А. А. МАЗАНИК
РЕШИ
ИНТЕРЕСНЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ УЧАЩИХСЯ ВОСЬМИЛЕТНЕЙ ШКОЛЫ
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАРОДНАЯ АСВЕТА»
МИНСК 1972

Дорогие ребята!
В этом сборнике помещены различные по
содержанию и способам решения задачи и
примеры. Они предназначены тем из вас, кто лю-
дит математику и желает развивать свои
способности. Решая такие задачи, вы
испытаете радость творчества, ощутите красоту
и величие математики.
Наряду • с задачами на смекалку вы
познакомитесь с математическими играми,
парадоксами и софизмами. Для решения
некоторых задач (§ 5—7 из главы I, § 4, 5 из гла-
сы II) придется изучить помещенный в тех
же параграфах теоретический материал, не
рассматриваемый с достаточной полнотой в
школьном курсе математики.
Для удобства пользования сборником все
задачи распределены /ю главам, а внутри
глав — по параграфам. Задачи внутри
параграфов расположены по возрастающей степени
трудности, поэтому целесообразно решать их
3

в том порядке, в каком они даны в каждом
параграфе.
Рекомендуем шестиклассникам решать за-
дачи из первых четырех параграфов главы I и
из § 1—3 главы II, оставив остальные
упразднения для решения в VII классе.
К большинству задач даны ответы,
указания или краткие решения, что даст
возможность вам проверять правильность своих
решений.
Тем из вас, кто пожелает испробовать
свои силы в решении подобных задан,
советуем познакомиться со следующими книгами:
Я. И. Перельман «Занимательная
арифметика»,
Б. А. Кордемский «Математическая
смекалка»,
Ф. Ф. Нагибин «Математическая
шкатулка» —
и журналами «Пионер», «Юный техник»,
«Наука и жизнь» и «Квант».
В этих книгах и журналах содержится
много интересных и серьезных
математических упражнений, отдельные из которых
включены в данный сборник.

Глава I.
АРИФМЕТИКА И АЛГЕБРА
§ 1. Различные интересные задачи
1. Имеются шахматная доска из 64 клеток и косточки
домино таких размеров, что каждая косточка закрывает
точно две соседние клетки доски. 32 косточками домино
легко покрыть всю шахматную доску. Теперь удалим две
противоположные угловые клетки доски. Можно ли
оставшиеся 62 клетки покрыть 31 косточкой домино? Если
можно, то как это сделать, а если нельзя, то докажите
невозможность.
2. Внук спросил у бабушки: «Сколько тебе лет?» Она
ответила: «Каждая из двух цифр в числе моих лет равна
возрасту твоих двоюродных братьев Коли и Славы». — «Но
я не знаю, сколько им лет»,— возразил внук. «Если
сложишь вместе возраст Коли, Славы и мой, то получишь
в сумме 83»,— сказала бабушка.
Помогите мальчику определить возраст бабушки.
3. Девочка выложила по кругу 20 камешков: 10 серых
и 10 белых, и, считая по кругу в одном направлении,
брала каждый седьмой камешек. Через некоторое время все
серые камешки были взяты, а все белые остались. В каком
порядке были выложены серые и белые камешки?
4. В некотором месяце три четверга пришлись на
четные числа. Какой день недели был 26-го числа этого
месяца?
5. Учитель, идя по улице со своим учеником, встретил
трех знакомых. Когда они разошлись, учитель сказал:
«Моим знакомым, вместе взятым, в четыре раза больше
лет, чем тебе. Произведение же их лет равно 2450. Зная
это, сможешь ли ты определить возраст каждого?»
5

Ученик подумал и сказал, что необходимо еще одно
условие. «Да,— согласился учитель,— все они моложе
меня». Тогда ученик быстро дал правильный ответ.
Для ученика задача оказалась нетрудной, так как ему \
был известен возраст свой и учителя. Однако и не зная
этого, можно определить возраст не только трех знако- j
мых, но еще и возраст учителя и ученика. Попытайтесь ;
определить и вы.
Предполагается, что все числа лет — целые, меньше 100
и больше 1.
6. Во время опыта из мензурки со спиртом в мензурку
с водой перелили 50 г спирта, а потом из второй мензурки
перелили в первую 50 г смеси. Чего больше: спирта во *
второй мензурке или воды в первой?
7. Одна машинистка напечатала подряд без интервалов
натуральные числа:
123456789101112131415... . |
Если подобным образом напечатать 1000 цифр, то какая j
цифра будет последней?
8. Выписаны подряд все четные числа: |
24681012... .
Какая цифра стоит на 1971-м месте? J
9. Пишутся подряд все целые числа от 1 до 100 вклю- j
чительно. Сколько раз придется написать каждую из цифр: I
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? j
10. Заполните пустые клетки (рис. 1) так, чтобы
сумма чисел в трех любых соседних клетках как по вертика- I
ли, так и по горизонтали равнялась 12. 1
И. На рисунке 2 изображен числовой квадрат извест- |
ного математика Альбрехта Дюрера. Выделенные жирным j
шрифтом числа, взятые вместе, изображают год 1514-й, ь 1
который был составлен числовой квадрат. Это так называ- |
емый магический квадрат, ибо у него сумма чисел каждого 1
горизонтального, вертикального и диагонального рядов ]
равна одному и тому же числу 34. (Проверьте!) ]
В этом квадрате, кроме того, есть 5 квадратов по 4 I
клетки, сумма чисел которых равна 34, и другие четырех- 1
угольники, у которых сумма чисел, стоящих в вершинах, I
также равна 34. Найдите все такие четырехугольники. 1
12. Имеется магический квадрат с 9x9 клетками, каж- 1
дая из которых заполнена числами от 1 до 81. Чему рав- ]
на сумма чисел, находящихся в одном ряду? j
б

13. Найдите такие пары натуральных чисел, сумма
которых больше их произведения.
*"■' ' '
\8
5
2
1
I 16
5
9
I 4
3
10
6
15
2
11
7
14
13 |
8
12 |
/ |
Рис. 1. Рис. 2.
14. На сколько сумма всех четных чисел первой
тысячи больше суммы всех нечетных чисел той же тысячи?
15. Какое наибольшее число можно записать с
помощью двух двоек; двух троек; двух пятерок; двух
девяток?
16. 1) Произведение трех последовательных нечетных
чисел равно 105. Найдите эти числа.
2) Произведение трех последовательных натуральных
чисел равно 210. Найдите эти числа.
Примечание. Рекомендуем разложить данное
число на простые множители.
17. 1) Произведение четырех последовательных нечетных
чисел равно 945, Найдите эти числа.
2) Произведение четырех последовательных натуральных
чисел равно 360. Найдите эти числа.
18. В некоторый момент времени планеты Венера и
Меркурий занимают определенное положение относительно
звезд. Через сколько суток обе планеты будут находиться
снова в том же положении относительно звезд, если
известно, что Меркурий делает полный оборот вокруг Солнца
за 88 суток, а Венера — за 225 суток?
19. Три автобуса в 6 ч утра одновременно отправились
с автовокзала по трем разным направлениям. Первый
возвратился через 1 ч 05 мин и вновь отправился через
10 мин\ второй возвратился через 56 мин и вновь
отправился через 4 мш\ третий возвратился через 48 мин и
снова отправился через 2 мин. В какое ближайшее время
они вновь одновременно выедут с вокзала?
20. Если к искомому числу прибавить 9 и полученную
сумму разделить на 7, то в остатке получится 2/ Если
же к искомому числу прибавить 32 и сумму разделить на
7

9, то в остатке получится 5. Найдите искомое число, если I
известно, что оно больше единицы и меньше ста.
21. Числа от 1 до 1000 включительно выписаны под- !
ряд по кругу. Начиная с первого вычеркивается каждое I
пятнадцатое число (1, 16, 31, ...), причем при повторных j
обходах по кругу зачеркнутые числа также считаются. j
Сколько чисел останется невычеркнутыми? I
22. Какое число делится на все натуральные числа без |
остатка? 1
23. Имеется три листа бумаги. Некоторые из них раз- 1
рывают на три части. Из полученных листков некоторые 1
снова разрывают на три части и так далее. При подсчете I
оказалось 34 листка. Правильно ли был произведен под- I
счет? 1
24. Докажите, что число 444 ... 44, записанное толь- 1
ко четверками, не делится на 8, сколько бы там ни было 1
четверок. ]
25. Можно ли подобрать вместо точек такие цифры, I
чтобы число ... 08 было точным квадратом? I
26. Ученик, решая задачу, должен был некоторое число I
разделить на 2 и к полученному частному прибавить 3. j
Вместо этого он по ошибке умножил это число на 2 и от 1
полученного произведения отнял 3. Несмотря на это, по- j
лучился верный ответ. Какое число надо было делить |
на 2? 1
27. Шестиклассники и семиклассники создали две бри- |
гады для озеленения своего населенного пункта. Каждой
бригаде нужно было посадить по 350 саженцев.
Шестиклассники за 1 ч высаживали 50 деревьев, а
семиклассники— 60 деревьев. Через сколько часов шестиклассникам
останется посадить вдвое больше саженцев, чем
семиклассникам? 1
28. Разность двух чисел 57. Если у большего числа 1
зачеркнуть цифру единиц, равную 3, то получим меньшее 1
число. Найдите эти числа. 1
29. Сумма двух чисел равна 136. Если у одного из них ]
зачеркнуть цифру единиц, равную 4, то получим второе I
число. Найдите эти числа. I
30. Сумма двух чисел 78 293. В большем из них цифра 1
единиц — 5, цифра десятков—1, сотен — 2. Если эти циф- I
ры зачеркнуть, то получим меньшее число. Найдите эти 1
числа. 1
31. Если в неизвестном числе зачеркнуть крайнюю спра- 1
8

ва цифру 2, то число уменьшится на 31 061. Найдите это
число.
32. Если к двузначному числу слева и справа
приписать по единице, то оно увеличится в 21 раз. Найдите
это двузначное число.
33. Некоторое число оканчивается цифрой 3. Если эту
цифру переставить в начало числа, то число увеличится в
два раза. Найдите наименьшее такое число.
34. Шестизначное число оканчивается цифрой 4. Если
эту цифру переставить из конца числа в начало, то есть
приписать ее перед первой, не изменяя порядка остальных
пяти, то получится число, которое в четыре раза больше
первоначального. Найдите такое число.
35. 1) Найдите четырехзначное число, которое после
умножения на 9 дает число, написанное теми же цифрами,
но в обратном порядке.
2) Найдите пятизначное число, которое от
перестановки всех цифр в обратном порядке увеличивается в 9 раз.
36. Четырехзначное число оканчивается цифрой ^4. Если
эту цифру перенести в начало числа, то число уменьшится
на 612. Найдите это число.
37. 1) На какое наименьшее число нужно умножить
12 345 679, чтобы получить число, состоящее из одних
пятерок?
2) На какое наименьшее число нужно умножить
333 667, чтобы получить число, состоящее из одних
восьмерок?
38. Определить число А по двум операциям деления,
где вопросительные знаки обозначают цифры от 0 до 9.
????????? | ???
~ ? ? ? ?????? = А
? ? ? ?
~~ ? ? ?
?????? | 2?
?JJ 1 ? ? ? 6
_? ? ?
? ?
? ? ?
~? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
~? ? ?
р ? ? ?
";> р ? ?
А =
9

39. Определить четырехзначное число, если:
а) деление этого числа на однозначное производится по
схеме:
? ? ? ? | ?
—? ? ? ? ?
? ?
"? ?
б) деление этого числа на другое однозначное число
производится по схеме:
? ? ? ? | ?
— ^
? ? ?
? ?
? ?
40. Расшифруйте два ребуса по двум действиям, в
которых одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры
(в обоих примерах!):
+
А Б В
В В
А А Б
А Б В
х В В
А Б В
А Б В
АГАВ
41. В пустые клетки «числового коврика» (рис. 3)
впишите числа так, чтобы все восемь примеров (по столбцам
и по строкам) были решены
правильно.
42. В следующем «числовом
коврике» все числа по столбцам
складываются. Найдите все
цифры, обозначенные знаком «?».
К
ш*
+
+
■>
I
+
шт
Рис. 3.
?0 : 2 + ? = ?
14 :? —?= 3
?? — ? — 2 = 7
?6_?_?0 = ??
10

43. Перед вами девять карточек с цифрами (рис. 4):
□ИИИИ0ИИИ
Рис. 4.
Замените ими пустые карточки (рис. 5) так, чтобы
получились верные равенства.
Рис. 5.
44. Во время зимних каникул пионеры решили провести
туристский поход по местам боевой славы партизан. 20 мх-
нут заняли сборы, столько же пионеры шли на лыжах
вдоль дороги. Затем прошли лесом 18 км, после чего им
осталось пройти половину того расстояния, которое они
прошли лесом. После небольшого отдыха оставшуюся часть
пути они прошли за 1 час. Каково расстояние от места
сбора до конечного пункта, если скорость движения на
лыжах считать постоянной?
45. Автомашина выехала из пункта А в пункт В.
Через 4 ч оказалось, что оставшаяся часть пути на 64 км
меньше пройденной. Увеличив скорость на 8 км/ч,
автомашина проехала оставшийся путь за 2 ч. Определите
расстояние между пунктами А и В.
46. Петя ехал в автобусе и из окна увидел Мишу,
который шел навстречу автобусу. Через полминуты автобус
остановился и Петя побежал догонять Мишу. Через
сколько минут Петя догонит Мишу, если он бежит в 8 раз
медленнее автобуса, но в три раза быстрее, чем идет Миша?
47. Во время соревнований один велосипедист проехал
всю дистанцию с постоянной скоростью 20 км/ч. Другой
велосипедист первую половину своего времени ехал со
скоростью 24 км/ч, а вторую половину — со скоростью
16 км/ч. Который из них оказался победителем?
11

48. На гонках один велосипедист проехал всю
дистанцию с постоянной скоростью 20 км/ч. Другой велосипедист
первую половину пути ехал со скоростью 24 км/ч, а
вторую— со скоростью 16 км/ч. Который из них оказался
победителем?
49. Двое путников одновременно вышли из А в В.
Первый из них половину времени шел со скоростью
5 км/ч, затем пошел со скоростью 4 км/ч. Второй же
путник периую половину пути шел со скоростью 4 км/ч,
а затем — 5 км/ч.- Который из путников раньше
пришел в В?
50. В двух аквариумах было по определенному числу
рыбок. Если из первого аквариума переместить во второй
столько рыбок, сколько было во втором, затем из второго
аквариума столько, сколько в первом осталось, и наконец
из первого во второй столько, сколько во втором осталось
к этому времени, то в каждом аквариуме окажется по 16
рыбок. Сколько рыбок было в каждом аквариуме
первоначально?
51. Петя и Коля коллекционировали почтовые марки.
Если бы Петя дал Коле столько марок, сколько собрал
Коля, а затем Коля отдал Пете столько, сколько осталось
у Пети, то в результате у Пети было бы на 30 марок
больше, чем он собрал, а у Коли в три раза меньше, чем
он собрал. Сколько почтовых марок собрали Петя и Коля
в отдельности?
52. Имеется 16 палочек длиной в 1 см, 16 палочек
длиной ъ 2 см к 15 палочек длиной в 3 см. Можно ли из
всех палочек этого набора сложить прямоугольник?
53. Комната имеет форму куба. В верхнем углу, у
потолка, сидит паук, а в противоположном углу внизу, у
пола, муха. Каким кратчайшим путем должен ползти паук,
чтобы добраться до мухи?
54. Прямоугольный параллелепипед, длина которого 5 дм,
ширина 4 дм и высота 3 дм, покрасили со всех сторон и
разрезали на кубические дециметры. Сколько получилось
кубиков, у которых окрашено четыре грани; три грани; две
грани и ни одной грани?
55. Железный кубик весит 1 кг. Сколько весит
железный кубик, ребра которого в 5 раз меньше ребер данного
куба?
56. Возьмите небольшой прямоугольный лист бумаги и
ножницы. Сколько прямолинейных разрезов надо сделать, что-
12

бы получить четыре куска? Складывать бумагу и разрезать
одновременно два куска не разрешается.
57. Прямоугольная плитка шоколада разделена
углублениями на 3x4 маленьких прямоугольника. Сколько раз
нужно разламывать шоколад, чтобы разделить его на эти
маленькие прямоугольники?
А если бы было 4x6 маленьких прямоугольников?
58. Дан куб с ребром 3 дм. Разрежем его на кубики с
ребром 1 дм. Сколько таких кубиков получим? Сколько
при этом нужно будет сделать разрезов?
59. Натуральные числа от 1 до 100 включительно
разбиты на два класса: четные и нечетные. Определите, в
каком классе и на сколько сумма всех цифр, использованных
для записи чисел класса, больше.
60. 99 лошадей разместили в 15 конюшнях. Почему
хотя бы в одной конюшне будет обязательно нечетное число
лошадей?
61. Можно ли ходом шахматного коня попасть из
левого нижнего угла в правый верхний, побывав на каждом
поле 64-клеточной шахматной доски только один раз? .
62. На классной доске написаны натуральные числа:
1, 2, 3, 4, ..., 1970.
Разрешается стереть любые два числа, записав вместо этих
чисел их разность. Докажите, что многократным
повторением такой операции нельзя добиться того, чтобы на доске
остался лишь нуль;
Рекомендуем проверить вначале для чисел от 1 до 10.
63. Какие из следующих высказываний истинны, а
какие ложны?
1) Всякая береза есть дерево; это не береза,
следовательно, это не дерево.
2) Если число оканчивается нулем, то оно делится на
5; число не оканчивается нулем, следовательно, оно не
делится на 5.
3) Если число оканчивается нулем, то оно делится на
10; число не оканчивается нулем, следовательно, оно не
делится на 10."
64. Верны ли утверждения:
1) Если 10 делится на 3, то и 100 делится на 3;
2) Если 9 не делится на 3, то и 81 не делится на 3?
65. Известно, что если число делится на 2 и делится
на 3, то оно делится на 6. Можно ли утверждать, что
13

если число делится на 2 и не делится на 6, то оно не
делится на 3?
66. Сколько целых четырехзначных чисел можно
записать двумя единицами и дьумя нулями?
67. Сколько целых семизначных чисел можно записать
тремя единицами и четырьмя нулями?
68. У скольких пятизначных чисел сумма цифр равна
двум; трем?
69. Девять различных цифр (кроме нуля), написанных
на отдельных карточках, розданы трем лицам, по три
каждому, так, что сумма цифр у каждого одна и та же. Из
этих цифр каждый составил наименьшее трехзначное число
и записал его.
После этого карточки смешали и роздали таким же
образом, как и в первый раз. Оказалось, что каждый
получил по одной цифре, уже бывшей у него в первый
раз, и сумма полученных каждым цифр одинакова.
Каждым вновь было составлено наименьшее трехзначное число
и сложено с предыдущим. В результате у всех трех
получились суммы, равные 516. Какие числа были составлены
каждым?
70. Имеется два сосуда. Один на 5 л, а другой на
7 л. Как с помощью этих сосудов отмерить 4 л воды из
водопроводного крана?
71. В бочке имеется 16 л бензина. Как разделить его
на две равные части по 8 л, имея ведра вместимостью
11 л и 6 л?
Как разделить те же 16 л пополам, имея два ведра
вместимостью 9 л и 7 л?
72. Имеется пять кубиков, которые отличаются друг от
друга только цветом: 2 красных, 1 белый и 2 черных.
Есть два ящика А и В, причем в А помещается 2 кубика,
а в В— 3 кубика. Сколькими различными способами можно
разместить эти кубики в ящиках А и В?
73. Решите предыдущую задачу, если имеется 4
красных, 2 белых и 2 черных кубика, причем в ящик А
помещается 3 кубика, а в ящик В — 5 кубиков.
74. Великий русский математик Николай Иванович
Лобачевский родился в 1792 г. Детство, -g- всей жизни,
он провел в Нижегородской губернии, После того как
-т- часть его жизни прошла в неустанной учебе и труде, ему
14

Сыло присвоено звание профессора математики Казанского
5
университета. Спустя -^ своей жизни, он сделал сообщение
об открытии новой геометрии, носящей теперь его имя.
Через 3 года в «Казанском вестнике» был опубликован его
первый труд по новой геометрии, после чего остальные
27 лет жизни ученый упорно трудился над дальнейшим
развитием своих идей.
Определите год, в котором Николай Иванович впервые
доложил о своей работе.
75. В трех шестых классах 102 ученика. Число
учеников класса «Б» составляет -§- числа учеников класса «А», а
число учеников класса «В» равно 4g- числа учеников
класса «Б». Сколько учеников учится в каждом классе?
76. Трое рабочих получили премию. Первый получил
24 „ „7
Yf суммы, полученной всеми тремя; второй — -g- того,
что получил первый. По дороге домой каждый из них
купил подарки своим детям. Первый израсходовал -jg- полу-
7 „ 5
ченных им денег; второй — -кг своих денег; третий ~-
полученных им денег. Все подарки стоили 52 руб. 50 коп.
Сколько денег получил каждый рабочий?
77. Найдите число, если известно, что: а) половина —
треть его; б) треть — половина его.
4 4
78. Кочан, капусты на -^ кг тяжелее -=- этого
кочана. Сколько весит этот кочан капусты?
79. Четыре товарища купили футбольный мяч. Первый
1 „1
внес -j- всей суммы, второй — того, что внесли все его
товарищи, третий j- того, что внесли все его товарищи,
а четвертый — 50 копеек. Сколько стоит футбольный мяч?
80. Два сосуда вместимостью 144 л и 70 л содержат
некоторое количество воды. Если больший сосуд долить
доверху водой из второго сосуда, то в последнем останется
еще 1 л воды. Если же долить доверху меньший сосуд
водой, то в большем останется -j- первоначального
количества воды. Сколько литров воды содержится в каждом
сосуде?
15

81. При сложении двух десятичных дробей по ошибке
во втором слагаемом поставили запятую на одну цифру
правее, чем следовало, и получили в сумме 49,1 вместо
27,95. Определите слагаемые.
82. Как изменится частное, если делитель уменьшить
на -=- его величины?
о
83. Найдите несократимую дробь, которая
увеличится в четыре раза, если к числителю прибавить знаменатель.
13
84. Дана дробь-tq-. Какое число нужно прибавить к
5
обоим членам этой дроби, чтобы она обратилась в -=-?
19
85. Дана дробь -ц-. Какое число надо отнять от обоих
2
членов ее, чтобы получить дробь -=-?
86. В корзине были яблоки. -Сначала из нее взяли
половину яблок без 5 яблок, затем -g- оставшихся яблок и
еще 4 яблока, после чего осталось 12 яблок. Сколько
было яблок в корзине?
87. Как быстро установить, что дроби
41 . 4141 414141 ,>
77 ; 7777 ' 777777 PaBHbL
37 377
88. Какая дробь больше: -^- или g^?
89. Докажите, что
ЬЗ"1" 3-5"1" 5-7 "*" 7-9"г •*• "Г 99-101 101"
90. Восстановите знаки действий, обозначенные
вопросительным знаком:
а) 37,3 ? -~
б) 0,375 ? JL
в' То • И
= 74—-
= 0,4;
= 0,75;
г) 0,46?-^ = 4-.
20
16

91. Восстановите числители и знаменатели, обозначенные
вопросительными знаками. Учтите, что возможны
различные решения. В конце книги приведен один из возможных
ответов.
) J. - = -£-
'' ? 9 36
9 >_ _ \7_
? 21 ~ 42 в
92. Как известно, цены на овощи и фрукты
изменяются в зависимости от времени года. В сентябре цена на
один из сортов яблок была снижена по сравнению с
июлем на 20%, а в ноябре — повышена на 20% по
сравнению с ценой в сентябре. Подешевел или подорожал этот
сорт яблок по сравнению с июлем?
93. В бассейн проведена труба. Когда трубу частично^
перекрыли, приток воды через нее уменьшился на 10%.
На сколько процентов больше потребуется в этом случае
времени для наполнения бассейна?
94. В начале учебного года в школе мальчиков и
девочек было поровну. В течение первой четверти в школу
было принято еще 15 девочек и 5 мальчиков, в результате
число девочек уже составляло 51% от числа всех
учащихся. Сколько было девочек и сколько мальчиков в начале
учебного года?
95. Шестиклассники решили провести лыжную прогулку
в лес. Первоначально девочек было 25% от числа всех
участников. Но одна девочка не пришла, а вместо нее
пришел один мальчик, и тогда уже число девочек
составило только 20% от числа всех участников. Сколько девочек
и сколько мальчиков участвовало в лыжной прогулке?
96. Для учащихся, принимавших участие в
военизированной игре «Зарница», организовали экскурсию в
Брестскую крепость. Предполагалось, что девочек будет 25%
от числа мальчиков. Одна девочка не пришла, и вместо
нее взяли мальчика, в результате чего число девочек со-
а)
б)
в)
г)
д)
5
?
1
__
?
8
?
5
5
?
?
3
?
~т
1
?
2
?
?
4
—
=
—
1
6 ;
1
тт;
3
8 '
2
15'
1
12 »
17

ставило только 20% от числа мальчиков. Сколько девочек
и мальчиков участвовало в этой поездке?
97. В одном из отрядов, участвовавших в игре
«Зарница», число девочек составляло 5% от числа мальчиков.
Когда группа мальчиков в 150 человек ушла в обход
«противника», число девочек составило уже 8% от числа
оставшихся мальчиков. Сколько девочек и сколько
мальчиков было в отряде?
98. В 100 г раствора имеется 1% соли. После
испарения стало 2% соли. Сколько весит этот 2-процентный
раствор соли?
99. Объем строительных работ в городе в предстоящем
году увеличится на 30%, а производительность труда
строителей будет увеличена на 10%. На сколько
процентов нужно увеличить число рабочих?
§ 2. Рациональные числа
100. Какие из следующих высказываний истинны:
гл \n\-\ а> если а > °>
*) |я|-|_а> если а < 0;
*\ \п | - / а> если а > °>
о) 1а1-|_а> если а < 0;
п\ \п\- i й> еСЛИ а > °'
в) \а\- |„а, если а<0?
101. Вычислите следующие выражения:
\а\+а; \а\—а\ ^.
102. Если а > 6, может ли быть а2 < б2?
103. В каком случае квадраты неравных между собой
чисел равны?
104. В следующих предложениях вместо многоточия
поставьте слова «необходимо, но недостаточно» или
«достаточно, но не необходимо», а где можно — «необходимо
и достаточно», чтобы получились верные утверждения:
1) Для того чтобы а2 = Ь2У..., чтобы а = Ь.
2) Для того чтобы а2 = б2,..., чтобы | а \ = | b |.
3) Для того чтобы а3 = Ь3,..., чтобы а = Ь.
4) Для того чтобы а3 = Ь39..., чтобы | а \ = | Ь |.
18

5) Для того чтобы а = 6,..., чтобы а2 = Ь2.
6) Для того чтобы | а | = | Ь |,,. *, чтобы а2 = б2.
7) Для того чтобы а = 6,..*, чтобы а3 = б3.
8) Для того чтобы | а | = | b |,..., чтобы а3 = б3.
105. Докажите следующие свойства модуля числа:
|а.&| = |а|.|Н
|а + 6|<|а| + |6|.
106. Докажите, что каковы бы ни были числа а и bt
число | а — Ь\ равно расстоянию между точками а и b на
числовой прямой.
107. Используя предыдущее утверждение (задача № 106),
решите уравнение \х — 2|= 1.
108. Обозначьте на числовой прямой множество чисел,
удовлетворяющих следующим неравенствам:
а) |* —2|<3;
б) |х| >&
109. Решите следующие уравнения:
а) |х-3| = 2;
б) |х+11 = 0;
в) | л: — 31 == — 1;
г) |*| = 6;
д) | х | = За: — 2.
ПО. Упростите следующие выражения:
а) |а-3|-|а-2|;
б) |2а+1| + |За —5|.
111. Решите следующие уравнения:
а) |*_1| + |*-2| = 1;
б) |2*+1| —|3 — *| = |х —4|.
112. Какие из следующих высказываний истинны:
а) 3 < 5, 3 = 5, 3 < 5;
б)—2> —5, — 2 = — 5, —2>—5;
в) 3 < 3, 3 > 3, 3 < 3, 3 > 3?
113. При решении одного примера Коля и Петя
установили, что неравенство а < 0 не имеет места. Коля сде-
19

лал вывод, что а — число положительное, а Петя
утверждал, что а — неотрицательное число. Кто из них прав?
Какому неравенству удовлетворяет число а?
114. Запишите, какому неравенству удовлетворяет
число х, если известно, что это число не удовлетворяет
следующему нераьенству:
а) х < 3;
б) х < 2;
в) 0<jc<2;
г) |*|>1.
115. Укажите различные известные вам способы
разбиения множества рациональных чисел на дьа класса без
общих элементов.
116. Всякое рациональное число можно представить в
виде частного -|- двух целых чисел, где b Ф 0. Если а
делится на Ь без остатка, то частное — целое число. Мож<
но ли утверждать, что каждому рациональному числу
соответствует частное двух целых чисел и притом
единственное?
117. Найдите два рациональных числа таких, чтобы их
сумма, произведение и частное были равны между собой.
118. Вы знаете, что во множестве рациональных чисел
всегда выполнимы все четыре основные математические
операции: сложение, вычитание, умножение и деление,
исключая деление на нуль. Какая из этих операций не
всегда выполнима во множестве положительных и
отрицательных чисел (то есть во множестве рациональных чисел без
числа нуль)?
119. Какие из четырех основных операций не всегда
еыполнимы: а) ео множестве положительных чисел; б) во
множестве отрицательных чисел; в) во множестве дробных
чисел?
120. Какие из четырех основных операций не всегда
выполнимы во множестве целых чисел?
Решая эту задачу, вы установили, что во множестве
целых чисел всегда еыполнимы лишь три операции:
сложение, вычитание и умножение. Деление же не всегда
выполнимо. В связи с этим в математике рассматриваются
вопрссы делимости чисел, с которыми прямо или косвенно
связаны многие проблемы теории целых чисел.
20

Заметим, что в исследованиях целых чисел одно из
ведущих мест занимали русские, а позднее советские
ученые. Достаточно назвать Петербургскую научную школу,
созданную великим русским математиком Пафнутием
Львовичем Чебышевым (1821—1894 гг.). Велико значение
работ советского академика, Героя Социалистического Труда
Ивана Матвеевича Виноградова (род. в 1891 г.) — одного
из величайших творцов арифметической науки нашей эпохи.
Рассмотрим более подробно некоторые вопросы
делимости целых чисел, причем для краткости в дальнейшем
вместо слов «целое число» будем говорить просто «число».
12Ь Если каждое из слагаемых делится на одно и то
же число, то и их сумма разделится на это число.
Доказательство этой теоремы для двух слагаемых вам
известно из курса математики V класса. Докажите эту же
теорему для трех слагаемых.
Г22. Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на одно
и то же число, то и их разность разделится на это число.
Докажите.
123. Докажите следующие утверждения:
1) Если а делится на 6, то и а • х делится на Ь при
любом целом х.
2) Если а делится на & и с делится на Ь, то а • х +
+ с • у делится на b при любых целых хну.
3) Если а делится на Ь • с, то а делится на b и а
делится на с.
4) Если а делится на b и b делится на с, то а делится
на с.
124. Верны ли высказывания:
1) Если сумма двух чисел есть число четное (делится
па 2), то каждое слагаемое есть число четное;
2) Если одно из двух слагаемых есть число четное и их
сумма — число четное, то второе слагаемое есть число
четное?
125. Докажите, что если одно из слагаемых не
делится, а остальные делятся на одно и то же число, то их
сумма не разделится на это число.
126. При делении на 5 числа а в остатке получается
3, при делении числа b на 5 в остатке получается число
3, а при делении на 5 числа с в остатке получается
число 2. Какой остаток получится при делении на 5
разнести а— b и разности а — с?
21

127. Докажите, что, для того чтобы разность а — с де- J
лилась без остатка на 6, необходимо и достаточно, чтобы 1
остатки от деления а и с на b были равны между собой. I
128. Верны ли утверждения: 1
1) Если число не делится на 2, то оно не делится и I
на 4; |
2) Всякое число, не делящееся на 4, не делится и на 2? I
129. Разность двузначного числа и числа, записанного!
теми же цифрами, но в обратном порядке («обращенное» 1
число), делится на 9. Докажите. 1
130. Найдите двузначное число, сумма цифр которого 1
13, если известно, что разность искомого числа и «обра-1
щенного» выражается числом, цифра единиц которого 1
есть 7. I
131. Почему не существует числа, которое при делении!
на 15 дает в остатке 6, а при делении на 24 дает в ос-1
татке 4? 1
132. Докажите, что: а) (п + 15) • (п + 10) есть четное!
число при всех целых п\ б) для любых целых чисел а и Ь I
число ab {а + Ь) всегда четное. I
133. Докажите, что: а) произведение двух последова-1
тельных целых чисел делится на 2; б) произведение трех I
последовательных целых чисел делится на 3. ]
134. Докажите, что если а число целое, то: а) а2 — а\
делится на 2; б) а3 — а делится на 3. I
135. Докажите, что произведение любых 101 последо-1
вательных целых чисел (не обязательно начинать с едини-1
цы) делится на 101. I
136. Дано 120 последовательных натуральных чисел!
начиная с любого натурального числа. Известно, что их!
сумма не делится ни на 3, ни на 5, ни на 8. Докажите, I
что эту сумму можно сделать делящейся на 3, 5 и 8 од-1
новременно, если умело исключить одно из слагаемых. I
137. Докажите, что сумма четного числа первых чисел I
натурального ряда делится на натуральное число, следую-1
щее за наибольшим из слагаемых. 1
138. Докажите, что числа Зп+l и 2я+1 взаимно!
простые при любом целом п. ]
139. Докажите, что дробь, дополняющая несократимую ]
правильную дробь до единицы, несократимая. |
140. Если число а делится на произведение Ь • с, то а 1
делится и на Ъ, и на с. Справедливо ли обратное утверж- ]
дение, то есть можно ли утверждать, что если а делится ]
22

на Ь и делится на с, то а делится на b • с? Приведите
примеры.
Решая предыдущую задачу, получаем, что число а
может делиться и на 6, и на с, но не делится на их
произведение. Например, 36 делится и на 4, и на 6, но не
делится на 4 • 6 = 24.
Но если b и с взаимно простые числа, то в этом
случае а всегда делится и на b • с. Рекомендуем запомнить,
что если число а делится порознь на два числа b и с,
которые взаимно простые, то а делится и на их
произведение b • с.
Используя это утверждение, решите задачи № 141—147.
141. Докажите следующие утверждения:
1) Произведение трех последовательных целых чисел
делится на 6.
2) Произведение четырех последовательных целых чисел
делится на 24.
3) Произведение пяти последовательных целых чисел
делится на 120.
142. Установите, что если а — целое число, то:
а) а3— а делится на 6;
б) аъ — 5а3 + 4а делится на 120;
в) -f—!—2—'—б~ есть целое число-
143. Докажите, что я3 + 11я делится на 6 при любом
целом п.
144. Докажите, что произведение
1.2.3-4. ... -19
(коротко оно записывается 19! и читается «19 факториал»)
делится на 820 125.
145. Докажите следующие три предложения:
1) Всякое простое число, большее 3, при делении на 6
дает в остатке либо 1, либо 5.
2) п2 — 1 делится на 24, если п — простое число,
большее 3.
146. Докажите, что при любом четном п число п3 + 20п
делится на 48.
147. Докажите, что ни при каком натуральном п:
а) п2 + 1 не делится на 3; б) п2 — 3 не делится на 5.
23

§ 3. Математические игры
и софизмы
В этом параграфе вы познакомитесь с некоторыми
математическими играми. Это задачи, в которых требуется
найти определенную закономерность, знание которой
позволяет одному из играющих всегда выигрывать. При этом -
надо помнить,, что ваш расчет не должен зависеть от
случайных ошибок противника, так что всегда нужно
рассматривать самый неблагоприятный для себя случай.
Предлагаемые игры сравнительно просты по
математическому содержанию, причем они таковы, что каждый из
вас сможет играть в них и один. Главное — найти способ/
приводящий к выигрышу. В большинстве случаев
начинающий игру первым же ходом может обеспечить себе победу. ■
148. Двое играют в такую игру: первый называет лю-1
бое число от 1 до 10 включительно, второй прибавляет]
к нему еще какое-нибудь число, не большее десяти, и на- ]
зывает сумму; к этой сумме первый прибавляет снова ка- 1
кое-нибудь число от 1 до 10, опять называет сумму и так 3
далее. Выигрывает тот, кто первым назовет число 100. I
Какие числа должен называть первый, чтобы независи-1
мо от ходов второго выиграть? 1
Решение. Для отыскания решения удобно начинать]
рассуждение с конца. Очевидно, что^ первый предпослед-1
ним числом должен назвать 89=100 — (10+1). Только!
в этом случае, какое бы число ни назвал второй, получить 1
100 он не сможет. Заменяя теперь первоначальное число]
100 на 89, получим, что первый перед этим ходом должен]
назвать обязательно число 89 — (10 + 1) = 78, ибо в про-]
тивном случае второй сможет выиграть. Рассуждая анало-]
гично и далее, получим для первого следующий ряд чисел, 1
всегда приводящий к выигрышу: 100, 89, 78, 67, 56, 45, ]
34, 23, 12 и 1. 1
Заметим, что, если первый хотя бы один раз отклонит-1
ся от этого ряда чисел, второй может перехватить иници-1
ативу и выиграть. ]
149. Рассмотрите ту же игру, если называть разрешает- \
ся всякий раз числа от 1 до 9 включительно, а
выигрывает тот, кто первым назовет число 81.
150. Рассмотрите еще один частный случай этой игры. ]
Каждый играющий может называть числа от 1 до 9 вклю-1
чительно. Выиграет тот, кто первым назовет число 100. |
24
!

Кто в этом случае при правильной игре может всегда
выиграть?
151. Теперь рассмотрите общий случай этой игры.
Играют двое: первый называет натуральное число от 1
до р включительно; второй прибавляет к нему еще какое-
нибудь натуральное число, не большее р, и называет
сумму; к этой сумме первый вновь прибавляет натуральное
число, не большее р, и называет сумму и так далее.
Выигрывает тот, кто первым назовет натуральное число п.
Определите, в каком случае всегда может выиграть
первый, а в каком — второй.
152. Как надо поступать каждому из играющих, если
в предыдущей игре (задача № 151) условиться, что тот,
кто первым назовет число не меньшее я, проигрывает?
Вначале рассмотрите эту задачу с числовыми данными,
приведенными в задачах № 149 и 150.
153. 1) Возьмите 18 спичек, разложите их на столе и
проведите с товарищем такую игру. Каждый из двух
играющих по очереди берет спички. За один раз можно брать
сдну, две, три или четыре спички. Выигрывает тот, кто
берет последнюю спичку. Рассчитайте, сколько спичек
должен брать начинающий игру, чтобы всегда выиграть.
2) Рассмотрите эту же игру, если первоначально было
взято 25 спичек.
154. Обобщим предыдущую задачу.
Из кучки в т спичек А и В берут поочередно спички,
но не более р спичек за один раз. Выигрывает тот,
кто берет последнюю спичку. Рассчитайте ходы
противников, ведущие к выигрышу.
155. Рассмотрите задачу № 154 при условии, что
выигрывает тот, кто заставит противника взять последнюю
спичку.
156. Из двух кучек, в которых содержится
соответственно тип спичек, А и В берут поочередно спички. Из
любой одной кучки разрешается брать любое число спичек,
а если брать из двух кучек, то обязательно поровну из
каждой кучки. Выигрывает тот, кто берет последнюю
спичку.
Рассмотрите несколько частных случаев, считая т
равным 0, 1, 2 и 3, и выясните, когда, в зависимости от /г,
где п > ш, выигрывает Л, начинающий игру.
157. Двое играют в следующую игру. Вначале первый
игрок называет какое-нибудь из чисел: 2, 1, —1, —2,
25

— 3, —4, —5, —6. Затем его партнер прибавляет к
этому числу еще какое-нибудь число из этих восьми чисел.
После этого первый игрок вновь выбирает какое-нибудь
число (из указанных восьми) и прибавляет его к
полученной ранее сумме и так далее. При этом все время нужно
выбирать только положительные числа или только
отрицательные. Победителем считается тот, кто первым назовет
число, равное по абсолютной величине числу 50.
Например, если оба игрока выбрали отрицательные
числа, игра может развиваться так:
1 -й игрок
2-й игрок
—6
—12
—16
—21
-22
-28
—29
—33
-35
—36
—40
—43
-45
—50
Победил второй игрок.
Подумайте, существуют ли в этой игре такие правила,1
придерживаясь которых всегда можно выиграть. Кто
победит при этом: игрок, делающий первый ход, или его
партнер?
Софизмом называется умышленно ложное
умозаключение, которое имеет видимость правильного.
Обычно в математических софизмах скрыто
выполняются запрещенные действия или не учитываются условия
применимости правил, формул или теорем. Весьма
интересно найти ошибку в рассуждении, которая приводит к
абсурдному выводу, причем, как вы убедитесь позже, это
не всегда просто и легко сделать. Великий русский
ученый И. П. Павлов говорил, что «правильно пцнятая
ошибка— это путь к открытию».
Рассмотрим вначале несколько простейших примеров
софизмов с подробными разъяснениями.
158. Докажем, что 5 = 6.
Легко проверить справедливость равенства:
35+ 10 — 45-42+ 12 — 54,
которое можно записать так:
5.(7 + 2 — 9) = 6- (7 + 2 — 9).
26
I

(Вынесли общий множитель за скобки.) Мы видим,
что произведения равны и вторые сомножители равны,
значит, и первые сомножители равны: 5 — 6.
Объяснение. Ошибка в наших рассуждениях
состоит в том, что мы сделали вывод о равенстве первых
сомножителей у равных произведений при условии раьенства
вторых сомножителей, что не всегда верно. Такое
утверждение верно лишь тогда, когда эти равные вторые
сомножители отличны от нуля и мы можем обе ч^сти равенства
разделить на это число. В случае же нуля всегда а • О =
:= 6 .0 = 0 при любых а и bf так что не обязательно,
чтобы а = 6.
159. А вот доказательство того, что 4 = 5.
Возьмем два числа а = 4 и b = 5, их полусумму
обозначим через с = а g . Тогда а = 2с — b и 2с — а = Ь.
Перемножим эти равенства почленно, получим: а2 — 2ас =
= Ь2 — 2Ьс. Прибавим к обеим частям по с2, будем иметь:
а2 — 2ас + с2 = Ь2 — 2Ьс + с2 или (а — с)2 = (6 — с)2.
Значит, а — с = b — ct откуда а = 6, то есть 4 = 5.
Объяснение, Если квадраты чисел равны, то сами
числа не обязательно равны, они могут быть и
противоположными. Поэтому равенство а — с = Ь — с неверно,
должно быть с — а = b — с или а — с = с — Ь.
В последующих примерах этого параграфа
самостоятельно найдите ошибки в приведенных «доказательствах».
160. Известно, что а2 — Ь2 = (а — Ь) (а + 6), каковы бы
ни были числа а и Ь. Взяв Ь = а, будем иметь: а2 — а2 =
= (а + а)(а — а) или а (а — а) = (а + а)(а — а). В обеих
частях равенства имеем равные сомножители а — а,
поэтому а = a -f- а или а = 2а, откуда -у = а, то есть половина
равна целому.
•161. Возьмем два равных положительных числа а и Ь.
Равенство а = b умножим почленно на а и вычтем из
обеих частей по Ь2, получим: а2 — b2 = ab — б2.
Разлагая на множители, найдем, что (а + Ь) (а — 6) =
= b (a — 6). Вторые сомножители у этих равных
произведений равны, значит, а + b = b. Но по условию b = а,
откуда 2а — а. Получили, что любое число равно его
половине. *"
162. Возьмем произвольное положительное число b и
число а, в полтора раза большее Ь. Тогда а = 1,5Ь, по-
27

этому 10а=156и 14а = 216, откуда 14а—10а = 216—1
— 156 или 156— 10а = 216— 14а, значит, 5(36 — 2а) = 1
= 7(36 —2а). 1
Сокращая на 36 — 2а, получим, что 5 = 7. 1
163. Очевидно, что 9 + 5 = 2-7. Умножим обе части I
этого равенства на 9 — 5, получим: 92 — 52 = 2-7-9 — I
— 2-7-5 или 92 — 2- 7*. 9 ~=52 — 2- 7- 5. Прибавим к 1
обеим частям полученного равенства по 49 =■ 72. Тогда бу-1
дем иметь: (9 — 7)2 = (5 — 7)2. |
Но если квадраты равны, то и сами числа равны, по-1
этому 9 — 7 = 5 — 7, значит, 9 = 5. I
164. Пусть х = 5, а у = 4, тогда х + у = 9. Умножим 1
обе части равенства на х — у, получим: х2— у2= 9х— 9у или I
81 я
х2— 9х = у2— 9у. Прибавив к обеим частям равенства по —, 1
9 9 9 1
будем иметь: (х ^)2 = (у ^)2, откуда х ~ = у—Ш
9 с л I
2~, значит, х = у, то есть 5 = 4. I
165. На одном из заседаний математического кружка,!
посвященном алгебраическим софизмам, Коля взялся «до-1
казать», что все числа равны между собой. Так как это 1
весьма невероятный факт, то он привел три доказательст-1
ва. Разберитесь в них. I
1) Пусть а и 6 — любые два числа, причем а > 6. Обо- I
значим а — 6 = с, где с — положительное число. Значит, 1
а = b + с. Умножим обе части этого равенства на положи-1
тельное число а — 6 и преобразуем полученные выражения: I
а2 — аб = аб -\- ас — Ь2 — 6с; а2 — аб — ас = аб — б2 — be; 1
а (а — 6 — с) = 6 (а — 6 — с). 1
Разделив обе части этого равенства на одно и то же I
число а — 6 — с, получим, что а = 6. 1
2) Пусть по-прежнему а и 6 — любые числа. Обозначим!
д. а + Ь 1
их среднее арифметическое через с, значит, с = —^—, 1
откуда 2с — а = 6 и а = 2с — 6. Перемножим эти равеист-1
ва почленно: 2ас — а2 = 26с — б2. Прибавим к обеим час-]
тям по — с2, получим: — с2 + 2ас — а2 = — с2 + 26с — б2; I
— (с — а)2 = — (с — б)2. 1
Умножив обе части равенства на —1, найдем, что]
(с — а)2 = (с — б)2, значит, с — а = с — 6 или —а = —6,1
поэтому а = 6. Но так как а и 6 — произвольные числа, |
то этим мы и доказали, что все числа равны. 1
28 |
J

3) Очевидно, что 3—1 = 6 — 4. Умножим обе части на
~-1 и прибавим к обеим частям равенства по :-j~, получим:
1 —3= 4 — 6; 1-2Л .4 + т-=4-2-2-4" + -Г;
(1 -4)2== (2-4)2' откуда 1 -4=2-4-
Следовательно, 1 = 2. Но если 1 = 2, то, прибавив к
обеим частям этого равенства по 1, получим, что 2 = 3,
а затем, что 3 = 4, и так далее. Значит, 1=2 = 3 = 4 =
В последнем случае члены кружка сразу указали на
недочет в доказательстве; ведь Коля обещал доказать
равенство любых чисел, а доказал лишь равенство целых
чисел.
Вам понравились эти доказательства? Вы полностью
согласны с Колей?
166. На следующем заседании математического кружка
многие ребята выступили со своими «доказательствами»
слишком неправдоподобных утверждений. Вот как,
например, Петя доказал, что сумма любых двух положительных
чисел равна нулю.
Пусть а и b — любые два положительных числа, тогда
их сумма с = а + b — число положительное. Умножим обе
части этого равенства на а + Ь, получим: с (а + Ь) =
= (а + 6)2; ac + bc = a2 + 2ab + b2\ a2 + 2ab + Ь2 — ас —
- be = 0.
Разложим левую часть на множители:
(а2 + ab — ac) + (ab + b2 — bc) = 0;
4 . а {а + b — с) + Ь (а + b — с) = 0.
Сокращая на а + b — с, получим: а + b = 0.
167. Докажем, что нуль больше любого числа.
Если число а отрицательное, то утверждение очевидно.
Пусть а — сколь угодно большое положительное число.
Ясно, что а — 1 < а. Умножим обе части неравенства
почленно на —а, получим: —а2 + а<— а2.
Прибавим к обеим частям полученного неравенства по
а2, получим: — а2 + а + а2 < — а2 + а2, то есть а < 0.
Следовательно, любое, даже сколь угодно большое
положительное число меньше пуля.
29

168. (Шутка.) Давайте проанализируем, как мы
расходуем свое время, считая, что в году 366 дней.
Каждый день на сон, включая подготовку ко
сну и подъем, уходит 9,5 часа, то есть около
2
-g- всего времени, что составляет около
Остается
Ежедневно на завтрак, обед и ужин уходит
примерно 1-J- часа, то есть -^-частей суток,
что за год составляет не менее
В среднем не менее 1 часа ежедневно уходит
на чтение интересных книг, просмотр
фильмов и спектаклей; за год получим около
Остается
На дорогу в школу и на отдых отпустим
90 минут, то есть -yg~ суток, что составит не
менее
Остается
В году не менее чем 52 воскресенья
146 дней
220 дней
20 дней
Остается 200 дней
15 дней
185 дней
20 дней,
165 дней!
52 дня
Остается 113 дней]
Осенние, зимние и весенние каникулы
продолжаются 21 день
Остается 92 дня ;
Летние каникулы продолжаются не менее чем 84 дня
Остается 8 дней
Да ежегодно 8 праздничных дней 8 дней
На учебу остается 0 дней
Но все же найдите несколько минут времени и
разберитесь, в чем же здесь дело!
169. А вот еще два доказательства того, что любое
число равно нулю.
1) Возьмем произвольное число а и обозначим его
половину через х, значит, 2х = а. Умножим обе части на а,
30

получим: 2ах = а2 или а2 — 2ах = 0. Прибавим по х2,
тогда а2 — 2ах + х2 « х2 или (а — xf = х2, что можно
переписать так: (л: — а)2 = х2. Следовательно, л; — а = х,
откуда а = 0.
2) Рассмотрим сумму:
а — а +а — а \ а — а + а — ... и так до бесконечности.
Эту сумму можно представить двояко:
(а — а) + (а — а) + (а — а) + ... =0 или
а — (а — а) — (а — а) — (а — а) — ... = а.
Левые части равны, значит, равны и правые: а = 0.
170. Разберитесь еще в одном интересном
«доказательстве» того, что 2 = 3.
Возьмем любое число Ь и число а = 6 + 1. Умножим
это равенство почленно на а — 6, получим: а2 — ab = ab +
+ a — b2 — b или а2 + б2 = 2а6 + а — Ь. Это равенство
верно при любых а и 6, лишь бы а = 6 + 1.
Подставим в него значения а = 2 и ft = 2, получим:
4+4 = 4 + 2-+2, то есть верное равенство. Значит, и
исходное равенство а = 6 + 1 будет верным при а = b = 2.
Таким образом, 2 = 2 + 1.
В чем же здесь ошибка?
171. Есть интересное «доказательство» переместительно-
го закона для сложения: а + b = b + a.
Предположим, что это свойство не имеет места.
Следовательно, при любых аи6а + 6^=6 + а. Взяв b = а,
получим: а + а =£ а + а, чего не может быть. Полученное
противоречие говорит о том, что наше предположение о
несправедливости переместительного закона для сложения
ложно, поэтому всегда должно быть a + b~b-\-a.
В этой задаче само утверждение верное, но
доказательство ошибочное. Где в нем допущена ошибка?
§ 4. Задачи
с пропорциональными
величинами
172. В 7 лет мальчик имел рост 85 ем, а в 14 лет —
170 см. Каков будет его рост в 21 год?
173. 10 цыплят за 10 дней съедают 1 кг зерна.
Сколько килограмхмов зерна съедят 10 цыплят за 100 дней?
174. Несколько человек могли бы закончить работу за
24 ч, если бы выполняли ее одновременно. Однако они
приступили к работе один за другим через равные проме-
31

жутки времени, и затем каждый работал до окончания |
всей работы Приступивший к работе последним прорабо- 1
тал столько же, сколько проработал предпоследний до 1
него. Сколько времени работал приступивший первым к ]
работе, если известно, что он проработал в 5 раз больше, ]
чем последний? I
175. Как разменять 5 руб. монетами по 20 коп. и|
5 коп , чтобы пятаков и двадцатикопеечных монет было!
одинаковое число? 1
176. Как разменять 5 руб. монетами по 5 коп., 3 коп.1
и 2 коп., чтобы монет разного достоинства было одинако-1
вое число? |
177. В кассе были трех-, пяти- и десятирублевые де-1
нежные знаки, каждых одинаковое число, всего на!
1620 руб. На какую сумму было трехрублевых, пятируб-1
левых и десятирублевых знаков? 1
178. Имеется 52 монеты по 10 коп., 15 коп. и 20 коп.1
Монеты каждого достоинства составляют одну и ту же!
сумму. Сколько было в отдельности монет по 10 коп.,1
15 коп. и 20 коп.? 1
179. Провоз 1 т груза от А до В по реке стоит 2 руб.,]
по железной дороге — 3 руб., а на автомашине — 4 руб.]
Было перевезено 1300 т груза, причем каждым видом!
транспорта на одинаковые суммы. Сколько уплачено за!
перевозку груза по железной дороге? 1
180. Для озеленения участка, отведенного под спортив-]
ный городок, было завезено 179 саженцев. Из комсомоль-1
пев школы были созданы три бригады: Ья из десятиклас-1
сников, 2-я из девятиклассников, а комсомольцы из oc-j
тальных классов составили 3-ю бригаду. Число саженцев,!
посаженных первой бригадой, относилось к числу сажен-1
цев, посаженных второй бригадой, как 6: 11, а число са-|
женцев, посаженных первой бригадой, относилось к числу!
саженцев, посаженных третьей бригадой, как 7 : 10. Сколь-1
ко саженцев посадила каждая бригада? 1
181. Отношение двух чисел равно 3: 4; если к перрому!
числу прибавить 60, то их отношение будет равно 9 : 10.
Найдите эти числа.
182. От Л до В на 10 км меньше, чем от С до В.
2
Когда мотоциклист, едущий из А в В, проехал -у- этого
4
расстояния, а мотоциклист, едущий из С в В, проехал -^-
32

своего пути, то им осталось проехать до В одинаковые
расстояния. Сколько километров от А до В?
183. На автобазе 152 машины грузоподъемностью 40 т,
с 2
2d т и о /п, причем -у числа сорокатонных машин равно
2 3
-=- числа двадцатипятитонных и -=- числа пятитонных
машин. Сколько машин каждой грузоподъемности имеется
на автобазе?
184. В трех кусках шерсти всего 210 м. Если отперш-
1 2
го куска отрезать -у его длины, от второго -гт- его дли-
1
ны, от третьего -у его длины, то во всех трех кусках
останется по одинаковому числу метров ткани. Сколько
метров ткани было в каждом куске?
Почти все задачи на пропорциональное деление, а
также и многие другие задачи с пропорциональными
величинами могут быть решены так называемым методом
подобия. Одному из неизвестных задачи дается
произвольное значение, и*по этому значению определяются числовые
значения остальных неизвестных, а затем находятся суммы
или разности, соответствующие данным. Определив
отношение между данной и полученной величинами, изменяют
в том же отношении все числовые значения неизвестных.
Рассмотрим применение метода подобия на примере
решения одной задачи.
185. Сестре теперь в четыре раза больше лет, чем было
тогда, когда брат был в ее возрасте. Когда сестре будет
столько же лет, сколько теперь брату, то им обоим будет
51 год. Сколько лет сестре и сколько лет брату?
Решение. Предположим, что сестре был 1 год, когда
брат был в ее возрасте. Значит, ей теперь 4 года, столько
же было ее брату 3 года тому назад, то есть теперь ему
7 лет. Когда же сестре будет 7 лет, то брату будет
10 лет, а вместе им будет 17 лет. Но данная в условии
сумма больше полученной в 51 : 17 = 3 раза.
Следовательно, сестре теперь 4 • 3 = 12 лет, а брату 7-3 = 21 год.
186. Куплено три набора елочных игрушек. За первый
набор заплатили вдвое, а за третий в 5 раз больше, чем
за второй набор. Сколько уплатили за каждый набор, если
известно, что третий набор стоил дороже первого на 2 руб.
40 коп.?
2 Реши сам, ч. III
33

187. В три школьных киоска отправили 2800
ученических тетрадей. Первый киоск получил в 4 раза больше, чем
второй, или -F- того, что получили второй и третий
киоски вместе. Сколько тетрадей было отправлено в каждый
киоск?
188. Пионеры плывут на лодке по течению со
скоростью 8 км/ч, а против течения — только 4 км/ч. На
какое наибольшее расстояние могут они отплыть от лагеря
вниз по течению, чтобы возвратиться через 6 ч?
189. Двое шестиклассников измеряли шагами длину
беговой дорожки вокруг школьной спортивной площадки
Один из них сделал на 100 шагов больше второго, ибо
его шаг равнялся в среднем 60 см, а второго — 80 см
Определите длину беговой дорожки.
190. За переписку рукописи на пишущей машинке
уплачено 32 руб. 80 коп. Переписка производилась тремя
машинистками: первая работала 16 часов, переписывая по
6 страниц в час; вторая работала 12 часов, переписывая
по 10 страниц в час; третья работала 14 часов,
переписывая по 8 страниц в час. Сколько денег получила каждая
машинистка?
Решение. Если бы производительность труда всех
трех машинисток была одинаковой, то 32 руб. 80 коп.
надо было бы распределить пропорционально времени их
работы, то есть пропорционально числам 16, 12 и 14.
Если бы все они работали одинаковое число часов, то
данную сумму надо было бы распределить пропорционально
производительности их труда, то есть пропорционально
числам 6, 10 и 8.
Но в действительности и время работы, и
производительность труда их были различны, поэтому следует
определить, сколько всего страниц рукописи перепечатала
каждая машинистка (первая— 16-6 страниц, вторая— 12-10
страниц и третья—14 • 8 страниц), и 32,8 руб. разделить
на три части пропорционально числам 16-6, 12-10 и
14-8 или, после сокращений, пропорционально числам 12,
15 и 14.
Ответ. 9 руб. 60 коп., 12 руб. и 11 руб. 20 коп.
В подобных задачах требуется некоторое число
разделить на части, пропорциональные двум (или более)
последовательностям чисел, то есть на такие части, которые
пропорциональны значениям одной величины, когда вторая
34

постоянна, и пропорциональны значениям второй величины
при постоянстве первой. Все они решаются либо введением
новых (сложных) единиц, либо приведением значений
одной из пропорциональных величин к единице.
Всякий раз легко убедиться, что для нахождения
одной последовательности чисел, которой пропорциональны ^
искомые числа, достаточно соответствующие числа
исходных двух (или более) последовательностей перемножить.
191. Из городов Л и В, расстояние между которыми
530 км, навстречу друг другу вышли два поезда и
встретились в пункте С. Оказалось, что скорости их относятся,
как 4:5, а время их движения, — как 5:7. На каком
расстоянии от А находится пункт С?
192. Три предприятия, имеющие свои автохозяйства,
построили сообща мост стоимостью 5700 руб. Автобаза
первого предприятия находилась от моста на расстоянии
1,5 км и имела 40 машин, автобаза второго — на
расстоянии 3 км от моста и имела 20 машин, автобаза третьего —
на расстоянии 1 км и имела 30 машин. Сколько нужно
уплатить за постройку моста каждому предприятию, если
уплачиваемые суммы должны быть прямо пропорциональны
числу машин и обратно пропорциональны расстоянию их
автобаз до моста?
193. Три пионерских отряда помогли соседнему
колхозу обработать огород, площадь которого 35,9 га. Числа
рабочих дней этих отрядов пропорциональны 3:4: 5,
числа ежедневных рабочих часов пропорциональны 6:7:8,
а производительность труда обратно пропорциональна
числам 5, 4 и 3. Какую площадь огорода обработал каждый
отряд в отдельности?
§ 5. Задачи на максимум
и минимум
На практике часто приходится решать задачи на
максимум и минимум. По-латыни слова maximum и minimum
означают «наибольшее» и «наименьшее» (значение). Для
обозначения максимума и минимума существует и
объединяющий их термин — экстремум, что по-латыни означает
«крайнее» (значение).
Великий русский математик Пафнутий Львович Чебы-
шев подчеркивал, что «... эти задачи, чисто практического
2*
35

1
характера, имеют особенную важность и для теории:, все
законы, определяющие движение материи весомой и
невесомой, представляют решения задач этого рода. 'Нельзя не |
заметить особенно благотворного влияния их на развитие
наук математических». ' -
194. Существует 8 прямоугольников, у которых
стороны выражаются целым числом сантиметров, а площадь
одна и та же—144 см2. Какой из прямоугольников имеет ]
наименьший периметр?
195. Рассмотрите все 5 прямоугольников, периметр
которых равен 20 см, а стороны выражаются целым числом
сантиметров, и сравните их площади. Какой из них имеет
наибольшую площадь?
196. Решая предыдущую задачу, вы получили, что из
пяти прямоугольников с аданным периметром наибольшую
площадь имеет квадрат. Но стороны прямоугольников мо-1
гут выражаться и дробньми числами. Докажите, что среди f
всех прямоугольников с периметром 20 см наибольшую
площадь имеет квадрат со стороной 5 см.
197. Докажите, что и всех прямоугольников с
заданным периметром Р = Аа наибольшую площадь имеет
квадрат (рис. 6).
В\ \С Вначале решите эту задачу
самостоятельно, а затем сравните
свое решение с приведенным в
ответах.
Рекомендуем запомнить по-!
лученный вами интересный вы-.
Рис. 6. ВОД:
Среди прямоугольников с
заданным периметром наибольшую площадь имеет квадрат.
198. Докажите теорему: «Произведение двух
положительных чисел, сумма которых постоянна, наибольшее
тогда, и только тогда, когда сомножители равны».
199. Найдите наибольшее значение выражения у =
= хг • х2, если хг и х2 — положительные числа и: а) хг +
+ х2 = 2; б) хг + х2 = 1.
200. Какое наибольшее значение может принимать г/, Щ
если: а) у = х-(6 — х); б) у = 2л>(6 — 2х)\ в) у = *-(6 — 2*)?
201. Чтобы обнести изгородью загон для животных,
приобрели проволоку общей длиной 6 км. Какой
наибольшей площади прямоугольный участок можно огородить
этой проволокой, если ограду делать в три ряда?
1

202L Требуется обнести проволочной сеткой длиной
200 м участок земли в форме прямоугольника, используя
для одной стороны стену дома. Вычислите размеры
прямоугольника, при которых площадь участка будет
наибольшей.
203. Из прямоугольного листа жести, ширина которого
60 см, требуется согнуть открытый желоб прямоугольного
сечения. Какой ширины полосы нужно загибать по краям,
чтобы получился желоб с наибольшим поперечным
сечением?
204. Докажите теорему о том, что произведение у =
= *i • *2 Двух положительных чисел, сумма которых хх +
+ х2 = 2а постоянна, имеет наибольшее значение при
равенстве сомножителей, используя равенство (хг + х2)2 =
= (xi — *г)2 + ^х\хъ справедливое при любых значениях хх
и х2.
205. Используя равенство, приведенное в задаче № 204,
докажите теорему, что сумма у = хх + х2 двух
положительных чисел, произведение которых хг • х2 = а2
постоянно, имеет наименьшее значение при равенстве слагаемых.
206. Из всех прямоугольников данной площади S
найти прямоугольник наименьшего периметра.
207. Прямоугольный участок площадью 900 м2
необходимо огородить забором, две смежные стороны которого
каменные, а две другие — деревянные. Один погонный метр
деревянного забора стоит 1 руб., а каменного — 2,5 руб.
На строительство выделено 200 руб. Хватит ли этой
суммы?
208. Определите, имеют ли следующие функции
наибольшие или наименьшие значения, и вычислите их:
а) У = -^гг; б) у^-^1—.
Рассмотрите теперь несколько чисто геометрических
задач на отыскание наибольших и наименьших значений.
Помните, что главное — не только сформулировать ответ
на поставленный вопрос, но и обосновать свое
заключение.
209. На отрезке АВ найдите такую точку X, чтобы
отрезок MX был наименьшим, где М — данная точка.
210. Внутри выпуклого четырехугольника ABCD
найдите такую точку X, сумма расстояний которой до вершин
четырехугольника имеет наименьшее значение.
37

I
211. 1) Дана прямая / и две точки Л и В по разные!
стороны от нее. Найдите такую точку X на прямой /, что-1
бы сумма АХ + ХВ была наименьшей. 1
2) На прямой / найдите такую точку X, чтобы сумма i
ее расстояний от двух данных точек Л и В была наименьшей. 1
3) По стержню MN скользит без трения кольцо, через 1
которое пропущен туго натянутый упругий шнур, закреп-1
ленный на концах Л и В В какой точке будет находиться 1
кольцо при условии равновесия? 1
212. Дан угол и внутри его точка М. Построить тре-1
угольник наименьшего периметра такой, чтобы одна его 1
вершина находилась в данной точке М, а две другие — 1
на сторонах данного угла. I
213. Существует бесконечное множество треугольников, I
имеющих одно и то же основание и равные высоты. Оче- I
видно, что третьи вершины таких треугольников лежат на 1
прямой, параллельной данному основанию и отстоящей от 1
основания на расстояние, равное высоте (треугольники, 1
расположенные вершинами вниз, исключаем). Найдите тот 1
из треугольников, периметр которого наименьший. -I
214. Можно построить бесконечное множество треуголь- 1
ников по двум данным сторонам. Найдите тот из них, 1
площадь которого наибольшая. I
215. Дана окружность и точка М вне ее. Найдите на 1
окружности такую точку X, чтобы отрезок MX был наи- Щ
меньшим. 1
216. Дана окружность и точка М, не совпадающая с I
центром, внутри ее. Найдите такую точку X на* окруж- 1
ности, чтобы отрезок MX был наибольшим. 1
щ
§ 6. Систематические дроби 1
В сборнике «Реши сам», ч. II вы уже рассматривали 1
различные системы счисления, переход от одной системы 1
счисления к другой, а также действия над натуральными 1
числами, записанными в различных системах счисления. 1
Напомним, что всякая позиционная система счисления 1
характеризуется основанием системы. Это определенное I
число единиц, составляющих единицу следующего высшего ]
разряда. Если основание системы счисления обозначить j
буквой d, то всякое натуральное число можнб записать 1
в виде многочлена, расположенного по степеням буквы d. \
38

Коэффициенты этого многочлена — непременно целые
неотрицательные числа (они могут быть равны и нулю),
меньшие d. •
Например, число 76 038 в десятичной системе (d = 10)
может быть записано так:
76038 = 7- 104 + 6. 103 + 0. 102 + 3. 10 + 8.
Число 178 может быть записано -в пятеричной системе
так:
178= 1 . 53 + 2 .52 +0-5 + 3.
В общем виде будем иметь:
А' = andn + ап-Ап~х + ... + a2d2 + a,d + а0.
Запись числа в виде многочлена, расположенного по
степеням буквы d, называется систематической. Число,
обозначенное при помощи той или иной системы счисления,
называется систематическим числом.
Употребляется сокращенная запись систематических
чисел: опускают плюсы и букву, обозначающую основание
системы в различных степенях. Основание системы
счисления условились указывать индексом (значком) внизу,
например: 17810= 12035. Индекс 10 обычно опускается.
Если основание системы d > 1, то для записи любого
числа достаточно иметь, кроме нуля, еще d — 1 цифру.
Всякое систематическое число может быть представлено
в виде суммы произведений целых чисел на
последовательные степени числа d. Например, (п + 1)-значное число
при d = 2 может быть записано двояко:
N = апап-\ ... адяо = ап2п + ап^2п-1 + ... + а222 + %2+
+ а0, где ап9 ап-\> ..., а2, av a0 имеют значения 1 или 0.
Черта вверху записи апап-\ ... вгДОо ставится для того,
чтобы не смешивать запись нисла с произведением
ап • ап-\ • ... • а2 • at • а0.
217. Сколько единиц содержит наибольшее однозначное
число, записанное: а) в десятичной системе счисления; б) в
пятеричной системе счисления; в) в восьмеричной системе
счисления; г) в двоичной системе счисления?
218. Сколько единиц содержит наименьшее двузначное
число, записанное: а) в десятичной системе счисления; б) в
пятеричной системе счисления; в) в восьмеричной системе
счисления; г) в двоичной системе счисления?
39

219. Сколько единиц содержит записанное в двоичной 1
системе счисления: а) наименьшее трехзначное число; б) наи- I
большее четырехзначное число; в) наименьшее пятизначное 1
число? I
220. Во сколько раз увеличатся следующие числа: 2510; 1
378; 245; Ю12, если приписать справа один нуль? 1
221. Во сколько раз увеличится любое число, записан-1
ное при основании d, от приписывания двух нулей справа, J
если d = 10; 8; 2; 5? 1
222. Запишите число 1970 в следующих системах счис-1
ления: а) пятеричной; б) семеричной; в) троичной; г) дво-1
ичной. щ
223. В какой системе счисления число 63 запишется*
так: 77,? 1
Решение. Можно решать обычными рассуждениямиД
но можно при помощи составления уравнения. Так как!
77, = 7 • я + 7, то получаем уравнение: 7я + 7 = 63, от-Я
куда х = 8. Ответ. В восьмеричной системе. 1
224. В какой системе счисления: ^ 1
а) число 32 запишется так: 40; щ
б) число 21 запишется так: 41; 1
в) число 27 запишется так: 36? I
225. При каком значении х будут верны следующие!
равенства: а) 16 = 31,; б) 23 = 53,; 'в) 4=100,; г) 9=1
= 100^; д) 8 = 1000,; е) 64 = 100^? I
226. В какой системе счисления число 4610 изобразится!
теми же цифрами, но в обратном порядке? 1
227. В какой системе счисления возможно равенство: 1
13 + 23 = 41? I
Решение. Легко сообразить, что основание системы!
счисления равно 5. Но можно решать этот пример при по-1
мощи составления уравнения. Примем основание неизвест-1
ной системы счисления за х, тогда данное равенство мож-1
но записать так: 1
1 .* + 3 + 2.х + 3 = 4.л;+ 1, 1
откуда после упрощений получим х — 5. 1
228. В каких системах счисления будут справедливы!
следующие равенства: а) 34 + 24 = 60; б) 32 — 14 = 13; 1
в) 120 — 45 = 53; г) 43 — 21-22? I

229. В какой системе счисления возможны следующие
равенства: а) 12-4 = 50; б) 220-2=1210; в) 24-6 =
= 170?
До сих пор мы рассматривали лишь натуральные
числа. Из курса арифметики вы знаете, что, кроме целых
чисел, существуют и дробные числа, причем запись дробных
чисел в десятичной позиционной системе дает так
называемые десятичные дроби.
В алгебре вводятся понятия нулевого и целого
отрицательного показателя, а именно:
Любое число, кроме нуля, в нулевой степени равно
единице.
Любое число, кроме нуля, с отрицательным
показателем равно дроби, у которой числитель 1, а знаменатель —
то же число, но с положительным показателем, равным
модулю (абсолютной величине) отрицательного показателя.
Тогда, например, число 1217,574 может быть записано
так: 1217,574 = 1 . 103 + 2 . 102 + 1 . 101 + 7 . 10э +
+ 5 . Ю-1+ 7. 10~2 + 4. 10~3.
Вместо степеней d с отрицательным показателем будем
рассматривать степени дроби -т-, где d — основание
системы счисления. Тогда число 1217,574 запишется так:
1217,574 = МО3 + 2- Ю2 + 1.10 + 7 + -^ + ^ + ji-.
Десятичная дробь 0,1846 запишется так:
0,1846 = ^- + ^ + ^ + ^
230. Запишите следующие десятичные дроби в виде
разложения по степеням дроби -^:
0,23; 0,705; 0,00375.
Аналогичным образом можно поступать и при других
основаниях системы счисления d, записывая правильные
дроби по степеням дроби —р
Дробь вида -~ + ~ж +.«+ ~ж условились записывать
так: 0, Ьь Ь%...ЬКф
41

Числа вида andn'+ an-\dn-~l + ... + axd + a0 + -± +|
+ ф + • • • + ~ф- записывают так: anan~i... аАа0, bxb2... & -
где все цифры меньше d. Например:
"Г + 1Г + ^ =0^1012; 2.32 + 0.3 + 0 + 4"- 200,1».
Дроби такого вида называются систематическими.
231.- Запишите в виде систематических дробей
следующие дроби: -к
а; 2 "т" 22 *" 23' ' 82 "*"" 84 »
в) 1 . 23 + 1 . 2 + 4" + 4"; г> 3 • 83 + 5 + --,
232. Запишите систематическую дробь 25,0378 в виде]
обыкновенной дроби в десятичной системе счисления.
Решение. 25,0378 = 2 . 8 + 5 +-^ + A + J_ =
-21 | 24 + 7 -21 31
233. Запишите следующие систематические дроби
виде обыкновенных дробей в десятичной системе счисления:]
а) 0,123; б) 21,3045; в) 1001,01012; г) 712,0068.
234. Следующие обыкновенные дроби, заданные в
десятичной системе счисления, запишите в виде систематиче*
* - о ч 21
ских дробей в восьмеричной системе счисления: a) -^j-;
*\ 155
Решение, а) ~=^ • (2 . 8 + 5) = -§- + -^ -0,258,-
(Ъ 151 — 155.2 _ 310 4668 _n .fifi
' 256 — 256 . 2 ~~ 83 "~ 83 "" U>4Db8 •
Таким образом, для решения подобных примеров нуж
но вначале знаменатель дроби (умножая числитель и
знаменатель на одно и то же число) сделать степенью осно-j
вания системы счисления d, затем числитель дроби запи-j
сать в новой системе счисления, после чего легко
получается запись систематической дроби в требуемой 'системе,
счисления. ]
42 )

Такое преобразование невозможно, если знаменатель
данной дроби не является делителем некоторой степени d.
В подобных случаях получаются бесконечные дроби,
которые из-за их сложности нами здесь не рассматриваются.
235. Следующие обыкновенные дроби, заданные в
десятичной системе счисления, запишите в виде
систематических дробей в указанной системе счисления:
v о 3
а) в двоичной: -j-;
о) в троичной: -~-;
в) в восьмеричной:
п. 5 .
16 * 4 64 ;
5 . 17 .
9 ' 9 243'
3 # 5 . о 155
8 ' 64 ; 6 1024
Из самого определения и формы записи
систематических дробей следует, что действия над систематическими
дробями производятся по тем же правилам, что и
действия над десятичными дробями. Пусть, например, требуется
еычислить сумму двух чисел, записанных в пятеричной
системе счисления: 24,013+ 1,14.
По определению 24,013 + 1,14 = (2 • 5 + 4+-JJ-+ 1 +р)4-
+ (1 + Л- + -±) = 2 • 5-i-(4+ 1) + ^+J- + ^+-L +
+ i + ° =2.5 + 5 + 4 + ^ + ^ = 3.5+ 4- + ^.=
= 30,203.
Мы видим, что сложение производится, как и в
случае десятичных дробей:
,24,013
+ 1,14
30,203
Аналогично вычисляются и произведения
систематических дробей. Поясним на тех же числах (умножение
производится в пятеричной системе счисления):
„24,013
х 1,14
,211112
+24013
24013
34,03042
43

236. Найдите суммы следующих систематических
дробей в указанной системе счисления:
а) в восьмеричной: 204,31 +75,52; 1,047 + 36,26;
б) в троичной: 2,101 +-0,102; 12,122+ 1,22;
в) в двоичной: 0,101 + 0,011; 101,001 + 10,1111.
237. Найдите разности следующих систематических
дробей в указанной системе счисления:
а) в восьмеричной: 43,47—21,35; 305,1—46,66;
б) в троичной: 2,102—1,011; 2,01—0,122;
в) в двоичной: 10,101 — 1,001; 110,01—1,111.
238. Найдите произведения следующих
систематических дробей в указанной системе счисления:
а) в восьмеричной: 1,07 • 3,7; 2,56 • 0,035;
б) в троичной: 2,01 . 2,2; 20,12 - 0,12;
в) в двоичной: 1,11 • 1,01; 10,11 ._ 1,001.
§ 7. Уравнения в целых
числах
Если взять в общем виде одно уравнение с двумя
неизвестными, то почти всегда существует бесконечное
множество пар рациональных чисел, удовлетворяющих
данному, уравнению. Но в отдельных случаях оно может иметь
лишь одно решение.
Иногда по условию задачи требуется найти не любые
рациональные числа, а такие, которые удовлетворяют ье-
которым дополнительным требованиям, например, чтобы
х и у были целыми числами. Решение уравнений в_ целых
числах, наряду с делимостью чисел, является одним из
наиболее интересных вопросов теории чисел.
Решением уравнений в целых числах занимались
великие математики древности: греческий математик Пифагор
(VI в. до н. э.), александрийский математик Диофант
(II—III в. н. э.), по имени которого уравнения в целых
числах называются диофантовыми уравнениями. Этой
труднейшей проблемой теории чисел занимались и такие
крупные математики, как П. Ферма (XVII в.), Л.Эйлер (XVIII в.),
Лагранж (XVIII в.) и др. Но и теперь еще нет общих
методов решения таких уравнений.
44

В этом параграфе вы познакомитесь с некоторыми
интересными задачами, требующими умения решать
уравнения первой степени в целых числах.
239. Найти все целые положительные значения х и у,
удовлетворяющие уравнению 5* + 7у = 112.
Решение. Берем член с меньшим коэффициентом и
находим, что 5* = 112 — 1у, откуда х = f~-^- Исклю-
чаем целую часть: *= ^- — = 22 — у -\ =—- =
= 22 - j, + iiipl.
Так как * — число положительное, то 112 — 7у > 0,
112
откуда y<—j- =16. Но х должно быть целым числом, ^
* 2 (1 —t/)
следовательно, должно быть целым числом и —у—=——, что
возможно лишь тогда, когда у — 1 = — (1 — у) делится
на 5, ибо числа 2 и 5 взаимно простые. Поэтому число у
при делении на 5 должно давать в остатке 1. Таких чисел,
положительных и меньших 16, три: 1, 6 и 11.
Если */=1, то х = 21; если у = 6, то * =14;
если у = 11, то х— 7. Легко проверить, что все
найденные три пары положительных чисел удовлетворяют
данному 'уравнению.
240. Найдите все целые положительные значения х и
у, удовлетворяющие следующим уравнениям: а) 3* + 2у = 5;
б) 3* + 5у = 19; в) Зх 4 Ъу = 66; г) 5* + 19у = 674.
241. Найдите все решения в простых числах
уравнения х2 — 2у2 = 1.
242. Трехзначное число оканчивается цифрой 7. Если
переставить эту цифру на первое место, то получится
число, в 2 раза и еще на 21 единицу большее первоначального
Определите это число.
Решение. Обозначим цифру сотен через *, а цифру
десятков через у. Тогда искомое число будет иметь вид:
100* + Юу + 7. -После перенесения цифры 7 на первое
место получим число 700+ \0х + у. Составим уравнение:
700+ 10* +0 = 2(100*+ 10у + 7) + 21.
После упрощений получим: 10* +у = 35.
Но * и у — цифры, значит, единственным решением
данного уравнения является * = 3, у = 5. Ответ. 357.
45

243. 1) Если между цифрами двузначного числа
вписать нуль, то полученное трехзначное число будет в 7 раз
больше первоначального. Найдите это число.
2) Если между цифрами двузначного числа вписать
это же двузначное число, то полученное четырехзначное
число будет больше первоначального в 99 раз. Найдите
это число.
244. Если к двузначному числу приписать слева и
справа по единице, то полученное четырехзначное число
будет больше первоначального в 21 раз. Найдите это
число.
245. Если между цифрами двузначного числа вписать
двузначное число, на 1 меньшее первоначального, то^
полученное четырёхзначное число будет в 91 раз больше
первоначального.^ Найдите это число.
246. 1) В трехзначном числе цифра десятков — нуль.
При вычеркивании ее число уменьшается в 9 раз.
Найдите это трехзначное число.
2) В четырехзначном числе цифра сотен — нуль. При
вычеркивании ее число уменьшается в 9 раз. Найдите все
такие числа.
247. 1) Найдите двузначное число, которое в 8 раз
больше суммы своих цифр.
2) Найдите трехзначное число, которое в 11 раз
больше суммы своих цифр,
248. Найдите двузначное число, равное сумме числа
его десятков и квадрата числа единиц.
249. 1) Найдите двузначное число, равное удвоенному
произведению его цифр.
2) Найдите двузначное число, равное учетверенному
произведению его цифр.
250. 1) Найдите два числа, сумма которых 72, а НОД
этих чисел 24.
2) Найдите два числа, сумма которых 168, а НОД
этих чисел 24.
251. В саду двузначное число деревьев в каждом
ряду выражено теми же цифрами, что и количество рядов,
но в обратном порядке. Два полных ряда заняты
грушами. Остальная часть сада отведена под яблони трех
сортов с одинаковым количеством деревьев каждого сорта.
Первого сорта было по семь деревьев с обеих сторон
каждого ряда, не занятого грушами, а для остальных* двух
46

сортов оставшаяся площадь сада разделена пополам.
Сколько грушевых деревьев в саду?
252. Даны три разные цифры. Сумма всех
трехзначных чисел, какие только можно составить, комбинируя
эти три цифры, равна 2886. Если расположить данные
цифры по убыванию их значений и из полученного числа
вычесть число, составленное из этих же цифр, написанных
в обратном порядке, то разность составит 495. Найдите
эти три числа, если известно, что среди них нет нуля.
253. В шахматном турнире участвовало два ученика
седьмого класса и несколько восьмиклассников. Два
семиклассника набрали вместе 8 очков, а каждый
восьмиклассник набрал одно и то же число очков. Сколько
восьмиклассников участвовало в турнире?
254. В двух пионерских лагерях было всего 264
школьника. Из первого лагеря во второй перевели а школьников,
и еще такое же число школьников вновь прибыло во
второй лагерь. После этого число школьников второго
лагеря составило 65% от числа школьников первого лагеря.
Сколько было школьников в каждом из двух лагерей
первоначально?
255. Найдите ,дробь со знаменателем 20, которая боль-
4 5
ше -jo-, но меньше -yg-.
256. Люда с мамой отправились покупать пальто. У них
было немного меньше 150 рублей, причем только
пятерками и рублями. По возвращении домой у них осталась
треть первоначальной суммы, при этом пятерок стало
столько, сколько раньше было рублей, а рублей столько,
сколько раньше было пятерок. Сколько они истратили на
покупку?
Иногда решение задачи сводится к решению в целых
числах систем двух уравнений с тремя неизвестными.
Исключая одно из неизвестных, получаем одно уравнение с
двумя неизвестными. Рассмотрим в качестве примера задачу.
257. Можно ли на 100 коп. купить 100 предметов:,
карандашей (цветных и простых) и перьев, если известно,
что цветной карандаш стоит 5 коп., простой — 3 коп., а
перьев продают 3 штуки на одну копейку?
Решение. Обозначив число цветных карандашей через х,
простых карандашей — через у и перьев — через 2, составим
два уравнения: х -\~ у -\-z = 100 и Ъх -b3z/ -\—^- = 100.
47

Следовательно, получили систему двух уравнений с
тремя неизвестными:
( x + y + z=\00;
{ I5x + 9y + z = 300,
где х, у и z — целые неотрицательные числа, не
большие 100.
Исключив z, получим одно уравнение с двумя
неизвестными:
14x + 8*/ = 200 или 7*+ 4*/=100,
100— 7х п- Зх
У = 4 =25 — * —Т-
Очевидно, что х должно быть кратно 4, причем 7х =
= 100—4у, поэтому 7я< 100, то есть л:<; 14.
Вычислив значения у и z при х = 0; 4; 8; 12,
получим четыре различных ответа: (0; 25; 75), (4; 18; 78),
(8; 11; 81) и (12; 4; 84).
Если считать, что первый ответ не подходит по
смыслу задачи, то требуемая покупка может быть произведена
только тремя способами.
258. Библиотека на 20 руб. купила 20 книг разной цены:
по 3 руб., 2 руб. и 50 коп. за книгу. Сколько книг по
2 руб. купила библиотека?
259. В учреждении стоят 14 канцелярских столов с
одним, двумя, тремя и четырьмя ящиками. Всего в столах
33 ящика. Сколько столов с одним ящиком, если известно,
что их столько же, сколько с двумя и тремя ящиками
вместе?
260. В трех домах отдыха, находящихся недалеко друг 1
от друга, отдыхают 480 человек. 10% отдыхающих
первого дома отдыха, ,8,5% второго и 15% третьего
собрались на экскурсию в город, расположенный в 60 км от
первого, в 40 км от второго и в 30 о от третьего дома
отдыха. Для оплаты проезда (10 копеек с человека за
каждые 10 км) экскурсанты собрали некоторую сумму денег.
Эта сумма такова, как если бы каждый внес по 40 копеек.
Сколько человек участвовало в экскурсии?
В книге «Реши сам», ч. I вы решали примеры на
определение цифр, обозначенных буквами, по результатам
действий. В более сложных примерах нередко приходится
прибегать к составлению уравнений в целых числах.
Рассмотрим такой пример:
48

261. Определите значения букв А, Б и В, зная, что:
А
+ А Б
А Б В
Б В Б
Решение. Здесь имеем три неизвестных целых числа
(цифры), для отыскания которых надо составить некоторую
систему уравнений. Рассмотрим результаты сложений по
столбикам. Очевидно, что А + В = 10, А + 1 = Б и А +
4-Б + 1 = 10-1- В. Заменяя в последнем уравнении Б
через А + 1, получим, что 2А + 2 = 10 + В. Но из первого
уравнения В = 10 — А. Следовательно, 2А + 2 = 10 +
-\- 10 — А, откуда А = 6, тогда Б = 7 и В = 4. Проверка
показывает, что данный пример расшифрован верно.
Рассмотрим более сложный пример.
262. Расшифруйте значения букв по данному делению:
свининка| пусто
саавск
о о а п о к
пусто
т у н п п а
уапокт
суико
Решение. В этом примере трудно находить значения
букв таким же путем, как в первом примере, так как
мы не знаем частного, да и число неизвестных довольно
велико (10). Поэтому нужно умело сочетать составление
уравнений с догадкой, конечно, обоснованной.
Рассматривая второе , вычитание, делаем вывод, что
о=1, и так как к не равно нулю (из первого вычитания),
то к — 1 = п. Тогда из последнего вычитания следует,
что 10 + п — к = к или п = 2к — 10, ибо а больше т
ка 1.
Получаем уравнение: 2к — 10 = к — 1, откуда к = 9,
значит, п = 8. Так как п — 1 — о = и, то и = 6.
Рассмотрим первое вычитание. Вычитая к = 9, получим
о=1, значит, н = 0. При вычитании с получили 8.
Следовательно, с = 7, ибо и— 1 =5.
Вновь обратимся" к последнему вычитанию. Найдем,
что у = 2, а = 4 и т = 3, а затем и в = 5.
49

Теперь найдем значение делителя как числовое, так и
словесное.
При расшифровке числовых ребусов также весьма часто
применяются уравнения и неравенства в целых числах.
Правда, и число неизвестных, и число уравнений столь
велико, что решение оказывается громоздким, а если учесть
наличие различных вариантов, то такая расшифровка
ребусов становится весьма нерациональной и "нужно
проявить сообразительность.
Пусть, например, требуется расшифровать ребус:
263. АБВ : БГ = БВ
- х +
дкм — др = двв
ВВА —РАА = ДМЕ
Решение. Здесь 9 неизвестных. Легко составить б
уравнений, отражающих все данные действия. Но можно
составлять и дополнительные уравнения, выражающие
зависимости между отдельными цифрами. Например, в
нашем ребусе очевидно, что А — А = Е (из последней
строки), а из последнего столбца можно лишь утверждать,
что В + В = Е или в + В=-:10 + Е. Но если учесть,
что из первого уравнения Е = 0, то B + B=10, а не
нулю, значит, В = 5.
Рассматривая второй столбец, мы видим, что Б х Д < 5,
ибо Р<5. Следовательно, один из сомножителей равен 1.
Но Б не может быть равным 1, ибо в первой строке
произведение (10Б + Г)(10Б + 5) должно дать число,
большее 600. Следовательно, Д= 1.
Из первого столбца следует, что А равно 6 или 7Г
но тогда Б (из первой строки) меньше 3, откуда Б = 2.
После этого не имеет смысла рассматривать в общем,
виде соотношения между цифрами, ибо все оставшиеся
цифры могут быть найдены, если в ребус подставить зна*
чения уже найденных цифр. Действительно, легко найдем,
что М = 8, тогда А-7; Р = 3; К = 6 и Г = 9.
264. Расшифруйте подобным образом следующие
ребусы:
а) АБВ — СД = ККБ
С х МР=ВМВ
ЕР +ДБГ-БГР
б) AAA —БВ= АВБ
+ -
Г Б хВЕ = БДГ
КМ +ЕД = ВВМ
50

265. Расшифруйте ребус:
ЛШЧБ:ЫШ= ЧВ
х +
ЕЛЕ +ЛА =ЕЕП
ЛЕЛЛ —ВЫЧ-ЕЫВ
Если буквы расположить в порядке возрастания
соответствующих им цифр, заменив только букву А на Е, то
получите инициалы и фамилию величайшего русского
математика прошлого столетия. Его открытия в теории
простых чисел принесли всемирную славу русской
математической науке.
266. В следующем ребусе зашифрована фамилия
талантливого советского математика. В 14 лет, будучи
учеником шестого класса, от несчастного случая он потерял
зрение. Но, несмотря на это, через два года он окончил
школу, затем за 4 года блестяще окончил Московский
университет. В настоящее время он является
действительным членом Академии наук СССР.
Чтобы узнать его фамилию, расшифруйте ребус,
выпишите буквы в порядке возрастания соответствующих им
цифр и замените букву А на Н.
ТАЯ —ОТЯ=НЯП
: + -
ОНх Г= ИР
ТТ + ОРТ= ОГЯ
267. Расшифруйте следующий ребус:
АЯТ — ЛОЧ = ЧАН
: + -
АТх Ч=ИЧЧ
ТТ+ЛТО=ЛЛТ
Если вы расположите буквы в порядке возрастания
[соответствующих им цифр, то получите оценку своей
работы.
268. Расшифруйте числовой ребус:
ЛОН— ВУ-МВЛ
Н х Н= ПВ
ПМ+МАЛ=МПЯ
51

Расставив буквы в порядке возрастания соответствую*
щих им цифр, начиная с нуля, получите инициалы и фа-*
милию крупнейшего русского математика, обессмертившего'
свое имя созданием теории равновесия, названной егс
именем.
269. Расшифруйте ребус:
ЛЕА —ГУ-ЕАЛ
: + —
Я X В = РЛ
Л Р +АМ= ВК
Выпишите все буквы в порядке возрастания соответ-
ствующих им цифр и замените все гласные буквы буквой О.
Получите фамилию всемирно известного советского
академика, Героя Социалистического Труда. Он часто выступай
ет с лекциями для учащихся, руководит математически '
школой для учащихся старших классов при Московское
университете.
270. 1) Имеется пятизначно? число, большее 20 000,
сумма цифр которого равна 10, причем все 5 цифр
различные. Если это число сложить с обращенным пятизнач-i
ным числом, то есть числом, записанным теми же циф
рами, но в обратном порядке, то получим пятизначно*
число, все цифры которого равны. Найдите все таки
числа.
2) Имеется пятизначное число, сумма цифр которого;
равна 10, причем все пять цифр различны. Если это
число сложить с обращенным числом, то получим
пятизначное число, все цифры которого одинаковы. Найдите все
такие числа.

Глава II.
ГЕОМЕТРИЯ
§ 1. Вычерчивание фигур
одним росчерком
271. Начертите окружность и возьмите на ней 4 точки.
Через каждые две из них можно провести прямую и
притом только одну Сколько, вы получите различных прямых?
272. В предыдущей задаче вы могли просто пересчитать
все шесть различных прямых. Подумайте, как иначе можно
подсчитать число таких прямых. Вычислите число всех
различных прямых, проходящих через каждые две точки
из заданных на окружности: а) 6 точек; б) 10 точек; в) 1970
точек.
273. 1) На плоскости даны 10 точек, из которых
никакие три не лежат на одной прямой. Сколько различных
прямых линий можно провести через эти точки, беря их
попарно?
2) Сколькими прямыми можно соединить попарно п
точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой?
274. 1) На плоскости даны 6 точек, которые
лежат на одной прямой, и одна точка вне этой прямой.
Сколько различных прямых можно провести через эти
точки, беря их попарно?
2) На плоскости даны 10 точек, из которых 4 лежат
на одной прямой, а больше никакие три не лежат на
одной прямой. Сколько различных прямых можно провести
через эти точки, беря их попарно?
275. На плоскости даны 10 точек, из которых каждая
соединена с каждой из остальных отдельной линией.
Сколько таких линий?
53

276. 1) На рисунке 7 изображено 6 точек, причем
каждая из этих точек соединена с тремя из остальных пяти
точек. Можно ли 4 точки соединить между собой так,
чтобы каждая точка была соединена с тремя из остальных
точек? А если дано 5 точек?
2) Докажите, что 7 точек
нельзя соединить между собой
произвольными кривыми так, чтобы
каждая точка была ' соединена с
тремя из остальных шести точек.
277. Начертите на плоскости
какую-нибудь связную сеть кривых,
то есть такую, которая не состоит
из нескольких, не связанных между
собой кусков. Условимся точки,
которые соединены кривыми, а
также точки, в которых кривые
пересекаются, называть узлами или вершинами сети, а участки
кривых между вершинами — отрезками или ребрами сети.
Вершины, в которых сходится четное число отрезков сети,
будем называть четными, а вершины, в которых .сходится
нечетное число отрезков, — нечетными.
Докажите, что невозможно начертить такую сеть
кривых, которая имела бы нечетное число нечетных вершин,
то есть что число нечетных вершин произвольной сети
кривых — всегда четное.
278. Какие из следующих фигур (рис. 8) можно
вычертить, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя
два ра'за по одной и той же линии?
Рис. 7.
а
5
Рис. 8.
54

279. Почему сеть с более чем двумя нечетными
вершинами невозможно начертить одним росчерком карандаша?
280. Докажите, что если данную фигуру можно
вычертить одним росчерком карандаша, то эта фигура либо
содержит только четные, либо две и только две нечетные
вершины. Что можно сказать о вершинах, в которых
начинается и заканчивается вычерчивание фигуры?
281. Можно ли из одного куска проволоки получить
такую фигуру, как на рисунке 9?
Рис. 9. Рис. 10.
282. Однажды пионеры попросили вожатую
организовать экскурсию в большбй городской парк.
Пионервожатая, показав план парка (рис. 10), предложила
следующую задачу: «Найдите тот перекресток, откуда можно
пройти по всем дорожкам парка и притом только по
одному разу». Как бы вы решили эту задачу?
283. На плоскости дано 5 точек, которые обозначены
числами: 3, 6, 8, 12 и 15. Пары точек, соответствующие
не взаимно простым числам (НОД которых больше
единицы), соединены и притом одной кривой. Можно ли
полученную фигуру начертить одним росчерком? Укажите
начальную и конечную точки.
284. В точке А расположен гараж снегоочистительных
машин. Одному водителю было поручено убрать снег с
улиц части города, план которой изображен на рисунке 11.
д ш Рис. 11.

Может ли он закончить свою поездку на том перекрестке,!
где находится гараж, если по каждой улице своего участи
ка города он может проехать только по одному разу?]
285. Докажите, что любой населенный пункт, из
которого выходит не менее трех шоссейных дорог, можно!
сбойти так, чтобы пройти по каждой улице два раза, и!
нельзя обойти так, чтобы пройти по каждой улице три раза. |
Рис. 12.
286. С вычерчиванием фигур одним росчерком связана
и известная «задача о семи мостах Кенигсберга» (ныне
Калининград), которой занимался один из крупнейших ма-J
тематиков, член Петербургской академии наук Леонард
Эйлер (1707—1783 гг.).
Части города, по которому протекает река, соединены
семью мостами (рис. 12) Можно ли пройти по всем этим
семи мостам, проходя по каждому из них только один
раз?
Решение. Если обозначить через А остров, через В—
левый берег реки, через С — правый и через D — второй
остров, то задача сведется к/ вычерчиванию одним
росчерком фигуры, состоящей из семи линий — мостов (рис. 13);
Рис. 13.
56

У этой фигуры все четыре вершины нечетные,
следовательно, обойти семь мостов, о которых говорится в этой
задаче Эйлера, не проходя ни по одному мосту дважды,
нельзя.
- Примечание. Все подобные задачи
принадлежат к области математики, называемой топологией.
287. 1) Река разделяет город на 4 части, которые
соединены шестью мостами, как показано схематически на
рисунке 14. Один турист решил обойти все мосты, побывав
на каждом из них только по одному разу. Как это можно
сделать, если не требовать обязательного возвращения в
тот район города, из которого начался обход?
2) Добавьте на рисунке 14 еще один мост так: а)
чтобы можно было совершить переход через все. мосты из
любой части города; б) чтобы совсем нельзя было
совершит^ переход через все мосты, побывав на каждом по
одному разу.
Рис. 14.
288. В парке построен водоем с островками и мостами
(рис. 15). Можно ли обойти все И мостов, проходя по
каждому из них только один раз?
сгз
Рис. 15,
57

289. На рисунке 16 изображен план подземного лаби-1
ринта-подвала из 16 ком ат, соединенных дверьми. Можно:
ли, начиная с комнаты № 1, обойти комнаты так, чтобь^
пройти через все двери сех комнат и только один раз?
В какой комнате закончится такой обход?
13 т /4 т № т №
12
5
ф Ю
6
7
4h
Ф J I 2 ф /
Ф 8
HI—lh
10
9 ф^
ф /
Ф 5
4
Рпсг 16.
Рис. 17.
Указание. Замените комнаты точками, а двери —\
дугами и постройте соответствующую сеть кривых.
290. На рисунке 17 изображен план подвала из 10
комнат. Можно ли пройти через все двери всех комнат,
запирая каждый раз ту дверь
через которую вы проходите?;
С какой комнаты надо
начинать движение?
291. В журнале «Пионер»,
№ 4 за 1969 г. помещена,
задача «Три поводка» (рис. 18).
На рисунке три собаки,
На рисунке три руки,
Но, конечно, спросит всякий:
—Где ж, однако, поводки?
Поводков действительно
нет. Вы должны их
нарисовать сами, но так, чтобы
каждый хозяин гулял со своей собакой. Проследите за
тем, чтобы поводки нигде не пересекались, не касались
друг друга и рамки рисунка.
58
Рис. 18.

В следующем номере журнала дано ее решение, в
котором поводок № 2 пересекает руку № 3. Придумайте
лучшее решение.
292. На рисунке 19 изображены три домика, колодец,
навес и погреб. Требуется провести от каждого домика
по одной тропинке к колодцу, навесу и погребу так,
чтобы ни одна из этих девяти тропинок не пересекалась
другой. Докажите, что сделать это невозможно.
293. Проведены четыре прямые так, что каждые две из них
пересекаются. Сколько получилось то^ек пересечения?
Рассмотрите случай, когда в каждой из искомых точек
пересекаются не более двух прямых, а также и другие
возможные случаи.
294. Имеется замкнутая самопересекающаяся ломаная.
Известно, что она каждое свое звено пересекает только
один раз. Докажите, что число звеньев четно.
295. Можно ли построить на плоскости замкнутую
самопересекающуюся ломаную, пересекающую каждое свое
звено один раз: 1) из 1969 звеньев; 2) из 1970 звеньев?
Примечание. Вершины ломаной не могут лежать на
других ее звеньях.
§ 2. Задачи на первые
понятия геометрии
296. 1) На сколько частей делят плоскость две
прямые? Рассмотрите случаи, когда прямые пересекаются и
когда они параллельны (случай совпадения прямых
исключается).
59

2) На сколько частей делят плоскость три прямые?!
Рассмотрите все возможные случаи взаимного расположе-Я
ния трех прямых на плоскости: все три параллельны; две!
параллельны, а третья пересекает их; все три пересекаются!
в одной точке; все три попарно пересекаются в трех раз-!
личных точках. I
297. 1) На сколько частей можно разделить круг двумя!
хордами? !
2) На сколько частей можно разделить круг тремя!
хордами? Я
3) Проведите в круге 4 хорды так, чтобы они делили!
круг на 8 частей; на 11 частей. Я
Примечание. Можно вполне строго доказать,!
что если в круге проведено п хорд, которые пере-Я
секаются в к точках, причем точка пересечения счи-Я
тается р раз, если *-ерез нее проходит р -j- 1 хорда,Я
то эти хорды разре ают круг на (п+ к-\- 1) частей.!
298. Возьмите произвольный треугольник и проведите всеЯ
три его медианы. Вы увидите, что все медианы пересекаютсяЯ
в одной точке. Найдите на полученном вами чертеже 16Я
различных треугольников. Я
299. 1) Постройте все триЯ
средние линии треугольника.*
Найдите на полученном чертежей
6 различных четырехугольников.*
2) Найдите 8 четырехуголь-Я
ников на рисунке 20. Я
300. На рисунке 21 показано такое сечение куба плос-Я
костью, что в сечении получился шестиугольник. Можно»
ли пересечь куб плоскостью так, чтобы в сечении полу-Я
чить пятиугольник, четырехугольник, треугольник? А мож-Я
но ли получить в сечении куба плоскостью семиугольник?*
30!. Сколько углов имеет фигура, изображенная на ри-Я
сунке 22. 1
302. (Шутка.) Казалось бы, лупа должна увеличивать!
все без исключения предметы. Но все же существуют та-!
кие объекты, которые лупа не увеличивает. Что это за!
объекты? 1
303. Дан отрезок АВ, серединой которого является!
точка М. Докажите, что для любой точки С, лежащей на!
Л /ft I TTtp Щ
продолжении отрезка АВ, длина МС = %—. А если!
кх^
60

точка С принадлежит самому отрезку AS, какая тогда
зависимость между длинами отрезков МС, АС и ВС?
304. Существует ли треугольник, у которого: а) две
высоты меньше 1 см, а площадь больше 100 кв. см\ б) две
высоты больше 100 см, а площадь меньше 1 кв. см?
Рис. 21.
305. 1) Длины сторон треугольника выражены целыми
числами. Найти третью сторону этого треугольника, если
две других равны соответственно 1 см и 7 см.
2) Две стороны треугольника равны соответственно
5 см и 10 см. Найдите третью сторону, если ее длина
выражается целым числом сантиметров, кратным 3.
306. В равнобедренном треугольнике ABC с = 5 см и
а = 11 см. Найдите периметр этого треугольника.
307. Могут ли быть два треугольника неравными, если
все углы одного треугольника равны соответствующим
углам другого и две стороны одного треугольника равны
двум сторонам другого?
308. На прямой АВ взята точка С и через нее под
произвольным углом проведена прямая CD. На
биссектрисах углов ACD и DCB взяты точки М и N. Докажите,
что если MN || АВ, то CD делит отрезок MN в точке О
пополам.
309. 1) Угол С треугольника ABC равен 80°.
Определите угол между биссектрисами углов А и В.
2) В треугольнике ABC угол С равен 40°. Биссектрисы
внутреннего и внешнего углов при вершине С равны
между собой. Найдите углы А и В треугольника.
61

310. Один из углов треугольника равен 75°. НайдитеЯ
остальные углы этого треугольника, если известно, чтоЯ
прямая, проходящая через вершину данного угла, разби-Я
вает треугольник на два равнобедренных треугольника (двая
случая). I
311. Дан квадрат ABCD. Из произвольной точки Мщ
стороны ВС квадрата проведена прямая, пересекающаяЯ
сторону CD в такой точке К, что углы АМВ и АМК рав-Я
ны. Определите угол МАК. Я
312. На стороне АВ квадрата ABCD взята произволь-Я
ная точка Е. Биссектриса угла CDE пересекает сторону ВСщ
в точке К. Докажите, что AE+KC=DE. Я
§ 3. Геометрические софизмы Я
Не только в алгебре, но и в геометрии иногда умоза-Я
ключения при всей кажущейся их правильности могут при-Я
вести к бессмыслице, парадоксу. По-гречески «парадокс»
означает «странный», «неожиданный». Я
В геометрических софизмах, в отличие от алгебраиче-Я
ских, все умозаключения могут оказаться верными, но ис-Я
ходные данные, чаще всего рисунокЛ
* оказываются ошибочными. Разберем щ
качестве примера общеизвестный пара-Я
доке: «Гипотенуза равна катету». Я
В прямоугольном треугольнике АВСЯ
(рис. 23) построим биссектрису остро-Я
го угла А и перпендикуляр к СВ че-1
рез середину D. Обозначим точку их!
пересечения (она всегда существует!)!
через О и соединим ее с точками Вт
и С, а также проведем ОК±АС и!
ОМ±АВ. 1
Легко установить, что ACOD=m
В -==ADOB (CD = DB и DO — общий!
О катет) и что Л АОК= /\АОМ (Z КАО= 1
Рис. 23. = Z.OAM и АО — общая гипотенуза).!
Из равенства этих треугольников!
следует, что АК = AM; КО = ОМ и ОС = ОВ. Но тогда!
д ОКС = Д ОВМ (по катету и гипотенузе: ОК = ОМ и I
ОС = ОВ), откуда СК = ВМ. Следовательно, АС = АК + 1
+ КС = AM + MB = АВ, что и требовалось доказать. I
62

Сколько бы вы ни искали ошибок в приведенных
рассуждениях, вы их не найдете, так как применяемые здесь
признаки равенства треугольников действительно
справедливы.
Оказывается, весь секрет этого софизма в исходном
рисунке. Если аккуратно выполнить чертеж (сделайте его
обязательно!), то биссектриса угла Л и перпендикуляр к катету
ВС, проведенный через его середину, пересекаются не
внутри треугольника, а вне его. И тогда легко убедиться, что
никакого равенства гипотенузы и катета мы не получим,
так как катет будет равен разности, а гипотенуза — сумме
попарно равных отрезков.
Теперь самостоятельно найдите ошибки, допущенные в
приведенных ниже рассуждениях.
313. Рассмотрим
произвольный треугольник ABC (рис. 24).
Через середину отрезка АС
проведем DOJlAC и построим
биссектрису угла В,
пересекающую DO в точке О.
Соединим точку О с
точками Л и С и опустим из
точки О два перпендикуляра:
ОК±АВ и ОМ ±ВС.
Легко доказать, что АОКВ=
= Л ВОМ (ВО — общая гипотенуза и Z КВО = ZOBM),
значит, ОК = ОМ и ВК = ВМ. Так как AAOD = ADOC
(по двум катетам), то АО=ОС. Следовательно, Л АОК =
= Д МОС (по катету и гипотенузе), поэтому АК = МС.
Итак, АВ=АК+КВ = СМ+МВ=СВ, то есть
произвольный треугольник ABC оказался равнобедренным.
Рассуждая аналогично для сторон АС и АВ9 получим,
что любой треугольник является равносторонним.
314. Докажем, что прямой угол равен острому.
В точках А и D построим два угла (рис. 25): /.DAB —
острый и Z.ADC — прямой. На их сторонах отложим
равные отрезки AB—DC и точки В и С соединим прямой ВС.
Из середины AD восстазим перпендикуляр КО, из
середины ВС — перпендикуляр МО до их взаимного пересечения
в точке О, а затем точку О соединим с точками Л, В, С
и D.
Очевидно, что треугольники AOD и ВОС —
равнобедренные, значит, AO=OD и ВО=ОС, причем Z DAO=£ ODA.
63

Так как по построению AB=DC, то д АВО=*А DOC (nol
трем сторонам), тогда Z&40= Z.CDO. Следовательно,*]
/_BAD = ZBAO+ZOAD= ZCDO+ ZODA=ZCDA, что и]
требовалось доказать. 1
315. Постройте окружность и проведите в ней диаметр!
АОВ. Через точку В проведите хорду ВС, а через ее сере-1
дину Р проведите хорду AD и точки D и С соедините!
(рис. 26). J
О
/ / 5 \\
h
!!
\ \
\ \
1 'М
JL
К
Рис. 25.
Рис. 26.
Рассмотрим теперь получившиеся два равнобедренны;
треугольника: Д АРВ и ADPC. По построению ВР=РС,
тогда AP=PDt Кроме того, ZAPB=ZDPC (как верти
кальные). Значит, дЛРВ=дОРС, откуда ЛВ=ОС, то|
есть хорда, не проходящая через центр круга, равна диа^
метру этого круга.
316. Рассмотрим так называемый «четвертый признак^
равенства треугольников».
Если две стороны и угол против одной из них одного!
треугольника соответственно равны двум сторонам и углу]
против одной из них другого треугольника, то такие тре^
угольники равны (рис. 27).
Дано: АВ=МР
АС=МК
ZABC=/.MPK
Доказать: дЛВС=дМР/С
64

в
р
с м<
Рис. 27.
Доказывать будем методом «приложения». Приложим
треугольник МРК к треугольнику ABC так, чтобы точка М
совпала с точкой Л, а точка К с точкой С. Возможен
один из трех случаев расположения треугольников (рис. 28).
Рассмотрим случай а. Соединим точки В и Рг, получим
треугольник ABPlf у которого АРХ = MP = ABt значит, и
Z ABD = Z APXD, но тогда Z DBC = Z ЛВС— Z ЛШ) -
= Z i4PiC— Z ЛР,0 = Z DP^. Следовательно,
треугольник Р^ВС — равнобедренный, ВС = PtC == Р/С.
1 /
Pi
Рис
6
28.
^С А
г^\
* '«
Итак, у треугольников ЛВС и МРК три стороны
одного треугольника равны трем сторонам другого
треугольника, по третьему признаку равенства треугольников они
равны*
Так же устанавливаем равенство треугольников и в
случаях бив, Следовательно/ четвертый признак равенства
треугольников доказан
полностью.
Но ... рассмотрим
равнобедренный треугольник
ABD, где AB = BD. На
г родолжении DA возьмем
точку С (рис. 29) и соеди- <
шш ее с точкой В.
3 Реши сам. ч III
65

Получим два треугольника: ABC и DBC, у которых
сторона ВС — общая, АВ = BD и Z BCD — общий. По
четвертому признаку они должны быть равны, а из
построения очевидно, что СА ф CD.
В чем же дело?
Примечание. Четвертый признак равенства тре
угольников в действительности формулируется так
«Если две стороны и угол против большей из них
одного треугольника соответственно равны двум
сторонам и углу против большей из них другого
треугольника, то такие треугольники равны». Если же
две стороны и угол против меньшей из них одного
треугольника соответственно равны двум сторонам и
углу против меньшей из них другого треугольника.
то такие треугольники могут быть как равными, так
и неравными.
317. Софизм Прокла из Византии (412—485 гг.):
«Никакие две прямые не пересекаются».
Возьмем две различные прямые а и & в одной плоскости
(рис. 30) и две точки: А на прямой а и В на прямой Ь.
Соединим точки А и В и построим отрезки ААг = ВВХ =
АВ
= -g-. Отрезки ААХ и ВВг не пересекаются, ибо в
противном случае (рис. 31) имели бы, что АВ<АС +
+ СВ < -у АВ + -у ^» чего быть не может.
Рис. 30. Рис. 31.
Строим теперь АгА2 = В1В2 = -g~ ^iBi и так Далее- Рас"
суждая аналогично, получим, что прямые а и Ъ не
пересекаются.
66

318. На рисунке 32 изображены две различные
концентрические 1 окружности. Если из общего центра
проводить лучи, то получим, что каждой точке малой
окружности соответствует только одна точка большой
окружности и наоборот. Следовательно, обе окружности содержат
одинаковое * число точек, а
значит, имеют и одинаковые длины.
В чем же ошибка?
319. 1) Начертите
произвольный прямоугольный
треугольник ABC (рис. 33) и проведите
его средние линии,
параллельные катетам. Получите
ломаную AAfi^B, длина которой
равна сумме катетов (проверьте!).
Выполните такие же построения
в треугольниках ААгС^ и СДВ,
получите ломаную АА2С2В2С1А3С3В3В, длина которой по-
прежнему равна сумме катетов.
Проведя в каждом из четырех получившихся
треугольников такие же средние линии, получим новую ломаную,
длина которой опять равна сумме катетов.
Рис. 32.
Рис. 33.
Продолжая эти построения, будем получать ломаные,
которые все меньше и меньше отличаются от гипотенузы
и в пределе сольются с ней. Длины этих ломаных всегда
постоянны и равны сумме катетов.
Значит, АС + СВ = ЛБ, то есть сумма катетов равна
гипотенузе.
2) В § 3 главы I мы приводили примеры «доказательств»
того, что 1=2. Рассмотрите еще геометрическое
доказательство этого равенства.
1 Окружности, имеющие общий центр, называются
концентрическими.
3*
67

Рис. 34.
Выполняем построение, как
и в предыдущей задаче, для
равностороннего треугольника ABC
(рис. 34). Вновь легко
установить, что построенные ломаные
имеют постоянную длину АС +
-т- СВ и все меньше и меньше
отличаются от АВ. Вьщолним
4—5 построений, и ломаная
почти сольется со стороной АВ
Получаем, что 'АС + СВ = АВ
то есть 2=1.
§ 4. Перемещения
В этом параграфе рассмотрим более подробно
некоторые виды перемещений (осевую и центральную симметрию
и параллельный' перенос). Рекомендуем повторить свойства
фигур, симметричных относительно оси и относительно
центра симметрии.
Какое же перемещение является параллельным пере
носом?
Возьмите произвольный треугольник ABC (рис. 35) и
прямую ОхО[. Постройте треугольник A^fi^ симметрия-
Рис. 35.
ный треугольнику ABC относительно оси 010\, а затем
постройте треугольник А2В2С2, симметричный AJifix
относительно оси 020'2, параллельной оси 0}0\.
Рассмотрим треугольники ABC и АгВ2Сг. Отрезки АА2,
ВВ2 и СС21 соединяющие соответственные при таком
преобразовании точки, равны между собой, ибо каждый равен
удвоенному расстоянию между осями симметрии (докажите!).
С8

Эти же отрезки параллельны между собой и имеют одно
и то же направление.
Преобразование фигуры F в фигуру Flf при ко-'
тором все отрезки, каждый из которых соединяет две
соответственные точки, равны, параллельны и направлены
в одну сторону, является параллельным
переносом.
Из рассмотренного примера видно, что для
геометрического перемещения, в том числе и для параллельного
переноса, переводящего данную фигуру F в фигуру Flt
равную ей, безразлично, как двигалась фигура F, важно лишь
исходное и конечное положения точек данной фигуры.
Однако целесообразно учитывать, что если фигура Ft
получена из фигуры F параллельным переносом, то всегда фи-
ГУРУ Pi можно получить, перенося точки фигуры F по
параллельным прямым на одно и то же расстояние в одном
направлении.
Очевидно, что параллельный перенос задается
направлением перемещения и расстоянием, на которое
перемещаются в заданном направлении точки исходной фигуры.
Различные виды перемещений применяются при решении
многих геометрических задач. В зависимости от того,
какого вида перемещение применяется при решении задач,
говорят о различных методах решения: метод симметрии,
если применяется симметрия относительно прямой; метод
центральной симметрии, если применяется симметрия
относительно точки; метод параллельного переноса, если
применяется
параллельный перенос.
Сущность всех этих
методов состоит в
следующем: при отыскании
решения часть фигуры или
всю фигуру подвергаем
некоторому
перемещению, в результате чего
получаем
вспомогательную фигуру, построение
которой легко выполнимо; построив ее, выполняем
обратное перемещение и получаем искомую фигуру.
На уроках геометрии . вы изучали свойства
равнобедренного треугольника, некоторые основные задачи на
построение и другие темы, используя понятие осевой сим-
Рис. 36.
69

метрии. Решите методом осевой симметрии задачи-
№320—325 К
320. На берегу реки в точке А (рис. 36) находится
палатка, а в точке В— кухня. Пионеру нужно пройти из
палатки на кухню, зачерпнув по дороге ведро воды из реки.
Каким образом должен идти пионер, чтобы путь его был
кратчайшим?
321. 1) На данной прямой / найдите такую точку X,
чтобы прямые АХ и ВХ, где А и В — данные точки,
образовали с прямой I равные углы.
2) Дан отрезок АВ и прямая /, пересекающая его. По-i
стройте треугольник ABC так, чтобы прямая / была
биссектрисой угла С.
3) Упругий шарик, катящийся по прямой линии,
лежащей в горизонтальной плоскости, ударившись о стенку, j
отражается от нее под углом, равным углу падения. Как ;
нужно направить шарик Л, чтобы он, отскочив от стенки /,
прошел через точку В?
322. Постройте ромб с данной диагональю, лежащей;
на данной прямой, две другие вершины которого лежат на
данных двух окружностях.
323. Докажите, что две окружности касаются друг
друга тогда, и только тогда, когда их общая точка лежит на
их линии центров.
324. Постройте четырехугольник ABCD, зная длины
всех его сторон, если известно, что диагональ АС делит
угол BAD пополам.
325. Покажите, что из всех треугольников с общим
углом при вершине и данной суммой боковых сторон
равнобедренный треугольник имеет наименьшее основание.
Задачи № 326—329 решите методом центральной
симметрии.
326. 1) Через данную точку провести прямую так,
чтобы ее отрезок между данными прямой и окружностью
делился в этой точке пополам.
2) Через данную точку провести прямую так, чтобы ее
отрезок между двумя данными окружностями делился в
этой точке пополам.
327. Докажите, что отрезки, соединяющие середины
попарно противоположных сторон выпуклого
четырехугольника (средние линии четырехугольника), в точке пересечения
делятся пополам.
1 Рекомендуем повторить решение задачи № 211.
70

328. Двое по очереди кладут на прямоугольный стол
пятикопеечные монеты. Монеты можно класть только на
свободные места (то есть так, чтобы они не покрывали
друг друга даже отчасти). Сдвигать монеты с места, на
которое они положены, нельзя. Предполагается, что каждый
имеет достаточное количество монет. Выигравшим
считается тот, кто положит монету последним.
Как должен класть монеты начинающий игру, чтобы
выиграть?
329. Докажите, что каков бы ни был выпуклый
четырехугольник, можно сплощь заполнить всю плоскость
четырехугольниками, равными данному.
Рассмотрим теперь метод параллельного переноса.
Напоминаем, что этот метод состоит в том, что при анализе
часть фигуры или всю фигуру подвергаем параллельному
переносу на некоторое расстояние в определенном
направлении, в результате чего получаем вспомогательную
фигуру, построение которой или очевидно, или не
представляет затруднений. Построив эту вспомогательную фигуру;
выполняем параллельный перенос на такое же
расстояние, как и при анализе, но в противоположном
направлении, в результате получаем искомую фигуру.
Этим методом целесообразно решать задачи, при
анализе которых трудно найти зависимость между данными
элементами, позволяющую построить искомую фигуру
(данные элементы удалены друг от друга); но если мы
какую-нибудь часть или всю фигуру перенесем параллельно
в некотором направлении на определенное расстояние, то
получим вспомогательную фигуру, которую легко можно
построить. Направление и величина переноса определяются
так, чтобы во вспомогательную фигуру вошло большее
число данных.
Рассмотрим решение методом параллельного переноса
одной задачи на построение.
330. Два равнобедренных треугольника, основания
которых находятся на одной и той же прямой, требуется
пересечь прямой, параллельной основаниям, так, чтобы
отрезки этой прямой внутри треугольников были между
собой равны (рис. 37).
Решение. Пусть задача решена, то есть PQ\\MN и
KL = KxLv Если треугольник Afifi^ перемещать вдоль
прямой MN, то отрезок KXLX будет перемещаться по
прямой PQ. Отрезки KXLX и КХ совпадут, когда совпадут их
71

оси симметрии — высоты данных треугольников.
Следовательно, для решения задачи строим треугольник А^32С2ш
равный треугольнику AjBjC^ имеющий осью симметрии
прямую ВО — высоту треугольника ABC. Точки К и L
(точки пересечения боковых сторон этих треугольников) и
определят искомую прямую PQ, параллельную прямой MNt
так как эти точки симметричны относительно оси ВО.
Задача имеет единственное решение, если высота одного
треугольника меньше высоты другого, а основание первого
треугольника, наоборот, больше основания второго.
Рис. 37,
Задача не имеет решения, если один из треугольников
(ABC или А2В2С2) будет лежать внутри другого, то есть
если и высота ,и основание одного треугольника меньше
соответственно высоты и основания другого треугольника,
или если высоты равны, а основания не равны, или,
наоборот, основания равны, а высоты не равны.
Если высоты и основания обоих треугольников
соответственно равны, то треугольники ABC и А2В2С2 совпадут
и задача будет иметь бесчисленное множество решений.
331. 1) В трапеции ABCD из вершины В проведена
прямая, параллельная боковой стороне CD, до встречи в
точке Е с большим основанием AD. Периметр
треугольника ABE равен 1 му а длина ED равна 3 дм.
Определите периметр трапеции.
2) В трапеции ABCD из середины Е боковой стороны
АВ проведена прямая, параллельная основаниям, до встре-
72

[
чи в точке К с боковой стороной CD; из вершины В
проведена прямая, параллельная стороне CD, до встречи в
точке М с большим основанием AD. Определите
основания, если ЕК= 12 см и AM = 1 см.
3)- В равнобедренной трапеции большее основание равно
2,7 м, боковая сторона равна 1 м, угол между ними 60°.
Определите меньшее основание.
332. Постройте трапецию по разности оснований, двум
боковым сторонам и диагонали. . JL-
333. Постройте трапецию по одному ее углу, двум
диагоналям и средней линии трапеции.
334. Даны окружность и две прямые /и л. Постройте
отрезок АВ данной длины а так, .чтобы он был параллелен
прямой /, один конец *его принадлежал прямой nt а
другой— данной окружности.
335. Постройте четырехугольник, зная четыре его
стороны и угол между двумя противоположными сторонами.
336. Постройте четырехугольник по трем сторонам и
двум углам, прилежащим к^ неизвестной стороне
четырехугольника.
337. Постройте такой равносторонний треугольник с
данной стороной а, чтобы две его вершины лежали
соответственно на двух данных параллельных прямых, а
третья — на прямой, пересекающей эти две параллельные
прямые.
338. В каком месте надо построить мост через реку с
прямолинейными и взаимно параллельными берегами, чтобы
дорога между селениями Л и В, расположенными по
разные стороны реки, была кратчайшей. Учтите, что мост
располагается перпендикулярно берегам реки.
339. Селения А и В разделены двумя непараллельными
каналами с прямолинейными попарно параллельными
берегами. Где надо построить мосты на этих каналах, чтобы
дорога между А и В была кратчайшей?
340. 1) Между двумя окружностями провести отрезок
данной длины параллельно данной прямой.
2) С корабля под углом а видны два маяка,
положение которых на карте известно. Когда корабль прошел _в
известном направлении расстояние d, эти же маяки стали
видны под углом (3. Как определить на карте место
корабля?
73

§ 5. Геометрические места
точек
Условимся называть геометрическим местом точек,
обладающих некоторым свойством, множество всех точек,
обладающих этим свойством1.
На уроках вы рассматривали примеры геометрических
мест точек и видели, что иногда целесообразно доказывать
две взаимно обратные теоремы, а иногда лучше вместо
одной из них доказывать теорему, противоположную другой,
341. 1) Докажите, что ось симметрии двух данных точек
есть геометрическое место точек, каждая из которых
равноудалена от этих двух точек.
2) Найдите геометрическое место вершин
равнобедренных треугольников с общим основанием.
342. 1) Найдите геометрическое место середин радиусов
данной окружности.
2) Найдите геометрическое место центров окружностей
данного радиуса, проходящих через данную точку О.
« Указание. Вначале постройте 3—4 окружности
одного и того же радиуса, проходящие через данную точку О
343. Найдите геометрическое место точек, каждая из
которых одинаково удалена от двух дересекающихся
прямых.
Учтите, что биссектрисы смежных углов взаимно
перпендикулярны, а биссектрисы вертикальных углов
составляют продолжение одна другой.
344. 1) На прямой, пересекающей стороны угла,
найдите точку, равноудаленную от сторон этого угла.
2) На данной окружности найдите точку, находящуюся
на равном расстоянии от двух данных пересекающихся
прямых.
345. В равнобедренном треугольнике АВ = ВС = 20 см и
ZB<60°. На ВС взята точка D, равноудаленная от
точек Л и В, и соединена с точкой А. Найдите АС, если
периметр треугольника ADC равен 35 см,
346. Ниже приведены формулировки нескольких задач
на построение. Требуется решение каждой из них, начиная
со второй, свести к предыдущей задаче.
1 В этом параграфе рассматриваются геометрические места точек
на плоскости.
74

1) Найти точку, находящуюся от данной точки А на
расстоянии, равном данному отрезку Ь, и от точки В на
расстоянии, равном другому данному отрезку а.
2) Построить треугольник, равный данному
треугольнику ABC:
3) Построить треугольник по трем данным сторонам.
4) Построить угол, равный данному углу, имеющий
данную вершину и данную сторону.
347. Даны угол и точка М внутри угла. Найти ~такую
точку, которая была бы одинаково удалена от обеих
сторон угла и отстояла бы от точки М на данное
расстояние а (рис, 38).
Решение. Так как искомая точка должна быть
одинаково удалена от сторон угла, то она находится
где-то на биссектрисе данного угла, ибо геометрическое
место точек, одинаково удаленных от сторон угла, есть
биссектриса этого угла» Но где же точно на биссектрисе^
Примем во внимание, что
искомая точка должна
отстоять от точки М на данное
расстояние а4 Но
геометрическим местом точек,
отстоящих от точки М на
расстояние а, является окружность
радиуса а с центром в
точке М. Построим эту
окружность.
Искомыми точками будут рис. за
точки С и D, точки
пересечения построенной окружности и биссектрисы, так как
они должны лежать и на одном и на втором
геометрических местах, то есть быть точками их пересечения*
Очевидно, что если точка М взята так, что
окружность данного радиуса а с центром в точке М не
пересекает биссектрисы, то задача решений не имеет; если же
окружность и биссектриса имеют лишь одну общую 'точку,
то задача имеет одно решение; если окружность
пересекает биссектрису в двух точках, то задача имеет два
решения.
' Рекомендуем построить серию окружностей с центром
в точке /М, постепенно увеличивая радиус а. Учтите, что
если а > МО, то задача имеет одно решение.
348. Дан угол А и точка В на одной из его сторон.
75

Найдите на другой стороне такую точку С, чтобы сумма
АС + СВ была равна данной длине /.
349. Найдите геометрическое место центров
окружностей, проходящих через две данные точки.
350. Проведите окружность, проходящую через три
данные точки.
Проанализируем решение этой задачи, выделяя
основные его этапы (рис. 39).
1) Решение задачи свели
к определению некоторой
точки (центра),
удовлетворяющей определенным условиям
(окружность с центром в
искомой точке должна проходить
через все три заданные
точки Л, В и С).
2) Отбросим одно из этих
^условий (окружностьпроходит
через точку С), тогда задача
становится неопределенной, и
оставшимся условиям (окруж- рИс. 39.
ность должна проходить
через точки А и В) будет удовлетворять уже не одна
точка, а целое геометрическое место (точки
перпендикуляра KD).
3) Затем, отбрасывая какое-нибудь из использованных
условий (окружность проходит через точку Л), принимаем
во внимание условие, ранее отброшенное. В результате
получаем новое геометрическое место точек
(перпендикуляр MN), удовлетворяющих оставшимся условиям
(окружность с центром в этих точках проходит через точки В
и С).
4) Искомая точка должна удовлетворять всем условиям-
задачи (окружность с центром в искомой точке должна
проходить через все три точки). Следовательно, должна
принадлежать" обоим геометрическим местам. Если
построить каждое из этих найденных геометрических мест,
то точка их пересечения и будет искомой.
Такой метод решения геометрических задач на
построение называется методом геометрических мест.
В общем случае сущность этого метода состоит в
следующем. Решение задачи сводится к отысканию некоторой
точки, удовлетворяющей определенным условиям. Отбрасы-
76

ваем одно из этих условий — задача становится
неопределенной. Решением ее будет геометрическое место точек,
удовлетворяющих оставшимся условиям. Отбрасывая затем
какое-нибудь другое условие и учитывая ранее
отброшенное, получаем новое геометрическое место точек,
удовлетворяющих этим условиям. Искомая точка,
удовлетворяющая всем условиям, должна принадлежать обоим
геометрическим местам, .то есть
будет точкой их пересечения.
351. Постройте
треугольник ABC, зная основание Ь,
прилежащий угол а и сумму s
боковых сторон (рис. 40).
Решение. Основание АС
искомого, треугольника
известно, значат, для решения
задачи нужно определить
положение третьей вершины В.
Так как известен угол CAB, Рис. 40.
U- то вершина В будет
находиться где-то на стороне АК угла САК, равного данному углу а.
Чтобы учесть известную сумму боковых сторон,
целесообразно на стороне АВ отложить отрезок ВК = ВС,
тогда АК = s. Таким образом, легко можно найти положение
точек С, А и К.
Искомая же точка В равноудалена от точек К и С,
поэтому для отыскания ее достаточно найти точку
пересечения луча АК и перпендикуляра BD к отрезку КС,
проходящему через середину КС.
Определив положение вершины В искомого
треугольника, соединим точку С с точкой В и получим искомый
треугольник ABC.
Нетрудно видеть, что если $>&, то задача имеет одно
решение, а если $ <; Ъ, то задача не имеет решения.
352. Постройте треугольник по стороне, прилежащему
углу и разности двух других сторон. Рассмотрите
отдельно два случая: когда известен меньший угол при
основании и когда известен больший угол при основании.
353. Постройте прямоугольный треугольник по катету
и разности гипотенузы и другого катета.
354. Используя свойства прямоугольника, найдите
геометрическое место точек, находящихся на данном
расстоянии от данной прямой.
77

355. Найдите геометрическое место: а) точек,
равноудаленных от двух данных параллельных прямых; б) середин
отрезков, заключенных между двумя данными
параллельными прямыми.
356. Найдите точку на данной прямой (на данной
окружности): а) находящуюся на данном расстоянии от
другой данной прямой; б) равноудаленную от двух данных
параллельных прямых.
357. Найдите точку, находящуюся на данном
расстоянии от данной прямой и равноотстоящую от двух данных
точек.
358. 1) Внутри данного угла построен другой, равный
ему, угол, стороны которого параллельны сторонам
данного и одинаково отстоят от них. Докажите что
биссектрисы обоих углов совпадают.
2) Разделите пополам угол, вершина которого не
помещается на чертеже.
359. Постройте треугольник по основанию а, высоте ha
и боковой стороне 6.
360. Постройте параллелограмм по двум диагоналям и
высоте.
361. Концы отрезка постоянной длины скользят по
двум взаимно перпендикулярным прямым. Какую кривую
описывает при этом середина отрезка?
362. Углом, под которым отрезок АВ виден из точки
Му называется угол с вершиной в точке М, стороны
которого проходят через точки А и В.
Докажите, что геометрическим местом точек, из
которых данный отрезок виден под прямым углом, является
окружность, построенная на этом отрезке, как на
диаметре, кроме концов данного отрезка.
363. Докажите, что если через одну из точек
пересечения двух окружностей провести диаметры каждой
окружности, то прямая, соединяющая другие концы этих
диаметров, пройдет через вторую точку пересечения тех
же окружностей.
364. Ниже приведены четыре геометрических софизма,
Укажите ошибки в каждом из этих четырех
«доказательств».
1) Через две точки можно провести две прямые.
На сторонах АВ и ВС (рис. 41) треугольника ABC,
как на диаметрах, построим полуокружности,
пересекающиеся в точке D, и соединим точку D с точками Л, В и
78

С. Тогда Z ADB= Z J3DC = 90°, как вписанные,
опирающиеся на диаметр. Значит, ADC есть отрезок прямой
линии.
Следовательно, через точки А и С проведены две
прямые: АС и ADC.
2) На прямую из одной точки можно опустить два
перпендикуляра (рис. 41).
На сторонах АВ и
ВС треугольника ABC,
как на диаметрах,
построим полуокружности,
пересекающие АС
соответственно в точках К
и М. Очевидно, что
/ЛШ=90° и АВКС=
= 90°, как вписанные,
опирающиеся на
диаметры. Следовательно, цз
точки В на прямую АС
опущены два перпендикуляра: ВМ и JBK.
3) Через точку вне прямой можно провести две
прямые, параллельные данной прямой.
Вы, вероятно, знаете, что в геометрии Лобачевского
через точку, взятую вне прямой, можно провести не менее
двух прямых, не Пересекающих данную прямую. Докажем,
что и в геометрии Евклида через одну точку можно
провести две различные прямые, не пересекающие данной
прямой.
Рис. 41.
Рис. 42.
Возьмем две параллельные прямые (рис. 42) т и п и
под углом в 30° пересечем их прямой АВ.
На отрезке АВ, как на диаметре, строим
полуокружность и на ней находим такую точку УИ, что МА±т.
Через М и В проводим прямую MB, которая будет парал-

лельна m, ибо внутренние накрестлежащие углы равны,]
так _кек оба прямые.
4) Любая окружность имеет два центра.
Возьмем две непараллельные прямые и из точек А и В\
на этих прямых восставим перпендикуляры,
пересекающиеся в точке С (рис. 43). Через три точки Л, В и С
проведем окружность, пересекающую данные прямые в
точках К и М. По построению Z КВС = Z MAC = 90°. Сле«]
довательно, эти углы опираются на диаметры КС и СМ\
одной и той же окружности. Середины этих диаметров)
0Х и 02 являются двумя центрами одной и той же
окружности.
Рис. 43.
365. 1) Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту]
хорду пополам, к наоборот, если диаметр делит хорду |
пополам, то он перпендикулярен к ней. Используя эти!
теоремы, найдите геометрическое место середин параллель-;
ных хорд данного круга.
2) Через данную в круге точку М проведите хорду,
которая делилась бы этой точкой пополам.
366. Используя прямую и обратную теоремы о
касательной к окружности, докажите, что геометрическое место
центров окружностей, касающихся данной прямой АВ в
заданной на ней точке М, есть перпендикуляр к АВ,
проведенный через точку М (кроме самой точки М).
367. Докажите, что центр окружности всегда отстоит
от касательной на расстояние, равное радиусу, и наоборот,
если центр окружности отстоит от данной прямой на
расстояние, ^ равное радиусу, то такая окружность касается
данной прямой.
368. Основываясь на доказанных в задаче № 367
теоремах, разъясните справедливость следующих утверждений:
80
tf

1) Геометрическое место центров окружностей данного
радиуса /?, касающихся данной прямой, ^сть две прямые,
параллельные данной и расположенные по разные от нее
стороны на расстоянии, равном R.
2) Геометрическое место центров окружностей,
касающиеся двух данных параллельных прямых, есть прямая,
параллельная им и проходящая между ними на равном от
них расстоянии (их ось симметрии).
3) Геометрическфе место центров окружностей,
касающихся двух пересекающихся прямых, есть две взаимно
перпендикулярные прямые, делящие углы, образованные
данными прямыми, пополам.
369. Между двумя данными параллельными прямыми
задана точка К. Постройте окружность, проходящую через
эту точку и касающуюся данных прямых.
370. Постройте окружность, касающуюся сторон
данного угла, причем одной из них в данной точке.
371. Найдите геометрическое место центров
окружностей, касающихся данной окружности в заданной на ней"
точке М.
Указание. Рекомендуем через точку М провести к
данной окружности касательную.
372. Докажите, что геометрическое дместо центров
окружностей данного радиуса, касающихся данной
окружности, состоит из двух окружностей,
концентрических данной, радиусы которых соответственно равны
сумме и разности данных радиусов.
Примечание. Если радиусы данной
окружности и касательных к ней окружностей равны, то
одна из окружностей геометрического места
вырождается в точку — центр данной окружности.
373. Постройте окружность, которая проходила бы
через данную точку и касалась бы данной окружности в
заданной на ней точке.
374. Постройте окружность,. касающуюся данной
окружности в заданной на ней точке и данной прямой.
375. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым
углом С. Из некоторой точки М катета ВС к гипотенузе
проведен перпендикуляр MN. Докажите, что углы MAN
и MCN равны.
376. Докажите, что геометрическое место точек, из
которых данный отрезок виден под данным углом,
отличным от нуля и от развернутого угла, состоит из дуг двух
81

сегментов, каждый из которых вмещает в себе заданный
угол, и один расположен по одну сторону данного
отрезка, а другой — по другую сторону.
377. На данном отрезке, как на хорде, постройте
сегмент, вмещающий данный угол.
378. На данной прямой найдите точку, из которой
данный отрезок виден под данным углом.
379. Построить треугольник по основанию, углу при
вершине и медиане, проведенной к основанию.
380. Даны разные по величине и положению два
отрезка а и Ь. Найдите точку, из которой отрезок а был
бы виден под данным углом а, а отрезок Ь под данным
углом р.
Укажите такое расположение соответствующих дуг
сегментов, чтобы задача имела 8 решений.
381. (Задача Потенота.) Как определить положение
корабля ца море (самолета в воздухе), зная положение
трех радиомаяков и направления с корабля на эти маяки?

Глава III.
ИНТЕРЕСНЫЕ ЗАДАЧИ
СМЕШАННОГО СОДЕРЖАНИЯ
382. Сумма номеров домов на одной стороне
квартала 333, Определите номер дома, пятого от угла квартала.
Кажется, что эту задачу решить невозможно. А в
действительности она решается легко, простым логическим
рассуждением и применением первых четырех действий
арифметики.
, 383. Прямоугольную плитку шоколада, содержащую
4x5 квадратных долек, требуется разделить на единичные
квадратные дольки. Сколько изломов нужно сделать,
чтобы получить все 20 долек? Ломать одновременно два и
более кусков не разрешается.
384. На концах диаметра окружности стоят единицы.
Каждая полуокружность делится пополам, и в ее
середине пишется сумма чисел, стоящих на концах. Затем
каждая из четырех получившихся дуг вновь делится пополам,
и в ее середине пишется число, равное сумме чисел,
стоящих на концах дуги, и так далее. Найдите суммы всех
записанных чисел,после первого шага; второго; третьего.
Докажите, что суммы всех записанных чисел при любом
шаге будут увеличиваться втрое.
385. Отец й сын шли по занесенной снегом дороге друг
за другом. Длина шага отца была в среднем 0,7 м, а
длина шага сына — 0,6 м. Оказалось 241 совпадение их
шагов. Какое расстояние они прошли?
83

386. 1) 6 • 21 = 126. Найдите еще такие числа, чтобы
произведение записывалось цифрами сомножителей, но в
обратном порядке.
26
2) Если в дроби -gg- зачеркнуть в числителе и в зна-
2
менателе цифру 6 то получится -^-. Вы знаете, что так
сокращать нельзя, хотя дробь -gg- действительно равна
2
дроби —. Подберите еще такой пример правильной
дроби, чтобы зачеркивание одной и той же цифры в
числителе и знаменателе давало, к нашему удивлению, верный
результат.
387. У троих друзей была белка. Они купили орехов
и положили их в кладовой. Однажды один из друзей
захотел полакомиться, пошел в кладовую и отделил себе
третью часть, но при этом оказалось, что один орех
лишний, и он отдал его белке, а свою часть съел.
Спустя некоторое время пришел второй и, не
подозревая, что первый уже взял часть орехов, разделил остаток
на три равные доли, причем опять оказался один орех
лишний. Он отдал его белке, а свою часть съел.
Наконец пришел третий и также поделил остаток на
три равные доли, причем опять один лишний орех отдал
белке, а сам съел свою часть.
Оказалось, что если оставшиеся орехи делить на трои
поровну, то вновь надо один лишний орех отдать белке.
Определите наименьшее число орехов, которое
удовлетворяет указанным выше условиям распределения.
388. Отношение чисел равно 2: 1,5, а сумма их
квадратов равна 400. Найдите эти числа.
389. На мелькомбинате одновременно работают три
агрегата различной производительности. Первый из них за
3 часа может смолоть 19 ц зерна, второй за 5 часов—'
32 ц, а третий за 2 часа—10 ц. Как надо распределить
между ними 798 ц зерна, чтобы все агрегаты работали
одинаковое время?
390. Число жителей одного города относилось к числу
жителей другого, как 2:3. Когда число жителей в первом
городе возросло на 8000, а во втором — на 4000, то чис-:
ло жителей в городах стало относиться, как 3:4. Сколько-
жителей стало в каждом городе?
81

391. Три мальчика собрали орехов поровну. После
того как первый съел 17 орехов, а второй—19 орехов, у
третьего стало в 5 раз больше, чем их осталось у первых
двух мальчиков вместе. Сколько орехов собрал каждый
мальчик?
392. На лужайке играли дети. Возраст одного из них
составляет -j- часть возраста всех остальных, причем это
соотношение не изменяется с течением времени. Сколько
всего детей было на лужайке?
393. Найдите несократимую дробь, которая
увеличивается в 10 раз, если к числителю прибавить знаменатель.
394. Ящик вмещает 14 кг яблок или 21 кг слив. Если
его наполнить теми и другими на одинаковые суммы, то
содержимое будет весить 18 кг и будет стоить 6 руб.
Определите стоимость 1 кг яблок и 1 кг слив.
395. Имеются три сосуда общей вместимостью 120 л.
Если первый сосуд наполнить водой, а затем перелить ее
в два других, то либо третий наполнится полностью, а вто-
1 « Л
рои лишь на -я- своей вместимости, либо второй наполнит-
1
ся доверху, а третий лишь на -тт- своей вместимости.
Определите вместимость каждого сосуда.
396. Самолет летел со скоростью 960 км/ч. Когда ему
осталось пролететь на 4320 км больше, чем он пролетел,
он увеличил скорость до 1200 км/ч, в результате средняя
скорость оказалась равной 1120 км/ч. Какое расстояние
пролетел самолет?
397. Рабочий в феврале изготовил продукции на 10%
больше, чем в январе, а в марте — на 20% больше, чем
в феврале. На сколько процентов больше продукции
изготовил рабочий в марте по сравнению с январем?
398. Сколько четырехзначных чисел можно написать,
используя цифры 2, 4, 0 и 3, причем каждая цифра
всякий раз используется только один раз?
399. Сколькими способами можно разместить 5
пассажиров в двух каютах, из которых одна двухместная, а
вторая — трехместная?
400. Найдите наименьшее из чисел, обладающих тем
свойством, что для умножения их на 3 достаточно
первую цифру поставить на место последней, а для
умножения на 5 — последнюю цифру на место первой.
85

401. На спортивных состязаниях спортсмены с
номерами 1, 2, 3 и 4 заняли первые четыре места, причем ни
один из них не занял места, совпадающего с его номером.
Оказалось, что номер спортсмена, занявшего четвертое
место, совпадает с номером места того спортсмена, чей
номер есть номер места спортсмена с номером 2; спортсмен
с номером 3 занял не первое место. Какое место занял
каждый из спортсменов?
402. В одном из вагонов поезда Москва — Минск
возвращались с целинных земель 16 студентов. В купе № 1
ехали А, Б, В и Г, в купе № 2 — Д, Е, Ж и 3, в купе
№ 3 —И, К, Л и М, а в купе № 4 —Н, О, П и Р.
Оказалось, что А, Д, И и Н —минчане, Б, Е, К и О —
могилевчане, В, Ж, Л и П — родом из Бреста, а Г, 3, М
и Р — из Гомеля.
Среди них было 4 будущих учителя математики, 4 —
истории, 4 — географии и инженера, причем любые
четверо студентов одной специальности ехали в разных купе
и были из разных городов
На целине четверо студентов работали строителями,
четверо — шоферами, четверо — комбайнерами и четверо —
трактористами, причем любые четверо студентов,
работавших по одной специальности, ехали в разных купе, были
из разных городов и обучались различным
специальностям.
Четверо из них оказались футболистами, четверо —
боксерами, четверо — волейболистами и четверо —
шахматистами, причем каждые четыре любителя одного и того \
же вида спорта были из разных городов, ехали в разных *
купе, обучались различным специальностям, а на целине
тоже работали по разным специальностям.
Установите для каждого студента специальность,
которой он обучается и по которой работал на целине, а
также любимый вид спорта, если известно, что И —
волейболист, Е — футболист, В — инженер, Г — математик, на \
целине работал строителем, увлекается шахматами, К —
географ, работал на целине комбайнером и увлекается
шахматами, а Ж — работал шофером, шахматист.
403. В купе вагона 6 пассажиров. Известно, что
любые двое из них либо совершенно незнакомы, либо близ-
кие друзья. Докажите, что среди этой группы пассажиров )
есть либо трое близких друзей, либо трое незнакомых. ,
404. Восемь команд участвуют в первенстве школы по 1
86

футболу. Каждые две команды должны сыграть между
собой один матч. Докажите, что в любой момент состязаний
имеются две команды, сыгравшие к этому времени
одинаковое число матчей.
405. Шестиклассник Петя, победитель математической
олимпиады, проводимой газетой «Зорька», был направлен
на экскурсию в Минск. В университете он увидел
цифровую машину — экзаменатора, на экране которой
одновременно появляются пять вопросов. На каждый из них
нужно ответить «да» или «нет» нажатием соответствующих
кнопок.
Пете сказали, что машина всегда задает больше таких
вопросов, на которые следует давать утвердительные
ответы, и что ответы на три подряд стоящих вопроса
никогда не должны совпадать. На второй вопрос Петя и
сам смог верно ответить. Кроме того, он догадался по
характеру первого и последнего вопросов, что ответы на
них должны быть противоположными.
Эти сведения дали возможность Пете ответить на все
вопррсы правильно. Но что было ответом на второй
вопрос: «да» или «нет»?
406. В один пустой ящик вкладываются п пустых
ящиков поменьше. Затем в каждый из этих п пустых ящиков
кладут или не кладут п пустых ящиков меньшего
размера. Процедуру вкладывания ящиков продолжают снова
и снова.
Наполненным ящиком называем такой, в который
вложено хотя бы п ящиков. Всего в конце концов оказалось
k наполненных ящиков. А сколько тогда оказалось пустых?
407. 1) В каком случае справедливо равенство 13-4=
= 100?
2) Докажите, что число 144 будет точным квадратом
во всякой системе счисления, основание которой больше 4.
3) Всякое натуральное число либо является степенью
числа 2, либо может быть представлено в виде суммы;
различных степеней числа 2, считая 1=2°. Докажите.
408. Если 4373 и 826 разделить на одно и то же число,
то получим соответственно остатки 8 и 7. Чему равен
делитель?
409. Докажите, что у цифр многозначного простого
числа не может быть общего делителя, большего единицы.
410. Простые числа располагаются в натуральном ряду
весьма неравномерно. Например, числа 1949 и 1951 про-
' 87

стые, ближайшее простое число— 1973, следующее за
ним— 1979.
Можно ли найти в ряду натуральных чисел 1970
следующих друг за другом ч\ сел, среди которых не было бы
ни одного простого чисда?
411. Докажите, что при любом р > 3 три числа. ру р+
-{-2, р+4, не могут быть одновременно простыми
числами.
412. Какое наименьшее число любых различных целых
чисел нужно взять, чтобы среди них обязательно были
такие два числа, разность которых делилась бы на 3?
413. В магазине было шесть ящиков с гвоздями весом
в 22, 23, 26, 28, 29 и 31 кг. Два покупателя купили пять
ящиков. Один из них взял по весу в 4 раза больше, чем
другой. Какой ящик остал я?
414. Числа а и b— взаимно простые. Чему может быть
равен наибольший общий делитель чисел а + b и а — Ь?
415. Докажите, что остаток от деления любого
простого числа на 30 является простым числом или
единицей.
416. Великий таджикский ученый — энциклопедист
Авиценна (родился около 980 г., умер в 1037 г.) был
астрономом, математиком, химиком и врачом-исследователем. Он
сформулировал следующие два правила:
Первое правило. Если дано число, которое, буду- Ц
чи разделено на 9, дает в остатке 1 или 8, то квадрат
этого числа, деленный на 9, дает в остатке 1. Если
число, деленное на 9, дает в остатке 2 или 7, то квадрат
этого числа, деленный на 9, дает в остатке 4. Если
число, деленное на 9, дает в остатке 4 или 5, то его
квадрат, деленный на 9, дает в остатке 7. Наконец, если
число, деленное на 9, дает в остатке 3 или 6, то его квадрат
делится на 9.
Второе правило. Если число, деленное на 9, дает
в. остатке 1, 4 или 7, то его куб, деленный на 9, дает
в остатке 1. Если число, деленное на 9, дает в остатке
2, 5 или 8, то его куб, деленный на 9, дает в остатке 8.
Если число, деленное на 9, дает в остатке 0, 3 или 6, то
его куб делится на 9.
Докажите оба правила Авиценны.
417. Докажите, что п3+20п делится на 48 при любом
четном п.
88

I 418. Замечательный французский математик Софи Жер-
I мен (1776—1831 гг.) много сделала в области геометрии
I и теории чисел, а за работу о колебаниях упругих пласти-
I нок была удостоена премии Парижской Академии наук.
I Вот одна интересная задача Софи Жермен, показыва-
I ющая, как иногда сложные проблемы могут решаться про-
I сто и красиво.
I Показать, что число &4 + 4, где k — любое целое
число, большее единицы, есть составное число.
I 419. 1) Могут ли квадраты целых чисел иметь вид:
I 10 п + 3, где п — любое целое число?
I' 2) Почему число, тридцать цифр которого — единицы,
а остальные — нули, не может быть точным квадратом?
3) Может ли сумма чисел натурального ряда 1 + 2 +
+ 3 + • • . + k при каком-либо k оканчиваться цифрой 7?
I 420. Если п — целое число, то может ли выражение
I п2 + п + 1 являться квадратом целого числа? Четным или
I нечетным числом является данное выражение?
I 421. Если значения квадратного трехчлена ах2 + Ьх + с
I есть целые числа при #=0, 1 и 2, то они есть целые чис-
I ла при любом целом х. Докажите.
I 422. Докажем, что спичка в два раза длиннее теле-
I графного столба.
I Пусть длина спички а дм, а длина столба b дм. Обо-
I значим разность b — а через с, тогда b — а = с и b = а + с.
I Перемножим эти равенства почленно, получим: b2 — ab =
I -=ас-}-с2. Вычтем по be из обеих частей равенства: Ь2 —
I — ab — be = ас + с2 — be.
I Вынесем общие множители за скобки: b(b — а — с) =
I ~ с(а + с — Ь) = — с(Ь — а — с). Разделив обе части равен-
I ^тва на b — а — с, получим: Ь — —с, где с — b — а, зна-
I ит, Ь = — (b — a) = a — b. ОтсюДа а =- 2Ь. В чем же дело?
423. 1) Если из трехзначного числа, цифры которого
являются последовательными целыми числами и убывают,
зычесть число, написанное теми же цифрами, но в обрат-
пом порядке, то разность всегда будет равна 198.
Докажите.
2) Если цифра десятков двузначного числа на а
больше цифры единиц, то разность этого числа и числа,
напитанного теми же цифрами, но в обратном порядке, равна
9 а. Докажите.
424. 1) Разложите на множители выражение:
a*+a2b2+b\
89

2) Докажите, что если a, b и с отличны друг от
друга, то а\Ь — с) + Ь\с — а) + с2(а — Ь)фО.
3) Разложите на множители выражение:
as(b —с) + с\а — b) —bs(a — с).
425. Упростите выражения:
1) (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(21в + 1)(232 + 1).
cfi b^ с**
2) (а-ь){а-с) + (&-с)(&-а)+>-я)(с-6)' если а+Ь+
+ с = 5.
426. Вычислите устно:
а)
X
1
1 —
х—1
+ 1; б) -1
—1
—1
1000 раз.
427. Дана последовательность чисел:
а1>а2>а3>...>ап>1.
Докажите, что разность крайних членов (ах—1) равна
сумме всех разностей рядом стоящих чисел этой последо*
вательности.
Рекомендуем вначале взять 5- или 7 чисел, а потом
доказать и в общем случае.*
428. 1) Докажите, что для любых положительных
чисел а и Ь всегда -|- -\ > 2.
2) Какая из дробей ближе к единице: правильная или
обратная ей неправильная?
3) Покажите, что если х + у = 2, то х • у < 1,
429. (Шутка.) Какой знак следует поставить между
дробями ~ и -^-, чтобы в результате получить дробь
b + d'
430. 1) В каком случае {a — bf не будет положитель
ным числом? Тот же вопрос для чисел (а + Ь)2; (а — 5)*
(я + 5)2.
2) При каких значениях а имеют место следующие
соотношения: а = —; а2 < 1; а2 > 1; а2 < а?
90

I 431. Два ученика, решая уравнение 15*—30=12*—24,
I получили совершенно разные ответы.
I Первый ученик решал так: 15*—12* = 30 — 24; 3* =
1 =6; * = 2.
1 Второй ученик решал так: 15(* — 2)= 12(* — 2), 15 =
I = 12, чего быть не может. Следовательно, уравнение ре-
1 шения не имеет.
] Кто из них прав?
I Задачи № 432 — 437 решите при помощи составления
I уравнений или систем уравнений и арифметически. Сравни-
] те полученные решения и укажите, какое из них более
I рациональное.
I 432. Ученик при решении задачи должен был разде-
1 лить число на 2 и прибавить 6. Вместо этого он по ошиб-
1 ке умножил это число на 2 и от полученного произведе-
I ния отнял 6. Несмотря на это, он получил верный ответ.
I Какое число надо было делить на 2?
1 433. Сумма четырех чисел равна 45. Если к первому
1 числу прибавить 2, от второго отнять 2, третье умножить
I на 2, а четвертое разделить на 2, то получатся равные
II числа. Найдите их.
|| 434. Разведывательное судно, скорость которого 40 км/ч,
I получило задание произвести разведку впереди эскадры по
1 направлению ее движения и встретить эскадру через 3 ча-
|са. Вычислите, через сколько времени после отхода от эс-
I кадры разведывательное судно должно повернуть обрат-
I но, чтобы встретить ее в назначенное время, если
I известно, что эскадра шла со скоростью 24 км/ч.
I 435. Из двух городов Л и В одновременно
отправились в город С, расположенный между городами А и В
■ на расстоянии 300 км от Л и 260 км от В два поезда:
(скорый со скоростью 60 км/ч и пассажирский со
скоростью 35 км/ч. Через сколько часов скорый поезд, вышед-
|ший из города Л, будет находиться в два раза ближе к
I городу С, чем пассажирский поезд?
1 436. Из Л в В вышел автомобиль, идущий со
скоростью 40 км/ч. Через некоторое время вслед за ним вышел
I второй автомобиль со скоростью 60 км/ч, который должен
|был прибыть в В одновременно с первым автомобилем.
1 3
1 Пройдя -j- пути, первый автомобиль уменьшил скорость
Ьдвое, из-за чего второй автомобиль нагнал его в 45 км от В.
1 Найдите расстояние от Л до В.
91

437. Два велосипедиста одновременно выехали из пунк
тов А и В навстречу друг другу, причем второй двигалс
быстрее первого. На расстоянии 6 км от пункта А он~
встретились и, не останавливаясь, продолжали свой путь
Когда второй достиг пункта Л, он сразу же повернул
ратно, а первый, достигнув пункта В, тоже повернул о^
ратно. Вторая их встреча произошла на расстоянии 4 к
от пункта В. Определите расстояние от А до В.
438. Имеется лом стали двух сортов с содержание-
никеля в 5% и в 40%. Сколько нужно взять каждого и
этих сортов лома, чтобы получить 140 т стали с содер*;
жанием никеля в 30%?
439. Два путешественника встретили трактор, которы
тянул на полозьях длинную трубу. Друзья заспорили п
поводу ее длины. И так как их мнения разошлись, оди
из них предложил разрешить спор измерением. Он прош
вдоль трубы по направлению движения трактора и насчи
тал 140 шагов. Затем повернулся и пошел с той же ск
ростью обратно вдоль трубы. На этот раз он насчита
всего 20 шагов. Этих двух измерений путешественни-
оказалось достаточно, чтобы определить длину трубы, та
как он знал, что длина его шага 1 м.
Вычислите и вы по этим данным длину трубы.
440. Решите следующие системы уравнений:
1
б)
х _ У __ z
2 ~~~ 3 "~ 4 '
х — 2(/ + Зг = 4;
В)
у + \
3 4 5
2х + Зу — 4г + 7 = 0.
441. Каким должно быть число а, чтобы уравнен-
л? + ах + 1 = 0 и лЛ + ах2 + 1 = 0 имели общий корень?
442. Разность двух несократимых дробей равна -q-;
ношение их числителей равно 4:1, а отношение соотве
ствующих знаменателей 3:1. Найдите эти дроби.
443. У двузначного числа цифра единиц на 3 боль
цифры десятков. Если к этому числу прибавить 27, то п
лучится число, отличающееся от исходного только поря
ком цифр. Что это за число?
Примечание. Сравните с задачей № 423 (2).
92

444. Найдите двузначное число, равное утроенному
произведению своих цифр.
445. Если переписать в обратном порядке цифры
некоторого пятизначного числа, то в результате получится
число, вчетверо большее первоначального. Найдите это
число.
446. 1) Какое одно и то же целое число нужно
прибавить к числам 100 и 164, чтобы полученные суммы
были квадратами целых чисел?
2) Найдите натуральное число, которое при
прибавлении 5 и при вычитании 11 становится точным квадратом
некоторых целых чисел.
447. Пионерский отряд, разделившись на две группы,
собирал металлолом. В первой группе каждый собрал по
13 /сг, кроме одного, который собрал 6 кг. Вторая группа
собрала то же количество металлолома, причем каждый
собрал по 10 кг, кроме одного, который собрал 5 кг.
Сколько было ребят в каждой группе^ если весь отряд собрал
больше 100/сг, но меньше 500 кг?
448. В пункте А расположен гараж, имеющий 300
машин, в пункте В— гараж на 200 машин и в пункте С —
гараж на 100 машин. Расстояние между пунктами: АВ =
= 4 км, ВС -■= 3 км и АС = 5 км. Где надо построить
бензозаправочную станцию, чтобы общее число километров,
проходимых машинами от гаражей до станции, было
наименьшим?
449. В книге Л. М. Эйдельса «Избушки на дорожках»
рассматривается весьма интересная геометрическая задача,
относящаяся к той же ветвЬ математики — топология, что
и разобранные нами в § 1 главы II задачи о
вычерчивании фигур «с одного росчерка», задачи о мостах и др.
Имеется 12 избушек, между избушками проложены
дорожки, причем так, что везде, где дорожки пересекаются,
стоит по избушке, и эти дорожки образуют 12 лужаек.
Надо доказать, что для выполнения всех этих требований
должно быть самое малое 23 дороЖки.
Рекомендуем просмотреть решение этой задачи в
указанной книге.
450. В этой же книге имеются и другие интересные
задачи. Приведем две из них1.
Все задачи даны н^ми в соьращенном виде.
93 -

Обыкновенный конверт.
а) Определить размеры листа, из которого можно
склеить конверт, чтобы в него можно было вложить
прямоугольную карточку заданных размеров.
б) Как из данного листа бумаги прямоугольной формы
изготовить конверт наибольших размеров.
Сколько ступенек?
Сколько ступенек имеет лестница эскалатора метро в
неподвижном состоянии, если двое друзей, из которых один
спускался вниз вдвое быстрее второго, насчитали на'
движущейся лестнице соответственно 60 и 40 ступенек?
451. В плоскости расположены 4 зубчатых колеса
таким образом, что первое колесо своими зубцами сцеплено
со вторым, второе с третьим, третье с четвертым, а
последнее колесо сцеплено с первым. Могут ли вращаться
колеса такой системы? А если взять *5 таких колес?
452. Один путешественник вышел из палатки и про-;
шел 1 км точно на юг, затем повернул и прошел 1 км точ--
но на восток, повернул снова и прошел 1 км точно на сет
вер. Оказалось, что он возвратился к своей палатке. Зде<
он увидел медведя. Какого цвета был медведь?
Обычно отвечают, что белый, так как палатка
находилась на Северном полюсе. ^
Спрашивается, могут ли быть еще на поверхности Зем
ли такие точки, что если пройти 1 км на юг, затем 1 км н;
восток и 1 км на север, то возвратимся в исходную точку.
453. Может ли существовать призма с 13 ребрами;
33 ребрами; с п ребрами?
454. Круглое бревно весит 50 кг. Сколько весило бы так
же бревно, если бы оно было вдвое толще (диаметр вдв
больше), но вдвое короче?
455. В главе II мы рассматривали геометрические мест
точек плоскости, обладающих определенным свойство;-
Сформулируйте (без доказательства) следующие геометри
ческие места точек пространства: ;
1) Геометрическое место точек пространства,
находящихся на данном расстоянии R от данной точки О. *
2) Геометрическое место точек пространства, каждая и
которых одинаково удалена от концов данного отрезка.
3) Геометрическое место точек пространства,
находящихся на данном расстоянии а от данной прямой.
На-математических олимпиадах значительное место за.,
нимают геометрические задачи, которые выделяются либо^
94

необычным условием, либо оригинальным решением, либо
неожиданным ответом. Приведем в качестве примера три
задачи с их решениями.
1) В треугольнике ABC две высоты hb и hc не меньше
сторон, на которые они опущены. Что можно сказать о
таком треугольнике?
Решение. По условию hb > АС и hc>AB (рис. 44).
Пусть hb>hc> АВ, но hb < АВ, значит, hb = АВ. Если
hc>hb> AC, то аналогично получим, что hc = AC. В
обоих случаях треугольник будет прямоугольным.
2) На окружности дана дуга в 19°. Как с помощью
циркуля разделить ее на 19 равных частей?
Решение. Если данную дугу отложить на
окружности 19 раз, тоополучим 19° . 19 = 361°. Следовательно,
найдем дугу в Г, что позволит легко разделить всю данную
дугу на 19 равных частей.
3) Через вершины А и В равнобедренного
треугольника ABC, в котором АС^ВС, Z С = 80°, проведены
прямые, пересекающиеся в точке О внутри треугольника (рис.45).
Найдите угол АСО, если Zi ОАВ = 10° и Z АВО = 30°.
Рис. 44. Рис. 45.
Решение. Построим биссектрису угла С АО,
пересекающую высоту CD равнобедренного треугольника в точке М.
Так как Z МАВ = Z ЛЯО = 30°, то AM и ВО должны
пересекаться на высоте CD, значит, точка М лежит на
продолжении ВО.
Рассмотрим треугольники АСМ и АМО, у которых AM—
общая сторона, Z САМ = Z МАО и, как легко Подсчитать, *♦
Z АМС = Z /ШО= 120°. Следовательно, Д АСМ=ААМО,
откуда АС = АО, то есть треугольник САО является
равнобедренным с углом САО при вершине, равным 40°•
Тогда Z АСО = ^АОС = 70°.
95

456. Чему равен угол ABC (рис. 46), образованный ди-1
агоналями двух смежных граней куба?
457. Равнобочная трапеция ABCD, где Ж) \\ ВС щ
ВС < AD, диагональю АС разбивается на два равнобедрен-!
ных треугольника. Найдите ост-1
рый угол трапеции.
458. В круглом бассейне
плавает щука. Начав «путешествие»!
от стенки бассейна, она проплы-|
ла строго на север 6 м>
наткнулась на борт бассейна и повер
нула на запад. Проплыв ещ(
8 м, она снова наткнулась на]
борт бассейна. Чему равен дна
кетр бассейна?
459. В треугольник ABC впиЛ
сан полукруг, центр которого*
лежит на стороне АВ. Известно, что АС + ВС = 12 см,
а площадь треугольника равна 15 см*. Определите радиу<^|
вписанного полукруга.
460. В круг радиуса 10 ел* вписан прямоугольник ABCDM
Вычислите периметр четь рехугольника,. полученного послеЯ
довательным соединением середин сторон прямоугольника^
461. 1) Найдите простейший способ доказательст
утверждения, что в прямоугольном треугольнике медиана]
делящая пополам гипотенузу, равна половине гипотенузыщ
2) Докажите, что в прямоугольном треугольнике высота ц
медиана, проведенные из вершины прямого угла, образуют
с катетами равные углы.
462. 1) В треугольнике высота и медиана, проведенные
из одной вершины, делят угол при этой вершине на три
равные части. Определите углы этого треугольника.
2) Высота, биссектриса и медиана, проведенные из
одной вершины треугольника, делят угол при этой вершин^
на четыре равные части. Докажите, что такой треугольник
прямоугольный. Определите остальные углы треугольника
463. В равнобедренной трапеции со взаимно
перпендикулярными диагоналями высота равна средней линии. До
кажите.
464. Докажите, что если в выпуклом четырехугольнике!
отрезок, соединяющий середины двух противоположных!
сторон, равен полусумме двух других сторон, то эти дв^|
последние стороны параллельны.
96

465. 1) Дан правильный пятиугольник, то есть
выпуклый пятиугольник, у которого все стороны и углы равны.
Докажите, что внутри него найдется такая точка,
лежащая на диагонали, из которой все стороны видны под
углами, не превышающими прямого.
2) Дан правильный пятиугольник. Докажите, что
круги, построенные на его сторонах, как на диаметрах, не
покрывают пятиугольник целиком.
466. На прямой даны три точки Л, В и С, причем
точка В лежит между точками Л и С. На отрезке АВ
построен равносторонний треугольник АВСЪ а на отрезке ВС —
равносторонний треугольник ВСАЪ причем оба
треугольника построены по одну и ту же сторону от прямой ABC.
Обозначим середину отрезка ААХ через М, а середину
отрезка ССг — через N. Докажите, что треугольник BMN —
равносторонний.
467. С помощью циркуля и линейки разделите угол в
54° на три равные части.
468. Постройте ромб по сумме диагоналей и углу,
образованному одной из диагоналей со стороной.
469. Постройте прямоугольник: а) по диагонали и
сумме двух неравных его сторон; б) по диагонали и разности
двух неравных его сторон.
470. 1) Постройте треугольник по высоте и медиане,,
выходящих из одной вершины, и радиусу описанного
круга.
2) Постройте треугольник по высоте, медиане и
биссектрисе, выходящих из одной вершины.
471. Постройте прямую, соединяющую недоступную
вершину В угла ABC и данную внутри угла точку М.
Примечание. Возможно несколько решений: а)
используя свойства диагоналей параллелограмма; б)
основываясь на теореме о том, что высоты треугольника
пересекаются в одной точке; в) применяя осевую симметрию.
472. Постройте окружность, касающуюся данной
прямой в заданной на ней точке и данной окружности.
473. 1) Найдите геометрическое место середин хорд,
проведенных в окружности через данную внутри нее
точку.
2) Рассмотрите случай, когда данная точка лежит вне
окружности, то есть найдите геометрическое место середин
корд, которые данная окружность отсекает ла прямых
линиях, проходящих через данную вне окружности точку.
4 реши сам, ч. III
97

Рис. 47.
474. 1) Постройте равносторонний треугольник, одна вер
шина которого находится в данной точке Л, другая — на дан|
ной прямой /, а третья — на данной окружности с центром Щ
2) Постройте равносторонний треугольник, одной вер
шиной которого является данная точка Л, а две другие ле~^|
жат соответственно на двух данных прямых тип.
475. Докажите, что сумма катетов прямоугольного тре-|
угольника равна сумме диаметрош
вписанной и описанной около этого||
треугольника окружностей.
476. У прямоугольного тре^
угольника сумма катетов больше
гипотенузы, сумма квадратов катето!
равна квадрату гипотенузы. А чтсЯ
можно сказать о сумме кубов
катетов и кубе гипотенузы?
477. Все бесконечно продолД
женные стороны плоского выпу]
лого многоугольника (рис. 47
периметр которого равен 12, сдвигаются на единицу
внешнюю сторону. Докажите, что площадь многоугольна
ка увеличивается в этом случае больше чем на 15.
478. Докажите, что во всяком треугольнике наиболыш
стороне соответствует наименьшая медиана.
479. Из точки Р к данной окружности проведены каса«
тельные РА и РВ, и произвольная точка М окружное
соединена с точками касания А и В. Если через точку
провести прямую /, параллельную касательной к дан»
окружности в точке М, то прямые МА и MB отсекут н;
прямой / отрезок, длина которого не зависит от выбо[
точки М и который делится точкой Р пополам. Докажите!
480. Допустим, что биллиардный шар отражается
прямолинейного борта так, что две прямые, по которым о]
движется до и после удара, одинаково наклонены к борту,
Внутри прямоугольника ABCD даны две точки М и N:
В каком направлении должен быть пущен шар из точки М,
чтобы он прошел через точку N после того, как он
отразится последовательно от всех четырех сторон данно]
прямоугольника?
Докажите, что путь, по которому пройдет шар, ее
кратчайшая ломаная линия, идущая из точки М в точку
и имеющая вершины последовательно на сторонах прямо*
угольника.
98
^

Рассмотрите частный сличай, когда точка N совпадает
с точкой М. Покажите, что в этом случае путь,,
пройденный шаром, равен сумме диагоналей прямоугольника.
481. Основания перпендикуляров, опущенных из любой
точки окружности на три стороны вписанного треугольника,
лежат на одной прямой (прямая Симпсона). Докажите.
Справедливо ли обратное утверждение: если основания
перпендикуляров, опущенных из какой-либо точки
плоскости треугольника на три его стороны, лежат на одной
прямой, то эта точка лежит на описанной около данного
треугольника окружности?
482. Даны две параллельные прямые а и 6 и две
другие параллельные прямые end. Через данную точку М
провести прямую так, чтобы отрезок, отсекаемый на ней
прямыми а и 6, был равен отрезку, отсекаемому на ней
прямыми end.
483. Пользуясь одним циркулем, легко разделить данную
окружность на 6 равных частей. А как разделить окружность
на 12 равных частей, пользуясь только одним циркулем?
484. Даны две точки А и В. Пользуясь только одним
циркулем, постройте хотя бы одну точку С,
принадлежащую прямой АВ.
485. Пользуясь одной двусторонней линейкой: а) удвой?
те данный отрезок; б) разделите данный отрезок пополам;
в) проведите прямую, перпендикулярную данной прямой,
через точку, лежащую на этой прямой; г) постройте
прямую, проходящую через данную точку и параллельную
данной прямой.
486. Проведением только одних прямых линий
(односторонней линейкой): а) разделите основания трапеции
пополам; б) зная середину отрезка АВ, через точку С
проведите прямую, параллельную данному отрезку.
487. На плоскости взяты 9 точек, расположенных в
виде квадрата 3x3. Сколько существует треугольников,
у которых одна вершина находится в точке Л, а две
другие— в остальных 8 точках?
488. В каждой клетке шахматной доски 8x8
поставили число, указывающее количество прямоугольников, в
которые входит эта клетка. В какой клетке стоит
наибольшее число, в какой — наименьшее?
489. В каждой клетке шахматной доски поставили
число по правилу, указанному в предыдущей задаче. Чему
равна сумма всех поставленных чисел?
99

ОТВЕТЫ
1. Нельзя. Каждая косточка при любом расположении покрыв»
две клетки разного цвета, поэтому 30 косточек покроют 30 черныяЦ
и 30 белых клеток. Останутся две клетки одного ЦЕета, ибо
удаленные две клетки были либо черными, либо белыми.
2. 73 года.
3. СББССБСССББББССССБББ, где С — серый камешек, а Б — беЩ
лый.
4. Воскресенье, ибо последний четверг был 30-го числа.
5. 2450 = 2 • 5 • 5 • 7 • 7. Единицу не рассматриваем, так как
условию возраст каждого больше 1. Возможны такие варианты:
1) 2 + 35 + 35 = 72;
4) 5 + 10 + 49 = 64:
7) 7 + 10 + 35 = 52;
2) 2 + 25 + 49 = 76;
5) 5 + 7 + 70 а 82:
8) 7 + 25+ 14 = 46;
3) 5 + 14 + 35 » 5Щ
6) 5+ 5+ 98 =.108;]
9) 7 + 7 + 50 = 64.
Сразу отпадают те варианты, в которых сумма чисел не делите^
на 4, остаются лишь варианты: 1, 2, 4, 6, 7 и 9. Ученик потребовал2
дополнительное условие, ибо в вариантах 4 и 9 суммы чисел одина^
ковы, вследствие чего неизвестно, какой из них подходит. Но pasjj
ученик остановился на этих двух вариантах, значит, ему 64 : 4 ■.
= 16 лет, ибо если бы подходили другие варианты, то ему не понадо-^
билось бы дополнительное условие. Итак, старшему из знакомых
либо 49 лет, либо 50. Учитель сказал, что все они моложе его. После!
этого ученик решил задачу, что возможно лишь в том случае, когда^
учителю 50 лет, а тогда вариант 9 отпадает. Следовательно, энако-i
мым 5, 10 и 49 лет.
6. Поровну, ибо объем жидкостей в обеих мензурках остался;
без изменений.
7. Цифра 3 из числа 370.
100

8. Цифра б из числа 1262.
9. Цифру 0—11 раз, Цифру 1—21 раз, а остальные цифры —по
20 раз.
10. Предварительно нужно установить, что все числа как по
вертикали, так и по горизонтали повторяются через две клетки, ибо
сумма трех чисел равна 12. После этого легко заполнить таблицу:
26525525
4 7 14 7 14 7
6 0 6 6-0660
25525525
а) 16+ 3+10+ 5-» 34;
2+13+ 8+11 = 34;
7+12+ 1 + 14 «34;
9+ 6+15+ 4 = 34;
10 + 11 + 7+ 6 «34;
в) 3+ 8+14+ 9 = 34;
-2+12+15+ 5 = 34;
б) 16+ 2+ 7+ 9-34
3+13+12+ 6 = 34;
10+ 8+ 1 + 15 = 34;
5+11 + 14+ 4 = 34;
16+13+ 1+ ^4 = 34;
г) 16+11+ 1 + 6 = 34;
4+10+13+ 7 = 34.
12. 369 = (1 + 2 + 3 + . . . + 81) : 9.
13. Одно из чисел равно 1, а второе — произвольное натуральное
число.
14. На 500; целесообразно все четные и нечетные числа
подписать одно под другим в порядке возрастания.
15. 22; 33; 5*; 9».
16. 1) 105 » 3 • 5 . 7. " 2) 210 = 2 . 3 . 5 . 7 = 5 . 6 • 7.
17. 1) 945 =» 3 . 3 . 3 • б . 7 « 3 . 5 • 7 . 9.
2) 360 « 2 • 2 . 2 . 3 • 3 . 5 = 3 . 4 . 5 . 6.
18. Через К (88, 225) = 19 800 суток.
19. Через К (75, 60, 50) =300 мин, в 11 ч утра.
20. Искомое число делится на 7 и на 9, значит, это 63.
21. При втором круге будут вычеркиваться числа 6, 21, 36, ...,
при третьем — числа 11, 26, 41 после чего будут вычеркиваться
ранее зачеркнутые числа. Следовательно, вычеркнутыми оказываются
все числа от 1 до 1000, которые при делении на 5 дают в остатке 1.
Таких чисел 200, значит, невычеркиутыми останутся 800 чисел.
22. Нуль.
23. Когда лист бумаги разрывают на 3 части, то общее число
листков увеличивается на 2. Первоначально их было 3, значит,
всегда будем иметь нечетное число листков, а 34 — число четное.
24. Так как 1000 делится на 8, а число 444 не делится на 8,
то и все число не разделится на 8.
25. Нет, так как квадраты целых чисел не могут оканчиваться
цифрой 8, в чем легко убедиться, найдя квадраты чисел от 0 до 9.
26. Искомое число 4. Достаточно половину искомого числа
принять за одну часть, тогда разность, равная 6, составит 3 таких части,
27. Через 5 ч.
28. 63 и 6.
29. 124 и 12.
30. 78 215 и 78. Если заменить три последние цифры нулями,
101
л

то большее число, а значит, и сумма уменьшится на 215.
Следовательно, число 78 293—215 = 78078 содержит 1001 меньшее число,
ибо большее число без 215 в 1000 раз больше меньшего.
31. 34 512. Если бы число оканчивалось на 0, то при
зачеркивании цифры единиц число уменьшилось бы на 31 059, что- составляет
9 таких частей, каких у искомого числа без цифры 2 десять. Значит,
искомое число равно (31 059 : 9) • 10 + 2.
32. 91.
33. 157 894 736 842 105 263.
34. 102 564.
35. 1) 1089. Первая цифра искомого числа только 1, ибо число
при умножении на 9 остается четырехзначным. Но тогда последняя
цифра 9, ибо только 9 . 9 оканчивается цифрой 1. Вторая цифра
слева может быть лишь 0, а тогда третья цифра — 8.
2) 10 989.
36. 5124.
37. 1) На 45. 2) На 2664.
38. А = 29 X Ю 356 = 300 324.
39. 1035 = 5 X 207 = 9 X 115.
40. 321 + 11.
42. 10 : 2+ 4= 9
14 : 2— 4= 3
12 — 3— 2= 7
36 — 7 — 10 = 19
43. 3 X 58 = 174 = 29 X 6 или
4X39 = 156 = 78X2.
44. 30 км.
45. 256 км.
46. Через 375 сек.
47. Оба велосипедиста проехали всю дистанцию за одинаковое
время.
48. Первый.
49. Первый.
50. 22 рыбки и 10 рыбок.
51. 120 марок и 45 марок.
52. Нельзя, ибо периметр прямоугольника должен быть четным^
числом, а сумма длин всех палочек равна 93 см.
53. Для решения задачи рекомендуем сделать развертку куба
и на ней соединить две точки отрезками прямой. Сравните с
различными другими путями движения паука.
54. У 8 кубиков, расположенных в вершинах параллелепипеда,
по 3 окрашенные грани; у 24 кубиков, расположенных при ребрах,
по 2 окрашенные грани; у 22 кубиков, расположенных при гранях,
окрашено по 1 грани, а у 6 кубиков, расположенных внутри
параллелепипеда, нет ни одной окрашенной грани.
55. 8 г.
56. 3 разреза.
57. 11 раз; 23 раза.
58. 27 кубиков; 26 разрезов.
102

■ 59. Выпишите друг под другом данные числа:
■ 2 4 6 8 10 12 ... 100
■ 1357911... 99
■ В каждом классе по 50 чисел. Если исключить 10 чисел, которые
щ делятся на 10, останется 40 пар чисел, из которых у каждого четно-
I го числа сумма цифр, использованных для записи, на 1 больше, чем
1 у соответствующего нечетного числа. У чисел, делящихся на 10,
1 исключая 100, сумма цифр меньшая, чем у соответствующих нечетных
I чисел, на 8, а у числа 100 — на 17. Следовательно, во втором ряду
1 сумма цифр больше, чем в первом, на 1 • 17 +9 . 8 — 40 = 49.
I 60. Если бы в каждой конюшне было по четному числу лошадей,
1 то общая их сумма была бы четным числом, а не 99.
3 61. При любом ходе конь переходит из поля одного цвета на по-
I ле другого цвета. Если вначале конь стоит на черном поле, то при
1 первом ходе он перейдет на белое поле, при втором — на черное,
1 при третьем — на белое, при четвертом — на черное и так далее.
1 Таким образом, при нечетном ходе конь попадает на белое поле,
1 а при четном ходе — на черное. Чтобы попасть в правый верхний
Я угол, побывав на каждой клетке доски по одному разу, конь должен
i сделать 63 хода. Но на 63-м ходу он переходит на белое поле, так
J что в правом верхнем углу, где находится клетка черного цвета, конь
1 оказаться не может.
щ 62. Всего имеем 985 нечетных чисел, сумма которых — число не-
|| четное, поэтому и сумма всех натуральных чисел от 1 до 1970 вклю-
1 чительно — число нечетное. При замене двух чисел разностью сумма
1 их всегда уменьшается на удвоенное вычитаемое, то есть на четное
1 число: (а + Ь) — (а — Ь) = 2 Ь. Следовательно, сумма оставшихся чи-
1 сел всегда будет числом нечетным, поэтому нуль никогда получить
1 нельзя.
1 63. Если из А следует В и известно, что А не имеет места, то
I ничего определенного о В сказать нельзя. Поэтому все высказывания,
I независимо от того, сформулировали мы верный результат или оши-
I бочный, ложны.
I 64. Оба высказывания верны.
I 65. Можно.
I 66. 3.
1 67. Одна из единиц всегда должна стоять на первом месте.
1 Остается расположить на оставшиеся шесть мест две другие едини-
J цы. Когда на одном из этих шести мест напишем единицу, то для
;1 второй единицы останется 5 свободных мест, значит, получим 5 раз-
I личных чисел. Но первую из единиц можно записать на любом из
1 6 мест, поэтому получим 30 различных комбинаций. При этом если
1 поменять эти две единицы местами, то число не изменится, значит,
| различных чисел будет 30 : 2 = 15.
1 68. 5; 15.
| 69. Так как 1 + 2 + . . . + 9 = 45, то сумма цифр у каждого
1 равна 15. Каждый записал число, меньшее 416, ибо в противном
1 случае сумма со вторым трехзначным числом будет больше 516. Таких
чисел лишь шесть: 159 и 168, 267 и 249, 348 и 357. Следовательно,
один раз были записаны числа 159, 267 и 348, а второй раз
соответственно 357, 249 и 168.
70. На схеме приведено одно из возможных реше- 0 7
, ний: вначале наливаем во второй сосуд 7 л и из него 5 2
103

наполняем первый, остается 2 л, которые переливаем 0 2
в опорожненный первый. Затем вновь наполняем больший 2 О
сосуд и отливаем из него в первый 3 л. В большем со- 2 7
суде остается 4 л. 5 4
71. Одно иэ возможных решений схематически можно записать!
так:
16 И
16 9 7
16
10
10
4
4
15
15»
9
9
3
3
14
14
8
8
0
0
6
6
11
0
1
1
7
7
11
0
2
2
8
0
6
0
6
Л
1
0
6
0
6
2
2
0
6
0
16
7
7
14
14
5
5
12
12
3
3
10
10
1
1
8
0
9
2
2
0
9
4
4
0
9
6
6
0
9
8
8
0
0
7
0
2
2
7
0
4
4
7
0
6
6
7
0
72. Если красные кубики обозначить буквой к, черные — ч^
а белые — б, то получим 5 способов размещения кубиков; в ящике
могут быть кубики: кк, кб, кч, чб, чч.
73. Возможны 8 способов размещения кубиков; в ящике А мо
быть кубики: ккк, ккб, кбб, ккч, кчч, бчч, ббч, кбч.
74. 1826 год.
75. 36, 32 и
76. 96 руб
77. а) -L
34.
84
б)
78.
79.
80.
81.
8?.
2
4 кг.
10 руб.
100 л и 45 л.
25,6 + 2,35.
руб. и 128 руб.
т
б
Увеличится в—раза.
83. —, ибо при прибавлении к числителю знаменателя дробь
увеличится на 1, что составит 3 части.
84. При прибавлении любого числа к обоим членам дроби раз- ]
ность между знаменателем и числителем не изменяется, всегда рав-"
на 6, а должны получить дробь с разностью 2, значит, дробь сокра-
5 • 3 15
тили на 3, то есть -^—тг = ~Frr * О т в е т. 2.
7-3
21
104.
Jai

85. 9.
.86. 38 яблок.
4141 41 . 101 414141 _ 41 • 10101
' 7777 °* 77 . 101; 777777 ~ 77 . 10101"
со п х - 37 30 , 377 300
88. Вторая, ибо 1 _ _ = _, . 1 - _ - _.
яо 2 . 2 л_ 2 _. 2 л. 2 (\ \\ ,
№ П + 3~5 + 5~^7 + ГП9 + • •' + 99 • 101 ~ \\ Т) "*"
^Ч)+ММ4Ч)+-+Й-шН-ш-
90. а) Деление; б) сложение; в) умножение; г) вычитание.
Л« ч 5 2 *ч * 3 . 5 1 ч 4 2
•Ьв>т-х; 6>ir-—; в>-г—г; г)т-~т;
ч 5 3 ч 1 2 ч 7 4 85
Д)-Г~"Т; е)Т~"9"; ж)Т2~-дГ; 3)Т^Т;
. 1 2 J} 5^
и) Т "" "ЛГ* *' 14 21 "
92. Подешевел.
93. На И -g-%.
94. 240 девочек и 240 мальчиков.
96. 4 девочки и 16 мальчиков.
96. 5 девочек и 25 мальчиков.
97. 20 девочек и 400 мальчиков.
98: 50 г.
99. На 18-^-%.
100. Все высказывания истинны.
1Л1 g | „ / 2л, если а > 0,
101. М + а- | 0> если а<0.
, . [ 0, если а > 0,
М ~" а ~ \ - 2а, если а < 0;
!а, ( + 1, если а>0,
-J-L = { не имеет смысла, если а » 0,
а 1—1, если я<0,
102. Может, например: 1 > — 5, но I2 < (— 5)*»
103. Если эти числа противоположные.
104. 1) Достаточно, но не необходимо.
2) Необходимо и достаточно.
Необходимо и достаточно.
Необходимо, но недостаточно.
5) Необходимо, но недостаточно.
6) Необходимо и достаточно.
S
7) Необходимо и достаточно.
8) Достаточно, но не необходимо.
105

х = — Ь
110.
111.
112.
113.
114.
5; —2 >—5. в) 3< 3; 3 > 3.
106. Если а > 6, то а — Ь > 0 и |а — Ъ\ =* а — Ь\ если же а < Ь
то а — 6 < 0 и |а — 6| == — (а — 6) = 6— а. В обоих случаях из бол;
шего числа вычитаем меньшее. Как бы ни были расположены точки]
а и Ь на числовой прямой, такая разность равна расстоянию между
точками, обозначающими на числовой прямой числа а и Ь.
107. Искомая точка х находится от точки 2 на расстоянии,
равном 1. Таких точек, очевидно, две (слева и справа от точки 2),
а именно: хг = 1 ил;2 = 3.
109. а) 1; 5. б) —1. в) Решений не имеет, г) Если Ь > 0, тем
или х = 6; если Ь < 0, то решений нет. д) 1.
а) — 1 при д> 3; 5 — 2а при 2 < а < 3; 1 при а < 2.
б) — 5а + 4 при а < — 0,5; —- а + 6 ПРИ я- < а < —;
5а — 4 при а > —.
о
а) 1 < х< 2. б) х= 1,5.
а) 3<5;3<5. б) — 2>
Прав Петя, ибо а > 0.
а) х> 3; б) *>2; в) *<0; д; > 2; г) |*| < 1.
115. Положительные и неположительные; отрицательные и
неотрицательные; целые и дробные.
116. Каждому рациональному числу соответствует частное двух'
целых чисел, но не единственным образом.
117. 0,5 и —1.
118. Не Есегда выполнимы операции сложения и вычитания.
119. а) Вычитание; б) вычитание, умножение и деление; в) все|
четыре.
125. Ограничимся случаем двух слагаемых. Пусть а делится на Ь,
но с не делится на Ь. Предположим, что их сумма а + с делится на Ь\
значит, а + с = Ь • qt откуда c = bq — а. Так как bq делится на Ь
а делится на Ь (по условию), то и их разность с должна делиться на Ь;
что противоречит условию. Следовательно, сумма a -f- с не может д<
литься на Ь.
127. Необходимость. Дано, что а — с = bq. Пусть с =bqx-f-|
+ г, где 0 < г < 6, тогда а = с+ bq = bqx + r+ bq = b (qx + q) +ry
где 0 < r < bt значит, г есть остаток от деления а на 6.
Достаточность. Пусть а = bqx + гх и с = bq2 + г2* ПРИ"
чем гг == г2. Тогда а — с = (6<7i + >"i) — (Aft + гъ) = & (<7i — <7г)
129. Двузначное число, у которого цифра десятков а и цифра.^
единиц 6, содержит 10а + Ь единиц. Число, записанное теми же
цифрами, но в обратном порядке, есть 106 -\-а. Их разность (10а + 6)-—!
— (10fr+ а) = 9а — 96 = 9 (а — Ь) делится на 9,
130. Разность делится на 9 и оканчивается цифрой 7, значит, это
есть 27. Сумма искомого и обращенного числа содержит 13 десят
ков и 13 единиц, то есть равна 143. Теперь по сумме и разности
находим, что искомое число 85, а обращенное 58
131. По первому условию оно должно делиться на 3, а по второ
му при делении на 3 должно давать остаток 1.
132. б) Если хотя бы одно из чисел а или Ь четное, то и все про-'
изведение четное, но если оба числа — и а и b — нечетные, то их
сумма а + b — число четное и тогда* произведение четное.
133. а) Рассматриваем два случая; п = 2k — число четное и п =
=з 2k -\- 1 — число нечетное.
106

б) Рассматриваем три возможных случая: число п делится
на 3, значит, п — 3k\ число п при делении на 3 дает остаток 1,
значит, п = 3k + 1; число п при делении на 3 дает остаток 2, значит,
п = 3k + 2.
136. Сумма не делится ни на 3, ни на 5, ни на 8, значит, она
не разделится и на их произведение: 3*5*8 = 120. Обозначим
остаток от деления этой суммы на 120, который заведомо меньше 120,
но неотрицательный, через гк Так как слагаемыми являются
последовательные числа, то есть каждое из чисел на 1 больше предыдущего, и
их 120, то среди них обязательно найдется одно число, которое при
делении на 120 даст в остатке число г. Если исключить именно это
слагаемое, то сумма оставшихся чисел разделится на 120, а поэтому
и на 3, и на 5, и на 8.
137. Пусть имеем 2п первых чисел натурального ряда. Их сумма
равна (2/г+ 1) • /г и всегда делится на 2п + 1.
138. Обозначим общий делитель через d, тогда разность данных
чисел, равная /г, должна делиться на d, а значит, и 1 должна
делиться на d, что возможно лишь при d= 1.
139. Пусть первоначальная дробь г—, тогда вторая дробь равна
a b — a _
1 т- = —т—. Если предположить, что полученная дробь
сократима, то b и b — а делились бы на некоторое число, большее 1, но
тогда и вычитаемое а должно было бы делиться на это же число,
то есть первоначальная дробь оказалась бы сократимой.
141. 1) Произведение трех последовательных целых чисел делится
и на 2, и на 3 (см. № 133), значит, оно делится и на 6.
2) Произведение четырех последовательных целых чисел
делится на 3. Среди сомножителей обязательно два четных числа 2k
и 2k + 2. Их произведение делится на 8, ибо 2k • (2k -f 2) =4k (k + 1),
где k(k+ 1) делится еще и на 2 (см, № 133).
3) Произведение пяти последовательных целых чисел
делится на 3, на 8 и на 5, значит, оно делится и на их произведение
3*8*5= 120.
142. а) а3 — а = а(а2—1) = (а--1) * а* (а+ 1);
б> а6 — 5а3 + 4а = а (а2 — 1) (а2 — 4) = (а — 2) (а — 1) а (а +
+ 1) (а + 2), то есть получили произведение пяти последовательных
целых чисел;
в) после приведения к общему знаменателю в числителе
получим произведение трех последовательных целых чисел, которое
делится на 6.
143. /г3+ 11 лг = /г3 — п+ \2п = (п— \)п(п+ 1) + 12л; то есть
каждое слагаемое делится на 6.
144. 820 125 = 38 • 53. В произведение 19! число 3 входит 8 раз
(по одному разу во множители 3, 6, \2 и 15 и по два раза во
множители 9 и 18), значит, 19! делится на З8. Аналогично получаем, что
19! делится и на 53. Следовательно, 19! делится и на их произведение.
146. Если п « 2kt то п8 + 20л = 86 (k2 + 5) =
= 8[(k — \)k(k+ \) + Щ.
147. б) Ни при каком натуральном п число п2 не
оканчивается ни цифрой 3, ни цифрой 8.
150. Всегда может выиграть второй, называя числа 10, 20,
30,..., 100.
107

151. Если п <р, то всегда выигрывает первый. Если п > р,
для выигрыша нужно называть числа п\ п — (р + 1); п — 2(р+1)|
п — 3 (р + 1); . . ., то есть числа вида n — k(p + 1), пока впервы "
Не получим число, меньшее р + 1. Если это будет число 0, то всегда
может выиграть тот, кто начинает игру вторым; если же это будет
натуральное число т, меньшее р + 1, то выигрыш обеспечен начинай
щему игру, если он будет называть числа т, т~\-(р + 1), т + 2 (р -f- 1)J
, .., m + k(p+\).
152. Желающий выиграть должен называть числа вида п — 1 —1
-т(р+1).
154. Если т делится на р-f- 1 без остатка, то выигрыш обеспечен^
начинающему игру вторым, который всякий раз оставляет число\
спичек, кратное р+1. Если же при делении т на p-fl no-j
лучим остаток п, где 1 < п < р, то всегда может выиграть начинаю-1
щий, взяв вначале п спичек, а затем всякий раз беря столько спи чек, |
чтобы для противника оставалось число спичек, кратное p-f- 1.
156. а) Если т = 0, то при любом п выигрывает А.
б) Если т= 1, то при п = 1 выигрывает А; при п = 2 выигры^
вает В\ при л^>2 всегда выигрывает А, если берет п — 2 спички.
в) Если т = 2, то при любом п выигрывает А.
г) Если т = 3, то лишь при я = 5 выигрывает 5.
157. Всегда может выиграть начинающий игру, ему достаточна
только назвать число —1. Если второй назовет положительное чис«?
ло, то первый может называть все время —6, пока не получит суммыЦ
меньшей —46. Если же второй назовет отрицательное число, то пер
вый называет числа, дополняющие названное противником число до — 7?|
160—162. Вторые сомножители равны нулю.
163, 164. Из равенства квадратов чисел не следует равенств
»тих чисел.
167. При умножении обеих частей неравенства на отрицательно
число знак неравенства нужно поменять на противоположный.
169. 2) Выражение а—a + fl — а+... не имеет смысла при|
афО.
170. Исходное равенство верно лишь при а = 6 + 1, а поэтому
нельзя брать а = Ь = 2.
171. Неправильно построено отрицание. Нужно утверждать, что|
существуют такие а и Ь, что а-{- b ФЬ -j-a.
172. 173. Рассматриваемые величины не пропорциональны,
174. 40 ч.
175. По 20 монет.
176. По 50 монет.
177. 270 руб., 450 руб., 900 руб.
178. 24, 16, 12.
179. 1200 руб.
180. 42, 77, 60.
181. 300, 400.
5
182. -—• пути от А до В равны -<г- пути от С до 5. Значит,
5
путь от А до В относится к пути от С до В, как -<г
Зная их разность, равную 10 км, найдем, что искомый путь 35 км.
4--'
9.
108

>ны
184.
186.
187.
188.
189.
191.
числам
63, 66,
1 руб.
3
81
60
800, 200,
На 16
240 м.
200 км
км.
' 5
,
коп.,
1800.
и
80
7 '
коп.,
183. 36, 60 и 56 машин, так как эти числа обратно пропорцио-
4 руб.
192. Заменяя обратно пропорциональную зависимость прямо
пропорциональной зависимостью обратных величин, получим I : II : III =
= -|- : 4" : 1 и I : II : III = 40 : 20 : 30. Значит, 5700 руб. нужно
о о
2 1
распределить пропорционально числам 40 • -*-, 20 • — и 30 • 1,
получим 2400 руб., 600 руб. и 2700 руб.
193. 5,4 га, 10,5 га и 20 га.
196. AD+ АВ = 10 см (рис. 6). Если допустить, что /4D*=(5-f
+ х) см, то АВ = (5 — х) см. Тогда площадь прямоугольника ABCD
будет равна (5 + *) (5 — *) см2, то есть S=*25 — х2. Здесь *
—любое число от нуля до пяти, a S зависит от х. Если, например, х «= 1,
то S = 24. (Вычислите значения 5 при х = 0, 2, 3, 4 и сравните с
ранее полученными результатами,) Какое бы значение для х мы ни
взяли, легко найдем соответствующее значение 5, достаточно из 25
вычесть х2. Но х9 при любом значении х есть число неотрицательное,
поэтому всегда будем получать для 5 числа, меньшие 25, и лишь при
х = 0 получим S = 25.
Следовательно, наибольшее (максимальное) значение для плошади
5 мы получим при х = 0, то есть когда AD = АВ = 5 см, что
записывают так: Smax = 25 см*.
197. У всякого прямоугольника с периметром 4а сумма смежных
сторон {рис. 6) AD + АВ = 2а. Если одну из них принять за (а — х),
то вторая будет (а + х), где х может принимать любые значения от 0
до а. Тогда площадь такого прямоугольника
5 = (а — х) (а + х) = а2 — х2.
Так как х2 всегда число неотрицательное, то S будет наибольшим
при х = 0, причем Smax = я2- При всех других значениях х всегда
S < а2. Значит, площадь прямоугольника наибольшая, когда
AD = АВ = а.
198. Для удобства допустим, что сумма положительных чисел
равна 2а. Если одно число принять равным а — х, то второе будет
а + х. Их произведение у = а2 — х2, где х — любое число от 0 до а.
Если х Ф 0, то у < а2, ибо х2 '— число положительное.
Следовательно, #тах = Да. причем тогда, и только тогда, когда х = 0, то есть
когда сомножители равны.
200. в) Вместо у рассматриваем величину г =* 2у = 2х • (6 — 2х).
Это есть произведение двух сомножителей 2х и 6'—-2*, сумма
которых постоянна и равна 6. По доказанной теореме zmax получим при
2х = 6 — 2х = 3. Откуда гтах * 9, а тогда t/max = 4,5.
202.. Примем одну из двух равных сторон забора за х м, тогда
сторона, параллельная стене дома, будет равна (200 — 2х) м> а площадь
109

5 = x (200 — 2х) ж2. Рассматриваем 2S = 2x - (200 — 2х). Наибольшее
значение для 2S, а значит, и для S будем иметь при 2х = 200 — 2х =
= 100, то есть при х = 50 Л1.
203. Примем ширину каждой из загибаемых по краям листа полос
за х ели тогда ширина желоба будет (60 — 2х) см. Площадь
поперечного сечения S = (60 — 2х) • х. Максимальное значение для S
получим при х = 15 cMt
204. Подставив в данное равенство введенные обозначения,
получим: (2а)2 = (*! — х2)2 + 4у, откуда у = а2 — — (хг — х2)2. Значит,
#тах = а2 при *! — *2 = 0» Т0 есть ПРИ *i = *2-
205. Так как хх • х2 = я2, то данное равенство можно записать
так: (*х + *2)2 = 4а2 + (хг —- *2)2. Очевидно, что сумма хх + х2 будет
наименьшей тогда, и только тогда, когда хх — х2 = 0, иными словами,
при #! = #2.
206. Если стороны прямоугольника обозначить через xt и х2, то
по условию произведение этих чисел постоянно, а тогда периметр
у — 2 (л?! + *г) имеет наименьшее значение №при ^ = х2. Искомый
прямоугольник — квадрат.
207. Если даже допустить, что участок имеет форму квадрата,
когда периметр наименьший, то легко проверить, что и в этом случае
не хватит.
208. а) Функция принимает наибольшее значение, когда
знаменатель принимает наименьшее значение, значит утах — 1 при х = 0,
ибо х2 + 1 имеет при этом значении х наименьшее значение.
б) Данная функция не имеет ни наибольшего, ни
наименьшего значений,
209. Из точки М опускаем перпендикуляр на прямую АВ. Если
основание С этого перпендикуляра окажется на^ отрезке АВ, то за X
берем точку С. Если же С будет на продолжении отрезка АВ, то за X
берем ближайший конец отрезка АВ (точку А или точку В).
210. X есть точка пересечения диагоналей четырехугольника A BCD.
211. 2) Если А и В расположены по разные стороны от данной
прямой /, то за X берем точку пересечения прямой / с отрезком АВ.
Если же данные точки расположены по одну сторону прямой /, то
нужно построить точку, симметричную относительно прямой / данной
точке В (или Л), и соединить ее со второй данной точкой. Искомой
точкой будет точка пересечения полученного отрезка с прямой /.
Чтобы убедиться в этом, достаточно взять любую другую точку на
прямой / и сравнить суммы расстояний от нее до двух данных точек
с полученным, заменив одну из точек ей симметричной точкой*
212. Построим точки Mi и М2, симметричные данной точке М
относительно сторон данного угла, и соединим их. Точки пересечения
сторон угла с отрезком Mi M2 и будут искомыми вершинами
треугольника (если они существуют). Какие бы две другие точки А и В на
сторонах угла вы ни взяли, легко убедиться, что периметр нового
треугольника всегда будет больше периметра построенного треугольника,
достаточно лишь периметр треугольника МАВ заменить равной по
длине ломаной МХАВМ2. Точки Мх и М2 не зависят от выбора
точек А и В на сторонах угла, поэтому наименьшую длину имеет
отрезок МХМ2.
213. Искомым треугольником является равнобедренный
треугольник. Для доказательства рекомендуем построить треугольник, симме-
110

тричный найденному относительно прямой, проходящей через вершину
параллельно основанию.
214. Наибольшую площадь имеет прямоугольный треугольник с
катетами, равными данным сторонам. Любой другой треугольник будет
иметь при том же основании меньшую высоту.
215. Искомой точкой X будет одна из точек пересечения
окружности с прямой, проведенной через данную точку и центр данной
окружности.
216. Точку М соединяем с центром окружности О и продолжаем
отрезок МО за точку О до пересечения с окружностью. Полученная
точка пересечения и будет искомой точкой X.
217. а) 9; б) 4; в) 7; г) 1.
218. а) 10; б) 5; в) 8; г) 2.
219. а) 4; б) 15; в) 16.
220. В 10 раз; в 8 раз; в 5 раз; в 2 раза.
221. В 100 раз; в 64 раза; в 4 раза; в 25 раз.
222. 1970 = 30 3405 = 55137 = 2 200 2223 = 11 110 1Ю0102.
224. а) В восьмеричной; б) в пятеричной; в) в семеричной.
225. а) 5; б) нет; в) 2; г) 3; д) 2; е) 8.
226. В семеричной.
228. Основания систем счисления равны: а) 8; б) 5; в) 8; г)
больше 4.
229. Основания систем счисления равны: а) 8; б) 3; в) 8.
230/0,00375= То^ + W + ТО5*
231. а) 0,1112; б) 0,07038; в) 1010,112; г) 3005,038.
5 79 л 5 „3
233. а) -д-; б) lljgg; в) 9^; г) 458255.
235. а) 0,112, 0,10112, 100,0001012;
б) 0,23, 0,123, 100,001223;
в) 0,38, 0,058, 3,11548.
236. а) 302,03, 37,327; б) 2,21, 21,112; в) 1, 1000,0001,
237. а) 22,12, 236,22; б) 1,021, 1,111; в) 1,1, 100,011.
v 238. а) 4,231, 0,11666; б) 12,122; 10,1221; в) 10,0011, 11,00011.
240. а) (1; 1); б) (3; 2); в) (17; 3), (12; 6), (7; 9), (2; 12); г) (131; 1),
(112; 6), (93; 11), (74; 16), (55; 21), (36; 26), (17; 31).
241. Так как х2 = 2у2 + 1, то х — число нечетное. Пусть х = 2k-\-
+1 , тогда 2k (k + 1) = У2, откуда у — число четное. Но единственное
четное простое число есть 2. Следовательно, у = 2, а тогда х = 3.
243. 1) 15, 2) 45.
244. 91.
245. 37.
246.' 1) 405. 2) 2025; 4050; 6075.
247. 1) 72. 2) 198.
248. 89.
249. 1) 36. 2) Такого двузначного числа нет.
250. 1) 24 и 48. 2) 24 и 144; 48 и 120; 72 и 96.
251. Пусть всего 10* + у рядов, тогда в каждом ряду по Юу + х
деревьев. Число яблонь каждого сорта подсчитаем двумя способами
и получим уравнение: (10* + у — 2) . (\0у + *) i 3 =■ 2 • 7 • (10* +
111

+ #-—2). После упрощений: 10# + # = 42, но х и у— это цифры.
Следовательно, х = 2 и # = 4.
Ответ. 24 ряда; грушевых деревьев 84.
252. Из трех иифр a, b и с можно составить лишь шесть
различных трехзначных чисел: abc, acb, bca, bac, cab и cba. В общей сумме
этих чисел каждая цифра .участвует шесть раз: дважды в значении
сотен, дважды в значении десятков и дважды в значении единиц.
Следовательно, если сумму всех чисел (число 2886) разделить на
число 222, получится сумма искомых цифр: а + b + с =13.
Пусть а>6>с. Тогда (100а + 106 + с) — (100с + 106 -f- a) =
= 495, откуда а = с + 5. Подставляя значение а в уравнение а + 6 +
+ с = 13, получим: b = 8 — 2с. Так как 6 > с, то ясно, что с < 3,
ибо уже при с = 3 6 = 8—-6 = 2<3. Если с = 1, то 6 = 6 и а = 6,
что противоречит условию (цифры должны быть различными). Если
с — 2, то 6 = 4 и а =э 7. Следовательно, о = 7, ft = 4 и с = 2.
263. 7 или 14.
254. Пусть в первом лагере было х школьников, тогда во втором
65
264 — х. Составляем уравнение: (х — а) -т^ = 264 — jc + 2я, откуда
53
*=16О+'зз'0. Значит, а = 33&, причем *<264. Если k = 0, то *=*
= 160; если & = 1, то * = 213. Следовательно, в первом лагере моглэ
быть 160 или 213 школьников.
255. go".
256. Пусть пятерок было х штук, а рублей — у штук. По
условию (Ъх + У) ' ~ = fy "Ь х или * = 7У- Следовательно, общая
сумма денег составит 35у + у = 36#, что мало отличается от 150, а это
может быть лишь при у = 4. Значит, всего было 144 рубля, а за
пальто уплатили 96 рублей.
258. 5 книг.
259. 5 столов.
260. 12, 17 и 24, всего 53 человека.
264. а) 623 - 71 = 552 б) 888 — 71 = 817
i + ~ I + -
7 X 49 « 343 37 X 19 = 703
89+ 120 = 209 24 + 90= 114
265. 1624 : 56 = 29 0 1 2 3 4 5 6 7 9
_ X + п« л< ЧЕБЫШЕВ
313+ 17 = 330
1311 —952 = 359
266. 396—136 — 260 012346789
: + — ПОНТРЯГИН
12 х 7 = 84
33 + 143 =«176
112

267. 781 — 205 =» 576
71 х 5 = 355
11 + 210 = 221
268. 287— 95 = 192
7 x 7 = 49
41 + 102=143
269. 216 — 54 = 162
: + -
8 x 9 = 72
0 12 3 5 6 7 8
ОТЛИЧНАЯ
0 1 2345789
А. М. ЛЯПУНОВ
0123456789
КОЛМОГОРОВ
27 + 63 =
90
270. 1) Обозначим цифры пятизначного числа соответственно через
А, Б, В, Г и Д. Получим запись: . А Б В Г Д
+ДГВБА
РРРРР
Следовательно, можно составить следующие уравнения: Д -f A = A -f-
+ Д — Р; Г + Б = Б + Г = Р и В + В = Р. Так как сумма всех
цифр равна 10, то (А + Д) + (Б + Г) + В = 2В + 2В + В = 5В = 10,
откуда В = 2, тогда Р = 4. По условию обращенное число — тоже
пятизначное, поэтому Д Ф 0. Для А возможны лишь два значения:
А =■ 1 и А = 3. Но так как число больше 20 000, то А = 3. Получаем
два числа: 30 241 и 34 201.
2) 30 241, 34 201, 14 203, 10 243, 41230 и 43 210.
272. а) Каждая точка соединена с пятью остальными, а таких
точек 6, значит, будем иметь 6 • 5 = 30 отрезков. Но при таком
подсчете каждый отрезок учитывался дважды, поэтому всего различных
§ прямых будет 30 : 2 =* 15.
11 б) (Ю . 9) : 2 = 45.
I в) (1970 . 1969) : 2 = 1 939 465.
? i 273. 1) 45. 2) [n(Ai~ 1)] : 2.
i 274. 1) 7. 2) 40.
* 275. 45.
Ь 276. 2) Число линий было бы равно (7 • 3) : 2, то есть дробному
§ числу, чего быть не может.
278. Нельзя в случае б) и г).
1. 280. В случае всех четных вершин вычерчивание фигуры обяза-
ц.; тельно начинается и заканчивается в одной и той же вершине; при
t наличии двух нечетных вершин — начинается в одной из них, а за-
f j канчивается во второй.
4 I )81. Нельзя, ибо нечетных вершин больше -двух.
% 282. Третий или седьмой.
• 283. Можно, ибо вершины 6, 8 и 12 —четные, а 3 и 15 — нечет-
> ные.
284. Нет, по одной улице ему придется ехать дважды.
285. Если каждую улицу схематически обозначить двумя
близкими линиями, имеющими общие концы, а концы улиц, перекрестки
113

и тупики принять за вершины, то получим сеть, в которой все верши* Щ
иы будут четными, значит, такую сеть кривых можно начертить?!
одним росчерком. I
При третьем обходе мы как бы получаем еще одну сеть кривых,,
в которой по меньшей мере три вершины (концы улиц, переходящих
в загородное шоссе) будут нечетными, а такую фигуру начертить
одним росчерком невозможно.
288. Можно, ибо нечетных вершин лишь две: внешняя часть и
левый островок.
289. В комнате № 5.
290. С комнаты № 9.
291. См. рисунок 48.
292. Соединим самый левый домик с колодцем (К), навесом (Я)
и погребом (Я) и будем продолжать идти от них по тропинкам,
ведущим к самому правому домику. Получим три линии между двумя -
домиками (рис. 49). Эти три линии делят плоскость на три области*.
I, II и III. Пропущенный средний домик лежит где-то в одной из этих
областей. Если этот домик находится в области I, значит, он будет
вне замкнутой линии, окружающей навес. Если этот домик в
области II, то он — внутри замкнутой линии, не охватывающей погреб.
Если же он в области III, то окружен замкнутой линией, вне которой
находится колодец. В первом случае от среднего домика не будет
дороги к навесу, во втором — к погребу, а в третьем — к колодцу.
294. Из условия следует, что если точек самопересечения /г, та
число звеньев 2п.
295. 1) Нельзя. 2) Здесь мало сказать «можно», нужно еще
показать, что такую ломаную действительно построить можно. На ри*
сунке 50 показаны два возможных способа построения.
296. 2) На 4; на 6; на 6; на 7 частей.
302. Лупа не увеличивает углы, так как величина углов не
зависит от длины их сторон.
303. МС равен полуразности отрезков АС и ВС.
304. а) Существует, например, равнобедренный треугольник с
основанием в1 см и высотой, проведенной на основание, большей 20Э см\
б) такого треугольника быть не может.
305. 1) 7 см. 2) 6 см, 9 см или 12 см.
114

I 806. 27 см.
1 307. Могут, если попарно равные стороны лежат против неравных
1 углов.
I 308. Легко установить, что ^ ОМС = ^ МСА = ^ ОСМ, значит,
1 МО = ОС. Аналогично находим, что и N0 = ОС.
] 309. 1) 130% 2) 25° и 115°.
I 310. 75°, 70*, 35° или 75°, &0°, 25°,
; зп. 45°.
312. На продолжении В А отложим отрезок АК% = КС и соединим
точку /Ci с точкой D, Тогда ^ С/(£> = ^ /СШ = ^: AKi D и ^ KDA =
' = ^ EDKi > откуда ^ Л/d D = ^ ££>/(i, значит, ЕКХ = £#•
Рис. 50.
j *
313. Биссектриса и перпендикуляр не пересекаются внутри тре-
1 угольника.
314. Выполнив аккуратно чертеж, убеждаемся, что острый угол
равен разности, а прямой угол — сумме попарно равных углов.
315. Треугольники АР В и DPC не являются равнобедренными.
316. Возможен еще один случай расположения треугольников,
когда ВРг проходит через точку С, причем у получившегося
равнобедренного треугольника АВРХ Л С не является высотой, и тогда уже
ВС Ф Рг С.
317. Мы доказали, что отрезки Ak Ak + г и Bk £fc + i с
одинаковыми индексами никогда не пересекаются, но из этого не следует,
что не* могут пересечься, например, отрезки Л3Л4 и В7Вв.
318. Из того, что точки одной окружности взаимно однозначно
соответствуют точкам другой окружности, не следует равенство их
длин.
319. Длина ломаной не стремится к длине отрезка.
322. Если построить окружность, симметричную одной из данных
' окружностей относительно данной прямой, то точка пересечения^
построенной окружности и второй данной окружности будет одной из
вершин искомого ромба. Тогда уже легко найти положение центра ром-
' ба и половину второй диагонали.
324. Если на AD найти точку Въ симметричную В относительно
АС, то вспомогательный треугольник CDBX легко построить по трем
сторонам, после чего построение искомого четырехугольника очевидно.
325. Сравним два треугольника: равнобедренный ВАР и
произвольный ВАК (рис. 51), у которых ВА + АС = ЕА + АК. Значит,
BE = СК. Строим точку Къ симметричную К относительно ВС, тог-
115

да СКг = СК^ВЕ и ^ ABC = ^ ЛСЯ - ^ Р<Ж = ^ ЯС/Ci, поэто!
му BE || С/Сх и ВЕК\С — параллелограмм. Сравним основания исход?
ных треугольников: ВС = £/0 < ££> + DKX = ED + DK = eRM
Итак, ВС < £/C. f
327. Соединив последовательно середины сторон четырехугольни-f
ка, получим параллелограмм, диагонали которого являются средними!:
линиями четырехугольника. '^
328. Начинающий игру должен положить монету на центр стола. J
В дальнейшем он кладет свою монету каждый раз симметрично (отно->
сительно центра стола) монете, положенной вторым играющим. *
329. Применяем центрально симметричные преобразования данное
го четырехугольника и каждого из вновь полученных четырехуголь-1
ников по отношению к серединам каждой стороны. ;
Рис. 51.
331. 1) 1,6 м. 2) 11,5 см\ 12,5 см. 3) 1,7 м.
332. Если одну из боковых сторон перенести в направлении осно-
ваний на расстояние, равное меньшему основанию, получим
вспомогательный треугольник, который легко можно построить по трем
сторонам: две из них равны боковым сторонам трапеции, а третья —
разности оснований. Затем строим искомую трапецию.
333. Перенесем одну из диагоналей в направлении оснований'
на расстояние, равное одному из оснований трапеции. Получим вело-'
могательный треугольник, построить который можно по трем сторонам;
боковые стороны равны диагоналям трапеции, а основание — удвоен"-'
ной средней линии трапеции. Дальнейшее построение очевидно.
335. Пусть у четырехугольника ABCD дан угол между сторонами
AD и ВС. Перенесем ВС на расстояние ВА в направлении ВА, по*/
лучим АК || ВС и АК—ВС. Соединив точку К с точкой Д получим*
треугольник AKD, построить который сможем по двум сторонам и
углу между ними. Теперь уже можно определить положение точки С,
зная ее расстояние от точек К и D. Следовательно, можно построить';
и искомый четырехугольник.
336. На произвольной прямой строим угол BAD, равный одному;
из данных углов, и угол CxDiAt равный второму данному углу.}
Проведя через точку Сг прямую, параллельную DLA, находим точку
С как общую точку этой прямой и окружности радиуса ВС с цент-!
ром в точке В.
337. Легко построить вспомогательный равносторонний
треугольник с заданной стороной а, две вершины которого лежали бы да
данных параллельных прямых. Если через третью вершину провести
116

прямую, параллельную данным прямым, то точка пересечения этой
прямой с третьей заданной прямой определит положение одной из
вершин искомого треугольника.
Заметим, что если данная сторона а больше расстояния d между
данными параллельными прямыми, то задача имеет 4 решения; если
a—d — 2 решения; если же a<d, то задача решения не имеет.
340. 1) Так как возможны два противоположных направления на
прямой, то возможны и два направления переноса окружности на
данное расстояние, поэтому задача может иметь даже 4 решения.
341. 2) Перпендикуляр, проведенный к основанию через его
середину, исключая самую точку пересечения.
342. 1) Окружность, концентрическая данной, радиус которой
равен половине радиуса данной окружности. 2) Окружность данного
радиуса с центром в точке 0.
343. Две взаимно перпендикулярные прямые, являющиеся
биссектрисами углов, образованных данными прямыми.
344. 2) Искомыми точками являются точки пересечения данной
окружности с двумя взаимно перпендикулярными прямыми,
являющимися биссектрисами углов, образованных данными пересекающимися
прямыми. Таких точек может быть 4, 3, 2, 1 и ни одной, в
зависимости от взаимного расположения окружности и прямых.
345. 15 см, ибо AD + DC = BD + DC = 20 см.
346. 4) Чтобы решение задачи свести к построению треугольника,
равного данному, надо соединить прямой произвольные точки, взятые
на разных сторонах угла. Правда, если исходный треугольник
равнобедренный, то построение упрощается, причем вспомогательную
прямую строить не обязательно, достаточно знать лишь точки.
348. На второй стороне данного угла, не содержащей точки В,
откладываем отрезок AD, равный /, и полученную точку D
соединяем с точкой В. Через середину отрезка BD проводим перпендикуляр
к нему. Точка пересечения этого перпендикуляра со стороной AD
и есть искомая точка С.
Очевидно, что при /<>Ш задача решений не имеет, а при 1>АВ
имеет решение и притом единственное.
349. Перпендикуляр, проведенный к отрезку, соединяющему эти
точки, через его середину.
352. Во втором случае целесообразно откладывать большую
сторону на меньшей и рассматривать угол, смежный данному углу.
354. Две прямые, параллельные данной и расположенные по
разные от нее стороны на данном расстоянии.
355. Прямая, параллельная данным прямым и проходящая между
ними на равном от них расстоянии.
359. При b>h задача имеет два решения, при b—h — одно, при
b<h — ни одного.
360. Решение задачи можно свести к построению треугольника
по двум боковым сторонам, равным половинам диагоналей
параллелограмма, и высоте, также равной половине высоты параллелограмма.
361. Окружность с центром в точке пересечения данных взаимно
перпендикулярных прямых и радиусом, равным половине длины
данного отрезка.
364. 1) В действительности точка D всегда лежит на АС. 2)
Точки М и К всегда совпадают. 3) Точка М обязательно принадлежит
прямой л. 4) В действительности окружность пройдет через точку D.
117

365. 1) Диаметр, перпендикулярный к этим хордам. 2)
Проводим диаметр ОМ и строим хорду, ему перпендикулярную.
369. Радиус искомой окружности t равен половине расстояний
между данными параллельными прямыми. Задача имеет 4 решения.
370. Центр искомой окружности есть 'точка пересечения
биссектрисы данного угла и перпендикуляра к стороне угла в заданной на
ней точке.
371. Прямая, проходящая через центр О данной окружности и
точку М (исключая точки М и О).
373. Пусть мы построили окружность, которая касается данной
окружности с центром О в точке М и проходит через точку N. Центр
искомой окружности-лежит, во-первых, на прямой ОМ, а во-вторых,
на оси симметрии отрезка MN. Каждое из этих геометрических мест
легко построить, а их точка пересечения Ох будет центром искомой
окружности. Легко найти и радиус искомой окружности ОхМ (или
OxN).
Для удобства исследования через точку касания М проведем
общую касательную PQ. Если точка N не лежит на PQ, то всегда
получим одну окружность, касающуюся данной окружности внешним
или внутренним образом. Если же точка N лежит на PQ, то задача
решений не имеет. Случай, когда точки М и N совпадают, обычно
исключается.
374. Если построить касательную к данной окружности в
заданной на ней точке, то центр искомой окружности лежит на линии
центров и на осях симметрии данной прямой и построенной
касательной.
375. Постройте на AM, как на диаметре, окружность, которая
обязательно пройдет и через точки С и N.
378. Построив на данном отрезке АВ дие дуги сегментов,
вмещающих данный угол, определим точки пересечения этих дуг с
данной прямой, которые и будут искомыми. Так как прямая не может
иметь более двух общих точек с окружностью, то максимальное
число решений — 4 (прямая пересекает каждую из дуг сегментов в
двух точках). Очевидно, что задача может иметь три, два, одно и ни
одного решения.
379. Построив основание, определим две вершины искомого
треугольника. Для отыскания третьей вершины, из которой основание
видно под данным углом и которая отстоит от середины основания
на расстояние, равное данной медиане, определяем точки пересечения
соответствующих геометрических мест. Заметим, что задача имеет
не более одного решения, так как все получающиеся треугольники
равны между собой.
382. Номера домов возрастают последовательно на 2. Сумму
таких чисел мы находить умеем, для чего сумму крайних
слагаемых умножаем на число слагаемых и делим на 2. Если обозначить
число домов через п, а их первый и последний номер соответственна
через а и Ь, то получим, что —Щ— • п = 333 = 3 • 3 • 37. По
условию п > 5, значит, п = 9. Теперь легко найдем, что номер пятого
(среднего) дома равен 37.
383. 19, ибо после каждого излома число кусков увеличивается
на 1.
118

384. 6, 18 и 54. Пусть в некоторый момент мы нашли сумму
всех написанных чисел, равную а. При следующем шаге каждое из
этих слагаемых складывается с соседним дважды. Значит, новые
записанные числа дадут в сумме 2а. Следовательно, сумма всех
чисел будет 2а + а = За.
385. 4,2 м -240 = 1008 м
386. 1) 3 • 51 = 153. 2)
387. 79 орехов.
388. 16 и 12.
389. 285 ц9 288 ц, 225 цй
390. 48000 и 64 000,
391. 20 орехов.
392. 5 детей.
1_
9 '
» 1
64'
км.
19
95'
49
98*
$93.
394.
395.
396.
397.
398.
399.
400. Из
числа есть 1
Яблоки по
50 л, 40 л,
10 080 км.
На 32%.
18.
10.
50 коп.,
30 л.
сливы по 25 коп.
второго условия следует, что первая цифра искомого
, а тогда легко определить по первому условию, что
искомое число есть, 142 857.
401. Первое место занял спортсмен № 2, второе-
№ 1 и четвертое — № 3.
402.
•№ 4, третье-
№ купе
1
2
3
4
Минск
географ
А шофер
футбол
математик
Д комбайнер
бокс
историк
И строитель
волейбол
инженер
Н тракторист
шахматы
Могилев
историк
Б тракторист
бокс
инженер
Е строитель
футбол
географ
К комбайнер
шахматы
математик
О шофер
волейбол
Брест
инженер
В комбайнер
волейбол
историк
Ж шофер
шахматы
математик
Л тракторист
футбол
географ
П строитель
бокс
Гомель
математик
Г строитель
шахматы
географ
3 тракторист
волейбол
инженер
М шофер
бокс
историк
Р комбайнер
футбол
119

404. Если все команды уже играли, то может быть сыграно 1, 5
2, 3, 4, 5, 6 или 7 матчей, то есть имеем 7 различных чисел, а команде
8, поэтому обязательно хотя бы у двух команд будет по одинако-V
вому числу сыгранных матчей. Если же предположить, что хотя бы '"*-
одна команда не приступала еще к розыгрышу, то и в этом случае
получим не более 7 различных чисел: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6.
405. Если не учитывать, что Петя знал ответ на второй вопрос,
то могут представиться только четыре последовательности ответов:
да, да, нет, да, нет; да, нет, да, да, нет; нет, да, даг нет, да; нет,
да, нет, да, да. Следовательно, угадать ответы на все пять вопросов
можно лишь в том случае, когда ответ на второй вопрос будет «нет».
406. Вначале был 1 пустой ящик; после первого вкладывания
пустых будет 1 + (п— 0i после второго — 1 + 2(п — 1) и так далее;
после /г-го — 1 + k(n — 1).
407. 1) В шестеричной системе счисления. 2) d2-\- 4d-f-.4«=*
= (d + 2)2, значит, 144 = 122 в любой системе счисления с
основанием, большим 4. 3) Условие задачи равносильно утверждению, что
любое натуральное число может быть записано в двоичной системе
счисления.
408. 9.
409. Если все цифры многозначного числа делятся на некоторое
число, то и само многозначное число разделится на этот общий
делитель.
410. Можно, например, 1970 чисел вида:
2 • 3-4. 5- . . .. 1970 • 1971 + k,
где k принимает последовательно значения 2,3,4, . . . , 1971, не
ягляются простыми, ибо каждое делится на k.
411. Одно из них всегда делится на 3.
412. Три числа могут иметь разные остатки, но среди любых
четырех хотя бы два будут иметь равные остатки, и их разность
разделится на 3.
413. Ящик в 29 кг.
414. 1 или 2.
415. Если бы остаток, меньший 30, был составным числом, то
он имел бы простой делитель 2, 3 или 5. Но число 30 делится на
эти простые числа, значит, и исходное число должно было бы
делиться на одно из них, чего быть не может, ибо оно простое.
417. При п = 2k имеем: п3 + 20/г = 8/е3 + 40k = 8k(k2 + 5). Легко
проверить, что k(k2 + 5) делится и на 2, и на 3.
418. kA + 4 = kA + 4k2 + 4 — 4k2 =(Aj2 + 2)2 — (2k)2 = (k2 — 2k +
+ 2) (k2 + 2k + 2).
419. 2) Число делится на 3, но не делится на 9. 3) Сумма равна
* —, и чтобы она оканчивалась на 7, k (k + 1) должно
оканчиваться цифрой 4, чего быть не может, ибо легко проверить, что такие ч
произведения могут оканчиваться лишь цифрой 0, 2 или 6.
420. Число п2 + п + 1 находится между квадратами двух
последовательных чисел натурального ряда: п и я + 1. Следовательно,
квадратом натурального числа быть не может. Это число нечетное,
ибо п2 -f- п = п(п +1) — число четное.
120

421. Подставляя значения х = О, 1 и 2, получим, что с, а-\-Ь
и 4а + 26 — целые числа, откуда следует, что 2а и 26 — чмсла целые.
Следовательно, если а и 6 — числа целые, то утверждение очевидно;
если же а и Ь — оба дробные, с дробной частью 0,5, то и в этом
случае как при четных, так и при нечетных х сумма произведений
будет числом целым.
422. 6 — а — с = 0.
423. 1) 100 (л+2)+ 10 (л + 1)+л — 10Э>1 — 10 (л + 1) —
— (л+ 2) = 200 —2 = 198.
424. 2) Достаточно привести данное выражение, разложив его
на множители, к виду (а—Ь) (6 — с) (а — с).
3) (а —6) (6 — с) (а —с) (а + Ь + с).
425. 1) Умножив выражение на 1=2—1, получим 264 — 1. Об
этом числе можете прочитать в книге Я. И. Перельмана
«Занимательная алгебра».
2) 5; см. решение № 424 (3).
426. 2) — 1.
427. Если в выражении {ах —а?) + fa — а3) + (а3 — а4)+ . . .+
+ (ап—1) раскрыть скобки, то все числа, кроме первого и
последнего, взаимно уничтожатся и получим ах — 1.
428. 2) Правильная дробь.
-~ ^ я с а + с
429. Знак равенства, ибо — = — = .
430. 2) При а= ±1; при — 1 < а < 1; при а < — 1 и при
а > 1; при 0 < а < 1.
432. 8.
433. 8, 12, 5, 20
434. Через 2,4 ч.
435. Через 4 <*.
436. 240 ot.
437. Сделав схематический рисунок движения (рис. 52), мы
видим, что время от начала движения до первой встречи втрое
меньше, чем от начала движения до второй встречи, ибо оба
велосипедиста прошли три таких участка пути, как до первой встречи. Но
тогда и путь ABD втрое больше, чем путь А С, значит, расстояние
от А до В равно 6-3 — 4=14 (км).
к.
I
АВ
I
I
1
I Рис. 52.
438. 40 т первого сорта и 100 т второго.
439. 35 м.
121

440. а) Полагая -^- = v—r— = k, будем иметь, что х = 3k и у а*
= 4/г + 1. Подставляя найденные значения х и у во второе уравнение,
найдем /г = 1, откуда л: = 3 и у = 5.
б)(1; 1,5; 2). в) (-2; -5;-3).
441. Пусть общий корень уравнений *0, тогда х% + ах0 =— 1
и л:J + а#§ = — 1. Разделив второе уравнение на первое почленно,
получим: —|-£—- = х0 = 1, тогда 1+а»1 + 1=0;а = — 2.
8 2
442. т и -.
443. Все двузначные числа, у которых цифра единиц на 3
больше цифры десятков: 14, 25, 36, 47, 58 и 69.
444. 15 или 24.
445. 21 978.
446. 1) Прибавить по 125 или по — 100. 2) 20 или 11.
447. В первой группе 14 человек, во второй — 18.
448. Пусть станция построена в некотором пункте О, отстоящем
от Л на л: км, от В— на у км и от С — на z км. Очевидно, что
х~\-у>^уХ-\-г>Ъ и у -\- z > 3. Общее число километров s =
= ЗООх + 200у + 1002 = 200* + 200*/ + 100* + ЮОг = 200(* + у) +
+ 100(а: + г). Наименьшим s будет тогда, когда # + г/ = 4ил: + 2=5,
то есть станцию нужно строить в пункте А.
• 451. В таких системах любые два соседних колеса вращаются
в противоположных направлениях, поэтому если в системе четное
число колес, то колеса смогут вращаться, а если нечетное, то нет.
452. Таких точек бесконечное множество около Южного полюса.
Если взять точки, отстоящие от Южного полюса примерно на 1,16 км,
то, пройдя на юг 1 ки, мы окажемся на параллели, длина которой
равна 1 км, и, пройдя ее в направлении на восток, придем в точку,
с которой начали двигаться на восток.
Но это не все точки. Очевидно, что если взять параллель,
находящуюся на расстоянии 1 км от параллели, длина которой равна 0,5 км,
то, начав движение из любой точки первой параллели на юг, мы
дважды обойдем Южный полюс, идя 1 км на восток, и вновь
возвратимся в исходную точку. Заметим, что Южный полюс можно
обходить и три, и четыре, и более раз.
453. Число ребер призмы всегда кратно 3.
454. 100 кг.
455. 1) Сфера радиуса R с центром в точке О.
2) Плоскость, проходящая через середину данного отрезка
перпендикулярно к нему.
3) Поверхность цилиндра радиуса а, осью которого
является данная прямая.
456. Соединив точки Л и С, получим равносторонний треугольник,
значит, ^АВС = 60°.
457. 72°.
458. Прямой вписанный угол опирается на диаметр, а по теореме
Пифагора найдем, что гипотенуза (диаметр) равна 10 м.
459. 2,5 см.
460. 40 см.
461. 1) Надо дополнить треугольник до прямоугольника.
122

462. 1) 90°; 60°; 30°. 2) 90°; 22,5°; 67,5°.
464. Пусть средней линией четырехугольника является отрезок
АВ. Проведем одну из диагоналей четырехугольника и ее середину,
точку О, соединим с точками А и В. Используя свойства средней
линии треугольника, вычисляем АО и О В, откуда получаем, что
АО + ОВ = АВ, а это может быть лишь тогда, когда точка О лежит
на АВ. Следовательно, отрезок А В параллелен обеим сторонам
четырехугольника.
466. Так как ААВАг== aCiBC, to легко установить, что
BM = BN и ^MBN = №°.
467. Дополняем данный угол до прямого, получим угол в 36°,
половина которого является третьей частью данного угла.
468. Решение задачи сводится к построению прямоугольного
треугольника по сумме катетов, равной половине суммы диагоналей
ромба, и данному острому углу.
469. Решение задачи сводится к построению прямоугольного
треугольника по гипотенузе и сумме (разности) катетов.
470. 2) Легко построить треугольник по высоте и медиане и
найти положение биссектрисы между ними. После этого нужно построить
окружность, описанную около искомого треугольника, учитывая, что
точка пересечения продолжения биссектрисы треугольника и
перпендикуляра, проведенного к основанию треугольника через его середину,
лежит на окружности, описанной около треугольника.
472. Центр искомой окружности X лежит на перпендикуляре КМ,
проведенном к данной прямой АВ через заданную на ней точку М*
С другой стороны, точка X должна быть равноудалена от точки М и
неизвестной точки касания искомой и данной окружностей. Заменяя
неизвестную точку касания центром данной окружности О, надо и точку М
заменить точкой N, отстоящей от А В на радиус данной окружности.
Отложив на КМ по разные стороны от АВ отрезки MN и MNlt
равные радиусу данной окружности, строим геометрические места
точек, равноудаленных от точек О и iV и от точек О и Nt. Точки
пересечения этих прямых с перпендикуляром КМ определят центры
искомых окружностей.
Задача может иметь два или одно решение. Если же данная
окружность касается прямой АВ в точке М, то задача имеет
бесконечное множество решений.
473. 1) Окружность, диаметром которой служит отрезок,
соединяющий данную точку с центром данной окружности.
2) Искомым геометрическим местом будет не еся окружность- с
диаметром, равным отрезку, соединяющему данную точку с центром
данной окружности, а лишь дуга этой окружности, лежащая внутри
данной окружности.
474. 1) Пусть треугольник ABC — искомый (рис. 53). Если
произвести поворот с центром в точке А на угол в 60° стороны АВ с
окружностью О, то точка В совпадает с точкой С, а окружность
займет положение окружности с центром в точке Оь проходящей через
точку С. Следовательно, если окружность О повернуть около точки А
на угол в 60°, то найдем еще одну вершину искомого
равностороннего треугольника как точку пересечения данной прямой с окружностью
с центром в точке Оь Практически поворот окружности выполнить
весьма просто, так как для этого достаточно построить
равносторонний треугольник АООь сторона которого АО известна.
123

Определив положение вершины С, найдем сторону искомого
равностороннего треугольника. Дальнейшее построение элементарно.
Следует учитывать, что поворот окружности возможен и в
противоположном напрарлении, поэтому задача может иметь 4, 3, 2, 1 и О
решений в зависимости от числа точек пересечения построенных
вспомогательных окружностей с данной прямой.
2) Решение этой задачи аналогично решению предыдущей,
сложнее лишь выполнить поворот
*/„
одной из данных прямых на
60°. Для этого опустим из
точки А на выбранную прямую
перпендикуляр и повернем его
на 60° (построением
равностороннего треугольника со
стороной, равной перпендикуляру).
Затем через конец полученного
поворотом перпендикуляра
проведем требуемую прямую. Точка
пересечения этой прямой со
второй из данных и определит
положение второй вершины
искомого треугольника. Задача
может иметь два, одно и ни
одного решения.
476. Пусть хну — катеты,
a z — гипотенуза, причем х <
< у < z. По условию х2 + у2=
= z2, значит, х2у + у3 — г2у, тогда я3 + у3 < х2у + У3 = z2#<z3.
Следовательно, х* + t/3<z8, то есть куб гипотенузы больше суммы
кубов катетов.
• 477. Если из каждой вершины внутреннего многоугольника
опустить перпендикуляры на стороны внешнего многоугольника, то
получившиеся прямоугольники имеют площадь в 12 квадратных
единиц. Все угловые четырехугольники перенесем в одну точку. Получим
многоугольник, площадь которого больше площади круга единичного
радиуса. Следовательно, площадь многоугольника увеличивается
более чем на -12-f-TC>15 квадратных единиц.
479. Если отрезок обозначить через АгРВ1у то треугольники РАА{
и РВВк будут равнобедренными, причем РА1 = РА и РВг = РВ.
484. Строим окружности (В, АВ) и (Л, АВ), пересекающиеся в
точке D. Затем на окружности (В, АВ) строим дуги DE и £С,
равные дуге AD. Точка С — искомая.
485. в) Два раза прикладываем линейку к данной точке О под
разными углами и проводим с обеих сторон линейки параллели; на
данной прямой получаем две точки А и В. Затем поворачиваем
линейку так, чтобы точки А и О были на ее бортах, и опять проводим
две параллели; точку пересечения с одной из предыдущих параллелей
соединяем с точкой О.
486. а) Искомой будет прямая, соединяющая точку пересечения
диагоналей с точкой пересечения продолжений боковых сторон.
487. Число треугольников зависит от положения точки А. Если
точка А — центральная, то получим 24 треугольника, если А —
угловая точка, то 25 треугольников, для остальных положений точки А
получим 26 треугольников.

СОДЕРЖАНИЕ
Глава I. Арифметика и алгебра 5
§ 1. Различные интересные задачи —
§ 2. Рациональные числа 18
§ 3. Математические игры и софизмы 24
§ 4. Задачи с пропорциональными величинами 31
§ 5. Задачи на максимум и минимум 35
§ 6, Систематические дроби 38
§ 7. Уравнения в целых числах 44
Глава II. Геометрия 63
§ 1. Вычерчивание фигур одним росчерком —
§ 2. Задачи на первые понятия геометрии 59
§ 3. Геометрические софизмы 62
§ 4. Перемещения 68
§ б. Геометрические места точек 74
Глава III. Интересные задачи смешанного содержания ... 83
Ответы 99

Алексей Архипович Ma пшик
РЕШИ САМ
ч. Ill
Редактор Л. Э Горянина. Обложка художника
И Н. Купавы Художественный редактор И М
Андрианов. Технический редактор 4. В. Ивашко.
Корректор М. А Зеленкова.

Сдано в набор 4/11 1972 г. Подписано в печать
21/VIII 1972 г. Формат 84Xl08Vaa. Бум. тип. № 3.
Усл. печ. л. 6,72. Уч.-изд. л. 7.08. Тираж 160 000 экз.
Заказ 1165. Цена 19 коп.
Издательство «Народная асвета»
Государственного комитета Совета Министров БССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли,
Минск, Ленинский проспект, 85,
Полиграфкомбинат им. Я. Коласа
Государственного комитета Совета Министров БССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли,
Минск, Красная, 23.

Мазаник А.~А.
М13 Реши сам, ч. III. Мн., «Нар. асвета», 1972.
128 стр. с илл. 160 000 экз. 19 к.
Сборник является продолжением вышедших: ранее сборников «Рента
сам» (ч. I, II). Он содержит около 500 различных по содержанию и
степени трудности упражнений по математике и рассчитан на учащихся
восьмилетней школы. ^
Упражнения подобраны так, что учащиеся смогут самостоятельно,
без чьей-либо помощи, решить их.
Сборник может быть использован также и учителями при
проведении внеклассной -работы по математике.
6-6
144-72М 51(07)