Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений - Кудряшов Н.А.

Глава 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
1.2 Простейшие решения уравнения Кортевега - де Вриза
1.3 Модель для описания возмущений в цепочке одинаковых масс
1.4 Простейшие решения модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза
1.6 Нелинейное уравнение Шредингера для огибающей волнового пакета
1.7 Уединенные волны, описываемые нелинейным уравнением Шредингера и групповой солитон
1.8 Уравнение sin-Гордона для описания дислокаций в твердом теле
1.9 Простейшие решения уравнения sin-Гордона и топологический солитон
1.10 Нелинейное уравнение переноса и уравнение Бюргерса
Глава 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
2.2 Неподвижные и подвижные особые точки
2.3 Уравнения, не имеющие решений с критическими подвижными особыми точками
2.5 Определение свойства Пенлеве и уравнения Пенлеве
2.6 Второе уравнение Пенлеве для описания электрического поля в полупроводниковом диоде
2.7 Алгоритм Ковалевской анализа дифференциальных уравнений
2.8 Локальные представления решений уравнений типа Пенлеве
2.9 Метод Пенлеве для анализа дифференциальных уравнений
2.10 Трансцендентная зависимость решений первого уравнения Пенлеве
2.12 Преобразования Бэклунда для решений второго уравнения Пенлеве
2.13 Рациональные и специальные решения второго уравнения Пенлеве
2.15 Асимптотические решения первого и второго уравнений Пенлеве
2.16 Линейные представления уравнений Пенлеве
2.17 Алгоритм Конта - Форди - Пикеринга для проверки уравнений на свойство Пенлеве
2.18 Примеры анализа уравнений методом возмущений Пенлеве
2.19 Тест Пенлеве для системы уравнений Хенона-Хейлеса
2.20 Точно решаемые случаи системы Лоренца
Глава 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
3.2 Преобразование Коула - Хопфа для уравнения Бюргерса
3.3 Преобразование Миуры и пара Лакса для уравнения Кортевега - де Вриза
3.4 Законы сохранения для уравнения Кортевега - де Вриза
3.5 Отображения и преобразования Бэклунда
3.6 Преобразования Бэклунда для уравнения sin-Гордона
3.7 Преобразования Бэклунда для уравнения Кортевега - де Вриза
3.8 Семейство уравнений Кортевега - де Вриза
3.10 Тест Абловица - Рамани - Сигура для нелинейных уравнений в частных производных
3.11 Метод Вайса - Табора - Карневейля для анализа нелинейных уравнений
3.12 Пенлеве-анализ уравнения Бюргерса методом ВТК
3.13 Анализ уравнения Кортевега - де Вриза
3.14 Построение пары Лакса для уравнения Кортевега - де Вриза методом ВТК
3.15 Анализ модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза
3.16 Усеченные разложения, как отображения решений нелинейных уравнений
3.18 Применение инвариантного пенлеве-анализа для нахождения пар Лакса
3.19 Соотношения между основными точно решаемыми нелинейными уравнениями
Глава 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
4.2 Точные решения уравнения Бюргерса - Хаксли
4.3 Частные решения уравнения Бюргерса - Кортевега - де Вриза
4.4 Уединенные волны, описываемые уравнением Курамото - Сивашинского
4.5 Кноидальные волны, описываемые уравнением Курамото - Сивашинского
4.6 Частные решения простейшего нелинейного волнового уравнения пятого порядка
4.7 Точные решения нелинейного уравнения пятого порядка для описания волн на воде
4.8 Решения уравнения Кортевега - де Вриза пятого порядка в переменных бегущей волны
4.9 Точные решения модели Хенона - Хейлеса
4.10 Метод нахождения рациональных решений некоторых точно решаемых нелинейных уравнений
Глава 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ И ИХ СВОЙСТВА
5.2 Уравнения четвертого порядка, прошедшие тест Пенлеве
5.3 Трансценденты, определяемые нелинейными уравнениями четвертого порядка
5.4 Локальные представления решений для уравнений четвертого порядка
5.5 Асимптотические свойства трансцендент уравнений четвертого порядка
5.6 Семейства уравнений с решениями в виде трансцендент
5.7 Пары Лакса для уравнений четвертого порядка
5.9 Преобразования Бэклунда для высших аналогов уравнений Пенлеве
5.10 Рациональные и специальные решения высших аналогов уравнений Пенлеве
5.11 Дискретные уравнения, соответствующие высшим аналогам уравнений Пенлеве
ГЛАВА 6. МЕТОД ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ И МЕТОД ХИРОТЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА - ДЕ ВРИЗА
6.3 Интегральный вид стационарного уравнения Шредингера
6.4 Аналитические свойства амплитуды рассеяния
6.5 Уравнение Гельфанда - Левитана - Марченко
6.6 Интегрирование методом обратной задачи рассеяния уравнения Кортевега - де Вриза
6.7 Решение уравнения Кортевега - де Вриза в случае безотражательных потенциалов
6.9 Нахождение солитонных решений уравнения Кортевега - де Вриза методом Хироты
6.10 Метод Хироты для модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза
Author: Кудряшов Н.А.
Tags: дифференциальные, интегральные и другие функциональные уравнения конечные разности вариационное исчисление функциональный анализ математика математический анализ дифференциальные уравнения теория уравнений
ISBN: 5-93972-285-7
Year: 2004
Similar
Интегрируемость и сингулярность
Солитоны в математике и физике
Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике
Нелинейные волны
Text
                    СОВРЕМЕННАЯ
МАТЕМАТИКА
Н. А. Кудряшов
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
НЕЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ

СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА
Редакционный совет:
А. В. Болсинов И. С. Мамаев
А. В. Борисов И. А. Тайманов
В. В. Козлов Д. В. Трещев
Вышли в свет:
А. В. Борисов, И. С. Мамаев. Динамика твердого тела
П. К Голод, А. У. Климык. Математические основы теории симметрии
М. Громов. Гиперболические группы
М. Громов. Знак и геометрический смысл кривизны
Дж.Д.Мур. Лекции об инвариантах Зайберга-Виттена
Дж. Милнор. Голоморфная динамика
И. Р. Шафаревич. Основные понятия алгебры
И.Добеши. Десять лекций по вейвлетам
К В. Азбелев, В. П. Максимов, Л. Ф. Рахматуллина. Элементы современной теории
функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения
Э. Столниц, Т.ДеРоуз, Д. Салезин. Вейвлеты в компьютерной графике
К. Кассел, М. Россо, В. Тураев. Квантовые группы и инварианты узлов
Ж. П. Рамис. Расходящиеся ряды и асимптотические теории
О. В. Богопольский. Введение в теорию групп
А.Д.Морозов. Введение в теорию фракталов
Д. Рюэлъ. Термодинамический формализм
В. В. Козлов. Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре
Дэю. Гукенхеймер, Ф. Холмс. Нелинейные колебания, динамические системы
и бифуркации векторных полей
С.П.Новиков. Топология
А. В. Борисов, И. С. Мамаев. Современные методы теории интегрируемых систем
Х.В.Брур, Ф.Дюмортъе, С. ван Стрин, Ф. Такенс. Структуры в динамике.
Конечномерные детерминированные системы

СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА
А.Г.Рейман, М.А. Семенов-Тян-Шанский. Интегрируемые системы.
Теоретико-групповой подход
А. С Холево. Статистическая структура квантовой теории
Я. Лесин. Теория размерности и динамические системы: современный взгляд и
приложения
Р. де ла Яве. Введение в КАМ-теорию
Ю. П. Соловьев, В. А. Садовничий, Е. Т. Шавгулидзе, В. В. Белокуров. Эллиптические
кривые и современные алгоритмы теории чисел
А. А. Женсыкбаев. Проблемы восстановления операторов
С. В. Матвеев. Лекции по алгебраической топологии
А. Н. Тюрин. Квантование, классическая и квантовая теории поля и тэта-функции
А. О. Иванов, А. А. Тужилин. Теория экстремальных сетей
Н. А. Кудряшов. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений
Готовятся к печати:
Д. Бураго, Ю. Бураго, С Иванов. Курс метрической геометрии
В. П. Маслов. Квантование термодинамики и ультравторичное квантование
Л. П. Шильников, А. Л. Шильников, Д. В. Тураев, Л. Чуа. Методы качественной
теории в нелинейной динамике
А. И. Шафаревич. Введение в теорию квазиклассического квантования изотропных
многообразий

Н.А. Кудряшов
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
НЕЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
Издание второе, исправленное и дополненное
Москва ♦ Ижевск
2004

УДК 517.9
Интернет-магазин • физика
jva лЧГЛуГ'пГ' * математика
/ЛЛШЕ^и •биология
• нефтегазовые
http://shop.rcd.ru технологии
# Издание осуществлено при финансовой поддерж-
Ц ке Российского фонда фундаментальных
исследований по проекту №04-01-14103.
Кудряшов Н.А.
Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. —
Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 360 с.
Книга является введением в аналитическую теорию нелинейных
дифференциальных уравнений и посвящена анализу нелинейных математических моделей
и динамических систем на предмет их точного решения (интегрируемости).
Предложены выводы нелинейных математических моделей, интенсивно
изучаемых в последнее время. Представлены алгоритмы анализа особых точек
решений дифференциальных уравнений. Обсуждаются свойства точно решаемых
нелинейных уравнений. Дано обобщение аналитической теории на случай нелинейных
уравнений в частных производных. Представлены методы нахождения
аналитических решений нелинейных уравнений. Применение методов проиллюстрировано
многочисленными примерами.
Предназначена для студентов, аспирантов и научных сотрудников,
интересующихся нелинейными математическими моделями, теорией солитонов, методами
построения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений, теорией
уравнений Пенлеве и их высших аналогов.
ISBN 5-93972-285-7
© Н. А. Кудряшов, 2004
© Институт компьютерных исследований, 2004
http://rcd.ru
http://ics.org.ru

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 9
Глава 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ... 13
1.1 Уравнение Кортевега - де Вриза для описания волн на воде . 13
1.2 Простейшие решения уравнения Кортевега - де Вриза .... 23
1.3 Модель для описания возмущений в цепочке одинаковых масс 26
1.4 Простейшие решения модифицированного уравнения
Кортевега - де Вриза 32
1.5 Фазовая и групповая скорости волн 35
1.6 Нелинейное уравнение Шредингера для огибающей
волнового пакета 39
1.7 Уединенные волны, описываемые нелинейным уравнением
Шредингера и групповой солитон 42
1.8 Уравнение sin-Гордона для описания дислокаций в твердом
теле 44
1.9 Простейшие решения уравнения sin-Гордона и
топологический солитон 48
1.10 Нелинейное уравнение переноса и уравнение Бюргерса ... 51
1.11 Модель Хенона - Хейлеса 57
1.12 Система Лоренца 60
1.13 Задачи и упражнения к главе 1 68
Глава 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 71
2.1 Классификация особых точек функций комплексной
переменной 71
2.2 Неподвижные и подвижные особые точки 74
2.3 Уравнения, не имеющие решений с критическими
подвижными особыми точками 76
2.4 Задача Ковалевской о волчке 82
2.5 Определение свойства Пенлеве и уравнения Пенлеве 85

6 Оглавление
2.6 Второе уравнение Пенлеве для описания электрического
поля в полупроводниковом диоде 87
2.7 Алгоритм Ковалевской анализа дифференциальных уравнений 91
2.8 Локальные представления решений уравнений типа Пенлеве . 96
2.9 Метод Пенлеве для анализа дифференциальных уравнений . 100
2.10 Трансцендентная зависимость решений первого уравнения
Пенлеве 106
2.11 Неприводимость уравнений Пенлеве 111
2.12 Преобразования Бэклунда для решений второго уравнения
Пенлеве 113
2.13 Рациональные и специальные решения второго уравнения
Пенлеве 114
2.14 Дискретные уравнения Пенлеве 116
2.15 Асимптотические решения первого и второго уравнений
Пенлеве 118
2.16 Линейные представления уравнений Пенлеве 120
2.17 Алгоритм Конта - Форди - Пикеринга для проверки
уравнений на свойство Пенлеве 122
2.18 Примеры анализа уравнений методом возмущений Пенлеве . 125
2.19 Тест Пенлеве для системы уравнений Хенона-Хейлеса . . . . 128
2.20 Точно решаемые случаи системы Лоренца 131
2.21 Задачи и упражнения к главе 2 135
Глава 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В
ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 138
3.1 Интегрируемые системы 138
3.2 Преобразование Коула - Хопфа для уравнения Бюргерса . . . 141
3.3 Преобразование Миуры и пара Лакса для уравнения Корте-
вега - де Вриза 144
3.4 Законы сохранения для уравнения Кортевега - де Вриза ... 146
3.5 Отображения и преобразования Бэклунда 149
3.6 Преобразования Бэклунда для уравнения sin-Гордона 151
3.7 Преобразования Бэклунда для уравнения Кортевега - де Вриза 153
3.8 Семейство уравнений Кортевега - де Вриза 155
3.9 Семейство уравнений АКНС 157
3.10 Тест Абловица - Рамани - Сигура для нелинейных уравнений
в частных производных 160
3.11 Метод Вайса - Табора - Карневейля для анализа нелинейных
уравнений 163
3.12 Пенлеве-анализ уравнения Бюргерса методом ВТК 165

Оглавление
7
3.13 Анализ уравнения Кортевега - де Вриза 168
3.14 Построение пары Лакса для уравнения Кортевега - де Вриза
методом ВТК 169
3.15 Анализ модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза 171
3.16 Усеченные разложения, как отображения решений
нелинейных уравнений 172
3.17 Инвариантный пенлеве-анализ 174
3.18 Применение инвариантного пенлеве-анализа для нахождения
пар Лакса 176
3.19 Соотношения между основными точно решаемыми
нелинейными уравнениями 179
3.20 Семейство уравнений Бюргерса 187
3.21 Задачи и упражнения к главе 3 189
Глава 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 193
4.1 Применение усеченных разложений для построения частных
решений неинтегрируемых уравнений 193
4.2 Точные решения уравнения Бюргерса - Хаксли 197
4.3 Частные решения уравнения Бюргерса - Кортевега - де Вриза 205
4.4 Уединенные волны, описываемые уравнением Курамото -
Сивашинского 208
4.5 Кноидальные волны, описываемые уравнением Курамото -
Сивашинского 215
4.6 Частные решения простейшего нелинейного волнового
уравнения пятого порядка 217
4.7 Точные решения нелинейного уравнения пятого порядка для
описания волн на воде 220
4.8 Решения уравнения Кортевега - де Вриза пятого порядка в
переменных бегущей волны 230
4.9 Точные решения модели Хенона - Хейлеса 235
4.10 Метод нахождения рациональных решений некоторых точно
решаемых нелинейных уравнений 237
4.11 Задачи и упражнения к главе 4 241
Глава 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ И ИХ
СВОЙСТВА 244
5.1 Анализ уравнений четвертого порядка на свойство Пенлеве . 244
5.2 Уравнения четвертого порядка, прошедшие тест Пенлеве . . .251

8
Оглавление
5.3 Трансценденты, определяемые нелинейными уравнениями
четвертого порядка \ . . . 253
5.4 Локальные представления решений для уравнений
четвертого порядка 258
5.5 Асимптотические свойства трансцендент
уравнений четвертого порядка 264
5.6 Семейства уравнений с решениями в виде трансцендент . . . 266
5.7 Пары Лакса для уравнений четвертого порядка 271
5.8 Обобщения уравнений Пенлеве 277
5.9 Преобразования Бэклунда для высших аналогов уравнений
Пенлеве 284
5.10 Рациональные и специальные решения высших аналогов
уравнений Пенлеве 291
5.11 Дискретные уравнения, соответствующие высшим аналогам
уравнений Пенлеве 295
5.12 Задачи и упражнения к главе 5 304
ГЛАВА 6. МЕТОД ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ И МЕТОД ХИРОТЫ ДЛЯ
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА - ДЕ ВРИЗА 306
6.1 Задача Коши для уравнения Кортевега - де Вриза 306
6.2 Прямая задача рассеяния 307
6.3 Интегральный вид стационарного уравнения Шредингера . . 313
6.4 Аналитические свойства амплитуды рассеяния 315
6.5 Уравнение Гельфанда - Левитана - Марченко 318
6.6 Интегрирование методом обратной задачи рассеяния
уравнения Кортевега - де Вриза 321
6.7 Решение уравнения Кортевега - де Вриза в случае
безотражательных потенциалов 323
6.8 Оператор Хироты и его свойства 326
6.9 Нахождение солитонных решений уравнения Кортевега -
де Вриза методом Хироты 327
6.10 Метод Хироты для модифицированного уравнения
Кортевега - де Вриза 331
6.11 Задачи и упражнения к главе 6 333
Литература 337
Предметный указатель
357

Светлой памяти моих родителей
Екатерины Алексеевны
и Алексея Александровича
посвящается
ПРЕДИСЛОВИЕ
При решении различных задач естествознания исследователи часто
используют язык математики, с помощью которого разрабатываются
математические модели явлений в биологии, физике, химии, экономике, экологии
и т.д. С этой целью для математического описания процессов вводятся
количественные характеристики: зависимые и независимые переменные,
соотношения между которыми и составляют основу математической модели.
В последние десятилетия возник огромный интерес к изучению
нелинейных математических моделей, что связано с их широким применением
при описании многих явлений в физике и в природе. Два
революционных события послужили мощным толчком к исследованиям в нелинейной
науке: открытие солитона и открытие странного аттрактора. И хотя оба
открытия были сделаны при проведении вычислительных экспериментов, их
подробное описание стало возможным лишь при использовании методов
аналитической теории дифференциальных уравнений.
При построении математических моделей, прежде всего, принимаются
во внимание законы сохранения, в которых, как правило, содержатся
производные от переменных. Это обстоятельство приводит к дифференциальным
уравнениям, решение которых, с учетом начальных и граничных условий,
позволяет представить эволюцию процесса во времени и его изменения
в пространстве.
Коль скоро описана математическая модель изучаемого явления,
состоящая обычно из дифференциального уравнения вместе с начальными
(а может быть и граничными) условиями, возникает вопрос: имеем ли мы
в рамках предложенной модели адекватное описание явления, что, как
правило, сводится к вопросу существования и единственности решения
дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений.
Применительно к нелинейным математическим моделям в этой книге вопрос
решается путем анализа решений дифференциальных уравнений как
аналитических функций.
Первым математиком, применившим аналитическую теорию
дифференциальных уравнений для решения задач механики, была С. В. Ковалев-

10
ПРЕДИСЛОВИЕ
екая, которая получила замечательные результаты при анализе движения
твердого тела вокруг неподвижной точки в поле сил тяжести.
Существенный прогресс в аналитической теории дифференциальных
уравнений был достигнут П. Пенлеве и его учениками, выполнившими
классификацию уравнений второго порядка первой степени. В изучаемом
классе дифференциальных уравнений они нашли пятьдесят канонических
уравнений, решения которых не имели критических подвижных точек.
Решения сорока четырех уравнений из 50-ти выражались через известные
к тому времени функции, а для оставшихся шести уравнений, Пенлеве и
его ученики ввели новые функции, называемые теперь трансцендентами
Пенлеве.
Огромный интерес к аналитической теории дифференциальных
уравнений в последние годы возник из обнаруженной в 1980 г. М. Абловицем, А.
Рамани и X. Сигуром связи нелинейных уравнений в частных производных,
имеющих солитонные решения, с уравнениями Пенлеве. Это
обстоятельство, наряду с появлением уравнений Пенлеве при описании физических
явлений, дало мощный импульс развитию аналитической теории нелинейных
дифференциальных уравнений. Обобщение метода Ковалевской, сделанное
в 1983 г. Дж. Вайсом, М. Табором и Г. Карневейлем, на случай нелинейных
уравнений в частных производных, по существу, привело к созданию
универсальных методов нахождения аналитических решений широкого класса
нелинейных уравнений.
Упомянутые выше и многие другие темы рассмотрены в данной книге.
В первой главе предложены выводы нелинейных математических
моделей, интенсивно изучаемых в последнее время, а именно: уравнения
Кортевега - де Вриза, нелинейного уравнения Шредингера, уравнения sin-
Гордона, модели Хенона - Хейлеса и системы Лоренца. Эти уравнения
служат иллюстрацией методов аналитической теории дифференциальных
уравнений, рассматриваемых в данной книге.
Во второй главе приведены результаты, относящиеся к
обыкновенным дифференциальным уравнениям. Дается классификация особых
точек решений. Обсуждаются решение СВ. Ковалевской задачи о движении
твердого тела вокруг неподвижной точки в поле сил тяжести и уравнения
Пенлеве.
Основной момент этой главы — исследование особых точек решения
дифференциальных уравнений. Отсутствие критических подвижных
особых точек у решения дифференциального уравнения является, по существу,
критерием существования решения. Поэтому во второй главе предложены
три алгоритма для тестирования дифференциальных уравнений,
применение которых иллюстрируется на примерах. Обсуждаются также некоторые

ПРЕДИСЛОВИЕ
11
свойства первого и второго уравнений Пенлеве, широко распространенных
при описании явлений в физике.
Третья глава посвящена обсуждению свойств точно решаемых
нелинейных уравнений в частных производных. Рассмотрены такие характерные
свойства, как законы сохранения, преобразования Бэклунда и их
применение. Предложен ряд широко известных семейств точно решаемых
уравнений в частных производных.
В этой же главе обсуждается применение аналитической теории для
нелинейных уравнений в частных производных. Эта часть аналитической
теории получила развитие лишь только в последние два десятилетия.
Необходимость поиска критерия «интегрируемости» нелинейных
математических моделей вернула к жизни идеи, которые ранее применялись к
обыкновенным дифференциальным уравнениям. В результате были получены
новые методы построения аналитических решений нелинейной
математической физики. Идея этих методов состоит в разложении исходного уравнения
в ряд по степеням новой функции и дальнейшего использования
нескольких членов этого разложения. Эта процедура приводит к преобразованиям,
которые особенно эффективны при построении решений нелинейных
уравнений, что иллюстрируется многочисленными примерами в четвертой главе
данной книги.
В пятой главе рассмотрены нелинейные обыкновенные
дифференциальные уравнения четвертого и более высокого порядка. Найдены
уравнения, решения которых являются аналитическими функциями во всей
области их существования. Особое внимание уделено высшим аналогам
уравнений Пенлеве и изучению их свойств.
В шестой главе рассмотрены метод обратной задачи рассеяния и
метод Хироты для построения решений нелинейных уравнений в частных
производных. Исторически эти методы предложены раньше и могут
изучаться вне связи с предшествующими разделами. Однако преобразования,
используемые в этих методах, в аналитической теории дифференциальных
уравнений находятся естественным путем и поэтому метод обратной задачи
рассеяния и метод Хироты примыкают к рассматриваемой теме.
Предлагаемая книга написана на основе лекций, читаемых автором в
Московском инженерно-физическом институте (государственном
университете).
Автор искренне надеется, что эта книга будет полезна широкому кругу
читателей. Тот, кто интересуется выводом нелинейных математических
моделей, найдет в первой главе нелинейные уравнения в частных производных
и нелинейные динамические системы, интенсивно изучаемые в последние
десятилетия.

12
ПРЕДИСЛОВИЕ
Студенты, интересующиеся теорией солитонов, могут прочесть
первую, третью и шестую главы, чтобы получить представление о нелинейной
математической физике.
Математики и физики, желающие узнать об уравнениях типа Пенле-
ве, а также о связи этих уравнений с теорией солитонов и нелинейными
уравнениями в частных производных, могут изучить вторую и третью
главы. Эти главы могут рассматриваться, как элементарное введение в теорию
уравнений Пенлеве, позволяющие понять, что такое свойство Пенлеве и
какая польза может быть от того, что дифференциальное уравнение имеет это
свойство.
Читатель, интересующийся методами построения частных решений,
как нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, так и
нелинейных уравнений в частных производных, найдет ряд рецептов в четвертой
главе.
Особое место в книге занимает пятая глава, которая выходит за рамки
введения в аналитическую теорию нелинейных дифференциальных
уравнений. Эта глава посвящена высшим аналогам уравнений Пенлеве,
направление, которое интенсивно развивается лишь в последние несколько лет. Она
будет полезна читателям, интересующимся самыми последними работами
в теории уравнений Пенлеве. Задачи и упражнения этой главы являются
нерешенными задачами данного направления и могут быть использованы
в качестве тем для исследования.
Рассматриваемые в книге вопросы автором неоднократно обсуждались
с профессорами В.И. Громаком, Р. Контом, М. Крускалом, М. Мусет и Э. Пи-
керингом. Всем им выражаю свою искреннюю признательность.
Хочу выразить благодарность своим коллегам по кафедре прикладной
математики за многочисленные обсуждения проблем, затронутых в книге.
Особая благодарность проф. Д.А. Василькову и доценту А.П. Карташеву,
прочитавшим рукопись и сделавшим много замечаний, способствовавших
улучшению книги; также признателен Н.В. Малышевой за нелегкий труд
по набору текста.
Автор

Глава 1
НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
МОДЕЛИ
1.1. Уравнение Кортевега - де Вриза для описания волн
на воде
Явление распространения волн на поверхности воды издавна
привлекало к себе внимание исследователей. Это пример волн, который каждый
мог наблюдать еще в детстве и который обычно демонстрируется в рамках
школьного курса физики. Однако, это довольно сложный тип волн. По
выражению Ричарда Фейнмана «более неудачного примера для демонстрации
волн придумать трудно, ибо эти волны нисколько не похожи ни на звук, ни
на свет; здесь собрались все трудности, которые могут быть в волнах» [93].
Если рассмотреть бассейн, наполненный водой, и на его поверхности
создать некоторое возмущение, то по поверхности воды начнут
распространяться волны. Возникновение их объясняется тем, что частицы жидкости,
которые находятся вблизи впадины, при создании возмущения будут
стремиться заполнить впадину, находясь под действием силы тяжести. Развитие
этого явления с течением времени и приведет к распространению волны
на воде. Частицы жидкости в такой волне двигаются не вверх-вниз, а
приблизительно по окружностям, поэтому волны на воде не являются ни
продольными, ни поперечными. Они как бы являются смесью тех и других.
С глубиной, радиусы окружностей, по которым двигаются частицы
жидкости, уменьшаются до тех пор, пока они не станут равными нулю [57,66].
Если анализировать скорость распространения волны на воде, то
оказывается, что она зависит от ее амплитуды. Скорость длинных волн
пропорциональна корню квадратному из ускорения свободного падения
умноженному на сумму амплитуды волны и глубины бассейна. Причиной
возникновения таких волн является сила тяжести.
Для коротких волн восстанавливающая сила обусловлена силой
поверхностного натяжения, и потому скорость таких волн пропорциональна

14 ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
корню квадратному из частного, в числителе которого стоит поверхностное
натяжение, а в знаменателе — произведение длины волны на плотность
воды. Для волн средней длины волны скорость их распространения зависит
от всех перечисленных выше параметров задачи. Из сказанного ясно, что
волны на воде и в самом деле довольно сложное явление.
Любопытную волну на воде наблюдал шотландский ученый Джон
Скотт Рассел в 1834 году. Рассел занимался изучением пропускной
способности канала Юнион, который начинается у Эдинбурга и соединяет через
канал Форз - Клайд два берега Шотландии. Обратимся к замечательному
описанию этого наблюдения самим Расселом [77,85,86,94].
«Я следил за движением баржи, которую быстро тянула по узкому
каналу пара лошадей, когда баржа неожиданно остановилась; но масса воды,
которую баржа привела в движение, не остановилась; вместо этого она
собралась около носа судна в состоянии бешеного движения, затем
неожиданно оставила его позади, катясь вперед с огромной скоростью и принимая
форму большого одиночного возвышения, т. е. округлого, гладкого и четко
выраженного водяного холма, который продолжал свой путь вдоль канала,
нисколько не меняя своей формы и не снижая скорости. Я поскакал за ним
верхом, и, когда я нагнал его, он по-прежнему катился вперед со скоростью
приблизительно восемь или девять миль в час, сохранив свой
первоначальный профиль возвышения длиной около тридцати футов и высотой от фута
до фута с половиной. Его высота постепенно уменьшалась, и после одной
или двух миль погони я потерял его в изгибах канала. Так в августе 1834 г.
мне впервые довелось столкнуться с необычайным и красивым явлением,
которое я назвал волной трансляции; теперь это название общепринято.
С тех пор я обнаружил, что такие волны играют важную роль почти во
всех случаях, когда жидкость оказывает сопротивление движению, и
пришел к убеждению, что к тому же типу относятся огромные движущиеся
повышения уровня моря, которые с регулярностью обращения небесного
тела входят в наши реки и катятся вдоль наших побережий.
Для подробного изучения этого явления, с целью точно установить
его природу и управляющие им законы, я придумал другие способы его
вызывать, чем только что описанный, и применил разнообразные методы
наблюдения. Описание этих методов, надеюсь, поможет мне передать
истинное представление о природе этой волны».
Джон Рассел на протяжении всей своей жизни неоднократно
возвращался к наблюдению за уединенной волной. Он верил, что открытая им
волна играет очень важную роль во многих явлениях в природе. Им были
установлены некоторые свойства этой волны. Во-первых, он заметил, что
она движется с постоянной скоростью и без изменения формы. Во-вторых,

1.1. УРАВНЕНИЕ КОРТЕВЕГА - ДЕ ВРИЗА
15
он нашел зависимость скорости этой волны от глубины канала h и высоты
волны а:
C=y/g(a + h),
где д — ускорение свободного падения; причем а < h. В-третьих, Рассел
обнаружил, что возможен распад одной большой волны на несколько волн.
В-четвертых, он отмечал, что в экспериментах наблюдаются только волны
возвышения. Известно также, что он заметил, что открытые им уединенные
волны проходят друг через друга без каких-либо изменений, но на последнее
очень важное свойство он не обратил серьезного внимания.
Работа Рассела, которая была опубликована им в 1844 году как «Доклад
о волнах» [242], вызвала осторожную реакцию в среде ученых. В
Европейских странах ее не заметили, но в самой Англии на нее обратили внимание
Эйри и Стоке. Эйри подверг критике результаты экспериментов, которые
наблюдал Рассел. Он отметил, что из теории длинных волн на мелкой воде
выводы Рассела не получаются, и утверждал, что длинные волны не могут
сохранять неизменной формы. Он не поверил наблюдениям Рассела.
Один из основателей современной гидродинамики Джордж Габриэль
Стоке также не согласился с результатами наблюдений уединенной
волны, полученными Расселом и критически отнесся к факту существования
уединенных волн.
После столь негативного отношения к уединенной волне, долгое
время о ней никто не вспоминал, кроме самого Рассела. Даже приближаясь
к старости он писал [86]: «Это самое прекрасное и необычайное явление;
день, когда я впервые увидел его, был лучшим днем моей жизни. Никому
никогда не посчастливилось наблюдать его раньше, или, во всяком случае,
понять, что оно значит. Теперь оно известно как уединенная волна
трансляции. Никто прежде и вообразить не мог, что уединенная волна возможна.
Когда я описал ее сэру Джону Гершелю, он сказал: «Это просто вырезанная
половина обычной волны». Но это не так, поскольку обычные волны идут
отчасти ниже поверхности воды; кроме того ее форма совсем иная. Это не
половина волны, а, несомненно, вся волна целиком, с тем отличием, что
волна как целое не находится попеременно то ниже, то выше поверхности,
а всегда выше ее. Этого вполне достаточно, чтобы такой холм воды не стоял
на месте, а двигался».
Определенную ясность в наблюдения Рассела внесли Буссинеск
(1872 г.) и Рэлей (1876 г.), которые независимо друг от друга нашли формулу
для возвышения свободной поверхности на воде в виде квадрата
гиперболического секанса и вычислили скорость распространения уединенной волны
на воде.

16 ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Позже опыты Рассела были повторены другими исследователями,
которые подтвердили его результаты.
Окончательная ясность в проблеме, возникшей после опытов Джона
Рассела по уединенной волне, наступила только после работы датских
ученых Кортевега и де Вриза, которые попытались разобраться в существе
дела. Эти ученые, обобщив метод Рэлея, вывели в 1895 году уравнение
для описания одноволнового приближения при распространении волн на
воде [184].
Следуя их работе, рассмотрим распространение малых, но конечных
возмущений на поверхности жидкости. О таких возмущениях обычно
говорят как о гравитационных волнах, подчеркивая тем самым, что
ответственными за возникновение и распространение этих волн являются
гравитационные силы.
Предположим, что плотность жидкости при возмущениях поверхности
не меняется (ро = const), тогда уравнение непрерывности запишется [1,22,
38,70]
divw-0. (1.1)
Уравнение движения в поле сил тяжести можно представить в виде:
££ + p,v)«+ivp = -fl7, (1-2)
где j — единичный вектор в направлении против силы тяжести.
Как правило, при распространении возмущений движение жидкости
можно считать безвихревым, поскольку типичные задачи, возникающие в
теории волн, рассматриваются при первоначально покоящейся жидкости
или в однородном потоке. Известно, что если в начальный момент времени
вихрь и = rot и = 0, то и в последующие моменты времени и = 0 [66].
Если ввести потенциал скорости (р, определенный выражением
u=grad(p, (1.3)
то уравнение (1.1) перейдет в уравнение Лапласа:
Д<р = 0. (1.4)
Пользуясь формулой векторного анализа
~и х (rotu) + (~и, V) ~и = iV (~и2),

1.1. УРАВНЕНИЕ КОРТЕВЕГА - ДЕ ВРИЗА
17
уравнение (1.2) для безвихревого движения можно привести к виду
откуда после интегрирования по z9 с учетом (1.3), получаем
|£ + i(Vrt> + ^+^-0. (1.6,
Здесь принято, что ось z направлена вверх против ускорения
свободного падения (рис. 1.1), зависимость от времени, полученная при
интегрировании уравнения (1.5) по z включена в потенциал, Ро - давление окружающей
атмосферы на поверхность жидкости.
Рис. 1.1. Характеристики плоского возмущения на поверхности жидкости,
используемые при выводе уравнения Кортевега - де Вриза (а — амплитуда возмущения,
/ — длина волны, h — глубина бассейна при невозмущенной поверхности).
Пусть над поверхностью воды находится воздух и пусть эта
поверхность определяется уравнением
f(x,y,z,t) = Q.
(1.7)
Здесь х,у к z — пространственные координаты, t — время. По
определению поверхность раздела - это поверхность, которую не пересекают
частицы жидкости [90]. Вследствие этого, компонента скорости жидкости
нормальная к поверхности раздела и нормальная компонента скорости
самой поверхности раздела должны совпадать. Обозначим компоненты
скорости жидкости в х, у и z направлении: iti, v и и^
Нормальная компонента скорости поверхности раздела равна

18 ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Нормальная компонента скорости жидкости определяется выражением
Ulfx + Vfy + U2fz
ф
(1.9)
Условие равенства (1.8) и (1.9) приводит к уравнению [90]
ft + uifx + vfy + u2f2 = 0. (1.10)
Пусть поверхность раздела описывается уравнением
z = r){x,y,t) + h, (1.11)
где г}(х, г/, £) — отклонение от положения равновесия. Тогда
f = h + ri(x,y,t)-z. (1.12)
Подставляя (1.12) в (1.10), имеем
rjt + и!Г)х 4- vrjy = гг2- (1-13)
Для волны, у которой Г7У = 0, условие (1.13) принимает вид
rjt + uiVx =г*2. (1.14)
Поскольку
и> = ^кг> U2 = -fr- (1Л5)
где <pW(x, z,t) — значение потенциала на поверхности жидкости, то
уравнение (1.14) может быть представлено через потенциал скорости
^z^TH + VxvP- (1-16)
Нелинейное граничное условие (1.14) является кинематическим
условием, оно отражает тот факт, что нормальная компонента скорости частиц
жидкости на поверхности совпадает со скоростью самой поверхности.
Принимая во внимание динамическое условие на поверхности, которое без
учета сил поверхностного натяжения сводится к равенству давлений в
жидкости и в атмосфере, из (1.6) получаем еще одно граничное условие
дч>ы (v?*1))2

1.1. УРАВНЕНИЕ КОРТЕВЕГА - ДЕ ВРИЗА
19
Дифференцируя последнее выражение по х, имеем
dui dui ди2 , Л /1 юл
-дГ+и1^ +и2— +9Г1х=0. (1.18)
В случае неподвижной границы для решения уравнения Лапласа
требуется лишь одно условие, однако, в рассматриваемой задаче положение
самой границы неизвестно, поэтому для описания гравитационных волн
следует принимать во внимание условия (1.14) и (1.18).
Предполагая, что на нижней границе жидкости твердое
горизонтальное дно, считаем, что нормальная компонента скорости жидкости на этой
границе равна нулю:
д<р
dz
= 0. (1.19)
о
Рассмотрим плоские волны, описываемые уравнением (1.4) с учетом
граничных условий (1.14), (1.18) и (1.19), предполагая, что, во-первых,
длина возмущений много больше глубины жидкости (h <C I), а во-вторых,
амплитуда волны много меньше глубины жидкости (а <С h).
Эти предположения соответствуют тому, что в задаче рассматриваются
длинные волны на мелкой воде, когда выполняются условия малости двух
параметров [11,70]
е=|<1, 5 = ^<1. (1.20)
Далее эти параметры будут играть важную роль при выводе уравнения
Кортевега - де Вриза.
Поскольку 5 <С 1, то решение уравнения Лапласа
д2<р вЬр
дх2 + dz
2+^i-0 (1-21)
ищем в виде
оо
<p(x,z,t) = YlVn(x,t)zn, ze [0,*i] . (1.22)
n=0
Подставляя (1.22) в (1.21) и приравнивая выражения при одинаковых
степенях z нулю, приходим к рекуррентной формуле
Фпхх + (П + 2)(П4- 1)<Аг+2 = 0.
(1.23)

20 ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Учитывая граничное условие (1.19), находим, что <pi = 0, при этом из
рекуррентной формулы (1.23) следует, что (f2k+i =0и все нечетные члены
в (1.22) обращаются в нуль.
Теперь (1.22) превращается в
2 4
(f(x, Z, t) = у>о(ж, t) ~ -jWxx + 24VOxxxx + • • • • (1 -24)
Компоненты вектора скорости движения жидкости на свободной
поверхности представляются формулами
Z2
ui=<pg)=f--±fxx + ..., (1.25)
Z2
U2 = (pW = -Zlfx + jrfxxx + . . . . (1.26)
Здесь введено обозначение
/(*,«) = 6Щ^. 0.27)
Введем безразмерные переменные и параметры в приведенных выше
выражениях. Учитывая, что
х = /х', £ = — £', со = \/<Л ^ = ar)'i
f = ecof\ zx = h(l+erf),
и подставляя (1.28) в (1.25) и (1.26), получаем, с точностью до первого
порядка малости по е и 52, следующие выражения (далее штрихи в
безразмерных переменных опускаем):
2 дх2
ul = /-^df' О-29)
.2 = -(l + e,)f + fg. (1.30)

1.1. УРАВНЕНИЕ КОРТЕВЕГА - ДЕ ВРИЗА 21
Граничные условия (1.14)и(1.18)в безразмерных переменных
принимают вид
и2 = r)t +£Г)хУ>1, (1.31)
ult + еиги1х + т]х = 0. (1.32)
Учитывая выражения для компонент вектора скорости на свободной
поверхности (1.29) и (1.30), из (1.31), (1.32), с точностью до первого порядка
малости по е и 52, находим
дг, дг, а/ а/ 52^3/ п „„.
Заметим, что, полагая в (1.33) и (1.34) е = 5 = 0, получаем линейную
систему уравнений
*? + ?i = о д1+°И = о (1 35)
а*+ а* ' а*+ ах - UJDj
которая эквивалентна волновым уравнениям
aV _ a2/ a2?? _ а2??
а*2 ~ ах2' at2 ~ ах2'
Из (1.35) следует, что в нулевом приближении можно взять / = ±г/,
поэтому для решения системы уравнений (1.33), (1.34) можно применить
метод возмущений, представляя решение /в виде разложения по малому
параметру [47,58,70]:
f = r, + efM + PfW. (1.36)
Сохранив в (1.33) и (1.34) слагаемые первого порядка малости по е
и S2, получим
дг, дг, ^с а/« л2 а/(2) a»? «J2 a3" n ,. „,
дг, дг, a/d) 2а/(2) ат? 52 ^ n „ ,й,

22 ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Вычитая из (1.37) уравнение (1.38), находим
0/(1) 0/(1) дц
+ Т]дх
дх
at
idr,3
+
+ 62
1 d*V
0/(2) 0/(2)
дх
dt
(1.39)
0.
бдх3 2dx2dt\
Поскольку малые параметры е и 52 независимы, то из (1.39) следует
дх dt +vdx '
df^_dj^_idhi i a3??
дх dt 6 дх3 + 2 dx2dt
о.
(1.40)
(1.41)
Из (1.35) имеем
3/(1)
0/(1) 5/(2) 9/(2)
at дх dt дх '
поэтому (1.40) и (1.41) дают зависимости /W и f^OT r/:
WD = _М! f(2) = 1^ч
7 4 ' J Ъдх2'
(1.42)
Подставляя (1.42) в уравнение (1.37), получаем для т](х, t) нелинейное
уравнение
Ё1 л. ^ 4- ^Г7^ 4- ^!Ё!^
Й & 2 Щдх 6 5х3
0.
Если в (1.43) ввести переменные
т = х + t, т ■-
то (1.43) переходит в уравнение
vT + 6vvx
54
6 '
Зет?
2S2'
= 0,
(1.43)
(1.44)
(1.45)
которое называется уравнением Кортевега - де Вриза.
Это уравнение было получено в работе Кортевега и де Вриза в 1895
году для описания длинных волн на воде [184].

1.1. ПРОСТЕЙШИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КДВ 23
1.2. Простейшие решения уравнения Кортевега -
де Вриза
Уравнение Кортевега - де Вриза (КдВ)
щ + диих + иххх = 0 (1-46)
имеет волновое решение, известное с конца прошлого века. Оно
выражается через специальную функцию, изученную Карлом Якоби, которая теперь
носит его имя. Заметим, что уравнение (1.46) допускает группу
преобразований сдвига по х и £, поэтому оно имеет решения в переменных бегущей
волны
u(x,t) = y(z), z = x-C0t. (1.47)
В этом случае уравнение (1.46) запишется в виде
2/^ + Зт/2 - Со2/+ d = 0. (1.48)
Умножив последнее уравнение на yz и снова проинтегрировав по z9
получим
Уг , а С0У2
у+2/ d--f-+Ciy + C2 = 0. (1.49)
Отсюда находим
y2z = -2f(y), f(y)=(y3-^+Ciy + C2). (1.50)
Функцию f(y) можно представить в виде
/(у) = (у-а)(»-/?)(0-7). (1.51)
Здесь а, /3 и 7 (рс ^ /3 > 7) ~ действительные корни кубического
уравнения
у3-^ + С12/ + С2=0. (1.52)
Из (1.52) имеем
а/?7 = -С2,
а/? + а7 + /?7 = Ci,
а + /? + 7=^.

24 ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Уравнение (1.50) можно преобразовать к виду
dy
^2{a-y){y-f3){y-1)
Если ввести обозначения
dz. (1.53)
у = а-р2, р=у/а-рд, S2 = ^^, (1.54)
то уравнению (1.53) можно придать вид
/ л/(1 _ Jn _ sw)= V V1 {z - ^
(1.55)
Учитывая, что слева появился эллиптический интеграл 1-го рода
F(arcsing, 5) = sn-1^, 5) = sj^1 (z - zQ), (1.56)
имеем окончательно
l
q = m{[^-Jiyiz-Zo)t S},
где sn(z) — эллиптическая функция Якоби.
Принимая во внимание обозначения (1.54), находим
y(z) = а - (а - /?)sn2 I yj^1 (z - z0), S I . (1.57)
В силу известной формулы для эллиптических функций
sn2(z) + cn2(2:) = 1,
решение уравнения Кортевега - де Вриза можно представить в виде
{/¥
u(x,t) = р + (а - (3)сп2 i d ^~t (z - z0), S\. (1.58)

1.2. ПРОСТЕЙШИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КДВ 25
Отметим, что S в (1.57), (1.58) удовлетворяет неравенству 0 ^ 5 < 1,
а скорость волны Со определяется выражением
С0 = 2(а + /3 + 7).
Решение (1.58) уравнения (1.46) является волной с периодом
1
Т - 2А/-^— / dx = J—2—KIS) (1.59)
V^-^y ^(l-x2)(l-S2x2) \<*-1
(K(S) — полный эллиптический интеграл 1-го рода).
Если а > /3 = 7> то период (1.59) обращается в бесконечность. При
этом из (1.58) получаем уединенную волну
и(х, t) = y(z) = (3 + (а -(3) eh"2 I J —^- (z -zo)\. (1.60)
Обычно полагают /? = 7 = 0, а = 2к29и тогда решение (1.60)
уравнения (1.46) имеет вид
u(x,t) = 2k2ch~2 {к (х - 4кН) + Хо} , (1.61)
где хо - произвольная постоянная. Решение (1.58) является периодической
волной, описываемой уравнением Кортевега - де Вриза. Иногда эта
волна называется кноидальной, по виду обозначения эллиптической функции
Якоби. В предельном случае при малой амплитуде это решение
переходит в синусоидальную волну, хорошо известную из теории волн. С другой
стороны, решение (1.60) является также предельным для случая
бесконечно большого периода (5 = 1). Именно этот предельный случай является
уединенной волной, соответствующей наблюдению Джона Рассела в 1834
году.
Решения (1.58) и (1.61) уравнения Кортевега - де Вриза являются
бегущими волнами. Это означает, что они зависят от координаты х и времени t
через переменную z = х — Cot. Эта переменная характеризует положение
точки координат, движущейся со скоростью волны Со, то есть она
обозначает положение наблюдателя, который постоянно находится на гребне волны.
Таким образом, уравнение Кортевега - де Вриза, в отличие от решений
волновых уравнений (1.35), имеет волну, распространяющуюся лишь в одном

26 ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
направлении. Однако оно учитывает проявление более сложных эффектов
вследствие дополнительных слагаемых иих и иххх.
В действительности, это уравнение является также приближенным,
поскольку при его выводе использованы малые параметры в и 5. Если
пренебречь влиянием этих параметров, устремляя их к нулю, мы получим одну
из частей решения волнового уравнения.
Конечно, при выводе уравнения для длинных волн на воде влияние
параметров е и 5 может быть учтено более точно, но тогда получится
уравнение, содержащее гораздо больше слагаемых, чем уравнение (1.46) и с
производными более высокого порядка. Из сказанного следует, что решение
уравнения Кортевега - де Вриза для описания волн справедливо только на
определенном расстоянии от места образования волны и на определенном
промежутке времени. На очень больших расстояниях нелинейные волны
уже не будут описываться уравнением Кортевега - де Вриза и для
описания процесса потребуется более точная модель. Уравнение Кортевега -
де Вриза в этом смысле следует рассматривать как некоторое
приближение (математическую модель), соответствующее с определенной степенью
точности реальному процессу распространения волн на воде.
1.3. Модель для описания возмущений в цепочке
одинаковых масс
В настоящее время кажется странным, что открытие Джоном Скоттом
Расселом уединенной волны и его последующее подтверждение в работе
Кортевега - де Вриза не получило в прошлом веке никакого резонанса в
науке. После 1895 года эти работы оказались, по существу, забытыми почти
на 70 лет. Более того, один из авторов знаменитого теперь уравнения Корте-
вег прожил долгую жизнь (1848 - 1941) и был известным ученым. Но когда
в 1948 году научная общественность отмечала его 100-летний юбилей, то
работа, выполненная с де Вризом в 1895 году, в списке лучших публикаций
даже не значилась. Составители списка работ Кортевега сочли эту статью
не заслуживающей серьезного внимания. Только спустя еще четверть века,
именно эта работа стала считаться главным научным достижением
Кортевега.
Однако если поразмыслить, то такое невнимание к уединенной волне
Рассела становится вполне понятным. Его открытие в течение долгого
времени считалось некоторым частным фактом. В то время физический мир
представлялся линейным, и принцип суперпозиции считался одним из
самых фундаментальных принципов большинства физических теорий.
Поэтому серьезного значения экзотической волне на воде ученые не придали.

1.3. МОДЕЛЬ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В ЦЕПОЧКЕ 27
Возвращение к уединенной волне на воде произошло случайно и
вначале к ней не имело никакого отношения. Это случилось в Лос - Аламосе
в 1952 году, когда Э. Ферми вместе с двумя своими сотрудниками С. Ула-
мом и Д. Пастой предприняли попытку решить одну из нелинейных задач
на ЭВМ. Они хотели рассчитать колебания 64 одинаковых масс, связанных
друг с другом пружинками, которые при отклонении от положения
равновесия на А/ приобретали возвращающуюся силу кА1 + а(А1)2. Здесь к и а —
постоянные коэффициенты. При этом нелинейная добавка предполагалась
малой по сравнению с основной силой к А/ [147].
Вот как сам Станислав Улам описывает двадцать лет спустя этот
период их совместной работы [91]. «Как только машины были сделаны,
Ферми, с присущей ему интуицией и огромным здравым смыслом, сразу же
осознал все их значение в исследовании проблем теоретической физики,
астрофизики и классической физики. Мы обсуждали этот вопрос самым
подробным образом и решили попытаться сформулировать какую-нибудь
задачу, которая была бы проста в своей постановке, но имела бы решение,
требующее очень длинных вычислений, невыполнимых с помощью
ручки и бумаги или существующих механических вычислительных устройств.
Обсудив ряд возможных задач, мы остановились на одной типовой задаче,
связанной с долговременным поведением динамической системы и
требующей долгосрочного предсказания. В ней рассматривалась эластичная струна
с двумя закрепленными концами, на которую действует не только обычная
сила деформации, но и малая по величине нелинейная сила. Необходимо
было выяснить, как после очень большого числа периодов колебаний эта
нелинейность будет постепенно влиять на известное периодическое
поведение колебаний в одной тональности. Каким образом другие тональности
струны приобретут свои амплитуды и как, рассуждали мы, будет
происходить термализация движения, имитируя, быть может, поведение жидкостей,
которые, будучи вначале ламинарными, становятся все более и более
турбулентными, пока, наконец, их макроскопическое движение не преобразуется
в тепло».
Создавая начальное отклонение, исследователи хотели посмотреть, как
начальная мода будет распределяться по всем другим. Но после проведения
расчетов этой задачи на ЭВМ ожидаемого результата они не получили, но
обнаружили, что перекачивание энергии на начальном этапе в две или три
моды действительно происходит, но затем наступает возврат к начальному
состоянию.
Об этом парадоксе, связанном с возвратом начального колебания и
получившим название парадокса Ферми - Паста - Улама, стало известно
нескольким математикам и физикам. В частности, об этой задаче узнали

28 ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
два американских физика Мартин Крускал и Норман Забуски, которые
решили продолжить вычислительный эксперимент с моделью, предложенной
Ферми.
На рис. 1.2 иллюстрируется эта модель, состоящая из 5-ти масс.
г-1 г й-1
Рис. 1.2. Взаимодействие масс в модели Ферми, Паста и Улама.
Движение г-й массы зависит от сил, действующих со стороны соседних
масс, и описывается вторым законом Ньютона [78]
(Руг
dt2
m-g = FM+1 - Д_м , (1.62)
где в данном случае силу Fj_i^ выберем в виде
Д-М = к(А1) + а(А1)2 + /?(Д/)3, А1 = Уг- у^. (1.63)
Здесь yi — координата положения равновесия г-й массы. По сравнению
с задачей Ферми - Паста - Улама, в данной модели предполагается, что есть
еще дополнительное слагаемое /?(Д/)3. Мартин Крускал и Норман Забуски
в своих первоначальных расчетах использовали уравнения (1.62) и (1.63)
при /3 = 0.
В уравнении (1.63) перейдем к непрерывно распределенным массам,
полагая
h2 h3 h4
Уг±1 -Уг^ hyi,x i ТуУг.хх ^ ~7гУг,ххх + 7у7Уг,хххх • (1*64)
Тогда, после подстановки (1.63) и (1.64) в (1.62), получаем, с точностью
до o(h4), уравнение в виде
_ kh2 kh4 2ah3 3/%4 2
Уи — ~уу1~Ухх + 10т Ухххх "^ Щ~~УхУхх Н гг[~УхУхх • (1.65)
В (1.65) введем обозначения
rt2 _kh2 ^ 2h x kh _ _ 36/?
ь т. 1 с / > и ол ' /
m ' /, ' 24' ' к '

1.3. МОДЕЛЬ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В ЦЕПОЧКЕ 29
тогда оно запишется в виде
Уи = с2Ухх + £$с2ухххх + аес2ухухх +ie5<?у\ухх . (1Щ
При 7 = 0 из (1.66) получается уравнение, которое было получено
Буссинеском для описания волн на воде в 1872 году.
Возмущения, описываемые уравнением (1.66), на начальной стадии
удовлетворяют линейному волновому уравнению
Уи^<?Ухх, (1.67)
и поэтому начальное возмущение распадается на две волны, одна из которых
распространяется влево, а другая — вправо.
Для изучения одной из этих волн решение уравнения (1.66) будем
искать в виде [78]
y = /(^T) + eyi(M), (Ь68)
где
z = х — ct, Т = st,
a f(z,T) соответствует профилю волны на больших расстояниях при
Т ~ 1/е.
Из уравнения (1.66), принимая во внимание (1.68), получаем с
точностью до е
Уш - с2у1хх = 2cfzT + Sc2fzzzz + ac2fzfzz + ^5c2f2fzz. (1.69)
Для того чтобы зависимость у\(х, t) асимптотически не росла от
переменной в — х + ct, для f(z,T) должно выполняться равенство
VzT + acfzfzz + ic&flfzx + S2cfzzzz = 0. (1.70)
Предположим также, что
тогда из (1.70) получаем уравнение
ит + auuz + j5u2uz 4- Suzzz = 0. (1.71)
При 7 = 0, а^0из(1.71) мы снова приходим к уравнению Кортеве-
га - де Вриза, совпадающее с тем, которое мы получили для описания волн

30 ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
на воде. Если 7 ^ 0, но о; = 0, то из (1.71) получаем уравнение, которое
носит название модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза.
Предложенный вывод уравнения (1.71) был сделан Крускалом и За-
буски при 7 = 0 после численного решения (1.62) при периодических
граничных условиях. Они первые установили, что уравнение,
используемое Ферми, Паста и Уламом, при уменьшении расстояния между массами
и при неограниченном росте их числа переходит в уравнение Кортевега -
де Вриза, предложенное в 1895 году для описания уединенной волны на
воде.
В те же годы было показано, что при описании ионно-звуковых волн
в плазме также появляется уравнение Кортевега - де Вриза. Стало ясно,
что это уравнение возникает во многих областях физики, и, следовательно,
уединенная волна, которая описывается этим уравнением, является широко
распространенным явлением. Продолжая вычислительные эксперименты по
моделированию распространения таких волн, Крускал и Забуски
рассмотрели их столкновение [270].
Остановимся на обсуждении этого важного факта. Пусть имеются две
уединенные волны, описываемые уравнением Кортевега - де Вриза,
которые отличаются амплитудами и которые движутся друг за другом в одном
направлении (см. рис. 1.3). Из формулы для уединенных волн (1.61)
следует, что скорость движения таких волн тем больше, чем выше их амплитуда,
а ширина пика уменьшается с ростом амплитуды. Таким образом, более
высокие уединенные волны движутся быстрее. Волна с большей
амплитудой догонит движущуюся впереди волну с меньшей амплитудой. Далее, в
течение некоторого времени две волны будут двигаться вместе как единое
целое, взаимодействуя между собой, а затем они разъединяются.
Замечательным свойством этих уединенных волн является то, что после своего
взаимодействия форма и скорость этих волн сохраняются. Обе волны после
столкновения лишь смещаются на некоторое расстояние по сравнению с
тем, если бы они двигались без взаимодействия.
Процесс, у которого после взаимодействия волн сохраняются форма и
скорость, напоминает упругое столкновение частиц. Поэтому Крускал и
Забуски назвали такие уединенные волны солитонами (от английского слова
solitary, означающее уединенный). Это специальное название уединенных
волн, созвучное электрону, протону и многим другим элементарным
частицам, в настоящее время общепринято.
Уединенные волны, которые были открыты Джоном Расселом, и в
самом деле ведут себя как частицы. Оказалось, что большая волна не проходит
через малую при их взаимодействии. Когда уединенные волны
соприкасаются, то большая волна замедляется и уменьшается, а та волна, которая

1.3. МОДЕЛЬ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В ЦЕПОЧКЕ 31
•л л
ч f
к
к
Al(X,t)
X
1
К ,
/\ Л *
Рис. 1.3. Взаимодействие солитонов Кортевега - де Вриза. В момент времени t\
уединенная волна меньшей амплитуды впереди. Однако она движется с меньшей
скоростью, чем больший солитон. При ti и £з солитоны взаимодействуют. При t±
солитоны расходятся, большая уединенная волна уходит вперед.
была малой — наоборот ускоряется и подрастает. Когда малая волна
дорастает до размеров большой, а большая уменьшается до размеров малой,
солитоны разделяются и больший уходит вперед. Таким образом, солитоны
ведут себя как упругие теннисные мячи.
Солитоном называется нелинейная уединенная волна, которая
сохраняет свою форму и скорость при движении и при столкновении с
любыми другими уединенными волнами. Единственным результатом
взаимодействия солитонов может быть некоторый сдвиг фаз [1,11,70,94].
Открытия, связанные с уравнением Кортевега - де Вриза, не
закончились на открытии солитона. Следующим важным этапом, имеющим
отношение к этому уравнению, было открытие нового метода решения задачи
Коши для нелинейных уравнений в частных производных. Известно, что
найти решения нелинейных уравнений очень сложно. До 60-х годов
прошлого столетия считалось, что такие уравнения могут иметь только
некоторые частные решения, удовлетворяющие специально заданным начальным
условиям. Однако уравнение Кортевега - де Вриза и в этом случае оказалось
в исключительном положении.
В 1967 году американские физики Гарднер, Грин, Крускал и Миура
показали [155], что решение задачи Коши для уравнения Кортевега - де Вриза
может быть, в принципе, получено для всех начальных условий, которые
определенным образом обращаются в нуль при стремлении координаты к
бесконечности. Они преобразовали уравнение Кортевега - де Вриза к систе-

32 ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
ме двух уравнений, называемой теперь парой Лакса (по имени
американского математика Питера Лакса, внесшего большой вклад в развитие теории
солитонов [215]), и открыли новый метод (называемый методом обратной
задачи рассеяния) решения задачи Коши для ряда нелинейных уравнений в
частных производных.
1.4. Простейшие решения модифицированного
уравнения Кортевега - де Вриза
Как уже сказано, решение дифференциального уравнения в ряде
случаев найти не просто. В настоящее время хорошо известно, как находить
решения линейных дифференциальных уравнений [5,35,37]. Однако для
задач, описываемых нелинейными обыкновенными дифференциальными
уравнениями и нелинейными уравнениями в частных производных, методы
построения решений (иногда и само понятие решения) значительно
усложняются.
Пусть требуется решить уравнение второго порядка
Vzz = F[y], (1.72)
где правая часть является полиномом от у:
F [у] =а0+ а1У 4- а2у2 + ... + апуп . (1.73)
К этому классу уравнений относятся многие уравнения,
встречающиеся при описании волновых процессов (в частности, уравнение (1.48),
которое изучалось в п. 1.2).
После умножения на yz решение уравнения (1.72) сводится к
вычислению интеграла
_i
/fay + a1y2 + ±a2y3 + ... + ^^anyn+1 + C2) *dy = z. (1.74)
Здесь С2 - постоянная интегрирования. Если в (1.74) п — 3, то задача
вычисления интеграла (1.74) решается в явном виде. В этом случае интеграл
(1.74) принимает вид:
1
[ fay + аху2 + ±a2ys + ±asy4 + C2j * dy = z. (1.75)

1.4. ПРОСТЕЙШИЕ РЕШЕНИЯ МКДВ
33
При ао ф 0, а\ ф 0, а,2 = 0, аз = О интеграл (1.4) выражается
через обратные тригонометрические функции (и, следовательно, общее
решение уравнения (1.72) определяется через тригонометрические функции).
В случае ао Ф 0, ai ф 0, а2 ф О, аз = О интеграл сводится к
эллиптическому интегралу и решение определяется функцией Вейерштрасса. При
ао ф 0, ai ф 0, а2 ^ 0, аз ф 0 интеграл (1.75) заменой переменных
приводится к эллиптическому интегралу первого рода и общее решение (1.72)
выражается через эллиптическую функцию Якоби [87]. Эллиптические
функции Вейерштрасса и Якоби являются соответствующим обобщением
тригонометрических функций.
Теория эллиптических функций получила свое развитие в трудах
Н. Абеля и К. Якоби, как естественное обобщение тригонометрических
функций. В отличие от тригонометрических функций, имеющих
действительные периоды, эллиптические функции являются двоякопериодически-
ми. Они имеют как действительный, так и мнимый период. На комплексной
плоскости тригонометрические функции не имеют особых точек в
конечной комплексной плоскости, т. е. являются целыми функциями, тогда как
эллиптические функции являются мероморфными функциями и имеют на
комплексной плоскости изолированные полюса.
Покажем, что решения модифицированного уравнения Кортевега -
де Вриза
щ + 6 и2 иххх + иххх = 0 (1.76)
в переменных бегущей волны
и(х, t) = y(z), z — х — Cot (1-77)
находятся в терминах эллиптической функции Якоби. Уравнение (1.76) в
этих переменных становится обыкновенным дифференциальным
уравнением, которое после интегрирования по z9 принимает вид:
ухх = -2у* + С0у-С1. (1.78)
Здесь С\ — постоянная интегрирования. Уравнение (1.78) относится к
классу уравнений (1.72) и после умножения на yz может быть записано в
виде:
у\ = -у4 + Coy2 - С1У + С2 . (1.79)
(Постоянная С\ в (1.79) переобозначена.) Пусть а, /?, 'у и 5 — корни
уравнения четвертого порядка (5 ^ j ^ /3 ^ а):
У4-С0у2 + С1У-С2 = 0.
(1.80)

34 ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Тогда, используя новую переменную q(z) и параметр т
f3(6-a)q(z)2 + a(P-8)
y(z) = 5 > (1-81)
(8-a)q(z)2+0-S
т ~ (а-7) (/?-*)' (L82)
уравнение (1.79) можно представить в виде [87]
/
dq
V(l-<72)(1- m2<?2) 2
= W(0-*) (a-7)(*-*b). (1.83)
Выражение слева является эллиптическим интегралом первого рода, и
поэтому для q(z) получаем решение
ф) = 8П (^у/{Р-5) (а-7) (s-*b),mV (1.84)
При Ci = 0, Со = к2, С2 — 0 корни уравнения (1.80) имеют вид:
а = — 5 = /си/? = 7 — 0> тогда из (1.81) получаем
y(z) = Vn^—\—' (L85)
2sh2 {±kz + <ро) +1
Используя известные тождества для гиперболических функций
ch2(kz) - sh2(kz) = 1,
о о (1.86)
ch2(kz) 4- sh2(fe) - ch(2fo),
из (1.85) находим решение модифицированного уравнения Кортевега -
де Вриза в форме односолитонного решения
и{х, t) = ±k sh(kx - k3t + Хо). (1.87)
Здесь хо ~ произвольная постоянная. Модифицированное уравнение
Кортевега - де Вриза, как и обычное уравнение Кортевега - де Вриза, имеет
также солитонные решения и тоже может быть решено методом обратной
задачи рассеяния [1,78].

1.5. ФАЗОВАЯ И ГРУППОВАЯ СКОРОСТИ ВОЛН 35
1.5. Фазовая и групповая скорости волн
Выше мы уже неоднократно говорили о скорости волны. Однако
скорость, по очень тонкому замечанию Л.И.Мандельштама, это «понятие,
возникшее при описании движения частицы». Когда говорится о скорости
волны, то перемещения частиц в ней, как правило, нет, а если и есть, как,
например, на воде, то оно происходит по иным законам, чем движение
самой поверхности воды. Однако, о скорости волны часто говорят, имея в виду
перемещение максимума (или минимума) при распространении волны.
Рассмотрим стандартное волновое уравнение
utt=c2uxx. (1.88)
Введем новую функцию v(x,t) в соответствие с формулой
vt=cux. (1.89)
Тогда принимая во внимание (1.88), получаем
щ = сих. (1.90)
Складывая и вычитая правые и левые части уравнений (1.89) и (1.90),
получаем систему уравнений:
ft-cfx=0, /=|(ti + t;); (1.91)
9t+cgx = 0, g=±(u-v). (1.92)
Система уравнений (1.91) и (1.92) показывает, что исходное волновое
уравнение (1.88) может быть представлено в виде эквивалентной
системы уравнений (1.91) и (1.92). Поэтому при анализе волновых движений
уравнения (1.91) и (1.92) часто рассматриваются раздельно. Именно это
обстоятельство использовано в п. 1.1 ив п. 1.3 при выводе одноволно-
вых приближений, описываемых уравнениями Кортевега - де Вриза. Из
системы уравнений (1.91), (1.92) находится решение задачи Коши исходного
волнового уравнения (1.88), впервые полученное Даламбером. Это решение
представляется в виде суммы двух функций
и(х, t) — f(x — ct) + д(х -f ct).
(1.93)

36 ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Вид функций / и д определяется начальными условиями
u(x,t = 0) - <р(х), ut(x,t = 0) = ф{х). (1.94)
Рассмотрим решение волнового уравнения (1.88) при начальных
условиях
и (ж, t = 0) = a cos (кх), щ (ж, t = 0) = aw sin {kx),
где а,к им - постоянные. Оно выражается зависимостью:
u{x,t) = acos{kx — ut), (1-95)
которая представляет собой монохроматическую волну, бегущую направо
со скоростью
г- £ = ^
Эта скорость называется фазовой скоростью волны, поскольку она
характеризует скорость перемещения максимума одной волны (фазы).
Однако на практике реализовать распространение монохроматической
волны затруднительно и поэтому обычно имеют дело с группой (пакетом)
волн. В этом случае возникает естественный вопрос об определении
скорости волн при распространении волнового пакета.
В качестве примера рассмотрим распространение двух волн, которые
являются решением волнового уравнения (1.88) [11]
и\ (ж, t) — a cos {kx — ujt), (1.96)
u2{x,t) = a cos [{k + Ak) x- {и + Au) t]. (1.97)
Волновые числа и частоты этих двух волн отличаются соответственно
на небольшие величины Ak и До;. Поскольку каждая из этих волн
удовлетворяет волновому уравнению (1.88), то в силу линейности уравнения ему
будет удовлетворять и их сумма [11]
и (ж, t) = щ (ж, t) 4- U2 (ж, t) =
Г/ \ / м (L98)
= 2acos|(sAfc-tAo;)coJ ffc+M |ж_ f^ + ^J Л .
Из последней формулы видно, что суммарная амплитуда волн
A{x,t) = 2a cos i | {xAk - tAuj) i (1.99)

1.5. ФАЗОВАЯ И ГРУППОВАЯ СКОРОСТИ ВОЛН
37
с течением времени меняется. Суммарная картина, которая получается при
сложении двух волн представлена на рис. 1.4.
Скорость распространения волн в этом случае может быть вычислена
как скорость распространения максимума суммарной амплитуды волн
Va
t
Аи
Ak'
Когда мы имеем дело с волновым пакетом из нескольких волн, то
групповая скорость равна производной от частоты по волновому вектору к
V0
dk
v До;
lim ~y.
Afc->o Ak
u(x,t)
Рис. 1.4. Распространение волнового «пакета» из двух волн, волновые числа которых
отличаются на величину Л к.
Решением волнового уравнения (1.88) является также зависимость от
хий виде
и = ае*кх+шЬ\ (1.100)
где г — мнимая единица, ш — частота, к — волновое число, а —
амплитуда. Для линейных уравнений множитель а сокращается и, вообще говоря,
может быть выбран произвольным.
Зависимость между uj и к называется дисперсионным соотношением
и ее задание позволяет восстановить уравнение, которым описывается
волновой процесс.
Диспергирующие одномерные системы ограничиваются случаями, для
которых и = и)(к) вещественная и шьк Ф 0.
Подставляя (1.100) в уравнение (1.88), находим
ш = ±ск.

38 ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Откуда следует, что для волн, описываемых уравнением (1.88), фазовая
скорость
и групповая скорость
Vr = l=±c
^ = S = ±0
совпадают. Никакой дисперсии (зависимости скорости волны от ее длины)
в данном случае нет.
Рассмотрим теперь уравнение
Ut + Uxxx = 0, (1.101)
являющееся линейной частью уравнения Кортевега - де Вриза, и найдем
зависимость и (к). Подставляя (1.100) в (1.101), получаем
LJ = k\
Фазовая скорость для волны в этом случае зависит от волнового числа
Групповая скорость для волнового пакета, описываемого уравнением
(1.101), дается формулой
Мы получили, что групповая скорость волны, описываемая уравнением
(1.101), в три раза больше, чем фазовая скорость волнового пакета. Видно,
что в дисперсионной среде фазовая и групповая скорости волн не
совпадают. Если в начальный момент времени волновой пакет был локализован,
то с течением времени он будет расплываться (диспергировать). Поэтому
выражение с третьей производной в уравнении Кортевега - де Вриза
называют дисперсионным. Это слагаемое приводит к расплыванию волны.
Однако мы знаем, что уравнение Кортевега - де Вриза имеет решения в виде
уединенной волны, переносимой с постоянной скоростью и без каких-либо
изменений. Тем не менее, противоречий со сказанным выше об уединенной
волне нет, поскольку в уравнении Кортевега - де Вриза, в отличие от его
линейного аналога (1.101), есть еще нелинейное слагаемое иих, которое
«уравновешивает» влияние дисперсии.

1.6. НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА 39
1.6. Нелинейное уравнение Шредингера для
огибающей волнового пакета
Выше мы говорили, что на практике волны, как правило,
распространяются группами. Подобные группы волн на воде люди могли наблюдать
с незапамятных времен. На вопрос о том, почему для волн на воде так
типичны «стаи» волн, удалось ответить Т. Бенджамену и Дж. Фейеру
только в 1967 году. Путем теоретических расчетов они показали, что простая
периодическая волна на глубокой воде неустойчива (теперь это явление
называется неустойчивостью Бенджамена - Фейера) и поэтому волны на воде
из-за неустойчивости разбиваются на группы. Уравнение, с помощью
которого описывается распространение групп волн на воде, было получено
В.Е. Захаровым в 1968 году.
Естественно, что распространение волнового пакета в различных
средах может описываться многими нелинейными уравнениями в частных
производных, однако, здесь для простоты мы предположим, что
распространение его описывается модифицированным уравнением Кортевега - де Вриза
(мКдВ) [78]
щ + и2их + иххх = 0. (1.102)
Предположим также, что х и t в (1.102) обычные пространственная и
временная переменные для несущей волны. Можно ввести набор
«медленных» временной и пространственной переменных, в которых описывается
движение огибающей волнового пакета и рассматривать их как
независимые переменные. При этом имеем
Х0 = х, Хг=ех, Т0 = t, Тг = et, Т2 = еЧ. (1.103)
Здесь е - малый параметр, который соответствует характеристикам
(длине и времени) огибающей волнового пакета.
Многие уравнения, описывающие нелинейные волны, имеют решения
в виде гармонических волновых пакетов
и — а ехр {г [кх — u(k)t]}
в предположении, что их амплитуда является малой. Предположим, что
основное состояние системы описывается линейной гармоникой, хотя
малой по амплитуде, но не пренебрежимо малой из-за эффекта нелинейности.
В силу (1.103) мы рассматриваем случай, когда огибающая волны
медленно меняется, как по пространственной, так и по временной переменной, по
сравнению с несущей волной.

40 ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Решение уравнения (1.102) будем искать в виде суммы нескольких волн
uq,ui и U2 в соответствии с методом многих масштабов [1,78]
и = е(ио + еи\ 4- е2и2 + ...)• (1.104)
Операторы дифференцирования по х и t при этом заменяются на
следующие:
dt дТ0 дТг ^Ь ЭТ2'
д . а а
(1.105)
дх дХ0 дХг'
В соответствии с (1.104) имеем
u(x,t,e) = u(To,TuT2,Xo,X1). (1.106)
Подставляя (1.104), (1.105) в (1.102) и учитывая (1.106), после
приравнивания выражений при одинаковых степенях е нулю, получаем цепочку
уравнений
Ш + Щ-*
ди2 дщ_ дщ д3и2 2ди0 д3и0 д3щ
дт0 дТ! + дт2 + ах* °дх0+ дх0дх?+ дх1дх1
(1.109)
Решением уравнения (1.107) является функция
uo=a(X1,T1,T2)ei$ + a*(X1,T1,T2)e-ie, (1.110)
где
в = кХ0+и>Т0, и> = к3, (1.111)
а* — комплексно-сопряженное от а.
Учитывая (1.110), из (1.108) получаем
дт0 + дх$~ [т дх1)е +кх- (1Л12)

1.6. НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА 41
Поскольку групповая скорость волны определяется формулой
dk~6k '
и амплитуда волны распространяется с групповой скоростью, то из (1.112)
следует, что
^£1+^1 = 0. (1113)
Отсюда следует, что в качестве решения для и\ можно взять
mi =0.
Рассмотрим теперь уравнение (1.109). Подставляя в него и\ = 0 и uq
из (1.110), приходим к выражению
ди2 д3и2 = _ ( да_ м , да* ~гв
дТ0 ^ дХ* \дТ2 + дТ2
-гв\
-гк (aeie - a*e~ie) (aeie + а*е~*)* - Згк
гв л*л-г0\ („АО , л*л—г6>\2 о-т, I d2CL Ав d2CL* Ав
дХ2 дХ\ ) '
Откуда находим
olo дХ$
-(й+шщ+й«2«*) <*+{Ш - злШ - Ла"2а)'"" ■
(1.114)
Из последнего уравнения следует, что решение
u2^-ika3eSie+ika*se-3i0
удовлетворяет (1.114) тогда и только тогда, когда амплитуда волнового
пакета описывается уравнениями
m ах?* '
2 (1.115)

42 ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Таким образом получаем, что амплитуда волны a (Xi, T2) описывается
уравнением
i$Lr^ + ka\a\\ (1.116)
Поскольку структура этого уравнения совпадает со структурой
уравнения Шредингера, в котором выражение \а\2 играет роль потенциала, то это
уравнение называется нелинейным уравнением Шредингера.
Аналогичное уравнение для огибающей волнового пакета можно
получить, если рассматривать распространение группы волн, описываемых
некоторыми другими нелинейными уравнениями [78].
Нелинейное уравнение Шредингера, как и уравнение Кортевега -
де Вриза, имеет также широкую распространенность при описании волн
в различных областях физики. Впервые это уравнение было предложено
в 1926 году австрийским физиком Э. Шредингером для анализа
фундаментальных свойств квантовых систем и первоначально с его помощью
описывались взаимодействия внутриатомных частиц. Обобщенное или
нелинейное уравнение Шредингера описывает целую совокупность явлений в
физике волновых процессов. В частности, известны многочисленные примеры
волновых явлений в нелинейной оптике, где используется нелинейное
уравнение Шредингера [1,71].
1.7. Уединенные волны, описываемые нелинейным
уравнением Шредингера и групповой солитон
Найдем простейшие решения нелинейного уравнения Шредингера [90]
*! = 0 + 1«М*. (,.,.7,
Решение уравнения (1.117) будем искать в виде произведения двух
функций
а = eipx~ixtV(z), z = x-cot. (1.118)
Здесь р, х и со — постоянные, a V(z) — функция, которую требуется
найти.
Подставляя (1.118) в (1.117), получаем
0+г(2р + со)^-(х+р2)^ + 7^3 = О. (1.119)

1.7. УЕДИНЕННЫЕ ВОЛНЫ И ГРУППОВОЙ СОЛИТОН 43
Полагая
2р + с0 = 0, Х+Р2 = а, (1.120)
из (1.119) получаем уравнение
d2V
dz2
= aV--{V3, (1.121)
решение которого выражается через эллиптическую функцию Якоби,
поскольку его можно представить в виде
(4j£\ = A + aV2-^V\ (1.122)
В предельном случае при А = 0, и при условии, что а > 0 И7 > 0 из
(1.122) имеем уединенную волну
V (z) = y^f ch"1 {yfc(x - cQt)} . (1.123)
Это решение вместе с (1.118) и (1.120) приводит к решению
нелинейного уравнения Шредингера в виде
2а ,-1
а(М) = e^x-Wjf- ch"1 {v^(x-cot)}, (1.124)
где
со 4
На рис. 1.5. представлено решение а(х, £) при cq = 1, а = 1, 7 = 4.
В 1971 году В.Е. Захаров и А.Б. Шабат показали, что нелинейное
уравнение (1.117) имеет также решения в виде солитонов [29,30]. Более того,
тогда же они установили, что это уравнение, как и уравнение Кортевега -
де Вриза, может быть проинтегрировано методом обратной задачи
рассеяния. Солитоны (1.124) нелинейного уравнения Шредингера (1.117)
отличаются от обсуждаемых выше солитонов Кортевега - де Вриза тем, что
они соответствуют форме огибающей группы волн. Внешне они
напоминают модулированные радиоволны. Эти солитоны называются групповыми
солитонами, а иногда солитонами огибающей [94]. Волны под огибающей,
конечно, двигаются со своей скоростью, отличной от групповой скорости.

44 ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Р^—;
Рис. 1.5. Уединенная волна (групповой солитон), описываемая нелинейным
уравнением Шредингера.
Обычно под огибающей солитона находится от 14 до 20 волн, причем
средняя волна — самая большая. С этим связан хорошо известный факт, что
самая высокая волна в группе на воде находится между седьмой и десятой
(девятый вал). Если в группе волн образовалось большее количество волн,
то с течением времени произойдет распад ее на несколько групп.
Групповые солитоны, которые описываются нелинейным уравнением
Шредингера, находят разнообразное применение в нелинейной оптике,
поскольку они могут использоваться при передаче информации в волоконно-
оптических линиях связи. Это одно из перспективных направлений
возможного практического применения солитонов.
1.8. Уравнение sin-Гордона для описания дислокаций в
твердом теле
В любой кристаллической структуре каждый атом окружен
необходимым числом ближайших соседей. Если эти условия нарушаются, то
происходят изменения в решетке, при которых у атомов появляется иное
количество соседей или изменяется расстояние до ближайших соседей. Это
обстоятельство приводит к дефектам в кристаллических телах, которые
всегда имеются в реальных твердых телах.
Многие свойства кристаллической структуры (например, плотность
и удельная теплоемкость) слабо зависят от наличия дефектов. Однако
дефекты кристалла оказывают сильное влияние, например, на прочность и
электропроводность, поэтому изучение поведения дефектов является
важной задачей.
Существует несколько типов кристаллических дефектов. Далее
остановимся на рассмотрении точечных дефектов, к которым относятся нарушения

1.8. УРАВНЕНИЕ SIN-ГОРДОНА
45
в решетке в изолированных друг от друга точках кристалла. Примерами
таких дефектов являются вакансии, атомы внедрения или изолированные
включения примеси.
Внедрение атома в решетку может образоваться за счет ухода атома из
узла решетки непосредственно в междуузлие в результате флуктуации. При
этом в оставленном узле возникает вакансия. Такие дефекты называются
дефектами по Френкелю. Кроме точечных дефектов возникающих в
результате тепловых флуктуации, могут появиться точечные дефекты иного
происхождения. В частности, один из методов увеличения количества дефектов
состоит в бомбардировке твердого тела атомами или частицами с высокой
энергией путем нейтронного облучения в ядерном реакторе. В результате
облучения быстрые частицы соударяются с атомами решетки и смещают
их, образуя при этом также дефекты по Френкелю.
Пусть имеется простейшая кристаллическая структура, состоящая из
слоев атомов, расположенных на некотором расстоянии друг от друга.
Рассмотрим математическую модель поведения точечного дефекта в
кристаллической структуре твердого тела, предложенную Я.И. Френкелем и
Т.А. Конторовой в 1926 году. Дефекты, рассматриваемые в модели
Френкеля и Конторовой, иногда называются дислокациями, однако заметим, что в
настоящее время под дислокацией понимается более сложное
несовершенство кристаллической структуры, чем любой из точечных дефектов [92].
Предположим, что атомы в кристаллической структуре движутся по
прямой вдоль оси х, направленной перпендикулярно атомным слоям, и,
следовательно, все силы, действующие на них, направлены также вдоль оси х.
Влияние соседних атомных слоев на отдельный атом можно описать
периодическим потенциалом [94]
V(x) = A
!-*«»(¥)
< 1, (1.125)
где х — координата, а — шаг кристаллической решетки, А и Ъ —
постоянные, характеризующие потенциал. Обозначая отклонение n-го атома от
положения равновесия в виде
yn(t) = xn(t) - па, (1.126)
где xn(t) — координата n-го атома, находим, что, на n-й атом со стороны
атомных слоев действует сила
/Ы = -^зш(^). (1.127)

46 ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Возможным случаем дислокации в твердом теле является дырка,
которая перемещается в нем из-за перескока атомов.
Когда в кристаллической структуре дефекта нет, то равновесная
конфигурация в модели соответствует тому, что в каждой впадине
потенциала (1.125) находится один атом. Однако в случае положительной (или
отрицательной) дислокации, когда число частиц меньше (или больше)
первоначального, равновесная конфигурация нарушается и возникает новая, аналог
которой представлен на рис. 1.6.
Рис. 1.6. Возникновение дислокации в модели Френкеля-Конторовой при удалении
одного из атомов в кристаллической структуре.
Соседние атомы, находящиеся в равновесной конфигурации, при
дислокации также взаимодействуют друг с другом. На рис. 1.6 такое
взаимодействие иллюстрируется пружинками. Крестиками на рис. 1.6 изображено
положение атомных слоев.
Аналогом предложенной Френкелем и Конторовой модели
дислокаций является периодическая последовательность ложбинок и горок, которые
представляются на рис 1.6. В равновесной конфигурации во всех
ложбинках лежат шарики, которые соединены пружинками. Если один из шариков
вместе с пружинкой удаляется (или, наоборот, один из шариков вместе с
пружинкой добавляется), то равновесная конфигурация нарушается, и
система, соединенная пружинками, придет в движение. Из-за связи между
собой шарики сместятся и уже не будут находиться строго в ложбинках.
Некоторые из этих шариков могут подняться даже на бугорок.
Уравнение движения n-го атома с учетом потенциала (1.125) и в
предположении, что пружинки действуют на n-й атом с силой,
пропорциональной разности отклонений от положения равновесия, запишется в виде
тУп,и
2тгАЬ
. /27и/п
+ А (Уп+1 _ 2уп + уп_!). (1.128)

1.8. УРАВНЕНИЕ SIN-ГОРДОНА
47
Здесь т — масса частицы, к — коэффициент пропорциональности в силе,
действующей между соседними атомами, h — расстояние между атомами.
Переходя в (1.128) к непрерывно распределенным массам, когда
расстояние между атомами стремится к нулю, а их число стремится к
бесконечности, получаем уравнение
myn,tt = сГ sm( ~дГ ) +к(Уп)хх- (1.129)
Введем обозначения
(далее штрихи опускаем), тогда (1.129) приводится к виду
<Ptt ~ 4>хх + siny> = 0. (1-131)
Это уравнение носит название уравнения sin-Гордона. Название
звучит несколько странно, но оно связано с тем, что при малых значениях tp
уравнение (1.131) переходит в уравнение Клейна - Гордона
<Ptt ~ Vxx + (f = 0.
Подобное укороченное название как раз и породило название sin-
Гордона для уравнения (1.131).
Заметим, что если использовать в уравнении (1.131) замену
переменных
х = £ + т
* = г - f,
то уравнение sin-Гордона примет вид
щТ = sinu. (1.132)
Такая запись уравнения sin-Гордона является также широко
распространенной.
Уравнение (1.131), также как и выше приведенные уравнения Кортеве-
га - де Вриза и нелинейное уравнение Шредингера, широко используются
при описании многих явлений в физике.
Впервые оно появилось в дифференциальной геометрии как точная
модель, описывающая поверхность постоянной отрицательной кривизны.

48 ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Изучению этого вопроса была посвящена работа А. Бэклунда в 1980
году, в которой показано, что первая фундаментальная квадратичная форма
при постоянной отрицательной кривизне преобразуется к уравнению sin-
Гордона [1,98].
Это уравнение используется также при анализе свойств элементарных
частиц и при теоретическом описании эффекта самоиндуцированной
прозрачности. Этот удивительный эффект был открыт в работе Маккола и Хана
в 1965 году при распространении ультракоротких импульсов
электромагнитного излучения в рубиновом стержне [1,71,77,221]. Самоиндуцированная
прозрачность возникает при взаимодействии электромагнитного излучения
с диэлектриком на частоте, близкой к резонансной. Самый простой случай
реализуется для диэлектрика состоящего из двухуровневых атомов, каждый
из которых имеет основное и возбужденное состояние. Если в начальный
момент атомы находятся в основном состоянии, то под действием
электромагнитного излучения они переходят в возбужденное состояние, поглощая
энергию ультракоротких импульсов и возвращая ее полностью обратно при
вынужденном переходе в исходное состояние [71,221]. При этом,
взаимодействуя с импульсом электромагнитного излучения, атомы вещества
остаются в основном состоянии и суммарной передачи энергии от излучения
к веществу не происходит. Импульс распространяется в среде, которая для
него становится прозрачной, что и послужило поводом назвать этот эффект
самоиндуцированной прозрачностью.
1.9. Простейшие решения уравнения sin-Гордона и
топологический солитон
Будем искать решение уравнения (1.131) в переменных бегущей волны
[90]
и(х, t) = U(0), 0 = х — c$t,
где со — скорость бегущей волны. Уравнение (1.131) в этих переменных
запишется в виде
(cg-l)Efo + sintf = 0. (1.133)
Умножая (1.133) на Uq и интегрируя один раз по в, приходим к
уравнению [90]
(cg-l)E/2 + 4sin2^=2A, (1.134)
где А — постоянная интегрирования.

1.9. ПРОСТЕЙШИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ SIN-ГОРДОНА
Пусть Со>1иО<Л<2, тогда из (1.134) приходим к равенству
.... и
dz _А
49
/
у/(1 - z*) (1 - кЧ) У 2 {cl - 1)
(в-во),
(1.135)
где
к2 =
А'
Выражение слева в (1.135) является эллиптическим интегралом.
Решение уравнения (1.133) в этом случае является периодической и
осциллирующей функцией вблизи U = 0 в интервале
/А Га
Щ < U < 2arcsinWy.
При Cq > 1 и А > 2 решение уравнения
и$ = ±
2-(a-^2i)
(1.136)
дает спиральные волны.
В случае Cq — 1<0и0<Л<2 решение уравнения (1.134) является
периодической волной в интервале
/А Гл
-~ < U < 7Г 4- 2 arcsin \ —.
При Cq < 1 и А < 0, (1.134) приводится к уравнению
СЪ = ±
A(w+a-'S)
(1.137)
имеющему решения также в виде спиральных волн при монотонном
возрастании или убывании U(0).
В предельном случае при А — 0 и с§ < 1 решения уравнения (1.134)
имеют вид
0-0о
tg
(?)
±ехр
\А^
(1.138)
и соответствуют двум уединенным волнам.

50 ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Если в (1.138) взять положительные знаки, то решение плавно
изменяется ОТ V — 0 При в —» —ОО ДО V = 27Г ПрИ 0 —► +00.
При другом предельном случае А = 2 и с\ > 1 решение уравнения
(1.134) выражается формулой
+ fu + A +
0-^о
V~c
1
(1.139)
и описывает ударно-волновой переход, заключенный между — 7г и 7г.
Мы уже обсуждали солитоны, которые являлись решениями
уравнений Кортевега - де Вриза и нелинейного уравнения Шредингера. Однако
не менее популярными, чем перечисленные выше солитоны, является
топологические солитоны, которые выражаются формулами (1.138) и (1.139)
и которые являются решениями уравнения sin-Гордона.
Из (1.138) получаем решение
<р(х, t) = 4arctg
(1.140)
Здесь (fo — произвольная постоянная. Это решение часто называется
кийком, если в нем берется положительный знак. При отрицательном знаке в
(1.140) решение становится антикинком. На рис. 1.7 иллюстрируется
взаимодействие кинка и антикинка.
2тг
О
Рис. 1.7. Взаимодействие топологических солитонов (кинка и антикинка),
описываемых уравнением sin-Гордона.
Кинк и антикинк являются примерами топологических солитонов,
поскольку производная <рх имеет форму уединенной волны.
Уравнение sin-Гордона имеет сохраняющуюся величину
ЕЛ
ОО
2^ J
tpxdx,

1.10. Нелинейное уравнение переноса и уравнение Бюргерса 51
которая равна целым числам и поэтому этот закон сохранения
называется топологическим зарядом решения cp(x,t). В частности, топологический
заряд кинка равен 1, антикинка — 1. Топологические солитоны при
взаимодействии ведут себя как частица и античастица, приводя к состоянию
нулевого заряда.
Эти уединенные волны имеют также свою замечательную историю и
чрезвычайно обширную область применений. Еще в 1880 году А. Бэклунд
показал, что уравнение sin-Гордона имеет специальные преобразования
(теперь они называются преобразованиями Бэклунда), позволяющие
последовательно находить аналитические решения этого уравнения. Аналогичное
уравнение, как было сказано выше, использовали Я.И. Френкель и Т.А. Кон-
торова для описания дислокаций в кристалле.
В 1962 году английские физики Дж. Перринг и Т. Скирма [235]
выполнили численные расчеты распространения уединенных волн,
описываемых уравнением sin-Гордона, с целью проанализировать взаимодействие
элементарных частиц. Согласно их расчетам, выполненным на ЭВМ,
уединенные волны, являющиеся решениями уравнения sin-Гордона, не изменяли
своих свойств после взаимодействия. По существу, Перринг и Скирма
обнаружили солитонные свойства уединенных волн, описываемых уравнением
sin-Гордона. Однако в отличие от Крускала и Забуски, Перринг и Скирма
не ввели понятие солитона.
1.10. Нелинейное уравнение переноса и уравнение
Бюргерса
Одним из самых простых по внешнему виду уравнений является
нелинейное уравнение переноса [83]:
щ + иих=0. (1.141)
Уравнение (1.141) имеет нелинейное слагаемое, аналогичное
уравнению Кортевега - де Вриза.
Решение задачи Коши для уравнения (1.141) в настоящее время
хорошо известно. Оно содержит ряд свойств, не характерных для линейных
процессов [48,83].
Пусть в начальный момент времени для уравнения (1.141) задано
начальное возмущение
и(х,Ь = 0)=ф(х). (1.142)

52 ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Решение уравнения (1.141) с условием (1.142) находится методом
характеристик. Предположим, что решение задачи является гладкой
функцией. Пусть х — (f(t) определяется из уравнения:
4j!j.=u(x,t = 0). (1.143)
Эти линии являются характеристиками уравнения (1.141). Решение
вдоль каждой характеристики может зависеть от £, поэтому получаем
§ = & + §;г = 0- (1Л44)
at at at ox
Вдоль характеристики решение постоянно. В силу (1.143)
характеристики являются прямыми линиями
x = i/;(xo)t + xo. (1.145)
Здесь xq — абсцисса точки, из которой выпускается характеристика;
ф (хо) — коэффициент, характеризующий наклон прямой к оси ординат.
Таким образом, начальное условие (1.142) задает картину характеристик и
значения решения в каждой точке плоскости (ж, t). При монотонном
возрастании функции ф(хо) с ростом хо, угол наклона к оси ординат
увеличивается, и характеристики не пересекаются. Однако для убывающей функции
с ростом хо, характеристики вынуждены пересечься в некоторый момент
времени. Возникает вопрос о выборе однозначного решения в случае
пересечения характеристик. Этот выбор можно сделать, принимая во внимание
закон сохранения для уравнения (1.141). Заметим, что это уравнение можно
представить в виде:
Ж + 2^-°- (1146)
Дифференцируемые решения уравнений (1.141) и (1.146)
удовлетворяют уравнению
<budx-^u2dt = 0. (1-147)
G
Здесь G — произвольный контур лежащий в полуплоскости t > 0.
Пусть L — произвольный участок линии разрыва в контуре, тогда из (1.147)
на этой линии получаем соотношение:
/([«]§ -| [«»])* = 0, (1.148)
L

1.10. НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА
53
где [F] обозначает скачок характеристики F на разрыве
[F] = FP-Fl.
(1.149)
Поскольку L — произвольный участок линии разрыва, то из (1.148)
имеем
К-«*)# = 5 («£-«?)■ (1Л50>
dt 2
Откуда получаем условие на линии разрыва
dx 1 и. i ». \
(1.151)
Линия разрыва является границей, через которую характеристики не
переносят своих значений, и это обстоятельство позволяет сформулировать
обобщенное решение задачи Коши для уравнения (1.141), которое остается
однозначным. Заметим, что для уравнения (1.141) можно записать
бесконечное число законов сохранения, аналогичных (1.147) и может показаться, что
выбор линии разрыва становится также неоднозначным. Однако при выборе
закона сохранения необходимо принимать во внимание сохранение
физических величин. Учет именно такого закона позволяет сделать правильный
выбор.
ф(х)
к
-2-1 0 1 2
Рис. 1.8. Начальное возмущение (1.152) для нелинейного уравнения переноса
(1.141).
Рассмотрим решение уравнения (1.141) с начальным условием (рис. 1.8.)
г4(ж^ = 0)=^(х) = |1(з-х), -1<х<1; (1.152)
1, х^1.

54 ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Поскольку при хо < — 1, имеем
V(*o) = 2, ^=2,
то получаем решение
м(ж,*) = 2, х^2£-1.
Принимая во внимание, что при хо ^ 1,
*(*о) = 1, f = l,
находим решение
u(x,t) = 1, 1 + £ < х.
Для промежуточной области, имеем
^(х0) = |(3-х0), g
J(3-x0).
Откуда получаем
w (х, i)
3-х
2t - 1 ^ х < 1 + t.
2-V
В силу (1.151) линия разрыва определяется уравнением
х = 1,5£, t^ 2, х^З.
Окончательно получаем решение при х ^ 3 в виде
Цх, t) = <
2, х < 2* - 1;
3-х
2t-l<x <t+l;
2-t'
1, x^t + 1.
При х > 3 решение определяется формулой
w (х, t) — <
2, х < -t;
3
1, х > -*.
(1.153)
(1.154)
(1.155)
(1.156)
(1.157)

1.10. НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА
55
Рис. 1.9. Решение задачи Коши, описываемой нелинейным уравнением переноса
при начальном возмущении (1.152).
Полученное решение иллюстрируется на рис. 1.9.
Остановимся на обобщении уравнения (1.141) в виде
щ + аиих — /шхх. (1.158)
Уравнение (1.158) рассматривалось Дж. М. Бюргерсом [113] и носит
название уравнения Бюргерса. Оно относится также к простейшим
уравнениям и учитывает нелинейный перенос и процессы диссипации, поскольку
член с параметром р, отвечает за диссипацию возмущения и(х, t) в среде.
Уравнение (1.158) возникает в газовой динамике, если в уравнении Эйлера
учесть вязкие силы и при описании концентрации вещества в среде, если
скорость переноса линейно зависит от самой концентрации [90]. Полагая
q = 0b (1.158), имеем уравнение диффузии:
Щ=рихх. (1.159)
Методы решения краевых задач и задач Коши для уравнения (1.159)
можно найти во многих книгах по уравнениям математической физики
[5,89]. Особенный интерес к уравнению (1.158) возник в связи с
открытием замечательного факта [126,178], что уравнение (1.158) с помощью
преобразования Коула - Хопфа
и = -2^ (1.160)
приводится к линейному уравнению теплопроводности (уравнение (1.159)
с переменной (p(x,t)). Это обстоятельство позволяет находить
многочисленные решения задач, описываемых уравнением (1.158). Совершая
предельный переход в уравнении (1.158) при р -» 0, приходим к нелинейному

56 ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
уравнению переноса и поэтому обобщенное решение задачи Коши,
описываемой уравнением (1.141), может быть определено, используя задачу Коши
для уравнения (1.158).
При описании различных нелинейных явлений в физике, в механике
и в экологии используется ряд нелинейных уравнений, которые являются
формальным обобщением уравнений (1.141) и (1.158).
Если в уравнении (1.158) учитывается нелинейный источник с
кубической зависимостью от решения, то возникает уравнение:
щ + аиих = /jiUxx 4- /ш + rju2 — Su3, (1.161)
которое используется при описании различных процессов в бистабильной
среде [69,79,84] и носит название уравнения Бюргерса - Хаксли. При а —
= 5 — О из (1.161) приходим к уравнению, которое изучалось А. Н. Колмо-
ровым, И. Г. Петровским и Н. С. Пискуновым в 1937 году применительно
к одной биологической проблеме. Поэтому этот вариант уравнения (1.161)
часто называется уравнением Колмогорова - Петровского - Пискунова [43].
Аналогичное уравнение в том же году рассматривалось Р. А. Фишером,
и в зарубежной литературе оно часто называется уравнением Фишера [148].
Если в уравнении Кортевега - де Вриза принять во внимание дисси-
пативные процессы (вязкость), то получается уравнение, которое, с одной
стороны, обобщает уравнение Бюргерса, а с другой стороны, является
обобщением уравнения Кортевега - де Вриза
щ + аиих + иххх = цихх. (1.162)
В периодической литературе уравнение (1.162) носит название
уравнения Бюргерса - Кортевега - де Вриза [6,10,25,65,74]. Уравнение имеет
некоторый набор частных решений. Однако в общем случае оно не
относится к классу точно решаемых уравнений и не имеет солитонных решений.
Одним из популярных нелинейных уравнений в частных производных,
которое также формально обобщает уравнение Бюргерса и уравнение
Кортевега - де Вриза, является уравнение четвертого порядка:
щ + иих + аихх + /Зиххх + juxxxx = 0. (1.163)
Уравнение (1.163) встречается при описании явлений в теории
горения [247], волн концентрации в химической кинетике [212] и при описании
течения жидкости по наклонной плоскости [251]. Уравнение (1.163) носит
название уравнения Курамото - Сивашинского.

1.11. Модель Хенона - Хейлеса
57
Алгебраическая структура уравнений (1.161), (1.162) и (1.163) (в
отличие от уравнения Кортевега - де Вриза, нелинейного уравнения Шрединге-
ра, уравнения sin-Гордона и уравнения Бюргерса) такова, что эти уравнения
имеют только некоторый (очень небольшой) набор частных решений.
Решения задач Коши для этих уравнений в общем случае не находятся [54,64].
1.11. Модель Хенона - Хейлеса
Модель Хенона и Хейлеса впервые появилась при численном
исследовании движения звезды в среднем поле галактики [169]. Система уравнений,
описывающая это движение, может быть получена при учете
взаимодействия трех одинаковых масс, расположенных в вершинах равностороннего
треугольника [65,76,214].
Рис. 1.10. Взаимодействие трех масс в модели Хенона - Хейлеса.
Пусть имеются три взаимодействующие массы, как показано на
рис. 1.10.
Система уравнений для описания движения каждой из масс имеет вид
X!=F (хг -x3)-F (х2 - хг),
х2 = F (х2 - si) - F (х3 - х2), (1.164)
х3 = F (х3 -x2)-F (xi - х3) ,
где Хг — отклонение от положения равновесия г-й массы (г = 1, 2, 3),

58 ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
F (z) — сила, которая выражается формулой
F(z) = -fc[l -exp (-/?*)]. (1.165)
Гамильтониан системы (1.164) имеет вид
= V EL _L * (P-P(xi+1-Xi) _
*=Ef + S(
г=1
)■
(1.166)
ГДе ПРИНЯТО, ЧТО Х4 = Х\, Pi—Xi.
Из системы уравнений (1.164) следуют законы сохранения импульса и
энергии
3
Y^Pi = cu H = E = c2. (1.167)
г=1
Третий интеграл, имеющий вид
з
Е
г=1
3
сз,
был найден Хеноном.
Из (1.167) следует, что если с\ = 0, то
#3 = - (Si +Ж2).
Полагая
л/3 1
ж = —j"^(xi +ж2), 2/ = ~4^Xl ~X2^'
dx <iy /—тгг-
Рх = dr' Py= dr' T = v P l'
имеем
/3(х3 - rri) = 2 (у + д/Зх) , /3(я?2 - яз) = 2 (у - >/Зх),
^{p2i+P22+Pl) = -^-{pl+P2y) ■
(1.168)
(1.169)
(1.170)

1.11. МОДЕЛЬ ХЕНОНА - ХЕЙЛЕСА 59
Соотношения (1.170) позволяют представить гамильтониан (1.166)
в виде
h^pI+A+ I [exp(22/ + 2v/3*) +
2 24 (1.171)
4- ехр (2г/ - 2^3 х) + ехр (-4г/) - 3] .
Разлагая, вплоть до кубических членов, экспоненты в (1.171) в ряды
Тейлора при малых х иу, получаем гамильтониан Хенона - Хейлеса
Я = \ (pi +р1) + \ (*2 + у2) + х*у - |у3, (1.172)
который приводит к следующей системе уравнений движения:
х = -х (1 + 2у)
(1.173)
У = - (2/ + х2 - ?/2) .
Обычно рассматривают более общий гамильтониан системы Хенона -
Хейлеса
Н = ± (i:2 + </2 + ах2 +(3у2) + Jx2y - ±72/3 (1-174)
и соответствующие ему уравнения Гамильтона:
х = —ах — 25 ху,
(1.175)
2/ = -(Зу + jy2 -5х2.
Система уравнений (1.175) в общем случае не является интегрируемой,
поскольку нет переменных действие-угол, позволяющих найти решение
системы. Однако при определенных соотношениях на параметры а, /?, j и S
решение (1.175) может быть получено в аналитическом виде.
Для системы уравнений (1.173) находится интеграл энергии:
Е = \ {х2 + у2) + \ (х2 + у2) + х2у - ±2/3, (1.176)
который позволяет исключить одну из переменных системы
уравнений (1.173). Хенон и Хейлес провели численное моделирование этой
системы уравнений, принимая во внимание различные значения энергии в
гамильтониане (1.172) и различные начальные условия.

60 ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
При численном моделировании Хенон и Хейлес последовательно
отмечали пересечение фазовой траектории с плоскостью (у, у) для различных
уровней энергии [69]. Они получили, что при малых значениях энергии
точки на плоскости образовывали совокупность замкнутых линий, что
соответствовало движению по поверхности тора с плотной обмоткой. При
этом каждая из замкнутых кривых соответствовала дополнительному
интегралу для системы уравнений Хенона - Хейлеса. При увеличении значений
энергии результаты расчета существенно изменялись. Замкнутые линии уже
больше не возникали, а образовывалось густое множество хаотически
разбросанных точек на плоскости (г/, у).
Расчеты Хенона и Хейлеса показали, что даже сравнительно простые
системы уравнений, при численном моделировании поведения их фазовых
траекторий, демонстрируют сложное поведение и ведут себя как
хаотические системы.
1.12. Система Лоренца
Впервые система Лоренца была получена из уравнений Навье-Стокса
при исследовании тепловой конвекции в подогреваемом снизу плоском слое
жидкости. Ниже предлагается упрощенный вывод этой системы для
описания конвекции жидкости в тороидальной трубе [65,214], расположенной в
вертикальной плоскости и подогреваемой снизу (см. рис. 1.11.)
Рис. 1.11. Схема тороидальной трубы для описания конвекции жидкости,
используемая при выводе системы уравнений Лоренца.
Пусть R — радиус внешнего сечения тора; J — момент инерции
жидкости, находящейся в трубе; р — плотность жидкости, зависящая от темпе-

1.12. СИСТЕМА ЛОРЕНЦА 61
ратуры Т (<£, t) по линейному закону
р = ро-аро(Т-Т0), (1.177)
где а — коэффициент объемного расширения; ро — плотность жидкости при
начальной температуре То.
Уравнение движения жидкости в тороидальной трубе можно записать
в виде
2тг
Jlo — — R2g I psin(fd(f — /со;, (1.178)
о
где uj (<р, t) — скорость движения; (р — угол, отсчитываемый от вертикали;
д — ускорение свободного падения; к — коэффициент трения при движении
жидкости.
Уравнение теплопроводности для движущейся жидкости имеет вид
f = к0-л(т-^)' (1Л79)
_+ш__к._.
где Т{ф) — стационарная температура поверхности трубы, являющаяся
четной функцией от (р; h — коэффициент теплообмена между жидкостью
и стенкой трубы; к — коэффициент теплопроводности.
Раскладывая Т {ф) и Т (<р, t) в ряды Фурье и принимая во внимание
четность функции Т (ip), имеем
оо
Т(<р) =Т0 + ]Гтп cos п<р, (1.180)
n=l
оо
Т (<р, t) = То + а0 (t) + ^2 (ап (t) cos гкр 4- /Зп (t) sin гкр).
п=1
Подставляя (1.180), (1.177) в (1.178) и (1.179) и приравнивая выражения
при одинаковых тригонометрических функциях, получим
J Co = irapogR2/3i — kco,
di - -o;/3i-(/c + /i)ai+/iTi,
(1.151)
/?i =шаг - (к + Л)^1,

62 ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
do = —hao,
ап = -пи/Зп - (п2к + h)an + hTn, (1.182)
/3n = пшап - (п2к + h) /3n.
Система уравнений (1.181) может рассматриваться независимо от
(1.182). Ее можно упростить, если ввести переменные
и nhapogR2 тгародЯ2
~~ г=—7—ГТГ^ь У= к "ь
z = r-!mi#ait T = (K + h)t, *= k
(1.183)
J(n + h)
В результате получаем
^ = -y + rx-zx, (1.184)
ат
где параметр b введен в (1.184) вместо единицы для стандартной записи
системы уравнений Лоренца.
Параметры в системе Лоренца <т, г и Ъ — положительные постоянные,
имеющие вполне определенный физический смысл: а — число Прандтля,
г — нормированное число Рэлея, Ь — геометрический параметр,
соответствующий характерному размеру процесса.
При численном решении системы уравнений (1.184) Э. Лоренц
использовал следующие значения параметров [217]: а = 10, Ъ — 8/3 и г > 27,74,
что соответствовало наблюдениям французского физика Бенара при
изучении явлений в подогреваемой кювете. Решая численно систему уравнений
(1.184) при Ъ = 8/3, г = 28, а Е [1,10], Э. Лоренц обнаружил новый тип
поведения траекторий, притягивающихся в фазовом пространстве к
некоторому множеству, получившему название странного аттрактора, который
позже стал называться аттрактором Лоренца [21,69].
Обсудим некоторые свойства системы Лоренца. Полагая х — у = z —
= 0в (1.184), получаем, что уравнения удовлетворяются, поэтому система
Лоренца — однородна nx = y — z = 0 — стационарная точка.

1.12. СИСТЕМА ЛОРЕНЦА 63
Система уравнений Лоренца допускает замену переменных
(инвариантна относительно преобразования) (х,у,z) —» (—x,—y,z)9 что
доказывается непосредственной проверкой. Следовательно, ее фазовый портрет
симметричен относительно оси z, что упрощает ее численное
исследование.
Система Лоренца является диссипативной, поскольку ее фазовый поток
сжимается. Это следует из соотношений:
дх ду dz дх ду
+ 4- (xy~bz) = -a-b~l< 0.
Попадая в начальный момент времени в сферу, траектории решений
системы уравнений Лоренца остаются в ограниченном фазовом
пространстве [21]. Докажем это утверждение. Пусть в некоторый момент времени
точка находится на поверхности сферы, уравнение которой имеет вид:
х2 + у2 + [z - (сг + г)]2 - К2 (а + г)2 . (1.186)
Эта сфера имеет радиус К (а 4- г) с центром в точке (0,0, а + г).
Дифференцируя обе части уравнения (1.186) по времени, получаем:
хх + уу + (z - а - г) z = 0. (1.187)
Подставляя производные а;,?/и£в(1.187), приходим к уравнению:
ax2+y2 + b(z-Z±A =1б(а + г)2. (1.188)
Уравнение (1.188) является уравнением эллипса с центром в точке:
(о,о, г+г)
Длины полуосей эллипсоида по х и по у вычисляются в соответствии
с формулами:
Ъ(а + г)2 6(о- +г)2
4^ ' 4

64 ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Из уравнения (1.188) следует, что, выбирая К2 по формуле:
K2 = ± + |max(±,l), (1.189)
получим, что эллипсоид остается всегда внутри сферы.
Рассмотрим стационарные точки системы уравнений Лоренца. Они
находятся из решения алгебраической системы уравнений
а(у-х)=0; (1.190)
гх — у — xz = 0; (1.191)
xy-bz = 0. (1.192)
Из (1.190) - (1.192) следует, что точка О = (0,0,0) — стационарная
точка при любых значениях параметров задачи. Пусть х Ф 0, тогда если
у — х, то из (1.191) имеем z = г — 1. Используя уравнение (1.192), находим
х — \/b(r — 1). Получаем вторую стационарную точку в виде:
01 = (у/Ь(г - 1), >Jb{r - l),r - l}. (1.193)
Учитывая симметрию системы уравнений Лоренца, из (1.193) получаем
еще одну стационарную точку:
02 - (-Vb(r-l), -у/Ь(г-1), г - l) . (1.194)
Из приведенных формул следует, что стационарные точки 0\ и 02
системы уравнений Лоренца появляются лишь при г > 1. В случае г < 1
система имеет мнимые стационарные точки 0\ и 02.
Рассмотрим устойчивость стационарных точек системы уравнений
Лоренца. Термин устойчивости обычно используется в широком смысле.
Однако мы будем иметь в виду устойчивость стационарных точек по
Ляпунову [35]. Эта устойчивость устанавливается путем разложения решения
вблизи стационарных точек и поэтому часто называется устойчивостью в
линейном приближении.
Линейная часть системы уравнений Лоренца вблизи точки О = (0,0,0)
имеет вид:
*-<,(,-,). £--»+.«. £--*.

1.12. СИСТЕМА ЛОРЕНЦА 65
Матрица М, составленная из коэффициентов правых частей и
соответствующая линейной части системы уравнений Лоренца вблизи первой
стационарной точки, имеет вид:
/ -а а 0 \
М = г -10 . (1.195)
\ о о -ь)
Собственные значения матрицы М находятся из решения
характеристического уравнения
det (Af - АЕ) = 0. (1.196)
Здесь Е — единичная матрица.
Уравнение (1.196) принимает вид:
(А + Ъ) [А2 + А {а + 1) + а (1 - г)] = 0. (1.197)
Откуда находим корни уравнения:
Ai = -b, А2,з = -£±^ ± \ si {а + I)2- 4а (1 - г). (1.198)
Под корнем второго выражения (1.198) стоит величина
(сг-1)2 + сгг >0. (1.199)
Точка О = (0,0,0) при г < 1 является устойчивым узлом. В случае
г > 1 система Лоренца имеет три стационарных точки, но точка О теряет
устойчивость, превращаясь в седло-узел.
При г — 1 процессы теплопроводности уступают место конвективному
переносу тепла, и в системе возникают ячейки Бенара.
Для исследования устойчивости стационарных точек 0\ и О2 в системе
уравнений Лоренца сделаем замену:
х = ж' + х0, У = у' + Уо, z = z' + zq, (1.200)
где хо, 2/о и zo — координаты стационарных точек 0\ и Ог-
Линейная часть системы Лоренца в этом случае принимает вид
(штрихи у переменных х', уг и z'далее опущены):
^=<т(у-х), (1.201)

66
ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
dy
dr
= (г- z0)x-y-x0z,
dz
dr
y0x 4- x0y - bz.
(1.202)
(1.203)
Матрица М, соответствующая системе уравнений (1.201) - (1.203),
имеет вид:
(-а а 0
r-z0 -1 -хо | . (1.204)
2/о х0 -Ь
Поскольку
х0 = уо = ±у/Ь(г- 1) = со, z0 = г - 1,
то матрицу (1.204) можно записать
М =
(1.205)
Принимая во внимание (1.205), имеем характеристическое уравнение
-а - X а 0
1 -1-А -с0
со с0 -Ъ - А
-0.
Уравнение (1.206) можно представить в виде:
А3 + (а + Ь + 1) А2 + Ь (г + а) А + 2Ъа (г - 1) = 0.
(1.206)
(1.207)
Из уравнения (1.207) определяется тип стационарных точек 0\ и С^.
Анализируя корни уравнения (1.207), находим, что эти стационарные точки
устойчивы при а > Ь + 1 и при 1 < г < г*, где
а((7+6 + 3)
0--6-1 '
При г > г* точки 0\ и Оъ становятся неустойчивыми. В этом случае
характеристическое уравнение (1.207) имеет один действительный
отрицательный корень и два комплексно-сопряженных с положительной
действительной частью.

1.12. СИСТЕМА ЛОРЕНЦА
67
Более детальный анализ режимов, возникающих в системе Лоренца,
проводился с помощью численных методов. Численное исследование
системы Лоренца проводилось многими авторами и в результате установлена
эволюция режимов, описываемых (1.184) в зависимости от различных
значений параметров <т, b и г [69].
В случае 10<r<ri«13,926 система Лоренца имеет три
стационарных точки О, 0\ и О2. При этом точка О представляет собой неустойчивую
точку типа седло - узел, а две другие точки являются устойчивыми.
При п « 13,926 стационарные точки 0\ и О2 остаются устойчивыми,
однако вокруг них образуются две замкнутые петли кривых, исходящих из
точки О.
В случае г\ < г < Г2 ~ 24,06 стационарные точки 0\ и 0<z остаются
устойчивыми, но от каждой из петель рождаются седловые периодические
траектории.
При г2 ~ 24,06 стационарные точки 0\ и О2 продолжают оставаться
устойчивыми, но сепаратрисы, выходящие из точки О, не стремятся к ним.
Возникает множество траекторий, которое при Г2 < г становится
притягивающим.
При г2 < г < гз ~ 24, 74 стационарные точки 0\ и О2 все еще
устойчивые, однако в фазовом пространстве появляется предельное множество,
называемое аттрактором Лоренца. В системе возможны как стационарный,
так и хаотический режимы движения.
Когда г —> гз ~ 24,74, седловые предельные циклы стягиваются к
стационарным точкам 0\ и О2, и они становятся неустойчивыми.
В интервале гз < г < г± — 28 все стационарные точки О, 0\
и Огявляются неустойчивыми. В качестве устойчивого притягивающего
предельного множества (аттрактора) остается лишь аттрактор Лоренца.
В динамической системе, описываемой системой уравнений Лоренца, вне
зависимости от выбранных начальных условий реализуется хаотический
режим движения.
Хаотический режим движения, описываемый системой уравнений
Лоренца, продолжает оставаться для значений г из интервала: г± < г < г$ «
148,4. При Гб < г в фазовом пространстве вместо странного аттрактора
образуется предельный цикл, и движение в системе становится
периодическим.
В работе Д. Рюэля и Ф. Такенса аттрактор Лоренца был назван
странным аттрактором, поскольку он является новым типом стационарного
режима движения, отличным от стационарной точки и предельного цикла.
Этот аттрактор не является двумерной поверхностью. Поверхность, которая

68 ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
проходит через аттрактор, пересекается фазовыми траекториями в точках,
образующих канторово множество [69].
Система уравнений Лоренца была первой системой дифференциальных
уравнений, имеющей физические приложения, в которой было доказано
существование странного аттрактора.
1.13. Задачи и упражнения к главе 1
1) Вывести уравнение для описания распространения возмущений на мелкой
воде, предполагая в (1.33) и (1.34) зависимость:
/ = -„ + £/«+«52/(2).
Сравнить полученное уравнение с уравнением Кортевега - де Вриза (1.43).
2) Показать, что учет поверхностного натяжения при выводе уравнения
Кортевега - де Вриза приводит к уравнению
щ + ^еиих + S2 Ц - Y) иххх = 0, (1.208)
где
£=Ь s2 = v *=■%?> ^
Т — коэффициент поверхностного натяжения.
3) Доказать, что переменные /(1^ и /(2\ используемые при выводе уравнения
Кортевега - де Вриза (1.45), удовлетворяют уравнениям
df^__df^ df^ д£*_
dt ~ дх ' dt дх ' ( -ZW)
Изменятся ли эти соотношения, если использовать соотношение / = — п +
+ e/<l)+j2/(2)?
4) Уравнение Кортевега - де Вриза допускает группу преобразований сдвига по
переменным х и t. Используя этот факт, доказать, что решение этого уравнения
можно искать в переменных бегущей волны.
5) Найти аналитическое решение уравнения (1.66) в переменных бегущей волны
при 7 = 0: £ = а = с = 1. Сравнить полученное решение с решением
уравнения Кортевега - де Вриза.

1.13. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 1
69
6) Вывести уравнение для огибающих волнового пакета из трех волн,
распространение которых описывается уравнением Кортевега - де Вриза. Сравнить
полученное уравнение с нелинейным уравнением Шредингера.
7) Найти решение уравнения Бюргерса
ut + uux={mxx, (1.211)
используя переменные бегущей волны.
8) Решить задачу Коши, описываемую уравнением
ut+uux = 0 (1.212)
при начальных условиях:
П, х^ -1,
u(x,t = 0) = <
I 2, x^l.
|(х + 3), -1<а?<1, О-213)
9) Решить задачу Коши, описываемую нелинейным уравнением переноса при
начальных условиях:
u(x,t = 0) =exp{-(x-a)2}, (1.214)
где а — постоянная.
10) Найти решения в переменных бегущей волны следующих уравнений в частных
производных:
ut — ихх + olqu — 2и3, (1.215)
ut = ихх + аои — 6и2. (1.216)
11) Получить обобщенный гамильтониан Хенона - Хейлеса, раскладывая в (1.171)
экспоненциальные функции в ряд Тейлора при малых х и у, принимая во
внимание многочлены третьей, четвертой и пятой степеней.
12) Используя переменные (1.183) и раскладывая функции Т ((р) и Т(у>, £) в ряды
Фурье, получить систему Лоренца (1.184).
13) Найти зависимости фазовых и групповых скоростей волн, описываемых
уравнениями:
ut+ux+ uxxx - uxx = 0,
Ut + ux — uxxt = 0.

70 ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
14) Найти решение уравнения Бюргерса (1.211), используя автомодельные
переменные
u(x,t) = ±f(0), в=^ (1-218)
15) Двумерным обобщением уравнения Кортевега - де Вриза является уравнение
Кадомцева - Петвиашвили [23,34]
(ut — 6иих 4- иххх)х — Зиуу = 0. (1.219)
Найти решение уравнения (1.219) в виде уединенной волны
u{x,t) = U(£), £=±kx + ly-ut, ш = к2 + ^-. (1.220)
Сравнить полученное решение с уединенной волной, описываемой уравнением
Кортевега - де Вриза.

Глава 2
АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
2.1. Классификация особых точек функций комплексной
переменной
Над вопросом о том, как решать дифференциальные уравнения
размышляли многие математики со времени появления дифференциального и
интегрального исчисления. Еще в начале XIX столетия ученые заметили,
что, как правило, зависимую переменную в уравнении не удается
представить никакой комбинацией известных к тому времени функций. Тогда
же появилась идея попытаться расширить состав имеющихся
математических функций, дополнив их новыми функциями, с помощью которых можно
было бы выразить решения дифференциальных уравнений. Однако на этом
пути исследователи вновь столкнулись с рядом трудностей. Это
обстоятельство привело к идее исследовать решения дифференциальных уравнений,
используя сами уравнения, поскольку известно, что с геометрической
точки зрения их решения представляют собой некоторую линию в фазовом
пространстве — интегральную кривую. И поэтому, используя вид
самого дифференциального уравнения, можно изучить общие свойства таких
интегральных кривых. Такой подход характерен для качественной теории
дифференциальных уравнений.
О. Коши обратил внимание на то, что решения дифференциальных
уравнений удобно рассматривать как функции комплексной переменной.
При этом независимая и зависимая переменные в дифференциальном
уравнении предполагаются комплексными переменными и при исследовании
дифференциального уравнения используются все достижения теории
функций комплексного переменного. Именно с этой точки зрения и ведется
исследование решений в аналитической теории дифференциальных
уравнений.

72 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
Аналитическая теория обыкновенных дифференциальных уравнений
(ОДУ) изучает, как правило, уравнения, которые представляют собой
многочлены относительно зависимой переменной и ее производных с
коэффициентами, являющимися аналитическими функциями. Задачей, которая при
этом ставится, является изучение свойств решений по виду самого
дифференциального уравнения [3,14,15,19,26,98]. Поскольку решение
дифференциального уравнения рассматривается на комплексной плоскости, то
поведение решения и область его существования определяется точками, где
нарушается аналитичность функции.
Для дифференциального уравнения первого порядка
wz=F(w,z), (2.1)
рассматриваемого на комплексной плоскости, предполагается, что w и z —
комплексные переменные, a F — рациональная функция по w и
аналитическая в некоторой области по z. Для уравнения (2.1) в аналитической теории
дифференциальных уравнений ищется решение, принимающее при z = zq
начальное значение г^ — г^о, где zqhwq — два заданных комплексных числа.
Теоремы существования и единственности, которые переносятся на
уравнение от комплексной переменной, определяют его решение внутри
некоторой окружности и задают элемент аналитической функции, и если
он удовлетворяет дифференциальному уравнению, то этому же уравнению
удовлетворяют и аналитические продолжения этого элемента на всю
область. Поэтому аналитическая функция в целом есть также решение того
же дифференциального уравнения.
Определение 2.1. Точки комплексной плоскости, в которых однозначная
функция w (z) не является аналитической, называются особыми.
В теории функций комплексной переменной, как правило,
рассматривают особые точки однозначных функций, однако, решения
дифференциальных уравнений очень часто являются многозначными функциями и
поэтому ниже дается классификация особых точек произвольных
аналитических функций, которая впервые была предложена Пенлеве [14].
Прежде всего, эта классификация основана на числе значений, которые
принимает функция при обходе вокруг особой точки.
Определение 2.2. Особая точка z = zo функции w (z) называется
критической особой точкой, если при обходе этой точки значение функции
w (z) меняется.
В противном случае особая точка zq функции w (z) называется
некритической.

2.1. КЛАССИФИКАЦИЯ ОСОБЫХ ТОЧЕК 73
Пусть п — наименьшее целое число (п > 1), такое, что после п-
кратного обхода точки z = zo значение функции w (z) возвращается к
первоначальному значению. Тогда при введении новой переменной t по
формуле z = zq + tn функция w (t) является однозначной функцией
переменной t. Тогда если вблизи t = 0 имеем разложение
w (t) = ао 4- ait + a2t2 + ..., (2.2)
то w (z) выражается через z в виде
I 1
ги (J) = а0 + аг (z - z0)n + а2 (z - z0)n + ..., (2.3)
и точка zo называется критической алгебраической точкой.
В случае если w (t) представима в виде
. + а-1Г-1+а0 + ..., (2.4)
_2_
+ a_i (z - zq) n + а0 + ... (2.5)
и точка г = zo называется критическим полюсом.
Определение 2.3. Алгебраическими особыми точками функции w(z)
называются критические алгебраические точки, критические полюсы и
простые полюсы.
Примером критической алгебраической особой точки является точка
z = 0 функций y/z. Функция 1/z имеет также особую точку z = 0 в виде
простого полюса, который относится к единственному типу некритических
особых точек алгебраических функций.
Пусть z = zo неалгебраическая особая точка функции w (z) и пусть
Ар — замыкание множества значений функции w(z)9 которое она принимает
в окрестности р > 0 точки zq. Введем следующие определения.
Определение 2.4. Множество EZo = lim Др = П Ар в случае
монотонной зависимости Ар от р (Ар С Ар при 0 < р < р') будем называть
областью неопределенности функции w (z) в особой точке z — zq.
Определение 2.5. Особая точка zq функции w (z) называется
трансцендентной особой точкой, если множество неопределенности EZoсостоит из
одной точки.
w (t) - а-тГт + ..
то для w (z) имеем
_ 771
w (t) = a_w (z - zo)" n + ...

74 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
Определение 2.6. Особая точка zq функции w(z) называется
существенно особой точкой, если множество неопределенности EZo содержит
более одной точки.
Примером трансцендентной особой точки служит точка z — 0 у
функции w = In z, поскольку, подходя к этой точке по любому пути, In z
стремится к бесконечности, и поэтому область неопределенности состоит из одной
точки. Точка z — 0 для функций w — exlz или для w = sin —= является
Vz
примером существенно особой точки.
Предложенная классификация относится не только к изолированным
особым точкам, но и к особым точкам, образующим линии. Примеры
функций, имеющих особые точки на линиях, даются в книге [14].
2.2. Неподвижные и подвижные особые точки
Рассмотренная выше классификация типов особых точек дана без учета
природы функций комплексной переменной. Теперь остановимся на
классификации особых точек решений дифференциальных уравнений на
комплексной плоскости. Немецкий ученый Л. Фукс разделил их по их
отношению к начальным условиям, поскольку одни особые точки решений могут
зависеть от начальных данных, другие — нет.
Определение 2.7. Особые точки решений дифференциальных
уравнений на комплексной плоскости, положение которых не зависит от
начальных данных, определяющих решение, называются неподвижными особыми
точками.
Определение 2.8. Особые точки решений дифференциальных
уравнений, зависящие от начальных данных, называются подвижными особыми
точками.
Рассмотрим пример. Пусть на плоскости с начальной скоростью vo
движется тело при действии силы сопротивления, зависящей от квадрата
скорости. Сила сопротивления направлена против движения и поэтому
дифференциальное уравнение для движущегося тела, в соответствии со вторым
законом Ньютона, имеет вид
vt = —kv2, (2.6)
где к — постоянная. Решением этого уравнения является множество
функций

2.2. НЕПОДВИЖНЫЕ И ПОДВИЖНЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ 75
где с\ — произвольная постоянная. При условии, что v (t = to) — vo, имеем
значение постоянной
приходим к решению
значение постоянной с\ — ^— kto, после подстановки которой в (2.7)
(2.8)
v0k(t-tQ) + l
Особой точкой решения (2.8) является полюс t* — to — (kvo)~ ,
положение которого зависит от начальных данных tonvo. Следовательно, в данной
математической модели мы имеем дело с подвижной особой точкой.
Предполагая в (2.6), что сила сопротивления линейно зависит от
скорости, имеем уравнение
щ = -kv, (2.9)
решение которого с учетом начального условия запишется в виде
v = T^e-fc(*-to). (2.10)
Очевидно, что в этом решении вообще нет особых точек.
Рассмотрим еще несколько примеров.
Пример 1. Уравнение
пугу"-1^! (2.11)
имеет решение
y(z) = (z-c2)n, (2.12)
где С2 — произвольная постоянная. При п—\ решение (2.12) не имеет
особой точки, но в случае п ф 1 оно имеет при z — с^ критическую подвижную
алгебраическую точку. Если в уравнении (2.11) сделать замену z — с = tn, то
оно перейдет в уравнение, имеющее решение с некритическим подвижным
полюсом первого порядка. Таким образом, в ряде случаев с помощью
замены переменных в исходном дифференциальном уравнении можно придти
к уравнению, решения которых не имеют критических подвижных особых
точек.
Пример 2. Уравнение
Vzz+y2z=0 (2.13)
имеет общее решение в виде
y(*) = ln(*-ci)+C2, (2.14)
с критической точкой при z — с\.

76 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
Пример 3. Общее решение уравнения
y2zzy2 - 2yy2zyzz +yj- Ayyl = О (2.15)
выражается формулой
y(z) = c1exv(-—_i— V (2.16)
из которой следует, что при z = С2 решение (2.16) имеет подвижную
существенную особую точку.
Пример 4. Общее решение уравнения
(l+y2)yzz = y2z(2y-l) (2.17)
имеет вид [14]
y = tg(ln(ci* + C2)), (2.18)
для которого точка z = —c\/c2 является критической особой точкой.
Пример 5. Уравнение
2zyyz - 1 (2.19)
имеет решение в виде:
у = у11^!' <2-20>
из которого видно, что оно имеет три особых точки z = 0, z = оо и z = ci.
При этом первые две не зависят от начальных данных (являются
неподвижными) и определяются из вида самого дифференциального уравнения,
а точка z = c\ есть критическая подвижная особая точка.
Приведенные примеры показывают, что особые точки решений
дифференциальных уравнений могут зависеть от начальных условий, причем они
могут быть как критическими, так и некритическими.
2.3. Уравнения, не имеющие решений с критическими
подвижными особыми точками
Положение неподвижных особых точек решений дифференциальных
уравнений непосредственно определяется по виду уравнения, но
определение поведения подвижных особых точек является, как правило, трудной
задачей.

2.3. УРАВНЕНИЯ БЕЗ КРИТИЧЕСКИХ ПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК 77
При анализе нелинейных дифференциальных уравнений, прежде
всего, возникает вопрос о нахождении уравнений, решения которых не имеют
критических подвижных точек, поскольку в этом случае возможна уни-
формизация решений и, следовательно, решения таких
дифференциальных уравнений являются однозначными функциями комплексной
переменной z [3,14,130].
Вначале сформулируем теорему Коши, которую примем без
доказательства.
Теорема 2.1. Если правая часть уравнения
yz=F(y,z) (2.21)
является аналитической функцией в окрестности точек г/о и zq, то
решение дифференциального уравнения (2.21), удовлетворяющее
начальному условию y(z = zo) = уо, является такэюе аналитической функцией в
окрестности точки zq.
Утверждение, аналогичное теореме 2.1, справедливо для нормальной
системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Эта теорема используется при доказательстве следующей важной
теоремы.
Теорема 2.2. Решения линейных уравнений не имеют критических
подвижных особых точек.
Доказательство.
Следуя [14], эту теорему докажем для линейных уравнений второго
порядка, хотя на самом деле она справедлива для ОДУ произвольного
порядка.
Уравнение второго порядка можно представить системой двух
линейных уравнений первого порядка
P(2)2/l+0OO2/2 + /l(z),
(2.22)
Pi (z) 2/i + qi (z) 2/2 + h (z).
Отметим на комплексной плоскости z все особые точки Zi (г =
— 1, ..., п) функций р, pi, q, q±, / и Д. По теореме Коши эти точки
могут быть особыми для решений уравнения, но положение их не зависит
от начальных данных и, следовательно, это неподвижные особые точки.
dyi
dz
dz

78 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
Предположим, что кроме точек z% найдется подвижная точка zq, которая
будет особой точкой решения системы уравнений (2.22). Обозначим за zm
точку, близкую к zq, в которой решение является аналитической функцией,
тогда по теореме существования, решения аналитичны внутри окружности
радиуса ро с центром в точке zm, причем радиус ро определяется до
ближайшей особой точки Zi. Поскольку zm можно взять настолько близкой к го,
что zq окажется в окружности радиуса ро, то zq не может быть особой, что
и доказывает теорему.
Таким образом, решения линейных уравнений вообще не имеют
подвижных особых точек. Это свойство принадлежит не только линейным
уравнениям. Можно привести примеры и нелинейных дифференциальных
уравнений, решения которых не имеют подвижных особых точек.
Например, из теории эллиптических функций известно, что нелинейное
уравнение третьего порядка, которое получено путем исключения р из системы
уравнений
а* - aazz
Р= 2 >
а (2.23)
pi = 4р3 -#2р-#з,
имеет решение лишь с неподвижной особой точкой z = оо.
Решения нелинейных ОДУ, в отличие от линейных, могут иметь как
неподвижные, так и подвижные особые точки.
Применительно к уравнениям первого порядка Пенлеве доказал
замечательную теорему.
Теорема 2.3. Уравнения первого порядка, алгебраические
относительно неизвестной функции и ее производной, не имеют трансцендентных и
существенно особых точек в решениях.
Доказательство этой теоремы можно найти в книге [14].
Решения нелинейных дифференциальных уравнений, приведенных
в п. 2.3, имеют трансцендентные и существенно особые подвижные точки.
Однако это были примеры уравнений второго порядка. Можно предложить
примеры и уравнений первого порядка, имеющих решения подобного типа.
Например, общее решение уравнения [14]
Vz = e~y (2.24)
выражается формулой
y = ln(*-ci), (2.25)

2.3. УРАВНЕНИЯ БЕЗ КРИТИЧЕСКИХ ПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК 79
из которой видно, что при z — с\ решение имеет критическую подвижную
трансцендентную особую точку. Однако правая часть уравнения (2.24) не
является алгебраической функцией относительно переменной у.
Остановимся на уравнениях первого порядка с решениями, не
имеющими критических подвижных особых точек. Рассмотрим уравнение вида:
dw _ P(™,z) п ?,.
dz " Q(w,zY l }
где Р и Q — многочлены относительно переменной w.
Решения уравнений (2.26), в силу теоремы Пенлеве, могут иметь
только подвижные алгебраические особые точки, и поэтому задача сводится к
нахождению уравнений, решения которых не имеют критических
подвижных алгебраических точек и критических подвижных полюсов.
Полагая, что Q содержит w, получаем, что решение уравнения (2.26)
имеет подвижную алгебраическую точку wq, поскольку взяв zq, так
чтобы Q(w, zq) = 0, P(w, zq) ф 0, можно найти wq из уравнения:
Q(w0, Zq) = 0.
Если Q не зависит от w9 то уравнение (2.26) можно представить в виде
g - а0 (z) wn + аг (z) wn~x + ... + ап (z). (2.27)
Решения этого уравнения не имеют критических подвижных
алгебраических точек. Однако оно может иметь решения с критическими
подвижными полюсами. Найдем условия, при которых уравнение (2.27) не имеет
таких решений.
Сделав в (2.27) замену w = w^1, получаем уравнение
^ - - (а0 (z) + аг (z) w + ... + ап (z) <) w\~n, (2.28)
из которого следует, что w\ при п > 2 входит в знаменатель и
поэтому решение (2.28) имеет критические подвижные алгебраические точки,
в которых w\ — 0. Следовательно, для отсутствия критических полюсов в
решении уравнения (2.28) требуется, чтобы п ^ 2. Мы приходим к теореме,
доказанной Л. Фуксом в 1884 году.
Теорема 2.4. Среди всех уравнений первого порядки вида (2.26), только
уравнение Риккати
wz = a0 (z) w2 + аг (z) w + a2 (z) (2.29)
не имеет решений с подвижными критическими точками.

80 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
Доказательство.
При ао (z) = 0 уравнение (2.29) становится линейным. В случае
а0 (z) Ф 0 решение уравнения (2.29) имеет подвижные полюса первого
порядка.
Уравнение (2.29) можно упростить. Введем новую функцию W (z) по
формуле
w = ip (z) W + Ф (z),
тогда из (2.29) при
Ч> = Ц, (2.30)
ao,z + aiOQ
2ak
* = ^г— (2.31)
имеем уравнение Риккати в виде
Wz = -W2-q(z), (2.32)
где
q (z) = -a0Vz + а^Ф2 + а0а2Ф + a0a2. (2.33)
Уравнение (2.32) заменой
может быть приведено к линейному дифференциальному уравнению
второго порядка
wxx + q(z) ш = 0. (2.34)
Поскольку q(z) выражается через коэффициенты ао, ai и а2
уравнения (2.29), то особые точки уравнения ш (z) определяются неподвижными
особыми точками функций ао, а\ и а2.
В 1884 г. Л. Фукс и А. Пуанкаре предложили искать нелинейные
обыкновенные дифференциальные уравнения, решения которых, во-первых, не
имеют критических подвижных особых точек и, следовательно, являются
однозначными функциями, и, во-вторых, не выражаются через ранее
известные функции. Фактически Фукс и Пуанкаре сформулировали проблему
нахождения новых функций, определяемых решениями нелинейных
дифференциальных уравнений. Они рассмотрели нелинейные ОДУ первого
порядка с решениями, не имеющими критических подвижных особых точек,

2.3. УРАВНЕНИЯ БЕЗ КРИТИЧЕСКИХ ПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК 81
но среди решений таких уравнений не нашли новых функций.
Действительно, среди всех нелинейных уравнений вида
yz=F(y,z), (2.35)
где F — рациональная функция от у и аналитическая по z9 есть лишь
одно уравнение Риккати (2.29) с решениями, не имеющими критических
подвижных особых точек. Однако, это уравнение преобразуется к линейному
уравнению (2.34) и, следовательно, не приводит к новым функциям.
Когда степень производной в дифференциальном уравнении больше
единицы, то как было показано в работах Брио и Буке, в решениях
уравнений первого порядка появляется эллиптическая функция Вейерштрасса.
Канонические уравнения первого порядка с биномиальными правыми
частями и с решениями, не имеющими критических подвижных особых
точек, имеют вид [130]:
^(у-аГ^у-Ь)"-1, п>2, У Ь
у-а
-2
~п- (* ~ zo)
; (2.36)
у\ = (у-аУ(у-Ъ)(у-с), j^ = A ch-^ [В (z - z0)} + С; (2.37)
V2z=(y- а) (У ~Ь)(у- с) (y-d), j^ = A p(z - zq, д2, 5з) + В;
(2.38)
У\ = [(У -а) (У- Ь) (У - с)}2 , ^_ = А р1 (z - z0, 0, д3) + В; (2.39)
yi = {y-af{y-bf{y-c)\ _L_-_L_=J4p2(2-2o, 92, 0);
(2.40)
yl = {y- а)5 (у - б)4 (у-cf, -L-=Ap3{z~ zo, 0, д3) + В. (2.41)
В уравнениях и решениях (2.36)-(2.41) а, 6, с и d — комплексные числа;
Д В, С, #2 и дз — постоянные, которые являются выражениями от а, 6, с
и d. Уравнения (2.36) - (2.41) с решениями, не имеющими критических
подвижных особых точек, относятся к уравнениям вида Р (yz, у) = 0,
которые впервые изучались Брио и Буке, и поэтому они часто называются
уравнениями Брио и Буке [14,19].

82 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
2.4. Задача Ковалевской о волчке
Задача о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной
точки (задача о волчке) является одной из самых замечательных задач
теоретической механики, поскольку волчок является основной деталью многих
приборов и механизмов в технике [7-9,15,40-42].
В 50-х годах XVIII столетия Л. Эйлер вывел уравнения движения
волчка, которые теперь носят его имя, и нашел простейший случай, для которого
задача может быть решена в аналитическом виде. Эйлер рассмотрел случай,
при котором центр тяжести твердого тела совпадает с точкой опоры. Спустя
несколько десятилетий Пуансо предложил геометрическое толкование этого
случая, а К. Якоби нашел аналитические решения, полученные с помощью
разработанной им теории эллиптических функций.
В 1788 г. Ж.Л. Лагранж установил еще один случай (более сложный,
чем у Эйлера, поскольку центр тяжести твердого тела расположен выше
точки опоры), для которого решение задачи о волчке находится также в
аналитическом виде.
Таким образом, в трудах выдающихся ученых Эйлера и Лагранжа
были заложены основы теории движения твердого тела около неподвижной
точки. Многие ученые XIX столетия пытались продвинуться дальше в
решении задачи о волчке. Однако все попытки получить новые решения не
имели успеха на протяжении почти ста лет. «Математическая русалка» (по
выражению СВ. Ковалевской) оказалась очень трудной задачей.
Система уравнений Эйлера для описания вращения твердого тела в
поле сил тяжести состоит из шести уравнений, которые имеют вид [7,15,
- 2/07 - *Ф,
- Zqcx - £о7,
- х0(3 - у0а,
(2.42)
га,
р/3
Aft=(B-C)qr,
B% = iC-A)rp +
Cft=(A-B)Pq,
da
dt '
d/3
dt ~
d^y
= rp-
= P7-
dt
qa —

2.4. ЗАДАЧА КОВАЛЕВСКОЙ О ВОЛЧКЕ
83
В этой системе переменныеp,qnr являются составляющими вектора
угловой скорости тела; а, /5 и 7 — направляющие косинусы неподвижной
оси относительно трех подвижных осей х, у и z; А, В и С — положительные
постоянные, равные моментам инерции деленным на вес твердого тела;
хо, 2/о и z° ~~ коорДинаты центра тяжести тела.
Решение задачи о вращении твердого тела вокруг оси сводится к
решению системы уравнений (2.42) при начальных условиях р (t = to) = ро,
q(t = t0) = qo, r(t = to) = r0, a(t = t0) = c*0, P(t = t0) = Аь 7 (* = *o) =
= 70 и при заданных значениях параметров А, В, С, хо, г/о и zo.
Система уравнений (2.42) имеет три первых интеграла, получаемых из
механических и геометрических соображений
Ар2 + Bq2 + Ст2 - 2 (я0а + 2/о/5 + zo7) - Ci, (2.43)
Ара + £<?/? + Сп = С2, (2.44)
а2+/?2 + 72 = 1- (2.45)
Для решения системы из шести уравнений в общем случае
необходимо найти шесть первых интервалов. Однако система уравнений (2.42)
является автономной и ее можно свести к пяти уравнениям. Кроме того,
для зависимых переменных выполняется соотношение
A. (dE-\+-d_ ^Vi fdA _д_ (da\+_d. W,l (*A = n
dp \dt) dq \dt) dr \dt) da \dt) dp \dt) fry \dt) '
(2.46)
которое позволяет при известных четырех первых интегралах найти еще
один первый интеграл путем решения некоторого уравнения в полных
дифференциалах. Таким образом, для решения системы уравнений (2.42)
достаточно найти дополнительный к (2.43)-(2.45) первый интеграл.
Поскольку математики неоднократно возвращались к решению задачи
о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки, то Парижская
академия наук учредила специальную премию Бордена, которую предполагалось
выдать за существенное продвижение в решении задачи о волчке. В 1888
году на премию Бордена была представлена работа, которая вызвала восторг
членов конкурсной комиссии, единодушно решившей выдать автору
работы премию, увеличенную с трех до пяти тысяч франков. Автором этого
замечательного исследования была СВ. Ковалевская.
При решении задачи о волчке Ковалевская впервые использовала идеи
теории функций комплексной переменной и сформулировала
оригинальную постановку задачи, характерную для аналитической теории
дифференциальных уравнений. Ковалевская заметила, что во всех известных до нее

84 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
случаях (Эйлера и Лагранжа) решения задачи о движении твердого тела
около неподвижной точки представляют собой однозначные функции, ме-
роморфные на всей комплексной плоскости переменной t. Поэтому она
поставила следующую задачу: найти все случаи, когда решения уравнений
движения твердого тела вокруг неподвижной точки представляют собой
однозначные, мероморфные функции на всей плоскости переменной t.
Реализация этой идеи привела Ковалевскую к замечательному
результату. Оказалось, что решения задачи о вращении твердого тела являются
мероморфными функциями от переменной t лишь при четырех следующих
ограничениях на параметры:
1) *0 = 2/o = 2o = 0, (2.47)
когда дополнительный (четвертый) первый интеграл имеет вид
V + BV + C2r2 = C4;
2) х0 = уо = 0, А = В, (2.48)
при дополнительном первом интеграле в виде: г = С4;
3) А = В = С, (2.49)
когда дополнительный интеграл равен:
хоР + УоЯ + zqt = С4;
4) z0 = О, А = В = 2С, (2.50)
при дополнительном первом интеграле в виде
(р2-*2-^)2+(2^-^)2 = С4.
Решение задачи о волчке в первом и втором случаях было получено
в работах Эйлера и Лагранжа. Условия (2.49) соответствуют кинетической
симметрии, при которой эллипсоид инерции вырождается в сферу и
является частным случаем (2.48). Четвертый случай (2.50) ранее был не известен
и оказался новым. Таким образом, рассматривая систему уравнений (2.42)
как дифференциальные уравнения на комплексной плоскости, Ковалевской
удалось найти совершенно новый случай аналитического решения задачи о
движении твердого тела вокруг неподвижной точки.

2.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СВОЙСТВА ПЕНЛЕВЕ
85
Исследуя задачу о волчке, Ковалевская искала решения системы
уравнений (2.42), не имеющие критических подвижных особых точек, но
допускала существование простых (не критических) полюсов. Приведенные
выше четыре условия на параметры задачи, как раз и соответствуют тому,
что решения задачи не имеют критических подвижных особых точек.
Решение задачи о вращении твердого тела для этих случаев удалось определить
через известные функции.
2.5. Определение свойства Пенлеве и уравнения Пенлеве
Из работы Ковалевской следует, что отсутствие критических
подвижных точек в решениях задачи о вращении твердого тела позволило ей
построить решения в аналитическом виде. Открытие этого факта вдохновило
многих исследователей на изучение нелинейных обыкновенных
дифференциальных уравнений. В 1887 г. Пикар предложил исследовать класс
уравнений второго порядка
Vzz =R(yz, У, z), (2.51)
где R — рациональная функция от yz и у и аналитическая функция от z
и найти среди (2.51) уравнения с решениями не имеющими критических
подвижных особых точек.
Реализация этой идеи принадлежит П. Пенлеве и его ученикам [232-
234]. Пенлеве по существу решал две задачи. Первая задача заключалась
в нахождении всех канонических уравнений второго порядка вида (2.51) с
решениями, не имеющими критических подвижных особых точек. Вторая
задача состояла в том, чтобы среди полученных уравнений найти такие,
решения которых определяют новые, ранее не изученные функции.
Для решения этих задач Пенлеве разработал принципиально новый
метод, существенно отличающийся от методов Фукса и Ковалевской,
позволяющий находить необходимые условия отсутствия критических подвижных
особых точек в решениях уравнений.
В результате многолетних исследований школе Пенлеве удалось
найти 50 канонических уравнений вида (2.51) с решениями, не имеющими
критических подвижных особых точек. При этом решения 44-х уравнений
из этих 50-ти выражались через известные функции (элементарные и
эллиптические), а решения шести уравнений определяли новые специальные
функции, которые теперь называются трансцендентами Пенлеве.
Определение 2.9. Уравнения, решения которых определяют трансцен-
денты Пенлеве, называются уравнениями Пенлеве.

86 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
Они имеют вид [1,2,14,19,78,98,130,181]:
(Pi) Vzz=6y2 + z,
(Р2) Vzz = 2у3 + zy + a,
(2.52)
(2.53)
/ р ч , Vz Vz , ау2 + Р о s
(Рз) y** = y--j- + i +72/ + </,
(Pa) ^ = | + |y3 + 4V + 2(z2-a)2/+/3
2/'
(2.54)
(2.55)
(ft) 2/,
1
2y y-l
2 2/* , (2/-1)
*2 z
+
«2/
+ 5
y(y + i)
2/-1 '
/3
+ 7f +
(2.56)
(Pe) Vz
У У-1 У
+
2 - 1 2/~ %
+
2/(2/-l)(2/-z)
z2(z-l)2
a + p— +7- — + <>■
Г (у-1)' (у-*Г
(2.57)
Пять уравнений Пенлеве зависят от комплексных параметров а, /?, 7
и 5, при этом третье уравнение Пенлеве (Рз) зависит лишь от двух
произвольных комплексных параметров а и /?, поскольку для 7 и 5 есть
ограничение: 7 (7 — 1) — 0 и 5 (5 — 1) = 0. Для пятого уравнения Пенлеве (Рз)
имеется аналогичное ограничение: 5 (5 — 1) = 0.
В действительности, самому Пенлеве принадлежит открытие лишь
трех первых уравнений (Pi, P2, Рз), а остальные три уравнения (Р*, Рз, Рб)
нашел его ученик Гамбье [130].
Если допустить, что зависимость R от у в (2.51) является
алгебраической, то список уравнений с решениями, не имеющими критических
подвижных особых точек, расширяется до 53-х, но количество уравнений,
определяющих новые функции, при этом не увеличивается. Список этих
53-х уравнений второго порядка можно найти в книге [3].

2.6. ВТОРОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕНЛЕВЕ
87
Из работ Пенлеве и его учеников по классификации уравнений
второго порядка (2.51) следует, что отсутствие критических подвижных точек
в решениях уравнений является признаком существования решений. При
этом оказалось, что решения уравнений Пенлеве (2.52)-(2.57) не
являются классическими функциями в общепринятом смысле, поскольку, как мы
увидим ниже, они являются существенно трансцендентными функциями
относительно постоянных интегрирования.
Из сказанного следует, что отсутствие критических подвижных особых
точек является очень важным свойством дифференциального уравнения.
Дадим определение.
Определение 2.10. Будем говорить, что обыкновенное
дифференциальное уравнение обладает свойством Пенлеве, если общее решение этого
уравнения не имеет критических подвижных особых точек.
Определение 2.11. Дифференциальные уравнения, имеющие свойство
Пенлеве, называются уравнениями типа Пенлеве.
Одной из главных задач аналитической теории дифференциальных
уравнений является анализ исходного дифференциального уравнения на
свойство Пенлеве. Если исследуемое дифференциальное уравнение имеет
свойство Пенлеве, то можно надеяться найти решение этого
дифференциального уравнения [139,140,187,188]. Если такого свойства нет, то
проводимый анализ может подсказать замену (как мы увидим далее), с помощью
которой уравнение может быть приведено к уравнению, имеющему
свойство Пенлеве. Но если свойства Пенлеве нет, и соответствующая замена,
с помощью которой исходное дифференциальное уравнение приводится к
уравнению типа Пенлеве, не находится, то решение исходного
дифференциального уравнения в аналитическом виде едва ли может быть найдено.
2.6. Второе уравнение Пенлеве для описания
электрического поля в полупроводниковом диоде
Впервые уравнения (2.52)-(2.57) были получены Пенлеве и его
учениками при классификации нелинейных обыкновенных дифференциальных
уравнений второго порядка, как уравнения, не имеющие решений с
критическими подвижными особыми точками. Однако в последние годы эти
уравнения появились при описании многих явлений в физике.
Среди первых моделей, где возникло уравнение Пенлеве (Р3), была
двумерная модель Изинга для корреляционной функции спинов в
статистической физике, предложенная Барухом, Маккоем и By [130]. Второй,

88 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
довольно обширной областью применения трансцендент Пенлеве,
являются частные решения многих нелинейных математических моделей,
поскольку используя автомодельные переменные из целого ряда точно
решаемых уравнений в частных производных (уравнения Кортевега - де Ври-
за, sin-Гордона, Буссинеска и др.) можно прийти к уравнениям
Пенлеве [1,2,20,78,108,213,227]. Уравнения Пенлеве встречаются также при
описании явлений в квантовой гравитации [110,166], в плазме [107], общей
теории относительности [98], нелинейной оптике [78] и т.д.
Покажем, как возникает второе уравнение Пенлеве при описании
электрического поля в полупроводниковом диоде [209].
Известно, что динамика электронов и дырок в полупроводниковом
диоде описывается следующей системой феноменологических уравнений:
п-р=к2^, (2.58)
где пир — концентрации электронов и дырок в полупроводниковом диоде
соответственно, ср — потенциал электрического поля, к — постоянная Больц-
мана, In = —jn/l^n (jn — плотность тока электронов, /лп — подвижность
электронов), 1Р = —jp/'цр (jp — плотность тока, создаваемого дырками,
lip — подвижность дырок).
Для полного описания концентрации электронов и дырок в
полупроводнике к (2.58)-(2.60) следует добавить два уравнения сохранения
концентрации электронов и дырок в диоде, имеющих вид
$В +£_,_„,(„,„, (2.6,)
«g + |fe _,_„,<„,„. (2.62,
Здесь д — скорость фотогенерации электронно-дырочных пар в диоде;
Ri (n, р) и jR2 (п,р) — соответствующие скорости рекомбинаций. При
написании системы уравнений (2.58)-(2.62) использованы безразмерные
переменные, которые общеприняты при численном решении соответствующих
задач.

2.6. ВТОРОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕНЛЕВЕ 89
Проблема численного моделирования полупроводникового диода
связана с малым параметром к. В частности, для кремниевого диода типичных
размеров параметр к имеет величину ~ Ю-3 -f-10~8.
Предположим, что токи электронов и дырок зависят лишь от £, что
характерно для коротких диодов, нопир зависят от х и t.
Вычитая (2.60) из уравнения (2.59) и учитывая (2.58), имеем
к2ё-{п+р)^ = 1п~1р- (2-63)
Обозначая
из (2.63) получим
п+р=±(1п-1р + к2Ехх) , Ехх = ^. (2.64)
Из (2.58) и (2.64) находим
_1_
2Е
п = ^= (к2Ехх + 1п - 1Р) - \к2Ех, (2.65)
Р = 2Ё ^Ехх + In~ Ip) + ¥*Ех' (2*66)
Подставляя (2.65) в (2.59), получаем уравнение
дх
— (к Ехх 4- 1п — 1Р)
- (1п 4- /р) - к2ЕЕх = 0, (2.67)
Е
которое после интегрирования по х запишется в виде
к2Ехх - ±к2Е3 - (In + Ip) xE + In-Ip = 2Cl£, (2.68)
где с\ — постоянная интегрирования, которую можно положить равной
нулю.
Используя переменные в (2.68)
_i 1

90 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
получаем второе уравнение Пенлеве
yzz = 2уг + zy + a. (2.70)
Система уравнений (2.58) - (2.60) может быть использована для
построения асимптотического решения уравнения (2.70) при \z\ —> ос. Полагая
Р = Ро 4- к2рг 4- кАр2 + ...,
п = п0 4- к2щ 4- к4п2 4- ..., (2.71)
Е = £о + № + № + • • •,
имеем после приравнивания выражений при одинаковых степенях к:
при к°\
Ро - п0 = 0, п0ж 4- n0E0 = In, Pox - PoEq = Ip\ (2.72)
при к2\
Pi - п\ = Е0х, п1х 4- пгЕо 4- n0£i = 0, р^ - piE0 - po^i = 0; (2.73)
при к4:
Р2 - п2 = Е1х, п2х 4- п2Е0 + п1Е1+ п0Е2 = 0,
Р2х - Р2Е0 - ргЕг - р0Е2 = 0.
Из (2.72) находим
1(Т ^тл „ 2(1п-1р)
гсо = ро = о Un + /р)ж, £0 = /Г , г ч -
(2.74)
(2.75)
Учитывая (2.73) и (2.74), имеем
2Е0жж — i£0 2£?1ЖЖ 4- Е2Ег /0 т/:\
2(п04-ро) 2(п04-ро)
Используя переменные (2.69) и формулу (2.71) для Е, находим
асимптотическое решение второго уравнения Пенлеве в виде [19]:
п 2а (а2 - 1) 4а (а2 - 1) (а2 4-10)
У ~ "I + ^1 " + " -Г : + •'' (2Л7)
Таким образом, система уравнений (2.58)-(2.60) не только
эквивалентна второму уравнению Пенлеве, но и может быть использована при
построении асимптотического решения этого уравнения при z —► оо.

2.7. АЛГОРИТМ КОВАЛЕВСКОЙ
91
2.7. Алгоритм Ковалевской анализа дифференциальных
уравнений
При исследовании задачи о волчке Ковалевская искала решение задачи,
не только не имеющее критических подвижных особых точек, но
предполагала, что решения исходной задачи имеют простые полюса.
Рассмотрим алгоритм, использованный Ковалевской, на примере
исследования одного дифференциального уравнения. Пусть имеем
нелинейное ОДУ n-го порядка
Уп = F(y, 2/1, • • • , 2/n-i, z). (2.78)
Здесь введены обозначения
_ dy _ dn~1y _ dny
2/1 = ^,..., г/п-1 = -^л, 2/п = ^г-
Пусть zq — произвольная особая точка решения дифференциального
уравнения (2.78). Следуя Ковалевской, предположим, что решение
уравнения (2.78) имеет лишь простые полюса, поэтому его можно представить
вблизи zq посредством ряда Лорана [99,100]
оо
У = Х>; (* - *о)''р. (2.79)
3=0
Естественно, что гипотеза о представлении решения уравнения (2.78)
в виде (2.79) требует обоснования, которое заключается в том, что
разложение (2.79) будет иметь место, если в нем найдется п произвольных
постоянных (констант интегрирования) уравнения (2.78). Поскольку одной
из постоянных служит zq, то остальные п — 1 констант должны входить
в коэффициенты aj. Если число этих постоянных в решении (2.79) будет
меньше, чем порядок уравнения, то предположение о существовании
решения в виде (2.79) не верно и решение исходного уравнения содержит не
только простые полюса.
Алгоритм Ковалевской был улучшен в работе М. Абловица, А. Рамани
и X. Сигура [99,100]. Они предложили следующую процедуру.
Первый шаг. Определение наименьшей степени в (2.79). С этой целью
в ведущие члены исходного уравнения (2.78) подставляется выражение
У=р> € = z-zq. (2.80)

92 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
Определение 2.12. Ведущими членами в уравнении (2.78) является уп и
одно слагаемое (или несколько слагаемых) в правой части (2.78), которые
дают наименьшую степень £.
Например, в уравнении второго порядка
yzx=y2 + Ay + B (2.81)
ведущими членами являются yzz и у2.
Подставляя (2.80) в ведущие члены уравнения (2.78) и приравнивая
выражения при наименьших степенях £, можно определить пары значений
(р, ао). Их может быть несколько. В этом случае они соответствуют
различным семействам решений уравнения (2.78). Например, подставляя (2.80)
в ведущие члены уравнения (2.81), находим, что
р(р-\-1)а0 _ а%_
откуда р = 2, ао — 2. Имеем одно семейство решений.
Для того чтобы решение уравнения (2.78) не имело критических
подвижных алгебраических особых точек, значение р на этом шаге должно
быть целым. В случае дробного или мнимого р, исходное уравнение не
имеет свойства Пенлеве. Однако значение р может подсказать замену в
исходном дифференциальном уравнении, с помощью которой можно перейти
к уравнению типа Пенлеве.
Например, если подставить (2.80) в дифференциальное уравнение
Уг = ~\у* + Ау, (2.82)
то получим, что (р, ао) = (^, ±1), откуда следует, что уравнение (2.82)
не имеет свойства Пенлеве. Однако, сделав замену у — 1/y/v в уравнении
(2.82), получаем линейное уравнение
vz = l- 2Av, (2.83)
имеющее свойство Пенлеве.
Если все полученные на первом шаге значения р целые, то анализ
дифференциального уравнения может быть продолжен.
Второй шаг. Определение индексов Фукса для каждой пары значений

2.7. АЛГОРИТМ КОВАЛЕВСКОЙ
93
Определение 2.13. Индексами Фукса называются номера jr (г = 1, ...,
п — 1) коэффициентов a,j в разложении решения (2.79), при которых
коэффициенты clj не определяются.
Индексы Фукса (иногда называемые резонансами) определяются при
подстановке выражения
У = Р+0С-р, Z = z-zQ (2.84)
в ведущие члены уравнения (2.78).
Здесь /3 один из коэффициентов разложения (2.79), который не
определяется в результате подстановки (2.79) в исходное уравнение (2.78).
Подставив (2.84) в ведущие члены уравнения (2.78) и приравняв выражения с
первой степенью /3 нулю, получим соотношение
Q (г)/?•£* = О, q^-p + r-n, (2.85)
где Q (г) — многочлен.
Корни уравнения
Q (г) = 0, (2.86)
соответствующие /3^0, определяют индексы Фукса.
При решении уравнения (2.86) следует иметь в виду, что один из
индексов Фукса всегда равен — 1. Это значение соответствует произвольности
выбора zq. Любые корни при Re г > 0, не равные вещественному целому
числу, указывают на критические подвижные особые точки вблизи z — zq.
В этом случае необходимости в проведении дальнейшего анализа нет,
поскольку уравнение не имеет свойства Пенлеве.
Многочлен Q (г) должен иметь п — 1 неотрицательных целых корней,
поскольку общее решение ОДУ n-го порядка при разложении вблизи
подвижного полюса должно иметь п произвольных постоянных. В случае,
если хотя бы для одной пары (р, ао) положительных целых корней
меньше п — 1, локального общего решения вида (2.79) уравнения (2.78) нет и
для анализа дифференциального уравнения на свойство Пенлеве следует
проводить дополнительное исследование.
Корни уравнения (2.86) для индексов Фукса таких, что Re г < 0
(кроме —1) указывают на то, что решение уравнения (2.78) в виде (2.79)
непредставимо, и описываемый метод для анализа данной ветви решения не
применим. Для ответа на вопрос о свойстве Пенлеве уравнения (2.78) в этом
случае также требуется дополнительное исследование.

94 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
Если все корни уравнения (2.86) кроме —1 (и возможно 0)
положительные и целые числа для каждой пары значений (р, ао), то в решении
уравнения (2.78) критических подвижных алгебраических особых точек нет, но
возможны критические подвижные особые точки логарифмического типа.
Третий шаг. Определение постоянных интегрирования в решении
дифференциального уравнения (2.78).
Предположим, что г* (г = 1, ..., s; г\ < г 2 < ... < rs) —
положительные целые корни уравнения (2.86) для каждой пары (р, ао), где
s < п — 1.
Подставляя
У = Х>^~Р> £ = *-*ь s = 1, ..., п - 1 (2.87)
в дифференциальное уравнение (2.78) и приравнивая последовательно
выражения при одинаковых степенях £ нулю, получаем соотношение при j —
= 1,2, ...,гв
Q (Л аз = Щ(*ъ, а, аь ..., a^-i), (2.88)
из которого рекуррентным способом последовательно находятся a j. Однако
Q (?*1) — 0 при j = п в силу (2.86), и коэффициент аГ1 не определяется.
Коэффициент аГ1 в этом случае можно выбрать произвольным, если
Rri (zo, a, ab ... , ari_i) = 0. (2.89)
Если
Rri (z0, ao, ai, ... , ari_i) ^ 0,
то соотношение (2.88) не выполняется и гипотеза о разложении решения
уравнения (2.78) в ряд Лорана (2.79) не верна.
Решение у (z) при этом следует искать в виде
Г1 — 1
y=Y,aj(z- zoY~P + [arx + bri In (z - zo)} (z - z0)ri~p + ... (2.90)
так, чтобы выражение Q(ri)6ri стало равным нулю. Из этого условия
определяется коэффициент ЬГ1 при произвольном выборе аГ1. Однако,
продолжая вычислять коэффициенты разложения, будем вынуждены вводить
логарифмические члены. В результате получим асимптотическое решение
уравнения (2.78), не обладающее свойством Пенлеве.

2.7. АЛГОРИТМ КОВАЛЕВСКОЙ
95
Если соотношение (2.89) выполняется, то коэффициент аГ1 можно
выбрать произвольным. В этом случае, используя формулу (2.87), следует
перейти к вычислению коэффициентов aj при т\ < j ^ Г2, и к исследованию
коэффициента аГ2 при следующем значении индекса Фукса. Если
коэффициент аГ2 можно выбрать произвольным, то можно переходить к
определению коэффициентов в следующем интервале индексов Фукса и т.д. При
этом следует иметь в виду, что если при исследовании коэффициентов с
любым индексом Фукса возникают логарифмические выражения, то
исследуемое дифференциальное уравнение (2.78) не имеет свойства Пенлеве.
Если число произвольных коэффициентов аГз в разложении (2.79)
равно п — 1, то дифференциальное уравнение (2.78) проходит тест на свойство
Пенлеве.
Основные этапы исследования системы дифференциальных уравнений
на свойство Пенлеве незначительно отличаются от описанного алгоритма,
относящегося к одному уравнению.
На первом шаге, как и в случае одного дифференциального уравнения
предполагается, что решение системы имеет вид
Уг = 4°Г*\ £ = z - zo, (г = 1, ..., п), (2.91)
где п — порядок системы уравнений. Подстановка (2.91) в систему
уравнений позволяет найти пары (р^, %'). При этом, если найденные pi не
целые, то как и в случае одного уравнения исследуемая система уравнений
не принадлежит к типу Пенлеве.
На втором шаге в систему дифференциальных уравнений
подставляются выражения
Уг = 4°ГЛ + {**>?-» ,(i = l,...,n), (2.92)
которые приводят к системе алгебраических уравнений для определения
индексов Фукса. В результате приравнивания выражений, линейных по /?W,
нулю, получаем
[Q(r)]/? = 0, (2.93)
где [Q (г)} матрица п х п и /3 — столбец, составленный из компонент /?W.
Индексы Фукса находятся из равенства нулю определителя матрицы [Q (г)}
det [Q (г)} = 0. (2.94)
При этом вследствие произвольности выбора zq один из корней
уравнения (2.94) опять же равен —1.

96 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
На третьем шаге исследования определяются постоянные
интегрирования в разложении решения системы уравнений в ряд Лорана.
Предполагается, что
r(i)
s
Vi = X>Jb° (z - **)*"*' (г = 1, ..., n; s = 1, ..., n - 1), (2.95)
fc=i
где Гв — индексы Фукса. Для того чтобы исследуемая система уравнений
проходила тест на свойство Пенлеве, все коэффициенты af; должны быть
произвольными.
2.8. Локальные представления решений уравнений типа
Пенлеве
Рассмотрим примеры, иллюстрирующие применение метода
Ковалевской для анализа нелинейных дифференциальных уравнений.
Пример 1. Для уравнения Рикатти
Vz = -y2 + q(z) (2.96)
полагая
!/=р, Z = z-z0 (2-97)
и подставляя в первый и второй члены уравнения, имеем (р, ао) = (1, 1).
Поскольку р = 1, то первое необходимое условие теста выполняется.
После подстановки формулы
У = С1+Р-£Г~1 (2.98)
в (2.96) и приравнивания выражений при /3 нулю, находим
/?(r + l)fr~2 = 0. (2.99)
Откуда получаем, что индекс Фукса равен: —1. Поскольку уравнение
первого порядка и zq выбрано произвольным, то необходимое условие для
того, чтобы уравнение (2.96) имело свойство Пенлеве выполняется.
Пример 2. Проанализируем уравнение ангармонического осциллятора
на свойство Пенлеве
Vzz = ~3у2 + Coy - Си (2.100)

2.8. ЛОКАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ 97
где Со и С\ — постоянные. Подставив (2.97) в первый и второй члены
уравнения (2.100) и приравняв выражения при одинаковых степенях £, имеем:
р = 2,ао = —2.
Используя
2/ = -2Г2 + /?г~2, Z = z-z0,
получаем уравнение для индексов Фукса в виде:
г2 - Ъг - 6 = 0.
Откуда
г\ = -1, г2 = 6.
Подставляя
у = -2£~2 4- счГ1 + а2 + а3£ + а4£2 + а5£3 + а6£4 (2.101)
в уравнение (2.100), последовательно находим коэффициенты разложения
решения уравнения (2.100) в ряд Лорана. Они имеют вид: а\ — 0, а2 —
Со n /l2Ci + Cg\ п
= — -^, аз = 0, а± = — ( ™—- 1, а^ = 0, ав — произвольное число.
Таким образом, разложение решения уравнения (2.100) имеет вид:
0, ,-2 Со (l2Ci+C02)/ 2 4
y = -2(z-z0) --g J20 (^-^0) +a6(z-z0) 4-...,
(2.102)
которое содержит две постоянные zo и а^. Следовательно, уравнение (2.100)
проходит тест Пенлеве.
Аналогично рассмотренному примеру может быть проверено первое
уравнение Пенлеве
yzz = Zy2 + z. (2.103)
Уравнение (2.103) имеет те же индексы Фукса, что и уравнение (2.100).
Локальное представление общего решения уравнения (2.103) принимает
вид:
y = 2(z- z0)~2-^(z - zo)2~l(z - z0)3+a6 (z - zq)4+ .... (2.104)
Пример З. Исследуем уравнение [99]
VVzz ~ %2 - 0. (2.105)

98 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
Подставляя (2.97) в уравнение (2.105), имеем р — 0 и р — —1/3.
Исходное уравнение не имеет свойства Пенлеве. Однако, сделав замену
у = <г1/3,
приходим к линейному уравнению для v (z)
vzz = 0, (2.106)
имеющему свойство Пенлеве.
Пример 4. Исследуем уравнение
Vzzzz ~ 27yzzy2 - 27yzy3 + 9у5 = 0. (2.107)
Полагая (2.97) в уравнении (2.107), имеем (р, ао) = (1, 1).
Используя (2.98), имеем уравнение для индексов Фукса
(r + l)(r-l)2(r-9)=0. (2.108)
Асимптотическое решение уравнения имеет вид [99]
у = (z - zo)'1 +сг+с2 {221n(z - z0) + 27 [In (г - г0)]2} + ..., (2.109)
где го, с\ и С2 — произвольные постоянные. Уравнение (2.107) не относится
к уравнениям типа Пенлеве.
Пример 5. Рассмотрим применение метода Ковалевской для уравнения:
yzz-2y3-zmy = 0, (2.110)
где т — целое и больше нуля. Очевидно, что при т = 0 уравнение (2.110)
имеет свойство Пенлеве, поскольку, после умножения на yz и
интегрирования по z9 имеем
у2 = С1+у2 + у4, (2.111)
где с\ — постоянная интегрирования.
Если ввести новую переменную ио — у2, то уравнение (2.111) можно
представить в виде

2.8. ЛОКАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ 99
где а и (3 — корни квадратного уравнения
ci + uj + w1 = 0.
Интеграл (2.112) представляет собой эллиптический интеграл первого
рода.
При т = 1 уравнение (2.110) является вторым уравнением Пенлеве.
В уравнении (2.110) сделаем замену z — £ 4- zq, тогда, используя
формулу для бинома Ньютона
(С \ *, \ш v™> i ™С ~™-1 I т\т ~ Ч £2„т-2 ,
(£ + zq) = ^о + m£ zo Н 2 * ° ''''
уравнение (2.110) можно представить в виде
уи - 2у3 - ^0™ +ZZ?-1 + |го(го - 1)^г0т-2 + ..Л у = 0. (2.113)
Подставляя (2.97) в ведущие члены уравнения (2.113), находим, что
уравнение имеет два семейства решений, поскольку (ао, р) = (1,1) и
(а0, р) = (—1, !)• Значения р — целые и тест Ковалевской может быть
продолжен.
Подставляя
у = С1+№~1
в первое и второе слагаемое уравнения (2.113), находим уравнение для
индексов Фукса в виде
j2-3j-4-0,
имеющее корни
Л = -1, J2=4.
Индексы Фукса целые, и поэтому анализ уравнения на свойство
Пенлеве следует продолжить.
Подставляя
у = f-i + ai + а2£ + а3£2 + Ы3 + ...
в уравнение (2.113) и приравнивая выражения при одинаковых степенях £,
последовательно находим:
п 1 ^m mzo
а2 =0, а2 = -qZq , «з = ^—.

100 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
Коэффициент й4 не определяется, так как члены с £4 дают
соотношение:
5(i - 4)а4 = ±z™-2m(m - 1). (2.114)
Из (2.114) следует, что а4 можно взять произвольным, если т = 0 или
т = 1. При всех других га разложение решения уравнения (2.110) в ряд
Лорана отсутствует и (2.110) не имеет свойства Пенлеве.
В случае т = 0 и т = 1 локальное представление решения
уравнения (2.110) имеет вид:
y = {z-z0) - — (z - z0) -g— (z - zq) + a4 {z - z0) + ...,
(2.115)
где m (m — 1) = 0, zq и a4 — постоянные интегрирования.
Для второго уравнения Пенлеве (2.53), отличающегося от (2.110)
параметром а, локальное представление решения имеет вид:
y = (z-Z0) - -7Г (z - Zo) 7 (z - Zo) +
3 * / \ 4 (2Л16)
Приведённые примеры показывают, что алгоритм Ковалевской
эффективен при исследовании дифференциальных уравнений на свойство
Пенлеве. Однако его можно применять, если исходное уравнение имеет все
неотрицательные индексы Фукса, кроме —1.
2.9. Метод Пенлеве для анализа дифференциальных
уравнений
Метод, использованный Ковалевской при анализе дифференциальных
уравнений, основан на предположении, что решения уравнений на
комплексной плоскости имеют простые полюса. Однако её подход не позволяет
находить все однозначные решения уравнений, поэтому Пенлеве в своих
исследованиях применил более общий метод (называемый теперь а-методом
Пенлеве), основанный на методе малого параметра Пуанкаре.
Метод малого параметра был разработан А. Пуанкаре для решения
задач небесной механики. Его суть состоит в следующем [15].

2.9. МЕТОД ПЕНЛЕВЕ 101
Пусть задана нормальная система обыкновенных дифференциальных
уравнений
-^ = Fk (2/1, 2/2, • • •, 2/п, z, «), (/с = 1, ..., п), (2.117)
где а — малый параметр, п — число уравнений.
Определение 2.14. Система уравнений
^^Fk(y1,y2,...,yn,z,0), (fc = l, ..., n) (2.118)
называется упрощенной системой уравнений для (2.117).
Относительно системы уравнений (2.117) справедливы две теоремы
Пуанкаре, которые примем без доказательства.
Теорема 2.5. Если правые части уравнений (2.117) голоморфны при
а — 0 и упрощенная система уравнений (2.118) имеет голоморфные
решения yk(z), (к = 1, ..., п) вдоль некоторого пути L на плоскости
комплексной переменной z, то система уравнений (2.117) при достаточно
малых а имеет также голоморфные решения yk (z, ot) вдоль L.
Теорема 2.6. Решения системы уравнений (2.117), разложенные в
ряды по степеням а
yk(z,a) = y^(z) + ay^(z)+a2y2k(z)^ ..., (к = 1, ..., и),
(2.119)
сходятся при достаточно малых а.
Первые члены у\. \z) разложений (2.119) являются решениями
соответствующей системы упрощенных уравнений (2.118)
vP(z) = Vk(z), (fc=l,...,n).
Все остальные члены разложений у^ \z), y\. (z), ..., находятся из
решения системы линейных уравнений [14].
Пуанкаре применил эти теоремы для решения задач небесной
механики, где малый параметр возникал из физической постановки задач. Однако
Пенлеве при поиске уравнений с решениями, являющимися
однозначными функциями, искусственно ввел малый параметр в уравнения, используя
преобразования переменных. Суть а-метода Пенлеве состоит в
следующем [14,130,132].

102 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
Пусть дано нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение
Е(уг, ..., у, г) = 0. (2.120)
Преобразуя переменные у и z в уравнении (2.120) в соответствии с
формулами
z^zo+az, (2.121)
оо
у = ор^а,«(,), (2.122)
исходное дифференциальное уравнение (2.120) приводится к виду
оо
Е = аш^Га1Е{1) = 0. (2.123)
1=0
Уравнение
#(0)
х,у(°)]=0
в (2.123) с неизвестной функцией у(°\х) является как раз упрощенным
уравнением для (2.120). Целые значения р и т в (2.122) и (2.123)
выбираются оптимальными в том смысле, чтобы упрощенное уравнение, с
одной стороны, оставалось нелинейным, а с другой стороны, содержало
постоянные коэффициенты. Фактически р и га выбираются такими, чтобы
упрощенное уравнение могло бы быть решено.
Метод Пенлеве, как и метод Ковалевской, может быть сформулирован
также в виде трех последовательных шагов. На первом шаге определяются
значения р для новых переменных, которых, вообще говоря, может быть
несколько. На втором шаге находится решение у(°\х) упрощенного
уравнения. Полученное решение не должно иметь критических подвижных
особых, тогда и решения последующих линейных уравнений могут не иметь
их. На третьем шаге определяются у^1\х) для всех / > 1 методом
вариации постоянных как решения уравнений Е^ = 0. Эти решения также не
должны содержать критических подвижных точек.
Для определения y)J (х), (1 = 1, ...) в разложении (2.119) достаточно
найти общее решение у\.' (х) упрощенного уравнения. Однако во многих
случаях такой необходимости нет, и можно ограничиться частным
решением упрощенного уравнения, которое позволяет найти решения системы
линейных уравнений для определения всех у^(х). Это обстоятельство
существенно упрощает применение а-метода Пенлеве.

2.9. МЕТОД ПЕНЛЕВЕ
103
Рассмотрим применение а-метода Пенлеве для анализа
дифференциального уравнения [130]
dz2
6у2 -q(z) = 0.
(2.124)
Используя замену переменных (2.121) и (2.122), уравнение (2.124)
можно представить в виде
f- (у(0) + ay(i) +...)_ ба*>+2 (t/°> + ayW + ...f-
-а
,2-р
q (z0) + axq' (г0) + ^q" (zq) +
(2.125)
В качестве р выбираем р=-2, тогда получаем га = 1.
Упрощенное уравнение для (2.124) имеет вид
*»-^-.И-а
(2.126)
Общее решение этого уравнения выражается через эллиптическую
функцию Вейерштрасса
у(0) (х) = р(х-со, 0, р3),
(2.127)
где со и дз — произвольные постоянные.
Вспомогательное уравнение
Е
'[x,y^]v
d*v.
dx2
12р(ж-со, 0, д3) v = 0
имеет общее решение в виде
v = a [хр1 + 2р) 4- с2р'
и не содержит критических особых точек.
Из (2.125) имеем
(2.128)
(2.129)
£(*) - Е'
Р, У
(0)
У^ = 0;
(2.130)

104 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
Е™ = Е'[х, у(о)]2/(2) = -б(у«)2; (2.131)
£<3> = Е' [х, у<°>] г/3> = -12у<»у<»; (2.132)
Я<4> = Е' [х, у<°>] </4> = -^«t/3) - 6 (у(2))2 - qo; (2.133)
Д(5> = S' [х, у(°>] г/5> = -12 (>У4> + у<2>у<3)) - ^х; (2.134)
Д(6) = & ^ у(0)] y(6) = _12 ^(1)у(5) + у(2)у(4^ _ g ^(3))2 _ 1^2
(2.135)
Частные решения уравнений (2.130), (2.131) и (2.132) можно взять в
видеу^=0, (1 = 1, 2, 3). Используя (2.129), из уравнений (2.133H2.135)
имеем частные решения в виде
</4> = g [2хрр' + 2р2 - &/] ; (2.136)
j/5> = § [2*2рр' + 2яр2 + (хр1 + 2р) £] ; (2.137)
24
У(6) = f [(хр' + 2р) (х2 + 2^-2 In a) +
(2.138)
+ (я3р + :е2£-2я1п0- + 2/1п<7<£е)р'] ,
где q0 = q (z0), q'0 = q' (zQ), q'J = q" (z0).
В (2.136)-(2.138) функции | и <т определяются уравнениями
£' = -р, о' = -£т.
Из (2.138) видно, что в решении г/6) появилось логарифмическое
выражение, которое дает критические особые точки при q$ ^ 0. Следовательно,
для того чтобы уравнение (2.134) не имело критических подвижных
особых точек, в нем следует полагать q$ = 0. В этом случае уравнение (2.134)
является первым уравнением Пенлеве.
В качестве еще одного примера рассмотрим применение a-метода
Пенлеве для доказательства теоремы 2.4 [14]. Пусть задано уравнение
^ = R(y,z). (2.139)

2.9. МЕТОД ПЕНЛЕВЕ
105
Найдем выражение R(y, z), для которого решение уравнения (2.139)
не имеет критических подвижных особых точек. Пусть R (?/, z) не является
полиномом от у, тогда уравнение (2.139) вблизи одного из полюсов может
быть представлено в виде
dj = Р(у,г)
dz (y-q(z))k
где Р — голоморфная функция в некоторой окрестности точки zq и уо =
— q(zo), причем zo не является особой точкой функции R(y, z).
Полагая
y = w + q(z), (2.141)
имеем для w (z) уравнение:
dw pi (w, z)
(2.142)
dz wk
Предполагая, что в (2.142)
w — apy (x), z = zo 4- ctqx, (2.143)
приходим к уравнению
# = aa-Pg+k)Pi(<*py,zo + <xq*) (2Л44)
dx ук
Пусть р = 1, тогда q = к + 1. Из (2.144) имеем упрощенное уравнение
dy Pi (0, z0)
dx' у* ' (2Л45^
которое имеет решение
у= fcV(^ + 1)pi(°^o)x + c (2.146)
с критическими особыми подвижными точками при всех к ф 0.
Следовательно, если R (?/, z) не является полиномом от у и z, то
уравнение (2.139) имеет решения с критическими подвижными особыми
точками.

106 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
Если R (г/, z) полином от у и z, то уравнение (2.139) можно представить
в виде
уг = А0 (z) уп + Аг (z) уп~г + ... + Ап (z), (2.147)
где n ^ 1.
Полагая в этом уравнении
у = а~гу, z = z0+an-1x, (2.148)
имеем
^ = А0 {z0 + а""1!) уп + аЛ! (z0 + ап'гх) у71'1 + .... (2.149)
Откуда при а = 0 получаем упрощенное уравнение
£=ЛЫ^П, (2.150)
решение которого при п > 1 имеет вид
1
§ (ж) = [с - (п - 1) А0х] п~1 . (2.151)
Из (2.151) следует, что при п ф 2 уравнение (2.150) (и,
следовательно, (2.147)) имеет критические особые подвижные точки. Таким образом,
уравнение (2.147) не имеет решений с критическими подвижными
особыми точками лишь при п = 1 (линейное уравнение) и при п — 2 (уравнение
Риккати).
2.10. Трансцендентная зависимость решений первого
уравнения Пенлеве
Пенлеве и его ученики показали, что решения уравнений (2.52) - (2.57)
не только не имеют критически подвижных особых точек, но не имеют и
существенно особых точек. Кроме того, оказалось, что решения уравнений
Пенлеве являются существенно трансцендентными функциями
относительно постоянных интегрирования. Поскольку таких функций в то время не
было, то это обстоятельство позволило Пенлеве утверждать, что общие
решения этих уравнений определяют новые специальные функции.
Теоремы существования решений утверждают, что в случае
неподвижных критических точек, решение уравнения второго порядка может быть

2.10. ТРАНСЦЕНДЕНТНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ 107
полностью и единственным образом определено при заданных значениях
г/о и г/о в точке z — z§. При этом решение можно рассматривать как функцию
от начальных данных уо и у'0. Для зависимости решения от произвольных
постоянных возможны три различных случая.
Во-первых, решение может быть алгебраической или рациональной
функцией от уо и г/о- Например, общее решение уравнения yzz 4- 3yyz +
+ у3 = 0 имеет вид
и является рациональной функцией от постоянных с\ и с2.
Во-вторых, решение может не являться алгебраической функцией от
постоянных, но уравнение может иметь первый интеграл, в который
постоянная интегрирования входит алгебраически. Такой случай соответствует
полутрансцендентной зависимости от постоянных интегрирования.
Например, уравнение
yzz = 3y2 + Ay + B, (2.153)
где А и В — коэффициенты, имеет первый интеграл в виде
у\ = 2у3 + V + 2Ву + С1 (2.154)
и линейно зависит от постоянной интегрирования с\.
Третий случай зависимости общего решения от постоянных
интегрирования отличается от первого и второго и соответствует существенно
трансцендентной функции от постоянных интегрирования. Источниками новых
трансцендентных функций, отличных от ранее известных, могут быть
решения, относящиеся к этой категории.
На примере первого уравнения Пенлеве
^+32/2-|=0 (2.155)
покажем, что общее решение этого уравнения не может быть рациональной,
алгебраической или полутрансцендентной функцией относительно
постоянных интегрирования [3,19,130]. Этот факт сформулируем в виде следующей
теоремы.
Теорема 2.7. Общее решение первого уравнения Пенлеве является
существенно трансцендентной функцией от постоянных интегрирования.
Доказательство.
В начале покажем, что общее решение уравнения (2.155) не имеет
рациональной или алгебраической зависимости от постоянных интегрирования.

108 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
Полагая в уравнении (2.155)
z = \z\ У = \~2у', (2.156)
приведем его к виду
2/^+Зу2-^=0 (2.157)
(штрихи в последнем уравнении опущены). При Л = 0 общее решение
уравнения (2.157) не имеет рациональной зависимости от постоянных
интегрирования, поскольку это решение выражается через эллиптическую
функцию Якоби. Следовательно, уравнение (2.157) при А ф 0 также не имеет
рациональной зависимости от постоянных интегрирования. Однако
уравнение (2.157) при Л = 0 имеет первый интеграл и поэтому его решение имеет
полутрансцендентную зависимость от начальных условий. Покажем, что в
отличие от (2.157) при Л = 0, уравнение (2.155) не имеет первого интеграла
в виде полинома.
Предположим противоположное, что уравнение (2.155) имеет первый
интеграл
Р(у,уг,г) = съ (2.158)
где с\ — постоянная интегрирования.
В соответствии с определением первого интеграла имеем, что (2.158)
удовлетворяет уравнению
Е=7Г + 7ГУ1 + 7Г-У* = °> (2-159)
dz ду дух
где г/i и г/2 — соответственно первая и вторая производная от г/ по z.
Поскольку (2.159) соответствует исходному уравнению (2.155), то
должно выполняться равенство
(»« + Зуа-|)
Я = <Э У« + 3»2-| , (2.160)
где Q зависит от у, yz и z.
Из сравнения (2.159) и (2.160) имеем, что
и поэтому равенство (2.160) можно представить в виде
ЭР
dz
+ lf«-(%2-i)^=0' <"«'>

2.10. ТРАНСЦЕНДЕНТНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИИ 109
Уравнение (2.161) можно рассматривать как тождество, которому
удовлетворяет первый интеграл (2.158). Предположим, что он имеет вид
полинома от ?/, 2/1, и z [3,19,204]
Р = У? + <Zi (*, У) У?'1 + ■. • + <Zm-iyi + 9т (2/, z), (2.162)
тогда подставляя (2.162) в (2.161) и приравнивая выражения при одинаковых
степенях у\ нулю, имеем следующую систему уравнений [204,210]
||=0, (2.163)
^ + |SL-W + im* = 0, (2.164)
|f + ^f-3(m-l)yV + |(m-l)^ = 0,
(2.165)
(ft = 3, 4, ..., m - 1),
^ - 3t/2<zro_i + bgm_i = 0. (2.167)
Система уравнений (2.163)—(2.166) может быть последовательно
решена, за исключением уравнения (2.167).
Решение уравнения (2.163) имеет вид
9i = /i(s), (2-l68)
подставляя q\ в (2.164), находим
q2 = m2/3 - № + 5*™) 2/ + /2 (z). (2.169)
Из (2.165) и (2.166) можно также получить
з I 1 / ^ /* , m \ 2
*. = (»»-W + I^T + fJlT
-(^z+\(m-l)zf^y + h{z).
(2.170)

110 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
<74 = \т{т - 1)у6 - \т{т - 2)zy4 - | (ш - 2)у4^ +
+ (т - 2) у3/2 + | (ш - 2) zy2^T + |ш (тп - 2) z2y2- (2.171)
6У dz* +2У dzi Udz+U>
q5 = \ (m - 1) (m - 3)y6/i + J (т - f) my5+
+&(™ЧУЭ+Н(те-1)(т-3)гу4/1-
4 (2.172)
Приведенные решения позволяют найти первые несколько членов
решений qk (к — 6, ..., га). Однако, если Р является первым интегралом
уравнения (2.161), то найденные при этом qm-i и qm должны
удовлетворять уравнению (2.167). Покажем, что это не так.
Пусть /i ф 0, тогда имеем
Ч2к = Азкузк + - ■ ■, Q2k+i = Взкузк/г + ..., (2.173)
где Азк и Взк — постоянные коэффициенты. Подстановка (2.173) в
уравнение (2.167) приводит к противоречию.
Пусть /i = 0, тогда, принимая во внимание решения (2.169)-(2.172),
получаем
Я2к - A3ky3k-A3k^zysk-4A3k^y3k-3f2 + A3k-4Z2y3k-4 ... (2.174)
<?2fc+i = &зк-1У - &Зк-2'У -г- + •. •, (2.175)
где Аз&, ^3fc-2 и .Вз/c-i — постоянные коэффициенты одного знака.
Подставляя (2.174) и (2.175) в уравнение (2.167), получаем также
противоречие, которое и доказывает, что первого интеграла в форме полинома нет.
Таким образом, решение уравнения (2.155) является существенно
трансцендентной функцией относительно постоянных интегрирования и определяет
новую специальную функцию.

2.11. НЕПРИВОДИМОСТЬ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ 111
2.11. Неприводимость уравнений Пенлеве
Пенлеве не сомневался, что открытые им уравнения определяют новые
специальные функции. Однако его аргументы были скорее интуитивными,
основанными на вере в то, что если дифференциальное уравнение не
имеет первых интегралов в форме полиномов и его общее решение является
существенно трансцендентной функцией, то оно должно определять
новую функцию. Однако для того, чтобы уравнение определяло новую
функцию, требуется строгое доказательство его неприводимости. Под свойством
неприводимости нелинейного обыкновенного дифференциального
уравнения понимается, что оно никаким преобразованием не приводится к
линейному дифференциальному уравнению или к нелинейному
дифференциальному уравнению меньшего порядка. Соответственно, неприводимость
уравнений Пенлеве означает, что ни одно из этих уравнений не может быть
сведено к линейному уравнению или к нелинейному уравнению первого
порядка.
Новые трансцендентные функции определяются непосредственно
самими уравнениями Пенлеве. Попытка сформулировать определение
неприводимости впервые было предпринята самим Пенлеве. Он полагал, что
если общее решение дифференциального уравнения второго порядка yzz —
= R(y,yz,z), (R(y,yz,z) — рациональная функция от у, yz и z) не имеет
критических подвижных точек и является существенно трансцендентной
функцией от постоянных интегрирования, то такое уравнение неприводимо.
Строгие доказательства свойства неприводимости первого и второго
уравнений Пенлеве даны сравнительно недавно в работах [252-254]. Для
доказательства неприводимости первого уравнения Пенлеве X. Умемура [253]
ввел понятие классической функции. Он определил шесть допустимых
операций, с помощью которых строятся новые классические функции.
В своем определении Умемура предложил использовать следующие
операции.
Если f(x) — классическая функция, то производная от f(x) no x
является новой классической функцией.
Если f(x) и д(х) — классические функции, то сумма f(x) + д{х),
разность f(x) — g(x), произведение f(x)g(x) и частное f(x)/g(x) являются
новыми классическими функциями.
Пусть сц, a2,..., ап — п классических функций, тогда алгебраическая
функция / или решение / алгебраического уравнения
Г + агГ'1 + a2fn~2 + ... + ап = О
будет новой классической функцией.

112 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
Если / — классическая функция, тогда интеграл / fdx является новой
классической функцией.
Пусть а\, <22,..., ап — п классических функций, тогда любое решение /
линейного дифференциального уравнения:
dnf dn~1f £ n
dxn dxn~x
будет новой классической функцией.
Пусть А — Сп/Г является абелевым многообразием с топологической
структурой Г С Сп и проекцией 7г: Сп —► А. Тогда если /ъ/г? • • •,/п,
будут классическими голоморфными функциями, то ср о п о F, где F =
— (/i(a:), /г(х),..., fn(x)) является новой классической функцией для
любой мероморфной функции <р на абелевом многообразии А.
Перечисленные допустимые операции имеют групповую природу
Функция f(x) называется неприводимой на С, если она не является
классической.
Привлекая для анализа первого уравнения Пенлеве конечномерные
дифференциальные группы Галуа, Умемура доказал теорему [253].
Теорема 2.8. Любое голоморфное решение у(z) первого уравнения
Пенлеве — не классическое. Другими словами, общее решение первого уравнения
Пенлеве y(z) не выраэюается через постоянные интегрирования с помощью
шести описанных выше допустимых операций для классических функций.
Фактически идея классической и не классической функции была
также упомянута Пенлеве. Однако, чтобы дать строгое определение свойства
неприводимости дифференциального уравнения потребовались
современные понятия алгебраической геометрии и дифференциальной алгебры.
Умемура также доказал, что отсутствие первых интегралов для
уравнений Пенлеве эквивалентно свойству неприводимости этих уравнений.
Поэтому доказанная выше теорема о том, что общее решение первого
уравнения Пенлеве является существенно трансцендентной функцией, по
существу, является доказательством неприводимости этого уравнения.
Доказательство неприводимости второго уравнения Пенлеве
потребовало выделить возможные рациональные и специальные решения, которые
имеет второе уравнение Пенлеве при некоторых фиксированных значениях
параметров уравнения. Эти решения могут быть получены с помощью так
называемых преобразований Бэклунда.

2.12. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИИ ПЕНЛЕВЕ 113
2.12. Преобразования Бэклунда для решений второго
уравнения Пенлеве
Решения всех уравнений Пенлеве являются существенно
трансцендентными функциями относительно постоянных интегрирования, однако
все они, за исключением Р\, имеют рациональные и специальные решения
при некоторых значениях параметров уравнений. Эти решения находятся с
помощью преобразований, называемых преобразованиями Бэклунда [68].
Найдем эти преобразования для второго уравнения Пенлеве
угх = 2у3 + zy 4- а. (2.176)
Уравнение (2.176) может быть представлено в виде системы двух
уравнений
ря-2ру-|-а = 0, (2.177)
yz+y2 + lz-p = 0. (2.178)
Это легко проверяется подстановкой р из (2.178) в (2.177).
Кроме того, уравнение (2.176) может быть представлено системой
уравнений вида
пг+2пу- |+a = 0, (2.179)
yz-y2-lz + n = 0, (2.180)
что доказывается подстановкой п из (2.180) в (2.179).
С другой стороны, подставляя у из (2.177) в (2.178), имеем уравнение
для p(z)
Pzz Pi {I Л-2а)2
t~^^~W~+ p ( }
и уравнение для n(z)
nzz nl (1 - 2а)2
которое получается путем подстановки у из (2.179) в (2.180).
Из сравнения уравнений (2.181) и (2.182) следует, что они совпадают
в двух случаях:

114 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
I) р = пиа = —а и2)р — пиа = а + 1.
При этом из (2.177) и (2.179) получаем две формулы
И
y = -^ + L^**. (2.184)
Первый случай соответствует очевидной симметрии второго уравнения
Пенлеве
y(z,a) = -y(z, -a). (2.185)
Для второго случая из (2.183) и (2.184) находим соотношение
y(z, а) + Ц^ = -y(z,a) + ^p. (2.186)
Откуда, с учетом (2.178) и (2.180), приходим к соотношениям между
решениями y(z,a + 1), y(z,a), y(z,a — 1) второго уравнения
Пенлеве [68]:
*1*'а + 1) = -*Ьа)-2уя^£+^ **-* (2Л8?)
y(z,a-l) = -y(z,a)- 1~2% , а ф \. (2.188)
2уг -2уг -z *
Эти преобразования для решений второго уравнения Пенлеве носят
название преобразований Бэклунда, а иногда бирационалъных
преобразований. Они позволяют находить некоторые рациональные (в виде отношения
многочленов от z) и специальные решения второго уравнения Пенлеве.
2.13. Рациональные и специальные решения второго
уравнения Пенлеве
С помощью преобразований, полученных в п 2.12, найдем
рациональные и специальные решения уравнения (2.176).
Используя (2.187), вначале найдём несколько рациональных решений
уравнения (2.176). Очевидно, что у = 0 при а — 0. Тогда из (2.187) имеем
1 2 (z3 - 2)
y(z,l) = -±, У(*,2) = - з , ^
Z \Z* + 4)

2.13. РАЦИОНАЛЬНЫЕ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ 115
3 (z6 + Sz3 + 160) z2
'W — p + W + iJ-my (2m
4 (z15 + 50z12 + lOOOz9 - 22400^6 - 112000z3 - 224000)
v(z 4) v L
z (z6 + 20z3 - 80) (z9 + 60z6 + 11200)
Таким образом, при целых положительных значениях а существуют
рациональные решения второго уравнения Пенлеве. Решения при
отрицательных целых значениях а можно найти из (2.189), принимая во внимание
симметрию решений (2.185) второго уравнения Пенлеве.
Используя преобразования (2.187) и (2.188), можно найти также
специальные решения второго уравнения Пенлеве.
Подставляя (2.179) в (2.180), имеем соотношение
угх - 2у3 -Zy-a=(£+2y\ fyz - у2 - ±z) + ± - а, (2.190)
из которого следует, что решение уравнения Риккати
yz-f-\z = 0 (2.191)
является так же решением второго уравнения Пенлеве при а = 1/2.
Заменой
(2.191) приводится к линейному уравнению
шгж + ±ги> = 0, (2.193)
решения которого выражаются через функцию Эйри.
Таким образом, имеем специальные решения
у (*> §) = -£.
2uj3 + zljzuj2 - ш3
-\)-
uj (2u2 + zuj2)
(2.194)
5 \ и (6o;f о; + z3uj4 + 3zuj3ujz + 4z2oj2oj2 + Azu* - uj4)
2 ) (zuj2 + 2ujz2) (2zujzuj2 - uj3 + 4ш*)

116 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
при полуцелых значениях а, где ш — решение уравнения для функций
Эйри (2.193). Решения для отрицательных полуцелых значений а находятся
из (2.194) с учетом симметрии уравнения.
Аналогичные типы решений получены и для остальных уравнений
Пенлеве [19]. Однако для первого уравнения Пенлеве рациональных и
специальных решений, выраженных через классические трансцендентные
функции, нет.
2Л4. Дискретные уравнения Пенлеве
Уравнения Пенлеве можно рассматривать как нелинейные аналоги
уравнений, определяющих специальные функции. Из курса
математической физики известно, что для большинства специальных функций имеются
рекурсивные формулы, связывающие решения специальных функций при
различных параметрах уравнений. Например, для функции Бесселя Jv (.т),
полиномов Лежандра Рп (х) и полиномов Чебышева Нп (х) справедливы
следующие соотношения [5,89]:
Л+1 (х) + J„-i(s) - Jvix), (2.195)
(п + l)Pn+i (ж) + (2п + 1)хРп(х) + nPn_i(s) = 0, (2.196)
#п+1 (ж) - 2хНп(х) 4- 2n#n_i(x) = 0. (2.197)
В последнее десятилетие проявляется интерес к дискретным
уравнениям Пенлеве, которые, по существу, являются функциональными
соотношениями для решений уравнений Пенлеве. Дискретные уравнения Пенлеве
можно представить в виде [39]:
= PiJFn, n) 4- xn_iP2(^n,n)
Р3(#п, П) 4" Xn_iP4(^n, П) '
где Pj (xn, n), (j = 1,2,3,4) — многочлены от хп степени не выше четырех.
Дискретные уравнения Пенлеве встречаются в физических приложениях,
например, в теории двумерной квантовой гравитации [130,166] и
обладают замечательными свойствами, как и обычные уравнения Пенлеве. У них
имеются преобразования Бэклунда, частные решения, выраженные через
полиномы, специальные функции и многие другие свойства, которые
типичны для уравнений Пенлеве.
Имеется несколько подходов для получения дискретных аналогов
уравнений Пенлеве [12,39,130,229]. Ряд дискретных уравнений Пенлеве могут

2.14. ДИСКРЕТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕНЛЕВЕ
117
быть получены исходя из соответствующих преобразований Бэклунда.
Алгоритм получения дискретных уравнений Пенлеве из преобразований
Бэклунда достаточно прост [39,152]. Преобразования Бэклунда, как правило,
состоят из двух или более соотношений, связывающих два решения при
различных значениях параметров уравнения и производные от зависимых
переменных. Исключение производных из двух соотношений приводит к
рекуррентным соотношениям для трёх различных решений соответствующего
уравнения Пенлеве. Полученная алгебраическая зависимость, по существу,
соответствует нелинейному принципу суперпозиции для решений
уравнений Пенлеве, и может рассматриваться как дискретное уравнение Пенлеве.
Проиллюстрируем этот подход на примере вывода дискретного уравнения
Пенлеве исходя из преобразований Бэклунда для решений второго
уравнения Пенлеве.
Преобразования Бэклунда для решений второго уравнения Пенлеве
имеют вид:
y(z,a + l) = -y(*,a)-_ AdJsi аф\ (2Л99)
2yz(z,a)-\-2yz(z,a)-\-z ^
y(zia-l) = -y(z,a) + -T -Ц^ —, аф\. (2.200)
2y2(z,a)-2yz(z,a) + z *
Исключив производную yz из преобразований (2.199) и (2.200),
получим:
1 + 2а , 2а - 1
y(z, а + 1) + y(z, a) y(z, a) + y(z, a - 1)
+V(s, a) + 2z = 0,a^i,a^-i.
(2.201)
Пусть
тогда находим
an+i=a + l, ап = а, ап-\ = а - 1, (2.202)
а = ап = п + к--,
где к — произвольная постоянная.
Полагая xm — y(z, am) в (2.201), имеем разностное уравнение
п-\- к , п — 1-\- к , о 2
+ Г .V . + 2<+* = 0. (2.203)
^71+1 Г #71 #71 Г #71—1

118 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
где z — параметр. Уравнение (2.203) известно, как альтернативная форма
первого дискретного уравнения Пенлеве (dP\). Решения второго уравнения
Пенлеве удовлетворяют разностному уравнению (2.203). Полагая х$ = 0,
х\ = —l/z при к=\/2 из (2.203) находим семейство рациональных решений
второго уравнения Пенлеве, которое получено в п. 2.13. В случае к =
— 1, х-1 — ujz/uj, хо = —ujz/uj, где uj(z) — решение уравнения Эйри
Uzz + \zu> = 0, (2.204)
из (2.203) находится семейство специальных решений второго уравнения
Пенлеве.
В непрерывном пределе дискретные уравнения Пенлеве переходят в
уравнения Пенлеве. Однако некоторые дискретные уравнения Пенлеве в
предельном переходе дают более чем одно уравнение Пенлеве. Одно из
принципиальных отличий дискретных уравнений Пенлеве от непрерывных
уравнений заключается в том, что они не имеют одной единственной
канонической формы. Обычно у каждого дискретного уравнения Пенлеве
имеется несколько канонических форм.
2.15. Асимптотические решения первого и второго
уравнений Пенлеве
Покажем, что асимптотические решения первого и второго уравнений
Пенлеве при \z\ —► oo выражаются через эллиптические функции Якоби и
Вейерштрасса [19,109].
Вначале рассмотрим первое уравнение Пенлеве
Vzz -3y2-z = 0. (2.205)
Введём в (2.205) новые переменные
y = znY(x),x = (p(z). (2.206)
Тогда имеем соотношения:
уг = nz71'^ + zn<pzYx, (2.207)
yzz = п(п - l)zn~2Y + 2nzn~1(pxYx + zn<pzzYx + zn<p2gYxx. (2.208)
Подставляя (2.206) и (2.208) в уравнение (2.205), получим:
zn<p2zYxx + n(n - l)zn~2Y + 2nzn'1ipzYx + zn<pzzYx - 3z2nY2 - z = 0.
(2.209)

2.15. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ ПЕНЛЕВЕ 119
Выберем (p(z) и п такими, что ведущие члены в уравнении (2.209)
соответствовали ведущим членам уравнения (2.205), а остальные слагаемые
стремились к нулю при \z\ —► оо. В этом случае приходим к переменной
А -
x = <p(z) = |z4 +Ci.
Уравнение (2.209) принимает вид:
Yxx-3Y2-l-±z 2У+§* 4У* = 0. (2.210)
Откуда при |ж| —> оо приходим к уравнению для Y(x):
У**-ЗУ2-1 = 0. (2.211)
Умножая (2.211) на YX9 получим:
Ух2 = 2У3 + 2У + 4С2. (2.212)
Полагая Y — 2F(x) в (2.212), имеем уравнение для функции Вейер-
штрасса:
F* = 4F3 + F + C2. (2.213)
Таким образом, асимптотическое решение первого уравнения Пенлеве
при \z\ —► оо выражается формулой:
y(z) « \£р 11J + Cl, 1, C2 J . (2.214)
Асимптотическое решение (2.214) получено Бутру, который подробно
исследовал вопрос применимости формулы (2.214) [109].
Для второго уравнения Пенлеве
yzz-2y2-zy-a = 0, (2.215)
используя аналогичный подход, находим переменные
I 9 з
y = z*Y(x) х = ip(z) = ±z* + Ci. (2.216)

120 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
Подставляя (2.216) в (2.215), приходим к уравнению:
Yxx-2Y3-Y + ±z ZYx-±z~3Y-az 2-0. (2.217)
Откуда следует, что при |х| —+ оо, для Y(x) имеем уравнение:
YXX-2Y3-Y = 0. (2.218)
Умножая (2.218) на Yx, получим:
yx2 = y4 + y2 + C2. (2.219)
Используя Y2 — uj(x), уравнение (2.219) запишем в виде:
и2х = 4а;3 + 4а;2 + 4С2о>. (2.220)
Решение уравнения (2.220) получено в п. 1.2. Следовательно,
асимптотическое решение второго уравнения Пенлеве при \z\ —► ос выражается
через эллиптическую функцию Якоби.
2.16. Линейные представления уравнений Пенлеве
Все уравнения Пенлеве могут быть представлены в виде линейных
систем уравнений [1,78,130,156,250]. Эти представления позволяют изучить
задачу Коши для этих уравнений так же детально, как и решения
линейных уравнений [150,168]. Поэтому, несмотря на то, что уравнения Пенлеве
не имеют первых интегралов в виде полиномов и их решения
определяют новые неклассические функции, без сомнения, они — точно решаемые
уравнения.
Рассмотрим систему уравнений:
^zz=U(z,\)^, (2.221)
<фх = 2A(z, Х)фг + B(z, Х)ф. (2.222)
Условие совместности уравнений (2.221) и (2.222)
№zz)X = Шгг (2-223)
приводит к соотношениям:
Bz + Azz = 0, (2.224)

2.16. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ 121
U\ = 4UAX + 2AUZ + Bzz. (2.225)
Подстановка (2.224) в (2.225) приводит к
Ux = 4UAZ + 2AUZ - Azzz. (2.226)
Полагая в (2.226)
U = у(г) + А, (2.227)
A(z, А) = -y(z) + 2А, (2.228)
после интегрирования по z приходим к первому уравнению Пенлеве:
Vzz = Зг/2 + z. (2.229)
Таким образом, уравнение (2.229) эквивалентно следующей линейной
системе уравнений:
Фгг = (У + А)^, (2.230)
^А = 2(2А-у)^+у^. (2.231)
Для того чтобы найти систему уравнений, эквивалентную второму
уравнению Пенлеве, введём вектор-функцию ip(z, A):
Ф(г,Х)=^У (2.232)
Предположим, что функция il>(z,\) удовлетворяет следующей системе
уравнений:
фг = Мф, Хфх = Щ (2.233)
с матрицами М и N в виде:
»-(",) 32). *-(с&,л!-^л))- <"*>
Условия совместности системы уравнений (2.233)
(^1*)л = (<Ы, (<ЫЛ = (Ф2х)г (2.235)
приводят к уравнениям:
Az+rB-i\-rC = 0, (2.236)

122 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
Bz - 2г\В 4- 2r A = 0, (2.237)
Cz + 2i\C - 2rA = 0. (2.238)
Будем искать элементы матриц А, В и С в виде:
Л - a0(z)A + аг(г)Х2 + a2(z)A3, (2.239)
В = b0(z) + ft!(*)A + b2(z)X2, (2.240)
С - co(z) + ci(z)A + c2(z)A2. (2.241)
Подставляя (2.239), (2.240) и (2.241) в систему уравнений (2.236),
(2.237) и (2.238) и приравнивая выражения при одинаковых степенях А
нулю, находим коэффициенты:
<22 = 4г, а\ — 0, ao = iz -f 2гг2, (2.242)
62 = 4r, 6i = -2zrz, 60 = -а, (2.243)
с2 = 4r, ci = 2гг2, с0 = -а. (2.244)
Подставляя^(2.242)-(2.244) в формулы (2.239)-(2.241), получаем
элементы матриц М и N. При этом система уравнений (2.233) эквивалентна
второму уравнению Пенлеве относительно функции r(z):
rzz = 2r3 + zr + a. (2.245)
Оставшиеся уравнения Пенлеве Рз, Ра, Рб и Рб также могут быть
представлены в виде линейных систем уравнений. Впервые эти факты были
установлены Л. Фуксом и Р. Гарнье [130,156]. По аналогии с линейной
системой уравнений, используемой при решении задачи Коши для уравнения
Кортевега - де Вриза, в последнее время системы уравнений (2.230), (2.231)
и (2.233) часто называются парами Лакса.
2.17. Алгоритм Конта - Форди - Пикеринга для
проверки уравнений на свойство Пенлеве
При исследовании дифференциальных уравнений методом
Ковалевской встречаются уравнения, имеющие отрицательные индексы Фукса,
отличные от —1. Так, например, анализируя уравнение
Vzz + 3yyz + у3 = 0,
(2.246)

2.17. АЛГОРИТМ КОНТА - ФОРДИ - ПИКЕРИНГА 123
получаем, что оно имеет два семейства решений, у которых р = — 1, ао —
= 1 и р = -1, ао = 2. Причем индексы Фукса для первого семейства
решений равны —1 и 1, а для второго —1 и —2. Исследование первого
семейства решений может быть продолжено методом Ковалевской. Однако
при анализе второго семейства решений подход Ковалевской не позволяет
найти вторую постоянную интегрирования. Для исследования
дифференциальных уравнений с отрицательными индексами Фукса Р. Контом, А. Форди
и Э. Пикерингом предложен алгоритм, названный шли методом возмущений
Пенлеве [130,132].
Пусть задано дифференциальное уравнение
E(y,yz, ...,г) = 0. (2.247)
При реализации алгоритма предполагается, что переменная z остается
без изменения, а решения у уравнения (2.247) представляются в виде ряда
по степеням формального параметра е
со
у = ^2£ПУ{п)- (2.248)
71=0
Это приводит к тому, что исходное уравнение (2.247) представляется в
виде:
со
Я = ^епЕ<п> =°- (2.249)
71=0
Исходное уравнение (2.247) в этом случае эквивалентно бесконечной
последовательности уравнений
Е<°> = Е (У°\ г) = 0, п = 0, (2.250)
Е<п> = Е' [у{0), г] ?/п) + Я(п) (У0), ..., г/(п-1}, г) - 0, Vn ^ 1, (2.251)
где Е' [у(°\ z] — производная Фреше
wr ,. ^(^4-Аг;, z)-E(u>, z)
Ef w, г v = lim —i Ц^ ^-A (2.252)
1 J A-+0 A V '
Выражение R^ зависит от предшествующих решений у(°\ ..., т/71-1),
при чем R^ = 0. Каждое уравнение (2.251) является линейным
дифференциальным уравнением. При п = 1 уравнение (2.251) является линейным и
однородным, а при n ^ 2 — неоднородным.

124 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
Для того чтобы решение исходного уравнения (2.247) не имело
критических подвижных особых точек, необходимо, чтобы, во-первых, общие
решения уравнений (2.250) и (2.251) при п = 1 не имели критических
подвижных особых точек, и чтобы для каждого уравнения (2.251) при п ^ 2
нашлось частное решение без критических подвижных точек.
Анализ уравнений методом возмущений Пенлеве, как и алгоритм
Ковалевской, состоит из нескольких этапов.
На первом шаге, после подстановки
У(0)=а0Гр, Z = z-z0 (2.253)
в ведущие члены уравнения (2.250), находятся возможные семейства
решений (ао, р). При этом требуется, чтобы р имело целые значения, тогда
алгоритм исследования может быть продолжен. Второй шаг аналогичен
методу Ковалевской и состоит в нахождении индексов Фукса, которые также
должны быть целыми. На третьем шаге ищутся постоянные
интегрирования в решении исходного уравнения. При этом решение у^ исходного
уравнения (2.250) ищется, как и в методе Ковалевской, в виде
оо
У(0)=£Л'-р- (2.254)
3=0
Если метод возмущений Пенлеве применяется к уравнению с
положительными индексами Фукса, то представление (2.254), как правило,
позволяет определить все постоянные интегрирования уже в разложении (2.254).
Однако при отрицательных значениях индексов Фукса следует изучать
уравнения (2.251) при п ^ 1. Решение этих уравнений ищется в виде
оо
у(п) = Е yln)zj~p> п > L (2-255)
2—rir
где г — наименьшее значение индекса Фукса.
Подставляя (2.255) в уравнение (2.251) при п — 1
E'[y<°\z\yW=0, (2.256)
имеем, что индексы Фукса для этого уравнения определяются значениями
j — р, где j — индексы, определенные ранее. Решение (2.255) уравнения
(2.256) представляет собой частное решение, содержащее произвольные

2.18. ПРИМЕРЫ АНАЛИЗА МЕТОДОМ ВОЗМУЩЕНИЙ 125
коэффициенты, число которых равно количеству индексов Фукса. Поэтому
у(°) н- еу^ является локальным представлением решения исходного
уравнения.
При п > 2 частное решение (2.255) уравнения Е^ = 0 определяется
вкладом в R^ решений уравнений предыдущих порядков. В результате
двойного представления, по существу, получается разложение решения
исходного уравнения, которое можно представить в виде
оо / оо
у = Е£" £ у?)(?~9 = £ у£~р- (225Т>
Чтобы исходное уравнение проходило тест Пенлеве, в разложении
решения (2.257) должны содержаться произвольные постоянные, количество
которых равно порядку уравнения.
2.18. Примеры анализа уравнений методом возмущений
Пенлеве
Рассмотрим применение метода возмущений Пенлеве к исследованию
уравнения (2.246). Решение этого уравнения, вообще говоря, может быть
найдено, если сделать замену
У = VzV'1- (2.258)
При этом исходное уравнение приводится к линейному
4>zzz = 0. (2.259)
Общее решение уравнения (2.246) имеет вид
у = ^ + -гЬ' (2-260>
где а и Ь — произвольные постоянные.
Применим алгоритм Конта - Форди - Пикеринга для анализа уравнения
(2.246) на свойство Пенлеве [130].
При исследовании первого семейства решений получаем индексы
Фукса ji = — 1, J2 — 1. Подставляя
у = х~г +ai +а2х + •.., х = z - zo, (2.261)
получаем: а\ — произвольная постоянная, а2 = —а\ и т.д.

126 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
Применяя алгоритм Ковалевской для исследования семейства решений
с отрицательными индексами, получим
у = 2х~х + сц + а2х 4-.... (2.262)
Коэффициенты а\, а2 и т.д. последовательно находятся. Однако они не
приводят к второй произвольной постоянной в решении.
Применяя алгоритм Конта — Форди - Пикеринга, используем
разложение решения уравнения (2.246) в виде:
у = 2х~г + еи(х) + e2v(x) + e3w(x) + .... (2.263)
Подставляя (2.263) в исходное уравнение и приравнивая выражения
при одинаковых степенях е нулю, получим цепочку уравнений:
ихх + 6х~гих + 6х~2и = 0, (2.264)
vXx + ^>x~1vx H- 6x~2v = —Зихи — 6х~ги2, (2.265)
Wxx + 6x~lrwx + 6x~2w = —(и3 + 3uvx + 3vux + I2x~1uv). (2.266)
Полагая
и = -r- + -~ (2.267)
ar хг
в уравнении (2.264), получим, что оно удовлетворяется.
Подставляя
v(x) = Ц + Ц (2.268)
Х° X
в уравнение (2.265) и принимая во внимание (2.267), находим
vi = 2^o^i ^о = 2^0- (2.269)
Полагая
-И = ^ + ^ (2.270)
X X
в уравнении (2.266), имеем:
W! = |w^i wq = ±и§. (2.271)

2.18. ПРИМЕРЫ АНАЛИЗА МЕТОДОМ ВОЗМУЩЕНИЙ 127
Результаты вычислений позволяют написать разложение решения
исходного уравнения в виде:
^) = 5+^?+?j+^ ^+^-J+* ^+i?"J+--
(2.272)
Из (2.272) следует, что решение имеет две произвольные постоянные
соответствующие отрицательным индексам Фукса. Приближённое решение
(2.272) может быть просуммировано [130] и в результате находится общее
решение уравнения (2.246).
Рассмотрим еще пример исследования методом возмущений Пенлеве
уравнения [130]
Угх + *УУг + 22/3 = 0. (2.273)
Применение метода Ковалевской к уравнению (2.273) дает
г/(°) =af1, x = z-z0. (2.274)
Решение уравнения (2.273) имеет индексы Фукса j\ = —1, J2 = 0.
Поскольку коэффициент ао не произвольный, то можно ожидать, что
уравнение не является точно решаемым. Однако проведем дополнительное
исследование, используя метод возмущения Пенлеве. Подставляя
у = х'1 + еи(х) + e2v(x) + ... (2.275)
в уравнение (2.273) и приравнивая вьфажения при различных степенях е
нулю, получим цепочку уравнений:
ихх + 4х~гих 4- 2аГ2м = 0, (2.276)
vxx + kx~xvx + 2x~2v = -4г*хгх - бх"1^2. (2.277)
Уравнение (2.276) имеет частное решение
и = и0х~1, (2.278)
где и0 — произвольная постоянная. Из (2.277) с учётом (2.278) имеем
vxx 4- 4х~гух + 2х"2г; = -2аГ3г^, (2.279)
Делая в уравнении (2.279) замену
v(x) — и%х~~2(р (х),

128 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
приходим к уравнению:
(рхх + 2х~г = 0. (2.280)
Откуда находим решение:
<р(х) = -2 J
2 / \nxdx. (2.281)
Таким образом, решение уравнения (2.273) имеет критические
подвижные особые точки логарифмического типа и, следовательно, не имеет
свойства Пенлеве.
2.19. Тест Пенлеве для системы уравнений
Хенона-Хейлеса
Основу модели Хенона - Хейлеса составляет система уравнений в
виде [169]:
хи = -х - 25ху,
(2.282)
уи = -Ру + 72/2 - 8х2 .
Проанализируем эту систему уравнений на свойство Пенлеве [116].
Полагая
x = x0(t- t0)p , y = yo(t- t0)r (2.283)
и подставляя (2.283) в ведущие члены (2.282), имеем:
р(р-1) хо (t - t0)p~2 = -25хоУо (t - t0)p+r , (2.284)
г (г-1) т/о (t - t0)r~2 = 72/0 (* - *o)2r - 5x1 (* - *o)2p . (2.285)
Предполагая равенство степеней в (2.284) и (2.285), получаем два
возможных случая:
1) р = -2, х0 = ± (3/*) (2 + А"1)172 , А = ,У/7,
(2.286)
г = -2, Уо = -3/5;
2) р± = - ± | (1 - 48А)1/2 , хо - произвольное
г = -2, г/о = 6/7-

2.19. ТЕСТ ПЕНЛЕВЕ ДЛЯ СИСТЕМЫ ХЕНОНА-ХЕЙЛЕСА 129
Наименьшая степень в (2.285) равна —4, поэтому степень (t — to) во
втором слагаемом правой части (2.285) должна быть больше чем —4. Это
ведет во втором случае к одному семейству решений при Л > —1/2.
Система уравнений (2.282) может пройти тест Пенлеве, если степени
р иг в (2.283) целые. Это возможно при Л = —i — i —1, —|, ..., когда
квадратный корень в (2.287) извлекается. В случае Л > 1/48 корни р± в
(2.287) становятся комплексными и система уравнений (2.282) не проходит
тест Пенлеве. Это соответствует тому, что стандартная система уравнений
Хенона - Хейлеса не является точно решаемой.
Для поиска индексов Фукса в первом случае подставляем выражения
х = ± (3/5) (2 + A"1)172 (t - t0)~2 + Xj (t - t0)j~2 .
у = - (3/6) (t - t0)"2 + Уз (t - to)'"2
в ведущие члены уравнений (2.282), имеющие вид
х = —25ху,
У
-&г2 + 72/2-
(2.288)
(2.289)
(2.290)
(2.291)
Приравнивая выражения при первых степенях хэ- и уэ- нулю, получаем
систему уравнений, из которой находится уравнение для индексов Фукса
0.
(2.292)
(2.293)
(3-Я (2-Я-6 ±6(2 + 1/А)1/2
±6(2 + 1/А)1/2 (3-j)(2-j)+6/A
Полагая в = (3 — j) (2 — j) в (2.292), имеем решения:
(9-12, 0 = -6(1 + 1/А).
Принимая во внимание (2.293), находим индексы Фукса в виде:
J"i = -1, 32 = Ь (2.294)
j3,4 = | ± \ [1 ~ 24 (1 + 1/А)]1/2 . (2.295)
При А > 0 и при А < -24/23 из (2.295) следует, что корни j3 и j4 —
комплексные, и, следовательно, система уравнений (2.282) не проходит тест
Пенлеве.

130 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
Подставляя выражения, аналогичные (2.288) и (2.289), в ведущие члены
системы уравнений (2.282)
х — —25ху,
„2
(2.296)
У = 7У
получаем индексы Фукса для второго случая в виде
Л = -1, h = 0, h = 6, h = T (1 - 48А)1/2 . (2.297)
В случае А > 1/48 корень J4 является комплексным и система
уравнений не проходит тест Пенлеве. При —1/2 < А < 1/48 решения могут иметь
1 /2
четыре произвольных коэффициента. При этом р и J4 = (1 — 48А) ' —
действительные. Если А = 0, то система уравнений (2.282) является точно
решаемой, поскольку каждое из уравнений решается отдельно.
Система уравнений (2.282) может пройти тест Пенлеве, если р, г
в (2.283) и индексы Фукса (2.295) и (2.297) - целые.
Это возможно для следующих значений А:
А- 6, 2, 1.
Анализ произвольных постоянных при А = — 1 показал, что система
уравнений (2.282) проходит тест Пенлеве при /3 = 1.
В случае А — —1/2 значение хо в (2.283) становится равным нулю.
Поскольку индексы Фукса имеют для первого случая вид: —1, 0, 5, б, то
свойства Пенлеве в этом случае нет.
При А = —1/6 целые индексы Фукса определяются формулами (2.295)
и (2.297). Проверка произвольных постоянных для разложений каждого
семейства решений показала, что система уравнений (2.282) при этом условии
проходит тест Пенлеве [116].
Интересному случаю соответствует значение А = —1/16, когда
наименьшие степени в (2.283) имеют вид
x = x0t~1/2, y = y0t~2. (2.298)
Индексы Фукса при этом целые
3 = -1, 0, 2, 6
и дают четыре произвольных коэффициента в разложении решений. Это
значение А также соответствует точно решаемому случаю модели Хенона-
Хейлеса при /3 = 16.

dt
dy _
dt
dz
dt
— у — <j ex,
—xz + x — ey,
= xy — ebz.
2.20. ТОЧНО РЕШАЕМЫЕ СЛУЧАИ СИСТЕМЫ ЛОРЕНЦА 131
2.20. Точно решаемые случаи системы Лоренца
В зависимости от значений параметров <т, г и Ъ система уравнений
Лоренца (1.184) может быть как точно решаемой так и неинтегрируемой [249].
Используя замену переменных
х-^х/е, у-+у/ае2, z->z/ae2, t -> et, (2.299)
где
e=l/(ar)1/2,
систему уравнений (1.184) можно представить в виде
(2.300)
В предельном случае при е —► 0 (г —» оо) эта система уравнений
сводится к консервативной точно решаемой системе уравнений, поскольку
(2.300) при е — —> 0 приводится к уравнению для эллиптической функции
Якоби:
^f = -y + (ci + l)x. (2.301)
Проанализируем систему уравнений (2.300) на свойство Пенлеве при
е^0.
Подставляя
x = x0(t-t0)p, y = yo(t-t0)q, z = z0(t-to)s (2.302)
в ведущие члены системы уравнений (2.300), находим, что р — — 1, хо =
= ±2г; q = -2, у0 = ^2г; 5 = -2, z0 = -2.
Полагая
х = 2г (t - to)"1 + Xj (t - to)3'1,
2/ - -2г {t - to)'2 + ад (t - to)3'2 , (2.303)
* = -2(г-г0Г2 + ^(*-г0Г"2,

132 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
и подставляя эти выражения снова в ведущие члены системы
уравнений (2.300), получаем алгебраическую систему уравнений относительно
Xj, уj и Zj в виде
{j-l)xj-yj -0,
-2xj + (j - 2) yj + 2izj = 0, (2.304)
2iXj - 2iyj + (j - 2) Zj = 0.
Из этой системы находим кубическое уравнение для индексов Фукса
f ~ bf + 2j + 8 = 0. (2.305)
Решение (2.305) имеет вид
Л = -1, J2 = 2, j3 = 4.
Вычисляя последовательно коэффициенты разложения решений х, у и
г при j = 2 и при j = 4, приходим к условиям на параметры системы
уравнений Лоренца в виде [249]
е2 (ба2 -Ьа-2а)=Ь(Ь- 1)в2, (2.306)
е2 (6 - 1) (57 (а - 1) - 15 (6 - 1) + 24) = 9а е2 (2а - 1), (2.307)
2 (1 + 6 - a) a2cie + е2 (~^) ^ifi-Zff!l + 2аа2 + balCl) = 0,
(2.308)
где
(3cr-2b-l)g X! (b-l-3a)e zi „_
ai = 6 =2*' Cl = 3 = ~T (2309)
(xi, yi и zi — первые коэффициенты в разложении решений в ряд Лорана).
Анализ системы уравнений (2.306), (2.307) и (2.308) показал, что
разложения решений имеют два произвольных коэффициента при j = 2и при
j — 4 в следующих четырех случаях [249]:
(1) (т-0;
(2) а = 1/2, 6=1, г - 0 (е = оо);
(3) а = 1, 6 = 2, г = 1/9 (е = 3);
(4) <т=1/3, 6 = 0, г — произвольное число.

2.20. ТОЧНО РЕШАЕМЫЕ СЛУЧАИ СИСТЕМЫ ЛОРЕНЦА 133
Общее решение системы уравнений во всех этих случаях зависит от
трех произвольных постоянных.
В первом случае система уравнений (1.184) становится линейной и
точно решаемой по определению.
Во втором случае система уравнений (1.184) принимает вид:
xt = \{y-x), (2.310)
yt = ~y-zx, (2.311)
zt=xy-z. (2.312)
Подставляя у из (2.310) в (2.312), находим
г = С1е-ь 4-х2. (2.313)
С другой стороны, сравнивая (2.311) и (2.312), получим
2/2 + z2=c2e-2t. (2.314)
Принимая во внимание (2.310) из (2.313) и (2.314), имеем
(2xt + х)2 + (cie-* + х2)2 - с2е~2'. (2.315)
Используя в (2.315) новые переменные
x(t)=e 2X(r), т = с 2, (2.316)
приходим к уравнению
X2 + X4 + (с2 - с2) + 2с2Х2 = 0, (2.317)
которое заменой и = X2 приводится к уравнению для эллиптической
функции
ш2г + 4а;3 + 4 (с\ - с2) и + 8ciu;2 - 0. (2.318)
В третьем случае система уравнений (1.184) принимает вид
хг = у-х, (2.319)
yt = ~xz+^x-y, (2.320)
zt=xy-2z. (2.321)

134 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
Из (2.319) следует
y = xt+x. (2.322)
Подставляя (2.322) в (2.321), находим
z=lx*-i4e-*\ (2.323)
где сз — произвольная постоянная. Принимая во внимание (2.322) и (2.323),
из (2.320) имеем уравнение
хи + 2xt + \х* + |ж - |cie~2tx = 0. (2.324)
Используя замену переменных
x(t) = ^е~з*х(г), г - сзе"з*, (2.325)
уравнение (2.324) можно привести ко второму уравнению Пенлеве
Хтт = 2Х3 + тХ. (2.326)
В четвертом случае система уравнений (2.184) принимает вид:
хь = \{у-х), (2.327)
yt = rx -у — xz, (2.328)
zt = xy. (2.329)
Из (2.327) имеем
у = За* + ж. (2.330)
Подставляя (2.330) в (2.328) и (2.329), получим систему уравнений
3xtt + 4х* + ^ — rx 4- xz = 0, (2.331)
zt = Зхж* + x2. (2.332)
Подставляя z(£) из (2.331) в уравнение (2.332) и умножая полученное
окение на х2, приходим к уравнению:
3di vXtt ~х* + Iх)+ 4 \ХХи ~х*+ i*4)= °- (2-333)

2.21. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 2 135
Откуда находим первый интеграл
1 4с4 -t
xxtt-x2t+ Ах4 + -^е~з =о, (2.334)
где с\ — произвольная постоянная.
Полагая
X(t) = ^e"3I(r), r = С1,е'5 (2.335)
в (2.334), имеем третье уравнение Пенлеве
Хтт - ^ + ф -X3 - JL = 0. (2.336)
Таким образом, все четыре случая, при которых система уравнений
Лоренца (1.184) проходит тест Пенлеве, соответствуют случаям точно
решаемых уравнений.
2.21. Задачи и упражнения к главе 2
1) Найти особые точки функций и выяснить их характер
1 —Z
У = о, y = ZQ , y = thz,
1
3 11
(2.337)
2) Определить типы особых точек решений уравнений
2yyz = 1, Уг = -±|Д 2(у - z)yz = 1. (2.338)
3) Найти локальные представления общих решений третьего, четвертого и пятого
уравнений Пенлеве.
4) Используя замену переменных y(z) = zY(x), x — -z2 -fci (ci —
произвольная постоянная), показать, что асимптотическое решение третьего уравнения
Пенлеве представляется через общее решение уравнения
У№-Цг- 7К3 = 0. (2.339)

136 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
5) Найти общие решения уравнений (2.339) и (2.334) при а = 0.
6) Используя метод Ковалевской, провести анализ на свойство Пенлеве
следующих уравнений:
Vzzzz - 6y2z - 6yyzz = 0, (2.340)
yzzzz 4- 4у2 + M)Vzz 4- a0yzz = 0, (2.341)
zyXz+yz+shy = 0, (2.342)
yzz 4- b0yz 4- aoy 4- aiy2 4- сад3, (2.343)
У**** ~ 2/z* 4- ay2 4- c0y 4- c2 = 0, (2.344)
yzzz 4- 63/2/2 4- a0yz = 0, (2.345)
где ao, ai, a2, Ьо, со и с2 — постоянные.
7) Используя а-метод Пенлеве, исследовать на свойство Пенлеве систему
уравнений Лоренца.
8) Используя алгоритм Конта - Форди - Пикеринга, проверить на свойство
Пенлеве уравнения:
yzzzz 4- Ьу\ 4- 10yyzz 4- 10у3 = z, (2.346)
yzzzz - I0y2yzz - 10yy2z 4- 6y5 = zy + a. (2.347)
9) Используя метод Ковалевской, проверить на свойство Пенлеве систему
уравнений Эйлера (2.42).
10) Показать, что общее решение второго уравнения Пенлеве является
существенно трансцендентной функцией от постоянных интегрирования.
11) Доказать, что первое уравнение Пенлеве не имеет частных решений,
определяемых через классические функции.
12) Преобразования Бэклунда для третьего уравнения Пенлеве при (5 — 0, /3 =
= 7 = 1 имеют вид [19]:
y{z, а 4- 2) = * , (2.348)
zyz 4- (1 4- а)у + zyz
y(z, a - 2) = 1 . (2.349)
zyz 4- (1 - а)у - zyA
Используя формулы (2.348) и (2.349), найти соответствующие дискретные
уравнения.
13) Найти асимптотические решения четвертого уравнения Пенлеве.

2.21. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 2 137
14) Найти пару Лакса для второго уравнения Пенлеве, используя уравнение
w(\)U\ = 4UAZ -f 2AUZ 4- Azxx, (2.350)
полагая
w(A) = 1, A = a0(z) + ai(z)\, U = p(z) - 2\y 4- A2.
15) Полагая w(A) = A, A = a0(z)-\-a1(z)X и U = p(z)-2\y + \2 в (2.350), найти
пару Лакса для четвертого уравнения Пенлеве.

Глава 3
СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ
3.1. Интегрируемые системы
Процедура нахождения решений дифференциальных уравнений
называется интегрированием уравнений, и в этой связи различают
интегрируемые и неинтегрируемые системы. Дать точное определение интегрируемого
уравнения в общем случае не представляется возможным, поскольку
«если мы попытаемся сформулировать точное понятие интегрируемости, то
оказываются возможными многие различные определения, каждому из
которых присущ известный теоретический интерес» [81]. Сказанное вполне
соответствует замечанию Пуанкаре, что «система дифференциальных
уравнений может быть только более или менее интегрируемой» [4]. Тем не
менее, в ряде случаев относительно уравнений, заданных в конкретной форме,
можно утверждать, что они являются интегрируемыми.
Различают несколько типов интегрируемости уравнений [4,9,42,88,
149,161,163,246,248,267-269]. Один из них — системы, интегрируемые
в квадратурах, когда решение уравнений может быть найдено с помощью
конечного числа алгебраических операций. Для интегрирования системы N
обыкновенных дифференциальных уравнений в общем случае нужно знать
N первых интегралов. Однако для интегрирования гамильтоновых систем
в квадратурах, как правило, достаточно знать N12 первых интегралов, что
следует из теоремы Лиувилля [42,246].
Теорема 3.1. Пусть задана гамилътонова система 2п
дифференциальных уравнений с гамильтонианом Н (р, q, t), где puq — обобщенные
координаты и импульсы. Тогда если эта система уравнений имеет п
интегралов Fi, ..., Fn, находящихся в инволюции, т. е. таких, что для них

3.1. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ
139
выполняются соотношения:
8 F
^± + {Fi,H} = 0, {F,,Ffe} = 0, (3.1)
где {Fi,Fk} — скобка Пуассона, и если функции i*\, ..., Fk независимы
в пространстве переменных р, q и t, на мноэюестве Ма, определяемом
выражениями:
Fi (p, q, г) = аи г = 1, ..., п, (3.2)
то решения уравнений Гамильтона
. ОН . дН ,11Ч
лежащие на Ма, можно найти в квадратурах.
Одним из важных свойств уравнений Гамильтона является то, что они
допускают широкий класс преобразований переменных р и <f, которые не
изменяют общей формы уравнений, но могут быть полезны при
построении решений. Часто используемым преобразованием переменных р и q
является каноническое преобразование, в котором используются
переменные действия J и переменные типа угол а.
Функция Гамильтона Н'9 записанная в этих переменных
(существующих не всегда), не зависит от координат а. В этом случае система
уравнений (3.3) имеет вид
сц = Щ-, Ji = 0, i = l, ..., п (3.4)
и легко решается. В результате получаем
J = Jo = const, a — ао + й t. (3.5)
Таким образом, решение проблемы интегрирования уравнений
Гамильтона (3.3) сводится к отысканию переменных действие-угол. Можно дать
следующее определение.
Определение 3.1. Гамильтонова система (3.3) называется полностью
интегрируемой, и соответствующий гамильтониан интегрируемым, если
существует каноническое преобразование, с помощью которого можно перейти
к переменным действие-угол.

140
ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
В качестве простейшего примера рассмотрим интегрирование системы
двух гармонических осцилляторов единичной массы, для которых
гамильтониан и уравнения Гамильтона имеют вид [69]
Я=|(р?+й) + |(о;?|й+^), (3.6)
4% = Vu Pi = -Ufa, i = 1, 2- (3-7)
Каноническое преобразование, позволяющее перейти к переменным
действие-угол, выражается формулами:
1
Pi = (2u>iJi)2 cos «г, g» = — I -^j1) sina*, г = 1, 2. (3.8)
При этом гамильтониан в новых переменных и решение системы
уравнений принимают вид
Я' = wiJi + u;2 J2, Л - J<°\ J2 - 40), (3.9)
ai = wit + a^0), a2 = w2t + 4°}- (зло)
Полагая, что переменные действия соответствуют внутреннему и
внешнему радиусам поперечного сечения тора, а угловые переменные ai и а2
меняются при поворотах радиусов, получаем, что при фиксированных J\
и J2 эволюция системы (3.7) описывается движением по поверхности
двумерного тора. В трехмерном пространстве все фазовое пространство
системы (3.7) можно представить как совокупность вложенных друг в друга
торов, большой и малый радиусы которых определяются значениями J\ и J2.
Схожая картина реализуется для любой полностью интегрируемой гамиль-
тоновой системы с двумя степенями свободы. Фазовые траектории всегда
располагаются на двумерных концентрических торах. Для полностью
интегрируемых систем с п степенями свободы любая возможная траектория
в переменных действие-угол располагается на множестве n-мерных торов.
Одни из этих траекторий будут замкнуты, а другие всюду плотно заполняют
поверхность соответствующего тора.
Определение полностью интегрируемых гамильтоновых систем
формально подходит и для точно решаемых нелинейных уравнений в частных
производных, поскольку они могут быть интерпретированы как
бесконечномерные гамильтоновы системы.

3.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОУЛА - ХОПФА 141
Например, уравнение Кортевега - де Вриза:
qt + Gqqx+Qxxx = 0 (3.11)
можно записать в виде [1,28,78,88]
ox oq
где 5/Sq — вариационная производная функционала Гамильтона Н [q]:
со
lim | (Я [q + еSq] - Н [q]) = / Ш-Sqdx. (3.13)
£-+о c j о q
—со
Гамильтониан Н для уравнения (3.11) имеет вид
со
Н= J Uq2x-q^dx. (3.14)
—со
Уравнение (3.12) аналогично выражению:
z = JVH{z), (3.15)
справедливому для конечномерных систем, где z — вектор с компонентами
(<7ъ • • •» <7тГ» Р\ 1 • • • 5 Рп)> J — антисимметричная матрица и V — оператор
с компонентами -£—, .... •——.
dpi дрп
Уже упоминалось, что решение задачи Коши для уравнения
Кортевега - де Вриза может быть получено методом обратной задачи рассеяния.
Эта ситуация типична для точно решаемых нелинейных уравнений. С
одной стороны, их решение может быть получено методом обратной задачи
рассеяния, но с другой — их можно рассматривать как бесконечномерную
гамильтонову систему и поэтому такие уравнения часто называются
интегрируемыми уравнениями.
3.2. Преобразование Коула - Хопфа для уравнения
Бюргерса
Покажем, что уравнение Бюргерса:
щ + иих = /j, ихх (3.16)

142 ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
с помощью преобразования [126,178]
dlnz
и = —2/LL-
дх
(3.17)
можно свести к линейному уравнению.
Действительно, учитывая (3.17), имеем соотношение:
Щ + UUX - Цихх = -2/LL
дх
~(zt - iizxx)
из которого следует, что решение уравнения теплопроводности:
%t — № zxx — 0
(3.18)
(3.19)
по формуле (3.17) преобразуется в решение уравнения (3.16).
Преобразование Коула - Хопфа (3.17) позволяет найти решение задачи
Коши для уравнения Бюргерса.
Пусть в начальный момент имеем
и (х, t = 0) = <р (х),
(3.20)
тогда из (3.17) получаем
z(x1t = 0) = «(x)=exp|-^y,V(Ode|- (3.21)
Решение задачи Коши для линейного уравнения теплопроводности
находится с помощью функции Грина [5,89]:
:(x,t) = -±= /*Ф(0)ехр{-
2у/ТГ fit J I
— no ^
A\it
■dB.
(3.22)
Используя (3.22), получаем решение задачи Коши для уравнения
Бюргерса в виде
/
{х-в)
ехр
и (х, t) =
[ G(0,x,t)\
<Ю
ОО {
I ехр <
-ОО I
G(e,x,t)
2ц
(3.23)
(1в

3.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОУЛА - ХОПФА
143
^ в
где
G (0, х, t) = {Х ~гв) + J <р (О de. (3.24)
о
Рассмотрим решение (3.23) при фиксированных х и t и при /х —» 0.
Основной вклад в интегралы в (3.23) дают окрестности стационарных точек
функции G (0, х, t)9 таких, что
|f = *>(0)-^ = O. (3.25)
Пусть в* — в (х, t) — решение этого уравнения, тогда интеграл вблизи
в — в* вычисляется приближенно методом перевала [83] в соответствии с
формулой:
1
7 <ал \ G(e,x,t)\M /a,J 47ГМ У Г С(в*)\
В этом случае из (3.23) имеем
(3.26)
«(*,*) «2-г^, (3.27)
где в* — корень уравнения
<р(Р)-2-^=0. (3.28)
Таким образом, решение (3.23) при /х —> 0 можно представить в виде
и (а:, «)«¥>(**)> x = d*+cp(e*)t. (3.29)
Оно совпадает с решением задачи Коши для простейшего
квазилинейного уравнения:
|М+и|"=о, u(z,t = 0)=<p(x), (3.30)
at ox
которое получено в п. 1.10 методом характеристик.
Таким образом, решение задачи Коши для уравнения Бюргерса
находится в виде квадратур и это уравнение можно отнести к числу
интегрируемых уравнений. Однако, как правило, о таких уравнениях говорят, как о
точно решаемых, оставляя понятие интегрируемых уравнений за гамильто-
новыми системами.

144
ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
3.3. Преобразование Миуры и пара Лакса для уравнения
Кортевега - де Вриза
После открытия солитона [270] многие исследователи предприняли
попытки найти преобразование для уравнения Кортевега - де Вриза,
аналогичное преобразованию Коула - Хопфа. Это удалось сделать Р. Миуре,
который установил что преобразование
u = vx—v2 (3.31)
позволяет находить решения уравнения Кортевега - де Вриза
К [и] =щ + 6иих + иххх = 0 (3.32)
при известном решении модифицированного уравнения Кортевега - де
Вриза
М [v] =vt~ 6v2vx 4- vxxx = 0. (3.33)
Миура нашел, что для уравнений (3.32) и (3.33) справедливо
соотношение:
K[u}=(j^-2v^M{v}.
(3.34)
Однако преобразование (3.31) само по себе не упрощает решение
уравнения Кортевега - де Вриза, поскольку связывает решения двух нелинейных
уравнений. Тем не менее, именно это преобразование стало ключом к
открытию метода обратной задачи рассеяния.
Заметим, что модифицированное уравнение Кортевега - де Вриза (3.33)
можно представить в виде
Vt —6VVX + Vxxx = Щ +
дх
(£+2„) („,-„*)]
-*+£
\дх
+ 2t7 ) И
-0,
и поэтому уравнения (3.31) и (3.33) можно записать как систему уравнений:
(3.35)
vx =u + v2;
vt
__д_
дх
(&+*)

3.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МИУРЫ И ПАРА ЛАКСА 145
При этом условие совместности для уравнений (3.35)
Ы« = (vt)x (3.36)
дает уравнение Кортевега - де Вриза (3.32). Уравнение (3.32) допускает
группу преобразований Галилея, поэтому в преобразование Миуры (3.31)
можно добавить постоянное число Л. В этом случае система
уравнений (3.35) примет вид
Ux = и + А + v2; (3.37)
ах
(£+2w)(u-2A)
Если ввести замену
ф'
(3.38)
(3.39)
то систему уравнений (3.37) можно привести к системе линейных
уравнений [155]
Фхх + (и + А) Ф = 0;
(3.40)
*« = (с + их) Ф - 2 (и - 2А) Фв,
где с (£) — находится при интегрировании (3.38) по х.
Система уравнений (3.40) может быть представлена в виде [215]
£Ф = АФ;
где L — оператор Шредингера
? д2
L = —-^ — м
ах2
п А — вспомогательный эволюционный оператор, имеющий вид
А = 2 (2А - и) ■&- + (с + их).
Используя условие совместности
(Фхх)4 = (Ф«)хх .
(3.41)
(3.42)
(3-43)
(3.44)
(3.45)

146
ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
находим, что уравнение Кортевега - де Вриза эквивалентно операторному
уравнению [1,28,78,215,220,244]:
Lt + [2, 1] - 0, (3.46)
где Z., А —коммутатор.
Если задано нелинейное уравнение в частных производных:
ut = Е (и, их, ..., х, t), (3.47)
то можно дать определение.
Определение 3.2. Система уравнений (3.41), (3.42) называется парой
Лакса для уравнения (3.47), если операторное уравнение (3.46)
эквивалентно уравнению (3.47).
Уравнение Кортевега - де Вриза относится к классу нелинейных
уравнений в частных производных, которые не могут быть сведены к одному
линейному уравнению. Однако оно эквивалентно системе линейных
уравнений относительно новой функции Ф (ж, £, Л).
Используя систему уравнений (3.41) и (3.42), можно построить
решение задачи Коши уравнения Кортевега - де Вриза методом, получившим
название метода обратной задачи рассеяния.
В этом методе при заданном начальном условии для уравнения (3.32)
u(x,t = 0) = f(x), (3.48)
таком, что
оо
I (1 + |х|) |/ (х) \dx<oo, (3.49)
— оо
находятся данные рассеяния путем решения стационарного уравнения Шре-
дингера (3.41). Затем из уравнения (3.42) определяется временная
зависимость данных рассеяния. После чего решается обратная задача:
определяется потенциал, который как раз и является решением уравнения Кортевега -
де Вриза.
3.4. Законы сохранения для уравнения Кортевега -
де Вриза
Законы сохранения являются важнейшими свойствами физических
систем и широко используются при формулировке математических моделей и

3.4. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КДВ 147
при решении различных задач математической физики. Они занимают
особое место в газовой динамике, поскольку математические модели газовой
динамики включают в себя законы сохранения массы, импульса и энергии.
Так, уравнение непрерывности, отражающее закон сохранения массы газа,
имеет вид
где р — плотность газа; и — его скорость; х — координата; t — время.
Интегрируя это уравнение по х, получаем
оо
| J pdx=pu\Z>- (3-51)
—со
Предполагая, что потоки массы газа при х —* ±оо равны нулю,
из (3.51) находим, что интеграл от плотности
со
pdx — const (3.52)
со
/
— со
не зависит от времени и является сохраняющейся величиной.
Аналогичные соображения могут быть высказаны относительно любого уравнения
математической физики, которое представляется в виде [78,136]
at дх
Определение 3.3. Говорят, что уравнение в частных производных
Е (и, их, ии ... , х, t) = 0 (3.54)
имеет п законов сохранения, если оно может быть представлено в виде
dTi , dXi
dt дх
= 0, г = 1, ..., гс, (3.55)
где Тг — плотность; Xi — поток; причем Т* и Хг зависят от и и ее
производных по х и t.
Открытие солитонов поставило вопрос о законах сохранения для
уравнения Кортевега - де Вриза:
щ + 6иих + иххх = 0. (3.56)

148 ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
Очевидно, что это уравнение может быть представлено в виде
ff + £(ux* + 3U2)=0, (3.57)
и поэтому для этого уравнения можно взять
Тг =щ Хг= ихх + Зм2, (3.58)
что дает
со
/ udx — const. (3.59)
—сю
Были найдены также два других закона сохранения:
Т2 = и2, Х2 = 2иихх - и\ + 4и3 (3.60)
и
Т3 = и3 - -и2х, Х3 = Зи2ихх + -и4 - duul 4- ихиххх + -^х. (3.61)
Однако новые законы сохранения для уравнения Кортевега - де Вриза
оказалось найти сложнее. К. Гарднер предложил для этой цели использовать
преобразование Миуры в виде [1,78]
u = w — ewx- e2w2, (3.62)
позволяющее получить соотношение между:
wt + 6(w- e2w2) wx + wxxx = 0 (3.63)
и уравнением Кортевега - де Вриза (3.56). Это соотношение имеет вид
щ + 6иих + иххх = ( 1 - 2e2w - е— J [wt + 6 (w - e2w2) wx + wxxx] .
(3.64)
Из (3.64) следует, что и (ж, t) не содержит параметр е. Это
возможно, если w = w (ж, £, г). Будем искать w (ж, £, б) в виде разложения по
степеням е:
оо
w (ж, *, б) = ]Р wn (ж, *) еп. (3.65)
71=0

3.5. ОТОБРАЖЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БЭКЛУНДА 149
Из (3.63) получаем
оо
/ w (х, £, г) dx = const, (3.66)
— со
и поэтому
оо
/ wn (х, t) dx = const, n = 1, 2, — (3.67)
—оо
Подставляя (3.65) в формулу (3.62) и приравнивая выражения при
одинаковых степенях г нулю, имеем
wo = w, wi = гу0гЖ = ^ж,
^2 = г^15 ж + Wq = г*жж + г*2,
(3.68)
^з = гу2,ж + 2wqw1 = иххх + 4гшж,
^4 = w3, х + 2wow2 + ги? = г^жж + втш^ + 5гх^ + 2и3.
Все эти выражения дают законы сохранения для уравнения Кортевега -
де Вриза. Процедура поиска wn может быть продолжена, что ведет к
бесконечному множеству законов сохранения. Это важное свойство типично для
точно решаемых уравнений методом обратной задачи рассеяния.
3.5. Отображения и преобразования Бэклунда
Можно заметить, что преобразования играют важную роль при
исследовании нелинейных уравнений в частных производных. Мы видели, что
преобразование Коула - Хопфа позволило свести уравнение Бюргерса к
линейному уравнению теплопроводности. С помощью преобразования Миуры
уравнение Кортевега - де Вриза удалось представить в виде пары Лакса.
Обобщение К. Гарднером преобразования Миуры позволило найти
бесконечное количество законов сохранения для уравнения Кортевега - де Вриза.
Перечисленные преобразования позволяют при известном решении одного
из уравнений находить решения других уравнений и, по существу,
являются отображениями решений одного уравнения на решение другого. Дадим
определение.

150 ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
Определение 3.4. Пусть заданы два дифференциальных уравнения:
D[u]=0 (3.69)
и
Е [v] = 0. (3.70)
Будем говорить, что дифференциальная подстановка
u = F[v, vx, ...] (3.71)
является отображением уравнения (3.70) на уравнение (3.69), если найдется
оператор В, такой, что
D[F[v]]=BE[v). (3.72)
Дифференциальная подстановка (3.71) очень важна для поиска
решений уравнения (3.70). Однако при построении решений точно решаемых
уравнений более важными подстановками являются преобразования
Бэклунда [1,70,78,117,256].
Определение 3.5. Два соотношения:
Я< [и, V, А] = 0, г = 1,2, (3.73)
называются преобразованиями Бэклунда для уравнений (3.69) и (3.70), если
уравнения (3.69) и (3.70) и соотношения (3.73) являются совместными.
Под совместностью уравнений (3.69), (3.70) и соотношений (3.73)
имеется в виду следующее. Если задано решение уравнения (3.69), то из
соотношений (3.73) находится однозначно решение уравнения (3.70), и наоборот.
Определение 3.6. Если уравнения (3.69) и (3.70) совпадают при замене
и —* v, то соотношения (3.73) называются автопреобразованием Бэклунда.
Очень важным обстоятельством является то, что в соотношения (3.73)
входит постоянный параметр А.
В качестве примера рассмотрим условия Коши - Римана и покажем, что
они являются автопреобразованием Бэклунда для уравнения Лапласа [1]:
Й + Й=°- (3-74)
oxz oyz
Пусть и — решение уравнения (3.74). Покажем, что v9 которое
находится из условий Коши — Римана
ди _ _dv_ дл __ д_и .- 7<-ч
дх ду' дх ду'
является также решением уравнения (3.74).

3.6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БЭКЛУНДА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ Sf 151
Из (3.75) имеем
д2и
дхду
откуда следует
- д2у 92г> _
ду2' дх2
д2у , д2у п
дх2 ду2 '
д2и
дудх
(3.76)
Преобразования Бэклунда чрезвычайно полезны при нахождении
решений нелинейных уравнений в частных производных. В частности, пара
Лакса (3.41), (3.42) для уравнения Кортевега - де Вриза служит также
преобразованием Бэклунда между уравнением Кортевега - де Вриза и уравнением
относительно функции Ф (ж, t, А).
3.6. Преобразования Бэклунда для уравнения sin-Гордона
Найдем преобразование Бэклунда для уравнения sin-Гордона [90]:
<Р£Т = sin (p. (3.77)
Предположим, что два решения уравнения (3.77) представляются через
новые переменные и и у:
(p = u-\-v, Ф = u-v, (3.78)
которые определяются из уравнений:
Щ = 1(у), vT = g(u). (3.79)
Здесь / (у) и д (и) — функции, которые требуется найти.
Дифференцируя первое выражение (3.79) по г и второе по £, приходим
к соотношениям:
Щт = fv9 М, vTz = guf (v), (3.80)
из которых после сложения и вычитания находим
fv9 (и) + guf (у) = sin <р, (3.81)
fv9 (и) ~ guf (v) = sin Ф,

152
ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
откуда получаем
fv9 (и) — 7л (sin <р + sin Ф) = sin и • cos v,
(3.82)
9uf (v) = о (sin <£> — sin Ф) = sin v • cos w.
Разделив первое из этих выражений на второе, имеем
у tg г; = у tg м. (3.83)
Откуда находим
f(v)=cisinv, д (и) = с2 sin и, (3.84)
где с\ и С2 — постоянные интегрирования.
Полагая ci = а, из (3.82) находим: с2 = 1/а.
Поскольку
о? + Ф <z>- Ф
то (3.79) можно представить в виде
у>£ + Ф$ = 2а sin ^-y-, (3.85)
9 Q? + Ф
^Т-Фт = |яп^у—. (3.86)
Эти соотношения являются преобразованиями Бэклунда для
уравнения sin-Гордона. Они получены А. Бэклундом в 1880 г. при исследовании
поверхностей постоянной отрицательной кривизны, и теперь аналогичные
преобразования для нелинейных уравнений называются его именем.
Предполагая, что <р — решение уравнения sin-Гордона и исключая
(р из (3.85), (3.86), находим, что Ф также удовлетворяет уравнению sin-
Гордона. Это обстоятельство позволяет последовательно находить
аналитические решения уравнения sin-Гордона. Очевидно, что Ф — 0 является
тривиальным решением уравнения sin-Гордона. Подставляя Ф = 0 в
преобразования (3.85), (3.86), имеем систему уравнений:
y>£ = 2asin^, <pT = 5siny (3.87)

tg2f = T(r)e2<*
Из сравнения (3.88) находим
2т
Т(т) = еа ,
и поэтому
tg2|=X(0e«T
Х(£)=е2а*
3.7. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БЭКЛУНДА ДЛЯ УРАВНЕНИИ КДВ 153
Интегрируя первое уравнение по £, а второе по т, получаем
(3.88)
(3.89)
tg2!=exp{2(a£+£)}. (3.90)
Откуда имеем решение уравнения sin-Гордона в виде топологического
солитона:
ip = 4arctg [±ехр (< + £)] . (3.91)
Указанная процедура нахождения аналитических решений уравнения
sin-Гордона может быть продолжена, если воспользоваться итерационным
процессом.
Более сложные решения могут быть получены из формулы, которая
выводится из системы четырех уравнений, подобных (3.85). Используя
соответствующую теорему и тригонометрические формулы, получаем связь
между решениями <ро, <Ръ ^2 и <£з уравнения sin-Гордона в виде [78]:
где Xi — постоянные (г = 1,2). Применение формулы (3.92) при трех
известных решениях позволяет находить новые солитонные решения уравнения
sin-Гордона.
3.7. Преобразования Бэклунда для уравнения
Кортевега - де Вриза
Если преобразование Миуры для уравнения Кортевега - де Вриза
использовать в виде
u = Vx- \-v2, (3.93)
где А — постоянная, то соотношение Миуры примет вид:
щ + 6иих + иххх = ( \-2vj [vt - 6 (v2 + A) vx + vxxx] . (3.94)

154 ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
После замены v —► — v соотношение, связывающее модифицированное
уравнение Кортевега - де Вриза и уравнение Кортевега - де Вриза, остается.
Однако решение уравнения Кортевега - де Вриза при этом будет другим
и' = -Х-ух-у2, (3.95)
Складывая (3.93), (3.95) и вычитая, имеем
А + г;2, ^Цр^*. (3.96)
"х, и' = <4, (3.97)
2A+|(u;-u/)2 = 0. (3.98)
Модифищфованное уравнение Кортевега - де Вриза
vt-6 (v2 + A) vx 4- vxxx = О
с учетом (3.96) можно записать в виде
шь - u)'t + 3 (ш'х + шх) К - шх) + ujxxx - и>'ххх = 0. (3.99)
При этом уравнение, которому удовлетворяет и и а/, имеет вид
щ + За;2 + о;^ - 0. (3.100)
Система уравнений (3.98) и (3.99) является преобразованиями Бэклун-
да для уравнения (3.100), поскольку при заданном а/ решение а;, найденное
из (3.98), (3.99), является также решением уравнения (3.100).
Преобразования Бэклунда (3.98), (3.99) могут быть использованы при
нахождении аналитических решений уравнения Кортевега - де Вриза.
Полагая о/ = 0 в этой системе, из (3.98) имеем уравнение:
их - 2к2 + |ы2 = 0, А - -/с2, (3.101)
с решением в виде
ш (ж, t) = 2к th [fee + c(t)]. (3.102)
v! + u _
2 ~
Обозначив
u =
из (3.96) находим

3.8. СЕМЕЙСТВО УРАВНЕНИИ КОРТЕВЕГА - ДЕ ВРИЗА 155
Подставив (3.102) в (3.99), находим c(t) = —4k2t + (ро, где <р0 —
постоянная. Решение (3.102) дает односолитонное решение уравнения Корте-
вега - де Вриза. Используя итерационный процесс из (3.98), (3.99), можно
найти другие решения уравнения Кортевега - де Вриза.
Однако при нахождении решений удобно воспользоваться
алгебраической формулой, которая может быть получена из (3.98). Полагая о; = o;i,
а/ = шо, 2А = — Ai, из (3.98) имеем [70]:
1 2
uix + иох = Ai - 2 (wi - <*><)) • (3.103)
Аналогичным путем получаем соотношения:
1 2
"2х + LJ0x = А2 - ^ (^2 ~ ^о) , (3.104)
1 2
^Зж + u>i* = А2 - 2 (^з - wi) , (3.105)
1 2
w3z + (х72ж = Ai - ^ (^з - u>i) • (3.106)
Из (3.103), (3.104), (3.105) и (3.106) находим формулу [70]:
которая полезна при нахождении аналитических решений уравнения
Кортевега - де Вриза.
3.8. Семейство уравнений Кортевега - де Вриза
В 1968 г. П. Лаке решил задачу о нахождении всех уравнений в
частных производных, для которых решение задачи Коши может быть получено
методом обратной задачи рассеяния с использованием стационарного
уравнения Шредингера. Он предложил искать класс уравнений, представимых
в виде системы двух линейных уравнений [1,78,215]:
Фхж + (А + г/)Ф = 0; (3.108)
Ф* = В (и, их, ..., А) Ф - 2Е (и, их, ..., А) Фж , (3.109)
где В и Е — функции от А, и и от производных и по х, которые требуется
найти.

156 ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
Условие совместности
(*«*), = (**)ях (3.110)
приводит к соотношениям:
ВХ=ЕХХ, (3.111)
Щ + Вхх + 4 (Л + и) Ех + 2?хж£ = 0. (3.112)
Подставляя (3.111) в (3.112), получаем уравнение:
Щ + Еххх + 4 (Л 4- и) Ех + 2?хж£ = 0, (3.113)
которое зависит от параметра Л.
Предположим, что зависимость Е от Л имеет вид
п
Я = ][)(-4А)п-*£*, (3.114)
fc=0
тогда, подставляя (3.114) в (3.113) и приравнивая выражения при
одинаковых степенях Л нулю, имеем соотношения:
ЯЬх=0, (3.115)
-^Г1 = Екххх + АиЕкх + 2uxEfc, (fc = 0,..., п) (3.116)
и уравнение:
„( + 2|^=0. р.,17)
Соотношение (3.116) является рекурентной формулой для определения
оператора Ленарда [215]:
Ek = Lk[u], i°M = |.
Полагая в (3.115) Eq = ^ находим из (3.116)
Ег =L1[u] = u, (3.118)
Е2 = L2[u) = ихх + Зи2, (3.119)
Ег = L3[u] = ихххх + 10шххх + Ъи2х + Юг*3, (3.120)

3.9. СЕМЕЙСТВО УРАВНЕНИЙ АКНС 157
£■4 — L \и\ = UXXxxxx + lAuUxxxx + 2ТОЖ^ЖЖЖ4- 1014
+21w^ 4- 70 A^ 4- 70uul 4- 35гЛ
Подставив (3.118) - (3.121) в уравнение (3.117), получим семейство
уравнений [75,78,215]:
иг 4- jkLl\u\ = Щ+их = 0, (3.122)
щ 4- —L2[u] =ut 4- 6?х?хж 4- г*жжх = 0, (3.123)
щ 4- tt-L3[u] = wt 4- 10?х?хжхж 4- 30и2их 4- 20ихихх 4- гххжхжх = 0, (3.124)
Щ 4- ^Г^М = wt 4- l^uuxxxxx 4- 70и2иххх 4- &2ихихххх+
+70иххиххх 4- 280гшхгАа;ж 4- 70*4 4- 140 Аж 4- глжжжжжжж = 0.
Семейство уравнений (3.122)—(3.125) называется иерархией уравнений
Кортевега - де Вриза. Все уравнения этого семейства, очевидно, имеют
нечетные порядки, что соответствует отсутствию диссипативных членов.
Решения задачи Коши для всех уравнений этого семейства могут быть
получены методом обратной задачи рассеяния на основе системы линейных
уравнений:
Ъхх 4- (Л + и)Ъ = 0, (3.126)
*t = (ф) + £(-4A)n-fcL*[u] ) Ф ~ 2 ( E(-4A)n-fcLfcM ) **■
V к=0 ) \fc=0 /
(3.127)
Система уравнений (3.126), (3.127) является парой Лакса для семейства
уравнений Кортевега - де Вриза.
3.9. Семейство уравнений АКНС
В 1971 г. В.Е. Захаров и А.Б. Шабат показали, что задача Коши для
нелинейного уравнения Шредингера может быть также решена методом
обратной задачи рассеяния. Однако для решения этой задачи они
использовали систему из четырех линейных уравнений первого порядка [29].
В 1973 г. М. Абловиц, Д. Кауп, А. Ньюэлл и X. Сигур, обобщив эту
задачу, нашли большое число точно решаемых уравнений, которые теперь
называются иерархией АКНС [1,96-98].

158 ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
Для нахождения этого семейства они использовали систему линейных
уравнений:
ФЖ = РФ; (3.128)
*t = Q*, (3.129)
Где / Ф1 \
ф=(*1] (3-130)
и матрицы Р и Q размерности 2x2, имеющие вид
Элементы матрицы Л, е и / зависят от переменных х и £ и параметра Л,
решения g и г от х и £.
Условие совместности системы уравнений (3.128), (3.129)
(**)t = (*t)x (3.132)
соответствует матричному уравнению [1,28,78]:
A-Q*+[£,§] -о, (злзз)
где Р, Q — матричный коммутатор. Из (3.133) находятся условия для
элементов матрицы Q в виде
qt - 2hq = ex - 2гАе, (3.134)
г* + 2ftr = fx + 2гА/, (3.135)
hx = qf-er. (3.136)
Решения для элементов матрицы Q ищутся в виде:
ft<n>(M, А) = £ An-*ftfc(rr,*), (3.137)
fc=0
n
/<п>0М,А) = Х>п~*Л0М), (3.138)
fc=i
n
e<")(x,t,A) = £An-fcefc(M). (3.139)
fe=i

3.9. СЕМЕЙСТВО УРАВНЕНИЙ АКНС 159
Пусть п = 3, тогда из (3.137) - (3.139) имеем
h^ =h3 + h2\ + /цА2 + /i0A3, (3.140)
/(3)-/з + /2А + ЛЛ2, (3.141)
e^=e3 + e2A + eiA2. (3.142)
Подставляя (3.140) - (3.142) в систему уравнений (3.134) - (3.136) и
приравнивая выражения при одинаковых степенях А нулю, находим
Л(3) = ^Vx - *frqx + |rg + с3 + (frg + с2) Л + ClA2 + с0Л3,
(3.143)
/<3> = -jC2r + г-^-гхх + ^-гж - ^9г2 + ( ^гж - icir J Л - icorX2,
(3.144)
f3i • , i°o c\ ico 2 (• , со \ . . .о
ew = _гС2д + _дхх - — Qx - -rj-rq' - licxq + —qx 1 A - icoqW
(3.145)
Из условия совместности (3.133) имеем также два уравнения
относительно r(x, t) и q(x, i) в виде:
Згсп о Л гсо - ci ^ /о 1 л £\
qt + -~2-rqqx - cxrq - 2с3<? - ~j-qxxx + гс2<?ж + ^-^жж = 0, (3.146)
г* + -j-qrrx + ci^r + 2c3r - -j-rxxx + гс2гж - — rxx = 0. (3.147)
Полагая с0 = 0, ci = 2г, С2 — c3 = 0 и г — q* из (3.146), (3.147),
приходим к нелинейному уравнению Шредингера
Qt = *fer ~ 2г|<?| V (3.148)
Пара Лакса для (3.148) определяется системой уравнений (3.128),
(3.129), где элементы матрицы Q выражаются формулами
h = i\q\2 + 2i\2, / = г<?* + 2<?*А, е = -iqx + 2<?А. (3.149)
В случае со = 4г, ci = с2 = с3 = 0 и q = -г из (3.146), (3.147)
приходим к модифицированному уравнению Кортевега - де Вриза
П + 6г2гж + гжжж - 0. (3.150)

160
ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
Пара Лакса для (3.150) опять же определяется системой уравнений
(3.128), (3.129), с элементами матрицы Q в виде:
h = -2гг2А + 4гА3,
/ = ~(гхх + 2г3) 4- 2irxX + 4rA2,
(3.151)
е = гхх + 2г3 + 2ггх\ - 4гА2.
Система уравнений (3.128), (3.129) является также парой Лакса для
уравнения sin-Гордона
uxt = sin гх,
если матрицы Р и Q взять в виде:
/
р =
i\
киЛ
\2Пх
2
-гЛ
(-1
Q
)
cos и — т sin
«\
— -7 sm гх
4
4
cosw
(3.152)
(3.153)
Семейство уравнений АКНС, к которому относятся нелинейное
уравнение Шредингера, модифицированное уравнение Кортевега - де Вриза и
уравнение sin-Гордона, как и уравнения семейства Кортевега - де Вриза,
имеют бесконечное число законов сохранения [136].
Формально эти уравнения, как и уравнения Кортевега - де Вриза, могут
быть записаны как гамильтоновы системы. Они имеют преобразования Бэк-
лунда и ряд других свойств, характерных для точно решаемых нелинейных
уравнений в частных производных.
ЗЛО. Тест Абловица - Рамани - Сигура для нелинейных
уравнений в частных производных
Открытие К. Гарднера, Д. Грина, М. Крускала и Р. Миуры в 1967 г.
метода решения уравнения Кортевега - де Вриза привлекло внимание к
проблеме интегрирования нелинейных уравнений в частных производных
многих исследователей. Последующие результаты В.Е. Захарова и А.Б. Ша-
бата для нелинейного уравнения Шредингера и М. Абловица, Д. Каупа,
А. Ньюэлла и X. Сигура для иерархии АКНС привели к вопросу о критерии,

ЗЛО. ТЕСТ АБЛОВИЦА-РАМАНИ-СИГУРА 161
с помощью которого можно было бы установить, является ли нелинейное
уравнение точно решаемым или нет.
В этой связи М. Абловиц и X. Сигур в 1978 г. обратили внимание [100]
на то, что если в нелинейных уравнениях в частных производных,
имеющих решения в виде солитонов, искать решения, используя автомодельные
переменные или переменные бегущей волны, то полученные обыкновенные
дифференциальные уравнения имеют свойство Пенлеве.
Действительно, если, например, решение модифицированного
уравнения Кортевега - де Вриза
vt - 3v2vx + vxxx = 0 (3.154)
искать в переменных бегущей волны
v(x,t) = V(£), £ = ж-со*, (3.155)
то для V (£) получаем уравнение:
% - V3 - coV 4- а = 0, (3.156)
которое имеет свойство Пенлеве, поскольку решение уравнения (3.156)
может быть выражено через эллиптическую функцию Якоби.
Модифицированное уравнение Кортевега - де Вриза (3.154) допускает
группу преобразований неоднородного растяжения [20,33,80,194], и
поэтому его решение можно также искать в виде
v (ж, t) = (3t)~1/3 F(9), в = х (3t)~1/s . (3.157)
Подставляя (3.157) в уравнение (3.154) и интегрируя по 0, имеем второе
уравнение Пенлеве:
Fee = 2F3 +6F + a, (3.158)
также обладающее свойством Пенлеве.
Из этих примеров видно, что переход от точно решаемого
уравнения (3.154) к обыкновенным дифференциальным уравнениям ведет к
уравнениям, имеющим свойство Пенлеве.
Если искать решения уравнения Кортевега - де Вриза:
щ + 6иих + иххх = 0 (3.159)
в переменных бегущей волны
и (ж, t) = U (О , £ = х - cot, (3.160)

162 ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
то для U (£) получается уравнение:
% + 3U2 - coU - а = 0, (3.161)
имеющее также свойство Пенлеве.
Уравнение (3.159), как и уравнение (3.154), также допускает группу
неоднородного растяжения, и его решение можно искать в виде
и (ж, t) - (3t)~2/3 f (в), в = х (3t)~1/3 . (3.162)
При этом уравнение для f (в) имеет вид
feoe + 6/Л - вU - 2/ - 0. (3.163)
Оно также имеет свойство Пенлеве. Его решение может быть получено,
если использовать преобразование Миуры
f = Fe-F2, (3.164)
где F (0) — решение уравнения (3.158).
Если решение уравнения (3.159) искать в виде
u = q(z)-\t, z = x-\-3\t2, (3.165)
где Л — параметр, то после интегрирования по z для q (z) получаем первое
уравнение Пенлеве:
qzz -\-3q2 -Xz = c1. (3.166)
В качестве еще одного примера рассмотрим нелинейное уравнение
Колмогорова - Петровского - Пискунова [43,148,167]:
Щ — ихх + аи — 6и2. (3.167)
В переменных бегущей волны уравнение (3.167) принимает вид
Щ£ - с0Щ 4- a U - 6U2 = 0. (3.168)
Оно не имеет свойства Пенлеве, и, следовательно, исходное
уравнение (3.167) не является точно решаемым.
Таким образом, действительно, если от точно решаемых нелинейных
уравнений в частных производных переходить к обыкновенным
дифференциальным уравнениям, то последние оказываются имеющими свойство

3.11. МЕТОД ВАЙСА - ТАБОРА - КАРНЕВЕЙЛЯ 163
Пенлеве. Это наблюдение позволило М. Абловицу, А. Рамани и X. Сигу-
ру высказать гипотезу о свойстве Пенлеве, которую можно рассматривать
как критерий интегрируемости нелинейного уравнения в частных
производных [1,99].
Гипотеза о свойстве Пенлеве. Нелинейное уравнение в частных
производных является точно решаемым уравнением, только в том случае, если
любое нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение,
полученное из него в результате замены переменных (автомодельные переменные,
переменные бегущей волны и т.д.), имеет (возможно после дополнительного
преобразования) свойство Пенлеве.
Эту гипотезу можно использовать как тест для определения точно
решаемого нелинейного уравнения в частных производных, который
применяется следующим образом.
Пусть задано нелинейное уравнение в частных производных:
£) = 0, (3.169)
тогда, используя инвариантные переменные (переменные бегущей волны,
автомодельные переменные и т.д.), уравнение (3.169) преобразуется к
обыкновенному дифференциальному уравнению. Далее анализируется
полученное обыкновенное дифференциальное уравнение на свойство Пенлеве. Это
может быть сделано путем сравнения со списками уравнений, имеющих
свойство Пенлеве, или путем специального анализа полученного уравнения.
Если исследуемое уравнение имеет свойство Пенлеве, то следует
проверить, к каким уравнениям приводят другие подстановки. В случае, если все
полученные обыкновенные дифференциальные уравнения имеют свойство
Пенлеве, есть основание надеяться, что исходное нелинейное уравнение в
частных производных является точно решаемым. Если же какое-либо из
обыкновенных дифференциальных уравнений не имеет свойства Пенлеве,
то весьма вероятно, что исходное нелинейное уравнение в частных
производных не будет интегрируемым. Однако возможны случаи, когда исходное
уравнение является точно решаемым, хотя обыкновенное
дифференциальное уравнение имеет свойство Пенлеве только после соответствующего
преобразования.
3.11. Метод Вайса - Табора - Карневейля для анализа
нелинейных уравнений
Применение гипотезы Абловица - Рамани - Сигура для анализа
нелинейных уравнений в частных производных является трудоемкой процеду-

164 ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
рой. Это связано с тем, что, во-первых, требуется найти все преобразования,
с помощью которых решения исходного нелинейного уравнения в
частных производных можно найти через решения ОДУ. Для этой цели обычно
используется групповой анализ дифференциальных уравнений, открытый
норвежским математиком Софусом Ли [33,80]. Во-вторых, требуется
исследовать на свойство Пенлеве все ОДУ, полученные из исходного уравнения
в частных производных, которых может оказаться достаточно много.
Этот недостаток был устранен в обобщении теста Пенлеве,
предложенного в 1983 г. в работе Дж. Вайса, М. Табора и Г. Карневейля [262].
Идея метода Вайса - Табора - Карневейля (ВТК) состоит в следующем.
Пусть задано нелинейное уравнение в частных производных:
Е(их,ии ...,ж, £) = 0. (3.170)
Его решение ищется в виде разложения [141,174,228,240,241,262]
оо
u(x,t) = ^2ujzj'p, (3.171)
3=0
где z(x, t) — новая функция, р — число, которое определяется при
подстановке
u = u0z-p (3.172)
в ведущие члены уравнения (3.170). Из сравнения выражений с
наименьшими степенями находятся семейства решений с конкретными р и щ. При
этом коэффициенты иэ- в (3.171) зависят от производных функции z(x, t).
Метод, предложенный Вайсом, Табором и Карневейлем, во многом
напоминает алгоритм Ковалевской, но отличается тем, что вместо переменной
£ = z — zq используется функция z (ж, t) и вместо постоянного
коэффициента ао предполагается, что коэффициент и3- зависит от производных функции
z (ж, t). Новая функция z (ж, t) является сингулярным многообразием, и
поэтому метод ВТК часто называется методом сингулярных многообразий.
Как и в случае алгоритма Ковалевской, на первом этапе в методе ВТК
предполагается, что уравнение (3.170) проходит тест Пенлеве, если
рв(3.Нецелое.
На втором этапе ищутся индексы Фукса точно так же, как для
обыкновенных дифференциальных уравнений. С этой целью в ведущие члены
уравнения (3.170) подставляется выражение:
и — uqz р 4- urzr
(3.173)

4.2. ПЕНЛЕВЕ-АНАЛИЗ УРАВНЕНИЯ БЮРГЕРСА
165
Третий этап исследования состоит в определении произвольных
функций для коэффициентов разложения (3.171) с номерами, равными индексам
фукса.
Как и в случае ОДУ, считается, что (3.170) проходит тест Пенлеве,
если индексы Фукса - целые, и число произвольных функций совпадает с
порядком исходного уравнения. Проверка исходного уравнения на свойство
Пенлеве, как и в случае ОДУ, позволяет сделать вывод лишь о необходимом
условии интегрируемости уравнения.
Однако Вайс, Табор и Корневейль пошли дальше и для целого ряда
нелинейных уравнений получили достаточное условие интегрируемости.
С этой целью они предположили, что Uj = 0 при j > р в (3.171) и в
результате пришли к преобразованию:
"=^ + ^гт+ •••+«р, (3-174)
позволяющему найти ряд свойств, характерных для точно решаемых
нелинейных уравнений в частных производных.
3.12. Пенлеве-анализ уравнения Бюргерса методом ВТК
Проанализируем уравнение Бюргерса:
щ + иих - vuxx = 0 (3.175)
методом ВТК [262]. Ведущими членами этого уравнения являются второе
и третье слагаемые. Поэтому, подставляя
_ Wo _ и0,х _ pUpZx
U ~ „р» их ~ р ~ „+1 ,
U0,xx 2pU0,xZx PU0ZXX , f , iNMoZjc
uxx = —p —^ -j^+pCp + I)-^
в уравнение (3.175) и приравнивая выражения при наименьшей степени
z (ж, t), получаем соотношение:
pu\zx _ vp(p+ l)u0z%
z2p+l ~ zp+2
= 0. (3.176)

166 ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
Из равенства (3.176) следует, что если щ ф 0 и zx ф О, то, во-первых,
2р + 1 = р + 2, откуда р — — 1 и, во-вторых,
щ — — 2vzx. (3.177)
Таким образом, для уравнения Бюргерса имеем одно семейство
решений:
р = — 1, щ = — 2zazx. (3.178)
Поскольку р — — 1, то выполняется первое необходимое условие для
того, чтобы уравнение Бюргерса проходило тест Пенлеве.
На втором этапе в ведущие члены уравнения (3.175) подставляется
соотношение:
2vzx
Поскольку
M=_f^£+ j-le (3179)
U™-~ Z + ^2 ^3~ +
+гу (j - 1) (J - 2) z^-3 + ^ (j - 1) zj-2zxx + • • • ,
то после подстановки и, их и ихх в ведущие члены уравнения (3.175) и
приравнивания выражений при первой степени Uj, имеем соотношение:
ujvzlzi-1 [2-2 (j - 1) - (j - 1) (j - 2)] = 0, (3.180)
откуда приходим к уравнению для индексов Фукса:
j2-j-2 = 0, (3.181)
имеющему корни ji — — 1, j>2 — 2.
Таким образом, второе необходимое условие теста Пенлеве для
уравнения Бюргерса также выполняется.
Индекс ji = — 1 соответствует произвольно выбранной функции
z (x, t), а коэффициент U2 в (3.171) должен быть произвольным.
Подстановка
и= ¥^+u1+u2z (3.182)

3.12. ПЕНЛЕВЕ-АНАЛИЗ УРАВНЕНИЯ БЮРГЕРСА 167
в уравнение (3.175) и приравнивание выражений при одинаковых степенях
z(x, t) дает следующую цепочку уравнений:
zt + uizx - vzxx = 0, (3.183)
— (zt 4- u\zx - vzxx) = 0, (3.184)
Wl,t 4" U\U\0 - I/ltiax - ^2^xx - 2U2,XZX = 0 . (3.185)
Очевидно, что если (3.183) удовлетворяется, то (3.184) переходит в
тождество. Коэффициент и^ из (3.184) не определяется и поэтому его
можно взять произвольным. Таким образом, уравнение Бюргерса проходит
тест Пенлеве. Если коэффициент и<2 (х, t) взять равным нулю, то
уравнение (3.185) примет вид
uitt + uiUitX - i/ui,xx = 0. (3.186)
Пусть и\ является решением уравнения (3.186). В этом случае из
решения линейного уравнения (3.183) можно найти z(x, t). Тогда
формула (3.182) при U2 = 0 примет вид
и = -2^~- lnz + щ. (3.187)
Эта формула снова дает решение уравнения Бюргерса.
В частности, поскольку и\ — 0 является тривиальным решением
уравнения (3.175), то, принимая во внимание (3.187), имеем хорошо известное
преобразование Коула - Хопфа для решений уравнения Бюргерса [126,178]:
u = -2i/£-lnz. (3.188)
Это преобразование позволяет по решению уравнения
теплопроводности:
zt-vzxx = 0 (3.189)
находить решения уравнения (3.175). Полагая щ = z в (3.186), находим,
что если z(x, i) удовлетворяет уравнению Бюргерса, то формула (3.187)
запишется в виде
и= -2и-^-Ы z + z. (3.190)
При известном решении уравнения Бюргерса эта формула позволяет
находить другие решения этого уравнения.

168
ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
Таким образом, анализ уравнения Бюргерса на свойство Пенлеве
методом ВТК позволил, во-первых, установить, что это уравнение проходит
тест Пенлеве и, во-вторых, найти формулу Коула - Хопфа, с помощью
которой исходное уравнение может быть сведено к линейному уравнению
теплопроводности.
3.13. Анализ уравнения Кортевега - де Вриза
Проверим уравнение Кортевега - де Вриза:
щ + 6иих 4- иххх = 0 (3.191)
на свойство Пенлеве, используя метод ВТК [262].
Ведущими членами уравнения являются второе и третье слагаемые.
Подставляя (3.172) в эти слагаемые, находим, приравняв нулю выражения
при наименьшей степени z (x, t), соотношение:
bpulzx _ р(р + 1) (р + 2) uqz* mem
из которого следует, что р = 2, щ = —2z2. Таким образом, уравнение
Кортевега - де Вриза имеет одно семейство решений, у которого
р = 2, u0 = -2zl (3.193)
Из (3.193) следует, что первое необходимое условие теста Пенлеве для
уравнения (3.190) выполняется.
Подставляя выражение:
и = -2zlz~2 + UjZj"2 (3.194)
снова в ведущие члены уравнения и приравнивая нулю слагаемые при
первой степени щ> имеем соотношение:
Ч4**~б \{3 - 2) С? - 3) {J - 4) - 12 (j - 2) + 24] = 0, (3.195)
из которого следует уравнение для индексов Фукса:
f - 9j2 + Uj + 24-0. (3.196)
Это уравнение имеет корни j\ = — 1, J2 — 4, js — 6, откуда следует,
что уравнение Кортевега - де Вриза на втором этапе также проходит тест
Пенлеве.

3.14. ПОСТРОЕНИЕ ПАРЫ ЛАКСА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КДВ 169
На третьем этапе исследования проверяется произвольность
коэффициентов U4 и uq. С этой целью в уравнение (3.191) подставляется выражение:
и = -z2xz~2 4- uxz~x + u2 + игг + w4z2 + щг3 + w6^4. (3.197)
Приравнивая нулю выражения при степенях z-4, z~3, ...,z-1 и z°
соответственно получаем
ui = 2zxx, (3.198)
% + 4zxzxxx - ?>z2xx + 6ti2^ - 0, (3.199)
zxt + §U2ZXX + гхжжх - б^з^ = 0, (3.200)
•q^ (Zxt + Zxxxx + 6u2Zxx - 6U3Z%) = 0. (3.201)
Из (3.201) следует, что при выполнении (3.200), уравнение (3.201)
также удовлетворяется, и, следовательно, коэффициент и± может быть взят
произвольным. Продолжая вычисления дальше, устанавливаем, что
коэффициент иъ можно также взять произвольным.
Полагая Uj — 0 при j > 2, из (3.197) имеем
2,z2 *2z я2
и = §■ + -f* -!-tA2 = 2^ lnz + "2, (3.202)
z
ах2
где и2 удовлетворяет опять же уравнению Кортевега - де Вриза
u2t + 6и2и2, х + м2, жжж = 0. (3.203)
Таким образом, применение теста Пенлеве для уравнения
Кортевега - де Вриза показало, что необходимое условие интегрируемости для
него выполняется. В работах Дж. Вайса [257-264] проиллюстрировано, что
уравнение sin-Гордона, нелинейное уравнение Шредингера и ряд других
нелинейных уравнений в частных производных также проходят тест
Пенлеве.
3.14. Построение пары Лакса для уравнения Кортевега -
де Вриза методом ВТК
Пара Лакса для уравнения Кортевега - де Вриза может быть
получена из системы уравнений (3.199), (3.200) при условии, что и2 является
решением уравнения (3.203) [262].

170 ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
Из уравнения (ЗЛ99) имеем
3z2
zt = -тг*- - §u2zx - 4zxxx. (3.204)
^х
Подставляя (3.204) в (3.200), получаем
vZxxZXxx *-*Z,
3
хх
zl
6u2xzx - 3zxxxx = 0, (3.205)
откуда находим 2
*^-llf+2u2 = \(t), (3.206)
zx
где A — функция, появившаяся при интегрировании по х.
Пусть
zx = Ф2, (3.207)
тогда из (3.206) имеем
Ъхх + (и2 - А) Ф - 0. (3.208)
С другой стороны, подставляя (3.207) в уравнение (3.200), при us = 0
приходим к уравнению:
Ф* + 6и2Фж - Фх Ы + А) + Ъххх = 0. (3.209)
Система уравнений (3.208), (3.209), в которой А — постоянная, является
парой Лакса для уравнения Кортевега - де Вриза. Таким образом, используя
метод ВТК можно получить пару Лакса для уравнения Кортевега - де Вриза.
Найдем уравнение для функции z(x, t). Из (3.199) можно выразить и2\
2
1 zxx 2 Zxxx Zt ,~ ~1т
U2=2"PT~3^~^- (3-210)
*x
Подставляя и2 в (3.200), имеем при щ — 0 уравнение:
_ Щ^* + 3*L + _ 4£^хх = 0 (3 211}
ж 2z x
Откуда после интегрирования по х приходим к уравнению:
Zt , Zxxx _ «Э£
2ж
|t. + £|xx_^=Ci(i)_ (3212)
Таким образом, если известно решение z (x, £) уравнения (3.212), то по
формуле (3.210) можно найти другие решения уравнения Кортевега - де Вриза.

3.15. АНАЛИЗ МОДИФИЦИРОВАННОГО УРАВНЕНИЯ КДВ 171
ЗЛ5. Анализ модифицированного уравнения Кортевега -
де Вриза
Рассмотрим применение метода ВТК для модифицированного
уравнения Кортевега - де Вриза:
щ - ^и2их + иххх = 0. (3.213)
Подставляя (3.172) в ведущие члены уравнения (3.213), имеем р = — 1,
ио — ±2^ж. Следовательно, при разложении решения в ряд по степеням
функции z (x, t) уравнение (3.213) имеет два семейства решений (р = — 1,
г*0 = 2zx и р = —1, щ = -2zx).
Подставляя
и = ±2zxz~1 + иггг-г (3.214)
во второе и третье слагаемые (3.213), находим, что две ветви решений
имеют одинаковые индексы Фукса:
г\ = -1, г2 = 3, г3 = 4.
Полагая, что решение (3.213) имеет вид
и = 2 z^z-1 + Mi -f ^2^ + гхз^2 4- г^3, (3.215)
находим после подстановки (3.215) в (3.213) цепочку уравнений:
ui = ~zxxz~x, (3.216)
zt = bzlw + l^z"1 - zxxx. (3.217)
Оставшиеся два уравнения, полученные в результате приравнивания
нулю соотношений при z° и z1, зануляются в предположении, что иг и
U2 заданы формулами (3.216) и (3.217). Поэтому коэффициенты щ и и^
являются произвольными функциями. Таким образом, модифицированное
уравнение Кортевега - де Вриза проходит тест Пенлеве.
Полагая в (3.215) Uj = 0, при j ^ 2 имеем
и = ±2^+иъ tii==F^- (3.218)
Подставляя щ из (3.218) в уравнение (3.213), получаем соотношение:
ulit-\u\uliX+ullXXX = =bj^ \h~di \г " 2Z*xZxl + Zxxx)
, (3.219)

172
ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
из которого следует, что если z (x, i) удовлетворяет уравнению:
zt-f^x1+**** = 0, (3-220)
то iti, вычисленное по формуле (3.218), является решением уравнения
(3.213). Уравнение (3.220) есть уравнение особого многообразия для (3.213)
[238], совпадающее с (3.217) при и^ — 0. Из сравнения уравнений (3.212)
и (3.220) следует, что уравнения особых многообразий для мКдВ и КдВ
совпадают, если переменную интегрирования в (3.212) положить равной нулю.
Однако, используя метод ВТК, не удается найти систему линейных
уравнений, соответствующую задаче рассеяния для решения задачи Коши мКдВ.
Чтобы получить такую систему, Р. Конт и М. Мусет использовали
модификацию метода ВТК, учитывающую два особых многообразия [130,226].
3.16. Усеченные разложения, как отображения решений
нелинейных уравнений
Из результатов п. 3.3 следует, что преобразование Миуры, по существу,
является отображением множества решений модифицированного уравнения
Кортевега - де Вриза на множество решений уравнения Кортевега - де
Вриза. Это обстоятельство позволяет не только находить решения уравнения
КдВ при известных решениях модифицированного уравнения КдВ, но и
послужило отправной точкой при нахождении пары Лакса для уравнения
Кортевега - де Вриза. В п. 3.12 было также установлено, что преобразование
Коула - Хопфа находится путем «усечения» разложения по степеням новой
функции. Это преобразование является отображением решений линейного
уравнения теплопроводности на решения уравнения Бюргерса.
Покажем, что усеченные разложения, которые были найдены при
исследовании модифицированного уравнения КдВ, являются отображениями
решений уравнения сингулярной поверхности (3.220) на решения
модифицированного уравнения КдВ (3.213).
Из (3.218) имеем
u = ^-* = Iln(fi)- (3221)
Полагая в (3.221)
<Рх = £; (3.222)

3.16. УСЕЧЕННЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ КАК ОТОБРАЖЕНИЯ 173
получаем формулу:
u = w- (3-223)
Следовательно, одно из соотношений (3.219) может быть представлено
в виде [197]
ut - §«»«. + иххх = £ (JL _ £|.) (* _ |i| + ****) • 0.224)
Это соотношение показывает, что усеченное преобразование (3.221)
является также отображением решений уравнения (3.220) на решения
модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза.
Используя преобразование Миуры
uj = ux-^, (3.225)
после подстановки (3.223) в (3.225) получаем
ш = {<р; х} , (3.226)
где {</?; х} обозначает производную Шварца [263], которая задается
формулой:
2
{^х] = -^-2^- (3-227)
г X
Принимая во внимание соотношения (3.34) и (3.219), находим связь
между уравнением сингулярного многообразия (3.220) и уравнением
Кортевега - де Вриза в виде:
U)t + 3UJLJX 4" OJxxx =
А. _ (^\ д_(1- ±.д\ ((п _ 3<?L , л "\ Р.228)
дх Рх ) дх \<Р 4>х дх) у1 2 Ч>* + *ххх] '
Следовательно, решения уравнения Кортевега - де Вриза могут быть
найдены по формуле (3.226) при известных решениях уравнения (3.220).
Соотношение (3.228) для уравнения КдВ может быть записано в более
общем виде, если принять во внимание уравнение для сингулярной
поверхности (3.212).

174 ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
3.17. Инвариантный пенлеве-анализ
Робер Конт обратил внимание на то, что при пенлеве-анализе
нелинейных уравнений в частных производных встречаются выражения в виде
производной Шварца и переменной скорости [129-131]
S = {z;x}, С = -р-. (3.229)
Эти переменные инвариантны относительно группы дробно-линейных
преобразований
_ а<р + Ь
с<р + d
ad-Ьсф 0. (3.230)
В самом деле, легко проверить, что, делая замену переменных (3.230)
в (3.229), имеем
{*; х) = {w х}, £ = |£. (3.231)
Поэтому Р. Конт предложил проводить пенлеве-анализ нелинейных
уравнений в частных производных, используя не произвольную функцию
z (ж, t), а переменную х> определяемую выражением:
*-(*-£)"-(s£h£)~'- <"32>
Оказалось, что переменные 5 и С связаны с переменной х простыми
уравнениями, которые следуют из теоремы.
Теорема 3.2. Пусть S,C и\ определены формулами (3.229) и (3.232),
тогда эти переменные связаны следующими соотношениями:
Хх = 1 + \SX2, (3.233)
Xt = ХСХ - С - \ (CS + Схх) х2. (3.234)
Доказательство.
Справедливость формул (3.233) и (3.234) устанавливается
непосредственной подстановкой в них выражений для 5, С и х через функцию
z (ж, t).

3.17. ИНВАРИАНТНЫЙ ПЕНЛЕВЕ-АНАЛИЗ
175
Оказалось, что анализ на свойство Пенлеве для целого ряда
нелинейных уравнений в частных производных гораздо удобнее проводить,
используя инвариантные переменные. Алгоритм теста Пенлеве в этом случае имеет
следующие особенности.
Пусть задано нелинейное уравнение в частных производных
Е(и, их, щ, ..., ж, *)=0, (3.235)
для которого требуется проверить, проходит ли оно тест Пенлеве.
На первом этапе, как и в алгоритме Ковалевской, решение ищется в
виде
и = иоХр- (3.236)
Подставляя (3.236) в ведущие члены уравнения (3.235), находятся
возможные семейства решений исходного уравнения.
На втором этапе определяются индексы Фукса для каждого семейства
решений. С этой целью в ведущие члены исходного уравнения
подставляется выражение:
и = и0хр + игХг+р. (3.237)
В результате приравнивания выражения при иг нулю, находятся
значения индексов Фукса г. Естественно, как и во всех других случаях
алгоритмов пенлеве-анализа, значения р и значения г для всех ветвей должны
быть целыми. Очевидно, что на первых двух этапах инвариантный пенлеве-
анализ совпадает с методом Ковалевской.
На третьем этапе, полагая
Зт
j=o
проверяется произвольность коэффициентов Ujr для значений?', равным
индексам Фукса. На данном этапе исследования производные Хх ихь
появляющиеся при подстановке (3.238) в исходное уравнение, заменяются
правыми частями уравнений (3.233) и (3.234). Характерно, что коэффициенты
Uj в данном случае зависят лишь от переменных 5, С и их производных.
Исходное уравнение, в результате приравнивания выражений при разных
степенях х нулю, расщепляется на ряд уравнений, зависящих также от 5,
С и их производных.
Однако 5 и С не являются независимыми переменными, поскольку они
определяются через производные от переменной z. Условие совместности:
Ы)х = (Xx)t
(3.239)

176 ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
для уравнений:
Хх = 1 + \SX2, (3.240)
Xt = ХСЖ - С - ± (CS + Схж) х2 (3.241)
приводит к дополнительному уравнению для переменных 5 и С в виде
[129-131]
St + Сжжж + 2SCX + 5ХС = 0. (3.242)
Соотношение (3.242) следует принимать во внимание при проведении
пенлеве-анализа уравнений с применением инвариантных переменных.
3.18. Применение инвариантного пенлеве-анализа для
нахождения пар Лакса
Инвариантный пенлеве-анализ в ряде случаев упрощает процедуру
нахождения пар Лакса для нелинейных уравнений в частных производных. Из
п. 3.14 следует, что эта процедура достаточно громоздка и не алгоритмична
даже для уравнения Кортевега - де Вриза.
Преобразуем систему уравнений (3.233), (3.234) в линейную систему
уравнений относительно новой функции. С этой целью воспользуемся
заменой
X = у- (3-243)
Тогда уравнение (3.233) запишется в виде
Ух = -У2 ~ f • (3.244)
Уравнение (3.234) преобразуется при этом в следующее:
Yt = СУ2 -CXY +\ (CS + Схх). (3.245)
Последнее уравнение можно представить в виде
Yt = - (УС)Х + \СХХ, (3.246)
если воспользоваться заменой (3.244).

3.18. ПРИМЕНЕНИЕ ИНВАРИАНТНОГО ПЕНЛЕВЕ-АНАЛИЗА 177
Сделав замену
У = ^ (3.247)
в уравнениях (3.244) и (3.246), приходим к системе линейных уравнений
относительно функции Ф [129-131]:
Фхх 4- |#Ф - 0; (3.248)
Ф* + СФХ - |сжФ - 0. (3.249)
Покажем, что из этой системы уравнений легко находится пара Лакса
для уравнения Кортевега - де Вриза
щ + Зиих + иххх = 0. (3.250)
Используя тест Пенлеве в инвариантной форме, получаем усеченное
разложение в виде:
u = -^- + \(C-4S). (3.251)
Подставляя (3.251) в (3.250) и учитывая систему уравнений (3.233),
(3.234), получаем при
С = 5 - ЗА (3.252)
соотношение:
щ + Зиих + иххх — -St - 3SX (S — А) - Sxxx = -vt - 3vvx - vxxx, (3.253)
где введено обозначение
v = S-\. (3.254)
Условие совместности (3.242) при этом также совпадает с
уравнением (3.250).
Полагая 5 и С, найденные из (3.252) и (3.254) в уравнениях (3.248)
и (3.249), имеем пару Лакса для уравнения КдВ (3.250) в виде:
Ъхх + \ (v + А) Ф - 0, (3.255)
Ф« + (v - 2А) Фж - ±г7яФ - 0. (3.256)

178
ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
В качестве еще одного примера применения системы уравнений (3.248)
и (3.249) найдем пару Лакса для уравнения sin-Гордона.
Уравнение sin-Гордона:
заменой переменных
приводится к виду
vxt = sin v
и = exp (iv)
2 (и uxt -uxut) -и3 +и = 0.
(3.257)
(3.258)
(3.259)
Используя тест Пенлеве для уравнения (3.259) в инвариантных
переменных, имеем р — —2, ио = —4С.
Индексы Фукса для обоих семейств решений равны —1 и 2.
Наряду с выбором произвольной переменной х при разложении в ряд Лорана,
оказывается произвольным и коэффициент U2. При этом выражение для и
возьмем в виде
4С , 4С* _ Cl
X С '
и = г" +
х2
(3.260)
Подстановка (3.260) в (3.259) при условии, что
~с
S=-^ + ^3- + A,
2С2
(3.261)
приводит к соотношению:
-16С
2(иuxt -uxut) —vr +u =
2
\2С X) \2С X) Эх
ь(
(3.262)
2CCxt ~ 2CxCt — 2ХС +
2А
Уравнение (3.242) при этом можно представить в виде
St + 2CXS + SXC + С*ххх —
(9^ _ J^ JL\ (2CCxt - 2CxCt - 2AC3 + C
\2C3 2C2dx
2A
(3.263)

3.19. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ОСНОВНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ 179
Выражение в круглых скобках в формулах (3.262) и (3.263) совпадает
с левой частью уравнения sin-Гордона в переменных С и Л, если последние
связаны с и равенством:
С = ^. (3.264)
Система уравнений (3.248) и (3.249) становится парой Лакса для
уравнения sin-Гордона, если принять во внимание (3.261) и (3.264) [264]
*- + I (^ " ^ + А) * = °- <3-265>
Ф*+2АФж~1лФ = 0- (3'266)
Приведенные примеры показывают, что использование инвариантных
переменных упрощает процедуру нахождения пар Лакса для некоторых
нелинейных уравнений в частных производных.
3.19. Соотношения между основными точно решаемыми
нелинейными уравнениями
В п. 3.16 показано, что усеченные разложения являются отображениями
решений простейшего уравнения сингулярного многообразия на решения
модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза. Подобные формулы
имеют место для ряда нелинейных уравнений в частных производных. Это
обстоятельство позволяет находить решения целого ряда нелинейных
уравнений через решения уравнений сингулярного многообразия.
Пусть уравнение сингулярной поверхности имеет вид [196,201,205]
zt + zxR [{z; х}} = 0, (3.267)
где z (x, t) — функция от двух переменных х и £; R — некоторый оператор,
действующий на производную Шварца {z; x). Используя инвариантные
переменные, уравнение (3.267) может быть представлено в виде
С = R [S]. (3.268)
Справедливо следующее предложение.
Предложение 3.1. Пусть заданы формулы:
« = -%+«х, «i = ^p, (3.269)

180
ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
тогда справедливы равенства:
ix - у = {z\ х} , щх - у = {z; я} .
(3.270)
Доказательство.
Проводится непосредственной проверкой соотношений, полученных
при подстановке выражений (3.269) в левые части (3.270).
Рассмотрим семейство уравнений:
^+1К(^+и)дЬ-т])=о' (з-271)
которое можно назвать семейством модифицированных уравнений,
поскольку, полагая
R
их
(3.272)
в (3.271), имеем модифицированное уравнение Кортевега - де Вриза (3.213).
Предложение 3.2. Пусть и(х, t) и z (x, t) связаны условиями (3.269),
тогда справедливы соотношения:
*+&((&+,,,л
дх
z %х дх J
(3.273)
{zt + zxR [{z\ ж}]),
u»+M{m+ui]R
uix-Y
д_
дх
(JLJL)
\zx дх)
(3.274)
(zt + zxR [{*;*}]).
Доказательство.
Подставляя (3.269) в левые части (3.273) и (3.274), получаем тождества.
Рассмотрим еще одно семейство нелинейных уравнений, имеющих вид
-^+их + 2и;£-
дх6 да
Для уравнений (3.275) имеем предложение.
^+(^з+^ + 2^)ДМ = 0.
(3.275)

3.19. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ОСНОВНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ 181
Предложение 3.3. Пусть
и = {z- x] , (3.276)
тогда для уравнений семейства (3.275) справедливы соотношения:
%хх
2Za
Z
) R М =
^4ft?+w-+2w£
(3.277)
Доказательство.
Принимая во внимание соотношение Миуры:
и = их - у = {z; х}
и действуя оператором (-^— и) на обе части (3.273), получаем (3.277).
Соотношения (3.273), (3.274) и (3.272) показывают, что при известных
решениях уравнений семейства (3.267) можно найти решения уравнений
(3.271) и (3.275), используя формулы (3.269) и (3.276).
В качестве еще одного семейства уравнений рассмотрим класс
уравнений вида
Щ + Ъх I UR
U
2 и2 2
0.
(3.278)
Для (3.278) справедливо следующее.
Предложение 3.4. Пусть
тогда для семейства уравнений (3.278) справедливы соотношения:
(3.279)
Щ + ~дх (uR
\dxz)
Uxx
U
2 и2 2
(3.280)
^j)(zt+zxR[{z;x}}).

182
ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
Доказательство.
Подставляя (3.279) в левую часть (3.280), приходим к тождеству.
В качестве следующего семейства уравнений рассмотрим частный
случай семейства уравнений Калоджеро - Дегаспериса - Фокаса [36]:
Щ + ( kvx +
д
R
к2
K'Vxx c\ 1)~. ~ 6
1 2kv
= 0.
ж ' дх,
Предложение 3.5. Пусть
-ih(*)-
тогда для семейства уравнений (3.281) справедливо равенство:
(3.281)
(3.282)
Vt + (to-+ ш)R
Ь; - ^-v2 - ±P2kv
hVxx ох о
= u{&)ixt+z-R[{x;x}])-
Доказательство.
Полагая в (3.283)
(3.283)
у = -f = exp (kv)
и принимая во внимание соотношение (3.280), получаем (3.283).
Остановимся на семействе нелинейных уравнений:
ду
vvyy - \vl
= 0.
(3.284)
(3.285)
Предложение 3.6. Уравнение (3.267), заменой z(x,t) по формулам
zx = 17(2/), z = y, (3.286)
приводится к уравнению семейства (3.285).
Доказательство.
Принимая во внимание, что
%хх — 'У'^у »
2 2
%ХХХ ~ ^ ^уу ~Г ^^у1
Zxt =Vt +VyZt,
(3.287)

3.19. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ОСНОВНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ 183
после дифференцирования уравнения (3.267) по х получаем
(3.288)
Из приведенных соотношений следует, что семейства уравнений
(3.271), (3.275), (3.278), (3.281) и (3.285) формулами (3.269), (3.276), (3.279),
(3.282) и (3.286) непосредственно связаны с семейством уравнений (3.267).
Решения уравнений этих семейств могут быть найдены при известных
решениях (3.267). Далее увидим, что к перечисленным семействам относятся
многие хорошо известные нелинейные уравнения в частных производных.
В общем случае семейство уравнений (3.267), как и остальные
семейства уравнений, связанные с ним, не является точно решаемым. Однако эти
семейства содержат в себе многие иерархии точно решаемых нелинейных
уравнений в частных производных.
Полагая
Я[ш]=ш (3.289)
в (3.267), имеем уравнение для сингулярной поверхности в виде
zt + zxxx-^=0. (3.290)
Это уравнение впервые появилось в работе СП. Новикова и И.М. Кри-
чевера, и поэтому его часто называют уравнением Кричевера - Новикова.
Семейства уравнений (3.271) и (3.275) в этом случае, как хорошо
известно, дают модифицированное уравнение Кортевега - де Вриза и уравнение
Кортевега - де Вриза соответственно, а уравнение (3.281) переходит в
уравнение Калоджеро - Дегаспериса - Фокаса. Уравнение (3.285) приводится
при этом к уравнению Гарри Дима [1]:
vt+v\yy = 0. (3.291)
Естественно, что уравнение (3.291), как и уравнение (3.290), относится
к числу точно решаемых нелинейных уравнений, которые определенными
соотношениями связаны с уравнениями Кортевега - де Вриза.
Возникает важный вопрос: каким следует взять оператор R в
уравнении (3.267), чтобы это уравнение, как и все остальные, связанные с ним,
были точно решаемыми уравнениями? Знаем, что уравнение (3.267)
представляется через инвариантные переменные С и 5, и поэтому оно допускает
группу томографических преобразований (3.230). Имея это в виду, Дж. Вайс
дх
(Ъ + zxR [{z; x}}) =щ + v2-^-R

184 ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
предложил для уравнения (3.267) искать такие операторы R, которые
позволили бы этому уравнению иметь еще одну симметрию в виде [261 ]
zx = <р™, т < 0. (3.292)
В этом случае уравнение (3.267) имеет бесконечное число
рациональных решений, что соответствует свойству точно решаемого уравнения.
Для полиномиальных уравнений оператор R в (3.267) определяется
тремя рекуррентными формулами.
Первый оператор определяется рекуррентной формулой:
JLLn+l=Lnxx+2u}Ln+CJxLn^ £0М = 1 (3293)
Ох
Из (3.293) находятся следующие операторы
Ll[u] = ш, L2[lj] = ujxx + |u;2, (3.294)
L3[oj} = ljxxxx + |чт + 5шхх + |uA (3.295)
Эти операторы приводят к семейству уравнений (3.267), называемому
иерархией Шварца - Кортевега - де Вриза. Первые уравнения этой
иерархии таковы:
zt + zx = 0, (3.296)
zt + zx {z; х} = 0, (3.297)
zt + zx (-^ {z; х} + | {z; x}2) = 0, (3.298)
(3.299)
+5 {z; x} J^ & *} + | {*; ^}3) = 0.
Эти уравнения приводят к иерархии модифицированных уравнений
Кортевега - де Вриза, первые три уравнения которой имеют вид
щ + их = 0, (3.300)
щ - |ЛЖ 4- иххх = 0, (3.301)

3.19. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ОСНОВНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ 185
Щ + fai \Uxxxx ~ 2и2ихх " 2UUx + 8й J = °" (3'302)
Оператор Ln дает также иерархию уравнений Кортевега - де Вриза из
семейства (3.275), имеющую вид
щ + J^n+1 И = °- (3-303)
Подставляя (3.294) и (3.295) в (3.303), имеем первые три уравнения
иерархии Кортевега - де Вриза.
Второй и третий операторы, соответствующие иерархиям точно
решаемых уравнений (3.267), определяются рекуррентными формулами в
виде [115,153,261]
Jxi^e^^Gn, (3.304)
Hn+2 = J2(v)e2(v)Hn, (3.305)
где
6»i = D3 + 2uD + ux, D = -@-, (3.306)
Ji = D3 + ^uD-1 + ±D~1uD2+
+| (^D-1 + D-^u2), D-1 = f dx,
(3.307)
e2 = D3 + 2vD + vx, (3.308)
J2 = D3 + 3 (vD + Dv)+2 (D2vD-1 + D^vD2) +
+8 (г;2!?-1 + Г>~ V)
при начальных значениях
(3.309)
Gi M = «xx + \u2, H1[v] = vxx+lv2. (3310)
Подставляя (3.310) в (3.304) и (3.305), находим
G2 [и] = ихххх + -gu2x + ^uuxx + |u3, (3.311)
#2 [«] = «хххх + 12^г;жж + 6г£ + Щь3. (3.312)

186
ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
Очевидно, что используя замены и = 4v и и = Sv в (3.310) и (3.311),
получаем соотношения:
G1[Av] = \H1[v],
G2 [8v] = \н2 [v] ,
так что уравнения для сингулярной поверхности
zt + zxHn [{z; х}} = 0,
4>t + 4>xGn [{</?; х}] = 0
незначительно отличаются друг от друга.
Модифицированные уравнения, которые находятся из (3.271),
переходят друг в друга при соответствующей замене переменных. Эти уравнения
были получены в работе А. Форди и Дж. Гиббонса и в литературе
называются иерархией Форди - Гиббонса [153,211]. Эта иерархия может быть
выражена как через операторы Gn, так и через операторы Нп:
*+1К£+«)*»(«■-И=0, (3'316)
^+&(^+в)с-(ю--И=о- (з-317)
Семейство уравнений (3.275) с операторами Нп и Gn дают точно
решаемые уравнения иерархий Каупа - Купершмидта и Савады - Кошера [245],
имеющих вид
vt + в2Нп (v) = 0, (3.318)
ut + e1Gn(u) = 0. (3.319)
Поскольку уравнения для сингулярной поверхности (3.297) - (3.299),
(3.314) и (3.315) являются точно решаемыми уравнениями, то все
уравнения, полученные из семейств (3.271), (3.275), (3.278), (3.281) и (3.285) с
использованием операторов Ln, Hn и Gn, также являются точно решаемыми
уравнениями. Схема соотношений между этими иерархиями представлена
на рис. 3.1.
Из рисунка следует, что, принимая во внимание иерархии нелинейных
уравнений, полученных из семейства уравнений для сингулярной
поверхности, имеем 18 иерархий точно решаемых уравнений в частных
производных, если под оператором R иметь в виду определенные ранее операторы
Ln, Hn и Gn [202].
(3.313)
(3.314)
(3.315)

3.20. Семейство уравнений Бюргерса
187
Zt+ZXR[&*}] = Q <=> C = R[S]
д
м,+ —
((1-М
\ил-
дх
uR\
и
~2
= 0
<Dt+R^ + wJl + 2aRx = 0
= 0
Рис. 3.1. Семейства уравнений, которые определяются через решения уравнения
сингулярной поверхности (3.267). Полагая R[u] = Ln[u], Hn[u] и Gn[u],
приведенные уравнения становятся точно решаемыми.
3.20. Семейство уравнений Бюргерса
Найдем иерархию уравнений, которая как и уравнение Бюргерса,
сводится преобразованием Коула - Хопфа к линейным уравнениям. Пусть
д 1 zx
(3.320)

188 ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
Предположим, что линейное уравнение, к которому сводится исходное
уравнение, имеет вид [196]
zt = zn,x, (3.321)
где
п'х дхп'
Из (3.320) имеем
2 '
oi _L 01 — -
Z '
Справедлива следующая лемма.
их+и2 = ^. (3.322)
Лемма 1. Пусть и (ж, t) связано с z (ж, t) преобразованием Коула -
Хопфа, тогда
В- [и] = ^£, (3.323)
где оператор Вп [и] определяется формулой:
Bn[u]=(j^ + i?j и. (3.324)
Доказательство.
Проводится методом математической индукции. Вьфажение (3.323)
при п = 1 совпадает с (3.322). Предположим, что соотношение (3.323)
справедливо при п — к:
Bk[u]=zk+hx/z, (3.325)
тогда, дифференцируя (3.325) по ж, имеем
■^Вк [и] = (zfc+2, х ~ ZxZk+l, х) /Z, (3.326)
откуда находим
(£ + „) В* [и] = (jL + и")к+1 и = В^ [и] = Щ^. (3.327)
Поскольку
д_ (zt
дх
"* = т£ (f) , (3.328)

3.21. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 3
189
то, учитывая (3.324), имеем соотношение:
щ - 4zBn+1 М = £ (| (* - *», х)) • (3-329)
дх дх
Поэтому иерархия уравнений:
щ = -т^В^1 [и], п = 0, 1, ... (3.330)
преобразованием Коула - Хопфа сводится к линейным уравнениям (3.321).
Это семейство уравнений называется иерархией Бюргерса.
Используя соотношение (3.323), можно сконструировать также целый
ряд нелинейных «неинтегрируемых» уравнений, имеющих широкий набор
частных решений [56,196].
3.21. Задачи и упражнения к главе 3
1) При изучении процессов химического обмена встречается нелинейное
уравнение [90]:
uxt 4- aut 4- /Зих -f juxut = 0. (3.331)
Найти линейное уравнение, к которому сводится (3.331), если воспользоваться
заменой и = In Ф/7-
2) Показать, что пара Лакса (3.40) для уравнения Кортевега - де Вриза является
одновременно преобразованием Бэклунда для этого уравнения.
3) Задача рассеяния для уравнения Буссинеска [1,28]:
utt= (и + и2 + \ихЛ (3.332)
\ / XX
имеет вид
Ф***+ Их4"Ч!) д~1иЧ # + (1 + 2гОФх = АФ,
*(!)1/2 »* = *-+И-
Показать, что (3.333) есть преобразование Бэклунда для (3.332).
(3.333)

190 ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
4) Показать, что для нелинейного уравнения Шредингера
гщ 4- ихх -f vu |г*|2 = 0 (3.334)
плотности в виде
оо оо оо
J \u\2 dx, J (и*их - их) dx, Г \и\2 - ±i/ |гх|4 dx (3.335)
— оо —оо —оо
равны постоянным величинам.
5) Показать, что уравнение sin-Гордона
uxt — sin и (3.336)
имеет законы сохранения [136]:
(\щ\ - (1 - cos u)t = 0, (1-совм)я- [\ul\ = 0. (3.337)
6) Используя преобразования Бэклунда для уравнения sin-Гордона, доказать
формулу (3.92).
7) Используя переменные
u(x,t) =exp{iF(z)}, z = xt, (3.338)
найти уравнение для F(z), в которое переходит уравнение sin-Гордона (3.336).
Показать, что это уравнение является частным случаем Рз.
8) Найти уравнения, к которым приводится уравнение Буссинеска:
ии = (и 4- ^ 4- ±ихх J , (3.339)
>• ' XX
если его решения искать в переменных бегущей волны [87,123]
u(x,t) = U(z), z = x- Cot. (3.340)
9) Найти уравнение, к которому сводится (3.339), если его решение искать,
используя переменные [108]
и=(^-ИА i=ft- (зз41)
Проверить полученное уравнение на тест Пенлеве.

3.21. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 3 191
10) Найти уравнение, к которому сводится нелинейное уравнение Шредингера
(3.334), если искать его решения, используя переменные [108]:
и (ж, t) = е<х*-и3/3)и(£), £ = х - t2. (3.342)
Проверить полученное уравнение на свойство Пенлеве.
11) Показать, что уравнение Кадомцева - Петвиашвили [23,34]:
1 3 3—1
Ei[w] = ut — -тШххх — ТуШШх — jd иуу — 0 (3.343)
и его модифицированное уравнение:
АЬххх 4~ cxU Ux i w**y i ~*
Di[u] = ut — -^иххх 4- -и их 4- Зищ 4- -^ихд иу-
2 ху ' 4
связаны соотношением Миуры [206]
UXy ~\~ л О Uyy U
(3.344)
где
£iM = (JL + 2u - ^-d"1) ВД, (3.345)
uj — ux — и1 — <9_1%, д~х = / cur. (3.346)
12) Показать, что уравнение sin-Гордона
Mjrt = sin w (3.347)
после замены г> = ехр (iu) сводится к уравнению, которое проходит тест
Пенлеве для нелинейных уравнений в частных производных [264].
13) Проверить нелинейное уравнение Шредингера на тест Пенлеве [260].
14) Используя метод Вайса - Табора - Карневейля, показать, что уравнение Бус-
синеска
2 1
utt 4- 2иихх 4- 2их 4- т;ихххх = 0 (3.348)
проходит тест Пенлеве.
15) Показать, что уравнение Кадомцева - Петвиашвили
uxt 4- их 4- ииХх 4- Suxxxx 4- иуу = 0 (3.349)
при разложении решения в ряд Лорана имеет индексы Фукса j = — 1, 4, 5, 6.

192
ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
16) Найти индексы Фукса для решений уравнений:
щ 4- и их 4- /Зи
ххх — Uxxxxxj yj.jjyJ)
2
щ 4- 2auux 4- З/Зи их 4- ^uXXi
с — Uxxxxx ? ^j.jDIJ
utt — uxx 4- uxxxx 4- 7^ = cm3, (3.352)
ut 4- unux 4- ouxxx 4- txxx 4- uxxxx = 0, (m = 1, 2), (3.353)
Щ + \ (uxx 4- 3u2)x 4- 5/Згшж 4- (u** + Зг*2)хж = 0. (3.354)
17) Используя метод инвариантных переменных, проверить на тест Пенлеве
уравнения КдВ и мКдВ пятого порядка.
18) Найти соотношение, связывающее модифицированное уравнение Кадомцева -
Петвиашвили (3.343) с уравнением сингулярной поверхности.
19) Найти уравнения вида (3.318) и (3.319) пятого порядка, связанные с
уравнениями сингулярной поверхности, имеющими вид
zt 4- zx (j^ {z; x} + 4 {z; x}2j = 0, (3.355)
Zt + Zx H {Z' X} + i ^ X}) = °' (3356)
20) Проверить на тест Пенлеве уравнения [198]:
3 2
ut - -и их + иххх 4- fux 4- ufx 4- fxx = 0, (3.357)
ujt 4- Зшшх 4- шХхх 4- 2ujgx 4- дшх 4- дхх = 0, (3.358)
где / (#, t) и д (ж, t) — дифференцируемые функции по х и t.

Глава 4
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
4.1. Применение усеченных разложений для построения
частных решений неинтегрируемых уравнений
Метод Вайса - Табора - Карневейля эффективен при нахождении пар
Лакса, преобразований Бэклунда и ряда других характеристик точно
решаемых нелинейных уравнений. Однако оказалось, что он может быть также
использован при нахождении частных решений нелинейных
дифференциальных уравнений [49-56,60,63,64,114,123,127,200,201,216,236]. В
последние годы для нахождения решений нелинейных дифференциальных
уравнений предложено несколько алгоритмов, основанных на применении этого
метода [31,32,138,154,162,218,219,230,239,243,265,266,273]. Прежде
всего следует отметить алгоритм, непосредственно использующий усеченные
разложения [54,118,119,133,151,161,163,205,225,255].
Его применение рассмотрим на примере построения точных решений
уравнения Колмогорова - Петровского - Пискунова [43,82,148]:
Щ = 5ихх +и — оси2, (4.1)
где S и а — параметры.
Уравнение (4.1) относится к классу уравнений вида
Щ = Suxx + f(u), (4.2)
где f(u) — заданная функция от и.
В переменных бегущей волны
и(х, i) — y(z), z = х — Cot (4.3)
уравнение (4.1) принимает вид:
6yZz + C0yz 4- у - ау2 = 0.
(4.4)

194
ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Проверим уравнение (4.4) на свойство Пенлеве. Полагая y(z) = ao/zp,
находим р = 2 и ао — 65/а. Вычисляя индексы Фукса, получаем ji — —1 и
j2 — 6. Таким образом, первые два шага исследования (4.4) на тест Пенлеве,
показывают, что это уравнение может пройти этот тест.
Подставляя
у = -^ 4- Ц- + а2 + a3z + a4z2 + a5z3 + a6z4 + ... (4.5)
в уравнение (4.4), находим последовательно коэффициенты
6Со 255 - Cl CI
«1 = -~Е—? а2 = —ГТГ^—> «3 = -
5а ' ^ 50а5 ' "* 250a52'
_ 12552 - 7Cg _ (137552 - 79С$)С0
а4~ а53 ' аЪ~ 7500а54
(4.6)
Коэффициент аб не определяется, что соответствует индексу Фукса
32 — 6. Однако, его можно выбрать произвольным лишь при Со = 0 и
при Со = ±^л/б5. Следовательно, уравнение (4.4) проходит тест Пенлеве
лишь при трех значениях Со [101]. Исходное уравнение (4.1), в
соответствие с гипотезой Абловица, Рамани и Сигура, не относится к классу точно
решаемых нелинейных уравнений в частных производных. Однако можно
ожидать, что уравнение (4.1) имеет частные решения [101].
Частные решения уравнения (4.1) будем искать, используя усеченные
разложения. Решение уравнения (4.1), как и уравнения (4.4), имеет полюс
второго порядка, поэтому и(х, i) ищем в виде:
и=^2 + ^+и2, (4.7)
где и = u(x,t) и (р = (p(x,t). Подставляя (4.7) в ведущие члены
уравнения (4.1) и приравнивая выражения при одинаковых степенях tp(x,t) нулю,
находим:
u0 = -^<fl, иг =-65<рхх + ^<pt. (4.8)
Учитывая (4.8), из (4.7) имеем усеченное разложение в виде:

4.1. ПРИМЕНЕНИЕ УСЕЧЕННЫХ РАЗЛОЖЕНИИ 195
Кроме того, дополнительно имеем три уравнения для (f(x,t) и U2(x,t):
^<р* + 12а8их£ + ЦЬухЧ>Х1 + 185VL-
- y<Wx* - 2462срхсрххх - Mtpl = 0, (4.10)
s¥tt-^6vxxt-12au2(Pxx-§<Pt+^au2(pt+682ipxxxx+66<pxx = 0, (4.11)
U2,t - 5v>2,xx -и2 + аи% = 0- (4.12)
Любые решения системы уравнений (4.10) - (4.12) дают по
формуле (4.9) решения уравнения Колмогорова - Петровского - Пискунова (4.1).
Простейшие решения уравнения (4.1) находятся из (4.10) - (4.12), если эти
уравнения из дифференциальных перевести в алгебраические. Это
возможно, если z(x,t) и U2(x,t) взять в виде [54]:
U2(x,t) — В, <p(x,t) = 1 + c2exp(/c:r — ut), (4.13)
где В,к,ш и С2 — постоянные. Полагая (4.13) в (4.10)-(4.12), приходим к
алгебраической системе уравнений относительно В, к и lj. Решение этой
системы дает
В1=0, В2 = 1/а; (4.14)
*l,2 = ±^p, hA = ±^, fc,e = ±^, ^=0. (4.15)
Первые четыре значения /г приводят к ui =5/6, вторые четыре
значения дают U2 = 0. При этом для <р(ж, £) имеем следующие нетривиальные
решения
<pi,2(x,t) = 1 +с2ехр U^px- |Л , (4.16)
¥>з,4(М) = 1 +с2ехр (±^-х - |* J , (4.17)
<у?5,бОМ) = 1 + с2ехр I ±-j~x ) • (4.18)
Подставляя (4.16)—(4.18) в формулу (4.9), имеем простейшие решения
уравнения (4.1) в виде уединенных волн.

196 ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Зависимости (4.16) - (4.18) относятся к классу функций
F(x,t) = l+exp(0), e = kx-ut + (p0, (4.19)
где (fo — произвольная постоянная. Для функции (4.19) справедливы
простые соотношения.
Теорема 4.1. Пусть функция F(x, t) задана соотношением (4.19),
тогда справедливы соотношения
= f(1+th(l))' <4-2°)
92lnF
дх2
d\nF Fx kee
дх F i + ee
dlnF Ft uH
dt F i + eo
Fxx Fx fc2 /
.|(l + th(§)), (4.21)
,!)H *-"(!) ■ <->
Доказательство.
Доказательство тождеств (4.20)-(4.22) проводится непосредственной
проверкой. Проверим тождество (4.20). Поскольку
-# = rSe-z, 0 = fcr-arf + y>o, (4.23)
то для правой части (4.23) выполняется цепочка равенств
kee _ ke2 _ k e2 + e 2 + e2 - e 2
1 + ев о ^± 2 ft ' zl
e2 + e 2 e2 4- e 2
(0\
sh(f)
2 ' 2 w0* 2
= k + k K2J _ k
ch(|)
H(!))-
Используя тождества (4.20) - (4.22), решения уравнения (4.1) можно
выписать через гиперболические функции. Например, используя функцию
(4.17), получаем решение уравнения (4.1) в виде

4.2. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БЮРГЕРСА - ХАКСЛИ 197
Решение (4.24) является бегущей волной, распространяющейся со
скоростью ±5>/б/у/б. Вид решения иллюстрируется на рис. 4.1.
Рис. 4.1. Зависимость от х решения (4.24) уравнения Колмогорова - Петровского -
Пискунова (4.1) в момент времени t = 0 при а = 6 = 1.
4.2. Точные решения уравнения Бюргерса - Хаксли
Уравнение Бюргерса-Хаксли имет вид [142]:
щ 4- аиих = Douxx + /Зи + ^и2 - ёи3. (4.25)
Оно встречается при описании многих явлений в физике. Например,
уравнение [79]:
rPt = 12РХХ Л-еР- ХР3 ~ J5b, (4.26)
описывающее движение доменной стенки сегнетоэлектрика в
электрическом поле, сводится линейной заменой к (4.25) при а = 0. В (4.26) Р — ди-
польный момент, Eq — внешнее электрическое поле. Левая часть описывает
диссипативный процесс перехода электростатической энергии в тепловую,
г — время релаксации дипольного момента. Первое слагаемое в правой
части уравнения описывает взаимодействие между дипольными
моментами соседних областей сегнетоэлектрика, остальные слагаемые определяют
изменение величины дипольного момента в однородном сегнетоэлектрике.
Уравнение вида (4.25) также используется в экологии. Если в среде
происходит размножение какой-либо популяции, то эволюция системы с
учетом смертности и диффузионного перемешивания популяции по среде
описывается уравнением [82,84]:
щ = -кп + xra(n)n2 + DqAu. (4.27)
Здесь п — численность популяции в расчете на единицу объема, т(п) —
количество пищи. Если считать, что количество пищи меняется по закону
т(п) = ш0(1 - ^), (4.28)
то уравнение (4.27) является уравнением Бюргерса-Хаксли при а = 0.

198 ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ
Используя переменные бегущей волны (4.3) из (4.25) получаем
обыкновенное дифференциальное уравнение в виде:
-coyz 4- ayyz = D0yzz + /Зу + jy2 - 5у3. (4.29)
Уравнение, составленное из ведущих членов (4.29), принимает вид:
ayyz - D0yzz + 8у3 = 0. (4.30)
Поскольку тест Пенлеве для обыкновенного дифференциального
уравнения проверить проще, то проанализируем на свойство Пенлеве
уравнение (4.29). Подставив у = clq/zp в (4.30), находим р = 1 и а^ =
= (а± Va2 + S5D0)/25.
Используя выражение
y=°±+ujz*-1 (4.31)
и (4.30), получаем индексы Фукса в виде:
_ л Л1,2)__а2 + 85Ро±ау/а* + 86Ро
Л , Ъ " 2D^6 * (4-32)
Из (4.32) следует, что уравнение (4.29) при произвольных значениях
параметров не проходит тест Пенлеве и, следовательно, уравнение (4.25) в
общем случае не является точно решаемым. Однако попытаемся найти
частные решения этого уравнения. Для этих целей используем снова усеченные
разложения. Решения уравнения (4.25) имеют полюс первого порядка, что
следует из первого шага анализа на свойство Пенлеве уравнения (4.29),
поэтому частные решения (4.25) будем искать в виде [27]:
и=—K-^-+Ul(x,t). (4.33)
Подставляя (4.33) в (4.25) и приравнивая выражения при наименьших
степенях <р(ж, t) нулю, получаем, что
Uq
А<рх, А=±:(а± л/а2 + 8<Ш0) . (4.34)
Далее полагаем щ = 0, тогда преобразование (4.33) приводится к
преобразованию Коула - Хопфа [126,178]
щ=А~^, A=±(a±Va2 + 86D0y (4.35)

4.2. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БЮРГЕРСА - ХАКСЛИ 199
Подставляя (4.35) в (4.25), имеем
(рх((аА + 3D0)(pxx -(ft- чАфх) + 4>(<Pxt ~ D0<pxxx - р(рх) = 0. (4.36)
Приравняв выражения при разных степенях <р нулю, из (4.36) получаем
переопределенную систему уравнений относительно (p(x,t):
4>xt - DoVxxx - Р<Рх = 0, (4.37)
(аА + 3D0)(fxx -^t- lAipx = 0. (4.38)
При /3 = ^ = 5 = 0 уравнение (4.25) становится уравнением Бюргерса
щ + аиих = D0uxx, (4.39)
тогда система (4.37), (4.38) вырождается в одно уравнение
<Pt = D0<pxx. (4.40)
Получаем известный результат Коула-Хопфа: из любого решения
уравнения диффузии (4.40) можно получить решение уравнения Бюргерса с
помощью преобразования (4.35).
Выразив щ из (4.38) и подставив в (4.37), получим систему:
(аА + 2DQ)(fxxx - jA(fxx - /3(рх = 0, (4.41)
(ft = (aA + 3D0)<pxx - чА(рх. (4.42)
Функция tp(x, t), удовлетворяющая системе уравнений (4.41), (4.42) по
формуле (4.35), приводит к частным решениям уравнения (4.25).
Исследуем поведение решений уравнения (4.25), найденных из (4.41),
(4.42) по формуле (4.35) в зависимости от параметров уравнения а, /?, 7
и D0.
Пусть (3 = 7 — 0, тогда из (4.41) имеем
ф,г) = d(t)x2 + C2(t)x + C3(t). (4.43)
Подставив (4.43) в (4.42), получим
Ci,tx2 + C2,tx + C3,t = 2(аЛ + 3A>)Ci - 2^АСгх - 1АС2. (4.44)
Откуда приходим к системе уравнений первого порядка для определения
Ci(t), C2(t)nC3(t):
Cht = 0, C2,t = 0, C3,t = 2(аА + 3£>0)Ci. (4.45)

200 ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Из (4.45) находим зависимости Ci(£), C2(t) и Сз(£) в виде:
Ci(t) = ci, C2(t) = с2, C3(t) - 2(аА + 3Do)at 4- с3; (4.46)
здесь с\, С2 и сз — произвольные постоянные.
Подставив (4.46) в (4.43), имеем решение для у?(ж, £)
<р(ж, *) = cix2 4- с2х 4- 2(аА Н- £>0)ci£ 4- c3. (4.47)
Таким образом, решение уравнения (4.25) принимает вид:
А(2с1х 4- с2)
м(ж, t) = 5 Ч"Ч ^ • (4.48)
cix2 + с2х 4-2(аЛ 4-3D0)cit + сз
В случае а = 0, D0 ^ 0, из (4.34) коэффициент А находится по
формуле
А = А1=<1Щ±. (4.49)
При а^О, Do = 0 имеем
A = A2 = j. (4.50)
Из (4.48) следует, что при с\ = 0 уравнение (4.25) имеет решение, не
зависящее от t. При ci = 0, С2 7^ 0 и С3 ^ 0 решение (4.48) можно записать
в виде:
"<*•*> = гт£- (4-51)
В случае ci ф 0, разделив числитель и знаменатель (4.48) на с\ и
переобозначив С2 и сз, из (4.48) получим
/ ч А(2х + с2)
u{x, t) = -= / , ; • (4-52)
х2 + с2х 4- 2(аА 4- 3DQ)t 4- с3
Зависимость от времени решения (4.52) иллюстрируется на рис. 4.2.
Поведение решения (4.52) зависит от начальных условий, значений
произвольных постоянных С2 и сз и суммы а А 4- 3.Do. При с2 — 4сз > 0
в начальный момент времени у решения (4.52) имеются две особые точки.
В случае с2 = 4сз лишь одна особая точка. При с2 < 4сз особых точек в
начальный момент времени нет. Временная эволюция решения (4.52) зависит

4.2. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БЮРГЕРСА - ХАКСЛИ 201
-10 -5
Рис. 4.2. Зависимость от х и t решения (4.52) уравнения Бюргерса - Хаксли (4.25)
при А = С2 = сз = 1 и аА 4- 3£>о = 0.5.
от значения а А + 3D. В случае а А 4- ЗД) > 0 амплитуда решения с
течением времени уменьшается. При аА 4- 3Do = 0 решение с течением времени
не меняется. При аА + ЗД) < 0 амплитуда решения (4.52) увеличивается.
Возникает режим эволюции процесса с обострением. Ограниченное
решение (4.52) при с| — 4сз > 0 существует лишь конечное время, определяемое
по формуле:
с? - 4с3
2 (4.53)
t<
8(аА + 3D0)'
Пусть /3 — 0, 7^0. Решение (р(х, £) системы (4.41), (4.42) при /3 — 0
выражается формулой
где
ср(х, t) + ci + с2 - 7-^ci* + сз ехр(Ах 4- Д)А2£),
аЛ + 2Д) 6 А'
(4.54)
(4.55)
Подставив (4.54) в (4.33) при щ — 0, получим решение (4.25) при
/3 = 0:
A(d+c3AFi)
u(x,t) —
cix 4- с2 - 7-^ci^ + c3Fi'
(4.56)
где
Fi = ехр(Ах + D0A2£). (4.57)
При ci = 0, сз ф 0 из (4.56) (переобозначив постоянную с2) имеем
AFi(M)
решение в виде:
u(x,t)
c2 + F1(x,t)'
(4.58)

202
ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ
Решение (4.58) является волновым фронтом (кинком), которое может
быть выражено через гиперболический тангенс.
При с\ ф 0 числитель и знаменатель в (4.56) можно разделить на с\.
Переобозначив постоянные с2 и сз, решение уравнения (4.25) получим в
виде:
;4(l + C3AFi)
и(х, t) =
х 4- с2 - тAt + c3Fi ■
(4.59)
Из равенства знаменателя в (4.59) нулю можно найти значения
постоянных С2 и сз, при которых решение (4.59) имеет особые точки в начальный
и последующие моменты времени.
Поведение решения (4.59) в зависимости от х иллюстрируется на
рис. 4.3.
о ю
Рис. 4.3. Зависимость от х и t решения (4.59) уравнения Бюргерса-Хаксли (4.25)
при с2 = 0.3, сз = -1, А = 1, Л = 0.5, Do = 1 и 7 = 1.
Рассмотрим случай 0 Ф 0, 72 + 4/?J > 0. Из уравнения (4.41) находим
<р(х, i) в виде:
где
А2,3 =
ф, t) = Ci(t) + C2(t) ехр(Л2х) + C3(t) ехр(Лз^),
7-А ± ^72-А2 + 4/?(скА + 2D0) 7 ± yV + 4/35
2(<хА + 2£>0)
26 А
(4.60)
(4.61)
Подставив (4.60) в (4.42), находим зависимости C\(i), С2(£) и С3(£)
от времени
Ci - ci, С2(*) - c2G2{x,t), C3(t) = c3G3(M),
(4.62)
где
Сг(£) = ехр ((аЛ + ЗД))Аг2г - 7-АА^) - ехр(£>0А2£ + /Й), (i = 2, 3).

4.2. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БЮРГЕРСА - ХАКСЛИ
203
Учитывая (4.60) и (4.62), имеем решение <р(х, t) системы уравнений
(4.41) и (4.42) в виде:
<p(x,t) =ci + c2F2(x,t) + c3F3(x,t),
(4.63)
где
Fi(x, t) = ехр(ЛгХ + {аА + 3D0)Az2t - ^А\Ь) =
= ехр(ЛгХ + D0\?t + fit), (i = 2,3). (4.64)
Используя (4.33) при и\ = 0, находим решение уравнения (4.25) в виде:
Л(с2Л2^2+СзЛз^3)
u(x,t) =
ci + c2F2 4- c3F3
(4.65)
При с\ Ф 0 в (4.65) можно положить с\ — 1. В зависимости от
значений постоянных с2 и сз решение (4.65) может иметь две особые точки,
одну особую точку или не одной. Взаимодействие волн, описываемое
формулой (4.65), показано на рис. 4.4.
Рис. 4.4. Зависимость от х и t решения (4.65) уравнения Бюргерса-Хаксли (4.25)
при а = 1, с2 = 1, с3 = 0.1, А = 1, Л2 = 1, Л3 = 0.7, D0 = 1, /3 = 10 (слева) и
при ci = 0.3, с2 = 1, сз = -1, А = 1, Л2 = 1, Лз = 0.5, £>0 = 1, /? = -2 (сп
Рассмотрим случай 72 4- 4/?5 = 0. Из (4.61) следует
Ао = А2
\ - 7
Лз~25Л-
Из уравнения (4.41) имеем
<p(x,t) = d{t) + (C2(t) 4- C3(£)x)exp(A0x).
(4.66)

204 ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Подставив (4.66) в (4.42), получим ф(х, i) в виде:
<р(ж, t) = сг + (с2 + с3ж + 2с3 ДАо*) ехр (А0х + (£>о Aq + 0)t). (4.67)
По формуле (4.33) при щ = 0 находим решение уравнения (4.25)
Ао(с2 + с3х + 2c3DoAo^) + с3
гх(х, £) = А-
(4.68)
с\ ехр(-Л0х - (D0A^ + (3)t) + с2 + с3х 4- 2csD0X0t
Решение, описываемое формулой (4.65), иллюстрируется на рис. 4.5
Рис. 4.5. Зависимость от х и t решения (4.68) уравнения Бюргерса-Хаксли (4.25)
при а = 0.25, с2 = 1, с3 = 1, А = 1, Л = 1, Do = 1 и /3 = -3.
Пусть 72 + 4/55 < 0. Тогда из (4.41) имеем:
(р{х, t) = d(t) 4- exp(for) (C2(t) sin(px) + C3(t) cos(p:r)), (4.69)
где
к=Ш> ^2й^^' (4Л0)
Из уравнения (4.42) находятся функции C\(t), С2(£), Сз(£) и
решение (р(х, t) в виде:
<p{x,t) = ci + р4(ж,<)(с2б?4(а;,*) + сзС5(я:,*)),
где с\, С2 и с3 — произвольные постоянные,
F4(x, *) = exp(/cx + Do (к2 - p2)t + /ft),
С?4(ж, £) = sin(px + 2Dokpt), Gs(x, t) = cos(px + 2Dokpt).
Решение уравнения (4.25) находится по формуле:
А ((кс2 - pc3)G4 + (рс2 + kc3)G5)
(4.71)
(4.72)
w(:r, i)
ciF^1 + c2G4 + c3G5
(4.73)

4.3. ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БКДВ
205
При с\ Ф 0 числитель и знаменатель в (4.73) можно разделить на с\.
Переобозначив произвольные постоянные С2 и сз в (4.73), получим решение
уравнения (4.25), которое выражается формулой (4.73) при с\ — 1.
При 7 ф 0 решение (4.73) имеет бесконечное множество особых точек.
Если 7 = 0» то к = 0, /35 < 0 и у?(ж, £) принимает вид:
<p(ar, £) = с\ + ехр ((/? — Dp2)t) (c2 sin(p:r) + сз cos(px)).
По формуле (4.33) находим решение
u(x,t) —
Ар(с2 cos(px) — сз sin(px))
с\ exp(mt) + С2 sin(px) + сз cos(px)'
(4.74)
(4.75)
где т — Dp2 - /3.
Из (4.75) следует, что решение м(х, t) является периодической
функцией от х с периодом 2ir/p, причем положение нулей от времени не зависит.
Если с\ ф 0 и т > 0, то u(x,t) с течением времени затухает. Эволюция
начального возмущения от времени показана на рис. 4.6.
8 0
Рис. 4.6. Зависимость от х и t решения (4.74) уравнения Бюргерса-Хаксли (4.25)
при а = 2, С2 = 0.5, сз = 1, А = 1, m = 1 и р = 1.
4.3. Частные решения уравнения Бюргерса - Кортевега -
де Вриза
Учет диссипативных процессов при описании волн на воде приводит
к уравнению Бюргерса - Кортевега - де Вриза [44-46,65,146,214]
щ + иих + (Зиххх - vuxx — 0.
(4.76)
Используя метод ВТК можно показать, что это уравнение не
проходит тест Пенлеве. Тем не менее, уравнение (4.76) имеет частные решения,
которые можно найти, используя метод усеченных разложений [53-55].

206 ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ
Будем искать решения уравнения (4.76) в переменных бегущей волны.
Полагая
и(х, t) = y(z), z = x-CQt + <p0, (4.77)
(<po — произвольная постоянная), имеем из (4.76) после интегрирования по z
Сг - С0у + \у2 + Pyzz - vyz = 0. (4.78)
Подставляя
y(z)=ao/(z-z0)p (4.79)
в ведущие члены уравнения (4.78), находим, что
а0 = -12/3, р = 2 (4.80)
(zo при вычислении можно принять равным нулю, поскольку
уравнение (4.78) автономное). Подставляя
y(z) =-120/z2 + yjz*~2 (4.81)
снова в ведущие члены уравнения (4.78), получаем индексы Фукса для
решения уравнения (4.78)
h = -!> h = 6.
Проверим уравнение (4.78) на тест Пенлеве.
Подставляя
y(z) = -12/3/z2 + аг/z + а2 4- a3z + a4z2 + a6z* + a6z4 + ... (4.82)
в уравнение (4.78), последовательно находим
12 J v2 is3
5"' "'-^ ■ 25/3' ^~ 125/32'
И /У5
(4.83)
12500/33' 187500/34'
Коэффициент аб является произвольным, если постоянная
интегрирования С\ в (4.78) определяется через Со выражением
d = ±С02 - -i^. (4.84)
2 ° 625/32

4.3. ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БКДВ 207
Следовательно, уравнение (4.78) проходит тест Пенлеве лишь при
условии (4.84). Обыкновенное дифференциальное уравнение
Pyzz - vy. + \у2 ~ СоУ + \С% - ^g^ = 0 (4.85)
является точно решаемым уравнением.
В (4.85) введем замену переменных
y(z) = aq(z) + gg + Со, z = lz', (4.86)
где
« = -±!Ш^, <=» (4.87)
тогда уравнение (4.85) приводится к виду (штрихи у zf опущены):
qzz + 5aqz - 6q2 + 6a2q = 0. (4.88)
Общее решение уравнения (4.88) получено Пенлеве [37]. Оно
выражается через функцию Вейерштрасса
q(z) = a2CiGxp(-2az)p(C3Gxp(-az) + С2, 0, -1). (4.89)
Простейшие решения уравнения (4.78) выражаются через
гиперболические функции. Заметим, что решения уравнения (4.78) имеют полюс
второго порядка, поэтому принимая во внимание инвариантный Пенлеве-анализ,
решение уравнения (4.78) можно искать в виде усеченного разложения:
y(z) = -12/?У2 - fuY + Со + Щ, (4.90)
где Y(z) является решением уравнения Риккати
П = -У2 + А0. (4.91)
Подставляя (4.90) в уравнение (4.78) и учитывая, что Y(z)
удовлетворяет (4.91), получаем, что Aq находится по формуле
Ло = шр- (4-92)

208 ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Решение (4.91) имеет вид:
*м-щ*(щ)-
При этом решение (4.90) уравнения (4.85) принимает вид
Учитывая, что
th2 ( J^-\ = l - ch"2 (-^-\
решение (4.94) уравнений (4.76) и (4.85) можно представить в виде:
«<*•*> = С.+ ^ch-(^)-gth(j|).
(4.93)
(4.94)
(4.95)
(4.96)
Решение (4.96) является кинком, бегущим с постоянной скоростью Со.
Оно иллюстрируется на рис. 4.7.
^^ 4-
-10
-2
и
\ z
Y lb
Рис. 4.7. Зависимость от z решения (4.96) уравнения Бюргерса - Кортевега - де Вриза
(4.76) при Со = 1, v = 5, /3 = 2.
4.4. Уединенные волны, описываемые уравнением
Курамото - Сивашинского
Уравнение Курамото - Сивашинского имеет вид
щ + иших + аихх + (Зиххх + 7^жжжж = 0, m = 1,3. (4.97)

4.4. УЕДИНЕННЫЕ ВОЛНЫ КУРАМОТО - СИВАШИНСКОГО 209
Оно встречается при описании волновых процессов, возникающих при
стекании тонкого слоя жидкости по наклонной плоскости [16,137,182,183],
процессов тзфбулентности [271,272], волн дрейфа в плазме [125], фронта
пламени [247].
Полагая и = uqzp, после подстановки в ведущие члены
уравнения (4.97) имеем: р = -3 при т = 1 и р = —1 при т = 3. Проводя
второй этап проверки исходного уравнения на тест Пенлеве, нетрудно
убедиться, что при исследовании (4.97) два из четырех индексов Фукса
являются комплексносопряженными [54,133]. Следовательно, уравнение (4.97)
не проходит тест Пенлеве и не относится к точно решаемым уравнениям.
Однако это уравнение имеет частные решения.
Рассмотрим случай т — 1. Тогда, используя безразмерные переменные
и = ау/а/чи', х = \J^Iolx', t=(j/a2)tf, а = /3/у/сРу, (4.98)
уравнение (4.97) при т — 1 можно записать в виде
щ + uux + uxx + cruxxx + uxxxx = 0 (4.99)
(штрихи в (4.99) опущены).
Заметим, что (4.99) инвариантно относительно группы преобразований
Галилея
(u, x,t) —► (и + со, х — cot, t) (4.100)
и кроме того, допускает преобразование в виде
и^—и, х —» — х, а —> — <т, (4.101)
что позволяет искать решения уравнения (4.97) только при а > 0.
Частные решения уравнения (4.97) можно искать, используя усеченные
разложения. Такой подход применялся в работах [54,64,105,106,133,200].
Однако при этом удалось найти решения только в переменных бегущей
волны. Поэтому здесь частные решения уравнения (4.97) будем искать,
используя также переменные бегущей волны (4.77). В этом случае уравнение
Курамото - Сивашинского при т = 1 принимает вид
Vzzz + (ryzz + Уг + \у2 - Coy + d = 0, (4.102)
где Со — скорость волны, С\ — постоянная интегрирования.
Решение уравнения (4.102), как и решение (4.97), имеет полюс третьего
порядка, поэтому его можно искать в виде
y(z) = а0^3 + агУ2 + a2Y + a3, Y = Y(z), (4.103)

210 ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ
где постоянные ао, fti, ft2 и аз находятся после подстановки (4.103) в
уравнение (4.102). Переменная Y(z) является решением уравнения Рикатти
Yz = -Y2 + A0, (4.104)
где Ао — постоянная, которая также находится при подстановке (4.103)
в (4.102).
Решением уравнения (4.104) является гиперболический тангенс
Y(z) = y/A^th(y/A^z + ро), (4Л05)
где (ро — произвольная постоянная. Поэтому частные решения
уравнения (4.102) (и многих других уравнений) можно искать в виде суммы
степеней от гиперболических тангенсов (или в виде суммы степеней от
некоторых других гиперболических функций).
Подставив (4.103) в уравнение (4.102), приняв во внимание, что Y(z)
удовлетворяет (4.104) и приравняв выражения при одинаковых степенях Y
нулю, получим
ао — 120, а\ = — 15<т,
а2 = 19 " 76°* " 120i4°' (4.106)
аз = Со + Jq(t + WaAo - ^|а3.
Кроме того, имеются еще три дополнительных уравнения:
660 1305 2 , 1965 4 150 А 2 , 2400 А отЛ2 п. (А 1П7ч
Ш"722а +5776а ~19Аоа +-jgT^o " 960А) = °» (4Л07)
75 а з 300^ А 495 з , 195 s , 105^ п. (А т*\
76Ао(Т -l9aAo~Wma +46208а + ЗбГТ = °' (4Л08)
(4.109)
п \п2 , 60 л 2400 Л2 , оап лз , 55 i 2 65 А л ,
ci - 2Со + Jgло 19~ло + УЬ0Л0 4- IjqAoct - тщЛ0сг +
, 775 ,22 , 49 л 91 „4 , 169 в _ п
+ 38 Л°а + П552а 46208^ + 739328^ " U"
Уравнение (4.108) можно представить в виде
а(а - 4)(а + 4)(13а2 - 56 + 3040Л0) = 0. (4.110)
Оно удовлетворяется при а = 0 и а = ±4.

4.4. УЕДИНЕННЫЕ ВОЛНЫ КУРАМОТО - СИВАШИНСКОГО 211
Пусть а = 0. Тогда из (4.107) находим два значения Ао:
(4.111)
Л(1) _ И Л(2) _ 1
76'
Соответствующие значения С\ при этом определяются из уравнения
(4.109):
r»(i) _ 1г»2 450
М2) - 1 ^2 , 4950
ми
2~и 6859' ~х 2~° ' 6859' (4Л12>
Постоянные ао, ai, аг и аз в (4.106) при <т = 0 вьфажаются формула-
а0 = 120, а1=0, *2 = Щ, аз = С0. (4.113)
Частные решения уравнения (4.107) в этом случае принимают вид:
и(х, t) = Со + llAi th3 ( уz^ - Mi th f ^;Л
z = x - C0t + <аъ *i = у j§, i4i = Y§y«|-
Цх, t) = Co - A2 tg3 fe) + 3A2 tg (^s) ,
(4.114)
Z = £ - Cq£+ </?0, &2
VT9
A2 =
15VT9
(4.115)
19 ' "z 361
В (4.114) и (4.115) Co и (fo — произвольные постоянные. Решения
(4.114) и (4.115) иллюстрируются на рис. 4.8 и 4.9 соответственно.
Рис. 4.8. Зависимость от z решения Рис. 4.9. Зависимость от z решения
(4.114) уравнения Курамото - Сива- (4.115) уравнения Курамото - Сива-
шинского (4.97) при Со = 1. шинского (4.97) при Со = 1.
Пусть а = 4. Тогда из (4.107) имеем
л(3) _ 1
^о - 4'
Л*) _
Л0 —
1
"4"
(4.116)

212 ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Значения С\ находятся из (4.109)
C{3) = |cg-18, С^ = \с1-%. (4.117)
Постоянные ао, ai, a2 и аз в (4.106) для этого случая принимают вид:
а0 = 120, аг = -60, а2 = -30, а3 = С0 + ||. (4.118)
Частные решения уравнения (4.97) при а — 4 выражаются формулами
(4.119)
ы(х, t) = Со - 11 - Л4 tg3 Q^ - Л4 tg2 f |;Л - Л4 tg Uz\ ,
u(x,^-Co-f|-A3 + -A3th3
z = я-С0£4-с£о, A3 = 15,
(4.120)
z = x — Cot + <po, A4 = 15.
Зависимости (4.119) и (4.120) представлены на рис. 4.10 и 4.11
соответственно.
Рис. 4.10. Зависимость от z ре- Рис. 4.11. Зависимость от z решения
шения (4.119) уравнения Кура- (4.120) уравнения Курамото - Сивашин-
мото - Сивашинского (4.97) при ского (4.97) при Со = 1.
Со = 1.
Кроме указанных выше двух значений а (а — 0 и а — 4), из уравнения
(4.110) находим
(4.121)
л 7 13 „*
380 3040
Подставив (4.121) в (4.107), получим уравнение
(73а-2 - 256)(47о-2 - 144).
(4.122)

4.4. УЕДИНЕННЫЕ ВОЛНЫ КУРАМОТО - СИВАШИНСКОГО 213
Из (4.122) имеем
„(1,2, = ± 16ЛЗ) (4Л23)
4» = ±™$_. (4.124)
Пусть а = 16л/73/73. Тогда из (4.121) получаем
Af = 2^, (4.125)
постоянные ао, ai, й2 и аз в разложении (4.106) для этого случая
принимают вид:
1on 240л/73 150 п , 60л/73 „ 10,ч
a0 = 120, ai = Ys—' a2 = ~73 ' °3 = ° 5329 ' (4Л26)
Постоянная Ci определяется выражением
г(5) _ 1Г2 _ 4050 ,д , ?7.
Cl "2C° 389017* (4Л27)
Частное решение уравнения (4.97) при а = 16>/73/73 выражается
формулой:
и(ж,*) = Со + 4А5 + А5 th3 fe) - 4Л5 th2 fe) + 5Л5 th f^z) ,
~ . , , V73 , 15л/73
z = s-Cot + *o, *б = -7з", ^ = -5329"-
(4.128)
Используя симметрию уравнения (4.97) и решение (4.128), получаем
решение при а — -16V73/73 в виде:
u(x,t) = C0-A5th3 (-yz) +4^sth2 (~у«) - 5^5th (-у*) ,
„ . , , л/73 15\/73
г = х-Со* + ^, ^ = ^3-, ^ = -5329"-
(4.129)
Пусть сг = 12\/47/47. Из (4.121) имеем
46) = щ, (4.130)

214
ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
постоянные ао, ai, a2 и аз в этом случае принимают вид
1on 180\/47 90 п , 45\/47 М1-,1Ч
a0 = 120, ai = j^—, ^2=47, °3 = ° 2209 ' (4Л31)
Постоянная Ci определяется выражением
^(6)_1Г2 1800 Г4П2^
Cl -2C°~l03823- (4132)
Решение уравнения (4.97) для этого случая запишется в виде:
u(x,t) = Со + ЗЛ6 + Лбth3 f^-z) - ЗА6th2 f ^ + ЗА6 th f ^z) ,
/^ .. / I л 15\/47
z = *-C0t + Wh ** = ^=, Лб = "2209"-
(4.133)
Зависимости (4.128) и (4.133) от х представлены на рис. 4.12 и 4.13
соответственно.
1.2JU °^
0.8j
-40 0 40
Рис. 4.12. Зависимость от z решения Рис. 4.13. Зависимость от z решения
(4.128) уравнения Курамото - Сива- (4.133) уравнения Курамото - Сива-
шинского (4.97) при Со = 1. шинского (4.97) при Со — 1.
Последнее решение можно представить в более компактной форме.
u(z,*) = Co+4A6-A6(l-th^ , (4.134)
где Ав, кв и z определяются также как и в (4.133). Решение уравнения
(4.97) при а = 12\/47/47 находится из (4.133), используя симметрию (4.97).
Как сказано выше, исходное уравнение (4.97) не проходит тест Пенле-
ве. Однако это уравнение имеет набор частных решений при а = 0, а =
= ±12>/47/47, а — ±16л/73 и при а — ±4. Это объясняется тем, что при
указанном наборе параметров, исходное уравнение содержит в себе
уравнение Риккати, имеющее свойство Пенлеве.

4.5. КНОИДАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ КУРАМОТО - СИВАШИНСКОГО 215
Действительно, полагая, что решение уравнения
Е[у] = yzzz + Ayzz + yz + \у2 - С0у + leg - 18 = 0 (4.135)
определяется формулой
y(z) = 120У3 - 60У2 - ЗОУ + 9 + Со, (4.136)
где Y(z) удовлетворяет уравнению
Q[Y]=Yz + Y2-±, (4.137)
для (4.135) получаем соотношение:
Е [y[Y]\ = 30(6У + 1)(2У - 1)Q„-
-30(12Q - 72FQ 4- 96У3 - 4У - 68У2 + 7)QZ+
о о о (4.138)
+720Q3 - 120(60У2 - 32У - 1)Q2+
4-15(2У - 1)(456У3 - 140У2 - 122У 4- 7)Q.
Из (4.138) следует, что если Q = 0, то Е = 0. Усеченное разложение
(4.136), по существу, позволило воспользоваться простейшим уравнением,
имеющим свойство Пенлеве. В связи с этим, все полученные выше частные
решения имеют лишь одну произвольную постоянную, а не три как должно
иметь общее решение уравнения (4.102).
4.5. Кноидальные волны, описываемые уравнением
Курамото - Сивашинского
Решения нелинейных уравнений, приведенных в п. 4.4, являются
уединенными волнами. Однако возникает вопрос, имеются ли еще какие-либо
точные решения у «неинтегрируемых» уравнений. Для некоторых
нелинейных уравнений удается найти более общие решения. Покажем, как это
делается для уравнения (4.97) при а = 4 [51,205]. Используя переменные
бегущей волны из (4.102) при а = 4, имеем
Vzzz + ±yzz +yz + \y2 ~ C0y + d = 0. (4.139)

216 ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ
Решение (4.139) имеет полюс третьего порядка, поэтому его можно
искать в виде [50,51]
y(z) = a0Rz 4- axR + а2, (4.140)
где R(z) удовлетворяет уравнению для эллиптической функции Якоби
(Rz)2 = 4Д3 + aR2 + bR + d. (4.141)
Решение R(z) уравнения (4.141) имеет полюс второго порядка, и,
следовательно, Rz имеет полюс третьего порядка, что и учтено в (4.140).
Подставляя (4.140) в (4.139) и принимая во внимание, что
Д^ = 6Д2 + аД+|, (4.142)
(4.143)
находим
ао = —60, а\ — —60, й2 = Со — Ъа — 1, Ъ = т^(«2 — 1)
d = |а3 - у« 4- |cg -13 - 1080d.
Пусть jRi , Й2 и Яз — действительные корни кубического уравнения,
4Я3 + аД2 + ^(а2 - 1)Я + d = 0. (4.144)
Причем Ri > R2 > R3- Действительные корни в уравнении (4.144)
существуют при условии:
i __ а _ а3
144 432
> ^- (4.145)
Решение (4.141) при условиях (4.143) и (4.145) выражается формулой
ВД = R2 + (R1-R2)cn2 | %\IR\5R3,S 1, (4.146)
где
52 = (их - Й2)/(Й1 - Дз). (4.147)

4.6. ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПЯТОГО ПОРЯДКА 217
Частное решение уравнения (4.139) при этом выражается
формулой (4.140), а волны, описываемые обобщенным уравнением Курамото -
Сивашинского, являются периодическими волнами.
При Со = 6, d = Ci = Ь = 0 (Д1 = 1/4, Д2 = Дз = 0)
решение (4.146) переходит в уединенную волну
Д(^) = |сЬ-2(|), (4.148)
которая, после подстановки в (4.140), становится решением уравнения
Курамото - Сивашинского, найденным в п. 4.4.
4.6. Частные решения простейшего нелинейного
волнового уравнения пятого порядка
Для описания волн под ледяным покровом в работе [72] предложено
простейшее уравнение пятого порядка, имеющее вид:
щ + иих + (Зиххх = 6иххххх. (4.149)
Покажем, что уравнение (4.149) не проходит тест Пенлеве. Анализ
уравнения (4.149) на свойство Пенлеве проведем, используя переменные
бегущей волны (4.77). Уравнение (4.149) после интегрирования по z
принимает вид:
Syzzzz ~ PVzz - \у2 + Coy - d = 0. (4.150)
Подставляя
У = fP (4.151)
в ведущие члены уравнения (4.150)
Syzzzz-^y2 = 0, (4.152)
находим
р = 4, а0 = 16805. (4.153)
Используя выражение
у = 1680<5/г4 + yjzj-4, (4.154)

218 ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ
получаем, что индексы Фукса, при разложении решения уравнения в ряд
Лорана, имеют вид:
л • -in 11 ±г\/159 (Л 1ССЛ
Л = -1, J2 = 12, J3,4 = 2 ' (4.155)
Таким образом, уравнение (4.150) и, следовательно (4.149), не проходит
тест Пенлеве. И поэтому (4.149) и (4.150) не являются точно решаемыми
уравнениями. Однако можно найти их частные аналитические решения [54,
55,205].
Решение уравнения (4.150) будем искать в виде суммы степеней от
гиперболического тангенса.
В соответствии с (4.153) полагаем
4
y(z) = ^2 а4-г th*(fcz + <ро). (4.156)
г=0
Здесь (ро — произвольная постоянная. В (4.156) принято, что
наибольшая степень th(kz + щ) равна 4, поскольку исходное уравнение имеет
полюс четвертого порядка. Поиск точного решения в виде (4.156), по
существу, эквивалентен ранее используемому подходу в п. 4.4.
Подставляя (4.156) в уравнение (4.150) и приравнивая выражения при
одинаковых степенях гиперболического тангенса нулю, находим, что
а0 = 16805/с4, аг = 0,
а2 = -^к2(0+1Шк% а3-0, ?)
п - г 31 Р2 . 560/?fc2 i568tffe4
В (4.157) к принимает значения
^дщ д/65/3*(3*^5Т-31)
*1,2 = ± оаЯ » &3,4 = ±
265 ' *'* 2605
у/-6Б06(31 + Зг>/зТ)
(4.158)
2605

4.6. ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПЯТОГО ПОРЯДКА 219
а постоянная интегрирования С\ удовлетворяет условию
Сх = \cl - ^р*2*8 - Ш/)й«+
, 17360/?3fc2 _ 961/?4 _ 14224.2,4 (4Л59)
19773.5 514098J2 507 Р
Интересные решения, с физической точки зрения, получаются при к =
= ki и к = &2- В этом случае выражения для коэффициентов (4.157)
упрощаются
105/32 „ 210/32
а° = ТйоГ' а1=«з = 0, а2 = —т«оГ'
1695 1695
Принимая во внимание (4.156) и (4.160), решение исходного уравнения
получаем в виде:
^.«)=^-^ + wch"4{i^-^+^>- (4Л61)
Постоянная С\ в (4.150) определяется формулой
Ci = Jcg--^. (4.162)
2 ° 2856152
Решение (4.161) иллюстрируется на рис. 4.14.
1.51 И
-10 0 10 2
Рис. 4.14. Зависимость от z решения (4.161) уравнения пятого порядка (4.149) при
Со = 0 = S = 1, <р0 = 0.
Для уравнения (4.149) можно также найти аналитическое решение в
виде периодической волны [51,205]. Будем искать его в переменных
бегущей волны, полагая
y(z) = a0R2(z) 4- агЩг) + а2, (4.163)

220 ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ
где R(z) удовлетворяет уравнению для эллиптической функции (4.141).
Подставляя (4.163) в (4.150), получаем, что y(z) — решение
уравнения (4.150), если
а0 = 16805 аг = 2805а - Щ&,
2 (4.164)
а2 = С0-|^->+168М-|^.
Постоянные d и С\ в уравнениях (4.141) и (4.150) определяются
выражениями:
,ab а3 7а2/3 7/36 31/33
12 216 93605 7805 474552053'
d - 1932а 65 - W/J 6-57122^ - ~YS a +
.]31д2а2 + -С2 пкпох2/,2
(4.166)
+Т^Р2а2 + *Cg - 115925262.
При произвольных значениях параметров /3 и 5 уравнения (4.150),
постоянные аи6в(4.141) следует выбирать с учетом неравенства
1695
126 - а2 + j^ ) (2433662 - 40566а2+
(4.167)
2552 ЮО S2 16Ш64) ~ '
так, чтобы корни R\,R2 и Д3 в (4.141) были действительными. В
предельном случае эллиптическая функция (4.163) переходит в уединенную
волну (4.161).
4.7. Точные решения нелинейного уравнения пятого
порядка для описания волн на воде
В работе [231] П.Олвер учел следующий порядок малости при выводе
уравнения для описания волн на воде и пришел к уравнению
Щ + Ux + C\UUX + C2UXXX + C3UXUXX + C4UUXXX + CbUxxxxx — 0. (4.168)

4.7. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПЯТОГО ПОРЯДКА 221
Коэффициенты с\, с2, сз, с4 и с$ связаны с безразмерными физическими
параметрами волнового процесса
За п (\ Л R n /53 302 13<Л й
с4
= {т2-уа^ ^^(^-ё-т)^2
(4.169)
Здесь а и (3 — малые параметры
h2
а=Ь p=i?> (4Л70)
а — амплитуда волны, h — глубина жидкости, I — длина волны, в — параметр,
характеризующий изменение потенциала с глубиной, который
удовлетворяет неравенству
О<0<1, (4.171)
г — коэффициент учитывающий влияние поверхностного натяжения, при
г — 0 его нет.
Представляет интерес найти частные решения уравнения (4.168) [50].
Для удобства вычислений используем замену переменных
60С2 [С2, .ч [С2С2. .
3 4 V V (4.172)
60с4 60cic5 /о / п
с3 + 2с4 с2(сз + 2с4)
Тогда уравнение (4.168) приводится к виду
Щ + иххххх - гпииххх - 2(30 - тп)ихихх - пгшж + ^яжж = 0, rnn ^ 0.
(4.173)
Применяя тест Пенлеве, покажем, что (4.173) не является точно
решаемым уравнением. Индексы Фукса находятся как корни уравнения,
зависящего от параметра га,
(г + 1)(г - 6)(г3 - 15г2 + (86 - m)r - 120) = 0. (4.174)
Интересуемся только целыми решениями уравнения (4.174),
поскольку при нецелых индексах Фукса уравнение не удовлетворяет требованиям

222
ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
теста. Существуют два значения параметра га, для которых индексы Фукса
целые:
т = 12: г = -1,4,5,6,6;
(4.175)
т=180: г = -3,-2,-1,6,20. v ;
Однако при разложении общего решения в ряд Лорана, условия
совместности не выполняются и, следовательно, уравнение (4.173) не
относится к точно решаемым уравнениям.
Будем искать частные решения уравнения (4.173) двумя способами:
в виде полинома по степеням функции, удовлетворяющих системе
уравнений Риккати [127,128], и в виде полинома по степеням функции,
удовлетворяющей невырожденному эллиптическому уравнению [205].
Суть метода [127,128] заключается в следующем. Пусть функции r(z)
и <j(z) удовлетворяют системе уравнений Риккати
а' = -от, т' = -г2 - ^-а + 1. (4.176)
к
Общее решение системы уравнений (4.176) имеет вид:
^ ^ /и^П l -L^ U 1 (4Л77)
//о/к + Ci ch z + с/2 sh z
T(z)= Cishz + C2chz и мял
К } fio/k + dchz + Czshz' K }
Здесь С\ и Сч — произвольные постоянные. Полагая в (4.177) и (4.178)
С2 =0 vi Сi = 1/К9 получаем элементарные уединенные волны
fio + chz ch z 4- fio
Система уравнений (4.176) допускает первый интеграл
t\z) !
a(z) К I a2(z) К
2'
(4.180)
Для всех значений //0, кроме //о = =Ы, функции r(z) и a(z) имеют
простые подвижные полюса, а в случае цо = =Ы функция <j(z) имеет
полюс второго порядка. Чтобы исключить изменение порядка полюсов для

4.7. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПЯТОГО ПОРЯДКА 223
функции <j(z), выбираем к = >///§ — 1 и систему уравнений (4.176)
рассматриваем при условии, что
1-т2-2//сг + о-2=0, fi, = ^ , /х2^1. (4.181)
Решение уравнения (4.173) ищем в виде полинома по степеням
функций <тиг, полагая, что
z = к(х — с£),
где /г и с — постоянные. Решение уравнения (4.173) будем искать в виде
и = ао + aicr(z) + a2r{z) + a3o-(z)r(2:) + a4cr2(z), (4.182)
где для упрощения вычислений предполагается, что все коэффициенты —
постоянные величины.
Подставляя (4.182) в уравнение (4.173), а затем исключая все
производные от (<т, т) степени г выше первой с помощью соотношений (4.176)
и (4.181), приравниваем выражения при различных степенях (а, г) нулю
и получаем конечную систему алгебраических уравнений с неизвестными
а0, fli, Й2, «3, «4, МО, /СИС.
Решение этой системы уравнений можно разделить на два этапа: на
первом этапе предполагается /х(//2 — 1) Ф 0 и получается решение
уравнения (4.173) в виде комбинации волн (4.179), на втором этапе предполагается
/i = 0 и находится решение уравнения (4.173) в виде полинома по степеням
sh z и th z. Все возможные решения вида (4.182) можно сгруппировать в три
семейства, определяемые коэффициентами при старших степенях а и г:
1) а4 = ^,а3 - у, 2) а4 = у,«з - -у, 3) а4 = /г2,а3 = 0.
(4.183)
Заметим, что решения второго семейства (4.183) получаются из
решений первого семейства (4.183) заменой г —* —г, поэтому далее решения
второго семейства (4.183) не рассматриваются. На первом этапе находим
единственное решение из первого семейства (4.183), справедливое для
произвольного значения параметра га:
л к2 А 12 - п + га/с2
т—т и (4.184)
1 + //о en z — v /Xq — 1 sh z
(//о + ch z)2

224
ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ
Это решение — двухпараметрическое с параметрами к и //0,
действительное для jj,q > 1. Остальные параметры решения (4.182) принимают
следующие значения:
к2а п(п - 12) - т(т - 12)к4
На рис. 4.15 изображено решение (4.184).
(4.185)
-ю
Рис. 4.15. График решения (4.184) с Рис. 4.16. График решения (4.191) с
т = 1, п = 10, к = 2.5, /ло = 3. п = 90.1, А; = 3 (выбран знак "-Ь").
На втором этапе находим два решения, справедливые для
произвольного значения т. Одно из решений принадлежит первому семейству (4.183)
и = А0 +
k2(l±chz)
2sh2z
(4.186)
Это решение является частным случаем решения (4.184) и может быть
получено из выражения (4.184) заменой z —+ z + in/2. Второе решение —
из третьего семейства (4.183) имеет вид:
и = А0 4- y - k2sh2z.
(4.187)
Это — однопараметрическое решение с параметром к. Коэффициенты
в (4.182) для этого решения принимают следующие значения:
а\ =0, й2 = 0,
п(п - 12) - 16т(га - 12)к4
12т
(4.188)
Уравнение имеет также решение, отличающееся от (4.187) заменой
(4.189)
z —► z + г7г/2, -k2sh2z -* fc2csch2z = к2 sh г z.

4.7. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПЯТОГО ПОРЯДКА 225
Заметим, что при т — 12 решения (4.184), (4.186) и (4.187)
соответствуют волнам, распространяющимся с фиксированной скоростью, не
зависящей от волнового числа.
Для параметров уравнения т — 10 и т — —48 существуют решения
вида (4.183), отличные от приведенных выше.
В случае т — 10, //(//2 — 1) Ф 0, и при значениях параметров:
6 - 71 + Ю/С2 ,2 п
«о = ^Q- , сц = -A*fc , а2 = 0,
_ п(п - 16) - 40/с4 2_ 2 , п
60 ' ^ ~ 3 + 30/с2
решение принадлежит третьему семейству (4.183). Оно может быть
записано в виде:
= 6 - п + 10fc2 _ к2 ЗОк4 ,. ,9П
60 l±Kchz (n + 20fc2)(l±Kshz)2' l ' '
где
In- 10fc2 ,. 1Г1-Ч
K=in~r^- (4Л92)
Зависимость решения (4.191) от z представлена на рис. 4.16.
При мнимом к решение (4.191) после замены z —* z + г7г/2, и —> in
принимает вид, отличающийся от (4.191) заменой ch z на sh z и знака
подкоренного выражения в равенстве (4.192) на противоположный.
В случае гп— —48 и //(//2 — 1)^0 существуют решения как из первого
семейства (4.183), так и из третьего семейства (4.183). Первое семейство
решений (4.183) определяется следующими значениями параметров:
ао = ^(п - 2 - 50/с2), а2 = ±т|>/5п/с2-348/с4,
95 12 (4193)
ач = а2- \цк2, с = ^(2п - 21п2 + 2450п/с2 - 69120/с4),
л уо
причем решения в действительной области возможны лишь при двух
значениях к.
Первое решение имеет вид:
1 . 49n 5n fc2_j>?! 1 L 341пЛ ,4 194л
W " 48 + 16704 696^' * ~ 348' С " 96 \^п 5046 ) ' С4Л94)
Здесь и ниже г; определяется по формуле (4.184).

226 ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ
Второе решение
1 144(/x0 + chz) 144w' Л1~ 48 + 3456'
К ~ 72' С
^(--¥)
(4.195)
Это однопараметрические решения с параметром до, причем //q > 1.
Решение (4.195) иллюстрируется на рис. 4.17 и 4.18.
ю
Рис. 4.17. График решения (4.195) с Рис. 4.18. График решения (4.195) с
п = 100, до = 5 (выбран знак "4-"). п = 100, до = 5 (выбран знак "—").
Решение (4.194) — частный случай решения (4.184), а решение (4.195)
при до = 0 и замене z —> г + г7г/2 переходит в
м = Ai +
п(1 ± chz)
144 sh z
(*+^)' « = ±L
(4.196)
Класс решений содержит в себе решение с к2 — п/48, отличное от
приведенных выше. Однако это решение содержит мнимую часть.
Третье семейство решений (4.183) для т = —48, д(д2 — 1) Ф 0
определяется следующими значениями параметров
а0
1 4- Ш2
48 '
«2 =0, а3 = 0,
с=^(п + 13п^-1728П M>=g + ^jLj.
(4.197)
Однопараметрическое семейство с параметром к из этого семейства
имеет вид
14-13/с2 , 420/с4
г*, = — -
48
+
(l + «ch*)2(n + 348fc2)'
(4.198)

4.7. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПЯТОГО ПОРЯДКА 227
где
к = ±\
п - 72k2
n + 348/c2'
График решения (4.198) приведен на рис. 4.19.
(4.199)
0.01
Рис. 4.19. График решения (4.198) с п = Рис. 4.20. График решения (4.209) с
= 72.01, к = 1 (для к выбран знак "4-"). п — —10 (выбран знак "—").
В случае мнимого к в (4.198), (4.199) после замены z —> z 4- гтг/2,
к, —* in приходим к решению, которое получается из (4.198), (4.199) заменой
ch z на sh z в (4.198) и заменой знака подкоренного выражения в (4.199).
Существует еще одно решение из третьего семейства (4.183) для т =
= —48, //(//2 — 1) ф 0 и аз = 0. Однако это решение может быть определено
лишь неявным образом как решение системы четырех уравнений
n/c2-12/c2+192/c4-576a0^2+12af-264a2^2-420A:V = 0,
па2 - 2а2 + USa2k2 - 96a0ai + 10///с2 + 130///с4+
+480а0///с2 - 60а|/х - 30а2/л2к2 = 0,
2с/с2 - 8к4 - 32fc6 + 2а0а1к2 - 384а0/с4 + гса| + 108а|/с2+
+6а2//&2 4- 30а2///с4 4- 288a0ai/i/c2 = 0,
с - к2 - к4 + a0ai - 48а0/с2 = 0.
При т — — 48 и // = 0 существует две группы решений,
принадлежащих третьему семейству (4.183). Первая группа определяется следующими
значениями параметров:
CL1 =0,
(4.200)
(4.201)
(4.202)
(4.203)
1
а0 = ^(п-2-200к2),
а2 = ±
sjbnk2 - 1392/с4
96
(2гс-
2У^
21n2 + 9800nfc2 - 1105920/с2).
(4.204)

228 ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Одно из решений, принадлежащее этой группе, имеет вид (к2 = п/288)
u = Ai±mthz-msh2z- <4-205)
В группу решений, определяемую значениями параметров (4.204),
входят, кроме (4.205), решение с к2 = 5п/1392 (частный случай решения
(4.187)) и решение с к2 = п/192 с неустранимой мнимой частью.
Решение (4.205) при замене z —* z + in/2 переходит в решения,
отличающиеся от (4.205) заменой th z и sh z на cth z и csch г, соответственно
и = Аг ± щ cth z - ^g csch2z. (4.206)
Вторая группа решений определяется следующими значениями
параметров:
1/ O.lvlfil.24 , A/5nfc2 + 696fc4
ао = т^(^ - 2 + 148/г), ai = ± ,
96 2^ (4.207)
а2 = 0, с = ^(2п - 21п2 - 4900п/с2 - 270720А;4).
В эту группу решений входит решение с к2 = —5п/696 (частный
случай решения (4.187)), решение с к2 = _4j, с = с+, п < 0, которое после
замены z —► z + г7г/2 приводится к виду
и = А%± _4^csch z + _4|csch2z, (4.208)
а также решение с к2 = А~1, с = с~, п < О
гх = _4^" ± _4^"shz - A~lsh2z. (4.209)
Здесь
±_ 1158 4- (161 ±37>/14)п ±_ пу/1355у/Т4±4712
2 ~ 55584 ' 3 ~ " 2316
±_ (20 ± yTi)n ± 223494п 4- (46853 ± 10825y/l4)n2
4~ 2316 'С ~ 10727712 '
(4.210)
Зависимость решения (4.209) от г представлена на рис. 4.20.
Для поиска решения уравнения (4.173) в виде кноидальной волны
воспользуемся методом, который использован ранее в п.4.5. и п.4.6.

4.7. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПЯТОГО ПОРЯДКА 229
Проинтегрировав уравнение (4.173), записанное в переменных бегущей
волны, по z, получаем
uZZzz - muuzz + uzz + |(га - 20)u2 - |u2 - C0u + d = 0, (4.211)
где С\ — постоянная интегрирования.
Решение уравнения (4.211) имеет полюс второго порядка, поэтому
будем искать в виде
u = a0R(z)+a1, (4.212)
где ао, «1 — постоянные, a R(z) — решение уравнения
R2z = 4R3 + a R2 + bR + d. (4.213)
Подставляя (4.212) в уравнение (4.211) и приравнивая нулю
коэффициенты при разных степенях R(z)9 получаем следующие значения параметров
уравнения:
1 12-п Л-та , (12 - п)п + га(12с + (га - 12)а2)
00-1' а1 = 12т—' Ь= 12га(га-12) '
(2п3(га - 6) - 36п (48 - 4га(1 + 2с - За) +
432га2(га - 12)2
+ га2(с - а)) + п2(288 + 36га(а - 1) - Зга2а)+
+га(га - 12)(36с(8 + та) + ra(-288Ci + а3(га - 12)))),
(4.214)
где предполагается, что га ф 12. В случае га = 12 находим
- 12-п + 12а
а0 = 1, ai = ^ ,
, __ 144п - 24п2 + п3 + 41472Ci - 144па2 ^ _ гс(п - 12)
6~ 1728^ ' °° ~ 144 '
Пусть Ri < R2 < R3 — действительные и различные корни
кубического уравнения из правой части (4.213). Тогда уравнение (4.211) имеет
решение в виде кноидальной волны
и = 12~и + та + #2 + № - Д2)сп2(^Я3 - Riz, S), (4.215)

230
ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
где
График решения (4.215) представлен на рис. 4.21.
-5 0 5
Рис. 4.21. График решения (4.215) при т = -48, п = -100, а = -8, Ri = 0.9,
R2 = 1.36, Яз = 1.44.
В предельном случае при R2 = Дз решение (4.215) переходит в
уединенную волну, которая была получена ранее. Таким образом, уравнение
(4.173) имеет частные решения при любых значениях га. Для двух
значений т = 10 и га — —48 получены дополнительные частные решения.
Кроме того, найдено частное решение уравнения (4.173) в виде кноидаль-
ной волны.
4.8. Решения уравнения Кортевега - де Вриза пятого
порядка в переменных бегущей волны
Используя переменные бегущей волны, найдем решения уравнения
Кортевега - де Вриза пятого порядка, имеющего вид
щ - 6/3иих + /Зиххх — 20ихихх - 10ииххх + 30и2их + иххххх = 0.
(4.216)
Это уравнение относится к классу точно решаемых уравнений, для
которого решение задачи Коши может быть получено с помощью
метода обратной задачи рассеяния. Однако уравнение (4.216) имеет также и
частные решения, которые могут быть найдены, используя один из выше
представленных алгоритмов.
Будем искать частные решения в переменных бегущей волны
и{х, у) = y(z), z = x-CQt + (po, (4.217)

4.8. РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КДВ ПЯТОГО ПОРЯДКА 231
(где (ро — произвольная постоянная), тогда после интегрирования по z
из (4.216) приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению
Vzzzz ~ WyVzz ~ $у1 + Ю2/3 + P(yzz ~ 32/3) + Sy + /х = 0. (4.218)
В (4.218) обозначены 8 = —Со и //, как постоянные интегрирования.
Общее решение уравнения (4.218) имеет полюса второго порядка и
частные решения (4.218) можно искать в виде [143-145]
y(z) = а0 th2(kz) + ai th(fcz) + а2, z = х - С0£ 4- <ро- (4.219)
Используя ту же процедуру, что и прежде, находим, что уравнение
(4.218) имеет два класса решений вида (4.219).
В первом случае коэффициенты ао, ai, а2,5 и // определяются
выражениями
ао = 2/с2, а\ = 0, а2 — Const,
5 = 6/?а2 - 80а2к2 - 30а?> + 104/с4, (4.220)
/х - 20^ - 3/?а| + 80а|/с2 - 64а2/с4 - 4(3к4 + 32/с6 - 8/За2к2.
Второе семейство решений определяется следующими постоянными
а0 = 6/с2, ал = 0, а2 = ^ - 4/с2,
(4.221)
Из формул (4.220) и (4.221) следует, что уравнение (4.218) имеет
частные решения в виде уединенных волн (4.219). Уравнение (4.218), как
и (4.216), является точно решаемым уравнением и поэтому найденные
решения являются солитонными решениями. Однако в этой связи можно
ожидать, что найдется общее решение уравнения (4.218).
Решение уравнения (4.218) при (3 = 0 впервые было найдено Драхом.
Затем оно было переоткрыто Дубровиным и Косгрове [24,134].
Найдем решение уравнения (4.218) при (3^0. Заметим, что
уравнение (4.218) не содержит третью производную и в соответствии с
теорией последнего множителя Якоби, уравнение имеет последний множитель
равный единице [15]. Поэтому для того, чтобы найти решение уравнения
(4.218) в квадратурах требуется найти два первых интеграла.

232
ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Один из первых интегралов уравнения находится после
умножения (4.218) на yz:
У.Уггг ~ \v\z ~ 5»У* + \У* + f (у? - 2У3) + ft/2 + МУ = К,. (4.222)
Здесь К\ и далее К^, К$ и К± — произвольные постоянные.
Второй интеграл найти несколько сложнее. Для этих целей можно
использовать полиномы с неопределенными коэффициентами.
Суть этого метода заключается в следующем. На первом шаге
предполагаем, что в уравнении (4.218) /3 — 5 = /л = 0. В этом случае получаем
упрощенное уравнение
Vzzzz ~ Wyyzz - by2z + Юг/3 = 0, (4.223)
которое имеет очевидное рациональное решение
у = a0/(z - z0)2, (4.224)
где ао находится после подстановки (4.224) в (4.223). Причем а0 = 2 и
а0 = 6.
Еще один первый интеграл, соответствующий уравнению (4.218), ищем
вначале для уравнения (4.223). Все слагаемые в (4.223) имеют одну и ту же
особенность в точке z = zq, равную 6. Естественно ожидать, что первый
интеграл для уравнения (4.223) состоит из слагаемых также с одной
сингулярностью в точке z = zq. Это подтверждается уравнением (4.222),
поскольку каждое слагаемое в (4.222) при /3 = 5 = // = 0 имеет особенность
в точке z = zq, равной 8.
Возьмем полином с неопределенными коэффициентами, каждое
слагаемое которого имеет сингулярность в точке z = zq, равную 12. Такой
полином имеет вид:
Pi2 = АоУ^Уо + МуъУШ + -^22/з2/12/о + ^з2/| + Му\у\+
+A5y2yjy0 + -Аб2/22/о + А7У$ + ^82/i2/o + А9Уо,
где в (4.225) введены обозначения:
2/о = 2/? 2/1=2/^, У2 = Угг, y3=yZZz- (4.226)
Пусть Р — К2 — первый интеграл уравнения, тогда для уравнения
уп — Е[у) этот интеграл удовлетворяет уравнению:
Wom + S> + Щр + йУ4 = шш (4'227)

4.8. РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КДВ ПЯТОГО ПОРЯДКА 233
где Q[y] — некоторое выражение. Из (4.227) получаем уравнение
f^-2/i + |£ Jfe + |^Уз + Е[у] |^=0. (4.228)
дуо дух ду2 ду3
Уравнение (4.228) — основное уравнение, из которого находятся первые
интегралы уравнения (4.218). Подставляя
Р=% (fc = 0,...,5) (4.229)
2/о
в (4.228) и определяя при каждом к коэффициенты Д>,..., Aq9 находим,
что при к = 0 все Ak = 0 равны нулю. Однако при к — 1 получаем первый
интеграл уравнения (4.223) в виде:
Р = у1~ 12уоУ1Уз - 4уьу£ + 2у2у2 + 20ygjfe + 30у2у2 - 24г/£ - Сь
(4.230)
Здесь С\ — произвольная постоянная. Каждое из слагаемых (4.230) в
точке z = zq полюс десятой степени. Если к уравнению (4.230) прибавить
полиномы с неопределенными коэффициентами
РР8 + 5Р6 + 1лР4, (4.231)
то на основе (4.230) можно найти первый интеграл, соответствующий
уравнению (4.218).
Выражение (4.231) следует добавить к (4.230), принимая во внимание
размерности параметров /3,5 и // уравнения (4.218).
Окончательно еще один первый интеграл уравнения (4.218) принимает
вид:
y2zzz - I2yyzyzzz - 4yy2zz + 2y2zyzz + 20y3yzz + 30y2y2z - 24y5+
+P(Vzz - 3y2)2 + 5(yyzz -y2z- 4y3) + 2fx(yzz - 3y2) = K2.
Отметим, что первый интеграл (4.222) для уравнения (4.218) может
быть получен также как и (4.232), если взять (4.229) при к = 5.
В первых интегралах (4.222) и (4.232) введем новые переменные
Я[у]=у«-Зу2-|, (4.233)
G[y] = yyzz - \y2z - 2у3 - |. (4.234)

234 ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Тогда (4.222) и (4.232) принимают вид
yzHz - [у2 + | - fyj H - (р + 2y)G - \н2 + ±/% = Хь (4.235)
Н2 4- /?Я2 - 4HG + /ЮЯ = Я2. (4.236)
Пусть Ф(£) — гиперэллиптическая кривая рода 2:
Ф(£) = t5 4- m0t4 + mit3 + m2t2 + m3t + ra4. (4.237)
Подставляя G[y] из (4.236) в (4.235), и полагая в полученном уравнении
У =§(Ц*)+ *>(*)-/?)> (4-238)
H = -\u(z)v(z), (4.239)
(w - v)mz = у/Ф{и), (4.240)
(м - v)vz = >/*(v)> (4-241)
из первых интегралов (4.235) и (4.236) находим, что Ф(£) имеет вид:
ф(г) = t5- 3/ft4 + (З/З2 + 25)t3 - Ant2 + 2(/325 + 4#i)t + 4#2- (4.242)
Из уравнений (4.240) и (4.241) получаем [15]
■u(;z) v{z)
[ -$= + I -0= = АГз, (4.243)
У л/ФПГ У ^^
оо т оо v '
I tdt_ + f tdt_ =Z + K (4.244)
J у/Щ J х/Щ
Система (4.243), (4.244) совпадает с системой, которая возникает в
теории обращения интегралов Якоби [14,15,24]. Решение уравнения (4.218),
полученное из (4.243), (4.244), аналогично решению, полученному СВ.
Ковалевской для описания движения твердого тела около неподвижной
точки [40,185,186]. Оно является мероморфной функцией, явно выражается
через тэта-функцию Римана и строится по Римановой поверхности (4.242).

4.9. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ МОДЕЛИ XEHOHA - ХЕЙЛЕСА 235
4.9. Точные решения модели Хенона - Хейлеса
Рассмотрим решения системы уравнений Хенона-Хейлеса при
значениях параметров, когда система уравнений проходит тест Пенлеве.
Анализ системы уравнений
xtt = -х- 25ху; (4.245)
Уи = -0у 4- 72/2 - Sx2 (4.246)
в п. 3.5 показал, что (4.245) и (4.246) проходит тест Пенлеве в трех случаях
[258,259]:
1)А=£ = -1, /?=1, 2)А=£ = -± 3)А=^ = -^, ^ = 16.
В первом случае из (4.245) и (4.246) имеем
х = -х- 25ху; (4.247)
у = -у-6(х2+у2). (4.248)
Складывая и вычитая уравнения (4.247) и (4.248), и используя
переменные и — х-\-уиу — х — у, эту систему уравнений сводим к двум
уравнениям Риккати:
и - 5и2; (4.249)
v = -v + Sv2. (4.250)
Решения (4.249) и (4.250) хорошо известны. Поэтому А = — 1 и /? = 1
является простейшим случаем точного решения системы (4.245) и (4.246).
При А — —1/6 для решений системы уравнений (4.245) и (4.246) имеем
усеченные разложения [258,259]
s=^ + *i; (4.251)
г/о у\
У= "г + р" + *&. (4.252)
Подставляя (4.251) и (4.252) в (4.245) и (4.246) при А = -1/6 и
приравнивая выражения при одинаковых степенях <р нулю, получаем
2/о = -<£?, 2/i = 4>tt\ (4.253)

236 ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ
y2 = ±Um-(3-3v-^\; (4.254)
2 2 1 (vt . Vtt\ 1/2 ,л ,tn
x0 = v<pt, xi = -2{~W + lp;)v > (4.255)
и = {^; <} + m; (4.256)
^ + |^2 + 2^-2 + ^г,+ ^-2|!=0. (4.257)
Здесь m — произвольная постоянная, {<^; t} — произвольная Шварца.
Из (4.257) после умножения на vt приходим к уравнению
^ + г,3 + 2^-2 + ^г,2+|^-2т2^=С1, (4.258)
где С\ — постоянная интегрирования.
Решение (4.258), которое выражается через эллиптическую функцию
Якоби, позволяет найти <p(t) из (4.256), х\, у2, Уо и х0, которые приводят к
решениям системы (4.245) и (4.246) при Л = —1/6.
В третьем случае Л = —1/16, /3 = 16 разложения решений
системы (4.245), (4.246) имеют вид
оо оо
3=0 j=0
с индексами Фукса —1, 0, 2, 6.
Делая замену
Ф - х2, (4.260)
приходим к системе уравнений (полагаем 6 = 1, 7 — ~~ 16, /3 = 16):
i\Tf2 oiT#2 /ieiiTf2.
2
ФФ» = ±Ф2 - 2Ф2 - 4уФ2; (4.261)
ytt = -16у - 16у2 - Ф. (4.262)
Усеченные разложения для (4.261) и (4.262) имеют вид
* = ^Г + *i; (4.263)
У=Ц + Ц+У2- (4-264)

4.10. МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ 237
Подставляя (4.263), (4.264) в (4.261) и (4.262) и приравнивая выражения
при одинаковых <р нулю, получаем:
Фо = -\vtvu *i = j| fat + ъЩ),
yo = -g^2. W = gV«, (4.265)
где
г; = {<£;*}, vtt + |v2 = 16. (4.266)
Решение второго уравнения из (4.266) выражается через
эллиптическую функцию Вейерштрасса, а из первого уравнения (4.266) при известной
v(t) находятся решения (f(t), а затем Фо, Фъ 2/о, 2/1 и г/2 по формулам (4.265).
Таким образом, система уравнений Хенона-Хейлеса имеет точные
решения для всех случаев, при которых исходная система проходит тест Пен-
леве.
4.10. Метод нахождения рациональных решений
некоторых точно решаемых нелинейных уравнений
Существование рациональных решений является важным свойством
точно решаемых уравнений, и для их поиска в литературе предложено
несколько подходов. Рассмотрим метод построения рациональных решений,
основанный на итерационной формуле для решений нелинейных уравнений
в частных производных, имеющих два и более семейств решений [203].
Применение этого подхода рассмотрим на примере
модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза
иг - ^и2их + иххх = 0. (4.267)
Решение уравнения (4.217) может быть представлено в виде двух
усеченных разложений, отличающихся лишь знаком
«=-^+«ъ «i = |f (4-268)

238
ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ
v=1p-+vu гл = --^-. (4.269)
Как известно из п. 3.16, эти усеченные разложения могут быть
использованы для построения соотношений, связывающих соответствующие
уравнения для сингулярного многообразия с модифицированным
уравнением Кортевега - де Вриза.
Эти соотношения имеют вид:
uz - \иЧх + иххх = £ (| - ££)(». - Щ + t«) , (4.270)
Vi, - §tfo. + г,1жжж = -£ (^ ^ - ^f + ¥>.«,) • (4.271)
Пусть Ф и <р удовлетворяют уравнению для сингулярной поверхности,
тогда и и vi в соответствии с формулами (4.270) и (4.271) дают решения
модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза. Предположив, что
u = vi, приходим к формуле
Фжж 2ФЖ _ #
сеж
Отсюда после интегрирования получаем соотношение
4>х = f- (4.272)
Используя (4.272), можно получить итерационную формулу Вайса для
нахождения решений уравнения сингулярной поверхности
модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза [261,263]
**1, = ^ (4-273)
где <рп и (pn+i — решения уравнения сингулярной поверхности
<Pt~^+<fxxx = 0. (4.274)

4.10. МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ РЕШЕНИИ 239
Формулу (4.273) удобно использовать для нахождения рациональных
решений уравнения (4.274), а значит, и модифицированного уравнения Кор-
тевега - де Вриза (4.267).
Очевидно, что <ро = % — тривиальное решение (4.274), тогда из (4.273)
находим
4>i = ^+Ci{t). (4.275)
Подставляя (4.275) в (4.274), получаем C\(t) — 4t. Поэтому в качестве
первого приближения для решения уравнения (4.265) можно взять
ф! = х3 + 12*. (4.276)
Подставляя (4.276) в (4.273), находим следующие решения
<р2 = i(x6 + 60а?3* + с2х - 720£2), (4.277)
(рз = -^ (х10 + lS0x7t + 302400х£3 + 7c2(x5 - №x3t - у) J + c3.
(4.278)
Здесь С2 и сз - произвольные постоянные.
Поиск рациональных решений можно продолжить, хотя размер формул
с каждой итерацией увеличивается.
Подставляя полученные фп в формулы (4.268), находим рациональные
решения модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза.
В качестве второго примера найдем рациональное решение
классического уравнения Буссинеска [203]
Е[и] = иххх - ^и2их - 2ищ - ихд~гщ - д~гии = 0, (4.279)
2
где
--/
д xv = / vdx.
Решения (4.279) могут быть представлены также в виде двух усеченных
разложений
«=—^- + «1, иг = -^ + ^- (4-280)
И
v= — +V1, t* =-—-_. (4.281)

240 ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Уравнение (4.279) может быть записано в виде двух соотношений
Е[и] =
Е[ч} =
дх
дх
-vx - -v2 - d^vt
= 0,
= 0.
(4.282)
Принимая во внимание формулы (4.280) и (4.281), можно получить
равенства:
u>i=ux- 2^2 ~д 1u>t=z uix - ^i - 9 1ult,
1.-.2 я-1я
1 .2
^2 = -vx ~ 2у2 ~ д 1у* = ~vix ~ 2Vi~d lyit'
(4.283)
Эти инварианты могут быть записаны через инвариантные переменные
в виде уравнения сингулярной поверхности
S-±C2 + 2Cx-d~1Ct=0.
Предполагая и\ = v9 имеем выражение
4>t ~ 4>хх Ф« + Ф*ж 2ФЖ
4>х
Фя
Ф '
(4.284)
(4.285)
которое позволяет получить итерационную формулу для рациональных
решений уравнения (4.279)
Фп+1,« — Фп+1,хж ^ n,t ~г ™ п,хх ,х
Фп+1,* ~ %^х Ф^~*
Полагая Ф0 = х, из (4.286), находим
Фх = х2 - 2t,
Ф2 = х3 - 6ж*,
Фз = х4 - 12х2£ + 12£2,
Ф4 - хъ - 20x4 + №xt2.
(4.286)
(4.287)
Подставив (4.287) в (4.280), получаем последовательность рациональных
решений уравнения (4.279).
Полагая и = vi, можно найти еще одну последовательность решений
уравнения (4.279).

4.11. Задачи и упражнения к главе 4 241
4.11. Задачи и упражнения к главе 4
1) Найти частные решения уравнений
щ 4- и3их 4- ихх 4- (тиххх 4- ихххх — 0, (4.288)
щ 4- а(ихх 4- Зи )х + Б/Зиих 4- (ихх 4- Зг*2)^ = О (4.289)
в виде уединенных волн.
2) Показать, что уравнение (4.289) имеет решение в переменных бегущей волны,
которое находится по формуле [239]
u{x,t) = Ci+ C2R(z) 4- л °3\ ,, z = x- Cot, (4.290)
1 4- b£rL{z)
где Ci, Сг, Сз и С а — постоянные, R(z) удовлетворяет уравнению для
эллиптической функции Якоби (4.138).
3) Найти решения в переменных бегущей волны уравнений
ut 4- и их 4- (Зи
ххх — Uxxxxx. (4.291)
щ 4- 2аиих 4- 3f3u ux -f ^иххх — иххххх, (4.292)
utt 4- ихххх 4- "уи = аи3. (4.293)
4) При каких значениях параметров а, &, /3, £, d и С\ периодическое решение
(4.163) уравнения (4.150) становится уединенной волной?
5) Найти итерационную формулу для решений уравнения сингулярной
поверхности и рациональные решения модифицированного уравнения Кортевега -
де Вриза пятого порядка.
6) Найти итерационную формулу и рациональные решения модифицированного
уравнения Кортевега - де Вриза с переменными коэффициентами [198]
3 2
ut — -кЦ их 4- иххх 4- fux 4- ufx = 0, (4.294)
где / = xA(t) + B(t), A(t) и B(t) — дифференцируемые функции по
переменной t.
7) Используя усеченные разложения, найти итерационную формулу для решений
и рациональные решения модифицированного уравнения Кадомцева - Петви-
ашвили
ut
= ~iuxxx - -=и3их - Suuy - ^ихд хиу + -uxy - ^д гииуу = 0. (4.295)

242
ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ
8) Проверить, что уравнение
Syzz 4- Coyz 4- у - ау2 = О (4.296)
имеет точные решения
у(,) = Sg. th2(b) - °g* th(b) 4- £ - Ш - Л. (4.297)
при
* = ±^L, <#> = ±|V65, C<2) = ±^. (4.298)
9) Показать, что если решение модифицированного уравнения Кортевега
де Вриза пятого порядка искать в переменных бегущей волны u(x,t) =
= у (2), z = х — Cot, то y(z) удовлетворяет нелинейному уравнению
четвертого порядка
yzzzz - I0y2yzz - 10yy2z 4- 6у5 4- /?(y„ - 2у3) 4- <5у 4- д = 0. (4.299)
10) Проверить, что уравнение (4.299) имеет первые интегралы в виде:
yzyzzz - \ylz - \у\ + \p(vl - У4) 4- \ду2 + м = Ки (4.300)
y\zz - 12y2yzyzzz - 4y2yL 4- 4yylyzz + \2ybyzz - yi + 30y4y2-
-9y8 4- /3(y2zz ~ 4y3y„ 4- 4y6)4- (430l)
+25(yyzz - \y\ - 2y3) + 2v(yzz - 2y3) = K2.
11) Используя теорию последнего множителя Якоби [15] и первые интегралы
(4.300), (4.301) найти общее решение уравнения (4.299).
12) Проверить, что уравнение четвертого порядка
Ухххх - 5у 2ухх - 5у у2 4- Ъухухх 4- у5 -S = 0 (4.302)
имеет первые интегралы
УхУххх - \у1х - §у2 yl 4- ±у6 4- §у3 - 8 у = Ки (4.303)

4.11. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 4 243
У1хх + ( 2^4 ~ 9у2ух ) У*хх + (96УУХ ~ ®У3УхУхх 4" ЗУУхУхх) Уххх +
4- (у УхУ2Хх + %УЪУхх - Зу2у2хх - Цу*Ух - \у2у\ 4- 30у4у1) уххх-
- (Збухх + 7у4х) уххх 4- 2у3у2хх - Щухх 4- 3 (у9 - 6у4) ухх+
22 „ б
, /25 з 13 б 9с . 1К 4 2 117 2 г\
+ ( у2/х-^-2/ ~ 26У + 15У У*~-J-У У*)
4- (Шу2ух 4- 9уу4 4- Збу5*/2 - 30у3ух - 18у7ух - 96у2х) ухх+
i i-rs: 3 •? г 5 27 с 3 2 . 0г2 9г2 2 17 12,
+76уух-66у ух- YSy 2/* 4-3(5 ух- -6 у - —у +
4-f /у4 4- ±jVy2 + Зу1 V 4- f у2у* - ±§V</* = ft
13) Используя первые интегралы (4.303) и (4.304) и теорию последнего множителя
Якоби, найти общее решение уравнения (4.302).
14) Проверить, что уравнение четвертого порядка
_ 4 ух уххх _ Зу2ж 21 ухх yl _ 9 у4
У 2у у* 2у3
(4.305)
У У
имеет первые интегралы:
УхУххх 2у%Ухх 9у4 ylx bSyl S2 , V zr /л ™*ч
1- ——- — ——. _- -f —- +vy - — = К\ (4.306)
У2 У3 8у4 2у2 2у2 2у4 У
Уххх Ь УхУххУххх ^УхУххх УУх У хх УУхУхх , УУх ■
I2" У3 У4 У4 " У5 V
+2vyxx - 26 I Нг + ^^ - i5l4r^ + ^Г ) +
2/ У У V
(ИУх _ 4ухх | _
U6 *5 /
+<52 ( П^ _ 4^жа; ^ _ 2^ _ 3t/^ 4- 2М2/
(4.307)
У6 У У2
fiyx 26/л 6Sv u
г- 4 г- 4- -77- = А2.
у3 у3 у
15) Проверить уравнения (4.303), (4.304), (4.306) и (4.307) на тест Пенлеве.

Глава 5
ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ
ПЕНЛЕВЕ И ИХ СВОЙСТВА
5.1. Анализ уравнений четвертого порядка на свойство
Пенлеве
В ХХ-м веке математики предпринимали неоднократные попытки
обобщить результаты Пенлеве и его учеников на уравнения второго
порядка со степенями, отличными от первой степени, и на уравнения более
высоких порядков. Уравнения второго порядка со второй степенью
изучались Шэзи, Бьюро [111,112] и Косгрове [130]. Классификация уравнений
третьего порядка первой степени проводилась Гарнье, Шэзи, Бьюро и
Косгрове [130]. В настоящее время она близка к окончанию. Классификация
уравнений четвертого порядка пока еще находится на начальном этапе,
хотя за последние несколько лет ряд достижений в этом направлении
имеется [59,61,73,120,121,134,135,175,176,207,208,211,222-224,237]. Среди
уравнений третьего порядка новых неклассических функций, определяемых
решениями нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений,
аналогичных трансцендентам Пенлеве, не найдено. Это было подсказано самим
Пенлеве. В силу некоторых соображений он считал, что решения уравнений
второго и третьего порядков не приведут к новым функциям, подобным тем,
что были открыты им. Пенлеве предполагал искать новые функции такого
рода, исследуя решения уравнений четвертого порядка. Однако анализируя
особенности уравнений четвертого порядка, исследователи сталкиваются
со значительными вычислительными трудностями. Последние
обусловлены ростом числа ведущих членов в уравнениях. В самом деле, если
наименьшая степень в разложении решения в ряд Лорана равна —1, то после
подстановки этого разложения в уравнение второго порядка первой
степени минимальная степень ведущих членов равна —3 и их количество в
уравнениях не превышает трех. Уравнение имеет вид:
Vzz + Ay3 + Byyz = М {у, yz, z),
(5.1)

5.1. АНАЛИЗ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА 245
где М (у, yz, z) — выражение со слагаемыми, имеющими степень при
подстановке у — а0 (z — zq)~ в (5.1), большую чем —3.
Общий вид уравнения, с решением y = a0(2-zo)-2+.., имеет еще
более простой вид
yzz+Ay2 = M(y,yz, z). (5.2)
Для уравнений четвертого порядка количество слагаемых с ведущими
членами становится существенно больше.
Ниже рассмотрены нелинейные уравнения двух типов [207]
Vzzzz + by5 + cy3yz + dyy2 + fy2yzz+
+gVzVzz + hyyzzz = F1 (y, z),
Vzzzz + fa/3 H- cy2z + dt/j/** = F2 (y, z), (5.4)
в которых значения постоянных параметров d, с, d, /, # и ft пока не
определены. Мы хотим найти значения параметров, при которых уравнения (5.3)
и (5.4) проходят тест Пенлеве. F\ (г/, z) и F2 (?/, z) — алгебраические
выражения, зависящие от у и z, имеющие большие степени после подстановки
у = a0(z - zo)-p, p = 1, 2 в уравнения.
Предположим в начале, что F1 — F2 = 0. Тогда, подставляя
у = а0£~\ x = z-z0 (5.5)
в уравнение (5.3), имеем алгебраическое уравнение для ао:
Ц; - са% + (d + 2/) а^ - (2# + 6ft) a0 + 24 = 0. (5.6)
Один из корней этого уравнения можно выбрать равным 1. В этом
случае уравнение (5.6) становится уравнением для параметров
Ъ - с + d + 2/ - 2д - 6ft + 24 = 0. (5.7)
Подставляя
y = x'1+p1xi-1 (5.8)
в (5.3) при F1 = 0, получаем уравнение для индексов Фукса в виде
/ + (ft - 10) f + (35 + / - д - 6ft) j2+
+ (с + Ъд + lift - 2d - 3/ - 50) j+ (5.9)
4-3d - 4с - 4# + 6/ + 56 - 12ft + 24 = 0.

246 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ
Из (5.9) следует, что сумма корней этого уравнения удовлетворяет
соотношению
4
£j4 = 10-ft. (5.10)
Поскольку один из корней равен —1, то сумма трех остальных
удовлетворяет уравнению
j2+j3+j4 = H-ft. (5.11)
Чтобы продвинуться на этом этапе дальше, надо задаться значением
коэффициента h. Интересны целые значения корней jk и поэтому для
уравнений (5.3), проходящих тест Пенлеве, значение h должно быть целым или
нулевым. Задаваясь такими h и перебирая значения J2, J3 и j±,
удовлетворяющие (5.11), рассмотрим наиболее вероятные корни уравнения (5.11). Эти
решения приведены в таблице 5.1.
Таблица 5.1
h
0
0
0
0
0
1
1
1
1
2
2
h
2
1
1
2
1
2
1
1
1
2
1
h
3
2
4
4
3
3
3
2
4
3
3
к
6
8
6
5
7
5
6
7
5
4
5
h
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
5
5
h
1
-2
1
1
-2
-2
1
-2
-2
-2
1
-2
is
2
5
2
3
3
4
2
3
2
4
2
2
74
6
6
5
4
7
6
4
6
7
5
3
6
He нарушая общности рассуждений, рассмотрим случай h = 0, j>2 = 2,
j»3 = 3 и J4 — 6, поскольку остальные случаи проверяются аналогично.
Подставляя эти значения jk(k = 1,2,3,4) в уравнение (5.9), получаем
уравнения:
24/ - 10$ + 2с - Ы + 56 + 120 - 0, (5.12)
4/ + 2# - 2с - d + 56 = 0, (5.13)
6/ + 2д - с - 3d + 56 - 0. (5.14)

5.1. АНАЛИЗ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА 247
Решение системы уравнений (5.7), (5.12), (5.13) и (5.14) имеют вид
/ = 0-Ю, (5.15)
d = 6 + 2#-16, (5.16)
с = 2Ь + 2д-12. (5.17)
Принимая во внимание эти соотношения, найдем произвольные
коэффициенты в разложении решения в ряд Лорана.
Подставляя
у = х~х + ai + а^х 4- а%х2 + а±хъ + аъхА + авх6 + ... (5.18)
в уравнение (5.3) при F\ = 0, находим, что й2 и аз - произвольные, но
а6 — произвольно при
0 = 6-6. (5.19)
Используя (5.15)—(5.17) и (5.19), из (5.6) имеем уравнение
относительно ао:
bal - 3 (6 + 4) а20 - 2 (6 - 6) а0 + 24 = 0, (5.20)
корни которого
а« = 1, ^ = -2, a^ = b±Vb[±M (521)
На этом этапе найдем индексы Фукса второго семейства решений,
используя формулу
у = -2Х-1 + P2xj~1 (5.22)
и подставляя (5.22) в ведущие члены уравнения (5.23), получаем уравнение
для индексов Фукса, имеющее решение
h = -1, h = 6, j3,4 = § ± |V246-23. (5.23)
Пусть 246 — 23 = m2, тогда
Ь=Щ^- (5.24)
Полагая m = 2п + 1, (п = 0, 1, 2, ..., 25) в (5.24), из (5.23)
находятся целые индексы Фукса для второго семейства решений. При этом
определяются также значения ао из (5.21), фиксируются случаи, когда они —
рациональные числа. Полученные решения представлены в таблице 5.2.

248 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИИ ПЕНЛЕВЕ
Таблица 5.2
7V
1
2
3
4
5
Зк
-1,2,3,6
-1,6,-3,8
-1,6,7,12
-1,6,-10,15
-1,6,-20,25
Ъ
1
6
16
27
256/3
ао
1,-2,-3,4
1,-2,-1,2
1,-2,-1/2,3/2
1,-2,-1/3,4/3
1,-2, -1/8,-9/8
Используя значения ао каждой строки таблицы 5.2, изучаются
произвольные постоянные для всех семейств решений. В результате имеем, что
только для случаев 1, 2 и 3 уравнение (5.3) проходит тест Пенлеве.
Аналогично проверяются все случаи значений h и индексов Фукса,
представленных в таблице 5.1. В результате находятся значения
параметра 6, и следовательно, значения с, с/, / и д, когда для уравнения (5.3)
выполняются необходимые условия для теста Пенлеве. Эти значения приведены
в таблице 5.3.
Корень а0 ' в таблице 5.3 выбираем всегда равным 1, другие три корня
ао (т ~ 2, 3, 4) находятся. Индексы Фукса j£ (га = 2, 3, 4)
вычисляются последовательно. При этом получается случай, для которого исходное
уравнение (5.3) при F\ — 0 проходит тест Пенлеве при
6п2 - 54
п
±2, ±3, ±4,...
Корни ад в этом случае находятся по формуле
(2,3) 1±П ^ гг / п ,-,
а\'} = —^-, neZ, n^O, ±1.
(5.25)
Предоставляем читателю возможность самостоятельно восстановить
пропущенные подробности исследования.
Рассмотрим уравнение (5.4) и найдем значения параметров 6, с и d,
при которых (5.4) проходит тест Пенлеве.
Подставляя
у = а0ж"2, х = z - 2о, (5.26)
в уравнение (5.24) при F2 = 0 и приравнивая выражения при х~6, приходим
к уравнению
Ьа% + (6с + 4d) а0 + 120 - 0. (5.27)

5.1. АНАЛИЗ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
249
Я"
s
ё
"?
-о
CJ5
^
^
CJ
^
1 ч
|^_^
Со
С
[fe;
00 00
со со
1 1
СО СО
гЧ гЧ
1 1
гЧ
1
см"
1
см
СО
о
о
гЧ
1
о
гЧ
I
о
о
<о
со"
см
гЧ
1
т—Ч
~
СО
СО
см
гЧ
1
t-
<^г^>
1 со"
со см
гЧ гЧ
1 1
см"
1
со"
1
гЧ
ю
ю
1
ю
1
о
о
СО
со"
см
гЧ
1
1—1
см
см
гЧ
t-
1
СО
гЧ
1
е
1 е
СО СО
^ т*
гЧ т-4
1 1
е
-н
см
т-Н
о
ю
1
со
оо
1
со
1
со
гЧ
1
гЧ
1
г-Н
1
гЧ
1
см
^
со"
см
гЧ
1
rH
со
см
^ 1
со ^и
гЧ СО
гЧ гЧ
1 1
см
г—1
о
СЯ>
СО
СО
О
СО
Tf
СО
гЧ
1 г"н
1 1
г-Ч
^
^
cn со
1 1
^ см"
АГ 1
гЧ гЧ
1 1
СО
см
о
О
г-Ч
СО
СМ
г-Ч
^
^
^
СМ
г-Н
т-Ч
1
г-Ч
ю
со 1
CN 1 со"
1 см" 1
cn 1 см"
гЧ гЧ~ 1
гЧ гЧ гЧ
III
^
со"
СМ
гЧ
°
г-Ч
т-Ч
Ю
гЧ
°
гЧ
Ю
СО
см
гЧ
г-Ч
1
гЧ
СО

250 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ
Полагая clq = — 1 в (5.27), имеем соотношение для параметров в виде:
Ъ - 6с -Ы +120 = 0. (5.28)
После подстановки
y = -x-2 + foxj-2, x = z-z0 (5.29)
в уравнение (5.4), при F2 = 0 получаем уравнение для индексов Фукса
j4 - Uf + (71 - с) f + (5с + Ы - 154) j-Sd- 12с + 36 +120 = 0. (5.30)
Из (5.30) видно, что сумма его корней
4
Х> = 14- (5.31)
fc=i
Поскольку ji = —1, то остальные корни уравнения (5.31)
удовлетворяют условию
J2+J3+J4 = 15. (5.32)
Интересуясь целыми и различными индексами Фукса, возьмем для
определенности: jk > 0 (А: = 2, 3, 4), тогда имеем 12 решений
уравнения (5.32). Подставляя последовательно эти решения в (5.30), получаем
еще три уравнения для параметров 6,сис(, решая которые, находим их
значения. После чего находим корень % ' из уравнения (5.27) и анализируем
другое семейство решений уравнения (5.4). Получили 5 вариантов
значений параметров, когда это уравнение проходит тест Пенлеве. Эти значения
приведены в таблице 5.4. В этой таблице j^ ' — индексы Фукса,
соответствующие первому семейству решений (5.4), a fy' — второму семейству.
Таблица 5.4
N
1
2
3
4
5
а0
-1
-1
-1
-1
7-(i)
-1
-1
-1
-1
-1
2;3;10
2; 5; 8
3;4;8
3;5;7
4; 5; 6
Ъ
60
40
24
15
0
с
30
20
18
15
12
d
0
10
9
45/4
12
а(2)
а0
-2
-3
-5
-8
-1
№
-1
-1
-1
-1
-1
5;-2; 12
-3;8;10
-5; 8; 12
-7; 10; 12
5; 4; 6

5.2. УРАВНЕНИЯ, ПРОШЕДШИЕ ТЕСТ ПЕНЛЕВЕ 251
5.2. Уравнения четвертого порядка, прошедшие тест
Пенлеве
Используя данные таблиц 5.3 и 5.4, можно искать уравнения вида (5.3)
и (5.4), проходящие тест Пенлеве при F\ ф 0 и F2 Ф 0. С этой целью
предполагаем, что
4 2
F1 (у, z) = J2Qk (z)yfc, F2(y,z) = J2Qk(z)yk (5.33)
k=0 k=0
и снова применим тест Пенлеве к исходным уравнениям.
Для семейства (5.3) получаем следующие уравнения, проходящие тест
Пенлеве [177,208,211]:
yZZzz 4- 6у5 - 10уу* ~ Wy2yzz = exzy + е0, (5.34)
yzzzz + У5 - §Уу1 - §y2yzz + 5yzyzz = Sizy + e0, (5.35)
где so и €i — произвольные постоянные,
Vzzzz + (^ - 6) (2y3y* + 27/2/2 + y2yZz) + £У*У^ + 2yyzzz = F (z) , (5.36)
6re2 - 54
n2-l
£q, #^6 9=———i rceZ, rc^O, ±1
+ 6г/г/2 + 3y2yzz 4- 9yzyzz + 3yyZJKZ = q0 (z), (5.37)
Sfezz* 4- 4y3yz + 12yy2 4- 6y2yzz 4- 10yzyzz + 4yyzzz - q0 (z), (5.38)
^^2+2/5+102/3yz+15yy2+102/22/^+102/z2/zz+5y2/zzz=9o (z) +2/91 (z).
(5.39)
Все перечисленные уравнения проходят тест Пенлеве. Уравнения (5.34)
и (5.33) совпадают с уравнениями, полученными из нелинейных точно
решаемых уравнений в частных производных, если их решения искать,
используя автомодельные переменные. Уравнение (5.36) при д = 6
приводится к уравнению Риккати, а при д ф 6 оно может быть представлено в
виде
wzz + h(g-6)u>2 = e0z + cu 9= 6n2~fS neZ, пф0,±1, (5.40)
z n — 1

252 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ
где
u = yz+y2. (5.41)
Уравнение (5.40) является первым уравнением Пенлеве, имеющим
решения в виде трансцендент Пенлеве.
Уравнения (5.37) и (5.28) могут быть представлены в виде
Vzz + У3 + Цуг = Q2 (z), (5.42)
Vzzz 4- У4 + 6y2yz + Ъу\ + 4yyxz = Qi (2) (5.43)
после интегрирования по z.
С помощью преобразования
У=Ц (5-44)
уравнения (5.42) и (5.43), как и уравнение (5.39), могут быть приведены к
линейным уравнениям в виде
4>zzz = Q2(z)<p, (5.45)
4>zzzz = Q\ (z) <Л (5.46)
У«« = Qo {z) p + qi (z) <pz. (5.47)
Проверка уравнений (5.4) при F2 Ф 0, с учетом данных таблицы 5.4,
привела к следующим уравнениям, прошедшим тест Пенлеве:
Vzzzz + 60у3 + S0yyzz 4- £0 4- сад - 0, (5.48)
Vzzzz + 40г/3 4- 20уугг + lOyf 4- ay + пгг + n0 = 0, (5.49)
..3 , 1QeMf , o-.2 , _.2 , 1 2
9
У**** + 24y3 + 18yy2Z + 9y2 + ay2 + ±a2y + ni* + n0 = 0, (5.50)
У*,** + 15y3 + 15yy2Z + ^y* + ay + s0 = 0, (5.51)
yZjBjW - 12yyzz + 12y2 + (ax + /?)yz + 2ay - |(arr + /?)2, (5.52)
где a, /?, eo, no и ni — произвольные постоянные.
Уравнение (5.52) при а — /3 — 0 после интегрирования по z приводится
к первому уравнению Пенлеве
y^=6y2 + ciz + c2. (5.53)
Остальные уравнения (5.48) — (5.51) вида (5.4) соответствуют
нелинейным точно решаемым уравнениям в частных производных пятого порядка,
если их решения искать, используя автомодельные переменные.

5.3. ТРАНСЦЕНДЕНТЫ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА 253
5.3. Трансценденты, определяемые нелинейными
уравнениями четвертого порядка
В списке нелинейных уравнений четвертого порядка, приведенном
ранее, содержатся уравнения, общие решения которых по своим свойствам
аналогичны решениям уравнений Пенлеве. Для решений уравнений (5.34),
(5.35), (5.49) и (5.50) справедлива теорема [59,62,210].
Теорема 5.1. Общие решения уравнений (5.34), (5.35), (5.49) и (5.50)
являются существенно трансцендентными функциями относительно
постоянных интегрирования.
Доказательство.
Доказательство этой теоремы состоит из двух частей.
Вначале мы покажем, что общее решение является трансцендентной
функцией относительно начальных данных. Затем докажем, что общие
решения перечисленных уравнений являются существенно
трансцендентными функциями относительно постоянных интегрирования. Уравнения
(5.34), (5.35), (5.49) и (5.50) можно представить в виде:
Vzzzz + lOyyzz + bvl + Юг/3 + ay - z = 0, (5.54)
Vzzzz + ISyyzz + 9y£ + 24т/3 + ay2 + \a2y - z = 0, (5.55)
Vzzzz ~ Wy2yzz - I0yy2z +6y5-zy-a = 0, (5.56)
Vzzzz ~ by2Vzz 4- 5yzyzz - byy2z +y5-zy-(3 = 0. (5.57)
Рассмотрим доказательство теоремы для уравнения (5.54), поскольку
доказательства для уравнений (5.55)-(5.57) проводятся аналогично.
Используя переменные
у = A~V, z = \z\ (5.58)
где А — некоторый параметр, уравнение (5.54) можно свести к следующему
Vzzzz + WWzz + Ъу\ + 10у3 = X7z (5.59)
(штрихи у переменных y'nz' в (5.59) опущены). При А = 0 уравнение (5.59)
совпадает со стационарным уравнением Кортевега - де Вриза пятого
порядка, решение которого было изучено Б.А. Дубровиным. Им показано, что
решение уравнения
Vzzzz + WvVzz + by2z 4- Юу3 = 0 (5.60)

254 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИИ ПЕНЛЕВЕ
выражается через тэта-функцию на римановой поверхности. Это решение
имеет трансцендентную зависимость от постоянных интегрирования.
Следовательно, общее решение уравнения (5.59) при А ^ О также имеет
трансцендентную зависимость от постоянных интегрирования. Однако уравнение
(5.60) имеет первый интеграл в виде
VzVzzz - \у\я + ЬУУ1 + \уА = Си (5.61)
поэтому общее решение уравнения (5.60) является полутрансцендентной
функцией относительно постоянных интегрирования.
Покажем, что в отличие от уравнения (5.60), общее решение
уравнения (5.54) является существенно трансцендентной функцией по отношению
к начальным условиям.
Доказательство этого факта проведем методом от противного.
Предположим, что уравнение (5.54) имеет первый интеграл в виде полинома:
Р(У, Уг, Угг, Vzzz, Z) = C2. (5.62)
Обозначим ДЛЯ удобства ВЫЧИСЛеНИЙ у\ — yZ9 У2 = yZz-> УЗ — Уггг И
У а — yzzzz* тогда в соответствии с определением первого интеграла
получаем, что (5.62) удовлетворяет уравнению
dz ду дуг ду2 ду3
С другой стороны, это уравнение должно соответствовать
уравнению (5.54), так что имеет место равенство
Е = Q (У4 + 10уУ2 + Ьу\ + Юг/3 - z), (5.64)
где Q — полином от у, yl9 y2, уз и z.
Из (5.64) следует, что
1^ = Q- (5.65)
оуз
И поэтому (5.64) можно упростить
f+%ш+Шт+Шт ~<10™+Ъу1+10у3 ~z)wr°-(5М)
Предположим, что первый интеграл уравнения (5.54) имеет вид
полинома
771
к=0

5.3. ТРАНСЦЕНДЕНТЫ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА 255
где
Гк =гк(у, уи 7/2, z). (5.68)
Подставляя (5.67) в уравнение (5.66), получаем цепочку уравнений
дгх Юг0 дг0 дг0
л •" "я •" "л~2/1 + п~2/2 = 0, (5.70)
#2/2 dz ду дух
Ш+&+&»+&* - *•» <10те+5й+10»3 - г> • <5-71)
-я + !Г~ + -Q-"2/i + 7Г~2/2 = (m - к + 1) rfc_i x
ду2 dz ду дух (5.72)
x (102/7/2 + 52/? + Ю2/3 - г) , (fc = 2, ..., m - 1),
^f + ^f 2/i + |jf 2/2 = гте-х (102/2/2 + 52/? + Ю2/3 - z) . (5.73)
Решения системы уравнений r& (A: = 0, 1, ..., m — 1) могут быть
последовательно найдены из (5.69)-(5.72). Причем если Р является
интегралом уравнения (5.54), то уравнение (5.73) удовлетворяется.
Из (5.69) получаем, что
го =П>(у, 2/1» z). (5.74)
Решение уравнения (5.70) может быть представлено в виде
Г1 = ~2дтУ^ ~ЬоУ2 + ^^' yi>z)> <5-75)
где
Приравнивая в уравнении (5.72) выражения при одинаковых
степенях 2/2 j имеем
^^ = 0 ^°=0 (577)
%r+i и' ^г (5'77)

256
ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИИ ПЕНЛЕВЕ
Можно найти полную зависимость (5.74), однако без нарушения
общности в качестве решения можно взять го в виде
го = УГ
Далее находим
и поэтому решение уравнения (5.71) принимает вид
(5.78)
(5.79)
г2 = ^т{т- 1)
•Г"*+ 1 («W-g) й-
(44+«*-)*-(£ + §£«.)]
(5.80)
У2 + h (У, Уъ z)
Учитывая полученное решение, предполагаем, что
гк = ajtj/l* + bkylk~2 + ску1к~3 + • • •,
(5.81)
где коэффициенты а&, bk и с& зависят от у, г/i И2.
Подставляя (5.81) в уравнение (5.72) и приравнивая одинаковые
степени ?/2 > получаем рекуррентные соотношения
Gfc+i = -
1 дак
2к + 2 92/1'
bfe+i
2fc
10 (m - fc H-1) 2/^fc-i - ^—
(5.82)
(5.83)
Cfe+l
2fc-
'(-*+4W + ^-')-^-(*+*t)
(A: = 1, ..., m — 1) .
Кроме того, из уравнения (5.73) находим
да>п
дуг
-0,
(5.84)
(5.85)

5.3. ТРАНСЦЕНДЕНТЫ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА 257
dbm
— = -10am_ij/,
flto+-ж+У1~ду- = (%1+10у -*) °»-1-
Решение (5.82) и (5.85) имеет вид
_ l4fcm(m-l) ... {т-к + 1)т_к
2fc/c!
откуда получаем
/ -,\m-i у/*, / 1чт0-
am_i = (-1) г^л^1' ат = (-1) 2
Из (5.86) находим Ъш в виде
6™ = (-l)™-1 m 21"-[5уу? + g (у, г)].
(5.86)
(5.87)
(5.88)
(5.89)
(5.90)
Подставляя (5.89) и (5.90) в (5.87) и приравнивая выражения при
одинаковых степени степенях у\ нулю, имеем
9(У, z)= ^y4-zy+p(z),
(5.91)
где p(z) — функция от z, появившаяся при интегрировании.
Используя метод математической индукции, из уравнения (5.83)
получаем коэффициенты 6& в виде
fc-!m(m-l) ... (m-fc + 1) TO_fc
Ь* = ("1) 2*-Ч*-1)! Vl
откуда следует, что
bi = ту?'1
Используя значения Ъ\, из (5.84), находим
с2 = -ту?~
%У? + §У4 ~zy+p(z)
Ьуу\ + 2УА-гу+Р(г)
-1 (др \
(5.92)
(5.93)
(5.94)

258 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИИ ПЕНЛЕВЕ
Предполагая, что
ск = (-I)*"1 АЛ»Г*+1 ^ - У/ , (5-95)
находим следующий коэффициент
ск+1 = (-l)fc Л+11/Г"* (|f - у) . (5-96>
где
(т - fc + 1)
^fc+1 ~ (2fc-l)
т (т — 1) ... (т — к)
Ак + -
2*-1 (к - 1)!
(5.97)
Поэтому коэффициент ст имеет вид
сго = (-I)"1"1 ЛтУ1 (|f - 2/) • (5-98)
Подставляя (5.89), (5.90) и (5.98) в уравнение (5.87), получаем
Это противоречие показывает, что уравнение (5.54) не имеет интеграла
в виде полинома, и следовательно, общее решение уравнения (5.54)
является существенно трансцендентной функцией относительно постоянных
интегрирования.
5.4. Локальные представления решений для уравнений
четвертого порядка
Уравнения Пенлеве имеют решения с подвижными полюсами
первого и второго порядка. Покажем, что трансценденты уравнений четвертого
порядка (5.54)-(5.57), имеют также подвижные полюса первого и второго
порядка. Справедлива теорема [17,59,189,190,195,208,211].
Теорема 5.2. Для Vzo € С уравнения (5.54) и (5.55) имеют решения
с полюсами второго порядка, а уравнения (5.56) и (5.57) — с полюсами
первого порядка.

5.4. ЛОКАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ 259
Доказательство.
Доказательство теоремы проведем, рассматривая локальные
представления решений уравнений (5.54) - (5.57) в ряд Лорана.
В начале рассмотрим уравнение (5.54) при а — О
Vzzzz + WyVzz + byl + Wy3 -* = 0. (5.100)
Оно имеет два семейства решений, поскольку подставляя выражение
У = а0е, Z = z-z0 (5.101)
в ведущие члены (5.100), имеем р = — 2 и корни ао в виде
41} = -2, 42) = -6. (5.102)
Индексы Фукса, соответствующие первому и второму семействам
имеют вид
h = -1, h = 2, js = 5, J4 - 8, (5.103)
h = -»1, J2 = -3, js - 8, n = 10. (5.104)
Подставляя разложение
у - а0Г2+а1Г1+а2+аз^+а4^2+аБС3+аб^4+а7^б+а8^в+..., £ = г-гь
(5.105)
в ведущие члены уравнения (5.100) в случае ао = —2, имеем локальное
разложение решений первого семейства:
у = -2(z - z0)~2 + а2 4- |a|(z - z0)2 4- a5(z - zQ)3-
Из формулы (5.106) видно, что в разложении (5.106) имеется четыре
произвольных постоянных 2^0, «2, ^5, ag, соответствующих (5.103) и поэтому
первое семейство решений проходит тест Пенлеве.
Полагая ао = —6 в (5.105), имеем локальное разложение решения
второго семейства уравнения (5.100):
у=-6(г-2оГ2 + ^(г-го)4+
(5.107)
+ш^ ~ z°^5+°8^ ~ Zo^e+°10^ ~ zqS>8+• • • •

260 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИИ ПЕНЛЕВЕ
Это разложение имеет три произвольных постоянных,
соответствующих индексам Фукса (5.104). Выражение (5.107) может быть
использовано как первое приближение в методе возмущений, предложенном в
работе [132] для анализа семейств решений с отрицательными индексами Фукса.
Для уравнения
Vzzzz + l&Wzz + 9Уг + 2%3 - * = 0 (5.108)
подстановка (5.101) в ведущие члены приводит к корням ао:
41} = -1, <42) = -5. (5.109)
Индексы Фукса, соответствующие первому и второму семействам,
имеют вид
Л = -l,J2 = 3, j3 = 4,J4 = 8; (5.110)
Л = -1, 32 = -5, h = 8, и = 12. (5.111)
Подставляя ао = — 1 и (5.105) в уравнение (5.108), приходим к
локальному разложению решений первого семейства:
У = ~(z - z0)~2 + as(z - z0) 4- а4(г - z0)2-
_ /Зо| zA , _ .4 _ ( 1_ , ЗазаЛ („ _4s
v, +SJ<*-*> Ч^+^г*~*) + (5Л12)
+a8(z-z0)64-....
Локальное разложение (5.112) содержит четыре произвольных
постоянных ^о,аз,«4,«8 соответствующих индексам (5.110) и поэтому первое
семейство решений уравнения (5.108) удовлетворяет тесту Пенлеве.
Полагая ао — — 5 в (5.105) и подставляя полученное выражение в
уравнение (5.108), находим разложение решения второго семейства уравнения
(5.108):
2/ = -5(,-,0)-2 + ^-,o)4 + i|5(,-,o)5+ (5Л13)
+a8(z - z0f + a12(z - z0)10 + ....
Разложение (5.113) имеет три произвольных постоянных,
соответствующих индексам Фукса (5.111). Оно может быть использовано как первое
приближение в методе возмущений для анализа семейства решений с отррт-
цательными индексами Фукса.

5.4. ЛОКАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИИ 261
Рассмотрим уравнение
Vzzzz ~ Wy2yzz - I0yy2z +6y5-zy-a = 0. (5Л14)
Подстановка (5 Л 01) в ведущие члены дает корни ао
<41,2) =±1, 43,4) =±2. (5Л15)
Индексы Фукса, соответствующие первому и второму семействам,
совпадают
Л - -1, j2 = 2, j3 = 3, JA = 6. (5Л16)
Третье и четвертое семейство имеет индексы Фукса в виде:
31 = -1, h = -3, h = 6, j4 = 8. (5.117)
Подставляя ао = — 1 в ряд Лорана, аналогичный (5.105), имеем
локальное разложение решений второго семейства:
5а3
У = ~(z - zq) г + a2(z - z0) 4- a3(z - z0)2-
\
2
^2 2oJ(*-*o) -V36 + ^--36j(^Zo) + (5Л18)
, v5 / 7шх2 £0a3 13a2 7о|оз \ 6
+ a6(*-*0) +^^88"--40--726" + "^-J(^~^o) '
Разложение (5 Л18) содержит четыре произвольных постоянных zo, а2,
аз, «6, соответствующих индексам (5 Л16) и поэтому это семейство решений
проходит тест Пенлеве. Разложение решения для второго семейства
находится из (5Л18), учитывая замену переменной у и параметра а: у —> —у,
а —> —а.
Полагая ао = —2 и снова подставляя разложение в (5 Л14), находим
локальное представление решения четвертого семейства уравнения (5 Л14)
в виде:
у = -2(г - .о)"1 - ^(г - *о)3 + (щ " ^) (* " ^+
( za zQ \ (5'П9)
+a6(z - z0f + a8{z - z0)7 + (щ - ^щ J (z - z0)8 + • • • ,

262 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ
имеющее три произвольных постоянных, соответствующих индексам
Фукса (5.117). Разложение решения для третьего семейства получается
из (5.119) заменой у —> —у, а —> —а.
Рассмотрим локальные разложения решений уравнения
Vzzzz ~ by2yzz + Ьухухг - byy2z +y5-zy-(3 = 0. (5.120)
Подставляя (5.101) в ведущие члены уравнения (5.120) находим четыре
семейства решений
р = — 1, а\ = 1,а2 = -2,а3 = -3,а4 = 4. (5.121)
Эти семейства имеют индексы Фукса:
ji = -1, h = 2, js = 3, и = 6; (5.122)
h = -1, J2 - 2, j3 - 3, j4 = 6; (5.123)
Л = -1, h = -2, is = 6, j'4 - 7; (5.124)
h = -1, J2 = -7, is - 6, и = 12. (5.125)
Решение первого семейства имеет локальное разложение
у = (я - г0уг 4- a2{z - z0) + a3(z - z0)2+
(5.126)
4-a6(z - z0)
Из (5.126) следует, что в разложении имеется четыре произвольных
постоянных, что соответствует уравнению прошедшему тест Пенлеве.
Локальное разложение решений второго семейства находится
аналогично:
у = -2(z - z0)_1 4- a2(z - z0) 4- 0,3(2 - z0)2 -
N3 / P , 5q2Q3 1 "\ / 44
, , ч5 (7la2 , 7z0a3 a2/3 21a|a3\ 6
(5.127)

5.4. ЛОКАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИИ 263
Это разложение содержит четыре произвольных постоянных.
Разложение для третьего семейства решений можно представить в виде
У = "3<* - ^Г - g(* - *о)3 +(£-£)(*- *о)4 + (5 128)
+a6(z - z0)5 4- a7(z - zf + ....
Это семейство содержит три произвольных постоянных и может быть
использовано в качестве первого приближения при исследовании уравнения
на свойство Пенлеве методом возмущений.
Локальное разложение четвертого семейства имеет вид
у = ^~ ^ + тх - *>) + [т + lie){z -zo) +
+a^z ~ *>5 + бЙшо(* - Zo)7 + (22^0 + Ш20) {z - Zo)8+
2
, («6£o 37 , 137)9 25/? . _ 9
^ I 2992 "^ 11875248 47500992 ^ 47500992 / ^ 0) ^
(
^, *£W.
2520 + S)(z-^)10+ai2(z-^o)11+'
(5.129)
Это семейство, как и предшествующее, содержит также три
произвольных постоянных.
Полученные локальные разложения решений уравнений четвертого
порядка могут быть использованы для доказательства сходимости полученных
выше рядов в окрестности точки zq.
Теорема 5.3. Зр > 0 такое, что для \/zq £ С разложение решений
уравнений (5.54)-(5.57) в ряды Лорана сходятся при 0 < \z — zq\ < p.
Доказательство.
Не нарушая общности рассуждений, проведем доказательство
теоремы 5.3 для уравнения (5.55) при а — 0. Доказательство для других
уравнений проводится аналогично. В начале исходное уравнение сведем к системе
Врио и Буке [17]. Введем обозначения
2/1 =2/, 2/2 = yz, 2/з = Vzz, 2/4 = Vzzz, (5.130)

264 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ
тогда уравнение (5.55) представляется следующей системой уравнений
Vl,z = 2/2, У2,г = 2/3, U3,z = 2/4,
(5.131)
2/4,* = -182/12/3 - 9?/| - 24?/? + z.
Принимая во внимание разложение решения в ряд Лорана (5.112),
используем замену переменных в (5.131) вида
И=*2У1 + 1, ^2-х32/2-2, У3=я42/з + 6, y4=s52fe-24, (5.132)
где х = z — го- Система уравнений (5.131) с учетом переменных (5.132)
принимает вид
xYlfX = 2Y1+Y2, xY2tX = 3Y2 + Y3j xY3yX = 4У3 + П , (5.133)
хУ4ж=,5У4-18Уз-36У2-180У1-18У1Уз+63У22-24У13 + 168-Ьх6(а;-Ь^о).
(5.134)
Линейная часть системы (5.133), (5.134) имеет характеристические
корни
\г = -1, А2 = 3, Аз - 4, А4 = 8. (5.135)
Они совпадают с индексами Фукса для первого семейства
уравнения (5.55). Из системы (5.133) и (5.134) следует существование трехпа-
раметрического семейства голоморфных решений системы со свойством
Yk —> 0, к £ {1,2,3,4} при х —► 0, которые в силу замены (5.132)
порождают полярные решения уравнения (5.55). Используя разложение
решения (5.132) аналогично доказательству сходимости ряда для первого
уравнения Пенлеве [17], можно оценить радиус сходимости ряда (5.112).
Анализ разложения (5.113) и оценка радиуса сходимости для решений
второго семейства уравнения (5.55) проводится аналогично.
5.5. Асимптотические свойства трансцендент
уравнений четвертого порядка
Известно, что асимптотические решения z —* оо уравнений Пенлеве
могут быть выражены через решения эллиптических функций.
Представляет интерес изучить аналогичный вопрос применительно к уравнениям
четвертого порядка, имеющим решения в виде трансцендент. Докажем
следующую теорему [ 199,210].

5.5. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТРАНСЦЕНДЕНТ 265
Теорема 5.4. Асимптотические решения уравнений (5.54))-(5.57) при
z —► оо выражаются через тэта-функцию Римана.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Доказательство проведем непосредственно построением
асимптотических решений при z —► оо.
Рассмотрим асимптотические решения уравнения
Vzzzz + lOyyzz + Wz + Юу3 - ^ - 0. (5.136)
Используя в (5.136) переменные
y(z) = z1/3^^), x - |z7/6, (5.137)
получаем, что это уравнение можно представить в виде
Wxxxx + 5W* + 10WWXX + 10Ж - \ + \wxxx + ^HW -
^^ - #,^2 + S,WX - ^W
(5.138)
49x2 49x2 49x3 2401x4
При x —► оо из (5.138) имеем уравнение в виде:
Wxxxx + bW% + ЮИ^Ж^ + 10W3 - I = 0. (5.139)
Решение уравнения (5.139) выражается через тэта-функцию,
построенную по соответствующей римановой поверхности. Асимптотическое
решение уравнения (5.136) может «быть представлено в виде
y(z) ^ z1/3W (§*7/6 ) • (5.140)
Асимптотические решения других уравнений четвертого порядка,
имеющие решения в виде трансцендент, получаются аналогично.
Для уравнения
Vzzzz + lSyyzz + 9y2z + 24г/3 - z = 0, (5.141)
асимптотические решения при z —> оо находятся также с помощью
переменных (5.131). Это решение определяется формулой (5.140), где в данном
случае W(x) является решением уравнения
Wxxxx + 9W% + ISWWXX + 24W3 - 1 - 0. (5.142)

266 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ
Уравнение (5.142) отличается от (5.139), хотя и напоминает его.
Решение уравнения (5.142) находится также через тэта-функцию Римана
[24,134].
Асимптотические решения уравнения четвертого порядка
Vzzzz ~ Wy2yzz - 10yy2z + 6y5-zy-a = 0, (5.143)
определяются по формуле
y(z) ^ z^4W (А*Ъ/А), (5.144)
где функция Изъявляется решением уравнения
Wxxxx - WWW2 - 10W2WXX + 6W5 -W = 0. (5.145)
Это уравнение имеет первые интегралы. Его решение выражается через
тэта-функцию Римана [134].
Асимптотическое решение уравнения
yZzzz - 5y2Vzz - 5yzyZz ~ $УУг + У5 - zy - Р = 0 (5.146)
находится по формуле (5.144). Функция W{x) в этом случае удовлетворяет
уравнению четвертого порядка:
Wxxxx - bWW2 - bW2Wxx + 5W2WXX + W5 - W = 0. (5.147)
Решение (5.147) получено через гиперэллиптические интегралы в
работе [134]. Таким образом, как и в случае уравнений Пенлеве,
асимптотические решения высших аналогов уравнений Пенлеве находятся через
решения, выраженные через специальные функции.
5.6. Семейства уравнений с решениями в виде
трансцендент
Уравнения четвертого порядка, имеющие решения в виде трансцендент,
могут быть получены, если искать автомодельные решения нелинейных
уравнений в частных производных пятого порядка, интегрируемых методом
обратной задачи рассеяния. Продемонстрируем это на примере семейств
уравнений, которые в частном случае дают уравнения (5.54)-(5.57).

5.6. СЕМЕЙСТВА УРАВНЕНИЙ С ТРАНСЦЕНДЕНТАМИ 267
В начале рассмотрим семейство модифицированных уравнений Корте-
вега - де Вриза, имеющее вид
ut + ^(^ + 2ujLn[ux-u2]=0, n = 0,l,2.... (5.148)
Здесь оператор Ln определяется в соответствии с рекуррентной
формулой Ленарда
-^Ln+1=Lnxxx + AuLnx+2uxLn, L°[u) = \, Ll[u]=u. (5.149)
Полагая п = 1в (5.148), имеем модифицированное уравнение Корте-
вега - де Вриза в виде
щ 4- Зи2их + иххх = 0. (5.150)
Следуя [18,103,104,164,165,208], будем искать решения
уравнений (5.148), используя автомодельные переменные
u(x,t) = [(2n + l)t]my(z), z = x[(2n + l)t]m, rn^-^j.
(5.151)
Принимая во внимание переменные (5.151), из уравнения (5.148)
приходим к семейству уравнений
(А+2у\ьп[ух-у2]-гу-а = 0, п=1,2.... (5.152)
Полагая п = 1 в (5.152), имеем второе уравнение Пенлеве. В случае
п = 2 из (5.152) получаем уравнение четвертого порядка (5.56). Полагая
п = Зв (5.152), приходим к уравнению шестого порядка в виде
yzzzzzz - Wy2yzzzz - 60yyzyZzz ~ Щу%х ~ ™ytyzz +
(5.153)
+30y4y*z + 120y3y* - zy - a = 0,
решение которого является также трансцендентной функцией относительно
постоянных интегрирования.
Можно ожидать, что общие решения всех уравнений семейства (5.153)
выражаются через трансценденты.

268 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ
Рассмотрим семейство уравнений в частных производных вида [208]
фь + фхЬп[{ф;х}}=0, п = 1,2,... , (5.154)
где {ф; х} — производная Шварца, определяемая следующим равенством
В периодической литературе уравнение (5.154) называется семейством
уравнений Шварца - Кортевега - де Вриза. Это семейство, как было
показано в п. 3.19, путем преобразования переменных может быть сведено к
семейству уравнений Кортевега - де Вриза, имеющему вид
u;t +J^Ln+1H=0. (5.i56)
Будем искать решения семейства уравнений (5.154), используя
автомодельные переменные
Rn
^(x,t)=t^S{z), z = x[(2n + l)t]m, m = -2^TT' (5Л57)
где Rn — постоянная. Принимая во внимание переменные (5.157), семейство
уравнений (5.154) приводится к уравнениям для S (z) в виде [191,192]
SzLn+1 [{5; z}} - zSz + RnS = 0.
Полагая Rn = 0 к {S; z} = у в последнем уравнении, имеем семейство
уравнений [208]
Ln+1[y}-z = 0, n = l,2,... . (5.158)
Полагая п = 1 в уравнении (5.158), получаем первое уравнение Пен-
!. Если в (5.158) взять п = 2, то приходим к уравнению (5.54). Полагая
3, из (5.158), получаем уравнение шестого порядка в виде:
Vzzzzzz + UvVzzzz + 28ухугхг + 21y2zz + 70y2yzz + 70yy2z + 35y4 ~z = 0.
(5.159)
Общее решение уравнения (5.159) является существенно
трансцендентной функцией относительно постоянных интегрирования. Можно
надеяться, что решения уравнений более высокого порядка также определяют
трансценденты.
леве
п

5.6. СЕМЕЙСТВА УРАВНЕНИЙ С ТРАНСЦЕНДЕНТАМИ 269
Рассмотрим еще два семейства уравнений в частных производных,
имеющих вид [261 ]
щ + QiGn[u] = О, (п = 1,2,...); (5.160)
vt + П2Нп[у] =0, (n = 1,2,...). (5.161)
Решения задач Коши для этих уравнений могут быть получены методом
обратной задачи рассеяния [15]. Операторы Пь Q2, Gn и Нп в (5.160)
и (5.161) определяются формулами [261]
Пг = Q2 = D3 + 2uD + ux, D = 4-- (5.162)
Операторы Gn и Нп находятся в соответствии с рекуррентными
формулами
Gn+2 —
JM Пг[и] Gn, (5.163)
Нп+2 = J2[v] П2[у] Нп. (5.164)
При условии, что
Go[w] = l, С1[г|]=г1ях + ^2, (5.165)
ЯоН = 1, Нг[у] = vxx + 2гЛ (5.166)
Операторы J\ и J2 определяются следующими формулами
Jx = #3 + 1 (д2м£)-1 + £)-lM£)2) + I (м2£)-1 + D-V) , (5.167)
J2 = D3 + 3 (г;£> Н- £>г;) + 2{D2vD~1 + D~xvD)
+ 8(1?D-1 + IT V), J? = J^, IT1 - /
a i /* (5.168)
Если искать решения уравнений (5.160) и (5.161) в виде
автомодельных переменных, то получаются нелинейные ОДУ пятого порядка. Они
имеют решения в виде трансцендент, но полученные уравнения являются
приводимыми. Общие решения этих уравнений находятся через решения
нелинейных ОДУ четвертого порядка.
Рассмотрим два семейства модифицированных уравнений в частных
производных, соответствующих уравнениям (5.160) и (5.161) [211]:
ох \ах
W
Wx - \W2
0, (п = 0,1,2...), (5.169)

270 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИИ ПЕНЛЕВЕ
д
У* + 8Х
(JH*»
VX - ^
0, (п = 0,1,2...). (5.170)
Эти семейства уравнений известны как семейство модифицированных
уравнений Савады - Котеры и Кодри - Додда - Гиббона.
Наряду с уравнениями (5.169) и (5.170) рассмотрим уравнения,
которые появляются при исследовании (5.160) и (5.161) на свойство Пенлеве
методом Вайса - Табора - Карневейля [261]. Эти уравнения имеют вид:
Фь + ФхСп[{ф; х}] = 0, п = 1,2,..., (5.171)
^ + ¥>х#п[{?;ж}] = 0, п = 1,2,.... (5.172)
Будем искать частные решения уравнений (5.171) и (5.172), используя
автомодельные переменные [211]
ф(х,г) = tPn^2n^F(z), z = x[(2n+ l)tf1/(2n+1), (5.173)
if (Ж, t) = ^n/(2n+l)^ ф ? ^ = ж[(2п + !) tpl/(2n+l)? (5Л?4)
где Рп и Мп — произвольные постоянные. Семейства уравнений (5.171)
и (5.172) с учетом переменных (5.173) и (5.174) принимают вид
FzGn[{F- z}] -zFz+PnF = 0, n = 1, 2, ..., (5.175)
fzHn[{f;z}}-zfz + Mnf = 0, n-1,2,.... (5.176)
Полагая Мп = 0 в (5.176), получаем семейство уравнений в виде
Я„[у]=г, п = 1,2,..., (5.177)
где введено обозначение ?/ = {/; z}. При п = 1 из (5.177) получаем первое
уравнение Пенлеве. В случае п = 2, (5.177) переходит в уравнение
Уг«а + 18yyzz + 9у2 + 24у3 - z = 0, (5.178)
которое совпадает с уравнением (5.55) при а = 0. Полагая Рп = 0 в (5.175),
имеем уравнение, которое заменой переменных приводится также к
уравнению (5.178).
Применяя к (5.176) оператор (Fz)~ d/dz и сделав замену переменных
и = Fzz/Fz, получаем уравнение в виде [211]:
£+u?jHn Lz - \uj2\ -zu-pn = 0, (5.179)

5.7. ПАРЫ ЛАКСА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА 271
где /Зп = 3 — Рп. Полагая п = 1 в (5.179), имеем уравнение четвертого
порядка [177]
ujz
+ 5ujzujzz — boj ujzz — bwu)z + oj5 — zuj — Pi =5,
(5.180)
которое совпадает с уравнением (5.57). В случае п = 6 из (5.179) получаем
уравнение шестого порядка
UJzzzzzz^7uJzUJzzzz-20uJzUJzz-21UUJ^z + UuJzzUJzzz-
■lu) LOzzzz —
28.
-Щ-и)иРг + 14o;zza;4 + 28а;^3 - 2%u)u)zu)zzz -
(5.181)
-14lUJzujzzuj2 — -uj7 - zuj - p2
0.
Уравнение (5.181) имеет решение в виде существенно трансцендетной
функции относительно постоянных интегрирования. Можно надеяться, что
каждое уравнение семейства (5.179) имеет решения в виде трансцендент.
5.7. Пары Л акса для уравнений четвертого порядка
В п.2.16 показано, что уравнения Пенлеве могут быть записаны в виде
линейных систем уравнений относительно новой зависимой переменной.
Эти представления позволяют построить решения уравнений Пенлеве [149,
150,179,180].
Семейства уравнений
Ln+1[y) =§, (п = 1,2,...),
(е + *)
Нп[у] =
+ Уг) Нп
а-)
(5.182)
Vz - 2У2
- zy - ап = 0,
-- z, % (п = 1,2,...),
[у* - \у2
- zy - рп = 0,
(5.183)
(5.184)
(5.185)
полученные из точно решаемых семейств уравнении, в частном случае дают
уравнения Пенлеве, и поэтому можно ожидать, что все уравнения этих
семейств могут быть выражены через линейные системы уравнений. Докажем
теорему.

272
ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИИ ПЕНЛЕВЕ
Теорема 5.5. Уравнение (5.54) моэюет быть представлено линейной
системой уравнений относительно новой независимой переменной.
Доказательство.
Покажем, что уравнения (5.182) при п — 1 и при п = 2 могут быть
представлены в виде линейных систем уравнений.
Предположим, что
-(£)
является решением линейной системы уравнении:
Ф2 = МФ,
Фл = №,
(5.186)
(5.187)
(5.188)
где М и N являются матрицами 2 х 2 и Л — спектральный параметр.
Условия совместности уравнений (5.187) и (5.188)
(Ф*)л = (Фа),
приводит к матричному уравнению
Nx-Nz= [N,M],
где \N, Ml — коммутатор матриц Nn M.
Для уравнения (5.54) матрицы М и N будем искать в виде:
А В \
(5.189)
(5.190)
М
/о Л + 2у^
V
о
N
)
С
(5.191)
Условие совместности (5.190) с учетом элементов матриц (5.191)
принимает вид:
Bz - 1 + АуА + 2АХ = 0, (5.192)
Az - ±В - СХ - 2Су = 0,
Cz + А = 0.
(5.193)
(5.194)

5.7. ПАРЫ ЛАКСА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА 273
Будем искать элементы матриц А, В и С в виде:
A(y,...,A) = a0(y,z), (5.195)
В(у,..., А) = Ьо(у, *) + bi(y, 2f)A + Ь2(у, ^)А2, (5.196)
С(у,..., А) = со(у, г) + С!(у, г)А. (5.197)
Тогда, подставляя (5.195)—(5.197) в (5.192)—(5.194), получаем, что элементы
матрицы N для уравнения (5.182) при п = 1 принимают вид:
Л(2/,.-.,А)=У*, (5.198)
В(у,..., А) = * - 2у2 - 2уА - 2А2, (5.199)
С(у,...,А) = -У + А. (5.200)
Система линейных уравнений для (5.182) при п = 2 выражается также
системой (5.187) и (5.188), в которой элементы матрицы (5.199) выражаются
формулами:
А(у,..., А) = буу* + у*** - 2уА (5.201)
В(у,..., А) = г - 8у3 - 4yyz, + 2y2z - (2у2 + 2у**) А + 4уА2 + 4А3, (5.202)
С{у,..., А) = -ЗУ2 - yzz + 2уА - 2А2. (5.203)
Сравнивая элементы матриц (5.198) - (5.200) для (5.182) при п = 1и
элементы (5.202) - (5.203) для (5.190) при п = 2, можно найти зависимости
элементов матриц линейных уравнений Д В и С для уравнения (5.182) в
случае произвольных целых п.
Справедлива теорема, которая обобщает теорему 5.5.
Теорема 5.6. Пусть элементы А, В и С матрицы N задаются
соотношениями
п-1
А = ]Г (-2A)fc^Ln-fc-1[y], (5.204)
fc=0
Б = U-fj + 4у + 2А) ]Г (-2A)fcL--fc~1[y], (5.205)
п-1 %
С = -]Г (-ЗА)*^-*-1^], (5.206)
fc=0

274 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ
тогда семейство уравнений (5.182) представляется системой линейных
уравнений (5.187), (5.188).
Доказательство.
Из уравнений (5.192) - (5.194) находится уравнение для элемента С
матрицы N в виде
Czzz + 4yCz + 2Cyz + 2XCZ + | - 0. (5.207)
Подставляя выражение (5.206) в (5.207) и приводя подобные члены,
имеем соотношение
fzLn[y\ - \ = 0, (5.208)
которое после интегрирования по z сводится к (5.182). Принимая во
внимание зависимость (5.206), находим выражения для элементов А и В по
формулам (5.193) и (5.194).
Теорема 5.7. Семейство уравнений (5.183) может быть
представлено эквивалентной линейной системой уравнений.
Доказательство.
Получим систему линейных уравнений для решения уравнений
семейства (5.183) при п = 1 и при п = 2. Из п. 2.16 следует, что пара Лакса
для второго уравнения Пенлеве представляется следующей системой
уравнений:
Ф* = РФ, (5.209)
АФЛ = (ЭФ, (5.210)
где ф — вектор-функция, определяемая (5.186), Р и Q — матрицы 2x2,
имеющие вид
*=(,-"&)• « = (с !.)■ <«■■>
Условия совместности системы уравнений (5.209) и (5.210) принимают
вид
Az + уВ - уС + гЛ - 0, (5.212)
Bz + 2уА + 2г\В = 0, (5.213)
Cz - 2уА - 2г\С = 0. (5.214)

5.7. ПАРЫ ЛАКСА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА 275
Элементы А, В и С, соответствующие второму уравнению Пенлеве,
находятся последовательно из условий (5.212)-(5.214) и выражаются
формулами
А(у,..., А) = -i(z ~ 2у2)А + 4гА3, (5.215)
В(у,..., А) - а - 2iyzX - 4уА2, (5.216)
С(у,..., А) = а + 2гу*А - 4уА2. (5.217)
Поскольку второе уравнение Пенлеве является частным случаем
семейства уравнений (5.183), то элементы А9 В и С для пары Лакса,
соответствующей уравнению (5.183) при п = 2, будем искать в виде следующих
полиномов по параметру А:
А(у,..., А) = ai(y, г)А + о3(у, z)X3 + а5(у, z)A5, (5.218)
В(у,..., А) - Ьо(у, *) + bi(y, 2f)A 4- 62(у, z)A2 + Ь3(у, *)А3 + 64(у, ;г)А4,
(5.219)
С(у,..., А) = со(у, 2?) + ci(y, z)A 4- с2(у, z)\2 4- с3(у, £)А3 + с4(у, г)А4.
(5.220)
Подставив (5.218) - (5.220) в уравнения (5.212) - (5.214) и приравняв
нулю выражения при одинаковых степенях А, получаем следующие
значения коэффициентов.
аг = -iz + 6iy4 - 4iyyzz 4- 2гу2, а2 = 0, (5.221)
аз = 8гу3, а4 = 0, аъ = 16г, (5.222)
Ь0 = с0 = а, Ъг = -ci = 2i(yzzz - 6y2yz), (5.223)
&2 = с2 = 4(yzz - 2у3), 63 = -с3 = -8iyz, (5.224)
Ь4 — С4 — — 16у. (5.225)
Общие формулы для элементов Л, В и С матрицы Q, соответствующие
семейству уравнений (5.183), даны в [190].
Теорема 5.8. Семейство уравнений (5.184) может быть
представлено эквивалентной линейной системой уравнений.
Доказательство.
Покажем, что (5.184) можно представить при п = 1в виде линейной
системы уравнений.

276 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИИ ПЕНЛЕВЕ
Рассмотрим систему линейных уравнений [158]:
**** = -ЗуФг - (lyz ~ \\ Ф, (5.226)
сс;0Фл - A(z, X)9ZZ + B(z, А)ФЖ + С(г, А)Ф. (5.227)
Принимая во внимание условие совместности для уравнений (5.226)
и (5.227)
(Ф***)А = (*а)^ , (5.228)
имеем
С(г, Л) = 2уЛ - |Л2г - Bz, (5.229)
Лгггг + ЗуЛгг + 6yBz + ^yzAz - 3\AZ + ЗуВ + 2BZZZ = 0, (5.230)
1 3 3
t:Azzzzz — 6Xjdz + TyBVzz ~ TyAzzyz —
-?>AZZ\ + ЗуД« - 6yy*A + JW - 6y2A2- (5.231)
-уЛ«* + |sz2/z - ^Azyzz - ^Ayzzz = 0.
Предполагая, что в (5.230), (5.231)
A = a0(z),
£?^6!(z)+60(z)A
(5.232)
получим, приравнивая выражения при одинаковых степенях А нулю,
коэффициенты bo(z), clq(z) и bi(z)
bo(z) = -6ao,
a>o(z) = -6a02/ - 2ab (5.233)
fei(z) = 3a0yz
и уравнение
«о (У zzzzz + 36yzy22 + lSyyzzz + 72y2yz)+
+ai(yZzz + 12yyz) + a;0 = 0.
(5.234)
В (5.233) и (5.234) a0 и ai — произвольные постоянные.
Интегрируя (5.234) по z, приходим к уравнению
а0 (yZzzz + 9у2 + 24г/3 + 18уугх) + ai (угг + 6у2) + и;0£ - 0. (5.235)

5.8. ОБОБЩЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ
277
Уравнение (5.235) при c*i = 0, ао = 1 совпадает с уравнением
семейства (5.184) при п = 1.
Используя систему (5.230) и (5.231), можно найти пары Лакса для
уравнений семейства (5.184) при п > 2 [189,190].
Оставляем читателю возможность найти пару Лакса для семейства
уравнений (5.185).
Приведенные выше системы линейных уравнений могут быть
использованы для решения высших уравнений Пенлеве методом изомонодромной
деформации [180].
5.8. Обобщения уравнений Пенлеве
В п. 2.16, исходя из системы линейных уравнений, нами получены
первое и второе уравнения Пенлеве.
По существу, при нахождении первого уравнения Пенлеве
использовано условие совместности (5.236), имеющее вид [2,102,189]:
u>(\)Ux = ±UAZ + 2AUZ + Azzx, (5.236)
где U(z, A) — потенциал, A(z, A) — зависимость от y(z) и Л.
Полагая
W(A) = 1, U = у + 2А, A(z, А) = -y(z) + Л, (5.237)
из (5.236) в п. 2.16 получено первое уравнение Пенлеве. В случае о;(А) = А
при линейном потенциале и линейной зависимости A(z, X) от А из (5.236)
находится Р34, при о;(А) = А2 — специальный случай Рз (далее
обозначен Р|) и ПРИ ^М — К^ ~ ^о) — специальный случай Р5 (далее
обозначен Р5*) [2,189].
Для квадратичного потенциала U(z,X) и линейной зависимости от А
из (5.236) находится второе уравнение Пенлеве при о;(А) = 1, четвертое
уравнение Пенлеве в случае и(А) = А, третье уравнение Пенлеве при
а;(А) — А2 и пятое уравнение Пенлеве при о;(А) = А(А — Ао).
Покажем, что в случае линейного и квадратичного потенциала и
зависимости A(z, А) в виде
п
A(z, A) = ^а^х)хп~1 (5-238)
г=0
из (5.236) находятся высшие аналоги уравнений Пенлеве.

278 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ
Пусть
U(z,\) = P(z)-\, (5.239)
тогда, полагая о;(А) = ljq из (5.236), имеем
4PAZ + 2PZA - Azzz - 4XAZ = 0. (5.240)
Подставляя (5.238) в (5.240) и приравнивая выражения при одинаковых
степенях А нулю, приходим к цепочке уравнений:
ao,z=0, (5.241)
4afc+M = 4PakyZ 4- 2Pzak - ak^zzz, (к = 0, ..., n - 1), (5.242)
4Pan,z + 2P2a
n.z ^n,zzz
-fcJo-O. (5.243)
Из (5.241) и (5.242) имеем
Q>o(z) = О), (5.244)
ai(z) = icdP(z) + ci, (5.245)
a2(*) - -f (^ - 3P2) + |ciP + c2. (5.246)
Коэффициент a,2(z) можно представить в виде:
a2(z) = -|i2[P] + \с^[Р) + C2, (5.247)
где оператор Lfe[P] определяется формулой Ленарда [261]:
-fbk+1[P] = -4PLkz[P] - 2PzLk[P] + Lkzzz[P], Ll[P] = P. (5.248)
Сформулируем теорему.
Теорема 5.9. Решения am(z) (га = 1, ..., п) уравнений (5.241),
(5.242) определяются формулой
т / ч г—1
°m(a!) = |Z)(-i) cm-iLi[P]+cm(m=l,...,n). (5.249)
»=i ^ '

5.8. ОБОБЩЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ 279
Доказательство.
Проводится методом математической индукции. При га = 1 и при т =
— 2, (5.249) совпадает с (5.245) и (5.246). Полагая справедливость (5.249)
при га = р9 из (5.242) получаем, что am(z) определяется (5.249) при га =
= р+1.
Полагая т = пв (5.243), после интегрирования по z имеем уравнение
n-fl у ч г—1
\ Е ( ~\ ) Cn+i-iL'lP] + cn+1 - -woz. (5.250)
г=1 ^ '
Введем обозначения
P(z) = 2/(z), о;0 = -a, «i = 2 ( -4 ) Сл+1-*' (i = 1, • • •, n + 1).
(5.251)
После преобразования переменных у (г) и z9 уравнение (5.250) принимает
вид [158,189]:
п+1
'%2aiLi[y]=az. (5.252)
г=2
Уравнение (5.252) является обобщением семейства уравнений (5.182).
Полагая а2 = 1, &1ф2 — 0, из (5.252) получаем первое уравнение Пенлеве.
При п — 3 из (5.252) имеем уравнение шестого порядка
«4 (yzzzzzz ~ 35?/4 - 21ylz - Uyyzzzz - 28yzyzzz +
+70y2yzz + 70j/!# + (5.253)
+OLb{yZzzz ~ $у1 ~ Ityyzz + Юу3) + a2(yzz - 3?/2) + сад = olz.
Пара Лакса, соответствующая уравнению (5.252), находится из
системы уравнений
Ф^ = (Р(*)-А)Ф, (5.254)
а;(Л)Фл = 2A(z, А)Ф* - ДДг, А)Ф, (5.255)
которая эквивалентна уравнению (5.236).
Подставляя
п / т \
Р(г) = y(z), ш(Х) = -a, A(z, А) = £1 £ с^Щу] + ст \п~т
т=1 \г=1 /
(5.256)

280 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИИ ПЕНЛЕВЕ
в систему уравнений (5.254), (5.255), получаем линейную систему
уравнений, эквивалентную уравнению (5.252).
В случае о;(А) = с^оА (с^о — постоянная), из (5.236) имеем
п
Y,akLk{y]+±u{z) = az, (fc = l, ..., п) (5.257)
k=i
.2 nin. , 1„.2_ S2
2yuz - uuzz + ±игг = у, (5.258)
где ?/(z) и гх(^г) — переменные, а, а^И(5- постоянные.
Полагая u(z) = 5 — 0 из (5.257), находим семейство уравнений,
которое было получено выше. В случае а\ — 1,а&^1 = 0 имеем уравнение
Р34
uuzz - |u2 - 2azu2 + Su3 + у = 0. (5.259)
Это уравнение в списке уравнений Пенлеве находится под номером 34
и поэтому в литературе называется Рз4- Оно может быть сведено ко второму
уравнению Пенлеве, если использовать замену
S(z) = ^. (5.260)
В результате из (5.259) получим уравнение
Szz = 253 - 2azS + 46 + а . (5.261)
Подставляя (5.260) в уравнение (5.258), имеем
у = S* + 52. (5.262)
Используя (5.260) и (5.262), из (5.257) и (5.258) получим
(j- - 2s\ J2<*kLk [Sz + S2] + 2azS - 45 = 0. (5.263)
^ ' k=i
Уравнение (5.263) является обобщением семейства уравнений (5.183).
При п — 3 из (5.263) находим уравнение шестого порядка:
«з (SZZZzzz - 56SSZSZZZ - 145 Szzzz - 42SSZZ-
-70S2ZSZZ + 70S4S^ + 1405252 - 2057) +
о о г; (5.264)
+*2(SZXXZ - Ю552 - 10S2S^ + 6S5)+
+ai (&* - 253) + 2azS + a - 45 = 0.

5.8. ОБОБЩЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ 281
При линейном потенциале и и(Х) — ы0А2, из (5.236) получим
4(Р - \)AZ + 2APZ - Azzz + cjqA2
0.
Учитывая (5.238), из (5.265) имеем систему уравнений
71-1
У^ а^Мз/] 4- 4t;(2:) = az,
г=1
г*^ + vzzu + 2u — uzvz - 4yuv 4- v = 0,
uuzz-^u2z-2yu2 = Tp
(5.265)
(5.266)
(5.267)
(5.268)
Полагая c^ = 0 (г = 1, ..., n = 1) в (5.266), получаем v(z) = az/4.
Тогда из (5.267) и (5.268) находим Р3*
Wzz - IT +
ut и* 8u2 + 4i/ 2J2
и ' w
az
~^=^
(5.269)
где i/, а и 6 ~ постоянные.
Полагая u(z) = v(z) = 8 = i/ = 0, из (5.266) получаем обобщение
первого уравнения Пенлеве. Поэтому система уравнений (5.266) - (5.268)
обобщает Р\ и Р%.
Система уравнений (5.266) - (5.268) может быть представлена одним
семейством уравнений.
Действительно, из (5.268) имеем:
= UZZ U2Z S2
2u Ы2 Au2
Используя (5.270), из (5.266) получим:
n-l
2>l*
г=1
UZZ Uz 52
2w 4u2 4u2
-\-4v — az.
(5.270)
(5.271)
Полагая F = \nu, в (5.270) имеем:
»-§('«+и-£")•

282 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ
при этом уравнения (5.267) и (5.271) принимают вид:
' + 52ve~2F + vq~f + 2eF = О,
dz \dz zJ
n-l
I>fc£*
k=l
±[Fzz + lF?-¥-e
-2F\
-\- 4v — az.
(5.272)
(5.273)
Из (5.272) и (5.273) приходим к семейству уравнений:
2 S2 -2F
2е
+
(5.274)
е(е-'-)2>*[§(р"+И
+64-2F52akLk\l (Fzz + ^ + dY^F) \ +
fc=i •- V /J
+ £(azFz) - a62zQ-2F - 4^e~F + //eF - 0.
Параметр \i введен в (5.274) для общности. Справедлива теорема.
Теорема 5.10. Частные решения семейства уравнений (5.274)
выражаются через общие решения Pi, Р^ и Р£.
Доказательство.
Полагая 5 — г/ = /1 = 0и f(z) = Fz, из (5.274) имеем после
интегрирования по z второе уравнение Пенлеве
(£-f) (/« + |/2)+ 2az/-/3 = 0, (5.275)
где /? — постоянная интегрирования.
Полагая а^ = 0 (к = 1, ..., т) в (5.274), имеем специальный
случай Рз
(5.276)
А
dz
(azFz) - a52ze~2Ii - Ave'* + /ze* = 0.
Учитывая, что F = In w, из (5.276) получим каноническую форму Pg
в виде (5.269).
Как следствие теоремы 5.10 получаем, что Pi, P2 и Р3* являются
частными случаями семейства уравнений (5.274).

5.8. ОБОБЩЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ 283
Рассмотрим случай квадратичного потенциала в (5.236) при ш(Х) =
= 2о;0, если [189]:
U(z, А) = P(z) - 2Xy(z) + Л2, (5.277)
A{z, Л) = a2{z) 4- ax{z)\ + a0(z)X2. (5.278)
Подставляя (5.277) и (5.278) в уравнение (5.236) и приравнивая
выражения при одинаковых степенях Л нулю, находим:
ао(*) = со, (5219)
ai(z) = coy + ci, (5.280)
a2{z) = |со2/2 - \cqP + с1У + ±с2, (5.281)
coVzz + lOcoi/3 + 6с1У2 + C22/ + сз - 2ciP - 6со2/Р = 0, (5.282)
a2,zzz ~ 4a2P - 4иоУ ~ 2a2Pz = 0. (5.283)
Здесь со, ci, c2 — произвольные постоянные.
Подставляя P(z) из (5.282) в (5.281) и (5.283) и сделав замену
переменных:
j,(z) = 5u(*)-_, ^ = -g-,
ci = 2^°°' C2 = 5c°' Сз = 'Ltc°' C4 = X' (5.284)
(далее штрихи опускаем), после интегрирования по z получаем уравнение
четвертого порядка:
nWzzz .2. _5 2 Зи^ 2^ 2aztizz
w**** - ^ s Dw w** 9 z ~2гГ ,/2 " и +
м (5.285)
Используя переменную
и = ехр(ф)),

284 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ
уравнение (5.285) можно записать в виде
^ («« + vl) - \ (vzz +vl)2+X+ §е4"-
- Uvzz + ^v2 + И е2" + 2azev- (5.286)
-2ae~v4~{zvz) - \a2z2<T2v = 0.
dzy ' 2
Пара Лакса для уравнения (5.285) имеет вид:
6Ф22 = 2(ЗЛ - Зи + /?)Фг - Q(z)9, (5.287)
18аФл = QM(z, А)Ф2 + N(z, Л)Ф, (5.288)
Q(z) = Zuz + |/?2 - и2 - \(uzz + az), (5.289)
M(z, A) = 2u2 +0u- |/?2 - \{uzz + az) + (3u + 2/3)A + ЗА2, (5.290)
JV(z, А) = Pu2 + |/32 + 6га 4- 6u3 - 3u22-
-3/3uz - Y2uuz - 202u + \{Zuzzz + За + /?u22 + afiz)- (5.291)
-^(U2Z+az)+ (3H2-/?2-9u2+3aZ+3M А-9/ЗА2-9А3.
Линейная система уравнений (5.287), (5.288) может быть использована
для решения задачи Коши уравнения (5.285). Установлено [189], что
уравнение (5.285) проходит тест Пенлеве и, по-видимому, его общее решение
также определяет существенно трансцендентные функции.
5.9. Преобразования Бэклунда для высших аналогов
уравнений Пенлеве
Пять из шести уравнений Пенлеве имеют ряд соотношений между
решениями уравнений при различных значениях параметров [19,39,160]. Как
сказано выше, такие соотношения называются преобразованиями
Бэклунда. Эти преобразования позволяют находить бесконечное число частных и
специальных решения уравнений Пенлеве. Покажем, что уравнения (5.183)
и (5.185) также имеют преобразования Бэклунда [122,159,164,194,199].

5.9. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БЭКЛУНДА ДЛЯ ВЫСШИХ АНАЛОГОВ 285
Используя определение оператора Ln, семейство уравнений (5.183)
можно задать двумя способами:
- (J- - 2г/) Ln [-yz - у2} - zy - ап = 0, (5.292)
(£ + 2у) Ln [yz - у2} -zy-an = 0. (5.293)
Будем искать решения уравнений семейства (5.292) в виде усеченных
разложений Пенлеве, предложенных для нелинейных уравнений в частных
производных в работе. В частности, для уравнения (5.292) можно
использовать усеченное разложение в виде:
У
<fz_
<Pzz
2tpz*
' Ф tyz'
а для уравнения (5.293) разложение
У
Однако далее будем использовать выражения в виде
_ 4>zz
У 2<Pz
(5.294)
(5.295)
(5.296)
У
^zz
Wz
(5.297)
поскольку замены ip —* 1/ср и ф —* 1/ф в формулах (5.296) и (5.297)
приводят к выражениям (5.294) и (5.295).
Подставляя (5.296) в (5.292), получаем цепочку соотношений в виде:
- (ji _ 2у) Ln[-yz - у2] -zy-an =
)(-^[-».-»а]+|-(«- + |)^)= (5-298)
dz
2t/
GMHM+i-M)£)-

286 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ
Выражение {(р; z} в (5.298) обозначает производную Шварца
for,*}-**" ^
(5.299)
ства
Последнее соотношение в (5.298) получено с использованием равен-
(5.300)
Vz + У2 = ~^{(f;z},
которое справедливо как для решения (5.296), так и для (5.294).
Подставляя (5.297) в (5.293), по аналогии с (5.298), получаем
[Уг ~ У \ ~ гУ ~ OLn =
(£+2»)L"b
(5.301)
Здесь{^>; z] — производная Шварца, связанная с преобразованием Ми-
уры формулой
Уг~У2 = Ш;г}. (5.302)
Из соотношений (5.298) и (5.301) следует, что уравнения
-Ln
\ {w z} 1 + | - (ап + ±) £ = 0 (5.303)
и
Ln[i^*>]-§-(*--1)^=° (5304)
можно рассматривать как уравнения для переменных cp(z) nip(z).
В [191,192] показано, что решение ip(z, an) уравнения (5.294) может
быть найдено по известному решению <р(г, ап) уравнения (5.303) с
помощью итерационной формулы Вайса
Фг
4>z
(5.305)

5.9. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БЭКЛУНДА ДЛЯ ВЫСШИХ АНАЛОГОВ 287
при условии, что
ап = -1 - ап. (5.306)
Дифференцируя (5.305) по z9 имеем выражение
'ZZ
2фг ~ <Р 2(pz'
(5.307)
которое с учетом (5.296) и (5.297) приводит к формуле
y(z, &п) - y(z, an) = ^. (5.308)
Подставляя (5.308) в (5.303) и принимая во внимание (5.300), получаем
уравнение в виде
Jf,._L.[^_^+i+__^j__.a (,зда)
Теорема 5.11. Уравнение (5.309) эквивалентно семейству
уравнений (5.292).
Доказательство.
Семейство уравнений (5.309) имеет меньший порядок, чем исходное
семейство уравнений (5.292). Из соотношения (5.298) следует, что
(*-*)
1^=0. (5.310)
Откуда следует, что если y(z, an) — решение (5.292), то (5.309) равно
нулю.
При известном решении ip(z, an) уравнения (5.304), решение <р(г, ап)
уравнения (5.303) может быть получено с помощью итерационной формулы
[191,192]:
ф2
**=Ъ (5-311)
при условии, что
ап = 1-йп. (5.312)
Из (5.311) находится формула
y(z,an) = -^+y(z,an). (5.313)

288
ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИИ ПЕНЛЕВЕ
Подставляя (5.313) в (5.304) и принимая во внимание (5.302), получим
уравнение:
42) = ^-[^-^]-§-
2&п-1
2 2y(z, ап) - 2y(z, 1 - й„)
0.
(5.314)
Теорема 5.12. Семейство уравнений (5.314) эквивалентно семейству
уравнений (5.292).
Доказательство.
Уравнение (5.314), как и уравнение (5.309), имеет меньший порядок,
чем исходное уравнение (5.292). Соотношение (5.301) может быть
представлено в виде:
(£ + *)*?>-а
(5.315)
Откуда и следует доказательство.
Используя определение операторов Нп и Gn, семейство
уравнений (5.185) можно записать в виде:
А
dz
+ У)Нп
1 2
- zy - рп = 0,
(5.316)
\(jtz~ 2У) Gk [~2yz " 2y2^ -*У-Рь = °- (53
17)
Если представить, что решения семейства уравнений (5.316)
определяется по формуле:
<Pzz
У
2(fz
(5.318)
то правая часть (5.316) может быть записана в виде следующей цепочки
равенств:
+ у)нп
Уг
- Ё+»чя-
С другой стороны, полагая
ь>
- zy- /3n
1 2
-Z-(l3n-l)
(5.319)
(5.320)

5.9. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БЭКЛУНДА ДЛЯ ВЫСШИХ АНАЛОГОВ 289
семейство уравнений (5.317) можно представить в виде
-\{tz~ 2y)Gk С~2уг ~ 2у21 ~*у-Ьк =
Рассмотрим уравнения из правых частей (5.319) и (5.321)
(5.321)
Нп
У' - Ь2
- z - (& -1) £ = о,
ф
Gk\-2yz - 2у'\ -z-lf3k + ±)^ = 0
2/V,
Если воспользоваться соотношениями
Уг -уУ2 = W;z},
(5.322)
(5.323)
(5.324)
(5.325)
-2yz - 2у2 = {ф- z},
то уравнения (5.322) и (5.323) могут быть записаны в виде уравнений для
функций tp(z,0n) и ф(г,0к)
#„[{¥>;*}]-*-(&-!)£= О,
(5.326)
Gk[{il;;z}]-z-(0k + ±\^-=O. (5.327)
Решение уравнения (5.326) может быть получено с помощью
итерационной формулы Вайса:
Фг = ^, (5.328)
где ip(z,f3n) и ф(г,2 - /?„). С другой стороны, решение уравнения (5.327)
можно найти по формуле:
Vz
ф
Ф
1/2'
(5.329)
где tp(z, fa) и ф(г, -(Зк - 1).

290 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИИ ПЕНЛЕВЕ
Принимая во внимание (5.328) и (5.329), получаем соотношения
Ц = \y(z, Pn) - \y{z, 2 - /3„), (5.330)
^ = y(z,-l-pk)-y(z,0k). (5.331)
Подставляя выражение (5.330) в уравнение (5.322), приходим к
семейству уравнений
/(1) - Я
yz - \у2
2/?n 2 0. (5.332)
y(z,pn)-y{z,2-(3n)
Теорема 5.13. Семейство уравнения (5.332) эквивалентно семейству
уравнений (5.316).
Доказательство.
Следует из соотношения
Подставляя (5.331) в уравнение (5.323), получаем уравнение в виде:
Jj2> = Gk [-2yz - 2</2] - z - я*Рк,+ 1Л я, = 0. (5.334)
Теорема 5.14. Семейство уравнений (5.334) эквивалентно семейству
уравнений (5.316).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Следует из соотношения
й-2»)
/£2)=0. (5.335)
Найдем преобразования Бэклунда для уравнения (5.183). Из (5.309)
и (5.314) следуют соотношения
y(z, -ап - 1) - y(z, ап) - ап , (5.336)
2Ln [-yz -y2]-z

5.10. РАЦИОНАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ВЫСШИХ АНАЛОГОВ 291
y(z, 1 - an) = y(z, ап) - ^J^^], , (5.337)
2Ln [yz - у2 ] + z
где в (5.336) и (5.337) введено обозначение у = у(2,ап). Соотношения
(5.336) и (5.337) как раз и являются преобразованиями Бэклунда для
семейства уравнений (5.183). Однако, как правило, они используются в более
удобном виде, поскольку с учетом симметрии
y(z, an) = -y(z, -an) (5.338)
формулы (5.336) и (5.337) принимают вид
y(z, ая + 1) = -y(z, ап) + огпГ2ап + 121 , (5.339)
2Ln [-yz -y2\-z
2rv — 1
y(z,an -1) = -y(z,an) + n . (5.340)
2Ln [yz -y~\-z
При этом для нахождения решений достаточно использовать
только одну из формул (5.339) или (5.340), поскольку есть симметрия
решений (5.338).
Преобразования Бэклунда для семейства уравнений (5.185) могут быть
найдены также из полученных выше уравнений. Из (5.332) и (5.334) имеем
соотношения в виде
2/9—2
y(s, 2 - рп) = y(z, /Зп) _ Рт\ _ , (5.341)
Hn[yz-\y2]-z'
y(z, -1 - рп) = y(z,(3n) - f^* • (5342)
Gn [-2yz - 2у2] - z
Формулы (5.341) и (5.342) являются преобразованиями Бэклунда для
семейства уравнений (5.185). При известном решении уравнения
семейства (5.185) соотношения (5.341) и (5342) могут быть использованы для
нахождения решений при других значений параметров уравнения.
5.10. Рациональные и специальные решения высших
аналогов уравнений Пенлеве
Общие решения уравнений Пенлеве выражаются в виде функций,
имеющих существенно трансцендентную зависимость от постоянных
интегрирования и могут быть представлены лишь в виде локальных разложений

292 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИИ ПЕНЛЕВЕ
в ряд Лорана вблизи подвижных полюсов. Однако все уравнения Пенлеве,
кроме первого, имеют частные и специальные решения. Это объясняется
тем, что при некоторых значениях параметров уравнений, решения в виде
трансцендент вырождаются в решения, представимые через элементарные
и специальные функции. В этой связи возникает вопрос о специальных и
рациональных решениях семейств уравнений (5.182)—(5.185), также
определяющих существенно трансцендентные функции относительно постоянных
интегрирования.
Для того чтобы найти такие решения для уравнений семейства (5.183),
воспользуемся преобразованиями Бэклунда (5.340). Рассмотрим в начале
уравнение (5.183), которое в случае п = 2 имеет вид
Vzzzz ~ WyVz ~ Wy2Vzz +6yb-zy-a = 0. (5.343)
Преобразование (5.340) в этом случае принимает вид
/ л ч / ч 2а + 1
y(z, а — I) = —y(z, а) .
' 2угхг + 2у1 - 4yyzz - 12yzy2 + 6у4 - z
(5.344)
Уравнения семейства (5.183) имеют очевидное решение y(z, 0) = 0 при
а = 0. Полагая эти значения в (5.344), получаем решение уравнения (5.343)
в виде [191]
у(*,-1) = |. (5.345)
Далее, подставляя решение (5.345) в (5.344), имеем решения при других
значениях параметра а
о 3 (zb 4- 96)
y(z, -2) = f, y(z, -3) = ;5 J, (5.346)
z [zb - 144)
4 (z15 - 72z10 + 217728z5 - 1741824)
У& -4) = ~Vi гт-тт^ s r-- (5-347)
v У z (z5 - 144) (z10 - 1008z5 - 48384)
Для уравнения шестого порядка, которое находится из семейства
(5.183) при п = 3, рациональные решения имеют вид [191]
y(s,-l) = |, y(s,-2)=§, у(*,-3)=§, (5.348)
4(г7 - 108000)
y(z, -4) - -У- ^. (5.349)
V } z(z7 +14400)

5.10. РАЦИОНАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ВЫСШИХ АНАЛОГОВ 293
При п = 4 решения семейства уравнений (5.183) принимают вид [191]
у(*,-1) = ±, у(г,-2) = §, у(*,-3) = §, у(*,-4) = §. (5.350)
В случае положительных значений параметра а рациональные решения
уравнений семейства находятся, используя симметрию (5.338).
Найдем специальные решения уравнений семейства (5.183). Заметим,
что можно написать соотношение, связывающее семейства (5.182) и (5.183)
в виде [191]:
(I+"у) Lab» -f]-*v-°=(£+*) (*пм -§) -«+h
(5.351)
где в правой части (5.351) введено обозначение
и = Уг- У2- (5.352)
Соотношение (5.351) может быть использовано при нахождении
специальных решений семейства (5.183). Из (5.351) следует, что если uj —
решения семейства уравнений
£пМ-§=0, (5.353)
то решение уравнения Риккати (5.352) дает частное решение уравнения
(5.183) при а = 1/2, поскольку, учитывая замену переменных
У = -% (5-354)
уравнение (5.352) сводится к линейному уравнению второго порядка,
имеющему вид
Ф«+о;Ф = 0. (5.355)
В случае второго уравнения Пенлеве (п = 1) уравнение (5.353)
принимает вид uj — z/2. Уравнение (5.355) становится в этом случае уравнением
Эйри.
Таким образом, семейство уравнений (5.183), как и второе уравнение
Пенлеве, имеет рациональные решения при целых а и специальные
решения, определяемые через решения семейств первого уравнения Пенлеве при
полуцелых значениях параметра а.

294 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИИ ПЕНЛЕВЕ
Покажем, что семейство уравнений (5.185) также имеет рациональные
и специальные решения. Для нахождения рациональных решений
уравнений семейства (5.185) воспользуемся преобразованиями Бэклунда (5.341)
и (5.342).
Рассмотрим уравнение четвертого порядка семейства
Vzzzz - bVzVzz - 5yyl + by2yzz + У5 - zy - P = 0. (5.356)
Преобразования (5.341) и (5.342) для этого уравнения имеют вид
[177,211]
2/3-2
yzzz + 3y'i - yyZz - ±yzyl + у4 - z'
vw-i»-v(z,m-_. ..._..: ... ,^..4 _■ <5-357>
»(*-'-»"t».g>+wM+£+'w_,.+,- <"58>
Уравнения семейства (5.185) имеют очевидное решение y(z,0) = 0,
при /3 = 0. Принимая эти значения в (5.357) и (5.358), получаем решение
уравнения (5.356) в виде [211]
y(s,-l) = |, у(*,2) = -§. (5.359)
Далее, используя решения (5.359), из (5.357) и (5.358) находим решения
уравнения (5.356) при следующих значениях параметра (3
3 ..,_ 0,_3(*5-24)
z (z5 + 36)'
y(z,3) = -§, y(z, -3) = ) к , „„(, (5.360)
4 ( сл 5z4 (г5 + 216)
(210 - 108.гб - 5184)
у(*,-4) = § t/(z,5) = -/in ;_fi р;о4Ч. (5.361)
В случае п — 2 в (5.185) рациональные решения могут быть получены,
используя преобразования Бэклунда (5.341) и (5.342). Несколько первых
рациональных решений уравнения шестого порядка (5.185) имеют вид [211]
y(s,-l) = |, у(*,2) = -§, (5.362)
у(*,3) = -§, у(*,-3) = §, (5.363)

5.11. ДИСКРЕТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ АНАЛОГОВ 295
ч 4 (z7 + 1296) г
^■-4)%У-т8Г *'5) = -i' (5J64)
Найдем специальные решения уравнений семейства (5.185). Из (5.319)
получаем соотношение, связывающее семейства (5.184) и (5.185) в
виде [195]:
i+y)H»
у* - h2
-zy-l=[£+y)(Hn[u>]-z), (5.365)
Kdz
где в правой части (5.365) введено обозначение
w = Уг - \у2- (5.366)
Из (5.321) находим еще одно соотношение, связывающее семейства
(5.184) и (5.185) [211]:
(JL - 2у) Gk [-2yz - 2у2] -zy+l=(j--2y>) {Gk[F\ - z), (5.367)
где в правой части (5.365) принято обозначение
F = -2уг - 2у2. (5.368)
Соотношения (5.365) и (5.367) могут быть использованы при
нахождении специальных решений уравнений семейства (5.185). Из (5.365) и (5.367)
следует, что если и и F — решения семейств уравнений (5.184), имеющих
вид
Hn[uj)-z = 0, Gk[F\-z = 0, (5.369)
то решения уравнений Риккати (5.366) и (5.368) дают частные решения
уравнения (5.185) при /3 = — 1/2 и при /3 — 1.
Специальные решения семейства уравнений (5.185) при других
значениях параметров находятся по формулам (5.341) и (5.342).
Таким образом, семейство уравнений (5.185), также имеет
рациональные и специальные решения при целых и полуцелых /3.
5.11. Дискретные уравнения, соответствующие высшим
аналогам уравнений Пенлеве
В п. 2.14 было показано, что дискретное уравнение,
соответствующее Р2, может быть получено, используя преобразования Бэклунда.

296 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ
Найдем дискретные уравнения, соответствующие уравнению
семейства (5.183) при п = 2 [193]. Преобразования Бэклунда для решений
уравнения (5.183) могут быть записаны в виде:
2yzzz + 4yyzz - 2y2z - 12y2yz -6y* + z = 2a + / (5.370)
y(z,a)+y(z,a + l)
2Vzzz - lyyzz + 2y2z - I2y2yz +dy4-z= — -^-i -. (5.371)
y(z,a) + y{z,a- 1)
Для решений семейства уравнений (5.183) справедлива следующая
теорема.
Теорема 5.15. Пусть y(z,a — l) и y(z,a) — решения уравнения
(5.183), тогда имеет место соотношение
yz (z, a) - у2 (z, a) = -yz (z, a - 1) - у2 (z, а - 1). (5.372)
Доказательство.
Продифференцируем (5.371) и исключим yzzzz с помощью
уравнения (5.183). Исключая в получившемся выражении yzzz с помощью
(5.371) и приводя все слагаемые к общему знаменателю, получаем
выражение (5.372).
Теорема 5.16. Соотношение (5.372) сохраняется для решений всего
семейства уравнений (5.183).
Доказательство.
Доказательство проводится аналогично с помощью преобразования
Бэклунда (5.339) и (5.340).
Обозначим
y(z,a-2)=p, y(z,a-l) = h, y(z,a) = f, (5 373)
y(z,a+l)=£, 2/(z, a + 2) = г,
тогда сумма и разность соотношений (5.370) и (5.371) может быть записана
в виде:
4/_ - 24/2/г = ?^1 - ^±j, (5.374)
f+h f+g
8ffzz-4f*-12f4 + 2z=-?f^±-?£±±. (5.375)

5.11. ДИСКРЕТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ АНАЛОГОВ
297
Теорема 5.17. Пусть р, h, f, g, r — решения семейства (5.183), опре
деляемые формулами (5.378), тогда имеем соотношения:
~2 /2-л,
2ff/„
К
9z = 9
-. = -fzz - 2/Л + 253 - 2gf2
= -fzz + 2/Д - 2ft/2 + 2ft3 + 2fc/;
(5.376)
(5.377)
(5.378)
(5.379)
Доказательство.
Следует из теоремы 5.16.
Производя в (5.375) замену а —
шения для gvihB виде:
Sggzz - 4<?2 - 12<?4 + 2z +
Q + laa-ta-l, получаем соотно-
2а + 1 2а+ 3
f+9 9+r
8hhzz - 4ht - Ш4 +2z +
2а
3 2а
h+p f+h
= 0,
= 0.
(5.380)
(5.381)
Исключим gz и gzz из (5.380) с помощью (5.376) и (5.377) и
производные hz и hzz из (5.381) с помощью (5.378) и (5.379).
Далее исключим fzz из полученных выражений, принимая во внимание
уравнение (5.375), и умножим их на //(/ + д) и //(/ + h) соответственно.
В результате приходим к следующим двум уравнениям:
-4/г2-8/2/2
2а+ 1
+ :
8<?//;
(2а-1)/
4f-Sf3g + 2z+^l +
f + h
+
(2а + 3) /
f + 9 (f + h)(f + g) (f + g)(g + r)
0,
-4/22 + 8ffz + 8hffz - 4/4 - 8fh + 2z +
+
2a + 1 (2a + 1) /
+
(2a-3)/
2a-1
f + h
= 0.
+
(5.382)
(5.383)
f + 9 (f + h)(f + g) ■ (f + h)(h + p)
Вычитая (5.382) из (5.383), находим выражение для /;
fz =
1
8{2f + g + h)
2a+ 3
Sf(h-9) +
+
(f + 9)(f + h)
2a-3
(f+9)(9 + r) (f + h)(h + p)
(5.384)

298 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИИ ПЕНЛЕВЕ
Подставляя (5.384) в (5.382), получаем рекуррентную формулу для
решений уравнения (5.183) с различными значениями параметра а
/(/+«?) +
1
2f + g + h
2а -3
+
f(h-9) +
2а+ 3
4(/ + Л)(/ + 0)
-S2/2-
8(f + h)(h+p) S(f + g)(g + r)
г 2а + 1 0(2а-1) /(2а + 3)
(5.385)
2 4(/ + 5) 4(/ + $)(/ + Ь) 4(/ + 5)(5 + г) '
Следует заметить, что уравнение (5.385) имеет место для всех а, за
исключением а = -3/2, -1/2, 1/2, 3/2.
Подстановка (5.384) в (5.383) дает уравнение, аналогичное уравнению
(5.385). Однако вычисляя г при фиксированных р, ft, f и д с помощью
найденных рекуррентных соотношений, получаются два решения для г, одно
из которых не удовлетворяет уравнению (5.183).
Рекуррентная формула, позволяющая единственным образом
определять решение уравнения (5.183), может быть получена из уравнения (5.384)
и соотношения (5.376).
Эта рекуррентная формула связывает шесть решений уравнения (5.183)
и имеет вид:
f2(h-9) +
+ ■
2а + 3
4(/ + ff)(/ + fc) 8(/ + fl)(0 + r)
2а+ 3
+
8(/ + ft)(ft + p)
1
1
1
+
(2/ + 0 + Л) (20 + Г + /)
2а + 5 2а - 1
[02(/-г)+ (5.386)
4 (/ + <?)(<? +г) 8(<? + r)(r + cZ) 8(/+ $)(/ +ft)
= 0,
где d = у (z, а 4- 3). Уравнение (5.386) верно для всех а, за исключением
а - -5/2, -3/2, -1/2, 1/2, 3/2.
Это уравнение позволяет находить единственные решения d =
— у (г, а 4- 3) или р = ?/ (z, а — 2) по заданным пяти решениям
уравнения (5.183).

5.11. ДИСКРЕТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ АНАЛОГОВ 299
Полагая хп — у (z, ап), an+i = ап +1, получаем следующее
дискретное уравнение из уравнения (5.386).
2хп -\- xn+i -ь хп
— \х2п ( xn-i - xn+i j +
, 1 , 2скп + 3
4 (хп + xn+i) (xn + xn-i) 8 (жп 4- xn+i) (жп+1 + хп+2)
2ап-3 \ 1 х
8(хп +xn_i) (жп_1 + хп-2)) 2xn+i 4-arn+2 4-хп
< ( *n+i (^п ~ ^п+2) + 77 ; V7 1 \+
v 4(xn4-xn+i)(xn+i +xn+2)
2an + 5 2an - 1 \
0.
8 (xn+i 4- xn+2) (#n+2 4- #п+з) 8 (xn + xn+i) (xn + xn-i) /
(5.387)
Как и (5.386), это уравнение имеет место для всех ап, кроме ап =
- -5/2, -3/2, -1/2, 1/2, 3/2.
Уравнение (5.387) может быть использовано для поиска решения хп+з
уравнения (5.183) по заданным xn_2, xn_i, xn, хп+ъ xn+2-
Найдем дискретное уравнение, соответствующее уравнению (5.185).
Полагая в (5.185) п = 1, получаем следующее дифференциальное
уравнение четвертого порядка [177,211]:
У**** + byzyzz - byy2z - by2yzz +y5-yz-P = 0. (5.388)
Преобразования Бэклунда для решений уравнения (5.388) находятся
из (5.332) и (5.334) при п = к — 1. Они могут быть представлены в виде:
z - yzzz + yVzz ~ Ъу\ + 4y2yz -y*= m2"f . m, (5.389)
y{z,p)-y{z,2-(3)
z + 2yzzz + 4yy« + 3y2 - 2y2yz - y4 = 2^ + 1 -. (5.390)
-2/(z,/J) + 2/(z,-l-/3)
В (5.389) и (5.390) использовано обозначение у = y(z,(3). Докажем
следующую теорему.
Теорема 5.18. Пусть у (z,/3), y(z,2 - (3) и у (z, -1 - /3) — решения
уравнения (5.388); тогда имеют место равенства
yz (z, /?) - \ у2 (z, 0) = yx(z,2-p)-\ у2 (z, 2 - /3), (5.391)

300 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИИ ПЕНЛЕВЕ
yz (г,/3) + у2 (z, (3) = yz (z, —1 — /3) Ч- у2 (*, -1-0). (5.392)
Доказательство.
Продифференцируем (5.389) и (5.390), затем исключим yzzzz с
помощью уравнения (5.388). Исключая yzzz из получившихся вьфажений с
помощью (5.389) и (5.390) соответственно и проводя преобразования, приходим
к равенствам (5.391) и (5.392).
Исключая yzzz из уравнений (5.389) и (5.390), имеем
2^2 4 4 (/3-1)
»»--»г+'*.-«,+»+,(,(,,д_,(,-.,_д) +
2" + 1 =о, ^-i,i.
(5.393)
3(y(z,/3)-y(z,-l-P)) ' "^2'
Для упрощения выкладок введем следующие обозначения
f = y(z,(3), g = y(z,2-0), h = y(z,-l-0),
r = y(z,0-3), p = y(z,(3 + 3).
Соотношения (5.391) и (5.392) могут быть переписаны в виде
(5.394)
9z = fz- |/2 + \д2, (5.395)
hz = fz+f2-h2. (5.396)
Из (5.395) и (5.396) следует, что
9гг = fzz ~ ffz + gfz ~ \?9 + |ff3, (5-397)
& = fz - ffz + 92fz + \f4 - |/V + \g\ (5-398)
hzz = /„ + Viz - 2hfz - 2f2h + 2h3, (5.399)
h2z = f2 + 2/2Д - 2h2f2 + /4 - 2f2h2 + ft4. (5.400)
Соотношения (5.393) для f,g и ft принимают вид
2/Д, - Л2 + 2/2/г - /4 + г + |^ + \Ц±± = 0, (5.401)

5.11. ДИСКРЕТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ АНАЛОГОВ 301
2ggzz - д2 + 2g2gz -g* + z + ±^L± + l2Az± = 0, (5.402)
2hhzz -h2z + 2h2hz - h4 + z - | P^ + \ Щ±± = О. (5.403)
oh—p о f — h
Исключим gzz и hzz из (5.401) и (5.403). Принимая во внимание
(5.395)-(5.400), получаем
2gfzz - f2 + f2fz - 2gffz + 3g2fz + |/4 - §/V + \g4
./3-1 l2/3-5 Q <"°*>
2hf„ - /2 - 2ffz + 4Л/Д - /4 + г - §f±| + §^±I = 0. (5.405)
Подставим /гг из (5.401) в (5.404) и (5.405). Умножая получившиеся
выражения на f/(g — /) и f/(h — /) и //(/г — /) соответственно, приходим
к следующим соотношениям:
/?-(/- з5) /Л +|/4 - \?д + f/V + f/53 - * - | ^ -
12/3+1 (2/?+!)/ (2/3-5)/ _
3/-Л 3(/-p)(/-ft) + 3(/-p)(5-r) '
/22 + 2/2/г + /4-^-
,2 , о,2х , ,4 „ 4/9-1 2/3 + 1
3/-9 3(/-Л)
■ 4 /(/3-1) .4 /(/3 + 2) _
3(/-л)(/-а) + з(/-л)(л-р) •
Исключая /| из (5.406) и (5.407), находим /г:
/z = -т(/ + 5) -
(5.406)
(5.407)
4 9(/-9)2(/-/i)
/3 + 2 , 2/9-5
(5.408)
9if-h)(f-g)(h-p) 9(/-p)2(5-r)

302 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ
Подстановка (5.408) в (5.407) приводит к рекуррентной формуле для
решений уравнения (5.388) в виде:
92 fg 3,2 ■ 4 ,3 + 2
4 + 2 47 + 9 (f-h)(f- g) (h -p)
+
+
2/3-5
9(/-5)2 У~к
4 Н0-1)
-)F
2/3-1
3(/-Л)'
(5.409)
+
+ i
/(0 + 2)
3(/-ft)(/-^) 3(/-ft)(fc-p)
= 0.
Заметим, что уравнение (5.409) имеет место для всех /3, кроме /3 —
= -2, -1/2, 1, 5/0.
Уравнение, подобное (5.409), может быть получено подстановкой
(5.408) в (5.406). Однако, при вычислении величины г (или р) по заданным
/i,/,^H|? (или г), получаются два решения. Одно из них не удовлетворяет
уравнению (5.388).
Единственное решение уравнения (5.409) может быть получено с
помощью рекуррентной формулы, связывающей шесть решений этого
уравнения. Найдем такую рекуррентную формулу. Для этого сделаем замену
—/3 —> —/3 — 1 в (5.407), тогда производная hz будет иметь вид
2(3 + 7
4V 9{h-pf{h-f)
+
(3-1
2/3 + 7
(5.410)
9 (Л - /) (Л - р) U-9) 9 (Л - р)7 (р - d)'
где d — y(z, —(3 — 4). Принимая во внимание выражения (5.407), (5.410)
и соотношение (5.396), приходим к следующей рекуррентной формуле:
(5.411)
+
1
2/3-5
9(/-*)5L*-r /■
1
+
2/3 + 7
9(h-p)2
1
р-d f — h
3.
Уравнение (5.411) справедливо для всех /3, за исключением (3 —
= -7/2, -2, -1/2, 1, 5/2.
Отметим, что уравнение (5.411) инвариантно относительно
преобразования (3 —* —/3 — 1.

5.11. ДИСКРЕТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ АНАЛОГОВ
303
Производя замену /3 —► —/3 4- 5 в (5.401), получаем производную gz
в виде:
9z
\U+9?
2/3 + 1
Hf-9)2
1
f-h g-r
/J-4
V(f-9)(9-r)(r-q)
, (5.412)
где q = у (z, —(3 + 5). Принимая во внимание выражения (5.408), (5.412) и
соотношение (5.395), приходим к следующей рекуррентной формуле:
/
2 92
(3-4
3 (/ - д? L/ " Л 0 " г J 9 (/ - £) (д - г) (г - q)
8 /? + 2
+
+
9(/-<7)(/-Ж/*-р)
0. (5.413)
.1 1 5 4
2' ' 2'
Уравнение (5.412) имеет место для всех /?, кроме /3 = -
Это уравнение инвариантно относительно преобразования /? —» —/? + 2.
Из-за положительных и отрицательных значений параметра /? не
удается непосредственно ввести одно дискретное уравнение с помощью (5.411)
или (5.412) подобно тому, как это было сделано выше.
Полагая уп = у (z, /Зп), хп = 2/ (я, -/?п - 1), /3n+i = /?п 4- 3, можно
получить систему дискретных уравнений из (5.411) и (5.412) в виде:
2 2
2/п ~ хп-1
-Л (_± + 1 ) +
п — Xn-i)2 \Уп-1 #п-5 Уп XnJ
3(г/п -жп-1)
+
/?»-4
8
9 (г/п_! - хп_2) (г/n-i - sn-i) (2/n - xn-i)
8 /?п + 2
(5.414)
9 (2/п - ^n-l) (Уп - Хп) (2/п+1 - Хп)
9,
2/п - жп + 4 ^n+1 + Хп^2 ~ \ (Уп + Хп-!)2 +
3 (уп - xn-i) (Уп ~ хп) (г/n+i - хп)

304 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ
Эта система уравнений справедлива для всех /Зп, кроме /Зп = -7/2,
—2, —1/2, 1, 5/4, 4. Система уравнений (5.414), (5.415) может быть
использована для поиска решений yn+i и xn+i при фиксированных
#п-2> #п-Ъ хгы Уп-1 И уп.
Таким образом, для высших аналогов уравнений Пенлеве (5.183)
и (5.185) находятся соответствующие дискретные уравнения, как и для
обычных уравнений Пенлеве.
5.12. Задачи и упражнения к главе 5
1) Доказать, что решения уравнений четвертого порядка (5.55), (5.56) и (5.57)
являются существенно трансцендентными функциями относительно постоянных
интегрирования.
2) Используя алгоритм Конта - Форди - Пиккеринга, показать, что локальные
разложения решений уравнений (5.54), (5.55), (5.56) и (5.57) при отрицательных
индексах Фукса содержат четыре произвольных постоянных.
3) Доказать теорему 5.3 для уравнений (5.54), (5.56) и (5.57). Оценить радиус
сходимости решений в ряд Лорана.
4) Доказать неприводимость уравнений (5.54), (5.55), (5.56) и (5.57).
5) Найти разложения решений уравнений шестого порядка (5.153), (5.159)
и (5.181) в ряд Лорана. Показать, что эти уравнения обладают свойством
Пенлеве.
6) Доказать, что решения уравнений (5.153), (5.159) и (5.181) являются
существенно трансцендентными функциями относительно постоянных интегрирования.
7) Найти пару Лакса для всего семейства модифицированного уравнения Корте-
вега - де Вриза (5.183).
8) Найти пару Лакса для уравнений семейства (5.185) и семейства уравнений
(5.184) при п^ 2.
9) Показать, что уравнение (5.264) обладает свойством Пенлеве.
10) Найти преобразования Бэклунда для решений семейства уравнений (5.263).
Используя полученные преобразования, найти рациональные и специальные
решения уравнений семейства (5.263).
11) Найти преобразования Бэклунда для решений семейства уравнений (5.274).
Найти рациональные и специальные решения уравнения (5.274) при т = 2.

5.12. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 5 305
12) Найти преобразования Бэклунда для решений уравнения (5.285).
13) Доказать, что уравнения (5.54) и (5.55) не имеют рациональных и специальных
решений.
14) Используя квадратичный потенциал (5.277), найти уравнения шестого порядка
при и(Х) = 2о;о, о;(А) = 2о;оА, о;(А) = 2о;оА2.
15) Используя замену переменных <р — V7"1» показать эквивалентность формул
(5.294) и (5.296).
16) Найти представления решений высших аналогов уравнений Пенлеве через
целочисленные функции.
17) Доказать, что решения высших аналогов уравнений Пенлеве не имеют
существенно особых подвижных точек.
18) Решить задачи Коши для высших аналогов уравнений Пенлеве, используя их
представления в форме пар Лакса.
19) Найти дискретные уравнения Пенлеве, соответствующие уравнениям (5.54)
и (5.55).
20) Найти гамильтонианы, соответствующие высшим аналогом уравнений
Пенлеве.

Глава 6
МЕТОД ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ И
МЕТОД ХИРОТЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ
УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА - ДЕ ВРИЗА
6.1. Задача Коши для уравнения Кортевега - де Вриза
Уравнение Кортевега - де Вриза
щ - 6иих + иххх = О (6.1)
может быть представлено в виде системы двух линейных уравнений
относительно новой функции Ф (ж, t} А) — так называемой пары Лакса [215]
Фж* + (А - и) Ф = 0, (6.2)
Ф* + Ъххх - 3 (А + и) Фж - С (t) Ф. (6.3)
Система уравнений (6.2), (6.3) эквивалентна уравнению (6.1) в том
смысле, что исключение Ф (ж, £, А) из (6.2), (6.3) приводит к
уравнению (6.1).
Пусть для уравнения (6.1) требуется решить задачу Коши
u(x,t = Q) = f(x). (6.4)
Далее будет показано, что функцию /(ж) в (6.4) следует выбирать так,
чтобы
/
(l + |x|) \f(x)\ dx<oo. (6.5)
— СО
Уравнение (6.2) совпадает со стационарным уравнением Шредингера,
если предположить, что
2тЕ e 2mU(x)

6.2. ПРЯМАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ
307
где т — масса частицы, Е — ее энергия, h — постоянная Планка, U(x) -
потенциал [67].
Метод решения задачи Коши (6.4) при условии (6.5) для уравнения (6.1)
(и для многих других уравнений) получил название метода обратной задачи
рассеяния [1,28,29].
6.2. Прямая задача рассеяния
Вначале обсудим прямую задачу рассеяния, хорошо известную из
квантовой механики [67].
Задача состоит в том, что при заданном потенциале U (х) таком, что
U (х) < 0 и U (х) —> 0 при х —* ±ос требуется найти собственные значения
и собственные функции задачи
£Ф = ЛФ (6.7)
для оператора Шредингера:
L=-£^ + U(x). (6.8)
Сформулируем несколько предложений [28].
Предложение 6.1. Уравнение (6.7) при U (х) < 0 и Л > 0 имеет
непрерывный спектр собственных значений, а при min U (х) < Л < 0 имеет
дискретный спектр.
При Л < 0 все состояния частицы при заданном потенциале являются
связанными, и спектр отрицательных собственных значений — дискретный.
При Л > 0 движение частицы может рассматриваться как свободное.
Положительные собственные значения соответствуют инфинитному
движению и образуют непрерывный спектр. Уравнение Шредингера при этом
не имеет решений таких, что интеграл / |Ф| dx сходится. Далее вместо
энергии Л будет иметь в виду импульс: Л = к2.
Известно, что количество собственных значений дискретного спектра
может быть бесконечным и они могут накапливаться в окрестности точки
со
Л = 0. Исключим этот случай, предполагая, что / (1+|ж|) |С/(ж)| dx < оо.
—со
Это приводит к ограничению (6.5) на начальное условие f (х).
Непрерывному спектру в (6.7) соответствуют вещественные
значения к, а дискретному — чисто мнимые значения.

308 ГЛАВА 6. МОЗР И МЕТОД ХИРОТЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КДВ
Уравнение (6.7) имеет фундаментальную систему решений Ф1, Ф2 с
очевидными асимптотиками:
при х —> +оо
Фг (ж, /с) = ехр (-гкх) + о (1),
(6.9)
Ф2 (ж, /с) = ехр (г/сж) 4- о (1);
при х —> —ос
y?i (х, /г) = ехр {—гкх) + о (1),
(6.10)
<£2 (ж, fc) = ехр (гкх) 4- о (1).
Предложение 6.2. Для функций Фг (ж, /с), Ф2 (ж, &), y>i (ж, /с) и <р2 (х, к)
справедливы соотношения:
Фх (ж, fc) - Щ (ж, /г) = Ф2 (ж, -fc), (6.11)
<pl (ж, /с) = (^2 (Ж, /с) = <р2 (Ж, -/с) , (6.12)
где Щ (х? &) и ^2 (ж> &) - функции, комплексно-сопряженные с Ф1 (ж, к)
и <pi (ж, к).
Доказательство.
Пусть Фг и \&2 — решения уравнения (6.7), тогда, переходя в уравнении
<Р*1 , гг,т, _ 1.2.
г/ж2
+ U4?! = к'Фг
к комплексо-сопряженным значениям, получим, что Ф£ — также решения
уравнения. Поскольку вторым решением уравнения является Фг (ж, —/с),
то \&2 (ж, —/с) = #2 (х> &)• Равенство (6.12) доказывается аналогично.
Уравнение (6.7) имеет два линейно независимых решения, и поэтому
любое его решение можно представить в виде линейной комбинации
4>(х,к)=а (к) Ф (ж, к) + Ъ (к) Ф* (ж, к), (6.13)
4>*(х, k) = c(k)9(x, fc)+d(fc)**(s, к). (6.14)
Сравнивая (6.14) с равенством
<р* (ж, fc) - a* (fc) Ф (ж, к) + 6* (к) Ф (ж, /с),
комплексно-сопряженным с (6.13), получаем соотношения:
d(k) = a*(k), с(к) = Ъ*(к). (6.15)

6.2. ПРЯМАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ 309
Введем вектор-функции
*=(£0' #=(**)- (6Л6)
Тогда (6.13) и (6.14) можно представить в виде
<р(х, к)=ТФ(х, /с), (6.17)
где матрица Т имеет вид
а {к)
Ъ*(к)
Ь{к) \
(6.18)
Матрица Т называется матрицей перехода и характеризует рассеяние
плоской волны на потенциале U (х) при ее распространении из х —* +оо
в х —> — оо.
Предложение 6.3. Определитель Вронского любой пары линейно
независимых решений Д и /2 уравнения (6.7) не зависит от х.
Доказательство.
Определитель Вронского двух решений j\ и /2 имеет вид
ИЧ/ь/2НЛ§£-/2§£. (6.19)
Если /i и /г - решения уравнения (6.7), то справедливы равенства
(6.20)
(Pf2
dx2
+1//2 = k'f2.
Умножая первое равенство в (6.20) на /2, а второе на f\ и вычитая,
получаем
Откуда имеем
Л§-а£-«-. (6.2.)

310 ГЛАВА 6. МОЗР И МЕТОД ХИРОТЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КДВ
С учетом асимптотик (6.9), (6.10) для уравнения (6.7) находим
W{fuf2) = 2ik. (6.22)
Предложение 6.4. Матрица перехода Т унимодулярна, т. е. \т\ = 1.
Доказательство.
Из (6.13), (6.14) имеем
W(<p, tp*) = (|а|2 - \Ь\2)(фф* - ф*Фх) = 2ik(\a\2 - \Ь\2).
Поскольку W((p, (p*) — 2ik, то
(|а|2 - |6|2) = 1. (6.23)
Из (6.13) имеем
Принимая во внимание асимптотики ф(х, к) и ф*(х, к) при х —> +оо,
получаем
■■ exp(-ikx) + r(k) ехр(г/сх) 4- о(1). (6.25)
а[ К)
Первое слагаемое в (6.25) соответствует прошедшей волне, а второе —
отраженной, поэтому отношение:
„ч Цк)
называется коэффициентом отражения.
Поскольку при х —► — оо имеем
(р(х, к) ^ ехр(-г/сх), (6.27)
то прошедшая волна может быть представлена в виде
,' = -утт exp(-ifcx) = *(*;) ехр(-г/сх). (6.28)
Коэффициент t{k) = 1/а (/с) называется коэффициентом прохождения.
Предложение 6.5. Сумма квадратов модулей коэффициентов
отражения и прохождения равна единице.

6.2. ПРЯМАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ 311
Доказательство.
Доказательство следует из (6.23).
Разделив на \а\ , имеем
\t(k)\2 + \r(k)\2 = 1. (6.29)
Предложение 6.6. В коэффициенте отражения г (к) содержится вся
информация о непрерывном спектре матрицы Т.
Доказательство.
Пусть коэффициент г(к) известен, тогда из (1.33) имеем
М2-|г|ам2 = 1.
Откуда
\а{к)\2 = {1-г2{к))-\ (6.30)
Из (6.30) следует, что по модулю г(к) однозначно находится модуль
а(к)9 а из Ь(к) — г(к)а(к) находится модуль Ь(к).
Покажем, что при Im к > 0 и при заданных нулях функции а (к)
находится аргумент а (к).
Введем функцию а\ (к)9 аналитичную в верхней полуплоскости и не
имеющую в ней нулей:
Очевидно, что
|01(Л)| = |о(Л)|. (6.32)
В соответствии с интегральной формулой Коши
оо
/(О
'<*> = £/
Z-z
d4, lmz > 0
имеем
оо
F(z) = J- / ^-dz'. (6.33)
гтг J z' -z

312 ГЛАВА 6. МОЗР И МЕТОД ХИРОТЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КДВ
Здесь 4- имеет смысл главного значения интеграла. Из (6.33) следует,
что
т тп/ ч if ReF(z') , ,
lmF(z) = -± j z,_z}dz'. (6.34)
— oo
Поскольку
In a\ (k) = In \ai (k) | + г arg аг (к), (6.35)
то
oo
a4Se1(*) = 4/*^dfc'. (6.36)
—oo
Из (6.31) следует, что
N , .
lnai (fc) - lna(fc) + ^ln _%. (6.37)
n=i * гХп
Принимая во внимание формулу
In а (к) = \п\а(к)\ + г arg а (/г),
из (6.37) имеем
N , .
lnai (к) - У2 ^IT-^ = ln ltt (fc)l + * arga (/с). (6.38)
n=i * гХп
Откуда приходим к формуле, позволяющей восстановить arg а (к) в
виде
П-1 -ОО
Дискретный спектр оператора Шредингера — простой
Хп = к2п = -х2п, (6.40)
и все решения, соответствующие дискретному спектру, получаются из
какого-либо одного решения, умноженного на постоянное число.

6.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ВИД УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 313
Если асимптотику волновой функции при х —► — оо взять в виде
<р(п) (х) = ехр (Хпх) 4- о (ехр (Хпх)), (6.41)
то при х —► +оо имеем волновую функцию в виде
(ркп) (х) = Ьп ехр (хпж) + о (ехр (~Хпх)). (6.42)
Собственные функции, соответствующие дискретному спектру, как и
собственные значения, — вещественные.
Пронумеровав собственные значения Ап в порядке возрастания
Ai < А2 < ... < Ап < 0, (6.43)
где Ai — энергия основного состояния, и предполагая, что у/1) (х) —
волновая функция, соответствующая этому состоянию, не имеющая нулей при
х G ]—оо, оо], получаем, что <р^ (х) имеет п — 1 нулей, согласно осцилля-
торной теореме [67].
Поэтому
Ь„ = (-1)П"1|Ь„|. (6.44)
Определение 6.1. Совокупность величин
S = {r(fc),x»,|b»l,^ = l,...,JV} (6.45)
называется данными рассеяния.
Результатом прямой задачи рассеяния при заданном потенциале U (х)
является отыскание данных рассеяния г(к), Хп> |М> полностью
определяющих спектр задачи (6.7).
6.3. Интегральный вид стационарного уравнения
Шредингера
Стационарное уравнение Шредингера (6.7) можно записать в виде
системы уравнений
(6.46)
ах

314 ГЛАВА 6. МОЗР И МЕТОД ХИРОТЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВДВ
Если ввести вектор-функцию
Ч5)-С).
то (6.46) запишется в виде уравнения
dY
dx
+ BY = U&Y,
где матрицы В и а определяются выражениями:
*<*>-(!. о1). »-(!
Решение уравнения (6.48) имеет вид
У (ж, к) = е~йхс(х, /с),
где
О О
О
(6.47)
(6.48)
(6.49)
(6.50)
с(х, fc) = f (х0> fc)е-6(ж-Ж0> + fu{£)е-д{-х-®&?(£, Л)d£. (6.51)
Справедливо утверждение.
Предложение 6.7. Пусть J — единичная матрица 2 х 2, В (к) —
определенная выше матрица, тогда
еВх = J cos kx -\- -В sin /ex.
/с
(6.52)
Доказательство.
Доказательство соотношения (6.52) проводится путем сравнения
правой и левой частей (6.52) при разложении в ряд Тейлора.
С учетом (6.52), уравнение (6.50) можно представить в виде
Y (ж, к) =
X
Ju(0
Icosk(x — xq) — —В (к) sin к (х — хо)
Y(x0, *) +
+
Icosk(x -€)-уВ (к) sink(x - £)
к
c?{Z,k)dZ.
(6.53)

6.4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ 315
Поскольку Y\ (х, к) — Ф (х, к), то
Ф (х, А:) = Ф (хо, /г) cos к (х — хо) -f — sin & (х — хо) х
dx
Хо
+ £yV(Oeinfc(a;-0*(£,fcK
При хо —► +оо из (6.54) имеем
со
Ф (х, к) = e~ikx -т [u(0 sin к (х - £) Ф (£, Л) d£. (6-55)
X
В случае хо —► — оо из (6.54) получаем
X
<р (х, к) = e~ikx + I /" С/ (О sin fc (s - О V К, *) <%. (6.56)
— со
Уравнения (6.55) и (6.56) являются интегральными представлениями
стационарного уравнения Шредингера.
6.4. Аналитические свойства амплитуды рассеяния
В теории рассеяния широкое распространение имеют функции,
определяемые формулами
Х-(х, к) = (р(х, k)eikx,
Х+(х, Л) = Ф(ж, fc)eite,
ikx (6.57)
удовлетворяющие граничным условиям
lim = (р (х, к) егкх = 1,
Ж ИпГ = Ф (х, /с) eto - 1. (6*58)
ж—+оо v '
Используя (6.57), из уравнений (6.53) и (6.56) получаем интегральные
уравнения для х- (#, &) и х+ (ж, Л) в виде:
Х-(х,к) = 1+ J U (О ^ _ iX- (ж, fc) de, (6.59)

316 ГЛАВА 6. МОЗР И МЕТОД ХИРОТЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КДВ
оо
/p2ik{x-Z) _ 1
U (О ^ '*+ & к)«• (6-60>
X
Из (6.59) следует, что в силу ограниченности показательной функции
при \тк > 0, функция х- (х-> &) может быть аналитически продолжена
на верхнюю полуплоскость комплексной переменной к. Аналогичные
соображения позволяют установить, что х+ (#» к) может быть аналитически
продолжена на нижнюю полуплоскость.
При к —> +оо из (6.60) имеем
оо
Х+ (х,к) = 1 + 1 ^§^ + о (j^j . (6.61)
X
Из аналитичности х- (ж, &) при Imfc > 0 следует аналитичность
<р (х, /г) при Im А: > 0.
Предложение 6.8. Функция а (/с) аналитична при Im к > 0 и имеет
асимптотику
а(*) = 1+о(-д), при |fc| —> оо. (6.62)
Доказательство.
Поскольку
<р (х, /с) = a (fc) Ф (х, к) + 6 (/с) Ф* (х, fc),
то
W («р, ф*) = ^ ф* - ф V* = a (Ф Ф* - Ф*ФХ) - 2гка (к). (6.63)
Откуда получаем
а(к) = ±(<рП-**<рх). (6.64)
Аналогично находим
ЩФ, <p*) = 2ifcft(fc),
и поэтому
Из (6.64) следует, что а (к) аналитична в верхней полуплоскости и
имеет асимптотику (6.62).
Предложение 6.9. Точки верхней полуплоскости, в которых а (кп) — О,
(п = 1, ..., N), образуют дискретный спектр оператора Шредингера.

6.4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ 317
Доказательство.
Из (6.64) следует, что если а (кп) = 0, то
(р(х, кп)%(х, кп) = Ф*(ж, кп)<рх(х, кп). (6.66)
Из (6.66) получаем
<р (х, к„) = ЬПФ* (ж, Avi) • (6.67)
Функция <р(х, кп), в соответствии с определением, экспоненциально
убывает при к —> — оо и совпадает с асимптотикой собственной функции
оператора Шредингера, и, следовательно, <р (ж, fcn) является собственной
функцией оператора L, соответствующей собственному значению к\.
Предложение 6.10. Нули a (fc) лежат на мнимой оси, т. е. кп —
вещественны.
Доказательство следует из самосопряженности оператора Шредингера.
Предложение 6.11. Нули а (к) — простые.
Доказательство.
Покажем, что
ак(кп) = ^^-^0. (6.68)
Дифференцируя обе части уравнения (6.7) по к, получаем
-<Рххк 4- U<fk = 2к(р 4- k2(fk. (6.69)
Умножая (6.7) на ipk, a (6.69) на у? и вычитая одно из другого, имеем
+оо -foo
/ (<Рхх<Рк - <Pxxk<p)dx = 2k (f2dx.
Откуда
W (у>, Ы1-~ = -2к J y2dx. (6.70)
С другой стороны, из (6.63) получаем
W(<рк, Ф*)|ж=00 +W(<р, П)\х=оо = 2i*a*. (6-71)

318 ГЛАВА 6. МОЗР И МЕТОД ХИРОТЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КДВ
Поскольку
<р (я, кп) = 6ПФ* (х, кп), (6.72)
то из (6.70) и (6.71) имеем
+оо
bnW (Ф*, Vfe)lcx, -^ fo ^)1-оо = -2* / Л (6.73)
— оо
bnW (^ Ф*)|те + Ь2п W (Ф*, Ф^и^ = 2i*ft„afc. (6.74)
Складывая (6.73) и (6.74) и учитывая, что
W(qr,<pk) = -W(<pk,W), (6.75)
Ь^(Ф*,ФЛ)|_оо-^(^,Ы|_оо = 0, (6.76)
приходим к соотношению [22]:
+оо
ibnflfe = / <p2dx. (6.77)
— оо
Отсюда следует, что а& ^ 0 при к — кп.
6.5. Уравнение Гельфанда - Левитана - Марченко
Соотношение (6.13), после умножения на ехр (iky) /а (к), примет вид
*У '\ Ф (ж, fc) е'** + г (к) Ф* (ж, fc) е'Ч (6.78)
а (к)
После интегрирования обеих частей по к, имеем
со оо оо
/(pl7k)>>eikydk = Iф^fe)eiky+1r(fe)ф*(х'fc)e<fctfdfe" (6Л9)
—оо —со —со
Интеграл в левой части (6.79) вычисляется, как
00 N

6.5. УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬФАНДА - ЛЕВИТАНА -г МАРЧЕНКО 319
Поскольку
(р (ж, гхп) = ЬПФ* (ж, гхп) = &п^ (ж, - г'Хп),
то (6.80) можно записать в виде
N
J а (к) f=i
6ПФ„ (ж, -гхп)
-ХпУ
(6.81)
(6.82)
1 (*0 ^=1 а* (гхп)
-оо п-1
Введем новую функцию if (x, у) в соответствии с формулой:
оо
Ф (х, к) = e~ikx + J К(х, у) e-ikydy, (6.83)
X
тогда выражение (6.82) примет вид
ОО д|- ОО
Г Щк)_егкУ(1к = ^ у bne^v r [K{ z)e-XnZ dz]
J a (k) f-J ак (гХп) L J
С другой стороны, из (6.79) имеем
оо оо Г оо
J f^Le^dk = J е*у L-ikx + jK(Xi z)
(6.84)
)e~ikzdz
dk+
+ / eikyr (ft) eikx + f K(x, z)eikzdz dk =
— oo L x J
oo oo
= 2тг J К (x,z)5(y- z)dz+ f r (k) eik{y+x)dk+
X — OO
oo Г oo "1
+ IК (x, z)\ I r (k) eik(z+y)dk
(6.85)

320 ГЛАВА 6. МОЗР И МЕТОД ХИРОТЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КДВ
Приравнивая правые части (6.84) и (6.85), получаем
N h 7 °° h
ОО
= 2тгК(х, у)+ f r(k)eik(y+xUk+
— ОО
оо Г оо
4- f K(x,z)\ f r{k)eik{z+y4k
Пусть F (х) — выражение, содержащее данные рассеяния:
N _ °°
F(x) = y Ke,Xn\ + j- [ r(k)eikxdk,
n~L -оо
тогда уравнение (6.86) можно представить в виде
оо
F(x + y)+K(x, у)Л- IK(x, z)F(z + y)dz = 0.
(6.86)
(6.87)
(6.88)
Уравнение (6.88) было получено И.М. Гельфандом, Б.М. Левитаном и
В.А. Марченко [1,13,28]. Оно позволяет по известным данным рассеяния
находить К (ж, у) из линейного интегрального уравнения (6.88).
Используя (6.83), имеем
оо
X+(x,k) = l + JK(x, у)e***-v)dy =
X
>(i)
(6.89)
1-±.К(х,у)е*«*-у)
Поскольку при у —* ос
l-K(x,y)eik<*-v)-+o,

6.6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ КДВ
321
то
X+(*,fc) = l + ^lT(a:,x). (6.90)
Сравнивая (6.61) и (6.90), имеем
К (x,x) = \jv {£)<%, (6.91)
X
откуда получаем выражение:
U (х) = -2-^-К (ж, х), (6.92)
позволяющее по известной функции К (х, у) найти потенциал U (х).
Таким образом, зная данные рассеяния (6.45), можно построить
функцию F (х), а затем после решения линейного уравнения (6.88) найти ядро
К (х, у) и далее по формуле (6.92) потенциал.
6.6. Интегрирование методом обратной задачи рассеяния
уравнения Кортевега - де Ври за
Пусть требуется решить уравнение (6.1) при начальном условии (6.4),
удовлетворяющем условию (6.5). Решая задачу на собственные функции и
собственные значения (6.2) при известном начальном условии (6.4), можно
найти данные рассеяния в начальный момент времени 5 (t = 0). Из
уравнения (6.3) при этом находится зависимость данных рассеяния от времени
в соответствии с теоремой [155].
Теорема 6.1. Пусть и (х, t) удовлетворяет уравнению Кортевега -
де Вриза (6.1), тогда данные рассеяния, соответствующие системе
уравнений (6.2) и (6.3), имеют следующее зависимости от времени
(1) An(t)=An(0), (6.93)
(2) r(fc, t) = r(k, 0)ешН, (6.94)
(3) Ъп (t) = bn (0) е8** <; (n = 1, ..., N). (6.95)
Доказательство.
Пусть при заданном / (х) из решения (6.3) найдена совокупность
данных рассеяния
Sn (0) - {Ап (0); г (к, 0); МО); (п = 1, ..., N)} . (6.96)

322 ГЛАВА 6. МОЗР И МЕТОД ХИРОТЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КДВ
Доказательство (6.93) следует из постоянства Л в системе уравнений
(6.2) и (6.3).
Волновая функция в системе уравнений (6.2) и (6.3) зависит от
времени:
(р (ж, k,t) = a (к, t) Ф (ж, k,t) + b (/с, *) Ф* (ж, к, t), (6.97)
откуда при ж —► +оо получается асимптотика
tp (ж, k,t) = a (к, t) e~ikx + 6 (/с, t) eto + о (1). (6.98)
Подставляя (6.98) в уравнение (6.3) и приравнивая выражения при
одинаковых показательных функциях, имеем уравнения:
а + 4г/с3а - са = О,
&-4^3&-c& = 0. (6"}
Из решения (6.99) получаем
r(*,*) = ^4=r(*,0)e"fc3*. (6.100)
а (/с, £)
Аналогично доказывается и соотношение (6Ло).
Таким образом, если по заданному начальному условию / (ж) найдены
S (t = 0), то с течением времени S (t) имеет следующие зависимости:
S (t) = {г (к, 0) еЫкЧ', Хп (0); Ъпе8^ (п = 1, ..., N)} . (6.101)
Функция, определяемая через данные рассеяния, в данном случае
зависит от времени
F (я t) = y °nWe + J_ r{k 0) eikx^k4dk (6 102)
~ «a* («xn) 27Г У
n_1 -oo
Решая линейное интегральное уравнение (6.88) с учетом (6.102) и находя
из него К (ж, ?/, £), получаем решение уравнения Кортевега - де Вриза по
формуле
и (ж, t) = -2#-# (ж, ж, t). (6.103)
В этом и состоит суть алгоритма метода обратной рассеяния для
решения задачи Коши уравнения Кортевега - де Вриза.

6.7. РЕШЕНИЕ КДВ ДЛЯ БЕЗОТРАЖАТЕЛЬНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ 323
Таким образом, на первом этапе при известной зависимости / (ж)
находятся данные рассеяния S (t = 0). На втором этапе в соответствии с
теоремой 6.1 записываются данные S (t). Третий этап состоит в составлении
выражения (6.102). Четвертый этап состоит в решении уравнения Гельфан-
да - Левитана - Марченко и в нахождении К (х, у, t). На пятом этапе
находится решение уравнения КдВ по формуле (6.103).
6.7. Решение уравнения Кортевега - де Вриза в случае
безотражательных потенциалов
Решение уравнения Кортевега - де Вриза методом обратной задачи
рассеяния упрощается в случае безотражательного потенциала, когда
г (к, t) = r(k, 0) = 0. (6.104)
Отсюда следует, что
|fe(fc, t)\ =0, \а(к, t)\ = 1
и, следовательно, а (к, t) как следствие выражается формулой [28]
"(мнП^тй^ (6Л05)
когда спектр определяется лишь положением полюсов на мнимой оси.
Из (6.7), очевидно, находится а^ (iXn)> и функция F (ж, t) имеет вид
N N
F (ж, t) = Y °?—^e-Xnx+Sx3nt = у -ХпХ+8х3^ (6Л06)
где 7п = . ЬГ. л > 0.
гак (гХп)
Уравнение (6.88) в этом случае примет вид
N
Y, 7пе-*"(ж+1/)+8х^ + К (ж, у, t) +
п=1
N у
+ Л ^ / е-^+^&К (ж, г/, t) dz = 0,
п=1 ~
(6.107)

324 ГЛАВА 6. МОЗР И МЕТОД ХИРОТЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КДВ
или
N N
]Г Гпе-*»<*+*> + К (х, 2/, t) + JT Гпе-х^ / е"*^ (у, z, t) dz = 0,
71=1 71=1 *
(6.108)
где
r„(*) = 7»e8xi*. (6.109)
Будем искать решение К (х, у, £) в виде
N
К(х, у, t) = £#„(*, i)e~XnV- (6Л1°)
n=l
Тогда, подставляя (6.110) в (6.108), имеем систему алгебраических
уравнений:
N N
]Г Г„е-*»<*+*> + J2 К™ & 1) е~ХпУ+
п=1 п=1 }
+ ]Г Г-е_Хп1/ Е К™ (*> *) v lv e-fa"+^)« = 0.
i™ *-^ Хп "Г Хт
71=1 771=1
Откуда, после сокращения на е~ХпУ, имеем для Кп (х, t) уравнение:
N г
1 ' ' ^ V ;Хп + Хт (6.112)
т=1 v '
= -Гпе-*~х, (n = l,...,N).
Введем матрицу А (х, t) с элементами
Апт (х, t) = Snm + *> e-fa.+xm)^ (6Л 13)
Хп г Am
и, по известному правилу Крамера, полним решение системы уравнений
(6.112):
*.„,,)_*££«> (6.И4)
det A (x, £)

6.7. РЕШЕНИЕ КДВ ДЛЯ БЕЗОТРАЖАТЕЛЬНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ 325
где Ап (ж, t) — матрица, полученная из А(х, t) заменой в ней ее n-го столбца
правыми частями (6.112).
Учитывая (6.114), из (6.110) имеем
г, / ч v^ det Ап (ж, t) v „
к^у^) = ^-^лШе ■ (6Л15)
Полагая у = ж в (6.115), находим
Кп (Ж' *' *} = det Ac t) £ det Л" (*' *> е~Х" =
det Л (ж, tjn=1 (6116)
= Jr~ In det А (ж, £).
аж v ' /
Таким образом, решение уравнения Кортевега - де Вриза в случае
безотражательного потенциала имеет вид [28]
и (ж, t) = -2-^ In det А (ж, t), (6.117)
где матрица А (ж, t) в соответствии с (6.113) имеет элементы
Ап,т (х, t) = 6пт + ^ е-(х°+х-)д+8^'. (6.118)
В случае одного элемента из (6.118)
Лм (z, t) = 1 + jgT> ^е-2^+8^'
выражение (6.118) дает односолитонное уравнение Кортевега - де Вриза
и{х, t) = -2X2ch~2 {Х (ж - 4XlT) +(ро} , (6.119)
где постоянная (fo определяется через j и х
Для матрицы Л (ж, £) размером 2 х 2 с элементами (6.118) получаем
двухсолитонное решение уравнения Кортевега - де Вриза.

326 ГЛАВА 6. МОЗР И МЕТОД ХИРОТЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КДВ
6.8. Оператор Хироты и его свойства
Эффективные прямые методы для нахождения солитонных решений
были разработаны Р. Хиротой в начале 70-х годов двадцатого века. Эти
методы применимы для всех точно решаемых уравнений. Алгоритм методов
состоит в том, что на первом этапе ищется замена зависимой переменной,
позволяющая привести исходное уравнение к так называемой билинейной
форме. На втором этапе решение уравнения в билинейной форме ищется
в виде формального ряда теории возмущений. Для точно решаемых
уравнений эти ряды обрываются. На третьем этапе делается предположение о
виде солитонного решения уравнения и методом математической индукции
доказывается формула для солитонного решения.
Метод Хироты, как правило, иллюстрируется на примере уравнения
Кортевега - де Вриза, и мы будем следовать этой традиции. Поскольку нуль
является тривиальным решением уравнения Кортевега - де Вриза, то в
преобразовании (3.202) можно положить U2 — 0. При этом преобразование
примет вид [1,78,95,157,170-172,255]
u^2d2\nZ (6.120)
дх2
Подставляя (6.120) в уравнение
щ + 6иих + иххх = 0, (6.121)
после интегрирования по х получаем уравнение Кортевега - де Вриза в
виде:
^хх^ ^x^t г ££хххх ^^х^ххх + 3Z'X = 0. (6.122)
Р. Хирота назвал уравнение (6.122) билинейной формой уравнения
Кортевега - де Вриза.
Введем оператор в соответствии с формулой [95]
D-D?ab= (JL - JLy (| _ 0 a{x, t) Ня>, t>)
' t' = t
(6.123)
который будем называть оператором Хироты.
Предложение 6.12. Для оператора (6.123) справедливы следующие
соотношения [95]:

6.9. НАХОЖДЕНИЕ СОЛИТОНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ КДВ 327
L D>1=P' ^6Л24)
2- D™ab = (-l)m D™ba, (6.125)
2a- D™aa = 0, m = 2k + 1, (6.126)
3- £>™a6 = D™-1 (аж6 - abx), (6.127)
За- D™aa = 2D™-1axa, m = 2k, (6.128)
зб- DxDtaa = 2Dxata = 2Dtaxa, (6.129)
4. nronn kii-uit kix — шг*'
(6.130)
Доказательство.
Перечисленные свойства устанавливаются прямо из определения
оператора Хироты посредством несложных вычислений. Указанные свойства
удобны при использовании оператора (6.123) для решения нелинейных
уравнений в частных производных.
Предложение 5.13. Уравнение (6.122) можно записать в виде
(DxDt + Di)ZZ = 0. (6.131)
Доказательство.
Поскольку
(6.132)
DxDtZZ = Dx (ZtZ - ZZt) = 2 (ZxtZ - ZxZt)
Dt ZZ = 2 [ZXXXZ — 3ZXXZX + 3ZxZxx — ZZxxx) ,
то, подставляя (6.132) в (6.131), имеем (6.122).
6.9. Нахождение солитонных решений уравнения
Кортевега - де Вриза методом Хироты
Решение уравнения (6.123) будем искать в виде следующего
формального разложения [1, 95]
Z (*,*) = 1 + eh + e2f2 + е3/з + • • •, (6.133)

328 ГЛАВА 6. МОЗР И МЕТОД ХИРОТЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КДВ
подставляя (6.133) в (6.131) и объединяя члены с одинаковыми степенями е9
получим уравнения:
(DxDt+D%)l-l = 0, (6.134)
(DxDt + D$) (1 • h + /i • 1) = 0, (6.135)
(DxDt + l£) (1. /2 + /2 .1 + ДД) = 0, (6.136)
(DxDt + ^)(Ь/з + /з-Н /i/2 + /2/1) = 0. (6.137)
Очевидно, что уравнение (6.134) удовлетворяется тождественно, а
уравнения (6.135)—(6.137) после соответствующих преобразований приводятся
к следующим [170-172]:
2^(| + £г)л = -^-^ + ^)ЛЛ' (6Л39)
2& (I+ J&) /з = -2 ^А + D^ hh- (6Л40)
Из уравнений (6.138) - (6.140) можно найти решения уравнения Кор-
тевега - де Вриза в виде солитонов.
Решением уравнения (6.138) является функция
N
/i = ]P ai exp {/с;ж -Uii}, Ui = ki, (6.141)
где а\ и кг — произвольные постоянные.
При N = 1 из (6.141) имеем Д = а\ ехр (к\Х — uit). Подставляя
последнее выражение в (6.139) и используя свойства оператора Хироты,
приходим к уравнению
i(l + S)/2 = 0' (6142)
из которого следует, что /2 в данном случае можно взять равным нулю и
при этом члены ряда fn (п ^ 3) также равны нулю.
Принимая во внимание (6.133), имеем
Z\ = 1 4- еа\ ехр {к\х — ujit} , u>i = kf. (6.143)

6.9. НАХОЖДЕНИЕ СОЛИТОНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ КДВ 329
Из формулы, после соответствующих вычислений, получаем решение
и = \к\ ch"2 jifc! (х - k\t) + <рЛ , (6.144)
где (fo = 0,5 In (eai).
При iV = 2 из (6.141) имеем
/i = ai exp {/cia: — c^it} + a2 exp {k2x — u^} . (6.145)
Уравнение (6.139) в этом случае запишется в виде
& (т + £0 /2 = ~2aitt2 [(*2" kl) {(J2" Wl) + (*2 + fcl)1 х
х exp {(fei + /с2) х - (a;i + ^2) £} •
(6.146)
Очевидно, что последнее уравнение имеет решение в виде
/2=exp{0i + 02 + Ai2}, (6.147)
где 01 = fcix - uit+vo ? 02 = fe2x - и;2£+^о , ^ = lna*-
Подставляя (6.147) в (6.26), находим, что
ел12 = (h-k2f
(fcl + fc2)2
Из уравнения (6.140) следует, что /з = 0 и поэтому в этом случае
ряд (6.133) обрывается при п ^ 3.
Принимая во внимание (6.133), (6.145) и (6.147), имеем
Z2(x,t) = 1 + exp \kix — wit + (ру > +exp|/c2x -^t-f^ } +
+ exp |(fci + fc2) ж - (a;i 4- cc;2) t + Л12 + ^1} 4- ^2)] .
(6.149)
Подстановка (6.149) в формулу (6.120) приводит к двухсолитонному
решению уравнения КдВ, которое описывает распространение и
взаимодействие двух солитонов уравнения Кортевега - де Вриза.
Остановимся на обсуждении взаимодействия солитонов, описываемых
формулой (6.120) и (6.149).

330 ГЛАВА 6. МОЗР И МЕТОД ХИРОТЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КДВ
Пусть 0 < &2 < &ь тогда при t —► +00 в системе координат, связанной
с первым солитоном, имеем
ехр {в2} -+ 0, Z = 1 + exp {0i} ,
при в —» — оо. Эти зависимости приводят к асимптотическому решению
уравнения Кортевега - де Вриза в виде:
U-fch-2{|]. (6.150)
При t —» — 00 получаем 02 —> оо и ехр {#2/ —* оо, а из (6.149) находим
асимптотику для Z
Z = ехр {в2} [1 + ехр {0! + А12}},
которая приводит к решению уравнения КдВ в виде
u=|ch-2|^_+ill|. (6Л51)
Из сравнения (6.150) и (6.151) следует, что каждый из солитонов
после взаимодействия отличается на А\%1% характеризующий сдвиг фаз. На
рис. 6.1 иллюстрируется взаимодействие двух солитонов, описываемых
уравнением Кортевега - де Вриза.
Рис. 6.1. Изменение фаз при взаимодействии солитонов Кортевега - де Вриза.
Меньшая уединенная волна после взаимодействия отстает на некоторое расстояние по
сравнению с движением без взаимодействия. Больший солитон опережает свое
движение на ту же величину.

6.10. МЕТОД ХИРОТЫ ДЛЯ МКДВ
331
По аналогии с вышеприведенным двухсолитонным решением можно
построить трехсолитонное решение уравнения Кортевега - де Вриза. С этой
целью для Д берется выражение (6.141) при N — 3:
/i = ехр < кгх - ш\Ь + <ру \ 4- ехр { к2х - uj2t + у>£2) } +
Г \зП (6Л52)
4- ехр |/с3х - cj3t + (Ро |,
тогда для f2 получается решение
h = ехр {(9i + 02 + Ai2} + ехр {01 + 0з + А13} + ехр {02 + 03 + А23} ,
(6.153)
где
еАу = *" ^ 0. = fcia; _ w.j + ^W? ш. = fc3e (6Л54)
Решение уравнения (6.140) с учетом /i и /2 имеет вид
/з - ехр {А12 + Ли 4- -А23 + в1 + 02 + 03} , (6.155)
причем в данном случае равным нулю оказывается fn при п ^ 4.
Подстановка (6.152), (6.153) и (6.155) в (6.133) приводит по
формуле (1.1) к трехсолитонному решению уравнения Кортевега - де Вриза.
Эта процедура может быть продолжена для произвольного целого N.
Основываясь на приведенных выше выражениях для f2 и /3, Р. Хирота
выдвинул гипотезу и затем доказал теорему о том, что структура общего
iV-солитонного решения имеет вид [172]
(N N \
^рА+ ]Р PiPjAij , (6.156)
г=1 1<*<7 J
где индекс суммирования по р пробегает все значения pi и (г = 1, ..., N).
Постоянные Ац определяются из (6.154) и характеризуют сдвиг фаз
при столкновении солитонов. Подстановка fn в (6.133) приводит к N-
солитонному решению уравнения Кортевега - де Вриза.
6.10. Метод Хироты для модифицированного уравнения
Кортевега - де Вриза
Для модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза метод
Хироты применяется в несколько иной форме, чем для КдВ [171].

332 ГЛАВА 6. МОЗР И МЕТОД ХИРОТЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВДВ
Пусть
v = F/G, (6.157)
тогда, подставляя (6.157) в уравнение мКдВ
vt + 6v2vx -f vxxx = 0, (6.158)
имеем
(А + Dl) GF+jt (DXGF) Ud2xFF - gA = 0. (6.159)
Отсюда, учитывая произвольность функций F и G, получаем, что v,
которое находится по формуле (6.157), удовлетворяет уравнению (6.157),
если F и G являются решениями системы уравнений
(А + #х) GF = 0, (6.160)
D2XFF = 2G2. (6.161)
Функции JP и G можно искать также в виде формальных разложений
F = l + e2f2 + e4f4+ ..., (6.162)
G = e0i+e303+ .... (6.163)
Из (6.160), (6.161) с учетом (6.162) и (6.163) находим
Откуда получаем решения для д\ и /г:
Si=exp{0i}, 0i = к1Х - к\t + <^0) 5fe=0, (ft>3), (6.166)
/2 = exp{20i}, /i = 0, (»3*4), (6.167)
которые при е = 1 приводят к односолитонному решению мКдВ в виде
.._ 4fc?exp{^} _,__
Щ + ехр{2в!}
fcich-1{0i}. (6.168)

6.11. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 6 333
Двухсолитонное решение мКдВ находится, если д\ взять в виде суммы
двух экспонент, тогда д% ф 0 и /4 Ф 0, но дь = 0 и fa — 0 при к ^ 5, г > 6.
Функции F и G, соответствующие двухсолитонному решению
модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза, могут быть представлены
в виде:
2
(6.169)
G = ехр {Ог} + ехр{02} + JL (jj^p||) ехр {^ + 202} +
F^1 + i?eXP{2M + ifeXP{2^2K
+ 2;/xp{^feK-^f^) ехр {2* + 202} .
(fci + fe) 16fcffc$ \ki + k2J
(6.170)
Используя аналогичные подходы, в настоящее время получены соли-
тонные решения многих точно решаемых нелинейных уравнений.
6.11. Задачи и упражнения к главе 6
1) Пусть ух и у2 два решения уравнения
Ухх +р(х)Ух 4- q (х) у = 0. (6.171)
Показать, что определитель Вронского W (у\, у2) удовлетворяет уравнению
Wx+p(x)W = 0. (6.172)
2) Показать, что собственные значения и собственные функции задачи
Фхх + (А - х2) Ф = 0, Ф (ж) -> 0 при |ж| -> оо (6.173)
имеют вид
А = 1 + 2та, (та = 0, 1, 2, ...),
/ ч (6.174)
Ф„(ж) =expf -|z2 1Я„(ж),
где Нп (х) — полином Эрмита степени та.

334 ГЛАВА 6. МОЗР И МЕТОД ХИРОТЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КДВ
3) Найти решения интегрального уравнения
оо
К{х, z) + е-(ж+г) + ГК(х, у) e~(y+z)dy = 0. (6.175)
X
4) Пусть F (ж, z) — решение уравнения [1]
Fxx-Fzz = 0; (6.176)
показать, что решение интегрального уравнения
оо
К(х, z) + F(x, z) + [к(х, y)F(y, z)dy = 0 (6.177)
X
является решением нелинейного дифференциального уравнения
Кхх - Kzz - иК = 0, (6.178)
где
и = -2-^К(х,х), Кх-+0, Kz-^0 (6.179)
ах
при z —► оо.
5) Используя определение оператора Хироты, доказать тождества [171]
_д_ (а\ = Dxob
дх \Ь) Ъ2 '
(6.180)
дх2
1а) = -Р~~ь~*~' (6Л81)
6) Пусть [95]
доказать, что
Ф = |, и = 2(1пЬ)жж; (6.182)
^^ = фхх+^Ф. (6.183)
Ь2
7) Показать, что
Z\ = ао + а>\х + CL2X2 4- азх3 4- а>±х +Ы — 'lAa^xt (6.184)
является решением уравнения (6.138).

6.11. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 6 335
8) Показать, что (6.184) удовлетворяет уравнению (6.139), если
а-4 = 0, Зсцаз = а2, Ь = 12аз- (6.185)
9) Используя (6.184), (6.185), найти рациональное решение уравнения Кортевега -
де Вриза
6х(х3 - 24*)
u = -lhm^> (6Л86)
удовлетворяющее условию w(x = 0, t) = 0.
10) Показать, что, используя замену
м = 2^1п/ (6.187)
и определение оператора Хироты, уравнение Кадомцева - Петвиашвили [171]
uxt +6(uux)x + ихххх + иуу (6.188)
можно представить в виде
(DtDx + D2y + D4x)f.f = 0. (6.189)
11) Показать, что уравнение Кортевега - де Вриза пятого порядка
ut 4- 45w ux + 15 (ихихх 4- гшхжх) 4- иххххх = 0 (6.190)
заменой (6.187) приводится к виду
Я* (А+ #£)/•/ = 0. (6.191)
12) С помощью замены (6.187) представить уравнение Буссинеска
utt — ихх - 3 {и2)хх — ихххх = 0 (6.192)
в форме Хироты.
13) Показать, что уравнение sin-Гордона [173]
ихх — utt = sin и (6.193)
с помощью замены
u = 4dnctg(g/f) (6.194)
приводится к билинейной форме
(D2x-D2t-i) (fg) = 0, (6.195)
{Dl-Df) (/■/-<?•<?)= 0 (6.196)

336 ГЛАВА 6. МОЗР И МЕТОД ХИРОТЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КДВ
14) Для нелинейного уравнения Шредингера
iut 4- ихх 4- \и\2 и = 0 (6.197)
с помощью замены [171]
u = G/F (6.198)
найти билинейный вид
-L (iDt -f^)GF-4 {plFF- GG*) - 0. (6.199)
F F
15) Полагая в (6.199)
(iDt+Dl)GF = Q, (6.200)
DX2FF = GG*, (6.201)
найти солитонные решения уравнения (6.197).

ЛИТЕРАТУРА
[1] Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи
рассеяния, М.: Мир, 1987, 480 с.
[2] Адлер В.Э., Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Симметрийный подход к
проблеме интегрируемости. Теоретическая и математическая физика, 2000,
т. 125, вып. 6, с. 355-427.
[3] Айне Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков:
ГНТИУ, 1939, 70 с.
[4] Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.:
Наука, 1974, 432 с.
[5] Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные
функции. М.: Наука, 1984, 384 с.
[6] Борисов А.А., Шарыпов О.В. Самоподдерживающиеся уединенные
волны в неравновесных средах. Физика горения и взрыва, 1993, с. 80-
87.
[7] Борисов А.В., Мамаев И.С. Динамика твердого тела. Москва-
Ижевск: Изд-во РХД, 2001, 384 с.
[8] Борисов А.В., Мамаев И.С. Неголономные динамические системы.
Москва-Ижевск: ИКИ, 2002, 328 с.
[9] Борисов А.В., Мамаев И.С. Современные методы теории
интегрируемых систем. Москва-Ижевск: ИКИ, 2003, 296 с.
[10] Браже Р. А. Влияние вязкости на условия формирования
центробежных солитонов в поступательно-вращательном потоке жидкости.
Прикладная математика и механика, 1989, 1035-1037.
[11] Бхатнагар П. Нелинейные волны в однородных дисперсных системах.
М.: Мир, 1983, 136 с.
[12] Веселов А.П. Интегрируемые отображения. Успехи математических
наук, 1991, т. 46, вып. 5, с. 3-45.

338 Литература
[13] Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об определении дифференциального
уравнения по его спектральной функции. Изв. АН СССР. Сер. матем,
1951, т. 45, №4, с. 309-360.
[14] Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных
уравнений. М.-Л.: ГИТТЛ, 1941, 400 с.
[15] Голубев В.В. Лекции по интегрированию уравнений движения
тяжелого твердого тела около неподвижной точки. М.: ГИТТЛ, 1953,
288 с.
[16] Гордеев Ю.Н., Кудряшов Н.А. Уединенные волны в диссипативно-
дисперсных системах с неустойчивостью . Известия АН СССР.
Механика жидкости и газа, 1989, №2, с. 99-104.
[17] Громак В.И. Первое уравнение Пенлеве высшего порядка.
Дифференциальные уравнения, т. 35, №1, 1999, с. 38-42.
[18] Громак В.И. Нелинейные эволюционные уравнения и уравнения Р-
типа. Дифференциальные уравнения, т. 20, №12, 1984, с. 2042-2047.
[19] Громак В.И., Лукашевич Н.А. Аналитические свойства решений
уравнений Пенлеве. Минск: Университетское, 1990.
[20] Громак В.И., Цегельник В.В. Уравнения Пенлеве, групповой анализ и
нелинейные эволюционные уравнения. Минск, Препринт, 1988.
[21] Данилов Ю.А. Лекции по нелинейной динамике. М.: Постмаркет, 2001,
184 с.
[22] Додд Р., Эйлбек Д., Гиббон Д., Моррис X. Солитоны и нелинейные
волновые уравнения. М.: Мир, 1988, 694 с.
[23] Дрюма B.C. Об аналитическом решении двумерного уравнения Кор-
тевега - де Вриза. Письма в ЖЭТФ, т. 19, вып. 12, 1974, с. 753-755.
[24] Дубровин Б.А. Римановы поверхности и нелинейные уравнения.
Москва-Ижевск: РХД, 2001, 152 с.
[25] Ерофеев В.И. Волновые процессы в твердых телах с
микроструктурой. М.: Издательство Московского университета, 1999, 328 с.
[26] Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных
уравнений. Минск: Наука и техника, 1979, 664 с.
[27] Ефимова О.Ю., Кудряшов Н.А. Точные решения уравнения Бюргерса
-Хаксли. Прикладная математика и механика, 2004, т. 68, вып. 1.

Литература 339
28] Захаров В.Е., Манаков СВ., Новиков СП., Питаевский Л.П. Теория
солитонов. Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980, 320 с.
29] Захаров В.Е., Шабат А.Б. Точная теория двумерной самофокусировки
и одномерной автомодуляции волн в нелинейной среде. ЖЭТФ, т. 61,
1971, с. 118-134.
30] Захаров В.Е., Шабат А.Б., Схема интегрирования нелинейных
уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния.
Функциональный анализ и приложения, т. 6, вып. 3, 1973, с. 43-53.
31 ] Землянухин А.И. Точное солитоноподобноерешение нелинейного
эволюционного уравнения пятого порядка. Известия вузов. Прикладная
нелинейная динамика, т. 7, №2, 3, 1999, с. 29-32.
32] Землянухин А.И., Могилевич Л.И. Нелинейные волны в
цилиндрических оболочках: солитоны, симметрии, эволюция. Саратов, 1999,
132 с.
[33] Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике.
М.: Наука, 1983,280 с.
[34] Кадомцев Б.Б., Петвиашвили В.И. Об устойчивости уединенных волн
в слабодиспергирующих средах. Докл. АН СССР, т. 192, 1970, с. 753-
756, 272 с.
[35] Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные
дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. М.: Наука, 1986.
[36] Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и
солитоны. М.: Мир, 1985, 470 с.
[37] Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным
уравнениям. М., Наука, 1971, 576 с.
[38] Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Наука,
1973.
[39] Кларксон П.А., Менсфилд Э.Л., Вебстер Х.Н. О соотношениях меэюду
дискретными и непрерывными уравнениями Пенлеве. Теоретическая
и математическая физика, 2000, т. 122, №1, с. 5-22.
[40] Ковалевская СВ. Научные работы. М., Изд-во АН СССР, 1948.
[41] Козлов В.В. Методы качественного анализа в динамике твёрдого
тела. Ижевск: Изд-во РХД, 2000, 256 с.

340 Литература
[42] Козлов В.В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоно-
вой механике. Успехи математических наук, т. 38, №1, 1983, с. 3-67.
[43] Колмогоров А.Н., Петровский И.Г., Пискунов Н.С. Исследование
уравнения диффузии, соединенного с возрастанием количества
вещества и его применение к одной биологической проблеме. Бюлл. МГУ.
Серия А, 1937, №6, с. 1-26.
[44] Корсунский СВ. Нелинейные волны в вязкой сжимаемой жидкости
с релаксацией. Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа, №3, 1993,
с. 31-35.
[45] Корсунский СВ., Селезов И.Т. Нелинейные магнитозвуковые волны
в электропроводящей жидкости с пузырьками газа. Изв. АН СССР,
Механика жидкости и газа, №2, 1991, с. 142-147.
[46] Корсунский СВ., Селезов И.Т. Уравнения типа Кортевега - де Вриза
в теории волн на поверхности электропроводной жидкости. Изв. АН
СССР, Механика жидкости и газа, №2, 1989, с. 177-180.
[47] Кудряшов Н.А. Нелинейные волны и солитоны. Энциклопедия
Современное естествознание. Физика волновых процессов, т. 7. М.,
Магистр-пресс, с. 194-198.
[48] Кудряшов Н.А. Ударные волны в газе. Энциклопедия Современное
естествознание. Физика волновых процессов, т. 7, М., Магистр-пресс,
с. 188-193.
[49] Кудряшов Н.А. Преобразование Бэклунда для уравнения в частных
производных четвертого порядка с нелинейностью Бюргерса - КдВ.
Доклады АН СССР, т. 300, 1988, №2, с. 342-345.
[50] Кудряшов Н.А., Сухарев М.Б. Точные решения нелинейного пятого
порядка для описания волн на воде. Прикладная математика и
механика, т. 65, вып. 5, 2001, с. 884-994.
[51] Кудряшов Н.А. Точные решения нелинейных волновых уравнений
встречающихся в механике. Прикладная математика и механика, т. 54,
№3, 1990, с. 450-453.
[52] Кудряшов Н.А. Точные решения обобщенного уравнения Гинзбурга -
Ландау. Математическое моделирование, 1989, №9, с. 151-158.
[53] Кудряшов Н.А. Точные решения уравнения N-го порядка с
нелинейностью Бюргерса - Кортевега - де Вриза. Математическое
моделирование, т. 1, №6, 1989, с. 57-65.

Литература 341
[54] Кудряшов Н.А. Точные солитонные решения обобщенного
эволюционного уравнения волновой динамики. Прикладная математика и
механика, т. 52, №3, 1988, с. 465-470.
[55] Кудряшов Н.А. Метод разложений Пенлеве для нелинейных неин-
тегрируемых уравнений. Математическое моделирование, 1990, т. 2,
№12, с. 102-115.
[56] Кудряшов Н.А. Многофазные и рациональные решения нелинейных
уравнений одного семейства. Теоретическая и математическая
физика, 1993, т. 94, №3, с. 393-407.
[57] Кудряшов Н.А. Нелинейные волны и солитоны. Соросовский
образовательный журнал, 1997, №2, с. 85-91.
[58] Кудряшов Н.А. Нелинейные волны на воде и теория солитонов.
Инженерно-физический журнал, т. 72, 1999, №6, с. 1266-1278.
[59] Кудряшов Н.А. Нелинейные дифференциальные уравнения
четвёртого порядка с решениями в виде трансцендент. Теоретическая и
математическая физика, т. 122, №1, 2000, с. 72-87.
[60] Кудряшов Н.А. О точных решениях уравнений семейства Фишера.
Теоретическая и математическая физика, 1993, т. 94, №2, с. 296-306.
[61] Кудряшов Н.А. О четвёртой иерархии Пенлеве. Теоретическая и
математическая физика, 2003, т. 134, №1, с. 86-93.
[62] Кудряшов Н.А. Свойство Пенлеве в теории обыкновенных
дифференциальных уравнений. Соросовский образовательный журнал, 1999,
№9, с. 118-122.
[63] Кудряшов Н.А. Солитоны и образование структур в диссипативно-
дисперсионных системах с неустойчивостью. ДАН СССР, 1989,
т. 300, №2, с. 294-298.
[64] Кудряшов Н.А., Заргарян Е.Д. Нелинейные волны в активно-
диссипативной дисперсионной среде. Инженерно-физический
журнал, т. 71, 1998, №1, с. 149-154.
[65] Ланда П.С, Нелинейные колебания и волны. Москва, Наука, Физмат-
лит, 1997, 496 с.
[66] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986, 736 с.
[67] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. М.: ГИФМЛ, 1963,
704 с.

342 Литература
[68] Лукашевич Н.А. К теории второго уравнения Пенлеве.
Дифференциальные уравнения, т. 7, вып. 6, 1971, с. 1124-1125.
[69] Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. М.: Наука,
1990,272 с.
[70] Лэм Дж. Мл. Введение в теорию солитонов. М.: Мир, 1983, 296 с.
[71] Маймистов А.И. Оптические солитоны. Соровский образовательный
журнал, №11, 1999, с. 97-102.
[72] Марченко А.В. О длинных волнах в мелкой жидкости под ледяным
покровом. Прикладная математика и механика, 1988, т. 52, вып. 2.
с. 230-235.
[73] Мартынов И.П. Дифференциальные уравнения со стационарными
критическими подвижными точками. Дифференциальные
уравнения, т. 9, 1973, с. 1368-1376.
[74] Митлин B.C., Николаевский В.Н. Нелинейные поверхностные волны
в средах со сложной реологией. Изв. АН СССР, Механика жидкости
и газа, №5, 1990, с. 95-103.
[75] Михайлов А.В., Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Симметрийный подход к
классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых
систем. Успехи математических наук, т. 12, вып. 4, 1987, с. 3-53.
[76] Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические
колебания. М.: Наука, 1987, 420 с.
[77] Новокшенов В.Ю. Введение в теорию солитонов. Москва-Ижевск:
ИКИ, 2002, 96 с.
[78] Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. М.: Мир, 1991, 328 с.
[79] Осипов В.В. Простейшие автоволны. Соросовский образовательный
журнал, №7, 1999, с. 115-121.
[80] Олвер П. Приложения группы Ли к дифференциальным уравнениям.
М.:Мир, 1989,640 с.
[81 ] Переломов A.M. Интегрируемые системы классической механики и
алгебры Ли. М.: Наука, 1990, 240 с.
[82] Пу Т. Нелинейная экономическая динамика. Изд-во РХД, 2000, 200 с.
[83] Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных
уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1978, 592 с.

Литература 343
[84] Свирижев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и
катастрофы в экологии. М: Наука, 1987, 368 с.
[85] Солитоны. Сборник статей, под редакцией Р.Буллафа и Ф.Кодри.
Новокузнецкий физико-математический институт, 1999, 408 с.
[86] Солитоны в действии. Сборник статей под редакцией К. Лонгрена
и Э. Скотта. М.: Мир, 1981, 312 с.
[87] Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. Москва:
Эдиториал УРСС, 2001, 320 с.
[88] Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории соли-
тонов. М.: Наука, 1986, 528 с.
[89] Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.
М.: Наука, 1972, 724 с.
[90] Уизэм Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1987, 624 с.
[91] Улам С. Приключения математика. Изд-во РХД, 2002, 272 с.
[92] Уэрт Ч., Томсон Р. Физика твердого тела. М.: Мир, 1966, 568 с.
[93] Фейман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановскиелекции по физике, т. 4,
М.: Мир, 1965, 260 с.
[94] Филиппов А.Т. Многоликий солитон. М.: Наука, 1986, 224 с.
[95] Хирота Р. Прямые методы в теории солитонов. Сборник «Солитоны»
под ред. С.П.Новикова. М.: Мир, 1983, 408 с.
[96] Ablowitz M.J., Каир D.J., Newell А.С., Segur H. Inverse Scattering
Transform - Fourier Analysis for nonlinear problems. Stud. Appl. Math.,
v. 53, 1974, p. 249-315.
[97] Ablowitz M.J., Каир D.J., Newell A.C., Segur H. Method for solving the
sine-Gordon equation. Phys. Rev. Lett., v. 30, 1973, p. 1262-1264.
[98] Ablowitz M.J. and Clarkson P.A. Solitons Nonlinear Evolution Equations
and Inverse Scattering. Cambridge university press, 1991.
[99] Ablowitz M.J., Ramani A. and Segur H. A connection between nonlinear
evolution equations and ordinary differential equations ofP-type. J. Math.
Phys., 1980, v. 21, p. 715-721, p. 1006-1015.
[100] Ablowitz M.J., Ramani A. and Segur H. Nonlinear evolution equations of
Painleve type. Lett. Nuovo Cim., 1978, v. 23, p. 333-338.

344
Литература
101] Ablowitz M.J., Zeppetella A. Explicit solutions of Fisher s equation for a
special wave speed II Bull. Math. Biol., v. 41, 1979, p. 835-840.
102] Adler V.E. Nonlinear chains and Painleve equations, Physica D, v. 73,
1994, p. 335-351.
103] Airault H., Mckean H.P. and Moser J. Rational and elliptic solutions of
the Korteveg - de Vries equation and a related many-body problem. Pure
and Appl. Math., 1978, v. 30, p. 95-148.
104] Airault H. Rational solutions of Painleve equations. Studies in Appl.
Math., 1979, v. 61, №1, p. 31-53.
105] Berloff Natalia G. and Howard Louis N. Nonlinear wave interactions in
Nonlinear Nonintegrable Systems. Studies in Applied Mathematics, v. 100,
1998, p. 195-213.
106] Berloff Natalia G. and Howard Louis N. Solitary and periodic Solutions
of Nonlinear Nonintegrable Equations. Studies in Applied Mathematics,
v. 99, 1997, p. 1-24.
107] De Boer P.C.T. and Ludford L.S.S. Spherical electric probe in a continuum
gas. Plasm. Phys., 1975, v. 17, p. 29-43.
108] Boiti M., Pompinelli F. Nonlinear Schrodinger equation, Backlund
transformations and Painleve transcendents. Nuovo Cimento B, 1982,
v. 71, p. 253-264.
109] Boutroux P. Recherches sur les transcendents de M. Painleve et Г etude
asyptotique des equations differentielles du second order. Ann. Sci. Ecole
Norm. Sup., v. 30, 1913, p. 255-375 and v. 31, 1914, p. 99-159.
110] Brezin E. and Kazakov V.A. Exactly solvable field theories of closed
strings. Phys. Lett. B, 236, 1990, p. 144-150.
Ill] Bureau F.J. Differential equations with fixed critical points. Annali di Mat.
Рига ed applicata, v. LXIV, 1964, p. 229-364.
112] Bureau F. J. Differential equations with fixed critical points. Annali di
Mat. Рига ed applicata, v. LXVI, 1964, p. 1-116.
113] Burgers J.M. A mathematical model illustrating the theory of turbulence.
Adv. Appl. Mech., v. 1, 1948, p. 171-199.
114] Cariello F., Tabor M. Painleve expansions for nonintegrable evolution
equations. Physica D. v. 39, 1989, p. 254-286.

Литература
345
115] Caudrey P.J., Dodd R.K., Gibbon J.D. A new hierarchy ofKorteveg - de
Vries equations. Proc. Roy. Soc. London A, v. 351, 1976, p. 407-422.
116] Chang Y.F., Tabor M., Weiss J. Analytic structure of the Henon - Heiles
Hamiltonian in integrable and nonintegrable regimes. J. Math. Phys.,
v. 23, №4, 1982, p. 531-538.
117] Chen H.H. General derivation of Backlund transformation from inverse
scattering problems. Phys. Rev. Lett., v. 33, 1974, p. 925-928.
118] Choudhary S. Roy Backlund transformations, truncated Painleve
expansions, and special solutions of nonintegrable long-wave evolution
equations. Can. J. Phys., v. 70, 1992, p. 595-602.
119] Choudhary S. Roy Painleve analysis and special solutions of two families
of reaction-diffusion equations. Physics letters A, v. 159,1991, p. 311-317.
120] Clarkson P. A., Joshi N., and Mazzocco M. The Lax Pair for the MKdV
Hierarchy. Report UKC, University of Kent, UK, 2002.
121] Clarkson Peter A., Hone Andrew N. W. and Joshi Nalini. Hierarchies of
Difference Equations and Backlund Transformations. Journal of Nonlinear
Mathematical Physics, 2003 (в печати).
122] Clarkson Peter A., Joshi Nalini and Pickering Andrew. Backlund
Transformations for the second Painleve Hierarchy: a modified truncation
approach. Inverse Problems, v. 15, 1999, p. 175-187.
123] Clarkson P.A., Kruskal M.D. New similarity reductions of the Boussinesq
equation. J. Math. Phys. 1989, v. 30, №10, p. 2201-2213.
124] Clarkson Peter A., Dimensional reductions and exact solutions of a
generalized nonlinear Schrodinger equation. Nonlinearity. v. 5, 1992,
p. 453-472.
125] Cohen B.I., Krommes J.A., Tang W.M., Rosenbluth M.N. Nonlinear
saturation of the dissipative trapped-ion mode by mode coupling. Nuclear
Fusion. 1976, v. 16, №6, p. 971-992.
126] Cole J.D. On a quasilinear parabolic equation used in aerodynamics.
Quart. Appl. Math., 1951, v. 9, p. 225-236.
127] Conte R. and Musette M. Link between solitary waves and projective
Ricatti equations. J. Phys. A.: Math. Gen. v. 25, 1992, p. 5609-5623.
128] Conte R. and Musette M. The Painleve methods, Nonlinear integrable
systems: classical and quantum, ed. A. Kundu, arXiv: nlin. SI/0211048
v. 1, 2002 (в печати).

346
Литература
[129] Conte R. Invariant Painleve analysis of partial differential equations.
Phys. Lett. A. 1989, v. 140, №7-8, p. 383-390.
[130] Conte R. The Painleve approach to nonlinear ordinary differential
equations. The Painleve property, one century later. Ed R. Conte. CRM
Series in mathematical physics. Springer-Verlag, New York, 1999, p. 77-
180.
[131] Conte R. Universal invariance properties of Painleve analysis and
Backlund transformation in nonlinear partial differential equations. Phys.
Lett. A., 1988, v. 134, №2, p. 100-104.
[132] Conte R., Fordy A.P. and Pickering A. A perturbative Painleve approach
to nonlinear differential equations. Physica D. 1993, v. 69, p. 33-58.
[133] Conte R., Musette M. Painleve analysis and Backlund transformation in
the Kuramoto-Sivashinsky equation. J. Phys. A: Math. Gen., 1989, v. 22,
№2, p. 169-177.
[134] Cosgrove CM. Higher-order Painleve Equations in the Polinomial Class
I Bureau Symbol P2. Stud. Appl. Math. v. 104, №1, 2000, p. 1-65.
[135] Cresswell C, Joshi N. The discrete first second and thirty-fourth Painleve
hierarchies. Journal of Physics A.: Mat. Gen., v. 32, №4,1999, p. 655-669.
[136] Drazin P.G., Johnson R.S. Solitons: an introduction. Cambridge university
press, 1989.
[137] Davalos-Orozco L.A., Busse F.H., Instability of a thin film flowing on a
rotating horisontal or inclined plane. Phys. Rev. E, v. 65, №2, 2002.
[138] Elwakil S.A., Ellabany S.K. Zahran M.A. et al., Exact travelling wave
solutions for the generalized shallow water wave equation. Chaos soliton
fractals, v. 17, №1, 2003, p. 121-126.
[139] Ercolani N., Siggia E.D. Painleve property and geometry. Physica D, v. 34,
1989, p. 303-346.
[140] Ercolani N., Siggia E.D. Painleve property and integrability. Physics
Letters A. 119,№3, 1986, p. 112-116.
[141] Estevez P.G. and Leble S. A wave equation in 2+1 Painleve analysis and
solutions. Inverse problem. 11, 1995, p. 925-937.
[142] Estevez P.G. Non-classical symmetry and the singular manifold: the
Burgers and the Burgers - Huxley equation. J. Phys. A: Math. Gen.,
v. 27, 1994, p. 2113-2127.

Литература
347
[143] Fan Engui. Soliton solutions for a generalized Hirita - Satsuma coupled
KdVequation and a coupled MKdVequation. Physics letters A, 282,2001,
p. 18-22.
[144] Fan Engui, Lu Chao. Soliton solutions for the new complex version of a
coupled KdV equation and a coupled MKdV equation. Physics Letters A,
285, 2001, p. 373-376.
[145] Fan E. Generalized tank method with symbolic computation and its
applications to some special types equations. Nuovo Cimento B, v. 116,
№12, 2001, p. 1385-1393.
[146] Feng Bao - feng and Kawahara Takuji. Temporal Evolutions and
stationary waves for perturbated KdV equation with nonlocal term.
International Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 12, №11, 2002,
p. 2393-2407.
[147] Fermi E., Pasta J. and Ulam S.M. Studies in nonlinear problems. Thech.
Rep., LA -1940, Los-Alamos Sci. Lab.
[148] Fisher R.A. The wave of advance of advantageous genes, Ann. Eugenics.
1937, №7, p. 335-369.
[149] Flashka H., Newell A.C., Tabor M. Integrability, p. 73-114, in What is
integrability? Ed. Zakharov V.E., Springer-Verlag, New York, 1991.
[150] Flashka H. Newell A.C. Monodromy-and spectrum-preserving
deformations. I. Comm. Math. Phys. 1980, v. 76, p. 65-116.
[151] Fokas A.S., Liu Q.M. Generalized conditional symmetries and exact
solutions of nonintegrable equations. Теоретическая и математическая
физика, 1994, т. 99, №2, с. 263-277.
[152] Focas S., Grammaticos В. and Ramani A. From continuous to discrete
Painleve equations. J. Math. Anal. Appl., vol. 180, 1993, p. 342-360.
[153] Fordy A. P. and Gibbons J. Factorization of operators I. Miura
transformations. J. Math. Phys., v. 10, 1980, p. 2508.
[ 154] Fu Z.T., Liu S.K., Liu S.D. New transformations and new approach to find
exact solutions to nonlinear equations. Physics Letters A, v. 299, №2-3,
2002, p. 179-188.
[155] Gardner C.S., Greene J.M., Kruskal M.D. and Miura R.M. Method for
solving the Korteveg - de Vries Equation. Phys. Rev. Lett., 1967, v. 19,
p. 1095-1097.

348
Литература
[156] Gamier R. Sur les equations differentielles du troisieme ordre dont
Vintegrate est iniforme et sur une classe d'equations nouvelles d'ordre
superieur dont I 'integrate generate a ses points criticques fixes. Ann. Sci.
De l'Ecole Normale Superieure. v. 29, 1912, p. 1-126.
[157] Gibbon J.D., Radmore P., Tabor M. Wood D. The Painleve Property and
Hirotas Method. Stud. Appl. Math. 1985, v. 72, №1, p. 39-63.
[158] Gordoa Pilar R. and Pickering Andrew. Nonisospectral scattering
problems: Л key to integrable hierarchies. Journal of Mathematical
Physics, v. 40, №11, 1999, p. 5749-5786.
[159] Gordoa Pilar R. Backlund Transformations for the second member of the
first Painleve hierarchy. Physics Letters A. 287, 2001, p. 365-370.
[160] Gordoa Pilar R. Joshi. N., Pickering A. Mapping preserving locations of
movable poles: II. The third and fifth Painleve equation. Nonlinearity.
v. 14, №3, 2001, p. 567-582.
[161] Goriely A. Integrability and singularity\ 2004, 296 с. (в печати).
[162] Goriely A. Investigation of Painleve property under time singularities
transformations. J. Math. Phys. 1992, v. 33(8), p. 2728-2742.
[163] Goriely A. Integrability, partial integrability and nonintegrability for
systems of ordinary differential equations, J. Math. Phys., 1996, v. 37,
p. 1871-1893.
[164] Gromak V.I. Backlund Transformations of Painleve Equations and their
applications, p. 687-734 in "The Painleve Propertty. One Century later".
Ed R. Conte, Springer, 1999, 810 p.
[165] Gromak Valerii I. Laine Про, Shimomura Shum. Painleve Differential
Equations in the Complex Plane. De Gruyter Studies in mathematics, 28,
Berlin New York 2002, 304 p.
[166] Gross D.I. and Migdal A.A. Nonperturbative two-dimensional quantum
gravity. Phys. Rev. Lett. 1990, v. 64, p. 127-130.
[167] Gupta Neelam. Symmetry reductions of partial differential equations
related to singular manifold expansions. J. Physics A.: Math. Gen. 28,
1995, p. 5361-5374.
[168] Jimbo M. Miwa T. and Ueno K. Monodromy preserving deformations of
linear ordinary differential equations with rational coefficients. Physica
D. 1981, v. 2, p. 306-352.

Литература
349
169] Henon M. Heilles С. The applicability of the third integral of motion:
Some numerical experiments. Astron. J. 1964, p. 73-84.
170] Hirota R. Direct methods of finding exact solutions of nonlinear
evolution, in Backlund transformations. R.M. Miura, ed., Lecture Notes
in Mathematics 515, Springer-Verlag. 1976, Nev York.
171] Hirota R. Direct methods in soliton theory. In solitons, R.K. Bullough and
RJ. Caudrey, eds., Topics of Modern Physics, Springer-Verlag, 1980. New
York.
172] Hirota R. Exact solution of the Korteveg - de Vries equation for multiple
collisions of Solutions. Phys. Rev. Lett. 1971, v. 27, p. 1192-1194.
173] Hirota R. Exact solution of the sin-Gordon equation for multiple collisions
of solutions J. Phys. Soc. Japan, v. 33, 1972, p. 1459-1463.
174] Hlavaty L. The Painleve classification, dominant truncations and
resonance analysis. J. Phys. A. Mat. Gen., v. 21, 1988, p. 2855-2863.
175] Hone Andrew N.W. Coupled Painleve Systems and quadric potentials.
Journal of Physics A.: Math. Gen., v. 34, 2001, p. 2235-2245.
176] Hone Andrew N.W. Lattice equations and tau-functions for a coupled
Painleve system. Nonlinearity, v. 15, №3, 2002, 735-745.
177] Hone Andrew N.W. Non-autonomous Henon - Heiles system. Physica D,
v. 118, 1998, p. 1-16.
178] Hopf E. The partial differential equation ut + uux = iiuxx. Comm. Pure
and Appl. Math. 1950, v. 3, p. 201-230.
179] Its A.R., Novokshenov V.Yu. The Isomonodromic deformation method
in the theory of Painleve equations. Lecture Notes in Math., Berlin -
Heidelberg - New York - Tokyo: Springer. 1986, v'l 191, p. 313.
180] Jimbo M. and Miwa T. Monodromy preserving deformations of linear
ordinary differential equations with rational coefficients, II. Physica D,
v. 2, 1981, p. 407-448.
181] Joshi N., Kruskal M. D. A direct proof that solutions of the six Painleve
equations have no movable Singularities except poles. Studies in Applied
mathematics, v. 93, 1994, p. 187-207.
182] Kawahara T. Oscillatory Solitary Waves in Dispersive Media. Journal of
Phys. Soc. Japan. 1972, v. 33, №1, p. 260-264.

350
Литература
[183] Kawahara T. Formation of Saturated Solitons in a Nonlinear Dispersive
System with Instability and Dissipation. Phys. Rev. Lett., v. 51, №5, 1983.
[184] Korteveg D. J., G. De Vries On the change of form of long waves advancing
in a rectangular canal and on a new tupe of long stationary waves. Phil.
Mag. 1895, v. 39, p. 422-443.
[185] Kovalevskii S.V. Sur leprobleme de la rotation d'un corps solide autour
d'unpointfixe. Acta Math., v. 12, 1989, p. 177-232.
[186] Kovalevskii S.V. Sur unepropriete Idu systeme d'equations differentielles
qui definit la rotation d'un corps solide autor d'un point fixe. Acta Math.,
v. 14, 1890, p. 81-93.
[187] Kruskal M.D. and Clarkson P.A. The Painleve-Kovalevski and Poly-
Painleve Test for integrability. Sudies in Applied Mathematics. 1992, v. 86,
p. 87-165.
[188] Kruskal M.D., Ramani A., Grammaticos B. Singularity analysis and its
relation to complete, partial and non-integrability. In: Partially integrable
evolution equations in physics 1990 Eds.: Conte R. and Boccara N.,
Kluwer Academic Publishers, Dordrecht.
[189] Kudryashov N.A. Fourth-order analogies to the Painleve equations,
Journal of Physics A.: Mathematical and General, v. 35, 2002, №21,
p. 4617-4632.
[190] Kudryashov N.A. One Generalization of the second Painleve hierarchy.
Journal of Physics A.: Mathematical and General, v. 35, 2002, №1, p. 93-
99.
[191] Kudryashov N.A. and Pickering A. Rational and special solutions for the
P2 Hierarchy. CRM Proceedings and Lecture notes, v. 25, 2000, p. 245-
253.
[192] Kudryashov N.A. and Pickering A. Rational solutions for Schwarzian
integrable hierarchies. Journal of Physics A. Math, and Gen. v. 31, 1998,
№47, p. 9505-9518.
[193] Kudryashov N.A. and Soukharev M.B. Discrete equations corresponding
to fourth-order differential equations of the P2 and K2 Hierarchies.
ANZIAM Journal. 44, 2002, p. 149-160.
[194] Kudryashov N.A. Backlund transformations for the second Painleve
Equations of higher order. Modern analysis VII. 1997, Development in
Theory, Computation and Application, p. 195-201.

Литература
351
[195] Kudryashov N.A. Double Backlund Transformations and Special Integrals
of the K2 Hierarchy. Physics Letters A. v. 273, 2000, p. 194-200.
[196] Kudryashov N.A. Partial differential equations with solutions having
movable first-order singularities. Physics Letters A. v. 169, 1992, №4,
p. 237-242.
[ 197] Kudryashov N.A. Truncated expansions and nonlinear integrable partial
differential equations. Physics Letters A. v. 178, 1993, №1-2, p. 99-104.
[198] Kudryashov N.A. and Nikitin V.A. Painleve analysis, rational and special
solutions of variable coefficient Korteveg - de Vries equations. J. Phys.
A.: Math. Gen. 1994, v. 27, p. 101-106.
[199] Kudryashov N.A. and Soukharev M.B. Uniformization and transcendence
of solutions for the first and second Painleve hierarchies. Phys. Lett. A,
1998, v. 237, p. 206-216.
[200] Kudryashov N.A. and Zargaryan E.D. Solitary waves in active-dissipative
dispersive media. J. Phys. A.: Math. Gen. 1996, v. 29, p. 8067-8077.
[201] Kudryashov N.A. Exact solutions of generalized Kuramoto - Sivashinsky
equation. Phys. Lett. A, 1990, v. 147, №5-6, p. 287-291.
[202] Kudryashov N.A. From singular manifold equations to integrable
evolution equations. J. Phys. A.: Math. Gen. 1994, v. 27, p. 2457-2470.
[203 ] Kudryashov N.A. Method for deriving rational solutions of some nonlinear
evolution equations. J. Phys. A.: Math. Gen., 1997, v. 30, p. 5445-5453.
[204] Kudryashov N.A. On new transcendents defined by nonlinear ordinary
differential equations. J. Phys. A.: Math. Gen., 1998, v. 31, p. 129-137.
[205] Kudryashov N.A. On types of nonlinear nonintegrable equations with
exact solutions. Phys. Lett. A. 1991, v. 1S5, №4-5, p. 269-275.
[206] Kudryashov N.A. Singular manifold equations and exact solutions for
some nonlinear partial differential equations. Phys. Lett. A, 1993, v. 182,
p. 356-362.
[207] Kudryashov N.A. Some fourth ordinary differential equations which pass
the Painleve test. Journal of Nonlinear mathematical Physics, v. 8, 2001,
p. 172-177.
[208] Kudryashov N.A. The first and second Painleve equations of higher order
and some relations between them. Phys. Lett. A. 1997, v. 224, p. 353-360.

352
Литература
[209] Kudryashov N.A. The second Painleve equation as a model for the alectric
field in a semiconductor. Phys. Lett. A. 1997, v. 233, p. 387-400.
[210] Kudryashov N.A. Transcendents defined by nonlinear fourth order
differential equations. J. Phys. A.: Math. Gen. 1999, v. 37, p. 999-1013.
[211] Kudryashov N.A. Two hierarchies of ordinary differential equations and
their properties. Phys. Lett. A, 1999, p. 173-179.
[212] Kuramoto Y., Tsuzuki T. Persistent Propagation of Concentration waves in
Dissipative Media Far from Thermal Equilibrium. Progress of Theoretical
Physics. 1976, v. 55, №2, p. 356-369.
[213] Lakshmanan M., and Kaliappan P. Lie transformations, nonlinear
evolution equations, and Painleve forms J. Math. Phys., v. 24, 1983,
p. 795-805.
[214] Landa P.S. Nonlinear Oscillations and waves in Dynamical systems.
Kluwer Academic Publishers, 1996, v. 360, 544 p.
[215] Lax P.D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves.
Comm. Pure Appl. Math., 1968, v. 21, p. 467-490.
[216] Levine G., Tabor M. Integrating the nonintegrable: Analytic structure of
the Lorenz system revisited, Physica D, v. 33, 1988, p. 189-210.
[217] Lorenz E. N. Deterministic поп periodic flow J. Atmos. Scien., v. 20, №2,
1963, p. 131-141.
[218] Liu S.K., Fu Z.T., Liu S.D., et al. Power series expansion method and its
applications to nonlinear wave equation. Physics Letters A, v. 309, №3-4,
2003, p. 234-239.
[219] Lou Sen-yue, Huang Guo-xiang and Ruan Hang-yu Exact solitary waves
in a convectingfluid. J. Phys. A.: Math. Gen., v. 24, 1991, p. 587-590.
[220] Marvan Mivchal Scalar second order evolution equations possessing an
irreducible SL2-valued zero curvature representation. Preprint DIPS-4,
March, 2002.
[221] McCall S. L., Harm E. L. Self-induced transparency by pulsed coherent
light. Phys. Rev. Lett. 1967, v. 18, p. 908-911.
[222] Mugan Ugurhan and Jrad Fahd. Painleve Test andHiger Order Differential
Equations. Journal of Nonlinear Mathematical Physics, v. 9, №3, 2002,
p. 282-310.

Литература
353
[223] Mugan Ugurhan and Jrad Fahd Painleve test and the First Painleve
Hierarchy. Journal of Physics A.: Mathematical and General, v. 32, №45,
1999,p.7933-7952.
[224] Mugan Ugurhan and Jrad Fahd Third order Painleve equations in the
non-polinomial class. Stud. Appl. Math, (в печати).
[225] Musette M. and Conte R. Analytic solitary waves of nonintegrable
equations, arxiv: nlin. PS/0302051, v. 1, 24 Feb, 2003.
[226] Musette M. and Conte R. The two-singular manifold method. I. Modified
KdV and sine-Gordon equations. J. Phys. A.: Math. Gen. 1994, v. 27,
p. 3895-3913.
[227] Musette M. Painleve analysis for nonlinear partial differential equations.
The Painleve property, one century later, ed. R. Conte CRM series in
mathematical physics. Springer-Verlag. New York, 1999, p. 517-572.
[228] Newell A.C., Tabor M., Zeng Y.B. A unified approach to Painleve
expansions. Physica D, 1987, v. 29. p. 1-6.
[229] Nijhoff F.W. and Walker A.J. The Discrete and Continuous Painleve VI
hierarchy and the Gamier Systems. Glasgow math. Journal, v. 43 A, 2000,
p. 109-123.
[230] Nucci M.C., Clarkson PA. The nonclassical method is more general than
the direct method for symmetry reductions. An example of the Fitshugh-
Nagumo equation. Phys. Lett. A, v. 164, 1992, p. 49-56.
[231 ] Olver P.J. Hamiltonian and non-Hamiltonian models for water waves.
Lecture Notes in Physics. 1984, №195, Springer-Verlag, New York,
p. 273-290.
[232] Painleve P. Lecons sur la theorie analytique des equation s differentielles 9
professes a Stokholm, Paris, 189?r
[233] Painleve P. Memoire sur les equations differentielles dont Vintegrale
generale est uniforme. Bull. Soc. Math. France, 1900, v. 28, p. 201-261.
[234] Painleve P. Sur les equations differentielles du second ordre et d'ordre
superieure dont Vintegrdble generale est uniforme. Acta Math., v. 25,
1902, p. 1-85.
[235] Perring J.K. Skyrme T.H.R. A model unified theory. Nucl. Fusion, 1962,
v. 31, p. 550-555.
[236] Pickering A. A new truncation in Painleve analysis. J. Phys. A.: Math.
Gen. v. 26, 1993, p. 3395-4405.

354
Литература
[237] Pickering A. Coalescence limits for higher order Painleve equations.
Physics Letters A. v. 301, №3-4, 2002, p. 275-280.
[238] Pickering A. The singular manifold method revised. J. Math. Phys. 1996,
v. 37, №4, p. 1894-1927.
[239] Porubov A. V. Exact travelling wave solutions of nonlinear evolution
equation of surface in a convecting fluid. J. Phys. A.: Math. Gen., v. 26,
1993, p. 797-800.
[240] Ramani A., Dorizzi B. Grammatikos B. Painleve conjecture revisited.
Phys. Rev. Lett. v. 49, 1982, p. 1539-1541.
[241] Ramani A., Grammaticos В., Bountis T. The Painleve property and
singularity analysis of integrable and non-integrable systems. Physics
reports. 1989, v. 180, №3, p. 159-245.
[242] Russel J. Scott, report on waves. Report of the 14th Meeteng of the British
Association for the Advancement of Science. Jhon Murray, London, 1844.
[243] Sachdev P.L., Ramanan S. Integrability and singularity structure of
predator-prey system. J. Math. Phys., v. 34, 1993, p. 4025-4044.
[244] Sakovich S. Yu. On zero-curvature representation of evolution equations.
J. Phys. A.: Math. Gen., v. 28, 1995, p. 2861-2869.
[245] Sawada S. and Kotera T. A method for finding N-soliton solutions of the
KdVandKdV-like equation. Prog. Theor. Phys., v. 51,1974, p. 1355-1367.
[246] Segur H. Who cares about integrability? Physica D, 51, 1991, p. 343-359.
[247] Sivashinsky G.I. Instabilities, pattern formation and turbulence in flams.
Ann. Rev. Fluid Mech., 1983, v. 2, p. 179-199.
[248] Tabor M. Modern dynamics and classical analysis. Nature, 310, 1984,
p. 277-280.
[249] Tabor M., Weiss J. Analytic structure of the Lorenz system. Phys. Rev. A,
1981, v. 24, №4, p. 2157-2167.
[250] Tabor M., Zeng Y.B. Lax Pairs, Backlund transformations and special
solutions for ordinary differential equations. Nonlinearity, 1, 1988, p. 481-
490.
[251] Topper J., Kawahara T. Approximate equations for long nonlinear waves
on a viscous fluid. Journal of Phys. Soc. of Japan, 1978, v. 44, №2,
p. 381-384.

Литература
355
[252] Umemura H. On the irreducibility of the first differential equation by
Painleve. In: Algebraic Geometry and Commutative algebra, in honor of
Masayoshi Nagata, Tokio: Kinokuniya, 1987, p. 771-789.
[253] Umemura H. Second proojofirreducibility of the first differential equation
by Painleve. Nagoya Math. J. 1990, v. 117, p. 125-171.
[254] Umemura H. Galois theory of algebraic and differential Equations.
Nagoya Mathematical Journal, 1996, v. 144, p. 1-58.
[255] Ustinov N.V. Transformations of ordinary differential equations via
Darboux transformations technique. arXiv: math-ph/0001021, v. 22, Feb,
2000.
[256] Wahlquist H.D., Estabrook F.B. Backlund transformation for solutions of
the Korteveg - de Vries equation. Phys. Rev. Lett., v. 23, 1973, p. 1386-
1389.
[257] Weiss J. Backlund transformations and the Painleve property. J. Math.
Phys. 1986, v. 27, №5, p. 1293-1305.
[258] Weiss J. Backlund transformation and linearizations of the Henon - Heiles
system. Phys. Lett. A, 1984, v. 102, №8, p. 329-331.
[259] Weiss J. Backlund transformation and the Henon - Heiles system. Phys.
Lett. A, 1984, v. 105, №8, p. 387-389.
[260] Weiss J. Modified equations, rational solutions and the Painleve property
for the Kadomtsev - Petviashvili andHirota - Satsuma equations. J. Math.
Phys., 1985, v. 26, №9, p. 2174-2180.
[261] Weiss J. On classes of integrable systems and the Painleve property. J.
Math. Phys., 1984, v. 25, №1, p. 13-24.
[262] Weiss J. Tabor M., Camevalle G. The Painleve property for partial
differential equations. J. Math. Phys. 1983, v. 24, №3, p. 522-526.
[263] Weiss J. The Painleve property for partial differential equations. II.
Backlund transformation. Lax pairs and the Schwarzian derivative. J.
Math. Phys., 1983, v. 24, №6, p. 1405-1413.
[264] Weiss J. The sine-Gordon equations: complete and partial integrability. J.
Math. Phys., 1984, v. 25, №7, f. 2226-2235.
[265] Yan Z.Y. New explicit travelling wave solutions for two new integrable
coupled nonlinear evolution equations. Physics Letters A, v. 292, №1-2,
2001, p. 100-106.

356
Литература
[266] Yan Z.Y The expended Jacobian elliptic function expansion method and
its application in the generalized Hirota - Satsuma coupled KdV system.
Chaos soliton fractals, v. 15, №3, p. 575-583.
[267] Yoshida H. Necessary condition for the existence of algebraic first
integrals Celest. Mech., v. 31, №4, 1983, p. 363-379, p. 381-399.
[268] Yoshida H. A criterion for non-existence of an additional analytic integral
in Hamiltonian system with n-degrees of freedom. Phys. Lett. A, v. 141,
1988, p. 108-112.
[269] Yoshida H. A criterion for non-existence of an additional integral in
hamiltonian system with a homogeneons potential. Physica 29D, 1987,
p. 128-132.
[270] Zabusky N.J., Kruskal M.D. Interaction of "solitons" in a collisionless
plasma and the recurrence of initial states. Phys. Rev. Lett. 1965, v. 15,
p. 240-243.
[271] Zakharenkov M. N. Hydrophysical effects in the viscous incompressible
flow around an circular cylinder. Proceedings of the third international
conference on new energy systems and conversions, September, 8-13,
1997, Kazan, russia, Editors: Gennady L. Degtyarev and Valery S.
Tereshchuk, p. 197-202.
[272] Zakharenkov Michael N. Computation of bifurcating viscous flow around
an circular cylinder performing rotational oscillation in uniform flow.
Proceedings of the 2nd European nonlinear Oscillations conference,
September, 9-13, 1996, Prague, p. 249-254.
[273] Zhang Y.F., Zhang H.Q. Solitary waves solutions for the coupled Ito system
and a generalized Hirota - Satsuma coupled KdV system. Commun. theor.
Phys., v. 36, №6, 2001, p. 657-660.

предметный указатель
Автопреобразования Бэклунда 150
Алгебраическая особая точка 73
Алгоритм Ковалевской 91
— Конта - Форди - Пикеринга 122
Амплитуда рассеяния 315
Аналитическая теория
дифференциальных уравнений 72
Антикинк 50
Асимптотические решения
уравнений Пенлеве 118
Аттрактор Лоренца 61
Безотражательные потенциалы 323
Бирациональные преобразования
114
Ведущие члены в уравнении 119
Взаимодействие солитонов 30
Второе уравнение Пенлеве 87, 90,
161,282
Высшие аналоги уравнений Пенлеве
244
Гамильтониан Хенона - Хейлеса 59
Гиперболические функции 196
Гипотеза Абловица - Рамани - Сигу-
ра 160, 163
Голоморфные решения 101
Группа Галуа 112
— дробно-линейных
преобразований 174
— преобразований растяжения 161,
162
— преобразований сдвига 23
Групповая скорость 35, 37, 38
Групповой солитон 42
Данные рассеяния 146, 320, 321
Двухсолитонные решения 325, 329,
333
Динамическая система 67
Дискретные уравнения Пенлеве 116
Дисперсионное соотношение 37
Задача Ковалевской 82
— Коши 31, 35, 53, 56, 141, 142, 146,
157,306
— Ферми - Паста - Улама 27
— о вращении твердого тела 83, 84
Инвариантный Пенлеве-анализ 174,
176, 207
Индексы Фукса 93, 95, 97, 123, 129,
192,218,262
Канторово множество 68
Качественная теория
дифференциальных уравнений 71
Квантовая гравитация 88, 116
Кинк 50, 202, 208
Классическая функция 111, 112
Кноидальные волны 215
Коэффициент отражения 310
— прохождения 310
Критическая особая точка 72
Критический полюс 73, 79
Линейные представления уравнений
120
Локальное представление решения
100

358
Предметный указатель
Матрица перехода 310
Мероморфная функция 33, 84, 234
Метод ВТК 164, 165, 171
— Вайса - Табора - Карневейля 163,
193
— Ковалевской 91, 96
— Пенлеве 100, 102
— ХиротыЗОб, 326, 331
— возмущений Пенлеве 123-125
— малого параметра 100
— многих масштабов 40
— обратной задачи рассеяния 306
— сингулярных многообразий 164
Модель Френкеля - Конторовой 45,
46
Модифицированное уравнение
Кадомцева - Петвиашвили 191
Кортевега - де Вриза 34, 144,
154, 267
Некритическая особая точка 72
Некритические полюса 75
Нелинейная оптика 42, 44
Нелинейное уравнение Шредингера
39, 159, 190
переноса 51
Неподвижная особая точка 74
Неприводимость уравнений 111
Неустойчивость Бенджамина - Фей-
ера39
Область неопределенности функции
73
Общее решение уравнения 107, 111
Оператор Хироты 326
Определитель Вронского 309
Особые точки 72, 74, 78
Отображение уравнения 150, 172
Пара Лакса 32, 122, 144, 146, 169,
271,306
Парадокс Ферми - Паста - Улама 27
Пенлеве-анализ 165
Первое уравнение Пенлеве 97, 118
Первый интеграл 107-109, 135, 222,
232, 233, 254
Переменные действие-угол 139, 140
Периодическая волна 39
Подвижная особая точка 74
Полиномы Лежандра 116
— Чебышева 116
— Эрмита 333
Полюса первого и второго порядков
75,231,258
Правило Крамера 324
Преобразование Галилея 145, 209
— Коула - Хопфа 55, 141
— Миуры 144, 148, 153, 172
Преобразования Бэклунда 51, 112-
114, 149,151, 153,284
Производная Шварца 268, 286
Прямая задача рассеяния 307
Рациональные решения 112-114,
237, 291
Резонансы 93
Решение в переменных бегущей
волны 23, 33, 48, 161, 162, 209, 230
Риманова поверхность 234
Ряд Лорана 91
— Тейлора 59, 314
Свойство Пенлеве 12, 87
Семейство уравнений АКНС 157,
160
Бюргерса 187
Кортевега - де Вриза 155, 157
Система Хенона - Хейлеса 57, 59
— уравнений Лоренца 62
Эйлера 82
Системы, интегрируемые в
квадратурах 138
Солитон 30, 31,42, 50
— Кортевега - де Вриза 34
— огибающей 43
— топологический 50
Солитонные решения 34, 325, 327

Предметный указатель
359
Спектр уравнения Шредингера 307,
312
Специальные решения 112-114, 291
— функции 85
Стационарная точка 62, 64
Странный аттрактор 62, 67
Существенно особая точка 74
— трансцендентные функции 87,
106, 107
Теория последнего множителя Яко-
би231
Тест Абловица - Рамани - Сигура
160
— Пенлеве 128
Топологический заряд 51
Топологический солитон 48, 50
Точно решаемые уравнения 120, 186
Трансцендентная особая точка 73
Трансценденты Пенлеве 85
Тэта-функция Римана 234, 265
Уединенная волна 25, 26, 30, 42, 70,
208
Упрощенное уравнение 101, 102
Уравнение sin-Гордона 44, 47, 48,
151
— Брио и Буке 81
— Буссинеска 239
— Бюргерса 51, 55
— Бюргерса - Кортевега - де Вриза
56
— Бюргерса - Хаксли 56
— Гамильтона 59, 140
— Гарри Дима 183
— Гельфанда - Левитана - Марченко
318
— Кадомцева - Петвиашвили 70,191
— Калоджеро - Дегаспериса - Фока-
са 182
— Клейна - Гордона 47
— Колмогорова - Петровского -
Пискунова 56, 162, 193
— Кортевега - де Вриза 13, 22, 23,
29,56
модифицированное 30
— Кричевера - Новикова 183
— Курамото - Сивашинского 56,208,
215
— Лапласа 16, 150
— Пенлеве 85, 111, 118
второе 87, 113
дискретное 116
первое 97, 107
— Риккати 79, 80, 106, 207
— Фишера 56
— Шредингера 145, 313
нелинейное 39, 42, 159
— непрерывности 16, 147
— типа Пенлеве 87, 96
Усеченные разложения 172, 198, 235
Условия Коши - Римана 150
Устойчивость стационарных точек
64
Фазовая скорость 35, 36
— траектория 60, 68, 140
Фазовое пространство 62
Фазовый поток 63
Формула Вайса 238, 286, 289
Функция Бесселя 116
Число Прандтля 62
— Рэлея 62
Эллиптическая функция Вейер-
штрасса 81, 103
Якоби24, 108, 131
Эллиптический интеграл 24, 99

Интересующие Вас книги нашего издательства можно заказать почтой или
электронной почтой:
subscribe@rcd.ru
Внимание: дешевле и быстрее всего книги можно приобрести через наш
Интернет-магазин :
http://shop.rcd.ru
Книги также можно приобрести:
1. Москва, ФТИАН, Нахимовский проспект, д. 36/1, к. 307,
тел.: 332-48-92 (почтовый адрес: Нахимовский проспект, д. 34).
2. Москва, ИМАШ, ул. Бардина, д. 4, корп. 3, к. 414, тел. 135-54-37.
3. МГУ им. Ломоносова (ГЗ, 1 этаж).
4. Магазины:
Москва: «Дом научно-технической книги» (Ленинский пр., 40)
«Московский дом книги» (ул. Новый Арбат, 8)
«Библиоглобус» (м. Лубянка, ул. Мясницкая, 6)
С.-Пб.: «С.-Пб. дом книги» (Невский пр., 28)
Кудряшов Николай Алексеевич
Аналитическая теория нелинейных
дифференциальных уравнений
Дизайнер М. В. Ботя
Технический редактор А. В. Широбоков
Корректор В. В. Данилова
Подписано в печать 22.12.03. Формат 60 х 84Vi6.
Печать офсетная. Усл.печ.л. 21,38. Уч. изд. л. 21,76.
Гарнитура Тайме. Бумага офсетная №1. Заказ №168.
АНО «Институт компьютерных исследований»
426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1.
Лицензия на издательскую деятельность ЛУ №084 от 03.04.00.
http://rcd.ru E-mail: borisov@rcd.ru