/
Author: Никифоровский В.А.
Tags: математика алгебра естественные науки история математики точные науки
Year: 1979
Text
В.А.НИНИФОРОВСНИЙ
ИЗ ИСТОРИИ
АЛГЕБРЫ
XVI-XVIIbb
ИЗДАТЕЛЬСТВО НАУКА-
Форма № 11
КОНТРОЛЬНЫЙ листок
СРОКОВ ВОЗВРАТА
Книга должна быть возвращена нс
позднее указанного здесь срока
Количество предыдущих выдач
1628—9000 000
АКАДЕМИЯ ПАУК СССР
Серия «История науки и техники»
в. А. НИКИФОРОВСКИЙ
ИЗ ИСТОРИИ
АЛГЕБРЫ
XVI—XVII ВВ.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
Москва 1979
XVII вв,— М.: Паука, 1979. 208 с., идл,
В развитии алгебры XVI и XVII столетия aru
ляются важным рубежом: был найден общий метод
литического решения уравнений третьей и четвертой
степеней и в основном завершена разработка сим-
волики, ставшей языком математики. Все это ус-
корило развитие математики, в частности стиму-
лировало создание дифференциального и интеграль-
ного исчислений. Основной вклад в алгебру этого
периода внесли такие математики, как Кардано,
Виет, Декарт, Ньютон. Анализу их творчества и
посвящена настоящая книга.
17,2.6.
Ответственный редактор
доктор физико-математических паук
Н. А. КРИНИЦКИЙ
© Издательство «Наука», 1979 г.
Н 054W=7T45-79 НП 1702060000
РАЗВИТИЕ АЛГЕБРЫ ДО XVI В-
1
В XVII столетии в постоянном многовековом развитии
математики произошел скачок, который привел к возник-
новению повой математики, ставшей рабочим инструмен-
том научного естествознания, основы которого в то время
закладывались.
Вновь созданная математика отличалась от предшест-
вующей прежде всего тем, что базировалась она на идее
переменной величины. Понятие функциональной зависи-
мости позволило разработать общие методы решения задач,
возникающих не только внутри математики, но и в других
пауках, изучающих природу. Эти методы можно приме-
нять к широкому классу задач, обладающих общими за-
кономерностями. До создания таких методов математики
древности и средневековья вынуждены были рассматри-
вать отдельно каждую частную задачу и разрабатывать
частные методы решения, не обладающие достаточной
общностью.
Развитие новых методов стало возможным благодаря
тому, что новая математика построена на базе алгебры и
пользуется ее единым символическим языком. Это создало
предпосылки для построения абстрактных понятий мате-
матики. Проникновение алгебры во все области матема-
тики и смежных наук позволило разработать алгоритмы,;
приложимые к определенным классам задач, системы
с характерными правилами преобразований и специфиче-
ской символикой.
Открытию алгоритма дифференциального и интеграль-
ного исчислений Ньютоном (1643—1727) и Лейбницем
(1646—1716) в конце XVII в. предшествовали значитель-
ные достижения в алгебре; решение уравнений третьей
и четвертой степеней,; введение в науку единой алгебраи-
ческой символики.
3
2
Считается, что эллины заимствовали первые сведения
по геометрии у египтян, по алгебре — у вавилонян. Так,
комментатор Евклида греческий философ-неоплатоник
Прокл Диадох (410—485) писал: «Согласно большинству'
мнений, геометрия была впервые открыта в Египте, имела
свое происхождение в измерении площадей». Воздействие
традиций вавилонской алгебры на математику Древней
Греции и алгебраическую школу стран ислама подчерки-
вается в «Истории математики» Ч
В древнейших египетских источниках — папирусе
Райнда и Московском папирусе 1 2 — находим задачи на
«аха»3, соответствующие современным линейным урав-
нениям,- а также квадратным вида ах2 = Ь. В вавилон-
ских клинописных текстах имеется большое число задач,
решаемых с помощью уравнений и систем первой и второй
степеней, которые записаны без символов, но в специфиче-
ской терминологии. В этих текстах решаются задачи, при-
водящие к трехчленным квадратным уравнениям вида
ах2 — Ъх = с или х2 — рх = q. В задачах па «аха» можно
обнаружить зачатки алгебры как пауки о решении урав-
нений.
Но если вавилоняне за два тысячелетия до нашей эры
умели числовым путем решать задачи, связанные с урав-
нениями первой и второй степеней, то развитие алгебры
в трудах Евклида (365 — ок. 300 гг. до н. э.), Архимеда
(287—212 гг. до н. э.) и Аполлония (ок. 260—170 гг'. до
п. э.) носило совершенно иной характер: греки опериро-
вали отрезками, площадями, объемами, а не числами.
Их алгебра, строилась на основе геометрии и выросла
1 См.: История математики. М.: Наука, 1970, т. 1, с. 57.
2 Папирус Райнда и Московский папирус относятся примерно к
одному времени — XIX в. до н. э. Первый назван по имени Райн-
да, приобретшего его в 1858 г. Он содержит 84 задачи, размер его
5,25 м X 33 см. Часть папируса Райнда хранится в Британском
музее, часть — в Нью-Йорке.
Московский папирус, приобретен в конце прошлого века рус-
ским востоковедом В. С. Голенищевым, содержит 25 задач; его
размер 5,44 м X 8 см. Хранится папирус в Музее изобразитель-
ных искусств им. Л. С. Пушкина.
Оба папируса переведены на современные языки и изучены.
3 Термин «аха» означает «куча», «груда». Имеется в виду некоторое
количество, неизвестная величина, подлежащая определению.
4
из проблем геометрии. В XIX в. совокупность приемов
древних получила название геометрической алгебры.
В качестве примера геометрической алгебры греков
рассмотрим решение уравнения 4
х2 + ах = Ъ2.
Античные математики решали эту задачу построением
и строили искомый отрезок так, как показано на рис. 1.
На заданном отрезке АВ (равном а) строили прямоуголь-
ник AM со сторонами (а + х) и х, равновеликий данному
квадрату (Ь2), таким образом, чтобы избыточная над пря-
моугольником AL (равная ах) площадь ВМ была квадра-
том, по площади равным х2. Сторона этого квадрата и да-
вала искомую величину х. Такое построение называли
гиперболическим приложением площади («гипербола» —
огсер^оЦ — по-гречески «избыток»).
Далее, полагая задачу решенной, делили АВ пополам
точкой С, па отрезке LM строили прямоугольник MG,
равный прямоугольнику ЕС. Тогда прямоугольник АМ
будет разностью квадратов DF и LF. Эта разность и квад-
рат LF известны, поэтому по теореме Пифагора можно
получить квадрат DF. После этого находили величину DC
(равную 1/2а + я) и DB (равную х).
Геометрическое построение в точности соответствует
преобразованию, с помощью которого в современных обо-
значениях решается уравнение указанного типа:
7 0 I О / (I , / (I \“
6-= ах + ^= ( — тЯ) — 1 — \
Аналогично решались древними и другие виды квад-
ратных уравнений; например, задача, которую мы сфор-
мулировали бы с помощью уравнения
ах — х2 — Ь2,
решалась ими построением, называемым эллиптическим
приложением площади («эллипс» — еХХефд — по-грече-
ски «недостаток»).
Пусть АВ = а (рис. 2). Разделим АВ точкой С попо-
лам и приложим прямоугольник СК к стороне DB. Полу-
чим прямоугольник DE, Тогда прямоугольник AM будет
4 См.: Цей men Г. Г. История математики в древности и в средние
века. М.; Л.: СИТИ, 1938, с. 45.
5
равен разности квадратов, построенных на ВС и СВ, т. е.
Зная Ъ и СВ = а/2, можно по теореме Пифагора найти
CD = а/2 — х, а затем и х.
Конечно же,: при таких построениях отыскивались
только положительные корни уравнений: отрицательные
числа появились в математике значительно позже,
G помощью геометрии древним удавалось также до-
казывать многие алгебраические тождества. Но каковы
эти доказательства! Они безупречны в отношении логики
Рис. 1 Рис. 2
и слишком громоздки. Вот как формулирует Евклид тео-
рему, выражающую тождество (а + b)2 = а2 + 2аЬ + Ъ2,
Если отрезок (ар) разделен в точке (у) на два отрезка, то
квадрат, построенный на (сф), равен двум квадратам на
отрезках (ау, уР) вместе с удвоенным прямоугольником
на (ау, ур).
А вот и доказательство этой теоремы. Построим на от-
резке а[5 квадрат сс6е(3 с диагональю [56 (рис. 3). Проведем
через точку у прямую у£0, параллельную аб или ре, и
через с, — прямую цт, параллельную сер или бе.
Так как у0 параллельна аб, то углы р£у и рба равны,;
потому что две параллельные прямые пересечены третьей
прямой, и указанные углы будут соответственными.
Но углы рбсс и абр равны, так как треугольник а6[5 рав-
нобедренный (аб равняется ар), а в равнобедренном
треугольнике углы при основании равны. Следовательно^
углы Р£у и а[5б равны, поэтому равны ру и у£. Далее,
Ру равна и у£ равна Рт, потому что во всяком парал-
лелограмме противоположные стороны равны. Отсюда £&
равна т[5 и фигура ут равносторонняя. Но эта фигура так-
6
же и прямоугольная, ибо у£ и [3т параллельны, поэтому
углы тЗу и составляют два прямых угла, так как
если две прямые параллельны, то пересекающая их пря-
мая образует два внутренних односторонних угла, со-
ставляющих два прямых. Значит, углы т[3у, typ, у£г и
— прямые. Следовательно, фигура ут — квадрат со
стороной (Зу. По тем же причинам фигура г)0 — квадрат со
стороной т]£, равной ау.
Затем, а£ равняется £s, потому что во всяком парал-
лелограмме дополнения лежащих
лограммов равны между собой
(равновелики, сказали бы мы), и
прямоугольник а£ равен прямо-
угольнику, построенному па ау
и уР, так как у£ равна ур, а также
равен прямоугольнику, постро-
енному на ау и ур. Но т)0 вместе
с ут, а£ и составляют квадрат,
построенный па ар, а по доказан-
ному т]6 равен квадрату, построен-
ному на ау, ут — квадрату на ур,
а £ вместе с — удвоенному пря-
моугольнику на ау и ур. Следо-
по диагонали паралле-
Рис. 3
вателыю, квадрат ар равен квадрату на ау, сложенному
с квадратом па ур и удвоенным прямоугольником па ау
и ур, что и требовалось доказать.
Рассмотренных примеров достаточно, чтобы понять
сущность геометрической алгебры. Естественно, связывая
число с геометрическим образом (линией, поверхностью,;
телом), древние оперировали только однородными вели-
чинами; так,: равенство было возможно для величии оди-
накового измерения.
Такое построение математики позволило античным уче-
ным достигнуть существенных результатов в обоснова-
нии теорем и правил алгебры, ио в дальнейшем оно стало
сковывать развитие пауки.
Приведенные примеры могут создать ощущение, что
математика древних греков примитивпа. Но это не так:
созданная ими математика по своему идейному содержа-
нию глубока и питала идеями и методами математику
вплоть до XVII в.-— века научной революции; многие идеи
древних получили дальнейшее развитие в повой матема-
тике, созданной усилиями выдающихся умов XVI —XVII вв.
7
3
Накопленные в странах Древнего Востока знания со-
стояли из набора разрозненных математических фактов,
рецептур для решения некоторых конкретных задач и не
могли обладать достаточной строгостью и достоверностью.
Создание основ математики в том виде, к которому мы при-
выкли при изучении этой науки в школе, выпало па долю
греков и относится к VI—V вв. до н. э. С этого времени
начала развиваться дедуктивная математика, построенная
на строгих логических доказательствах.
Важную роль в математике древних играла созданная
Евдоксом (ок. 406 — ок. 355 гг. до н. э.) теория отноше-
ний, в которой действительным положительным числом
было отношение однородных величии, а также выдвину-
тый им «метод исчерпывания», примененный впоследствии
при доказательстве многих теорем. Он базировался на
лемме, позволяющей находить пределы различных после-
довательностей.
Лемма Евдокса состоит в следующем: пусть даны две
величины а и Ъ (а Ъ); будем из величины а вычитать
больше ее половины, из полученного остатка — больше
его половины, и т. д.; через конечное число шагов получим
остаток ап < Ъ. Этой леммой пользовались при вычис-
лении площадей, объемов, длин дуг. Например, для вы-
числения площади круга в него вписывали многоугольник,
площадь которого можно было вычислить, затем вписы-
вали новый многоугольник, включающий в себя преды-
дущий и дающий лучшее приближение к площади круга.
Если процесс продолжать, то вся область будет «исчер-
пана», и площадь круга получится как предел подобран-
ной последовательности площадей вписанных многоуголь-
ников с увеличивающимся числом сторон.
Методом исчерпывания Евдокс доказал, что: 1) пло-
щади кругов относятся, как квадраты их диаметров;
2) объем пирамиды равен 3/;5 объема призмы с тем же осно-
ванием и той же высотой; 3) объем конуса равен V3 объема
цилиндра, имеющего те же основание и высоту.
Архимед впоследствии значительно усовершенствовал
метод исчерпывания и получил с его помощью порази-
тельные результаты. Рассмотрим, например, выполненное
Архимедом вычисление площади сегмента параболы 5.
6 См.: История математики, т. 1, с. 102—103.
8
Пусть это сегмент ADBEC (рис. 4). Проведем через точ-
ку В касательную к кривой, параллельную хорде АС.
Архимед строит последовательность так. Первым членом
он берет площадь вписанного треугольника АВС:
= $лвс-
Затем он вписывает пятиугольник ADBEC, состоящий из
треугольников АВС, ADB и ВЕС, причем точки D и Е вы-
бираются так, чтобы касатель-
ные в этих точках были парал-
лельны хордам АВ и ВС. Тогда
второй член последовательности
будет
а2 = ВЛвс + SaDb + Sbec-
Архимед устанавливает, что А
Sadb+ Sbec = -^-$авс>
поэтому
, 1
а2 = «1 + — аг.
Поступая точно так же и далее, он получает
। 1 । 1
а3~~ а1~Г—
dn — di +— dj + . . . + ^n-x d19
т. e. последовательность, члены которой являются сум-
мами геометрической прогрессии со знаменателем %.
Обозначим искомую площадь сегмента через d. Следую-
щий шаг, выполненный Архимедом, состоит в доказатель-
стве того, что разность а — dn может быть меньше любой
заранее выбранной величины. Это видно из того, что пло-
щадь треугольника АВС равна половине площади парал-
лелограмма AMNC, т. е. больше половины а, и это же
наблюдается при дальнейшем построении последователь-
ности, что обеспечивает выполнение условий леммы Ев-
докса.
Затем Архимед с помощью известного тогда способа
вычисления суммы членов геометрической прогрессии
9
получает
1 „ 4 л 1 ai
4 4“i • • • i ^n-i^'i 3 3 4n-1 ’
Значит, при достаточно большом п величина ап как
угодно мало отличается от 4/3 аг = Ь.
Последний шаг состоит в доказательстве того, что
а = Ъ. Это было выполнено методом от противного.
Метод исчерпывания применялся не только при дока-
зательстве теорем, связанных с вычислением площадей,
объемов, длин дуг. Были, по существу, доказаны неко-
торые теоремы о пределах, хотя, конечно, пи о каком
понятии предела речи быть не могло.
Геометрическая алгебра, теория отношений и метод
исчерпывания послужили основой работ Евклида, Архи-
меда, Аполлония. В творчестве этих великих математиков
античная паука достигла вершины.
Евклид в сочинении «Начала» подвел итог деятельно-
сти математиков трех предшествующих столетий и завер-
шил построение дедуктивной науки. Эйнштейн говорил,
что в Древней Греции «впервые создана геометрия Евкли-
да — это чудо мысли, логическая система, выводы которой
с такой точностью вытекают один из другого, что ни один
из них не был подвергнут какому-либо сомнению. Это
удивительнейшее произведение мысли дало человеческому
разуму ту уверенность в себе, которая была необходима
для его последующей деятельности» 6.
«Начала» Евклида стали базой всей античной матема-
тики. По ним человечество изучало математику более двух
тысяч лет. Достаточно сказать, что к 1936 г. «Начала»
издавались более 460 раз на многих языках.
В «Началах» изложены планиметрия, стереометрия,
учение об отношениях, геометрическая алгебра и решение
квадратных уравнений, метод исчерпывания, дана клас-
сификация квадратичных иррациональностей. В «Начала»
но вошли приближенные вычисления, учение о кониче-
ских сечениях, результаты исследований в связи со зна-
менитыми задачами древности (например, с задачами
о квадратуре круга, трисекции угла, удвоении куба).
Архимед исследовал вопросы, связанные с определе-
нием площадей, объемов, поверхностей, экстремумов,
центров тяжести, проведением касательных. Эти про-
G Эйнштейн Л. Физика и реальность, М,: Наука, 1965, с. 62,
10
блемы интересовали математиков и во все последующие
времена, они получили полное разрешение только после
создания анализа бесконечно малых.
Архимед определил площадь круга, площади поверх-
ностей шара и сферического сегмента, вычислил объемы
шара и эллипсоида, сегментов шара, эллипсоида, парабо-
лоида и двуполостного гиперболоида вращения, нашел
площади витка спирали р = («спирали Архимеда»),
параболического сегмента.
Эти задачи предшествовали интегральному исчисле-
нию, которое усилиями многих мыслителей было разрабо-
тано в конце XVII в., т. е, через два тысячелетия после
Архимеда.
Архимед открыл методы проведения касательных
к кривым и применил их при проведении касательной
к спирали р = лО. Методы проведения касательных и оты-
скания экстремумов получили развитие в дифференциаль-
ном исчислении, возникшем в XVII в.
С задачами па экстремум древние греки встретились
в связи с вопросом разрешимости уравнений. Еще Евклид
рассматривал квадратное уравнение вида
х (а — х) = М
и установил, что оно имеет положительные решения при
условии
М < (d/2)2.
Это, очевидно, связано с тем, что
max х (а — х) = а2/4, 0 х а«
Более сложное исследование выполнил Архимед.
Во второй книге сочинения «О шаре и цилиндре» оп рас-
смотрел задачу о рассечении шара плоскостью так, чтобы
объемы полученных частей имели заданное отношение
т : п (т > п).
Задача сводится к уравнению третьей степени. Вос-
пользуемся формулой для вычисления объема шарового
сегмента
v = nh2 (г — Л/3),
где г — радиус шара, h — высота сегмента.
11
Если обозначить высоту большего сегмента через х,
то получим
/ X \
ля2 I г — -Q-
\ О / W
/ 2г — х\ п ,
Я (2г — х) ( г — —£— ]
Зх2г — х3 ____ тп
з -Ц^-(2г-ж)2 п ’
Зя2г — х3 = (4г3 — Згх2 + х3),
х3 + х3 — Зг х2 — Зх2г + 4 г3 = О,
п 1 п 1 п
(2L- + 1V- Зг (—+ 1V+ 4 — г3 = О-
Архимед также свел задачу к кубическому уравнению,
сформулировав ее так: отрезок DZ (рис. 5) с точками па
нем В и Т разделить точкой X так, чтобы выполнялась
пропорция
DB2 : DX2 = XZ : TZ.
В этой пропорции DB = 2г — диаметр шара, BZ = г
откладывается на продолжении диаметра, DX = х — вы-
сота большего сегмента. Если отношение объемов сегмен-
тов равно m : az, то величина TZ задается равенством
Для удобства анализа переформулируем задачу: не-
обходимо разделить заданный отрезок а на части х и а — х
так, чтобы выполнялась пропорция
(а — х) : с = S : х\
где с и S — известные отрезок и площадь.
Архимед заметил, что в такой постановке задачи поло-
жительные решения будут не при любых значениях с и S,
и указал, что изложит полное исследование «в конце»,
по это место впоследствии было утрачено. Комментаторы
Архимеда Диокл (II в. дон. э.) и Дионисодор (III—II в.
до н. э.) через сто лет после Архимеда, не зная его реше-
ния, изложили свои результаты более громоздко, без
анализа общего случая.
12
Лишь в VI в. комментатор Евтокий обнаружил утра-
ченное место сочинения. Оказалось, что Архимед решает
задачу с помощью двух конических сечений, получаемых
из основной пропорции: параболы (яарофоЦ) у = — и ги-
перболы у = —-— (здесь 5 = pb).
Для отыскания условия существования положитель-
ных решений он рассматривает кубическое уравнение,
х2 (а — х) = 5 с,
которое появляется в словесной формулировке как соот-
ношение между объемами. Положительные корни у этого
уравнения будут, когда
Sc шах х2 (а — х), 0 х а.
Решения уравнения отыскиваются как абсциссы точек
пересечения указанных выше параболы и гиперболы.
Возможны три случая: 1) кривые не имеют общих точек,
2) имеют две точки пересечения (рис. 6), 3) имеют одну
общую точку (рис. 7). В последнем случае они будут со-
прикасаться в этой точке.
На рисунках парабола проходит через начало коорди-
нат, гипербола — рядом с ней. Вертикальная прямая
х = а —• асимптота гиперболы.
Архимед доказал, что если при х = хх (или х = х2)
кривые пересекаются, то экстремума в этой точке не
будет; экстремум достигается в том случае, когда кривые
соприкасаются и имеют общую касательную. Тогда из
свойства касательной к гиперболе следует, что MN — NL,
а из свойства касательной к параболе: МК = OD,
13
Эти свойства греческим математикам были известим.
Современными средствами анализа они доказываются
элементарно. Найдем кривые, отрезки касательных к ко-
торым, заключенные между осями координат, в точках
касания делятся пополам. Для решения задачи составим
дифференциальное уравнение и проинтегрируем ого. Вы-
берем .на искомой кривой произвольную точку М (х; у),
проведем через нее касательную к кривой и составим урав-
нение, связывающее координаты точки М (,г; у) с углом ср,
образованным касательной с осью Ох (рис. 8).
Известно, что угловой коэффициент касательной к кри-
вой в данной точке равен значению производной функции
в этой точке, поэтому
dy _ у
dv х
Здесь знак минус взят из-за того, что отношение yfx
равно тангенсу угла л — ср, а нс угла ср.
Проинтегрируем полученное уравнение:
dy __ dx С dy __ С dx , ]д q
~J x~ ’ J у ~ J X ’
c c
In у = In C — In x, In у = hi — , у — — .
X X
Итак, указанным свойством обладают гиперболы се-
мейства
С
где С — произвольная постоянная.
14
Докажем теперь, что касательная к параболе у — ах2
отсекает па оси Оу отрезок, длина которого равна орди-
нате точки касания. Проведем касательную через точку
с координатами х0, у0 = ах}. Уравнение касательной
к кривой имеет вид
У — У о = /' (^о) (я ~ *о)-
В нашем случае
f (х) = 2ах, f (х0) = 2ах^
у — ах} — 2ахц (х — xQ).
Положим в этом уравнении
х = 0 и найдем отрезок, отсе-
каемый касательной на оси Оу\
у — ах} = — 2ая‘о, у =—ах}.
Итак, па рис. 7 MN =NL,
МК = OD. При этом LK = КА
и OL = LK. Значит,
Рис, 9
ок = 4- О А = А
О о
о z ч 4а3
шах#2 (а — х) = —т^г-.
Условия существования положительных корней рас-
сматриваемого уравнения состоят в следующем:
1) если Sc < 4а3/27, то существуют два корня;
2) если Sc = ia?l21, то имеется один корень (двукрат-
ный, по современной терминологии);
3) если Sc >> 4а3/27, то корней пет.
Таким образом, хАрхимед нашел метод сведения задачи
отыскания экстремумов функции к задаче проведения
касательной к кривой.
Все это, вместе взятое, и составило предмет анализа
бесконечно малых па заре его развития. Поэтому попятно
высказывание Лейбница: «Внимательно читая сочинения
Архимеда, перестаешь удивляться всем новейшим откры-
тиям геометров».
Легко составить числовой пример приложения метода
Архимеда. Дана сфера радиуса г = 3 с центром в точке К
и горизонтальным диаметром DB (см. рис. 5). Отложим
15
на продолжении диаметра отрезок BZ, равный радиусу,
так что DZ = Зг. Проведем через точку X вертикальную
плоскость А С так, чтобы объем сектора ADC относился
к объему сектора АВС, как т : п. Допустим, что т : гъ = 2.
Основная пропорция Архимеда при этом записывается
в виде
DB2 : DX2 = XZ : TZ,
где
гр г/
1 Z = --:- Г.
Но ~, поэтому TZ — -3 = 2.
Введем обозначения
Ъ = DB = 6, а - DZ = 9, TZ = с.
Тогда получим
Ь2 : х2 = (а — х) : с,
где х — высота большего сегмента ADC.
Подставим в уравнение числовые значения а, Ъ и с:
36 : х2 Ш (9 - х) : 2.
Приравняем теперь полученные отношения некоторой
величине, содержащей у, например е/i/, где е — произволь-
ная константа. Выберем е = 12. Получим два уравнения:
36 : х2 = 12 : г/,
т. е. Зу = х2 уравнение параболы;
(9 - х) : 2 = 12 : у,
т. е. (9 — х) у = 24 — уравнение гиперболы.
В данном примере Sc = 72, а = 9, = ---^33 = 108,
Sc < 4а3/27, поэтому уравнение имеет два положитель-
ных корня.
Получившиеся парабола и гипербола изображены на
рис. 9; один из корней уравнения примерно равен 3,68.
Архимед решал и другие задачи, приводящие к куби-
ческим уравнениям. В книге «О коноидах и сфероидах» 7
7 Сфероидами древние называли эллипсоиды вращения, прямо-
16
он доказал теоремы, с помощью которых можно решать,
например, такие задачи: от данного коноида или сфероида
отсечь плоскостью, параллельной данной, сегмент, рав-
новеликий данному конусу, цилиндру или шару. В слу-
чае тупоугольного коноида получается уравнение
х2 (а + х) = Sc.
Архимед проанализировал и решил его.
Если объединить рассмотренное выше уравнение с пос-
ледним, то можно утверждать, что Архимед владел методом
исследования и решения с помощью конических сечений
кубического уравнения вида х3 + ах2 + 6=0 при различ-
ных значениях параметров а и Ъ. Дальнейшая разработка
этого метода сделана математиками стран ислама.
4
Некоторые задачи приводили древних греков к поня-
тию геометрических мест. Пусть требуется построить пря-
моугольный треугольник по данной гипотенузе. Ясно,
что такая задача возможна, ио не определена. Если раз-
делить отрезок пополам и радиусом, равным половине
отрезка, из его середины описать окружность, то вершины
прямых углов искомых треугольников будут лежать па
полученной окружности. Так можно прийти к понятию
геометрического места.
С конца V в. до н. э. математиков интересовали задачи
о геометрических местах. Известны были окружность как
геометрическое место точек, равноудаленных от данной
точки, и перпендикуляр к отрезку, проведенный че-
рез его середину, как геометрическое место точек, рав-
ноудаленных от его концов. Два этих геометрических ме-
рта служили основой построений с помощью циркуля и
Линейки.
Но внутри самой геометрии возникали задачи, решение
которых невозможно с помощью циркуля и линейки, т. е.
с помощью только двух указанных геометрических мест.
Одной из таких задач была «делосская задача», или задача
об удвоении куба. Легенда такова. На острове Делосе
угольными коноидами — параболоиды вращения, а тупоуголь-
ными — двуполостные гшщр^лоиды вращения.
17
свирепствовала чума. Жители острова обратились к ора-
кулу Аполлона с вопросом, чем можно отвратить бедствие.
Оракул потребовал удвоить кубический жертвенник
в храме. Жители поставили на куб новый куб, но чума
не прекращалась: нужно было увеличить объем жерт-
венника, не меняя его формы (в легендах эллинов даже
боги — изощренные геометры!). Так возникла задача
об удвоении куба. В современных обозначениях она ре-
шается просто: составим уравнение г5 = 2а3, откуда
3 —
х = ау 2. Но этим решением не могли довольствоваться
древние геометры: необходимо было выполнить построе-
ние, найти по значению а точное значение х.
Первая дошедшая до нас попытка решения делосской
задачи принадлежит Гиппократу Хиосскому (V в. до
и. э.). Еще рапсе решалась задача построения квадрата,
равновеликого прямоугольнику, па основании построения
средней пропорциональной двум данным: а : х = х : Ъ,
откуда х2 = аЬ. Подобно этому Гиппократ задачу удвоения
куба сводит к построению двух средних пропорциональ-
ных
а : х = х : у = у-: Ъ.
Если Ъ = 2а, то х2 = 2а3 и х = ар7 2.
Вскоре последователь Пифагора Архит Тарептский
(428—365 гг. до н. э.) показал, что значением для за-
дачи удвоения куба можно найти в результате пересече-
ния цилиндра, конуса и поверхности, полученной при
вращении окружности вокруг касательной. Но указанный
способ был для практики неудобен, поэтому математики
обратились к кривым, уравнения которых следуют из
пропорции Гиппократа:
ау = х2, ху = Ь, у2 = Ъх.
Пересечение любых двух из таких геометрических
мест давало искомое.
Решение делосской задачи привело к открытию новых
геометрических мест — конических сечепий. Это открытие
приписывается ученику «богоравного» Евдокса Менехму
(IV в. до н. э.). Конус можно получить в результате вра-
щения прямоугольного треугольника вокруг катета.
Острый угол, прилежащий к неподвижному катету, мо-
жет быть равен половине прямого, меньше половины и
18
больше половины его. В первом случае получается пря-
моугольный конус, во втором — остроугольный, а треть-
ем — тупоугольный. Пересечем каждый конус плоско-
стью, перпендикулярной образующей. Получаются со-
ответственно парабола, эллипс и гипербола.
Три этих сечения первоначально называли триадами
Меяехма. Названия коническим сечениям дал впослед-
ствии Аполлоний. Менехм решил делосскую задачу, по-
казав, что решение ее — абсцисса точки пересечения
любых двух из трех конических сечений: х2 = ау;
у2 = 2ах; ху = 2d2 (конечно, исключается начало коорди-
нат).
В дальнейшем конические сечения были тщательно
изучены. Как упоминалось, Архимед определял объемы
тел, полученных при вращении конических сечений,
а также пользовался сечениями для решения некоторых
задач.
Свое завершение теория получила в сочинении Апол-
лония «Конические сечения» в восьми книгах, из которых
первые четыре сохранились на греческом языке, последую-
щие три — в арабском переводе, а самая последняя до нас
не дошла. Аполлоний обобщил исследования предшест-
венников, а также изложил свои открытия. Он рассма-
тривал конус как результат перемещения прямой (обра-
зующей) по окружности (направляющей); при этом прямая
постоянно проходит через неподвижную точку, не ле-
жащую в плоскости окружности. Он установил, что все
три конических сечения можно получить в сечениях плос-
костями одного и того же конуса. А именно: эллипс полу-
чается, когда секущая плоскость составляет с образую-
щей угол, больший угла при вершине; гипербола — когда
этот угол меньше угла при вершине осевого сечения; пара-
бола — когда эти углы равны (рис. 10).
Аполлоний записал в словесно-геометрической форме
то, что мы теперь назвали бы уравнениями параболы, эл-
липса и гиперболы и записали бы в виде
У2 = 2рх, у2 = 2рх-~~?- х2, у2 = 2рх +-х1.
По аналогии с решавшимися ранее задачами о при-
ложении площадей Аполлоний дал коническим сечениям
наименования (парабола, эллипс, гипербола), показал, что
рассмотренные им кривые тождественны триадам Меиех-
19
ма, доказал инвариантность (независимость) полученных
уравнений относительно преобразований систем коорди-
нат. Далее он рассмотрел свойства касательных и норма-
лей к коническим сечениям, асимптот и сопряженных
диаметров, фокусов гиперболы и эллипса и многие другие
вопросы.
Теория конических сечений позволила древним решать
построением уравнения порядка выше второго. Об одной
из таких задач — делосской —
уже сказано выше.
Аполлоний рассматривал
также так называемые геомет-
рические места к трем и четы-
рем прямым. Это были аналоги
кривых, которые в настоящее
время относятся к классу кри-
вых второго порядка. Задача
формулировалась так: найти
геометрическое место точек, об-
ладающих тем свойством, что
произведение длин отрезков,
проведенных из этих точек под
данными углами к п данным
прямым, находится в определен-
ном отношении к произведени-
ям длин-отрезков, проведенных к п или к п — 1 другим
прямым. .
Пусть в произвольной системе координат даются урав-
нения прямых в виде
алх + Ъгу + = 0.
Из аналитической геометрии известно, что расстояние
от точки до прямой равно взятому по абсолютной величи-
не выражению, полученному после подстановки в левую
часть общего уравнения прямой координат точки. Значит,
длины проведенпых к ним отрезков dt пропорциональны
левым частям уравнений и уравнения геометрических
мест можно записать в виде
djd.} . . dn = kdn^xdn^2 ♦ • • *^2n
в случае 2п прямых и
с?1<72 • • • dn = kdn^dn+2 • • » ^2n-i
в случае 2п — 1 прямых.
20
В частности, если х, у, z, и — длины упомянутых
в определении отрезков, то уравнение геометрического
места к трем прямым будет
xz — ку2,
а к четырем
xz = куи.
Аполлоний упомянул, что задачу о геометрических
местах к трем и четырем прямым решал еще Евклид, но
решение было неполным, так как невозможно ее довести
до конца без его открытий. Он показал, что такими гео-
метрическими местами служат конические сечения.
Впоследствии комментатор Папп (III в. н. э.), получив-
ший некоторые новые результаты, поставил задачу о гео-
метрическом месте более чем к четырем прямым. Он, меж-
ду про там, высказался по поводу решения задачи Аполло-
нием примерно так же, как Аполлоний сказал об Евклиде.
Полное решение задачи выполнено Декартом (1596—
1650) в его знаменитой «Геометрии» (1637 г.). На задаче
о геометрических местах к трем или четырем прямым
Декарт продемонстрировал силу открытого им метода
координат. Он установил, что уравнениями таких геоме-
трических мест будут уравнепия второго порядка относи-
тельно переменных х и у.
Декарт изучил также случай задачи Паппа о геометри-
ческом месте к пяти прямым, когда четыре прямые парал-
лельны и находятся па одинаковом расстоянии друг от
друга, а пятая перпендикулярна им. Уравнением геоме-
трического места стало уравнение третьего порядка,
соответствующая кривая получила название трезубца.
Декарт, не отличавшийся сдержанпостыо в отношениях
к предшественникам и современникам, счел необходимым
в «Геометрии» пренебрежительно отозваться о достиже-
ниях Паппа, чем и замкнул начатую Аполлонием цепочку
высказываний.
Завершенная Аполлонием теория конических сечений
долгое время не находила конкретных приложений
в естествознании. Древние греки, а позднее и арабы при-
меняли ее для решения кубических уравнений. Открытия
Кеплером (1571—1630) движения небесных тел по эллип-
тическим орбитам и Галилеем (1564—1642) движения
брошенного камня (или снаряда) по параболической
21
орбите показали, что в механике неоесных и земных тел
теория конических сечений находит непосредственное
применение. Аналитическая геометрия, созданная
в XVII в. Ферма (1601 — 1665) и Декартом, возродила
идеи Аполлония. Ньютон применил методы Аполлония
для исследования кривых третьего порядка и при созда-
нии «Математических начал натуральной философии»
опирался на труды Аполлония.
Творчество Евклида,; Архимеда и Аполлония было
кульминацией греческой математики. Приложение старых
методов к более сложным задачам не могло дать положи-
тельных результатов. Требовалась новая методология,
нашедшая воплощение через 18 веков в аналитической
геометрии и обеспечившая дальнейшее поступательное
движение математики.
5
Изучение греческих классиков было делом непростым.
Этим объясняется обилие комментариев, компиляций,,
дополнений древних. У Прокла упоминается, что царь
Птолемей I спросил однажды Евклида, нельзя ли дойти
до познания геометрии более коротким путем, чем его
«Начала». Евклид ответил, что в геометрии особых путей
для царей нет. Трудности геометрии сделали ее изучение
как бы особой наукой. В связи с этим Никомах (I—II вв.
и. э.) во «Введении в арифметику» говорит: «Учение
о пропорциях необходимо для естествознания, теории му-
зыки, сферической тригонометрии и планиметрии, но
всего более для изучения древних» 8.
Наиболее известным комментатором греческих клас-
сиков был Пани. Папп изложил все найденное рапсе яс-
нее, короче, а также построил единую систему лучшех
чем это было сделано до него. Но, кроме того, Папп до-
полнил древних. Так, он рассматривал конические сече-
ния как геометрические места па плоскости, не прибегая
к стереометрическим сечениям конуса. В основе опреде-
лений Паппа лежит понятие эксцентриситета.
Новый подъем античной математики относится к III в.
я. э., он связан с творчеством великого математика Дио-
8 Щереметевский В. П. Исторический очерк развития анализа
и его приложений к геометрии. — В кн.: Лоренц Г. Элементы
высшей математики, СПб., 1903, с. 160,
22
фанта. Его основной труд — «Арифметика», из тринад-
цати книг которой до пас дошло только шесть,— занимает
особое место в развитии математики. Особенность эта сос-
тоит прежде всего в том, что «Арифметика» появилась в
период упадка греческой математики. Диофант возродил
и развил числовую алгебру вавилонян, освободив ее от
геометрических построений, которыми пользовались греки.
У Диофанта впервые появляется буквенная символи-
ка; он ввел обозначения: неизвестной с,- квадрата 8й
(8ova?x^), куба хб (хГ)ро$), четвертой Зоб (8оуа[ло8оуарл<; —
квадратоквадрат), пятой Зхб (ббуа^хэЗо; — квадратокуб)
п шестой степеней ее, а также первых шести отрица-
тельных степеней, т. е. рассматривал величины, записы-
ваемые нами в виде я6, ж5, я4, х\ х\ х, х"1, я“2, х~3; х~\
х~\ х~6. Диофант применял знак равенства (символ t)
и знак ф для обозначения вычитания.
В «Истории математики» сказано: «Книга Диофанта
свидетельствует о наличии у него буквенной символики.
Значенпе этого шага огромно. Только па такой основе
могло быть создано буквенное исчисление, развит формуль-
ный аппарат, позволяющий часть наших мыслительных
операций заменить механическими преобразованиями.
Однако Диофант, видимо, не нашел в этом деле последо-
вателей пи в его эпоху, ни много позднее. Лишь с кон-
ца XV в. в Европе началась интенсивная разработка ал-
гебраической символики, а завершение создания буквен-
ного исчисления произошло только в конце XVI — на-
чало XVII в. в трудах Виета и Декарта» °.
Диофант сформулировал правила алгебраических опе-
раций со степенями неизвестной, соответствующие нашим
умножению и делению степеней с натуральными показа-
телями (для ?г<^6), и правила знаков приумножении.
Это дало возможность компактно записывать много-
члены, производить умножение их, оперировать с урав-
нениями. Он указал также правила переноса отрицатель-
ных членов уравнения в другую часть его с обратными
знаками,взаимного уничтожения одинаковых членов в
обеих частях уравнения.
«Арифметика» посвящена проблеме решения неопреде-
ленных уравнений. И хотя Диофант считает число собра-
0 История математики с древнейших времен до начала нового вре-
мени, т. 1, с. 145.
23
ние-м единиц (а это означает, что рассматриваются только
натуральные числа), при решении неопределенных урав-
нений он не ограничивается натуральными числами, а
отыскивает и положительные рациональные решения.
Неопределенными уравнениями до Диофанта занима-
лись математики школы Пифагора в связи с пифагоровой
теоремой. Они искали тройки целых положительных чи-
сел, удовлетворяющих уравнению
+ у2 = z2.
Диофант поставил задачу установить разрешимость (в
рациональных числах) и в случае разрешимости пайти
рациональные решения уравнения
F (х, у) = О,
где левая часть — многочлен с целыми или рациональ-
ными коэффициентами. Он исследовал неопределенные
уравнения второй, третьей и четвертой степеней и системы
неопределенных уравнений.
Во второй книге «Арифметики» он так исследует, на-
пример, уравнение второго порядка F (х, у) = 0.
Это уравнение задает коническое сечение. Всякому
рациональному решению уравнения соответствует точка
кривой с рациональными координатами. Пусть а, Ъ —
такие координаты, т. е.
F (а, Ь) = 0.
Диофант делает подстановку
у = b + к (х — а),
или
у = Ь + kt, х = а + t*
Тогда
F (а + t, Ъ + kt} — F (a, b) + tA (а, Ь) +
+ ktB (a, b) + t2C (а, &, к) = 0.
По F (а, Ь) = 0, поэтому
А (б, Ъ) + кВ (а, Ь)
1 “ С (а, Ь, к)
Это означает, что каждому рациональному значению
параметра к соответствует рациональное же значение t,
24
а значит, рациональная точка кривой. Очевиден геомет-
рический смысл решения: через рациональную точку
кривой (а, Ъ) проводится прямая
у — Ъ = к (х — а)
и находится вторая точка ее пересечения с кривой.
Всему миру известна задача: представить данный квад-
рат в виде суммы двух квадратов^ т. е. решить неопреде-
ленное уравнение вида
а2 = х2 + у2.
Очевидное решение
= 0, у0 = —а.
Диофант выполняет подстановку
х = t, у = kt — а.
Он берет конкретные значения к = 2, а = 4 и находит
X = у = %.
В общем виде задача решается так:
а2 = t2 + (kt — а)2, а2 = t2 k2l2 — 2kta + а2,
t2 + кЧ2 — 2kta = О, t (1 + Л2) — 2ka,
_ 2ka _ 2ka
f ~ r+T2 ’ x ~ 1 ’
Д-2_ {
у = kt —a = -^qrr «•
Французский математик Ваше до Мезириак (1587—
1638) издал в 1621 г. греческий текст «Арифметики» Дио-
фанта с латинским переводом и комментариями. Один эк-
земпляр книги оказался у Ферма, который читал ее и
помещал па полях замечания к тексту и мысли, возникав-
шие у него по мере изучения задач. Против задачи о пред-
ставлении данного квадрата в виде суммы двух квадратов
он записал знаменитое утверждение, названное впослед-
ствии великой теоремой Ферма: «Куб, однако, на два ку-
ба или квадратоквадрат на два квадратоквадрата и вообще
никакую до бесконечности сверх квадрата степень в две
того же названия невозможно разделить». И добавил:
«Я открыл поистине чудесное доказательство этого пред-
25
ложениял но недостаточная ширина этих полей не позво-
ляет его изложить» 10.
Методы Диофанта впоследствии применяли и развива-
ли арабские ученые, Виет (1540—1603), Ферма, Эйлер
(1707—1783), Якоби (1804—1851),- Пуанкаре (1854—1912).
Оценивая творчество Диофанта, Цейтен отмечает су-
щественную деталь: «Наконец, мы желаем здесь вкратце
указать на важную роль, сыгранную впоследствии сочи-
нениями Диофанта. Благодаря тому, что определенные
уравнения первой и второй степени были облечены у него
в численную оболочку,; они оказались гораздо более
доступными для людей, не посвященных еще в культуру
греческой математики; более доступными, чем те абст-
рактные геометрические формы, которые принимают у
Евклида уравнения второй степени и которые мы встре-
чаем в сохранившихся до нас трудах других геометров
для выражения уравнений первых двух степеней. Поэтому
Диофант п явился главным посредником в процессе ус-
воения греческой алгебры арабами, благодаря которым,
в свою очередь, она проникла в Европу в эпоху возрож-
дения наук» 11 *.
6
Начиная с V в. центр математической культуры пере-
местился на восток — к индусам и арабам. Математика
индусов резко отличалась от математики греков — она
была числовой. Индусы не были озабочены строгостью
эллинов в доказательствах и обосновании геометрии. Они
довольствовались чертежами, на которых у греков осно-
вывалось доказательство,; сопровождая их указанием:
«Смотри!». «Искра науки, достигнув понятливого умай
разгорается благодаря своей собственной силе»,— гово-
рит Бхаскара (XII в.) в «Лилавати» 13, Предполагается,
что благодаря числовым выкладкам и практическому эм-
пиризму индусам удалось постичь теоремы и методы гре-
10 Великая теорема Ферма в общем виде до сих пор пе доказана.
Цейтен\1\ Г. История математики в древности и в средние века,
с. 176.
А2 «Лилавати» («Прекрасная») — одна из четырех частей трактата
Бхаскары «Венец учения», посвященная арифметике. Около
1400 г. переписана па пальмовых листьях,
26
ков, теоретического обоснования которых оних возможно*
ио-настоящему не понимали.
Основные достижения индусов состоят в том, что они
ввели в обращение цифры, называемые нами арабскими,
и позиционную систему записи чисел, обнаружили двой-
ственность корней квадратного уравнения, двузначность
квадратного корня и ввели отрицательные числа.
Оценивая позиционную систему, Лаплас (1749—1827)
говорил: «Мысль выражать все числа девятью знаками,
придавая им, кроме значения по форме, еще значение по
месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты
трудно понять, насколько она удивительна. Как нелегко
было прийтик этому методу, мы видим на примере вели-
чайших гениев греческой учености Архимеда и Апол-
лония, от которых эта мысль оказалась скрытой».
Индусы рассматривали числа безотносительно к гео-
метрии. В этом их алгебра имеет сходство с алгеброй Дио-
фанта. Они распространили правила действия над рацио-
нальными числами па числа иррациональные, производя
над ними непосредственные выкладки, а не прибегая к
построениям, как это делали греки.
Например, им было известно, что
]/16 -ь/120 + У12 + /60 + /48 + /40 + /24 =
= У 2 + ]/Т + /Г + yw.
Греки, не знавшие отрицательных чисел, решая урав-
нения, преобразовывали их так, чтобы обе части уравнения
при значении неизвестной, удовлетворяющей этому урав-
нению, были положительными. Если этого не происходи-
ло, то менялись условия задачи. Индусы в аналогичных
ситуациях не были стеснены в своих действиях: они либо
отбрасывали получающиеся отрицательные решения, ли-
бо интерпретировали их как долг, задолженность. Отсю-
да сделан был естественный шаг к установлению правил
действий над величинами при любом выборе знаков этих
величин, а также к выявлению наличия двух корней у
квадратных уравнений и двузначности квадратного кор-
ня.
Индусами был сделан шаг вперед по сравнению с Дио-
фантом и в совершенствовании алгебраической символики:
они ввели обозначения нескольких различных неизвест-
ных и их степеней.^ которые былил как у Диофанта, по су.
27
ти дела сокращениями слов. Кроме того, они искали ре*
шения неопределенных уравнений не в рациональных,
а в целых числах.
Дальнейшее развитие математика получила у арабов,
завоевавших в VII в. Переднюю Азию, Северную Африку
и Испанию. Создались благоприятные условия для слия-
ния двух культур восточной и западной, для усвое-
ния арабами богатого математического наследия эллинов
и индусской арифметики и алгебры. Этому способствова-
ло и положение основанной в VIII в. столицы восточного
халифата аббасидов Багдада, находящегося на полпути
между Индией и Европой. К концу IX в. па арабский язык
были переведены почти все труды Евклида, Архимеда,
Аполлония, Птолемея (ум. ок. 170 г. н. э.) и их коммента-
торов. В конце X в. переведены труды Диофанта.
Но еще до того как началось усиленное изучение ара-
бами трудов древних математиков, в 820 г., вышел трак-
тат по алгебре «Краткая книга об исчислении ал-джабра
и ал-мукабалы» Мухаммеда ибн Муса ал-Хорезми (т. е.
из Хорезма, 787 — ок. 850 г. н. э.),где давались числовое
и геометрическое решения уравнений первой и второй
степеней. Название трактата соответствует операциям при
решении уравнений: «ал-джабр» (восстанавливать) озна-
чает восстановление отрицательного члена в одной части
уравнения в виде положительного в другой. Например,
преобразовав уравнение 2х2 -{- Зх — 2 = 2х к виду
2х2 + Зх = 2х 4- 2, мы произвели операцию ал-джабр.
«Ал-мукабала» означает сопоставление подобных членов,
приведение их к одному; в нашем уравнении подобные
члены Зх и 2х, поэтому получим
2х2 + х = 2.
Модификация слова ал-джабр породила более позднее
алгебра 13. Аналогично, слово алгорифм (алгоритм) про-
изошло от ал-Хорезми 14.
13 В. П. Шереметевский в «Историческом очерке развития анализа
и его приложений к геометрии», впервые изданном в книге Г. Ло-
ренца «Элементы высшей математики» в 1903 г., указывает, что
в народном испанском языке сохранилось слово алгебрист (врач,
лекарь). Сапчо Папса искал для побитого Дон-Кихота алгебриста.
14 Алгорифм — прозвище ал-Хорезми, перенесенное в заглавие
одной из его книг по арифметике. Потом этим словом стали назы-
вать индусский способ счета, а затем и сам счет.
28
Основное внимание в трактате ал-Хорезми обращает
на решение уравнений вида
ах2 = Ъх, ах2 = с, ах2 + Ъх = с, ах2 + с = Ъх,
Ъх + с = ах2, Ъх = с,
которые формулирует словесно, например, так: «квадраты
и корни равны числу» {ах2 + Ъх = с). Он высказывает
правила, дающие только поло-
жительные решения уравнений,;
определяет условия, при кото-
рых эти решения существуют.
Обоснование правил ал-Хорез-
ми дает в духе геометрической
алгебры древних.
От арабов Европа получила
следующий способ решения
уравнения
х2 + ах = Ъ.
Построим квадрат х2, к его сто-
ронам приложим четырехуголь-
ники длины х + 2 • а/4 = х +
-|- а/2 и ширины а!к (рис. 11).
кого квадрата
Рис. 11
Тогда площадь получен-
/ , а \2 2 . . а2
+ — \ = X2 ф ах + — •
Значит,
/ । а \2 , . а3
Vе-ь + —
Величины Ъ и а известны, поэтому можно построить
+ -у-, откуда а: + у = + -у-, z = 'j/'b + —
•--Впрочем, ал-Хорезми, приведший в своем сочи-
нении этот метод, уравнению ах2 -|- с = Ъх приписывал
два корня.
В трактате приведены некоторые сведения о действиях
над алгебраическими выражениями, примеры решения
треугольников^ много задач о разделе наследства2 приводя-
29
щих к уравнениям первой степени. Таким образом, трак-
тат ал-Хорезми не содержал ничего нового по сравнению
с тем, что было у греческих авторов и индусов, но он
заслуживает внимания потому, что в течение длительного
времени был руководством, по которому велось обучение
в Европе.
Квадратные уравнения рассматривал также Сабит
ибн Корра (836—901) в «Рассуждении об установлении
задач алгебры с помощью геометрических доказательств».
Следует упомянуть, что именно в переводах ибн Корры
сохранились не дошедшие до нас по-гречески сочинения
древних: «Конические сечения» Аполлония, «Книга лемм»,
«Книга о семиугольнике» п некоторые другие труды Ар-
химеда. Оп перевел «Алмагест» Птолемея, редактировал
«Начала» Евклида.
Арабы не знали решения, предложенного Архимедом
для задачи о сечении шара плоскостью. Ал-Махапи (ум.
ок. 880 г.) впервые свел ее к уравнению вида
х? + г = рх2.
Затем арабы самостоятельно восстановили метод гео-
метрического построения значения х, известный грекам
еще со времен Евдокса по решению Менехмом задачи об
удвоении куба. В X в. ряд физических, геометрических и
тригонометрических задач им удалось свести к кубиче-
ским уравнениям — задачу о трисекции угла, определе-
ние сторон вписанных в круг правильных семи- и девяти-
угольников, построение сегмента шара по известным объе-
му и поверхности и др.
Ибн Корра решал задачу о трисекции угла методом,
предложенным Архимедом; он же с помощью конических
сечений решил задачу,. частным случаем которой является
задача об удвоении куба.
Построение стороны правильного вписанного девяти-
угольника исследовал ал-Бируни (973 — ок. 1050), кото-
рый свел определение искомой стороны к решению ку-
бических уравнений вида х? + 1 = 3# и х3 = 1 + Зх.
Оп привел результаты приближенного решения этих
уравнений, не сообщив ничего о методе.
В «Книге оптики» Абу Али ибн ал-Хайсама (965—
1039) встречается задача об определении места отражения
светящейся точки от цилиндрического зеркала^ которая
30
сводится к уравнению четвертой степени. Ал-Хайсам ре-
шил ее с помощью пересечения гиперболы и окружности.
Наиболее значительным достижением арабов в алгеб-
ре был «Трактат о доказательствах задач алгебры и ал-
мукабалы» знаменитого ученого и поэта Омара Хайяма
(1048—1131). Трактат в основном посвящен кубическим
уравнениям. Хайям построил теорию кубических уравне-
ний, основанную на геометрических методах древних.
Оп расклассифицировал все кубические уравнения с по-
ложительными корнями на 14 видов: одно двучленное,;
шесть трехчленных и семь четырехчленных. Каждый вид
уравнений Хайям решал соответствующим построением,-
причем исследовал, при каких условиях уравнение имеет
один или два положительных корпя (о возможности су-
ществования трех корней кубического уравнения оп не
подозревал: наличие трех корней кубического уравнения
было обнаружено только в XVI в. Д. Кардано). Хайям
пытался найти правило решения кубического уравнения
в общем виде, по безуспешно.
На европейскую математику трактат Хайяма не мог
оказать непосредственного влияния, так как до XIX в.
оставался неизвестным.
Разрабатывались и численные приемы решения куби-
ческих уравнений. Ал-Каши (ум. ок. 1530 г.) предложил
итерационный процесс для решения уравнения трисек-
ции угла
Ъх — 4я3 = а,
а
в котором х = sin —т- , а = sin а.
О
Такое же уравнение решал Улугбек (1411—1449)
при составлении тригонометрических таблиц: по извест-
ному sin 3° найти sin 1Q. Такая задача сводится к урав-
нению вида
х3 -|- Q = Рх.
Значение х < 1. поэтому х? <. х. Можно приближен-
но положить
31
пренебрегая в первом приближении членом х3. Вычислив
%1Р> получим некоторое частное а и остаток /?, т. е.
Положим теперь, что корень уравнения х равняется а
с некоторой поправкой у\
х = а + у.
Подставим это значение х в исходное уравнение^ по-
лучим
Заменим величину Q со выражением Q = аР + R
и найдем
(а + у)3 -|- Q „ а3 + %а2У + %аУ2 + У3 + аР + я — аР
у = _ а __ _ __ .
Поправка у мала по сравнению с а, поэтому членами
в числителе, содержащими у, можно пренебречь. Тогда
а3 4- Р
у-—р—-
Значения а и R найдены, Р задается, поправку у
легко вычислить.
Теперь можно найти следующее приближение. Поло-
жим
у = Ъ 4- z
и подставим в данное уравнение
b +z = Jg+?4-2.Л+а/+ Д _а =
(а 4- Ь)3 4- 3 (а 4- b)3 z 4- 3 (а 4" Ь) z2 + z3 -|- Я -
Р *
Если в числителе правой части пренебречь членами,
содержащими z, то получим
(а + Ъ)3 4- R J -,(a + b)3 + R — ЬР
Z - — р о - р
Тогда
х = а 4- у = а + Ъ + z,
где z вычисляется, как показано выше.
32
7
Каково же было состояние математики в это время в
Европе? Об этом наука располагает крайне скудными све-
дениями.
Христианство вело активное наступление на языче-
скую науку и культуру. Учитель христианской церкви
Тертуллиан (II в. н. э.) говорил: «Нам после Христа не
нужна никакая любознательность, после Евангелия не
нужно никакого исследования». В 391 г. была сожжена
значительная часть Александрийской библиотеки. В 415 г.
толпой фанатиков растерзана знаменитая Гипатия 15
(370—415). Даже само слово «математика» связывалось с
чем-то преступным. Так, один из законов кодекса Юсти-
ниана (483—565) «О злоумышленниках, математиках и
тому подобных» гласил: «Совершенно запрещается достой-
ное осуждения искусство математики». Другой кодекс
предписывал: «Да никто не совещается с гадателем или
математиком». В 529 г. император Юстиниан закрыл афин-
ские философские школы; профессора школ нашли приют
в новом университете персидского царя Хосрова.
«Всеобщее обнищание, упадок торговли, ремесла и ис-
кусства, сокращение населения, запустение городов, воз-
врат земледелия к более низкому уровню — таков был ко-
нечный результат римского мирового владычества» 1б.
Эта характеристика, данная Энгельсом раннему средне-
вековью, позволяет представить условия развития науки
и культуры. Упадок экономики привел к застою науки.
Центрами грамотности были монастыри и церкви. «От-
сюда само собой вытекало, что церковная догма являлась
исходным пунктом и основой всякого мышления. Юрис-
пруденция, естествознание, философия — все содержание
этих наук приводилось в соответствие с учением церк-
ви» 17. Богослов Иоанн Дамаскин (ок. 675— ок. 753),:
автор «Точного изложения православной веры», писал,
что решение проблем мироздания несущественно. Важно
15 Гипатия — дочь известного комментатора древних Теона Алек-
сандрийского (IV в). Составила комментарий к сочинениям Апол-
лония и Диофанта. Преподавала в Александрии философию, сла-
вилась умом и красноречием. Растерзана толпой фанатиков по
наущению патриарха александрийского Кирилла за то, что не
хотела порывать с язычеством.
Маркс Я., Энгельр Ф, Соч. 2-е изд., Tt 21, с. 148.
17 Там же, с. 495.
2 В4 А, Никифоровский 33
сознавать, что все в мире определяется деятельностью
творца.
Низкий уровень хозяйства пе предъявлял к математи-
ке требований, стимулировавших ее развитие. В хозяйстве
и в быту необходимы были только способы элементарного
счета с целыми числами и дробями и измерения простей-
ших фигур. В монастырях к математике предъявлялись те
же требования и добавлялись еще задачи, связанные с
календарем и определением дней церковных праздников.
Изучаемые пауки традиционно делились на «семь сво-
бодных искусств»: тривиум (трехпутье) и квадривиум
(четырехпутье). Первый цикл — тривиум — включал в
себя грамматику, риторику (искусство красноречия) и
диалектику (элементарную логику). Второй — квадри-
виум — составляли арифметика (изложение простейших
свойств чисел и числовой мистики), геометрия (смесь
сведений из геометрии и рассказов о чудесах), астрономия
(составление календарей и гадание но звездам) и музы-
ка (учение о гармонии). Мистика и магия соседство-
вали с наукой.
Но с конца XI в. в Европе появились сдвиги в науке
и технике. Они были обусловлены значительными измене-
ниями в экономике: возникают ремесла, растут города,
развивается торговля, увеличивается продуктивность
сельского хозяйства. Во время крестовых походов евро-
пейцы ознакомились с культурой Востока.
Развивающаяся промышленность нуждалась в спе-
циалистах. Появились светские школы, возникли универ-
ситеты. В Европе началось серьезное изучение наследст-
ва древних греков и арабов; этот процесс затянулся на-
долго. Первые университеты возникли в Болонье (1119 г.)?;
Париже (1150 г.), Салерно (1173 г.), Монпелье (1180 г.),
Оксфорде (1229 г.) Затем возникли университеты в Пра-
ге (1348 г.), Кракове (1364 г.), Вене (1365 г.), Будапеште
(1385 г.), Базеле (1459 г.), Братиславе (1467 г.).
Структура университетов была примерно одинакова.
Они состояли из четырех факультетов (искусств, богосло-
вия,, права и медицины). Сначала шло обучение на фа-
культете искусств (оно продолжалось около шести лет),;
затем студент мог перейти на любой другой факультет.
Наиболее влиятельным был богословский факультет,
обучение на котором длилось примерно восемь лет. Ру-
ководили университетами монахи-богословы.
34
Математика изучалась в объеме квадривиума па фа-
культете искусств. Некоторые вопросы рассматривались
в курсе философии. Впоследствии программа математики
расширилась и включала в себя одну или две книги
«Начал» Евклида, теорию пропорций, сведения из оп-
тики, теорию движения светил, сферическую астрономию.
Как курьез можно привести такой факт: даже в начале
XVI в. кандидаты па степень магистра искусств в Париж-
ском университете не сдавали экзамен по геометрии, а
присягали в том, что прослушали лекции по шести пер-
вым книгам «Начал».
В то же время росло могущество церкви. С целью ук-
репления папства Иннокентий III, бывший папой с
1198 по 1216 г., объявил себя наместником бога на земле.
Для борьбы с «ересью» были организованы монашеские
ордена доминиканцев и францисканцев. В XIII в. была
создала инквизиция — орган католической церкви для
суда и кары «еретиков». Инквизиторы — монахи-домини-
канцы и францисканцы — подчинялись непосредственно
папе и были фактически бесконтрольны. С 1231 г. казнь
«еретиков» производилась сожжепием на костре (под
предлогом того, что «церковь питает отвращение к проли-
тию крови»). От преследований не спасала даже смерть:
судили мертвецов, сжигали па кострах вырытые кости
давно умерших. Общее число жертв инквизиции исчис-
ляется сотнями тысяч.
Теология играла главенствующую роль в идеологи-
ческой жизни. Опа основывалась на догматизированном
и канонизированном учении Аристотеля (384—322 гг.
до н. э.), религиозных учениях «отцов церкви», системе
мира Птолемея.
Примечательна судьба идей Аристотеля. Поначалу
его взгляды показались церковникам опасными; против
него выступили богословы, а в Парижском и некоторых
других университетах были запрещены лекции о естест-
веннонаучных работах Аристотеля. Затем церковники
увидели возможность приспособить Аристотеля к свя-
щенному писанию. В 1366 г. церковный декрет уже обя-
зывал изучать «Логику», «Метафизику», «Физику» Арис-
тотеля для получения первой ученой степени. Вслед за
этим стало считаться «ересью» всякое возражение против
естественнонаучных взглядов Аристотеля. Так церковь
обратила идеи Аристотеля в свое орудие.
2*
35
Передовые мыслители видели несостоятельность дог-
матизированных концепций Аристотеля, но бороться
против его взглядов — значило выступать против като-
лической церкви, а па это отваживались немногие.
Учение церкви требовало построения целой системы;
такая система получила воплощение в схоластической тео-
логии,; господствовавшей в школах и университетах.
Средневековую науку называют схоластической (до-
словно — «школьной»), схоластикой. Это слово в наши дни
ассоциируется с чем-то крайне примитивным. Но в сред-
ние века перед схоластикой стояли определенные науч-
ные задачи, и она с ними справлялась. Автор переведенной
на русский язык многотомной «Истории философии» Ку-
но Фишер отмечал, что нелепо жаловаться на пустоту и
бесплодие схоластики и «бранить лес за то, что он не фрук-
товый сад».
Научные исследования того времени проводились поч-
ти исключительно с религиозными целями, и выполнялись
они служителями церкви — священниками, монахами.
Но церковь со своей конечной целью спасения души не
нуждалась в прогрессивной науке. Более того, наука свя-
зана с чувствами человека, с чувственным восприятием
человеком окружающего мира, что было совершенно чуж-
до теологии, ибо умаляло ценность «откровения».
В России и в странах Восточной Европы развитие нау-
ки и культуры в это время задерживалось иноземными
нашествиями. Нашествие монголов не только сдержива-
ло развитие России в XIII—XV вв., но и отбросило ее
назад. Пушкин сказал, что татары не походили на мав-
ров: они не подарили России ни алгебры, пи Аристотеля.
8
Несмотря па идеологическое засилие церковных догм
с ростом производства практика ставила перед наукой все
более сложные задачи. Назовем важнейшие достижения
техники и производства в средние века. В начале X в.
земледельцы стали подковывать тягловый скот, что дало
возможность использовать в сельском хозяйстве лошадей
и обрабатывать каменистые почвы* В XI в. тесный хомут
лошадей и быков был заменен плечевым, это позволило
увеличить силу тяги и создало условия для одновремен-
36
пого использования нескольких животных и для введе-
ния нового — колесного — плуга с более тяжелым ле-
мехом. В XI в. в Западной Европе получили широкое рас-
пространение водяные мельницы, известные еще в I в.
До и. э. Тогда же получили распространение и ветряные
мельницы. Эти источники энергии дали толчок развитию
металлургии. Если раньше мехи в плавильных печах
приводились в движение руками человека, то в XIII в.
для этой цели стали пользоваться водой. Это позволило
повысить температуру в печи. Широкое распространение
получил чугун (появились чугунные печи, трубы, пушки,
ядра, плиты, чугунная посуда).
Оживление стекольного производства началось в X в.
с изобретения цветных стекол; в ткачестве появились сук-
новальные и ткацкие машины; появился печатный станок
(издание первой печатной книги относится к 1445 г.);
стало совершенствоваться огнестрельное оружие, что по-
ставило новые задачи перед динамикой; грандиозные гид-
равлические работы в Голландии, связанные с осушением
заливаемых морем территорий, были осуществлены па
основе применения различных пасосов; в судоходстве
возрастало водоизмещение кораблей, совершенствовался
компас, был изобретен вертикальный штурвал с рукоят-
кой (XII в.), появились лоции (XIII в.); монолитные рим-
ские конструкции в архитектуре уступили место более
легким романским и готическим, это поставило новые за-
дачи перед статикой.
Достижения науки и прогрессивные идеи средних ве-
ков вместе с техническими и производственными усовер-
шенствованиями послужили основой научной револю-
ции XVII в.
Здесь следует отметить философские взгляды Род-
жера Бэкона (ок. 1214—1294), утверждавшего, что наблю-
дения и опыт должны быть фупдамептом естествознания,
а математика — его инструментом. Он говорил: «Изложение
должно быть наглядным; последнее невозможно без опыта;
у пас в руках три средства позпанпя: авторитет, мышление
и опыт. Авторитет не имеет значения, если справедли-
вость его не может быть доказана: оп не учит, он требует
только согласия. При мышлении мы обычно отличаем
истинный аргумент от ложного, проверяя вывод опытом.
Экспериментальная наука испытывает и проверяет вы-
воды других наукЛ опа исследует тайны природы собствен-
пыми силами» 18. Математику Бэкон называл «дверью и
ключом к науке», которая «одна может очистить разум и
сделать учащегося способным к восприятию знания»;
«она предшествует другим наукам о природе, ибо изучает
количество, которое воспринимает интуитивно»19.
О системе преподавания математики Бэкон говорил
так: «Редко вообще можно найти учителей математики,;
да и те следуют плохой методе и преподают много ненуж-
ного». «Только розгами можно вогиатхэ ученикам четыре
первые теоремы евклидовых «Начал», а пятая (о равенстве
углов при основании равнобедренного треугольника.—
В. Н.) уже называется elefuga — бегство несчастного!» 29
Взгляды Бэкона противоречили церковным догмам.
Это в совокупности с постоянными его нападками на мона-
хов по поводу их безнравственности вызвало обвинение
Бэкона в ереси н колдовстве и заключение в тюрьму, в ко-
торой мыслитель находился четырнадцать лет и откуда
вышел лишь за год до смерти.
Существенное влияние на развитие науки и мировоз-
зрения оказали великие географические открытия кон-
ца XV — начала XVI в. Эти открытия прежде всего по-
казали, что, кроме издавна известного мира, существует
еще и другой мир, тоже заселенный людьми, что земля
не замыкается теми странами и народами, которые тво-
рили традиционную историю, что есть и другие народы
со своими правами, обычаями и культурой. Географиче-
ские открытия значительно расширили кругозор человека
средних веков, они связали в одну систему обитаемые
части земли. Морские экспедиции поставили новые зада-
чи перед наукой, прежде всего перед астрономией, ме-
ханикой, математикой. Открытие новых земель па конти-
ненте Америки создало возможность для разнузданного
грабежа заморских территорий, их колонизации, вынуди-
ло организовать снабжение колонистов товарами. С ин-
тервалами в два года «золотые флотилии» совершали пла-
вание в Центральную Америку под северо-восточными
пассатами и возвращались с награбленным более север-
ным путем под западными ветрами.
Шереметевский В. П, Цит, соч., с, 221.
Там же, с» 219—220.
20 Там же, с. 220.
38
%
9
В XII—XIII вв. в Европе интенсивно переводились
с арабского языка как труды самих арабов, так и работы
древних греков, переведенные на арабский язык. В ре-
зультате было накоплено большое количество научной и
философской литературы па латыни, служившей ознаком-
лению европейских ученых с наследством древних гре-
ков и арабов.
Первым европейским математиком, которому удалось
осветить многие вопросы и внести в математику свой вклад,;
был Леонардо Пизанский (Фибоначчи, 1180—1240), на-
писавший «Книгу абака». В ней рассмотрены различные
задачи, указаны, методы их решения, причем арифметика
и алгебра линейных и квадратных уравнений изложены
с небывалой до этого (да и долгое время спустя) стро-
гостью и полнотой. Задачи Леонардо и приемы их решения
разошлись в XV—XVI вв. по многим книгам на разных
языках. Они встречаются и в знаменитой «Алгебре» Эй-
лера,; изданной в 1768—1769 гг. Леонардо написал еще
несколько книг, сыгравших важную роль в развитии ма-
тематики.
Существо задачи Леонардо излагает словесно; неиз-
вестную он называет res (вещь) или radix (корень); квад-
рат неизвестной — census (имущество) или quadratus
(квадрат); данное число — numerus. Все это латинские пере-
воды соответствующих арабских слов.
Современник Леонардо Пизанского, Иордан Немора-
рий (XIII в.), употреблял буквенные обозначения более
систематично и решал задачи с применением линейных и
квадратных уравнений, а также систем уравнений, сна-
чала в общем виде, а затем иллюстрировал их числовыми
примерами.
Французский епископ Николь Орем (1323—1382) рас-
сматривал «дробпо-рациональные отношения»,; соответ-
ствующие современным степеням а'\ и т. д.л
сформулировал правила операций с этими отношениями
типа
ап>т = (an)V*n a1/'71 bl/n = (aby/n,
а1/п __ ( а
\~ / ’
= (ап^т)1/тп?
(а™)Р/я = (awP)V<z.
39
Орем вплотную подошел к понятию иррационального
показателя. Он доказал расходимость гармонического ряда
И-4+4+4+...
Выдающимся алгебраистом своего времени стал мо-
нах-францисканец Лука Пачоли (ок. 1445—ок. 1514)я
близкий друг Леонардо да Винчи (1452—1519), работав-
ший профессором математики в университетах и различ-
ных учебных заведениях Рима, Болоньи, Неаполя, Фло-
ренции, Милана и других городов.
В 1494 г. вышел его основной труд «Сумма знаний по
арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональ-
ности». Алгебру Пачоли называл «правилом вещи» (regula
della cosa) и «великим искусством» (arte maggiore). Он
ввел «алгебраические буквы» (caratteri algebraici), дал
обозначения квадратному и кубическому корням, корню
четвертой степени; неизвестную х оп обозначал со (cosa —
вещь),: х2 — се (censo — квадрат, от латинского census),.
х3 — cu (cubo),; х* — се. се. (censo de censo), xb — p°r°
(primo relato — «первое relato»), хБ — ее. cu. (censo de
c.ubo), x7 — 2°r° (secondo relato — «второе relato»),
x3 — ce. ce. ce. (de censo), x* — cu. cu. (cubo de cubo),
xXQ — ce. p°r° (censo de primo relato), xri — 3°r° (tersio
relato — «третье relato») и т. д.; свободный член уравне-
ния — ?г° (numero — число). Как видим, некоторые сте-
пени Пачоли получал мультипликативным способом с по-
мощью показателей 2 и 3 (? = я2*2, х6 = х2'3, х9 = х3’3
и т. д.), а в случаях, когда так не получалось, пользовался
словом relato (например, при образовании я5, х7, х11
и т. д.). Специальными символами Пачоли обозначил вто-
рую неизвестную и ее степени. Для обозначения операции
сложения оп воспользовался знаком р (plus — больше),
для обозначения вычитания — знаком т (minus — мень-
ше). Он сформулировал правила умножения чисел, перед
которыми стоят знаки р и т.
В той же книге Пачоли изложил теорию разработан-
ной им двойной бухгалтерии. Предполагается, что па его
трактовку отрицательных чисел как долга оказала влия-
ние как раз двойная бухгалтерия, в которой денежные
операции записываются в столбцах «кредит» (доход) и
«дебет» (долг).
40
Раздел «Суммы», посвященный алгебраическим урав-
нениям, Пачоли закончил замечанием о том, что для ре-
шения кубических уравнений х3 + ах = Ь и х* + Ъ = ах
«искусство алгебры еще не дало способа, как не дан еще
способ квадратуры круга» 21.
В книге Пачоли «О божественной пропорции» рассмот-
рены правильные многогранники и пропорции челове-
ческого тела. Изображение многогранников в 59 таблицах
выполнено Леонардо да Винчи. Пачоли подсчитал для
своего друга количество металла, необходимого для ста-
туи всадника, созданной Леонардо.
Некоторый шаг в совершенствовании алгебраической
символики сделал бакалавр медицины Н. Шюке (ум.
ок. 1500 г.), который в книге «Наука о числах в трех час-
тях» изложил правила действий с рациональными и ир-
рациональными числами и теорию уравнений. Для сло-
жения и вычитания он вслед за Пачоли пользовался зна-
ками р и т, причем знак in служил и для обозначения от-
рицательного числа. Неизвестную величину он называл
premier («первое число»), а ее степени — вторыми, третьи-
ми и т. д. числами. Записи степеней неизвестной у Шюке
лаконичны. Например, современные символы 5, 5.т, 5я2
5я3 у него выглядели бы так: 5°, 51, 52, 53. Вместо равенства
Src3-?^1 = 56а;2 Шюке писал: «83, умноженное па 7Ът,
дает 562». Таким образом, он рассматривал и отрицатель-
ные показатели. Относительно свободных членов уравнения
Шюке указывал, что эти числа «имеют имя нуль».
Таково, ретроспективно, состояние алгебры к началу
того времени, когда развертывается деятельность основ-
ных действующих лиц этой книги. Если позволительно
воспользоваться терминологией политической экономии,
то рассматриваемый период развития алгебры, а вместе
с пей и всей математики можно назвать периодом перво-
начального накопления.
21 Pacioli L. Summa de ariihmetica, geometria, proportion! et pro-
portionaiita. Veneziae, 1494, p. 150.
КАРДАНО
1
XV и XVI столетия именуют эпохой Возрождения, имея
в виду небывалый взлет пауки и искусств. По эти века
характеризуются, кроме того, глубокими социальными
преобразованиями: в недрах феодального строя возникали
капиталистические общественные отношения, создава-
лась новая, более прогрессивная формация — буржуаз-
ное общество. Расширялось ремесленное производство,
наблюдался дальнейший рост городов, чрезвычайно ожи-
вились торговля и мореплавание. Социальные и экономи-
ческие преобразования и вызвали бурное развитие пауки
и искусства. Великие географические открытия возбуди-
ли развитие многих паук. Появились мануфактуры. Книго- '
печатание и наличие сравнительно дешевой бумаги сдела-
ли достижения науки доступными широким слоям насе-
ления.
Известно высказывание Энгельса о XV—XVI вв.:
«Это был величайший прогрессивный переворот из всех
пережитых до того времени человечеством, эпоха, которая
нуждалась в титанах и которая породила титанов по силе,
мысли, страсти и характеру, по многогранности и уче-
ности. Люди, основавшие современное господство буржуа-
зии, были всем чем угодно, но только не людьми буржуаз-
но-ограниченными. Наоборот, они были более или менее
овеяны характерным для того времени духом смелых ис-
кателей приключений. Тогда пе было почти пи одного круп-
ного человека, который пе совершил бы далеких путешест-
вий, пе говорил бы на четырех или пяти языках, не блис-
тал бы в нескольких областях творчества. Леонардо да
Винчи был не только великим живописцем, но и великим
математиком, механиком и инженером, которому обяза-
ны важными открытиями самые разнообразные отрасли
физики. Альбрехт Дюрер был живописцем, гравером,
скульптором, архитектором и, кроме того, изобрел систе-
42
му фортификации, содержащую в себе некоторые идеи, ко-
торые позднее были вновь подхвачены Монталамбером
и новейшим немецким учением о фортификации. Макиавел-
ли был государственным деятелем, историком, поэтом и,
кроме того, первым достойным упоминания писателем
нового времени. Лютер вычистил авгиевы конюшни не
только церкви, но и немецкого языка, создал современную
немецкую прозу и сочинил текст и мелодию того проник-
нутого уверенностью в победе хорала, который стал
«Марсельезой» XVI века. Герои того времени не стали еще
рабами разделения труда, ограничивающее, создающее
однобокость влияние которого мы так часто наблюдаем
у их преемников. Но что особенно характерно для них,
так это то, что они почти все живут в самой гуще интересов
своего времени, принимают живое участие в практиче-
ской борьбе, становятся па сторону той или иной-партии и
борются кто словом и пером, кто мечом, а кто и тем и дру-
гим вместе. Отсюда та полнота и сила характера, которые
делают их цельными людьми» К
Утверждение гелиоцентрической системы мира, выд-
винутой Н. Коперником (1473—1543) вместо геоцентри-
ческой системы Птолемея, вызвало революционный пере-
ворот в естествознании.
Система мира, созданная Птолемеем, с неподвижной
Землей как центром Вселенной, соответствовала физике
Аристотеля, согласно которой требовались колоссальные
силы для приведения в движение инертной Земли, в то
время как состоящие из тонкой материи небеса вращались
вокруг Земли, и это вращение вытекало из самой природы
субстанции., . . ....
Видимые движения известных древним грекам блуж-
дающих светил (Сатурна, Юпитера, Марса. Венеры и
Меркурия) казались им крайне сложными и пе находили
достаточно убедительного объяснения. Планеты север*
шают прямые и попятные движения, и их путь относитель-
но кажущихся неподвижными звезд имеет петлеобразный
вид. Птолемей по этому поводу писал: «Легче, кажется,
двигать самые планеты, чем постичь их сложное движе-
ние». Попятные движения планет нашли простое объяс-
нение в теории Коперника.
1 Энгельс Ф, Диалектика природы. М., 1969, с, 7—8.
43
Новый взгляд па систему мира дал импульс развитию
физических и математических наук. Дальнейшее развитие
этот взгляд на мир нашел у Джордано Бруно (1548—
1600), выдвинувшего идеи о бесконечности Вселенной и
множественности (и населенности) миров.
Однако учение Коперника содержало неразрешенные
проблемы и требовало уточнений. Например, планеты, по
Копернику, имеют круговые орбиты; это связывает тео-
рию Коперника с теорией сфер древних. Полное решение
проблема истинной формы орбит получила только в ра-
ботах Кеплера, открывшего и опубликовавшего законы
движения планет в 1609 и 1619 гг.
2
Значительного успеха в совершенствовании «алгебраи-
ческих букв» Луки Пачоли достигли немецкие алгебраис-
ты — «коссисты». Это название объясняется тем, что они
именовали алгебру Coss, по аналогии с итальянским
cosa — вещь (неизвестная величина). Коссисты вместо р
и ш ввели + и —, знаки для неизвестной и ее степеней,
свободного члена, которые получили название «коссиче-
ские знаки» и распространились во многих странах Ев-
ропы, в том числе и в России, после выхода в свет в 1703 г.
«Арифметики» Магницкого (1669—1739).
XVI в. в алгебре, да и во всей математике, ознамено-
ван величайшим открытием — решением в общем виде
уравнений третьей и четвертой степеней. И сделали это
блистательные итальянцы. Проблема решения уравнений
третьей и четвертой степеней занимала математиков около
двух тысячелетий; ее разрешение было подготовлено всем
ходом развития пауки.
Здесь уместно заметить следующее. Большое открытие
значимо но только само по себе и не только из-за важности
его приложений в той или иной области человеческой прак-
тики. Опо вселяет в человека уверенность в свои силы,
открывает перед ним широкую перспективу, направляет
его деятельность дальше, к новым свершениям. И не слу-
чайно вслед за большими открытиями или одновременно
с ними зачастую спонтанно появляется серия других, бо-
лее или менее значимых.
Среди итальянских университетов того времени одно
из первых мест занимал университет Болоньи. С 1496 по
44 .<
1526 г. профессором математики в нем был Сципион дель
Ферро (1456—1526). О нем известно очень мало, по из-
вестно, что в 1505 г. он нашел решение кубического урав-
нения вида
ж3 + ах = Ь, а, Ъ> 0.
Свое решение дель Ферро не опубликовал, а сообщил
его (около 1506 г., по другим источникам — в 1515 г.)
своему зятю и преемнику по должности Аннибаллу делла
Наве и одному из своих учеников — Фиоре.
С современной точки зрения утаивание научного откры-
тия может показаться странным. Ыо в те времена поступок
дель Ферро был легко объясним. Журналов, предназна-
ченных для публикации научных статей, еще не было, вы-
пуск книги — дело длительное и дорогостоящее. Но глав-
ное даже и не в этом. Обладание общим методом решения
некоторого класса задач доставляло ученому большие пре-
имущества перед другими математиками. В описываемую
эпоху получил распространение особый вид общения и
соревнования ученых — научный диспут (поединок, тур°
нир). Такой поединок по математике состоял в том, что
два математика предлагали друг другу для решения оп-
ределенное количество задач (несколько десятков) с чис-
ловыми данными. Выигрывал поединок тот, кто решал боль-
шее число предложенных задач. Победитель получал де-
нежное вознаграждение, известность, нередко ему пред-
лагались должности на выгодных условиях.
Неизвестно, принимал ли участие дель Ферро в таких
диспутах, но Фиоре, математик посредственный, участво-
вал в турнирах неоднократно. И основным его «оружием»
был способ, найденный дель Ферро для решения уравне-
ния х3 + ах == Ъ.
В одном из поединков, 12 февраля 1535 г., Фиоре встре-
тился с Никколо Тартальей (1500—1557), настоящая фа-
милия которого, по-видимому, Фонта по. Тарталья был
выдающимся математиком, обладал блестящими способ-
ностями и большой силой воли. Прожил он тяжелую
жизнь. Шестилетним мальчиком, в 1506 г., он вместе с род-
ственниками спасался в церкви от жестокости завоевате-
лей его родной Брешии — французских войск. Старин-
ный обычай прятаться в храме не уберег от несчастья:
Тарталья получил увечье гортани (в некоторых источни-
ках — языка, нижней челюсти) от удара мечом. После это-
45
го он остался па всю жизнь заикой, что отразилось и па
его прозвище (tartaglia — заика).
Бедность пе позволила Тарталье получить достаточное
образование: он пе мог даже обучиться грамоте. В то вре-
мя родители ребенка обязаны были оплачивать труд учи-
теля в три приема: перед началом занятий — первый
взнос, когда ученик достигал в алфавите буквы «к>> —
второй; по изучении всей азбуки — окончательный рас-
чет. Мать Тартальи, к тому времени овдовевшая, смогла
заплатить только авапс, так что мальчик под наблюдением
учителя выучил лишь половину алфавита. Дальше Тар-
танья овладевал знаниями уже сам и проявил необыкно-
венную любовь к наукам и настойчивость в учении.
13 доме не было бумаги; это но остановило мальчика:
он упражнялся в письме и счете на кладбищенских могиль-
ных плитах. В книге «Вопросы и различные изобретения»
о трудностях и перенесенных лишениях Тарталья пишет:
«С тех пор я учился сам, и у меня не было другого настав-
ника, кроме спутницы бедности — предприимчивости» 2.
Турнир намечался па 12 февраля. Тарталья предпо-
лагал, что легко победит Фиоре, но, узнав, что Фиоре
владеет секретом Ферро, приложил много усилий, чтобы
открыть способ решения кубических уравнений. Его ста-
рания пе были напрасными. Вот его слова: «...приложил
все рвение, прилежание и искусство, чтобы найти правило
этих уравнений, и это удалось за десять дней до срока,
т. е. 12 февраля, благодаря счастливой судьбе».
Заметим, что в 1530 г. Дж. да Кои (да Колла) предла-
гал Тарталье решить уравнения х3 + 6я2 4- 8я == 100 и
ж3 + Зя2 = 5. Тарталья отказался, мотивируя отказ тем,
что да Кои сам пе умел их решать.
К диспуту участники подготовили по 30 разных задач,
текст задач был отдан па хранение нотариусу. За каждую
решенную задачу полагался приз —• 5 сольди. В день дис-
пута Тарталья в течение двух часов решил все задачи Фио-
ре, противник же его, по словам Тартальи, не решил ни
одной, даже тех, которые мог бы решить по правилу дель
Ферро.
Через день после диспута Тарталья решил также урав-
нение
х3 == ах + 5, 0.
2 Tartaglia Nt Quesiti et invention! diversi, Venezia, 1546K
46
Все это было величайшим открытием. Надо обладать
достаточным мужеством, чтобы взяться за задачу, не под-
дававшуюся усилиям выдающихся математиков около
двух тысячелетий. Популярность Тартальи сильно воз-
росла; его приглашали преподавать математику в Веро-
не, Венеции, Пьяченце, Брешии.
Но на этом изучение кубических уравнений не закон-
чилось, и завершил построение алгоритма решения куби-
ческих уравнений Кардано — замечательный представи-
тель эпохи Возрождения.
О Кардано в пашей литературе написано очень мало,
поэтому следует подробнее рассказать о его жизни, взгля-
дах, вкладе в пауку.
3
По обычаю того времени, человек, занимающийся нау-
кой, имел две формы имени: родную (отечественную) и
латинизированную. Джироламо Кардано писал труды па
латыни и подписывал их Hieronimo Cardanus.
Дж. Кардано родился 24 сентября 1501 г. в семье
юрисконсульта Фацио Кардано в местечке недалеко от
Милана. Род Кардано древний и известный в Италии; один
из предков Джироламо, Милоне Кардано, был в XII в.
префектом Милана.
Первые четыре года мальчик провел у кормилиц в де-
ревне, где едва не погиб от чумы, затем стал жить вместе
с родителями и тетей Маргаретой в Милане. Тетя Марга-
рета, в противоположность матери Джироламо, Кларе
Мичерии, была мягкой, доброй и внимательной к маль-
чику. У отца была обширная клиентура, он часто отлу-
чался из дома по служебным делам. Когда он возвращался,
мать жаловалась на непослушание сына. Тогда отец пе
жалел пи рук, пи плети, наказывая Джироламо. Побои
прекратились, когда мальчик в возрасте шести лет сильно
заболел и родители па знали, чем объяснить болезнь: жес-
токостью отца или мягкостью тети.
Выздоравливающему Джироламо было предписано до
трех часов дня оставаться в постели. В эти дни, по сло-
вам Кардано, перед ним представали видения; они появ-
лялись у правого угла основания кровати, медленно рас-
ползались по направлению к левому и пропадали. Он ви-
дел крепости, дома, животных, всадников, растения, му-
47
зыкальные инструменты, людей, одежды разных фасонов,
дующих в трубы и не издающих звуков трубачей, солдат,
толпы народа, засеянные поля, леса и рощи и т, д.; порою
множество различных вещей одновременно.
Такие видения бывали у мальчика раньше, они нача-
лись еще в четырехлетием возрасте и не покидали Джиро-
ламо многие годы. Ночами ему виделось какое-то движение
в комнате, как будто при зажженном свете, после несколь-
ких мгновений движение прекращалось. Ночью и утром
его мучило чувство холода в ногах, согревание ног не
снимало ощущения.
Не следует удивляться этому: нужно иметь в виду обы-
чаи, верования, мораль, пороки того времени. Верили в
магию, мистику, астрологию, верили в духов; было убеж-
дение, что обладающий знаниями человек может получить
помощь фантастических существ — вот для чего нужны
знания. Один из биографов Кардано писал, что глубочай-
шая набожность его соседствовала с грубейшими суеве-
риями. умК
Когда мальчику исполнилось восемь лет, отец стал
брать его с собой па целые дни и ходил с ним к своим клиен-
там в городе и вне его. Сначала это утомляло Джироламо,
но впоследствии длительное общение с отцом принесло
ему большую пользу.
Фацио любил сына, возлагал на него большие надежды,
был убежден, что Джироламо ожидает великое поле дея-
тельности. Отец Джироламо обладал многими прекрасны-
ми качествами: оп был человеком веселым, разговорчивым,
знал много занимательных историй; его справедливость,
честность, несравненная цельность характера способство-
вали тому, что он приобрел добрую славу у духовенства и
знати города. Он хорошо знал языки, юриспруденцию,
математику, переводил, редактировал и комментировал
математиков и философов.
Напомним, что речь идет о событиях, относящихся к
золотому веку магии, астрологии, различных мистических
предсказаний. У Фацио была возможность собирать ин-
тересные истории и суеверия. Он развлекал сына расска-
зами о магах, демонах, чудесах. И при этом незаметно
вставлял латинские фразы, принуждая мальчика говорить
на том же языке.
Одновременно он стал обучать Джироламо арифметике,
геометрии, началам арабской астрологии, искусству вести
48
полемику. Мальчик показывал выдающиеся способности,
усваивал все быстро и хорошо и пе подозревал, что оп
знал гораздо больше, чем его сверстники, исправно посе-
щающие школу. К двенадцати годам Джироламо без при-
нуждения и скуки одолел первые шесть книг «Начал»
Евклида. Однако недостаточное общение со сверстниками,
отсутствие игр и развлечений действовало на Джироламо
отрицательно: в 15—16 лет он выглядел вполне взрослым
человеком, но был худым, вялым, задумчивым.
Юношей он перенес первое сильное потрясение. Умер
проживавший вместе с ним родственник Никколо Карда-
но. Джироламо пе ужаснулся, увидев его неподвижным,
как бы заснувшим. И спокойно отнесся к тому, что тело
будет опущено в землю. А вот что произойдет с душой?
Этот вопрос долго не давал ему покоя. Смерть Никколо
заставила Джироламо задуматься о мимолетности жизни
и сообщила ему могучий импульс, господствовавший в его
сознании в течение всей последующей жизни: необходимо
оставить после себя нечто такое, что было бы достойным
его имени.
На восемнадцатом году Джироламо поступил па меди-
цинский факультет университета Павии, где блистал
знанием языков, философии, астрологии, математики и
умением вести диспуты, в которых участвовал постоянно
и с большим успехом — выигрывал даже у известных про-
фессоров.
Вскоре умерла тетя Маргарста. Джироламо тяжело
переживал ее смерть и заболел. Отец вылечил его. Выздо-
равливающий Джироламо спросил отца, верно ли, что тот
владеет демоном. Фацио ответил, что владеет, но не пос-
тоянно, что во время болезни сына освободил демона, пред-
почитая пользоваться божественным покровительством.
Тогда Джироламо сказал отцу, что он также чувствует
демона внутри себя, многое предвидит. Фацио рекомендо-
вал сыну нс верить этому, найти возможность освободиться
от демона, как сделал он, потому что искусство видеть бу-
дущее зависит от общения с духами, со звездами. Джирола-
мо дал понять отцу, что согласился с ним, но больше чем
когда-либо чувствовал присутствие демона, освещающего
будущее.
Этот демон, по словам Кардано, не покидал его в те-
чение всей жизни. Ранним проявлением присутствия
демона оп считал видения, посещавшие его в детские годы.
49
В 1526—1548 гг. Кардано полагал, что в нем имеется нечто
более сильное, чем воля. Юн свидетельствует, что в тех слу-
чаях, когда ему предстояло что-либо благоприятное он
слышал голос с правой стороны, когда же предстояло пло-
хое — с левой. В 1551 — 1567 гг. он видел будущее во вре-
мя сна. В 1573—1575 гг. признавал в себе некий «необык-
новенный свет», воодушевлявший его, помогавший ему
в познании нового, при лечении больных. Кардано писал:
«Кажется, это есть высшее совершенство нашей челове-
ческой природы, если только это не божественная
сила».
Кардано верил в божественное происхождение пред-
сказаний, научных открытий; он абсолютно верил в силу
астрологии и несоответствия между действительностью и
предсказаниями объяснял не порочностью метода, а не-
достаточной компетентностью астрологов. И в этом он
был истинным сыном своего века.
То, что Джироламо выбрал медицинский факультет,
противоречило желанию Фацио видеть сына занятым
юриспруденцией, философией, математикой. Но этот выбор
объясняется идеей Джироламо оставить после себя как
можно более значительный след. Близкие Кардано пред-
сказывали ему сравнительно непродолжительную жизнь,
40—45 лет. Сам Джироламо объяснял это слабым здоровь-
ем из-за перенесенных в детстве многочисленных болез-
ней. Он для того и решил изучать медицину, чтобы можно
было следить за здоровьем, которое должно обеспечить
ему достижение основной цели жизни.
Во время обучения в университете Джироламо заме-
щал в гимназиях профессоров по геометрии, философии,
диалектике. Он удивлялся тому, как мог без значительного
утомления и как бы бессознательно усвоить столько са-
мых разнообразных знаний. И ставил это опять-таки в за-
слугу тому же «духу».
Летом 1524 г. отец Джироламо скончался, предвари-
тельно обвенчавшись с Кларой Мичериой, чтобы упоря-
дочить гражданское состояние сына «перед богом и людь-
ми». Джироламо скорбел о смерти отца, но был крайне до-
волен оформлением брака.
В 1524 г. Кардано закончил университет в Падуе;
в 1525 г. был увенчан лаврами доктора медицины. Карда-
но отправился в городок Сакко, примерно в шести милях
от Падуи, чтобы «упражняться во врачебном искусстве»,
50
Он мечтал поселиться в истерзанном войнами родном
Милане и в 1529 г. обратился с просьбой о приеме в колле-
гию миланских врачей. Коллегия отказала, мотивируя
отказ тем, что Кардано — незаконный сын Фацио. Карда-
но был возмущен; он писал впоследствии, что его родители
урегулировали гражданское состояние, что его род древ-
ний, а члены коллегии, «босоногие врачи» неизвестно ка-
кого происхождения, отказали ему.
Мотив отказа, безусловно, странный, потому что в то
время общество относилось к побочным детям крайне тер-
пимо. Незаконнорожденными были, например, папа Кли-
мент VII, а также его племянник, Александр Медичи, рож-
денный рабыней и женившийся на Маргарите, незаконной
дочери Карла V.
Отказ коллегии врачей означал для Кардано невоз-
можность медицинской практики в Милане: миланские
врачи не хотели с ним сотрудничать и чинили всяческие
препятствия.
Кардано возвратился в Сакко, где, как впоследствии
вспоминал, жил радостно и беззаботно. Оп уделял много
времени физическим упражнениям — верховой езде, фех-
тованию, плаванию.
В Сакко Кардано женился на пятпадцатилетней Лючии
Бопдарепи. У них было трое детей — сын Джамбаттиста,
дочь Клара и сын Альдо. Содержать такую семью Джи-
роламо было нелегко. К тому же медицинская практика
в Сакко сложилась неудачно: па седьмой день после начала
лечения умерла женщина, которой Кардано «пускал
кровь»; умер и звонарь местной церкви, принимавший
лекарства Кардано.
С помощью влиятельных друзей осенью 1534 г. Карда-
но удалось получить в Милане сначала место преподава-
теля «геометрии и математики»/в школе, где раньше препо-
давал ого отец, а затем и место врача. В эти годы он напи-
сал много работ по медицине, философии, математике и
чем больше писал, тем глубже опускался в бедность.
После долгих обсуждений в июле 1535 г. коллегия ми-
ланских врачей приняла решение Припять Кардано не в
качестве действительного члена, а па правах практикую-
щего врача, которому запрещено участвовать в заседаниях
коллегии. Некоторые биографы Кардано считают, что
упорство врачей объясняется завистью к Кардано, авто-
ритет которого в связи с его успехами быстро возрастал.
51
Лишь в 1539 г. по протекции знатного вельможи, у кото-
рого Кардано вылечил сына, он был принят в коллегию
миланских врачей, избран ректором коллегии и 22 авгу-
ста 1541 г. удостоен чести нести балдахин Карла V во вре-
мя торжественного шествия в Милане.
Да Кои побудил Кардано в 1538 г. написать первую
книгу по математике — «Практическая арифметика», вы-
шедшую в 1539 г. Книга была встречена весьма холодно
на родине автора и с большим одобрением во Франции и
Германии. Нюрнбергский издатель А. Осиапдер выпустил
книгу вторым изданием, на фронтисписе Кардано поместил
изречение: «Никто не пророк в своем отечестве». Осиандер
предложил Кардано на свои средства печатать и другие
его сочинения. Это было началом славы Кардано в области
знаний, отличных от медицины.
В 1543 г. Кардано преподавал медицину в Павии,
а в 1544 г. вернулся в Милан. К этому времени он пользо-
вался широкой известностью как врач и как превосходный
лектор. Несчастья не оставляли его: в 1546 г. в возрасте
31 года умерла его жена Лючия, подорвавшая здоровье
в суровые годы нужды и самопожертвования. Кардано
остался один с тремя детьми, мучимый жестокими присту-
пами подагры.
В 1545 г. вышла в свет знаменитая книга Кардано «Ве-
ликое искусство, или. об алгебраических правилах» («Ars
magna sive do regulis algebraicis»), содержащая решение
уравнений третьей и четвертой степеней.
В 1552 г. Кардано принял предложение архиепископа
Джона Гамильтона поехать в Шотландию лечить его. Он
потратил па лечение целый год и довел его до благополуч-
ного исхода. В Шотландию он ехал через Францию, обрат-
но — через Голландию и Германию, всюду встречал лест-
ный прием и сумел завязать обширные знакомства.
С 1553 по 1558 г. он прожил в Милане, хотя получал
выгодные предложения от короля Франции и королевы
Шотландии. Это были самые счастливые его годы: удача
сопутствовала ему в медицинской практике, он продук-
тивно писал сочинения, общий уровень его жизни был до-
статочно высоким. В 1554 г. он написал книгу по астроло-
гии («О значении звезд»), где поместил гороскоп Христа и
дату конца света. Гороскоп остался незамеченным, но че-
рез несколько лет послужил поводом многих несчастий
Кардано.
52
С 1559 г. Кардано снова жил в Павии, он — профессор
медицинского факультета университета. По и здесь его
продолжали преследовать недоброжелатели. В Сенат уни-
верситете! поступило заявление, в котором говорилось, что
Кардано читать лекции не умеет, в результате чего студен-
ты к нему на лекции не ходят, что он близок к слабоумию,
что в медицине придерживается странных мнений, поэтому
в Милане не был принят никем и пе имел медицинской
практики. Заявление пе нанесло Кардано никакого вреда,
поскольку присутствующие на заседании Сената знали
многих видных граждан, которых успешно лечил Кардано.
С 1562 г. Кардано преподавал в университете Болоньи.
Слава его все время росла; его сравнивали с Гиппократом.
В 1570 г. Кардано попал в тюрьму. В своей «Автобио-
графии» о причинах осуждения он не пишет. Версии био-
графов различны: обвинение в «черпой магии» и наговоры
завистников, обвинение инквизиции в связи с опубликова-
нием гороскопа Христа, большие долги Альдо; предпола-
гались и другие причины, совершенно абсурдные.
После двухмесячного заключения Кардано вернулся
домой и еще 86 дней находился под домашним арестом.
На него были наложены многочисленные эпитимии,
В частности, ему было рекомендовано воздержаться от пре-
подавания и публикации книг.
Высокопоставленные друзья настаивали на том, чтобы
Кардано покинул Болонью и отправился в Рим искать по-
кровительства папы. В конце 1571 г. он действительно
переехал в Рим, в 1573 г. получил от папы пожизненную
пенсию. Тогда же он сжег 120 своих книг, отчасти из-за
того, что некоторые из них в чем-то отклонялись от цер-
ковных догм.
В последние годы Кардано был нелюдимым, много раз-
мышлял в уединении, приводил в порядок рукописи.
Умер Кардано в Риме 20 сентября 1576 г. Обстоятель-
ства смерти его неизвестны.
О смерти Кардано сложилась легенда, будто бы он со-
ставил свой гороскоп и для подтверждения правдивости
«науки» в соответствующий день умертвил себя. Однако
в действительности Кардано «назначил» свою смерть па
5 декабря 1573 г., т. е. па три года ранее.
Свою внешность Кардано описывает так: среднего рос-
та, ноги короткие, грудь узкая, шея длинная и топкая,
подбородок раздвоенный, толстая отвисшая нижняя губа,
53
маленькие полузакрытые глаза, широкий лоб, черные во-
лосы, низкий и неприятный голос, светло-розовое продол-
говатое лицо, торчащее адамово яблоко.
4
Кардано много писал. Вероятно, это объясняется пе
только могучим желанием увековечить себя в памяти
потомков: ему было о чем писать. Рукописи он готовил
тщательно, переписывал от трех до десяти раз. Иногда
получалось так, как с трактатом «О разнообразии вещей»,
первоначальный объем которого был только 4 листа, а в
окончательном варианте рукопись содержала 66 листов.
Книги Кардано имели энциклопедический характер.
Они содержали научные наблюдения, сведения о состоя-
нии наук, техники, верований, суеверий, алхимических
опытов, магии, астрологии, хиромантии. Трактаты «О тон-
кости» («De subtilitatc», 1550 г.) и «О разнообразии вещей»
(«De return varietate», 1554 г.) дают наиболее полное изло-
жение состояния естественных и физических наук XVI в.
Трактатом «О тонкости» во Франции пользовались как
учебником в течение всего XVII в. Таковы же и основные
работы Кардано по математике. Несмотря на то, что Кар-
дано сжег сначала девять своих книг, а в конце жизни
еще 120, в Лионе в 1663 г. было издано его собрание сочи-
нений, состоящее из десяти больших томов.
Кардано был выдающимся представителем последних
десятилетий «предрассветной эпохи». Не следует забывать,
что ко времени его смерти жили уже Кеплер и Галилей и
до их грандиозных открытий оставались считанные десят-
ки лет. Кардано как бы предчувствовал приближение
повой науки и пе полностью следовал средневековым кано-
нам, хотя и считал себя правоверным и ортодоксальным
католиком, искренне придерживался учений Аристотеля
и Платона, был последовательным астрологом.
Рассмотрим основы мировоззрения Кардано. Не будем
подходить к оценке его творчества с очень строгими кри-
териями: каждый век имеет свои неразрешенные пробле-
мы, передаваемые по наследству потомкам. Верят же и
сейчас, в наш просвещенный век, в такие феномены, как
летающие тарелки, инопланетяне, Бермудский треуголь-
ник, чудовище озера Лох-Несс, снежный человек, о кото-
рых сложено много небылиц.
54
Верный сын католической церкви, Кардано начинает
исследование системы мира с бога. Оп говорит, что бог —
первопричина, первоисточник всего существующего в ми-
ре. Он — свет, освещающий все, по сам может быть только
собой, так как бесконечно превосходит ограниченное по-
нимание сотворенных и коночных.
Первый практический вопрос, связанный с признанием
бога,— вопрос о бессмертии души. Именпо здесь одно из
основных колебаний Кардано в ортодоксальной вере. Оп
говорит: «Знаю, что душа бессмертна, но пе знаю, как»3.
За это высказывание ему доставалось от иезуитов, осо-
бенно в XVII в.
Кардано — последователь Аристотеля и в основу
строения мира ставит «элементы». Но в отличие от Аристо-
теля, считавшего первоосновой землю, воду, воздух и
огонь, Кардано оставляет только три первых элемента.
Он говорит: «Таким образом, есть только три элемента:
1) земля, т. е. плотнейшее, самое холодное; 2) воздух,
самый рыхлый, мягкий; 3) вода, среднее между обоими».
Он утверждает, что поскольку все тепло приходит от
звезд, то «чистые» элементы лишены всякого тепла и со-
вершенно холодны; он говорит о тепле звезд как о каче-
стве неба: «Мне кажется, что небесное тепло есть субстан-
ция лучей звезд, но оно неотделимо от света». Однако
«Солнце, по моему мнению, само тепло. Поэтому понятно,
почему оно греет».
Вслед за Аристотелем Кардано пе признает пустого
пространства: «Так как материя сначала была, как она
есть, и объем мировой сферы заполнен и пе может исчез-
нуть, то пустое пространство нельзя предположить, ибо
такое предположение снимает вовсе материю». Каждое
тело имеет душу: «В каждом теле должна быть душа как
начало создания и движения; все тела имеют собственной
движение, легкие — вверх, тяжелые — вниз, хотя ни-
какая сила их не гонит и место, к которому тело стремится,
его пе притягивает, так что пет ничего, кроме души, что
движет тело».
Земля, по представлению Кардано, круглая, непод-
вижная, находится в центре Вселенной, и все это дока-
зано математиками. Опа так же не может сдвинуться
2 Большое количество ссылок сделало бы текст неудобным для чте-
ния. Поэтому укажем только, что в основном цитируются «Бе
sublilitate», «De rerum varietatc»,
55
с места, как пебо остаться без движения планет и комет,
Солнца и Луны. О воде Кардано пишет: «Так как можно
было опасаться, что воздух или лучи Солнца могли ей по-
вредить, ей придано значительное движение; вода без дви-
жения переходит в гниль. Если бы люди не питались, то
в воде не было бы необходимости, а теперь опа необхо-
дима». А вот объяснение приливов: «Причина приливов
и отливов есть, как я думаю, соленость моря и движение,
которое море получает от Луны». Это высказывание очень
интересно. Известно, что Кеплер считал причиной прили-
вов Луну, Галилей же не только не признавал связи
между Луной и приливами, но и вышучивал мнение Кеп-
лера. Вероятно, во времена Кеплера представление о свя-
зи приливов с движением Луны было довольно распростра-
ненным.
По мнению Кардано, воздух, подобно воде, всегда дол-
жен быть в движении, чтобы «не портиться». От «порчи»
воздуха может быть чума 4.
Для схоластической науки характерно то, что она
базируется на построениях ума, зачастую противореча-
щих опыту. Такие противоречия прослеживаются в науч-
ных трудах вплоть до работ великого Декарта, считавшего,
что ум — главный поставщик схем и теорий.
Приведем образец схоластических рассуждений Кар-
дано. Воздух приходит в быстрое вибрирующее движение
под действием светил, подобно движению воды от Луны.
Ветры получаются не от воздуха, а от Солнца, потому что
опо вызывает испарения и притягивает. «Поэтому в очень
теплых и очень холодных странах, где мало испарений и где
они быстро уничтожаются, ветры реже и слабее, чем в сред-
них широтах».
Достаточно вспомнить разрушительные ураганы тро-
пиков и жестокие бури арктических широт (что известно
сейчас каждому школьнику), чтобы понять, что действи-
тельность играла незначительную роль в измышлениях
схоластов о природе 5 6. Возникновение ветра впервые пра-
4 Чума на родине Кардано свирепствовала в 1456 г., когда болел
его отец, в 1501 г., когда умерло трое детей Клары Мичерии,
в 1503 г., когда болел сам Кардано, в 1524, 1528, 1529, 1541 гг.
6 Иногда Кардано ссылается и на опыт. Он не согласен с мнением,
что рыбы дышат воздухом, поскольку «...вокруг рта не видно
иены; это убедительное доказательство того, что не все рыбы вды-
хают воздух».
вильно объяснил Э. Торричелли (1608—1647) через 80 лет
после Кардано.
Кардано истолковал и возникновение молнии: «Молния
появляется оттого, что в уплотненном воздухе зажигается
заключенное там серное испарение, как в орудии; зажжен-
ное испарение занимает большое пространство, разрывает
облака с большой силой».
В той же схоластической манере по числу известных
тогда небесных тел он устанавливал число различных ме-
таллов: «Не может быть более семи металлов, по числу
планет». «Солнцу соответствует золото, Луне — 'серебро,
Меркурию — ртуть, Марсу — железо, Сатурну — сви-
нец, Венере — медь, Юпитеру — олово».
Оккультные связи металлов с планетами обусловлива-
ют и эще одну зависимость. Речь идет о магической силе
печатей, изготовленных из металлов. Печать, сделанная
из золота, связана с Солнцем. Она определяет высокое до-
стоинство человека, доставляет благосклонность князей
и прочие блага. Печать Луны (из серебра) дает благосклон-
ность парода, Венеры (из краспой меди) — наслаждения,
Марса (из железа) — храбрость и т. д.
При знакомстве с металлами сам собой возникал ост-
рейший вопрос средневековья: реально ли превращение
металлов в золото? В этом вопросе Кардано не так легко-
верен, как большинство алхимиков тех времен. Он счи-
тает, что в золото можно превратить только серебро.
«Серебру, чтобы стать золотом, нужны только большая
плотность, вес, цвет. Кажется, искусство может это сде-
лать».
У Кардано были работы по механике. Интересно его вы-
сказывание о движении тела, брошенного под углом к го-
ризонту. «Движение брошенного тела состоит из трех:
сначала — естественное, в конце — искусственное, в се-
редине — сложное, состоящее из обоих». Бессилие поз-
нать движение сквозит в словах: «Эти сложные отношения
не позволяют точно измерить движение, а только угады-
вать». Путаницу схоластов в этом вопросе механики, как
и во многих других, предстояло разрешить Галилею.
Кардано считал, что все цвета получаются от смешения
двух основных — белого и черного, что цвета могут быть
приятны глазу лишь в тех соотношениях, в которых топы
приятны уху. Таким образом постулировалось семь глав-
ны х цветов. Например-, зеленый цвет состоял из трех
57
частей белого и одной черного, желтый — из двух частей
белого и одной черного, пунцовый — из полутора частей
белого и одной черного. Горящий уголь красного цвета,
потому что белая часть огня смешивается с черной угля.
Первый приятный цвет — зеленый: красные фрукты (виш-
ня, черешня) сначала зеленые, а потом только красные.
Большое место в творчестве Кардано занимала астро-
логия. Вера в астрологию входила в систему его взглядов
как один из элементов мировоззрения. Он писал: «Мне
кажется, мы должны признать, что формы и содержание
всего живого были уже с самого начала определены влия-
нием звезд». А также: «Относительно звезд и их тайной
силы, с которой они правят всем происходящим, никто не
может сомневаться. Я пе могу надивиться тому, что неко-
торые упускают из вида это влияние звезд... и то бога, то
демона, то случай привлекают как объяснение всех явле-
ний. Если бы злые духи могли производить такие дейст-
вия, они давно бы уничтожили род человеческий, который
они ненавидят». Бог, демоны, фантастические существа,
населяющие землю, звезды,— все это составляло единую
систему, последовательную и стройную в глазах средневе-
кового ученого.
Кометы играли почти такую же фатальную роль, как и
звезды. Считалось, что они производят ветер, их воздейст-
вие на воздух влечет смерть слабых, стариков. Обыкно-
венно появление кометы вызывает засуху, бесплодие поч-
вы, мятежи и войны. Часты также и неумеренные дожди.
Астрологи предсказывали судьбу отдельных лиц, на-
родов, городов, объясняя ее влиянием звезд и планет на
земную жизнь. Идея предсказания судьбы человека по
рождению состояла в том, что устанавливался пункт эк-
липтики, в котором она в момент его рождения пересекала
горизонт на востоке. Этот пункт назывался позицией рож-
дения, или гороскопом. Считалось, что человек есть микро-
косм творения, воспроизводящий характерные черты мак-
рокосма, и в различных положениях планет и зодиакаль-
ных созвездий отражалась душа человека.
О себе Кардано писал: «Приговорен к смерти в раннем
детстве обильным выделением пота, ... редкими зубами,
изувеченной правой рукой. Линия жизни на ладони ко-
роткая, неровная, прерывистая, разветвленная; другие
линии неопределенные и косые. Почти все предсказывали
мою жизнь не больше 45 лет, но то, что произошло, объяс-
58
яяется не погрешностями искусства, а недомыслием астро-
логов».
Растения и животные, по мнению Кардано, имеют ду-
ши. Функции этих душ по сравнению с душой человека
примитивны. Ио дуб, например, ненавидит камыш так
сильно, что засыхает, если его окружить оградой из камы-
ша, и даже тень от камыша вредит дубу.
Тело животных состоит из влажности, которая вмещает
дух, определяющий движения, представления и чувство-
вания, и из чего-то твердого, служащего орудием дви-
жения. '
Из рассуждений Кардано следует, что он допускал воз-
никновение некоторых видов животных из гнили. «Тех
животных, которые имеют определенное начало и совер-
шенное устройство пищеварения, мы называем имеющими
кровь, или совершенными, тех же, которые пе имеют
сердца, печени, почек, легких,— бескровными и несовер-
шенными... Многие несовершенные размножаются, я ска-
зал бы, без отца, от действия солнечного тепла иа гниющую
или бродящую материю».
Вопрос о зарождении животных при гниении пе об-
суждается: Кардано убежден в такой возможности. Но и
не он придумал возможность самозарождения. О нем
упоминали Аристотель, Лукреций (98—55 гг. до п. э.),
Плиний Старший (23—79), Фома Аквинский (1225—1274).
Убеждение в возможности и необходимости самозарож-
дения было так сильно, что даже в середине XIX в.
Л. Пастер (1822—1895)] был вынужден ставить опыты
для опровержения этой гипотезы.
Хотелось бы еще раз повторить, что не следует подхо-
дить к оценке приведенных высказываний Кардано слиш-
ком строго. Это тем более справедливо, что всего несколько
десятилетий назад в пашей печати] обсуждались вопро-
сы возникновения жизни из структур, аналогичных «гни-
ли» Кардано. Предрассудки и шарлатанство живучи. Нс
зря сказано, что легче расщепить атом, чем предрассудок.
Зарождение из «гнили» Кардано объясняет так:
«... гниющая материя сама имеет животную жидкость или
некоторые животные отбросы, так что отсюда может что-
нибудь возникнуть, например, шершни, мухи. Но все эти
созданьица малы, так как материя, необходимая для их
создания, собирается лишь случайно. Поэтому такие
животные не могут обладать сильным умом, а часть из
59
пих не имеет никакого. В них также отсутствует и творче-
ская сила».
В таких делах опять же велика роль звезд: «Если под
влиянием неба и звезд могут рождаться животные из гли-
ны и грязи, то почему пе могут рождаться из яиц, оплодо-
творенных непосредственно под влиянием неба?»
Млекопитающие представляют собой совершеннейший
вид из всех животных. А человек — венец творения при-
роды (бога, ио выражению Кардано). С какой целью бог
создал человека? Вопрос, существенный для верующего,
видящего во всяком творении некую определенную цель.
Кардано так отвечает на пего: человек создан для позна-
ния божества, для установления связи божественного со
смертным, поскольку душа соединяется со смертной обо-
лочкой именпо в человеческом теле; для господства над
всем смертным, для воплощения в жизпь (внедрения,
сказали бы мы сейчас) «идей» бога.
Кардано считал, что не подлежит сомнению мудрость
человека, обладающего божественной душой. Эта муд-
рость привела к тому, что все существующее кажется со-
творенным для него. Но это пе совсем так: каждое живот-
ное создано ради пего самого, а не то, что ворона, напри-
мер,— для сокола, а сокол — для человека и т. д. И нс
только мудрость человека является благоволением бога:
«Строение тела человека так искусно, что оно указывает
на бога как его создателя».
Особенности души определяют интеллект человека.
«Душа сама по себе неутомима»,— утверждает Кардано.
Но тут есть топкости: «...Так как душа должна принуж-
дать к действию животный дух, а этот дух легко слабеет,
то многие устают прежде, чем достигнут окончания иссле-
дования, и душа остается погруженной в себя. Это состо-
яние — высочайшее совершенство и счастье человека».
Разум обладает двумя «силами»: способностью позна-
ния и способностью желания. «Первая — теоретизирую-
щая, или спекулятивная, вторая — практическая, от-
части же эти силы различаются тем, что способность
познания проявляется в познании предмета, ... способ-
ность же желания переносится на предмет как на нечто
вне инее ему».
Вот мысли Кардано о совершенствовании души:
«Душа добивается своей чистоты искусством и науками,
умеренностью и воздержанием, честностью. Поэтому те
60
большей частью способны воспринять божественный свет,
кто посвящает себя спекулятивным наукам».
Если в этом высказывании заменить расплывчатое
понятие «душа» на конкретное «человек» и отбросить
рассуждение о божественном свете, то, по-видимому, под
ним мог бы поставить свою подпись любой из нас. Однако
разобраться в существе — дело философов и психологов.
Чистота души, считал Кардано, обеспечивается наука-
ми и искусством. Он приводит список их. Искусства и
науки: чистая геометрия Евклида; алгебра, или великая
арифметика; музыка и ее математико-теоретическое уче-
ние; оптика, диоптрика, катоптрика 6, перспектива;
метеорология, поскольку она предсказывает погоду, не-
урожаи, болезни; божественные науки; искусство писать
книги. Список невелик из-за того, что многие естественные
пауки не получили еще достаточного развития. Примеча-
тельно, что набожный Кардано поставил божественные
науки в конец списка.
Кардано регламентирует деятельность человека сле-
дующим принципом: «Оценка цели не должна исходить
из ее экономической пользы, но больше из возвышенных
идей, красоты. Грубая польза означала бы, что нужно
предпочесть земное небесному, человеческое божьему и
грубо практическое умозрительному».
5
Как ни странно, вера Кардано в астрологию, предви-
дения, сновидения прекрасно уживалась с прогрессивны-
ми взглядами по многим гражданским и этическим во-
просам.
На своем веку Кардано видел много войн и неодно-
кратно присутствовал при вторжении завоевателей. Час-
тые переезды его в основном связаны с тем, что развернув-
шиеся в каком-либо месте военные действия препятство-
вали учебе и работе. Он считал войну грязным делом и
называл битву глупостью и скотством.
«Солдаты, — писал он, — за тридцать сребреников
зимой спят на голой земле, иногда — в воде, иной раз —
под солнцем, в пыли, не имеют пищи и воды. Они ничем
6 Диоптрика — учение о преломлении, катоптрика — об отраже-
нии. Оба термина в науке пе сохранились.
61
не владеют, и все это для того, чтобы умереть или заста-
вить умереть. Без добродетели, без стыда, без надежды
отдают они собственную жизнь по пустым мотивам.
Имеют как сокровище все, что ненавидят у других: гнев,
грязь, голод, жажду, бедность, бессонницу, жару, холод,
пыль. А то, что украшает других — почет, вера, скром-
ность, удобства, справедливость, честность, отличие,—
для них пороки».
В то далекие и жестокие времена получило широкое
распространение покровительство знатных господ. Не
было исключением из общего правила и сословие врачей.
Во взглядах Кардано на свою профессию просматривается
глубокое уважение к ней, выступает чувство собственно-
го достоинства. Он писал: «Врач должен заниматься свои-
ми делами, а не оказывать помощь великим за награду, а
если принужден, то лучше делать это бесплатно и эпизо-
дически».
Он осуждал тех врачей, которые из боязни противоре-
чить авторитетам безнаказанно «убивают больных». Вра-
чи, по словам Кардано, не озабочены изучением болезней,
применяют средства «эмпирические и иррациональные»
и приводят к смерти даже тех, кого «природа назначила
к выздоровлению». «Теперь умирают от невежества вра-
чей, которых можно назвать варварами».
Несмотря па то, что Кардано очень высоко ценил зна-
менитого римского врача Галева (131 — ок. 200), он был
первым из тех, кто осмелился оспаривать ряд положений
учения этого врача, считавшихся каноническими.
Кардано считал, что дело суда — не только вершить
вендетту, а исправлять, поддерживать несчастных, «уте-
шать печали». Судьи должны рассматривать не только
факты сами по себе, но и все обстоятельства, проникать
в существо вины, принимая во внимание невзгоды, не-
справедливость, вызывавшие страдание и озлобление ви-
новного, его моральные качества, степень раскаяния.
У осужденного могут быть малые дети или престарелые
родители, о судьбе которых он обязан заботиться. При-
говоренный к казни может быть представителем знатного
рода, и на нем этот род оборвется. Кардано писал, что ни
одно действие римского императора Августа (63—14 гг.
до и. э.) не имело большего достоинства, чем отмена смерт-
ного приговора виновному по той причине, что он был по-
следним потомком павшего в битве спартанского героя.
62
Кардано занимали вопросы воспитания. Он посвятил
им несколько книг. Рекомендованные им методы и мораль-
ные концепции заслуживают внимания и сейчас. Он
выступал против телесного наказания детей, считал, что
воспитывать следует не грубостью подавлением, а
убеждением и заботой.
Особое внимание Кардано обращал на воспитание
сыновей. Лучшим воспитателем сына является отец, по-
тому что никто лучше его не знает пороки сына, так же
как свои и жены; дети же наследуют порочные тенденции
родителей и дедов.
Отец должен подавлять свой гнев, прежде чем наказы-
вать сына, и не запугивать ребенка последствиями того
или иного поступка. «Думайте о печали и укорах, которые
будут терзать вас, когда сын, объект больших трудов,
бодрствований и жертв, умрет. Никто не может предста-
вить тоску отца, лишенного собственного создания».
Кардано отмечал, что перед людьми его круга могут
открыться в жизни три возможности: красть, нищенство-
вать и работать. Первый путь опасен, низок и по может
продолжаться долго; второй некрасив и не обеспечивает
удобств жизни; остается только третий — ему и необхо-
димо следовать.
Кардано пытался найти объяснение, почему часто
одаренные люди имеют плохое потомство. Они достигли
высшей степени мудрости и осторожности, высказывания
их получают всеобщее одобрение, ошибки их терпят или
не замечают. Иное дело сыновья: они по обладают доста-
точным опытом. Неуспехи mi не прощаются, доставляют
презрение; вера в отцов оборачивается неверием к сы-
новьям.
А вот взгляды Кардано на брак. «Без правильно орга-
низованной семьи не может существовать государство».
В отличие от животных, не знающих обязанности воспиты-
вать потомство, человек заботится об этом, поэтому мно-
гоженство и многомужество исключаются. Мужчина со-
единяется в браке с одной женщиной, и брак должен быть
нерасторжим, поскольку разводы расшатывают общие
семейные связи. «Простая возможность развода есть уже
сама по себе причина уклонения от идеалов в любви».
Кардано утверждал нерасторжимость брака в то же самое
время, когда реформатор церкви Лютер (1483—1546)
проповедовал двубрачие.
63
По представлению Кардано, прежде чем вступать
в брак, мужчине нужно располагать средствами против
нужды и «искусством», которое позволило бы обеспечи-
вать расходы будущей семьи. Следует позаботиться о том,
чтобы брак не стал причиной противоречий семей роди-
телей мужа и жены. Возрасты супругов должны быть
близки, чтобы не вызывать насмешек. В согласии с
женой мужчина принимает обязанности главы семьи.
Жена, в свою очередь, обязуется повиноваться мужу,
обеспечивать хороший порядок в доме. Жена не должна
быть сварливой и драчливой, вроде Ксантиппы, жены
Сократа.
6
Деятельность Кардано состояла в чтении лекций по
медицине и математике, лечении больных; сюда же
можно отнести выступления на судебных процессах,
«опыты» в астрологии, игру в шахматы и кости 7. По всем
этим областям он написал книги, не оставив без внимания
и азартные игры. В «Практике общей арифметики»
(1539 г.) Кардано решал задачу о разделении ставки
между двумя игроками, когда игра прервана до того, как
один из игроков выиграл определенное число партий.
В работе «Об азартной игре», опубликованной лишь
в 1663 г., Кардано фактически пользовался теоремами
сложения и умножения вероятностей. Основатель теории
вероятностей Я. Бернулли (1654—1705) в классической
книге «Искусство предположений», вышедшей в 1713 г.,
ссылается па Кардано.
Кардано написал книгу, содержащую сто гороскопов
своих друзей и великих людей — Дюрера (1471 — 1528),
Петрарки (1304—1374), Везалия (1514—1564) и др. Не
будет ошибкой предположить, что составление гороско-
пов требовало больших вычислений, связанных с опре-
делением положения светил.
Основные исследования Кардано посвящены филосо-
фии, медицине, математике, астрологии. Все они, конечно,
устарели. Один трактат (о сифилисе) оказался утерянным.
Он был бы интересен, поскольку это первое иссле-
7 Кардано играл в шахматы 40 лет, в кости 25 лет.
64
дование появившейся тогда и быстро распространившей-
ся в Европе болезни8.
Кардано считался первоклассным лектором, успешно
выступал на научных диспутах, излечивал многих боль-
ных, когда другие врачи были бессильны что-либо сде-
лать, выиграл несколько судебных процессов, считался
знатоком в церковном и гражданском делах и часто при-
глашался знатными людьми как эксперт; слава его все
время росла. Вместе со славой росло и число завистников,
недоброжелателей из его менее удачливых коллег.
Кардано тщательно изучал древних авторов, языки,
занимался лексикой, чтобы улучшить стиль своих лекций
и книг. Он достиг больших успехов в диагностике. За
восемь лет жизни в Болонье пи одному из его коллег но
удалось подвергнуть сомнению его диагнозы. Но он не
приписывал свои успехи «везению». Вот его слова;
«В конце концов в нашем искусстве не следует говорить
о счастье, так же как счастье пе требуется брадобрею
для бритья или музыканту, чтобы петь или играть на его
инструменте. Врач, однако, может назвать себя счастли-
вым, когда сражается с болезнью, которую до него счи-
тали неизвестной или для которой нужен специальный
опыт... Но искусство, поскольку есть искусство, пе то же,
что фортуна...».
Кардано отмечал трудности работы врача, например,
такими деталями; сравнивая условия жизни Гиппократа
и свои, указывал, что Гиппократ жил в более умеренном
климате и располагал более вкусным вином.
Так же, как и во всем остальном (кроме, разве, содер-
жательной части математики), врачебная деятельность
Кардано и его воззрения по медицине полны контрастов-
вера в науку соседствует с фантастическими измыш-
лениями.
По мнению Кардано, у человека «...тончайшая субстан-
ция всего тела есть дух, за которым следуют: желчь,
жир, костный мозг, артериальная кровь, молоко, веноз-
ная кровь, черная желчь, мокрота, субстанция мозга,
легкие, мясо, селезенка, печень, артерии, нервы, кожа,
8 В 1530 г. поэт и врач Фракасторо (1478—1553) опубликовал на-
писанную латинскими стихами поэму, содержащую описание
симптомов новой болезни, рекомендуемых лекарств, профилак-
тики, гигиены. В пей фигурирует пастух Сифило, которого боги
покарали страшной болезнью. Его имя и унаследовала болезпь.
3 в. А. Никифоровский
65
связки, хрящи, кости». Достаточно было фантазий и
в объяснении болезней.
Одна из интереснейших страниц врачебной деятель-
ности Кардано — фармакология. Главная ее особен-
ность — лечебное применение драгоценных камней, жем-
чуга (прием внутрь в виде порошка, прикосновение
к больным местам и т. д.). Кардано и себя лечил драго-
ценными камнями: клал их на ночь под подушку, носил
камни на шее. И все же часто болел.
Кардано писал, что алмаз, привязанный к обнаженной
левой руке, прогоняет ночные страхи, в чем «сам имел
немало случаев убедиться». Другие камни, по мнению
Кардано, обладают аналогичными свойствами. Прило-
женный к больному месту сапфир излечивает ожоги и
нарывы. Если смарагд носить в кольце, а еще лучше —
под языком, то он способствует подтверждению во сне
правильности высказанного ранее утверждения (в част-
ности, диагноза). Если его пить в растворенном виде,
он действует против ядов. Аметист имеет свойство укреп-
лять память. Карбункул бледнеет при заболевании чело-
века, носящего его па шее. Не уступает драгоценным
камням и жемчуг, который следовало принимать внутрь
в порошке.
В наивной вере в лечебные свойства драгоценных кам-
ней Кардано не был одинок. Такие авторитеты, как Пара-
цельс (1493—1541), Чез альпино (1519—1603), пе только
признавали такие свойства, по и установили соответствие
рубина огню, изумруда — земле, алмаза — воде, сап-
фира — воздуху, отразив в драгоценных камнях все
стихии Аристотеля. Но Кардано пе соглашался с уста-
новившейся тогда простой схемой применения драгоцен-
ных камней: оп пе верил, что введенные в «жизненные
соки» порошки излучают духов, способствующих выздо-
ровлению больного. Его вера в действие камней основы-
валась прежде всего на их каббалистическом могуществе,
на способности дарить богатство, радость, счастье и здо-
ровье.
Большая роль в лечении больных отводилась также
рогу единорога. Единорог — сказочное животное вроде
коня, с заостренным рогом на лбу. О нем писали многие,
в том числе знаменитый путешественник Марко Поло
(1256—1323), уверявший, что в одном из царств, насе-
ленных лесными людьми, он видел живого единорога.
66
Порошку из кости единорога приписывались лечебные
свойства, он должен был помогать при эпилепсии, кон-
вульсиях, головных болях и других тяжелых заболева-
ниях. По пути в Шотландию, в Париже, Кардано будто
бы видел целый рог единорога.
Искреннюю веру Кардано в эти лекарства подтвер-
ждает следующий эпизод. Однажды, в то время, когда Кар-
дано обедал, няня спустилась из детской комнаты и ска-
зала, что Альдо умирает. Отец прибежал к сыну и дал ему
порошок из кости единорога с жемчугом и драгоценными
камнями. Мальчика вырвало (и это вполне естественно).
Кардано дал ему тот же порошок снова. Результат по-
вторился, после чего ребенок заснул. Через три дня оп
выздоровел, что с точки зрения любого человека наших
дней вовсе не доказывает лечебных свойств порошка,
однако для Кардано это было вполне убедительно.
Но не только драгоценные камни, жемчуг, кость еди-
норога могли применяться как лекарства. Такие же свой-
ства приписывались и драгоценным металлам. «Я думаю,—
писал Кардано,— лучшее средство сохранить долгую
жизнь — пить раствор золота, когда его можно приго-
товить без азотной кислоты или других средств отрав-
ления».
Приведем еще одну рекомендацию Кардано. Самосская
земля (т. е. земля с острова Самоса) быстро сохнет, и он
считал, что поэтому при чуме и туберкулезе, происходя-
щем от нарывов в легких, она очень действонна.
Было бы неправильно из сказанного сделать вывод,
что все в те далекие времена было примитивным. Вероят-
но, наука располагала методами профилактики, диагно-
стики и лечения многих достаточно изученных в течение
веков болезней и соответствующими лекарствами. Но
они прекрасно уживались с не имеющими никакого науч-
ного обоснования каббалистическими измышлениями,
с верой в предсказания. Такое сочетание наблюдается
даже у передовых мыслителей, к которым, безусловно,
принадлежит и Кардапо. Правильнее усмотреть в этом,
как извилист и тяжел был путь к истине.
Природный здравый смысл и профессиональная наблю-
дательность Кардано приводили и к приемлемым реко-
мендациям. Он писал, например: «Лучшая пища — плоды
деревьев, свежее молоко, растительное масло, мед, сахар,
хлеб». Такое предписание не может вызвать ничего, кроме
з*
67
доверия. Но крупица истины тонет в беспочвенной фан-
тазии. Вот продолжение высказывания: «Питаясь ими,
пароды Индии достигают 100, 150 и даже 300 лет».
И все же Кардано принадлежат многие идеи в меди-
цине, сообщившие ей значительный прогресс. Оп открыл
эру индуктивно-экспериментальной медицины и связывал
ее дальнейшие успехи с экспериментом, сформулировал
основы криминальной антропологии. Родоначальник
антропологического направления в буржуазной кримино-
логии и уголовном праве Ломброзо (1835—1909) называл
Кардано своим предшественником. Кардано предложил
приучить мышей переносить воздействие яда аконита,
вводимого им с сыром или мукой, чтобы затем применять
соответствующий препарат при лечении людей, отравлен-
ных аконитом. Он высказал предположение, что кровь
журавлей и аистов, питающихся рептилиями, содержит
субстанции, способные извлекать из организма человека
яды насекомых и змей. В этих вопросах оп приблизился
к современной терапии сыворотками и вакцинами. Кар-
дано был первым, кто утверждал, что глухонемые одаре-
ны умом так же, как и другие люди, и что их можно
научить читать и писать, вопреки установившемуся тогда
мнению о невозможности обучения глухонемых.
Не в силах объяснить мир, при своей чрезвычайно
подвижной фантазии и впечатлительности, склонности
к телепатии, Кардано погружался в дебри схоластической
философии, мистицизма, фантастики, астрологии и счи-
тал, что полученные такими путями выводы более верпы,
чем доказательства в математике, поскольку первые осно-
вываются па восприятии чувств, а вторые — на недока-
зуемых постулатах.
Ведь вот как описывал он, например, историю одной
из его книг. В первые дни пребывания в Милане к нему
во сне явился умерший отец и показал изящную книгу
в зеленом с золотом переплете, написанную с таким ма-
стерством, что чтение ее вызывало истинное наслаждение.
Едва проснувшись, Кардапо сел писать, испытывая не
меньшее удовлетворение. Сон повторялся, продолжалась
и работа над книгой. Так возник огромный трактат, по-
требовавший 37 месяцев непрерывного труда.
Прежде чем перейти к анализу алгебры Кардано, от-
метим его интересы и успехи в естественных науках. Ои
изучал законы отражения и преломления света, опреде-
68
лил отношение плотности воздуха к плотности воды
(1 : 50), изучал электрические и'магнитные явления, де-
монстрировал невозможность вечного двигателя, в то
время как многие не жалели сил, чтобы его найти; на-
блюдал воздействие не открытого тогда еще кислорода
на пламя свечи, изучал силу расширения водяного пара.
Кардано отверг «боязнь пустоты» как бессмыслицу и
объяснял подъем воды в некоторых опытах разрежением
воздуха над водой. Приливы и отливы оп объяснял воз-
действием Луны и Солнца. Галилей по совету Кардано
при изучении колебаний маятника отсчитывал время по
биению пульса. Кардано решал многие задачи статики.
Были у Кардано и изобретения: усовершенствованная
масляная лампа с автоматической подачей масла; замок,
основанный на соединении букв и предвосхищающий со-
временные замки с вращением дисков с цифрами. Заме-
тим, что известные всем карданный вал и карданов подвес
никакого отношения к Кардано не имеют. Карданов под-
вес был известен античности,
7 ' > •
Вернемся к событиям, приведшим к опубликованию
способов решения уравнений третьей и четвертой степе-
ней. На исходе 1536 г. в Милане появился да Кои. Он
считался хорошим математиком и поддерживал знаком-
ство с Кардано. Да Кои навестил Кардано и сообщил ему,
что в Брешии знают решение уравнений третьей степени
и нашел его Сципион дель Ферро из Болоньи. На вопрос
Кардано, кто знает решение, да Кои указал на Тарталью
из Брешии и Фиоре из Болоньи. Кардано был уверен, что
владельцы способа ревниво его оберегают, к тому же он
был занят другими делами. Поэтому Кардано после раз-
говора не стал заниматься кубическими уравнениями.
В начале 1539 г. Кардано задумал написать большую
книгу по математике, которая представляла бы энцикло-
педию всего известного в арифметике и алгебре. Время
от времени такие книги появлялись в Европе. Достаточ-
но вспомнить написанную в 1202 г. «Книгу абака» Лео-
нардо Пизанского, служившую справочником и руковод-
ством при изучении арифметики и алгебры более двухсот
лет. Естественно, что Кардано хотелось поместить в книгу
и уравнения третьей степени. Он вспомнил разговор
69
•трехлетней давности и 12 февраля 1539 г. отправил Тар-
талье письмо с просьбой сообщить способ решения урав-
нений третьей степени. Уже 18 февраля Тарталья прислал
ответное письмо, но без изложения методов решения.
В результате целого ряда предпринятых Кардано
шагов 25 марта того же года Тарталья приехал в Милан
и встретился с Кардано. Кардано поклялся «на святом
божьем Евангелии и как истинно благородный человек»
никому пе сообщать секрет решения, и Тарталья под
впечатлением клятвы сдался. «Если бы я не поверил такой
клятве,— писал он,— то сам стал бы человеком, не
достойным доверия».
Тарталья избрал необычную форму сообщения сек-
рета: изложил его в терцинах, па манер «Божественной
комедии» Данте (1265—1321). Начало описания. таково:
Quando che’l cubo con le cose appresso,
Se agguaglia a qualche numero discrete,
Tro van dui altri, different! in esso...
(Когда куб с вещами вместе равны какому-нибудь числу,
то найди два других, на него разнящихся...)
В стихотворении Тарталья указал решение уравнения
х3 + ах = Ь, а, Ъ > 0 (1)
в виде
где
, / а \8
и — V = О, UV = -7Г-
\ О / i
откуда и и v находятся как корни квадратного уравнения.
Далее он находил решение уравнения
х3 = ах + &, а, Ъ 0 (2)
в виде
где и + v = b, uv = (а/3) 3.
Там же Тарталья упомянул, что уравнение
х3 + Ъ = аг, а, 6 > О (3)
можно решить с помощью уравнения (2).
70 z
Последнее утверждение очевидно, поскольку между
уравнениями (2) и (3) существует связь, в силу которой их
корпи равны по абсолютной величине, по противоположны
по знаку» Например, уравнение
х? = Зх + 2
имеет корпи = 2, = — 1, уравнение же
х3 + 2 — Зх
— корпи хх = —2, х2.з = 1.
В те времена предпочитали избегать отрицательных
корней уравнений и задачи, приводящие к отрицательным
корням уравнения (2), преобразовывали так, чтобы они
приводили к положительным корням уравнепия (3).
Лишь Кардано позже осознал выгоду рассмотрения отри-
цательных корне т.
Здесь возникают некоторые вопросы. Как пришли
к своему открытию дель Ферро и Тарталья? Этого никто
не знает. Почему дель Ферро пе получил формулу для
решения уравнения (2), зная аналогичную формулу для
уравнепия (1)?Цейтен предполагает, что при рассмотрении
числовых задач (а только о таких задачах и шла речь)
он мог встретиться с неприводимым случаем (о нем будет
сказано дальше), перед которым отступило искусство и
Тартальи, и Кардапо. Тарталья, хваставший своим уме-
нием решать уравнения, может быть, неприводимый слу-
чай не сразу обнаружил или надеялся впоследствии раз-
решить и его.
Почему рассматривались только уравнения вида (1)
и (2)? Этот вопрос простой, и на него дал ответ Кардапо.
Чтобы разобраться в нем, рассмотрим полное уравне-
ние третьей степени
z/3 + ay2 + by + с ~ 0.
Не следует думать, что Тарталья и Кардапо писали
такие уравнения. Нет, так стали поступать намного поз-
же. Записывать все члены уравнения в одной части, при-
равнивая их нулю, начал Декарт. Да и символики но
было, пользовались прообразами символов и словами.
Уравнение х3 + ах = Ь записывалось примерно так:
«куб» (х3) р некоторое количество (а) «вещей» (х) равно
71
данному «числу» (b). Понять можно, но оперировать —
сложно.
Полное уравнение можно преобразовать в неполное,
не содержащее члена с квадратом неизвестней. Сделаем
замену
у = х + а
и подставим в уравнение; получим
xz + (За + а) х2 + (За2 + 2аа + Ъ) х + (а3 +
+ av2 + Ьа + с) = 0.
Положим
За + а = 0.
Найдем отсюда а — — а!3 и подставим в выражения
р = За2 + 2аа + &,
q = а3 + аа2 + Ьсс + с.
Тогда уравнение примет вид
х3 + рх + q = 0.
В нашей символике это уравнение соответствует урав-
нениям (1) и (2), которые решал Тарталья.
Кардано в стихотворении Тартальи не разобрался и
9 апреля 1539 г. послал ему просьбу дать разъяснения.
Переписка продолжалась, 12 мая Кардано подтвердил
данную рапее клятву пе открывать секрета Тартальи и
отправил Тарталье свою только что вышедшую книгу
«Практика общей арифметики». Он, видимо, стал совер-
шенствовать решение Тартальи, по столкнулся с затруд-
нениями в случае, когда решение становится непримени-
мым (неприводимый случай); в письме 4 августа он сооб-
щил об этом. Как только Кардано коснулся неприводимо-
го случая, Тарталья перестал ему отвечать.
В 1545 г. Кардапо нарушил клятву и опубликовал
решение дель Ферро—Тартальи в «Великом искусстве»,
указав, что Тарталье принадлежит честь открытия «такого
прекрасного и удивительного, превосходящего человечен
ское остроумие и все таланты человеческого духа, истинно
небесный дар, такое прекрасное доказательство силы ума,
72
его постигнувшего, что уже ничто не может считаться для
него недостижимым». Несмотря на столь пышное призна-
ние заслуг Тартальи, формула для решения уравнений
третьей степени носит название «формулы Кардано». Не-
которые считают это незаконным.
Чем руководствовался Кардано, решив нарушить клят-
ву, и какова этическая сторона дела? С тех пор прошло
более четырехсот лет, все изменилось, изменились и оценки
поступков. Может быть, сделанный Кардано шаг связан
со следующими событиями. Да Кои в разговоре с Кардано
упомянул болонца Фиоре. Кардано вместе со своим уче-
ником Феррари в 1542 г. посетил Болонью и познакомился
с Фиоре, который показал ему книгу Сципиона дель Ферро
с решением уравнения третьей степени (по некоторым ис-
точникам, это сделал зять дель Ферро, Аннибалл делла
Паве). Таким образом, результат дель Ферро, такой же
как и результат Тартальи, был уже десятки лет известен
другим людям, которые вовсе не делали тайны из него.
Поэтому Кардано мог счесть себя свободным от клятвы.
С другой стороны, известно, что, хотя Кардано в кни-
гах не щадил себя, описывая свои пороки, от избытка
скромности он не страдал. Оп говорил, например, что в те-
чение шести тысяч лет на земле было всего шесть стоящих
врачей, среди которых называл и себя. В «Автобиографии»
он сообщил, что описал приемы лечения наиболее трудно
излечимых болезней, всего до пяти тысяч. В том числе —
применение конского волоса при водянке. Число разра-
ботанных им проблем и вопросов, по словам Кардано, до-
ходит до 40 тысяч, а более мелких указаний — до 200 ты-
сяч.
Тарталья был глубоко обижен поступком Кардано. Он
давно собирался написать книгу об уравнениях, но откла-
дывал из-за занятости другой работой. Не прошло и года
после выхода книги Кардано, как Тарталья выпустил
«Вопросы и различные изобретения», где осветил историю
своих взаимоотношений с Кардано. Оп называл в ней Кар-
дано невеждой, «беднягой со скудным содержанием».
Феррари, не стерпев оскорбления учителя, послал
10 февраля 1547 г. Тарталье вызов па публичный диспут.
Вызовы (картели) и ответы продолжались около полутора
лет. Как говорят, они содержали «ругательства с рыбного
рынка». Ссора закончилась 10 августа 1548 г. диспутом
Феррари с Тартальей, принесшим поражение Тарталье.
73
Такова история вопроса. К сожалению, она не вполне до-
стоверна, поскольку источники противоречивы 8.
Выведем теперь формулу Кардано. Вывод может пока-
заться крайне простым, но надо помнить, что задача ждала
разрешения около двух тысячелетий. Дель Ферро и
Тарталья угадали вид иррациональности, которую долж-
ны иметь корни уравнения. Тарталье было легче: он ужо
знал, что решение существует.
Рассмотрим уравнение
х3 + рх + г/ = О,
к которому сводится полное уравнение третьей степени.
Введем новые неизвестные
‘ X — и + V
и подставим их в исходное уравнение; получим
и3 + р® + (3wp + р) (и + v) + q = 0.
Приравняв,м Зии + р нулю:
Зии 4- р = 0.
Уравпепие примет вид
и3 4- р® + q — 0.
Тогда
uv -----, и3и3 --------, и3 4- р8 = —
Выражения и3 и р® можно принять за корни квадрат-
ного уравнения
z2 4- qz — = 0.
Решая его, получим
. ______1 /~ ~
“ 2 + V 4 *' 27 ’
8 Тарталья, Кардано и Феррари «постарались» так запутать сущест-
во дела, что некоторые исследователи сомневаются, мог ли Тар-
талья самостоятельно открыть решение уравнения (1) в форме
дель Ферро, и высказывают предположение х не получил ли он
его от дель Ферро,
74
Таким образом,
Ял— 3/
X == и + V = у Zi Ч- ]/и2,
Это и есть формула Кардано. Не лишне заметить, что
в таком виде Кардано ео не искал: он формулировал
решение уравнений (1) и (2) и рассматривал связь между
уравнениями (2) и (3) 10о
Г> <?2 I р8 А
В случае, когда — + -^т” <0? под квадратным корнем
получается отрицательное число и корень дает мнимость п.
Этот случай получил название неприводимого, так как ре-
шение уравнения третьей степени не приводится к решению
квадратного уравнения. Как уже говорилось, с ним не
справились ни Тарталья, ни Кардано. Его с помощью
тригонометрии разобрал Виет.
Чтобы пояснить сказанное, исследуем характер кор-
ней уравнения в зависимости от коэффициентов средствами
дифференциального исчисления.
Обозначим
у = + рх + q.
Функция у непрерывна при любом значении х и
lim у = — оо, lim у = оо.
ОС—* —оо СС~»СО
Это означает, что график функции пересечет ось Ох либо
один, либо три раза, т. е. уравнение имеет или один, или
три действительных корпя. Найдем производную.
у' = Зя2 + р.
При р > 0 производная в нуль не обращается, следова-
тельно, функция экстремумов не имеет. Значит, при р > 0
уравнение имеет один действительный корень (и два комп-
лексных).
*0 См. с. 71,
51 Это может иметь место, когда р < 0, т, е, для уравнения (2) при
I Р3 \ ?2
[27 > 4 *
75
Пусть р < 0. Приравняем производную нулю и най-
дем критические точки:
Зя2 + Р = о,
Определим характер экстремумов в критических точках,
для чего найдем вторую производную и установим ее знаки
в критических точках:
y"=6z, у" =-б]/-4<0,
Х=Х1 • &
Х=у-Х2
В точке х — Xi функция имеет максимум, а в точке
х = х2 — минимум.
Найдем максимальное и минимальное значения функ-
ции:
Перемножим эти значения:
Отсюда
Величина D называется дискриминантом. Рассмотрим
различные возможные случаи. Если D <, 0, то максимум
и минимум функции имеют разные знаки, поэтому график
пересечетесь Ох в трех точках, уравнение имеет три раз-
личных корня. Если D > 0, то экстремумы одного знака,
76
кривая пересечет ось Ох в одной точке, уравнение имеет
один действительный и два комплексных сопряженных
корня. Если D = 0, то один из экстремумов функции равен
нулю, кривая касается оси Ох в некоторой точке и где-то
пересекает ее; уравнение в этом случае имеет три дейст-
вительных корпя, один из которых двукратный 12.
Примеры кривых даны на рис. 12.
8
Книга Кардапо «Великое искусство» посвящена реше-
нию уравнений. И хотя Кардано рассматривал только чис-
ловые примеры и символика его несовершенна, книга
представляет собой значительный шаг в развитии алгебры,
Л2 Примеры соответствующих этому случаю уравнений приведены
на с. 71.
77
да и всей математики. Кардано, обладавший более высо-
кой математической культурой, чем Тарталья, сумел из
рецептуры решения уравнений (1) и (2) 13 получить глубо-
кие выводы. Он высказал несколько идей, нашедших даль-
нейшую разработку у последующих алгебраистов.
Для решения уравнения (3)
х?’ -р b = ах
Кардано применил такой прием. Оп записал уравнение
типа (2):
У3 = ау + Ь. . (4)
Затем оп получил выражение х через у:
Ъ — ах — х2 = у3 — ау, ах — х3 == у3 — ау,
х (а — х2) = у (у2 — а), (у2 — а) : (а — х2) = х : у,
(у2 — а + а — х2) : (| — х2) = (х + у) : У,
— х2) : (у х) = (а — х2) : у,
(у — х) : 1 = (а — х2) : у; у2 — ху = а — х2,
Олсюяа. следует, что по известным корням уравнения
(4) относительно у можно найти корни уравнения (3).
Очевидно, что такой прием не дает общего решения
уравнения (3). Дело здесь вот в чем. Для уравнения (2)
формула Кардано имеет вид
• - fWw+
+ j74-V4y-W
и становится неприменимой (по взглядам тех времен),
когда i'—j <( —) (неприводимый случаи). Следовательно,
условие возможности решения записывается в виде
См. с. 70.
78
Ио уравнение (4) всегда имеет один положительный ко-
рень (см. рис. 12, р < 0, q < 0); его нахождение как раз
и составляло задачу, поэтому вопрос о возможности оты-
скания положительного корня пе мог ставиться.
Обратимся к решению (5). Чтобы можно было найти
действительное значение я, необходимо выполнение усло-
вия
откуда
Но если
а, то подстановка
этого значения в
(4) показывает, что для уравнения (4) это дает неприводимый
/ а \з . / Ъ V тт
случаи, так как получается (— > -у . Применимость
метода, таким образом, ограничивается случаем, когда
I а V3 / & V
Hr = v »й такими случаями, когда корень уравне-
ни я* (4) заранее известен.
Кардано знал о существовании положительного корня
уравнения (4). В более позднем сочинении «Великое ис-
кусство арифметики» оп высказал общее утверждение: если
члены левой части уравнения более высокой степени, чем
правой, то уравнение имеет только один положительный
корень (предполагается, что все коэффициенты положи-
тельны). Это относится и к уравнению (4). Значит, уравне-
ние (3) имеет отрицательный корень — у (radix ficta —
ложный корень). Кроме того, в неприводимом случае есть
еще два положительных корпя, для получения которых
Кардано находит уравнение с помощью операции деления
на х — (— у) = х + у.
Из квадратного уравнения у2 — ху = а — х2 следует,
что абсолютная величина отрицательного корня у равна
сумме положительных корней х. Уравнения (2) и (3) полу-
чаются одно из другого изменением знаков корней, поэто-
му Кардано замечает, что уравнение (2) в неприводимом
случае имеет одип положительный и два отрицательных
корня.
79
Он рассмотрел три уравнения
х3 + 10# = 6#2 + 4,
х3 + 21 х = 9#2 + 5,
#3 + 26# = 12#2 + 5 _
и нашел у каждого из уравнений три корпя (2; 2 + У^2;
2 - /2), (5; 2 + /З; 2 - ]/3), (2; 5 + '/19; 5 - /19).
Уже одно это было большим достижением в то время,
потому что никто раньше трех корней не находил. Карда-
но пошел еще дальше: оп сложил корни и установил,
что сумма их равна коэффициенту при #2. Это было
приближением к теореме Виета.
Кардано разработал способ освобождения уравнения
от члена, содержащего #2.
Для уравнений
#3 = ах2 + Ь, х3 + ах2 = Ъ
он предложил с этой целью подстановки
। а
^ = .¥ + "Г и х = у —
а
Уравнение
х3 + б#2 = 100
подстановкой х = у — 2 он свел к уравнению
у3 = 12у + 84
и записал решение
х = {<42 + /1W + У42 - /1W - 2.
Уравнение #3 4- b = ах2 подстановкой х = — Кар-
дано преобразовал в у3 + Ъ = уау^Ь, а это уравнение,
в свою очередь, решал с помощью z3 = zaj/b + b.
Таким образом, полное уравнение
х3 + Ьх = ах2 + с
подстановкой# = у± — было сведено к известным ранее
формам. Если существуют три действительных корня,
80
то сумма трех значений у равна нулю, а сумма трех значе-
ний х равна а. Это подтверждается приведенными выше при-
мерами.
В работах Кардано встречаются комплексные числа,
которые он называет «чисто отрицательными». Он получил
их при решении задачи о делении числа 10 на две части
так, чтобы произведение этих частей равнялось 40, т. е.
при решении системы
х + у = 10, ху = 40.
Кардано показал, что заданным условиям удовлетво-
ряют числа 5 ± /— 15, если их перемножать как дву-
члепы и считать, что
-/=15</=45 - 15.
В изложении Кардано это выглядит так: «Бери полови-
ну 10, т. е. 5. Умйожь ее па себя, получишь 25. Отними
отсюда требуемое произведение 40, получишь — 15. При-
бавь к 5 и отними от 5 корень /—15, получишь 5 4-/—15
и 5 — /—15. Умножь 5 4- /—15 и 5 — ]/ —15; про-
изведения накрест выпадут и получится 25 — (—15).
Таким образом, произведение равно 40». Далее Кардано
поясняет, что результат покоится на формальной логике,
поскольку не установлено, как производить вычисле-
ния — так же, как с отрицательными величинами, или же
придавать им иной смысл.
Чтобы получить представление о символике Кардано,
приведем пример записи корня кубического уравнения
4- = 20.
Выражение
{//108 + 10‘- {//108-Ло"
записывалось так
Rx.u.cu.Rx.108pl01 mRx.u.cu.Rx.108ml0.
Здесь Rx — знак корпя (Radix), Rx.u.cu. (Radix univer-
salis cubica) означает кубический корень из всего выраже-
ния до вертикальной черты или после нее, р и т — сокра-
щения слов plus и minus.
Книга «Великое искусство» примечательна еще и тем,
что в ней впервые опубликовано решение уравнений чет-
81
вертой степени. В главе XXVI 14 Кардано показал, что
можно легко решить уравнение
я* + ах = Ъхг + v
Он привел его к виду
д __ (L \2
а затем извлечением корня получил квадратное уравнение.
Аналогично он рассматривал и некоторые другие виды
уравнений. Уравнениям более общего вида посвящена
глава XXXIX. На них Кардано обратил внимание в связи
с задачей да Кои: число 10 представить в виде суммы та-
ких трех чисел, чтобы произведение первых двух равня-
лось 6, а сами числа были членами геометрической про-
грессии. Задача приводит к уравнению
ж4 + 6ж2 + 36 = 60 х.
Кардано пытался решить ее, но пе решил.
Открыл метод решения уравнений четвертой степени
23-летний ученик и воспитанник Кардано — Луиджи
Феррари (1522—1565), который называл себя «творением
его превосходительства синьора Иеронймо».
О Феррари известно немного. Он родом из Болоньи,
где его отец был убит интервентами — французами. Ма-
ленький Луиджи скитался по стране и зарабатывал на про-
питание тем, что хорошо читал и писал (тогда это было
редкостью), и каким-то образом попал в Милане в дом
Кардано. Выдающиеся способности мальчика и любовь
к учению расположили к нему хозяина дома. Феррари
быстро освоил латинский и греческий языки и значитель-
но продвинулся в математике, после чего стал помогать
Кардапо в оформлении книг.
К моменту диспута с Тартальей Феррари уже овладел
вершинами математики, открыл метод решения уравнений
четвертой степени. После победы над Тартальей он полу-
чил выгодные предложения читать лекции в Риме и Вене-
ции от кардинала Мантуи и даже от короля. Феррари рас-
14 Всего в книге 40 глав, из них более 20 посвящено кубическим
уравнениям.
82
стался с Кардано 15, через восемь лет заболел, вернулся
в Болонью и поселился у своей сестры. В 1565 г. Феррари
внезапно скончался.
После того как были исследованы уравнения третьей
степени, задача об уравнениях четвертой степени стала
более легкой. Феррари рассматривал уравнение, не со-
держащее члена с х3, т. е. уравнение вида
х* + ах2 + Ъх + с = 0. (6)
Он преобразовывал его так, чтобы в левой части был пол-
ный квадрат, а в правой — выражение не выше второй сте-
пени относительно х. В книге Кардано это выполнялось
на примерах различными способами, но общий прием,
полученный Феррари, такой. Из уравнения (6) выделе-
нием полного квадрата получалось:
/ 9 , а \2 , о , я2 , , а2
(х2 -р — j = х* + ах* + — = — Ъх — с+ — .
/ 9 , а \2 , . а2
(* + —) = —Ьх — с+ — .
Теперь следовало выполнить такие преобразования,
чтобы из левой и правой частей можно было бы извлечь
квадратный корень. С этой целью Феррари вводил новое
неизвестное t и прибавлял к обеим частям выражение
2 («г2 + а/2) t + t\ Это дает
+ 3“ + = 2ta2 — Ъх — с + at + —Ь
(*2 + 4 + = 2ta2-ta+ (-c + 4 + aZ -Н2).
Нужно, чтобы правая часть была полным квадратом.
Вспомним, как обстоит дело с трехчленом ах2 + Ъх 4- с.
Выделим в нем полный квадрат:
2>б Некоторые исследователи полагают, что Кардапо прервал связь
с Феррари из-за того, что Феррари был протестантом,
83
^Трёхчлен будет полным квадратом, когда 4ас — b2 = 0.
В нашем случае роль коэффициента при х2 играет 2t, а
роль свободного члена — выражение в скобках правой
части уравнения. Тогда выражению Дас — Ь2 = 0 соответ-
ствует
4 • 2t [t2 + at + --— Ъ2 = 0,
b2 = 2t (4£2 + kat 4- а2 — 4с).
Таким образом, нахождение t свелось к решению ку-
бического уравнения, а х находится из квадратного урав-
нения после извлечения квадратного корня из левой и пра-
вой частей, т. е. из уравнения
ж2 + 4г + = ±К2/о ---------,
Кардапо отмечает, что таким же приемом можно решать
уравнения, в которых отсутствует член не с третьей сте-
пенью х, а с первой. В этом случае применяется подста-
новка х = к/у. По мнению Цейтена, пе представляло
затруднений решение методом Феррари и уравнений, со-
держащих члены с третьей и первой степенями х\ Кардапо
мог исключить из уравнения член с третьей степенью так
же, как исключал члены второй степени в кубическом урав-
нении. Мог оп воспользоваться и приемом Феррари, т. е.
преобразовать уравнение так, чтобы обе части его стали
полными квадратами.
И еще одно важное достижение содержит книга «Вели-
кое искусство». Кардапо видел трудности аналитического
решения уравнений третьей и четвертой степеней. Оп раз-
работал и изложил метод приближенного решения урав-
нений любой степени, основанный па «правиле двойного
ложного положения». Метод Кардано даст возможность
получать последовательные приближения к истинному зна-
чению корня уравнения.
Были у Кардано и другие исследования по алгебре;
в 1570 г. вышел большой фолиант из трех работ: «О про-
порциональности», нового варианта книги «Великое ис-
кусство» и книги «Правило трудных случаев». В нем рас-
смотрены вопросы алгебры, геометрии, механики.
В «Правиле трудных случаев» Кардапо утверждает,
что можно пайти несколько корней уравнения, когда
его «константа» (свободный _ член) — число составное.
84 z
Если же оно простое, то трудно найти и единственный ко-
рень. И здесь опять угадывается теорема Виета. Кардапо
показывает, что целое число может состоять из иррацио-
нальных множителей, например,
(з4-+/5)(з4-/4) = 9 10-
В работах рассмотрены новые приемы решения част-
ных видов уравнений.
Для уравнения вида
х3 + о4 + а2х2 + а3 = Ьх3
предложены два метода. Можно, например, решать си-
стему
ху = а, х3 + у2 + х2у + ху2 = Ь.
В самом деле, если подставить во второе уравнение
у = а!х, то получим исходное уравнение. А можно посту-
пить и так: из ху = а следует, что
2а (х + у) = 2х2у + 2ху2 — (х + у)2— х2 — у3 —
— х2у — ху2 — (х + у)2 —- Ь,
Отсюда
(х + у)3 = 2а(х + у) + Ъ.
Это уравнение решается относительно х + у. А так как
ху == а, то неизвестные х и у определяются.
9
Открытия, сделанные итальянцами в алгебре и систе-
матически изложенные в «Великом искусстве» Кардано,
стали доступны математикам других страп и дали импульс
развитию пауки. «Решение уравнений третьей и четвертой
степеней в радикалах имело огромное значение для про-
гресса алгебры, да и всей математики. Само по себе сточки
зрения вычисления значений корней их представление
с помощью радикалов не имело преимуществ перед другими
приемами приближенного решения уравнений. Здесь важны
были новые, глубокие теоретические вопросы, возникав-
шие перед наукой, и прежде всего общая проблема реше-
ния в радикалах уравнений высших степеней — пробле-
85
ма, во многом определившая развитие алгебры на протя-
жении следующих столетий и создание сначала теоретико-
групповых методов исследования, а потом и самой теории
групп» 16.
Дальнейшее развитие алгебры было связано с совер-
шенствованием символики и с разработкой общих методов
решения уравнений. Дело обстояло не так просто, как
может показаться па первый взгляд. После работ Кардано
алгебра стала располагать правилами решения 66 раз-
личных форм уравнений, приводимых к квадратным и ку-
бическим. Ведь в те времена уравнения, например,
х2 + Зх = 7, х2 = Зх + 7, х2 + 7 = Зх не были объеди-
нены одной формой х2 ± Зх ± 7 = 0, т. е. тем видом
х2 -J- Р% + q = 0, с которым сейчас знакомы все школь-
ники, и каждое решалось по особому правилу.
Еще при жизни Кардано была предпринята успешная
попытка более детально рассмотреть неприводимый слу-
чай уравнения третьей степени. Осуществил ее соотечест-
венник Кардано инженер-гидролог из Болоньи Рафаэль
Бомбелли (ок. 1526—1573). В 1572 г. он издал «Алгебру»,
в первой книге которой рассмотрел уравнение х3 = рх +#•
q \2 / р
4- , оп пишет, что разность —
— ( —) после извлечения из нее квадратного корня «не мо-
жет быть названа ни плюсом (pin), ни минусом (meno);
поэтому я буду называть ее плюсом минуса (pin di meno),
когда она должна прибавляться, а в тех случаях, когда она
должна вычитаться, я буду называть ее минусом минуса
(meno di meno)... корни этого рода покажутся многим
скорее софистическими, чем имеющими действительное
значение; того же мнения придерживался и я, пока не
нашел доказательства на линиях» 17.
Бомбелли указал правила действий, соответствующие
в современной записи следующим:
(±1) i = ± Б (+i)(+0 = -1, (-0 (+0 = 1,
(±1)(-0 = тб (+0(—0 = 1, (—0(—О = “ 1.
В случае, когда(~
\
16 История математики, т. 1, с. 295—296.
Bombellt R. L’Algebra parte maggiore dell’Aritmetica. Bologna,
1572, p, 169.
86
Он приводил примеры типа
8i + (_ 5i) = 3i, J/З + iV 10 • ]73 - i/10 = УВГ
Во второй книге «Алгебры» Бомбелли удалось доказать,
что в неприводимом случае кубическое уравнение имеет
действительные корни, но большего достигнуть не уда-
лось, поскольку его рассуждения содержали порочный
круг. Ход рассуждений Бомбелли был таким.
Пусть решение уравнения х3 = рх + q при I— \ —
х= ]/~а +]/ — b + )/" я ~ У— Ь.
Положим а + J/ — b = и +У— v, \/~а —]/ —- Ъ = и —
— У — v. Возвысим эти равенства в куб и сложим, полу-
чим и3 = 3w + а. Перемножив левые и правые части
тех же равенств, найдем
и2 + v = ^а2 + Ъ.
Уравнения и3 = Зим 4- а, и2 + v = Уа2 + b связыва-
ют величины и и р. Исключим из них и и получим уравне-
ние для определения и:
4и3 — зУ а2 + Ьи + а, или 4и3 = Зси + я,
где
с = У а2 + Ь.
Последнее уравнение имеет действительных! корень.
Следовательно, исходное уравнение относительно х в не-
приводимом случае содержит действительный корень
х = и + У—и + и — У •— v — 2и,
хотя этот корень и выражается через кубические корни из
комплексных чисел.
Однако общего решения задачи метод Бомбелли дать
не мог, потому что он содержит порочный круг: вид урав-
нения для нахождения и совпадает с видом исходного урав-
нения относительно х. В самом деле, при и = я/2, а =
»= д/2, с = р13 получим х3 = рх + q. Отдельные числовые
87
примеры Бомбелли удалось решить подбором. Он рассмо-
трел уравнение
х3 = 15х + 4,
для которого
х = У 2+/-12? + |/2-/- 12Г
Уравнение относительно и
4й8 = 15и + 2
имеет очевидный корень и = 2. Тогда v = 1 и
|/2+ ]/— 121 = 2 ±У— 1> что дает х = 4.
Бомбелли применил прием Феррари к уравнению
х^ + &г3 + 11 = 68 х.
Он свел его к •
(Я2 + 4rc _ 02 = (16 _ Ж2 + (б8 — 80^ __
Из уравнепия
147Z = t3 -I- 666 ‘ '
он получил t = 6 и для определения х — квадратное
уравнение
(я2 + 4.г — 6)2 = 4я2 + 20я? + 25 = (2а? + 5)2.
Некоторые видоизменения в алгебраическую символику
внесли Бомбелли, математик из Вюртемберга протестант-
ский пастор М. Штифель (1486—1576), профессор Па-
рижского университета П. Рамус (1515—1572), фламандец
С. Стевии (1548—1620) и другие математики, но эта проб-
лема ждала своего разрешения до появления трудов Виста
и Декарта. Отметим, что Штифель был первым, кто рас-
сматривал отрицательные числа как числа, меньшие нуля.
На этом закончим знакомство с достижениями италь
янских математиков и в первую очередь выдающегося
представителя средневековой науки — Кардано и перей-
дем к анализу творчества Виета, может быть, не такого
экзотичного, но в математике не менее значительного уче-
ного.
ВИЕТ
1
Один из выдающихся математиков XVI в.» Франсуа Виет
(латинизированная форма Franciscus Vieta) родился в
1540 г. в небольшом городе Фонтепе-ле-Конт французской
провинции Пуату. О жизни его известно немного. Видимо,
она не изобиловала внешними событиями, несмотря на
то, что Виет сочувствовал гугенотам и был близок к коро-
лям. Он окончил университет в Пуатье, получил юриди-
ческое образование и в 19 лет начал адвокатскую практи-
ку в родном городе.
Естественнонаучные интересы проявились у пего рано.
Занимаясь астрономией, он пришел к выводу, что система
Коперника недостаточно точна и следует развить и улуч-
шить систему Птолемея. Этим вопросам он решил посвя-
тить фундаментальный труд, и вся дальнейшая работа
Виета в области математики была, по-видимому, плано-
мерной подготовкой к осуществлению задуманного. Для
глубокого исследования астрономии необходимо было
прежде всего знание тригонометрии, которая в те времена
рассматривалась только как часть вычислительной астро-
номии. Виет начал изучать тригонометрию и работал над
пей усердно и плодотворно.
В 1567 г. Виет оставил частную адвокатуру и перешел
па государственную службу — стал членом парламента
в Ренне \ К этому времени он стал систематически зани-
маться математикой и получил новые результаты. У Вие-
та возникла потребность в общении с математиками, он
начал печатать отдельные статьи небольшими брошюрами
и рассылать их знакомым математикам. Первая такая
д Парламентами во Франции назывались окружные судебные уч-
реждения, основанные при Филиппе IV Красивом (1268—1314).
Парламент состоял из нескольких палат: высшей, следственной,
уголовной, гражданской, финансовой и др.
89
«публикация» относится к 1571 г., а наибольшее развитие
этот способ получил у пего с 1591 г.
Около 1570 г. Виет подготовил большой труд по триго-
нометрии — «Математический капой» («Canon mathema-
ticus»), содержащий таблицы сипусов, тангенсов, секансов,
а также изложение плоской и сферической тригонометрии.
Не повезло этому сочинению: в 1579 г. вышли первые две
книги, но в них было много опечаток, почти полностью
обесценивающих работу. Поэтому Виет постарался соб-
рать и уничтожить все издание. Оставшиеся экземпляры
представляют сейчас величайшую редкость. Голландский
математик Франц ван Схоотен (1615—1660) в 1646 г. издал
наиболее полное собрание сочинений Виета, в которое,
однако, «Математический канон» не вошел. Объясняется
это тем, что Схоотен неправильно понял желание Виета.
Виет хотел избавить книгу от многочисленных опечаток,
исправить изложение и обозначения, по вовсе не считал
таблицы ненадежными.
В 1571 г. Виет переселился в Париж, где па первых по-
рах занимался частной практикой адвоката. Переезд был
вызван намерением Виета познакомиться с французски-
ми математиками и прежде всего со знаменитым Ра-
мусом. Рамус (де ла Раме) — человек трагической судьбы; о
нем’следует сказать несколько слов. Сын плотника, он проя-
вил исключительную тягу к знаниям, поступил слугой
к молодому дворянину, чтобы посещать вместе с ним ли-
цей. Блестяще сдал экзамен на право преподавания и по-
лучил место лектора в университете. В своих лекциях по
философии Рамус бескомпромиссно выступал против Ари-
стотеля. Он утверждал: «Все, чему учил Аристотель,—
ложь».
Выдающиеся способности Рамуса и открытый благород-
ный характер создали ему популярность среди студентов,
а его взгляды вызвали ожесточенную ненависть большин-
ства профессоров. Он погиб вскоре после Варфоломеев-
ской ночи (в конце августа 1572 г.), растерзанный толпой
разъяренных погромщиков, которых возглавлял один из
университетских профессоров. Рамус был воинственным
гугенотом, это и послужило поводом для расправы над
ним. Причина же состояла в другом: так завистники мно-
голетних успехов Рамуса выместили свою накопившуюся
злость.
В 1573 г. Виет стал советником парламента в Бретани.
90
Брак его ученицы с герцогом де Роганом содействовал
тохму, что Виет завязал знакомство с Генрихом Наварр-
ским, ставшим впоследствии королем Франции Генри-
хом IV, и его матерью.
Продвижение Виета по службе было стремительным:
сначала он — частный советник короля Генриха III Ва-
луа (1551—1589), затем — на должности «докладчика по
ходатайствам». Известно, что жизнь французского коро-
левского двора (впрочем, не только французского) была
заполнена интригами, ожесточенной борьбой партий и
группировок. Из-за происков герцога Гиза Генрих III
в 1584 г. отстранил Виета от должности.
В 1589 г. Виет возвратился на службу к Генриху III
в Тур. К этому времени относится одно достижение Виета,
доставившее ему известность. Враждебная королю груп-
пировка вела переписку с испанским двором. Виет иссле-
довал попавшие ему в руки письма, раскрыл ключ
шифра, состоявшего из 500 знаков, и восстановил текст
писем.
Но истинной страстью Виета была математика. Ей он
посвящал все свободное время и работал самозабвенно:
рассказывают, что, работая над каким-либо исследованием,
Виет мог сидеть за письменным столом по трое суток
кряду. Период с 1854 ио 1859 г. он потратил на глубокое
изучение древних классиков (Архимеда, Евклида, Апол-
лония, Диофанта)* своих непосредственных предшествен-
ников (Тартальи, Кардано, Бомбелли, Стевина) и на соз-
дание основного труда — «Искусства анализа».
В 1589 г. король Франции Генрих III был убит за
измену католической партии; Виет перешел на службу
к Генриху IV (1553—1610). Одно событие, происшедшее
с Виетом в 1594 г., способствовало укреплению его авто-
ритета среди математиков. «Рассказывают, что в ноябре
1594 г. Виет находился с Генрихом IV, на службе у ко-
торого он состоял тогда, в Фонтенбло. Во время разгово-
ра между королем и нидерландским посланником о паи*
более замечательных людях государства посланник заме-
тил, что Франция, видимо, не имеет математиков, так
как ваи Роумен среди тех, кому он в своем письме в осо-
бенности адресовал свой научный вызов, пе упомянул
пи одного француза. «И все же,— отвечал король,—
у меня есть математик, и весьма выдающийся. Позовите
Виета». Когда Виет появился, посланник достал письмо
91
Роумена. Виет прочел его, тотчас же написал решение
и на следующий день прислал еще 22 других» 2.
Здесь рассказывается об уравнении 45-й степени, ко-
торое голландский математик вал Роомен (или Роумен,
1561 —1615) предложил решить математикам Европы и
один из корней которого Виет указал, едва прочитав пись-
мо. Мы еще поговорим об этом уравнении. Впоследствии
ван Роомен стал ревностным почитателем таланта Виета.
Он приезжал к Виету в 1601 г. Рассказывают, будто Виет
был так обходителен и приветлив, что оплатил обратный
проезд ван Роомена на родину.
Виет скончался в Париже в 1603 г. Из его многочис-
ленных математических работ часть опубликована при
жизни, многие — посмертно, некоторые так и остались,
в рукописях. Основные алгебраические идеи Виет изло-
жил во «Введении в аналитическое искусство» («In artem
analylicen Isagoge»), которое должно было стать частью
ненаписанного им большого трактата по алгебре. Изда-
ние некоторых трудов осуществили ученики Виета — шот-
ландец А. Андерсон (1582—1619) и М. Геталдич (1566—
1627) из} Дубровника. «Математические сочинения» («Opera
mathematica») Виета издал в Лейдене ван Схоотен.
2
Виет считается одним из основоположников алгебры.
Но его интерес к алгебре первоначально связан с возмож-
ными приложениями к тригонометрии и геометрии. А за-
дачи тригонометрии и геометрии, в свою очередь, приво-
дили Виета к важным алгебраическим обобщениям. Так
было, например, с решением уравнений третьей степени
в неприводимом случае и с исследованием некоторых клас-
сов разрешимых алгебраических уравнений высших сте-
пеней.
Свою алгебру Виет ценил очень высоко. Во «Введении
в аналитическое искусство» он писал: «Искусство, кото-
рое я излагаю, ново, или по крайней мере настолько ис-
порчено временем и искажено влиянием варваров, что
я счел нужным придать ему совершенно новый вид...
Все математики знали, что под их алгеброй и алмукабалой
2 Цейтпен Г. Г» История математики в XVI и XVII веках. 2-е
изд. М.; Л.: ОНТИ, 1938, с. 122.
92
были скрыты несравненные сокровища, по не умели их
пайти; задачи, которые они считали трудными, совершен-
но легко решаются десятками с помощью нашего искусст-
ва, представляющего поэтому самый верный путь для ма-
тематических изысканий» 3.
Виет не пользовался словом «алгебра», эту науку он
называл «искусством анализа» (ars analytica). Он раз-
личал видовую логистику (logistica speciosa) и числовую
логистику (logistica numeralis). Термин «логистика» озна-
чает совокупность арифметических приемов вычислений,
«вид» имел смысл символа.
Видовая логистика Виета после внесенных им в сим-
волику усовершенствований представляла собой буквен-
ное исчисление. Ее объектами служат геометрические и
лсевдогеометрические образы, связанные между собой раз-
личными соотношениями. Виет был последователем древ-
них: он оперировал такими величинами, как сторона,
квадрат, куб, квадратоквадрат, квадратокуб и т. д.,
образующими своеобразную лестницу скаляров. Дейст-
вия над скалярами у Виета, как и у древних геометров,
подчинены «закону однородности»: составленные из не-
известных и известных величин уравнепия должны быть
однородными относительно всех их вместе взятых. Умно-
жению чисел у Виета соответствует образование нового
скаляра, размерность которого равна сумме размернос-
тей множителей. Операция, соответствующая делению
чисел, дает новую величину, размерность которой равна
разности размерностей.
Закономерности видовой логистики применяются к
геометрии и числовой логистике, предметом которой явля-
ются числовые величины и их отношения.
Виет разработал символику, в которой наравне с обоз-
начением неизвестных впервые появились знаки для про-
извольных величин, называемых в настоящее время па-
раметрами. Для обозначения скаляров он предложил
пользоваться прописными буквами: «искомые величины
будут обозначены буквой А или другой гласной £*, /,
О, U, У, а данные — буквами В, D, G или другими сог-
ласными» 4.
3 Viete Fr. Introduction a 1’art analitique. Bolletino di bibliogra-
fia e storia delle scienze mathematichc c phisiche. 1868, v. 1, p. 227.
4 Viete Fi\ Introduction a 1’art analitique, p. 232.
93
Слово «коэффициент» введено Виетом. Рассматривая
выражение
(А + 5)* + О(А + 5),
он назвал величину D, участвующую с А + В в образо-
вании площади, longitude ciefficiens, т. е. содействующей
длиной.
Из знаков Виет употреблял + , — и дробную черту.
Современные скобки у него заменяла общая черта над
всем выражением.
Символика Виета страдала недостатками, в некоторых
отношениях она была менее совершенна, чем у его пред-
шественников и современников. Виет для записи дейст-
вий употреблял слова: in у него означало умножение,
aequatur заменяло знак равенства. Словами же выража-
лись степени различных величин. Для трех низших сте-
пеней оп взял названия из геометрии, например, А3 на-
зывал A cubus. Высшим степеням он давал геометричес-
кие наименования, происходящие от низших: Л9, напри-
мер,— A cubo-cubo-cubus. Известная величина В пред-
ставлялась как величина девятой степени записью solido-
solido-solidum. Если сторона (latus) умножается па неиз-
вестную величину, то она называется содействующей
(coefficiens) при образовании площади.
Уравнение А3 + ЗВ А = D Виет записывал так:
A cubus+ 5 planum in АЗ aequatur D solido, а уравнение
BAn - Am+n =Z так:
В parabola in A gradum — A potestate aequatur 2 ho-
mogenae (5, умноженное на градус Л, минус А в степени
равняется однородной Z).
Обозначения в числовой логистике выглядели проще:
N — первая степень, Q — квадрат, С — куб и т. д. Урав-
нение х3 — Зх — 1 записывалось в виде
1С — 3^ aequatur 1.
Неудобства символики Виета связаны и с требованием
однородности. Как и древние греки, Виет считал, что
сторону можно складывать только со стороной, квадрат—
с квадратом, куб — с кубом и т. д. В связи с этим возни-
кал законный вопрос: имеют ли право на существование
уравнения выше третьей степени, поскольку в простран-
ственном мире четвертая, пятая и т. д. степени аналогов
не имеют.
94
Для придания уравнению однородности Виет после
входящих в пего параметров писал planum (плоскость),
solidum (тело) и т. д. Вот как выглядит в записи Виета
уравнение х3 + 352<r = 2z3: A cubus + В piano 3 in А
aequari Z solido 2.
Правило Тартальи для решения уравнения третьей
степени у Виета имело вид:
]/"С\^В plano-plano-plani -|- Z solido-solido + Z solido—
— -j/ C\ rB plano-plano-plani + Z solido-solido — Z solido •.
Символики Виета придерживался впоследствии
П. Ферма. От «тирании» однородности просто и остро-
умно сумел освободиться Декарт (об этом будет сказано
в следующей главе).
Может показаться, что Виет ввел в символику алгеб-
ры совсем немного. Буквами для обозначения отрезков
пользовались еще Евклид и Архимед, их успешно приме-
няли Леонардо Пизанский, Иордан Неморарий, Николай
Орем, Лука Пачоли, Кардано, Бомбелли и многие дру-
гие математики. По сделал существенный шаг вперед
Виет. Его символика позволила не только решать кон-
кретные задачи, но и находить общие закономерности и
полностью обосновывать их. Это, в свою очередь, способ-
ствовало выделению алгебры в самостоятельную ветвь
математики, не зависящую от геометрии. «Это нововведение
(обозначение буквами данных и искомых.—В, Я.) и особенно
применение буквенных коэффициентов положило начало
коренному перелому в развитии алгебры: только теперь ста-
ло возможным алгебраическое исчисление как система фор-
мул, как оперативный алгоритм» 5.
Сказанное легко подтвердить примерами. Пусть xv
х2 —корпи квадратного уравнения. Перемножим разнос-
ти х — хх и х — х2 °:
(х — Х^ (х — Х2) = X? — (хг + Х2)х + Х]Х2.
Обозначим (х — хг) (х — х2) = х~ 4- рх + ср сравни-
вая с предыдущим, получим
Р = —&i + *2),
q = ЗД
6 История математики с древнейших времен до начала нового вре-
мени, т. 1, с. 310.
6 Прием образования уравнения умножением таких разностей при-
менял Виет, Эффективно пользовался им Декарт,
95
Выполним то же самое для кубического уравнения:
(х — х^ (х — х2) (х — х3) = х3 — + х2 + £3)я2 +
"Т (Х]Х2 । ХуХ3 “И ^2*^з) Х]Х2Х3.
Сравним результат с выражением
(х — хг) (х — х2) (х — я3) = х3 + а±х2 + а2х + а3.
Это дает
= — (xL + х2 4- ^з),
а2 = хгх2 + хгх3 + гад,
а г = — х1х2х3.
Такой результат для квадратного уравнения был из-
вестей Кардано (в случае положительных корней — еще
и раньше); Кардапо отметил свойство корней кубического
уравнения относительно коэффициента при х2. Но ника-
кого обоснования в общем виде дать оп не мог; это сделал
Виет для уравнений до пятой степени включительно.
3
Преимущества символики предоставили Виету воз-
можность не только получить новые результаты, но и бо-
лее полно и обоснованно изложить все известное ранее.
И если предшественники Виета высказывали некоторые
правила, рецептуры для решений конкретных задач и ил-
люстрировали их примерами, то Виет дал полное изло-
жение вопросов, связанных с решением уравнений первых
четырех степеней.
Рассмотрим ход рассуждений Виета при решении куби-
ческого уравнения. Возьмем уравнение
х3 + Зах — 2Ь.
Положим
а = t2 + xt.
Найдем отсюда
и подставим в исходное уравнение. Получим
+ з» - а,,
96
откуда для определения t находим квадратное уравнение
относительно Z3:
(Z3)2 + 2&Z3 - а3 = 0.
Отсюда определится Z, а затем и х.
Заметим еще, что подстановка а = t2 + xt приводит
исходное уравнение к виду
(х + Z)3 — z3 = 2&,
которое вместе с уравнением
(х + t) t = я, (х + /)3/3 = а3
дало бы возможность применить метод Тартальи и дель
Ферро. Но Виет таким путем не пошел.
Рассмотрим теперь пример. Найдем методом Виета
действительный корень уравнения
•• х3 + 24# == 56.
Здесь а = 8, b = 28. Запишем уравнение относительно t\
(Z3)2 + 56Z3 — 83 = 0.
Решим его:
Z8 = -28 ± V282 + 83 = —28 ± 36, z3 = v'8 = 2,
Z2 — j/ —64 = —4.
Найдем теперь х:
При изложении метода Феррари для решения уравне-
ния четвертой степени Виет провел аналитически выклад-
ки, указанные на с. 83, и получил уравнение, содержащее
основную неизвестную А и вспомогательную Е (х и t
па с. 83).
Виет, верный последователь древних, оперировал толь-
ко рациональными положительными числами, которые он
обозначал буквами. Если в результате подстановки в урав-
нение значений параметров неизвестное оказывалось ир-
рациональным, оп давал этому случаю особое обоснова-
ние. В качестве примера такого обоснования приведем
«геометрическое» решение кубического уравнения но спо-
собу дель Ферро—Тартальи.
4 В, А. НиКИфОрОАСКИЙ
97
В записи Виета уравнение имело вид
А3 + ЗВА = D.
Известное решение: А является разностью «сторону
которые образуют площадь В и разность кубов которых
равна D. Если обозначить «стороны» буквами и и v, то
uv = В, и3 — и3 = D, А — и — v.
Виет придавал решению «геометрическое» толкование;
он вместо D solidum записывал произведение В planum па
D, т. е. получал уравнение А3 + ЗВА = BD,
Затем он определял четыре величины, образующие
«геометрический ряд», так, чтобы прямоугольник, постро-
енный на средних или на крайних, по площади равнялся
В, а разность крайних была D. Тогда А будет разностью
средних.
Поясним сказанное. Обозначим эти четыре величины
через z, и, v и t. Тогда можно записать
z : и — и : v = v : t, zt = uv = 2?, z — t = D,
A = и — v.
Если в решении Тартальи D заменить на BD, то оба
решения совпадут.
Способ Виета означает замену кубического корня двумя
средними геометрическими, что полностью соответствует
духу древних греков.
Из получившихся пропорций найдем
й3 = z% v3 = zfi и3 — и3 = zt{z — f) = BD.
Виет особо рассматривал трехчленные уравнепия раз-
личных степеней и в первую очередь интересовался коли-
чеством их корней, имея в виду только положительные
корни. Отрицательные корни он определял как корни
уравнения, в котором неизвестное х заменено па —у. Виет
получал трехчленные уравнения из квадратных; он посту-
пал так, чтобы число положительных корней оставалось
прежним. При этом оп пользовался подстановкой х =
= кут или специальными приемами.
Один из приемов Виета выглядит так. Пусть дано урав-
нение
я2 + ах = 6, а2 Ъ > 0.
98
Для получения уравнения четвертой степени возвысим
левую и правую части уравнения в квадрат:
(х2 + ах — &)2 = я4 + а2х2 + &2 + 2ая3 — 2Ьх2- ~
— 2abx = 0.
Полученное уравнение можно переписать:
ж4 + 2аж8 + 2а2х2 — а2х2 + Ь2 — 2bx2 — 2abx = 0.
Исключим 2аг3 + 2а2х2, воспользовавшись тем, что
Ъ = х2 -п ах:
2ах(х2 + ах) = Ь2ах, 2ах3 + 2а2 х — 2abx.
Тогда
.г4 + 2аЪх — а2х2 + &2 —- 2Ъх2 — 2abx = 0,
_ аъх* + Ь2 _ 2Ьх2 = 0.
Теперь осталось исключить ж2; из исходного уравне-
пия найдем:
х2 = Ъ — ах
и подставим в последнее;
х* ~ (а2 + 2Ъ)х2 + Ъ2 = 0, х* — (а2 + 2Ь) (Ь — ах)+
-г Ь2 = 0, х'^ + (2аЪ + а^)х = b2 + а2Ь.
Полученное уравнение четвертой степени имеет те
и только те положительные корни, которые были у исход-
ного квадратного.
Для нахождения трехчленного уравнения третьей сте-
пени Виет в качество исходного брал уравнение
ах — х2 = ab
и умножал его левую и правую части на х + Ъ\ это при-
водило к уравнению
(а — Ь)х2 — я3 = аЪ2
с теми же положительными корнями, которые были у квад-
ратного.
И еще один частный вопрос рассмотрел Виет. В урав-
нении
ах™ - х™+п = &.
— *
4*
99
имеющем по условию два корня, он определил коэффициен-
ты, при которых корни уравнения имели бы заданные
значения. Пусть эти корни у и z. Тогда
ут+п zm+n ym+nzm ymzm+n
°- = у™ zm ’ ут -т •
Ту же задачу он решил относительно уравнения
1 ахт = Ъ
где т + гс — число четное, гсг — почетное.
Чрезвычайно важно то, что Виет распространил извест-
ные ранее частные преобразования на все алгебраичес-
кие уравнения. Подстановку х = у + к, применявшуюся
Кардано для исключения из кубического уравнения члена
второй степени, он применил к уравнениям любой степе-
ни. Также известную Кардано обратную подстановку
х = к/у Виет употреблял, чтобы освободиться в некоторых
случаях от отрицательных коэффициентов и иррациональ-
ностей. Например, уравнение х* — 8х = ] '80 подстанов-
кой х = -Т-^— он преобразовал к виду у4 + 8у3 ~ 80. Подста-
новкой х = -^-у Виет преобразовывал уравнение гс-й степе-
ни так, что коэффициент при члене (гс — 1)-й степени (а)
становился равным Ь, в то время как старший коэффи-
циент оставался равным единице. Подстановку х ~ ку
он применял, чтобы избавиться от дробных коэффициен-
тов.
Особый интерес представляет исследование Виета по
составлению уравнений из линейных множителей и по
установлению связей между корнями уравнения и его коэф-
фициентами. Первоначальные сведения и по тому, и но
другому вопросу были у Кардано.
Кардано в ту пору, когда еще не знал метода дель
Ферро и Тартальи, решал некоторые уравнения третьей
степени разложением па множители. В уравнении
2г* + 4я2 + 25 = 16я + 55
с этой целью он прибавлял к обеим частям 2х2 + 10я 4*
+ 5. Затем преобразовывал его к виду
(2х + 6) (х2 + 5) = (х + 10) (2х + 6),
сокращал на 2х + 6 и получал квадратное уравнение.
100
Кардано же при нахождении положительного корпя
уравнения х3 + Ъ = ах складывал его почленно с уравне-
нием z/3 = ау + Ъ, получал из них квадратное уравнение
делением на х минус известный отрицательный корень
я — (—у). Такое преобразование позволило Кардано
установить, что коэффициент при члене второй степени в
правой части кубического уравнения равен сумме его кор-
ней. Это был первый шаг к установлению зависимости меж-
ду корнями и коэффициентами алгебраического уравнения.
Виет составил полные уравнения с заданными положи-
тельными корнями вплоть до пятой степени и показал, как
образуются коэффициенты при жп-1, жп“2, яп‘3, ... Он уста-
новил, что эти коэффициенты при условии, что старший
коэффициент равен 1 или —1 (свободный член в правой
части должен был стоять со знаком +), представляют собой
взятые с чередующимися знаками суммы: самих корней,
парных произведений их, произведений корней, взятых по
три, и т. д. Работа, в которой Виет подробно рассмотрел это
утверждение, до нас не дошла. Неизвестно, как он поступал
в том случае, когда уравнение имеет и отрицательные
корпи. Но, скорее всего, это не представляло для Виета
особых трудностей: достаточно было сделать в уравнении
замену х = —у и можно оперировать с положительными
корнями нового уравнения. Такие примеры в его работах
встречались. Если уравнение х3 + q = рх имеет два по-
ложительных корня и х2ч то уравнение у3 = ру + q —
один положительный корень ух = —£3, причем у± =
= + х2 (это зпал Кардано), + $ + xLx2 = р,
х}х2 (^ 4- х2) = q.
Как видим, в исследованиях Виета встречались начала
теории симметрических функций и разложения многочле-
нов па линейные множители, что вскоре привело к откры-
тию основной теоремы алгебры о числе корней уравнения
произвольной степени. Эти исследования Виета продолжи-
ли математики следующего поколения Т. Гарриот (1560—
1621), А. Жирар (1595—1632), Р. Декарт (1596—1650).
4
Результаты исследований Виета были продолжением
работ.древних и средневековых математиков и вызваны
развитием наметившихся ранее основных идей. И хотя они
в некоторой степени обусловлены запросами практики, но
101
в основном углубляли предшествующие научные достиже-
ния. Но есть область деятельности Виета, непосредственно
связанная с практикой,— это его работы по тригономет-
рии. Обратимся теперь к ним, уделив особое внимание
исследованиям, примыкающим к алгебре.
Виет установил, что знаменитая задача трисекции угла
связана с кубическим уравнением. Было известно, что
точного ее решения с помощью циркуля п линейки не
существует, приближенные же решения предлагались
неоднократно. Рассмотрим одно из них, принадлежащее
Архимеду.
Дан угол DCE (рис. 13), который с помощью циркуля и
линейки следует разделить на три равные части. Поступим
так. Из вершины С данного угла опишем окружность
произвольного радиуса R\ точка D пусть лежит па окруж-
ности. Проведем диаметр через точки С и Е и продолжим
его влево за пределы окружности. Из точки D проведем
прямую так, чтобы отрезок В А этой прямой равнялся ра-
диусу R окружности 7. Прямая, пересечет окружность в
точке В и продолжение диаметра в точке А. Если ^_DCE =
= v, то ZJ3CA = у/З, т. е. трисекция угла выполнена. В
самом деле, В А = R\ проведем СВ = 7?, получим равно-
бедренный треугольник АВС^ у которого АВ = ВС = R.
Угол CBD — внешний по отношению к треугольнику АВС
и равен сумме углов ВАС и ВС А. Обозначим /43АС ==
= = и; тогда /CBD = 2и. Треугольник CBD
также равнобедренный, поэтому = /CBD = 2u
и /BCD = 180° - 4u. Но
/АСВ + /BCD = 180° - p,
пли
и + (180° - 4u) = 180° - v,
откуда
3u = p, v = u/3.
В «Дополнении к геометрии» («Supplemcntum geomet-
riae», Turonis, 1593) Виет показал, что решение кубиче-
ского уравнения в неприводимом случае сводится к трисек-
ции угла и с помощью тригонометрии разобрал этот
случай.
7 На самом деле с помощью циркуля и линейки такое построение
выполнить невозможно.
102
Рассмотрим дополнение Виета к построению Архимеда.
Проведем диаметр, перпендикулярный ЕСА. Обозначим
точку пересечения его с прямой DBA буквой Я, а концы
диаметра — буквами F иб (рис. 14). Из точки Я восставим
перпендикуляр HI до встречи в точке I с окружностью.
Соединим точку I с точкой С и F с G и получим прямоуголь-
ные треугольники IFG и IHC. Проведем затем CL — высо-
ту равнобедренного треугольника BDC, которая одновре-
менно будет и медианой, т. е. BL = LD. Обозначим CL =
— h. Проведем также DE = DC.
Виет намеревался найти такую зависимость между
отрезками, которая сводилась бы к кубическому уравне-
нию. Выполнив эту задачу, он получил возможность
решить кубическое уравнение построением.
Продолжим рассуждения. Из рассмотрения прямо-
угольного треугольника GFI получается пропорция
GH : III = HI : HF,
откуда
GID HF = Я/2.
Обратимся теперь к треугольнику С1Н\
III2 = СГ2 - СИ2,
но CI = Я, поэтому
ЯР = R2 - СН2.
Учитывая это, найдем
GH-HF R^ - CH2, R2 = CH2 + GIDHF.
юз
Из прямоугольного треугольника LHC
LH2 = СН2 - А2,
но h2 = СВ2 — BL2 и BL = LD, СВ = R, так что h2 =
= R2 - LD2 и
LH2 = CH2 - (R2 - LD2).
Найдем отсюда R2 и заменим LD равным ему BL:
R2 = СП2 4- (BL + LH) (LD - LH).
Так как BL + LII = ВН, a LD — LII = DH, последнее
равенство примет вид
R2 = СП2 + BH-HD.
Это равенство позволяет получить кубическое уравне-
ние. Обозначим АС = х, СЕ — а. Из треугольника АСН
найдем
СН2 = АН2 - А С2.
Очевидно, что ВН = /?, АН = 22?, поэтому СН2 =
= 47?2 - х2.
Произведение ВН-HD преобразуем так. Спроектируем
BHD на АСЕ. Проекция отрезка ВII даст половину отрез-
ка АС, а проекция HD — половину СЕ. Отсюда следует
ВН : HD = АС : СЕ, HD : R = а: х,
откуда *
BH-HD= — .
X
Подставим найденные СН2 и BH>HD в выражение для 7?2:
=4Л2-а:г+— ,
а? = 3R2x + aR2. . Л
Построенная вспомогательная окружность имеет про-
извольный радиус, поэтому можно положить R = 1;
тогда уравнение примет вид
х2 — Зх = а.
104
Если уравнение х3 — рх = q записать в виде
х3 — 3R2x = aR2, т. е. положить р — 3R2, q = а/?2, то
неприводимый случай будет при R > а/2.
В тригонометрии известно соотношение
cos Зи = 4 cos Зи — 3 cos и.
Сравним его с полученным кубическим уравнением.
Если положить а — 2R cos Зи, то решением уравнения
будет
х == 27? cos zz.
Это значит, что по известному cos Зи нужно найти cos и.
Виет решил уравнение х3 — Зх = 1, для которого
х = 2 cos 20° и cos 20° = 0,93969262. Таким образом,
впервые было решено кубическое уравнение в неприводи-
мом случае. Аналогично Виет трактовал неприводимый
случай для уравнения х3 + q = рх,
Виет зпал алгебраические уравнения, соответствующие
делению угла на пять и семь равных частей. Ему были
известны также формулы разложения cos тх и sin тх по
степеням cos х и sin х, В «Примечаниях к видовой логисти-
ке» Виет исходя из формул для cos (х + у) и sin (х 4- у)
получил формулы
yv» 711 (771 ~~ 1) р-> _ я *9 ।
cos тх = cos х------т——— cos ~хsin2# + ..
1 •
sin тх = т cos™ *х sin х —
т (т— 1)(гп — 2)
FF3 •
cos™'8# sin3# 4“
Оп записывал тригонометрические функции в виде от-
ношений сторон прямоугольных треугольников и дал
правило, по которому образуются коэффициенты правой
части указанных формул.
Виет получил выражение cos тх через cos х и выраже-
ния cos тх и sin тх через sin х. Эти результаты после
смерти Виета опубликовал Андерсон. Правила выведены
Виетом последовательным получением sin тх и cos тх с
помощью рекуррентных соотношений
cos тх = 2 cos х cos (т — 1) х — cos (тп — 2) #,
sin тх = 2 cos х sin (m — 1) х — sin (т — 2) #,
105
sin пгх = 2 sin x cos (пг — 1) x sin (m — 2!) x,
cos mx = —2 sin x sin (m — 1) x + cos {m — 2) x.
По этим соотношениям Виет получил правила вычисле-
ния sin тпх и cos пгх для небольших значений m и составил
таблицы коэффициентов, в которых можно обнаружить за-
кон их последовательного образования. Виет выражал не
cos пгх и sin пгх через cos х и sin х, а 2 cos пгх и 2 sin пгх
через 2 cos х и 2 sin х. Если считать 2 cos пгх и 2 sin пгх
данными, то соответствующие формулы будут уравнениями
степени пг относительно 2 cos х или 2 sin х. Это и сущест-
венно в алгебре.
После всего сказанного эпизод, происшедший с Виетом
в 1594 г. в Фонтенбло, пе должен казаться столь неожидан-
ным: Виет, был достаточно вооружен, чтобы решить постав-
ленную задачу. Ван Роомеп предложил в качестве вызова
всем математикам решить уравнение
45 х - 3795 х* + 95634 хъ -1 138 500 х1 +
+ 7 811 375 - ... - 12 300 я39 + 945 я41 - 45 х^ +
+ х^ = а
при
Он указал, кроме того, что при
«=]/'2+'|/Г 2 + У 2 + /2
решением будет
я = ]/2 - + У2+ /2~+ТЗ •
Виет рассматривал частные случаи зависимости синуса
угла пф от синуса ф. Общую формулу этой зависимости при
нечетном п впервые сообщил Лейбницу Ньютон почти через
сто лет в одном из писем 1676 г. Ее в 1704 г. опубликовал в
журнале Парижской академии наук Я. Бернулли. Эта
106
формула имеет зид
уз . __________
4-6 1 4-6-8-ю
n(re2_1)(n2_9)(„2_25)
4- т|~
a — nx —
- 1) (n* - 9) 5
Jc
4-6-8.10-12.14
•>
где а — 2 sin пер, х — 2 sin ср. Если подставить в нее
п = 45, то значения коэффициентов при х, х3, х\ ... равны
45, = 3795, -45(45^^~- = 95634’ • • -
что совпадает с коэффициентами в уравнении ван Роомена.
Виет сразу же определил, что а есть сторона вписанного
в единичный круг правильного пятнадцатиугольника, т. е.
хорда дуги в 24°, а по коэффициентам первого и предпослед-
него членов уравнения установил} что х — это хорда V45
этой дуги, т. е. дуги в 8715. Тем самым задача была реше-
на. На другой день Виет сообщил еще 22 положительных
корня, которыми были:
о . 360°р +12° л о оо
2 sm----------, где р - 1,2,..., 22
(отрицательных корней он не признавал).
Виет изложил свое решение в «Ответе к задаче, которую
предложил Адриан ван Роумен всем математикам мира»
(«Responsum ...», 1594). М. Кантор по поводу решения
Виета заметил: «Все это он дал не в таком наглядном виде.
Кто пробовал читать Виету, тот убедился, что было не
такой уж малой заслугой ван Роумена понять Responsum
Виеты» 8. Поль Танпери оценил решение Виета: «Изящное
решение задачи ван Роумена — одна из главных заслуг
Виеты» 9.
Вскоре после случая в Фонтенбло Виет сам предложил
математикам задачу, которая принесла ему громкую славу.
Это была задача о построении окружности, касающейся
трех данных окружностей, решенная еще Аполлонием в
утраченном труде «О касаниях», о чем упоминал Папп.
Ван Роумен решил ее с помощью конических сечений. Виет
в сочинении, в котором называет себя Аполлонием Галль-
8 Cantor М. Vorlesungen uber die Geschichte der Mathematik.
Leipzig, 1907, Bd. 2, S. 605.
9 Таниери П. Исторический опыт развития естествознания в Ев-
ропе. М.; Л.: 1934, с. 68.
107
ским (т. е. французским), указал изящное геометрическое
построение, выполненное только с помощью циркуля и
линейки.
Виет был первым математиком, занимавшимся восста-
новлением утерянных трудов Аполлония. Вслед за ним
такую попытку предпринял в 1607 г. Геталдич, в 1608 г.-
голландец Снелль (1581—1626). Самой успешной была
попытка Ферма, опубликовавшего «Две восстановленные
кпиги Аполлония Пергского о плоских местах».
Отметим еще одно оригинальное открытие Виета, хотя
оно и не имеет непосредственного отношения к алгебре,—
выражение числа л в виде бесконечного произведения.
В этом истинно творческом достижении с огромной силой
проявилась удивительная способность Виета объединять
алгебру, геометрию и тригонометрию в единое целое.
Построим окружность произвольного радиуса г и впи-
шем в нее квадрат. Обозначим сторону квадрата а4, апофе-
му — г4. Центральный угол, опирающийся на а4, равен
360° 180° ,,
~. Удвоим число сторон вписанного квадрата, т. е.
4 Сл
построим правильный вписанный восьмиугольник. Пусть
сторона его и апофема будут и г8, центральный угол
360° 180°
—з— = —. Продолжив дальше удвоение числа сторон,
получим правильные многоугольники с п = 16, 32, 64,...
Найдем отношение площадей двух «соседних» много-
угольников, например квадрата и восьмиугольника:
S4 = 4- -^-r4ait $8 = 8- -|-г8а8, =
Выразим сторону at и апофему через радиус окруж-
ности г и центральный угол а:
п . а о . 180° 180°
а&, = 2r sin -г?- == 2г sin —— , г4 = г cos —т— ,
* 2 4 4
о . 180° 180°
= 2г sin ’—— , г8 = г cos—— .
Найдем отношение 54/58:
180° 180°
2r sin —— г cos
^8
4 1 4
. 180° 180°
2>2r sin —g— г cos—g-
108
180°
sin 4 180° 180°
- 180° 180° C0S 4 “C0S “~ '
2 sin —q— cos —о—
Подобным образом можно поступить при вычислении
отношений площадей и других многоугольников. Получим
S. 180° 480° 8п 180°
= COS 7— , = COS—g- ,. . . --л = cos - .
4 *>1б 8 62п п
8
круга пределом последовательности площадей
лг2 л
^8
Виет был последователем Евклида, поэтому считал
площадь
правильных вписанных в окружность многоугольников
при неограниченном удвоении числа сторон 10.
Перемножив левые части написанных равенств, полу-
С /С 17 ^4 2г2 2
ЧИМ O4/02n- Если устремить ПК оо, то -тг-
Ч2п
В правой части будет произведение
/го 45° 45°
COS 45 COS —гг- COS —7— ...
4
2
Для упрощения его Виет воспользовался формулой
косинуса половинного угла:
В итоге он получил
3,0 Конечно, это формулировалось не в такой форме, как сказано.
Ни о каких пределах и последовательностях речи быть не могло.
Но важно существо, а не форма.
109
Это был первый случай применения бесконечного про-
изведения. Идея бесконечного произведения оказалась
плодотворной и получила дальнейшее развитие, особенно в
трудах Эйлера.
Бесконечное произведение, полученное Виетом, схо-
дится достаточно быстро. Правда, о доказательство сходи-
мости тогда никто и не помышлял.
Как и большинство математиков того времени, Вист
придерживался традиционных взглядов па кривую линию:
он рассматривал кривую как бесконечное множество
отрезков прямых. Эти взгляды разделял и составитель
первого учебника по анализу — «Анализ бесконечно ма-
лых» — маркиз де Лопиталь (1661—1704). Он писал:
«Требуется, чтобы можно было рассматривать кривую
линию как совокупность бесконечного множества беско-
нечно малых прямых линий, или же (что то же самое) как
многоугольник с бесконечным числом бесконечно малых
сторон, определяющих образуемыми ими между собой
углами кривизну линии» п.
5
Виет был первоклассным вычислителем. Уже упомина-
лось, что в «Математическом каноне» он опубликовал таб-
лицы значений тригонометрических функций. Для вычис-
ления, например, sin Г ему понадобилось найти длины
сторон вписанного многоугольника с числом сторон 3*2П
и описанного многоугольника с числом сторон 3*212.
Можно только предполагать, какого огромного труда
требовало составление таблиц при уровне «вычислительной
техники» тех времен, Таблицы Виета составлены с шагом
в 1'.
В работе «О численном решении чистых и связанных
степеней с доказательством» (паписана в 1591 г,, опубли-
кована Геталдичем в 1600 г.) Виет изложил метод прибли-
женного решепия уравнений с числовыми коэффициента-
ми. Этот метод применялся математиками до конца XVII вм
а затем был вытеснен более простым методом Ньютона.
Виет предложил искать положительный корень урав-
нения в виде х — хх + хг -Б ... 4- хп, где хп — единицы,
Лопиталь 1\ Ф, Анализ бесконечно малых, М.; Л.: ГТТИ, 1935,
с. 63-^64.
110
,rrz_i — десятки и т. д.; значения ях, х2, . . . , хп вычисля-
ются последовательно.
Рассмотрим метод Виета сначала на примере квадрат-
ного уравнения
х2 + сх — а.
Положим х == Ху + х2 + х3, здесь Ху — сотни, х2 —
десятки, х3 — единицы. Подставим х в уравнение и приве-
дем его к. виду
4 + с%1 + (2 %у + с) х2 + х2 + 12 (ху + х2) 4- с] xz 4-
4~ х?> — а*
Значение % легко находится подбором, это будет видно
из приведенного ниже примера. Определив х19 вычислим
сумму двух первых слагаемых и вычтем ее из а\ назовем
эту разность первым остатком и обозначим Ry. Коэффици-
ент при х2 можно вычислить, так как Ху и с известны. При
определении х2 Виет пренебрегал членом х2 и членами,
содержащими х3, а при определении х3 — членом
Разделим Ry на 2ху + с и получим х2. Подсчитаем
коэффициент при х3 и найдем второй остаток R2 =
= Ry — (2 Ху 4- с) х2 — Разделив R2 на коэффициент при
й?з, т. е. на 2 (хг 4- х2) 4- с, найдем х3. Чтобы уяснить под-
робности метода, разберем пример, принадлежащий Виету.
Решим уравнение
\ $ ф 7^ = 60 750.
Установим пробой число сотен: = 100^ — 10 000 —
£впо мало; Ху = 200 дает 40 000, a Ху — 300 приводит к
90 000, что превышает а. Следовательно, нужно взять
Ху = 200, тогда
Ху 4- сху = 41 400.
Найдем Ry-
Ry = 60 750 - 41 400 = 19 350.
Затем подсчитаем коэффициент при х2*
19 350 /7
-w- = 4/,54.
ill
Отсюда х2 = 40. Теперь можно вычислить второй остаток.
Найдем (2xL 4 с) х2 4 х} = 407*40 4 1600 = 17 880,
новый остаток будет
Т?2 = 19 350—17 880 = 1470.
Коэффициент при равен 487. Найдем х$
Берем Хъ = 3. Окончательный результат будет
х = 2?i 4 х2 + Хъ = 243.
Подстановка х в левую часть уравнения дает 60 750.
Естественно, решать квадратные уравнения прибли-
женно пет смысла, но так легче ознакомиться с реализаци-
ей метода.
Обратимся теперь к кубическому уравнению. Пусть
необходимо найти положительный корень уравнения
Xs + рх = q,
где р и q — целые положительные числа и q — многознач-
ное число, значительно превосходящее р. Так как х? =
= q — рх. то ж3 < и ж < Это позволяет утверждать,
что первая слева цифра числа х не превосходит первой
цифры числа У q. Предположим, пробами установлено, что
хл = Пусть истинное значение корня х == а± 4 х2.
Подставим ого в уравнение
q = + ^)3 + р («1 +
Первый остаток
Ri = Q — («1 4 == (За? 4 Захх2 4 р) х2 4- 4*
Отбросим х* и положим в скобках х2 => 1, получим
д—(а--Урд^
2 4 3ax 4- Р •
Первая цифра х2 не превосходит первой цифры правой
части неравенства. Найдем ее и обозначим а2> получим
новое приближение корня х = 4 ^4 в котором уже
известны две цифры.
Тогда
^2 = Q — Uai + Лг)3 + ? (fli т л2)1.
112
Далее найдем третью цифру корпя. Пусть х = at 4-
4- а2 + Подставим это значение в уравнение
7 = (#i + а2 + #з)8 + Р (#i + а2 + #з) = («1 + ^г)3 +
+ 3 (а± + й2)2^з + 3 (й! + Й2) 4 + Р («I 4- «г) + Р^з + 4*
Тогда
R2 — q — [(ах + л2)8 4* р (&i + #2)! ~ а2)2 4*
4* 3 (aL 4~ #г) %з 4“ Z7! хз 4*
Отыскание х3 производится так же, как и х2.
Всех этих формул у Виета нет, оп только поясняет прием
последовательного нахождения каждой цифры корня.
Работы Виета оказали существенное влияние на разви-
тие математики. Его имя донесла до наших дней «теорема
Виета». Примечательно, что даже невинная бравада, когда
Виет назвал себя Аполлонием Галльским, имела последо-
вателей 12. Но можно привести факты, свидетельствующие
о том, что опубликованные результаты Виета не получили
широкого распространения. К 1531 г. относится рукопись
датского астронома Тихо Браге (1546—1601), посвященная
тригонометрии, по которой можно судить о том, что он но
был знаком с работами Виета. Вероятно, частично это мож-
но объяснить слабо налаженной научной информацией.
Ближайшими последователями Виета в алгебре были
Гарриот, Жирар и Оутред. Томас Гарриот получил уни-
верситетское образование в Оксфорде. В результате пред-
принятого путешествия в Северную Америку, где им были
выполнены обширные картографические работы, он соста-
вил описание и карту Северной Каролины. После путеше-
ствия успешно занимался астрономией, физикой, математи-
кой. Составил карту Луны, которую наблюдал с помощью
зрительной трубы в то же самое время, что и Галилей.
Основной труд Гарриота — «Применение аналитиче-
ского искусства к решению алгебраических уравнений» —
вышел в 1631 г., через десять лет после его смерти. В нем
была изложена теория уравнений в духе Виета, заслугам
которого автор отдал должное.
i2 Например, Спелль именовал себя Аполлонием Батавским (гол-
ландским).
113
Изложение теории уравнений у I арриота проще, чем у
Виета, за счет улучшений, внесенных в символику. Он
применил вместо прописных букв строчные, целую поло-
жительную степень записывал в виде произведения
одинаковых сомножителей, пользовался знаком равенства,
введенным английским математиком Рекордом (1510—
1558), знаками 4- и —, ввел знаки > и <, при записи
уравнения нередко все члены собирал с одной стороны,
приравнивая их нулю. Он ввел термин «каноническое
уравнение» для уравнений, свободный член которых уеди-
нен в какой-либо его части. В записи Гарриота уравнение
я3 — 3ta2 + 3&2# = 2&3 имело вид
ааа — 3. Ъаа + 3. bba = 2. ЪЪЪ.
Гарриот, как и Виет, не признавал отрицательных
корней уравнений, по прием составления уравнений
перемножением линейных множителей вида а — &, а — с,
а + d (Гарриот писал а вместо х) давал ему возможность
выражать коэффициенты уравнения через корни и в случае
отрицательных корней. Он получил
(а — Ъ) (а — с) (а + d) — ааа — Ъаа + Ьса — саа —
— bda — daa — eda + bed,
ааа — baa -J- bca — caa — bda — daa — eda = —bed
и сделал вывод, что уравнения удовлетворяются при
а = b и при а == с, а множителем а + d для такого заклю-
чения не пользовался. Это ограничение нещозволило ему,
так же как и Виету, сформулировать в общем виде зависи-
мость между коэффициентами и корнями уравнения. То же
самое можно сказать и о формулировках основной теоремы
алгебры: Виет и Гарриот в явном виде се не высказывали,
хотя и знали, что уравнение, составленное из п множителей
указанного вида, имеет п корней.
Альберт Жирар родился в Лотарингии, но большую
часть жизни провел в Голландии, куда переехал в ранней
молодости из-за гонений па протестантов. Основной его
труд — «Новое) открытие в алгебре» (1629).
Жирар наравне с положительными корнями уравнения
пользовался отрицательными и даже мнимыми. Отрица-
тельные корни он называл «решениями с минусом» и истол-
ковывал геометрически как «движение вспять», мнимые —
«скрытыми», «невозможными» и выражал их как квадрат-
114
ные корни из отрицательных чисел. Мнимые корпи пона-
добились Жирару для придания общности сформулирован-
ным им утверждениям. Он разъяснил это на примере
уравнения х* — \х 4- 3 = 0, которое имеет четыре корня:
х4 — х2 = 1, £3)4 = — 1 4- i-V2.
Рассмотрение всех трех видов корней позволило Жира-
ру впервые сформулировать основную теорему алгебры:
«Все уравнения алгебры получают столько решений,
сколько их показывает наименование высшей величины» 13.
Жирар несколько продвинул вперед теорию симмет-
рических функций корней уравнений. Если уравнение
записать в виде
ха 4- агхп 1 4- а2.г/г"2 4- ... 4- ап = О,
•то симметрические функции имеют вид
п • п
zLi ^'к ~ 3 “ ^2» • • • > ( х) ^1^’2 . » . Хп —
tl k^l
Кардано знал случаи зависимости между корнями и
коэффициентами кубических уравнений, для любых урав-
нений с положительными корнями их обнаружил Вист.
Жирар допустил, что возможны любые корпи и получил
зависимости, аналогичные написанным. Он также изучал
иные симметрические функции — степенные суммы корней
+ • • • 4 ™ = 1, 2,3,...
и первые четыре суммы выразил через коэффициенты
О " $ j,) 2 — “ ^2 i
$3 “ — + За^ — З^з,
54 = af —- 4#ia2 4- 4а2а2 + 2а; — 4а4.
Жирару принадлежит оригинальный способ решения
кубического уравнения в неприводимом случае. Вот он,
Пусть в уравнении
х3 — рх — q = О
М Girard A, Invention nouvelle en 1’algebre, Amsterdam, 1629.
115
выполняется условие (неприводимыйслучай). По-
строим окружность радиуса R = J/^~ (рис. 15) с диаметром
FK. Проведем хорду Т^Сдлипы q : -у — . Легко убедить-
q2 р3 3? ^07 /" Р
ся, что если то — <2У ~ ’т*е- хорда Ука-
занной длины в данной окруж-
©пости допустима. Обозначим
угол GFK через Зф. Тогда
, FG = 27? cos Зф.
К Подставим сюда
cos Зф = 4 cos Зф — 3cos ф
и получим
FG =
Рис- 15 = 2|/" -у (4соз3ф — Зсозф) = у.
Найдем из этого равепства q:
q = -2 ~ (4 соз3ф — 3 cos ф) =
О г О
== j/^-у- (8 СО83ф — 6 COS ф).
Введем теперь хорду
FL = 27? cos ф.
Очевидно, FL > FG, потому что
cos ф > cos Зф (Зф я).
Выразим через хорду FL величины 8 cos Зф и 6 cos ф:
8соб3ф = (2 созф)3
с ^FL
6 COS ф — —у
FL3 FL^
7?3
p-FL
р' 3
116
Тогда
8 cos3cp — 6 cos q> =
FL3_______pFL
Подставим эту разность в выражение для q\
FL3 - pFL = q.
Сравнение с исходным уравнением показывает, что FL —
его корень. Если вспомнить решение Виета 14, становится
ясно, что Жирар реализовал идею метода Виета.
Сельский священник Вильям Оутред (1574—1600)
успешно занимался исследованиями в различных областях
математики.
В 1631 г. вышла его книга «Ключ математики»,
в которой прослеживается арифметическое построение
алгебры и практическая направленность всей математики.
Алгебру он называл не «логистикой», а «видовой арифмети-
кой» и писал: «Эта видовая арифметика более подходит для
аналитического искусства (при помощи которого искомое
находится, когда его рассматривают как данное), чем чис-
ловая» 15.
Оутред приводит примеры действий над числами, а по-
том формулирует соответствующие правила символически,
v г 1 13
Если производится вычитание из 6 — суммы —и
2 —, то после вычислений он обобщает: нужно сложить
А % В
А!В и Z, получится-----; затем из А!В вычесть В!С,
останется --------и т. д. Выражение Bq у него означает
В2 (<? — сокращение quadr). Вместо А10, например, Оутред
записывал Aqqccc, вместо 10 А*Е — 10 АсссЕ. Он ввел в
математику знак умножения в виде косого креста (А X В).
Особенно важно, что Оутред считал единицу (или другое
целое число) делимой на любое число частей.
14 См. с. 103—104.
i5 Oughtred И7. Glavis mathemalicao. . . Oxoniae, 1667, р. 4.
117
Оутреду принадлежат работы по тригонометрии, о
свойствах логарифмов. Оп ввел существенное усовершен-
ствование в примитивную конструкцию логарифмической
линейки: предложил пользоваться двумя одинаковыми
шкалами, одна из которых перемещалась вдоль другой.
Все работы последователей Виета обеспечивали даль-
нейшее развитие алгебры. Ио они по каким-то причинам
остались незамеченными. К тому же вскоре вышла
знаменитая «Геометрия» Декарта, это сопровождалось
реформой всей математики, в том числе и алгебры,
ДЕКАРТ
1
Один из величайших мыслителей Франции, основатель
философии и науки нового времени Рене Декарт родился
31 марта 1596 г. в местечке Лаэ провинции Туреиь. Отец
Рене, Иоахим Декарт, был советником парламента (судей-
ским чиновником) в Ренне, принадлежал к «дворянству
мантии» \ Семья Декартов — правоверно католическая.
Среди предков Рене по линии отца были врачи, священно-
служители. Мать Рене, Жанна Брошар, происходила из
семьи, члены которой были хранителями университетской
библиотеки в Пуатье. Родовые имения Декартов находи-
лись в Турени и Пуату; одно из них — Перрон в Пуату —
впоследствии перешло к Репе.
Мать Рене умерла от «грудной болезни» вскоре после
рождения сына. Он говорил, что унаследовал от матери
«сухой кашель и бледный цвет лица».
Первые семь лет Рене воспитывался вместе со старшим
братом Пьером и сестрой Жанной в Лаэ. Стремление
к наукам проявилось у него рано. На восьмом году он
был отдан в школу Ла Флеш — одно из лучших учебных
заведений того времени. Школа была организована образ-
цово и находилась в ведении иезуитов. Иезуиты в педаго-
гической практике ставили конкретные цели: подгото-
вить из обучающихся дворян идейных защитников ордена,
католицизма, папства. Орден не оставлял без внимания
воспитанников школы и после ее окончания.
Условия воспитания и обучения Декарта были такими,
что он должен был стать человеком консервативного
склада; хотя впоследствии он и выступал как реформатор
науки и философии, ио вместе с тем был врагом всякого
рода насильственных преобразований в обществе, перево-
1 «Дворянство мантии» — знать из чиновников парламентов. Ро-
довое дворянство именовалось «дворянством шпаги».
119
ротов в церкви и государстве. Об этом свидетельствует
он сам: «Я никоим образом не одобряю беспокойного и
вздорного нрава тех, которые, не будучи призваны пи
по рождению, пи по состоянию к управлению обществен-
ными делами, неутомимо тщатся измыслить какие-нибудь
новые преобразования» 2. В качестве одного из правил
морали Декарт формулирует: «Повиноваться законам и
обычаям моей страны, придерживаясь неотступно рели-
гии, в которой, по милости божьей, я был воспитан с дет-
ства, и руководствуясь во всем остальном мнениями наи-
более умеренными, чуждыми крайностей и общеприня-
тыми среди наиболее благоразумных людей, в кругу ко-
торых мне приходится жить» 3.
Школа Ла Флеш отличалась от других школ тем, что
наравне с традиционными предметами —• грамматикой,
риторикой, богословием, схоластической философией —
в ней изучались физика и математика (цикл математиче-
ских наук, состоящий из арифметики, геометрии, акусти-
ки и астрономии). .
Изучение философии не удовлетворяло пытливый ум
Декарта, вызывало критику, зародило начало тех сомне-
ний, которые привели его к созданию иной философской
системы. Математика же увлекала, служила стимулом
к творчеству. Уже в школьные годы у Декарта оформи-
лась мысль построить все науки по образцу математики.
Преподавание в Ла Флеш велось так же схоластиче-
ски, как и в других школах того времени. Лектор читал,
например, сочинения Аристотеля, а затем комментиро-
вал их. В конце каждой недели проводился диспут, в кон-
це месяца — большой диспут. Предметом диспута была
одпа из рассматривавшихся на занятиях тем. На диспут
назначались докладчик и оппонент, которые в следующий
раз, через неделю, менялись ролями. Докладчик с по-
мощью цепи логических умозаключений старался обосно-
вать некоторый тезис, а оппонент — его опровергнуть.
Об этих диспутах Декарт позднее написал: «Я никогда
не замечал, чтобы с помощью диспутов, практикуемых
в школах, была бы открыта истина, дотоле неизвестная,
ибо когда каждый стремится победить, тогда более забо-
тится цабить цену правдоподобию, а не взвешивать до-
2 Декарт Р. Рассуждение о методе. М.: Изд-во АН СССР, 1953,
с. 19—20.
3 Там же, с. 59—60.
120
воды той или другой стороны. И те, которые долго
были хорошими адвокатами, не становятся благодаря
этому лучшими судьями»4.
Высказывания Аристотеля, видных теологов, Авгу-
стина и Фомы Аквинского, других «отцов церкви» и
схоластов считались безусловно истинными; ими пользо-
вались как исходными посылками при построении раз-
личных доказательств.
В школе Декарт познакомился с Мареном Мерсенном
(1588—1648). Несмотря на разницу в возрасте (Мерсенн
уже заканчивал школу, когда Декарт в нее поступил),
Мерсенн стал первым в кругу друзей Декарта, а позднее
являлся его доверенным лицом в Париже.
Начало книги Декарта «Рассуждения о методе» (опуб-
ликована на французском языке в 1637 г.) содержит
много цепных высказываний, касающихся школы, изуча-
емых предметов, постановки обучения. «С детства я был
обучен паукам, и так как меня уверили, что с их помощью
можно приобрести ясное и надежное знание всего полез-
ного в жизни, то у меня было чрезвычайно большое жела-
ние изучить эти пауки. Но как только я окончил курс
учения, завершаемый обычно принятием в ряды ученых,
я совершенно переменил свое мнение, ибо так запутался
в сомнениях и заблуждениях, что, казалось, своими ста-
раниями в учении достиг лишь одного: все более и более
убеждался в своем незнании. А между тем я учился
в одной из наиболее известных школ в Европе и полагал,
что если есть на земле где-нибудь ученые люди, то именно
там и должны они быть» 5.
В XVII в. Франция переживала процесс, который
Маркс назвал первоначальным накоплением капитала.
Хотя там господствовали феодальные сословные отноше-
ния, особенно в деревне, где проживало около девяти
десятых населения, развитие капиталистических элемен-
тов вело к становлению нового общества и происходило
в условиях абсолютистской монархии, под ее контролем.
Более заметно развитие капиталистических отноше-
ний происходило в городах: начало развиваться промыш-
ленное производство (особенно производство предметов
роскоши, шерстяных и полотняных изделий), появились
4 Там же, с. 12.
ь Там же.
121
мануфактуры с наемными рабочими, постепенно подчиняв-
шие себе ремесленников.
Во время правления кардинала Ришелье государство
субсидировало мануфактуры, строительство дорог и ка-
налов, экспедиции, проводило политику протекционизма
с целью защиты отечественного производства от конку-
ренции более дееспособных производств — голландского
и английского.
Декарт закончил школу Ла Флеш в августе 1612 г.
И хотя оп относился с уважением к своим преподавате-
лям, обычно считал, что достигнутыми успехами школь-
ному образованию обязап в очень малой степепи, часто
говорил друзьям, что и без школьного образования на-
писал бы те же книги с той лишь разницей, что написаны
они были бы все по-французски.
На первых страницах «Рассуждения о методе» Декарт
излагает план дальнейших действий: «...я полагал, что
достаточно уже посвятил времени языкам, а также чте-
нию древних книг с их историями и вымыслами. Ибо бесе-
довать с писателями других веков — то же самое, что
путешествовать. Полезно в известной мере познакомиться
с нравами разных народов, чтобы более здраво судить
о наших и ие считать смешным и неразумным все то, что
не совпадает с нашими модами, как нередко делают
люди, ничего не видевшие» б. И дальше: «Вот почему,
как только возраст позволил мне выйти из подчинения
моим наставникам, я совсем оставил книжные занятия и
решился искать только ту науку, которую мог обрести
в самом себе или же в великой книге мира, и употребил
остаток моей юности на то, чтобы путешествовать, уви-
деть дворы и армии, встречаться с людьми разных нравов
и положений и собрать разнообразный опыт, испытать
себя во встречах, которые пошлет судьба, и повсюду по-
размыслить над встречающимися предметами так, чтобы
извлечь какую-пибудь пользу ив таких занятий»7.
В начале 1613 г. Декарт отправляется в Париж и
ведет там светскую жизнь. Здесь он знакомится с париж-
ским математиком К. Мидоржем (1585—1647), встреча-
ется с Мерсепном. Декарту вскоре надоели светские раз-
с Декарт Р. Рассуждение о методе, с. 13,
7 Там >,ке)ис, 15,
122
влечения, он переехал в предместье Парижа и стал зани-
маться наукой.
Отец Реие мечтал о военной карьере для сына: опа
могла дать продвижение по службе, почести, выгодные
связи. Декарт не возражал против военной службы, ибо
она обеспечивала осуществление плана, который у пего
к тому времени созрел: изучить открывающийся перед ним
мир, ознакомиться с применявшимися в армии механиз-
мами и с фортификационным искусством. Кроме того,
переезжать по дорогам Европы вместе с войсками было
более безопасно.
Но Декарта пе прельщала служба в войсках в каче-
стве оплачиваемого офицера: он лишился бы независи-
мости и досуга. Ипое дело — служить волонтером.
Продав часть принадлежавших ему имений, Декарт
вступил добровольцем в войска знаменитого Морица
Оранского — статхоудера (наместника короля) и главно-
командующего Нидерландов.
Франция из вражды к испано-австрийской монархии
поддерживала Нидерланды, и служба французских дво-
рян в нидерландской армии была модой. Армия эта
славилась хорошей организацией, опытными военачаль-
никами. Военная наука там опиралась на новейшие до-
стижения механики и математики.
Процесс экономического развития в XVI—XVII вв.
в Нидерландах, где Декарт провел большую часть своей
жизни, шел быстрее, чем во Франции. В Нидерландах
раньше, чем в остальных странах Западной Европы,
произошла буржуазная революция (1566—1609). Маркс
говорил, что Голландия являлась образцовой капитали-
стической страной XVII столетия.
Освободившаяся в длительной борьбе от испанского
ига, Голландия получила благоприятные условия для раз-
вития экономики, науки, культуры. Голландия XVII в.—
передовая в политическом и экономическом отношениях
страна, переживавшая пору бурного расцвета. Расцвет
экономики немыслим без развивающейся инженерной
техники, без роста таких наук, как математика, физика,
механика, астрономия, география, которые находили
применение в кораблестроении, строительстве плотин,
каналов, шлюзов, в мореплавании.
В стране работали выдающиеся ученые, получило
широкое распространение книгопечатание, развивалась
123
сеть университетов, $ которых обучались студенты раз-
личных сословий из многих стран Европы. Некоторые
университеты, например Лейденский, славились далеко
за пределами Голландии.
2
В 1618 г. Декарт приехал в Бреду. Здесь состоялось
его знакомство с видным голландским ученым И. Бекма-
ном (1588—1637), который возбудил интерес Декарта
к физико-математическим исследованиям.
Пребывание Декарта в Бреде было непродолжитель-
ным. Уже в 1619 г. он в составе войск баварского герцога
Максимилиана оказался в Ульме, где войска стояли всю
зиму. Декарт познакомился с местными математиками,
одним из них был известный в то время И. Фаульгабер
(1580—1653). Состоялось несколько бесед, имевших для
Декарта большое значение: у него уже тогда могла воз-
никнуть идея всеобщей математики, объединяющей все
ее разделы. Декарт все более и более сомневался в истин-
ности существовавшей тогда философии, видел ее недосто-
верность, царивший в ней хаос. И только математика с ее
стройностью касалась ему способной давать истинные
знания. Поэтому он много размышлял над необходимо-
стью создать философию по геометрическому методу,
столь же достоверную, как геометрия, над необходимо-
стью искать новый метод для создания системы истинного
знания.
Стоянка на зимних квартирах в 1619—1620 гг.— зна-
менательный этап жизни Декарта. В своем дневнике
Декарт сделал запись: «10 ноября 1619 г., охваченный
энтузиазмом, я открыл основания поразительной науки».
В чем же состояло открытие Декарта? Это могло быть
открытием идеи универсальной математики, или преобра-
зования алгебры с помощью единой символики, или вы-
ражения алгебраических величин с помощью геометри-
ческих, а геометрических через алгебраические уравне-
ния, что было основной идеей построенной Декартом ана-
литической геометрии. Б. Г. Кузнецов указывает па связь
осенивших Декарта идей с его основными гносеологиче-
скими посылками и на этом основании делает вывод о
рождении новой гносеологии 8.
8 См.: Кузнецов Б, Г, Разум и бытие. Му: Наука, 1972, с. 19, -
124
«Ульмское озарение» при всей его внезапности было
подготовлено предыдущими размышлениями Декарта и
в некотором смысле завершало их, служило итогом дли-
тельных интеллектуальных усилий и эмпирического изуче-
ния мира.
«Я находился тогда в Германии,— пишет Декарт,—
где оказался в связи с войной, пе окончившейся там и
доныне. Когда я возвращался с коронации короля в ар-
мию, начавшаяся зима остановила меня на одной из стоя-
нок, где я, не имея никаких развлекающих меня собесед-
ников и, кроме того, не тревожимый, по счастью, никаки-
ми заботами и страстями, оставался целый день один
в теплой комнате, имея полный досуг предаваться раз-
мышлениям. Среди них первым было соображение о том,
что часто работа, составленная из многих частей и сде-
ланная руками многих мастеров, не имеет такого совер-
шенства, как работа, над которой трудился один чело-
век... Подобным образом мне пришло в голову, что и
науки, заключенные в книгах, по крайней мере те, кото-
рые лишены доказательств и доводы которых лишь веро-
ятны, сложившись и разросшись мало-помалу из мнений
множества разных лиц, не так близки к истине, как про-
стые рассуждения, которые может сделать здравомысля-
щий человек относительно встречающихся ему предметов» °.
Весной 1622 г. Декарт возвратился во Францию и
зиму 1623 г. провел в Париже, где снова встречался с Мер-
сенном, Мидоржем. С Мидоржем он обсуждал вопросы
рефракции, с инженером Э. Вильбресье ставил оптиче-
ские опыты.
Из Парижа Декарт отправился в Италию. Он посетил
Рим, Флоренцию, присутствовал на различных празд-
нествах. По неизвестным причинам Декарт не предпринял
никаких шагов для знакомства с Галилеем, жившим во
Флоренции, хотя и посетил двор великого герцога Фер-
динанда II.
Летом 1625 г. Декарт снова вернулся в Париж. Его
по-прежнему увлекали задачи математики и физики —
ведущих наук века. Среди основных разделов физики того
времени заметное место занимала оптика. После того как
Галилей в 1609 г. построил зрительную трубу и произвел
первые астрономические наблюдения, открылась широкая
° Декарт Р. Рассуждение о методе, с. 17—18.
125
перспектива применения оптических инструментов для
наблюдений н интерес к оптике чрезвычайно повысился.
По первые оптические инструменты были несовершенны-
ми, телескопы давали нечеткие изображения, обрамлен-
ные цветовыми ореолами. Настоятельно требовалось раз-
работать теорию наилучшей формы линз, чтобы получать
более качественные изображения. Раздел оптики, посвя-
щенный теории рефракции, т. е. теории прохождения
световых лучей через различные среды, назывался тогда
диоптрикой. Математической теорией рефракции и стал
заниматься Декарт. Он установил, что наилучшая форма
линз для исправления сферической аберрации, обуслов-
ливающей расплывчатость изображений,— гиперболи-
ческая. Мидорж, занимавшийся теорией отражения света
от зеркал (эта область науки называлась тогда катоп-
трикой), указал в качестве наиболее приемлемой формы
зеркала параболическую. Декарт сообщил о своем от-
крытии опытному мастеру — оптику Феррье, искусному
шлифовальщику линз, а впоследствии пригласил его
в Голландию для совместных работ.
К тому же времени относится сообщение Декарта
Мидоржу о том, что оп нашел новые решения старинных
математических задач об удвоении куба и трисекции угла.
Двадцатые годы XVII в. явились началом длительной
борьбы за укрепление королевской власти и международ-
ного положения Франции. Фактическим правителем
Франции стал всесильный кардинал Ришелье (1585—
1642), который стремился «всех смешать в общем рабстве
перед королевской властью» 10, принимал все меры к ук-
реплению абсолютизма.
Осенью 1628 г. Декарт уехал в Голландию. На этот
раз — на долгих двадцать лет. Что вынудило его пред-
принять такой шаг? Почему он покинул родные места?
Почему не поселился, папример, в Италии, славящейся
научными традициями? На эти вопросы нет однозначного
и непротиворечивого ответа.
В «Рассуждении о методе» Декарт сам говорит о при-
чинах переезда в Голландию. Ему необходимо было
уединение, относительная свобода, «мир с его плодами»,
удобства большого города, где можно среди «деятельного
1° Кареев II. История Западной Европы в новое время. СПб,, 1904,
т. II, с» 403,
126
народа» (а голландцы того времени были именно таковы)
жить, как в «отдаленной пустыне», предаваясь непрерыв-
ному труду. Декарт не был фордом. Его девизом было
«Bene qui latuit, bene vixit» («Хорошо прожил тот, кто
хорошо укрылся»).
Годы жизни Декарта в Голландии насыщены интен-
сивным трудом. Обычно его дни были заполнены дли-
тельными размышлениями, решением различных задач,
экспериментированием, ответами на письма.
Декарт много времени уделял изучению процессов
жизнедеятельности животных и строения их внутренних
органов. Для своих исследований он приобретал у рыба-
ков рыбу, в деревнях — домашних птиц и животных,
которых затем препарировал.
Библиотека его была очень невелика. Когда один
знакомый попросил показать ее, Декарт отдернул зана-
веску и, указывая па приготовленный для исследований
труп теленка, сказал: «Вот мои книги».
Декарт переписывался с учеными Франции, Италии,
Голландии. Мерсенн информировал его о научных откры-
тиях, посылал для решения физические и математические
задачи. В ту пору среди ученых решение предложенных
задач считалось делом чести, поэтому Декарт уделял это-
му занятию много внимания.
Его знакомыми в Голландии были ученые (математики,
физики, медики, философы), техники, духовные лица, уни-
верситетские профессора (Лейденского, Лувенского, Ут-
рехтского университетов). Особенно он сблизился с семьей
Константина Гюйгенса, отца знаменитого Христиана
Гюйгенса (1629—1695). Декарт рано заметил и высоко
оценил дарование юного Христиана.
3
Бурное развитие науки в XVI и XVII вв. вылилось
в научную революцию. Она характеризовалась созданием
основы современного научного естествознания и матема-
тики как его рабочего аппарата.
В развитии пауки настоятельно проявлялись новые
тенденции: она все более чутко откликалась па запросы
практики, обслуживала ее; паука развивалась в борьбо
с догматизмом, базировалась на результатах экспери-
мента, ее основу составляли механика и математика.
127
Новые условия развитая пауки формировали новый тип
ученого и диктовали необходимость объединения усилий
разных ученых, что привело к возникновению научных
кружков, а впоследствии — к организации академий,
кроме того, паука испытывала па себе влияние передовых
идей века.
Развитие производства ставило перед наукой сложные
задачи. «Такие задачи появлялись в промышленной,
строительной, транспортной технике, в быстро прогрес-
сировавшем артиллерийском деле, в навигации, в связи
с изобретением и совершенствованием различных прибо-
ров и инструментов и т. д. Назовем несколько таких во-
просов, правильная постановка и решение которых тре-
бовали математического исследования, завершающегося
числовым расчетом. Это цикл проблем гидротехники (дав-
ление воды на плотины и шлюзы, работа насосов, движе-
ние воды в каналах), затем кораблестроения и навигации
(устойчивость плавающих тел, движение твердого тела
в жидкости, черчение географических карт, определение
долготы корабля в открытом море), артиллерии (прежде
всего движение брошенного тела в пустоте и в сопротив-
ляющейся среде), оптики (свойства линз и их систем),
точного приборостроения (часы и колебания маятника)» и.
Однако было бы неправильно думать, что развитие
пауки целиком определялось практикой, ее нуждами.
В каждой науке есть свои внутренние стимулы, обуслов-
ливающие прогресс. «Конечно, было бы бесплодным
упрощенчеством,— пишет И. Б. Погребысский,— истол-
ковывать научные исследования той эпохи как выполне-
ние определенного социального заказа: преломление об-
щественных процессов в индивидуальном творчестве про-
исходит, как правило, весьма сложным образом. К тому
же наука развивается по законам наследственного про-
цесса: ее дальнейший ход определяется не только ее со-
стоянием и общественными условиями в данный момент,
во и предшествующей историей» 11 12.
Необходимо иметь в виду и наличие обратной связи:
развивающаяся паука ставила перед практикой, в свою
очередь, новые задачи.
11 История математики, М.: Наука, 1970. Т. 2, с. 10.
*2 История механики с древнейших времен до конца XVIII в, М.:
Паука, 1971, с, 83.
128
ФРАНСУА ВИЕТ
(1540—1603)
ДЖИ РОЛАМ О К А Р Д А И О
(1501-1576)
ИСААК НЬЮТОН
(1643—1727)
РЕНЕ ДЕКАРТ
(1596- 1650)
' Начало активного и научно обоснованного выступле-
ния против средневековых догм связано с выходом в свет
основного труда Коперника «Об обращении небесных
кругов». Вслед за Коперником движение возглавили
Дж. Бруно и Галилей. Борьба с догмами пронизывает
и творчество Декарта. Понятно, почему на одной из гра-
вюр Декарт изображен попирающим ногой сочинения
Аристотеля.
К этому времени резко изменилось отношение к экс-
перименту. Декарт осуждает философов, «которые, пре-
небрегая опытом, думают, что истина выйдет из головы,
как Минерва из головы Юпитера» 13. Знаменитый фран-
цузский мыслитель, физик и математик Б. Паскаль (1623—
1662) заявил более категорично: «Эксперимент — это тот
учитель, за которым надо следовать в физике» 14 *.
И Декарт, и Паскаль имеют в виду опыты, явившиеся
поворотными пунктами в развитии наук, такие, как опыты
Галилея с падением тяжелых тел и колебаниями маят-
ника, опыты Торричелли, опровергнувшие тезис Аристо-
теля «природа боится пустоты», и столь же важные для
пауки опыты Паскаля, доказавшие существование атмо-
сферного давления.
В XVII в. мир рассматривался как механизм, действу-
ющий в соответствии с незыблемыми законами.’ В связи
с таким взглядом ведущее значение приобрела механика,
а вместе с пей и математика.
Еще Леонардо да Випчи называл механику раем мате-
матических наук. Галилей писал: «Философия написана
в величайшей книге, которая всегда открыта перед наши-
ми глазами (я разумею Вселенную), по ее нельзя понять,
пе научившись сначала понимать ее язык и не изучив
буквы, которыми опа паписана. А написана опа па мате-
матическом языке, и ее буквы— это треугольники, дуги
и другие геометрические фигуры, без каковых невозможно
понять по-человечески ее слова: без них — тщетное кру-
жение в темном лабиринте»16. Позднее Декарт, считавший,
что «среди всех искавших истину в науке только матема-
тикам удалось найти некоторые доказательства» 16, назы-
вал созданную им физику геометрией.
13 Декарт Р. Избр. произв. М.: Господитиздат, 1950, с. 95.
14 Pascal В. Oeuvres compfltes. Paris, 1963, р. 259.
13 Galilei G. Le Opere. 1896, Firenze, v. VI, p. 232.
16 Декарт P. Рассуждение о методе, с. 23.
5 В, А, Никифоровский
129
В условиях нового времени формировался новый тип
ученого: ученые были в большинстве своем одновременно
механиками, инженерами, физиками, астрономами, мате-
матиками и часто философами. Многие ученые занимались
инженерной практикой. Галилей, Гюйгенс, Ньютон
строили зрительные трубы, Гюйгенс, кроме того, был
выдающимся часовым мастером, Паскаль и Лейбниц
конструировали вычислительные машины; Стевии зани-
мался гидротехникой; Дезарг (1591—1661) — фортифика-
цией; Декарт и Торричелли — шлифованием линз.
Возникла настоятельная необходимость в общении
ученых. Это привело к развитию научной переписки, появ-
лению своего рода центров научной информации. Во Фран-
ции такой «центр» образовал И. Мерсенн.
Уже существовавшие в большинстве стран Европы
университеты но стали научными центрами. Этому поме-
шало преобладание в них схоластики. Парижский уни-
верситет, например, с начала XVI в. был оплотом схо-
ластики и вел непрестанную борьбу против гуманизма.
Известный историк В. И. Герье писал: «Гуманизм был
ненавистен университету, потому что он настаивал на
классическом образовании, основывал воспитание на
изучении лучших писателей греческой и латинской лите-
ратуры; картезианство же — потому, что оно ставило на
первый план математику и физику, отвергая весь схо-
ластический хлам, поддерживаемый авторитетом вели-
кого Аристотеля» 17.
В XVII в. возникли научные академии в Италии, Анг-
лии. Франции. Наука XVII в. развивалась под влиянием
новых передовых идей. Большое влияние на науку (и на
общественное развитие) оказывала философия Декарта.
Рационализм Декарта вооружал науку уверенностью
в торжество разума, он стал идеологией революционной
буржуазии, перестраивавшей производство.
4
В университетском городке Франекере, на севере
Голландии, Декарт в течение 9—10 месяцев написал свой
первый очерк, содержащий основные философские идеи,
созревшие в результате глубоких размышлений. Затем
Геръе В, Лейбниц и его век, СПб.; 1868, т, 1, с, 162.
130
он принялся за большое сочинение, в котором намере-
вался осветить многие вопросы физики. Поводом к напи-
санию трактата послужила частная задача. 20 марта
1629 г. в Риме наблюдалось эффектное и редкое явление —
паргелий, состоявшее в появлении на небосводе лож-
ных солнц. Это явление объясняется особенностями пре-
ломления солнечных лучей при прохождении через атмо-
сферу. Декарту об этом рассказал его голландский друг
Ренери (1593—1639), который просил Декарта высказать
свое мнение по существу этого явления. Декарт решил
основательно запяться вопросами рефракции и вместе
с тем построить физику на основе разработанных им прин-
ципов, изложить свою систему мира. Вот план его трак-
тата: физика, космология, затем — природа, животные,
человек. Связующая нить — исследование света.
В «Рассуждении о методе» Декарт писал: «Я имел
намерение включить в него все, что считал известным мне
до его написания относительно природы материальных
вещей». Далее Декарт говорил о композиции трактата и
его содержании: «Но чтобы... иметь возможность более
свободно высказывать свои соображения, пе будучи обя-
занным опровергать мнения, принятые учеными, или им
следовать, я решил предоставить весь этот мир их спорам
и говорить только о том, что произошло бы в новом мире,
если бы бог создал где-либо в воображаемых простран-
ствах достаточно вещества для его образования и привел
бы в беспорядочное движение различные части этого
вещества так, чтобы образовался хаос, столь запутанный,
как только могут вообразить поэты, и затем, лишь ока-
зывая свое обычное содействие природе, предоставил бы
ей действовать по законам, им установленным» 18.
Первую часть сочинения о мире Декарт назвал
«Трактат о свете», вторую — «Трактат о человеке». По
мере работы над книгой круг охватываемых проблем рас-
ширялся: Декарт интересовался кровообращением19,
пищеварением, механизмом движения человека и живот-
18 Декарт Р. Рассуждение о методе, с.‘ 40—41.
3>9 Английский врач Гарвей (1578—1657) описал кровообращение
в вышедшей в 1628 г. книге «Анатомическое исследование о
движении сердца и крови у животных». Декарт мог ознакомиться
с открытием Гарвея значительно позже и потому излагал свои соб-
ственные результаты. Впоследствии он энергично поддерживал
теорию Гарвея, хотя по некоторым частным вопросам и расхо-
дился с ним,
5*
131
пых, развитием из зародыша, внешними и внутренними
проявлениями жизнедеятельности человека и многими
другими вопросами жизнедеятельности. Освещение этих
вопросов требовало новых опытов, наблюдений, осмы-
сливания.
Несмотря на большие трудности, связанные с широтой
охвата проблем, Декарту удалось к лету 1633 г. вчерне
закончить трактат, о чем он сообщил Мерсенну в письме
22 июня 1633 г. По как раз 22 июня 1633 г. инквизицией
был осужден Галилей, а пятью месяцами позже об этом
узнал Декарт. Узнал и прекратил работу над трактатом.
Осуждение Галилея было тяжелым ударом для Де-
карта. Оп писал Мерсенну: «Это меня так поразило, что
я решил сжечь все мои бумаги или по крайней мере
никому их не показывать; ибо я не в состоянии был
вообразить себе, что он, итальянец, пользовавшийся рас-
положением даже папы, мог быть осужден за то, без со-
мнения, что хотел доказать движение Земли; насколько
я знаю, это было осуждено некоторыми кардиналами, по,
как мне стало известно, затем публично преподавалось
даже в Риме. Признаюсь, если движение Земли есть ложь,
то ложь и все основания моей философии, так как они
явно ведут к этому заключению. Учение о движении
Земли так тесно связано со всеми частями моего «Трак-
тата», что если его исключить, то все остальное делается
негодным. Но так как я ни за что в мире не пожелаю,
чтобы мною было написано сочинение, в котором оказа-
лось хотя бы одпо слово, не одобренное церковью, то я
лучше уничтожу его, чем выпущу с пропусками» 20.
В «Рассуждении о методе» те же мотивы Декарт изла-
гает так: «Уже три года прошло с тех пор, как я окончил
трактат, содержащий все написанное. Я начал его пере-
сматривать, чтобы передать в руки издателя, когда узнал,
что лица, которых уважаю и чей авторитет для моих дей-
ствий не меньше, чем авторитет собственного разума по
отношению к моим мыслям, не одобрили одного предло-
жения из области астрономии, опубликованного ранее
другим автором. Я не хочу сказать, что придерживаюсь
этого мнения, но до этого осуждения я не заметил ничего
в нем, что мог бы вообразить себе предосудительным с точ-
20 Descartes R. Correspondance, риЬПёе avec une introduction et des
notes par Ch. Adamet G. Milhaud. Paris. 1936, t. 1, p. 241—242.
132
ки зрения религии или государства и что воспрепятство-
вало бы мне самому написать об этом, если бы разум убе-
дил меня в его достоверности. Это заставило меня опа-
саться, пет ли все же и среди моих взглядов чего-либо
ошибочного, несмотря на то, что я прилагал большое
старание, чтобы принимать лишь такие положения, для
которых имел совершенно верные доказательства, и не
писать ничего, что могло повредить кому-либо. Этого
было достаточно, чтобы заставить меня изменить решение
опубликовать свой труд. И хотя доводы, по которым я
принял свое первоначальное решение, были очень сильны,
моя давнишняя ненависть к ремеслу писателя пемедлеп-
по подсказала мне другие, чтобы уклониться от него» 21.
Из этого следует, что Декарт отказался от своего
учения не из боязни разделить участь Галилея, а по соб-
ственному убеждению в непогрешимости церкви и вы-
нужден был в последующих трудах искать компромисс
между наукой и церковной догмой, отчего пострадала
в первую очередь наука. Но это так и пе избавило мысли-
теля от конфликта с богословами.
Естественно сопоставление этой истории с историей
осуждения Галилея. Все творчество Галилея пронизапо
борьбой с догмами. Вот, например, высказывание участни-
ка диалога Сальвиати в одном из основных сочинений
Галилея — «Диалоге о двух главнейших системах мира —
птолемеевой и коперниковой», вышедшем в 1632 г.: «А что
может быть более постыдного, чем слушать па публичных
диспутах, когда речь идет о заключениях, подлежащих
доказательствам, пи с чем не связанное выступление,
с цитатой, часто написанной совсем по другому поводу
и приводимой единственно с целью заткнуть рот противни-
ку?.. Поэтому, синьор Симпличио, приводите соображе-
ния или доказательства ваши или Аристотелевы, но не
тексты или ссылки па голый авторитет, так как наши рас-
суждения должны быть направлены на действительный
мир, а не па бумажный» 22.
«На действительный, а не на бумажный»— это же целая
программа!
В заметках к «Диалогу» Галилей в том же духе про-
должает: «Многие хвалятся тем, что могут привести боль-
2л Декарт Р. Рассуждение о методе, с. 53—54.
22 Галилей Г, Избр. труды в 2-х т. М.: Наука, 1964, т, 1, с. 211.
133
шое число авторитетов в подтверждение своего мнения;
я же хотел бы, чтобы мои мнения были новыми и составлен-
ными мною самостоятельно...
Берегитесь, теологи, желающие сделать из вопроса
о движении или покое Солнца и Земли догмат веры; вы
подвергаетесь опасности осудить в свое время как еретиков
всех тех, кто утверждал, что Земля неподвижна, а Солнце
меняет место; говорю «в свое время», когда ясно и неопро-
вержимо будет доказано, что Земля движется, а Солнце
неподвижно» -3.
В одном из первых трактатов, посвященном открытию
и изучению солнечных пятеп (1613 г.), Галилей выступил
в поддержку системы Коперника. На Галилея уже тогда
были поданы домипикапцами доносы в высшие органы церк-
ви. 5 марта 1616 г. конгрегация инквизиции издала закон
о запрещении книг, в которых утверждается факт движе-
ния Земли. После выхода в свет «Диалогов» враги Галилея
подняли против него новую войну. Приговором суда ин-
квизиции больной Галилей (ему тогда шел семидесятый
год) был осужден к заключению «по усмотрению святой
конгрегации» и к отречению (на коленях, в специальном
рубище) от учения Коперника. Вот формула отречения:
«Отрицаю, презираю и проклинаю от чистого сердца и
с нелицемерным убеждением все названные заблуждения
и ереси, а равно и все другие противные св. церкви заблу-
ждения и еретические секты. Клянусь впредь ни устно,
ни письменно не утверждать ничего, могущего бросить
на мепя подозрения в чем-либо подобном; в случае же встре-
чи с еретиком или подозреваемым в ереси обязуюсь указать
на него св. судилищу или инквизитору и епископу того
места, где буду находиться. Сверх того обещаю и клянусь
выполнять в точности все эпитимии, которые наложены
на мепя св. судилищем или будут им впредь назначены.
Если бы случилось, что я когда-либо преступил (от чего
да избавит меня господь) данные мной теперь обещания,
обязательства и клятвы, то готов подвергнуться всем
эпитимиям и карам, которые назначены для подобных
преступников определепиями св. канонов и других общих
и частных конгрегаций: да поможет мне в этом господь
бог и св. евангелие, на котором возлагаю руки» 24.
23 Там же, с. 556—557.
24 Цит. по кн.: Седов Л. И. Галилей и основы механики. Мл Паука,
1964, с. 9-10. ?
134
Процесс над Галилеем сыграл в истории пауки и об-
щественной жизни огромную роль, «ибо он драматизировал
конфликт между наукой и религиозной догмой 25 *. Своим
фактическим провалом, ибо приговор был весьма отрица-
тельно воспринят почти всем ученым миром даже в католи-
ческих странах, процесс этот неизмеримо поднял престиж
новой революционной экспериментальной науки, особен-
но в тех странах, которые уже свергли у себя власть рим-
ской церкви. Достижение Галилея выглядит как высшая
точка наступления па старую космологию. С этого момента
от нее молчаливо отказались, и астрономы-практики стали
пользоваться созданной Коперником и Кеплером теорией
солнечной системы. Сорок лет спустя законы, выведенные
Кеплером путем наблюдений, были объединены с открытыми
Галилеем законами динамики в ньютоновской теории все-
мирного тяготения» -°.
5
Декарт много времени и средств тратил на опыты.
Он говорил, что на осуществление намеченной программы
не хватит даже в тысячу раз больших доходов, чем его соб-
ственные. Однако он категорически отвергал частное по-
кровительство: пе принял присланную на опыты графом
д’Аво крупную сумму денег, отклонил предложение Мон-
мора переехать во Францию и занять в полное распоряже-
ние усадьбу недалеко от Парижа, приносящую большие
доходы.
Для жизни в Голландии Декарт старался выбирать мес-
та с населением католического вероисповедания. Это были
города или сельские местности вблизи университетских
городов, дающие возможность уединения и обладающие
достаточными условиями для работы. За двадцать лет
Декарт двадцать четыре раза менял место жительства, а
всего жил в тридцати различных местах.
Перемена мест обычно вызывалась необходимостью
проведения той или иной научной работы, печатанием на-
писанных книг, необходимостью общения с университет-
скими профессорами, преподающими философское и фи-
зическое учение Декарта.
25 См.: Эйнштейн А. Физика и реальность. М.: Наука, 1965, с. <340,
28 Бернал Д, Наука в истории общества, М.; ИЛ, 4956, с, 237.
135
В 1637 г. Декарт издал в Лейдене на французском язы-
ке «Рассуждение о методе». Первоначальное название бы-
ло: «Очерк всеобщей науки, которая может поднять пашу
природу до высшей доступной ей степени совершенства;
затем Диоптрика, Метеоры, Геометрия, в коих автор для
того, чтобы испытать предлагаемую им Всеобщую науку,
избрал наиболее любопытные предметы и объяснил их
так, что даже те, кто пе изучал этих предметов, могут по-
пять их существо». Позднее это название было замепепо
на меиее громоздкое: «Рассуждение о методе и его прило-
жения: Диоптрика, Метеоры, Геометрия».
В 1641 г. в Париже вышли на латинском языке «Раз-
мышления о первой философии, в которых доказывается
бытие бога и бессмертие души». В русском переводе этот
труд известен как «Метафизические размышления».
1644 г. в Амстердаме на латинском языке вышли «Начала
философии»—самое обширное сочинение Декарта. В 1649г.
вышел трактат «О страдательных состояниях ду-
ши» (в русском переводе — «Страсти души»), возникший
в результате переписки Декарта с находящейся в Голлан-
дии дочерью чешского короля принцессой Елизаветой.
После смерти философа были изданы: написанные в
1628—1629 гг. «Правила для руководства ума» (Амстердам,
1701), «Мир» (Лейден, 1662), «Трактат о человеке, описа-
ние человеческого тела» (Париж, 1664), ранние физико-
математические изыскания и философские фрагменты (по
дневникам и рукописяхм Бекмана, первого биографа Декар-
та Байэ, Лейбница), «Трактат о механике» (Париж, 1668),
«Искание естественным светом» (Амстердам, 1701), поле-
мические произведения Декарта.
Декарт заботился о введении его физического и фило-
софского учения в практику университетов. Первыми про-
пагандистами его учения были профессора университета
в Утрехте Г. Ренери и Г. Леруа (латинизированное имя Ре-
гий, 1598—1679) 27. Главой противников Декарта, Ренери
и Регия стал видный теолог, ректор университета Г. Боэ-
ций. Боэций и другие богословы видели в философии Декар-
та новую философию, антисхолистическую, антиаристоте-
левскую, несмотря на уверения Декарта в противополож-
ном и расшаркивания его перед богословами. Парижские
27 Леруа впоследствии выступил с критикой Декарта с материалис-
тических позиций и отошел от своего учителя.
136
богословы Бурден и Арно также критиковали Декарта.
Его же критиковали (с других позиций) материалисты
Гоббс и Гассенди.
Атака Боэция сначала обрушилась на Регия: универ-
ситетский совет осудил проводившуюся Регием пропаганду
физиологии Гарвея и Декарта. Затем сфера дискуссии ох-
ватила философские вопросы. Регий развивал высказы-
вания Декарта об отношении души к телу. Он утверждал,
что связь души и тела представляет собой соединение двух
субстанций, что тело имеет самостоятельное существова-
ние, и подчеркивал этот тезис. Это противоречило учению
схоластов, которые считали тело, материю лишь возмож-
ностью существования формы, души.
Боэций обвинил Регия в атеизме, назвал его учение ере-
тическим. Регий защищался. Декарт пытался ослабить
материалистические тенденции высказываний Регия, не
желая обострять отношения с богословами. Кроме того,
Декарт тогда уже видел, что Регий во взглядах на взаимо-
отношения души и тела отошел от его позиций, отошел в
сторону материализма. Разпогласия между Регием и Де-
картом привели впоследствии к спору по философским
вопросам и разрыву.
В 1642 г. университетский совет в Утрехте принял ре-
шение, запрещающее Регию чтение лекций по философии
и осуждающее философию Декарта (хотя имя Декарта в ре-
шении не упоминалось).
В письме патеру Динэ, содержащем ответ на критику
Бурдена, Декарт дал нелестную характеристику Боэция.
Боэций с помощью своего ставленника М. Шоока издал
пасквиль, в котором Декарт обвинялся в безбожии, нрав-
ственной распущенности. Здесь же дано сопоставление уче-
ния Декарта с учением Ваиипи, и Декарт называется вто-
рым Ванини 28. Декарт ответил большим полемическим
сочипепием. Воэций обвипил Декарта в клевете, против
Декарта был возбужден судебный процесс, но Декарт по
вызову суда явиться отказался и отправился в Гаагу ис-
кать защиты у французского посла де ла Тюилльери. Вме-
шательство принца Оранского смягчило удар: Воэций рас-
считывал на изгнание Декарта из Нидерландов и пуб-
личное сожжение его сочинений. И все же суд принял
28 Итальянский материалист Лючилио Вапипи (1585—1619.) сож-
жен в Тулузе,
137
1
неблагоприятный для Декарта приговор, оправдывающий
Боэция.
Судебный процесс не ликвидировал конфликта. Декарт
узнал, что в Утрехте готовятся против него новые репрес-
сии, и предпринял вторую поездку в Гаагу. Утрехтские
события улеглись, но не принесли Декарту удовлетворе-
ния. Вскоре конфликтная ситуация повторилась в Лейден-
ском университете. В общей сложности борьба Декарта
с голландскими богословами заняла восемь лет.
Не удалось Декарту избежать конфликта и с парижски-
ми богословами. Он посвятил «Метафизические размышле-
ния» богословам Сорбонны в надежде получить их одобре-
ние. Но они среди рассуждений о существовании бога и
бессмертии души увидели антитеологическую направлен-
ность философии Декарта, давшего тут же высокую оценку
возможности разума, изложившего учение о сомнении
и вытекающей из него реальпости мыслящего ума, учение о
ясности и отчетливости как о признаках истинного знания.
Желаемого одобрения «Метафизических размышлений»
Декарт не получил. Более того, в 1671 г. все его сочинения
попали в список запрещенных инквизицией книг, где уже
находились сочинения Коперника, Кеплера, Галилея.
Интересную деталь отмечает Паскаль, заявляя, что не
может простить Декарту его обращения с богом. Декарт,
по словам Паскаля, дал богу щелчок по по су, заставив его
привести вселенную в движение. Вслед за этим во всей
философии Декарт обошелся бы и без бога.
В 1644 г. Декарт посетил родину, чтобы уладить наслед-
ственные дела: в 1640 г. умерли его отец и старшая сестра
Жанна. В это время он познакомился с Пьером Шаню
(1600—1677); знакомство потом переросло в дружбу.
Второе путешествие во Францию Декарт совершил в 1647 г.
с целью установления возможности переезда во Францию,
хотя формальный повод был тот же — урегулирование
имущественных дел. В этот раз Декарт примирился с
1-1. Гассенди, встречался с Б. Паскалем и обсуждал сними
другими учёными кружка Мерсенна «опыты с пустотой».
Существует версия, будто бы Декарт дал полное объяс-
нение, в духе своей физики, опыта Торричелли, повторен-
ного Паскалем в присутствии Декарта,Мерсенна, Роберва-
ля и других ученых. Он же будто бы предложил Паскалю
идею барометрического опыта у подножия горы и на ее
вершине. Об этом немецкий историк физики Ф. Розепбер-
138
гер писал: «Декарт приписывает себе часть славы, выпав-
шей па долю Паскаля. . . Признавая вполне, что система
Декарта несовместима с horror vacui (боязнь пустоты),
и допуская, что она первая поколебала веру Паскаля в это
таинственное свойство природы, мы, как и большинство
других, не склонны придавать значение притязанию Де-
карта, тем более что его письма написаны на целый год
позже работ Паскаля» 29.
В 1647 г. Декарту указом короля была назначена пен-
сия в три тысячи ливров за заслуги в пауке и для проведе-
ния опытов. Извещение о назначении пенсии Декарт полу-
чил в январе 1648 г. Он стал собираться на родину, ибо
оформление пенсии требовало его присутствия.
Декарт приехал в Париж летом 1648 г. и был поражен
напряженным политическим положением: политику
Ришелье в укреплении монархии продолжал его преемник
Д. Мазарини (1602—1661), стремившийся всеми силами
подавить противников короля. «Сильным мира» в это вре-
мя было не до Декарта — начиналось движение фронды,
и Декарт столкнулся с откровенным равнодушием, ранив-
шим его самолюбие. Впоследствии он писал П. Шаню:
«Что внушило мне наибольшее отвращение, так это то, что
никто из тех, кто меня звал, не изъявили желания знать
ничего, кроме моего лица; таким образом, у меня была при-
чина думать, что они хотели иметь меня во Франции только
как слона или пантеру из-за диковиппости, а совсем не для
того, чтобы получить что-то полезное» 30.
Пенсия, назначенная Декарту, оказалась только по-
сулом: положение Франции было таково, что не выплачи-
валось даже жалованье государственным служащим.
Декарт решил вернуться в Голландию и в августе 1648 г.
покинул Францию уже навсегда.
Во время пребывания Декарта в Париже произошел
горячий публичный спор между ним и его постоянным оп-
понентом Робервалем об отношении геометрии к физике.
Как известно, Декарт отождествлял пространство с телом,
поэтому его физика целиком входила в геометрию. Робер-
валь же различал пространство как предмет геометрии
20 Розенбергер Ф. История физики, М.; Л., 1937, ч. 2, с. 113.
Здесь Розенбергер упоминает письма Декарта к П. Каркави в
i 1649 г., в которых Декарт утверждает, что он два года назад
надоумил Паскаля провести опыт па горе.
30 Descartes R, Correspondance. , , Paris, 1963, t. 8, p, 248.
139
(с геометрическими телами в нем) и физические тела, дви-
жущиеся в пространстве и отличные от него.
В последние месяцы пребывания в Голландии Декарт
ставил анатомо-физиологические опыты, занимался ас-
трономией, вел интенсивную переписку по физико-матема-
тическим вопросам, пользуясь посредничеством королев-
ского библиотекаря П. Каркави (1603—1684), который в
Париже заменил умершего Мерсеппа.
В 1645 г. П. Шаню был назначен французским послом
в Швецию. Декарт постоянно поддерживал с ним перепис-
ку. Через Шаню 23-летняя королева Швеции Христина
ознакомилась с учением Декарта и, движимая желанием
прославить отечество, пригласила философа в Швецию.
Опа намеревалась изучить философию Декарта в беседах
с ним. Королева назначила часы для занятий философией.
Занятия начинались в пять утра. Для поездок во дворец
Шаню предоставил Декарту посольскую карету.
Стояла суровая северная зима. Декарт, привыкший
подолгу оставаться в постели, предаваясь размышлениям,
вынужден был изменить свою привычку и ранним мороз-
ным утром трястись в посольской карете. Вскоре он забо-
лел воспалением легких и через девять дней, 11 февраля
1650 г., скончался. Королева Христина, дабы воздать дол-
жное великому философу и показать всем, что она умела
ценить его, предложила похоронить Декарта в главном
соборе Стокгольма —«у ног королей», как говорит
Куно Фишер. Но ее убедили, что для покойного более
удобна простая могила па кладбище иностранцев; в мае
Шаню поставил на могиле Декарта памятник.
Через 16 лет, в 1666 г., гроб с прахом Декарта был пе-
ревезен в Париж и установлен в церкви св. Павла, а 24 ию-
ня 1667 г. перенесен в церковь св. Женевьевы (нынешний
Пантеон).
Церковные власти противились оказанию почестей
великому мыслителю. Но в 1654 г. Христина отреклась от
короны и вскоре перешла в католичество. Ее обращение
связывали с влиянием Декарта, и сама королева это под-
тверждала.
По существующей версии, согласие церковников на
перенесение праха Декарта в Пантеон объясняется обра-
щением Христины в католичество, что стали считать боль-
шой заслугой Декарта перед церковью.
В противовес этой версии выдвигается убедительное
140
возражение: трудно представить Декарта в качестве мисси-
онера, ибо ничто пе было так чуждо его характеру, как про-
зелитизм. Свою жизнь он посвятил пауке и философии, хо-
тя и был верен той церкви, которой поклонялся с рож-
денияг
6
Деятельность Декарта-математика, как и большинства
математиков того времени, тесно связана с кружком Мер-
сенна. «Подлинным центром французской науки была,
вплоть до его смерти в 1648 г., келья францисканского
монаха Мерсенна, который сам был незаурядным ученым.
Он неустанно вел переписку, будучи своего рода главным
почтамтом для всех ученых Европы, начиная с Галилея
и кончая Гоббсом» 31.
Ядро кружка составляли несколько человек, встре-
чавшиеся, как правило, каждую неделю у Мерсенна. Его
собственный вклад в науку не очень велик (он ограничи-
вается несколькими работами по акустике и движению
жидкостей, по математике, по механике), но в истории ес-
тествознания Мерсенн оставил своеобразный и заметный
след. Он обладал редкой способностью объединять вокруг
себя людей с общими интересами и отличался замечатель-
ной интуицией, позволяющей ему из потока научных работ
выделять наиболее значительные. Благодаря этому Мер-
сенп стал душой парижских естествоиспытателей, кроме
того, и это, пожалуй, главное, он вел переписку почти
со всеми европейскими учеными.
Переписка заменяла тогда научные журналы, которые
появились значительно позже. Посредством переписки
многие важные математические открытия (например, спо-
соб Ферма отыскания экстремумов, опыты Торричелли и
др.) становились известными ученым разных стран.
Через Мерсенна велись научные дискуссии по всем важ-
ным спорным вопросам. Кружок (или «ассамблея») соби-
рался обычно у Мерсенна, с 1625 г. это происходило ре-
гулярно. Местом собраний был монастырь ордена минори-
тов па Королевской площади.
Кружок Мерсенна посещал Роберваль (1602—1675)—
математик, физик, астроном, постоянный оппонент Декарта
?1 Бернал Д. Наука в истории общества, с. 192.
141
по многим математическим и физическим проблемам.
Среди членов кружка находился архитектор и инженер
но образованию Жерар Дезарг — основатель проективной
геометрии. Активное участие в работе ассамблей принимал
геометр Клод Мидорж, друг Декарта, числящийся на госу-
дарственной службе, по отдававший свой досуг любимой
математике и тративший огромные средства на изготовление
линз, зеркал, различных приборов и инструментов,
С 1631 г., после переезда из Клермон-Феррана в Париж,
усердным посетителем кружка стал Этьен Паскаль (1588—
1651), отец знаменитого Блеза Паскаля. Менее известно
в паше время имя еще одного участника кружка Мерсен-
на — Клода Арди (1600—1678). Он пользовался репута-
цией глубокого знатока математики даже у такого строгого
ценителя, как Декарт. Автор обширной биографии Декар-
та А. Байэ (1649—1706) рассказывает, что Арди знал 36
языков и диалектов. Посещал кружок Мсрсенна также
Ле Пайер (? —1654), друг Этьена Паскаля, с детства увле-
кавшийся математикой и другими науками.
В келье Мерсенна обсуждались результаты проведен-
ных наблюдений, экспериментов, теоретических изыска-
ний, поступившие из других стран научные новости. Члены
кружка высоко ценили философию Декарта и его научные
достижения. КружокМерсенна стал зародышем Парижской
академии наук, созданной в 1666 г. министром Людовика
XIV Кольбером. Активное участие в создании академии
принял Пьер де Каркави.
7
Бурное развитие математики в XVII в., революцион-
ный скачок, завершившийся построением дифференциаль-
ного и интегрального исчислений, вполне закономерны.
Об этом писал Луи де Бройль: «... поморе того, как уче-
ные XVII в., непрерывно и сознательно применяя на-
блюдение и экспериментальный метод, начали постигать
основные законы механики, астрономии и некоторых час-
тей физики, они почти неизбежно были вынуждены разви-
вать методы рассуждения и расчета, которые подводили
их к анализу бесконечно малых» 32.
Одним из зачинателей новой математики был Декарт.
Какие термины в математике до наших дней связаны с име-
32 Бройлъ Л, де. По тропам науки. М,: 1962, с, 167,
142
пем Декарта и увековечивают его? Их сравнительно не-
много: «декартовы координаты» (характерно, что слово
«координаты» ввел в обращение Лейбниц в 1692 г.), «де-
картов лист», «овалы Декарта», «правило знаков Декарта»,
«метод неопределенных коэффициентов Декарта». Вот,
пожалуй, и все.-
Основные математические идеи и построения Декарт из-
ложил в «Геометрии», вышедшей как часть «Рассуждения
о методе» в Лейдене на французском языке осенью 1637 г.,
и в переписке (и полемике) с крупнейшими математиками
века.
Выход «Геометрии» был воспринят в ученом мире по-
разному. Математики-картезианцы считали метод Декарта
единственно возможным в математическом исследовании.
С другой стороны, была и критика, были и обвинения в
заимствовании некоторых результатов у Виета, Гарриота,
Жирара. Обвинение Декарта в заимствовании справедливо
лишь в том смысле, что он нигде не упоминал своих непо-
средственных предшественников. Но во всех тех вопросах,
которые разрабатывали Виет, Гарриот, Жирар, Декарт
продвинулся значительно дальше и рассмотрел их более
фундаментально.
Сочинения Гарриота и Жирара не получили достаточ-
ной известности, вряд ли о них знал Декарт. В письме
К. Гюйгенсу в декабре 1637 г. он писал: «Сударь, я так-
редко обращаюсь к своим книгам, что среди пих — хотя
у меня всего их с полдюжины — скрывалась, оказывается,
незамеченной более шести месяцев одна из ваших книг —
это Генриотти... Я хотел увидеть эту книгу, ибо мне гово-
рили, что в ней содержится некоторое исчисление для
геометрии, весьма сходное с моим; я нашел, что это верно,
но он углубляется в существо столь мало и на множестве
страниц учит столь малому числу вещей, что у меня нет
оснований иметь претензии к его мыслям за то, что они
предупредили мои» 33.
Сочинения Виета были известны Декарту, но в письме
Мерсенну оп утверждает, что «начал там, где Виет кончил».
Книгу Виета он случайно нашел у одного из друзей.
«И, между нами, я пе нахожу, что оп знал об этом столько,
сколько я полагал, хотя оп и был весьма искусеп» 34. Жи-
& Oeuvres de Descartes. . . Paris, 1898, v, 2, p. 456,
* Ibid., v. I, p. 480.
143
papa Декарт в своей переписке упоминает только как из-
дателя сочинений Стевина.
Интересную мысль высказывает Цейтеи: «Декарт про-
явил ту же недооценку того, чем он обязан другим, за ко-
торую его упрекали и в области философии. Это нередкая
ошибка великих умов, которые воспринятое у других тот-
час же путем новой и самостоятельной переработки вклю-
чают в свою собственную систему» 35.
Цейтен приводит слова французского геометра М. Шаля
(1793—1880), охарактеризовавшего идеи «Геометрии» Де-
карта как «детей, появившихся на свет без матери». Он
соглашается с высокой оценкой идей Декарта, данной
Ш алем, в том смысле, что «они имели огромное преимущест-
во перед теми, которые до него господствовали в математике:
они оказались способными проникать во все более и более
широкие круги, приобщать эти круги к сокровищам, со-
ставляющим дотоле достояние немногих, и, более того,
привлекать их к умножению этих сокровищ. Вот почему
«Геометрия» Декарта знаменует в истории математики пе-
реход к повой эпохе» Зб.
В то же время Цейтен называет оценку Шаля глубоко
ошибочной и считает, что Шаль высказал ее с целью
подчеркнуть чрезвычайную значимость труда Декарта и
ее новизну для математики того времени. Что же касается
аналитической геометрии Декарта, то опа пи в коей мере
не может быть охарактеризована как «дитя без матери»
хотя бы потому, что тогда же появилась аналитическая гео-
метрия Ферма, идеи которой Ферма высказал в переписке
еще до появления «Геометрии» Декарта. «Геометрия»
Декарта была подготовлена всем историческим развитием
математики, именно поэтому мысли Декарта вскоре при-
несли обильные плоды.
В чем проявилась повизпа идей Декарта, что придавало
его творению революционный характер? Это прежде всего
построение алгебры как самостоятельной части математики,
что изменяло существовавшее ранее соотношение алгебры
и геометрии и соответствовало основной мысли Декарта о
необходимости создания «всеобщей математики». В «Пра-
вилах для руководства ума», написанных в 1628—1629 гг.,
Декарт утверждал: «... к области математики относятся
36 Цейтен Г. Г, История математики в XVI и XVII веках, М.; Л.,
ОНТИ, 1938, с. 43,
Там же, с. 198,
144
только те пауки, в которых рассматривается либо порядок,
либо мера, и совершенно несущественно, будут ли это чис-
ла, фигуры, звезды, звуки или что-нибудь другое, в чем
отыскивается эта мера» 37.
На первой странице «Геометрии» он написал: «Подобно
тому как вся арифметика заключается только в четырех
или пяти действиях, именно в сложении, вычитании, ум-
ножении, делении и извлечении корней, подобно этому
в геометрии, чтобы подготовить искомые линии к определе-
нию, нужно только прибавить к этим линиям или отпять
другие; или же нужно, имея линию, которую я, дабы удоб-
нее установить более тесную связь с числами, назову едини-
цей и которая обыкновенно может быть выбрана произволь-
но, и имея еще две другие линии, найти четвертую линию,
так относящуюся к одной из этих двух, как другая к еди-
нице, а это то же самое, что умножение; или же найти
четвертую линию, так относящуюся к одной из этих двух,
как единица к другой, а это то же самое, что деление;
или, наконец, найти одну или же две, или же несколько
средних пропорциональных между единицей и какой-либо
другой линией, а это то же самое, что извлечь квадратный
или же кубический и т. д. корень. С целью быть более по-
пятным, я без опасений введу эти арифметические термины
в геометрию» 87 88.
Этот мотив освобождения алгебры от геометрических
построений выступает более решительно в сочинении, на-
писанном кем-то из последователей Декарта, одобрейиом
и рекомендованном Декартом в качестве введения в «Гео-
метрию». Сочинение «Исчисление г. Декарта» содержит
правила буквенного исчисления — сложения, вычитания,
умножения, деления, действий с дробями и корнями — вне
связи с геометрией.
Следующее (по порядку, но не по значимости!) новше-
ство Декарта — введение им переменных величин как ко-
ординатных отрезков переменной длины, характеризую-
щих положение точек на плоскости и своими- концами опи-
сывающих при движении различные кривые.
Основная же идея геометрии Декарта состоит в том, что
геометрический объект задается уравнением, связываю-
87 Декарт. Р. Избр. произв., с. 93—94.
88 Декарт Р. Рассуждение о методе, с. 301—302.
145
щим переменные величины; по свойствам уравнения судят
о свойствах геометрического объекта. Это и дало повод в
последующем геометрию Декарта назвать аналитической.
8
Высказанные в «Геометрии» идеи, приведенные методы
решения задач и результаты решения конкретных задач
сложились у Декарта и получены им задолго до ее опуб-
ликования, в период обдумывания методологии и построе-
ния наук. Свидетельства тому содержатся в его письмах,
в некоторых местах «Рассуждения о методе», «Правил для
руководства ума» и других работ. Одновременно с построе-
нием новой философии, разработкой методологии наук
Декарт строил новую математику в рамках общей философ-
ской концепции, дополняя и развивая ее.
В 1619—1621 гг. Декарт занимался теорией кубических
уравнений и общей проблемой алгебраических уравнений.
Он применил к построению корней уравнения .г3 = х +
+ 2 придуманный им специальных! инструмент. Декарт
дал его описание в «Геометрии» в связи с кинематическим
построением кривых и применил его в третьей части «Гео-
метрии» для построения любого числа средних пропорцио-
нальных. Квадратный корень Декарт получал из пропор-
ции
1 : х = х : а, х = а.
Аналогично он поступал и в случае корпя любой степени
П г— .
х = у а.
В «Правилах для руководства ума» он писал: «Что каса-
ется таких делений, в которых делитель не дан, а только
обозначен некоторым отношением, как, например, когда
говорят, что нужно извлечь квадратный корень или ку-
бический корень и т. Д;, то заметим, что в этих случаях
делитель и все остальные члены нужно представить как
линии в ряде последовательных пропорций, из которых
первой является единица и последней — делимая вели-
чина. Как нужно отыскивать все средние пропорциональ-
ные, будет показано в своем месте» 39.
Таким образом, я = получается с помощью средних
39 Декарт Р, Избр. произв., с. 167.
146
пропорциональных xt, х2, х3, . . ., xn_yt
1 : хг — xx : х2 — ... = хп-у'. а,
В самом деле имеем
1 ’ Ху = Ху ! Х2) Ху = J'Х2\
далее
Ху: х2 = х2: х3, х2 = ]^х3хл,
=VХ2 =]/^У х3Ху = YХ3Ху ,
4 3 ’V--
= ЗД., Ху = х3, Ху = у х3.
Очевидно, что таким же образом можно получить х — /а.
Как задача об удвоении куба сводится к решению
кубического уравнения х3 — 2а3, так и задача деления угла
на три равные части (трисекция угла) тоже сводится к ре-
шению кубического уравнения. Рассмотрим, например,
деление угла 120° на три равные части.
Известно, что
sin Зф = 3 зшф —• 4 81п3ф.
Положим Зф = 120°, тогда sin Зф = 1/2; это дает 1/2
= 3 sin ф — 4 sin3 ф, 1 =3*2 sin ф — 8 sin3 ф.
Обозначим 2 sin ф — х\
1 = Зх — х3, х? — Зх + 1 — 0.
Применением формул для косинуса и синуса кратных
дуг к задачам деления угла на равные части занимался еще
Виет.
В письме голландскому математику Бекману (26 марта
1619 г.) Декарт изложил план «новой науки», с помощью
которой можно решать задачи, связанные с дискретными
и непрерывными величинами. Ой утверждал, что задачи
о непрерывных величинах связаны с нахождением точек
пересечения линий, причем возможны различные случаи.
Один класс задач разрешается с помощью пересечения
прямых и окружностей, для решения задач другого клас-
са необходимо искать точки пересечения иных линий,
полученных в результате «единого движения». Третий
класс задач разрешим с помощью линий, полученных
различными, «не соподчиненными движениями».
147
Дальнейший путь построения «новой науки» — клас-
сификация задач по типу движений. .Это составило один
из разделов второй книги «Геометрии».
В связи с открытием закона преломления Декарт стал
искать наилучшую форму преломляющих поверхностей,
с помощью которых можно все лучи свести в одну точку,
т. е. устранить сферическую аберрацию. Такая задача
в математике сводится к интегрированию обыкновенного
дифференциального уравнения первого порядка. Решение
этой конкретной задачи привело Декарта к открытию
приема проведения касательной и нормали к кривой и
к определению новых видов кривых — овалов Декарта,
описанных им в «Геометрии». При рассмотрении овалов
Декарт вводил координаты — переменные" длины отрезков.
Декарт находил корни уравнения четвертой степени
без второго члена как точки пересечения параболы и
окружности. Он указал, что число действительных корней
совпадает с числом общих точек кривых. Если таких
точек пет, то нет и «истинных» (действительных) корней,
а есть только «воображаемые» (мнимые), причём «истин-
ные» корпи могут быть «явные» (положительные) и «неяв-
ные» (отрицательные).
В 1631 г. Декарт стал заниматься задачей Паппа о
геометрическом месте к нескольким прямым. Задача Пап-
па — первая из задач древних греков, на которой Декарт
продемонстрировал силу и превосходство своего метода.
Уже в 1632 г. Декарт в письме голландскому математику
Я. Гоолю (1596—1667) сообщил, что решил задачу Паппа,
и дал классификацию кривых.
В те же годы Декарт значительно продвинулся в ал-
гебраической символике.
Эти факты позволили советскому историку матема-
тики А. П. Юшкевичу сделать вывод, что Декарт разра-
ботал новую математику задолго до выхода в свет «Гео-
метрии»: «Основные черты всеобщей математики были
таковы. Все задачи математических наук могут быть
выражены с помощью уравнений той или иной степени.
Общий метод решения уравнений состоит в построении
их корней как отрезков — ординат точек пересечения
некоторых плоских кривых. Эти плоские кривые выра-
жаются алгебраическими уравнениями с двумя текущими
координатами и сами выступают как геометрические
образы алгебраических функций. Классификация линий
168
играла решающую роль при выборе кривых, нужных для
построения задачи. Буквенное исчисление отрезков сли-
валось в органическое целое с геометрией линий, и только
синтез их давал универсальный метод решения проблем
в области непрерывных величин. Исторически, однако,
из всеобщей математики Декарта выросли две науки:
числовая буквенная алгебра и аналитическая геометрия» 40.
9
Постулирование алгебраических операций над отрез-
ками, сделанное Декартом в начале «Геометрии», означало
не только новый подход к вопросу о соотношении между
алгеброй и геометрией, диаметрально противоположный
подходу древних. Оно также вело к расширению понятия
числа. Декарт отождествлял отношение отрезка, соиз-
меримого или несоизмеримого с единичным отрезком,
к единичному с соответствующим этому отношению целым,
дробным или иррациональным числом. Он дал геометри-
ческое толкование отрицательным числам как противо-
положно направленным отрезкам. И хотя Декарт при
рассмотрении уравнений применял неудачную термино-
логию, называя отрицательные корни «ложными» в про-
тивоположность «истинным» (положительным), оп объеди-
нял те и другие в класс «действительных» в отличие от
«воображаемых» (мнимых).
Кроме того, применение к исчислению отрезков ал-
гебраических формул в соответствии с данными опреде-
лениями операций снимало требование однородности вхо-
дящих в те или иные соотношения величин, которому
должны были удовлетворять соотношения в математике
древних и Виета.
В сочинении «Исчисление г. Декарта» неизвестный
автор изложил арифметические основы математики Де-
карта. Оп писал: «Эта новая арифметика состоит из букв
«, Ъ, с и т. д., а также из цифр 1, 2, 3 и т. д. Если цифры
стоят перед буквами, например 2а, ЗЬ, 1/4с, то это озна-
чает, что величина а берется двойной, величина Ъ — трой-
ной, а от величины с берется четверть. Но если они нахо-
дятся позади букв, например л3, Ь4, с5, то это означает,
40 Юшкевич А.П. О «Геометрии» Декарта,— В кн.: Декарт Р.
Рассуждение о методе, с. 546.,
149
что величина а -умножается сама на себя три раза, вели-
чина b — четыре раза, а величина с — пять раз» 41.
«Сложение производится с помощью такого знака +.
Так, чтобы сложить а и Ъ, я пишу а + Ъ. Вычитание про-
изводится с помощью такого знака —. Так, чтобы вычесть
а из Ъ, я пишу Ъ — а и т, д. Если в вычитаемом
выражении есть несколько частей, то у них в нем изменя-
ются лишь знаки. Так, если из d требуется вычесть а —
— Ъ + с, то останется d — а -|- Ъ — с. Точно так же при
вычитании а2 — Ь2 из с2 — d2 останется с2 — d2 — а2 + Ь2.
Но если имеются присоединенные цифры и члены одина-
кового вида, то их следует подписывать друг под другом
и производить их сложение и вычитание как в обыкно-
венной арифметике... Если требуется умножить одну
букву на другую, то их следует лишь соединить вместе,
но если имеются присоединенные числа, то опи следуют
законам обыкновенной арифметики. Что касается знаков,
то известно, что + па + дает в произведении + и что
—, умноженный на —, также дает в произведении +.
Но + на — или же —, умноженный па +, дает в произ-
ведении —» 42.
Точно так же определялись действие деления, операции
с дробями «по правилам обыкновенной арифметики».
Вот рассуждение о корне: «Когда корень извлечь из квад-
рата нельзя, его квадрат помещают под связку )/ , чтобы
отметить, что его следует рассматривать как корень, и
тогда его корень называют иррациональной величиной» 43.
Из всего этого видно, как далеко зашла формализация
алгебраических действий по сравнению с тем, что было
у древних греков и у предшественников Декарта; видно
также, что надобности в геометрической интерпретации
алгебры уже пет.
Формализации алгебры (и всей математики) чрезвы-
чайно способствовало то, что Декарт усовершенствовал
буквенную символику. Он обозначал известные величины
буквами а, Ъ, с, , . неизвестные («неопределенные») —
буквами х, у, z, .... Он ввел обозначения степеней: а2ч
а?, х\ я3, . . . Правда, квадраты величин он выражал и
с помощью символов аа, хх. Обозначение корня иесколь-
Декарт Р, Геометрия. М.; Л.х 1938. с. 117.
42 Там же, с. 117—118.
43 Там же, с. 124.
150
ко отличается от современного. Так, выражение
означает один из кубических корней, входящих в формулу
Кардано.
Все буквы в формулах Декарта считались положитель-
ными величинами; для обозначения отрицательных ве-
личин ставился знак минус; если знак коэффициента про-
изволен. перед ним ставилось многоточие. Знак равенства
имел необычный вид оо. Вот как, например, выглядело
уравнение с произвольными коэффициентами:
+х4 . . . рх3 . . . qx . . . оо 0.
И еще один символ применял Декарт: оп ставил звез-
дочки, чтобы показать отсутствующие члены уравнения,
например:
хъ * * * — Ь оо 0.
Другие математики того времени тоже пользовалисч
символикой, близкой к разработанной Декартом, а древ-
ние греки излагали свои мысли вообще без символики.
Ферма построил аналитическую геометрию, располагая
запасом употребляемых до него алгебраических средств,
«...все это может побудить нас недооценить те успехи, ко-
торые поставлены здесь во главу всей математической
деятельности Декарта. Значение этих успехов становится,
однако, понятным, если мы примем во внимание, как
часто мы должны были для изложения идей более ранних
авторов прибегать к пользованию алгебраической формой
Декарта; без нее мы вряд ли смогли бы это сделать сколь-
нибудь сжато и наглядно. Мы смогли воспользоваться
этой алгебраической формой, с одной стороны, потому
что декартова трактовка алгебры благодаря своим преи-
муществам получила ныне широкое распространение, и
знакомство с пей происходит уже в школе. С другой сто-
роны, опа уже сама по себе в большой мере расчистила
путь многому, что раньше могло быть изложено лишь весь-
ма громоздким образом и было поэтому доступно лишь
очень способным математикам»44.
44 Цейтен 1\ Г. История математики в XVI и XVII веках, с. 202.
151
Иными словами, разработка и введение алгебраиче-
ской символики сделали математику более демократичной.
О решении задач с помощью уравнений Декарт писал:
«Желая решить какую-нибудь задачу, следует сперва
ее рассмотреть как уже решенную и дать названия всем
линиям, которые представляются необходимыми для ее
построения, притом неизвестным так же, как и известным.
Затем, не проводя никакого различия между этими из-
вестными и неизвестными линиями, нужно обозреть труд-
ность, следуя тому порядку, который показывает наи-
более естественным образом, как они взаимно зависят
друг от друга, до тех пор, пока не будет найдено средство
выразить одну и ту же величину двояким образом: это
то, что называется уравнением, ибо члены, шолученпые
одним из этих двух способов, равны членам, полученным
другим. И следует найти столько подобных уравнений,
сколько было предположено неизвестных линий. Или
же, если не удастся найти их столько и если тем не менее
ничто не опущено из требуемого в вопросе, то это свиде-
тельствует о том, что вопрос не вполне определен; в этом
случае для всех неизвестных линий, которым не соответ-
ствуют никакие уравнения, можно взять произвольные
известные линии. Если после этого их остается еще не-
сколько, го чтобы выразить каждую из этих неизвестных
линий, нужно по порядку воспользоваться каждым из
оставшихся уравнений, либо рассматривать его отдельно,
либо же сравнивать его с другими и поступать так, при-
водя их до тех пор, пока не останется только одна из
них, которая равна какой-нибудь другой известной или
же у которой квадрат или куб, или квадрат квадрата,
или сверхтело (пятая степень.— В. Нили квадрат
куба и так далее не окажется равным тому, что получится
при сложении или вычитании двух или нескольких дру-
гих величии, из которых одна является известной, а другие
состоят из каких-либо средних пропорциональных между
единицей и этим квадратом или кубом, или квадратом
квадрата и т. д., умноженных на другие известные вели-
чины» 45.
Общая теория уравнений изложена Декартом в третьей
книге «Геометрии».
45 Декарт Р, Рассуждение о методе, с. 304—305.
152
Уравнения, по утверждению Декарта, представляют
собой равные друг другу суммы известных и неизвестных
членов или же, если рассматривать эти суммы вместе,
равны «ничему» (нулю). Декарт указал, что «уравнепия
часто удобно рассматривать именно последним образом»,
т. е. в виде Р (х) = 0. Для теоретических построений
Декарта такая запись уравнений играла важную роль.
Этой формой он пользовался при установлении числа
корней алгебраического уравнения, что привело
к формулировке основной теоремы алгебры: число корней
уравнения (положительных — «истинных», отрицатель-
ных — «ложных» и мнимых — «воображаемых») равно
числу единиц в наивысшем показателе степени входящей
в уравнение неизвестной величины. Справедливость тео-
ремы он аргументировал тем, что при перемножении п
двучленов вида х — а получается многочлен степени п.
Недостающие «воображаемые» корпи, природу которых
Декарт пе разъясняет, можно примыслить.
Если все корпи положительны, то, по словам Декарта,
дело обстоит так: «Знайте, что всякое уравнение может
иметь столько же различных корней или же значений не-
известной величины, сколько последняя имеет измерений;
ибо если, например, принять х равным 2, или же х — 2
равным ничему, а также х = 3 или же х — 3 — 0, то,
перемножив оба эти уравнения
х — 2 = 0 и £ — 3=0,
мы получим
хх — Ъх + 6 = 0, или же хх = Ъх — 6,
уравнение, в котором величина х имеет значение'2 и вме-
сте с тем значение-3. Если принять еще, что £ — 4 = 0
и умножить это выражение на
££ — Ъх + 6 = 0,
то мы получим
£3 — 9££ + 2б£ — 24 = 0,
другое уравнение, в котором £, обладая тремя измерения”
ми, имеет вместе с тем три значения, а именно 2, 3 и 4»
46 Там же, с, 369—370,
153
Если же «я выражает собой также недостаток какой-
нибудь величины, скажем 5, то мы получим х + 5 = О».
Умножив х + 5 на левую часть предыдущего уравнения
и приравняв результат пулю, получим
х* — 4я3 — 19га + Юбгг — 120 = 0, (1)
«уравнение, у которого четыре корпя, именно три истин-
ных 2, 3, 4 и один ложный —5» 47.
Построение левой части уравнения в виде произведе-
ния двучленов приводит к тому, что степень уравнения
можно понизить, разделив левую часть его па х — а,
где а — корень уравнения. С другой стороны, если такое
деление невозможно, то число а пе будет корнем уравне-
ния. Левую часть уравнения (1), например, можно раз-
делить па х — 2, ж — 3, х — 4, х + 5 и нельзя разделить
на любой другой двучлен х — а; «это показывает, что
оно может иметь лишь четыре корня: 2, 3, 4 и —5».
Декарт сформулировал правило знаков, дающее воз-
можность установить число положительных и отрицатель-
ных корней уравнения: «Истинных корней может быть
столько, сколько раз в нем изменяются знаки + и —,
а ложных столько, сколько раз встречаются подряд два
знака + или два знака —» 48. Впоследствии он внес уточ-
нение: при наличии мнимых («невозможных») корней
уравнения число положительных корней может (а пе
должно) быть равным числу перемен знаков.
Декарт высказал правила и па примерах показал, какие
следует выполнять преобразования, чтобы изменить зна-
ки корней уравнения, увеличить или уменьшить корни,
получить уравнение, не содержащее второго члена, и
т. д. «Легко, далее, сделать так, чтобы все корни одного
и того же уравнения, бывшие ложными, стали истинными,
и вместе с тем все бывшие истинными стали ложными;
именно это можно сделать, изменив на обратные все зна-
ки + или —, стоящие на втором, четвертом, шестом и
других, обозначенных четными местах, не изменяя
знаки первого, третьего, пятого и им подобных, обозна-
ченных нечетными числами мест»49.
47 Декарт Р. Рассуждение о методе, с. 370.
48 Там же, с. 371,
49 Там же.
154
Применив такое преобразование к уравнению (1),
получим уравнение
ж4 + — №хх — 106л? — 120 = 0, (2)
имеющее один положительный корень 5 и три отрицатель-
ных: —2, —3, —4.
Можно, не зная корней уравнения, увеличить или
уменьшить их на какую-либо величину, для чего необ-
ходимо сделать соответствующую замену. Например,
уравнение (2) после замены х = у — 3 преобразуется
к виду
У3 - 8у2 - у + 8 = 0;
его положительный корень 8 превышает положительный
корень уравнения (2) на 3.
Декарт заметил, что, «увеличивая истинные корни,
мы уменьшаем ложные и наоборот», при этом он имел в
виду абсолютные величины корней.
Правило исключения второго члена уравнения,
известное еще Виету, Декарт иллюстрировал примерами.
Так, уравнение
у* + 16z/3 + 71z/2 — 4у — 120 = 0
подстановкой z — 4 = у он сводил к
z4 _ 25z2 — 60z — 36-0;
его корпи —3, —2, —1, 6.
Второй член уравнения
х* — 2ах3 4- х2 (2а2 — с2) — 2а?х + а4 = О
он исключал подстановкой х = z + которая преобра-
зует его к виду
z4 + z2 а2 — с2^ — z la3 + яе2>) + ~гг 0/1-= 0.
Декарт говорил, что можно также «сделать, чтобы все
ложные корпи уравнения стали истинными, ио истинные
пе стали ложными». Оп утверждал, что легко приблизи-
тельно оцепить величину неизвестных отрицательных
корней уравнения. В этом можно усмотреть постановку
вопроса о границах действительных корней уравнения,
которому впоследствии уделил большое внимание Ньютон.
Для умножения и деления неизвестных корней урав-
нения на число, приведения дробных и иррациональных
155
коэффициентов к целым Декарт пользовался теми же под-
становками, которые были известны и Виету. Рассмот-
рим пример.
Если положить у = хУ3 и z = Зу, то уравнение
.г — х)/3 + 27 ж 27у- О
преобразуется последовательно в уравнение
3 о 2 I 26 8 п
У3 - iy2 + = О,
а затем в
z? _ 9Z2 + 26z - 24 = 0.
Корни окончательного уравнения 2,3,4; предыдущего —
-у • 1, ; первого — -|-]/3’, -^-/3 , F3 •
О «воображаемых» (мнимых) корнях уравнения Декарт-
писал: «Как истинные, так и ложные корпи не всегда бы-
вают действительными, оказываясь иногда лишь вообра-
жаемыми. Другими словами, хотя всегда можно вообра-
зить себе у каждого уравнепия столько корней, сколько
я сказал, но иногда не существует ни одной величины,
которая соответствует этим воображаемым корням. Так,
например, хотя у уравнепия
X'- — бхх + 13.x — 10 — 0
можно вообразить себе три корня, по на самом деле оно
имеет только один действительный, именно 2. Что каса-
ется двух других корней, то сколько бы их ни увеличивать,
уменьшать или умножать так, как я только что объяснил,
все равно их пе удастся сделать иными, чем воображае-
мыми» б0.
Еще одна чрезвычайно важная задача алгебры была
поставлена Декартом в этой книге — задача приводимости
уравнений, т. е. представления целого многочлена с ра-
циональными (целыми) коэффициентами в виде произве-
дения многочленов низших степеней. Декарт установил,
что корпи уравнения третьей степени с целыми коэффи-
циентами и старшим коэффициентом, равным единице,
строятся с помощью циркуля и линейки (иначе говоря,
уравнение разрешимо в квадратных радикалах) тогда
50 Декарт Р, Рассуждение о методе, с, 879.
156
и только тогда, когда уравнение имеет целый корень
(т. е. левая часть его может быть представлена в виде
произведения множителей первой и второй степеней).
Для уравнения четвертой степени он также указал
условие разрешимости; оно состоит в разрешимости его
кубической резольвенты 51, т. е. соответствующего урав-
нения шестой степени, кубического относительно г/2.
Декарт пе показал, как он получил окончательный
результат. Ф. Схоотен вывел резольвенту с помощью ме-
тода неопределенных коэффициентов. Он представил мно-
гочлен четвертой степени в виде
х* — рх2 — qx + г = (х2 + ух + z)(x2 — ух + р),
откуда получил уравнения для нахождения у, z, р:
Z — у2 + р = — р, —zy + vy = —7, vz = г.
Разрешающее уравнение (резольвента) имеет вид
у6 — 2ру* + (р2 — 4г)/ — q2 = 0.
В конце третьей книги «Геометрии» Декарт графи-
чески решал уравнения третьей, четвертой, пятой и ше-
стой степеней, отыскивая их корпи как пересечение не-
которых линий.
Вклад Декарта в математику не ограничивается одной
«Геометрией»: в его переписке содержатся решения мно-
гих задач, в том числе связанных с бесконечно малыми.
Это происходило на заре становления дифференциального
и интегрального исчислений. В полемике Декарта с груп-
пой математиков по поводу отыскания максимумов и ми-
нимумов и построения касательных получены важные
результаты, уточняющие разработанные Ферма и Декар-
том методы.
Высказанные Декартом идеи развивались в дальней-
шем, в первую очередь его последователями Э. Бартоли-
ном (1625—1698), Ф. Схоотеном, Ф. Дебоном (1601—1652),
Я. де Виттом (1625-1672), И. Гудде (1628-1704) и др.62
61 Этот термин ввел впоследствии Эйлер.
62 Э. Бартолин — датский математик и физик, известен в физике
открытием двойного лучепреломления исландского шпата.
Ф. Схоотен — профессор в Лейденской инженерной школе,
учитель X. Гюйгенса. Ф. Дебон — любитель математики, так
же как и П. Ферма, юрист. Я. де Витт — глава республиканской
партии в Голландии, убит разъяренной толпой. И. Гудде — бурго-
мистр Амстердама, любитель математики.
157
Бартолин подробно комментировал алгебраические разделы
«Геометрии». Схоотеп разъяснил некоторые теоремы и
формулы, данные Декартом без вывода. Дебон рассмот-
рел вопрос о границах действительных корней уравнений
до четвертой степени включительно. Гудде нашел правило
для получения кратных корней алгебраического уравне-
ния. применил его в задачах на нахождение касательных
и экстремумов и показал, что его правило эффективнее,
чем прием Декарта проведения нормалей.
Комментарии и дополнения Бартолина, Дебона, Схо-
отена, де Витта, Гудде вошли в четыре латинских издания
«Геометрии», первое из которых вышло в 1649 г.
Работа по построению повой математики, начатая
Декартом, продолжалась и в дальнейшем. Однако глубо-
кое развитие алгебры и аналитической геометрии дали
по последователи Декарта, верившие в универсальность
его метода, а Ньютон и Лейбниц, заложившие фундамент
для построения дифференциального и интегрального ис-
числений.
10
Существенный шаг в арифметизации алгебры сделан
в работах Валлиса, что служило развитием тенденции,
наметившейся в трудах английских математиков — Гар-
риота, Оутреда и др.
Дж. Валлис (1616—1703), сын священника из Конта,
получил классическое образование в Кембриджском уни-
верситете, после чего служил священником, а досуг свой
отдавал математике. Интерес к изучению математики у
пего появился случайно, и занимался оп ею сначала толь-
ко ради удовольствия. Он самостоятельно проштудиро-
вал труды античных математиков, итальянских матема-
тиков Торричелли, Кавальери (1598—1647), «Геометрию»
Декарта. Валлис обладал феноменальной памятью и был
выдающимся вычислителем. Однажды в бессонную ночь
он вычислил в уме 27 знаков квадратного корпя из
53-зпачпого числа и утром продиктовал их.
В период Английской революции Валлис прославился
расшифровкой перехваченных писем сторонников короля.
О. Кромвель (1599—1658) назначил Валлиса профессором
кафедры геометрии Оксфорда; в этой должности Валлис
находился и после, реставрации, совмещая ее с обязан’
158
ностями придворного священника. Между прочим, по
совету Валлиса, из страха перед влиянием Рима, в Англии
было отвергнуто введение григорианского календаря.
Валлис был в числе организаторов Королевского общества
и стал одним из первых его членов. Основные труды Вал-
лиса по алгебре — «Всеобщая математика или полный
курс арифметики» (1657) и «Трактат по алгебре» (1685).
Валлис подразделял математику на чистую и смешан-
ную. Чистая • математика должна заниматься изучением
количеств, отвлеченных от качеств предметов; в смешан-
ную входят астрономия, механика, учение о перспективе,
мореплавании, музыке и др., исследующие количества,
наделенные определенными свойствами предметов. В чи-
стую математику, в свою очередь, входят арифметика —
паука о дискретных числах и геометрия — наука о не-
прерывных величинах.
Валлис различал теоретическую, умозрительную, и
практическую математику. Практическая арифметика, па-
ука о том, как эффективно выполнять вычисления, под-
чинена теоретической; точно так же практическая геомет-
рия, трактующая о способах. измерения, подчинена
теоретической.
Он подчеркивал арифметический характер алгебры,
указывал, что арифметика приложима к геометрии и
другим наукам: «...всеобщая алгебра является поистине
арифметической, а не геометрической, и разъясняется ско-
рее при помощи начал арифметических, а не геометри-
ческих. Хотя в геометрии многое находится или уясня-
ется из алгебраических начал, по отсюда не следует, что
алгебра геометрична или же опирается на геометрические
начала,... наоборот, скорее геометрия подчинена общей
арифметике» 55.
Хотя Валлис определял число как собрание единиц,
трактовал понятие числа он шире и считал, что над дроб-
ными и иррациональными числами можно производить
те же действия, что и над целыми. Он отмечал, что как
в геометрии, допускающей бесконечную делимость ве-
личин, единица также делима на любое число частей,
с которыми можно оперировать по правилам арифметики.
Иррациональные числа «не могут быть выражены при
помощи истинных (veries) чисел, но они пригодны для
£8 Wallis J, Opera mathematica. Oxoniae, 1965, t. I, p. 55—56.
159
арифметических действий, как сложения, вычитания,
умножения, деления и т. д.» 64.
Для отрицательных и мнимых чисел Валлис предло-
жил свою интерпретацию. Считая невозможным вычи-
тание большего числа из меньшего, он указал на необ-
ходимость допущения в математике отрицательных
чисел, которые во «Всеобщей математике» назвал вообра-
жаемыми. Числа, меньшие нуля, по мнению Валлиса,
являются абстрактными, но так же реальны, как и поло-
жительные. Он объяснял взаимоотношения между поло-
жительными и отрицательными числами на примерах
движения в противоположные стороны, теплоты и т. д.
В «Алгебре» Валлис называет и положительные и
отрицательные числа действительными, термин же «во-
ображаемые» относит к квадратным корням из отрица-
тельных чисел. Необходимость мнимых чисел Валлис
видел в том, что они показывают неразрешимость той или
иной задачи и дают возможность сформулировать ее так,
чтобы решение было действительным. Он дал первую
геометрическую интерпретацию мнимых чисел: мнимую
величину У—Ъс следует рассматривать как среднее про-
порциональное между —Ь и с или между Ь и —с, т. е.
как отрезок, перпендикулярный отрезкам Ъ и -с, откла-
дываемым на прямой по разные стороны от основания
перпендикуляра.
«Алгебра» Валлиса содержала многочисленный факти-
ческий материал; в латинском издании ее изложены
основные алгебраические открытия Ньютона. Валлис
выполнил построение корней кубического уравнения с
помощью прямой и введенной им кубической параболы.
А. П. Юшкевич писал: «От труда Декарта, от сочи-
нений Оутреда и Валлиса путь развития алгебры вел не-
посредственно ко «Всеобщей арифметике» Ньютона»
Р4 Там же, с. 117.
& Юткевич А. П. О «Всеобщей арифметике» Ньютона.— В кп.:
Ньютон И. Всеобщая арифметика. М.: Изд-во АН СССР, 1948,
с, 366,
НЬЮТОН
1
Имени Ньютона можно пе предпосылать никаких превос-
ходных степеней: опо известно всем наравне с другими
именами, украшающими историю рода человеческого.
Исаак Ньютон родился 25 декабря по старому стилю
1642 г. в семье фермера в деревне Вулсторп, около 75 км
к северу от Кембриджа. Отец его умер до рождения сына,
и мать осталась хозяйкой небольшой формы. Вскоре опа
вышла замуж и уехала из Вулсторпа. Первоначально
мальчик учился в деревенской школе, а в двенадцать
лет переехал в соседний городок Грантем, где и продол-
жил учение.
В 1656 г. вновь овдовевшая мать вернулась с детьми
в Вулстроп. 16-летнему Ньютону пришлось оставить шко-
лу, чтобы взять на себя хозяйственные дела па ферме.
Но он продолжал занятия, заключавшиеся главным об-
разом в изучении древних языков, и в 1661 г. поступил
субсайзером 1 в Тринити-колледж (колледж св. Троицы)
Кембриджского университета. Здесь Ньютон основатель-
но изучил работы древнегреческих классиков (в особен-
ности Евклида и Аполлония), Виета, Оутреда, труды
Ферма, «Геометрию» Декарта, «Арифметику бесконечных»
Валлиса; с 1663 г. он стал слушать лекции профессора
математики И. Барроу (1630—1677). Вместе с тем начала
работать его собственная мысль. Известно, что Ньютон
обладал исключительным даром сосредоточить свое вни-
мание на каком-либо предмете и отрешиться от всего
окружающего; порою он даже забывал о еде и сне.
Суждения о влиянии Барроу на Ньютона противоре-
чивы. Традиционно считается, что Барроу был учителем
Ньютона, и формирование математического мышления
Ньютона — заслуга Барроу. Исследования последних лет
1 Субсаизеры — бедные студенты, получавшие жилье и стол и
за это работавшие слугами в колледже,
6 в, а, Нинифоровский
161
показали, что это заключение необоснован©: читаемый
Барроу курс был совершенно элементарным по сравнению
с тем, что Ньютон постигал самостоятельно. Нет досто-
верных данных о том, что Ньютон общался с Барроу и
беседовал с ним на научные темы; интересы Ньютона сту-
денческих лет, направленные на разработку аналитиче-
ской геометрии и анализа, во многом чужды интересам
Барроу. Поэтому напрашивается вывод, что Ньютон в
определенном смысле в области математики был самоучкой.
В 1665 г. Ньютон получил степень бакалавра 2. Вспых-
нувшая эпидемия чумы вынудила его, как и многих дру-
гих горожан, покинуть Кембридж. 1665 и 1666 гг. оп
провел в Вулсторпе, интенсивно занимаясь научными
исследованиями. Здесь у Ньютона возникли и сложились
основные идеи последующих бессмертных открытий.
В эти годы Ньютон в основпохм разработал'дифферен-
циальное и интегральное исчисления, открыл закон все-
мирного тяготения, провел многочисленные опыты по
оптике, обдумал конструкцию зеркального телескопа.
Это потребовало огромной работы мозга. В бумагах Нью-
тона обнаружена запись: «В том же году я начал думать
о тяготении, простирающемся до орбиты Лупы... Все
это происходило в два чумных года 1665 и 1666, ибо в
это время я был в расцвете своих изобретательских сил
и думал о математике и о философии больше, чем когда-
либо после».
По возвращении из Вулсторпа Ньютон продолжал
интенсивные научные исследования. Оп ничего не печа-
тал, но работал успешно и стал известен в научных кру-
гах. В 1668 г. оп получил степень магистра. В 1669 г.
Барроу, убедившийся в том, что Ньютон как математик
превосходит его, передал ему почетную физико-математи-
ческую кафедру, которую Ньютон занимал до 1701 г.
Научные интересы Ньютона относились к ведущим
областям науки того времени — математике, хмеханике,
оптике. Тогда ошибочно считалось, что телескопы, со-
стоящие из линз, обладают неисправимым недостатком —
хроматической аберрацией. У Ньютона возникла идея
создать телескоп-рефлектор, и в 1668 г. он собственно-
ручно изготовил его; длина трубы составляла 15 см,
радиус зеркала — 2,5 см. Несмотря на небольшие раз-
2 Первая ученая степень.
16£
меры, телескоп давал 40-кратное увеличение, и с его
помощью Ньютон наблюдал Юпитер и Венеру. В 1671 г.
он построил второй, больший зеркальный телескоп.
Ньютон отправил, его в дар королю, который для осмотра
телескопа пригласил членов Лондонского королевского
общества, в том числе Гука (1635—-1703), Рена (1632—
1723). Двхмоистрация телескопа произвела сильное впе-
чатление. 11 января 1672 г. Ньютона избрали членом
Лондонского королевского общества.
После того как в 1689 г. королем Англии стал Виль-
гельм III Оранский (1650—1702), был созван «учредитель-
ный» парламент. Кембриджский университет избрал
Ньютона депутатом парламента. Деятельность в парла-
менте лавров Ньютону не принесла. И еще одному виду
деятельности, не связанному с наукой, довелось ему от-
дать свое время и энергию — в 1696 г. он был назначен
смотрителем Монетного двора в Лондоне и организовал
перечеканку всей английской монеты. До этого она не
имела строго определенных размеров и формы, что спо-
собствовало развитию мошенничества — монеты обруба-
ли и подпиливали. В обращении появились неполноценные
и фальшивые монеты, а натуральные переправлялись за
границу или припрятывались. Бедствие могло принять
размеры катастрофы. Ньютону удалось перечеканить мо-
нету и изменить технику монетного дела. За эти заслуги
оп в 1699 г. получил высокооплачиваемое пожизненное
звание директора Монетного двора.
Основной труд Ньютона — «Математические начала на-
туральной философии» — вышел в 1687 г. Научный ав-
торитет Ньютона в это время был высок. В 1699 г. его из-
брали иностранным членом Парижской академии наук,
в 1703 г.— президентом Лондонского королевского об-
щества (в этой должности он состоял до самой смерти).
После Вильгельма III королевой стала Анна Стюарт
(1665—1714). В 1705 г. она посетила Кембридж, куда из
Лондона приехал и Ньютон. Анна возвела Ньютона в ры-
царское достоинство; он стал сэром. Это было первым
случаем возведения в дворянство за научные заслуги.
В последующие годы Ньютон новых научных резуль-
татов почти не получал. Он был занят руководством Ко-
ролевским обществом, готовил к изданию и переизданию
свои труды, выполнял различные поручения, требующие
высокой научной квалификации.
6*
163
Много энергии он затрачивал на дискуссии и приори-
тетные споры сначала с Гуком по поводу открытия зако-
на всемирного тяготения, а впоследствии — с Лейбницем
и его сторонниками в связи с созданием дифференциаль-
ного и интегрального исчислений. Печальный факт: в
споре о приоритете Ньютон и Лейбниц изменили перво-
начальные оценки заслуг друг друга; результат спора
вылился в то, что англичане отказались пользоваться ал-
горитмом Лейбница, а на континенте Европы многие ма-
тематики не признавали достижений школы Ньютона.
Так продолжалось более 100 лет.
Последние годы жизни Ньютон посвятил решению ин-
тересовавших его теологических вопросов, в результате
чего появились такие сочинения, как «Толкования на
пророка Даниила», «Хронология по св. писанию» и др.
Ньютон признавал бога как создателя и правителя
мира и считал, что разумом человек может познать божест-
венные законы. Физик и историк физики Л. Розенфельд
по этому поводу написал: «Бог не сделал явным для людей
свой замысел, но он наделил людей разумом, так что опи
в состоянии раскрыть его планы. Великой целью Ньютона
было открыть божий замысел, изучая его творения и сле-
дуя тем указаниям, которые бог дал человечеству через пос-
редство своих пророков... только путем рационального
анализа природных явлений и рациональной интерпрета-
ции священного писания мы можем надеяться на то, что
прочтем послания божьи, ибо разум есть то средство, ко-
торое он нам дал для этой цели. Это объясняет проходя-
щие через всю жизнь Ньютона попытки отыскать скрытый
смысл в священных книгах (что он трактует как рацио-
нальную проблему декодирования) и его ученые и тща-
тельные исторические изыскания... Для него не было су-
щественной разницы ни в целях, пи в методе между выво-
дом законов природы из анализа явлений и между уста-
новлением намерений бога в отношении судьбы человека
путем реконструкции истории человечества» 3.
Понимание роли божества как правителя мира харак-
терно для религиозной мысли Англии XVII в. Такой
взгляд наложил отпечаток па поведение Ньютона.
8 Розенфельд Л. Ньютон и закон тяготения.— В кн.; У истоков
классической науки, М,: Наука, 1968, с, 91—92,
164
Интересный пример приводит Розенфельд, когда Нью-
тон выразил несогласие с волей короля, но не в бунтар-
ском духе, а потому, что это было «ясным юридическим
казусом». В 1687 г. король Яков предложил университе-
ту дать степень магистра искусств какому-то неграмот-
ному монаху. Ньютон воспротивился на том основании,
что этот акт противоречил закону. Он пояснил: «Все чест-
ные люди обязаны по законам божеским и человеческим
повиноваться приказаниям короля. Но если его величеству
советуют потребовать нечто такое, чего нельзя сделать по за-
кону, то никто не должен пострадать из-за того, что прене-
брежет таким требованием. . . В этих вопросах мужество
порядочного человека окажет помощь всем, ибо закон
па нашей стороне» 4.
Однако в деятельности Ньютона прослеживается чет-
кая грань между наукой и религией. Энгельс писала «Нью-
тон оставил ему (богу) еще «первый толчок», но запретил
всякое дальнейшее вмешательство в свою солнечную си-
стему» 5.
Ньютон вел замкнутую жизнь; вместе с ним жила его
племянница, муж которой работал на Монетном дворе.
По ее словам, Ньютон был несколько расположен к пол-
ноте, среднего роста, обладал хорошим здоровьем (хотя
и родился раньше срока слабым). Он до смерти сохранил
густые волосы, не потерял зубов и не пользовался очками.
Отзывы современников о нем различны: наряду с прекрас-
ными есть и такие, которые характеризуют его как чело-
века завистливого, скрытного.
За три недели до кончины Ньютон почувствовал прис-
тупы каменной болезни, которые переносил тяжело, по
терпеливо. Умер он 31 марта 1727 г., па 85-м году жизни,
похоронен в английском национальном пантеоне — Вест-
минстерском аббатстве. Эпитафия на его памятнике за-
канчивается словами: «Пусть радуются смертные, что
существовало такое украшение рода человеческого». Ан-
глийский поэт А. Поп (1688—1744) выразил восхищение
Ньютоном так:
Nature and Nature’s laws lay hid in night,
God said, let Newton be: and all was light.
A Там же, с. 90—91.
Энгельс Ф, Диалектика природы, с, 171#
165
(Природа и законы природы скрывались в ночной тьме.
Бог сказал: «Да будет Ньютон!» — и наступил свет.)
Сам же Ньютон оценивал свои заслуги скромно. Оп
говорил: «Не знаю, чем я могу казаться миру, по сам
себе я кажусь мальчиком, играющим на морском берегу
и развлекающимся тем, что время от времени он находит
более блестящий камешек или более красивую ракушку,
чем обыкновенно, между тем как весь великий океан ис-
тины лежит передо мной неисследованным» 6.
2
Работы Ньютона по анализу и оптике, его механика,
ставшая основой всей классической физики, не имеют
прямого отношения к теме, рассматриваемой в этой книге,
по обойти молчанием их нельзя.
Интерес Ньютона к оптике возник в 1664 г.; в 1665 г.
оп приобрел призму для своих знаменитых опытов. Пер-
вые успехи в оптике относятся к периоду уединения Нью-
тона в Вулсторпе. В 1668 г. Барроу счел Ньютона настоль-
ко подготовленным, что доверил ему чтение своей рукопи-
си «Лекций по оптике и геометрии», опубликованной в
1674 г. В 1669 г. Ньютон, занявший кафедру после Бар-
роу, стал читать оптику сам, раньше чем математику. В это
время были написаны его «Лекции по оптике», вышедшие
посмертно в 1729 г. по копии шотландского математика
Д. Грегори (1638—1675) с рукописи, которая хранилась
в библиотеке университета.
В феврале 1672 г. Ньютон послал в Королевское об-
щество исследование «Новая теория света и цветов», в ко-
тором сообщил о разложении белого света на цвета, вы-
сказал соображения о природе цветов, корпускулярную
гипотезу света. Работа Ньютона подверглась критике,
особенно со стороны Гука. Его замечания были написаны
в топе, оскорбительном для Ньютона, хотя Гук и не наме-
ревался нанести Ньютону обиду. Он просто считал себя
знатоком в этой области (он и был им) и обращался к Нью-
тону, как к начинающему, в покровительственном тоне.
Гук утверждал, что оп сам произвел все описанные Нью-
тоном опыты, что его собственная гипотеза может с таким
же успехом объяснить эти опыты, как и гипотеза Ньютона.
6 Spence J. Anecdotes, observations and characters of books and
men. 2 nd ed, London, 1858, p, 40,
166
Ньютон был раздражен поучительным тоном Гука.
И июня 1672 г. он написал секретарю Королевского об-
щества Ольденбургу (1615—1677): «Я уже Вам говорил,
что при чтении «Соображений» относительно моей статьи,
касающейся преломлений и цветов мистера Гука, я не
нашел ничего такого, па что, по моему мнению, нельзя
было бы без затруднения ответить. Но должен признаться,
что сразу же по получении этих «Соображений» я был
немного озадачен, обнаружив, что человек, от которого
я в особенности ожидал бескорыстной и непредвзятой
оценки выдвинутой мной теории, так сильно склонен
считать ее гипотезой. , . Мистер Гук считает своим дол-
гом сделать мне выговор за отказ от мысли усовершенст-
вовать оптику, используя преломление. Но оп прекрасно
знает, что пе дело одного человека предписывать правила
для исследовательской работы другого, особенно если пе
понимать основ, на базе которых он действует» 7.
Это был первый эпизод продолжительной и ожесточен-
ной схватки Ньютона и Гука. Началась дискуссия, в ко-
торой Ньютон вносил уточнения в высказанные им гипо-
тезы, развивал и углублял свои первоначальные работы,
что нашло отражение в сочинении «Теория света и цветов»,
посланном Королевскому обществу. Гук выступил с при-
тязаниями на приоритет в открытиях Ньютона.
Реакция Ньютона была неожиданной: оп решил отка-
заться от публикации своих работ. Вот выдержка из его
письма члену Королевского общества Коллинсу (1625—
1683) 25 мая 1672 г.: «Учитывая огромное количество дел,
в которые Вы вовлечены, я считаю очепь большой любез-
ностью по отношению ко мне Ваше предложение способ-
ствовать изданию моих лекций, о которых Вам говорил
доктор Барроу. Но сейчас я твердо решил поступить по-
иному; учитывая ту незначительную пользу, которую
я извлек из прессы, я уже пришел к выводу, что пе буду
пользоваться своей безмятежной свободой до тех пор, пока
не порву с прессой, что, надеюсь, произойдет, как скоро
я докажу то, что я уже имею наличным на своем счету. . .
Я получаю большое удовлетворение от того, что состою
членом такого общества, каким является Королевское
общество; и я был бы рад сделать все, что могло бы слу-
г< The Correspondence of Isaac Newton, 3 vole, Ed. Г1, W, TurbnuiL
Cambrige, 1959, v, 1, p, 171—188,
167
жить ему; но меня беспокоит одно обстоятельство: мне
кажется, что я лишен той свободы слова, которой я наде-
ялся пользоваться. . .» 8.
Р. С. Вестфал в статье «Ответ Ньютона Гуку и теория
цветов»9 высказал предположение, что причину дей-
ствий Ньютона следует искать в его сложном характере,
а пе в каких-либо обстоятельствах, ибо обстоятельства
лишь способствовали проявлению внутренней напряжен-
ности Ньютона. «Если такая маленькая искра вызвала
столь большой пожар, то она, должно быть, упала па
подготовленный трут. Беспокойство Ньютона по поводу
публикации и критики достаточно ясно выражалось в его
переписке 1672 г. Порой кажется, что деятельное велико-
лепие Гука было создано для того, чтобы высекать искры
из флегматичного Ньютона. Кроме самих Ньютона и Гука,
полемика пе требовала никакого постороннего агента» 10.
Математику Ньютон считал основным инструментом
физических исследований и разрабатывал ее для много-
численных дальнейших приложений. После длительных
размышлений он пришел к исчислению бесконечпо малых
на основе концепции движения; математика для него не
выступала как абстрактный продукт человеческого ума.
Он считал, что геометрические образы — линии, поверх-
ности, тела — получаются в результате движения: ли-
ния — при движении точки, поверхность — при движе-
нии линии, тело — при движении поверхности. Эти дви-
жения осуществляются во времени, и за сколь угодно
малое время точка, например, пройдет сколь угодно ма-
лый путь. Для нахождения мгновенной скорости, скорос-
ти в данный момент, пеобходимо найти отношение при-
ращения пути (по совремеппой терминологии) к прира-
щению времени, а затем — предел этого отношения, т. е.
взять «последнее’ отношение», когда приращение времени
стремится к пулю. Так Ньютон ввел отыскание «послед-
них отношений», производных,которые он называл флюк-
сиями.
Для отыскания производной у по аргументу х можно
найти отношение производной у по времени к производ-
ной х по времени:
8 Ibid., v. 1, р. 161.
9 См.: У истоков классической пауки. М.: Наука, 1968, с. 100.
10 Там же, с. 114.
168
dy dy t dx
dx dt * dt
Использование теоремы о взаимной обратности опе-
раций дифференцирования и интегрирования, известной
еще Барроу, и знание производных многих функций дало
Ньютону возможность получить интегралы (по его тер-
минологии, флюенты). Если интегралы непосредственно
не вычислялись, Ньютон разлагал подынтегральную функ-
цию в степенной ряд и интегрировал его почленно. Для
разложения функций в ряды он чаще всего пользовался
открытым им разложением бинома, применял и элемен-
1
тарные методы: деление вида 1 извлечение корпя и т. д.
Ко времени создания основного труда своей жизни —
«Математических начал натуральной философии» — Нью-
тон свободно владел новым математическим аппаратом:
дифференцированием, интегрированием, разложением в
ряд, интегрированием дифференциальных уравнений, ин-
терполированием.
Первые работы Ньютона по анализу возникли под
влиянием идей Декарта, Ферма, Валлиса, Барроу. Свои
открытия Ньютон сделал раньше Лейбница, по своевре-
менно не опубликовал их; все его математические сочине-
ния были изданы после того, как он стал знаменитым. Зи-
мой 1664—1665 гг. Ньютон нашел вид общего разложе-
ния бинома с произвольным показателем степени. В 1666 г.
он подготовил рукопись «Следующие предложения доста-
точны, чтобы решать задачи с помощью движения», со-
держащую основные открытия по математике. Рукопись
осталась в черновом варианте и была опубликована толь-
ко через триста лет.
В «Анализе с помощью уравнений с бесконечным чис-
лом членов», написанном в 1665 г., Ньютон изложил свои
результаты в учении о бесконечно малых, рядах, в при-
ложении рядов к решению уравнений. Летом 1669 г. он
передал рукопись книги Барроу, который переправил ее
Коллинсу в Лондон. Благодаря этому она получила не-
которую известность. В 1676 г. у Коллинса с этой работой
ознакомился Лейбниц.
В 1670—1671 гг. Ньютон стал готовить к изданию бо-
лее полную работу — «Метод флюксий и бесконечных ря-
дов». Издателя найти пе удалось: в то время книги по ма-
169
тематике приносили убыток. После этого Ньютон надол-
го отказался от намерений публиковать свои работы, как
предполагают, из опасения быть втянутым в полемику в
связи с новизной инфинитезимальных приемов. Такая
полемика развернулась из-за работ Ньютона по оптике
и лишила его покоя.
В «Методе флюксий» учение Ньютона выступает как
система: рассматривается исчисление флюксий, прило-
жение их к определению касательных, нахождению эк-
стремумов, кривизны, вычисление квадратур, решение урав-
нений с флюксиями, что соответствует современным диф-
ференциал ь11ым уравнениям.
Первым из всех трудов Ньютона по анализу в 1704 г.
было издано написанное в 1665—1666 гг. «Рассуждение
о квадратуре кривых». «Анализ с помощью уравнений с бес-
конечным числом членов» вышел в 1711 г., а «Метод
флюксий» — в 1736 г., поело смерти автора. «Оптика»,
включающая многолетние исследования Ньютона в этом
направлении, была опубликована впервые в 1704 г.,
спустя год после смерти Гука. *
Столь поздняя публикация открытий безусловно
препятствовала их распространению и известности, осо-
бенно за пределами Англии. Однако многие математики
узнавали об этих открытиях по рукописям или из пере-
писки.
В 1676 г. Ньютон, по просьбе Лейбница, отправил два
письма секретарю Королевского общества Ольденбургу
для пересылки Лейбницу. В письмах не сообщалось о
принципе и применениях метода флюксий, а отмечались
важные результаты и ход рассуждений, с помощью кото-
рого Ньютон пришел, например, к разложению степени
бинома. О методе же Ньютом сообщил двумя анаграмма-
ми (как это принято было в то время для сохранения тай-
пы), состоящими из расположенных в порядке алфавита
букв трех написанных по-латыни фраз.
После выхода в свет статей Лейбница по дифференци-
альному и интегральному исчислениям Ныотои изло-
жил свой метод в двух письмах Валлису (27 августа и
17 сентября 1692 г.), который поместил выдержки из них
в издании своего «Трактата по алгебре» (1693). Здесь же
приводилась и расшифровка анаграмм. Еще раньше уче-
ный мир мог ознакомиться с приложением теории преде-
лов Ньютона по вышедшим в 1687 г. «Началам».
170
В 1669 г. вспыхнула полемика о приоритете открытия
исчисления бесконечно малых, в которую вскоре втянулись
Ньютон и Лейбнйщ, до того высоко ценившие заслуги
друг друга. В споре позиции обоих великих людей резко
изменились — таковы свойства человеческой натуры.
Несколько математических работ Ньютона вышли в
начале XVIII в. К ним относятся: «Перечисление кривых
третьего порядка» (1704 г.), где дана классификация кри-
вых, указаны способы построения кривых второго и треть-
его порядков, освещены и другие вопросы аналитичес-
кой геометрии; «Метод разностей» (1711 г.) с решением
задачи о проведении через п + 1 данные точки параболы
/г-го порядка и указанием интерполяционной формулы;
«Всеобщая арифметика» (1707 г.), о пей речь пойдет впе-
реди.
«Начала» Ньютона объединили в единое целое механику
земную и небесную и были исходным пунктом прогрес-
са всего математического естествознания. После установ-
ления законов Кеплера и открытий Галилея интерес к не-
бесной механике чрезвычайно возрос. Но история открытия
закона всемирного тяготения начинается не со знаме-
нитого анекдота о падающем яблоке, упоминаемом еще
Кеплером. Родственники Ньютона рассказывали эту ис-
торию и ссылались на самого Ньютона. Популярность
анекдоту создал Вольтер (1694—1778).
О стремлении подобного к подобному говорилось еще
в первых греческих школах. Эта идея жила в течение
Средневековья и эпохи Возрождения. Кеплер приписы-
вал движение Лупы земному притяжению. В «Новой аст-
рономии» (1609 г.) он объяснял вес тел как тенденцию
их к соединению, аналогично магнитному притяжению.
Вероятно, Ньютон, не питавший большой тяги к чтению
и читавший мало, об этой работе Кеплера не знал.
К формулировке закона всемирного тяготения подошли
английские ученые Э. Галлей (1656—1742), Рен и Гук.
В 1674 г. Гук опубликовал этюд о движении Земли, в ко-
тором писал: «Я предлагаю систему мироздания, во многом
отличающуюся от всех других систем, известных до сих
пор, по во всех отношениях согласующуюся с общими за-
конами механики. Такая система основана на трех гипо-
тезах: 1) все небесные тела испытывают притяжение или
тяготение к своему центру в том смысле, что они притяги-
вают пе только свои собственные части, препятствуя их
171
удалению, как мы видим па Земле, но и другие небесные
тела, находящиеся в сфере их действия. Отсюда следует,
например, что пе только Солнце и Луна оказывают влия-
ние па форму и движение Земли, а она в свою очередь
влияет на их движение, по Меркурий, Венера, Марс, Юпи-
тер и Сатурн также влияют своим притяжением на дви-
жение Земли. . . 3) действие сил притяжения настолько
больше, насколько ближе к центру притяжения тела, на
которые они действуют» 11.
В 1680 г. Гук в письме Ньютону сообщил, что пришел
к выводу о существовании силы притяжения, обратно
пропорциональной квадрату расстояния между телами.
Когда Ньютон интенсивно размышлял над идеями
«Начал», проблемами тяготения стал заниматься молодой
член Королевского общества одаренный астроном Галлей.
В январе 1684 г. Галлей встретился с Реном и Гуком и об-
судил с ними проблему планетных движений. Все они
сходились на том, что притяжение следует закону обрат-
ных квадратов, по никто не знал, как из такого закона
получить орбиты планет. Гук хвалился, что знает, как
это сделать, однако доказательств не привел. Рен предло-
жил премию — книгу стоимостью 40 шиллингов тому,
кто решит задачу в течение двух месяцев. Премию вру-
чать никому не пришлось.
Галлей в мае этого же года посетил Ньютона в Кем-
бридже и поставил перед ним эту же проблему. Ньютон
сказал, что получил из закона обратных квадратов эл-
липтические орбиты планет и обещал Галлею выслать
доказательства. В июне — июле он написал трактат «О
движении» («De Motu»), ставший ядром будущих «Начал».
Галлей посетил Ньютона и убедил его в необходимости
представить трактат Королевскому обществу для регист-
рации с целью обеспечения приоритета. В середине сле-
дующего февраля такая регистрация состоялась.
Тем самым Галлею удалось достигнуть того, что Нью-
тон был вовлечен в разработку изложения сложившихся
ранее идей, т. е. написания «Начал», а члены Королевско-
го общества получили возможность подробно ознакомить-
ся с этими идеями. Ньютон работал много и успешно; рас-
сказывают, что ему было жаль тратить время на еду и
11 Нооке В. An attempt to prove the annual motion of the earth from
observation, London, 1674, p, 27,
172
сон, что оп отрывался от дела без наполминапия о необхо-
димости есть и спать лишь в редких случаях. Первая
книга «Начал» была представлена Королевскому общест-
ву 28 апреля 1686 г., вторая — осенью того же года,
третья — в апреле 1687 г. Рукопись всей книги в закон-
ченном виде появилась летом 1687 г.
Заслуга Галлея перед человечеством состояла не только
в том, что ему удалось убедить Ньютона в необходимости
немедленно и полно изложить предмет, а также и в том,
что оп принял на себя все хлопоты и расходы по изданию.
На плечи Галлея вместе с тем выпало тяжелое испытание.
Во время чтения рукописи Ньютона на заседании Ко-
ролевского общества 28 апреля 1686 г. присутствующие
с восторгом отзывались об открытиях Ньютона, а Гук
был уязвлен тем, что его заслуги в той же области совер-
шенно пе упоминались. Он не без основания считал, что
был близок к достигнутой Ньютоном цели и даже вообра-
зил, что Ньютон заимствовал у него закон всемирного
тяготения.
После заседания члены Королевского общества собра-
лись в кофейне. Здесь Гук высказал свои претензии. Ему
говорили, что претензии оп должен отнести к самому себе,
поскольку не проявил достаточной настойчивости в окон-
чательном оформлении результатов.
Ньютон, узнав о происшедшем, был раздражен, хотя
многие из тех, кто знал склонность Гука к хвастовству
и необоснованным притязаниям, не придавали инциденту
большого значения, считали его рядовым. Начался заклю-
чительньп! акт драмы Ньютона и Гука в споре о приорите-
те, и Ньютон исписал не один десяток страниц, чтобы до-
казать оригинальность своего творения.
Нелегко, вероятно, пришлось Галлею, не обладавше-
му достаточным дипломатическим опытом, относившемуся
с уважением и к Ньютону, и к Гуку; к тому же Гук «хо-
дил в начальстве» — в 1679 г. он сменил Ольденбурга на
посту секретаря Королевского общества. Но Галлей не
отступил, выполнил намеченное, и в 1687 г. «Начала»
вышли в свет.
Для полноты картины надо сказать хорошие слова и о
Гуке, несмотря на его неблаговидную роль в споре с Нью-
тоном. Вот как пишет о нем М. Льоцци: «Характер у
Гука был, как говорится, непростой, но у него был ред-
кий изобретательский талант (ему приписывают около
173
ста изобретений) и гениальная интуиция, которая позво-
лила ему установить основные динамические законы, уп-
равляющие солнечной системой. Однако он не мог их си-
стематически изложить из-за непостоянства характере! и
недостаточности математических знаний» 12.
Трудно переоценить значение творчества Ньютона.
С. И. Вавилов писал: «Ньютон заставил физику мыслить
по-своему, «классически», как мы выражаемся теперь. . .
Можно утверждать, что на всей физике лежал индиви-
дуальный отпечаток его мысли; без Ньютона наука раз-
вивалась бы иначе» 13. Лагранж говорил, что нет и не
будет научной славы, которая превысила бы славу Нью-
тона, так как существует всего один мир.
о
&
Дальнейшая разработка алгебры, предпринятая Нью-
тоном, осуществлена им в основном во «Всеобщей ариф-
метике». В 1673—1683 гг. он читал в Кембридже курс
лекций по алгебре. Устав университета предписывал сда-
вать рукописи лекций в университетскую библиотеку.
В 1702 г. У. Уинстон (1667—1752), сменивший Ньютона
па кафедре, извлек рукопись Ньютона из библиотеки и
в 1707 г. издал ее. Так появилась «Всеобщая арифмети-
ка». В дальнейшем она несколько раз переиздавалась с
обширными комментариями и дополнениями. «Всеобщая
арифметика» вышла в 1948 г. и у нас в издательстве Акаде-
мии наук СССР.
В отличие от алгебры Декарта алгебра Ньютона посит
арифметический характер и цель ее —практические при-
ложения. В самом начале «Всеобщей арифметики» Нью-
тон писал: «Вычисления производятся либо при помощи
чисел, как в обыкновенной арифметике, либо при помощи
видов (species), как в алгебре. Оба приема основаны па оди-
наковых принципах и ведут к одной цели, причем ариф-
метика — путем определенным и частным, алгебра же —
путем неопределенным и всеобщим. Поэтому почти все
предложения и особенно заключения, содержащиеся в ал-
гебре, можно назвать теоретическими. Особое превосход-
ство алгебры заключается в том, что, тогда как в арифме-
12 Лъоцци М, История физики. М.: Мир, 1970, с. 138.
13 Вавилов Ct И, Исаак Ньютон, М.: 1961, с, 194, 196(
174
тике при решении вопросов переходят от данных величин
к искомым, в алгебре следуют обратному порядку, пере-
ходя от искомых величин, рассматриваемых как данные,
к данным величинам, рассматриваемым как искомые, с
тем чтобы как-либо удалось прийти к заключению или
уравнению, из которого можно было бы найти искомую
величину. Именно таким путем решаются очень трудные
задачи, решение которых было бы тщетно искать при по-
мощи одной арифметики. Однако все действия арифмети-
ки столь необходимы в алгебре, что они лишь совместно
образуют полную науку вычислений, и поэтому я буду
излагать их обе вместе» и.
Идея отделения алгебры от геометрии подчеркивается
Ньютопом и дальше. «Умножения, деления и тому подоб-
ные вычисления, — пишет Ньютон,— введены были в гео-
метрию недавно и при этом неосторожно и в противоре-
чии с основной целью этой пауки. Всякий, кто рассмотрит
построения задач при помощи прямой и круга, найден-
ные первыми геометрами, легко увидят, что геометрия
была изобретена для того, чтобы мы, проводя линии, мог-
ли с удобством избегать утомительных вычислении. Поэ-
тому не следует смешивать эти две науки. Древние столь
тщательно отличали их друг от друга, что никогда не вво-
дили в геометрию арифметические термины. Современные
ученые, смешивая обе науки, утратили простоту, в кото-
рой состоит все изящество геометрии» 15.
Такое выделение алгебры может показаться на пер-
вый взгляд странным, поскольку Ньютон высоко ценил ан-
тичную геометрию, мастерски применял ее в «Началах»
и других работах. Д. Грегори свидетельствует, что Нью-
тон однажды сказал ему: «Алгебра — это анализ сапож-
ников в математике». «В какой-то мере это шутливое за-
мечание согласовалось с восхищением Ньютона антич-
ной математикой. Но по существу эта фраза отнюдь не
выражала подлинного отношения великого ученого к ал-
гебре и ее методам. Его работы но исчислению бесконечно
малых, открытие им общей биномиальной формулы, тес-
но примыкавшее к исследованиям Валлиса, его глубоко
практический подход к математике в целом — все это ис-
ключает возможность рассматривать Ньютона как про-
14 Ньютон И, Всеобщая арифметика, или книга об арифметическом
синтезе и анализе М,: Изд-во АН СССР, 1948, сг 7,
Там же, с, 298,
175
тивиика алгебры. Оп мог восхищаться красотой синтети-
ческих доказательств и даже противопоставлять иногда
найденные им замечательно изящные геометрические пост-
роения длинным и сложным выкладкам новой геометрии,
но вместе с тем он хорошо сознавал значение и мощь ал-
гебраических методов исследования самых разнообраз-
ных проблем. Он прямо доказал это рядом первостепенной
важностей алгебраических открытий» 1в.
Арифметизации алгебры служило и введенное Ньюто-
ном определение действительного числа; он объединил
целые, дробные и иррациональные числа: «Под числом
мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвле-
ченное отношение какой-нибудь величины к другой вели-
чине того же рода, принятой нами за единицу. Число бы-
вает трех видов: целое, дробное и иррациональное (sur-
dus). Целое число есть то, что измеряется единицей; дроб-
ное — кратной долей единиц; иррациональное число не-
соизмеримо с единицей» 16 17. Таким образом Ньютон дал
понятие числа как базы алгебры и анализа бесконечно
малых.
Наряду с положительными числами Ньютон вводил
и отрицательные, которые в духе того времени считал мень-
шими, чем ничто. При решении уравнений он рассматри-
вал мнимые корни, называя их невозможными, посколь-
ку их наличие указывает на невозможность той или иной
задачи: «Корням уравнений часто надлежит быть невоз-
можными, иначе они выражали бы как возможные те час-
тые случаи задач, которые невозможны» 18. Однако всю про-
грамму перестройки алгебры Ньютону осуществить не
удалось.
Хотя он всего несколько раз упоминает Декарта, влия-
ние Декарта проявилось в принятии Ньютоном картезиан-
ской символики, в многочисленных геометрических прило-
жениях алгебры, в построении корней уравнений и дру-
гих особенностях «Всеобщей арифметики».
4
Структура «Всеобщей арифметики» такова. Книга от-
крывается замечанием о соотношении алгебры и арифме-
16 Юшкевич А. П. О «Всеобщей арифметике» И. Ньютона.— В кн.:
Ньютон И. Всеобщая арифметика, с. 368,
Ньютон И. Всеобщая арифметика, с, 8,
18 Там же, с. 248,
176
тики. Далее Ньютон писал: «Приступающий к изучению
науки вычисления должен сначала ознакомиться со зна-
чением употребляемых в ней терминов и знаков и изучить
основные действия, как то: сложение, вычитание, умноже-
ние, деление, извлечение корней, приведение дробей и
радикалов и методы приведения членов уравнений и ис-
ключения неизвестных (когда их несколько). Далее нужно
приобрести сноровку во всех этих действиях, приводя
задачи к уравнениям, и, наконец, изучить природу и ре-
шение уравнений» 19.
После этих программных слов Ньютон привел поня-
тие числа, познакомил читателя с десятичными дробями,
с обозначением известных (параметров) и неизвестных,
корня, степени, пояснил знаки равенства, пропорцио-
нальности20, ввел действия сложения, вычитания, умно-
жения, деления, извлечения корня, объяснил операции
над радикалами, буквенными выражениями в их простей-
шей записи.
По поводу умножения Ньютон писал так: «Умножение
в собственном смысле слова есть действие, производимое
над целыми числами, с помощью которого находят новую
величину, во столько раз большую множимого, во сколько
множитель больше единицы. Но за отсутствием более
подходящего слова умножением называют также действие
вад дробными или иррациональными числами, с помощью
которого ищут новую величину, находящуюся с множи-
мым в том же отношении (каково бы оно ни было), какое
множитель имеет к единице. Умножение производится
не только над отвлеченными числами, но и над конкрет-
ными величинами, как линии, поверхности, движения,
веса и т. д., поскольку эти величины, будучи отнесены,
как к единице, к некоторой конкретной величине одинако-
вого с ними рода, могут выражать и заменять отношения
чисел» 21.
Деление он рассматривал как действие, при котором
«находят новую величину, во столько раз меньшую, чем
делимое, во сколько раз единица меньше делителя». По
аналогии это действие распространялось на дробные,
19 Ньютон И. Всеобщая арифметика, с. 7—8.
20 В качестве знака равенства Ньютон пользовался знаком Рекор-
да = , пропорцию а : Ь = с : d записывал: a b :: с -dy а а : Ъ : е =
= с : d : / — в виде a -b -е :: с -d
21 Ньютон И. Всеобщая арифметика, с, 10,
7 В, А. Никифоровский 177
иррациональные и другйе величины «любого рода». Пра-
вило знаков при умножении и делении Ньютон сформу-
лировал без обоснования. Корень он определил как число,
соответствующая степень которого равна подкоренному
числу. Кроме того, давал корню такое же толкование
с помощью средних пропорциональных, какое было у
Декарта 22.
Отдельные разделы книги посвящены сложению, вы-
читанию, умножению, делению, извлечению корней, со-
кращению дробей, отысканию линейных и квадратичных
делителей многочленов, приведению дробей к общему зна-
мепателю, упрощению радикалов, различным формам
записи уравнений, приведению уравнений к простейшему
виду, методам исключения неизвестных из нескольких
уравнений, исключению из уравнений радикалов, состав-
лению уравнений по условиям задач. Изложение .сопро-
вождается примерами с числовыми величинами и алгебраи-
ческими выражениями. Большой раздел книги занимает
решение алгебраических и геометрических задач. Затем
излагается общая теория уравнений и геометрическое по-
строение их корней.
Ньютон по каждому рассматриваемому вопросу дает
конкретные рекомендации и почти не приводит обосно-
вания высказанных правил и теорем, аргументируя тем,
что «они представлялись слишком легкими, а иногда пе
могли быть изложены без докучливых длиннот» 23. Этот
пробел он восполнил многочисленными примерами и под-
робными методическими указаниями. Из того факта, что
некоторые его теоремы не удалось доказать математикам
XVIII в., а некоторые были исследованы только в сере-
дине прошлого столетия, А. П. Юшкевич сделал вывод,
что. вряд ли сам Ньютон владел полным обоснованием
применяемых им положений.
Для современного читателя может представлять ин-
терес предложенный Ньютоном прием извлечения из чи-
сел и алгебраических выражений кубических корней,
корней пятой степени и т.д.
«Чтобы извлечь из величины кубический корень, сле-
дует пометить точкой каждую третью цифру, начиная
с единиц, чтобы извлечь корень пятой степени,—каждую
22 См. с. 146.
23 Ньютон И. Всеобщая арифметика, с, 295.
178
пятую цифру и т. д. Затем следует написать в частном циф-
ру, степень которой (т. е. куб, если корень кубический,
пятая степень, если корень пятой степени, и т. д.) равна
или ближайшая по недостатку к цифре или цифрам перед
первой точкой. Вычтя эту степень, вы получите следую-
щую цифру корня, разделив остаток, к которому присое-
динена первая следующая цифра данного числа, на ча-
стное, возведенное в непосредственно предшествующую
степень и умноженное па показатель извлекаемого корня,
т. с. в случае кубического корня разделив на утроенный
квадрат частного, в случае корпя пятой степени — на
упятеренную четвертую степень частного и т. д. Далее,
вычитая слова степень найденного частного из данного
числа, вы найдете третью цифру корня, разделив остаток,
к которому присоединена первая следующая цифра дан-
ного числа, на частное, возведенное в непосредственно
предшествующую степень и умноженное на показатель
извлекаемого корил, к т. п. до бесконечности» 24.
Этот метод ословая на возвышении двучлена в целую
положительную степень:
(а -г Ь)3 = а3 + Sa2& + Зой2 -|- Ь3,
. (а 4- bf = а5 + 5а4& + 10а3&2 + 10а263 + 5аЬ4 +
+ 65 и т. д.
Вот два примера, решенные Ньютоном. Извлечь
•у—-----Т” • t • .
1 13312053. Пометим число точками, 13312053, и запи-
шем в «частном» 2, так как 23 = 8 < 13. Вычтем 8 из 13,
получим остаток 5. К нему присоединим 3, первую циф-
ру следующей тройки цифр, получим 53, что после деления
па утроенный квадрат 2, т. е. на 12, даст втору:;» цифру
«частного» 4. Куб 24 будет 13824, что больше 13312,
поэтому второй цифрой корпя нужно взять 3. Найдем
куб 23, оп равен 12167. Вычтем 12167 из 13312, в остатке
получим 1145. К нему присоединим 0— первую цифру
следующей тройки — и разделим 11450 на утроенный
квадрат «частного», т. е. па 3>529 = 1587, получим сле-
дующую цифру корня 7. Возвысим 237 в куб, найдем
13312053, и вычтем из данного числа, в остатке будет 0,
Таким образом, /13312053 = 237, В записи Ньютона
21 Там же, с, 38—39.
7*
179
решение выглядит так:
13312053 (237
вычтите куб 8
12) ост. 53 (4 или 3
— - - ------------ -
вычтите куб 12167
______1587) ост. 11450 (7__
вычтите куб 13312053
остается 0.
Извлечем 36430820. Пометим точками каждую
пятую цифру: 36430820. В «частном» запишем 3,
поскольку З5 = 243 — ближайшая пятая степень по
недостатку к 364. Вычтем 243 из 364 : 364—243 = 121.
Припишем к остатку 3 и разделим 1213 па 5*34 = 405;
вторая цифра корня будет 2. Пятая степень 32 равна
33554432; после вычитания 33554432 из данного числа
найдем остаток 2876388. Значит, целая часть корпя 32.
Для нахождения первой цифры дробной части (при не-
обходимости этого) к последнему остатку нужно припи-.
сать 0 и результат разделить на 5-324 = 5-1048576 =
= 5242880. Это даст первую цифру дробной части 5. За-
тем следует пятую степень 32,5 вычесть из данного числа
и остаток разделить па упятеренную четвертую степень
32,5; тогда будет определена четвертая цифра корня и т. д.
Запись примера такова:
36430820 (32,5
243
405) 1213 (2
33554432 ,Л „
5242880) 2876388,0 (5
Для извлечения корней четной степени выше второй
Ньютон рекомендовал последовательное извлечение, так
как и т. д.
Ньютон посвятил специальный раздел книги вопросу
представления целой рациональной функции с рациональ-
ными коэффициентами в виде произведения аналогичных
функций, этот вопрос связан с проблемой приводимости
уравнений, решением которой занимался Декарт. На-
хождение линейных делителей Ньютон связывал с под-
180
становкой в многочлен вместо аргумента членов арифме-
тической прогрессии. Полепим прием на примерах, взя-
тых из «Всеобщей арифметики».
Пусть нужно найти линейные делители многочлена
#3 — #2 — 10# + 6. Ньютон рекомендует подставить вме-
сто х члены прогрессии 1,0, —1; тогда получатся числа
—4, 6, 14. Затем следует составить таблицу, содержащую
указанные члены прогрессии, числа—4, 6, 14 и все их
делители:
1 4 1
0 61
-1 14 1
2, 4
2, 3, 6
2, 7, 14
4
3
2
Старший член многочлепа #3 «делится» только па еди-
ницу, поэтому среди написанных делителей надо выбрать
прогрессию с разностью, равной единице, члены которой
убывали бы так же, как члены прогрессии 1, 0, —1. Та-
кая прогрессия одна: 4, 3, 2. Из нее берется число 3, на-
ходящееся в той строке, в которой записан 0 первоначаль-
ной прогрессии, и проверяется деление многочлена на
х + 3. Оказывается, многочлен делится на х + 3 нацело,
в частном получается #2 — 4#+ 2.
Еще один пример: найти линейные делители много-
члена б?/4 — у3— 21 у'2 -J- Зг/ + 20. Подставим в него вме-
сто у числа 2, 1, 0, —1, —2, получим 30, 7, 20, 3, 34. По
аналогии с предыдущим составим таблицу;
Среди делителей отыскиваем убывающую арифмети-
ческую прогрессию 10, 7, 4, 1, —•2 с разностью 3, которая
является делителем старшего члена многочлена G?/4. Теперь
нужно взять число 4, находящееся в той же строке, в ко-
торой записан 0 исходной прогрессии, разделить это число
ва разность прогрессии, т. е. па 3, и прибавить к у. Полу-
ченный двучлен у + 4/3, или Зу + 4, подлежит провер-
ке. Оказывается исходный многочлен па Зу + 4 делится
нацело, в частном получается 2у3 — Зг/2 — Зу + 5.
В некоторых случаях может появиться несколько про-
грессий, это даст несколько подлежащих проверке дву-
181
членов. Ньютон не утверждал, что полученные таким спо-
собом двучлены будут обязательно делителями много-
члена, но если у многочлена есть линейные делители, то
они должны быть только среди найденных двучленов.
«Если по этому методу не удастся найти делителя вообще
или же делителя, делящего данную величину, то следует
заключить, что последняя не имеет делителей первого
измерения. Однако, если данная величина выше трех из-
мерений, то она может иметь делителя двух измерений» 26.
Затем Ньютон привел правило для нахождения квад-
ратичных делителей многочлена. Оно тоже связано с ариф-
метической прогрессией, но более громоздко, поэтому
останавливаться на нем не будем.
Тот же прием он применил при выделении делителей
однородных функций, нахождении общих делителей не-
скольких многочленов, сокращении дробей. Высказывал
и другие правила. Все это он давал без обоснования. Пра-
вила Ньютона для отыскания делителей вида р -j- qx
и р + qx + гх2 доказал в 1708 г. Николай I Бернулли
(1687—1759) и опубликовал его в 1745 г. После Ньютона
проблема приводимости уравнений стала в алгебре одной
из центральных и привлекла внимание многих математи-
ков.
При преобразовании радикалов Ньютон привел формулу
J^±T = / а -Ь Yf=lt + j/ ,
вошедшую затем во все учебники алгебры. Здесь же
он дал правило преобразования корня а ± Ь. По-
добными вопросами занимались Штифель, Жирар, Де-
карт, Схоотен, Валлис. Это правило Ньютона обосновал
Маклореп (1698—1746). Исследование случая, когда а
или Ъ — мнимые числа, провел А. Муавр (1667—1754),
пришедший к знаменитой формуле Муавра.
Об уравнениях Ньютон писал так: «Уравнения пред-
ставляют собой собрания величин, либо равных между
собой, либо равных все вместо нулю. Уравнения рас-
сматривают главным образом с двух точек зрения: либо
как последние заключения, к которым приходят при ре-
шении задачи, либо как средства, при помощи которых
25 Ньютон II. Всеобщая арифметика, с. 47,
182
получают окончательные уравнения. Уравнение первого
рода содержит наряду с известными величинами лишь
одну неизвестную при условии, что задача — опреде-
ленная и требует отыскания определенной вещи. Урав-
нения второго рода содержат несколько неизвестных, и их
поэтому нужно сравнивать и комбинировать друг с другом,
чтобы из них получить новое уравнение, содержащее на-
ряду с известными лишь одну искомую неизвестную. Что-
бы легче найти эту неизвестную величину, содержащее
ее уравнение чаще всего необходимо подвергать различ-
ным преобразованиям, пока оно пе примет возможно бо-
лее простого для пего вида...» 26.
Ньютон рекомендует запись уравнения, которую те-
перь принято называть канонической, т. е. слева писать
все члены уравнения, а справа — нуль. Такую форму
уравнений, как известно, предпочитал и Декарт.
Для приведения уравнения к каноническому виду
Ньютон предлагает несколько правил. Это известное всем
приведение подобных членов, деление или умножение всех
членов уравнения па одно и то же выражение (или число),
освобождение от дробей, от радикалов, содержащих не-
известную, и т. д. Затем он приводит способы исключения
неизвестных из систем уравнений: подстановки, прирав-
нивания одной неизвестной величины, полученной из
двух или большего числа уравнений. В отличие от Ферма,
исключавшего яри исследовании нелинейных систем сво-
бодные члены, Ньютон исключал высшие степени и по-
лучал уравнение более низкой степени. Аналогичный
прием опубликовал И. Гудде (1628—1704) в латинском
издании «Геометрий» Декарта (1659 г.). Для ряда урав-
нений 2-й, 3-й и 4-й степеней Ньютон приводит таблицу ре-
зультантов 27.
Прежде чем пускаться с читателем или, точнее, со слу-
шателем лекций в длительное плавание по задачам, ре-
шаемым с помощью уравнений, Ньютон советует: «После
того, как учащийся несколько поупражнялся в преобра-
зовании и приведении уравнений, ему следует испытать
свое искусство в приведении вопросов к уравнению. Когда
ставится какой-либо вопрос, искусство учащегося осо-
26 Ньютон И. Всеобщая арифметика, с. 64.
27 Результант — уравнение относительно одной неизвестной, по-
лученное после исключения других из системы уравнений. Тер-
мин ввел в 1776 г. Лаплас (1749—1827).
183
беппо требуется для того, чтобы выразить все условия во-
проса посредством такого же числа уравнений. Для этого
необходимо прежде всего выяснить, можно ли выразить
все те предложения, в которых сформулирован вопрос,
при помощи алгебраических членов, подобно тому как мы
изображаем наши понятия при помощи латинских или гре-
ческих букв. Если это возможно (как бывает, когда воп-
рос относится к числам или отвлеченным величинам), то
учащийся должен дать наименования нужным в вопросе
известным и неизвестным величинам и выразить смысл
вопроса, так сказать, па языке анализа. Переведенные
таким образом на язык алгебраических членов условия да-
дут столько уравнений, сколько их требуется для реше-
ния» 28.
И Ньютон поступает так, как строит теперь урок ал-
гебры в школе методически грамотный учитель. «Допу-
стим,— продолжает он свои рассуждения,— например,
что требуется найти три образующих непрерывную про-
порцию числа, сумма которых есть 20, а сумма квадратов
140. Если назвать эти три искомых числа я, у, z, то вопрос
будет переведен с обыкновенного языка на язык симво-
лических выражений следующим образом:
Вопрос, изложенный словесно То же, в символах
Ищутся три числа, подчиненные
следующим условиям:
они образуют непрерывную пропор-
цию
их сумма есть 20
сумма их квадратов есть 140
у, z
х:у = y:zt или xz = у2
х + У + г = 20
Ж2 -(- у2 г2 = 140
Таким образом, вопрос сводится к уравнениям xz = .у2,
х + у + z = 20, х2 4- у2 4- z2 = 140. При помощи этих
уравнений и ранее изложенных правил следует найти зна-
чения х, у и z» 29.
Ньютон тут же указывает, что решение задачи будет
выполнено «быстрее и искуснее», если ввести меньшее
количество неизвестных. Например, в упомянутой за-
даче первую неизвестную можно обозначить х, вторую —
28 Ньютон И, Всеобщая арифметика, с, 79—80.
29 Там же, с, 80,
; 184
у\ третья пропорциональная будет у2 : х. Тогда система
примет вид
х + у + ^- = 20,
+ У2 +-£-= 140.
Это применимо, утверждает Ньютон, в большинстве слу-
чаев.
5 . * <
Решение задач с помощью уравнений, как уже гово-
рилось, занимает почти половину «Всеобщей арифмети-
ки». Этим книга Ньютона выгодно отличается от всех пред-
шествующих руководств по алгебре. Ньютон тщательно
подбирал задачи для своих лекций. Среди них встре-
чались примеры из работ Декарта, Оутреда, Валлиса и
задачи самого Ньютона по геометрии, механике, оптике,
астрономии.
Ньютон рассмотрел 77 задач: 16 арифметического со-
держания, 61 — геометрического. Он придерживался
и здесь основного дидактического принципа — от про-
стого к сложному.
Значимость этому разделу «Всеобщей арифметики»
придают не только задачи сами по себе, но и чрезвычайно
ценные методические советы Ньютона и демонстрация их
осуществления. «И хотя в подобных случаях трудно дать
общие предписания и каждый должен в них следовать ука-
заниям собственного разума, я попытаюсь все же ука-
зать путь начинающим»80. Далее следуют конкретные ука-
зания об обозначениях данных и искомых линий, выяс-
нении взаимоотношений между ними и т. д.
«После того как вы полностью разберете различные
способы,— продолжает Ньютон,— которыми можно вы-
разить участвующие в вопросе члены, примените какой-
либо синтетический прием, приняв в качестве данных
линий те, переход от которых к остальным линиям пред-
ставляется весьма легким, а обратный переход к которым
представляется весьма трудным. Хотя вычисление можно
вести по-разному, но его следует начинать с этих линий,
30 Там же, с. 103.
185
и его проще произвести, допустив, что в вопросе заданы
именно эти линии и что ищется некоторая величина, ко-
торую легко получить из них, чем решая вопрос в том
виде, в каком он действительно поставлен»31.
Ньютон предупреждает: «... вещи, которые могут по-
казаться человеку, недостаточно глубоко их продумав-
шему, непосредственно связанными друг с другом тесной
зависимостью, нередко, когда мы стремимся выразить эту
зависимость алгебраически, приводят к запутанным и
окольным действиям и в результате заставляют пас начать
рассуждения заново и проводить вычисления постепен-
но» 32.
Для решения геометрических задач необходимо поль-
зоваться теоремами «Начал» Евклида, на них и ссылается
Ньютон. Это в основном теоремы о свойствах треуголь-
ников, подобии их, метрических соотношениях в тре-
угольниках, свойствах вписанных и центральных углов,
касательных к окружности и секущих. Ньютон вместо
с тем указывает: «Апалист может владеть про запас, а так-
же пользоваться рядом таких теорем. Однако применять
их он должен умеренно, если может с равной легкостью
или с незначительно большим трудом вывести решение из
более простых вычислительных начал» 33.
Методическими советами Ньютон сопровождает и не-
которые отдельные задачи. Например, указание к задаче
XXIV: «Если какие-либо два члена настолько подобны
или сходны в отношении к другим членам вопроса, что,
применяя любой из них, вы получите совершенно сходные
уравнения или же, что, применяя их оба, вы получите ко-
нечное уравнение, в котором они обладают одинаковыми
измерениями и одинаковой формой, отличаясь, быть мо-
жет, лишь знаками + и — (увидеть это легко), то лучше
всего пе применять ни одного из них, а взять ... другую
величину, которая находится с ними в одинаковом отно-
шении и не имеет себе подобных» 34. Этого правила Нью-
тон придерживался неоднократно. Чтобы проиллюстри-
ровать действенность своих советов, некоторые задачи
Ньютон решал несколькими способами.
31 Там же, с. 107.
82 Там же, с. 108.
83 Там же, с. НО.
34 Там же, с. 156.
186
/
Было бы ошибкой считать,что Ньютон в разработке
методики решения задач был новатором: этими же вопро-
сами занимались, например, Декарт, Оутред. Но методика
во «Всеобщую арифметику» входит органической частью
и ей уделено большое внимание. Многие советы Ньютона
сохранили значение до наших дпей и с успехом могут при-
меняться в педагогической практике. Ньютон был не толь-
ко гениальным исследователем, по и выдающимся педа-
гогом.
Задачи арифметического содержания разнообразны:
несколько вариантов нахождения неизвестных чисел,
о месте встречи двух курьеров; на тройное правило; на
смеси; известная многим задача о быках, поедающих луг
с равномерно растущей травой; об ударе упругих шаров;
об определении процентов ренты, выкупаемой досрочно.
Среди задач на смеси и сплавы рассмотрена решенная еще
Архимедом задача о короне Гиерона. В задаче об ударе
упругих тел выведены формулы для скоростей тел после
соударения. Здесь учитываются направленные скорости,
с их знаками, чего нет в задачах о курьерах. Характерно,
что Ньютон получает сначала общие формулы, а частные
случаи вытекают из них при подстановке числовых зна-
чений входящих величии.
Еще более разнообразны геометрические задачи. Пер-
вые 12 посвящены нахождению элементов треугольников
по некоторым данным, т. е. вопросу, который теперь
в школе называют решением треугольников. Ньютон
попутно сообщает новые формулы плоской тригономет-
рии. Например, при решении задачи X об отыскании сто-
рон треугольника по данным основанию, сумме боковых
сторон и углу при вершине, он приводит формулу
С
с 8Ш ~
а-\-Ь ~~ sin СЕЛ ’
которая совпадает с одной из формул К. Молльвейде
(1774—1825), опубликованной в 1808 г.
В задаче XI об определении углов треугольника Нью-
тон получает формулу, которая в современных обозначе-
ниях имеет вид
2 Yp (р — a)(p — b)(p~c) Q ,
sin А = - ----Yc------L = а + Ъ -]- с,
187
а также
-4 =тЛ (Р —ЬКР—
2 V р (р — а)
А _ 1/ Р(Р~ <0
2 V Ъс
sin А=1/ (P-^SP-V
2 V Ьс
и выводит известную формулу Геропа.
Несколько десятков задач относятся к аналитической
геометрии. Ньютон нередко давал алгебраическое решение
и вместе с ним — геометрическое построение. Задача
XXIII похожа па задачу Паппа, которую в первую очередь
решил в своей «Геометрии» Декарт. Задачу Паппа чисто
геометрически Ньютон рассмотрел в «Началах». Там он
писал: «Такое решение, как приведенное выше, т. е. ис-
полняемое геометрическим синтезом, а не вычислением,
и изыскивалось древними». Интересны задачи па вставки
отрезков определенной длины между данными линиями
(XXIV и XXVIII). Такие задачи возникли еще в древно-
сти в связи с проблемами, не поддающимися решению
циркулем и линейкой; к вставкам сводилась, например,
трисекция угла. Вставками пользовались Архимед, Апол-
лоний, к трисекции угла вслед за Архимедом вставку при-
менил Вют.
Задача XXIX состоит в умножении или делении угла
па данное число. * - ’
Получены уравнения
х2 -2r2 = qr
для деления угла пополам,
х3 — 3r2x = qr2 • " ’ * '
для деления на три части, • •
х* — &2Х2 = or3
для деления на четыре части,
хъ — 5г2х3 + 5r2x = qr*
для деления на пять частей
Если в этих уравнениях
жить 2г — 1, то получатся
косинусов кратных дуг (величины q в уравнениях соответ-
ствуют cos 2а, cos За, cos 4а, cos 5а и т. д.). Выражения-
и т. д.
заменить х па cos а и поло-
известные соотношения для
188
ми для хорд /г-кратпых дуг пользовался Виет при состав-
лении таблиц синусов и при п = 3 — для решения куби-
ческого уравнения в неприводимом случае 35.
В задаче XXX определялась прямолинейная траек-
тория кометы по трем наблюдениям. Более трудную за-
дачу определения параболической орбиты кометы Нью-
тон решил в «Началах».
В задаче XXXI отыскивалась точка пересечения луча
с осью преломляющей сферической поверхности. Анало-
гичные задачи Ньютон решал в «Лекциях по оптике».
Задача XXXII содержит простой вывод уравнений эл-
липса, гиперболы, параболы, полученных в результате
пересечения конуса плоскостями; следующая за пей по-
священа сечению плоскостью однополостного гиперболои-
да вращения, открытого Валлисом в 1670 г.
В задаче XXXIV находится уравнение геометрического
места точек — циссоида. Эта кривая была известна еще
древним грекам и применялась ими к задаче об удвоении
куба. На бесконечность ветвей циссоиды указал Робер-
валь в письме Ферма в 1640 г. Ее уравнение в декартовых
координатах в виде
опубликовал в «Анализе бесконечно малых» Лопиталь.
В конце «Всеобщей арифметики» Ньютон применяет цис-
соиду для построения двух средних пропорциональных,
а в «Лекциях по оптике» он обратился к ней в связи с изу-
чением преломления лучей плоскостями.
Затем следует несколько задач на отыскание уравне-
ний геометрических мест, на конические сечения и окруж-
ность Аполлония (задача XXXIX), определяемую постоян-
ством отношений расстояний произвольной точки ее от
двух точек. В задачах XLIII — XLVII строятся окруж-
ности, проходящие через одну или две точки и касающиеся
одной или двух прямых, окружности и прямой, двух ок-
ружностей, трех окружностей. Задача построения окруж-
ности, касающейся трех других (задача Аполлония),
привлекала внимание математиков XVII—XVIII вв.
неоднократно. Родственные ей задачи решались матема-
тиками в XIX в.
зь См. с. 102-103.
189
Задачи XL VIII и XLIX посвящены равновесию не-
скольких грузов, подвешенных на скользящей около од-
ной или двух точек нити. В задаче L находится глубина
колодца по звуку от удара камня о дно. Впоследствии эта
задача получила широкое распространение в руковод-
ствах по алгебре. Задачи LI — LIV связаны с теорией
удара.
В последних пяти задачах (LVII — LXI) дано построе-
ние и алгебраическое решение нескольких исследованных
Ньютоном в «Началах» проблем, в частности, определение
конического сечения, проходящего через пять, четыре или
три точки и касающегося в одной или двух из них одной
или двух прямых. В двух задачах для определения поло-
жения касательной Ньютон применил метод нахождения
пределов и рассматривал бесконечно малые как пули.
Вот каково в общих чертах содержание решенных Нью-
тоном задач. Большое разнообразие и направленность
их еще раз дают возможность убедиться в том, что Нью-
тон создавал единую науку для нужд практики.
Е е
Вслед за обширным разделом, содержащим решение
задач, Ньютон изложил теорию уравнений и методы по-
строения их корней, что вместе с рассмотренным уже оты-
сканием линейных и квадратичных делителей алгебраи-
ческих выражений составляет его основной вклад в алгеб-
ру. Корень уравнения Ньютон определяет как «число,
которое, будучи поставленным в уравнение вместо обо-
значающей его буквы или вида, приводит к исчезновению
всех членов» Зб. Оп сразу же обращает внимание па то,
что уравнение может иметь несколько корней, и приводит
соответствующие примеры.
Затем он разъясняет причину множественности дей-
ствительных корпей: «Для того чтобы вы не удивились
тому, что одно и то же уравнение может иметь несколько
корней, вам следует знать, что одна и та же задача может
иметь более чем одно решение» 37.
Для иллюстрации этой мысли Ньютон обратился к за-
даче о нахождении пятой части дуги окружности, стяги- 38
38 Ньютон И. Всеобщая арифметика, с. 244.
3? Там же, с. 245.
190
степени уравнения. До-
ваемой некоторой хордой. Оп утверждает, что если ок-
ружность разделить на пять равных частей, то пятые
части всех дуг, начало и конец которых совпадают с кон-
цами данной дуги, определяются одним и тем же уравне-
нием, поскольку они зависят от одних и тех же данных.
Таким образом, уравнение имеет пять корней. «Поэтому
необходимо, чтобы во всякой задаче даюгцее ответ урав-
нение имело столько же корней, сколько имеется различ-
ных случаев для искомой вели-
чины, зависящих от одпих и тех
же данных и определяемых по-
средством одного и того же ме-
тода рассуждения.
Уравнение может иметь
столько же корней, сколько оно
имеет измерений, но не более»88.
Заключительная фраза ци-
таты представляет собой фор-
мулировку основной теоремы
алгебры. К формулировке Де-
карта Ньютон добавил, что чис-
ло корней не может превысить
казательство этой теоремы в общем виде удалось прове-
сти великому немецкому математику К. Гауссу (1777—
1855) в 1799 г.
Чтобы мысль была более рельефной, Ньютон применял
тот же прием образования уравнения, каким пользова-
лись Гарриот и Декарт, т. е. перемножал двучлены х — а,
х — Ь, х — с и т. д. и приравнивал произведение нулю.
Отсюда он сделал вывод, что число корней уравнения пе
может превышать его степени.
Как уже говорилось, Ньютон наравне с положитель-
ными и отрицательными корнями уравнений вводил и
мнимые, которые он называл невозможными. Очень ин-
тересно рассуждение, которым он доказывал, что число
невозможных корней должно быть четным.
Пусть окружность и эллипс пересекаются в точках
С, D, Е, F. Опустим из этих точек на прямую АВ перпенди-
куляры (рис. 16). Предположим, что каким-то образом
удалось составить уравнение для отыскания длины ка-
кого-либо из перпендикуляров. Окружность пересекает
Там же, с. 246.
1191
эллипс в четырех точках; - уравнение имеет четыре дейст-
вительных корня. Если теперь радиус окружности умень-
шать, перпендикуляры KF и JE будут сближаться и в
какой-то момент совпадут; окружность и эллипс станут
касаться в одной точке, тогда два корня окажутся равны-
ми. Если радиус уменьшать и дальше, то останутся
только две точки пересечения эллипса с окружностью;
два корня «станут невозможными», так же как и соответ-
ствующие им два перпендикуляра. «Таким же образом,—
заключает Ньютон,— во всех уравнениях при увеличении
или уменьшении их членов два неравных корня сперва
становятся равными, а затем невозможными. Поэтому
число невозможных корней всегда бывает четным» 39.
Ньютон в той же манере исключительной доступности
показывает, что в некоторых случаях действительные
корпи уравнения могут не соответствовать условиям задачи.
Затем он сформулировал правило знаков для определения
числа положительных и отрицательных корней уравнения
и отметил, что правило Декарта недостаточно в случае
мнимых корней (это знал и сам Декарт).
Формулировка правила Ньютона такова: «Если среди
корней уравнения нет невозможных, то по знакам членов
уравнения можно узнать число его положительных, а
также отрицательных корней. Именно, положительных
корней будет столько, сколько в последовательности зна-
ков имеется перемен знаков от +к — и от —к-|-; осталь-
ные корпи будут отрицательными» 40.
Например, в уравнении
а:1 — х3 — 19а:2 49а: — 30 = 0 -
знаки расположены так: Н--------‘4—. Перемена их: от
первого ко второму, от третьего к четвертому и от чет-
вертого к пятому членам. Следовательно, уравнение имеет
три положительных и один отрицательный корень.
«Однако,— продолжает Ньютон,— это правило пе
имеет силы, когда некоторые из корней невозможны, если
только не рассматривать эти невозможные корни, кото-
рые пе являются ни положительными, ни отрицательными,
как неопределенные по знаку. Так, знаки в уравнении
а:3 + рх2 4- Зр2а: — q = 0
89 Ньютон И. Всеобщая арифметика, с. 249.
40 Там же, с. 251, .........
192
показывают, что оно имеет один положительный корень
и два отрицательных. Положите х = 2р, или х — 2р = О,
и умножьте первое уравнение на х — 2р = 0. При этом
добавится еще один положительный корень и вы полу-
чите уравнение
х* — рх3 + р2х2 — (6р3 + q)x + 2pq — 0,
которое должно иметь два положительных и два отрица-
тельных корня. Между тем если вы рассмотрите перемены
знаков, то видно, что оно имеет четыре положительных
корня. Таким образом, здесь имеются два невозможных
корня, которые в силу своей неопределенности в первом
случае казались отрицательными, а в последнем —.
положительными» 41..
Ньютон привел далее найденное им правило для опре-
деления числа невозможных корней уравнения. В совре-
менных обозначениях оно выглядит так: уравнение /
aQxn + а^х^1 -|- . . . + ап = 0
имеет по крайней мере столько комплексных н корней,
сколько перемен знаков в последовательности
2 1 п — 1 о 2 п — 2 2
й«- — • —Г~ а> - а*а°' -7ГЗТ • —2~ -
Л — 1 1 Л2 Л
#1^3,. • ч л * ~~~ ап - 1 — а"П •
1 . Ilf
Рассмотрев примеры на приложение этого правила,
Ньютон обратился к преобразованию уравнений: сформу-
лировал приемы для изменения знаков корней, уменьше-
ния или увеличения корней па определенное число, исклю-
чения из уравнения какого-либо члена, преобразования
корней в обратные им и т. д. Все это было известно и ра-
нее (аналогичные приемы применяли Кардано, Виет,
Декарт). -
Покажем на примерах Ньютона, как он выполнял
различные преобразования.
Изменяя знаки у чередующихся членов уравнения
(второго, четвертого и шестого)
х? — 4х4 + 4я3 — 2х2 — 5х — 4 = 0,
41 Там же, с. 251.
193
получим
+ 4.r4 + 4#3 4- 2.r2 — 5# + 4 — 0.
Три положительных корня первого уравнения перей-
дут в отрицательные, а два отрицательных — в положи-
тельные «...при этом два невозможных корня, которые
в первом уравнении заключались среди положительных,
во втором заключаются среди отрицательных, так что
если два корня откинуть, то останется только один дей-
ствительно отрицательный корень» 42.
Если в уравнении
я4 — х3 — 19я2 + 49# — 30 = 0
сделать замену х = у — 1, то корни нового уравнения
г/4 — 5у3 — Ют/2 + 80у — 96 = 0
оказываются па единицу больше корней данного. Именно,
корни первого 1, 2, 3, и —5, а второго 2, 3, 4 и —4.
Для исключения из уравнения какого-либо члена
Ньютон пользовался подстановкой х = у — а с даль-
нейшим выбором а так, чтобы соответствующий коэффи-
циент в новом уравнении обратился в нуль. Подстановку
х = ку он применял для освобождения от дробных коэф-
фициентов и иррациональных свободных членов, а
х — 1/у — для получения уравнения, корни которого об-
ратны корням данного. Например, если в уравнение
.г4 — х3 — 19х2 + 49# — 30 = 0,
корни которого 3, 2, 1 и —5. подставить х = 1/у, то полу-
чается
30т/4 - 49г/3 + 19z/2 + у - 1 = 0
с корнями 1/3, 1/2, 1 и —1/5.
Раздел о преобразовании уравнений Ньютон закон-
чил формулировкой зависимостей между коэффициента-
ми уравнения и симметрическими функциями корней,
частично известных Кардано и установленных Виетом.
Формулы для первых четырех степенных сумм корней ал-
гебраических уравнепий любых степеней привел в 1629 г.
Жирар. Ньютон сформулировал рекуррентное правило,
которое в современных обозначениях можно записать так: 12
12 Ньютон И, Всеобщая арифметика, с, 25G,
194
Sn + + a2^n-2 + . . • + nan = 0, где Si — сте-
пенные суммы корней; at — коэффициенты уравнения.
Этим правилом Ньютон воспользовался для определе-
ния границ действительных корней и для приближенного
вычисления корней. Если все корпи уравнения действи-
тельны, то У 52п превосходит йаиболыпий по модулю дей-
ствительный корень уравнения, и последовательность
у$2ппри п —> оо стремится к величине наибольшего по
модулю действительного корня.
В разделе «О пределах уравнений» Ньютон писал: «На
основании предыдущего получаются пределы, в которых
заключаются корни уравнения, если среди них нет не-
возможных. В самом деле, раз квадраты всех корней
положительны, то сумма квадратов будет также поло-
жительна и, значит, больше, чем квадрат наибольшего
корпя. По той же причине сумма четвертых степеней всех
корней будет больше четвертой степени наибольшего
корня, а сумма шестых степеней больше шестой степени
наибольшего корня.
•Поэтому если вы пожелаете найти предел, которого не
может превзойти ни один корень, то отыщите сумму квад-
ратов корней и извлеките из нее квадратный корень. Этот
квадратный корень будет больше, чем наибольший ко-
рень уравнения. Вы подойдете к значению наибольшего
корпя ближе, если найдете сумму четвертых степеней и
извлечете из нее корень четвертой степени, и еще ближе,
если найдете сумму шестых степеней и извлечете из нее
корень шестой степени, и т. д. до бесконечности» 43.
Затем Ньютон указывает лучшее приближение для
наибольшего положительного корня в виде
-1/ V $211 ' 4.2 4" ^2П+1
а также и для наименьшего отрицательного корпя. Оп
отмечает, что такой способ нахождения пределов корней
требует громоздких вычислений и распространяется «лишь
на уравнения, не содержащие невозможных корней».
Поэтому оп сразу же приводит другое правило, более
простое и применимое к любым уравнениям. В современ-
ных терминах его можно сформулировать так: если при
Ньютон И. Всеобщая арифметика, с. 265,
195
подстановке некоторого числа я > 0 в левую часть урав-
нения f (х) = 0 и во все ее отличные от нуля производные
получаются положительные числа, то а будет верхней
границей положительных корней.
В разделе «Приведение уравнений при помощи ирра-
циональных делителей» Ньютон указывает способы раз-
ложения многочленов высших четных степеней па квад-
ратичные множители, имеющие частный характер и па
практике не получившие применения. Здесь же он изла-
гает методы решения уравнений третьей и четвертой сте-
пеней.
Заключительный раздел книги — «Линейное построе-
ние уравнений» — посвящен приближенному нахожде-
нию корней уравнений построением. В отличие от Декар-
та Ньютон пользовался построениями не как обосно-
ванием существования решения той или иной задачи, по
преследовал цель получить несколько первых знаков кор-
ней, чтобы в последующем можно было приложить раз-
работанные им приближенные методы решения уравне-
ний.
«До сих пор я излагал свойства, преобразования, пре-
делы и способы приведения всех видов уравнений. Я не
всегда присоединял доказательства, ибо они представля-
лись слишком легкими, а иногда не могли быть изложены
без докучливых длиннот. Теперь остается лишь показать,
как можно извлечь численным образом корни уравнений,
уже приведенных к наиболее удобному виду. Главная
трудность состоит здесь в определении двух или трех пер-
вых цифр корня, а это удобнее всего можно сделать при
помощи геометрического или же механического построе-
ния уравнения. Поэтому я присоединяю здесь некоторые
построения этого рода» 44.
Таким образом, для Ньютона геометрическое построе-
ние корней служило вспомогательным средством при ре-
шении уравнений, удобным и наглядным. И он уделил
построениям в своих лекциях и в книге значительное мес-
то, обосновал уже применяемые ранее приемы и предложил
некоторые новые. Важно отметить, что Ньютон полеми-
зировал с Декартом, исключившим из геометрии трансцен-
дентные кривые, относительно выбора кривых для построе-
ния корней.
44 Там же, с. 295.
196
«Из построений,-- писал оп,— в равной мере являю-
щихся геометрическими, всегда следует отдать предпоч-
тение простейшему. Этот закон пе допускает исключений.
Но алгебраические выражения ничего нс добавляют к
простоте построений. Здесь следует принимать во внима-
ние только описание линий... Если бы в геометрию
включепа была трохоида (циклоида.— В. Н.), то при ее
помощи мы могли бы разделить угол в данном отношении.
Станете ли вы упрекать тех, кто применит эту линию для
деления угла в отношении двух чисел, упрекать на том
основании, что эта кривая не определяется уравнением
и что применять должно лишь те линии, которые опреде-
ляются уравнениями? Если бы дело обстояло так, то для
деления угла, например, на 10001 часть мы должны были
бы применить кривую, определяемую уравнением более
ста измерений и которую пе мог бы пи описать, ни, еще
менее, уразуметь ни один смертный. И кто пе нашел бы
нелепым, если бы этой линии отдали предпочтение перед
трохоидой, которая представляет собой хорошо извест-
ную линию, легко описываемую посредством движения
колеса или круга? Таким образом, либо трохоиду вовсе
не следует включать в геометрию, либо же при построе-
нии задач ее следует предпочесть всем линиям, описание
которых труднее. То же самое относится и к другим кри-
вым... Поэтому меня не следует упрекать, если я вместе
с князем математиков Архимедом и другими древними
применяю для построения телесных задач конхоиду.
Впрочем, если кто-либо думает иначе, то пусть он имеет
в виду, что я забочусь здесь не о геометрическом построе-
нии, но о каком-то приеме, при помощи которого мог бы
кратчайшим путем найти численное значение корней
уравнений» 45.
45 Ньютон И, Всеобщая арифметика, с. 297—299.
Решение Архимедом задачи о трисекции угла с помощью встав-
ки отрезка между прямой и кругом см. на с. 102. Упоминаемая
здесь конхоида (от греческого «раковина») открыта Никомедом
(II в. до н. э.). Опа возникает, например, если из полюса Л про-
водить прямые, пересекающие прямую CD в точках N, и на про-
должениях AN откладывать отрезки постоянной длины NM.
Геометрическое место точек М и будет конхоидой. Ее уравнение
(х — а)2 (х2 + у2) — Ъ2х2 = 0, где Ъ = NM, а — расстояние
CD от полюса. Полярное уравнение имеет вид
а
?COS (р —
197
Ньютов подробно рассмотрел построение корней раз-
личных видов кубических уравнений с помощью кони-
ческих сечений, конхоиды и циссоиды 46 и привел дока-
зательства. Для циссоиды он предложил простой способ
построения; изложенные методы применил к задачам древ-
них о трисекции угла и об определении двух средних
пропорциональных.
7
Ньютон в своих лекциях и «Всеобщей арифметике» не
привел разработанного им метода приближенного реше-
ния уравнений. Этот метод описан в «Анализе с помощью
уравнений с бесконечным числом членов» (написан око-
ло 1665 г., опубликован в 1711 г.) и кратко изложен в
94-й главе «Алгебры» Валлиса. Об этом методе Ньютон
сообщил Лейбницу в письме 13 июня 1676 г., посланном
через Ольденбурга. Он отметил преимущества своего
метода перед более громоздким приемом Виета.
Идея состоит в том, что корень уравнения f (.г) = О
можно найти с помощью последовательного вычисления
поправок, отыскиваемых из линейных уравнений. Если
для уравнения / (х) = 0 известпо приближение к корню
то следует положить х = х^ + р, где р — малая по-
правка. Уравнение f (х) == /(^ + р) = fx (р) = 0 заменя-
ется уравнением Д (р) = 0 и приближенное значение р0
находится линеаризацией его. Затем полагается р = pQ +
+ q\ приближенное значение д0 отыскивается линеариза-
цией уравнения Д (р0 + q) = /2 (?) = 0 ... Получается
цепочка уравнений Д (р) = 0, /2 (q) = 0, /3 (г) = б, . . . ;
малые поправки р0, г0, . . . каждый раз вычисляются
из соответствующих уравнений.
Ньютон решил таким способом уравнение
я? — 2х — 5 = 0
я3
46 Уравнение циссоиды ?/2= д —% > гДе «—радиус окружности. Цис-
соида образуется так. Пусть дана окружность с диаметром О А =
= 2а. Проведем через А касательную А Т к окружности, а через
О — секущую, которая пересечет окружность в точке В, а ка-
сательную в точке С. От точки О отложим отрезок ОМ = ВС.
При вращении луча ОС вокруг О величина отрезка ОМ будет
меняться и точка М опишет циссоиду,
198 Z
и получил к х0 2 три поправки, что дало значение кор-
ня с восемью верными десятичными знаками.
Рассмотрим этот пример.
Положим х = 2 + р и подставим в уравнение; получим
р3 + 6р2 + Юр — 1=0.
Пренебрежем, в силу их малости, членами р3 и 6р2;
это даст 10ро = 1, Ро — 0,1. Положим теперь
р = 0,1 + q
и подставим в уравнение; линеаризация его даст 11,23?О +
+ 0,061 = 0 и 70 = —0,0054. Затем q = —0,0054 + г;
последовательность тех же операций приводит к г0 =
= —0,00004853. Тогда
х = 2 + 0,1-0,0054-0,00004853 = 2,09455147.
Ныотоп отмечал, что исходное приближение отлича-
ется от истинного значения корпя мепее чем на 0,1 и что
в случае надобности можно находить поправку р0 не из
уравнения 1Оро — 1 = 0, а из бр’о + 10р0 — 1 = 0. Эту
идею впоследствии развил Галлей.
Соотечественник Ньютона Дж. Рафсон (1648—1715) в
«Общем анализе уравнений» (1690 г.) привел модифика*
цию метода Ньютона. Он находил последовательные
приближения хг, х2, х3, ... по одной и той же формуле и
пе пользовался уравнениями вида
h = 0, /з = 0, • , •
Первая поправка получается после линеаризации
уравнения
/(*) = / (*о + Р) = f («о) -I- f\x0) р +
в виде
„ _ / Ы,
Р° Г (*о)
Тогда приближенное значение корня
/.(*о)
Х1 гХо ’
Затем образуется уравнение
199
v _ „ _ Ж)
2 f (Xl)
из которого
90 /'(*») ’
Продолжая процесс, можно находить последовательные
приближения по рекуррентной формуле
^П+1 - ХП у, м .
В таком виде метод Ньютона изложен Эйлером в «Осно-
ваниях дифференциального исчисления» (1755 г.).
Именно в таком виде пользуют-
ся им сейчас цри решении не
в только алгебраических, но
/ и трансцендентных уравнений.
/1 Метод Ньютона имеет про-
/ I стую геометрическую интерпре-
/ / тацию. Пусть действительный
U----->---Д 'в л корень уравнения f (х) = 0 на-
ходится на интервале- (а, Ь).
’ Проведем в соответствующем
Рис .17 конце интервала, в данном слу-
чае через точку В 1Ь, / (Ь)], ка-
сательную к кривой у = / (х)
(рис. 17). Уравнение касательной
У - / (6) = /' (Ь)(х - Ь).
Па оси Ох у = 0, х = хи поэтому
/'(^о)
-/(&) =/'(№-6), Ж1-д = -^|-,
„ -b i(b}
X1 b f(fe) .
Таким образом, если х0 = Ь, то
г - г
Дальнейшее очевидно: па интервале (a, xj поступаем
аналогичным образом; находим
х _ Хл _ 7^1)
2 " 1 /' (®1)
И т. д. .
Этот метод Ньютона так и называется — метод кара-
тельных. Его недостаток в том, что приближение к корню
200
происходит с одной стороны. Но он легко устраним, если
с другой стороны приближаться с помощью метода хорд,
т. е. каждый раз па новых интервалах проводить хорды.
Обычно так и поступают.
Первый издатель «Всеобщей арифметики» Уипстоп
поместил в приложении к ней мемуар Галлея «Новый,
точный и легкий метод общего определения корней лю-
бых уравнений без их предварительного приведения»
(опубликовано в 1694 г.). В нем Галлей вывел прибли-
женные формулы де Ланьи (1660—1734) для извлечения
корней, известные Галлею по сообщению его знакомого,
с помощью приема, которым пользовался Ньютон при ре-
шении уравнения х2 — 2х — 5 = 0. Формулы имеют вид
>/а3 + & = & + ь (с неДРстатком)>
... + b = а + j/^(с избытком).
Галлей положил (а 4- е)2 = а3 + Ь и при малом е
отбросил обе высшие степени; это дало
Ь
е ~~ За2 •
Затем он отбросил только е3 и получил
___ Ь ___________ Ь _________________ аЬ* .
е За2 4“ %ае л л о За3 + b *
Зя- 4* За q 2
что и привело к первой формуле. Далее, решение урав-
нения За2е + Зав2 = Ъ имеет вид
е = _ +1/ 4. _L_
е 2 т К 4 1 За ’
а это, в свою очередь, давало вторую формулу.
Галлей тем же способом получил рациональные и ир-
рациональные приближения для других показателей
корней. Он распространил метод и на алгебраические
уравнения. В современных терминах это выглядит так.
Пусть известно приближение а для корня уравнения
j (х) == 0. Положим х = а е, подставим а + <? в урав-
нение и / (а 4- е>) разложим по степеням е:
/ (а + в) = / (а) + se 4- te2 4- . . . = 0,
201
л*у х^у2 хЬуЗ x^ys X* у&
х3у Х3у2 л^у3 лэу^ x3ys ^Зу6
хг Хгу хгуг х2у3 х2у^ лгу Х2у6
JC ХУ хуг ху3 ху^ xys хув
1 у f у3 У6
Рис» 18
Рис. 19
Тогда поправку е можно найти из квадратного урав-
нения
te2 + se + / (а) ~ 0.
Галлей обосновал выбор знака при радикале в выражений
для е и привел примеры.
Ньютон применил свой способ и к решению буквен-
ных уравнений с двумя неизвестными. Вот рассмотренный
им пример. Пусть требуется решить относительно у урав-
нение
у?> + а2 У — 2а? + аху — %2 — 0,
причем известно, что х — малая величина. Первое при-
ближение найдем из уравнения при х = 0. Положим затем
= а + р и подставим в уравнение; найдем
4а2р + За;;2 + р3 + а2х + арх — х3 = 0.
Для нахождения р учтем только члены первой степени
относительно х и р. Тогда 4а2р + а2х = 0 и р = —х/4.
Положим теперь р = ~ -|- q, подставим в предыдущее
202
уравнение; так же найдем q = i2764a и т. д. Ньютон полу-
чил ряд
_ х , ж2 ! 131я3 , 509а:1 г
К ” а Т ' 647 ‘ 512а2 “И 1634л3 + •« •
Для случая, когда величина х велика, Ньютон видоиз-
менил метод и дал разложение в ряд по отрицательным и
дробным степеням х. Для определения первого члена раз-
ложения он сформулировал правило, получившее название
параллелограмма Ньютона. Это правило он сообщил Лейб-
ницу в письме 24 октября 1676 г. Оно изложено также в
«Алгебре» Валлиса. Поясним его на примере.
Пусть необходимо найти первый член разложения в
ряд у, определяемого уравнением
yQ + 5ху5 + у1 — la2xry‘2‘ -{- бл'Ъ3 + = 0-
d
Все члены бинарной формы, содержащей х до четвер-
той степени, а у до шестой, занесем в прямоугольник
(рис. 18). Прямоугольники с членами рассматриваемого
уравнения пометим звездочками (рис. 19). Затем приложим
к левому нижнему углу левого иижнего отмеченного звез-
дочкой прямоугольника линейку и будем вращать ее
против часовой стрелки, пока она не коснется угла дру-
гого отмеченного звездочкой прямоугольника.
Из членов данного уравнения, соответствующих за-
тронутым линейкой отмеченным прямоугольникам, состав-
ляем уравнение
6а V — 7а?х2у2 + ув — 0.
Если а > 0, это уравнение имеет четыре действитель-
ных корня
у = ± V ах, у = ±У 2ах,
каждый из которых порождает свой ряд для у.
8
«Всеобщая арифметика» Ньютона оказала огромное
влияние на последующее развитие алгебры и совершен-
ствование системы преподавания ее в учебных заведениях.
Она получила признание в научных кругах: издавалась
в 1707, 1722, 1732, 1761 гг. и позднее; в 1720 и 1728 гг.
203
была переведена па английский язык, в 1802 г.— па
французский.
Многим фактам и правилам Ньютон пе дал обоснова-
ния. Это вызвало обилие комментариев с обширными пояс-
нениями, доказательствами теорем; издания «Всеобщей
арифметики» обрастали статьями, комментариями и мему-
арами; их объем чуть ли не превосходил основной текст.
Получило дальнейшее развитие начатое Ньютоном
построение алгебры на арифметической основе, в связи
с чем из книг по алгебре исключались ее геометрические
приложения. В «Началах алгебры» французского мате-
матика А. Клеро (1713—1768), вышедших в 1746 г.;
и в «Универсальной арифметике» Л. Эйлера, опублико-
ванной в 1768—1769 гг. в Петербурге, все изложение
уже носило арифметический характер.
Широкое распространение нашло данное Ньютоном
определение действительного числа. Многие работы мате-
матиков XVIII в. посвящены сущности отрицательных
чисел и обоснованию действий над ними; эта проблема
разрешена полностью только в XIX в. Вместе с тем шло
развитие теории комплексных чисел.
Первым из выдающихся математиков, поставившим
перед собой задачу дать «Всеобщей арифметике» обшир-
ный комментарий, снабдить ее доказательствами и раз-
вить дальше, был последователь Ньютона К. Маклорен.
Этому он посвятил свой «Трактат по алгебре». Но основ-
ной вклад в развитие алгебры внесли математики, за-
нимавшиеся дальнейшей разработкой выдвинутых Нью-
тоном проблем. Это проблемы приводимости, исключения
переменных, численные методы решения уравнений, тео-
рия симметрических функций, уточнение и доказательство
правил знаков Декарта и Ньютона и др.
Необходимо подчеркнуть, что совершенствование ука-
занных направлений алгебры продолжало традицию
Ньютона — основной задачей ставило определение вида
корней уравнения и вычисление их. Эта работа заверши-
лась в XIX в.: Ж. Штурм (1803—1855) установил число
комплексных, положительных и отрицательных корней
уравнения, и Н. И. Лобачевский (1792—1856) создал
метод приближенного вычисления всех корней. В то же
самое время работами Н. Абеля (1802—1829) и Э. Галуа
(1811—1832) были заложены основы нового направления
в алгебре, определившего ее движение в XIX и XX вв.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Более четырех тысяч лет человечество умеет решать зада-
чи, приводящие к уравнениям. Ахмес, составитель упо-
мянутого па с. 4. папируса Райнда, указывал, что пере-
писал задачи со старых рукописей, чтобы устранить все
тайпы, «которые скрывают в себе вещи». Вот, например,
задача из этого папируса: «куча» (неизвестное) и ее седь-
мая часть вместе дают 19; найти «кучу». Значит, нужно
решить уравнение
’ . -^~х == 19.
Очевидно, в те далекие времена знания математики до-
ступны были немногим. II все же «на протяжении двух
с лишним тысячелетий обладание некоторыми, не слиш-
ком поверхностными, знаниями в области математики
входило необходимой составной частью в интеллектуаль-
ный инвентарь каждого образованного человека» Ч
В 1968 г. издательство «Мир» выпустило «Алгебру»
С. Ленга. Эпиграфом к книге стоят слова Ф. Севери:
«Я предпочитаю называть ее так (абстрактной алгеброй),
а не современной алгеброй, потому что она, несомненно,
будет жить долго и в конце концов станет древней алгеб-
рой» 2. Простая и глубокая мысль, отражающая существо
развития.
Если читатель, знакомый со школьной математикой
или даже с математикой технического вуза, перелистает
«Алгебру» Ленга, он будет поражен обилием совершенно
незнакомых понятий, символики, тем, что в ней трудно
обнаружить изложение привычной ему теории уравнений,
непосредственных приложений к практике, т. е. всего
1 Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика. М.; Л.: ГТТИ,
1947, с. 11.
2 Ленг С. Алгебра. М.; Мир, 1968.
205
того, что когда-то и составляло основное содержание ал-
гебры. В «Математической энциклопедии» 3 период раз-
вития алгебры от античности до середины XVII в., когда
разрабатывались способы решения уравнений и в основ-
ном было завершено построение алгебраической симво-
лики, называется предысторией алгебры. Собственно ал-
гебра создавалась в последующие три столетия, и содер-
жание ее изменялось.
Задачами алгебры XVII—XVIII столетий были пре-
образования буквенных выражений, решение алгебраи-
ческих уравнений. В соответствии с этим одно из лучших
руководств того времени, «Введение в алгебру» Эйлера,
содержало изложение теории целых чисел и дробей, кор-
ней, логарифмов, решения уравнений до четвертой сте-
пени включительно, теории соединений, прогрессий, би-
нома Ньютона, диофантовых уравнений. Эти разделы
составляли программу алгебры в дореволюционных гимна-
зиях. и почти все изучаются в средних школах у нас в
настоящее время
В XVIII—XIX столетиях алгебра стала прежде всего
алгеброй многочленов; основной задачей ее стало решение
уравнений с одним неизвестным. После того как усилия-
ми Тарталья, Кардано и Феррари были найдены способы
решения уравнений третьей и четвертой степеней, в тече-
ние почти трех столетий предпринимались попытки найти
формулы для выражения корней уравнений более высо-
ких степеней через их коэффициенты.
Параллельно с построением методов точного решения
уравнений разрабатывались приближенные методы, и до-
статочно успешно. Думается, не вызовет возражений ут-
верждение, что если в результате точного решения неко-
торого уравнения получено значение его корня х = У 2,
то оно ничуть не лучше найденного приближенным мето-
дом х = 1,41. Значит, математики, отыскивая методы точ-
ных решений, рассматривали принципиальную задачу и
действовали в этом случае, как говорят в народе, «па ха-
рактер».
Безуспешные попытки завершились тем, что в 1824 г.
Н. Абель доказал неразрешимость уравнений выше чет-
3 См.: Математическая энциклопедия. М.; Советская энциклопедия,
1977, т. 1, с. 114.
206
ве-ртои степени в общем случае, а в 1830 г. Э. Галуа уста-
новил критерий разрешимости уравнений в радикалах.
В конце XVIII в. К. Гаусс доказал основную теорему
алгебры о существовании корня алгебраического уравне-
ния, высказанную ранее Жираром 4.
Исследование систем линейных уравнений привело к
возникновению теории матриц, впоследствии выделив-
шейся в отдельную ветвь математики, и теории опреде-
лителей.
С середины XIX в. в связи с расширением и углубле-
нием понятия числа и появлением в алгебре новых объек-
тов, отличных от чисел, основное содержание алгебры
переместилось на изучение произвольных алгебраических
операций. Современное построение алгебры характеризу-
ется тем, что разрозненные ранее алгебраические идеи
объединены общей аксиоматической основой, что расши-
рило область ее приложений. Точка зрения на алгебру
как на теорию алгебраических операций утвердилась
после выхода в 1930 г. монографии Ван дер Вардена
«Современная алгебра». Предметом изучения алгебры
стали множества с заданными на пих алгебраическими
операциями, при этом природа множеств безразлична.
В силу последнего обстоятельства изучению подвергают-
ся сами алгебраические операции.
Рассмотренный в этой книге период развития алгебры,
хотя и относится к ее предыстории, наиболее значителен:
алгебра окончательно освободилась от «оков» геометрии,
выделилась в самостоятельную ветвь математики, ставшую
впоследствии ее основой. Кроме того, математики, уви-
девшие возможность преодоления казавшихся ранее не-
приступными твердынь, обрели уверенность в своих си-
лах, что способствовало дальнейшему развитию науки.
4 См. с. 115-
СОДЕРЖАНИЕ
Развитие алгебры до XVI в............................. 3
Кардапо.............................................. 42
Виет .............................. 89
Декарт............................................. 119
Ньютон . . •.......................:................ 161
Заключение.......................................... 205
Виктор Арсеньевич Никифоровский
ИЗ ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ XVI—XV1J ВВ.
Утверждено к печати редколлегией серии
научно-популярных изданий Академии наук СССР
Редактор И. А. Минц. Редактор издательства Е. М. Кляус
Художник М. М. Бабенков. Художественный редактор И. В. Разина
Технический редактор Н. Н. Плохова.
Корректоры II. И. Казарина, И. А. Талалай
ИВ № 15314
Сдано в набор 16.04.79. Подписано к печати 17.07.79. Т-11467. Формат 84х108‘/зг
Бумага^ типографская №'2. Гарнитура обыкновенная. Печать высокая
Усл. печ. л* 11. Уч.-ивд. л. 10,8, Тираж 45000 экз. Тип. зак. 1809
Цена 35 коп.
Издательство «Наука» 117864 ГСП-7, Москва, В-485, Профсоюзная ул. ,90
2-я тип, издательства «Наука» 121099, Москва, Г-99, Шубинский пер., 10 .