мира, хотя и возможна, но мало
вероятна. Сам Борель справедливо указывает, что
ничтожная вероятность практически эквивалентна
невозможности. Следовательно, допуская, что мы действительно
должны опасаться термодинамической смерти Вселенной,
не гипотеза гомотетического сокращения масштабов,
сопровождающегося увеличением сложности, поможет нам
рассеять наши опасения.
§ 79. Понятие энтропии в философской концепции
Эддингтона
В философской концепции Эддингтона понятие энтропии
играет важную роль, и при этом в двух различных
аспектах, которые мы разберем последовательно.
Первый из этих аспектов касается связи между
энтропией и тем, что Эддингтон называет «стрелой времени»,
а также связи между энтропией и «становлением»; он
посвящает этим вопросам две главы своей цитированной
нами книги «The nature of the physical world». Укажем
с самого начала, что Эддингтон отводит второму закону
термодинамики совершенно особое место среди других
физических законов. Именно этот принцип, согласно
Эддингтону, вводит в наш мир некоторое направление,
ибо «он открывает новую область познания, а именно
исследование организации; только в связи с организацией
впервые появляется направление течения времени и
различие между возникновением и исчезновением». С точки
зрения физики, единственная возможность различать
прошедшее и будущее состоит в изучении вклада случая
в с(?стояние мира: возрастание этого вклада определяет
направление стрелы времени и это возрастание необратимо,
потому что касается очень большого числа элементов. Но
практической мерой вклада случая, т. е. беспорядка,
царящего в мире, является энтропия. Закон возрастания
энтропии есть единственный закон физики, который не
может быть опровергнут. Новые физические теории могли
бы заставить нас когда-нибудь отказаться от уравнений
Максвелла и даже от некоторых экспериментальных резуль-

§ 79] ПОНЯТИЕ ЭНТРОПИИ В КОНЦЕПЦИЙ ЭДДИНГТОНА 255
татов, но если бы они находились в противоречии с
законом возрастания энтропии, эти теории неизбежно были бы
ошибочными.
Тем не менее это возрастание не бесконечно, но
стремится к некоторому пределу. Действительно, рассматривая
изолированную систему (т. е. часть Вселенной), мы
констатируем, что она быстро достигает состояния
термодинамического равновесия, которое устойчиво. Это
обстоятельство объясняется тем фактом, что энергия не
бесконечно делима, и послужило основой квантовой теории.
В такой равновесной системе мы теряем стрелу времени.
Это не означает, что система становится вневременной,
так как атомы продолжают свои колебания, что позволяет
измерять скорости и продолжительности. В такой
системе время, следовательно, не исчезло, но потеряло свою
стрелу.
Система становится сходной с пространством, так как
она простирается, но не «продвигается». Бесполезно в таком
случае искать новый критерий направления времени.
Эддингтон выдвигает следующий закон, который считает
важным и не выводимым строго из второго принципа
термодинамики: «Ничто в статистических свойствах
совокупности не может выделить направление времени, если этого
не может сделать энтропия». Отсюда следует, что в области
физики стрела времени есть свойство энтропии и только
ее одной.
Но несмотря на столь категорическую позицию,
Эддингтон ясно видит трудность, которую представляет столь
тесная связь между течением времени или «становлением»,
с одной стороны, и энтропией или оценкой расположения
микроскопических компонентов мира, с другой стороны.
Эта трудность заключена в том факте, что мы связываем
между собой «две вещи, которые мы более или менее
понимаем, но которые, насколько мы их понимаем, совершенно
различны». Действительно, как говорит Эддингтон,
мы воспринимаем понятие становления только потому,
что становимся сами собой, т. е. с помощью прямого
свидетельства нашего сознания. И кажется совершенно
неуместным пытаться символизировать это
фундаментальное интуитивное понятие свойством расположения
элементарных компонентов мира. Эддингтон не разрешает

256 ЭНТРОПИЯ и ФИЛОСОФСКАЯ МЫСЛЬ [ГЛ. 7
этой трудности, но выражает надежду, что в результате
пересмотра физических концепций энтропия в будущем
будет иметь независимое существование и поэтому легче
будет восприниматься как символ динамического качества
мира. Он добавляет, что наше представление о времени
нельзя сравнивать с указаниями часов, которые измеряют
интервалы, ничего не говоря при этом о направлении
течения времени; скорее его надо сравнивать с показаниями
приборов, служащих для определения изменения
энтропии. Такой прибор может быть составлен из двух
термометров, измеряющих температуры горячего тела и холодного
тела, находящихся в тепловом контакте. Из двух
моментов времени тот, который соответствует меньшей разности
температур, должен рассматриваться как последующий.
Наше сознание позволяет фиксировать направление стрелы
времени, но не измерить ее с достаточной степенью
точности.
Замечательно, что именно наиболее совершенные
часы наилучшим образом скрывают направление стрелы
времени, ибо при их изготовлении стремятся, насколько
это возможно, устранить такие явления, как трение,
приводящие к дезорганизации Энергии и, следовательно, к
увеличению энтропии. Поэтому, чтобы установить различие
между прошедшим и будущим, мы должны обратиться
не к хронометрам, а к термометрам.
Второй аспект роли энтропии в философских
построениях Эддингтона определяется названием третьей главы
его книги «New pathways in science»—«Конец мира».
История мира завершится, когда он достигнет состояния
термодинамического равновесия, и Эддингтон считает, что
такую перспективу не следует рассматривать
пессимистически, так как идея вечного возобновления была бы еще
хуже. Но Эддингтона особенно интересует другая крайняя
точка истории мира, т. е. его начало. Поскольку
направление течения времени определяется нарастанием
молекулярного беспорядка, то, возвращаясь вспять, мы должны
прийти к состоянию, в котором вещество и энергия
организованы сколь возможно правильно. И это состояние
должно, таким образом, рассматриваться как некоторое
абсолютное начало мира, что, конечно, не совсем
удовлетворительно воспринимается разумом. Но Эддингтон

§ 793 ПОНЯТИЕ ЭНТРОПИИ в КОНЦЕПЦИИ ЭДДИНГТОНА 257
добавляет, что эта трудность происходит не столько от
недостатков принятой в настоящее время системы
физических законов, сколько от принятого метода анализа
экспериментальных данных. Опыт показывает, что реакции
между бесчисленными компонентами мира подчиняются
законам случая, поэтому в теоретическую физику вводятся
только эти законы, а сталкиваясь с расположением атомов,
не согласующимся с этими законами, мы
классифицируем это вмешательство «антислучая» как «выпадающую
точку».
Мы выметаем антислучай из поля обычных физических
проблем, но этого совершенно недостаточно, чтобы от него
избавиться. Возвращаясь назад, мы находим этот сор,
который скопившись, образует большую стену (т. е. начало
времени), недоступную для преодоления.
Эддингтон указывает, что нельзя избежать такого
вывода, полагая, что после термодинамической смерти
Вселенной время по-прежнему будет течь бесконечно и это
позволит воспроизвести любую конфигурацию атомов:
вероятность вмешательства антислучая будет слишком
малой, чтобы рассматривать его серьезно, так что
предпочтительнее поместить это вмешательство в начало
времен.
Появление общей теории относительности не оказало
влияния на справедливость предшествующих рассуждений.
Но другая теория допускает интересные сравнения со
вторым принципом — это теория расширяющейся Вселенной,
в которую сам Эддингтон внес существенный вклад. Как
и возрастание энтропии, расширение Вселенной — явление
необратимое. Поэтому оно также позволяет фиксировать
направление течения времени, с той разницей, что здесь
дело идет о времени всей Вселенной1), энтропия же играет
роль локального указательного столба. Как бы то ни было,
возрастание энтропии и объема Вселенной — это два
критерия, определяющие направление стрелы времени, и
возможно, что между ними существует некоторая, пока еще
неизвестная связь.
г) По расчетам Эддингтона эта теория позволяет оценить
возраст Вселенной величиной порядка 10 миллиардов лет, что,
впрочем, кажется недостаточным.

258
ЭНТРОПИЯ и ФИЛОСОФСКАЯ МЫСЛЬ [ГЛ. 7
§ 80. Критика космологических теорий, основанных
на втором принципе термодинамики
Приписывая времени определенное направление, пусть
статистической природы, второй принцип, дополненный
формулой Больцмана, не мог не поднять вопроса о
временном начале и конце мира. Изложенные нами
рассуждения являются попытками ответить на этот вопрос,
который имеет гораздо более философское, чем физическое
значение. Можно, однако, подвергнуть эти попытки
критическому анализу как с точки зрения физики, так и
философии.
Примем сначала первую точку зрения. Всякий
физический закон в принципе относится только к тому участку
пространства —времени, который доступен нашему
наблюдению и нашему эксперименту. Распространение закона
на ту часть Вселенной, которая недоступна нашему
наблюдению, поэтому только неосновательная гипотеза.
Следовательно, если в области, где мы живем, верно (по крайней
мере, статистически), что стрела времени направлена
в сторону возрастающих энтропии, ничто не позволяет
нам утверждать, что это правило будет верным и для всех
остальных областей Вселенной. Мы видели, что сам
Больцман подходил к аналогичному выводу, так как по его
теории «индивидуальные миры», в которых вероятность
состояний растет, столь же многочисленны, как и те, в
которых она убывает, причем размеры каждого из этих миров
сравнимы с нашим звездным миром. Однако Больцман не
пошел в этом вопросе до конца, ибо считал, что каждый
мир неумолимо приговорен к тепловой смерти.
Та же идея была выражена (но не принята) Бергсоном.
Этот философ рассматривает закон деградации энергии
как «наиболее метафизический из всех физических
законов, так как он указывает нам пальцем, без промежуточных
символов, без ухищрений измерения, направление, по
которому движется мир» *). Он отбрасывает идею бесконечной
Вселенной, содержащей неограниченные запасы полезной
энергии, которые позволили бы ей избежать тепловой
2) Н. В е г g s о n, L'evolution creatrice, Paris, 1908, гл. 3.

§ 80] КРИТИКА КОСМОЛОГИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ 259
смерти, а затем исследует другую гипотезу: «Можно было
бы, наконец, предположить, что общая неустойчивость
возникла из состояния общей устойчивости, что периоду,
в котором мы находимся и когда полезная энергия
уменьшается, предшествовал другой период, когда изменчивость
увеличивалась, что периоды увеличения и
уменьшения бесконечно следуют друг за другом. Эта гипотеза,
как было показано в последнее время, теоретически
приемлема, но, согласно вычислениям Больцмана, ее
математическая вероятность столь ничтожна, что эквивалентна
практической невозможности».
Этот последний вывод неприемлем. Вычисления
Больцмана справедливы только для нашего «индивидуального
мира», т. е. для нашей звездной системы и той эры, в
которой мы живем. Допускать, что эти вычисления справедливы
для всей совокупности индивидуальных миров, когда мы
не знаем даже, конечно или бесконечно их число, значит
покинуть область физики, что вовсе не означает войти
в область философии, ибо неосновательное предположение
равным образом недопустимо как в первой, так и во
второй области. Если оставаться на физической почве, то надо
ограничиться следующим заключением: в доступной нам
области пространства — времени кривая, представляющая
изменение энтропии этой области со временем, имеет только
статистическое значение, и мы не в состоянии даже ее
начертить, но мы знаем, что угловой коэффициент касательной
к этой кривой всегда положительный, а этого свойства
кривой достаточно, чтобы приписать времени определенное
направление. Ясно, что это направление имеет цену только
для нашей конкретной области пространства — времени
и мы должны, следовательно, допустить для других
областей возможность противоположного направления. Наш
чрезвычайно ограниченный опыт не позволяет сделать
каких-либо заключений относительно начала и конца
Вселенной, рассматриваемой в целом.
Таким образом, с точки зрения физики проблема
неразрешима. Но такой вывод не может удовлетворить некоторых
философов. И Бергсон объясняет неспособность физики
тем фактом, что «физик вынужден связывать энергию с
протяженными частицами, и даже, если он видит в частицах
лишь резервуары энергии, он остается в пространстве:

260 ЭНТРОПИЯ и ФИЛОСОФСКАЯ МЫСЛЬ [ГЛ. 7
он вышел бы из своей роли, если бы искал причину энергий
во внелространственном процессе. Но именно здесь, по
нашему мнению, надо ее искать». Это последнее замечание
может лишь насторожить, и поэтому, чтобы получить
философскую оценку исследуемых нами теорий, мы обратимся
не к Бергсону. Почерпнем эту оценку из творчества другого
мыслителя, который, впрочем, ничего не знал о втором
принципе, мы имеем в виду Иммануила Канта.
В наше время уже невозможно защищать
трансцендентальный идеализм, составляющий сущность кантианской
философии: идея евклидова пространства как одной из
прирожденных форм нашего сознания была приемлема
в эпоху Канта, теперь же она недопустима. Однако
творчество Канта не сводится только к «Трансцендентальной
эстетике», оно содержит, помимо других философских
построений, теорию антиномий и, в частности, решение
первой антиномии, тезис которой утверждает, что мир
конечен в пространстве и во времени, а антитезис — что
он бесконечен и в пространстве, и во времени. Немедленно
видим, что предмет этой антиномии совпадает в том, что
касается продолжительности мира во времени, с
космологической проблемой, возникающей в связи со вторым
принципом. Решение, предлагаемое Кантом, сводится
к тому, чтобы поставить антагонистов спиной к спине, ибо
каждому из них удается доказать не справедливость своего
собственного утверждения, а невозможность принять тезис
противоположнрй стороны. Тезис и антитезис оба ложны,
что говорит о суетности наших попыток постигнуть мир
как единое целое. Нам кажется, что это решение
продолжает оставаться верным; мы высказали даже идею, что
то же решение может быть дано и другой антиномии,
касающейся детерминизма и индетерминизмах). Подробное
исследование этого вопроса выходит за рамки данной книги.
Достаточно сказать, что. позиция Канта по отношению
к первой антиномии — наиболее осторожная из всех
позиций, которые может занимать философ, и ответ, полученный
им относительно начала и конца мира, не отличается от
того, к которому мы пришли, оставаясь в области физики.
г) P. Chambadal, Realite et convention, Paris. Armand
Colin, гл. 4.

§ 81]
ЭНТРОПИЯ и ЖИЗНЬ
261
Но это совпадение двух решений возможно только, если
с философской точки зрения мы примем концепцию мира,
которая сильно отличается от концепции наивного
реализма: мир не должен отождествляться с изолированной
системой, наполненной непрерывным газом. Впрочем, если
бы мир был именно таким, то не было бы ни понятия
энтропии, ни понятия времени, ни тем более дискуссии о
направлении изменения энтропии со временем.
Итак, мы видим, что если попытки основать
космологическую теорию на втором принципе термодинамики
ставят нас в безвыходное положение, то именно потому,
что авторы попыток слишком упростили данные задачи.
Они заменили Вселенную во всем ее объеме некоторым
карикатурным изображением и предприняли попытки
решить проблему начала и конца Вселенной, исходя из
тех данных, которые им дало это изображение. Не сделав
такой замены, они избежали бы очевидной ошибки: вместе
с Кантом они пришли бы к заключению, что стоящая перед
ними проблема неразрешима по той простой причине, что
ее постановка не имеет смысла. Концепция Вселенной во
всей ее совокупности не следует из нашего опыта, а есть
лишь создание нашего разума. Идея, что Вселенная в целом
может обладать объективными свойствами (например,
определенной продолжительностью существования),
содержит внутреннее противоречие и всякое рассуждение,
основанное на этой идее, может привести только к абсурду.
§ 81. Энтропия и жизнь
Именно исследования по генезису и эволюции жизни
привели Бергсона к тем размышлениям об энтропии,
которые мы цитировали в предыдущем параграфе. Бергсон
настаивает на том факте, что эволюция жизни и эволюция
вещества идут в противоположных направлениях: «Все
наши анализы показывают усилие жизни подняться на
склон, по которому спускается вещество... Конечно, жизнь,
развивающаяся на поверхности нашей планеты, связана
с веществом... Она прикована к организму, который
подчиняет ее общим законам инертного вещества. Но все
происходит так, как если бы она стремилась освободиться
от этих законов. Она не в состоянии обратить направление

262 ЭНТРОПИЯ и ФИЛОСОФСКАЯ МЫСЛЬ [ГЛ. 7
физических изменений, как его определяет принцип Карно.
Но ведет себя подобно силе, которая, будучи освобождена,
действовала бы в противоположном направлении.
Неспособная остановить ход материальных изменений, она
все же в состоянии замедлить его». Например, «начальный
импульс... приводит жизнь ко все более эффективным
действиям по производству и использованию все более
мощных взрывчатых веществ. Но что такое эти взрывчатые
вещества, как не запасы солнечной энергии, деградация
которой, таким образом, временно задерживается в
некоторых точках? Полезная энергия, заключенная во
взрывчатом веществе, освободится, конечно, в момент взрыва,
но это произошло бы значительно раньше, если бы здесь
не оказалось организма, который остановил диссипацию
энергии, удержал ее и собрал воедино».
Аналогичные идеи высказывались многими знаменитыми
физиками. «Возможно, говорит Винер *), что ферменты
являются метастабильными демонами Максвелла,
уменьшающими энтропию». Бриллюэн 2) также пишет:
«Довольно странное совпадение, что жизнь и второй принцип
представляют собой как раз два наиболее важных примера
невозможности обратить течение времени. Это указывает
на близкую связь двух проблем...». И далее: «Рассмотрим
взрослый экземпляр — растение, животное или человека.
Этот взрослый индивидуум есть изумительный пример
химической системы в неустойчивом равновесии...,
поскольку он представляет собой в высшей степени тонкую
организацию и чрезвычайно маловероятную структуру (это
система, обладающая очень низкой энтропией, согласно
статистической интерпретации этой величины). Эта неустой-
, чивость проявляется особенно ярко, когда наступает
смерть... Но что за странный механизм так отодвигает
эту смерть?... Принцип Карно есть смертный приговор;
он грубо и безжалостно применяется в неживом мире,
в мире, который уже заранее мертв. Жизнь на время
отменяет этот приговор. Она использует то обстоятельство,
х) N. Wiener, Cybernetics, Paris 1948, New York, 1949
(есть перевод: Норберт Винер, Кибернетика или управление
и связь в животном и машине, М., Сов. радио, 1958).
2) L. Brillouin, Vie, matiere et observation, Paris, Michel,
1959.

§ 81]
энтропия и жизнь
263
что смертный приговор объявлен без указания срока
исполнения».
В замечательной маленькой книге Шредингера «Что
такое жизнь?» *) мы находим наиболее четкое изложение
связи между физикой и биологией. Большая часть этой
книги посвящена связи между теорией мутаций и
квантовой механикой; здесь мы обратим внимание только на
размышления Шредингера об отношении жизни ко второму
принципу. Эти рассуждения основаны на констатации
существенной разницы между законами, управляющими
неорганической природой, и законами жизни: первые суть
статистические законы, выводящие закономерность из
беспорядка, во вторых порядок основан на порядке. «Жизнь
является таким проявлением природы, которое'управляется
и регулируется законами, основанными не только на
тенденции перехода от порядка к беспорядку, но частично
и на существующем и сохраняющемся порядке... Живой
организм есть макроскопическая система, которая по
крайней мере в части своих проявлений приближается к
свойствам механической системы (в смысле противопоставления
системе термодинамической), к чему стремятся все
системы, когда температура приближается к абсолютному
нулю и молекулярный беспорядок исчезает». В
противоположности неживым телам живая материя избегает
тенденции перехода в инертное состояние, т. е. состояние
«равновесия», и это благодаря метаболизму. Но этот
метаболизм, т. е. вся совокупность обменов веществ,
происходящих в организме, касается не вещества и энергии,
а энтропии. Живой организм непрерывно увеличивает
свою энтропию и стремится к состоянию максимальной
энтропии, т. е. смерти; он может избежать этого только,
черпая в окружающей среде «отрицательную энтропию».
Основная роль метаболизма состоит в том, чтобы
позволить организму освобождаться от энтропии, которую он
непрерывно производит всю свою жизнь, или, что то же
самое, питаться отрицательной энтропией. Если энтропия
есть мера беспорядка-, то отрицательная энтропия есть
г) Е. Schrodinger, What is Life?, Cambridge University
Press (есть перевод: Э. Шредингер, Что такое жизнь с точки
зрения физики? ИЛ, 1947).

264 ЭНТРОПИЯ и ФИЛОСОФСКАЯ МЫСЛЬ [ГЛ. 7
мера порядка, ибо формула Больцмана может быть
записана в виде
причем величина \IW может рассматриваться как прямая
мера порядка. Отсюда следует, что живой организм
удерживается на достаточно низком уровне энтропии только
потому, что он непрерывно черпает порядок из окружающей
среды. Это удивительное свойство организма,
«по-видимому, связано с присутствием «апериодических
кристаллов», молекул хромосом, которые вне всякого сомнения
представляют собой пример наиболее высокой известной
степени упорядоченности атомной системы — гораздо более
высокой, чем в обычном периодическом кристалле,
вследствие индивидуальной роли каждого атома и каждого
радикала».
Все предшествующее—несомненно превосходная
картина жизни, рассматриваемая с точки зрения второго
принципа термодинамики, хотя для живого организма определение
энтропии представляет известные трудности х). Но
основная проблема не в этом: недостаточно знать, что мы живем
за счет отрицательной энтропии, которую черпаем в
окружающей среде, важно, что это поглощение отрицательной
г) Эта трудность связана с тем обстоятельством, что, следуя
замечанию Бриджмена (цитированному Бриллюэном), чтобы
вычислить энтропию системы, надо уметь создавать ее или уничтожать
обратимым путем, а мы не знаем, конечно, никакого обратимого
способа создания или умерщвления живого организма.
С другой стороны, живой организм не может рассматриваться,
как изолированная система, а если добавить к энтропии
организма энтропию окружающей среды, то возможно, что получаемая
сумма будет стремиться к максимуму, в согласии со вторым
принципом. Но даже если это так, то не менее верно и то, что полная
энтропия, пока организм жив, распределяется неоднородно,
причем однородность устанавливается только после смерти организма,
как и в неорганическом мире. Верно, как говорит Борель (Le ha-
sard, гл., 10), что «можно пренебречь всеми биологическими
явлениями по сравнению со всей совокупностью других явлений;
эволюция мира к более вероятным состояниям становится
абсолютно общим законом». Это, очевидно, верно с математической точки
зрения, но рассматривать биологические явления как
незначительные случайности, значит забывать, что без них не было бы и
математиков.

§ 81]
ЭНТРОПИЯ и жизнь
265
энтропии, по крайней мере внешне, противоречит второму
принципу. Основной вопрос может быть поставлен
следующим образом: если жизнь равнозначна замедлению
деградации, следующей из второго принципа, то можно ли
объяснить генезис и эволюцию живых существ на основе
только физических законов? Не стоит добавлять, что,
даже если такое объяснение возможно, оно пока не было
найдено и, следовательно, положительный ответ на этот
вопрос остается вполне даровой гипотезой. Но по той же
причине и отрицательный ответ может в принципе быть
допустимым. Такой ответ был дан Леконтом дю Нюи,
и, поскольку его аргументы основываются главным
образом на втором принципе, мы приведем их здесь.
Трудно не присоединиться к следующему заявлению
этого биолога: «Есть нечто, чего я не могу понять: это
связь, которая существует между элементарным хаосом
и последовательностью явлений, соединяющих его со все
более сложными явлениями, приводящими в конце концов
к жизни» *). Исходя из работ III. Е. Ги 2), Леконт дю Нюи
указывает, что элементы, играющие первостепенную роль
в эволюции живых существ, имеют такие размеры, что
законы больших чисел не могут быть строго применимы,
так что подавляющую роль начинают играть флуктуации.
Можно, следовательно, представить себе в этой области
серию флуктуации в некотором направлении, приводящую
к заметному снижению энтропии, что эквивалентно
существенному ограничению второго принципа в случае живых
организмов. С другой стороны, «элементарные молекулы
живых организмов все характеризуются очень важной
асимметрией... Но, как мы показали, состояние, более
асимметричное, чем предшествующее, менее вероятно.
Следовательно, в случае, формирования комплекса,
представляющего большую степень асимметрии, чем
составляющие его элементы, мы находимся в очевидном
противоречии со вторым принципом термодинамики. Из двух вещей
надо выбрать одну: или энтропия уменьшается (как это
может быть в случае флуктуации очень редкого сорта),
1)Lecomtedu N о и у, L'homme devant la science, Paris,
Flammarion, 1947, гл. 3.
2) С h. -E. Guy, devolution physico-chimique; Les frontie-
res de la physique et de la biologie.

266 ЭНТРОПИЯ и ФИЛОСОФСКАЯ МЫСЛЬ [ГЛ. 1
но тогда дело не может идти о систематическом явлении,
таком как производство миллиардов молекул, или же
нельзя рассматривать нашу систему как изолированную
и тогда надо ввести внешний агент, действующий на
систему, причем действие его должно быть прямо
противоположно случаю и должно приводить к асимметрии там,
где случай ее уничтожает... Пройдет еще век или два и эта
проблема, надо надеяться, будет решена».
Эта надежда касается проблемы производства белков,
но когда надо объяснить образование первого живого
элемента, а именно клетки, то «не хватает слов, чтобы
выразить нашу некомпетентность». Даже если
предположить, что баланс в этом случае благоприятен увеличению
энтропии, т. е. термодинамическое объяснение в том, что
касается формирования клетки, годится, «оно не может
объяснить образование ядра и жизненно важных свойств
всего ансамбля». Если учесть, что к проблеме появления
ядра добавляются еще более сложные проблемы появления
системы, составляющей индивидуум,— необходимость для
этой системы жить за счет окружающей среды, возможность
воспроизводства систем, то надо признать, что «до сего
дня мы не смогли дать ни одного научного объяснения
жизни и ее появления на поверхности земного шара».
Леконт дю Нюи возвращается к тому же вопросу
в другой своей книге *). Там он стремится показать с
помощью теории вероятностей, что «невозможно в настоящее
время объяснить появление жизни, исходя из чистого
случая, т. е. на основе нашей современной науки». Законы
случая не могут объяснить того, что «свойства клетки
возникают из координации сложности, а не из хаотической
сложности газовой смеси». Доказательство неспособности
законов случая основано^на вычислениях Ш. Е. Ги, которые
показывают, что формирование асимметричной конфигурации,
даже в очень упрощенных условиях, требует, согласно
теории вероятностей, объема и продолжительности,
несравнимо больших, чем Вселенная Эйнштейна: необходимый
объем выражается сферой с радиусом в 1082 световых лет,
тогда как наиболее удаленные от нас галактики
расположены в 2-Ю6 световых лет от Земли; аналогично, время,
1)Lecomte du Noiiy, L'homme et sa destinee.

§ 82] ЭНТРОПИЯ И ФИЛОСОФСКОЕ МИРОВОЗЗРЕНИЕ 267
необходимое для образования асимметричной молекулы
в объеме, эквивалентном земному шару, — порядка 10243
миллиардов лет, в то время как Земля существует только
примерно 2 миллиарда лет.
Неудивительно поэтому, что большинство ученых
принимают неспособность современной науки объяснить
генезис жизни. «Случай, говорит Ростан, даже располагая
миллионами веков, даже безумно расточая необходимый
материал, не сможет создать мозг или глаз... Не всего
можно достигнуть, имея достаточно времени...» г).
Проблема происхождения жизни «несомненно самая трудная
из всех, стоящих перед биологией. Биология достигла
огромного прогресса, показав, что жизнь в наши дни
может родиться только из жизни. Она достигнет еще
большего успеха, если сумеет объяснить, каким образом когда-то
жизнь появилась из не-жизни»2). Обсуждение этого
вопроса увлекло бы нас слишком далеко. Укажем только, что,
с нашей точки зрения, генезис жизни может относиться
к проблемам, которые нам кажутся неразрешимыми только
потому, что они плохо поставлены.
§ 82. Энтропия и философское мировоззрение
Проблемы начала и конца мира, а также
происхождения и эволюции жизни можно рассматривать как
находящиеся на границе науки и философии. Эти проблемы
изучались и учеными, и философами и усилия как одних,
так и других в этой области имеют ту единственную общую
черту, что все они закончились неудачей. Однако
последнее слово в этой области принадлежит философам, так
как именно они нашли причину этих неудач, причину,
лежащую в природе вещей, ибо проблема может быть
решена лишь, если ее постановка имеет смысл.
Изучим теперь ту роль, которую пытались заставить
играть энтропию в чисто философской проблеме
утверждения материалистического взгляда на мир. Но сначала еле-
2) J. Rostand, devolution des especes, гл. 15.
Противоположную точку зрения см. в книге: М. Гарднер «Этот правый,
левый мир». Изд. «Мир», 1967, гл. 15 (Прим. перев.).
2) J. Rostand, La genese de la vie, гл. 16.

268 ЭНТРОПИЯ И ФИЛОСОФСКАЯ МЫСЛЬ [ГЛ. 7
дует в нескольких словах изложить саму постановку
проблемы.
К тем бесчисленным данным, которыми нас снабжает
наука в виде законов, численных значений и т. д.,
возможно относиться с двух позиций. Либо, основываясь на
«реалистической» точке зрения, принимать, что эти
данные выражают истинные свойства объективного мира,
которые будут существовать и после исчезновения всех
живых существ. Либо принять «конвенционалистическую»
точку зрения, которая состоит в том, что эти свойства
рассматриваются только как условные конструкции,
установленные нашим разумом, чтобы навести порядок в наших
ощущениях и облегчить таким образом нашу деятельность.
Две цитаты помогут нам проиллюстрировать эти точки
зрения. Первая взята из одной книги Луи де Бройля:
«...Физик остается инстинктивно, как в свое время
подчеркнул Мейерсон, «реалистом» и имеет для этого
серьезные основания; субъективные интерпретации всегда будут
вызывать у него болезненное ощущение тревоги и он будет
счастлив от них избавиться»*). Но именно в сборнике,
опубликованном в связи с шестидесятилетним юбилеем
этого знаменитого физика 2), мы находим на стр. 123
великолепное определение конвенционализма. В статье,
озаглавленной «Философский смысл дуализма волна —
частица», Ганс Рейхенбах указывает, что
интерпретация физической реальности — это вопрос языка,
вводящего некоторые правила, логическое основание
которых представляет собой только соглашение; эти правила
не могут быть ни верными, ни ложными. «Можно заменить
их другими соглашениями, тогда мы получим не другую
реальность, а другое описание реальности. В заданном
физическом мире существует целый класс эквивалентных
описаний. Каждое из них правильно и не имеет никакого
смысла спрашивать, какое действительно правильно».
Нетрудно продолжить подобные высказывания.
Достаточно заметить, что ученые не имеют по этому вопросу
единой точки зрения, а это говорит о том, что научное
2) L. d е В г о g 1 i е, Nouvelles perspectives en microphysi-
que, [Paris, 1956.
2) L. de Broglie, physicien et penseur, Paris, Albin Michel, 1953.

§ 82] ЭНТРОПИЯ И ФИЛОСОФСКОЕ МИРОВОЗЗРЕНИЕ 269
исследование может приспосабливаться к любой из этих
концепций. И это весьма счастливое обстоятельство,
потому что работа ученых чаще всего (ибо имеются и
исключения) не зависит от их взгляда на значение науки.
Посмотрим теперь, какова связь между оценкой
значения науки и философским мировоззрением. Ясно, что
реалистическая позиция по отношению к науке по
необходимости влечет за собой и философский материализм:
невозможно утверждать, что наши знания согласуются
с реальными свойствами физического мира, и не верить
в объективное существование этого мира. В
противоположность этому конвенционалистическое отношение к науке
совместимо с различными философскими концепциями.
Действительно, можнЬ признать объективное
существование внешнего мира, считая в то же время, что наука не
способна открыть нам истины, которые не были бы
условными. Но можно основывать конвенционали-
стическую позицию в науке на том убеждении, что во
всех наших научных исследованиях мы имеем лишь дело
с нашими ощущениями, а не с объективной реальностью,
не зависящей от нас. Научный реализм, таким образом,
тесно связан с философским материализмом, в то время
как конвенционализм допускает как философский
материализм, так и философский идеализм.
Два знаменитых мыслителя XX века посвятили много
трудов утверждению философского материализма: это
Бертран Рассел и Эмиль Мейерсон. Рассел пытался основать
материалистическую концепцию мира на новой логике,
но должен был признать неудачу своей попытки, которую,
впрочем, было нетрудно предвидеть. В то же время по
отношению к науке Рассел всегда занимал конвенциона-
листическую позицию, что тем более замечательно, что он
несколько раз менял свои воззрения на другие
философские вопросы. Однако в своей недавней книгег) Рассел
выражает взгляды, которые гораздо ближе к идеализму,
чем к философскому материализму.
Что касается Мейерсона, то он всегда был активным
сторонником как научного реализма, так и философского
х) В. Russell, My philosophical development, 1959.

270 ЭНТРОПИЯ и ФИЛОСОФСКАЯ МЫСЛЬ [ГЛ. 7
материализма. Именно он первый выступил против
конвенционализма Анри Пуанкаре, и его аргументы, несмотря
на их крайнюю слабость, были подхвачены другими
авторами, что, между прочим, показывает, что
конвенционализм имеет солидное основание. Аргументы Мейерсона
в пользу философского материализма в значительной
степени основаны на том, что в природе существует элемент
«иррационального», т. е. недоступного нашему разуму,
и среди главных проявлений этого элемента фигурирует
второй принцип термодинамики.
Вот краткое изложение тезиса, которому Мейерсон
посвящает целую главу своей основной книги*). Если
основной формой нашего мышления является принцип
тождественности или сохранения, то «принцип Карно,
наоборот, является определенным утверждением не
сохранения, но изменения. Он утверждает не
тождественность, хотя бы кажущуюся, а изменение... Согласно
принципу Карно, мир в целом изменяется со временем в
постоянном йаправлении». Несмотря на свое эмпирическое
происхождение, этот принцип имеет универсальный
характер: «Экспериментальный факт, деградация энергии
является нам как самое общее правило, управляющее всем,
что происходит, всем, что становится». Каково бы ни было
наше отношение ко второму принципу, «это факт и притом
самый важный факт всей науки. Действительно, достаточно
непредвзято взглянуть на реальность, чтобы убедиться,
что то, что остается, имеет мало цены по сравнению с тем,
что изменяется». «Тем не менее, и всегда в
противоположность тому, что хотела бы заставить нас предположить
иллюзия причинности, течение вещей важно само по себе
и более важно для познания, чем их сохранение». Отсюда
следует, что «принцип Карно солидарен с концепцией
времени и уточняет эту концепцию... именно эта идея,
идея, что с течением времени мир не остается
тождественным самому себе, но непрестанно изменяется, что всегда
что-то происходит и составляет основу нашей концепции
времени». Так принцип Карно противостоит нашим
усилиям понять или объяснить природу с помощью принципа
х) Е. М е у е г s о п, Identite et realite, Paris, Alban, 1926,
ГЛ. 3,

§ 82] ЭНТРОПИЯ И ФИЛОСОФСКОЕ МИРОВОЗЗРЕНИЕ 271
тождественности. Природа «поддается в некоторой мере,
но и защищается. Реальность восстает, не допускает своего
отрицания. Принцип Карно есть выражение
сопротивления природы насилию, которое наш разум пытается
осуществить принципом причинности»1).
Мейерсон повторяет то же утверждение в
заключительных замечаниях (гл. 12) своей книги: «...Реальность
сопротивляется и ее сопротивление выражается принципом
Карно». Он возвращается к этому вопросу и в другой
книге: «Ибо реальное не исчезает, не растворяется в
математическом формализме или по крайней мере растворяется
только частично. Остается заметная часть, во всяком
случае достаточная, чтобы гарантировать нам, что реальное
остается реальным и не может быть смешано с нашей
мыслью. Эта часть скрывается, с одной стороны, в
разнообразии, которое имеет две главные формы: разнообразие
во времени, как его выражает принцип Карно, и
разнообразие в пространстве, которое проявляется в атомной
и квантовой дискретности, а с другой стороны,— в
интерпретации, которая только одна превращает то, что
получено математическим вычислением, в физический
результат»2). Именно принцип Карно дает физику «четкую и
непоколебимую убежденность в существовании реальности
и важности необратимого становления».
Мы попытались в этих цитатах резюмировать как можно
более верно аргументацию Мейерсона. Что касается
критического разбора концепции Мейерсона, то ему мы
посвятили главу в другой книге 3) и не будем здесь повторяться.
Укажем только, что относительно второго принципа
Мейерсон совершает двойную ошибку. Первая состоит в
распространений этого принципа на всю Вселенную в целом,
что, как мы видели, есть произвольное допущение. Вторая
ошибка Мейерсона еще менее простительна: его
доказательство объективного существования мира можно
рассматривать как онтологическое доказательство наоборот.
х) Отметим, что толкование принципа причинности Мейерсоном
является наивно механистическим. (Прим. перев.)
2) Е. М е у ejr's'o^n, Ъа deduction relativiste, Paris, § 147.
3j P.С hambadal, Realite et convention, гл. 2. Там мы
исследовали и другие вопросы, которые только затронуты в этом параграфе,

272 ЭНТРОПИЯ И ФИЛОСОФСКАЯ МЫСЛЬ [ГЛ. 7
Известно, что онтологическое доказательство существования
бога основано на самом определении совершенного
существа: бог существует, потому что идея совершенства
содержит все качества, а значит, и существование. Для Мейер-
сона же доказательство объективного существования мира
основано на несовершенстве мира: поскольку мир
несовершенен, его энтропия изменяется всегда в одном
направлении, что возможно только, если его существование не
зависит от наших знаний. Кант показал неоспоримым
образом тщетность всякого онтологического
доказательства, и вряд ли можно поверить, что мыслитель XX века
мог основать философский тезис на том простом факте,
что в части мира, доступной нашим исследованиям, все
процессы необратимы. К тому же, если бы можно было
извлечь из этого факта философские выводы, они сильно
отличались бы от выводов Мейерсона: возрастание
энтропии Вселенной означает либо, что ее все труднее и труднее
вернуть в первоначальное состояние, либо что наши
знания ее тонкой структуры становятся все более и более
неопределенными, но обе эти интерпретации гораздо лучше
подходят идеалистической, чем материалистической
концепции мира. Во всяком случае совершенство и его
противоположность есть лишь человеческие представления,
из которых нельзя получить никакой объективной
реальности, какой бы она ни была.
Другая попытка установить связь между энтропией
и философской концепцией мира была сделана недавно
Ф. Бонсаком г). Как и Бриллюэн, Бонсак пытается
построить систему, которая давала бы синтез теории
информации и термодинамики, но приходит к иным результатам.
Он рассматривает термодинамику и теорию информации
как два частных приложения общей теории комплексий,
которая основана на двух фундаментальных понятиях:
изменчивости и специфичности. Исходя из теории
информации, автор исследует действие машины, производящей
сообщения по закону случая, и вводит понятие
изменчивости этих сообщений; энтропия есть как раз «мера
изменчивости, размеров совокупности сообщений, из кото-
*) F. В о п s а с k, Information, thermodynamique, vie et
pensee, Paris, Gauthier-Villars.

§ 82] ЭНТРОПИЯ И ФИЛОСОФСКОЕ МИРОВОЗЗРЕНИЕ 273
рой выбрано данное сообщение». При всех условиях,
определенная таким образом энтропия представляет только
разнообразие посылаемых сообщений, в то время как
полученная информация касается как раз частного
избранного сообщения. Информация должна поэтому измеряться
специфичностью выбора, т. е. отношением «между классом
состояний, возможных после выбора, и классом
состояний, возможных до выбора». Специфичность может быть
определена с помощью некоторых средних условий, и в
этом случае она может рассматриваться как разность
двух энтропии.
Бонсак применяет эти понятия к некоторым
«специфическим структурам». Так, он говорит об «изменчивости
и энтропии некоторого типа музыкальных фрагментов»
и о «специфичности одного из фрагментов по отношению
к ансамблю», или еще об «энтропии производства» машины,
которая производит по закону случая различные
структуры, следуя некоторым правилам. Он посвящает
несколько глав биологическим проблемам, чтобы перейти к
заключениям метафизического порядка, которые образуют то,
что он называет «натурфилософией». Главная задача ее
состоит в том, чтобы «правильно понимать, что говорит
наука, и помогать даже науке понять самое себя». Но
в том, что говорит наука, энтропия играет особую роль:
«она описывает существенную черту нашего мира, она
составляет часть того, что можно назвать «метафизикой»,
основанной на науке, она описывает один из
существенных аспектов физического существа». Второй задачей
натурфилософии является интерпретация результатов
науки и извлечение из них философских выводов.
Определив таким образом эту двойную задачу, Бонсак
заявляет себя сторонником «онтологического
материализма», который «утверждает, что жизнь и разум являются
особой формой материи; когда материя принимает
некоторую структуру, она приобретает жизненные и
интеллектуальные функции». Автор указывает, что он
рассматривает свою позицию как «дуалистическую» в том смысле,
что она противопоставляет материю форме, и даже как
«спиритуалистический материализм», так как его
материализм не стремится свести поведение людей к поискам
материального удовлетворения.

274 ЭНТРОПИЯ и ФИЛОСОФСКАЯ МЫСЛЬ [ГЛ 7
Мы не будем обсуждать здесь ни научную, ни
философскую часть книги Бонсака. Что касается первой, то мы уже
высказали свои опасения по поводу навязчивого
использования понятия энтропии в теории информации, а
энтропия музыки не представляет для нас большей цены (ни
большего смысла), чем энтропия процесса извлечения
шаров. Что же касается метафизических утверждений
этого автора, то они, как и все метафизические
утверждения, недоказуемы, а следовательно, неосновательны. Но
есть один пункт, на котором следует остановиться: связь
между научными рассмотрениями Бонсака и его
философскими концепциями очень слаба; его материализм
появляется только в конце книги как deus ex machina,
возникающий на сцене в последнем акте, чтобы принять
участие в заключительной картине. Но, разумеется, этот
старый аксессуар с самого начала находился за
декорациями, скрытый от зрителей. Впрочем, автор признает
это и сам: интерпретация науки, говорит он (стр. 168—169),
не произвольна; натуральная философия должна
«критиковать результаты науки и стремиться извлечь из них
метафизику, реалистическую и объективную онтологию,
типа онтологии Аристотеля, например». Ситуация вполне
ясна; дело идет не об интепретации науки, а об
использовании науки для поддержки предвзятой метафизической
концепции, и если энтропия появилась в этом
предприятии, то потому, что своими многочисленными аспектами
она кажется особенно подходящей для доказательства
того, что не только недоказуемо, но даже строгим образом
и неопределимо.
§ 83. Другой принцип Карно
Мы хотели показать в этой главе, как понятие
энтропии, возникшее при изучении тепловых машин, в конце
концов завоевало широкие области естественно-научной
и философской мысли, области, которые, казалось бы,
не имеют никакого отношения к процессу превращения
теплоты в работу. Это распространение концепции
энтропии стало неизбежным с тех пор, как Клаузиус сделал
возрастание энтропии характеристическим свойством всей
Вселенной в целом, но оно получило новый импульс в тру-

§ 83]
ДРУГОЙ ПРИНЦИП КАРНО
275
дах Больцмана, который связал энтропию с вероятностью
и сделал возрастание энтропии Вселенной некоторым
статистическим результатом.
То, что казалось применимым ко всей Вселенной,
должно было быть применимым и ко всей полноте человеческих
знаний. Поэтому естественно, что многочисленные ученые
и мыслители пытались использовать понятие энтропии
в своих рассуждениях о начале и конце мира, об
объективной реальности последнего или о возникновении жизни
на нашей планете. Ни в одном из этих случаев они не
пришли к положительному результату. Вмешательство
энтропии не помогло решить ни одну из проблем, которые
каждый, согласно своим личным убеждениям, может
рассматривать либо как проблемы, пока не решенные, либо
как проблемы неразрешимые, либо, наконец (и это
совпадает с точкой зрения автора), как ложные проблемы.
Но все эти попытки не были бесполезными, ибо, с одной
стороны, даже неудача может быть поучительна, а с другой
стороны, применение второго принципа и его следствий
позволило представить некоторые проблемы в новом
свете. Так, если принять, что Вселенная имела некоторое
начало во времени, то надо признать, что ее начальное
состояние было в высшей степени маловероятным.
Аналогично, трудность нахождения в неживом веществе истоков
жизни может в настоящее время быть интерпретирована
в том смысле, что явления живой природы несовместимы
с законом возрастания энтропии, который управляет
физическим миром. Вмешательство второго принципа
позволяет, таким образом, уточнить и иллюстрировать
трудности, возникающие с незапамятных времен перед
человеческим разумом, но не дает возможности их разрешить.
Причина этой неудачи ясна. Труды Карно, Клаузиуса,
Больцмана, Максвелла и других касаются
термодинамических процессов в изолированной системе, которой обычно
является газообразное рабочее тело; сколь бы ни были
точны и значительны законы, открытые этими великими
физиками в указанной области, было бы поистине
удивительно, если бы эти законы давали решение наиболее
фундаментальных проблем науки и философии.
Естественно, что сам Карно, труды которого лежат
э основе второго принципа термодинамики, не мог пред-

276 ЭНТРОПИЯ И ФИЛОСОФСКАЯ МЫСЛЬ [ГЛ. 7
видеть будущего развития и глубокого влияния второго
принципа на человеческую мысль. Однако именно он
предупреждал об опасности поспешных экстраполяции
и непродуманных выводов. Действительно, существует
и другой принцип Карно, не имеющий, правда, прямого
отношения к термодинамике, но зато являющийся
полным мудрости советом. Сади Карно оставил нам ряд
изречений, некоторые из них собраны в биографическом
очерке, принадлежащем перу его младшего брата Ипполита;
среди этих мыслей имеется и следующий совет:
«Говорить мало о том, что знаешь, и совсем не
говорить о том, чего не знаешь».
Мы позволим себе внести в это правило поведения
небольшую поправку, которая, впрочем, соответствует
всему духу творчества Карно. Истинное знание, подобно
обратимому процессу, есть тот идеальный предел, к
которому мы должны стремиться, но которого не можем
никогда достигнуть. Только невежество, как и необратимость,
всегда очевидно. Разве сам Карно не высказал в своем
труде сомнения относительно его ценности? Поэтому он
не стал бы возражать против следующей формулировки
своего изречения:
«Говорить мало о том, что нам кажется известным,
и совсем не говорить о том, что нам с определенностью
неизвестно».
Это изречение Карно послужит нам заключением, ибо,
что ни говори, а к продолжению оно не побуждает.

Предметный
указатель
Абсолютная температура 12,
38, 41, 64
как интегрирующий
множитель 52
Бит 187
Вечный двигатель второго
рода 28
первого рода 25
Внутренняя энергия 14
Второй принцип
термодинамики 26, 29, 44, 214, 258, 261
Гипотеза молекулярного хаоса
148, 157
Деградация энергии 121, 122
«Демон» Максвелла 203, 207,
241, 262
Диаграмма динамическая
Клапейрона 17, 48
— Молье 72, 76, 94
— полезной энергии 109, 113
— Ранта 111, 115
— Н, S для газа 71
для паров воды 91
— Tf S для газа 68
для пара 76, 80
Задача Сциларда 196, 199
Закон Вина 142
— Кирхгоффа 140
— Планка 143
— расширения Вселенной 177,
257
— смещения 142
— Стефана 141
Идеальный газ 16, 21
Изобара 69, 98
Изотерма 37
Измерение информации 185
Интеграл Клаузиуса 50
Кинетическая теория газов
146, 149
Космология Больцмана 249,
258
Коэффициент энергетического
использования 104
К.п.д. тепловой машины 35, 38,
41, 81, 86, 94, 116
— цикла Ренкина 81, 86
Механический эквивалент
тепла 12
Негэнтропия 193, 209, 263
Необратимость 39, 45, 57, 72,
172, 177, 214
Неравенство Клаузиуса 57
Обратимые процессы 33, 41,
66, 98
Отбор пара 82
Парадокс Гиббса 216, 221
— обратимости Лошмидта 166
Паросодержание 77
Первый принцип
термодинамики 11 и д.
Полезная энергия 95, 97, 100,
103
Максвелла 127
смеси газов 223
Полунепроницаемые
перегородки 230, 232, 237
Постоянная Больцмана 151,
190

278
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Принцип максимальной
работы Вертело 137
— равнораспределения
энергии 153
— эквивалентности рабочих
тел 40
Промежуточный перегрев 85
Процесс адиабатический 19,
37, 66, 72
— изотермический 37
— изэнтропический 51, 66
Рабочее тело 25
Свободная энергия Гельмголь-
ца 127
— энтальпия или
термодинамический потенциал 130
«Связанная энергия» 128
Соотношения Гиббса — Гельм-
гольца 130, 141
«Стрела времени» Эддингтона
254
Теорема Н Больцмаиа 165, 166,
168, 171
Теория смешения газов 216,
245
— теплоемкостей
Эйнштейна — Дебая 139
«Тепловая смерть» Вселенной
249
Теплород 11, 36, 61
Термодинамическая
вероятность 157, 165, 172, 180, 183
Третий принцип
термодинамики Нернста 137—140
Уровень языка 179
Формула Больцмана 146, 153,
156, 160, 163, 171, 174,
177, 183, 192, 264
Функция Н Больцмана 165
Характеристические функции
131
Химический потенциал 134
Цикл Гирна 84
— Карно 35, 42, 95
— обратимый 54
— Ренкина 81, 96
— Эриксона 42, 95
Энергетический баланс 121
— к.п.д. 116
Энергия излучения 140
Энтальпия 22
Энтропийная диаграмма 53,
71, 79
Энтропия и вероятность 144
жизнь 261
теория информации 182,
214
— — — смешения газов 216
— — философия 247
—, интерпретация 61
—, происхождение понятия 47
—, физический смысл 63—65
Эпюра Бульвена 86

П. Шамбадаль
РАЗВИТИЕ
И ПРИЛОЖЕНИЯ
ПОНЯТИЯ ЭНТРОПИИ
М., 1967 г., 280 стр. с илл.
Редактор JI. В. Гессен
Техн. редактор С. Я- Шкляр
Корректор Е. Я. Строева
Сдано в набор 26/1 1967 г. Подписано к
печати 27/VI 1967 г. Бумага 84 X Ю8/32.
Физ. печ. л. 8,75 + 1 вкл. Условн. печ. л. 15,01.
Уч.-изд. л. 14,81. Тираж 11000 экз.
Цена книги 1 р. 27 к. Заказ № 844
Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Московская типография № 16
Главполиграфпрома Комитета по печати при
Совете Министров СССР.
Москва, Трехпрудный пер., 9.

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
ИМЕЮТСЯ В ПРОДАЖЕ:
Учебники для вузов
Д обрецов Л. Н., Атомная физика, I960, 348 стр., 76 коп.
Китайгородский А. И., Введение в физику, 1959,
704 стр., 1 р. 45 к.
Скачков С. В. и др., Сборник задач по ядерной физике,
1963, 232 стр., 47 коп.
X р г и а н А. X., Физика атмосферы, 1958, 476 стр., 1 р. 42 к.
Монографии по физике
А х м а т о в А. С, Молекулярная физика граничного
трения, 1963, 472 стр., 2 р. 17 к.
Больцман Л., Лекции по теории газов, Перев. с нем.,
1956, 554 стр., 1 р. 52 к.
Гуров К. П., Основания кинетической теории. Метод
Н. Н. Боголюбова, 1966, 352 стр., 1 р. 55 к.
Кривоглаз М. А., Смирнов А. А., Теория
упорядочивающихся сплавов, 1958, 388 стр., 1 р. 48 к.
Семенченко Е. К., Поверхностные явления в металлах
и сплавах, 1957, 492 стр., 1 р. 44 к.
Фишер И. 3., Статистическая теория жидкостей, 1961,
280 стр., 94 коп.
Чудновский А. Ф., Физика теплообмена в почве, 1948,
220 стр., 64 коп.
Швидковский Е. Г., Некоторые вопросы вязкости
расплавленных металлов, 1955, 206 стр., 55 коп.
Вышеперечисленные книги требуйте в магазинах
Книготорга. Письменный заказ можно направить также в
ближайший отдел «Книга — почтой» республиканского, областного
и краевого Книготорга. Литература будет выслана
наложенным платежом, без задатка. При отсутствии этих книг на
месте следует обратиться по адресу: Москва, К-31,
Петровка, 15, магазин № 8 «Москнига*, отдел «Книга —почтой».