Семиотика и информатика. Выпуск 8 - Михайлов А.И.

Author: Михайлов А.И.

Tags: математическое программирование программирование информатика информационные технологии семиотика компьютерные технологии

Year: 1977

Similar

Основы информатики

Поурочные разработки по информатике: 8-9 классы

Информатика и ИКТ: учебник для 8 класса

Круг идей: развитие исторической информатики

Text

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ
СОВЕТА МИНИСТРОВ СССР
ПО НАУКЕ И ТЕХНИКЕ
АКАДЕМИЯ НАУК
СОЮЗА СОВЕТСКИХ
СОЦИАЛИСТИЧЕСКИХ РЕСПУБЛИК
ВСЕСОЮЗНЫЙ ИНСТИТУТ НАУЧНОЙ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ
СЕМИОТИКА
И
ИНФОРМАТИКА
ВОСЬМОЙ ВЫПУСК
МОСКВА 1 977
1—9968

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ
главный РЕДАКЮР^профессор А. И. Михайлов,
оцент Р. С. Гиляревский, Т. Н. Лаппалайнен (ответственный секретарь)
профессор В. А. Успенский, канд. филол. наук С. Я. Фокин,
канд. техн. наук А. И. Черный (зам. главного редактора),
канд. физ.-мат. наук Ю. А. Шрейдер
© ВИНИТИ, 1977

УДК 519.85
С. И. Самойленко
СУБОПТИМАЛЬНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
К настоящему времени в рамках математического
программирования разработан ряд эффективных мето-
методов поиска оптимальных решений для задач различных
классов. Наиболее сильные результаты получены для
задач, решаемых методами линейного программирова-
программирования. Разработаны способы решения некоторых классов
нелинейных и целочисленных задач.
Вместе с тем следует отметить, что значительное
число сложных задач большой размерности не могут
быть решены разработанными методами математическо-
математического программирования вследствие того, что они либо не
сводятся к классам задач, для которых известны методы
нахождения оптимального решения, либо же не удов-
удовлетворяют чисто практическим ограничениям, наклады-
накладываемым предельным объемом памяти или быстродейст-
быстродействием используемых ЭВМ.
К числу таких задач сводятся и многие проблемы ин-
информатики, среди которых задача выбора структуры
территориально рассредоточенной ИПС, выбор пропуск-
пропускной способности каналов связи в таких системах, рас-
распределение средств повышения помехоустойчивости и
другие оптимизационные задачи.
Для решения таких задач целесообразно применять
субоптимальные методы поиска решений, которые не
обязательно приводят к оптимальному результату, но
дают «хорошее» решение, удовлетворяющее ограниче-
ограничениям задачи, причем это «хорошее» решение может
1* 3

последовательно улучшаться и приближаться к опти-
оптимальному по мере увеличения затрат машинного вре-
времени.
Целью настоящей работы является описание некото-
некоторых методов поиска субоптимальных решений.
В первой части рассматривается процедура поиска
решения в диалоговом режиме, при котором алгоритм
строится так, чтобы человек, решающий задачу, мог ис-
использовать ЭВМ для оценки своих предположений о
перспективных направлениях поиска и уточнять их с
учетом результатов машинного эксперимента.
Для некоторых задач возможно использование не-
нескольких эвристических гипотез, определяющих рацио-
рациональные направления поиска решений, причем их эф-
эффективность может быть различной. В таких условиях
возникает задача выбора рациональной композиции эв-
эвристических процедур, которые дают наилучший эффект
для данных условий. В этом случае удобно использовать
адаптивные методы организации поиска, при которых
композиция эвристических процедур формируется из
заданного множества в процессе решения задачи с уче-
учетом успешности использования создаваемых композиций
на предыдущих этапах поиска. Некоторые из таких ме-
методов рассматриваются в разделе 2.
Следующий раздел посвящен изложению идеи исполь-
использования процедуры размывания эвристических алгорит-
алгоритмов поиска решений. Обычно эвристические процедуры
ведут к одному из допускаемых решений, и оно не мо-
может быть улучшено этой процедурой, независимо от то-
того сколь далеким является это решение от оптимального.
Метод размытых эвристик позволяет порождать
класс субоптимальных решений и дает возможность
последовательно приближаться к оптимальному
решению.
Последний раздел посвящен разработке принципов
построения субоптимальных алгоритмов, использующих
идеи динамического программирования. Известно, что
динамическое программирование является весьма эф-
эффективным средством поиска оптимальных решений для
широкого круга задач. Однако во многих случаях реа-
реализация динамического программирования связана с
необходимостью использования чрезвычайно больших
объемов памяти для хранения промежуточных резуль-

татов и чрезмерными затратами машинного времени на
поиск решения.
В разделе 4 настоящей работы рассматриваются не-
некоторые методы упрощения реализации динамического
программирования за счет перехода от поиска опти-
оптимального решения к порождению класса последователь-
последовательно улучшаемых субоптимальных решений.
Прежде чем перейти к описанию постановки задачи
субоптимального программирования, введем условные
обозначения, которые будут использоваться в настоя-
настоящем разделе.
х = (х19 х2, ..., хп)—элемент я-мерного евклидова прост-
пространства Еп
ft С*)-<0, 1 = 1,2, ..., т—система ограничений задачи
т — число ограничений
i— номер ограничения задачи
g— допустимое решение,
G — множество всех допустимых решений
Н (g)—критерий эффективности решения
g*— оптимальное решение
g — субоптимальное решение
g—наилучшее найденное решение (рекорд)
Н* — заданный уровень целевой функции
Li — f-ый алгоритм поиска решений, £ = 1,2, ...
Lo — алгоритм случайного равновероятного
выбора допустимых решений
\ii0 — критерий сокращения затрат машинного
времени при использовании алгоритма
L; по сравнению с алгоритмом равно
вероятного выбора допустимых решений
В общем виде задачу субоптимального программиро-
программирования можно записать следующим образом.
Пусть л;=(л;1, х2, ..., хп) является элементом д-мер-
ного евклидова пространства Еп. Задана некоторая си-
система условий, определяющих задачу и представленных
в форме
fi(x)<0, i=l, 2, ..., т. A)
Вектор g б Еп является допустимым решением, если
выполняется
U(g)<0, i=l 2, ..., т. B)
Множество всех допустимых решений будем обозначать
G. Будем предполагать, что для каждого допустимого

решения g может быть определен критерий эффектив-
эффективности H(g), и решение gi считается лучшим, чем реше-
решение gh если H(gi)>H(gj).
Решение g* является оптимальным, если выполняется
условие
H(g*)>H(g)9 veeG. C)
Введем понятие субоптимального алгоритма. Для
этого определим некоторые вспомогательные величины.
Пусть для достижения уровня целевой функции #*
при использовании алгоритма ссг- требуется затратить
машинное время /г-, а для достижения того же уровня
методом случайного равновероятного выбора — время to.
Тогда алгоритм аг- будем называть субоптимальным,
если
|xt-o = /t//o<l. D)
Другими словами алгоритм а* будем называть субоп-
субоптимальным, если он обеспечивает существенное сокра-
сокращение затрат машинного времени для достижения опре-
определенного уровня целевой функции по сравнению с ал-
алгоритмом случайного равновероятного выбора.
Алгоритм <Xi будем называть асимптотически опти-
оптимальным, если при ограниченном увеличении времени
его работы он обеспечивает нахождение оптимального
решения, т. е. если
—щр—а E)
где t — время работы алгоритма at
Г —достаточно большая, но конечная величина.
Следует отметить, что процедуры полного перебора
или случайного равновероятного выбора допустимых
решений из множества G обеспечивают в принципе на-
нахождение оптимального решения, однако их практичес-
практическая реализация для многих реальных задач большой
размерности является чрезмерно громоздкой и не может
быть осуществлена при практических ограничениях на
память ЭВМ и время решения.
Нас будут интересовать задачи именно такого типа,
т. е. мы предполагаем, что для рассматриваемой задачи
по тем или иным причинам не могут быть использованы
известные методы математического программирования,
обеспечивающие нахождение оптимального решения и

что размерность множества G такова, что полный пере-
перебор является нереализуемым.
В таких условиях основное значение имеют гипотезы
или эвристические предположения о наиболее перспек-
перспективных направлениях поиска, в которых можно ожидать
хорошие или оптимальное решения.
Эти гипотезы могут формулироваться человеком не-
непосредственно в процессе решения задачи или подго-
подготавливаться заранее в форме некоторых алгоритмически
реализуемых правил (эвристик), которые определяют
процедуру машинного поиска.
В первом случае задача решается в диалоговом ре-
режиме, при котором человек формулирует гипотезы о
перспективных направлениях поиска решений, а маши-
машина используется для реализации процедуры поиска и
обработки получаемых результатов. Процедура являет-
является итеративной и в процессе ее реализации человек, оце-
оценивая результаты предыдущих рекомендаций, произво-
производит уточнение выдвигаемых гипотез.
Во втором случае вся процедура поиска реализуется
машиной и участие человека определяется лишь выбо-
выбором эвристик, используемых в процессе поиска.
Перейдем к рассмотрению некоторых конкретных про-
процедур.
1. ЭВРИСТИЧЕСКОЕ ВЕТВЛЕНИЕ
В этом разделе будет рассмотрена процедура челове-
человеко-машинного диалогового поиска, при котором чело-
человек использует свои знания о решаемой задаче для оп-
определения основного направления поиска, а машина
осуществляет поиск, обрабатывает результаты и пред-
представляет человеку информацию для оценки реализуемых
гипотез и их уточнения.
Введем некоторые условные обозначения, которые нам
понадобятся для дальнейших рассуждений.
k — номер шага поиска
Gk— множество допустимых решений на к-ом шаге
Пг — число подмножеств, на которое разделено Gk
G\—i-oe подмножество множества Gk, / = 1,2, .,., r&
g*—наилучшее решение из подмножества Gik
/-—номер подмножества (при делении Gk на Gf)

И (Gi) —строгая оценка предельного значения критерия эффектив-
эффективности для подмножества Gi
Q*k — класс подмножеств G\ на &-ом шаге поиска, для которых
известны наилучшие решения
Qk — класс подмножеств G\ на &-ом шаге поиска, для которых
известен верхний предел критерия эффективности Н (Gkt)
Qk — класс подмножеств G? на k-ом шаге поиска, для которых
отсутствуют строгие оценки предельного значения кри-
критерия эффективности
g— рекорд, т. е. наилучшее решение из числа найденных на
предшествующих этапах поиска
Ф (р\) — эвристическая оценка перспективности множества Glk
т (!) — число порождаемых решений для подмножества Git
Основной смысл метода эвристического ветвления [1,
2] состоит в следующем. Пусть на некотором этапе мы
имеем несколько возможных направлений поиска (вет-
(ветвей дерева поиска). Тогда задача эксперта, осуществ-
осуществляющего поиск решения, состоит в том, чтобы указать
наиболее перспективное, по его мнению, направление
или упорядочить все возможные направления по эври-
эвристической оценке их перспективности. После этого с
помощью ЭВМ порождаются допустимые решения, при-
принадлежащие всем возможным направлениям, однако
основное внимание сосредоточивается на тех направле-
направлениях, которые эксперт считает наиболее перспективны-
перспективными. Результаты работы машины выдаются эксперту, он
их анализирует, уточняет свои предположения и проце-
процедура переходит к следующему шагу, аналогичному пре-
предыдущему. При этом предполагается существование
реализуемых алгоритмов для порождения допустимых
решений, принадлежащих заданным направлениям
поиска.
Выбор направления поиска эквивалентен выделению
некоторого подмножества из множества допустимых ре-
решений G ,и, учитывая это, мы будем описывать процеду-
процедуру поиска IB терминах подмножеств G.
Процедура эвристического ветвления состоит в сле-
следующем.
Пусть на k-ou шаге поиска множество всех допус-
допустимых решений Gk разделено на гк подмножеств G\,
8

i = \, 2,..., rk. Все подмножества Gf , (£ = 1,2,..., гл)
можно подразделить на три класса:
а). Подмножества, для которых известны наилучшие
решения g*&Gki . Класс таких подмножеств будем обоз-
обозначать Q*k.
б). Подмножества, для которых известен верхний
предел критерия эффективности //(G*)> т. е. для
которых может быть показано, что наилучшее реше-
решение g* (которое еще не найдено) имеет критерий
эффективности Н (g*i)*cH (Of ). Класс таких подмно-
подмножеств обозначим Qk.
в). Подмножества, для которых отсутствуют стро-
строгие оценки предельного значения критерия эффектив-
эффективности. Класс таких подмножеств будем обозначать Qk.
Обозначим наилучшее найденное на предшествующих
этапах поиска решение (рекорд) через g, и эвристичес-
эвристическую оценку перспективности множества G\ через
AG1).
Тогда процедуру эвристического ветвления можно
описать следующим алгоритмом:
0. Задать начальные значения: & = 1, Gk = G.
1. Разделить множество Gk на подмножества
2. Для всех подмножеств из Ql найти наилучшие
значения g*.
3. Для всех подмножеств из Qk определить H(Gf).
4. Произвести усечение множества Gk за счет от-
отбрасывания тех множеств из Gk или Gk, в которых
отсутствуют решения лучшие, чем достигнутый ре-
рекорд.
5. Оставшиеся г& подмножеств упорядочить по убы-
убыванию эвристической оценки ср (Gf ). Пусть упорядочен-
упорядоченная последовательность есть О*,, G?a,...,G?r ,,r*</v
6. Для каждого подмножества Gf.<£Ql найти с
помощью какой-либо процедуры (эвристический поиск,
случайный выбор, направленный перебор и т. д.) m(j

различных решений, причем m(jk)>m(ji), если jk<Ji-
Из найденных решений определить локальные рекорды
gt и, если необходимо, уточнить общий рекорд g.
7. Оценить целесообразность продолжения поиска и
при положительном решении увеличить k на 1.
8. Упорядочить подмножества G\. по убыванию H(gt.)
и первое подмножество из упорядоченной последова.
тельности, которое не принадлежит Q&, разделить на
rk частей. Перейти к пункту 2.
Утверждение 1. Для дискретных задач процедура
эвристического ветвления является асимптотически оп-
оптимальной.
Доказательство. Для доказательства достаточно по-
показать, что при усечении множества Gk (пункт 4 алго-
алгоритма) не может быть отброшено подмножество, со-
содержащее оптимальное решение. Это действительно так,
поскольку отбрасываются только такие подмножества,
которые не содержат решений лучших, чем уже полу-
полученные. Поэтому при сколь угодно плохой процедуре
поиска за конечное число шагов, на каждом из которых
производится деление одного из подмножеств, будет
найдено оптимальное решение.
Хотя процедура эвристического ветвления является
асимптотически оптимальной, однако ее эффективность
существенно зависит от правильности гипотез, выдвигае-
выдвигаемых экспертом. Если они правильны, то процедура дает
возможность намного сократить время поиска по срав-
сравнению с полным перебором или случайным равновероят-
равновероятным выбором. При отсутствии правильных гипотез это
улучшение достигнуто быть не может.
Если отказаться от требования асимптотической опти-
оптимальности, то поиск субоптимальных решений можно
упростить и ускорить за счет отбрасывания «малопер-
«малоперспективных» подмножеств. К числу таких подмножеств
можно отнести, например, подмножество, которое на
протяжении достаточно длительного времени поиска за-
занимает последние места в упорядоченной последователь-
последовательности, если число просмотренных элементов из этого
подмножества составляет достаточно большую часть об-
общего числа его элементов.
Метод размытых эвристик был реализован на языке
ALGOL для решения задачи о распределении сложных
10

алгоритмов на вычислительной сети [3], и полученные
экспериментальные результаты показали высокую эф-
эффективность метода на рассмотренных примерах.
2. АДАПТИВНЫЙ ПОИСК
Введем еще некоторые условные обозначения.
М—число этапов поиска допустимого решения
/—номер этапа поиска, / = 1, 2, ..., М
Sj—множество номеров координат вектора g, опреде-
определяемых на /-ом этапе
gj — подмножество координат, определяемых на /-ом
этапе, gj = fgjt, gj2, •••>gjm\ локальное решение
Gj — множество локальных решений, которому принадле-
принадлежат "gj
Nj — число локальных решений в множестве Gj
gl—/-ый элемент множества С?у, / = 1, 2, ..., ЛГу
Ts — s-я гипотеза (эвристика), определяющая целесооб-
целесообразность выбора различных локальных решений
s = l, 2, ...,*, Ts(j) = (cJsV cJs2, ...,cJsNj)
z — число различных гипотез
cJsi—компоненты вектора Ts (/), определяющая целесо-
целесообразность выбора на /-ом этапе по s-ой гипотезе
/-го решения gl, называемые локальными критериями
cJs —исходные значения локальных критериев
с? — среднее значение s-ro локального критерия на /-ом
этапе
с[ — обобщенный локальный критерий для /-го решения
на /-ом этапе
wls—весовой коэффициент для s-ой гипотезы на /-ом
этапе поиска
с* — значение локального критерия для недопустимого
решения
шаг поиска — выбор очередного решения g
этап поиска — выбор очередного локального решения gj
В общем случае один шаг тк>иска, соответствующий
выбору одного решения g\ может осуществляться в М
этапов, на каждом из которых определяется некоторое
подмножество координат g.
Обозначим множество номеров координат, определяе-
определяемых на /-ом этапе, через
и

и будем предполагать, что
U5y={l,2, ..., л}
j
Подмножество координат, определяемых на /-ом этапе,
обозначим
и будем называть /-ым локальным решением.
Примером поэтапного поиска решения может слу-
служить случай последовательного определения координат
вектора g", когда
М=п, /ю}=1, и ~gj = gir / = 1,2, ...,/г.
Будем предполагать, что на каждом этапе поиска
решения значения gf могут выбираться из конечного
множества локальных решений G;-, содержащего Nj
различных решений
В общем случае множество Gj может зависеть от
выбора решений на предшествующих этапах, т. е. от
Пусть далее для выбора локальных решений на всех
этапах может использоваться набор из z вычислимых
гипотез (эвристик), определяемых векторами Гь
Г2, ...,1%.
Значения компонент с\ вектора Ts, s=l,2, ...,г
на у-ом этапе поиска
определяют целесообразность выбора на этом этапе
i-ro решения g{.
Будем предполагать, что процедура вычисления зна-
значений cli построена так, что cJSi,>cii2, если в соот-
соответствии с гипотезой Г5 решение g/t, на у-ом этапе
поиска является более целесообразным, чем решение
g{2. Компоненты clt будем называть локальными кри-
критериями, _ .
12

Совокупность всех локальных критериев удобнб
записывать в матричной форме
где cJsi — локальный критерий, определяющий целесо-
целесообразность выбора на /-ом этапе по s-ой
гипотезе локального решения g{;
г —число гипотез;
Nj — число различных локальных решений на у-ом
этапе.
Отдельные гипотезы Г& могут иметь большую или
меньшую эффективность в зависимости от конкретных
условий решаемой задачи. Кроме того, эффективность
гипотез может различаться на различных этапах поиска.
Целью адаптивной процедуры является формирование
эффективных композиций гипотез для различных этапов
поиска решения, обеспечивающих быстрый поиск суб-
субоптимальных решений.
Общий подход, который может быть использован-^ля
построения адаптивной процедуры формирования компо-
композиции гипотез, состоит в изменении вклада различных
гипотез в общую процедуру выбора решений, в зависи-
зависимости от правильности рекомендаций, полученных из
соответствующих гипотез на предшествующих шагах
поиска решений.
Реализация этого подхода может быть выполнена,
например, следующим образом.
Будем вычислять локальные критерии £'., соответ-
соответствующие s-ой гипотезе, таким образом, чтобы
0<£Л <1, если по s-ой гипотезе выбор 1-го решения
на у-ом этапе является целесообразным;
£^<0, если выбор 1-го решения допустим, но не
рекомендуется по s-ой гипотезе;
с^ = с*>1, если выбор £-го решения недопустим по
условиям задачи.
Так, например, если исходные вычисленные значения
критерия с{. неотрицательны и убывают с ростом целе-
целесообразности выбора 1-го решения, то для вычисления
локальных критериев (У. можно использовать преобразо-
преобразования:
13

с —— с
с*= * j£, если i-oe решение является допустимым
С'
cJsi = c*, если i-oe решение является недопустимым,
где csz=zjt: 2dCsi — сРеДнее значение s-ro локального
критерия на у-ом этапе.
Обобщенный локальный критерий с{ для i-ro решения
на у-ом этапе можно определить как взвешенную
сумму z частных критериев с некоторыми весовыми
коэффициентами w^ s=l,2, .. .,г, —-I*
2dis'Cisi<> если с[^с* ни для одного значе-
НИЯ S.
cj=:c*, если хотя бы при одном значении s c^ = c*;
У=1, 2, ...
Выбор решения на /-ом этапе производится в соот-
соответствии с полученными обобщенными локальными кри-
критериями таким образом, чтобы отдавалось предпочтение
тем допустимым решениям, для которых с^ имеет боль-
большое значение. Процедуру такого выбора удобно строить
на базе метода размытых эвристик, который будет рас-
рассмотрен в следующем разделе.
После выполнения М этапов поиска полученное ре-
решение сопоставляется с достигнутым ранее рекордом и
производится модификация весовых коэффициентов.
При получении решения, улучшающего рекорд, про-
производится «положительная» модификация вектора веса,
при которой весовые коэффициенты wsj увеличиваются
на некоторую величину Aw\ для тех значений 5 и /, при
которых csii имели положительное значение для того £,
которое привело к хорошему результату, или же умень-
уменьшаются на величину Awu если значения cSij было отри-
отрицательным.
Аналогичная модификация, но с противоположным
знаком 1иожет производиться и при многократном пло-
плохом результате, т. е. при результатах, не улучшающих
рекорд. Такую модификацию будем называть «отрица-
«отрицательной». В этом случае модификация дает возмож-
возможность перейти в другую область поиска, соответствую-
14

(новой композиции используемых локальных кри-
критериев.
Указанная процедура была реализована на
FORTRAN (программа COMMY) применительно к ре-
решению задачи о коммивояжере. *
В этой программе использовались две эвристические
гипотезы о выборе направления поиска. В соответствии
с первой гипотезой локальные критерии имели тем боль-
большее значение, чем меньшее расстояние было от точки, в
которой находится коммивояжер, до анализируемой
i-ой точки. Второй критерий выбирался таким образом,
чтобы его значение csii было тем большим, чем меньше
окажется сумма всех непройденных расстояний при пе-
переходе коммивояжера из текущей точки в точку и
Раздельное изучение этих гипотез показало, что пер-
первая из них является более эффективной, т. е. обеспечи-
обеспечивает более быстрое приближение решения к оптималь-
оптимальному значению. —-
Анализ изменения весовых коэффициентов этих двух
гипотез при работе программы и использовании положи-
положительной модификации показал, что для первой гипотезы
коэффициенты растут значительно быстрей, благодаря
чему основное влияние на выбор решений приобретает
первая гипотеза.
На рис. 1 показано изменение весовых коэффициентов
при поиске решения для задачи о коммивояжере при
25 точках [4] с помощью упомянутой выше программы
COMMY. Этот пример показывает, что в результате
процедуры адаптации влияние первой (более эффектив-
эффективной) гипотезы значительно возросло. Если сначала ве-
весовые коэффициенты имели одинаковое значение (рав-
(равное 0,1), то уже после нескольких шагов поиска они ста-
стали отличаться почти в четыре раза. Вместе с тем, сле-
следует отметить, что для некоторых точек пути вторая ги-
гипотеза на протяжении всего поиска имеет большие ве-
весовые коэффициенты, чем первая, что свидетельствует
о том, что наиболее эффективный поиск можно ожидать
при использовании соответствующей композиции
гипотез.
* Отладка и экспериментальное изучение программы проводилось
совместно с Е. И. Третьяковой.
15

2 3 ^567891
2 б 4 567851
3 4 5 6 7 8 S 10
0,8
0,6
fDO
Рис. 1. Изменение весовых коэффициентов в процессе адаптивного поиска:
k число шагов, w — среднее значение весовых коэффициентов

3. РАЗМЫТЫЕ ЭВРИСТИКИ
Введем условные обозначения, которые будут приня-
приняты в настоящем разделе.
d (/, /)—расстояние между решениями*
соответствующими выбору пунк-
пунктов i и /
гki —расстояние от текущей (&-ой точ-
точки) до точки /
ds (gj , gj ) —расстояние между решениями gj
и gj по s-ой гипотезе
c*si —ближайшее расстояние на /-ом
0 этапе по гипотезе Ts
G^s — подмножество множества локаль-
; ных решений, отстоящих от бли-
ближайшего локального решения
на расстоянии не большее, чем А
(Л—окрестность ближайшего ло-
локального решения)
р = (ри р2, . ..,/?Л)—локальное распределение
р.— элемент преобразованного локаль-
локального распределения
р0—порог ограничения
Ртах — максимальный элемент р;,
/ = 1,2, ...,7V
Р%—сумма элементов преобразованно-
преобразованного распределения
L—коэффициент сжатия Л—окрестности
£ — область
Si — участок области S,i = 1, 2, ..., п
mi — число цветов для раскраски /-го
участка
Rt =fr{ j, r t 2, ■.., f"i m. X—множество красок, использовав*
k ^ k k k l k> щихся на участке \и
Rg — суммарное множество всех исполь-
использованных красок
m2 — число всех использованных красок
г|у —коэффициент потребности в за-
закраске для участка Sy
Zj — количество красок, запрещенных
для использования на участке Sj
jij — процедура выбора очередного
участка для раскраски
\х2 — процедура выбора красок для
раскраски очередного участка
Wj — множество красок, запрещенных
для использования на участке Sj.
п—общее число участков
17

Эвристические методы поиска решений имеют оснбЁ*
ное значение в задачах большой размерности при не-
неполной информации и отсутствии реализуемых методов
строгого решения.
Условно можно выделить два типа эвристик:
1) эвристики, отсекающие малоперспективные области
поиска;
2) эвристики, порождающие перспективные направ-
направления поиска.
В первом случае для определения перспективной об-
области поиска необходимо рассматривать всю возмож-
возможную область поиска, ограничивая ее эвристическими
правилами. Эвристики второго типа не требуют анализа
всей области возможных решений для выделения пер-
перспективного направления поиска, благодаря чему
их применение при решении задач большой размер-
размерности может быть более эффективным, чем использова-
использование эвристик первого типа.
При дальнейшем рассмотрении под понятием «эври-
«эвристика» будет подразумеваться эвристика второго типа.
Так как эвристики не являются строгими правилами,
в общем случае отсекаемая ими область решений может
содержать оптимальное решение задачи, что приводит
к тому, что в таких условиях оптимальное решение иск-
исключается из области поиска, т. е. поиск не является
асимптотически оптимальным.
В ряде случаев эвристические процедуры поиска при-
приводят к единственному решению. В таких условиях эф-
эффективность эвристик существенно зависит от конкрет-
конкретной задачи, и получаемое решение может существенно
отличаться от оптимального.
Целью настоящего раздела является описание асимп-
асимптотически оптимальной процедуры эвристического поиска
решений в дискретных задачах, в основу которой поло-
положена замена жестких эвристических процедур поиска ме-
менее строгими, размытыми рекомендациями о концентра-
концентрации поиска в направлениях, определяемых эвристиками
[Б].
Для реализации этого подхода используется процеду-
процедура контролируемого расширения (размывания) области
поиска, определяемой эвристиками, причем степень раз-
размытости может изменяться в зависимости от ограниче-
ограничений на время поиска и других факторов.
18

Для дальнейшего изложения нам потребуется исйоЛЬ*
зовать меру близости или расстояние между локальны-
локальными решениями. Это расстояние может быть определено
различными способами, и нас будут интересовать такие
правила его определения, при которых мера расстояния
учитывает степень соответствия локальных решений не-
некоторой эвристической гипотезе.
Приведем пример. Пусть в задаче о коммивояжере
для выбора локального решения используется эвристика
перехода в ближайшую точку. Тогда расстояние между
локальными решениями будет тем меньше, чем меньше
разница расстояний от соответствующих этим решениям
точек до текущей точки. Другими словами, если расстоя-
расстояние от пункта &, где находится коммивояжер, до точек
i и / равно rki и rkj, соответственно, то расстояние по
данной гипотезе между локальными решениями, соот-
ветствующимд-выбору пунктов i и j будет равно
d(i9 j) = \rki—rkj\.
В общем случае, если целесообразность выбора
на у-м этапе решений git и gJk по гипотезе Г3 опреде-
определяется локальными критериями cJsi и cJsk, соответствен-
соответственно, то расстояние между локальными решениями g^
и gJfc по гипотезе Г3 будем определять как
Лока льное решение gj будем называть ближайшим
по гипотезе Г,, если для любых /, 1
Будем называть Д-окрестностью ближайшего локаль-
локального решения g{ по гипотезе Г*, такое подмножество
Gj множества локальных решений Gj, для всех эле-
элементов которого gf выполняется условие
Аналогичным образом можно определить и А-окрест-
ности некоторого подмножества О0 локальных решений,
2* 19

если дополнить его всеми элементами gj из Gy., для
которых
В дальнейшем термином А-окрестность будем опре-
определять как окрестность ближайшей точки, так и не-
некоторого подмножества, включающего ближайшую
точку.
Теперь перейдем к некоторым методам расширения
области решений.
Детерминированное расширение
В этом случае величина А на каждом этапе поиска
решения выбирается таким образом, чтобы А-окрест-
А-окрестность содержала некоторое заданное число точек. Про-
Процедура поиска субоптимальных допустимых решений
состоит в анализе всех допустимых решений, в которых
локальные решения выбираются из Д-окрестностей.
При наличии времени для поиска решений А-окрест-
А-окрестность может последовательно расширяться.
Реализация процедуры поиска решений при детерми-
детерминированном расширении требует последовательного
анализа допустимых решений и хранения в памяти
информации о просмотренных вариантах. В некоторых
случаях эти условия могут оказаться неприемлемыми
из-за чрезмерных требований к объему памяти. Для об-
облегчения этих требований можно использовать процеду-
процедуру случайного выбора локальных решений из Д-окрест-
Д-окрестностей.
Вероятностное расширение
В этом случае каждому локальному решению gV при-
приписывается вероятностная мера p(gij), для которой
справедливо:
2. p{g[)>p{g{), если d(g{o,g{)<d(gl, g{), g/,
20

При такой процедуре на каждом этапе поиска строит-
строится локальное распределение, и локальное решение выби-
выбирается случайно, в соответствии с этим распределением.
Для расширения или сужения области выбора локаль-
локальных решений, что эквивалентно расширению или суже-
сужению А-окрестности, можно осуществлять преобразова-
преобразования локальных распределений.
Приведем некоторые примеры возможных преобразо-
преобразований.
Пусть на некотором этапе поиска локальное распре-
распределение имеет следующий вид
Р=(ри Р2, . .., Pn).
Тогда для изменения А-окрестности можно использовать
преобразования:
еСЛИ Pl>Po
О, если pt<pQ,
где pQ — пороговое значение, 0</?0</?х
Ртах — максимальное значение pt, 1= 1, 2, ..., N,
?тах,
При первом преобразовании А-окрестность сужается
по мере увеличения ро и может сходиться к единствен-
единственному решению при ро — ртах-
Во втором случае А-окрестность сужается при увели-
увеличении L и расширяется при уменьшении L, включая при
L — 0 все локальные решения с одинаковыми вероятнос-
вероятностями выбора.
Процедура поиска может осуществляться с последо-
последовательным уменьшением L, т. е. с последовательным
расширением Д-окрестности.
Утверждение 1. Метод поиска решений на базе раз-
размытых эвристик в дискретных задачах с последователь-
последовательным расширением А-окрестности является асимптотичес-
асимптотически оптимальным.
21

Доказательство. При расширении А-окрестности ог-
ограничения, наложенные эвристическими гипотезами, со-
сокращаются, и область поиска обязательно будет содер-
содержать оптимальное решение. При дискретных перемен-
переменных число допустимых решений является конечным, а,
следовательно, оптимальное решение будет найдено за
конечное число шагов.
Следует отметить, что эффективность поиска, т. е.
скорость приближения к оптимальному решению, су-
существенно зависит от выбора эвристических гипотез,
однако, даже при самом неудачном выборе метод раз-
размытых эвристик гарантирует нахождение оптимального
решения за конечное число шагов. Обычные процедуры
эвристического поиска, основанные на строгом ограни-
ограничении области поиска, такой гарантии не дают.
З'адача о коммивояжере
Метод размытых эвристик был реализован в одной
из модификаций, упоминавшейся ранее программы
COMMY.
Приведем некоторые экспериментальные результаты,
полученные при использовании метода размытых эврис-
эвристик для задачи о коммивояжере.
Для изменения степени размытости эвристической про-
процедуры поиска по обобщенным локальным критериям
использовалось вероятностное расширение второго типа
с переменным значением L.
На рисунке 2 показаны результаты работы програм-
программы, базирующейся на указанных принципах, для задачи
о коммивояжере при 25 пунктах [4].
По оси абсцисс отложено время, затраченное на поиск
(или количество шагов поиска), а по оси ординат —
критерий эффективности решения, т. е. длина пути.
Верхняя волнистая линия определяет приведенные в
[4] результаты, получаемые при равновероятном слу-
случайном выборе пути, а нижняя заштрихованная область
определяет нижний предел, соответствующий предпола-
предполагаемому оптимальному результату [4].
Ломаные линии показывают последовательности при-
приближения к оптимальному результату при различной
степени размытости эвристик, которая характеризуется
параметром L.
При больших значениях L эвристические правила ис-
используются для достаточно сильного ограничения

:зоо
300
zoo
I
L
ГД L=3
L=1
L=21
ТЩХХХ—XXXXMXXXfr
L=31
170-8
7
Предполагаемый минимум A711) [Heed-621
I i i i i
\JJ63
111II1111111 i
IIII11II111111
бремя
поиска
18 14 30 35 41 ЧЬ 5k 1мин
1 10
Ц- 5 6 7 8 9 10 10 30 kO 50 60708090160шн
100 100 1000 uiazob
Рис. 2. Результаты работы программы COMMY при различной степени размытости эвристик:
X — характеристика размытости, CD — субоптимальное динамическое прог раммстрехвание, х— повторяющиеся результаты

поиска, и в этом случае имеют место повторяющиеся
одинаковые результаты (отмечены крестиками).
При большей размытости эвристик (меньшие значе-
значения L) начальный участок кривой является пологим,
однако, через некоторое время программа достигает
лучших результатов, чем те, которые были получены
при больших L.
Очевидно, для каждого отрезка времени поиска Т
существует оптимальное значение L, обеспечивающее
наилучшие результаты. Так, в частности, для данного
примера при затратах времени равных 1 мин наилуч-
наилучший результат обеспечивается при слабой размытости
эвристик (L = 31), для 7"= 10 мин наилучший результат
обеспечивается при L = 21, а для Г = 60 мин — при
L-3.
Задача о многоцветной раскраске *
Пусть имеется некоторая область 5, разбитая грани-
границами на участки 5Ь 52, . .., Sn.
Для раскраски i-го участка используется т% цветов
(i=l, 2, ..., п), причем на участках, имеющих общие
границы хотя бы в одной точке, все цвета должны быть
различными. Необходимо так распределить цвета между
участками, чтобы общее число различных использован-
использованных цветов на всей области 5 было бы наименьшим.
Рассмотрим алгоритм построения класса субопти-
субоптимальных решений, использующий метод размытых
эвристик (рис. 3).
Процедура поиска состоит в следующем:
На первом этапе (k=\) выбирается начальный
участок Sir В качестве Sit удобно выбирать участок,
для закраски которого требуется наибольшее количест-
количество красок.
Пусть для S[Y требуется тч красок, с номерами
определяемыми множеством
^, = {1,2,...,/^}.
Множество всех использованных красок будем обо-
обозначать /?2, а число элементов в этом множестве —
| /?s | = Шъ- После первого этапа Rx = Ruj m^ = mi^
* Постановка задачи применительно к распределению радиочастот
была сформулирована Р. Р. Бурстином (R. R. Boorstyn) в частной
беседе на советско-американском рабочем совещании по теории ин-
информации (Москва, декабрь 1975 г.)-
24

Начало
Выбрать начальный
участок SiK для к=1
Определить RiK, тгцК
X
Определить Rz и mz
Определить для 5сez неза-
незакрашенных участкоб смеж-
смежных с SiK коэффициенты
Я] и zj
Г к=к+1
Используя процедуру ja 1,
Ьыдрать участок ъ[к для
закраски
Восстановление
начальных
значений
ВВести
дополнительных красок
уточнить Rl и т^
Запоминание
результатов
нет
По процедуре juz 5ы5рать
краски для участка SiK
лучш.е
Сраоиеииь
полученных ре-
результатов с
рекор
дом
цен к а
целесообразности
продол же-
ШЯ- нет
Рис. 3. Субоптимальный алгоритм раскраски
Для всех участков, смежных с 5^, множество /?г-
определяет запрещенные краски. Число запрещенных
красок для этих участков равно
25

Незакрашенные участки, смежные с закрашенными,
будем называть помеченными участками.
Для всех помеченных участков определяется локаль-
локальный критерий y\ir который определим таким образом,
чтобы его величина возрастала с увеличением
Согласно этому критерию, при выборе области для
закраски отдается предпочтение в первую очередь тем
областям, которые плохо обеспечены резервом красок,
поскольку закрашивание соседних участков может при-
привести только к ухудшению возможности их закраски.
Процедуру jlxi выбора очередного участка для закраски
удобно строить на базе метода размытых эвристик.
После выбора из помеченных участков нового участ-
участка для закраски, Sik, определяется возможность его
закраски уже использовавшимися красками.
Если mz—Zik>niik, то это возможно; если же
kk то множество /?s необходимо дополнить
triik — trvz-\-Zik новыми красками.
Для случая, когда т^ — Zi =triik, выбор красок для
Stk является однозначным.
Если же пьъ — z^k^>1Uik' T0 кРаски можно выбирать
различными способами. Для реализации процедуры
выбора красок для очередного участка \i2 можно также
использовать метод размытых эвристик, отдавая пред-
предпочтение, например, тем краскам, которые запрещены
на возможно большем числе смежных участков. Могут
применяться и другие эвристики для выбора красок,
например, основанные на предпочтении тех красок,
которые применялись на близких участках. После рас-
раскраски участка Sik ддя всех смежных с ним участков
Si. значение z-t. увеличивается на mik и выбирается
новый участок для раскраски.
По окончании раскраски всех участков при удовлетво-
удовлетворительных критериях оценки целесообразности продол-
продолжения поиска решения вся процедура повторяется. При
этом, если полученный на данном этапе результат улуч-
улучшает рекорд, то запоминаются новые результаты и уточ-
уточняется рекорд. Значение рекорда определяется наимень-
Ш

шим достигнутым значением /п2 при полной раскраске
всей области.
Пример.
Рассмотрим приведенную процедуру на конкретном
простом примере, показанном на рис. 4. Вся область раз-
о
©
©
©
©
©
©
10
©
Рис. 4. Пример задачи о многоцветной
раскраске
бита на 16 участков, число красок, которое требуется для
каждого из этих участков записано в углах соответству-
соответствующих квадратов.
При выборе начального участка будем отдавать пред-
предпочтение участкам, требующим большого числа красок.
Пусть ii=ll, для которого тп = 9.
В этом случае множество номеров красок Ri, = Ru =
= {1, 2, ..., 9}
Значения ijy и Zj для участков, смежных с оп по-
показано на рис. 5.
Пусть на втором этапе выбран квадрат с наименьшим
т]у, т.е. квадрат 6, для которого ^6=7. Для этого
квадрата tfZs—г6—ягб=—7, т. е. необходимо в R^
ввести семь дополнительных красок.
Следовательно Rz будет включать краски с номерами
#2-{1,2,..., 16},
и область раскраски приобретает вид, показанный на
рис. §.
27

ьл,-
4=9
Ч10=5
[1Л,-,
ил,...
,9}
9]
9}
4l=5
ьл,...,
г-,-9
Ъл,.,
9]
?' ^
il;
9}
Is
[Л2,...,
[1Л
hi..,
9]
9]
9}
=f',2, .,3]
Рис. 5. Пример при k=\ (В квадратах показано:
номера запрещенных красок — в квадратных скоб-
скобках, номера использованных красок — в рамке)
77~ j + 7 ~~ 70 ~
7i=l+7-16=
4 = 3 + l-16=
W////////,
/\19,11у..,щ;
/ /
ц=5Ч6-16=
4=!t+9j16-
77 = 5+ 16-16=
= 5
mm.
71=6+9-15 =
4=3+9-16=
71=1+9-16=
=-6
ц=2+9-16=
Рис. 6. Пример при k = 4

Дальнейшие преобразования показаны па рисун-
рисунках 7—8, а итоговые результаты — на рис. 9.
Следует отметить, что полученное решение является
оптимальным, поскольку для раскраски четырех взаимно
соприкасающихся квадратов 6, 7, 10, 11 необходимо
иметь в точности 26 различных красок.
Это дает основание надеяться, что рассмотренная
субоптимальная процедура будет давать удовлетвори-
удовлетворительные результаты и для более сложных задач.
-9
-11
-7
-6
ш
5
-8
-г
S3;
/ / / / / /
41,21 W
-6
4=10+5-
-21=-6
-h
-6
-10
-п
-11
-7
4=5+5-28
=-16
-11
'/'Ъ"'.
/
v/ / / // /■
-8
-6
-11
-9
-11
-15
-1k
-11
-7
-11
-1
У2л
-11
-5
-
-11
-3
-«
pi
'/yy/y/t
щ
-7
11
'ЗА
-9
-s
Рис. 7
29

-n
-5
U, 7
-5
-11
-11
-5
-9
-11
-5
-9 -7
-11
-9
-5
-9
-11
ж
ш
8,...Д#|;
-9
ш
ш
У/////
-7
ш
щ
-11
-9
-5
-9
-11
11
ш
ш
-9
ш
уУУ
уШу/
м
-7
ш
ж
41
-8
\ w \
-8
8,9
Рис. 8
10,...,1В
\11 IE
10
8,9,
23,..., 25
10
JL
11,11
Рис. 9. Пример после окончания

4. СУБОПТИМАЛЬНОЕ ДИНАМИЧЕСКОЕ
ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Введем условные обозначения, которые будут приня-
приняты в настоящем разделе.
С—матрица расстояний между городами
Cij—расстояние между городами / и /
ntt-i @. *i, *2» •••»*£)—перестановка, соответствующая кратчай-
кратчайшему пути от города 0 до города k, про-
проходящему через города iu i2,...,ik-i
в произвольной последовательности
fk-i @, *i, *2i* ••»£&)—длина пути, соответствующего перестанов-
перестановке ял-! (О, «!, «а «л)
л>*@, iu i2, • • • .«л, 0)—перестановка, соответствующая оптималь-
оптимальному пути
Р#—сложность вычисления на &-ом этапе
Qk — требуемый объем памяти на &-ом этапе
Sk-i @, ilt i2, ik)—субоптимальный маршрут от пункта 0 до
пункта ik
zD> h)—длина субоптимального пути в маршруте
Sk-i @, /i, i2 ik) от пункта /у до
ljlk
ц c2i с — константы
Л—множество непройденных точек
d — грузоподъемность ранца
dj—вес единицы /-го груза
xj—искомое количество единиц /-го груза, по-
помещаемого в ранец
cj—ценность /-го груза
И (х)—максимальный эффект, который может быть
получен на &-ом этапе заполнения ранца
грузоподъемностью х
dk—объем груза, помещенного в ранец на
&-ом этапе
п2—процедура исключения из ранца некоторых
наборов груза
ik—номер анализируемого на &-ом этапе груза
£ = 1.2,....л
п—число различных грузов
ях—процедура выбора номера груза, анализи-
анализируемого на очередном этапе
хь —анализируемое значение количества /-го
груза (начальное значение xi нач ==0)
(xi ) —критерий эффективности при данном коли*
честве xt груза ik
Hk—наилучшее найденное значение критерия
эффективности при k грузах (начальное
значение Hk = 0)
31

-наибольшее возможное значение количества
груза /*, ~х.
>~кг
Основные идеи динамического программирования,
разработанного Р. Беллманом, состоят в использовании
частичной последовательной оптимизации на возраста-
возрастающих областях поиска решения. Область поиска пред-
представляется в форме последовательности вложенных
друг в друга возрастающих областей. При этом процесс
поиска экстремума функции п переменных заменяется
n-шаговым процессом поиска экстремума функции од-
одной переменной [6]. Хотя динамическое программиро-
программирование основывается на очень простых принципах, его
практическое применение является весьма сложным.
Эта сложность связана не только с тем, что отсутству-
отсутствуют достаточно общие алгоритмы, применимые для за-
задач различных классов, но и с очень быстрым ростом
объема памяти и количества вычислений при увеличе-
увеличении размерности задачи. На сложность решения силь-
сильно влияют число переменных и число значений, кото-
которые они могут принимать.
Кроме того, в процессе решения задачи в памяти
ЭВМ необходимо хранить большое число промежуточ-
промежуточных результатов, что также сильно ограничивает воз-
возможности применения динамического программирова-
программирования для решения реальных практических задач [7J.
Аналогичный вывод приводится и в работе [6]. Оцени-
Оценивая возможность применения алгоритма Беллмана для
задачи о коммивояжере, автор отмечает, что хотя этот
метод позволяет за п шагов получить оптимальный
маршрут через п пунктов, однако, количество вычисле-
вычислений и требуемый объем памяти делает нецелесообраз-
нецелесообразным его применение при больших п.
Целью настоящего раздела является поиск путей со-
сокращения вычислений и объема требуемой памяти бла-
благодаря переходу от поиска оптимального решения к
поиску субоптимальных решений, последовательно при-
приближающихся к оптимальному по мере увеличения вре-
времени поиска.
Общий подход будет излагаться на примере конкрет-
конкретных задач, в частности, задачи о коммивояжере и зада-
задачи о ранце.
32

4.1. Задача о коммивояжере
Задача состоит в следующем. Имеется п+\ город,
расстояния между которыми определяются матрицей.
Необходимо найти кратчайший замкнутый путь, кото-
который проходит через каждый город один раз.
Оценка сложности решения методом динамического
программирования
Базируясь на методе решения задачи о коммивояже-
коммивояжере, изложенном в работе [6] приведем краткое описа-
описание алгоритма и данные о сложности его реализации.
Будем использовать следующие обозначения:
^_i@, iu h,- • -А) — перестановка, соответствующая
кратчайшему пути от города 0 до
города ik, проходящему через го-
города 1Ъ /2>---Л-1 в произвольной
последовательности;
/^~i@, h, h,- • -А) — длина пути, соответствующего
перестановке -^^„1 @, iu j2>---A)-
Тогда алгоритм динамического программирования для
поиска оптимального пути тгл @, iu i2,-. .,£л, 0) состоит
в следующем.
0. Вычислить функции
/0@, i) = cQh i = T7n
1. Вычислить
Вычислить
Л@, 1Ъ1Ъ. ..,/Л+1) =
+
Для каждого значения /^@, iu-.-Zh+i) запоминается
оптимальная перестановка ък @, iu.. .,ik+i)-
п. Вычислить
/л@, 1,2 /г, 0) = min {[/л-1 @,2,.. „л, 1) + ^0],
3—9968 33

[Л_1@,1,3,...л, 2) = £20],...
. ..ДЛ-i @,1,2,. ..,/г-1,/г)+ *„<>]}.
Сложность вычислений на каждом этапе определяется
величиной [6]
Следовательно, общее количество вычислений на п
этапах 0,1,- - -»л— 1 равно
Требуемый объем памяти для вычисления Pk состав-
составляет [6]
Следовательно, необходимый объем памяти, соответ-
соответствующий максимальному Qk, составляет
1)/2+\ при нечетном п
\ w/2+i9 при четном /г.
Учитывая, что при нечетном п
а при четном /г
можно записать
п (^ + "~^т) С{£-1I21 ПРИ нечетном /г
ах" 2/гС^2)/2, при четном /г.
Для больших /г, используя формулу Стерлинга, можно
показать, что
где С — константа.
Как видно из приведенного рассмотрения, объем вы-
вычислений и требуемая память очень быстро возрастает
с увеличением п, что и является основным ограничением
для поиска оптимальных решений методом динамиче-
динамического программирования.
34

Субоптимальный алгоритм
Рассмотрим некоторые подходы к сокращению
ма вычислений и требуемой памяти за счет отказа от
поиска оптимального решения и перехода к порожде-
порождению последовательности субоптимальных решений.
Пусть перед началом £-го этапа выбора пути опреде-
определен набор пунктов i0, i\, .. ., iV-i и указан субоптималь-
субоптимальный маршрут движения от исходного пункта iQ до пунк-
пункта ik-u скажем,
Пусть далее у нас имеется некоторая процедура вы-
выбора &-го пункта, включаемого в маршрут на k-ош эта-
этапе. (Некоторые подходы к построению этой процедуры
будут рассмотрены ниже).
Тогда процедура порождения субоптимального пути
Sk может быть определена следующим образом.
Найдем
-..,[гA0, h-ti + ci^]},
где z(ij, iL) — длина субоптимального пути в vS^_x (t0,
*ъ ---I h-\) от пункта ij до it, J<L
Пусть минимальное значение fk (i0, iu ..., ik) соответ-
соответствует перестановке
Sh(h, iu • - • > Ь'> ^> Ь'+ь • • • > ^-i)>
тогда эта перестановка и является результатом поиска
субоптимального пути на й-ом этапе.
При таком подходе мы сохраняем «хорошие» участки
пути, которые были определены на предыдущих этапах
поиска, в частности, между точками io и ij и между
точками ij+i и iV-ь Путь, построенный в результате та-
такого подхода может рассматриваться как субоптималь-
субоптимальный.
Для найденного пути можно применить также метод
локальной оптимизации, основанной на поиске сокраще-
сокращения длины пути за счет некоторых перестановок пунк-
пунктов маршрута.
Оценим сложности 6 вычислений и объем требуемой
памяти при рассмотренном подходе. Число вычислений на
k-оы этапе, связанное с оценкой /& при различных поло-
3* 35

Жениях ihy пропорционально ky т. е. равно c\k, числб
этапов вычисления равно п. Число вычислений, связан-
связанных с выбором нового элемента, вводимого в последо-
последовательность, будем считать пропорциональным числу
элементов, которые на данном этапе еще не включены в
последовательность, т. е. на й-ом этапе
c2(n+\-k). ■—
Следовательно, суммарный объем вычислений равен
4=1
Сл + Со
где с = —g константа.
Другими словами, рост числа вычислений пропорцио-
пропорционален примерно п2 + п, т. е. количество вычислений ра-
растет с увеличением п значительно медленней, чем в слу-
случае поиска оптимального решения.
Дополнительная память для хранения промежуточ-
промежуточных результатов практически не требуется.
Таким образом, общая идея поиска нового субопти-
субоптимального решения состоит в следующем. Если некото-
некоторая последовательность Sk-i=(io, i\, •••> h-i) счи-
считается субоптимальной, т. е. «хорошей», то можно счи-
считать, что и любые ее подпоследовательности, получае-
получаемые делением Sk-\ на две части, являются «хорошими».
Локальная оптимизация при включении в последова-
последовательность Sk-i новой точки ik заключается в выборе та-
такого положения ik между двумя подпоследовательностя-
подпоследовательностями Sk-i, при котором суммарный путь является наи-
наименьшим. Естественно, что этот локальный оптимум
может не совпадать с глобальным, однако, мы предпо-
предполагаем, что получаемые таким образом новые последо-
последовательности являются «хорошими», т. е. получаемые
новые решения являются субоптимальными.
Рассмотрим теперь некоторые подходы к выбору
новых точек для включения в последовательность,
обеспечивающие построение класса субоптимальных ре-
решений.
Пусть мы имеем некоторые эвристики, с помощью ко-
которых мы может выбрать «хорошие» кандидаты для
35

включения в последовательность на базе анализа неко-
некоторых локальных критериев.
Примером таких критериев для задачи о коммивояже-
коммивояжере может служить, в частности, расстояние от последней
точки построенного пути к каждой непройденной точке.
В качестве эвристической гипотезы можно рекомендо-
рекомендовать переход в ближайшую точку. Для выбора канди-
кандидатуры на включение в последовательность при исполь-
использовании такой эвристики на каждом этапе требуется
объем вычислений, пропорциональный числу непройден-
ных точек.
Другим примером может служить эвристика, опреде-
определяющая выбор точки ik, удовлетворяющей условию
Л (*<ь iu • • • 1 h) = min min {z (i0, ij) +
*вА i
где А — множество непройденных точек.
ij — позиция в построенной последовательности, после
которой располагается оцениваемая точка 4
0</<&—1.
Объем вычислений в этом случае пропорционален про-
произведению числа позиций, на которых может распола-
располагаться оцениваемая точка в последовательности, на чис-
число возможных оцениваемых точек, т. е. на число не-
непройденных точек.
На k-ou этапе объем вычислений равен
ck(n—k+l).
Общий объем вычислений в этом случае составит
Пользуясь методом размытых эвристик при выборе
очередной кандидатуры для включения в строящийся
путь можно порождать класс субоптимальных решений
и последовательно приближаться к оптимальному реше-
решению. Основным достоинством такого подхода является
отсутствие необходимости в дополнительной памяти для
хранения промежуточных результатов.
Рассмотренный выше метбд субоптимального динами-
динамического программирования был реализован на одной из
37

модификаций упоминавшейся ранее программы
COMMY.
В этом случае очередной пункт для включения в стро-
строящийся путь выбирался методом размытых эвристик с
использованием рассмотренных эвристических гипотез.
После выбора очередного пункта в строящемся суб-
субоптимальном пути находили локальный оптимум для вы-
выбранного пункта.
В остальном, программа соответствовала алгоритму,
описанному в разделе 3.
Полученные результаты показаны на рис. 2 пунктир-
пунктирной линией. Они свидетельствуют о том, что субопти-
субоптимальное динамическое программирование может яв-
являться достаточно эффективным средством при реше-
решении оптимизационных задач.
4.2. Задача о ранце
Постановка задачи о ранце состоите следующем [6J.
Ранец грузоподъемностью d может быть заполнен набо-
набором из п различных грузов /=1, 2,. .. , п. Единица /-го
груза весит uj и обладает ценностью cj. Необходимо
выбрать такое количество помещаемых в ранец грузов
Xj, /=1, 2,. . . , п, при котором их суммарная ценность
является максимальной.
Математическая формулировка задачи может быть
записана следующим образом:
Найти максимум функции
в области G, определяемой условиями
4x,<d
ху>0, целые, j = 1, 2, ..., п. .
При использовании" метода динамического програм-
программирования поиск решения задачи сводится к последова-
последовательной оптимизации значений Xj, /=1, 2, ..., п с ис-
использованием рекурентного соотношения
0<rjrA,<| —
38

где Hh(x)—максимальный эффект, который может
быть получен на й-ом этапе заполнения ранца грузо-
п(?дъемностью х.
Процедуру поиска субоптимальных решений можно
описать следующим образом.
Пусть мы имеем некоторую процедуру кг для выбора
на k-ou этапе очередного груза (кандидатуры) для
анализа целесообразности его помещения в ранец (она
будет рассмотрена ниже). На k-ou этапе ранец грузо-
грузоподъемностью d. содержит k — 1 груз в количестве
k—1
xtl, х12, ..., Xtki при условии, что dk = ^Xijai.Kd,
причем, d — dk<aikli.
Пусть далее мы имеем процедуру я2 исключения из
ранца некоторых наборов груза за счет уменьшения хи
х2, .. ., xk-i для замены их й-ым грузом (эта процедура
также будет рассмотрена ниже).
Тогда алгоритм поиска субоптимального решения мо-
может быть построен как показано на рис. 10.
На первом этапе поиска (k=l) ранец является
пустым. По процедуре т:г выбора кандидата для рас-
рассмотрения определяется номер ix груза, помещаемого
в ранец на первом этапе. Начальное количество груза
ik, определяемое величиной xlk, принимается равным 0.
Значение xifz увеличивается на 1 (процедура тг2) при
незаполненном ранце не реализуется и анализируется
изменение критерия эффективности
Далее величина х1х сравнивается с предельным значе-
значением х%х количества груза iu которое может быть
помещено в ранец: дг/1= — и, если возможно, то x-tx
Yui, J
увеличивается на 1. После заполнения ранца грузом ix
значение k увеличивается на 1 и по процедуре тсг
выбирается следующий груз i2 и т. д.
Суть процедуры тг2 состоит в уменьшении количества
грузов ii,...,ik_i на такую величину, что появится
возможность загрузки груза ik в количестве dik-Xik.
Предполагается, что процедуры ^ и тс2 не являются
однозначными, т. е, при различных их реализациях при
39

<0
Конец
(Начало
±
Выбор 1К по
процедуре тс^
±
Jl
Вы5ор из ранца. на5о-
роЬ груза по процедуре
тсг. Формирование
Т •
Оценка.
целесообразности
продолжения поиска
при данном
Оценки ^
целесообразности,
подторения
Восстановление
начальных
значений
к - 1
Рис. 10. Алгоритм субоптимального динамического программирова-
программирования для задачи о ранце.

данных ik и Xik они могут давать различные значения,
и это обеспечивает возможность оценки различных
вариантов. При этом процедуры т^ и ти2 должны
строится таким образом, чтобы порождать хорошие
решения.
Рассмотрим их более подробно, используя для их
построения метод размытых эвристик. В качестве кон-
конкретных эвристических гипотез можно, например, ис-
использовать:
Для процедуры щ:
При выборе очередного груза отдавать предпочтение
грузам с высокой удельной эффективностью, т. е. с вы-
высоким отношением а/п{.
Для процедуры Я2*.
При выборе номера груза для уменьшения его коли-
количества в ранце отдавать предпочтение грузам с малой
удельной эффективностью, т. е. с низким cjui.
Сущность процедуры Я1 состоит в выборе номера гру-
груза ik, который будет анализироваться на k-ou шаге. Ес-
Если метод размытых эвристик реализуется с использова-
использованием вероятностного расширения, то при вычисленном
распределении выбор кандидатуры осуществляется в
один шаг.
Процедура тс2 состоит в уменьшении загрузки ранца
за счет уменьшения некоторых величин из х^
Xi2, ..., Xtk_x на такую величину, чтобы результирующее
свободное место в ранце (включая имевшуюся недо-
недогрузку) было бы не меньше, чем xik-aik. Она может
реализовыва1ъся последовательным выбором кандида-
кандидатуры на уменьшение it и уменьшением Xtl на некото-
некоторую величину, например на 1. Если освободившееся
место не удовлетворяет поставленным условиям,
производится выбор следующей кандидатуры на умень-
уменьшение и т. д.
Если предположить, что при данном k осуществляется
только одна реализация загрузки, то количество опера-
операций, требующееся для поиска одного субоптимального
решения на &-ом этапе — пропорционально сумме числа
шагов по уменьшению загрузки ранца, реализуемых про-
процедурой jt2 при различных значениях
Xik (Xik = 1» 2, ..,, Xi^j.
41

При данном Xik число шагов по уменьшению загрузки
ранца не может превышать xik-aifi/am{a, где ат{п —
наименьший объем единицы груза.
Следовательно суммарный объем вычислений
дтах
где хтах — максимальное значение xih, равное d/amin
Если хтдх>1, то, с учетом xmax = d/amin, можно
записать оценку для предельного количества вычислений
—2
Q <^п Xmax amax nd2amax
су о •
Следовательно, объем вычислений для нахождения од-
одного субоптимального решения возрастает линейно с
увеличением числа грузов. Память для хранения про-
промежуточных решений не требуется.
5. НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТА
В заключение приведем краткие данные для задачи о
коммивояжере, характеризующие некоторые из рассмот-
рассмотренных выше алгоритмов, реализованных в программе
COMMY и ее модификациях.
Эти данные позволяют сравнивать алгоритмы по кри-
критерию \nj, приведенному во вводной части.
При случайном равновероятном выборе решений (ал-
(алгоритм а0) затраты в четырех экспериментах с различ-
различными начальными условиями по 3240.106 машинных опе-
операций C240 ММО) каждый не привели к результату, луч-
лучшему при Я* = 3463. При использовании метода размытых
эвристик и гипотезы предпочтения ближайших точек (ал-
(алгоритм ai) после первого шага, на который затрачива-
затрачивалось 1,5 ММО, в пяти экспериментах были получены
результаты, определяемые Я*<2300. Метод субопти-
субоптимального динамического программирования после пер-
первого шага, на который также затрачивалось примерно
1,5 ММО, дал Я* = 1961.
42

В этих условиях нельзя вычислить точное значение
[Юг, однако можно записать, что для обоих алгоритмов
!^ог>3240/1,5 = 2160, что свидетельствует о том, что эти
алгоритмы можно отнести к классу субоптимальных.
Для сравнения эффективности алгоритмов аг- и aj
можно использовать также критерий эффективности.
5*) —для задач максимизации
5*) —для задач минимизации,
где Hi(S*)—значение целевой функции, достигаемое
алгоритмом аг- при затратах 5* машинных операций.
Для задач минимизации этот критерий определяет во
сколько раз меньшее значение целевой функции будет
достигнуто алгоритмом а* по сравнению с алгоритмом
aj при равных затратах машинного времени.
Экспериментальные результаты, определяющие рабо-
работу алгоритмов ао, ai и аг, имеют следующий вид
(ММО)
Яо (S*)
Нх (S*)
Н2 (S*)
1,5
4386
2097
1961
10
4060
1959
1803
100
3655
1933
1768
500
3589
1856
—
1000
3589
—
—
3000
3589
—
—
В соответствии с этими данными критерий эффектив-
эффективности алгоритмов ai и а2 по сравнению с равновероят-
равновероятным случайным выбором имеет следующие значения
S* (ММО)
Л20 (S*)
Л21 E*)
1,5
2,09
2,24
1,07
10
2,07
2,25
1,09
100
1,89
2,06
1,09
Эти данные свидетельствуют, что для рассмотренной
задачи алгоритмы ai и а2 существенно более эффектив-
эффективны, чем а0. Они обеспечивают примерно в два раза
лучшее значение целевой функции при равных затратах
3
4

машинного времени по сравнению с алгоритмом равно-
равновероятного случайного выбора. Алгоритм, сочетающий
метод размытых эвристик и субоптимальное динами-
динамическое программирование (аг), более эффективен, чем
алгоритм размытых эвристик (ai).
Л ИТЕРАТУРА
1. Самойленко С. И. Алгоритмы целенаправленного стохастиче-
стохастического поиска. (Доклад на III Международной конференции по
искусственному интеллекту, Стэнфорд США, 1973), ВИНИТИ,
№ 1Ц—74 Деп.
2. Samoylenko S. I. Man—Computer Problem Solving in Com-
Computer Communication Networks Proc. of the Second International
Conference on Computer Communication, Stockholm, 1974,
pp. 477__483.
3. П а ш а е в И. С. Некоторые применения алгоритма эвристическо-
эвристического ветвления. ВИНИТИ, № 7758—73 Деп.
4. Held М., К а г р R. M. A dynamic programming approach to
sequencing problems J. Soc. Indust and Appl. Math. 10, N1,
A962), 196—210 Русск. пер.: Кибернетический сборник №9, M.,
«Мир», 1964.
5 Самойленко С. И. Раямытые эвристики. Доклад на 4-й Меж-
Международной конференции по искусственному интеллекту, Тбилиси
1975. ВИНИТИ, № 1877—76 Деп.
6. Л я ш е н к о И. Н., К а р а г а д о в а Е. А., Черникова М. В.,
Шор Н. В. Линейное и нелинейное программирование. Киев,
«Вища школа», 1975.
7. S h a m b I i n J. F. Stevens G. T. Operation Research. McGraw—
Hill, Inc., N. Y., 1974.

УДК 510.22
Н. Я. Виленкин, Ю. А. трейдер
МАЖОРИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
И КВАНТОР «БОЛЬШИНСТВА»
1. ВВЕДЕНИЕ
При использовании математических методов в какой-
либо области человеческой деятельности обычно стре-
стремятся ввести в нее число и меру. Однако очень часто
эти число и мера нужны только для того, чтобы дать
качественное описание ситуации (например, определить,
что некоторое событие маловероятно или достоверно,
что имеется достаточно ресурсов для достижения цели,
что мнения экспертов достаточно согласованы и т. п.).
В ряде ситуаций, типичных для гуманитарных наук,
естественной меры не существует, а качественное описа-
описание задачи в точных терминах все же очень желательно.
Из-за этого возникают значительные затруднения при
математизации гуманитарных наук, поскольку в них
многие закономерности справедливы лишь «в боль-
большинстве случаев», «почти всегда», «за редким исключе-
исключением», а этим терминам далеко не всегда придается
точный математический смысл, который можно выра-
выразить при помощи чисел.
В таких науках, как лингвистика, социология, науко-
науковедение и т. п. целый ряд важных категорий использует-
используется с неявным применением подобной терминологии
(например, такие лингвистические категории, как про-
продуктивность класса, мотивированность знака, грамма-
тичность значения и т. п., определяют, исходя из
некоторого представления о большинстве). Поэтому
возникает задача об экспликации понятия «большинства»
45

й сопутствующих ему понятий, что позволило бы полу-
получить экспликацию соответствующих размытых понятий
гуманитарных наук.
Возникающее здесь положение напоминает ситуацию
с использованием понятий «близко», «мало отличается»,
«в некоторой окрестности» и т. д. для элементов мно-
множества, на котором не определена метрика. Как извест-
известно, в последнем случае удается эксплицировать соответ-
соответствующие понятия, введя топологию на множестве —
систему подмножеств, называемых открытыми и удов-
удовлетворяющих некоторым аксиомам. Присоединяя к этим
аксиомам дополнительные, можно выделить из совокуп-
совокупности топологических пространств метризуемые, постро-
построить теорию различных классов топологических прост-
пространств и т. д.
В предлагаемой вниманию читателя работе мы по-
попытаемся эксплицировать указанные термины «для
большинства», «почти все» и т. д. Эти термины имеют
ясный смысл, если на множестве X задана мера такая,
что ii(X) = l,— в этом случае они означают — «для мно-
множества, мера которого больше 1/2», «для множества
полной меры» и т. д. Чтобы придать им смысл и в слу-
случае, когда мера на X не определена, мы вводим некото-
некоторый класс подмножеств, играющий в развиваемой тео-
теории ту же роль, что класс открытых подмножеств в
теории топологических пространств, задаем систему
аксиом, заведомо выполняющихся, когда речь идет о
множествах, мера которых больше 1/2, и строим теорию
получающегося класса пространств. При этом основной
целью работы было не столько отыскание и доказатель-
доказательство утверждений, касающихся таких пространств, сколь-
сколько создание математического языка, позволяющего го-
говорить о большинстве и меньшинстве в случаях, когда
на множестве не определена мера. Рассматривается ряд
примеров, во многих из которых понятие большинства
невозможно (Определить с помощью мары. На под-
подбор таких примеров оказало (влияние рассмотрение
различных .механизмов голосования и принятия
решений.
Вообще аксиоматическое изучение понятия большин-
большинства может оказаться полезным при анализе различ-
различных правил экспертных оценок, суждений о мнениях
и т. д.
46

2. МАЖОРИТАРНЫЕ СИСТЕМЫ И ПРОСТРАНСТВА
Пусть X — непустое множество и 35 (ЛГ) —булева
алгебра, состоящая из (не обязательно всех) подмно-
подмножеств множества X, причем Х^Ь(Х). В дальнейшем,
говоря о подмножествах в X, мы будем иметь в виду
лишь подмножества, принадлежащие 35 (X).
Определение 1. Подмножество $51 (X) булевой алгебры
35 (X) называется мажоритарной системой на X, если
а) Ш(Х) непусто;
б) вместе с каждым подмножеством А совокупность
$ft(X) содержит все подмножества В, такие, что АаВ;
в) ни одно подмножество А не входит в ЗК(Х) вместе
со своим дополнением.
Подмножества, принадлежащие ЗК(Х), будем назы-
называть большинствами в X. Очевидно, что Х$Ш(Х),
а также, что из ЛеЯЛ(АТ), В^Ш(Х) следует
}^
Определение 2. Множество X с заданной на нем
мажоритарной системой $Я(Х) называется мажоритар-
мажоритарным пространством.
Некоторые мажоритарные системы можно задать
с помощью нормированной меры на X. Пусть задана
положительная конечно-аддитивная мера [а, определен-
определенная на %(Х) и такая, что ^ (АГ) = 1. Зададим число
т>—- и положим
-:}. О)
Предоставляем читателю проверить выполнение акси-
аксиом а) —в). Аналогично строится мажоритарная система
где т>4~-
Назовем мажоритарные системы A) и B) соответст-
соответственно мал;оритарными (р., т)-системами 1-го и 2-го
рода, определяемыми мерой р, и порогом т.
Определение 3. Пары ([хь tj) и (р2, т2) эквивалентны,
если они имеют один и тот же род, причем соответст-
соответствующие им мажоритарные системы совпадают.
Пример 1. Пары ([хь тх) и (р.?,т2) на множестве
1 9 Ч
Х={а, Ь}, где p-i(a) = -g-, p-i (*)= -g-, Ti== X' Мя)^
47

1 /*Л 5 3 А
—б~» Р-2 (*) = ~» Т2 = -^ задают одну и ту же мажб-
ритарную систему 9Ю(ЛГ)={{6}, {а, 6}}.
Определение 4. Система множеств F (X) называется
базисом системы $R(X), если любое A£$il(X) содер-
содержит подмножество В, принадлежащее F (X). Базис
F (X) называется минимальным, если никакая его соб-
собственная часть не является базисом для 9К(Х).
Определение 5. Мажоритарная система $11 (X) удов-
удовлетворяет условию минимальности, если любое множе-
множество А£$Я (X) содержит минимальное подмножество,
принадлежащее $Я(Х).
Теорема 1. Для того, чтобы мажоритарная система
Ш(Х) имела минимальный базис, необходимо и доста-
достаточно, чтобы она удовлетворяла условию минималь-
минимальности.
Доказательство. Пусть ЗК (X) удовлетворяет усло-
условию минимальности. Обозначим через F (X) множество
всех минимальных подмножеств из ЗК (X) (то есть та-
таких подмножеств, что любое их собственное подмно-
подмножество не принадлежит ЗЙ(Х)). Тогда F (X) является
минимальным базисом для ЗК (X). В самом деле, если
ЛЗЙ(ЛТ), то, по условию минимальности, найдется
), такое, что ВаА. Обратно, если B&F (X), то
(), а потому из ВаА следует А$$к(Х). Поэто-
Поэтому F(X) — базис для ЗЮ(Л*). Предположим, чтоР^х) —
собственная часть F (X) и AqF(X)\Fx(X). Так как
множество А минимально, a Fi(X)cz$R(X), то А не
содержит ни одного подмножества из Fx (X), и пото-
потому Fx (X) не является базисом для Ж (X). Значит,
базис F (X) минимален.
Обратно, пусть в 351 (X), существует базис F (X), и
пусть А($51(Х). Тогда существует такое B^F (X), для
которого ВаА. Легко убедиться, что В — минимально.
Действительно, если бы существовало Сб9Л(А!), для
которого СаВ, то нашлось бы D&F (X), для которого
DaCaB. Но тогда В не входило бы в минимальный
базис.
Из проведенного доказательства следует, что в X
существует не более одного минимального базиса.
Пример 2. Пусть ЛГ=[О, 1], а ЯЛ (X) состоит из
всех множеств, содержащих хотя бы один отрезок
48

длины -j-. Тогда множество отрезков вида \х, jc H—2" 1»
гдеО<.г<-тг является минимальным базисом для
а» (Л).
Пример 3. Пусть Х = [0, 1] и Ж (А') — мажоритар-
мажоритарная (а, т)-система 1-го рода, где р,— лебегова мера, а
т = -тр. Тогда 59? (X) не имеет минимального базиса,
поскольку любое А&В1(Х) имеет подмножество В,
такое, что -^ < ^ (£)< р, (А).
Пример 4. Пусть АГ — множество вычетов по моду-
модулю п (циклическая группа по сложению порядка я).
Определим базис из множества вида {а, а-\-1,..., а-\-т\,
где J
В этом примере интересно, что структура большин-
большинства инвариантна относительно сдвига на группе.
Пример 5. Пусть X — множество элементов неко-
некоторой группы (в аддитивной записи). Пусть МаХ
некоторое множество, обладающее тем свойством,
что его дополнение не содержит никакого множества
вида M-\-g, где g— элемент группы. Тогда совокуп-
совокупность множеств вида {M^g} g£Q] образует базис
некоторой мажоритарной системы ЗК(Х). Здесь мы
обозначили через Q совокупность элементов g, с
помощью которых мы сдвигаем множество М.
Если Q = X, то мажоритарная система инвариантна
относительно групповых преобразований. Действитель-
Действительно, А£$Я(Х) означает, что Az^M + g. Тогда A + g"i3
Z)M + g-\-gi и образует большинство. Заметим, что
М может оказаться достаточно «жидким». Например,
если изобразить X как квадрат с отождествленными
краями, то в качестве М можно выбрать вписанную
в этот квадрат окружность.
3. МАЖОРИТАРНЫЕ СИСТЕМЫ
С МИНИМАЛЬНЫМ БАЗИСОМ
Мажоритарные системы с конечным минимальным
базисом {Аи А2...АЛ} можно наглядно изобразить
в виде симплициального комплекса. Вершинами этого
комплекса являются все множества вида Ati n ... П
4—9968 49

П Aim п Ah п • • • П Ajp- Некоторое множестйо вершин
принадлежит симплексу, если все они содержатся в
одном и том же множестве Аи. Совокупность всех вер-
вершин, содержащихся в заданном множестве Аи, задает
максимальный симплекс ои, т. е. симплекс, не являю-
являющийся подсимплексом никакого другого симплекса.
Предоставляем читателю проверить, что здесь выполне-
выполнены все аксиомы симплициального комплекса.
Пример 6. Пусть Х={1,2,3,4,5,6} и F(X)=*
= {A,2,3), C,4,5), E,6,1)}. Этот пример был предло-
предложен В. Б. Борщевым для доказательства существования
большинств, которые не могут быть заданы мерой.
Указанная конструкция позволяет применять к мажо-
мажоритарным пространствам с конечным базисом понятия
комбинаторной топологии. Отметим два свойства по-
построенных комплексов:
а) каждый комплекс состоит из вершины, соответст-
соответствующей множеству А\ П«-- Г\АПу и связного подкомп-
подкомплекса, любые два симплекса которого имеют хотя бы
одну общую вершину;
б) звезды любых двух различных вершин различны
(звездой вершины мы называем совокупность содержа-
содержащих ее максимальных симплексов).
Интересной комбинаторной задачей является нахож-
нахождение всех комплексов с заданным числом вершин,
удовлетворяющих условиям а) и б).
Назовем комплексы эквивалентными, если существует
биективное симплициальное отображение одного комп-
комплекса на другой. Второй комбинаторной задачей, связан-
связанной с мажоритарными системами, имеющими конечный
базис, является отыскание числа неэквивалентных комп-
комплексов, имеющих заданное число вершин.
Введем следующее
Определение 6. Подмножество А называется связ-
связным, если из А\В=£0 и B£$!fl(X) следует, что B\AQ
Теорема 2. Объединение двух связных подмножеств
А и В, имеющих непустое пересечение, связно.
Доказательство. Пусть Св$Л(Х) и (A\jB)\C=£0.
Тогда по крайней мере одно из множеств А\С й
В\С непусто. Если А\С непусто, то C\Aq$R(X).
50

В силу того, что АС\Вф<3, имеем В\(С\А)=£0.
Поэтому, в силу связности В, (C\A)\B£$fl(X). Зна-
Значит, из Се$1(Х), (A\JB)\C=£0 следует C\(Bi\A)Q
£$К(Х) и A\JВ связно.
Назовем компонентой элемента а^Х объединение
всех связных подмножеств, содержащих а. Для конеч-
конечных X из теоремы 2 следует, что компонента любого
элемента связна. Все пространство X является
объединением непересекающихся компонент своих
элементов. При это!М мажоритарная система $Л(Х)
порождается множествами, являющимися объедине-
объединениями связных компонент. Иными словами, любое
ЛбЗК(ЛГ) содержит объединение связных компонент,
также принадлежащее 581 (X). Это позволяет для конеч-
конечных X свести изучение мажоритарной системы $ft(X)
к изучению мажоритарной системы в фактор-простран-
фактор-пространстве по отношению эквивалентности «принадлежать
одной и той же связной компоненте».
Ясно, что это утверждение переносится на случай,
когда мажоритарная система эд? (X) имеет конечный
базис. Было бы интересно найти условия переноса этого
утверждения на общий случай мажоритарных прост-
пространств. Для этого нужно найти условия, при которых
объединение произвольной системы связных множеств
с общим непустым пересечением связано.
Пример 7. Пусть мажоритарная система в мно-
множестве X = {ui, а2, Ьъ Ьъ сь с2) порождается системой
образующих
--{{aua2, bu b2}, {bu b29cuc2}, {със2,аиа2}}.
Тогда' связными компонентами будут {а, а2}, {Ьъ Ь2)
{съ с2] и данная мажоритарная система сводится
к мажоритарной системе в множестве Y={a, b, с],
заданной системой образующих
F(Y)={{a, b}, {b, с}, {с, а}}.
Мы доказали, таким образом, что изучение любого
мажоритарного пространства с конечным базисом сво-
сводится к изучению пространств, связными компонентами
которых являются отдельные точки.
Определение 7. Мажоритарное пространство, все связ-
связные компоненты которого состоят из отдельных точек,
называется вполне несвязным.
4* Б\

Определение 8. Точка а вполне несвязного мажори-
мажоритарного пространства X, имеющего минимальный базис,
называется сингулярной, если она принадлежит лишь
одному из множеств базиса.
Теорема 3. Для того чтобы мажоритарная система во
вполне несвязном мажоритарном пространстве X, имею-
имеющем минимальный базис F (X), состоящий более чем из
двух множеств, задавалась мерой \i и порогом т, необ-
необходимо, чтобы она имела не более одной сингулярной
точки.
Доказательство. Легко доказать, что сингулярные
точки, принадлежащие одному из множеств базиса
F (X), образуют связную компоненту. Поэтому, в силу
того, что X вполне несвязно, каждое Xa(*F(X) имеет
не более одной сингулярной точки. Пусть в X есть
две сингулярные точки а и Ь. Тогда а£Ха, b£X$, a=^p.
Обозначим ХапХ$ = А, Xa — (A\J{a}) = B, X& —
— (A{J{b}) = C. Если мажоритарная система ®fl(X)
задается мерой [л и порогом т, то
(С) =
и потому
2{x(A) + {x(a) + {x(*)f {хE) + {х(С)>2т. C)
С другой стороны, B{JA не принадлежит Ж(АГ)
и не содержит ни одного из множеств Ху. Поскольку
точка b сингулярна, то и A[jB[j{b} не содержит ни
одного из множеств Ха, г потому (J-(A)-f [л EL-^(#)<т.
Аналогично получаем [л(A)-f ^ (С) + [л (а)<т, a потому
2^(А) + ^(а) + ^(Ь) + ^(В)±^(С)<2^ D)
Поскольку неравенства C) и D) противоречат друг
другу, предположение о существовании меры и порога,
задающих $&(Х), ложно.
Условие, что минимальный базис состоит более чем
из двух множеств, нельзя ослабить, как явствует из
следующего примера:
Пример 8. Х = {а,.Ь, с}, F(Х) = {{а, Ь), {а, с}}.
Эта мажоритарная система имеет два сингулярных
элемента b и с, но задается мерой [л (#).= --, р(Ь) =
= {л(г) = — и порогом т = -з--
52

Нельзя ослабить и условие на число сингулярных
точек:
Пример 9. Х = {а, Ь, с, d], F(x)={{a, b,c}, {a, d],
{b, d}}. Эта мажоритарная система имеет одну сингу-
сингулярную точку с и задается мерой р. (а) = ^ (&) = —■ ,
Р-(с)=1оГ' ^^=1о и ПОРОГОМ т = "*
Необходимое условие в теореме не является достаточ-
достаточным. Это видно из примера 4, где сингулярных точек нет
совсем, но соответствующая мажоритарная структура не
может быть задана мерой.
4. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ МНОЖЕСТВ
В МАЖОРИТАРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Задание в пространстве X мажоритарной системы
$51 (X) позволяет выделить в X ряд важных классов
подмножеств.
Определение 9. Подмножество АаХ называется
меньшинством, если его дополнение А = Х\А принад-
принадлежит $51 (X). Совокупность всех меньшинств в X
обозначим L(X).
Определение 10. Подмножество АаХ называется
блокирующим, если оно не принадлежит ни $51 (X), ни
L(X). (В примере с голосованием это означает, что
множество А не может провести желаемое ему реше-
решение, но может воспрепятствовать принятию любого
иного решения). Совокупность блокирующих множеств
обозначим Ш (X).
Определение 11. Мажоритарная система $51 (X), для
которой 35/(АГ)=0 (то есть любое множество являет-
является меньшинством либо большинством), называется
исчерпывающей.
Примером исчерпывающей системы является простое
большинство при нечетном числе голосующих (без воз-
воздержавшихся) или большинство при четном числе голо-
голосующих, когда председатель имеет два голоса.
Без труда доказывается, что
а) дополнение к блокирующему множеству является
блокирующим множеством,
53

б) пересечение множеств А£$Я(Х) и B(*%>t(X) не-
непусто,
в) объединение множеств A^L(X) и В@Ы(Х) не со-
совпадает с X.
В приложениях теории меры наиболее важным яв-
является понятие множества нулевой меры: как правило,
математические теоремы говорят о свойствах, имею-
имеющих место почти всюду, то есть по модулю множеств
нулевой меры. Аналоги понятий «множество отличной
от нуля меры» и «множество нулевой меры» можно
определить следующим образом.
Определение 12. Множество АаХ называется суще-
существенным, если найдется такое В(*$Я(Х), что A\JB£
Q$fl(X). Совокупность существенных множеств обозна-
обозначим %(Х). Дополнение к %(Х)в 95 (X) обозначим ЗЦХ).
Множества, принадлежащие Ш(Х), назовем несущест-
несущественными.
Теорема 4. Пересечение любых двух множеств из
мажоритарной системы ЗК(Х') существенно.
Доказательство. Пусть Л, B(<$!i(X) и А(~)В = С.
Множества А\С и В\С не пересекаются, а потому
хотя бы оцно из них, например А\С, не принадлежит
Ж (AT). Так как A = (A\C)\JC, то С существенно.
Следствие. Если AqL(X) и BgSl(X), то А{\В&(Х)-
Доказательство. Так как AqL (X), то его дополне"
ние A£$fl(X). Но тогда, поскольку В несущественно,
А\Ве$К(Х), а потому A \JB = (A\B)G^(X).
Когда мажоритарная система задана мерой {X и по-
порогом т, всякое существенное множество должно
иметь положительную меру.
В примере 2 каждая точка является существенной.
Действительно, любой отрезок длины 1/2 с выколотой
точкой не является большинством, но превращается в
большинство после добавления этой точки. Если бы
соответствующая мажоритарная структура задавалась
бы мерой, то мера каждой точки была бы положитель-
положительной. Это, очевидно, невозможно, так как множество точек
положительной меры не более чем счетно. Итак, мажори-
мажоритарная структура в этом примере не может быть зада-
задана мерой.
Впрочем, в структурах, где большинство задается ме-
мерой, могут оказаться несущественные множества поло-
54

жительной меры. Например, множество {а} в примере 1
имеет положительную меру, но является несущественным.
Однако, если ввести в то же множество X иную меру,
положив \i(a)=0, |х(Ь)==1, то мажоритарная система
не изменится, а мера \i(a) станет равной нулю. В общем
случае имеет место
Теорема 5. Пусть Ж (X) мажоритарная система типа
({л, т). Тогда существует мера ^ и порог ть такие, что
пары ({л, т) и (|л.ь Tj) эквивалентны, а всякое несущест-
несущественное множество в X имеет нулевую меру jjlx.
Докажем сначала несколько лемм.
Лемма 1. Объединение любых двух несущественных
множеств А и В несущественно (аналог утверждения
об объединении конечного числа множеств нулевой
меры).
Доказательство. Пусть С£$Я(Х). Так как А несуще-
несущественно, то ЛиСеай(АГ), а тогда и (A{jC)UB~e®l(X).
Значит, из Ce®t(X) следует С U(A\jB)~e®l(X) и AUB
несущественно.
Для бесконечной совокупности несущественных мно-
множеств это утверждение, вообще говоря, неверно.
Пример 10. Пусть X — множество натуральных чи-
чисел, а 9Л (X) состоит из подмножеств, содержащих все
натуральные числа, начиная с некоторого, т. е. из допол-
дополнений к конечным множествам. Тогда все конечные под-
подмножества в X несущественны, но X является объедине-
объединением счетного множества конечных (даже одноэлемент-
одноэлементных) множеств. Отметим, что эта мажоритарная система
задана аддитивной, но не счетно-аддитивной мерой \i,
такой, что pi(X)=l и \i(A)=0 для всех конечных мно-
множеств Л.
Определение 13. Мажоритарная система ш {X) счет-
счетно-аддитивна, если объединение любой счетной совокуп-
совокупности несущественных множеств несущественно.
Лемма 2. Мажоритарная (\i, т) система первого или
второго рода счетно-аддитивна.
Доказательство. Пусть Л2сЛ2с .. .Ak с —воз-
—возрастающая цепочка несущественных множеств,
Ж (Х)(\1, т) — система первого рода и Л= U Ak
Если QgSR(X), то для всех k имеем jx (Ak U Q) < т,
а тогда i^(QUA)<t и потому QljA£$R(X). Этим до-
несущественность Л=иЛ„.
55

Пусть теперь Ж (Х)(а, т) —система второго рода.
Предположим, что множество A=\jAn существенно.
Тогда найдется такое QgSR, что Q[jA(<$R(X). Без
ограничения общности можно предположить, что
Qf]A=0. Тогда имеем \*(AL- ^(Q)> т. Но, поскольку
Ап несущественны, то для любого k имеем \k(Ak) +
+ fi(Q)<T И ПОТОМУ p,(A) + |i(Q) = T.
Если для всех k имеем \i(Ak) = 0, то и [х(Л) = 0,
и потому А несущественно, вопреки предположению.
Поэтому можно считать, что для всех kp(Ak)>0.
Для любого k множество A\Ak существенно, так
как в противном случае A = (A\Ak)\jAk было бы
несущественным множеством, как объединение двух
несущественных множеств. Поэтому для всех k
имеем ц(А\АЛ)>0 и р. (АЛ) >0. Но тогда р(А\ЛЛ)<
<{х(Л), и потому p((A\Ak)UQ) = iL(A\Ak) + p(Q)<
<ХЛ) + ц(О) = т. Значит, Ql = (A\Ak)\jQe^t(X)9 в то
время как Q2 \jAk = Q\J A£$fl(X). Поэтому Ak — су-
существенное мнол^ество, вопреки предположению.
Полученное противоречие показывает, что А несу-
несущественно.
Определение 14. Несущественное множество Ао
в мажоритарной (р-, т)-системе называется старшим,
если для любого несущественного множества А имеем
(ЛЛ)о
Лемма 3. Во всякой мажоритарной (р-, т)-системе,
такой, что мера [а счетно-аддитивна, существует
старшее несущественное множество.
Доказательство. Из счетной аддитивности меры р
вытекает, что любая упорядоченная цепочка {Ла},
такая, что ,(х (Ла)< р-(Лр) при а<р, не более, чем
счетна. А из леммы 2 вытекает, что счетная упоря-
упорядоченная цепочка несущественных множеств имеет
несущественную верхнюю грань — объединение этих
множеств. Поэтому к совокупности несущественных
множеств положительной меры применима лемма
Цорна и можно найти максимальное несущественное
множество, то есть такое множество Ао, что для
любого другого несущественного множества А имеем
р/(Л\Д)) = 0. Это множество и является старшим.
Очевидно, что любое несущественное множество яв-
является объединением старшего несущественного мно

жества и множества нулевой меры, что пересечение
двух старших несущественных множеств является стар-
старшим множеством, а также, что любые два старших мно-
множества совпадают с точностью до множества нулевой
меры.
Завершим теперь доказательство теоремы 5. Пусть
$R(X) мажоритарная ($л, т)-система (первого или вто-
второго рода). Положим (jlj (А) = 1/<7[л (Л\Л0) и т1==—,
где q=\b(X\AQ). Если [х(Л)>т, то ^ (Л\Д) >т, так
как в противном случае Ао оказалось бы существен-
существенным множеством и тогда p-i(A)>t1. Обратно, если
|х1(Л)>т1, то {х(Л\Л0)>т, и тем более [х(Л)>т.
Этим доказана эквивалентность условий и(А)>т и
Р-1(Л)>т1. Значит, (р, т)— ([*!, т!).
5. ДОМИНИРУЮЩИЕ МНОЖЕСТВА
Определение 15. Подмножество А мажоритарного
пространства X называется доминирующим, если его
дополнение несущественно. (Аналог множества полной
меры).
Совокупность доминирующих множеств обозначим
через D(X). Из следствия к теореме 4 вытекает, что
если Ae$fl(X) и Вф(Х), то Af]Be^l(X). Иными сло-
словами, мажоритарная система 9Л (X) «высекает» на
любом B£D(X) множества, принадлежащие $R(X) и
определяющие тем самым мажоритарную систему на В.
Когда SK (АГ) —мажоритарная (jx, т)-система, домини-
доминирующими множествами являются множества полной
меры, \к(А) = \. Если же 581 (X) задано минимальной
системой образующих F (Х) = {Ха}, то X0=[jXa яв-
является минимальным доминирующим множеством з X:
любое другое доминирующее множество содержит Хо.
Определение 16. Минимальное доминирующее мно-
множество Хо мажоритарного пространства X называется
носителем мажоритарной системы.
Мы видим, что всякая мажоритарная система с ми-
минимальной системой образующих имеет носитель. Из
леммы 1 вытекает, что пересечение любых двух домини-
доминирующих множеств является доминирующим множеством.
Отсюда следует, что в X не может быть двух различных
Ы

носителей — в противном случае их пересечение было
бы содержащимся в них доминирующим множеством,
отличным хотя бы от одного из них.
В примере 10 все конечные подмножества несущест-
несущественны, а дополнения к ним доминирующие. Иными
словами, в этом примере все подмножества из $&(Х)
являются доминирующими. Докажем следующую
теорему:
Теорема 6. Для того чтобы все А(<$Л(Х) были
доминирующими, необходимо и достаточно, чтобы пере-
пересечение любой конечной совокупности множеств из
®1(Х) принадлежало №(Х).
Доказательство. Пусть все А£$Я(Х) доминирующие,
и AuA2,...Ane$t(X). Тогда Аи ... Ап@1(Х) и, по
лемме 1, Ai\jA2... 1)Ап£Я1(Х). Так как АгГ\ ... Ап =
= AiU ... Ап, то Ai(\A2... Г) Л „—-доминирующее мно-
множество. Обратно, пусть пересечение любой конечной
совокупности подмножеств из $51 (X) принадлежит
$Ю(ЛТ), и Ае$К(Х). Если А&О(ЛГ), то Л —существенное
множество, и потому найдется такое В, что
и A[JBq$R(X). Но тогда, по условию, имеем
Это невозможно, поскольку В(Ш(Х), и потому А
Полученное противоречие показывает, что AD()
В примере 10 совокупность доминирующих подмно-
подмножеств счетна, а пересечение всех доминирующих под-
подмножеств пусто. Для мажоритарных систем, задаваемых
счетно-аддитивной мерой, пересечение любой счетной
совокупности доминирующих подмножеств является до-
доминирующим. Это следует из теоремы 6, согласно кото-
которой доминирующие множества имеют полную меру, если
меру выбрать разумно. Приведем еще один пример с тем
же свойством.
Пример 11. Пусть X — полное метрическое про-
пространство, и $й(Х) состоит из всюду плотных под-
подмножеств типа Ga. Из теоремы Бэра следует, что если
Ak£$R(X), £=1,2,..., то r\Ak является всюду плот-
плотным множеством типа Ga. Отсюда следует, что все
Ag9K (X) — доминирующие множества, причем пересече-
пересечение счетной совокупности таких множеств тоже
является доминирующим множеством.
58

Определение 17. Назовем пересечение всех доминирую-
доминирующих множеств верхним ядром мажоритарного простран-
пространства X и обозначим его К{Х).
Для мажоритарных систем, заданных базисом F(X),
К(Х) совпадает с объединением всех множеств базиса.
Пример 10 показывает, что К (X) может быть
пустым множеством. Если К (X)£D(X), то К(Х) —
носитель системы 581 (X). В этом случае все элементы
К (X) существенны, поскольку, в противном случае,
удаляя несущественный элемент, мы получили бы
меньшее доминирующее множество. Итак, мажоритар-
мажоритарная система $fl(X) имеет носитель в том и только том
случае, когда К (X) — доминирующее множество.
Введем теперь понятие ранга мажоритарной системы,
позволяющее оценивать «массивность» входящих в нее
множеств.
Определение 18. Число п называется рангом мажори-
мажоритарной системы 581 (X), если любое п+\ множество из
581 (X) имеет непустое пересечение, но существуют
п + 2 множества из $51 (X), пересечение которых пусто.
Если пересечение любого конечного числа множеств
из $R(X) непусто, ранг 581 (X) равен бесконечности.
Ранг мажоритарной (р, т)-системы первого рода при
t = ^-j- по меньшей мере равен п.
Докажем, что если мажоритарная система 581 имеет
ранг 2/г — 1, то система множеств 5В1п(Х) = {А1 П ...
... П Ап I А*6$И (X)} мажоритарна. В проверке нуждается
лишь доказательство того, что любые два множества
этой системы имеют непустое пересечение. Но если
А = ЛП ... ЛЛ,Я = Я1П ...£„, то АпВ = АгП ...Д,П
, „^0
Когда ранг системы 581 (X) равен бесконечности,
система множеств *Bl(X)= \j$Rn(X) мажоритарна. На-
Назовем ее замыканием системы 9К(ЛТ).
Из теоремы 6 вытекает, что 9К (X) = 591 (X) в том
и только том случае, когда все ЛсЖ(АГ) доминирующие.
6. ГРАНИЧНЫЕ ПОДМНОЖЕСТВА
Введем следующие определения:
Определение 19. Множество А&81(Х) называется
нижние грацичцым, если для любого B^S(X) такого,
59

что АГ\В=0, имеем A{jB£$fl(X). Множество (
называется верхним граничным, если для любого
В£&(Х) такого, что ВаА, имеем A\B£®t(X).
Определение 20. Существенное подмножество А на-
называется неразложимым, если из В с: А, В£&(Х) сле-
следует, что А\В несущественно.
Если [х — лебегова мера на [0,1] и $fl(X) — мажоритар-
мажоритарная (р-, т) система первого рода, то нижними гранич-
граничными множествами являются такие, для которых
Р-(Л) = т. Эти же множества являются верхними гранич-
граничными, если ЗК (Х)~ мажоритарная (|л, т)-система второ-
второго рода.
Имеет место следующая
Теорема 7. Если Л —верхнее, а В — нижнее гранич-
граничные множества мажоритарной системы ЩХ), то А\В—
неразложимое существенное множество.
Доказательство. Существенность А\В вытекает
из того, что A = B{J(A\B), £еЭД(Х), АеЭД. Докажем,
что А\В неразложимо. Пусть C£g(X) и СаА\В.
Если бы множество D-=(A\B)\C было существенным,
то имело бы место равенство В )JD — A\C, где D и С
существенны. Но тогда, так как В — нижнее граничное
множество и Bf}D=0, то В (jD£$fl(X), а поскольку
Л —верхнее граничное множество и С£<Е(Х), С с: А,
то А\С£$51(Х). Полученное противоречие показывает,
что D несущественно, а потому А\В неразложимо.
7. СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ МАЖОРИТАРНЫМИ СИСТЕМАМИ
И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
В одном и том же множестве X могут быть заданы
различные мажоритарные системы. (Мы будем предпо-
предполагать, что все они определены на одной и той же си-
системе подмножеств В(Х)).
Определение 21. Мажоритарная система
называется расширением мажоритарной системы
если ^{(Х)^Щ(Х).
Например, мажоритарная система, заданная на X
мерой {х и числом т>~2~> является расширением мажо-
мажоритарной системы, заданной той же мерой и числом
60

v>t. Самой узкой мажоритарной системой является
{Х) Х
0{)
Если {$Яа(Х)} —семейство мажоритарных систем,
то пересечение всех этих систем также является
мажорита'рной системой. Объединение некоторого
семейства мажоритарных систем, вообще говоря,
не является мажоритарной системой. Условие, когда
при таком объединении получается мажоритарная
система, задается следующим определением:
Определение 22. Семейство мажоритарных систем
{$51 ^(Х)} называется согласованным, если для любых
Ле$Юа(ЛТ) и ВеЩ(Х) имеем ApiB^0.
Наглядный смысл этого определения состоит в том,
что множество, являющееся большинством в одной
из этих систем, не может быть меньшинством в другой
системе. Легко доказать, что если (SRa(Af)} —
совокупность согласованных мажоритарных систем,
то U а№а(Х) — мажоритарная система. Мы будем ее
называть объединением мажоритарных систем $51а(Х).
В случае, когда $5tOL(X) являются мажоритарными
(^а» ^-системами первого рода, условие согласован-
согласованности состоит в том, что для любой пары индексов
(а, р) и всех А из ра(А)>^а следует р,р(Л)>1 — тр.
Аналогично обстоит дело для систем второго рода.
Представляет большой интерес описание мажоритарных
систем, являющихся объединением согласованных
([%, та)-систем.
Одна из правдоподобных гипотез состоит в том, что
любая мажоритарная система есть объединение согла-
согласованных мажоритарных систем, задаваемых мерами
(быть может, только конечно-аддитивными).
Понятие согласованности — это слабый аналог поня-
понятия взаимной абсолютной непрерывности мер. Более
точным аналогом является естественное понятие эк-
эквивалентности мажоритарных систем — совпадение оп-
определяемых ими совокупностей несущественных мно-
множеств. В известном смысле противоположным понятию
согласованности является понятие независимости ма-
мажоритарных систем — аналог взаимной сингулярности
мер:
Определение 23. Мажоритарные системы $51 г (X) и
$512(Х) называются независимыми, если для любых
6J

B£$R2 найдутся такие Агс:А и BlaB,
В&Щ и Л1п51 = 0.
Пример 12. Пусть А и 5 — непересекающиеся
подмножества в X и пусть 3)?! (л) = {С| Сз<А}>
$A2(X) = {D\D^B}. Системы ^(Х) и ЗК2(^Г) незави-
независимы.
Рассмотрим теперь совокупность мажоритарных
систем {5Я1а(Х)} на одном и том же множестве X,
где множество индексов 2 = {а}, в свою очередь,
является мажоритарным пространством, заданным
системой 3RB).
Определение 24. Система $fl(X) называется 2 — про-
произведением систем 9Юа(Л), если 581 (X) состоит из всех
множеств МаХ, для которых существует такое мно-
множество индексов 2жбЗКB), что М&В1а(Х) при всех
Легко проверить, что S-произведение образует мажо-
мажоритарную систему. Действительно, Х(Ша[Х) при всех
ае2. Если MdMi и MQ$Ra{X) при всех аб2ж, то и
М&Ука^Х) при этих же а. И, наконец, если Ж^(^)
при всех аб2л1бЗКа (^), то 7W может входить в
только при ъфм- Но 2ai63R^), т.е. ЖеЗК^).
Этот вид композиции мажоритарных систем полезен
при формальном анализе экспертных оценок.
Рассмотрим сначала случай, когда XaY. Задание
мажоритарной системы вК не позволяет однозначно
определить мажоритарную систему в X: может слу-
случиться, что некоторые множества из 9Ю(К) даже не
пересекаются с X.
Определение 25. Пусть XczY. Мажоритарная систе-
система 5R (У) называется продолжением мажоритарной
системы ЗЮ(Л'), если из AC[X($R(X), где АаУ, сле-
следует, что ЛбЗК(К). В этом случае X называют мажо-
мажоритарным подпространством в Y.
Если SR (К) —продолжение $Л(Х), то для любого
ЛеЗК(Г) имеем АпХ@Я(Х) или АпХеВ1(Х). В самом
деле, если бы нашлось ЛбЗК (F), такое, что Лп^б
£L(X), to ~Af)X($R(X) и, поскольку 3R (F) продолжает
ЗЛ(А'), мы имели бы ЛбЗЛ(К), что невозможно.
Пример 13. Пусть ЗК (Jf) —мажоритарная система
на XczY. Определим SR(K) условием ЛеЗК(Г), если
ЛАг^^Г)
62

В этом случае SR(K) есть минимальное продолжение
системы Ж(АГ), при котором X оказывается домини-
доминирующим множеством в К, a Y\Х — несущественным.
Пример 14. Пусть Ш(Х) — мажоритарная система
на X, a 9R(F) —на Y, причем XC\Y=0. Обозначим
Z = X[jYu определим систему 9R(Z)KaK совокупность
множеств вида Аи 5, где А£$Я(Х) и B£$fl(Y).
Легко видеть, что Ж (Z) не есть продолжение систем
а»(Л) и з»(К).
Пусть 3RX(Z) минимальное продолжение системы
ЗК(АГ) на Z (по конструкции примера 13) и 9Ky(Z) —
аналогичное расширение системы 9K(F). Легко пока-
показать, что мажоритарная система 9R(Z) настоящего
примера есть пересечение ®flx(Z) P[$fly(Z).
Определение 26. Пусть ср — отображение множества
X во множество Y и ЗК(АГ) — мажоритарная система
в X. Тогда
является мажоритарной системой в К, называемой
образом мажоритарной системы 9R(AT). Если ср отобра-
отображает X на Y и Ж (К) — мажоритарная система в Y, то
— мажоритарная система в X, называемая прообра-
прообразом Y.
С каждым отображением ср множества X на множе-
множество Y связано разбиение X на классы эквивалент-
эквивалентности, состоящие из прообразов ср (й), bQY. Пусть в
каждом из множеств ср (Ь) задана мажоритарная
система ^(ср (Ь)), а в Y — мажоритарная система SR(K).
Каждому подмножеству TczX поставим в соответствие
подмножество ср(Г) с Y, состоящее из таких элемен-
элементов y£Y, что 9 (У) П 7^63» (9 (У))- ТогДа ЗЙ(ЛГ) =
= {А | ср (А) бЗК (К)} является мажоритарной системой
в АГ. В самом деле, если А£$К(Х) и #еЗК(Г), то
ср(Л)еЖ(Г) и <? E) е$} (Г), а потому ^И)П ?(^)f= 0.
Иными словами, найдется такое гб^, что с£у (А) П т E),
и потому Лп^Ч^бЗЛЬ^)]» ^П^ИбЗЛЬ^)!» а
тогда А[)'В^0. Мы будем называть построенную
мажоритарную систему индуцированной мажоритарны-
мажоритарными системами ®fl(y-l(b)) и SR(K).
63

Частным случаем этой конструкции является декар-
декартово произведение ХхУ двух мажоритарных прост-
пространств.
Определение 27. Пусть заданы мажоритарные систе-
системы ЗК(АГ) и ЗК(К). Тогда мажоритарная система в
ХХУ определяется условием А{Ш(ХхУ), если суще-
существует В^Щ (X) и для каждого х£В существует Сх^ЩУ),
причем <лг, CX>£A.
Корректность этого определения легко проверяется.
Аналогично определяется мажоритарная система в
декартовом произведении любой совокупности мажо-
мажоритарных систем. Эти определения позволяют, естест-
естественно, говорить о большинстве из пар, троек и т. д.
Введем еще понятие обратного спектра мажоритар-
мажоритарных пространств. Пусть й — направленное вправо мно-
множество и пусть каждому Х&2 соответствует мажори-
мажоритарное пространство Xv причем при ^<{х определено
отображение «р^Л^ на Х% такое, что v^v=V и
SR (ЛJ = ср^ (9R (Л'|А)). Совокупность {Х%, ср^} назовем
обратным спектром мажоритарных пространств. Пусть
Л' —предел обратного спектра множеств [Xv ср Л}.
Введем в него мажоритарную систему
где ср^ —естественное отображение X на Хк. Эту ма-
мажоритарную систему назовем пределом обратного
спектра.
8. КВАНТОР БОЛЬШИНСТВА
Рассмотрим предикаты на некотором непустом мно-
множестве X. Каждый одноместный предикат Р задает
высказывательную форму Р(х), которая при каждом
хб X является высказыванием. Квантором принято на-
называть оператор, который каждой высказывательной
форме ставит в соответствие некоторое высказывание.
Мы введем специальный квантор Б, который высказы-
высказывательной форме Р(х) ставит в соответствие высказы-
высказывание (Бх) Р(х), читающееся как «Для большинства
элементов х£Х выполнено свойство Р». Чтобы квантор
Б разрешал подобную интерпретацию, мы потребуем
выполнения следующих аксиом (в дальнейшем мы бу-

дем пользоваться значком Б только, если соответст-
соответствующие аксиомы выполнены):
аксиома сравнения
(Ух)Р(х)->(Бх)Р(х), E)
аксиома большинства
(Бх)Р(х)^~\(Бх)^Р(х), F)
аксиома монотонности
(Yx) [P(x)^Q(x)]^[(Bx)P(x)^(Ex)Q(x)\. G)
Теперь мы можем сконструировать формальный
язык ЬБ путем расширения узкого исчисления предика-
предикатов. Пусть L один из вариантов языка узкого исчис-
исчисления предикатов (с равенством или без). Тогда усло-
условимся считать, что 1) каждая формула языка L есть
одновременно формула языка ЬБ; 2) если %(х)— фор-
формула языка /,£, где х — свободная переменная, то
(Бх)Ш(х) есть формула языка 1Б.
В качестве аксиом мы выберем список аксиом языка L
и три приведенные выше аксиомы для квантора боль-
большинства. Правила вывода возьмем те же, что в узком
исчислении предикатов. В полученном исчислении име-
имеет смысл говорить о классе выводимых формул, ко-
которые получаются из аксиом путем применения стан-
стандартных правил вывода. Приведем несколько примеров
выводимых формул.
Из аксиомы большинства F) и аксиомы сравнения
E) имеем
Используя обычную связь кванторов общности и
существования, получаем импликацию
(Бх)Р(х)->(Ях)Р(х).
Покажем теперь выводимость формулы
(Бх) Р (х)А(Бх) Q (х)-> (Ях) [(Я (x)aQ (*)]. (9)
В силу тавтологии (А ->В)^(~]В->- ~~\А). выводимой
в исчислении высказываний, достаточно показать выво-
выводимость формулы
1 (Ял:) [Р (x)aQ {х)] -> ~] [Бх) Р (x)a(Bx)Q(x)\. (9')
5—9968 65

Левую часть заменяем эквивалентным выражением
(VxI[P(x)aQ(x)] = (Vx)[P(x)-> 1Q(x)] (9")
и применяем аксиому G):
(V*) [Р(x)-+lQ(х)]-»[(Бх)Р(х)-+ (Бх) 1Q(х)].
По аксиоме F) имеем
откуда
(Vx)[P(x)-+-]Q(x)]->[(Ex)P(x)-+^(Ex)Q(x)].
Или, используя тавтологии исчисления высказываний
1 (Я*) [Р (x)aQ {х)] -+ п [(Бх) Р (х)л(Бх) Q (*)],
получаем искомую формулу (9').
Теперь выведем формулу, характеризующую переста-
перестановочность квантора большинства с квантором суще-
существования.
Исходим из формулы исчисления предикатов
Q{x)-+(*x)Q{x).
Тогда для двуместного предиката получается
(Бу) Р (х, у) -> (Бу) (Я*) Р (х, у).
Обозначив всю импликацию через Q (х), применим к
ней предыдущее правило навешивания квантора сущест-
существования:
EU) [(Бу) Р (х, у)-^(Бу) EU) Р (х, у)].
Распространяя квантор на импликацию и учитывая,
что в правой части импликации нет свободной перемен-
переменной х, получаем
(Ъх)(Бу) Р (х, у)-+(Бу)фх)Р(х, у). (Ю)
Отсюда можно вывести двойственную импликацию
(Бх)(Уу) Р (х, у)-+фу)(Бх)Р (х, у). A1)
Действительно, выразим квантор V через отрицание
квантора существования, тогда из A0) и F) имеем
(Бх)-](Щ~\Р(х)-+-\(Бх){Щ-]Р(х, у)-+
-> ~](Щ(БхIР(х, у)->!(Щ1(Бу)Р(х, у),
и это даст нам A1).
66

Отметим, что правило перестановочности кванторов
большинства по разным объектным переменным не вы-
выводимо. Это будет видно из дальнейших рассмотрений
класса моделей. Пусть теперь задана некоторая мо-
модель X, реализующая исчисление с квантором большин-
большинства, и пусть кванторы v и з интерпретируются как
обычные кванторы всеобщности и существования. Тогда
с каждым предикатом Р можно сопоставить его мно-
множество истинности Хр— {х\Р(х)}.
Рассмотрим систему $Я(Х) всех подмножеств Хр,
для которых соответствующий предикат Р обладает
свойством (Бх) Р (х).
Тогда аксиома E) означает, что Х£$Я(Х).
Аксиома F) равносильна тому, что Хр£$Я(Х) влечет
Х^ЯЦХ), где Хр = Х\Хр — дополнение к Хр.
Аксиома G) означает, что из XpczXq и Xp£$R(X)
следует XQ£$fl(X).
Итак, система 59? (X) является мажоритарной систе-
системой на X в смысле определения 1.
Мы показали, что всякая стандартная модель языка
ЬБ (при которой кванторы V и Я имеют обычную
интерпретацию) задается мажоритарной системой. Легко
увидеть и обратное: всякая мажоритарная система
$R(X) задает квантор на классе предикатов на X,
удовлетворяющий аксиомам E), F) и G). Достаточно
определить этот квантор условием
(Бх) Р (х) = (ЯМ&Л (X)) (Vx£M) P (х).
Возьмем пример, когда Х = [0, 1], а M£$R(X), если
[х(М) = 1, где {х —мера Лебега. Этот пример показы-
показывает, что соотношение
(Бх) (Бу) Р (х, у) -> (Бу) (Бх) Р (х, у),
вообще говоря, не выполнено, если Р(х,у) неизмерим
по совокупности переменных.
Рассмотрение мажоритарных систем подсказывает
целесообразность введения кванторов (Блх)Р (х) и
(Сх)Р(х), из которых первый означает, что предикат
Р (х) выполнен на некотором блокирующем, а второй,
что Р (х) выполнен на некотором существенном мно-
множестве. Первый из них может быть определен в рам-
рамках языка LB\
67

а второй в рамках этого языка не определим. (Определе-
(Определение 12 существенного множества использует кванторы по
набору предикатов). Легко проверить, что для новых
кванторов и квантора большинства не имеют места пра-
правила перестановок даже в виде импликаций типа A0)
и A1).
Определение 27 задает большинства на декартовом
произведении ХхХ, если на X уже задана мажоритар-
мажоритарная система. Соответствующий квантор мы будем обо-
обозначать Б (х, у). Тем самым мы получаем возможность
расширения языка Ьб с аксиомой
Б(х, у)Р(х)-+(Б у) (Бх)Р(х, у), A2)
Б(х,у)Р(х)-»(Бх)(Бу)Р(х,у),
которая дает нужный аналог свойству перестановочности
кванторов. Разумеется, определение 27 дает лишь одну
из возможных интерпретаций квантора Б(х,у)9 задавае-
задаваемого аксиоматически.
9. КВАЗИЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ
Теперь остановимся на том, как понятие квантора
«большинства» работает в теории бинарных отношений.
Мы рассмотрим некоторые осмысленные обобщения от-
отношения эквивалентности. Отношение (бинарное) ф на
множестве X называется эквивалентностью, если это
отношение:
1) рефлексивно
(ух) хух,
2) симметрично
3) транзитивно
Эквивалентность есть эксплуатация понятия «одинако-
«одинаковость» (или «равенство»). Все множество X разбивается
на классы эквивалентных между собой («одинаковых»)
элементов. Чтобы эксплицировать понятие сходства, Зи-
ман [1] предложил убрать аксиому транзитивности и по-
полученный более общий класс отношений назвал отноше-
отношениями толерантности. Роль классов эквивалентности при
этом стали играть классы толерантности [2], которые об-
образуют не разбиение, но только покрытие множества X.
68

Иначе говоря, между классами толерантности возможны
сколь угодно сильные пересечения. В результате отноше-
отношение толерантности может быть по своему строению очень
непохожим на отношение эквивалентности. В частности,
базис классов толерантности (т. е. множество классов,
достаточное для установления толерантности — ср. [2J)
может быть очень узкой (и неоднозначно восстанавли-
восстанавливаемой) частью множества всех классов толерантности.
Естественно попытаться выделить тип отношений, про-
промежуточный между эквивалентностью и толерантностью,
который сохраняет значительную часть важных свойств
эквивалентности. Введенный в п. 8 квантор Б позволяет
ввести следующее
Определение 28. Отношение ср на множестве X явля-
является а-квазитранзитивным, если оно удовлетворяет
аксиоме
(Б у) (ух) (V2) \х^уку^г->х^г). A3)
Очевидно, что эта аксиома есть ослабление аксиомы
транзитивности. (Как мы увидим дальше, целесообраз-
целесообразно ввести два разных обобщения транзитивности. От-
Отсюда возник символ а, обозначающий первое из тяких
обобщений).
Определение 29. Отношение ср называется а-квазиэк-
вивалентностью, если оно рефлексивно, симметрично и
а-квазитранзитивно.
Легко видеть, что всякое отношение а-квазиэквива-
лентности есть одновременно отношение толерантности,
и для него осмысленно говорить о классах толерантно-
толерантности. При этом хуу равносильно тому, что элементы х и
у принадлежат общему классу толерантности.
С учетом аксиомы E) для квантора Б мы легко полу-
получим, что всякая эквивалентность является а-квазиэк-
вивалентностью.
Обозначим через Хо множество элементов, принадле-
принадлежащих по крайней мере двум разным классам толе-
толерантности. Тогда имеет место
Теорема 8. Если ср есть а-квазиэквивалентность, то
(Бу)(уёХ0).
Доказательство. Пусть у£Х0. Тогда существуют два
разных класса толерантности Кг и АГ2, содержащие у.
Так как классы толерантности не могут быть вложен-
вложенными один в другой и их объединение не может быть
69

классом толерантности, то существуют такие элемен-
элементы л: и г, что xQKi, г£К2> но неверно xyz.
Таким образом,
(Уу&Х0) (Ях) (Яг) (хуу & ycpz & ~] xvz).
Но, в силу условия а-квазитранзитивности, для
высказывательной формы
должно быть
Следовательно, дополнение к Хо является «боль-
«большинством», т. е.
(Бу)(уёХ0).
Доказанная теорема означает, что «большинство»
элементов входит лишь в один класс, т. е. классы ква-
квазиэквивалентности пересекаются по множеству, обра-
образующему «меньшинство».
Заметим, что мы могли бы аксиому транзитивности
взять в более слабой форме:
(Ух) (Б у) (Уг) (xyy&yyz-^xyz).
Тогда теорема 8 была бы уже не верна, но вместо нее
было бы справедливо более слабое утверждение:
для любого класса толерантности К, «большинство»
из его элементов принадлежит только этому классу.
Правда дополнение к этому «большинству» могло бы
совпадать со всем этим классом, если сам класс доста-
достаточно «мал». Отсюда видно, что мы сформулировали
условие а-квазитранзитивности в разумной форме.
И все же — эта форма не является вполне тем, что
могло бы хотеться. Дело в том, что одним из способов
записать условие транзитивности для отношения ср
является соотношение
Ф2сФ) A4)
которое для рефлексивных отношений равносильно ра-
равенству
Ф2 = Ф.
Следующий пример показывает, что а-квазитранзи-
тивность в нашем смысле не гарантирует включения
A4) для «большинства» пар.
70

Пример 14. (Звезда). Пусть Х={Хо, Х\,^Хп) **
отношение ф выполнено для каждого Хг с самим собой
и с Хо. Пусть квантор Б определен на X условием
(Бх)Р(х)=ЛР(х).
Тогда можно утверждать, что
Однако,
(vx){vy)x<f*y.
С другой стороны, как нетрудно проверить, в этом
примере для отношения <р выполнено условие а-ква-
зитранзитивности.
Этот пример подсказывает необходимость введения
другого обобщения транзитивности, связанного с почти
сохранением включения A4).
Определение 30. Отношение ф называется р-квази-
транзитивным, если выполнена аксиома
Б(х, z)(Vy)[xyy&y¥Z-+X¥z]. A5)
Замечание. Легко убедиться, что эта аксиома рав-
равносильна следующему условию:
Б(х, z)\xfz->xyz\,
т. е. утверждает, что включение A4) выполнено «в ос-
основном».
Определение 31. Отношение ф называется р-квази-
эквивалентностью, если оно рефлексивно, симметрично
и р-квазитранзитивно.
Условие р-квазиэквивалентности можно несколько
перефразировать, придав ему более наглядную форму.
Обозначим через Т(х) объединение всех классов, со-
содержащих х, или, иначе
Обозначим теперь
R{x) = (\JK)-T(x)
объединение всех классов /С, пересекающихся с Т(х),
из которого вычтено само Т(х). Очевидно, что z£R(x)
равносильно тому, что xy2z, но не верно xyz. Таким
образом, условие р-квазиэквивалентности равносильно
следующему
71

С помощью A2) из этого условия следует, что для
«большинства» элементов х множество R (х) «мало».
(Иначе говоря, существует такое большинство £р, что
для всех х£Е$ /? (х) есть дополнение к большинству).
Заметим, что когда элемент х входит в единственный
класс толерантности К (х), то Т (х) = К (х). Если ср
удовлетворяет условию а-квазиэквивалентности, то
так будет для «большинства» элементов X, т. е. для
всех х из некоторого большинства Еа- По-видимому,
наиболее естественное понятие квазиэквивалентности
получится, если потребовать одновременно выполнения
а- и ^-квазитранзитивности и вдобавок условия, что
пересечение множеств Еа и Е$ есть большинство.
Пример 15. Пусть М={0, 1,2, 3, 4, 5} и отношение
ср задано условием
Пусть большинством является любое мно-
множество, содержащее не менее четырех элементов.
В этом случае существует единственная пара < 0, 5 ) ,
для которой' выполнено Of25, но не выполнено 0<р5.
Отсюда очевидно, что условие [3-квазитранзитивности
выполнено. Однако для всех #6{1, 2, 3,4} существуют
такие х и z (опять-таки, х = 0 и г = 5), что xyy&yyz
выполнено, но ~^xyz. Тем самым условие а-квазитран-
зитивности не выполнено.
Этот пример в сочетании с предыдущим показывает,
что обе введенные аксиомы квазитранзитивности не
зависимы.
Построим теперь достаточно общий пример отноше-
отношений квазиэквивалентности, показывающий как возни-
возникают отношения, промежуточные между эквивалент-
эквивалентностью и толерантностью.
Пример 16. Пусть на множестве X заданы две
системы подмножеств {f/J, {Vj\, образующие совмест-
совместно покрытие множества X. Пусть множества U{ по-
попарно не пересекаются. Обозначим Х0 = Х— \jVj~
дополнение ко всем множествам Vj. Ясно, что при
xQXQ существует единственное Uh содержащее х.
Пусть Хо есть большинство и пусть отношение ср
определено условием хуу, если существует Ui или Vу,
содержащее одновременно х и у.
72

Можно убедиться, что в этом случае не только
выполнены условия а- и ^-квазитранзитивности, но
также
Исходным содержанием понятия «толерантность» яв-
является понятие «сходства» или «неразличимости».
Свойство симметричности казалось безусловно прису-
присущим обоим эксплицируемым понятиям. Однако, это
убеждение перестает быть столь очевидным, если мы
попробуем интерпретировать сходство как «напоми-
«напоминает об», то есть учтем объективное существование
наблюдателя или прибора, устанавливающего сходст-
сходство. Так, например, можно говорить о том, что карика-
карикатура напоминает об оригинале, но оригинал, вообще
говоря, не напоминает об карикатуре. Поэтому целесо-
целесообразно ввести класс отношений эксплицирующих та-
такое отношение сходства, где дифференцируются «нор-
«нормальные объекты» и «объекты, напоминающие нор-
нормальные». Удобно начать с рассмотрения чисто фор-
формального примера.
Пример 17. Пусть на множестве X имеются две
системы подмножеств {£/J, {Vj}, образующие совмест-
совместно покрытие множества X. Пусть множества Ut по-
попарно не пересекаются и множество Х*= \jUt является
большинством. Определим отношение ср условием:
если 1) существует Ut, для которого x£U-L и уь
либо если 2) существует V-р для которого x(<Vj
и y^Vj и при этом у(*Х*.
Здесь X* содержательно интерпретируется как под-
подмножество «нормальных» объектов, на котором суже-
сужение ср задает эквивалентность.
Отношение ср обладает, как легко убедиться, следую-
следующими свойствами:
1) (Бх) хухух — квазирефлексивность,
2) (Бх) (уу) (хуу-> у^х) — квазисимметричность,
3) (Бх)(Бу)(Уг) [хууhyyz-*xyz\ — разновидность ква-
квазитранзитивности.
Этот пример и соответствующие аксиомы могут слу-
служить отправным пунктом для развития теории сходст-
сходства с учетом асимметричной реакции наблюдателя. Он
73

показывает, что введенный нами квантор большинства
позволяет строить формальные теории с довольно ши-
широким спектром содержательных применений.
10. ЭКСПЕРТНЫЕ ОЦЕНКИ
Пусть теперь X есть множество экспертов, которому
предложено выбрать единственный элемент из мно-
множества {5Ь...,5П}. (Случай, когда эксперт отказы-
отказывается сделать содержательный выбор, мы всегда мо-
можем рассматривать как выбор, введя дополнительный
элемент в предлагаемую совокупность).
Обозначим через А{ совокупность экспертов, совер-
совершивших выбор S{. По условию единственности A-t П Л;.= 0
при 1ф j. Если At(<$!fl(X), то мы будем говорить, что
группа экспертов совершила выбор S(. Это опре-
определение корректно, поскольку один выбор исключает
все остальные. Действительно, при 1ф] AfLAt. Из
А0к{Х) в силу пункта б) определения 1 следует, что
А0к(Х). Но если бы Afi$&(X), то согласно пункту
(в) определения 1 было бы ^\Ь$Ш(Х). Итак, Afi$R(X).
Итак, выбор St исключает все другие выборы.
Рассмотрим для ясности простейший случай, когда
экспертам предложена дилемма. В этом случае можно
считать, что экспертной группе предложен вопрос Я,
на который каждый эксперт может ответить только
«да» или «нет». Обозначим через Р (х) высказывание
вида «эксперт х отвечает на вопрос Р — да». Тогда
естественно условиться, что при фиксированном опре-
определении мажоритарной структуры на множества
экспертов считается, что мнение группы по этому
вопросу положительно, если существует такое мно-
множество экспертов A£$fl(X), что для всех х^А выпол-
выполнено Р(х).
Мнение группы экспертов по вопросу Р считается
отрицательным, если существует такое множество
AQ$fl(X), что при всех х^А высказывание Р (х) ложно.
Легко проверить, что предложенная аксиоматика
«большинства» гарантирует, что мнение группы экспер-
экспертов по данному вопросу не может быть одновременно
положительным и отрицательным. Но возможен слу-
случай, когда группа экспертов по данному вопросу не
имеет ни положительного, ни отрицательного мнения,
74

хотя каждый эксперт имеет и высказывает вполне
определенное мнение.
Из этой схемы видна роль существенных множеств.
Добавление к группе экспертов существенного мно-
множества может превратить ее в большинство. Верхнее
граничное множество — это «неустойчивое» большинство,
портящееся при удалении любого существенного экспер-
эксперта. Отсюда видно также, что из экспертной группы мож-
можно удалить всех несущественных экспертов и ничего не
будет нарушено.
Покажем теперь, что в случае экспертных групп впол-
вполне реальны ситуации, когда большинство не может быть
задано с помощью весов.
Пример 18. Экспертная группа состоит из двоих
математиков, двоих психологов и двоих экономистов, а
большинством считается любая группа экспертов, со-
состоящая из не менее четырех членов, среди которых име-
имеются представители всех^трех профессий. Ясно, что такое
определение большинства вполне естественно при прове-
проведении экспертизы. Можно доказать, что в этом послед-
последнем примере «большинство» не может быть определено
с помощью весовой функции и порога.
Заметим также, что хотя каждый эксперт, по усло-
условию, делает определенный выбор, группа экспертов мо-
может не совершить ни одного из выборов. В этом случае
может возникнуть ситуация повторного выбора, когда
каждый эксперт учитывает голоса других. Такую про-
процедуру можно попытаться уточнить с помощью следую-
следующей схемы.
Пусть для каждого эксперта х&Х определена своя
мажоритарная структура $ЯХ(Х), т.е. каждый эксперт
имеет еще свое мнение о том, что есть большинство
в его группе *. В частности, эксперт х может счи-
считать, что A£$RX(X) только, если xqA (случай пре-
предельного самомнения, когда х признает большинством
те и только те множества, в которые он сам входит).
Примем теперь такое условие: будем считать, что
при повторной экспертизе эксперт X совершит вы-
выбор Sh если на предыдущем шаге Afiflflx (X). Если же
ни одно Агие входит в $ЯХ (X), то этот эксперт х
* Для каждого эксперта X есть свое понятие авторитетного боль-
большинства — референтной группы.
75

останется при прежнем мнении. Заметим, что в слу-
случае предельного самомнения эксперт не меняет
выбора.
Эту процедуру можно итерировать, но простые
примеры показывают, что процесс далеко не всегда
оказывается сходящимся.
С помощью мажоритарных структур $51Х(Х) и ос-
основной мажоритарной структуры $R(X) можно пост-
построить следующую мажоритарную структуру 59? (X).
Пусть имеется множество AczX. Обозначим через
А множество тех экспертов х, при которых
Положим A(<$h(X), если и только если ()
Ясно, что эта конструкция есть частный случай
2-произведения (см. определение 24).
Мажоритарную структуру 9R (X) можно использо-
использовать для уточнения экспертных оценок, поскольку
эта структура учитывает мнения экспертов друг о
друге. В случае предельного самомнения всех экспер-
экспертов имеем ®fl(X)=$!l(X). Интересно выяснить условия
на мажоритарные системы $51Х(Х), гарантирующие
включение $R(X)a$R(X). В этом случае новую мажо-
мажоритарную систему $Я(Х) можно использовать для по-
получения мнения экспертов в сомнительных случаях,
когда «голосование» на основе исходной мажоритар-
мажоритарной системы не приводит к выбору.
С помощью мажоритарных структур можно описы-
описывать и более сложные ситуации экспертных решений.
До сих пор каждый раз эксперт высказывал интег-
интегральное суждение о каждой ситуации St. Но экспер-
экспертиза может быть поставлена более дифференцировано.
Каждая ситуация St может быть представлена в виде
анкеты из множества П признаков тс;.. Каждый тс;. по
условию принимает значения Z{, Z^,...,Z£.. Предполо-
Предположим, что анкеты всех выборов состоят из тех же
самых признаков и экспертная оценка ведется поэтап-
поэтапно, по каждому из признаков, когда каждый эксперт
выбирает одно значение предлагаемого признака.
Опять же, отсутствие мнения у эксперта мы можем
интерпретировать как выбор отмеченного (нейтрально-
76

го) значения у признака. Предположим, что на мно-
множестве признаков к тоже задана мажоритарная
структура ЗК(тг). Тогда мы можем внести следующее
правило определения мнения группы экспертов. Будем
считать, что группа экспертов выбрала ситуацию Sn
если для большин^ва признаков из тс большинство
экспертов выбирает значение, присущее ситуации St.
Непротиворечивость такого определения (однознач-
(однозначность мнения экспертов) основано на следующем
обстоятельстве.
Рассмотрим высказывательную форму ЯДтс, х) =
«Для признака тс эксперт х выбрал значение, соот-
соответствующее ситуации St». Тогда выбор группой
экспертов ситуации Sh по предыдущему определению,
равносилен тому, что (Б^)(Бх) Рг{к, х). Или, иначе,
множество пар (тс, х), для которых истинно высказы-
высказывание Я; (тс, х), является большинством в 59? (ПХ^О-
Наконец, возможен случай, что для большинства
признаков тс;. большинство экспертов выбирает значе-
значение zj. и этот набор значений не соответствует ни-
никакой из предложенных заранее ситуаций.
Тогда можно считать, что эксперты указали на неко-
некоторую «идеальную» ситуацию — эталон. В этом случае
естественно отобрать все ситуации, «близкие» к идеаль-
идеальной, и предложить их на повторную экспертизу.
II. ТЕОРЕМА ОБ ИНВАРИАНТНОСТИ МЕРЫ
И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
Пусть $ft(X)— мажоритарная структура на множест-
множестве X, a G — конечная группа преобразований, действую-
действующая на X и сохраняющая инвариантной $R(X). Это
значит, что для любого g^G из М^Ш следует gAfgSR,
где gM— множество, полученное из М преобразова-
преобразованием g.
Теорема 9. Если мажоритарная структура Ж задает-
задается мерой на множестве X, то эта же мажоритарная
структура может быть задана мерой, инвариантной
относительно группы G.
Доказательство. Пусть большинство на X задается
мерой [л и порогом а (см. A) и B)). Тогда МШ(Х)
равносильно условию [х(УИ)>а. Итак, если
то в силу*условия инвариантности большинства имеем
77

йри всех &р(£Л4)>£. Наоборот, если
то при всех g>(g*/W)< а. Будем рассматривать ^(g
как функцию от g. Тогда, взяв от нее среднее по груп-
группе, мы получим величину \1*(Щ = тг^1 p.(g"AJ), где TV-
число элементов в G.
Легко проверить, что [а*(УИ) является мерой, и что
[л*(/Ш) = [1* (М) для любого h£G. Последнее следует
из того, что отображение группы G в себя самое,
при котором элемент g переходит в hg, есть биекция.
Поэтому
= ±. ^ ц {ghM) = l-yil,(gM) = ^ (M).
Легко видеть, что неравенство ^*(УИ)>а равносиль-
равносильно тому, что /Wg3R, a [i*(/W)< а — тому, что Afe^K.
С помощью этой теоремы легко доказывается немери-
зуемость ряда ситуаций с большинством.
Так, очевидным образом доказывается невозможность
описания через меру и порог примеров 4 и 18.
Из доказанной теоремы легко вытекает важное
следствие. Пусть группа G действует на X транзитив-
но, т. е. для всякой пары элементов jc, y&X сущест-
существует преобразование g^G, переводящее х в g. И пусть
$Л(Х) инвариантно относительно G. Тогда оно задает-
задается мерой, принимающей одинаковые значения на всех
элементах из X.
Рассмотрим еще два любопытных примера.
Пример 19. Рассмотрим множество чисел Хп =
= {0,1, ..., З^-1}, интерпретируемых как вычеты
по модулю 3". Пусть Еп — множество чисел, предста-
вимых в виде jc = a13/l~1 + 023/l~2+ • • .ял, где at = 0 или
2. Обозначим через Еп-\~У множество сумм {х-\-у},
где х$Еп, а сложение понимается по модулю Зп.
Покажем, что для любого целого у&Хп пересечение
Е Е
Для этого достаточно показать, что любое число
у(*Хп представимо как разность двух чисел вида
у=х — х\ где х, х'£Еп.
Доказательство будем вести по индукции. При п=\
наше утверждение проверяется из следующих тождеств:
0 = 0-0; 1=0-2; 2 = 2-0.
78

Предположим, что наше утверждение доказано дли
некоторого п. Это значит, что для любого у&Хп
существуют х и х'£Еп и что у = х — х\ либо у = х —
— х'-\-Зп. Пусть теперь w£Xn+1. Тогда w = $3n-\-y, где
у£Хп и р = 0, 1,2.
Обратим теперь внимание, что любой и^Е^ пред-
представим в виде и = аЗп-{-х, где х^Еп и а = 0 или 2. Мы
хотим показать, что w = u — u' либо w = u — й/ З1
Рассмотрим шесть возможных случаев:
1) ад = #, у = х — х'.
В этом случае и = х, и' = х', w-=u — ur.
2) да = у, у = ^с — х' + Зп.
В этом случае полагаем
или
3) w = y y
Полагаем теперь u = x, и'^=2-Зп-\-х'. Тогда
3 23 31
4) w = 3 y y
Здесь мы положим и = 2-Зп-{-х, u' = xf. Откуда
3 23 3
5) w = 2.3n + y y
Полагаем и = 2-Зп-{-х, и' = х'. В этом случае
— u' = it — u.
6) w--=2. y
Здесь мы положим и = х, и' = х', откуда
Итак, мы доказали по индукции, что для любого
у^Хп пересечение (Еп-\-у)Г\Еп не пусто. Тем самым
можно определить мажоритарную структуру $51 (Хп),
взяв в качестве базиса систему множеств {Еп}. По по-
построению эта мажоритарная структура инвариантна
относительно сдвигов на окружности. Если бы эта
структура задавалась некоторой мерой jjl, to по дока-
доказанной выше теореме эта мера на каждой точке рав-
нялась бы -да-. Но тогда p(En) = l^J , что меньше по-
половины, начиная с п=2. Итак, мерой эта мажоритар-
мажоритарная структура задаваться не может.
79

Более того, этот пример интересен как инвариантная
относительно транзитивной группы преобразований
структура, в которой «большинство» образуется отно-
относительно сколь угодно малой подгруппой участников.
(Ср. пример 5). «Большинство» составляет всего (у)
от общего числа участников, т. е. эта доля может
быть сделана сколь угодно мала.
Важно подчеркнуть здесь условие инвариантности.
Ведь всегда можно сосредоточить большинство в одном
элементе, приписав ему единичный вес. Но эта структу-
структура большинства нарушается любым преобразованием,
сдвигающим этот элемент.
Пример 20 (косвенное голосование).
Пусть множество X разбито на подмножества рав-
k
ной величины: Х= |J Xt и пусть мажоритарная струк-
тура Ш(Х) определена условием: А^Ш(Х), если усло-
условия \A^Xt\>am выполнены не менее чем для fyk
значений индекса L Здесь константы а, р удовлетво-
удовлетворяют условию у <а < 1, у<р<1, a m есть число
элементов в каждом из Хг
Ясно, что эта мажоритарная структура инвариантна
относительно перестановок элементов в каждом под-
подмножестве Хь и перестановок множеств Xt друг с
другом. Эти перестановки образуют транзитивную
группу на X. Отсюда следует, что если эта мажори-
мажоритарная структура задается мерой [х, то меры всех
одноэлементных множеств совпадают (все элементы
1 \ „
имеют одинаковые веса, равные очевидно -г— |. Боль-
Большинство здесь можно образовать, равномерно распре-
распределив по {$k} множествам Х{ п= {am} -{$k} элементов
(по {am} в каждое). Здесь мы обозначаем {х} ближай-
ближайшее справа к х целое число.
Предположим, что {^}<^, что равносильно Р<—г—,
и т~>2. Тогда можно то же самое количество а эле-
элементов перераспределить по подмножествам Xh отняв
один элемент из одного заполненного Xh передав его
в бывшее до тех пор пустым множество X'ju От такой
перестановки полученное множество перестанет быть
80

большинством, а его мера не изменится. Следователь-
Следовательно, при [3<—-г—, #г>2 косвенное голосование не мо-
может быть задано мерой и порогом, а, стало быть, не
равносильно прямому голосованию.
Легко рассмотреть косвенное голосование в v этапов.
Удобный пример состоит в том, что множества по 3 эле-
элемента группируются по три, полученные множества
опять группируются по три и т. д.
Если на каждом этапе большинство задается порогом
в две трети, то множество из ti=2v элементов может
образовать большинство во множестве из N = 3V эле-
элементов. Именно: оставим пустыми — групп самого
высшего уровня. Оставшиеся группы заполним элемен-
2 1
тами на у, оставив пустыми у групп следующего
уровня и т. д.
Относительная доля подмножества, составляющего
большинство из N = 3V элементов, составляет всего
2 \v
у . Сходство конструкции с предыдущим примером
явно не случайно — и там и там речь идет о дискретных
аналогах канторо'ва множества. Итак, чем больше
множество участников голосования, тем меньшая доля
их может образовать большинство при умелой расста-
расстановке в косвенном голосовании.
Ясно, что разбиение N участников на группы по 3 или
около того есть самый эффективный путь выделить ми-
минимально возможное большинство.
Пусть число участников Ar = 3v, а величина мини-
минимального гарантированного большинства n = 2v. Отсюда
v = log2ft —log3Af, а относительная доля «большинства»
среди всех участников равна
Интересно написать выражение этой же доли и
через п\
2
1о^
6-9968 81

кроме того, можно выразить N через /г, увидев
самым, в сколь большом множестве может оказаться
«большинством» множество из п элементов:
Например, 2 элемента способны составлять большин-
большинство среди 3-х, 4 — среди 9-и, 8 среди 27, 16 — среди 81.
В заключение приведем еще одну конструкцию боль-
большинства, получаемого из более простых структур.
Пусть на множестве X заданы мажоритарные
Структуры Жо)(АТ) и пусть 2 = {со} —множество индек-
индексов. Тогда можно определить мажоритарную струк-
структуру ®fl (X) условием: А£$51(Х), если 1) для всех со А
не является меньшинством в структуре ^^(Х) и
2) существует со, для которого А^(д(Х).
Аксиомы мажоритарной структуры здесь проверяют-
проверяются очевидным образом.
Частным случаем этой конструкции может служить
пример 18, где ^^(Х) определяется как ^большинство
из экспертов специальности со. |Этот пример показы-
показывает, что данная конструкция также позволяет полу-
получать мажоритарные структуры, не задаваемые мерой.
Л ИТЕРАТУРА
1. Зиман Э., Бьюкенен О. Толерантные пространства и мозг.—
В кн.: На путях к теоретической биологии. М., «Мир», 1970.
2. Ш р е й д е р Ю. А. Равенство, сходство, порядок. М., «Наука»
1971.

УДК 510.22
Н. #. Виленкин, Ю. А. трейдер
ПРИНЯТИЕ ЭКСПЕРТНЫХ РЕШЕНИЙ
НА ОСНОВЕ МАЖОРИТАРНЫХ СТРУКТУР
Принятие решений на основе экспертных оценок име-
имеет целью получить от группы экспертов мнение более
надежное, чем может дать отдельный эксперт. В работе
[I] разработан математический аппарат, описывающий,
в частности, логику принятия решений в группе экспер-
экспертов. В настоящей статье анализируются содержатель-
содержательные соображения, положенные в основу аксиоматики
мажоритарных структур, введенных в [I], и приводятся
некоторые новые формальные результаты о мажоритар-
мажоритарных структурах на конечных множествах.
Представим себе группу из п экспертов, которая
должна на поставленный вопрос ответить «да» или
«нет». Чтобы эксперты могли действовать как группа,
способная принять решение в случае расхождения во
мнениях, они должны заранее договориться о логике
принятия решений. Эта логика может быть описана в
том, что среди экспертов заранее выделяются особые
группировки — коалиции, достаточные для принятия ре-
решения всей группой. В более точной формулировке это
означает следующее.
Назовем коалицией подмножество Е множества экс-
экспертов, если из того, что все эксперты из Е высказыва-
высказывались одинаково, следует, что группа экспертов прини-
принимает именно это решение. Мы предполагаем, что груп-
группа экспертов обладает устойчивой логикой принятий ре-
решений, то есть можно заранее указать, какие подмно-
подмножества образуют коалиции, достаточные для принятия
б* 83

решений во всех случаях, когда перед экспертами по-
поставлен некоторый вопрос. Например, можно считать,
что эксперты всегда принимают решения простым
большинством голосов. Тогда любое подмножество, со-
состоящее из более чем половины экспертов, образует коа-
коалицию. Вообще говоря, возможны и совсем другие ло-
логики принятия решений, когда коалиции состоят из
очень маленькой доли экспертов. Заметим, что хотя
сами эксперты действуют по двузначной логике (каж-
(каждый говорит «да» или «нет»), группа экспертов дейст-
действует по трехзначной логике («да», «нет» и «не знаю»).
Последний случай возникает, если не оказалось ни коа-
коалиции, единодушно сказавшей «да», ни коалиции, еди-
единодушно сказавшей «нет». Как мы увидим, бывают и
такие мажоритарные структуры, где ответ «не знаю» —
невозможен. Это так называемые максимальные мажо-
мажоритарные структуры. Мы выясним теперь, каким услови-
условиям должно удовлетворять такое множество коалиций,
чтобы группа экспертов давала ответы на вопросы не-
непротиворечивым образом. Нельзя допустить логической
возможности того, что одна коалиция, £ь одинодушно
говорит «да», а другая коалиция, £2, единодушно говорит
«нет». Но это возможно в том и только том случае,
когда эти две коалиции не содержат ни одного общего
эксперта. Итак, мы получаем
Условие непротиворечивости: любая пара коалиций
имеет непустое пересечение или, в теоретико-множест-
теоретико-множественной записи,
Это условие равносильно следующему: дополнение к
коалиции не содержит коалиции.
Пусть теперь Е — коалиция, а £\, содержащее эту
коалицию, множество экспертов. Если все эксперты из
Ei отвечают единодушно на вопрос, то столь же едино-
единодушно отвечают на этот вопрос все эксперты из Ecz.E\.
Но поскольку Е — коалиция, то это мнение принимается
всей группой экспертов. Тем самым из того, что все экс-
эксперты из Е{ принимают одно и то же мнение, следует,
что вся группа экспертов X соглашается с этим мнением,
т. е. Е\ также образует коалицию. Иначе говоря, от при-
присоединения к коалиции дополнительных экспертов она
не перестает быть коалицией. Так получается
84

Условие устойчивости: Если Е коализация,то любое со-
содержащее Е множество экспертов Е\ тоже является
коалицией.
И, наконец, естественно потребовать, чтобы выпол-
выполнялось
Условие существования: Среди множества экспертов
можно найти хотя бы одну коалицию.
Из последних двух условий можно вывести, что все
множество экспертов X образует коалицию.
Если на множестве X определена система подмно-
подмножеств — коалиций, удовлетворяющих перечисленным
условиям, то мы будем говорить, что на X задана мажо-
мажоритарная структура, а совокупность коалиций будем
обозначать через ш {X).
В этом определении, которое впервые введено в рабо-
работе [1], содержится важная идея, что перечисленные (вы-
(выше условия 'Непротиворечивости, устойчивости и сущест-
существования коалиций лолностью определяют классы воз-
возможных систем коалиций. Иначе говоря, эти условия
аксиоматически задают класс мажоритарных структур,
которые описывают все возможные логики принятия ре-
решений в группе экспертов. Разумеется, эти логики не
учитывают возможности влияния экспертов друг на
друга. Если бы мы хотели это учесть, то надо было бы
описывать структуры взаимных осознаний экспертов —
их способы моделировать мнение друг друга.
В работе [1] вместо термина «коалиция» употребляет-
употребляется термин «большинство». Это может привести к неко-
некоторой путанице, поскольку коалиция может (как пока-
показывают примеры из [1] и [2]) содержать сколь
угодно малую относительную долю элементов. Самое
нетривиальное здесь в том, что этот эффект возникает
и для однородных мажоритарных структур, где все экс-
эксперты равноправны. В работе [2] установлена нижняя
оценка для численности коалиций при условии равно-
равноправности экспертов. В этом случае коалиция не может
иметь меньше чем fn элементов, однако, как показы-
показывает приведенный в [2] пример, может состоять меньше
чем из 2"|/п экспертов.
Многочисленные примеры из [1] и [2] показывают,
что на одном и том же множестве X можно задавать
весьма разнообразные мажоритарные структуры.
§5

Наряду с совокупностью коалиций №(Х), можно
рассматривать совокупность дополнений к коалициям
SR* (X). По условию непротиворечивости, ни одно мно-
множество из 9К* (X) не является коалицией. Между сово-
совокупностями $R(X) и Ж*(Х) имеется взаимно-однозначное
(биективное) соответствие: каждому множеству из
$Ш(Х) однозначно соответствует его дополнение —
множество из Ж* (X), и обратно, каждому множеству
из Ж* (Л") однозначно соответствует его дополнение —
коалиция из $R(X). Отсюда следует, что ЩХ) и %* (X)
содержат одно и то же количество множеств, которое
мы обозначим через т. Поскольку общее количество
подмножеств множества X из п элементов равно 2п,
мы имеем
или
Рассмотрим теперь совокупность В1(Х) подмножеств
X, не входящих ни в т (X), ни в $Я*(Х), т. е. не являю-
являющихся ни коалициями, ни дополнениями к коалициям.
Такие множества естественно назвать блокирующими
(см. также [1]). Если такое множество экспертов ска-
скажет «да», этого еще недостаточно, чтобы вся группа
сказала «да» (это ведь коалиция!), но достаточно,
чтобы группа экспертов не могла сказать «нет», ведь
дополнение к этому множеству тоже не образует коа-
коалиции.
Если мы стремимся к наибольшей надежности суж-
суждения экспертов, то систему коалиций следует строить
так, чтобы «между» коалициями и дополнениями к ним
существовала бы основательная прокладка из блоки-
блокирующих множеств. Так, можно считать коалицией толь-
только само множество X (решение принимается только
единогласно). Тогда блокирующим оказывается лю-
любое подмножество X, отличное от самого X и пустого
множества.
Наоборот, если мы стремимся к тому, чтобы группа
экспертов давала как можно в большем числе ситуа-
ситуаций определенные ответы, то структуру коалиций нужно
выбирать так, чтобы блокирующих множеств было как
можно меньше. Тогда сразу возникает вопрос: можно
ли любую структуру коалиций пополнить так, чтобы

блокирующих множеств вообще не осталось? Мы уви-
увидим сейчас, что на этот вопрос можно дать утверди-
утвердительный ответ.
Так, если п — четное число, а решения принимаются
простым большинством, то любое множество из п/2
экспертов будет блокирующим. Оно не образует коали-
коалиции, но и дополнение к нему тоже.
Лемма. Если Е блокирующее множество, а Ег—
коалиция, то Ес]Ег^=0. Обратно, если/: не коалиция
и для всякой коалиции Ех Efi^i^ 0, то Я —блоки-
—блокирующее множество.
Действительно, если бы ЕГ\Е1=0, то Ех входило
бы в дополнение к Е, то есть дополнение к Е было
бы коалицией, что невозможно по определению бло-
блокирующего множества. Если же всякая коалиция Ех
имеет с Е непустое пересечение, то Е не может быть
дополнением к коалиции. Так как по условию Е не
является коалицией, то Я —блокирующее множество.
Обозначим через b число всех блокирующих мно-
множеств. Очевидно, что
2т+Ь=2п
или
„=2--*-- B)
Отсюда, в частности, видно, что общее количество
блокирующих множеств четно.
Если имеется некоторая мажоритарная структура
Ж(Х) на группе экспертов X, то возможны следую-
следующие ситуации*. Группа экспертов, говорящих «да»,
образует коалицию, входящую в Ж(Х). Тогда вся
группа экспертов присоединяется к этому мнению. Груп-
Группа говорящих «нет» образует коалицию, и вся группа к
ней автоматически присоединяется. И, наконец, группа
говорящих «да» образует блокирующее множество. Тем
самым и ее дополнение — группа говорящих «нет» также
образует блокирующее множество. В этом случае группа
экспертов не имеет мнения. Возникает вопрос: нельзя ли
расширить совокупность коалиций (погрузить мажори-
мажоритарную структуру^ (X) в более широкую мажоритарную
структуру йй' {X)), чтобы в ранее сомнительных случаях
группа экспертов могла бы давать ответ?
* Предполагается, что каждый эксперт высказывает четкое мне-
мнение; «да» или «нет».
§7

Будем называть мажоритарную структуру ()
максимальной, если к ней нельзя присоединить никако-
никакого множества с сохранением условия непротиворечиво-
непротиворечивости. (Условие существования удовлетворяется и при
присоединении новых коалиций, а условие устойчивос-
устойчивости легк'о удовлетворить, присоединив все множества,
содержащие вновь присоединенную к 9К(Х) коалицию).
В силу леммы мы можем присоединить к мажоритар-
мажоритарной структуре только какое-то одно из блокирующих
множеств. Итак, для того чтобы $51 (X) была макси-
максимальной, необходимо и достаточно, чтобы не было
блокирующих множеств:
В1(Х)=0.
Ясно также, что отсутствие блокирующих множеств
необходимо и достаточно для того, чтобы группа экспер-
экспертов работала по двузначной логике — не имела возмож-
возможности сказать «не знаю».
Из этого факта вытекают очень любопытные следст-
следствия.
Во-первых, если мажоритарная структура максималь-
максимальна, то группа экспертов в любом случае принимает чет-
четкое решение. Действительно, либо множество экспертов,
говорящих «да», образует коалицию, либо его дополне-
дополнение (множество экспертов, сказавших «нет») образует
коалицию.
Во-вторых, всякую мажоритарную структуру можно
дополнить до такой, которая будет во всех случаях
принимать однозначное решение. В самом деле, если
$Я (X) не максимальна, то, пополняя ее, мы, в конце
концов, придем к максимальной мажоритарной струк-
структуре, содержащей искомую. А максимальная мажори-
мажоритарная структура всегда принимает однозначное ре-
решение.
В-третьих, формула B) для максимальных мажори-
мажоритарных структур дает (поскольку й = 0)
т = 2^~1. C)
Таким образом, число коалиций для максимальной ма-
мажоритарной структуры на множестве X зависит только
от числа элементов в самом множестве X и определяет-
определяется равенством C). Нетривиальность этого результата
видна из того, что максимальные мажоритарные струк-
структуры могут быть весьма различно устроены.

Последнее обстоятельство отчетливо видно из следую-
следующей интерпретации полученного нами результата.
Рассмотрим совокупность Я1(Х) подмножеств конеч-
конечного множества X, удовлетворяющую только условию
непротиворечивости, т. е. состоящую из попарно пере-
пересекающихся подмножеств. Совокупность Ш(Х) называ-
называется максимальной, если не существует не входящего
в эту совокупность подмножества, пересекающегося
со всеми подмножествами из Я1(Х). Если Я1(Х) не
максимальна, то ее, очевидно, можно пополнить до
максимальной.
Теперь заметим, что максимальная совокупность
Я1(Х) является одновременно максимальной мажоритар-
мажоритарной структурой. В самом деле, если некоторое мно-
множество Е входит в №(Х), а множество ExzdE, то
либо Ег тоже входит в Я1(Х), либо его можно присое-
присоединить, не нарушив условия непротиворечивости.
Действительно, если ЕГ)Е2=£=0, то Ех{\Е2=ё 0-
Таким образом, максимальная совокупность ()
удовлетворяет условию устойчивости. Условие сущест-
существования проверяется тривиально. Тогда из предыдущих
результатов мы получаем простое комбинаторное след-
следствие о системах попарно пересекающихся множеств:
Если Я1(Х) система попарно пересекающихся мно-
множеств в множества X из п элементов, то она состоит
из не более чем 2п~1 множеств. Если в систему Ш(Х)
входит менее чем 2п~1 множеств, то эту систему мож-
можно пополнить до системы, содержащей ровно 2n~i
попарно пересекающихся подмножеств множества X
Разумеется, этот результат можно было бы получить,
не опираясь явным образом ,на понятие мажоритарной
структуры. Но это было бы только лицемерной маски-
маскировкой реально существующей связи понятий.
Этот результат допускает еще одну любопытную ин-
интерпретацию. Рассмотрим множество В*(Х) всех не-
непустых подмножеств множества X с заданным на нем
отношением т, определенным условием: Е\%Е2 равно-
равносильно Е\[>\Е2ф0. Легко проверить, что это отношение
рефлексивно и симметрично, т. е. является отношением
типа толерантности (ср. [3], где В*(Х) обозначено как
пространство толерантности Sn).
Классом толерантности называется [3] множество
элементов, находящихся попарно в отношении т, к ко-
89

торому нельзя присоединить новый элемент, сохранив
при этом свойство попарной толерантности.
С учетом этого определения предыдущий результат
допускает следующую формулировку: в пространстве
толерантности Sn каждый класс толерантности содер-
содержит ровно 2п~1 элементов. В [3] эта оценка установле-
установлена лишь для классов толерантности, образующих един-
единственный базис в Sn. Полученная связь между строени-
строением мажоритарных структур и классов толерантности не
столь неожиданна — оба эти понятия возникли из попы-
попыток эксплицировать понятие «почти».
Л ИТЕРАТУРА
1. Виленкин Н. Я-, Шрейдер Ю. А. Мажоритарные структу-
структуры. Настоящий сборник
2. Шрейдер Ю. А. Оценка численности однородных решающих
коалиций.— «Кибернетика», 1977, № 1.
3. Шрейдер Ю. А. Равенство, сходство, порядок. М., «Наука»,
1971

УДК 801.541.2
Е. В. Падучева
ПОНЯТИЕ ПРЕЗУМПЦИИ
В ЛИНГВИСТИЧЕСКОЙ СЕМАНТИКЕ
Возросший за последние годы интерес к семантике су-
существенно расширил доступные лингвистике сферы ана-
анализа языка и одновременно сделал более естественным
использование в лингвистике идей и понятий, впервые
выдвинутых в логике. Одним из понятий, которое воз-
возникло в рамках логического анализа языка, а потом
стало использоваться в лингвистической семантике, яв-
является понятие презумпции — ср. нем. термин Voraus-
setzung, англ. presupposition*.
§ 1. СЕМАНТИЧЕСКАЯ ПРЕЗУМПЦИЯ
Понятие презумпции было впервые введено Фреге
[1], а потом, спустя долгое время, подробно рассмотре-
рассмотрено Стросоном [2]. В последние годы интерес к пробле-
проблеме презумпций существенно возрос, ср. обзорные работы
логического направления — Селларс [3], Ван-Фрассен
[4], Нерлих [5], Кемпсон [6],— а также первые исполь-
использования этого понятия в лингвистике — Дюкро [7J,
Беллерт [8], Филлмор [9], Лаков [10], Кипарские
* Перевод этих терминов на русский язык не вполне устоялся.
Мы отдаем предпочтение термину «презумпция», поскольку он давно
использовался в русской логической литературе — например, в соче-
сочетаниях презумпция существования, презумпция единственности,—
именно в качестве эквивалента для английского presupposition.
Однако во многих . работах, например, в [12], используется каль-
калька presupposition — пресуп озиция.

[11]. Существо проблематики, охватываемой этим поня-
понятием, таково*. *
Предложения естественного языка не являются се-
семантически элементарными, а разлагаются на смысло-
смысловые компоненты. Семантический анализ в логике (а в
последнее время — ив лингвистике) выделяет в предложе-
предложении в первую очередь такие смысловые компоненты, кото-
которые сами по себе могут составить предложение, т. е. ком-
компоненты сентенционального типа (предикации). Напри-
Например, в предложении Наполеон встретился с Александром
в Тильзите можно выделить два сентенциональных ком-
компонента: Наполеон встретился с Александром; это бы-
было в Тильзите. Логику интересуют прежде всего те свя-
связи между предложением и его смысловыми компонен-
компонентами, которые состоят в том, что истинность суждения,
соответствующего всему предложению, зависит от ис-
истинности суждений, соответствующих составляющим
компонентам, поскольку конечная задача логической се-
семантики — описание условий истинности предложений.
Как известно, лингвистическая семантика, вообще гово-
говоря, не занимается истинностью предложений, а описыва-
описывает их смысл, определяемый через внутриязыковую сино-
синонимию (ср. известное определение Р. Якобсона [15, с. 233]:
«Значение языкового знака — это его перевод в другой
знак, прежде всего в такой, в котором его значение вы-
выявлено более полно»). Оказывается, однако, что даже
приняв, что истинность целых предложений не входит в
компетенцию лингвистики, лингвист не может полностью
отвлечься от вопроса об истинности суждений, состав-
составляющих смысловые компоненты предложений, посколь-
поскольку истинность или ложность этих суждений в некоторых
случаях обуславливает не истинность, а осмысленность
предложения в целом (а иногда и его грамматическую
правильность), его способность к синонимическим пре-
преобразованиям и другие заведомо существенные семанти-
семантические свойства. Рассмотрим, например, следующие
предложения:
A)? Иван знает, что Нью-Йорк — столица
* Литература, посвященная понятию презумпции, весьма обширна
и данный обзор имеет целью лишь отразить принципиальные аспек-
аспекты проблемы, не претендуя на полноту в библиографическом отно-
отношении.
** Здесь и ниже? — знак семантической аномальности,
92

B)? Человек которому удалось построить перпетуум
мобиле, был самоучкой',
C)? Суданские негры еще выше, чем пигмеи.
Эти предложения очевидным образом аномальны. Их
аномалия состоит, в частности, в том, что они не явля-
являются ни истинными, ни ложными. Действительно, отри-
отрицание ложного предложения дает истинное; между тем
предложения A), B) при отрицании дают предложения
в той же степени аномальные*:
(Г)? Иван не знает, что Нью-Йорк — столица США;
B/)? Человек, которому удалось построить перпетуум
мобиле, не был самоучкой.
Источник аномальности этих предложений легко об-
обнаружить, причем — несмотря на внешние различия
предложений A) — C) —он во всех трех предложениях
один и тот же; это ложность некоторых компонентов в
их семантической структуре:
(V) Нью-Йорк —столица США;
B") Имеется человек, которому удалось построить пер-
перпетуум мобиле;
C") Пигмеи высокого роста.
Из рассмотрения явлений такого рода возникает сле-
следующее понятие презумпции:
Определение 1. Предложение Р является презумп-
презумпцией предложения 5, если ложность Р влечет семанти-
семантическую аномальность 5 (или иначе: если истинность Р
является необходимым условием семантической нор-
нормальности 5).
В соответствии с этим определением мы можем дать
следующее объяснение аномальности предложений
A) — C): предложения A) — C) аномальны потому,
что они имеют ложные презумпции.
Кроме презумпций, компонентами смысла предложе-
предложения являются его утверждения. Утверждения могут
быть истинными или ложными, и это не делает предло-
предложение аномальным. Так, в A) —C) утверждениями бу-
будут, соответственно, Иван знает нечто; Некоторый че-
человек был самоучкой; Суданские негры выше, чем
пигмеи.
* Предложение C) не может быть подвергнуто этому тесту, по-
поскольку оно (как, впрочем, и «правильные» предложения той же
структуры — например, C'") Суданские негры еще выше, чем скан-
скандинавы) не имеет естественного отрицания, см. ниже.
93

Определение 1 соответствует тому понятию презумй-
ции, которое выявляется из упоминавшихся работ Фре-
ге и Стросона. В более поздних работах определение 1
подверглось модификации, которую можно описать сле-
следующим образом (см. Ван-Фрассен, [4]. В соответст-
соответствии с определением 1, истинность презумпции Р являет-
является обязательным условием семантической нормаль-
нормальности предложения (т. е., в логических терминах, сле-
следует из нормальности S). Если принять, что семанти-
семантическая нормальность означает, для утвердительного
предложения, что предложение 5 либо истинно, либо
ложно, то в таком случае Р есть презумпция S, если
(=э —знак импликации, «следует»):
ИСТИННО (S) Z) ИСТИННО (Р),
ЛОЖНО (S) и ИСТИННО (Р).
Далее, поскольку ЛОЖНО E) = ИСТИННО ("|S), фор-
формулировку можно изменить ("I— знак отрицания,
«неверно»):
ИСТИННО (S) z> ИСТИННО (Р),
ИСТИННО (~|S) z> ИСТИННО (Р),
откуда следует, что Р есть презумпция S, если
В результате мы получаем несколько иное определение
понятия презумпции (Ван-Фрассен [4], Карттунен [16],
Кинан [17] и др.):
Определение 2. Предложение Р является презумп-
презумпцией предложения 5, если оно следует как из S, так
и из отрицания S*.
Различие между презумпцией и обычным следствием
состоит в том, что презумпция является следствием не
только данного предложения, но и его отрицания. Так,
из предложения D) Иван не выходит из дому следует
предложение Иван не ходит на работу; однако это
* Вообще говоря, не обязательно считать, что осмысленное утвер-
утвердительное предложение обязательно является либо истинным, либо
ложным; ср., например, статью Смайли «Смысл без истинностного
значения» [31], где допускается, что осмысленные предложения мо-
могут быть трех видов — истинные, ложные и не имеющие истинност-
истинностного значения. В этом случае, однако, определение 2 уже нельзя
будет вывести из определения 1, т. е. связь между двумя определе-
определениями утратится.
94

предложение нельзя вывести из D') Иван выходит из
дому, следовательно, оно не является презумпцией
предложения D).
Как мы видим, определение 1 выводит понятие пре-
презумпции и зопнятия семантически аномального предло-
предложения, а определение 2 предполагает, что для предло-
предложения определено его отрицание.
Инвариантность презумпций относительно отрицания,
выражаемая определением 2, отмечается еще у Фреге
[1]. В некоторых работах неизменность презумпций при
отрицании рассматривается не как определение презум-
презумпций, а как основное их свойство (например, в [18]).
Ниже следуют комментарии к определениям 1 и 2 и
к их использованиям в лингвистическом анализе.
Комментарий 1. В определениях 1 и 2 презумпция
считается предложением, а отношение между предложе-
предложением и его презумпцией рассматривается как частный
случай отношения следования. Для лингвистических при-
применений естественнее считать презумпцию не предложе-
предложением, а смыслом предложения (потерминологии Фре-
Фреге — суждением), а отношение между презумпцией и пред-
предложением, имеющим данную презумпцию, — отношением
«быть смысловым компонентом» (ср. Лаков [10], Карт-
тунен [16]). Таким образом, определение 2 может быть
переформулировано так: Р есть презумпция предложе-
предложения S, если Р является смысловым компонентом как
предложения S, <гак и отрицания S.
Удобно, впрочем, допускать такое словоупотребление,
при котором предложение, выражающее презумпцию,
само тоже называлось бы презумпцией (неразличение
такого рода принято, например, в русской логической
терминологии, где термин «высказывание» употребляет-
употребляется нерасчлененно для обозначения предложений и вы-
выражаемых ими сужедний, [19]). Поэтому можно счи-
считать, что презумпцию, например, предложения^ A) в
равной мере допустимо записывать как 'Нью-Йорк —
столица США' и как Нью-Йорк— столица США.
С интуитивной точки зрения кажется оправдано го-
говорить о презумпции как о следствии, поскольку пре-
презумпция— это обычно такой компонент смысла предло-
предложения, который присутствует в нем с той или иной до-
долей неэксшшцитноста. Ср., и а пример, насколько неэксп-
неэксплицитно выражает предложение C) свою презумпцию
95

C"). Однако использовать в лингвистике понятие сле-
следования там, где это не обусловлено строгой необходи-
необходимостью, едва ли целесообразно.
В содержательном отношении логическое понятие
«следует» и лингвистическое «является смысловым ком-
компонентом» не так уж далеки друг от друга. Ср. в логи-
логике теорию аналитической импликации [20], где след-
следствием данного предложения может быть только какой-
то из его компонентов.
Комментарий 2. В некоторых лингвистических
работах (см., например, [9], [21]) презумпция предло-
предложения определяется как факт, который должен иметь
место для того, чтобы предложение было семантически
нормальным. Определения 1 и 2, согласно которым пре-
презумпция— это предложение или суждение, представля-
представляются, однако, предпочтительными, поскольку позволяют
не обращаться в семантическом описании предложения
к фактам, т. е. к объектам принципиально иного рода.
В то же время указать факт, который должен иметь
место для того, чтобы данное предложение было осмыс-
осмысленным,— это всегда то же самое, что выделить какой-
то компонент в его семантическом представлении. Так,
утверждение, что условием нормального употребления
предложения E) Я надеюсь, что он придет является
тот факт, что его приход желателен, равносильно ут-
утверждению о том, что смысловой компонент 'Его приход
желателен' входит в семантическое представление пред-
предложения E).
Комментарий 3. Иногда встречаются формули-
формулировки, согласно которым ту или иную презумпцию имеет
говорящий или слушающий (противопоставление «пре-
«презумпция говорящего — презумпция предложения» по-
подробно рассматривается Гарнером [22]). Поэтому сле-
следует подчеркнуть, что в определениях 1 и 2 носителями
презумпций являются не говорящие, а предложения:
презумпции входят в семантические представления пред-
предложений. Действительно, упоминание о говорящем в
контексте определений 1 и 2 избыточно: набор презумп-
презумпций данного предложения (если это предложение с
определенным смыслом) однозначно определяется са-
самим предложением, т. е. является объективным фактом
его семантической структуры и не зависит от говоряще-
говорящего, слушающего и вообще от речевой ситуации.
96

Другое дело, что суждения об истинности одной и
той же презумпции могут быть у разных носителей язы-
языка различны, и потому одно и то же предложение мо-
может быть для одного человека осмысленным, а для дру-
другого— нет. Так, возможно, для некоторых людей будут
семантически нормальны предложения A) — C). Поня-
Понятие презумпции позволяет охарактеризовать в общем
виде условия нормальности предложения, не предопре-
предопределяя его нормальность однозначно*.
Различные оценки истинности одного .и того же пред-
предложения возможны не только из-за субъективности
суждений, свойственной людям, но и из-за того, что
большинство предложений, реально используемых в ре-
речи (исключая относительно небольшой класс предложе-
предложений с собственными именами или кванторными словами
типа Кеплер открыл эллиптическую форму орбит небес-
небесных тел; Иван Грозный убил своего сына; Все прямые
углы равны между собой), содержат отсылки к акту
речи (т. е. дейктические, или указательные, элементы)
и, в силу этого, в каждом новом случае употребления в
речи описывают «новую ситуацию, хотя смысл предложе-
предложения остается один и тот же. Например, предложение
Обед готов, имея в разных своих употреблениях один и
тот же смысл, может быть то истинным, то ложным.
Соответственно, и осмысленность предложения с дейк-
тическими элементами в презумпции непостоянна. На-
Например, употребление предложения F) Моя жена —
милейший человек семантически аномально, если гово-
говорящий— женщина, поскольку в данном акте речи
ложно предложение У говорящего есть жена, которое
является презумпцией предложения F).
Предложение может быть аномально и безотноситель-
безотносительно к внеязыковой ситуации — если некоторые из его
презумпций противоречат не устройству мира (т. е.
ложны), а каким-то другим смысловым компонентам
предложения. Например, сочетание воспоминания о бу-
будущем (пример из [23]) содержит аномальность, соз-
создаваемую нарушением презумпции о том, что вспоми-
* На первый взгляд парадоксальным, но, тем не менее, вполне
справедливым оказывается вытекающее из этих определений заклю-
заключение, что человек с более богатым запасом сведений (или убежде-
убеждений) имеет больше оснований отвергнуть то или иное предложение
как бессмысленное в силу ложных презумпций.
7—9968 97

натЬ можно только о том, что было или есть, входящую
в значение слова вспоминать. Предложение с данным
сочетанием, впрочем, может быть осмыслено — за счет
добавления в его семантическое представление какой-то
окказиональной презумпции, например, 'Будущее — то
же, что прошлое'.
Есть и другие способы «осмыслить» предложение, ко-
которое содержит ложные презумпции, — приняв допуще-
допущение, что это говорящий считает данную презумпцию ис-
истинным предложением; что говорящий только делает вид,
что считает данную презумпцию истинным предложени-
предложением^ т.д. Однако осмысления такого рода происходят
за счет разрушения нормальной ситуации общения.
Комментарий 4. Ценность определения 2 состоит
в том, что оно сводит презумпцию как условие семан-
семантической нормальности предложения к понятию отрица-
отрицания, т. е. к семантическому соотношению между данным
предложением и соответствующим ему отрицательным.
Действительно, если отрицание для данного предложе-
предложения определено, то компоненты семантического пред-
представления, которые оказываются презумпциями в соот-
соответствии с определением 2, всегда будут таковыми и с
точки зрения определения 1. Иначе говоря, определение
2 дает относительно формальный критерий для выявле-
выявления презумпций в смысле определения 1.
Не всегда ясно, однако, какое предложение является
для данного предложения 5 отрицанием. А именно,
здесь возможны следующие соотношения.
1. Предложение 5 имеет соответствующее ему грам-
грамматически отрицательное; т. е. смысл 'Неверно, что 5'
может быть выражен добавлением в 5 отрицательной
частицы (или частиц) и, быть может, какими-то сопут-
сопутствующими преобразованиями, [24]; так, Неверно, что
отрезки а и b равны = Отрезки а и b не равны.
2. Предложение 5 не имеет соответствующего ему
грамматически отрицательного. Здесь различаются сле-
следующие случаи:
а) Смысл 'Неверно, что 5' понятен, но не может быть
выражен добавлением отрицания в 5. Эта ситуация
имеет место, например, для предложения C"') Судан-
Суданские негры еще выше, чем скандинавы, означающего
'Скандинавы высокие <презумпция>; суданские негры
выше их <утверждение>': 'Неверно, что C///)' = 'Скан-
98

Дйнавы высокие <презумпция>; суданские негры нб
выше их <утверждение>'.
б) Смысл 'Неверно, что S' неоднозначен, т. е. может
быть перефразирован так: То ли не 5Ь то ли не 52, то
ли ни то, ни другое, причем неизвестно, что именно'.
Неоднозначность возникает в том случае, если предло-
предложение 5 содержит более чем одно утверждение (т. е.
конъюнкцию двух или нескольких утверждений).
в) Смысл предложения Неверно, что S вообще непо-
непонятен. Ср. предложение G) Скоро апрель, а на дворе
мороз; предложение Неверно, что G) даже не допу-
допускает перефразировок.
Если отрицание предложения неоднозначно или не
определено (как в пп. 26, 2в), то определение 2 к нему
неприменимо. Так, в предложении G), согласно опреде-
определению 1, имеется вполне определенная презумпция — о
несоответствии соединяемых компонентов (точнее, обоз-
обозначаемых ими фактов) друг другу: 'Если скоро апрель,
то, вообще говоря, не должно быть мороза', [25]. Дей-
Действительно, предложение G'), хотя оно синтаксически
подобно G), аномальное, поскольку для компонентов
предложения (Т) трудно усмотреть их несоответствие
друг другу:
G/)? Скоро январь, а на дворе мороз.
Между тем определение 2 не дает для предложения
G) никаких определенных результатов.
Комментарий 5. Классическая логика рассматри-
рассматривает только такие предложения, которые выражают
суждения, т. е. являются, в каждом случае их естест-
естественного употребления, истинными или ложными. Между
тем при лингвистическом анализе естественно понимать
определение 1 таким образом, чтобы оно было примени-
применимо не только к утвердительным предложениям (выража-
(выражающим суждение), но и к предложениям, содержащим
вопросы, просьбы, выражения чувств и прочее. При
этом, однако, определение 2 перестает быть «поддерж-
«поддержкой» определения 1, поскольку к неутвердительным
предложениям оно, как правило, будет неприменимо;
что значит, например, '("(Закрой дверь!)' или '~|(Кото-
рый час?)?
Комментарий 6. В определениях 1 и 2 различие
между утверждением и презумпцией никак не связано со
степенью информативности этих смысловых компонен-
7* 99

Тш. Так, в соответствии с этими определениями в пред-
предложении (8) Иванов покупал холодильник с энтузиаз-
энтузиазмом (пример Дюкро [7]) 'Иванов покупал холодиль-
холодильник' — презумпция, независимо от того, известна ли эта
информация слушателю в том или ином акте речи.
Если истинностное значение презумпции Р неизвестно
слушающему, то слушающий, как правило, прини-
принимает истинностное значение Р за положительное — в
силу исходной предпосылки об осмысленности языково-
языкового текста, которая лежит в основе взаимопонимания
между людьми (см. об этом в работе Беллерт [8]).
Естественно, что самому говорящему презумпции
предложения — как, впрочем, и все его содержание —
должны быть известны. Поэтому предложение (9), ко-
которое гласит, что говорящему неизвестно то, что являет-
является презумпцией произносимого им предложения, ано-
аномально:
(9) ? Я не знаю, что Иван собирается уехать.
Предложение (Юа), где субъектом при глаголе знать
не является говорящий, и предложение A06) с глаго-
глаголом знать в прош. времени, естественно, нормальны:
A0) а. Он не знает, что Иван собирается уехать;
б. Я не знал, что Иван собирается уехать.
Комментарий 7 (о презумпциях у Фреге). Фреге
допускает лишь один вид презумпций — презумпции,
связанные с употреблением имен и дескрипций (так
называемые экзистенциальные презумпции, или презумп-
презумпции существования [27]). См. [1], с. 69: «Если мы что-
либо утверждаем, то всегда имеется презумпция, что
все простые и сложные имена в нашем утверждении
имеют денотаты». Пример Фреге: предложение A1)
Тот, кто открыл эллиптическую форму орбит небесных
тел, умер в нищете имеет презумпцию (И') Был чело-
человек, который открыл эллиптическую форму орбит небес-
небесных тел. Если предложение A1') ложно, то предикат в
суждении A1) (умер в нищете) относится к сложному
имени (тот, кто открыл эллиптическую форму орбит
небесных тел), которое не имеет денотата, так что суж-
суждение A1) тоже не имеет денотата, т. е. не может быть
ни истинным, ни ложным. Другой пример. Для предло-
предложения A2) После того, как Шлезвиг-Голштейн был
отторгнут от Дании, между Австрией и Пруссией возник
конфликт обязательной предпосылкой того, чтобы оно
100

имело истинностное значение, является истинность суж-
суждения A2') В какой-то момент времени Ш лез в иг-Гол-
штейн был отторгнут от Дании; если человек считает
предложение A2') неверным, то для него предложение
A2) не будет ни истинным, ни ложным: он просто не
припишет ему никакого истинностного значения, см.
[1, стр. 71].
При семантическом анализе предложения Фреге часто
выделяет так называемые побочные суждения; ср. [1J
с. 72: «Почти всегда, как мне кажется, наряду с выска-
высказываемым нами главным суждением, в предложении
имеется ряд побочных суждений, которые, хотя они
эксплицитно не выражены, слушатель связывает с на-
нашими словами в соответствии с законами психологии.
И поскольку эти побочные суждения связаны с нашими
словами лочти так же тесно, как и само главное суж-
суждение, их тоже приходится считать выраженными в
предложении. Тем самым смысл предложения становит-
становится богаче и может оказаться, что в сложном предложе-
предложении простых суждений будет больше, чем простых пред-
предложений». Эти побочные суждения Фреге, однако не
относит к презумпциям и отличает предложения с «не-
«неуместным освещением» (возникающие в случае ложно-
ложности таких побочных суждений) от предложений, не име-
имеющих истинностного значения. Распространившееся
понимание термина «презумпция», таким образом шире,
чем у Фреге.
§ 2. ПОНЯТИЕ ПРАГМАТИЧЕСКОЙ ПРЕЗУМПЦИИ
Определение 1 не полностью отражает содержание
понятия презумпции в работах Фреге и Спросона; а
именно, остается нерассмотренным следующий его ас-
аспект. Инвариантность презумпции относительно отрица-
отрицания естественно объяснить тем, что эта часть содержа-
содержания предложения как бы представляется говорящему
само собой разумеющейся — а следовательно, известной
слушателю. Тем самым презумпция — это элемент об-
общего знания говорящего и слушающего, разделяемое
ими убеждение. Однако это, по существу, новое поня-
понятие, определение которого уже не может быть сформу-
сформулировано без обращения к акту речи. Это понятие, в
противоположность семантической презумп-
101

ц и и, задаваемой определениями 1 и 2, может быть
названо прагматической презумпцией (см.
Селларс [3], Сталнейкер [18], Шмерлинг [28], Хатчин-
Хатчинсон [29]):
Определение 3. Смысловой компонент Р предложения
5 является прагматической презумпцией
5, если при нормальном употреблении 5 говорящий счи-
считает компонент Р истинным и известным слушающему.
Таким образом, семантическая презумпция предложе-
предложения 5 — это суждение, которое слушающий должен счи-
считать истинным, чтобы предложение 5 было для него
осмысленным; а прагматическая презумпция — это суж-
суждение, которое для слушающего должно быть не только
истинно, но и известно.
Несовпадение прагматической презумпции с семанти-
семантической видно на следующем примере (см. работу [28]):
A) а. Он не знал \ , что там есть столовая;
б. Он не знал / , что там есть столовая \ .
Семантическая презумпция в предложениях Aа) и
A6) одна и та же: B) Там есть столовая. Между тем,
актуальное членение у предложений Aа) и A6) различ-
различно (поэтому, например, A6), в отличие от Aа), неумест-
неуместно в контексте, где о столовой уже шла речь). Отличие
A6) от Aа) естественно приписать тому, что у A6)
предложение B) составляет также и прагматическую
презумпцию, а у Aа) —нет.
Другой пример: предложение C) Я видел только Ива-
Ивана, сказанное в ответ на вопрос Кого ты там видел?
имеет семантическую презумпцию C') Я видел Ивана;
а прагматической презумпции C') у C), конечно, нет.
Оговорка в определении 3 относительно нормального
употребления предложения 5 "вызвана тем, что говоря-
говорящий может, вообще говоря, сознательно сдвигать ак-
акценты (ср. пример диалога, приводимый Сталнейкером
[18]: —Какая хорошенькая у тебя секретарша! — Да,
и ее муж тоже так думает, где действительно актуаль-
актуальную информацию во втором предложении содержит
смысловой компонент 'У секретарши есть муж', хотя
формально предложение построено так, как если бы
этот компонент составлял прагматическую презумпцию,
т. е. входил в сумму общих сведений говорящего и слу-
слушающего) .
102

Незнание слушающим прагматических презумпций
предложения (т. е. нарушение условий нормального
употребления) встречается достаточно часто; ср. пример
Карттунена [30]: предложение C) Он живет в третьем
слева каменном доме на противоположном берегу реки
имеет прагматическую презумпцию 'На противополож-
противоположном берегу реки есть по крайней мере три дома', хотя
вполне может быть обращено к собеседнику, который
этого не знает (ср. аналогичный пример (8) из § 1).
По-видимому, употребление предложений, нарушающее
прагматические презумпции, выражаемые его структу-
структурой, существенно меньше препятствует общению, чем
употребление, нарушающее семантические презумпции.
§ 3. ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПОНЯТИЯ ПРЕЗУМПЦИИ
В СЕМАНТИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ
Каждая презумпция «порождается» каким-то элемен-
элементом предложения, т. е. входит в описание его значения.
В некоторых случаях семантическое членение предложе-
предложения, позволяющее разделить его на утверждения и пре-
презумпции, хорошо согласуется с его синтаксическим чле-
членением (например, в предложении Я рад, что он вер-
вернулся презумпция Он вернулся соответствует придаточ-
придаточному дополнительному). В других случаях смысловые
компоненты предложения не находятся в однозначном
соответствии с синтаксическими. Ниже приводятся при-
примеры презумпций, разделенные (в соответствии с клас-
классификацией в работе [9]) на три группы: 1) презумп-
презумпции в составе значения синтаксических конструкций и
грамматических форм слов; 2) презумпции в толкова-
толкованиях слов; 3) презумпции, соответствующие актуально-
актуальному членению предложения.
1. Презумпции в составе значения
синтаксических конструкций
и грамматических форм слов
Пример 1. В предложениях с ограничительным при-
придаточным определительным обычно есть презумпция
существования объекта, обладающего тем свойством,
которое задается придаточным. Этим они отличаются
от предложений с описательным придаточным (кото-
(которые, как известно, почти синонимичны предложениям с
103

сочинением), где придаточному соответствует не пре-
презумпция, а отдельное утверждение, см. Фреге [1]. Ср.
предложения A) и B):
A) Я подарил ей вазу, которую она поставила на пол;
B) Вазу, которую я ей подарил, она поставила на пол.
Компонент Я подарил ей вазу в A) составляет само-
самостоятельное утверждение, а в B) — презумпцию. Соот-
Соответственно, предложение A), в котором содержится
два утверждения, не имеет однозначного отрицания,
тогда как для B) имеется грамматически отрицатель-
отрицательное предложение B'), имеющее смысл 'Неверно, что
B)', в котором утверждение предложения B) отрицает-
отрицается, а презумпция не подвергается отрицанию [32]:
B') Вазу, которую я ей подарил, она не поставила на
пол.
Следует оговорить, что в предложениях типа B) пре-
презумпция существования, соответствующая ограничитель-
ограничительному придаточному определительнсму, обусловлена не
одной лишь конструкцией придаточного, как полагал
Фреге, а обязательно требует контекста предиката в
главном предложении, обозначающего актуальное дей-
действие. Так, в предложении B") Тот, кто сказал «а»
(= 'тот человек, который сказал «а»'), должен сказать
«б» придаточному не соответствует презумпция сущест-
существования. Таким образом, вопрос о том, каким компонен-
компонентом предложения порождается презумпция существова-
существования в придаточном — конструкцией придаточного или
подчиняющим предикатом, — остается открытым. Ср.
аналогичную неопределенность в примере 5 из § 3.2 от-
относительно того, каким компонентом предложения по-
порождаются презумпции истинности в придаточных-до-
полнениях и подлежащих.
Пример 2. С каждым собственным именем связана
презумпция существования соответствующего объекта
(быть может, речь идет о существовании в универсуме
речи, т. е. в некотором вымышленном мире, который,
однако, на протяжении данного акта речи рассматри-
рассматривается как реальный)*. В контексте предиката, обозна-
* Ср. Рейхенбах [33, с. 256]: «Синтаксическое употребление собст-
собственных имен таково, что предложение, содержащее собственное
имя, предполагает (involves) существование соответствующего
объекта независимо от того, является ли этс предложение истинным
или ложным».
104

чающего действие, которое происходит в какой-то ре-
реальный момент, презумпция существования объекта
связана с любой именной группой (исключая квантифи-
цированные), являющейся актантом этого предиката.
Например, в семантическое представление предложения
C) входит презумпция существования двоюродной се-
сестры говорящего и сына его двоюродной сестры;
C) Сын моей двоюродной сестры женился на зулуске.
В языках с артиклями именная группа (в ед. числе)
с определенным артиклем, как правило, содержит так-
также презумпцию единственности объекта.
Пример 3. С грамматической категорией числа свя-
связана презумпция множественности объекта. Действи-
Действительно, предложение D) Галины сыновья учатся в
школе бессмысленно (а не ложно) при условии, что у
Гали, о которой идет речь, только один сын или что у
нее вообще нет сыновей (тем самым, выполняется тре-
требование к презумпциям, задаваемое определением 1); с
другой стороны, у предложения D') Галины сыновья не
учатся в школе, которое является отрицанием предло-
предложения D), тоже имеется смысловой компонент 'У Гали
есть сыновья' (так что выполняется требование к пре-
презумпциям, задаваемое определением 2).
Фактически все полнозначные (несинтаксические)
грамматические категории — и категория числа, в част-
частности, — выражают соответствующие им значения в фор-
форме презумпций, т. е. в форме, не поддающейся отрица-
отрицанию, поскольку утверждение может выражать только
тот компонент предложения который является предика-
предикативным.
Пример 4. В качестве простого примера презумпций,
описывающих значение грамматической категории, мож-
можно привести презумпцию ложности, выражаемую сосла-
сослагательным наклонением глагола в условном предложе-
предложении в английском языке (ср. Морган [45]):
E) // Brutus hadn't persuaded Caesar to go to the sena-
senate, the conspiracy would have failed 'Если бы Децим
Брут не уговорил Цезаря прийти в сенат, заговор
бы провалился'.
Человек, не знающий истории убийства Цезаря, но по-
понимающий смысл предложения E), получает из этого
предложения информацию о том, что Брут уговорил Це-
Цезаря прийти в сенат.
105

В русском языке сослагательное наклонение в услов-
условном предложении выражает презумпцию ложности
условия только в случае лексически или контек-
контекстно выраженной отнесенности условия к прошед-
прошедшему времени:
F) Если бы ты вчера туда пошел, ты бы узнал много
нового;
G) Если бы ты туда пошел, ты бы узнал много нового.
Предложение G), в котором время действия не опре-
определено, имеет два смысла; в одном из своих смыслов
предложение G) синонимично предложению G') Если
ты туда пойдешь, ты узнаешь много нового, которое не
содержит никаких презумпций относительно выполнен-
выполненности или невыполненности условия, соответствующего
придаточному предложению; при другом понимании
речь идет о действии, отнесенном к прошлому, и тогда
G) синонимично — достаточно только пренебречь раз-
различием между утверждениями и презумпциями — пред-
предложению:
G") Ты туда не пошел, но если бы пошел, то узнал бы
много нового.
«Презумптивному» анализу противопоставления изъ-
изъявительного и сослагательного наклонения в предло-
предложениях с придаточным дополнительным в испанском
языке посвящена работы Риверо [34]. Ср. предложение
(8) с сослагательным наклонением глагола ganar 'вы-
'выиграть' и (9) с изъявительным, которые оба означают
Тонщики не верят, что бельгиец выиграл гонку' и раз-
различаются по смыслу в точности тем, что семантическое
представление предложения (8) содержит презумпцию
'Бельгиец выиграл гонку', а у (9) такой презумпции
нет:
(8) Los corredores no creen que el belga gano la carrera;
(9) Los corredores no creen que el belga ganara la car-
carrera.
Пример 5. Противопоставление по наличию/отсут-
наличию/отсутствию презумпции о том, что данный факт имеет место,
допускают многие обстоятельственные конструкции. Так,
предложение Поезд не остановится из-за плохой погоды
имеет два понимания (различаемых интонационно):
а) 'Поскольку погода плохая, поезд не остановится';
б) 'Неверно, что если погода будет плохая, то поезд ос-
остановится'. Различие смыслов определяется, во-первых,
106

различием в сфере действия отрицания, а во-вторых, на-
наличием/отсутствием презумпции 'Имеет место плохая
погода'.
2. Презумпции в толкованиях слов
Значение слова, как правило, состоит из нескольких
смысловых компонентов; при этом одни компоненты
значения как бы несут логическое ударение, являются
в некотором смысле главными, а остальные сами собой
разумеются. При отрицании предложения с семанти-
семантически разложимым словом (предикативно употреблен-
употребленным) часто отрицаются не все компоненты его значения,
а только главные; имплицитные компоненты входят в
состав отрицательного предложения так же, как они
входили в состав утвердительного. Таким образом, имп-
имплицитные компоненты значения слова, в соответствии с
определением 2, являются презумпциями.
Различение в значении слова главных компонентов и
презумпций до некоторой степени связано с различением
денотативных и коннотативных аспектов значения. Как-
правило, из коннотативных значений преимущественное
внимание уделяется экспрессивным и стилистическим
коннотациям слов, хотя собственное значение терми-
термина гораздо шире, ср. английское connotation 'дополни-
'дополнительное значение', 'то, что подразумевается'. Понятие
презумпции позволяет поставить описание подразуме-
подразумеваемого в значении слова на более точную основу.
Пример 1 [36]. Значение слова помогать может
быть описано следующим образом: А помогает В в
С = Ъ прилагает усилия к С, а Л присоединяет к ним
свои'. Это описание будет, однако, неполным, если не
указать, что 1-й компонент смысла 'В прилагает усилия
к С составляет презумпцию. Только после этого понят-
понятно, почему в контексте отрицания (А не помогает В
в С) отрицается только участие А, а не тот факт, что В
прилагает усилия (тем самым получает объяснение
классический анаколуф Один ничего не делает, а другой
ему помогает: презумптивный компонент второй части
сочиненного предложения — 'В прилагает усилия к С
— противоречит первой его части: 'В ничего не делает1).
Аналогично, предложение Он бросил курить означает
'Он курил и перестал <курить>', причем Он курил —
презумпция. Поэтому Он не бросил курить означает 'Он
107

курил и не перестал <курить>\ Предложение A)
Он продолжает работать означает: 'а) Он работал до
настоящего момента; б) Он работает в настоящий мо-
момент', причем а) —презумпция. Поэтому 'Неверно, что
A)' = 'Он перестал работать', т. е. Юн работал до
настоящего момента < не обязательно вплоть до!>, а
в настоящий момент не работает'.
Много примеров семантического разложения слов в
контексте предложения на сентенциональные компонен-
компоненты приводит Фреге [1]. Так, в предложении
B) Бебель воображает, что возвратом Эльзаса и Ло-
Лотарингии можно умерить реваншистские планы
Франции
он выделяет два суждения: а) 'Бебель думает, что воз-
возвратом Эльзаса и Лотарингии можно умерить реван-
реваншистские планы Франции'; б) 'Возвратом Эльзаса и
Лотарингии нельзя умерить реваншистские планы
Франции'. Из них второе является презумпцией (по оп-
определению 1).
Пример 2. Филлмор [9] утверждает, что два слова
могут различаться по смыслу тем, что презумпция одно-
одного слова является утверждением в другом и наоборот,
приводя в качестве примера глаголы обвинять и осуж-
осуждать. Действительно, для сочетания А обвиняет В в С
компонент А считает, что С плохо — презумпция, а ком-
компонент А считает, что В совершил!совершает С — ут-
утверждение; а в сочетании А осуждает В за С компонент
В совершил!совершает С — презумпция, а А считает,
что С плохо — утверждение. Поэтому, например, семан-
семантические представления предложений Профорг обвиняет
/не обвиняет Ивана в поверхностном отношении к лю-
людям оба содержат компонент 'Профорг считает, что по-
поверхностное отношение к людям дурно' и различаются
тем, обладает или не обладает, с точки зрения профор-
профорга, этим свойством Иван; а семантические представле-
представления предложении Профорг осуждает / не осуждает
Ивана за поверхностное отношение к людям оба содер-
содержат один и тот же компонент 'Иван поверхностно от-
относится к людям', но в одном случае это свойство счи-
считается дурным, а в другом — нет.
Пример 3. Пожалуй, наиболее важно понятие пре-
презумпции для таких слов, у которых презумпцией опи-
описывается все их значение или основная часть значения.
108

Это, например, слова даЖё, тоже, ещё, уже, опять и
многие другие.
Рассмотрим фразу C) Ребенок уже уснул. Одно из ее
пониманий: 'а) Ребенок должен был уснуть; б) Он
уснул', причем компонент 'Ребенок должен был уснуть',
соответствующий значению слова уже, — презумпция.
Чтобы получить для предложения C) отрицательное с
той же презумпцией, нужно не только добавить не, но
и заменить уже на еще: Неверно, что C) (Ф Ребенок
уже не уснул) = (У) Ребенок еще не уснул= 'а) Ребе-
Ребенок должен был уснуть; б) Он не уснул'. Таким обра-
образом, значение слов уже и еще в C) и C') описывается
презумпцией, притом одной и той же.
Фраза D) Даже первоклассники меня поняли имеет
смысл: 'а) Первоклассники меня поняли; б) Кто-то дру-
другой меня понял; в) От первоклассников этого труднее
всего ожидать', где компоненты б) ив) — презумпции,
описывающие значение слова даже (ср. анализ даже в
[37]). Для даже, однако, нет такого парного слова, ко-
которое позволяло бы подвергать предложение отрицанию,
сохраняя в |нем исходные презумпции. Поэтому D)
не имеет соответствующего грамматически отрица-
телыного.
Для тоже приблизительной парой является в отличие
от: предложение D') Первоклассники тоже меня поняли
имеет семантические компоненты: а) 'Первоклассники
меня поняли'; б) 'Кто-то другой меня понял'.
А Неверно, что D') = Первоклассники, в отличие от
кого-то другого, меня не поняли: отрицается утвержде-
утверждение — а), и сохраняется презумпция — б).
Презумпцией описывается также смысл слова опять.
Рассмотрим, например, фразу E) Он опять поехал в Па-
Париж. Если сказать, что она имеет смысл E') 'а) Он
раньше ездил в Париж; б) 0<н поехал в Париж в настоя-
настоящий момент', то это будет неполное описание: оно го-
годится в равной мере, например, для фразы F) Он не
впервые поехал в Париж, между тем E) и F) имеют
разные смыслы. Это обнаруживается при отрицании:
'Неверно, что F)' выражается предложением Он поехал
в Париж впервые, а предложение E) не имеет соответ-
соответствующего грамматически отрицательного. Действитель-
Действительно, фразы E) и F) различаются тем, что у F) второй
компонент перефразировки E') является презумпцией,
109

ay E) — первый, т. е. соответствующий смыслу слаба
опять. Предложение Неверно, что E) должно иметь
смысл 'а) Он раньше ездил в Париж <презумпция>;
б) В настоящий момент он не поехал <утверждение>',
который нельзя выразить простым предложением.
Не следует, однако, думать, что у всех наречий и час-
частиц смысл описывается презумпциями. Возьмем, напри-
например, слово только; G) В джазе только девушки ='В
джазе девушки, и больше никого нет', причем вторая
часть перефразировки, которая описывает собственно
значение слова только, составляет не презумпцию, а ут-
утверждение [21]. Действительно, при отрицании предло-
предложения G) первая часть перефразировки остается неиз-
неизменной, а отрицается только вторая (поэтому отрицание
присоединяется к самому слову только: Неверно, что
G)=В джазе не только девушки = 'В джазе девушки и
кто-то еще').
У слова только имеется второе значение, которое опи-
описывается, в отличие от первого, не утверждением, а пре-
презумпцией. Так, предложение (8) Он весит только 50 кг
имеет смысл Юн весит 50 кг, и это мало', причем 'Это
мало' — презумпция. Поэтому Неверно, что (8)ф* Он
весит не только 50 кг. «Парной» лексемой для только в
этом употреблении является даже см., [14]: Неверно,
что (8)^ Он не весит даже 50 /сг = 'Он не весит 50 кг, а
это мало'.
Та же самая презумпция 'И это мало' входит в состав
значения слова меньше (в одном из его употреблений),
а противоположная — 'И этого много' — в состав значе-
значения слова больше (факт, обнаруженный Сепиром [38],
см. также [39]):
(9) а. Я ждал больше двух часов = 'Я ждал около двух
часов, и это много';
б. Я ждал меньше двух часов = 'Я ждал около двух
часов, ,и это мало';
A0) Собрано более двух миллионов пудов хлеба Ф Соб-
Собрано менее трех миллионов пудов хлеба.
Присоединение частицы не к одному из этих слов
равносильно замене на слово с противоположной пре-
презумпцией и, следовательно, не дает возможности
получить из предложения со значением 'X' пред-
предложение со значением 'Неверно, что Ху: Я ждал не боль-
больше двух часов = 'Я ждал около двух часов, и это мало'.
110

Презумпция не сохраняется, а Меняется на противопо-
противоположную.
Понятие презумпции позволяет объяснить, почему не
имеют соответствующих грамматически отрицательных
предложения со словом почти (ср. [24]):
A1) а. Он решил почти все задачи = 'Оп решил не все
задачи, но осталось немного';
б. Он почти закончил работу = 'Он не закончил ра-
работу, но осталось немного'.
Семантическое представление предложения с почти
представляет собой конъюнкцию из двух элементов, из
которых ни один не является презумпцией. Поэтому
предложения Неверно, что A1а) и Неверно, что A16)
неоднозначны: неясно, отрицается ли первый конъюнк-
конъюнктивный член или второй. Так, Неверно, что A1а) =То
ли он решил все задачи, то ли не решил многих задач';
Неверно, что A1б)='То ли он закончил всю работу, то
ли ему много осталось до конца'.
С презумпциями связано широко обсуждавшееся в
литературе понятие сочетаемостной характеристики
(selectional feature, см. Катц — Фодор [44], Хомский
[40]). Это понятие было предложено для описания важ-
важного явления, состоящего в том, что нормальное упот-
употребление данного слова (предиката) часто предполага-
предполагает наличие некоторой семантической характеристики у
синтаксически связанного с ним слова (актанта); та-
такими ожидаемыми семантическими характеристиками
актантов могут быть, например, «одушевленность»,
«неодушевленность», «мужской пол», «женский пол»,
«промежуток времени» и т. д. Соответственно, сочетае-
мостными характеристиками предикатов будут: требо-
требование одушевленности, мужского пола и проч. Ср. ано-
аномальность фразы The boy frightens sincerity, возникшую
из-за употребления слова frightens в контексте, не соот-
соответствующем его сочетаемостным характеристикам.
Впрочем, как показал Вейнрейх [26], для возникнове-
возникновения нормального сочетания достаточно не наличия у ак-
актанта данной семантической характеристики, а отсут-
отсутствия противоположной: при образовании сочетания
предикат всегда как бы индуцирует у актанта соответст-
соответствующую характеристику (если тот не имеет ее сам по се-
себе). Так (пример Вейнрейха), английское прилагательное
pretty имеет сочетаемостную характеристику <неоду-
111

шевЛенный> или <одушевленный + женский пол>.
Поэтому сочетание pretty girl (где girl имеет семанти-
семантическую характеристику «одушевленный», «женский
пол») нормально; сочетание pretty children тоже нор-
нормально: при образовании словосочетания в толкование
слова children добавляется семантическая характерис-
характеристика «женский пол»; и только сочетание pretty man ано-
аномально, так как слово man обладает противоположной
характеристикой «мужской пол».
Механизм действия сочетаемостных ограничений
такого типа, т. е. ограничений, поддающихся семанти-
семантической интерпретации, может быть описан с помощью
понятия презумпции: в состав толкования предиката
входит схема презумпции, и семантическая нормаль-
нормальность сочетания данного слова с некоторым другим
определяется тем, насколько правдоподобна будет пре-
презумпция, получающаяся при подстановке конкретного
актанта на место переменной в этой схеме. Так (при-
(пример из [42]), предложение Мой пылесос надо мной из-
издевается осмысленно, если понимать его как содержа-
содержащее презумпцию одушевленности пылесоса, порожден-
порожденную одним из компонентов толкования предиката из-
издевается, у которого слово пылесос является актантом.
Таков общий механизм персонификации неодушевленных
объектов в контексте предиката, который требует оду-
одушевленных актантов (ср. Долины спят; Даль пугается
и т. д.).
Фактически никаких принципиальных различий меж-
между презумпциями в толкованиях слов, рассмотренными
в примерах 1—3, и презумпциями, которые соответст-
соответствуют так называемым сочетаемостным характеристи-
характеристикам, нет: последние просто являются презумпциями са-
самого общего вида, повторяющимися в значении многих
слов (ср. понятие категориальной презумпции в [27J —
презумпции о том, что аргумент входит в область при-
применимости предиката). Ниже следуют некоторые при-
примеры презумпций такого рода.
Пример 4. В предложении Ивлин женится на Джо
одни только категориальные презумпции слова женить-
жениться позволяют заключить, что Ивлин — мужчина, а
Джо — женщина (ср. английский глагол to marry, ли-
лишенный таких признаков, и неоднозначность соответст-
соответствующего английского предложения). Оба эти заключе-
112

Мя входят в семантическое представление этого пред-
предложения в качестве презумпций.
Пример 5. Как уже говорилось, многие предика-
предикаты — глаголы, прилагательные и предикативы,— вводя-
вводящие придаточное дополнительное (знает, сожалеет,
удивляется, огорчен, рад и т. д.) или придаточное —
подлежащее (доказывает, свидетельствует и т. д.), име-
имеют презумпцию истинности суждения, выражаемого при-
придаточным предложением, [11]. Такие предикаты естест-
естественно назвать предикатами с презумпцией факта или,
иначе, фактивными (ср. термин factive в [11]). Ср.
A2а) и A26):
A2) а. Он знает, что мы вернулись]
б. Он думает, что мы вернулись.
Предложение A2а) с глаголом знать имеет презумп-
презумпцию Мы вернулись] а предложение A26) с глаголом
думать не имеет такой презумпции. Отрицание предло-
предложения A2а) дает предложение A2а') Он не знает, что
мы вернулись, с той же предумпцией Мы вернулись.
Различие между фактивными предикатами (типа рад)
и нефактивными (типа думает) может проявляться и в
их синтаксическом поведении. Ср.:
A3) ~\(Ярад, что он уезжает)=Яне рад, что он уез-
уезжает,
A4) (Он решил, что уедет) = Он не решил, уедет он
или нет.
Отсутствие презумпции истинности суждения, выра-
выражаемого в придаточном, делает необходимым преобра-
преобразование придаточного в A4), невозможное, например,
для A3). См. другие факты такого рода в [И].
Семантическое противопоставление по наличию/отсут-
наличию/отсутствию презумпции истинности возможно не только в
придаточных предложениях, но и в номинализованных
конструкциях:
A5) Она знает искренность ваших намерений (пре-
(презумпция: Ваши намерения искренни)',
A6) Она верит в искренность ваших намерений (нет
такой презумпции).
Есть глаголы, различающиеся по смыслу ровно тем,
что у одного в толкование, входит презумпция истин-
истинности подчиненного предложения, у другого — презумп-
презумпция ложности, а у третьего не входит ни та ни другая:
8—9958 113

A7) а. Он понимает, что его обманывают1,
б. Он воображает, что его обманывают;
в. Он думает, что его обманывают.
Предложение A7а) имеет презумпцию A7') Его об-
обманывают. Действительно, если говорящий не считает
A7') истинным, он должен сказать не A7а), а A76).
Если фактавный глагол не обозначает актуального дей-
действия или состояния, отнесенного к определенному мо-
моменту или периоду (например, если он употребляется в
сослагательном наклонении, будущем времени, при мо-
модальном глаголе или в контексте общности), то входя-
входящая в его толкование презумпция может подавляться
(аналогичное подавление презумпции существования —
в примере B") из § 3.1). Ср. A8а) и A86):
A8) а. Его отказ от игры не способствовал росту по-
популярности шахмат;
б. Его отказ от игры не будет способствовать рос-
росту популярности шахмат.
Предложение A8а) имеет презумпцию Юн отказал-
отказался от огры', и глагол способствовать фактивный; однако
A86) имеет два понимания — с презумпцией и без:
а) То, что он отказался от игры, не будет способство-
способствовать росту популярности шахмат'; б) 'Если он отка-
откажется от игры, это не будет способствовать росту по-
популярности шахмат'.
Классификация глаголов и прилагательных с точки
зрения презумпций, связанных с их сентенциональными
актантами (т. е. актантами, выраженными придаточны-
придаточными — подлежащими и дополнительными, инфинитивами
и номинализованными группами), приводится Картту-
неном [16]- Помимо фактивных предикатов — та-
таких, что если предложение 5 с этим глаголом содержит
семантический компонент Я, то и П5 содержит Р,— обна-
обнаруживаются импликативные — для которых 5 содер-
содержит Р, а ~1 5 ПЯ^ср. Ему удалось решить задачу з Он
решил задачу; Ему не удалось решить задачу Z) Он н>е
решил задачу); предикаты отрицательной импли-
импликации— 5 содержит Р, a ~]S—Р (ср. Он забыл за-
дверь^зДверь закрыта); условные — 5 содержит Р, а
S не содержит ни Р, ни IP (ср. Он заставил меня
остаться doMazD ft остался дома; Он не заставил меня
остаться дома ф Я остался дома и j) Я не остался до-
114

ма) и др. Таким образом, кроме презумпций и утверж-
утверждений существуют смысловые компоненты менее опре-
определенной природы, см. [43].
Заметим, что анализ глаголов последней группы,
скорее всего, неточен. Предложение Он не заставил ме-
меня остаться дома при нормальном его употреблении
(т. е. без эмфазы и вне контекста противопоставления)
имеет семантический компонент 'Я не остался дома'.
Понимание, при котором этот компонент исчезает, тре-
требует эмфазы или противопоставления. Между тем в кон-
контексте противопоставления возможны какие угодно
сдвиги логических акцентов и утрата презумпций, ср.
пример Филлмора [9]: слово escape в контексте проти-
противопоставления— / didn't ESCAPE from the prison; they
released me 'Я не убежал из тюрьмы; меня освободи-
освободили' — утрачивает свою презумпцию кх был удерживаем
силой'; или пример из [10]: слово pretend при произне-
произнесении с эмфатической интонацией теряет презумпцию
'Событие X не имеет места', как в предложении Не
doesn't PRETEND to be ill со значением 'Он не притво-
притворяется больным <а на самом деле болен>'.
Замечание. Наряду с предикатами, у которых презумпция
истинности суждения в подчиненном предложении (или ее отсутст-
отсутствие) является сочетаемостной характеристикой, заслуживают внима-
внимания и такие, для которых возможно смысловое противопоставление
(см. [32]). В семантических представлениях с этими предикатами
суждению в подчиненном компоненте может соответствовать или не
соответствовать презумпция истинности, что является единственным
источником смысловых различий. В синтаксической структуре это
смысловое различие может быть выражено противопоставлением
придаточного предложения и инфинитивного оборота:
A9) Глупо, что вы беретесь за эту работу;
B0) Глупо вам браться за эту работу.
Предложение B1) омонимично, т. е. допускает два понимания,
различающиеся в точности наличием/отсутствием презумпции ис-
истинности суждения, соответствующего инфинитивному обороту:
B1) Глупо было вам браться за эту работу.
Наличие/отсутствие презумпции истинности может
служить одним из средств достижения однозначности
при соотнесении местоимений с антецедентом (речь
идет о местоимении это). Так, предложение B26), в от-
отличие от B2а), аномально:
B2) а. Все говорят, что она уехала, но Иван в этом
сомневается;
б. '• Она уехала, но Иван в этом сомневается.
8* 115

Причина аномальности предложения B26) состоит Й
том, что на местоимение это (точнее, на его субститут)
переходит индуцированная глаголом верить снятая ут-
утвердительность (термин Вейнрейха [41]), в результате
чего оно не может иметь антецедентом предикатную
группу с утвердительной модальностью. Ср. различную
соотнесенность с антецедентом, каждый раз однознач-
однозначную, у местоимения это в предложениях B3а) и B36)
(так что местоимение и антецедент согласованы по мо-
модальности)*:
B3) а. Иван считает, что она красива; а я этом сом-
сомневаюсь (в этом —в том что она красива);
6. Иван считает, что она красива; а я этому рад
(этому = тому, что он так считает).
Примеры B4), B5) (взятые из работ [10], [45]),
в которых антецедентом местоимения это прифактивных
глаголах сожалеть, знать служит предикатная группа
без утвердительной модальности, объясняются тем, что
при переводе этих глаголов в сослагательное наклоне-
наклонение происходит подавление презумпции:
B4) Если бы я пропустил вчерашний доклад я бы
сожалел об этом;
B5) Не может быть, чтобы он был в Москве и я <бьО<
об этом не знал.
Более сложной является семантическая структура
предложения B6), где, казалось бы, согласование мо-
модальностей у субститута и антецедента нарушается
(субститут имеет презумптивную модальность, а анте-
антецедентом является предложение в сослагательном на-
наклонении) :
B6) Если он и бил свою жену, то теперь перестал <это
делать>.
Скорее всего это предложение следует рассматривать
как результат эллиптического преобразования: B6) си-
синонимично B6') То ли он бил свою жену и перестал
<это делать>, то ли не бил вообще-
Пример 6. Категориальные презумпции, аналогич-
аналогичные глагольным, есть и у некоторых союзов.
В сложноподчиненном предложении с союзом потому
что и с фразовым ударением на потому главному пред-
* Примеры этого типа известны автору от Ю. А. Здоровова (устное
сообщение).
116

ложению соответствует презумпция; если же в главном
предложении есть фразовое ударение, то главное пред-
предложение содержит отдельное утверждение (придаточно-
(придаточному в обоих случаях соответствует утверждение):
B7) а. Он уехал потому /, что устал;
б. Он уехал /, потому что устал.
Соответственно, предложение B7а) имеет естествен-
естественное отрицание, а предложение B76), содержащее два
утверждения, не имеет: и B7а) = п(Оя уехал потому,
что устал) =Он уехал не потому, что устал.
Семантическое различие между союзами если и
поскольку (=раз) состоит в точности в том, что в пред-
предложении с поскольку придаточному соответствует пре-
презумпция, а в предложении с если придаточное служит
только для называния некоторой ситуации, без утверж-
утверждения о том, что эта ситуация имеет место (см. анализ
этого соотношения у Фреге [1]):
B8) Раз он туда ходил, он много узнал;
B9) Если он туда ходил, он много узнал.
Отрицанием для предложений с поскольку, раз слу-
служит предложение с хотя, отрицающее причинную связь,
но сохраняющее презумпцию: 1 B8) = B8') Хотя он ту-
туда ходил, он не много узнал.
Ряд интересных проблем связан с союзами прежде
чем, до того как (англ. before). Г. Лаков [10] выделил
у этих союзов два значения, различающихся тем, что
при одном значении в семантическое представление
предложения входит презумпция 'S2\ (где S2 — прида-
придаточное предложение), а при другом —' 1 S2'; ср.:
C0) Мери купила себе джинсы прежде, чем они подо-
подорожали (презумпция: 'Джинсы подорожали');
C1) Джон съел мороженое прежде, чем оно растаяло
(презумпция: 'Мороженое не растаяло').
Как показано, однако, в работе Хейнемеки [46], в
предложениях типа C1) компонент Н 52' не может быть
назван презумпцией в соответствии с общепринятыми
определениями, поскольку при отрицании предложений
типа C1) компонент 1 S2 из семантического представле-
представления исчезает:
(ЗГ) 1 (Джон съел мороженое прежде, чем оно растая-
растаяло)-^) Мороженое растаяло;
И7

C2) -j (Она ушла с работы прежде, чем разобралась в
существе дела) => О на разобралась 'в существе
C3) 1 (Мери умерла прежде, чем успела закончить
свою автобиографию)^Мери успела закончить
свою автобиографию;
C4) 1 (Он сломал себе шею прежде, чем научился ос-
осторожности)^ Он научился осторожности.
Хейнемеки полагает, что значение союза прежде, чем
остается везде одно и то же: lt(S{) <t(S2)\ где t(S) —
время события, описываемого предложением S, а воз-
возникновение компонента 152 в C1) объясняется дейст-
действием правил смысловой импликации: в некоторых слу-
случаях из того, что t(Si)<.t(S2), можно заключить, что
событие, описываемое в S2, не имело места; например,
мороженое не может растаять после того, как оно съе-
съедено; Мери не может закончить автобиографию после
того, как она умерла, и т. д.
По-видимому, в большинстве предложений с прежде,
чем смысловые компоненты 'Si', и 'S^ оба являются
презумпциями, а утверждается только компонент
it(Sl)<ct(S2)\ который и подвергается отрицанию:
C5) 1 (Джон ушел прежде, чем пришла Мери) ='Т'о ли
Мери пришла прежде, чем ушел Джон, то ли
это было одновременно'.
Другой класс предложений имеет компонент 'S^ ут-
утверждением и, соответственно, иначе ведет себя при от-
отрицании:
C6) (Он торговал холодильниками до того как прие-
приехал в Исландию) ='Он не торговал холодильника-
холодильниками до того как приехал в Исландию'.
3. Презумпции, соответствующие
актуальному членению предложения
Как уже говорилось в § 2, различие в актуальном чле-
членении предложения (в частности, в интонировании) яв-
является в семантическом отношении противопоставлени-
противопоставлением по наличию/отсутствию прагматической презумпции;
ср. примеры A), B) аналогичные примеру A) из § 2 (в
Aа) и Bа) придаточному соответствует прагматическая
презумпция, а в A6) и B6) ее нет):
118

A) а. Он рад\тому, что пришли гости;
б. Он рад тому/, что пришли гости\;
B) а. Он понял\ что мне не нравится его предложение;
б. Он понял/7, что мне не нравится\его предложе-
предложение. 1-
Поскольку семантика актуального членения касается
противопоставления известного и нового, здесь уместно
именно понятие прагматической, а не семантической
презумпции. Действительно, в A), например, семанти-
семантическая презумпция 'Пришли гости' входит как в Aа),
так и в A6) и не может служить объяснением их инто-
интонационных различий. Впрочем, в некоторых предложе-
предложениях прагматические презумпции, определяемые
актуальным членением совпадают с семантическими.
Ср."C) и D):
C) Иван разбил чашку;
D) Это Иван разбил чашку.
Предложение D), в отличие от C), имеет семантиче-
семантическую презумпцию D') Кто-то разбил чашку. Действи-
Действительно,
Неверно, что D)= Это не Иван разбил чашку и
Чашку разбил кто-то другой Z)
Кто-то разбил чашку,
т. е. D') является смысловым компонентом D) и его
отрицания (поэтому в ситуации, когда нет разбитой
чашки, D) неуместно, а C) просто ложно). И то же
D') является прагматической презумпцией D).
Однако достаточно часто семантические противопо-
противопоставления, возникающие при изменении интонацион-
интонационного рисунка, не могут быть адекватно выражены
даже и с помощью понятия прагматической презумп-
презумпции. Например, предложения Eа) и E6) различаются
актуальным членением совпадают с семантическими,
(поскольку они, в соответствии с определением 3, долж-
должны быть истинными предложениями) как в Eа), так и
в E6) отсутствуют:
E) а. Я уверен/, что там есть столовая;
б. Я уверен \, что там есть столовая.
Аналогично в предложениях Fа) и F6):
F) а. Иван делает вид/, что у него мировая скорбь\;
б. Иван делает вид\, что у него мировая скорбь.

Fa) in F6) имеют разное актуальное членение, но не
различаются по семантическим презумпциям: оба име-
имеют семантическую презумпцию Fх) 'У Ивана нет миро-
мировой скорби'. Едва ли, однако, их можно различить праг-
прагматическими презумпциями: прагматической презумп-
презумпции Fх) у F6), скорее всего, нет. Так, для возникнове-
возникновения у F6) данного интонационного рисунка достаточно
знакомства слушателя с идеей мировой скорби Ивана
безотносительно к тому, имеет ли она место, ср. сле-
следующий диалог: Правда ли, что у Ивана мировая
скорбь? — Нет. Иван делает вид\, что у него мировая
скорбь.
4. Проблема наследования презумпций
Одна из важных проблем, связанных с понятием пре-
презумпции, состоит в том, всегда ли презумпция предло-
предложения 5 является презумпцией предложения (или тек-
текста) Q, включающего 5 в свой состав [35, 45, 30]. Пра-
Правила вычисления презумпций предложения Q из пре-
презумпций предложения 5 можно назвать правилами на-
наследования презумпций (projection of presuppositions).
В сущности, определение 2 является элементарным пра-
правилом наследования презумпций для случая, когда Q =
= TS; оно состоит в том, что все презумпции S в Q
сохраняются. Аналогичное правило может действовать
и в других случаях. Так, в предложении
A) / am not pretending I don't know he is rich 'Я не
делаю вид, что я ие знаю, что он богат'
компонент 'Не is rich' является не только презумпцией
компонента. 'I know he is rich', который является пре-
презумпцией предложения A), но и презумпцией самого
предложения A).
С другой стороны, презумпция предложения 5 может
«погашаться» за счет какого-то другого семантического
компонента в составе Q. Так, предложение B) Я тоже
поеду в Калугу имеет презумпцию 'Кто-то поедет в Ка-
Калугу'; между тем, предложение C) Когда вы поедете в
Калугу, я тоже поеду <в Калугу>, в состав которого
входит B), этой презумпции не имеет.
Некоторые правила, позволяющие «вычислять» пре-
презумпции целого на основе презумпций частей, приво-
приводятся Карттуненом [30],
12Q

Пример D) обнаруживает другой аспект проблемы
наследования презумпций:
D) Странно, что пришли только малыши.
Предложение Dх) Пришли только малыши имеет два
семантических компонента: а) 'Малыши пришли'<пре-
зумпция>; б) 'Больше никто не пришел'<утвержде-
ние>. Аргументом предиката странно является, однако,
только компонент б), утверждение; действительно,
D)='а) Малыши пришли; б) Странно, что больше ник-
никто не пришел'. Компонент а), составляющий, по прави-
правилам наследования, презумпцию не только Dх), но и D),
не входит в сферу действия главного предиката в D),
ср. [17].
Другой пример приводит Лангендун [131: в предложе-
предложениях E) Он справедливо обвиняет Ивана в поверхност-
поверхностном отношении к людям и F) Он справедливо осужда-
осуждает Ивана за поверхностное отношение к людям сферой
действия обстоятельства справедливо является в каж-
каждом случае только утверждение (т. е. E) означает 'Он
справедливо считает, что Иван поверхностно относится
к людям', а F) —'Он справедливо считает, что поверх-
поверхностное отношение к людям дурно').
Из этих примеров следует, что свойство презумпций
не подвергаться отрицанию является лишь частным
проявлением более общего их свойства — не входить в
сферу действия операторов, применяемых к предложе-
предложению. Это поведение презумпций, однако, непоследо-
непоследовательно: одни презумпции инвариантны не только отно-
относительно отрицания, но и всех изменений модальности,
тогда как для других это не так. Например, 'Иван уе-
уехал' является в примере G) смысловым 'компонентом
у .всех предложений (а) — (г), а в (8)—только
У (а)-(в):
G) а. Он рад тому, что Иван уехал;
б. Он не рад тому, что Иван уехал;
в. Он рад тому, что Иван уехал?
г. Кажется, он рад тому, что Иван уехал;
(8) а. Только Иван уехал;
б. Не только Иван уехал;
в. Только Иван уехал?
г. Кажется, только Иван уехал.
121

Итак, понятие презумпции имеет непосредственное от-
отношение к следующим, на первый взгляд различным,
семантическим задачам: 1) выявление скрытых (им-
(имплицитных) компонентов в значении языковых единиц
(слов, грамматических категорий, синтаксических кон-
конструкций, линейно-интонационной структуры); 2) отли-
отличение семантически аномального предложения от лож-
ложного, объяснение источников семантических аномалий,
объяснение механизмов «косвенного» осмысления ано-
аномальных сочетаний (в условиях метафоры и проч.);
3) предсказание поведения предложения при трансфор-
трансформации отрицания и других преобразованиях, связанных,
с изменением модальности. Понятие презумпции вносит
ясность в постановку этих задач и способствует их ре-
решению. Тем самым понятие презумпции открывает пути
более полного моделирования способностей человека
извлекать информацию, содержащуюся в языковом
тексте-
Понятие презумпции основано на таком подходе к се-
семантическому анализу, при котором смысл предложения
членится, в первую очередь, на сентенциональные ком-
компоненты, и показывает возможности еще более широко-
широкого применения этого подхода—в частности, распрост-
распространение его на актуальное членение.
Опасность, связанная с понятием презумпции, состоит,
однако, в том, что получив широкое распространение,
оно имеет тенденцию использоваться в расширительном
смысле, хотя в действительности часто имеются в виду
разные понятия, не эквивалентные между собой.
Л ИТЕРАТУРА
1. Frege G. On sense and reference.— In: Translations from the
philosophical writings of Gottlob Frege. Eds. P. Geach, M. Black.
Oxford, 1952 (см. русский перевод: Г. Фреге. Смысл pi денотат.
Наст, сб., с. 181).
2. Straws on P. F. Introduction to logical theory. L, 1952.
3. W. S e 11 a r s. Presupposing.— «Philosophical review», 1954 63,
№ 2.
4. F r a a s s e n В. С Van. Presupposition, implication and self—
reference.— «Journal of philosophy», 1968, 65, pp. 136—152.
122

5. N e h r 1 i c h G. Presupposition and entailment.— «American phi-
philosophical quarterly», 1965, 2, № 1.
6. Kempson R. M. Presupposition and the delimitation of seman-
semantics. Cambridge, 1975.
7. D u с г о t O. La description linguistique des enonces franc.ais et
la notion de presupposition. — «L'Homme», 1968, № 1.
8. Bellert I. О pewnym warunku spojnosci textu.— «O spojnosci
textu». Wroclaw—Warszawa—Krakow, 1971.
9. F i 11 m о г е С h. Types of lexical information. In: F. Kiefer (ed.)
—«Studies in syntax and semantics». Dordrecht—Holland, 1969.
10. Lakoff G. Linguistics and natural logic.— «Studies in genera-
generative semantics», 1970, № 1.
11. Kip a r ski P., Kip a r ski C. Fact.— In: M. Bierwisch,
К- Е. Heidolph (eds.) Progress in linguistics. The Hague, 1970.
12. Арутюнова Н. Д. Понятие .пресуппозиции в лингвистике.—
«ИАН ОЛЯ. Серия литературы и языка, 1973, 32, № 1.
13. Langendoen T. D. Presupposition and assertion in the se-
semantic analysis of nouns and verbs in English.— In: D. D. Stein-
Steinberg, L. A. Jakobovits (eds.). Semantics. An interdisciplinary rea-
reader in philosophy, linguistics and psychology. Cambridge, 1971.
14. Янко Т. Е. Некоторые лексические и грамматические явления,
связанные с трансформацией отрицания в русском языке. [Дип-
[Дипломная работа, МГУ] 1976.
15. Jakobson R. On linguistic aspects of translation.— In:
R. A. Brower (ed.). On translation. Cambridge, Mass., 1955.
16. Karttunen L. The logic of English predicate complement con-
constructions (prepr. Indiana University Linguistics Club, November,
1971).
17. Keen an E. L. Two kinds of presuppositions in natural langua-
languages.— «Foundations of language», 1971, 7, pp. 255—284.
18. Stalnaker R. S. Presuppositions.— «Journal of philosophical
logic», 1973, 2, pp. 447—451.
19. Успенский В. -Предисловие «От редактора перевода» к кни-
книге: А. Черч. Введение в математическую логику. Т. I. M., «Мир»,
I960, [Пер. с англ.]
20. U r q u h a r t A. A semantic theory of analytic implication.—
«Journal of philosophical logic», 1973', 2, pp. 212—219.
21. Horn L. R. A presuppositional analysis of only and even.— In:
R. J. Binnick (ed.). Papers from the V—th regional meeting Chi-
Chicago linguistic societhy. Chicago, 1972.
22. G a r n e r Q. «Presupposition» in philosophy and linguistics.—
In: Ch. Fillmore, T. Langendoen (eds.). Studies in linguistic se-
semantics. N. Y., 1971.
23. И л ь и н Г. М. О понятии «семантическая правильность».—
«НТИ», сер. 2, 1973, № 9.
24. Падуч ев а Е. В. Семантический анализ отрицательных пред-
предложений в русском языке. В кн.: Машинный перевод и приклад-
прикладная лингвистика. Вып. 12. М., 1969.
25. К р е й д л и н Г. Е., П а д у ч е в а Е. В. Значение и синтаксиче-
синтаксические свойства союза а.— «НТИ», сер. 2, № 9, 1974.
26. Weinreich U. Explorations in semantic theory.— In: Current
trends in linguistics, III. The Hague, 1966.
27. Martin R. L. (ed.) The paradox of the liar. New Haven, Lon-
London, 1970. Editor's introduction.
123

28. S с h m e r 1 i n g S. F. Presupposition and the notion of normal
stress. In: Papers from the VII—th meeting of Chicago linguistic
society. Chicago, 1971.
29. H u t с h i n s о n L. G. Presupposition and belief—inference.
Там же.
30. К а г 11 u n e n L. Presupposition and linguistic context.— «Theo-
«Theoretical linguistics», 1974, 1, № 1/2.
31. Smiley T. Sense without denotation.— «Analysis», I960, 2,
pp. 125—135.
32. П а д у ч е в а Е. В. О семантике синтаксиса. М., 1974.
33. Reichenbach H. Elements of symbolic logic. N. Y., 1948.
34. R i v ё г о M. L. Moods and presuppositions in Spanish.— «Foun-
«Foundations of language», 1971, 7, № 3.
35. Langendoen T. D., Savin H. B. The projection problem for
presuppositions.— In: Ch. Fillmore, T. Langendoen (eds.). Studies
in linguistic semantics. N. Y., 1971, pp. 55—61.
36. Работы сотрудников Лаборатории машинного перевода
I МГПИИЯ.— В кн.: Машинный перезод и прикладная лингви-
лингвистика. Вып. 8. М., 1964.
37. В еж б и цк а А. Наброски к русско-семантическому словарю.—
«НТИ», сер. 2, 1968, № 12.
38. S a p i r E. Grading.— In: Selected writings of E. Sapir in cul-
culture, language and personality. Selected essays ed. by D. G. Man-
delbaum. Berkeley—Los Angeies, 1956.
39. Жолковский А. К- Работы Сэпира по структурной семанти-
семантике.— В кн.: Машинный перевод и прикладная лингвистика.
Вып. 8, М., 1964.
40. С h о m s k у N. Aspects of the theory of syntax. Cambridge, Mass.,
1965 (русск. лерев.: Н. Хамский. Аспекты теории синтаксиса.
М., 1972).
41. В е й н р ей х У. О семантической структуре языка.— В кн.;
Новое в лингвистике. Вып. 5, М., 1970.
42. La ко f f G. Presuppositions and relative grammatically.— Re-
Reports to National Science Foundation, NSF-24, Cambridge, Mass.,
1970.
43. E. H a j i с о v a. Some remarks on presuppositions.— «The Prague
bulletin of mathematical linguistics», 1972, 17.
44. К a t z J. J., F о d о r J. A. The structure of a semantic theory.—
«Language», 1963, 39, pp. 170—210.
45. Morgan J. L. On the treatment of presupposition in transfor-
transformational grammat.— In: Papers from the V — th regional meeting
Chicago linguistic society. Chicago, 1969.
46. O. Heinamaki. BEFORE.— In: Papers from the VIII—th re-
regional meeting Chicago linguistic society. Chicago, 1972.

УДК 510.54
Э. М. Погосян
К ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО СИНТЕЗА
ПОНЯТИЙ
ВВЕДЕНИЕ
Индуктивным обобщением (или «расшифровкой»)
множества ситуаций мы будем называть процесс полу-
получения дескрипторного описания этого множества на ос-
основании информации об отдельных элементах этого
множества, а также, быть может, об элементах, принад-
принадлежащих его дополнению до некоторого универсально-
универсального множества. В предлагаемой работе сделана попытка
построить такое формальное описание процесса индук-
индуктивного обобщения, которое было бы приемлемо с точ-
точки зрения содержательной трактовки задачи форми-
формирования дескрипторных описаний произвольных конеч-
конечных множеств и одновременно позволяло бы исполь-
использовать при решении этой задачи идеи и методы теории
алгоритмов и дискретного анализа.
В настоящее время в литературе по распознаванию об-
образов, прогнозированию, расшифровке автоматов и т. п.
[1—7] описано довольно большое количество ал-
алгоритмов индуктивного обобщения. Как правило, ука-
указанные алгоритмы используют различные критерии
оценки эффективности своей работы. Во многих случаях
утверждения о характере работы алгоритмов формули-
формулируются применительно к процессам бесконечной дли-
длительности, что редко соответствует действительности.
Указанные обстоятельства затрудняют теоретическое
125

изучение этих алгоритмов и, в частности, их сравнение
между собой с единых позиций.
Многие исследования по индуктивному обобще-
обобщению проводятся в рамках заранее фиксированных
языков, которые зачастую неполны и не позволяют
описать даже некоторые типы конечных множеств.
К примеру, трехслойные персептроны с ограниченной
маской не позволяют описать множество всех связных
фигур на конечной сетчатке [3]. Безусловно, выявление
ограничений, которые накладывают узкие языки на
возможные классификации, имеет важное значение,
особенно для случаев, когда выбор языка определяется
удобствами реализации этого языка в конкретных тех-
технических устройствах. Однако поскольку в настоящей
работе нашей целью является не исследование специ-
специфики отдельных языков и их возможностей при описа-
описании различных типов конечных множеств, а выявление
ограничений на алгоритмы, формирующие классифика-
классификации в процессе индуктивного обощения, мы искусствен-
искусственным образом исключим языки описания множеств и
будем оперировать с самими множествами.
Мы полагаем, что расшифровываемые множества яв-
являются подмножествами некоторого фиксированного
конечного множества. При выбранных множестве А и
алгоритме индуктивного обобщения / трудность (слож-
(сложность) А оценивается тем минимальным числом элемен-
элементов из универсального множества, которое нужно за-
задать, чтобы / мог вычислить по ним А. Такой крите-
критерий оценки сложности заданного множества относитель-
относительно заданного алгоритма индуктивного обобщения идей-
идейно близок тому подходу к вычислению сложности числа
относительно рекурсивной функции, который развит в
[8].
Мы ограничиваемся в своих исследованиях случаем
произвольно большого, но конечного множества рас-
рассматриваемых ситуаций. Это связано с тем, что в ре-
реальных устройствах классифицирования объектов число
воспринимающих информацию элементов всегда конеч-
конечно и, следовательно, среда, воспринимаемая устройст-
устройством, также конечна-
Ограничение теории рассмотрением алгоритмов для
обработки конечных множеств элементов облегчает пе-
переход к реализации этих алгоритмов на базе дискрет-
126

ной техники. В то же время допущение в нашей модели
произвольно больших конечных множеств, восприни-
воспринимаемых различных ситуаций практически эквивалентно
принятию абстракции о потенциальной бесконечности
числа ситуаций.
В статье рассмотрены следующие вопросы. В § 1 при-
приведены основные обозначения и введено понятие и н -
дуктора — алгоритма индуктивного обобщения. Ос-
Основное требование, предъявляемое в определении ин-
индуктора,— увеличение числа классифицированных объ-
объектов по сравнению с той классификацией на множест-
множестве объектов, которая была задана в качестве исходной.
При более сильных ограничениях получаем ряд специ-
специфичных классов индукторов. В частности, потребовав,
чтобы индукторы формировали гипотезы, не противоре-
противоречащие исходной классификации, получаем класс так
называемых согласующих индукторов. Требование
согласования встречается во многих алгоритмах ин-
индуктивного обобщения и потому заслуживает специаль-
специального внимания.
В §2 согласующие индукторы сравниваются с индук-
индукторами, которые не являются согласующими. В част-
частности, теорема 1 описывает некоторый достаточно ес-
естественный класс согласующих индукторов, которые
расшифровывают произвольную пару множеств не луч-
лучше несогласующих индукторов. В теореме 3 показано,
каким образом для некоторых множеств (фактически —
для произвольных множеств,) может быть построен не-
несогласующий индуктор, который почти во всех случаях
будет расшифровывать это множество правильнее, чем
некоторый согласующий индуктор. В теореме 2 утвер-
утверждается, что возможны множества, оптимальную рас-
расшифровку которых можно произвести, либо только сог-
согласующими, либо только несогласующими индукторами.
Последняя теорема, по-видимому, и должна определять
наше отношение при выборе между согласующими и
несогласующими индукторами в конкретных задачах
индуктивного обобщения.
Теоремы § 2 характеризуют возможности -индукторов в
статике и в определенном смысле дают абсолютные
оценки их работы. В §3 описывается одна из возмож-
возможных формализации самого процесса индуктивного
обобщения и исследуются те общие ограничения, кото-
127

рые накладывает на возможности индукторов выбор
некоторых определенных условий протекания процесса.
Процесс расшифровки произвольного множества по пос-
последовательности его подмножеств понимается как и н -
дуктивный вывод этого множества. Качество ра-
работы индуктора в заданном индуктивном выводе
оценивается посредством вычисления объемной и вре-
временной сложностей рассматриваемого множества. Под
объемной сложностью понимается длина начального
отрезка последовательности подмножеств этого мно-
множества— обучающей последовательности, по которой
первый раз индуктор строит покрытие этого множества;
под временной сложностью — число элементов послед-
последнего члена этого отрезка. В следствии 1 к теореме 4
утверждается, что для произвольного индуктора сущест-
существуют множества, индуктивный вывод которых имеет
максимально возможную сложность. При этом указан-
указанный максимум достигается при специальном выборе
обучающей последовательности.
Указанное следствие в определенном смысле отрица-
отрицает существование оптимального индуктора в индуктив-
индуктивных выводах. Можно было бы предположить, что оп-
оптимальный индуктивный вывод все же окажется возмо-
возможен, если брать не фиксированную заранее обучающую
последовательность, а такую последовательность, кото-
которая порождается по определенным правилам в самом
процессе вывода. Например, обучающая последователь-
последовательность может строиться как ответы на вопросы, которые
задает ученик учителю в процессе усвоения некоторого
понятия, задуманного учителем. Такой процесс соответ-
соответствует индуктивному выводу с обратной связью от ин-
информации, полученной на предыдущем шаге, и соответ-
соответствующей гипотезы, построенной для нее. (В [1] анало-
аналогичный процесс называется «индуктивным выводом с
зависимым выбором»).
В теореме 5, однако, показано, что для индуктивных
выводов, использующих согласующие либо несогласую-
несогласующие индукторы, не существует оптимальных алгоритмов,
порождающих вопросы к «учителю».
В § 5 описаны результаты интерпретации ряда из-
известных алгоритмов индуктивного обобщения ([1] —
[3], [16] — [18]) в разрабатываемой нами общей мо-
модели.
128

Мы полагаем, что рассмотренные в работе требования
к процессу индуктивного обобщения и утверждения, по-
полученные как их следствия, раскрывают лишь первона-
первоначальные возможности предложенных математических
конструкций. Другие требования могут быть получены
формализацией условий, указанных в § 3, что приводит,
в частности, к рассмотрению специальных узких клас-
классов множеств. В нашей статье [10] такое рассмотрение
проведено для классов симметрических и монотонных
функций относительно подсемейства согласующих ин-
индукторов — 1 — индукторов. Формулировки теорем
§ 1—4 опубликованы в [11] и [12].
§ 1. ИНДУКТОРЫ И ИХ ОБЩИЕ СВОЙСТВА
1. Пусть М — произвольное конечное множество из k
элементов. Объектами нашего рассмотрения будут про-
произвольные упорядоченные пары непересекающихся под-
подмножеств множества М, в том числе пары вида @, Mf),
(М', 0), которые мы будем обозначать через ПМ (пара
множеств).
В дальнейшем изложении предполагается, что пара-
параметр к, могущий, вообще говоря, принимать произволь-
произвольные значения, некоторым образом фиксирован. Доказы-
Доказываемые ниже утверждения справедливы для k^5. Для
удобства дальнейшего изложения, перенумеруем все
ПМ номерами 1, 2,..., 9, где 6 — число всевозможных
ПМ в М. Эта нумерация в дальнейшем также будет
предполагаться фиксированной.
Через х обозначим соответствующий нумерующий
оператор, а через vi, v0 — декодирующие операторы, вы-
выделяющие по произвольному номеру первую и вторую
компоненты ПМ с этим номером.
В дальнейшем изложении каждая ПМ и ее номер
отождествляются. Введем следующие обозначения и
соглашения: N={0, 1, 2, ...,}, Г={0, 1, 2, . . ., 9),
ОРФ — общекурсивная функция, |Л| —мощность мно-
множества А.
Для произвольных х,у£Г, через \х\ обозначим
мощность множества v^jcjUvofx), а через х*у, где
* — одна из операций и, П, \, V (симметрическая
разность), обозначим ПМ с номером *(vi(x)*vi(y),
9_9968 129

Если |#|>|л:|, то у назовем расширением X й
будем писать у>х\ если vx (x)(Zv{ (у) и v0 (a;)Cv0 (у), то
у назовем согласованным расширением и бу-
будем писать хсл/.
Пусть также для произвольного Л, ЛсТ и
/? (Л) = {л-1 хбГ & Яг (гб Л & хСг)}
71& |jc| = /} при 0<
5>r= U £>', 5<r- U />, при
Элементы множества Dk будем называть аб со лют-
ными ПМ, a R(A) — разложением Л.
2. Введем понятие индуктора — алгоритма индук-
индуктивного обобщения.
Определение 1. Произвольную одноместную О РФ
f мы будем называть индуктором, если суще-
существует множество 7\С1Г такое, что
1. vxixer^fweT),
2. Vx(xeTl->f(x)>xI
3.
4.
Определение 2. Индуктор /назовем абсолютизи-
абсолютизирующим, если выполнено условие
и назовем согласующим, если выполнено условие
Множество всех индукторов обозначим через Т7,
абсолютизирующих индукторов через О, согласующих
индукторов через Fc и несогласующих индукторов
(т. е. элементов множества F/Fc) через FUc.
Введем критерии оценки возможностей заданных
индукторов при расшифровке заданных ПМ.
Определение 3, Пусть нам даны произвольные ПМ
v и индуктор /. Объемной сложностью v
относительно / назовем число
( min \x\, если такое х существует,
[с-\-\ , в противном случае,
где с — заранее фиксированное натуральное число.
130

Так как всякая ПМ х может быть задана посредством
указания принадлежности к vi(x) или \о(х) каждого из
k элементов множества М, то с точки зрения приложе-
приложений интересно рассмотреть индукторы, относительно ко-
которых объемная сложность заданных ПМ не превыша-
превышает k. Поэтому в дальнейшем мы полагаем c = k.
Определение 4. Пусть заданы произвольные непус-
непустые Лс7\ O^F. Объемной сложностью А
относительно G назовем число
50б(А, O) = mlnmax So6{v ,/)
f£G v£A
3. Укажем некоторые общие свойства согласующих
и несогласующих индукторов.
Свойство 1. Уг/(г/еГ\О^->Я/, gfJ&F^g&F^-
Soe(y, f) = So6(y, g) = k+\)). Пусть /6FC, y&T\D* и
A = {x\f(x) = y}. Ясно, что Ух(хвА->хс:у). Так как
y$Dk, то при А>1 найдется хотя бы одно у* такое,
что у* Фу и усу*.
Определив индуктор /ь так, что
2. Чх(хеА^/г(х) = у%
получим, что So6(y, fi) = k+\. Для несогласующих
индукторов утверждение доказывается аналогично.
Очевидно следующее
Свойство 2. а. Уу(убГ->Я/ {f£Fc&Vx (x£R ((/)
-/() ))
б. v
Следствие 1. vx(x&T->nfg{feFc8LgGFBCbSo6(x4 f) =
5o6(A:,g) = 0)).
Следствие 2.
o6(g)))
Таким образом, в каждом из классов Fc и Fnc не
существует оптимальных индукторов.
Свойство 3. YvA (R (v)ciAc:T -> 5об (Л, Fc) > -и). Дейст-
Действительно, для произвольного feFc могут иметь место
две возможности. Либо
(v) -> Ях (xeR (v) &f(x) = у)),
9* 131

й Тогда
Vx
либо
Ъу (yeR (v) & vx (x£T -> / (х) =£ у).
В обоих случаях доказываемое утверждение спрайед-
ливо.
Справедливо также следующее
г —1
Свойство 4. У г А A< г < £ & ЛсГ -»- (| Л | > 2 2'С* *>
**50б(Л,/=)>г)).
Доказательство. Обозначим для краткости
левый член стоящей в консеквенте эквивалентности
через а, а правый —через р.
1. Пусть имеет место а. Допустим, что ПР» Это
означает, что
3/VzEU (f£F & гбА & хб5<г _i &/(*)= г).
При этом должно выполняться условие однозначности
/, т. е.
Vxy(x, yeSr,i&x = y^f(x)=f(y)).
Очевидно, что указанное / возможно при условии
|S<r_i |>| Л |, что противоречит предположению о спра-
справедливости а.
2. Теперь предположим, что выполняется р. Покажем,
что в этом случае из ~|а должно следовать П[3.
Действительно, допустим ~~]а. Пусть С = 5<ГП^-
Обозначим через хх,...,хр и Z\,...,zq всевозможные
элементы, соответственно, множеств 5<Г\С и А\С,
упорядоченные в порядке возрастания общего числа
элементов, содержащихся в каждой ПМ.
Из предположения ~|а следует, что p>q. Определим
индуктор / следующим образом:
2. V^
3. Vx
где 2* — произвольный элемент из L.
Ясно, что S06(A,f)<r, что противоречит р.
132

§ 2. СРАВНИТЕЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
СОГЛАСУЮЩИХ ИНДУКТОРОВ
В условии 2 определения индуктора выделена основ-
основная особенность акта индуктивного обобщения — по-
построение гипотезы, которая увеличивает число класси-
классифицированных объектов. При этом условие согласо-
согласованности 21 дополнительно требует, чтобы «гипотеза»
не противоречила классификации, заданной на исход-
исходном множестве объектов. Казалось бы, что согласующие
индукторы должны производить расшифровку с мень-
меньшей объемной сложностью, чем несогласующие.
В нижеследующих теоремах доказывается ошибоч-
ошибочность такого предположения. В теореме 1 указан неко-
некоторый достаточно естественный класс согласующих ин-
индукторов, которые расшифровывают произвольную ПМ
не лучше несогласующих индукторов. В то же время
возможны и такие классы ПМ, оптимальную расшиф-
расшифровку которых можно произвести только согласующими
индукторами, и такие, для которых оптимальными ока-
оказываются, наоборот, несогласующие индукторы (теоре-
(теорема 2).
Теорема 1. Если G--={f\ fQFc&rKzlz2(zlz2eT8cvl(zl)--^
= voB2) & vo(zi) = ь(г2) & /(zi)=£zi & /(г2)¥>г2)}, T0
vA(Acr->So6(A, FHC)<5o6(A, 0)).
Доказательство.
Пусть /eG, Zi, z2eT и v1(zi) = v0(z2), vo(z1) = v1(z2).
Ясно, что z^fizj, z2^f(z2) и z2=/=f(zl),
Индуктор /* определим следующим образом:
1 {b f*() f())
2. /(i) /B) fB) f(l)
Очевидно, что при &>1 такое построение возможно
и /*6^нс- Ясно также, что для произвольного АдТ,
S06(A,f*)==So6(A,f). Построив для каждого /eG
вышеуказанным способом индуктор /*6^Нс, получим
множество G* такое, что G*^FHC и 5об(А, G) =
= So6(A, 0*)<50б(Л, FHC) что и требовалось доказать.
Теорема 2. яАгА2(Аи А2 с Г & 50б(Аь FHC)<
<50б(Аь Fc)&5o6(A2, FHC)>So6(A2, Fc)).
Доказательство.
1. Для произвольной ПМ v введем обозначение
c-v& \x\<p), при 0</?<|^|.
133

Легко видеть, что
Пусть ^—-произвольная абсолютная ПМ и A = R\V\ (p)
Тогда, из свойства 3 следует, что 50б(Л, Fc)>&,
Покажем, что 5об(Л, FEc)<k, откуда будет следовать
первая часть теоремы.
Действительно, согласно свойству 4 имеем, что
k—1
I A|<22'q-*So6(A, F)<k.
i=3
k—\ k-l K—l
Но разность ^ 2'C1 - \A i = 2 2'C£ - 2 ^ - 1 =
k-l
= j£iCikBl — \) — \ при ky\ всегда неотрицательна,
i=0
а потому выполняется неравенство 5об(А, F)*ck—1.
Так как 5об(Л, Fc)>k, то полученное выше неравен-
неравенство равносильно неравенству 5об(Л, FHC)<yfe —1, что
и требовалось доказать,
2. Покажем, что So6(T, Fc)<cSo6(T, Fuc).
Пусть / — согласующий индуктор такой, что
(Tf() )
(f() )
Покажем, что 5об(Г, /)<5об(Г, F\ {/}). Действитель-
Действительно, 50б(Г, f) = k. В то же время, для произвольного
/*gF, если /*=^/, то найдется xQT такой, что /* (х)=/=х,
Тогда можно указать элементы хи х2, .. .,xt£T такие,
что Xi = x, f(Xi)=Xi_u при 2</<^, и ~]r3.x(xeT^f(x) = xt).
Следовательно, 50бG\ F\{/})■-■= min max5o6(x, /) =
= £ + 1, откуда следует требуемое утверждение.
Пусть расшифровка некоторой ПМ v производится по
ПМ х такой, что x = Xil)x2 и в хх включены «типичные»
для v элементы, а в х2 — «нетипичные», или «патологи-
«патологические».
Пусть при этом множество объектов, включенных в
х не позволяет полностью расшифровать v посредством
заданных индукторов. В таком случае равноправное
рассмотрение всех элементов из х, характерное для рас-
расшифровки посредством согласующих индукторов, мо-
может привести к классификации, содержащей большее
число ошибок, чем классификация, основанная на х{ и
134

не запрещающая ошибки на х2. Такая расшифровка
возможна при применении несогласующих индукторов.
В следующей теореме придан точный смысл одной из
возможных ситуаций, сходных с вышеуказанной.
Теорема 3. Для произвольной ПМ ^65>3 можно
указать такие согласующий (/х) и несогласующий (/2)
индукторы, что для произвольной ПМ x^S<, , 3\{0, 0}
выполняются следующие соотношения:
fi(x)&v и -#£/,(*), при 1 = 1, 2,
xc/i (х) и x&f2 (х),
но \f2(x)nto\>\fi(x)nv\.
Доказательство.
1. Построим /\. Расположим элементы D^ в после-
последовательность v, vlv v\, ..., v\ , ..., v*v vfv... ,vjk такую,
что
где ^ =
Покажем, что 5<M_3cu U
Допустим обратное. Тогда
(t k.
\
/
Так как 4>5 и y(iD^~3, то к у можно добавить 3 но-
новых элемента из М так, что для построенной ПМ v'
будут выполняться следующие соотношения:
I^'I^H^I' У^0' и \tv'4v\>3.
Из последнего следует, что v', а следовательно и х,
t ki
принадлежат U U R Iv1-), что опровергает наше допу-
/==2 у = 1 V У
щение.
Определим /\ следующим образом:
1. Пусть D) = R{vi.)\{x\x^iiku&{yl.^v x;J+2, ...
..., vlk, ..., v*v v*2, ..., i>£ J. Тогда при 3 < i < t, 1 < у < kt
выполняется
135

2. Yx(<il )
Ясно, что \fi(x)^7v\>3 для произвольного
<lol3
2. Построим /2. Пусть {^--ч^} множество всех
из D!z/' таких, что |ttfvo| = 2, при 1 </<fe. Так
как ^б5>3, то &>4 и потому множество |?^, ..., т^ J
непусто.
Легко показать, что
A) Уха/ (.vgD1 & 1 < у < k2 & *с:г>2).
Рассмотрим последовательность множеств BX,B2,...
...,B2k всех согласованных расширений, соответст-
соответствующих элементам йь и2, .. .,й2* множества ZI и
удовлетворяющих следующему условию:
y] при
Ясно, что U£r- = S<N_3\{0, 0}. Из множества
/'yj, .. .,^| \ выберем произвольную последовательность
^,...,^ такую, что для каждого Иу и соответст-
соответствующего ^, Uj&v^ при 1<у<2^. Согласно A) такую
последовательность построить можно. Тогда /2 опре-
определяем следующим образом:
2. (е\и(
где ^* — произвольная ЯЖ из Z)*. Ясно, что
1/2 W V^ | = 2 для произвольного xQS<lvl_v что и тре-
требовалось доказать.
§ 3. ПРОЦЕСС ИНДУКТИВНОГО ОБОБЩЕНИЯ
Рассмотрим теперь одну из возможных формализации
процесса индуктивного обобщения. Введем опреде-
определения, характеризующие наше понимание этого процес-
процесса и задающие рассматриваемый формализм,
136

Определение 5. Генератором последова-
последовательности номеров (ГПН) назовем произвольную,
значения которой принадлежат 7\
Определение 6. ГПН ср назовем расширяющимся
(РГПН), если vtf(<p(tf)Ccp(tf + l)), и строго расши-
расширяющимся (СРГПН), если vt(t<k-+y(t)av(t- "' '
@?@ Т())
Определение 7. Будем говорить, что ГПН ср согла-
согласован с ПМ v, если Vt(y(t)&v).
Через Ф(и) будем обозначать множество всех ГПН,
согласованных с ПМ v.
Отметим, что определение ГПН является экспликаци-
экспликацией интуитивного понятия «обучающей последовательно-
последовательности», часто используемого в литературе по распознава-
распознаванию образов. В дальнейшем для каждого ГПН нас бу-
будут интересовать лишь значения ср(О), фA),..., ф(с),
при c^k, так как всякая ПМ, составленная из элемен-
элементов М, может быть описана посредством обучающей
последовательности длины не более k, перечисляющей
все элементы этой ПМ.
Определение 8. Пусть заданы произвольные индуктор
f и ГПН ф. Индуктивным выводом с индуктором f над
ГПН ф (или сокращенно [/, ср]=#В) назовем функцию
h из N в Т такую, что
если
в противном случае.
Ясно, что [/, ср] — ИВ h является ОРФ.
Определение 9. Пусть даны произвольные индуктор
/, ПМ v и ГПН србФ (о). Временной сложностью v
в [/, ср] = И5 назовем число
(\it (vczh(t)), если такое t существует,
S (v f (q) = \ t<k
bPv i j •> ./ ^+1, в противном случае,
где [х — оператор минимизации.
Объемной сложностью v в [/, ср] — ИВ назовем число
jl?Hi, при a<k, где a = S
9°^ '-^'^""lA + l, в противном случае.
137

Определение 10, Пусть даны произвольные непустые
ACT и Gc:F. Объемной сложностью А в [G] = HB назо-
назовем число
Slo6(A, G) = minmax min Sob(v,f, ср).
/£G £Л£Ф()
Очевидны следующие свойства только что опреде-
определенных понятий.
1. Для произвольных ПМ v&T, индукторов
/ь/26^ и ГПН ср имеет место следующее утвержде-
утверждение: если SBP(v, /ь ср) = 5вР(^, /2, ср), то 5об(^, /ь <р) =
= ^об(^,/2, ср). Обратное в общем случае неверно.
Однако для РГПН ср оба утверждения эквивалентны.
2. VfivtfeF&veT->Sl6({v}J f)= min \u\.
ССМ)
Следствие, Для произвольных непустых
i^FHC, С2(^17С, выполняются неравенство
з.
= А+1), т. е. v недостижимо в индуктивном выводе
со специально выбранным несогласующим индуктором.
В классе согласующих индукторов такой выбор не-
невозможен.
где ** =
В следствии к теореме 4 утверждается существование
ПМ максимальной сложности в индуктивных выводах
с произвольным согласующим абсолютизирующим ин-
индуктором. Тем самым опровергается идея об оптималь-
оптимальном индукторе в индуктивных выводах этого типа-
Теорема 4. Для произвольного согласующего абсо-
абсолютизирующего индуктора / и произвольной строго воз-
возрастающей ОРФ i|) можно построить РГПН ф такой, что
для [/, Ф]—ИВй
138

Данная теорема является обобщением аналогичной
теоремы, доказанной в [10] для 1-индукторов.
Доказательство.
Построим РГПН, удовлетворяющий условиям теоре-
теоремы. Построение индуктивное, по параметру t.
1. Если г|;@)>&, то ф(/) при /^0 полагаем равным
произвольному vGDk.
Пусть ф@)<£. Выбираем произвольным образом ПМ
(М\, М§ такую, чтобы |М°1Шо1 = Ф @) и полагаем
2. Пусть y(t) уже определено. Тогда <?(< + 1) опре-
определяем следующим образом.
Если ф (* + 1)>£, то полагаем <p(tf-|-l) = <p(tf). Если
же ф(^ + 1)<Ж то вводим в рассмотрение множества
Л1{ М(*) Л*$ ((') /?( /@)) ФШ№
Ясно, что (ЛГ{, MJ)c(/?{, /?J) и /?(U/?o-M. Из множеств
/?(\/И| и Ц*0\М*0 выделим, соответственно, подмножест-
подмножества Р( и Р*о таким образом, чтобы выполнялось равенство
I P\ U Pq | = Ф (^+ 1) — Ф (^). Выполнение этого неравен-
неравенства возможно, так как ф(^ + 1)<&. Мы полагаем
<рУ+\) = %(М[[)Р'0Ч М*оиР{). Поскольку ф(^ + 1)-
-ф@>0, то Р[иР'о=£0, а потому (ATJUPJ,
ffi(/?{,i?J). Следовательно,
Теорема доказана.
Следствие 1. /
(( P(
Доказательство легко получить, если в условиях тео-
теоремы выбрать i|}(/) =t.
Для выявления условий и способов повышения эф-
эффективности индуктивного обобщения присмотримся к
процессу формирования понятий у человека в ситуации
«ученик—учитель». Нам представляется, что сравни-
сравнительно быстрое формирование некоторого понятия у уче-
ученика посредством методов индуктивного обобщения мо-
может быть связано со следующими обстоятельствами.
1. Ученик может располагать другими знаниями, пря-
прямо или косвенно связанными с задуманным учителем
множеством. Эти знания значительно сужают область
поиска нужного понятия и тем самым облегчают его
формирование. Это могут быть знания об общих ограни-
ограничениях на ситуации окружающей человека среды и об
139

общих законах протекающих в природе процессов. Эти
знания, накопленные человечеством на протяжении мно-
многих веков эволюции и развития познания в принципе,
могут передаваться ученику и посредством механизма
биологической наследственности, отражаясь в самой
структуре рецептивных и творческих способностей обу-
обучающегося. Но значительно более важную роль в про-
процессе формирования понятий посредством индуктивного
обобщения играют, конечно, те знания, которые были
просто сообщены ученику на предшествующих этапах
обучения (с этим хорошо согласуется тот психологичес-
психологический факт, что человек начинает пользоваться индуктив-
индуктивным обобщением на сравнительно поздних стадиях раз-
развития).
2. Определенное значение может иметь и то обстоя-
обстоятельство, что ученик и учитель обладают сходными
познавательными возможностями. Если бы восприятие
различных ситуаций у ученика и учителя осуществля-
осуществлялось посредством различных биологических механизмов,
то их взаимопонимание было бы сильно затруднено.
Например, классы ситуаций, которые учителю представ-
представлялись бы непересекающимися, ученик мог бы воспри-
воспринять как пересекающиеся и т. д. Напротив, сходство
восприятия ситуаций учеником и учителем может
значительно облегчить ученику синтез требуемых
понятий.
3. Для осуществления взаимопонимания между уче-
учеником и учителем очень важно, с помощью каких язы-
языковых средств происходит у каждого из них описание
классов ситуаций, т. е. как записываются понятия. Если
языковые средства, которыми обладают ученик и учи-
учитель, сходны и полны (т. е. позволяют описывать произ-
произвольные классы ситуаций), то ученик, зная некоторые
характеристики языковых выражений, которые учитель
использует в качестве описаний множеств ситуаций
(например, длины этих выражений), может облегчить
себе задачу индуктивного обобщения, организуя поиск
описания искомого множества ситуаций только в том
классе языковых выражений, которые определяются
этими известными ему ограничениями. Если же языко-
языковые средства, находящиеся в распоряжении учителя и
ученика, различны и к тому же неполны, между ними
возможно и полное непонимание,
140

4. Ученику может быть дана возможность определен-
определенным образом управлять последовательностью ситуаций,
которые предъявляет ему учитель. Например, он может
потребовать предъявить ему какие-то конкретные си-
ситуации и сказать, к какому классу они относятся, задать
определенные вопросы об этих ситуациях и т. д. В этом
случае индуктивное обобщение происходит в условиях
так называемого зависимого выбора [1].
В следующем параграфе мы рассмотрим, каковы воз-
возможности индуктивного обобщения, если на процесс
обобщения наложены некоторые конкретные ограниче-
ограничения одного из только что указанных видов.
§ 4. ИНДУКТИВНЫЙ ВЫВОД С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
Рассмотрим процесс индуктивного обобщения для
случая, когда представлена возможность специального
типа управления данными, используемыми при построе-
построении гипотез.
Определение 11. Произвольную 3-х местную ОРФ q
будем называть регулятором, если для нее вы-
выполнено условие
Vtxy ((*, *, y)eN X Т X Т -*
-+q(t, х, y)eT&vo(q(t, x, y))= 0).
Множество всех регуляторов обозначим через Q
Определение 12. Пусть даны произвольные /g/7 и
qQ Произвольный ГПН ср назовем (/^(-порож-
(/^(-порожденным, а [/, у]-И В /г назовем [/, ср]-#£ с ре-
регулятором #, если ср удовлетворяет следующим
условиям:
1. vx (ср @)) U ^о (? @))^{^}^ где а —произвольный фик-
фиксированный элемент множества М,
2. vf (OOHvitcp^+lWUvotT^ + l))^^^ ?(<)> ЧШ-
Определение 13. Пусть заданы произвольные /&F,
(]&Q и и&Г. Тогда (/, q) — порожденный ГПН ср назовем
согласованным с v, если ср удовлетворяет сле-
следующим условиям:
1 @) (
)
h(t)% где h(t)-\f, V]-HB.
Очевидно, что при фиксированных /g/7, ^Q
существует единственный (/, ^ — порожденный и со-
согласованный с v ГПН ср.
141

Содержательно каждый регулятор определяет неко-
некоторый способ формирования вопросов, относящихся к
расшифровываемой ПМ, способ построения (/, q) — по-
порожденного и согласованного с этой ПМ ГПН отражает
механизм получения ответов на заданные вопросы.
Нижеследующая теорема 5 устанавливает некоторые
общие ограничения на индуктивный вывод с регулято-
регулятором, показывая, что ни для одного из классов FBC и Fc
не существует оптимального регулятора.
Теорема 5. 1. ^zq*wqfv(qeQ&feFtiC&veT-+q*eQ&
ASo6(*,/,?*)<So6 (*./,?))
&So6(a, /, ?**)<So6(v, /, cp)), где ср*, ср** и ср, соответ-
соответственно, (/,#*), (/,#**) и (/, #) —порождены и со-
согласованы с v.
Теорема 5 непосредственно следует из лемм 1 и 2.
Лемма 1. Yqvafg(qeQ&veDk-l-+feFm&qeFc&So6(v, /)<
<k&So6(<o,g)<k&So6(v4*f4 cp*) = So6(^, g, ?;)=A + 1),
где ср* и ср*, соответственно, (f, q)— и (g*, q) — порож-
порождены и согласованы с ПМ v.
Лемма 1 утверждает, что для произвольных регу-
регулятора q и абсолютной ПМ v существуют индукторы,
такие, что в соответствующем процессе индуктивного
обобщения регулятор q не сможет выработать тех
данных, посредством которых индуктор / мог бы
расшифровать заданную ПМ.
Доказательство.
1. Зафиксируем произвольный регулятор q* и про-
произвольные nMv^Dk~x и v*£Dk. Пусть R(v) =
= {хих2,...,хт}, где m=\R(<o)\--=2W-l = 2*-1.
Семейство //= {/ь.. .,/от} индукторов определим
следующим образом:
1 lf
t(fi(l))
2. Yx(xeT\{Xi}\jDk-+f(x) = v*), при 1<
Ясно, что Yf(fGH-*So6('v,f)<k. Покажем, что
Для произвольного индуктора /, согласно определе-
определению (/, #*) —порожденного и согласованного с v ГПН
9*, выполняется: ср* @) = х (v, (<о) П {a}, v0 (v) П {а}), где
а^М, и ср* @N/? (-и). По определению Я, найдется
единственный /6# такой, что /(<р*(О))=-=-а. Обозначим
142

его через fK Тогда vgf (g, /еИ\ {f1} -> А @) --= g (ср* @)) -
= /(cp* @)) =£ ^ <7* @, ?* @), h @)) = const). Обозначим
Н\{/1} через //1в Таким образом, для всех f£ti\,
ср* A) определяется единственным образом и ср* AN/? (^).
Если ср* A)=^=ср* @), то в Я! найдется индуктор /2
такой, что в [/*, ср*] —#/J Л, Л@) = ^* и /A)
При этом
/tftfi
где *,-[/, <p*j P)
Еслиср*A) = <р* @), то на первом шаге используем индук-
индуктор f1. Пусть //., />2, —подмножество // индукторов
таких, что
где А^ — [/, ср*] — ИВ. Тогда для всех индукторов из
Hh ^* (/ — 1, ср* (/ — 1), Л (/ — 1)) будет одинаковым, а для
ср* (i) = vOq*(i — 1, ср* (/ — 1), h(i — 1)) при условии, что
ср* (/) ф ср* (I — 1), найдется fiJrl&Hi такой, что выпол-
выполняются утверждения /(ср*(/)) = -и и Yf(f£Hi+l-^kf(i)--^--
^v% где ЯМ^ЯЛ{//+1} и Л,-[/, ср*]-Я£.
Если cp*(i)-=cp* (i — 1), то на /-м utare используем
индуктор //-1.
При / = yfe + l мы получим, что
При этом \Нк+г \>2k~l — (A + l)>0, при А>4. Таким
образом, для произвольного индуктора /6//Л+1 мы
имеем 5об(^, /, (р*) = й + Ь гДе ?* — (/» ?*) —порожден-
—порожденный и согласованный с -и ГПН, что и требовалось до-
доказать
2. Зафиксируем произвольные регулятор q* и ПМ
D*1, а также roxQDk такую, что vavi.
Пусть R (v) \ {v} = Ub .v2, ..., хп] и G= {gi, ..., gn]
— семейство индукторов, определенных следующим
образом:
1 i(\i
2. Yx(xeT\{xi}[j{v}(jDk->gi(x) = x), при 1</<л.
Ясно, что Vg-(geG->So6(<y, g)<A и |Q | = 2*-1 — 1.
Повторив далее в точности рассуждения, проведен-
проведенные при доказательстве первой части доказываемой
леммы, для класса G получим требуемое утверждение,
что и требовалось доказать.
143

Лемма 2. v<a/cp%* (v e T & /еF & ? 6 Ф И ->• <?* 6 Q&
&50б(^, /, ср*)<5об(^, /, ср)), где <?* — (/, 9*) — порожден-
порожденный и согласованный с -и ГПН,
Лемма 2 придает точный смысл интуитивно ясному
положению о том, что для произвольных заданных ин-
индуктора /, ПМ v и ГПН ф можно построить соответст-
соответствующий регулятор такой, что порожденный им и согла-
согласованный с v ГПН ф* позволит расшифровать v не ху-
хуже, чем с ГПН ф.
Доказательство.
Допустим, что Kx(x(<T&f(x) = v), так как впротив-
еом случае утверждение леммы справедливо при любом
q. Пусть х&Т, f(xx) = v и So6(v, /)=\хг\. Рассмотрим
регулятор q*(t, x, у)==%(чг(х) U vo(a:), 0). Очевидно,
y*(t) = Xi и So6(v, f, <р*) = |л:11, в то время как
So6Df, ?)>So6(v,f).
§ 5. КЛАССЫ ИНДУКТОРОВ
Ниже приведены описания некоторых типов индукто-
индукторов и индуктивных выводов, полученных в результате
интерпретации в вышеизложенной формализации из-
известных в литературе алгоритмов обучения, классифи-
классифицирования, построения описаний и др. Они получены
для алгоритмов, имеющих достаточно полные и точные
описания.
Автор заранее приносит извинения за возможные ис-
искажения в конструкциях интерпретированных алгорит-
алгоритмов и выражает готовность к их исправлению.
1. Покажем, что процесс обучения трехслойного пер-
септрона [3] интерпретируется соответствующим индук-
индуктивным выводом, а алгоритм изменения коэффициентов
разделяющей пороговой функции определяет некоторый
индуктор.
Пусть М — множество всех /г-мерных булевых векто-
векторов. Так же как и в [3], пусть Ф —некоторый конечный
вектор предикатов, определенных на М% А — вектор
коэффициентов той же размерности, что и Ф, и L- —
множество линейных пороговых функций относительно
Ф, представимых в виде
Т(;с)==ГА-Ф(л:)>0, ПРИ
144

Каждая пороговая функция из L- определяет неко-
некоторую абс. ПМ из Т. Множество таких абс. ПМ мы
будем обозначать через L-. Ясно, что L- определяет
множество классов эквивалентности в L-.
Определение 14. Для произвольного конечного
вектора предикатов Ф ЗрФ-и н ду к т о р о м назовем
произвольную двух местную ОРФ / такую, что
1. Ухг ((*, г)ф' X L~ -> / (х, z)£L~),
2.
Ясно, что 3/?Ф-индукторы образуют подкласс абс.
индукторов, в обш.ем случае несогласующих.
Для произвольных абс. ПМ v, 3/?Ф-индуктора /
и ГПН <р, согласованного с v и v<|cp(<)|=l, процесс
обучения 3-х слойного персептрона будет интерпре-
интерпретироваться [/, ср]-ИВ следующего вида:
А @) = /(9@), Я),
\f (cp(^-[-l), h(t)), в противном случае,
где // — абс. ПМ, соответствующая заданному исход-
исходному вектору коэффициентов А.
Вычисление результатов применения 3/?Ф-индуктора
/* в [/*, ср]-ИВ h с исходной гипотезой Н (А) в [3]
производится следующим образом.
Яьесли |Vl((p@)|=1 и
=1 и
где v1(P°1)={\(
Vj (Pl)j= {х | хт & Ab Ф_(х) > 0} _и
Л?-Л + Ф^(?@))), Л§ = Л + Ф(уо((р(О)))- векторы
коэффициентов абс. ПМ Р? и Рг, соответственно.
2. Пусть А(^) — гипотеза, полученная на шаге t
и А* — соответствующий вектор коэффициентов. Тогда
10-9968 145

/*(?(<+!), Л (<)) =
Р{+\ если |Vl(T(*+l))|=l и
Д'.ФЫ<р(* + 1)))<0,
Pi+1, если | vo('f (< + 1)) |= 1 и
где
+ ( (р ( 1))), Л1+1 = Л' + Ф (v0 (<p @))) -
векторы коэффициентов абс. ПМ Р{+1 и Яг+\ соответ-
соответственно. Указанная схема ИВ позволяет рассмотреть
и другие виды обучения трехслойного персептрона,
описанные в [13].
В настоящее время рассматривается возможность ана-
аналогичной интерпретации для алгоритмов обучения, при-
приведенных в [14] и [15].
2. Вычислительные процедуры построения дерева по-
понятий типа CLS, описанные в [1], определяют соответ-
соответствующие классы индукторов и индуктивных выводов.
Убедимся в этом для процедуры CLS—1.
Пусть k = rnn> М — множество всех д-мерных т-знач-
ных векторов.
Определение 15. Для произвольных ПМ v и РГПН ср,
согласованного с v, произвольные одноместные ОРФ /
и h назовем CLS1 — индуктором и CLS1 [Д ф]-ИВ,
соответственно, если / и h удовлетворяют следующим ус-
условиям:
2. v
3. A() /(p())f
{A(')f если
1/Op (* + !))» в противном случае,
4. Vt(teN\T-*f(t) = Q+l).
Так как ГПН ф является расширяющимся, то новая ги-
гипотеза, полученная на шаге t, должна быть согласована
со всей ранее поступившей информацией. Это условие
является аналогом свойства CLS-i —использовать при
индуктивном обобщении память неограниченного объема.
Очевидно, что CLS1-индукторы это согласующие абс.
индукторы, a CLS1[/, ф]-ИВ есть [/, ср]-ИВ для рас-
расширяющегося ГПН. Аналогичную формализацию мож-
146

но провести для программ CLS—i, при 1</^9. При
этом, CLS2- и CLSS-индукторы совпадают с CLSl-ин-
дуктором, CLS2-HB есть CLSl-ИВ с органичителем, а
CLS5-HB есть CLSl-ИВ с регулятором-
Остальные CLSi-индукторы могут быть определены
посредством некоторых комбинаций условий, указанных
выше или близких к «им.
3. Рассмотрим условия, необходимые для отнесения
процедуры построения экстремального распознающего
алгоритма (э. р. а.) [2] к классу индукторов.
Рассмотрим эту процедуру при / = 2, A^ = {0, 1},
l^i^n, D=En, т. е. для случая 2-х классов в д-мерном
булевом пространстве Еп, все векторы которого счита-
считаются допустимыми [2].
Процедура построения э. р. а. — F, определяется фик-
фиксацией следующих алгоритмов:
1. Алгоритма F[ разбиения произвольной ПМ (Mi,M0)
на обучающую ПМ (Af/, Мо') и контрольную ПМ
(М{'\ Af0") такие, что МХ = МХ' U Мх" и M^MJ U А40".
2. Алгоритма выбора опорных множеств F2.
3. Функций близости F3.
4. Алгоритмов /% ^5, ^6 вычисления оценок (при срав-
сравнении вектора с вектором и вектора с классом векторов
при заданных опорном множестве или классе опорных
множеств).
5. Решающего правила F7.
6. Функционала Fs оценки оптимальности построен-
построенных распознающих алгоритмов.
Вышеуказанные алгоритмы Fu F2,..., F8 перераба-
перерабатывают произвольную заданную ПМ в э. р. а. в такой
последовательности.
1. Пусть (Ali, Mo) —заданная ПМ. Алгоритм F{ раз-
разбивает (Ми Мо) на ПМ (М/, AV) и (Af/', Mo").
2. Алгоритмы F2i..., F7 по обучающей ПМ (М/, Мо')
задают некоторое параметрическое множество распозна-
распознающих алгоритмов {Л}, каждый из которых определяет-
определяется однозначным образом фиксацией конкретных значе-
значений конечного числа параметров. Мы будем считать,
что области изменения параметров также конечны.
Произвольный алгоритм распознавания Л, полученный
указанным образом, каждому булевому вектору 5
из Еп сопоставляет одно из чисел 0, 1, 2. При
10* 147

этом, если
II, то 5 принадлежит 1 классу,
2, S « » II « »,
О, 5 не распознан.
Таким образом, каждому алгоритму Л соответствует
ПМ (Mi, Mo) такая, что
3. Функционал F8 производит выбор такого алгорит-
алгоритма Л* из {Л}, при котором достигается минимальное
число ошибок на контрольной ПМ (Afj, M'Q'). Алгоритм
Л* объявляется э. р. а.
При соответствующем кодировании вышеуказанных
объектов можно показать, что процедура F построе-
построения э. р. а. индуцирует соответствующую ОРФ fF, та-
такую, что
= A*~fF(х) = х(Mf\ Мол*))),
2. Vx(xeN\T->fp(x) = B+l).
Тогда для отнесения fF к классу индукторов доста-
достаточно показать, что для произвольной ПМ (Ж1? Мо)
выполняется следующее неравенство:
\(M?\Mf)\>\(MuM0)\.
Видимо, можно показать, что справедливо более силь-
сильное утверждение, а именно
что и будет означать принадлежность fF к классу
согласующих индукторов.
4. Процедуры построения решающих правил для клас-
классификации булевых векторов, рассмотренные в [16], от-
относятся к алгоритмам индуктивного обобщения. Приве-
Приведем интерпретацию указанной процедуры из [16] для
случая двух классов векторов.
148

Определение 16. Произвольную одноместную ОРФ f
назовем 1 test-индуктором, если f удовлетворяет следую-
следующим условиям:
Здесь f(x) есть аналог решающего правила из [16],
построенного по обучающей выборке х.
2. Vx(x£T->xg.f(x)),
так как решающее правило не ошибается на обучаю-
обучающей выборке (теорема 2.2. [16]).
3. Yxabv(x, veT&a, beM&xgLv&ae
-> (b&i (f (x) П v) -> b&x (f (x(ja)n v)) &
Это условие требует относительной устойчивости ал-
алгоритма распознавания относительно пополнения обу-
обучающей выборки произвольным распознанным вектором
(теорема 2.3. [16]).
4. Пусть С — матрица перехода от базиса хи ..., хп
к базису Х\,..., Хп в пространстве булевых векторов М.
Тогда условие независимости решающего правила от
выбора базиса в М можно представить в следующем
виде:
Из определения следует, что Hes^-индукторы являют-
являются разновидностью согласующих индукторов, обладаю-
обладающих устойчивостью к пополнению обучающей выборки
и независимостью к выбору базиса в рассматриваемом
булевом пространстве. Решающее правило f(x)9 полу-
полученное на выборке х, использует сокращенную д. н. ф.,
являющуюся дизъюнкцией всех простых тестов (тупи-
(тупиковых тестов) выборки.
Для случая двух классов это правило может быть
представлено в виде композиции характеристических
функций компонент выборки х и остается неизменным
при фиксированном х для двух разновидностей ltest-ин-
дукторов — локального и глобального [16].
5. Легко показать, что процедура перехода от таблич-
табличной формы задания произвольной частично определен-
определенной булевой функции к его представлению через совер-
совершенную д. н. ф. определяет некоторый согласующий абс.
индуктор. Описание этой процедуры можно найти, в
частности, в [17]. Отметим, что вместо совершенной
149

д. н. ф. можно использовать любую другую д. н. ф., сох-
сохраняющую единицы булевой функции, (например, соот-
соответствующую минимальную д. н. ф.) или сокращенную
Д. н. ф.).
6. I-индукторы, рассмотренные в [10], определяют
специальный класс согласующих индукторов для мно-
множества М я-мерных булевых векторов. I-индукторы оп-
определены следующим образом:
произвольную одноместную ОРФ / назовем 1-й н д у к -
тором, если выполнены условия:
2. Y
3. Уху (х, уеТ & x^y^f (x) -> / (х) с/ (у)),
4. Vx(x£N\T->f(x) = Q+\).
Как видно из п. 3 от I-индукторов требуется отобра-
отображать каждую ПМ у в расширения, согласованные с
расширениями пар, содержащихся в у. Это требование
определяет специфику индуктивных выводов с 1-индук-
торами. В частности, для подкласса I-индукторов спра-
справедлива следующая
Теорема 6. Для произвольных абс. I-индуктора f
такого, что Уху(х, yeT&xczyc:f(x)-+f(x) = f(y)), и
РГПН ср, если А —[/, <р]-ИВ, то
V* (/(? (ОН *('))•
Доказательство. При /==0, й(О) = /(ср(О)), по опре-
определению [/, ср]-ИВ. Пусть h(t) = f(y(t)). Покажем,
что тогда А(<4-1) = /(<р(£ + 1)). Действительно. Если
cp(tf+l)s£A(£), то h(t-\- 1) = /(->р(< + 1)) по определению
[/,<р]-ИВ. Пусть <р(*+1)сА(*). Тогда h(t + \) = h(t).
Так как ср-РГПН и h(t) = f(<?(s)), (s<t), то cp(s)c
S=<? (' +1)^/(?@)- Но в таком случае, согласно опре-
определению абс. I-индукторов (св. З1), /(?(<+!)) —/(<р@)
или А(/ + 1) = /(ср(/ + 1)) ч. и т. д.
В [10] исследованы возможности I-индукторов при
расшифровке монотонных и симметрических функций и
получены оценки сложности их расшифровки в индук-
индуктивных выводах с обратной связью и без нее. Было бы
желательно провести аналогичные «теоремные» иссле-
исследования для других типов индукторов при расшифровке
естественных классов ПМ и сравнить полученные ре-
результаты.
150

7. Принимая, что «сущность классификации
(смысл, концепт классификации) — описание интенсио-
интенсиональной структуры классификационного универсума,
позволяющее ввести на соответствующем классифика-
классификационном поле структуру таксонов» [18], а классифи-
классифицирование есть процесс построения классификации,
можно провести определенную интерпретацию этих по-
понятий в терминах, сопутствующих процессу индуктивного
обобщения.
Действительно. Пусть Мъ М2, ..., Mk — рассматри-
рассматриваемые универсумы, Р[, Plv .. .,Я'Г. — предметные
области /-го универсума (состояния Mt), Klv ...,Klr.—
классификационные поля, полученные на Pj, ...,Я'г,
соответственно.
Обозначим через В (Kty — множество всех подмно-
подмножеств К1..
Тогда каждый акт классифицирования универсума
Mi по заданному множеству таксонов (или их частей)
КаВ(К)) предполагаемой классификации есть акт
индуктивного обобщения, определяющий концепт
исследуемой классификации для универсума Мх (интен-
сионал классификации). При этом одновременно опре-
определяется классификация на поле К1- (экстенсионал
классификации).
Алгоритм классифицирования — индуктор, в общем
случае, обрабатывает не только информацию относи-
относительно искомой классификации, заключенную в /С, но
также информацию о классификациях, полученных на
более ранних стадиях классифицирования Ми быть
может, на основе других классификационных полей из
множества {К\, ..., К\).
Описание концепта полученной на Мх классификации в
общем случае использует многоместные предикаты, свя-
связывающие универсумы М\, М2,..., Mk [18]. Они же мо-
могут быть использованы индуктором в процессе построе-
построения классификации.
В заключение укажем, что результаты аналогичной
интерпретации для метода эмпирических предсказаний
[19] и алгоритмов расшифровки автоматов [5] пред-
представлены в работах [20] и [21], соответственно.
151

Л ИТЕРАТУРА
1. Хант Э., Марин Д ж., Стоун Ф. Моделирование процесса
формирования понятий на вычислительной машине. М., «Мир»,
1970.
2. Журавлев Ю. И., Никифоров В. В. Алгоритмы распозна-
распознавания, основанные на вычислении оценок.— «Кибернетика»,
1971, № 3.
3. М и н с к и й М., Пейперт С. Персептроны. М., «Мир», 1971.
4. Барздинь Я. М., Фрейвалд Р. В. О прогнозировании об-
общерекурсивных функций.— «ДАН СССР», 1972, 206, № 3.
5. Тр а х т е н б р о т Б. А., Барздинь Я- М. Конечные автоматы.
Поведение и синтез. М., 1972.
6. Гладун В. П. Формирование понятий путем обучения расту-
растущих сетей.— «Кибернетика», 1970, № 2.
7. Ковалевский В. А. Задача распознавания образов с точки
зрения математической статистики.— В кн.: Читающие автома-
автоматы. Киев, «Наукова думка», 1965.
8. Колмогоров А. Н. Три подхода к определению понятия ко-
личестЕо информации.— В кн.: Проблемы передачи информации.
Т. I, M., 1965.
9. Трахтенброт Б. А. Сложность алгоритмов и вычислений.
Новосибирск, НГУ, 1967.
10. Погосян Э. М. 1-индукторы >и некоторые их свойства —
«ДАН Арм. ССР», 1974, 8, № 1.
11. Погосян Э. М. Сравнительные характеристики согласующих
индукторов. — «ДАН Арм. ССР», 1975, 60, № 3.
12. Погосян Э. М. Индуктивный вывод с обратной связью.—
«ДАН Арм. ССР», 1975, 60, № 4.
13. Розенблат Ф. Принципы нейродинамики. М., «Мир», 1965.
14. Айзерман М. А., Браверман Э. М., Розоноэр Л. И.
Метод потенциальных функций в теории обучения машин. М.,
«Наука», 1970.
15. Цыпки н Я. 3. Основы теории обучающих систем. М., «Наука»,
1970.
16. Айзенберг Н. Н., Циткин А. И. Вопросы применения про-
простых тестов.— «Кибернетика», 1974, № 1.
17. Глушков В. М. Синтез цифровых автоматов. М., Изд-во
физ.-мат. литер., 1962.
18. Панова Н. С, Ш рей дер Ю. А. О знаковой природе клас-
классификации.— «НТИ», сер. 2, 1974, № 12.
19. С а м ох в а л ов К. Ф. О теории эмпирических предсказаний.—
«Вычислительные системы», 1972, № 50, с. 100—105.
20. К а р а л е т я н Б. К., Погосян Э. М. Индукторы и их связь
с расшифровкой автоматов.— В кн.: Математические вопросы
кибернетики и вычислительной техники. Ереван, ВЦ АН
Арм. ССР. (в печати).
21. К а р а п е т я н Б. К., Погосян Э. М. Индукторы и их связь с
!методом эмпирических предсказаний. Вычислительные системы.
(в печати).

УДК 808.2-56
Ю. И. Левин
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
О ПРИМЕНЕНИИ ТРАНСФОРМАЦИЙ
ДЛЯ ОПИСАНИЯ СИНТАКСИСА
РУССКОЙ РАЗГОВОРНОЙ РЕЧИ
1. Среди различных подходов к описанию и анализу
синтаксиса разговорной речи (РР) может найти свое
место и трансформационный подход, использующий то
очевидное обстоятельство, что многие конструкции РР
могут быть описаны как трансформы соответствующих
конструкций кодифицированного литературного языка
(КЛЯ). Не отрицая правомерности чисто описательного
подхода к РР как к автономной системе, принятого в
[1], отметим некоторые преимущества трансформацион-
трансформационного подхода. Такой подход: 1) обладает объяснитель-
объяснительной силой («объясняя» явления РР через явления КЛЯ);
2) повышает экономность и системность описания, вы-
выявляя родство конструкций РР, полученных различными
трансформациями из одной и той же конструкции КЛЯ
(которые над нами живут в Киев переезжают-, над на-
нами живут в Киев переезжают, которые над нами в Ки-
Киев переезжают-, над нами в Киев переезжают), — при
«имманентном» подходе их пришлось бы описывать от-
отдельно, — а также полученных одной и той же транс-
трансформацией из различных конструкций КЛЯ; 3) позво-
позволяет включить в описание РР неспецифические разго-
разговорные конструкции, принадлежащие и КЛЯ, — в этом
случае достаточно указать, что при «переводе» КЛЯ->
->РР имеет место тождественная трансформация. Да-
Далее, есть основания предполагать и психологическую
153

релевантность трансформационного подхода: предполо-
предположение, что в сознании носителя языка обе системы —
КЛЯ и РР — существуют автономно, представляется
крайне неправдоподобным; тем самым и психологически
значимое описание должно учитывать связь этих сис-
систем, — а наиболее естественно такая связь выявляется
через трансформации КЛЯ-ИРР (т. е. мы можем предпо-
предполагать существование в сознании носителя языка аппа-
аппарата КЛЯ и механизмов трансформации КЛЯ-НРР,
подключающихся при наличии соответствующих комму-
коммуникационных условий).
Отметим и недостатки предлагаемого метода. Во-пер-
Во-первых, неясно, все ли синтаксические явления РР могут
быть описаны как полученные из КЛЯ. Во-вторых, и
это главное, трансформационный метод предполагает
«вывод» конструкций РР из КЛЯ; но при крайней не-
нечеткости границ «разговорной нормы» отнесение тех или
иных явлений к кругу РР, отграничение их сверху — от
литературных неразговорных — и снизу — от неотмечен-
неотмеченных конструкций — во многом предоставляется интуи-
интуиции (или произволу) исследователя* (который, впрочем,
может корректировать себя полевыми записями и опро-
опросом информантов).
2. Прежде чем перейти к конкретному рассмотрению
некоторых трансформаций КЛЯ-^РР, приведем ряд об-
общелогических соображений и определений.
Под языком мы будем (в этом п.) понимать неко-
некоторое множество элементов, каковыми могут быть как
выражения того или иного уровня (например, для рус-
русского языка, фонема /о/, буква «о», последовательность
букв (фонем) «оро», слово «ворота», словосочетание
«дубовые ворота», предложение «дубовые ворота рас-
распахнулись»), так и структуры («нетерминальные цепоч-
цепочки», например, A+N+V).
* Аналогичная опасность грозит, впрочем, и при «имманентном»
подходе. Мы имеем в виду неразличение в полевом материале соб-
собственно синтаксических (внутрилингвистических) явлений (напри-
(например, конструкции типа Кто будет спрашивать сейчас приду или
Управдом \она вам ничего не скажет)—и явлений, обусловленных
внелингвистичеекими факторами (например, поиски в процессе гово-
говорения нужного слова: И пришел врач \этот ... эпидемиолог; пере-
перестройка фразы на ходу: А у него не было никакого отношения к
лингвистике он не имел и т. д.) Последние не подведомственны
лингвистике — скорее, психологии речи.
154

Пусть дан язык L. Под трансформацией Т (над L)
будем понимать формальное правило (алгоритм) преоб-
преобразования некоторых элементов L. Множество тех эле-
элементов L, к которым формально применимо Т, назовем
естественной областью действия Т. Например, в русском
языке можно определить трансформацию: поставить пе-
перед каждым вхождением глагола в личной форме ча-
частицу не. Естественной областью действия будет здесь
множество всех выражений, содержащих глагол в лич-
личной форме. Например, фраза Иван пьёт,, а Петр трезвен-
трезвенник преобразуется в *Иван не пьет, а Петр трезвенник.
Область действия, впрочем, может заранее оговаривать-
оговариваться. Так, трансформация оро-^ра имеет естественной об-
областью действия все слова русского языка, содержащие
сочетание оро (ворота-^врата, порох-^прах, дорога-*-
-+?драга, сорок-**срак, короб—*?краб), но если мы хо-
хотим, чтобы эта трансформация имела лингвистический
смысл, надо сузить область ее действия.
Пусть даны языки Lx и L2 (они могут пересекаться —
как КЛЯ и РР, —или даже совпадать — тогда речь
будет идти о внутриязыковых трансформациях). Мы
будем говорить о трансформации Г из ^ в L2
(Lx-+L2), если для некоторого элемента чбА имеет
место: T^^L2 (Г 7— результат действия Т на Y). Пусть
некоторый элемент a^L\ лежит в области действия
трансформации Т LX->L2. Трансформацию Т назовем
допустимой (для а), если Ta£L2, и недопусти-
недопустимой (для а), если Габ£2*. Если Lx и L2 имеют непу-
непустое пересечение, то можно определить также (как
частный случай допустимой) обязательную (для а)
трансформацию: когда agZ,2, Ta£L2. Например, при
переходе КЛЯ->РР, вероятно, обязательными являются
трансформации перехода от причастных оборотов
к придаточным предложениям.
Трансформацию, являющуюся результатом последо-
последовательного применения Т\ и Г2, обозначим через ТХТ2 и
назовем произведением трансформаций Т\ и Т2. Чаще
* Мы позволим себе также говорить — без строгого определе-
определения— о полудопустимых трансформациях, когда трансформ
представляет собой конструкцию, лежащую на грани отмеченности
(например, синтаксически двусмысленную, когда для однозначного
понимания требуется специальное интонационное выделение).
155

всего мы будем иметь дело с коммутативным случаем,
когда Г1Г2 = Г2Г1 (т. е. когда алгоритм «1. Сделай Тх\
2. Сделай Г2» приводит к тому же результату, что
«1. Сделай Г2; 2. Сделай 7V>). Однако это не всегда так
и, кроме того, произведение может быть не определено
даже если оба сомножителя определены и допустимы.
Например, на множестве сложноподчиненных определи-
определительных предложений определены трансформации:
Т\\ аннулировать союзное слово;
Г2: переставить союзное слово в конец придаточного
предложения (они переводят фразы КЛЯ-НРР). Пусть
а = Ты знаешь Аню, которая у нас работает? Тогда
Tia = Tu знаешь Аню \ у нас работает?; Т2а = Ты знаешь
Аню у нас работает которая? При этом 7^7^ = Гь а Т{Т2
не определена, ибо Тха лежит вне естественной области
действия Т2.
Пусть даны две трансформации Л и В и фиксирова-
фиксирована их область действия, причем на ней определено и их
произведение АВ, которое коммутативно. Договоримся
недопустимые трансформации помечать звездочкой
(*Л). Назовем трансформации А и В независимы-
м и, если имеет место один из четырех случаев:
(Л, В, АВ), (*Л, В, *Л£), (Л, *£, *Л£), (*Л, *£, *Л£),
т. е. если имеет место: *Л V *В++*АВ (АВ недопустима
тогда и только тогда, когда недопустима хотя бы одна
из А, В). В частности, в случае типа (Л, *В, *ЛВ), ска-
скажем, что Л не помогает В.
В противном случае, т. е. когда имеет место одно из
четырех:
(Л, В, *АВ), (*Л, В, АВ), (Л, *Я, АВ), (*Л, *fi, AB),-
назовем Л и В зависимыми. В частности, в случае
типа (Л, *В, АВ) скажем, что Л помогает В.
3.0. В качестве первого примера возьмем группу свя-
связанных с номинацией конструкций РР, отправляясь от
материала, приведенного в [1, с. 225—241]*.
В конкретных бытовых ситуациях часто возникает не-
необходимость высказывания о том или ином предмете,
причем в силу тех или иных причин прямое называние
(скажем, именем существительным) оказывается невоз-
невозможным или затруднительным. Можно различать здесь
следующие случаи:
* Почти все примеры здесь и далее заимствованы из [1, 2, 3].
156

А. Денотативная неопределенность —
нужно назвать любой единичный предмет из некото-
некоторого неоднородного множества, причем это множество,
в силу своей неоднородности, не имеет родового назва-
названия. Обычно здесь речь идет о любом предмете, могу-
могущем выполнять данную функцию: «то, чем можно пи-
писать» (это может быть авторучка, карандаш, фламас-
тер и т. д.), «то, чем можно отвинтить» (отвертка, нож,
монета и т. д.).
Б. Номинативная дефектность:
а) Предмет не имеет лексически выраженного назва-
названия. Обычно это «оказиональный объект», например,
временно существующая группа лиц, характеризующих-
характеризующихся данным свойствам (те, у кого сейчас каникулы; те,
кому выходить на следующей остановке).
б) Название предмета неизвестно говорящему (или
слушателю). Часто это собственное имя определенного
лица (тот, кто у вас живет; та, что сейчас танцует).
Название может быть также забыто или предположи-
предположительно неизвестно слушателю и т. д. (там, где мой муж
работает; туда, где мы в прошлое воскресенье
были).
в) Название несущественно в данной ситуации, или
может оказаться для слушателя недостаточно точным
(там, где у нас чинят авторучки; там, где белье
лежит)*
3.1. Наиболее обычный способ организации соответст-
соответствующих высказываний в КЛЯ — местоименно-соотноси-
тельное отождествительное сложно-подчиненное предло-
предложение [4, §§ 1526—1530], где опорное слово — указа-
указательное местоимение (тот, та, то, там, туда, тогда), а
союзное слово (кто, что, который, где, куда, когда) ука-
указывает на тот же предмет, что и опорное слово, причем
придаточное предложение (вместе с опорным словом) и
выполняет функцию номинации.
* По тексту не всегда можно установить, с каким случаем
имеешь дело. Например, пай чем отвинтить может относиться и к
случаю А (любой предмет, которым можно отвинтить), и к случаю
Бб (говорящий забыл слово «отвертка»); Пойдем где прошлый раз
были может быть сказано и о безымянном месте (Ба), и если имя
неизвестно или забыто (Бб), и если его название меньше говорит
слушателю, чем указание на «прошлый раз» (Бв).
157

Мы хотим показать, что специфически разговорные
конструкции с номинациями типа Кто выиграл дадут
приз могут быть описаны как результат применения к
соответствующим конструкциям КЛЯ определенных
трансформаций.
Именно, мы рассмотрим три «элементарные» транс-
трансформации (т. е. не представимые в виде произведений
других трансформаций):
Ао — аннулирование опорного слова;
Ас — аннулирование союзного слова;
R — вставка в главное предложение местоимения, кор-
коррелятивного номинативному блоку, — а также всевоз-
всевозможные их произведения (все они коммутативны):
ЛОЛС, A0R, ACR, AOACR*.
3.2. Допустимость тех или иных трансформаций оп-
определяется как синтаксическими, так и семантико-праг-
матическими факторами,
Основной синтаксический фактор (а): наличие (сп)/
/отсутствие (а0) предлога при опорном слове.
Основной семантико-прагматический фактор (C): сте-
степень определенности объекта, названного номинативным
блоком. Мы будем различать три случая: |30— объект
фиксирован и известен говорящему; |3i — объект пред-
представляет собой определенное, но не данное актуально
множество; |32 — объект неизвестен говорящему.
Всего возможны шесть сочетаний значений этих фак-
факторов:
ао%\Та, которая булочки продает, перестала к нам
ходить
d\%\C той, которая булочки продает, случился
инфаркт
ао${:Те, которые имеют детей, обычно дачу сни-
снимают
аД'-Я с жалостью думаю о тех, которые имеют
детей
* Вообще, если на некоторой области действия заданы п «элемен-
«элементарных» трансформаций, которые попарно коммутативны, то вместе
со всевозможными их произведениями мы получаем 2п трансформа-
трансформаций (включая тождественную). Каждому объекту из области дейст-
действия отвечает некоторое подмножество этого 2п-элементного мно-
множества (всего таких различных подмножеств 22п), состоящее из
всех допустимых для него трансформаций.
158

aQ$2:Tom, кто разбил стекло, должен сознаться
а$2'-С тем, кто разбил стекло, придется отдельно
поговорить.
3.3. Анализ материала показывает, что названные
факторы следующим образом влияют на допустимость
трансформаций: а0 не накладывает никаких ограниче-
ограничений на допустимость *;
си—делает недопустимыми Ло и АОАС;
(Зо не накладывает ограничений;
Pi делает недопустимыми Лс и ACR\
|32 делает недопустимыми все трансформации, включаю-
включающие Лс, т. е. Лс, АсАОу ACR, ACAOR.
Далее, оказывается справедливым следующее «прави-
«правило наложения»: каждому сочетанию значений факторов
отвечает объединение соответствующих запретов (и, ста-
стало быть, пересечение разрешений). Это означает, что
факторы а и C действуют независимо друг от друга, и их
воздействия просто складываются.
Проиллюстрируем это утверждение.
аоCо
Запретов нет, и все 7 трансформаций допустимы:
Л0 Которая булочки продает\ перестала к нам хо-
ходить
Лс Та {булочки продает] перестала к нам ходить**
* При более подробном анализе а0 разбивается на два подслучая:
а0' — именительный падеж, а0" — неименительный падеж. Всё ска-
сказанное ниже относится безоговорочно лишь к а0'; случай ос0" тре-
требует оговорок. Именно, трансформация Ло иногда оказывается лишь
полудопустимой из-за синтаксической двусмысленности:? Я не видел
{которая мусор убирает может означать, что речь идет 1) об опре-
определенной женщине («... ту, которая ...»), 2) об одной из несколь-
нескольких («которая» = «кто именно», на «которая» — логическое ударе-
ударение). Безоговорочно допустимой Ло будет лишь в сочетании с R
т. е. — см. п. 2 — R помогает Ло): Я ее не видел] которая мусор
убирает. R снимает двусмысленность и выделяет тему. Иногда при
Ло возникает синтаксическая неясность:? Я отдал деньги {которая
мусор убирает; и здесь снова R спасает положение: Я ей отдал
деньги] которая мусор убирает, — указывая на «смысловой падеж»
номинативного блока.
** Ас (без Ло) эмфатически выделяет называемый объект. Опорное
слово получает сильное логическое ударение. Это — трансформация
подчеркнутого введения темы, и она требует, чтобы называемый
объект был актуально дан и известен и говорящему и слушателю.
Поэтому она не допустима в случаях Pi и р2-
159

R Та которая булочки продает | она перестала к
нам ходить*
АОАС Булочки продает\перестала к нам ходить
A0R Которая булочки продает\ она перестала к нам
ходить
ACR Та {булочки продает\ она перестала к нам хо
дить
AOACR Булочки продает\ она перестала к нам ходишь
Все трансформации здесь попарно независимы.
сыро
Ограничения на допустимость исходят из сы, т. е. не-
недопустимы Л о и АОАС (иначе формула недопустимости
может быть записана так: *A0R, т е. допустимы только
те трансформации с Ло, в которых есть R).
*Л0 *Которая булочки продает] случился инфаркт
*АОАС * Булочки продает\ случился инфаркт**
Остальные трансформации допустимы:
Лс С той {булочки продает\ случился инфаркт
R С той которая булочки продает \ с ней случился
инфаркт
A0R Которая булочки продает\ с ней случился ин-
инфаркт
ACR С той | булочки продает | с ней ...
AOACR Булочки продает] с ней ...
Здесь Лс и Ло независимы (Лс не помогает Ло), Лс и
R независимы, Ло и R зависимы (R помогает Ло), АОАС
и R зависимы (R помогает АоАс).
*ЛС, *ЛС/?, остальные допустимы. Общая формула:
*ЛСЛО, т. е Лс недопустима без Ло:
*Ас:*Те | имеют детей \ обычно дачу снимают
*AcR:*Te | имеют детей \ они обычно дачу снимают
Ло:Которые имеют детей обычно...
АОАС:Имеют детей \ обычно... и т. д.
* Синтаксический смысл трансформации R (изолированной или в
сочетании с другими) состоит в том, что главное предложение ста-
становится синтаксически законченным, а придаточное превращается в
изолированный «именительный темы». R делает фразу синтаксически и
логически прозрачной, в частности, потому что вставляемое местоиме-
местоимение берет на себя падеж (и предлог) номинативного блока (точнее,
опорного слова). Поэтому R делает допустимым, скажем АСЛО даже
в случае ai, т. е. помогает (в смысле п. 2) другим трансформациям.
** Может быть, эти трансформации следует считать полудопусти-
полудопустимыми.
160

Здесь Ло и R независимы, Лс и /? независимы Щ не
помогает Лс), Лс и Ло зависимы (Ло помогает Лс).
«iPi
Накладываются запреты, создаваемые аг и р1в Ре-
Результат: *Л0, *ЛС, *ЛОЛС_, *ЛС/?:
*Л0:*# с жалостью думаю которые имеют детей
*АС:*Я с жалостью думаю о тех \ имеют детей
*АОАС:*Я с жалостью думаю имеют детей
*ЛС/?:*Я о них с жалостью думаю \ о тех \ имеют
детей
/?:Я о них с жалостью думаю \ о тех которые
имеют детей
Л0/?:Я о них с жалостью думаю \ которые имеют
детей *
A^R £с инверсией): Имеют детей \ я о них с жа-
\*te i *,,, лостъю думаю.
Здесь зависимы Ло и R (R помогает Ло); Ло и Лс не-
независимы, Л с и R также (R не помогает Лс).
|2
*ЛС, *АСАО, *ЛС7?, *ЛСЛО/? (из-за р2), например,
*ЛС/? *Гот {разбил стекло\ он должен сознаться и т. д.
Допустимы Ло, R, AqR, например,
A0R Кто разбил стекло\ он должен сознаться и т. д.
Все трансформации попарно независимы (в частности,
ни одна не помогает Лс).
|
Накладываются запреты р2 и аь Результат: допусти-
допустимы лишь R и AQR:
R С тем кто разбил стекло\ с ним придется отдель-
отдельно поговорить
A0R Кто разбил стекло\ с ним придется .. .
*Л0 Кто разбил стекло придется ...
*ЛС/? С тем \разбил стекло\ с ним придется. .** и т- д.
Ло и Лс независимы, Лс и R также (R не помога-
помогает Лс), Ло и R зависимы (R помогает Ло).
3.4. Во всех примерах п.п. 3.2.—3.3. предикативная
конструкция исходного придаточного предложения со-
состояла из глагола с дополнением. Все сказанное сохра-
сохраняет силу и в случае глагола с обстоятельством (Это
шумят те, которые за стеной живут) или одиночного
* Предпочтительнее инвертированный порядок: Которые имеют
детей\я о них с жалостью думаю.
** Предполагается р2, т. е. что говорящий еще не знает, кто раз-
разбил стекло.
11—9968 161

глагола {Тот, кто выиграл, получит приз)- Для других
конструкций, например, для номинативного блока, со-
состоящего из подлежащего и сказуемого (То, что он соо-
соорудил, мне нравится) или включающего инфинитив
(Возьми то, чем (можно) вытираться), а также для но-
номинативных блоков в функции обстоятельства (Мы шли
там, где булочками торгуют) система допустимых транс-
трансформаций и запретов оказывается иной и рассматри-
рассматриваться здесь не будет.
4.0. Перейдем к другой конструкции КЛЯ — определи-
определительному сложно-подчиненному предложению [4,
§§ 1546—1548] — и ее трансформациям в конструкции
PP.
Здесь мы будем рассматривать три элементарные
трансформации:
Лс — как и выше, аннулирование союзного слова (кото-
_^ рый);
С — перестановка слова который в конец придаточного
предложения;
D —отрыв придаточного от своего субстантива и пере-
перестановка его в конец фразы (D является нетож-
нетождественной лишь при неконечном положении при-
придаточного), —
—> —>
и их произведения (причем АСС не определено, а САС =
=АС, так что остаются лишь ACD(=DAC) и CD(=DC)).
4.1. Трансформация С, видимо, допустима всегда:
Хочешь суп\ за окном стоит который? А где апельсины}
Юра принес которые? Возьми газету \на столе лежит
которая; У Ани \у нас работала которая\ есть брат-
онколог; Книгу \вы говорили о которой\ я уже прочел;
Книга \были мои пометки в которой] куда-то пропала;
Мне нужна такая лопата \не тупится которая.
4.2. Допустимость D зависит, по-видимому, от следую-
следующего фактора (y): имеется ли в главном предложении
существительное в позиции, более близкой к концу
предложения, чем опорное слово.
Значения:
Yo — не имеется
Yi — имеется, но не согласовано формально с союзным
словом
Y2 — имеется, и формально согласовано с союзным сло-
словом.
162

В случае Yo трансформация D допустима: Фарш еще
остался недоеденный \ который стоял в банке; Сад очень
разросся \в котором Гена гулял; Окошко было закрыто
\из которого видна дорога; Книгу я уже прочел {кото-
{которую вы дали мне; Апельсины ты куда положила {кото-
{которые Юра принес?
В случае yi трансформацию D можно считать полу-
полудопустимой: ■ Книгу я отдал брату {которую вы дали
мне; -Книгу читает брат {которую вы дали мне;1 Паль-
10 Маша нодене! {которое в шкафу висит*.
В случае у2 О недопустима: *Аофту наденет Маша
{которая в шкафу висит; *Фарш съеден Петей {который
стоял в банке; * Человек подарил Ване ножик {который
утром приходил.
. Однако заметим, что если опорное слово исходного
предложения имело антецедент тот (или, что то же са-
самое, трансформация D проведена совместно с трансфор-
трансформацией Q введения антецедента к опорному слову), то
D становится допустимой в случае у\\ Ту книгу я отдал
брату {которую вы дали мне; В той комнате окна от-
открыты | в которой дети спят, — и полудопустимой в слу-
случае Y2- ? Ту кофту наденет Маша {которая в шкафу ви-
висит; > Тот человек подарил Ване ножик {который утром
заходил**. Трансформация Q, таким образом, помога-
помогает D.
4.3. Допустимость трансформации Ас зависит от зна-
значения прагматического фактора К:
Ко — объект (денотат опорного слова) актуально дан в
ситуации и/или известен слушателю
Х\—объект не дан актуально и неизвестен слушателю***.
В случае Хо Ас допустима: Хочешь суп {за окном сто-
стоит? А где мой кошелек {тут лежал? Надень кофту {там
висит; Фарш {стоял в банке{ остался недоеденный; Я
показал ему (ту) икону {у Сони висит в комнате; У Ани
{у нас работала\ есть брат-онколог; Вот человек \я
встретил утром; Книга {я тебе говорил{ пропала; Тот
человек {утром приходил{ подарил Ване ножик.
* В некоторых случаях, особенно при конечной позиции второго
(неопорного) существительного, D недопустима: *#а кровати спали
две девочки\которая стояла у окна.
** Подразумевается, что антецедент не несет логического ударе-
ударения. В противном случае фраза перестает быть трансформом исход-
исходной, ибо меняется актуальное членение.
*** Ср. в и. п. 3,2—3,3 фактор |3 и его влияние на допустимость Лс.
11* 163

В случае /ц Ас недопустима: *Книга \6ыли мои пб-
метки\ пропала; *На кровати \стояла у стены\ спали
две девочки; *Это был человек \ вчера показал мне до-
дорогу; *Мы свернули на тропку {ведет к реке.
Заметим, что незнание слушателем соответствующего
объекта — существенное условие недопустимости. Если,
скажем, об этой книге с пометками слушателю извест-
известно (что говорящий скорее всего подчеркнет введением
антецедента та), то Ас становится допустимой: Та кни-
книга \были мои пометки] пропала.
В частности, Ас недопустима в качественно-определи-
качественно-определительных предложениях, где, по самой природе вещей,
объект не дан актуально и неизвестен слушателю (точ-
(точнее, даже говорящему): *Мне нужна (такая) лопата
\не тупится; *Есть люди {всегда неспокойно; *Ему ну-
нужен помощник [говорил бы по-английски.
4.4. Проверка показывает, что и в рассматриваемом
случае справедливо сформулированное в 3.3 «правило
наложения»: комбинации значений признаков отвечает
объединение соответствующих запретов. Кроме того,
все трансформации оказываются здесь попарно незави-
независимыми, т. е. из недопустимости (полудопустимости)
хотя бы одного «сомножителя» следует недопустимость
(полудопустимость) произведения. В результате полу-
получаем следующую таблицу:
(
(•
Y«
W)
Ъ
D)
Ac,
Ac,1
Ac,~
С
\?
->
D
D
*D
X
A
и
*A
Э, C*D
\CD, ?CD
CD, *CD
!■
*A,
*
A
A(
Су
С
"с
» ~
с
h (*
, D, *
D, *;
,*D, '
Ac)
AcD
>ACD
y~CD
t~CD
*~CD
Приведем примеры, иллюстрирующие все эти случаи.
Лс
С
D
Фарш {стоял в банке\ остался недоеденный
Фарш {стоял в банке который{ остался недоеден-
недоеденный
Фарш остался недоеденный {который стоял в
банке
164

ACD Фарш остался недоеденный \ стоял в банке
--у
CD Фарш остался недоеденный \стоял в банке ко-
который.
Ti^o
Лс Книгу \вы дали мне\ я отдал брату
С Книгу \вы дали мне которую] я отдал брату
7D ? Книгу я отдал брату [которую вы дали мне
7ACD ?Книгу я отдал брату \вы дали мне
7 CD ? Книгу я отдал брату \вы дали мне которую.
72^0
А с Кофту \в шкафу висит \ наденет Маша
С Кофту \в шкафу висит которая\ наденет Маша
*D * Кофту наденет Маша \ которая в шкафу висит
*ЛС£ * Кофту наденет Маша \в шкафу висит
*С£) * Кофту наденет Маша \в шкафу висит которая.
*ЛС * Книга \были мои пометки\ пропала
С Книга \были мои пометки в которой] пропала
D Книга пропала \в которой были мои пометки
*ACD * Книга пропала
CD Книга пропала
были мои пометки
были мои пометки в которой.
*ЛС ? На кровати \ стояла у стены\ спали две девочки
С На кровати \стояла у стены которая\ спали две
девочки
D 7*На кровати спали две девочки \которая стояла
у стены
*ACD *Ha кровати спали две девочки \ стояла у стены
—>
? CD ? На кровати спали две девочки \ стояла у стены
которая.
721
*ЛС *На кровати \стояла у стены] спала девочка
С На кровати |стояла у стены которая] спала де-
девочка
*D *Ha кровати спала девочка \которая стояла
у стены
*AGD *Ha кровати спала девочка \стояла у стены
*CD *Ha кровати спала девочка [стояла у стены ко-
которая.
165

Л ИТЕРАТУPA
1. Русская разговорная речь. М., «Наука», 1973.
2. Л а п т е в а О. А. Некоторые эквиваленты общелитературных
подчинительных конструкций в разговорной речи. — В кн.: Разви-
Развитие синтаксиса современного русского языка. М.. «Наука», 1966.
3. Русская разговорная речь. Саратов, Изд-во Саратовского гос.
ун-та, 1970.
4. Грамматика современного русского литературного языка. М.,
«Наука», 1970.

УДК 007
А, А, Шаров
ПОНЯТИЕ ИНФОРМАЦИИ
В ТЕОРИИ КАТЕГОРИЙ
В философии принято называть информацией отра-
отраженное разнообразие [1], которое понимается как неко-
некоторое свойство объектов, характеризующее неоднород-
неоднородность и сложность структуры этих объектов. Можно го-
говорить об отражении разнообразия мира в структуре
понятий человека, называемой тезаурусом [2]. Про-
Процесс мышления тоже является информацией, так как
прошедшее состояние тезауруса отражается в настоя-
настоящем его состоянии.
С математической точки зрения, информация — это
некоторый класс отображений, или морфизмов- Не вся-
всякое отображение структуры является информацией. Так,
интуитивно ясно, что процесс забывания не есть инфор-
информация. Мы будем говорить об информации лишь тогда,
когда при отображении сохраняется старая структура.
Для двойственного понятия, обозначающего отображе-
отображение, при котором не прибавляется ничего нового, введем
термин «коинформация». Таким образом, теория инфор-
информации должна использовать понятия «нового» и «ста-
«старого» при отображении структур. Трудность точного оп-
определения этих понятий связана с необходимостью при-
применять их к отображениям любых структур. В сущест-
существующих теориях информации используются довольно
частные виды структур объектов. В теории Шеннона [3]
структурой является некоторая случайная величина, в
теории Рашевского, обобщенной Ю. А. Шрейдером [4],
исследуются графы или алгебраические модели; в кол-
167

могоровском подходе [5] структурой является последо-
последовательность чисел. Множественность подходов к теории
информации указывает на независимость ее понятий от
конкретного вида структур объектов. Единственной ма-
математической теорией, которая не налагает никаких ог-
ограничений на природу объектов, является теория кате-
категорий [6].
Категория 5? — это класс О£5? элементов, называ-
называемых объектами, причем для каждой пары объектов
(Л, В) из Ob 5? задано множество //(Л, В), называемое
множеством морфизмов из Л в В. Элементы этого
множества часто обозначаются как и:А->В или
А\В. Для каждой тройки объектов (Л, В, С) задано
отображение /:Н(А, В)ХН(В, С)->//(Л, С); если
и:А->В, а t>:5->C, то образ пары (u,v) будем обоз-
обозначать юн и называть композицией морфизмов. Кроме
того, выполняются следующие аксиомы:
А1. Композиция ассоциативна: для каждой тройки
морфизмов АХВ^СЛй выполняется равенство w(va) =
()
А2. Для каждого объекта А существует морфизм
1А : Л—*А такой, что для любых v : B-^A, w : А-+С
выполняются равенства lAv = v, w\a = w. Морфизм 1а
называется тождественным;
A3. Если пары (Л, В) и (А', В') различны, то пере-
пересечение множеств #(Л, В) и #(Л', В') пусто.
Объектами категории могут быть множества, универ-
универсальные алгебры, топологические пространства. Если
некоторый класс систем описывается математическими
моделями, допускающими отображения друг в друга, то
можно построить категорию таких моделей. Сейчас су-
существуют достаточно общие формальные модели, при-
пригодные для описания многих систем [7, 8]. Кроме
того, объекты категории мы можем брать из реально-
реального мира. Чтобы подчеркнуть онтологический характер
объектов категории, будем называть их системами. Це-
Целостность системы выражается в том, что она не тож-
тождественна никакой своей модели, хотя и может быть
представлена в виде модели или класса моделей [8, 9J.
Категорный подход полностью отражает эту специфику
систем: объекты категории неделимы, но могут быть
представлены в виде множества морфизмов.
168

Такой подход, по-видимому, приложим к некоторым
областям биологии. В сравнительной морфологии можно
использовать категорию организмов, в которой морфиз-
мами является установление гомологии между мерона-
ми [10]. В теории эволюции можно рассматривать мор-
физмы между генотипами или фенотипами предка и по-
потомка, в эмбриологии — морфизмы между разными
стадиями развития организма.
В теории категорий выделяются следующие типы мор-
физмов:
а) Морфизм и : А—*В называется мономорфизмом,
если для любых и, v': С—*А из соотношения uv = uv'
следует, что v = v'.
б) Морфизм и:А~^В называется эпиморфизмом, ес-
если для любых v, vf: В—*С из соотношения vu = v'u сле-
следует, что v = v'.
в) Морфизм и : А—^В называется изоморфизмом, ес-
если существует v : В~^А такой, что vu=lA, vu=\B. v на-
называется обратным изоморфизмом и обозначается и~1.
Изоморфизм является моно- и эпиморфизмом. Изомор-
Изоморфизм системы на себя называется автоморфизмом.
Мономорфизм можно интерпретировать как отобра-
отображение, при котором сохраняется прообраз. Действитель-
Действительно, если какая-нибудь часть прообраза не сохранилась,
то при композиции с морфизмом и морфизмы v и v\
различающиеся между собой именно в этой несохранив-
шейся области, совпадут. Аналогично проверяется ин-
интерпретация эпиморфизма как отображения, при кото-
котором не прибавляется ничего нового.
Очевидно, что информация является мономорфизмом.
Однако существуют ситуации, когда мономорфизм не-
нежелательно было бы назвать информацией. Например,
если буквы текста отображаются инъективно, но все
образы оказываются неразличимыми, то происходит по-
потеря разнообразия. Поэтому прежде, чем определить ин-
информацию, надо условиться, какие подсистемы, следует
считать одинаковыми. На категорном языке это озна-
означает, что надо выделить группу симметрии для каждой
системы. В алгебре группа симметрии совпадает с груп-
группой всех автоморфизмов, но в общем случае такая ак-
аксиома будет неудобна. В категории систем нас часто
интересуют морфизмы, отражающие перестановку или
169

замену подсистем в системе. Любая перестановка яв-
является изоморфизмом, так как возможна обратная пе-
перестановка. Перестановка атомов водорода в молекуле
воды (НгО) входит в группу симметрии, а в молекуле
муравьиной кислоты (НСООН)—не входит, так как в
данном веществе атомы водорода разными способами
связаны с молекулой. Чтобы обеспечить вхождение каж-
каждого автоморфизма в группу симметрии, в алгебре в
конструкцию подобного морфизма вводят не только
отображение всех подсистем, но и отображение всех
связей между ними. Такой подход в категории систем
не применим, так как при этом перестановка подсистем
в системе не будет морфизмом. Поэтому группу симмет-
симметрии системы А будем считать подгруппой группы ав-
автоморфизмов и обозначать Ga. Логарифм мощности
множества GA назовем степенью симметрии системы А
и обозначим 5(А).
Назовем определенным морфизмом такой морфизм
и: А—^В, что для любого s 6 GA существует t£GB и
tu = us. Иными словами, определенный морфизм — это
такое отображение, когда одинаковые подсистемы име-
имеют одинаковые образы. Существование определенного
морфизма равносильно существованию однозначного ал-
алгоритма преобразования подсистем. Двойственным по-
понятием является коопределенный морфиэм — морфизм
и: А—*В такой, что для любого i £GB существует
s QGA, причем tu = us. Назовем информацией коопреде-
коопределенный мономорфизм, а коинформацией — опреде-
определенный эпиморфизм. Коинформация имеет свойства при-
чино-следственной связи: однозначность преобразова-
преобразования подсистем и достаточность начальных условий. Ин-
Информацию можно соответственно интерпретировать как
следственно-причинную связь. Коинформация u:A~^B
определяет гомоморфизм групп g : Ga—*GB, при этом
g(s)u = us. g(s) определен однозначно, так как и —
эпиморфизм. При отображении сохраняется групповая
структура, так как g(st)u = ust = g(s)ut = g(s)g(t)u.
Информация и : А—>-В определяет, соответственно, го-
гомоморфизм g' : GB—*GA.
Для однозначного определения понятий структуры и
сложности необходимо наложить на рассматриваемую
категорию некоторые ограничения. Категорию 5? назо-
назовем категорией систем, если для ее объектов выделены
170

группы симметрии и для некоторых морфизмов и : Л—*В
однозначно определен морфизм и0: В—*А, причем:
а) и0 определен для каждой информации и : А—^В и
при этом и°и=1А\
б) если и : А—*В— коинформация и существует и0,
то ии°=1в;
в) если для и, v существуют и0 и v°, то (uv)° = v°u0;
г) если для и существует и0, то (и?)° = и.
Назовем эквиморфизмом морфизм, являющийся одно-
одновременно информацией и коинформацией. Из условий
а), б) и г) следует, что эквиморфизм является изомор-
изоморфизмом, и если и — эквиморфизм, то и°=и~1—тоже
эквиморфизм. Если и б Ga, то и — эквиморфизм, но не
всякий эквиморфизм системы А на себя принадлежит
GA- Очевидно, что композиция информации является ин-
информацией, композиция коинформаций — коинформа-
коинформацией и композиция эквиморфизмов — эквиморфизмом.
Существование эквиморфизмов из системы А в систему
В есть отношение эквивалентности между системами.
Класс эквивалентности будем называть структурой. Вы-
Выберем для каждой структуры по одному фиксированно-
фиксированному представителю. Обозначим через ЕА множество всех
эпиморфизмов, выходящих из Л в представителей струк-
структур. Группа GA действует на множестве ЕА и опреде-
определяет на нем отношение эквивалентности RA • uRAv, если
существует sQ GA такой что u = vs. Соответствующее
фактор — множество будем обозначать EaIHa, а его
мощность — М(А). Величина М{А) характеризует ко-
количество таких способов преобразования системы, прл
которых не прибавляется ничего нового. Иначе говоря,
М(А) — это количество актуальных возможностей си-
системы, обусловленных ее структурой. Примером актуаль-
актуальной возможности является наличие денег. Человек без
денег не имеет актуальной возможности что-либо ку-
купить, хотя существует потенциальная возможность най-
"ти на улице кошелек.
Сложность системы будем обозначать С (А). По опре-
определению, С (A) =\og M(A). Докажем, что сложность си-
системы не зависит от выбора представителей структур.
Для этого рассмотрим множество ЕАв всех эпиморфиз-
эпиморфизмов из Л в В и множество ЕАС всех эпиморфиз-
эпиморфизмов из Л в С, причем В и С принадлежат одной струк-
структуре. Тогда существует эквиморфизм s : В—^С Можно

построить биекцию f : ЕАВ—уЕАс так, чтобы f(u)=su.
Если и, и' б ЕАВ эквивалентны, т. е. существует t б GA
такой, что u = u't, то su = su't. Из этого следует, что
f(u)=f(u/)t, т. е. f(u) и f(u') эквивалентны. Аналогично
доказывается, что из эквивалентности v и
v'£EAC следует эквивалентность f~l(v) и f~l(v'). Мощ-
Мощности фактор — множеств EABIRA и EACIRA совпадают.
Следовательно, сложность системы не зависит от вы-
выбранного представителя структуры.
Докажем, что сложность и степень симметрии любых
двух систем из одной структуры равны. Пусть си-
системы А и В принадлежат одной структуре, т. е. сущест-
существует эквиморфизм и : А—>В. Построим отображение
g:GA—*GB такое, что g(s) =usu~l. g(s) QGb, так как
g(s)u = us. Легко проверить, что g — изоморфизм групп.
Следовательно, S(A)=S(B). Построим биекцию
f:EA—>ЕВ так, чтобы f(v)=vu. f является изоморфиз-
изоморфизмом GA-множества ЕА и Gs-множества Ев. Следова-
Следовательно, мощности фактор — множеств EA/RA и EbIRb
одинаковы и С (Л) =С(В).
Приведем несколько примеров категорий систем.
Пример 1. Категорией систем является категория мно-
множеств, на которых заданы отображения, определенные
не всюду. Пусть группа симметрии совпадает с группой
автоморфизмов. Тогда информация и коинформация —
биекции, а структура — мощность. Если мощность си-
системы А равна п, то С(А) =logBn—1). Если логарифм
двоичный, то для больших п С(А)=п.
Теорема 1. Если в категории систем все морфизмы —
изоморфизмы, то сумма C(A)+S(A) постоянна для всех
систем, связанных хотя бы одним изоморфизмом.
Доказательство:
Пусть существует изоморфизм и\А->В. Тогда для
любой системы С можно определить биекцию
/://(В,С)->//(Л,С) такую, что f(v) = va. Следователь-
Следовательно, множества Н(В, С) и //(Л, С) равномощны. Выберем
класс изоморфных систем. Число изоморфизмов между
любыми двумя системами равно N. Пусть число
структур в этом классе равно К- Тогда для любой
системы Л Card(£^) = 7V/C. Пусть Сагс1(С?л) = л:, тогда
Следовательно, сумма C(A)-\-S(A) постоянна в классе
изоморфных систем,
172

Пример 2. Пусть М= {аи а2, ..., а^} —множество
элементов, на котором задано отношение эквивалент-
эквивалентности /?. Объектами категории 11УИ являются мно-
N
жества {а^, a/,, .. ., aiN}, причем некоторые элементы
из М могут повторяться. Число вхождений элемента at
в объект А будем обозначать срд (аг). Очевидно, что
^A(ai)=^——— является мерой на М. Пусть
{К\, Къ •••> Кт} — разбиение /VI на классы эквивалент-
эквивалентности по отношению R. Тогда число вхождений экви-
эквивалентных элементов в Л равно N^A(K^). Морфизмы
категории 11М — это биекции, сопоставляющие каждо-
N
му из N элементов объекта А элементы объекта В.
Морфизм и:А-+А входит в ОА тогда и только тогда,
если для каждого х^А выполняется xRa(x). Катего-
Категория 11М — категория с изоморфизмами. Между любы-
N
ми системами существует N1 морфизмов. 5(А) =
/га
= log _L1 (TVp.^ (ATj))! Пусть число структур равно X.
Применив теорему 1, получим: С (A) = log XN\ —
т
— ^ 1°ё(^1м(^С/)I Воспользуемся формулой Стерлинга:
•lnQ!^Q(lnQ —1). После несложных преобразований
т
Tioлучим, что С (A)^logX— N2j \i(Ki)log\b(Ki).
*i
При Х = 1 получим формулу для вычисления информа-
информации по Рашевскому [4], если отношение эквивалентно-
эквивалентности R задается с помощью графа или алгебраической
модели над М. Если при этом каждый элемент из М
эквивалентен только сам себе, то сложность объекта
соответствует шенноновской энтропии.
Информация интуитивно связывается с увеличением
сложности, т. е. с расширением актуальных возможнос-
возможностей системы. Например, если животное видит хищника,
то оно приобретает возможность убежать от не-
него; если человек получает письмо от друга, то он при-
приобретает возможность ему помочь; ученый, прочитав-
173

ший научную статью, приобретает возможность повто-
повторить описанный там эксперимент. В биологии примером
информации является ароморфоз, при котором расши-
расширяются эволюционные возможности. Теломорфоз, свя-
связанный со специализацией и сужением эволюционных
возможностей [11], является коинформацией. Связь ин-
информации и сложности можно представить в виде сле-
следующей теоремы.
Теорема 2. а) Если и: А—*В — коинформация, то
С(А)>С(В). б) Если и: А—>В-— информация, то
С(А)С(В)
Введем обозначение Еи для множества всех эпимор-
эпиморфизмов среди Еви, где и: А—*В — произвольный мор-
морфизм.
Доказательство: а) Построим функцию f:EB—*Еи,
причем f(v)=vu. f—биекция, так как и — эпиморфизм.
Если vu и v'u эквивалентны, т.е. существует s£GA та-
такой, что vu' = vfus, то морфизмы v и v' заведомо экви-
эквивалентны, так как v = v'g(s), где g : GA—*GB— гомо-
гомоморфизм, причем g(s)u = us. Следовательно, Card {EJ
/RA)>Card(EB/RB). Eu можно вложить в Еа, поэтому
М(Л)^Сагс1 (£JtfA)>Card (Eb/Rb)=M(B). Следова-
Следовательно, С{А)>С(В).
б) Достаточно показать, что если и: А—>В— ин-
информация, то и0 — коинформация. Для любых v и vr из
соотношения vu° = v/u° следует, что vu°u = v'u°u и, зна-
значит, v = vf. Следовательно, и0 — эпиморфизм. По опре-
определению информации для любого t й GB существует
sQ GA, причем tu = us. t и s — эквиморфизмы, следова-
следовательно, существуют t° = t~l и sc = s~\ Тогда tu = us =>■
=>u0t0 = s0u0==>s~lu0 = u°t-1. u° является коинформацией,
так как для любого t~x б GB можно найти соответствую-
соответствующий s~l 6GA.
Пусть u = st, где и : А -+ В — произвольный морфизм,
s:X^B — информация, a t:A^X — коинформация. Ко-
Коинформация t и информация s определяют гомоморфиз-
гомоморфизмы g\ : GA -+ Gx и g : GB^ Gx. Образ группы при отоб-
отображении g будем обозначать Img\ Тогда будем называть
объект X инвариантом морфизма и, если Gx — наимень-
наименьшая подгруппа автоморфизмов, содержащая одновремен-
одновременно Imgi и Img2.
Теорема 3. Пусть u = st = s't\ где и:А->В — произ-
произвольный морфизм, s:X-+B, s':X'-+B — информации,
174

t:A->X, £\A-+)t' — коинформации, а X и Л*' —инва-
—инварианты морфизма и. Тогда, если существует v:X->Xr
такой, что s = s'v, то v —-эквиморфизм.
Доказательство: v — мономорфизм, так как s'v = s —
мономорфизм, s = s'v^st = s'vt=>srtr = s'vt^t' = vt, так
как s' — мономорфизм, v — эпиморфизм, так как vt = tr —
эпиморфизм. Любой r^Gx можно представить в виде:
r--=albla2b2 ... anbn, где a0mgu bfilmg^ Соответст-
Соответственно, если r'£GX', то г' = а[Ь\а2Ь2 ... anb'n, где a'fi\mgv
b'filmg'r Для каждого at существует p&Ga такой
что ait = tpi. Для каждого pt существует a'fiGx' такой,
что a\t' = t'pi. Тогда a'itr = trpi-=>-a'ivt = vtpi:=>atlvt = vait=>
=>a'.v = vaL. Аналогично доказывается, что для любого
Ьл можно найти Ь\ такой, что b'sv = vbt. Тогда для
любого г£рх существует r'^GX' такой, что r'v = vr.
Действительно, если г^ахЬхаф2...anbn, то rr = a'lb'la2b2,,.
... a'nb'n, где dlv = tvai\ b'lv = vbi\ a'2v = va2 и т. д.
Аналогично доказывается, что для каждого г' су-
существует г такой, что rfv = vr. Следовательно,
v — информация и коинформация, а значит и экви-
морфизм.
Определенный интерес представляет нахождение
сложности инварианта по свойствам морфизма и.
Для этого определим отношение Ru на множестве
Еи. Пусть v, v\ v"£EB, a vu, ю'и, ч)"и£Еи. Тогда:
1. если vu = v'up, где рабл, то vuRuv'u\
2. если vu = v'qu, где q£pB, то viiRuv'u',
3. если vuRuv'u и v'uRuv"u, то vuRuvf'u.
Докажем, что Ru — эквивалентность. Для этого до-
достаточно показать, что из соотношения vu = v'qu
следует существование q'^Gb такого, что v'w-^vq'u.
Для любого q&Gs существует r^Gx такой, что
qs = sr. Тогда vu =■ v'qu=>vst = v'qst-^vs = v'sr=>v's =
= vsr~l. Кроме того, qs = sr=^q~lqsr~l = q"lsrr~l-=>sr~l =
■■=q~ls. Поэтому vfs==vsr~l=^vfst = vq~lst=^vru^=vq~]u.
Таким образом, q'==q~l. Фактор — множество по от-
отношению Ru будем обозначать Eu/Ru.
Теорема 4. Если ^ — инвариант морфизма и:А~>В,
то С (А'Н log (Card (£„//? J).
Доказательство: 1) Построим отображение /:£"„->
Е такое, что f(vu) = vs. Такое отображение су-
175

Шествует, так как если Ш — эпиморфизм, то t)s — то-
тоже эпиморфизм вследствие того, что vu = vst.
/ — инъекция, так как / — эпиморфизм. Для информа-
информации s существует 5°, причем s°s=- \B- Тогда для любого
w^Ex существует ws^u^E^ причем f(wS°u) = w, что
легко проверить. Следовательно, / —сюръекция и
биекция.
2) Если vti = v'up, где p{±GA, то существует
такой, что rt = tp. Тогда rt = tp=>srt = stp=>sr
и vu = vrap^vst = vfsrt^vs = v'sr. Для любого
существует r'^Gx такой, что qs = sr'. Тогда qs~ sr'=>
z=>qst = sr't=>qu =- sr't и vu = v'qu=>vst = v'sr't=>vs =
^=vrsrf. Если vs=v'sr и tv's = v"sr', то vs = v"s(r'r).
Следовательно, если vuRav'u, то f (vu)Rxf {v'u), где
Rx — отношение эквивалентности, определяемое груп-
группой Gx на множестве Ex-
3) Допустим, что vs, v's£Ex и vsRxv's, т. е. сущест-
существует r£Gx такой, что vs = v'sr. Покажем, что тогда
Z (vs)Ruf~l (v's). r можно представить в виде:
r = aibia2b2.. .anbn, где для каждого afcGx и bfcGx
существуют р£Ол и q^Gs такие, что ait = tpi и
qiS'-^sbi. Определим две последовательности морфиз-
мов: {vt} и {wt}, причем Vi = v; wi==visais°; t;£-+1 =
b°. Очевидно, что ivn+i = vf. Тогда wi = vlsais°=^
t b°
i ьрг i+
^ = wisbit=^vl+1u==--wiqiu. Таким образом, для
любого / WiURuPiii и Vi^uRuWiti. Следовательно,
vuRuv'u.
4) Из сказанного выше следует, что vuRuv'u тогда
и только тогда, когда f (vu)Rxf (v'u). Следовательно,
мощности фактор —множеств EjRu и Ex/Rx равны.
Тогда С (Х) = log (Card (Ex/Rx)) = log (Card (Ea/Ru)).
Назовем количеством информации морфизма#:Л->£
величину lni(u) = C (В) — С(Х), где .AT —инвариант и,
а количеством коинформации —величину Coinf(&) =
= С (А) — С (X). Если а — информация, то Coinf(a) = 0;
если и — коинформация, то lni(u) = 0. Используя эти
понятия, можно определить, сколько лишней сложнос-
сложности надо отбросить и сколько информации получить,
чтобы осуществить морфизм из А в В.
Понятие количества информации можно использо-
использовать для определения ценности информации. Величину
176

Зав = Inf (Inf (и)) назовем информационным разрывом.
и£//(Д, В)
Двойственная ей величина —коинформационный раз-
разрыв: cocU5=inf (Coinf (и)). Выделим в категории неко-
и£Н(А, В)
торую систему S, являющуюся целью, для достиже-
достижения которой используется информация. Пусть и:А->-
-> В — информация. I Ее ценность равна dBs — dAs-
Можно определить удельную ценность информации:
d<Bs — ^As)/Inf(u). Аналогично можно ввести двойст-
двойственное понятие ценности коинформации, важное для
определения рациональности упрощения систем.
Если класс объектов категории систем является мно-
множеством, то его можно превратить в топологическое
пространство. Условимся считать замкнутыми подмно-
подмножествами те, которые вместе с каждым своим элемен-
элементом А содержат все такие элементы Аи что существует
информация и:А-+А{. Такая конструкция может най-
найти приложение в теории классификации. Замыкание
системы А будем называть типологическим таксоном с
архетипом А и обозначать ТА- Понятие архетипа сходно
с понятием плана строения. Иными словами, архетип —
это то общее, что есть во всех системах таксона.
В этой конструкции соблюдается принцип двойствен-
двойственности [10]:
Теорема 5. Если существует информация и:Х->Х'
то Тх^Тх', т. е. усложненному архетипу соответствует
меньший таксон.
Доказательство, Для каждого А£ГХ' существует
информация v':X' ->А. Следовательно, существует
информация v:X-+A, такая, что v = vru. Значит,
А^ТХ и, следовательно, Tx^tx-
Однако такой подход к классификации является
слишком жестким. В биологии часто используют поли-
политипический таксон, являющийся объединением несколь-
нескольких типологических таксонов с близкими архетипами.
Архетипы таких таксонов представляют собой законо-
закономерный полиморфический ряд [12]. Можно предполо-
предположить, что они являются разными упрощениями некото-
некоторой более общей структуры, которую будем называть
архетипом политипического таксона. Степень упроще-
упрощения не должна превышать некоторой величины е, так
как в противном случае таксон не будет целостным.
12—9968 177

Определим политипический таксон с архетипом А как
множество всех систем Аи для каждой из которых су-
существует система Хг и информации щ:Х{-+А{, Vi'.Xi-*-
-+А, причем C(A)—C(Xi)<e. Политипический таксон
является замкнутым множеством. Тесная связь теории
информации с проблемой классификации не случайна,
так как классификация является способом упорядоче-
упорядочения информации.
Категорный подход к теории информации обладает
рядом преимуществ. Он применим к любым видам
структур и позволяет рассматривать двойственные по-
понятия, типа «информация» — «коинформация». С по-
помощью предложенного математического аппарата мож-
можно рассчитывать сложность систем, находить инвариант
отображения и определять ценность информации.
Л ИТЕРАТУРА
1. Урсул А. Д. Проблема информации в современной науке. М.,
«Наука», 1975, с. 1—279.
2. Ш р е й д е р Ю. А. О семантических аспектах теории информа-
информации.— В кн.: Информация и кибернетика, 1967, с. 15—47.
3. Бриллюэн Л. Наука и теория информации. М., Изд-во физ-
физмат, литературы, 1960, с. 1—389.
4. Шрейдер Ю. А. Информация и метаинформация.— «Научно-
техническая информация», сер. 2, 1974, № 4, с. 3—10.
5. Колмогоров А. Н. Три подхода к определению понятия
«количество информации».— «Проблемы передачи информации»,
1965, 1, № 1, с. 3—11.
6. Ц а л е н к о М. Ш., Шульгейфер Е. Г. Основы теории кате-
категорий. М., «Наука», 1974, с. 1—256.
7. Б о р щ ё в В. Б., Хомяков М. В. Клубные системы.— «НТИ»,
сер. 2, 1976, № 8.
8. Ш р е й д е р Ю. А. К построению языка описания систем.—
В кн.: Системные исследования, 1973, с. 226—238.
9. Р а н н а п Э. Р. Системный анализ описаний изобретений.—
«Научно-техническая информация», сер. 2, 1971, № 6, с. 3—10.
10. Панова Н. С, Шрейдер Ю. А. Принцип двойственности
в теории классификации.— «Научно-техническая информация»,
сер. 2, 1975, № 10, с. 3—10.
11. Шмальгаузен И. И. Проблемы дарвинизма. Л., «Наука»,
1969, с. 1—492.
12. Мейен С. В. О соотношении номогенетического и тихогенети-
ческого аспектов эволюции.— «Журнал общей биологии», 1974,
35, № 3, с. 353—364.

ОТ РЕДАКЦИИ
Немецкий логик Готлоб Фреге A848—1925) принад-
принадлежит к числу тех ученых, идеи и труды которых с те-
течением времени не тускнеют, а, напротив, приобретают
все большее и большее признание. Именно Фреге внес
в логику методы точного знания. Ему больше, чем кому-
либо, обязана современная логика многими своими по-
понятиями и конструкциями, позволившими ей выдвинуть-
выдвинуться на первый план при исследовании строения и преоб-
преобразования информации, в частности научной, и потому
служить фундаментом теоретических основ инфор-
информатики.
В 1879 г. Фреге в небольшой книге «Исчисление по-
понятий. Формульный язык чистого мышления, построен-
построенный подобно арифметическому» впервые осуществил
дедуктивно-аксиоматическое построение логики выска-
высказываний и логики предикатов. Впоследствии предложен-
предложенный метод построения теории путем формальной дедук-
дедукции был распространен им на арифметику.
В серии статей 1879—1904 гг. Фреге дал подробный
анализ таких понятий, как «понятие», «переменная»,
«функция», «смысл», «истинностное значение» и др.
В работах Фреге эти фундаментальные понятия впервые
сделались предметом исследования, отвечающего совре-
современным представлениям об уровне строгости. Вот что
пишет о Фреге Николя Бурбаки: «Его работы отличают-
отличаются чрезвычайной точностью и подробностью анализа
понятий. Следуя этой тенденции, он вводит множество
различений, которые оказались столь важными в совре-
современной логике. Так, например, именно он впервые ука-
указывает на различие между формулировкой высказыва-
высказывания и утверждением, что это высказывание истинно,
между отношением принадлежности и отношением
12* 179

ЬклЬчения, ме&ду объектом х и множеством {х}, сво-
сводящимся к этому одному объекту» (Н. Бур баки.
Очерки по истории математики. Пер. с французского.
М., 1963, стр. 19). Именно он (изъял из употребления
нечеткое понятие «переменного количества», предложив
взамен представление о переменной как об особого рода
знаке.
Фреге может по праву быть назван отцом современ-
современной логической семантики. К нему восходит представле-
представление о семантическом треугольнике, в одной из вершин
которого располагается имя (представляющее собой
выражение какого-либо языка), в другой — обозна-
обозначаемая, или называемая, этим именем вещь
(предмет имени, или денотат имени), в треть-
третьей— выражаемый этим именем смысл (смысл
имени, он же концепт денотата). Ему же при-
принадлежит распространение предложенной им теории
имен на предложения, при котором предложение счи-
считается именем своего истинностного значения (которое,
таким образом, объявляется денотатом предложения),
а третьим членом — смыслом предложения — признается
выражаемое предложением суждение. В этом распрост-
распространении по существу содержатся зачатки современных
методов логического анализа естественного языка. Пре-
Превосходное изложение теории имен Фреге (и некоторых
других важных его идей) содержится во введении к мо-
монографии Алонзо Чёрча (А. Чёрч. Введение в матема-
математическую логику. Пер., с английского. М., 1960). Эта
теория и сейчас является непревзойденным по своей
строгости инструментом логического анализа информа-
информации. По существу она лежит также в основе понятий-
понятийного аппарата современной теории моделей.
Идеи Фреге неоднократно излагались в советской ло-
логической литературе (см., например, Б. В. Бирюков.
Теория смысла Готлоба Фреге. — В кн.: «Применение
логики в науке и технике». М., 1960; Н. И. Стяжкин.
Становление идей математической логики. М., 1964).
Ниже приводится перевод знаменитой статьи Фреге
«Смысл и денотат», более известной в русской литера-
литературе под названием «О смысле и значении», в которой
автор предлагает свою теорию имен (включая номина-
номинативную теорию предложений). Статья датирована
1892 г.; кажется, что она написана вчера.

УДК 003
Г. Фреге
СМЫСЛ И ДЕНОТАТ*
С понятием тождества1 связан ряд вопросов, отве-
ответить на которые совсем не просто. Является ли тож-
тождество отношением? Если да, то является ли оно отно-
отношением между вещами или отношением между именами,
или знаками, вещей? Для моего идеального языка [Ве-
griffsschrift] я принял второе положение, в пользу кото-
которого говорит следующий факт: выражение а=а и а = Ь
явно имеют разную познавательную ценность. Выра-
Выражение вида а = а (Кант назвал их аналитическими) ис-
истинны a priori, в то время как истинность выражений
вида а = Ь далеко не всегда очевидна, и именно поэтому
в выражениях вида а = Ь могут содержаться существен-
существенно обогащающие нас сведения. Обнаружение того об-
обстоятельства, что каждое утро восходит одно и то же
светило — солнце, а не разные, было в свое время одним
из важнейших открытий астрономии; ведь даже теперь
опознание астероидов или комет часто бывает сопряже-
сопряжено со значительными трудностями. Если же считать,
что тождество — это отношение между вещами, обозна-
обозначаемыми посредством букв а и Ь, тогда а = Ь ничем не
отличается от а = а (если, конечно, а = Ь истинно). Дей-
Действительно, в этом случае а = Ь выражало бы отношение
* Gottlob F r e g e. Sinn und Bedeutung. — In: F r e g e G., Funk-
tion, Begriff, Bedeutung. Funf logische Studien p. 38—63. Vanden-
hoeck & Ruprecht, Gottingen, 1962. Впервые работа была напечатана
в «Zeitschrift fur Philosophic und philosophische Kritik» № 100, 1892,
стр. 25—50, под названием «Uber Sinn und Bedeutung» Прим. перев.
1 Под тождеством здесь понимается идентичность; выражение
а = Ь означает: 'а— это то же самое, что \? или 'аи/? совпадают'.
181

вещи к самой себе и притом такое отношение, которое
возможно только между вещью и ею же самой, но не
между разными вещами. Однако, утверждая, что а = &,
мы скорее имеем в виду, что знаки, или имена, а и b
обозначают одно и то же, следовательно, речь идет
именно об этих знаках, то есть отношением тождества
связаны именно знаки. При этом имена (или знаки)
находятся в указанном отношении лишь постольку, по-
поскольку они что-то называют или обозначают: тождест-
тождество двух знаков устанавливается путем соотнесения
каждого из них с одним и тем же обозначаемым. А со-
соотнесение это произвольно: ведь всякий имеет право
считать любое произвольно выбранное событие или вещь
знаком для чего угодно. Тогда получается, что выраже-
выражение а = Ь касается уже не сути дела, а только принято-
принятого нами способа обозначения: в таком случае с по-
помощью подобных выражений мы не могли бы переда-
передавать полезную информацию. Однако ведь именно этого
мы чаще всего и хотим. Когда знак а отличается от
знака Ь только материально (в нашем случае — графи-
графически), а не по способу обозначения, познавательная
ценность выражений а = аиа = &по существу одинакова
(это верно, как уже отмечалось, лишь при условии, что
а = Ь истинно). Не так будет только в том случае, когда
различия между знаками отражают различия в спосо-
способах представления обозначаемого. Пусть а, Ь, с — пря-
прямые, соединяющие вершины треугольника с серединами
противолежащих сторон; тогда справедливо A):
A)* Точка пересечения а и b совпадает с точкой пере-
пересечения b и с.
Таким образом, одной точке соответствуют два раз-
разных обозначения или имени. Эти имена (точка пере-
пересечения прямых а и Ь, точка пересечения прямых b и с)
указывают и на разные способы представления обозна-
обозначаемого; поэтому в предложении A) заключено под-
подлинное знание.
Таким образом, становится ясно, что знак как тако-
таковой (будь то слово, словосочетание или графический
символ) может мыслиться не только в связи с обозна-
обозначаемым, то есть с тем, что можно было бы назвать
* В оригинале сквозная нумерация примеров .отсутствует. —-•
Прим. перев,
182

денотатом знака [Bedeutung]*, но и в связи с тем,
что мне хотелось бы назвать смыслом знака [Sinn];
смысл знака — это то, что отражает способ представле-
представления обозначаемого данным знаком. В нашем примере де-
денотат выражений точка пересечения прямых а и b и точ-
точка пересечения прямых Ь и с одинаков, но смысл этих
выражений разный. Точно так же, денотат, выражений
Утренняя звезда и Вечерняя звезда, одинаков, но смысл
разный.
Из сказанного следует, что под знаком (или именем)
я понимаю любое обозначение, выступающее в роли
имени собственного; денотатом знака является опреде-
определенная вещь (в самом широком смысле слова), но не
понятие или отношение, которым будет посвящено от-
отдельное исследование**. Обозначение одной вещи мо-
может состоять из нескольких слов или иных знаков. Для
краткости мы будем называть такие обозначения име-
именами собственными.
Чтобы понимать смысл имен собственных, требуется
лишь в достаточной степени владеть соответствующим
языком или знать совокупность обозначений, к которой
принадлежит данное имя2. Однако денотат имени (если
он существует) оказывается при этом освещенным толь-
только с одной стороны. Чтобы познать некоторый денотат
(то есть определенную вещь) со всех сторон, необходи-
необходимо для любого заданного смысла уметь решать, соот-
* Буквальный перевод слова Bedeutung — значение, смысл.
Однако, по ряду причин, главным образом потому, что здесь Bedeu-
Bedeutung употребляется в смысле 'денотат', мы предпочли именно этот
вариант перевода. — Прим. перев.
** Имеется в виду статья «Begriff und Gegenstand» (См. Fre-
ge G., Funktion, Begriff, Bedeutung. Funf logische Studien, p. 64—
78. Vandenhoeck $ Ruprecht, Gottingen, 1962). — Прим. перев.
2 По поводу того, что следует считать смыслом настоящих имен
собственных, таких как, например, Аристотель, могут быть разные
мнения. Можно, в частности, считать, что слово Аристотель имеет
смысл 'ученик Платона и учитель Александра Великого'. Тот, кто
придерживается такого мнения, извлечет из предложения B) Ари-
Аристотель родился в Стагире не тот же самый смысл, который извле-
извлечет из него человек, считающий, что слово Аристотель имеет смысл
'учитель Александра Великого, родившийся в Стагире*. Но до тех
пор пока значение имени остается одним и тем же, подобные коле-
колебания смысла допустимы, хотя в языках точных наук их следует
избегать. В идеальном языке неопределенность смыслов тоже неже-
нежелательна.
183

ветствует ли он данному денотату, а это, разумеется, в
принципе невозможно.
В идеале соответствие между знаками, смыслами и
денотатами должно быть устроено таким образом, что-
\ бы всякому знаку всегда соответствовал один опреде-
определенный смысл, а всякому смыслу, в свою очередь, всегда
соответствовал один определенный денотат; в то же вре-
) мя денотату (вещи) может соответствовать не один
? смысл, а несколько, и один и тот же смысл может вы-
? ражаться разными знаками не только в разных языках,
но и в пределах одного и того же языка. Разумеется, в
действительности указанное соответствие часто нару-
нарушается. Как было только что сказано, в идеальной зна-
кддой системе всякому выражению должен соответство-
соответствовать только один определенный смысл; однако естест-
естественные языки далеко не всегда удовлетворяют этому
требованию: редко бывает так, чтобы слово всегда име-
имело один и тот же смысл в разных контекстах. Далее,
хотя можно предполагать, что любому грамматически
правильному выражению, выступающему в роли имени
собственного, всегда соответствует некоторый смысл,
вовсе не всякому смыслу соответствует некоторый де-
денотат. Например, выражение
C) наиболее удаленное от земли небесное тело
имеет вполне определенный смысл, но вряд ли у него
есть денотат. Выражению
D) ряд, сходящийся медленнее любого другого ряда
также соответствует некоторый смысл, но денотата
оно не имеет, так как можно доказать, что для любого
сходящегося ряда найдется еще медленнее сходящийся
ряд. Таким образом, даже если смысл имени очевиден,
денотата у него может и не быть.
Когда мы употребляем слово обычным образом, его
денотат — это то, что мы имеем в виду. Однако иногда
нам требуется сказать что-либо о самих словах или об
их смысле, например, когда мы передаем чужие слова
посредством прямой речи. Тогда прямая речь, то есть
произносимые нами слова, обозначает прежде всего «чу-
«чужие слова» — слова другого лица, и только эти послед-
последние имеют обычный денотат. Слова в прямой речи —
это знаки знаков. На письме в таких случаях изображе-
изображения слов [Wortbilder] заключают в кавычки, а изобра-
изображению слова, заключенному в кавычки, нельзя
184

приписывать обычный денотат соответствующего
слова-
Желая говорить о смысле выражения А, мы можем
прибегнуть к словосочетанию смысл выражения А. На-
Например, чтобы сообщить что-либо о смысле сказанного
третьим лицом, мы пользуемся косвенной речью. Ясно,
что и в этом случае словам, выступающим в косвенной
речи, тоже нельзя приписывать их обычный денотат,
ибо в роли последнего выступает их обычный смысл.
Для краткости мы будем говорить, что в косвенной речи
слова выступают в косвенном употреблении и име-
имеют косвенный денотат. Таким образом мы будем
различать у слов обычный денотат и косвенный
денотат, обычный смысл и косвенный смысл,
Косвенный денотат слова совпадает с его обычным
смыслом. Возможность косвенного употребления слов
надо постоянно иметь в виду при установлении соответ-
соответствий между знаком, смыслом и денотатом.
Смысл и денотат знака следует отличать от соответ-
соответствующего этому знаку представления. Если денотат
знака — это вещь, данная нам в ощущениях, то мое
представление об этой вещи есть внутренний образ, воз-
возникший у меня на основе моих впечатлений от этой ве-
вещи, а также в результате моей деятельности, физичес-
физической и мыслительной, связанной с этой вещью3. Образ-
представление, часто бывает пропитан эмоциями, от-
отдельные его части могут быть более или менее расплыв-
расплывчатыми. Более того, не всегда, даже для одного челове-
человека, определенное представление связано только с одним
смыслом. Представление (внутренний образ) всегда
субъективно — оно меняется от человека к человеку. От-
Отсюда проистекает многообразие различных представле-
представлений, сопряженных с одним и тем же смыслом. У худож-
художника, наездника и зоолога с именем Буцефал будут свя-
связаны, вероятно, очень разные представления. Этим пред-
3 Мы можем объединить представления с восприятиями, для ко-
которых впечатления и акты поведения выступают вместо отпечатков,
оставляемых ими в сознании. Для нас различие между представле-
представлениями и восприятиями несущественно, тем более, что в общую кар-
картину действительности, наряду с самими ощущениями и актами по-
поведения, входят воспоминания о них. При этом восприятие можно
рассматривать также и как вещь, поскольку вещи воспринимаются
органами чувств или носят пространственный характер.

ставление существенно отличается от смысла знака, ко-
который может быть общим достоянием, а не просто
частью опыта одного человека. Именно благодаря смыс-
смыслам знаков человечество сумело накопить общий багаж
знаний и может передавать его от поколения к поколе-
поколению4-
Очевидно, что смысл можно рассматривать сам по се-
себе, то есть можно говорить о смысле как таковом, в то
время как, говоря о представлении, необходимо уточнять,
кому именно оно принадлежит и к какому времени отно-
относится. На это можно было бы возразить следующее: ес-
если считать, что разные люди могут связывать с одним-и
тем же словом разные представления, то почему не счи-
считать, что разные люди связывают с одним словом раз-
разные смыслы? Однако здесь есть отличие, состоящее в
том, что указанные связи имеют разную качественную
природу. Разные люди могут одинаково воспринимать
один и тот же смысл, однако одинаковых представле-
представлений у разных людей быть не может. Si duo idem faciunt,
non est idem (даже если два человека представляют
себе одно и то же, у каждого будет свое собственное
представление). Хотя иногда и удается уловить разни-
разницу между представлениями или восприятиями разных
людей, точное сравнение представлений невозможно, так
как разные представления нельзя иметь одновременно в
одном сознании.
Денотат собственного имени — это, как мы уже гово-
говорили, сама вещь, которую оно обозначает. Что же ка-
касается представления, связанного с данным именем, то
оно абсолютно субъективно. Между денотатом и пред-
представлением располагается смысл — не столь субъектив-
субъективный, как представление, но и не совпадающий с самой
вещью, то есть с денотатом. Поясним это соотношение
следующим примером. Допустим, что некто смотрит на
Луну в телескоп. При этом имеют место два реальных
изображения Луны: первое образуется на линзах внут-
внутри телескопа, а второе — на сетчатке глаза наблюдате-
наблюдателя. Тогда саму Луну можно сопоставить с денотатом,
первое изображение Луны — со смыслом, а второе — с
представлением (или восприятием). Верно, что изобра-
4 Поэтому нецелесообразно употреблять слово «представление»
для столь разных понятий.
№

жение в телескопе является односторонним и зависит
от расположения телескопа, тем не менее, оно вполне
объективно, поскольку его могут одновременно воспри-
воспринимать несколько наблюдателей. Однако изображение
Луны на сетчатке глаза у каждого будет свое. В силу
разного строения глаз, вряд ли можно ожидать даже
геометрического подобия изображений на двух разных
сетчатках, а их полное совпадение совсем исключено.
Наше сравнение можно было бы продолжить, предполо-
предположив, что X может увидеть сетчатку глаза Y-a, или же
что X может увидеть свою собственную сетчатку в зер-
зеркале. Таким образом, можно было бы показать, что и
само представление может рассматриваться как вещь,
то есть как предмет наблюдения. Заметим, однако, что
представление в этом своем новом качестве восприни-
воспринимается наблюдателем совсем не так, как оно восприни-
воспринимается непосредственно субъектом представления. Впро-
Впрочем, продолжение этого сравнения может завести нас
слишком далеко.
Итак, можно усматривать три степени различия меж-
между выражениями (словами, словосочетаниями и целыми
предложениями): различие затрагивает либо только
представление, либо смысл, но не денотат, либо, нако-
наконец, и смысл и денотат. Поскольку слово не имеет чет-
четкой связи с представлением, для первой степени могут
существовать различия, улавливаемые одними, но не
замечаемые другими говорящими.
Разница между переводом и оригиналом не должна,
вообще говоря, выходить за пределы первой степени
различия. Сюда же относятся различные нюансы и раз-
разная стилистическая окраска, которые придаются смыс-
смыслу в поэзии и вообще в художественном тексте. Эти ню-
нюансы не объективны: читатель или слушатель должен
сам воссоздавать их для себя по «намекам» поэта или
оратора. Если бы представления разных людей не бы-
были в достаточной степени сходны, словесное искусство,
видимо, ие могло бы существовать. Однако точио уста-
установить, насколько представления читателей отвечают за-
замыслам автора, невозможно.
Ниже мы не будем больше рассматривать представ-
представления и восприятия. Мы коснулись их только для того,
чтобы разъяснить важное для нас различие между пред-
представлением, которое вызывается словом у слушающего,

с одной стороны, и смыслом и денотатом слова, — с дру-
другой.
Для удобства дальнейшего изложения условимся го-
говорить, что собственное имя (слово, знак, сочетание
знаков, выражение) выражает свой смысл и обоз-
обозначает, или называет, свой денотат.
Идеалисты и скептики, по-видимому, уже давно хотят
возразить мне: «Можно ли так просто говорить о Луне,
как о предмете? Откуда известно, что у имени Луна есть
денотат, и более того — что вообще у какого бы то ни
было имени есть денотат?» На это у меня есть ответ:
когда мы произносим слово Луна, мы не имеем в виду
обсуждать наше представление о Луне и не готовы удов-
удовлетвориться лишь смыслом этого слова; говоря о Луне,
мы тем самым предполагаем, что соответствующий де-
денотат существует. Утверждать, что в предложении
E) Луна меньше Земли
речь идет о чьем-либо представлении о Луне, значит не
считаться со смыслом этого предложения. Если бы го-
говорящий имея в виду свое представление о Луне, он
употребил бы выражение мое представление о Луне.
Наше предположение о том, что у имени Луна есть де-
денотат, может, конечно, оказаться неверным — такое уже
случалось в истории науки. Однако на вопрос о том»
не является ли вообще ошибочным предположение о на-
наличии денотатов у каких-либо имен, можно и не отве-
отвечать. Достаточно сослаться на наше намерение говорить
или рассуждать именно о денотате знака (делая при:
этом оговорку: если, конечно, таковой существует).
До сих пор мы занимались смыслом и денотатом'
только таких выражений, слов и знаков, которые мы оп-
определили как собственные имена. Займемся теперь воп-
вопросом о смысле и денотате целого повествовательного^
предложения. Такое предложение всегда содержит (вы-
(выражает) некоторое суждение [Gedanke]5. Должны ли мы
рассматривать это суждение как смысл или как дено-
денотат соответствующего предложения? Предположим, что
у данного предложения есть денотат. Заменим в нем не-
некоторое слово на другое слово с тем же денотатом, но с
5 Под суждением я понимаю не субъективную деятельность
мышления, а его объективное содержание, способное быть достоя-
достоянием многих,
188

Другим смыслом; это никак не Должно повлиять на де-
денотат предложения в целом. Мы увидим, однако, что
выражаемое предложением суждение изменится: так
цапример, в предложениях
F) Утренняя звезда — это небесное тело, освещаемое
солнцем
и
G) Вечерняя звезда — это небесное тело, освещаемое
солнцем
выражены разные суждения. Если не знать, что Утрен-
Утренняя звезда и Вечерняя звезда суть имена одного и того
же небесного тела, то одно суждение можно счесть ис-
истинным, а другое ложным. Таким образом, суждение
нельзя считать денотатом предложения; его надо рас-
рассматривать как смысл предложения. Но что же тогда
считать денотатом предложения? И вообще, имеется ли
у предложения какой бы то ни было денотат? Может
быть, у предложения в целом есть только смысл, но нет
денотата? Во всяком случае, можно ожидать, что най-
найдутся предложения, которые — так же как и некоторые
их части — имеют смысл, но не имеют денотата. К ним
относятся, например, предложения, которые содержат
собственные имена, не имеющие денотата. Предложе-
Предложение (8):
k (8) Одиссея высадили на берег Итаки в состоянии
глубокого сна
очевидным образом имеет смысл. Но поскольку мы не
знаем, есть ли денотат у имени Одиссей, мы вряд ли
можем сказать, что таковой имеется у всего предложе-
предложения. Ясно, однако, что тот, кто всерьез считает данное
предложение истинным или ложным, считает также, что
имя Одиссей имеет не только смысл, но и денотат, ибо
именно денотату этого имени можно приписывать или
не приписывать состояние, обозначенное в приведенном
предложении соответствующим предикатом. Тот же, кто
считает, что некоторый денотат не существует, не может
ничего утверждать или отрицать относительно этого де-
денотата. Можно было бы вообще считать, что доиски-
доискиваться до денотата имени излишне: если бы нас интере-
интересовало только суждение, выраженное в предложении,
можно было бы довольствоваться знанием смысла. Ведь
если рассматривать только смысл предложения, то есть
суждение, то незачем заниматься денотатами отдель-
189

ных его частей; для смысла предложения важны только
смыслы его частей, а не их денотаты; суждение не из-
изменится от того, имеет слово Одиссей денотат или нет.
Однако сам факт, что нас волнует вопрос о денотатах
отдельных частей предложения, указывает на то, что мы
в общем случае предполагаем наличие денотата и у
предложения в целом. Суждение теряет для нас всякую
ценность, как только мбг заметаем, что какая-нибудь из
его частей не ягмеет денотата. Поэтому наше стремление
узнать не только смысл, но и денотат предложения впол-
вполне оправдано. Почему же нам так важно, чтобы у пред-
ни — составной части предложения — был не только
смысл, но и денотат? Почему самогю по себе суждения
нам недостаточно? Потому и лишь потому, что нас ин-
интересует истинность суждений. Правда, истинность ин-
интересует нас далеко не всегда. Например, при чтении
эпоса нас волнуют, наряду с красотой языка, только
смысл предложений и вызываемые ими представления
(образы) и чувства. Вопрос об истинности этих пред-
предложений увел бы нас из сферы художественного вос-
восприятия в сферу научных изысканий. Вот почему, коль
скоро 1мы воспринимаем поэму Гомера только как ху-
художественное произведение, нам безразлично, в част-
частности, имеет имя Одиссей денотат или нет6. Именно
стремление установить истину и заставляет нас двигать-
двигаться вперед, от смысла предложения к его денотату.
Итак, мы установили, что вопрос о денотате предло-
предложения тесно связан с вопросом о денотатах его частей,
а этот вопрос можно ставить тогда и только тогда, ког-
когда нас интересует, истинно предложение или ложно.
Мы вынуждены, таким образом, признать, что дено-
денотатом предложения является его истинностное
значение [Wahrheitswert]—«истина» или «ложь»;,
других истинностных значений не Вывает. Всякое пове-
повествовательное предложение, в зависимости от денота-
денотатов составляющих его слов, может, таким образом, рас-
рассматриваться как имя, денотатом которого (если, ко-
конечно, он существует) будет либо истина^ либр ложь.
Обе эти абстрактные вещи (истина и ложь) признаются,
6 Желательно иметь для знаков, которые должны быть наде-
наделены только смыслом, особое название, например, «изображения»
[Bilder]; тогда слова, произносимые актером на сцене, будут изо»
бражениями; более того, и сам актер будет изображением.
190

хотя бы молчаливо, Всеми, кто вообще делает какие-ли-
какие-либо утверждения или считает хотя бы что-нибудь истин-
истинным, то есть даже самыми последовательными скептика-
скептиками. То, что мы считаем истинностное значение вещью,
может показаться неоправданным произволом, пустой
игрой слов, из которой нельзя извлечь никаких интерес-
интересных следствий. Уточнить, что именно понимается здесь
под вещью, можно только через понятие и отношение*.
Тем не менее, сейчас должно быть ясно, что в любом ут-
утверждении [Urteil]7 уже сделан шаг от мысли (сужде-
(суждения) к денотату (то есть к объективному содержанию
высказывания).
Можно попытаться рассмотреть отношение суждения
к истинности не как отношение смысла к денотату, а
как отношение субъекта к предикату. Так, можно ска-
сказать:
(9) Суждение, что 5 — простое число, истинно.
Однако, если вдуматься в сказанное, то становится
очевидным, что мы не сказали ничего сверх того, что
уже сказано в простом предложении:
A0) 5— простое число.
Утверждение истины в обоих случаях заложено в са-
самой форме повествовательного предложения, причем
даже в тех случаях, когда эта форма лишена своей
обычной утвердительной силы, например, если предло-
предложение (9) произнесено актером со сцены, оно выражает
только одно суждение, то же самое суждение, что и
предложение A0). Отсюда следует, что между сужде-
суждением и его истинностным значением имеет место совсем
не то же отношение, что между субъектом и предика-
предикатом. Субъект и предикат (в логическом смысле этих
терминов) являются частями суждения и находятся на
одном и том же уровне с точки зрения познания: соеди-
соединяя субъект с предикатом, мы всегда получаем тем са-
самым суждение, но не совершаем перехода от смысла к
денотату, ,или от суждения к его .истинностному значе-
значению. Соединяя субъект с предикатом, мы остаемся на
том же самом уровне, не переходя на следующий. Ис-
* См. статью «Begriff und Gegenstand», упомянутую в сноске
переводчика на стр. 183. — Прим. перев.
7 Слово утверждение я понимаю не просто как понимание
некоторого суждения [Gedanke], но и как признание его истинности,
то есть, как его принятие.
191

тйнностное значение не может быть частью суждений*
поскольку оно — не смысл, а вещь, точно так же, как
не может быть, скажем, частью суждения о Солнце, са-
само Солнце.
Если наше предположение о том, что денотатом пред-
предложения является его истинностное значение [Wahr-
heitswert], верно, то последнее не должно изменяться*
если какую-нибудь часть предложения заменить выра-t
жением, тождественным ей по денотату, но отличным па
смыслу. Это действительно так и есть. Лейбниц писал по
этому поводу: «Eadem sunt, quae sibi mutuo substitui
possunt, salva veritate»*- Что же еще, кроме истинност-
истинностного значения, может быть в общем случае приписано
всякому предложению, что так тесно связано с денота-
денотатами его частей и не зависит от подстановок указанно-
указанного типа?
Если же денотатом предложения является его истин-
истинностное значение, то все истинные предложения, с од-
одной стороны, и все ложные предложения, с другой, бу-
будут иметь один и тот же денотат: все первые обозна-
обозначают «истину», все вторые — «ложь». Отсюда видно,
что в денотате предложения все частное стирается. По-
Поэтому денотат сам по себе нас не интересует; однако и
суждение, взятое в отрыве от денотата, т. е. смысл сам
по себе, тоже не несет в себе нового знания. Этим свой-
свойством обладает только соединение суждения и его дено-
денотата (истинностного значения). Утверждение можно рас-
рассматривать как переход от суждения к его истинностно-
истинностному значению. Это, разумеется, нельзя считать определе-
определением утверждения. Утверждение представляет собой
нечто особое и ни с чем не сравнимое. Впрочем, можно
было бы сказать, что утверждение обязательно связано
с разбиением истинностного значения на некоторые
части. Это разбиение выполняется на основе обращения
к суждению. При этом каждому смыслу, имеющему не-
некоторое истинностное значение, соответствует свое осо-
особое разбиение этого истинностного значения на части.
(Слово часть [Teil] употребляется здесь достаточно не-
необычным образом, а именно: отношение между предло-
предложением и его частью переносится на денотат предложе-
* «Два выражения считаются одинаковыми, если они всегда
могут подставляться одно вместо другого, причем истинность
целого не изменяется» — Прим. перев.
192

ния; тем самым денотат слова мыслится как часть де-
денотата всего предложения, если само это слово являет-
является частью предложения. Такое словоупотребление, оче-
очевидно, не вполне корректно, так как денотат целого и
какой-либо его части еще не определяет денотата ос-
остальной части, а также и потому, что применительно к
физическим телам слово часть употребляется в другом
смысле. Для данного понятия следовало бы найти дру-
другое выражение).
Продолжим анализ нашего предположения о том,
что денотатом предложения является его истинностное
значение. Мы уже видели, что при замене некоторой
части предложения на выражение, имеющее тот же де-
денотат, денотат целого предложения не изменяется. Мы,
однако, не рассмотрели при этом случая, когда в пред-
предложение подставляется целое другое предложение. Ес-
Если наша основная гипотеза верна, то истинностное зна-
значение предложения, включающего некоторое другое
предложение, не изменится, если мы заменим включен-
включенное предложение на предложение с тем же самым ис-
истинностным значением. Иначе дело может обстоять
лишь тогда, когда исходное целое предложение или его
заменяемая часть являются прямой или косвенной
речью: ведь в прямой и косвенной речи слова, как мы
уже отмечали, не имеют обычного денотата; денотатом
предложения в прямой речи является также некоторое
предложение, а в косвенной речи — некоторое сужде-
суждение.
Таким образом, теперь нам необходимо заняться при-
придаточными предложениями. Последние являются частя-
частями сложно-подчиненного предложения, которое с ло-
логической точки зрения эквивалентно независимому пред-
предложению. Здесь перед нами встает следующий вопрос:
будет ли денотат придаточного предложения также сво-
сводиться к его истинностному значению или нет? Мы уже
выяснили, что для косвенной речи это не так. Рассмот-
Рассмотрим другие типы придаточных.
Грамматисты считают, что придаточные предложения
синтаксически эквивалентны членам предложения и де-
делят их соответственно на три класса: 1) дополнитель-
дополнительные и подлежащные придаточные, или «предложения-
существительные» [Nennsatze] 2) определительные при-
придаточные, или «предложения-прилагательные» [Bei-
13—9968 193

satze] и 3) обстоятельственные придаточные, или «пред-
«предложения-наречия» [Adverbsatze]. Можно предположить,
что денотатом придаточного предложения будет не его
истинностное значение (как это бывает у независимых
предложений — простых и взятых целиком сложнопод-
сложноподчиненных), а то же самое, что обычно обозначают су-
существительные, прилагательные или наречия, то есть
члены предложения; напомним, что смыслом члена
предложения является не полное суждение, а толь-
только часть суждения, и что, следовательно, смыс-
смыслом придаточного также может быть лишь часть
суждения. Данный вопрос требует специального иссле-
исследования, к которому мы и приступим. При этом мы не
будем придерживаться сугубо грамматической точки
зрения, а разберем явления, общие для логики и для
грамматики. Выясним, для начала, в каких случаях
смысл придаточного предложения — в соответствии с
нашим предположением — не является самостоятель-
самостоятельным суждением.
К дополнительным придаточным предложениям, вво-
вводимым союзом что, относится и косвенная речь, в кото-
которой, как уже говорилось, слова имеют косвенный дено-
денотат, совпадающий с их обычным смыслом. В этом слу-
случае денотатом придаточного предложения будет не его
истинностное значение, а некоторое суждение; смыслом
же придаточного будет не само это суждение, а смысл
слов суждение, что..., составляющий только часть
суждения, выраженного целым сложноподчиненным
предложением. Такие придаточные выступают при гла-
глаголах и глагольных словосочетаниях типа говорить, ду-
думать, слышать, заключать, быть убежденным и т- п.8
Придаточные же при глаголах типа признавать, знать,
воображать и т. п. ведут себя по-другому; ими мы зай-
займемся позже.
То, что в рассмотренных случаях денотатом придаточ-
придаточного, действительно, является определенное суждение,
подтверждается еще и следующим: для истинности це-
целого сложноподчиненного предложения безразлично,
8 В предложении А солгал, что он видел В придаточное выражает
некоторое суждение, о котором говорится, во-первых, что Л утверж-
утверждает, будто оно истинно, а во-вторых, что А в действительности
убежден, что оно ложно.
194

истинно или ложно суждение, выраженное в придаточ-
придаточном. Сравним, например, два предложения:
A1) Коперник думал, что орбиты планет являются
окружностями;
A2) Коперник думал, что впечатление, будто Солнце
движется, создается за счет движения Земли.
В A1) и A2) можно свободно поменять местами при-
придаточные предложения, и это никак не повлияет на ис-
истинность предложений A1) и A2) в целом. Главное
предложение вместе с придаточным выражает только
одно суждение, и истинность целого сложноподчиненно-
сложноподчиненного предложения не зависит от истинности или ложности
его придаточного. Однако в самом придатчном в этих
случаях нельзя заменить некоторое выражение на дру-
другое выражение, имеющее тот же самый обычный дено-
денотат; его можно заменять только выражением с тем же
самым косвенным денотатом, то есть с тем же самым
обычным смыслом. Здесь можно возразить, что дено-
денотатом предложения вообще не может считаться его ис-
истинностное значение, поскольку, если бы это было так,
то любое предложение всегда можно было бы заменить
на любое другое с тем же самым истинностным значе-
значением. Очевидно, однако, что это — слишком сильное ут-
утверждение; с таким же успехом можно утверждать, что
денотатом выражения Утренняя звезда не является
планета Венера, так как это выражение далеко не всег-
всегда можно заменить словом Венера. Мы можем сделать
лишь более слабое утверждение: точно так же, как вы-
выражение Утренняя звезда не всегда обозначает пла-
планету Венеру (а именно, Утренняя звезда не обозначает
Венеру в тех случаях, когда это выражение употреблен
но с косвенным денотатом), денотатом предложения
не всегда бывает его истинностное значение. Приме*
ром являются придаточные предложения в A1) и A2):
их денотатом является суждение.
Когда произносят Кажется, что..., то имеют в виду
Мне кажется, что ... или Я думаю, что ..., поэтому де-
денотатом придаточного дополнительного при глаголе ка-
казаться также оказывается соответствующее суждение.
Аналогично обстоит дело с придаточным при глаголах
радоваться, жалеть, одобрять (тот факт, что..-), пори-
порицать (тот факт, что...) надеяться, бояться. Когда Вел-
Веллингтон в конце битвы при Ватерлоо обрадовался тому,
13* 195

что пруссаки уже близко, основанием для его радости
была убежденность в приближении прусских войск. Ес-
Если бы он ошибался, то он радовался бы не меньше,—
разумеется, до тех пор, пока его не убедили бы в обрат-
обратном. До того, как Веллингтон поверил в то, что прусса-
пруссаки идут ему на помощь, он не мог радоваться этому
(даже если бы в действительности они были уже сов-
совсем близко).
Точно так же, как некоторые убеждения или какая-
либо вера лежат в основе наших чувств, они могут ле-
лежать и в основе других убеждений, например, когда мы
делаем умозаключения. В предложении
A3) Колумб решил, что если Земля — шар, то про-
продвигаясь все время на запад, он сможет достичь Индии
денотатами его частей являются два следующих сужде-
суждения:
A4) Земля — шар.
A5) Продвигаясь все время на запад, Колумб смо-
сможет достичь Индии.
Предложение A3) означает, что Колумб был убежден
и в том и в другом, причем убежденность в том, что A4)
истинно, послужила основанием для убежденности в
истинности A5). Для истинности всего предложения
A3) не важно, является ли в действительности Земля
шаром, и действительно ли мог Колумб, плывя все вре-
время на запад, достичь Индии. Но истинность этого пред-
предложения изменится, если мы заменим в нем слово Зем-
Земля на выражение планета, имеющая спутник, диаметр
которого больше четверти ее собственного диаметра.
Здесь мы опять имеем пример употребления слов с кос-
косвенным денотатом.
Обстоятельственные придаточные цели с союзом (для
того) чтобы также относятся к описанному типу, по-
поскольку цель в данном случае — это тоже некоторая
мысль (суждение); поэтому в придаточных цели слова
также имеют косвенный денотат и употребляется сосла-
сослагательное наклонение.
Придаточные с союзом чтобы при глаголах типа при-
приказывать или просить в прямой речи становятся повели-
повелительными предложениями. Такие придаточные имеют
только смысл, но не имеют денотата. Приказ или прось-
просьба не являются суждениями, однако они находятся на
одном уровне с суждениями. Поэтому слова, которые
196

входят в придаточное дополнительное при глаголе типа
приказывать, просить и т. п., имеют косвенный денотат.
Денотатом такого придаточного является не истинност-
истинностное значение, а приказ, просьба и т. п.
Так же обстоит дело с косвенными вопросами — при-
придаточными дополнительными при глаголах типа сомне-
сомневаться (сомневаюсь захочет ли он...), не знать (Не
знаю, что он делает) и т- п. Очевидно, что и здесь сло-
слова употреблены с косвенным денотатом. Подобные приг
даточные, вводимые союзными (относительно-вопроси-
(относительно-вопросительными) словами кто, что, где, когда, .как и т. и. (или
частицей ли), часто похожи на обстоятельственные при-
придаточные, в которых слова употребляются с их обычным
денотатом. Однако, например, в 'немецком языке кос-
косвенно-вопросительные и обстоятельственные придаточ-
придаточные различаются при помощи наклонения; в косвенных
вопросах, где слова имеют косвенный денотат и где
собственное имя не всегда можно заменить на другое
имя с тем же денотатом, употребляется конъюнктив, в
придаточных обстоятельственных — индикатив.
В рассмотренных до сих пор случаях слова в прида-
придаточных предложениях имели косвенный денотат, и это
позволяло нам заключить, что все придаточное тоже
имеет косвенный денотат, то есть что его денотатом яв-
является не истинностное значение, а суждение, приказ,
просьба или вопрос. Такое придаточное предложение
можно трактовать как существительное, т. е. как собст-
собственное имя этого суждения, этого приказа и т. д.; имен-
именно в качестве собственного имени данное придаточное и
входит в сложноподчиненное предложение.
Обратимся теперь к таким придаточным предложени-
предложениям, в которых слова имеют обычный денотат, но смысл
которых тем не менее не сводим к суждению, а дено-
денотат — к истинностному значению. Начнем с простого
примера:
A6) Der die elliptische Gestalt der Planetenbahnen
entdeckte, starb im Elend.
A6) букв. Кто открыл эллиптическую форму планет-
планетных орбит, умер в нищете ( = Тот, кто открыл, что орби-
орбиты планет имеют форму эллипса, умер в нищете).
Если бы смыслом придаточного подлежащего здесь
было некоторое суждение, тогда то же самое суждение
можно было бы выразить и посредством независимого
197

предложения. Однако это оказывается невозможным,
так как грамматическое подлежащее придаточного der
'кто' не имеет собственного смысла: оно лишь выража-
выражает связь между придаточным и главным предложением.
Отсюда следует, что смысл придаточного в данном слу-
случае не является независимым суждением, а его денотат
не ра1вен его истинностному значению: денотатом в дан-
данном случае будет Кеплер. Здесь можно возразить, что
смысл целого (то есть предложения A6)) все-таки
включает в себя суждение 'Существовал тот, кто открыл,
что орбиты планет имеют форму эллипса', ибо всякий,
кто признает предложение A6) истинным, не мо-
может отрицать это суждение. Несомненно, что это
так и есть, но лишь в силу того, что в против-
противном случае выражение
A7) кто открыл эллиптическую форму планетных ор-
орбит ( = тот, кто открыл, что орбиты планет имеют фор-
форму эллипса)
не ,и,мело бы денотата. Если мы беремся утверждать
что-либо, то мы всегда заранее предполагаем, что упот-
употребленные нами простые и сложные собственные имена
все без исключения имеют денотат. Если, например, мы
утверждаем:
A8) Кеплер умер в нищете,
то при этом исходим из предпосылки*, что имя Кеплер
обозначает нечто; но именно поэтому мы не можем счи-
считать, что в смысл предложения A8) входит суждение
'имя Кеплер обозначает нечто'. Если бы это было так, то
отрицанием этого предложения было бы не A9), а B0):
A9) Кеплер не умер в нищете;
B0) Кеплер не умер в нищете, или имя Кеплер ни-
ничего не обозначает.
То, что имя Кеплер имеет денотат, является предпо-
предпосылкой [Voraussetzung]* как для утверждения A8),
так и для противоположного ему утверждения A9).
В данной связи возникает следующая трудность. Ес-
Естественные языки обладают тем недостатком, что они
* Здесь Г. Фреге пользуется словами voraussetzen/Voraussetzung,
обозначающими понятие, близкое (или, может быть, даже тождест-
тождественное) понятию пресуппозиции, широко используемому в совре-
современной лингвистике. В английском переводе данной статьи применен
термин pressupposition (см. F г е g e G. On sense and reference. — In:
Translations from the Philosophical Witings of Gottlob Frege. (eds.
P. Geach, M. Black) Oxford, 1952, стр. 56—78) — Прим. перев.
198

допускают выражения, которые облечены в правильную
грамматическую форму и потому представляются имею-
имеющими некоторый денотат (как бы обозначают некото-
некоторую вещь), хотя в действительности денотата у них мо-
может и не быть, так как это зависит от истинности неко-
некоторого другого предложения. Так, наличие или отсут-
отсутствие денотата у выражения:
B1) тот, кто открыл, что орбиты планет имеют форму
эллипса,
зависит от истинности предложения:
B2) Существовал тот, кто открыл, что орбиты пла-
планет имеют форму эллипса.
У выражения B1) ib принципе может и не быть ника-
никакого денотата, хотя сначала кажется, что таковой есть
всегда. Точно так же может показаться, что в смысл вы-
выражения B1) входит суждение 'Тот, кто открыл, что
орбиты планет имеют форму эллипса, действительно су-
существовал'. Однако, если бы это было так, то отрица-
отрицанием предложения A6) было бы предложение:
B3) Тот, кто открыл, что орбиты планет имеют фор-
форму эллипса, не умер в нищете, или тот, кто открыл, что
орбиты планет имеют форму эллипса, не существовал.
Причина указанного осложнения кроется в несовер-
несовершенстве естественного языка. Впрочем, этот недостаток
присущ в какой-то степени и знаковой системе математи-
математического анализа: здесь мы тоже встречаем выраже-
выражения, которые внешне выглядят так, как будто они
что-то обозначают, однако в действительности (по край-
крайней мере до сих пор) денотат их неизвестен, например:
сумма бесконечного расходящегося ряда. Этого можно
избежать, если особым соглашением приписать данно-
данному выражению денотат «О» (ноль). В идеальном языке
[Begriffsschrift] любое грамматически правильное вы-
выражение, построенное из ранее определенных знаков,
которое вводится в качестве собственного имени, долж-
должно обязательно обозначать нечто, и всякий новый знак
может вводиться в качестве собственного имени лишь
при условии, что ему уже обеспечен некоторый денотат.
Известно, что в логике недопустима неоднозначность
выражений, ибо она является источником логических
ошибок. Я полагаю, что не менее опасны ничего не обоз-
обозначающие псевдоимена. История математики знает мно-
много заблуждений, возникших из-за псевдоимен. Псевдо-
199

имена, по-видимому, даже в большей степени, чем неод-
неоднозначного выражения, способствуют демагогическому
злоупотреблению языком. Таково, к примеру, выражение
воля народа, которое очевидным образом не имеет
(во всяком случае, общепринятого) денотата. Поэтому
мне представляется исключительно важным закрыть
этот источник заблуждений — по крайней мере в нау-
науке — раз и навсегда. Тогда трудностей упомянутого ти-
типа можно будет не опасаться, поскольку наличие или от-
отсутствие денотата у собственного имени никогда не бу-
будет зависеть от истинности соответствующего суждения.
Рассмотрим теперь, наряду с придаточными, заме-
замещающими существительные, некоторые виды придаточ-
придаточных, замещающих прилагательные и наречия, тесно свя-
связанные с первыми в логическом отношении.
Придаточные, заменяющие прилагательные, служат
средством образования сложных собственных имен, хо-
хотя одного такого придаточного, в отличие от придаточ-
придаточного замещающего существительное, для этого недоста-
недостаточно.
Подобные придаточные ведут себя в этом отношении
как прилагательные: так, вместо B4) тот квадратный
корень из 4, который меньше нуля, можно сказать B5)
отрицательный квадратный корень из 4. Здесь сложное
собственное имя стоит в единственном числе*, а это ука-
указывает на то, что данному понятию соответствует одна
и только одна вещь9. Собственные имена могут стро-
строиться таким образом, что видовые признаки соответст-
соответствующих понятий выражаются посредством определи-
определительных придаточных, как и в нашем примере B4) —
посредством придаточного ... который меньше нуля.
Очевидно, что смыслом такого определительного прида-
придаточного (так же, как и смыслом придаточного подлежа-
подлежащего в A6)) не может быть полное суждение, и денотат
его не равен истинностному значению. Смыслом его яв-
,,* В немецком языке соответствующие выражения оформлены
определенным артиклем: die Quadratwurzel aus 4, die kleiner ist als
0=die negative Quadratwurzel aus 4,— Прим. перев.
9 В соответствии с высказанными выше замечаниями, всякому
подобному выражению, то есть собственному имени в единствен-
единственном числе (и с определенным артиклем — в языке, где есть артик-
артикли), в тех случаях, когда ему соответствует более одной вещи или
ни одной вещи, следует особым соглашением приписывать некото-
некоторое значение, положив например, что его значением будет число ноль.
200

ляется только часть суждения, которая в ряде случаев
может быть выражена одним прилагательным. В этом
случае, как и в случае с придаточными-существитель-
придаточными-существительными (того типа, который мы видим в A6)), придаточное
не имеет семантически самостоятельного подлежащего
и, следовательно, передать смысл такого придаточного
посредством независимого предложения невозможно.
Точки в пространстве (места) и во времени (момен-
(моменты), а также отрезки времени с логической точки зре-
зрения являются вещами. Следовательно, обозначения в
языке определенного места, момента или отрезка вре-
времени следует рассматривать как собственные имена.
Поэтому обстоятельственные придаточные места и вре-
времени тоже могут использоваться как собственные име-
имена— точно так же, как рассмотренные выше придаточ-
придаточные, замещающие существительные и прилагательные.
Таким же образом могут быть образованы обозначения
для понятий локализации и т. д. Заметим, что и тут
смысл придаточных не может быть передан отдельным
независимым предложением, так как в этих придаточных
отсутствует важная составная часть — точное описание
места или времени, а имеется лишь ссылка на место
или время, выраженная относительным местоимением10.
10 Предложения с придаточными места и времени можно, вообще
говоря, трактовать по разному. Смысл предложения:
B6) После того как Шлезвиг-Гольштейн был отторгнут от Дании,
возник конфликт между Пруссией и Австрией
можно выразить и посредством
B7) После отторжения Шлезвиг-Гольштейна от Дании между
Пруссией и Австрией возник конфликт.
Это ясно показывает, что суждение 'В какой-то момент Шлезвиг-
Гольштейн был отторгнут от Дании' не входит в смысл всего пред-
предложения, а является необходимой предпосылкой для того, чтобы
выражение после отторжения Шлезвиг-Гольштейна от Дании вообще
имело какое-то значение. Можно, конечно, понять это предложение
по-другому: считать, что в нем выражен тот факт, что Шлезвиг-
Гольштейн был когда-то отторгнут от Дании; этот случай мы
рассмотрим ниже. Чтобы лучше понять интересующее нас раз-
различие, представим себе китайца, который имеет весьма слабое
представление об истории Европы и поэтому считает, что неверно,
что Шлезвиг-Гольштейн был отторгнут от Дании. Для такого
китайца предложение B6) не будет ни истинным, ни ложным: он
просто не припишет ему никакого денотата, поскольку денотат
отсутствует у входящего в его состав придаточного (которое лишь
создает иллюзию временной детерминации). Если же наш китаец
понял бы предложение B6) вторым способом, то он счел бы, что
в B6) выражается одно, заведомо ложное суждение плюс еще
нечто, вообще не имеющее денотата.
14—9968 201

В условных придаточных, как и в придаточных допол-
дополнительных и придаточных-подлежащих (существитель-
(существительных), определительных (прилагательных) и обстоятель-
обстоятельственных (наречиях), чаще всего имеется неопределен-
неопределенно-указательный компонент, которому соответствует не-
некоторый аналогичный компонент в главном предложе-
предложении; с помощью этих неопределенно-указательных ком-
компонентов оба предложения и объединяются в одно це-
целое, которое выражает обычно только одно суждение.
В предложении
B8) Если некоторое число меньше единицы и боль-
больше нуля, то квадрат его тоже меньше единицы и боль-
больше нуля
такими компонентами являются выражения некото-
некоторое число в условном придаточном и местоимение его в
главном предложении.
Именно благодаря неопределенности выражения не-
некоторое число предложение B8) приобретает общий ха-
характер, который мы вправе ожидать от формулировки
закона. Но как раз поэтому смыслом условного прида-
придаточного предложения не может быть полное суждение;
оно вместе со своим главным предложением выражает
одно единственное суждение, части которого суждения-
суждениями уже не являются. В общем случае неверно, что ус-
условное утверждение состоит из двух взаимозависимых
утверждений. Говорить так — значит употреблять слово
утверждение [Urteil] в том смысле, в котором я упот-
употребляю слово суждение [Gedanke], так что в действи-
действительности следовало бы сказать: «условное суждение
состоит из двух взаимозависимых суждений». Однако
это верно лишь тогда, когда в предложении отсутствует
неопределенно-указательные компоненты11, а в этом слу-
случае предложение не имеет характера общего утвержде-
утверждения.
Когда в условном придаточном и в соответствующем
ему главном предложении надо указать на некоторый
неопределенный момент времени, то это часто делается
только с помощью настоящего времени глагола, которое
в этом случае не указывает на одновременность описы-
описываемого события и момента речи. В таком случае эта
11 Иногда такое указание в самом тексте отсутствует и его надо
выводить из контекста.
202

грамматическая форма сама выступает в роли неопре-
неопределенно-указательного компонента, как в примере:
B9) Если солнце находится над Тропиком Рака, то
в северном полушарии — самый длинный день.
Здесь также невозможно выразить смысл придаточно-
придаточного посредством независимого простого предложения,
так как этот смысл не представляет собой самостоя-
самостоятельного суждения. Ибо, если мы скажем: Солнце нахо-
находится над Тропиком Рака, то это означает, что солнце
находится над Тропиком Рака именно в данный мо-
момент, а это не тот смысл, который был выражен прида-
придаточным в предложении B9). Смысл главного предложе-
предложения в B9) также не представляет собой самостоятель-
самостоятельного суждения; суждение выражает только все предло-
предложение B9) целиком (главное плюс условие при-
придаточное). Отметим, что в условном придаточном и в
соответствующем ему главном предложении может
быть несколько общих неопределенно-указательных
компонент.
Весьма интересно, что придаточные-«существитель-
ные» с кто и что и придаточные-«наречия» с где, когда,
где бы ни, когда бы ни и т. п. по смыслу часто эквива-
эквивалентны условным придаточным, например:
C0) Кто с грязью играет, лишь руки марает.
Определительные придаточные также могут высту-
выступать в роли условных. Так, смысл предложения B8)
можно выразить и в такой форме:
C1) Квадрат любого числа, которое меньше единицы
и больше нуля, меньше единицы и больше нуля.
Совсем иначе дело обстоит в том случае, когда общая
часть главного и придаточного предложения выражена
собственным именем. В предложении:
C2) Наполеон, который понял опасность, грозящую
его правому флангу, сам повел свою гвардию на врага
выражены два следующих суждения:
C2i) Наполеон понял опасность, грозящую его право-
правому флангу;
C2ii) Наполеон сам повел свою гвардию на врага.
Когда и где все это произошло, можно узнать только
из контекста целого предложения, но мы будем считать,
что в контексте это уточнено. Если данное предложе-
предложение произносится как утверждение, то н оба входящих
14* 203

в него предложения (Наполеон . .. сам повел свою
гвардию на врага и который понял опасность, грозя-
грозящую его правому флангу) оказываются утверждениями.
Если одно из них ложно, то и все предложение ложно.
В этом случае смыслом придаточного предложения бу-
будет полное суждение (если только мы уточним при этом
место и время). Следовательно, денотатом придаточного
здесь будет истинностное значение. Тогда мы можем
ожидать, что вместо него можно подставить любое дру-
другое придаточное определительное, с тем же истинност-
истинностным значением, и это никак не повлияет на истинность
всего предложения в целом. Это действительно так. В
силу чисто грамматических соображений подлежащим
подставляемого придаточного должно быть слово На-
Наполеон; если же не требовать, чтобы подставляемое
предложение обязательно было придаточным определи-
определительным, и согласиться на присоединение его как одно-
однородного с союзом и, то это ограничение отпадает.
Уступительные придаточные с союзами типа хотя то-
тоже выражают самостоятельные суждения. Союз хотя не
имеет собственного смысла и не меняет смысла вводи-
вводимого им предложения; он просто освещает смысл вво-
вводимого предложения особым образом12. Мы всегда мо-
можем, не нарушая истинности целого, заменить одно ус-
уступительное придаточное другим с тем же истинност-
истинностным значением; при этом, однако, то «освещение», ко-
которое придает смыслу придаточного уступительный со-
союз, может оказаться неуместным — точно так же, как
неуместно петь песню с грустным содержанием на ве-
веселый мотив.
В последних разобранных случаях истинность целого
сложноподчиненного предложения предполагает истин-
истинность составляющих его предложений. Иначе обстоит
дело тогда, когда условное придаточное выражает само-
самостоятельное суждение, но вместо неопределенно-указа-
неопределенно-указательного компонента содержит собственное имя или неч-
нечто сходное с ним в интересующем нас отношении. Так, в
предложении
C3) Если солнце сейчас уже на небе, то небо покры-
покрыто тучами
12 Аналогично ведут себя союзы но, нем. aber 'но3, dock 'но,
все же'.
204

грамматическое настоящее время и слово сейчас указы-
указывают на одновременность описываемых событий и мо-
момента речи, следовательно, здесь время можно считать
определенным. Место описываемых событий так-
также можно считать определенным- Тогда об этом
предложении можно сказать, что истинностные значения
условного придаточного, с одной стороны, и главного —
с другой, связаны между собой следующим образом:
C3) ложно, если придаточное истинно., а главное —
ложно. Таким образом, предложение C3) истинно как
в том случае, если солнце сейчас еще не на небе (небо
при этом может быть каким угодно — облачным или яс-
ясным), так и в том случае, если солнце уже на небе, и
небо действительно покрыто тучами. Поскольку из это-
этого следует, что в данном случае важны только истин-
истинностные значения, то и главное и придаточное можно за-
заменить на любое другое предложение с тем же истин-
истинностным значением, не нарушая истинности целого. Ра-
Разумеется, и здесь «освещение» смысла может оказаться
неуместным (например, высказанное суждение получит-
получится нелепым); чтобы избежать этого, сопутствующие
суждения [Nebengedanken], — которые самостоятельно
в предложении не выражены и поэтому непосредственно
в смысл всего предложения не входят, так что их истин-
истинностные значения роли не играют, — должны быть «со-
«созвучны» основным суждениям, выраженным в предло-
предложении13.
На этом можно закончить разбор простых случаев.
Резюмируем вкратце то, что мы о них узнали. Смыслом
придаточного предложения обычно бывает не суждение,
а только часть некоторого суждения; следовательно, в
этих случаях денотатом придаточного предложения его
истинностное значение быть не может. Это объясняется
одним из двух следующих факторов: либо в придаточ-
придаточном предложении слова имеют косвенный денотат и,
следовательно, выраженное в нем суждение оказывается
не его смыслом, а его денотатом; либо придаточное
13 Суждение, содержащееся в C3), можно было бы выразить
еще и так
C4) Либо солнце сейчас еще не на небе, либо небо покрыто
тучами.
Из этого видно, как надо трактовать сложные предложения
такого рода.
205

предложение несамостоятельно ввиду наличия в нем
неопределенно-указательного элемента, и только объеди-
объединение придаточного и главного предложения, т. е. слож-
сложноподчиненное предложение в целом, выражает само-
самостоятельное суждение. Бывает, впрочем, и так, что при-
придаточное предложение все же выражает самостоятель-
самостоятельное суждение; тогда вместо него можно подставить дру-
другое предложение с тем же истинностным значением (ес-
(если только при этом не возникнут препятствия чисто
грамматического характера), и это никак не отразится
на истинности всего сложноподчиненного предложения.
Легко заметить, однако, что не все придаточные пред-
предложения укладываются в предложенную схему. Причи-
Причина этого, насколько я могу судить, кроется в том, что не
у всех придаточных смысл достаточно прост и прозра-
прозрачен. Почти всегда, как мне кажется, мы связываем с вы-
высказываемым нами главным суждением ряд сопутствую-
сопутствующих (побочных) суждений, которые выводятся слушаю-
слушающим из наших слов в соответствии с законами психоло-
психологии, хотя формально (то есть эксплицитно) эти сопут-
сопутствующие суждения в высказывании не выражены. По-
Поскольку, однако, они связаны с нашими словами почти
столь же тесно, как и само главное суждение, их тоже
приходится считать содержащимися в предложении.
В силу этого смысл предложения становится богаче, и
часто в сложном предложении оказывается больше про-
простых суждений, чем простых предложений. Однако для
правильного понимания предложения учет сопутствую-
сопутствующих суждений необходим отнюдь не всегда; нередко
трудно решить, входит ли данное суждение в смысл
предложения или просто «сопутствует ему14. Так,
создается впечатление, что в предложении C2)
выражены не только те два суждения C2 i) и C2 и), о
которых мы говорили выше, но и еще одно суждение:
C2 iii) Понимание Наполеоном опасности было при-
причиной того, что он сам повел свою гвардию на врага.
Тем не менее, здесь можно и усомниться в том, что
это суждение именно выражено в предположении,
а не просто, так сказать, слегка затронуто им.
14 Это может быть существенным, например, тогда, когда мы хо-
хотим выяснить, является ли данное утверждение клятвой, лжепри-
лжеприсягой или просто ложью,
206

Чтобы выяснить это, зададимся: вопросом, могли ли бы
мы сказать то же самое, если бы Наполеон принял свое
решение (повести гвардию в атаку) еще до того, как он
осознал грозящую его правому флангу опасность. Если
бы предложение C2) и тогда было истинным, то это зна-
значило бы, что сопутствующее суждение C2 ш) не входит
в его смысл, т. е. не выражено в нем. Скорее всего сле-
следует принять именно такое решение, поскольку в про-
противном случае наше описание оказалось бы более слож-
сложным: в предложении C2) простых суждений было бы
больше, чем простых предложений. Если в C2) заме-
заменить предложение:
C5) Наполеон понял опасность, грозящую его право-
правому флангу
на предложение с тем же истинностным значением, на-
например, на предложение:
C6) Наполеону было уже больше 45 лет,
то это скажется не только -на суждении C2 i), >но и на
суждении C2 ш), у которого может даже измениться
истинностное значение, так как очевидно, что возраст
не мог заставить Наполеона принять решение самому
повести свою гвардию на врага. Отсюда понятно, по-
почему в таких случаях вместо данного придаточного не
всегда можно подставить другое, пусть даже с тем же
истинностным значением.
Дело в том, что здесь придаточное предложение —
именно благодаря соединению с другим, а именно — с
главным предложением, выражает больше, чем оно вы-
выражало бы в изоляции, то есть взятое само по себе.
Рассмотрим еще несколько примеров только что оха-
охарактеризованного явления. В предложении
C7) Бебель воображает, что возвратом Эльзаса и
Лотарингии можно утолить жажду мести со стороны
Франции
выражены два суждения— C7i) и C7Н), однако их не-
невозможно распределить между частями предложения
C7) так, чтобы одно суждение было отнесено к главно-
главному, а другое — к придаточному предложению.
C7i) Бебель думает, что возвратом Эльзаса и Лота-
Лотарингии можно утолить жажду мести со стороны Фран-
Франций;
C7Н) Возвратом Эльзаса и Лотарингии утолить жаж-
жажду мести со стороны Франции невозможно-
207

В C7i) слова, входящие в придаточное предложение,
имеют косвенный денотат, тогда как в C7п) те же са-
самые слова имеют обычный денотат. Отсюда следует, что
в сложноподчиненном предложении C7) придаточное
предложение фигурирует как бы дважды, и притом — с
разными денотатами: в первом случае его денотатом
является суждение, во втором — истинностное значение.
Поскольку, однако, денотат придаточного не сводится
полностью к истинностному значению, мы не можем
подставить вместо него любое другое придаточное с тем
же истинностным значением. Аналогично ведут себя
сложноподчиненные предложения со словами типа
знать, осознавать, известно, что ... и т. п.
Придаточные причины вместе со своим главным пред-
предложением выражают несколько суждений, которые не
находятся во взаимно-однозначном соответствии с пред-
предложениями. В предложении
C8) Так как удельный вес льда меньше удельного
веса воды, лед удерживается на ее поверхности
выражены три суждения:
C8i) Удельный вес льда меньше удельного веса воды;
C8Н) Если удельный вес некоторого вещества мень-
меньше удельного веса воды, то это вещество удерживается
на ее поверхности.
C8ш) Лед удерживается на поверхности воды.
Суждение C8ш) можно было и не выписывать, по-
поскольку оно вытекает из C8i) и C8Н). Однако ни C8i)
и C8ш), вместе взятые, ни C8и) и C8iii) вместе взя-
взятые не передают полностью смысл данного предложе-
предложения. Легко видеть, что в придаточном предложении:
C9) Так как удельный вес льда меньше удельного
веса воды
выражено как суждение C8i) целиком, так и часть
суждения C8п). Вот почему это придаточное нельзя за-
заменить другим с тем же истинностным значением;
такая замена повлияла бы и на суждение C8и) и,
следовательно, могла бы изменить его истинностное
значение.
Аналогичную ситуацию мы наблюдаем в предложе-
предложении:
D0) Если бы удельный вес железа был меньше
удельного веса воды, то железо удерживалось бы на ее
поверхности
208

Здесь выражены два следующие суждения:
D01) Удельный вес железа не меньше удельного веса
воды.
D0ii) Любое вещество удерживается на поверхно-
поверхности воды, если его удельный вес меньше удельного веса
воды.
В придаточном предложении здесь опять-таки выра-
выражено полностью одно суждение— D0i) —и часть дру-
другого суждения— D0п).
Рассмотрим с этой точки зрения приведенный выше
пример:
B6) После того как Шлезвиг-Гольштейн был отторг-
отторгнут от Дании, возник конфликт между Пруссией и Авст-
Австрией.
Будем толковать это предложение как утверждающее,
что Шлезвиг-Гольштейн был некогда отторгнут от Да-
Дании. Тогда естественно считать, что в B6) выражены
два суждения:
B6i) Шлезвиг-Гольштейн был некогда отторгнут от
Дании;
B6п) В некоторой момент Бремени более точно опре-
определенный в придаточном предложении, возник конфликт
между Пруссией и Австрией.
И в этом случае в придаточном предложении оказы-
оказывается выраженным не только суждение B61), но и
часть суждения B6п). Поэтому мы не можем, вообще
говоря, заменить придаточное в B6) любым другим
предложением с тем же истинностным значением.
Трудно охватить все возможности естественного язы-
языка; тем не менее, я надеюсь, что мне удалось в основ-
основном вскрыть те причины, по которым придаточное пред-
предложение далеко не всегда можно заменить на любое дру-
другое с тем же истинностным значением так, чтобы это не
отражалось на истинности сложноподчиненного предло-
предложения в целом. Вот эти причины:
1) либо денотат придаточного не является его истин-
истинностные значением [der Nobensatz bedeutet keinen Wahr
heitswert], поскольку ано выражает не самостоятель-
самостоятельное суждение, а только часть такового;
2) либо денотатом придаточного является его истин-
истинностное значение, но при этом смысл придаточного со-
содержит не просто одно суждение, но еще и часть дру-
другого.
209

Первая Причина имеет место в одном из двух случаев:
а) когда слова употребляются с косвенным денотатом;
б) когда в предложении вместо какого-либо имени
собственного употреблен неопределенно-указательный
элемент.
Вторая причина имеет место, когда придаточное пред-
предложение как бы фигурирует дважды — один раз с обыч-
обычным денотатом, второй раз — с косвенным, или же ког-
когда смысл некоторой части придаточного является од-
одновременно частью другого суждения, которое вместе с
суждением, непосредственно выраженным в придаточ-
придаточном, образует смысл всего сложноподчиненного пред-
предложения (то есть главного и придаточного, вместе взя-
взятых).
Проведенные рассуждения позволяют с большой сте-
степенью уверенности утверждать, что те случаи, когда од-
одно придаточное нельзя заменить другим с тем же ис-
истинностным значением, не противоречат нашему глав-
главному тезису:
Денотатом [Bedeutung] предложения яв-
является его истинности о е значение [Wah-
rheitswert], а смыслом [Sinn]—не кот о/рое
суждение [Gedanke].
Вернемся теперь к исходному пункту наших рассуж-
рассуждений.
Итак, мы нашли, что выражения а = а и а = Ь имеют
в общем случае различную познавательную ценность.
Это объясняется тем, что для познавательной ценности
предложения важен не только его денотат, то есть его
истинностное значение, но и его смысл, то есть выра-
выраженное в нем суждение. Если имеет место а = Ь, то де-
денотат а идентичен денотату Ъ и истинностные значения
выражений а = а и а = Ь одинаковы. Однако смысл вы-
выражения Ъ может отличаться от смысла выра-
выражения а, и тем самым суждения, выраженные соот-
соответственно а — Ъ и а = а, будут разными; поэтому-то эти
предложения имеют разную познавательную ценность.
Если под словом утверждение [Urteil] мы будем под-
подразумевать переход от суждения к его истинностному
значению, как мы это делали выше, то мы сможем ска-
сказать, что и соответствующие утверждения в случаях а —а
иа«Ь также различны.

СОДЕРЖАН ИЕ
Субоптимальное программирование. С. И. Самойленко 3
Мажоритарные пространства и квантор «большинства».
Н. Я. В ил енкин, Ю. А. Ш рей дер 45
Принятие экспертных решений на основе мажоритарных струк-
структур. Н. Я. В и ленки н, Ю. А. Ш рей дер . . . . 83
Понятие презумпции в лингвистической семантике. Е. В. Па*
дучева 91
К теории автоматического синтеза понятий. Э. М. Погосян 125
Некоторые замечания о применении трансформаций для опи-
описания синтаксиса русской ра'зговорной речи. Ю. И. Левин 153
Понятие информации в теории категорий. А. А. Шаров 167
От редакции 179
Смысл и денотат. Г. Ф р е г е 181
Редакторы. Н. П. Кальниболоцкая, Т. Н. Лаппалайнеп
Технический редактор 3. А. ПРусакова
Сдано в набор 17/XI-1976 г. Подписано в печать З/Ш-1977 г. Т—02497
Формат 84ХЮ37з2 Печ. л. 6,75 Усл. печ. л. 11,34 Уч.-яэА. л. 11,17
Цена 1 руб. Тираж 1400 экз. Заказ 9968
Праиа»одственно-нэ.дателъский комбинат ВИНИТИ,
Люберцы, Октябрьский проспект, 403

Самойленко С. И. Субоптимальное программирование. — В кн.:
Семиотика и информатика. Восьмой выпуск. М., ВИНИТИ, 1976.
Рассматриваются методы поиска субоптимальных решений для
задач, не имеющих практически реализуемых способов нахождения
оптимальных решений. В числе возможных подходов рассматри-
рассматриваются диалоговые алгоритмы, использующие метод эвристического
ветвления, метод размытых эвристик, адаптивные процедуры i о
иска, а также субоптимальные алгоритмы, базирующиеся на идеях
динамического программирования. Излагаемые методы иллюстри-
иллюстрируются на примерах конкретных задач: распределения алгоритмов
на сети ЭВМ, задачи о коммивояжере, задачи о ранце и др.
Samoilenko, S. I. Suboptimal programming. — In: «Semiotics and
Informatics». The Eight volume. Moscow, VINITI, 1976.
Methods of solution of optimum problems using suboptimal algo-
algorithms are developed. Several approaches to construction of subopti-
suboptimal algorithms based on heuristic ideas are described: methods ba-
based on dialogue mode of solution searching, use of diffuse heuristics
construction, adaptive construction of effective composition of heu-
heuristics, and application of suboptimal procedures employing ideas of
dynamic programming. Algorithms implementing the methods are
given and exemplified by discrete problems; results of an experimen-
experimental study of programmes implementing some of the methods are
given.
Виленкин Н. Я., Шрейдер Ю. А. Мажоритарные пространства и
квантор «большинства». — В кн.: Семиотика и информатика. Вось-
Восьмой выпуск. М., ВИНИТИ, 1976.
Мажоритарное пространство определяется как множество с за-
заданной системой подмножеств («болыыинств»), удовлетворяющей
естественным аксиомам. Исследуются свойства мажоритарных про-
пространств, задаваемых весовой функцией (мерой) и таких, которые
не могут быть заданы весами. Вводятся понятия, позволяющие
изучить разные классы таких пространств. Описываются композиции
мажоритарных структур. С этими структурами связывается логиче-
логический квантор «большинства», позволяющий аксиоматически описать
«размытые» отношения эквивалентности. Рассматриваются примене-
применения к логике экспертных оценок.
Vilenkin, N. Ya.; Shreider, Yu. A. Majority spaces, and «majority»
quantifier. — In.: Semiotics and Informatics. The Eight volume. Moscow,
VINITI, 1976.
212

Majority space is defined as a set with a given specified system
of subsets («majorities») satisfying natural axioms. Properties of
majority spaces defined by weight function (measure) are investiga-
investigated as are the properties of those which cannot be defined by
weights. Concepts are introduced which enable various classes of
such spaces to be studied. Compositions of majority structures are
described. A logical «majority» quantifier is connected with such
structures, which enables an axiomatic description to be made of
«diffuse» equivalence relationships. Applications to expert assessment
logic are considered.
Виленкин Н. Я., Шрейдер Ю. А. Принятие экспертных решений на
основе мажоритарных структур. — В кн.: Семиотика и информатика.
Восьмой выпуск. М., ВИНИТИ, 1976.
Рассматривается содержательная мотивировка аксиом, лежащих
в основе понятия мажоритарной структуры, определяющей логику
принятия решений в группе экспертов.
Дается точная оценка числа коалиций, образующих максималь-
максимальную мажоритарную структуру, обеспечивающую принятие решения
при любом разделении мнений экспертов.
Vilenkin N. Ja., Shreider Yu. A. Making decision in experts'groops
on the basis of majority structures. — In.: Semiotics and Informatics.
The eight volume. Moscow, VINITI, 1976, 3 refs.
Non-formal background for axiomatization of notion of majority
structure is regarded. The notion of majority structure is relevant
for understanding the process of making decision in group of experts.
It. is given the exact evaluation of the number of such coalitions
in the maximum majority structure which provide reaching decision
even if experts'opinions are devided.
Падучева Е. В. Понятие презумпции в лингвистической семантике.—
В кн.: Семиотика и информатика. Выпуск восьмой. М., ВИНИТИ,
1976.
Рассматривается два основных определения презумпции: 1) пре-
презумпция—семантический компонент предложения, ложность кото-
которого влечет семантическую аномальность предложения (в частности,
отсутствие истинностного значения); 2) презумпция — семантический
компонент, не входящий в сферу действия отрицания. Устанавли-
Устанавливается, что при соответствующем уточнении понятия отрицания
второе определение дает, в тех случаях, когда оно применимо, тот
же результат, что и первое, т. е. что эти два определения эквива-
эквивалентны. Данному понятию презумпции, чисто семантическому, про-
противопоставляется понятие прагматической презумпции; прагматиче-
прагматическая презумпция — это такой компонент предложения, который го-
говорящий, при нормальном употреблении предложения, считает
известным слушателю. Семантические презумпции предложения мо-
могут не совпадать с его прагматическими презумпциями.
Плодотворность рассматриваемых понятий демонстрируется на
примерах их применения а) при анализе референтных свойств
именных групп; б) при описании семантики синтаксических конст-
конструкций с сослагательным и условным наклонением; в) при толко-
толковании слов — в особенности таких трудно толкуемых, как союзы
213

или частицы; г) при описании сочетаемостных ограничений; д) при
формулировке трансформации отрицания и правил прономинализа-
прономинализации^ е) при семантическом анализе актуального членения.
Рассматривается вопрос о включении понятия семантической
презумпции в контекст более широкого понятия семантического
компонента, не входящего в сферу действия тех или иных опера-
операторов в семантической структуре предложения.
Paducheva Е. V. The concept of presupposition in linguistic se-
semantics.— In.: Semiotics and Informatics. The eight volume. Moscow,
VINITI, 1976.
Two main definitions of the term «presupposition» are analysed:
1) presupposition as a semantic component of a sentence which
falsity implies semantic deviance of a sentence (in particular, a
truth-functional gap); 2) presupposition as a semantic component
which eludes negation. It is claimed that, assuming some special
definition of negation, the 2-d definition gives the same result as
the 1-st, so that two definitions are equivalent. This concept of
presupposition, purely semantic, must not be confounded with the
concept of pragmatic presupposition — a semantic component which,
in case of the normal use of a sentence, the speaker assumes to be
known to the listener. Semantic presuppositions of a sentence do
not necessary coincide with its pragmatic presuppositions.
The fertility of these notions is supported by examples of their
applications a) to the analysis of the referential properties of noun
phrases; b) to the semantic analysis of constructions with condi-
conditional and subjunctive mood; c) to the semantic decomposition of
certain words, especially such «difficult» words as conjunctions and
particles; d) to the analysis of selectional restrictions; e) to the
semantic interpretation of the topic — comment opposition.
The possibility is discussed of the inclusion of presuppositions
into a broader context of semantic components remaining outside
the scope of operators in the semantic structure of a sentence.
Погосян Э. М. К теории автоматического синтеза понятий. —
В кн.: Семиотика и информатика. Восьмой выпуск. М., 1976.
Предпринята попытка формального описания процесса «индук-
«индуктивного обобщения», под которым понимается построение описания
некоторого множества ситуаций на основе информации об отдель-
отдельных элементах этого множества. Вводится понятие алгоритма ин-
индуктивного обобщения и изучаются свойства двух важнейших
классов таких классифицирующих алгоритмов — «согласующих» и
«несогласующих». Доказан ряд теорем о функционировании алго-
алгоритмов в процессе индуктивного вывода некоторого конечного мно-
множества. Качество работы алгоритма оценивается при этом посредст-
посредством вычисления «объемной» и «временной» сложностей выводимого
множества.
Pogosyan E. M. Towards the theory of automatic notion synthe-
synthesis — In.: Semiotics and Informatics. The eight volume. Moscow,
VINITI, 1976, 21 refs.
An attempt to obtain formal description of «inductive generaliza-
generalization» process, i. e. the process of constructing a set of situation on
214

the basis of information about individual elements of the set. The
concept of an algorithm of inductive generalization is introduced
and properties of two classes of such classifying algorithms — «self-
agreeding» and «non-self-agreeding» — are studied. A number of
theorems concerning the algorithms implemention in process of in-
inductive deduction of some tinit set are prooved. For evaluation of
quality of algorithm doing the «time» and «volume» complevity of
the deductive set is calculated.
Левин Ю. М. Некоторые замечания о применении трансформаций
для описания синтаксиса русской разговорной речи. — В кн.: Се-
Семиотика и информатика. Восьмой выпуск. Москва, 1976.
Применяется трансформационный подход к описанию русской
разговорной речи как автономной системы.
Рассматриваются некоторые конкретные примеры трансформаций
кля->рр.
Levin Yu. M. Some notes about the application of transformation
for the desenption of the syntax of Russian colloquial speach — in.:
Semiotics and Informatics. The eight volume. Moscow, 1976.
A transformational description of russian colloquial speech con-
considered as an autonomous system is proposed.
Some concrete transformations CLL (codified literary language)-»-
-^CS (colloquial speech) are considered.
Шаров А. А. Понятие информации в теории категорий. — В кн.:
Семиотика и информатика. Восьмой выпуск. М., ВИНИТИ, 1976.
Сделана попытка обобщения теории информации с помощью ка-
тегорного подхода. Информация определяется как отображение,
сохраняющее разнообразие. Введено двойственное понятие — «коин-
формация», обозначающее отображение, при котором не прибав-
прибавляется ничего нового. Коинформацию можно интерпретировать, как
причинно-следственное, а информацию — как следственно-причинное
отношение.
Предложен метод вычисления сложности любых видов структур.
Сложность определяется как логарифм числа актуальных возмож-
возможностей системы. Информация повышает сложность, а коинформа-
ция — понижает. Описывается приложение конструкции к теории
классификации.
Sharov A. A. The notion of information in the theory of catego-
categories.— In: Semiotics and informatics. The eight volume. Moscow,
1976.
This work is an attempt to generalize the notion «the information
theory» by categorial approach. The information is defined as cor-
correspondence that preserves variety. A notion coinformation denotes
the correspondence that adds nothing new. Coinformation may be
interpreted as causal-consequential relation, and information is inter-
interpreted as consequential-causal relation.
The complexity of any types of structures is defined as logarithm
of number of actual possibilities that sistem posseses. The method
of culculation of this complexty is proposed. The information increa-
increases complexity, and cornformation diminishes. An application of the
construction to the theory of classifications is described.
215

Фреге Г. Смысл, и денотат. (Перевод с нем.). —В кн.: Семиоти-
Семиотика и информатика. Восьмой выпуск. М., ВИНИТИ, 1976.
Предлагается подробный анализ понятий «смысл» и «денотат»
применительно к собственным именам и целым предложениям.
Дается разбор сложноподчиненных предложений с точки зрения
соотношения их истинности и истинности составляющих их простых
предложений; обсуждается случай, когда денотатом придаточного
не является его истинное значение.
Frege G. Meaning and denotatum. — In.: Semiotics and informa-
informatics. The eight volume. Moscow, 1976. (Translated from German).
The notions of meaning and denotatum are analysed in detail
with regard to proper names and complete sentences. Compound
sentences are treated from the viewpoint of relations between their
trueness as a whole and the trueness of their component simple
sentences. A case is discussed where the true meaning of a depen-
dependent clause is not its denotatum.
Подписка на сборник СЕМИОТИКА И ИНФОРМАТИКА
осуществляется через «Союзпечать». Сборник имеет ин-
индекс 02546 в Каталоге изданий органов информации на
1977 год.
Сборник высылается также наложенным платежом.
Заказы следует направлять по адресу: 140010, Лю-
Люберцы, 10 Московской области, Октябрьский проспект,
403, Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ,
Отдел распространения. Ввиду ограниченности тиража
заказы следует делать заблаговременно.
В течение 1977 года планируется выход девятого и
десятого выпусков «Семиотики и информатики»

ОПЕЧАТКИ
к сборнику «Семиотика и информатика», 1977 г. Выпуск №
Стра-
Страница
5
5
8
34
68
102
114
114
128
Строка
19 сверху
24 сверху
25 сверху
29 сверху
1 сверху
2 сверху
7 снизу
9 снизу
13 снизу
5—4
снизу
11 снизу
13 сверху
Напечатано
решения
и
и
L
(Oi)
Gi
<2тах=СУд2*
эксплуатация
C0
за-
глаголом
временной
Следует читать
решения g (целев
функция)
«1
ао
а
(OS)
GS
<2тах^сУл2*
экспликация
B')
закрыть
предикатом
объемной