Text
                    С.Л. Зенкевич, А.С. Ющенко
1
г
в
а
ь
I
(
о
*
AL
f
t
I к
О
т) -
о
О
О
*
j I
Ь ' !	!
? f	1
* 1
J	1
1
i
i *
I	t
;	|
j
I






г
с
(т
о
о
Pl
р2
Рз
о
о

о
о
о
Издательство МГТУ
имени Н.Э.Баумана
1
. Ч
' с
1
I

УДК 621.865(075-8) ББК 32.816 3-56 ф^раяьная целевая программа книгоиздания России Ре,1ЖентЫ-. акад. И. М. Макаров, проф. В. М. Лохин, проф. В. С. Кулешов г- тт 1Л..1РМК0 А С. Управление роботами. Основы управления ма- 3-56 Зенкевич С. Л., ЮШ _ Q мгту им н э Б нипуляционными роботами. УчеО. ДЛЯ вуаи 2000.-400 с., ил. ISBN 5-7038-1339-5 Систематически изложены вопросы теории манипуляционных роботов и методы управле- ния ими Рассмотрены основные кинематические соотношения, позволяющие определять положение манипуляционного механизма робота в рабочем пространстве, а также решать задачи о скоростях и ускорениях движения его звеньев. Подробно описаны способы и алго- ритмы кинематического управления манипуляторами. Приведены основные сведения о дина- мике манипуляционных механизмов, математические модели движения и методика их анализа. Рассмотрены методы динамического управления, позволяющие организовать движение мани- пулятора с учетом сил и моментов, реально действующих на него в процессе работы, практи- ческие методы исследования и расчета исполнительной системы манипуляционного робота, а также логическое управление сложными робототехническими системами с использованием теории сетей и конечных автоматов. Даны примеры применения рассматриваемых методов, в конце каждой главы приведен список контрольных вопросов и заданий. Книга содержит ос- новные математические сведения, необходимые для понимания материала учебника и выхо- дящие за рамки обычной программы технического университета по математике и теоретиче- ской механике. Содержание учебника соответствует курсу лекций, который авторы читают в МГТУ им И. Э. Баумана. m Д'.. т-удснгов технических университетов, обучающихся по специальности «Роботы и ро- мсханизма'ми^ СИСТСМЫ>> и ДРУГИМ специальностям, связанным с управлением сложными редставляет интерес для аспирантов, преподавателей и специалистов. УДК 621.865(075.8) ББК 32.816 ISBN 5-7038-1339-5 © с. Л. Зенкевич, А. С. Ющенко, 2000 с Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана, 2000 © Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие....................................................7 Список основных обозначений....................................10 Введение.......................................................12 ВЛ. Задачи управления манипуляционными роботами................12 В.2. Функциональное описание робототехнической системы....... 16 В.2.1. Манипулятор......................................... 16 В.2.2. Привод степени подвижности............................23 В 2.3. Исполнительная система...............................25 В 2.4. Система управления манипулятором..................25 В.З. Задачи управления робототехническими комплексами...........30 В.4. Взаимодействие робота с человеком-оператором...............32 1. Основные кинематические соотношения..........................35 1.1. Манипулятор как механическая система.......................35 1.2. Преобразование координат...................................38 1.2.1. Преобразования вращения и переноса.....................39 1.2.2. Элементарные и сложные вращения........................43 1.2.3. Типовые вращения. Углы Эйлера..........................45 1.2,4. Сложные преобразования.................................47 1.3. Однородные координаты и преобразования.....................48 1.3.1. Однородные координаты и векторы........................48 1.3.2. Однородные преобразования..............................51 1.4. Определение положения и ориентации звеньев манипулятора....57 1.5. Специальные системы координат..............................60 Контрольные вопросы и задания...................................64 2. Положение манипулятора в рабочем пространстве................67 2.1. Прямая позиционная задача..................................67 2.2. Геометрия рабочего пространства манипулятора...............73 2.2.1. Конфигурация рабочего пространства и его объем.........73 2.2.2. Анализ ориентации схвата в рабочем пространстве. Коэффициент сервиса......................................................S3 2.3. Обратная позиционная задача................................ 2.3.1. Метод обратных преобразований..........................92
. „von к решению обратной позиционной 2 3 2 Тригонометрический подх Р........................... 2 з.3 ЧисленныеР*— <^Й Контрольные ^^^еяьев манипулятора........................... 3. скорости и уск р й и ускорений....................... 3.1. Соотношения для СКОР относительном движении............ 3.1.1. Скорости и ускорени ускорений звеньев манипулятора мето- ДОМ прямой Ре^рсИИ";я;иёеСких соотношений с помощью 3 1 3. Запись основных кинематических .............. . 94 . 98 101 103 103 104 105 110 блочных матр ^о _стей'и ускорений в однородных координатах.... 117 3 1.4. Уравнения для скоростей у г 3.2. Дифференциальные преобразования............................. 2 3.2.1. Вращение твердого тела................................... 3 2 2 Дифференциальное перемещение .....-.................... 3.2.3. Матрица дифференциальных преобразовании.................. 28 3.3. Прямая и обратная задачи о скорости.......................... 3.3.1. Прямая задача о скорости................................ *31 3.3.2. Обратная задача о скорости.........................-.... 140 3.3.3. Манипуляторы с тремя пересекающимися осями сочленений.... 144 3.3.4. Обратная задача о скорости как задача минимизации........151 3.4. Кинематические свойства манипулятора......................... 157 3.4.1. Распределение допустимых скоростей в рабочем пространстве.... 157 3.4.2. Оценка мобильности манипулятора..........................163 3.4.3. Оценка приемистости....................................... 165 Контрольные вопросы и задания...................................................................... 167 4. Кинематическое управление манипулятором........................ 4.1 . Планирование траекторий в пространстве обобщенных координат. 4.1.1. Перевод из точки в точку. Режим разгона — торможения..... 4.1.2. Обход совокупности точек. 4.2 ^Управление манипулятором в пространстве координат схвата..... 4.2.1. Управление по положению 4.2.2. Формирование программной траектории ’.................... 4 2 4 ?=3°ВаННЬ,Й П03ИЦИ0ННЬ1Й алгоритм управления 4.2'5' Управление ™ Геад ЗГ™ “ "° ВеКТ°РУ уСК0Рения............. Контрольные вопросы и задания .................................... 5===^ S-I.2. Обобщенные «лотЯпГК0СИтаЛЬНО основания манипулятора .... 5 2,Л«™ о»’“ХР“”‘“И" WP“T"“ №"»>......... .................... с™. рО.и.„„и~—я 169 170 170 175 183 183 184 186 188 190 193 194 195 195 198 201 201
5.2.2. Эллипсоиды допустимых сил..........................202 5.3. Уравнения движения манипулятора в форме Даламбера.......209 5.3.1. Силы и моменты инерции............................. 209 5.3.2. Уравнения движения..................................213 5.3.3. Составление дифференциальных уравнений движения манипу- лятора относительно обобщенных координат..................215 5.4. Показатели динамических свойств манипулятора.............219 5.4.1. Эллипсоид допустимых ускорений......................219 5.4.2. Динамическая манипулятивность. Приемистость. .......221 5.4.3. Вычисление показателей динамических свойств манипулятора.... 223 Контрольные вопросы и заоания.................................228 6. Уравнения движения манипулятора в форме Лагранжа. Принцип Гаусса.....................................................230 6.1. Уравнения Лагранжа второго рода..........................230 6.1.1. Структура уравнения.................................230 6.1.2. Связь между уравнением Лагранжа и уравнением кинетоста- тики .................................................. 233 6.1.3. Численное решение уравнений движения................234 6.2. Движение при наличии внешних связей. Уравнения Лагранжа перво- го рода.......................................................235 6.2.1. Определение реакции связей при использовании уравнений ки- нетостатики................................................235 6.2.2. Уравнение Лагранжа при наличии связей...............238 6.2.3. Применение уравнений Лагранжа для анализа движения мани- пуляционных механизмов с замкнутыми контурами..............240 6.3. Принцип Гаусса...........................................248 6.3.1. Общая формулировка принципа Гаусса..................248 6.3.2. Применение принципа Гаусса для исследования движения ма- нипуляционных механизмов...................................249 6.3.3. Определение ускорений вынужденного движения.........251 Контрольные вопросы и задания.................................255 7. Система управления исполнительного уровня..................256 7.1. Математическая модель исполнительной системы.............256 7.1.1. Уравнения исполнительной системы....................256 7.1.2. Линеаризация модели исполнительной системы..........261 7.2. Исследование линеаризованной модели исполнительной системы.266 7.2.1. Частотные характеристики и обобщенные показатели качества... 266 7.2.2. Устойчивость исполнительной системы.................274 7.3. Автоматизированный синтез исполнительной системы....... 280 7.3.1. Вычисление показателей качества исполнительной системы и отдельных приводов........................................z,ov 7.3.2. Расчет приводов исполнительной системы. Синтез корректи- рующих устройств и регуляторов..............................281 5
АННОЙ системы. Введение корректирующих 7 3 3 Анализ синтезиров ........................... ' связей.....г;и;;емы при кинематическом управлении. 7.4. Анализ исполнительной скорости.................... 7.4.1. Управление по вектору с Р системы управления.. 7.4.2. Управление положение» у ...................... Контрольныеманипуляторами.............................. 8.11 Компенсация Динамики программного 8.1.3. Проблема реализуемости.. 8 1 4 Обобщенный моментный регулятор.......... _ _ _ — __..„^/тгтнлттпих гигияпоя............. 315 8.2.2. Декомпозиция управляющих сигналов............... 8.3. Силовая обратная связь..................................... 8.3.1. Силовая обратная связь в соединениях манипулятора...... 8.3.2. Силовая обратная связь на схвате....................... 8.3.3. Проблема устойчивости при силовой обратной связи....... 8.4. Динамическое планирование.................................. 8.4.1. Планирование движения вдоль заданной траектории с учетом динамических ограничений...................................... 8.4.2. Выбор мощности силовых агрегатов....................... 8.4.3. Планирование движения манипулятора по собственной траек- тории ........................................................ Контрольные вопросы и задания................................... 9. Логическое управление сложной робототехнической системой..... 9.1. Понятие сложной системы 9.2. Конечный автомат как модель объекта управления............. 9.3. Построение моделей подсистем 9.3.1. Робот как элемент сложной системы 9.3.2. Модели подсистем. 9.4. Сетевой автомат.... .............................. 9.5. Сеть автоматов ................................ .... 9.6. Метод ~Т°МаТ0В И эквивале»тный аВТОмэт7"^7"7............... ^Рольные вопросы °б°Т0Технической системой...................... Послесловие..... .................................... Синеок литературы..... ......................................... 287 289 290 296 302 304 305 305 307 309 320 324 328 334 338 341 346 348 348 353 356 359 361 365 365 370 ...373 ...380 ...382 ...384 ...389 ... 397
ПРЕДИСЛОВИЕ Робототехника становится неотъемлемой частью производствен- ной и исследовательской деятельности человека в самых различных областях. В связи с этим постоянно возрастает интерес к ней как к ин- женерной специальности. Подготовка студентов к специальности под названием «Роботы и робототехнические системы» была начата около десяти лет тому назад, и, следовательно, она является относительно молодой среди традиционных инженерных специальностей. Это про- является, в частности, и в том. что по робототехнике нет стабильных, хорошо отработанных в методическом отношении учебников. Имею- щаяся отечественная и переводная учебная литература либо устарела, либо отражает отдельные стороны дисциплины и не соответствует учебной программе. Для того чтобы восполнить этот пробел, авто- рами и предлагается настоящая книга, написанная как учебник по курсу «Управление роботами и робототехническими системами» на основе одноименного курса лекцийг-читаемого авторами в МГТУ им. Н. Э. Баумана в последние годы. Этот учебник, как и любой другой, имеет ограниченную область приложения. Робототехника является весьма обширной сферой инже- нерной практики, причем в последнее время она все более расширяется. Само понятие «робот» приобретает более широкий смысл, по сравне- нию с тем, который вкладывался в него ранее. Любое техническое уст- ройство, способное самостоятельно функционировать в неизвестных заранее, изменяющихся условиях внешнего мира, может рассматри- ваться как робот. При этом предполагается, что оно располагает собст- венной сенсорной системой, позволяющей ориентироваться во внеш- нем мире, обладает знаниями, дающими возможность принятия решений в сложной ситуации, способно взаимодействовать с человеком- оператором, определяющим цели функционирования робота. 7
янпвке проблема составления учебника по в такой широкой постан мой Поэтому авторами был робототехнике лРедст" ный подход, при котором будущие специа- выбран за основу всег0 ДОЛЖНы изучить манипуляцион- листы по робототехнике пр снабженное манипуляторами и ный робот, т.е. техническ ' £ различнь1е механические опера- способное самостоятельн Эт0 наиболее широкий класс робото- ции в своем рабочемОТНОсятся все промышленные роботы, а технических устро • предназначенные для замены человека в тех случаях, когда он не может прии, п_ или выполнять ее самостоятельно - под водой, в космиче- ском пространстве, в условиях повышенной радиации и т.п. Знания, по- лученные в области кинематики и динамики сложных механизмов и способов управления ими, необходимы и при решении проблем проек- тирования робототехнических систем в любой другой области. Авторами не оставлен в стороне еще один важный вопрос, который, по их мнению, также относится к основам робототехники. Это совме- стная работа нескольких роботов, а также другого автоматизированно- го технологического оборудования при решении определенной задачи, т.е. проблема управления сложной робототехнической системой. Эле- менты теории подобных систем также вошли в настоящий учебник. Учебник условно подразделяется на три части, различающиеся уровнем математической модели робототехнической системы. В гла- вах 1-4 рассмотрены основные кинематические соотношения, описы- вающие манипуляционный механизм без учета действующих на него ил. Они позволяют определить положение механизма в пространстве, И УСК0Рения всех его звеньев. Кроме того, в главе 4 изложены соотношенийЛеНИЯ манипулятоРами с использованием кинематических нипуляц^^^товЛЫ этом6ЛеМЫ’ СВЯзанные с динамикой ма- в предыдущих гляпау М исслеДУются не только описанные Действии сил и момент^ТКинематического управления при алгоритмы - динамического управлений!?118310™ “ специальные манипуляционного механик „₽ ИЯ’ Учитывающие динамику лов (см. гл. 8). Традиционные м^п!!??еЛеНИИ УпРавлЯ1°Щих сигна- Ших систем отражены в главе 7 ?°ДЫ исслеДОвания и расчета следя- анализу исполнительной системы ^НОВНОе внимание в которой уделено 8 анипуляционного робота.
I лава 9 посвящена проблемам логического управления сложными робототехническими системами. Читатель найдет здесь, также как и в остальных главах книги, необходимый математический аппарат, позво- ляющий понять материал учебника, не прибегая к другим источникам. Авторы предполагали, что читатель владеет материалом курсов высшей математики и теоретической механики в объеме программ технического университета. Желательными являются также знания основ курсов прикладной механики и теории управления технически- ми системами. При работе над книгой авторы столкнулись с тем, что в рамках одного учебника невозможно отразить даже основные вопросы, свя- занные с подготовкой инженера-робототехника. Вне рамок книги ос- тались такие важные вопросы, как организация программного обеспе- чения робототехнических систем, взаимодействие робота и человека- оператора, автоматизированное моделирование и проектирование ро- бототехнических систем, системы с искусственным интеллектом и распределенные системы. Учитывая, что в современной программе подготовки инженеров-робототехников имеются все перечисленные разделы и по ним также в течение ряда лет читаются лекции в МГТУ им. Н. Э. Баумана, авторский коллектив преподавателей кафедры предполагает издать в ближайшие годы серию учебников, содержащих эти разделы. Авторы выражают глубокую признательность основателю кафед- ры «Робототехнические системы» академику РАН Е. П. Попову, соз- давшему отечественную школу робототехники, к которой принадлежат и авторы настоящей книги.
список основных обозначений Q __ обобщенная координата z-го звена а - вектор обобщенных координат манипулятора 5__ 6x1 — вектор, определяющий положение схвата мани- пулятора как свободного твердого тела q___3x3 —ортогональные матрицы (матрицы поворота) р __вектор, связывающий начало к-й и /-й систем координат, kJ в проекции на абсолютную систему координат д — 4x4 матрица перехода от системы координат O/Ar/^Z/ z-ro звена к системе координат O^X^Y^Z^ z-1-го звена X, ОХ — ось системы координат OXYZ OjXjYjZj — система координат, связанная с z-м звеном Z, — орты системы координат O^^Z^ связанной с z-м зве- ном в проекции на абсолютную систему координат параметры, определяющие положение z-ro звена мани- пулятора относительно (i -1 )-го звена (параметры Дена- вита — Хартенберга) Qfl тензор вращения (3x3 кососимметрическая матрица) с компонентами, определяемыми вектором а , — 4x4 — матрица перехода от.системы координат O.XYZ, Р - вектп еНЦ К абс0ЛЮТН0Й системе координат л “XX „7“ жрдого в лГ"" тай же точ™" ниюд' 10
X(a )b [a, b, с] J(q) vi ю, Ю, q E, E; W,- w, m, F,. f V'V' 7f / i* i векторное произведение вектора а на вектор b смешанное произведение векторов якобиева матрица линейная скорость /-го звена в абсолютной системе коор- динат то же в системе координат, связанной со звеном угловая скорость /-го звена в абсолютной системе коор- динат то же, но в системе координат, связанной со звеном обобщенная скорость /-го звена вектор обобщенных скоростей абсолютное ускорение Лго звена в абсолютной системе координат то же в системе координат, связанной со звеном абсолютное ускорение центра масс /-го звена в непод- вижной системе координат то же в системе координат, связанной со звеном масса /-го звена главный вектор сил инерции, приложенный в центре масс /-го звена система координат, связанная с z-м звеном, имеющая на- чало координат в центре его масс и коллинеарная непод- вижной системе OXYZ ' — кинетический момент z-ro звена в системе координат I f / I (7 то же в неподвижной системе координат / /' — тензор инерции /-го звена в системе координат C^X^Y-Z] ц, главный момент сил инерции /-го звена управляющие силы и моменты, действующие на z-е звено р — вектор управляющих сил и моментов К — кинетическая энергия V — потенциальная энергия L — кинетический потенциал (функция Лагранжа) Z — мера принуждения по Гауссу
ВВЕДЕНИЕ В 1. Задачи управления манипуляционными роботами понятия «робот» и ассоциации, вы- Несмотря на универ неспециалистов, подавляющее болыпинст- зываемые этим т р пппмышленности представляют собой во ооботов, используемых в промышленности, пред Манипуляторы, управляемые посредством микропроцессорных кон- троллеров. Многозвенная конструкция манипулятора заканчивается схватом или сменным инструментом, с помощью которого можно пе- ремещать объекты в рабочем пространстве, либо выполнять неслож- ные технологические операции. Чаще всего роботы используют при загрузке механообрабатывающих станков, выполнении операций свар- ки и покраски, сверления отверстий и нарезания резьб. На первый взгляд проблема управления такими роботами решается достаточно просто. Наиболее распространенные пневматические робо- ты-перегрузчики оснащены специальными программаторами, позво- ляющими легко задавать последовательность позиций, в которых дол- жен находиться робот. Для задания движения электромеханических и электро гидравлических роботов, управляемых с помощью микрокон- троллеров, применяют специальные языки программирования, макси- мально облегчающие работу оператора. При использовании микрокон- троллеров в системе управления роботом можно непосредственно про- граммировать движение схвата или инструмента в рабочем простран- движе™е кажД°го отдельного сустава, как в случае простей- уппавл?ми1°В аконец’ с помощью микропроцессорной системы управления можно используя его графический об™ Р У ДВИЖеНИЯ манипулятора, обучения робота не обязательно таяТ даСПЛея- ОпеРатору для необходимо лишь владтL п УСТр°ЙСТВ0 и особенности, а Тем и едеть языком программирования. ным источником ХбоТни^овенияеНИЯ Р°б°ТаМИ сУЩествУЮт и глав- возникновения является основное преимущество
В. /. Задачи управления манипуляционными роботами роботов универсальность. Роботы, как правило, не создают для вы- полнения конкретной технологической операции. Даже в тех случаях, когда вид операций заранее известен, например операции точечной сварки, необходимо выбирать траекторию движения, возможные ориентации рабочего инструмента, законы движения во времени, включая законы изменения скоростей и ускорений. В ряде случаев предъявляют требования к закону изменения сил. Например, при ме- ханической обработке сложных поверхностей необходимо управлять силой резания. Следует иметь в виду, что возможности робота ограничены. Он функционирует только в определенном объеме рабочего пространства. Его скорости и ускорения обусловлены соответствующими характе- ристиками приводов сочленений. Силы и моменты, развиваемые рабо- чим инструментом, зависят от мощности приводов. Кроме того, все характеристики, о которых идет речь (ограничения по положению, ориентации, скоростям, силам и т.д.), неравномерно распределены в рабочем пространстве робота. Так. существуют области рабочего про- странства, в которых существенно ограничены возможности ориента- ции рабочего инструмента. В силу нелинейности кинематической схе- мы, свойственной большинству роботов, максимальные значения ско- ростей и ускорений различны в разных точках рабочего пространства. Не менее очевидно, что полностью вытянутая «рука» робота удержит меньшую нагрузку, чем согнутая. В связи с этим возникает ряд задач, в том числе следующие. 1. Планирование положений. Необходимо совместить зоны об- служивания робота с рабочим пространством, в котором выполняется технологическая операция, таким образом, чтобы рабочий инструмент либо иной объект мог быть доставлен в любое требуемое положение с необходимой ориентацией. 2. Планирование движений. Необходимо выбрать траекторию движения объекта или рабочего инструмента. При этом не только тра- ектория движения, но также законы изменения скоростей и ускорений должны, с одной стороны, соответствовать требованиям технологиче- ского процесса, а с другой — возможностям робота. 3. Планирование усилий. Требования технологического процесса должны быть согласованы с возможностями робота развивать необхо- димые силы и моменты в различных точках рабочего пространства и его энергетикой. 13
Введение ---------------- - пчности Решение перечисленных за- ” „„„„ робота, так как точность дай- дач может потребовать учета д аемых скоростей и ускорении; жения по траекториям аавиеи и „ ускорений точность при достаточно больших„удовлетворительной. Кроме того, отработки траектории мож динамики может приводить к программирование робота у & движение не соответ- появлению эффекта Л^Р“ взаимного динамического влияния маХХа. Антшиа степени отото влияния " собеёво важен для робе™., способных раавнвать значительные ско- ё ™ёё ускорения, а также для роботов с большой грузоподъемностью, L. динамические аффекты обусловлены значительными массами элементов конструкции. Перечисленные задачи могут быть решены в ходе предварительно- го анализа, цель которого состоит в определении требований к про- мышленному роботу, выполняющему данный цикл рабочих операций. В результате такого анализа могут быть даны рекомендации по выбору одного из имеющихся роботов или по составлению технического зада- ния для разработки специализированного образца. При использовании выбранного робота решение перечисленных задач сводится к выбору положения и ориентации робота в рабочем пространстве, возможно и к оснащению его дополнительными степе- нями подвижности. Далее с учетом реальных возможностей и ограни- чений робота составляют конкретные программы его функционирова- ния. При решении этих задач может потребоваться расширить и усо- вершенствовать готовое программное обеспечение робота, например с целью учета и компенсации динамических эффектов. В последнем слу- чае возможно использование дополнительных датчиков, для обработки ппотт»аммнС0Т0^Ь1Х ТакЖе потРебуется расширить математическое и цесса улаетД0 еСПечение> ^еРеДК0 требования технологического про- ности системы?^ализовать’ только расширив вычислительные возмож- сональную “зуя для управления пер- та. Это становится пеальикт/ базовои системой управления робо- эволюция их систем управлен^ Промышленнь1Х Роботов, поскольку управлени* происходит в направлении все боль- В настоящее время для этого шипи™ учитывающие условия эксплуатации. используют ПЭВМ промышленного исполнения, 14
В 7 Задачи управления манипуляционными роботами шей «огкрьности» системы, доступа к ее программному обеспечению и его расширения, обеспечения возможности подключения дополни- тельных устройств, в том числе датчиков и вычислительных средств. Такие возможности позволяют значительно усовершенствовать базо- вую систему управления с целью обеспечения ее адаптации к требуе- мому технологическому процессу. Перечисленные задачи могут быть решены с помощью пакета спе- циализированных программ, имеющегося в распоряжении пользовате- ля, который осуществляет адаптацию робота и его системы управления к технологическому процессу. Такой пакет должен включать в себя, в соответствии с поставленными задачами, программу анализа положе- ний, решения прямой и обратной задач кинематики, а в общем случае — и программу решения прямой и обратной задач динамики. Напомним, что прямая задача динамики определяет движение механической сис- темы, в данном случае — манипулятора, по заданным силам и момен- там, включая силы и моменты, развиваемые приводами манипулятора, а обратная задача динамики заключается в определении сил и момен- тов, вызывающих заданное движение. Понятия «прямая» и «обратная» задачи кинематики, возникли в робототехнике в связи с решением задач планирования движений. Решая прямую задачу кинематики, можно определить положение и ориента- цию рабочего инструмента, закрепленного на конце манипулятора, в рабочем пространстве по заданным углам поворота (перемещениям) в степенях подвижности манипуляционного механизма, а при решении обратной — найти эти углы и перемещения, если требуемые положе- ние и ориентация схвата заданы. 5. Идентификация кинематических и динамических характе- ристик робота. Проблема, с которой часто сталкиваются пользовате- ли, состоит в том, что характеристики робота с необходимой для рас- четов точностью, как правило, не определены, а ряд характеристик, используемых для решения задач динамики, вообще неизвестен. В свя- зи с этим для каждого промышленного робота, устанавливаемого на производстве, необходимо решать задачу идентификации, так как «ин- дивидуальные отклонения» характеристик роботов могут оказаться значимыми при их адаптации к технологическому процессу, требую- щему большой точности. В процессе эксплуатации эти параметры мо- гут изменяться, поэтому требуется их повторная идентификация через определенные промежутки времени. 15
Введение пп упоавлением роботом понимают комплекс за- Таким образом, под упра адаптацией к технологическому дач, связанных с выбором ро о аммИрованием движений, а также "“б’!мимо хорош° “™еть миетитиче- с JZp”™.. используемым для анализа кинематики и динамики манипуляторов. В связи с этим первые четыре главы книги посвящены анализу математических моделей манипуляционных механизмов. Эти модели используют для решения основных задач управления, сформу- лированных выше. Для того чтобы изучать вопросы управления роботами, необходи- мо вначале ознакомиться с функциональным описанием робототехни- ческой системы, ее основных элементов, принятой терминологией. Основные сведения, необходимые для чтения книги, приведены ниже. Для более подробного знакомства с робототехникой можно воспользо- ваться библиографическим списком, приведенным в конце книги. Предполагается, что читатель знаком с общим курсом теории автома- тического управления. В.2. Функциональное описание робототехнической системы Рассмотрим основные элементы функциональной схемы системы управления промышленным роботом (рис. В.1). В.2.1. Манипулятор Обл« ±Та "Л™ «°™У™°Р - механизм, значен для перемещения и ор^н^Т^0™’ К°Т°РЫЙ П₽еДНа- стве. Многозвенная констпЛп Ц бъектов в Рабочем простран- ZZZ" закреплен омеввый ввезру“ен"“(“й “верт”X“ZZ"",
-------“ 2 Фу11КЧи°'Ш',ь^ системы ме(чик и г.л.). В эюм случае с помощью манипулятора могут быть выполнены различные технологические операции, например зачистка загоювок, нарезание резьбы, сверление отверстий. Рис. ВЛ. Функциональная схема системы управления роботом Две характерные конструкции манипуляторов показаны на рис. В.2. Один из них имеет только шарнирные соединения (рис. В.2, а). Его звенья могут поворачиваться относительно трех основных осей 01. 02 и 03, обеспечивающих перемещение схвата в рабочей зоне: еще две оси 04 и 05 определяют ориентирующие движения схвата. Вто- рой манипулятор (рис. В.2, б), кроме вращений относительно осей 01, 02 и 03, допускает поступательное перемещение звеньев вдоль оси 04. Напомним, что механизмом называют систему тел, предназначен- ную для преобразования движения одних тел в требуемое движение других. Манипуляционный механизм {.ианиг1Улят0Р^ представляет со- бой систему тел, которые предназначены для перемещения тела, удер- живаемого в схвате манипулятора (инструмента, детали). Тела, обра- зующие манипулятор, называют его звеньями. Звенья, образующие попарные соединения и допускающие относи- тельные перемещения, называют кинематическими парами. Каждое звено, рассматриваемое как твердое тело, имеет шесть степеней свобо- ды. Если в кинематической паре на относительное движение звеньев наложено 5 условий связи (число 5 определяет класс кинематической пары), то число степеней кинематической пары равно 2 - 1488 h = 6-S. 17
Введение „„„л,,™. яппи 5 = 6 —взаимно неподвиж- ппи S = 0 звенья взаимно свободны, а при о ны те 1 <S < 6 Так, для шарового шарнира 5 - 3, h 3 , для цилинд- рической пары 5 = 4, Л = 2; для простого цилиндрического шарнира и призматической пары поступательного движения 5 = 5, h - 1. Систему звеньев, образующих кинематические пары, называют ки- нематической цепью. Если в цепи имеются звенья, входящие только в одну кинематическую пару, то цепь называют незамкнутой (разомк- нутой). В противном случае, т.е. если каждое звено входит, как мини- мум, в две кинематические пары, цепь считают замкнутой. Кинемати- ческие цепи манипуляторов, показанные на рис. В.2, являются незамк- нутыми; если же один из них обрабатывает поверхность, расположен- ную на неподвижном основании, то его кинематическая схема совме- стно с инструментом и объектом работы образует замкнутую кинема- тическую цепь. При этом следует учитывать условное неподвижное звено, которое замыкает цепь. 01 Рис. В.2. Конструкции _ римд_!№ s _ ММАТЕ "азшие“°е V / 5 ГДе ” число подвижных звеньев „ KJIatta- ’ Р' ЧИСЛ0 ^нематических пар /-го Например, для манипулятор ОТ,'“М «» v , 6.5 Р5’. ^««адого на рис. В.З о кине- 18 5 - 5 подвИ)кности.
-----------— фУ',кЧии11^ьное описание робототехнической системы Заметим, что число степеней подвижности кинематической цепи совпадает с числом кинематических пар только в том случае, если все пары относятся к пятому классу. В последнем случае v = 6п - 5р. Рис. В.З. Разомкнутая {а) и замкнутая (б) кинематические цепи Число степеней подвижности кинематической цепи — важнейшая характеристика манипулятора, поскольку она определяет число степеней свободы схвата манипулятора. Чтобы манипулятор мог свободно пере- мещать и ориентировать в пространстве твердое тело, удерживаемое в схвате, он должен иметь не менее шести степеней подвижности. При- чем, если v > 6, то говорят о кинематической схеме с избыточностью. Кинематические схемы с избыточностью необходимы в тех случаях, когда на перемещение предмета наложены дополнительные условия, например при перемещении тела внутри цилиндрической трубы. При замыкании кинематической цепи число ее степеней подвиж- ности понижается. Например, предполагая, что манипулятор удержи- вает рычаг без проскальзывания (рис. В.З, б), получаем п = 6, р5 - 7, следовательно, v = 1. Типовые кинематические схемы манипуляторов приведены на рис. В.4. На рис. В.4, а все звенья взаимно перпендикулярны и образуют пары поступательного движения пятого класса. В декартовой системе координат OXYZ, связанной с основанием робота, координаты схвата определяются перемещениями по каждой из степеней подвижности кинематической цепи. Поэтому можно сказать, что робот функциони- рует в прямоугольной декартовой системе координат. Основным дос- тоинством такого робота является удобство управления, поскольку исключается необходимость пересчета требуемых координат объекта работы в значения перемещений в отдельных степенях подвижности. Однако конструкция такого робота имеет большие габаритные разме- ры, что является недостатком. 2* 19
Введение е Ю1ием*гические схемы М m»r.. 'г ~~ а>пРопомпрф..адИ"у,1‘1торов: а ~ прямоугольная; б — цилиндри- ^«ичес^ 1анвдуя ₽Фная д с е _ SCARA; ж _ схема 20 Р Явлением кинематической цепи
Л 2 Функциональное описание робототехнической системы Один ш наиболее известных промышленных роботов VERSATRAN имеет кинематическую схему, представленную на рис. В.4, б. В этой схеме две пары поступательного перемещения и одна — вращательно- го (все пятого класса). Координаты схвата в данном случае можно задль фемя переменными высотой /?, длиной выдвижения L и уг- лом новорога ф, что соответствует цилиндрической системе коорди- нат, в которой и работает робот рассматриваемого типа. Не менее известная конструкция промышленного робота типа UNIMA1 Е (см. рис. В.4, в) имеет две вращательные пары и одну по- ступательную (телескопическую) пару. Таким образом, координаты схвата определяются в сферической системе координат двумя углами Ф , 0 и радиусом R. Из этих трех конструкций наименее сложной является вторая. Наибольшую гибкость в достижении различных точек рабочего про- странства имеет третья схема. Недостатком второй и третьей схем по сравнению с первой является меньшая точность и необходимость при- менения специальных конструктивных решений для обеспечения сба- лансированности конструкции. Многозвенный манипулятор, имеющий четыре шарнирных пары, показан на рис. В.4, г, В соответствии с такой схемой построены мани- пуляторы промышленного робота Cincinatti Milacron, отечественных роботов типа УЭМ-5, РМ-01, ТУР. Они относятся к манипуляторам антропоморфного типа. Гибкость «руки» обеспечивается за счет ус- ложнения конструкции. Задача управления при этом значительно ус- ложняется, поскольку требуется расчет движений в каждом шарнире, обеспечивающем необходимое движение схвата. Эта задача усложняется и для многозвенных манипуляторов с из- быточностью, предназначенных для работы в пространстве с препятст- виями (рис. В.4, д). Кинематическая схема манипулятора типа SCARA приведена на рис. В.4, е. Две вращательные степени подвижности обеспечивают произвольное перемещение объекта в плоскости, а перемещение плос- кости позиционирования осуществляется поступательной степенью подвижности. Такая схема, сочетающая значительную гибкость при движениях в плоскости с жесткостью конструкции в вертикальном направлении, оказалась эффективной при выполнении задач сборки и обработки плоских поверхностей. 21
Введение ----" ^нематических схемах все звенья манипулятора В рассмотренных кинем соединений. обеспечивающих взаим- связаны между собой с пом« одящие в движение звенья, можно ное перемещение. Двига ’ иди передавать соответствующие силы размешать в этих соедин движений, не меняющие кине. и моменты через меха возможно. Схема гидравличе- силовыми элементами которого «л™ гидро- ского манипуля! р Эти гидроцилиндры вместе с со- цилиндры^приведена на^ д0П0ЛНИТельные связи в киие- мХчЗй схеме, причем количество звеньев, соответствующих од- ной степени подвижности, становится больше двух. Такие кинемати- ческие схемы называют схемами с ветвлением кинематическом цепи. Простота конструктивного решения схемы приводит к трудностям, связанным с расчетом управляющих сигналов для каждой степени подвижности. Далее будут рассмотрены проблемы, возникающие при математическом описании движения подобных механизмов. Мы рассмотрели только те движения, которые обеспечивают пере- нос объекта в рабочем пространстве, но его необходимо еще и ориен- тировать. Например, при дуговой сварке электрод, удерживаемый ро- ботом, должен быть перпендикулярен рабочей поверхности. В боль- шинстве известных конструкций перемещение и ориентацию объекта обеспечивают различные степени подвижности манипулятора, кото- рые подразделяют на переносные и ориентирующие соответственно. хаРактеРная к°мпоновка ориентирующих степеней под- движения гупа3аНа На РИС' ®ни обеспечивают три вращательных степеней полвиж каклон’ вРвЖние и качание. Чем ближе оси этих поднижностн расположены одна к другой „ к охвату, тем меньше возникает дополнительных по- Псней п°Дьижноеги схвата ступательных движений, сопутствующих ориентирующим, тем самым задача управ- ления сложным движением объекта упро- щается. Однако очевидно, что при такой ^Пон°вке ориентирующих степеней по- оси Т ° Ъекта относительно неподвижной масс СВазанн°й> например, с его центром МИ, ^ак И СПеЧИВаеТСЯ как ориентирующи- йся к И ПеРеноснь1ми степенями подвиж- сти манипулятора. 22
___IJ 2 Фуикчионам.нш описание роботопгехииче с к ой системы В ряде случаев степени подвижности не подразделяют на переносные и ориентирую- щие. Примером может служить схема мани- пулятора с избыточностью (см. рИС. В.4. О), обеспечивающая как ориентацию, так и пе- ремещение объекта. Другой характерный пример — манипуляционная конструкция, построенная по принципу платформы Стюар- та (рис. В.6.) Еще одна степень подвижности кинема- Рис. В.6. Плат форма Стюарта тической цепи манипулятора, пока не приня- тая нами во внимание, — это сам схват. За исключением случаев, когда захват предмета происходит немеханическим путем (электромагнит, вакуумные «присоски» и т.п.), схват представляет собой механизм, имеющий в наиболее простом случае две губки для зажима предмета. При необходимости схват может быть трехпалым или иметь большее количество пальцев. Схват в качестве степени подвижности манипулятора также необ- ходимо учитывать при подсчете суммарного числа степеней подвиж- ности. Так, для манипулятора, обеспечивающего произвольную ориен- тацию и перемещение объекта в рабочей зоне с учетом схвата, мини- мальное число степеней подвижности равно семи. В.2.2. Привод степени подвижности Движение в каждом сочленении манипулятора обеспечивается с помощью двигателей различного типа — электрических, гидравличе- ских (электрогидравлических) или пневматических. Двигатель обычно выполняют в виде модуля, включающего также механизм передачи движений (редуктор), датчики обратной связи (по- тенциометры, тахомашины, вращающиеся трансформаторы, цифровые датчики), сигналы с которых обрабатываются с помощью микропро- цессоров или аналоговых устройств, вырабатывающих управляющие воздействия на двигатель. Система управления, образованная этими устройствами, представляет собой привод степени подвижности ма- нипулятора. Управление приводом может быть реализовано как с обратной связью, так и без нее. Характерным примером второго случая является 23
Введение ___---------- „ ПНевмоцилиндр. Для высокоточных “„„.«горт»----„ми быть лмщт по положе, ды с обратной связью. 1 ? метров), по скорости (посредством (например, с помощью ^форматоров, цифровых датчиков), а тахомашин, врашаюш® двигателей поступательного переме- также по .моменту (по момен1у для двигателей постоянного тока шевия). Обратная по тока якоря, а д гидродвига- обычно осуществи л всег0 используют только некоторые ™еЙ связей Существует подход, основанный на последо- "*«»е«ех трех к»™»» «братий известив! как принцип подчиненного регулирования. Наряду с приводами, используемыми в других областях техники, в робототехнике широко применяют и новые, специальные типы приводов. К ним относится, в частности, так называемый электро- привод прямого управления, позволяющий непосредственно управ- лять силами и моментами, приложенными к нагрузке. Существуют также двигатели, построенные по принципу искусственной мышцы, длина которой изменяется в зависимости от приложенного сигнала управления. Нередко в одной манипуляционной конструкции совмещается не- сколько типов приводов. Например, степени подвижности, предназна- ченные для перемещений, могут быть снабжены гидроприводом, а сте- пени для малых ориентирующих перемещений — электроприводом, хват манипулятора независимо от схемы привода основной конст- рукции часто оснащают пневмоприводом. вижногги СИМОСГИ 01 тапа привода, используемого в степенях под- лятор, т.е. гс^ТТ’ М0ЖН° 0ТНести к ЭТОМУ ТИПУ и весь манипУ' Других манипумгорахЭЛеКТР°МеХаНИЧеСК0М’ электРогидравлическом К приводам манипулятоппп точности, надежности предъявляют высокие требования по 470 они работают в услов^2301^ ^ег^яиРования- При этом учитывают, меняется в шипоко^ К°ГДа нагРУзка7 приведенная к валу дви- мааипУлягора и изменениеДИапазоне за счет движения других звеньев Спе|®адьные конструктивны^0 Нагрузки* ® связи с этим применяют ^Г°П^0СЫ1 связанные с И спос°бы управления робота- в последующий^ пРиводами роботов, будут под-
В. 2 Функциональное описание робототехнической системы В.2.3, Исполнительная система Манипулятор можно рассматривать как систему управления, об- разованную приводами, раоотающими на общую механическую на- грузку , манипуляционный механизм. Входом этой системы является многокомпонентный сигнал, поступающий с устройства управления роботом, а выходом — треоуемое перемещение манипулятора и. соответственно, схвата с нагрузкой или рабочим инструментом. Та- кую систему называют исполнительной системой манипуляционного робота. Способ задания управляющих сигналов на исполнительную систе- му определяет тип системы управления роботом. В наиболее простом случае программа движения для каждого привода формируется в про- цессе его обучения и затем повторяется нужное число раз. В этом слу- чае говорят о жесткопрограммируемых роботах. Для простых робо- тов обычно используют приводы без обратной связи, выполненные с помощью пневхмо- (или гидро-) цилиндров, а также шаговых электро- двигателей. Здесь перемещение в каждом соединении манипулятора может быть задано с помощью программатора. Комбинируя команды программатора, можно приближенно задать сложную траекторию движения как совокупность точек, через которые должен пройти схват манипулятора. Такое управление называют позиционным управлением. Возможен более простой путь, когда движение манипулятора по каж- дой степени подвижности регулируется электрическими или механи- ческими ограничителями, — цикловое управление. Для высокоточных манипуляторов, в которых используются приводы с обратной связью, применяют более совершенные методы управления, предполагающие аппроксимацию траектории движения схвата — инструмента в виде непрерывной пространственной кривой с последующим ее отслежива- нием, — контурное управление. Такие способы основаны на использо- вании микропроцессорных управляющих устройств. В последнем слу- чае устройство управления должно включать в себя блок выпрямите- лей и силовых усилителей, обеспечивающих работу привода, а также микропроцессорные контроллеры приводов манипулятора. В.2.4. Система управления манипулятором Система уттряи пения манипулятором, как правило, имеет несколь- ко уровней, каждый из которых обслуживается собственной микро-
Введение „ т „ ua VnoRHe привода обеспечивается управ- процессорной системой, а , лвижение одной или нескольких ление двигателем, осуществляющим движение одно у"Рашяям "атпулято1’°”с "°- „шью “«Хмьиоге процессора организуется координированная ра- Z привод» манипулятора. При этом входной информацией являет- “траектория, т е. последовательность положений охвата „анипулято- па или связанного с ним объекта (инструмента, нагрузки). Если эта информация преобразуется в управляющие сигналы приводов предва- рительно и затем записывается в память управляющего устройства в виде программы работы приводов, то говорят о системе программного управления. Траекторию схвата можно задать двумя способами: путем непосред- ственного ее задания человеком-оператором в процессе обучения или с помощью планирования движения на более высоком уровне управления, в том числе с использованием методов искусственного интеллекта. Существуют методы обучения в процессе функционирования робота (on-line по англоязычной классификации) и вне его (off-line). Приме- ром первого случая является окрасочный робот, обучаемый с помощью «пилота» — второго манипулятора, имеющего такую же кинематиче- скую схему, но облегченного и лишенного двигателей, которые заме- нены системой статической разгрузки. Во втором случае движение ро- бота моделируется на экране дисплея в трехмерном пространстве с учетом имеющихся ограничений в рабочей зоне. Оператор задает тре- буемое движение на экране, после чего оно записывается в память управляющего устройства и используется для расчета программы для каждого из приводов. На уровне планирования движений предполагаются известными цель движения и описание рабочей сцены. Устройство управления, р шающее задачи этого уровня, должно спланировать движение таким р ом, что ы из заданного начального положения обеспечить дос- тажение цели манипулятором и выполнить дополнительные условия На еГ0 перемещение. Например, чтобы манипулятор не рХчей “ПнРИТ°ВеНИе НИ С °ДНИМ И3 пРепятствий, имеющихся на вдствий ми 3аДаЧа ЯВЖеТСЯ Д0В0ЛЬН° сложной> если таких пре- И™ СЛ°ЖеН °бЪекТ работы’ в частности, если он мый охватом инс™°Л0СТИ’ Д° КОТОрЬ1Х должен Добраться удерживае- "юж vABdroM инструмент. * 26
системы В системах управления в реальном времени траекторию (в общем случае - перемещение и текущую ориентацию схвата) задают в про- цессе выполнения операции. Если это делает человек-оператор то та- кую систему называют полуавтоматической-, человек задает только движение схвата, не заботясь о движении каждого из приводов мани- пулятора, закон управления для котор<?го рассчитывает управляющее устройство. Полуавтоматические системы широко применяют при управлении роботами в экстремальных условиях, когда человек нахо- дится на расстоянии и задает сигналы управления либо наблюдая про- цесс непосредственно, либо с помощью телевизионного монитора. По- луавтоматические системы можно использовать и для обучения про- мышленных роботов в режиме on-line. Например, перед дуговой свар- кой электрод проводят (без включения дуги) вдоль сварного шва. По- лученную информацию используют в системе программного управле- ния сварочным роботом. Во многих случаях движение робота нельзя полностью запрограм- мировать заранее. Примером может служить операция сборки. При неточной подаче деталей операция, осуществляемая по жесткой про- грамме, не будет выполнена. Кроме того, детали могут быть бракован- ными или неточно установленными на сборочном столе. Определить, в каком месте фактически находится деталь и выполнены ли необходи- мые для сборки условия, можно с помощью системы технического зрения. Под этим понятием подразумевают совокупность датчиков ви- зуальной информации (телекамеры, фотоматрицы и средства обработ- ки сигналов этих датчиков). В свою очередь средства обработки сигна- лов подразделяют на аппаратные (схемы обработки сигналов с помо- щью электронной аппаратуры) и программные (алгоритмы обработки). К задачам обработки сигналов относятся, например, выделение конту- ра предмета, анализ связности последнего, вычисление центра масс, распознавание предмета по характерным признакам. Сигналы системы технического зрения используют для коррекции траектории движения робота либо для ее вычисления. Таким образом, возникает еще один контур управления, внешний по отношению к манипулятору. Этот контур системы управления роботом обеспечивает приспособление робота к изменяющимся условиям работы. Такую систему управления можно отнести к уровню адаптивного управления. Использование системы технического зрения не всегда достаточно для решения манипуляционных задач, в том числе задач с орки, ак, 27
при „и л-ей „Ти »" р”=: заданные значения и ®*ор и1111Ю11ию. Чтобы избежать этого, кь» у— XZe ебоД “₽»" " “0МЯ™' ЖЙСТВУК’- ^еоЛ“Ор°нь' С6°РЯ* Zm"poZ управляющие еигиалы, поступающие на „апиоуплтор. к°™й обеспечивает выполнение сборочной операпип. Эту задачу можно решить с помощью »•»» «о.чеишиого очу«™снп». включающей в себя многомерные датчики сил и моментов (обычно с использованием тензометрических элементов) и аппаратно- программный комплекс для обработки сигналов с этих датчиков. Сис- тема силомоментного очувствления также придает адаптивные свойст- ва системе управления роботом, поскольку и в этом случае возникает внешний контур управления манипулятором в процессе сборки. Сило- моментное очувствление необходимо и во многих других случаях при использовании роботов для выполнения технологических операций. Например, при фрезеровании поверхности необходимо с большой точ- ностью обеспечивать силу прижима инструмента к поверхности и силу резания в касательной плоскости. Среди других типов адаптивных систем управления роботами на- зовем системы, оснащенные ультразвуковым локатором, который используется для сканирования сцены и получения ее рельефа, а также для организации самонаведения схвата манипулятора на выбранный предмет. Важную роль при выполнении сварки по контуру играют ла- зерные дальномеры, позволяющие точно контролировать взаимное положение электрода и свариваемого шва. Каждая из систем адаптивного управления роботом может рабо- тать автономно, например, могут быть роботы, оснащенные только стемой технического зрения, или роботы с силомоментным очувст- ением. днако усложнение робототехнических задач и повышение й ВанИИ к —У их выполнения и надежности робототехниче- ния “ приводит к необходимости одновременного использова- СеНСОрНЫХ систем- Так’ в схвате манипуляторов приме- ZLSZ : типа для определения взаимного положе- а ТаКЖе ДаТЧИКИ проскальзывания захва- пользуют датчики с.и ° °₽Ке’ монтажных работах одновременно не- ния. При дуговой сварке^—очувствления и технического зре- Р щупы, оснащенные тензометрическими
датчиками, или „ааерные дальиомерь,. Поэтому „ро6лема адаитиии™ систем состоит „е только в том. чтобы построить и р" совать алгоритмы адаптивного управления, „о и в том. чтобы сопоста- вить сигналы датчиков различного типа, получить интегральное «представление» об изменениях на рабочей сцене, которое и служит основой для коррекции движения. Решение задач анализа сцены и формирования модели внешнего мира выводит нас на еще более высокий уровень систем управления манипуляционными роботами: уровень интеллектуальных систем реального времени, на котором предполагается решение в реальном масштабе времени задач, относящихся к задачам искусственного ин- теллекта. Кроме задачи формирования модели внешнего мира к ним относятся задачи обработки изображения и распознавания образов, планирования действий с учетом поставленной задачи, особенностей рабочей сцены и собственных возможностей робота. В частности, пла- нирование сложных технологических операций, выполняемых робо- том, например таких, как процесс сборки объекта, состоящего из не- скольких деталей. Уровень, при котором задача считается относящейся к области искусственного интеллекта, постоянно повышается в про- цессе развития техники. Поэтому трудно провести четкую грань между адаптивными и интеллектуальными робототехническими системами. В системе управления манипулятором могут быть реализованы специальные алгоритмы управления, целесообразность которых опре- деляется назначением системы. Так, получили развитие самонастраи- вающиеся системы управления позволяющие обеспечить заданное ка- чество процессов управления независимо от переменной нагрузки ма- нипулятора, что особенно важно для большей грузоподъемности ма- нипуляторов, при движении которых сказывается взаимное динамиче- ское влияние звеньев. Для организации самонастройки можно исполь- зовать сигналы датчиков внутренней информации, однако можно при- менять и датчики внешней информации. Например, для организации самонастройки манипулятора при переменной массе полезной нагруз- ки в запястье манипулятора устанавливают датчик сил. Динамику движения манипулятора учитывают и в ряде других подходов к управлению манипуляторами, в том числе основанных на решении обратной задачи динамики, т.е. на вычислении сил и момен- тов, необходимых для выполнения заданного движения с нужными характеристиками. Иногда все подобные подходы объединяют понятием «динамическое управление» (см. далее гл. 8). 29
DtjiZfJ&nui- в.3. задач, управления робототехническими комплексами „.пененного привода™ роботы, как правило В ечьГГёди. ую робототехнологическую систему, содержащую включены в единую и ~„„аипР технологическое оборудование, помимо роботов автоматизир составляют робототехно- Например. роботы, показанные включающий также поворотный »гуг входить станки, робокары, авто- стол и кон Р технологическое оборудование. ^Гус^ойства, имея свои средства управления, включают информа- ционные датчики. Все они должны быть увязаны в единую систему управления РТК вместе с системой управления роботов. Технически это осуществляется с помощью специального управляющего устройст- ва. преобразующего сигналы информации о состоянии системы в сиг- налы управления. В качестве такого устройства (контроллера) может быть использована и универсальная ПЭВМ, позволяющая оперативно осуществлять переналадку комплекса под заданный технологический процесс. Датчики сил и моментов Po8omNB1 технического РоЪокар£НиЯ Конвейер РодогпН°2 Поворотный стол Система управления poboma№2 Контроллер Система управления роЬотаН°1 Рис. В.7. РТК сборки Задача управления РТК несомненно более специфична по сравне- нию с задачей управления роботом. Прежде всего, для ее решения ис- пользуют другие математические модели, относящиеся к области дис- кретной математики. При этом описывают дискретное множество воз- можных состояний, в которых могут находиться элементы системы, а 30
—симплексами также условия перехода между этими состояниями к элементы РТК моделируют как конечные автоматы ' т! °бра30М’ ключением и роботы. Их состояния____Э1О пп . ' Не являются ис‘ технологией операции на различных ста-ш™ ложения’ определяемые ЧНЬ1Х стадиях ее выполнения наппимеп в моменты захвата детали, начала сборки и окончания сборки Дис кретныи характер могут иметь и сигналы информационных датчиков- наличие или отсутствие детали в схвате, правильность ее положения и ориентации. Совокупность дискретных состояний системы и перехо- дов между ними можно представить как сеть конечных автоматов ко- торая соответствует математическому описанию роботизированной технологической операции в РТК. Поскольку эта сеть обычно имеет большое количество элементов, решение задачи о планировании или о коррекции операции «вручную» практически невозможно. Задача за- ключается в применении методов автоматического планирования опе- раций на таких сетях. Систему РТК можно рассматривать как подсистему гибкой произ- водственной системы (ТПС). представляющей собой технологический участок или технологическую линию, включающую в себя РТК. В та- кую линию может входить и другое технологическое оборудование — обрабатывающие центры, станки, устройства технологического кон- троля. В свою очередь ТПС могут составить базу для автоматизиро- ванного производства, включающего также автоматизированные скла- ды заготовок, инструмента и готовой продукции, средства доставки, обслуживания, ремонта и т.д. Задачи управления производством, одна- ко, имеют свою специфику и методологию. Поэтому здесь они не рас- сматриваются. Поскольку вопросы дискретной математики не всегда включают в общеинженерные программы, далее в гл. 9 будут даны основные све- дения из теории конечных автоматов и сетей Петри, которые исполь- зуются для построения системы управления гибким роботизированным модулям. Итак, мы определили ряд задач управления в робототехнических системах. Связь между ними осуществляют по иерархическому прин- ципу построения робототехнических систем, заключающемуся в том, что каждая из систем является подсистемой для системы более высокого Уровня. Каждый уровень управления соответствует определенному типу системы: 1 — автоматизированное производство, 2 ги кая произвол ственная система; 3 — робототехнологический комплекс; 4 — адаптив- ная робототехническая система; 5 система управления промышл 31
Введение Тпм ШРГ 6 - исполнительная система ПР; 7 - приводы ПР. Г,^уровне» три - четвертый,пятый и шестой - и будут основ- ным предметом рассмотрения в этой кише. В.4. Взаимодействие робота с человеком-оператором На всех без исключения уровнях управления происходит взаимо- действие робота с человеком-оператором. Однако цели и формы этого взаимодействия различны. Манипуляционные системы можно разбить на две большие группы. К первой относятся системы, которые после обучения определенное время работают автономно, т.е. без участия оператора. Таковы практически все промышленные робототехнические системы, задача которых состоит в повышении качества производства и его производительности за счет автоматизации труда рабочего. Их называют автономными робототехническими системами. На исполнительном уровне оператор выполняет функции предва- рительного обучения робота движению либо функции управления схватом в реальном времени (в полуавтоматических системах). На уровне адаптивной системы управления работа оператора за- канчивается до начала функционирования системы. Оператор должен предусмотреть возможные варианты изменения условий работы, уста- новить соответствующие датчики и составить алгоритмы адаптации, которые позволяют работать системе автоматически в рамках приня- тых допущений. В процессе выполнения технологических операций оператор ограничивается лишь заданием целей операции класса объек- тов манипулирования и контролем за работой системы. Во вторую группу входят системы, в которых допускается непо- средственное участие человека в управлении роботом. Как правило, такие системы могут работать и автономно, однако управление может быть передано оператору в тех случаях, когда не определены условия р оты, необходима текущая коррекция движений, сопровождаемая ализом ситуации, и, наконец, когда требуется профессиональный и ненный опыт человека. Такие системы называют эргатическими __ веко машинными) манипуляционными системами, К их числу вмсс-гы* СЙСТеМЫ дастанционного управления для выполнения работ пии мальных Условиях’ в том числе в условиях повышенной радиа- толккп ^ЫТ0М космосе> под водой. Подобные системы используют не силу сложности ситуации, но и по экономическим соображе-
В 4. Вчаимооейстпие pofJfMn , ------------------------ НИЯМ, поскольку применение интеллектуальных систем нии технологических процессов часто является автоматта- ШИМ. Дистанционно управляемые оиеразором^истГ™ ДОрогостоя- горнодобывающей промышленности, при выполнении ПрИМеняют в оТделочных работ, в яесодобывающей промьтигт^н^н^сти^Системы^ко’ пирующего управления и полуавтоматические системы применяют” X промышленных роботов в режиме обучения. Для эргатическихТист^ управляемых оператором в рабочем режиме, предусматриваются спеш альные устройства и подсистемы, облегчающие взаимодействие с опеТа’ тором. Это эргономичные (удобные для человека, соответствующие его психофизиологическим характеристикам) многостепеннные рукоятки управления, пульты управления, позволяющие оператору легко получить необходимую информацию о движении и других характеристиках робо- та. В эргатических системах информация с соответствующих датчиков поступает не только в устройство управления, но и на пульт оператора, который имеет возможность наблюдать происходящее на рабочей сцене, на экране монитора или графического дисплея. Поскольку возможности зрительного канала у человека ограниче- ны, в полуавтоматических и копирующих системах предусматривают- ся и возможности силомоментного очувствления. Для этого в шарни- рах управляющего устройства (копирующего типа или многостепенной рукоятки) устанавливают микродвигатели, развивающие силы и мо- менты, воспринимаемые рукой человека. Формируя их в зависимости от сил и моментов, реально действующих на манипулятор в рабочей зоне, можно создать эффект присутствия у оператора и существенно повысить эффективность его работы. Полуавтоматические и копи рующие системы с отображением оператору в сенсорной форме формации о силах и моментах называют системами двустороннего Значительно расширяются возможности оператора пргi р интеллектуальными робототехническими СИС^“руги"еРоператоров- использовать свой собственный опыт и побота, ис- экспертов при предварительном планировании ^™ег0. Эксперты пользуя программно-аппаратное обеспечени внешнего могут быть привлечены также к решени распознавания об- мира в случае неопределенности, а также й систеМе интел- Разов. В этом случае можно говорить о ЯекгпУалъных роботов. 33
Введение ппинять и непосредственное участие в управле- Операторможе р возможности интеллектуальной системы нни Роб°™^ И ь текущие цели, воспринимать сообще- ГиГХивной = Управления манипулятором и корректировать в зависимости от них собственные действия для достижения конечной цели управления. В свою очередь, интеллектуальная система анализи- X действия оператора и предотвращает ошибки, обусловленные «человеческим фактором». Такую систему принято называть интерак- тивной робототехнической системой. Уровень управления РТК также относится в силу применяемых методов к интеллектуальным системам. Роботы на этом уровне выпол- няют функции автоматов с конечным числом состояний, действия ко- торых зависят не только от заданной программы, но и, благодаря сис- теме адаптации, от текущей ситуации в рабочем пространстве. Роль эксперта, знания которого используются при выборе наиболее целесо- образного алгоритма функционирования РТК в условиях реального производства, переходит к технологу, ответственному за выполнение комплекса технологических операций. Эффективность интеллектуальных систем существенно зависит от аппаратных и программных средств, используемых для организации взаимодействия человека и робота, которые образуют человеко- машинный интерфейс робототехнической системы. Его аппаратная часть должна позволять оператору использовать речевые команды, воспринимать не только визуальную, но и звуковую и сенсорную ин- формацию. Программные средства должны обеспечивать возможность общения с роботом, в том числе с помощью пространственно- временных отношений, естественных для человека (дальше, ближе, находиться под или над, быстрее или медленнее и т.п.). При этом рабо- та человека с интеллектуальными системами по сравнению с полуав- томатическими облегчается не только за счет усложнения системы, но и за счет упрощения процедуры обучения робота. ГПАи2Р°бЛеМа взаимодействия человека и робота сохранится и в пер- его мппа? ПОСКОЛЬКу -овек будет вынужден управлять роботом или котовом Лгп?* В° ВСЯК0М на этапе обучения. Однако уровень, на ZX ЗАТСХ0ДИТ ТаКОе вз«ейс™ие, будет постоянно повы- робототехничег^С“ВеРШеНСТВОВаНИЯ человеко'машинного интерфейса !ехни°Хй час СИСТСМЫ’ учитьц«го не только возможности технической части, но и возможности человека-оператора. 34
1. ОСНОВНЫЕ КИНЕМАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В первых четырех главах книги рассмотрены кинематические соот- ношения, описывающие манипуляционный механизм, а также способы управления, основанные на их использовании. Как известно, кинема- тика это раздел механики, в котором изучается движение тел без учета сил и моментов, вызывающих это движение. Манипулятор при этом описывается как кинематическая цепь, т.е. как совокупность по- следовательно соединенных тел. образующих кинематические пары. Глава 1 посвящена описанию положения манипулятора, определе- нию связанных с ним систем координат, а также установлению связи между положением звеньев и положением конечного элемента кинема- тической цепи — схвата манипулятора. 1.1. Манипулятор как механическая система Манипулятором называют разомкнутую механическую систему (цепь), состоящую из твердых тел, которые последовательно соединены между собой при помощи шарниров и образуют кинематические пары пятого класса. Каждое из составляющих манипулятор твердых тел назы- вают звеном. Такая цепь имеет два конца, один из которых называют основанием, а другой — схватом (рис. 1.1). Звенья и сочленения нуме- руют от основания (ему присваивают нулевой номер) к схвату. Сделаем несколько замечаний относительно приведенного опреде- ления манипулятора. 1. В данной книге будем рассматривать только разомкнутые меха- нические системы, исключая таким образом замкнутые системы типа велосипедных цепей (рис. 1.2). Это вызвано тем, что манипулятор з* 35
/. Основные кинеманпмеские сооптошепи^ ^пчлриряпр 1 Соч/ishshug 2 должен иметь свободный ко- нец (схват), предназначенный для проведения различных технологических операций (манипулирование с объекта- ми внешней среды). Следует, правда, заметить, что могут возникнуть такие ситуации, когда манипулятор вместе с объектом манипулирования Рис. 1.1. Простая разомкнутая кинематическая цепь замкнутую КИНема- тическую цепь, например во время открывания манипулятором двери в комнату, к полу которой он прикреплен. В этом случае анализ подобных операций существенно усложняется (это касается в основном динамического анализа). 2. В основном будем исследовать манипуляторы с последовательно соединенными звеньями, несмотря на то, что существуют механиче- ские системы с гораздо более сложной топологией. Среди манипулято- ров можно выделить, например, механизмы с подвижными противове- сами, наличие которых приводит к тому, что кинематическая схема становится ветвящейся (рис. 1.3). Рис. 1.2. Замкнутая кинематическая цепь рис. 1.3. Ветвящаяся кинематическая цепь 3.Чтобы сохранить общепринятую в робототехнике терминоло- гию, будем нумеровать звенья манипулятора, начиная с нуля. В ча- манипулятор называют трехзвенным, если он имеет три ствитепкЬ1Х ЗВена после закрепления его, например, на полу. В дей- являетсяТСТИ У НеГ° ЧетыРе звена> ОДНО из которых (нулевое) является основанием и служит для закрепления манипулятора. Это 36
как механическая система основание чаще всею неподвижно (например, для промышленных ро- ботов), ио его можно рассматривать и как подвижное (например, если манипуляюр крепится к космическому либо к подводному кораблю, т.е. в тех случаях, когда силы и моменты, действующие на основание, столь велики, что манипулятор будет перемещаться относительно не- которой инерциальной системы координат). 4. Согласно определению, звенья манипулятора представляют со- бой твердые тела, однако во многих приложениях это условие не вы- полняется. Например, существуют задачи, в которых соотношения ме- жду жесткостью звена и силовыми факторами, действующими на него, таковы, что звено следует рассматривать как гибкое. Однако эти зада- чи выходят за рамки книги. Обсудим теперь вопрос, связанный со способом соединения звеньев. В соответствии с определением звенья манипулятора образуют кине- матические пары пятого класса. Известно, что свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы, т.е. его положение можно задать шестью независимыми параметрами и2. .... z/6 (в данном случае не учиты- вается геометрическая интерпретация этих параметров). Принадлеж- ность к пятому классу означает, что на относительное движение звеньев, составляющих кинематическую пару, накладывается пять независимых условий, которые можно представить в виде .... w6) = 0, z=l, 2, ..., 5. Тогда число независимых параметров, определяющих относитель- ное положение звеньев, становится равным 1 (6-5 = 1). Существует два вида сочленений, оставляющих звеньям одну степень свободы в относительном движении, — это вращательные и поступательные (те- лескопические) шарниры (рис. 1.4. я, б). Таким образом, естественно задать положение одного звена относительно другого углом относи- тельного поворота для вращательного сочленения и относительным смещением для телескопического сочленения. Ясно, что набор этих параметров, с одной стороны, однозначно определяет конфигурацию манипулятора, а с другой — является минимальным и независимым, а следовательно, его элементы можно отождествлять с обобщенными координатами. Таким образом, для //-степенного манипулятора с ки нематическими парами пятого класса вектором обобщенных коорди нат q называют вектор Q — ((71 ’ Я2 ’ • • • ’ ’ 37
I, Основные кипыитические соотношу-------------------- компонента которого ««. огненной координатой „ представляет собой либо угол поворота, либо перемещение о ,ве„а синельно (, -1 )-го звона (напомним, л го нуле,в,м .веном является „ие>. Это определение, несмотря на то нто оно « конструкт,,.,- “о поскольку не позволяет построить обобщенные координать, для данного манипулятора, является важным. //инейное перемещение Вращение 5 а Рис. 1.4. Основные типы сочленений: а — телескопический шарнир; б — вращательный шарнир Пример 1.1. Рассмотрим манипулятор, разработанный в Стэн- фордском университете (рис. 1.5). Манипулятор имеет семь звеньев и шесть степеней подвижности. В качестве вектора обобщенных коор- динат выбираем следующий: 9 = ?2> <h)> где q2, qA, q5, qb —углы относительного поворота звеньев, a d-. — относительное смещение. 1.2. Преобразование координат Преобразование координат является, пожалуй, одной из основных проблем, возникающих при кинематическом анализе манипулятора [45]. Как будет перемещаться схват манипулятора, если его звенья движутся в соответствии с некоторым законом, каковы должны быть скорости звеньев, чтобы обеспечить заданную скорость схвата, — эти и другие аналогичные вопросы часто возникают при разработке систем управле- ния роботов. Ясно, что они связаны с преобразованием координат. 38
......—.—!. -^Р^Р^ание коороинат Рис. 1.5. Стэнфордский манипулятор 1.2.1. Преобразования вращения и переноса Пусть имеются две системы координат: 0}XYZ и O2UVW (рис. 1.6). Здесь и далее будем считать , что система координат ортогональная и правосторонняя. Зададим в пространстве точку М, проведем в нее два вектора г и р . Предположим, что координаты точки М в системе коор- динат O2UVW (т.е. координаты вектора р) известны: р - (и. V, И')Т. (Ы) Определим координаты точки М в системе координат OxXYZ (т.е. коор- динаты вектора г): г = (х, у, z)T. Л2) Для вычисления координат искомого вектора выполним следующие операции над вектором р: r = Rp + p, (1.3) где R — матрица 3 х 3, а р — вектор 3x1. 39
Рис. 1.6. К определению координат точки Л/ в системе координат О XYZ, если ее координаты заданы в системе координат O2Ul И Рис. 1.7. Определение коор- динат точки М в системах координат с общим началом Матрицу R называют матрицей поворота, а вектор р — вектором переноса. Формула (1.3) является очевидной, если заметить, что компоненты вектора 7?р представляют собой координаты той же точки М в системе O1XrY’Zl, оси которой параллельны соответ- ствующим осям системы 0}XYZ, а координа- ты начала системы O.XY'Z' заданы в системе 0}XYZ вектором р. Рассмотрим подробно структуру матрицы поворота R. Пусть начала введенных систем координат совпадают (рис. 1.7), тогда имеем г = 7?р. (1-4) Рис. 1.8. Ортогональное преобразование Вообще говоря, любая матрица R преобра- зует вектор р в вектор г, заданный в той же системе координат. Эту матрицу называют матрицей линейного преобразования. Рассмот- рим только такие линейные преобразования, в результате которых все векторы г получены путем вращения вектора р вокруг некоторой оси на некоторый угол (р (рис. 1.8); это экви- валентно повороту системы координат OUVW совместно с точкой М, которую определяет вектор р. Такие линейные преобразования на- зывают ортогональными преобразованиями, а 40
/ 2 Преобразование координат соо1ие’1С1вукмиие матрицы R - мат ваний. или ортогональными матрицаии^1* °P'(Of опальных преобразо- 1.сли R орки опальная матоипи тм 't- отношение: ’ ' J5f нее верно следующее со R'R^RR' = Е. (1.5) где Е —-единичная матрица. Из формулы (1.5) следуют два свойства матриц поворота: R] = (1.6) т.е. обратная матрица совпадает с транспонированной, и (det R)~ = 1 или (для правосторонней системы координат) det R = 1. (1.7) Столбцы матрицы поворота обозначим и,. т.е. R = (и]? и,. и-}. Принимая в выражении (1.4) в качестве р последовательно орты сис- темы координат ОС/РЖ т.е. р, = (1, 0, 0)т, Р: = (0. 1. 0)т. Р? = (0, 0.1)т. получаем, что векторы г2, г-. являющиеся образами р,. р:. р - . г, = /?Р,- совпадают с векторам!, «,. Отсюда вытекают Элемента! каждого сгодбпа ^*^”ne. бой компоненты проекции каждог р мы OXYZ. матрицы поворота представляют со- 2. Элементы каждой стро Р OXYZ на оси системы бой компоненты проекции каждого орт 0UVW- Рняе становится очевидным, если принять во Последнее утверждение становии- внимание выражение (1-6). птлптя если система OUVW полу- Пример 1.2. Найти матрицу поворота, чена из системы OXXZ путем ее вращен вокруг оси X на 90° (рис. 1.9, вокруг оси Y на 30° (рис. 1.9, б), вокруг оси Z на 180° (рис. 1-9, в . 41
Рис. 1.9. Элементарные повороты вокруг осей координат: а — ОХ на 90°; б — OY на 30°; в — OZ на 180° Решение. В соответствии с рис. 1.9, а находим координаты проекций ортов и, v, w на оси системы координат OXYZ\ проекция и на OXYZ = (1, 0, 0)т; проекция v на OXYZ - (0, 0, -1) проекция w на OXYZ = (0, 1, 0)т, и строим матрицу Rx 90о: 5 о R о о 0 0 Нетрудно проверить, что detAx 90о =1. Кроме того, строки Rx 90° представляют собой проекции ортов х, j, z на OUVW. Аналогично на- ходим матрицы Ry чп. р Лгд80' О (см. рис. 1.9, б, в): ^У,30° о о о Z.180” о о . о о 42
1.2. Преобразование координат Пример 1.3. В системе координат OUVW (см. рис. 1.9, а) точка имеет координаты (1.1, 1). Найти ее координаты в системе OXYZ Решение. Используя матрицу поворота Rх w, получаем (О о о -1 Таким образом, в системе OXYZ точка Р имеет координаты О 1.2.2. Элементарные и сложные вращения Под элементарными вращениями понимают повороты системы координат вокруг собственных осей. Найдем матрицы поворота для элементарных вращений. Выполняя действия, аналогичные проводи- мым в примере 1.1, и вводя обозначения, которыми будем пользовать- ся и в дальнейшем: sincp = ^, со5(р = сф, (1.8) получаем (1.9) (1-10) ф о Z, (р ф 'ф о о о Задача, которую мы будем решать далее, заключается в том, ’ вращая систему координат OATZ, совместить ее с сист®^_ овмеше. Часто бывает так, что одним элементарным вращением эт по ния двух систем координат добиться не удается некоторую каким-либо соображениям), и тогда необходимо совершить некоторую 43
________________/ Основные кинематические соотношения последовательность элементарных поворотов. Нас будет интересовать, как выглядит в этом случае матрица поворота. Пусть для совмещения систем координат OX}'Z и OUVW необхо- димо выполнить некоторую последовательность конечных поворотов (на рис. 1.10 начала систем координат для удобства изображены не совпадающими, в действительности же они находятся в одной точке): OXYZ = ОХ0) о Zo —ОХ, Г, Z, + ОХ2 Г, Z2 > ... ... -O^0xnYnzH = ouvw. (1.12) Рис. 1.10. Последовательность поворотов, преобразующих систему координат OXYZ в систему координат OUkW; R,, R2, Rn —матрицы элементарных поворотов Введем вектор ри задающий положение точки Р в системе коорди- нат OX}Y}Zr Зная матрицы поворота Я, для каждого преобразования Р, =^+1Р/+1, (1.13) получаем результирующую матрицу поворота, используя соотношение Г = Лр, где р = р„ вектор, задающий положение точки в системе координат OUVW‘, г - р0 — вектор, задающий искомое положение точки в сис- теме координат OXYZ. Используя выражение (1.13), нетрудно найти г = р0 =^1?2...7?нрн = Яр, где * = — (I-14) матрица сложного вращения, 44
1.2. Преобрдщвание координат Cool ношение (1.14) решает задачу. Следуе! ооратигь внимание на то. что при изменении последова- тельности поворотов получают разные выражения для результирую- щей матрицы поворота в силу некоммутативное™ операции перемно- жения матриц в выражении (1.13). 1,2.3. Типовые вращения. Углы Эйлера Существуют различные способы совмещения произвольным обра- зом расположенных систем координат OXYZ и OU IW. В качестве ил- люстрации описанных вращений рассмотрим два основных способа: три последовательных элементарных поворота (преобразование Эйле- ра) и поворот вокруг произвольного вектора. Преобразования Эйлера (углы Эйлера). Пусть для совмещения систем координат OXYZ и OUIXY необходимо выполнить в соответст- вии с (1.12) такую последовательность поворотов (рис. 1.11). 1. Поворот системы координат OXYZ вокруг оси Z на угол <р (по- лучим систему координат OX}YxZ}, Z} - Z ). Рис. 1.11. Углы Эйлера 2. Поворот системы координат OXJ\Zt вокруг Y, на угол 6 (по лучим систему координат OJV2?2Z2, Y2 - J- , J 1 /iv v 7 rokdvt Z. на угол ц/ (по 3. Поворот системы координат О 2 ? 2 % лучим систему координат OX3Y3Z3 — OUVW, 3 45
/. Основные кинематические соотношения Тогда результирующую матрицу поворота запишем в виде e V = Euler(cp, 0, у) = Rz. lfR}-.aRz. v = Поворот вокруг произвольной оси. Пусть для совмещения систем координат OXYZ и OUVW необходимо повернуть систему координат OXYZ вокруг вектора п на угол 5 (рис. 1.12). Будем считать, что вектор п единичный и задан проекциями на оси системы координат OXYZ-. (1.16) И (Cj, С2 . съ) . Рис. 1.12. Преобразование системы координат OXYZ в OUVW путем ее вращения вокруг вектора п на угол 5 Матрица любого ортогонального преобразования R = {r^} (т.е. матрица, удовлетворяющая условию (1.5)) поворачивает радиус-вектор каждой точки пространства на угол 8 вокруг вектора и, при этом угол поворота и направляющие косинусы (см. (1.16)) можно найти, исполь- зуя следующие выражения: cos8 = ^(trA-l) = |(r„ + r22 +r33 -1), 46
Преобразование координат с = ---2L с = _1з_г21 - г 2sin8 “ 2sm8’C3“^—у* 0-^) Наоборот, если заданы 5 и и, то матрица поворота имеет вид О а, л - Rot(5, л) = cos5 О о о 2 2 э О э -с2 . (1.18) О , Напомним одну из теорем механики, а именно теорему Шаля, со- гласно которой всякое перемещение свободного твердого тела из одно- го положения в другое можно осуществить путем его поступательного движения вместе с произвольно выбранным полюсом и поворота во- круг некоторой оси, проходящей через этот полюс. В рамках рассматриваемых в данной главе задач это означает, что совмещение двух любых систем координат можно осуществить путем переноса и последующего вращения одной из них вокруг некоторого вектора (см. (1.17) и (1.18)). Пример 1.4. Найти параметры поворота (т.е. угол и вектор пово- рота), задаваемого матрицей (1.9). Решение. В соответствии с выражением (1.17) имеем cos 8 = - (1 + COS ф + COS ф -1) = cos ф , 2 Ci =1; с2 =с3 = 0. Найденные с,, с2, с3 соответствуют орту i (т.е. единичному вектору, направленному вдоль оси А). 1.2.4. Сложные преобразования Пусть для совмещения абсолютной и подвижной систем координ в силу каких-либо причин необходимо совершить последователь нс только поворотов, но и переносов (рис. 1.13). OXYZ = O0X0Y0Z0 —^O^^Zo — 47
/. Основные кинематические соотношения (1.19) Рис. 1.13. Преобразование системы координат OXYZ в OUVW путем последовательных переносов ( р, ) и вращений (Я,) В последовательности преобразований (1.19) pi — векторы пере- носов заданы в системе координат X^Y^Z^, а — матрица по- ворота, определяет переход от системы координат OiXiYjZi к системе координат О^Х ^Y^Z^ (последнее верно, поскольку T/.jZ'-j и О,Х ^Y^Z^ имеют параллельные оси). В соответствии с (1.3) имеем Р/ = Л,+1Р,+1 + Рм О-20) Тогда, используя соотношение (1.20), нетрудно получить г = р0 = R} (R2 ... Rn2(Rn_}(д,ря + />„) + p„_}) + p„_2)+...+ p2) + = = Rp„+P, (1.21) где R — суммарная матрица поворота; p — вектор переноса: Я = (1-22) Р = Pi + R}p2 + R}R2p3 + ... + R}R2 ... Rtj_]Pn. (1.23) 1.3. Однородные координаты и преобразования 1.3.1. Однородные координаты и векторы В робототехнике широко используют аппарат однородных преоб- разований для описания вращений и переносов, т.е. тех движений, ко- 48
I 3 ОонороОные коороинаты и преобразования ,скакпся сочленениями манипулятора [60]. Однако, прежде сорые д01/ непосредственно к однородным преобразованиям, обсу- чеМ пере звестных подходов для решения этой задачи. дцМ РяД „.гптооая точка М в декартовом пространстве имеет коор- TlvCTb нс К I „ 1 У h с) Тогда соответствующий ей вектор р можно предела- динаты («, °’ вить в виде р~(а, Ь, с)1. Однородными коороинатами ~ггг^ тами (а, Ь, с) называют четверку чисел Г™ ° ливы следующие соотношения- *’ Л '' декартовыми координа- м). такую, что справе д- х - aw, у = bw, z = си<’: .V + у2 +2^ + И’2 ^0, Очевидно что однородные координаты определены неоднозначно- е,СЛИт к’ з Ь’ d одн°Р°дные координаты некоторой точки, то Ха, U, Ac, kd однородные координаты той же точки (/. * 0) Таким образом, каждой точке декартова пространства можно поставить в соот ветствие четверку чисел, являющихся ее однородными координатами. Обратное, вообще говоря, неверно, если не исключить случай и- = 0 Пример 1.5. Найти однородные координаты точек со следую- щими координатами: 1 .(0, О, 0). 2 . (1,1,1). 3 .(5, 0,0). Решение. Очевидно, что однородные координаты будут иметь вид 1. (0, 0, 0, w), где и' Ф 0 — произвольный параметр. 2. (w, w ,w, w), и’ Ф 0 . 3. (5w, 0, 0, w), w ф 0 . Пример 1.6. Найти декартовы координаты точек, заданнь однородными координатами: Ь (5,6,10, 2). 2- (1,1, 0,3). 3. (2w, 5w, 6w, w). Решение. Декартовы координаты 1-(5/2,3,5). 2-( 1/3,1/3,0). 4 - 1488 точек имеют следу» иш ий вид: 49
7. Основные кинематические соотношения 3. (2, 5, 6), w * 0. Если w = О, то соответствующей точки не суще- ствует. Если в представлении, использующем однородные координаты, выбрать w = 1, то координаты (#, с) соответствуют (я, с, 1). Можно считать, что однородные координаты вида (а, Ь, с, 0) имеет точка в декартовом пространстве, бесконечно удаленная в направлении вектора р = (н, Ь, с) .Тогда для однородных ортов получаем следую- щее соответствие: (1,0, 0, 0) — бесконечно удаленная точка в направлении оси X; (0, 1, 0, 0) — бесконечно удаленная точка в направлении оси У; (0, 0, 1,0) — бесконечно удаленная точка в направлении оси Z; (0, 0, 0, 1) — начало системы координат. Однородный вектор задается как и обычный, т.е. если однородные координаты точки представлены четверкой (a, b, с, d). то соответст- вующий однородный вектор имеет вид р = Ь, с, 4?)т. Рассмотрим основные операции, осуществляемые над однородны- ми векторами. 1. Сложение: 2. Умножение на скаляр: Л “(^13 ^1 > ^15 ^])з (1.24) т.е. г - (Azz15 АД, Аг15 d})т. 3. Скалярное произведение: — (flj , , cZ] ) 5 Г2 = (а2> ^2з с2, d2Y , Д, d2 Ф 0, х = гг -а^2 +Ь{Ь2+с}с2 12 (1.25) (1.26) 50
^3J>>nopo^iej<^auilambl u преобразования 4. Векторное умножение: г, =(al,i1.cl, d})\ r--(a-,, b2, c2, d2f, (1.27) r - r, x r, = (a2b2 - a2b2, a2b} -axh2, a}b2 - a2bt. atbt)J. 5. Длина однородного вектора г = (a, b. с. d)1: ^а2 + /г эс2 (1.28) Заметим, что однородные координаты можно задать и в «-мер- ном пространстве. Тогда «-мерному вектору будет соответствовать « +1-мерный однородный вектор, при этом операции (1.24)—(1.28) легко обобщаются на этот случай. 1.3.2. Однородные преобразования Однородными преобразованиями называют преобразования одно- родного вектора, осуществляющие его поворот, перенос, масштабиро- вание, перспективное проектирование. Пусть р — однородный вектор. Тогда однородное преобразование осуществляется следующим образом: (1-29) где Т — матрица однородного преобразования 4x4 (или однородная матрица): т = Р\ Р1 Рз (130) Здесь R — матрица поворота Зх 3 ; р — вектор переноса,/ вектор, связанный с вектором центрального проектирования, тп коэффициент масштабирования. Рассмотрим действие каждого из упомянутых выше элементарных преобразований на однородный вектор р = (л, Ь, с, 1) , соответствую щий вектору г = (а, Ь, с)т. 51 4*
/. Основные кинематические соотношення 1. Сдвиг. Пусть однородная матрица имеет вид О о о 7’ся(/’) = о о о о о О Тогда в силу соотношения (1.29) получаем о о Pi p' = ^(p) = о о о о о О Таким образом, однородное преобразование, задаваемое матрицей (1.31), осуществляет операцию сдвига вектора г : (1.32) 2. Поворот. Пусть однородная матрица имеет вид о о о ^,(2?) = (1.33) о о Тогда Р' = 7’П0В(Л) = О 13 О о Следовательно, преобразование (1.33) обеспечивает операцию по- ворота: r-+Rr. (1.34) 3. Перспективное проектирование. Пусть однородная матрица имеет вид о Т’перО) = о о О о о о О 2 52
/ 5. Of)itopo0Hhle кооп0и,тп1К1 , —-----------------------преобразования Тогда вект ор р можно преобразовал., Р ть следующим образом: ь с р' = Tn^f)V = о с Итак, однородное преобразование, определяемое матрицей (1.35) изменяет вектор г следующим образом: ' J)- (1.36) Соотношение (1.36) задает преобразование центрального проектирова- ния с вектором g. имеющим компоненты =-1/j 4. Масштабирование. Пусть однородная матрица имеет вид О О О О О О масш О О о (П о о т , (1.37) Тогда О О О О О О О О О О т Следовательно, матрица Тмасш (ш) совершает преобразование / (1-38) г -> г]т. х В дальнейшем будем использовать только операции поворота и в дальнейшем иуд лт,р^п;„ованИя которые задаются матри- сдвига, т.е. те однородные преобразования, к и цей следующего вида; ( R (1.39) Т = ^000 1, ’ где R — матрица поворота 3 х 3; р — вектор пе^®°С^ очеВидно, что Обратная матрица Г' всегда существует, поскольку идн det Т = det R * 0 : 53
/. Основные кинематические соотношения ООО П.40) Пример 1.7. Найти матрицу однородного преобразования, обес- печивающего поворот векторов на 30° вокруг оси, задаваемой векто- ром (1,1,1)Т, и последующий сдвиг на вектор (2, 2, 2)т. Решение. Для нахождения матрицы Т в форме (1.31) необходимо найти матрицу поворота R и вектор переноса р. Из (1.18) следует, что 5 о R -cos30° 0 0 0 | + (1 - cos 30°)| - 0 0 + sin30° 0 0 Тогда окончательно получаем 10 0 0 1 В заключение решим задачу преобразования систем координат рассмотренную в п. 1.2. 54
________________L^’,X±'Z,ZhieXX,J>r>UHambl и преобразования Iiycjъ заданы абсолютная (\XYZ и подвижная ОЛИГ системы координат (рис. 1.14). Будем считать, что р — однородный вектор в системе OUVW, задающий точку М, а Т — однородная матрица (1.39): r ( R Р ООО 1?' При этом вектор р определяет начало (точку О-) в системе координат O^XYZ, а матрица R поворот подвижной системы координат отно- сительно абсолютной. Тогда однородный вектор р'. задающий точку М в абсолютной системе координат, имеет вид Р=Гр, (1.41), а матрица Т является матрицей перехода от системы координат (XXYZ к ()}XYZ. Сравнивая аналогичную форму (13) для обычных, неоднородных векторов и преобразований, видим , что преимущество заключается в том, что операции вращения и переноса выполняются за одно матричное умножение и линейны по р. В этом и заключается основное удобство формализма однородных преобразований. Рис. 1.14. Связь неподвижной O.A7Z и подвижной систем координат Рассмотрим сложные однородные преобразования. Пус OaXaYaZa, O.X-Y.Z.......,OnX„YnZn - произвольно расположенные системы координат (рис. 1.15), А - матрица перехода от системы ко- п п Y Y 7 Тогда матрица перехода от ординат O^^Z, к O/_|A,.|/,_iZ,_| • OnXY7 к OnX0Y0Z0, имеет вид (142) 55
Рис. 1.15. К определению сложного однородного преобразования в общем случае матрица перехода от Z-й системы координат к /п-й (I < т) имеет вид г/= 4-14-2 • • Л. • (1лз) Пример 1.8. Координаты точки А/ в системе координат заданы на рис. 1.16. Определить ее координаты в системе O.XYZ . Рис. 1.16. К примеру 1.8 Решение. Найдем матрицу перехода Гот O2UVW к OtXYZ. За- писывая компоненты матрицы Г в виде получаем ' 1 О О (Р о 0 -1 ю 0 10 5 4 о о 1; 56
1.4. Определение положения и ----------------- Поскольку р = (0, 0, -10, 1), то имеем р' = = о 0 о 0 10 20 -10 ' (П о Таким образом, координаты точки (0, 20, 5), что ясно из рисунка. м в 0}X}Z задаются вектором Сделаем одно существенное замечание. Как было сказано выше, для задания взаимного расположения двух систем координат (или двух твердых тел, с которыми связаны эти системы) достаточно указать шесть чисел, три числа характеризуют положение начала системы координат и три углы, задающие ориентацию. Однако матрица Т в форме (1.40) содержит 3x3 + 3 = 12 чисел, т.е. это представление яв- ляется избыточным. В данном случае избыточность обусловлена за- данием матрицы поворота R. Если представить R в виде R~(abc), то вследствие ее ортогональности имеют место соотношения axb = c, Ьхс-а, с*а = Ь7 из которых независимыми является любая пара. Эта пара соотношений эквивалентна шести уравнениям, и таким образом из девяти элементов матрицы R независимыми являются три элемента (9-6 = 3) или их независимые функции. 1.4. Определение положения и ориентации звеньев манипулятора После рассмотрения ряда вспомогательных моментов, вернемся к задаче построения кинематической модели манипулятора. Определение положения схвата манипулятора и любого его звена задача, на первый взгляд, простая, однако ее решение потребует неко торых усилий. _ Напомним, что, согласно определению (см. § 1. )> лю ое ЗВеВ нипулятора является твердым телом, имеющим в сво одном шесть степеней свободы, и, следовательно, его положение отн 57
— — - стью параметрами: (1.44) S = (U, . W; , • ••? иЬ > • • -рние которого необходимо определить, же- Если со звеном, полож (рис. 117). то поставленная стк0 связать сйсте^'ХТм»лятора трансформируется в задачу о о положении.звена мани^у абсолютной системы координат О„ W,, , соотношении (1.44) можно интерпретировать след} юши и} -х. и2 = у. щ = z — координаты начала 0}UVW в O0X0Y0Z0; и4 = а, и5 =р, и6 =у — углы, задающие ориентацию системы координат 0}UVW относитель- но OqXqYqZq (например, углы Эйлера), т.е. $ = (х, у, z, а, Р, у). (1.45) Представление положения звена 5 в форме (1.45) будет использоваться в дальнейшем. Рис. 1.17. Положение звена в пространстве, заданное связанной с ним системой координат Отметим, что интерпретировать s как вектор в линейном про- странстве нельзя, поскольку не выполняются условия аддитивности по 58
] 4 Определение положения и ориентации звеньев манипулятора «ым тпем компонентам. Для того чтобы их преодолеть, восполь- последни- г ~ аппаратом однородных координат и преобразовании, как оыло заемся ? взаимное положение системы координат звена показано в s * — и абсолютной системы координат О:Х Л ,Z0. а следовательно. & л1_иР соответствующего звена можно задать матрицей одно- и положение родных преобразовании Т вида. ' ООО (1.46) где р вектор 3x1. задающий начало О Г-ТТГ я р ' а Я — матрица х 3 задающая ориентацию О} С ПГ относительно О- X Y-Z Такое представление будем использовать дтяЛ-Лиа зеенъев. Несомненно, оно избыточно, поскольку ма“ “Т стнадцать элементов (4x4 = 16), несмотря на то, что для описания по- ложения звена достаточно шести. Однако, этот недостаток полностью компенсируется следующими преимуществами. 1. Исключается необходимость раздельного рассмотрения опе- раций переноса и вращения, поскольку представление (1.46) совме- щает их. 2. В целях аналитического исследования проблем кинематики ма- нипуляторов появляется возможность использовать аппарат теории матриц. Рассмотрим ^-степенной манипулятор, т.е. манипулятор, имею- щий N +1 звено. Свяжем с каждым z-м звеном систему координат 0^lYiZl (рис. 1.18). при этом будем считать, что нулевое звено непод- вижно (оно является основанием), и, следовательно, система координат <W0Z0 является абсолютной. Тогда однородная матрица имеющая вид • 5 (1.47) ООО * о “ /з v Y Z относи- задает положение и ориентацию системы координ , матоипа л Y Y Z значит, эта матрица тельно абсолютной системы координат о о о о ’ определяет положение и ориентацию /-го звена. 59
Рис. 1.18. Системы координат (),.Х ,},/>• / - 0. I. 2, ..., / , связанные со звеньями манипулятора Отметим, что, с одной стороны, положение схвата манипулятора полностью определяется положением всех остальных звеньев, г.е. век- тором обобщенных координат q = (q}, q2, • • •, )Г • c ДРУГ0И стороны, положение схвата, рассматриваемого как свободное твердое тело, оп- ределяется шестью параметрами (см. (1.45)). Отсюда следует. 1)если N <6, то существуют такие положения схвата, что ника- ким выбором q мы не сможем их обеспечить; 2) если N = 6, то существует конечное число обобщенных векто- ров q (т.е. различных конфигураций манипулятора), обеспечивающих заданное положение схвата; 3) если N > 6 (манипулятор с избыточным числом звеньев), то может существовать бесконечное число конфигураций манипулятора, обеспечивающих заданное положение схвата. Детально этот вопрос будет изучен в § 3.2, где речь пойдет о рабо- чем пространстве манипулятора. 1.5. Специальные системы координат Та простота, с которой мы можем находить положение и ориента- цию звеньев манипулятора , т.е. вид матрицы 7] (см. (1. 47)), существен- но зависит от выбора системы координат звеньев О,,XiYiZi. Рассмотрим способ построения системы координат, предложенный Денавитом -и артенбергом в 1955 г. [67] , который в настоящее время широко ис- пользуют при построении кинематической модели манипулятора. Построение системы координат Денавита — Хартенберга для манипулятора с N степенями подвижности (N +1 звено) опишем в виде 60
Л5, C n^yUCLlbHblC Системы коороинатп алгоритма, состоящего в выполнении с™-,, шагов (рис. 1.19). ^едуюшей последовательности Рис. 1.19. Сист ем а координат Денавита — Хартенберга Шаг 1. Построение абсолютной системы координат. Построить правую ортогональную систему координат O^XqY^Zq , направив Zo вдоль оси первого сочленения в на- правлении схвата. Шаг 2. Инициализация и цикл. Для всех i — 1, 2,..., N выполнить шаги j-6. Шаг 3. Построение Z,. . _ Направить ось Z, вдоль оси (/ +1) 'г0 шарнира. Пр (т.е. для схвата) выберем ось ZN в направлении ос N > Шаг 4. Построение начала z-й системы координат. пересечеНия Выбрать начало г-й системы координ общей нор- осей Zw и Z, или » точке пересечения оси Z, и к р- Мали к осям Z,., и Z, (если ос» Z,., и Z, не нересекаются). 61
/ Основные кинематичес^^ Шаг 5. Шаг 6. Шаг 7. Построение оси А",. . ,пить ось х вдоль Общей нормали к осям Z, , и Z, Направить ось t / 1 'к гпр 7 и z — орты соответствую- (вдоль вектора (Z,_t, I,)> 1 ‘ щей системы координат). Построение оси У, Направить ось У, так , чтобы полученная в результате систе- ма координат О,Х,У/, была правосторонней. Нахождение параметров. Для всех i = 1, 2,..., N выполнить шаги 8-11. Шаг 8. Нахождение dr Параметр dt равен расстоянию от начала (У -1) -й системы координат до точки пересечения осей Zt_} и X,, измеренно- му в направлении оси ZlA . Если У-е сочленение телескопиче- ское, то d( является обобщенной координатой. Шаг 9. Нахождение ai. Параметр ai равен расстоянию от точки пересечения осей Z^ и Xt до начала У-й системы координат, измеренному в направлении оси X,. Шаг 10. Нахождение qt. Параметр qi равен углу поворота оси X}_} вокруг оси Z^} до ее совпадения с осью Xt. Если У-е сочленение вращательное, то qi является обобщенной координатой. Шаг 11. Нахождение а,. Параметр а, равен углу поворота оси Z._} вокруг оси X, до ее совпадения с осью Z,. Шаг 12. Конец. Y Санный ангори™ построения систем координат Денавита — Хартенберга имеет рекуррентный характер , т.е. позволяет строить 62
1.5. Специальные системы координат системы координат , передвигаясь от звена к звену , начиная с основа- ния и кончая охватом. Четыре числа d , о, q , а полностью задают расположение каждо- звена относительно предыдущего, при этом либо параметр d (для телескопического соединения}, либо параметр q (для вращательного сочленения) является обобщенной координатой. Здесь нет противоре- с утверждением, что положение твердого тела задается шестью числами поскольку в последнем случае речь идет о свободном движе- ии твердого тела, у нас же звено снабжено связями, оставляющими ему лишь одну степень свободы. В качестве примеров рассмотрим построение систем координат та_____Хартенберга для известных промышленных манипулято- Р Система координат трехстепенного манипулятора М20П. рабо- тающего в цилиндрической системе координат, и параметры приведены на рис. 1.20. его кинематические РИС. 1.20. Манипулятор М20П 63
----- ““*п>';,я™ра IRIS'“ " ег“ и,^rs«^p^"p-'^““₽"e12,' Рис. 1.21. Манипулятор IRIS-11 Система координат шести степенного манипулятора PUMA-600 и его кинематические параметры представлены на рис. 1.22. Система координат шестистепенного манипулятора RAMP-2000 и его кинематические параметры даны на рис. 1.23. Контрольные вопросы и задания 1. Сколько звеньев имеет N-звенный манипулятор? Нарисуйте кинемати- ческую схему трехзвенного манипулятора, работающего в декартовой систе- ме координат. 2. К какому классу принадлежат кинематические пары, образуемые звенья- ми манипулятора? Как Вы думаете, к какому классу можно отнести кинема- тические пары, образуемые суставами руки человека, и является ли рука ма- нипулятором в смысле приведенного определения? 64
Рис. 1.22. Манипулятор PUMA-600 3. Почему все существующие манипуляторы устроены так, что их звенья Т КИНематические пары пятого класса? Какой двигатель можно ис- CKv ТЬ’ что^ы Управлять /-м звеном, образующим с (/-1 )-м кинематиче- W пару четвертого класса? ветст Т° Понимают под положением звена манипулятора? Является ли соот- $ шестерка чисел вектором, если нет, то почему? арсоб С0СТ0ят преимущества и недостатки использования однородных разований при построении кинематической модели манипулятора? 65
Рис. 1.23. Манипулятор RAMP-2000 6. Как построить системы координат звеньев манипулятора в соответствии с методом Денавита — Хартенберга? Является ли этот метод построения однозначным? 7. Объясните, почему положение z-ro звена относительно (i -1 )-го, со- ставляющего с z-м звеном кинематическую пару пятого класса и задаваемого . матрицей Ai, однозначно определяется четверкой чисел d , а , а , q, одно из которых является обобщенной координатой? 66
2. ПОЛОЖЕНИЕ МАНИПУЛЯТОРА В РАБОЧЕМ ПРОСТРАНСТВЕ Глава 2 посвящена решению основных задач, связанных с опреде- лением соотношений между координатами схвата манипулятора, за- данными в различной форме: с одной стороны, положение схвата од- нозначно определяется обобщенными координатами многозвенного механизма, а с другой — шестью числами, задающими положение и ориентацию связанной с ним системы координат. Решены прямая и обратная задачи по положению, а также введено понятие рабочего пространства и изучены его свойства. 2.1. Прямая позиционная задача Прямую позиционную задачу формулируют следующим образом [60, 63]: по заданному вектору обобщенных координат = 4-м 4д) найти положение и ориентацию схвата $ = Положение и ориен- тацию схвата мы будем искать в форме матрицы однородного преобра- зования (1.46): ( R Р] Дооо 1J Пусть А,1 = 1,2, ..., N — матрицы, задающие переход от системы координат г-го звена к системе координат (/-1)-го звена. То да, видно, матрица т;=4 а2 ...а„ (2.1) 67 5*
2. Положение мшшт^тора в^л^пра^е является решением поставленной задачи. Вводя матрицу Т, = А, .4, ... -4,. для (2.1) получаем следующее рекуррентное соотношение: Т = Т^А,./ = 1. 2, .... N , (2.3) Т0=Е. Соотношение (2.3) позволяет не только записать решение прямой за- дачи о положении схвата в компактной форме, но также найти поло- жение и ориентацию всех звеньев манипулятора, поскольку матрица Tf определяет положение и ориентацию z-го звена. Ясно, что для определения положения &-го звена относительно /-го (к </) можно использовать следующее соотношение: ?к “ Лк+1 Ак+2 ... Aj. Вид матриц Ai, входящих в (2.3), зависит от способа выбора систем координат звеньев. Определим вид матриц в случае использования представления Денавита — Хартенберга. Согласно способу построения систем коор- динат (см. § 1.4), для совмещения (/ -1 )-й системы координат с *-й системой координат QJf^Z, необходимо выпол- нить следующую последовательность операций. 1. Поворот вокруг оси Z/4 на угол (оси Аг/_1 и Xi параллельны). 2. Сдвиг вдоль оси Z^ на di (оси X{ч и X i совпадают). 3. Сдвиг вдоль оси Х^} на at. (начала координат О , и О совпа- дают). 4. Поворот вокруг оси на угол а,, (системы координат QX/Z,. и совпадают). onHonnn^ro И3 ЭТИХ опеРаци® можно представить соответствующей однородной матрицей: Rot(z, 9i) = (2.4) <0 о 68
2 1- Прямая позиционная задача Transfz, d ) = ° О d ‘ О О О 1 Transfx. at) ~ (2.5) (2.6) О О (ООО1 Rot(x. а,) = О' О О ! (2. 7) О 1 где матрицы поворота R v а . R2 определяются выражениями I *1 I1 (1.9)—(1.1 Г). Тогда имеем Ai = Rot(Z,- 7/)Trans(Z/ ^/)Trans(Az, aJRotC-Y, a,). Перемножая матрицы, стоящие справа, окончательно получаем 'У, - «,) = (2.8) (о о о 1 ; Используя равенство (1.40). обратную к А, матрицу (т.е. матрицу перехода от (z — 1 )-й к z-й системе координат) представим в виде (с s„ 0 -а, 4Г'(<, a,, q,, а,) = (2.9) Таким образом, соотношения (2.3) совместно с (2.5) решают пря мую позиционную задачу. 69
Пример 2.1. Решить прямую кинематическую задачу пгпятооа типа М20П (см. рис. 1.20). У р Деяне. Запишем матрицы перехода в вид о о о о о о о о о о «2 о о о о о о > zx2 о о о 2 5 для мани- 0 0 О О 1 dy О 1 . о о о о о о Тогда матрицы 7], / = 1, 2, 3, принимают вид Обозначая d2= z, d3=r, q} - q , a2 = a , окончательно получаем со- отношения, описывающие: положение схвата рх =rsin^ + acos^, ру ~ -rcosq + a sin q, Рг = ориентацию схвата *3 = (cosg, sing, 0)’, Тз = (0, 0,1)т, Z3 = (sing, -cosq, 0)т. I Например, при g = 180° имеем Р> ~~а, Ру=г, p,=z, х3 = (-1, О, О)7, _у3 = (О, 0,1)т, z3 = (0,1, 0)т, что согласуется с геометрическими соображениями. 70
2. /. Прямая позиционная задача Пример 2.2. Решить прямую задачу для манипулятора PUMA 1 ОП \ * г (см. рис. 1 решение. Найдем матрицы перехода. Имеем О О л* о d2 ’ 0 1 > и о4 -с4 О 0 < 0 1 , О О А О О 1 ' О 1 Для определения матрицы Т6 представим ее следующим образом: Т6 ~ А}А2А3А4А5А6 - А}3А46, где Л13 = А}А2А3, А46 = А4А5А6. Записывая матрицу Г6 в виде О 0 0 1 J и выполняя необходимые вычисления, получаем Убг =523(c4c5j6 + ) + с2зМб > 71
2. Положение---------------------------------------- Z6x = С| (^23^4^5 + S23CS^> V4S5’ Z =5,(^4^ +S«C5) + C1S4S5’ Пример 2.3. Составить для манипулятора PUMA (см. рис. 1.22 ) рекуррентный алгоритм, позволяющий решить прямую позиционную задачу. Решение Запишем соотношение (х у z и>) = ах + by + cz + dw. Тогда, используя соотношение (2.3) и обозначая матрицу положения /-го звена в абсолютной системе координат следующим образом: т Jxi У. р,у ' (0 0 0 1 J’ получаем векторы, определяющие положение и ориентацию всех звеньев. Основание: х0 -(1, о, 0)т, у0 =(0,1, 0)т, Zo =(0, 0, 1)т, р0 = (0, 0, 0)т. Первое звено: Х1 с1*0 + S|Jo. Ji - -Zo. Z, =-51Х0 +CjJ0, p}-Q . Второе звено: Х2 c2xt + s2J1, у2 = -.S2Xi + с2Ji 5 Z2 = Z[ ( р2 = а2с2х, + a2s2 J, + d2z{ + = а2х2 + + Р}. Третье звено: хз=с3х2+^2, y^z^z^x.-c.y,, Четвертое звено: р3 <я3х3 + р2. 4 4*3 + s4 Js. J4 Z3, Z4 -~s4x3 +С4у2, р4 = р3 +d4Z3. 72
2.2. Геометрия рабоиегопространства _ Пятое звено: Шестое звено: х6 -С6х5 +i'6J5, у6 ~-S6X5+c6y5, Z6=Z5, p6=d6Z5 + ps. Приведенное решение прямой позиционной задачи удобно в вы числительном плане, и именно его будем использовать в дальнейшем. 2.2. Геометрия рабочего пространства манипулятора Решение прямой позиционной задачи (см. § 2.1) позволяет опреде- лить положение и ориентацию в пространстве схвата манипулятора, удерживаемого им инструмента или транспортируемого объекта при условии, что известны значения обобщенных координат манипулятора i = 1, ..., N, Эти значения могут изменяться в определенных преде- лах, которые обусловлены конструкцией механизма, или их специально назначают из соображений безопасности работы манипулятора: min ^max> ' = L (2Л0) Совокупность условий (2.10) определяет область Sq изменения обобщенных координат. Поскольку каждому сочетанию обобщенных координат соответствует некоторое положение схвата (объекта мани- пулирования), области Sg изменения обобщенных координат соответ- ствует некоторая область Sr в пространстве рабочей сцены, в которой может находиться схват. Эту область называют рабочим пространст- вом манипулятора (а также рабочей зоной, зоной достижимости). 2.2.1. Конфигурация рабочего пространства и его объем Свяжем со схватом манипулятора некоторую характерную точку, например точку, симметрично расположенную между губками схвата. Введем в рабочем пространстве робота неподвижную систему координат OXYZ. Эту систему удобно связать со стойкой (основанием) манипулятора, расположив оси X и У в горизонтальной плоскости, ось Z направив, вдоль оси первой кинематической пары, которая, как правило, вертикальна (рис. 2.1, а, б, в). 73
Рис. 2.1. Конфигурация рабочего пространства: а — декартова система координат; б — цилиндрическая система координат; в — сферическая система координат Обозначим через г радиус-вектор характерной точки в системе координат OXYZ. Положение этой точки зависит от текущего значения относительных углов поворота в шарнирах и относительных переме- щений в поступательных кинематических парах, т.е. от обобщенных координат qlb z = l,..., N. Решая прямую кинематическую задачу для манипуляционного ме- ханизма, получаем зависимость r = 4N), (211> определяющую положение схвата или рабочего инструмента как функцию обобщенных координат манипулятора. 74
____________2 2 Гео^рия рабочего ароетранства MaHuny wmQ^_________ Значения q, могуч изменяться в пределах заданных ограничений, определяющих область .S(/ обобщенных координат (2.10). Каждой точ Ке q е Sq можно поставить в соответствие характерную точку в про странстве рабочей сцены. Другими словами, каждому вектору обоб- щенных координат ц из области Sq соответствует некоторое положение манипулятора и его схвата. При этом области допустимых значений обобщенных координат Sq будет соответствовать область S допустимых значений декартовых кооординат схвата в пространстве рабочей сцены, которая характеризует рабочее пространство манипу- лятора. Граница рабочего пространства Sr определяется кинематической схемой манипулятора. Так, для манипулятора, работающего в декарто- вой системе координат (рис. 2.1, а), это параллелепипед, грани которо- го параллельны осям координат. Для манипулятора, работающего в цилиндрической системе координат (рис. 2.1, б) рабочее пространство представляет собой часть цилиндрического объема. Для манипулятора, сконструированного в сферической системе координат (рис. 2.1. в), — часть сферы. Более сложную конфигурацию имеет рабочее простран- ство манипулятора антропоморфного типа. Во всех рассмотренных случаях рабочее пространство обладает определенной симметрией, следовательно, оно характеризуется одним из его сечений, т.е. плоской рабочей зоной. На рис. 2.1. а эта симмет- рия обусловлена наличием поступательной кинематической пары, смещающей построенную зону вдоль оси OZ, на рис. 2.1, б, в нали- чием вращательной кинематической пары, которая эту зону' поворачи- вает относительно вертикальной оси OZ. Отображение допустимой области обобщенных координат в про- странство рабочей сцены однозначно, но не взаимнооднозначно, так имеет избыточности (см. Введение), т.е. число обобщенных координат совпадает с числом степеней свободы схвата, то существует конеч- ное множество конфигураций кинематической Рнс. 2.2. Два возможных положения для манипуля- тора без избыточности 75
2 Положение манипулятора в рабочем пространстве схемы манипулятора, соответствующее одному и тому же положению схвата Это утверждение следует из того, что при неподвижном схвате число степеней подвижности механизма равно нулю, т.е. он представ- ляет собой ферму. Для манипуляционных механизмов, об- ладающих избыточными степенями подвиж- ности, движение звеньев может осуществ- ляться при неподвижном схвате, что позволяет преодолевать внешние препятст- вия или проводить работы во внутренних объемах (рис. 2.3). Такое свойство называют маневренностью манипулятора. Характери- стикой маневренности может служить раз- „ ,, .. - ность между числом степеней подвижности Рис. 2.3. Манипулятор с избы- точными степенями подвиж- МанИПуЛЯТОра И ЧИСЛОМ СТСПСНСЙ Свободы ности схвата. Эта характеристика позволяет опре- делить то число степеней подвижности механизма, которое остается после наложения внешних связей на движение схвата. В общем случае построение границы рабочей зоны связано с ре- шением прямой кинематической задачи. Однако часто границу рабо- чей зоны Sr проще определить непосредственно из геометрических соотношений, следующих из описания кинематической схемы манипу- лятора. Пример 2.4. Определить границу рабочего пространства двух- звенного плоского манипулятора (рис. 2.4) при условии Рис. 2.4. Схема двухзвенного плоского манипулятора Решение. В данном случае 9i=9]> ?2=92> r=:[*c’ УсГ и урав- нение (2.11) имеет вид хс = cos qx + Z2 cos(<71 + <72) > Ус sin<7, +/2 sin(<7j + #2). Изменяя в пределах - d} < qx < d} при #2=0, получаем участок границы (рис. 2.5, а) как дугу окружности 76
2.2. Геометрия рабочего простооч^ ... --------------------—--------__tmea манипулятора радиуса /, + Л Участок Г, образован дугой окружности при <7. = ±d^ 'd^ ^<72 ^^2 Участок Л образован дугой радиуса /, и соответствует случаю <?2 =d„ -d, < <rf радиуса Ц к» окружности Рис. 2.5. Конфигурация рабочего пространства плоского двухзвенного манил) ля р a — d{ =80°, d2 = 120°; б — d. =30°. d1 =160°; в — d}=d2 =160 , г — случай несимметричных ограничений Граница рабочего пространства зависит от величин dx, 2 рис. 2.5, а d, =80°, с/2=120°. На рис. 2.5 б, в рассмотрены случаи di - 30°, Л = 150° и d, = d, = 160°. Детальный анализ (см. [26, с. “ 1 “ 77
Положение манипулятора в рабочем пространстве позволяет установить, что случай а имеет место, когда угол v (см. рис. 2.5, а) удовлетворяет условию \[i<2d,. а случаи б — когда v > 2dt, причем у можно найти по формуле /, sin<7, +/, sin(c7, +d2) tg4/_ /, cosrf, +/2 cost//, +d2) Для того чтобы граница была односвязной (как в случаях а и б), необходимо потребовать, чтобы выполнялись следующие соотношения (см. [26, с. 120]): /i sin dx + A sin(t7j + d2) > 0 при dx + d2 < 3 л/2 , /, sin d. -Ц >0 при d} + d2 > Зл/2 . 1 I Заметим, что в том случае, когда ограничения отличны от рассмот- ренных в примере 2.4, граница рабочего пространства может быть не- симметричной. Например, при условиях 91 ^7l/2, -7i/2<02 <Зл/4 граница показана на рис. 2.5, г. Конфигурация и размеры рабочей зоны являются важными техни- ческими характеристиками манипулятора, включаемыми в его пас- портные данные (см. [28]). Их используют для того, чтобы правильно расположить манипулятор относительно обслуживаемого объекта (станка, конвейера и т.п.) в пространстве рабочей сцены. Объем рабочего пространства манипулятора является его важной численной характеристикой: V = j dxdydz. (2.12) Для манипулятора с определенной кинематической схемой объем рабочего пространства может быть большим или меньшим в зависи- мости от ограничений на обобщенные координаты. Увеличение объе- ма рабочего пространства манипулятора без существенного увеличения габаритных размеров его конструкции является одной из задач проек- тирования манипуляционных механизмов. Для того чтобы охарактеризовать качество конструкции манипуля- тора, связанное с объемом рабочего пространства, необходимо соотне- сти этот объем с линейными размерами конструкции. Один из спосо- бов состоит в следующем. ®всдем °б°®Щенную полную длину манипуляционного механизма ( з поступательных кинематических пар), используя формулу 78
где - длина звеньев, </, - раетояяие s «««“ определить как расстояние между шум, о6щ„ми Р“ дярами к «с»" ' +1 и и в в (, .) >со ’ „““Г Значения величин dj равны нулю в случае параллельности осей сосед- них звеньев. Для манипуляционного механизма с вращательными парами имеющего произвольную кинематическую схему, справедлива теорем! Ли-Янга, в соответствии с которой отношение (2.13) является постоянной величиной. Обоснование этого факта можно найти в [63, с. 206]. Максимальное значение показателя Ли-Янга VL достигается для гипотетического манипулятора, работающего в сферической системе координат, но не имеющего ограничений в кинематических парах, бла- годаря чему его рабочее пространство представляет собой полную (без полостей и вырезов) сферу радиуса L. Ее объем равен V = 4пГ /3 . Следовательно, максимальное значение рассматриваемого показателя составляет VL = И/£3 = 4л/3 « 4,188 = Izimax • С этой константой можно сопоставлять показатель Ли-Янга для реаль ных промышленных роботов. Введем, кроме того, нормированный показатель объема ра очего пространства VN = VL/VL гаах . Например, для робота PUMA-600, имею- щего L = 1,295 м, V = 3,005 м3, эти показатели равны К, = 1,^9, ^=0,Зз2[63,с. 207]. Еще одним численным показателем, связанным с объемом~р пространства, является предел досягаемости схвата. н р либо как максимальная длина радиус-вектора, проведенно к°ординат системы OXYZ в характерную точку схвата „ ’ т: предел досягаемости по каждому из направлений 79
2 Положение .манипулятора в рабочем пространстве X у Z Обычно пределы досягаемости можно установить непосредственно из кинематических уравнений механизма. Пример 2.5. Найти предел досягаемости 7?тах для манипулятора, представляющего собой двухзвенный пространственный механизм общего вида с вращательными парами. Решение. Свяжем со звеньями манипулятора системы коорди- нат в соответствии с правилами Денавита — Хартенберга (см. § 2.4): систему координат OAZ0K0Z0 — с основанием манипулятора, а O1X2Y1Z1 — с его схватом. Тогда радиус-вектор R начала О2 послед- ней системы координат можно записать так: Й = Л,Л2Л(2), где Л<2) =[0 О О 1]т; А}, Л, —однородные матрицы вида (2.8), т.е. rcos#y - sin q{ cos а у sin#, sinау cosqf^ sin#, cos cos а, -cos^sina,. ay sin^ 0 since, cos a, di . 0 0 0 1 где i = 1, 2; q}, q2 — обобщенные координаты манипулятора; d.f, a, константы, геометрический смысл которых был пояснен в § 2.1. Перемножая однородные матрицы, получаем вектор cos#, cos#2 - а2 sin q^ sin#2 cos a! + d2 sin q} sin оц + cos#] a2 cos#2 sin+ a2 cos#] sin#2 cosot] -d2 cos#] sinct] + sin#] \ a2 sin#2 sinct] + t/2cosotj + d} } После приведения подобных членов для квадрата модуля этого вектора запишем следующее выражение: Я| dx + d2+a} +2af]a2 cos#2+2б/]б/2 cosaj+2с/]^2 sin#2 sinetj. Очевидно, что R зависит только от одной обобщенной координаты #2. Дифференцируя R по #2 и приравнивая результат нулю, получаем условие максимальной досягаемости, при котором R = Rmax _rf] sinct] ig#2 - и, следовательно, 80
2.2. I кметрия рабоче.;,, -—™ °Р а Л"'ах ~ d' + + а> + «2 + 2dtd. COSr,' ' + 2afa2 cos(arctg(</ sino, / , / '< + 1/1 )W' Sln«,)7^+1) Пример 2.6. Определить пределы досягаем робота Rhino, кинематическая схема которого г 2 с. 211] при условии, что задана ориентация схв-На рис' 1« стве робота, описываемая углом у dra В рабоче-м простран- Решение. Ориентацию схвата, определяемую относительно нормали к горизонтальной пове х УГЛ°М КЭЧания через обобщенные координаты а а и z РХНОСГИ ? ВЬ1разим j I * Ч о И (J Vi ~^ + (q2 +q, +qi} (угль.,,, и ч, измеряются 8 отрицательном »апра,1е„„и| Радиус вращения этой точки RA вычислим по формуле"™" И06™' Ra R Я, ^2 - Л-а4 sirup,-а5 С05щ,, где R — радиус вращения характерной точки схвата Определим теперь высоту НА запястья над плечом (см. рис. 2.6; л z-t-z, -о, ^z-ajSinq/!+Д4СО5Ц/,-о,. Рис. 2.6. Кинематическая схема робота Rhino 6 " 14ЙЯ 81
2. Положение „апипу*^^------------------------ ... В соответствии с кинематической схемой + Н\ -а~ ^(а2 +азУ ’ I"1 +(- -Рз) ’ где 0,, 0, - константы, определяемые заданным углом ц/,: 0, =а4 sin Vf +«5 c0SVi ’ Р2 = д, + а} sin хр, - а * cos \|/1. Анализируя полученную формулу, видим, что максимальный радиус достижимости Лтах обеспечивается при условии z = P, и равен R = d + В . Отсюда следует, что для координат х, у характерной точ- zvmax г| ки схвата выполняется неравенство х2 + у2 < (d + р] Г и при у = 0 достигается максимальное значение ^шах ~ ~ ^гпах * Величина х не может принимать значений, равных нулю, в силу конструктивных ограничений. Ее минимальное значение составляет (см. [63, с. 213]) *mi„ =Лтш = 2 + 3cosy, 4-12sin\p,, откуда следует, что v~ = 7?2 — 7?2 У max Лтах JVmin ‘ Предел досягаемости по высоте можно определить из прежнего неравенства, переписав его в виде 02 + /d2-(R-^y, откуда Z- =₽2 +^2-(Лтт-Р,)2. Неудобство, связанное с использованием введенных показателей ра очего пространства, состоит в сложности их определения. Наибо- е простым в вычислительном отношении способом определения р очего пространства является решение прямой позиционной задачи (см. §2.1) для множества значений обобщенных координат q\J\ ' j 1,принадлежащих области допустимых зна- (2.10). Значения можно выбрать в узлах равномерной «-мерной решетки, построенной внутри параллелепипеда (2.10) и на 82
------------простра11Ства „ани„ова его границах. Совокупность соответствующих значений г"’ определяет внутренних и гра„„чвых ,т Г1р„налле„щях рХ,ему пространству Sr. Если предположить, что точки г"’ также распреде- лены равномерно и находятся в узлах кубической решетки с шагом 5 то нетрудно приближенно определить объем V рабочего пространства: если М— число узлов в , то V = ЛЯу Существуют специальные методы, обеспечивающие равномерное заполнение узлами r{j> области S,, — методы £-сети (см. [26, с. 124]). 2.2.2. Анализ ориентации схвата в рабочем пространстве. Коэффициент сервиса Манипулятор, помимо доставки объекта в заданную область рабо- чего пространства, должен правильно его сориентировать. Имея воз- можность определить положение в неподвижной системе координат любой точки, связанной с объектом манипулирования, решая прямую кинематическую задачу, можно определить и ориентацию объекта. В частности, можно найти ориентацию продольной оси схвата у, что в ряде случаев оказывается достаточным. В общем случае ориентация схвата задается тремя ортами осей связанной с ним системы координат OXCYCZC: х, у, z . Способы вычисления этих векторов в зависимости от обобщенных координат манипулятора были рассмотрены в § 2.1. Более экономным способом относительно числа задаваемых пара- метров является способ определения ориентации схвата с помощью углов Эйлера а, у, 8 (см. п. 1.2.4). Вычисляя наряду с (2.11) зависимости <x(ql. .... q v). y{q} > • ••> ) > 8(^1? ..., ^дг), можно решить задачу об определении ориентации объек- та манипулирования в рабочем пространстве по известным значениям обобщенных координат. Аналогично при необходимости можно опре- делить положение и ориентацию любого из звеньев манипулятора. Та- кая задача возникает при планировании перемещения манипулятора в пространстве с препятствиями. Возможность манипулятора сориентировать схват (инструмент) нужным образом в данной точке пространства определяют как его ма нипулятивность. Характеристикой манипулятивности может служить допустимый угол ориентации в рабочей точке. Уточним это понятие. 83 6*
2. Положение манипулятора в рабочем пространстве Предположим, что ориентация схвата определяется как ориента- пия его продольной оси в неподвижной системе координат в данной точке рабочего пространства. Тогда совокупность всех допустимых при данной конструкции и ограничениях направлении образует в дан- ной точке г пространственный (телесный) угол у г, который называют зоной обслуживания в точке г. В общем случае этот угол зависит от всех обобщенных координат манипулятора, и его можно определить, если известно соотношение Ц/ г — ц/ г I , ^2’ ) ’ (2.14) а также ограничения на обобщенные координаты (2.10). Во многих случаях конструкция манипулятора позволяет отделить поступатель- ные перемещения от ориентирующих. Примером может служить кон- струкция манипулятора PUMA-560 (см. рис. В.2, а), где ориентация схвата обеспечивается двигателями, расположенными у его основания и не участвующими в поступательном движении. В этом случае угол у г зависит только от обобщенных координат ориентирующих степе- ней подвижности: Vr Яб), где q4, q5 и qb углы ротации, качания и наклона схвата соответст- венно. Максимальное значение пространственного угла равно 4л (пол- ный телесный угол). Отношение угла k|/r к полному телесному углу называют коэффициентом сервиса: которьш является численной оценкой манипулятивности в точке г. огда вводят также оценку манипулятивности в заданном направ- сли Vv это объем рабочего пространства, в котором возмож- ХТпАбТ В Направлении’ определяемом вектором v, а К - полный оценивается1о-п1А1РОСТ₽аНСТВа’ Т° манипУлятивностъ в направлении v оценивается отношением (2.16) пространству10^ Т^е Средние оценки манипулятивности по рабочему ространству. В частности, усредняя первую из приведенных выше оценок по всему рабочему пространству, ползаем ПРИВеДеННЫХ ВЫШе 84
2 2 I еометрия Ра6очего npoCmpailcm(la манипу1ят ,ч 1 Г -* - ~ ]Qrdxdydz. (2.17) Эту оценку называют сервисом манипулятора. В случае плоского механизма зону обслуживания в рабочей точке можно легко вычислить с использованием очевидных геометрических соотношений. Пример 2.7. Требуется построить зону обслуживания и вычис- лить коэффициент сервиса для плоского трехзвенного манипулятора (рис. 2.7) при условии, что обобщенные координаты q} =9- . q2 =G2t q3 = 03 удовлетворяют ограничениям вида q, <dt. / = 1,2,3. Положим для определенности, что 12 </.: 12 =1} -12. Рис. 2.7. Зоны обслуживания для плоского трехзвенного манипулятора 85
2 Положение манипуляпюр^р^^^^ ___I Решение. В рассматриваемом примере зона обслуживания в произвольной точке г рабочего пространства манипуля тора определяй- ся величиной плоского угла, образуемого последним звеном /, (охва- том) при перемещении других звеньев, когда точка С, определяющая положение схвата, зафиксирована в точке г. Предположим, что </, = i = l 2 3 те. ограничения на углы поворота в кинематических парах манипулятора отсутствуют. В этом случае рабочим пространством ме- ханизма, определяемым характерной точкой С, является круг радиуса Из кинематической схемы ясно, что на границах рабочей зоны, т.е. на окружности радиуса Лив начале координат, коэффициент сервиса равен нулю, так как последнее звено в каждой из граничных точек мо- жет иметь только одно направление (совпадающее с направлением остальных звеньев). Если же рассмотреть точки, лежащие внутри рабочей зоны, причем такие, что то зона обслуживания в каждой из них определится значением 2л, т.е. коэффициент сервиса Qr = 1. Неравенства, определяющие в данном случае зону полного серви- са, имеют следующий геометрический смысл. Кольцо с внутренним радиусом /| ~/2 и внешним /| +12 — это область рабочего пространст- ва, в которой может находиться точка С. Если окружность радиуса /А с центром в точке г целиком принадлежит этому кольцу, то в точке г коэффициент сервиса равен единице (см. рис. 2.7, а). Для гочек г рабочею пространства, расположенных в кольце 1 2 |г| - /| + и внутри круга г <> 13, зону обслуживания можно определить как пересечение сектора круга ‘ «РУП.М |,| SI,, соответственно (о„. рис. 2.7). , |р„ эт„„ ,ош “ремещсвии’в'Г.' ' К,У,ФФВДИС"Г ............«га. m- I » О пр., пространства а нт»Т"°М СЛу1ас в С'|'°РО|,У внешней Гранины рабочего о е . РО“ " ” т «""И—• точке. D чае,пости. дл» ючек г, лежащих на окружности оалиусч / и. / сиитят. п -пс w P‘Wta/|+/2, можно приближенно X-r <.ly с этим кольцом и 86
Г^омегприя рд^,., пр,,странства Линии равных значений <2 трическими окружностями, v г, очевидно, также являются концен- заполняющими круг радиуса < Ц и Не представляет труда найти и формуту тш ппп. ,, , , , р мя определения угла сес- виса ц/г • И1 рис. 2.7, б ясно, что при /,+/,<></ ' Р Кроме того. (DE)~ =(/, +/, / -(г-CD)2 (DE)2 = l}-(CDy. и,следовательно, Таким образом, для внешней зоны значений ц/ г меньших едини- цы, получим \|/r -arccos[/2 +г2 -(/, +l2):]/lrL . Аналогично для внутренней зоны получим ЧА = arccos[/3 +г2 -(/, -/3)2]/2г/?. Заметим, что в том случае, если существуют ограничения в углах относительного поворота кинематических пар. линии равных значений коэффициента сервиса перестают быть центрально-симметричными. Так, при d}; ~ 2 рад. j = 1. 2, 3; /, = Л = 3. /3 = 1. они приобретают вид. показанный на рис. 2.8 (см. [26, с. 151]). Рис. 2.8. Зоны обслуживания для плоского грехзвенного манипулятора при наличии ограничений на обобщенные координаты 87
----------- 2 Положение^^^ — --------- - \ заключен» между внешней » рабочее „ростра»»™’ ’ “ * ’0зфф„циа.т сер»»»» Р«»е» нулю, внутренне» граннцам». ' Р причем можно указать облаем, внутр» рабочей зоны он нозра козффвайе„т „ервнса максимален рабочего „а рис- « ( q = 0,7 )• Эта область заш г При расчете усредненного значения Qr с использованием полу- ченных выше выражений для у,, зависящих от г, в формуле (2.17) следует перейти к полярным координатам. При усреднении по плос- кости получим (2-18) Q = - (fa (ф, r)rdrdq, v sr где ф — уГ0Л) образуемый радиус-вектором г с положительным на- правлением оси ОХ. В частности, в отсутствие ограничений по обобщенным координа- там Qr не зависит от ср и формула (2.18) приобретает следующий вид: 2л % Q = — JrQ,(r)dr. ' о (2.19) Так, для рассмотренного выше примера 2.7 з /=1 Вычисляя по последней формуле усредненное значение коэффициен- та сервиса в случае, если ограничения отсутствуют, получаем Q = 0,48 . Применяя первую из написанных выше формул при ограничениях , = 2, j -2,3, видим, что сервис уменьшился и составил 0,4. Даль- нейшее ужесточение ограничений на обобщенные координаты приво- дит к снижению показателя усредненного сервиса. Для рассмотренного примера можно определить и оценку манипу- лятивности в направлении. Пусть, например, следует определить воз- можность ориентации схвата в горизонтальном направлении (вектор v параллелен оси ОХ и совпадает с ней по направлению). Из рис. 2.9, построенного для случая без ограничений, ясно, что область рабочего пространства Sr (на рис. 2.9 она заштрихована), в которой такая ори- ентация возможна, представляет собой пересечение кольца допусти- 88
_____________2 2 7 рабочее --------------------------------- МЫХ положений точки С, смещенного в -------------- личину /3 и круга радиуса /, + /2 + / ^правлении вектора v на ве- перемещении не изменяется и составляет°СК°ЛЬКУ ПЛ0Щадь К0ЛЬ1'а при К-=4л/,Л, а площадь рабочего пространства равна то оценка манипулятивности в данном направлении Рис. 2.9. Область, в которой возможна ориентация схвата в горизонтальном направлении Отметим, что аналогично можно определить область допустимой ориентации в любом направлении, причем оценка манипулятивности зависит только от линейных размеров механизма и не зависит от на- правления. При наличии ограничений на обобщенные координаты это утверждение теряет силу. В этом случае можно выделить направления минимальной и максимальной манипулятивности. В рассмотренном выше примере при rf, = 2, j = 1, 2, 3 минимальное значение равно 0,27; если обозначить v — угол вектора v с осью ОХ, то оно достигается в 89
2. Положениелиишпуля^^------------------------- направлении v = 0. Максимальное значение манипулятивное™, состав- ляющее 0,45, достигается в направлении v 3/ л. Области рабочего пространства, в которых в рассматриваемом случае возможна ориентация в направлениях v = 0 и v = 3/4 л, показа- ны на рис. 2.10, а. б (см. [26. с. 152]). Рис. 2.10. Области, в которых возможна ориентация схвата в заданном направлении при ограничениях на обобщенные координаты Пример использования зон обслуживания при организации техноло- гического процесса приведен на рис. 2.11 [34, с. 100]. На рисунке показан окрасочный робот РБ-211, установленный на главном конвейере автомо- бильного завода. Длины звеньев этого робота равны 940, 1630 и 600 мм, а ограничения по угловым перемещениям в кинематических парах со- ставляют (от основания к схвату) 40 ... 130° ; 50 ... 140°; -180 ... 0° . Рис. 2.11. Секторы допустимых зон обслуживания окрасочного робота РБ-211 90
__________________Wg4a Кроме того, на рис. 2.11 показаны сектопм . живания в точках рабочею пространства робота^ Подвал™ расчет зон обслуживания позволяет разместить автомобильрабочем пространстве робота таким ооразом. чтобы полностью обеспечить по краску его поддона. 1Ь 2.3. Обратная позиционная задача Обратную позиционную задачу формулируют следующим образом При заданном положении и ориентации схвата v = < или 7\ = 7” найти обобщенные координаты q' = (q‘, ...ц\ р. Если обозначить * = Л (я) или _ f-ДЯ) г то искомые углы q* будут задаваться соотношением или Таким образом, решение обратной позиционной задачи сводится в оо- щем случае к решению нелинейной тригонометрической системы шес- ти уравнений с Д' неизвестными. Известно, что такого рода системы не иметь ни одного решения. Это означает, что заданные положе ние и ориентация схвата системы не могут быть достигнуты никаким выбором углов (перемещений) в сочленениях. иметь единственное решение; иметь более одного решения. Это означает, что с>щес сколько (или бесконечно много) конфигураций манипулятор чивающих заданное положение схвата. Умение решать обратную позиционную задачу^явля если чайно важным для управления манипулятором. Деис™ ’ его программное движение манипулятора задано в виде 91
„ а пабоче.м npoemp<ii<en><<e ——ГТ,«»^»™л ™л,,я у,,рамен’” отч”,к- я,ата «('> (»™ Г’(0' «не «<<> ’™бы “ КаЖДЫ" необходимо обеспе Однако, к сожалению, не ““ ни -о»»»- “°™Х я “да‘ “ ВИ“- * ’шествуя обшего м««“ посМ«У управление ма„„пу,„. Хевво ,™ « являете on-line. (Впрочем, н "Р«"' тором осуществляется Г’ с рядам трудностей, связанных с пенных методов таюи с Р ствуЮщих итерационных схем ) возможной расходимостью соот > ой позиционной задачи: рассмотрим три метода ре нометричесий подход. Итера- метод обратных "Р“бр““““ ^решения конкретной задачи опре- деляетс'я спанфиной””™»™4'- “=МЫ »»ИПуМТ°ра’ “ ” опытом исследователя. 2.3.1. Метод обратных преобразований Как было показано выше, матрица TN, определяющая положение и ориентацию схвата, имеет вид где Д. = Д (д,) — матрицы перехода от i-й к (i -1 )-й системе коорди- нат манипулятора. Тогда, умножая соотношение (2.22) на Л,-1 (напомним, что матри- ца А, невырожденная), имеем 4'(41)ТМ-А2...АМ_,А„. (2.23) m и го о lx470 МаТрИца Т" извес?на, нам удалось разрешить соотно- ся найти относительно Ч\ Если структура (2.23) такова, что удает- умножая (2.22? П°ВТ°рЯеМ Ясно, что, тод был испольХ: работе [2^™ M°*H° задачи для манипулятора PUMA ₽И РеШеНИИ обРатной позиционной Пример 2.8. Пусть механизм представляет собой трехстепенной Ггх^ДпН^Ь)И1\П0ДВеС’ °РиентаЦия которого задана тремя углами Эйлера \СМ. П. Е2Д): 92
с ф ~ S О G О задача ф ч» о .(2.24) 0 0 О Требуется решить обратную задачу для этого механизма, т е найти углы у , 9 . ф по заданной матрице 71 = (х у z\ Решение. Умножая слева выражение (2.24) на матрицу f S 0 '1 ~~ Т., 0 , о о получаем С7 или, после перемножения матриц. Приравнивая в (2.25) элементы второй строки и третьего столбца обеих матриц, находим — z s + z с =0. *TJ<p V (р откуда ф = atan 2(z v, zx). (2.26) Напомним, что функцию atan 2(а. b) определяют следующим образом. arctg — , b>0, atan 2(а, Ь) = arctg —гл, я > 0, b (2-27) arctg — 6 < 0, ci < 0, b У - л < atan 2(a, b)<Ti, т.е. 0 = atan 2(a, b) учитывает принадлежность аргументов од му четырех квадрантов. 93
___ Приравнивая элементы второй строки и первого и третьего столб, цов в выражении (2.25). получаем =-*Лф откуда следует, что (2.28) Далее, приравнивая элементы первой строки и третьего столбца, а также третьей строки и третьего столбца, находим ^0 ’ е “ следовательно. 6 = atan2(zxcv + zysv, z,). (2.29) Таким образом, соотношения (2.26), (2.28), (2.29) решают обратную позиционную задачу. 2.3.2. Тригонометрический подход к решению обратной позиционной задачи Проиллюстрируем этот метод на примере решения обратной пози- ционной задачи для манипулятора PUMA. При решении обратной задачи будем учитывать характерную осо- бенность кинематической схемы манипулятора, состоящей в том, что оси вращения трех последних сочленений z3, z4 и z5 пересекаются в одной точке (в начале координат совпадающих систем O4X4Y4Z4, QXSY5Z5). В этом случае, как нетрудно видеть, можно сразу найти координаты точки пересечения осей: Р = =Р6 ~dez6 = ру, р2)\ (2.30) гда, определив матрицу Т4 = и приравняв ее последний столбец вектору (2.30), получим 94
2.3. Обратная позиционная задача соотношения представляют собой систему трех тригонометриче- уравнений с тремя неизвестными q}, q2, q2. Таким образом, с СККХ пью выражения (2.30) можно разбить систему шести уравнений с П°М ью неизвестными q^ q2, на две подсистемы. решим систему уравнений (2.3Г). Умножая первое уравнение сис- _ с второе уравнение на сг и суммируя их, получаем темы на i > 1 'Р^\ + РЛ = d2. (2.32) Поскольку р; + р J > d; , уравнение (2.32) всегда имеет решение. Для решения (2.32) воспользуемся известными тригонометриче- скими соотношениями 2 tg - 2 sm а =------- cos а = (2.33) Подставляя (2.33) в (2.32) и решая полученное квадратное уравнение, получаем откуда, отбрасывая не влияющее на результат слагаемое 2тш, находим - 2 arctg (2.34) Запишем систему уравнений (2.21) следующем образом: - a2s2 -г u4c23 -а j а второе на Далее, умножая первое уравнение н д- их, получаем и суммируя 2 4 2 2 = (рхсх + Pys\ Р1аз ’ (2.36) где 95
2. Положение манипулятора в рабочем пространстве ? (2.37) известное (после определения q{) число. Структуры уравнений (2.36), (2.32) аналогичны. Теперь, используя подстановку (2.33), получаем q2 = 2 arctg — (2.38) Чтобы найти угол д3, определим т23 уравнений (2.35) как линейную. Имеем +а3с23 = pxct + Для этого решим систему 2и2 » (2.39) 23 7 ? откуда 23 5 (2.40) 23 — 5 3 (2-41) где (2.42) Тогда из соотношений (2.40), (2.41) следует, что q2 =atan2(523, (2.43) о гэ ла\Кп*Ые ^ГЛЫ ^2’ ^3 опРеделяются выражениями (2.34), довательном Риведенное решение обратной задачи состоит в после- обпатной ” НаХ0ЖДеНИИ ЭТИХ Углов- Следует отметить, что решение знаки в con аЧИ ’ 41 ’ 9з неоднозначно: выбирая независимо знаки в соотношениях (2 34) и (2 W (?Г> <7 ) ( + - получаем четыре тройки углов одно и то же гЛ* ’ ’ ^2 ’ ^3^’ обеспечивающие одно и то же положение схвата. и. XZZZZ °6ра™ w и найлем углы ШУЮ систему уравнений*411 Пр°еКЦИИ вектоРа следую- 96
51, второе на с. И суммируя Умножая первое уравнение (2.44) на их, получаем ~ + C\Z, + $ с i о л | б у * J 4 5 ’ Далее, умножая первое уравнение (2.44) на третье на - s23, имеем (2.45) ciC23, второе на 5tc,3, С1С2326х + 5IC23Z6.v -52326: = C4^'f • (2.46) Поскольку 5-5 может иметь различный знак, то, используя соотношения (2.45) и (2.46), получаем для q4 два решения: q4 = atan2((7(-s6z6x +c,z6v), (K(c,c23z6x + S1c23z6x -z23zj), (2.47) где W = ±1. Система уравнений (2.44) позволяет найти s5, с5. Нетрудно ви- деть, что s5 =(C]C23C4 -5,54)z6x + (5,с23с4 + c4s4)z6>. -c4s23z6;, (2.48) 5 Тогда (2.49) (2.50) где s5 и c5 определяются соотношениями (2.48), (2.49). Те же результаты можно получить, если заметить, что s5 и с5 = ~z6 у4, где векторы х4 и у4, являются компонентами матрицы Т4, т.е. матрицы положения четвертого звена. Чтобы найти угол д6, запишем следующие соотношения. 6 (2.51) Поставляя в (2.51) соответствующие значения для у$ ( Р получаем 97
--------. -jc4 - )>'<' + “Л|C-^6r ” Л4Л2(2'53) и, следовательно, q6 = atan 2(sb, cb), (2.54) где s6 и сь определяются соотношениями (2.52), (2.53). Нахождение q6 завершает решение обратной задачи по положе- нию для манипулятора PUMA. Таким образом, для каждого (кинематически допустимого) поло- жения схвата существует восемь решений обратной позиционной зада- чи, различающихся углами q}, q2 и q,. Кроме того, существуют кон- фигурации, при которых число решений бесконечно. Приведенный пример решения обратной позиционной задачи под- тверждает высказанное выше положение: решение обратных задач яв- ляется кинематически зависимым (в отличие от прямой задачи) и тре- бует тщательных (хотя и несложных, не выходящих за пределы школьного курса математики) вычислений. 2.3.3. Численные методы ре ения обратной задачи п Способы решения обратной задачи по положению в замкнутой форме, описанные в предыдущих главах, применимы не для всех ки- нематических схем манипуляторов. Вместе с тем, существует много численных методов, позволяющих решить обратную задачу. Согласно этим методам, весьма развитым в вычислительной математике и нося- щим итерационный характер, обратную задачу рассматривают как за- дачу поиска корня уравнения /(?) = «*, (2.55) где заданное положение схвата. Рассмотрим простейший из этих методов, а именно метод Ньютона метод касательных). В основе метода лежит простая геометрическая идея, состоящая в том, что если для решения скалярного уравнения <р(х) = 0 (2.56) рать некоторое начальное приближение х0 и построить следующее приближение х, как точку пересечения касательной к графику функ- У <р(х) в точке х0 с осью X, то полученное значение «ближе» к корню Х*,чем х0 (рис. 2.12). 98
2 3 Обратная позиционная зеи) ч Рис. 2.12. Геометрическая интерпретация метода Ньютона для решения уравнения <р(т) - О Продолжая этот процесс и получая таким образом хР х-., ..., можно рассчитывать на то, что последовательность{х(} сойдется к х‘. Реали- зация этого подхода приводит к следующей итерационной схеме: (2.57) Существует теорема о достаточных условиях сходимости итераци- онного процесса (2.57), ее формулируют следующим образом. Пусть х* является решением уравнения (2.56). Обозначим через Qe е-окрестность точки х*: Пусть при некоторых а > 0, а, > О выполняются условия ф'(х) <Я] , (p(W1)-(p(w2)“(P4W2)(W1 -а2 W2 WI’W2e °’ Пусть с = О)а2, d = mm(a,c-'). Тогда при этих условиях и х0еО4 процесс (2.57) сходится к х' с оценкой погрешности Заметим, что если <р(х) имеет ограниченную вторую произв дну последнее условие выполнено.
2. Положение манипулятора в рабочем пространстве __ Применяя метод Ньютона для решения уравнения (2.55), получаем следующую схему: q^} =<L+(/Д^)) —/ = 0,1,2,.... (2.58) где — заданное начальное значение вектора обобщенных коор- динат. Входящую в выражение (2.58) матрицу = f (я) называют матрицей Якоби, которая играет важную роль при разработке мето- дов управления манипуляторами. При использовании метода Ньюто- на требуется вычислять обратную матрицу Якоби на каждом шаге итерации. Использование метода Ньютона приводит к весьма простым соот- ношениям (2.58), однако в процессе его применения может возникнуть ряд трудностей, графическая иллюстрация которых приведена на рис. 2.13, a-в. Безусловно, хорошим рецептом, гарантирующим сходи- мость, является выбор начального приближения, удовлетворяющего условиям сформулированной выше теоремы. Однако, как было сказано {*,} расходится; в — зацикливание 100
---------------------Контрольные вопросы и задания____ ранее, обратные задачи связаны с условиях режима on-line воспользоваться зт манипулятоРом’ и в Вместе е тем “Z “ - ? но так организовать процедуру ре- Шения обратной задачи, что начальное приближение 9о будет близко к q. Этого можно добиться, например, выбрав конечную последова- тельность {у }, 1 = 0, 1, 2, L так, чтобы s° =/(9о), sL = < и рас- между соседними элементами последовательности ' = 0, 1, 2, . i стояние 5,+' и s' было небольшим. Тогда, решая для каждого 5, обратную за- дачу и используя в качестве начального приближения полученное на предыдущем шаге приближение q‘ 1 (кроме первого шага, где q() —qQ\ можно обезопасить себя от возникновения сингулярности. Этим под- ходом мы воспользуемся ниже, когда будем обсуждать вопросы, свя- занные с управлением. Контрольные вопросы и задания 1. Как формулируется прямая задача о положении? Что понимают под по- ложением звена? 2. Какова последовательность движений, необходимых для совмещения систем координат двух соседних звеньев, если они построены в соответствии с алгоритмом Денавита — Хартенберга. 3. Получите выражение для матрицы перехода от (/ -1 )-й к /-й системе координат. 4. Сравните вычислительную сложность решения прямой задачи о поло- жении в замкнутой и рекуррентной формах (см. примеры 2.2, 2.3). 5. Дайте определение рабочего пространства манипулятора и приведите примеры конфигурации рабочего пространства для известных Вам кинема тических схем манипуляторов. 6. Систематизируйте показатели качества манипуляторов, связаннь нятием рабочего пространства. В соответствии с этими показателями про дите сравнительный анализ манипуляторов, рассмотренных в предыдущ 3аД7НДайте определение понятий «коэффициент сервиса» и «сервис» мани- пулятора. Проведите анализ этих показателей для манипулятора RM-01 и для руки человека. 9 8. Как формулируется обратная задача о пол ожени 101
2. Положение манипулятора в рабочем пространстве 9. Сколько конфигураций манипулятора PUMA возможно при фиксиро- ванном положении его схвата (при условии, что координаты схвата принад- лежат области достижимости)? 10. Определите основные действия над блочными матрицами и векторами с помощью известных Вам действий с обычными матрицами и векторами Определите обратную к квадратной блочную матрицу. 11. Для каких классов кинематических схем манипуляторов возможно по- лучить аналитическое решение обратной задачи о положении? 12. Выведите формулу (2.58) решения обратной позиционной задачи ме- тодом Ньютона. 13. Каким образом можно обеспечить быструю (за несколько шагов) схо- димость итерационного алгоритма решения обратной позиционной задачи методом Ньютона?
3. СКОРОСТИ и УСКОРЕНИЯ ЗВЕНЬЕВ МАНИПУЛЯТОРА В этой главе представлены решения задач о скорости и описаны соотношения между скоростями изменения обобщенных координат (обобщенными скоростями сочленений) и скоростью схвата (либо дру- того произвольного звена). При этом скорость схвата определяется шестеркой чисел, из которых первая тройка представляет собой ком- поненты вектора угловой скорости, а вторая — компоненты вектора линейной скорости. В отличие от положения (его также задают шес- теркой чисел) скорость схвата представляет собой вектор. Кроме того, в данной главе рассмотрены малые перемещения схвата, так называе- мые дифференциальные перемещения. Задачи о скорости широко при- меняют при разработке методов управления манипуляторами в полуав- томатических режимах, когда сигналы, поступающие с рукоятки, интерпретируются как некоторые компоненты командного вектора обобщенной скорости схвата. 3.1. Соотношения для скоростей и ускорений В предыдущих главах были рассмотрены задачи о положении и ориентации звеньев манипулятора либо в декартовом пространстве, либо в пространстве обобщенных координат. Ясно, что для управления манипулятором необходимо научиться находить скорости и ускорения звеньев, иначе кинематическая модель манипулятора будет неполной. В этой главе мы займемся решением задачи, связанной с получением соотношений между скоростями и ускорениями звеньев манипулятора. Но прежде мы напомним некоторые соотношения из теоретическо механики. 103
л Скорости и ускорения звеньев манипулятора__ 3.1.1. Скорости и ускорения в относительном движении Пусть имеется две системы координат, одна из которых 0}0Zc, неподвижна, а движение второй системы OXYZ относительно первой задано векторами у (линейная скорость) и со (угловая скорость). Пред- положим. что положение некоторой точки Р задается векторами г0 ц г в системах координат O.X.Y.Z, и OXYZ соответственно (рис. 3.1). Рис, 3.1. Неподвижная и подвижная системы координат Обозначим ООО 1 (3.1) матрицу перехода от подвижной системы координат к неподвижной. да в терминах однородных векторов и преобразований имеет место соотношение Ро = Лр, (3-2) где Ро и р - однородные векторы, соответствующие векторам г0 и г. ^таотеииТ" ТОРеМе 06 ™осительн„м движении, координат будут СКОРОСТеЙ в “отважной и неподвижной системах координат оу дут иметь вид (3.3) 104
С оотношения -'>Я скоРостей и ускорений скорость неподвижной системе координат где скорость точки Р В подвижной системе координат Заметим, что сумма векторов определяет скорость точки Р в подвижной системе координат. Для ускорений точки Р в подвижной и неподвижной системах координат запишем следующее соотношение (в механике его называют теоремой Кориолиса): 4 _ у о dr dr dm dv — xr -г — di dt ’_*0 dr 4 fo dr dt ускорение точки Р в неподвижной системе координат; ускорение точки Р в подвижной системе координат; кориолисово ускорение: о)х(сохг) —центростремитель- dm ное ускорение; — x r — тангенциальное ускорение. dt Таким образом, соотношения (3.3) и (3.4) позволяют найти ско- рость и ускорение точки, находящейся в сложном движении. 3.1.2. Определение скоростей и ускорений звеньев манипулятора методом прямой рекурсии Для нахождения скоростей и ускорении звеньев манипулятора применим полученные выше соотношения. Напомним, что системы координат звеньев были построены (см. § 1.4) таким образом, что с каждым z-м звеном связывалась система координат, начало которой располагалось в (/ +1 )-м сочленении (рис. 3.2). При этом кинематиче- ские параметры звена манипулятора задавались соответствующими параметрами связанной с ним системы координат. 105
Рис. 3.2. Системы координат yV-звенного манипулятора Для двух соседних звеньев (z -1 )-го и z-ro (рис. 3.3) интерпретируем систему координат следующим образом: O0XqY0Z0 — базовая система координат; O^X^Y^Z^ — подвижная система координат; OjXjY'Zj — система координат, связанная с точкой Р (см. рис. 3.1). Рис. 3.3. Системы координат двух соседних звеньев Пусть и — линейная и угловая скорости подвижной сис- темы координат, = pi - р._х — вектор, характеризующий распо- ложение начала z-й системы координат относительно (z -1 )-й. Тогда в соответствии с соотношениями (3.3) можно записать 106
3.1. Соотношения оля скппп^т^г ---------— * скоростеи и ускорений где —скорость, вычисленная в подвижной системе координат. Кроме того, нетрудно заметить, что для угловых скоростей спра ведливо соотношение - о*,.) +W';1, (з.6) где 1 — угловая скорость вращения системы координат OIXIYIZI относительно Ot_}Xi_^}^]Zl t. Поскольку системы координат звеньев выбраны так, что ось OIZI совпадает с осью вращения (для вращатель- ных шарниров) или с направлением перемещения (для телескопиче- ских шарниров) (i -1 )-го сочленения, имеет место соотношение - для вращательного сочленения, О - для поступательного сочленения, * 7 (3.7) где а — угловая скорость вращения /-го звена относительно подвиж- ной системы координат. Аналогично можно найти линейные и угловые ускорения точки. При той же интерпретации систем координат, используя формул}’ (4.4), получаем (3.9) Из соотношения (3.6) следует, что <£», =®i-l , a VJ где (О. =----- + (ОМХ0, • dt В соответствии с соотношением (3.7) имеем (3.10) со''1 [г,_, <7,-для вращательного сочленения, (3.11) dt ~ о - для телескопического сочленения. С учетом равенств (3.5)-(3.11) окончательно получаем выр сис_ линейных скоростей и ускорений /-го звена относитель темы координат: v , + ® х р , . - для вращательного сочленения, (3 12) = К , + ш, х р. ,' + г,л - ДЛЯ «лескоплческог» ; 107
Скорости и ускорения звеньев манипулятора 'yi } + <1), х(<0, ® х Pi-\ i _ для вращательного сочленения, у = J у(_, + со, х (to,. х р,_, I + 2<о, х (г,., q,) - для телескопического + со, х , + Zj^q, сочленения. (3.13) Аналогично для угловых скоростей и ускорений z-ro звена относи- тельно базовой системы координат запишем следующие соотношения: ф ! + z._}qt - для вращательного сочленения, ю - для телескопического сочленения; (3.14) x(z,g,/) - для вращательного сочленения, - для телескопического сочленения. (3-15) В соотношениях (3.12)—(3.15) индекс i пробегает значения от 1 до N (дг—число звеньев манипулятора), при этом стандартные начальные условия (при неподвижном основании) имеют вид ш0 = <b0 = v0 = О, v0 = g, где g вектор ускорения свободного падения. Соотношения (3.12), (3.13) позволяют последовательно найти скорости и ускорения звеньев, начиная от основания в направлении к схвату (так называемая прямая рекурсия). Таким образом, соотношения (3.12)—(3.15) являются рекуррентны- ми. Однако можно без труда получить и конечные зависимости линей- ных и угловых скоростей как функцию угловых скоростей и обобщен- ных координат. Зафиксируем k-е звено; тогда в соответствии с (3.14), (3.15) имеем °* - со*., 4- zk^qk = + Zk_2qk_} + Zk_xqk . Отсюда вытекает соотношение для вектора угловой скорости &-го звена: +z}q2 + (3.16) Аналогично получаем соотношение для вектора скорости поступатель- ного движения, используя выражение (3.12) с учетом (3.14), v* - v*-i + X pk,lk = ук1 + &кч х рк 2 + Zk 2qk ]) х рк_1к = = ”*-2 + «>*ч X (pk_l k + pk 2 k i) + Zk } X pk i kqk. Поскольку + Pk-X,k = Pk_2<k , 108
- и ускорений окончательно находим =^+“^^t.,t+Zt4xpt_uqk = - vt-2 + («*-2 + Zk^qk^) z рк г к + Zt ) x Pk^ kqk = = v*-2 + 2 X pk^ k + Zk i x Pk 2 kqk_x + Zt ) x Pk Продолжая этот итерационный процесс, нетрудно получить выражение для вектора линейной скорости к-г о звена манипулятора с вращающи- мися шарнирами: vk - to х Рь.кЯ\ + Zi х Р} kq2 + - + zJt4 х pk.\kqk. (3.17) Заметим, что в выражениях (3.12)—(3.15) все векторы, описываю- щие движение механизма, заданы в базовой системе координат. Это не всегда удобно, особенно при выводе динамических уравнений мани- пулятора, когда, например, момент инерции звена, вычисленный от- носительно неподвижной системы координат, зависит от положения этого звена. Поэтому целесообразно получить эти соотношения для линейных v, и угловых со/ скоростей, а также линейных vi и угло- вых й, ускорений, заданных в системах координат соответствующих звеньев. Такие соотношения весьма удобны с вычислительной точки зрения. Пусть, как и ранее, матрица перехода от системы координат z-ro звена OiXjYiZi к системе координат (z -1 )-го звена 0,^A Zt_x R‘_ k000 (3-18) Приведем без вывода следующие соотношения, для линейных скоростей и ускорений — для вращательного сочленения, , dt_ а _ для поступательного сочленения, для линейных ускорении - для вращательного сочленения, . а •>+ - для поступательного /-1 + <О( х, +A,rZ09, сочленения; (3.20) J 109
у гостии ускорения звеньев^ш;^^ для угловых скоростей /?7й +^7Zo<7/ " для вРа1цатеяьн0Г0 сочленения> ^т~ _ для поступательного сочленения; для угловых ускорении I /-1 / ы.= 5 Я,тй к I / х z0<7, - для вращательного сочленения, - для поступательного сочленения. В выражениях (3.19), (3.20) Pi_u - вектор положения системы О tX jY, ]Zi } в проекциях на оси системы координат OiXiYjZj; z0=(O, 0, 1)т. 3.1.3. Запись основных кинематических соотношений с помощью блочных матриц Для анализа кинематики и динамики манипуляционных механизмов полученные ранее выражения для линейных и угловых скоростей и ускорений звеньев манипулятора целесообразно записывать через про- изводные его обобщенных координат. Это может быть достигнуто с использованием аппарата блочных матриц [33, 35]. Блочными называют такие матрицы (векторы), компонентами ко- торых также являются матрицы (векторы). Для блочных матриц и векторов сохраняются правила выполнения операций над обычными матрицами и векторами. Так, для ихи-блочной матрицы В = [Ь^], у-1, ..., и (b{j т х т -матрицы), и блочного вектора а- - [fli,..., an] (а. т х 1 -векторы) справедливо равенство Ва = с, где f " V YJwj 7*1 С = ... — п Ytb"jaJ " X1 -блочный вектор, фактический размер которого тп х 1 110
3.1 С oom ношения для скоростей и ускорений Умножая и х и-блочную матртоу „ ........‘Г "W,a“ бЛ0Ч“’» , раамер которой, как обычной матрицы равен птх т ? ' Для блочных матриц В = [Ь 1 размеоов п х г и г г т р еров пхг и С = [с, ] размеров r х п произведение представляет собой п х „ -блочную матрицу г При этом необходимо, чтобы размери ма1риц „ „ попарное перемножение. С ‘ "0”ШМ 6"“ мат?ии «от- ношения (3 16), (3.17), (3.19) и (3.21), определяющие угловые и линей- ные скорости движения звеньев манипулятора в неподвижной системе координат. Введем блочный N х 1 -вектор угловых скоростей со и диагональ- ную N х N -блочную матрицу z, состоящую из ортов осей кинематиче- ских пар — 3x1 -векторов z;: т » = со2 ... со v)', z = diag(z0 ... z^), а также N х N -матрицу a = diag(a] о2 ... ал,). Тогда систему ра- венств (3.16) при k = 1, ..., N можно записать как одно матричное ра- венство где со - Uzoq = Ва (q)q, О , 5ш(?) = ^сг. (3.23) (П Аналогично для блочного вектора <0 = (<Э| ®2 ... (Of,) , 111
__________j Скорости и ускорения звеньев манипулятора_____ екооость в системах координат, связанных со зТенммТХипулятора, систему равенств (3.21) можно представить в виде со = QTva^, (3.24) где flT, v —блочные матрицы: ( Е О ° А О т N1 v = diag(v, v, ... v^). Для того чтобы получить матричные выражения, описывающие линейные скорости звеньев (3.17), (3.19), условимся векторное произ- ведение а х b записывать в виде Х(д)А, где А.(д) — кососимметриче- ская матрица: Заметим, что в силу свойств векторного произведения Ца)Ь = -ЦЬУа = Г (Ь)а. Введем теперь блочную матрицу A(co) = diag(A.(co1) Х(со2) ... A.(cow)) и блочные векторы Р (Рю Р11 ••• PuN-tT, У = (У1 V2 ... Уд,)7. Тогда систему равенств (3.17) при k = 1, 2, У можно представить в виде одного матричного уравнения V = Uz(E - a)q + UA^P. (3.25) Подставляя в правую часть этого равенства выражение для <в из соот ношения (3.23), второе слагаемое записываем в виде UA(&)P = ж (Р)Ш = {удт {P)Uz^ = дТ (Р)С/Отл; где 112
Ускорений 3 /. Соотношения Оля Л Г О О Таким образом, соотношению система равенств (3.17) соответствует матричному V = Uz(E - + л1 (P)Oz^ = В д где в,. = Uz(E-cs) + Л1 (P)Uzc . (3.26) Непосредственно перемножая матрицы ЛТ(Р) и С’ ставить матрицу Лт (P)Uz в правой части этого выражения в виде можно пред- Лт (P)Uz = '^**0 7Г10 Mz0)p20 О О Mz0)p /-(Zy.JP откуда следует эквивалентность равенств (3.17) и (3.26). Аналогичное равенство для блочного вектора линейных скоростей v: ... vv)\ заданных в связанных со звеньями системах координат (см.(3.19)), имеет вид V = - c)q + QTA(5)P. (3.27) где A(S) = diag(X(col) ... ЦйЛ-)), P = (P10 P21 ^VX-1)' Напомним, что элементы этих матриц о,-? v, > Р, ,-i 3a^aHbI в z й с ме координат. ~ ч Подставляя в правую часть равенства (3.27) выражение (^•24), окончательно получаем Непосредственно перемножая матрицы, стоящие Рения ком- Эт°го выражения, находим расчетные формулы для 113 г
i ..... „0HcnT «схтрра Г . Фу'™™ °’ ’ im "0P°' ° имеем ( Mv,)Ao 4-X(O2)V, )P2I = q;v1a,(v,)p!0 + + Ол,Д(П21У|)р2| + . . + Q /V дг_; A") v) ) Av V ~) QrAT(P)^v = 0 X(v2)p2( O^2X(v2 )^21 + + QV3X(D32v2 )Рз2 + ... + Од, д.-_) Х(Од, 2 V 2 ) Av JV-I записать В силу ортогональности матриц Q, можно X(fi/Ta)* = Q/TX(fl)Q/-Z>. Поэтому ^21MVl)P10 + ^(^21Vl)p21 “ )Р10 + ^2 A(V) )^21 Р 2\ ~~ — Q21Z(Vj )[р10 + ^2lPn ] — ^2 A(vi )^20 ’ где р2(} — вектор, заданный в /-й системе координат. Далее, выполняя аналогичные преобразования, выражение QTAT(P)Qva^, стоящее в правой части выражения (3.28), запишем в виде ^21^(V])p20 QTAT(P)fiva4 = 0 0 ... О Л ^(v2)p21 0 ... 0 n32^(V2)P3] ^(V3)P32 ••• 0 • • **• * • * ^^3^(^з)P^2 •* (3.29) наиболее удобном для практических вычислений. Преимущество полученных формул заключается в том, что они со- держат информацию о линейных и угловых скоростях для всех звеньев манипулятора. В частности, для А-го звена (схвата) манипулятора можно записать следующие равенства, определяющие вектор угловой скорости в абсолютной и связанной с А-м звеном системах координат: 114
где Л, - z’c. z' - г, Заметим, что вектор z можно получить'™ ’ единичным вектор ev =(] jp _ " Аналогично матрицу z на У х 1 - где Для линейной скорости А-го звена будем иметь vv = J}q. (3.32) где Jv =[A(z)Pv]T о + Т (£ -о). Л = (P.V0 P.VI ••• Px.V-T vv=J,0. (3.33) где обозначено У = Q’ (v(E - а) + A(vPv )а) • A = (P.vo P.vi ••• Формулы для определения линейных и угловых у скорений зве манипулятора получаем непосредственным дифференцирование, времени соотношений (З.ЗОНТЗЗ). Определим угловые и л ускорения в неподвижной системе координат. спПтно- Предварительно рассмотрим несколько вспомогате, шений Заметим, что в соответствии с принятыми обозначениям или z - Qjv, где QJ =diag(£ о)- 115 8*
j Скорости и ускорения звеньев манипулятора_ _____ Нетрудно проверить, что Q.o - Q,.0X(5,), Отсюда Qo =О0Л(й). Таким образом, получаем z, = X(cojz,, или в матричной форме z = A(®)z. (3.35) Теперь определим угловые ускорения е звеньев в неподвижной системе координат. Дифференцируя обе части равенства (3.23), полу- чаем ci) = ва (q)q + Вш (q, q)q = Uzcq + Uzaq = = Uz<jq + t/A(<o)zcT0 = C/QJvcr^ + OA(co)QJvq^ . (3.36) Выразив в последнем слагаемом со по формуле (3.23), окончатель- но запишем это равенство в виде £ = со = + UK(Uz<5q)Q^v<5q . (3.37) Заметим, что второе слагаемое содержит произведения скоростей от- носительного движения звеньев . Дифференцируя равенство (3.26), характеризующее линейные ско- рости звеньев в неподвижной системе координат, получаем = Bv (ч)Я + Д (?> = Uz(E - a)q + Uz(E - <5)q + + AT (P)UzGq + AT (PyUzvq + AT (JP)Uz(sq. Здесь, как и выше, р = а;р,ар = (р1о ... pNN_}y _ вектор, компоненты которого заданы в системах координат, связанных со звеньями. Таким образом, Р — Q0P + Q0P = А(со)Р + CIqV(E — a)q. С учетом этих формул находим вектор ускорения w = V = (Uz(E - ст) + Лт (P)Uza)q + [[/Л(ю)г(Е - ст) + Лт (A(<o)P)J/zct + + Лт (P)A(w)zct + Лт (QJv(£ - <s)q)Uzc]q. 116
—--------------ускорений Подставляя сюда выражения для г и w из (3 34. п — тельно получаем ' U.Z3), оконча- ю - Bv(q)q + В, (q, 9)? = [6Г(Е - aJ + д’(Р)(7(3р^ + + [Д' (P)MU^q^ + Л' (А(№0W(, Wa + 2Д1 (unr^q){E _ Последнее слагаемое в правой части этого выражения определяет ко- риолисово ускорение, возникающее при угловом вращении поступа- тельно движущихся тел. Если механизм не содержит поступательных пар (о = £), то это слагаемое равно нулю. Выражения (3.37), (3.38) описывают угловые и линейные ускоре- ния всех звеньев манипулятора в неподвижной системе координат. В частности, получаем выражение для углового ускорения схвата мани- пулятора “v =E.v =4(?)? + Л(?, q)q, (3.39) где <7) = ^oA(®)va<7, Аналогично запишем соотношение для линейного ускорения схвата x’.v =’).v = Л (?)?+Л (?, q}q (3.40) Выражение Jv(q, q) можно легко определить из (3.38) как сомножи- тель при q для А-й строки вектора и\ Полученные соотношения характеризуют зависимость скоростей и ускорений звеньев манипулятора от производных обобщенных коорди- нат, использование которых, в частности, необходимо при выводе и исследовании уравнений динамики манипуляторов (см. далее гл. 5). По- лученные соотношения можно использовать при компьютерном моде лировании манипуляционных систем [33; 45]. Однако при решении за дач управления возникают жесткие ограничения по времени, поэтому более предпочтительными являются рекуррентные формулы (см. п. 3.1.4. Уравнения для скоростей и ускорении в однородных координатах Получим аналогичные соотношения для скоростей и _ звеньев манипулятора, воспользовавшись аппаратом однородных координат. 117
3 Скорости и у СК орс н ия звеньев ашн ину ’ля т ор и Пусть Р = (х', у', 1) — вектор однородных координат точки твердого тела в связанной системе координат О А } Z и 7 матрица перехода к неподвижной системе OJCYZ. Тогда нетрудно увидеть., что имеют место следующие соотношения: r = Tp, r = г=Тр, (3.41) где г = (х, у, z, 1)т, г = (х, у, z, 0)т, г - (х, у, z,0)' однородные векторы положения, скорости и ускорения точки твердого тела в не- подвижной системе координат, a t, Т — матрицы, элементами кото- рых являются первые и вторые производные соответствующих элемен- тов матрицы Т. Пусть теперь мы имеем Л^-звенный манипулятор, кинематика кото- рого задана однородными матрицами Л1? Л2, , построенными по схеме Денавита — Хартенберга (см. § 1.4), т.е. / си ! а/ z I I а/ / I I о о / (3.42) а/ о а/ О Тогда для k-ro звена получаем 5 векторы точки х к где г и р — однородные 002Г0К07о и ОкХУСк соответственно. Обозначим------------------- ’ ---- изменения обобщенных координат сочленений. Тогда, согласно (3.43), имеем v (3-43) в системах координат —_ _ через qi скорости где (3-44) т - V* v-i дА к - А?, (3-45) Непосредственной проверкой нетрудно убедиться в справедливост следующего правила дифференцирования матриц Л,: ду Sg, =М- 118
—-С ускорений Здесь ДЛЯ вращательного сочленения (3.46) или 0 о о о °) о для призматического сочленения. (3.47) Окончательно получаем 1 / О о о о О (3.48) 0. к. (3.49) Скорость г любой точки к-го звена, заданной в системе координат звена однородным вектором р. определяем следующим образом: (3.50) Аналогично можно получить соотношение для ускорения к-го звена: (3.51) где [44 • • • • • • 4-1еЛЛи -444^ [О, u Ускорение г любой точки к-го звена, заданной однородным век тором р, легко найти, если воспользоваться соотношением _ т Л (3.53) 119
3. Скорости и ускорения звеньев манипулятора где Тк определяется соотношениями (3.51), (3.52). Таким образом, скорости и ускорения звеньев, выраженные через скорости обобщенных координат, задаются соотношениями (3.48)—(3,53). Эти соотношения не являются рекуррентными, однако их нетрудно получить, если воспользоваться соотношением, связывающим положе- ние А'-го и (к -1 )-го звена: Тк =Тк^Ак, к = \,2, Действительно, при дифференцировании этих соотношений по време- ни можно получить следующие рекуррентные уравнения для скоростей и ускорений: Tk=CxAk+Bkqk, (3.54) fk = tk_}Ak + Bkqk +Ск, (3.55) где к ’ Заметим, что (3.56) Т/Рамк»"” <ЗИН3.56) эквивалентны уравнениям 5). Покажем это для линейных в случае вращательного соединения. Пусть и угловых G)k скоростей ООО В силу системы уравнений (3.46) имеем где = QkAiAh, к ООО 001 (3-57) и кососимметрическая матоипа о оо1 задает вращение вокруг оси с ор- том zkk = (0, 0,1)т. Используя соотношение (3.54) с учетом (3 57) и (3 / j им / j и (3.58), находим к 0 0 ’ к О 0 О о 0 0 0 0 0 0 о о 120 к s
3 2 Дифференциальные npeof,paVMamjsl Рассмотрим сначала соотношение (3.59) и '*'* (16°) соотношением R = tl^R имеем етствии с известным tok -I G Матрица Rk невырожденная, следовательно. Таким образом. (U. что совпадает с выражением (3.14) для вращательного сочленения. Аналогично получим рекуррентную формулу для линейных скоро- стей. Имеем что совпадает с формулой (3.12) для вращательного сочленения. 3.2. Дифференциальные преобразования В предыдущем параде бьп.и -»“« стей и ускорении звеньев, обусловленнь важную задачу, аналогич- подвижных сочленениях. Здесь рассм малые приращения ную описанной ранее, а именно^ манипуЛятора на другие. Этот ана- лиз используют при изучении динамики многозвенны также при построении алгоритмов у правя . , , Впадение твердого тела ₽ описания дифферент* Подход, используемый . !»• 0Тп^““““” S^ol^oT™х Рабо-а—Й „опит оси проходящей и 121 ствляются вокруг оси, **Н н
Скорости и ускорения звеньев .манипулятора координат, что, естественно, приводит к перемещению начала связан- НОЙ системы координат. Это перемещение необходимо далее специ- альным образом учитывать при вычислении полной линеинои скоро- сти схвата, что является весьма неудобным. Приведенные здесь результаты лишены указанного недостатка. Пусть г — вектор, вращающийся в абсолютной системе - m - fm го со )т. Тогда имеет место С угловой скоростью со - Ш.у iwaak координат соотноше- ние Г = СОХ г (3.61) или где — кососимметрическая матрица: f 0 -со, со,, * Q„ = со. О -со, ш - Д Ч-СОГ сог О (3.62) (3-63) Заметим, что detQo - 0 . Предположим, что твердое тело вращается с угловой скоростью со вокруг оси, проходящей через начало неподвижной системы координат О0У0У020. Свяжем с телом систему координат OxXxYxZx, положение которой относительно О0У0У020 задано матрицей R, а начало Ох сов- падает с OQ. Пусть гг и г — векторы, задающие положение произволь- ной точки тела в связанной и абсолютной системах координат соответ- ственно: r = Rrr. (3.64) Дифференцируя (3.64) с учетом (3.61), (3.62), получаем г = Rr' = &xr = (bx(Rr') = ClaRr'. (3.65) Поскольку г — произвольный вектор, то в соответствии с (3.65) имеем R = &aR. (3.66) Допустим, что вектор со задан в некоторой системе координат O0XY'Z' ачала у всех систем координат совпадают) с матрицей перехода U: = (3.67) айдем матрицу . Для этого воспользуемся следующим утвержде- Если А матрица ортогонального преобразования, то имеем 122
А(а z b) = Аа х Ab . Согласно соотношениям (3.67), (3.68). получаем (3.68) = йхг = х г = (CW) X (L7J - 'г) = 1иы') х. (U(U-' = U((1i'x[J-'r) = JJC1JJ^r_ откуда в силу произвольного выбора г следует, что = '-ЧЛ (3.69) или (3.70) где со и со' связаны соотношением (3.67). Ясно, что полученная матрица QB. также является кососимметри- ческой, что легко проверить, используя соотношение (3.70). Нетрудно показать, что для ортогональной матрицы А имеет место равенство +Q6. Пусть теперь ось вращения твердого тела не проходит через нача- ло координат абсолютной системы OQXfJYQZQ. При этом связанная система O’X'Y'Z' выбрана так. что ее начало лежит в произвольной точке на оси вращения (рис. 3.4). Тогда скорость v любой точки М те- ла, заданной вектором г, имеет вид v = г = сох (г - р). (3.71) / Рис. 3.4. Вращение твердого тела вокруг оси. не проходящей через начало координат Для векторов г1 и г в связанной и абсолютной имеет место соотношение r = Rr' + p> Тогда, согласно (3.64), (3.65), имеем системах координат (3.72) 123
3 Скорости и ускорения звеньев .манипулятора r = Rr’ = &x(r-p) = o>x(Rr' + p-p) = (AxRr' = £lmRr'. откуда следует соотношение R = CiaR. (3.73) аналогичное (3.66). Получим теперь те же соотношения для однородных векторов и преобразований. Пусть по-прежнему тело вращается с угловой скоро- стью со = (<от,0)т вокруг оси, не проходящей через начало системы координат O0X0Y0Z0 (см. рис. 3.4). Положение тела (т.е. связанной системы координат OXY'Z') задано матрицей ООО Запишем для t соотношение, аналогичное (3.73): Т = Л (3.75) Согласно выражениям (3.74) и (3.75), находим откуда получаем W = —- ы'р 1^000 (3.76) Заметим, что матрица W в отличие от Q не является кососиммет- рической (хотя по-прежнему является вырожденной). Интерпретация соотношения, содержащего матрицу (3.76), в связи с равенством Р1 ХР2 =^Р1Р2’ где р) и р2 однородные векторы, является весьма интересной, но выходит за рамки обсуждаемой проблемы управления роботами. 3.2.2. Дифференциальное перемещение Как было сказано, любое движение твердого тела можно задать как плоское перемещение вместе с некоторым центром и вращение вокруг оси, проходящей через этот центр. Дифференциальное переме- щение задается вектором 124
3.2. Дифференциальные ds -- преобразования дф dr Р (3.77) где (3.78) которого беско- 1 1 (ox, бу. 6z) r вектор дифференциального вращени " нечно малые углы поворота Boxnvr - КОмп°ненты руг осей координат- вектор дифференциального переноса компот (3.79; но малые перемещения (с сохранением опиен ' К°ТОрОГО бе*к°”еч- динат. ' °риентации) вдоль осей коор Далее будут рассмотрены проеКЦии этих вектоп систем координат. х векторов на оси разных Свяжем, как и прежде, систему координат с твердым телом, поло жение которого задано матрицей \_R \р\ I обо и i / Пусть твердое тело совершает дифференциальное перемещение, т.е. дифференциальный перенос dr7 ~(dxr. dyT. dz . У . и затем дифференциальное вращение 6фг = (5хг, Зу7. bzT Г вокруг оси, проходящей через начало связанной с телом системы коор- динат (рис. 3.5) (векторы drr и 5ф заданы проекциями на оси свя занной системы координат). Тогда новое значение матрицы Т принимает вид T\drT, 6фу) = TL(drj )Rot(8(p,) = TLT Rot;. (3 80) Рнс. 3.5. Дифференциальное перемещение 125
3, Скорости и ускорения звеньев Мо,шпуля,пори_______ „ . «ктпяжением (1.3 Г) матрица L(drr) = LT равна В соответствии с выражением v ООО (3.81) Найдем матрицу Rot,.. Воспользуемся выражениями (1.9)41.11) для нахождения матриц, описывающих элементарные вращения. Учиты- вая что компоненты вектора (3.78) бесконечно малы, получаем О (3.82) (3.83) 1 -5z 0 1 0 0 0 1 о 0 0 1, (3.84) Нетрудно проверить, что суммарное вращение не зависит от по- рядка вращений вокруг координат (поэтому будем считать 8ф векто- ром) и, следовательно, Rot(6(pr) = Rotr = 0 ~5zT 1 8xr 0 &Ут -?>хт 1 0 0Л о о 1, (3.85) С учетом выражений (3.81), (3.85) находим L j' R,ot у — о -8хг 1 0 (3.86) 126
3.2. Дифференциальные преобразования Пусть теперь компоненты дифференциального перемещения зада абсолютной системе координат, т.е. Н 8<Ро=Я6ф7! dr, = RdrT. Тогда для матрицы переноса получаем следующее выражение: ( R р\(Е dr, (R p + dr.\ (3.87) ^0 J \ = L<>r- (3.88) Рассмотрим теперь матрицу дифференциального вращения (3.85). Вращение тела осуществляется вокруг оси. проходящей через начало связанной системы координат с матрицей перехода U = TLT. Ясно, что (3.89) ООО RotT =Е + Иг6ф0, e в соответствии с соотношением (3.76) "1. Ю _9ф? ' _ обо Тб 6ф7 .0 Аналогично (3.70) находим w^=u-'w^pu. Подставляя выражение (3.91) в (3.89). получаем Rot, = E + U-'W^.pU = Ь (f' + Mfe.p) Rot0 U, где Rot0 = Е + 000 1 С учетом равенства U = ТЬт имеем Rot7.=L~'T{ Rot071.r, и окончательно ГО/Го, 8фо) = Rot0 £°г' где 0 1^000 -8z0 5 Rot 0 о о о 5Хо О о (3.90) (3.91) (3.92) (3.93) (3.94) (3.95) (3.96) 127
3. Скорости и ускорения звеньев манипулятора Таким образом, соотношения (3.80), (3.81), (3.85) и (3.94)-(3.96) опре- деляют положение связанной системы координат после осуществления дифференциальных преобразований, заданных в связанной и абсолют- ной системах координат. 3.2.3. Матрица дифференциальных преобразований Представим матрицу Т' в виде (рис. 3.6) (3.97) T' = T + dT. Рис. 3.6. Изменение матрицы положения в результате дифференциального преобразования Тогда для дифференциальных преобразований, заданных в связанной системе координат, имеем dTr = T\drr, &<f>г)-T = T(Lr Rotr-E) или (3.98) 0 8z,. - 8zr 0 dyr dzr 0 ООО drT 0 (3.99) непод- 0 0 0 в dT. - T\drb, 8ф0) - т = (Rot0 Lo - Е)Т 128
Матрицы Д7 и До называют матрицами оифференииальных преобра- зований, соответствующих дифференциальному переносу и вращению Поскольку, согласно построению dT:i = dTr (см. (3.97)). имеем W = 13.102) и, следовательно Д7 =Г'|Д07'. (3.103) Получим еще один результат, который используем далее при изу- чении вопросов, связанных с управлением. Сформулируем задач}, в известном смысле обратную по отношению к только что рассмотрен- ной. Предположим, что положения тела в моменты времени иг,, причем разность —t, мала, характеризуются в базовой системе коор- динат матрицами (3.104) ООО О О 0 * э о 2 ООО (З.Ю5) о 2 О Ребуется найти дифференциальные перемещения (Sx> У’ ) и матрицу, переводящую Г, в Г, в базовой системе kJ^ °мним, что подобная задача рассматривалась в п. ’совмещеНия Учитывалась малость перемещений, необходимых О 129
Скорости «ускорения звеньев манипулятора Имеем dr ООО (3.106) (3.107) (3.108) откуда dr = р2 ~ру- и, следовательно, х, = х, + 8ф х -V,, J, = J’l + S<P X У2, z2 =Z| +6(pxz,. Умножая векторно слева (3.108) последовательно на Х|, _У|, Z|, после элементарных преобразований получаем 6<р = |(х| хх2+J», х j,+z, xz2). (3.109) Таким образом, чтобы переместить твердое тело из некоторого поло- жения, заданного матрицей 1\, в близкое положение, заданное матри- цей Г2. необходимо переместить его на вектор dr (3.106) и повернуть вокруг оси, проходящей через начало связанной системы и определяе- мой вектором 6ф (3.109). При этом все векторы заданы в абсолютной системе координат. 3.3. Прямая и обратная задачи о скорости Выше мы рассматривали прямую и обратную задачи о положении, имея в виду нахождение зависимости между обобщенными координа- тами механизма и положением схвата. Аналогично сформулируем и задачу о скорости, играющую большую роль при построении алгорит- мов управления движением манипулятора. Пусть положение схвата А-звенного манипулятора характеризует- ся шестью числами: тремя координатами начала связанной со охва- том системы координат и тремя углами, определяющими ее ориента- цию. Обозначим, как и раньше (см. § 1.4), эти параметры через 5. Пусть q = (gt, qlyqN)r — вектор обобщенных координат, q = ~ ^2’ Чы) вектор скоростей обобщенных координат, v и ВО
—------------------3_3_Лрямая иобратная задачи о скорости________________ ю ? линейная и угловая скорости схвата (т.е. системы координат связанной со сх«атом) соответствен». Положение охват. однозначно определяется его обобщенными координатами s = Ля) • Дифференцируя (3.110) по времени, получаем где 5 — 6 х 1 - вектор обобщенной скорости схвата: (3.110) х * 7 7 J(*?) 6 х Л/ -матрица Якоби для преобразования/: Соотношение (3,111) показывает, что вектор обобщенной скорости схвата линейно зависит от вектора скоростей обобщенных координат. Заметим, что при N = 6 матрица Якоби становится квадратной, и для нее можно вычислить определитель det J(q), который называют яко- бианом преобразования/. Сформулируем прямую и обратную задачи о скорости. Прямая’, по заданному вектору скоростей обобщенных координат q найти вектор обобщенной скорости схвата $. Обратная: по заданному вектору обобщенной скорости схвата 5 найти скорости в сочленениях q . Рассмотрим сначала прямую скоростную задачу. 3.3.1. Прямая задача о скорости Пусть задана скорость изменения обобщенных координат q, тре- буется найти угловую со и линейную v скорости схвата'/СП°^У соотношения (3.12), (3.14), заметим, что если матрицу Якоби записать следующим образом: J(q) = Op h’- > (хП2) то 6-мерный вектор jk будет определяться выражен х Pk-кн J для вращательного сочленения, 131 9»
Г Скорости и ускорения тенист манипулятора либо ( О у ' для тслсскопическо! о сочленения. ^k I / Таким образом, соотношение для скороеiей ( = J(q)q, (3.113) где матрица Якоби J(q) определяется выражением (3.112), является решением прямой задачи о скорости. Покажем теперь, как можно получить матрицу Якоби, используя дифференциальные преобразования. Найдем k-и столбец матрицы Якоби jk. Пусть к-е звено манипулятора совершает движение, вызван- ное малым изменением соответствующей обобщенной координаты. Изменение матрицы положения манипулятора обозначим dkT . Тогда в соответствии с выражениями (3.45)-(3.49) имеем = Я] Л2...Ak_fi kdq кАклЛ ... AN_XAN , (3.114) где задается равенством (3.46) или (3.47) в зависимости от типа со- членения. Кроме того, в соответствии с выражением (3.68) можно записать: dkT = ^T. (3.115) Тогда, используя (3.85), (3.86), получаем д01 = (4ЛГ = (Л4-4-1б*^*44+1 -Л-МС ...а-'а,-1)- (3.116) Если, как и прежде, через Tt_t обозначить матрицу, задающую поло- жение и ориентацию системы координат (к — 1 )-го звена в абсолютной системе координат: ^*-1 “ А ^2 • * * ^А-1 5 то получим ^0* = Tk-ftkTk\dqk. (3.117) Пусть матрица Тк_} имеет вид 132
ния задачи о скорости Тогда в соответствии с (1.40) (3.119) Обозначим через оср. и dr. л искомые дифференциальные перемеще- ния схвата. Если в (3.117) выполнить все необходимые операции то получим для вращательного сочленения следующее выражение: Откуда °»Ф.. (3.120) drs = ^Ру - R^rM^Pk-<dqk- (3.121) Здесь Q00i —матрица вращения вокруг вектора (0. 0. 1)т. Поскольку в силу (3.68) из (3.120), (3.121) имеем =Q. dqk, (мр v J Л drN = fi (рЛ -рк-№^ отсюда 5ф ,v — zk_\dqk, drN - Zk_} x (Рл “ Pk-] №k' (3.122) (3.123) сочленения. что совпадает с выражением (3.112) для вращательного Для поступательного сочленения вывод аналогичен. vnnn J тттойоаа гvnпости заданы в системе коор- Пусть теперь угловая и линейная скор v v 7 Тпгпа в соответствии с выражением (З.оУ) динат схвата 1°гДа в вместо соотношения (3.115) запишем dkT = Tbr. (3.124) Следовательно, дт =T~'dkT = (AkAk+l К Л ...An)'о*dqk(АкАм ...Ан). (3.125) 133
3 Скорости и ускорения звеньев манипулятора Введем матрицу U>=A^A^...AN^AN, (3.126) определяющую положение и ориентацию схвата в /-й системе коорди. нат. Кроме того, для этой матрицы можно легко получить следующие рекуррентные соотношения: U= AAJ,, i = N, N(3.127) где V N = Е. Соотношение (3.125) можно записать в виде Л z, —Uk^tdqkUk_i. Обозначая У, р,У /о” VcTT) после несложных преобразований получаем для вращательного сочле- нения соотношения, аналогичные (3.122), (3.123), ^Фл/7 " (хк~]. > Ук-у > zk\:) ^Як -> (3.128) ~xk-itPk-\v > Уь-\у A-ir “ Ук-уРк-у > zk-\yPk~\t — гк-уРк-уУ• Обсудим некоторые аспекты, связанные с вычислением матрицы Якоби (3.112). Обозначая имеем со = J а, (ОТ ’ v = 44- Тогда, как видно из (3.122), труда, поскольку векторы z. вычисление матрицы <7М не представляет являются компонентами матрицы I ООО Что же касается вычисления J =(аЛ а а 1 то зпесь воз- никают трудности, связанные с вычислением векторных произведе- НИЙ a^ZixPiN, при этом z,.=z;(?1>g2,..„9i), Pi N = ~ Pi,n(?i> ?2» •••> qц) . 134
------------------о сКОрости получим еще одну форму представления матрицы J в какой то степени упрощающую процедуру ее вычисления. Для этого не”0 расширим понятие векторного произведения несколько матри». ста„бцами которм ямтся 2 » •*' ’ ” - u’»>- (3.129) Векторное произведение вектора и матрицы представим в виде С=ахВ = (ахЬ} ахЬг ...axbm), (3.130) где а л х 1 -вектор, В п х т -матрица; С — п х т -матрица. Нетрудно доказать следующие свойства введенной операции: a (UxVby = (LTVb)*U\ (RxRby = bxR\ 7. (Rt>) ха = (К х d)b . Рассмотрим элемент матрицы Якоби, имеющий вид a, = гл л. v. (3.134) (3.137) (3.138) Пусть матрицы л ООО к " (3.140) абсолют- в ооо 1; задают положение и ориентацию к-го звена манипулятора ной и относительной системах координат соответственно. Тогда соотношение (3.138) преобразуется к виду * ак =zkxpkN=(Rke;)x(Rkp^ = Rk(e^P^ где ez в (0, 0, 1/; ркк N - вектор, соединяющий начала систем коор- динат OkXkYkZk и OnXnYnZn, заданный в системе OkXkYkZk. _р х ок входящего в соотношение Введем вместо вектора ак -ех Pk,N> (3.141), матрицу (3.141) 135
Yk=ExpkN> (3.142) где операция векторного умножения выполняется в том смысле, в ка ком она введена выше соотношением (3.130). Нетрудно увидеть, что е-. х Рк.N = Ykе.. (3.143) В силу свойства (3.133) имеем = ~Рк, N Х Е = ~^р* = Qp* ... • (3.144) ГА Л ' / Заметим, что при использовании полученных соотношений (3.141) (3.143), а также того очевидного факта, что % к ~ z > матрицу Якоби (для вращательных сочленений) можно представить следующим образом: Т £| ••• £/V-l ^0 Х Po,N х Р1.Д, _ Л R0e: R\e: J№:*Po,N) Ri(e:xP;N) Найдем зависимость между У, и У = Q\. Pi- Из рис. 3.7 ясно, что »*-i Pk-1,N ~ 1"к + С / к- Pk-1,N Гогда РИС> 3'7’Связь к ~1 ’й и м =(okQpto;+£ ••• Zn-i х Pk-I'N J ••• RN-1 (^z х Pn-1 ,n j ~ RN-\ez RN-\^N-Ie: j _]. Имеем (3-145) ^kPk.N • *b/V систем координат \ )T = o;qt ok + q; . Pk.N * rk 136
_______________ учитывая свойство (3.144), получаем следуют^ ношения: «дующие рекуррентные соот- **-' OkYk(Tk - Q к = у .у _ j , Г" =e--xP,v.,v = 0. Рассмотрим матрицу ^=RkYk. Ясно, что по-прежнему компонента матрицы Якоби «*=»>... Тогда (3.146) (3.147) (3.148) _ Rk-i(OkYkOl ~^rt) = Rk.lOkYkOJk -Rk_}Qr = = RkYko; - Rk_}& = wko; -Rk_}Q. . Рассмотрим теперь член . В соответствии с выражениями (3.131)~(3.137) имеем ЪАк = Rkо;Q,t = -Rk(О;q; ) = -Rk(Q. Oky= -Rk(rk *Oky= -RkL\. Окончательно получаем и;, =^*o;y-i.i. (3.149) wN = о, где Lt=(rk*Ok). (3.150) Таким образом, определение компонент подматрицы Якоби Jv = (Woe: №}е: ... (ЗЛ51) заключается в выполнении следующих шагов. 1. Вычисление матриц Д, / = 1, 2, ..., N в соответствии с (3.150). Заметим, что эти матрицы, как правило, весьма просты, и, более того, поскольку Af задается равенством (2.8), то нетрудно увидеть, что а^,Уа/ -d,CiCai aiS:Cai ~ diS^i L, = г, X о. = dici -акс-,8а1 ~d,s,ca: -Я,Wai О wai соответствии с (3.149) и 2. Вычисление , i = N~~Т г т т т vaw тпетьего столбца матриц уу, • нахождение компонент а, матрицы Jv как тр 137
3 Скорости и ускорения звеньев манипулятора_________ Пример 3.1. Решить прямую задачу о скорости для двухзвенного манипулятора (рис.3.8). Рис. 3.8. Двухзвенный плоский манипулятор Решение Матрицы положения звеньев задаются следующим образом: о о 1 с, о ас? as. О Г1 kooo Проиллюстрируем оба описанных выше способа вычисления мат- рицы Якоби. В соответствии с первым способом матрица Якоби имеет вид го где z0 =z, = (О, 0,1)т. Заметим, что Р0.2-Р2 =(а(С1 + с12), a(s, + s12), 0)т, Pi2 =Po,2~Po.i = Рг~ Р\ = ((ас12, as12), 0)т. 138
И окончательно получаем О О О О 1 1 - U(51 4- 512) - + С] 2) 2 о о Получим теперь матрицу Якоби с дуры. Согласно второму способу, имеем помощью рекуррентной проце- 2 2 — О as. 0 О as - ас 5 о о о О о о О О -ас, as. -ас 2 О -as,. ОС,, О о о о о о 139
j Скорости и ускорения звеньев манипупятира_______~ гттбим IV и IV в матрицу Якоби, получаем тот Подставляя третьи столоны и „} F же результат, что и в предыдущем случае. В рассматриваемом примере элементы матрицы У можно полу, нить непосредственным дифференцированием вектора р2 матрицы Т,. Действительно. (Х?- У->)Т ~ Р1 ^(^1 * тогда Х2 =-6Z5^j -ОУ]2(^1 + ^2)? У2 = -aclqJ -ac]2(q} +q2V что соответствует соотношению для матрицы Jv. 3.3.2. Обратная задача о скорости Перейдем теперь к решению обратной задачи о скорости. Пусть, как и прежде, вектор 5 = (сот, vT)T задает линейную и угловую скорости схвата. Требуется найти скорости в подвижных сочленениях q, с кото- рыми движется схват со скоростью s. В этом случае соотношение J(q)q = s (3.152) следует рассматривать как линейную систему шести уравнений с N не- известными q}, q2, qN. Известно, что система линейных уравнений Ах = Ь. (3.153) где А известная матрица т х п; х — неизвестный вектор п х 1, b — заданный вектор т х 1, имеет решение тогда и только тогда, когда г = rank(А) = гапк(А, Ь) , (3.154) где (А, й) расширенная матрица т х (и +1)5 получаемая из матрицы А путем добавления вектора b в качестве (п -I-1 )-го столбца. Если “ и > то существует единственное решение. Если соотношение (3.154) выполняется и r<w, то т — г уравнений можно выразить в виде линейной комбинации г независимых уравнений и им удовлетво- ряют решения г уравнений. 140
._______________— ПР™‘?±^Ратная 3a<^u о CKnn ------- :--------------------------u ° корост и в терминах решаемой задачи это означЗ^ 1. Если число степеней подвижности манитГ^' х матрица Якоои является квадратной то неон ’ ра ' '' те- ИР» ' "“°хм™ рассмотреть два Пусть, три некотором, вьшмюто уаои рвтта Якоои невырожденная, тогда »6ра1вая скоростная ,иача качестве решения единственный вектор <7 = 7'(91^ (3.155) Если при некотором q выполнено условие detj(9) = o (те г = rank(J) < 6). то обратная скоростная задача либо имеет бесконечно много решений, если выполняется условие rank(J) = rank(J. $). (3.156) либо не имеет ни одного, если условие (3.156) не выполняется. Такие конфигурации манипулятора ц , при которых det Jitj ) — 0. называют вырожденными. Таким ооразом. вырожденная конфигурация характе- ризуется тем, что для нее либо существует бесконечно много способов реализовать движение схвата с заданной скоростью, либо не существу- ет ни одного способа. 2. Если число степеней подвижности Ат>6, то решений обратной скоростной задачи либо бесконечно много, либо не существует вовсе. Манипуляторы с числом степеней подвижности N > 6 называют избы- точными. Их применяют обычно при выполнении различных операций в загроможденном пространстве, когда требуется избежать столкнове- ний с препятствиями в рабочей зоне. В данном случае используется способность манипулятора при одном и том же положении схвата при- нимать различные конфигурации. Заметим, что управление такими манипуляторами существенно сложней, чем манипуляторами с числом степеней подвижности N < 6. 3. Если N < 6, то возможна любая из перечисленных выше ситу а Ций: отсутствие решения, единственное решение и оесконечн жество решений. Обычно манипуляторы с числом степеней ности tV < 6 применяют для выполнения простых трав операций (загрузка — разгрузка станков, обслуживание к_ т-е. когда не требуется обеспечивать перемещение схва ку рабочего пространства с любой ориентацией. 141
5 Скорости и ускорения звеньев манипулятора Пример 3.2. Пусть имеется двухзвенный плоский манипулятор (см. рис. 3.8). Рассмотрим только линейные скорости схвата. Из соот- ношения (3.151) имеем где Поскольку матрица Якоби квадратная (2 х 2), то det J = s. и, следовательно, det</(^1? тси) = 0, что соответствует либо полностью вытянутой (рис. 3.9, а), либо сло- женной (рис. 3.9, б) «руке». Нетрудно видеть, что в вырожденных по- ложениях имеют место следующие равенства: для вытянутой «руки» (q2 = 2itk) f- 2asx - os, ч 2асх асх j ’ для сложенной «руки» (q2 = 2n(k +1)) j. ^0 asx ,0 ~acxy \ 4 Рис. 3.9. Вырожденные конфигурации для плоского манипулятора 142
___---------------0 скопп -—- —------J ск°рости в обоих случаях развиваемая скорость с -------- вольной, но удовлетворяет соотношению СХВЭТа ” Не является произ- ут = 0, т е перпендикулярна «руке,,, либо воо6ще рама Таким образом, при ,, м обратим зщма Ч, - 0. единственное решение. При q2 Р сти имеет 1) не имеет решения, если командный вектор скорости не удовлетворяет соотношению V С, — V t = П X I k 1 3 1 - и , 2) имеет бесконечно много решений, если вектор скорости удовле творяет указанному соотношению, и их можно представить в виде X ’ где t — любое действительное число. Безусловно, что в случае практической реализации необходимо учитывать ограничения 2 mix ’ I — 'll max ’ Процедура поиска решения уравнения (3.152) часто является одной из компонент алгоритма управления манипуляторами, и, более того, вычислительная сложность процедуры обращения матрицы Якоби оп- ределяет эффективность алгоритма управления в целом. Очевидно, что наиболее эффективный результат можно достигнуть, если удастся по- лучить аналитическое решение системы (3.152) в виде qt - а 1 (?)ш + W ’ 7 = 1' 2'- " ’ Несмотря на то, что для шестизвенных манипуляторов возможно обращение функциональной матрицы размеров 6x6, однако вы числительная сложность этой процедуры чрезвычайно высока, по крайней мере, в настоящее время не существует представления м тр Цы J 1 (q) в замкнутой форме для манипулятора с произвольной магической схемой. К счастью, существует довольно шиР01®и манипуляторов, для которых возможно получить аналитиче ставление обратной матрицы Якоби. 143
з. Скорости и ускорения звеньев манипулятора 3.3.3. Манипуляторы с тремя пересекающимися осями сочленений Пусть оси вращения zk. Z,, Z„, трех шарниров манипулятора с N степенями подвижности пересекаются в одной точке О (рис. 3.10). В соответствии с (3.112) уравнения, связывающие скорости, имеют вид ад, + ... + 2Лъ! +--- + M/+1 + ”- + zXi +-.. + ZN_}qN W, (3.157) (Zo x Ро.н )?1 + • •+ (z< x A1 + • • + (Z/ x Ал )9/+1 + • • • + + (z,„ хА„л)?/+1+-" + (zA'-i xPv-i.n)9w v' (3.158) Рис. 3.10. Пересечение осей вращения трех шарниров Умножая уравнение (3.157) векторно на pk N и вычитая из (3.158), по- лучаем (*о х A.Jtfi +--- + (zA хрц)^+1 + ... + (z, х plk)qi+l +...+ + <А;ХАм)?/+1 +-.- + (Z/V_] х Av-u)^ =v-(£>xpk n = va. (3.159) Заметим , что если начало координат ОкХkYkZk лежит в точке О пере- сечения осей, то р{ к = k/z/, рпцк = kmzm и, следовательно, z/x Ал = = 0. Тогда уравнение (3.159) содержит в качестве неизвестных jV-3 скорости (линейных или угловых) в сочленениях. Что касается требо- вания совпадения начала координат Ок и О (см. рис. 3.10), то оно не является очень сильным, поскольку при построении систем координат 144
3-3. Прямая и Обратная Пенавиту Хар1енбергу (см. 8 (4) ияц,„ * " Гожно выбирать в любой точке оси вращения К°°РДИНат сочленений Таким образом, можно утверждать следуЮЩее. трех сочленений N-звенного манипулятора пересекГ™ °C” Вращений Ке, то уравнение для скоростей можно декомпозировТтГ В °W°® Т°Ч‘ Ч =у, (3.160) где Л,, - матрицы 3 х (JV - 3); Jn _ матрица от q лишь нумерацией обобщенных координат. Отметим, что аналогичный результат можно получить для „поит вольного числа пересекающихся осей. ' р Рассмотрим случай А' =6.Тогда в уравнении (3.160) все матрицы имеют размеры 3x3 и их можно представить в виде 5 (3.161) (3.162) где q = искомые скорости в сочленениях. Следовательно, решение обратной задачи о скорости состоит сна- чала в нахождении вектора q] из (3.161), т.е. в обращении матрицы размера 3 х 3 , и далее — в нахождении q' из (3.162). Итак, оба урав- нения (3.161), (3.162) имеют вид ax + by + cz = d. (j.163) где a, b,c,d — известные векторы; х, у, z — компоненты искомого век тора q[ или q1. Решение уравнения (3.163) имеет вид 5 (3.164) (3.165) где через [и v и?] обозначено смешанное произведение. [« v и»] = и(у х нО торые Напомним основные свойства смешанного произвел м°гут быть полезны для решения различных прикл [« V ». «М» » = + • “1 [и V H'] = det(M V И*)- (3.166) (3.167) 145 10 - 14Я0
3. Скорости и ускорения звеньев манипулятора В заключение заметим, что аналитическое обращение матрицу Якоби возможно также в том случае, если механизм содержит три по ступательных шарнира. Продемонстрируем этот подход для решения обратной задачи о скорости для манипулятора PUMA. Пример 3.3. Решим обратную скоростную задачу для манипуля- тора PUMA (см. рис. 1.22). Поскольку все сочленения вращательные, то в соответствии с выражением (3.112) имеем следующие уравнения для скоростей: ад +ад? + + *з?4 = (3.168) Uo х Ро.6 + (Z, X р, 6 )q2 + (z, X Р2 6 )q3 + (Z3 x p3 6 )qA + + (Z4 хЛ,б)?5 +(z5 xp5.6)?6 = V. (3.169) Заметим, что кинематическая схема манипулятора такова, что оси z3, z4, z5 трех шарниров пересекаются в одной точке (О4,О5) (см. рис. 1.22), следовательно, можно воспользоваться подходом, описан- ным выше. Умножая уравнение (3.168) векторно на р. и вычитая его из (3.169), в силу коллинеарности р3 4 и z3, р4 5 = 0, получаем (zo х рол)4|+(Z| х pl 4)^2+(z2 хр2 4)^3 = v-шх р0 4 = v4. (3.170) В соответствии с (3.163), (3.164) имеем . [(Zo хр )v4] 7з=-----------=----—------- (3.171) (3.172) (3.173) где D123 = [(z0 х р0 4)(z, х р, 4)(z2 х рг 4)] — детерминант системы уравнений (3.170). Упростим теперь соотношения (3.171)—(3.173), используя полу- ченное в § 2.1 решение прямой задачи кинематики в рекуррентной форме (см. пример 2.2). Вычислим сначала D. В соответствии с (3.164) Di2з = («о х Рол )[(z 1 х р14) х (z2 х р2 4)]. (3.174) 146
3.3 Прямая и обратная задачи 0 скорости Учитывая, что получаем Для векторных произведений ортов связанных систем координат имеем ZOXZI=-XI’ Zoxx2=c2z,, zo ХХ3 =-s2Zp Z(jXZ3=c^Zi Тогда Zg X Pg 4 ^2"^1 (^2С, ^”^3^23 ^4*^23 )Z| • (3.175) Далее вычислим z, x p} i. Поскольку p} 4 = p04, Z, x Pl.4 = fl2(Z1 хх^ + аДг, xxj + djz, xzj, (3.176) где соответствующие векторные произведения: Z, х х2 = z2 хт, = у2, zt хх, = j3 XX, = —z3, Z) xz, =y, xz, =x3. Следовательно, Z, xpl4 = a2y2 + ^4x,-o3z3- (3.177) Найдем теперь z2 x p2 4 • Воспользуемся следующими очевидными соотношениями: Z2 X р2 4 = Z, X (р, 4 - p12) = Z, X p, 4 - z, X a2x2 -z, x p, 4 a,y2 т.е. z2 X P2,4 =Й?4Х3 -fl3Z3- (3.178) Вычислим (Zj x p, 4) x (z2 x p, 4): (Z, X p, 4 ) X (z2 X p2 4) = («2У2 + 0*4*3 X ~OiZi Поскольку TO (z, xpu)x(z2 Осталось умножить скалярно X Pl,4 ) (#3^3 ^4C3 )^2 ' (3.176) на (3.179). Так как (3.179) Z,Z2=1> 147 10*
3 Скорости и ускорения звеньев манипулятора окончательно получаем выражение для детерминанта. Р123 = a2(a3s3 -d4c3)(a2c2 + а3с23 + d4s23). (3.180) Заметим, что для входящих в детерминант сомножителей имеют место следующие соотношения: #3*^3 ~^4С3 = ^3,4^ ’ + ^ЗЗ^’т 3 + d^S2 3 — Р] д •> где 4 — проекция вектора, соединяющего начало координат О3 с О,, на ось К, системы координат O2X2Y2Z2; р,4 —проекция векто- ра, соединяющего начало координат Ot (или OQ) с О4, на ось сис- темы координат . В этом легко убедиться, если вычислить матрицы Z3Z4 и Л2Л3Л4 и рассмотреть их последние столбцы. С учетом сказанного имеем ^123 ~ @2 3^34 *14 ’ (3.181) где обозначено 3^34 = Р\*уг ’ (3.182) *14=Л4 (3-183) Вычислим скорость в первом сочленении ср . В соответствии с (3.171) числитель выражения (3.181) имеет вид [v4(Zi xp14)(z, х р, 4)] = v4[(Z] xp14)x(z2 х р24)]. Подставляя сюда (3.179), получаем при у34 ф 0 9,=^. (3.184) *14 Если ^34^3=0, (3.185) то qx может принимать любое значение. Уравнение (3.185) задает множество вырожденных конфигураций манипулятора. Геометрически соотношения (3.185) означают (с учетом того, что а3 <0), что направ- ление вектора, соединяющего О2 и О4 (или О5) совпадает с направле- нием второго звена (см. рис. 1.22). Еще одно множество вырожденных конфигураций манипулятора задается соотношением *14 = 0. (3.186) 148
---------- Это такие конфигурации, при которых точка О (ипн л ч 4 кили (л j лежит в врп- тикальнои плоскости, проходящей через оси У, z (или Z Р Найдем теперь д2. В соответствии с вттпЯ'™.« J” 4 ’ и с выражениями (3.175) (3 1761 имеем av-1'oj [(Zn х AmWz2 xP2.4)]--vJzf)Xp0 4)x(Z2 хр2Д где (z0 х р0 А) и (z, х р2 4) задаются равенствами (3.171), (3.178) соот ветственно. Учитывая, что X|XX3 523Z15 X,XZj- C23Z!, Z)XX3=-z3, ZjXZ3=x3, получаем (Zo x Po,4)x(z2 x P2 4) = ~d2(d4s23 + a3c23)z} -x^a3x3 -xud^z3. Тогда для q2 можно записать соотношение , ^4 ((^3^23 + ^4 $ з)"61 ^”^14^3^3 ^14^4“3 q2 =---------:(3.187) ^2 У 2 4 4 Найдем ?3.В соответствии с (3.175), (3.176), используя равенство (3.164), получаем [(Z0 * РОЛ )(Z1 Х Р|,4 >4 ] = V4 [(Zo X РМ ) X (Z, X р, 4 )] . Учитывая соотношения (3.175), (3.177), атакже равенства х, х у2 =c2z,, х, х х, =s23Z|, x,xz3- c23zt, Z|XJ2=-X,, Z|XX3--Z3, Z,xz3 X3,' имеем [(Zo X Po.4 ) x (Z, x )] = -x,4 + +M- Так как в последнем равенстве слева стоит poi, то получаем пр !4 У4Р0.4 Я2У34 (3.188) Если х14 =0,то q3 является любым действительным Перейдем теперь к нахождению УГЛОДЬ1Х ск^ пятом и шестом сочленениях. В силу (3.1 )име M4+M5+Z5*6=Q’ числом. в четвертом (3.189) Q = CO-Zo?l -Мг z^3 (3.190) 149 где
Скорости и ускорения звеньев манипулятора известный (после нахождения <7:' #з) вектор. (3.189) решим аналогично (3.170). Имеем Систему уравнений (3.191) (3.192) (3.193) где £456 =[z3 z4 z5 ] • (3.194) Вычислим детерминант £>456: &456 = z3(z4^<z5) = -s5. (3-195) Тогда можно получить следующие соотношения: [Q z4 z5] = Qr;. [z, Q z}] = -<ly5z4, [z3 z4 Q] = -Qr4. Таким образом, выражения для скоростей в сочленениях имеют вид (3.196) (3.197) (3.198) =----- S5 qf =Oz4 при s5 = 0, (lx. * 4 Чь =--- ^5 Из выражений (3.195) ясно, что множество вырожденных конфи- гураций задается уравнением s5 =0. (3.199) Геометрической интерпретацией решений уравнения (3.199) являются все конфигурации манипулятора, при которых «кисть» и «предплечье» (т.е. четвертое и пятое звенья ) вытянуты в одну линию (см. рис. 1.22). Итак, решение обратной скоростной задачи для манипулятора PUMA задается соотношениями (3.184), (3.187), (3.188), (3.191)- (3.193). При этом вырожденные конфигурации манипулятора определяются соотношениями (3.185), (3.186), (3.199). 150
3.3.4. Обратная плача ГД, ~~~L------------------ скорости как iaja — В предыдущем параграфе бЬПг ЧИни'1изацИи “™ги“ “иа -к—-5 Xi0,xsr* тиба решение не яв.1яется еЛ”'Л, т ’ прио.тиженное решение уравнения е„„1ве1мо критерии опенки степени прио.т„женщ“ m J°PT“P0“‘ « распространенных спеееоо, оцми №»« От»и„ ваи6о^ - 1ет°п наименьших квад- ратов. Пусть линейная система т уравнений с п неизвестными имеет вид * Ах~Ь. (3.201) где А — матрица т х п : х — неизвестный вектор н х 1. Ь — известный вектор /7x1. Найдем такой вектор а. который удовлетворяет условию = пштЛх-/?' . (3.202) II II х где под нормой вектора с = (сг с2. .... сп )' понимают его длину, т.е с 2 = с ~ (хотя можно использовать и другие способы нормирования линейного пространства). Тогда поставленная задача сводится к поиску минимума фхнкции (3.203) Представляя /(х) а .яле -- м. ходимое условие экстремума, получае. - хождения вектора а, удовлетворяющего х словию си^.тричеХ'магрина .ГА размеров .л не- Если квадратная вырожденная, т.е. det(ATA)^0, (3.205) то искомый вектор где а-А+Ь, л+ =(Л\4)-ЛТ, (3.206) (3207) 151
j (Прости н ускорении теш,ев нанипушторн называю» псевОообратной матрицей по отношению к А. Нетрудно проверить, чю если матрица А закона, чю существуем А ,w/l и '. Необходимое и достаточное условие выполнения неравенства (3.205) состоит в том, чтобы матрица А имела максимально возможный pain, т .с. гапк(Л) = min(w, п). 63.208; Если же условие (3.205) или (3.208) (что одно и то же) нс выполняется, то уравнение (3.204) имеет бесчисленное множество решений, из кото- рых следует выбрать то, которое нас устраивает в том или ином смыс- ле. Один из подходов решения уравнения (3.204) состоит в следующем. Пусть матрица А имеет ранг г = гапк(Л) < min(w, я), т.е. det( А' А) -0. Тогда матрицу А можно представить в виде A-LR, (3.209) где Л матрица m*r\R — матрица гхп . В этом случае rank(/J = гапк(7?) = г , т.е. ранги матриц L и R максимально возможные. Представление мат- рицы в форме (3.209) называют скелетным разложением матрицы А. Нетрудно видеть, что скелетное разложение матрицы А не является единственным. Потребуем теперь, чтобы существовали такие матрицы U и V, для которых строки и столбцы псевдообратной матрицы А + являются ли- нейными комбинациями строк и столбцов матрицы А \ т.е. выполняют- ся соотношения А+ ^UAT ^ATV. Тогда можно показать, что А+ =^R+L\ где i+=(AT£)-’r, Л+=ЯТ(Я/Г)-*, или окончательно А' = И\ЯК’г’(ГI)’1 Г. (3.210) Д“Ь L “ * ~ «меиого разложения (3.209). 152
Аналогичное решение уравнения (3.204) в фооме min, получить, если среди всех векторов а, удовлетворяй, (3 Z НО найти тот, у которого норма минимальна. к М0А‘ Заметим, что если гапк(Л) = 1. то L и R я»™.™ , , и к являются матрицами разме- т>Л И1/И соответственно. Тогда ' ров = «. где а — скаляр. и. следовательно A' = aR1E{ =аА\ т.е. псевдообратная матрица в этом случае совпадает с точностью до коэффициента пропорциональности с транспонированной матрицей Этот факт иногда используют при управлении манипулятором, заменяя обратную матрицу Якоби на транспонированную во всех точках про- странства обобщенных координат. Еще одна алгебраическая интерпретация псевдообратной матрицы состоит в следующем: псевдообратная матрица А' является наилуч- шим (согласно методу наименьших квадратов) приближенным реше- нием матричного уравнения АХ = Е. при этом норма матрицы А = (а, 7) может быть определена так: Приведем без доказательства некоторые полезные в приложениях свойства псевдообратной матрицы (многие из них можно установить непосредственным использованием основного соотношения (3.210)). 5 6) (А*А)-АА. ранг матрицы А максимален, т.е. выполняется усло- псевдообратной матрицы А , 370б77(3-209), совпадают, что легко мож- разложении (3.208) принять L = A, псевдообратной матрицы Г (q) со- 3) (АА + У = АА+; Заметим, что если .—г—v , вие (3.204), обе формы представления псевдообратной матрицы заданные соотношениями । ио проверить, если в скелетном R = E либо L = E, R = A. Одна из особенностей поиска стоит в том, что ее ранг может, бь
3. Скорости и ускорения звеньев манипулятора странства обобщенных координат, поскольку матрица J(q) функцио- нальная. Все выведенные соотношения для псевдообратных матриц сохра- няются и для случая, когда обращаемой матрицей А является матрица Якоби J(q). Заметим, что если J(q) — квадратная матрица и при не- котором q = q* detJ(0*) = O, то псевдообращение в форме (3.206) не является приемлемым, поскольку в этом случае det(JT(^W))-(det(J(9)))2 и, следовательно, в точке q-q матрицы Jr и J вырождаются одно- временно. В этом случае следует использовать представление для J' в форме (3.210). Пример 3.4. Для двухзвенного плоского манипулятора (см. рис. 3.8) матрица Якоби J(q) имеет вид + 512) 6Z(C] + С] 2 ) и det J = s2. Тогда обратная матрица Якоби q2) существует во всех точках кроме точки (q^Ttn). Построим сначала псевдообратную матрицу в точках (q{, 2тш). Ее скелетное разложение имеет вид Jfjh, 2nri) = - as ас (2 Y) = LR. 2 Выполняя все необходимые операции, получаем J+(q}. 2л£) = - 51 -as ас\ у Аналогично можно найти псевдообратную матрицу J* (q, 2n(k +1)): J+(qi, 2тс(А: + 1)) = - ° ° , (75) ас1 j Нетрудно заметить, что в сингулярных точках имеет место равенство где а = а(^) — скалярная функция. 154
3:3. Прямая и ибрсипн^мачио скорости звеньев манипу- Пример 3.5. Пусть имеется трехзвеннкг тика которого совпадает с кинематикой трех пепвкгуПУМТ°Р’ КИНема' лЯтора PUMA (см. рис. 1 22). Для решения обратной позиционной за «•™ относительно линеннь.х »оро™й, воспю„.емся £ » (3.31), связывающим положение начала системы координат О Л' у Z х* Л т w W т т II Г TI _ ___________ 4 4 4 с обобщенными координатами <?,, , ^.Полагая а. =0 имеем ч. rlAlvCM Х - С1 (а2С2 + ^4^23 ) ~ d^S] г (3.212) у 5’! (а2с22 + dAs23) + d2c}, % (^2^2 + d^C^3 . Тогда, дифференцируя соотношение (3.212) по времени, получаем где Вычислим определитель матрицы Якоби (3.213) det У(7) = -а2б/4с3(а2с2 +c/4sn). Получим теперь псевдообратную матрицу J (я) в точке (?,, q2, it/2) при q2 * л/2 + т, что соответствует вытянутой «руке». В этой точке с, = 0, с2^0, следовательно, detJ(?|, л/-)-0. Обо значая и полагая в выражении (3.213) q3 - ti/22, а2 +d4 I, полу О -(1^2 - /.V] У2 -/с. (3.214) 1 столбцы матрицы J линейно зави- 3 . Кроме того, определитель минора, ^етРУДно заметить, что 2-й и 3-й симы и, следовательно, rank(J) < 155
3 Скорости и ускорения звеньев .манипулятора получаемого путем вычеркивания 2-й и 3-й строк и 1-го и 2-го столб- цов при сделанных выше предположениях, отличен от нуля, и поэтому rank(.Z) = 2. Тогда скелетное разложение J имеет вид J-LR, где L — матрица 3 х 2; R — матрица 2 х 3, и rank(Z) = rank (7?) = 2. Сформируем матрицу L из 1-го и 2-го столбцов J : (3.216) матрицы Тогда fl 0 0 R = . 1^0 1 d/l J Нетрудно видеть, что ранги матриц L и R удовлетворяют (3.215). Прежде, чем приступить к нахождению псевдообратной J (?) ? заметим, что матрицу L можно представить в виде £ = 0102£', где (9[ и 02 матрицы поворота, являющиеся компонентами матриц и Л-2 (см. пример 3.2), задающих положение и ориентацию первого и второго звеньев соответственно: и условию (3.219) ^2^2 (3.220) 1с 2 *0; Это наблюдение существенно упрощает поиск псевдообратной матрицы. Действительно, если имеет место разложение 156
3.4. Кинематические свойства манипулятора О - ортогональная матрица, то а оооиетствии с „р1„№м (3.210) получаем F нием J' = (LRY = R'(RR' Y'a'4'у' ГО. (з 221) в эТом случае трудоемкую в вычислительном плане операцию обраще- ния матрицы Г L можно заменить на операцию обращения матрицы более простой структуры L'rL'. Выполняя все операции в выражении (3.221), где матрицы R и L' заданы соотношениями (3.23 Г) и (3.220), матрица 0 = 0,0, и О, и О, заданы выражениями (3.219), получаем окончательно / ? у 1 7 -J ^4 / т 2 1 где 1—^2 ' w 4 » '% ] 4 — v 2 ’ 2 — “2 > ' 4 ~ w 4 ~ 1 • Заметим, что матрица J*(q) — вырожденная, поскольку ее 2-я и 3-я строки линейно зависимы. 3.4. Кинематические свойства манипулятора 3.4.1. Распределение допустимых скоростей в рабочем пространстве При планировании движений манипулятора необходимо иметь информацию о том, какие линейные и угловые скорости объекта мани- пулирования могут быть развиты в процессе движения в каждой точке Рабочего пространства. Эти скорости зависят от кинематической схе- Мы Механизма, а также от ограничений, обусловленных возможностя- ми приводов степеней подвижности манипулятора. Пусть скорости относительного перемещения в степенях подвиж- ности, т.е. производные обобщенных координат, ограничены по моду- ЛК) известными константами С,: (3.223) 157 • • 5
J. Скорости «ускорения звеньев манипулятора.______ Соотношения (3.223) задают область допустимых скоростей S в пространстве обобщенных координат. Соответствующие скорости перемещения объекта, удерживаемого в схвате манипулятора, определяют по формуле vN=Jr(4)4, (3.224) где J (q) якобиева матрица преобразования, связывающего абсо- лютные координаты характерной точки объекта с обобщенными коор- динатами манипулятора. Эта матрица может быть вычислена для каждого значения q, принадлежащего области 5^, по формулам, при- веденным выше. Формула (3.224) определяет отображение области допустимых скоростей изменения обобщенных координат Sq в трехмерную об- ласть Г,, допустимых значений скоростей vN, которую можно по- строить для каждой точки рабочего пространства. Совокупность областей Г,, (q) определяет распределение допусти- мых скоростей объекта манипулирования в рабочем пространстве. При анализе такого распределения на практике обычно бывает достаточно знать оценку сверху и снизу значений скорости vN в рабо- чей зоне. Ее можно легко получить, используя соотношение (3.224). Определим для этого евклидову норму вектора vN : % =^>JI/2=(9T4T(?)Jr(^)V\ (3.225) Это выражение представляет собой квадратичную форму по отно- шению к вектору q. Обозначим Хф(</) — минимальное, а X* (7) — максимальное из характеристических чисел симметрической матрицы v (?)*Л (?) • Тогда на основании известных свойств квадратичных форм можно записать: * (Я)Ч'Ч ± 4TJ; (9)JV (?)? > X. , или ГШГ^1К||2>Х.(9)^ Гантмахер Ф. р. Теория матриц. М/. Наука, 1966. С. 286 158
_______________ Если необходимо найти ограничение скоростей ™ нипулирования сверху, то можно записать окончи ВД ма- ательно следующую оценку: M<?) a Геометрически это иеравеиетео одределя„ сферу, радиус ютароа (Г (,)>1 С зависит от вектора обобщеввых координат т.е. ст конфи- гурации манипулятора. Отметим, что матрица Jv(q) в общем случае прямоугольная. По- этому приведенные выше соображения справедливы только в том слу- чае, когда ее ранг максимален. В частности, если матрица Jv(q) квад- ратная, то полученная оценка (3.227 ) теряет смысл в особых точках q*, для которых det Jv (q*) = 0 . Поэтому такие точки должны быть за- ранее выделены в рабочем пространстве манипулятора. Кроме того, полученная оценка не имеет смысла на границах рабочей зоны, а лишь в ее внутренних точках, поскольку якобиева матрица Jy(q) определена только строго внутри области Sg. В остальных точках рабочего пространства могул быть построены сферы (3.227), совокупность которых характеризует распределение допустимых скоростей движения объекта манипулирования в рабочем пространстве. Пример 3.6. Построить распределение допустимых скоростей для двухзвенного манипулятора (рис. 3.11), если длины звеньев один ~ ковы: I.=12=1. а ограничения на численные значения скоростей обобщенных координат составляют Решение. Поскольку ограничения на Щенных координат не заданы, то рабочее’ “р^^ость радиуса 2 и собой круг, границами которого явяяю^ Охвата) с обобщенными начало координат. Связь характерной то координатами определяется уравнениями X'cq} +<?(<71 V = 5^ + ^((71 159
3. Скорости и ускорения звеньев .манипулятору Следовательно, -s(qt -th)'1 c(qt - Яг) ) Г2(1 + с^) У(?i5 ?2)^r((?i’ Ч2У Рис. 3.11. Распределение допустимых скоростей для двухзвенного манипулятора Л(?1’ Характеристические числа последней матрицы, определяемые из уравнения det(j;jr-Х£) = 0, равны ^1,2 = О + 2cq2 ±(9 + 12о?2 + 4с2^2),/2)/2 . При изменении q2 от 0 до л значение X* соответствует характери- стическому числу со знаком плюс перед корнем. На границе рабочей зоны, т.е. при q2 = 0 и q2 = л, как отмечалось, оценка (3.227 ) теряет смысл. В остальных точках рабочей зоны можно записать: 160
3.4. Кинематические свойствамт^^ 5 N — ~ ’ причем d = 0,51 рад/с. Радиус этой окружности увеличивается при приближении к гаа виде рабочей зоны. Поскольку к не зависит от Цх, то распределение’ скоростей vN достаточно построить при фиксированном q (см Полученная выше оценка скорости движения дает представление о распределении максимальных скоростей в рабочем пространстве, од- нако она недостаточна для планирования траекторий. В последнем случае необходимо более точно знать область, которой принадлежит вектор vN в каждой точке рабочего пространства. Вернемся в связи с этим к формуле (3.224). В том случае, когда матрица J,, квадратная , т.е. размерности векторов v v и q совпадают, задача отображения области S в Гг облегчается. Если известно сум- марное ограничение скоростей обобщенных координат то можно записать неравенство q2 =^T9=v,;(j;’(?))v;'(?)v.v<c- якобиева матрица J,. (?) невырожденная. эллипсоид допустимых скоро- ТсТэтого эллипсоида совпадают с на- симметрической матрицы r/,i/2 ,- = 1 2, 3, где X, — полуосей равны С/Л, » ’ ,рикТпая Наибольшая и наименьшая Для любой точки q, в которой Последнее неравенство определяет стей в рабочем пространстве, правлениями собственных векторов (Л )Т(*Л71), а величины ХаРактеристические числа этой матрицы. Оси при этом равны соответственно V = c/x’f , Kmax ' V . = с/х'1/2 • "“i-------------------------------- юшие рассуждения можно про- Если матрица не является квадратной, то все по У результате псевдообра Ве /+ полученную В И’ Заменяя обратную матрицу Jv 1 на матрицу Щения(см.§з.З) 161
3. Скорости и ускорения звеньев манипулятора В отличие от ранее рассмотренной оценки, в данном случае можно установить направления, в которых манипулятор развивает минималь- ную и максимальную скорости, а также найти оценки этих скоростей. Еще более точное распределение скоростей дает непосредствен- ный анализ формулы (3.224 ). Фиксируя значение q = q’ и изменяя q в области #z| < С,, 7 = 1, ..., N, или полагая в более общем случае • . * можно построить соответствующую область Гу в пространстве скоро- стей гЛ;. Поскольку (3.223) определяет параллелепипед и преобразова- ние (3.224) линейно, то область допустимых скоростей представляет собой выпуклый многогранник или многоугольник, когда рассматри- ваемая область лежит в плоскости. Пример 3.7. Построить многоугольник допустимых скоростей в примере 3.6 при qx = 0, q2 = л/2 . Решение. В рассматриваемой точке уравнение (3.224) имеет вид = 21 + Я 2 , Уу=Яг о о гтах Рис. 3.12. Многоугольник допустимых скоростей учетом ограничений q} < 0,1 < 0,5 область допустимых зна- чений скорости — это ромб с вершинами в точках (1,6; 1,1); (1,4; 0,9); (0,6; 1,1); (0,4; 0,9) (рис. 3.12). Максимальная скорость достигается в 162
--------------__________________________________________ направлении диагонали О, В и павня о лэ „ея„.<»си Гисо^ляетОЛ). ’ ’ - » напр»- Напомним, что длины звеньев елиниивч» ствуют в формулах в явном виде, но влияют на паТ^ °™ Присут" ТОВ. Если скорости обобщенных координат д заданы в 1/с, а длиньт в метрах, то величина v будет иметь единицу измерения м/с. В случае пространственной кинематической схемы такой способ значительно сложнее в вычислительном отношении, чем два предыду- щих, но он позволяет получить гарантированные значения скоростей. Предыдущие же оценки оказываются завышенными. 3.4.2. Оценка мобильности манипулятора Объем области допустимых скоростей, полученной выше, может служить численной характеристикой манипуляционного механизма. Ее называют мобильностью манипулятора М(q) в данной точке рабоче- го пространства q , принадлежащей области S4: W) = ( dv. / // ( 3.230 ) В том случае, если область Гг лежит в плоскости, M(q) является ее площадью. Мобильность характеризует возможность схвата мани- пулятора развить в данной точке рабочего пространства различные по величине и направлению скорости поступательного движения. Приближенные оценки мобильности можно получить, если вычис лить объемы эллипсоидов (3.228) или сфер (3.227). Во втором случае (3.231) Л/(^) = т7г можно использовать приближенную оценку. мм3- Анализируя изменение мобильности в Раб°^“ мобильности' можно установить области наибольшей и наимен т J т £ постоянной мобильности, вычисленные UU Так, для примера 3.6 линии постоян концеНтрические окруж- последней формуле и представляющи ности, показаны на рис. 3.11- анализом мобильности Читателю будет интересно ознакомился с анал руки человека, содержащимся в [26, с. 163 и»
3. Скорости и ускорения звеньев манипулятора Недостатком рассматриваемой интегральной оценки мобильности является то, что она не учитывает возможность развития скорости в нужном направлении г. В связи с этим вводят также оценку мобиль- ности в данном направлении как максимальное значение скорости в этом направлении с учетом заданных ограничений (3.223). В случае использования эллипсоида распределения скоростей (3.228) эту вели- чину определяют как пересечение луча vN = rv, проведенного в на- правлении вектора v, с поверхностью эллипсоида, т.е. из решения следующего уравнения относительно параметра г: При построении многогранников допустимых скоростей опреде- ляется пересечение луча vN = rv с соответствующей плоскостью мно- гогранника. Анализируя оценку мобильности по направлению, опреде- ляют область в рабочем пространстве, в которой следует планировать рабочую операцию, если скорость должна меняться, преимущественно, в заданном направлении. В качестве оценки относительной манипулятивности, т.е. воз- можности развить скорость vN по отношению к норме скорости обоб- щенных координат q, может служить показатель Д?)= vN (3.233 ) Из неравенства (3.26) следует оценка относительной манипулятив- ности снизу: (3.234) Чем больше тем шире диапазон изменения vN при измене- нии q, т.е. тем больше относительная манипулятивность. Итак, были рассмотрены оценки манипулятивности по отношению к скорости поступательного движения. Значительно реже такие оценки дают по отношению к угловой скорости. Тем не менее, при планирова- нии некоторых технологических операций такие оценки также могут представлять интерес, например при захвате манипулятором объектов, имеющих собственную угловую скорость. В соответствии с формулами, полученными в § 3.1, угловая ско- рость определяется выражением, аналогичным (3.224): (3.235) 164
_______________3_4_КШ!еМати„е свойства MaHunyMmoDa Напомним, что направление вектопя ™ н вектора &N определяет мгновенную ось вращения объекта, закрепленного в схвате (или самого объекта^ фиксируя положение манипулятора, т.е. вектора Ч, и изменяя скорости обобщенных координат q, в соответствии с ограничениями (3.223), получаем множество допустимых мгновенных осей вращения. В част- ном случае, когда Jm(q) — квадратная матрица и detJo(^)^0, это множество образует конус, проходящий через начало координат <о., = О Оценки сверху и снизу для значений угловой скорости можно по- лучить так же, как и оценку для скорости поступательного движения: (3.236) t'J где — максимальное, а — минимальное характеристические числа симметрической матрицы . Если это неравенство удовлетворяется, т.е. значение угловой ско- рости, требуемое по условиям операции, может быть достигнуто, то проверка реализуемости допустимого направления сводится к выясне- нию существования для него решения уравнения, аналогичного (х2э2), в пределах заданных ограничений. 3.4.3. Оценка приемистости Еще большие трудности сопряжены с определением допустимых ускорений движения объекта. Рассмотрим эту задачу только по отно шению к ускорению поступательного движения объекта манипулир вания, которое, согласно (3.40), определяется по формуле w N = J j Предположим, что не только скорости, но и вид координат ограничены; эти ограничения известны зар ’ 7 = 1, 2,(3'238) обобщенных координат по-прежнему каждой составляющей вектора ускорения - 5 Ограничения для скоростей имеют вид (3.223). Если обозначить Jr = j = 1, ..., М, то оценка для примет вид N N (3.239) 165
3 Скорости и ускорения звеньев манипулятора Если q ., q удовлетворяют условиям (3.223), (3.2э8), соответст- венно, то последнее неравенство описывает многогранник допустимых ускорений при данном положении манипулятора, т.е. при заданном векторе обобщенных координат q. Определение максимального уско- рения и его направления при этом значительно сложнее в общем слу- чае, чем в случае максимальной скорости. Представляет практический интерес частный случай, когда проис- ходит движение манипуляционного механизма из состояния покоя (разгон). При этом в исходном положении можно принять г/ = 0 и формула (3.237) приобретает вид ’♦’у = Л (?)£ (3.240) Способность манипуляционного механизма развивать из состоя- ния покоя ускорение поступательного движения wN определяется как приемистость . Для численной характеристики приемистости могут использоваться те же показатели, что и для характеристики мобиль- ности. Прежде всего, это объем пространства Dw, занимаемый векто- ром возможных ускорений (в данной точке рабочего пространства) при ограничениях на ускорение обобщенных координат вида (3.238). Как и в случае скоростей, это — многогранник, являющийся линейным пре- образованием параллелепипеда ограничений (3.238). Если известны якобиева матрица Jv(q) и матрица Bv(q, q), то вы- числение многогранника допустимых ускорений в соответствии с (3.239) не представляет трудностей. При этом можно ввести и показа- тель приемистости по направлению как максимальное допустимое зна- чение вектора и>д, в данном направлении. Это значение можно полу- чить как длину вектора wN, имеющего заданное направление и являющегося допустимым (т.е. лежащим в области Dw). Для грубой оценки распределения приемистости по рабочему про- странству манипулятора можно воспользоваться соотношением, анало- гичным (3.226): Г(9)>К1ГЖГ >Х.(9), * См. более подробно в [26, с. 237]. 166
_Контрольные вопросы и задания_______________________________ где Г и - максимальное и минимальное из характеристических чисел симметрической матрицы J>(q)Jr(q) Эти оценки не всегда удовлетворительно описывают качество манипулятора, которое мы назвали приемистостью. Как впрочем и оценки манипулятивности. Дело в том, что мы использовали только уравнения кинематики манипулятора, в то время как его движение подчиняется уравнениям динамики. Очевидно, что приемистость бу- дет зависеть от моментов или сил, развиваемых двигателями степе- ней подвижности манипулятора, а также от его инерционных харак- теристик. Степень влияния динамики манипулятора на его программное движение зависит от многих причин, к которым наряд}7 с указанными относится мощность приводов, перемещаемые массы, развиваемые ускорения. Эти же факторы определяют и степень достоверности рас- смотренных в этом параграфе оценок, особенно это относится к оцен- кам развиваемого ускорения. Поэтому вернемся к ним после описания динамики манипуляционных механизмов. Контрольные вопросы и задания 1. Что такое линейные и угловые скорость и ускорение звена манипулятора? 2. Выведите соотношения (3.19), (3.20) для скоростей и ускорений звена в связанной системе координат. 3. Выведите соотношение для дифференцирования матриц относится го положения звеньев А по обобщенной координате. 4. Исходя из соотношений (3.54Н3.56), получите рекуррентные соотно- шения для векторов угловых и линейных скоростей для случая телеско ских сочленений. г npv 5. Выведите соотношения (3.6S) лл. торного произведения. 6. Сформулируйте прямую задачу о скорости. прпемешений в форме 7. Получите выражение я», дифферент™» (3.122), (3.123) для случая телескоп™» коли- 8. Сформулируйте обратную задачу Р чество решений в зависимости от ранга матриц 167
3. Скорости и ускорения звеньев манипулятора 9. Исследуйте решение обратной скоростной задачи для однозвенного ма- нипулятора (математического маятника). В качестве командного вектора примите вектор линейной скорости. 10. Решите обратную задачу о скорости для манипулятора RAMP-2000 (см. гл. I). II. Получите выражение для псевдообратной матрицы в форме (3.207) если в качестве минимизируемой функции (3.203) используется f(x) = (Ax-bYQ(Ax-bY т.е. квадратичная форма вектора невязки Ах-b . 12. Объясните, почему для вырожденной квадратной матрицы Якоби J(q) необходимо использовать представление псевдообратной матрицы в форме Мура — Пенроуза. 13. Для двухзвенного плоского манипулятора с вращательными сочлене- ниями нарисуйте в пространстве Q = q} xq2 области, где конфигурация ста- новится вырожденной, и пометьте каждую из областей соответствующим рангом матрицы Якоби. Решите ту же задачу для трехзвенного манипулятора. 168
4. КИНЕМАТИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ МАНИПУЛЯТОРОМ В предыдущих главах обсуждались вопросы, связанные с по- строением кинематической модели манипулятора. Приступим теперь к решению проблемы управления кинематической моделью. Как было сказано выше, система управления робота является многоуровневой, иерархически организованной системой, при этом кинематический уровень — важная составляющая, обеспечивающая построение про- граммных движений приводов сочленений манипулятора. Кинемати- ческим управлением называют управление манипулятором, описывае- мым кинематической моделью. Как правило, полагают что система приводов идеальна в том смысле, что она совершенно точно воспроиз- водит программное движение. Конечно, это предположение нельзя считать вполне корректным: всегда существует различие межд\ зада- ваемым программным движением и действительным движением сте- пеней подвижности механизма, вызываемое неидеальной работой при водов в сочленениях. Для того чтобы это различие не было излишне большим, при построении кинематического управления нео ходимо учитывать и динамические свойства механизма. Это о сто^гельс отражает тот факт, что разбиение на уровни представляет со удобный методический прием для работы со сложной систем вой является робот. В этой главе рассмотрены следующие вопросы. плутую? как переместить схват манипулятора из одной как пповести схват манипулятора по точкам, заданным в р странстве обобщенных координат или в ой траектории? как осуществить движение схвата по за два этапа. Пер- Кинематическое управление можно ре предварительном вый этап состоит в планировании траектории, 169
7 Кинематическое управление манипулятором определении программного движения степеней подвижности </'(/) 11а некотором временном отрезке / е |70, /,]• В юрой этап непосредственно заключается в отработке полученной программной траектории прИВо. дами подвижных сочленений. Такая многоэтапность присуща в основ- ном системам позиционного управления, т.е. таким системам, где дви- жение состоит в перечислении точек позиционирования, через которые должны пройти либо сочленения манипулятора (если точки заданы в пространстве обобщенных координат), либо его схват (если точки за- даны в декартовом пространстве). Существуют, однако, методы, не связанные с предварительным планированием траектории. Эти методы используют преимущественно в системах контурного управления. Отметим, что в этой главе представлено планирование именно траекторий, а не движения. Под планированием движения понимают процедуру получения основных характеристик траекторий, последова- тельное движение вдоль которых обеспечивает выполнение роботом сформулированного задания. Таким образом, если кинематическое управление представляет собой тактический уровень системы управле- ния, робота, то планирование движения относится к стратегическому уровню. 4.1. Планирование траекторий в пространстве обобщенных координат Как уже говорилось выше, под планированием траектории пони- мают процедуру получения программного движения звеньев манипу- лятора q (t), t е[/0, rj, либо схвата $*(/), ',]* Несмотря на то, что используемые при этом методы имеют много общего, тем не менее существующие различия заставляют рассмотреть эти методы раздельно. 4.1.1. Перевод из точки в точку. Режим разгона — торможения Решим простую задачу. Пусть в пространстве обобщенных коор- динат Q — q} х q2 х ...qN , где Л/— число звеньев манипулятора, заданы две точки q н q . Предположим, что в момент времени tQ манипуля- тор находился в точке q°. Необходимо найти такую функцию q(j)> при которой в момент времени манипулятор находился бы в точке 170
J Иными словами, задача состою в определении q = g(;). ,6 с краевыми условиями q(t„) = q'. q(lj = q . Ясно, что при такой формулировке задача (41) много решений (рис. 4.1). если дополнитезк сколь угодно кие ограничения. Весьма привлекательных °'WT наложень' ника- на первый взгляд. является движение по nnS "рОстоты Р^ЗДии. этом случае ее параметризация приводит к 2™ Пр0С1ранстве 0 В н «-ыит к следу ющему результату Ч~Ч д ч или q = q(l)=q +v(t -L, ). (42) где Безусловно, необходимо позаботиться о том, чтобы компоненты полученного век- тора скорости (4.3) не превышали (по модулю) максимальные скорости q™^ > 0. которые могут развить приводы под- вижных сочленений: •max Если это условие не выполняется, то единственным выходом из этого поло- жения является увеличение времени говоря, всегда в обретает итерационный характер Вать время /j, а дополнительно к Рис. 4.1. Перевод манипулятора из точки в точку в пространстве обобщенных координат !. Эта проблема возникает, вообще процессе решения задач планирования, который при- p. Во избежание этого можно не зада- х неравенству (4.1) добавить условие птах )4(0| ~ с где с — заданное число. В этом случае является дополнительной находят в процессе решения зада неизвестной, которую 171
4 Ки и ем ат и ч еское у правд ение май и пуля т ор ом Однако не будем развивать этот подход, а укажем на недостаток, который делает невозможным применение этою «наивного» метода управления. Действительно, предположим, что в момент времени /0 манипулятор неподвижен (т.е. ^(/) —О, /</0). Тогда при реализации закона управления (4.2) в момент времени /0 скорость имеет разрыв первого рода, а ускорение — разрыв второго рода, что приводит к не- обходимости прикладывать к звеньям манипулятора со стороны при- водов бесконечно большие силы или моменты. Аналогичный случай возникает на правом конце траектории, если необходимо, чтобы мани- пулятор остановился в точке q\ Существует несколько методов реше- ния этой задачи, рассмотрим два из них . Специальная параметризация. Перепишем выражение (4.2) сле- дующим образом: ?(0 = ?° + ? 4 (t-t0) = q° +X(t)(q' (4.4) где х(0=±А. (4.5) А Если скалярная функция Х(^) удовлетворяет условию (4.5), то манипу- лятор осуществляет движение вдоль прямой (в пространстве Q) с по- стоянной скоростью, что не приемлемо в силу указанных причин. Вы- бор зависимости для X(Z), отличной от (4.5), приводит к тому, что движение будет осуществляться также по прямой, но с переменной скоростью. При этом, если потребовать, чтобы Ж) = о, МО = 1, (4.6) то, как нетрудно видеть, условия (4.1), а именно: q(tQ ) = q°, q(tx ) = q^ будут удовлетворены. Заметим также, что из соотношения (4.4) следует q(t) = i(t)(qx -qQ)^ (4.7) т.е. скалярная функция Х(Г) представляет собой с точностью до мно- жителя скорость в каждом сочленении Тогда, выбирая требуе- мую функцию Х(г), называемую профилем скорости, можно обеспе- 172
П^ироваиие^ае^орий ^странстве o6o6 чить как перевод манипулятора из q‘ в так и желаемую с перемещения. Кроме того, в приложениях весьма полезным является соотношение, вытекающее из (4.7): f 'l / т.е. (, р.(/)б//=1. (4.8) В геометрическом смысле соотношение (4.8} означает, что площадь, ограниченная линией л(/) на [/0. г.], равна 1 (рис. 4.2) (для простоты на рисунке принято Го = 0. = Т ). На рис. 4.2. а показан уже рассмот- ренный случай v = const, на рис.4.2, б, в изображен треугольный и трапецеидальный профили скорости. Следует заметить, что в обоих случаях в вершинах треугольника и трапеции будет иметь место скачок 2 . т п/ ускорения. На рис. 4.2, г представлен профиль скорости Mr) - - sin обеспечивающий плавное движение манипулятора вдоль всей траек- тории. Рис. 4.2. Профили скоростей 173
4. Kti н ем am и ческо е у пр авлен и в манипулятором Полиномиальная интерполяция. Еще один подход к построению траектории, переводящей манипулятор из q в q и удовлетворяющей условиям гладкости, состоит в использовании интерполяционных мно- гочленов. имеющих более высокие степени, чем в описанном ниже случае. Чтобы не усложнять запись, будем далее обобщенную коорди- нату Его звена манипулятора с/, обозначать qt -q . Итак, пусть заданы значения z-й координаты в двух точках: <7(/о) = /, (4.9) </(Л) = - Кроме того, потребуем, чтобы на левом и правом концах отрезка [Го, /] ] выполнялись следующие условия: ^о) = №) = О, (4.10) Тогда нетрудно видеть, что многочлен пятой степени q(t) = a0 + att + a2t2 + a3t} +аУ + a5t5 (4.11) представляет собой многочлен с минимальной степенью, удовлетво- ряющий условиям (4.9), (4.10). Положим /0 =0, t,=T (это приведет к тому, что каждая соседняя пара точек позиционирования будет иметь свое собственное «локаль- ное» время), тогда систему уравнений для поиска коэффициентов по- линома (4.11) можно представить следующим образом: ао = Чо > а, =0, =0, Ц) + 2а2Т + За3Т2 + 4а4Г3 +5а57’4 =0, 2а2 + 6а3Т + Па4Т2 +20а5Г3 =0, и эту систему легко решить. Следующий способ полиномиальной аппроксимации состоит в том, что используется не один многочлен, а несколько, которые склеи- ваются так, что полученная в результате траектория обладает требуе- мой степенью гладкости. Подробно этот подход будет рассмотрен да- лее, когда будут обсуждаться кубические сплайн-функции. Не вдаваясь в детали, обсудим лишь общий подход к такой интерполяции. 174
_____ Ра,„бь« О1р™« |АЛ| М Г|М частв получившихся отрезков q(t) можно предста ' на ка*Д™ ТЛГ уставить полиномами сте- v I огда для нахождения ктжт ИЯ коэффициентов полиномов пеней и,, п2, п3 воспользуемся следующими условиями. ]. В точках /° и /' известны д. <у, д 2. В точках /1? I. значения функций и п™, ции и их производных до 2-й включительно, взятые слева и справа, совпадают. Итак, имеется всего 12 уравне- ний, следовательно, сумма степеней многочленов удовлетворяет соотно- шению и, + и2 +и3 = 9. Возможные решения этого уравнения дают, например, следующие тройки Рис. 4.3. Аппроксимация траектории многочленами чисел: (3, 3, 3), (4, 1, 4), из которых последняя является наиболее привле- кательной, поскольку обеспечивает разгон и торможение на начальном и конечном участках траектории и движение с постоянной скоростью на среднем участке. Однако следует заметить, что решение соответствующей линейной системы может не всегда существовать, поскольку q(t) на среднем участке тождественно равна нулю и матрица системы может быть вырожденной. 4.1.2. Обход совокупности точек Пусть теперь дана последовательность точек в пространстве обоб Щенных координат Q, которую манипулятор должен обойти, попадая в каждую точку q} в момент времени (рис. 4.4). (4‘ 1 ^тянстве обобщенных координат Рис. 4.4. Обход последовательности точек в пр 175
4. Кин ем ат и ческое управление манипулятором_ При этом не имеет значения, с какой скоростью манипулятор проходит внутренние точки Ч], q2, > но важно, чтобы на концах траекто- рии (т.е. в q0 и q„) скорости и ускорения удовлетворяли некоторым условиям: q0 = а , q0 = b, q„=c,q„=d, где и. Ь, с, d — заданные векторы. Наибольший интерес представляет случай, когда a = b = c-d = 0, т.е. манипулятор начинает и завершает движение в состоянии покоя. Задача заключается в том, чтобы построить траекторию в пространстве Q обобщенных координат, q = q(t), удовлетворяющую этим условиям и, кроме того, условиям гладкости: мы будем требовать непрерывности как самой функции q(t), так и ее производных до второго порядка включительно. Ясно, что одно из возможных решений можно получить, используя интерполяционный многочлен степени п (если не накладывать допол- нительных условий на левом и правом концах траектории) или степени п + 4 (если эти условия наложены). Однако, если число п велико (а оно может достигать нескольких сотен для сложных контуров), то степень многочлена тоже высока и возникают трудности, связанные с большим объемом вычислений значений многочлена в каждой точке. Тогда ес- тественно для решения этой задачи использование нескольких интер- поляционных многочленов невысокой степени, которые склеиваются в узловых точках. Именно этот подход и обсудим. Кубические сплайн-функиии Пусть на отрезке [а, 6] заданы узлы п = х0 < Xj < х2 <... < хп —Ь, которые не обязательно равно отстоят один от другого, а также п + 1 число qQ, q{,q„. Требуется найти функцию ^(х), которая удовлетворяет следующим условиям: 1- / = 0,1, 2, ..., п. 2. q(x), q (х), q (х), — функции, непрерывные на [<я, &]. 3. q(x) на каждом из отрезков [хА, хЛ+1 ], к = 0, 1, ..., п - 1, являет- ся алгебраическим многочленом степени не выше трех: q(x) = ak0 +акх + акх2 +акх\ хе[ха, х,+1], к=0, 1, ..п -1. (4.13) 176
4 I. Планирование траекторий в npocm функцию, удовлетворяющую этим услови " ---- ским сплайном. Аналогично можно сформули о ’ НаЗЬ1ВаЮт кУби^~ дачу построения сплайна степени т : вместо условий °бЩую За' потребовать, чтобы функции q(x), q'(x)_ „(«щ™ 2 И 3 необх°Димо ними и q(x) пРеДставляла собой многочлен степени НеПрерыв- ничимся рассмотрением кубических сплайнов ** ВЫШе Огра’ Нетрудно видеть, что функции, удовлетворяющие пеоечие выше условиям, существуют. Действительно на кажппм ННЫМ [х*, хА+1] функция q(x) задана многочленом (4 13) и такГ Т™* . и таким образом имеется 4и неизвестных а' / = 0,1. И~1 1 э ’ ’ 7 0, 1, 2, э. Условия 1 И 2 дают п +1 и 3(« -1) уравнений соответственно, и, следовательно в запасе имеется два дополнительных условия, которые можно наложить на функцию, и которые будут заданы далее. Построим кубический сплайн на отрезке [xt, хм ]. Вторая произ- водная функции q(x) имеет вид (4.14) hk К где q* ~ д'ХХ') — неизвестные вторые производные сплайна в узловых точках, при этом, поскольку q\x) в соответствии с условием 2 непре- рывна, нет необходимости указывать, с какой стороны эти произвол ные взяты. Дважды интегрируя выражение (4.14), получаем ? / L Л k / If 2/ь (4.15) /Г ЯМ = qk + J -ч 6h (4.16) 2 6Л* о " J Заметим, что q', q", являются неизвестными величинами, которые будем далее искать. Положив в выражении (4.16) х = < получим 177
4. Кинематическое управление манипулятором Отсюда находим Чм -Чк +Кя'к 2 к ff ~Чк+\ А/ „ — ~Чк- 2 к К Чк • / Qk + l $k Flk Подставляя (4.18) в (4.16), замечаем, что сплайн q(x) будет зависеть только от значений вторых производных в узлах qk, тельно, если найти эти неизвестные, то будет решена сплайна. Подставляя (4.18) в (4.15), получаем ,, . ~Чк hk ... Ч (х) = 9*+i. Следова- задача поиска н -^'(4.19) hk 6 2hk 2hk Выражения (4.14)—(4.19) справедливы для хе[хк, х4+1]. Применяя те- перь соотношение (4.19) к отрезку [xA_j, хк], имеем „'/у) — Чк ~ Чк-] ^к-у » . ~ %к-]) „Ч (,Х~^к) .ч Ч[Х>~ й ~~7~ Чк+—--------------Чк~-Т7~—Чк-у Подставляя в последнее выражение х = хк, получаем а' - Ik ~Чк-\ „ hk_} Чк . +^гЧк +^~Чк-\ • h н Чк-у (4.20) Сравнивая выражения (4.18) и (4.20), видим, что laiL-V* _Чк~ Чк-у _ К hk+ hk_t h Чк+i +---------------------------------——Чк +- hk кк Откуда следует, что w q"k-\ где к L, = М (4.21) (4.22) Чы.Лк _ ч_к_~Чк-\ Мк =6~М)_____________hk hk^ + hk Уравнение (4.21) можно записать для к = 1, 2, ..., п -1 следующим образом: (4.23) 178
- /. Планирование траеКторийвпр_остранстее а,^ + 2д>(1-а,)?”=б/(х0,х,,х2), а-Л + 2g; + (1 - а 2 = 6/ц, =6/(х,_1,х,,х,+1), (4.24) +2д„_, +(1-ая_,)д;_2 = 6/(х„_2, х„_,, х„). Таким образом, получена система линейных уравнений (и -1 )-го поряд- ка относительно n +1 неизвестных q", g,’, ..., . Нетрудно видеть, что система уравнений (4.24) всегда имеет решение. Действительно, выбе- рем произвольно д0 =а, д, = р. Тогда из первого уравнения (4.24) легко можно найти д^ (поскольку а, >0), которую далее подставить в остальные уравнения. После чего этот процесс необходимо повторять до тех пор, пока из последнего уравнения не будет найдено q"r!. Следо- вательно, решение системы всегда существует и зависит от двух произ- вольно выбранных параметров аир. Решим систему уравнений (4.24). Для этого зададим д0 и д„, т.е. будем считать, что известны значения вторых производных на концах отрезка [а, Ь]. Тогда система уравнений (4.24) будет являться систе- мой из ( п -1 )-го уравнения относительно (п -1 )-й неизвестной вида Ах = b, (4-25) где А — матрица (и -1) х (и -1): 0 0 о 2 а2 0 1-а3 2 0 (р о о о о л-1 искомые неизвестные: х — вектор, компоненты которого и есть / » а’ )т (4'26) . приточными матрицами, или мат- Матрицы такого вида называют специальный рекур- рицами Якоби, и для их обращения и У рентный метод прогонки. Рассм<ггРим.Т^М^?пв Будем искать решение уравнение ( (4.27) 179 12*
4, Кинематическое управление манипулятором_______________ где х, - k-я компонента вектора (4.26), а ск и dk - некоторые числа Используя уравнение (4.21), получаем at+lxA+, + 2xt+l +(1-а*)^ = Л/Л+1, * -2, ..., и 1. (4.28) Подставляя выражение (4.27) в (4.28), находим а хА+2 + 2хА+1 + (1 - а, )(с4хА+| + а,) - Мk+i, Л Т 1 Л**- откуда аАч.| + ~ 0 ~ ак+Мк х‘+' = -2 + (1-аА+1)с4 Х*+2 2 + (1 -аА+,)ск Введем обозначения: С‘+| 2 + (1-а*+1)с/ , _Мм -(1-а^М ‘+’ 2 + (1-а*+1)с* В силу уравнения (4.27) при к - 0 имеем х0 — <Vi + dQ - Откуда с0 — 0, ^0 ~ V (4.29) (4.30) (4.31) (4.32) С помощью рекуррентных соотношений (4.24), (4.30) можно найти ск. dk, к =1, 2, ..., п, если принять соотношения (4.31), (4.32) в качестве начальных условий, после чего, используя рекуррентные соотношения (4.27), вычислить хк, к = Таким образом, процесс нахождения решений уравнения (4.25) состоит в выполнении двух ша- гов: на первом шаге перегоняем краевое условие q$ слева направо (прямая рекурсия), на втором — ищем неизвестные q” справа налево (обратная рекурсия). Нетрудно показать, что этот процесс выполним, поскольку 2 + (1-аЛ+1)сА *0, £ = 0,1, 2, ..., п-1. В заключении заметим, что сплайны весьма часто используют для аппроксимации функций, не обладающих достаточной степенью глад- кости. Рассмотрим, например, задачу аппроксимации функции /*(*) = |х| j х G [*”lj 1] часто встречающейся в управлении параболическим 180
4 /. Планирование траекторий в пространстве обобщенных координат сплайном л2(х, е) (рис. 4.5). В качестве аппроксимирующего много- члена выберем .г2(х, е) = .г,(-х, е), -1 <х< 1. Такая аппроксимация является сколько угодно точной, поскольку Рис. 4.5. Аппроксимация параболическим сплайном с нефиксированными узлами Планирование траектории с помощью сплайн-функций. Опи- санный выше метод построения интерполяционных много^™ ® виде кубической сплайн-функции можно применять для траектории в пространстве обобщенных координат. как было сказано выше, задача заключается в том, гладкую траекторию в пространстве обобщенных координат, та • n 1 7 п и на правом и левом концах до- кую, чтобы 9(/,)=9,, ' =0, 1, 2, и н a(t) = c, волнительно ЛЬ,ПОЛИЛИСЬ “0Т”0Ш™ ;“и' полностью »- а. где а, *. с. а ЗЩаВ™иованы при построении кубическо- совпадают с теми, что были испо го сплайна. Сделаем три следующих замечая сплайна осно- 1. Как было показано выше, ир»и=ДУра к<™Р»«> вана на использовании метода прог , _ означает, что плани- необходимо применить обратную рекурс 181
4. Кинематическое управление манипулятором_____ рование траектории следует осуществлять в режиме off-line, что, вир0. чем, свойственно процедурам планирования. 2. Второе замечание касается планирования циклически повторяе- мых движений манипулятора. Представим себе, чго манипулятор дол- жен несколько раз обойти последовательность {qtf , i' ~ 0, 1, 2, .., , аппроксимирующую некоторый замкнутый контур так, что q{} — qn. При этом необходимо замкнуть траекторию, наложив следующие условия: = Ян •> Чо ~ Яп • Можно показать, что получающаяся в результате система линейных уравнений хотя и не совпадает с (4.24), но имеет ту же структуру и ре- шается также методом прогонки. 3. При реализации метода сплайн-функций можно прийти к тому, что на полученной траектории q(t) некоторые компоненты векторов q скоростей q(tk) и ускорений ) будут превышать допустимые зна- чения Q™* , Q™*, т.е. те максимальные скорости и ускорения, которые могут развить соответствующие приводы подвижных сочленений ма- нипулятора. Поскольку ускорения (как это видно из соотношения (4.14)) изменяются линейно, экстремум достигается на границах отрез- ков, т.е. в узловых точках. Зависимость скоростей от времени квадратичная (см. (4.16)) и, сле- довательно, для поиска экстремальных значений необходимо дополни- тельно проверить значение скорости во внутренней точке отрезка. Обеспечение ограничений на скорости и ускорение max|^/(r)l<2Jinax, / = 1, 2, ...,7V, max^.(^) <2™* (4.33) (4.34) достигается путем изменения разбиения отрезка [/0, trt ], например уве- личения того временного интервала, где ограничение (4.33) или (4.34) нарушено. Ясно, что при этом время обхода Т = tn - /0 манипулятором заданной совокупности точек увеличивается. Однако возможен и другой подход, состоящий в минимизации времени обхода и выборе разбие- ния {/,}, при которых выполняются ограничения (4.33), (4.34). 182
4.2. Управление маиипулят„р(>и в „ространстм координат схвата Изложенные в предыдущих параграфах методы планирования и управления в пространстве обобщенных координат хотя и позволяют строить эффективные алгоритмы, однако обладают тем недостатком что их нельзя непосредственно использовать в приложениях, где зада- ние манипуляционному роботу формулируется в терминах его рабоче- го пространства или в терминах координат схвата. Такой способ опи- сания задания роботу широко используется, в частности, в проблемно- ориентированных языках программирования. В этом параграфе рас- смотрены основные методы управления манипуляторами в пространст- ве координат схвата. Заметим, что эти методы управления почти всегда сопряжены с необходимостью решения обратных задач кинематики. 4.2.1 Управление по положению Пусть у, как и прежде, представляет собой 6-мерный вектор, опре- деляющий положение и ориентацию схвата как твердого тела. Предпо- ложим, что требуемая траектория схвата (вопрос о способе ее получе- ния не рассматривается) описывается уравнением s = s’(t), (4.35) Тогда, решая обратную позиционную задачу (см. § 2.э). получаем про- граммную траекторию в пространстве обобщенных координат. 9’(Г) = /'1(<(/)). (4-36) Несмотря на обескураживающую простоту, этот подход позволяет реа лизовать весьма эффективный метод управления манипулятором, бодный от необходимости учитывать различного рода вырожденн конфигурации манипулятора. Ясно, однако, что он пригоден тех редких случаях, когда обратная задача по> поло аналитически (например, для манипуляторов Р й РМРНИ Гнапом- Для решения уравнения (4.36) требуется много ;Р-е«и^“ НИМ, что в задачах, связанных с управлением.^нео хо^ следующим об- режим реального времени), поэтому можно множество разом. Пусть векторы sk = s 0*)> к > ’ ’ ,„™ргтпию положений схвата {$*}, характеризующих программку 183
4. Кинематическое управление манипулятором . множество решений обратной задачи (4 36). То- (4.35); qk = Я V*) „ метод сплайн-функций в пространстве гЖ используя описании траекторйЮ 9(/), обеспечивающую обобщенных коорд^^ движением в узлах ,к. совпадение положения схвата / (0 от получившего- Ясно, что отличие этого подхода s(0 = /(?(/)) будет непо- ся в результате и биения программной траектории К}. За- обратной задачи о положении (4.36) в узлах и метим, что ре ~ (. осуществляются на этапе планирова- построение & т время вычислений не является крити- ния, в режиме oil line, ческим. 4.2.2. Формирование программной траектории Пусть Го и Tj — матрицы положения схвата в начальной и конеч- ной точках (рис. 4.6): Ро Т — f ^000 1 J ’ J ~ 1^000 1 ; (4.37) где матрицы Ro>, и векторы р0, pf, как и прежде, задают ориента- цию и координаты схваты соответственно. Допустим, кроме того, что задано время т перемещения схвата из начальной точки в конечную. Рис. 4.6. Положение схвата в начальной и конечной точках рабочего пространства Задача состоит в построении непрерывной траектории схвата в форме T = T(f), удовлетворяющей некоторым требованиям (например, обес- печение режима разгон — торможение): 184
_____ J-2- УУ™""™ "мипумтором в пространстве координат схвата Т(1) = Т(1А(п, 5(/), р(/)), (4.38) где А — матрица 4x4, зависящая от следующих параметров: п — век- тор 3x1, вокруг которого осуществляется поворот схвата, совмещаю- щий Ro и Rj ’ угол поворота, p(z) —вектор Зх] переноса. Таким образом, нахождение T(t) в форме (4.38) означает, что ис- пользуется теорема Шаля (см. п. 1.2.4). Используя соотношение (4.38), видим, что = (439) т.е. матрица А имеет ту же структуру, что и матрица Т. т.е. р1Т (.000 1 J' Поскольку в начальный и конечный моменты времени матрица T(f) должна совпадать с Го и : T(tQ+T) = T/? (4,40) то, согласно (4.40), получаем для А следующие условия на правом и левом концах траектории: Л(/0+т) = Г0Г;', (4.41) R{t0) = E, Я(г0+т) = М/> (4'42) р(/0) = 0, Р(/О + Т) = R;(г, -r0). (4.43) Теперь, воспользовавшись соотношениями (1.17), (1.18), найдем век тор л, вокруг которого осуществляется поворот, и >гол поворота 8(Г0 + т): cos8(/0+t) = 1/2(TA-D. (4'44) и = l/2sin5(r3,-г21, г,,-г31, г,,-г,,) , ( ) где — элементы матрицы R(J0 + т) Окончательно матрица поворо та R(t) ищется следующим образом: /f(/) = cos8(/)£ + (l-cos8(0)««T+Sin6(/)Q" (446) матрица задается соотношением (3.63). 185
.< биотическое управление манипулятором Функцию р(/) И входящую в (4.46) функцию 5(7) выбирают, на- поимер, исходя из условия обеспечения режима разгон — торможение (рис 4 7 а б) Ясно, что эти функции должны удовлетворять краевым условиям (4.43), (4.44). Рис. 4.7. Функции перемещения (а) и угла поворота (б), обеспечивающие режим разгон — торможение в декартовом пространстве Таким образом, соотношения (4.42)-(4.46) позволяют построить программную траекторию схвата в декартовом пространстве в форме Т = T(f), обладающую требуемыми свойствами. Для того чтобы обес- печить движение схвата вдоль этой траектории, можно воспользовать- ся методами, описанными в § 4.2, либо методом, который будет рас- смотрен в следующем пункте. 4.2.3. Линеаризованный позиционный алгоритм управления Рассмотрим алгоритм управления по положению, в котором не решается обратная позиционная задача. Этот алгоритм основан на том, что целевое положение схвата (рассчитанное программное движение) и его текущее положение различаются несущественно. Пусть имеется соотношение, связывающее вектор обобщенных ко- ординат q с целевым положением свата : s’=/(g). (4.47) Используя для решения (4.47) метод Ньютона (см. п. 2.3.3.), получаем следующее рекуррентное соотношение для нахождения q = q *i д9л+1 = J’'(g*)Ast, A^+i = g*+> -g*, (4.48) (4.49) 186
схвата ______тгат Л>. -<Лф,. ар,) = |„<д,_ Vj4Z) „ м, - ,го «опор, отражающий ВКо»„аве „гаоммя £-й итерации с программным у . которое может бытк и™ } ижег оыть ликвидировано за время Д/ пу гем поворота схвата с угловой скооостыл о и j ип скоростью со* и переноса С линейной скоростью vk (напомним. ЧТО 5 и с п«™„, - и у различаются незна- чительно). Уточним теперь компоненты вектора Д^. входящие в (4.50). Вос- пользуемся для этого результатом, полученным в п. 3.3.2. Тогда имеем Др* = р -рк. (4.51) = 1/2(х* хх' + ук ху' +ZtXZ’^ (4.52) где, как и ранее, векторы х , у . z — это столбцы матрицы положе- ния, задающие ориентацию. Пусть теперь целевое положение схвата описывается матрицей Если предположить, что итерационный процесс (4.48) сходится за одну итерацию, то можно рассматривать соотношения (4.48)—(4.53) как схему слежения схвата манипулятора за задаваемым программным движением (4.53). Соответствующая схема алгоритма приведена на рис. 4.8. Рис. 4.8. Схема линеаризованного алгоритма управления по положению Сделаем несколько замечаний, относящихся к реаЛ1”^*И алгоритма. Если привод замкнут по положению через обратную ления робота (а так чаще всего и бывает), то целесообразно обра у 187
7. Кинематическое управление манипулятором связь по положению разомкнуть и исключить операцию суммирования векторов А?, поскольку эти компоненты пропорциональны скорости изменения обобщенных координат. Такая схема позволяет обеспечить более высокое качество отработки схватом манипулятора программной траектории. Еще одно замечание состоит в следующем. На приведенной схеме (см. рис. 4.8) поиск текущего положения схвата 5, описываемого векто- (см. рис. 4.6) ПОИСК текущс! и нилижсппл cadchu и велю- рами х, z. р, осуществляется с использованием показаний датчиков сочленений а не вычисленных углов q. Это также может повысить качество слежения за программной траекторией s* (/), заданной векто- рами x*(Z), /(/), z’(/\ Р*(0- Планирование программной траектории можно осуществлять с использованием подхода, описанного в преды- дущем параграфе. 4.2.4. Управление по вектору скорости и по вектору ускорения Пусть, как и раньше, (О V (4.54) представляет собой 6-мерный вектор обобщенной скорости схвата, включающий векторы угловой и линейной скорости со и v соответст- венно. Тогда под управлением по вектору скорости понимают такой способ управления, при котором совпадают (или близки) командный вектор скорости Ш (О ЛО (4.55) и скорость схвата i(z). Этот метод управления особенно часто используют при управлении манипулятора от рукоятки. Рукоятка представляет собой многозвен- ный механизм; в его степенях подвижности установлены потенцио- метры, выходные сигналы с которых линейно зависят от перемещений в соответствующих шарнирах. (Заметим, что рукоятка в некотором смысле подобна манипулятору.) Сигналы, поступающие от рукоятки, интерпретируются системой управления робота как компоненты ко- мандного вектора скорости. Ясно, что при этом рукоятка должна иметь шесть степеней подвижности (именно такова размерность вектора $)• 188
^_^пРа^ схвата В действительности число степеней подвижности рукоятки часто бы- вает меньше шести и тогда приходится указывать системе управления способ интерпретации сигналов, используя дополнительные средства например кнопки, установленные на рукоятке. Итак, пусть s’(t) — заданный соотношением (4.55) вектор команд- ной скорости схвата. Воспользовавшись соотношением (3.200). получим q = (4.56) где q‘(l) — вектор командных скоростей сочленений (угловых или линейных — в зависимости от типа шарнира). Соотношение (4.56) и определяет закон управления манипулято- ром. Соответствующая схема управления представлена на рис. 4.9. В тех случаях, когда приводы подвижных сочленений не имеют обрат- ных связей по положению, тогда интегрирование командного вектора q становится излишним. Строго говоря, элементы обратной матрицы Якоби зависят от программного движения 4’(О. однако мы дости- гаем более эффективного управления звеньями механизма, если вос- пользуемся для ее вычисления показаниями датчиков в подвижных сочленениях, учитывая таким образом действительное состояние ме- ханизма, т.е. используя принцип обратной связи, являющийся фунда- ментальным в теории управления. Рис. 4.9. Управление манипулятором по вектор) скорости схвата В тех случаях, когда матраца Якоби Л?) не имеет обраткой (т.е. она либо вырождена, либо не является квадратной), в (4 следует воспользоваться псевдообратной матрицей J ( схват Рассмотрим метод управления по манипулятора должен двигаться так, что ы *(') = v(0 189
4. Кинематическое управление манипулятором__ был близок к командному вектору 5 = ‘М ' \а (J)J Из соотношения (3.200) дифференцированием его обеих частей полу- чаем $ = J(q)q + j(q)q, откуда <7 = J~'(q)'s-J~'j(q, q). (4.57) Соответствующая соотношению (4.46) схема управления приведе- на на рис. 4.10. Заметим, что при введении в закон управления обрат- ной связи, как было сделано в случае управления по вектору скорости, требуется измерять не только обобщенные координаты механизма Q, но и скорости Q. Рис. 4.10. Управление манипулятором по вектору ускорения схвата 4.2.5. Управление по вектору силы При управлении по вектору силы требуется, чтобы схват развивал заданные силы и моменты. Как известно, понятие силы в механике вводится как результат взаимодействия тел. При формулировании за- дачи управления по вектору силы предполагают, что к схвату прило- жена некоторая внешняя сила, а в подвижных сочленениях развивают- ся такие силы, которые уравновешивают действие этой внешней силы, оставляя в состоянии покоя манипулятор, рассматриваемый как систе- ма твердых тел. Это замечание является чрезвычайно важным для по- нимания описываемого способа управления. Итак, пусть F обобщенная сила, приложенная к схвату (как сле- дует из сделанного замечания, она противоположна по знаку силе, ра3' виваемой охватом): 190
4,2 Управление манипуляторов в прГ1Ггпрп ------------------------—----------и н^тве координат схвата где т — ( х • Т У ' : ) 7 векторы момента и силы соответственно. Пусть далее пц. т2, .... тк — ска- лярные моменты или силы (в зависимо- сти от типа сочленения), приложенные в подвижных сочленениях Лг-звенного ма- нипулятора (рис. 4.11). Для получения соответствия между вектором F и векто- ром М = (т}, т2 к .... тк. )т воспользуем- ся принципом виртуальных перемещений: в положении равновесия (!) сумма эле- ментарных работ всех активных сил при Рис. 4.11. Схема приложения к ма- нипулятор} активных моментов и сил возможных перемещениях равна нулю. Тогда имеем 8qj + т2 bq2 +... + m v bt? v = тх8(рх + т5 v ср, + т:5ф. + fxbx + fy by + f.bz. где bq = (8^1, bq2, .... bt? v )T — вектор виртуального перемещения в сте- пенях подвижности манипулятора. Si = (Ьсрх. Ьфг? 8ф_, 6х. by, 8z) вектор виртуального дифференциального перемещения схвата как твердого тела. Из последнего равенства следует, что MJbq = FTbi. Поскольку bi = J(q№l > то В соотношении (4.58) имеем MTbq = FTJ(q)^- — произвольный вектор, (4.58) следовательно, Mr=FrJ(q) или Соотношение (4.59) и является решением задачи. (4.59) 191
4. Кинематическое управление манипулятором Рассмотрим в качестве примера операцию, выполняемую дВух_ звенным манипулятором с шарнирами вращательного типа. Манипуля- тор должен открыть люк диаметром /, имеющий вращательный шарнир А и опирающийся на подставку В (рис. 4.12). Требуется определить моменты Ш|(Г) и m2(t), в сочленениях манипулятора, обеспечивающие, с одной стороны, заданное движение люка ср = ср (/), а с другой — не приводящие к поломке шарнира (т.е. сила реакции в шарнире не долж- на превышать некоторого критического значения). Рис. 4.12. Двухзвенный манипулятор, поворачивающий крышку люка ~ Несмотря на простоту постановки, эта задача не является тривиаль- ной и требует для своего решения привлечения весьма тонких методов динамического управления, которые будут рассмотрены далее. Остава- ясь в рамках изучаемого метода, сформулируем следующую задачу. Какие минимальные моменты и т2 необходимо развить, чтобы аходясь в горизонтальном положении люк не оказывал давления на опору в точке В? Из элементарных соображений получаем, что сила, развиваемая схватом, равна г F = (Р/2, 0), где Р вес люка, при этом углы в сочленениях п -71 2я <h= — 192
________________Контрольные вопросы и задания___ Матрица Якобы для рассматриваемого манипулятора имеет вид ( ( ~ J(q) = L и, следовательн0’ 2k z Тогда, используя соотношение (4.59), окончательно имеем выражение для искомых моментов в сочленениях О m} m- P/2\ ' PL/2 ) e^/4/ что и является решением поставленной задачи. Контрольные вопросы и задания 1. Что такое кинематическое управление манипулятором? Что является моделью манипулятора как объекта управления? 2. Как выглядит алгоритм управления манипулятором при использовании специальной параметризации? Нарисуйте блок-схему алгоритма. 3. Исследуйте систему уравнений относительно неизвестных коэффициен- тов, получающуюся при использовании полиномиальной параметризации с полиномами 1—4-й степеней. 4. Нарисуйте блок-схему алгоритма управления при использовании сплайн- интерполяции. 5. Напишите программу моделирования движения двухзвенного плоского манипулятора, управляемого по положению. В качестве метода управления используйте линеаризованный позиционный алгоритм. Задайте программную траекторию, например в форме окружности. 6. Какой вид имеет траектория при использовании метода, описанного и. 4.2.2? Как Вы думаете, может ли при управлении по вектору скорости куть такая ситуация, когда решение обратной задачи по скорости /наггои. Денн°й конфигурации не выводит манипулятор из этого пол°*е из МеР, q = с = const соответствует вырожденной конфигурац , Рвений обратной задачи имеет вид ? = 0)? Как можно модифициров Ш’горитм управления, чтобы избежать этот эффект? плоского двух- • Решите задачу, аналогичную приведенной в п. • > —„ звенн0го манипулятора, имеющего два телескопических еНдикуЛЯрНЫМИ осями. сочленения c nep- 193
5. УРАВНЕНИЯ КИНЕТОСТАТИКИ МАНИПУЛЯТОРА Итак, мы рассмотрели только такие способы управления, при кото- рых учитываются кинематические соотношения, связывающие звенья манипулятора, — их координаты, скорости и ускорения. Фактическое движение манипулятора как системы взаимосвязанных твердых тел, конечно, будет отличаться от кинематической модели. Иногда это от- личие несущественно, и кинематические способы управления вполне эффективны. В других случаях, наоборот, влияние динамических фак- торов обусловливает применение специальных способов управления. Таким образом, перед нами возникают следующие проблемы. В первую очередь, математическое составление уравнений движений манипулятора как системы материальных тел. Затем их анализ с уче- том динамики привода и определение эффективности кинематических способов управления и степени влияния динамических факторов. И, У—специальных способов управления, собами управления ’ РЫе И назЬ1вают Динамическими спо- Переходя к решению первой из эти* стоящему времени в робототехнике п Р 6 ’ Отметим’ что к на’ вестные способы описХя лин» Применяют практически все из- различаются условиями применениТхаТ^™* ТВеРДЫХ ТеЛ' °Н” числительных алгопитм™ ’ хаРактеР°м и сложностью вы- условиями задачи а также ЧЫ °₽ Т°Г° ИЛИ иного сп°соба определяется теля. ПоэтомТ в PL 5 РУДИОДеЙ’ °ПЫТ0М и искусством пользова- страненных на практике спослКАДСТаВЛеН° несколько наиболее распро- Прежде чем переходить к анми^3™*1 динамики манипулятора. ходимо рассмотреть уравнения статики “тТТ МаНИПуляторов’ нео6' и> т.е. уравнения равновесия ма- 194
Статика ° иных мех ан измов нипуляционною механизма под действием приложенных к нему сил и моментов. )тому вопросу посвящены § 5.1, 5.2. Представленные в них соотношения позволяют перейти к уравнениям движения как к уравне- ниям кинетостатики в последующих параграфах настоящей главы 5.1. Статика манипуляционных механизмов 5.1.1. Уравнение равновесия относительно основания манипулятора Напомним, что уравнения статики — это уравнения равновесия механизма под действием приложенных сил. На манипулятор (разомк- нутую кинематическую цепь) в статике действуют следующие силы: силы тяжести звеньев Gz, i = 1. 2, . ...jV, силы Р. и моменты Qt, разви- ваемые двигателями в осях кинематических пар; силы и моменты МR реакции опоры, а также внешние силы Гв и моменты Мв, обу- словленные воздействиями со стороны внешней среды. Условимся, что все внешние силы и моменты, действующие на /-е звено, приведены к главному вектору внешних сил приложенному в его центре масс С,, и главному моменту внешних сил Мв,. Кинематические связи счи- таем идеальными. В статике все силы и моменты, развиваемые приводами, у равно вешиваются соответствующими силами и моментами реакций со сто роны удерживаемых ими фрагментов кинематической цепи, и их не включают в уравнения статики за ис- ключением первого привода, установ- ленного на опоре. Рассмотрим вначале случай, когда первая кинематическая пара поступа- тельная (рис. 5.1). Очевидно, что сила реакции опоры состоит из двух состав- ляющих: силы, обусловленной дейст- вием внешних сил FB/-, / = h 2,..., и силы, равной движущей силе первого привода Pj, направленной вдоль оси Рис. 5.1. Манипулятор с первой по- ступательной кинематической парой 13*
5 Уравнения кинетостатики манипулятора_________ -------——------ с пары. Заменяя опору соответствующей силой Ro, запишем следующее уравнение: (5-1) Если первая пара вращательная, то это уравнение определяет уело- вие равновесия внешних сил и силы реакции. fr8,. + ^=0. (5.2) /=1 Поскольку соединение является идеальным и силы трения отсутст- вуют, то реакция Ло ортогональна к оси пары. Поэтому значение силы, развиваемой двигателем первой пары, можно найти, проецируя урав- нение (5.1) на направление ее оси. Если неподвижная система коорди- нат OX0Y0Z0 выбрана таким образом, что ось OZ0 коллинеарна оси первой кинематической пары, то уравнение (5.1) необходимо проеци- ровать на направление, заданное единичным вектором-ортом г0 этой оси. Получим скалярное уравнение *oT IX + Hi = 0, (5.3) /=1 где pj =ZqP1 — сила, развиваемая приводом первой поступательной пары и удерживающая манипулятор в равновесии под действием внешних сил. Аналогично найдем и уравнение равновесия для моментов. По- скольку в рассматриваемом случае первый двигатель не создает мо- мента, уравнение равновесия между моментами внешних сил МъП * ~ . 5 N. и моментом реакции опоры МR имеет вид < N ( E^+Po/xFj+Л^ =0, /=1 где р0/ радиус-вектор центра масс С, z-ro звена относительно центра О неподвижной системы координат, связанной с опорой манипулятора. Используя принятые ранее обозначения * Ро/ “ + rOi ’ 196
Статика запишем последнее уравнение в виде N Е(МВ, +*((><), )Fti) + M = 0 (5.4) Рассмотрим манипулятор, первая кинематическая - вращательная (рис. 5.2). При этом уравнение равновесия определяться соотношением (5.2), а в уравнение моментов мент Q}, развиваемый приводом первой кинематической вательно, уравнение (5.4) будет иметь вид пара которого : для сил будет войдет мо- пары. Следо- N Z(^B/+ +б| =0- (5.5) Проецируя последнее уравнение на ось этой кинематической пары, получаем скалярное уравнение, которое определяет значение момента pf привода, удержи- вающего манипулятор в равновесии под действием внешних сил: Z0Tf(MB,.+Z.(po,)FB,) + p,=0, (5.6) /=1 Рис. 5.2. Манипулятор с первой дрягиательной кинематической парой Для того чтобы оправдать использо- вание одной и той же переменной щ для обозначения силы или момента, развиваемых приводом, в зависимости от его типа, условимся, что где постоянная о, = 1, если первая пара вращательная, и о, -0, если эта пара поступательная. Используя последнее обозначение, можно (5.3) и (5.6) в одно скалярное уравнейие, определяющее Движущие си- лу или момент привода из условий статического равновес г N Л (5.8) Такая форма удобна А» равновесия. 197
5. Уравнения кинетостатики .манипулятора 5.1.2. Обобщенные условия равновесия (обратная рекурсия) Рассмотрим часть кинематической цепи манипулятора, начиная с /-го звена и вплоть до N-vo (схвата). Отброшенную же часть заменим силой FK, и моментом реакции MKi. В частности, проекция этой реакции на ось кинематической пары, образованной /-м и (/-1).м звеньями, определяется уравнением, аналогичным (5.8): Лг 7=/ ,)Л7) + н, =0, (5.9) где z( l орт оси 0,_}Z,^ системы координат, связанной с (z-l)-M звеном; Р/-1 j (5.10) радиус-вектор центра масс /-го звена относительно центра (/• -1) -й системы координат; (5.11) вектор сил или моментов, развиваемых двигателем, установленным в рассматриваемом соединении (с учетом типа кинематической пары, задаваемого параметром oz). Совокупность всех уравнений (5.9) при изменении индекса i от 1 = 1 до i = N образует систему N уравнений статики описывающих состояние равновесия манипулятора под действием внешних FB/, Мй, и внутренних сил и моментов ц.. В частности, для наиболее часто встречающегося случая, когда манипулятор имеет только вращатель- ные степени подвижности, т.е. о, = 1, z ~ 1, 2, ..., 7V , преобразуем (5.9) в систему уравнений, определяющую моменты приводов ц, в соответ- ствии с условием статического равновесия N. (5.12) На практике расчет сил и моментов целесообразно проводить последовательно от схвата манипулятора к опорному звену (обрат- ная рекурсия) [45]. При этом предполагается, что задача о положе- нии звеньев уже решена и, следовательно, вычислены орты Z,, 198
5.1 ('татика манипуляционных механизмов / = 1, 2, , N, и радиус-векторы р терных точек звеньев. 1> 2,.... д, всех харак. Тогда в проекциях на ось кинематической пя™ ,, , скои паРы, образованной W-m и (N - 1)-м звеньями, получим следующее условие равновесия: +аЛ.(М,Л. + ^Рл-| v)F J -|lv где А -1 7 = П /? -Г’'Э п -^“1 7=1 1 v‘.-i = (0 sinaV1 cosav_jT. Теперь равенство (5.9) можно записать ;шя /-Л- 1 образом: *-Л -1 следующим -Z.V-jtO аЛ'-1 Cf.V-l)^'».V + O,V-l(Af,.V-| + А(рv_2 v_j)F„ л._| + + -!Ш,л. + Х(рл.2 ,v )F, л.)] = цл._,. Если кинематические пары манипулятора одного и того же типа, то это соотношение приобретает рекурсивный характер. Так. если пары по- ступательные (аЛМ - 0 ), то Учитывая, что -UL-2 Л1’—1 + .V ) Нх-1 * H.V-1 получаем Аналогично (5.13) в/-1 М/л В том случае, когда кинематические пары вращательные и ст, можно записать Мдг +^(Рлмх)/'»*Ь =-г;_2(ЛГвЛ.ч + MPn-2 у-1 )Fb*-i +Ж'-2У При этом необходимо учитывать, что PjV-2 jV =///_] + Ptf-i д'> MPjV-2 + следовательно, 199
5. Уравнения кинетостатики манипулятора________ Илм =-z\,_2[(M.Na + ^(Рл^-1)Г>ам)-^-1М* + ^(/,V-I)^»a)], следовательно, = -Z--2 [(М.,-1 + МР,-2 ,-l )FB,-1) - + МА-! )Л,). , i = N, N-l, .... 2, 1. (5.14) Используя соотношения (5.13) и (5.14), можно записать и общую рекурсивную формулу для определения ц,, когда манипулятор имеет как вращательные, так и поступательные пары. Полученные уравнения представляют интерес прежде всего при решении задачи управления. При расчете конструкции манипулятора необходимо также учитывать силы и моменты, действующие со сторо- ны рассмотренного участка кинематической цепи (от z-ro до N-ro зве- на) на (f-1 )-е звено и, в частности, на опору со стороны всего манипу- лятора. В последнем случае эти силы и моменты, действующие в соответствии со сделанными предположениями, в плоскости, ортого- нальной к оси первой кинематической пары, определены выше уравне- ниями (5.2) и (5.4). Обозначая силы и моменты, действующие на (z -1 )-е звено со стороны последующих звеньев через , МR , по- лучаем уравнения, аналогичные (5.2) и (5.4): X - Л,.., = о, (5.15) =0, (5.16) J=i гд$ индекс i принимает значения от i = 1 (уравнения реакции опоры) до i = N. В последнем случае будем иметь уравнения сил и моментов реакции кинематической цепи без учета последнего звена (схвата). На практике расчет сил и моментов реакции, как и расчет движу- щих сил и моментов, удобно вести с помощью обратной рекурсии. В этом случае вместо соотношений (5.15), (5.16) можно записать: (5.17) + X(p0,.)FB/). (5.18) Полагая, что внешние силы FBi и моменты Мв/ известны, Л// = 0 > и изменяя i от W до 1, получаем все силы и моменты реакции. 200
5.2. Анализ рабочих сил и моментов 5.2. Анализ рабочих сил и моментов g 2.1. Силы и моменты, развиваемые двигателями манипулятора При выполнении рабочих операций манипулятор развивает управ- ляемые силы Fv и моменты МN, приложенные к последнему звену, в котором закреплен рабочий инструмент. Иными словами, Fv и — это силы и моменты, развиваемые рабочим инструментом. Фактически управление манипулятором осуществляется силами и моментами ц., развиваемыми в степенях подвижности манипулятора его двигателями. Поэтому для организации управления необходимо определить ц, в зависимости от Fv , М v. В условиях статического равновесия Fv и Mv уравновешивают внешние силы и моменты, действующие на N-e звено, т.е. FA =-Fs V, М =-М w. Внешние силы и моменты F. М,, / = 1 jV-1, действующие на остальные звенья манипулятора, будем считать из- вестными. В большинстве практических задач Мву= 0, a FBJ= Gj, т.е внешние силы, действующие на звенья манипулятора, являются сила ми тяжести. В соответствии с уравнением (5.9) имеем L >> /=/ т Г/i \ г 1 гг ли u- А Гп YF ) + ц — 0 * i= 1’ 2, • • •5 N • (5*19) -z,4[(l-a,)FN +сг;(Му В частности, в отсутствие внешних сил и момен в7 ; Ц/ = +о,(^ +Ц₽'-' n)Fn) Вводя блочные матрицы (см. п. 3.1.3), zT =(z0Tz1T...4-i)’ Л(р) = diag(X(p0O^(PiO-X(p"-’f')) a = diag(<Tiff2---a")’ запишем равенство (5.20) в векторной фор ^=zT(£-^+CT(^+A(₽) Х (5.20) 201
Уравнения кинетостатики манипулятора или (см. (3.30), (3.32)) (5.21) л N Мк ? v V tu ' транспонированная якобиева матрица, полученная в § 3.1.3 при анали- зе скоростей TV-го звена манипулятора. Нетрудно получить в матричном виде и выражение ввести дополнительно блочную треугольную матрицу (5.19), если •^з 0 о о о о з или где Тогда ИТ =zT[(E-o)F,v +c(MN + Цр N )FW)] - _тГ/Т7 —ЧГГТТГ 1 i 'I J7 в в ’ (5.22) PfN J & Л > Hfb в т 5 в ЛМ Мъ=(м,х ...MlN_x о)т, T8T=(zT[(F-o)t/T+ct/TX(p)] zTCT <7Т). В выражении (5.23) — моменты и силы двигателей, позво- ляющие развить требуемое рабочее усилие, а ц/в — моменты и силы, предназначенные для компенсации внешних сил и моментов, дейст- вующих на звенья манипулятора, в том числе сил тяжести. 5.2.2. Эллипсоиды допустимых сил Полученные соотношения позволяют не только определить мо- менты и силы двигателей, но и необходимую их мощность. Поскольку эта мощность всегда ограничена, можно найти область значений сил, которые могут быть развиты двигателями манипулятора. 202
— рабочихсил и моментов O6OWa""“ Чере’ /' = 5/' м»Щиос,ь. р„одуемую двигателями манипулятора, и введем коэффициент к _ Н, (5.24) характеризующий эффективность преобразования энергии в движущий момент каждого из двигателей. Тогда и ( к; р - 2-К yr = p'diag к; Поскольку суммарная мощность ограничена некоторым значением Р <Р\ можно записать * 2 jTdiag (5.26) к- I Предположим теперь, что внешние силы и моменты либо отсутст- вуют, либо компенсируются специальными механическими устройст- вами (системами разгрузки), т.е. справедливо равенство (5.21). Тогда для каждого положения манипулятора, т.е. фиксированного значения вектора обобщенных координат q, получим условие (5.27) где L(q) = J(?)diag -у J'(qY (5.28) В частности, если требуется развить рабочую силу Fv то это не равенство примет вид где F;,L,Aq)Fs<P'- (5.29) (5.30) Коэффициент к был введен для электрическ МВИСИМОСТь между (моментных, безредукторных), поскольку справедлив двигателей посто- величинами ц( и /р [66]. Однако он имеет смысл и для янного тока, так как определяет эффективность силового ДУ 203
5 Уравнения кинетостатики манипулятора Геометрически неравенство (5.29) характеризует множество До. пустимых значений вектора рабочей силы в данном положении мани- пулятора, определяющее эллипсоид в его рабочем пространстве. На- правление главных осей эллипсоида соответствует направлениям собственных векторов квадратичной формы Lt,, а их величины опре- деляются собственными числами матрицы LF и значением Р'. Если R — матрица, приводящая LF к диагональному виду, т.е. RJLR = diag(X,), / = 1, 2, ~ J N •> то получим уравнение эллипсоида, ограничивающего область допус- тимых значений сил: I Минимальная и максимальная полуоси этого эллипсоида равны соот- ветственно min, A,J— и max, А, / f If A It V A( I В частности, при А, = Л = const величины к шах — опреде- min ляют минимальное Fmjn и максимальное Fmax значение рабочей силы (рис. 5.3). Матрица R характеризует ориентацию эллипсоида допусти- мых сил относительно базовой системы координат. Для того чтобы оценить энергетическую эффективность манипу- лятора, зависящую как от типа двигателей, так и от его кинематиче- ской схемы, вводят показатель X (Вт/Н): 1ШЕ Л = — trace Z, (5.32) N который характеризует среднюю величину диссипации энергии. Поскольку то X соответствует среднему значению характеристических чисел матрицы L. г г 204
У-2 Ана-:,и2Ра^их сил и моментов Fmin Рис. 5.3. Эллипсоид допустимых сил Учитывая, что рабочие силы обратно пропорциональны характе- ристическим числам, можно сделать вывод: чем больше л. тем мень- шие в среднем рабочие силы могут быть развиты манипулятором, т.е. тем больше диссипация затраченной энергии. Эллипсоиды сил могут быть построены в каждой точке рабочей зоны манипулятора. Они характеризуют возможность управления си- лами, развиваемыми манипулятором, и позволяют определить направ- ления, в которых может быть развита максимальная сила. Отметим, что в используемых в настоящее время манипуляторах непосредственное управление силами и моментами двигателей приме- няется редко. Электрические моментные (безредукторные) двигатели позволяют осуществить такое управление. Для манипуляторов, осна- щенных подобными двигателями, анализ областей допустимых сил имеет особенно важное значение [66]. Пример 5.1. Построить области I С допустимых значений рабочих сил и для манипулятора с параллелограмм- ной схемой кинематической цепи (рис. 5.4). Решение. В соответствии с на кинематической схеме получим уравнения, связы- вающие координаты х, у конечной точки С кинематической цепи с обобщенными угловыми координа- ции , q2; с. 5.4. Манипулятор с параллелограм- мной схемой кинематической цепи 205
5 Уравнения кинетостатики .ианипу.1ятори ,г = /, cos<7, - Л cos;/,. у = /, sin «у, -Л sin 72. Для скорости перемещения этой точки запишем следующие уравне- ния: д- = -/,7, sin + qJy sin Яг ’ у = l}q} cosg, cosq2. Отсюда следует. что якооиева матрица равна (-1. sin <7. /, sin^,> J / X _ 1 * 1 ' 4 cos 7, cos<72> Предполагая, что известны коэффициенты эффективности преоб- разования энергии кх и к-,, получаем L = J,, (<?)diag(l/кх 1/ к; )/,! (9) = ( 1г /2 Г- -vfsina.)2 + Ц-fsin q,) — —^cos <7, sin<?2 --^-sin?, cost?, k; k; ’ kx k2 <2 Z3 • A2 / у ( V —ycos^j sin^j-----cosgs sin^2 — (cos<7f J +-^-(cost^ ) 4 k, “ k{ k~ " J (5.33) Распределение эллипсов допустимых значений сил в пределах ра- бочей зоны, вычисляемых по формуле (5.31), показано на рис. 5.5 . Из рисунка ясно, что максимальная сила направлена по оси последнего звена. Важно, что диапазон рабочих сил при использовании параллело- граммной схемы меняется незначительно в большей части рабочей зо- ны, что упрощает программирование соответствующих рабочих опера- ций. Средний показатель эффективности данной схемы (см. (5.32)) не зависит от точки приложения сил и составляет (5.34) Расчеты выполнены для робота с двигателями прямого действия, разработанного в Массачуссетском Технологическом Институте; его характеристики приведены в работе [66, с. 55-57]: /^0,4м, /2= 0,65 м; 35°<^2 <170°. При /%„=1 кВт макси- мальная рабочая сила составляет 190 Н. 206
Анализ рабочих сил и моментов Рис. 5.5. Распределение эллипсов допустимых сил в рабочей эоне манипулятора Отметим, что такой благоприятной особенностью ооладает не вся- кая кинематическая схема. Это видно из следующею примера. Пример 5.2. Определить среднее зна- чение диссипации энергии Л для манипуля- тора, имеющего разомкнутую кинематиче- скую цепь (рис. 5.6). Решение. В данном случае х = ~/t cos q} +12 cos(#| + </,), J' = /] sin qx +12 sin(<?, + q2) • Соотношения для скорости конечной точки кинематической цепи принимают вид Рис. 5.6. Система двухзвенного манипулятора X = -/,<?, sinq} -l2(qi + q2)sin(q} +<h')' У = cosqx +^2)cos^1 + ^2^’ Соответственно, якобиева матрица при 207
Уравнения кинет ост ат ики м ан ипуля тора У (?) ( l} sinq, -l2 sin(?, + ?2) J, cos<?, + /, cos(<7j + q2) -l2 sin(^! + q,)'' I, cos(q} + q2\ Вычисляя, как и выше матрицу L, получаем для суммы ее элемен- тов, лежащих на главной диагонали, следующее выражение: X = — trace Z = — 2 2 9 frCOS^. k; Этот показатель, в отличие от полученного в предыдущем приме- ре, зависит от конфигурации манипулятора. При увеличении пока- затель X также увеличивается, а эффективность, соответственно, падает В этом смысле механизм с параллелограммной схемой оказывается эффективнее во всей рабочей зоне, чем с разомкнутой. 1И1 Рис. 5.7. Манипулятор с перекрестной кинематической связью Из двух рассмотренных примеров ясно, что, выбирая ту или иную кинематическую схему манипулятора, можно существенно влиять на раз* виваемые рабочие силы и характер их распределения в рабочем простран- стве. Интересный пример представляет собой схема манипулятора с пере- крестной кинематической связью, также рассмотренная в [66] (рис. 5.7)- 208
------------------------------------Хамберд Ее особенность состоит в том. что концевая точка май пЮбом положении может перемешаться только „„ анИП> ЛЯТ0Ра при годаря этому вся энергия системы расходуется на развитие™”’"1' ном направлении. При использовании тех же силовьк эт В 0> в случае манипулятора с параллелограм.мной схемой |См ™И при тех же размерах базовых элементов кинематической цепи 1та оказывается в среднем оольше в ].6 раза. Эллипсоиды рабочихТи вырождаются в отрезки прямых, причем равномерное распределение допустимых значений сил сохраняется (см. рис. 5. д. Трудность про- граммирования такой системы очевидна, так как направления возмож- ных сил различны в разных точках рабочего пространства 5.3. Уравнения движения манипулятора в форме Даламбера Для составления уравнений движения манипуляционного меха- низма. рассмотрим уравнения кинетостатики как наиболее обшей и универсальной формы уравнений движения. Этот способ наиболее просто позволяет получить их в аналитической форме: вместе с тем он весьма удобен и в вычислительном отношении, так как предоставляет возможность решать первую и вторую задачи динамики с использова- нием рекурсивных процедур (см. §3.1)- 5.3.1. Силы и моменты инерции В основе процедуры составления уравнений кинетостатики лежит принцип Даламбера. Он состоит в том. что в каждый момент вРем™ действующие на движущееся тело внешние силы и реакции можно уравновесить силами инерции. Поскольку сЛсВНЯ в Действующих на манипулятор внешних сил ) *едажу- § 5.1 и 5.2, нам остается определить силы и мо. енные условня Щихся звеньев манипулятора и подставить их Равновесия. инерцйН приобретет При этом условие равновесия с уче - п-пательное движение смысл уравнений Ньютона, описывающих пос нениями Эйлера т^РДого тела. Уравнения же моментов совпадет ^юшеГо неподвиж- 0Цйсывающими вращательное движение те. НУ К) точку. * Над 209
Уравнения кинетостатики манипулятора Главный вектор сил инерции, приложенный в центре масс /-го зве- на F, (в неподвижной системе координат OX}Z), можно найти по формуле Fh=-niiwi' (5.36) где w __ масса звена, w, — абсолютное ускорение центра масс, опре- деляемое формулой (З.э8). Используя рекурсивную процедуру (см. § 3.3), ускорения звеньев и» можно последовательно найти при / = 1, 2, ..., N, одновременно с вычислением их линейных и угловых скоростей , w-. При этом можно воспользоваться рекуррентными соотношениями (3.20), опре- деляющими ускорение в системе координат, связанной со звеном , применяя формулу F{l = . (5.37) Для вывода уравнений кинетостатики, однако, более целесообраз- но использовать формулу, определяющую вектор и> = (и^ ... wN)T в аналитическом виде (см. (3.38)). Применяя матричные обозначения и учитывая эту формулу, можно записать следующее выражение, позво- ляющее вычислить вектор Fz = (Fn Ff2 ... FIN)T через обобщенные координаты манипулятора и их производные: Fy = -mw = -m(Bv(q)q + Bv(q, q)q); (5.38) матрицы BY(q). Bv(q. q) определены в п. 3.1.3. Для того чтобы определить главный момент сил инерции, введем еще одну систему координат C^X'Y/Z-, связанную с z-м звеном и имеющую начало в его центре масс. Выберем ее таким образом, чтобы соответствующие оси были параллельны осям системы координат также связанной с z-м звеном. Во многих случаях оси систе- мы координат С-Х'У/Z' удается выбрать таким образом, чтобы они совпадали с главными осями инерции z-ro звена, что облегчает после- дующий расчет. Однако если оси системы CjX'Y'Z’ не совпадают с главными осями инерции тела, можно выбрать и другую систему, оси которой совпадают с главными осями инерции, добавив соответст- вующую матрицу поворота в последующие уравнения. 210
в форме дмера Введем теперь кинетический момент ,-го звена G' в системе коор- динат C^^Z'. Напомним, что кинетический момент — это вектор, который определяет главный момент количества движения точек тела ту, относительно некоторого центра. В частности, при вращении тела относительно некоторой оси L его кинетический момент G L = /, со, где IL — момент инерции тела относительно этой же оси; со — угло- вая скорость вращения. В общем случае при вращении f-го звена относительно начала сис- темы координат ClX,jYl Z-, т.е. его центра масс, кинетический момент определяют по формуле (5-39) где, — матрица, называемая тензором инерции и состоящая из мо- ментов инерции тела в системе координат QZ'K/Z', а со,— угловая скорость звена в связанной с ним системе координат: f i т/z: *z;z’:J Напомним, что моменты инерции, стоящие на главной диагонали этой матрицы, определяют моменты инерции относительно соответст вующих осей (осевые моменты инерции), например. / = Шр(х', у, д')(У: +/2)^W'- где р — плотность тела, Е, — ег0 объем. Остальные элементы матрицы называют т«же центробежными моментами (произведениями . имеются , ;|ашыс Если среди осей системы координа , t , > .п-типя Г упрощается. Так, если ось С^Хt оси инерции /-го звена, то матрица /,• У Р г -г =0 при этом, как известно, ось С / , является главной, то 1- * хч’ ’ г Рты С X’Y'Z’ — главные цен- должна быть осью симметрии тела. ' т,___ . .ягг\ оси инерции, то матрица тральные (проходящие через центр диагональная, т.е. 211 14*
5 Уравнения кинетостатики манипулятора_______ G' = diag(/vr Л",-' (5.40) Обозначая, как и ранее, О, матрицу перехода о г системы коорди- нат О XiYtZl (следовательно, и от СГ\'У, Z,) к неподвижной системе координат' запишем выражение кинетического момента в неподвиж- ной системе координат: (7, =0,6'. (5.41) Главный момент сил инерции Mfi твердого тела определяется как производная по времени кинетического момента 6, с противополож- ным знаком: (5-42) dt Подставляя (5.41) в (5.42) и принимая во внимание формулы, по- лученные в п. 3.1.3, имеем мн = -ад' -ад = -адч-Ж -ц./; ez = = -л(о,)о/;«>,. -сдох =-ц©/)//ш/ -(5.43) где = QZ/'Q^, е, , z = l, 2, ..., Л\ Таким образом, мы получили выражение для главного момента инерции z-ro звена в виде функции его угловой скорости <о. и углового ускорения с, (в неподвижной системе координат). Совокупность равенств (5.43) для всех звеньев манипулятора мож- но записать в матричной форме, используя ранее введенные блочные матрицы: = -ОЛ(й)Гй-ПГй = -А(а))/©-/е, (5.44) где /' = diag(/' Г2 ... I'N), I = diag(7, 72 . Первое из этих равенств более удобно при организации рекуррент- ных вычислений моментов инерции методом прямой рекурсии (см. § 3.3). Второе используют для записи этих моментов в аналитической форме. С учетом выражений, полученных в п. 3.1.3 для векторов угловой скорости со и углового ускорения £ в неподвижной системе координат (3.23), (3.37), позволяющих выразить эти величины через производные обобщенных координат манипулятора, запишем М, = ~K(Ba(q)q)IBa(q)q~IBw(q)q-IBa(qyq)q. (5.45) 212
5 3. Уравнения ови^-епии -------------L--------Дагера Компоненты векторов F М МПГ1„ - ” ' МОГУГ сыть вычислены с помощью процедуры рекурсии, описанной в п 3 3 1 пп„„ щ хами «ектороа = ™»»ен- 5.3.2. Уравнения движения Обратимся теперь к процедуре составления уравнений кинетоста- тики манипулятора. Вначале заметим, что в случае движения свобод- ного твердого тела движение его центра масс определяется уравнением Ньютона 1де главный вектор внешних сил, действующих на тело. Движе- ние же тела вокруг центра масс описывается теоремой об изменении кинетического момента: где Мв — главный момент внешних сил относительно центра масс тела, принятого за точку вращения. Подставляя в это уравнение выра- жение М {, полученное выше в форме (5.44). получаем три уравнения Эйлера, описывающие вращения тела относительно центра масс. В случае манипуляционного механизма на движение образующих его тел наложены связи, характеризующие допустимые взаимные по- ложения звеньев. Эти связи можно интерпретировать как дополни- тельные условия, налагаемые на решения рассматриваемых дифферен- циальных уравнений. Такой подход будет описан в следующих главах. При составлении же уравнений кинетостатики используют рекурсив ный подход, аналогичный рассмотренному выше при составлении уравнений статики манипулятора (см. § 5.1) Для фрагмента кинемати ческой цепи, образованной звеньями от Аго до Л-го, к уравнениям сил и моментов теперь надо добавить силы и моменты инерции каждого из звеньев. В соответствии с (5.9) получим следующие уравнения. для поступательной Ай кинематической пары (5.46) 213
5. Уравнения кинетостатики .манипулятора для вращательной пары г;,£(Мв,+Ми +^Р/-1/К^, +^,)) + К =0- (5.47) Здесь F, и М, t — главные векторы сил инерции и моментов инер- ции /-го звена в неподвижной системе координат, определяемые фор- мулами (5.37), (5.43). Напомним также, что FtJ, MKi — это главные векторы внешних сил и моментов, действующих на звено; ц/ — мо- мент или сила, развиваемые двигателем соответствующей степени подвижности в проекции на направление а рм/ — радиус- вектор центра масс у-го звена относительно начала системы координат O.^X^Z^ Вид уравнений, таким образом, зависит от типа f-й кинематиче- ской пары, поэтому уравнения (5.46) и (5.47) следует, как и раньше, представить в виде одного уравнения с использованием индексов а,.. Получим £(мв,.+м„.)+цР j=i (5.48) + =0. Уравнения (5.48) решают последовательно в направлении от схвата к основанию манипулятора при i = N, N -1, ..., 1 (обратная рекурсия). При этом могут быть решены как первая (обратная), так и вторая зада- чи динамики. При решении первой задачи динамики предполагаются известны- ми функции q^t), fe[0, Г], описывающие программу движения ма_ нипулятора. Требуется найти управляющие силы и моменты ц,. Для этого вначале методом прямой рекурсии определяют на каждом шаге величины со,, со, v., v,. по формулам, приведенным в п. 3.3.1. Далее вычисляют на z-м шаге Fn и M}i по формулам (5.37) и (5.43). Теперь методом обратной рекурсии при i = N -1, N - 2, ... , 1 определим ц,. в соответствии с формулами (5.46), (5.47), которые мож- но записать в виде рекуррентных соотношений (см. п. 5.1.2): Ц,_, = Z’.2[- FB,_, + ]- , (5.49) 214
___—5 3 у/“~ Н,-> =-z,-2[a/b,., + ^P,-2,.,)F„.1+/4p,.,,)F,j-z,.lpj + + М"-' + л(р,_2, _I)F;,]. (5 50) Таким образом может быть решена обратная задача динамики. Значи- тельно сложнее решить вторую задачу динамики, связанную с интег- рированием дифференциальных уравнений (5.48). 5.3.3. Составление дифференциальных уравнений движения манипулятора относительно обобщенных координат При определении движения манипулятора, соответствующего при- ложенным силам и моментам, на каждом шаге предполагаются извест- ными начальные условия q(t()), <j(f0), внешние, а также управляющие силы и моменты ц. Задача заключается в интегрировании уравнений движения, записанных в обобщенных координатах. Их нетрудно полу- чить из уравнений (5.46), (5.47), которые с учетом обозначений, введен- ных в п. 3.1.3, можно переписать в виде одного уравнения в; (?)(FB + F1) + Bl (q )(МБ + M}) + ц = 0. (5.51) Подставляя в его левую часть выражения F, и М} из (5.э8) и (5.45), получаем матричное дифференциальное уравнение относительно обобщенных координат манипулятора B;(g)F, -B,T(?W,.(?)?-B,T(9M,.(?, q)q + В^М, - - Вта (?)А(ВИ (q)q)l Вш (?) + Втш(q)I Вш (?. ?)]? - (q)/ В,(q)q + ц = 0. Группируя сомножители при q и q. получаем искомое уравн намики манипуляционного механизма е4(?)? = Ж q)q + BWF, +В^)М, +Ц, (5-52) где ( mi = B;(q)mBSq) + = О B(q), B(q) = (В, (?) nn часть уравнения (5.52), определяются Матрицы, входящие в правую имметоиЧеской матрицы (?) Формулами (5.53), (5.54). Элементы симметр
j Уравнения кинетостатики манипулятора зависят от конфигурации манипулятора и его масс-инерциоиных ха- рактерисгик. Матрицы qV 'Ш линейно зависят от q (см. и. 3.1.3), следовательно, компоненты вектора .../3(7, q)q являются квад- ратичными формами относительно 7, в частости />(//, q)q — 0 при 7 = 0. Интегрируя систему дифференциальных уравнений (5.52) порядка 2Л; с начальными условиями 7(/о) = *7о’ <7(zo)“?o> находим обобщен- ные координаты манипулятора 7(/),т.е. его движение (прямая задача динамики). Уравнение динамики манипулятора в виде (5.52), получен- ное из уравнения кинетостатики (5.51), является очень сложным. Со- ставление его «вручную» для реального манипулятора нецелесообразно. В связи с этим были предложены различные способы автоматизации этой процедуры. Рекуррентный способ. В этом случае применяют методы прямой и обратной рекурсии, рассмотренные выше, однако их используют та- ким образом, чтобы в конечном итоге получить на каждом z-м шаге уравнение для ускорений в виде соотношения q(>\ К'’> F"\ М{'У (5.55) правая часть которого известная на ьм шаге величина. В процессе прямой рекурсии на каждом шаге вычисляют скорости v,, со, в системах координат, связанных со звеньями, в зависимости от 7, 7 по формулам (3.19), (3.21), а также линейные и угловые ускоре- ния по формулам (3.20), (3.22), которые записываются следующим об- разом (см. п. 3.1.3): к’, -^>,-1 + X(S,)X.(co,.p,м) + X(s,) р,+ + (1-а,)Х(Й,)П;го^ +(i_ct.)q;z^5 (5.56) €, = QJe+ 0.(Q;Zo^) + )гоф,. (5.57) При вычислениях отдельно записывают слагаемые, содержащие q . q и сомножители при q. Например, если все сочленения вращательные (а, =1), то ®1 — £2, Z09i > «2 = +£^0^ ф2), 216
. фРр„Дат6,га т.е. вычисляю! Qj z0, 2f),..., ...QJ^ а также Ф2(<7р 4i), Фз^п <72? Чъ)*. > Ф,(015 q2. ...5 q j Аналогично »i =^z0 pl0)^ +9/5^, н’э = Q2a(z0 p10)7i +Mz0 p2 J?? +ф2(йи й2). После выполнения всех расчетов при z = l, 2, ..., Аг происходит вычисление сил, действующих на систему, методом обратной рекурсии С составлением уравнений вида (5.13), (5.14 ); при этом по-прежнему отдельно определяют коэффициенты при qt и слагаемые, зависящие от q, q. Таким образом, на /-м шаге получаем из соотношения (5.55) век- тор ускорений обобщенных координат ^=сТ-’(Г)Ф. (5.58) Дважды интегрируя вектор, стоящий в правой части с известны- ми начальными условиями q{'\ q{,}, находим приближенно значения ^(/+l), , являющиеся начальными на следующем шаге интегриро- вания. Метод вычисления блочных матриц. В для ускорений вида (5.58) определяют, исходя из выражений блочных матриц с// и j6 , входящих в уравнение динамики манипулятора (5.52). Так, для матрицы с4 с учетом формулы (5.53) можно записать c4(q) = j6t(?)7 j8(«), (5'59) I = diagtm, £, ... mN E:, ’ A?) = (ВАчГ причем, принимая во внимание (3.26), (j-2j) и (j.34) 5(^)= (7(£-a) + AT(P)^d]^ov’ Вю (?) = [7fi0Tvo, или В1((7) = С/2(£-а) + Лт(Р)^> (5.60) (5.61) (5.62) 217
5. Уравнения кинетостатики манипулятора Ba (q) = Uza (5.63) где z = Qjv . Матрица AT(P)t£ определена в п. 3.1.3 (с. ИЗ). С учетом вида матрицы U можно заключить, что обе матрицы В,, и Ва являются треугольными, причем: Z0CT, г,о О О Вш(?)= \^oai ^ст. z0(E-al) + + Ж)Рюа1 z0(£-ai) + + ^(Zq )p2o^2 г1(£-а2) + + ^(Z] )p21^2 z0(£-n1) + \ + ^(z0)pjV0nAf Z](£-o2) + + A,(Zj )р^1<7д, zN_1(^-aN) + + A,(z,v_| )рЛ/ д/_1<^ д/ ? Соответственно элементы матриц Bw, Bv можно вычислить последо- вательно в процессе прямой рекурсии: определить z, = ПРИ i = 1, 2, ..., N, одновременно вычисляя на каждом шаге новые элемен- ты матриц Вы, Bv, и последовательно заполнить (сверху вниз) строки этих матриц. Используя матрицы вычисляем также соответствующие элементы матрицы I. После завершения цикла (i = 1, ..., N) матрица dl вычисляется в соответствии с приве- денными формулами. Аналогичные, хотя и более громоздкие формулы, нетрудно запи- сать для матрицы $ (5.54). Они приведены в работе [35], где содер- жится также библиотека алгоритмов для вычисления всех составляю- щих этих матриц. Как и при использовании рекуррентного метода, расчеты на каждом шаге проводят при заданных q^ , q^, что приво- дит к получению соотношения для ускорений (5.58), которое дважды интегрируется. 218
5.7 Показ ат ел и Ои нам и '1е_ски^ тора 5.4. Показатели динамических свойств манипулятора 5.4.1. Эллипсоид допустимых ускорений с помощью рассмотренных выше уравнений кинетостатики можно исследовать возможности манипуляционного механизма развивать ускорения в каждой точке рабочего пространства. Эти возможности, конечно, ограничены, поскольку ограничены развиваемые двигателями манипулятора силы и моменты. Знание допустимых ускорений необ- ходимо при планировании сложных движений, когда решение задачи зависит от выбора законов разгона и торможения. Характерным при- мером может служить задача перемещения полезной нагрузки с по- мощью космического манипулятора. Другая проблема, связанная с анализом развиваемых сил и момен- тов, — это их планирование, например при выполнении роботом опе- рации по механообработке с помощью специального инструмента. Во многих случаях учет развиваемых сил только на основе уравнений ста- тики (5.8) недостаточен и неучет динамических эффектов может серь- езно снизить точность и качество выполняемой операции. Обратимся к уравнению динамики манипулятора в форме Далам- бера (5.52), которое запишем в виде Hqq-M. (5.64) где М = р + Bl (q)Fa + В; (q)M, + Согласно уравнениям кинематики, для ускорения схвата манипу лятора можно записать выражение (э.40). .ЛС/й+Ли-Л- ,5-6б) «е J.(,) - якобиева матрица, a Z («. *) - « "Р01™"”' что блочные векторы образованы последними строками матр ц ,(Ч В, (q, q) и могут быть вычислены по формулам, приведенным Из уравнений (5.64) и (5.66) “яза^ развиваемыми двигателями еле- Дующей зависимостью: д • - 1 -Г' (<7)й + Ч^ Ч) ’ <5-67) =^Ля)^ + JrUu4)4 ~J<<№ -1 7
5 Уравнения кинетостатики манипулятора где С(ув! ^) =+В-«^)Л/- + Ji(q' В частности, если предположить, что внешние силы и моменты от- сутствуют, a q(t0) = 0, т.е. манипулятор в начальный момент времени неподвижен, то С(£в ,?,?) = О и полученное выражение примет вид (5.68) Эта формула определяет абсолютное ускорение щЛ,, которое может быть развито манипулятором из неподвижного состояния, определяе- мого вектором обобщенных координат q(t0) Если развиваемые силы (моменты) ограничены по модулю , то выражение (5.68) позволяет определить область допус- тимых ускорений в данной точке рабочего пространства в виде i шах ’ (5.69) где — компоненты матрицы Jv(qyA ’(</). Эта область определяет параллелепипед, центром которого является исследуемая точка. Если ограничения наложены на суммарный средний момент, раз- виваемый двигателями манипулятора: то для кинематической схемы без избыточности из уравнения (5.68) получим неравенство (5.70) Это неравенство описывает эллипсоид реализуемых в данной точке ускорений. Аналогичное неравенство можно получить и для кинемати- ческой схемы с избыточностью, если заменить J”1 на матрицу Л- ’ вычисляемую с помощью псевдообращения (см. п. 3.3.4). Ориентацию эллипсоида реализуемых ускорений в рабочем про- странстве и длину его полуосей нетрудно определить, вычислив собст- венные числа и собственные векторы для симметрической матрицы (Jv')Tc^Tc7? = PTdiag(X.)P 220
5.4. Показатели Оинамич^г^.^ - -------------— где Р - матрица ортогонального преобразования, приводящего ее к диагональному виду. н идущею ее к Собственные числа л вещественны „ положительны. Оботн™ X, jx, S ... sx„ Гог» величины о, .>-= . , = „предемют полуоси главных осей эллипсоида допустимых ускорений, при этом О! <5 о - • • - П Л ' 5.4.2. Динамическая манипулятивность. Приемистость Произведение Q<7) = fb / = | (5.71) характеризует объем эллипсоида возможных ускорений. Чем больше этот объем, тем выше динамические возможности манипулятора. В связи с этим показатель С\ (q) называют мерой динамической манипу- лятивности. Его можно вычислить, не определяя собственных чисел Х/5 поскольку Cl(^) = (detJ,.MT^)’lJlT)''- (5.72) Для манипуляторов без избыточности, имеющих квадратную яко- биеву матрицу, справедлива следующая формула: С\ (д) = det Jv /det z4. (5.73) Отношение минимальной оси эллипсоида к максимальной С2 (?) = (?.v/<4 (5.74) определяет равномерность распределения векторов ускорения правлению, т.е. близость эллипсоида к сфере. Если, в ^2 (?) = 1, то при соответствующей конфигурации манипулятора пение допустимого ускорения не зависит от его направлен Условие называют условием изотропности ускорения. Показатель (5.75) C3(?) = ^=ITa' определяет радиус сферы, вписанной в эллипсоид допустимых у Рений: 221
Уравнения кинетостатики манипу>лят ора wл, II2 < С’з(и’) . (5.76) т.е. тот диапазон значений ускорений, для которого выполняется усло- вие изотропности. Величина С4(?) = о, - max а, (5.77) характеризует максимальное значение ускорения, развиваемое вдоль главной оси эллипсоида допустимых ускорений. К||2 <С4(цЦ. (5.78) Перечисленные показатели динамических свойств манипулятора С, ...С4 называют показателями приемистости, имея в виду воз- можность манипулятора развивать ускорение из состояния покоя. Эти характеристики используют как для выбора манипулятора с целью реализации технологического процесса с заданным темпом работы, так и для планирования траекторий таким образом, чтобы иметь возмож- ность выгодно размещать стартовые точки в рабочей зоне. Помимо локальных показателей, вычисленных для одной конфи- гурации, используют обобщенные показатели, которые определяются для некоторой области q е Q пространства обобщенных координат, в частности вдоль программной траектории. Например, показатель С3 =minC3(fl) определяет диапазон ускорений, при котором гаранти- руется независимость величины ускорения от его направления на всем множестве Q. Аналогично величину С, = min С. (а) можно использо- вать для оценки динамической манипулятивности во всей рабочей зоне Q. Если условие q(tQ) = 0 не соблюдается, то нарушается и уравнение эллипсоида допустимых ускорений ввиду появления составляющих ?о> 4о) в правой части выражения (5.67). При наличии внешних сил можно выбрать управляющий вектор сил (моментов) ц, обеспечивающий динамическую компенсацию внешних сил, моментов и составляющих, зависящих от скорости: ** = ~S(q. q)q - (q)jr(</, q)q = = p-^(q)j;\q)C^b,q,q). (5.79) 222
5 4. Показатели оинамических ——-----------------------------‘^^ств манипулятора Для вектора ц можно построить те же чт™ ускорений, ччо и ь предыдущем случае Однако л™°"ЛЫ а°"уст""ых U <5.76) или <5.78), от которых “"Т” F паРаметры эллипсоидов не- Обходимо учитывать и выражение С(7е". q}. Например, при опреде- лении ограничений на средний суммарный момент (силу) получим вместо (5.69) следующее уравнение: " ' ‘ Ц ||Й11 -М (ц i(q).J. '(q)C(Jt. q. qjj1 :+ + [c (7B. q. q)( J'v (q))-' ' (q) (q)C(Tt. q. q)] . Таким образом, параметры эллипсоида допустимых ускорений И’д-Ы J,.1) ' <ц изменяются в зависимости от скоростей qr,. а также вектора внешних сил и моментов #в, действующих на манипулятор в рассматриваемой точке 70 рабочей зоны. В таком наиболее общем случае введенные выше показатели называют показателями динамической маншплятив- ности (см. Т. Иошикава [81]). 5.4.3. Вычисление показателей динамических свойств манипулятора Практическое вычисление показателей динамических свойств ма нипулятора, рассмотренных выше, поясним на примере. Пример 5.3. Определить показатели динамических свойств плоского двухзвенного манипулятора (рис. 5.8). Двигатель второй ки нематической пары, также как и пер- вой, находится на неподвижном осно- вании, и, следовательно, угол q2 • как и , отсчитывается от оси ОУ непод- вижной системы координат. Такой манипулятор называют манипулято- ром с параллельной установкой двига- телей. Рабочее пространство манипу- лятора задается ограничениями 5°°^2<140°; известны также массы стержневых звеньев т}, . их Рис. 5.8. Схема плоского двухзвенного манипулятора 223
5. Уравнения кинетостатики манипулятора моменты инерции Ц , Д и необходимые линейные размеры. Масса нагрузки является точечной; она приведена к центру масс второго звена. Решение. Необходимо вначале определить матрицы . В данном случае x;V = lx sin#] + /2 sinq2, у v - lx cos qx + /2 cos q2, следовательно, хЛ, = qxlx cvsqx + q2l2 cos<?2; >/V =~qj{ sin 4, -q2l2 sin<?2. Таким образом ( l} cos^1 /^cosr/P 4(?)= , . ; . ' • I sin a, sin <7? ; * 4 “ J •“ X» * Найдем ускорение центров масс звеньев. Для нагрузки (tV-to звена) ускорение центра масс получим путем дифференцирования предыду- щих формул: sin?, + qxlx cos?, -?2/2 sin?2 + q2l2 cos?2, Ун =~Я^\ cos?, -qxlx sin?] -q2l2 cos?2 -q2l2 sin?,. Аналогичные формулы получим для движения центра масс второ- го звена, если в них вместо /, и /, подставим и Г2 (см. рис. 5.8). Для центра масс первого звена запишем следующие соотношения: X|=7'sin?!, yi =/'cos?!, *i =<Mi'cos?i, у, =~Q\l\ sin?j, *i = sin?] + ?|Z' cos?!, j)] = -q^l\ cos?! - qxl'x sin q}. В матричной форме кинематические соотношения имеют вид где v = [*i J>i х2 >2]т, ? = [?! 92?, ^ZjCOS^! -/'sin^j /] cos^ < 0 0 /2cos#2 w = ВЛ<Ъ - /| sin qx sin<?2> 224
54 Показатели динамических свойств манипулят^ причем I г В^<Ь Я)Ч = о о Т141 4;COSMTK) 2sin?2 -/'cosgJL: • Запишем теперь ура™ и„™татея , »-cwF..FlWt(wr где -т.г ^/-v-J|V1 -з2Ч2) . г>=(0 _,„ig 0 _т^)Т Выполняя необходимые действия, получаем _ 'Ц + 12 +т^Гу- + т212 к т21хГ2 cos^ -q2) <l'}mlgsmq] + l}m2gsinq^ m2l'2gsmq2 , m2lj2 cos(g, -qj).. fji ,2 г Я ~ m2 (l2) + 7, J ''m,/,/, sin(^| -q2)q2 Km2lJ', sin(q, -q})qi) Таким образом, -•%) = Л/] +1, + т}(1{)2 + m2l2 m,l}l'2cos(q}-q2) mJ'K cos(q[ -q2)y т2(Г2)~+12 j Если силы тяжести отсутствуют (или их влияние устранено систе нами разгрузки) и q^) = 0 (см. с. 220), то м = (я)я *^5 задззцд огня * с°идыд Р Ич^ния ц по формуле (5.70), можно рассчитать эллип- пустимых ускорений для каждой из конфипраций. Г л асТНости’ при /; =1 = ] м, т} =20кг, т7 =10 кг, wH =5 кг, 3JIWco 5 2 м’ А КГ’М2, I2 =0J3 КГ‘М\ (л* =5880 Н-м Ох, Те -^°пустимых ускорений построены на рис. 5.9 вдоль оси траектории, удовлетворяющей условию Изрис 5 ^l2cosq2=0. ЙЬ1Х осе" ЯСНо> ито вдоль траектории изменяется направление глав- В|ГГь MaJ*5 а СЛеД°вательно, и направление, вдоль которого можно раз симальное ускорение. Кроме того, изменяется и радиус сферы, 5 " IdDo 225
5 Уравнения кинетостатики манипулятора вписанной в эллипсоид, т.е. показатель С, (q) В вырожденных ситуа- циях (начало и конец отрезка 0-2) этот радиус равен нулю, при х = I 5 м он достигает максимального значения 19,5 м/с . К, и С31мр Рис. 5.9. Эллипсоиды допустимых ускорений без учета сил тяжести При учете сил тяжести часть мощности двигателей будет исполь- зована на их преодоление; в этом случае р = <A(q)q - в; F,, т.е. (1 определяется формулой (5.79), в которой следует положить „Tj? ((W + Z^sin^ I w2/2gsin^2 ; В этом случае направления главных осей эллипсов допустимых ус- корений не изменяются, но уменьшатся их размеры (рис. 5.10), причем максимальное значение С3(#) в этом случае равно 13,26 м/с2 . Показатель С3(<у) можно улучшить за счет перераспределения масс звеньев. Так, при /2 = 0, т.е. обеспечив центр масс второго звена в центре второго шарнира, можно повысить тахС3(<?) до 16 м/с2 [81]. В последнем случае матрица ст? (<у) становится диагональной ине зави- сящей от конфигурации манипулятора: detc7f(^) = (/1 + mj/')2 + m2l^I2. Поскольку det^„(^) = Z,Z2 sin(^, -q2), то показатель динамической манипулятивности 226
5.4. Показатели Нинамически-г rOn,~., -------------------------x своцств манипулятора det ^(q^ • det //(q) j h'^miq -<y2) у>м Сз,м/с2 Рис. 5.10. Эллипсоиды допустимых ускорений с учетом сил тяжести Видно, что показатель Cx(q) равен нулю в начале и конце рас- сматриваемого отрезка [0, 2]. Максимум динамической манипулятив- ное™ достигается при условии q} -q2 = я/2, т.е. когда звенья образуют прямой угол. Показатель C3(q) также нетрудно вычислить в рассматриваемом случае, определяя собственные числа матрицы 1 из условия det(J,.c//- ХЕ) = - Х(-(Л /Д22) sin q2 + (/, /) cos ) + + (/,/,/,//,|..-y,2)sin(^l -q2) = 0. где -Т,1 — 7| + /2 + W| (/|) + w,/| . ст/2? ~ Л - Таким образом. /2 sin q2 /] costft Л sinq2 sinG/j-tf?) - 22 Максимум этого показателя, т.е. максимальный радиус вписанной в эллипс допустимых ускорении, также q,~q2 = п/2 (рис. 5.И). С учетом условия 15* 227
5. Уравнения кинетостатики манипулятора Ц COS Г/, + /2 cos<7, - О нетрудно увидеть, что в этом случае qt = arctg/,/Л , cos=(/2/(/, +/2))1/? > sin<z2 = -cosдг,, и,следовательно, (/,э2 + h 11 _ (/1^22 + ^2С^И ) I?____^2 2(/, +/2)1/2с’?1|с^22 _ 4^.-4222 (/,+/2 ) Эллипсы допустимых ускорений для этого случая при 1{ = 0,4 м, по- строенные с учетом сил тяжести, показаны на рис. 5.11. Рис. 5.11. Эллипсоиды допустимых ускорений при Г2 = 0 с учетом сил тяжести Заметим, что при использовании манипулятора с последователь- ной установкой двигателей, т.е. когда q2 определяется как угол между первым и вторым звеньями, показатель С3(<у) оказывается несколько хуже при тех же параметрах. Вследствие этого схема параллельного типа является предпочтительной. Контрольные вопросы и задания 1. Запишите уравнение статического равновесия (5.8): а) для трехзвенного манипулятора, содержащего только поступательные кинематические пары, б) для трехзвенного манипулятора, содержащего только пары вращения, в) для шестизвенного манипулятора типа PUMA-560, у которого первые три пары вращательные, а три последующие — поступательные. 2. На основе уравнений (5.13), (5.14) составьте общее уравнение рекурсии для определения сил и моментов ц, когда манипулятор имеет как поступа- тельные, так и вращательные пары. 228
и задания 3. Напишите соотношение, оипеделяюш^ рсделяющее силу реакции и момент реакции „поры манипуляюра: а) имеющего зри вращательные пары, образованные звеньями, расположенными в одной плоскости; б) имеющего кинематиче- скую схему типа SCARA. 4. Объясните, почему для вычисления сил и моментов, действующих на звенья манипулятора, целесообразно применять метод обратной рекурсии. 5. Составьте алгоритм вычисления сил и моментов реакции звеньев мани- пулятора, имеющего плоскую трехзвенную конструкцию с вращательными парами, если заданы значения обобщенных координат, т.е. текущее положе- ние манипулятора. 6. Составьте алгоритм вычисления эллипсов развиваемых сил для плоско- го двухзвенного манипулятора. 7. Поясните, для решения каких практических задач можно использовать эллипсоиды развиваемых манипулятором сил. 8. Что характеризуют главные оси эллипсоида сил: их величины или на- правления? 9. Запишите рекуррентные соотношения, позволяющие вычислить силы и моменты инерции одновременно с компонентами скоростей и ускорений. 10. Сформулируйте первую и вторую задачи динамики применительно к манипуляционному механизму. 11. Запишите уравнения кинетостатики для плоского трехзвенного меха- низма с вращательными парами. 12. Запишите уравнение кинетостатики для трехзвенного механизма с по- ступательными парами, работающего в декартовой системе координат. 13. Запишите блочные матрицы -7. 7э. Л для механизмов, рассмотрен- ных в п. 11 и 12. 14. Как определяется эллипсоид допустимых ускорений; 15. Что такое мера динамической манипулятивности. 16. Что характеризует условие равномерности распределения векторов ус 17. Чем характеризуется свойство приемистости манипулятора. 18. Как определяются показатели динамической манипулятивности. 229
6. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МАНИПУЛЯТОРА В ФОРМЕ ЛАГРАНЖА. ПРИНЦИП ГАУССА В главе 5 подробно рассматривалось применение метода кинето- статики для анализа динамических свойств манипуляторов. Наряду с концептуальной простотой, удобством для составления компьютерных программ моделирования движения, метод обладает ограничениями. Так, существенные трудности возникают при наложении дополнитель- ных кинематических связей на движение звеньев исполнительного механизма робота. Это может иметь место, например, при анализе движения манипулятора, кинематическая цепь которого содержит замкнутые контуры, или при выполнении с помощью манипулятора различных механических операций, таких, как сборка, обработка по- верхности. Для анализа динамики манипуляционных механизмов в подобных случаях более эффективными оказываются модели движе- ния в форме уравнений Лагранжа, а также применение принципа наи- меньшего принуждения Гаусса. Другой причиной, способствовавшей широкому применению этих методов, является поиск подходов, позво- ляющих получить численные алгоритмы моделирования движения сложных механизмов, наиболее эффективные с точки зрения затрат машинного времени. В главе 6 кратко изложены методы, основанные на уравнениях Ла- гранжа и применении принципа Гаусса для анализа динамики манипу- ляторов. Более подробно эти методы описаны в литературе [7; 45]. 6.1. Уравнения Лагранжа второго рода 6.1.1. Структура уравнения Уравнения Лагранжа второго рода применяют в предположении идеальности всех связей, наложенных на движение системы тел. Эти 230
----------------- связи .могут выть ,адько т, Т~~ ------ Лагранжа вначале необходимо определит; составлении уравнений динат, включающий в себя минимальное ВСКТ°Р обобщенных коор- ров, однозначно определяющих движение ЧИСЛ° независи*Ь1х парамет- Вберем в качее™. иктора~ “СТеМ“- вектор ц относительных перемещений К00Р.танат. как и в гл. 5. образующий разомкнутую кинематическ™^ ₽ассмотРим механизм, ветвления. -Vf0 цепь- не имеющую точек Уравнение Лагранжа второго роОа этогп v следующий вид: и Х1Я этого механизма имеет (6.1) где К— кинетическая энергия механизма; Q — вектор обобщенных сил. Используя обозначения, принятые в гл. 5. запишем выражение для кинетической энергии 1 ч 1 (т (Р - (i)7w + vTmv =-хХх. Мх = 2 2 <0 1J где х = (у <о)т — вектор линейных и угловых скоростей звеньев в аб- солютной системе координат; т, I — матрицы, компоненты которых соответствуют массам и тензорам инерции звеньев. Согласно формулам, приведенным в п. 3.1.3. получаем х = ffq* и, следовательно, (6.2) .(.««VW-W - <6'3) /'лгтяп пении уравнения движения в матрица, полученная нами при форме Даламбера (см. (5.52)). матрицы j можно интер- нетам, что процедуру «к™ ^метрических связей, обуслов- претировать как результат надо ионного механизма ленных кинематической схемой манипуляцион * Напомним, что голономными называют мы (геометрические связи). связи, наложенные только на координаты снеге- 231
6. Уравнения движения манипулятора в форме Ла.-ранжа. Принцип Гаусса x = .f\q), (6.4) на движение его звеньев. Если обозначить якобиеву матрицу преобра- зования (6.4) то получим Следовательно, 4 = J} (q)MXJf (q), ® = Jf (?) • (6.5) Обобщенные силы в уравнении (6.1) Q-{Q} Q2 ... QNY опреде- ляют исходя из того, что элементарная работа всех действующих на систему активных сил может быть представлена в виде 5Л = Х№,.=89те. /=1 (6.6) На манипулятор действуют внешние силы и моменты Ев, М&, а также силы и моменты ц, развиваемые двигателями в степенях под- вижности. Вычислим элементарную работу этих сил при изменении обобщенных координат bq. С учетом формул, приведенных в гл. 5, получим 8^те = 8^(В;Ев + ВХв+и). (6.7) Это равенство должно выполняться для любых bq , следовательно, е = (6-8) Пусть, в частности, Мъ =0, а внешние силы — потенциальные. Тогда существует такая непрерывная и дифференцируемая функция С/ —17(^!,..., (потенциал), для которой выполняется соотношение B;FB = grad U = а значит, Q = gradl/ + ц . (6.9) 232
_____________________'inVjP'"'> роса Уравнение Лагранжа (6.1) в этом случае можно записать в виде d_ ( б/_ 5/. dt dq , dq (6.10) где L = К + U — кинетический потенциал (функция Лагранжа) В частности, если система находится только под действием сил тяжести, то Fr С, a U 1. ие И потенциальная энергия меха- низма. Ее нетрудно вычислить по формуле I, 1 17 = /=! (6.11) Здесь р0, радиус-векторы центров масс звеньев относительно нача- ла неподвижной системы координат. 6.1.2. Связь между уравнением Лагранжа и уравнением кинетостатики Для рассмотренной в п. 6.1.1. разомкнутой кинематической цепи без точек ветвления уравнение Лагранжа второго рода после необхо- димых преобразований совпадет с уравнением движения (5.52). полу- ченным выше по принципу кинетостатики. Чтобы показать это. найдем составляющие уравнения (6.1). С учетом симметрии матрицы -Т(#) получим = с?(^. Таким образом. = + 4 (<№ + ’ (6'12) dt ' у а , a, (q) — элементы мат- где ст?(?) = q) = dt Последнее выражение можно определить путем неп° выше в го дифференцирования по времени матрицы с (q), получ виде (6.3): с^(^) = J (<b + ® ' 233
б Уравнения движения манипулятора в форме Лагранжа. Принцип / аусс^ Далее находим с учетом (6.2) дК_(дК дК dq dq2 ' дЛ(д)д' dg j (6.13) Выражение, заключенное в скобки в правой части равенства (6.13), можно представить в виде dq \dqy dqN J где Таким образом, это выражение определяет NxN-матрицу вида (6.14) Подставляя выражения (6.8), (6.12) и (6.13) в уравнение (6.1), имеем rj (q)q + ^(?) -1 ' &4(q)q q = t&(q)&t + Ц. (6.15) Вычисляя производные матрицы ст£(я) в аналитической форме, получаем уравнение движения манипулятора в форме (5.52). 6.1.3. Численное ре ение уравнений движения и Выше мы рассмотрели способы численного решения уравнения (5.52). Однако для этого, т.е. для моделирования движения манипуля- тора, можно использовать и непосредственно уравнение (6.15). В этом случае на и-м шаге по значениям q{n\ q^ методом конечных разно- стей вычисляются производные <jl(q) и . Из приведенных дЧ выше формул следует, что они включают частные производные эле- ментов матрицы cT(g) по q. Эти частные производные можно при- ближенно найти по формуле дЧк ~ А?* 234
6.2. Движение при наличии внешних связей —---- -----------------------_Р_внения Лагранжа первого рода где ™"“ образом, на каждом шаге «обходимо приближенно вычислить Nчастных производных для каждого из Л'2 элементов матрицы 7 Определив частные производные, можно вычислить ускорения обобщенных координат, используя формулу' \(&4(q)q'\ -яг ' , I Д После двукратного интегрирования этих ускорений определяем значения и tf"*1’ = q(tn +\t), являющиеся начальными для еле- <7 7 (</) х z \ cq В дующего шага вычислений. Метод, основанный на непосредственном интегрировании уравне- ний вида (6.15) называют методом Лагранжа — Эйлера. Он требует обычно больших затрат машинного времени, чем метод Ньютона — Эйлера (см. гл. 5). Кроме того, уравнения (6.15) получены при определе- нных допущениях, которые можно не учитывать при составлении уравнений движения в форме уравнений кинетостатики. Известные преимущества методы Лагранжа имеют в тех случаях, когда на движе- ние механизма наложены дополнительные связи. Этому' вопросу по- священ следующий параграф. 6.2. Движение при наличии внешних связей. Уравнения Лагранжа первого рода 6.2.1. Определение реакции связей при использовании уравнений кинетостатики Вернемся вначале к уравнениям кинетостатики, рассмотренным в главе 5. Уравнения движения в форме уравнений кинетостатики можно использовать и в том случае, когда на движение манипуляционно робота наложены геометрические, или дифференциальные (кинемати ческие) связи. Иными словами, связи могут быть как голономнь , И неголономными . В первом случае примером может служить сбороч- называют неголономноТ если она выражается дифференциальными и неикте-ри- РУемыми соотношениями. 235
6. Уравнения движения манипулятора в форме Лагранжа. Принцип 1 аусеа ная операция, при которой происходит проскальзывание подвижной детали относительно неподвижной при возникающих силах реакции. Второй случай характеризует, например, операцию сборки на движу- щемся конвейере или обработку роботом поверхности с помощью фре. зерного или шлифовального инструмента. В соответствии с основным принципом кинетостатики наложен- ную связь заменяют силой реакции FR и моментом реакции MR, ко- торые добавляют к уравнениям кинетостатики. Так, в случае сборки сила реакции FR возникает в контактной точке CR. Если обозначить через p*_ljV радиус-вектор этой точки относительно начала (/-1)-й системы координат (заданный в неподвижной системе координат) и считать, что внешние силы, действующие на остальные звенья мани- пулятора, являются силами тяжести, то уравнения кинетостатики (5.47), (5.48) примут следующий вид (а, = 1): R + )+ Цр,._, )((?,. + F,J)+ ХСр*.! j )Fk Соответственно уравнение движения (5.17) можно записать так: q)q + B^G + + p (6.16) где Jx =(zT((E-CT) + aX(p’)) zTo), A(p’) = diag(?c(p;;v) Х(р^) ... X(p;_,„). (6.17) Остается определить силу (а в общем случае, и момент) реакции наложенных связей. В ряде случаев эту силу можно найти приближен- но в зависимости от условий решаемой задачи. Так, при сборке можно считать, что сила реакции возникает при взаимодействии двух тел, обладающих конечной жесткостью. Предполагая, что деформация в направлении нормали к поверхности п в точке контакта составляет Дх, запишем проекцию силы реакции на эту нормаль: ь “^дтл = СДхл. Если С], С2 коэффициенты упругости каждого из тел, то мож- но положить, что С“’ = С.-1 + С"1 1 ' 2 * 236
6.2. Движение при наличии внешних связей Vn„. ---— " ----Лагранжа первого noon Полная сила реакции включает также силу тпения направлении касательной к поверхности т. Таким oGpLST1™5™ ” -СДхл + ^ёпр)^ СДхт (6.18) где - коэффициент трения; р - относительная скорость в точке контакта. Совместно решая уравнения, оп- ределяющие положение в пространстве собираемых деталей, вычислим величи- ну Дх. В случае сборки, например вала А и втулки Б (рис. 6.1), достаточно решить совместно уравнения окружности (от- верстие втулки Б в плоскости S, ортого- нальной ее оси) и эллипса (сечение ци- линдрической поверхности вала той же плоскостью S'). При наличии точек пе- Рис. 6.1. К определению силы реакции при сборке вала А и втулки Б ресечения нетрудно определить величину Ат, которая, в свою очередь, позволяет вычислить величину силы реакции в соответствии с форму- лами, приведенными выше. В случае механической обработки поверхности также можно найти силу реакции, которая определяется режимом обработки, заданным в свою очередь из условий технологического процесса. При этом сила реакции состоит из силы прижима инструмента в направлении норма- ли к обрабатываемой поверхности Fn и силы резания FT. зависящей от скорости движения и ряда технологических параметров. Если спра- ведлива приближенная формула Fx = (sign vX(X)|F„|t , где к(к) — коэффициент, зависящий от технологических параметров а т — вектор касательной к поверхности, то сила реакции буд определяться скоростью v и силой прижима Fn |. В соотве Уравнением (5.21) получим F + (6‘20) Здесь и _ вектор сил и моментов, развиваемых ирвволами маяииула- тора, а второе слагаемое соответствует действию сил т 237
Подставляя найденные значения сил реакции в уравнение кинето- статики (5.52), имеем возможность исследовать динамику манипуля- ционной системы при наличии связей для каждого из рассматриваемых частных случаев. 6.2.2. Уравнение Лагранжа при наличии связей Общий подход к составлению уравнений движения манипулятора при наличии сил реакции связей можно сформулировать, дополни- тельно предположив, что эти связи идеальны. Пусть, например, объект, удерживаемый в схвате робота, перемещается по поверхности, описы- ваемой уравнениями связи /Дх, /) = 0; v = 1, 2, 3; х = (хр х2, х3)т. (6.21) Поскольку связи предполагаются идеальными, то, согласно принципу виртуальных перемещений, работа сил реакции равна нулю: FJ5x = 0. (6.22) Определяя силы FR в соответствии с уравнением динамики (6.16) в предположении о невырожденности матрицы JN, получаем [(•Т1У й(q)q - $(q, q)q -BrrG- р) 8x = 0. (6.23) Такое уравнение, объединяющее принцип виртуальных перемеще- ний и принцип Даламбера, называют уравнением Даламбера — Ла- гранжа. Учитывая, что S* = Jvbq, перепишем его в виде (q)q - q)q -B^G- p)T t>q = 0. (6.24) Приращения Sx i связаны уравнениями Jf (х, Г)8х = 0, которые запишем в виде (6.25) где Jf {х, f) зи(6.21). якобиева матрица, соответствующая уравнениям свя- Переходя к обобщенным координатам и обозначая х = fN (q), 238
вместо уравнения (6.25) получаем (626) Умножая выражение, стоящее в левой части этого равенства, на вектор неопределенных лагранжевых множителей Z = (7 7 X. ) и прибавляя полученное выражение к левой части равенства (6.24) по- лучим, принимая во внимание, что приращение Ъц произвольно A(q)q-fAq, q)q- B'G -ц- ,.(q, /)ZT =0, (6.27) где J jAq-A = J'f(q.t)J,(q)- Уравнение (6.27) совместно с уравнением связей (Л(ч(.Ч t) = f'(q. I) = 0 (6.28) образует систему из (N + 3)-x уравнений, позволяющую определить как неизвестные <7,, / = 1, 2, .... Д', так и неопределенные множители Сравнивая уравнения (6.27) и (6.16) видим, что силы реакции те- перь можно вычислить по формуле (6.29) Полученные уравнения (6.27). (6.28) образуют систему уравнении движения Лагранжа первого рода. Ее непосредственное интегрирова ние является достаточно сложной задачей, которую можно упростить путем линеаризации уравнений связи. В этом случае имеем /(X, r) = /(x-./) + Jy(x °- или * . . ч / __ о J jn (9 > Оя + Дифференцируя выражение (б.зО) по времени, полу (6.30) три урав- нения вида . a2/V,')=0 (6.31) которые вместе с уравнениями (6.27) 239
Уравнения движения манипулятора в форме Лагранжа. Принцип Гаусса ,d(q* )q - B(q\ q )<7 “ ' (4 № И позволяют на каждом шаге по известным значениям q\ q\ ц опре- делить N + 3 неизвестных q и Z. Далее путем двукрапюго интегри- рования q определяются последующие значения q , q , а также силы реакции по формуле (6.29). Очевидным недостатком такого подхода является возможное на- копление ошибок из-за неточности интегрирования, приводящих к тому, что уравнение связи (6.30) нарушается. Это требует использова- ния дополнительных корректирующих алгоритмов. 6.23. Применение уравнений Лагранжа для анализа движения манипуляционных механизмов с замкнутыми контурами Метод Лагранжа обычно применяют в тех случаях, когда механизм манипулятора содержит замкнутые контуры, вследствие чего число звеньев оказывается больше, чем число степеней подвижности меха- низма (рис. 6.2, а). Для применения метода Лагранжа это не является препятствием, поскольку выражения кинетической и потенциальной энергии можно записать относительно координат звеньев, заданных в абсолютной системе координат, что позволяет, как и выше, добавить к уравнениям Лагранжа второго рода уравнения связей между звеньями механизма. Проблема, однако, заключается в том, что рассмотренные выше способы решения уравнения Лагранжа второго рода, содержащие ре- куррентные процедуры вычисления угловых и линейных скоростей на каждом шаге вычислений, справедливы, вообще говоря, только для разомкнутых кинематических цепей. Эту трудность можно преодолеть путем рассмотрения условной кинематической цепи, которая образует- ся путем разрыва всех замкнутых контуров (рис. 6.2, б). При этом чис- ло разрываемых соединений должно быть минимальным. Теперь мож- но составить выражение кинетической энергии системы точно также, как и прежде. Однако вектор обобщенных координат р будет другим и его размерность будет больше, чем размерность вектора обобщенных координат реальной системы q. Эти векторы связаны уравнениями Яр,<7) = о, (632) ~ определяющими разорванные нами связи контуров кинематической цепи. 240
, 'ipiuKumiw внешних свя1ей_ Уравнения Ла к ! Рис. 6.2. Пример механизма, содержащего замкнутые контуры la условная разомкнутая кинематическая цепь (о) К этим уравнениям следует добавить разомкнутой цепи, определяющие координаты з обобщенные координаты р: л' = Ф(Р)- Кинетическая энергия механизма в этом где якобиева матрица преобразования (6.jj)- Используя уравнение (6.32), пол>чаем (6.34) (6.35) 241 1 6J““— 1 Л ftrx
б Уравнения движения манипулятора в форме Лагранжа. Принцип ГgyL где f' f4 — матрицы частных производных 5/, и Воспользуемся еще одним допущением: число уравнений связи (6.32) должно быть равно числу новых обобщенных координат р и матрица f , которая в этом случае будет квадратной, невырожденная. Тогда выражение для кинетической энергии К, как и раньше, мож- но записать в виде квадратичной формы от производных обобщенных координат q: 5 2 (6.36) в котором (6.37) Рассмотренный способ позволяет использовать для расчета скоро- стей звеньев х те же формулы, которые применялись для разомкнутых цепей, поэтому конструкция матриц будет такой же. Используя прежние обозначения, можно записать (р) = (В,, (р) Вш(р)). (6.38) Обобщенные координаты р можно выразить через обобщенные координаты q, приближенно решая уравнения связи (6.32): Р = V(?), Уравнение (6.7), определяющее элементарную работу обобщенных сил относительно новых обобщенных координат, примет следующий вид: SpTep = bqт JIQ = WQ = 8qT (£TF + н). (6.39) Отсюда Qp=\J]) (6.40) Подставляя полученное выражение в уравнение Лагранжа (6.1)> получаем уравнение вида (6.15): т 5 (6.41) 242
Движение при наличии внешпиг rav-n- v ---L-~»х_свя<ен. урав11ения Лагранжа первого роРа в котором производные ОТ ‘На\ R |гвз™<,т г- , u) 9) в квадратных скобках определяются формулами, приведенными в 8 6 1 Как Kt.™ 4 п х о.,, как оыло показано, задача их вы- числения сводится к определению чягтмму н чайных производных элементов V(tf) по обоощенным координатам п ua 7 ^punnaidM ц на каждом шаге интегрирова- ния. Учитывая* что 7 i ~J !{Р- Ч): Д = ЛДРКЧ)- можно записать d-Uq) f 7 7 1, cj: Ф % oq □ СР Заметим, что векторы —- определяются матри- цей J -.(р. q). Вычисляя на каждом шаге q и q, можно приближенно найти р из уравнения связи (6.32) и. рассчитав все составляющие, которые входят в уравнение (6.41), определить из него q. После двукратного интегри- рования процедуру необходимо повторить. Пример 6.1. Для кинематической схемы манипуляционного ме- ханизма с замкнутым контуром (рис. 6.3. а). характерным для гидрав- лических манипуляторов, обобщенные координаты q2 можно вы- бирать обычным способом. Они однозначно определяют положение механизма. В частности, для характерной точки А схвата получим х = /]0 cos^ + /20 cos<?2. у = /]0 sin q} + Ао sin q,. (6-43) Разрывая замкнутый контур (см. рис. 6.3. б) и вводя новые обоб- щенные координаты углового р{, р:- Р:-. И поступательного /г,-пере мещений. запишем уравнения (6.32), связывающие новые р}, рг, р3, и базовые q}, q2 обобщенные координаты. Р\ ~ Я\ ~ ®1 243 16*
6. Уравнения Рвиж^<я^ни^ № /"cos а, + (/, + Л + /’4 )cos(/?< - Z' ‘2 COS(CZ ’ + Р } ‘ ° ’ /"sin а, +(/, +Ц +A,)sin(/?, -а, )-/2 sin(a3 + р2) = 0. (6.44) Рис. 6.3. Кинематическая схема манипуляционного механизма с замкнутым контуром Смысл третьего и четвертого уравнений заключается в том, что эти уравнения выполняются при наложении связи (восстановлении замк- нутого контура); они записаны в проекции на направление Оа и орто- гонального к нему. В качестве характерных точек четырех полученных звеньев выбе- рем их центры масс. Считая для простоты для первых двух звеньев, что соответствующие точки лежат в середине отрезков /10, /20 ’ получа- ем в проекциях на ось ОХ: XI -Gio/^cospp х2 = (/20/2)cosp2 +/10cosp,, х3 = (/3 + /3/2)cos(p3 -a2 + р,) + /fcos(a, + pj, 244
42 а-.( = /,"cos(a, + р,) + (/, + Pi + /;/2}cos(p.. - а, + р,). (6.45) Уравнения в проекциях на ось ОУ записываются аналогично Эти уравнения в совокупности и составляют систему (6.33), определяющую связи в частично разомкну!ой цепи, причем Х = (Х0', х,у, ... х у )’ . 1 (редполагая. чю масса звеньев сосредоточена в их центрах, имеем Мt = Лак(т,Е.. т,Е, т,Е, т.Е,). Определим якобиеву матрицу -(/lrj/2)sin рх (/„J/2)cosp! -/„,sin р, AoCOsp, -(/; + /(/2)sin(p; - -а, + p1)-/1"sin(al + р,) (I, +/;/2)cos(Pj - -a, + рх) + 1" cos(a, + p,) -/fsin(a, + jO, ) </5 + Pi + + /;/2)sin(p3 -a, + p,) /fcosta, + Pi)-(/; + P> + ( +/;/2)cos(p, -a, + p,) 0 0 о 0 -(/,.,/2)sin p, 0 -(/;0/2)cosp, 0 -(/; + /:/2)- sin(p; -a. + p,) (/,+/;/2)- • cos( py - ct 2 + p,) sin(p3 -a: + p}) • cost - OO + p,) 0 0 0 0 0 0 cos(p3 - co + p,) sin(p5 -a2 +pt) (6.46) Найдем также матрицы -Л cos(a3 + /л) 0 0 0 cos(p3 sin(p3 0 -(l/A)sin(/?3-a2) 0/A)cos(A аз) cos(p3 - a,) sin(pj - a,) 0 0 0 0 0 0 О 0 0 0 0 245
б. Уравнения движения манипулятора в форме Лагранжа. 1/ринцип Гауссу где А = /, +lt + Pt', Определим,наконец, Г-1 0> О -1 о о < 0 0; о 1 (Z2/A)cos(a, +a2 + р2 -р3 -l2 sin(a3 +a2 + р2 - р2) Заметим, что в рассматриваемом примере матрицу J ~ проще най- ти путем непосредственного дифференцирования уравнений связи и определения из них зависимости р от q. Кинетическая энергия механизма в новых координатах равна где J^p) определяется формулой (6.46). Вычисляя производные матрицы <Р) = ^(р)Мх7ф(р), можно получить движение механизма, используя уравнение (6.15): с4(р)р+ с4(р)-- — (6.47) решая его совместно с уравнениями связи (6.44). Эту задачу, как мы видели, можно решать с помощью множителей Лагранжа, т.е. приме- няя уравнения Лагранжа первого рода. Согласно рассмотренному выше подходу, следует вернуться к пе- ременным q и записать кинетическую энергию в виде K = ^4^(.q)q, где ^) = J} J(?) Jr 246
Сужение при наличии внешних^,, Уравнения Лагранжа первогорода Теперь можно интегрировать непосредственно уравнения (6.41). определяя производные от матрицы A(q) с учетом формул, приведен- ных в § 6.1. Поскольку эта матрица зависит от р, то на каждом шаге необходимо решать уравнения связей (6.44), определяя новые значения обобщенных координат р. соответствующие полученным при интегри- ровании на одном шаге значениям д. Приближенно эта задача может быть решена путем линеаризации уравнения связи в форме (6.30). При достижении координатами предельных значений р*. обу- словленных конструкцией механизма, происходит наложение допол- нительных связей на его движение. К уравнению (6.32) в этом случае добавляют р, = const = р*, что приводит к изменениям матрицы J (р) и выражения для кинетической энергии К, Обозначим р значе- ния скоростей обобщенных координат в момент, предшествующий удару, J*(p) — соответствующую матрицу, вычисленную после нало- жения связи. Тогда, согласно теореме Карно, в предположении, что удар является абсолютно неупругим, получим I pj; Ш = \ (А ЖЛ (Ро )Ро • (б-48) Отсюда можно найти начальные значения производных р0 для после- дующего интегрирования уравнений движения с наложенными связя- ми и производных Практически достаточно решить уравнение Поскольку В = , получаем • rv-vr1 7 (В)й. (6.49) Аналогичный подход следует применять и при наложе них связей, например при сборке. В момент удара нео ход™ лить новые начальные значения скоростей обо щенных к соответствии с теоремой Карно, после чего интегрировать уравнения движения с наложенными связями тем или иным спосо 247
6.3. Принцип Гаусса 6.3.1. Общая формулировка принципа Гаусса Как известно, уравнения движения могут быть получены на основе вариационных принципов механики. Принцип Гаусса относится к чис- лу вариационных принципов дифференциального типа. Он является наиболее общим принципом механики и позволяет получить уравне- ния движения системы при наложенных связях, как голономных, так и неголономных. Напомним, что принцип Даламбера — Лагранжа спра- ведлив только для голономных и линейных неголономных связей, В основе принципа Гаусса лежит понятие принуждения (Zwang), под которым понимают меру отклонения истинного движения, проис- ходящего при наложении связей, от свободного движения, которое име- ло бы место в их отсутствие. В частности, для системы материальных точек с массами тп i = 1, 2, N, принуждение определяют следую- щим образом: (6.50) где w{ - fi — ускорение точек; /Г — действующие на них силы. При этом — истинное ускорение, а —- = в,/ св — ускорение свободного движения. Таким образом, принуждение — это скалярная величина, имеющая в каждый момент времени смысл среднего (для системы материальных точек) квадратичного отклонения истинного ускорения от ускорения свободного движения. Принцип Гаусса заключается в том, что в каждый момент вре- мени истинное движение системы происходит таким образом, что принуждение минимально. Поскольку единственными переменными в выражении (6.50) яв- ляются ускорения, то в соответствии с принципом Гаусса эти ускоре- ния выбирают из условия минимального принуждения minZ(w15и>„) (6.51) 248
Принцип Гаусси при дополнительных ограничениях, чей. В общем случае эти связи могут ными, и их уравнения имеки вид определяемых уравнениями свя- быть нелинейными и неголоном- .... Г... rt, .... rA.( Q = o (6 52) Продифференцировав левую часть этого равенства по /. получим выражение вида + ф^'-О = £с>;+ф(г.го = 0. (6.53) / = ] с / / = 1 Итак, задача сводится к определению ускорений w из условия минимума выражения (6.50) при линейных относительно ну ограни- чениях (6.53). Эту задачу можно решить с помощью множителей Ла- гранжа, однако значительно более эффективным приемом является непосредственная (численная) минимизация принуждения, например с использованием методов динамического программирования. 6.3.2. Применение принципа Гаусса для исследования движения манипуляционных механизмов Рассмотрим понятие принуждения для манипуляционного меха- низма. Для каждого из звеньев механизма, совершающих одновремен- но поступательное движение с ускорением и вращательное с уско- рением £;, меру принуждения можно определить следующим образом: Z, = - [(и-, - w, У M,(w, - w,) + (£, - £, )т /, (Е, - £,). (6.54) где А/, = т: 0 О 0 0 т 0 0/ • т т, - масса звена; - тензор инерции звена в связанной с ним сис- теме координат; Qo, - матрица перехода к абсолютной системе коор- динат. Здесь и»,, е, — линейное и угловое ускорения звена в абсолют НОЙ системе координат, а »„ «, - ™ пр” Движении, которые определяются уравнениями свободного движенпя. 249
mW, ' + ’ X(5,V,S,-Mtl +№” (6.55) где Г М - внешние силы и моменты, ц, — силы, или моменты, приложенные к звену двигателем соответствующей степени подвиж- ности и направленные вдоль орта оси г,- соответствующей кинемати- ческой пары; <5, — угловые скорости звеньев; матрица Л.(ш,) опреде- лена в п. 3.1.3. Для всего механизма меру принуждения определяют так. 2 = 1^ (w, -йг) + (8/ _е,)т7, (е, -£,) 2 /=1 или 2 = |(x-S)V(x-X), (6.56) где х = (и> £)т, х = (й> £)т, I = diag(M, ...MN Ц — матрица масс и моментов инерции звеньев. Теперь задача сводится к определению ускорения х из условия min 2 с учетом уравнений (6.55) для w и £ , т.е. для х , и уравнений связей, определяющих взаимное положение звеньев. Эти уравнения имеют вид (6.57) данном в r‘ =<P(9i,-,?.v), гДе г вектор центров масс звеньев. Дважды продифференцировав правую часть этих уравнений, мы в п. 3.1 получили выражение для ускорения (3.38), которое случае определяет наложенные на движение звеньев связи: и*= ВАч)Я + Bv(q, q)q, л,„о(„ формула справдива угловых ускоре[ий Эти формулы можно Объединить (6.58) где (6.59) Вщ)т, Я = (В, Вш)т. 250
Если предположить, что закон управления известен т е опредете ны функции ц, (/ ). играющие теперь роль внешних сил. приложенных к звеньям в свободном движении, то уравнения (6.55) позволяют на каждом шаге определить ускорения свободного движения й> и е Те- перь необходимо найти минимум квадратичной формы (6.56) относи- тельно ускорений q обобщенных координат механизма, связанных с . связанных с ускорениями х уравнениями (6.59). Заметим, что положения и скорости звеньев на каждом шаге вычисляются по ускорениям, определенным на предыдущем шаге. Таким образом, задача минимизации решается только для ускорений. 6.3.3. Определение ускорений вынужденного движения Итак, при использовании принципа Гаусса задача сводится к опре- делению ускорений истинного движения, минимизирующих принуж- дение. Эту задачу можно решить несколькими способами. Во-первых, можно получить выражение функции принуждения от ускорений обобщенных координат q и рассмотреть методы его численной мини- мизации. Во-вторых, можно использовать метод неопределенных множителей Лагранжа. Рассмотрим вначале первый подход. Выразим из уравнений свободного движения ускорения . £; для того, чтобы подставить их в выражение (6.56). Поскольку (см. (6д^)) Л М, W- =-----+ Z, ’ тп, т, е,. =/-,Х(Б,)/,. (6.60) ТО 5 (6.61) л. - В/7 в- ' - причем функции Ф определяются как правые части равен ( ) Теперь полученные выражения можно подставить в формулу (6.56) Для меры принуждения, предварительно переписав е (6.62) Получим (6.63) 251
6. в последнем выражении мы выписали только слагаемые, завися- щие от а Вид остальных слагаемых, зависящих от обобщенных коор- динат. их производных и внешних сил, не имеет значения при мини- мизации Z относительно ускорений q. Во многих случаях полученное выражение нуждается в уточнени- ях. так как в кинематических парах могут действовать и другие силы, которые не учитываются нашей приближенной моделью. Например, при использовании двигателей постоянного тока с редуктором в выра- жении Z возникают дополнительные составляющие, обусловленные моментом инерции 1\ вращающихся частей редуктора и ротора двига- теля вида . Их можно учесть, добавляя к значению It приве- денный к валу нагрузки момент инерции вращающихся частей (см. далее гл. 7) или же добавляя дополнительные слагаемые, зависящие от q, к правой части (6.63). В последнем случае получим выражение сле- дующего вида: (6.64) Задача состоит теперь в минимизации выражений (6.63) или (6.64) с учетом уравнения связей (6.59). Заметим, что в отсутствие связей, исходя из необходимого условия минимизации выражения (6 64) по- лучим уравнения движения системы свободных тел х-ф, =и., 1=];. N_ осмотрим задачу об определении ускорений путем минимизации Zm ™ Ф°РМ“ <6 И) ' ,Ч'ТОМ “"еЙ’ь“ ограничений (6 59) ме- дом динамического программирования [45]. из последних' WМеХаНИЗМа’ состоящего (т.е. от fc-ro звена до .V-го - схватаГ^3™4^00 Це™ манипУлятора где /, элементы диагональной (блочной) матрицы , (6.65) 252
6 3. Принцип Гаусса в соответствии с основным принципом динамического програм мирования минимизация Zk позволяет записать следующее рекур рентное соотношение: где ZA+l — минимальное значение, полученное на предыдущем шаге минимизации. В свою очередь, ускорение хк с помощью соотношений, получен- ных в § 3.1, может быть рекуррентно вычислено по формуле вида *к = J^k^k-\ + ^к ’ (6.67) в которой матрица Ак и векторы Вк, Ск зависят только от обобщен- ных координат и их первых производных. Таким образом, т (6.68) При этом + ~<jk ~~rQk + + ^*+1^+1 +G-i) £ 1 ь Л (остальные слагаемые на данном шаге вычислений уже известны). Дифференцируя выражение, стоящее в квадратных скобках, по qk и приравнивая результат к нулю, получим ускорение qk, минимизи рующее правую часть равенства (6.68): к \* > *-л. л ~ . Л А " ................ \ Jk / Дальнейшее решение задачи последовательно проводят в направ- нии от схвата к основанию, т.е. при к = N, N-1,0. При этом е°бходимо знать управляющие и внешние силы и моменты FBk, в* ’а также текущие обобщенные координаты qk и их первые произ- в°Дные qk. На первом шаге с учетом (6.67), (6.69) определяется уско- Ие В последней степени подвижности qN из рассмотрения движе- 253
6 Уравнения движения манипулятора в форме Лагранжа. ПрицципГаусса ния TV-ro звена (схвата) под действием внешних и управляющих сил и моментов. Далее определяют матрицы, входящие в правую часть ра- венства (6.69), и ускорения qk при к = N -1, У - 2, ..., 0 . После дву- кратного интегрирования ускорений на одном шаге и определения но- вых значений qk, qk процедуру повторяют. Итак, рассмотренная численная процедура позволяет осуществить моделирование движения манипуляционного механизма. Более под- робно она описана А. Ф. Верещагиным в [45], где решение задачи обобщено на случай, когда на движение схвата наложены дополни- тельные ограничения (например, при движении по поверхности), а также на случай, когда подвижно основание манипулятора. Там приве- дены также рекуррентные формулы для вычисления матричных коэф- фициентов уравнения (6.69), значительно упрощающие процедуру вы- числений. Кратко остановимся на процедуре минимизации принуждения Z с использованием метода Лагранжа. В этом случае для того, чтобы найти движение, минимизирующее Z и совместимое со связями (6.59), вво- дится вектор множителей Лагранжа Х = (Х1 ... А,„). Образуем новый функционал вида 2’ -Z(£,9) + Х(х-^-^) = 1хт7^-хт/Ф + ... И (6.70) к нулю now ВаРИаЦИЮ этого Функционала по х , q и приравнивая ее к нулю, получаем r г 0. Отсюда следуют два уравнения: Л*-Ф) + кт =0, к®+«т~у = 0. (6.71) Определяя из второго вектпп 1 НИМ уравнение, определяющее ускопениеТ™8^ В ПерВ°е’ П°ЛУ' у корение движения звеньев: х = -г'(йтv’fл нТ (6.72) 254
6 3. Принцип Гаусса . — " 1 ---------- - _ Заметим, что подставив в это уравнение выражение х через произ- водные обобщенных координат по формуле (6.59), вновь получим уравнение движения в форме уравнения кинетостатики (5.52). Преиму- щесiво метода Гаусса достигается, таким образом, именно в тех случаях когда используются численные методы минимизации функции принуж- дения на каждом шаге интегрирования уравнений движения. Контрольные вопросы и задания 1. При каких условиях справедливы уравнения Лагранжа9 Сопоставьте области применения модели динамики манипулятора в форме Лагранжа и в форме Даламбера (см. гл. 5). 2. Запишите уравнения движения манипулятора в форме уравнений Ла- гранжа первого рода для случая, когда схват перемещается в вертикальной плоскости. 3. Каким образом можно составить уравнения Лагранжа для манипулято- ра, механизм которого содержит замкнутые контуры? 4. Как учитывается явление абсолютно неупругого удара при моделирова- нии уравнений динамики манипулятора? 5. Сформулируйте принцип Гаусса для системы материальных точек и манипуляционного механизма. Каковы условия применимости этого прин- ципа? 6. Составьте выражение, из которого путем минимизации можно найти ускорения обобщенных координат манипулятора для случая плоского двух- звенного механизма с вращательными парами. 7. Каким образом в выражении для принуждения по Гауссу можно учесть моменты инерции роторов двигателей вращательных степеней подвижности манипулятора? 8. Составьте алгоритм моделирования динамики манипулятора, согласно принципу Гаусса, с минимизацией принуждения методом динамического программирования (приведите пример). 255
7. СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ ИСПОЛНИТЕЛЬНОГО УРОВНЯ К исполнительному уровню системы управления обычно относят манипуляционный (исполнительный) механизм робота и приводы, ко- торые приводят его в движение. Для манипуляторов, обеспечивающих контурный режим управления, приводы являются следящими система- ми, имеющими обратные связи по координате выхода, а также, воз- можно, по ее производной и развиваемому моменту (или силе). Таким образом, исполнительная система манипуляционного робота представ- ляет собой комплекс из нескольких следящих систем, работающих на общую нагрузку, т.е. на механизм манипулятора. Независимо от способа управления — по заданной траектории, алгоритмам кинематического типа (см. гл. 4) или алгоритмам, учитывающим динамику манипулято- ра, — во всех случаях исполнительная система должна удовлетворять определенным техническим требованиям как многомерная следящая система. Она должна быть устойчива, переходные процессы в ней должны соответствовать заданным показателям качества, точность отработки управляющих сигналов — требованиям, предъявляемым к манипулятору условиями технологического процесса. Перечисленные требования в большинстве случаев могут быть вы- полнены с использованием известных методов теории автоматического управления. В данной главе рассмотрены особенности их применения для манипуляционных исполнительных систем. 7.1. Математическая модель исполнительной системы 71.1. Уравнения исполнительной системы собой W приводов манипуляЧион»ого робота представляет Р водов, каждый из которь1х обеспечивает в Z3O
Л 7. из степеней подвижности манипу- лятора (рис. 7.1). Нагрузкой всех приводов является механизм мани- пулятора, динамика которого опи- сана в гл. 5 и 6. На вход каждого из приводов подается управляющий сигнал <?у(/), который в данном случае полагается известным. Вы- ходом системы является вектор обобщенных координат манипуля- системы Рис. 7.1. Схема исполнительной системы манипуляционного робота тора q} (t), j = 1, 2. ..., N , или же векторы перемещений и ориентации схвата (полезной нагрузки) манипулятора в рабочем пространстве, свя- занные с Qj известными кинематическими соотношениями. Математическая модель исполнительной системы включает в себя уравнение движения механизма манипулятора (см. гл. 5, 6), а также уравнения приводов его степеней подвижности. Ограничимся здесь рассмотрением приводов на базе электродвигателей постоянного тока. Математические модели приводов других типов, используемых в робо- тотехнике, можно найти в [2; 24; 38]. Методика составления и анализа математической модели исполнительной системы, в общих чертах, сохраняется для различных типов силовых агрегатов. Напомним читателю математическую модель двигателя постоянного тока. Уравнения двигателя в операторной форме имеют следующий вид. (Lp + R)iя = У - ^Р* > Р = (7.1) I p-x = kui,-\ili. (72) д Jr м л Здесь х — угол поворота вала двигателя; L. Л — индуктивно противление цепи якоря; I. — ток в цели якоря; у — лига -м (управляющее напряжение); Л - момент инерции ротора д . j ц - момент нагрузки; / - передатоявое «ело ’ коэФфициент протнвоЭДС; Л. - коэффициент пропорциональное , СВязывающий ток и развиваемый двигателем м ся уравнением В свою очередь момент на валу нагрузки определяете УР Механизма передачи движения (редуктора) 257
7. Системауправ^ияг^^ коэффициенты жесткости и потерь на деформацию соот- где сих - К^ФФJ та Вала нагрузки (обобщенная координата ветственно; q У ПОДВижности механизма). Если, в частности, —° —- т°q -х/> •приве- денные соотношения позволяют составить структурную схему привода *(рис. 7.2). Рис. 7.2. Структурная схема привода на базе двигателя постоянного тока Управляющее напряжение y(f) формируется регулятором, на вход которого подаются сигналы управления приводом g(Z) с верхнего уровня управления и сигналы обратной связи. Последние вырабаты- ваются датчиками угла q (например, потенциометрами), датчиками угловой скорости q (тахогенераторами, цифровыми датчиками при- ращений), а также датчиками момента ц. Например, при использовании пропорционально-ингпегро-диффе- ренциалъного (ПИД) регулятора (7.4) где е(/) - g(t) ~ x(t) сигнал ошибки, a kQ, к}, к2 — коэффициенты регулятора, которые должны быть рассчитаны заранее при синтезе привода. r г ипл '^ЛЯ Улучшения динамических свойств привода в его контур могут водиться корректирующие устройства. При использовании последо- 258
___________Мистическая моОелъ ист ,нит„ - --------------------------------‘РС",ительнои системы нательного и параллельною коппек™™ РР КТИрунЭЩИХ УСТООЙСТП (еъл 7 передаточными функциями тройств (см. рис. 7.2) с |М„,„™ следующее дифферент,тое „ сть1в„ СИГНИ1 управдел™ .<0 сощиоюй «„ » с»га1мм о6ратиой свям“““ Wb' = 4(p)e-A/,(p)7. /751 МТ?) - 7Vin (p)N.z (р), М. = \’1г. м2 = .VinJW,2 . Это соотношение можно рассматривать в качестве обобщенного уравнения регулятора, включающего выражение (7.4) как частный случай. Используя уравнения двигателя (7.1). (7.2). механизма передачи движений (7.3) и регулятора (7.5). получаем уравнение привода в виде = Mz (р)г - M(l (p)q . (7.6) где N(.P) = ['2 (Цр2 (Lp + А) + к„к^р) + (с + z p)(Lp + Я)ф¥ (р) ? МДр) = iMl(p)ku(c + 7ip). мч (р) = (с + %рЖмл/2 (^) +/2 (Lp2 (LP + л)+ Мм^Жр)] - Без учета потерь на деформацию вала нагрузки эти формулы уп- рощаются, при этом с учетом q - x/i: N{p)^N(p){Lp + R)^ M^p)^ikHMAPb M(j{p) - ik^M\ (/?) +/"(/дРЧ^/7 + + • Коэффициенты операторных полиномов Л (р), М£ (р), Мя (р). описывающих разомкнутый привод, обусловливаются характеристиками двигателя и механизма передачи движений, которые определяются результате энергетического расчета манипулятора на предполагаемую нагрузку и режимы движения [38], а также параметрами Последние выбираются из регулировочного расчетапеоехол- чивающего его устойчивость и заданные параметры уд^м ш. НЫХ процессов. Эти параметры могут корректиро далее, намики манипуляционного механизма, на чем мь 259 17*
7. Система управления исполнительного уровня Заметим, что уравнение у-го привода (7.6) при £ / (/) = g / (О - q f (/) необходимо решать совместно с уравнениями динамики механизма манипулятора (5.52). В соответствии с этими уравнениями момент ц нагрузки на валу j-го двигателя зависит как от изменения соответст- вующей ему обобщенной координаты . так и от обобщенных коор- динат других степеней подвижности манипулятора. Итак, математическая модель исполнительной системы манипуля- ционного робота включает в себя уравнения динамики манипуляцион- ного механизма (5.52) и уравнения приводов степеней подвижности манипулятора (7.6), которые можно записать в виде одного матричного уравнения: ^х N(p)n = Mz (р)в - Mq {p)q, (/•/) где ДГ(р), МЕ (р), Mq (р) — матрицы следующего вида: W) = diag (р), МЕ (р) = diag MEj (р), Mq (р) = diag Мq , (р), причем j=l, ..., N — номер степени подвижности. Теперь уравнения исполнительной системы можно записать в виде следующей системы дифференциальных уравнений: <Л(Я)ргЧ = ^>(q, pq)pq + С(^в + ц, ^(p)^l = Mz (р)е - Мч (ip)q, (7.8) ли задан вектор управляющих сигналов g(/), то полученная обХ' ДИффереНциальных Уравнений определяет изменение вектора Движем НЫХ К0°₽ДИНат в степенях подвижности манипулятора. ф= отХХГТа В Раб0ЧеМ Пр0СТранстве может быть определено в =™ К°,0РДИНаТ П™ ре« прямой кинемати- ческой задачи о положении (см. §2.1). ари.одГХ™„рас“»’Р'«»« линейной модели лях .«СГ ™ ~‘о Л”схтт “а ™' зевании двигателей других 1ИПОВ , ™ откл“ен™ е«) При исполь- тока, а также идр1мичесщх дВИ| а, "еР'“е»"°г0 водов существенно нелинейна „ еИ математическая модель при- сной системы (см “ °C™eT задач* ана™за исполни- 260
/ Математическая ------------системы Ш,и же иноки О линейности модели гфивода принимается то целесоооразно провести линеаризацию и уравнений механизма с ^ем чтобы использовать мощный аппарат анализа и синтеза линейных ав- тематических систем. 7.1.2. Линеаризация модели исполнительной системы Мы условились рассматривать линейную модель привода, поэтому проблема заключается в линеаризации уравнений динамики манипуля- ционного механизма (5.52) относительно некоторой опорной траектории q (/.) в пространстве оооощенных координат, обеспечивающей требуе- мое движение схвата манипулятора в рабочем пространстве (см. § 4.1). Для опорной траектории нелинейные матричные коэффициенты уравнения динамики (5.52) становятся известными функциями време- ни. и это уравнение приобретает вид - B'(i)q’ +С(П-Г + (7.9) где ^’(0 = ^’0- B\t) = B(q‘(t\ q'(l)). CV) = C(<(7)). т.е. индексом «*» обозначены значения коэффициентов и переменных. соответствующие опорной траектории. Значения q q и q опреде- ляют на этапе кинематического планирования траектории. Предпола- гается, что вектор внешних сил и моментов Вв = Л/в) вдоль за- данной траектории также известен: в частном слсчае свободного движения компонентами вектора FB являются силы тяжести звеньев, а К=о. Из уравнения (7.9) может быть определен вектор сил и моментов Ц*, который должен быть развит приводами степеней подвижности для движения по опорной траектории. Для возмущенного движения £в(/)-0 (/) +где ) лое отклонение от опорного движения, получим + Д?)(? + А?) = Af * + +А?) + + C(q' + А?)?.’ +Н’ +АН- Разложим нелинейные матричные коэффициенты ₽ Тейлора и отбросим слагаемые, имеющие порядок.малоеывышепер- вого. Тогда с учетом (7.9) уравнение в приращениях будет иметь вид ма- in 261
---------------- с4'Дд + (^Д?)«’ = - Г **** + C"- + ,С;А”7’ + * • ”•' °’ Здесь приняты следующие обозначения: '=1 и' КДд = ’ с№= ’ 4 ;_1 /=1 где / = 1, 2,..., 2V. Подставим теперь последние выражения в уравнение в прираще- ниях (7.10) и преобразуем соответствующие слагаемые таким образом, чтобы получить произведение матричных коэффициентов и прираще- ний А^, A<j, \q. Для слагаемого в левой части уравнения получим = с/ГЛ?, Л где с4‘ матрица: <*уг Аналогично для остальных слагаемых будем иметь (^Дд)д-=^Ад, где ®'q2q ... ^„g’), 5 p 1 I//VB7* можно записать т^ННЫХ Обозначений Уравнение в приращениях (7.10) 262
7.1. Математическая ищ^п, »<-полните1ьной системы группируя слагаем,.,с „р„ Л,. Л, „ -тапашем зто уравнение в виде U bq + b’bq + c'ty = Др + Дцв, (711) где Ь'--К-К, с'= А'~Л;-С\ Дц,=С'ДУв. Таким образом, получена система линейных дифференциальных уравнений IN порядка (7.11), описывающая движение манипуляцион- ного механизма в окрестности опорной траектории. Для заданной во времени траектории q’(i) матрицы а'. Ь'. с' бу- дут определены как матрицы с переменными во времени коэффициен- тами, причем a (t) = a (q'it)), b'(t) = b'(q'(t). q'(t))r c\l) = c (q'(t). q(t), q'U)- <('))• Иногда возникает необходимость анализировать движение мани- пуляционного механизма не в окрестности траектории, а в окрестности некоторой точки q*, например конечной точки 0*(г) заданной траек- тории. В этом случае q* =q* = Д?в’ =0, b' =0. матричные коэффи- циенты а\ с* постоянны, причем с’ =С\ и уравнение (7.11) прини- мает более простой вид cT&q + c'&q = Др. (7.12) В отсутствие внешних сил коэффициент с также равен нулю, по- лучим a* Aq - Др. (7.13) Заметим, что матрицы 6* и с могут быть получены в явном виде, поскольку матрицы с4, и С были определены выше в гл. 3. Эти вы ражения приведены также в [35]. Запишем теперь уравнения линеаризованной модели исполнитель ной системы с учетом уравнений приводов. Чтобы упростить запись, условимся опустить знак Л. обозначающий отклонения «ответет- вующих переменных; получим следующую систему урав a'p'q + b'pq + c'q^^ N(p)H = Mt(p)s-Mt(p)q, ( e = g-q 263
7. СиСП^ Эбозначая Мнительную систему в виде многосвязнои ли- иожно представить исполни! / дифференциальное уравнение 4вйной следящей системы (.рис. • истемы в матричной форме имеет вид (N(p)h' (/>) + {р}£ + в' (7.16) Добавляя к нему условие замыкания £ = g-q, получаем уравнение относительно обобщенных координат манипулятора (ВД/Г (р) + Mq (р) + Mt (p))q = (p)g + JV(p)H, - (7.17) Заметим, что при выборе другой опорной траектории изменяются только коэффициенты матричного трехчлена й*(р), которые зависят от геометрических и инерционных характеристик манипулятора, а также от параметров q\ q* и q* опорной траектории. Поскольку эта траектория предполагается известной, то коэффициенты h*(p) являют- ся известными функциями времени. Коэффициенты матричных поли- номов N(p), Mq(p) и А/е(р) зависят только от параметров приводов степеней подвижности манипулятора. Следует также иметь в виду, что коэффициенты а\ Ь\ с* поли- нома h (р) изменяются медленно по сравнению с длительностью пе- реходных процессов в электромеханических приводах, описываемых вторым уравнением системы (7.14). Это позволяет воспользоваться методом замороженных параметров при приближенном анализе дина- мики исполнительной системы. 264
7 I Математическая mwjpw ----------------------: •_'Я-'ьиспо.1„итезмой системы опорную траекторию можно ,|ри ,10м считать в Зх у_ пространстве обобщенных координат и их производных q = \q q q] В малой окрестности точки д' -«ой траектории матричные коэффи- циенты а . Ь', с' полагаем постоянными. Тогда в этой же окрестности может быть введена в соответствии с (7.16) матричная переОаточная функция разомкнутой исполнительной системы 1Г(р). т е. (при ц = 0) 9 = И"(р)г. (7.18) где И'( р) = (h' (Р) + JT (р))и; (р). <7.19} причем (Р) = Лг-1 — передаточная матрица местных обратных связей, а WL(p) = N~](p)MLip) — передаточная матрица приводов по каналу ошибки. Передаточная матрица замкнутой системы Ф(р). связывающая вектор управления g(f) и вектор обобщенных координат q(t): tf = O(p)g. (7.20) имеет следующий вид: Ф(Р) = (й Чр) + и; (р) + и; (р)Г1 и; < р». с .21) Заметим, что матричное выражение (7.21) нетрудно представить в виде уравнения ф(^) = (£ + 1Г(р)Г’И’(р). аналогичного уравнению, связывающем) передаточные функции ра зомкнутой и замкнутой систем в теории автоматического реп лирования. Можно ввести также передаточную фу нкцию системы по возмуще ям ц , полагая, что в отсутствие управляющих сигналов (при g 0) ’ В Л X, тогда (7.23) В частном случае лннеарнзанин а станаоварнон »-=consl. j-=,'=0 выражение Юр) в соответствии с (7.12) увро- Щается и принимает вид 265
управления исполншпельн^оур^ h‘(p) = a'p2 +С'’’ или. в случае отсутствия внешних сил.. h\p) = ap~- Итак мы получили линеаризованную математическую модель ис- полнительной системы манипуляционного робота. Для ее исследова- ния и синтеза можно применять методы теории линейных систем ав- тематического управления. 7.2. Исследование линеаризованной модели исполнительной системы 7.2.1. Частотные характеристики и обобщенные показатели качества Возьмем за основу модель исполнительной системы в форме (7.18). Матрица А* (р), характеризующая динамику манипуляционного механизма, не является диагональной, поэтому не диагональна и пере- даточная матрица W(p). Ее диагональные элементы характе- ризуют преобразование сигнала ошибки ьго привода в движение z-й степени подвижности (?,-(/)• Недиагональные же элементы оп- ределяют перекрестные связи, т.е. влияние перемещения по координа- те qk на движение z-й степени подвижности. Введем матрицу амп литу дно- фазовых частотных (АФЧХ) характе- ристик разомкнутой исполнительной системы Здесь w (» = (й’ (/со) + w4 (»)*' WZ (7со). (7.24) Wg(» = diaglF,,(», wz (» = diag^E, (7®) _ матРицы’ определяемые характеристиками приводов степеней подвижности манипулятора, причем (см.п.7.1.1). ’ ‘ Матрица h (» = a (/со)2 + ъ' (+ с- характеризует динамику манипулятора в окрестности точки опорной траектории. окрестности (7.25) исследуемой 266
7,2. Исслег>оаание линеаризованной мм»,,, -------------------------‘------исполнительной системы Матрица частотных характеристик W( р ик и <7®) описывает работу ис- полнительной системы в целом. Вид ее ™ar«Uo„ 1 д ее Диагональных элементов Г (/®) позволяет судить о точности слежения i а " J слежения z-и подсистемы на ра- бочих частотах и качес1ве ее переходных процессов Недиагональные элементы ^(/ы) позволяют определить уро- вень взаимовлияния и диапазон частот, в которых такое взаимовлия- ние существенно. Выводы о характере взаимовлияния можно получить непосредственно из формулы (7.21). построив амплитудные и фазовые частотные характеристики для замкнутой системы. Матрицу частотных характеристик замкнутой системы запишем в виде Ф(;®) = (А*(» + W^ja) + W€(ja). (7.26) Взаимовлияние каналов управления характеризуется прежде всего недиагональными членами матрицы Ф(/со). Например, частотная харак- теристика Ф12(/со) в соответствии с (7.20) определяет влияние управ- ляющего воздействия по второму каналу g.(0 на динамические процес- сы в первом канале управления, т.е. на изменение переменной q} (/). Однако взаимовлияние проявляется и в выражениях для диаго- нальных частотных характеристик Ф/((/со). Действительно, в том слу- чае, когда взаимовлияние полностью отсутствует и динамика процес- сов в каждом канале управления определяется уравнениями движения отдельно взятого привода, в выражении (7.21) й*(р) = h'Q(p) = diag[h'}(р)]. (7-27) При этом выражения для Л*- (р) зависят от приведенных к валу i го привода сил и моментов инерции механизма. Формула (7.27) соответ ствует случаю, когда работает только один /-й привод, остальные р воды находятся в «заторможенном» состоянии и, следовательно, влияют на работу /-го привода. Диагональную передаточную матрицу комплекса от ель приводов можно представить в виде фо (Р) = W (Р) + + (Ж 1 (Р) • (7'28 . Передаточную матрицу исполнительной системы с учет влияния (7.21) можно выразить через передаточную матр о формуле 267
Ф1д) = Ф( р ,и1<. (7.29) где h(p) = h'(p)~h'u(.p) — „Р„1Й. хар.ктерлзуюшая .«»»™е пер„ре=™» связей- Переход» к частотным характеристикам, получим ф(у®) = Ф(/ю)Ф0(/®)- Таким образом, ф.Дусо) = Ф/,(У<»)Ф/>о(7ю) ’ и сомножители Ф„(» позволяют определить, насколько существен- но взаимовлияние каналов для отдельных приводов в форме частотных характеристик. Отметим, что влияние перекрестных связей обычно проявляется в среднем диапазоне частот. Действительно, в области низких частот Л*(усо)«с*, Ф(;со) * (с * + Wg (усо) + Wz (усо)) ’’ Wz (усо). Однако в диапазоне низких частот приближенно выполняется ус- ловие ФДусо) «1, что и обеспечивает процесс слежения. Обычно это условие выполняется за счет выбора большого коэффициента усиления (добротности) передаточной функции разомкнутого привода, благода- ря чему в этой области частот » И^(усо) + с* . Следовательно, матрица с (jot) + (joy) близка к диаго- нальной матрице ^(усо) и перекрестные связи, возникающие за счет едиагональных членов с/А, несущественны. По этой же причине не- влияние перекрестных связей на низких частотах и на ные характеристики отдельных приводов, так как здесь «(jco) * 0 и в соответствии с (7.29) Ф(усо) » Е В области высоких частот Л’(усо) ристики а (усо)‘, и частотные характе- Ф(У«) « [«• (УИ) 1 + Охо) + №< (;„)]-! (>) 268
7.2. Исследование линеаризованной иоо^,.. . -----------------------------исполнительной системы для любой реальной механической системы уппи-та™ , у 1емы удовлетворяют условию 0 при со X Таким образом, в области высоких чягТт их част°т взаимовлияние каналов управления также не имеет существенного значения Из наших рассуждений следует, что может существовать некото- рая область средних частот о) е Qc. в которой взаимовлияние сущест- венно. Определим как показатель влияния к-го канала на йй. Если арк рабочая ампли- туда эквивалентного гармонического сигнала управления то погрешность за счет взаимовлияния в /-м канале можно оценить, используя неравенство В f ’ где Вызванная взаимовлиянием каналов управления погрешность в положении схвата 8/\ характеризуется неравенством (7-30) где евклидова норма соответствующих векторов, т.е. Величину J(q) в правой части неравенства (7.30) можно рас- обобщенный показатель уровня взаимовлияния каналов сматривать как исполнительной системы. „РПпп. Помимо взаимовлияния, матрица частотных 'аР:1аа качеетва нительной системы позволяет оценить и другие показал По виду амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) Ф„(у»> можно судить о показателях колебательности М, по отдельным Кана- лам управления: 269
7. д/. = max Ф//С/с0) * 1 (1)6(0, co) ДЛЯ обобщенной оценки манипулятора можно ввести средним по казатель колебательности в данной точке q : М=±±М,. (731) N w Заметим, что в общем случае показатель М зависит также от q и q, что следует из приведенных выше формул для ФО®). Показатель колебательности характеризует качество переходных процессов, возникающих при резких изменениях сигнала управления g(t) Это не характерно для программных движений, построенных с использованием интерполяционных полиномов (см. §4.1), но может приводить к потере точности, ударам и другим нежелательным явле- ниям в случае неожиданной остановки, включения, перехода манипу- лятора с одного режима управления на другой. Поэтому величину М необходимо ограничить некоторым числом М\ определяемым усло- виями работы: М <М*. Другой характеристикой переходных процессов является их время zn, связь которого с частотными характеристиками хорошо известна (см. [54], (время гп определяет переход системы в режим нормального функционирования после завершения переходных процессов). Целесо- образно использовать следующий обобщенный показатель времени переходных процессов для исполнительной системы: <7-32» определяющий момент времени, после которого завершатся переход- ные процессы во всех каналах управления манипулятора. етрудно определить оценки и для динамической ошибки систе- выбранной программной траектории g(/) можно определить условную рабочую частоту /а Р о max / 6 max и условную амплитуду ап = £2 /а Р о max / о max П‘РМ0Нта>го при котором динамиче- «а. ошибка ио амплитуде . i-м канале о., оцениваете» с помощью 270
7 2. НсслеОование яинеари-данной мог)еп unt, „ —-------- -------------------—-----с^^мителъ1юй системы частотной характерист ики /-го канала по ошибке И. о следует, что матрица частотных характеристик по ошибТ™" (?Л6) н viMR по ошибке равна Ф,; (JO) = Wjv)h' (» + мч (Mf ( /й) _ Для астатических систем в области рабочих частот Если взаимовлиянием каналов в области рабочих частот можно пренебречь, то для динамической ошибки ед, в i-м канале управления справедлива оценка flp Ошибка возрастает по мере увеличения частоты сор (уменьше- ния ). Поэтому имеет смысл оценить ее на правой границе допустимого диапазона, т.е. при со =со ; ртах . д/ max * Введем вектор динамических ошибок каналов управления ед = [£д/] • В рабочем пространстве манипулятора динамические ошиб- ки приводят к отклонению схвата от требуемого положения в соответ- ствии с кинематическим соотношением 5г, =У(?*)€Д. Для этой величины справедливо неравенство д max правая часть которого определяет радиус сферы, построенной около исследуемой точки рабочего пространства, rv - f (7 ) • Эта оши обусловлена динамикой исполнительной системы, она не должна р вышать значение допустимой погрешности при выполнении зад технологической операции. Пример 7.1. Приведем некоторые результаты ча|<'™™°гателями манипулятора УЭМ-1 (рис. 7.4). Манипу™™Рч^е характеристики постоянного тока серии ДПМ. Основные т манипулятора УЭМ-1 можно найти в [33]. 271
Рис. 7.4. Схема манипулятора УЭМ-1 Исследование проводилось в окрестности рабочей точки, заданной вектором обобщенных координат q’ =0. На рис. 7.5 показаны лога- рифмические амплитудно-частотные характеристики (ЛАЧХ) и фазо- частотные характеристики (ФЧХ) разомкнутой системы управления по координате q2. Сплошной линией показаны ЛАЧХ и ФЧХ разомкну- того канала управления, построенные без учета динамического взаи- мовлияния. В этом случае частотная характеристика РК220(/со) является одним из диагональных элементов матрицы (7.24) при й* (/со) = (/со) (см. (7.27)). Пунктирной линией обозначены ЛАЧХ и ФЧХ для этого же канала управления с учетом взаимовлияния, т.е. частотные характе- ристики диагонального элемента Иг22(/оз) матрицы частотных харак- теристик (7.24). Связь между передаточными матрицами отдельно взя- тых приводов и с учетом взаимовлияния определяется, как было показано выше, формулой (7.29). Из рисунка ясно, что до частоты со = 10 с взаимовлияние практически отсутствует. После частоты со 1000 с ЛАЧХ различаются между собой на постоянную величи- 272
2 if с c леоовднис линсоризовонной модели исполнительной системы / , £ ______— ~~ ~ —-----------------------—- — —— Л)ЧХ практически совпадают. Это соответствует сделанному вы- нУ* а 0 том, что взаимовлияние несущественно на низких и высо- те выв Однако в данном случае взаимовлияние несущественно и .V частотах. ких ти едних частот; оно приводит лишь к небольшому сниже- в °^лаСТ^с0В устойчивости. Показатели колебательности и динамиче- ниЮ п пабочем диапазоне частот со < 10 с'1 остаются практи- кой точности в раии чески неизменными. arg IV, г Lm IV, град дБ о[ О ~90 Ь-20 -180 —60 -270 —60 -360 80 Рис. 7.5. ЛАЧХ и ФЧХ системы управления по координате а. я ФЧХ соответствующие эле- На рис. 7.6 показаны трафики разомкнутой испол- менту WW7®)’ матрииЫ Ча^°®Ь Онй характеризуют вЛИ5да^°ороМ нительной системы ИЮ®) ( * да процесс управления в сред- сов управления по третьему к лияНие проявляется канале Как и в преды^^случае в < , ^^ие но и нем диапазоне частот Ю с TMVMa для ИС 0е0) П^И Ю - будет нансный характер и достигает «»»ег0 кап» на т Р На этих частотах частот <о f» заметным, однако в диапазо работу треть® пренебречь. «пения во втором кан врегленной области Влияние процессов упра йЛЛюстрирУетС го и пятого каналов управлен 273
7 уьд»™ ------------- 7 7 Здесь представлены результаты моделирован,,» динамики сие- Рис. 7.6. ЛАЧХ и ФЧХ влияния процесса управления в третьем канале на работу второго канала . Влияние процесса управления во втором канале на работу третьего пятого каналов; единичное ступенчатое воздействие на входе второго привода (а); прямоугольный импульс (б) 7.2.2. Устойчивость исполнительной системы vcTofiww^nrHHbie В ° соотношения позволяют проанализировать может бытьЬ ЛИНеаРизованн°й исполнительной системы. Эта задача может быть решена одним из способов, принятых в теории линейных 274
7.2. ИсслеОование линеаризованной оПЛ».,. -----------------------'--Ц00е-™ исполнительной системы автоматических систем. Наиболее простой способ заключается в непо- средственном анализе характеристического многочлена системы диф- ференниальных уравнений (7.17), описывающих замкнутую исполни тельную систему. Этот многочлен имеет вид G(Z) - det( (/.) + Mq(X) + (Л)). (734) В соответс гвии с критерием Гурвица исполнительная система ус- тойчива. если главные диагональные миноры матрицы Гурвица, со- ставленной из коэффициентов характеристического многочлена G(X), будут строго положительны ([54. с. 135]): Д, > 0, i = 1, 2, .... п. (735) Заметим, что если рассматривать устойчивость каждого привода по отдельности, то его характеристический многочлен G0,(k) будет включать только соответствующие диагональные элементы матрицы к, а) G0,(X) = det(^ (Х)й’ДА.) + . f = 1. 2..... .V. (7.36) Следовательно, Go (Тс) = fl Go, W = detGV(X)A0* (X) + Л/, (X) + M E (x)). где h'o (X) = diag[fc * (X)] • Из соотношения (7.34) следует, что G(X) = Go (X)G(X) - (7.37) Здесь (7.38) G(X) = det(F + Л(А.)), ВД = [N^h'o (1) + (X) + К (W ’ иля система устойчива при выполне- Таким образом, исполнитель нии следующих условий: „о взятые приводы (корн» «4W®”*- и) устойчивы вс,„ в левой оолупяоскости); ческого многочлена <j0 W \ тякже лежат в ле- 6) корни характеристического многой ВД вой полуплоскости. 275
--------------- Следует иметь в виду, что G(X) - это характеристический много- н соответствующий введенной выше передаточной матрице Ф(р), член, соответству щ овлияния каналов управления в соответ- определяющей эффе «словия б заключается в том, чтобы 'Zo JJJe каналов во нарушало уетойвв.ость енсгемы "Z- «« “““° С "'Р«ата™°" "аТР™“ комплекса отдельно взятых приводов Ф.(р) равенством 7?(Х) = Ф0(Х)И/;,(Х)/)(Х). Поскольку Й(Х) — матрица, состоящая из полиномов второго по- рядка (см. (7.15)), Фо (Х)^’ (X) = (X) + (X) + Wc (X)] - диагональная матрица дробно-рациональных функций, то полином G(X), определяемый в соответствии с (7.38), также является дробно- рациональной функцией. Это выражение всегда можно привести к виду G(X) = det(E + Я(Х)) = 1 + К(Х), (7.40) (7.39) где дробно-рациональная функция от X. Полученное выражение позволяет применить для анализа устойчи- вости исполнительной системы критерий Найквиста. Действительно, согласно (7.37), получаем G(X) = 1 + ВД = ^-. (7.41) G0(A.) Подобное выражение, являющееся отношением характеристиче- ских полиномов, используется при доказательстве критерия Найквиста (см., например, [54, с.141]). Однако следует отметить, что при исполь- зовании критерия Найквиста G(X) и Go (X) являются характеристиче- кими полиномами замкнутой и разомкнутой системы соответственно. данном случае их смысл иной: если G(X) — это по-прежнему ха- рактеристический полином замкнутой исполнительной системы, то о характеристический полином комплекса отдельно взятых вия Найквиста.НкотеНее ЭТ<> отражается на х°Де доказательства усло- вия Найквиста, которое приобретает следующий смысл: если система, 276
состоящая из комплекса отдельно взятых ----' птотически (все корни G„(7.) лежат СТрогоПРИВ°Д°В’ Устойчива асим- годограф K(jm) при изменении ог от J0 В Левой полуплоскости), и (-1, /0) на комплексной плоскости, то за. °° °Хватывает точку гема асимптотически устойчива. ' амкнутая исполнительная сис- Итак. если отдельно взятые приводы полняется при их регулировочном расчетеГ10*^™111 ЬТ° условие вь‘- вости исполнительной системы ’ Т° провеРки Устойчи- ы следует построить го то та ж г/ • \ воспользоваться критерием Найквиста ПоскоL Д° раф и тельно нужно вычвслвчв «ую) „рощ" “ " ™ который в соответствии с кр^X * ГМ0ГРаФ С,7И)' начало координат на комплексной плоское" °“”“"ать При построении годографа K(ja) или G(j<^ следует иметь в ви- ду, что при оз 0, как мы уже видели выше, £(» с - diagС ; /г0’(/со) -> diagc*; |Ф0„(j®) -> Е ; И'Д(/со) 0. Таким образом, из выражения (7.39) следует, что при со —> 0 выпол- няется условие /?(/(») -> 0, а следовательно. К(/со) -> 0 и G(/co) -> 1. При СО —> 00 можно положить /70*(у«) « diagа*(jw)‘, h ’(;©) * (a* -diaga )(уы)'; ^,Д7«)-0; ^(Усо)-О. а значит, л ч г . [а.ав » —» т.е. R(/со) при о —>00 стремит из постоянных коэффициентов. стремится к кон- Характеристический многочлен G(j Р станте, которую нетрудно найти [33]. . , . deta -G" (7 42) няя велйчина по модулю не превышает еда- Заметим, что полученн имеет вид, показанный на ницы; таким образом, годограф J. маК00рдинаг и заканчивается рис. 7.8. Годограф K(j®} выходит и 277
7. Система управленияисп^^ Ж Рис. 7.8. Годографы характеристического многочлена исполнительной системы на вещественной оси в точке, соответствующей со -> «>: при этом K(ja)^K' =G’-\<0. При исследовании можно вместо годографа строить ЛФЧХ и ФЧХ; при этом для устойчивости исполнительной системы должно выполняться по отношению к LmXQco) и argX(jco) условие критерия Найквиста для системы, устойчивой в разомкнутом состоянии: ФЧХ не должна пересекать ось arg ЛГ(усо) = -л (или пересекать ее четное число раз) в области, где LmKfJti) > 0. В качестве примера на рис. 7.9 показаны ЛАЧХ и ФЧХ, построен- ные для функции X(jco), соответствующей исполнительной системе, рассмотренной выше в примере 7.1. Условие устойчивости выполняется. Подчеркнем, что речь идет о дополнительном условии устойчивости (условие б на стр. 275), характеризующем устойчивость вследствие взаимовлияния каналов управления. Взаимовлияние, определяемое функцией Х(усо), проявляется только в среднем диапазоне частот Юс < со <1000 с , как и в рассмотренном выше примере. Заметим, что годограф Х(усо) или соответствующие ему ЛАЧХ и ФЧХ п<*воляют не только проверить сам факт устойчивости или неус- идчивости исполнительной системы, но и установить запасы устойчи- и. Запасы устойчивости по амплитуде и фазе показаны на графике рис. 7.8 (Aa = G*). J3** СИНТезе системы можно задать требование, чтобы запасы устойчивости по амплитуде и фазе были не меньше заданных значе- 278
7.2.пинеариумапной -------------------------^±5^!"пе.7ьНой системы ний: &а<ка , Лф< Д<р'. это требоваимо „мнением раесмо,рен„м н „. 7 2.! «6о6„кя^Х ”,ZeTXZ исполнительном системы. еи качес^ва Рис. 7.9. ЛАЧХ и ФЧХ, соответствующие годограф}' К( на) остойчивой системы Возвращаясь к началу п. 7.2.2, обратим внимание на то, что нами был использован метод замороженных параметров. Следовательно, в каждой точке опорной траектории, относительно которой .линеаризована математическая модель динамики, параметры построенных частотных характеристик и характеристических уравнений будут различными. Поэтому анализ устойчивости, согласно рассмотренной методике, необходимо проводить в различных точках опорной траектории, про- веряя требования по устойчивости в тех точках, где она оказывается наихудшей. Показатели Anmin > Дфт1П характеризуют устойчивость сис- темы на выбранной траектории. В частности, если исследуется устойчивость в стационарных точ- ках рабочего пространства, каждая из этих точек 6} дет обладать своей степенью устойчивости, которую будем оценивать показателями зала сов устойчивости. В рабочем пространстве можно определить зоны Г,, в которых запасы устойчивости системы будут не меньше извест значений Да’, Дер *, что позволит правильно планировать выполн рабочих операций. , п не- В том случае, если исполнительная система ФУН1<Ц задает чело. определенных заранее условиях и траекторию даиж® от теку. век-оператор или верхний уровень управления в зав
_____________^««2^— — исполнительная система была устой- щей ситуации, необходимо,еНий. Анализируя это условие, сле- чивой для любых возмо пассматрИваемой модели во всех точках дает_________У—" "фаз<ж1ГО о5о6- 7.3. Автоматизированный синтез исполнительной системы 7.3.1. Вычисление показателей качества исполнительной системы и отдельных приводов Подведем итог рассмотренным в § 7.2 показателям качества и ус- тойчивости исполнительной системы. Для выбранной траектории дви- жения схвата или нагрузки манипулятора в каждой ее точке можно вычислить: а) матрицу взаимовлияния каналов управления ц = ], i к, б) ошибку положения схвата, обусловленную взаимовлиянием 8#в (см. с. 269); в) средний показатель колебательности переходных процессов М (7,31); г) показатель времени переходных процессов Гп (7.32); д) динамическую ошибку положения схвата 8^ (7.33); е) запасы устойчивости Да, Дф. В процессе анализа мы показали, как эти показатели могут быть вычислены по соответствующим показателям отдельных каналов управления. При синтезе исполнительной системы в начале должны быть заданы обобщенные характеристики системы, позволяющие сформулировать требования к отдельным каналам управления и от- дельным приводам степеней подвижности. Задание этих обобщенных характеристик зависит от конкретного назначения системы. Так, если манипулятор должен выполнять основную технологическую опера- ц ю, связанную с точным манипулированием в пространстве (при из- мерениях, окраске поверхности, термообработке и т.д.), то основными тр ованиями удут точность положения и ориентации, плавность пе- ственпмХтп>0Це^°В И ^сто^чивость* Если скорости и ускорения суще- мовлияние Не° Х0ДИм° также учесть динамическую ошибку и взаи- ™“ К“МОВ- ПР” полуавтоматическом управлении важную 280
Автаматизир^анный синтез ие„, . -------- ---------------------------^^^^Анитезьной системы роль играет вид матрицы взаимовлияния и ее от^п нальной. I ребования к соответствующим п °™онение от диаго- „„рвлеляютс, „е только ’ —»• эргономическими лребоеа,о5к„е,ивм ™°фЕивХе’л’ стие человека в управлении манипулятором Флективное уча- Теперь, согласно приведенным выше фор„„„ to, „ „ „ „ но гадать требования к отдельным приводам „о каждому „в’перечиш ленных показателей, т.е. по уровню взаимовлияния в i-m канале коте бательности М,, времени переходного процесса динамической ошибке 5ед, и устойчивости Да,, дф,. «Распределение» требований по приводам можно осуществить многими способами. Здесь проявля- ется опыт проектировщика. Например, при задании допустимого вре- мени переходного процесса гп, он должен представлять себе, как соот- носятся времена переходного процесса, достижимые с помощью приводов «тяжелых» степеней подвижности и более «легких», напри- мер приводов «кисти» манипулятора. 7.3.2. Расчет приводов исполнительной системы. Синтез корректирующих устройств и регуляторов После того, как определены требования к исполнительной системе в целом и к каждому из ее приводов, происходит процесс расчета при- водов системы. Если он оказывается неудачным при имеющейся неиз- меняемой части системы и выбранных показателях, их можно перерас- пределить еще раз по приводам манипулятора, сохраняя значения обобщенных показателей качества. Ранее в п. 7.2.1 было установлено, что во многих случаях взаимо- влияние каналов управления является дополнительным фактором, не оказывающим решающего влияния на показатели качества исполни тельной системы. Это дает основание разбить задач} синтеза на^два отдельных этапа: а) синтез исполнительной системы, состоящей из отдельных приводов (в том смысле, как это было определено в п - , передаточная матрица которой описывается выражением ’ б) исследование и коррекция взаимовлияния каналов. уп ма / цы синтез исполнительной системы с учетом пер^ tfflTb хорошие (7.21). Такой подход практически всегД^”°^°^> использующих вы- результаты при синтезе манипуляционн 281
Ill -------------— UP -твигатета постоянного тока. Большой коэффициент сокооооротные дви в этом случае «диагонализирует» реакции передат^^ механизма? а следовательно, и матрицу Ф(р), "Р™”™» ‘““°" >”Р“лгаи»- Олнако ™°й щ.«м гш высокомоментных (оезредухториых) влек- X™*. » маилузшхврннмх систем с гидро- и электро- ’ „иволом В этих случаях вьиелкп. подсистему без взаимовлияния отдельных приводов друг на друга невозможно. Для подооных систем более приемлемы методы динамического синтеза, которые будут рас- смотрены в гл. 8. В настоящее время применяют различные методы расчета от- дельных приводов. Выбор того или иного метода зависит от опыта пользователя, имеющихся в его распоряжении пакетов программ ав- томатизированного синтеза. Одним из наиболее широко распростра- ненных является метод синтеза последовательных и параллельных корректирующих устройств с использованием логарифмических част- ных характеристик. Здесь надо упомянуть о том. что исполнительный двигатель и ме- ханизм передачи движений (силовой модуль) выбираются заранее по результатам энергетического расчета. При этом принимают во внима- ние максимальные скорости и ускорения, а также силы и моменты, которые должны быть развиты в данной степени подвижности. Ско- рости и ускорения q., qi определяют исходя из заданных скоростей и ускорений схвата манипулятора, что и представляет собой решение обратной кинематической задачи (см. гл. 3). Развиваемые двигателем моменты (силы) определяют путем решения обратной задачи динами- ки (см. гл. 5). Собственно энергетический расчет, предназначенный для выбора мощности двигателя его типа, а также коэффициента пере- ратуре [^24^29^38]^ ДОСТаточно полно описан в специальной лите- кото^^ЛТ управления описывается схемой (см. рис. 7.2), в проектировщика СИЛ°В0Г° модуля’ Задача vnn Р °следовательное IJ(s) и параллельное Ms) корректирующие устройства так чтоб» nuv системи _______ и IdK’ ЧТ00ы ЛЧХ синтезированной системы удовлетворяли заданным требованиям. чается в том чт” СИНТе3а приводов исполнительной системы заклю- чается в том, что параметры передаточной матрицы ФЛр) зависят от 282
7.3. Автоматизированный синтез —--------------------~“ ’^22^'^ьной системы параметров опорной траектории q‘. „ . а уятп, - мая часть системы, включающая манитляционныГм^’НеИЗМеняе' от его положения и движения в пространстве В съяае М‘ ньк двигателей влияние динамики механизма на?^^ вода может оыть несущественным за счет приведения моментов инеп ции к валу двигателей с помощью коэффициента передачи ретктооа Поэтому вполне можно выбрать одну или несколько характерных то’ чек на траектории, для которых следует определить неизменяемую часть и провести регулировочный расчет. Далее необходимо прове- рить, чтобы синтезированный регулятор обеспечивал удовлетвори- тельные результаты на всей траектории. В большинстве случаев, задавая предельные скорости, ускорения и нагрузки для данного манипулятора, удается синтезировать стацио- нарные (с постоянными коэффициентами) регуляторы, которые дают хороший результат практически для любых программных движений. Однако, учитывая, что процедура синтеза регуляторов в настоящее время в высокой степени автоматизирована, можно сформулировать и задачу создания «сопровождающего» математического обеспечения, которое одновременно с процедурой программирования off-line позво- лит пользователю подстраивать параметры регуляторов с целью по- вышения качественных показателей системы и лучшего использования ее динамических возможностей. Отметим, что такой подход является достаточно общим, так как выбирая различные типы корректирующих устройств /7(5) и Z(5). можно реализовать различные способы управления [54]. В частности, полагая 77(л) = >tn, Z(s) = kzs, получаем сигнал управления двигате- лем в виде III что соответствует пропорционально-дифференпиру Ю„Ш^М^ нейному регулятору, параметры которой> м™Н^чета зависИмо- способами, в том числе и путем непосредственного р * Нередк0 сти показателей качества от ’ передаточной используют методы распределения ну MaHHbIx показате- функции синтезируемой системы в зав^“ необходимого располо- лей качества. Задавая кв, kz, можно д жения полюсов на комплексной плоскости. 283
7. Система управления исполнитепногоуровня----- Выбирая Л(.)^„(1 + т5)А, ZU) = М > получаем формулу, опре- деляющую ПИД-регулятор и = к, (кл |е(Г)Л + к„х„Ы) ~ k7q(l)) , О где £(/) = <?’(О'#(z)- Введение последовательной коррекции рассматриваемого вида позволяет повысить точность системы (ее порядок астати зма) без снижения степени устойчивости, т.е. преодолеть обычное при синтезе подобных систем противоречие между точностью и устойчивостью. Отметим еще одно важное достоинство ПИД-регулятора, обуслов- ленное введением интеграла от сигнала ошибки/ Передаточная функ- ция отдельно взятого* привода по возмущению Фу (л) в этом случае имеет сомножитель 5 в числителе. Действительно, если в системе, схе- ма которой приведена на рис. 7.2 (при q = x/i), выбрать 1 4- ТС Л(*) = кП-------, Z(s) = kz, zs то для передаточной функции неизменяемой части W(s) = к 5(1 + 75) будем иметь ф/ W = ______________kzs 53т2 + 52т + s(kzki + knkz) + клк Следовательно, при постоянном возмущающем воздействии f(t) = kf 1(/) статическая ошибка привода, к нулю: обусловленная ^возмущением, стремится Бу =НгП5-2_ф (5а о 5->0 S f (Ьепенпин °ЙСТ/Т °^ладает ПРИВОД с пропорционально-диф- Фздруюшм (ПД>ряултором. Если. в чаяносРти. = n{s) = kn,ro * установившаяся статическая ошибка привода равна 284
синтез системы что приводит и к статической ошибке положения сур.^ Практика показывает, что во многих c.tv4" манипулятора, рать более сложные корректирующие устпойХХЦелесо?бразно вки- данных свойств системы. Например, можно связь по ускорению (или по моменту) вида ' ооратную Z^) = kns + kzis-. а также ввести дробно-рациональные сомножители в выражения /7(5) Z{s), обеспечивающие необходимый корректирующий эффект в опре деленной частотной области в зависимости от характеристик неизме няемой части системы. Заметим, что по схеме, представленной на рис. 7.2. нельзя судить о способе реализации коррекции, которую можно осуществить с помо- щью аналоговых или цифровых корректирующих устройств. В по- следнем случае в схему вводят аналого-цифровые и цифроаналоговые преобразователи, а необходимые вычисления выполняются с помощью микропроцессора. Будем считать в этом случае, что частота квантова- ния дискретного сигнала достаточно высока по сравнению с рабочими частотами привода. Это условие, обеспечиваемое современной микро- процессорной техникой, позволяет ограничиться методикой синтеза исполнительной системы как непрерывной. В противном случае можно воспользоваться методикой синтеза дискретных систем, рассматривае- мой в [22]. Наиболее удобным методом расчета сложных корректирующих связей является метод логарифмических частотных характеристик (ЛЧХ); сложность процедуры синтеза при этом не зависит от вида ре гулятора как элемента системы управления. Геометрическая интеР^ тация метода позволяет разработчику непосредственно по иду предвидеть результаты коррекции по отношению к тем ил казателям качества системы. Метод синтеза приводных с мощью ЛЧХ подробно изложен в литературе [30],ЬГ пользова. Имеются пакеты программ, макс^аЛ^> обеспечивают возмож- телю применение метода ЛЧХ [43; 4 ]. исполнительной посте автоматизации процедуры построения системы, выбора ее параметров и структуры. 285
____________7 Система управления исполнительного уровня Примером пакета автоматизированного синтеза исполнительных систем разработанного за рубежом, служит пакет MANSIM, разрабо- тайный под руководством М. Вукобратовича в Институте автоматики им. М. Пупина в Белграде (Югославия) [77; 78]. Достоинство этого пакета заключается в том, что в нем автоматизированное построение модели динамики механизма совмещено с расчетом исполнительной системы. Пакет позволяет выбирать структуру обратных связей испол- нительной системы, проводить синтез как непрерывных, так и дис- кретных (цифровых) систем. В отличие от упомянутых выше пакетов, основным методом синтеза параметров регуляторов в данном пакете является метод, основанный на выборе расположения нулей и полюсов синтезированной системы, обеспечивающий заданные показатели ка- чества. Наряду с этим пользователь может воспользоваться методом синтеза оптимальных по критерию среднеквадратической ошибки ре- гуляторов для отдельных каналов управления. Развитием рассмотренного выше подхода, основанного на исполь- зовании частотных характеристик, является метод подчиненного регу- лирования [43; 44]. В приводе манипулятора организуются в общем слу- чае контуры управления по положению, скорости и моменту (рис. 7.10). Рис. 7.10. Схема подчиненного регулирования* П П и п к ^оров ковров положения, скорости и тока- т\ Т ~ ПереДаточные ^нкции ного преобразователя и " 'э постоянные времени элекгрон- инерции всех движущихся частерГ^^ постоянная якорной цепи; I— суммарный момент жущихся частей, остальные обозначения аналогична, введенным в § 7.1 стоянного тока обычно ^°Мент^ В электР°пРив°Де на двигателях по- ропорционален развиваемому моменту. 286
7. J. Автоматизированный сш1те. urnr ------------------------ В свободном движении эта связь характерней степени подвижности ускорение. Развиваемое в данной Наличие в общем случае трех контуров pervi возможности использования привода/ Методи Р°Вания расширяет усложняется, хотя она по-прежнему основана^ РаСЧета при этом которые были описаны выше. На тех же принципах. для расчета системы управления методом подчиненного ре™ вания в МГТУ им. Н. Э. Баумана разработан специальный пакет Z грамм пользователя-проектироващика [44]. Пользователь может с его помощью выбрать структуру обратных связей, коэффициенты усилен^ в соответствующих обратных связях и регуляторы пропорционального (П-регуляторы) или пропорционально-интегрирующего (изодромного) типа (ПИ-регуляторы) в каждом из этих контуров таким образом, что- бы обеспечить нужные показатели качества работы каналов управле- ния исполнительной системы. В процессе работы пользователю предоставляются данные о полу- чаемых в системе процессах, формируются запросы о требованиях и даются необходимые советы, т.е. пользователь не использует собст- венно процедуру синтеза. Однако в случаях, когда диалог не удовле- творяет пользователя, возможен переход на уровень прямого синтеза частотных характеристик (формируемых с помощью того же пакета). В отличие от рассмотренного выше метода синтез корректирующих уст- ройств методом подчиненного регулирования проводится отдельно по каналам управления моментом, скоростью и положением. Такой под- ход оказался особенно удобен для современных микропроцессорных систем управления приводами манипуляторов, позволяющих реализо- вать и настроить каждый из упомянутых каналов управления по от дельности. 7.3.3. Анализ синтезированной системы. II Введение корректирующих связей После того, как синтез отдельных приводов ИСПОЛЛ связи темы выполнен, необходимо убедиться в том, ению рабо- в каналах управления не приведут к существен Негаагональных ты системы. Это можно выполнить путем анал 6. Если эт0 членов матрицы частотных характеристик J 287
Система управления исполнительногоуровня вл„н„ . области рабочих частот существен». J0 „собхолимо „с- пользовать способы коррекции перекрестных связей. И формат, приведенных . § 7.1. 7.2. олеДУ=Ц ™ ради- кальиым способом борьбы с взаимовлиянием каналов является форм,,- рование управляющих моментов как суммы собственно управляющих р и корректирующих ц„. моментных воздействии. М = Ру +Нк’ причем Нк=Л(р)<7, <7-43) где й(р) = /г’(р)-Л0'(р) — недиагональная матрица, характеризующая динамику манипуля тора. К сожалению, такой способ можно реализовать только в приводах, допускающих прямое управление моментом, но и в этом случае он очень сложен в силу того, что элементы матрицы h(p) необходимо рассчитывать в реальном масштабе времени. Для электропривода оп- ределенное снижение взаимовлияния достигается за счет применения ПИД-регулятора, который снижает ошибку при статическом воздейст- вии. Однако это не снимает проблему динамического взаимовлияния. В значительной мере она может быть решена путем введения спе- циальных корректирующих связей, вид которых может быть установ- лен из уравнений системы (7.20), (7.21). Из них, в частности, следует, что если выбрать управляющее воздействие g(Z) как сумму собственно управляющего gy(t) и корректирующего gjf) воздействий: £(') = gy (0 + g, (0, причем ?к(0 - wi' (p)h(j))q, (7.44) то задача коррекции будет решена. Учитывая, что h(p) — матрица, ^ставденная из полиномов второго порядка относительно р (см. копения 6лпмРРеК^ИЮ приближенно можно реализовать, измеряя ус- Однако ппиним™ ’ СК°рости и К00РДинаты степеней подвижности, днако, принимая во внимание, что порядок числителя элементов диа- гональной матрицы И7'(Р), как правил0; выше порядаа знаменателЯ! 288
необходимо либо определять производные более высока этих переменных (что приведет к быстрому накоплению „ От „„лучить приближенные выражения. а„иротои„ “ '«» в ™й полосе частот, а таторой иммоиа,„ие“^ вечно- Именно последний способ обычно и ис„олиуто „ хия он требует определенного мастерства от разработчика системы После расчета приводов манипулятора необходимо смоди „ исполнительную систему с учетом полных уравнений линзчии (“ §7.1), чтобы убедиться в выполнении заложенных требований Для этой цели также разработаны специальные пакеты программ облег- чающие труд проектировщика. Пакет РОБОТ, созданный в МГТУ им. Н. Э. Баумана [29], обеспечивает автоматизацию составления ма- тематической модели манипулятора для произвольных кинематиче- ских схем разомкнутого типа. Он позволяет использовать модель при- вода с любой структурной схемой и провести моделирование полной модели исполнительной системы вида (7.8). Отметим, что пакеты автоматизированного моделирования дина- мики обычно не включают процедуру синтеза исполнительной систе- мы. Единственным известным авторам исключением является упоми- навшийся пакет MANSIM, позволяющий решать задачи анализа и синтеза в рамках единого программного обеспечения при определен- ных ограничениях на сложность описания исполнительных приводов и типа регуляторов. В результате моделирования пользователь либо убеждается в том. что проведенный синтез оказался успешным, либо выявляет оставш ся дефекты системы и возвращается к процедуре синтеза. 7.4. Анализ исполнительной системы при кинематическом управлении в себя исполни- Система управления манипулятором включа вь1рабатываюшее тельную систему, а также устройство управлен , фИС. 7.П)- сигналы управления g(t) и необходимые о ратиь уПравле- Здесь предполагается, что на верхнем (планир ^^д^ора или ио- ния формируется траектория движения схвата информация Дв- иной нагрузки в пространстве рабочей сне с использованием Лиется входной для устройства управления, 1 л
у^Систма упрощения исполни^^оуР^'^------------ ж тии о текущих значениях обобщенных координат механизма информации о У реальном времени требуемые зна- a(t) и их производных вычисляе р ’ „•(,) которые и являются управляющим» сигналам» для при- Z. исполнительной системы. При атом пароль,уются кинематипс- окне алгоритмы управления, рассмотренные выше в гл. 3. Верхний урабень управления Обратные сВязи Рис. 7.11. Схема системы управления манипулятором Для того чтобы построить математическую модель системы управ- ления, необходимо дополнить уравнения исполнительной системы (см. § 7.2 и 7.3) соотношениями, связывающими сигналы управления ис- полнительной системой g(0> сигналы управления, поступающие с верхнего уровня w(/), и сигналы обратных связей. Эти соотношения зависят от выбранного способа кинематического управления. 7.4.1. Управление по вектору скорости При управлении по вектору скорости с верхнего уровня управле- ния задаются линейная и угловая скорости схвата манипулятора в аб- солютной системе координат: = Н'лгСОд,]7 = J{q)q, (7.45) где Д?) = [Л(?) Цч)] - п. 3.3 6 Х N ’ определяемая по формулам, полученным в невыоожлеин Ч матРиЦа квадратная и при данном значении q невырожденная, то из выпаженио п „ ния по скопоети НРП„ Р Я 0-45) следует, что сигналы управле- скорости исполнительной системой „огут бьпъ за„„ в вше «0)=« (,) = /-'(,) (716) 290
7.4. Adaiui исполнительной систем. —----------------------.— где г'.(О - - заданный в функции времени RPl-™ г I. вектор скорости схвата Если этот вектор формируется hfnvU„ схвата. 1 РУется верхним уровнем управления то его можно считать вектором управления в системе- Н(/)-Г(п О управление по вектору скорости часто используется в с и ст мах Х „» схвата формирует человек. При „„„ ИСП(МЬ1 Lroo „ыс рукоятки управления. деремешая которые оператор формирует ком.юведгы вектора г . В этом случае удобнее в качестве вектора управления u(i) рассматривать именно тот вектор отклонений по уг- ловым или линейным координатам многостепенной рукоятки, который формируется оператором. Поскольку коэффициенты, связывающие компоненты вектора и(1) с требуемыми линейными v v (7) и угловыми <ол, (/) скоростями (коэффициенты масштаба), обычно различны, то имеем u = [ul и2]* = diag[Ef'к? E2]rN = . где к} и к2 — коэффициенты масштаба по линейной и угловой ско- рости. Таким образом, требуемые значения скоростей равны = Ей., со > = к^-, В частности, при К = Е получаем rv = и . Как было показано в гл. 3, матрица J(q) может вырождаться при определенных значениях q за счет особенностей кинематической схе мы и вследствие ограничений, наложенных на изменение самих 0 0 щенных координат. Кроме того, она может быть прямоугольной, этих случаях применяют методы приближенного решения кине скоро уравнения манипулятора я методы квазиоорашения Якоби (см. „. 3.3.4). При этом все лоследуюшие рассужен™ оиравед- ттт г-i (п\ п п 46) используется ее ливы при условии, что вместо матрицы J \Я) v • аппроксимация. Т₽мятической модели исполнитель- Перейдем к рассмотрению мате уравне. ной системы. Исполнительная система^мож^орно^ (см нием, линеаризованным в окрес положению, что харак- (7.17)). Это уравнение системы, зам У каюЩЙХ контурное терно для большинства манипулят р , 291
7. Счгте.ма управления исполнительного уровня управление В то же время, приводы манипуляторов должны отраба- ™Ь заданный в соответствии с (7.46) закон изменения скорости соответствующей обобщенной координаты. Для сохранения без из- менений системы управления манипулятора следует ввести интегратор в цепь формирования управляющего сигнала, т.е. выбрать g(t) соглас- но формуле (см. гл. 4) = (7.47) Р Если исполнительная система способна отслеживать как управ- ляющий сигнал, так и его скорость g(t) (т.е. она является астатиче- ской), то, естественно, будет отслеживаться и заданная скорость изме- нения обобщенных координат. Заметим, что если речь идет об исполнительной системе, которая специально предназначена для управления по скорости, то возможна ее реализация с приводами, замкнутыми по скорости. Тогда интегрирова- ние в правой части равенства (7.47) не потребуется. Записывая дифференциальные уравнения исполнительной системы с использованием формул (7.20), (7.21) в виде (й* (р) + Wq(р) + (p))q(t) = Wz (p)g(t), (7.48) получаем линеаризованную математическую модель системы управ- ления по вектору скорости в виде системы матричных уравнений (7.47) и (7.48). Схема^ системы управления по вектору скорости с учетом этих со- отношений представлена на рис. 7.12. Рис. 7.12. Схема системы управления по вектору скорости да) Исполнительная система координат можно записать с пом вектором обобщенных нительной системы ФГ гЛ °Щью передаточной матрицы непол- он системы Ф(р), определяемой по формуле (7.21) 9(f) J (д {ty)Ku(t), ('7 49'1 где 292
______Пп —--------------------------------и ческп w ——^2^У^Равпении Ф( Р) = (h* (р\+ цг / , --- п „ * p)+^.(p))"'w (р) Приращению oq ^aqHQK eW' ветствует приращение вектора положения схватТ^0 Т°ЧКИ Ч' С°°т’ 5r*=J(q‘)6q Поскольку 8q определяется формулой (7 49) только в малой окРестности опорной т™ J " рая С11Раве^ива чаем РН0И Ч^ории, то с ее учетом полу- 5/"\ — J(q ) J (q )К Ьи = № (р\Ьи Р ’ где симметрическая операторная матрица W(p) = J(q')^^-J'(q')K Р (7.50) (7.51) определяет преобразование управляющих сигналов 8и(г) в фактиче- ское перемещение схвата в окрестности данной точки. Наличие интегратора в выражении (7.50) означает, что управление манипулятором происходит именно по скорости. Например, задавая постоянное значение вектора управления и (требуемую скорость), по- лучаем движение с постоянной скоростью Srv после завершения пере- ходных процессов. При этом остаются открытыми вопросы о длитель ности этих процессов, их качественных характеристиках, а так точности отработки скорости исполнительной системой. Необходимый анализ исполнительной системы при jлрав• _ скорости можно провести, как и в § 7.2, методом час стик. Введем матрицу частотных характеристик * . . „ .. ф(» r'(a-yг (7.52) J¥( }(£>) = J(q )—---' (Ч >А- v jco Ее диагональные элементы характеризуют преобр ние управляющих сигналов и,(Р) в перемещения схвата со р имеющей соответствующее л,(Г) направление в рабочем пр тр например направление одной из координатных осей, связан бочей сценой. поскольку исполнительная В диапазоне рабочих частот ф(;®) -управляющий сигнал система рассчитана так, что в этом ди
____________zc—----------------------------------------------- , „„мой точностью. Из выражения (7.52) следует, отслеживается с необходи что в этом же диапазоне частот W( /со) ~ —& ;со и, следовательно, gr « — КЬи, > т е система описывается интегратором с коэффициентом усиления к . Отклонению управляющего сигнала 5и соответствует движение схвата с постоянной скоростью Sr,v, имеющей заданное направление и про- порциональной по величине управляющему сигналу. Отметим, что характеристики системы практически не зависят в диапазоне низких частот от параметров привода и кинематической схемы. В среднечастотном диапазоне для каждого из компонент brt век- тора brN можно записать 8г, =^, (»8м, • ./=1 Диагональные элементы ^(усо), определяющие динамику управ- ления по ьму каналу, зависят от положения манипулятора (вектора q ). Недиагональные элементы определяют перекрестные связи, т.е. дополнительные отклонения, обусловленные в z-м канале за счет управления по остальным каналам. Анализ частотных характери- стик И(7 (усо) позволяет выявить диапазон частот, в котором это взаи- мовлияние существенно. Пример 7.2. Рассмотрим схему управления по вектору скорости электрогидравлическим манипулятором РБ-211 (см. рис. 2.11). nfinfimf °М СЛУчае УпРавление по скорости осуществляется по трем иным координатам, обеспечивающим поступательное движение Ч\ углу поворота манипулятора относительно вертикальной Пттмиг 2 углам поворота в суставах базового двухзвенника. Длины звеньев двухзвенника составляют 0 94 и 1 « эч „ АЛ . vviawmioT и,уч и 1,63 м, а их массы — 27 и 44 кг, моменты инерции относит™^ „ 2 F относительно центра масс — 4,8 и 10,3 кг • м 294
7 4 Анализ и с пол пит ел ь ной системы при кинематическом управлении f[ ре даточная матрица Ф( р) исполнительной системы имеет размер 3 причем с достаточной точностью можно считать, что Ф12 = Фв - _ ф - о, а ее остальные компоненты имеют следующий вид: О* -я ч L Фн<Р) =-----5—7------Г’ и,, п + к ~ 1 '' G{p) при l~2- ипри ; = 2, 1 = 3. Для конфигурации манипулятора, соответствующей q = = [0,1 0,5 2,5] рад на графиках рис. 7.13 приведены компоненты мат- рицы ЛАЧХ соответствующих матрице ИД/со). опреде- ляемой по формуле (7.51) (при К = Еу LmlVjz кт^,,дБ ~30 -90 -180 -110 LmlVjj Рис. 7.13. Матрица ЛАЧХ системы управления по вектору скорости Анализ этих графиков показывает, что взаимовлияние, в °т случая, рассмотренного в § 7.3, обусловлено здесь не толь 295
7 Система управления исполнительного уровня микой исполнительной системы, но и кинематическим алгоритмом управления. Несмотря на то, что «динамическое» взаимовлияние по некоторым каналам отсутствует, «кинематическое» взаимовлияние имеет место по всем каналам управления, причем оно зависит от кон- фигурации манипулятора. Диагональные элементы матрицы W(уш) определяют интегратор с единичным коэффициентом усиления в диапазоне со < 6 с . Взаимо- влияние каналов управления в этом диапазоне частот несущественно. При этом характеристики LmFF2](y©) и LmfT12(j©) убывают моно- тонно, т.е, взаимовлиянием первого и второго каналов можно пренеб- речь во всем диапазоне частот. Перекрестные связи по остальным ка- налам характеризуются резонансом взаимовлияния на частотах, близких к © = 10 с"1, причем наибольшим оказывается взаимовлияние первого и третьего каналов. 7.4.2. Управление положением и устойчивость системы управления (7-53) С помощью рассмотренной схемьд управления по вектору скорости можно осуществить управление положением, если ввести в систему главную обратную связь (рис. 7.14), положив « _ вектор, определяющий фактическое положение и op™- цию схвата маниггуггптппа п тт лающий его желаемое Р^транстве, а и ~ г„ — вектор, опреде- ли его желаемое положение и ориентацию. 296
7.4. Анализ исполнительной системы пп„ ----- ' ------—_ Рики н ем ат ическп^ ------- Такой способ позволяет приближенно управление. В силу простоты реализации е реализовать контурное системах полуавтоматического управления Ироко используют в легко переходить от режима управления по ве^°ЛЬКУ °Н позволяет управления по положению. РУ СКОРОСТИ к режиму Учитывая, что для малых отклонений t>q = J~](q')br^ можно записать уравнение для системы управления, линеаризованной в окрестности точки q , следующим образом: , 8гЛ: =fV(p)(^ где f^(p) передаточная матрица разомкнутой системы управления по вектору скорости, определяемая формулой (7.51), Из последнего соотношения следует, что 8гд, = Ф(р)8гл\ (7.54) где передаточная матрица Ф(р) = (£ + ^(р))-1И>(^) (7.55) характеризует преобразование желаемого отклонения по положению схвата 5г*. в фактическое 5rv. осуществляемое замкнутой системой управления. Характер процесса управления, как и выше, можно проанализиро- вать с помощью матрицы частотных характеристик Ф(усо). соответст- вующей Ф(/?). Как было показано в п. 7.4.1, в диапазоне низких частот матрица становится близкой к диагональной: К В этом случае ф(» = (К + »К = diag(l + Tj<o) ’, где Т = К~', т.е. система в замкнутом состоянии пРиб“е^Я риодическому звену с единичным коэффициентом усил «иной времени Т, обратной коэффициенту масшт (7.56) к апе- 297
7. Cucmevay^^ --------------- хогпттаба а следовательно, и постоянные времени ХФ*"рХ"... для —> управления перемете™ и „р„е„- “ашей ОанаХ смысл «’ФФ™»"» ”“ШТ“ба ™еРЬ. "° сравнению'с коэффициентам. системы. рассмотренной в н. 7.4 1. В Х‘“м случае это коэффициенты усиления разомкнуть,х систем (лоб- ротности), которые моп-т быть различны для какого канала управле- ния. и их выбирают и, соображений точности, устойчивое™ и качества замкнутой системы управления по положению. Из наших рассуждений следует, что влияние перекрестных связей на работу системы в низкочастотной области несущественно и ее ди- намика определяется, в основном, выбранными коэффициентами мас- штаба. В высокочастотной области это влияние также не имеет значе- ния, поскольку Ф(» = W Таким образом, представляет интерес построение матрицы частот- ных характеристик только в среднечастотной области. Ее диагональ- ные элементы Ф^-С/со) являются частотными характеристиками замк- нутых систем по /-му сигналу управления, а Ф/А. (усо) при z к — частотными характеристиками, определяющими перекрестное влияние изменения k-й координаты на процесс управления в z-м канале. Отме- тим, что перекрестные связи, как и при управлении по скорости, харак- теризуются не только динамическим взаимовлиянием в исполнитель- ной системе, но и взаимовлиянием, обусловленным кинематическим алгоритмом управления. Пример 7.3. На рис. 7.15 показаны ЛАЧХ, построенные для двух каналов управления манипулятором УЭМ-1 (см. пример 7.1), которые являются элементами Ф,/» матрицы (7.55) при i, j = \,2, и по- строены для положения манипулятора, соответствующего q] = 0,1 рад < = 1,2 и для к, =кг =0,75 с'1. . кочастотном диапазоне со = 0,2 с’1 выполняется условие ,,0 ) Однако при дальнейшем расширении диапазона частот Ф,;(У<0) ПреДСТавЛЯЮТ Собой ХЯПЯ1бтрптл^„., оиии характеристики апериодического звена с б„„,юй к значению 0 75 При частотах -Юс они уже существенно .т[„,аклся от такой характер11стик„. 298
Взаимовлияние проявляется только в среднечастотной области, дости- гая максимума при о)*10с-!. При этом влияние первого канала управления на второй оказывается значительно больше, чем второго на первый. Поскольку при организации управления по положению была вве- дена отрицательная обратная связь, необходимо исследовать вопрос об устойчивости системы. Запишем дифференциальное уравнение замкнутой системы управ- ления по положению относительно обобщенных координат. В соответ- ствии с соотношениями (7.54), (7.55) (Е + И>(/?))/‘? = Иг(/7)«, Подставим сюда И7(р) из (7.51): (£ + pJ"'K)J'q = 'Ки' Левая часть этого уравнения преобразуется к виду У(£ + Ф(£)/РА') и, следовательно, характеристическое уравнение замкнуто" включает якобиеву матрицу J • оно имеет ви^ det(£ + КФ(М А) = 0 С учетом (7.21) это уравнение можно записать в det(fc ‘ (X) + (X) + АХ1 + = °' 299
ппавяения ------------------------ j Сиапе.'^ У^Рав^^ - - -----------' „й „в.,г»ч,,е» еииемы. WWW »<*««• 1~« XaPaKTCp«™»’M........ + М( (>.)(>. + К Л . (7.57) rn\ - detlMA'f^’^ + М" Л G(k) _ det|/ ического многочлена замкнутой систе- Если все корни хаРа^^пл0СК0СТИ, то система асимптотически мы (7.57) лежат в левой полу^ можно Не вычислять эти устойчива. Для 101°яться^алгебраическим критерием Гурвица. а“С^^а3°сВтО^ЧИВ°еС^р^^неИнчастотнь1Й критери^Найквиста" СХМГХТ“-"-ьной еиетемь, х„ги,=»ий ми». . ,Д . меет вид (7.34), можно записать, что гочлен G(X) имеет вид v ; ф(Х)А G(X) = G(X)det| Е + К (7.58) > где Ф(Х) = (й*(X) + Wg (X) + Wz (X))'1 Wz (X) — передаточная матрица исполнительной системы (7.21) при р = X . Выражение, стоящее под знаком определителя, как и выше в п. 7.3.2, можно представить в виде det| Е + К j = 1 + £(Х), (7.59) где К(Х) —дробно-рациональная функция. Поскольку члены матри- г V Ф(М цы Е + К имеют вид 1 +£Ф,,(Х)/Х, то функция К (к) имеет по- /V люс порядка N в нуле, т.е. ^2(Х)’ где Р(Х), g(X) — полиномы от X, такие, что Р(0), 0(0) * 0. Из (7.58) видно, что 1 + К(Х) = . G(X) Поэтому, применяя принцип аргумента, можно заключить, что Aarg(l + К(») = д argG(» - AargG(» = 0, (7.60) Oiw<TO 0£a><« 0Sw<ao если устойчива как исполнительная система, так и замкнутая система управления, поскольку в этом случае все корни как полинома G(^) * 300
7.4. AHU.IU: системы пп,{ так и полинома GG.) лежат в левой полуплоскости Г необходимо при <о->0 дополнить окружностью беек™ радиуса, с центром в начале координат, которая обхо Г° °ОЛЬШОГО НОМ (по часовой стрелке) направлении .V квадрантов (т В 0?ИЦатель' чало координат N/4 раза), причем именно полеченный е' граф в соответствии с (7.60) не должен охватывать точку годограф 1 + , дополненный окружностью не должен охватывать начало координат) при изменении со от 0 до х (см [54]) Отсюда следует, что условие^ (7.60) выполняется лишь в том слу- чае, когда собственно годограф K(jG) обходит точку (-1. ;0) в поло- жительном направлении (против часовой стрелки) таким образом, что- бы выполнялось условие (7.61) Д arg(l + £( jo)) = - .V, т.е. годограф K(j(n) обходит N/4 раза точку (-1, /0). Отсюда следует, что система управления по положению асимпто- тически устойчива, если выполняются следующие условия [33]: а) асимптотически устойчива исполнительная система: корни ха- рактеристического многочлена G(k) лежат в левой полуплоскости: б) годограф K(j(d) при изменении со от 0 до оо последовательно и в положительном направлении обходит точку (-1. ;0) Л/4 раз, т.е. выполняется условие (7.61). Годограф 1 + А?(/со) может быть легко построен по формуле (7.59). f Т,ФСЛ°) 1 + А?(усо) = det Е + А ; содержащей матрицу частотных характеристик Ф(усо) испол системы, уже исследованную нами выше в § 7.3. ФО03) представляет собой Заметим в заключение, что матрица и системы управления матрицу частотных характеристик разомкнутой TepM Найк- По положению. Таким образом, мы получили анал годографу виста устойчивости замкнутых автоматических соответствующей разомкнутой системы. 301
, vnnaeieiiM исполнительногоypo«ii»_---------- 7, Система У nPaeju —___________ Контрольные вопросы и задания 1,При каких предположениях еправедливо уравнение исполнитель,10й н п w Иля каких типов силовых агрега о системы (7.7)/ Для камь /7 Я) паспадается на отдельные, не- ”"k”ZL слагаемые , ура.не»»» (7.9). «ре»™»™» « мелел» (7.!0> «лученной . рееу.ь- тате пинеаризации уравнений динамики манипулятора (7.9). 5. Как можно задать опорную траекторию g’(r) при линеаризации урав- нений (7.9)? Какой вид примут коэффициенты линеаризованного уравнения (7.11) при использовании сплайнов? Приведите пример. 6. Справедливо ли утверждение: при достаточно большом передаточном числе редуктора / уравнения (7.17) распадаются на уравнения отдельных приводов (т.е. взаимовлияние приводов практически отсутствует)? 7. Как, на Ваш взгляд, можно определить временной интервал, в течение которого коэффициенты уравнения (7.10) считаются постоянными? Как ис- пользовать метод «замороженных» параметров при необходимости исследо- вания движения манипулятора вдоль заданной траектории? 8. Что характеризуют диагональные и недиагональные элементы матрицы И7(р) в уравнении (7.18)? В каких случаях эта матрица является диагональной? 9. Как исследовать взаимовлияние степеней подвижности манипулятора с помощью частотных характеристик? 10. Какой физический смысл имеет передаточная матрица (7.28) комплек- са отдельно взятых приводов и как ее используют при анализе динамики ис- полнительной системы? 11. Почему взаимовлияние каналов управления исполнительной системы, как правило, несущественно в диапазонах низких и высоких частот. Каким образом можно численно оценить это взаимовлияние? 12. Как оценить показатели качества исполнительной системы: время пе- реходного процесса, колебательность, динамическую ошибку? Сформулируйте условие устойчивости исполнительной системы в числений ВИИ ° Критерием Определите порядок необходимых вы- tothomv ДеытЛИТе УСл°вие Устойчивости исполнительной системы по час- ^5 В чем НаТИСТа‘ УКЭЖИТе ПОрядок ^обходимых вычислений. ной исполните ИЧ~е ФОрмУлиРовки критерия Найквиста для многоканаль- исполнительной системы манипулятора от его обычной формулировки? 302
ахания j 6. Как провес-i и анализ уст ойчивост ——_______ НОЙ траектории движения'? Ис,10,нитс.тьной СИсте 17, Какие способы коррекции Исп емь| «а задан- Как реализуется метод подчиненного п/,/ИТС;"‘НОЙ системы Вам ,8. Как Pe„,„yera у„рав,,е,™' ,9 Оп»ш„к .ил ч.„от,1в„ харак.ер,,'™™"'""’0^ «да,„а лятором по вектору скорости в диапазоне рабочий упРа£-^ия манипх 20. Как реализовать исполнительную сис 4aCW манипулятором как по скорости, так и по ' П°ЗВОляющ>ю ) Прав.1ять стройка параметров системы при переходе от/-,"0'' Треб>ет« ли под- другому? Ного принципа х правления к 21. Как оценить наибольшую постоянную темы, управляемой по положению в соотр^г/ РеМСНИ испо-1нительной сис- 22. Как исслеловааь У™й™т1W положению (рис.7.14)? ' ои системы-замкнутой по 303
8. МЕТОДЫ ДИНАМИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ МАНИПУЛЯТОРАМИ При выборе управляющих сигналов в главе 4 использовались только кинематические соотношения, далее, в главе 7, проводился ана- лиз кинематического управления с учетом динамики манипулятора. К методам динамического управления обычно относят такие, при которых формирование управляющих сигналов осуществляется с учетом уравнений динамики манипулятора. При этом за счет ус- ложнения управления удается преодолеть негативное влияние нели- нейностей и перекрестных связей, повысить качество процесса управления, обеспечить его устойчивость независимо от конкретной траектории. Такое управление приобретает особенно важное значе- ние для манипуляторов, снабженных высокомоментными безредук- торными электродвигателями, поскольку в этом случае неприемле- мы методы расчета, основанные на разделении каналов управления (см. гл. 7). Динамические методы представляют интерес при управлении крупными манипуляторами, перемещающими значительные инер- ционные нагрузки, например манипуляторами космических станций. Пренебрежение динамикой манипуляционных механизмов в этом случае принципиально не позволяет добиться необходимого качества и точности выполнения операций. Рассматриваемые в данной главе методы целесообразно использовать и при управлении промышлен- ными манипуляторами, занятыми на операциях, связанных с преодо- лением внешних сил, в том числе на операциях сборки и механиче- ской обработки. 304
< / Метаоы. основанные ни решении обратных заоач оинамики 8.1. Методы, основанные на решении обратных задач динамики К обратным задачам динамики относят задачи, связанные с вычис- лением сил и моментов по заданному движению. Этот подход исполь- зуется и в данном случае. Обратимся к уравнению динамики манипулятора в форме Далам- бера (5.52). Будем считать, что известны желаемая траектория движе- ния и соответствующие ей законы изменения обобщенных координат, их скоростей и ускорений q (l), q(t) и qJ(t), полученные в результа- те процедуры планирования траектории Гем. гл. 4). Ограничимся случаем, когда внешние моменты отсутствуют, а внешние силы представлены только силами тяжести звеньев и нагруз- ки. которые заранее известны. Таким образом, уравнение динамики манипулятора запишем в виде (см. § 5.3; A(q)q = f"Aq. q)q B"(q)G . (8.1) Если задано движение манипулятора, т.е. векторы q. q. и q в функции времени, то из этого уравнения можно определить необходи- мые управляющие силы и моменты — вектор р. В этом состоит суще- ство рассматриваемых здесь методов. 8.1.1. Компенсация динамики манипулятора в реальном времени Выберем вектор управляющих сил и моментов, используя формулу М- ~ A(q)q} - q)q - B'tqyG + A(q)[K}(qQ -q) + “?)]’ где 2 = diag kx 2<—матрицы постоянных коэффициентов. Тогда во всех точках траектории, для которых (<?);*О, дви- жение манипулятора будет подчиняться уравнению q-q° ^K^q0-q) + K2(q°-q) (8.3) или дифференциальному уравнению относительно обобщенных коор- дин ат вида q + X2q + Xtq = f(qQ,4°,90), ГД? f(y\q\q0) = Ktq0+K2q0+q° — известная заранее вектор- функция, зависящая от выбора программной траектории. 20— 14ЙЙ
8, Методы Химического управа манипулятора^------------ Нетрудно выбрать такие значения параметров матриц Kt, К2. что- бы решение уравнения (8.3) для каждой степени подвижности манипу- лятора было асимптотически устойчивым. Тогда q(t) ^q (I), т.е. про- цессы в системе стремятся к своим программным значениям. Можно обеспечить и заданные показатели качества переходных процессов. Действительно, для z-й степени подвижности постоянная времени 7" = 1/Ж?, а коэффициент демпфирования =к21/2^к^1 . что позволяет однозначно определить ки, к2^ если заданы требования по времени переходного процесса и показателю колебательности (см. п. 7.2) для /-го канала управления. Поскольку определенная таким об- разом динамическая система состоит из N автономных каналов с же- лаемыми характеристиками, требование к каждому каналу управления нетрудно определить из обобщенных требований, предъявляемых к движению схвата манипулятора (см. п. 7.3). Полностью реализовать управление (8.2) невозможно по ряду при- чин. Прежде всего, для этого потребовалось бы вычислять в реальном времени матрицы о7(^) и S(q, q), которые должны быть точно из- вестны. Практически их можно определить для конкретного манипуля- тора лишь с известной степенью приближения. Вычисление этих мат- риц, к тому же, настолько сложно (см. гл. 5), что это обычно превосходит возможности управляющих устройств. Наконец, для того чтобы скомпенсировать соответствующие слагаемые, зависящие от q и q, их следовало бы вычислить к моменту компенсации, совпадающему с моментом измерения, что невозможно. Тем не менее такое управление в ряде случаев можно рассматри- вать как идеализированную модель, к которой можно приближаться, апример, в тех случаях, когда влияние слагаемых jB(^, q)q, опреде- ляющих относительные и кориолисовы ускорения, значительно мень- ше, чем слагаемых cA(q)q, определяющих силы и моменты инерции, можно положить Ц = of (g)g° - в; (q)G + л(q)[K} (q0 - q) + К2 (qQ - q)]. (8.4) При использовании различных приближенных формул для вычис- ления матриц c4(q), Bv(q) необходимо иметь в виду, что даже не- большие погрешности при расчете управляющих моментов приводят к ыстрому накоплению ошибок. Так, при использовании управления 306
8.1 Методы. основанные на решении обратных задач динамики (8.4) с аппроксимацией 1{q)* Щ). В, (?)« В„ (?) и при условии, что можно пренебречь в уравнении (8.1) слагаемым, зависящим от скоро- сти, вместо (8.3) получаем '/(?)[(? - Ч1) - X, (?° - Я) - К, (ср - g)] + ^(q)q = AB,T(?)G, где Д-//(q) = -/Hq) ~ , ДВ.Т (9) = В,т (q) - Ц (q). Следовательно, погрешность в правой части будет дважды интег- рироваться по времени, что и приведет к накоплению ошибки. 8.1.2. Компенсация динамики программного движения Из уравнения (8.1) следует, что для реализации программного движения необходимо развить в степенях подвижности манипулятора силы (моменты) ц = = ^°q° - tfq* - в; °G, (8.5) где B*=Br(qQ). Непосредственная, без обратной связи реализация такого управ- ления не даст ожидаемого результата, так как незначительные и не- избежные погрешности в вычислении ц приведут в результате ин- тегрирования дифференциального уравнения второго порядка (8.1) к быстрому накоплению ошибок. Программное задание сил по этой при- чине никогда само по себе не приводит к программному изменению координат. Однако и в этом случае можно поступить также, как в и. 8.1,1, выбрав своеобразный моментный регулятор по формуле, ана- логичной (8.2): р = (q° - q) + *2 (4° - tf)] • <8-6) Как и ранее, в данном случае возможны упрощения. Например, пренебрегая вторым слагаемым в правой части выражения (8.5), полу- чаем р =сА q ~BV Ь. Если к тому же можно пренебречь и перекрестными связями, обу- словленными динамикой механизма, то формулы для управляющих сил (или моментов) приобретают особенно простой вид 2°‘ 107
8, Методы ------------ и = <-<’ +к, «1° - +к2< ^'° n “ -15''{q)G Обоснованность тех или иных упрощений можно установить пу- тем предварительного моделирования уравнении движения манипу- ЛЯТОрД. /п гх /О Г\ Реализация управляющих моментов (8.5), (8.6) не представляет трудности в вычислительном отношении, поскольку заранее были рас- считаны все матричные коэффициенты. Однако в этом случае уже не происходит полной компенсации динамики манипуляционного меха- низма и вместо уравнения (8.3) получим нелинейное уравнение вида A (q)q - -J (q° )q° =J3(q, q')q-£(.q<>, q° )q° + (В? (q) - В? (q° ))G + + ^(g0)[^(?°-?) +^2 (?“-?)]• (8.7) Обозначая kq = qQ -q. ^q = q° -q, получаем отсюда дифферен- циальное уравнение в отклонениях от программного движения: <Яд° +&q)(q° +^q)-.~4(q°)q° = £(q° +&q, q° + Aq)(q° + Aq)~ - J8(g°, 4 V + (5J(g° + Ag) - В,)(q°))G + c4($° )(K, Д<7 + K2Ag). (8.8) Нетрудно видеть, что это нелинейное дифференциальное уравне- ние имеет тривиальное решение \q = Aq = Ag = 0 . Если это решение асимптотически устойчиво, то асимптотически устойчиво и решение g (/) уравнения (8.7), т.е. программное движение, реализуемое с по- мощью выбранного управления. Для того чтобы исследовать устойчивость тривиального решения уравнения (8.8), выполним его линеаризацию в окрестности этого ре- шения. Сохраняя принятые в § 7.1 обозначения, получим )*q + Jtf)bq = (q°,q°)&q + (9о; • о )д + д. ((?> ?й} д? + + V, g°)Ag W(g° )(К, Ад + К2Дд), систем7непНОе „ДИФФеРенциальное уравнение второго порядка (или систему нелинейных дифференциальных уравнений порядка 2N) вида с4(9°)Д? + M(g°,q°)^q + N(.qQ,qa, G)bq = 0, (8.9) где У^’’°) = -^(<70!д0) + о?(д“)^+^(д°>до)ДдЬ (« , g , G) _ -[a;(g“ > +)++ тпивияпии °^Разом’ заДача сводится к исследованию устойчивости ого решения Дд = 0 линейного матричного уравнения с пе- 308
8.1. Матовы, основанные на решении обратных швач виналшки ременными коэффициентами (8.9). В частости. в окрестности отдель- ных точек траектории, например конечной се точки, устойчивость оп- ределяется расположением корней характеристического сравнения det( 7 7. + М Z + А ) — 0. (8 10) Если для всех корней л, этого уравнения выполняется условие ReZ,<0, то отклонения, обусловленные неточностью компенсации динамических составляющих, стремятся к нулю с течением времени. Итак, в случае использования приближенных формул (8.5). (8.6) для вычисления управляющих сил и моментов, необходимо убедиться в устойчивости получаемой при этом системы. 8.1.3. Проблема реализуемости Обратим теперь внимание на то, что представленные в п. 8.1.1 и 8.1.2 способы управления основаны на непосредственном формирова- нии управляющих сил и моментов согласно одному из рассмотренных законов. Это возможно, например, при использовании высокомомент- ных безредукторных электродвигателей «прямого управления» (о ко- торых упоминалось в гл. 5) или электрогидравлического привода. В настоящее время манипуляторы чаще всего оснащают высокооборот- ными электродвигателями с редуктором. В связи с этим возникает проблема формирования управляющих сигналов g(t) приводов, обес- печивающих заданный закон изменения управляющих сил и моментов р(0 . Если, речь идет о приводах, замкнутых по положению, что харак- терно для промышленных роботов с контурным управлением, то связь между £(/) и р(7) определяется уравнениями (7.14 ), из которых сле- дует g(f) = Ир (р)ц(Г) + (Е + Ир (р)И7д (p))q. (8.11) где ^(р), W\(p) —диагональные матрицы передаточных функций. Из последнего уравнения видно, что задачу7 определения g(t) по виду ц(/) можно в общем случае решить только приближенно, так как порядок числителя W 4 (р) может быть выше порядка знаменателя, т.е. нарушается условие физической реализуемости. В соответствии с уравнением (8.11) управляющий сигнал g(t) мож- но получить, решив в реальном времени дифференциальное уравнение 309
8, Методыди^^^^ ------------ ч (P)g(t) = W) + (Ч + м< ’ (8-12) В котором вектор управляющих сил и моментов И(/) вычислен по формулам (8.2) или (8.6) (в обозначениях § 7Л). В частности, используя последнюю формулу для определения p(Z), получаем mz =w)(ii° (о+да i(?° (о - жб)+ + Х'2(?° (О - 4(f)) + (*Л (р) + Мч (P))4(t) ’ MI: (p)g - (Mz (р) + мч (р) - М»ст?° (£, + K2p))q + + Лг(р)(ц°+^°(^(> + /Г2ф0)). (8.13) Если предположить, что программное движение реализуется точно и q~qQ, то соответствующий управляющий сигнал g°(0 будет удов- летворять дифференциальному уравнению MAp)ga (') = W>° (0 + (Ме (р)+м ч (р))?° (О, (8.14) которое может быть решено предварительно. Полагая g(f) = g(7) - gQ (/), получаем для g(t) + Ki~ 4)) + (A/e(p) + M4 (p))(? - q*), или, переходя к передаточным функциям, - (^Е(р) + Wq(p))]&q(t) + . (8.15) Таким образом, задачу вычисления корректирующей части g(f) управляющего воздействия можно свести к двум задачам, решаемым одновременно. Первая это вычисление правой части уравнения Ф /), для которой можно найти интегральный оператор вида Ф(0 - . f li (8.16) рая решение интегрального уравнения Вольтерра первого рода, соответствующего (8.15) дая g(t): -t)g(T)tft = Ф(/), (8.17) 310
где - L ^c(p)f Как известно, численное решение уравнения (8.17) связано с труд- ностями, обусловленными некорректностью этой задачи в смысле Тихонова*. Применяя методы регуляризации, можно приближенно ре- шить и эту задачу. 8.1.4. Обобщенный моментный регулятор Трудности реализации моментного управления с помощью обыч- ной исполнительной системы (см. п. 8.1.3) связаны с тем, что при вы- боре моментного регулятора в виде (8.2) или (8.5) не были учтены воз- можности исполнительной системы. В результате, помимо решения обратной задачи динамики для механизма манипулятора, возникла еще одна обратная задача динамики для исполнительной системы. Пробле- му можно существенно упростить, рассматривая более общую, по сравнению с (8.3), модель системы, которая должна быть получена в результате синтеза. Взяв за основу задание вектора управляющих сил и моментов в виде (8.6), полагаем р = ц0+^Х(/>)Д?, (8-18) где (р) — диагональная передаточная матрица. В частности, при ^ц(р) = получим прежнее соотношение (8.6). В общем слу- чае компоненты W (р) являются дробно-рациональными функциями оператора р\ д;, (р) Подставляя формулу (8.18) в уравнение исполнительной системы (8.12), имеем = М»ц° + N(p)^W»(p)&q + (Mz(p) + Mq(p))q. Определяя программную часть управления по-прежнему по формуле (8.14), получаем для корректирующей его части вместо (8.15) следующее соотношение: * См.: Тихонова. Н Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 288 с. зп
Wc{p)~g = ИХ(Р)- ' ^,(1^4 (8.19) Очевидно, что выбирая в выражении ^.(р) порядок полинома N (?) не ниже, чем порядок W), а порядок М, (р) - не выше, чем порядок М(рУ получаем физически реализуемый оператор, связы- вающий управляющий сигнал >(/) с отклонением Д?(/). Например, выбирая ~ N(р), имеем g(t) = (м;'(p)N(p)Ja(f)N''(р)4(Р) - Е - м;'(Р)МЧ(p))bq(t) (8.20) Подставляя вектор сил и моментов (8.18) в уравнение динамики механизма (8.1), получаем с учетом (8.5) (q)q - (? °)?° = Ж<7> я)? - Дя ° Л °)?° + + (В; (?) - В; (?° ))G + о4(?° )^ (р)(?° - q) . Если предположить, что в малой окрестности опорного движения d#(?)*cZ?(?°), В,т (?) ~ BJ(?°) и пренебречь слагаемым, содержащим й, то вместо (8.3) получим уравнение следующего вида: Я-q^W^P^-q), или (ЛЦр)р2 + = 0. (8.21) Это уравнение обобщает (8.3). Оно определяет желаемые процессы в каждом из каналов управления. Параметры этих процессов и их устой- чивость определяются корнями характеристических уравнений +Мм/(Х) = 0, /=1, 2, (8.22) В частности, полагая (р) = N{p} , получаем ^,(W +Л1и,.(М = 0, /=1, 2, ..., N. (8.23) Необходимое размещение корней на комплексной плоскости мож- еспечить путем выбора параметров полинома Л/Ц/.(Х). Итак, мы избавились от необходимости решать обратную задачу д намики для исполнительной системы ценой возможного ухудшения честна системы, получаемой в результате синтеза. Это связано с тем, возможности коррекции положения корней характеристического уравнения ( .23) ограничены и существенно зависят от свойств испол- 312
*2. Лек ом пази ция у пр явлен ия нительной системы. Выбор того или иного способа коррекции, наибо лее приемлемою для конкретного случая. — это вопрос опыта и уме ния разработчика. 8.2. Декомпозиция управления 8.2.1. Декомпозиция уравнений динамики манипуляционного механизма Под декомпозицией системы управления обычно подразумевают ее разделение на ряд более простых подсистем, каждой из которых можно управлять по отдельности. Для систем управления манипулято- рами декомпозицию можно осуществить путем компенсации перекре- стных связей между каналами управления, порожденных динамикой манипуляционного механизма. Эти связи исследовались в гл. 7. причем гипотеза о том. что их влияние несущественно в рабочем диапазоне частот, была положена в основу рассмотренной в этой главе методики синтеза манипуляцион- ной системы. В общем случае эта гипотеза не выполняется, в особен- ности для крупных манипуляционных конструкций большой грузо- подъемности. Поэтому возникает проблема компенсации перекрестных связей путем специального формирования управляющих сигналов. Наиболее просто эта задача решается в случае, когда в уравнении (8.1) можно пренебречь слагаемыми, нелинейно зависящими от скорости (центробежными и кориолисовыми силами), т.е. это уравнение можно представить в виде c.V(q)q = 5,т (q)G + ц - (8.24) Выберем вектор сил и моментов следующим образом: ti = -B;(q)G + ^(q)/t;’(q)n, (8.25) где A,,(q) = diag[А},(q) A22(q) ... Лл,л.(?)] — матрица, состоящая из диагональных членов матрицы с??(q); тогда вместо уравнения (8.24) получим систему из W уравнений второ- го порядка An(q)q, =ц,, г = 1, 2, ..., jV. (8.26) 313
8. Методы динамического управления манипуляторами Воспользуемся уравнениями приводов (8.12), которые запишем в виде 7V((p)p, =A/,c(p)£, ~ Мiq^P'Qi ' (8.27) где е = -<7, — сигналы ошибки. Подставляя в эти уравнения значения ц, из (8.26), получим систе му уравнений, определяющих движение N независимых подсистем: М iPUn ^)p24i = Л/,.Е(р)е,- - М,ч (p)q,, ИЛИ W(p)4,(?)r + a<e(p) + m^pM =м,Е(Ж,- (8-28) Каждый из каналов управления, описываемых нелинейным урав- нением вида (8.28), теперь может быть синтезирован по отдельности в соответствии с предъявляемыми требованиями. Поскольку в этой главе рассматривается управление вдоль про- граммных движений ?°(/), выбранных заранее, матрицу Ad(q) также можно заранее рассчитать на программном движении: A® = Ad(q°). Полагая, что эта матрица незначительно изменяется в малой окрестно- сти опорного движения, можно записать уравнение в отклонениях от опорного движения, аналогичное (8.27), но линейное: (ВДЛ(?°('))р2 + MfE(p) + M„(p))?,.=Mit(p)gr (8-29) Таким образом, система разделена на N независимых линейных подсистем и синтез ее сводится к синтезу каждой из подсистем. По- следнюю задачу решают путем выбора операторов М/Е(р), с помощью введения корректирующих устройств или путем изменения коэффициентов регуляторов, исходя из условий устойчивости и тре- буемого качества процесса управления в каждой из подсистем по от- дельности (см. гл. 7). При этом обычно используют метод заморожен- ных параметров, т.е. задачу решают для фиксированных значений An(q ) в предположении, что элементы матрицы Л(/(^°) изменяются существенно медленнее, чем процессы управления в приводах. Обычно удается выбрать постоянные параметры регулятора, обеспечивающие устойчивость и удовлетворительное качество системы «в среднем» вдоль всей траектории (см. § 73). 314
8.2 Декомпозиция управления 8.2.2. Декомпозиция управляющих сигналов Реализация подхода, рассмотренного в п. 8.2.1, предполагает как возможность прямого управления вектором управляющих сил и мо- ментов в соответствии с уравнением (8.25), так и задание управляющего сигнала g(t) в соответствии с (8.28), обеспечивающего движение по программной траектории. Как уже отмечалось ранее, в §8.1, такое управление недостижимо, если только не используется специальный привод, обеспечивающий прямое управление моментом. В обычных манипуляционных системах компенсация недиагональных состав- ляющих в уравнении (8.24) должна выполняться путем специального формирования управляющих сигналов g, в которых можно выделить две части: сигнал динамической коррекции gd и сигнал локального управления g} , под которым подразумевают вектор сигналов управле- ния отдельными каналами в предположении об их декомпозиции: g = g} + gd .Сигнал gd должен обеспечить динамическую декомпози- цию каналов. При этом система локального управления по-прежнему описывается уравнением (8.28), т.е. (N(p)Ad(q)p2 +Myp) + Mg(p))q = M^p)gL. (8.30) Динамическая коррекция может быть определена из уравнения ди- намики исполнительной системы в общем виде. Подставляя в уравне- ние, связывающее вектор сил и моментов р с вектором обобщенных координат q (8.11), выражение вектора ц из уравнения динамики ме- ханизма (8.24), получаем N{p){dl(q)q - В; (q)G) = Мс (p)(gL + gd)~ (Мг (р) + Mq (p))q. (8.31) С учетом выражения (8.30), определяющего локальное управление gL, запишем следующее уравнение для составляющей gd: ЛЧр)(М(?) - 4 (?))? - в: (q)G) = Mt (p)gd, или W)((c/f(?)47' (?) - E)Ad (?))? - в; (q)G) = (p)gd. (8.32) В последнем уравнении матрица eA(q)Ad (д) —Е характеризует перекрестные связи, обусловленные динамикой манипуляционного механизма. Уравнение (8.32) определяет сигнал динамической коррек- ции с учетом динамики исполнительной системы. 315
8. Методы динамического управления манипуляторами-_ В частности, в окрестности программного движения, обозначая как и выше -Л(,‘)= Л(?°) = Я«, 5;(?) = ВГ. подучаем Мр)((^°(4)'' - " 5°TG)=• (833) Поскольку процессы изменения во времени переменных матриц Л°(/) (t) как правило, намного медленнее, чем процессы, обусловленные динамикой приводов, последней часто можно пренеб- речь при вычислении динамической коррекции. В этом случае Лг(р)*£, Л/£(р) - = const и в соответствии с уравнением (8.33) найдем gd -E)A°g~B^G). (8.34) Недостатком выбора динамической коррекции в форме (8.34) яв- ляется чувствительность метода к ошибкам реализации. Поскольку матричные коэффициенты в правой части (8.34), реализуемые в систе- ме управления, будут отличаться от фактических, компенсация левой части уравнения (8.33) произойдет не полностью. В результате полу- чим уравнение второго порядка (если пренебречь, как мы условились, динамикой привода) относительно д, решение которого g(t) может возрастать во времени. Действительно, если обозначить для краткости ad = (Л°(А°)~1 - - E)Ad, ad — приближенную реализацию этой матрицы, &ad = ad - ~cid ~ погрешность реализации ad ; аналогично Д# = g - g — по- грешность реализации вектора статической нагрузки g~B°JG то, подставляя фактически вычисленное в соответствии с (8.34) значение в (8.33), получаем при сделанных предположениях = &g, или решение этого что приводит к носят Да(УД£ +Да(/д0 = Ag, где Д£ = 7-£°. При ненулевых начальных условиях уравнения является возрастающей функцией времени, накоплению ошибки. Значения коэффициентов матрицы Да случайный характер как по величине, так и по знаку, что позволяет надеяться на взаимную компенсацию ошибок во времени. Эту ошибку е удается ликвидировать за счет корректирующих связей самих при- 316
8.2. Декомпозиция управления вОдов в уравнении (8.30). поскольку это уравнение характеризует про- цессы в отдельных каналах управления, а ошибки в соответствии с выбором gd в виде (8.34) накапливаются в перекрестных связях. Та- ким образом, влияние перекрестных связей может возрастать со вре- менем функционирования системы. Заметим, что погрешность будет накапливаться значительно быст- рее, если вместо коррекции в форме (8.34) выбрать программную ди- намическую коррекцию, заранее рассчитанную по формуле В этом случае выражение (8.35) будет иметь вид а(/Д<7 +Aayg° = Ag. т.е. погрешность в этом случае накапливается даже при d —> 0 . Другим источником погрешности является сделанное допущение о том, что при выборе gd можно пренебречь динамикой приводов. Для того чтобы оценить его обоснованность, рассмотрим фактическое уравнение системы при коррекции вида (8.34). Предполагая при этом, что матричные коэффициенты в выражении gd реализованы точно в соответствии с уравнением (8.33), получаем (JV(p) - K;'MZ (р))(Л°(А°) ' - Е)A*q = B°TG(E - Mz (р)К^). Это уравнение определяет закон изменения погрешности, обуслов- ленной тем, что не учитывалась динамика привода. Устойчивость три- виального решения этого уравнения определяется корнями характери- стического уравнения среди которых имеется нулевой корень, и, следовательно, „ устойчивости. Это, как и в пре лучшем случае находится на границе у ошибок в лаг'ття гтпиволит к накоплению ошиоок в дыдущем случае, практически всегда пр процессе работы системы. лттлттяв тпч- Учесть динамику приводов, непосредственно определяя более точ ное значение gd из уравнения (8.33), невозможно, вследствие того, что передаточная матрица N(p)Mz(p) не удовлетворяет условЮ) ской реализуемости. Однако можно попробовать найти при лиже решение задачи, учитывающее динамику приводов, используя тот 317
---------- „КИПР В 6 8 1. в этом случае коррек- ”РИ“' 7Z“ а “рXZХорального и— -Г»«- Р«Д» ция gj ищется лап н /(| где <pt(z) = ^-'{^-'(pWCp)} , а ^0(Z) — значение динамической коррекции, определяемое по фор- муле (8.34). Это уравнение может быть решено только приближенно. К тому же его необходимо решать в реальном масштабе времени в зависимости от значений g^(/), вычисляемых согласно (8.34). Из сказанного следует, что декомпозиция системы управления пу- тем компенсации динамических связей связана с преодолением значи- тельных трудностей, характер которых зависит от конкретной системы управления. 8.3. Силовая обратная связь Одним из основных способов практической реализации методов динамического управления является силовая обратная связь. Ее реали- зуют с помощью датчиков сил и моментов^ которые устанавливают либо в степенях подвижности манипулятора, либо в его «запястье», т.е. в сочленении захвата с основной конструкцией механической руки. В последнее время разрабатывают более сложные конструкции схватов, имеющих три и более «пальцев», которые также оснащают датчиками сил. Сигналы с датчиков обратных связей используются для формиро- вания корректирующих сигналов с учетом моментов, действующих на манипулятор. Использование датчиков моментов, расположенных в шарнирных степенях подвижности манипулятора, позволяет решить задачи дина- мической коррекции и декомпозиции (см. § 8.1 и 8.2). С помощью датчиков сил и моментов, сосредоточенных в «запя- стье» манипулятора, измеряют вектор сил и моментов, действующих со стороны нагрузки, например при выполнении механической работы. Такие датчики обычно используют для управления манипуляторами, 318
8.3. Силовая обратная связь предназначенными для операций сборки, механической обработки и т.д. Конструкция зрехкомпонентного датчика сил показана на рис. 8.1. Датчик содержи ! ряд тензометрических элементов, которые при малой деформации конструкции под действием внешних сил позволяют из- мерять трехкомпонентный вектор сил F ~(F} F. F-) в декартовой системе координат, связанной с основанием датчика. Датчик может содержать встроенный микропроцессор, который выполняет обработку тензометрических сигналов и осуществляет обмен информацией с управляющей системой. Рис. 8.1. Конструкция трех компонентного силомоментного датчика. / Л у пругие элементы. /_/2 — чувствительные элементы (тензорезисгоры) Технические характеристики шестикомпонентного датчика, изме- ряющего векторы сил и моментов, можно найти в [40]. Рассматриваемый датчик относится к числу пассивных устройств, т.е. предполагается, что коррекция движения по измеренным датчиком силам осуществляется за счет движений манипулятора в его степенях подвижности. Иногда, например при прецизионной сборке, точность, обеспечиваемая манипулятором, оказывается недостаточной. Тогда применяют специальные активные модули, которые содержат как си- ломоментный датчик, так и систему приводов, обеспечивающих точ- ное позиционирование, либо точную ориентацию схвата. Применение схвата с активными пальцами является развитием подхода, прибли- жающего возможности схвата к возможностям кисти человеческой руки. 319
S, Методы динамического управления манипуляторами Таким образом, способы организации силовой обратной связи раз- личны — они зависят от конкретных задач, выполняемых роботом. Это предполагает и различные способы управления роботом с силовой обратной связью. Рассмотрим две основные группы таких способов. 8.3.1. Силовая обратная связь в соединениях манипулятора В данном случае датчики сил или моментов, в зависимости от типа кинематической пары, устанавливают в соединениях манипулятора. Таким образом, с их помощью измеряют вектор сил и моментов р, развиваемых в его степенях подвижности. Если предположить, что измерения идеальны, то их результатом является вектор рд, равный в соответствии с уравнениями (8.1) цд = q)q - 5; (?)G. (8.37) Поскольку этот вектор содержит полную информацию о динами- ческих и статических силах и моментах, действующих на манипулятор в процессе его движения, его целесообразно использовать для форми- рования управляющего сигнала с целью компенсации динамических эффектов и декомпозиции задачи управления. Рассмотрим, например, управление (8.2), обеспечивающее полную декомпозицию задачи. Сопоставляя это выражение с формулой (8.37), можно заключить, что при наличии силовой обратной связи можно положить Н = Цд + К} Ад + K2&q + &q, (8.38) где &q = qG-q, &q = qQ-q- Подставляя (8.38) в уравнение динамики механизма (8.1), по-прежнему получаем (при det d(q) ф 0) уравнение (8.3), описывающее систему, т.е. Ag + ^2Ag + ^Ag = 0. При соответствующем выборе параметров матриц и К2, будем меть асимптотически устойчивое программное движение q°(t). Об- ратная связь по второй производной q здесь необязательна; можно ыбрать |1-рд + K}Aq + K2&q, что приведет к системе K2&q + K}kq = Q, которая также асимптотически метрах матриц Кх и К2. устойчива при положительных пара- 320
8.3. Силовая обратная связь Нетрудно, используя силовую обратную связь, решить и задачу де- композиции управления (см. § 8.2). В этом случае следует положить в качестве управляющего сигнала М = "Л(?)<? +р, (8.39) где ц, как и в (8.25), означает вектор сил и моментов, развиваемый приводами локальной системы управления, a Ad(q) — матрица, со- стоящая из диагональных членов матрицы d(q) (см. § 8.2). Согласно уравнению динамики (8.1) и соотношению (8.37), в этом случае систе- ма описывается уравнением (8.26) т.е. обеспечена декомпозиция многосвязной системы на локальные подсистемы. Выбирая, например, И = А/(^)4Г° + K^q + K2kq, (8.40) получаем уравнение системы, состоящей из отдельных подсистем: Ad(q)Aq + K2kq + K}Aq = 0 . Полагая в окрестности опорной траектории Ad(q) ~ Ad(qQ ), нахо- дим систему из 2А линейных уравнений второго порядка с перемен- ными коэффициентами. Асимптотическая устойчивость решения обес- печивается выбором параметрических матриц и К2. Заметим, что в выражениях (8.39), (8.40) можно выбрать вместо Ad(qQ) постоянную матрицу Ad, совпадающую с Ad(q ) в одной из точек программной траектории, или даже произвольную диагональную матрицу постоянных коэффициентов Ad. В последнем случае эти коэффициенты должны обеспечивать асимптотическую устойчивость и необходимое качество переходных процессов в системе Л^ + ^А^.А^О. Аналогично решается и задача декомпозиции для исполнительной системы. Выбирая, как ив § 8.2, управление приводами исполнитель- ной системы в виде суммы локальной и динамической составляющих, положим, что локальная составляющая gL обеспечивает движение отдельно рассматриваемых приводов в соответствии с уравнением 21— 1488 за
------------ i<n 68 11) уравнение для динамической коррекции (8 30). С учетом (о.ЗУ), V0-1 */ е-лр“е”ил = <*«>) „ри определении г„ можно пренебречь n—кой привода, кроме «го, можно положить Д,«) « ™ « динамической коррекции приобретет вид Sd ~ (Ид _ ’ (8.42) где _ диагональная матрица коэффициентов. Сравнивая выражения (8.34) и (8.42), можно заметить, что в по- следнем случае вычисляются только диагональные члены матрицы с4°, а в первом — вся матрица. Заметим, что при динамической коррекции в (8.41), (8.42) вместо А®. как и выше, может быть выбрана любая диагональная матрица с постоянными коэффициентами: А%=А% Единственное требование, предъявляемое к ней, — обеспечение устойчивости и необходимого качества процессов в системе локального управления, которая описы- вается уравнением, аналогичным (8.30), но с постоянными коэффи- циентами: (ВД4°р2 + (р) + (p))q = Мг {p)gL. (8.43) Таким образом, используя силовую обратную связь, действительно можно решить те задачи, о которых шла речь в § 8.1 и 8.2. Принци- пиальное отличие рассматриваемого способа управления состоит в том, что не требуется вычислять в реальном времени матричные коэф- фициенты в правой части выражений (8.2), (8.4), (8.34), так как сигнал И, снимается с датчиков. Поэтому отпадает одна из основных проблем динамической коррекции, связанная с неточностью динамической мо- дели исполнительного механизма (8.1). Это касается как структуры динамической модели, так и значений ее параметров, которые на прак- тике всегда известны лишь приблизительно. Еще одна задача, для которой может эффективно использоваться силовая обратная связь, — это задача отработки наряду с заданной программой движения и заданного закона изменения сил (моментов), приложенных со стороны схвата к инструменту, или к объекту мани- пулирования. Характерным примером является задача механической 322
8 3. Силовая обратная связь обработки поверхности с помощью инструмента, закрепленного на конце манипулятора, например операции шлифовки или обдирки сложной поверхности. Если F°(/) — закон изменения вектора сил вдоль заданной траек- тории, то закон изменения соответствующих моментов в степенях под- вижности манипулятора характеризуется формулой А О о о Р =Ц +М°, (8.44) где ц° -— программное изменение моментов вдоль траектории, вы- числяемое по (8.5), а — составляющая, обусловленная вектором сил F0: р* =JV)F°. (8.45) Используем динамическую коррекцию для декомпозиции системы, выбрав на этот раз g.j -Aodq + po). (8.46) Тогда для локальной составляющей gL вместо уравнения (8.43) получим Это уравнение соответствует полученной в результате декомпози- ции системе из N независимых каналов управления, входным сигналом для которых является вектор локального управления gL. & нагрузкой программное изменение р°. Поскольку вектор Д1 определен заранее, можно обычным путем исследовать ошибку, обусловленную нагрузкой и, при необходимости, ввести дополнительную коррекцию в приводы каналов управления. В соответствии с (8.47) передаточную матрицу по возмущению определяют следующим образом: И7,, (р) = [ЛЧр)4?Р2 + М6(р) + М/р)]'1 N(p). (8.48) Отклонение (7) вектора q(f), вызванное нагрузкой , можно опре- делить так: = Х(/ -т)р°(т)Л, (8.49) /(1 где 21* 323
8. Методы ^»ического управления манипуляторами ^(0 = ^' Методы введения коррекции, обеспечивающие уменьшение мо- ментной ошибки, хорошо известны, и мы не будем здесь на них оста- навливаться. Отметим, что в данном случае возмущение поддается предварительному расчету. Следовательно, можно выполнить коррек- цию и за счет программного изменения управляющего сигнала. Поло- жим в выражении (8.49) g, = g’L + g”., где g[ определяется програм- мой движения, a g" заранее вычисляют из соотношения Mc(p)g". =^(p)i*°- (8.50) Тогда для g', уравнение приводов по-прежнему определяется форму- лой (8.43), а введение g” позволяет полностью компенсировать про- граммную нагрузку . Практически речь может идти только о прибли- женной реализации, как в случае вычислений по формуле (8.50), так и за счет других допущений, уже обсуждавшихся выше. 8.3.2. Силовая обратная связь на схвате Под этим названием мы понимаем организацию силовой обратной связи в «запястье» манипулятора с помощью многокомпонентного си- ломоментного датчика, позволяющего измерить в общем случае шес- тикомпонентный вектор сил Fj и моментов Мf, приложенных к схвату или инструменту, закрепленному на манипуляторе, со стороны объекта И Датчик сил и моментов Рис, 8.2. Многомоментный датчик сил и моментов в запястье манипу- лятора Mi работ (рис. 8.2). Такой способ наиболее эффективен для выполнения механических операций с помощью манипулятора. Если предполо- жить известным закон изменения сил, ко- торый должен быть приложен со стороны манипулятора к нагрузке F°(/), то изме- ряя фактическое значение Рд(/), можно вычислить управляющие моменты в сте- пенях подвижности манипулятора, орга- низуя обратную силовую связь. Выясним вначале, что же измеряет датчик сил и моментов на схвате. 324
&3. Силовая обрати и ая связь Представим себе, что схват вместе с нагрузкой отделен от ос- тальной конструкции манипулятора плоскостью, в которой произво- дят измерение сил датчиком. Оставшаяся часть механизма движется в соответствии с уравнением вида (8.1) под действием управляющих сил и моментов, а также вектора сил и моментов реакции отброшен- ной части Л Л,: J(q)q = fi(q, q)q + В,т (q)G + ц + Jr(q)TK„. (8.51) Отличие этого уравнения от (8.1) заключается в том, что измене- ние линейных размеров и масс-инерционных характеристик последне- го звена привело к изменению матричных коэффициентов Л, /3, В,т а также вектора G . Схват с нагрузкой при этом продолжает двигаться как свободное твердое тело в соответствии с уравнением Mr = Fc-FRN. (8.52) где FB — вектор внешних сил и моментов, приведенных к центру масс твердого тела, образованного Л’-м звеном (схватом) и нагрузкой (инст- рументом), а М—масса этого тела. Датчик сил и моментов измеряет вектор ТЯЛ. т-е-> с °Дн°й сторо- ны, вектор измеряемых сил и моментов F =F -Mr. (8.53) Д * а с другой —вектор динамических сил, обусловленных движением ме- ханизма: <Гд Ж Я)Ч - в;(q)G - ц). (8.54) Отсюда следует, что информация, полученная с датчика сил и мо- ментов на схвате, может быть использована как для измерения внеш- них сил и соответствующей коррекции движения манипулятора, так и для коррекции динамики движения полезной нагрузки. В последнем случае введение силовой обратной связи аналогично рассмотренному в п. 83.1. Пусть, в частности, внешние силы отсутствуют и задача состоит в перемещении Л^-го звена по заданной траектории г (/) с заданными скоростью Г°(0 и ускорением Согласно соотно fi ениям, рас- г°(/). смотренным в главе 3, нетрудно определить соответствующие векторы обобщенных координат ^°(0> 9 (0> а также программный век*
8. Методы ^-^ического управления манипуляторами---------- топ F* сил, под действием которого объект совершает программное 1 мр движение: F0 =Л/г0. (8.55) Если, в частности, динамикой звеньев манипулятора можно пре- небречь по сравнению с динамикой нагрузки, то из формулы (8.51) следует, что для реализации такого движения нужно выбрать вектор управляющих сил и моментов в виде p = j:(q)F0-B;(q)G. (8.56) Такое предположение справедливо, например, для космических манипуляторов, перемещающих большие инерционные массы, значи- тельно превышающие массу самого манипулятора. В последнем случае пропадает и второе слагаемое в правой части (8.56), обусловленное гравитационными силами в (8.51). Если же динамикой манипуляционного механизма пренебречь нельзя, то следует положить Н = j; (q)FQ - 3l(q)q - q)q - 5J (?)G , (8.57) что требует вычисления в реальном времени матричных коэффициен- тов уравнения динамики, как и при решении задачи компенсации ди- намики в п. 8.1.1. Вместо этого в данном случае можно применить си- ловую обратную связь на схвате. Для того чтобы соблюдалось уравнение (8.55), нужно предположить, что механизм движется под действием сил F , т.е. выполняется уравнение Ш q)q + в; (q)G + J J (q)F°, и, следовательно, датчик измеряет вектор = Uv (</)) 1 №(q)q - S(q, q)q - Щ (q)G). Выберем Н = +^д). (8.58) уппярпа выРажение совпадает с (8.57) и, значит, определяет искомое ° СЙЛ°В0Й °браТН0Й связыо> обеспечивающее движение нагрузки в соответствии с уравнением (8.55). начительно чаще, однако, силовую обратную связь на схвате ис- льзуют для коррекции движения по измеренным внешним силам, ценку последних можно получить, используя выражение (8.53), в дс 326
8.3. С иловая обратная связь причем ускорение г можно вычислить в реальном времени по ускоре- ниям обобщенных координат q. Во многих случаях это ускорение не- велико и слагаемым М г можно пренебречь или же рассчитать его за- ранее для программного движения как МrQ. При этом, измеряя силы и моменты, обычно управляют обобщен- ными координатами и их производными, что более реально при ис- пользовании современных промышленных робототехнических систем, чем прямое управление моментами, как в случае (8.58). Так, при механической обработке (зачистке поверхности) регули- руют силу резания за счет изменения скорости движения инструмента по контуру. Эта скорость выбирается в функции от желаемого значе- ния силы резания F0 и фактически измеряемого датчиком силы зна- чения F: v = f(F°, FJ . Вектор-функцию f выбирают таким образом, чтобы обеспечива- лось заданное качество технологического процесса. Например, при возрастании фактической силы F. в частности вследствие неровно- стей обрабатываемой поверхности, скорость v должна уменьшаться. При сборке двух деталей информация о силах и моментах реакции используется для коррекции положения и ориентации детали, удержи- ваемой в схвате манипулятора. В этом случае применяют способ си- туационного управления. Он состоит в том, что по данным, получае- мым датчиком, анализируют текущую ситуацию и принимают решение о дальнейшей коррекции. Например, при введении вала в от- верстие возникшее касание кромки вала и внутренней поверхности отверстия приводит к появлению силы реакции FR и момента реакции МR (рис. 8.3, и), действующих на вал помимо силы FM, приложенной со стороны манипулятора, и измеряемых датчиком. Возникнове- ние двухточечного контакта (рис. 8.3, б) приводит к изменению величины и на- правления этих векторов. Отметим, что Рис. 8.3. Ситуации, возникающие при введении вала в отверстие: а — одно- точечный контакт; б — двухточечный контакт 327
8, Методы динамического управления манипуляторами---- измерения в отдельные моменты времени не позволяют определить ситуацию однозначно. Однако, наблюдая их эволюцию во времени или проводя специальные тестовые движения, можно определить ситуа- цию. После этого принимают решение, соответствующее данной си- туации. Например, в случае, показанном на рис. 8.3, а, вырабатывается корректирующий момент, поворачивающий деталь относительно оси, приходящей через точку контакта. Поскольку для каждой сборки мож- но заранее предусмотреть все возможные характерные ситуации и не- обходимые коррекции, то заранее определяется и система правил продукций вида kr = fx (S), где S — ситуация, а Аг — необходимая коррекция положения и ориентации. Вместо управления положением в данном случае, так же как и в предыдущем, может использоваться управление по скорости: г = /,,(5), что позволяет ускорить процедуру сборки, но значительно повышает требования к быстродействию вычислительной системы, обеспечивающей анализ ситуации, принятие решений и обмен ин- формацией. Таким образом, при автоматизации сборочных операций силовую обратную связь используют в логической системе принятия решений. При этом сама система управления становится дискретной во времени. 83.3. Проблема устойчивости при силовой обратной связи Основным предположением, которое было сделано в п. 8.3.1, 8.3.2, являлось предположение об абсолютной жесткости (недеформируе- мости) датчиков сил и моментов. Это предположение, однако, можно справедливым лишь с известной степенью приближения, так сама процедура измерения сил и моментов предполагает податли- атчика. Рассмотрим вначале этот вопрос для случая, когда дат- (смКЙпМ8°3 1Г расположены в степенях подвижности манипулятора Если q. уГ0Л поворота вала механизма передачи движения (ре- ДУ т°ра), a фактический угол поворота в соответствующем «сус- измеряемый датчиком, пропорционален разности и углами, т.е. углу скручивания конструкции датчика: -^f), (8.59) 328
___________________Силовая обратная связь где <, -- коэффициенз жесткости датчика. Здесь мы пренебрегаем слагаемым, зависящим от скорости скручивания, т.е. коэффициентом вязкости, который также следует учитывать при построении более точных моделей. Обратимся к уравнению привода (7.6) степени подвижности робо- та, рассмотренному в § 7.1. Теперь оно примет вид = ML(p)z-M4{p)q . (8.60) Если считать, что измерение обобщенных координат и их произ- водных проводится на валу нагрузки (а не на валу редуктора), то здесь по-прежнему 8 = g - q Порядок системы дифференциальных уравне- ний относительно переменной q определяется видом полинома М' (р) (см. § 7.1) и зависит от подробности описания двигателя, учета потерь на деформацию вала нагрузки и от применяемых корректи- рующих устройств. К уравнению (8.60) необходимо добавить уравне- ние динамики механизма (8.1), записанное относительно переменных q, и уравнение (8.59), связывающее q и q : р = К2 (q - q). Обратим внимание на то, что порядок полученной системы диф- ференциальных уравнений выше, чем в том случае, когда датчик счи- тался жестким, так как появилось N новых переменных q (если в каж- дой из степеней подвижности установлен датчик моментов). Совокупность написанных уравнений характеризует сложную динамическую систему с упругим элементом, охваченным обратной связью. Для того чтобы убедиться в ее работоспособности, необходи- мо провести исследование устойчивости такой системы, что представ- ляет в общем случае довольно сложную задачу. Однако можно утвер- ждать, что и в общем случае введение упругости датчика отрицательно сказывается на качестве работы системы. Помимо возможной потери устойчивости, уменьшается полоса рабочих частот, в которых система может работать с приемлемой точностью. В том случае, когда датчики обратной связи установлены на валу редуктора и правая часть уравне- ния (8.60) зависит только от переменных q^ проблема стабилизации системы облегчается, однако система приобретает статическую ошиб- ку, обусловленную податливостью датчиков в соответствии с выраже- нием (8.59). Динамические ошибки, обусловленные этим фактором, также теперь не полностью контролируемы и зависят от коэффициен- 329
I0, „смети и собственных параметров механической части ко„„- РУ'в"тоТоч«гда датчик сил и моментов установлен в «запя- стье» манипулятора, проблемы, связанные с его податливостью, со- храняются. В этом случае датчик измеряет вектор FB=Ca(?-r), где f _ вектор, характеризующий положение и ориентацию нагрузки, закрепленной в’схвате, в предположении об абсолютной жесткости датчика; г — вектор фактического (с учетом податливости) положения и ориентации нагрузки. Матрица Cg характеризует жесткость датчика. Причем, диаго- нальность этой матрицы обеспечивается за счет специальной конст- рукции, схемы размещения тензодатчиков на ее элементах, а также за счет способов обработки соответствующих электрических сигналов. Заметим, что более точная модель датчика должна учитывать также демпфирующие свойства его конструкции, т.е. иметь вид где — матрица коэффициентов вязкого трения. В отличие от случая, когда датчики размещены в степенях под- вижности манипулятора, в данном случае измерить вектор фактическо- го положения и ориентации нагрузки г трудно. Для этого требуются независимые от движения системы измерительные средства, опреде- ляющие положение нагрузки как твердого тела, перемещающегося в неподвижной системе координат. Такие средства, включая лазерные дальномеры и средства технического зрения, используются в космиче- ской робототехнике, где упругие деформации конструкции манипуля- тора могут приводить к значительным ошибкам позиционирования, ели не рассматривать такой случай, то можно констатировать, что использование силовой обратной связи вида (8.58) приведет к измене- нию уравнений динамики системы, появлению статических ошибок и, возможно, ухудшению устойчивости системы. ример 8.1. Рассмотрим движение в плоскости конструкции рис. 8.4), снабженной схватом, который связан с манипулятором упру- гим датчиком, расположенным в «запястье» [15]. Конструкция мани- 330
% 3 (Зияовая обратная связь пулятора может перемещаться в горизонтальном направлении с помо щью электродвигателя. В данном случае измерения датчика положим равными - *) , где х — координата точки а' базовой конструкции, ад: точки а фактического перемещения схвата. Сила F, развиваемая приводом, равна (8.63) координата где g— управляющий сигнал. 1 Рис. 8.4. Манипулятор с упругим датчиком: / тахогенератор. * двигатель, 3 — редуктор; 4 — штанга манипулятора; 5 упругий датчик сил. ? — неподвижный предмет Пусть задача состоит в том, чтобы развить заданное значение силы Fo прижима схвата к объекту А рабочей сцены. Тогда управляющую силу F определим из соотношения F = (8.64) в котором учтена демпфирующая обратная связь по скорости с коэф- фициентом . Ее можно реализовать с помощью тахогенератора, 331
8. Методы динамического управления манипуляторами установленного на валу двигателя и измеряющего его угловую ско- рость, пропорциональную х . Обозначим х0 - координату неподвиж- ного объекта. Тогда, пренебрегая динамикой двигателя, можно запи- сать следующее дифференциальное уравнение для рассматриваемой системы: Mx + Fa = F, Л/х + Сл(х-хо) + ^х + ^2(Сд(х-хо)-Ло) = О, (8.65) где д/ — масса базовой конструкции манипулятора. Характеристическое уравнение имеет вид Л/ + &Д + Сд (1 + к3) — 0, откуда следует, что система всегда асимптотически устойчива, а коэф- фициенты к{, к2 влияют только на время переходного процесса и на его характер. Уточним теперь описание датчика, положив в соответствии с (8.62) =СЯ(Х-Х)-^Д(Х-Х). (8.66) В этом случае вместо (8.65) получим М х + СЛ(х -xQ)~ клх + к^ + к2[СЛ(х - х0)~ ках - Fo] = Q. (8.67) Теперь характеристическое уравнение запишем в виде МУс +Щ, -кЛ-к2кя>) + СД(1 + к2) = 0, (8.68) откуда следует, что система асимптотически устойчива только при ус- ловии - Г ' (8.69) т.е. коэффициент обратной связи по силе в выражении (8.64) не дол- жен превышать некоторое критическое значение, которое положитель- но, если коэффициент демпфирования к} в (8.64) больше, чем собст- венный коэффициент демпфирования датчика к Рассмотрим теперь случай свободного движения, полагая по- прежнему F* в виде (8.66). В этом случае к уравнению (8.65) необхо- димо добавить уравнение схвата с нагрузкой. Обозначая массу этого ооъекта т, получаем J 332
$‘3- Силовая обратная связь mx-F^ = mg, или тх + Сд (х - х) - £д (х - х) = mg . (8.70) Целью движения теперь является перемещение схвата в соответст ВИИ с законом, определенным движущей силой Fo. Управляющую си лу F в соответствии с соотношением (8.64 ') выберем в виде F =-к}х + k2(FQ ~ Fj . Уравнение же базовой конструкции руки при этом запишем в виде, аналогичном (8.67): (8.71) Обратим внимание на то, что порядок системы дифференциаль- ных уравнений возрастает по сравнению с тем случаем, когда рас- сматривается абсолютно жесткая конструкция. Система однородных дифференциальных уравнений, соответствующих (8.70) и (8.71), те- перь имеет вид [тр2 -£др + Сд]х + (£др~Сд)х =0, [кд (1 ~ )/> - Сд (1 + к2 )]х + [Мр2 + Сд (1 + к2) + кхр - (1 + к2 )р]х = 0, а ее характеристическое уравнение — Ж2 +1Л - £д (1 + ^2 )]^ + Сд (1 + ^2 )> т.е. а0Х4 +Я]А,3 + = ®> ай=Мт- а{=-кяМ-кд(1 + кг)т + к>т-, а2 = тСя(1 + к2) + СЯМ -2кгя (1 + к2) -кяк}; а, =к}Ся; а4=С;(\-к2)-С2я(1-к2) = 0. Таким образом, характеристическое уравнение имеет вид а0Х3+аД2 +а2Х + а3 =0. Устойчивость системы определяется вторым определителем Гур- вица 333
8. Методы динамического управа манипуляторами = а.а2 -аоа2 >0. (8.72) В зависимости от определить интервал тойчивость системы. сочетания параметров это уравнение позволяет значений к}, к2, в котором обеспечивается ус- Заметим, что если пренебречь вязким трением датчика и положить кя = 0, то получим а0=тМ, а}=к}М, а2 =Сят(1 + к2) + СаМ, а2=к}Ся, а, =0, следовательно, условие устойчивости примет вид Д, = k.MiC^m + СДМ) - к,СлтМ = Слк,М2 > 0; (8.73) это условие соблюдается, т.е. система всегда асимптотически устойчива. Таким образом, вид условий, при которых происходит потеря ус- тойчивости, зависит от уровня точности математической модели. Еще более точную модель можно получить, если учесть податливость ма- нипулятора на участке от вала двигателя до упругого датчика. Этот случай подробно проанализирован в [15]. 8.4. Динамическое планирование В задачах планирования движения манипуляционного робота (см. гл. 4) мы пользовались только кинематическими соотношениями, свя- зывающими координаты, скорости и ускорения схвата манипулятора с его обобщенными координатами и их производными. Таким образом, не принималась в расчет динамика манипулятора. Именно это и может быть причиной, требующей применения методов динамической кор- рекции, рассмотренных ранее в § 8.1 и 8.2. Другой путь, позволяющий управлять манипулятором с учетом его динамики, состоит в том, чтобы учесть его динамические свойства на стадии выбора самого движения. При этом используются различные подходы в зависимости от решав- мой задачи. Если траектория движения определена условиями задачи, то, используя уравнения динамики, можно выбрать распределение ско- ростей и ускорений вдоль траектории с учетом энергетических ограни- чений исполнительной системы. В задачах терминального управления, когда заданы только условия на правом конце траектории движения^ применяются методы оптимизации траектории с учетом динамики ма- нипулятора. Весьма интересным, в частности, является подход, обес- печивающий движение манипулятора по собственным траекториям 334
Х.4. Динамическое планирование 8.4.1. Планирование движения вдоль заданной траектории с учетом динамических ограничений Рассмотрим задачу о планировании движения схвата манипулятора вдоль траектории, заданной в пространстве рабочей сцены С учетом ориентации схвата, эта траектория задана как последовательность г', к - 1, 2, ..., М , в шестимерном пространстве векторов положения и ориентации схвата. Будем считать, что заданы ограничения на момен- ты или силы ц,, развиваемые двигателями степеней подвижности: Согласно уравнению (8.1), ускорения в степенях подвижности ма- нипулятора равны q = ЛГ' (q)fj(q, q)q + Л(05,т (q)G + Л~' (д)ц . (8.74) Отсюда следует, что при построении интерполяционных полино- мов (см. п. 3.4.2) необходимо, задав q и q. учесть дополнительное ог- раничение на ускорение вида <LI \ь, (q, q)| + X,(q)^ = д’. 7=’ (8.75) где для кратности обозначены at / (q) — компоненты матрицы -Н~] (q); Zr(0, 4) — составляющая, обусловленная остальными слагаемыми в правой части (8.74). Целесообразно решать эту задачу методом последовательных при- ближений, выбрав в качестве первого приближения траекторию, полу- ченную при кинематическом планировании. Для этой траектории ре- шается обратная задача динамики, проверяются условия (8.75) и, если они не выполняются, проводится коррекция по ускорению. Ее можно обеспечить за счет изменения временных интервалов = /А+| увеличивая их при необходимости уменьшения ускорения. Тем самым изменяется «расписание» движения по той же программной траекто- рии. Рассмотрим этот вопрос подробнее для случая, когда используется сплайн третьего порядка (см. гл. 4): д(О = ГрО = а.о +aj{l+aJ2t2 +aJ3t3, / = 1, 2,..., М. 335
8. Методы динамического управления манипуляторами Выберем этот сплайн в виде (см. [45, с. 226]) (8.76) где hj = Atj = 'j ~ ‘.н ’ ?./ = Mj), j = 1, 2, ..., М. Полином (8.76) удовлетворяет условиям непрерывности = ' = 1, 2, ..., Л/-1, = = / = 1, 2, ..., М, и условиям непрерывности ускорений причем получим а из условия непрерывности скоростей h., к h h: поз.о“™ „ол™™™е ,спов"““ п. 41.2 ) ЭТИ соотношения »=»М Неи, ”7"“ Г УР“““"Й ™ 4j’ J z> • • •, Л»- Эти уравнения имеют вид где Aq=d, (8.77) ... ijM], d = [d0 dt ... dM], <!„ - 6(,.M - )/4| , 7=1, 2, ..., Л/-1; 336
8.4. Динамическое планирование Проверка ограничений (8.75) и их учет может быть выполнен по- следовательно для уравнений этой системы; для первого уравнения 2^о + Mi ” < —6(^] о)//?] В частности, при <?0 =0 ограничение вида (8.75) обеспечить за счет : или q} < q} можно (8.78) таким образом, если ограничение (8.75 ) не удовлетворяется, то увели- чивается . Далее, для второго уравнения системы (8.77) М । + 2д 1 + 2 ~ поскольку ограничения на qx уже выполнены и q0 мы положили рав- ным нулю, то нужно выполнить условие вида отсюда 6(^о - д{) (8.79) Из последнего соотношения видно, что оно может быть выполнено за счет выбора hx, Л2, поэтому, если увеличить только интервал ftj, 22— 1488 337
g Методы динамического управление манипуляторами---__ окажется недостаточным, то нужно вернуться на предыдущий шаг и ;:Хь интер.» *, Т«. чтоб-, нера.снства (8.78) » (8.79) у.,о,„,е. творялись одновременно. Продолжая эту процедуру, можно в конечном счете скорректиро- вать и все остальные моменты времени определяющие «расписа- ние» движения схвата, таким образом, чтобы динамические ограниче- ния (8.75) были выполнены на всей траектории. Аналогично может быть решена задача динамического планирова- ния в том случае, когда заданы ограничения по мгновенной мощности, развиваемой каждым приводом: р.(/.|<С;, / = 1, 2, (8.80) или же по суммарной мгновенной мощности исполнительной системы о <с (8.81) Последнее условие может быть записано с учетом (8.1) в виде со- отношения, которому должны удовлетворять скорости и ускорения обобщенных координат: £MT(?)g-?T^T(^ q)q-G^Bv{q)q (8.82) При выбранных q, q это соотношение представляет собой линей- ное ограничение по ускорению вида которое должно быть выполнено во всех точках планируемой траекто- рии. Как и в предыдущем случае, это ограничение можно удовлетво- рить за счет изменения временных интервалов движения схвата. Одна- ко процедура их определения в данном случае более сложна. 8.4.2. Выбор мощности силовых агрегатов Ранее в п.8.4.1 мы определили движение, которое можно осущест- вить при заданном ограничении мощности силовых агрегатов. При проектировании манипуляционных систем возникает и обратная зада- ла определение необходимой мощности силовых агрегатов для движения по заданной траектории. В частности, при использовании двигателей постоянного тока по- тре ляемую мощность можно вычислить следующим образом [2]: 338
8 4 Динамическое планирование I — я' I 1 > k i ТУ Jl 1 ’ г], где КЯ1 — сопротивление обмоток якорной цепи /-го двигателя; кц, — его электромеханическая постоянная; j, - передаточное число редук- тора; г),—КПД передачи. Для высокооборотных двигателей с большим передаточным чис- лом редуктора приближенно можно принять р, — п, (8.83) Если теперь известна траектория движения, т.е. заданы <7,(7), , то правую часть (8.83) нетрудно вычислить, используя уравнения динамики манипулятора. Пренебрегая динамикой двигателя и полагая qz=l для простоты описания (истинное значение т], можно легко учесть в наших выкладках), получим из (8.1) суммарную мощность Р-cf (Л(q)q - р1 (^, q)q - (q)G). (8.84) Для выбора мощности необходимо спланировать репрезентатив- ную траекторию, которая определяется условиями технологического процесса и характеризуется наибольшими значениями скоростей и ус- корений. Таких траекторий может быть несколько для характерных технологических процессов, предполагающих использование данного манипулятора. По формуле (8.83) нетрудно определить потребную мощность ка- ждого из силовых агрегатов. Если эта мощность окажется больше той, которой располагает проектировщик, то, задаваясь ограничениями по мощности, он может, выполнив процедуру, описанную в п. 8.4.1, опре- делить реально достижимое движение и сделать вывод о его приемле- мости для заданного технологического процесса. Таким образом, про- цедура выбора силовых агрегатов имеет рекуррентный характер. При выборе двигателей постоянного тока помимо мощности мож- но определить и требования к механической характеристике двигателя, связывающей развиваемые момент и скорость. Для репрезентативных траекторий с этой целью могут быть рассчитаны графики движения в координатах ц., q. (z = 1, ..., N), причем моменты , как и в формуле (8.84), определяются из уравнения динамики (8.1). Механическая ха- 22* 339
& Методы динамического управления манипуляторами--- ратр„„„а двигателя должна «охватывать» график (р,.ф>. иолу- ченный для всех репрезентативных траектории. Заметим что такой метод выбора силовых агрегатов вначале был предложен для систем копирующего управления. При этом репрезен- тативные траектории получались в результате записи движения руки человека (в ее суставах) при выполнении характерных рабочих опера- ций. Позже он использовался при проектировании полуавтоматических систем. В этом случае оператор задает движение нагрузки, а движения в «суставах» манипулятора (9,-4,.^) рассчитываются по формулам, полученным ранее в гл. 3 (см. [18]). Существуют специальные пакеты программ, позволяющие автома- тизировать процедуру выбора силовых агрегатов. Они могут быть свя- заны с базой данных о характеристиках стандартных двигателей и ме- ханизмов передачи движения, что позволяет в результате выполнения процедуры сразу указать тип и параметры выбранного силового агре- гата. Обратим внимание на то, что уравнение (8.1), которым мы пользо- вались выше, записано для случая свободного движения схвата по тра- ектории. В том случае, когда движение связано с преодолением внеш- них сил, в правой части этого уравнения появляется слагаемое вида цв=^т(<?Ж, определяющее составляющую момента ц, обусловленную внешними силами и моментами. Если закон изменения этих сил обусловлен тех- нологическим процессом, как, например, при механической обработке поверхности, то вся описанная процедура сохраняется с добавлением в правой части условия (8.84) слагаемого ц. Однако в ряде случаев внешние силы и моменты не могут быть определены заранее, как, на- пример, при сборке. В таких случаях не остается иного способа, как моделирование подобных операций с выбранными законами управле- ния и определением в процессе моделирования как законов изменения обобщенных координат g.(z), так и моментов внешних сил. Заметим, что моделирование манипуляционных систем при наличии связей, на- ложенных на движение механизма, обладает известной спецификой о которой мы говорили в § 6.2. Последнее замечание о выборе силовых агрегатов касается дина- мической коррекции, в том числе с использованием силовой обратной
___________________Динамическое гишнирование связи (см. п. 8.3.1 и 8.3.2). В этом случае моменты и силы, развиваемые приводами, включают в себя управляющую Ио и корректирующую и составляющие: Н = +НД. Первая обеспечивает необходимое движение по траектории, а вто- рая — компенсацию влияния динамики механизма. Так, в случае, рас- смотренном в п. 8.3.2, целесообразно определить вначале мощность, необходимую для перемещения полезной нагрузки (вместе со схватом): 1 0 1 1 о ’ и затем определить соответствующие значения Значения теперь можно определить из уравнения динамики ки- нематической цепи манипулятора без нагрузки (8.57). Неравенства для ограничений силовых агрегатов по мощности примут вид (8.85) что позволяет оценить по отдельности затраты мощности на переме- щение полезной нагрузки и самого манипулятора. Отношение первого слагаемого ко второму характеризует энергетическую эффективность манипуляционной конструкции. Она может быть намного выше для манипуляторов космического базирования, поскольку отпадает необ- ходимость в компенсации статических сил тяжести. Отметим также, что энергетическая эффективность руки человека по-прежнему на- много превышает этот параметр для лучших манипуляционных кон- струкций. 8.43. Планирование движения манипулятора по собственной траектории Наиболее экономичными по энергозатратам являются движения ма- нипулятора по собственным траекториям, т.е. собственные движения. Собственным движением механизма называют его движение под действием сил инерции и равенстве нулю управляющих сил и момен- тов. Последние используются для создания импульса в начальный момент времени, обеспечивающего некоторую начальную скорость звеньям манипулятора. В случае механизма с относительно простой 341
8. Методы динамического управления манипуляторами „ р¥РМ0Й эти скорости удается рассчитать таким обра- кинематическои схемо собственной траектории вышел в зом, чтобы схват маН""У™енение такого способа целесообразно для заданное щэложещщ Р 1х для „ногократно ооато- роботов ““™0Г° “X нт» такой способ можно оффектннно „пмьХть Тдл" управления механическими конечностями шагаю- " „х роботоа. также совершающими циклические движения. В тех слу- X когда экономия энергозатрат оправдывает вычислительные за- ™™ на планирование каждой отдельной операции (например, в космической робототехнике), этот метод может быть использован и Рис. 8.5. Манипулятор, имеющий схему двойного плоского маятника для управления крупными манипуляторами, перемещающими большие инерционные нагрузки. Метод был разработан в середине 80-х годов в Институте машиноведения АН СССР [57; 58]. Рассмотрим метод планирования соб- ственных движений на примере манипуля- тора, имеющего кинематическую схему, приведенную на рис. 8,5. Это двухзвенник, причем массы звеньев сосредоточены на концах жестких стержней. Такую конст- рукцию называют двойным плоским маят- ником. Будем считать, что манипулятор снабжен устройствами статическо- го уравновешивания. Поэтому в уравнении Лагранжа второго рода (§ 6.1) можно положить U = 0; кроме того, Q — 0, так как рассматри- вается собственное движение, и мы получим d дК ОК „ 7~ = 0, ^ = о. (8.86) dt\dq Кинетическая энергия К представляет собой квадратичную форму относительно скоростей обобщенных координат: (8.87) 342
8.4. Динамическое планирование Коэффициенты а1} нетрудно определить (см. § 6.1 ). Они равны в данном случае +'M/i2 + Л2 +2/,/2 cosg2), Л12 + l\h cos<?2), ^2 2 ^22^2 ' Нетрудно видеть, что эти коэффициенты не зависят от q{. Поэтому = 0 и из первого уравнения системы (8.86) мы получим дК ----= auq} - const = а. <3^ (8.88) Физический смысл параметра а — это кинетический момент ме- ханизма относительно оси О подвеса манипулятора. Второе уравнение (8.86) может быть использовано для получения уравнения движения. Для его анализа нужно также принять во внима- ние, что в свободном движении К = -(аисц + lanq}q2 + a22q;) = const = h. (8.89) Последнее уравнение в плоскости (#], q2) определяет эллипс, по- казанный на рис. 8.6 . При q} = 0 получим а при q2 = О Последняя величина зависит от q2, играющего роль параметра. При его изменении меняются также размеры главных полуосей эллип- са я, 6 и углы их наклона. Производная дК dq, принимает максимальное значение в точке 4, а минимальное — в точке 3; эти значения равны amax = ’ amin - ’ 343
8. Методы динамического управления манипуляторами № Рис. 8.6. Эллипс скоростей обобщенных координат, соответ- ствующий постоянному значению кинетической энергии В точках 5 и 6, координаты которых нетрудно определить, а = 0. При свободном движении изображающая точка на плоскости q}, q2 должна принадлежать семейству эллипсов (меняющихся в зависи- мости от текущего значения g2). С другой стороны, в силу условия (8.88), эта точка должна совпадать в каждый момент времени с теми точками эллипсов, которые соответствуют одному и тому же значению кинетического момента. Последнее определяется при задании началь- ных условий (?10, д20, теперь условие (8.88) представляет собой еще одно ограничение, связывающее q2 с текущими значениями q{, q2 • Нетрудно получить параметрические уравнения траектории изо- бражающей точки в форме [58] а ^12 2a}]h а <?](д2)=— +—<-------------Г’ flu nHcf22 — а12 (8.90) (8.91) 2а.,h-а2 = ---------Г’ ~а12 причем знак перед корнем соответствует знаку q 2. Теперь для приращения &q} = q}(T) - q^d может быть написан следующий интеграл: ^2(^2) (8.92) 344
8.4. Линамич еское планирование Разбивая пределы интегрирования на интервалы. в каждом из кото- рых </2 сохраняем пос/оянный знак, можно определить этот интеграл используя выражения (8.90) и (8.91). Левая часть выражения (8.92), т.е'. задана условиями задачи. Известно также и = qUT)-q,(t ). относительно этой величины предположим, что lAq, < 2л Из соотношения (8.92) .можно с использованием численных мето- дов найти а. В соответствии с (8.90) и (8.91) по вычисленным значе- ниям определяют начальные значения скоростей <?)0 и q,t траекторию движения в пространстве обобщенных координат, а также время дви- жения. Последнюю величину можно вычислить по формуле (8.93) и На рис. 8.7 показаны траектории собственного движения рассматри- ваемого манипулятора при значениях параметров Z, = 1Л ; l2 = 1. = т2 -1 для различных граничных условий [58]. На рис. 8.7. а пока- зано перемещение, в результате которого конфигурация механизма со- храняется, но с поворотом относительно базовой оси, т.е. q2h = qyf =1. На рис. 8.7, б рассмотрен случай, когда <?20 = 1,57, q2i =1; </]0=0. qvr = -1. На рис. 8.7, в показано движение, которое приводит к зеркаль- ному изменению положения манипулятора относительно оси, соеди- няющей точку подвеса маятника и центра тяжести второго звена. Полученные траектории существенно отличаются от программных траекторий, найденных традиционными методами, например при вы- боре a) qx = const, q2 = const или б) х, = const, х2 = const, т.е. при прямолинейном движении схвата в пространстве сцены. В [58] показано, что движение по собственной траектории на рис. 8.7; б экономичнее в 1,23 раза, чем движение по программной траектории в случае «а» и в 4 раза, чем в случае «б». Рассматриваемый метод в дальнейшем был усовершенствован и распространен на механизмы с тремя и более степенями подвижности [58]. Он позволил создать семейство промышленных роботов, обеспе- чивающих существенную экономию энергозатрат. Аналогичный под- ход был положен и в основу разработки исполнительных механизмов с динамическим уравновешиванием звеньев. 345
8. Методы динамического управления манипуляторам и 6 Рис. 8.7. Траектории собственного движения манипулятора на плоскости обобщенных коор динат: а — q2Q = q2T ~ 1; б—<?20 = 1,57; <727-= 1; Q>o=°’ Яо в— Я2о~~Я2/ Контрольные вопросы и задания 1. Сформулируйте обратную задачу динамики для манипуляционного ме- ханизма. 2. Почему компенсация динамики манипулятора в форме (8.2) или (8.4) в общем случае неэффективна? От чего зависят возникающие ошибки? 3. При каких условиях можно эффективно использовать линейную дина- мическую коррекцию в форме (8.6)? 4. Какова процедура определения управляющих воздействий в системе приводов исполнительной системы, замкнутых по положению, если найдено решение обратной задачи динамики для манипуляционного механизма? 5. Поясните термин «обобщенный моментный регулятор» (см. п. 8.1.4). Каковы преимущества и недостатки такого регулятора? 6. В чем состоит суть метода декомпозиции. Когда, на Ваш взгляд, приме- нение этого метода будет наиболее эффективным и не потребует выполнения слишком сложных вычислительных процедур? 7. Как определяются сигналы динамической коррекции при использова- нии метода декомпозиции? При каких условиях можно пренебречь динами- кой приводов манипулятора? 346
Контрольные вопросы и задания S Какие технические среде™ реа.™ац„„ „„„„„ теме управления манипулятором Вам известны? тоРа™ои святи в сис- 9. В чем основное преимущество динамической ковре»,ин .„вой обратной „я,„0 Какие вычисления следует ооущес ",", времени „р„ коррекции с „с„о.ь,„ва„„е„ датчи„в с„,о,„„ о”„а “0й соединениях манипулятора? обратной связи в 10. В чем преимущество силовой обратной святи ™ действующим на схват? Какие вычисления в пеяпи ам И моментам> поднять в этом случае? в реальном времени следует вы- IL Опишите основные ситуации, возможные при сборке вал - втулка (без фасок) и сформулируйте правило коррекции движения вала относись- но втулки. 12. Почему введение силовой обратной связи обычно приводит к ухудше- нию устойчивости исполнительной системы манипулятора? Рассмотрите этот вопрос в случае силовой обратной связи на схвате. 13. В чем состоит процедура планирования движения с учетом динамики манипулятора (динамического планирования)? В каких случаях эту процеду- ру целесообразно применять? Как в реальном времени выполнить коррекцию движения манипулятора с учетом его динамики на этапе планирования дви- жений? 14. Как определить необходимую мощность силовых агрегатов манипуля- тора, используя решение обратной задачи динамики? 15. Как определить энергетическую эффективность манипулятора? 347
9. ЛОГИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ СЛОЖНОЙ РОБОТОТЕХНИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ В главе 9 введено понятие сложной системы и, в частности, сложной робототехнической системы (СРС) как множества взаимо- действующих подсистем, выполняющих общее задание. Кроме того, принято допущение, что подсистемы могут быть описаны как конеч- ные автоматы. Это, безусловно, сужает область применимости рас- сматриваемого подхода, однако на практике для большой части при- ложений это допущение удовлетворяется. Рассмотрено понятие управляющей структуры как сети специаль- ным образом сконструированных конечных автоматов. Эта структура позволяет обеспечить управление подсистемами, входящими в состав СРС. В действительности описанный в данной главе метод управления обеспечивает координацию работы всех подсистем, т.е. представляет собой нижний уровень управления СРС. Открытым остался вопрос синтеза управляющей структуры, поскольку задачи автоматической генерации управляющих структур выходят за рамки книги. 9.1. Понятие сложной системы Прежде чем перейти к проблеме управления, определим, что мы понимаем под СРС. В отношении любой технической системы можно сформулировать множество заданий, которые она может выполнить. Например, задание «Перенести деталь Р из точки А в точку В» может быть выполнено од- ним роботом (либо конвейером) и не требует участия в нем дополни- тельных систем. Однако можно привести примеры заданий, в выпол- нении которых должно участвовать несколько систем. В этом случае 348
_______________97- Понятие сложной системы з^дднис декомпозируется на лодзадания. каждое из которых должно быть выполнено некоторой подсистемой. Так, например, если услож- нить предыдущее задание следующим образом* <<Перенести деталь F ИЗ точки А в точку В, проверить правильность ее установки в точке В и. если деталь установлена правильно, запрессовать», то по крайней мере три технические системы должны участвовать в его выполнении: ро- бот — операция переноса, система технического зрения (СТЗ) — ана- лиз сцены, пресс — операция запрессовки. Действия всех трех систем должны быть скоординированы: после окончания транспортной опе- рации робот может исполнять другое задание, СТЗ начинает операцию контроля только после того, как манипулятор положит деталь в точку В и покинет поле зрения камеры, команда на запрессовку должна быть подана только после того, как СТЗ подтвердила правильность положе- ния детали. Кроме того, может возникнуть множество ошибок, связан- ных, например, с неправильной установкой детали (и тогда робот дол- жен попытаться переустановить ее), а также возникших в процессе переноса и т.д. Дадим теперь более точное определение системам, управлению которыми посвящена настоящая работа. Пусть задание Т представлено множеством подзаданий lt: T = ‘t,. (9.1) Введем отношение следования F на множестве Г, тогда tt Ft. озна- чает, что задание t может быть выполнено только при условии вы- полнения / . Если такая структуризация задания Т проведена, то можно построить описывающий Т ориентированный граф G = (Г, А), (9.2) где Т = {Г,} — множество вершин графа G; А = {ai} е Т х Т — множе- ство направленных дуг, при этом дуга a g А соединяет с tj тогда и только тогда, когда t.'Ftj. Такое разбиение задания широко используют в методах теории искусственного интеллекта [65]. Аналогичные под- ходы применяют и при построении моделей в задаче оперативного управления ГПС (см. [16]). Пусть система 5 состоит из подсистем St (далее называемых ло- кальными системами, или терминалами): S = {S„S2,...,SM}, (9.3) 349
—- ... ^ у _ «внис. вьтолияемое системой X, Тогда систему при этом 7, с I — задави будем „етмсатс '/'-««„ой системой (далее - сложной сис темой), ее- ли выполнены следующие условия. Cl:(Jr>=7’; (95) /=| С2: G — связный граф. (9.6) Условия Cl, С2 можно интерпретировать следующим образом. С1: сложная система представляет собой набор подсистем, которые в состоянии выполнить задание Т. С2: действия всех подсистем, входящих в состав сложной системы, должны координироваться в процессе выполнения задания. Коор- динация в данном случае — обмен данными (или командами) ме- жду подсистемами. Если одна из подсистем St е S является роботом, то такую слож- ную систему будем называть СРС. Сделаем теперь несколько замечаний по поводу приведенного оп- ределения сложной системы. 1. Сложная система рассматривается только совместно с заданием, которое система исполняет. Следовательно, один и тот же набор тех- нических систем может быть либо сложной системой (в смысле вве- денного определения), либо нет — в зависимости от выполняемого системой задания и способа его декомпозиции по подсистемам. 2. Введенное определение нельзя считать вполне формальным, по- скольку мы апеллируем такими интуитивными понятиями как «зада- ние» и «следование». Вообще говоря, понятие СРС можно ввести и с помощью сетей Петри, интерпретируя позиции как выполнение подза- даний (или как ресурс), а обрамляющие их переходы — как начало и конец исполнения соответствующих подзаданий, однако, по мнению авторов, такое определение избыточное. 3. Данное определение является рекурсивным в том смысле, что сложная система может быть компонентой другой сложной системы, что позволяет единообразно использовать описанный далее способ управления иерархически построенными сложными системами. Приведем несколько примеров использования СРС, сделав сле- дующую оговорку. Поскольку отношение следования F является тран- 350
__________________9 ! Понятие сложной системы зитивным, т.е. из аП, bFc следует аГс. соответствующий граф, содер- жащий дуги ab и Лс, должен содержать и дугу ас. Мы, однако, не будем изображать дугу ас, чтобы не загромождать рисунки избыточной ин- формацией. Пример 9.1. Пусть задание Т состоит из трех подзаданий T = z3/ Фис> 9-h аВ где Z! означает собрать узел А; I. — узел В; /3 — деталь С = А + В . Система S состоит из двух подсистем S = {7?(. R.} (рис. 9.1, б), где задания Т} и Т2 для роботов Я, и R2 имеют вид т = t \ Т - ft t * т.е. роботу А| предписано собрать узел А и осуществить окончатель- ную сборку С, а роботу R2 — узлы В и С. Тогда описанная система является Т-сложной, поскольку условия (9.5), (9.6) выполнены. Однако, если дополнить эту систему роботами R.. (рис. 9.2. б), выполняю- щими задания Г4-/6 (Рис- 9.2, я), то полученную систему нельзя счи- тать сложной, поскольку граф задания не является связным (несмотря на то, что каждая из двух подсистем является сложной). Рис. 9.1. Пример сложной системы: а граф задания Т. б сложная система, выполняющая задание Т Пример 9.2. Роботизированный сборочный модуль состоит из роботов До, R., RN, Лл+1 и конвейера С. Роботы А1? выполняют сборочные операции; роботы RQ и ^ V+I служат для загруз ки и выгрузки соответственно (рис. 9.3, а). После того, как все роботы завершили выполнение своего задания, конвейер С делает один шаг. Если z-й робот завершил сборочную операцию с ошибкой, то на еле дующем шаге робот i +1 пропускает этот узел с тем, чтобы бракован- ный узел, оказавшись в конце линии, был бы помещен разгрузочным 351
9 Логическое управление сложной робототехнической системой манипулятором в тару брака. Пусть 5 = {Я„, Л,,.... KNi ,, Q — ЛТ1 множество подсистем, Т = (J/’ и Тс — задание, где Тс — подзадание /=0 конвейера. Тогда ясно, что система (5, Г) представляет собой Т-сложную систему, поскольку граф задания является связным (рис. 9.3. б). Этот граф безусловно не отражает всей специфики выполняемой операции (ниже пример будет рассмотрен более детально), однако позволяет сделать вывод относительно сложности системы в смысле введенного определения. Рис. 9.2. Пример системы, не являющейся Лсложной- п _ г я раф задания Т„б — подсистемы Рис. 9.3.
9.2. Конечный автомат как модель объекта управления 9.2. Конечный автомат как модель объекта управления Далее нам понадобится понятие конечного автомата, поэтому сформулируем основные определения теории автоматов [3; 4; 13; 41] Абстрактным конечным автоматом А называют пятерку: ' ' ’ “ ’ J ’ 5 17. /} где U = {ии2, ..., ит} — конечный входной алфавит: X = {х,, х,,.. х„} — конечное множество состояний; Z = {z., z-,,.... z. } — конеч- ** А ' ный выходной алфавит; f: X х U —> X — одношаговая функция пере- хода; h: X х U Z — функция выходов. Если функция h не зависит от U, то такой автомат называют авто- матом Мура, в противном случае — автоматом Мили. Приведенное определение позволяет трактовать конечный автомат как динамическую систему (рис. 9.4, а), описываемую следующим об- разом: (9.8) (9.9) Z, = h(x, ,Uf). Пребывая в состоянии xf е X и получив на входе символ ut eU , ав- томат генерирует на выходе символ z( g Z. определяемый функцией /?(•), и переходит в новое состояние х/+] , определяемое функцией f (•). If а U Рис. 9.4. Конечный автомат: а - с одним входом, одним выходом; б — ср входами, q выходами Инициальным конечным автоматом называют конечный автомат, для которого задано начальное состояние х0 € X: (9.Ю) 1488 353
р убавление ложной р^топ.ехпичеекой систелип. 9. Логическое y^Pa(i ie _ -—— ---- выходными) символами автомата А называются конечные Входными (вых Д ппгЪавита U(Z), словами состояний —- последовательности символов алфавита V Ь последовательности символ» алфавита X. Поведением ЦЛ> автомата " вают множество всех .ходпых-выходных последовательно- стей, реализуемых в А: ЦА) с ((/ х ZY . (9.11) Естественным расширением рассмотренного автомата с одним входом и одним выходом является автомат с р входами и q выходами (рис. 9.4, б), который задан следующим образом: A = (U,X,Z.f.hy (9.12) где U = ux *U2 x...*Up, ueU , w = (w1, w2,...,wp), u‘ eU', /: XxU->X; h:XxU~>Z, h = (h\h\. ^/ + 1 f 5 5 ‘ • • 5 ) ~~ f (%t У ^У) 5 <(=/?(х„а,), f = l, 2,.(9.13) Автомат называется полностью определенным, если область опре- деления Dj и Dh функцийfwh соответственно имеет вид Df=Dh =XxU. (9.14) Если же Dj и Dh собственные подмножества X х U , то автомат называют неполностью определенным, или частичным. Для того чтобы автомат был задан, необходимо задать все атрибуты его описания, множества U, X, Z и отображения f (•) и h(-) (для иници- ального автомата необходимо, кроме того, указать начальное состояние о Наиболее широко используют графовый способ задания автомата. Граф автомата (граф переходов и выходов, или диаграмма Мура) — это ориентированный граф, вершины которого соответствуют состоя- ниям, а ре ра, соединяющие каждую пару вершин, — переход из одно- го состояния в другое. Две вершины графа, соответствующие состоя- ниям х, у е X, соединяются дугой, направленной от х к у, если 354
9.3. Пострение моделей подсистем существует uelJ . такое, что v= f(x ' J /< г ПРИ этом дуга нагружается символом входного алфавита и и выходным сигналом z = h(x. «). Д™ автомаюв Мура, у которых символ выходного алфавита зависит тоть ко от состояния а не от способа прихода в него, целесообразно припи- сывать выходной сигнал не дуге. а непосредственно состоянию Ана логично строится граф для многомерных автоматов. На рис. 9.5 приведены графы, описывающие три автомата, каждый из которых может пребывать в трех состояниях хг>, д- . х2. принимать на входе символы а, Ь. с и генерировать на выходе и. у, ж Заметим, что все при- веденные автоматы являются частичными. Рис. 9.5. Графовое представление автоматов: а — автомат Милн; б — автомат Мура; в — автомат Мили с двумя входами, двумя выходами Если упорядочить состояние автомата (9.12), а также его входы и элементы входных алфавитов каждого из входов, то нетрудно увидеть, что для задания полностью определенного автомата необходима таб- лица, содержащая "(1 + <7)ГЫ, (9.15) /=1 символов (не считая таблицу перекодировки). 9.3. Построение моделей подсистем В нашем случае объектом управления является СРС. Поэтому преж- де, чем перейти к управлению, сформируем модели подсистем, входя- щих в состав СРС. Начнем с построения математической модели робота. 23ф 355
9. Логическое управление сложной робототехнической системой 9 3.1. Робот как элемент сложной системы Известно, что существуют два больших класса робоюв, отличаю- щихся используемыми системами управления: 1 — роботы с цикловыми системами управления; 2 роботы с позиционно-контурными системами управления. Робот с цикловой системой управления. Спецификой робота является то, что схват манипулятора может находиться в конечном числе точек пространства (т.е. область достижимости схвата манипу- лятора с цикловой системой управления конечна). Если манипулятор имеет к степеней подвижности, каждая из которых содержит pj точек, i = 1, 2,..., к, в которых может находиться соответствующее звено, то число точек и, куда может попасть схват, записывают следующим об- к разом: п = pi . Манипуляторы этого класса снабжены путевыми дат- чиками, которые информируют о попадании z-ro подвижного сочлене- ния в каждое из допустимых положений некоторым сигналом df-. На каждую из степеней подвижности i может быть подан управляющий сигнал и', переводящий эту степень в требуемое положение. Тогда манипуляторы 1-го класса могут быть описаны как конечные автоматы со следующими атрибутами: Вид функций /(.) И Л(-) определяется кинематической схемой мани- пулятора. На рис. 9.6, а, б изображена кинематическая тпекстРПАии^^ . «стоическая схема типичного 06aaX™™Z7 КТ°Р‘ ‘ Щ“0В0“ С“СТе“Й Область достижимое™. Каждая степень содержит две точки поаицио- манипулятора как объекта управле- нирования. Формальное описание ния имеет следующий вид: и'2, Uf, U2, и’, Hj}, [Р'’Р2..Р8}, Z = {d'i>d'2,d^,...>d3. Диаграмма Мура соответствующего автомата nnu^J 2 рисунка ясно, что, управляв обье^т Xt "f™ Т “ Мили. представляет собой автомат 356
3. f/острение моделей подсистем U Рис. 9.6. Манипулятор с цикловой системой управления: а - кинематическая схема; б — область достижимости Рис. 9.7. Диаграмма Мура робота с цикловой системой управления Робот с позиционно-контурной системой управления. В этом случае область достижимости схвата содержит бесконечно много точек позиционирования, так что используемый выше подход здесь неприем- лем. Для построения модели воспользуемся тем обстоятельством, что логический уровень взаимодействует с уровнем интерпретации, который функционирует в соответствии с программой, сформированной челове- ком-оператором. Таким образом, мы предполагаем, что робот обучен. Рассмотрим простейший случай манипулятора с позиционной сис- темой управления. Пусть pt — имена точек позиционирования, через которые должен пройти манипулятор. Тогда модель робота как конеч- ного автомата может выглядеть следующим образом: 357
9. п^ме управление сложной робототехнической системой Выходной алфавит Z состоит из одного символа, подтверждающе- го приход в заданную точку и генерируемого программно (в отличие от манипулятора с цикловой системой управления). Вид функции пе- реходов Дх, и) зависит от конфигурации рабочего пространства: для среды без препятствий можно попасть из любой точки в любую, если же имеются препятствия, то доступ в некоторые точки ограничен. На рис. 9.8 показаны диаграммы Мура манипуляционных роботов, функ- ционирующих в свободном пространстве (рис. 9.8, а) и пространстве с препятствиями (рис. 9.8, б), при этом предполагается, что движение в декартовом пространстве осуществляется по прямой. рисгранстве, б — в среде с препятствиями Рис. 9.8. не > когда Ф°РмиРОвание задания состоит может бьпь "ХММв Шф“”Т мен гам программ. 358
_____________Построение моделей подсистем 93.2. Модели подсистем Выше была описана математическая модель робота как элемента сложной системы. Рассмотрим теперь некоторые основные подсисте- мы, входящие в состав РТК. Система очувствления. С точки зрения используемого здесь под- хода все системы очувствления можно разбить на два класса: а) бесконечномерные, б) конечномерные. Для бесконечномерных систем очувствления характерно то, что данные о внешней среде, поставляемые системой очувствления, имеют континуальный характер. К таким системам очувствления относятся дальномеры, силомоментные датчики, СТЗ, работающие в режиме опре- деления координат. Такого рода данные используются не логическим уровнем системы управления, а более низкими уровнями. Адаптивное поведение манипуляционного робота, оснащенного такими датчиками, реализуется на уровне вычисления управления. В этом случае строятся законы управления, в которые соответствующие показания датчиков входят как параметры, т.е. адаптация не затрагивает верхних уровней системы управления, а является параметрической. Конечномерные системы очувствления предоставляют системе управления данные, характеризуемые конечным числом значений. Именно такие системы поставляют информацию, используемую для выработки поведения СРС. Рассмотрим, например, СТЗ, работающую в режиме идентифика- ции [47; 61]. Пусть a, с, ..., х, у — классы объектов, к которым СТЗ может отнести предъявленный ей объект (СТЗ тоже должна быть предварительно обучена), и пусть z — класс, к которому приписыва- ются все незнакомые объекты (рис. 9.9, а). Тогда описание СТЗ как конечного автомата можно представить в виде U = {start}, А — {х0, X]}, Z {#, Ь, с, ..., 2}. Здесь сигнал start должен поступать извне (от оператора или системы управления), чтобы инициировать работу системы после того, как бу- дет сформирована сцена. Диаграммы Мура модели СТЗ показаны на рис. 9.9, б, в. Отметим одно важное обстоятельство, которое заключается в сле- дующем. Автомат, описывающий СТЗ, является недетерминирован- ным. Эта недетерминированность может быть разной. В частности, 359
9. Логическое управление сложной робототехнической системой изображенная на рис. 9.9, б модель СТЗ недетерминирована по выходу а модель на рис. 9.9, в недетерминирована по переходам. 2 = Незнакомый объект $ а в Рис. 9.9. СТЗ в режиме идентификации как конечный автомат: а — предъявляемые объекты; б — модель, недетерминированная по выходу; в — модель, недетерминированная по переходам Вообще говоря, свойство недетерминированности должно быть присуще моделям объектов управления, поскольку оно присуще самим объектам. Так, рассмотренные выше модели роботов также должны отражать недетерминированность, связанную с тем, что исполнение команд, поступающих на робот в виде либо имен точек позициониро- вания, либо имен фрагментов, содержащих последовательности ко- манд, может завершиться ошибкой (неверный синтаксис, отсутствие имени точки позиционирования среди имен, полученных при обуче- нии, динамические или статические ошибки при исполнении и т.д.). Это означает, в частности, что выходной алфавит модели должен со- держать соответствующие символы, а система управления должна ыть готова к адекватной реакции на их появление. Технологическое оборудование. Как правило, его легко описать как конечный автомат, поскольку в нем содержится конечное число входных сигналов, состояний и выходов. Например, для схвата мани- пулятора имеем G = {о — открыть, с — закрыть},
__________________9-4- Сетевой автомат % ” К 5 xi открыт, х2 — закрыт}, Соответствующая диаграмма Мура представлена на рис. 9.10 Рис. 9.10. Схват манипулятора как конечный автомат Перечисленные в этом параграфе объекты, конечно, не отражают всей совокупности подсистем, входящих в состав СРС. они лишь де- монстрируют способ построения модели в виде конечных автоматов. 9.4. Сетевой автомат Как говорилось ранее, мы будем описывать элементы сложной системы как конечные автоматы, а управляющую структуру — как сеть таких автоматов, объединенных входами и выходами. В этой ситуации естественно воспользоваться представлениями (9.12). (9.13) многовхо- дового автомата. Однако во многих приложениях определенные ком- бинации входов не встречаются (т.е. автомат, находящийся в некото- ром состоянии, никогда не получит определенных входных сигналов), кроме того, не все выходные каналы автомата могут быть использова- ны на каждом шаге. Объем же данных, описывающих автомат (9.12), для сколько-нибудь серьезных прикладных задач, может стать удру- чающе велик. Введем понятие сетевого автомата, которое, с одной стороны, позволяет сохранить многовходовость автомата, а с другой стороны, существенно уменьшить объем данных, требуемых для его описания. Назовем сетевым автоматом NA с р входами и q выходами сле- дующий набор: NA = (Z, О, U, X,Z, /, Л), (9.16) где I = {/15 /2, ..., ip} — множество входов; О = {о,, о2, oq} — множество выходов; U{u}, и2, .ит} — входной алфавит; Аг = {х1, 361
9 Логическое управление сложной робо^ехническои сист^ои- х л- } — множество состояний; Z = {z,, z2, ..., - J — выходной 2, " р ухр'_>г — одношаговая переходная функция, где Г с7хТ / • Л: X х К -> V - выходная функция, где W е Z х О. Элементы множеств Г и Сбудем называть обобщенными входны- ми и выходными алфавитами соответственно. Два инициальных сетевых автомата назовем эквивалентными, ес- ли они порождают совпадающее отображение обобщенный вход обобщенный выход. Таким образом, функция f отображает множество троек (х, и. i). ХЕХ, ueU. iel в уеХ, так что gr/ = {(x, и, z, т)}- Если fx — отображение У -> X, такое, что (w, z, у) е gr fx (х, и, z, у) е gr f, то f можно интерпретировать как функцию перехода сетевого автомата, находящегося в состоянии х. Ясно, что {fx}, х g X, полностью опре- деляет/ и наоборот. В этом случае множество пар {(и, /)} определяют набор входных символов и каналов, на которые автомат может реаги- ровать, находясь в текущем состоянии. Аналогично, если hx — ото- бражение V -> W, такое, что (u, z, z, о) g gr hx <=>, (х, w, z, z, о) e gr h, to hx интерпретируется как функция выходов сетевого автомата, нахо- дящегося в состоянии х. Заметим, что при таком определении сетевого автомата возможна недетерминированность, заключающаяся в сле- дующем. Пусть автомат, находящийся в состоянии х, характеризуется тем, что на входах z и у присутствуют символы а и b соответственно, а отображение fx имеет вид (a, i) —> р, (5, у) -> q и р q. Тогда авто- мат может перейти либо в р, либо в q. Если |О| = |7 = 1, тогда сетевой автомат становится эквивалентным абстрактному конечному автомату. Введем дополнительно специальный символ в, который является л ментом и входного и выходного алфавита. Этот символ мы будем рпретировать как пустой символ, который всегда присутствует на выделенном входе автомата, так, что если в описании перехода из не- которого состояния присутствует входной символ с, то осуществляет- ся соответствующий переход. Появление символа е в выходном кана- ле означает, что на выход ничего не поступает. (Следует заметить, что полученный в результате автомат не является автоматом Мили, по- скольку он не сохраняет длину отображения). 362
9 4 Сетевой автомат Далее при изображении графа сетевого автомата мы будем исполь- зовать следующую нотацию: через in будем обозначать символ входно- го алфавита и е U . пришедший по входному каналу i е I; через - о — символ выходного алфавита :eZ. посту пивший в выходной канат о е. О • На рис. 9.11 изооражен сетевой автомат с двумя входами (7 = !!• 2} ) и двумя выходами (О = {6. 3) ) и его диаграмма переходов — выходов. Заметим здесь, что для изображения графов автоматов, имеющих один вход и (или) один выход, мы сохраним стандартную нотацию. Рис. 9.11. Графовое представление сетевого автомата: а — сетевой автомат: б — диаграмма переходов — выходов Введем динамическую интерпретацию сетевого автомата, отлич- ную от принятой интерпретации абстрактного конечного автомата (9.8), (9.9), а именно: будем считать, что поведение автомата описыва- ется следующим образом: -V,+I =/(X, л;). (9-17) и',+) = h(x,, (и. i),). (9.18) где у — Qz /) £ р7 и* — (z, о) g . Таким образом, оу дем предполагать, что сетевой автомат генерирует символ в выходной канал не одновре- менно с приходом входного символа (как это было для абстрактного конечного автомата), а одновременно с достижением нового состояния. Такая интерпретация позволит нам в дальнейшем избежать «момен- тальной зависимости». Поскольку это достаточно важно, проиллюст- рируем работу сетевого автомата (с одним входом и одним выходом), построив его модель в виде сети Петри [56]. На рис. 9.12 представлена модель сетевого автомата в виде сети Петри. Позиции и переходы ин- терпретируются здесь следующим образом: р, — ожидание прихода входного символа; /( — получен входной символ; 363
, управпениг -------- p Логическоеуиравлеш_-------- " ZZX—T™ с—автомат а »овоМ состоянии; р3 — источник входных символов; п. — накопитель выходных символов. Рис. 9.12. Модель сетевого автомата с одним входом и одним выходом Если в некотором состоянии автомата присутствует переход по пустому символу 8, то в его представлении в виде сети Петри отсутст- вует позиция р3. Аналогично обстоит дело с пустым выходным сим- волом 8: в этом случае отсутствует позиция рА. Рассмотрим еще одну интерпретацию сетевого автомата с р входами и q выходами, которая понадобится в дальнейшем [4]. Будем интерпре- тировать сетевой автомат как устройство (рис. 9.13), состоящее из: — управляющего блока; — полу бесконечной входной ленты (z-лента), разделенной на ячейки, каждая из которых содержит символ обобщенного входного алфавита (слово записывается слева направо); полубесконечной выходной ленты (о-лента), разделенной на ячейки; — р читающих головок; — q записывающих головок. Находясь в состоянии х, автомат обозревает входную ленту так, что каждая его читающая головка, связанная с каналом i е Iг, находит- * -А ся над ячейкой ленты, содержащей символ u.i. После чтения символа автомат переходит в новое состояние у и на выходную ленту записы- вается weW . Читающие головки, связанные с каналами из Iv, пере- мещаются вправо до тех пор, пока под каждой из них не окажется сим- вол из И с соответствующим номером канала. 364
9.5. Сеть автоматов ~ ^Направление чтения ZFLj'kzl ... Входная лента Управляющий блок Читающая головка р.З г.6 о.З дЛ Записывающая головка . . . Выходная .....................1—-*---------лента ‘Направление записи Рис. 9.13. Модель сетевого автомата как читающее — записывающее устройство Итак, сформулировав все основные определения, перейдем к по- строению сети автоматов. 9.5. Сеть автоматов В этом параграфе мы построим сеть автоматов, т.е. набор автома- тов, объединенных своими входами и выходами и взаимодействующих путем передачи и приема символов своих входных — выходных алфави- тов по общим каналам. Рассмотрим предварительно механизм взаимодей- ствия введенных выше автоматов при их элементарных соединениях. 9.5.1. Последовательное соединение сетевых автоматов Пусть два автомата (см. (9.16)) NA, = (Д, Xj9 Zt, hf), i = 1, 2 , соединены так, как это показано на рис. 9.14, т.е. подмножест- во выходов с О} автомата NAj соединено с подмножеством входов Г2 с /2 автомата NA2. Будем далее считать, что Ц П Л = Ох А О2 = 0. Если эти условия не выполняются, тогда переименуем соответствую- щие каналы. Отметим одно обстоятельство. Пусть клетки на ленте пронумерованы (см. рис. 9.13), и п” — положение головки т автомата А, те {г, w}, А е {NA!, NA2}. Тогда нетрудно увидеть, что в соответ- ствии с введенной выше интерпретацией выполняется соотношение (9.19) означающее, что читающая головка г автомата NA2 никогда не обго- нит записывающую головку w автомата NA]. На рис. 9.15 представле- 365
9. Логическое управление сложной робототехнической системой на модель взаимодействия автоматов в виде сети Петри. Позиция Pi служит для передачи сообщений от NA] к NA,. Рис. 9.14. Последовательное соединение сетевых автоматов Рис. 9.15. Модель взаимодействия последовательно соединенных автоматов в виде сети Петри Соотношение (9.19) устанавливает минимальное расстояние между головками взаимодействующих автоматов. Однако имеет смысл рас- смотреть вопрос о максимальном расстоянии. Прикладная сторона этого вопроса состоит в следующем. При программной реализации автома- тов используют FIFO-очереди в качестве механизма обмена данными, и тогда максимальное расстояние между читающей и записывающей головкой автоматов NA, и NA2 равно длине очереди, которую необ- ходимо зарезервировать при генерации автоматной сети. Покажем теперь, что можно построить сетевой автомат NA = (/, О, X, Z, f, h), такой, что его поведение будет совпадать с поведением последовательно соединенных NA, и NA2. Под эквивалентностью здесь и далее будем понимать совпадение отображений обобщенный вход — обобщенный выход. 366
9.5. Сеть автоматов Прежде всего укажем на одну специфическую особенность рас- сматриваемой проблемы. Автоматы NA, и NA, могут являться моде- лями различных устройств, в частности, если NA| моделирует мед- ленное (по сравнению с NAJ устройство, то с момента поступления на вход NAj некоторого символа до момента поступления вызванной им реакции на вход NA2 последний может неоднократно поменять свое состояние за счет поступления на его внешние входы некоторых допустимых в данном состоянии символов. (Это обстоятельство убеди- тельно иллюстрируется сетью Петри, представленной на рис. 9.15. ес- ли пополнить ее позициями, имитирующими входные символы, кото- рые поступают по внешним каналам. Тогда разметка такой сети может меняться за счет изменения разметки только модели NA2.) Учет этого эффекта чрезвычайно важен для практических приложений. Для учета этого обстоятельства поступим следующим образом. Пусть у — состояние NA, такое, что у = f(x.u) и z = Л(х. и) (входные и выходные каналы сейчас неважны, поэтому их опускаем). Тогда вве- дем дополнительное (транзитное) состояние лт. обладающее следую- щим свойством: ху = f(x, и), s = A(x, w), у = /(х) . е). z = h(xy. е). Соответствующая иллюстрация приведена на рис. 9.16. Заметим при этом, что пребывая в состоянии ху автомат NA не реагирует на осталь- ные входы, как это, возможно, было в состоянии х, т.е. переход у неделим для данного автомата. Вообще говоря, именно такая интерпретация поведения автомата принята при описании его сетью Петри (рис. 9.15). Рис. 9.16. Введение транзитного состояния Пусть теперь автоматы NAj и NA2 преобразованы так, как сказа- но выше. Построим эквивалентный NA в соответствии со следующей процедурой свертки. Шаг 1. Построение объединенного автомата. Построим NA = (/, (9, U, X, f, h), где 367
9, Логическое -------- о = (о, - о;) и 0’2, и=и^и', Х = Х}*Х2. (9.20) функции переходов и выходов строятся следующим образом. Пусть х = (р.д) и х’>'е%«- Тогда (X’V)------>У’ еС™ (p,v)_^r либо (q,v)-^-+s- Аналогично строится h : (х, если (р, v)-A->w либо (q, v) —h-*-*w. Шаг 2. Свертка дуг. __ Построим теперь автомат NA, отличающийся от NA лишь ото- бражениями f и h. Пусть отображения f и h автомата NA со дер- жат следующие отображения: (х, v)-^->y, (х, v)—^->а, (y,a)-^->z, (у, а) --»е. (9.21) Тогда дополним f nh следующими элементами: (х, v) -> z, (х, v) -> 8. (9.22) (Здесь, к сожалению, нельзя ввести композицию отображений, по- скольку функции , h2 и /2, h2 имеют, вообще говоря, попарно раз- ные области определения из-за наличия внешних входов.) Выполняя эту процедуру для всех элементов отображений f и h, удовлетворяющих условиям (9.21), получаем отображения f и h . Шаг 3. Удаление внутренних дуг. Этот шаг в построении автомата NA состоит в удалении дуг, со- держащих ссылки на внутренние каналы, соединяющие NA] и NA2. Более точно это означает следующее. Если отображение f содержит элементы (х, и, /) —> у, где i G /2, то они удаляются. Аналогично, если h содержит отображение (х, и, i) -> (z, о), где либо i е Г2, либо о е О{, то оно удаляется. Шаг 4. Минимизация. Здесь осуществляется стандартная процедура, минимизирующая число состояний сетевого автомата. Полученные в результате отобра- жения f и h являются искомыми функциями переходов и выходов ав- томата N А. 368
9.5 Сеть автоматов Итак, описанная процедура свертки является корректной в том смысле, что атрибуты полученного автомата NA не зависят от по- рядка, в котором строятся дополнительные дуги на втором шаге. Заметим, что полученный автомат может быть недетерминирован- ным, даже если оба автомата NA, и NA2 детерминированы. Рис. 9.17. Два последовательно соединенных сетевых автомата, а — топология; в________графы А и В; г, д — модифицированные графы автоматов А и В Пример 9.3. Рассмотрим пример применения описанной проце- дуры свертки двух последовательно соединенных автоматов А и В, изображенных на рис. 9.17, а. Их графы переходов — выходов, а также модифицированные графы представлены на рис. 9.17 б, в и г, д соот- ветственно. Результирующий автомат показан на рис. 9.18. Пусть ab — начальное состояние автомата АВ (рис. 9.8, а). Тогда реакции на вход- ные последовательности ab, ba, cb, Ьс имеют вид ab -> {ау, уа}, Ьа -> {ау, уа}, 24— 1488 369
е управление сложпойро^^ р Логическое управление----- Ьс ->{уР), “ автомат является недетерминированным но вы- Результируюшии авт совпадаЮт (т.е. символы а и h на ходу. Кроме того Р“ дв ПОСтупать в любой носледова- Рис. 9.18. Результирующий автомат АВ: а - входы - выходы АВ; б — граф переходов — выходов 9.5.2. Соединение с обратной связью Пусть два автомата А и В соединены так. как это показано на рис. 9.19, а. Тогда нетрудно видеть, что эту конструкцию можно заме- нить на эквивалентную (рис. 9.19, б, в), считая, что А и В соединены последовательно. Ясно, что достаточно рассмотреть случай соединения с обратной связью, представленный на рис. 9.20. Проблему построения сетевого автомата, эквивалентного структуре, указанной на рис. 9.20, позволяет решить описанная выше процедура, состоящая в выполне- нии шагов 2, 3, 4 (шаг S опущен, поскольку выход автомата соединен с его собственным входом). 370
9.5. Сеть автоматов 6 Рис. 9.19. Соединение с обратной связью Рис. 9.20. Простые соединения с обратной связью 9.5.3. Сеть автоматов и эквивалентный автомат Назовем сетью автоматов L связный мультиграф Z = (£, С), (9.23) где £' = {£|, £2, En} — множество вершин графа; С = {с}, с2, ск1} — множество направленных дуг, с, = (Е,. Ек). Вершина графа интерпретируется как сетевой автомат, а дуга — как кямя гт связи между автоматами, используемый для обмена элементами входных / выходных алфавитов. Если множество вершин Е содержит специальный символ е и по крайней мере одна дуга содержит этот символ в качестве вершины, то такую сеть называют разомкнутой. В противном случае сеть называет- ся замкнутой. Дугу се С, такую, что с = (е, £,) (с = (£,, б)), Е,еЕ, называют входным (выходным) каналом сета. Дуги с = (в, Ь), а е, Ь*г, называют внутренними каналами. 24* 371
9, Логическое управление еловой робо^пической - функционирование сети заключается в параллельном функциони- ровании всех составляющих его автоматов, поведение каждого из ко- = в свою очередь определяется его текущим состоянием, а также состоянием входных каналов. Пример автоматной сети приведен на рис. 9.21. Рис. 9.21. Пример автоматной сети Построим сетевой автомат NA, эквивалентный сети L = С). Пусть два сетевых автомата NA, и NA2 соединены между собой произ- вольным образом (рис. 9.22, а), т.е. каждый из них замкнут обратной связью, и, кроме того, соединены их входы и выходы. Тогда примене- ние описанной выше процедуры свертки позволяет построить эквива- лентный автомат NA, в описании которого присутствуют только внеш- ние входы и выходы (рис. 9.22, 6). i . 9.22. Произвольное соединение: а — двух сетевых автоматов; б эквивалентный автомат Пусть теперь А е Е __ соединен с А, то, построив автомат, входящий в L. Тогда, если В е Е эквивалентный автомат АВ в соответствии 372
_________9 6 Мет,м У"?™-™™ сложной робототехнической системой с процедурой свертки, получим эквивалентную сеть L =(Е С ) Е, = £ - А - В + АВ. Эту процедуру следует повторять до тех пор, пока получаемая сеть содержит пару автоматов, имеющих общие каналы. Поскольку граф (9.23) является связным, то процесс свертки остано- вится тогда, когда результирующий граф будет состоять из одного автомата (диаграмма результирующего автомата может быть, однако, несвязной). Поскольку на каждом шаге сеть заменяется на эквивалент- ную, то полученный в результате автомат NA эквивалентен начальной сети L. Ясно также, что поскольку отношение эквивалентности реф- лексивно и транзитивно, то разный порядок выбора автоматов из L для осуществления операции свертки приводит к получению эквивалент- ных сетевых автоматов. 9.6. Метод управления сложной робототехнической системой Прежде чем перейти к описанию управляющей структуры, рас- смотрим вопрос о том, каким образом строят управление одним объек- том, описанным как конечный автомат. Обсудим коротко проблему управления одним объектом, имея в виду использование этого подхода для построения управляющей сети. Рассматриваемые автоматы имеют один вход и один выход. Пусть автомат О, интерпретируемый как объект управления, опи- сывается следующим образом: О = (Ц, Х°, Z3 f°у h°). (9.24) Кроме того, автомат R, интерпретируемый далее как регулятор, описывается так: R=(Z,^\t/, /Л,А\хоя). (9.25) Если вход и выход автомата R соединены с выходом и входом автомата О соответст- венно, то такую систему называют авто- матным контуром управления [81] (рис. 9.23). Автоматы О и R обмениваются символами входных / выходных алфави- тов, реализуя таким образом некоторое поведение ЦО) и ЦК). Рис. 9.23. Управление объектом О с помощью регулятора R (автомат- ный контур управления) 373
Ня пис , 24 представлена интерпретация взаимодействия двух ав- На рис. 9.^ чред _ записывающих устройств, а ва томатов в терминах читающих рис. 9.25 — в терминах сети Петри. Направление а&шш головок Направление движения головок Рис. 9.24. Модель взаимодействующих автоматов в виде записывающих — читающих устройств Рис. 9.25. Модель взаимодействующих автоматов в виде сети Петри Пусть теперь Z(£, С) — сеть автоматов (9.23). Пусть далее CS = (S, Т) сложная система, как это определено в §9.1, и NA = {NAJ множество моделей подсистем {S,}. Если при этом NA е Е, тогда подграф Г=(Е^Сс), где Е - Е - NA управляющая структура для CS. 374 (9.26)
__Метод управления споренс. Ясно, что будучи соединенной с Deai(Z ’ -------- ляющая структура обеспечит некоторое Актами, управ. щее от топологии управляющей струКп, " П0ДСИстем> завися- матов, входящих в ее состав. ' УР ’ И атРибУтов сетевых авто- тур для сложных РоботоСничХ^исХ6™' УГфаВЛЯЮЩИХ СТРУК- Пример 9.4. Пусть два робота AZ>, и Rb2 перекладывают деталь из накопителя 5 на два конвейера С, и С, (рис. 9.26). Сг Рис. 9.26. Простая РТС Рабочие зоны Rb} и Rb2 имеют общую точку в S. Модель выпол- няемой операции Т в терминах сети Петри представлена на рис. 9.27. Интерпретация позиций здесь следующая: pQ — состояние опасной зоны; р р2 —роботы Rb^ Rb2 ожидают освобождения опасной зоны S; Рз , Р4 — роботы Rb}, Rb2 движутся в опасной зоне; р5 , Рб — роботы Rb}, Rb2 движутся в безопасной зоне. Ясно, что рассматриваемая система ({Rb^ Rb2}, Т) является слож- ной. 375
ппбототехнической системой 9. управление слож---Р-------------- Рис. 9.27. Технологический процесс В соответствии с изложенным выше роботы Rbj, Rb2 опишем как конечные автоматы Rb, =(Ii,Oi,Ul,Xi.Zi,fi,hi)i z = l, 2, со следующими атрибутами: Л={/0}; 0,={zO}; tZz={g}; Xt= {0,1, 2}; Z(. ={у, У}, z = 1, 2 . Функции / и /?, заданы диаграммой, представленной на рис. 9.28. Каждый из роботов Rb, воспринимает только одну команду g, в ре- зультате которой он перемещается к накопителю S, захватывает деталь, переносит и устанавливает ее на конвейер С,.. Сигналы у и Y на выходе робота появляются тогда, когда он освобождает опасную зону и завер- шает выполнение одного цикла соответственно. Построим управляю- щую структуру в виде трех автоматов, два из которых Reg; и Reg-, являются логическими регуляторами роботов, а третий Res обеспечи- вает слежение за ресурсом. Рис. 9.28. Модель роботов Rb, 376
9.6 МетоО управления сложной робототехнической системой На рис.9.29 представлена топология управляющей структуры (а), а также диаграммы всех входящих в ее состав автоматов (6, в). Структу- ра функционирует следующим образом. Регулятор каждого робота по- сылает запрос автомату-ресурсу на занятие опасной зоны. Если зона свободна, то этот запрос удовлетворяется, опасная зона переходит в состояние «занято» и регулятор посылает команду роботу начать транспортную операцию. После того, как робот выйдет из опасной зоны, он информирует об этом регулятор, который в свою очередь переводит опасную зону в состояние «свободно» и ждет окончания выполнения операции. Далее цикл повторяется. Управляющая структура функцио- нирует полностью в соответствии с заданным технологическим про- цессом. Рис 9 29. Управляющая структура: а - топология; б — диаграмма регуляторов; в — диаграмма автомата, следящего за ресурсом 377
9. Логическое управление сложной робототехнической системой Построим автомат, эквивалентный управляющей структуре, ис- пользуя описанный в п. 9.5.3 алгоритм. На рис. 9.30 показано включе- ние результирующего автомата Sup = Res + Rb, + Rb, (а) и его диа- граммы (6-0). Из рисунка ясно, что, диаграмма является несвязной. Это вызвано тем, что не все комбинации начальных состояний автома- тов Reg], Reg. и Res (см. рис. 9.29) являются допустимыми. Так, на- пример, граф на рис. 9.30, в соответствует ситуации, когда опасная зо- на свободна, тем не менее в ней находится один из роботов. Приемлемой комбинацией состояний является 022 (зона свободна, оба робота выполнили задание). Соответствующая диаграмма приведена на рис. 9.30, б. Как видно, она очень проста и допускает прозрачную интерпретацию. езультирующии автомат: а — включение в сложную систему; • , , о диаграммы переходов 378
упранления, , Пример 9.5. Постоим уппяи ,о ------— ” ™ рис. 9.3. ||а р«' “ть ”« «орорррго MMV. " тж «’• 1|р1р„ с 㱓'"а сборочно- вяю На р„„,(к „ "„Хр” "“<>-«уе,Ся „,ли , ция позиции: ' приня^ следующая интерпрета- /Л- Pi - Р;- Р}- робот получил сигнал, что конвейер перемес- тился на один шаг; р:. plt. р,„. р14 —робот выполняет операцию; р., р*. р,-, —робот успешно завершил выполнение операции; р. — ошибка при исполнении; Р-., ри — ошибка при исполнении либо пропуск; Pis — укладка в тару готовой продукции; Р\6 — укладка в тару брака. Рис. 9.31. Модель сборочного процесса (сеть Петри) Топология управляющей структуры показана на рис. 9.32, а графы управляющих автоматов Р,. — на рис. 9.33. Участвующие в описании Р,. символы входного и выходного алфавитов имеют следующий смысл: t — робот завершил выполнение задания; г — робот готов к выполнению задания; С — конвейер заверь HI bi движение на один аг; н 379
сложнойробпг^^---------------------- р. ---------------------------------- --------- 77ZL „ожег быть продолжен или пропущен G Вр - оборо™«» окончание сборки или ошибка соот- “"«Г ° н»« зимм- УТ7Т" Т М ветственно, Rs нижний уровень (р/_, pi> Р2> Р№ ° ') является ’ п юж подсистемами. а верхний (Sup) - обеспечивает логическое yup общую координацию подсистем. Рис. 9.32. Топология управляющей структуры Контрольные вопросы и задания I. Дайте определение сложной системы. Какие условия должны быть вы- полнены, чтобы многокомпонентную систему можно было назвать сложной? Что такое сложная РТС? 2. Что такое абстрактный конечный автомат? Что такое граф переходов — выходов? 3. Сформулируйте понятие сетевого автомата. Какова связь абстрактного автомата с N входами и К выходами и сетевого автомата? 380
Контрольные вопросы и задания 4. Напишите программу, моделирующую сетевой автомат. Чем различа- ются программы, моделирующие разные сетевые автоматы? Если Вы знако- мы с объектно-ориентированной технологией программирования, постройте класс AUTOMA IА и прокомментируйте функции конструктора и деструктора. 5. Сформулируйте понятие эквивалентности двух автоматов. Покажите, что процедура, приведенная в п. 9.5.1, обеспечивает построение эквивалент- ного автомата. 6. Сформулируйте последовательность шагов в процедуре свертки двух последовательно соединенных автоматов. 7. Что такое автоматный контур управления? Сравните этот способ управ- ления автоматным объектом с фундаментальным принципом управления с обратной связью для дискретных систем. 8. Дайте определение понятия управляющей структуры. 9. Постройте модель поворотного стола с N позициями в виде конечного автомата. 10. Постройте управляющую структуру, обеспечивающую TV-кратный об- ход схваТом манипулятора последовательность точек Р,, Р2, ..., РЛ.. Можно ли обеспечить более экономный способ управления (в смысле количества состояний управляющего автомата) за счет распараллеливания? 381
ПОСЛЕСЛОВИЕ Итак, мы рассмотрели вопросы, составляющие в совокупности основу знаний инженера-робототехника в области управления робота- ми Изучив эту7 книгу, читатель сможет самостоятельно решать задачи, связанные с определением положения и скорости манипуляционных механизмов, составлять алгоритмы кинематического управления ма- нипуляторами. Он получает возможность провести анализ влияния динамических факторов на работу робототехнической системы и, при необходимости, составить такие алгоритмы управления, которые бы учитывали действие сил и моментов, возникающих в процессе выпол- нения рабочих операций. Авторы надеются, что читатель воспринял идею многоуровневости управления роботами, предполагающую возможность осуществлять управление различного уровня одним и тем же роботом. Речь идет о кинематическом и динамическом управлении, а также об уровне логи- ческого управления, которое может быть отнесено как к отдельному роботу, так и к сложной робототехнической системе, включающей на- ряду с роботами и другие автоматические машины и устройства. При этом управление на каждом из уровней имеет смысл рассматривать только тогда, когда решены задачи управления на предыдущих, более низких уровнях. Так, логическое управление предполагает, что отдель- ные состояния, в которых может находиться робот, достижимы, т.е. решена задача управления на кинематическом уровне. При этом систе- ма устойчива, качество процессов управления достаточно высокое, т.е. рассмотрена и задача управления с учетом динамики движения. Таким о разом, все описанные выше задачи оказываются взаимосвязанными и о разуют единую основу, опираясь на которую читатель сможет ре- шать проблемы управления роботами в своей области. Роботика, т.е. научная база робототехники, — одна из наиболее ыстро развивающихся областей знания. Поэтому, опираясь на ее ос- новы, читатель должен следить за развитием новых направлений в это области. Среди тех направлений, которые привлекают в настоя- 382
щее время осооое внимание исследователей, назовем прежде всего теорию мультиагентных систем. Ее предметом, как и £ следнеи главы нашей книги, являются сложные системы, однако в от- личие от описанного в книге подхода элементами системы являются не конечные автоматы, а интеллектуальные агенты, обладающие собст- венной системой знаний и другими атрибутами искусственного интел- лекта. Ясно, что такая теория представляет непосредственный интерес для создания сложных робототехнических систем и является развитием описанных нами подходов. Интересное развитие методов искусственного интеллекта, в свою очередь, вносит значительные изменения как в методы обработки ин- формации в рооототехнических системах, так и в способы управления ими. Система управления приобретает возможность планировать не только движения, но и отдельные задачи, последовательность решения которых приведет к достижению цели. В этом случае меняется структура системы управления, которая снабжается собственной системой знаний о внешнем мире и технологии выполнения операций, а также о собст- венных возможностях. Робототехническая система приобретает способ- ность самостоятельно работать в заранее недетерминированных условиях. Мы лишь упомянули о проблеме взаимодействия человека и робо- та. В какой-то мере эта проблема исследована для ситуации, когда че- ловек-оператор непосредственно управляет движениями робота или его манипуляторами. Однако при оснащении робота собственными «органами чувств» и системой знании взаимоотношения между роботом и человеком приобретают совсем другой характер. Если в первом слу- чае для этих отношений подходит английское выражение «master slave», принятое для обозначения системы копирующего типа, когда робот просто повторяет все движения руки оператора, то во втором отношения между человеком и роботом приближаются к партнерским и сопровождаются содержательным диалогом в процессе раооты. При этом решающую роль играет организация интерфейса между челове- ком и роботом, включающая средства интерпретации сообщений и интеллектуальной поддержки решений оператора. Организация такого интерфейса требует знания объективных возможностей человека по управлению такой сложной технической системой, какой является ма- нипуляционный робот. Некоторые из перечисленных выше проблем авторы предполагают отразить в последующих учебниках серии «Роботика», над которыми они работают в настоящее время. В связи с этим они будут призна- тельны своим читателям за их предложения по содержанию этой се- рии, а также за критические замечания, касающиеся данной книги. 3«3
Список литературы 1 Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии. М.: Наука, 1968. ?' Андреенко С Н„ Ворошилов М. С., Петров Б. Е. Проектирование при- 1975. 3 АрбибМ. Алгебраическая теория автоматов, языков и полугрупп: Пер. с англ. М.: Статистика, 1975. 4. Брауэр Б. Введение в теорию конечных автоматов: Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1987. 5. Верещагин А. Ф-, Минаев Л. Н. Принципы построения специализиро- ванных вычислений для позиционного супервизорного управления манипу- ляционными роботами И Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1978. №4. С. 56-65. б. ВертюШ., Куафе Ф. Телеуправление роботами с помощью ЭВМ: Пер. с фр. под ред. А. С. Ющенко. М.: Мир, 1989. 7. Воробьев Е. И и др. Механика роботов (в 3-х книгах) / Под ред. К. В. Фролова и Е. И. Воробьева. Учебн. пособие для вузов. М.: Высшая школа, 1988. 8. Вукобратович М., Стокич Д. Управление манипуляционными робота- ми: Пер. с англ. М.: Наука, 1985. 9. Вукобратович М., Стокич Д, Кирчнски Н. Неадаптивное и адаптивное управление манипуляционными роботами: Пер. с англ, под ред. Е. П. Попова и А. С. Ющенко. М.: Мир, 1989. .. Гавриш А. ГС Ямпольский Л. С. Гибкие робототехнические системы: Учеб. Киев: Выща шк., 1989. ка 1986^224^^ Методы решения обратных задач динамики: М.: Нау- мат лит^Тоя^^^ Теория матриц. 4-е изд. М.: Наука. Гл. ред. физ.- iruArJ?» ГдУшков В. М. Теория автоматов и вопросы проектирования структур цифровых машин// Кибернетика, 1965. № 1. С 3-11. мани™£Т" евСКийД М- ф°Рмальский А. М„ Шнейдер А. Ю. Управление Лиома «Фм ННЫМИ системами на основе информации об усилиях. М.: Изд. фирма «Физико-математическая литература», 1994. 384
\5. Гори,вескийД. М ФормачьскийА. М. Об устойчивости движений упругого манипулятора с обратной связью по силе И Механика твердого тела ЕжльяновВ- В- Овсянников М. В. Оперативное управ- ление в Г11С. М.: Машиностроение, 1990. 17. Силовая обратная связь в системе управления манипулятором / в. С. Гурфинке.чь, Е. А. Девянин, А. В. Ленский и др. // Механика твердого тела. 1984. № 6. С. 56—63. 18. Дистанционно управляемые роботы / Под ред. В. С. Кулешова и И. А. Лакоты. М.: Машиностроение, 1986. 19. Закревский А. Д. Языки логического управления. Минск, 1988. 20. Зенкевич С. Л., Дмитриев А. А. Логическое управление адаптивным робототехническим комплексом // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика 1986. №3. С. 113-126. 21. Зенкевич С. Л., Назирова А. В. Программное обеспечение робототех- нических систем: Учеб, пособие. М.: МВТУ, 1988. г* 22. Иванов В. А., Ющенко А. С. Теория дискретных систем автоматиче- ского управления: Учеб, пособие для вузов. М.: Наука, 1983. 23. Конечные автоматы: эквивалентность и поведение / Н. Н. Иванов, Г. И. Михайлов, В. В. Руднев, А. А. Таль. М.: Наука, 1984. 24. Казмиренко В. Ф., Лесков А. Г., Введенский В. А. Системы следящих приводов / Под ред. В. Ф. Казмиренко. М.: Энергоатомиздат, 1993. 25. Кудрявцев В. Б., Алешин С. В., Подколзин А. С. Введение в теорию ав- томатов. М.: Наука, 1985. 26. Кобринский А. А., Кобринский А. Е. Манипуляционные системы ро- ботов. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. 27. Козлов Ю. М. Адаптация и обучение в робототехнике: М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. 28. Козырев Ю. Г. Промышленные роботы: Справочник. М.: Машино- строение, 1988. 29. Программный комплекс для автоматизированного исследования и проектирования промышленных роботов / Е. А. Котов, А. И. Максимов, В. А. Польский, Л. М. Скворцов. М.: Машиностроение, 1991. 30. Кулешов В. С., Лакота Н. А. Динамика систем управления манипуля- торами. М.: Энергия, 1971. 3\. Лазарев В. Г, Пийлъ Е. И, Туруга Е. Н Построение программируе- мых управляющих устройств. М.: Энергоатомиздат, 1984. 32. Лазарев В. Г, Пийль Е. И Синтез управляющих автоматов. М.: Энер- гоатомиздат, 1989. 33. Лесков А. Г., Ющенко А. С. Моделирование и анализ робототехниче- ских систем. М.: Машиностроение, 1992. 34. Манипуляционные системы роботов / Под ред. А. И. Корендясева. М.: Машиностроение, 1989. 385
и г Песков А г.. Ющенко А. С. Системы управления ма- 3 5. Медведев В .С., Ле нипуляционных роботов. М.. аука ской геометрии: Учеб. М.: Высш. 36. Мусхелишвили Н. Я КУРС dMdJ “ з’и—э. Введение . робо—нку: Пер. е «п под Р=Д. А. М.фи- “taXX"» "ши* “стеи'Под рел н-л Лако™- М : 'т™«фе^ л В. Расчет и стабилизация программного движения манипулятора подвижного робота П Техническая кибернетика 1976. №6. С. 91-101. 40 Письменный Г. В., Солнцев В. И., Воротникове. А. Системы силомо- ментного очувствления роботов. М.: Машиностроение, 1990. 41. Питерсон Дж. Л. Теория сетей Петри и моделирования систем: Пер. с англ. М.: Мир, 1984. 42. Пол Р. Моделирование, планирование траекторий и управление дви- жением робота-манипулятора: Пер. с англ. М.: Наука, 1976. 43. Польский В. А. Расчет электроприводов промышленных роботов: Учеб, пособие. М.: МВТУ, 1989. 44. Польский В. А. Расчет регуляторов следящего электропривода на ПЭВМ: Учеб, пособие. М.: Изд-во МГТУ, 1993. 45. Попов Е. П., Верещагин А. Ф., Зенкевич С. Л. Манипуляционные ро- боты. Динамика и алгоритмы: М.: Наука, 1978. 46. Попов Е. П. Робототехника и гибкие производственные системы. М.: Наука, 1987. 47. Попов Е. П„ Письменный Г. В. Основы робототехники. Введение в специальность: Учеб. М.: Высш, шк., 1990. 48. Проектирование следящих систем двустороннего действия / Под ред. В. С. Кулешова. М.: Машиностроение, 1980. 49. Робототехника и гибкие автоматизированные производства: Учеб, пособие / Под ред. И. М. Макарова. М.: Машиностроение, 1986 (в девяти КНИГЭХ). д 52.Робото^хника; новый этап развития / Под ред. Е. П. Попова и А. С. Ющенко. М.: Наука, 1993. ника51978Н№Тс °^ЪеКТ УпРавления Автоматика и телемеха- .|ИМД2л?СТеМх* ТеЛНИЧесК0Г0 зрения 1 Под Ред- и- м- Макарова, Д. Е. Охо- цимского и др. М.: Наука, 1981 ственных сигтам °^вствления промышленных роботов и гибких производ- ил г А од ред- И. М. Макарова и Е. П. Попова. М.: Наука, 1989. ческого wnaRnewu°e Плотников В. Н., Яковлев А. В. Теория автомати- МГТУ 1993 техническими системами: Учеб, пособие. М.: Изд-во 386
С Субботин Ю. И. Сплайны в вычислительной матема- 1ике. М.: Наука, 1976. 56. Тимофеев А. В. Адаптивные робототехнические комплексы. Л.: Ма- шиностроение, 1988. 57. ТывесЛ. И., Маркевич С. В. Управление движением робота по собст- венной траектории. М.: ИМАШ АН СССР. Препринт, 1985. 58. Тывес Л. И., Маркевич С. В. Планирование движений роботов с уче- том динамических свойств исполнительных устройств. М.: ИМАШ АН СССР. Препринт, 1985. 59. Управляющие системы промышленных роботов / Под ред. И. М. Ма- карова и В. А. Чиганова. М.: Машиностроение, 1984. 60. Фу К., Гонсалес Р., Ли К. Робототехника: Пер с. англ, под ред. В. Г. Градецкого. М.: Мир. 1989. 61. Хорн Б. К. П. Зрение роботов: Пер. с англ. М.: Мир, 1989. 62. Черноусъко Ф. Л., Болотник Н. А., ГраОецкий В. Г. Манипуляцион- ные роботы. М.: Наука, 1989. 63. Шахинпур М. Курс робототехники: Пер. с англ, под ред. С. Л. Зен- кевича. М.: Мир, 1990. 64. Эйрис Р., Миллер С. Перспективы развития робототехники: Пер. с англ, под ред. Е. П. Попова. М.: Мир, 1986. 65. Юревич Е. И. Основы робототехники: Учеб. Л.: Машиностроение, 1985. 66. Asada Н., Youcef-Toumi К. Direct-Drive Robotics. Theory and Practice. Cambridge, Massachusets. MIT Press, 1987. (Jl.DenavitJ, Hartenberg R. S. Kinematic notation for Lower-Pair Mecha- nisms Based on Matrices //J. Appl. Meeh. 77. P. 215-221, 1955. 68. Hollerbach J. M. Dynamic Scalling of Manipulator Trajectories: Trans. ASME // J. Dyn. Syst., Meas, and Con., 106. P. 102-106, 1984. 69. Lee C. S., Ziegler M. A. A Geometric Approach in Solving of Inverse Kinematics of PUMA Robots // IEEE Trans. Aero, and Electr. Systems, AES-20. No 6. P. 695-706. 70. Lee T. M., Yang D. С. H. On the Evaluation of Manipulator Workspace // Trans. ASME, J. Meeh. Trans. Autom. Design, 105(5). P. 70-77, 1983. 71. LuhJ. И S., Lin C. S. Approximate Joint Trajectories for Control of In- dustrial Robots Along Cartesian Path // IEEE Trans. Sys. Man and Cyber. SMC- 14.No3. P. 444^50, 1984. 72. LuhJ. И. S., Walker M. W., Paul R P. Resolved Acceleration Control of Manipulators // IEEE Trans. Aut. Control, AC-25. No 3. P. 486-474, 1980. 73. Paul R. P. Robot Manipulators: Mathematics, Programming and Control. Cambridge, Mas. MIT Press, 1981. 74. Paul R.. Shimano B. Kinematic Control Equation for Simple Manipulators // IEEE Proc, of Confer, on Decision and Control. N-Y, 1979. P. 1398-1406. 387
75 Pieper D L. The Kinematics of Manipulator under Computer Control // Artificial Intelligence Project Memo. No 72. Stanford University, 1968, 76 StokicD., Vukobratovic M. Robustness of decentralized robot controller to payload variation // Journal of Robot Systems. V. 5. No 5. P. 471—495, 1988. Tl.VukobratovicM., Stokic D. Applied Control of Manipulation Robots. Berlin. Springer Verlag, 1989. 78. Vucobratovic Kircansky N. Real-Time Dynamics of Manipulation Robots. Berlin. Springer Verlag, 1984. 79. Vukobratovic M., Potkonjak К Dynamics of Manipulation Robot. Berlin. Springer Verlag, 1982. 80. Whitney D. E. The Mathematics of Coordinated Control of Prosthetic Arms and Manipulators // Trans. ASME, J. Dynamic Systems, Measur. and Con- trol. 122. P. 303-309, 1972. 81. YoshikawaT. Dynamic Manipulability of Robot Manipulators // Proc. 1985 IEEE Intern. Conf, on Robotics and Automation. St. Lois. P. 1033-1038. 82. Yuan E Dynamic decoupling of a remote manipulator system // IEEE Trans, on Automatic Control. V. 23. No 4. P. 713-717, 1978. 388 *
Комментарий к списку литературы Введение. Существует большое количество литературы, написанной для предварительного знакомства с робототехникой. Читателю этой книги как будущему специалисту в рассматриваемой области следует проявить осто- рожность при чтении такой литературы, так как многие книги уже устарели и не соответствуют современным представлениям о робототехнике. Одним из учебных пособий, которые по-прежнему можно рекомендовать как введение в робототехнику, является книга Е. П. Попова и Г. В. Письменного [47]. Кро- ме того, может быть использована и книга Е. И. Юревича [65], несмотря на то, что она издана уже довольно давно. Это первый отечественный учебник по робототехнике. Среди зарубежных изданий, переведенных на русский язык, отметим книгу японского автора Э. Накано [37], вполне современную по изложенным в ней принципам создания робототехнических систем. Социальные и эконо- мические перспективы использования роботов по состоянию на начало вось- мидесятых годов описаны в книге Р. Эйрис и С. Миллер [64]. Здесь, прежде всего, интересна методика исследований, поскольку реальное развитие про- мышленности внесло существенные поправки в прогнозы авторов. Читателю, который интересуется, в первую очередь, промышленными приложениями робототехники, можно порекомендовать небольшую книгу одного из основателей отечественной робототехники Е. П. Попова [46], на- писанную также как введение в специальность. Более углубленное рассмот- рение этих вопросов можно найти в учебнике украинских авторов А. П. Гавриша и Л. С. Ямпольского [10] и в серии из девяти книг, изданных под общей редакцией И. М. Макарова [49]. Среди книг, посвященным вопросам управления роботами, отметим мо- нографию А. В. Тимофеева [56] и книгу Ю. М. Козлова [27]. Несмотря на то, что эти книги написаны для специалистов, язык и стиль изложения делают их вполне доступными для предварительного знакомства с возникающими в этой области проблемами. Более углубленно вопросы организации систем управления промышленными роботами рассмотрены в книге, написанной под редакцией И. М. Макарова и В. А. Чиганова [59], чтение которой также 389
вольно существенных корректив, обусловленных време- требует внесения довольно сущ нем ее издания. интеллектуальных робототехнических Проблемы создания адапти . требуют некоторого знакомст- ° с ™га- Поскольку , от» книгах не рассматриваются проблемы управления при наличии технического зрения и лР1Шь В небольшой степени затрагиваются вопросы силомоментного очувст- Хия мы рекомендуем специальную литературу по этим вопросам. По- слепней монографией по вопросам силомоментного очувствления, изданной В России, является книга Д. М. Гориневского, А. М. Формального и А Ю Шнейдера [14]. В ней можно найти сведения как об устройстве много- компонентных силомоментных датчиков, так и об организации систем сило- моментного очувствления при выполнении роботом конкретных задач. Большая часть этих работ была выполнена в Институте механики МГУ. Среди обширной литературы по техническому зрению роботов выделим монографию Б. Хорна [61]. В число публикаций, наиболее адекватно отра- жающих современное состояние вопроса, входят также сборники статей [52] и [53]. Они имеют более высокий уровень формализации изложения и, сле- довательно, требуют больших усилий от читателя, интересующегося вопро- сами очувствления роботов, В отличие от них сборник [50] ориентирован на широкий круг читателей и позволяет получить представление о многих ас- пектах современной робототехники, в том числе очувствления роботов и управления ими. При этом от читателя не требуется специальной подготовки. Одним из аспектов робототехники, интерес к которому, по-видимому, будет возрастать, является проблема взаимодействия робота и человека. К сожалению, публикаций в этой области не очень много и для знакомства с этими вопросами на сегодняшний день мы можем порекомендовать всего две ™ монографию коллектива авторов, изданную под редакцией * . улешова и Н. А. Лакоты [18] и переведенную на русский язык не- большую книгу известных французских ученых Ж. Вертю и Ф. Куафе [6]. лава 1 Содержит основные сведения по теории линейных преобразо- мнпгтир Т°РЫе далее используются для построения кинематической модели пеоеносаТТ0 МеХанизма* Дополнительный материал по преобразованиям ве^ооов ТНИЯ М0ЖН° НаЙ™ В моногРаФии [12]. Теория однородных работой посняпбРа3°ВаН^ ПОДробно сложена в [1; 36]. Основополагающей мов, является публи^ ВЫ СИСТем к°ординат для многозвенных механиз- тем (координаты Денам™2]хПредложенная в ней схема выбора таких сис- Гланя ? п Хартенберга) принята в этой книге за основу. обратной ЗЯ паиа°^Я^еНа решению основных задач кинематики — прямой и их применения ппо оложении’а также некоторым геометрическим аспектам выяснения конфигурации рабочей зоны механизма. 390
Решение кинематических задач о положении подробно освещено в лите- ратуре. К их числу относится, прежде всего, проблема поиска решения об- ратной задачи для разнообразных кинематических схем манипуляционных роботов. В работе [74] для решения обратной задачи о положении использу- ются алгебраические методы. В [69] приведено решение обратной задачи для манипулятора PUMA, основанное на геометрическом подходе. Метод обратных преобразований для решения той же задачи представлен в работе Р. Пола [73], переведенной на русский язык [42]. Одной из первых работ, где использован итерационный метод решения нелинейной обратной задачи о положении является работа А. Ф. Верещагина и Л. Н. Минаева [5]. Конфигурация и свойства рабочего пространства манипуляционного робо- та рассмотрены в работе М. Шахинпура [63]. Одной из первых публикаций, в которой исследованы эти проблемы, является работа Т. Ли и Д. Янга [70]. Методы анализа свойств манипуляционных систем в рабочем простран- стве нашли продолжение и значительное развитие в монографии А. А. Коб- ринского и А. Е. Кобринского [26]. В справочнике Ю. Г. Козырева [28] характеристики рабочего простран- ства используются в качестве технических показателей манипуляционных роботов. Глава 3. Рассмотрены кинематические свойства манипулятора, связан- ные со скоростями и ускорениями. Этой проблеме, как и проблеме определе- ния положений, также посвящена обширная литература. Одной из первых работ, содержащих постановку прямой и обратной задачи о скорости, являет- ся статья Д. Уитни [80]. Решение обратной задачи о скорости в аналитиче- ской форме для механизмов с тремя пересекающимися осями впервые было получено А. Ф. Верещагиным в [5]. Аналогичный подход был использован в [74] для решения обратной скоростной задачи для манипулятора PUMA. Дифференциальные преобразования, играющие большую роль в разра- ботке алгоритмов управления манипуляционными роботами, детально рас- смотрены в уже упоминавшейся монографии М. Шахинпура [63] с большим количеством примеров. Глава 4. Посвящена способам кинематического управления манипуля- торами. Дополнительные сведения по проблемам с пл айн-интерполяции, со- держащимся в гл. 4, имеются в монографии С. Б. Стечкина и ГО. Н. Субботи- на [55]. В том числе здесь рассмотрены 5-сплайны и многомерная интерпо- ляция сплайн-функциями, использующаяся для моделирования мобильных роботов. Различные методы планирования траектории движения манипуляторов и роботов описаны в монографии Е. П. Попова, А. Ф. Верещагина и С. Л. Зен- кевича [45]. Там же приведен способ планирования в пространстве обобщен- ных координат с использованием метода динамического программирования. В работе Д. Холлербаха [68] исследуется задача реализуемости спланирован- 391
ограничения на моменты, привода- ной траектории в условия Н манипулятора. Задача ограничения z»—р— •[7,i в работе 1721 - “'T,"ZeyXZHvnpXT— у.™,™™» роботам» иложепь, ' “ гТавя VcMep»>T «« ™«« ...нипулапионных „еханизмоа. „ уравнений р..».«» ПР"»»™» - »™ С"» " С“™Л““ .₽“ уравнений е исноаьао.ани» аппарата блочных „атрпц 6»о наложено . монографии В. С. Мед.елеаа. А. Г. Лескова и А. С. Юшенко [За). Блочные матрицы позволяют в весьма сжатой форме записать как условия равновесия, так и рекуррентную процедуру расчета сил и моментов, приложенных к звеньям манипулятора. Аналогичные рекуррентные процедуры рассмотрены в книге М. Шахинпура [63]. Содержащийся в гл. 5 анализ сил, развиваемых манипуляторами в стати- ке. представляет наибольший интерес для перспективных систем с безредук- торным (моментным) электродвигателем, который позволяет непосредствен- но управлять развиваемыми силами и моментами. Единственная книга, где эти вопросы рассмотрены достаточно подробно, была опубликована сотруд- никами Массачусетс ко го Технологического Института [66]. Здесь были рассмотрены эллипсоиды развиваемых сил и проведен их анализ в рабочем пространстве манипулятора. Поскольку эта книга не была переведена на рус- ский язык, в гл. 5 приведены два интересных примера из нее. Процедура составления уравнений манипулятора как уравнений кинето- статики с использованием аппарата блочных матриц, являясь сжатой формой записи уравнений динамики, тем не менее, малоэффективна как аппарат чис- ленного анализа. Ее недостатком является сложность блочных матриц, вхо- дящих в уравнения кинетостатики, а также их разреженность (многие компо- ненты этих матриц равны нулю), что приводит к неэффективному использованию памяти ЭВМ. Поэтому в практике решения аналогичных задач предпочтение было отдано рекуррентным способам составления уравнений динамики. Наиболее подробно этот вопрос рассмотрен в [63], где уравнения н тостатики составляются с помощью итеративной процедуры. Получаемые ри этом уравнения динамики называются уравнениями Ньютона — Эйлера. С0С?1^ения таких уравнений приведена и в монографии К. Фу, с371603 и и [60]. Аналогичный подход принят и в данной книге, причем ления ^0ЧНЫХ матриц позволяет провести описание процедуры состав- изложеним ДВИЖения в знзчительно более компактной форме. В сжатом машин ппсп^ЦеДУРа П°Д^*ения Уравнений кинетостатики с помощью блочных ппв м еНа В 33Ь Она описана также в монографии югославских авто- ров М. Вукобратовича и Д. Стокича [8]. 392
В ряде ра- и них отметим работы j понятие динамиче- .у, что эта высокомо- показатели динамических свойств манипулятора приведены бот, опубликованных виде научных статей. Срех__ японского ученого Т. Йошикава [81], в которых введено гд- ской манипулятивное™, рассмотренное в гл. 5. Следует иметь в виду работа, как и [66]. посвящена, в первую очередь, рассмотрению г' ментных приводов, допускающих прямое управление моментом Введенные показатели могут быть использованы для оценки динамических свойств ма- нипуляторов и в других случаях. Глава 6. Содержит краткое изложение методов Лагранжа и Гаусса для составления и анализа моделей динамики манипулятора. В одной из первых книг, посвященных динамике манипуляторов, написанной Р. Полом [42], за основу были взяты уравнения динамики системы твердых тел в форме Ла- гранжа. В [35] оыло показано, что такой подход имеет определенные пре- имущества при описании манипуляторов с дополнительными кинематиче- скими связями. При этом, однако, следует иметь в виду и ограничения — связи при использовании этого подхода могут быть только голономными. В [60] и [63] описан итеративный подход к составлению уравнений Лагранжа (метод Лагранжа — Эйлера), который весьма эффективен при организации численных процедур формирования уравнений динамики и их решения. При этом в [60] для манипуляционного механизма получены уравнения Даламбе- ра в форме Лагранжа (обобщенные уравнения Даламбера). Весьма подробно и с большим количеством интересных примеров метод Лагранжа описан в серии из трех книг «Механика роботов» Е. И. Воробьева и др. [7]. Другой подход, основанный на принципе наименьшего принуждения Гаусса, был разработан А. Ф. Верещагиным [45]. На основе этого подхода, обеспечивающего значительную общность описываемой модели и весьма эффективного в вычислительном отношении, в МГТУ им. Н. Э. Баумана был разработан пакет программ, позволяющих автоматически составлять уравне- ния движения манипуляционных роботов и исследовать их [29]. Этот про- граммный пакет представляет только один из возможных подходов к автома- тизации моделирования уравнений динамики манипуляторов. Другой подход, в котором для аналитического вывода уравнений динамики (на ЭВМ) ис- пользуются особенности структуры этих уравнений, был разработан М. Вукобратовичем и Н. Кирчанским [78]. Метод обеспечивает значительное быстродействие при вычислении составляющих уравнений динамики и в ряде случаев может быть использован при управлении в реальном времени. Общие принципы этого подхода кратко изложены в изданной на русском языке монографии [9]. Глава 7. Знакомит читателя с теорией систем автоматического управле- ния. Для читателя, не являющегося специалистом в этой области, можно по- рекомендовать последний из учебников, изданных в МГТУ им. Н. Э. Баумана [54]. Вопросы проектирования следящих систем более детально изложены в 393
.„тематические модели, методы исследования и [38]. Рассмотренные.здесь „ ддя ИСПОЛНительных систем мани- управления в полной мер первой монографией, посвященной соб- „уляционных роботов- была киига |2Ь а 11ервой к1|игоГ1 в которой ственно приводам м . Р исполнительной системы манипулято- 6Ь,,И ,30] Н»»гр. на ЯЮ„ н'рекоирнзицнй. я» Z “««PH.. Отметим, и» пос.™»» .» ч™ »„т впервые были „селедо- „внилзляпирниме системы д.усторопкего действ.» Подробнее дин.мн- ка систем двустороннего действия описана в монографии [48]. Рассмотренные в гл. 7 методы автоматизированного энергетического рас- чета приводов манипулятора нашли отражение в учебных пособиях [43; 44], изданных в МГТУ. Методика анализа линеаризованных исполнительных систем с помощью ло- гарифмических частотных характеристик, включая исследование взаимовлияния каналов управления и анализ устойчивости, была разработана А. Г. Лесковым, она подробно изложена автором в [33] и в [35]. На основе этой методики были разработаны пакеты программ, облегчающие работу пользователя, в том числе ПАЛС (программа автоматического линейного синтеза), ПСП-3 (ГосФАП per. № 008061), ПАМ (ГосФАП per. № 008062). Вопросы анализа и синтеза многомерных систем следящих приводов, к числу которых относятся и исполнительные манипуляционные системы, подробно изложены в монографии В. Ф. Казмиренко, А. Г. Лескова и В. А. Введенского [24]. Отметим, что исполнительные системы современных манипуляторов, в основном, имеют микрокомпьютерное управление. Особенности расчета дискретных автоматических систем достаточно подробно освещены в учебнике [22]. хотя примеров расчета собственно манипуляционных систем в ней нет. Подробно и с большим количеством примеров методика анализа и син- теза робототехнических систем описана в книге М. Вукобратовича и токича [77], изданной на английском языке. Это учебник, отражающий современный подход к решению указанных задач. Здесь приводится и про- граммное о еспечение для автоматизированного синтеза систем управления ро отами. сожалению, книга не переведена на русский язык. Однако ос- книгеМ^В^лГ60^6 П0Л°*ения’ использованные авторами, можно найти в Д Ст“"'“ " Н- K"P-~ W- »« русском языке, а также в ранее изданной книге [8]. ли за^Та^кни™ 7 В0Пр0СЬ1 УпРавления по вектору скорости, мы остави- зации систем уппявЛ Р0СЬ' полуавтоматического управления, т.е. органи- самостоятельно познакомился0?"1 ° У™™™ °ПераТОра‘ Читатель может миться с этими вопросами по книгам [6] и [18]. В 394
„ервои из лих кии. изложены, преимущественно, вопросы организации та ких споим и эргономические аспекты управления. В [18] содержатся м™ дика расчета исполнительных систем дистанционно управляемых роботоТи вопросы opi анизации систем двустороннего действия Глава 8. Рассмотрены методы управления, основанные на решении об- ратной задачи динамики, т.е. на определении сил, вызывающих заданное движение, в оощем виде систематизированы А. С. Галиуллиным [И] При- мени гс.чьно к управлению манипуляционными роботами эта задача подробно рассматривалась М. Вукобратовичем и его сотрудниками в уже упоминав- шихся работах [8], [9], [78]. Однако эти вопросы рассматривались и многими другими исследователями. Так, подход к компенсации динамики манипуля- тора, рассмотренный в гл. 8, был впервые предложен В. А. Павловым и А. В. Тимофеевым [39]. Он описан также в монографии А. В. Тимофеева [56]. Вопросы компенсации динамики программного движения, при условии, что можно пренебречь перекрестными связями, обусловленными динамикой механизма, рассматривались в упомянутых выше работах М. Вукобратовича и его соавторов, к которым можно добавить монографию [79]. Этими же ав- торами была развита концепция декомпозиции системы управления манипу- лятором, при которой по отдельности формируются сигналы локального управления подсистемами и сигналы динамической коррекции. В гл. 8 также описан подход к динамической декомпозиции каналов управления, предло- женный С. Юанем [82]. Вопросы организации силовой обратной связи в робототехнических системах отражены в монографии Д. М. Гориневского, А. М. Формальского и А. Ю. Шнейдера [14], а также в небольшой книге Г. В. Письменного, В. И. Солнцева и С. А. Воротникова [40]. Вопрос о независимости динамической коррекции с помощью силовой обратной связи от неточности задания динамической модели исполнительно- го механизма (это свойство иногда называют «робастностью» системы управления) рассматривается в работе Д. Стокича и М. Вукобратовича [76]. Задача анализа устойчивости манипулятора при наличии силовой обрат- ной связи представляет интерес, прежде всего, при его взаимодействии с внешними объектами. Эти вопросы нашли отражение в уже упоминавшихся книгах [8; 9; 14; 18]. Однако их сложность не позволяет решить задачу' в об- щем случае. Поэтому целесообразно рассмотрение задачи при некоторых упрощениях, что и сделано в работах [15] и [17]; пример из работы Д. М. Го- риневского и А. М. Формальского мы привели в гл. 8. Особенность рассмат риваемого подхода состоит в том, что учитывается упругость датчика сил, существенно усложняющая динамику процессов управления. В более общей постановке вопросы исследования динамики манипуляторов с учетом упру гости их звеньев рассмотрены в монографии Ф. Л. Черноусько, Н. А. Болот ника и В. Г. Градецкого [62]. Ж
Проблема планирования движения манипулятора по собственной траек- тории, т.е. под действием сил инерции, исследовалась в Институте машино- ведения РАН. Краткие сведения, сообщаемые по этому вопросу в гл. 8, цели- ком основаны на результатах этих исследований [57; 58]. Глава 9. Дополнительные сведения о теории автоматов и сетей Петри можно найти в [13; 3: 4; 25]. Хорошее изложение теории сетей Петри, снаб- женное большим количеством примеров, содержится в [41]. В книге [23] исследуется поведение автоматов. Вопросам управления техническими системами с использованием авто- матов посвящено много работ. В работе [41] исследуется простой автоматный контур управления, включающий в себя объект управления, который описан как конечный автомат, а также регулятор. Автор приводит графический ал- горитм синтеза регулятора. Вопросам синтеза управляющих автоматов и языкам логического управления посвящены работы [31; 32; 19], В работе [20] описан подход, используемый для логического управления сборочным робо- тотехническим модулем. Разработка программного обеспечения робототех- нических систем является чрезвычайно сложной задачей, рассмотрение кото- рой выходит за рамки настоящей книги. В изданном в МГТУ им. Н. Э. Бау- мана учебном пособии [21 ] рассматриваются некоторые аспекты разработки программного обеспечения системы управления роботами, в том числе ее логического уровня. Отличные от автоматных подходы к управлению слож- ными техническими системами описаны в [ 16]. I 396
Предметный указатель Автомат — абстрактный конечный 353 — инициальный 353 — Мили 353 — многомерный 355 — Мура 353, 355 — сетевой 361 5-сплайны 391 Вращение — сложное 44, 122 — элементарное 43 Граф — автомата 354 — задания 349 Датчики сил и моментов 28 ------в соединениях манипулятора 320 -------на схвате 318, 324 Жесткость датчиков (сил и моментов) 330 Звено кинематической цепи 35 Зона обслуживания 84 Исполнительная система манипуляцион- ного робота 256 Кинематическая задача (для манипуля- ционного механизма) ----обратная позиционная 91 -------о скорости 131, 140 ----прямая позиционная 67 -------о скорости 131 Кинематическая пара 17, 37 Кинематическая схема манипулятора (манипуляционного механизма) -----антропоморфная 21 -----замкнутая 18 — — параллелограммная 206 -----прямоугольная 19 -----разомкнутая (незамкнутая) 18, 195 -----с ветвлением 22 — — с замкнутыми контурами 240 -----с перекрестной связью 208 -----с избыточностью 19 -----сферическая 21 -----цилиндрическая 21 Кинетический момент 211 Кинетический потенциал (функция Ла- гранжа) 233 Класс кинематической пары 17, 37 Компенсация динамики манипулятора 305, 307 Комплекс отдельно взятых приводов 267 Координаты — обобщенные 37 — однородные 49 Коэффициент сервиса 84 Критерий устойчивости -----Гурвица 275, 299 -----Найквиста 276, 300 Маневренность (манипулятора) 76 Манипулятор 16, 35 Манипулятивность 84 — в направлении 84 — динамическая 221 — относительная 164 397
Матрица — блочная НО - дифференциального преобразования 129 — однородного преобразования 51 — ортогонального преобразования 41 — поворота 40 — псевдообратная 152 — Якоби 100 Метод — Ньютона 98 — прогонки 179 - обратных преобразований 92 Механизм 17 Мобильность манипулятора 163 Мощность силовых агрегатов 203, 339 Некорректные задачи 311 Объем рабочего пространства 78 Однородный вектор 50 Передаточная матрица -----замкнутой исполнительной систе- мы 265 -----перекрестных связей (взаимовлия- ния каналов управления) 268 -----по возмущению 323 -----разомкнутой исполнительной сис- темы 265 Планирование траектории движения (схвата манипулятора) -------динамическое 335 -------кинематическое 170 по собственной траектории 341 Податливость датчиков (сил и моментов) 328, 330 Позиционная задача -----прямая 67 -----обратная 91 Показатель качества исполнительной си- стемы 270 Преобразование — дифференциальное 121, 128 — однородное 51 — ортогональное 40 — Эйлера 45 Предел досягаемос ти 79 Привод степени подвижности манипуля- тора 23 Приемистость манипулятора 166 — динамическая 222 Принуждение по Гауссу 248 _____ для манипуляционного механизма 249 Принцип - виртуальных перемещений 191,238 — Гаусса 248 — Даламбера 209 — подчиненного регулирования 24, 286 Рабочее пространство (манипулятора) 73 Регулятор — моментный обобщенный 311 — ПИД (пропорционально-интегро-диф- ференциальный) 258, 284 — с последовательной и параллельной коррекцией 259 Робототехнический комплекс 30 Связи — голономные 231 — идеальные 196, 238 — неголономные 235, 248 Сервис (манипулятора) 85 Сеть автоматов 365, 371, 374 Силовая обратная связь 318, 320, 324 Силы и моменты -----инерции 210, 212 -----обобщенные 231,242 -----развиваемые рабочим инструмен- том 201 -----реакции связей 200, 236 Система — силомоментного очувствления 28, 319 — сложная 348, 350 -----робототехническая 348, 350, 373 — технического зрения 27, 359 Система координат -----Денавита — Хартенберга 60 -----неподвижная абсолютная 58 -----связанная со звеном манипулятора 58 Сплайн-функции — кубические 176, 335 — параболические 180 Степени подвижности (манипуляторов) ----вращательные (шарниры) 38 ----ориентирующие 22 ----переносные 22 ----поступательные (телескопические) 3 8 398
Схва'1 (захват) манипулятора 16, 219 Тензор инерции 21 1 Управление манипуляторами ----адаптивное 27 --..динамическое 29 ------ - с декомпозицией 3 1 5 —кинематическое 169 ----контурное 25 ----по вектору силы 190 ----по вектору скорости 188, 290 ----по вектору ускорения 188 ----программное 26, 184 ----по положению (позиционное) 25, 183,186,296 ----цикловое 25,356 Управляющая структура 361 Уравнения — динамики ----в форме Даламбера 215, 305 -------Даламбера — Лагранжа 238 -------Лагранжа первого рода 239 -------Лагранжа второго рода 231 -------Лагранжа — Эйлера 235 -------Ньютона 213 — кинетостатики 213,214 — статики 198 Устойчивость исполнительной системы 275, 299 — при наличии силовой обратной связи 328 Частотные характеристики 266 -----логарифмические 273, 279, 295 Электродвигатели — постоянного тока 257 — прямого управления (безредуигорные, моментные) 203,205 Эллипсоид допустимых сил 204 — — ускорений 220 Энергия — кинетическая 231 — потенциальная 233 Эргатические манипуляционные систе- мы 32 399
\ чс(нте и нЪание кнкевич Станислав Леонидович Ющенко Аркадий Семенович УПРАВЛЕНИЕ РОБОТАМИ ОСНОВЫ УПРАВЛЕНИЯ МАНИПУЛЯЦИОННЫМИ РОБОТАМИ Редактор Г. А. Нилова Художник С. С Водчиц Корректор О. В. Калашникова Компьютерная верстка А. Д. Холодов Оригинал-макет подготовлен в Издательстве МГТУ им. Н. Э. Баумана ЛР № 020523 от 25.04.97 Подписано в печать 01.12.99. Формат 70x100/16. Печать офсетная. Бумага офсетная. Печ. л. 25. Усл. печ. л. 32,25. Уч.-изд. л. 32,08. Тираж 1000 экз. Заказ № 1488 . Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана. 107005, Москва, 2-я Бауманская, 5. Отпечатано с оригинал-макета в ППП «Типография «Наука» 121099, Москва, Шубинский пер., 6