46.60
.
Написать уравнение Шредингера и найти его решение для электрона, движущегося
в положительном направлении оси х для областей
I
и
II
(рис.
), если на границе этих
областей имеется потенциальный барьер высотой
U
.
Решение
Рассмотрим движение частицы в
силовом поле, в котором ее потенциальная энергия
U
(
x
)
имеет вид
0
0,0
()
,0
x
Ux
Ux






В этом случае говорят, что частица находится в области
потенциального порога
. На
границе порога, т.е при
x
= 0
, потенциальная энергия частицы скачком меняется на
конечную величину
U
0
(рис.).
Обозначим область слева от порога (
x
< 0
) цифрой I и все решения для этой области будем
отмечать индексом 1 . Область справа от порога (
x
> 0
) обозначим цифрой II , будем
отмечать соответствующие ей реш
ения цифрой 2 .
Рассмотрим сначала случай, когда энергия частицы
E
меньше высоты потенциального
порога
U
0
, т.е.
E
<
U
0
. Говорят, что в этом случае мы имеем дело с
высоким
потенциальным порогом
. Уравнение Шредингера для частицы в таком силовом поле
имеет вид:
в области I
0
2
1
2
0
2
1
2
=
+
y
y
E
m
dx
d
h
в области II
2
0
2
02
22
2
()0
m
d
EU
dx




Вводя обозначения
E
m
k
2
0
1
2
h
=
и
)
(
2
0
2
0
2
E
U
m
k
-
=
h
получаем уравнения Шредингера д
ля областей I и II в виде

0
1
2
1
2
1
2
=
+
y
y
k
dx
d
,
2
2
2
22
2
0
d
k
dx



Решения уравнений
есть
11
111
()
ikxikx
xAeBe



,
22
221
()
kxkx
xAeBe



,
Поскольку отраженная волна в области II отсутствует, то коэффициент
В
2
следует
положить равным нулю, т.е.
В
2
=0
.
11
111
()
ikxikx
xAeBe



,
2
22
()
kx
xAe



.
Ответ:
11
111
()
ikxikx
xAeBe



,
2
22
()
kx
xAe



.