/
Author: Рабинович И.М.
Tags: строительство строительная механика учебник для вузов стержневые системы статические системы
Year: 1950
Similar
Text
И. М. РАБИНОВИЧ
чл -КОРР АН СССР, ПРОФ
я Р ТЕХН. НАУК
КУРС СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Часть I
СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМ
Издание 2-е, переработанное
Допущено Министерством высшего образования СССР
в качестве учебника для строительных вузов
и факультетов
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
Москва
/
ИЗДАТЕЛЬСТВО СТРОИТЕЛЬНОЙ
м ЛИТЕРАТУРЫ
Ленинград
1950
Рецензенты: кафедра строительной механики ВВП А им. Жуковского
и нроф., д-р техн, наук В. А. ГАСГГВ
Редактор -ьанд. техн наук И. К. С НИ ГКО
Книга представляет собой первую часть курса
строительной механики и содержит изложение
основных графических и аналитических методов
расчета статически определимых систем. Наряду
с обязательным материалом оиа содержит краткое
изложение ряда дополнительных вопросов в той
же области.
Книга является учебником для студентов стро-
ительных вузов, а также может служить пособием
для инженеров-строителей в их практической
работе.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Стр,
Глава I
Введение
§ 1. Предмет и задачи строительной механики................................. ц
§ 2. Значение испытания сооружений и их моделей............................ 13
§ 3. Строительная механика в XIX и XX вв................................... 15
§ 4, Нагрузка. ............................................................ 94
§ 5- Понятие о расчетной схеме сооружений................................ 25
§ 6. Классификация расчетных схем сооружений............................... 27
§ 7. Классификация опор плоских стержневых систем.......................... 28
Глава II
Кинематический анализ сооружений
'§ 1. Цель кинематического анализа.........................................
§ 2. Степень свободы плоской кинематической цепи, составленной из дисков. • •
§ 3. Примеры и задачи.....................................................
§ 4. Степень свободы шарнирно-стержиевой плоской системы..................
§ 5. Примеры и задачи.....................................................
§ 6. Способы образования плоских геометрически неизменяемых систем........
§ 7. Примеры анализа геометрической структуры.............................
§ 8. Мгновенно изменяемые системы.........................................
§ 9. Проверка на мгновенную изменяемость..................................
§ 10. Порядок кинематического анализа системы..............................
Глава Ш
Аналитические и графические методы строительной механики
§
§
§
1. Классификация методов строительной механики........................
2. Принцип независимости действия сил (принцип наложения)..............
3. Пример применения различных методов.................................
4. Принцип возможных перемещений.......................................
5. Применение принципа возможных перемещений к системе с одной степенью
свободы................................................................
§
§
§
§
6. Примеры и задачи.................................................
7. Роль графического метода в строительной механике и исторический очерк его
развития..............................................
8. Несколько примеров графического сложения и разложения сил . .
9. Веревочный и шарнирно-стержневой многоугольник...............
10. Обозначения.................................................
31
31
34
37
38
39
41
42
41
46
47
48
19
50
<51
<52
55
оо
01
63
3
§
§
§
11 Аналитическое выражение для параллельных сил, соответствующих данному
веревочному многоугольнику, и для усилий в его элементах.................
12 . Веревочный многоугольник как средство для нахождения равнодействующих
13 - Веревочный многоугольник для сплошной распределенной системы сил; вере-
вочная кривая...........................................................
§ 14. Взаимная связь между эквивалентными веревочными многоугольниками. . . .
§ 15. Частный случай веревочного многоугольника — многоугольник равнодей-
ствующих...........................................................
§ 16- Графическое определение статических моментов плоской системы сил . . .
§
§
17. Графическое определение статических моментов параллельных сил.........
18- Построение веревочного многоугольника для системы, состоящей из параллель-
ных сил и сосредоточенных пар..........................................
§ 19. Статический анализ случаев замкнутости и разомкнутости силового и вере-
§ 20.
§ 21.
вочного многоугольников.................................................
Применение веревочного многоугольника к определению опорных реакций . .
Применение веревочного многоугольника к построению эпюр изгибающих
моментов и поперечных енл простой балки...............................1 .
§ 22. Построение эпюр М и Q при узловой передаче нагрузки...................
§ 23. Построение упругой линии и эпюры углов наклона для простой балки. . . .
§ 24. Дисковый многоугольник и графический признак его равновесия...........
§ 25. Исторические сведения о развитии теории веревочного многоугольника. . . .
§ 26. Задачи и примеры......................................................
Стр
64
65
66
68
69
70
71
72
73
74
75
76
78
80
81
83
Глава IV
Общая теория линий влияния и примеры их применения
§ 1. Понятие о линии влияния..............................................
§ 2. Сравнение между эпюрами н линиями влияния.............................
§ 3. Статический способ построения лниий влияния. Линии влияния простой балки.
§ 4. Размерность ординат линий влияния. ...................................
§ 5. Влияние неподвижной системы сосредоточенных сил.......................
§ 6. Влияние неподвижной сплошной нагрузки, распределенной по любому закону.
§ 7. Об одном свойстве прямолинейного участка линии влияния................
§ 8. Влияние узловой нагрузки..............................................
§ 9. Кинематический метод построения линий влияния.........................
§10. Влияние нагрузки, передающейся при помощи днады. .....................
§11. Примеры и задачи на кинематическое построение линий влияния...........
§ 12. Построение линий влияния для балок при помощи аналогии Мора...........
§ 13. Наиболее невыгодное загружение треугольной линии влияния.............
§14. Наиболее невыгодное загружеиие полигональной линии влияния............
§ 15. Пример...............................................................
§ 16. Составление и применение таблицы моментов поезда.....................
§ 17. Влияние двух симметричных или обратно-енмметричных сил Р=1...........
§ 18. Построение обобщенных линий влияния путем суммирования простых л. в.
§ 19. Построение обобщенных линий влияния как веревочных многоугольников.
§ 20. Графическое нахождение всех критических положений подвижной системы
грузов для любой полигональной линии влияния..........................
§ 2^ Наиболее невыгодное загружение любой линии влияния сплошной равномерно
^распределенной нагрузкой.........................................
§ 22. Наиболее невыгодное расположение системы равномерно распределенных на-
грузок одинаковой интенсивности
§ 23. Применение эквивалентных нагрузок
§ 24. Кривые, основанные на линиях влияния; исследование изгибающих моментов и
я “^перечных сил простой балки, вызванных подвижной нагрузкой..........
§ 25. Последовательные производные линий влияния и нх применение. . . .
87
88
91
94
95
96
97
99
100
102
102
104
105
107
108
109
111
112
114
115
117
118
119
120
122
4
s хи. ^виоь между линиями влияния для движущейся сип..
§ 27. Влияние сосредоточенной силы, вращающейся bokdvc "ЧИЫХ направлеиий-
приложения (окр) жиость влияния). ... РУ непОДвижнои точки
§28. Влияние гидростатической и тангенциальной нагрузок...................
§ 2.. Исторические замечания о линиях влияния. ... ..................
Глава V
Общие свойства статически определимых систем
1. Что такое статически определимая стержневая система.
2. Разделение неизвестных на две группы............... .................
3. Связь между статической определимостью и геометрической неизменяемостью
систем................................................. «
§ 4. Единственность и конечность решения...................
§ 5. Статический критерий мгновенной изменяемости. Способ нулевой нагрузки
§ 6. Усилия в основной части сооружения и в элементах, прикрепленных к ней.
§ 7. Влияние уравновешенной системы сил..............................
§ 8. Влияние эквивалентных преобразований нагрузки...................
§ 9. Влияние формы и структуры геометрически неизменяемых частей сооружения
§ 10. Влияние температуры, смещения опор и неточной разметки длин стержней.
124
126
129
130
135
135
136
137
138
139
141
141
142
143
Глава VI
Многопролетные статически определимые балки
§ 1. Анализ геометрической структуры...................................... 145
§ 2. Построение эпюр М и Q для многопролетных статически определимых балок. 146
§ 3. Графическое определение наивыгодиейшего расположения шарниров и
опор...................................................................... 147
§ 4. Построение эпюр Л4 и Q при узловой нагрузке.......................... 148
§ 5. Построение эпюр углов наклона и прогибов для миогопролетиых балок. . . 150
§ 6. Линии влияния усилий многоопорных балок. Статический способ их
построения................................................................ Г50
§ 7. Построение тех же линий влияния кинематическим способом.............. 152
§ 8. Исторические замечания............................................... 152
Глава VII
Трехшарнирные арки и рамы
о
Основные понятия..................................................
Аналитический способ определения опорных реакции..................
Эпюра изгибающих моментов.........................................
Рациональное очертание оси трехшарнирной арки или рамы для вертнкаль-
Эпюрыпоперечных и продольных сил, отвечающих вертикальной нагрузке. .
Графическое нахождение опорных реакций
Использование симметрии при построении опорных реакций.....
Многоугольник равнодействующих и кривая давления...........
Ядровые моменты и нормальные напряжения.................
О паивыгодиейшем очертании рациональной оси арки...........
Линии влияния Н, М, Q и N....................’ ' ’
Построение тех же линий влияния пр., помощи пулевых гочеь . • •
Кинематический способ построения линии влияния
§ 14. Трсхшарнирцая рама. . ,
155
158
160
162
165
168
169
170
173
175
176
177
178
179
5
10.
12.
9
Стр.
§ 15. Системы, приводящиеся к трехшарнирным........................... 180
§ 16. Многопролетные и многоярусные трехшарнирныс арки и рамы...... . . 181
§•17. Задачи и примеры................................................ 182
§ 18. Арки или рамы с несколькими затяжками и арки с наклонными подвесками. . 186
§ 19. К истории трехшариирной арки.................................... 190
Глава VIII
Расчет статически определимых плоских ферм. Балочные и
консольно-балочные
ермы
10.
11.
1. Понятие о фермах.....................................................
2. Классификация ферм...................................................
3. Простейшие законы образования ферм...................................
4. Некоторые структурные свойства статически определимых ферм...........
5. Мгновенно изменяемые шарнирно-стержневые системы.....................
6. Статический признак мгновенной изменяемости..........................
7. Кинематический метод поверки на мгновенную изменяемость..............
„Почти изменяемые" системы............................................
Некоторые особенные системы...........................................
Общая форма метода сечений и его разновидности........................
Способ вырезания узлов................................................
12. Другая возможная трактовка способа вырезания узлов...................
13. Связь между способом вырезания узлов и геометрической структурой фермы.
14. Частные случаи равновесия узлов......................................
15. Диаграммы усилий (Максвелла-Кремоны).................................
16. В чем состоит „взаимность" диаграммы и фермы?........................
17. Комбинированное построение диаграммы...............................
Построение диаграммы методом „ложного положения"....................
§ 19. Построение диаграммы при загружении узлов, лежащих внутри контура. . .
§ 20. Построение диаграммы для ферм, содержащих пересекающиеся стержни. .
8.
18.
195
196
199
204
207
208
212
214
216
217
219
222
224
226
229
230
231
232
233
§ 21. Построение диаграммы для ферм с пересекающимися стержнями при помощи
вспомогательной фермы ................................................ 236
§ 22. Построение диаграммы при помощи разложения нагрузки.................. 238
§ 23. К истории взаимных диаграмм......................................... 239
§ 24. Способ сечений............................................................
равнодействующих...........................
двух или нескольких сечений................
замены стержней. ..........................
замены связей..............................
соображения о косвенных методах расчета ферм
§ 25. Применение способа сечений в тех случаях, когда моментная точка недо-
ступна....................................................................
§ 26. Примеры применения способа сечений..................................
§ 27. Пример. Ферма с непараллельными поясами и раскосной решеткой ....
§ 28. Специальные балочные фермы..........................................
§ 29. Более сложные случаи применения способа сечений.....................
§ 30. Способ
§ 31. Способ
§ 32. Способ
§ 33. Способ
§ 34. Общие
§ 35. Кинематический метод. Определение усилий при помощи мгновенных цен-
тров вращения.............................................................
§ 36. Кинематический метод. Определение усилий при помощи планов скоростей.
§ . Использование симметрии фермы. Разложение нагрузки на симметричную и
обратио-симметричиую
| вд' „асчет ФеРм иа внеузловую нагрузку..................................
§ 39. Расчет составных ферм
§ 40. Исторический очерк развития теории ферм. ’ '. '. ’. ‘ i ‘ ’. ’. ’. '. ‘ ‘ '
240
241
246
248
251
254
255
256
259
——
260
262
267
270
271
275
Глава IX
Линии влияния усилий в
9 * Общие соображения.
§ 2. Построение линии вти-щии
л
ермах балочных и консольно-балочных
* • V - _
при помощи сечений или вырезания узлов. .
3. Задачи и примеры...............
4. Построение линий влияния при помощи диаграммы зснзии
5. Применение способа замены связей......
6. Применение мгновенных центров вращения. ...
7. Применение планов скоростей...............
8. Экспериментальная поверка теоретического расчета ферм
1й
Распорные фермы и распорные комбинированные системы
1. Ферма с наклонным опорным стержнем..............
2. Трехшарнирная арочная ферма..............
3. Связь между усилиями в поясах двухпоясной арочной фермы имиогоугольин-
ком давлений...................................
4. Разновидности арочной фермы.........................
5. Общие сведения о висячих системах...................
6. Расчет цепи, усиленной балкой жесткости...............
7. Понятие об общей теории вантовых ферм......................
8. Многопоясный веревочный многоугольник.........................
9. Пример расчета радиальной вантовой фермы.......................
Глава XI
Системы, составленные из дисков, и комбинированные
Стр,
289
292
295
300
305
307
309
313
314
315
316
321
325
§ 1. Где встречаются такие системы?..................................... 32g
§ 2. Порядок расчета...................................................... —
§ 3. Шарнирный четырехугольник........................................... 329
§ 4. Примеры и задачи.................................................... 332
Глава XII
О расчете сооружений с односторонними связями
§ 1. Примеры сооружений с односторонними связями.......................... 335
§ 2. Особенности расчета сооружений с односторонними связями.............. 336
§ 3. Системы с антагонистическими связями. Четырехшарнирная арка........ 336
§ 4. Условно и безусловно неизменяемые системы с односторонними связями.. . 340
§ 5. О расчете систем с односторонними связями.......................... —
10.
Глава XIII
Перемещения узлов и стержней плоских ферм
Введение..........................................................
Понятие о диаграмме перемещений...................................
Построение диаграммы перемещений в более общем случае.............
Построение перемещений для трехшариирной арки. ...................
Неполярный план перемещений................................... *
Построение линии прогибов фермы при помощи диаграммы перемещений . .
Построение линии прогибов как веревочного многоугольника .........
Способ Мора построения линии прогибов.............................
Влияние деформации поясов и решетки на прогибы фермы............•
Об одном приложении деформированной фигуры фермы. Расчет „нулевых
стержней......................................................
344
346
347
350
352
353
354
Глава XIV
Пространственные стержневые системы
§ 1. Значение расчета пространственных систем.................•
§ 2. Сложение сил в пространстве, , .........• ..................
357
7
С т р
§ 3. Разложение силы на три составляющие, пересекающиеся с ней в одной
точке. .................................................................... 359
§ 4. Разложение силы или системы сил на шесть направлений................. 361
§ 5. Случаи неопределенности разложения силы на шесть направлений..........362
§ 6. Признаки геометрической неизменяемости и неподвижности пространствен-
ных шарнирно-стержневых систем............................................ 363
§ 7. Признаки геометрической неизменяемости и неподвижности пространствен-
ных рамных и комбинированных систем........................................ 366
§ 8. Определение усилий в фермах способом вырезания узлов................. 369
§ 9. Определение усилий при помощи разложения фермы на плоские системы. . . 370
§ 10. Определение усилий способом замены стержней.......................... 371
§11. Задачи и примеры..................................................... 372
§ 12. Определение усилий в элементах статически определимых „биконструкций*. . 377
§ 13. О некоторых течениях в области теории расчета пространственных систем. . 379
ПРИЛОЖЕНИЕ
Некоторые основные построения для плоских шарнирных механизмов
§ 1. Мгновенный центр вращения и его основные свойства................. 382
§ 2. Построение мгновенных центров вращения для простых механизмов...383
§ 3. Построение мгновенных центров вращения для более сложных механизмов. 384
§ 4. Построение полярного плана скоростей. ............................ 385
§ 5. Построение неполярного плана скоростей. . ........................ 387
ПРЕДИСЛОВИЕ
Первое издание настоящей книги вышло в 1938 г.
За истекшие 12 лет наука и техника в СССР достигли новых выдаю-
щихся успехов. Значительные успехи достигнуты также и в области промышлен-
ного, гражданского, гидротехнического и транспортного строительства. Эти успехи
позволили в поразительно короткие сроки выполнить громадную работу восстановле-
ния промышленных гигантов, разрушенных оккупантами, и развернуть новое строи-
тельство, по своим масштабам не имеющее себе равного в мире.
В связи с этим выросло значение строительной механики, умножились и углу-
бились предъявляемые к ней требования. Строительной механике приходится давать
методы расчета сооружений, сплошь и рядом не имеющих себе подобных в прошлом
либо по степени сложности, либо по размерам, либо по величине нагрузок, по
методам возведения, по предъявляемым к ним эксплоатационным требованиям. От
строительной механики ожидается также выдвижение и теоретическое обоснование
новых типов и видов конструкций. Советские инженеры — конструкторы и проекти-
ровщики должны дать стране новые, смелые, прогрессивные строительные конструк-
ции, достойные страны социализма.
Советская строительная механика успешно справляется с поставленными перед
ней задачами. За истекший период она дала много нового и интересного во всех
разделах,
стержней;
статически
не вполне
теории статически определимых стержневых систем, которой посвящен настоящий
первый том курса, этот прогресс не мог найти значительного отражения, однако
следы его читатель увидит и здесь.
Автор стремился дать в курсе весь материал, необходимый студентам наших
строительных втузов, в ясном, доступном, но в то же время научном изложении.
Кроме того, помещен в весьма сжатом изложении материал, выходящий сегодня
за пределы обязательной программы, но заслуживающий внимания. Этот необяза
тельный текст выделен квадратиками.
важных для нашего строительства: в теории оболочек и тонкостенных
в теории динамических расчетов и устойчивости; в расчете сложных
неопределимых систем, сооружений, лежащих на упругом основании,
упругих систем; в теории давления земли и т. д. В скромных рамках
Второе издание настоящей книги подверглось переработке по сравнению с пер-
вым изданием. Значительно сокращен раздел графостатики; внесен ряд сокращений
в остальные разделы. Почти во всех главах имеются добавления, основанные на
исследованиях отечественных ученых. Значительно переработаны и частично напи-
саны заново все исторические обзоры.
Устранены описки и неточности, вкравшиеся в чертежи и текст первого
издания. Ссылки на параграфы и формулы сделаны с двойной нумерацией: римская
нумерация указывает главу, арабская-—параграф или формулу.
Автор признателен проф. А. А. Уманскому и коллективу возглавляемой
им кафедры строительной механики Военно-воздушной инженерной академии
им. Жуковского, а также проф. В. А. Гастеву за ценные замечания, учтенные
автором. Автор выражает свою благодарность И. К. Снитко за внимательный
просмотр рукописи и помощь в чтении корректур.
Проф. И. М. Рабинович
Глава I
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. ПРЕДМЕТ И ЗАДАЧИ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
не только при проектировании новых
, когда существующее сооружение
Строительной механикой в широком смысле слова следует называть науку
которая занимается разработкой принципов и методов расчета сооружений на пооч-’
ность, устойчивость и жесткость. F
Цель расчета проектируемых новых сооружений на прочность и устой-
чивость состоит в том, чтобы обеспечить достаточную надежность этих сооруже-
ний и сочетать ее с экономичностью. Цель расчета на жесткость состоит
в устранении возможности появления больших прогибов, осадок и вибраций, хота
бы и безопасных для самого сооружения, но неудобных с эксплоатационной 'точки
зрения.
Расчетом приходится пользоваться
сооружений, но и во всех тех случаях
должно подвергнуться действию новых, не предусмотренных ранее нагрузок. Расчет
должен выяснить, в какой степени эти нагрузки допустимы, требуется ли произ-
вести усиление и какое именно.
К строительной механике в широком смысле этого слова относятся следующие
дисциплины* сопротивление материалов, теория упругости, тео-
рия пластичности, а также строительная м е х а н и к а в узком и обще-
употребительном смысле слова. Первая из них занимается по преимуществу теорией
простого бруса и является дисциплиной одинаково важной как для строительных кон-
струкций, так и для машиностроения. Строительная механика в узком смысле слова,
в отличие от сопротивления материалов, занимается по преимуществу теорией расчета
системы брусьев или стержней, образующих сооружение. Обе эти дисциплины
стремятся решать свои задачи, пользуясь, главным образом, сравнительно простыми
математическими методами. В отличие от них теория упругости выдвигает
на первый план возможно большую строгость и точность своих выводов и
поэтому вынуждена прибегать к значительно более сложному математическому
аппарату. Граница между этими тремя дисциплинами не может быть резко очерчена
и не является постоянной. Имеется ряд пограничных вопросов, которые могут быть
отнесены к любой из них. Кроме того, развитие механики, усовершенствование ее
методов, появление новых, все более сложных конструкций, повышение требований,
предъявляемых к практическим методам расчета с точки зрения их точности,
постепенно переводят некоторые задачи из области теории упругости в область
теории сооружений и теории сопротивления материалов.
Наконец, теория пластичности, которая занимается изучением дефор-
маций и напряжений в пластичных и упруго-пластичных телах, используется в курсе
строительной механики при решении некоторых вопросов, связанных с так пазы
ваемой „несущей способностью" сооружений.
Не подлежит сомнению, что развитие строительной механики приведет к зн<-
чигелыюму повышению роли ЭТОЙ теории.
П
ным но оно звучит слишком всеобъемлюще.
Более узким, а потому более удачным является
. К. С. Завриевым* 1: „
про4
статикой сооружений" или „
Строительная механика в узком смысле этого слова иначе называется еще
теорией сооружений. Это название можно было бы считать более правиль-
1 л _ _____
--------------------------: название, предложенное
сопротивление сооружений".
Та же наука в течение долгого времени называлась, а некоторыми авторами
и до сих пор называется „> — .........
статикой сооружений".
Эти названия совершенно не отвечают действительному содержанию науки,
так как аналитические методы играют в ней не менее крупную роль, чем графи-
ческие, а также потому, что, помимо статики, в современной теории сооружений
заметную роль играют вопросы кинематики и динамики.
В дальнейшем мы для краткости будем пользоваться термином „строительная
механика" только в узком, ограниченном смысле слова.
Практическое значение современной строительной механики очень велико. Чем
сложнее, крупнее, ответственнее сооружение, тем большее значение имеет пра-
вильный его расчет. Особенно серьезные требования предъявляются к строительной
механике в СССР, где социалистическое государство ежегодно вкладывает в про-
мышленное, гражданское, транспортное и другие строительства громадные средства,
где вся страна заинтересована в экономичном и целесообразном расходовании этих
средств и где отношение государства к человеческой жизни, как к величайшей
ценности, делает недопустимыми строительные катастрофы и аварии сооружений.
Расчет вооружает проектировщика-строителя такими возможностями, о которых
еще сто лет тому назад нельзя было и мечтать. Он как бы обнажает перед взором
проектировщика скрытые в теле сооружения статические, а иногда и динамические
силы, позволяет рассмотреть условия, в которых работает любой элемент, и пред-
видеть те напряжения, которые возникнут в материале при выбранных сечениях
элементов.
Вооруженный расчетом проектировщик знает, какие элементы требуют помощи,
в какую сторону следует изменить распределение сил и распределение материала,
чтобы получить желательный ему эффект. Все это он может проделать заранее,
ничем не рискуя, не ломая неудачного или непрочного сооружения, а лишь зачер-
кивая его на бумаге. Расчет обеспечивает инженеру возможность проектировать
сознательно, уверенно и целесообразно, создавать конструкции смелые, но в то
же время надежные; прочные, но одновременно легкие; грандиозные и вместе с тем
удовлетворяющие эстетическим требованиям.
В какой неизмеримой степени усложнилась бы задача инженера, если бы ему
приходилось нащупывать решение каждой отдельной задачи путем экспери-
ментирования над моделями или путем поисков готовых образцов! При том беско-
нечном разнообразии заданий, условий, нагрузок и масштабов, которыми отличаются
современные сооружения, это был бы невыполнимый труд. Он был бы вместе с тем
мало убедительным и ненадежным, так как еще Галилею было известно, что гео-
метрически подобные модели не являются подобными друг Другу также в статическом
или динамическом смысле; для того чтобы расшифровать данные эксперимента и
перенести их с модели на действительное сооружение, все равно нужна теория,
которая дается современной строительной механикой. Что же касается копирова-
ния готовых образцов, то оно во всяком случае не могло притти на помощь при
проектировании сооружений, выделяющихся из общего уровня.
пп ^ЛЯ невосРедСтвенного, ежедневного практического применения нужен способ,
н К° всем системам, ко всему разнообразию возможных пролетов,
нагрузок и материалов, способ математического расчега.
по»1стямпп^нИЧИИ математической теории расчета разнообразие заданий учитывается
уравнения Ппм»лЗЛИЧНЬ1Х численных значений параметров в общие формулы или
этот способ важен Н^СРаВНеННЫХ достоинств— быстроты, точности и удобства,—
еще тем» что он унифицирует принципы назначения раз-
31
1 । ксз
шеи, 1939. аврнев Сопротивление сооружении (статика сооружении), Тби-
правильности любого пгюекта
вляет собой как бы международный язык, понятный строи— JoV? ПреДСТЭ'
способствующий широчайшему обмену опытом и быстрому прогрессу СТ₽аНаХ>
Однако было бы опасным заблуждением смотреть на строительною
как на чисто математическую дисциплину. Поскольку она имеет X "Г . У<
и жесткостью реальных сооружений, сделанных из тех или ины?реальных Хи"
выводы должны быть основаны на изучении и познании
действительных свойств этих материалов. Поэтому подобно диеди^шам
тивление материалов" и „строительные материалы" она должна в сильной
опираться на данные опыта. сильной
тельных ^материалов, ее
тивление материалов"
„сопро-
степени
§ 2. ЗНАЧЕНИЕ ИСПЫТАНИЯ СООРУЖЕНИЙ И ИХ МОДЕЛЕЙ
Fine Ломоносов предостерегал от попыток выводить законы природы чисто
умозрительным путем, без опыта. Отмечая прогресс науки, он объяснял его тем
что „.. . ныне ученые люди, а особливо испытатели натуральных вещей, мало
взирают на родившиеся в одной голове вымыслы и пустые речи, но больше утвер-
ждают на достоверном искусстве.... Мысленные рассуждения произведены бывают
из надежных и много раз повторенных опытов" *. В полном согласии с этим воз-
зрением можно сказать, что то математическое оружие расчетов, которое инженер-
практик получает готовым в виде правил и формул строительной механики, могло
как, например, предел
должны быть найдены
, что то математическое оружие расчетов, которое инженер-
бы на деле привести к катастрофам, если бы оно не было предварительно тщательно
испытано, проверено и подтверждено и если бы опытами не было установлено
при каких условиях, в каких границах им можно пользоваться.
Но не только основные свойства материалов,
текучести, предел упругости, модуль упругости и т. д
опытным путем. Тем же путем должны поверяться все постулаты, касающиеся
самих конструкций, все гипотетические свойства, которыми мы наделяем их при
выработке соответствующих методов расчета.
При появлении нового сложного типа конструкции, характер работы которого
не является бесспорным, а также при введении новых и важных деталей кон-
струкций теоретические методы их расчета не могут проводиться в жизнь раньше,
чем они будут проверены, подтверждены или исправлены на основании экспери-
ментов.
Только пройдя через стадию опытной поверки, теория может претендовать
на доверие к себе.
Нередко бывает и так, что эксперимент предшествует теории; после того
как он покажет, какие факторы являются основными и какие второстепенными,
создается возможность построить достаточно солидную теорию, которая затем уже
поверяется окончательными экспериментами.
К эксперименту приходится прибегать также в тех случаях, когда проекти-
руемое сооружение является исключительным по своим масштабам. В этих случаях
второстепенные факторы, обычно игнорируемые, могут приобрести важное значение;
нормированные для обычных сооружений численные коэфициенты, которые фигу-
рируют в расчете, могут потребовать пересмотра; сама грандиозность сооружения
также требует особо осторожного подхода к его расчету.
Испытание моделей в лабораторных условиях, хотя и не может заменить
натурных испытаний, имеет го достоинство, что позволяет тщательно проводить
все необходимые измерения и устранять привходящие и осложняющие факторы,
которые всегда имеются при испытании и исследовании действительных сооружений.
Например, при лабораторном испытании балки можно устроить опоры, весьма мало
отличающиеся от шарнирных (опоры в виде ребра призмы), в то время как *
в сооружениях имеют более или менее жесткую и трудно поддающуюся измерению
заделку; фермы и рамы можно изучать как самостоятельные системы, в то Р
1 М. В. Ломоносов, Предисловие к „Вольфианской Експеримснтальной фи
зике", 174С.
13
постепенно измениiь иены i ывасмую консарукцию. Например,
скреплять элементы,
кчк в реальном сооружении они входят в состав перекрытий или каркасов и рабо-
1'ног совместно с другими элементами, и т. д. В лабораторных условиях можно
в процессе опыта — ------
подводи гь дополнительные опоры, разрезать или, наоборог,
изменять площади сечений, создавать искусственную осадку опор и т. д. В лабо-
раторных условиях можно легко варьировать величину, направление и положение
нагрузки, характер ее приложения; легко приводить в колебательное состояние,
изучать вибрации модели и ее сопротивление ударам и сотрясениям. Наконец,
в лабораторных условиях можно доводить испытываемую модель до разрушения,
что имеет существенное значение для строительной механики; в обычных же усло-
виях такой опыт можно производить только в виде исключения.
К лабораторным методам относится также оптический метод исследования
напряжений, известный читателю из курса „сопротивление материалов". Он наглядно
раскрывает картину распределения напряжений в прозрачной модели и служит важ-
ным вспомогательным средством для теории расчета. В СССР этот метод нашел
широкое применение.
На основании опытов, проводимых с уменьшенными моделями, приходится
делать заключения, относящиеся к аналогичным системам более крупных размеров,
г. е. к напряжениям, деформациям, свободным и вынужденным колебаниям соору-
жений. На помощь приходит в этих случаях теория моделирования и механического
подобия, связанная с теорией размерностей.
Эти теории позволяют установить условия, при которых явления, протекающие
в модели и в соответствующем ей оригинале, подобны между собой, а также найти
коэфициенты подобия, если для обоих объектов известны соотношения между их
линейными размерами, упругими характеристиками, объемными весами, величинами
нагрузки и т. д.г.
Испытание действительного сооружения в отличие от лабораторных
испытаний дает возможность установить истинное распределение напряжений и
деформаций с соблюдением всех реальных условий работы сооружений, как бы
сложны они ни были. В этом состоит достоинство так называемых „натурных"
испытаний. Зато анализ результатов испытания и выяснение роли и влияния отдель-
ных факторов, входящих в состав цельной картины работы сооружения, оказы-
вается нередко весьма трудным.
Современная измерительная техника и, в особенности, специальная электро-
измерительная аппаратура предоставляют исследователю работы сооружений и их
моделей богатые возможности. Автоматические приборы измеряют ничтожные удли-
нения, укорочения, угловые деформации, прогибы и другие перемещения и запи-
сывают их в крупном масштабе. Запись может производиться вдали от места
измерения, причем одновременно могут записываться показания многих приборов.
Имеется возможность записывать механические колебания различных частот вплоть
до очень высоких, фотографировать и фиксировать быстро протекающие процессы
и т. д.
Мощные современные прессы и другие приспособления для испытания кон-
струкций и их элементов позволяют передавать большие усилия, испытывать колонны
и стержни больших сечений, а также крупные модели целых сооружений и дово-
дить их до разрушения.
Для определения напряжений в массивных бетонных сооружениях (например,
в плотинах) от неравномерного нагрева, вызванного процессом схватывания бетона,
। температурой внешнего воздуха, можно заложить термоэлектрические при-
дания ntJТ° массивэ во время его возведения и оставить их там навсегда. Пока-
РИ °Р°В МОгУт быть получены на распределительном щите в любой момент 2. * *
т IV выл 3^*193 В* Кирп
к напряжению в дейсгвйт^Ли ”” Ц к 11 ° переходе от напряжений в прозрачной модели
напряжений/ 1935’ ЛИ г Р°И ДеллЛИ* сборник .Экспериментальные методы определения
нике, 1944. ’ * ‘ Д0 в> Методы теории размерностей и теории подобия в меха-
плотины, ч. I, Постановка эксперимента, под ред.
редакция строительной литературы, 1937.
и ч ев, Теория моделирования, Журнал технической физики,
1935- Л и « детали, сборник .Экспериментальные методы определения
°’ я. и. Седов, Методы теории размерностей
проф. ИхТннлеадЙТХная плотнны’ ч-
14
Наконец, при обработке и анализе показаний приборов могут быт» n п
случаев использованы разработанные Академией наук СССР*математические счетно*
решающие машины и приборы, которые позволяют автоматическиI инХиоГвать
многие классы диференциальных уравнений в частных производных и в том чХ
некоторые уравнения теории упругости и строительной механики». ’ ~
Экспериментальное исследование сооружений и их моделей—’мостов плптии
конструкций промышленных и гражданских зданий, а также кранов судов пеХ
вуаров, мачт и т. д,—ведется в СССР в крупных масштабах и дает стооительной
механике богатый материал для поверки, уточнения и дальнейшего развития ее
ВЫВОДОВ •
§ 3. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА В XIX И XX вв.
Материал, составляющий содержание современной строительной механики начал
накапливаться одновременно с основами рациональной механики. Начальный период
истории строительной механики сливается с историей механики вообще. Р Д
В особую науку расчет строительных сооружений выделился только в первой
половине XIX в., когда в крупном строительстве на первое место по своей слож-
ности и капиталовложениям выдвинулись всевозможные инженерные сооружения,
необходимые развивавшемуся в то время капитализму: мосты, фабрично-заводские
здания, залы промышленных выставок, плотины, каналы, высокие дымовые трубы,
конструкции грузоподьемных машин, судов и т. д.
Для проектирования этих сооружений требовались специально подготовленные
инженеры, а для этого, в свою очередь, необходимо было выделить в особые
руководства и курсы совокупность основных проблем механики сооружений.
Одновременно необходимо было значительно увеличить количество технических
высших учебных заведений и учредить в них строительную специальность.
Особо серьезные требования были предъявлены строительной механике в связи
с появлением железных дорог. Начиная с 30-х годов прошлого столетия, железно-
дорожное мостостроение становится одной из наиболее сложных областей инже-
нерно-строительного дела, причем с каждым годом сложность этой технической
проблемы все более возрастает. „Нельзя сказать, чтобы мостостроение, по крайней
мере, европейское, оказалось подготовленным к разрешению неожиданно поставлен-
ных ему жизнью новых задач", — пишет проф. Н. С. Стрелецкий1 2. Мы, со своей
стороны, добавим, что мостостроение оказалось неподготовленным не только
в области конструктивной, но и в области расчетной.
Нужно было изыскивать новые рациональные системы металлических ферм и
разрабатывать методы их расчета; эти методы к тому времени отсутствовали. Между
тем интересы капиталистической промышленности, борьба за рынки сбыта требо-
вали усиленного строительства железных дорог и увеличения их пропускной спо-
собности. По мостам требовалось пропускать все более тяжелые паровозы и составы
и притом с большой скоростью движения. Нужно было рассчитывать сложные
системы на подвижную нагрузку, состоящую из множества сосредоточенных сил.
Нужно было учитывать, кроме статического, динамическое действие нагрузки. Рост
судоходства, а также дороговизна возведения опор на глубоких реках со значи-
тельной скоростью течения и при слабых грунтах побуждали значительно увели-
чивать пролеты мостов. Возникла потребность максимального удешевления мостовых
переходов, а для этого нужно было расчетным путем изыскивать фермы наимень-
шего веса. Таковы были требования, поставленные жизнью перед строительной
механикой. .
В 40-х годах прошлого столетия строительная механика в Европе и Америке
еще сильно отставала от жизни, хотя фермы уже нашли себе большое применение
1 См., например, Л. И. Г у т е н м а х е р. Электрическое моделирование, изд..Академип
наук СССР, 1943; И. М. Тетельбаум: Электрическое моделирование упру!
в динамических задачах строительной механики, сборник „Повышение р
машин*, изд. АН СССР, 1949. дорог*,
2 Железнодорожный мост за сто лет, статья в сборнике „Столетие желез» Д Р
Москва, 1925.
1 См., например, Л. И.
наук СССР, 1943; И. М. Т
15
знаменитою русского инженера-мостостроителя
— 18/XI 1891), „сочинения американского инже-
нера Лонга и австрийского Гега вовсе не давали понятия о распределении напря
Г"__________________________гх ли LiaOLTD-Q ТТ /ЬпПМЧгЧ
в мостостроении. По словам
Д. И. Журавского1 (17/XI 1821
жений по всем частям составной балки" (так он называл ферму).
С гордостью следует отметить, чго первое и единственное в 40-х и начале
50-х годов прошлого столетия построение теории расчета мостовых ферм было
сделано Д. И. Журавским.
Свою инженерную деятельность по проектированию мостов Петербургско-
Московской железной дороги он начал в 1842 г. В возрасте 21 года он с необы-
чайной самостоятельностью и смелостью мысли отверг ошибочные мнения и ука-
зания американских, английских и французских общепризнанных авторитетов и
взялся сам за создание теории расчета раскосных ферм и за экспериментальную
поверку своих теоретических выводов. За 10 лет он успел сделать в этом напра-
влении так много, что оставил далеко позади зарубежную науку и сделал открытия,
не потерявшие своего значения и сейчас, т. е. через 100 лет. К числу его открытий
относится, между прочим, блестящее открытие существования продольных скалы-
вающих напряжений в изогнутой балке и вывод формулы для них. Благодаря
исследованиям Журавского русская строительная механика того времени в области
расчета мостов оказалась на первом месте. Подробнее о его работах в области
теории ферм сказано ниже.
В течение второй половины XIX в. строительная техника продолжала совер-
шенствоваться и притом в таких направлениях, которые требовали непрерывного
развития строительной механики. Значительно расширилась область применения
клепаных металлических конструкций: мосты под железные и обыкновенные дороги,
каркасы промышленных зданий с их колоннами, стропилами, подкрановыми бал-
ками; краны разнообразных систем под тяжелые нагрузки; резервуары, газгольдеры,
эстакады, затворы плотин, корпуса судов и т. д. Возникли проблемы расчета
ветровых и тормозных связей пролетных строений мостов, что повлекло за собой
разработку теории пространственных ферм. Распространение клепаных конструкций
сделало необходимым изучение вопроса о влиянии жесткости узловых соединений
на усилия в стержнях. Возведение арочных мостов больших пролетов, набережных,
фундаментов под тяжелые нагрузки потребовало усовершенствования теории давле-
ния земли и т. д.
В этот период строительная механика сильно шагнула вперед. Были в основ-
ном разработаны и достигли значительного совершенства аналитические и графиче-
ские методы расчета плоских ферм, основы теории пространственных ферм, методы
расчета статически неопределимых систем (ферм, балок и арок), элементы дина-
мики простейших систем. Расчет стал неотъемлемой и обязательной частью проекта.
Из зарубежных ученых того времени, содействовавших прогрессу строительной
механики, следует назвать Клапейрона, Максвелла, Мора, Кастильяно.
В царской России, где крупное строительство отсутствовало, промышленность
была слабо развита, сеть высших технических учебных заведений была невелика,
а правительство враждебно относилось к развитию отечественной науки и пресле-
довало передовых ученых, условий для процветания строительной механики не было.
Тем не менее и в этот период в России выдвинулся ряд крупных ученых,
внесших значительный вклад в теорию сооружений. Большинство из них соеди-
няло научно-исследовательскую и преподавательскую работу
с практической инженерной деятельностью. Таков,
нер проф. X. С. Головин (1844—1904 гг.). В 1882 г.
упругой арки методами теории упругости:
называемой „кривой давления“
в строительной механике _ ___
этого принципа метод приближенного расчета
которые в те времена
высшей школе
например, был военный инже-
он первый дал расчет
он установил важное свойство так
для двухшарнирной арки; один из первых применил
„начало наименьшей работы", разработав при помощи
сложных многорешетчатых ферм,
широко применялись в качестве пролетных строений
премии, ПодполкотаннкаНКорп¥саеМЙн1УЛ?рп<тпОп1НеН”К^ удостоенное полной демидовской
бург, 18S5. Р нженеров Путей Сообщения Журавского, Саньтпетер-
>0
Д. И. Журавский {1821—1891).
2 Зак. 1842. И. М. Рабинович.
механики™ РКСК°Й Се™ Ле-1езных ДОРОГ’ издал в 1900 г. курс строительной
Необходимо назвать также известного профессора мостостроения Н. А. Беле-
любского (1 III 1845 г. 6/VIII 1922 г.), автора вышедшего в 1885 г. курса
сопротивления материалов и строительной механики, автора проектов и строителя
любского (1/Ш 1845 г. — 6 VIII 1922 г.)
ряда^ крупнейших русских железнодорожных и шоссейных мостов^выдающегося
— 5 XI 1899 г.), автора блестящего
по теории устойчивости и ряда других работ по строительной
проф. Ф. С. Ясинского (3/JX 1856 г. — 5 X1 1899 г.),
исследования —
механике.
К последней четверти XIX в. относится также ряд исследований по разнообраз
ним вопросам сопротивления материалов и строительной механики проф. В. Л. Кир-
пичева (1845 г. — 7/П 1913 г.), автора фундаментального и исключительно* инте-
ресного курса сопротивления материалов, выдающегося педагога. В этот же период
начал свою работу проф. Л. Д. Проскуряков (18/VIII 1858 г. —14/IX 1926 г.),
автор прекрасного двухтомного курса строительной механики, автор выдающихся
проектов крупнейших русских железнодорожных мостов того времени.
К концу XIX и началу XX в. относятся крупные работы проф. И. Г. Буб-
нова, посвященные строительной механике корабля; выдающиеся исследования
проф. Н. П. Петрова (1836—1920 гг.) по теории динамического расчета балок
(рельсов) под подвижную нагрузку *; первые работы проф. (впоследствии акаде-
, — 26/Х 1945 г.) по теории свободных и
пичева (1845 г. — 7/П 1913 г.),
(рельсов) под подвижную нагрузку
мика) А. Н. Крылова (3/VIII 1863 г.-
вынужденных колебаний стержней и др.
В XX в. строительная техника имела ряд крупных успехов. Железобетон,
который в начале столетия еще вызывал к себе недоверчивое отношение, завоевал
всеобщее признание и нашел себе применение в промышленном строительстве всех
видов, в мостостроении, в гидротехническом строительстве и т. д.
Особенности этого материала повлекли за собой новые конструктивные формы,
для которых потребовались новые методы расчета. Монолитность железобетонных
конструкций потребовала решительного отказа от гипотезы шарнирности узлов.
Резко встал вопрос о расчете сложных многопролетных и многоярусных статически
неопределимых стержневых систем. На место ферм в центре внимания стали так
называемые рамы. Возникла необходимость в расчете ребристых плит; плит, опер-
тых на отдельные колонны („безбалочных" перекрытий); пространственных кон-
струкций, составленных из монолитно-связанных пластинок {„складчатых систем");
конструкций из тонкостенных оболочек и т. д.
Огромный прогресс обозначился также в области металлических конструкций.
Пролеты мостов, непрерывно увеличиваясь, достигли рекордной цифры 1 280 м;
нагрузки на отдельные колонны достигли сотен и даже тысяч тонн. Для одного
спроектированного в СССР сооружения расчетная нагрузка на одну колонну
достигла грандиозной величины 14 500 т. Значительных размеров и грузоподъем-
ности достигли металлические краны различных систем. Появилась новая область ►
мачты высотой в сотни метров для радиостанций, мачты для электропередач, кар-
касы для дирижаблей и самолетов, металлические и железобетонные обделки для
туннелей и т. д. Жизнь властно ставит перед строительной механикой новые, все
более трудные задачи, толкая ее вперед.
Исключительных успехов достигла строительная механика в СССР.
Сама природа социалистического государства требует высочайшего развития
наук. Огромное внимание, уделяемое Партией, Правительством и лично товарищем
Сталиным этому делу, широчайшее развитие высшего технического образования
в СССР, многочисленная сеть научно-исследовательских институтов и лабораторий,
большие инженерные кадры — все это привело к расцвету инженерных наук и,
в частности, к расцвету строительной механики. В то же время чрезвыча н
ным и, можно сказать, живительным фактором для развития это диа и
явилось громадное по своим размерам и разнообразнейшее по своим °
строительство, которое ведется в нашей стране. Находясь на служ е соц
1 О работах Петрова и Головина см. в очерке автора: исторнн русской стр
тельной механики", Вестиик Военно-инженернои академии № 43,
19
2*
разрешая выдвигаемые им научные проблемы, советская
ряду сложнейших разделов заняла ведущее положение
некоторые, наиболее плодотворно развивавшиеся напра-
текущего столетия одной из основных проблем строи-
проблема расчета так называемых сложных статически
систем, к числу которых относится обширный класс
требовал громадных вычислений, которые делали его практически неприемлемым
для сколько-нибудь сложных систем.
вателей (профессоров Н. С. Стрелецкого, А. А. Гвоздева
акад. Б. Г. Галеркина, проф. П. Л. Пастернака, г
эта проблема была разрешена настолько основательно
трудной и перешла в разряд тех
ческого строительс гва
строительная механика по
в мировой науке.
Укажем здесь вкратце
вления.
В 20-х и 30-х годах
тельной механики служила
неопределимых стержневых
разнообразных инженерных сооружений. Существовавший к тому времени расчет
Работами целой плеяды советских исследо-
Б. Н. Жемочкина,
акад. Б. Г. Галеркина, проф. П. Л. Пастернака, автора настоящей книги,
проф. С. С. Голушкевича, инж. А. Н. Верещагина, Н. М. Вернадского и многих других)
эта проблема была разрешена настолько основательно, что перестала считаться
трудной и перешла в разряд тех, с которыми теперь легко справляется любой
инженер-проектировщик. Некоторые методы и приемы, разработанные в нашей
литературе, значительно превзошли уровень зарубежной литературы. С содержа-
нием этих методов читатель познакомится в соответствующих главах второй части
курса.
Другой трудной проблемой была и остается проблема расчета сооружений на
устойчивость. Известная студентам из курса сопротивления материалов задача об
устойчивости прямого, центрально нагруженного стержня является простейшей из
задач этого рода. В настоящее время приходится рассчитывать на устойчивость
несравненно более сложные элементы сооружений и целые сооружения — каркасы
многоэтажных и высотных зданий, пролетные строения мостов, арки и своды,
пластинки и оболочки и т. д. Вследствие чрезвычайной сложности точного решения
приходится изыскивать приближенные методы, которые должны сочетать в себе
вполне удовлетворительную точность с простотой. Замечательный по своей про-
стоте и общности приближенный метод был предложен акад. Б. Г. Галеркиным.
Метод этот нашел себе применение не только в строительной механике, но и
в чисто математической области при решении различных задач. Устойчивость и
прочность сжато-изогнутых стержней в пределах и за пределом упругости иссле-
дованы в ряде важных работ проф. К. С. Завриева.
Сложная задача расчета рамных каркасов практически разрешена трэдами
лауреата Сталинской премии проф. Н. В.
решения даны также проф. Н. К. Снитко. Расчет на устойчивость арок различ-
ного очертания и с различным устройством значительно продвинут вперед трудами
акад. А. Н. Динника, проф. А. П. Локшина и проф. И. Я. Штаермана.
Устойчивость тонкостенных стержней с прямой осью, находящих широкое
применение почти во всех видах конструкций, исследовал дважды лауреат Сталин-
ской премии проф. В. 3. Власов, который обнаружил новые важные случаи потери
устойчивости и дал теорию расчета. В его
широко освещены также вопросы устойчивости этих систем.
Чл.-корр. Академии наук СССР проф. П. Ф. Папкович получил ряд замеча-
тельных общих теорем, относящихся к устойчивости любых упругих систем.
Проф. Н. В. Корноухов в капитальном труде, вышедшем в 1949 г., удостоенном
Сталинской премии, дал метод объединенного расчета сооружений на прочность и
устойчивость. Чл.-корр. АН СССР Н. М. Беляев и д-р. техн, наук И. И. Гольден-
лат получили новые и важные результаты по вопросам динамической
В частности И. И. Гольденблату удалось обнаружить
действием
Глпьтп гч * J—~ panomv nnniv пс иидиорспая.
на упругом' основанишЫ-П°ЛУЧеНЬ1 "° ТеОриИ расчета балок’ раМ И ПЛИТ’ лежащИА
ванных на двух различных гипотезах о’ ,
Одно из этих направлений возглавлялось
которого, вышедшая первым изданием
20
Корноухова; различные приближенные
исследованиях по теории оболочек
Н0ВЫе и важные результаты по вопросам динамической
такие случаи потери устойчивости арочных и висячих мостов, находящихся под
де с™ием „° которых раньше никто не подозревал.
теория разрабатывалась в двух направлениях, осно-
механических свойствах такого основания.
В акад. А. Н. Крыловым, блестящая работа
в 1932 г., внесла поразительную простоту
В. Л. Кирпичей (1845—1913).
в этот сложный вопрос и сделала ненужной и устарелой всю накопленную к tomv
времени в зарубежной литературе громоздкую методологию. Целая школа иссл?
дователей пошла по его стопам, развивая его идею и внося дальнейшие усовео’
шенствования (доц. Г. Д. Дутов, профессора А. А. Уманский, Н. К Sko
Ш. Е. Микеладзе и многие другие). Другое направление основано ’
влении об упругом основании,
роны плоскостью („полупространство*),
ченной с одной стороны прямой („полуплоскость"). Здесь также "получены важные
результаты (профессора Г. Э. Проктор, Б. Н. Жемочкин, д-р. техн, наук М И Гоп
бунов-Посадов, проф. М. М. Филоненко-Бородич, чл.-корр. Академии наук СССР
Н. М. Герсеванов, проф. А. П. Синицын и др.). Достигнута возможность3
„ --------1 на предста-
. _К_Лб«хупругой среяе’ ОГРаНичеННОЙ С ОДНОЙ сто-
ИЛИ g упругой ПЛОСКОСТИ> 0ГраНИ
* г т ------- ~r-,- a BUJMUMHOCTb с вполне
удовлетворительной точностью рассчитывать плиты на упругом основании (фунда-
менты), имеющие произвольное очертание в плане.
Крупные результаты получены в СССР в той сравнительно новой теории
расчета сооружений, в основе которой лежит понятие не о допускаемом напря-
жении, а о так называемом „предельном состоянии" сооружения. Элементы этой
теории должны быть известны читателю уже из курса сопротивления материалов.
Широкая постановка теоретических и экспериментальных исследований привела
к тому, что в нашей стране удалось создать наиболее совершенные и прогрес-
сивные нормы расчета металлических, железобетонных и деревянных конструк-
ций. Ведущую роль сыграли в этом деле работы проф. А. ф. Лолейта и
проф. А. А. Гвоздева.
Обширная и оригинальная литература посвящена у нас вопросам расчета соору-
жений на действие всевозможных динамических нагрузок — вибрационных, по-
движных, ударных, и также таких, которые изменяются во времени по произволь-
ному закону, в частности, на действие землетрясения. В этой области работало и
работает как теоретически, так и экспериментально множество исследователей.
К наиболее ранним теоретическим исследованиям относятся работы акад. А. Н. Кры-
лова. В дальнейшем получили серьезное развитие методы динамического расчета
пролетных строений мостов, междуэтажных перекрытий, фундаментов под машины,
арок, плит, оболочек (профессора Н. С. Стрелецкий, И. М. Рабинович, К. С. Завриев,
С. А. Бернштейн, С. А. Ильясевич, Ю. А. Нилендер, Н. И. Безухов, И. И. Голь-
денблат, Е. С. Сорокин и многие другие).
Особо выделяются исследования, посвященные теории расчета сооружений
типа оболочек и теории тонкостенных стержней. К оболочкам относятся не только
тонкостенные купола, но и корпуса судов, крылья самолетов, паровые котлы,
резервуары и многие другие конструкции.
Блестящие работы дважды лауреата Сталинской премии проф. В. 3. Власова,
посвященные расчету таких сооружений на прочность, устойчивость и колебания,
выдвинули эту область строительной механики и прикладной теории упругости
в СССР на первое место в мире.
В. 3. Власов создал техническую теорию расчета пространственных сооруже-
ний, составленных из пластинок и имеющих любой односвязный или многосвязный
контур поперечного сечения. Ему же принадлежит техническая теория приближен-
ного расчета пологих („вспарушенных") оболочек, прямоугольных в плане.
В результате его работ создалась в СССР научная школа, представленная много-
численными его учениками.
Важные работы в этой области принадлежат также проф. А. А. Уманскому,
который дал теорию расчета на „стесненное" кручение тонкостенных стержней
с замкнутым и многосвязным контуром поперечного сечения и впервые разработал
теорию расчета тонкостенных стержней с конвой осью.
Существенные результаты по теории оболочек содержатся в работах профес-
соров П. Л. Пастернака, А. И. Лурье, А. Л. Гольденвейзера, И. Я. Штаермана,
чл.-корр. Академии наук СССР В. В. Соколовского, профессоров В. В. Новожилова,
Н. А. Кильчевского и др. ™,м,амий
Принципиально новая постановка вопроса о способах назначения напря •
обеспечивающих необходимый запас прочности сооружений, указана проф. .
23
4
в этом
лецким, который привлек к решению этого вопроса теорию вероятностей
отношении наша наука намного опередила зарубежную.
Характерными особенностями советской строительной механики являются ее
тесная связь с практикой строительства и в то же время принципиальность, науч-
ность и глубина анализа. 1 ]
Перед советской строительной механикой стоят увлекательные задачи, выдви-
гаемые нашим бурно развивающимся социалистическим^ народным хозяйством. Можно
не сомневаться, что в ближайшие годы она достигнет новых значительных высот
Тот, кто хочет участвовать в ее поступательном движении, должен прежде
всего овладеть ее современным содержанием.
§ 4. НАГРУЗКА
Первый этап расчета сооружения сводится к выяснению величины, располо-
жения и направления тех сил, которые оно должно воспринять и уравновесить
своими внутренними силами. Разумеется, это выяснение не может быть сделано
с полной точностью, так как предвидеть все нагрузки, которые могут оказаться
приложенными с сооружению на протяжении его жизни, невозможно. Нужно
позаботиться о том, чтобы были учтены все те нагрузки, которые являются вероят-
ными в связи с назначением сооружения и условиями его работы.
Различают нагрузки постоян ную
и временную; статическую и
К постоянной относят ту нагрузку, которая является в известной степени
неотделимой от конструкции: ее собственный вес, а также передающийся на нее
вес элементов, составляющих обычную принадлежность сооружения. Например, для
стропильных ферм постоянной нагрузкой служит их собственный вес и вес кровли;
для пролетного строения железнодорожного моста — вес ферм со связями и проезжей
частью, а также вес поперечин и рельсов и т. д.
Временной нагрузкой для стропильных ферм является снег, ветер; для железно-
дорожных мостов — вес поезда, силы торможения, ветер и т. д.
Заметим, что иногда говорят также о полезной нагрузке; так называют ту
нагрузку, восприятие которой является прямой задачей сооружения, в отличие,
например, от собственного веса, который рассматривается как неизбежное зло.
Статической нагрузкой считается такая, которая передается сооружению спо-
койно, плавно, без толчков и вибраций; все прочие виды нагрузки считаются ди-
намическими.
К подвижной нагрузке относятся такие, как поезд, автомобили, мостовые краны
и т. п. Эти нагрузки, как правило, причисляются к динамическим и только в случае
очень медленного передвижения могут считаться статическими.
Перечисленные выше нагрузки могут быть сгруппированы несколько иначе:
различают нагрузки основные и дополнительные. К первым относят соб-
ственный вес и обычные для данного сооружения временные нагрузки; ко вторым
относят нагрузки редкие, как, например, торможение поезда на мосту, вес не-
обычайно большого снегового покрова и т. п. При расчете на дополнительную на-
грузку допускается несколько сниженный коэфиниент запаса. Иногда, в очень редких
случаях, приходится учитывать также исключительные нагрузки, как, напри-
мер, силы инерции, вызываемые землетрясением, и т. п.
Снеговая и ветровая нагрузка, равно как и веса расчетных поездов для
лезнодорожных поездов, принимаются согласно действующим в СССР нормам и
стандартам. ' •
Нагрузки от собственного веса намечается предварительно по справочным дзн
ным и затем уточняется после подбора сечений элементов. Сначала определяются
сечения элементов, непосредственно воспринимающих нагрузку
ментов, на которые они опираются,
нагрузка на фундамент и, наконец, на основание сооружения.
различают нагрузки основные и дополнительные.
тех эл$*
IV V 1 ПЛАН ы. lltAl pfj ) 3<1 1 СМ “~ Т
и т. д. В последнюю очередь определяется
Если имеется несколько вариантов временной нагрузки (например, снег только
иа левом скате крыши, снег — только на правом скате, снег — на обоих и снег
ни на одном), то для каждого элемента сооружения принимается наиболее невы-
годная для данного элемента комбинация временной нагрузки с постоянной.
24
Сооружения приходится иногда рассчитывать не *
другие воздействия, способные вызвать внутренние усилия*
щение опор, на усадку (уменьшение объема) бетона
ние арматуры и
Первые два воздействия можно рассматривать как временны»
как постоянные. ’
др.
только на нагрузку, но и на
на температуру, на сме-
на предварительное натяже-
а вторые два —
Si
наоборот,
значение.
простую и
и хорошо
§ 5. ПОНЯТИЕ О РАСЧЕТНОЙ СХЕМЕ СООРУЖЕНИЙ •
Расчетная схема сооружения представляет собой упрощенное изображение лей
ствительного сооружения; она фигурирует в процессе расчета вместо самого coodv
жения. Расчет мало-мальски сложного сооружения, основанный на вполне точном
строгом учете взаимодействия всех его частей, при современном состоянии науки
оказывается либо невозможным, либо хотя и принципиально возможным, но практи-
чески неприемлемым по своей сложности. ’ F
Стремясь дать инженерам такие решения, которые могли бы непосредственно
применяться на практике, строительная механика вынуждена прибегать к упроще-
нию своих задач, сознательно отказываться от учета целого ряда сравнительно менее
важных факторов и оперировать с расчетными схемами вместо действительных
сооружений.
Выбор расчетной схемы представляет собой очень важную и ответственную
часть расчета любого сооружения. Расчетная схема должна выбираться таким обра-
зом, чтобы сделать решение задачи возможным и практически приемлемыхм по сте-
пени его сложности. Путем игнорирования тех или иных условий нетрудно, разу-
меется, получить достаточно простую схему. Однако в то же время расчетная схема
должна возможно правильнее отражать самое существо задачи и обеспечивать рас-
чету достаточную достоверность и точность. Упрощая условие задачи, следует
игнорировать только те факторы, которые являются менее важными, и,
резко выделять те обстоятельства и условия, которые имеют серьезное
Но для того чтобы создать расчетную схему, одновременно достаточно
достаточно точную, нужно иметь большой опыт в расчете сооружений
представлять себе сравнительную важность различных элементов задачи.
Иногда при расчете одного и того же сооружения пользуются несколькими
схемами: для предварительного подбора сечений стержней берут сравнительно про-
стую схему, для окончательного же расчета — более сложную и более точную.
Расчетные схемы являются характеристикой уровня развития строительной
механики, так как они постепенно уточнялись и совершенствовались. Изучая рас-
четные схемы, применявшиеся в различное время, можно получить понятие о том,
в каком состоянии находилась строительная механика в соответствующий период
времени.
Приведем пример расчетной схемы.
Металлическое пролетное строение моста балочной системы состоит обычно из
двух вертикальных ферм, соединенных между собой продольными и поперечными
связями и проезжей частью. Последняя состоит из поперечных балок, приклепанных
или приваренных своими концами к главным фермам, продольных балок, прикле-
панных или приваренных к поперечным, и ездового полотна того или иного
устройства, опирающегося на балочную клетку проезжей части. Металлические
стержни, образующие каждую ферму, жестко скреплены между собой своими кон-
цами. Примерный вид такого пролетного строения показан в перспективе на фиг. 1.
Конструкция клепаного узла металлической стропильной фермы показана на фиг. 2.
При расчете таких пролетных строений на вертикальную нагрузку обычно
отказываются от рассмотрения всей системы как пространственной, а распределяют
нагрузку между обеими фермами по закону рычага и рассматривают кажд^
них как самостоятельную систему. Деформациями связей и проезжей части а также
некоторыми усилиями, которые они передают главным фермам, пре ‘
Каждый стержень фермы заменяется прямой линией, представляющей его .еометр.
1 Из книги проф. Е. О. Патона „Железные мосты",
т. I, стр. I, 1915.
25
ческую ось; все эти оси считаются j расположенными строго в одной плоскости.
Концы стержней, образующие узел фермы, считаются сходящимися строго в одной
точке — в центре узла. Взаимное соединение стержней предполагается идеально
шарнирным. Внешние силы считаются приложенными строго в плоскости получен-
Фиг. 1.
ной идеальной фигуры. Неподвижная и подвижная опоры считаются идеально шар-
нирными; силы трения игнорируются. Совокупность всех этих допущений и соста
вляет характеристику расчетной схемы пролетного строения.
Отказываясь от того или иного из этих упрощений или заменяя его менее
грубым, мы можем получить более точные расчетные схемы. Например, можно отка-
заться от гипотезы идеальной шарнирности узлов и считать взаимное соединение
Фиг. 2.
концов стержней абсолютно жестким.
Такая гипотеза в свою очередь противоре-
чит действительности, но противоречит
значительно меньше, чем гипотеза шарнир-
ности узлов; зато она значительно услож-
няет весь расчет. Сравнивая результаты,
получаемые при пользовании обеими рас-
четными схемами, можно прийти к выводам
относительно допустимости или недопусти-
мости пользования более простой из этих
схем. Аналогичным образом можно иссле-
довать вопрос о влиянии учета или не-
учета пространственного характера си-
д стемы.
4₽тып»а^г/ЛКаЯ простая величина, как пролет балки или фермы, нуждается в рас
: ПРИХОДИТСЯ различать длину L,
пролет I (фиг. 3). J ’
ванното неприменении Р5олГН°Й СХеМЫ П₽И помощи более точного расчета, осно
вается нрппгипииии ™ более совершенной схемы,
собой оценки остаетсГэксгепМеННОГ° состояния на>'ки’ Тогда
ется экспериментальный метод.
отверстие в свету с и расчетный
возможна; иногда это оказы-
единственным спо
26
Более точные расчеты показывают
что расчетная схема фермы как шарнирно-
стержневой системы становится тем менее приемлемой, чем больше возрастает жест-
кость стержней, выражаемая отношением —,
момент инерции поперечного сечения
|где
стержня, а / его длина. При некоторой вели-
чине этих отношений, когда ферма состоит из
сравнительно коротких стержней мощного се-
чения, гипотеза шарнирности узлов становится
чрезмерно грубой. Следовательно, для каждой
расчетной схемы существуют некоторые гра-
ницы, за которыми она становится уже не-
приемлемой.
Фиг. 3.
СХЕМ СООРУЖЕНИЙ
§ 6. КЛАССИФИКАЦИЯ РАСЧЕТНЫХ
В строительной механике мы будем оперировать только с расчетными
схемами сооружений, но для краткости терминологии будем пользоваться терми-
ном «сооружение», не оговаривая этого каждый раз наново.
' Классификация сооружений с точки зрения их расчета может строиться по
различным признакам.
С геометрической или пространственной точки зрения можно раз-
Фиг. 4.
з»
одного и того же порядка,
фундаменты, имеющие вид толстых
— ~ “ —— —к — ** Л
3»
ками
различным признакам.
С геометрической или пространственной точки зрения можно раз-
личать три типа сооружений:
1) сооружения, составленные из стержней, т. е. из таких элементов, у кото-
рых один размер (длина) значительно превышает^ва других; такие сооружения
мы будем называть стержневыми; частным случаем стержневой системы является
один стержень;
2) сооружения, составленные из таких элементов, в каждом из которых раз-
меры по двум направлениям (длина и ширина) значительно превосходят размер по
третьему направлению (толщина). Такие эле-
менты носят название пластинок, плит
и
3) сооружения, у которых все три размер-
ности и тот жр пооядка. Таковы,
например,
плит; основание (грунт), на которое передается
давление фундамента; плотины больших толщин
и т. д. Их можно назвать массивами, бло-
ками, сплошными средами и т. п.
Классификация расчетных схем по этому
признаку весьма важна, так как указанные три
типа сильно различаются между собой по ха-
рактеру расчета.
свою очередь разделяются на плоские и про-
называется такая система, в которой оси всех стерж-
ней и линии/действия внешних сил лежат в одной плоскости; пространственной
такая, в которой это условие не соблюдено.
<е магической точки зрения системы разбиваются на 1) г е о -
имеющие лишь необходимое число
ических связей; 2)’г е о м ет р и ч е с к и неизменяемые, имею-
лишних связей; 3) геометрически
-- такая система, в которой изменение
формы обусловливается лишь деформацией материала. Иначе говоря, г р
неизменяемой называется такая система, которая, будучи сделана из а
жесткого материала, не могла бы изменять своей формы. Кинематическ р j
имеет важное значение, так как в качестве сооружений могут применяться тольм
27
Стержневые системы в
стравственные. Плоской
метрически неизменяемые
* _ О\
к и н е м а т l_
щие то или иное количество
изменяе мые.
Геометрически неизменяемой называется
юП М2
ж я W • Z* vw Т¥ < 1 D О Я
неизменяемой называется такаясистема,
имеет важное значение, так как в качестве
3<
системы первых двух типов (неизменяемые). В то же время обе эти группы серьезно
различаются между собой по своим статическим свойствам и по характеру расчета
С точки зрения характера взаимного соединения элемен-
тов различаются сооружения: 1) с шарнирными соеди нениями, 2) с жест,
кими соединениями, 3) комбинированные. В расчетных схемах плоских
стержневых сооружений шарнир рассматривается как устройство, допускающее
только взаимный поворот двух стержней около оси, перпендикулярной к плоскости
Фиг. 5.
Фиг. 6.
системы и проходящей через центр шарнира. Силы грения в шарнире обычно
считаются равными нулю. Примером стержневых систем с жестким соединением
элементов может служить рама, показанная на фиг. 5; примером комбинированной
системы — рама, показанная на фиг. 6. Способ взаимного соединения элементов
отражается на характере работы сооружения и влияет на метод расчета.
С точки зрения направления опорных реакций сооружения
могут быть безраспорными и распорными.
К первому типу относятся такие сооружения, в которых вертикальная нагрузка
зызывает исключительно вертикальные опорные реакции; ко второму типу относятся
все остальные сооружения. Характерное для распорных систем наличие горизон-
тальной составляющей опорных реакций существенно влияет на работу как самих
систем, так и их опор.
§ 7. КЛАССИФИКАЦИЯ ОПОР ПЛОСКИХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
опорного устройства,
Фиг. 7.
Эти опоры допускают то или иное движение только в плоскости системы и
могут быть трех типов.
1. Цилиндрическая подвижная опора. На фиг. 71 показан пример такого
состоящего из плиты и цилиндрического катка. Последний
может кататься параллельно
плоскости фермы, но не может
скользить в направлении, пер-
пендикулярном ЭТОЙ ПЛОСКОСТИ.
Конструктивное осущест-
вление цилиндрической под- (
вижной опоры может быть весь-
ма разнообразным, но расчетная
схема ее всегда может быть
изображена так, как показано
на фиг. 8. С кинематической
точки зрения такая опора ха-
рактеризуется тем, что она
сигтрмк! о не препятствует ни поворот) I
папячлАпиип» ПЛ0СК°сти, ни ее поступательному перемещению в направлении, I
мешения пл нппмМ°й а УстРаняет лишь возможность поступательного пере- ।
мещения по нормали к этой прямой 2. I
if
Проф. Н. С. Стрелецким и
струкцш, стр. 401, Госстройиздат 1Ч351
Такая односторонняя *
прижимают конец Л системны
жна быть двусторонней, т. е.
гую сторону от точки л.
и и к проф. А. Н. Гениев, Основы металлических кои-
J
опора препятствует движению только в том случае, ес^и силы
/ к опорной поверхности. В противном случае опора до*
еть еще одну опорную поверхность, расположенно ю по ДРУ"
28
К тому же типу относится устройство, показанное на фиг 9
система снабжена подушкой CD, которая может кататься ’
где подвижная
и скользить без трения
Фиг. 8.
Фиг. 9.
по неподвижному профилю EF. Опорная реакция всегда проходит через точку
касания А и направлена по общей нормали к обеим кривым.
Кинематические и статические свойства подвижной цилиндрической опоры могут
быть представлены моделью, показанной на фиг. 10, а именно так называемым
опорным стержнем АВ, перпендикулярным к опор-
ной прямой MN фиг. 8. Такой стержень допускает лево-
рот системы вокруг цилиндрического шарнира А и посту- I
нательное перемещение по окружности, описанной из
центра В радиусом В А] при этом бесконечно малый элемент 2? р
окружности может рассматриваться как прямая. С другой Ww
стороны, такое изображение опоры' удобно тем, что оно фнг до.
одновременно показывает направление и положение опор-
ной реакции: последняя направлена по оси АВ. Опорная реакция содержит лишь
одну неизвестную — величину реакции; в то же время опора изображается одним
опорным стержнем.
Фиг. 11.
2. Цилиндрическая неподвижная опора. Она допускает только поворот
системы около неподвижной оси, перпендикулярной к плоскости системы. На
фиг. 11 показан пример конструкции такой
опоры для тяжелой металлической колонны.
Схематическое изображение такой опоры пред-
ставлено на фиг. 12, ц, б. С кинематической
и статической точки зрения она вполне характе-
ризуется фиг. 12,6'. Опорная реакция проходит
через точку А и содержит две составляющие,
неизвестные по величине, что и символизируем
двумя опорными стержнями — носителями этих
е точке А.
Фнг. 12.
двух реакций,
пересекающимися
29
3. Защемляющая неподвижная опора. Пример такой опоры для массивной
металлической колонны показан на фиг. 13. Она не допускает ни линейных, ни
Фнг. 13.
угловых перемещений.
Развиваемая ею
реакция содержит три
неизвестных; напри-
мер, она может быть
представлена в виде
силы, величина и на-
правление которой, как
известно, определяются
двумя ее составляю-
Фиг. 14.
щими, и пары, которая определяется одной величиной, а именно своим момен-
том. Сообразно этому числу неизвестных защемляющая опора условно изображена
на фиг. 14 при помощи трех опорных стержней, которые не пересекаются
в одной точке.
Глава II
КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СООРУЖЕНИЙ
§ 1. ЦЕЛЬ КИНЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Сооружение, составленное из отдельных элементов (твердых тел), связанных
между собой шарнирами или иными подвижными соединениями, может восприни-
мать нагрузку любого рода только в том случае, если оно способно сохранять
свою форму и положение. Кинематический анализ как раз имеет целью выяснить
обладает ли данная система этой способностью н какими условиями эта способность
обеспечена.
Никакой расчет сооружения не должен производиться без предварительного
кинематического анализа, так как в противном случае может оказаться, что этот
расчет лишен всякого смысла. Представим себе,
например, что требуется каким-либо статическим
способом определить усилия, возникающие
в стержнях системы фиг. 15 от действия задан-
ной силы Р. На основании кинематического ана-
лиза можно утверждать, что рассматриваемая
система представляет собой механизм, кото-
рый от действия нагрузки не будет находиться
в равновесии, а придет в движение. Усилия
могут быть найдены только из уравнений ди-
Фнг. 15.
н а м и к и, в которые войдут и силы инерции
движущихся стержней, статическое же решение,
вообще говоря, невозможно.
Кинематический анализ важен также для выяснения той роли, которую играют
отдельные элементы при загружении сооружения: какие из них являются основными
и какие сами опираются на основные; какие элементы помогают другим и какие
получают эту помощь.
§ 2. СТЕПЕНЬ СВОБОДЫ-ПЛОСКОЙ КИНЕМАТИЧЕСКОЙ ЦЕПИ,
СОСТАВЛЕННОЙ ИЗ ДИСКОВ
Степенью свободы какого-нибудь тела или системы тел называется коли-
чество геометрических параметров, которые независимо друг от друга могут изме-
няться во время движения.
Ограничимся здесь рассмотрением плоского движения.
Положение подвижной точки в плоскости определяется двумя ее координатами
относительно произвольной неподвижной системы координат в той же плоскости.
Следовательно, точка обладает в плоскости двумя степенями свободы.
Положение плоской фигуры в ее плоскости определяется тремя независимыми
переменными, например, двумя координатами ли^у какой-нибудь точки А*
наклона какой-либо прямой А В (фиг.
независимые переменные приобретут новые значения х
16). Переместившись так, что эти три
------- - у* у', фигура займет
31
вполне определенное положение. Отсюда следует, что плоская фигура имеет в своей
плоскости три степени свободы.
Степень свободы фигуры может быть стеснена какими-нибудь препятствиями,
которые уменьшают количество независимых параметров движения. Всякое устройство,
уничтожающее одну степень свободы, рассматривается как одна кинематиче-
ская связь. Если какое-либо устройство уничтожает несколько степеней свободы,
до оно рассматривается как соответствующее количество связей.
Пусть например точка А вынуждена скользить вдоль заданной кривой Л!/*/
иг. 17). Очевидно, что координаты точки уже не являются независимыми пере-
Фиг. 16.
Фиг. 17.
менными, а связаны между собой уравнением этой кривой. Если одну из координат
рассматривать как независимую перейденную, то другая будет ее функцией. Следо-
вательно устройство, заставляющее точку А оставаться на заданной кривой, экви-
валентно одной связи. <
Цилиндрический шарнир с неподвижной геометрической осью, вокруг которой
фигура может вращаться, эквивалентен двум связям. Действительно, при наличии
такого шарнира точка А (фиг. 18) теряег свои две степени свободы, и единствен-
ным независимым параметром движения остается угол о1.
Расчетные схемы многих сооружений имеют вид кинематических цепей, соста-
вленных из отдельных геометрически неизменяемых плоских звеньев, или, короче
Фиг. 18.
Фиг. 19.
шарнира'111»
определить
связаны друг с другом
свободы такой фигуры можно
сначала подсчитать ее, предполагая, что никаких
Пусть, например, число дисков равно Д,
диски друг с другом, равно Ш, число опорных стержней
говоря, дисков (фиг. 19). Эти диски
а с землей — опорными стержнями. Степень
следующим простым способом:
связей нет, затем подсчитать число связей, налагаемое на движение системы всеми
шарнирами и опорными стержнями; наконец, из первого числа вычесть второе.
днски ^invr наггРИмеР» число дисков равно Д\ число шарниров, связывающих эти
„У с дРУг°м, равно Ш, число опорных стержней — Со (стержни опорные)-
лярио к₽ плоскостиСЙ<1РптРмг?.ИГу ра Не м°жет скользить Вдоль оси шарнира нерпе иди к)’
движение с дв^мя степсними^воподы0™6”0^1 Сл^чае оиа совершала бы пространственно6 32
32 I
ЭВ
Так как диск, ничем не стесненный в своем движении
степени свободы, то общее число степеней свободы п >
составило бы ЗД. Каждый шарнир эквивалентен двум связям
одной связи, следовательно, полное число связей равно 2/77 Л г* С
свободы системы “ 1 °’ ^тсюда
не стесненный в своем движении, имеет в плоскости три
при игнорировании связей
а опорный стержень —
степень
1Г=ЗД — 2ZZ7 — Со. (1)
Если W >> О, то система обладает по-
движностью; если IF=O, то число связей
составляет необходимый минимум, доста-
точный для обеспечения неизменяемости и
неподвижности сооружения; если W < О,
то число связей превышает этот минимум.
Количество лишних или избыточных связей
обозначим через Л. Очевидно, Л =— IF,
и, следовательно,
Л=С0-]-2Ш—ЗД. (2)
У словие геометрической не-
изменяемости и неподвижности при
минимальном числе связей имеет вид IF—
— J] = о, или
Фиг. 20.
*
ЗД = 2/Л + со.
(3)
Могут встретиться иногда такие цепи, в которых несколько шарниров насажены
на одну ось. Такой шарнир следует рассматривать как несколько шарниров,
так как он стесняет взаимное движение нескольких дисков. Мы будем называть
его кратным шарниром.
Так например, шарнир А (фиг. 20), связывающий между собой 3 звена, следует
рассматривать как сдвоенный шарнир. Вообще шарнир, связывающий п звеньев,
1 простых шарниров. На фиг. 21 схема а изображает двойной
шарнир, а схемы б и в — одиночные. Шарнир
играет роль п
Фиг. 21.
типа схемы а иногда называют полным, а шар-
ниры типов б и в — неполными; в последних
некоторые стержни связаны между собой жестко.
Для правильного применения формул (2) и (3)
следует понимать в них под величиной Ш при-
веденное число шарниров, т. е. эквивалентное
число простых шарниров.
Если фигура не имеет ни одного опорного
стержня, то ее степень свободы IF складывается
из двух частей: из числа параметров, характери-
зующих взаимную подвижность
ее элементов,
и из числа степеней свободы всей
игуры — как
одного целого-—в
изменяемости
ее
V
плоскости. Первое число мы будем называть степенью
игуры; второе, как мы знаем, равно
3. Отсюда — формула
для степени изменяемости
игуры, не имеющей опор:
I/= W—3 = ЗД —2ZZ7 —3.
(4)
Для системы же, имеющей опорные стержни, мы не будем делать различия
между степенью свободы и степенью изменяемости.
На существование простой связи между степенью свободы кинематической
цепи, с одной стороны, и числом ее стержней и кинематических пар, с другой
стороны, впервые обратил внимание знаменитый русский математик акад. П. Л. с
бышев (14/V 1821 г.—26/XI 1894 г.), автор гениальных исследований по теории
чисел, теории вероятностей, интегральному исчислению и рядам, теории интер-
поляции и непрерывных дробей и по теории механизмов.
3 Зак. 1842. И. М. Рабинович.
33
В докладе
В докладе „О параллелограммах", читанном в Москве в 1869 г. и опубли-
кованном в 1870 г. *, он вывел для любого плоского механизма формулу:
Зтд— 2 == 1,
где т — число дисков,
ji-J-v— число внутренних и опорных шарниров.
Метод, при помощи которого он получил это соотношение, годится для систем
с любой степенью свободы, в том числе, для систем геометрически неизменяемых.
Следует подчеркнуть, что в зарубежной литературе приоритет Чебышева на
эту формулу замалчивается и ее приписывают различным иностранным авторам,
хотя Чебышев опубликовал свою работу одновременно на русском и немецком
языках 1 2 *.
§ 3. ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ
Пример 1» Определить степень подвижности или изменяемости шарнирного много-
угольника, составленного из последовательно соединенных между собой дисков и
имеющего Со опорных стержней
(фиг. 22).
Решение. Если число ди-
сков равно Д, то число шарни-
ров, связывающих взаимно эти
диски, равно Д—~1, т. е. Ш = Д —1;
По формуле (I) получаем
W = 3 Д — 2 (Д — 1) — Со =
= Д 4“ 2 — Сс. (5)
Для того чтобы эта фигура
сделалась геометрически неизме-
няемой, необходимо, чтобы было
Фиг. 22. соблюдено условие:
Д.~\~ 2 — Со = 6 или Со = Д 4~ 2.
Формулу (5) можно непосредственно получить, рассуждая следующим образом: если
бы шарниры между звеньями отсутствовали, то вся система превратилась бы в один диск;
его степень свободы была бы равна 3 — Со; каждый шарнир дает одну добавочную степень
свободы (взаимный поворот двух звеньев около центра шарнира), следовательно
ZZZ+3—Со = Д + 2-^ Со.
ЗЕ
Пример 2. Шарнирный л-угольник, изображенный на фиг. 23, имеет п сторон и столько
же шарниров, следовательно согласно фор-
муле (1)
W = Зп — 2п = п.
Фиг. 24.
Фиг. 23.
п связей™*^ ЧТ°6Ь1 САелать эту фигуру неподвижной и неизменяемой, необходимо добавить
ппм vqhp „1ОМ числе — не менее трех опорных стержней, например поместить в каж-
дом узле или на каждом даске по одно£у опорЪому стержню.
1 Т4
стр. 9—30, 1870?еЗАа естестВоиспытателей, Отдел технологии и практической механики,
2 Подробнее об этим <
механике*, стр. 20_22 см* в книге автора яКинематический метод в строительной
34
Чебышев (1821 — 1894)
Степень изменяемости системы фиг. 23 равна п~3; для того л
фигуру неизменяемой, не заботясь о ее неподвижности, слезет ввести п Ч гГ”» ЭТу
рнмер, из одной вершины провести всевоз- ' ввести л —3 связей, на-
ложные п — 3 диагонали.
Пример 3. Трехшарнирная рама,
женная на фиг. 24, состоит из двух
изобра-
дисков:
U —3-2 — 2-1 — 4 = 0,
т. е. фигура неподвижна и неизменяема.
Пример 4. Система по фиг. 25 имеет степень
изменяемости
1Г=0.
Пример 5. Фиг. 26 состоит из трех балок, Фиг. 25.
соединенных двумя шарнирами и опирающихся
на пять опорных стержней: Д = 3, ZZ/ = 2, Со = 5, следовательно
U7= 3-3 —2-2 —5 = 0.
Тот же результат можно получить по формуле (5):
1Г=3-Ь2
Фиг. 26.
Фиг. 28.
Фиг. 27.
Задачи 6—8. Подсчитать степень подвижности или число лишних связей систем,
изображенных на фиг. 19, 27, 28.
§ 4. СТЕПЕНЬ СВОБОДЫ ШАРНИРНО-СТЕРЖНЕВОЙ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ
Мы будем рассматривать здесь такие системы, звенья которых шарнирно
связаны между собой, причем каждое звено содержит только два шарнира (простых
или кратных). Степень свободы таких систем можно изучать по формулам, которые
даны выше, но для них можно вывести и другие формулы.
Примем центры шарниров за отдельные точки, могущие перемещаться в пло-
скости. Число таких точек, или узлов, обозначим через У (от слова „узел ),
число звеньев, или стержней, — через С („стержень*); число опорных стержней —
через Со.
Если бы узлы не
них имел бы две степени
Каждый жесткий стержень
одной связи,
сохранение постоянного
составляет
о-
были взаимно связаны при помощи звеньев, то каждый из
свободы, а суммарная степень свободы равнялась бы
...... соединяющий две точки А и В (фиг. 29), эквивалентен
так как налагает на координаты этих точек единственное условиг-
расстояния между последними. Полное число связе
J- Со. Следо вательно, степень свободы равна.
1Г=2У—С—Со.
(6)
37
Количество избыточных, или лишних
.77=: — С
увеличится на
связей сверх необходимого минимума-
Со—-2 У. (7)
имеет лишь необходимое для обеспечения неподвижности и не-
изменяемости число связей, то Л , т. е.
2У=С+С0. (8)
Если мы отделим систему от ее опор, т. е. откинем все
опорные стержни, то степень свободы, очевидно, увеличится на
С и будет равна 1ГЦ-С0. Известно, что диск имеет в своей
плоскости три степени свободы. Следовательно, в том случае,
когда система, отделенная от своих опор, представляет собой гео-
метрически неизменяемую фигуру (диск), мы должны получить
ц7^_Сс==3, или IF-Ь Со—3 = 0.
Введем обозначение
1/ = W 4- Cq 3,
Если система
в
Фиг. 29.
или иначе
Число V выражает степень геометрической изменяемости системы, отделяемой от
ее опор. При У=0 система представляет собой диск; при V—1 она имеет одну
степень изменяемости и т. Д.
Признак геометрической неизменяемости и отсутствия лишних связей в системе,
отделенной от ее опор, имеет вид IZ= 0, или
2У
(9)
§ 5. ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ
ду Пример 9. Системе, изображенной на фиг. 30, соответствуют У — /, С 11,
У = 2-7— 11 — 3 = 0, т. е. она геометрически неизменяема.
Фиг. 30.
Фиг. 31.
Фиг. 32.
вателадо,“Х 1^темТ^ХП?пИФИГ' 31 У=10’ С = 20,
еет ТРИ лишних стержня.
Фиг. 33.
V=2-10 —20 —3 = —3, счедо-
Пример 11. Для фиг. 32 У = 18, С = 33, с =3, W = 2-18 — 33 — 3 = 0.
Пример 12. Для фиг. 33 У =и 1J, с А 23, Со = 3, 1Г= 2-13 —23 —3 = 0
Фиг. 36.
Фиг. 37. фиг- 38-
Задачи 13__17. Определить степень подвижности или изменяемости систем, изобра
жеиных на фиг. 34—38. У
8 6 СПОСОБЫ ОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕИЗМЕНЯЕМЫХ
СИСТЕМ
Указанные выше соотношения между числом стержней и узлов или числом
дисков, шарниров и опорных стержней являются необходимыми, но недостаточны
характеристиками числа степеней свободы системы. одинаковое
Так, например, системы, изображенные на фиг. 39 и 40, имеют о«овое
количество стержней и шарниров; первая геометрически неизменям ^нели__одну
а вторая имеет в одной панели лишний стержень, а ру
степень свободы.
39
Подсчет числа стержней, дисков, шарниров и т. д. является операцией весьма
важной, в особенности, в тех случаях, когда изучается сложная система. Однако
г м т р и-
Этот анализ состоит в рассмотрении
сочетания элементов; Д дисков, Ш шап-
эта операция недостаточна; она должна быть дополнена анализом
ческой
расположения связей системы и порядка
сооружения.
Фиг. 39.
Фиг. 40.
пиров и Со опорных стержней, удовлетворяющих соотношению (3), можно весьма
разнообразными способами соединить в геометрически неизменяемую и неподвижную
фигуру. То же самое можно сказать об образовании геометрически неизменяемой
ЭЕ
фигуры из
У точек и 2 У—3 соединительных стержней [соотношение (9)]. Рас-
смотрим некоторые способы образования
геометрически неизменяемых
систем.
Фиг. 41.
1. К двум дискам, связанным общим шарниром А, присоединен с помощью
двух шарниров В и С диск ВС, причем прямая ВС не проходит через точку А
(фиг. 41).
2. Два диска связаны между собой тремя стержнями, оси которых не пере-
секаются в одной точке (фиг. 42).
3. К геометрически неизменяемой фигуре ВС шарнирно присоединяется новый
узел А при помощи двух стержней так, что три шарнира А, В и С не лежат
А
Фиг. 43.
Фиг. 44.
на одной прямой (фиг. 43). Этот способ, находящий себе на практике большое
ногт’еНеНИе’ Не отличается по существу от способа, указанного в п. I. Совокуп-
назывятк^п стержнейили дисков, шарнирно прикрепляющих точку А, мы будем
ичмаиярт иадо ’ присоединение любого числа диад к кинематической цепи не
изменяет ее степени свободы или изменяемости.
4lTereoM₽TnJlbK0 примеР°в систем более сложной
к геометрически
присоединяется новая точка А
40
стру КТ} ры.
изменяемой системе, имеющей одну степень свободы,
- тремя стержнями или дисками (фиг. 44), причем
не принадлежат все три одному и тому же диску. Такое
единиц^’ НаЗЫВатЬ тРИаДО«- Триада уменьшает степень
одной степенью свободы добавляется произвольное число
к системе с двумя степенями свободы—произвольное число
Фиг. 45.
шарниры В, С и D
прикрепление точки
свободы системы на
5. К системе с
диад и одна триада;
диад и две триады. На
фиг. 45 точки 5, 2, /, 4,
5, 6 присоединены при по-
мощи диад, а точки F и
G — при помощи триад.
6. К системе, имеющей
п степеней свободы или
изменяемости, добавляются п
стержней так, чтобы ни
в одной части системы не
было лишних стержней.
Пусть, например, система состоит из трех дисков; нетрудно понять, что они
имеют друг относительно друга шесть степеней свободы. Из них можно образовать
геометрически неизменяемую систему, добавив шесть соединительных стержней;
например, по два между каждыми двумя дисками (фиг. 46). Соединение дисков 1 и 2
двумя стержнями эквивалентно с кинемати-
ческой точки зрения введению шарнира /2,
связывающего эти диски; аналогичную роль
играют точки 13 и 23. Таким образом, эти
диски превращаются как бы в жесткий
треугольник (если точки /2, 23 и 13 не
лежат на одной прямой).
7. Берется геометрически неизменяемая
система, не имеющая лишних связей; из нее
удаляются те или иные связи и вместо них
вводится такое же количество новых. При
этом нужно заботиться о том, чтобы ни
в одной части системы не оказалось лишних
связей, так как в противном случае в другой
части неизбежно оказалось бы недостаточное
и полу-
число связей. Замена связей позволяет радикально изменить систему
чить из нее разнообразные новые системы Ч
§ 7. ПРИМЕРЫ АНАЛИЗА ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ СТРУКТУРЫ
служить
опорных
с
О
д
Примером системы с простейшей геометрической структурой может
фиг. 47. Балка АВС представляет собой диск, опирающийся на три
стержня, не пересекающихся в одной точке, а потому она неподвижна. Балка DEF
прикреплена к земле двумя
опорными стержнями в точках
Е и F; роль третьего опорного
стержня играет балка CD.
Итак, система неподвижна и
имеет лишь необходимый мини-
мум связей.
Фиг. 48 представляет собой _ _
ной простейший элемент можно принять треугольник нему прикре-
плена двумя стержнями (диадой) точка 4У следовательно, вся
Фиг. 47.
пример фермы с простейшей структурой. За основ-
jjnrypa 1 -2-3-4 гео
1 О структуре плоских систем см. в книге автора: „Кинематический метод в^^11
тельной механике", гл. III, Москва, 1928; см. также книгу проф Н. К Снитко Теория
неизменяемости плоских мостовых ферм", изд. Военно-транспор ю >
град, 1947 г.
41
S£
метрически неизменяема. К этой фигуре прикреплена новая точка 5 опять диадой,
затем таким же способом — точка 6 и т. д.
Структуру этой системы можно представить себе также иначе, например так:
две геометрически неизменяемые части 1-2-8-7 и 9-10-17-18 (фиг. 49), образован-
ные вышеуказанным спосо-
Фиг. 48.
бом, соединены друг с дру-
гом тремя стержнями 8-10*
7-9 и 8-9, не пересекающи-
мися в одной точке.
Фиг. 28 имеет следую-
щую структуру: к двум не-
подвижным точкам А и С
прикреплена двумя стержня-
ми точка В) затем к обра-
Фиг. 49.
зовавшейся неподвижной фи-
гуре прикреплены точки D
и Е — каждая при помощи
диады. Балка FH притянута
вертикальными стержнями
к неподвижным точкам Z),
В и £ и имеет сверх того
три опорных стержня по
концам. Следовательно, бал-
ка FH имеет всего шесть опорных стержней; не будь в ней среднего шарнира,
число лишних опорных стержней равнялось бы трем; благодаря шарниру оно
снижается до двух.
Структуру фиг. 50, имеющей большое количество стержней, можно представить
себе следующим образом (фиг. 51): заштрихованные диски /, 2, 3 шарнирно
связаны между собой и опираются
на три опорных стержня в точках
А и О, Если бы других связей
не было, то такая кинематическая
цепь имела бы две степени сво-
боды. К этой системе присоеди-
няется двумя стержнями точка Е
и двумя — точка F; от этого сте-
пень свободы не изменяется. На-
конец, устанавливаются опорные
стержни (стойки) ЕВ и FC, бла-
годаря чему система теряет
имевшиеся у нее две степени сво-
боды.
§ 8. МГНОВЕННО ИЗМЕНЯЕМЫЕ
СИСТЕМЫ
Фиг. 50.
Фиг. 51.
Кинематическую цепь с одной
степенью свободы мы будем на-
зывать механизмом. Ог цепей с
любой другой степенью свободы
механизм отличается тем, что
механиз^иня4 ^1 . вынуждены описывать вполне определённые траектории J; поэтому
че называется цепью принужденного движения. Если к меха-
1 Доказательство- так к aw
координат любой движущейся механнзм имеет лишь одну степень свободы, то из двух
другая же является ее функций,ки лишь одна может считаться независимой переменной,
кривой. 44 4 ен> отсюда следует, что точка движется по определенной
42
НИЗМу ДОбЗБИТЬ ОДНУ СВЯЗЬ тп глп
неизменяем)ю систему. Однако существует особый*3™ ПреВрагится в геометрически
_ , иудь механизме две произвольны1 точки д м о
длежащие двум различным звеньям и не связанные между собой жестким
При движении механизма расстояние между этими точками « стеРАнем-
няться. В процессе движения, однако, может наступивХГХнт "кГЛТо
Р^пТ „ йежД°СТИГНеТ максимУма и™ минимума. Так как сторостизменения Ге
прерывной функции при ее экстремальных значениях равна нулю, топрибесконеч№
малом дальнейшем перемещении механизма в ту или друг)ю сторонуРЭто расстоя
ние останется неизменным Ч ? ' это расстоя-
Если мы в этот момент соединим обе точки стержнем, то цепь сохранит бес
конечно малую подвижность, несмотря на то. что число ее связей и гео^етои-
ГР^.^Р.а...Об?^Пе.ЧИВа,ЮТ еЙ,Е общем случае геоме грическую неизменяемость.
Понятие о мгновенности относится здесь
будем рассматривать механизм в движении и при произвольном
А и В соединять их мысленно стержнем, то будем получать различные
чески неизменяемые системы, которые
конечно малую подвижность
Такую систему мы в дальнейшем будем называть „мгновенно-изменяемой02^
к вариации формы системы: если мы
положении точек
геометри-
можно рассматривать как вариации одной
Фиг. 52.
одном
отмеченном здесь мгновенном положении
и той же системы, и лишь при
этих точек система станет изменяемой.
Для примера рассмотрим вариации балки АВ, опирающейся на три опорных
стержня (фиг. 52). Эта система, очевидно, неподвижна. В том частном случае,
когда продолжение правого опорного стержня проходит через точку А (фиг. 53),
система становится мгновенно-изменяемой. Действительно, если откинуть стер-
жень ВС и представить себе вращение стержня АВ вокруг центра А, то расстоя-
ние между точками В и
на прямую АС.
Изменяемость фиг.
разъединим стержни АВ
по окружности Z, а тот
ности
элемент, поэтому соединение ооеих точек о пс -------
малому перемещению. Иная картина получится на фиг. 52: окружности 1 и 2 не
имеют общей касательной, поэтому одновременное бесконечно малое перемещение
общей точки В по обеим окружностям невозможно.
По аналогичной причине жесткий диск, опирающийся на три опорных стержня,
пересекающихся между собой в одной точке (фиг. 54), всегда будет обладать
мгновенной подвижностью.
Пример такой мгновенно-изменяемой системы показан на фиг. 55 где роль
наклонных опорных стержней для диска АВС играют ломаные стержни ADnUz
а прямые АО и СЕ пересекаются в одной точке со средним опорным стержнем
Диск, опирающийся на три параллельных стержня, также
подвижностью, так как эти стержни можно считать пересекающимися в одной,
хотя и бесконечно далекой, точке.
С достигнет, очевидно, минимума, когда точка В придет
53 можно доказать также следующим образом: если мы
и ВС в точке В, то конец В стержня АВ переместится
же конец стержня СВ — по окружности 2. Но эти окруж-
имеют общую касательную, следовательно, — общий бесконечно ма ый
Поэтому соединение обеих точек В не помешает их общему бесконечно
1 Точнее говоря
2 И. М. Рабинов и ч
М. 1928.
Изменится на бесконечно малые величины высших порядков.
, изменится ннае^ч°еский мстод в строИтеЛЬной механике, стр. 175.
43
Хотя мгновенно-изменяемые системы, теоретически говоря, имеют лишь бес-
конечно малую подвижность, фактически их перемещения, вызываемые нагрузкой,
оказываются настолько резко повышенными по сравнению с перемещениями обыч-
ных геометрически неизменяемых систем, что применение их в качестве строитель-
ных сооружений недопустимо. Следует избегать не только мгновенно изменяемых
схем но даже и таких, которые близки к ним. Причина этого станет понятна
позже, когда мы разберем такие схемы со статической точки зрения и убедимся,
Фиг. 54.
Фиг. 55.
что усилия, вызываемые внешней нагрузкой в системах, близких к мгновенно-из-
меняемым, отличаются значительной величиной, а в системах мгновенно-изменяемых
теоретически равны бесконечности.
§ 9. ПРОВЕРКА НА МГНОВЕННУЮ ИЗМЕНЯЕМОСТЬ
Проверка на мгновенную изменяемость такой системы, которая имеет
необходимое число связей и по своей структуре является в об-
щем случае геометрически неизменяемой, может производиться различ-
ными способами1. Здесь мы ограничимся рассмотрением лишь
некоторых кинематических приемов.
Удалим из системы какой-нибудь стержень АВ, превра-
тив ее тем самым в механизм (фиг^ 56) (на чертеже не
показаны остальные звенья системы). Найдем мгновенный
центр 2 О]2 взаимного вращения тех двух звеньев, которым
принадлежат точки А и В. Сейчас же после этого
можно дать характеристику изучаемой системы: она
является мгновенно-изменяемой или нет,
смотря по тому, проходит ли прямая АВ или
ее продолжение через мгновенный центр О12
или нет. Действительно, в первом случае при бесконечно
малом движении механизма расстояние между точками А
и В не изменяется, поэтому присоединение стержня АВ
не стесняет движения.
По этому признаку легко может быть обнаружена мгно-
венная изменяемость фиг. 54.
схему, изображенную на фиг. 57. Она состоит из двух дисков,
Фиг. 56.
Рассмотрим
связанных друг
еще
- - с Другом шарниром и опирающихся каждый на два опорных стержня,
оозначим эти два диска цифрами 1 и 2, а фундамент — цифрой 3. Разъединим
“° днски и в шарнире 12 и найдем мгновенный центр вращения ка-
КажГ0 *13 них Огносительно фундамента. Эти мгновенные центры назовем 13 и 23.
После И3 НЙХ Лежит на пересечении соответствующих двух опорных стержней.
центпо\ЭТОГ° СВяжем снова оба Диска шарниром 12, который, очевидно, является
мгновеннь3аИМНОГО вращ,ения звеньев 1 и 2. Согласно известной теореме о трех
т n е y n „Т Ц6Нтрах вРаихения, при любом бесконечно малом перемещении
х М A JI И г V Л п __ . _ _ _ >
м., 1928. р а б и н О в И ч. Кинематический метод в строительной механике, стр. 173—226.
Читается: „О-один-два".
44
° eV. р1»р»р X1’- ™-к„ ,3м,
изменяемой; если же не пройдет, то система неизменяема™3 ЯВЛЯеТСЯ мгновенн°-
г,г„ 5™*хе •»-
стержней диска 7, затем — мгновенный
с оставшимся опорным стерж-
73 на пересечении опорных
пересечении прямой 13-12
нем диска 2. Если откинутый
оперный стержень не проходит
через точку 23, то система не-
изменяема.
Аналогичным образом мож-
но доказать, что фиг. 46 де-
лается мгновенно-изменяемой,
когда точки 12, 13 и 23 распо-
лагаются на одной прямой.
Для поверки систем на
мгновенную изменяемость весь-
ма удобны планы скоростей—
полярный и неполярный (об
центр 23
на
Фиг. 57.
их построении см. приложение
в конце книги).
Рассмотрим для примера фиг. 59, а. В общем случае она геометрически не-
изменяема и не имеет лишних связей. Обратим ее в механизм, удалив одн>^ из ее
связей, например, стержень DF. Сообщим затем полученной системе возможное
перемещение и выясним, изменяется ли при этом взаимное расстояние точек D и F.
Если оно изменяется, то возвращение стержня DF на его место, очевидно, сделает
систему неподвижной; если не изменяется, то бесконечно малое перемещение
останется возможным и при наличии этого стержня; следовательно, в последнем слу-
чае заданная система мгновенно-изменяема.
Для построения неполярного плана скоростей указанного механизма
вспомним, что скорости изображаются повернутыми на 90°. Скорость точки С
перпендикулярна к линии СА, поэтому она изображается вектором СС', где
С' — произвольная точка линии СА, Точку С' мы будем называть ,,изображением“
точки С, причем скорость выражается вектором, идущим от точки к ее изображе-
нию. Линия С'Е\ по свойству
Фиг. 58.
плана скоростей, параллельна
линии СЕ; кроме того, точка
Е'9 очевидно, лежит на оси
правого опорного стержня.
Фигура СВА и ее изобра-
жение С'В'А' должны быть
подобны, следовательно
С'В' __ СВ
В'А' ~~ В А ‘
Аналогично этому
C'D' CD
D'E' DE *
Из этих соотношений найдутся
точки В' и Dr.
Теперь, проведя
точку F'. Взаимное
вектором DfF'. Если
прямые В'F1 и GfF',
перемещение точек D
D'F'^DF, то заданная
где B'F'\\BF и G'F'\\GF, определим
и F (повернутое на 90°) выражается
система мгновенно-изменяем!; в про-
тивном случае — неизменяема.
Полярный план скоростей
точки изображается вектором, идущим из
I
показан
н на фиг. 59, б. В нем скорость люоой
полюса О к изображению точки. Полюс
45
служит одновременно изображением неподвижных точек А и G. Будем обозначать
изображения точек строчными буквами.
Проводим асЦАС, причем длина вектора ас может быть взята произвольной.
Палее проводим се\]СЕ до пересечения линии се с прямой Ое, параллельной пра-
вому опорному стержню. На прямых са и се находим точки b и d из пропорций:
cb СВ cd CD
На ~~ BA К de ~ DE
и проводим прямые bf\\BF и g/||GF. Взаимное перемещение точек D и F, повер-
нутое на 90°, изображается вектором df. Если df\\DF, то заданная система мгно-
венно-изменяема.
Фиг. 59.
Для применения этих кинематических приемов проверки требуется умение
строить мгновенные центры вращения и планы скоростей. Читатель, недостаточно
знакомый с этими построениями, найдет краткое их изложение в приложении
в конце книги.
§ 10. ПОРЯДОК КИНЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА СИСТЕМЫ
При анализе схем сооружений можно рекомендовать придерживаться следую-
щего порядка: сначала по формулам, данным в § 2 и 4, подсчитать степень сво-
боды системы, затем разобраться в ее геометрической структуре. Если окажется,
что система имеет геометрически неизменяемую структуру и не содержит лишних
связей, то необходимо произвести последнюю поверку, а именно убедиться в том,
что она не является мгновенно-изменяемой.
Птт^сли система несложна, то можно обойтись без первого этапа и прямо начать
— — V J
В процессе анализа геометрической структуры следует разобраться также в
имеются ли в системе элементы, которые являются основными, и элементы,
с анализа ее структуры'.
том В прОцессе анализа геометрической структуры следует разобраться также в
опиоак)Ме1<)ТСЯ ЛИ В системе элементы, которые являются основными, и элементы,
invin Такой анализ, как мы увидим, значительно облегчает дальней-
опорных Реакций, изгибающих моментов и других
шую работу по определению
усилий.
Глава III
АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
§ 1. КЛАССИФИКАЦИЯ МЕТОДОВ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
В данной главе мы будем говорить о методах, применяемых для определения
усилий, деформаций и перемещений.
Можно наметить следующую классификацию методов.
а) Аналитический метод состоит в том, что все операции, при помощи
которых определяются неизвестные, сводятся только к буквенным или численным
математическим действиям. Все вспомогательные величины выражаются аналити-
чески, как некоторые функции заданных параметров.
Условия задачи формулируются в виде уравнений (иногда — в виде неравенств)
определение неизвестных производится путем решения этих уравнений. Никакие
величины не получаются путем непосредственного измерения их на чертеже.
б) Графический метод состоит в том, что все вспомогательные вели-
чины и все основные неизвестные задачи определяются из чертежа путем тех
или иных геометрических построений. Для получения окончательного результата
не требуется каких-либо вычислительных операций.
в) Комбинированные методы состоят в совместном применении вычи-
слительных и графических операций; например, некоторые необходимые вспомога-
тельные величины, как длины стержней, синусы или косинусы их углов наклона
к осям координат и т. п., определяются из чертежа, а затем подставляются в соот-
ветствующие уравнения, которые и решаются обычными аналитическими приемами.
Бывает и так, что решение задачи распадается на несколько этапов, в которых
оба названных выше метода последовательно сменяют друг друга.
Комбинированные методы являются наиболее распространенными в строительной
механике. Стремление провести решение задачи от начала до конца при помощи
одних аналитических или одних графических приемов нередко приводит к ненужным
осложнениям.
Если в комбинированном методе решения какой-либо задачи преобладает ана-
литическая сторона, то на практике такое решение обычно называют аналитическим,
а если графическая сторона, то графическим. Однако такая терминология не обла-
дает необходимой строгостью.
Методы строительной механики могут быть сгруппированы также по другому
признаку: они бывают прямыми и
методы -
признаку: они оывают прямыми и косвенными. К последним относятся
методы, основанные на применении тех или иных аналогий; такова, например,
общеизвестная аналогия между построением упругой линии стержня по заданной
эпюре изгибающих моментов и построением эпюры фиктивных моментов по заданной
фиктивной нагрузке.
Другой известной аналогией является замена задачи о нахождении равнодей-
ствующей заданной плоской системы сил задачей о нахождении усилий, которые
возникли бы на концах нити, нагруженной этими силами (веревочный многоугольник).
Удачные аналогии нередко позволяют найти неожиданно легкое и наглядное
решение трудных задач строительной механики.
Метод аналогии применяется либо в аналитической, либо в графическо ,
в комбинированной форме.
3€
47
§ 2. ПРИНЦИП НЕЗАВИСИМОСТИ ДЕЙСТВИЯ СИЛ (ПРИНЦИП НАЛОЖЕНИЯ)
Независимость действия сил выражается в том, что усилия или деформации,
вызываемые в сооружении произвольной системой сил
U
вызываемые в сооружении произвольной системой сил нп, равны
алгебраической сумме усилий или деформаций, вызываемых каждой из сил в отдель-
ности Действия отдельных сил суммируются, „налагаются11 друг на друга. Мате-
матически это выражается в том, что результат оказывается однородной линейной
функцией внешних сил:
V=P.V1+PM
(1)
где —соответствующий эффект силы Р1 = 1;
Vg — тот же эффект силы Р2=1 и т. д.
В тех случаях, когда этот принцип не оправдывается и пользование им оказы-
вается невозможным, расчет сразу очень сильно осложняется, так как функция (1)
является простейшей из всех возможных. Поэтому названный принцип играет
в строительной механике большую роль, и подавляющее большинство ее задач
решается с его помощью. **
Принцип наложения является приближенным; вполне строго он не оправды-
вается ни для каких материалов, ни для каких конструкций. Однако для пода-
вляющего большинства материалов и конструкций при тех напряжениях, с которыми
Фиг. 60.
Фиг. 61.
приходится иметь дело на практике, он подтверждается опытом с точностью,
вполне достаточной для практических целей.
Для того чтобы можно было пользоваться этим принципом, сооружение должно
быть геометрически неизменяемым, а его деформации должны быть ничтожно малыми
по сравнению с размерами самого сооружения. В этом случае при составлении
уравнений статики в большинстве случаев можно не делать различия между фермой
ненагруженного и нагруженного сооружения. Например, в простой балке, пред-
ставленной на фиг. 60, перемещение А/ при напряжениях, не превышающих предела
упругости, может быть игнорировано по сравнению с пролетом Z; поэтому, составляя
уравнения моментов для определения опорных реакций, мы будем иметь одно и
то же плечо реакции независимо от величины и числа внешних сил. Благодаря
этому автоматически получится наложение результатов. Точно так же при расчете
фермы искажение углов, образованных ее стержнями, а также изменение плеча
любого усилия относительно моментной точки оказываются настолько незначитель-
ными, что коэфициенты, стоящие при неизвестных усилиях bq всех уравнениях
статики, остаются постоянными, не зависящими от внешней нагрузки.
одних РеЧЬ ИДеТ ° таких неизвестных, которые не могут быть найдены из
сящих от^пс)0 'РЛВнений статики, например, о деформациях или о величинах, зави-
соблюдение рЛеднИх’ то’ кР°ме геометрической неизменяемости системы, необходимо
Возьмем 0дн0г0 УСловия: материал должен подчиняться закону Гука.
неизменяема примеРа ферму, представленную на фиг. 61. Она геометрически
ни был материал этгн" ^5ИЛИЯ МОгУт быть найдены из уравнений статики. Каков бы
и опорные реакции 6хермы> пока Деформации весьма малы, усилия в стержнях
наций, то они будут ппУТ подчинены принципу наложения. Что касается дефор-
того материал подчинен дчинень1 ТОМУ же закону лишь в том случае, когда сверх
акону Гука. Если деформации велики, например, если
48
фиг. 61 представляет собой резиновую модель Леомы ™ „
закона Гука ни усилия, ни деформации уже не 6vnv-Л’п при соблюдении
жения; сильное искажение фигуры будет этому препятстХТь™01*™ МК°Ну НаЛ°'
Чя vnu uAQQbUpuirnArriy , «—,_____ J 1 V i DUtJd 1 b*
непРнложим к системам гео-
нить АВ (фиг. 62), нагруженная силой Р.
ли силой Р2 или, наконец, обеими сила-
ми, не подчиняется этому закону: усилия
”ЮЩИе »СЛуЧаЮ фиг‘ 62’ е’ неравны
сумме усилий на фиг. 62, а и б. Это объ-
ясняется тем, что при действии силы Р
мы имеем одну форму сооружения, при
действии силы />2—другую, а при совмест-
ном действии обеих сил — третью, причем
различия между этими формами отнюдь
не являются ничтожно малыми. Таким
образом, здесь нельзя говорить о действии
сил
Закон независимости действия
метрпчески-изменяемым. Так,
сил
например,
Фиг. 62.
Другую, а при совмест-
третью, причем
на одно и то же сооружение,
а следует Считать, что различным
сооружения.
На фиг. 63 показан другой пример; балка нагружена одновременно продольной
силой Р и поперечной Q. Хотя система геометрически неизменяема, материал упруг,
а прогибы малы по сравнению с пролетом, все же, как известно, последние не
подчиняются здесь принципу независимости действия сил. Это объясняется тем,
что первоначальные плечи силы Р по отношению к точкам оси балки равны нулю,
поэтому по сравнению с ними даже небольшой прогиб бесконечно велик.
Таким образом появление нагрузки Q существенным образом влияет на плечи
нагрузки Р, а следовательно, и на действие, оказываемое последней.
нагрузкам как бы соответствуют различные
§ 3. ПРИМЕР ПРИМЕНЕНИЯ РАЗЛИЧНЫХ МЕТОДОВ
Пусть требуется найти реакции в трех опорных стержнях диска, нагруженного произ-
вольной нагрузкой (фиг. 64, а).
а) Решим задачу следующим образом: приравняем нулю сумму моментов всех сил,
включая опорные реакции, сначала относительно точки Д затем относительно В и, наконец,
Фиг. 64.
относительно С. Плечи всех сил относительно этих моментных точек предварительно
вычислим, пользуясь заданными координатами х, у точек Z, 2, 3, углами нак’она a^,
а», а также параметрами внешней нагрузки. 1экое решение будет аналитические if*
б) Сделаем то же самое, но плечи сил возьмем непосредственно из чертежа, причем
примем во внимание масштаб последнего. Такое решение будет комбинированным.
49
4 Зак. 1842. И М. Рабинович.
У to из них
в) В качестве третьего варианта решения примем следующим: определим аналшичсским
nvieM равнодействующую 7? внешних сил. Она должна уравновеситься реакциями стержней
/ 2 и 3 Продолжим ее до встречи в точке D с силой 2. Равнодействующая сил 2 и
проходит через D, а равнодействующая сил 1 и 5 —через точку К
Так как эти две равнодействующие друг друга уравновешивают, то каждая из ниц
направлена по линии BD. Остается построить силовой треугольник (фиг. 64, б) со сторо-
ной В и с двумя другими, параллельными прямой BD и стержню 2; затем п^ррую из них
разложить на составляющие, параллельные опорным стержням / и 3.
1 Такое решение также будет комбинированным.
г) Четвертый вариант можно получить, если равнодействующую /? определить графи-
чески, при помощи веревочного многоугольника, а дальнейшие операции производить, как
в третьем варианте. Такое решение, очевидно, будет графическим.
Можно было бы привести еще несколько вариантов решения той же задачи, но все
они будут относиться к указанным трем типам.
§ 4. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Этот принцип известен читателю из курса теоретической механики. Являясь
наиболее общим принципом механики, он, естественно, служит основой для реше-
ния задач строительной механики; в разнообразных формах — аналитической,
графической и комбинированной — он проходит через все изложение предмета.
Формулировка метода очень проста: если система находится в равно-
весии, то при любом возможном бесконечно малом ее переме-
щении сумма работ всех дей-
Фнг. 65.
ствующих на нее сил должна
быть равна нулю.
Если система геометрически неизме-
няема, то для сообщения ей возможного
перемещения следует откинуть те или
иные связи, заменив их действие на си-
стему силами.
Для того чтобы пользоваться прин-
ципом возможных
перемещений,
нужно
уметь:
1) при заданном достаточном числе
геометрических условий движения опре-
делять перемещения всех точек си-
стемы;
2) при заданных перемещениях точек приложения сил составлять выражение
работ. Первая задача относится к области кинематики, а вторая — к области
динамики.
Пусть, например, требуется составить условия равновесия сил, сходящихся
в некоторой точке Л. Как известно, точка имеет в пространстве три степени сво-
боды, следовательно, можно составить три независимых уравнения работ. Обозна-
чим силы через а их углы наклона к осям координат х, у, z— через аг, Ъ-
Дадим точке А бесконечно малое перемещение Aj по направлению оси х; урав-
нение работ будет иметь вид:
После сокращения на оно примет вид:
д08аг = 0’ ИЛи = где через обозначена проекция силы Л
налогичным образом можно вывести остальные два уравнения проекций-
2^ = 0 И 2^г=0.
составить тоТ плоскости ТРИ степени свободы, поэтому для него можно
мещения паоаллеИМЬ1Х УРавнения работ. Дадим ему в его плоскости два пере-
пой точки А Тпй Х ПР°ИЗВОЛЬНЫМ осям хуу и один поворот вокруг произволь-
ны получим плоскости (фиг. 65). Тогда из первых двух уравнений рябо*
= 0.
50
Третье \равнение работ напишется так*
рd$ — О,
где г, плечо силы Р4 относительно точки Д;
угол поворота. Сократив уравнение на получим
1Х=о,
т. е. уравнение моментов.
Любое перемещение диска в плоскости может быть представлено также
в виде 1еометрической суммы его поворотов вокруг трех произвольно заданных
точек Д, В, С, не лежащих на одной прямой. Соответствующие трн уравнения
работ после сокращения на углы поворота обратятся в уравнения моментов отно-
сительно тех же трех точек. Эти примеры показывают, что уравнения проекций
и моментов, применяемые в статике, являются следствием принципа возможных
перемещений. Пользуясь ими, мы неявно применяем этот принцип.
Три диска, связанных шарнирами А и В (фиг. 66), обладают в плоскости
пятью степенями свободы, поэтому условия равновесия выражаются пятью незави-
симыми уравнениями работ. Например, можно
дать системе три перемещения, как геометри- t f I _
чески неизменяемой системе, затем два более
простых перемещения: поворот диска 1 во-
круг точки А и поворот диска 3 вокруг
точки В при неподвижности остальных ди-
сков. Нетрудно убедиться, что после сокра- vSM
щения на бесконечно малые величины мы vWfj
получим три обычных уравнения статики для /
системы в целом и по одному уравнению
моментов для дисков / и 3.
В такой форме метод возможных пере- Фиг. 66.
мещений может быть применен к системе
с любым числом степеней свободы. Нужно дать системе столько независимых
перемещений, сколько она имеет степеней свободы. При этом целесообразно выби-
рать перемещения возможно более простые.
Любая статически определимая система после удаления из нее одной из свя-
зей обращается в кинематическую цепь с одной степенью свободы (механизм).
§ 5. ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
К СИСТЕМЕ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
а) Все силы приложены к одному звену. На фиг. 67 показан при-
мер кинематической цепи с одной степенью свободы, у которой внешние силы и
искомая реакция X приложены к одному звену. При бесконечно малом воз-
можном перемещении цепи звено BCD поворачивается вокруг своего мгновенного
центра вращения О на некоторый угол d©. Пусть этот поворот направлен по
часовой стрелке. Спроектируем перемещения точек приложения сил Рр Р2, X на
направление этих сил; проекции будут соответственно равны rrd% r^du, rxdu.
Уравнение работ примет вид: •
или
— Р1г1 du + p2r2 du 4- Xrx du = 0
---4" Р'2ГЬ + Xrx = °*
(2)
Пик, в этом случае сумма моментов всех внешних сил относительно мгновен-
ного центра О должна равняться нулю, или, иначе говоря, равнодействую
щая этих сил должна пройти через мгновенный центр вра-
ЩеНб)ЯСилы действуют на несколько звеньев (фиг. 68). Мгновенными
центрами вращения для звеньев /, 2, 3 служат соответственно точки . ,
51
р и будем их счи-
направленными по часовой стрелке. Проекция перемещения точки приложения
рл на ее направление будет равна аналогичная проекция для силы вы-
разится произведением г6^8.
Суммарная работа всех сил
напишется так:
Обозначим бесконечно малые углы их поворота через о
тать
силы
РбГ№ = °
или после разделения на один
из углов, например, на
б'б —
¥1
= 0. (3)
Полученное
показывает, что
равновесия кинематической
с одной степенью свободы сводится к следующему: для каждого звена нужно
уравнение
признак
Для этого заметим,
мо-
цепи
составить момент всех действующих на него внешних сил относительно его мгно-
венного центра вращения, затем умножить этот момент на отношение угла поворота
данного звена к углу поворота определенного, выбранного звена. Сумма всех таких
произведений должна равняться нулю.
Из уравнения (3) легко выключаются отношения
что точка В принадлежит одновременно звеньям 1 и 2, поэтому ее перемещение
жет быть выражено двояко:
ABcpi = — OBvfa
где знак минус означает, что
при положительных значе-
ниях углов и точка В
звена 1 и одноименная точ-
ка звена 2 вынуждены были
бы перемещаться в противо-
положных направлениях.
Применяя такое же рассуж-
дение к точке С, можно на-
писать
Фиг. 68.
% ос
~ . — I
Т2
ЕС'
=
Отсюда
ОВ
--= — —
А-" “
« АВ
После подстановки этих отношений в уравнении (3) остается только одна не
известная
Изложенное решение имеет, очевидно, комбинированный характер.
МА_,Т °Лее ИЗЯЩН0 отношения углов поворота находятся из планов скоростей. При
Р их применения будут показаны ниже.
§ 6. ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ.
если точ^у1ееепп1п^аК нзменится работа силы Р, приложенной к какому-либо звен> цепи»
звена. Все звенЛ гт ^ения перенести вдоль линии Действия силы в другую точку того же
нья предполагаются абсолютно жесткими
52
л. Эйлер (1707-1783).
ней, как известно, радны‘меж^сХ^Ътсюда^ледчто'о'РЯ'10Й “ направ 1е"“е П0С1СД-
не изменится. след}ет, что от указанного переноса работа
щбо звено кине”атКическойРцепнМм^етПп1еремещаться°топьХ перемещен,,й> что если какое-
венныи центр вращения лежит в б^сконДнЗ то а постУпэт«-’ьно (т. е. его мгно-
под действием любой пары, приложенной к этому звену будет наход,,ться в равновесии
вленные по одной прямой, про^одящей^ер^их^заимныйр°т’1в°поло^ные силы Р, напра-
(фИГ. ВД. Д<жа,„ь. „р„ р™“™
Фиг. 69.
Решение. Точка 12 может рассматриваться как одновременно принадлежащая звеньям 1
и 2, поэтому от переноса обеих сил в эту точку их работа, совершаемая при бесконечно
малом перемещении, не изменится. Но суммарная работа двух таких сил, приложенных
в одной точке, очевидно, равна нулю. Ц
§ 7. РОЛЬ ГРАФИЧЕСКОГО МЕТОДА В СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ
И ИСТОРИЧЕСКИМ ОЧЕРК ЕГО РАЗВИТИЯ
D При решении задач строительной механики графический метод применяется
либо для изображения результатов, полученных вычислительным путем,
либо для нахождения этих результатов.
Уже столь скромная операция, как перевод полученной окончательной фор-
мулы на графический язык, часто имеет для инженерных расчетов весьма важное
значение, так как позволяет придать решению осязательную и наглядную форму.
График позволяет сразу обозреть найденный результат, увидеть скрытую в нем
закономерность и обратить особое внимание на наиболее характерные точки или
участки.
График облегчает не только понимание и запоминание результатов, но и
контроль таковых, так как сомнительные места на графике несравненно резче
бросаются в глаза, чем на числовой таблице. При изменении системы координат
графическое определение новых координат по чертежу гораздо легче, чем при
помощи аналитических преобразований, что также является достоинством графи-
ческих приемов Ч
Во многих задачах строительной механики графический метод вычислений при-
меняется не только для изображения окончательных результатов; значение его
шире, и он играет роль основного, т. е. вводится в действие не в конце про
цесса решения задачи, а значительно раньше. Его достоинство в этом случае
часто состоит не только в наглядности получаемого решения, но и в простоте
самих операций, а также в удобном и наглядном контроле, что особенно важно
для практики. Наиболее удачные графические решения некоторых задач, полу-
чившие широкое применение в строительной механике, отличаются замечательным
изяществом и простотой.
Существует мнение будто графические построения отличаются недоста о i
J , что в то время, как арифметические вычисления обычно
- каким угодно количеством десятичных знаков, графические
какой-то практический предел точности, который ‘*евозможно
. Однако это соображение не имеет для практики инженерных рас с
энного значения, гак как при тщательном выполнении чертежа 'нос
обычно вполне доста.очной V- 2%)- Ьолее существенным
некоторой степени <н суоьеюшя*,1л
точностью. Несомненно, что в то время
можно производить с
построения имеют
перешагнуть
тов существенного значения
получается
является то. что точность чертежа зависш в
: Д. И. Головин, Графическая математика, Введение» 198L
а также в основных, обычно
свойств исполнителя и обычно остается неизвестной *. Что же касается возможной
огромной точности арифметических расчетов, то она в строительной механике не
нужна и даже вредна, так как чрезмерная точность арифметических манипуляций
над заданными опытными коэфициентами не может исправить грубых неточностей
заключающихся в самих этих коэфициентах (модуль упругости, предел пропор-
циональности, временное сопротивление и т. д.), а также в основных, обычно
весьма приближенных гипотезах расчета (гипотеза однородности материала, шар-
нирности сочленений, закон плоских сечений и т. д.).
Существенным недостатком графического решения по сравнению с аналити-
ческим является то, что оно в большинстве случаев относится к определенному
частному случаю, к определенным значениям всех параметров задачи; при изменении
величины какого-нибудь параметра требуется произвести построение наново. Поэтому
для получения общих выводов, для отыскания общих законов, для исследования
влияния различных параметров этот метод обычно менее пригоден, чем аналити-
ческий.
Таким образом каждый из двух основных методов имеет свои положительные
и отрицательные стороны.
В современной строительной механике оба метода играют одинаково крупную
роль, и вопрос о применении того или иного из них решается каждый раз
в зависимости от характера задачи.
История графического метода решения задач строительной механики весьма
Аристотеля (384—321 гг. до н. э),
с духом эллинской математики
в согласии
1800 лет, в Европе возродился
разрабатывалась в значительной
например, работы Галилео Галилея
1727 гг.) „Математические принципы
своеобразна. Древнейшие работы по механике
Архимеда (287—212 гг. до н.
имели геометрический характер.
Когда после долгого перерыва, спустя почти
интерес к механике, то последняя сначала также
степени геометрическим методом. Таковы
(1564—1642 гг.) и труд Ньютона (1642-
натуральной философии" (1687 г.).
Значительное влияние на развитие графической статики (влияние, проявив-
шееся, правда, не сразу) оказал современник Ньютона Вариньона, о работах кото-
рого сказано ниже, в § 25.
Начавшееся во второй половине XVII в. блестящее развитие анализа бес-
конечно малых, последовавшее за изобретением диференциального и интегрального
исчислений, открыло перед математиками широкие перспективы в применении этого
нового могущественного метода.
Первым крупным проводником аналитического метода в механике стал гениаль-
ный математик, член Российской Академии наук Эйлер (1707—1783 гг.),
особенно же последовательное выражение этот метод нашел в книге Лагранжа* 2
(1736—1813 гг.), в которой автор поставил себе задачу свести всю механику к ряду
аналитических операций. „Аналитическая механика" Лагранжа оказала сильное
влияние на направление дальнейшего развития механики в XIX и XX вв., в осо-
бенности— на механику первой половины XIX в.
Среди мощного аналитического течения, обогатившего механику наиболее
глубокими открытиями, синтетико-геометрическое направление было отодвинуто на
задний план. Только со второй четверти XIX в., когда под влиянием практических
потребностей стала оформляться техническая механика как отдельная дисциплина,
начали все шире применяться геометрические и графические методы.
Первые попытки внесения в строительную механику графических методов не
были достаточно удачны и убедительны. Основная причина неудачи, повидимому,
заключалась в том, что предлагавшиеся построения не были органически связаны
Il различных 1рафических операций с точки зрения их тЪчносш см. в ^атьях
Г “ точности графических расчетов*, ~---- - _
путей сообщения", вьш. CI, 1929, стр. 275; проф В. П. Фармаковского: .Ориентированно
„_____________________________________бюллетень № 9 Военно-Трансцортноу Ака*
демии, 1946 г.
2 Lagrange, Mecqnique analytique 1788, Госуехиздат, 1950.
Д. И. Каргина: ЯО точности графических расчетов „Сборник Ленинградского института
путей сообщения", вьш. CI, 1929, стр. 275; проф В. П. Фармаковского: .Ориентированно
прямых при графических расчетах". Информ, бюллетень № 9 Военно-Трансцортноу Ака^
Ж- Лагранж (1736—1813).
с существом задач, а представляли собой „
« форму». которые „О»у.„„сь „р.
..р«™“ ?oSy"“moa X,™ нт'“ьпоX*™" ",одт П“"“м"
когда графическое решение идет собственными Рсворо6п? Ф°Р”УЛ- Только тогда,
от путей аналитического решения, можно с ’достаточны™^'основанием0^41114™
о графическом методе. основанием говорить
Во второй половине XIX в. появился ряд работ, выдвинувших подлинно гпа
фические методы решения ряда задач строительной механики. Важнейшей из них
была книга Кульмана (1821—1881 гг.), в которой теория силового и веревочного
многоугольников, продвинутая автором несколько дальше, превратилась в метод
решения задач о равновесии плоских систем сил.
Успехом графического метода явились также графические способы опреде-
ления усилий в плоских фермах, содержавшиеся в работах английского математика
и физика Максвелла (1831—1879 гг.) и итальянского геометра Кремоны (1830 —
1 SsUf I Г'Т> • '
и физика максвелла (1881—1879 гг.) и итальянского геометра Кремоны (1830-
1890 гг.). * '
Всеобщее признание получили так называемые линии влияния, при
помощи которых графически чрезвычайно просто решается вопрос о влиянии по-
движной нагрузки. В явной форме линии влияния были введены в 1867 г.; что
касается расчета сооружений на подвижную нагрузку, то он производился задолго
до этого. В частности, такой расчет содержится в упоминавшемся выше иссле-
довании Д. И. Журавского „О мостах раскосной системы ГАУ“, 1855 г. Построе-
нию и применению этих линий посвящена гл. IV настоящей книги.
Значительным расширением графического метода явилось предложенное Мором
(1835—1918 гг.) в 1886 г. построение упругой линии простых и неразрезных
балок, как веревочных кривых для фиктивной нагрузки.
Следующей важной областью применения графического метода в строительной
механике явился так называемый кинематический метод расчета сооружений,
который непосредственно связан с графической кинематикой, с нахождением
мгновенных центров вращения и построением планов скоростей. Идея метода была
дана впервые, повидимому, в 1874 г. Мором; затем метод разрабатывался рядом
авторов и принял довольно законченную форму в конце 80-х годов.
Начиная с 90-х годов прошлого столетия и до конца первой четверти XX в.
развитие графических методов шло очень медленно. Никаких новых крупных
успехов за это время не было. Инженерная мысль была занята, главным образом,
созданием практических методов расчета сложных статически неопределимых
систем.
Этот расчет неизбежно приводит к системе многих линейных уравнений со
многими неизвестными, а попытки графического решения такой математической
задачи оказывались до сих пор мало эффективными. Здесь требуются, повидимому,
не графические, а механические способы решения, основанные на применении
специально решающих машин и механизмов.
Со времени Великой Октябрьской социалистической революции строительная
механика в СССР, как уже указывалось выше, начала бурно развиваться в раапич-
К числу их относятся графические способы, позволяющие ото-
ных направлениях. Были получены интересные результаты и в применении 1рафи
ческих методов. К числу их относятся графические способы, позволяющие ото-
бражать на плоскости построения пространственной статики и пространственной
кинематики (А. А. Уманский, Б. Н. Горбунов, Ф. М. Диментберг); графическая
статика кинематических цепей с одной и с несколькими степенями свободы
(И. М. Рабинович); способы построения обобщенных линий влияния
положений подвижной системы грузов разложения опы™
, влияния на простые (И. М. Рабинович); специальные приемы рас гета
ферм (Н. К. Снитко); геометрические методы в динамике сооружени
Ф Р изгиба (И. М. Рабинович, А. Р. Ржаницын, 1. Д. Абрамов,
построения в теории неразрезных оалок, ра
Уманского, И. М. Рабинович,
/хова.Б. В. Соколов-
критических
ных линий влияния на
сложных ।
и в теории продольного
И. Г. Ченцов); новые графические
И В L^vunri AaDdiviiri/i vr-— - иг 14 ГЛ m
Б. Н. Жемочкина, А. II. Сегаль, И. П. Прокофьева, Н. И, Без)
ского, С. С. Голушкевича и др.).
1еории давления земли (работы А.
Как уже указывалось, среди графических методов решения задач строительной
механики имеются очень удачные и весьма охотно применяемые на практике
например, веревочный многоугольник для действительных и фиктивных сил. К сожа-
лению, не существует пока общей теории графических методов, которая со-
держала бы руководящие общие принципы для создания новых графических
приемов 3.
Все графические построения состоят из элементарных геометрических опера-
ций, например, из сложения векторов, проведения параллелей и т. п., но сущность
методов характеризуется, конечно, не этими элементарными операциями, а основ-
ной идеей и замыслом решения.
Изучая лучшие из известных решений, можно убедиться в том, что они осно-
ваны на весьма разнообразных идеях. Очень часто успех обусловлен удачной ана-
логией между одними и другими явлениями или уподоблением одних величин
другим, например, кинематических величин статическим, и наоборот. Иногда заме-
чательное упрощение построения или особая наглядность получаемых результатов
достигается применением удачно выбранных прямолинейных или криволинейных
координат или же заменой искомой величины другой, вспомогательной величиной,
надлежащим образом выбранной. Особенно хорошие результаты дает умелое соче-
тание графического метода с аналитическим, т. е. применение комбинированного
метода.
§ 8. НЕСКОЛЬКО ПРИМЕРОВ ГРАФИЧЕСКОГО СЛОЖЕНИЯ
И РАЗЛОЖЕНИЯ СИЛ
Пример 4. Найти силу /?, которая проходит через заданную точку А и уравновеши-
вает две силы: заданную целиком, и непараллельную ей силу Р2, для которой известна
лишь линия ее действия 2-2 (фиг. 70).
Решение. Три силы могут уравновеситься на плоскости только в том случае, когда
они пересекаются между собой в одной точке. В самом деле, если это условие не соблюдено
Фиг. 70.
Фиг. 71.
(фиг. 71), то момент трех сил относительно точки взаимного пересечения каких-либо
двух из них равен моменту третьей, т. е. не равен нулю.
Продолжив силы Рх и Ро до взаимного пересечения в точке О (фиг. 70) и соединив О
с А, получим направление силы /?. Построив после этого замкнутый силовой треугольник аЬО,
найдем величины Р2 и R.
Эта задача встречается в строительной механике на каждом шагу.
Пример 5. Уравновесить заданную силу Р тремя силами X,, направленными
по заданным трем прямым /-/, 2-2 и 3-3 (фиг. 72).
Решение. Из условий равновесия вытекает, что равнодействующая сил At и А"
доч ж на уравновесить равнодействующую сил Р и До. Но первая проходит через точку А
пересечения прямых /-/ ц 2-2; вторая — через точку В пересечения прямых Р и 3-3. Отсюда
следует, что любая из них направлена по прямой АВ. Уравновешиваем сначала силу Р прп
помощи двух, силы Xj ц равнодействующей сил Aj и ¥2; сила А”3 направлена по пря-
1 Некоторые соооражения но атому поводу можно наити в статье проф. В. II. Фарма*
ковского „Условия жизненности графических расчетов*, Сборник Ленинградского института
инженеров путей сообщения, вып. 99, 1929
60
лПа°гяХЯМ°1.Л^Ве-чи- 9И,Х двух СИЛ г - •
12 на направления 1-J и 2-2
•Т
После этого разлагаем сил} R
ч голыши со сторонами /?1о, Xj н“х>
Пример 6. Решить предыдущую
дач) при условии, что прямые /-/ и
параллельны между собой (фиг. 73).
найдется из силового треугольника,
для чего строим силовой тре-
Фиг. 72.
Фиг. 73.
Решение. Сначала из силового треугольника определяются величины и
затем последняя разлагается на две параллельные ей составляющие;
(#
Пример 7. Определить опорные реакции перекрытия, показанного на фиг. 74
Решение. Из устройства системы видно, что реакции в опорах В и D всегда верти-
кальны, реакции же в опоре Див шарнире С могут иметь различное направление
Балка CD находится под действием трех сил:Р, Rc и RB, которые должны пересечься
в одной точке. Из этого условия определяется неизвестное направление силы Rc, а из сило-
вого треугольника а) — величины Rc н RB.
Фиг. 74.
На ферму АВС найденная сила Rc действует в обратную сторону. Направление RA
определяется из условия взаимного пересечения трех сил в одной точке F, а вели-
чины Ra, Rb — из силового треугольника б.
§ 9. ВЕРЕВОЧНЫЙ И ШАРНИРНО-СТЕРЖНЕВОИ МНОГОУГОЛЬНИК
Веревочным многоугольником называется многоугольник, который образован
осью невесомой нити или веревки, закрепленной по концам А и В и натянутой
действующими на нее силами (фиг. 75).
Так как нить может работать только на растяжение, то целесообразно рас-
сматривать вместо веревочного многоугольника шарнирно-стержневой многоугольник,
составленный из жестких стержней с прямолинейными осями; такие стержни могут
воспринимать как растягивающие, так и сжимающие усилия (фиг. 76). Согласно
установившейся терминологии в строительной механике под „веревочным много-
угольником обычно понимают такой многоугольник, стороны которого могут
испытывать усилия любого знака, т. е. по существу — шарнирно-стержневой
многоугольник. Такая терминология принята и в настоящем курсе.
61
В дальнейшем речь будет идти исключительно и плоском многоугольник
1. е таком многоугольнике, у которого оси всех стержней, равно как d
внешние силы, лежат в одной плоскости. Под с торонами mhoi оугольника Мы
будем понимать прямые, которые соединяют геометрические центры шарниров
Веревочный или шарнирно-стержневой многоугольник представляет собой
кинематическую цепь, т. е. систему подвижную, могущую изменять свою
геометрическую форму. Пусть чцсло сторон многоугольника равно п. Выясним
Фиг. 75. фиг. 76.
как велика степень свободы такой цепи, т. е.
сколько имеется независимых пере-
менных параметров, характеризующих движение ее узлов.
Для большей ясности представим себе в плоскости многоугольника какую-либо
неподвижную систему декартовых
крайних — неподвижных — точек А и
координат и будем считать координаты
В (фиг. 76) известными.
Дадим стороне АС
произвольный угол наклона к одной из координатных осей; очевидно, что этим
вполне определится ее положение; при заданном положении этой стороны поло-
жение прямой CD определится углом наклона последней и т. д. Следовательно,
положение первых п— 2 сторон вполне определится п— 2 углами. Но из чертежа
Фиг. 77.
ясно, что если эти п— 2 стороны займут определенное положение, то остальные
2 стороны вынуждены будут занять также вполне определенное положение. Итак,
положение всех подвижных узлов определяется при помощи п—2 параметров,
т. е. шарнирно-стержневой многоугольник имеет п — 2 степени свободы. ПРИ
и = 2 степень свободы равна нулю.
Если шарнирно-стержневой многоугольник будет установлен в какое-либо
положение и нагружен произвольной нагрузкой, то он, вообще говоря, не оста-
нется в этом положении, а начнет перемещаться. Вопрос о том, какую форм)
равновесия он примет, достаточно сложен. Решение его, хотя и интересно с тео-
ретической точки зрения, имеет все же сравнительно малое значение для теор1111
расчета сооружений, поэтому здесь рассматриваться не будет1.
1 Ход решения указан в статье автора ,_х _____ ____„
определимыми, неопределимыми и геометрически изменяемыми *, Сборник Исследования 110
теории сооружении-, ОНТИ, стр. 220, 1936.
О системах переходных между статичес*11
62
тх’юцп^лве заля«и-В^НпМН П° свеим многочисленным приложениям являются
след)ющи две задачи. 1) по заданной системе сил построить такой веревочный
многоугольник, который под ее действием будет находиться в состоянии равно-
весия, и определить усилия в его сторонах; 2) по заданному веревочному много-
угольнику найти такую систему сил. под действием которой он окажется
в равновесии, а также определить усилия, вызываемые в элементах многоугольника
такой нагрузкой. J
Эти задачи допускают бесчисленное множество решений.
Как известно, решение первой задачи состоит в том, что строится в произ-
вольном масштабе силовой многоугольник, затем из произвольного полюса О при-
водятся лучи, после чего в поле сил проводятся параллельные этим лучам стороны
веревочного многоугольника (фиг. 77). Отрезки прямых на силовом многоуголь-
нике измеряются в масштабе сил, а на веревочном—в масштабе длин.
§ 10. ОБОЗНАЧЕНИЯ
Обозначение сил и сторон на силовом и веревочном многоугольниках должно
быть продумано так, чтобы при любом количестве сил и любой степени сложности
О)
4
Фиг. 78.
чертежа не могло возникнуть никакой путаницы. Указываемая здесь система обо-
значений удовлетворяет этому требованию.
На веревочном многоугольнике линия действия каждой силы отмечается то
или иной цифрой (или буквой), а стороны веревочного многоугольника —двумя
Фиг. 79.
цифрами (или буквами). Здесь
ность могло
где картина
направление, покрывают друг друга
пленные на самих силах, мало
лучей первая сила на силовом
лучом а и лучом 72; последняя (n-я) сила
любая промежуточная сила — между теми
картина получается вполне ясной. Ббльшую труд-
бы представить разыскание внешних сил на силовом МНОГОУ^®,К^
— более компактная и где параллельные силы, имеющие> Раз™'н
В этом случае стрелки или номера, поста
помогают делу. При указанной двойной нумерации
многоугольнике оказывается расположенной между
располагается между лучом nb и ЛУЧОМ_ ’
двумя лучами, на которых повюряе
ее номер. При этом сила направлена от луча с меньшим номером к лучу с бодь
шим номером.
На фнг. 78 и 79 показаны образцы веревочных и силовых многоугольников
снабженных такими обозначениями. Читателю нетрудно будет убедиться в том, что
никаких неясностей при этом способе обозначений не возникает Ч
О)
Ь
Фиг. 80.
45
веревочный многоугольники, построенные для
и
На фиг. 80
той же системы
показаны силовой
сил, что и на фиг. 79, но при измененной нумерации сил.
«
§ П. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ, СООТВЕТ-
СТВУЮЩИХ ДАННОМУ ВЕРЕВОЧНОМУ МНОГОУГОЛЬНИКУ, И ДЛЯ УСИЛИИ
В ЕГО ЭЛЕМЕНТАХ
В Пусть даны веревочный многоугольник и направление уравновешивающихся
на нем параллельных сил (фиг. 81). Проведем произвольную прямую ЛВ, пер-
пендикулярную к направлению сил, и обозначим расстояния от вершин многоуголь-
а) б)
Фиг. 81.
ника до нее через у0, у2У ...; расстояния между силами — через Xs, А3, • ••»
наконец углы наклона сторон многоугольника к прямой АВ — через а01, а12, «©з»
Из веревочного многоугольника видно, что
___-У2----J4
1 Возможны и другие способы обозначений, например обозначение каждого л)ча
одной цифрой или буквой; при этом каждая сила располагается между двумя лучами» >13
которых один содержит ее номер.
a in силового многоугольника следует
так как de = Р2, то получаел!
что rfe —Л—efs=«(tg«M —Но
•ормулу, можно написать для любой
Обобщая эту
31
w-й силы:
(5)
1
Очевидно, что разности, стоящие в числителях, зависят только от формы
веревочного многоугольника и от заданного направления сил, но не зависят от
положения прямой АВ: последнюю можно произвольно передвигать, не изменяя ее
направления. Что касается множителя который носит название полюсного
расстояния силового многоугольника
в зависимости от масштаба фиг. 81.
Из
ного многоугольника. Например, из силового многоугольника ясно, что
то он может иметь любое значение
£иг. 81 получается также общая формула для усилий в сторонах веревоч-
31
COS
sm
О* — а23
(6)
т. е. усилия в сторонах веревочного многоугольника обратно
синусам их угла наклона к направлению сил. В
пропорциональны
§ 12. ВЕРЕВОЧНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК КАК СРЕДСТВО ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ
РАВНОДЕЙСТВУЮЩИХ
Ко&да веревочный многоугольник находится в равновесии,
то усилия а, b крайних его сторон (фиг. 82) уравновешивают
всю нагрузку, приложенную к его вершинам. Чтобы убедиться в этом,
достаточно перерезать обе эти стороны и действие их заменить силами. Последние
Фиг. 82.
как реакции, уравновешивающие внешнюю
уравновешивают всю нагрузку, то
нагрузку. Но если
те же две силы,
эквивалентны этой нагрузке.
можно рассматривать
названные две силы
направленные в обратную сторону, очевидно „ „тпиник
Из сказанного следует, что веревочный, или шарнирно-стержневой «-Уг0“
с идеальными, лишенными трения шарнирами представляет собойп«Х™ге^
приспособление, автоматически разлагающее всю систему своих узловых нагрузок
на две составляющие.
Разумеется, изготовлять
было бы весьма неудобно. Но мы
положение ее сторон
тем самым как 1
на самом деле каждый раз такую стержневую систему
имеем более удобную возможность находить
грпмртпическим пугем. Строя такую фигуру, мы
^мысленноПодвешиваем нагрузку к веревочному многоугольнику.
л
б Зак. 1642. И М. Рабинович.
Таким образом, мы ее гос i всппо приходим к новой, чрезвычайно илодоа верной
точке зрения на веревочный многоугольник как на специальное графи.
ческое построение, позволяющее свести любую заданную
систему сил к двум силам.
Из этой интерпретации веревочного многоугольника вытекает изящная и стройная
система графических решений ряда основных задач статики на плоскости^-.
система, имеющая большое практическое значение и составлявшая в течение ряда
лет основное содержание графической статики.
Первой из этих задач является построение равнодействующей 7? заданной
системы сил. Для решения этой задачи строят веревочный и силовой многоуголь-
ники. Величину и направление силы R находят, как замыкающей силового много-
угольника (фиг. 82). Положение равнодействующей, т. е. ее линию действия,
находят, продолжив обе крайние стороны веревочного многоугольника а и b до
точки их взаимного пересечения и проведя через нее прямую, параллельную век-
тору Я.
Имея веревочный и силовой многоугольники, можно аналогичным образом
находить равнодействующую не только для всей заданной системы сил, но и для
любой группы тех же сил, содержащей последовательные номера. Например, для
нахождения равнодействующей сил 7, 2, 3 достаточно считать крайними сторонами
веревочного и крайними лучами силового многоугольников стороны и лучи а и 34}
группе сил 2, 3, 4 соответствуют крайние стороны и лучи 12 и Ь; группе 2, 3—крайние
стороны и лучи 12 и 34 и т. д.
Для нахождения равнодействующей нескольких сил, взятых не в последова-
тельном порядке, например, равнодействующей группы, состоящей из сил 7, 3, 4,
построенные веревочный и силовой многоугольники не годятся. Необходимо было
бы перенумеровать эти силы наново так, чтобы их номера шли в последовательном
порядке, и в соответствии с этим построить наново веревочный и силовой много-
угольники.
§
13. ВЕРЕВОЧНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК ДЛЯ СПЛОШНОЙ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ
СИСТЕМЫ СИЛ; ВЕРЕВОЧНАЯ КРИВАЯ
Если система сил состоит не из конечного числа сосредоточенных сил, а из
бесконечного множества бесконечно малых сил, распределенных на некотором участке
по тому или иному закону, то веревочный многоугольник превращается в вере-
вочную кривую.
Для построения последней рекомендуется разбить загруженный участок на
более или менее мелкие интервалы и на протяжении каждого из них заменить
сплошную нагрузку ее равнодействующей. Для этой новой системы, состоящей из
конечного числа сосредоточенных сил, следует построить веревочный многоугольник.
Последний уже нетрудно заменить плавной кривой, дающей правильное решение
задачи.
Для примера рассмотрим нагрузку, состоящую из параллельных распределен-
ных сил, интенсивность которых на единицу длины показана на фиг. 83, сверху.
Разбив нагрузку на отдельные участки и приложив в центре тяжести каждой из
заштрихованных площадок соответствующую равнодействующую, получим веревоч-
ный многоугольник, показанный сплошными линиями.
После этого следует мысленно заменить каждую равнодействующую распре-
деленной нагрузкой. Искомую кривую нетрудно провести: точки ее касания к вере-
вочном) многоугольнику будут лежать на граничных вертикалях между участками.
Действительно, любая из этих вертикалей обладает следующим свойством: равно-
действующая всех распределенных нагрузок, расположенных по какую-либо
сторону от нее, совпадает с равнодействующей рассматриваемой системы с о сред0'
точенных сил. Другие вертикали этим свойством не обладают. Поэтому только
на граничных вертикалях сторона веревочного многоугольника и касательная к вере-
вочной кривой совпадают друг с другом. На фиг. 83 кривая начерчена внизу-
Тот же метод построения применяется в случае, когда распределенная нагрузка
состоит из сил, не параллельных между собой.
66
распределенной ио
— подвеса А \\ В
к веревочной кривой,
направленную
уравнения гори-
и В равны между
и В силы Н' не вхочят.
Уравнение веревочной кривой для вертикальной нагрузки
любому закону, можно получить из условий равновесия В точках
действу ют реакции RA и RB, направленные по касательным к всрс|
Разложим R\ на вертикальную составляющую VA и наклонную Н’
по линии АВ; аналогичным образом разложим реакцию Rb Из
зонтальных проекций видно, что составляющие Н' в точках А
собой. В уравнения моментов относительно точек Д
поэтому вертикальные силы Уд и Vr> равны реакциям простой балки прочета”/
нагруженной той же распределенной нагрузкой. ’ ’
Приравняем к нулю изгибающий момент в произвольной точке С вере-
вочной кривой. От вертикальных сил, расположенных слева или справа от С,
получается изгибающий момент такой же, как в простой балке. Назовем его Л1°;
от силы Н' — момент, равный — Н’у . Итак, Л4®— Ну'=О.
от
Обозначим горизонтальную
проекцию силы Н' через 77. Так
как И' = —- и у =у cos а, то
И'у' = Му, следовательно,
Н'у' = Ну = М^. (7)
О р д и н ат ы у или у ве-
ревочной кривой отли-
чаются от ординат эпюры
моментов только по-
стоянным множителем Н
или Н'. Зная ординату у хотя
бы в одной точке, можно опре-
делить распоры Н и Н\
Продиференцировав уравне-
ние (7), получим
н = Н' = Q®; (8)
ах dx '
но
y = Z— xtga,
где ординаты z отсчитываются от
горизонтали, проведенной
через точку Д;
— tg а. (9) фиг- 83-
dx dx ° v 7
Следовательно:
(10)
Тангенс угла наклона касательной к горизонтали измеряется
величиной
dz
~dx'
На опоре
В точке, где ордината у достигает максимума,
е. в этом месте касательная параллельна линии АВ; при О,
dz ~ ~
с горизонтальной касательной, где —
Для расчета арок, с которыми мы
определить форму веревочной кривой при
встретимся ниже, представляет интерес
действии распределенной нагрузи,
07
5*
интенсивность которой в любой точке’является заданной функцией ординаты Кри.
вой, т. е. зависит от очертания веревочной, кривой, с!ту более сложную задачу мы
здесь рассматривать не будем
§ 14 ВЗАИМНАЯ СВЯЗЬ МЕЖДУ ЭКВИВАЛЕНТНЫМИ ВЕРЕВОЧНЫМИ
МНОГОУГОЛЬНИКАМИ
Для одной и той же системы сил можно построить бесконечное множество
веревочных многоугольников; для краткости все они могут быть названы экви-
Фиг. 84.
валентными. Форма и положение каждого из них определяется тремя парамет-
рами (координатами полюса силового многоугольника и точкой пересечения какой-
либо стороны веревочного многоугольника с линией действия одной из них).
Фиг. 85.
эквивалентных веревочных многоугольников
В дальнейшем.
напомнима!пГЧНЬ1Х известных свойств
‘сь одно, которое понадобится нам
1 Проф. В. К и с 6 л р d
калькой нагрузки, Труды Москокг™™ УРавневне веРевочной кривой при действии верт'**
руды московского автомобильно-дорожного института, вып. II, 19^-
Одноименные стороны двух эКвивалентных
В пересекаются рентных
прямой.
веревочных
чках, лежа-
параллельна линии 00.
Iих двух силовых много-
на одной
них сторон, можно назвать
ников.
угольников (фиг. 84).
ПР._МУЮ, которая служит «сто», „ресеяеи»
полярной осью обоих веревочных многоуголь-
В том случае, когда оба эквивалентных вепенпинк^
ствуют одномуитомуже силовому многоугольнику, стороны^ несоответственно
параллельны, а полярная ось удаляется в бесконечность соответственно
Если одна из сторон веревочного многоугольника (сторона а на Лиг
поворачивается около неподвижной точки А, а другая из них (например сторона с
сохраняет постоянное направление, то все прочие стороны поворачиваются около
неподвижных точек, лежащих на прямой, проведенной из точки А параллельно
этому направлению. Действительно, в данном случае полярная ось проходит через
точку А и точку взаимного пересечения сторон с, с\ F
а на фиг. 85)
§15. ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ ВЕРЕВОЧНОГО МНОГОУГОЛЬНИКА - МНОГОУГОЛЬНИК
РАВНОДЕЙСТВУЮЩИХ
Поместим полюс О силового многоугольника в начале вектора силы Р,
а первую сторону веревочного многоугольника совместим с линией действия этой
силы (фиг. 86). На силовом многоугольнике луч 23 по величине и направлению
будет, очевидно, выражать собой равнодействующую сил Рг и Ра;
действующую сил Р2, Р2 и Р3,
и т. д. Таким образом, благо-
даря специальному выбору поло-
жения полюса силовой много-
угольник без дополнительных по-
строений будет содержать векторы
равнодействующих любой группы
последовательных сил, начиная
с первой.
Веревочный многоугольник
в этом случае также отличается
особыми свойствами. Линия дей-
луч 34— равно-
Фиг. 86.
ствия силы Pv как уже сказано,
совпадает с его первой сторо-
ной. Равнодействующая сил Pt и Р2 проходит через точку их взаимного пересечения
и имеет направление, параллельное лучу 23 силового многоугольника; следова-
тельно, она совпадает со второй стороной веревочного многоугольника. Равно-
действующая первых трех сил является в то же время равнодействующей сил 23
и Р3; она проходит через точку пересечения стороны 23 веревочного многоуголь-
ника и силы Ps и имеет направление, параллельное лучу 34 силового многоуголь-
ника; следовательно, линия ее действия совпадает со стороной 34 веревочного
многоугольника, и т. д. Словом, любая сторона веревочного много-
угольника, соединяющая точки приложения каких-нибудь двух
сил Р- и Р' у совпадает с линией, по которой направлена равно-
действующая сил Р2, Р8, -. , Такой веревочный многоугольник носит
название .многоугольника равнодействующих*.
Многоугольник равнодействующих является прекрасным средством для нагляд-
ного представления об усилиях, действующих в криволинейных и ломаных брусьях
(арках, рамах) и в гибких нитях (цепях), и поэтому находит большое применение
в теории арок и висячих систем.
в Общем случае, когда силы расположены как угодно, построение многоуголь-
ника равнодействующих может оказаться затруднительным вследствие того,
некоторые его вершины уходят за пределы чертежа.
01?
Следует иметь в виду, что если взять любой веревочный многоугольник
построенный для той или иной заданной системы сил, и присоединить к последней
натяжение, действующее в крайней левой стороне этого многоугольника как внеш,
нюю силу, то он превратится в многоугольник равнодействующих для расширенной
таким способом системы сил.
§ 16. ГРАФИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИЧЕСКИХ МОМЕНТОВ ПЛОСКОЙ
СИСТЕМЫ СИЛ
Пусть требуется найти статический момент заданной системы сил относительно
какой-нибудь точки А плоскости (фиг. 87).
Через точку С пересечения крайних лучей веревочного многоугольника про-
ведем равнодействующую R и из точки А опустим на нее перпендикуляр г. Момент
по абсолютной величине выразится формулой Ma — Rr, где сила R берется из
силового многоугольника, а плечо г — из веревочного многоугольника. При изме-
нении положения точки А плечо г, вообще говоря, изменяется. Оно остается
постоянным только тогда, когда точка А перемещается параллельно силе R.
Этот способ определения моментов
неудобным, когда требуется графически
при всей своей простоте оказывается
изобразить закон изменения момента 1ИА
Фиг. 87.
при всевозможных положениях
точки А на плоскости. Суще-
ствует более удобный прием. Про-
ведем через точку А параллель
к силе R и отрезок ее, заключен-
ный между сторонами а и b вере-
вочного многоугольника, обозна-
чим через у. Треугольник CDE,
образованный этими сторонами и
отрезком у, подобен треугольни-
ку, заключенному на силовом мно-
гоугольнике между векторами а,
b, R. Из подобия получаем
и
или Rr = Ну,
откуда
МА=Ну, (П)
где Н— полюсное расстояние век-
тора R. Иначе, момент силы
R относ ит ельно любой
точки А плоскости равен
произведению полюсного расстояния Н на отрезок
мый сторонами а и b веревочного многоугольника
у, отсека е-
на прямой,
параллельной R и проходящей через точку Л.
Для того чтобы получить наглядную картину зависимости статических моментов
от положения точки А, достаточно заштриховать часть плоскости, заключенную
между сторонами а и bt штрихами, параллельными R. Так как полюсное расстоя-
ние И остается постоянным, то моменты пропорциональны длинам отрезков
Если требуется найти статический момент не всех сил, а, например, только
сил 1 и 2, то вместо сторон а и b придется считать крайними сторонами прямые а
и 23, а вместо прежнего направления штриховки придется брать новые, а именно
параллельно равнодействующей сил 7 и 2. Если речь идет о статическом моменте
одной силы, например, силы 2, то роль крайних сторон играют смежные с ней
стороны 12 и 23, а штриховка проводится параллельно этой силе.
Правила знаков: отрезки у, расположенные по разные стороны от вершины б*
соответствующего угла (на фиг. 87 — справа или слева от этой вершины), имеют
разные знаки; если в одном из углов направление от а к b вдоль отрезка у идет
70
вверх, то в другом оно, очевидно идет в .
знака статических „«„то. .ос™» .ияеиить'„’'.„"“„"V.” aS
что нетрудно сделать, проведя мысленно через вер-
иибудь одного отрезка у,
шину С силу R.
§ 17. ГРАФИЧЕСКОЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИЧЕСКИХ МОМЕНТОВ
ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ
может быть применено и к какой угодно системе
ЭТ°М случае Равнодействующие всех групп сил имеют одно
следовательно, и направление штриховки остается постоян-
ным. Это дает возможность получать из одного графика статические моменты раз-
личных групп сил. р
Проведем через произвольную точку А (фиг. 88) прямую, параллельную силам.
Ее отрезки ос, &D, CD позволяют найти три различных статических момента
Предыдущее построение
параллельных сил.
и то же направление,
Фиг. 88.
относительно этой
точки. Условимся считать
моменты, действующие по часовой
стрелке, положительными.
Суммарный момент всех
сил относительно точки А выражается формулой.
ВС - Н -— —У сум *
Суммарный момент
выражается формулой:
всех сил, лежащих левее точки А,
т. е. сил I и 2,
Л^лев == — DC * /V — У лев ’
так как для этой группы сил крайними сторонами веревочного многоугольника
служат стороны а и 23. Л
Наконец суммарный момент всех сил, лежащих правее точки А, выражается так.
! . А^чирав ’== BD • Н —'Управ * D.
Если точка А будет передвигаться по плоскости, то при переходе ее из одв°г°
интервала "ежду cJL в ДРУГОЙ ка»«ы» раа
сил/.ах как одна из сил Судет переходить из группы леи» . группу ар™*,
наоборот. Из чертежа легко понять, что отрезки _ул,0 всегд у крайней левой
вать между текущей стороной веревочного многоугольника и его крайней
стороной, или, короче говоря, между веревочным многоугольником
и его крайней левой стороной: уПрав—между тем же много-
угольником и его крайней правой стороной.
На фиг. 88, в показан график
статических моментов левых сил.
Указанное построение относится к какой угодно системе параллельных сил.
В том частном случае, когда система является уравновешенной, момент левых сил
должен быть равен и противоположен моменту правых, следовательно, стороны а
и b должны слиться в одну прямую. Если речь идет о балке, то статический момент
левых или правых сил есть не что иное, как изгибающий момент.
Статические моменты, выражаемые формулой
могут измеряться, как уже указывалось выше, непосредственно отрезками у. При
этом получается некоторый условный масштаб, зависящий от того масштаба длин,
который принят при вычерчивании веревочного многоугольника, от масштаба сил
на силовом многоугольнике и от величины полюсного расстояния Н.
Пусть для веревочного многоугольника принят масштаб длин 1 : я, а для сило-
вого многоугольника — масштаб сил: 1 см~т кг; полюсное расстояние на силовом
многоугольнике выражается отрезком длиной Н см. При этих условиях масштаб
отрезков у как измерителей статического момента будет таков:
1 см = тпН кг см.
(12)
Действительно, множитель п см представляет собой натуральную длину, соот-
ветствующую на чертеже отрезку у = 1 см, а произведение mH кг представляет
собой силу, выражаемую на силовом многоугольнике отрезком Н.
При помощи формулы (12) можно не только определять масштаб моментов при
заданных величинах т, п, И, но и, наоборот, подбирать эти величины так, чтобы
получать желательный масштаб.
§ 18. ПОСТРОЕНИЕ ВЕРЕВОЧНОГО МНОГОУГОЛЬНИКА ДЛЯ СИСТЕМЫ
СОСТОЯЩЕЙ ИЗ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ И СОСРЕДОТОЧЕННЫХ ПАР
Веревочный многоугольник представлен на фиг. 89, а, силовой — на фиг. 89, б.
На силовом многоугольнике
выбрав произвольное поло
откладываем силы 1
и 2 и
34
Фиг. 89.
жение полюса О, проводим лучи я, 72 и 23. На веревочном многоугольнике про-
одн°нменные с этими лучами стороны. В этой части построения нет никаких
осложнений.
ЭТ0Г° МЫ доходим ло сосредоточенной пары, которую можно предста-
nnvro СОСТОЯЩУЮ из двух бесконечно больших сил, находящихся друг от
большой еЧН° Мал04 расстоянии. Назовем эти две силы цифрами 3 и 4. Дня
и, они показ шы на фиг, 89, в в виде не сосредоточенной пары сия»
72
Известно, что в этом случае стоп он ы „ лс
друг другу параллельны. веревочного многоугольника будут
В рассматриваемом предельном случае наклонная л. „
тится на фиг. 89, а в вертикальную линию v Фигхпа фиГ‘ 89,8 Превра*
сматриваемом примере сторона 34 направляй от столон.’.,0Ка3ывает’ что в ₽ас*
09 « J.T nnvr ПГ..ГГ.Г Г,.,.—.. правлена от стороны 23 ВНИЗ И ЧТО СТОЛОНЫ
же касается величины уступа у0> то он-дол-
тится на
23 и 45 друг другу параллельны. Что
жен выражать собой момент пары Л40.
Согласно формуле (12)
откуда
Ж
~ ТмН'
(13)
34
",
Фиг. 90.
отложив на веревочном многоуголь-
нике отрезок yG, мы сможем осталь-
ную часть его достроить без труда.
Естественно возникает вопрос
о том, какой вид принимает дей-
ствительный веревочный или стержневой многоугольник, в состав нагрузки ко-
торого входит сосредоточенная пара. Легко убедиться, что для равновесия не-
обходимо ввести в этом случае жесткое звено
нимать изгибающий момент, так что фиг. 89 будет соответствовать кинематическая
цепь, имеющая вид фиг. 90.
Такой многоугольник, строго говоря, уже не является веревочным, а относится
к более общей категории дисковых многоугольников, которые будут рассмо-
трены ниже.
, которое могло бы воспри-
§ 19. СТАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СЛУЧАЕВ ЗАМКНУТОСТИ И РАЗОМКНУТОСТИ
СИЛОВОГО И ВЕРЕВОЧНОГО МНОГОУГОЛЬНИКОВ
Будем называть силовой многоугольник замкнутым, если в нем начало вектора
первой силы и конец вектора последней силы совпадают между собой, веревочный
же будем называть замкнутым в том случае, когда первая и последняя стороны
направлены по одной прямой. В зависимости от замкнутости или разомкнутости
обоих многоугольников могут представиться 4 случая.
Фиг. 91.
1. Оба многоугольника замкнуты (фиг. 91). Заданная система эквивалентна
двум равно-противоположным силам, направленным по одной прямой (совпадающей
с крайними сторонами веревочного многоугольника). Но такие две силы, как
известно, взаимно уравновешиваются. „„„„eua тп оба
Можно высказать и обратную теорему: если система сил уравновешена, то оба
МИОГОугОЛЬНИКа ДОЛЖНЫ бЫТЬ ЗаМКНуТЫ. „ „пгтятпчнЫЙ
Итак, замкнутость обоих многоугольников есть необходимый и достаток
графический признак равновесия плоской сист^ы ~ „„„«и точке. то для
Если все силы
равновесия, как известно, необходимо и достаточно
какие-либо две оси равнялись нулю.
пересекаются в одной точке, то для
,ж \ чтобы их суммы проекций пл
Графически эго сводится к условию замкпу-
73
системы
тости силового многоугольника. Отсюда следует, что если для такой системц
силовой многоугольник замкнут, то и все веревочные много-
оказываются замкнутыми.
Пример
2. Оба многоугольника разомкнуты. В этом случае система приводится
угольники
такого построения показан на фиг. 92.
I
к отличной от нуля равнодействующей R, которая по величине и направлению совпа-
Фиг. 92.
дает с замыкающей си-
лового многоугольника.
Положение этой равно-
действующей определяет-
ся точкой взаимного пере-
сечения ее составляющих,
направленных по крайним
сторонам а и b веревоч-
ного многоугольника.
3. Силовой много-
угольник замкнут, а ве-
ревочный разомкнут.
Легко показать, что си-
стема сил приводится
к паре. Крайние стороны
веревочного многоуголь-
ника параллельны между
собой, а их усилия равны
и противоположны.
4. Силовой многоугольник разомкнут, а веревочный замкнут. Система сил
приводится к равнодействующей R, линия действия которой совпадает с замыкаю-
щей веревочного многоугольника.
§ 20. ПРИМЕНЕНИЕ ВЕРЕВОЧНОГО МНОГОУГОЛЬНИКА К ОПРЕДЕЛЕНИЮ
ОПОРНЫХ РЕАКЦИЙ
12
Фиг. 93.
Замкнутость обоих многоугольников, как характеристика равновесия плоской
системы сил, дает возможность применять эти многоугольники для решения вопро-
сов равновесия и, в частности, для определения опорных реакций. Неизвестные
необходимо подбирать так, чтобы оба многоугольника оказались замкнутыми.
Построение в большин-
стве случаев — весьма
простое.
Для примера рас-
смотрим построение опор-
ных реакций простой бал-
ки АВ, нагруженной не-
параллельными силами 1
и 2 (фиг. 93). Правая
реакция неизвестна толь-
ко по величине, а ле-
вая— по величине и на-
правлению.
При решении задач,
в которых не все силы
известны, невозможно держаться такого порядка, когда сначала строится полностью
силовой многоугольник, а потом — веревочный. Здесь приходится комбинироватЬ
построение обоих многоугольников по частям. При этом обычно оказывается
целесообразным поставить неизвестные силы в порядке нумерации на последнее
место.
В рассматриваемом примере обозначим заданные силы цифрами 1 и 2, а Реаь'
ции цифрами 3 и 4. Сначала на силовом многоугольнике откладываются силы
74
Фиг. 94.
IIUtllHIlii]
z и 2 и концы их соединяются с полюсом О лучами 41 /2 „ „ ч
вечном многоугольнике проводятся одноименные три "топи. ™ На вере’
точкх А. После этого условие замкнутости вепр«п™ Р ’ из ,,их первая — через
провести его сторону 34 и этим закончить его построение П03в0ляет
многоугольнику, проводят на нем прямую вектлпз ? Вернувшись к силовому
проводят луч 34, ,»„р18лен,1е ™ о ним
величина силы 3, а следовательно и С но* Тем сачым определяется
На ф„г. 94 показано ”о““е,’,и" д™™ ™ “к™"”"'
И опорные реакции параллельны между собой я в /г В е сосРедоточеннЬ|е силы
сосредоточенная пара с моментом Мо. приложенная в с^чен.Тс ^т/ пХ
кими’^'илам? заК 0®раз°^аннУю двУ“я бесконечно большими, но бесконечно олиз-
. L3 4' ПрИ постР°ении силового многоугольника луч 34 уходит
в бесконечность, т. е. делается вертикальным, а луч 45 сливается с 23. Так как силы 7
И 8 неизвестны по величине, то на
силовом многоугольнике остается
невыясненным направление лу-
ча 78. Следующей операцией
является построение веревочного
многоугольника, который под се-
чением С имеет „уступ" у0. По
свойству веревочного многоуголь-
ника величина уступа выражает
собой приращение статических мо-
ментов левых или правых сил при
переходе моментной точки из ле-
вой области (слева от сечения С)
в правую или наоборот.
Это приращение равно /Ио,
следовательно, отрезок д/0 выра-
жает в соответствующем масштабе
величину /Ио (см. § 18). После
проведения сторон 45, 56 и 67
веревочный многоугольник замы-
кается стороной 78, а это дает возможность провести на силовом многоугольнике
недостающий луч и определить обе параллельные опорные реакции 7 и 3.
§ 21. ПРИМЕНЕНИЕ ВЕРЕВОЧНОГО МНОГОУГОЛЬНИКА К ПОСТРОЕНИЮ ЭПЮР
ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ И ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ ПРОСТОЙ БАЛКИ
силам.
ствующая находится на
Веревочный многоугольник применяется на практике к построению эпюр момен-
тов почти исключительно в тех случаях, когда балка нагружена параллельными
силами. В этих случаях он дает готовую эпюру моментов.
Рассмотрим для примера фиг. 94. В интервале от опорного сечения А до сече-
ния, в котором приложена сила 7, момент левых сил есть не что иное, как
момент силы 8. Последняя заключена на силовом многоугольнике между лучами /8
и 81 поэтому ее момент выражается на веревочном многоугольнике отрезком у,
заключенным между сторонами той же нумерации и параллельным действующим
Справа от сечения расположены силы 7, 2, 3, 4, 3, 6 к 7‘, их равнодей-
-- силовом многоугольнике между теми же лучами /о и о/,
но "имеет обратное' направление; поэтому на веревочном многоугольнике момент
выражается тем же отрезком. Моменты левых и правых сил оказываются равными
и противоположными друг другу- х R п _ _ О nnvrifV
Аналогичным образом можно проанализировать изгибающий момент в других
интервалах пролета и убедиться, что в любом сечении момент в р жае с»
отрезком, который проведен через это сечение параллельна
силам и за к л юч ен между соответствующими
веревочного многоугольника.
параллельно
двумя сторона м и
В то время как из веревочного многоугольника определяются изгибающие
моменты, силовой многоугольник содержит в готовом виде величины поперечных
сил для любого сечения балки. Например, на той же фиг. 94, где все силы пер-
пендикулярны к оси балки, поперечная сила в первом левом интервале равна опор-
ной реакции которая заключена на силовом многоугольнике между лучами
• л и#/; во втором интервале по-
» 5 перечная сила равна равнодей-
Фиг. 95.
ствующей сил 8 и 7, которая
заключена между лучами 78 и
72, и т. д. Иначе говоря, но-
мера тех двух лучей
силового многоуголь-
ника, между которыми
заключена поперечная
сила, совпадают с номе-
рами тех двух сторон
веревочного много-
угольника, которые
служат для определе-
ния изгибающего мо-
мента в том же сечении.
На фиг. 95 показано по-
строение для консольной балки.
В этом случае для получения
эпюры М достаточно продол-
жить крайнюю правую сторону
56 веревочного многоугольника и заштриховать площадь между ней и остальными
сторонами; этим способом, как было указано в § 17, строятся статические мо-
менты правых сил. Веревочный многоугольник имеет на левом конце уступ, вели-
чина которого равна опорному моменту.
Применение веревочного многоугольника интересно и выгодно тем, что оно
позволяет одновременно найти опорные реакции и получить ординаты эпюр М и Q
для любого сечения.
Обе эпюры могут быть найдены и в случае непараллельных сил, но в этом
случае для получения поперечной силы приходится производить на силовом много-
угольнике добавочную операцию: проектировать равнодействующие на перпендику-
ляр к оси балки. Для получения эпюры моментов пришлось бы проводить отрезки .у
на веревочном многоугольнике
в различных интервалах про-
лета по различным направ-
лениям, а это не всегда удобно.
§ 22. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР М
И Q ПРИ УЗЛОВОЙ ПЕРЕДАЧЕ
НАГРУЗКИ
I
Фиг. 96.
Схематическое изображе-
ние узловой передачи нагрузки
показано на фиг. 96. Нагрузка
приложена непосредственно к
вспомогательным продольным
балочкам, опоры которых расположены в
КН Таким образом, при любом расположений нагрузки главная балка воспри-
С точки
груз, ДСЙ-
А, В, С, D, Е главной бал-
сечениях
нимает давления только в указанных, вполне определенных сечениях
зрения статики существо дела состоит здесь в том, что любой
ствующий на продольную вспомогательную балочку, разлагается на две состав-
ляющие, приложенные по *ее концам, и уже эти составляющие передаются на
балку АВ.
76
Легко показать, что в простой балке и вообще
раюшейся на три опорных стержня бЩе
ни в какой степени не отражается на опорных пМ .....
определяются из уравнений моментов или уравненийВДЯХ- Действительно
суммарные моменты и сини
чямрип , В 1,СИзме|,яечоЙ фигуре, опи-
^посредственной на1рузки узловой
, реакции
проекций; но при такой замене
проекции нагрузки не из-
меняются, так как сумма
моментов или проекций
двух составляющих любой
силы равна моменту или
проекции самой силы.
Так же легко дока-
зывается, что в узловых
сечениях балки изгибаю-
щие моменты останутся
без изменения. Например,
при непосредственном за-
гружении можно считать,
что в сечении D (фиг. 96)
изгибающий момент со-
здается левой реакцией и
двумя составляющими, на
Фиг. 97.
силой 7, а при узловой передаче — той же реакцией и
которые разложилась сила 1.
Отсюда получается простое правило построения веревочного многоугольника
и эпюры изгибающих моментов для параллельных сил: сначала строится
веревочный многоугольник для нагрузки, приложенной непо-
средственно; затем на стороны этого многоугольника проекти-
руются узловые точки, после чего проекции соединяются пря-
мыми. Последняя операция основана на том, что в промежутке между двумя
Фиг. 98.
силами веревочный многоуголь-
ник должен иметь вид прямой
линии.
На фиг. 96 многоугольник,
соответствующий узловой на-
грузке, заштрихован. Чтобы
получить давления, передаю-
щиеся на главную балку в узло-
вых точках, нужно провести
на силовом многоугольнике до-
полнительные лучи, параллель-
ные сторонам окончательного
веревочного многоугольника.
Иногда проекции попа-
дают не на сторону веревоч-
*ного многоугольника, а на ее
продолжение. На фиг. 97 не
посредственной передаче на-
грузки соответствует веревоч-
многоугольнике сила 2 заклю-
силовом
для разложения этой силы на две узловые
составляющие’'нужно спроектировать узлы на стороны 12 и 23 веревочного много-
угольника- при этом одна из проекций попадает на продолжение стороны 2.»
или стороны 12. Чтобы не нарушать порядка обхода сил, можно рекомендовать
при этом спроектировать левый узел на ту сторону, которая примыкает к силе .
слева, т е ня столону 12. а правый —на сторону 23, которую приходится про-
ный многоугольник 41-12-23-34. На
чена между лучами 72 и 23; поэтому
слева, т. е. на сторону /2, а правый —
В примере, показанном на фиг. 98, над правой опорой нет узла. Так. как
положение узлов не влияет на опорную реакцию, то здесь никакого усложнения
задачи не получается. Для непосредственной нагрузки построен веревочный мною-
77
угольник, стороны которого показаны гонкими линиями. Окончательный многоуго/и,.
фигуре показаны две эпюры поперечных сил. Одна из них (неза-
ник заштрихован.
На той же
штрихованная) получена из основного силового многоугольника; она соответствует
непосредственной передаче нагрузки и имеет уступы под силами и опорами. Вто-
рая (заштрихованная) получена после проведения на силовом многоугольнике лучей
параллельных сторонам окончательного веревочного многоугольника. Она имеет
Фиг. 99.
уступы под узлами и опорами. Хотя опорные реакции в обоих случаях соответ-
ственно равны между собой, поперечные силы в опорных сечениях — различны.
Задача 8. Построить эпюру изгибающих моментов для балки с подкосами, показанной
и а фиг. 99.
23. ПОСТРОЕНИЕ УПРУГОЙ ЛИНИИ И ЭПЮРЫ УГЛОВ НАКЛОНА ДЛЯ ПРОСТОЙ
БАЛКИ
Графический метод построения упругой линии и эпюры углов наклона
ай
сводит эту задачу к построению веревочного и силового многоугольников для
фиктивной нагрузки (второго силового и второго веревочного многоугольников).
Пусть балка АВС (фиг. 100) имеет на участке АС момент инерции а на
участке СВ — момент J2. Перечертим эпюру /И,
изменив ее ординаты обратно
пропорционально моментам
Фиг. 100.
инерции соответствующих се-
чений, например, на участке
АС оставим ординаты эпюры
714 без изменения, а на участке
СВ заменим их величинами
J
7\4 ~ * Ординаты обоих участ-
ков, очевидно, выразятся
одной и той же формулой
J
714, где J—момент инер-
а/
ции соответствующего сечения.
Площадь эпюры /И-у носит
название при веденной
площади эпюры моментов.
,л
Приняв площадь эпюры -И-у
за нагрузку, построим для нее
силовой и веревочный много-
Зам икающую веревочного многоугольника
ТОЧКИ, ---
Н}ЛЮ.
угольники.
проведем через обе его крайние
так как его крайние ординаты (прогибы на опорах) должны равняться
Пусть масштаб фиктивных сил на силовом многоугольнике выражается в виде
см акг-см, причем полюсное расстояние равно Н с и, а линейный масштаб
чертежа алки составляет 1 : л. Так как прогиб в любом сечении равен произ-
78
ведению ординаты веревочною многоугот мп. .
йа полюсное расстояние, измеренное в в масштабе длин
на EJ„ то масштаб прогибов выразится Ц '
ьп лой:
*
1 см ординат ПОЛ}ченной кривой =
аНп
~~ EJi СМ децствительного прогиба. (14)
Если мы хотим получить прогибы в 1 : щ
нх натуральной величины, то должны по-
ложить :
фиктивных сил и разделенное
аНп
откупа
а = —гт-
Mds<
Mass
или
~Нт~
----- в
Фиг. 101.
Можно поступить иначе: эпюру М оставить без изменения (т. е. не умножать
на ~) 11 площадь каждой полоски перенести непосредственно на силовой много-
угольник, но лучи такового вести из двух различных полюсов с полюсными рас-
стояниями Нг и /У2, удовлетворяющими пропорции:
/У1:Н2 = 71; J2. (15)
Часть силового многоугольника, соответствующая участку ДО, строится при
полюсе С\ (фиг. 101), а остальная часть — при полюсе О2. Оба полюса должны
Фиг. 102.
быть расположены
щем масштабе:
участок АС:
на
одном и том же луче.
У пругая
линия
получится в следую-
аНуП
1 см по оси ординат = см;
m
m
п
участок СВ:
aHtfi
л см.
1 см по оси ординат = EJ*
Пропорция (15) показывает, что оба эти масштаба равны между собой.
79
В случае, если сечение непрерывно изменяется по длине балки, первый способ
удобнее второго.
Проф. В. Л. Кирпичев указал1, что можно, не строя всей упругой линии
быстро получить прогиб в каком-нибудь одном произвольно выбранном сечении ('
(фиг. 102). Для этого достаточно разбить площадь фиктивной нагрузки /И —
на
две части, граница которых проходит через это сечение, затем заменить каждую
из этих двух площадей сосредоточенной силой, приложенной в ее центре тяжести.
Веревочный многоугольник для этой нагрузки очень прост: он содержит только
три линии, но его ордината у0 под сечением С совпадает с ординатой веревочной
кривой для сплошной нагрузки М. Действительно, веревочная кривая касается
веревочного многоугольника под сечениями, которые служат границами отдельных
площадей (см. § 13).
Кроме линии прогибов, можно графически получить кривую углов наклона <р.
Она строится, как эпюра фиктивных поперечных сил, и ее ординаты могут быть
взяты непосредственно из силового многоугольника фиктивной нагрузки.
§ 24. ДИСКОВЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК И ГРАФИЧЕСКИМ ПРИЗНАК ЕГО РАВНОВЕСИЯ
Дисковый многоугольник подобно шарнирно-стержневому представляет собой
цепь, состоящую из жестких звеньев, последовательно связанных между собой
шарнирами. В том случае, когда нагрузка приложена в узлах (шарнирах), дисковый
многоугольник ничем не отличается от своего прообраза, но он превращается
в обобщение веревочного многоугольника, когда в числе сил имеются такие,
Фиг. 103.
которые приложены вне узлов.
Дисковый многоугольник встре-
чается в различных видах: в
виде системы балок, шарнирно
связанных между собой; в виде
так называемых трехшарнирных
арок, рам и т. д.
Дисковый многоугольник
(фиг. 103) имеет такую же сте-
пень свободы, как и веревочный
многоугольник: если он имеет
п звеньев и концы А и Е край-
них звеньев шарнирно закреплены, то степень свободы этой кинематической цепи
равна п — 2. Для того чтобы он сделался геометрически неизменяемым, необходимо
добавить п— 2 связи, например п — 2 опорных стержня; в этом случае он будет
иметь вместе с четырьмя опорными стержнями, имеющимися в узлах А и Е, всего
п
п
2 опорных стержня.
При отсутствии промежуточных опорных стержней дисковый многоугольник —
как кинематическая цепь с п — 2 степенями свободы — будет находиться в равно-
весии не при всякой нагрузке, а лишь при такой нагрузке, которая удовлетво-
ряет п — 2 специальным условиям.
2 специальным условиям.
Если /г =2, т. ।
условий обращается в нуль: внешняя нагрузка ничем не связана
е. если многоугольник состоит из двух звеньев, то число
.. она может быть
Задачу о дисковом многоугольнике можно ставить по-разному в зависимости
от того, какие величины считать неизвестными. С точки зрения строительной меха-
ники практический интерес представляет следующая задача: дан дисковый много-
угольник, содержащий п звеньев и занимающий определенное положение; требуется
разыскать п — 2 параметров внешней нагрузки так, чтобы многоугольник, находя-
щийся под ее воздействием, оказался в состоянии равновесия.
Внешнюю нагрузку каждого звена можно заменить ее равнодействующей.
1 .Основания графической статики"1, § 126.
S0
Задача нахождения п_2 папз
при помощи веревочного многоугольник^8 Нагрузки может быть
Для того чтобы данная
НОМ ДИСКОВОМ МНОГОУгпльипУ’
для нее можно было nnrmЛ’ необходимо и дос
решена графически
,,.С **CTeMa сил уравновесилась ня пя«.
многоугольник,
Л Л г v л и Д Я Т в П Л Г л
через все шарниры многоугольника
Для доказательства этой теопем,,
(фиг. 104) находится в равновесии поп Рп₽вг ложим’ чт0 Дисковый многоугольник
через крайний левый шарнир А ппялплю п Твием данной системы сил. Проведем
опорной реакции. Чер“3 точку пепесеч^/’ С0ВпадающУю с ™нией действия левой
„У пересечения прямой а и силы 1 проведем пряммо /2
™ ,гад»хт.»ра‘вде|'ств>’юм ™"«" ““«"«' <>”.£
равнодействующая пройдет через шарнир В. Рассуждая
совпадающую с
весия следует,
Фиг. 104.
таким же образом, мы легко докажем, что многоугольник равнодействующих своими
сторонами пройдет через все шарниры. Но многоугольник равнодействующих,
соответствующий данной нагрузке и силе а, есть, очевидно, один из веревочных
многоугольников для данной нагрузки. Этим доказано, что в случае равновесия
существует веревочный многоугольник, проходящий через все шарниры.
Наоборот, если для данной внешней нагрузки можно построить веревочный
многоугольник, проходящий через все шарниры, то это означает, что опорные
реакции могут быть подобраны так, чтобы все уравнения равновесия были удо-
влетворены.
Итак, существование такого веревочного многоугольника является необходимым
и достаточным признаком равновесия дискового многоугольника.
25. ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ О
РАЗВИТИИ ТЕОРИИ ВЕРЕВОЧНОГО МНОГО-
УГОЛЬНИКА 1
В Трудно сказать, кто первый начал заниматься вопросом о натяжениях в нити,
к которой подвешено несколько грузов, но во всяком случае эта задача не могла
быть поставлена до открытия закона параллелограмма сил. В отчетливой форме
она была поставлена и правильно решена впервые в 1605 г.
80 лет спустя задача о веревочном многоугольнике, находящемся под дей-
ствием непрерывно распределенной нагрузки, была поставлена Яковом Бернулли
в следующей форме: „найти, какую форму представляет канат, свободно подвешен-
ный в двух точках" Решение этой задачи было дано одновременно Лейбницем,
' А. М Годыцкий-Цвирко, Юбилей веревочного многоугольника, статья в .Сбор-
нике Ленинградского института инженеров путей сообщения , вып. CI, стр. 203, lft-9.
t Зак. 1842 и М. Рабинович.
81
Гюйгенсом и Иваном Бернулли в 1691 г. и сыграло большую роль в истории раз-
вития анализа бесконечно малых. Однако сколь ни плодотворно было это анали-
тическое решение для математики и для
Фиг. 105.
механики, оно не могло лечь в основу
теории веревочного многоугольника, на-
груженного прерывистой нагрузкой.
В 1687 г. в Париже вышло в свет
сочинение Вариньона (1654—1722)
„Проект новой механики". В течение
многих лет после этого Вариньон
продолжал работать над той же те-
мой; результаты его работы были
опубликованы уже после его смерти,
спустя 38 лет после появления первого
труда J. Вариньон показал, что усилия
в элементах веревочного многоуголь-
ника как в случае параллельных, так
и в случае непараллельных нагрузок
пропорциональны длинам лучей сило-
вого многоугольника и что равнодей-
ствующая всех нагрузок проходит че-
рез точку пересечения крайних сторон
веревочного многоугольника. Данный
им способ нахождения направления
равнодействующей состоит в том, что
сначала находится прямая, по которой
направлена равнодействующая первых двух сил (она проходит через точку пере-
сечения этих двух сил), затем находится направление равнодействующей первых
трех сил (она проходит через точку пересечения третьей силы и найденной равно-
действующей) и т. д. (фиг. 105).2
Интересное построение прямой, по которой направлена равнодействующая,
дал Иван Бернулли в 1714 г. (фиг. 106): эта прямая проходит через точку X и
через центр тяжести О точек
£, Ж, N, К, получаемых про-
ведением отрезков XL, ХМ,
XX, ХК, соответственно рав-
ных и параллельных грузам GR,
OS, ЕТ и FP.
Рассматривая фиг. 105 и
106, нельзя не поразиться, ка-
кими сложными путями шла
человеческая мысль в таком,
казалось бы, простом вопросе,
как нахождение направления
равнодействующей. Однако в
истории науки такие факты
представляют собой нередкое
явление.
Только спустя 100 лет за-
дача о веревочном многоуголь-
нике снова привлекла к себе
внимание. На этот раз она была
считывать висячие мосты
Фиг. 106.
вызвана к жизни реальной потребностью Рас'
-------------------------а, цепь которых, очевидно, представляет собой не что
иное, как веревочный многоугольник. Инициаторами этого сближения абстрактной
статической проблемы с технической задачей мостостроения явились профессор*
петербургского Института путей сообщения Ламе (1795—1870) и Клапейрон
1 Nouvelle mfcanique ou statique, Paris. 1725.
иг. 105 заимствована из вышеуказанной статьи А. М. Годы (кого-Цвирко.
«2
(1799’—1864), опубликовавшие в 1826 г
и„я статью „О построении вепрпияты.-'
применение веревочного
— начался в конце 60-х
О построении вепркиятмк" Г петербургском Журнале путей сообще-
сделала соотношение между веревочным и" си™°ЛЬНИК0Ви’ Эта именно статья и
широким кругам инженеров, указала им нрппгпр °ВЬ1М МНОгоУг°льником известным
теории веревочного многоу^льнТка »Гтем сямым Г™06 пРак™е"«» приложение
этого вопроса. У КЭ И ТеМ Самым откРь,ла новую эпоху в истории
Третий и наиболее плодотворный этап этой истории —
многоугольника как средства для решения задач статики-
годов прошлого столетия.
В дальнейшем теория веревочного многоугольника развивалась главным обт
зом, в направлении приложений к различным задачам; непременны™™^
для этого служила возможность путем аналогий представить те или иные величины
в виде системы фиктивных сил. При помощи веревочного многоугольника =
упругие линии балок, арок и рам, линии прогибов ферм, так называемы! обоб-
щенные линии влияния, определяются центры тяжести и моменты инерции площа-
дей и линий, разыскиваются координаты некоторых особых точек связанных
с упругими свойствами систем, и т. д. ’ ых
Автор настоящей книги применил веревочный многоугольник к теории так назы-
ваемых вантовых ферм (см. § X — 7 и 8), к теории малых колебаний упругих систем
и к созданию механизма для решения системы алгебраических линейных уравнений1.
Проф. А. А. Кравцов при помощи этой фигуры дал приближенное решение так
называемой задачи о наименьших расстояниях2. Проф. С. А. Бернштейн разобрал
сложный вопрос о равновесии абсолютно гибкого (веревочного) кольца, находя-
щегося под действием произвольной уравновешенной системы сил, применил вере-
вочный многоугольник к решению системы алгебраических линейных уравнений и
предложил оригинальное построение веревочного и силового многоугольника на
одной фигуре3.
7 и 8), к теории малых колебаний упругих систем
Проф. А. А. Кравцов при помощи этой фигуры дал приближенное решение так
§ 26. ЗАДАЧИ И ПРИМЕРЫ
Задача 9. Построить веревочный многоугольник для системы сил показанной на
фиг. 107, следуя их нумерации. Величины сия заданы.
Задача 10. Шарнирный л-угольник опирается на п опорных стержней, расположенных
в п— 1 узлах, и нагружен в узле 1 силой Р (фиг. 108). При помощи веревочного много-
угольника определить величины всех реакций и направление последней нз них.
Указание. Данный шарнирный многоугольник следует принять за веревочный много-
угольник для системы сил, состоящей из опорных реакций и силы Р. В противоположность
обычному порядку здесь требуется по данному веревочному многоугольнику построить
силовой; из него и найдутся все опорные реакции. Величина и направление последней
реакции (приложенной в узле п) найдутся из условия замкнутости силового многоугольника.
Задача И. Доказать, что если веревочный многоугольник АВ имеет форму дуги окруж-
ности радиуса /?, то система сил, равномерно распределенных по его длине и проходящих
через центр О этой окружности, уравновешивается на нем. Определить усилия в элементах
веревочной кривой (фиг. 109).
Решение. Силовой многоугольник имеет вид окружности радиуса qP, где q—нагрузка,
приходящаяся на единицу длины веревочного многоугольника. Усилия во всех сечениях
веревочной кривой равны этому радиусу.
Пример 12- При помощи веревочного многоугольника определить опорные реакции
консольной балки АВС, нагруженной на конце консоли сосредоточенной силой Р (фиг. ПО).
Решение. На силовом многоугольнике следует отложить силу /, провести лучи31 и
72, затем на веревочном многоугольнике провести стороны с теми же названиями и, наконец,
1 ц М. Рабинович, К расчету сооружений на действие сил, меняющихся во вре-
мени по произвольному закону, Сборник по строительной механике № 2 Военно-инже-
нерной академии РККА, 1937. „ о
Его же, Приборы для механического решения системы линейных уравнении, Вестник
Военно-инженерной академии РККА № 3, 1934. о
2 А А Коавцов, Задача наименьших расстоянии, Минск, 1У49.
3 С.' А. Бернштейн, О расчете гибкого кольца, сборник „Исследования по теории
сооружении", Гл. ред. строительной литературы, 1936. RnPPIin.
Его же, Комбинированный силовой и веревочный многоугольник. Вестник Военно-
ииженерной академии РККА № 3, 1934. Tnvnw
Его же, Применение графостатики к решению системы линейных уравнении, 1руды
Московского института инженеров транспорта, вып. XV, 1930.
JI
81
6*
замыкающую 23. После этого Па°ДИТСЯ ЛУЧ СИЛа 2
чена “еждУ л.уоамп/и помощи веревочного многоугольника определить опорные реакции
на mvWPHHOH паоОИ СИЛ (фиГ. 111).
простои балки 1нагруж Рверевочного многоугольника определить опорные реакции
памьЛоедетавленной на фиг. 112. Разобрать построение, показанное на той же фигуре.
Р Пример 15. То же самое-для
фиг. 113 и 114. Решение—см. фиг. По
То же самое построить для фиг. 115.
Указание. Особенностью этого
случая является отсутствие нагрузки на
правом пролете. Веревочный много-
угольник строится для левого пролета,
замыкается прямой 56, дающей нулевые
моменты под шарнирами, после чего
— см. фиг. 113
Фиг. 108.
Фиг. 107.
Фиг. 109.
Фиг. ПО.
прямые
проводятся произвольные
силы 4.
a* й, пересекающиеся между собой на линии действ*1*
такпй^схГк^ in'rJ}O<kLP°HTb ЗПЮРУ моментов для системы, представленной на фиг. 116.
понтона иа кажппр тшп? Рассчнтаны некоторые понтонные мосты, если считать РеакЦ‘
женнои в центре понтона°е строеиие сосредоточенной си той, а реакцию воды—при
84
Фиг. 111.
Фиг. 112.
Фиг. 113.
Фиг. 114.
Решение. Пронумеруем силы и построим сначала веревочный многоугольник 61-12 к
для заданных сил / и 2. Далее следует замкнуть веревочный многоугольник, построив
стороны 34-45 56. Равнодействующая сил 4 и 5 направлена по опорному стержню Р, поэтому
Фиг. 115.
стороны 34 и 56 должны пересечься друг с другом на оси этого стержня. Всевозможные
веревочные многоугольники 34-45-56, удовлетворяющие последнему условию, эквивалентны
Фиг. 116.
лежашну6.?!*Л?,ЭТ?УУ А‘х одноименные стороны должны пересекаться между собой в точках
продолжаем гЛроим произвольный многоугольник 34'-45'-56' из числа названных,
точкой £• так nLvuLu до ВСтРечи с этой осью и полученную точку соединяем с нулевой
* ак получаем сторону 45. После этого проводим стороны 34 и 56.
Глава IV
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ И ПРИМЕРЫ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
§ 1. ПОНЯТИЕ о линии влияния
При расчете сооружений часто приходится иметь дело с подвижной нагрузкой
различных видов. Например, пролетные строения железнодорожных мостов и их
опоры приходится рассчитывать на нагрузку проходящим поездом; мосты под обык-
новенную дорогу—на движущиеся автомобили, тракторы, орудия, фуры, толпу
ит. д.; подкрановые балки — на нагрузку движущимся краном и т. д. Во всех этих
случаях нагрузка состоит из системы параллельных друг другу (чаще всего
тикальных) грузов, сохраняющих между собой неизменные расстояния.
Простейшей из всех возможных подвижных нагрузок является сосредоточенная
вер-
сила, равная единице, точка приложения которой перемещается по сооружению
в то время как сама сила сохраняет неизменное направление.
График, выражающий закон изменения той или иной вели-
чины (например, опорной реакции, изгибающего момента и т. д.),
возникающей в определенном месте плоского сооружения,
в функции от положения движущегося по сооружению сосредо-
точенного, сохраняющего постоянное направление единичного
груза, носит название линии влияния, или инфлюэнтной линии
соответствующей величины.
Например говорят: „линия влияния, или инфлюэнтная линия момента в данном
сечении, прогиба в данном сечении" и т. д. Вместо „линии влияния" мы в даль-
нейшем будем писать для сокращения „л. в.".
Необходимо иметь отчетливое представление о том, чтб на этом графике
является независимой переменной и чтб — функцией, чтб движется и чтб остается
связанным с определенным, неподвижным
местом сооружения. Независимой пере-
менной является координата движущегося
груза, функцией является изучаемая вели-
чина.
На фиг. 117 для примера показана
л. в. угла наклона упругой линии для
сечения С балки АВ, При движении груза
Р = 1 по балке этот угол наклона изме-
няется по закону, изображаемому орди-
натами у этой кривой. Ординаты уь у2»
у3 и т. д. выражают собой угол накло-
Фиг. 117.
на упругой линии в одном и том же
сечении С балки АВ, но при различных положениях движущегося груза: орди-
ната у1 соответствует положению груза Р — 1 над сечением 1; ордината у$ поло
жению груза над сечением 2 и т. д.
Независимой переменной в уравнении л.
груза. Время t в уравнение не входит, так
в. является х — абсцисса движущегося
как движение груза предполагается
настолько медленным, что последний в любом своем положении может считаться
неподвижным. Правильнее было бы сказать, что л. в. выражает собой влияние груза
не движущегося, а стоящего неподвижно, но точка приложения кото-
рого может иметь любую абсциссу х1.
§ 2. СРАВНЕНИЕ МЕЖДУ ЭПЮРАМИ И ЛИНИЯМИ ВЛИЯНИЯ
Под эпюрами изгибающих моментов, поперечных сил, прогибов и т. д. для
какого-нибудь стержня понимаются, как известно, графики, изображающие закон
изменения соответствующих величин по всему пролету этого стержня при
действии заданной неподвижной нагрузки. Эпюра дает возможность обозреть
сразу распределение интересующей нас величины по всем сечениям стержня, ио
только для одного совершенно определенного положения заданной нагрузки. Как
изменятся эти величины при каком-нибудь ином расположении нагрузки,—это
из данной эпюры усмотреть невозможно; для получения ответа на этот вопрос
пришлось бы построить новую эпюру. Линия влияния, наоборот, дает возможность
обозреть сразу закон изменения какой-нибудь величины, связанной с определенным
сечением стержня, при всевозможных положениях единичного груза. Однако она
ничего не говорит об изменениях аналогичной величины, связанной с другим сече-
нием стержня.
Эпюра может быть построена при любом характере внешней нагрузки. При
построении л. в. предполагают, что имеется только груз Р=1. Мы увидим ниже,
что понятие о л. в. может быть обобщено и на случай движущихся более слож-
ных нагрузок, однако основное значение имеют именно простейшие линии влияния,
соответствующие силе Р—\.
Понятие о л. в. и об эпюре можно объединить, если рассматривать изучаемую
величину как функцию двух переменных
скивается интересующая нас величина, и
Фиг. 118.
: положений того сечения, в котором разы-
того сечения, в котором стоит груз Р=1.
Обозначим абсциссу первого сечения
через г, а абсциссу груза — через х. Тогда
изучаемая величина может быть обозна-
чена через f (х, г). Эта функция называется
функцией влияния. Если х== const=
~а, то функция влияния принимает вид
/(а, г) и ее графическое изображение
превращается в эпюру, соответствующую
действию груза Р=1, приложенного в
сечении х = а. Если z = const = b, то
функция влияния переходит в /(х, #), т. е. в л. в. для величины, связанной с сече-
нием z = Ь. В первом случае независимой переменной является zy а х = а служит
параметром. Во втором случае независимой переменной служит х, a z—b играет
роль параметра.
Пусть, например, требуется найти изгибающий момент в сечении С балки АВ
при действии груза Р=1 (фиг. 118). Когда груз стоит справа от сечения С, то
Уравнение линий
г; когда он стоит слева от С, то М = ~(1—г).
I L
влияния получается при z = const = а\
Л/f —X)
м — —2—
а
для правой ветви и
Л1 = -j-
(Z—с)
для левой ветви; здесь
а — расстояние от сечеиия С до левой опоры.
1 Если груз передвигается по сооружению со скоростью, не равной нулю, то дефор-
мации сооружения также происходят с конечными скоростями и конечными ускорениями,
вследствие чего появляются силы инерции; процесс перестает быть статическим, а стано-
вится динамическим. Можно было бы говорить о динамической л. в., но ее изучение,
«онечно, не относится к сфере статики.
36
У равнение эпюры нзг н б а ю
жвнжно стоит на расстоянии b о^левой°пп1о J ° ° "РИ условии’ чт0 гРУз непо-
от левой опоры, получается при х = const
41 =
для левой ветви и
для правой ветви.
Давая параметру а различные значения, мы получим семейе™ „ » х
щих моментов для различных сечений балки У емейство л. в. изгибаю-
Давая параметру b различные значения, мы получим семейство эпюр изгибающих
моментов для балки при различных положениях груза. Р изгиС>ающих
Наконец, положив х = zмы получим из обоих последних выражений для М
одну и ту же формулу М = -LJ-, которая выражает собой закон изменения
изгибающего момента в сечении, расположенном под движущимся грузом
Наглядное обобщенное представление о связи между эпюрами, л. в. и другими
родственными им кривыми можно получить, если изобразить функцию влияния
имеющую вид (х, z)— t как поверхность в системе прямоугольных коор-
динат х, z,t.
Пусть, например, формула <х>(х, z) = t относится к однопролетной балке по-
стоянного сечения, шарнирно опертой по концам, и имеет следующий смысл: t_угол
поворота сечения, имеющего абсциссу г; х — абсцисса груза Р=1, движущегося
по этой балке. Когда груз находится слева от сечения (т. е. когда x<z), то
когда он стоит справа (т. е. когда х?>г), то
t можно построить поверхность, точки которой
(Z \
ty -г-), образуют семейство
** У
образуют семейство линий влияния углов t для
и отсекает
получим кривую изменения углов t для такого сечения, кото-
В системе координат
удовлетворяют этим соотношениям. Вид ее показан на фиг. 119. Сечения этой
поверхности плоскостями, параллельными плоскости
эпюр углов / для различных положений груза Р. Сечения ее плоскостями, парал
дельными плоскости
различных сечений балки. Сечение ее плоскостью, проходящей через ось t и делящей
пополам угол между осями z и х, представляет кривую изменения угла t в сечении
балки, расположенном под движущимся грузом.
Кривая пересечения этой поверхности произвольной плоскостью, проходящей
через ось t, изображает закон изменения угла t для таких сечений балки, абсциссы
которых z находятся в определенном отношении к абсциссе движущегося груза.
Пересекая поверхность влияния такой плоскостью, которая параллельна оси t и
в то же время делит пополам угол между плоскостями [t9 -
на оси z отрезок а, получим кривую изменения углов t для такого сечения, кото-
рое постоянно отстоит от точки приложения груза на расстоянии а. След поверх-
ности влияния на плоскости (z
и положением того сечения, в котором при этом / = -0. Этот след состоит из трех
2) прямой, ей параллельной и отстоящей от нее на расстоянии х,
= 1; 3) кривой 2-го порядка, которая получается из уравнения углов наклона
Л ] изображает зависимость между положением груза
ветвей: 1) оси 4-
где
балки при / = 0.
39
Фиг. 119.
След поверхности на плоскости (t х
того опорного сечения балки, у которого
совпадает с осью z и показывает что ппы Y а х * /
чается Z = 0, и т. д. Те же narcvu/пАо « ^“ля в^ех сечений балки полу-
переменных х И Z. И можно применить ко всякой другой функции
представляет собой л. в. угла t для
г = 0. След ее на плоскости {t, -у)
= 0, ит. д Те жепЯгг™п/'~ для всех Сечений балки полу-
’ *• же рассуждения можно г~”------------- J
... ™ ° им кии другой функции
^С.ТаТ0ЧН0 ^"«речиво показывают, сколько разнообразных
линии влияния и об эпюре, объединяется одной
кривых, обобщающих понятие о
такой поверхностью влияния.
§ 3. СТАТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ.
ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ ПРОСТОЙ БАЛКИ
Статический способ построения л. в. состоит в том, что груз Р = 1 устана
вливается в произвольное положение и абсцисса точки его приложения в произвольно
выбранной системе координат обозначается какой-либо буквой, например х. Считая
груз неподвижным, определяют искомую величину, которая выразится неизбежно
некоторой формулой, содержащей букву х. Для того чтобы полученная формула
превратилась в уравнение линии влияния, необходимо только считать в ней зна-
чение х переменным.
Иногда оказывается необходимым ставить груз поочередно на нескольких
различных участках и для каждого из них выводить особое уравнение. Линия влияния
в этом случае состоит из различных участков, имеющих различные уравнения. Поясним
сказанное примерами.
Л. в. опорных реакций А и В балки (фиг. 120). Поставим груз Р = 1
на расстояние х от левой опоры. Напишем уравнение моментов всех сил сначала
относительно опоры В, а потом от-
носительно опоры Д, считая, что
реакции направлены вверх:
А1 — Р(1 — х) = 0.
В1—Рх~ 0.
Из этих уравнений найдем:
(1)
Каждое из уравнений (1) со-
держит переменную х в первой сте-
пени, а потому является уравнением
прямой.
Для построения этих прямых достаточно найти на каждой из них по две
точки. При х = 0 получается Д = 1, В = 0; при x = Z получается Д = 0, В=\.
Обе прямые построены на фиг. 120. Каждая из них показывает, что реакция той
или иной опоры равна единице, когда груз Р = 1 стоит над этой опорой’, и умень-
шается по линейному закону до нуля, когда груз приближается к противоположной
Фиг. 120.
для двухконсольной балки (фиг. 121).
опоре.
Л. в. тех же реакций „
На фиг 121 показаны различные возможные положения силы Р—1. Обозначив
попрежнему расстояния этой силы до левой опоры через х, мы получим снова
Формулы (1) и следовательно прежние две прямые, которые придется продолжить
слева и справа от опор. Абсцисса х слева от опоры А будет, конечно, отрица-
тельной. Когда груз будет стоять слева от этой опоры, то получится у — < 0,
когда он будет стоять справа от опоры В, получится Таким Р
91
зом на обеих прямых появятся отрицательные участки, которым
реакции, направленные вниз.
соответствуют
Л. в. изгибающих моментов. Пусть требуется построить линию влмя
ния изгибающего момента в сечении С (фиг. 122). Будем считать момент положи!
Фиг. 121.
тельным в том случае, когда он
вызывает растяжение в нижнем
волокне этого сечения.
Поставим сначала груз Р = 1
слева от сечения С, т. е. примем
х а. Тогда изгибающий момент
выразится очевидной формулой
~ Ь = ~ Ь. (2)
Эта формула получится незави-
симо от того, возьмем ли мы сумму
моментов всех сил, расположен-
ных слева, или же сил, располо-
женных справа от сечения С.
При переменном значении х уравнение (2) выражает собой прямую, которая
при х —О имеет ординату Жс=0, а при х = /-—ординату Л/ =£.
Можно сказать иначе: л. в.
изгибающего момента Мс пред-
ставляет собой не что иное,
как л. в. опорной реакции В,
все ординаты которой умно-
жены на постоянное число Ь.
Однако линией влияния, по-
строенной таким образом, мы
имеем право пользоваться лишь
на участке, расположенном не
правее сечения С.
Когда груз Р ~ 1 стоит
справа от сечения С, то изги-
бающий момент в этом сечении
выражается формулой
жс=^ = (3)
При переменном значении х эта
формула выражает прямую, а
именно л. в. опорной реакции
А, все ординаты которой умно-
жены на постоянный множи-
тель а. Ордината под правой
опорой равна нулю, а под
левой равна а. Этой прямой
можно пользоваться лишь на
участке, расположенном не
левее сечения С.
Таким образом линия
влияния Мс состоит из двух
прямых, имеющих нулевые
точки под опорами и продол-
Фиг. 122.
жения которых отсекают на опорных вертикалях отрезки а и Ь. Ее можно построить
также, пользуясь не опорными отрезками, а ординатой под сечением С, т. е.
в вершине треугольника. Эта ордината
нню (2), так и по Уравнению (3)
Очертание л. в. указывает на .
по пролету АВ от опоры А к опоре В
гает наибольшего значения — ’
уменьшается, обращаясь в’ нуль при ' протоде"' rnZ
расположении груза на консолях момент М - ₽У
по абсолютной величине „о мере удаления груза'о’т б^ижГйТй опоры. '
л. в. тв для сечения D, расположенного на консоли, имеет доугой «ин-
““ мс'J-a S-” л" ™т“ “
равен Мц— Рх----------х, следовательно, л. в. имеет кип ппО>,п»
может быть вычислена как по уравне.
и равна -у-.
. когда груз Р передвигается
”™ S-—
через правую опору. При
с имеет отрицательный знак и растет
опоры.
равен ^ = -Рх = -х, следовательно, л. в. имеет виГп^мой нХаяТ^
которой расположена под сечением D (фиг. 122). Р ’ У °
поперечных
известно, называется сумма проекций
от рассматриваемого сечения, на нор-
сил. Поперечной или перерезывающей силой
всех сил
как
расположенных по одну сторону
маль к оси в этом сечении. Будем
считать поперечную силу положи-
тельной, если внутренние поперечные
силы стремятся повернуть обе части
балки вокруг их концов по часовой
.стрелке. Например, на фиг. 123, a
внутренние поперечные силы, дей-
ствующие в сечении С, стремятся
повернуть участок СА вокруг точки
А и участок СВ вокруг точки В
против часовой стрелки, следова-
тельно, Qc < 0. На фиг. 123, б на-
правление вращения — обратное, по-
этому Qc > 0.
Для построения л. в. Qc
Фиг. 123.
(фиг. 122) расположим сначала силу
Р = 1 слева от сечения С. Тогда сумма левых сил будет направлена вниз и по абсо-
лютной величине равна Р — Ra = Rb, а сумма правых сил будет направлена вверх и
имеет ту же величину.
Согласно фиг. 123
такое направление поперечных сил
считается отрицательным. Итак, левый участок л. в. Qc совпадает с л. в. опор-
ной реакции Rb, но имеет отрицательный знак. Аналогичным образом можно
доказать, что правый участок л. в. совпадает по величине и по знаку с л. в. Ra.
Обе ветви л. в. параллельны друг другу и сдвинуты одна относительно другой
по вертикали на величину, равную единице.
Под самым сечением С л. в. Qc претерпевает разрыв; причем величина уступа
Нетрудно представить себе происхождение этого уступа: если
= 1, передвинувшись на бесконечно малую величину, перейдет с участка СА
ю из суммы левых сил величина Р = 1 сразу выключится.
равна единице.
сила Р =
на участок СВ, „
а к сумме правых она прибавится; но каждая из этих сумм есть Qc.
Заметим, что в точке С л. в. Qc имеет именно разрыв, но не нулевую
точку Когда сила Р расположена слева от сечения, хотя и бесконечно близко
к нему, величина Qc будет выражаться на фиг. 122 нижним отрезком соответ-
ствующей ординаты, а когда Р перейдет в смежное положение на правом участке,
то — верхним отрезком ординаты. Только в том случае, когда сила удет не
сосредоточенной, а распределенной на некотором участке (а фактически так 'д' ’
и будет) поперечная сила в сечении С может обратиться в нуль, а фш•
показан примерный вид графика, выражающего закон изменения попережои
силы Q при различных положениях такой нагрузки
выражающего закон изменения поперечной
93
Л. в. Qd для сечения D, расположенного на консоли (фиг. 122), имеет
дв)Х прямых, из которых правая на всем
вид
своем протяжении сливается с осью
абсцисс, а левая — горизонтальна и
равные единице.
Фиг. 124.
абсцисс, а левая
имеет ординаты,
Л- в- Qa лев относится к сече-
нию, расположенному на консоли
бесконечно близко к опоре Л. Она
имеет такой же характер, как
Л. в. Qa прав относится к сече-
нию, расположенному также беско-
нечно близко к опоре А, но справа
от нее. Пока груз находится справа
от этого сечения, поперечная сила
в нем равна опорной реакции RAt
поэтому соответствующий участок
л. в. ничем не отличается от л. в. RA.
Когда же груз находится на кон-
соли, то поперечная сила равна и противоположна реакции RB. Итак, л. в.
состоит из двух параллельных прямых, причем над опорой А получается уступ,
равный единице (фиг. 122).
угла наклона упругой линии в сечении А для балки по-
стоянного сечения (фиг. 125). Когда груз находится в пролете между
опорами, то угол наклона выражается формулой:
• х (Z — х) (2Z — х)
Л. в.
QEJI
следовательно, л. в. представляет собой кубическую параболу.
. Когда груз находится на
левой консоли, то
(4)
=г
х'1
3EJ ’
а когда он стоит на правой
консоли, то
(х" — I)
~ 6EJ >
Л. В.
т. е. оба консольных участка
— прямолинейны.
То, что л. в. усилий оказались ломаными, а л. в. деформаций имеет и криво-
линейные участки, не является случайностью. Ниже будет доказано, что в стати-
чески определимой стержневой системе л. в. усилий всегда состоят из прямо-
линейных участков.
§ 4. РАЗМЕРНОСТЬ ОРДИНАТ ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ
Для получения уравнения линии влияния следует написать соответствующею
формулу, выражающдю действие груза Ру и затем принять Р=1. Такая под-
становка эквивалентна с алгебраической точки зрения разделению выражения
на Р. Отсюда следует, что ординаты л. в. для какой-нибудь величины Z выра-
жаются формулой
ордината линии влияния = «>°™етствУющая ееА“ч™“.
сила
Например, ординаты л. в. опорных реакций и поперечных сил имеют раз-
мерность кг!кгъ т. е. выражаются отвлеченными числами; ординаты л. в. изгибаю-
щих моментов имеют размерность кгсм кг = см- ординаты л
мерность см кг и т. д. ’ рдинаты л. в. прогибов-—раз-
Сказанное нетрудно проверить хотя бы по тем форму
для л. в. в двух предыдущих параграфах. у
Формально можно было бы сказать,
влияние сосредоточенного груза
другой единице сил, а равного абстрактной
Ординаты л. в. можно также рассматривать
щей величины к тому сосредоточенному грузу,’ которым о^'вы^^анТ'н^ример'
если какая-либо ордината л. в. опорной реакции равна 0,75, то это означает’
что ка к ой у год но сосредоточенный груз, стоящий над этой ординатой вызове^
реакцию, величина которой составляет 0,75, от того же груза.
Можно наконец сказать, что ордината л. в. представляет собой коэфициент,
момент
лам, которые выведены
что ординаты л. в. выражают собой
» равного не 1 т или 1 кг
единице.
как отношение соответствую-
или какой-нибудь
стоящий при Р в соответствующей формуле. Например, изгибающий
в сечении л 1 ''
стоящего
мулой:
С (фиг. 122) от груза Р,
слева, выражается фор-
и слу-
Фиг. 126.
жит ординатой л. в.
Такая размерность удобна
тем, что величина ординаты не
зависит от системы мер, принятой
для измерения реальной нагрузки.
Пусть, например, требуется найти
изгибающий момент в сечении С
балки АВ (фиг. 126) при данном
считается построенной. Ординаты
длин. Примем у = 3 см, а груз Р = 50 кг. Тогда изгибающий момент в сечении С
равен:
положении сосредоточенной силы Р; л. в. Л!с
л. в. имеют, как уже отмечено, размерность
Л1с = Ру = 50 кг • 3 см = 150 кгсм.
Если мы выразим груз
в тоннах,
то
ординаты у нисколько не изменятся,
получим:
2M£=O,O5mV3 сл^0,15
т. е. прежнюю величину.
и мы
тем
§5. ВЛИЯНИЕ НЕПОДВИЖНОЙ
СИСТЕМЫ СОСРЕДОТОЧЕН-
НЫХ СИЛ
Пусть на сооружение дей-
ствует нагрузка, состоящая из
нескольких параллельных со-
средоточенных сил Рр Р2» • • •»
р , занимающих определенные
io?. положения. Требуется опреде-
лить влияние этой нагрузки на
(на некоторое усилие или деформацию), для которой л. в.
1ия, которая для общности показана
сила Л и если бы
2» • • ••
некоторую величину
известна.
На фиг. 127 изображена линия влияния
в виде кривой. Если бы на сооружение действовала толь зилось бы ордина-
последняя, кроме того, была равна единице, ее вл рпрнием р у Пользуясь
той У1. Вообще же влияние силы Р, выразится произведением PjL.
95
принципом независимости действия сил, можно выразить влияние Z всей
однородным многочленом:
+ ^2^2 + • •
Р^Уг*
(5)
При помощи формулы (5) можно быстро определять влияние любой системы
сосредоточенных грузов, расположенных на сооружении как угодно, если только
они имеют то направление, для которого построена линия влияния. Сложность
самой системы может, конечно, в большей или меньшей степени осложнить
построение л. в., но после того как последняя построена, вся трудность задачи
отпадает, и замена одной нагрузки другой не требует никаких новых сложных
расчетов.
Итак, линия влияния служит не только для изучения влияния подвижной
нагрузки, но является также весьма удобным способом расчета в тех случаях,
когда одно и то же сооружение приходится рассчитывать на разнообразные на-
грузки.
Само собой понятно, что сущность формулы (5) позволяет пользоваться
линиями влияния только в тех случаях, когда расчетная схема сооружения до-
пускает применение принципа независимости действия сил.
6. ВЛИЯНИЕ НЕПОДВИЖНОЙ СПЛОШНОЙ НАГРУЗКИ, РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ПО
ЛЮБОМУ ЗАКОНУ
Обозначим интенсивность нагрузки в произвольной точке через рх (фиг. 128).
Выделим из графика интенсивностей рх бесконечно узкую полоску, площадь кото-
рой равна pxdx^
сосредоточенную нагрузку.
По заданной л. в.
и примем ее за
Фиг. 128.
можно определить влияние этой
бесконечно малой нагрузки: оно вы-
ражается формулой pxdx-y.
Суммируя влияние всех элемен-
тарных нагрузок и переходя к пре-
делу, можно на основании формулы
(5) предыдущего параграфа написать:
(6)
Из формулы (6) можно сделать
вывод о существовании некоторой
взаимности между линией влияния
и графиком рх: если примем послед-
ний за л. в., а л. в.—за график
интенсивности, то в правой части этой формулы ничего не изменится, следова
тельно, и Z останется без изменения.
Обычно уравнение л. в. и уравнение кривой рх настолько просты, что инте-
грирование по формуле (6) не вызывает затруднений. В тех же особых случаях,
когда интегрирование в буквенном виде оказывается затруднительным, операцию
интегрирования всегда можно с достаточным приближением заменить численным
суммированием.
Если график рх задан в виде алгебраического многочлена д-ой степени:
Рх = + а2х^ + азх3 Ч
(7)
§
в
Z = J РхУ^х.
А
п
формула (6) принимает вид:
" в в
Z ~ао j У dx + f ху dx-]- а2 f х2у dx-\-~ . .
в
fx”ydx,
(*)
Н1И
-2 — qow -f- CjAf*
где
Л1!
лс2
^~“0Ш^й>Л^^2+...+Лвжп, (8Э
— площадь загруженного участка т в -
— статический момент этой площади относи™^
— момент инерции той же площади относительно 88РТИкали х = О;
Особенно простой вид формула (6) принимает в том^л °СИ’ И Т‘ Д’
---------------- J W принимает в том случае, когда нагрузка
е. когда рх =р — COnst.
в.:
равномерно распределена по длине, т.
Тогда
Z = ры.
т. е. влияние сплошной равномерно распоеделе
равно произведению площади
влияния на интенсивность
форма л. в. не играет никакой роли
Пусть разыскиваемая величина Z имеет
ординаты у л. в.
Интенсивность р
загруженного участка линии
нагрузки. Замечательно, что в этом случае
: важна лишь ее площадь.
_ - некоторую размерность Z; тогда
Z *—
^ла, а площадь со—размерность . длина.
выражается в единицах , следовательно
имеют размерность
о
сила z,
рсо =. ----
г длина сила
длина = Z.
Найдем для примера изгибающий момент в среднем сечении балки АВ, за-
груженной по всему пролету сплошной равномерной нагрузкой интенсивности
2 т/м
Фиг. 129.
llllllllllllllllllllllinuillllllllllllllllllllllllllllllillllllliuillll
Фиг. 130.
р = 2 т\м (фиг. 129). Балка имеет длину I == 3 м; л. в. изгибающего момента
для сечения С представляет собой треугольник с высотой, равной -у, следова-
тельно
Z 2 — • "g- him.
Может случиться, что площадь со складывается из участков, имеющих раз-
ные знаки (фиг. 130): под величиной со во всех случаях понимается алгебраи-
ческая сумма ее элементов. __
В частном случае, когда положительная площадь равна отрицательной, со — и,
т. е. влияние сплошной равномерной нагрузки обращается в нуль.
§ 7. ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО УЧАСТКА ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ
Если нагрузка расположена на таком участке л. в
собой отрезок прямой, то от l
влияние не изменится.
который представляет
замены нагрузки ее равнодействующей суммарное
7 Зак. 1842 И М. Рабинович.
97
Для доказательства рассмотрим фиг. 131, на которой загруженным является
прямолинейный участок АВ. Продолжим эту прямую до пересечения ее с осью
абсцисс. Расположив начало координат в точке О, можно написать
2 = S Piyi ~ Р1У1 + ръУъ+рзУв = pixi tg a - j- Р2х2 tg а
IB
следовательно
Но так как сумма моментов нескольких сил относительно точки О равна моменту
их равнодействующей, то
мом
влияние
Фиг. 13L
равнодействующей. Этог
вывод, очевидно, относится не
только к нагрузке, состоящей из
сосредоточенных сил, но и к на-
грузке, распределенной по длине
по любому закону.
С другой стороны, он справедлив в общем виде только для прямолинейного
участка л. в.; для участка другого вида тангенс угла а — переменный, и вынесение
его за знак суммы невозможно. Следовательно, от замены нагрузки ее равнодей-
ствующей влияние, вообще говоря, изменяется.
По фиг. 132 влияние равномерно распределенной нагрузки может быть выра-
жено так:
По фиг. 133 влияние алгебраически выражается той же формулой, но величина
ординаты у2 должна считаться отрицательной.
Фиг. 132.
Фиг. 133.
криво-
линейна, можно вычислить влияние так
линией влияния, а последняя
По фиг. 134, где нагрузка распределена по линейному закону, а л. в.
_ ___, как будто бы эпюра нагрузки служила
эпюрой нагрузки:
где со пчощадь л. в., а д0— ордината грузовой эпюры над центром тяжести
площади загруженного участка л. в.
98
Таким образом, все нагрузки, л и н е й н
ном и том же участке линии влияния
тяжести этого участка л. в. одну и tv
же интенсивность 9о, оказывают оди-
наковое влияние, какова бы ни была
их интенсивность в других сечениях.
распределенные на о д-
имеющие под центром
§ 8. ВЛИЯНИЕ УЗЛОВОЙ НАГРУЗКИ
Пусть сосредоточенный груз Р = 1 переме-
щается по балочке АВ, которая передает соору-
жению давления при посредстве опор Д и В
(фиг. 135). При произвольном положении груза
на левую и правую опоры передаются давления
I_________________________х
соответственно равные —;— и
Совместное
влияние этих двух неподвижных, но переменных
по величине сил выразится
формулой:
которая представляет собой уравнение прямой, фиг- 134-
соединяющей верхние концы ординат ул и ys.
Влияние Z выражается ординатами у этой прямой. Для получения линии влияния,
отвечающей действию узловой нагрузки, необходимо спроектировать узлы
на л. в., построенную для
непосредственной пере-
дачи нагрузки, и проекции
смежных у з л о в с о ед и н ит ь
прямыми линиями.
Если под какими - нибудь
двумя смежными узлами располо-
жен прямолинейный участок л. в.,
то проектирование этих узлов,
очевидно, не изменяет характера
Л» в.
Фиг. 136.
Фиг. 135.
Это вполне согласуется с предыдущей
вых давлений равна в этом случае влиянию
теоремой: сумма влияний обоих узло-
их равнодействующей.
99
7*
На фиг. 136 и 137 показаны примеры л. в. для узловой нагрузки. Пунктиром
оточены участки, которые принадлежат л. в. только при непосредственном дей-
ствии нагрузки.
Фиг. 137.
§ 9. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
Обычный способ построения не всегда дает возможность заранее предвидеть
форму и характер линии влияния, расположение нулевых точек и т. д. Между тем
Фиг. 138.
во многих случаях при проекти-
ровании сооружения и выборе
наилучшего варианта полезно
иметь возможность быстро, не
производя вычислений, набро-
сать эскиз л. в. С другой стороны,
для поверки л. в., найденных
статическим способом, также
важно иметь способ построения,
позволяющий быстро получить
представление о правильной форме
этих графиков. Этим требованиям
прекрасно удовлетворяет так на-
зываемый кинематический
метод построения л. в.
Кинематический метод осно-
ван на принципе возможных пере-
мещений, сущность которого была
указана выше (§ III—4).
Найдем на основании этого
ко-
принципа какое-либо усилие
груза, перпендикулярного к оси А ,
возникает интересующая нас реакция*
торое возникает в балке АВ при движении
например, реакцию опоры А (фиг. 138).
Удалим опорный стержень, в котором _____________ ____—v, к—
и заменим его силой, которую для общности обозначим через Y. Как только мы
100
* из геометрически неизме-
в кинематическую цепь с одной
статики геометрически неизменяе-
кинематических цепей.
- J не будет в равновесии, и
при одном совершенно опре-
произведем эту замену, характер сооружения изменится-
няемой и неподвижной системы оно превратится
степенью свободы, т. е. в механизм. Из области
мых систем мы перейдем в область статики —
При произвольном значении силы X этот механизм
стержень АВ будет двигаться вверх или вниз. Только -
деленном значении этой силы будет существовать равновес^'^ н^шится'п™
малейшем отклонении значения силы в ту или иную сторону. Такое равновесие
можно назвать для краткости мгновенным равновесием, хотя оно и будет про!
должаться неопределенное время при абсолютно точном сохранении требуемого
значения A. * J
Для нахождения этой силы рассмотрим бесконечно малое возможное отклоне-
ние балки как абсолютно жесткого стержня. Это отклонение может состоять только
в повороте около точки В. Предположим, что поворот произошел против часовой
стрелки; точки А и С сместились вниз, описав дуги концентрических окруж-
ностей с центром В. При бесконечно малом угле поворота обе точки пройдут лишь
бесконечно малые элементы своих дуг; поэтому можно считать, что их перемеще-
ния 8р и представляют собой бесконечно малые отрезки прямых, направленных
по касательным к обеим дугам и, следовательно, перпендикулярных к прямой АВ.
Предположим, что сила X направлена вверх. При рассматриваемом переме-
щении системы сила Р совершит положительную работу Л’ор, а сила X отрица-
тельную работу — А6Х. ^сли мы хотим, чтобы сила X равнялась опорной реакции,
т. е. чтобы она уравновешивала балку, мы должны приравнять суммарную работу
нулю:
Р$т> — Ао «р. = 0.
Отсюда
о
о
о
Полученная формула, несмотря на свою простоту, является одной из наиболее
замечательных формул строительной механики: настолько глубоки и разнообразны
вытекающие из нее следствия.
Величины 6р и 6х — бесконечно малы и, следовательно, неопределенны. Од-
нако отношение между ними является конечным, совершенно определенным по
величине и по знаку. Очевидно, что если точки С и А расположены по одну сто-
рону от В, то перемещения ор и ох имеют одинаковые знаки, а если по разные
стороны, то — разные знаки. В первом случае их отношение — положительно,
а во втором — отрицательно. Знак отношения не зависит от того, повернулась ли
балка по часовой стрелке или против.
Отношение между длинами отрезков ор и ох не зависит от угла н в р
балки и, как нетрудно видеть, выражается пропорцией:
СВ
АВ’
нас к выводу, что при заданном положении точки С пра-
) не зависит от величины и направления возможного пере-
Все это приводит
вая часть ф рмулы (9'
мещения балки АВ.
При Р=1 формула (9') принимает вид:
(9)
Числитель
речь идет о линии влияния, то точка
положение. Следовательно, числитель ор
балки, возникающее тогда, когда
с с л иiм ы поверием о с ь балки в
пыпяжзет собой перемещение точки приложения силы Р. Если
ор выражает собой занимать на оси балки АВ любое
* > означает перемещение любой точки оси
точка А перемещается на величину оу. Итак,
поверием ось балки
101
ный бесконечно малый угол, то график перемещений ЪР и вы-
разит в некотором масштабе искомую линию влияния X.
Самый масштаб определяется просто: если мы совместим точку С с точкой А
то получим 8р=8х> или ЛГ= —=1. Итак, в точке А ординату графика пере-
мещений следует принять равной единице.
Построение л. в. как графика перемещений ЪР и составляет сущность кинема-
тического метода, который устанавливает аналогию между такими, казалось бы
чуждыми друг другу явлениями, как закон изменения усилий X при перемещении
сосредоточенного груза Р = 1 и закон распределения перемещений оР в том меха-
низме, который образуется при удалении соответствующей связи.
При выводе формулы (9) речь шла об опорной реакции. Но эта формула,
представляющая собой непосредственное следствие принципа возможных перемеще-
ний, приложима в такой же степени и к любому усилию X—к перерезываю-
щим силам, к нормальным силам и к изгибающим моментам.
§ 10. ВЛИЯНИЕ НАГРУЗКИ, ПЕРЕДАЮЩЕЙСЯ ПРИ ПОМОЩИ ДИАДЫ
Пусть груз Р
1 передается сооружению через посредство узла, прикреп-
ленного при помощи диады
ВАС (фиг. 139)
и пусть имеется л. в., отвечающая
случаю непосредственного приложения нагрузки.
Влияние узловой передачи нагрузки легче всего
исследовать при помощи кинематического метода.
Устраним ту связь, в которой возникает инте-
ресующее нас усилие. Если после этого окажется,
что точки В и С принадлежат одному диску
(фиг. 139, а), то и точка А будет принадлежать
этому диску. График вертикальных перемещений
всех точек диска, как известно, выражается одной
прямой, поэтому узловая передача нагрузки не
вызовет никаких изменений л. в.
Если точки В и С окажутся принадлежащи-
Фиг. 139.
ми двум дискам (фиг. 139, б), то узловая передача
вызовет изменения л. в. Обозначим мгновенный
центр взаимного вращения обоих дисков через 12,
а соответствующие им две прямые на л. в. —
через 1 и 2. На пересечении прямых АВ и С-12
найдем мгновенный центр взаимного вращения
звеньев 4п 1 (точку 41). Проекция этой точки
на прямую 1 л. в. представляет собой точку пере-
сечения прямых 4 и /. Имея эту точку,
сейчас же можно провести через точку с пря-
мую 4, которая и отсечет под точкой А искомую
ординату уА.
Вместо мгновенного центра 41 можно по-
строить мгновенный центр 32, как показано на
чертеже, затем спроектировать его на прямую 2
и полученную точку соединить с Тем самым мы
получим прямлю 3 и ординату уд. Оба построения должны дать одну и ту же
ординату уд. И
§ 11. ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ НА КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
| Пример 1. Для балки АВ (фиг. 140) построить л. в. Q~, предполагая передач} на-
грузки непосредственной или узловой.
..„.е Ш е н и е’Отк,1Ием в сечении С одну связь, препятствующею взаимному верти-
кал । му перемещению обеих частей бачки. Две другие связи, из которых одна препят-
3 продольному перемещению, а другая—взаимному повороту, мы должны
сохрш пь. возможное перемещение полученного механизма будет ^состоять в^поворотс
пеРемец*енню обеих частей бачки. Две другие связи, из которых одна препят
сохранить. Возможное перемещение по^ЯвногоГмсханизма
10?
левой части вокруг точки А и правой —
Очевидно, что прямые АС и ВС останутся
ственной передачи нагрузки нас интс-
рссмот перемещения оси самой балки,
а в случае узлобой — перемещения пере-
даточных балочек. Перемещение пока-
зано на верхней фигуре, а сама линия
влияния — на нижней.
Масштаб ординат определяется сле-
дующим образом: &^есть взаимное верти-
кальное перемещение обеих частей балки
в сечении С, следовательно, отрезок
ординаты, заключенный между обеими
прямыми в этом месте, нужно принять
равным единице.
Вертикальный груз, стоящий на
участке АС рассматриваемого механизма,
стремится повернуть этот участок по
в сечении С,
одинн тот же угол
"в - -
Фиг. 140.
।
।
- I I часовой стрелке, а поперечная сила, приложен-
ная к нему в сечении С,—против; следовательно ординаты л. в. на участке АС — отри-
цательны.
Пример 2. Для этой же балки
построить л. в. (прав} перере-
зывающей силы сечения, примы-
кающего справа к опоре Л,
Решение Откинув соот-
ветствующую связь справа от
опоры, получим возможное пере-
мещение механизма и л. в., пока-
занные на фиг. 141.
Пример 3. Построить л. в.
Од для сечения, смежного с опо-
рой, но лежащего слева от нее.
Решение. Возможное пе-
ремещение механизма состоит в
параллельном переносе консоли
(фиг. 142).
Пример 4. Для той же балки
построить л. в. изгибающего мо-
мента в сечеиин С, лежащем между
опорами А и В.
Для освобождения балки от
связи, в которой возникает изги-
бающий момент, поставим в сече-
нии С шарнир. Перемещение ме-
ханизма и л. в. изображены
на фиг. 143.
Если мы поместим на этом
механизме груз Р в каком-нибудь
месте между опорами, точка С
опустится и выпуклость в этом
сечении окажется <
вниз, следовательно,
л. в. в интервале АВ
тельны.
Для получения масштаба ор-
динат л. в. представим себе, что
заданная балка АВ состоит из двух
жестких частей ACD и СЕВ. со-
единенных шарнирно в сечении С
и, кроме того, взаимно связанных
стержнем DE (фиг. 144). Оче-
видно, что такое устройство обес-
печивает жесткость всей фигуры.
Пит. В этом случае
в сеченин С
Фиг. 142.
Фиг. 141.
Фиг. 143.
консоли CD при любом расположении нагрузки
/ц =Х* 1 = Х
и
нзгибающии момент
выразится так:
где X —усилие в стержне DE. момент численно равен усилию в
Следовательно, искомый нзшбаюш v построением л. Щ усилия X.
и мы имеем право заменить построение Л» » с*
обращенной
ординаты
- положи-
стержне DE,
103
Величина By в данном случае представляет собой взаимное перемещение точек D и Е
по вертикальном^ направлению в механизме, образующемся после удаления стержня Df
График вертикальных перемещений для этого механизма состоит из двух прямых, а вели-
чина выражается разностью их ординат под сечением Е. Приняв 1 (фиг. 143), мы
и получим требуемый масштаб.
Правило масштабов для л. в
изгибающих моментов полезно залом’
нить: на расстоянии, равном единице
от точки пересечения обеих пря-
мых отрезок ординаты, заключенный
между последними, должен равняться
единице. И
Фнг. 144.
§ 12. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ ДЛЯ БАЛОК ПРИ ПОМОЩИ
АНАЛОГИИ МОРА
Аналогия между прогибами действительной балки и моментами
тивной известна читателю из курса сопротивления материалов. Эта аналогия
может быть использована при кинематическом построении л. в. Нужно откинуть
ту связь, в которой возникает интересующее нас усилие, дать полученному
механизму возможное для него
график вертикальных переме-
щений. Вот эта последняя
операция и может быть про-
изведена при помощи аналогии
Мора: возможные перемеще-
ния действительного механизма
могут быть представлены в виде
изгибающих моментов фиктив-
ной системы, вызванных неко-
торой фиктивной нагрузкой.
тт « М
Действительная эпюра
механизма равна нулю, так как
его перемещение рассматри-
вается как могущее происхо-
дить от действия бесконечно
малой нагрузки, а звенья счи-
таются абсолютно жесткими.
Поэтому фиктивная нагрузка не
является сплошной распреде-
ленной, а может состоять
только из сосредоточенных
фиктивных сил или пар.
Рассмотрим два примера.
1. Построение л. в. Мс
для балки АВ (фиг. 145). На
фиг. 145, а показана действи-
тельная балка; нафиг. 145,6—
перемещение шарнирного меха-
низма, который получается установкой шарнира в сечении С; угол взаимного
рота вокруг шарнира == _ _
опоры, как действительная система, а в сечении С, где угол наклона действительной
балки внезапно изменяется на величину, равную единице, поперечная сила фиктивной
системы должна измениться на столько же. Итак, л. в. Мс совпадает с эпю-
рой моментов простой балки, нагруженной в сече и ии С сосредо-
точенной силой X = 1 (см. схему в на фиг. 145).
2. Построение л. в. для той же балки. Перемещение соответствующей
бесконечно
рик-
Э1
малое перемещение и затем построить
Фиг. 145.
пово-
1. Фиктивная система имеет на концах Ап В такие же
1 (см. схему в на фиг. 145).
кинематической цепи показано на фиг. 145, г. Этой цепи соответствует фиктивная
система с такими же опорами Д и В, В сечении С действительной цепи переме-
104
щенке не равно нулю, следовательно, ь ШПЛ
Перемещения действительной системы имеют
же разрыв должна иметь в фиктивной
что искомая л
балки, нагруз
с моментом X = 1 (фиг. 145, д)
в фиктивной системе момент не равен нулю
имеют в этом сечении разрыв Вя = Ц S
системе эпюра моментов. Отсюда следует
еЛ‘ Э;(ЮРОЙ моментов простой
• в’ Qc совпадает
к 6 н н о й в с е ч р и м и
сечении сосредоточенно
Ограничимся этим кратким изложением
бол“ “°™ :сь
1 ич еннои парой
РассматРиваемого метода, не
на вопросе
§ 13. НАИБОЛЕЕ НЕВЫГОДНОЕ ЗАГРУЖЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНОЙ ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ
Треугольную форму имеют л. в. изгибающих
л. в. усилий в поясах многих ферм, поэтому
важное значение.
моментов простой балки, а
вопрос об их загружении
также
имеет
На фиг. 146, а показана такая
л. в., а также схема движущегося
поезда. При любом положении этого
поезда его влияние выражается форму-
лой:
Z — Р1У1 "F Р2^2 -J-*
(io)
Для нахождения наибольшего зна-
чения Z составим производную по л*,
где х — расстояние одного из грузов
до какого-нибудь неподвижного начала:
_ Г> аУ1
dx 1 dx
(И)
На фиг. 146, б показан график,
представляющий собой производную
от треугольной л. в. На левом участке
ее ординаты имеют постоянное значение
^ = tga; на правом они равны
tg(^ —₽) = —tgp.
Фиг. 146.
it dZ
Чтобы ВЫЧИСЛИТЬ производную -7-,
tZ л
можно принять этот график за новую л. в.
и подсчитать влияние поезда, загружающего ее.
Если > 0, то функция Z при передвижке поезда вправо будет возрастать.
Если — <0 то она — убывающая. Наиболее невыгодное положение поезда харак-
теризуется тем, что при бесконечно малой передвижке поезда вправо производ-
ная изменяет свой знак на обратный.
Обращаясь к фиг
бесконечно малой передвижке поезда
его влияние должно
участков постоянны.
146, б можно тот же критерий сформулировать иначе: при
загружающего эту воображаемую л. в.,
изменить свой знак на обратный. Но так как ординаты обоих
то это может произойти лишь при переходе одного из гру-
1 Идея такого использования аналогии Мора для построения л. в. б“ла ®"срвые ир^
меиена проф. А. А. Гвоздевым в статье „Обобщенный гРаФоан^^^
сооружений", журнал промышленность за 19^4 г. Пр _ .....,
к балкам, лежащим на
курс строительной механики? 1935.
™ с»™-»»'"
- . н
«» 185
зов с положительного участка на отрицательный. Итак, критическим може
быть только такое положение поезда, состоящего из сосредо-
точенных сил, при котором один из грузов стоит над верши'
ной линии влияния.
Нетрудно заметить, что это свойство принадлежит не только треугольной л. в
но и всем л. в., имеющим ломаное очертание: критическим может быть только
такое положение поезда, при котором один из грузов стоит над одной из вершин
Аналитически критическое положение рассматриваемого поезда выражается
двумя неравенствами:
+ ^4 + ^6)tg« —(^6 + ^)tg₽>0, |
+ P4)tga—(^5+Л!-bЛ) tg₽<о. J
(12)
Возможем еще такой случай, когда одно из неравенств (12) превращается
в равенство. Пусть, например:
tg « (Pl + Р2 + Р& 4
^4 + Р5)
tg Р (Р6 + Р.) = о,
В этом частном случае при всех положениях поезда, когда справа от вершины
находятся только грузы Р6 и влияние Z остается постоянным,
а после перехода груза Рб через вершину оно начинает убывать. Имеется, следо-
вательно, бесконечное множество равноопасных, наиболее невыгодных положений
поезда.
Вернемся к общему случаю двух неравенств (12). Подставим
tg« = ^-> tg^=f;
получим после сокращения на с:
(13)
где через Рлев и У} ^прав обозначена сумма грузов, стоящих слева или справа
от вершины (не считая критического груза Ркр). Таким образом, критический груз
характеризуется сопоставлением средней величины нагрузки на левом и правом
участке: средняя величина должна быть всегда больше на том
Если поезд состоит не только из сосредоточенных сил, но содержит также
нагрузки, непрерывно распределенные на тех или иных участках, то его критиче-
скими положениями могут быть: 1) такие, при которых производная прерывисто
изменяет знак на обратный (один из грузов стоит над вершиной); 2) такие, при
которых производная изменяет знак, проходя через нулевое значение.
Для упрощения можно свести этот случай к предыдущему, заменив распре-
деленную нагрузку несколькими сосредоточенными.
Задача о нахождении критического груза весьма просто решается сразу, без
попыток, при помощи следующего графического построения *: отложим от конца В
все силы Р.. .....р„ в том попялке. в каком они встречаются, если идти от
отложим от конца В
— * 1э Р2, .Р7 в том порядке, в каком они встречаются, если идти от
В к А (фиг. 146, а). Соединим точки А и С и из точки Е проведем прямую ED
параллельно прямой АС. Точка D расположится как раз на критическом грузе, так
как из подобия треугольников BED и ВАС нетрудно убедиться, что условия (13)
удовлетворятся.
Если точка D совпадает с границей каких-нибудь двух сил и Pi
силы являются критическими. С момента,
то обе
когда на вершину вступает сила Р& и
1 Проф л. Д. Проскуряков
стр. 12, 1919.
Строительная механика, ч П, нзд 5*с*
1ОЬ
до момента, когда это положение займет смежная сила Р
равна нулю и влияние движущегося поезда останется постоянным
рассмотрим еще случай непрерывно ‘остоянным.
интенсивность выражается некоторой кривой
играет в этом случае одна из элемен-
тарных сил pxdx. Оба неравенства (13)
сливаются при этом в одно:
AZ
»-i> производная будет
распределенной нагрузки. Пусть ее
Роль критического груза
Клей
R npufi
лев 'прав
(1зэ
т. е. критическим положением
нагрузки будет такое, при ко-
тором
груЗКа
const, т. е. если мы пере
Фиг. 147.
няя погонная на-
певом и правом
на и т а ж е. Указан-
ное выше графическое построение
остается в силе.
Нетрудно усмотреть из выражения
dZ
(11), что производная — не изменится,
если все ординаты у л. в. заменятся
суммой
местим ее ось абсцисс в параллельное
положение. Поэтому критерий, уста-
новленный для треугольной л. в.
остается справедливым для л. в., со-
стоящей из любых двух пересекающихся
прямых. На фиг. 147 критическое поло-
жение нагрузки характеризуется теми
же неравенствами (13).
Решение, удовлетворяющее условиям
ским или графическим путем, будет иметь
если при установке поезда в 1
грузов или никакая часть сплошной нагрузки не сойдет с сооружения. Если же это
произойдет, то анализ придется произвести снова, учитывая лишь те грузы, кото-
рые расположены на сооружении.
При наличии такого поезда, длина которого превышает длину оси абсцисс л. в.,
делать ряд попыток. При этом воз-
можно, что будет найден не
один критический груз, а не-
сколько, и поезд придется не-
сколько раз устанавливать в
различные критические поло-
жения, чтобы выбрать из них
самое невыгодное.
или (13х) и найденное аналитиче-
реальный смысл только в том случае,
найденное критическое положение ни один из его
(13)
изложенное решение приводит к необходимости
Фиг. 148.
§ 14. НАИБОЛЕЕ НЕВЫГОД-
НОЕ ЗАГРУЖЕНИЕ ПОЛИГО-
НАЛЬНОЙ ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ
Пусть л. В. имеет вид
фиг. 148, и поезд весь уме-
щается на ней. Обозначим
---- стоящих на каждом прямолинейном участке, соответ-
ственно через /?!, /?2, и
для краткости суммы сил,
а влияние поезда через Z.
107
Производная от этого влияния по х, где х — расстояние
до неподвижного начала, выражается
формулой:
и
tg «! -J- я9 tg а2 —/?3tg«3 + tg «4.
какого-либо груза
(14)
в которой все тангенсы — положительны. Положительные члены в правой части
относятся к прямым, восходящим в сторону положительных х-ов, т. е. вправо
а отрицательные — к прямым, нисходящим вправо.
Критическим может быть, как уже отмечено было выше, только такое поло-
жение поезда, при котором хотя бы один из грузов стоит над той или иной вер-
шиной. Однако это условие является лишь необходимым, но недостаточным. Доста-
точный признак критического положения состоит в том, что при переходе поезда
через это положение производная (14) изменяет свой знак на обратный.
Критических положений поезда может быть несколько. Может случиться также,
что критическое положение наступит лишь после того, как некоторые грузы сой-
дут с л. в.
Разыскание критических грузов требует некоторого количества попыток. Число
их во всяком случае не может превзойти произведения числа грузов поезда на
число вершин л. в., причем концы А и В также относятся к вершинам. Так как
это произведение может оказаться весьма большим, то избегают устанавливать
каждый груз над каждой вершиной, а стараются заранее прикинуть возможные
критические положения, например, устанавливают наиболее тяжелые грузы над наи-
большими ординатами или предварительно уменьшают число вершин, как показано
пунктиром на фиг. 148, и лишь после этого переходят к поверке выражения (13').
Ниже, в §§ 18—20, будет указан общий графический прием для нахождения
всех критических положений поезда при любом очертании полигональной л. в.
§ 15. ПРИМЕР
Найти наиболее невыгодное положение паровоза, схематически изображенного на
фиг. 149 и загружающего заданную треугольную л. в. Определить его влияние при
таком положении. Цифры, стоящие между грузами, обозначают расстояния в метрах,
а стоящие под грузами —* давления
---------------------
Фиг. 149.
в тоннах.
Предположим, что критическим
грузом является 4.
Вычисляем левые и правые части
неравенств (13):
Условия (13) не удовлетворяются,
поэтому пробуем груз 5:
4.21 = 9,5.
12
Так как при отнесении груза 5 к левым получилось превышение левой погонной на
грузки 8J6 над правой 7, а при отнесении его к правым грузам, наоборот, 6,54 и УД то
является критическим.
Поставив его над вершиной, необходимо убедиться, что ни один груз не^с°шел
Расстояние крайнего левого груза от вершины будет равно 4-1,6 Л *
стояние крайнего правого до вершины 3,0 4- 1,6 4- 4,5 4~ 1»6 = 10,7 м
поезд, если можно так выразиться, весь стойлу на ч. в
к nt ^пределим наибольшее влияние поезда. . ----------- --------- ------ - ,
критическое положение и найдем сначала расстояния крайнего левого груза до А и кра»
него правого —до
6.4 м < 15 я, а рас-
12 .и, следовательно,
Для этого поставим поезд в найденное нами
15 — 6,4 — 826 м 12 — Ю,7 — 1,3 и.
108
Обозначив через л- расстояния 1евых
получим искомое влияние.
грузов до А и через xf— расстояния правых до
= tg а [Р9 • 8,6 + Р6 (8,6 + 1,6) + Р; (8,6 + 2 • 1,6) +
+ Ре (8,6 + 3 • 1,6) + РБ (8,6 |- 4 • 1,6)]
+ tg ₽ (Л -1,3 +Р2(1,3 + 1,6)4-Р3(1,34-1,6 4-4,5)+
+ Л (1.3 +1,6 + 4,5 + 1,6)] = 1 445,5 tg а + 432,6 tg ₽.
С> & 4- 15
Но tg р = 1g а — уз а = tg а> следовательно, Z = 1 986,2 tg а.
Для полноты исследования необходимо также найти наиболее невыгодное положение
того же поезда, повернутого на 180°.
16. СОСТАВЛЕНИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ
ТАБЛИЦЫ МОМЕНТОВ ПОЕЗДА
В Нахождение критического груза для данного поезда и вычисление наибольшего
влияния последнего могут быть значительно облегчены при помощи предварительно
вычисленной специальной таблицы, которая носит название „таблицы моментов1'
поезда. Труд, затрачиваемый на ее составление, окупается тем в большей степени,
чем больше различных л. в. приходится загружать данным поездом.
Для того чтобы понять, какие величины желательно вычислить заранее, рас-
смотрим сначала такой случай, когда весь поезд расположен на прямолинейном
участке л. в. (фиг. 150). Влияние поезда выражается формулой:
Но так как
то
i ~ 1
i —1
г — П
= [хп 2 Pi + S Pi ‘g я
i = 1 € =1
Фиг. 150.
ИЛИ
i=n
Z = (x„ 2 +
i=1
(15)
Здесь через Мп обозначена для краткости
относительно точки приложения груза Рп.
Заметим, что из формул:
i t=n—1
= 2 —Xn-1)
2=1
сумма моментов грузов Pt,
И Мп = 2 Рг (Ai Хп)
* 2=3
следует:
i=n—1
Мп --1 = 2^ ~ 1
(15')
или
мп
Мп~
любого числа грузов данного ™езда могут быть
ни идти слева направо или наоборот. Напри
149, идя от правого его конца и состав
109
Величины и 2Pi Для люио.и —или наобОрот. Напри
вычислены раз навсегда, причем можно^ ----
мер, для поезда, показанного на фиг
моменты всех правых сил последовательно относительно Р2, Р8 и т. дм можно
писать:
/И J=== 0 \
4=1
2 Р = 21 т; Л42 — 21 • 1,6 — 33,6 тм\
i=l
2 Р = 21 + 21 = 42 т; ЛГ3 = 33,6 42 • 4,5 = 222,6 тм;
i = 1
i 3
2 Р = 42 + 21 == 63 т; М4 = 222,6 -J-63 • 1,6 = 323,4 тм;
2 — 1
2 Р= 634-21 = 84т; М5 = 323,4 -f-84 • 3,0 = 575,4 тм.
Эти вычисления удобнее расположить в форме следующей таблицы:
Таблица моментов поезда
№
груза
Расстояние до
смежного груза
*
Л
Величина
груза Pi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1,6
4,5
1,6
3,0
1,6
1,6
1,6
1,6
1,6
6,1
7,7
10,7
12,3
13,9
15,5
17,1
21
21
21
21
24,5
24.5
24,5
24,5
24,5
21
42
63
84
10«,5
133,0
157,5
182,0
206,5
0
33,6
222,6
323,4
575,4
749,0
961,8
1213,8
1 505,0
^Pi
М
Пользуясь этой таблицей, вычислим влияние поезда
над вершиной л. в. фиг. 149. Для большей ясности эта
при установке груза Р5
л. в. показана вторично
на фиг. 151.
Расстояние груза Р9 до левого конца л. в. вычисляется при помощи таблицы:
расстояние между грузами Р9 и Рб равно 17,1 —10,7 = 6,4 м. Отсюда следует,
что х9=15— 6,4 = 8,6 jw; х^ = 12—10,7 = 1,3 л/.
Для вычисления влияния поезда выразим любую ординату у в правой части
л. в. как разность ординат, соответствующих прямым DC и DBt
Но так как
Фиг. 151.
tg р = 1,25 tg а,
то
tga-{-tgp = 2,25tga
и
у = xtga — 2,25 (х —
ормулой:
Влияние поезда выражается
4
X 5 Pi (Xi — а).
относительно0 ГоечкиаЯАСУ аМв;пСТ°ЯЩаЯ ’ ПрЭВ°Й ЧаС™’ равна моментУ всег0 поеЗЯЗ
’ в юрая — моменту первых четырех грузов относительно
ПО
аршины
л. .. На »ТОм „СП„ЬЗ)Я ,.а6;111Ч1 импо
«"'Z ~ 1 505.0 + 206,5 • 8.6 _ 2,25.575,4 _ 1 986,2
Этот результат совпадает с тем.
Для л. в., имеющей вид
фиг. 152, соответствующая
формула пишется так:
• МА—
tg l) Мс.
§ 17. ВЛИЯНИЕ ДВУХ СИМ-
МЕТРИЧНЫХ ИЛИ ОБРАТНО-
СИММЕТРИЧНЫХ СИЛ Р = 1
Для облегчения расчета
сложных симметричных систем
можно в некоторых случаях
который был получен в § 15,
рекомендовать рассматривать график, представляющий собой следующее обобще-
ние обычной л. в.
Пусть на симметричном сооружении находятся два подвижных груза Р=1,
которые всегда расположены симметрично (фиг. 153, а). При любом положении
этой нагрузки ее влияние выражается формулой:
Z = J1 +У2>
где № — соответствующие ординаты л. в. ab. Следовательно, уравнение гра-
фика Z получается путем попарного сложения симметрично расположенных л. в.
Для того, чтобы графически решить ту же задачу, следует зеркально
отразить линию влияния аЬ относительно оси симметрии и отложить ординаты
/V
Фиг. 153.
Фиг. 154.
.потивоположную ординатам л. в. ab (фиг. 153, б).
у> Суммарная линия
₽ 153 в? отлается от заштрихованной фиг. 153, б только тем, что
153, в) оглич^™н°тальнойРоси абсцисс. Любая ордината графика cd
оризонтал когда один из двух грузов
отраженного графика в сторону, п
Тогда на 1
влияния (фиг.
ее ординаты отложены от г
выражает влияние нагрузки в таком ее положении,
(любой) стоит над этой ординатой.
IH
В том случае, когда движущиеся Грузы образуют об
ную группу сил, суммарная л. в. выражается уравнением
ствующее графическое построение показано на фиг. 154.
рати о-с и м м е т р и ч-
Z = ! — v2. Соответ-
Кинематическое построение таких суммарных линий влияния рассмотрим
,Г-Г-Ч П ' МО-
.155). Поставим шарниры в сечении Сив сим-
на простом примере. Пусть требуется построить линию влияния изгибающего
мента в сечении^С балки АВ (фиг —
Фиг. 155.
метричном с ним сечении с
приложим в них два одинако-
вых момента X и определим
величину последних из уравне-
ния работ. За возможное пере-
мещение примем симметричное.
Обозначим узлы взаимного по-
ворота стержней в каждом из
шарниров через А
а верти-
кальные перемещения в точках
приложения сил JP — через Др.
Приравняв нулю суммарную
возможную работу, получим:
2РД — 2ХДш = 0,
или
Отсюда следует, что моделью искомой суммарной л. в. служит график вертикаль-
ных перемещений, заштрихованный на фиг. 155.
Для получения масштаба заменим угол его тангенсом, что допустимо вслед-
ствие бесконечно малой величины перемещения. Ордината в точке С, согласно
чертежу, будет иметь величину
Ус Ус
Ст tg
= а = АС.
Легко показать, что в случае обратно-симметричной нагрузки моделью искомой
л. в. служит график вертикальных обратно-симметричных перемещений
той же системы с двумя промежуточными шарнирами.
Рассуждение имеет общий характер: в любой системе нужно удалить соот-
ветствующие две связи и дать ей бесконечно малое симметричное или обратно-
симметричное перемещение. •
Для получения графика перемещений можно в случае надобности (в сложных
случаях) воспользоваться планами перемещений.
§ 18. ПОСТРОЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ ПУТЕМ СУММИРОВАНИЯ
ПРОСТЫХ л. в.
Н Условимся называть обобщенной л. в. график, выражающий влияние дви-
жущейся системы связанных между собой грузов (поезда) в функции от положе-
ния одного из этих грузов. Имея обобщенную л. в., мы будем знать суммарное
влияние поезда при любом его положении, а наибольшая ордината этого графика
выразит собой наибольшее влияние поезда.
Примером обобщенной л. в. может служить диаграмма прогибов или напря-
жений мостовой фермы, автоматически записываемая на ленте прогибомера или
тензометра с часовым механизмом при проходе поезда по мосту. Очевидно, что
каждая ордината такой диаграммы, полученной экспериментальным путем, соот-
ветствует определенному положению поезда. Обобщенные л. в. могут строиться
и чисто теоретическим путем. Для этого нужно только знать поезд и соответ-
ствующе ю Обыкновенную л. в.
сил рУСт р тре®ует^ по данной треугольной л. в. вида а^с
1» е» ** (фиг. 156) построить обобщенную л. в. Предположим
и данной системе
что
112
его
ординаты
вать груз Р3.
л. в. путем умножения всех ее ординат на*?'
тельно треугольника
передвинулся по своей л. в. вправо на Л
на сооружение, и его влияние еще равно нулю
Т Г .г—. W-K »* Ж» w-w V л. Т "Ь — _ _ "
на длину Х2, начнет действовать груз Р. -
поезд, надвигается слева направо. За неЧЯпн™
переднего груза Рх и на каждой ординате *° Пр,,мем абс*^У
поезда, отв ечающее тому мом е нт уУДе”™"ад«вать суммарное влияние
ординатой. 3' когда Рх стоит над этой
Влияние поезда представляет собой геоМ₽т™
грузов. Груз Р, вызывает влияние, выражаемой тУ"1'10 Сумму вдияний всех
прМ™н„г собм М '
После того как груз Р, пепе припав « р л’ в‘ на
Его влияние выражается треугольной Вели.чину Xi’ начнет действо-
ножения пгау аа _______ Р ком который получен из
на A Tnuiza 2 И КОТоРый сдвинут вправо относи-
на Л,. То жа аа отвечает тому моменту, когда груз Р
ь а груз только начинает действовать
_К0ГДа ,rpy3..f-1 предай"6™» по сооружению на длину А. 4- А„ я о _
в той же координатной системе тре-
угольником /г3^3с3, сдвинутым вправо
относительно треугольника а2Ь2с2 на
Х2, и т. д.
Таким образом окажется, что
графики, соответствующие различным
грузам поезда, расположатся на
чертеже в порядке, обратном распо-
ложению самого поезда.
Если мы сложим ординаты всех
графиков, расположенные на одной
и той же вертикали, то получим
окончательную обобщенную л. в.
a^efghiklb^ Так как сумма не-
скольких прямолинейных графиков
также имеет вид прямой линии, то
3, влияние которого выразится
на чертеже
достаточно разыскать суммарные Фиг. 156.
ординаты лишь для тех абсцисс, ко-
торым соответствуют точки перелома основных графиков. Таковыми являются абс-
циссы точек а2, л3, ал, Ь2 и т. д.
Полученный суммарный график дает полную картину изменения влияния поезда,
начиная с момента, когда передний груз Рх вступает на сооружение, и кончая мо-
ментом, когда задний груз сходит с сооружения Ч
Наибольшее влияние выражается наибольшей ординатой. На фиг. 156 самым
невыгодным является положение поезда, соответствующее точке Л; при этом по-
ложении груз Рх отстоит от левого конца ал на расстоянии, равном абсциссе xlv
этой точки, а груз Р2 стоит над той точкой сооружения, которая соответствует
вершине л. в. Иначе говоря, груз Р2 является критическим.
Указанный способ построения может быть применен для л. в. не только
треугольного, но и любого очертания2. Чем больше вершин имеет данная л. в.
и чем больше грузов содержит поезд, тем больше вершин будет иметь и соответ-
ствующая обобщенная л. в.
Для сокращения работы можно поступить так: не вычерчивать всей обобщен-
ной л. в., а ограничиться построением того ее участка, в кото-
ром ожидается наибольшая ордината.
Пои расчете двухпутных или многопутных железнодорожных мостов прихо-
дится учитывать влияние двух или нескольких поездов, проходящих одновременно
1 ДрУ™е °^ие СВОЙСХSepVbf X™ ро
113
ческих железнодорожных --------- —..
инженерных исследований НКПС, стр. 37,
2 Й. М, Рабинович,
испытании мостов, статья в ___г_
редакционно-издательского отдела НКПС, 19хо.
8 Зак. 1842. Ц М. Рабинович.
ио продетому строению; они могут двигаться в одном и юм же или в нротво-
ноложных направлениях. Для этих случаев также могут быть построены обобщен-
ные л. в. В
§ 19. ПОСТРОЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ КАК ВЕРЕВОЧНЫХ
МНОГОУГОЛЬНИКОВ 1
Всякий многоугольник и в том числе всякую треугольную или многоугольную
л. в. вместе с осью абсцисс можно рассматривать как веревочный многоугольник
для некоторой уравновешенной системы параллельных
сил. Если из произвольного
полюса О провести лучи,
параллельные сторонам л. в.
то они отсекут на произ-
вольной прямой, параллель-
ной силам, величину этих сил
и составят вместе с этой
прямой соответствующий си-
ловой многоугольник.
Например, треугольная
л. в. АВС (фиг. 157) пред-
ставляет собой веревочный
многоугольник для сил а,
р, 7, из которых первая
направлена в одну сторону,
а две другие в обратную. Величины этих сил получаются из силового многоуголь-
ника, показанного справа.
Веревочный многоугольник в свою очередь может рассматриваться как эпюра
изгибающих моментов стержня. Например, л. в. АВС является эпюрой изгибающих
моментов для длинного прямого стержня, простирающегося влево от А и вправо
от С, не имеющего опор и нагруженного уравновешенной системой сил а, р, 7.
Геометрическая сумма эпюр, соответствующих нескольким уравновешенным
системам сил, есть в то же время эпюра, соответствующая совместному действию
всех этих сил. На этом свойстве эпюр и может быть основано построение обоб-
щенных линий влияния.
Вернемся к примеру, разобранному в предыдущем параграфе: по данной тре-
угольной л. в. и данному поезду, состоящему из четырех грузов, требуется по-
строить обобщенную л. в. Назовем те воображаемые силы, для которых данная
треугольная л. в. служит веревочным многоугольником, через а, р и 7, причем
сила а направлена вниз, а остальные две — вверх.
Вместо того чтобы чертить треугольники axbvcu ajb^c^ и т. д.,
£иг. 156, начертим соответствующие им фиктивные силы Рха
Фиг. 157.
РГ
как это сделано
на
^2?» Р^7 и т. д. В итоге получится суммарная фиктивная система сил, показанная
LII
на фиг. 158, б. Легко убедиться, что она состоит ив трех поездов, являющихся
Первый поезд образован силами ар
вниз
на
от точки А на расстоянии, равном а
4
расположен под точкой А.
Третий поезд —
первый груз его отстоит от точки А
ложен под точкой с.
повторением данного поезда и отличающихся от него лишь масштабом сил.
Первый поезд образован силами ctPt, аР2, аР3 и т. д., которые направлены
. и расположены в порядке, обратном действительному поезду, показанному
л 8» а* Начало первого поезда расположено под точкой В, т. е. отстой1
I
Второй поезд состоит из реактивных
•I
и его первый грУ3
также реактивный — образован грузами 7^1» 7^*2 и т. Д«> 11
-* на расстоянии, равном аА-b, т. е. располо-
сил рр2 и т. д
Ь, т. е. распо.10
Е?о ж°е.Г'вТейСгар®С11е Mechanik, 1877. .
Zu Hannover* S. 586 der 1г?£ег’ статья в „Zeitsclir. des Arch.-u. Ing.-Vereine
дугцем примечании. ’ ’ см* Также И. М. Рабиновича, статью, \ казанную в прсДы
114
Очевидно, чю вся система фиктивна ™
является уравновешенной. сил- состоящая из трех ио оп™
На фиг. 158, в построен сипп^» - уездов,
фИг. 158, г — соответствующий е“ — > а на
многоугольника можно расположить где угодно но Полюс ° синового
мыкающая обобщенной л. в. была горизонтальной -° МЫ хотим’ чтобы за-
Г0Р“^нПиГХЩже^ТХа ЛХ/ХУь k ”а
»_ „= —- ~0=;
кого очертания. Число d
ной л. в.
L»t
Удобство этого способа состоит в том,
водить суммирование многочисленных ординат
что отпадает необходимость произ-
основных л. в. и кроме того, мас-
Фиг. 158.
штаб обобщенной л. в. может выбираться независимо от масштаба основных л. в.
С другой стороны, это построение требует проведения большого количества
параллелей и поэтому нуждается в особой тщательности исполнения1.
В следующем параграфе указано, как избавиться от этого неудобства.
§ 20. ГРАФИЧЕСКОЕ НАХОЖДЕНИЕ ВСЕХ КРИТИЧЕСКИХ ПОЛОЖЕНИЙ
ПОДВИЖНОЙ СИСТЕМЫ ГРУЗОВ ДЛЯ ЛЮБОЙ ПОЛИГОНАЛЬНОЙ линии
влияния
Будем называть для краткости подвижную нагрузку „поездом Если мы будем
рассматривать обобщенную л. в., как эпюру изгибающих моментов, то график,
представляющий ее производную, мы сможем рассматривать, как эпюру попереч-
ных сил. Имея указанные выше фиктивные поезда, мы можем построить эпюру
1 В указанной выше статье автора „Некоторые способы исследования диаграмм" дано
также графическое решение обратной задачи, которая встречается при экспериментальном
исследовании сооружений: имея готовую обобщенную л. в., записанную самопишущим при-
бором во время прохода поезда по сооружению, а также все данные о составе этого
поезда, найти действительную основную л. в. Постановка задачи продиктована тем, «о
действительная л. в. благодаря ряду не учитываемых в расчете факторов более или менее
уклоняется от теоретической.
S* 1,5
поперечных сил, не строя обобщенной линии влияния. В этом
и состоит предложенный автором 1 графический способ нахождения всех критиче1
ских положений подвижной нагрузки (включая и такие, при которых часть грузов
сходит с сооружения). Он основан на том, что точкам максимума и минимума
эпюры моментов отвечает перемена знака эпюры поперечных сил.
На фиг. 159 показан пример определения критических положений поезда для
я
линии влияния, состоящей из трех наклонных прямых: на фиг. 159, а показана
схема поезда; на фиг. 159, б—
угольник, из которого определяются фиктивные силы а
линия влияния, на фиг. 159, в — силовой много-
if, е (прямые СА, AD,
Фиг. 159.
DB, ВС). Мы можем принять любую из этих сил равной единице, например а = 1.
Тогда
_ AD
С A >
DB ВС
СА’ 6 ~ СА '
На фиг. 159, г показана фиктивная нагрузка, состоящая из четырех поездов, ана-
логичных данному и повернутых в обратную сторону. Первый поезд имеет коэфи-
циент а и установлен передним грузом под левым концом л. в.; второй имеет
множитель р и уста-
новлен передним гру-
зом под второй вер-
шиной и т. д. Всего
имеется 20 грузов.
15
15
15
10
38,85
10
10
38,85
30
25,90
55
16,15
26,15
—12,70
— 51,55
— 21,55
— 47,75
И
12
13
14
15
16
17
18
19
20
30
— 25,90
30
20
— 6,15
20
— 6,15
— 4,10
— 4,10
— 17,45
— 43,35
—19,50
0,50
14,35
4,10
0
Г
'(= 2,0; е =
Составим таблицу гру-
зов Р,- и поперечных
Г
0,41.
4
г
г
= Р3 = 15m;
= Pn=s 1Ош;
7 /513МТ°?7ТиЛИЦЫ ВИДн0. - .. .
-------1 ~ М отве'«‘от четыре критических
вертикалями u являются вертикали
положения действительного поезда»
что „критическими
И. М. Рабинович w ,г
линии влияния любого ломаипггРафическое нахождение критического положения поезда для
вып. IV, Стройиздат, 1949. ° °че₽Таиия, Сборник „Исследования по теории сооружений*.
116
Вертикали 7 отвечает такое положение пои ко™™
тика лью. или, иначе говоря, груз р стоит няпР груз стоит над этой В«Р-
понятно, что при последовательных 2Критических ВерШИНОЙ ₽’ и т- *• Само собой
мумы влияния чередуются. F положениях максимумы и миии-
Что касается величины влияния плропп
веском положении, то ее моГн™ ислитГ поХХле^ "ай“ Кри*
где yt — ордината линии влияния под грузом Р-.
Изложенное построение нетрудно распространить
распределенную нагрузку. Р
на любую непрерывно
§ 21. НАИБОЛЕЕ НЕВЫГОДНОЕ ЗАГРУЖЕНИЕ ЛЮБОЙ ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ
СПЛОШНОЙ РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКОЙ
Равномерно распределенная нагрузка весьма часто встречается, поэтому рас-
смотрим отдельно вопрос о ее наиболее невыгодном расположении. Будем считать
что эта нагрузка не имеет разрывов,
т. е. представляет собой сплошную
полосу. Возможны три случая.
а) Линия влияния полностью загру-
жена. Пока это условие соблюдается,
передвижка нагрузки вправо или влево
не влечет за собой никакого изменения
влияния.
Очевидно, что когда влияние до-
стигает максимума или минимума, то
одновременно достигает максимума или минимума площадь загруженного участка л. в.,
при этом передний край нагрузки, очевидно, находится на границе между положи-
тельными и отрицательными участками (фиг. 160). Когда нагрузка покрывает пол-
ностью участок 01, влияние достигает максимума; когда она загружает полностью
участок
и сверх
ШШИШ11111Ш11111Ш
Фиг. 160.
0'2— минимума и т. д. Достаточно рассмотреть такие положения нагрузки
того — крайнее правое положение, при котором загружена будет вся л. в.
Из этих величин остается выбрать абсо-
лютно наибольшее и наименьшее.
в) Нагрузка покрывает какую-то
среднюю часть л. в., а крайние участки
остаются незагруженными (фиг. 161).
Спроектируем нагрузку на л. в. и про-
ведем хорду АВ, Далее представим себе,
что нагрузка передвинулась вправо на ве-
личину dx. Тогда площадь загруженного
участка, очевидно, уменьшится на у Adx
и увеличится на ув dx, следовательно,
диференциал влияния Z будет:
dz = {уБ —ул) dx.
Отсюда следует, что при ув>Уд влияние Z является возрастающей функцией,
у она будет иметь экстремальное
значение. Иначе говоря, интересующие нас свойства влияния Z характеризуются
тем, в какую сторону наклонена хорда АВ. Например, при уА > О и ув > 0 хорда,
восходящая от Л и В, свидетельствует, что движение нагрузки вправо влечет
за собой увеличение влияния. Во всех случаях критическое поло
ж е и и е равномерно распределенной нагрузки характеризуе т я
тем, что хорда АВ параллельна оси абсцисс л. в. При этом макси-
движении вправо от указанного положения хорда лв
если наоборот.
крайнее правое
у!
Фиг. 161.
убывающей; наконец, при ув
мум получится, если при
из восходящей переходит в нисходящую, и минимум
117
Графическое решение задачи о нахождении критического положения равно-
мерно ~ *
распределенной нагрузки очень просто. Оно показано на фиг. 162. Доста
II
Фиг. 162.
точно передвинуть л. в. вправо на величину а; тогда точки Кг, К% пересечения
обеих л. в. отметят соответствующие искомые положения нагрузки.
Особенно просто решается задача для треугольной л. в. (фиг. 163): на оси
абсцисс от одного из ее концов, например, от конца А, откладывается отрезок
AD = с, затем проводится прямая DE |] АВ. Точка Е дает границу расположения
ADEF, очевидно, представляет собой параллелограмм,
что влияние
Нетрудно убедиться,
нагрузки, так как фигура
Фиг. 163.
нагрузки при таком ее расположении
выражается формулой
z=g/c. . (16)
Указанная в п. „в,с теорема дана, пови-
димому, впервые автором.
§ 22. НАИБОЛЕЕ НЕВЫГОДНОЕ РАС-
ПОЛОЖЕНИЕ СИСТЕМЫ РАВНОМЕРНО
РАСПРЕДЕЛЕННЫХ НАГРУЗОК ОДИ-
НАКОВОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ
Представим себе поезд, состоящий
из нескольких сплошных равномерно
распределенных нагрузок одинаковой интенсивности q с заданными неизменными
расстояниями между ними. Мы дадим здесь простой признак критического положе-
ния такого поезда *.
Его влияние при любом его расположении выражается формулой:
зок (фиг П1б4)аДЬ Участка линии влияния, расположенного под каждой из нагру-
прир^шенцМЬ1 ПОезд впРаво на Длину dx, то первая площадь получит
щ е y^dx y^dx, вторая — приращение y±dx—y3dx и т. д., откуда
dZ = 7(ya+y4+y6—Ух
(17)
Уз —Уб) dx.
вич, О наиболее невыгодном расположении поезда из нескольких
академий им? К;1быш7п7к?ДаГРЛ??К ад1НакоВОЙ интенсивности. Тр> ды Военно-инженернон
113
1 И. М. Р а б н н о ы t
равномерно распрсделенш
до тех пор пока dZ
убывает, при dZ
Итак, наиболее невыгодное положение
ординат линии влияния под правыми
равняться сумме ординат под -
Это правило остается справедливым и в том ГЛ17ияв
(или нагрузок) выходит за пределы .......—- СЛучае’
„меем право считать, что линия влияния неограниченно
вправо от ее действительных границ, раниченно
Если линия влияния имеет точки
знак диференциала dZ по формуле
какого-нибудь края одной из Ha-
сумма
_ а
О. Функция z являете. „
о она достигает экстремуJa возРастающей; прн dZ<О он
характеризуется тем, что с
их л евКым„ЦаМИ "^РУзок ДОлжн
™ левыми концами.
—Х"Г£»”гла ч,сть
— ________ я‘ ^ействительно, мы всегда
но сливаетга то ’ простирается влево н
но сливается там с осью абсцисс.
^чщЬ1Ва (ФИг* 165), то может случиться, что
(39) изменится на обратный при переходе
грузок через точку разрыва, т. е.
при замене ординаты у. ордина-
той у'.. В этом случае мы, оче-
видно, получим дополнительное
критическое положение.
Нахождение таких положений
поезда, которые удовлетворяют
указанному нами критерию, может
быть сделано путем попыток. Гра-
фическое построение дано в упо-
мянутой выше статье автора.
§ 23. ПРИМЕНЕНИЕ ЭКВИВА-
ЛЕНТНЫХ НАГРУЗОК
При расчете пролетных строе-
ний мостов и в некоторых дру-
гих случаях приходится много раз
прибегать к загружению различ-
ных линий влияния одним и тем
же поездом. В таких случаях для
облегчения труда составляют для
данного поезд таблицы так назы-
ваемых эквивалентных на-
Фиг. 164.
/
йлияния
грузок.
Под эквивалентной нагрузкой Фиг. 165.
понимают такую нагрузку, влияние
которой при загружении данной линии влияния равно влиянию данного поезда.
Обычно под ней понимают сплошную равномерно распределенную нагрузку, загру-
жающую всю линию влияния и эквивалентную поезду в его самом невыгодном поло-
жении. Найдя это положение и обозначив интенсивность эквивалентной нагрузки
через q, а площадь влияния через со, можно написать:
до, или q =
(18)
Для данного неизменного поезда величина q зависит от очертания линии влия-
ния и от ее длины по оси абсцисс; при изменении этого размера, т. е. пролета
моста, числитель и знаменатель в выражении (18) изменяется, вообще говоря,
не в одинаковое число раз. Имея готовые таблицы для q при разнообразных дли-
нах пролета и различных очертаниях л. в., можно быстро подсчитывать наиболь-
шее влияние поезда по формуле Z = q®. Изменение масштаба ординат л. в., как
нетрудно убедиться, не отражается на величине q.
С таким же успехом можно было бы, разумеется, под эквивалентной нагруз-
кой понимать нагрузку какою-нибудь другого типа, например, сосредоточенную
силу Q, стоящую в середине пролета. Ее величину найдем из условия:
S ptyi ~ или
(19)
где у0 — ордината л. в. в точке приложения силы Q.
§ 24. КРИВЫЕ, ОСНОВАННЫЕ НА ЛИНИЯХ ВЛИЯНИЯ;
ИССЛЕДОВАНИЕ ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ И ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ
ПРОСТОЙ БАЛКИ, ВЫЗВАННЫХ ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКОЙ
Решение задачи о нахождении наибольших изгибающих моментов и попереч-
ных сил в простой балке может служить хорошим примером применения раз-
личных вариаций и обобщений идеи линии
влияния.
а) Пусть требуется найти наибольший
изгибающий момент, возникающий в балке
под действием подвижного груза Р. Если
бы мы захотели решить эту задачу при
Фиг. 166.
в том сечении, к которому приложен
названной кривой
Момент под
помощи обыкновенной л. в., нам пришлось
бы построить семейство л. в. изгибаю-
щих моментов для различных сечений.
Поступим иначе: построим кривую, выра-
жающую закон изменения изгибающих мо-
ментов в сечении, постоянно со-
впадающем с грузом.
Эта своеобразная кривая имеет срод-
ство одновременно с эпюрой и с обычной
л. в., не являясь ни той, ни другой.
Мы будем ее условно рассматривать, как
одно из обобщений л. в.
При любом положении груза Р наи-
больший момент получается, как известно,
этот груз, поэтому наибольшая ордината
и даст абсолютно наибольший момент балки,
грузом (фиг. 166) выражается формулой
М = —(* х). (20)
4
Соответствующий график
представляет собой квадратную
параболу с наибольшей орди-
натой, равной ^при х = ~ j.
б) Определить наибольший
момент в сечении С, которое
движется вместе с грузом Р,
отставая от него постоянно на
заданную величину а, где а < I
(фиг. 167). Этот момент отли-
чен от нуля, очевидно, только
при
Кривая, выражающая закон
в Функции от положения силы Р,
Шенной линии влияния. В данном
Фиг. 167.
изменения момента в этом подвижном сечении
представляет собой новую разновидность обоб-
примере она выражается квадратной параболой.*
А1С =
Р(/ — х) (х— д)
-
(21)
120
Критическое для сечения С положение силы Р найдется
__ Р (I + а — 2х)
Ах-----------j----i==0,
откуда
из условия:
Итак, груз Р и сечение С должны расположить^
относительно середины пролета
Подставив в формулу (21) найденное значение х, получим
симметрично
(^е)тах —
Р(1~ аУ-
41
(22)
в) Определить наибольший момент под грузом Рк заданного поезда. Эта задача
как мы сейчас увидим, приводится к предыдущей. д ча’
Обозначим расстояние рассматриваемого груза Рк до левой опоры через х
(фиг. 168); равнодействующую всех грузов поезда через R, расстояние последней
до силы Рк через а, причем
величину а будем считать
положительной, когда сила
R расположена правее Рк.
Опорная реакция А выра-
жается формулой
Изгибающий момент под гру-
зом Рк.
М = Ах—Мк =
=Рх^ х—а) — Мк, (23)
Фиг. 168.
где Мк— суммарный момент всех грузов поезда, расположенных левее Рк, отно-
сительно точки, лежащей на линии Рк. При движении поезда, когда ни один груз
не сходит с балки и ни один новый груз не вступает на балку, величины R и Мк
остаются постоянными.
Формула (23) показывает, что задача сводится к исследованию влияния дви-
жущегося груза R на изгибающий момент в сечении, лежащим за грузом, слева
от него, на расстоянии а. Постоянная — Мк не влияет на критическое положение
груза.
Мы можем воспользоваться предыдущим решением. Критическим положением
поезда будет такое, при котором силы Рк и R будут находиться на одинаковом
расстоянии от середины пролета. Наибольший момент под грузом Рк выразится
формулой:
- М* <24>
любым грузом:
По формуле (24) можно вычислить наибольший момент под
нужно лишь каждый раз подставить в нее соответствующие значения а и Мк
и убедиться в том, что требуемая установка поезда осуществима.
Путем сравнения величин 714тах, найденных для сечений под разными грузами,
может быть определен и абсолютно наибольший из всех изгибающих моментов.
Что касается схода отдельных грузов с балки или всгупления новых грузов,
то они влекут за собой только изменение величин R и а.
г) Построить эпюру максимальных изгибающих моментов или поперечных
сил, вызываемых подвижной нагрузкой. Эта эпюра представляет собой график,
абсциссы которого относятся к различным сечениям балки, а ординаты выражают
максимальные изгибающие моменты или поперечные силы в тех же сечениях,
121
следовательно, каждой ординате отвечает, вообще говоря, особая установка поезда.
Эти ординаты могут быть найдены одним из указанных выше способов.
Пусть, например, нагрузка интенсивности q равномерно распределена па длине с,
где с
стоянии х. Линия влияния изгибающего момента для этого сечения имеет
угольника с вершиной над
и с высотой, равной?
I (фиг. 169. а). Возьмем сечение, отстоящее от левой опоры
*
ШДЛ
Из формулы (16) мы сразу полу-
чаем:
qc (21—с)
Q = —
^мхпп О/
mW
Фиг. 169.
на рас-
вид тре-
сечением
(25)
Парабола, выражаемая этим уравне-
нием, показана на фиг. 169, б.
Для поперечной силы Q ли-
ния влияния является двузначной
(фиг. 169, в), поэтому приходится
строить две эпюры: Qraax
Эпюра Qmin строится следующим
образом:
при х < с нужно загрузить весь
левый участок л. в. (часть нагрузки
окажется за пределом л. в.); помно-
жив загруженную площадь на q,
получим
Эта часть эпюры представляет собой
квадратную параболу; при х > с
нужно загрузить левый участок,
придвинув нагрузку одним краем
вплотную к сечению; в итоге полу-
чится :
В более сложных случаях,
графики, естественно, принимают более сложный вид.
эта часть эпюры имеет вид прямой.
Ординаты эпюры Qinax полу-
чаются из формул для Qmin путем
изменения знака на обратный и за-
мены х выражением I — х.
кривые одинаковы, но расположены
обратно-симметрично (фиг. 169, г),
когда поезд состоит из сосредоточенных грузов,
Обе
§ 25. ПОСЛЕДО
1
ательные производные линий
лияния и их применение
Загрузим
произвольную
л. в. парой сил Рх — — -i- и Ра= напра
в пенной по часовой стрелке и имеющей плечо, равное а (фиг. 170). Момент этой
пары, очевидно, равен единице. Пусть уравнение л. в. имеет видд'=/(г).
В пределе, когда а
С'‘""'р" В— см. ВЬ№1И
~а^(х)
а
О, эта формула превращается в
°l~f (x)
Z = Z(x + ^x)—/(х) df
dx ~~d^==zf (•*)•
(26)
(27)
Соотношение (27) выражает
от л. в. по независимой
построенную в функции
следующую важную теорему:
переменной х ппапгт
той же переменной л. в., вы-
ражающую влияние движу-
щейся сосредоточенной пары
с моментом, равным
Поясним эту теорему
единице,
одним при-
мером.
На фиг. 171 слева изображена л. в.
опорной реакции соответствующая
движению вертикального груза Р=1.
Z —— х
Она выражается уравнением: у = —7—.
собой
Фиг. 170.
Диференцируя это уравнение, получаем .— = const, т. е. уравнение гори-
зонтальной прямой, показанной справа. С другой стороны, из условий равновесия
непосредственно вытекает, что пара с положительным моментом, равным единице,
где бы она ни была приложена, вызывает отрицательную реакцию RA =---------~.
При помощи кинематической аналогии мы можем представить любую линию
влияния, отвечающую движению сосредоточенной силы Р=1, как график беско-
...........111 ши ri 1111ТП гпипти^л
Фиг. 171.
нечно малых перемещений некоторого механизма. Но производная от графика
таких перемещений представляет собой график углов поворота соответ-
ствующих звеньев механизма. Отсюда следует, что л. в., отвечающая
движению сосредоточенной пары с моментом 714 = 1, предста-
вляет собой график углов поворота соответствующих звеньев
механизма в его возможном бесконечно малом перемещении.
Очевидно, что для каждого жесткого звена этот график имеет вид горизон-
тальной прямой.
Движущаяся пара сил встречается в некоторых расчетах инженерных соору-
жений. Например, паровоз благодаря неуравновешенности частей своего механизма,
имеющих возвратно-поступательное движение, „виляет*' во время движения и пере-
даст на пролетное строение моста при помощи трения колес о рельсы движу-
123
щуюся пару сил; результатом этой пары являются поперечные деформации
пролетного строения1.
С другой стороны, доказанная теорема позволяет производить поверку л. в.
путем их диференцирования, а также упрощать расчет в некоторых сложных
случаях, когда оказывается целесообразным сначала построить более простую л. в.
для движущейся пары, а потом путем интегрирования получить л. в. для движу-
щейся сосредоточенной силы. Наконец эта теорема дает возможность доказать
некоторые важные свойства линий влияния, например, установить связь между
такими л. в., которые соответствуют движущимся силам, имеющим различные
направления.
Этот вопрос рассмотрен в следующем параграфе.
Развивая эту теорему, можно поставить вопрос о второй, третьей производ-
ных л. в. и т. д., а также о ее последовательных интегралах. Каков их реальный
статический смысл и каковы возможные приложения? Ответ на эти вопросы впер-
вые дан канд. техн, наук Я. М. Риппенбейном9. Он установил целый класс обоб-
щенных нагрузок, результатом движения которых являются эти новые л. в.,
и показал применение последних к расчету статически неопределимых систем.
Обобщенная трактовка линий влияния, вызываемых разнообразными подвиж-
ными факторами (силами, парами, сосредоточенными деформациями и т. д.), как
некоторых эпюр, изложена проф. А. А. Уманским3.
§
26. СВЯЗЬ МЕЖДУ линиями влияния для движущейся силы различных
НАПРАВЛЕНИЙ
Теорема о производной позволяет установить замечательную связь между л. в.,
отвечающими движению сил разных направлений. Будем строить л. в. в лрямо-
Фиг. 172.
угольных координатах, направляя
всегда ось ординат параллельно дви-
жущейся силе.
Пусть MN есть геометрическое
место точек приложения силы Р — 1
и пусть этот груз может иметь д.ва
различных направления (фиг. 172).
Влияние груза на какую-то величину
выражается двумя различными ли-
ниями, построенными в соответ-
ствующих координатах:
Z = ^ = /(х)
и Z=== я = ф (у).
Продиференцировав оба уравне-
ния— первое по х, а второе по у,
получим:
dZ dv dZ__________ du
dy'
Но каждая из этих двух производных выражает собой влияние, оказываемое на
интересующую нас величину сосредоточенной парой с моментом /И==1, прило-
611 н ° ь и ч» ° динамическом воздействии некоторых типов паровозов на
стр. 79 1925 Р еНИЯ МОСТов> статья в Пятом сборнике Бюро инженерных исследований НКПС,
статья ге Н 6 е й н’ Новые методы расчета статически неопределимых систем,
Е г о Лл лР°Ительная промышленность “ № 9, 1925.
метод расчета’ ПОНятия „нагрузка" и вытекающий из этого обобщения новы»
инженеров транспорта^ вып^ГГ^^ч^ СТаТЬЯ В ”Трудах Московского института
3 Специальный kj ре Строительной механики, ч. I, § 6, 1935.
124
. ОДНОЙ и то» же точке Соору1ке„„. Отсюда
df , d<p
rfx dF • (28)
и ? (.У) позволяет найти одну
криволинейная балка АВ.
в. для изгибающего
dt>__du
dx~~d$, ”ли1
Найденное соотношение между функциями f(x)
и3 них по заданной другой. J 'х'
Для примера рассмотрим фиг. 173, где изображена
1 уравнение л.
При движении вертикального
момента Мс будет:
груза Р =
при х^а
ЛМ ~ v
при х^а
Mc — <vz=i-^ (/—х).
Продиференцировав эти выраже
ния, получаем соответственно:
dv Ь
—» у.-——•
dx I
dv а
и—«- I—' —~ - — ———•
dx I
Л в Л?
Фиг. 173.
Найдем теперь уравнение
для той же л. в. Мс, предполагая, что груз
горизонтален и направлен вправо. Заменив производную
проинтегрировав, найдем соответственно:
dv
dx
производной
du
dv
p
И,
IL
но при у = О Mc = 0, следовательно k = О, а и ==—у;
для участка СВ:
и =
Постоянная kY найдется
общую ординату, т. е.,
из того
при у^=~-
условия, что в точке С оба участка л. в. имеют
d, Мп = — . Отсюда = a u~d-------------------г у.
В правильности полученного решения легко убедиться, вычислив влияние гори
зонтального груза непосредственно.
Наглядная геометрическая связь между л. в., соответствующими раз-
личным направлениям движущегося груза, вытекает из представления производной
как тангенса угла касательной к кривой.
Диференциальиое уравнение (28)
выражает следующее: пусть
и той же величины построено несколько л. в.,
для одной
каждая из
которых выражает влияние движущейся силы определенного
направления, причем оси абсцисс направлены перпендику-
лярно к этим направлениям; если мы на всех этих л. в. про-
ведем касательные в точках, соответствующих одной и той
же точке приложения груза, то углы наклона этих касатель
ных всегда будут равны между собой.
1 Это соотношение выведено впервые для двух взаимно-перпендикулярных направлении
силы Я. М. Риппенбейном в 1925 г.
125
Короче можно сказать, что но отношению к направлению движущегося ipym
угол наклона касательной к оси абсцисс есть инвариант.
Если бы мы приложили эти рассуждения к предыдущему примеру, то могли
бы получить решение быстрее: построив л. в. для вертикального груза, мы
получили бы углы наклона аир, после чего достаточно было бы на второй л. в.
провести две прямые под теми же углами
(фиг. 173).
Фиг. 174.
Теорема об инвариантности углов
особенно просто может быть использована
для построения л. в. ломаного очертания.
Что касается л. в. криволинейных,
то для их построения может оказаться
более удобным применение аналитических
выражений Ч
Из теоремы об инвариантности углов
вытекает следующее важное следствие:
если на каком-нибудь участке
АВ сооружения (фиг. 174) линия
влияния, отвечающая некото-
рому направлению подвижного
груза, прямолинейна, то тем
же свойством обладает л. в.,
отвечающая любому другому
направлению подвижного груза.
Доказательство просто: угол а во всех точках линии arbr должен оставаться
одним и тем же.
§ 27. ВЛИЯНИЕ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ СИЛЫ, ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ВОКРУГ
НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ ПРИЛОЖЕНИЯ (ОКРУЖНОСТЬ ВЛИЯНИЯ)
Н Кроме силы, сохраняющей постоянное направление, но меняющей свою точку
приложения, в расчетах сооружений иногда (хотя и значительно реже) встречаются
силы, приложенные в неподвижных точках, но изменяющие свое направление отно-
Фпг. 175.
при расчете раскрывающихся мостов
часть пролетного строения как непо-
^ТТ«СООРУЖеНИЯ- Так например, пГ
(Ф » ) можно рассматривать подвижную
в литературе в 1916 Определимых л. в. теорема об инвариантности углов впервые } казана
в книге «Основы новей ’ риложим°сть этой теоремы к любым л. в. отмечена автором
х методов расчета сложных рамных систем" стр 55 1931.
126
силы тяжести— как вращающиеся. То же самое можно сказать
двйжну ю»
0 фермах секторных затворов плотин и об элементах некоторых кранов (фиг. 176).
Пусть в какой-нибудь точке А сооружения приложена действующая в опре-
деленной плоскости наклонная сила Р — 1 (фиг. 177). Будем искать влияние этой
силы на некоторую величину (на прогиб, изгибающий момент и т. д.) в функции
от угла наклона © силы к некото-
рому начальному направлению Оу.
Разложим силу на две вза-
имно-перпендикулярные составля-
ющие, направленные по Оу и Ох;
по своей величине они будут
соответственно равны cos© и sin©.
Обозначим влияние единичной
силы, направленной по Оу, через
а, а единичной силы, направлен-
ной по Ох, через Ь. В случае
действия силы Р
к Оу под углом ©, искомое влия-
ние выразится очевидной форму-
лой:
kN v
Стах-30000
L тю ~ 8000
300г---3500 ~~'ЭОО
Фиг. 176.
WOO -
да 12 Ш
1, наклоненной
_____1.Z
Фиг. 177.
Для графического изображения искомой ззвивв“Ву (ф^пв^Заинкаю-
иорпХио» вектор д««м <• « горизонта™, ‘ <ФИГ-
Фиг. 179.
Фиг. 178.
щую О А спроектируем на
зующую с вектором а п
- - ж ««ЯЙ
роизвольный угол V. 127
Сумме проекций составляющих, то
О В = a cos ср b sin <р ~ Z,
т. е. влияние силы Р выражается вектором ОВ.
Угол ОВА представляет собой прямой угол, опирающийся на неподвижный
отрезок ОД, откуда следует, что геометрическое место точек В есть
На фиг. 179 изображены две одинаковые окружности, которые в совокуп-
ности представляют собой радиальную диаграмму величин Z для вращающейся
силы Р ~ 1.
Хорда ОВ, проведенная из точки О параллельно действующей силе, выражает
собой величину Z. Одна из окружностей соответствует положительным значе-
ниям Z, а другая — отрицательным. Будем их называть „окружностями влияния"1.
Для построения этой диаграммы нужно знать влияние силы Р = 1 для
каких-нибудь двух ее направлений. Из точки О проводят по этим двум на-
правлениям радиусы-векторы, откладывают на них соответствующие влияния в виде
отрезков ОВ и OBit затем через точки О, В и Вг проводят окружность.
Из радиальной диаграммы следует, что какое бы усилие и какую бы
деформацию сооружения мы ни изучали, всегда существует
такое направление вращающейся силыР = 1, при котором эта
величина обратится в нуль: стоит лишь направить силу так, чтобы
хорда О В обратилась в касательную к окружности влияния.
Второй интересный вывод состоит в том, что те два направления
силы, из которых одно соответствует наибольшему влиянию,
а другое — нулевому, всегда взаимно-перпендикулярны. Дей-
ствительно, наибольшее значение хорды, проведенной из О, есть диаметр, а он
перпендикулярен к касательной, проведенной в той же точке.
Третий вывод таков: сумма квадратов влияний, вызываемых
двумя взаимно-перпендикулярными единичными силами, не
зависит от направления этих сил и равна квадрату макси-
мального влияния одной вращающейся силы Р=1, что может
быть записано в виде:
(29)
том, что сумма квадратов двух взаимно-перпендикуляр-
Этот вывод основан на
ных хорд, проведенных из точки О, равна квадрату диаметра.
Кроме вопроса о влиянии вращающейся сосредоточенной
поставить вопрос о
таких систем сил,
метом многочисленных исследований механиков и геометров 2.
Что касается влияния
в случае одной силы, „ _ ___________wv .. v .............................-
илы могут быть параллельными или непараллельными между собой. Необходимо
лишь, чтобы они поворачивались вокруг неподвижных точек приложения, чтобы
каждая из них оставалась все время в одной и той же плоскости и чтобы углы
Деметр13 ВСеХ СИЛ’ считая от их начальных направлений, были равны между собой,
пап п шельн0’ ПУсть при начальном состоянии системы ее суммарное влияние
на угол*' аТИ пов°Роте всей системы на 90° оно равно Ь. Поворот системы
. эквивалентен замене каждой силы Р.г двумя составляющими Л cos?
силы, можно
влиянии вращающейся системы сил. Условия равновесия
так называемых астатических систем, служили пред-
системы, то оно, как и
выражается двумя окружностями влияния.
нсследмаТщ “в статьГ^ппе’ “асколько иам известно, эти окружности предложены и
упругого тела", .Трупы К3 "° иекоторых соотношениях между перемещениями точек
н затем в книге автора к^°ВСКОГО института инженеров транспорта", вып, III, стр. 74,1927,
3 И. М. Р а б и н о в н и 1?*ат,1ЧССКИЙ метод в строительной механике", стр. 250,1928.
и ч, кинематический метод в строительной механике « 40.
128
й д sine. Очевидно»
в строительной механике:
сплошных и т. д. *.
что суммарное влияние си стр мкт «.
е системы выразится формулой:
=:== а cos е —b sin ф,
следовательно, все предыдущие рассужпемыа
Заметим, что при выводе теоремы об оХжн7стях°^ С"ЛУ'
никаких допущений о характере самого coomZt влияния мы не делали
жимости к нему принципа независимости действия сил^с'6 ДОПуи1ения 0 пР«ло-
ный вывод справедлив для всех геометоическн ив„= Следовательно, пол}чен-
„ лтппителкнпй дая плоских и п” ,еНЯеМЫХ СИСтем’ изучаемых
Для плоских и пространственных, для стержневых,
§ 28. ВЛИЯНИЕ ГИДРОСТАТИЧЕСКОЙ И ТАНГЕНЦИАЛЬНОЙ НАГРУЗОК
5?еМ„^!™а\Ь_ГИД.Р0СТатИЧеСК0й нагРУ3кой такую, которая во всех точках
перпендикулярна к оси последнего.
р и будем
некоторого прямого или кривого стержня
Интенсивность нагрузки на единицу длины
считать ее переменной (фиг. 180).
Разложим элементарную нагрузку р ds,
на вертикальную составляющую р cos ф ds и
ность вертикальной нагрузки
горизонтальную проекцию dx
абсолютной
стержня обозначим через
на
по
действующую на элемент
горизонтальную р sin о ds.
длины ds,
Интенсив-
величине равна:
pds
0 s/n у ds
Фиг. 180.
(JCO5W ds
Фиг. 181.
р cos ds 1
р — _±_—А----— р cos Ф ----
1 dx г 1 cos
Интенсивность горизонтальной нагрузки на вертикальную
лютной величине равна:
проекцию
dy по абсо-
р sin <р ds . 1
р = л—т— __ р Sln — __ р
dy ‘ sin г
Итак, все три интенсивности по абсолютной величине
равны между собой.
Для того чтобы подсчитать влияние гидростатической нагрузки на какую-
нибудь величину Z, нужно иметь для этой величины две л. в., из которых одна
выражает влияние единичной силы одного (произвольного) направления, а дру-
гая— влияние силы перпендикулярного направления.
Пусть, например, требуется построить л. в. правой реакции X стержня
с осью, очерченной по дуге полуокружности радиуса г. Дана гидростатическая
нагрузка интенсивности q (фиг. 181). Будем считать силу, направленную вверх,
положительной.
1 Если силы вращаются вокруг своих точек приложения в пространстве, а иie в пло
скости, то окружность влияния заменяется сферой (шаровой поверхностью) влияния.
129
9 Зак. 1842. И М. Рабинович-
На фиг. 181 показаны л. в. X, отвечающие действию вертикальной силы
направленной вверх, и горизонтальной силыР=1, направленной влево. Поскольку
горизонтальная нагрузка на левой половине стержня положи 1ельна, а на правой
отрицательна, влияние горизонтальной нагрузки равно нулю. Вертикальная нагрузКа
всюду положительна; ее влияние равно — дю, где оз — площадь л. в. cd:
qoi, где cd — площадь л. в. cd:
Z = — б/c) = — q
1 • 2r
2 — Я? •
При расчете криволинейных тонкостенных стержней и пространственных
конструкций типа оболочек приходится также рассматривать нагрузку, действую-
щую всюду вдоль оси данного стержня. Обозначим интенсивность этой нагрузки
на единицу длины стержня снова через q. Разложим нагрузку на два взаимно
перпендикулярные направления 1 и 2 (фиг. 182), которые условно назовем
вертикальным и горизонтальным. Легко показать,
что вертикальная нагрузка рх на единицу горизон-
тальной проекции стержня и горизонтальная на еди-
ницу вертикальной проекции соответственно равны:
Фиг. 182.
Pi=9tg9,
(30)
Можно
также написать:
dx dy
Р* dy Р2 dx
(31)
следует, что интенсивность вертикальной на-
отнесенная к единице вертикальной проекции
стержня, и горизонтальной нагрузки, отнесенная к единице горизонтальной проек-
ции, равны заданной интенсивности. В
откуда
грузки,
§ 29. ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ЛИНИЯХ ВЛИЯНИЯ
Наибольшее применение линии влияния находят себе в расчетах мостов,
поэтому вполне естественно искать причину их появления именно в потребностях
мостостроения. Однако между датой начала усиленного строительства мостов
в Европе и в Америке и датой изобретения л. в. лежит промежуток времени,
превышающий полстолетия: первый железнодорожный мост в Англии был построен
в 1825 г., а идея л. в. появилась в литературе только в 1867 г. Нужно не забы-
вать, что расчет на подвижную нагрузку возможен и без помощи л. в.
Журавский 100 лет тому назад опубликовал статью, в которой рассматривал
последовательные установки поезда, загружающего сначала один узел, затем два
и т. д., вплоть до ддиннадцати; при каждой установке он определял усилия. Вего
статье1 подчеркнута целесообразность раздельного определения усилий от соб-
ственного веса пролетного строения и от поезда.
В зарубежной литературе вопрос ставился в течение довольно долгого вре-
мени лишь о полном загружении сооружения сплошной равномерно распределенной
нагрузкой; затем в 60-х годах прошлого столетия появились исследования различ-
ных загружений балки такой нагрузкой.
Однако до тех пор пока внимание было
нательной задаче__
грузов, радикальное решение оказывалось недоступным. Психологически самое
трудное состояло,
задачу более легкой
приковано непосредственно к окон
к отысканиюнаибольшего:
эффекта целой системы
повидимому, в том, чтобы догадаться заменить эту трудную
— исследованием влияния одного груза, и притом занимаю-
системы Га}, примененной к мостам Петерб} ргско-Моско»
ской железной1 доооги°ВаЛ"^ снстемы raj- примененной к мостам Петербургско-Москов-
управяення путей сообшеии?бЩеНке ,1НЖенера-кап11тана Жх раненого, Жх риал Главного
л wwmeHHH и публичных здании, т. XI. стр. 1—26 1850
130
Л. Д, Проскуряков (1858 — 1926)
систем,
цией плодотворности метода аналопий в строительной механике, зародился в 1874 г.
”. _• выясняя влияние удлинения отдельных стержней фермы*
шего не самое невыгодное, а любое положение. Такая постановка кппплм
чала на первый взгляд уклонение в сторону от темы, на самом же деле открывала
широкий универсальный путь к решению проблемы.
Уравнения для некоторых усилий, вызываемых в балке постоянного сечения
L Ш7 кон«ами Действием движущегося сосредоточенного груза были
выведены в 1867 г. Винклером, в том же году Мор ввел их для изгибающих
моментов неразрезной балки. ««ниоющих
Линиям влияния не пришлось долго ждать своего признания, и новый аппарат
который облегчал расчет всевозможных систем на подвижную нагрузку посте-
пенно вошел в употребление. - ’
Кинематический метод построения л. в. для статически определимых систем
который отличается замечательной наглядностью и служит прекрасной иллюстра-
цией плодотворности метода аналопий в строительной механике, зародился в 1874 г.
В этом году Мор, выясняя влияние удлинения отдельных стержней фермы*
впервые стал рассматривать ее как механизм.
К концу XIX в. принципы построения линий влияния для статически опреде-
лимых систем были уже хорошо разработаны.
В русской технической литературе XIX в. вопрос о влиянии подвижной нагрузки
освещался в ряде оригинальных исследований. Первое место в этих исследованиях
занимают упомянутые выше статьи Д. И. Журавского, объединенные им впослед-
ствии в отдельную книгу. В первой из этих статей, опубликованной в печати
в 1850 г., он не только дал первый в литературе научный расчет раскосной
фермы, но примерно за 30 лет до появления в зарубежной литературе идеи линии
влияния подошел к этой идее. Он определял усилия в ферме не только от поезда,
загружающего все узлы, но и от поезда, занимающего различные последователь-
ные положения на пролетном строении, а также от груза, стоящего над одним из
узлов. Во втором варианте своего расчета он отдельно определял усилия от
собственного веса фермы и отдельно — от поезда. Составив таблицу усилий,
возникающих в стержнях фермы от поезда при различных его положениях,
Журавский тем самым дал впервые ординаты обобщенной линии влияния. Он
только не счел нужным дать в дополнение к таблице график тех же ординат.
В 70-х и 80-х годах профессора и преподаватели Института инженеров путей
сообщения Л. Ф.
вопрос о наибольших изгибающих моментах и поперечных силах,
в однопролетной балке при движении по ней поезда,
вошли в употребление при расчете мостов.
Проводником линий влияния в теорию и практику расчета мостов,
Л. Д. Проскуряков ^(18/VII 1858 г. —14/IX 1926 г.), автор известного, выдер-
жавшего много изданий курса строительной механики, автор ряда выдающихся
проектов железнодорожных мостов, выстроенных на нашей железнодорожной
сети. В 1896 г., проектируя мост через р. Которосль, он впервые составил таб-
лицу моментов для поезда, которая послужила прообразом для всех дальнейших
расчетов пролетных строений мостов.
В СССР теория линий влияния обогатилась рядом идей.
Во-первых, получило обобщение в различных направлениях самое понятие
о линии влияния — обобщенная л. в., окружность влияния, последовательные
производные л. в., л. в. для сечения, связанного с подвижным грузом, л. в., вызы-
ваемая подвижной парой, подвижным переломом упругой линии, передвижкой
опор вдоль оси стержня и т. п.
. Николаи, С. К. Куницкий и Л. Д. Проскуряков1 исследовали
возникающих
Полученные ими результаты
начиная
был проф. строительной механики, мостов и испытания материалов
1 Л. Ф Николаи, Определение опасного положения неизменно связанных грузов,
грузов в прямых балках, СПБ, 1887.
133
Во-вторых, получили развитие методы построения л. в. — применение
кинематической цепи с двумя степенями свободы; использование аналогии между
линиями влияния, с одной стороны, и эпюрами от некоторых статических или
кинематических факторов, с другой стороны; использование связи между л. в.,
отвечающими различным направлениям подвижного груза.
В-третьих, обогатились и одновременно упростились методы нахождения
наиболее невыгодного положения различных подвижных систем сил, загружающие
различные л. в.
Часть перечисленных здесь идей отечественных авторов указана в тексте
настоящей главы. Из авторов назовем И. М. Рабиновича, А. А. Гвоздева, Я. М. Рип-
пенбейна, А. А. Уманского, Б. Н. Горбунова1.
1 См.
в СССР за
тридцать1 лет* *аи12рад "Достижеиия строительной
* изд. Академии архитектуры СССР,
механики стержневых систем
1949.
ОБЩИЕ СВОЙСТВА СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ
§ 1. ЧТО ТАКОЕ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМАЯ СТЕРЖНЕВАЯ СИСТЕМА
Стержневая система
определимой,
внодействую-
приложенных к любому сечению любого стержня,
определенной и конечной имлжрт /s rttu « о «
а лишь на некоторые из них. В статически определимой системе всегда
то к ним и подавно относится это замеча
называться
-----------------* ** - -о /оливин равновесия системы и ее отдель-
ных частей.
В такой системе, очевидно, опорные реакции также являются статически опре-
делимыми. Действительно, если бы оказалось, что какая-либо реакция не может
быть определена из уравнений статики, то это означало бы, что в том сечении,
к которому она приложена, и в ряде других сечений её невозможно определить из
уравнений статики и усилия.
Как видно из данного определения, понятие о статической определимости
распространяется не на все величины, характеризующие напряженное состояние
Системы
имеются и такие величины, которые не могут быть найдены из условий статики:
напряжения в отдельных точках любого сечения, а также относительные и абсолют-
ные удлинения, сдвиги и углы поворота. Даже в простейшем случае — в стержне
постоянного сечения с прямой осью, нагруженном двумя центральными равно-
противоположными силами, напряжения не могут быть определены из условий
равновесия, а выводятся на основании некоторых дополни гельных условий и гипотез;
что касается деформаций стержня
ние. Таким образом, система может называться статически определимой лишь
в условном смысле; абсолютно статически определимых систем не существует.
Хотя в каждой так называемой „статически определимойи системе имеется
ряд статически неопределимых величин, общепринятое разделение систем на стати-
чески определимые и статически
образны гл, так
особенности.
Перейтем
неопределимые является все же вполне целесо-
как каждый из этих двух видов сооружений имеет свои важные
к анализу характерных свойств первого вида сооружений.
известна, а также известна внешняя нагрузка, то в расчете
1) опорные реакции; 2) нормальные силы,
крутящие моменты в любом сечении любого
§ 2. РАЗДЕЛЕНИЕ НЕИЗВЕСТНЫХ НА ДВЕ ГРУППЫ
При расчете стержневых систем необходимо определять множество неизвестных.
Если геометрическая схема сооружения, т. е. расположение его стержней, ^узлов,
фигурируют следующие неизвестные:
поперечные силы, изгибающие и .. м
стержня; 3) геометрическая форма и размеры всех поперечных сечени в
«ей и коэфициенты упругости их материала; 4) нормальные и тангенциальные на-
пряжения в любой точке любого стержня; 5) абсолютные и относительн _
ные и угловые деформации и перемещения во всех точках сооружени
135
состоит в задании некоторых из этих неизвестных и в составлении необходи
мого количества функциональных зависимостей или уравнений для определен^
остальных.
Неизвестные, вообще говоря, зависят друг от друга. Например, деформации
зависят от усилий и геометрических размеров стержней, напряжения — от усилий
и от величин сечений, сечения — от желательных величин напряжений и т. д.
Замечательной особенностью статически определимых си-
стем является то, что первые две группы неизвестных не
зависят от остальных групп, т. е. реакции и равнодействую-
щие усилий, приложенных к сечению, не зависят от величины
сечений, от напряжений, деформаций и коэфициентов упругости.
Благодаря такому свойству статически определимых сооружений, расчет их
чрезвычайно упрощается по сравнению с сооружениями статически неопределимыми.
Система совместных уравнений, из которой должны быть определены все неиз-
вестные, распадается на две, причем в первую систему входят только усилия и
реакции и не входит ни одна из остальных неизвестных. После того как первая
система уравнений решена, найденные величины можно подставить в остальные
уравнения и уже из них определить остальные неизвестные.
еэ
3. СВЯЗЬ МЕЖДУ СТАТИЧЕСКОЙ ОПРЕДЕЛИМОСТЬЮ И ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ
НЕИЗМЕНЯЕМОСТЬЮ СИСТЕМ
Можно ли быть уверенным в том, что 1) каждая статически определимая
система геометрически неизменяема и не имеет лишних связей; или 2) наоборот,
что каждая геометрически неизменяемая и не имеющая лишних связей система
статически определима? Ответ на эти вопросы имеет фундаментальное значение
для всей теории статически определимых систем.
1. Разберем сначала систему с п степенями свободы, где (фиг. 183).
Попробуем разыскать реакцию какой-либо связи, например, реакцию X опорного
Фиг. 183.
стержня при действии произвольной задан-
ной нагрузки. Откинув эту связь, получим
Фиг. 184.
систему с п
независимых параметров, поэтому системе можно
мещений. Приравняв нулю сумму работ, производимых внешними силами и реак-
цией Л, получим n-j-l независимых линейных уравнений, содержащих одну не“
известную Л. Такую систему в общем случае (т. е. при произвольной нагрузке)
решить невозможно. Иначе говоря, не существует таких значений реакции Л,
которые удовлетворяли бы уравнениям статики.
2. Далее разберем систему геометрически неизменяемую и имеющую л лишних
связей. В этом случае для получения изменяемой системы с одной степенью
свободы необходимо откинуть связей. Например
содержащей три лишних опорных стержня (фиг. 184), необходимо откингть четыре
стержня. Дав системе единственное возможное для нее перемещение, получим
дио уравнение, содержащее л-4-1 неизвестных. Задача допускает бесчисленное
множество решений.
лишн^ Наконец, разберем систему, геометрически неизменяемую и не содержанию
их связей. Пусть требуется найти реакцию Y какой-нибудь связи. Откинув
1 степенями свободы.
Ее возможные
перемещения зависят от
дать п
1 независимых пере
при произвольной нагрузке)
в неразрезной балке,
эту
ДЛЯ
ИЛИ
определения неизвестной Лл
ХЪх 4- ЕР • Др =z О
где Bjr, Др—соответствующие проекции
ложения сил X и Р.
перемещений, полученных точками при
Если МЫ ДОПУСТИМ. ЧТО Оу— О тп зтл
““б,“" “еть
Итак, геометрическая неизменяемость системы и отсутствие
в ней лишних связей являются необходимым и достаточным
признаком ее статической определимости.
§ 4. ЕДИНСТВЕННОСТЬ И КОНЕЧНОСТЬ РЕШЕНИЯ
В предыдущем параграфе было доказано, что в геометрически неизменяемом
сооружении, не имеющем лишних связей, каждая внешняя нагрузка вызывает
совершенно определенные и конечные усилия. Единственность решения состоит
в том, что каждое усилие может иметь только одно значение.
Этот вывод находится в согласии с теорией линейных уравнений. Для соору-
жения, принадлежащего к рассматриваемому типу, можно написать столько уравне-
ний статики, сколько имеется неизвестных усилий. Система уравнений имеет вид:
где каждое из уравнений является либо уравнением моментов, либо уравнением
проекций, либо уравнением возможных работ; коэфициенты a{J- суть либо плечи
усилий относительно моментных точек, либо косинусы углов наклона усилий
к осям проекций, либо возможные перемещения; свободные члены kl9 k2 и т. д.
суть моменты, проекции или возможные работы заданных внешних сил. Часть
коэфициентов и свободных членов может равняться нулю.
Решение системы п линейных уравнений с п неизвестными имеет вид:
(i —-1, 2, •. ., п).
(2)
Здесь знаменатель D есть детерминант системы (1):
^11 ^12 • • •
^21 ^2° • • •
(3)
&п1&п2•* * &пп
всевозможных конечных значениях внешней нагрузки
было
будет
будут
Очевидно, что он не зависит от внешней нагрузки. Числитель К,- получается
от замены в этом детерминанте 7-й колонны столбцом свободных членов, взятых
с обратным знаком; следовательно, он зависит от внешней нагрузки.
Для ТОГО чтобы При -----------------
все усилия хг имели конечные значения, необходимо и достато JH°’
соблюдено условие: £)^0. Если оно соблюдено то каждое ™стное
иметь только одно значение. Если условие не соблюдено, то неизвестные
равны оо или смотря по характеру внешней нагрузки.
137
Так как раньше уже было доказано, что в геометрически неизменяемой системе
усилия получаются конечными, то можно утверждать, что каждой нагрузке
системы,
геометрически неизменяемой и
не имеющей лишних
связей, соответствует единственная система значений всех
усилий, или, короче говоря, единственное решение.
Следствия этой теоремы весьма разнообразны.
Одно из них может быть сформулировано следующим образом: возмож-
ное решение статически определимой задачи является в то же
Фиг. 185.
время действительным. Это
нужно понимать так: если мы ка-
ким бы то ни было способом найдем
или угадаем для элементов соору-
жения такую систему усилий, кото-
рая при данной нагрузке удовлетво-
ряет всем уравнениям статики, то
мы можем быть уверены в правиль-
ности этого решения и в том, что
другого не существует.
Другое следствие можно сфор-
мулировать так: если в состав
статически определимой
системы входит такая ки-
нематическая цепь или гео-
метрически неизменяемая
фигура, которая под дей-
ствием заданной внешней
нагрузки находится в состоянии
равновесия, то усилия в остальных элементах равны нулю.
Пусть, например, на фиг. 185 нагрузка такова, что шарнирный многоугольник
1-2-3-4-5-6 служит для нее веревочным многоугольником; тогда вся нагрузка
воспринимается стержнями этого кольца, а все остальные стержни испытывают ну-
левые усилия.
§ 5. СТАТИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ МГНОВЕННОЙ ИЗМЕНЯЕМОСТИ.
СПОСОБ НУЛЕВОЙ НАГРУЗКИ
Если сооружение обладает геометрически неизменяемой структурой и не имеет
лишних связей, то оно может быть либо действительно геометрически неизменяе-
мым, либо мгновенно изменяемым. В первом случае ни при какой нагрузке, имею-
щей конечную величину, усилия не могут получиться неопределенными или беско-
нечными, а во втором случае это произойдет со всеми или некоторыми усилиями
при любой нагрузке.
Отсюда следует, что любая нагрузка может быть использована для поверки
геометрической неизменяемости или мгновенной изменяемости сооружений такого
типа. Если при действии какой-нибудь нагрузки каждое усилие имеет только одно
и притом конечное значение, то со ружение геометрически неизменяемо. Если при
какой-нибудь нагрузке то или иное усилие оказывается неопределенным или
бесконечно большим, то сооружение мгновенно изменяемо.
Простейшей из нагрузок является отсутствие нагрузок (нулевая на-
грузка). На этом основан статический способ поверки мгновенной изменяемости.
Очевидное возможное решение задачи при действии нулевой нагрузки-—это обраще-
ние всех усилий в нуль. Если такое тривиальное нулевое решение является един-
ственно возможным, то сооружение геометрически неизменяемо. Если, напротив,
имеются еще другие решения, то сооружение мгновенно изменяемо.
называется состоянием начальных усилий или
й, или, короче, самонапряжений.
признаком мгновенной изменяемости
какой-нибудь нагрузке то или
Простейшей из нагрузок является отсутствие нагрузок (нулевая
-----X
Очевидное возможное решение задачи при действии нулевой нагрузки
ственно возможным, то сооружение геометрически неизменяемо. Если, напротив
имеются еще другие решения, то сооружение мгновенно изменяемо.
°стояние системы, характеризуемое наличием неравных нулю усилий при от
сутствии внешней нагрузки “ —
начальных напряжени
Итак, статическим
системы, которая по
изменяемости
ески опреДе*
4 38
возникновения к н« к
ия в н е й начальных
лима, является возможность
усилий.
Для примера рассмотрим диск клтлпы» «
не пересекающихся в одной точке (<ЬИг irr °™рается «а три опорных стержня,
Кб, Rc и составим уравнения моментов всех'с«пТИМ Э™ стеРжн« Реакциями /?л,
Уравнение моментов относительно точки О ™ ,°™осительно точек Ot, О2 и О8.
будет иметь вид: 3 при отсутствии внешней нагрузки
а так как гс фО, то единственно возможным значением пеакиин D _ л
Аналогичным ооразом доказывается, что и остальной Р бУдег Яс — °-
только нулевые значения. Отсюда следует что Д е реакции могут иметь
дует, что фигура — неподвижна.
Фиг. 186.
Фиг. 187.
На фиг. 187 все три опорных стержня пересекаются в одной точке О, т. е.
га~ гв = ^с = Составив уравнения моментов относительно этой точки, получим
неопределенные решения:
Ту же неопределенность можно получить иначе: зададимся произвольным значе-
нием одной из реакций, например реакции Так как силу всегда можно раз-
ложить на две составляющие, пересекающиеся с ней в одной точке, то остальные
две реакции, уравновешивающие силу сейчас же найдутся. Отсюда ясно, что
задача имеет бесчисленное множество решений. Все это показывает, что рассматри-
ваемая фигура обладает мгновенной подвижностью.
§ 6. УСИЛИЯ В ОСНОВНОЙ ЧАСТИ СООРУЖЕНИЯ и В ЭЛЕМЕНТАХ,
ПРИКРЕПЛЕННЫХ К НЕЙ
Анализируя схему статически определимого сооружения
с геометрической или
кинематической точки зрения, в большинстве случаев можно различить основную
часть, которая сама по себе геометрически неизменяема и неподвижна, и другие
элементы, которые к ней прикреплены и от нее заимствуют свою неподвижность
и неизменяемость. Основная часть отличается от опирающихся на нее элементов
следующим признакогм: если последние будут разрушены или удалены, то основная
система все же останется неподвижной и неизменяемой; наоборот, если основная
часть будет разрушена, то вместе с ней рухнет и все то, что на нее опирается.
Например на фиг. 188 балка АО является основной частью по отношению
-К двум остальным балкам; совокупность двух балок AD и DF является основной
частью по отношению к балке FH\ часть ВС левой балки является основной по
отношению к ее консолям АВ и CD и т. д.
Нагрузка, расположенная на основной части статически
определимого сооружения, вызывает усилия только в этой
части; напротив, нагрузка, расположенная на прикрепленной
139
части, вызывает усилия как в этой части, так и в той, кото-
рая служит для нее основной.
Доказательство этой теоремы можно основать на принципе единственности
(однозначности) решения. Пусть на основной части сооружения (фиг. 188) имеется
Фиг. 188.
нагрузка Р. а остальные части не загружены. Предположим, что усилия в послед-
них равны нулю; очевидно, что при таком предположении все условия равновесия
для этих частей будут удовлетворены (система нулевых усилий уравновешивает
нулевую нагрузку). Откинув эти нулевые элементы, решим отдельно нагруженную
геометрически неизменяемую основную часть сооружения; как известно, мы получим
для этой части определенные и конечные усилия. В итоге мы получим решение,
удовлетворяющее условиям равновесия всего сооружения и всех его частей. Но
так как двух различных решений, удовлетворяющих всем условиям равновесия, быть
не может, то справедливость теоремы доказана.
Фиг. 189.
Например на фиг. 188 нагрузка Р вызывает отличные от нуля усилия только
в пролете ВС и в его опорах; нагрузка Q вызывает усилия на участке ЕВ, т. е.
на протяжении двух балок, а нагрузка R — на участке GB.
Другой пример. На фиг. 189 нагрузка Р вызывает отличные от нуля усилия
только в части ACDE\ остальная часть фермы не участвует в работе.
Фиг. 190.
Третий пример. Если
„ - в состав гео метр г
Тичр rLV еСКИ опРе^елимого сооружения
тическая цепь,
ходится в со
не изменяв м о г о
и будет
действием данной нагрузки » d
енного равновесия, то можно
всю нагрузку,
а в остальных элРм/ У воспринимать всю нагру^з*
пример в тоехшапнмп лентах усилия будут равны нулю. Пусть, на-
нагрузка подобрана таким обпя”°й ферче’ пРедставленной на Ф"г- 19°- внешняЯ
многоугольником. Тогда вепуЕ‘и«°М’ ЧТ° нижний пояс служит для нее веревочным
Р ний пояс и раскосы заведомо выключаются из работы.
а
140
§ 7. ВЛИЯНИЕ УРАВНОВЕШЕННОЙ СИСТЕМЫ СИЛ
Если нагрузка,
сил, приложена к г
чески определимого
из уравновешенной
неизменяемой
ТО усилия во
всех оста л ь-
что это решение
геометр и ч е с к и
1 сооРУжения,
ения равны нулю.
Доказательство совершенно аналогично предыдущему- ™
является возможным, т. е. не противоречащим уравнениям^ статики »
ВИДНО. Но возможное решение является в то же finp J, „ - статики« ~вполне оче-
На фиг. 191 показан пример такой Р «винным.
уравновешивающихся вертикальных сил ппиштС И °НЭ СОстоит из тРех взаимно
ь ф»гУРе леса moL» у™™"-.
а также опорные реакции равны нулю. У льных стержнях фермы,
На фиг. 192 показан другой пример: две равно-противоположные силы Р
приложенные по концам некоторого стержня АВ фермы. О т д е й стви я так о
2Р
Фиг. 191.
Фиг. 192.
нагрузки стержень АВ будет испытывать усилие Р, все же
остальные элементы — нулевые усилия. Роль геометрически неиз-
меняемой части сооружения в данном случае играет сам стержень АВ.
§ 8. ВЛИЯНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ НАГРУЗКИ
Будем называть взаимно-эквивалентными такие нагрузки, которые имеют одну
и ту же равнодействующую. Эквивалентное преобразование переводит нагрузку
в другую, равнодействующая которой имеет ту же величину, направление и поло-
жение.
При всевозможных эквивалентных преобразованиях на-
грузки, приложенной к геометрически неизменяемой части
статически определимого сооружения, усилия в остальных
частях последнего остаются без изменения.
Для доказательства возьмем две различные эквивалентные нагрузки, которые
назовем Qr и Q2. Нагрузим сооружение геометрической разностью этих двух на-
грузок, т. е. нагрузкой Qt — Q2. Очевидно, что равнодействующая такой группы
сил равна нулю, т. е. совокупность сил Qi— Q$ представляет собой уравновешен-
ную нагрузку. На основании только что доказанной теоремы усилия в элементах
сооружения, не входящих в состав нагруженной геометрически неизменяемой части,
равны нулю:
где Sj — усилия, вызываемые
кой Q2. Отсюда следует, что
нагрузкой а 52 — усилия, вызываемые нагруз
_с
—
что и требовалось доказать.
Еще проще теорема может
перемещений, если заметить.
быть доказана при помощи принципа возможных
что при всяком возможном перемещении геометри-
141
чески неизменяемой фигуры сумма работ приложенных к ней
работе их равнодействующей1.
внешних сил равна
Поясним сказанное несколькими примерами. В трехшарнирной арке, состоящей
из двух полуарок АС и СВ,
Фиг. 193.
соединенных шарниром (фиг. 193), замена группы
сил Р1? Р2, Р3 их равнодействую-
щей /? не изменяет ни опорных реак-
ций в шарнирах Л и В, ни взаимо-
действия обеих полуарок в шарни-
ре С, ни усилий в полуарке СВ.
В ферме, изображенной на
фиг. 194, перенос силы Р по ее
направлению сверху вниз или наобо-
рот изменяет усилия только в стерж-
нях фигуры abed. Если си-
лу О, направленную вдоль
стержня, перенести с одно-
го конца его на другой, то
усилия изменятся только в этом стержне, причем перенос сверху
вниз вызывает в нем дополнительное растягивающее усилие, равное Q, а перенос
Фиг. 194.
в обратном направлении — такое же дополнительное сжатие. Замена силы Т двумя
составляющими, приложенными в панели ef, каким бы способом ни была произве-
дена эта замена, влияет только на усилия в стержне ef.
§ 9. ВЛИЯНИЕ ФОРМЫ И СТРУКТУРЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕИЗМЕНЯЕМЫХ
ЧАСТЕЙ СООРУЖЕНИЯ
Изменение геометрической структуры, размеров и формы
какой-либо геометрически неизменяемой части сооружения
при условии, что она остает-
ся геометрически неизменяе-
мой и что все сопряжения ее
с остальной частью сооруже-
ния остаются без изменения,
не оказывает никакого влия-
ния на усилия в элементах по-
следней.
Проще всего эту теорему в самом
общем виде можно доказать, пользуясь
принципом возможных перемещений.
Пусть в состав сооружения входит гео-
метрически неизменяемая часть А (фиг.
ком-нибудь из остальных элементов соо
ткинем этот элемент, заменим его сил
Фиг. 195.
195). Попробуем определить усилие в ка
ужения, например в стержнях CD или
>й и дадим полученному механизму воз
чески "2,гРаниченнрсть влияния эквивалентных преобразований нагрузки из
гостм Ределпм<^ системе напоминает в некоторой степени применяемый Р 5 Лд
1ОСТИ принцип Сен-Венана. который гласит что система взаимно-уравновешенных си..
котопыеТ* К век6ольш°й части поверхности’деформируемого тела, вызывает напряжения,
ьоторые быстро х бывают по мере удаления от нагруженного участка поверхности.
142
ложное бесконечно малое перемещение
будет зависеть от ее перемещения. Но*
ХабпГ СИЛ’ пРиложенных К фигуре А
это перемещение р свою очередь onpt
196.
Фиг.
Фиг. 197.
деляется расположением точек f, F, G, И,
взаимных сочленений звеньев механизма, но
звена А. Но в таком случае вариация его
формы и структуры не может отразиться
ни на одном члене уравнения работ.
Так, например, фиг. 196, отличающиеся
друг от друга лишь формой и геометри-
ческой структурой элемента DE, при оди-
наковой нагрузке имеют во всех прочих
а также расположением всех прочих
не зависит от формы и структуры
элементах соответственно равные усилия.
В трехшарнирной раме АВС (фиг. 197) Фиг-
замена лома лого стержня АВ прямым при
том же расположении шарниров А и В не изменяет усилий в стержне ВС, а также
опорных реакций А и С.
В ферме, показанной на фиг. 198, перестановка раскоса AD в положение BD
может изменить усилия только в части ABCDE.
§ 10. ВЛИЯНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ, СМЕЩЕНИЯ ОПОР И НЕТОЧНОЙ
РАЗМЕТКИ ДЛИН СТЕРЖНЕЙ
В статически определимой стержневой системе ни один
из факторов, перечисленных в заголовке этого параграфа, не
оказывает никакого влияния на ста-
Фиг. 199.
тически определимые усилия.
Для доказательства этой теоремы достаточно
сослаться на принцип единственности решения.
При отсутствии внешней нагрузки нулевое ре-
шение удовлетворяет всем уравнениям статики;
но так как двух различных решений быть не
может, то все статически определимые усилия,
вызываемые действием температуры или смеще-
нием опор, или ничтожно малой вариацией
длины какого-нибудь стержня, равны нулю.
Причину отсутствия усилий легко представить себе, исходя.из ™о, ч
ление любой связи превращает статически определимое сооружен е в «ех™,
т. е. в подвижную систему, которая неспособна противиться перемещениям. 11усть,
143
например, в трехшарнирной арке АВС (фиг. 199) левая полуарка подверглась
охлаждению. Удалим её; тогда оставшаяся часть без всякого сопротивления может
быть повернута в нужную сторону так, чтобы длина АВ уменьшилась, после чего
укороченный стержень АВ’ может быть вставлен на место.
Усилия, возникающие в каком-нибудь сооружении при отсутствии внешней
нагрузки, названы выше начальными усилиями. В статически опреде
лимом сооружении начальные усилия всегда равны нулю.
Это свойство статически определимых сооружений является весьма важным их
достоинством.
Необходимо, однако, иметь в виду, что при действии температуры стати-
тически неопределимые усилия, т. е. усилия в отдельных волокнах, или
напряжения, могут оказаться отличными от нуля. Такие напряжения могут воз-
никнуть, например, при неравномерном нагреве любого материала или при про-
извольном нагреве неоднородного материала. Теорема о непрехменном обращении
в нуль относится лишь к равнодействующим усилий, приложенных к точ-
кам любого сечения стержней, а также к опорным реакциям.
I
Глава VI
МНОГОПРОЛЕТНЫЕ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ
§ 1. АНАЛИЗ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ
Система, известная под названием многопролетной статически определимой
балки, на самом деле представляет собой не одну балку, а совокупность балок
опирающихся на опоры и связанных между собой промежуточными шарнирами*.
Если число этих шарниров равно Ш, то число балок, очевидно, равно ШЦ-1,
поэтому для статической определимости необходимо соблюсти соотношение (II, 3):
3(ZZZ^1)^2ZZ/+CO или Ш=СО—3, (1)
где Со — число опорных стержней.
Таким образом, наличие лишних опорных стержней (сверх трех) приходится
компенсировать таким же числом шарниров.
При расстановке шарниров необходимо заботиться об обеспечении геометри-
ческой неизменяемости. Так, например, в четырехпролетной балке с тремя шарни-
рами расположение, указанное на фиг. 200,а, обеспечивает неизменяемость, а на
фиг. 200,5 — нет.
Для правильного расчета всякой системы очень полезно с самого же начала
разобраться в том, какие части системы являются основными по отношению
Фиг. 201.
к другим. Это нужно для того, чтобы использовать свойство статически опре-
делимой системы, отмеченное в § V, 6.
На Фиг 200 а основной частью является балка АВ, на нее опирается балка ВС,
на последнюю в'свою очередь CDE и, наконец, на CDE — балка ЕЕ. Нагрузка,
действующая на АВ, воспринимается только балкой АВ; нагрузка, расположенная на
участке CD,—только балками АВ, ВС и участком CD балки CDE и т. д.
Иногда для лучшего показа взаимоотношения частей чертят так называемую
.этажную схему". Такая схема, отвечающая фигуре 200, а, показана на фиг. 201.
145
10 Зак. 1842. И. М- Рабинович.
§ 2. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР 7И И Q ДЛЯ МНОГОПРОЛЕТНЫХ СТАТИЧЕСКИ
ОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛОК
Один из возможных примеров таких балок схематически изображен на фиг. 202
Мы имеем здесь три балки, которые соединены шарнирами в сечениях С и D и
опираются на пять опорных стержней. Левая опирается на три опорных стержня
а потому неподвижна. Правая имеет два вертикальных опорных стержня, которые
устраняют возможность вертикальных перемещений, и один горизонтальный опор-
ный стержень, роль которого играет балка CD. Итак, система неподвижна и не
имеет лишних связей. Она отличается весьма рациональным распределением изги-
бающих моментов и поперечных сил, а потому обладает высокой экономичностью.
Убедившись в геометрической неизменяемости и
Системы, займемся графическим построением реакций и
статической определимости
эпюр.
Фиг. 202.
Разрежем мысленно систему в опорных сечениях В и Е и построим три сило-
вых и веревочных многоугольника для нагрузок, расположенных на участках АВ,
BE и EG. Полюсы О, и О2 расположим, где угодно, с тем лишь условием,
чтобы все три полюсных расстояния были равны между собой. Первому участку
соответствует веревочный многоугольник 12-1
4 — 4-5— 5-6—6-1 О' третьему 10-7—7-8—
и О2 расположим, где угодно, с тем лишь условием,
— 7-2 — 2-11} второму 11-3-^-3-
8-9. Так как опорные реакции
неизвестны, то и положения замыкающих 11-12, 10-11 и 9-10 неизвестны.
Если бы стержни АВ, BE и EG представляли собой простые балки, имеющие
шарниры лишь на опорах А, В и Е, то замыкающие следовало бы провести так,
чтобы в этих сечениях изгибающие моменты равнялись нулю: например, для про-
лета BE замыкающая 10-11 совпала бы с пунктирной линией, показание на
фиг. 203. На самом же деле в сечениях В и Е приложены какие-то неизвестны
моменты, которые вызывают в пролете BE дополнительную эпюру трапецоид
иого вида и тем самым смещают замыкающую 10-11. Величины этих 0П0Р *
оментов должны быть подобраны так, чтобы суммарные изгибающие мо^
сечениях С и D обратились в нуль. Их можно было бы найти, сост
сшив два уравнения с двумя неизвестными. „ ~ —
чтобы в этих сечениях изгибающие моменты равнялись нулю: например, для про-
бы с пунктирной линией, показанной на
какие-то неизвестные
------------------------- в пролете BE дополнительную эпюру TPaneU^'5^t
вида и тем самым смещают замыкающую 10-11. Величины этих о р -
в сечениях С и D обратились
решив два уравнения с двумя неизвестными. „ п тЯ.
TouJ?ереВОЧНЫЙ мно™угольник позволяет обойтись без решения уравнений. До
провести замыкающую 10-11 так, как показано на фиг. 20‘, т. е.
146
чтобы она пересекла веревочный многоугольник в точках
циями шарниров С и D. Замыкающая 11-12 с
чтобы обеспечить на опоре В найденный изгибающий
отмечает момент, равный нулю. Сторона 9-Ю своими концами
и 8-9. Проведением этих трех замыкающих заканчивается
моментов. Замечательно, что эта операция выполнена, несмотря
из опорных реакций еще не найдена. 1
которые служат проек-
смыкается одним концом с 10-17,
i момент, а на другом конце
смыкается с 10-11
построение эпюры
на то, что ни одна
Для нахождения реакций доста-
точно провести на силовых много-
угольниках лучи, параллельные трем
замыкающим. Для большей ясности
эти реакции выделены стрелками.
Реакция 10 состоит из двух частей:
между лучами 9-10 и 10-7 заключена
та ее часть, которая возникает в бал-
ке EG, а между лучами 6-10 и
10-11 — часть, соответствующая бал-
ке BE. То же самое можно сказать
о реакции 11.
Эпюра Q легко получается из
силовых многоугольников, где лю-
бая ее ордината уже содержится
Фиг. 203,
в готовом виде.
В заключение следует отметить, что полюсы О, Оп хможно слить в один,
т. е. построить единый силовой многоугольник и единый веревочный. Это будет
частный случай изложенного здесь общего построения. Однако такое видоизмене-
ние нецелесообразно по двум причинам: во-первых, оно обусловливает значительную
растянутость веревочного многоугольника в вертикальном направлении; во-вторых,
оно дает менее точное построение, так как приводит к значительно большему
Фиг. 204.
Система нагружена
вочные многоугольники,
отдельно для пролетов
точки эпюры моментов,
накапливанию ошибок как на сило-
вом, так и на веревочном много-
угольнике.
Другое расположение шарни-
ров и опор показано на фиг. 204.
В основе этой системы лежит балка
АВС, опирающаяся на три опорных
стержня. Неподвижный конец С этой
балки играет роль двухстержневой
опоры для балки CDE, имеющей,
кроме того, опорный стержень в се-
чении D, и т. д.
сплошной равномерно распределенной нагрузкой. Вере-
которые в даннохм случае обращаются в параболы, строятся
АВ, BD и DF, а замыкающие проводятся через нулевые
которые служат проекциями шарниров А, С, Е и F.
3. ГРАФИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
НАИВЫГОДНЕЙШЕГО РАСПОЛОЖЕНИЯ
ШАРНИРОВ И ОПОР
ров С и _____
совпадают с опорами А и В. Эта часть построения остается неизменной при
При помощи указанных в предыдущем параграфе построений легко решается
вопрос о наиболее целесообразном размещении шарниров и опор для воспринятая
заданной неподвижной нагрузки.
Пусть например требуется построить семейство эпюр изгибающих моментов
Для балочный системы ABCD (фиг. 205) при переменном расположении шарни-
D. Сначала строится эпюра М в предположении, что шарниры С и D
В Эта часть построения остается неизменной при
како»Гугодно положении названных шарниров; меняется лишь положение замыка-
ющей, которая должна пересечь построенную эпюру под шарнирами. Таким образом.
ю* 147
и нулевые точки эпюры; под этими точками и следует
Фиг. 205.
каждой паре шарниров С и D соответствует определенное положение замыкающей
и наоборот. ’
Задачу можно варьировать, принимая различные величины за независимые
переменные.
Например, задавшись опорными моментами а, Ь, получим положение замы-
кающей, а следовательно
расположить шарниры
Пусть требуется добиться того, чтобы опорные моменты и наибольший момент
в пролете были равны между собой по абсолютной величине. Для этого, очевидно
достаточно раздели ib пополам наибольшую ординату с на фиг. 205 и через точку
деления провести замыкающую, па-
раллельную EF.
Аналогичным образом нетруд-
но добиться того, чтобы при ра-
венстве обоих опорных моментов от-
ношение наибольшего момента в про-
лете к опорным равнялось задан-
ному числу. Такая постановка задачи
может возникнуть в том сл_у чае,
когда средняя часть балки имеет
другой момент сопротивления
крайние. В
чем
§ 4. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР М И Q ПРИ УЗЛОВОЙ НАГРУЗКЕ
Обычное устройство сооружений с узловой передачей нагрузки таково, что
над каждой опорой и каждым шарниром располагается один из узлов.
Такой пример показан на фиг. 206, которая отличается от балки на фиг. 202
только заменой непосредственной передачи нагрузки узловой. В этих случаях
Фиг. 206.
влияние узловой нагрузки учитывается таким же способом, как для простой балки,
сначала строится эпюра моментов, отвечающая непосредственной передаче нагрузки,
а потом на эпюру проектируются узлы, после чего остается соединить полученнь
проекции прямыми.
В тех случаях, когда узлы расположены не над всеми шарнирами и опорами,
задача также может быть решена графически, но построение несколько осложняет •
Такие примеры показаны на фиг. 207, а и б. Мы сведем задачу к предыдущей,
если заменим силы Ръ р* р действующие на вспомогательную балочку ЛЛ
двумя силами, выражающими давление последней на основную балку.
148
Фиг. 207.
Фиг. 208.
§
5. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР УГЛОВ НАКЛОНА И ПРОГИБОВ
ДЛЯ МНОГОПРОЛЕТНЫХ БАЛОК
Для построения этих кривых необходимо сначала построить эпюру уи,
что
может быть сделано способом, указанным в § VI, 2. Приведенную площадь Af А
эпюры моментов (где Jr—-произвольный, но постоянный момент инерции) следует
принять за нагрузку и для нее построить второй силовой и второй веревочный
многоугольники.
Рассмотрим в качестве примера построение упругой линии по эпюре М
изображенной на фиг. 206. Эта эпюра показана вторично на фиг. 208, но только
в „выпрямленном" виде, т. е. с теми же ординатами, но отложенными не от
ломаной, а от прямой замыкающей. Такое выпрямление эпюры изменяет только
ее внешний вид, не изменяя ничего по существу.
Пусть J = const. При этом условии за фиктивную нагрузку можно принять
самую эпюру М. Так как ее площадь приходится делить на много элементов,
частью положительных, частью отрицательных, то целесообразно отложить эти
иктивные силы в виде трех отдельных силовых многоугольников, соответствую-
щих трем балкам: AC, CD, DG. Полюсные расстояния всех трех многоугольников
должны быть равны.между собой.
С помощью ^тих трех силовых многоугольников строятся три веревочных
многоугольника, сомкнутых своими концами и образующих непрерывную линию
прогибов (в на фиг. 208). Замыкающая первой кривой пересекает ее под опор-
ными сечениями Л и В и продолжается до сечения С; замыкающая третьей кривой
пересекает таковую под сечениями Е и F и продолжается вправо и влево до
концов D и G; наконец, средняя замыкающая примыкает своими концами к двум
крайним.
Под фигурой в изображена фигура г, которая представляет ту же линию про-
гибов, но с выпрямленной замыкающей.
При помощи этих построений можно графически, путем нескольких попы-
ток найти такое расположение шарниров, которое обеспечивает минимальные
п р о г и б ы.
На фиг. 208, д изображена эпюра фиктивных поперечных сил; ее ординаты
пропорциональны углам поворота ср сечений балки.
Пусть на силовом многоугольнике отложены величины М — ds в масштабе:
1 см а кгм^, полюсное расстояние равно Н см; масштаб длин балки 1 : п. Тогда
цена 1 см по оси ординат на диаграммах прогибов и углов наклона такова:
для прогибов
- а Нп кгл&
1 см =---------TT-z---;
для углов наклона
ап кгм*
Ё7Г
§ 6. ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ УСИЛИЙ МНОГООПОРНЫХ БАЛОК.
СТАТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ИХ ПОСТРОЕНИЯ
Построим л. в. для балочной системы, изображенной на фиг. 209.
В основе этой системы лежит опирающаяся на три опорных стержня, а потому
неподвижная, двухконсольная балка ЕЕ Одноконсольная балка АЕ имеет в С один
опорный стержень, а в Е два опорных стержня, так как точка Е неподвижна,
следовательно, эта балка неподвижна. То же самое можно сказать о правой балке L.
Балка АЕ, как опирающаяся одним концом на неподвижную среднюю балку,
испытывает какие бы то ни было усилия только тогда, когда груз стоит на не
само , поэтому л. в. Rc на всем протяжении от Е до L сливается с осью абсцисс.
а участке от А до Е л, в. имеет такой же вид, как для
п Фиг* 209 положительные ординаты этой л
остальных, отложены сверху от
150 *
имеет такой же вид, как для однопролетно
ординаты этой л. в., равно как и всех
оси. Балка EI является основной, остальные две
балки опираются на нее и от нее заимств
В ней возникают при расположении ‘груза Т любом ПОЭТОМУ усилия
i j люоом участке. В интервале EI л. в. RF
лек
Л в R
Л.8М.
ЛВ QfrfnpaB)
Фиг. 209.
isillliiiiui
лвма
лвл0
л ем
&
1 I ’
I > I
ничем не отличается от л. в. простой двухконсольной балки. Когда груз стоит
на участке*СЕ на расстоянии х от С, то реакция на конце Е выражается формулой:
Re ='г" •
На балку EI в сечении Е передается давление, равное и противоположное
этой реакции. От такой нагрузки на опоре F возникает реакция
и
При переменном значении х эта формула выражает прямую, имеюи1Ую_“УлевУ'2
точку на опоре С. Л. в.
для простой одноконсольной балки АЕ.
. показана на фиг. 209. Л. в. MD и Мв строятся, как
151
Л. в. на протяжении Е1 строится, как для простой двухконсольной балки
При движении груза по крайней левой балке давление, передающееся на конец Е
изменяется по линейному закону; можно сказать, что балка EI нагружена непо-
движной силой, приложенной в сечении Е, но изменяющей свою величину по
линейному закону. Отсюда непосредственно вытекает что и момент в сечении Q
изменяется по линейному закону. То же самое можно сказать о правом участке.
Читателю предоставляется самостоятельно построить эту л. в.
Л в. Qd, Qg, QrtJiee) И QF(npae) показаны на фиг. 209. Они весьма просты,
что делает пояснение излишним. Через Qp^iee) и Qr(npae) обозначены поперечные
силы в сечениях, расположенных бесконечно близко к опоре Е соответственно
слева и справа от нее.
§ 7. ПОСТРОЕНИЕ ТЕХ ЖЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ КИНЕМАТИЧЕСКИМ СПОСОБОМ
Кинематический способ позволяет представить себе характер л. в. в уме, без
всяких вычислений. Он же служит прекрасным средством для поверки л. в.,
построенных статическим способом.
Л. в. Rc. Для ее построения достаточно откинуть опорный стержень С и дать
системе возможное бесконечно малое перемещение. При этом балка АСЕ как одно
ВДН11ИН!!»"
Фиг. 210.
целое, повернется вокруг точки Е*, остальная часть системы останется неподвижной.
Диаграмма вертикальных перемещений будет иметь вид наклонной прямой с нуле-
вой ординатой под точкой Е (см. фиг. 209).
Л. в. Rp- Нужно убрать опорный стержень Е. Все три балки совершат
вертикальные перемещения, поворачиваясь соответственно вокруг точек С, //, К.
Л. в. Md и получатся, как диаграммы вертикальных перемещений после
установки шарнира в сечениях D или В.
Л. в. поперечной силы Qd получится, если мы перережем балку АЕ
в сечении D и дадим возможность обеим ее частям переместиться друг относи-
тельно др\га по вертикали без взаимного поворота. Для этого нужно,
чтобы обе части балки АЕ повернулись вокруг своих опорных точек в одинаковом
направлении и на один и тот же угол.
Л. в. Qg, Qpuee)' QF(npan) получаются таким же способом.
Задача 1. Построить л. в. для системы, показанной на фиг. 99. й
Задача 2. Построить л. в. опорной реакции Rr для балочной системы, показанн
на фиг. 210.
Для получения л. в. Rg нужно устранить опорный стержень В и дать механизму воз
можное перемещение, указанное на фиг. 210. ,
Задача 3. Для той же балочиой системы построить кинематическим способом Л1
влияния QF. Мр, Qg, Мв, QH, Мн.
§ 8. ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Балки с концами, высылающими за опоры (консолями), были известны строи-
телям, несомненно, очень давно.
п „ Указать пату их появления так же трудно, как указать дату появления пер-
однопролетной балки. Простая консоль также принадлежит к числу древнейши
152
конном в стену (фиг. 211).
По всей вероятности,
конструкций. В связи с этим
очередь этим балкам. В книге S БесеТ? ИЗГИба бЫЛЭ по“"а В первую
касающиеся двух новых отраслей науки отнг>ся.„1(\^аТемаТИЧеСКие Доказательства,
жению“, вышедшей в 1638 г. 1, содержатся СЯ R ме!1аНике и местному дви-
балок разной длины и толщины и помешен пиЛеНИЯ л сРавнительной прочности
.-липом в стену (<Ьиг 91 п р Унок балки, защемленной одним
резные балки. Идея увеличить Третий ш “1“? ИН°ГДа ” много"РОлетные раз-
дай путем опирания средней балки на свешиваюш^еея^п6™0*1 балочной конструк-
вполне естественной. Тем не менее следов этой илр * НЦЫ ДВух кРайних кажется
до XIX в. Только XIX в. с его железнодорожным "юстостр^н^^
ции в литературе и к ее изучению.
Пролетные строения мостов, имеющие
вид серии балочных ферм, шарнирно опи-
рающихся на консольно-балочные фермы,
впервые появились на практике в 1ь59 г.
Впоследствии они неоднократно применялись
в мостостроении и обеспечили рекордные
пролеты балочных мостов.
С теоретической точки зрения эта си-
стема представляет интерес, как связанная
со многими важными проблемами строи-
тельной механики: вопросами структуры и
синтеза расчетных схем сооружений, вопро-
сами наименьшего веса, наименьшего про-
гиба, максимальных про .етов и т. д. Как
мы видели выше, она представляет благодар-
ное поле для развития методов графоста-
тики, для кинематического метода построения'
1>иг. 211.
Из литературы, посвященной теории ра-
счета таких балок, необходимо выделить одну
из наиболее выдающихся и притом первую в мировой литературе работу инженера
Гавриила Семиколенова, опубликованную почти 80 лет тому назад2. В эт< й статье
подчеркнуты все основные достоинства „уравновешенных", по его терминологии,
балок и дается полный аналитический их расчет с построением эпюр изгибающих
моментов и поперечных сил и с решением ряда важных задач, касающихся
наивыгоднейшего расположения шарниров, уменьшения наибольших усилий, умень-
шения расхода металла и т. д. Работа эта не потеряла своего значения до настоя-
щего времени.
В основном тема расчета таких балок разработана и поэтому не привлекает к себе
внимания современных исследователей. Однако и в этой области имеются недоста-
точно изученные вопросы.
Назовем для примера вопрос о наивыгоднейшем расположении опор и про-
межуточных шарниров при расчете на совместное действие заданной непо-
движной или подвижной нагрузки и собственного веса. Интересные результаты
получил проф. А. Р. Ржаницын 8 при решении задачи о балках равного сопроти-
вления (без учета собственного веса). Он принимал, что поперечное сечение балки
при решении задачи о балках равного сопроти-
: языке Гос. технико-теоретическим издательством в 1934 г.
Гавриил С ем и к о л е н о в. Теория уравновешенных балок. Журнал Мини
........ ™ p»eps“ 1. тик
1 Издано на русском
2 pl Н Ж® - ___
стерства путей сообщения, т. XIX, стр. 81 143. 1871
в А. Р. Ржаницын, К вопросу г
Сборник „Исследования по теории сооружении
И. М. Рабиновича и М. М. Филоненко-Ьородича, Строииздат, 1949.
153
изменяется по закону:
W _ М _
const,
где IF и F— момент сопротивления и площадь,
[с] — допускаемое нормальное напряжение.
При этом условии оказалось, что, например, в однопролетной балке с защем-
ленными концами и с двумя промежуточными шарнирами, нагруженной какой-угодно
вертикальной знакопостоянной неподвижной нагрузкой, эти два шарнира всегда
должны быть расположены на расстояний */41 от концов балки.
Новые результаты получены им и для балок с другими схемами.
Возможны, конечно, и статически неопределимые схемы балок с промежуточными
шарнирами и опорами. Их расчета мы здесь касаться не будем.
Глава VII
ТРЕХШАРНИРНЫЕ АРКИ И РАМЫ
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Аркой называется распорная система, имеющая вид кривого бруса. Примерами
арок могут служить схемы, показанные на фиг. 212 и 213. Обе фигуры изображают
такие кривые брусья, у которых вертикальная нагрузка вызывает наклонные опорные
Фиг. 212. Фиг. 213.
реакции. Система, представленная на фиг. 212, статически определима, и наклон-
ность ее реакций обусловлена наклонным^йравлением правого опорного стержня;
Система, пред ставленая на фип 213, статически неопределима, и наклонность ее реак-
Р
Фиг. 214.
Фиг. 215.
215 и 216 изображают системы, состоящие из ломаного или частью
ций вызывается стремлением бруса АВ распрямиться под действием нагрузки: концы
/ и В стремятся разойтись, чему препятствуют горизонтальные слагающие опорных
реакций.
Напротив, система, изображенная на фиг. 214, не может быть причислена
к аркам, так как она является безраспорной системой. Ее следует рассматривать,
как криволинейную балку.
Фиг. 215 и 216 изображают системы, состоящие из ломаного или частью
криволинейного, частью ломаного стержня. Их следует рассматривать, как распор-
ные системы рамного типа.
Наличие распора роднит между. собой эти два типа систем со статической
точки зрения, поэтому арочные и распорно-рамные сооружения будут рассматри-
ваться в настоящей главе совместно.
155
Фиг 216.
Фиг. 221.
Фиг. 222. Фиг. 223.
Фиг. 224.
Трехшарнирная арка или рама (фиг. 217 и 218) представляет собой статически
определим} ю систему. Она состоит из дВух полуарок или полуХ связанных
шарнирно с опорами и между собой Опорные шарниры называются обычно пято-
выми, а средний — ключевым. Статическая опреде-
лимость трехшарнирной арки может быть доказана на
основан и формулы (2) § II -2: здесьС\ = 4 iff — 1
т. е. число лишних связей равно нулю.
Трехшарнирная арк-i или рама может иметь опор-
ные шарниры, расположенные либо непосредс!венно на
опорах (фиг. 217 и 218), либо на консолях, защемлен-
ных в опоры (фиг. 219). Она может быть симметричной,
как фигуры, указанные выше, или же несимметричной
(фиг. 220). Арка, у которой опоры расположены на
разных уровнях, иногда называется ползучей.
Разновидностью простой трехшарнирной арки или
рамы является трехшарнирная же арха или рама с за-
тяжкой, т. е. с дополнительным С1ержнем, стягиваю-
щим обе половины (фиг. 221). Для того чтобы такая
система оставалась статически определимой, необходимо
тяжки удалением одного" из опорных стержней. Впрочем, из самой структуры этой
системы видно, что она состоит из трех диск >в ДС, СВ, АВ, образующих жесткий
треугольник, поэтому нуждается только в трех опорных стержнях.
возместить добавление за-
Фиг. 226.
тогда она называется
быть расположена выше уровня опор;
Затяжка может
повышенной (фиг. 222 и 223) быть образованЬ, более сложные
" 226Ф»«а,»51.рИ«Р Ч—— т^-Р“Р"О» -Р“ ’ "Р—““
строительстве.
§ 2. аналитический способ определения опорных реакций
Для аналитического решения задачи ограничимся случаем вертикальной нагруЗКи
приложенной к трехшарнирной арке или раме (фиг. 227). *
Соответственно числу своих опорных стержней система содержит четыре неиз-
вестные составляющие опорных реакций. Их можно определить, написав для всего
сооружения
три уравнения статики
момент в сечении С бруса АСВ.
и, кроме того, приравняв нулю изгибающий
В целях получения уравнений, содержащих лишь по одной неизвестной, раз-
ложим каждую из опорных реакций на две составляющие, из которых одна напра-
влена по вертикали, а другая — по прямой АВ, соединяющей пятовые шарниры.
Такое разложение отличается от наиболее часто применяемого в механике разложе-
жения сил на взаимно перпендикулярные составляющие, но в данное случае оно
является наиболее целесообразным.
Фиг. 227.
Обозначим расстояния каждой силы от левой и правой опорных вертикалей
соответственно через и и приравняем нулю моменты всех сил сначала относи-
тельно точки В, а потом относительно точки А. Моменты неизвестных сил /7д и Ив
обратятся в нуль, и получится:
или
(1)
(2)
Легко убедиться в том, что полученные значения сил Тд, Тв ничем не отли-
чаются от тех вертикальных реакций левой и правой опор, которые получились
бы от рассматриваемой нагрузки, если бы трехшарнирная арка была заменена про-
стой балкой, опертой в точках А и В, и наклонные составляющие опорных реакций
отсутствовали.
В качестве третьего уравнения составим уравнение проекций всех сил на гори-
зонталь. Проекции всех сил Р„ а также сил Тл, Тв обратятся в нуль, и останется
Нл cos а — Нв cos а =• 0, или Нд==Н'в-
f f
Таким образом, при действии вертикальных сил наклонные составляющие На и
равны между собой по абсолютной величине и направлены в противоположные
стороны. Если силы Pi не вертикальны, то такого вывода сделать нельзя J. В даль-
нейшем мы откинем индекс в выражениях Ид и Нв и для случая действия верти-
кальных сил будем писать просто Нг.
RannJ Понятие о вертикали здесь является условным. В сущности все силы Pi могут быть
Р влены как угодно, лишь бы они были взаимно параллельны, а составляющие /а» 1в
НЫ паРаллельно силам Наклонные параллельные силы Pf> действующие на арку
действу1 ''10ЖС1ШЫМИ на 0лн0м УР°вне> могут рассматриваться как вертикальные сил »
лн М2°ПТРИ XXw - — С. Возьмем
же просуммируем моменты сил, действующих „а прав™", p™ySпоХтсяо™"
И тот же, так как сумма моментов всех сил ленг™^..,; У I получится один
нулю относительно любой точки плоскости. ’ У Щ х На обе полУаРки. Равна
Возьмем, например, момент левых сил:
ТА h — 2 Pt (li — at) — H'f' = 0.
Первые два члена выражают собой суммарный момент всех левых
к шарниру С вертикальных сил, т. ।
от заданных сил в сечении С простой балки. Обозначим этот
Тогда
по отношению
е. изгибающий момент, который получился бы
момент через М&
или
^7' = 0
Фиг. 228.
Полученная формула имеет фун-
даментальное значение для всей тео-
рии трехшарнирных систем. Она показывает, что при любой вертикальной нагрузке
наклонная составляющая Н' опорных реакций, или распор:
1) при заданном расположении шарниров А, В и Сне зависит
от формы оси арки;
2) при заданной нагрузке зависит исключительно от распо-
ложения шарниров Л, В и С;
3) равняется изгибающему моменту Мс простой балки, раз-
деленному на стрелу
Из третьего пункта следует, что распор возрастает с увеличением изгибающего
момента так как назначение распора в арке состоит именно в уничтожении
этого момента, присущего балке.
Из того же пункта следует, что если мы будем изменять форму оси арки так,
что пятовые шарниры А и В останутся на месте, а ключевой шарнир С будет
передвигаться по вертикали вверх или вниз, то распор будет изменяться обратно
пропорционально стреле f. Более пологая арка или вообще система с меньшим
значением f будет иметь больший распор, чем арка или рама с большим подъемом.
При fr = 0 получается Н' = ео. Как нам уже известно, система, статически
определимая по своей структуре, может получить от конечной нагрузки беско-
нечно большие усилия только в том случае, если она мгновенно изменяема. Следо-
вательно, трехшарнирная арка или рама, у которой все три шарнира расположены
на одной прямой (фиг. 228), мгновенно изменяема.
Разложим силу Н' на горизонтальную составляющую Н и вертикальную Т и
определим их величины:
Н = Н‘ cos а =
cos а.
Но так как--------то
cos а
Вертикальная составляющая силы И:
Tf == /7' sin а == // tg а.
nnnn А и В соответственно равны
Суммарные вертикальные реакции опор
Ул=7’л+Г'; Vb^Tb—T.
(5)
(6)
159
г' Полная реакция левой (правой) опоры может быть получена двояким способом*
либо как равнодействующая сил Тл и Н' (Тв и Н'), либо как равнодействующая
сил Кд и Н (Vв и Я).
Внутренняя сила, развивающаяся в шарнире С, может быть найдена из условий
равновесия любой полуарки (фиг. 229): горизонтальная реакция равна и противо-
положна соответствующей опорной реакции /Д а вертикальная равна и противопо-
Фиг. 229.
ложна геометрической сумме сил l/д, р
р» Рз-
На практике наиболее часто встречается
арка или рама с опорами, расположенными на
одном уровне. В этом случае, очевидно:
а = 0; Hf = H\ Т' = 0.
Для вертикальной сосредоточенной силы Р,
приложенной к левой полуарке (фиг. 230),
распор выражается формулой (4)
(7)
Для нагрузки интенсивности q, равномерно распределенной по
ной проекции и покрывающей левую половину системы <фиг. 231)
горизонталь-
но
нагрузки той же интенсивности, покрывающей весь прэлет
_______________________________qhh,
(9)
Фиг. 230.
£иг. 231.
ЗВ
Для симметричной системы, у которой /1 = /2 = ~, формулы (8) и (9) пере-
ходят в
(87)
(9')
§ 3. ЭПЮРА ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ
В произвольном
изгибающий момент
сечении D арки, нагруженной вертикальными
выражается формулой:
силами (фиг.
Мп = Л1в — Н'у',
227),
(Ю')
где MD изгибающий момент, который получился бы в сечении D простой балки
при отсутствии среднего шарнира.
160
После подстановок
cos а
и У' =_у cos а
эта формула переходит в
== Mj)--Ну
При всевозможных положениях сечения D
щих моментов: первый член представляет собой
(10)
она выражает собой эпюру изгибаю-
эпюру моментов простой балки,
Фиг. 232.
опертой в точках А и В. а второй член выражает собой кривую ординат у оси
арки, умноженных на постоянный множитель Я.
Если заменить арку новой, имеющей тот же пролет I, но все ординаты у
увеличенными или уменьшенными в k раз, где k — произвольное положительное
число, то эпюра изгибающих моментов останется без изменения.
Фиг. 234.
Фиг. 233.
Это непосредственно вытекает из формулы (10), так как в этом случае в ней
придется вместо у писать ky, а вместо Н писать ~^-Я, следовательно, произве-
К
дение Ну останется без изменения.
На фиг. 232 показана эпюра моментов для арки фиг. 227, причем за ось
абсцисс принята горизонтальная прямая, точки Сг которой представляют
собой проекции шарниров. Эпюры Мр и Ну пересекаются между собой в клю-
чевом сечении С, так как в этом сечении суммарная ордината изгибающих момен-
тов должна быть равна нулю.
На фиг. 233_____235 изображены эпюры изгибающих моментов симметричной
трехшарнирной арки от сосредоточенной вертикальной силы Р и от сплошной
равномерно распределенной нагрузки, загружающей половину пролета. На верхней
части фиг. 233 эпюра моментов отложена от оси самой арки на нормалях к ней.
Такое изображение является несколько более наглядным, но строится сложнее,
а потому редко применяется.
11 Зак. 1842. И М. Рабинович.
161
Эпюры изгибающих моментов дают яркую статическую характеристику трех-
шарнирной арки и резко подчеркивают ее отличие от безраспорной балки. Влияние
распора сказывается в резком уменьшении изгибающих моментов: вместо ординат
которые выражали бы момент при отсутствии распора, остаются лишь раз-
ности М°~—Ну. Очень важно то, что уменьшение моментов наиболее резко ска-
зывается как раз в средней части пролета, где балка имеет обычно наибольшие
Фиг. 235.
значения ординат эпюры Л1°. В этом умень-
шении влияния изгиба и состоят вся особен-
ность, все существо и смысл применения
арочных систем.
Однако не следует забывать, что благо-
даря наличию распора арка нуждается в бо-
лее массивных опорах, чем балка.
§ 4. РАЦИОНАЛЬНОЕ ОЧЕРТАНИЕ ОСИ
ТРЕХШАРНИРНОЙ АРКИ ИЛИ РАМЫ ДЛЯ
ВЕРТИКАЛЬНОЙ НАГРУЗКИ
*
Наиболее совершенного своего выраже-
ния идея арки достигает в тех случаях, когда
суммарный изгибающий момент на всем про-
тяжении системы обращается в нуль. Такой
результат может быть достигнут специальным подбором той кривой, по которой
очерчена ось арки или рамы. Подобранную таким образом ось называют рацио-
нальной осью.
Легко доказать следующую теорему: для того чтобы в трехшарнир-
ной арке при действии заданной вертикальной нагрузки изги-
бающий момент во всех сечениях был равен нулю, необходимо
и достаточно, чтобы вертикальные ординаты у всех точек оси,
отсчитанные от опорной прямой АВ (фиг. 227), были пропорцио-
нальны соответствующим ординатам „балочной" эпюры 7И°.
Действительно, пусть в любом се-
чении арки у = kM°, где k — некоторый
постоянный Коэ
>ициент. Тогда в любом
сечении D
Aljy = Мр — Ну в = 714/) — HkMQB =
= M°D (1 — kH).
Но так как в ключевом шарнире изгибаю-
щий момент равен нулю:
Л1С-=Л4(1 —/?/-/)=: о,
Фиг. 236.
0; следовательно, и Мв = 0.
любой заданной вертикальной нагрузки,
0 при любом расположении шарниров А, В и С без всякого
которое обеспечит отсутствие
оси которых имеют соответственно пропорциональные орди-
причем, так как, вообще говоря, Л1с 0,
то 1 —kH = 0; следовательно, и Мп = 0.
На основании этой теоремы можно ддя
для которой
труда подобрать рациональное очертание оси,
изгиба. Задача имеет бесконечное множество решений, т. е. удовлетворяется
семейством арок, оси которых имеют соответственно пропорциональные орди-
наты.
Для примера рассмотрим симметричную тпехшарнирную арку, ось которой
черчена по квадратной параболе. Нагрузим ее сплошной равномерно распреде-
ленной по пролету I нагрузкой интенсивности q (фиг. 236). Уравнение оси пара-
относительно системы координат, имеющей начало в шарнире Л.
4 %
ь
162
Распор:
и = < _ Я?
J 6/"
Изгиоающий момент в произвольном сечении:
>4__.9^ Чх^ г, ах .. „п и
нулю, то очевидно, что в состоянии
системы ничто не изменится, если шарнир
2 2
TaR как момент во всех сечениях равен ;—
будет помещен не в середине пролета,
а в произвольном сечении. Таким образом,
изгибающих моментов останется в силе при
нира С на параболической оси.
Пусть для данной трехшарнирной арки
найдена такая нагрузка, которая вызывает
в ней нулевую эпюру моментов. Разобьем на-
грузку на произвольные две части и построим
для арки соответствующие две эпюры момен-
тов, которые назовем 7И
М
грузки вызывают в арке соответственно рав-
ные, но противоположные по знаку эпюры.
Примеры таких эпюр для симметричной
арки, очерченной по квадратной параболе,
показаны на фиг. 237 и 238.
На фиг. 239 эпюры моментов загружен-
ной левой полуарки равны и противоположны
эпюре моментов незагруженной правой.
Решим теперь следующую задачу:
полученный вывод об отсутствии
произвольном расположении
шар-
УИ2 = о, то = — Л7
и Л42. Так . как
2, т. е. обе на-
при действии кот
обратятся в нуль
пятовые шарниры А и
11*
данному очертанию оси
вертикальную нагрузку,
орой изгибающие моменты во всех сечениях
Для этого нужно поступить следующим образом. Если
В расположены на одном уровне, то ось арки следует
16»
по
принять за эпюру „балочных" моментов Л4°. Если эти шарниры расположены на
различном уровне, как на фиг. 227, то вертикальные отрезки у, отсчитанные от
наклонной оси АВ, следует отложить от горизонтальной оси и уже эту кривую
нужно принять за эпюру моментов
7И°. Для получения графика интенсивности q
внешней нагрузки достаточно дважды проди-
ференцировать по х эпюру Л1° и умножить
результат на произвольный коэфициент k:
, d*I\№
4 dx2
Фиг. 240.
Появление неопределенного множителя
k объясняется тем, что одной и той же оси
арки соответствует бесконечное множество
взаимно-пропорциональных нагрузок.
Пусть например, ось арки очерчена по симметричной алгебраической кривой
следующего вида:
г = ах2п,
где ось z совпадает с осью симметрии, а начало координат расположено в вер-
шине ।кривой (фиг. 240). Чтобы получить уравнение сплошной распределенной
нагрузки q, составим выражение
и продиференцируем его дважды:
й=- S=—2п ал2п~2-
Умножив результат на произвольный коэфициент k, получим уравнение интенсив-
ности нагрузки на единицу горизонтальной проекции оси:
\ q =— 2п(2п—Vjakx^"2.
При /7=1, q= — 2ak = const. Этот случай уже был разобран выше.
При /2 = 2, q = — 12я£х2 = ах2, где а — произвольное число.
При /г = 3, q — J3x4 и т. д.
Как видно из этих формул, при п ^>2 нагрузка быстро возрастает по напра-
лению к краям, а в середине пролета имеет интенсивность, равную нулю.
Фиг. 241. Фиг. 242.
Между рациональными очертаниями осей для различных вертикальных нагру-
зок можно установить простое и вместе с тем замечательное соотношение. Огра-
ничимся для простоты рассмотрением арок, пятовые шарниры которых располо-
жены на одинаковом уровне. Пусть имеем несколько арок с одинаковым про-
стом 1у но с различным очертанием оси. Расположение ключевого шарнира по
"одни6 пР°лета также может быть различным. Ординаты их осей, отвечающие
’(Фиг*1?^! TqM Же абсциссам, обозначим соответственно через у^
и 42); нагрузки, вызывающие в них нулевые эпюры моментов,
5 164
через qp
•••' Vn. zi>
через Л/?, Л/?, .Л1°*
Из того условия, что моменты во всех точках
М?
~ = const = Н2, ....
Л4®
— = const == Нл:
2> • ••» балочные моменты от этих нягп™™
2- ИХ нагРУ30К — соответственно
"^наконец, распоры — через Нь /У2, ... /у.
равны нулю, следует, что:
- = const = Нп.
Заменим ось арки новой кривой, выражаемой уравнением:
У “ + а2Н2^2 + ... anHnyn,
а нагрузку — новой нагрузкой
q _ Н (сс^ + а^2 4- . .. anqn),
отрицательные коэ
где ctj, а2, Н произвольные положительные или
циенты. Тогда в любой точке новой арки мы будем иметь
т. е. в любой точке будет соблюдаться условие, характеризующее рациональную
ось. Ключевой шарнир можно поместить при этом в любой точке оси.
В числе вертикальных сил, действующих на арку, всегда имеется и ее соб-
ственный вес, который, однако, не может быть известен раньше, чем установлена
форма ее оси. Но раз неизвестна одна из нагрузок, то, естественно, неизвестна
и реальная форма оси. В таком случае подбор оси производится обычно при
помощи последовательных приближений.
Задачу о подборе рациональной оси можно решать не только для «вер-
тикальной нагрузки, но и для случая непараллельных сил, направленных как
угодно. Однако в этом последнем случае задача проще решается графическим
путем, который будет указан ниже.
§ 5. ЭПЮРЫ ПОПЕРЕЧНЫХ И ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ, ОТВЕЧАЮЩИХ
НАГРУЗКЕ
ЕРТИКАЛЬНОЙ
Поперечной силой в каком-нибудь сечении D стержня называется, как известно,
сумма проекций на нормаль к оси стержня всех сил, расположенных по одну
сторону от сечения. Условимся считать поперечную силу положительной, если
она стремится вращать обе
части стержня вокруг их
противоположных концов по
часовой стрелке (фиг. 243).
Продольную (нормальную
к сечению стержня) силу
будем считать положитель-
ной в том случае, когда она
растягивает стержень.
Фиг. 243.
Фиг. 244.
Для произвольного сечения
арки, имеющей опоры, расположенные на одном
уровне (фиг. 244)
Q = ( VА — 2 рг) COS f — И sin
165
где под знаком суммы стоят силы, расположенные слева от рассматриваемого
сечения. Знаки правой части получены (фиг. 244, б'и в) так: составляющая IZ^cos?
силы Va стремится повернуть часть AD вокруг точки D по часовой стрелке
а составляющая //sin? распора стремится повернуть ее против часовой стрелки*
следовательно, первая вызывает в сече-
нии D положительную поперечную силу,
а вторая — отрицательную.
Введем обозначение
Va —
Очевидно, <2° выражает собой поперечную
силу, которая получилась бы в соответ-
Фиг. 246.
Фиг. 245.
ствующем сечении, если бы арка была заменена простой балкой с горизонтальной
осью. Итак,
Q = Q°cos?—//sin?. (П)
Спроектировав все силы на касательную к оси арки в сечении Z), получим
W=— (Q° sin ?-p/Zcos?). (12)
Из формулы (11) следует, что в трехшарнирной арке не только эпюра изги-
бающих моментов, но и эпюра поперечных сил получается, вообще говоря,
уменьшенной по сравнению с простой балкой. Формула (12) показывает, если
можно так выразиться, оборотную сторону медали; уменьшение моментов и попе-
речных сил покупается ценой появления нового — отсутствующего в простой
алке- усилия, а именно продольного сжимающего.
ля получения эпюры Q нужно умножить ординаты „балочной эпюры <2°
выЧр00ТВеТСТВуЮ111Ие ка™У сечению величины cos? и из полученной кривой
кя^пгиЬ °Рдинаты кривой sin ?, умноженные на постоянное число Н. При этом
Эшопа /5°сРеДОТОЧенНОЙ силе на эпюРе соответств) ет уступ, равный P,cos?.
троится, как сумма двух кривых, причем уступы равны P,sin?.
166
На фиг. 245 показаны эпюры Q
точенной силы, а на фиг. 246__
1 4 пролета сплошной равномерной нагрузкой
I»
И М соответствующие действию сосредо-
а С00Твег«Б) ющие загруженню
Между эпюрами М, Q к N для“‘ кривого стержня
существует простая зависимость, которая позволяет
производить взаимную проверку этих кривых.
Связь между эпюрами 714 и Q имеет вид:
ds ’
M+dN
(13)
dM dx dM
Q = dT’^=d7C0S!?-
нагруженной вертикальной нагрузкой,
следовательно
Фиг. 247.
или иначе:
Для арки,
Л4 = Ж0— Ну,
I
постоянной; обозначим ее
* dx
т. е. формула (11) является следствием общего соотно-
шения (13).
Связь между Q и N можно получить из усло-
вий равновесия элемента ds (фиг. 247). Обозначим
его рациус кривизны через г. Интенсивность сплошной
нагрузки на единицу длины элемента можно считать
через р. Угол наклона этой нагрузки к радиусу обозначим через 0. Кроме того,
примем, что конечной сосредоточенной внешней силы на участке ds не имеется.
Приравняем нулю сумму проекций всех сил на направление касательной
к оси стержня на одном из его концов, например на левом:
N— 0V dN) cos do (Q Ц- dQ) sin dy 4“
4~ p ds • sin 0 — 0.
Откинув бесконечно малые высших порядков
и разделив обе части на ds, получим:
п sin dy
^~ds~
так как
^ = 0
но
то
ds г
Q dM . о
= -у----р sin 0.
(14)
Рассуждая таким же образом, но спроек-
тировав все силы на направление одной из
поперечных сил, найдем:
(15)
Если на
нет внешней
вовсе
рассматриваемом участке
нагрузки, то
dN N
= ~~г~ И —
ds г
dQ
ds '
Применим эти соотношения для взаим-
ной поверки эпюр, построенных на фиг. 246.
не пролет) арки на п равных частей
выпрямим ось арки. Ординаты
будем брать из фиг. 246 и переносить на
167
(16)
Для этого разделим
и затем отложим их на прямой; иначе говоря
эпюры ж в точках деления
II
выпрямленную ось (фиг. 248). Так получится эпюра моментов в функции
от длины s.
менной, мы должны получить эпюру Q (также в
менной s). Для получения эпюры — в тех же координатах следует на незагру-
Продиференцировав ее один раз по этой независимой пере-
хл z функции от пере-
женной части арки проди ференцировать эпюру Q, а на загруженной добавить
к этой производной умноженные на р косинусы углов 0 наклона оси арки к гори-
зонтали. Наконец для построения эпюры N нужно найденные этим способом
N
ординаты кривой у умножить на соответствующие значения г.
Приближенное сопоставление эпюр М9 Q, N, построенных в функции от
абсцисс х, может быть произведено на глаз без перечерчивания.
§ 6. ГРАФИЧЕСКОЕ НАХОЖДЕНИЕ ОПОРНЫХ РЕАКЦИИ
Определение усилий в арке при произвольном направлении внешней нагрузки
и произвольном очертании оси удобно производится графическим способом.
Пусть на одну полуарку действует сосредоточенная сила Р (фиг. 249).
Из условий равновесия незагруженной полуарки ВС, которая находится под влия-
нием
(фиг. 249, б), следует, что опор-
двух сил, приложенных в точках В и С
Фиг. 249.
ная реакция незагружен-
ной полуарки всегда про-
ходит через ключевой
шарнир С. Для равновесия
трех сил Р, Ra и Rb необхо-
димо, чтобы они пересекались
в одной точке; этим определяется
направление реакции /?^. Наконец,
величины обеих реакций опреде-
ляются из силового многоуголь-
ника (фиг. 249, в). При этом по-
строении мы не нуждаемся в пред-
варительном определении распора.
Если полуарка загружена
системой сил, то при помощи
веревочного
многоугольника находят
ее равнодействующую, после чего посту-
загруженная. Такой же
Rb^ Суммарная реакция Ri является
пают по-предыдущему.
Если полуарка загружена уравновешенной системой сил, то реакция незагру-
женной полуарки обращается в нуль; работает только
результат получается в том случае, когда
равнодействующая сил, приложенных к по-
луарке, проходит через ее пятовой шарнир
(фиг. 250).
Если нагрузка расположена на обеих
полуарках, то, применяя принцип незави-
симости действия сил, строят отдельно
реакции, вызываемые загружением одной
полуарки, и отдельно—реакции, вызывае-
мые загружением другой, после чего полу-
ченные составляющие геометрически скла-
дывают. ”* • -
реакции и а Сида
равнодействующей сил и“^*а реакция‘^—равнодействующей сил RB и Rri-
ное расположение этого построения показано в § VII, 8.
на ™₽и,РНЫе Реакции можно также определить, не прибегая к разделению нагрузки
(фиг 252)?’ Рассмот₽и'’. например, случай нагружения арки параллельными силами
На фиг. 251 сила S. вызывает
реакции Ra и
’68
Построим для заданной нагрузки
На
соответствующий ему веревочный,
ной вертикали проведем вер-
произвольный силовой
расстоянии f от левой
многоугольник и
или правой опор-
тикаль и отметим отрезок yt
между первой стороной много-
угольника и его замыкающей ab.
Этот отрезок выражает в некото-
ром масштабе момент вертикаль-
ной опорной реакции 1/А или VB
относительно точек проведенной
вертикали, т. с. величину
или Гр/.
Ордината у2, проходящая че-
рез шарнир С, выражает балоч-
ный момент в шарнире, который,
как известно, должен рав-
няться Hf.
Пусть, например, расстояние
/ отложено от левой опорной
вертикали. Можно написать:
ух== k Vjf; у2 == kHf
или
^а: Н~у1:у2.
После этого остается найти на-
правление реакции Яд по двум ее
составляющим ух ид/2. Продолжив
ее до встречи в точке D с ли-
нией действия равнодействующей
внешней нагрузки и проведя пря-
мую DB, найдем направление пра-
вой реакции RB.
Предлагаемое здесь построе-
ние нетрудно распространить на
Фиг. 252.
случай непараллельных сил1.
§ 7. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИММЕТРИИ ПРИ ПОСТРОЕНИИ ОПОРНЫХ РЕАКЦИЙ
Фиг. 253.
Фиг. 254.
должны быть симметричны относительно той же оси.
нить расчет арки расчетом ее половины. Например,
Это дает возможность заме-
дли определения реакций на
1 Другое построение дано было в 1*м издании
настоящей книги на стр. 171.
169
фиг. 253 можно рассматривать одну полуарку, представленную на фиг. 254 ца
которой направление реакции Яс перпендикулярно к оси симметрии. ’
Фиг. 255. Фиг. 256.
На фиг. 255, где обе силы Р вертикальны (параллельны оси симметрии),
можно не только найти опорные реакции таким же способом, как в предыдущем
примере, но сразу, не определяя опорных реакций, определить их вертикальные
Фиг. 257.
и горизонтальные составляющие: горизон-
тальная образует пару с силой Яс» а вер-
тикальная— с силой Я. Из равенства момен-
тов обеих пар следует:
Ра = Rcf или Rc =
Иногда приходится встречаться с нагруз-
кой обрати о-с имметричной, или косо-
симметричной. Так называется нагрузка,
которая получается из стшетричной, если
в одной из двух ее половин изменить знаки
всех сил на обратные. Опорные реакции так-
же получаются при этом обратно-симметрич-
ными. Отсюда следует, что давление Яс
в среднем шарнире должно быть направлено
параллельно оси симметрии. Благодаря этому
также можно ограничиться рассмотрением
одной полуарки. Такой пример показан на
£иг. 256. Еще проще получается решение в том случае, когда внешние силы
(фиг. 257, а). В этом случае распор обращается в нуль
параллельны оси
(фиг. 257, б).
§ 8. МНОГОУГОЛЬНИК равнодействующих и кривая давлении
Для изучения напряженного состояния арки и для суждения о степени рацио-
нальности очертания ее оси весьма удобным оказывается использование много-
угольника равнодействующих (см. стр. 69).
Так называется веревочный многоугольник, любая сторона которого направлена
многоугольник называют обычно многоугольником давлений или
чае сплошной нагрузки — крнвойдавления.
На фиг. 258 показано построение этого многоугольника. Сначала для заданно
--- .. ----------------------------------------------------- _
ними полюсами О
170
по соответствующей равнодействующей всех левых или правых сил. Для арок этот
многоугольник называют обычно многоугольником давлений или в слу-
чае сплошной нагрузки — крнвойдавления.
На фиг. 258 показано построение этого многоугольника. Сначала для заданно
внешней нагрузки обеих полуарок строятся силовые многоугольники с произволь
ными полюсами Oj и О2, а также соответствующие веревочные многоугольники
Из_силовы многоугольников определяются равнодей-
ог действияХГ-,И пол<~. Опорные
ЛЛ7. « . 51 научаются реакции Д, и В.,
i от действия S2—реакции Д2
направления этих
многоугольников (фиг. 258, б).
геометрически эти составляющие.
_ I на силах Вг и Д2 и
с концами силового много-
остается принять точку К за новый
а-12-b' и а"-34"-45"-Ъ". 2_____
ствл ющие Sj и S2 обеих нагрузок
реакции определяются по частям-
рикши, шхмяг „X величину и с„ло„„ u“p“p. Зва,
Для получения суммарных реакций складывают k CVMC, „иче(
поТучТют точку 7*0™Н°Г0уГ0льнике СТР°ЯТ "араллелограм
получают точку К. Отрезки прямых, соединяющие ее
угольника, равны искомым реакциям А и В.
Для получения многоугольника давлений г
полюс силового многоугольника и построить соответсТвующий^ему веревочный
многоугольник A-I2-23-34-45-B, проведя первую сторону его^ерез левый
Этот многоугольник должен пройти через остальные два шарнира
шарнир.
Фиг. 258.
Рассмотрим произвольное сечение арки, например сечение Слева от него
расположены опорная реакция А н сила их равнодействующая, как видно из
силового многоугольника, имеет направление луча 72, а так как она должна пройти
через точку пересечения обеих сил, то она направлена по стороне 12 веревочного
многоугольника. Рассуждая таким же образом, мы докажем, что равнодействующая
всех сил, расположенных левее сечения £, направлена по стороне 23 и т. д. Таким
же образом можно доказать, что стороны веревочного многоугольника направлены
по равнодействующим правых сил.
Каждой нагрузке, действующей на данную трехшарнирную арку или раму,
соответствует только один многоугольник давлений.
Чго же мы можем извлечь интересного из этой фигуры? Вместе с соответ-
ствующим силовым многоугольником она дает все, что характеризует напряженное
состояние арки. Пусть тп— любое сечение арки (фиг. 259), а /? —соответствую-
щая сторона многоугольника давлений. Из силового многоугольника определяется
величина силы R, действующей на это сечение; из многоугольника давлений
определяются: ее эксцентриситет или плечо г относительно центра тяжести Cv
ния, ее составляющие — нормальная N и поперечная Q и наконец изги а
171
момент M = Rr. На фиг. 258 плечи г заштрихованы. На протяжении каждого
интервала между силами эти плечи являются измерителями момента, но в каждом
таком интервале измеряют его в особом масштабе.
Интересное графическое представление изгибающего момента дает многоуголь-
ник давлений в том случае, когда арка нагружена параллельными сосредоточенными
силами (фиг. 260). Из какой-нибудь точки
D оси арки проведем плечо г, а также парал-
лельный силам отрезок у, заключенный между
осью и многоугольником давлений. Усилие
действующее на сечение и направленное по
стороне /2, назовем R13. Из веревочного и
силового многоугольников видно, что
Фиг. 259.
И R12
следовательно,
7И = R12r =yh.
(17)
Итак, в этом случае параллельные силам отрезки выражают собой в определенном
и постоянном для всех сечений арки масштабе эпюру изгибающих моментов.
Фиг. 260.
11 I
cos a ’
В случае распределенной вертикальной нагрузки величина yh выражает
собой момент сил, лежащих по одну сторону
а от параллельной силам прямой, пересекаю-
щей это сечение на оси арки. Если толщина
арки невелика по сравнению с ее пролетом,
то это различие не имеет практического зна-
чения.
Чем ближе многоугольник давлений под-
ходит к оси арки, тем менее эксцентрично дей-
ствует сжимающая сила на сечение. При ра-
циональном очертании оси последняя сливается
с кривой давления.
Например, ось арки, очерченная по дуге
окружности и нагруженная гидростатическим
давлением, сама служит кривой давления. Дей-
ствительно, в этом случае силовой многоугольник
(фиг. 262) обращается в дугу окружности, все
элементы которой перпендикулярны соответ-
не от сечения АВ (фиг. 261),
Фиг. 261.
ствующим элементам осн арки. Радиус этой дуги Р
равен pR, где р — интенсивность давления на единиц) длины оси арки, ра
этой оси. Допустим, что для получения кривой давления следует расположить по
172
силового многоугольника в его центре. При этом п™,
левых или правых сил для любого сечения допУЩеции равнодействующая
радиусом. Отсюда следует, что любой элемент геп-п ”а силовом многоугольнике
действующих перпендикулярен к соответствии °ГО много> г<>льника равно-
„ичпп.«™.т1. „„_______ - . соответствующей внешней силе, т. е
Итак, очерченная по окружности
многоугольник сливается с
осью арки.
что
ось
этот
арки
Фиг. 262.
служит веревочным многоугольником для внешней нагрузки* и так как ока про-
ходит через все 3 шарнира, то она и служит кривой давления. Опорные реак-
ции и /?j5 направлены по касательной к окружности. Сжимающее усилие
в любом сечении — постоянно; оно равно pR. В каком месте расположен шарнир С
на дуге АСВУ—не имеет значения* 1.
§ 9. ЯДРОВЫЕ МОМЕНТЫ И НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
Нормальное напряжение при внецентренном сжатии имеет наибольшее и наи-
меньшее значения в крайних волокнах сечения. Рассмотрим какое-либо сечение АВ
(фиг. 263). Будем считать, что оно имеет по крайней мере одну ось симметрии и
что сила /V приложена в одной из точек этой оси. Пусть точки Кд и Кв при-
надлежат контуру ядра сучения. Как известно, нормальная сила N вызывает
в волокнах сечения нормальные напряжения одного знака или двух знаков в за-
висимости от того, находится ли ее точка приложения внутри отрезка Кд Кв
или вне его.
Обозначим расстояния от точек и Кв
до центра тяжести сечения через kA и
Если бы нормальная к сечению сила N была
приложена в то напряжение в волокне А
равнялось бы нулю, следовательно:
N 2д
-p — NkA^j- = Q,
ИЛИ
где F— площадь сечения,
WA— мохмент сопротивления, равный
(U)
Фпг. 263.
ц
1 Исследование кривой давления для совместного действия гидростатического давления
и сосредоточенных сил дано в статье проф. С. А. Бернштейна „О расчете гибкого кольца
в сборнике статей „Исследования по теории сооружений'1, ОНТ И, 1936.
Общее аналитическое выражение для кривой давления см. в статье А. .
„Аналитическое отыскание линии давления" в „Сообщениях Академии наук Грузинском с •
т. IX, № 5, 1948.
173
Сжимающее напряжение в волокне А при расположении силы
на фиг. 263, выражается по абсолютной величине формулой:
ДГ , М
указанном
(19)
ИЛИ
WA
Член — может быть заменен через k следовательно:
N
°a = w7 (W=wp
где
(20)
(21)
Выражение Мя есть не что иное, как момент силы N относительно противо-
положной ядровой точки Кау почему и называется ядровым моментом.
Формула (20) показывает, что наибольшее нормальное напряжение в сечении
имеет такое значение, как будто никакой продольной силы N нет, а имеется лишь
изгибающий момент, равный ядровому моменту Мя. Преимущество этой формулы
перед формулой (19) состоит
Фиг. 264.
в том, что она является одно-
членной и, следовательно, бо-
лее просто и наглядно выясняю-
щей закон изменения напряже-
ний по оси арки.
При расчете на подвижную
нагрузку нахождение макси-
мального нормального напряже-
ния в каком-нибудь сечении
затрудняется тем, что крити-
ческие положения нагрузки для
л. в. /И и N не совпадают.
При загружении л. в. это
затруднение отпадает.
заданной неподвижной вертикаль
•<
Построим эпюру Мя, отвечающую какой-либо
ной нагрз'зке. Пусть для данной арки построен многоугольник давлений. Часть
этого многоугольника 01-12-23 показана на фиг. 264. Для того чтобы получить
изгибающие моменты, следовало бы проводить вертикальную штриховку от
многоугольника давлений до оси арки; для получения ядровых моментов следует
вести эту штриховку до нижней или верхней ядровой точки.
Заметим, что эта эпюра будет иметь разрывы при переходе через сечения,
нагруженные сосредоточенными силами. Например, для всех сечений, лежащих левее
точки Kl9 вертикальную штриховку следует вести от стороны 01 многоугольника
давлений, так как в равнодействующую всех левых сил не входит. Для сечений,
лежащих правее штриховку следует вести уже от стороны 12 и т. д. Анало-
гичным образом получаются разрывы в эпюре моментов относительно верхних ядро-
вых точек.
Скачкообразное изменение ядровых моментов—вполне естественно, так как оно
отвечает прерывистому изменению нормального усилия 7V в точках приложения
сосредоточенных сил. Только сила, направленная нормально к оси арки, не вызы
вает скачков в эпюре Мя.
Имея эпюры Л4Я относительно нижних и верхних ядровых точек, можно вычис
лить расчетные нормальные напряжения:
Мя уН
IT ’
(22)
174
где v — ординаты эпюры, отсчитанные до
Н—полюсное расстояние. 1жней или верхней ядровой точки,
Нетрудно распространить это постпоение ня
нагрузки, а также на случай непараллельных внешнХ c"e"pepb,BH0 Распределенной
§ 10. О НАИВЫГОДНЕЙШЕМ ОЧЕРТАНИИ РАЦИОНАЛЬНОЙ ОСИ АРКИ
Наивыгоднейшим очертанием оси арки следу
л)чшим образом отвечает условиям эксплоатации сооружения и в то
требует минимального расхода материалов и труда на возведение Не
этого сложного вопроса который выходит за пределы строительной
разберем лишь вопрос об арке минимального веса
нагруженной заданной постоянной вертикальной на-
грузкой.
В случае арки малого пролета и с тяжелой
нагрузкой можно приближенно считать, что рацио-
нальное („безмоментное") очертание оси не зависит
от собственного веса арки. Обозначим нормальное
усилие в произвольном сечении, где ось арки накло-
нена к горизонту под углом а, через N. В арке ра-
ционального очертания (фиг. 265) нормальная сила
в любом сечении совпадает с равнодействующей всех
левых или правых сил, поэтому ее
проекция равна распору:
формулой:
ет считать такое, которое наи-
же время
разбирая
механики.
Н
Фиг. 265.
горизонтальная
Площадь поперечного сечения выражается
К Н MQC
о о cos а /а cos а’
где Н—распор;
М°с— балочный момент в среднем шарнире;
а — нормальное напряжение.
Принимая сечение F переменным, а напряжение о — постоянным по всей длине
арки, можно написать для объема материала арки следующее выражение:
Пусть, например, арка очерчена по квадратной параболе:
/=4г х(/—х),
что соответствует нагрузке, равномерно распределенной по горизонтальной проекции.
Тогда:
^=^(Z-2x);
М° f . М°с ( I 16/ \
У= ('+-зг/ — \7^-зГ)-
Считая, что пролет I задан, продиференцируем последнее выражение по /;
мы найдем, что Vmm получается при
175
Если арка имеет постоянное сечение, рассчитанное на
силу, равную
наибольшую
нормальную
С
Фиг. 266.
где Уд вертикальная составляю-
щая реакции в точке Д, то объем
выражается формулой:
здесь L—длина оси арки. Условие
минимума этого выражения имеет
вид
Наивыгоднейшим значением
такое зна-
стрелы f оказывается
чение /0, которая удовлетворяет
условию (23).
Задача о подборе рациональ-
ной кривой для оси арки с уче-
том собственного веса послед-
ней— значительно труднее.
§ 11. ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ Я, М, Q и N
Распор Н выражается фор-
мулой:
откуда следует, что л. в. рас-
пора имеет такой же вид, как
л. в. ТП®, н0 отличается от нее
лишь постоянным множителем -у.
Она представлена на фиг. 266,а.
Ордината под вершиной треуголь-
ника равна где к и
пролеты левой и правой полуарок,
/=/14~/о; /—стрела под шар-
пиром С.” Если пролеты обеих
полуарок равны между собой,
т. е. /,=/«= 4 > т0 9ТО выраже’
Л *
I
ние переходит
Остальные л. в. построены для произвольного сечения Л
значим ординату этого сечения через у~, а угол наклона оси арки р
При любом положении гпуза Р = 1 изгибающий момент в сечении выр
Остальные л. в. построены для произвольного
При любом положении груза Р
жается формулой:
/И к — — НУ к9
176
Первый член правой части выражает собой
сечении простой балки пролета I. Втопой . Г
гигаом .......................... орой /леь! выражает л г
ординат на постоянный
как показано
с
строенную путем умножения
Наложив друг на друга обе
ИСКОМУЮ ЛИНИЮ Фиг. 26^
от горизонтальной оси абсцисс.
Ординаты л. в. выражаются уравнением
всех ее
эти л. в
е дает ту же линию, но
в. изгибающего момента в том же
в. распора Л7, пере-
множитель у
на фиг. 266, б, получим
ординатами, отложенными
^ = w^cos? —Hsino,
где — поперечная сила в сечении К простой балки
равнение показывает, что искомая л. в. строится
л. в. (&, все ординаты которой умножены на постоянное число cos* и л в паспот И
на постоянное число - sin
в., приведенная к обычным декартовым коорди-
Наконец уравнение л. в. продольной силы имеет вид:
показано на
натам, показана на фиг. 266, д.
риг. 266, г. Та же л.
31
с пролетом /.
путем сложения двух л. в.:
------(.Qk sin о Н cos о).
Построение
фиг. 266, е\
фиг. 266, ж.
тГ1аЛ' В‘ Путем сУммиР°вания двух составляющих показано на
же л. в., отнесенная к прямоугольной системе координат, — на
и’
Характерные особенности
трехшарнирной арки, отличаю-
щие ее от простой балки, весь-
ма ярко выступают в этих л. в.
Например, л. в. Л71к имеет ор-
динаты, значительно меньшие,
-О
чем Л1к; она является двузнач-
ной и имеет в промежутке
между опорами нулевую точку.
Л. в. QK также имеет значитель-
но уменьшенные ординаты. Что
касается линии то ее орди-
наты— значительны и в проме-
жутке между операми при
обычном очертании арки имеют
постоянный знак.
§ 12. ПОСТРОЕНИЕ ТЕХ ЖЕ
ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ ПРИ по-
мощи НУЛЕВЫХ ТОЧЕК
Как показывает фиг. 266,
каждая из л. в. Мк, Q^,
состоит из трек прямых, из ко-
Фиг. 267.
торых крайние пересекаются
с осью под опорами. Для того
чтобы построить л. в. в произвольном масштабе, достаточно найти точку пересечения
средней прямой (или ее продолжения) с осью абсцисс. Эти точки мы будем
называть нулевыми, так как в них ординаты л. в. равны нулю. На фиг. 267
они обозначены через о, о2.
При помощи нулевой точки о л. в. М& строится так: через о под произ-
вольным углом наклона проводится средняя линия до встречи с вертикалями,
проведенными из К и С; полученные точки соединяют с нулевыми точками, рас-
положенными на опорных вертикалях. Столь же просто строятся и остальные две
л. в.# коль скоро известны точки о1 и о2. Покажем, как можно найти эти точки.
12 Зак, 1842 И М. Рабинович,
177
Соединим точки А и К прямой линией и продолжим ее до встречи с пря-
мой СВ. Точку пересечения назовем О. Если мы поместим груз Р на вертикали
точки О, то левая реакция пойдет по прямой АО, которая проходит через А
и вследствие этого обращает изгибающий момент в сечении К в нуль. Поэтому
нулевая точка о лежит на вертикали точки О. J
Для получения нулевой точки необходимо поставить груз Р в такое положе-
ние, чтобы в сечении К поперечная сила обратилась в нуль. Для этого нужно, чтобы
левая реакция была параллельна оси арки в этом сечении. Проведем из А прямую
AOt, параллельную касательной к оси арки в сечении К, и найдем точку О
пересечения этой прямой с ВС. Проекция О2 на ось абсцисс и будет искомой
нулевой точкой.
Наконец, для получения нулевой точки о2 л. в. следует направить левую
реакцию перпендикулярно к названной касательной и продолжить ее до встречи
с прямой ВС.
§ 13. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
Для построения л. в. поставим в сечении К шарнир (фиг. 268, а). Арка
разобьется на три диска. Известно, что график, ординаты которого
выражают перемещения точек диска по какому-нибудь (на-
пример, вертикальному) направлению, всегда представляет
собой прямую линию. Отсюда
следует, что л. в. будет со-
стоять из трех прямых.
Мгновенные центры вращения
звеньев 1 и 5, очевидно, совпадают
с пятовыми шарнирами А и В. Мгно-
венный центр 24 среднего звена ле-
жит нз пересечении прямой, соеди-
няющей мгновенные центры вращения
12 и 14 с прямой, соединяющей
мгновенные центры 23 и 34. Симво-
лически это может быть записано
(см. Приложение в конце книги, § 3)
так:
/2- 14-\-23- 34 = 24, (а)
где умножением условно обозначена
прямая, соединяющая две точки, сум-
мированием— точка взаимного пере-
сечения прямых.
Нулевые точки прямых, обра-
зующих л. в., представляют собой
проекции точек 14, 24 и 31.
Чтобы построить л. в. ядро-
вого момента для какого-нибудь
сечения, нужно поставить шарнир не в центре тяжести этого сечения, а в соответ
ствующей ядровой точке сечения; в остальном построение не отличается от по-
строения л. в. изгибающего момента. Нулевая точка о для л. в. ядрового момента
на фиг. 267, но с тем отличием, что прямая ЯЛ
л. в. Qk, следует удалить ту связь, которая препятствует
сечении К по направлению поперечной
. Мгновенный центр 12 лежит в бес-
конечности на прямой, параллельной соединительным стержням.
найдется так же, как показано
проводится через ядровую точку сечения К.
Чтобы получить
взаимному перемещению частей арки в
силы. Соответствующий механизм показан на фиг. 268, о: соединительные стержни
в названном сечении параллельны оси арки. Мгновенный центр 12 лежит в бес-
конечности на прямой, параллельной соединительным стержням. Построение мгно
венного центра 24 выражается попрежнему символическим уравнением (а); прямая
12'14 проходит через шарнир 14 по направлению, параллельном)' соединительным
стержням.
178
Для построения л. в, NK образуется механизм
удаляется связь, препятствующая продольному (вдоль
мешению звеньев 7 и 2, и оставляются
кулярных к оси. Прямая 12 •
соединительным стержням.
показанный на
оси арки) взаимному пере-
}>иг. 2t>8,e:
соединительных стержня, перпенди-
j параллельное этим
получает направление,
»»
Кинематический анализ по-
зволяет легко построить л. в.
и QK при любом на-
правлении движущейся силы.
Для примера рассмотрим по-
строение л. в. Мк (фиг. 269).
Д. в. на фиг. 269, а выражает
влияние движущейся вертикаль-
ной силы, а л. в. на фиг.
269, б—горизонтальной силы.
В первой из этих л. в. ось
абсцисс горизонтальна, а орди-
наты вертикальны; во второй —
наоборот. Вообще, каково бы
14
Фиг. 269.
ни было направление движу-
щейся силы Р=1, ординаты
направляются параллельно этой
силе, а мгновенные центры вращения проекти-
руются в нулевые точки соответствующих прямых.
Фиг. 269, б впрочем можно получить из фиг. 269, я, не пользуясь мгновенными
центрами вращения: если ось абсцисс направлена перпендикулярно силе Р = 1,
то углы а, р и 7 остаются инвариантными при любом направлении этой силы
(§ IV, 26).
§ 14. ТРЕХШАРНИРНАЯ РАМА
Эта система находит себе применение в качестве элемента каркасов промышлен-
ных сооружений различного назначения. Она представляет собой частный случай
Фиг. 270.
грехшарнирной арки и поэтому к ней относятся все указанные выше
Замена кривой оси арки ломаной осью рамы упрощает построение всех эпюр.
179
12*
На фиг. 270 показаны эпюры М, Q и N для простейшей рамы. Вертикальны
реакции получаются из уравнения моментов относительно точек А и В; распоп Н—
из уравнения моментов половины рамы относительно точки С. Построение эпюп
настолько просто, что це нуждается в пояснениях. Напомним только, что ординаты
эпюры Q выражают собой сум-
му проекций всех сил, лежа-
13
Фиг. 271.
щих по одну сторону от сече-
ния стержня, на направление,
перпендикулярное к его оси
(правило знаков см. § IV, 3);
ординаты эпюры ЛГ выражают
проекцию тех же сил на ось
стержня.
§ 15. СИСТЕМЫ, ПРИВОДЯ-
ЩИЕСЯ К ТРЕХШАРНИРНЫМ
Расчет трехшарнирной
арки, изложенный в предыдущих
главах, в ряде случаев может
быть применен к системам значи-
тельно более сложным и по внешнему виду совершенно непохожим на трехшарнир-
ную арку, но имеющим сходную с ней геометрическую структуру. Вообще следует
заметить, что определение усилий в элемен-
тах сколько-нибудь сложной стержневой си-
стемы состоит из двух этапов: в первом этапе
выясняется порядок или по следователь-
но с т ь определения усилий, а во втором —
определяются величины усилий. Первый
вопрос тесно связан с геометрической струк-
турой сооружения и не зависит от длины и
направления ее стержней, от его внешнего
вида и формы; второй связан с длинами и
углами. Таким образом, приходится разли-
чать вопросы структурного и метри-
ч е с кого характера.
Трехшарнирная арка, если отвлечься от
ее формы, а интересоваться только структу-
рой, представляет собой шарнирное сочлене-
ние трех дисков — двух полуарок и земли.
Заменив каждый шарнир двумя соеди-
нительными стержнями (фиг. 271), мы полу-
чим более общее представление той же
структуры: роль шарниров играют точки Z2,
23, 13.
Для обеспечения геометрической неизме-
няемости системы необходимо, чтобы эти
три точки не лежали на одной прямой. Пло-
скость, как известно, имеет только одну
бесконечно далекую прямую, поэтому недо-
пустимо также, чтобы все три точки лежали
в бесконечности, так как это означало бы,
Фиг. 272.
что они лежат на одной прямой. Доказа-
тельство: допустим, что имеется состояние начальных усилий. Равнодействующая
усилий в стержнях а и b проходит через точку 13; остальные две равнодействую-
щие— соответственно через 12 и 23.
Три силы, направленные по сторонам треугольника, могут уравновдситьс
только тогда, когда все они равны нулю; следовательно, если точки /2, и о
180
образуют треугольник, состояние самонапряжений неитмп™ „
трически неизменяема. Легко показать что в остальных ’ система геоме-
начальных усилий возможно. ’ остальных двух случаях состояние
токиНфИ1ТРЬ1 TcFF™ ВСОГ'Мер СИСТеМЫ’ имеющей структуру трехшарнирной
арки, фигуры дсгл и BCGG представляют собой два диска- стержни DF и ПР
являются опорными; точки D и Е играют роль пятовых шарниров
На фиг. 272 показан другой пример. Здесь реакции А и В определяются как
в простой балке. Для нахождения усилий в стержнях а, б, с, d можно произвести
разрез, показанный пунктиром, и принять реакции А и В за внешние силы
а стержни a, о, с, d за опорные стержни. В таком случае мы получим схему
трехшарнирной системы, у которой пятовые шарниры совпадают с точками 13 и 23
Такая схема показана на фиг. 272, внизу.
Опорные реакции в шарнирах 23 и 73 определяются, как в трехшарнирной
арке, после чего остается разложить одну из них по направлениям cud,
а другую — по направлениям а и б.
Этими двумя примерами мы ограничимся.
§ 16. МНОГОПРОЛЕТНЫЕ И МНОГОЯРУСНЫЕ ТРЕХШАРНИРНЫЕ АРКИ И РАМЫ
Такие системы находят себе применение в инженерных сооружениях, где кон-
структор ставит себе задачу снижения изгибающих моментов.
Пример многопролетной рамы показан на фиг. 273.,
Фиг. 273.
фиг. 274.
г. . гпехшаонионая рама АВС; к ней прикреплена
В основе этой системы лежит грехь р P Г1т>л ЛППрпрл₽ния усилий,
трехшарнирная рама DEF; к последней рам
GW. Для определения усилий
181
1
вызываемых силой Р, нужно начать с последней рамы и постепенно переходить
к основной. Сначала определяются реакции Rj и RG\ их направления находятся
из основного чертежа, а величины — из силового треугольника /. Сила__R , про-
тивоположная реакции Rg. служит нагрузкой для средней рамы; от нее опреде-
ляются реакции 7?^, 7?г. Наконец сила — RE принимается за нагрузку основной
рамы, после чего определяются реакции RA и Rc.
На фиг. 274, а показана многоярусная рама, составленная из ряда трехшар-
нирных. Основным является нижний ярус; образование системы происходит посте-
пенным наращиванием верхних ярусов. Этим предопределяется порядок расчета:
сверху вниз. Нагрузкой верхнего яруса служит сила Р; от нее и определяются
реакции в шарнирах Вх. Нагрузкой второго яруса служат эти реакции, повер-
нутые в
фиг. 274 показаны эпюры М, Q и 7V. Читателю следует самостоятельно построить
те же эпюры. Весьма поучительно сравнить распределение усилий в этой системе
с распределением усилий от той же нагрузки в вертикально стоящем стержне
с защемленным нижним концом.
Вх. Нагрузкой второго яруса служат эти реакции, повер-
обратную сторону, и собственная нагрузка Р этого яруса и т. д. На
17. ЗАДАЧИ И ПРИМЕРЫ
£ Задачи 1—7. Построить графически опорные реакции для трехшарннрных арок,
представленных на фиг. 275 — 280.
Задачи 8—11. Определить опорные реакции и построить эпюры Mt Q и 7V в симме-
тричных трехшарнирных рамах, нагруженных симметрично или обратно-симметрично
(фиг. 281—284).
Фиг. 277.
Фиг. 276.
Фиг. 278.
Фиг. 279.
Фиг. 280-
те
же
построения для рам, показанных на'Ф1^2®5 „Троить
в затяжке трехшарнирной арки фиг, 200 к
Задачи 12—14. Сделать
Задача 15. Определить усилие
для последней многоугольник давлений. образующих шарнирный
У казание. Система состоит из трех дисков АС, СИ м о определяются,
треугольник, и поэтому геометрически неизменяема. Реакции на опорах ив уравнения
как для простой балки. Усилие в затяжке можно найти, разрезав ее »
моментов левой или правой полуарки относительно точки С изображенной на
Задача 16. Сделать те же построения, что и в задаче Д
фиг. 289 трехшарнирной арки с ломаной затяжкой.
182
Фиг. 281. ф11г. 282.
Фиг. 283.
Фиг. 284.
Фиг. 285.
Фиг. 286.
Фиг. 287.
Фиг. 288.
Фш. 2«ч
Задача 17. Трехшарнирная рама, представленная на фиг. 290, нагружена тангенциаль
ной нагрузкой интенсивности р, равномерно распределенной ио kohtvdv ПпрапуГ
эпюры Ж, Q, N. 1 ивеРить
Фнг. 290.
Задача 18. Построить эпюры для трехшарнирной рамы с криволинейным ригелем,
нагруженной равномерно по всему контуру тангенциальной нагрузкой интенсивности q
(фиг. 291).
Решение. Контур рамы может быть принят за силовой многоугольник для танген-
циальной нагрузки; масштаб:
q кг/см = 1 см.
Присоединим к силовому многоугольнику левую опорную реакцию ОА, построенную
в том же масштабе. Тогда для любой точки D рамы равнодействующая всех левых сил
выражается по величине н направлению (но не по положению) вектором OD, а момент
тех же сил относительно точки D — удвоенной площадью фигуры (сектора), заштрихован-
ной на чертеже. Эту удвоенную площадь
обозначим через Отсюда
Q& = — OD sin эд; = OD cos эд;
Mjy ~
Фнг. 291.
где ср — угол между линией OD и каса-
тельной к контуру в точке D.
Точка О найдется нз того условия, что
изгибающий момент в точке С равен н>лю,
Фиг. 292.
т. е. wc = 0e Реакцию можно также найти по ее составляющим: из уравнения горизонтальных
проекций и условий симметрии имеем Н = ту>анз уРавненИи моментов относительно точки
184
о
Л нли В имеем V = ~
и прямой АВ*.
, где <2
удвоенная площадь фигуры, ограниченной контуром рамы
Задача 19. Для арки, представленной на фиг 292 постпоитк n „ л<
гиза " -1 ™
Фиг. 293.
Из всех требуемых л. в. покажем построение двух: распора на крайней левой опоре
и изгибающего момента для сечения D.
Структура изучаемой системы такова, что груз, расположенный на арке ADCts и на
ее консоли, не вызывает никаких усилий в остальных элементах; груз, расположенный иа
арке /iGBi и на ее консолн, не вызывает усилий в арке /2С2В2; наконец груз, располо-
женный на последней арке, вызывает усилия во всех элементах. Л. в. Нг: движению груза
Фиг- 294.
по участку АСВА} отвечает такая
сток acb«i). Прямые а.\С^ иг* "
строится, как в
нулевых точек
Задача 21. Построить
зет такая же л. в., как в обычной тРе^арнирной ар«<е (уча-
а,с» строятся при помощи нулевых точек. Л.в. Мвв частиadcoat
однопролетной трехшарнирной арке, а в дальнейших участках-при помощи
_____ которые расположены в тех же местах, что и на л. в. Нг.
Еще проще задача решается к,^е"ат1”е“ИМси""^ьМпредставленной на фиг. 294.
Задача 21. По^роить ^“Р^’ Япюр производится, как для трехшарнирнои арки.
Указание. Сначала построение jhiup д необхоДимая поправка.
без учета промежуточных шарниров, а зате
. л д Уманский предложил называть „цепочкой сил .
* Систему сил такого типа проф. А. А. гТПоймзпат 1948.
См его „Пространственные системы" стр. 9 1 > Р »
|оО
§ 18. АРКИ ИЛИ РАМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ ЗАТЯЖКАМИ И АРКИ С НАКЛОННЫМИ
ПОДВЕСКАМИ
В целях уменьшения изгибающих моментов в трехшарнирной арке в некото-
рых случаях может оказаться целесообразным ввести несколько промежуточных
шарниров; при этом для обеспечения геометрической неизменяемости системы
потребуется такое же количество затяжек. Рассмотрим для примера систему
изображенную на фиг. 295.
Рациональное („безмоментное") очертание ничем не отличается от рациональ-
ного очертания обычной трехшарнирной арки, так как при отсутствии изгибаю-
щих моментов затя/кки не работают.
Пусть дана нагрузка, которая вызывает изгибающие моменты. Для опреде-
ления распора Н и усилий Х2 целесообразно употребить следующий прием.
Перережем обе затяжки, заменим их силами Х2 и будем рассматривать арку
как трехшарнирную, не имеющею промежуточных шарниров. Выразим изгибающие
моменты в сечениях J в функции от и /2 и приравняем их нулю. Из этих
Фнг. 295.
двух уравнений мы и найдем усилия в затяжках. Такой прием носит название
„метода замены связей". Мы неоднократно будем пользоваться им в дальнейшем.
Примем за положительные направления сил Xt и Х$ силы, растягиваю-
щие затяжки. От этих сил в трехшарнирной арке АСВ не возникает вертикаль-
ных опорных реакций, а возникает только распор, соответственно равный:
и
знак минус указывает на то, что распор направлен наружу.
Суммарный распор равен:
(24)
поэтому:
£ === —
= О.
Mj = Mj
(25)
Из (25) найдутся величины А,, А2, из (24) —распор Н. После этого нетрудно
построить все эпюры и исследовать систему для сравнения ее с простой JP«*
шарнирной системой и для подбора рационального расположения затяжек. Необ-
ходимо позаботиться, чтобы затяжки были растянуты. Распор Н получается, вообще
говоря, уменьшенным, но нужно расположить затяжки так, чтобы суммарная вели-
чина Н осталась положительной. Характерно, что в такой системе можно по
желанию получить положительный или отрицательный распор.
186
И. П. Кулибин (1735—1818).
: выть т„чев„
примера л. в. Н (фиг. 296). МИ " кине-
которых две крайние имеют нулевые' точк? ™Н„°’ состоять из четырех прямых, из
У Т°1К“ "ОД опораМИ А и В- Найаем нулевые
1’ стояЩий «ад той или другой из этах
распор, стоит на участке GJ или на РконсолиИМ-—-Г₽УЗ’ вызывающий нулевой
начинается
Построение л. в
магическими методами. Построим для
•Она будет симметричной и будет
_— —. Лг — w^ 1П» z“4 W J-t _ _
точки остальных двух прямых.' Груз
точек, должен вызвать распор Н = О
Чтобы найти положение точки о, -
1
Так как обе реакции при этом вептикчл^^°ЛИ’ пРикрепЛенной к этому участку,
начинается в точке А вертикальной прямой’ Аа кото™? иТт равнодействУюи‘их
затяжки ЕЮ; сторона 12 проходит через шапнип Е ₽и ппЛ Д° встречи с ocb,°
С осью второй затяжки в точке 1у стопона 23 о₽т пт ь Р°должается до встречи
с осью затяжки DG в точке с. Р Я ° 6 Чере3 Шарнир С до вст₽ечи
Проделав эту часть построения веревочного многоугольника, перейдем к постпое-
нию силового (фиг. 296 б) Вертикальный луч 01 берем Произвольной длины;
э, //, zd получаются сами. В точке Г
к построе-
ДЛИНЫ сторон А\, X
G арки приложена снова
Фиг. 296.
сила которая уже имеется на силовом многоугольнике. Отложив ее вторично,
получим луч 34, а затем проведем на веревочном многоугольнике через точку с
параллельную ему сторону 34. Равнодействующая всех сил, приложенных слева
к какому-нибудь сечению участка G/C, направлена по линии 34. Затем переходим
к правому концу арки и находим, что равнодействующая правых сил, приложенных
к сечениям участка KJ, направлена по стороне dj (стороне 45). Кроме сил 34 и 45,
на участок CQJ действует сила Р = \. Для равновесия все три силы должны
пересечься в одной точке -— в точке е. Спроектировав последнюю на ось абсцисс.
найдем нулевую точку о. ючка о1 расположена симметрично точке о.
Благодаря тому, что линия влияния Н получилась двузначной, суммарный
распор, вызываемый расчетной вертикальной нагрузкой, значительно меньше распора
обычной трехшарнирной арки. Варьируя расположение шарниров и подвесок, можно
добиться желательных соотношений между положительной и отрицательной пло-
щадя ми.
Для полноты построения нужно вычислить одну из ординат л. в
среднюю. Для этого достаточно поставить груз Р=='
зуясь любым из уравнений (25), в которые нужно подставить Xt =
., например.
1 над шарниром С и поль-
найти эти
неизвестные, а затем по формуле (24)-распор Н. На фиг. 296 пунктиром нане-
сена для сравнения л. в. Н для простой трехшарнирной арки, имеющей ту же
ось АСВ. м п „л.
Рекомендуем читателям построить л. в. усилия в загяжке, а также л. в. М, Q и /V
ДЛЯ В мостовых арках иногда применяют наклонные подвески, которые содействуют
более равномерному распределению нагрузки по длине арки и этим улучшают
189
|)иг. 297 показана схема такой арки; на ее нижние узлы
работу последней. На
опирается проезжая часть.
Из чертежа видно, что любая сосредоточенная сила, приложенная к проезжей
части между узлами, передается четырем точкам арки, а приложенная в узле
передается двум точкам.
Фиг. 297.
Любая л. в. для этой системы строится, как при обычной, непосредственной
передаче нагрузки, а затем исправляется по способу, указанному в § IV, 10.
§ 19. К ИСТОРИИ ТРЕХШАРНИРНОЙ АРКИ
Арка, как известно, принадлежит к числу старейших типов сооружений. Уже
в доисторические времена человечество применяло примитивные арки, а в древне-
римском и средневековом строительстве арочные мосты принадлежали к числу
наиболее распространенных систем. Основы научного расчета арочных систем выра-
батывались постепенно и относятся во всяком случае к более позднему времени,
главным образом, к XVIII и XIX вв.
Попытка выделить из исюрии развития этих расчетов специальный вопрос
о расчете трехшарнирных арок наталкивается на трудность, обусловленную
тем, что у старых авторов, как правило, отсутствует четко выраженная расчетная
схема. Отсутствует разделение арок на бесшарнирные, двухшарнирные, много-
шарнирные; на статически определимые и неопределимые; на упругие и неупругие
или жесткие и т. д. О предполагаемых в расчете шарнирах приходится только
догадываться. Четкое выделение трехшарнирной арки как самостоятельной стати-
чески определимой расчетной схемы относится уже ко второй половине XIX в.
Нам приходится поэтому в историческом обзоре говорить не столько о трех-
шарнирной арке, сколько об идеях и методах, в которых она фигурирует в не-
явном виде.
В этой связи необходимо назвать в первую очередь выдающегося изобретателя
и механика Ивана Петровича Кулибина (1735—1818), который сумел сделать
существенный вклад в теорию расчета. Составленный им проект деревянного ароч-
ного моста, перекрывающего р. Неву одним пролетом в 29b л/, был неслыханным
Для своего времени (1773_1776 гг.) по величине пролета, отличался оригинальной
конструкцией и сопровождался интересным расчетом и прекрасно поставленным
190
экспериментом. Арка Кулибина не имела никаких шятшпп п
вес арки равномерно распределенным но гопизоитч пиТТ 1 ,ринимая собственный
нашел отношение между этой нагрузкой и втим». °" проекции’ он правильно
пором, причем рассматривал различные пролеты „ п»*” е*° горизоига/1ьнь1м рас-
арки к пролету. Анализ показывает, ЧХ поХХе °ТНО,иениЯ СТрелы
гворяют формуле расчета трехшарнирной арки Такое “ значения Распора удовле-
тем, что поставленные Кулибиным специальныеХт'ТГ бЫЛ° Предрешено
относились именно к трехшарнирной арке (вернее к пРелелению распора
Кулибин предвосхитил идею РрациональногоР подбора оси аоки ’ к JT" аРКИ)й
кривой. Он использовал „тоненькую бечевочку, которую нщруил гХХмв
постепенно уменьшающимися к середине пролета от 9 до 6 золотников. ОчеХХ
веревочной кривой он и принял за очертание своей арки. В литературе
'TQI/QCT 1Л ПРО П ----- --------- _ JP
Он исследовал опытным путем,
„накладная тяжесть" (т. е. временная нагрузка) перемещается от опоры
реальным трехшарнирным аркам,
положении шарниров и заста-
определенные, заранее заданные
в пятах появились в 1858 г
арок такая идея оформилась только примерно через 70—80 лет Р УРБ П° ТеОрИИ
Он исследовал опытным путем, как постепенно увеличивается распор, когда
„накладная тяжесть1 (т. е. временная нагрузка) перемещается от опоры к середине
моста.
Он первый применил для арочного моста решетчатые фермы вместо
применявшихся повсеместно сплошных арок1. ’
В течение XVIII в. арки рассчитывались на основе принципа так называемого
„предельного равновесия . бралось состояние, непосредственно предшествующее
разрушению, и из условий равновесия выводилась величина разрушающей нагрузки.
Этот метод расчета был разработан главным образом Кулоном (1736—1806 гг.).
Арка считается сложенной из отдельных жестких клиньев. В момент разру-
шения швы между клиньями в нескольких сечениях раскрываются, и арка пре-
вращается в трехшарнирную. Из всех возможных положений шарниров нужно было
разыскать самое опасное2.
Эти расчетные схемы подготовили переход к
Возникла мысль устранить неопределенность в
вить кривую давлений пройти через три вполне
точки.
Металлические арочные мосты с шарнирами
а арочный мост, имевший по одному шарниру в пятах и в пролете, по данным
проф. Л. Ф. Николаи3, впервые был построен в 1865 г. В применении к каменным
мостам идея шарнирной арки впервые была реализована в 1870 г. Идея каменной
трехшарнирной арки, по словам проф. М. Черелашинского4, полечила практическое
осуществление впервые в виде несюльких каменных сводов, в вершине и в пятах
которых были заложены свш цовые полосы, игравшие роль шарниров. Однако
большого распространения в мостостроении трехшарнирная арка не получила; из
мостовых арочных систем наиболее излюбленным типом явилась статически неопре-
делимая двухшарнирная арка; о ней речь будет итти во второй части
курса.
В СССР с его громадным и разнообразным строительством промышленных,
транспортных, гидротехнических и других сооружений трехшарнирные арки, главным
образом, с затяжкой, а также трехшарнирные рамы нашли себе широкое применение
как системы перекрытий средних и больших пролетов и как каркасы сооружений.
Особенно большое применение они получили в деревянных конструкциях. Нужно,
впрочем, заметить, что в большинстве случаев полуарками или полурамами в дере-
вянных конструкциях больших пролетов служат не сплошные стержни, а фермы
того или иного типа. •
» Интересные данные о конструкции и расчетах Кулибина с анализом таковых содер-
KJHicpc П Л „Проекты мостов И. П. Кулибина", „АН СССР, Архив
истории науки и техники", вып. 8, 1936 г. Крптптейна
2 Ео.пр₽ поплобное изложена дано в интересной статье проф. С. А. Ьернштенна
..Очерк „ст. рии расчета свода фнлоневко.ЬородИЧа. Гл. ред. строительной
вып. I, стр. 52—53, 1901-
, стр. 161, Москва, 1898.
жатся в статье Б. В. Якубовского
2 Более подробное изложенш^.~ -Исследования по теорий сооружений" пол ред
проф. А. А. Гюздева.
литературы, 193ь
3 „Мосты", 1_.... ~-г—
4 „Очерк истории мостов"
191
В области теории трехшарнирной арки наиболее трудной проблемой являет? ?
подбор ее рационального очертания, но не под заданную внешнюю нагрузку, а пол
нагрузку, создаваемую совместным действием внешних сил и собственного вес;
арки. Трудность состоит в том, что собственный вес сам является функцией
очертания арки и ее поперечных сечений; при желании получить арку равного
сопротивления задача еще более осложняется. Во всех случаях она сводится к рас«
чету тяжелой гибкой нити равного сопротивления. Этой задачей успешно занимались
многие отечественные ученые, в том числе Ф. С. Ясинский1, С. И. Белзецкий2,
Ю. С. Сикорский3 и в последнее время — проф. В. А. Киселев4. Последний про-
интегрировал уравнение веревочной кривой, нашел наивыгоднейшее соотношение
между стрелой арки и ее пролетом и дал формулу для объема материала арки.
3<L
Опыт теории аркн равного сопротивления, „Инженер • •>
О форме равновесия тяжелой нити равного сопротивления,
....... — сил. „Прикладная математика и м х
1 Ф. С. Ясински и, Собрание сочинений, 2-й вып., 1902
„ 2 С. И. Белзецкии,
и И, 1904.
3 Ю. С. С и к о р с к ц и,
подверженной действию вертикальные сил.
№ 1—11, 1938.
4 В. А. К и се л е в, О рациональной форме трехшарнирных арок гражданских и про-
мышленных сооружений, Сбомшк „Исследования по теории сооружении . вы п. IV, пол
ред. проф. А. А. Гвоздева И. М Рабиновича, М. М. Филоненко-Бородича. строииздат. 1J4
ф. С. Яс и нс кий (1856—1899).
13 Зак. 1842. И. М. Рабинович.
Глава VIII
РАСЧЕТ
СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ ПЛОСКИХ ФЕРМ. БАЛОЧНЫЕ
И КОНСОЛЬНО-БАЛОЧНЫЕ ФЕРМЫ
§ 1. ПОНЯТИЕ О ФЕРМАХ
Фермой мы будем называть геометрически неизменяемую систему, соста-
вленную из стержней, шарнирно связанных между собой концами. Шарниры
будем считать идеально гладкими, лишенными трения, а оси всех стержней___про-
ходящими через геометрические центры шарниров.
Такое представление о ферме отвечает той расчетной схеме, которой мы будем
пользоваться на протяжении дальнейшего расчета. Всякая расчетная схема, как
мы знаем, является упрощением соответствующего ей действитель-
ного сооружения. В данном случае главное упрощение состоит g
в допущении идеальной шарнирности. Те инженерные сооружения, а
которые на практике называются фермами, имеют более или /Д
менее жесткое соединение концов стержней и поэтому по харак- /Vz
теру своей работы несколько отступают от указанной расчетной //
схемы. Значение этих отступлений может быть выяснено только /,
во второй части курса, в теории расчета так называемых рамных / /
систем. На практике фермой называют нередко и балки мощного If
сечения („ферма со сплошной стенкой"), однако такая термино- ь
логия в курсе строительной механики могла бы привести к недо- I/
разумениям. о
Ферме придают обычно такое устройство, чтобы нагрузка
передавалась на нее исключительно в узлах. Легко показать, что
при таком устройстве любая нагрузка будет вызывать в любом
Фиг. 298.
стержне только такие усилия, которые направлены по прямой,
соединяющей его концы. Действительно, если какой-нибудь стержень АВ (фиг. 298)
связан с остальными стержнями только своими концами А и В, то усилия могут
передаваться на него только в этих двух точках. Но две силы уравновешиваются
только в том случае, когда они друг другу равны, противоположны и направлены
по одной и той же прямой; следовательно, силы Sj и S2 направлены по прямой АВ,
Отсюда следует, что стержни фермы целесообразно делать прямыми, т. е.
имеющими прямую ось, проходящую через центры шарниров. В этом случае каждый
стержень будет испытывать исключительно продольные усилия, т. е. центральное,
осевое растяжение или сжатие. Так например, на фиг. 299 силы, которые пере-
даются стержням схемы а и схемы б в их узловых точках, совершенно одинаковы,
но в то время как в криволинейных стержнях первой системы возникают одно-
временно продольные и поперечные усилия и изгибающие моменты, в прямолинейных
стержнях на обеих схемах имеется лишь простое растяжение или сжатие.
Известно, что при работе стержня на изгиб или на совместное действие изгиба
с продольными силами нормальные напряжения распределяются по сечению неравно-
мерно: наряду с сильно напряженными волокнами имеются слабо напряженные.
Когда стержень работает исключительно на продольные силы, материал может быть
использован более выгодно, и затрата такового уменьшается. Эгим достигается
195
13*
двоякая экономия, так как, уменьшая собственный вес конструкции, мы экономим
на материале не только непосредственно, но и косвенно, благодаря уменьшению
постоянной нагрузки (собственного веса). Эта возможность лучшего использования
материала составляет важное преимущество фермы перед балкой и позволяет
перекрывать фермами значительно большие пролеты, чем балками.
Отступление от принципа прямолинейности стержней допускается только тогда,
когда невыгодность кривых стержней искупается особыми достоинствами фермы,
например, простотой ее изготовления.
Пример такого отступления предста-
вляют деревянные фермы с гнутым
верхним поясом — так называемые
„сегментные" фермы (фиг. 300).
§ 2. КЛАССИФИКАЦИЯ ФЕРМ
Классификация может быть про-
ведена по нескольким различным
признакам:
1. По назначению ферм. В на-
стоящее время фермы находят себе
столь большое и разнообразное при-
Фиг. 299.
менение в инженерном деле, что
исчерпывающая классификация их по
признаку назначения фермы является
излишней. Ограничимся лишь крат-
ким перечнем.
Одним из важнейших примене-
ний ферм является использование их
Фиг. 300.
мостов (мостовые фермы). Разнообразие
фиг. 301 показана схема ферм одного из
Л. Д. Проскурякова.
которые насчитывают также большое
строений
н
в качестве пролетных
мостовых ферм — весьма велико. На
мостов, построенных по проекту проф.
Далее идут фермы стропильные
количество систем и
ферм, причем вторая имеет надстройку, предназначенную для фонаря.
На фиг. 304 показана система перекрытия, состоящего из арочного пояса с ФеР*ю
жесткости, на фиг. 305 и 306 — фермы мостового и башенного кранов; на фиг. 3
ферма каркаса для здания промышленного цеха (здесь же схематически п°казан
мостовой кран); на фиг. 308—ферма мачты для подвески электрических кабеле ,
на ф 1г. 309 — схема башни для радиостанции, на фиг. 310—ангар для само ле
2. По направлению опорных реакций, вызываемых вертикальной нагру^
302), консольно-балочные (фиг. 31^2гИЛлл
7 --- висячие (фиг. 01^}.
комбинация арки
балочной (фиг. 316),
£орм. На фиг. 302 и 303 показаны две схемы стропильных
мостовой кран); на фиг. 308—ферма мачты для подвески электрических >
на ф ir. 309 — схема башни для радиостанции, на фиг. 310—ангар для само ле
2. По направлению опорных реакций, вызываемых вертикальном нагру
кой. Фермы могут быть безраспорными и распорными., ™ unw-
очередь делятся на балочные (фиг.
сольные (фиг. 312). Вторые делятся на арочные (фиг. 313) и
Существуют еще комбинированные системы, например,
с балочной фермой (фиг. 315), комбинация висячей системы с l
арочной с висячей фермой (фиг. 317), арочной с затяжкой. (фиг-^ парамельнымн
о. По очертанию поясов. Различают фермы с по с также
(фиг. 319) и полигональными (или ломаными); последние част ¥ЗЛЫ пояса
Фомами с к р и в о л и н е й и ы м и поясами, имея в виду, что
жио провести некоторч ю кривую. На фиг. 320 показана ФеРма
196
поясом, на фиг. 321—с обоими ломаными поясами. Фиг.
образную схему фермы. Если узлы одного или обоих
расположены на параболе, то ферма называется па раб
окружности — то круговой, И T. д.
4. По системе решетки. Раскосной решеткой назы
вается такая, которая в каждой половине фермы предста
вляет собой непрерывный зигзаг с последовательно чере
дующимися раскосами и стойками (фиг. 322). Если раскос
в обеих половинах обращены в разные стороны, то средня
стойка не входит в состав этого зигзага, и характер ее работ
отличается от работы остальных стоек.
Треугольной решеткой называется такая, которг
представляет собой загзаг с раскосами, обращенными поп*
ременно то в одну, то в другую сторону (фиг. 323
Кроме основного зигзага могут иметься стойки, которые i
входят в его состав (фиг. 324). Такие решетки называют!
треугольными с дополнительными
Полураскосной называется такая решетка, у кот<
рой раскосы идут не от пояса к поясу, а от пояса к пр
межуточным точкам стоек (фиг. 325).
Двухраскосными, двухрешетчатыми, мн
гораскосными и многорешетчатыми называю!
такие фермы, решетка которых составлена из двух и
нескольких раскосных или треугольных. На фиг. 326 пре
ставлена двухраскосная решетка, на фиг. 327 — двухренв
чатая, а на фиг. 328 — четырехрешегчатая.
Раскосная и треугольная решетки называются е
простыми, а многораскосная и многорешетчатая — ело
ными.
Составной решеткой называют обычно решет
1
h
X
Ъв
К
wz
D20H ЮИШЗЭШ
состоящую из
Л'*
10
|!Й|
й
&
га
•0
к
х;
|Й
I
I
.
t
I
197
ак, уменьшая собственный вес конструкции, мы экономим
непосредственно, но и косвенно, благодаря уменьшению
бственного веса). Эта возможность лучшего использования
!жное преимущество фермы перед балкой и позволяет
шительно большие пролеты, чем балками.
типа прямолинейности стержней допускается только тогда,
вых стержней искупается особыми достоинствами фермы
например, простотой ее изготовления.
Пример такого отступления предста-
вляют деревянные фермы с гнутым
верхним поясом—так называемые
„сегментные" фермы (фиг. 300),
§ 2. КЛАССИФИКАЦИЯ ФЕРМ
Классификация может быть про-
ведена по нескольким различным
признакам:
1. По назначению ферм. В на-
стоящее время фермы находят себе
столь большое и разнообразное при-
менение
исчерпывающая классификация их по
признаку назначения фермы является
излишней. Ограничимся лишь крат-
ким перечнем.
Одним из важнейших примене-
ний ферм является использование их
в инженерном деле, что
Фиг. 306.
Фиг. 307. Фиг. 308.
Ж
поясом, на фиг. 321 с обоими ломаными поясами <Ьиг
образную схему фермы. Если узлы одного ’321 изобРажает рыбо-
расположены на параболе, то ферма называется
окружности — то круговой, и т. д.
или обоих поясов на фиг. 320
параболической, если на
4. По системе решетки. Раскосной решеткой назы-
вается такая, которая в каждой половине фермы предста-
вляет собой непрерывный зигзаг с последовательно чере-
дующимися раскосами и стойками (фиг. 322). Если раскосы
в обеих половинах обращены в разные стороны, то средняя
стойка не входит в состав этого зигзага, и характер ее работы
отличается от работы остальных стоек.
Треугольной решеткой называется такая, которая
представляет собой загзаг с раскосами, обращенными попе-
ременно то в одну, то в другую сторону (фиг. 323).
Кроме основного зигзага могут иметься стойки, которые не
входят в его состав (фиг. 324). Такие решетки называются
треугольными с дополнительными стойками.
Полураскосной называется такая решетка, у кото-
рой раскосы идут не от пояса к поясу, а от пояса к про-
межуточным точкам стоек (фиг. 325).
Двухраскосными, двухрешетчатыми, мно-
гораскосными и многорешетчатыми называются
такие фермы, решетка которых составлена из двух или
нескольких раскосных или треугольных. На фиг. 326 пред-
ставлена двухраскосная решетка, на фиг. 327 — двухрешет-
чатая, а на фиг. 328 — четырехрешегчатая.
Раскосная и треугольная решетки называются еще
простыми, а многораскосная и многорешетчатая — слож-
ными.
Составной решеткой называют обычно решетку,
состоящую из простой основной решетки раскосного или тре-
угольного типа и дополнительных элементов (шпренгелей),
предназначенных, главным образом, для замены большой
панели поясов несколькими меньшими (фиг. 329). Кроме
указанных здесь типов решеток, возможны и другие, кото-
рые мы оставили вне классификации.
§ 3. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАКОНЫ ОБРАЗОВАНИЯ ФЕРМ
Мы уже видели раньше, что свободная (неприкре-
пленная к земле) фигура, составленная из У узлов, шар-
нирно связанных между собой при помощи С стержней,
неизменяема и в то же время не будет
содержать лишних стержней лишь при условии, если
будет геометрически
Фиг. 309.
С= 2У
(1)
Это условие является необходимым, но недостаточным для обеспечения геометри-
ческой неизменяемости.
Более общим условием, которое включает в себя и предыдущее, является
следующее: фигура должна иметь такую кинематическую или геометри
чес кую структуру, которая обеспечивает ей неизменяемость; иначе говоря,
не только количество стержней и узлов, но и самая последовательность их
взаимного соединения должны соответствовать требованию геометРич®с^
неизменяемости. Так, фиг. 330, а —геометрически неизменяема, а фиг. 33U, о р
том же количестве стержней и узлов содержит стержень 2, которы м »
бодно вращаться. Мы можем сказать, что первая фтура обладает приет _________
для геометрической неизменяемости структурой, а вторая
стержней и узлов содержит стержень 2, который „может сво-
неприемлемой.
199
Фиг. 310.
Фиг. 311.
Фиг. 312.
Фиг. 313-
200
Фиг. 314.
Фиг. 315.
5
Фиг. 316.
—102. /8 м
Фиг. 317.
201
Фиг. 318.
Фиг. 319.
Фиг. 320. Фиг. 321.
Фиг. 322.
Фиг. 323.
Фиг. 324.
Фиг. 325.
Фиг. 326.
Фиг. 327.
Фиг. 328
202
в оощем случае, т. е
Приемлемая структура обеспечивает геометрии
а оощем случае, т. е. при произвольных^ значение изменяем0Сть данной фигуры
тируя в то же время отсутствия мгновенной и кооРДинлт узлов, не гаран-
Вопрос о геометрической структуре плоских ней § )•
лимых систем мы уже разбирали выше, в § II, 7. Но фе^ыТо'большей ч
оолатают значительным количеством стержней и узлов, поэтому вопрос об
структуре имеет особенно большое значение. У ₽ о0
Для того чтобы фигура, имеющая У узлов и 2У
емлемой структурой, необходимо и
никакая геометрически неизменяемая
вменяемых статически-о.|реде-
1 части
их
3 стержня, обладала при-
достаточно, чтобы в ее состав не входила
фигура с лишними стержнями.
Для доказательства допустим,
что в состав системы входит фигура,
содержащая У' узлов и С стержней,
где
Фиг. 330.
С’ = 2У'
(О
— число лишних стержней. Число узлов и стержней в остальной части
фигуры соответственно равны С—С' и У—У7. Из уравнения
вычтем уравнение (1):
С=2У—3
С— С = 2 (У— У7) — К.
Полученная формула показывает, что остальная часть системы недостаточно при-
креплена к фигуре, так как для неподвижного прикрепления к ней фипры,
содержащей У—У7 узлов, требуется 2 (У—У ) стержней; недостает К стержней.
Итак, для любой фигуры, которую можно мысленно выделить
из системы, должно соблюдаться условие:
2У7 —С7>3. (2)
Можно указать также другой критерий. Выделим из системы произвольную
группу узлов со всеми исходящими из них стержнями. Обозначим число узлов
в этой группе через Ур а суммарное число стержней, связывающих узлы лруг
с другом и с остальными узлами, через С2. Если остальная часть системы гео-
метрически неизменяема, то совокупность обеих частей будет представлять собой
одно целое при условии, что С2=2У1; если она изменяема, то для образования
геометрически неизменяемого целого, очевидно, требуется больше стержней.
Отсюда ясно, что для любой группы должно соблюдаться условие.
С2>2УГ (3>
С понимается число стержней, связывающих узлы выделенной фигуры
; во втором под С2 понимается суммарное число стержней,
„диады"),
таким же способом и т. д
Обращаем внимание читателя на различие между критериями (2) и
вом под
только друг с другом
исходящих из узлов выделенной фигуры.
Простейший способ образования плоских геометрически неизменяемых и ста-
тически определимых ферм состоит в том, что к основному
нирно присоединяется новый узел при помощи двух стержн ( р
затем к образовавшейся новой фигуре присоединяется еще один узел
t м Назовем этот способ первым способом.
пй способ заключается в том, что две геометрически неизменяемые
fhpniuw связываются между собой в одно целое при
"oSrZo э» ™ в- НххХ* So"
Х“""” Обе“ ФЧ™ 2)“пр"₽°°»«»“ фер"
(фиг. 331); 3) введением трех соединительных стержнейне ^Рес™^.
в одной точке. Например, фиг. 332 может быть образована либо ферм
4-5-6 и 6-7-8-9-10 при помощи соединительного шарнира 6 и стержня 4-7, либо
из ферм 1-2-3-4-5-6 и 6-8-9-10 при помощи шарнирного соединения их в узле 6
и добавления стержней 7-4, 7-6 и 7-8, либо наконец из ферм 1-2-3-4-5 и 6-7-
8-9-10 при помощи соединительных стержней 3-6, 4-7 и 5-6.
Третий способ состоит в том, что из фермы, имеющей приемлемую структуру*
удаляется какой-нибудь стержень 7-2, благодаря чему она обращается в механизм;
в последнем выбирается некоторый узел 3, зачем к узлам 7, 2 и 3 присоединяется
новый узел 4 при помощи стержней 4-1, 4-2, 4-3. Таким способом, например,
иг. 333, б образована из фиг. 333, а.
Фпг. 331.
Фиг. 332.
Более общий способ таков: берутся две кинематические цепи, из которых
одна имеет т, а другая — п степеней изменяемости, и связываются между сооой
при помощи /?г-рп-|-3 связей. Например, связывают две неизменяемые фигуры
(/п=п==О) тремя связями или же фигуру неизменяемую и изменяемую (т = 0,
п > 0) соединяют друг с другом при помощи связей, или к неизменяемой
В частности,
фигуре добавляется п точек при помощи 2п стержней и т.
£)иг. 334 образована из геометрически неизменяемой фигуры 1-2-3-4-5, к которой
31
при помощи шести стержней присоединена цепь 6-7-8-9-10, имеющая трехкратную
изменяемость (у нее могут изменяться три угла между смежными стержнями).
Фиг. 333. Фиг. 334.
Возможно также взаимное соединение нескольких кинематических цепей.
Одна и та же геометрическая структура может быть образована несколькими
различными способами. Например, легко убедиться, что фиг. 334 образована по
первому способу. При анализе, имеющем целью поверку геометрической иеизме-
няемости И ;-- J -
необходимо разыскать п р
Доказано, что всякая
быть образована из
соединение нескольких кинематических цепей.
выяснение путей к наиболее простому расчету изучаемой фермы,
закон образования данной структуры.
£ерма может
применением
здесь способов
ста тич ес к и-о пределимая
основного 3
из указанных
§ 4. НЕКОТОРЫЕ СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ ФЕРМ
н.Л Рассм°трим такую ферму, которая, будучи отделена от своих опор, сохра-
геометрическую неизменяемость. Для такой фермы
(4)
204
Обозначим число узлов, в которых сходится по
узлов), через р2, число узлов, в которых сходится
и т. д. Очевидно, что
два стержня (число простых
по три стержня, через р8
1--1 rm—(5)
где т — наибольшее число стержней, встречающихся в отдельных узлах фермы
Исключим С из этих двух уравнений: 1 фермы.
С=2У— 3 = 2(р2 —]— ps—|— ... Лн) _ з.
Если мы обойдем все узлы и просуммируем число стержней, встречающихся
в каждом из них, то каждый стержень будет учтен дважды, поэтому:
ЗраЧ-4р4 - - - Ч-яф™ = 2С= 4У—6. (7)
Подставив сюда выражение С из уравнения (6), получим:
2Р2 + 3Рз + 4Р1+ = + ...+р№)— 6
или
2Р2 + Рз = 6-j-р - + 2р6*+Зр7 + 4р8 + ... +(те —4)pw. (8)
Из уравнения (4) следует, что в рассматриваемых фермах число
стержней — всегда нечетное. Кроме того, этому уравнению можно дать вид
т. е. число стержней настолько больше числа узлов, насколько
последнее больше трех.
Уравнение (7) можно преобразовать следующим образом: разобьем все члены
с нечетными коэффициентами на суммы: Зр3 = 2р34~4Рб4"Рь и т Д->
после чего перенесем все члены с четными коэфициентами в одну часть,
а с нечетными — в другую. Уравнение примет вид:
Рз 4~ Рб 4~ Рч 4* • • • 4" р2г-1 •
= 2С— 2р3 — 2р3—4р4— 4рб— ...
или
Рз4- Рб+р?4_ • • • 4~Psi-14-
= 2К,
число узлов, содер-
। четное.
каком-нибудь узле сходится i стержней, то число узлов фермы,
не может быть меньше, чем ZН-1, так как противоположные концы
стержней также должны примыкать к каким-то узлам. Если наи-
р или
некоторое целое число. Итак, суммарное
нечетные числа стержней, — всегда
где л —
ж ащи х
Если в
очевидно, l
всех этих
большее значение i равно т, то
тп У -— 1.
Если ферма содержит только простые узлы, т. е.
п,= п.= ... = О, р*=У, то из уравнения (8) полу-
Йется 2р2 = 6, или р9=У=3, а из формулы. (4)
Р___2-3 —3 = 3. Итак, существует лишь одна ферма,
все узлы которой — простые, а именно шарнирный
ТРеУ Если ферма содержит только трехстержневые узлы,
е. ее» р,- У. Р. - />. = Л-•_ -с Г Ч- ГЛ "Г
“ "и’"ура; °"’ ““
на фиг. 335. „пв_ШЯ1ПИХ только двухстержневые или только трехстержневые
Кроме ферм. содеР^и только Д^^ Определимых ферм, содер-
узлы, не с уществуе и т е л ь но одного типа. Действительно, если
w Q in W V V 3 Л Ы ИСКЛЮЧИ1СПР»»
узлы,
ж ащ и х узлы
каждый узел содержит k стержне ,
А,у=2С=2(2У—3) = 4У—6
ИЛИ
(4 — k) У =6,
откуда k < 4.
205
Если ферма имеет только двухстержневые и трехстержневые узлы, То
2p2 + ps = 6, откуда следует:
либо
Рз=4> У =5, С=2-5—3 = 7,
либо
р2 = 2, р8 = 2, У = 4, б?=2*4—3 = 5-
Эти два случая представлены на фиг. 336—338.
Ферма, содержащая то или иное количество двухстержневых узлов, может
быть освобождена от стержней, образующих эти узлы, сохраняя в то же время
Фиг. 336.
Фиг. 337. Фиг. 33S.
свою геометрическую неизменяемость. Рассмотрим такую ферму, уже не содер-
жащую ни одного простого узла. Приняв р2=0, получим из (8):
Рз = 6 + Рб + 2Ре +------— 4) рт. (9)
Из формулы (9) вытекает несколько интересных следствий:
а) если ферма содержит не только трехстержневые узлы, т
узлов не зависит
б) если она содержит
узлы, то Pg =
числа
И ’
6, а р4 может быть какое угодно;
ерма, не содерж
один узел, содержащий 6oj
этом,
всех чисел pi с любым индексом /,
Рз>Рб + р6
узлов и не содержащей простых узлов,
четырехстержневые
ырех стержней, то р3> 6. При
число pg является самым большим из
> 4. Оно превосходит даже их сумму:
Если в какой-нибудь ферме, имеющей больше шести
число ps < 6 или же р8 < р5 -|- р6 +
лимой^фермы Т° 66 стРУКт^Ра не может быть приемлемой для статически опреде-
Среднее число стержней,
Для того чтобы
концов стержней
как показывает полученная формула,
, где I
Рч
приходящихся на один узел, обозначим через
вычислить qy нужно просуммировать во всех узлах число
сходящихся, и сумму разделить на число узлов*
2С __2-(2У—3)
(W)
Если то получается 4 > q > ~ ______ , ____________
un»X Z3™?’ непРемен»о должны входить и такие узлы, которые содержат по три
3, т. е. в состав фермы, имеющей
непременно входят и такие узлы, которые содержат по четыре
уже было отмечено выше.
стр}кт}ры фермы сильнейшим образом зависят степень
е могут быть образованы при заданном коля-
то получается 4 > q
2, т. е. в состав фермы, имеющей более
б™рб0Лее стеР*ней. Если У > 6, то 4 > q
более шести узлов,
Или более стержней. Это
От геометрической
. <нм 'с7„“с№
честве^п» различнь,х ФеРМ. которь.. -----------
узлов, весьма велико и быстро возрастает с увеличением числа узлов. Ест»
206
ограничиться рассмотрением таких ферм
влетворяют условию '
которые образуют один
диск, т. е. удо-
2у=с4-з.
” ’н«„*хм V-5“Х”,Ь' ™“уясь да»»»™»» т-т
Н пр лер при У—4 ферма имеет только трехстепжневыг и „п
Она сводится, согласно фиг. 337—338 к iirvm тпИ,,.„ Р простые узлы.
сторону. Путем циклической перестановки можно "^нкам’ имеюВДМ одну общую
При У = 5 имеем из уравнения (7): образовать пять таких ферм.
4- 4р4 = 14;
Отсюда получаем:
кроме того ps р8 4- р = 5.
2) Ра
J) Ра— 2; Рз=2; р,= 1 (5 ферм);
_ Рз = 4; р4 = 0(5 ферм).
Итого —10 ферм (фиг. 339).
„лиа 6УЧ“ пР°должать этот анализ> так как имели в виду только дать
понятие о разнообразии возможностей при выборе типа ферм. На практике стре-
Фиг. 339.
мятся применять фермы, обладающие простой структурой. Это оправдывается
в большинстве случаев простотой их изготовления, а также простотой расчета.
Не исключаются, однако, и такие случаи, когда ферма со сложной структурой
может оказаться более выгодной *. В
§ 5. МГНОВЕННО ИЗМЕНЯЕМЫЕ ШАРНИРНО-СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ
Если ферма имеет приемлемую структуру, то еще нельзя быть уверенным
в том, что она на самом деле геометрически неизменяема. Дело в том, что данная
структура определяет собой целый класс ферм, в которых длина и направление
каждого отдельного стержня могут иметь бесконечно разнообразные значения. Две
фермы, имеющие одну и ту же структуру, могут по внешнему виду очень сильно
различаться между собой. Достаточно сравнить фиг. 340, а и б, чтобы убедиться
в этом. Если мы будем изменять длины тех или иных стержней, то при некотором
значении длин ферма может превратиться в мгновенно изменяемую.
Итак, шарнирно-стержневая система может быть подвижной или изменяемой
в следующих случаях:
А. Когда она имеет неприемлемую структуру. Этот случай рас-
падается на три.
1 Законы геометрической структуры ферм вытекают как частный случаи из законов
образования кинематических цепей и в первую очередь — механизмов. Некоторые теоремы,
относящиеся к этому вопросу, а также библиографию см. в книге автора „Кинематический
метод в строительиой механике», § 3 и 14, 1928. Наиболее значительным
является книга Л В. Accvo: Исследование плоских стержневых механизмов с низшими
парами с точки зрения их структуры и классификации», .Известия С.-Пете, 6ур<
технического института», т. XX — XXIII, 1914-1915. Идеи, развитые в этой выдающем,
монографии, легли в основу общепринятой в настоящее время классификации механизмов
207
1. Система имеет недостаточное количество стержней. На фиг. 341 показана
модель такой шарнирной системы, которой недостает одного стержня. Фиг. 342
показывает, какую форму принимает эта
Фиг. 340.
модель после легкого нажатия пальцами.
2. Она имеет необходимое количе-
ство стержней, но последние расположены
так, что в одной части имеется избыточ-
ное количество их, в другой — недоста-
точное количество.
3. Она имеет лишние стержни, но
последние расположены так, что в одной
части фермы недостает некоторого коли-
чества стержней.
Во всех этих случаях система, вообще
говоря, имеет конечную, а не бес-
конечно-малую подвижность.
В. Когда она имеет приемле-
мую структуру. В этом случае она
называется мгновенно изменяемой и, вообще
говоря, может обладать лишь бесконечно
малой изменяемостью, или подвижностью.
Для того чтобы обнаружить изменяемость в случае А, достаточно рассмотреть
структуру системы; для того же чтобы вскрыть случай В, необходим кроме анализа
структуры более глубокий анализ.
Фиг. 341. фиг. 342.
§ 6. СТАТИЧЕСКИЙ ПРИЗНАК МГНОВЕННОЙ ИЗМЕНЯЕМОСТИ
Между статическими и кинематическими свойствами такой системы, которая
обладает приемлемой структурой, существует простая и ясная связь.
Если система геометрически неизменяема, т. е. не допускает никаких пере-
мещений, то при действии любой нагрузки она будет находиться в равновесии
Спред полагается, конечно, что материал сооружения не разрушается). Это утвер-
ждение не нуждается в доказательстве: система будет в равновесии, потому что ей
ничего другого не остается, как быть в равновесии.
Легко показать, что в такой системе при действии любых внешних сил,
имеющих конечную величину, усилия во всех стержнях будут иметь конечные
и вполне определенны* значения. Для доказательства прибегнем к принципу воз-
можных перемещений как наиболее пригодному для доказательства общих теорем
208
стержне ЛвУС(фигВ 343)° Та^кТкТна повело! ю У" ’ како“-««будь
после устранения одной связи (выключения стержня™^^^^
ЛП МП RD5\<AWHnp ___ Л Г иПй иУ Д vl ИМсТЬ ТОЛЬКО
точнее, одно семейство возможных перемеще-
случае принцип
А
одно возможное перемещение или,
ний, отличающихся друг от друга только масштабом,
возможных перемещений даст только одно,
линейное относительно неизвестного усилия S*
уравнение:
таком
АВ
Фиг.
это не отражается на
где Дг-- —проекции перемещений точек приложе-
ния сил Pi на направление этих сил;
&ав — приращение длины АВ,
Возвращаясь к основной задаче, отметим,
что в рассматриваемом механизме мы должны
принять Д^Б ф 0.
В самом деле, мы ведь рассматриваем такую
систему, в которой при наличии стержня АВ,
т. е. при Длв = 0, никакие перемещения Д;
невозможны.
Хотя величина может быть взята произвольной,
отношениях -у v .
&АВ
Мы доказали, что величина усилия 5 в любом стержне получается конечной
и определенной.
Итак, мы пришли к следующему важному выводу: если система с при-
емлемой структурой геометрически неизменяема, то задача
определения усилий имеет однозначное решение.
Фиг. 344.
Отсюда следует, что если для системы с
получается многозначное решение задачи,
такой структурой
система мгновенно
изменяема. л
Однозначность решения является, как мы видим, необходимым и достаточным
признаком отсутствия мгновенной изменяемости. Этому критерию должна удовле-
творять всякая шарнирно-стержневая система, не имеющая лишних стержней и
предназначенная служить в качестве фермы. ___ ____________ ^nwTvnv
На фиг _
но при наличии
действии сим mi
344 показан пример фермы, которая имеет приемлемую структуру,
оси симметрии делается мгновенно изменяемой. В самом деле, при
етричной нагрузки мы имеем два разных решения: нагрузка может
уравновеситься усилиями в четырех стержнях показанных на фиг. 344, tf, и уси
лиями в семи стержнях, показанных на фиг. 344, в.
14 Зак. 1842. И- М. Рабинович.
209
Выведенному выше критерию можно дать другую форму, которая также
заслуживает внимания. Эга
уравнении^, а именно на том
})Орма основана на теории алгебраических линейных
, что система п уравнений с п неизвестными
^in^n
является определенной или неопределенной только в зависимости от детерминанта £),
образованного из коэфициентов при неизвестных. Любое неизвестное выражается
формулой:
где Д, зависит как от коэфициентов при неизвестных, так и от правых частей
уравнений. Для того чтобы задача имела конечное и однозначное решение, необ-
ходимо и достаточно, чтобы было D^O*.
Применяя эти рассуждения к нашей задаче, можно сказать, что если из урав-
нений статики при действии какой-либо нагрузки получается для
всех неизвестных однозначное решение, то и при действии любой
другой нагрузки решение будет однозначным. Наоборот, если при действии какой-
либо нагрузки получилось хотя бы для одной неизвестной значение х ~ ~ или
х = со, то система мгновенно изменяема.
Наиболее простой способ, вытекающий из этих рассуждений, носит название
способа нулевой нагрузки: если в системе с приемлемой
структурой возможны отличные от нуля усилия при отсут-
ствии внешней нагрузки или, иначе говоря, возможно состоя-
Фиг. 345.
ние начальных усилий, то система мгно-
венно изменяема. В самом деле, такое состояние
является нарушением однозначности, так как, кроме
него, всегда имеется еще состояние самонапряжений,
всюду равных нулю.
Шестиугольник с тремя диагоналями (фиг. 345),
имеющий такое расположение вершин, при котором
точки Ор О2, О3 располагаются на одной прямой,
также мгновенно изменяем. Доказательство: пусть в
диагоналях BE и CF имеются произвольные два усилия,
равнодействующая которых направлена по линии О{О2О^
в сторонах В А и CD — два усилия, равнодействующая
которых равна и противоположна первой. Очевидно,
что тогда стержень ВС, находящийся под действием
таких четырех сил, будет в равновесии. Аналогич-
ным образом можно задать усилия в сторонах AF
и ED так, чтобы стержень EF оказался в равновесии.
Легко заметить, что при этом и стержень AD окажется
в равновесии. Итак, здесь возможно бесконечное мно-
мгновенно изменяемой системы, а на фиг. 347 — та же система в деформированном
жество начальных усилий.
На фиг. 346 показана фотография модели такой
виде, деформация достигается небольшим нажатием пальцев. Благодаря неизбеж-
ной игре в шарнирах, перемещение оказывается не бесконечно малым, а доста-
точно заметным. Между тем модель фермы, имеющей ту же структуру, н0
Может случиться при D = 0, что дроби вида ~
неВНкппрблртЮ,пП°СЛе чего неизвестные примут конечные значения. Однако это
конечным и нГ0Г° критерия неизменяемости, который требует, чтобы Решен“
только nnwn?H03Ha4HblM’ Непонимание того, что определенным решением можно
если D ^“ачное решение, порождает ошибочку ю трактовку вопроса. Очевидно, что,
решение гмгт° Даже ПРИ наличии равного нулю общего множителя у детерминантов i
в тождест с>СЛагЫ уравнений остается неопределенным, т. е. они могут быть обращен
тождество бесчисленным множеством значений.
210
сократятся на общий множитель.
ДР} гие-произвольные- соотношения между длинами стержней, деформировать
без повреждения стержней оказывается невозможным. ч^риирмвать
НЭ Ф"Г' Л8 "реДСТа", ФеРма С опорными стержнями, которые
пересекаются в одной точке О. 11звестно, что три силы, пересекающиеся е одной
Фиг. 346.
Фиг. 347.
точке, при известном подборе их величины могут находиться в равновесии. Одной
из опорных реакций можно дать произвольнее значение, а две другие найдутся из
Фиг. 348.
условий равновесия. Выходит, что при отсутствии внешней нагрузки опорные
реакции могут иметь не только нулевые, но и бесконечное множество других зна-
чений. Следовательно, данная система обладает бесконечно малой подвижностью.
2
Фиг. 349.
На фиг. 349 каждый из треугольников 1-3-5 и 8-10-12 присоединен к ФеРм
при помощи трех стержней, которые пересекаются в одной точке. При отсутств
211
14*
внешней нагрузки усилия в этих стержнях могут иметь бесконечное множество
значений, следовательно, это соединение обладает подвижностью, и ферма является
мгновенно изменяемой.
Задача 1. Определить усилия в симметричной ферме, представленной на фиг. 359
Все наклонные стержни этой фигуры образуют с горизонталью угол zt 45 .
Фиг. 350.
Решение. Зададимся произвольным значением X усилия в одном нз стержней, напри-
мер, в стержне АВ. Вертикальные реакции, очевидно, равны Р, горизонтальные Н равны
и противоположны. Все усилия определяются вырезанием узлов:
S6 = (Р + X)
St = -(P-X);
„ ТЛ2
S6,=(P-X)-^-;
„ /2
$4 = (Р - X) ;
86 = -Х/2;
S2, = -(P+X)
Sg, = - (Р 4- X);
S2 = -(P-X)^-:
/7 = 0;
S5, = Х /2;
У2
S4, = (р + X) ;
S1( = _(P+X);
Все узлы оказываются уравновешенными при любом значении усилия X. Итак, система
мгновенно изменяема.
При Р = 0 решение остается неопределенным. Интересно, что распределение усилии
получается при этом обратно-симметричным. При действии симметрич-
I £
множество решений, которые не являются ни симметричными, ни обратно-
-« — _ _ _ ______ 1 чЯГ
ставлеиие, что решение должно быть непременно симметричным, неверно.
и.
симметрич-
ной нагрузки, состоящей из двух сил Р, полученные формулы дают бесчисленное
множество решений, которые не являются ни симметричными, ни обратно-
симметричными; только одно из них (при X — 0) — симметрично. Интуитивное пред-
§ 7. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОВЕРКИ НА МГНОВЕННУЮ ИЗМЕНЯЕМОСТЬ
Пусть дана система с приемлемой структурой. Удалим из нее какой-нибудь
стержень АВ и для образовавшегося механизма построим неполярный или полярный
план скоростей. Пусть „изображениями" т®'
чек А и В на плане скоростей служат точки А
и В' (фиг. 351).
Известно, что если А'В'ЦАВ, то это сви
детельствует о следующем: в процессе движе
ния расстояние между точками А и В остается
В таком случае очевидно,
будучи установлен обратно
, необходимым *
енно»
план*
изменяемости системы
скоростей, на которо
дельны самим стерм<ням.
без изменения.
стержень АВ, ... ________________
свое место, не в состоянии воспрепятствовать
этому движению. Итак
достаточным признаком м г но в
служит возможность построения
м изображения всех стержней i
н
212
л
Если требуется поверить изменяемость свободной системы ™
снабдить ее предварительно тремя опорными стержнями LannlJf необхолим°
неподвижно какой-нибудь из ее стержней или дисков. ’ р ер’ закрепить
Если на плане скоростей изображение какой-нибудь части F
чается подобным самой А__ ”
представляет собой геометрически неизменяемое целое? Если вс??истем’Spf-
представляет собой диск, обладающий мгновенной подвижностью"аЧИ1' ЧТ° система
системы получают
скоростей
то последняя обладает мгно-
с части г системы полу-
})игуре F, то это свидетельствует о том, что фигура F
44PCVM МРи^мриппхша --л г? _ *
’ j—- —
жается на плане скоростей в виде подобной ей фигуры, то это значит
представляет собой диск, обладающий мгновенной подвижностью
Если на плане скоростей все стержни г
параллельные им изображения и в то же время план с
не подобен фигуре самой системы,
венной взаимной подвижностью 1 2
Вышеизложенный кинематический признак может быть сформулирован также
в виде следующей геометрической теоремы:
необходимое и достаточно!
изменяемости и неподвижности
состоит в том, чтобы она
четырьмя заданиями: своей ст
своих стержней
геометрической не-
вполне определялась следующими
Структурой, направлением всех
, длиной Одного из них (не опорного) и положением
Этот критерий интересен тем, что он относится не только к фермам,
к шарнирным цепям с любой степенью подвижности и изменяемости
Фиг. 352.
но и
и служит для
поверки не только мгновенной изменяе-
мости, а изменяемости вообще.
Для примера рассмотрим фиг. 352.
Удалим мысленно один из стержней,
например, диагональ 1-4. Один из
стержней, например 3-4, будем считать
Фиг. 353.
неподвижным; изображения 3', 4' его концов 3 и 4 на неполярном плане совпа-
дут с самими точками 3 и 4. На линии 2-3 задаемся точкой 2', после чего при
помощи проведения прямых, параллельных стержням, находим последовательно
точки 5' (на пересечении прямых 2'-5' и 4'-5г), 6' (на пересечении прямых 5'-6'
и З'-б') и Г (на пересечении прямых 2'~Г и 6'-1'). Если прямая 1'-4' окажется
параллельной прямой 1-4 (т. е. совпадет с ней), то фигура — мгновенно изменяема.
Мы могли бы в этом случае, пользуясь построенным планом скоростей, точно ука-
зать направление и относительную величину перемещения любого узла, но эти
подробности уже не имеют для нас значения.
,» -----------—- фермы, представленной на фиг. 354.
ферма имеет один лишний стержень и все же мгновенно изменяема4, часть
avivwuB иоразует непрерывно» и ociwinrij >»*>* что является характерным для эт и
ермы. (См. обозначенный толстой линией зигзаг 1-2-3-4-5-6-7-8-1, а также зигзаг • п<>-
и
Задача 2. При помощи плана скоростей поверить неизменяемость фермы, показанной
на фиг. 353.
Задача 3. Произвести такую же поверку для
Эта
раскосов образует непрерывный замкнутый зигзаг
WO1. иииаПйЧСППШИ lUJIVivn .I.X.KX’W.. -- - - - . __б.пйф
13-14-15-16-9.) Для каждого из этих зигзагов можно построить план скоростей, который будет
п
1 Последнее условие вытекает из того, что на неполярном плане изображения опорных
стержней сливаются и осями Последних, т. е. эти оси должны входить в неполярный план
как их составная часть. Оно указывается здесь впервые.
2 М ю л л е р-Б реслау, Графическая статика сооружении т. I, стр. 8.,
О у низы вас геи --- v юля
у. Графическая статика сооружении т. I, стр. 389, ijvo.
213
представлять собой также замкнутый зигзаг. Такой план скоростей первого зигзага показан
на чертеже пунктиром. Изображения всех остальных точек фермы можно считать совпа-
дающими с самими точками. Следовательно, фигура допускает перемещение всех узлов
зигзага при неподвижности остальных узлов.
Фиг. 354.
Задача 4. Произвести такую же проверку для систем по фиг. 355—356.
На фиг. 355 и 356 показаны две фермы с одинаковой структурой. Легко убедиться
в том, что для первой фигуры можно построить только такую изоклинную (т. е. имеющую
ту же структуру и соответственно параллельные элементы), которая подобна ей: если
же задать длину одного из стержней, совпадающую с длиной самого стержня, то изоклин-
Фиг. 355.
Фиг. 356.
.и
ная сольется с самой фермой. Словом, указанными в предыдущей геометрической теореме
заданиями эта ферг^а целиком определяется, следовательно, она неизменяема. Напротив, на
фиг. 356 стержень BE может быть переставлен на новое место, например, в положение В'ЕГ
без изменения структуры фермы и направления ее стержней; следовательно, она мгновенно
изменяема.
Згдача 5. Доказать, что фиг. 357 мгновенно изменяема.
У к а з а н и е. Прямые 1-2, 3-4, 5-6 и 7-8 можно передвинуть, не изменяя их направления
(см. пунктирные прямые lr-2' 3'-4Г и т. д.).
Фиг. 357.
§ 8. „ПОЧТИ ИЗМЕНЯЕМЫЕ" СИСТЕМЫ
Понятие о мгновенно изменяемой системе является вполне определенным,
я изложенные выше кинематические и статические признаки таких систем позволяют
отнести любую систему с приемлемой структурой к одной из двух категорий:
либо к геометрически неизменяемым, либо к мгновенно изменяемым системам.
214
Однако нетрудно заметить, что мгновенная изменяемость является в известной
силе, „точечному“ узлу, идеаль-
. Д. В реальных сооружениях не может быть такого"гезкого
чтоХ стоитТто°ДН0Й бКаТеГ°РИИ К ДРУГОЙ’ ДРУгими словами,
что стоит только бесконечно мало изменить очертание мгновенно
изменяемой системы, чтобы сделать ее уже вполне приемлемой для практики гео-
метрически неизменяемой системой. праыики гео-
системы, близкие к мгновенно изменяемым, хотя и не являются уже мгновенно
изменяемыми, все же обладают значительно повышенной способностью к изменению
своей формы при действии небольших
нагрузок и поэтому не могут быть реко-
мендованы к применению. Такие системы
мы будем называть в дальнейшем „почти
изменяемыми “.
Почти изменяемые системы образуют
как бы переходную группу между гео-
метрически неизменяемыми и мгновенно
изменяемыми. Провести резкую границу
между этой переходной группой и систе-
мами неизменяемыми довольно трудно, но с практической точки зрения установле-
ние такой границы в общем виде вряд ли необходимо.
С точки зрения статики почти изменяемые системы характеризуются тем, что
незначительная внешняя нагрузка вызывает в них громадные усилия. Действительно,
в пределе, когда система делается мгновенно
нечно большими; вблизи предела
примера рассмотрим фиг. 358.
Усилие в стержнях АС
степени абстракцией подобно „сосредоточеннойи
ному* шарниру и т
„мгновенного*
нельзя считать,
3£
Фиг. 358.
они будут,
изменяемой, они становятся беско-
естественно, очень большими. Для
и
выражаются
формулой
3.»
Sin а ’
При а = 0,001;
N= 500Р;
0,005;
100Р;
0,010;
50Р;
0,05;
10,0Р;
0,10; 0,20;
5,01Р; 2,51Р;
0,30
1,69Р.
здесь таблицы видно, что при а <0,05 усилие V превосходит
и даже в сотни раз. Поэтому при таких значениях а можно
Из приведенной
силу Р в десятки
считать систему почти изменяемой.
Следует оговорить, что в действительном сооружении огромные растягивающие
усилия N вызовут деформацию материала стержней, что повлечет за собой уве-
личение угла и, следовательно, уменьшение усилий. Поэтому такие системы,
несмотря на отсутствие лишних стержней,
/у ж являются статически неопределимыми; их
—1 । усилия зависят от площадей сечения стерж-
ней и модуля упругости материала. Мало
того, для определения действующих в них
усилий нельзя отождествлять их дефор-
мированную конфигурацию с заданной.
Другим признаком, характеризующим почти изменяемые системы, может служить
кинематический признак. Чтобы его вывести, воспользуемся принципом возможных
перемещений. Нагрузим такую систему силой Р, разрежем один из стержней,
в которых возникает большое усилие и раздвинем сечения в разрезе на вели
чину Д (фиг. 359). Все стержни будем считать абсолютно жесткими.
Фиг. 359.
359). Все стержни будем считать абсолютно жесткими.
Из 'уравнения ’работ следует: = где у — перемещение точки приложе-
ния силы Р по направлению Р. Отсюда _у = -^Д, а так как большое число,
то у во много раз превосходит величину Д.
215
Из сказанного следует, что в почти изменяемых системах ничтожное изменение
длины стержней, чем бы оно ни было вызвано, например, неплотностью узловых
соединений или деформацией материала, вызывает значительные перемещения. Для
примера снова рассмотрим фиг. 358, а именно выясним, как влияет небольшое
изменение длины b стержней АС и ВС на высоту h\
h — ]/d2 — а2;
dh _ 2b________= b_
db~ 2 /& — h *
Чем меньше Л, т. е. чем ближе система к мгновенно изменяемой, тем большее
dh
значение имеет производная
Заменяя приближенно отношение диференциалов отношением малых конечных
прирашений, можно сказать, что величина
Д/г
йЬ
для почти изменяемой системы весьма
велика.
В почти изменяемых системах усилия велики, поэтому удлинения и укорочения
стержней значительны. Это еще больше ухудшает качества фермы, способствуя
большим перемещениям узлов.
При проектировании сооружений следует придавать им форму, достаточно
далекую от мгновенно изменяемой, чтобы не получить систему почти изменяемую.
§ 9. НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННЫЕ СИСТЕМЫ
Мы считаем полезным упомянуть здесь о двух особенных классах стержневых
систем: о системах с приемлемой структурой, обладающих конечной подвижностью,
и о кинематических цепях, обладающих лишь бесконечно малой подвижностью.
Когда мы говорили о мгновенно изменяемых системах, то нас интересовала
лишь их способность получить бесконечно малые перемещения. Что происходило
за пределами этого бесконечно малого перемещения, т. е. прекращалось ли
перемещение или оно могло продолжаться
дальше — нас не интересовало, так как эти
системы все равно осуждены, и применение их
недопустимо.
Фиг. 361.
Фиг. 360.
Возможны такие случаи, когда мгновенно изменяемая система обладает конечной
подвижностью, т. е. обращается в механизм. Такие механизмы носят название
механизмов с избыточными связями, и им в последней четверти XIX в.
были посвящены интересные исследования ряда геометров.
Простейшим примером может служить система, показанная на фиг. 360: если
опорные стержни параллельны между собой и имеют различные длины, т0 ПРЙ
любом числе стержней, как бы оно ни было велико, система обладает бесконечно
малой подвижностью. Если же стержни не только параллельны, но и равны между
со ой по длине, то система обращается в механизм.
Другой пример показан на фиг. 361. Эта ферма имеет один лишний стержень»
механизмДВ1В2С~А£)1С£1~ЛСад~ то она представляет собой
216
шар-
сте-
i, J связаны между собой
пеней изменяемое™. Координаты каких ~ СтержнеП’ т* е- иче«' * k
уравнениями вида: Р каких-либо д8)х узлов /, j
* ‘ — (а)
СО!™™!.Г.° ЭоИ уЗЛЬк Три К0°РДинаты двух опорных
ные 2У— 3____k _ дадич еще k координат; тогда осталь-
и выразятся какими-то функциями заданных координат. Для
имели действительные, а не мнимые значения,
удовлетворять некоторым неравенствам. В том случае, когда дая^кажлой i
координат верхний и нижний пределы, выражаемые неравенствами, сливаются
собой, движение цепи оказывается невозможным
движение становится бесконечно малым.
где — длина стержня, г
узлов мы должны считать известными
— :-k коорл„а, е„редагага „
того чтобы они
заданные координаты должны
из этих
___□между
возможное
имели действительные,
или, говоря точнее,
Фиг. 362.
Фиг. 363.
Приведем один пример, отмеченный в литературе в 1912 г. Сначала рассмотрим
четырехзвенную цепь, показанную на фиг. 362 сплошными линиями. При движении
этой цепи угол ср принимает наибольшее значение тогда, когда сторона с становится
параллельной стороне а. Действительно, если мы построим параллелограм BCDE*
то угол ф окажется заключенным между двумя сторонами треугольника ADE,
имеющими неизменные длины b и d. Он достигнет наибольшей величины тогда,
когда и длина стороны АЕ достигнет максимума. Но последнее произойдет лишь
в том случае, если прямые АВ и BE сольются в одну, т. е. если окажется,
что с [| а.
Обратимся теперь к цепи, представляющей собой шарнирный многоугольник
с 2fe сторонами и k диагоналями (фиг. 363). В общем случае она имеет k — 3
степеней изменяемости, следовательно, при k >> 3 о* а представляет собой изме-
няемую систему. Однако в том случае, когда противоположные стороны попарно
параллельны между собой, она может иметь лишь бесконечно малое перемещение.
Действительно, сумма углов многоугольника равна к (2k 2) = 2&тг
Отсюда видно, что при всех перемещениях цепи ^ф; = const. Но мы знаем, что
при всяком перемещении все углы ф$ будут уменьшаться, следовательно движение
невозможно. И
§ 10. ОБЩАЯ ФОРМА МЕТОДА СЕЧЕНИЙ И ЕГО РАЗНОВИДНОСТИ
Если ферма геометрически неизменяема и не имеет лишних связей, то она
статически определима, т. е. все ее усилия могут быть определены из уравнени
статики. Как известно, эти уравнения могут составляться различными спос ами
либо в форме уравнений работ, либо в форме уравнений моментов или
причем можно располагать где угодно моментные точки и как угодно оси "
ЦИЙ. Единственное ограничение состоит в том, чго п уравнений, содержащих
217
Фиг. 364.
приложенных к ним, написать уравнения статики,
мы умножим все силы, действующие на
Фиг. 365-
все п неизвестных усилий, должны быть независимы друг от друга, т. е.
ни одно из них не должно быть следствием остальных.
Если система находится в равновесии, то и любая часть ее должна находиться
в равновесии. Как бы мы ни разрезали систему на отдельные части, мы можем
к любой из них применить уравнения статики, причем в эти уравнения должны
войти наряду с заданными внешними нагрузками, приложенными к соответствующей
части сооружения, также те силы, которые выражают собой действие откинутых
частей на рассматриваемую.
Эти силы взаимодействия на
самом деле являются внутрен-
ними; разрез как бы обнажает
эти силы и переводит их из
категории внутренних в кате-
горию внешних.
Общий способ определе-
1Q ния усилий в статически опре-
делимой ферме с помощью раз-
резов и состоит в том, чтобы
путем рассчения ее на те или
иные части получить столько
независимых друг от друга
уравнений статики, сколько неизвестных усилий содержит рассматриваемая ферма.
Таким способом всегда могут быть определены усилия в какой угодно стати-
чески определимой ферме.
Например, для определения трех опорных реакций и семи усилий в стержнях
фермы фиг. 364 проведем четыре разреза, показанных на чертеже. Каждый из них
делит фигуру на две части. Составляя должным образом условия равновесия
отдельных частей, мы можем получить несколькими различными способами необ-
ходимую для определения десяти неизвестных систему уравнений и сверх того мно-
жество уравнений, могущих быть использованными для проверки.
Под термином „часть фермы" можно понимать любую совокупность элементов,
хотя бы состоящую из нескольких отдельных кусков.
Например, из фиг. 364 можно выделить элементы, показанные на фиг. 365,
и для всей совокупности сил,
Равновесие не нарушится также, если
левую часть фиг. 365, на произ-
вольный множитель т19 а все силы,
действующие на правую часть, — на
произвольный множитель т2: в левой
части будут силы туР^ nirx19 тгх2>
т\х^ 2 в правой — силы т2х^
и т- Д. Для всей этой сово- /
купности сил можно написать три
уравнения статики.
Если бы речь шла только о том,
чтобы выяснить теоретическую воз-
можность определения усилий при
помощи разрезов, то можно было
бы удовлетвориться данным здесь изложением основной идеи. На деле речь ид
не только о выяснении теоретической возможности, но и о том, чтобы практически
получить численные значения этих усилий. Инженер, рассчитывают*1
ферму, заинтересован в том, чтобы уравнения получились возможно более ПР
стыми, для того чтобы их можно было решить с наименьшей затратой труДа
с наибольшей точностью. Эта цель будет достигнута в том случае, когда сипе '
уравнений удастся составить таким образом, чтобы в каждом из них содержав
только одно неизвесшое. Нескочько менее удобен, но все же вполне прием*
такой вид системы уравнений, при котором в отдельных уравнениях хотя и всТР^
чается по нескольку неизвестных, но все эти неизвестные кроме одного У
218
задачи
и быстро
м количестве вычислений,
в тех случаях, когда все или
неизвестных,
не в том.
найдены из предыдущих уравнений. В обоих случаях усилия легко
определяются в последовательном порядке при минимально
Значительно менее удобное решение получается г
ЧаСИс >Р®анений образуют совместную систему с большим числом
Из сказанного ясно, что трудно
чтобы для п неизвестных со<
а в том, чтобы составить возм
компактную систему, допускающую наиболее быс;
ш е н и е.
Вся теория определения усилий в фермах сводится к выработке таких правил
проведения разрезов и сечений и вообще к созданию таких способов составления
уравнений равновесия, которые обеспечили бы системе этих уравнений наиботь-
шую простоту. Различные методы, фигурирующие в теории ферм
представляют собой не что иное, как различные методы
Сама схема фермы служит наглядным путеводителем при разыскании удач-
ных разрезов. Последние должны, конечно, проводиться так, чтобы встретить на
своем пути возможно меньшее количество неизвестных усилий.
Интересно отметить, что при п>2 система п уравнений статики для стати-
чески определимой фермы, полученная путем записи условий равновесия отдель-
ных частей, никогда не бывает полной, т. е. никогда не бывает такой,
чтобы в каждом из п уравнений содержались все п неизвестных. Мало того,
в системе никогда не встречается ни одного уравнения, которое содержало бы
все неизвестные усилия. Объясняется это тем, что, повидимому, невозможно
провести ни одного такого замкнутого разреза, который пересек бы все стержни,
включая и опорные, и притом каждый из них нечетное число раз. Общие топо-
логические свойства разрезов плоских стержневых систем и связанные с этим
вопросы структуры уравнений совершенно не изучены, хотя они-то и являются
глубочайшей основой всех статических методов теории ферм.
Опорные реакции обычно легко выделяются из общей системы неизвестных,
и для них можно составить отдельную систему уравнений.
Например, если ферма представляет собой неизменяемую фигуру, опираю-
щуюся на три опорных стержня, то ее можно отделить (иотсечь“) от опор, не
перерезая ни одного из остальных стержней. Условия равновесия фермы, отсечен-
ной таким образом, будут содержать в качестве неизвестных только опорные
реакции.
То же самое можно сделать и в более сложных случаях, например, в консольно-
балочных или арочных фермах.
Вообще во всех случаях, где опорные реакции могут быть определены из
обособленной несложной системы уравнений, можно рекомендовать начинать расчет
фермы именно с определения
опорных реакций с тем, чтобы
уже после этого переходить
к определению остальных
усилий.
Фиг. 366.
СПОСОБ ВЫРЕЗАНИЯ
УЗЛОВ
Одним из простейших
способов получения уравне-
ний, содержащих минималь-
ное количество неизвестных»
является проведение таких разрезов, каждый из которых отсекает от фермы по
Одному узлу. На фиг. 366 показан один из таких разрезов. Он рассекает ферму
на две части, из которых меньшая содержит лишь один
рассматривать равновесие этой меньшей части (фиг. , т,
минимальное количество стержней и простейшую внешнюю нагрузку.
219
Выделяя при помощи таких разрезов все узлы фермы, мы получим как раз
такое количество уравнений, которое необходимо для определения усилий во всех
ее стержнях, в том числе и в опорных. В самом деле, силы, сходящиеся
в одном }зле, должны удовлетворять двум уравнениям равновесия; третье урав-
нение, а именно равенство нулю их момента относительно узла, всегда удовле-
творяется тождественно независимо от величины сил. Если число узлов^равно У,
где Со — число опорных
стержней фермы, С—число остальных стержней. Но стати-
чески определимая ферма как раз удовлетворяет соотноше-
нию П, (8):
то число независимых уравнений статики равно 2У. Число
неизвестных усилий равно
о»
о*
Итак, способ вырезания узлов является частным приложе-
нием общего метода сечений.
Его применение оказывается особенно удобным в тех слу-
чаях, когда геометрическая структура фермы обеспечивает воз-
можность определять неизвестные одно за другим без совмест-
Фиг. 367. ного решения системы уравнений.
На фиг. 368 показан узел А, содержащий только два стержня. Обозначим
усилия в этих стержнях через 3\ и 3*2. Для аналитического решения задачи нужно
задаться положительными направлениями усилий. Предположим, что оба они напра-
влены от узла, т. е. что оба стержня растянуты. Спроектировав силы на
Спроектировав силы на
произвольные две оси, мы получим два
уравнения, в которые будут входить не-
известные Sj и 32; следовательно, оба
эти неизвестных определятся из неслож-
ной системы совместных уравнений.
Мы можем избавиться от совместно-
сти этих уравнений, если направим одну
из осей проекций перпендикулярно силе 3\,
а другую — перпендикулярно силе 32.
Уравнения примут вид:
N
Si sin (а + р — тг) — Р sin р = О,
S* sin (а
тс) — Р sin а = О,
т. е. каждое будет содержать только од но
неизвестное; отсюда
sin р
____ sin а
2 cifl ft-
Фиг. 368.
Можно предложить другой, не менее
удобный, способ разложения системы
уравнений на два самостоятельных уравне-
ния: на прямых, по которым направлены
усилия и возьмем две произволь-
ные точки М и N и составим относительно
них уравнения моментов. Так как момент
силы 3\ относительно точки М и момент
силы 32 относительно точки /V равны
нулю, то каждое из уравнений будет содержать лишь одно
уравнение моментов относительно точки N будет такое:
неизвестное. Например,
— Prp==o,
ГДС fj, Гр плечи соответствующих сил относительно этой точки.
Аналитическое решение может быть заменено графическим, ___________
фиг. 368, б. Оно состоит в построении замкнутого силового треугольника,
р плечи соответствующих сил относительно этой точки.
показанным на
в ко-
•1
тором направления всех сил и величина одной
“ ™“° а«<ол»™е вел™ Ж
построение силового
аналитическую операцию
„ с уравнений с
Столь же простое решение получается Е
дится более двух стержней, но при том условии
два усилия, все
трехстержневой узел, нагруженный заданной силой
лие 5 известно; например, оно
найдено было предварительно
при рассмотрении другого узла.
Здесь также получается систе-
ма двух уравнений с двумя
неизвестными; если мы напра-
вим оси проекций перпендику-
лярно направлениям сил S2
или выберем моментные точки
на линиях действия этих сил,
то система разобьется на два
самостоятельных уравнения, со-
держащих по одному неизвестному. Графическое
в построении замкнутого силового многоугольника, в котором
вестными являются лишь величины двух сил Sj и 52. Этот многоугольник по-
строен на фиг. 369, б. Сила Si получилась направленной от узла А, а сила So,
наоборот, к узлу. Первая вызывает растяжение соответствующего стержня, а вто-
рая — сжатие.
Определение усилий в ферме способом вырезания узлов представляет собой
многократное повторение одной и той же несложной операции, состоящей в после-
довательном построении замкнутых силовых многоугольников для каждого из узлов
фермы. Существенную роль играет выбор
Таким образом, графическое
ника заменяет собой
из них (Р) известны. Из этого
- ь ^2> но и их знаки.
м н о Г о у г о л ь-
совместного
УСТНЫМИ.
И для таких узлов, в которых схо-
что неизвестными являются лишь
же прочие усилия известны. Например, на
Р. В одном
фиг. 359 показан
из стержней уси-
Фиг. 369.
решение той
же задачи состоит
пр прежнему неиз-
надлежащей последовательности пере-
хода от узла к узлу: в любой
Фиг. 370.
узел, в котором
лишь два неиз-
На фиг. 370 узлы пронумеро-
ваны в том порядке, в каком нужно
их вырезать для определения усилий.
Рекомендуется предварительно опре-
делить опорные реакции из условий
равновесия фермы в целом. В узле 1
найденная л'вая реакция уравнове-
шивается двумя неизвестными уси-
лиями. После того как они будут
найдены, в узле 2 останутся неиз-
и в раскосе, следовательно, их можно будет
После этого мы подойдем к узлу 3, в котором
3-4 и в панели пояса 3-5 и т. д.
мы подойдем к узлу 13, то в нем останется
усилие в стойке 13-14, в то время как для узла можно
вестными усилия в верхнем поясе
определить вырезанием этого узла,
будут неизвестны усилия в стойке
Когда, заканчивая построение,
лишь одна неизвестная—<
составить два уравнения. Очевидно, что одно из этих уравнений будет контрольным.
Например, спроектируем все силы в узле 13 на ось, перпендикулярную к оси
стойки 13-14: в это уравнение усилие самой стойки не войдет, и мы получим
контрольное равенство, связывающее внешнюю нагрузку узла и усилия 13-11 и
13-12. Графически это контрольное условие выразится в том, что равнодействую-
щая названных трех сил должна быть направлена по линии 13-14. Нэкон-ц, в узле /4
мы будем иметь два уравнения или два условия и ни одной неизвестной, эти
что равнодействую-
узел будет целиком контрольным. Получение трех контрольных условий объ-
ясняется тем, что три уравнения статики уже были использованы ранее, когда мы
определяли опорные реакции.
Другой пример изображен на фиг. 371, где узлы также пронумерованы
в порядке, обеспечивающем постепенное определение неизвестных. В этом примере
приходится итти от концов фермы
к середине.
75-
Фиг. 371.
§ 12. ДРУГАЯ ВОЗМОЖНАЯ ТРАК-
ТОВКА СПОСОБА ВЫРЕЗАНИЯ УЗЛОВ
И Представим себе, что мы каким-
нибудь способом определили усилия во
всех стержнях фермы. Тогда мы
можем считать каждый стержень изо-
лированным от остальных и нагружен-
ным по концам двумя равно-противо-
положными силами. Например, равно-
весие фермы на фиг. 372, а можно изобразить так, как это показано на фиг. 372, б.
Если эти силы найдены правильно, то геометрическая сумма тех сил, которые
приложены к концам, образующим один узел, должна быть равна действительной
внешней нагрузке этого узла.
Эти условия аналитически выражаются теми же уравнениями, которые нам
их здесь иной: пользуясь ими, мы
дает метод вырезания узлов, однако смысл
как бы осуществляем преобра-
зование внешней нагруз-
ки. Каждую узловую нагрузку
мы разлагаем на составляющие,
направленные по соответствую-
щим стержням, причем разложе-
ние должно быть произведено
так, чтобы нагрузки, передаю-
щиеся на оба конца каждого
стержня, оказались равными и
противоположными друг другу.
§ 13. СВЯЗЬ МЕЖДУ СПОСОБОМ
ВЫРЕЗАНИЯ УЗЛОВ И ГЕОМЕТРИ-
ЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ ФЕРМЫ
Фиг. 372.
Для того чтобы существо-
вала такая последовательность
вырезания узлов, при которой
в каждом узле будет встречаться
только по два неизвестных, ферма
должна обладать определенной
геометрической структурой.
Рассмотрим, какова должна
собой один диск, опирающийся на
быть эта структура, если ферма представляет
. . три опорных стержня.
}дем считать попрежнему, что опорные реакции найдены предварительно без
помощи вырезания узлов. Откинем опорные стержни и заменим их этими реакциями,
от узел, который вырезается в первую очередь, должен содержать, очевидно,
только два стержня; следовательно ферма, отделенная от своих опор, должна иметь
о крайней мере один двухстержневой узел. Назовем его узлом 1 (фиг. 373).
Определив усилия в этом узле, откинем оба его стержня и заменим их дей-
-ие на остальную часть фермы найденными усилиями. Мы знаем, что удаление
} хстержневого узла (диады) не изменяет степени свободы системы; в частности,
еометрически неизменяемая фигура остается таковой и после этой операции.
222
Фиг. 373.
ния узлов. В таком случае легко убедиться, что в основе фермы лежит простейшая
т. е. диада, а вся ферма обра-
Для того чтобы оставшаяся часть фермы дот скала
ния узлов, не приводя к системе совместных уравнений
содержать по крайней мере один двухстержневой узел,
с его двумя стержнями, мы снова должны получить
ферму, содержащую хотя бы один двух стержне вой
узел и т. д. В конце концов, после удаления до-
статочного количества узлов, мы должны получить
геометрически неизменяемую фигуру, имеющл ю двух-
стержневой узел и в то же время содержащую мини-
мально возможное количество узлов. Такой фигурой
является шарнирный треугольник.
Итак, ферма с тремя опорными стержнями, допу-
скающая вышеуказанное решение, должна иметь сле-
дующую структуру: она должна быть образована из
шарнирного треугольника путем последовательного
присоединения диад (двухстержневых шарнирных
цепей).
Если статически определимая ферма опирается на
то, будучи отделена от своих опор, она будет иметь
Пусть задача решается без совместных уравнений путем последовательного выреза-
фигура, имеющая одну^ степень изменяемости,
зуется путем последовательного присоединения к ней ряда диад.
применение способа выреза-
она в свою очередь должна
Откинув этот узел вместе
ч
е т ы р е опорных стержня,
одну степень изменяемости.
Фиг. 374.
То же самое можно выразить еще так: ферма состоит из двух шарнирно
связанных между собой геометрически неизменяемых ферм, каждая из которых
образована путем присоединения диад к некоторому треугольнику. Такова напри-
мер, консольно-балочная ферма на фиг. 374: за основную фигуру в ней можно
принять диаду 1-2-3\ в то же время она состоит
Фиг. 375.
из двух простейших ферм.
Путем аналогичных рассуждений можно проана-
лизировать и фермы с большим количеством опор-
ных стержней.
Можно ли рассчитывать способом вырезания
узлов также фермы с другой геометрической струк-
турой? Безусловно можно! Теоретически этот спо-
соб является общим, но применение его оказывается
менее удобным вследствие появления системы со-
вместных уравнений. Разберем для примера схему
18
фиг. 375. Определим сначала опорные реакции,
а затем приступим к вырезанию узлов. Мы встретим
следующее количество неизвестных:
в узле 1 — 3 неизвестных;
в 2 — 2 новых неизвестных;
„ 3 — 1 новое неизвестное.
Вырезав последовательно эти три узла, мы получим в итоге систему шести
совместных уравнений с шестью неизвестными. После того как эта система уде
решена, в узле 4 останется только два неизвестных, а после определения таковых
Останется одно неизвестное в узле 5, которое легко определится.
223
§ 14. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ РАВНОВЕСИЯ УЗЛОВ
При вырезании узлов часто встречаются некоторые простые случаи, решение
которых может быть дано раз навсегда в общем виде.
1. Ненагруженный двустержневой узел (фиг. 376). Равновесие такого узла
возможно лишь при условии Si = 52==0. Доказательство читатель сам найдет без
труда.
Условимся для краткости называть стержень, в котором усилие равно нулю
нулевым. Мы можем сказать, что в ненагруженном двухстержневом
2. Ненагруженный трехстержневои узел, в котором оси двух стержней
направлены
Итак,
по одной прямой (фиг. 377). Третий стержень в узле, в котором
остальные два стержня направлены по одной прямой, носит название
„одиночного11 стержня. Этот случай может быть сведен к преды-
дущему: соединим мысленно усилия и в одну равнодействую-
щую, направленную по их общей прямой. Тогда в узле останется
только две силы: эта равнодействующая и сила 53. Они могут
уравновеситься только при условии, что каждая из них порознь равна
нулю. В таком случае усилия Sj и должны быть равны между
собой по величине и направлены в противоположные стороны,
Фиг. 376.
е. стержни 1 и 2 должны быть одинаково растянуты или одинаково сжаты.
= S2 и S3=0.
В ненагруженном трехстержнев ом узле одиночный стержень
является нулевым.
3. Трехстержневой узел с одиночным стержнем и с нагрузкой, дей-
ствующей по направлению последнего (фиг, 378). Четыре силы, уравновеши-
вающиеся в узле, могут быть соединены в две равнодействующие, из которых
одна направлена по прямой 7-2, а другая — по направлению оси стержня 3. Задача
приводится таким образом к случаю „Iй, и можно сказать, что каждая из этих
двух равнодействующих равна нулю. В таком слу-
чае ^“6*2 и 53=—Р, т. е. оба стержня 1 рг
и 2 растянуты или сжаты с одинаковой р«------------------ъ?
Фиг. 377.
Фиг. 378.
Фиг. 379.
а одиночный стержень исп i
он будет сжат или растянут, смотря по тому
из условий равновесия данного узла, так как для этого потребовалось бы третье
усилие найдется, когда мы будем рассматривать другие узлы фермы.
4. Такой же узел с произвольно направленной нагрузкой (фуг. 379). Раз-
ложим силу Р на составляющие Р' и Р", из которых одна приложена к узлу
параллельно оси стержней / и 2, а другая — параллельно оси одиночного стержня 3.
ервая не^ вызывает в стержне 3 никакого усилия, а вторая вызывает усилие,
а от действия составляю-
---------------- г-----j., ---, направлена ли сила Р к узлу или
от узла. Что касается величины усилия и S2, то она не может быть определена
из условий равновесия данного узла, так как для этого потребовалось бы третье
уравнение, в то время как для узла можно составить только два уравнения. Это
усилие найдется, когда мы будем рассматривать другие узлы фермы.
4. Такой же узел с произвольно направленной нагрузкой (фуг. 379). Раз-
ложим силу Р на составляющие Р' и Р", из которых одна приложена к узлу
параллельно оси стержней / и 2, а другая — параллельно оси одиночного стержня 3.
ервая не вызывает в стержне 3 никакого усилия, а вторая вызывает усилие,
равное Р. Что касается стержней 1 и 2, то в них от действия составляющей Р
возникает разность усилий, равная самой силе Р', а от действия составляю-
щей Р какие-то равные усилия. В итоге.
= S2 + Р' и S3 = — Р".
224
5. Ненагруженныи четырехстержневой узел,
о. -----узел, в котором оси степжирй
направлены по двум прямым (фиг. 380). Заменив мысленно силы 7
стороны, и силы
задачу к случаю
с другой стороны, их равнодействующими,
и легко обнаружим, что
и 2, с одной
мы приведем
•$1 — S2 и S8 — (5) х
Примерб. Пользуясь приведенными выше теоремами, опре- (Д) f С?)
делим нулевые стержни в консольной ферме, показанной на
фиг. 381. Узел 1 является ненагруженным двухстержневым, поэтому /
его стержни-—нулевые. Откинув мысленно оба стержня, мы уви- S
дим, что узел 2 находится в таких же условиях. Так. переходя от //лЛ
узла к узлу, мы убедимся, что все стержни, расположенные справа '
от силы Р, — нулевые. Кроме того в узлах 72, 14 и 16 примыкаю-
щие к ним стойки и подвески являются одиночными стержнями, фнг 30л
а так как внешней нагрузки в этих узлах нет, то они не работают^
Наконец в узле 10 подвеска 10-11 растянута с силой, равной Р. Для большей ясности та
же ферма изображена вторично на фиг. 382, причем все нулевые стержни обозначены тон-
Фиг. 381.
кими линиями.
Шпренгельная фер-
ма, изображенная на
фиг. 383, нагружена вер-
тикальными силами в
узлах 3, 6, 7, 8,9,12 и 15.
Подвески 1-1', 2-2',
4-4' и т. д. являются оди-
ночными стержнями, по-
этому из всех нагрузок,
приложенных к узлам
фермы, усилие в какой-
нибудь подвеске может
вызвать лишь та, кото-
рая приложена в панели,
смежной с этой подвеской.
8-8'. Подкосы l'-З', 2'-3',
t-г и
в соответствующей подвеске не
фермы, например узел 4'. Когда
В данном случае из всех подвесок работают только
4'-6' и т. д. работают только в том случае, если усилие
равно нулю. Для доказательства рассмотрим один из узлов
подвеска 4-4' не работает,
то подкос 4'-6' является
одиночным стержнем. Та-
ким образом, подвески
и подкосы являются вспо-
могательными элемента-
ми, работающими лишь
на местную нагрузку и не
участвующими в общей
работе фермы.
Сравним работу
ферм, показанных на
фиг. 384 и 385. В ферме
на фиг. 384 диагонали
шарнирно связаны между_______ „ . . ____
диагонали друг с другом не связаны. Легко убедиться в том, что обе фермы геометрически
неизменяемы и статически определимы. Вообще следует иметь в виду, что если в точке
Фиг. 382.
собой в узле С а в ферме на фиг. 385 шарнир 6 отсутствует и
а в и т с я шарнир,
изменяемости
который
или стат
превращает
и ч с с к о и к е-
псресечения двух стержне
их в четыре стержня, то степень "”, "действительно" шарнир дает допол-
определимости системы ис н а р у ш а с т с я. действительно,
225
и
15 Зяк, 1842 И. М. Рабинович.
нительно два уравнения статики, но в то же время число неизвестных усилий увеличиваете»
на два. Если шарнир ставится в точке пересечения трех, четырех и более стержней, "
кинематическая и статическая характеристики системы нарушаются, так как возникают
лишние связи.
На основании п. 5 в узле 6 фиг. 384 усилия 61 и,64 между собой равны; то же самое
можно сказать об усилиях 62 и 65. В ферме на фиг. 385 эти усилия также равны между
Фиг. 385.
собой вслепствие отсутствия узла. Но так как статически определимая ферма допускает
лишь одно решение, то при любой нагрузке, приложенной н узлах 1, 2,3,4 и 5, обе фермы
Фиг. 384.
работают одинаково.
Задача 7. Прн помощи вырезания узлов определить нулевые стержни в ферме мосто-
вого краиа, изображенной на фиг. 386. И
§ 15. ДИАГРАММЫ УСИЛИЙ (МАКСВЕЛЛА-КРЕМОНЫ)
Каждому узлу, вырезанному из фермы, соответствует отдельный замкнутый
силовой многоугольник. Для того чтобы определить усилия во всех стержнях,
приходится построить столько силовых многоугольников, сколько имеется узлов.
Разбросанные по всему чертежу силовые многоугольники неудобны для поль-
зования и служат источ
ником ошибок. Кроме
того, каждая сила по-
вторяется в них два раза,
так как любой стержень
входит в состав двух уз-
лов. Двукратное вычер-
чивание одних и тех же
сил требует излишней за-
траты труда, а главное —
влечет за собой неточ-
ность чертежа, а нередко
и недоразумения.
Стремление избавить-
ся от этих неудобств по-
метода вырезания узлов.
служило толчком, к замечательному усовершенствованию
основанному на применении так называемых „взаимных диаграмм". Взаимные Диа'
граммы, сущность которых будет изложена ниже, позволяют получать чрезвычайно
компактное, удобное и легко контролируемое графическое построение всех усилий
на одном чертеже, причем каждое усилие чертится лишь один раз. Каждая така»
диаграмма представляет собой как бы обобщенный силовой многоугольник для всех
внешних и внутренних сил фермы, который позволяет сразу, Одним взглядом»
охватить все усилия. Особенным достоинством этого метода является регуляр-
ность всего процесса построений, благодаря которой все операции производятся
почти автоматически н Определенной последовательности, а ошибка в знаках с1*'
новится почти невозможной.
226
многоугольники, которые по-
чтобы каждая сила встречалась на чертеже только олин'ра^РасгТаК’
тпгтпп ппимсп. поклаяннып ж... QO7 Tr>ev„ р ‘ Насьмотрим сначала
’ Где ^панельная ферма, не имеющая
Поставим себе задачей соединить все силовые
лу чаются при вырезании отдельных узлов фермы,
1
простой пример, показанный на фиг. 387
опор, нагружена уравновешенной системой внешних сил. ’ "v
Линии действия внешних сил и опорных реакций ‘можно рассматривать кЯК
бесконечно длинные растянутые или сжатые стержни. Оси всех стержнейXnw.
включая и последние, разбивают плоскость чертежа на огдельные поля ^тью
замкнутые, частью разомкнутые, которые обозначены на чертеже Йипами’» /
d, е, f,..., k. Часть этих полей в данном примере имеет вид треугольников-
.Е10б^е.Же 0НИ МОГУТ ,1Ыеть и другую форму. Существенно лишь то обстоятельство’
не лежащая на рассматри-
что
в данном примере каждая точка
плоскости чертежа,
Фиг. 387.
ваемых прямых, принадлежит одному и только одному полю. Если такое разде-
ление части плоскости, занимаемой чертежом, на поля возможно, то и построение
требуемой диаграммы усилий возможно.
Условимся отмечать каждую прямую двумя буквами или двумя цифрами,
обозначающими те два поля, которые разграничиваются этой прямой. Прямая ab
разделяет поля а и bt т. е. совпадает с линией действия силы прямая ag
служит границей между полями а и g, и т. д. Обозначение самих узлов при этом
уже не играет никакой роли.
Построим сначала силовой многоугольник для внешних сил
}эиг. 387, б\
•S
Будем откладывать силы в той последовательности, в какой мы будем их встречать,
если будем обходить ферму в круговом порядке, например, по часовой стрелке.
Сила Рг имеет обозначение fa\ при круговом обходе мы сначала встречаем поле /,
потом л, поэтому на силовом многоугольнике обозначаем через / начало, а через а
конец вектора этой силы. Сила Р2 будет обозначена через ab и проводится по-
этому на силовом многоугольнике через точку а, которая уже определилась из
предыдущего построения. Таким образом, каждая из внешних сил расположится
на вполне определенном месте. На фиг. 387 силовой многоугольник начерчен
более толстыми линиями. Он образует как бы каркас будущей диаграммы усилий.
Перейдем к определению усилий в стержнях фермы. Порядок перехода от
узла к узлу нам известен: он диктуется лишь тем, что в каждом разбираемом
узле должно быть не более двух неизвестных усилий. Начнем с >3ia А. В нем
должны уравновеситься три силы, которые обозначены через fa. ag м gf. На диа-
грамме они должны образовать замкнутый треугольник. Точки / и а уже имеются;
остается найти точку g. Проводим на диаграмме из точки а прямую, параллель-
ную стержню ag фермы, а из точки / — прямую, параллельную стержню fg.
Пересечение этих двух прямых определит нам точку g. Тем самым узел А уравно-
вешен: ему отвечает замкнутый треугольник fag.
227
Переходим к узлу /5. В нем уравновешиваются четыре силы, из которых две
известны. Обходя их в круговом порядке, мы встретим силы ga, ab, bh, hg.
На диаграмме они должны образовать замкнутый четырехугольник с вершинами,
расположенными в том же порядке: gabh. Нужно найти только вершину h. Для
этого из точки /?, уже имеющейся на диаграмме, проведем прямую bh, параллель-
ную стержню bh, а из g — прямую gh. параллельную одноименному стержню.
Таким образом, и здесь каждый вектор займет вполне определенное место.
Узлу F должен соответствовать на диаграмме пятиугольник efghi. Нужно
найти недостающую его вершину i. Она получится на пересечении прямых hi
Фиг. 388
и ef которые следует провести из точек h и е параллельно соответствующим
стержням.
Узлу С соответствует многоугольник hbeki*, вершина k его лежит на пере-
сечении прямых ik и cfe, проведенных из точек Z, с параллельно стержням
ik и ck.
Проделав эту часть построения, перейдем к узлу Z), в котором осталась одна
неизвестная сила kd. На диаграмме уже имеются точки k и d; остается их соединить
прямой. Узел D уже является контрольным: если построение произведено без
ошибок, то прямая kd диаграммы должна автоматически получиться параллельной
стержню kd.
Узел Е, который остался нерассмотренным, не требует никаких построений,
так как все усилия уже найдены в процессе предыдущих построений. Уравнове-
шивающиеся в нем силы de^ eir ik, kd образуют на диаграмме замкнутый четырех-
угольник deikd.
Построенная диаграмма усилий допускает множество разнообразных поверок.
Например, проведем разрез N—N. Условия равновесия требуют, чтобы силы,
действующие на каждую из двух частей фермы, образовали замкнутые много-
угольники. На диаграмме мы действительно находим многоугольник fabhief ко-
торый подтверждает равновесие левой части, и bedeihb, который имеет такое же
значение для правой части.
Знаки всех усилий получаются из диаграммы сами собой, так как в любом
замкнутом многоугольнике силы образуют непрерывное течение, позволяющее
обойти кругом весь контур. Достаточно знать направление одной стороны много-
угольника, чтобы определить направление всех остальных. Например, в узле А
известно направление силы Pg. она идет вниз. Обойдем силовой треугольник fag
непрерывным движением так, чтобы пройти силу fa сверху вниз. Сила ag окажется
направленной вправо [т. е. направленной от узла А], а сила gf — вверх [т. е. на-
правленной к узлу А]. Отсюда следует, что стержень АВ будет растянут,
а АЕ— сжат. -
Многоугольник efghf соответствующий узлу F, следует пройти так, чтобы
сила Р6 согласно условию была направлена вверх, т. е. по направлению от вер-
шины е к вершине /. Этим определится знак всех усилий узла F. Таким способом
определятся все знаки, указанные на фиг. 387.
гнш-
(Ф"г. 388). Здесь заданные
нимг Z'LaL^'^o'^Ko не ёоздает никаких иеТд"^в“нёХ^
найти аналитически или - - ,димо
ние силы и j равновешивающие их реакции вертикальны.’ поэтому поля мевду
графически опорные реакции. На фиГ'з^Твнеш^
силы отложены на
лучи, необходимые для построения
пунктиром на фиг. 388, .
вектором ha, а правая — ве-
прямой abcdefg, затем из произвольного полюса О проведены
□строения веревочного многоугольника, показанного
а. Левая опорная реакция выражается на диаграмме
ктором gh.
Диаграмма строится
в таком порядке: 1) тре-
угольник hai\ 2) прямоуголь-
ник abki, из которого видно,
что усилие в стойке kt равно
силе ab\ 3) четырехуголь-
ник hikl, 4) пятиугольник
Ikbcrn и т. д.
Если ферма симметрич-
на, а нагрузка также сим-
метрична, то достаточно по-
строить половину диаграммы.
Из этих примеров вид-
но, что примененные выше
обозначения играют боль-
шую роль, облегчая пра-
вильное построение диаграм-
мы. Они были предложены
в 1873 г.
На фиг. 389, а показан
Фиг. 389 6.
пример построения диаграм-
мы для симметрично нагру-
женной арочной фермы, В этом примере построение требует предварительного
определения опорных реакций, которые могут быть найдены, как в простой трех-
шарнирной арке. На фиг. 389,6 построена половина диаграммы.
§ 16. В ЧЕМ СОСТОИТ „ВЗАИМНОСТЬ» ДИАГРАММЫ И ФЕРМЫ
Все линии диаграммы соответственно параллельны линиям фермы и направле-
фигуры не являются подобными друг
ниям ее внешних сил. Тем не менее обе
ДРУГУ- Между ними существует более сложная связь.
Число линий на обеих фигурах одинаково. > . .
Каждому узлу фермы соответствует многоугольник диагр< ’
роны последнего соответственно параллельны линиям чер1ежа фермы, ft_rTRVer
в этом узле. Наоборот, каждому узлу или вершине диаграммы со тв
22В
некоторое поле чертежа фермы, образованное линиями того же направления и обо-
значенное той же буквой, чго и вершина диаграммы. Короче говоря, любой вершине
лпппй Фнгуоы соответствует многоугольник другой и, наоборот, причем соответ-
одной фигуры соответствует многоугольник другой и, наоборот,
ств\ юшие линии параллельны между собой.
что число вершин одной фигуры равно числу
носит общее название взаимности
и
£игур;
две фигуры, связанные друг
с другом такими соотноше-
ниями, носят название вза-
имных. Максьелл устано-
вил связь между теорией
взаимных плоских фигур и
тесрией взаимных мно-
гограников. Взаимными
многогранниками следует на-
зывать такие, проекции ко-
торых на какую-нибудь пло-
скость образуют взаимные
фигуры. При помощи поня-
тия о таких многогранниках
Максвелл показал, что п о-
Огсюда следует между прочим,
полей другой и наоборот.
Совокупность указанных свойств
Фиг. 390.
возможно. если
линиями фермы
и ее узловой нагруз-
многогранника, имею-
щего плоские грани.
В разобранных выше
примерах все поля на чер-
теже фермы, действительно,
можно представить себе,
как проекции плоского
многогранника.
Простое изложение тео-
рии взаимных многогранников можно найти в упомянутой выше книге проф.
В. Л. Кирпичева.
§ 17. КОМБИНИРОВАННОЕ ПОСТРОЕНИЕ ДИАГРАММЫ
В рассмотренных примерах все усилия можно было определить последователь-
ным вырезанием узлов. На фиг. 393 показана стропильная ферма, структура ко-
торой является неподходящей для непосредственного опредетения усилил этим
методом. В то же время эта ферма, нагруженная по наружным узлам, может
рассматриваться как проекция многогранника с плоскими гранями, следовательно,
для нее существует взаимная фигура. Для построения этой фигуры приходится
комбинировать метот вырезания узлов с более общим методом сечений. В первую
очередь при помощи разреза, показанного на фиг. 390, определяют аналитическим
путем угилие в одном из стержней фермы, например, в нижнем стержне. Усилие
этого стержня обозначено через qi. Ход построения диаграммы таков: сначала
строится треугольник iak. для узла X, затем четырехугольник kabl для узла В,
затем четырехугольник ikbn для узла С; после этого нужно построить четырех-
угольник imnq для узла Е, Вершина q получается так: из точки I проводится
в надлежащую сторону (в данном случае — влево) вектор iqt величина которого
23о
найдена была при помощи разреза. Остальная часть постпп₽ниа „
требует особых пояснений. _роения диаграммы не
Между прочим, после того как одно из усилий в разрезе найдено можно
найти и некоторые из остальных усилий фермы, не вырезая узлов Так’ напм
мер, усилия dP и pq определяются из условий равновесия левой отсеченной части
фермы (замкнутый многоугольник tabcdpql). Усилия в двух других стержнях: узл F
определяются из замкнутого многоугольника efghiqrcy усилия в стержнях со Jon —
при помощи разреза, пересекающего кроме этих стержней еще pq и ai (замкнутый
многоугольник copqiabc), и т. д. q <замкиУтый
§ 18 ПОСТРОЕНИЕ ДИАГРАММЫ МЕТОДОМ „ЛОЖНОГО ПОЛОЖЕНИЯ"
Способ ложного положения состоит в том, что сначала строятся две заведомо
неправильные диаграммы, которые получаются при некотором произвольном допу-
щении, а затем полученные противоречия соответствующим образом устраняются
Метод ложного положе- J ь
ния будет рассмотрен
в § 34 настоящей главы
в более общей трактовке.
Здесь мы остановимся
лишь на графическом
применении этого метода
к построению диаграммы
усилий.
Предварительно дока-
жем следующую лемму:
если замкнутый
п-угольник изме-
няется так, что
стороны его сохра-
няют постоянное
направление, а п—1
Фиг. 391.
вершины скользят
по неподвижным
прямым, то и д-я вершина скользит по прямой. Пусть на фиг 391
вершины многоугольника А1У и т- Д- скользят по прямым, изобра-
женным тонкими пунктирными линиями; требуется доказать, что вершины Fv F^ Fs
также располагаются на некоторой прямой.
Очевидно, что тонкие пунктирные линии фигуры можно рассматривать как
линии действия некоторых сил, а многоугольники — как семейство эквивалентных
веревочных многоугольников, отвечающих одному и тому же положению полюса
силового многоугольника для этих сил. Геометрическим местом точек F в таком
случае будет прямая, по которой направлена равнодействующая всей системы сил.
Обратимся к построению диаграммы. На фиг. 392т а показана система, для
которой непосредственное определение усилий способом последовательного выре-
зания узлов невозможно. Нанесем на диаграмму заданные две силы cd и de. Далее
дадим усилию в одном из стержней, например, в стержне ady два произвольных
по величине и по знаку значения. На диаграмме это выразится в том, что мы
проведем из точки d прямую, параллельную линии ad фермы, и на ней отметим
дне произвольных точки ах и После этого в узле 1 останутся только два
неизвестных усилия; вырезав его, найдем на диаграмме точки Ьх и ырезав
узел 2 в котором также останется два неизвестных, найдем точки и затем
перейдем к узлу 3, вырезав который получим точки и g2. Наконец, вырезав
узел 4, получим точки и Этим заканчивается построение щвух ложных
Диаграмм.
На основании предыдущей теоремы можно
местом точек Ьъ с одной стороны, и точек
утверждать, что геометрическим
с другой стороны, служат
231
две прямые. Поэтому продолжаем прямые ЬХЬ2 и />'£>' до взаимного пересечения
Таким способом находится точка Ь, принадлежащая искомой диаграмме. Поль
Фиг. 392.
зуясь этой точкой, уже нетрудно закончить построение. Окончательная диаграмма
линиями.
Иногда метод ложного положе-
ния может применяться в более
простой форме, а именно, в фор-
ме метода „неопределенного
масштаба".
начерчена на фиг. 392, б более жирными
Фиг'. 393.
Построим диаграмму для той же
фермы фиг. 392, но только для случая
нагрузки, состоящей из одной си-
лы (фиг. 393). Начнем построение
с одного из ненагруженных узлов
и зададимся произвольной величи-
ной одного из усилий, например,
усилия в опорном стержне bf, но
зато внешнюю силу de будем счи-
тать неизвестной по величине. Диа-
грамма строится при этом без вся-
ких затруднений последовательным
вырезанием узлов. После того как
построение закончено, полученный
вектор de принимается равным за-
данной внешней силе и тем самым
устанавливается остававшийся не-
определенным масштаб диаграммы.
Способ неопределенного масштаба оказывается удобным по преимуществу
в тех случаях, когда вся внешняя нагрузка состоит из одной силы. В
§ 19. ПОСТРОЕНИЕ ДИАГРАММЫ ПРИ ЗАГРУЖЕНИИ УЗЛОВ,
КОНТУРА
Из фиг. 394 легко понять, какие затруднения возникают
фермы вместе с линиями действия внешних
ЛЕЖАЩИХ ВНУТРИ
в этом случае: схему
сил невозможно рассматривать как
проекцию многоугольника с плоскими гранями. Линия действия внешней силы
приложенной в узле D, не разбивает поля л пт ь -
„зол„ро.аи«с „ „о^„, „ „0°" "> -
вводят вспомогательные
действия сил Р. и Р
Фиг. 394.
а в узлах D' и Е' помещают шарниры. Ферма при этом остается статически опреде-
лимой. Если бы силы Рх и Р2 оставались приложенными в узлах D и Е, то подвески
DD и ЕЕ' никаких усилий не испытывали бы и включение их в состав фермы
Фиг. 395.
совершенно не отразилось бы на усилиях в остальных стержнях. Перенос си>
PY и Р2 по их направлению вдоль стержней DD' и ЕЕ' у как мы знаем (см. § V, 8),
также ничего не изменяет в усилиях остальных стержней. Это и дает нам праве
заменить расчет фермы, представленной на фиг. 394, фермой
фиг. 395.
Что касается фиг. 395, то она представляет собой проек-
цию многогранника с плоскими гранями, поэтому здесь ника-
ких трудностей при построении диаграммы усилий не возни-
кает. Введение фиктивных шарниров D' vt Е' влечет за со-
бой лишь то небольшое неудобство, что стержень AG прев- Фиг. 396.
ращается в два стержня: AD' и D'Gy а стержень GF—
в стержни GE' и Е'Г. Вместо двух линий, выражающих усилия в стержнях
AG и OF, на диаграмме придется провести четыре линии. Так например,узлу D'
на диаграмме будет соответствовать прямоугольник abdc (фиг. 396), причем усилия
в ст-ержнях AD' и D'G выразятся равными сторонами са и bd.
§ 20.
ПОСТРОЕНИЕ ДИАГРАММЫ J
да ФЕРМ, СОДЕРЖАЩИХ ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ
СТЕРЖНИ;
л
Пересекающиеся стержни, не связанные между ‘собой в точках взаимного
пересечения, не дают возможности рассматривать ферму как проекцию многогран-
ника с плоскими гранями. Поля, ограничиваемые различными стержнями, частично
перекрывают друг друга, и одна и та же точка, лежащая в такой о л *
может быть отнесена к любому из составляющих ее полей. Такова, например,
233
пасть заштрихованная на фиг. 397. При таких условиях вся система обозначения
полей и ребер оказывается нарушенной, а построение диаграммы — невозможным
рый связывает их между собой.
шарнира автоматически увеличивается
Фиг. 397.
или затруднительным.
Сравнительно простой выход из затруднения состоит в том, что в местах
попарного взаимного пересечения стержней вводится фиктивный шарнир, кото-
пмй связывает их между собой. Число стержней при установке каждого такого
на 2 (вместо двух стержней появляются че-
тыре), но система, как мы уже ви-
дели, остается статически опреде-
лимой. Усилия в ферме остаются
также без изменения. В то же время
создается вполне определенное вза-
имное разграничение граней, и по-
строение диаграммы становится воз-
можным (фиг. 398). Приходится лишь
мириться с тем, что некоторые силы
фигурируют на диаграмме по два
раза: усилие в диагонали АС выра-
жается векторами ed и fgb а в диа-
гонали BD — векторами cf и dg.
В том случае, когда в одной точке пересекаются оси трех и более стержней,
установка шарнира, связывающего все эти стержни, обращает систему в статически
неопределимую. Так, например, статически определимая ферма, показанная на
фиг. 399, от установки шарнира в узле А приобретает один лишний стержень,
а это влечет за собой перераспределение усилий; следовательно, такой прием не
, Фиг. 398.
приводит к цели. Дополнительный узел можно помещать только в точке взаимного
пересечения двух стержней.
В том случае, когда через одну точку проходят три или более стержней, не
связанных между собой шарниром, можно рекомендовать строить диаграмму так,
как будто эти стержни пересекаются между собой в различных, хотя и весьма
близко расположенных точках. Так, например, ферму, показанную на фиг. 400, а,
можно заменить фермой фиг. 400,6', где диагонали пересекаются только попарно,
точках пересечения поставим шарниры и подучим дополнительное треугольное
поле g, Определение усилий в любой из этих ферм достигается последовательным
вырезанием }злов, так как в средней диагонали усилие, очевидно, равно Р. Диа-
грамма показана на J *
Сначала на вертикаль наносятся точки 6, Z, Л, определяющие заданную силу Р
и реакции kh, hi. Вырезав верхний узел фермы и зная, что усилие в вертикаль-
234
риг. 400,в.
ной диагонали равно Р, строим треугольник hba,
иия всех трех сторон и длина Ьа
водится без всякого труда.
В тех случаях,
_ в котором известны направле-
— kt. Дальнейшее построение диаграммы произ-
когда ферма имеет пересекающиеся стержни и диаграмма
строится с помощью дополнительных узлов, необходимо стремиться всячески упоо-
.пять ре_ Ппягмнм ЧТП UO гтгчт<_ веически упри-
Фиг. 399.
щать ее. Поясним это на при-
мере.
На фиг. 401, а показана
ферма с пересекающимися стер-
жнями. Ее стойки являются
одиночными стержнями, поэто-
му усилия в них при располо-
жении нагрузки поверху равны
соответствующим узловым на-
грузкам. Следовательно, уси-
лия в этих элементах изве-
стны с самого начала, и их можно не вводить в диаграмму усилий. Это даст нам
существенное упрощение задачи, так как в диаграмме каждая стойка фигу рировала
бы два-три раза. Перенесем нагрузку вниз, тогда усилия во всех элементах кроме
• стоек останутся без изменения, стойки же
а?
h
выключатся из работы. Мы получим
фиг. 401, б, для которой
после установки трех до-
бавочных узлов построим
диаграмму, показанную на
фиг. 401, в. Из равновесия
узлов б, 7, 8 находим тре-
угольники dkc, chd и bfc,
затем из равновесия доба-
вочного левого узла—па-
раллелограм fghc. После
этого переходим к левому
опорному узлу 7: проводим
горизонталь al и наклонную
gl до взаимной встречи в
точке L Построение диа-
граммы можно считать за-
конченным, так как усилие
в верхнем поясе постоянно
по всей его длине и равно aL
Поверкой построения слу-
жит то, что мы должны по-
лучить gl = dk.
S Задача 8. Построить
с минимальным количеством
прямых диаграмму усилий для
фермы, представленной на фиг.
402, а.
Для того чтобы можно
было построить диаграмму,
дном
веобхппимо ппедвапительно определить каким-нибудь способом усилие хотя бы в о
^не Как РЛо буде/показано ниже, в § 29-31 настоящей главы- Пре=ж»м,
что усилие в стержне 1-2 найдено. Вводим три добавсчных шартр откладываем
фиг. 402, б, и приступаем к построению диаграммы. На веР^^ал^ Р наносим точку а.
векторы de и cb выражающие внешнюю нагруз у. На д р р ' I 2 3 4.
После этого строим диаграмму обычным cno^°i ’’и^Ь1рБлагодаря Тт^му усилие в’каждой
4 6. Вырезание узлов 7. 3, 9 оказывается изл . ‘ Р кнс?было бы ожидать.
..-
ЙУЙ. "S” .........
аатсм поместить шарниры в точках пересечеии р
236
§ 21. ПОСТРОЕНИЕ ДИАГРАММЫ ДЛЯ ФЕРМ С ПЕРЕСЕКАЮЩИМИСЯ СТЕРЖНЯМИ
ПРИ ПОМОЩИ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ФЕРМЫ
Данный прием состоит в том, что разыскивают ферму, которая, обладая такой
же структурой, как и заданная, не имеет пересекающихся стержней. Так как ход
Фиг. 401.
построения
диаграммы
для любой фермы зависит не от ее очертания, а лишь от
ее геометрической структуры, то изучение вспомогательной
ермы дает такие ука-
зания, которые позволяют построить диаграмму для заданной фермы.
Фиг. 402.
На фиг. 404 показан пример фермы с пересекающимися стержнями. Для построе-
ния диаграммы (фиг. 405) можно было бы поместить два шарнира в точках взаимного
Фиг. 403.
пересечения диагоналей. Вместо этого преобразуем ферму, перенеся узел 7 по дру-
гую сторону от верхнего пояса. Вспомогательная ферма, изображенная на фиг. 406.
уже не содержит взаимного пересечения стержней вне узлов и нагружена
нему контуру, следовательно, допускает построение лиагпамм» о,
ноля. Полученные таким образом обозначения всех стержней' будучи
по внеш-
-J все ее
перенесены
Фиг. 404.
нее диаграмму усилий,
показанную
ма заданную ферму, позволяют построить для
на фиг. 405.
Фиг. 405
Фиг. 406.
содержащей
Фиг. 407 дает другой пример фермы
а фиг. 408 — вспомогательную к ней ферму, которая
Тот
пересекающиеся стержни,
имеет ту же структуру,
нагружена по наружному контуру и не содержит пересекающихся стержней.
Фиг. 407. фиг* 408'
факт, что обе фигуры имеют одинаковую структуру, доказывается просто: они
имеют одинаковое число узлов, одинаковое число стержней, и кроме спот’вет.
узлы можно так разметить, что каждому стержню одной из ни у и
ствовать одноименный с ним стержень другой. На фиг. 407 и У
размечены.
237
Третий пример представлен на фиг. 409 и 410, где вторая ферма играет роль
вспомогательной по отношению к первой.
Идея изложенного здесь приема известна с 1915 г.
Фиг. 409. Фиг. 410.
22. ПОСТРОЕНИЕ ДИАГРАММЫ ПРИ ПОМОЩИ РАЗЛОЖЕНИЯ НАГРУЗКИ
Укажем здесь прием, который в некоторых случаях может дать значительное
упрощение. Пусть требуется построить диаграмму для фермы, представленной на
38
иг. 411, а.
Разложим внешнюю нагрузку на две: пусть первая состоит из сил Рг, р&
а вторая — из сил Р2, Р4. Легко убедиться, что от первой нагрузки возникают
Фиг. 411.
усилия только в стержнях простой фермы, показанной на фиг. 411, б, от второй —
в стержнях фермы фиг. 411э в. Действительно, каждая из этих ферм при действии
указанной нагрузки ведет себя, как геометрически неизменяемая система, а это
в силу теоремы о единственности решения доказывает, что остальные стержни,
Действительно, не работают. •
Построение диаграмм для каждой из этих двух ферм производится без за-
труднений.
Этот прием, разумеется, годится и для аналитического определения усилий. Я
238
§ 23. К ИСТОРИИ ВЗАИМНЫХ ДИАГРАММ
возможность построения диаграмм усилий была выведена впервые из аналогии
ме^\в" 1Ф864РаМл На ПЛ0СК0СТИ и двумя'взаимными многогранни-
ками в пространстве. В 18fi4 г. физик-математик Максвелл доказал основную тео-
рему оо условиях существования таких двух многогранш ков с плоскими гршями
ребра которых соответственно параллельны и притом направлены так, что каждой
вершине одного отвечает грань другого и каждой грани одного — вершина дру1 ого
В 1867 г. он дал способ вычерчивания таких фигур, а в 1870 г. несколько развил
их теорию. F
В изложении Максвелла трудно было оценить практическое значение взаимных
диаграмм как средства для графического расчета ферм. Широкою известность этот
прием получил после появления на итальянском языке в 1872 г. сочинения, принадле-
жавшего профессору-геометру Кремоне. На русском языке это сочинение издано
Гостехиздатом 1.
В русской учебной литературе прекрасное сжатое изложение теории взаимных
многогранников и взаимных фигур с их применениями к механике дано в книге
проф. В. Л. Кирпичева2 *, которая переиздавалась много раз.
Теория взаимных фигур, изучающая их свойства, далеко выходит за пределы
статики и представляет собой прежде всего геометрическую теорию. Она содержит
ряд прекрасных теорем, которых мы не можем здесь излагать. Некоторые из них,
например, теоремы о связи между коническими сечениями и взаимными фигурами,
содержатся в упомянутой выше книге Кремоны.
В книге проф. Б. Н. Горбунова и А. А. Уманского8 содержатся некоторые
новые результаты, относящиеся к взаимным кривым, а именно, построение тако-
вых при помощи введенной этими авторами особой прямой — „прямой взаимности".
Несколько упрощений, которые могут применяться при построении диаграммы
усилий в фермах, указаны автором настоящего курса; они изложены на стр. 234, 238.
§ 24. СПОСОБ СЕЧЕНИЙ
Для определения усилий по способ)’ вырезания узлов требуется постепенно
переходить от узла к узлу в определенном порядке, продиктованьом структурой
фермы. В тех случаях,
lU
когда требуется определить усилия во всех стержнях
фермы, такая постепенность вполне приемлема.
Если мы будем применять метод сечений в более общем виде, т. е. отсекать
не отдельные узлы, а более крупные части, то получим
возможность определять
некоторые, а иногда и все неизвестные непосредственно, т. е. каждое неизвестное
из одного уравнения, содержащего только это неизвестное. Такой путь менее под-
вержен неточностям; кроме того, он может иметь преимущество в том случае, когда
требуется определить усилие только в одном стержне или в небольшой группе
стержней, до которых при пользовании способом вырезания узлов пришлось бы
добираться издалека.
Удачным вариантом общего метода сечений является метод моментных точек,
который во многих случаях дает возможность при аналитическом решении задачи
получать для усилий изолированные уравнения. Вместо того чтобы добиться этого
результата из системы совместных уравнений путем длительных анали!ических пре-
образований, по этому способу представляется возможным получить результат, не-
посредственно опираясь на наглядные указания, которые даются структурой самой
фермы. Способ состоит в еле 1ующем: рассекают ферму на две части, проводя
разрез так чтобы в него попало не более трех стержней с неизвестными усилиями.
Если это удается, то одну из частей фермы удаляют, а действие ее на оставшуюся
заменяют усилиями, после чего составляют три уравнения статики, содержащие гри
1 Луиджи Кремона, Взаимные фигуры в графической старике, Гостсхиздат, 1936.
8 Проф. Е Й. Горбунов и проф. А. А. Уманский, Статика пространственны
систем, гл. И! 1932.
239
{еизвестных: S
чительно в
тельно
(фиг. 412). Рекомендуется писать условия статики исклю-
форме"уравнений моментов, причем определять моменты — относи-
точек Ор О2, О3 попарного взаимного пересечения сил St, S2,
точки будем называть момент -
S r Эти
Фиг. 412.
ними.
Нетрудно видеть, что при
таком способе составления урав-
нений каждое из них будет
содержать только одну неизве-
стную. Обозначим равнодей-
ствующую всех сил, приложен-
ных к рассматриваемой части
фермы, кроме названных трех
сил, через R. Тогда уравнение
моментов относительно точки Ох
будет иметь вид:
(Я) 4- zW01 (SJ = О,
или
— Rrt 4- = 0, (11)
тде гх, at—плечи сил R и Аналогичный вид будут иметь остальные два урав-
нения, составленные относительно точек О2 и О3.
Для того чтобы не ошибиться в знаках, целесообразно направлять силы 5Х,
S S3 так, чтобы они растягивали соответствующие стержни, а моменты
писать с одним знаком (безразлично, с каким), если они вращают по часовой
•стрелке, и с обратным знаком, если против.
§ 25. ПРИМЕНЕНИЕ СПОСОБА СЕЧЕНИЙ В ТЕХ СЛУЧАЯХ, КОГДА МОМЕНТНАЯ
ТОЧКА НЕДОСТУПНА
Нередко бывает, что моментная точка выходит за пределы чертежа. Пусть,
например, требуется найти момент силы Р относительно недоступной точки О
взаимного пересечения прямых ОА и ОВ (фиг. 413). Момент не изменится, если
вместо точки О мы возьмем
произвольную точку на пря-
мой 00}, где 001 [] Р.
Чтобы найти такую точ-
ку Ор нужно из произвольной
точки А прямой ОА и из про-
извольной точки В прямой ОВ
провести произвольной, но рав-
ной длины отрезки AAj =
— ВБХ||Р и через полученные
точки и провести пря-
мые, параллельные заданным:
AtOjUZO и BjOjUBO. Точка
их пересечения Ох располо-
жится на прямой ООР парал-
лельной силе Р.
Нетрудно дать также ана-
Фиг. 413.
литическое решение задачи
(фиг. 414). Опустим из точки
моменты силы р относительно точек Ох (или
через 714, 714с и 7И/>. Тогда из чертежа видно, что
Ох перпендикуляр
СОуО на силу Р. Обозначим
О), С и D соответственно
Mr = А4 Ра tg а;
Мв == М — Ра tg р.
240
Исключив из этих уравнений величину а, найдем
М =
Положение точки О
провести где угодно.
Вместо tg а и tg£?
в
(12)
этой формуле не фигурирует; перпендикуляр СО можно
можно взять пропорциональные им длины перпендикуля-
М
(13)
§ 26. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ
СПОСОБА СЕЧЕНИИ
а) Односкатная консольная фер~
ма с равными панелями (фиг. 415).
Эта'; ферма нагружена во всех узлах
верхнего пояса равными силами Р.
Требуется определить усилия во всех
элементах. Проведем через произволь-
ную панель разрез, как показано на
фиг. 415, а, и рассмотрим равновесие
правой части. Для верхнего пояса мо-
ментными точками служат узлы нижнего пояса; например, для третьей панели_
точка 3'. Для нижнего пояса роль этих точек играют соответствующие узлы
верхнего пояса. Моменты внешних сил, действующих на отсеченную правую
часть, определяются при помощи веревочного многоугольника или аналитически.
Величины этих моментов растут по закону квадратной параболы.
Фиг. 414.
Панель
я
J*
J
Я
Усилия
моментная
г
Я
точ ка
Л
Л
нижнем поясе
0;
3Pd = 0;
ЮЛ/
0;
0;
4
U6 8a-f-21Prf==0;
e
За
3d
4а
Sd
5<Z
15d
2\d
Sa
его элементах постепенно возрастают по
Усилия
к опоре, так как возрастание моментов происходит
чем возрастание плеч этих усилий* В то же время рост этих
значительно менее интенсивно» чем рост моментов, так как плечи
все же возрастают. С другой стороны, усилия обратно-пропорциональны длине
стоек, т. е. высоте фермы.
нижний
мере приближения
более интенсивно,
усилий происходит
Весь
пояс сжат,
последних
Усилия в верхнем поясе
Панель
72;
моментная
точка 7';
2
я
п
я
3 sin а *
ЗР
8 4 sin а ’
26 Зак. 1842. И М. Рабинович.
241
Аналогичным образом
__ ЬР п __ 5Р . п 15Р
5 sin а ’ 6 3 sin а ’ 6 7 sin а *
Весь верхний пояс растянут. Усилия в его элементах также возрастают по
мере приближения последних к опоре.
Усилия д нижнем поясе
Фиг. 415.
Усилия в раскосах
Для всех раскосов моментная точка—одна и та же, а именно, точка О.
Из уравнений моментов получаются следующие усилия:
Раскос 2/';
„ 32';
Di • 2d sin о. — Р • 2d = 0;
D2 • 3d sin <р2 — Р • 5d?=Q;
• 4d sin ср8—Р - 9rZ = 0;
и т. д.
Все раскосы растянуты. Усилия в них тем больше, чем ближе раскос распо-
ложен к опоре, но рост этих усилий происходит медленнее, чем в поясах, благо-
даря тому, что раскосы не параллельны между собой.
Если бы мы заменили раскосы, нисходящие к точке О, раскосами восходя-
щими, то изменились бы не только величины их усилий, но и знак, т. е. рас-
косы оказались бы сжатыми.
Усилия в стойках могут быть найдены при помощи наклонных сечений;
моментной точкой служит та же точка О. Все стойки сжаты, и усилия в них имеют
следующие значения:
14Pd 14Р
5d ~~ 5
и т. д.
9Prf __ 9Р .
4d ~~ 4 ’
б) Двускатная стропильная ферма с равными панелями и равными узло-
выми нагрузками (фиг. 416). Задача решается таким же способом, как и преды-
дущая. Ординаты эпюры статических моментов левых или правых сил (то, что
в простой балке мы назвали бы эпюрой изгибающих моментов) возрастают по
направлению к середине пролета по параболическому закону, но плечи поясов
относительно моментных точек возрастают еще быстрее, поэтому усилия в поясах
уменьшаются по направлению к середине пролета.
Распределение усилий показано на фиг. 417.
242
в) Ферма с параллельными поясами и раскосной ,л_
Для определения усилий в поясах и раскосах следует пповопитк *ИГ‘ 418)‘
а д,я стоек-типа b Ь. Усилия в поясах и раскоса не ХХ отТго Т”Па
положена вертикальная узловая нагрузка по поясам: по верхнему ли поя
по нижнему, или по оооим поясам; от переноса таких сил с одного пояса на доv'
гой изменяются усилия толь- пояса на дру-
ко в стойках.
В левой половине про-
лета для любого стержня
верхнего пояса моментной
точкой служит правый ниж-
ний }зел той же панели, а
для стержня нижнего пояса—
левый верхний узел той же
панели. Таким образом, уси-
лие в каком-нибудь стержне
верхнего пояса по абсолют-
ной величине равно усилию
Фиг. 416.
не в той же панели нижнего пояса, а в смежной панели, которая смещена отно-
сительно верхней по направлению, параллельному раскосу. В этом можно v6e-
литься также, если обратить внимание на то, что в разрезе b-Ь обоим поясам
отвечают моментные точки, расположенные на одной и той же вертикали
Если эпюра М имеет наибольшую ординату в середине пролета, то можно
сказать, что любой стержень верхнего пояса сжат с силой большей, чем та сила
с которой растянут расположенный
Фиг. 417.
под ним стержень нижнего пояса.
Сжатие доминирует над растяже-
нием.
Пользуясь эпюрой моментов,
изображенной на фиг. 418,6, можно
вычислить усилия в обоих поя-
сах:
Ц = ^- = 0; =
1 А 2 А ’
тт Мо 1
*4=-г- и д-;
О2 =----= — Us и т, д.
Усилия в поясах оказываются обратно-пропорциональными высоте h фермы.
В этом можно усмотреть некоторую аналогию между фермой и простой балкой:
увеличение высоты поперечного сечения последней влечет за собой, как известно,
уменьшение нормальных напряжений.
Усилия в раскосах определяются из сечений типа а-а. Моментная точка
удаляется по горизонтальному направлению в бесконечность. Соответствующее
уравнение моментов вырождается при этом в уравнение проекций на вертикальную
ось. Действительно, для того чтобы сумма моментов каких-либо сил относительно
какой-нибудь точки’равнялась нулю, необходимо, чтобы их равнодействующая про-
ходила через эту точку. Если точка уходит в бесконечность, то равнодействующая
должна быть параллельна тому направлению, в котором эта точка расположена.
Но условие параллельности выражается тем, что проекция равнодействующей на
перпендикулярное направление равна нулю. Следовательно, уравнение проекций
в данном случае может рассматриваться как уравнение моментов относительно
бесконечно далекой моментной точки.
246
16*
Спроектировав на вертикаль все силы, действующие на любую из двух частей
фермы, образованных сечением а-а, мы получим для раскосов, нисходящих слева
направо, уравнение вида:
D cos а — Q = О
или
а
(14)
где q — поперечная сила простой балки, а—угол наклона раскоса к стойке.
Сила Q считается положительной, если стремится вращать обе части балки по часо-
Фиг. 418.
вой стрелке. На фиг. 419 через Q обозначена равнодействующая всех левых сил,
состоящих из внешней нагрузки и опорных реакций. Если эта сила направлена
вверх (Q>0), то раскос растянут, а если вниз — то сжат.
Фиг. 419.
Для раскосов правой половины фермы,
т- е. нисходящих справа налево
(фиг. 420), формула будет иметь вид:
Deos а-ф- Q = 0
или
COS а
(15)
Если эпюра поперечных сил, вызванных вертикальной нагрузкой, меняет свой знак
в середине пролета (а это происходит, в частности, при равенстве всех узловые
нагрузок), то все раскосы оказываются растянутыми.
244
Так как углы наклона раскосов равны между собой то vrunuo
порниональны поперечной силе Q и могут быть представлены в некотором масштабе
раскосы, рас-
самой эпюрой поперечных сил. Наиболее нагруженными оказываются
положенные по концам фермы.
Фиг. 420.
Легко убедиться в том, что замена какого-либо раскоса, нисходящего к сере-
дине пролета, раскосом восходящим не изменяет величины его усилия, но изменяет
знак на обратный. Например, в ферме фиг. 421 раскосы сжаты. Вообще полезно
запомнить, что в раскосной ферме с параллельными поясами при действии равно-
мерно распределенной нагрузки нисходящие раскосы растянуты, а вос-
Фиг. 421.
ходящие сжаты. Если нагрузка распределена неравномерно, то в одной или
нескольких средних панелях возможно отступление от этого правила.
Усилия в стойках определяются при помощи сечений b-b (фиг. 422)
и выражаются так:
где знак плюс относится к правой схеме на фиг. 422, а знак минус относится
к левой схеме. Вообще, если равнодействующая Q в отсеченной части фермы
направлена вверх, то усилие V направлено вниз, и наоборот.
Фиг. 422.
все стойки фермы по фиг. 418
Так как раскосы длиннее стоек,
При равномерно распределенной нагрузке
сжаты, а стойки фермы по фиг. 421 растянуты. пяггяжение
То в металлической ферме выгоднее заставить раскосы работать на растяжение,
а стойки на сжатие, г. е. по фиг. 418, а не по фиг. 421.
245
то два стержня
соединенные между собой двумя параллельными раскосами, имеют
Фнг. 423.
Знак усилия в стойке для фермы с параллельными поясами можно определить
иначе пользуясь знаком усилия в примыкающем раскосе: если в узле нет внешней
нагрузки, то стойка и раскос, примыкающие к этому узлу, имеют усилия противо-
положных знаков. Это правило можно проверить на фиг. 423.
Что касается усилий в верхнем и нижнем поясах фиг. 421
обоих поясов
одинаковые усилия.
Произведенный здесь анализ усилий позволяет сделать некоторые заключения
об объеме материала и весе фермы. Вес фермы, сделанной из определенного мате-
риала, зависит от длины
ее стержней и от их пло-
щадей поперечного сече-
ния. Площади подби-
раются по продольным
усилиям.
С увеличением вы-
соты проектируемой фер-
мы усилия в ее поясах
уменьшаются, а длина
поясов остается неизменной; следовательно, их вес уменьшается. Для облегче-
ния поясов выгодно увеличивать высоту фермы.
Усилия в стойках исследованной фермы, как мы видели, не зависят от ее
высоты, следовательно, увеличение высоты фермы влечет за собой увеличение
веса стоек. *
Усилия в раскосах с увеличением высоты фермы уменьшаются, длина же
их увеличивается. Можно разыскать такую высоту фермы, которой отвечает мини-
мум веса раскосов.
Для того чтобы найти такую высоту Л, при которой вес фермы, рассчитанной
на заданную неподвижную нагрузку, достигает минимума, следует выразить длину
и площадь каждого стержня в функции от параметра h и затем путем диффе-
ренцирования суммарного объема материала по этому параметру найти минимум
объема. При этом, однако, придется сделать некоторые упрощающие допущения
относительно плошади сечения сжатых стержней.
Аналогичным способом можно решать задачу о минимуме веса фермы любой
системы.
riiji
§ 27. ПРИМЕР. ФЕРМА С НЕПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПОЯСАМИ И РАСКОСНОЙ
РЕШЕТКОЙ (фиг. 424)
Обозначим моменты левых сил относительно точек п— 1 и п через TI4n_i
и Л4П, а относительно точки которая служит моментной точкой для рас-
коса Dn,—через /14^. Усилия в верхнем и нижнем поясах и в раскосе пусть
будут On, Unf Dn. Из уравнений моментов относительно трех названных точек
получаются формулы:
Величины Alw, A4ZJ могут быть взяты непосредственно из веревочного много-
угольника, построенного для заданной нагрузки. Верхний пояс сжат, нижний рас-
тянут, это не нуждается в пояснениях. Что касается знака усилия Dni то он,
наоборот, требует более детального разбора.
Графически вопрос решается так: нужно определить направление момента А1»»
т. е. момента всех сил, лежащих левее разреза, относительно точки Oij. Это напра-
вление определяется из веревочного многоугольника. На фиг. 424 ордината Мп
полечилась того же знака, что и ординаты Мп^_± и Мп. Но в простой балке
статический момент левых сил относительно точек п — 1 и //, лежащих в пролете,
246
направлен по часовой стрелке; следовательно, статический
точки Ор на фиг. 424 направлен также по часовой стрелке " Относительно
ника ^находим равнодей^ю^с^ХспХХн^по одн^сГ0'0 МНОГОУГОЛЬ-
на ф.,г. 424 р„„о„Л„ву„ш„ л.„
"Р" « ионеиг о„
Фиг. 424.
п о часовой стрелке. В таком случае усилие Dn должно вращать левую отрезанную
часть фермы против часовой стрелки, т. е. раскос сжат. Если бы ордината
оказалась расположенной по другую сторону от замыкающей веревочного много-
угольника, то это свидетельствовало бы о том, что раскос растянут. Следовательно,
знак усилия в раскосе зависит от соотношения между очертанием оси пояса и
очертанием эпюры моментов. Если нуле-
вая точка O'D эпюры моментов лежит
левее моментной точки О&, то соответ-
ствующий раскос сжат; если правее — то
растянут. Увеличивая или уменьшая вы-
пуклость верхнего пояса, можно при одной
и той же внешней нагрузке добиться
изменения знака усилий в раскосах.
Аналитически величину и знак уси-
лия D„ можно определить, не находя на
D
чертеже моментной точки и плеча г
Это особенно важно в тех случаях, когда
моментная точка выходит за пределы чер-
тежа (фиг. 425). Мы можем воспользо-
ваться формулой
п
Фиг. 425.
Dn sin р =
_____ А/уг. —1
hn hn—1
(16)
Формула (16) получается из уравнения проекций
всех сил на горизонталь:
Мп COS а __ Мп ___ Мг-1 .
DJ1sinp =— O„cosa — Un— а hn_t lln /:n_i '
Полученная формула позволяет установить следующий простой ^ите^
выяснения вопроса о том, работают ли раскосы на растяжение или на сжатие,
247
а) раскос будет
растянут в том случае, когда
Mn-i ~ _ Mfl hn _
—7 ИЛИ *Т7---- ------- •
h и hfi—1 I h-n—1
б) он будет сжат, когда
Мп— I ^п—1
в) наконец, он вовсе не будет работать, когда
Мп '
^п~~ 1 ^п—1
В последнем случае эпюра моментов может быть вычерчена в таком масштабе,
что сольется с осью верхнего пояса.
Отсюда можно сделать важный вывод: если очертание верхнего
пояса таково, что он может быть принят за веревочный много-
угольник для внешней нагрузки фермы, то раскосы выклю-
чаются из работы, а это в свою очередь при расположении
нагрузки поверху влечет за собой выключение и стоек; рабо-
тают только пояса, причем во всех панелях нижнего пояса уси-
лие остается постоянным, а во всех панелях верхнего пояса
сохраняется постоянной горизонтальная проекция усилий.
Это, впрочем, вытекает непосредственно из общей теоремы, изложенной
в конце § V, 4.
Если нагрузка равномерно распределена по всем узлам верхнего или нижнего
пояса, а узлы верхнего пояса расположены на квадратной параболе, то мы имеем
частный случай этой теоремы.
Если по направлению от опор к середине пролета длина стоек растет быстрее,
чем ординаты эпюры моментов, то раскосы, нисходящие к середине пролета, сжаты;
в противном случае они растянуты; раскосы же, восходящие к середине пролета,
удовлетворяют обратному правилу знаков.
§ 28. СПЕЦИАЛЬНЫЕ БАЛОЧНЫЕ ФЕРМЫ
В зависимости от очертания поясов балочной фермы изменяется закон распре-
деления усилий между поясами, стойками и раскосами. Выбирая соответствующую
форму линий поясов и вообще изменяя конфигурацию и систему фермы, можно
добиться того, чтобы усилия были подчинены некоторым специальным дополни-
тельным условиям. Например, можно потребовать, чтобы при определенном распо-
ложении нагрузки раскосы выключались из работы; можно поставить условие,
чтобы при некоторой заданной нагрузке усилия во всех панелях поясов были
равны между собой, и т. д. Принципиально такая возможность регулировать рас-
пределение усилий очень ценна, так как позволяет конструктору при проектиро-
вании ферм ставить перед собой более широкие задачи и добиваться более выгод-
ных решений. Подбор таких конфигураций и вообще таких систем мы будем
называть синтезом ферм в отличие от их анализа, который состоит в опре-
делении усилий в заданной ферме.
Возьмем ферму с полигональными поясами и раскосной решеткой (фиг. 426)
и потребуем, чтобы при некоторой-—вполне определенной по величине и распо-
ложению— вертикальной нагрузке усилия во всех раскосах обратились в нуль.
Для того чтобы удовлетворить этому условию, проведем через одну из пане-
лей разрез тп и составим уравнение моментов относительно точки О взаимного
пересечения поясов:
Мо DrD == О.
Усилие D может обратиться в нуль только тогда, когда Л1о = 0, т. е. когда
точка О лежит на равнодействующей всех сил» пРиложенных к левой или пра-
вой части фермы (включая сюда и соответствующую опорную реакцию). Такой же
вывод можно сделать по отношению ко всем остальным панелям.
248
Представим себе эпюру моментов простой балки
с той же нагрузкой; она показана в нижней ч,г ж Те“ Же пР°лет°м АВ и
веревочным многоугольником, следовательно е₽ Х™' Зта эпюРа «веется
шей ab в точках, лежащих на соответствуюши* » пеР«секаются с замыкаю-
Ту же эпюру можно пеоестп™?/ .7 Равнодействующих.
ломаной, имеющей вершины п^лГми’. Если ^7” Прямую произвольной
эпюры относительно новой (ломаной^ка^еТтГиT"" ЗНЯЧения °рдннат
чения сторон эпюры с ее замыкающей останутся"ня пп₽ ” взаимного пересе-
следует, что контур нашей фермы можно считать за веРТИКалях- Отсюда
а стойки — за ординаты последней. изгибающих моментов,
11так, для того чтобы усилия
нагрузки во всех раскосах фермы
от данной вертикальной
типа фиг. 426 обратились
Фиг. 426.
в нуль, необходимо и достаточно, чтобы длины стоек были
пропорциональны ординатам эпюры изгибающих моментов,
вызываемых той же нагрузкой в простой балке АВ.
Очертание одного из поясов и длина одной из стоек могут быть взяты
совершенно произвольно; длины всех остальных стоек на основании доказанной
теоремы будут вполне определенными. В частности, оба пояса могут быть обращены
выпуклостью вверх, оба — выпуклостью вниз; один из поясов может быть прямо
линейным; оба пояса могут быть одинаковыми, но обращенными выпуклостью
в разные стороны и т. д. При этом узлы А и В могут быть расположены на раз-
личных уровнях, но на тех же опорных вертикалях.
Так как раскосы не работают, то оба пояса находятся под действием исключи
тельно вертикальных сил
— внешней нагрузки и усилий
в стойках. Каждая из
внешних узловых нагрузок распадается на две составляющие: одна воспринимается
одним поясом, а другая через стойку передается другому поясу. Иначе говоря,
вся внешняя нагрузка распадается на две, причем верхний пояс служит веревочным
многоугольником для одной из них, а нижний — для другой. Горизонтальная проекция
усилий каждого пояса (распор) остается по всей его длине постоянной. Из равно-
весия узлов А и В видно, что распоры обоих поясов равны между собой по величине
И Обратны по знаку; один пояс работает, как арочная система, а другой—как
цепь. Если один из поясов —прямой, то усилие во всех его панелях остается
постоянным: оно равно и противоположно распору другого пояса.
Может случиться и так, что оба пояса являются эквивалентными веревочными
многоугольниками —каждый из них соответствует заданной внешней нагр;
249
Тогда все узловые нагрузки распределяются между обоими поясами в одной и той
же пропорции и притом так, что распоры обоих поясов оказываются по абсолютной
величине равными между собой. Усилия в них можно найти графически, по-
cipotiB для обоих поясов силовые многоугольники с одинаковым полюсным рас-
стоянием.
Исходя из таких же соображений, можно решить ту же задачу для консольной
фермы с раскосной решеткой (фиг. 427). Достаточно, чтобы длины стоек на
фиг. 427, а и б были пропорциональны ординатам
эпюры изгибающих моментов консольной балки,
нагруженной теми же грузами (фиг. 427,в).
Известно решение следующей задачи: добиться
того, чтобы в мостовой ферме с раскосной решеткой
(фиг. 428) ни при каком положении поезда раскосы
не испытывали сжимающих усилий. Представим себе,
что постоянная нагрузка пролетного строения (соб-
ственный вес) равномерно распределена по всему
пролету; для упрощения задачи будем считать вре-
менную нагрузку также сплошной и равномерно рас-
пределенной, но могущей располагаться на любой
части пролета.
Возьмем какой-нибудь раскос и будем считать,
что для него построена л.
построение л.
дробно. Наибольшее сжимающее усилие в раскосе
получается тогда, когда временная
весь отрицательный участок л. в.
Ферма подбирается так, чтобы
усилие равнялось нулю. Мы уже
этого оба пояса должны пересечься друг с другом
на той
равнодействующая левых или правых
легко подобрать очертание фермы Ч
Обычно в таких фермах один из поясов — прямолинейный; другой
в средней части очертание Л, С, В, показанное пунктиром на фиг. 428; это некрасивое
очертание заменяют бо-
лее приемлемой с эстети-
ческой точки зрения фор-
мой, показанной сплош-
ными линиями, но при
этом }же не получается
строгое выполнение по-
ставленного требования.
Можно поставить и
некоторые другие требо-
вания. Фиг. 428.
Например, потребовать, чтобы усилия на протяжении каждого пояса оста-
вались постоянными, или чтобы каждый стержень при заданных комбинациях
внешней нагрузки сохранял один и тот же знзк усилия.
Ниже, в § X, 7—9 будет вкратце изложен способ получения еще одного спе-
циального вида ферм, а именно, ферм, имеющих исключительно растянутые эле-
менты.
Фиг. 427.
в. В следующей главе
в. для ферм будет разобрано по-
нагрузка займет
это наибольшее
знаем, что для
вертикали, по которой направлена при этом
сил. Исходя из такого соображения, можно
получает
1 Следует иметь в виду, что для определения равнодействующей н'Жно ту часть
агрузки, которая расположена в пределах перерезанной панели, заменить узловой. Заметим
также, что положение hj левой точки, а следовательно, и расчетное положение временной
нагрузки зависят от положения точки Од взаимного пересечения поясов. Однако путем
нескольких попыток легко добиться такого очертания фермы, при котором равнодеи-
— — —ч . сил при самом невыгодном расположении временной нагрузки
пройдет через точку OD,
250
§ 29. БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ СЛУЧАИ
ПРИМЕНЕНИЯ СПОСОБА СЕЧЕНИЙ
Упрощение основанное на специальном выборе моментной
достигнуто не только тогда, когда в разрезе встречаются
в некоторых бочее сложных случаях. Р Отся
точки, может быть
три стержня, но и
Ферма, представленная
дующем порядке. Сначала
трех стержней в сече-
нии /-/• Далее прово-
дится сечение 2-2, ко-
на фиг. 429,
при помощи
торое встречает на своем
пути уже четыре стержня;
однако количество не-
известных усилий в
этом сечении равно трем,
что и дает возможность
рассчитывается методом сечений в сле-
моментных точек определяются усилия
Фиг. 429.
определить их при по-
мощи моментных точек.
Далее, в последовательном порядке проводятся сечения 3-3, 4-4, 5-5, в каждом
из которых фигурируют по четыре стержня с тремя неизвестными усилиями, и
наконец, сечение 6-6, в которое попадают пять стержней опять-таки только с тремя
неизвестными усилиями. Из этого примера видно, что необязательно про-
водить разрез через три стержня: его можно проводить через
любое количество
стержней, лишь бы
в числе их было не
более трех, имею-
щих неизвестные
усилия и не пересе-
кающихся в одной
точке,
В разрезе может быть
Фиг. 430. и более трех неизвестных,
но если все неизве-
стные силы, кроме одной, пересекаются в одной точке, то эта
неизвестная может быть найдена из одного }равнения.
Та же фиг. 429 может служить иллюстрацией этой теоремы: если мы в первую
очередь проведем сечение 6-6 и за моментную точку примем узел, в котором
сходятся нижний пояс и все пересеченные раскосы, то в уравнении моментов
останется одна неизвестная, а именно усилие в верхнем поясе. Для определения
осталь 1ых четырех усилий уже невозможно ограничиться одним этим разрезом.
На фиг. 430 и 431 представлены другие схемы, которые также легко решаются
способом моментом, если
проводить сечения в по-
рядке, указываемом ну-
мерацией.
Возможность или не-
возможность применения
спосооа сечений зависит
от геометрической стру-
кт>ры фермы, а не от ее
Фиг. 431.
конфигурации. Именно
анализ геометрической структуры может дать необходимые указания в тех случаях,
когда конфигурация не по тволяет сразу наметить сквозной разрез, проходящий через
три стержня с неизвестными усилиями. Рассмотрим для примера фиг. 432. Сделав
несколько попыток провести непрерывное сечение через три таких стержня которые
не сходятся в одном узле, мы придем к выводу, что это нево>можно. J
рассматривали эту ферму на фиг. 407 и убедились, что по своей структуре
тождественна с фиг. 408, т. е. представляет собой два треугольных диска, взаимно
связанных тремя стержнями. Мы повторно даем эту вспомогательную ферму (фиг. 433),
которая допускает проведение разреза через три стержня 7-2, 3-4 и 5-6. Но так
как структура фиг. 432
Фиг. 432.
такая же, то и для нее
возможен разрез, пере-
секающий те же стержни
и целиком отделяющий
один треугольник от дру-
гого. Для ясности этот
разрез показан отдельно
на фиг. 434. Он дает
возможность с помощью
трех моментных точек
определить усилия в
стержнях 7-2, 3-4 и 5-6.
Так, например, для опре-
деления усилия доста-
точно составить уравнение моментов всех сил, действующих на треугольник 1-4-5,
относительно точки О5*б.
Этот пример важен тем, что позволяет обобщить понятие о разрезе: необяза-
тельно, чтобы последний был непрерывным; необходимо лишь, чтобы
Фиг. 433.
Фиг. 434.
он целиком отделял каку ю-н и будь часть фермы от остальных
элементов.
На фиг. 435 задача решается при помощи нескольких круговых разрезов.
Круговой разрез a-а отделяет от фермы треугольник 4-5-6. Действующие на него
Фиг. 435.
силы направлены по трем прямым 7-6, 8-9 и Р-7, которые не пересекаются в одной
точке. Такие три силы могут быть в равновесии только в том случае, если все
они равны нулю. Но если равнодействующая сил, направленных по стержням 4-7 и 4-8,
252
протяжении растянут
равна пулю,
равна нулю, то это значит, что паскпг 7 я
или сжат с одинаковой силой. То же относится к СВ°е“ про™жении Растянут
вырежем у», 4- „к ка« р18„м”~Т" “ >**
...... ...... „ „ равнодействующая остальных
т. е. сил 4-э и 4-6,
Фиг. 438.
Фнг. 436.
также равна нулю, следовательно, стзржни 4-5 и 4-6 являются нулевыми. Вырезав
узел 5, убеждаемся, что и стержень 5-6 является нулевым. Итак, при отсутствии
нагрузки в узлах треуюльника 4-5-6 все его стержни являются нулевыми.
Усилия в сторонах треугольника 1-2-3 и в примыкающих к нему элементах
могут быть найдены следующим образом: сначала — усилия в шести элементах,
перерезанных сечениями b-b
и с-с, после этого вырезанием
узла 3 определяются оставшиеся
два неизвестных усилия в этом
узле и, наконец, вырезанием
узлов 1 и 2— остальные уси-
лия.
Аналогичным способом,
впрочем, можно было бы опре-
делить усилия и в панели, уже
рассмотренной раньше.
При проведении разрезов
можно не принимать во внима-
ние таких стержней, которые
попадают в разрез четное число
раз, так как усилия, соответ-
ствующие такому стержню,
уравновешиваются и поэтому
из уравнений исключаются.
Рассмотрим для примера снова
фиг. 432.
Проведем замкнутый раз-
рез так, как показано на
фиг. 436, и рассмотрим равно-
весие той части фермы, которая
Фиг. 439.
в
расположена внутри разреза.
Диагонали 2-6 и 3-6 попадают
из любого уравнения моментов
стержни 1-2. 3-4 и 5-6, усилия - * o«.»t/uvTnro
Поучительно, что этот способ решения, основанный на применени
разрез дважды, поэтому их усилия выключаются
или проекций. Остаются только пересеченные
которых найдутся при помощи точек Ov О2, ^8-
разреза, проходящего через пять стержней, тождественно совпадает с решением,
показанным на фиг. 432 и 434.
Разрезы, пересекающие некоторые стержни четное число раз, могу г иметь
весьма сложный вид и тем не менее приводить к весьма простым уравнениям.
Так, на фиг. 437 замкнутый разрез, пересекающий стержни двадцать раз, экви-
валентен вырезанию узла В и дает всего лишь два уравнения с двумя неизвестными
На фиг. 438 разрез пересекает стержни тринадцать раз, но эквивалентен
простому разрезу через три стержня: 7-2, 1-4 и 3-4.
Задача 10. Определить усилия в стержнях фермы, представленной на фиг. 439.
Две такие плоские фермы, связанные поперечными связями, образуют пространствен-
ную ферму башни крана.
Указание. При помощи разреза 1-1 и моментной точки А2 определяется усилие
в стержне HjBn при помощи разреза 2-2 и моментной точки At — усилие в стержне А2В2.
Аналогичным образом определяются усилия в стержнях BxCi и В2С2. После этого из
равновесия узлов Вг и В2 определяются усилия в остальных четырех стержнях, сходящихся
в этих узлах.
§ 30. СПОСОБ РАВНОДЕЙСТВУЮЩИХ
В тех случаях, когда невозможно непосредственно составить такие уравнения,
которые содержали бы по одной неизвестной, иногда выходом из затруднения
может послужить следующий прием: предварительное определение равнодей-
ствующих некоторых сил, приложен-
ных к отсеченной части.
Для пояснения этого приема рассмот-
рим пример.
Пусть требуется определить усилия
в ферме, представленной на фиг. 440.
Фиг. 440.
В этой ферме невозможно провести ни
одного разреза, который встретил бы
только три неизвестных усилия, не пере-
секающихся в одной точке. Не имеется
также ни одного узла, который содержал
бы только два стержня. Следовательно,
несмотря на малое количество стержней,
ферма имеет сложную структуру.
Проведем разрезы /-/ и II-1I и рас-
смотрим условия равновесия той части
фермы, которая заключена между ними.
Каждая из диагоналей BE и CF попадает
в разрез дважды, поэтому сама собой
уравновешивается; следовательно, усилия
в остальных четырех перерезанных стер-
жнях также должны уравновеситься. Это
возможно лишь в том случае, если равно-
действующая усилий Sa.b и Scd в двух
верхних перерезанных стержнях равна и
противоположна равнодействующей ) силий
Saf и Sde в двух нижних перерезанных
стержнях. Но первая проходит через точ-
ку О, а вторая — через О
следовательно,
любая из них направлена по линии
Далее рассмотрим равновесие той части фермы, которая расположена выше
разреза /-/. На нее действуют следующие силы: 1) данная сила Р; 2) равнодей-
Далее рассмотрим равновесие
ствующая усилий и SCd, направленная по линии ООр, 3) равнодействующая
усилий в перерезанных диагоналях, проходящая через точку О2. При равновесии
трех сил все они должны пересекаться в одной точке. Продолжив силу Р до
пересечения с прямой OOlt найдем эту точку G.
На фиг. 440, построен силовой треугольник abct из которого определяются
найдем эту точку G.
обе равнодействующие: одна сторона треугольника равна Р, две другие соот
254
разлагается на
ст.
а в узлах Д и £), то
ветственно параллельны прямым 00 и qq
«—«« . сторона Ьс;
Если бы опоры были расположены ие в узлах гТ F SbE 5
пришлось бы рассмотреть сначала равновесие части -
реза //-/Д а потом равновесие части, расположенной ’выш ГмзрезТ/1 / РЯЗ'
Если бы внешние силы были приложены одновре^нно к ' я
№ е»,а,а „а»„ „
Мы дали графическое решение задачи, но ее можно п₽„„,Т1. ..
при помощи моментных точек. Рассмотрим опять тот случай когда сиТрТ®"
. узле В. Так », к„ „ а расс„тр,
«жду сечек.™» /-/ к 11-и, и „з имя ее „а,»»™, ус,,?„,™
действу ющая усилий в диагоналях BE и CF направлена по прямой GO После
этого обратимся к той части, которая расположена выше сечения /-/ и составим
уравнение моментов всех действующих на нее сил относительно точки О В это
уравнение войдут лишь сила Р и равнодействующая усилий в диагоналях Определив
эту равнодействующую, уже нетрудно будет разложить ее на составляющие
направленные по диагоналям BE и CF. После того как эти усилия будут найдены’
решение можно будет довести до конца любым способом. ’
Читателю рекомендуется решить задачу при условии, что нагрузка располо-
жена в узлах А и D.
Более сложная задача получается тогда, когда все четыре узла Д В, С и D
загружены. Ее можно решить по частям, нагрузив сначала только узлы* В и С
а потом только Л и В, а затем сложив усилия, найденные из
Однако ее можно решить и сразу. Ход
решения таков: примем равнодействую-
щую усилий в перерезанных диагона-
лях за основную неизвестную; назовем
ее R. Об этой равнодействующей изве-
стно лишь то, что она проходит через
точку 02. Воспользуемся снова разре-
зами /-/ и //-//. Составим относительно
точки О уравнение моментов верхней
части фермы; из него найдем момент
силы R относительно этой точки. Назо-
вем его /п Далее составим уравнение
моментов нижней части фермы относи-
тельно точки О
момент силы R, который назовем п.
Зная моменты силы R относительно двух точек, а также ее точку приложения 02,
мы сможем графически или аналитически определить и самую силу.
Задача 11. Определить усилия в ферме, представленной на фиг. 441.
Указание. Разрез I-I позволяет найти момент равнодействующей сил Si и So относи-
тельно точки Ор а разрез II-II—ее момент относительно точки О3. Кроме того, эта равно-
действующая проходит через точку пересечения обеих сил. Б частном случае, когда диагонали
параллельны между собой, она параллельна им. Ц
обоих решений
Фнг. 441.
и из него найдем
§ 31. СПОСОБ ДВУХ ИЛИ НЕСКОЛЬКИХ СЕЧЕНИИ
Для определения усилий в ферме, представленной на фиг. 440, мы предвари-
тельно находили равнодействующую двух усилий, пользуясь для этого сечениями
/-/ и II-1I. Это дало нам возможность решить задачу, не составляя совместной
системы уравнений.
Способ двух сечений состоит в решении той же задачи при помощи соста-
вления совместной системы двух уравнений с двумя неизвестными. Он может оыть
применен в тех случаях, когда удается провести два разреза таким образом по
каждый из них содержит четыре неизвестных, причем какие-либо два нензвесгных
усилия повторяются в обоих разрезах.
Для фиг. 440 напишем уравнения моментов отсеченной части, лежащей выше
сечения /-/, и той части, которая лежит ниже сечения //-//. Первое уравнение
составим относительно моментной точки О, а второе — относительно точки Ор
Оба уравнения будут содержать одни и те же два неизвестных усилия в пересе-
ченных диагоналях. Решив уравнения, найдем эти неизвестные.
Если сравнить этот способ со способом равнодействующих, то можно сказать,
что в тех случаях, когда последний пользуется двумя сечениями, оба метода близки
друг к Другу: один представляет собой как бы геометрическую форму решения
двух уравнений, а другой — аналитическую. Во всяком случае можно утверждать,
что все те задачи, которые допускают решение методом двух сечений, допускают
также решение методом равнодействующих, и наоборот.
Так как решение системы двух уравнений с двумя неизвестными не может
считаться сложной или утомительной операцией, то способ двух сечений следует
признать весьма удобным, если только структура фермы позволяет воспользо-
ваться им.
В более сложных случаях можно получить простые уравнения при помощи
трех и более специально выбранных сечений х. При этом метод все более утрачи-
вает характер специального метода, позволяющего избавиться от совместных урав-
нений, и приближается к общему способу сечений.
§ 32. СПОСОБ ЗАМЕНЫ СТЕРЖНЕЙ
Фиг. 442.
Способ замены стержней мы поясним на двух примерах.
Определим этим способом усилия в ферме, представленной на фиг. 440.
Попытаемся преобразовать данную ферму, удалив один из ее стержней и вставив
вместо него другой стержень на новом месте,
наиболее интересную часть расчета, так как ее
способами, среди
удачный. Новый
стержнем"; тот,
назвать „ заменяемым ”.
В данном примере одним из приемлемых вариан-
тов является следующий: удалить стержень BE и
0 вставить вместо него заменяющий стержень DF. На
фиг. 442 он показан двойной линией. Полученная
при этом новая ферма имеет настолько простую
геометрическую структуру, что ее геометрическая не-
изменяемость не может вызвать никаких сомнений,
В то же время она легко решается любым элементар-
ным способом, например, способом вырезания узлов.
Эти два свойства весьма существенны: заме-
няющая ферма всегда должна выби-
раться так, чтобы она заведомо была
геометрически неизменяемой и в то же
Эта операция представляет собой
можно произвести разнообразными
которых надо выбрать достаточно
стержень называют „заменяющим
который выбрасывается, можно
Обозначим усилие в заменяющем стержне, вызванное данной внешней нагруз-
через Тр, а усилие в любом из остальных стержней фермы от той же
— через Sg>, где i — индекс стержня.
кой,
нагрузки — через dg', где I — индекс стержня.
Нагрузим заменяющую ферму двумя взаимно-противоположными силами, рав-
ными единице и приложенными по концам заменяемого стержня BE (фиг. 443).
Определим усилия во всех стержнях от этой нагрузки. Заметим кстати, что заменяю-
щая ферма в данном примере представляет собой диск на трех опорных стерж-
нях, поэтому опорные реакции, вызванные двумя равно-противоположными силами,
1 См. статьи С. А. Цаплина, „Метод выбранных сечений для определения усилий
в статически-определимых фермах" в сборнике „Рамы и фермы пространственные и пло-
ские , стр. 231, 1933 и Г. Д. Абрамова „Исследование и расчет плоских ферм способов
выбранных сечении" в „Трудах Московского авиационного института", 1935.
будут равны нулю. Усилие в заменяющем стеожне
ных —через Величины SJO могут быть названы чи-л»« Чв₽6в Г>* а в «««ль-
на стержень А 1 * ЗВаИЫ ’Числами Вл™ния* сил _х = 1
Для того чтобы усилия во всех cTen^H«v
усилиями в заданной ферме, необходимо чтобы в узла^В совпали с их
силы, каждая из которых равна не единице, а действительном^ ™ пРило«ены
стержня BE; обозначим это усилие через х Величина г ~ ЛИ1?.
из того условия, что усилие в заменяющем ' М°ЖеТ быть иайдена
стержне DF должно обратиться в нуль. Аиалити-
чески это записывается так:
черев Л, а в осиль-
заменяемого
откуда
(17)
так как заменяющая ферма заведомо геомет-
рически неизменяема, то величины Тр и 7\ имеют
совершенно определенные, конечные значения.
Если 0, то усилие х также получает совер-
шенно определенное значение; если же 7\ = О,
О
то * = -0 ИЛИ оо.
Фиг. 443.
Отсюда следует, что если заменяющая ферма геометрически неизменяема, то
величина усилия Г, служит характеристикой заданной фермы: еслиТ^О, то
заданная ферма также геометрически неизменяема, а если ^ = 0, то она мгно-
венно изменяема.
Найдя значение х, можно определить все усилия уже обычным путем, после-
довательно вырезая узлы или проводя сечения. Можно их также вычислить по
формуле:
х.
(18)
Действительно, усилие в любом стержне i заданной фермы совпадает с усилием
того же стержня заменяющей фермы, а последний находится под совместным дей-
ствием внешней нагрузки, вызывающей в нем усилие 5^*, и двух сил, равных х
(где х имеет найденное выше значение), которые вызывают в нем усилия 5^ • х.
Для того чтобы таким способом вычислить все усилия, приходится, следовательно,
дважды рассчитать заменяющую ферму и составить таблицу, в которой для каж-
дого стержня должны быть выписаны значения S^) и 5^. Иногда выгодно не опре-
делять усилий S(p и £(0 во всех стержнях, а ограничиться лишь тем минимумом
стержней, который необходим для вычисления х, остальные же суммарные усилия
определить обычным способом, не пользуясь заменой стержней.
И Интересно отметить следующее свойство заменяющего стержня: так как
то
const,
т. е. отношение усилий в заменяющем и заменяемом стержнях
не зависит от внешней нагрузки. Иначе говоря, усилия в заменяющем
И заменяемом стержнях при всевозможных изменениях внешней нагрузки остаются
взаимио-пропорциональными. Заменяющий стержень как бы полностью расплачи-
вается за стержень, замещенный им; его усилие растет или убывает в той же мере,
как и усилие заменяемого стержня. шлбипь
Если мы найдем усилие х в заменяемом стержне от одной какой-нибуд^
нагрузки, то усилие в том же стержне от всякой новой нагрузки сейчас же на
дется, если мы будем знать новое усилие в заменяющем стержне.
267
17 Зак 1842 Ц Д1- Рабинович.
Если мы выбросим какой-нибудь стержень и вместо него поочередно будем
вставлять различные заменяющие стержни, ю будем иметь ряд равенств:
где различные
отношения соответствуют различным
вариантам замены стержня.
Отсюда мы получаем:
т. е. отношения тех у си л ИЙ, к отор ые могут быть вызваны в раз-
личных заменяющих стержняхкакой-нибудь нагрузкой, не зави-
сят от последней.
Если ТР = О, то х = 0, а потому и
= т. е., если в заменяющем
стержне усилие от заданной внешней нагрузки равно нулю, то оно останется рав-
ным нулю после переноса заменяющего стержня на новое место. И
Фиг. 444.
Фиг. 445.
В более сложных случаях приходится произвести две замены стержней или
даже более. В случае удаления двух стержней приходится определить усилия
в двух заменяющих стержнях: ТР, Т19 Т2 и Up, Ц, U2,
в этих стержнях от внешней нагрузки; и Ux— усилия,
где Тр, Up — усилия
вызванные действием
двух единичных сил, заменяющих первый выброшенный стержень; Т2 и U2 — усилия
от двух единичных сил, заменяющих второй выброшенный стержень. Так как
в обоих заменяющих стержнях суммарные усилия должны обратиться в нуль, то,
обозначив усилия заменяемых стержней через х и у, получим уравнения:
TjX Т2у -j- Тр = О,
Uxx^U2y-\-Up = ^
откуда и определятся оба неизвестных.
Признаками геометрической неизменяемости заданной фермы служат определен-
ность и конечность решения этой системы уравнений, для чего необходимо, чтобы
ее детерминант был отличен от нуля:
Если D = 0, то заданная ферма мгновенно изменяема.
На фиг. 444 приведена в качестве примера решетчатая ферма, которая не
поддается обычному простому решению. На фиг. 445 показана заменяющая ферма,
полученная путем замены трех стержней: заменяемые стержни начерчены пунктиром,
а заменяющие — двойными линиями. Заменяющая ферма имеет простейшую струк-
туру: она образована из треугольника путем последовательного добавления двух-
стержневых узлов и решается при помощи вырезания узлов. Определение усилий
нужно начинать с правого конца фермы, постепенно передвигаясь налево.
258
§ 33. СПОСОБ ЗАМЕНЫ СВЯЗЕЙ
Я Обобщением способа замены стержней являетга
который может применяться не только к фермам но и к‘ппvruV'Й“ свиаей-
балкам, рамам и т. д. Он состоит в том? что ’заменяете^ одна С°°Р>жениям ~
связей любого вида, например, выбрасываются те или hh^"по^ТтХщ
, устраняется жесткая
связи в свою очередь
Л Л Те ИЛИ
разъединяются стержни, шарнирно связанные между собой
связь элементов (вводятся шарниры) и т. д. Заменяющие
могут иметь вид опорных или внутренних стерж-
ней, жесткого соединения элементов и т. д.
Например, ферма, показанная на фиг. 440,
представляющая собой шестиугольник с тремя
диагоналями, может быть преобразована в заменяю-
щую ферму фиг. 446, где заменяемый стержень
показан пунктиром, а заменяющим служит опор-
ный стержень £). Заменяющая ферма легко решается
вырезанием узлов: не определяя опорных реакций,
следует вырезать сначала двухстержневой узел В,
затем
в последовательном порядке — узлы С,
A, D. Таким образом, будет найдена реакция заме-
няющего опорного стержня от силы Р и от двух
сил X = 1
реакции приравнивается нулю и из этого уравне-
ния находится неизвестная х.
после чего суммарная величина этой
Фнг. 446.
Вместо заменяющего опорного стержня D можно было бы ввести заменяющую
связь другого рода, напри \ ер, соединить стержни В А и ВС в узле В жестко.
Тогда пришлось бы приравнять нулю суммарный изгибающий момент в этом узле.
Идея метода замены связей известна в литературе с 1901 г.1
§ 34. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ О КОСВЕННЫХ МЕТОДАХ РАСЧЕТА
ФЕРМ
о:
Фермы, не поддающиеся простому расчету, служили предметом внимания мно-
гих исследователей, и в литературе опубликованы разнообразные методы их рас-
чета, частью различающиеся между собой по идее, частью близкие по существу,
но различные по ф,рме.
Например, известен ряд приемов, объединяемых общим названием „метода
ложного положения". К ним можно отнести между прочим и метод замены стерж-
ней, который основан на ложном положении о том, что один стержень заменен
другим. Известен также метод, который основан на двукратном произвольном
задании усилий в одном из стержней фермы и устранении возникающего проти-
воречия аналитическим или графическим путем2. Существует решение, основан-
ное на общих свойствах пучка сил, на применении фиктивных шарниров и др.
В курсе строительной механики, посвященном основам теории, нет надоб-
ности излагать все эти методы, тем более что подавляющее большинство ферм,
применяемых на практике, может быть решено простейшими приемами. Однако
читатель, знакомый только с последними, рискует стать втупик перед мало-мальски
сложной, необычной фермой. Поэтому целесообразно познакомиться с общей
идеей, объединяющей множество различных методов решения сложных систем.
В наиболее простом случае идея состоит в том, что мы задаемся произволь-
ным значением одного из искомых усилий. Это равносильно тому, что в системе
уравнений статики мы задаемся значением одной из неизвестных. Например, в одном
из трехстержневых узлов фермы задаются усилием одного из стержней. осле
этого методом вырезания узлов или методом сечений определяются в последова
И
1 Применение метода к балкам и рамам см. в статье проф. А. А. ’ Сборник
замены связей в строительной механике", Киевским строительным институт, ьооршк
Рабинович. К решению сложных статически определимых систем, статья
в Трудах Московского института инженеров транспорта, вып. XV, 1J
17*
летальных степжней. Рано или поздно мы дойдем до такого
или "такого течения, в котором число неизвестных меньше числа уравнений
узла или такого гее , зла в котором осталось неизвестным усилие
“Г."» буМ, коятрол„ы«. Ее» ™
° которое было задано произвольно, случайно окажете правильным, то
контрольное уравнение для названного узла или сечения обратится в тождество,
контрольное урав ______14апг>имрп если в каком-иибглк
В противном случае оно . .
узле А (фиг. 447) известны усилия 62, *3.
с„ то контрольное равенство будет состоять в том
’ S„ на направление, перпендикулярное к Sg, должна оказаться равной
не удовлетворится. Например, если в каком-нибудь
а неизвестным является лишь усилие
, что сумма проекций сил
Фиг. 447.
нулю. Фактически эта сумма окажется, допу-
стим, равной какой-то величине /С. Мы можем
записать это так:
где через Р обозначена внешняя нагрузка,
а через Sw,— произвольно заданное в начале
расчета усилие в некотором ш-м стержне. Чаще
всего принимают Sm = 0. Чтобы избавиться от
полученного противоречия, зададимся другим
значением S' усилия в том же стержне и
определим снова усилия в остальных стержнях.
В этом втором расчете внешняя нагрузка уже отсутствует. Дойдя снова до узла А
или до соответствующего сечения, составляем контрольное равенство и получаем
в левой части его вместо нуля некоторое значение /Ср Это можно
записать так:
/ (0, = Kv
Для устранения противоречия необходимо задать поправочное значение уси-
лия в лг-м стержне равным не S'm1 a xS’ . Величина х найдется из условия:
В более сложных случаях приходится задать усилия двух или более стержней
и в результате решать два или более совместных уравнений.
С точки зрения теории линейных алгебраических уравнений этот метод состоит
в том, что в системе п уравнений с п неизвестными некоторое число последних,
например, х2, принимается известным. Остающиеся п — т неизвестных
могут быть выражены через них из п — т уравнений. После этого остаются tn
неиспользованных уравнений, из которых и определяются первые т неизвестных.
Следовательно, в конце концов речь идет об отыскании кратчайшего способа ре-
шения уравнений статики.
Примеры решения задач этим общим методом читатель может найти в упомя-
нутой статье автора настоящего курса. И
§ 35. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ ПРИ ПОМОЩИ
МГНОВЕННЫХ ЦЕНТРОВ ВРАЩЕНИЯ
К Примеры применения кинематического метода мы уже видели в гл. VI и VII,
где при помощи этого метода были построены л. в. опорных реакций, изгибаю-
щих моментов и поперечных сил для статически определимых балок, а также л. в.
для трехшарнирных арок и рам. Он с успехом может применяться и для опреде-
ления усилий ОТ неподвижной нагрузки.
инематический метод состоит в том, что из фермы удаляется та связь (стер-
жень), усилие в которой мы хотим определить, и взамен ее вводится неизвестное
усилие х. Ферма превращается благодаря этому в кинематическую цепь с одной
степенью свободы в механизм. Этой цепи дается бесконечно малое возможное
перемещение; подсчитываются работы внешних сил, состоящих из заданной нагрузки
н усилий х, и сумма этих работ на основании принципа возможных перемещений
приравнивается нулю. Решение этого уравнения
чина х, производится аналитически или графически »К°1°РОГО оп₽еделяется вели-
различные варианты кинематического метода ’ резУЛьтате чего получаются
Покажем применение мгновенных центров вояшеми. „
Мы можем избавиться от составления уравнений пабот „ Лрешению 9ТОЙ задачи,
фическом виде, если примем во внимание, что прРИ бескон₽ииУЧИТЬ решение в гРа-
механизма, имеющего неподвижное звено, каждое подвижно! МЯЛО4 перемещении
вокруг своего мгновенного центра вращения. Если все
л о ж 6 и ы к одному и тому
стоит в ТОМ, что равно
через мгнов'
нескольких сил приложенных к жесткому
но последняя проходит через неподвиж- равнодействующей;
ную точку (мгновенный центр), следова-
тельно, ее работа будет равна нулю.
Если внешние силы приложены к не-
скольким звеньям механизма, то их можно
заменить нагрузкой, приложенной к од-
ному звену, или, как говорят, „привести
к одному звену". Для решения этого
вопроса рассмотрим сначала, при каком
условии две силы, приложенные к двум
различным звеньям механизма, могут урав-
новесить друг друга. Пусть звенья 1 и 2
на фиг. 448 — подвижные, а звено 3 —
неподвижное. Мгновенные центры 72, 23
и 13 согласно известной теореме о трех
мгновенных центрах Вращения лежат на
одной прямой. В точке А звена 1 прило-
жена сила Р
эти две силы могут Друг друга уравновесить.
Разложим силу Pj на составляющие
центры вращения 13 и 12, а силу Р2 — на составляющие
через мгновенные центры вращения 23 и 12. При возможном бесконечно малом
перемещении звеньев работа сил Sj и 52, проходящих через неподвижные точки
обоих звеньев, будет равна нулю. Силы Т\ и Г2 мы можем считать приложенными
к точке 12, которая служит как бы шарниром, связывающим эти звенья, и одно-
временно принадлежит им обоим. Будем ли мы считать эту точку принадлежащей
звену 1 или звену 2, ее движение останется одно и то же. Направление этого
движения — перпендикулярно к линии 12-23-13', действительно, точка 72, как при-
надлежащая звену 7, поворачивается вокруг мгновенного центра 13, а как при-
надлежащая звену 2, поворачивается вокруг 23.
Для того чтобы суммарная работа сил 7\ и Т2 была равна
нулю, необходимо и достаточно, чтобы их проекции на напра-
вление,
равны по величине и обратны по направлению. В этом и состоит
условие взаимного уравновешивания двух сил Ру и Р2, приложенных к двум раз-
звено поворачивается
внешние силы п р и -
ТО условие равновесия со-
Вращения з вЯе н Г Действительной ^уммяп^Л
же звену
а в точке В звена 2— сила
Фиг. 448.
/!>• Спрашивается, при каком условии
и направленные в мгновенные
и Го, проходящие
вление, перпендикулярное к линии центров, были друг другу
равны по величине и обратны по направлению. В этом и состоят
личным звеньям механизма.
Если требуется уравновесить данную силу Ру, действующую на звено 7,
какой-то силой, приложенной в данной точке В звена 2, то нужно со-
единить точку В с мгновенным центром 12, щоютгъ эту прямую до встречи
точке пересечения разложить последнюю на составляющие Ту и
73. В точке В достаточно приложить в обратном
нарушая’равновесия", приложить ^сверх гою в точке Б произ-
приложенную к звену /, перенесем на звено 2, не ме.няя
ения на обратное, то в условиях равновесия звена . ничто
•м
с силой Ру и в
проходящие через точки 72 и
направлении ту же силу Ту, и мы получим равновесие.
Мы можем, не rj— .
вольной величины силу, проходящую через точку ~3,
Если мы силу Т
ее направлj
кчк ПРИ возможном бесконечно малом перемещении механизма работа
такого переноса не изменится. Благодаря этому мы имеем возможность
i всех звеньев механизма на одно звено *.
способом задачу, которая была решена в § 30 способом равно-
с 32 способом замены стержней: определим усилие в диагонали BE
s ", приложенной в узле В. Удалим эту диагональ и
чяменим ее двумя силами х (фиг. 449).
Одна из них, приложенная к неподвижной точке Д, никакой работы не произ-
врпет Точку В В которой приложена вторая сила х, будем рассматривать как
’ стержня ’ ВС (звена 2). Неподвижный стержень FE обозначим цифрой 1,
AD — цифрой
изменится, так
силы 1\ от
перенести нагрузки
Решим этим 1
£-СТ440Щот действия' силы Р, приложенной в узле В. Удалим эту диагональ и
ерш . ___ Л Л СП
точку
а диагональ
23
*31
Фиг. 449.
Мгновенный центр 23 лежит на пересечении пря-
мых АВ и CD; мгновенный центр 31— на пере-
сечении прямых АР и DE. Мгновенный центр 21
найдется из построения:
23 • 31-]-24 • 41 =21.
т. е. он лежит на пересечении прямых 23 • 31 и СР.
Для равновесия звена 2 необходимо и достаточно,
чтобы равнодействующая его внешних сил Р и х,
приложенных в точке В. прошла через мгновен-
ный центр 21. Из этого простого построения и
найдется сила х.
Все стадии этого построения легко могут
быть истолкованы и с точки зрения способа равно-
действующих. И
§ 36. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
УСИЛИЙ ПРИ ПОМОЩИ ПЛАНОВ СКОРОСТЕЙ
Планы скоростей дают другую, во многих
случаях более удобную возможность применения
принципа возможных перемещений. Дадим меха-
низму возможное для него бесконечно малое
перемещение и напишем выражение работы какой-
нибудь внешней силы Р, приложенной в какой-либо точке А. Пусть поверну тая на 90э
скорость этой точки выражается на неполярном плане вектором АА' (фиг. 450).
Бесконечно малое перемещение точки А равно
выражается произведением:
- dt == A A' • di. а работа силы P
^Acrcos(P, vA) = P'AA'dtsina.
*
изобтаже^и^4'5'Г™аеСТЬ моыент силы приложенной в точке А, относительно
изображения А этой точки на неполярном плане скоростей.
на механизм может действовать г
"ере“« требует,
сократится Уравнении ₽абот множитель М войдет
моментов в^Тх Тн "°ЛуЧИМ “ елУющУю теорему:
служат изображениями с;;;
чэсово^гтпр ’ направленные относительно
часовой стрелке, пишутся с одним
Эта интерпретация, очень удобная
Рассуждая таким же образом
плана, мы получим еше бпЛ! ’ '“~и*'“тал 1
у ще б°лее простое выражение
графическая «атика^еханим™8,^.1*” гРаФическ°й статики, гл. XIV, 1914. Более подробно
тельной механике*', гл. VJI, 1928 ожеЕ в книге автора „Кинематический метод в строи-
См его „Графическую статику сооружении®,
262
Ня vovnur, скоростей.
зм может действовать одновременно несколько внешних сил. Прин-
всех внешних сил рав-
но все члены и поэтому
• при равновесии сумма
точек, которые
равна нулю. При
соответствующей моментной точки по
знаком, а направленные против — с другим,
для применения, была дана Мюллером-Бреслау2.
но изображая скорости при помощи полярного
для условий равновесия меха-
внешних сил относительно тех
их точек приложения,
Г. I, стр. 409
И. Е. Жуковский (184 7—- 1921).
низма: надо перенести все внешние силы
А, В, С, ... механизма, на полярный план’скоростей в точки^А™60 Т°ЧКаХ
которые служат изображениями названных точек £ 45Л Ь’ с и т-
..луянмзм Аып п _____ - К<риг. ‘tOJJ. ДЛЯ ТОГО ЧТобм
‘ необходимо и достаточно, чтобы
сил относительно полюса
механизм был в равновесии, i
сумма моментов всех перенесенных
плана скоростей была равна нулю.
Фиг. 460.
Фиг. 451.
Ту же теорему можно выразить еще следующим образом; если мы примем
полярный план скоростей за одно звено, имеющее неподвижную
точку вращения в полюсе О и нагруженное всеми перенесен-
ными на него силами, то это звено должно оказаться в равно-
весии.
Все эти теоремы позволяют очень просто писать уравнение работ, которое
служит для определения неизвестного усилия. Ту же задачу можио решить чисто
графическим путем 1.
Теорему о полярном плане скоростей проф. Н. Е. Жуковский использовал
для решения динамической задачи о колебаниях механизма.
В замечательной работе, опубликованной в 1909 г. 2 он уподобляет план ско-
ростей рычагу, находящемуся в равновесии под действием приложенных к нему сил.
Отсюда встречающееся
в нашей литературе на-
звание: „ рычаг Жуков-
ского “.
Определим при по-
мощи неполярного и по-
лярного планов скоростей
усилие в диагонали BE
той же фермы, которая
решена в предыдущем
параграфе при помощи
мгновенных центров вра-
щения, но для большей
общности будем считать
нагрузку уже приложен-
ной во всех узлах. Ре-
шение дано на фиг. 452, а
Фиг. 452.
F' и Е' неподвижных
Изображения
На фиг. 452, а показан неполярный план. п₽кт-
гочек F и Е совпадают с самими точками. Скорость точки А изображаем век.о
ром ДА* имеющим произвольную длину и направленным по линии А г, этим мы,
* и. М. Рабинович
“ Н. Е. Жуковский
о рычаге, М. 1909.
Кинематический метод в строительной механике, стр. 220 сл.
' Сведение динамических задач о кинематической цепи к задачам
205
, основному требованию: A'F'\\AF. Далее проводим A’D'\\AD
UDHWUV, --- * -----M
.. p'n'WED. причем прямая с V ,
водим D'C'IPC и F'C'WFC-, наконец
очевидно, удовлетворяем
очевидно,
„ С'В’\\СВ и Д'В'
момент сильГ Рд относительно точки А
наконец,
момент верхней силы х относительно* В’
приложенной к неподвижной точке
совпадает с прямой ED\ потом про-
Остается вычислить
'/момент Рв относительно Вг и т. д. и,
_______________________________________________’_. Что касается нижней силы х,
В, т0 ее момент относительно точки Е' равен
нулю вследствие совпадения Е' Те. То же относится к опорным реакциям. Урав-
нение моментов примет вид.
2 Мр + х • ЕВ' • sin (х, ВВ') = О,
где £ - алгебраическая сумма моментов сил Р относительно соответствующих
точек плана. Отсюда
что один метод требует малого количества операций, но
— решает задачу,
аналитически, а другой — графически; один требует несколько больше вычислений?
но дает результат с большей точностью, а другой прост по идее, но оперирует
такими точками или прямыми, которые недоступны или неудобно расположены,
и т. д. оэтому владение разнообразными методами безусловно желательно, а на
вопрос о наилучшем методе даже в отдельных частных случаях не всегда можно
ВВ' sin (х, ВВ')
Если окажется, что сила х проходит через точку В\ т. е. что прямая BE про-
ходит через эту точку, то sin (х, В В') = О, или х = со, т. е. в этом случае ферма
будет мгновенно-изменяема.
На фиг. 452, б показано решение той же задачи при помощи полярного плана.
Изображения /, е неподвижных точек F, Е совпадают с полюсом О плана. Из
полюса проводится произвольной длины прямая ОпЦ/^Д; на пересечении прямых
ad\\AD и Od\\ED получается точка d; на пересечении прямых dc\\DC и ОгЦве-
точка с; на пересечении прямых с&ЦСВ и абЦАВ — точка Ь. Остается приравнять
нулю алгебраическую сумму моментов всех сил Р и сил х относительно точки О
и из этого уравнения определить неизвестную х.
Если та из двух сил х, которая приложена в точке Ь, пройдет через полюс О,
то это будет служить признаком мгновенной изменяемости данной фермы.
Мы решали эту ферму различными методами: способом равнодействующих
(§ 30), способом двух сечений (§ 31), заменой стержней (§ 32), применением
мгновенных центров вращения (§ 35) и, наконец, при помощи планов скоростей.
Мы могли бы попытаться ответить на вопросы, которые вполне естественно должны
возникнуть у вдумчивого читателя: какой же из этих методов является наилучшим?
какой из них мог бы с успехом заменить все остальные?
На эти вопросы, если их вывести за пределы данной частной задачи и отнести
к любой сложной ферме, современная строительная механика еще не может дать
обоснованного ответа. Лучшим методом следовало бы считать такой метод, кото-
рый мог бы применяться с успехом к любым фермам, требовал бы при этом мини-
мального количества аналитических или графических операций и обладал наилучшей
точностью. Но такого метода строительная механика не знает. Прежде всего выбор
метода зависит от индивидуальных свойств рассматриваемой фермы и в первую
очередь от ее геометрической структуры. По вопросу о связи между геометрической
структурой фермы и наиболее подходящим для нее методом решения задачи мы
знаем пока слишком мало. Исследование этого вопроса имеет большое принци-
пиальное значение для теории ферм. Пока же можно только сказать, что метод,
который оказывается наилучшим для одного типа ферм, сплошь и рядом оказы-
вается менее удобным для других ферм. Кроме того, в каждом частном случае
о ычно оказывается, что один метод требует малого количества операций, но
нуждается в предварительном долгом обдумывании, другой же — решает задачу,
так сказать, трафаретно, но требует большего количества операций; один решает
аналитически, а другой — графически; один требует несколько больше вычислений?
но дает результат с большей точностью, а другой прост по идее, но оперирует
такими точками или прямыми, которые недоступны или неудобно расположены,
H ~ оэтому владение разнообразными методами безусловно желательно, а на
ответить с полной определенностью.
бращаясь к данному частному случаю, отметим, что способ равподействую’
щих н применение мгновенных центров вращения позволили нам решить задачу
графически, а остальные оказались более
решения. Способ равнодействующих оказался простым^н^тпр^ аиалитиче^ого
ходчивости. Способ замены стержней в данном Случае’ ппост пп^ известиой на'
больше вычислительной и графической работ. Способ двух сечений’ Н° Требует
мерно равноценным способу равнодействующих. Способ Ум^ це“в,П^
гет построения точек,
и удобным оказался
мерно равноценным способу равнодействующих. Способ
и способ равнодействующих и способ двух сечений тоебу
которые могут выйти за пределы чертежа. Весьма простым
метод, основанный на применении планов скоростей.
Задача 12. При помощи плана скоростей определить усилия в стеожне АС
ставленной на фиг. 453. J стержне лс фермы, пред-
Фиг. 453.
Определим сначала обычным способом реакции RA, RB. Далее отбросим стержень АС
и для полученного механизма построим неполярный план скоростей. Так как сумма оабот
должна равняться нулю на
в с я к о м возможном беско-
нечно малом перемещении, то
сделаем диск 7—8—9—10 не-
подвижным, а фундамент с
опорами А и В подвижным
(фиг. 454). Взаимное переме-
щение звеньев механизма от
этого не изменится, а построе-
ние плана скоростей значи-
тельно облегчится.
Изображения неподвижных
точек 7, 9, 10 и 11 сольются
с самими точками. Изображе-
ние 5' точки 5 должно быть
расположено на линии 57; сов- фиг. 454,
местим его с точкой 7. Изобра-
жение 6' точки 6 должно лежать на пересечении прямых 8'6Г и 5Г6Г, параллельных прямых
86 и 56, следовательно, оно совпадает с точкой 8. Аналогичным образом мы убедимся, что
изображения 3' и 2Г совпадают с 3, а 4Г и 1' — с 4.
Силы Q, R и /?в, как приложенные к неподвижным точкам, выключаются из уравнения
работ; то же можно сказать о силе Л, приложенной в точке 3. Напишем это уравнение»
приравняв нулю сумму моментов всех сил относительно изображений точек их положения.
/?z.ll'sin(/?4, 11')
Отсюда найдется усилие X.
§ 37. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИММЕТРИИ ФЕРМЫ. РАЗЛОЖЕНИЕ НАГРУЗКИ НА
СИММЕТРИЧНУЮ И ОБРАТНО-СИММЕТРИЧНУЮ
До сих пор мы не делали никакого различия между фермами несимметричными
и симметричными.
Однако симметрия системы позволяет значительно упростить сложные задачи.
Не требует никакого доказательства следующее положение: при действии
симметричной нагрузки на симметричное сооружение усилия
в симметрично расположенных элементах соответственно
равны между собой.
Предположим, что на
растянутьГ^л^^инаковысжатыи поэтому имеют вертикальную
ШУЮ. Из условий равновесия узла А сейчас же вытекает, что эта
Щая равна и противоположна Р6; если узел А не загружен, то она равна нул
фИ1 441 (стр. 255) нагрузка симметрична относительно
в" таком случае обе диагонали, сходящиеся в узле А, одинаково
. п^нолейсгвующую, сейчас же найдем обе ее составляющие, направленные „0
Зная равнодейсгву Хо’ в задаЧе уже не остается ничего трудного.
ДИаХсЯмотонм теперь другой важный случай: предположим, что нагрузка той же
фермы3 оТратно^мме^на относительно вертикальной оси. Напомним, что
или анти-
или косо-симметричной,
Kz *
симметрично
действующих vZ
знаку (не смешивать с
мой, ни
Xi"это противоречило бы антисимметр„у ха-
..ей называется нагрузка, состоящая из сил, соответственно равных и
по симметрично расположенным прямым, но противоположных по
. смешиваю с нагрузкой асимметричной, т. е. не обладающей ни пря-
обратной симметрией). Итак, примем, что нагрузка левой половины фермы
пХивоположна нагрузке правой половины. В узле А при этом никакой
V rj ____fitT аитиГИММРТПШШЛМР Vn_
£
ртктеру нагрузки. В стержне ВС усилие в
части, расположенной слева от оси
симметрии, должно быть равно и
Фнг. 455.
противоположно усилию в части,
расположенной справа от оси; в то
же время усилие по всей длине
стержня должно оставаться постоян-
ным. Удовлетворить одновременно
обоим требованиям может только
усилие, равное нулю, следовательно,
стержень ВС не работает. В таком
случае в узле В остается только два
неизвестных, и задача перестает
быть сложной.
Во избежание недоразумений
отметим, что фиг. 441, строго
говоря, не является симметричной,
так как она имеет горизонтальный
опорный стержень, расположенный
только с одной стороны. Все пре-
дыдущие рассуждения могут быть
применены к этой системе только
при том условии, что внешняя на-
грузка не вызывает никакой горизонтальной реакции. Симметричная нагрузка всегда
удовлетворяет этому требованию, а обратно-симметричная — не всегда.
Как видно из сказанного, расчет симметричного сооружения, нагруженного
симметричной или обратно-симметричной нагрузкой, значительно проще, чем расчет
такого же сооружения, нагруженного произвольной нагрузкой.
Легко свести задачу о расчете сооружения на любую нагрузку к двум более
простым задачам. Эта возможность основана на том, что всякая нагрузка
симметричного сооружения может быть представлена как
сумма двух нагрузок, из которых одна является симметричной,
а другая — обратно-симметричной. Иллюстрация этой теоремы дана на
фиг. 455: схема а изображает заданную нагрузку; схема б—ее симметричную со-
ставляющую, а схема в — обратно-симметричную составляющую. От сложения
схем б и в получается схема а.
В случае затруднительности расчета сложной симметричной фермы можно ре-
комендовать разбить нагрузку на симметричную и обратно-симметричную, опреде-
лить усилия от каждой из этих составляющих в отдельности и затем найденные
результаты сложить.
Если обратно-симметричная нагрузка такова, что вызывает реакцию гори-
зонтального опорного стержня, то обратная симметрия усилий системы нарушается,
днако и в этом случае задача может быть сведена к симметричной и обратно-
симметричной.
Например, на фиг. 456. а обратно-симметричная нагрузка ±Р вызывает в гори-
зонтальном опорном стержне распор Н, направленный влево, в то время как
в точке А никакого распора нет. Для восстановления обратной симметрии прило-
жим к узлу А две взаимно-противоположные горизонтальные силы, по абсолютной
268
величине равные ; от совместного действия э™*
сил ни один из стержней (Ьепэды
не получит никаких усилий р фермы
фиг. i&b, а и б совместно, то
<„е»„д„0, овр.„„.с„„.„р„,11ую «1ртину (, уиах А и в _
Фиг. 456.
тальные силы 6vhvt пякмкт
равны — и направлены
влевоj; состояние же нагрузки на фиг. 456, в
является симметричным.
Изложенный здесь способ решения задачи
носит название „способа преобразования
нагрузки". Он находит себе большое приме-
пение в расчете сложных статически
неопределимых систем.
Фиг. 457.
Пример 13. Рассчитать на симметричную и на обратно-симметричную нагрузки
ферму, представленную на фиг. 457.
а) Симметричная нагрузка. Стержни 3-12 и 12-8 должны быть оба растянуты
или оба сжаты. В обоих случаях узел 12 не будет в равновесии; отсюда следует, что
эти усилия равны нулю (на фигуре
Фиг. 458.
нулевые стержни показаны тонкими
линиями). В узлах 3 и 8 стержни 35
и 86 являются одиночными, а потому
они нулевые. Нулевыми являются
очевидно и элементы нижнего пояса
1-13 и 10-11. Усилие в диагонали 59
получается вырезанием узла 5 и
проектированием действующих на
него сил на вертикаль.
Остальные усилия определяются
вырезанием узлов.
б) Обратно-симметричная на-
грузка (фиг. 458). По условиям
обратной симметрии усилие в любом
стержне левой половины фермы
HJ
равно и противоположно усилию в правой половине. По этой же причине усилие
В среднем стержне 56 верхнего пояса равно нулю. В разрезе "а^'
лельных наклонных силы уравновешиваются двумя вертикальными; ^ bos iomo
только тогда, когда каждая из этих двух групп сил образует пару. В таком слу
равно Q. В узле 2 остаются неизвестными две
И из условий равновесия этого узла. Опре-
последовательным вырезанием узлов.
усилие в стойке 23— сжимающее и
наклонные силы, которые определяются
деление остальных усилий производится
Задача 14. При помощи преобразования
нагрузки определить усилия в фермах, пред-
ставленных на фиг. 459 и 460.
Фиг. 459-
Фиг. 460.
§ 38. РАСЧЕТ ФЕРМ НА ВНЕУЗЛОВУЮ НАГРУЗКУ
Если нагрузка расположена между узлами фермы и передается непосредственно
на ее стержни в промежуточных сечениях, то кроме продольных усилий возникают
изгибающие моменты и поперечные силы. Нагруженные стержни фермы работают
в этом случае, как балки, подвергнутые совместному действию продольных и попе-
речных сил.
Рассмотрим влияние сосредоточенной силы Р, расположенной между узлами А и В
какой-нибудь фермы (фиг. 461). Если бы стержень АВ представлял собой простую
Фиг. 461.
балку на двух опорах, то на ее концах воз-
никли бы опорные реакции Ra и Rb, пока-
занные на схеме а. Поступим следующим
образом: в узле А фермы приложим две
равные и противоположные силы±:/?л;
в узле В — две равно-противоположные
силы+Rb. От добавления такой нагрузки
усилие ни в одном из стержней фермы не
изменяется. Усложнив таким образом на-
грузку, т. е. получив вместо одной силы Р
пять сил, разобьем ее на две группы,
из которых одна показана на схеме
фиг. 461, а, а другая—на схеме фиг. 461, б.
Первая является уравновешенной на-
грузкой; мы уже знаем, что такая нагрузка
статически определимой фермы заставляет
работать лишь ту геометрически неиз-
меняемую часть последней, к которой она приложена. В данном случае она вызовет
усилие только в стержне ДБ, как в балке.
ВТ0Рая нагрузка, показанная на схеме б, состоит из двух сил —R^ и —Rb>
Чтя В У3лах и т. е. из узловой нагрузки, эквивалентной силе Р»
обычным\пособомВаеТ В стеРжнях ФеРмы продольные усилия, которые определятся
указанное относится в одинаковой мере ко всякой статически-определимой
типы ыпи внеузловой нагрузке — безразлично, состоит ли она из одной
силы или из нескольких.
Итак, для получения усилий, вызываемых внеузловой нагрузкой во всех стержнях
фермы, кроме загруженного, мы имеем право заменить нагрузку двумя составляю-
щими, приложенными по концам загруженного стержня. В самом же этом стержне
кроме того возникают усилия, как в простой балке.
270
Напряжения в загруженном стержне вычисляются по формуле
_ А1
° = ~7Г -
Л № ’
где 5 —продольное усилие, F — площадь поперечного сечения степями
Примечание. Разлагая силу Р на состав “ Р
ничего не говорили о направлении этих
две составляющие направлены перпенди-
кулярно к стержню АВ. Однако разложе-
ние сосредоточенной силы или какой угодно
другой нагрузки на две составляющие,
приложенные в заданных точках А и В,
может быть сделано бесконечным множе-
ством способов. Для любого из них наши
рассуждения остаются вполне правиль-
ными. Как бы мы ни варьировали
замену внеузловой нагрузки
эквивалентной узловой, усилия,
вызванные
стержнях
~ U , И ---
сил. На фиг. 461 сама сила Р и
мы
эти
последней
}>ермы, кроме
во всех
з а гру-
R
Я
Фиг. 462.
же н н о г о, останутся без изме-
нения. Что касается самого загружен-
нагрузки, так и от уравновешен -
нагрузки будут изменяться (см. фиг. 462, где даны два варианта
ного стержня, то в нем усилия как от узловой
„балочной" 1 '
уравновешивания силы Р реакциями RA, RB и r'a, Rb); в частности, последняя
нагрузка будет вызывать не только добавочный изгиб и поперечные усилия, но и
добавочное продольное усилие. Однако суммарное усилие останется в стержне то
же самое. В том случае, когда внеузловая нагрузка перпендикулярна к стержню АВ,
целесообразно принять и силы RA, RB перпендикулярными к стержню; такое
решение будет простейшим.
В случае, когда сила Р
не перпендикулярна к оси
стержня, продольные усилия
в стержне по разные сто-
роны от точки приложения
силы Р будут неодина-
ковы.
Фиг. 463.
§ 39. РАСЧЕТ СОСТАВНЫХ
ФЕРМ
Если мы заменим один
или несколько стержней
фермы более сложными эле-
ментами, в свою очередь
имеющими вид ферм, то
получим составную, или,
как ее называют еще, с лож-
Н У ю ферму. Первое название более подходит к таким фермам, так как их геоме-
трическая структура может быть весьма простой. .
Пример составной фермы показан на фиг. 463. Она образована из Фи^-
путем замены стержней АВ, ВС и CD фермами. В ней нет ни одного узла содер-
жащего менее трех стержней, и ни одного сечения из которого можно было бы
сразу определить усилие в каком-нибудь стержне. Тем не менее задач Решается
очень легко вследствие аналогии между фермой на фиг. 463 и боле ро
ФеРМрасёеатФ«с™й фермы производится совершенно таким же
расчет простой фермы на внеузловую нагрузку. Сама идея прим
271
-t большие панели, которые часто оказываются
з“я уменьшения собственного веса фермы, и в то же вреМя
и^р^гхзгХщ"и“
и ± Rb, где R* ” Rii
уравновешивающие нагрузку фер-
мочки АВ. Если заданная нагрузка
какие угодно две силы
Фиг. 464.
состоит из параллельных сил, то
целесообразно направить силы
± Ra, ± Rb по тому же напра-
влению. Затем рассчитываем дан-
ную ферму на узловую нагрузку,
состоящую из сил —Ra и — RBi
причем можем заменить ее фер-
мой фиг. 464. Допустим, что при
этом стержень ВС окажется
сжатым с некоторым усилием SBC,
Величина этого усилия не зависит
от формы стержня ВС\ она не
изменится, если мы заменим этот
стержень фермочкой. Следовательно, можно сказать, что фермочка ВС на фиг. 463
подвергается сжимающему действию двух равно-противоположных сил Sbc, прило-
женных по ее концам
такой нагрузки во всех
(фиг. 465). После этого нетрудно получить усилия от
стержнях фермочки ВС.
Фиг. 465.
Совершенно таким же способом определяются усилия в элементах фермочки CD.
Что касается стержней нижнего пояса и обоих раскосов, то для них усилия,
найденные из фиг 464, являются окончатель-
теперь к
показанная
некоторое
ными.
Обратимся
АВ. Нагрузка,
в стержне АВ
тельно, заменяющая этот стержень фермочка АВ
подвергается действию двух равно-противополож-
ных сил Sab, приложенных по ее концам. Кроме
того, фермочка АВ — одна из всей рассматриваемой
фермы — подвергается действию уравновешенной
нагрузки, состоящей из заданных сил Pi9 Р2, Р3>
Р4 и реактивных сил Ra, Rb- В итоге эта фер-
мочка находится под совместным действием сил,
показанных на фиг. 466. Остается определить
усилия от этой нагрузки.
Примером составной фермы может служить
ферма портального крана, изображенная на
фиг. 467. Ферма АВС неподвижна, так как имеет
неподвижную точку А и опорный стержень ВН;
точка F неподвижна; узел Е прикреплен к непо-
движной системе при помощи диады ECF. При
расчете крана на действие силы Р фермочка EF
может быть сначала заменена прямым стержнем;
после того как усилие в этом стержне будет найдено, оно должно быть при
ложено как внешняя нагрузка к фермочке EF.
Фиг. 466.
нагруженной фермочке
на фиг. 464, вызывает
усилие Sab, следова-
272
Другим примером составной фермы может служить ь.
на фиг. 468. Ее можно рассматривать как пппД л, Ф«Рма, понвминая
у которой стержни АВ и ВС верхнего пояТ-- ФерМ> ABCD «
L»»
_иг. 469)
заменены фермочками АВЕ и
Фиг. 467.
ВСЕ
ферма работает по схеме фиг. 469, причем верхний пояс АВС — >
АВЕ и BCF при этом работают только стержни АВ и ВС, Если груз имеется
также в узле /, то фермочка АВЕ
(фиг. 470). Если сосредоточенный груз расположен только в узле В, то
сжат. В фермочках
работает, во-первых, как элемент глав-
ной фермы фиг. 469, загруженной
в узлах А и В двумя составляющими
внешней силы, и, во-вторых, как от-
дельная фермочка, нагруженная уравно-
вешенной нагрузкой.
Разложение фермы можно прове-
сти еще дальше. Например, фермоч-
ки АВЕ и BCF в свою очередь можно
Фиг- 468.
рассматривать как составные, образо-
ванные следующим образом: взята простая
ные элементы верхнего пояса заменены фермочками (фиг. 472).
ферма (фиг. 471) и в ней прямолиней
Фиг. 470.
Фиг. 469.
: на
элементы
Однако здесь встречается новая особенность:
значенных на фиг. 472 двойными линиями
сливаются с элементами
некоторых участках, обо-
вспомогательной фермочки
ДВОЙНЫМИ лпппли»*, -------- ЛП AF UHVT
главной фермы. Фиг. 472, на которой элементы АО и АЕ иду
18 Зак. 1842. И И. Рабинович.
273
раздельно, и фиг. 470, на которой они слились, обе статически определимы
Число узлов у них одно и то же; одинаково у них и число стержней, так как
слияние двух стержней AG в один компенсируется тем, что на фиг. 472 элемент AGE
главной фермы является одним стержнем, а на фиг. 470 он разрезан шарниром
на два стержня.
Легко показать, что при каком угодно расположении нагрузки сумма усилий
в двух параллельных стержнях, обозначенных через AG на фиг. 472, равна усилию
Фиг. 471.
Фиг. 472.
в стержне ДО на фиг. 470. Для этого достаточно повторить тот способ разложения
нагрузки, которым мы уже пользовались в предыдущем параграфе при изучении
влияния внеузлового загружения фермы.
Это и дает нам право рассматривать фиг. 470 как составную ферму и опре-
делять усилие в ее элементе AG как сумму усилий обоих одноименных стержней
фиг. 472. То же относится, разумеется, и к другим двойным элементам.
Задача 15. Рассчитать ферму фиг. 473, как составную.
Указание. Шпренгельную ферму можно представить себе как результат замены
элементов нижнего пояса простой фермы, имеющей треугольную решетку, вспомогательными
фермочками (фиг. 474).
Фиг. 473.
Каждая из подвесок работает только в том случае, когда нагрузка приложена к ее
нижнему концу. г
Каждый подкос испытывает усилие только от такого груза, который приложен к верх-
нему или нижнему концу примыкающей к нему подвески.
Фиг. 474.
ЭЛ
я
vonff Эти элементы воспринимают лишь местную, т. е. приложенную в опре-
узлах, нагрузку и не участвуют в общей работе фермы, между тем как прочие
ра^)тают ПРН любом расположении нагрузки на ферме. Если вся нагрузка пр» '
„ rhpnf 70ЛЬЕ° к Узлам верхнего пояса, то подвески и подкосы выключаются из работы,
и ферма превращается в простую.
^силия определяются так: сначала нагрузка промежуточных узлов заменяется соста-
вляющими, приложенными в узлах главной фермы; эта нагрузка воспринимается лишь те*и
элементами, которые на фиг. 474 входят в состав главной фермы; далее каждая фермочК
1»
нагружается уравновешенной местной нагрузкой
этой фермочки и уравновешивающих ее двух реакций- ТэХ ’* де,,стви™ьной нагрузки
фермочка. F ц ’ в 9ТОМ работе }частвует лишь сама
В итоге мы имеем три группы элементов
1) элементы, входящие только в состав глякту-
верхняя часть раскосов и стойки; усилия в них поТучаютТ^т напР™еР> верхний пояс.
грузок; инх ПОЛУ 1аются от первой из указанных на-
Фиг. 475.
2) элементы, входящие только в состав вспомогательных фермочек, например подкосы
и подвески; усилия в них получаются только от второй из этих нагрузок- Р’ Д
3) элементы, входящие одно- F ’
временно в состав обеих ферм: ниж-
ний пояс, нижняя часть раскосов; уси-
лия в них получаются, как алгебраи-
ческие суммы усилий, вызываемых
обеими нагрузками.
Задача 16. Определить усилия
в стропильной ферме с верхним рас-
положением подкосов (шпренгелей)
(фиг. 475).
Задача 17. Определить усилия
в составной мостовой ферме, пока-
занной на фиг. 476.
Фиг. 476.
§ 40. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ ФЕРМ
Несущие конструкции, имеющие вид стержневых систем, не являются детищем
исключительно XIX и XX вв. Современные фермы постепенно развились из таких
первичных форм, которые применялись еще в глубокой древности.
Невозможно указать, когда впервые появилось простейшее деревянное стро-
пильное перекрытие, состоявшее из наклонных ног, стянутых внизу горизонтальной
балкой — затяжкой. Потребность в устройстве наклонной крыши и необходимость
освободить стены от действия горизонтального распора, естественно, привели уже
в незапамятные времена к созда-
нию такой конструкции. Мате-
риалом служило дерево, и лишь
в качестве скрепляющих деталей
применялся иногда тот или иной
металл. Железо как основной
строительный материал стало при-
меняться лишь в XIX в.
it
При увеличении пролета
Фиг. 477. стропильные ноги приходилось
подпирать при помощи вспомогательных подкосов и стойки (фиг. 477), а при еще
больших пролетах необходимо было вводить дополнительные стойки, показанные
па фиг. 477 пунктиром.
Вследствие недолговечности дерева как материала эти древнейшие фер ,
предки современных балочных ферм, не сохранились до нашего времени, но высокое
развитие строительного искусства, достигнутое уже на заре нашей культуры, косвенно
свидетельствует об их существовании. На фиг. 478 показан предположительный
вид перекрытия эллинской постройки в несколько этажей (рынка , остатки э
275
сооружения найдены на месте древней Эгеи. На фиг. 479 показан (по реставрации)
предполагаемый вид стропильного перекрытия еще более древнего сооружения —
этрусского храма (600—800 гг. до нашей эры).
Если первоначальная форма стропил и была треугольной, то во всяком случае
никакого сознательного стремления к этой форме, как геометрически неизменяемой,
не было. Широко используя способность брусьев работать на изгиб, можно было
создавать и всякие другие схемы их соединений, обеспечивающие практически
приемлемую жесткость и неизменяемость. Такие соединения изобретались в тех
случаях, когда требовалось перекрыть достаточно большие пролеты.
В средние века отступление от треугольной формы стропил диктовалось воз-
никшей потребностью в высоких шпилеобразных перекрытиях и необходимостью
и необходимостью
Фиг. 478.
это искусство в России. С незапамятных
века^скусствз1 с"пл°ЗМ0ЖН° большее свободное пространство. Вообще в средние
века искусство строить стропила стояло уже на высоком уровне.
времен здесь вочвппК°М ^ровне стояло это искусство в России. С незапамятных
но храмы монастыпиЛИСЬ искУснейшие сооружения из дерева: не только жилища,
ственно что здесь развил В°РЦЫ’ МОСТЫ’ плотины. крепостные стены и т. д. Есте-
интересные по своим ЛИСЬ И пРименялись также стропила различных систем, нередко
ресны были стропила *°рмам и выдающиеся по своим размерам. Особенно инте-
р с были стропила, поддерживавшие купола церквей Это национальное народ-
ное искусство оказало впоследствии влияние н, национальное, нари
димые русскими инженерами в XIX в Одним Л “нернь!е сооружения, возво-
решения задачи о перекрытии огромного по тем временам пролета в 50 м является
276
перекрытие Московского манежа, осуществленное
(фиг. 4ъ0) простояли почти 120 лет1.
Деревянные фермы издавна находили себе г
летных строений мостов. Перекрытие мал'о-мальски
в 1817 г. Фермы этого перекрытия
™Мененйе также в качестве про-
J значительного пролета
Фиг. 479.
не может быть произведено при помощи одного бревна, поэтому применение
дерева как строительного материала неминуемо должно было привести к возведению
пролетного строения из многих бревен, связанных так или иначе в единую систему.
Фиг. 480.
Как ни бедны литературные данные о древних деревянных мостах, они сви-
детельствуют о том, что мосты из этого материала строились в различных странах
на Востоке уже за 2300 лет до н. э. О некоторых знаменитых древних мостах
сохранились кое-какие литературные данные, в которых содержатся и конструк
1 Г. г. Карлсен, В. В. Б 0 л ь РД*
Курс деревянных конструкций, ч. I, стр. 18, 1У4/.
М. Е. Kara п, Г. В.
С в е идя цк и и,
277
|ИПНые описания, правда, весьма неточные и недостоверные ’ Так, например, из
эписпшя историка Плиния известно, что мост Граяна через Дунай, выстроенный
около 104 г. н. э., имел 20 пролетов длиной в 170 футов в свету каждый, пере-
коытых составными арочными деревянными пролетными строениями. Такое крупное
сооружение могло быть воздвигнуто лишь в результате имевшегося большого опыта
применения составных систем.
Фиг. 481.
О средневековых деревянных мостовых фермах имеется больше данных, хотя
и они весьма небогаты.
Значительные усовершенствования были внесены в конструкции таких мостов
итальянским инженером Палладио (1518—1580 гг.). Некоторые из его деревянных
мостовых ферм приведены на фиг. 481—482.
Не подлежит сомнению, что Палладио, а также современные ему инженеры
смотрели на эти системы совсем иначе, чем мы смотрим на наши фермы. Для них
ферма была не совокупностью узлов, соединенных стержнями, а по всей вероят-
ности балочной системой в буквальном смысле этого слова, т. е. составной
балкой, в которой раскосы и стойки служат для сплачивания двух или более
балок в одно целое. Такая точка зрения продержалась до начала XIX в. и в течение
двух с лишним столетий являлась тормозом для развития ферм и их теории.
Фиг. 482.
В последней четверти XVIII в. в
тельный вклад, отмеченный чертами
\же выше проекте арочного моста
деревянное мостостроение был сделан замеча-
гениальности. Речь идет об упоминавшемся
ИПк . ----- пролетом 298 м через р. Неву, составленном
ули иным. Этот проект заслуживает здесь вторичного упоминания, так как
в нем основой служили шесть параллельных вертикальных арочных ферм много-
решетчатой системы. Все элементы ферм работали на сжатие, что и дало Кулибину
возможность наилучшим образом использовать дерево. Проект был разработан
до мельчайших деталей и представлял собой произведение, основанное на смелой
фантазии и правильном расчете.
1 Более подробно см. в книге проф. Черепашинского:
Деревянные и каменные мосты, М. 1898.
.Очерк истории мостов*, ч. I-
278
как уже называлось выше,
_ первую очередь
Кулибин построил модель своего мостя » i
пролетом почти в 30 м, и подверг ее испытание п° атуральной величины, т е.
между нагрузкой действительного моста и его уменьшеннойм™™ УЧп соо™ошеиие
подтвердил все его расчеты и соображения И™ Я °ПЫТ блеСтя“№
в таком крупном масштабе не имели прецедентов Гктп л испытание м°Дели
отцом опытного моделирования в строительной механике -^-"б--а М0Ж”° СчИтать
Усиленное искание новых (Ьоом и
началось после изобретения железных дорог^паровои^ягс» Е"ШС’
прогресс отразился моетестроеипп. Le,
их расчета Естественно, что это не осталось без влияния и на конструкции
применявшиеся в других видах сооружений. ^нирукции,
В течение первой половины XIX в. довольно часто еще применялись для
железнодорожных мостов деревянные пролетные строения. Эти ответственные
инженерные сооружения требовали серьезной разработки конструктивных деталей
и расчетного обоснования всех размеров. Мы уже упоминали о том, что строи-
тельная механика оказалась неподготовленной к решению этих задач. В Америке
и Европе инженеры не имели правильных взглядов даже на основные элемен-
тарные законы распределения усилий в фермах. Сечения подбирались эмпирически,
на ощупь; конструкция страдала серьезными дефектами.
Когда молодому Д. И. Журавскому пришлось проектировать деревянные мосты
для б. Петербургско-Московской железной дороги, то он очень скоро убедился, что
ни в зарубежной, ни в русской литературе нет научного расчета. Тогда он взял
на себя целиком создание теории расчета мостовых ферм. Он разработал теорию
разложения сил по стержням; выяснил распределение усилий по панелям поясов
однопролетных и неразрезных ферм; распределение усилий между раскосами;
учел односторонний характер работы сжатых раскосов, т. е. их неспособ-
ность работать на растяжение; правильно учел влияние искусственного подтя-
гивания растянутых металлических стоек; дал теорию распределения усилий в
клепаных стыках составных стержней. В связи с расчетом элементов фермы
он первый в мировой литературе открыл существование продольных танген-
циальных напряжений в изгибаемой балке и указал метод вычисления этих
напряжений, который вошел с тех пор во все курсы сопротивления мате-
риалов.
Свои теоретические выводы Д. И. Журавский поверял экспериментально,
сконструировав для этой цели специальные приборы и применяя различные остро-
умные методы испытания моделей.
Он опроверг теоретически и экспериментально мнение иностранных ученых
и практиков о том, что все раскосы испытывали одинаковые усилия, опроверг
господствовавшее в Америке представление о роли предварительного натяжения
вертикальных растянутых стоек и мнение о том, что уменьшение прогибов, дости-
гаемое этим натяжением, увеличивает прочность фермы, а также нелепое утверж-
дение американского инженера Лонга о том, что достаточным натяжением можно
вовсе разгрузить ферму от влияния нагрузки.
Он ввел перекрестные раскосы и этим значительно улучшил работу раскосной
фермы. Он ввел также ряд существенных усовершенствований во все констру-
ктивные детали. Сконструированные им многораскосные пролетные строения
(фиг. 483) радикально отличались от простой раскосной системы Гау и в течение
многих десятилетий принадлежали к наиболее замечательным деревянным инже-
нерным сооружениям Европы и Америки.
Развитие железных дорог тормозилось применением мостов с ДеРавя™ы“и
пролетными строениями. Однако очень быстро деревянные мосты были вме -
нены металлическими. Последние возводились несравненно быстрее, чем камеи
ные, и в то же время были во много раз прочнее и долговечнее ;
Они позволяли перекрывать настолько большие пролеты, которые.былинедост}п
Для каменных и деревянных мостов. пРОч-
переход от чугуна к
ному материалу —
If
сварочному железу, а затем к более однородному и проч-
Пер».» к «=™»У е«е«™л огре™»!
27У
в инженерном деле всевозможных ферм и привел также к уси-
можём здесь Останавливаться на истории появления и смены различных
на эволюции систем решеток и очертания поясов. Это сильно отвлекло
Отметим лишь некоторые этапы эволюции ферм
отечественном мостостроении, а также некоторые этапы развития их
распространению
ленной теоретической разработке методов их Рас^ета-
Мы не
типов ферм,
бы нас от прямой задачи курса
в нашем <_
Р Под влиянием работ Журавского в 50-х годах на раскосы перестали смотреть,
как на вспомогательные элементы, соединяющие пояса, а стали принимать во вни-
мание их работу как основных элементов. Это привело к тому, что раскосы стали
проектировать с неодинаковыми сечениями — наименьшими в середине пролета
и наибольшими у опор. Следующим шагом было установление различия между
формой поперечного сечения растянутых и сжатых раскосов: первые оставались
плоскими, вторые проектировались с жестким поперечным сечением. Эти новшества
Фиг. 483.
были введены впервые выдающимся инженером-мостостроителем, пионером рус-
ского железного мостостроения, современником Журавского, С- В. Кербедзом
(1810—1899 гг.). Высгроенный им в 1853—1857 гг. мост через р. Лугу был
первым в Европе мостом большого пролета из металлических ферм. В нем впервые
были введены соединительные решетки между стенками раскосов и применены
жесткие профили для сжатых раскосов.
Эволюции ферм от многорешетчатой системы с ее густым заполнением про-
странства между поясами к современным ажурным фермам сильно содействовал,
начиная с конца 60-х годов прошлого столетия, проф. Н. А. Белелюбский,
который является автором многих проектов металлических мостов, построенных
в России на сети железных дорог. К числу первых его проектов относится проект
моста через Волгу у Сызрани. Мост, сооруженный в 1875—1881 гг., имел 11 про-
летов по 1 м каждый и по своей длине был самым большим в Европе. Фермы
имели параллельные пояса и сравнительно простую двухраскосную решетку» Еще
оолее простая —треугольная решетка была применена им в 1890 г. для моста под
обыкновенную дорогу через р. Неман.
Им же спроектированы имеющие простую решетку пролетные строения мостов
через Волгу у Свияжска (1913 г.) и у Ульяновска.
рофессору Л. Д. Проскурякову принадлежит широкое использование и рас-
пространение в мостостроении балочных шпренгельных ферм, которые являются
весьма экономичной системой для ферм больших пролетов. В 1898 г. построен
по его проекту мост через р. Енисей на б. Средне-Сибирской железной дороге,
состоявший из шести пролетов по 138,68 м.
280
Это был первый
такие системы широко
пролетов.
В Европе мост шпренгельной
применялись в мостостроении
системы. В дальнейшем
для перекрытия больших
В истории развития
смелого отказа от ферм
поясами и с небольшой
соких полигональных ферм с простой треугольной" или
в
им уже в 1887 г. (железнодорожный :
менчуг). В течение 40 лет (1885—1925 гг )'
ложных пролетов от 20 до 140 м.
и целесообразными были перекрыты сотни пролетов на' сети
дорог. За проект Енисейского моста Проскурякову на всемирной Парижской
выставке 1900 г. была присуждена золотая медаль.
со сХЛТ* Д- ПРОСКУРЯКОВУ принадлежит заслуга
высотой “ Г/0"™™0" с параллельными
ом с_НИХ <впеРвые - Европе) вы-
определимой решеткой Первый проект моста с треу^ль^шХой
vU/a Г> 1 АХ /Г* \1/Пттапп/>тт«л Vvv 1 ui5Jlv.il
мост через р. Сулу на линии Ромны-Кре-
"" он проектировал мосты всевоз-
„Проскуряковскими" фермами, весьма легкими
Проф. Проскуряков один из первых перешел практически на расчет мостов
по линиям влияния. Он вывел ряд положений, относящихся к нахождению наиболее
невыгодного расположения поезда при заданном полигональном очертании линии
влияния. Он же обратил внимание на возможность значительного сокращения
вычислительной работы при загружении линий влияния одним и тем же поездом
и ввел в обращение таблицу моментов поезда.
Безвременно скончавшийся талантливый профессор б. Петербургского инсти-
тута инженеров путей сообщения Ф. С. Ясинский (3/IX 1856 г.—5/XI 1899 г.)
расширил область применения метода сечений, указав на те случаи, когда удается
провести сомкнутый разрез, встречающий нечетное число раз три стержня и четное
число раз любое количество стержней *.
Предложение игнорировать изгибающие моменты, возникающие от жесткости
узлов в металлической клепаной ферме, и рассматривать таковую как шарнирно-
стержневую было сделано в 1851 г. В конце 70-х годов в литературе стали поя-
вляться теоретические исследования, посвященные изучению влияния жесткости
узлов. Вопрос оказался весьма трудным и его решение затянулось на многие деся-
тилетия. Ферма с жесткими узлами является в высокой степени статически не-
определимой, поэтому мы не можем в данной, первой части курса говорить
о существе расчета. Ограничимся указанием, что до тех пор, пока эта задача не
была решена, допустимость обычного метода расчета не могла считаться достаточно
обоснованной. В решении этой задачи русские инженеры и ученые (проф. С. К. Ку-
ницкий, проф. Е. О. Патон, проф. Г. П. Передерий, инж. И. В. Некрасов, проф.
С. И. Белзецкий, проф. К. М. Дубяга) приняли деятельное участие, опубликовав
на эту тему ряд крупных теоретических исследований.
Проф. К. М. Дубяга произвел всестороннее экспериментальное исследо-
вание опытной раскосной фермы пролетом 8,4 м и в 1914 г. опубликовал
результаты в интересной книге, сохранившей свое значение до настоящего
времени.
Строительная механика излагалась в России в ряде курсов и учебников, отли-
чавшихся крупными достоинствами: Н. А. Белелюбского (1885), Г. Е. Паукера
(1891), Л. Д. Проскурякова (1902—1907), М. Н. Демьянова (1902), М. Черепа-
шинского (1904), В. Л. Кирпичева (1902—1914), Ф. С. Ясинского (1903),
К. К. Симинского (1912), и др. Большое место отводилось строительной механике
также в курсах мостов проф. Л. Ф. Николаи (1901), проф. Е. О. Патона (1903
1915), проф. Г. П. Передерия (1912) и др.
Кинематический метод в применении к фермам со сложной структурой получил
дальнейшее развитие по нескольким направлениям:
а) разработано применение графической статики и графической кинематики
цепей, обладающих двумя степенями свободы (проф. И. М. Рабинович ),
1 Ф. С. Ясинский, Устойчивость деформации и статика сооружений, Р-
2 И. М. Рабинович, Кинематический метод в строительной
М. 1928.
281
I
б) указан способ использования мгновенных центров вращения в тех случаях,
когда некоторые из них выходят за пределы чертежа (В. В. Синельников 2 *);
в) разработан вариант, основанный на изображении угловых перемещений
звеньев и линейных перемещений точек при помощи векторов, перпендикулярных
к плоскости звеньев, а также статических моментов этих векторов (проф. Б. Н. Гор-
бунов 2);
г) указано существенное упрощение построения мгновенных центров для
сложных цепей, основанное на замене нескольких звеньев одним (доц. Б. М. Ива-
нов *)• ж к
Вопросы структуры статически определимых плоских ферм были предметом
исследования проф. С. А. Бернштейна4 *, который обнаружил новые интересные
свойства таких систем. Проф. Н. К. Снитко 6 на основании анализа структуры
сложных
Вопросы структуры статически определимых плоских ферм были предметом
Проф. Н. К. Снитко 6 на основании анализа структуры
ферм указал метод приведения их расчета к расчету трехшарнирной
II
арки.
Трудным вопросом теории ферм является вопрос об их синтезе. Он гораздо
сложнее того вопроса, которым по преимуществу занимается современная теория
ферм, а именно, определение усилий в заданной ферме. Как ни важен последний
вопрос, он неспособен разрешить проблему создания наилучших, наивыгоднейших
ферм. Наилучшей фермой является такая, которая наиболее полно удовлетворяет
заранее заданным условиям: способна воспринимать данные комбинации нагрузок,
перекрыть данные пролеты, уложиться в данные габариты при минимальной затрате
материала и труда на ее изготовление, на ее установку и на ее дальнейшую
исправную эксплоатацию. Для общего решения таких задач нужна теория, а ее до сих
пор нет. Не разработано еще метода для решения задачи не только в такой исчер-
пывающей постановке, но и в более скромной. Нет,
например, решения задачи
о ферме наименьшего веса при заданных комбинациях нагрузки и заданных габа-
ритах или о ферме наименьшего веса и с наименьшим числом узловых соединений,
или о ферме, усилия в которой удовлетворяли бы некоторым заранее заданным
неравенствам, и т. д.
В советской литературе вопросам, которые могут быть отнесены к синтезу
ферм, посвящены исследования проф. И. М. Рабиновича по теории вантовых
ферм, опубликованные в 1924 и 1930 гг. (см § X, 8) и упомянутое на стр. 153
исследование проф. А. Р. Ржаницына о стержневых системах наименьшего веса.
Гп
В*„С и н е л ь н и к о в, Применение кинематики к построению инфлюэнтных лини
транспорт?вьтЯXV™д|оКИ определнмь,х снстем> тРУДы Московского института инженеров
nonuMuv*3!' РоРбУнов, К вопросу о кинематическом расчете плоских статически опре-
делимых систем, Киевский строительный институт, Сборник трудов, вып. III, 1936.
« * * ванов, Применение фиктивных дисков для построения линий влияния усилий
Ст*ойиздаГ1949ТИЧеСКИМ МетОДОМ’ Сборни,< .Исследования по теории сооружений”, вып. IV.
р 4 Бернштейн, О классификации плоских статически определимых фер’“
Вестник Военно-инженерной академии № 3, 1934. определимы* ч- г
•Н. К. Снитко Расчет сложных ферм методом ctovltvohofo анализа Вестям
mwZnn техннков №4, 1936: Сборник трудов научно-технической конференции Военно-
ipaiiuiopnioii академии № 1, 1938. 1 н
Глава JX
ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ УСИЛИЙ В ФЕРМАХ БАЛОЧНЫХ И КОНСОЛЬНО-
БАЛОЧНЫХ
§ 1. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ
Для ферм и вообще для стержневых систем, содержащих большое количество
элементов, л. в. имеют особенно большое значение; они позволяют значительно
быс рее, чем какой бы то ни было другой способ расчета, определять влияние
движущейся нагрузки и находить расчетные, т. е. наибольшие усилия.
В тех случаях, когда нагрузка кроме постоянной части содержит и временную
часть, хотя бы и неподвижную, но могущую менять свою величину и характер,
задача определения усилий заключает в себе те же трудности, что и задача расчета
на подвижную нагрузку. Действительно, в этих случаях необходимо выбрать для
каждого элемента соответствующую ему наиболее невыгодную комбинацию нагрузок
и определить соответствующее усилие. Для решения такой задачи л. в. также
оказывается наиболее целесообразным аппаратом.
Значение л. в. заключается не только в их наглядности, которая позволяет,
так сказать, воочию поверять правильность или неправильность найденного наи-
более невыгодного положения подвижной нагрузки. Основное достоинство их
состоит в том, что они представляют собой инвариантную часть расчета,
т. е. такую часть, которая не зависит от внешней нагрузки и не меняется с изме-
нением последней. Тот, кто построил для данной фермы л. в., может сказать, что
преодолел все трудности расчета системы раз и навсегда и что никакие вариации
внешней нагрузки уже не потребуют от него каких-либо переделок произведенной
работы. Такое свойство расчета является одним из лучших признаков его рацио-
нальности.
Процесс загружения л. в. данной подвижной нагрузкой, т. е. нахождение
наиболее невыгодного положения последней и определение самого влияния, доста-
точно прост. Он рассмотрен подробно в гл. IV.
Поэтому в настоящей главе мы будем считать своей основной задачей лишь
построение л. в.
§ 2. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ ПРИ ПОМОЩИ СЕЧЕНИЙ ИЛИ ВЫРЕЗАНИЯ
УЗЛОВ
Статический метод построения состоит в том, что груз Р = 1 устанавливается
в произвольном узле фермы и для искомого усилия составляется формула, выте-
кающая из того или иного уравнения статики. Затем эту формулу анализируют,
для того чтобы узнать характер выражаемой ею л. в.
Построим л. в. для фермы, показанной на фиг. 484.
Проведем разрез через одну из панелей, например, через ^ъю^панель. При
любом расположении груза Р =
действующих на ,
нулю. Для определения усилия в верхнем
, через третью панель. При
1 можно написать, чго сумма моментов всех сил,
левую Рили правую часть фермы, относительно любой точки равна
J поясе Оо воспользуемся моментно»
263
точкой On- Обозначим сумму моментов вертикальных сил, лежащих по одну
сторону от этой точки, через Мо; это г момент равен изгибающему моменту,
Фиг. 484.
который возник бы при том же положении груза в сечении Оо простой балки АВ.
Уравнение равновесия примет вид:
откуда
^0 + °3ГОЙ = °-
ГОЗ
Полученная форхмула показывает, что искомая л. в. отличается от л. в. Af0 (изд-
ающего момента в сечении Oq балки ДВ) лишь знаком минус и постоянным мно-
жителем — , следовательно, она имеет но
гоз 9 п имеет вид треугольника
жениой под точкой Оо, а ее прямые отсекают
а я —.
с вершиной, рвсполо*
на опорных вертикалях отрезки.
равные —
гоз
Таким же способом получается л r vrwnua
точку Ор за моментную точку, получаем формулу: НИЖНем поясе и&- Приняв
*4 = ^.
где Mtj — л. в. изгибающего момента в сечении Qv простой балки AR
Для получения Л. В. усилия £). в пягклср rnonxrcJ ЯЛКИ Ati-
точкой On, лежащей на пересечении стержней О ни „^пользоваться моментной
р=/ ьщржнеи и8 и us. Предположим, что раскос
Фиг. 485.
растянут. Когда груз находится в правой части фермы,
левой части имеет вид:
/?А<?+ £)3Гр = о,
откуда
то условие равновесия
т. е. правый участок л. в. £)3 отличается от л. в. опорной реакции R& лишь
постоянным множителем-------—. Он имеет вид прямой, отсекающей на левой опор-
rD
ной
вой
вертикали отрезок— ее нулевая ордината расположена на правом конце.
rD
Когда груз находится в левой части, то мы из рассмотрения равновесия пра-
части находим аналогичным образом:
и в
Обе прямые, выражаемые этими формулами, пересекаются между собой, как
двух предыдущих л. в., под соответствующей моментной точкой. Это нетрудно
доказать геометрически.
Другое (статическое) доказательство дано на фиг. 485. Предположим, что груз
движется по консоли, которая связана с левой или правой частями фермы. В первом
случае его влияние будет выражаться на л. в. левой прямой, а во втором правой пря-
мой. Однако, когда груз будет проходить через точку Ор, то в уравнении момен-
тов любой из отсеченных частей фермы он фигурировать не будет, так как его
момент будет равен нулю, следовательно, различие между обоими случаями исчез-
нет. Для примера составим уравнение моментов левой части фермы, предполагая,
ЧТО груз расположен на любой из этих двух консолей и проходит через Ор. Ура -
нение имеет вид:
Р . е Л~ D.r^ == О,
откуда
е
8
—
285
Пик, под точкой Он обе прямые имеют одну и гу же ординату, выражаемую
ной формулой.
Наконец, влияние i руза, расположенного между узлами на третьей панели
выражается соединител*ной прямой между обеими основными. ’
Для построения л. в. усилия в стойке 1/2 вырежем узел с ее верхним
и спроектируем все силы на вертикаль (фиг. 486). Предполагая, что
МЫ полу-
Фнг. 486.
КОНЦОМ
Но
где
оз5
Из этой
момента
оба верхних пояса растянуты,
чили бы:
О о cos а.
о2= —
ГО2
Vo = О3 cos {
так как
О _____
— —~z— и
гоз
2И0 — момент левых или правых вертикаль-
ных сил относительно точки Оо,
— плечи сил О3 и О2 относительно этой
точки, то
02
К>
COS a cos р
r0i гоз
формулы видно, что л. в. усилия V2 отличается от л. в. изгибающего
простой балки лишь постоянным множителем. Из чертежа ясно, что
Фиг. 487.
cosa>cosp и г09<г
стойка всегда растянута.
Подвески являются в
жнями; поэтому они могут прямолинейного нижнего пояса одиночными стер-
строена л. в. д1я усилия Ра0отать
На фиг. 487 построены л »
можно рассматривать как частит its « * —
раскосе состоит из двух папя™ УЧЭ пРедь1ДУЩей фермы. Л. в. усилий в любом
ложенной в пределах соответс™^НЫп ПРЯМЫХ и соединительной прямой, распо-
верхний пояс сжат, нижний УЩ Па"ели- Чтп ~ ------- Я
286
02 гоз> следовательно, К
Подвески являются
Г “ --
строена л. в. дтя усилия
можно рассматривать как
О, т. е. при движении груза понизу
лишь на местную нагрузку. На фиг. 484 по-
♦
})ермы с параллельными поясами, которую
л
— растянут, а для л.
панели. Что касается знаков усилий, то
. в. раскосов нетрудно получить
следующее правило знаков: если отрицательные ординаты
вниз, а положительные вверх, то соединительная прямая им^"Ы °Т °С" абСЦИСС
положный наклону раскоса. Для раскосов, во с хо л я ж » v ,еет наклон> противи-
отрицательная часть площади л. в. превосходит положительную Середине пролета>
мерно распределенной по всему пролету нагрузки раскос ежа а'
нисходящих соотношение получается обратное.
Л. в. для поясов и раскосов такой Лермы пгтаютго
движения груза понизу движением поверху или наоборот^Х^Т "РИ ЗЭМеНе
л. в. усилий в подвесках. Р ’ изменяются только
Т сплошной равно-
• а для раскосов
Фиг. 488,
Это объясняется исключительно характером решетки
тикальных подвесок или стоек (фиг. 484 и 487). Такой
для фермы с раскосной решеткой (фиг. 488).
Наоборот, в том случае, когда решетка состоит только
ней, переход нагрузки сверху вниз или наоборот
пример показан на фиг. 489. Для усилия О
Фиг. 489.
а именно, наличием вер*
же вывод можно сделать
из наклонных стерж-
отражается на всех л. в. Такой
при движении груза понизу л. в.
имеет вид треугольника, при движении
же груза поверху мы можем пользо-
ваться ее левой прямой лишь до узла 2,
а правой — до узла 3. Отсюда полу-
чается переходная прямая ab. Читателю
следует разобрать также л. в. 473 и Z)4,
построенные на фиг. 489 в двух ва-
риантах.
На фиг. 490 построены л. в. для
полураскосной фермы с параллельными
поясами.
Усилие в панели О3 верхнего пояса
определяется при помощи разреза, ха-
рактер которого указан на фиг. 490,
и моментной точки 3'. Л. в. усилия О3
имеет такой же вид, как л. в. изгибаю-
щего момента в сечении 3' простой
балки. Л. в. Z73 отличается от О3 толь-
ко своим знаком.
Усилия D3 и Пз в полураскосах
одной и той же панели равны друг
другу по величине, но обратны по зна-
ку, поэтому любое из иих выражается
формулой ±2^-
Усилие У4 в верхней полустойке
определяется при помощи вырезания
верхнего узла, а усилие Vj в нижней —при помощи вырезания нижнего узла; в обоих
случаях все силы проектируются на вертикаль. Из этого уравнения проекн
лучается, что во всех случаях, когда груз не стоит в вырезанном узле, усилие
в полустойке выражается формулами:
т/ . —___/Эл спя ос:==з — * cos а ,
I/ 4 — и % сиъ 2 cos а 2
. о Q
у/___ П гпса------------ COS а = — -х
= •— 2>3 COS СС.— 2 COS а 2
287
Отсюда следует, что л. в 1\ при движении ipyaa понизу отличается лишь
множителем от л. в.
движении груза поверху
поперечной силы Q для простой балки, л. в.
отличается от л. в. Q лишь множителем'— —.
t
*74 При
Когда груз расположен в узле 4 (движение поверху), то к ординате л. в.
добавляется—1. следовательно, на л. в. движению понизу в пределах двух при-
| мыкающих панелей со-
Фнг. 490.
ответствует участок
abc, а движению по-
верху—участок adc.
При помощи такого же
рассуждения мы най-
дем, что на л. в. V{
движению поверху со-
ответствует участок
efgy а движению по-
низу—участок ehg.
Для построения
л. в. усилия в сред-
ней стойке вырезаем
узел 5 или 5'. Если
внешняя нагрузка не
приложена ни в одном
из этих узлов, то в
обоих вырезанных по-
лураскосах усилия
имеют противополож-
ные знаки и одну и ту
, Q
же величину
следовательно, сумма
их проекций на вер-
тикаль равна нулю и
Фиг. 491.
а справа Q = —
И- О. Когда сила Р1 расположена в узле 5', то слева от этого узла Q
1 ’ .
~ , поэтому усилия в полураскосах, сходящихся в узле
•
9 ’
имеют величину, указанную на фиг. 491. Спроектировав их на вертикаль, найдем
'/п = ‘2 ' Если сила р—^ приложена в узле 5, то, вырезав узел 5', найдем таким
же способом, что Vb---j итоге л. в. УБ имеет вид одного из дв)'х тре-
угольников, показанных на фиг. 490.
283
* § 3. ЗАДАЧИ И ПРИМЕРЫ
. З...Н. ,. „ ба„,„он„ьм фвд тавд1т_
Л. в. для элементов консоли СХ и. —
на фиг. 492.
тел ьно'с оответству ющиТ точёкУэп^эл «1СНТЫ работают Tn?JI\ipaBHeH,,fi моментов относи-
поспи кпмгтн «пи мо ------------------ь* ют только тогда, когда груз расположен
на левой консоли или на опирающейся на нес фермочке.
Усилие Щ определяется при помощи разреза, пР°всД"° »е^лько" тега'а/когда
ют опоры Л. Хотя этот элемент расположен в пролете АВ, о р
груз расположен слева от опоры А. „ холится в панелях,
Л. в. усилия в левой опорной стоике V строи тс * n0„L не работают, поэтому
расположенных справа от опоры А, элементы £/3 и 4 .. оеаК11И|| на этом основании
из равновесия узла А следует, что усилие V равно поавого конца до опоры А.
сейчас же строится л. в. V па всем протяжении к₽а^ т0 выгоднее вырезать
Когда груз стоит слева от узла А, например, на конце левой консол ,
289
19 Зак, 1842, И М. Рабинович.
верхний узел стоики и спроектировать вес силы ла вертикаль, откуда получится
V = Н^шг°492 noeTpociia еще л. в. О0. для чего использована моментная точка
Задача 2. Построить л. в. для составной фермы, представленной па фиг. 4J3.
Фиг. 493.
Аналогичная ферма изображена на фиг. 474, где показано, какие элементы являются основ-
ными, какие дополнительными н какие — смешанными. Стержни верхнего пояса являются
Фиг. 494.
основными, и для ннх л. в. строится, как
для простой фермы. Подкос как н другие
подкосы, является дополнительным элементом
и работает только на местную нагрузку; его
Фиг. 495.
в., распО’
; 1 Н*
з — />3. Это построение показано справа от л. в. Стойка Уя
и ее л. в. имеет такой же вид, какой о*’
не было, т. е. внд треугольника, простирающего
ложайило ВНД тРеУГ0Льннка« простирающегося на две панели. Ордината этой л. —» г
под вершиной, получается при помощи разложения вертикальной силы Р =
направления подкоса н раскоса D “
может рассматриваться как основной элемент,
На^ве подвесок И ПОДКОСОВ vdiW, т. с. ИНД триу iUJi»nuna, iipvci*ip«»«*
не панели и имеющего высоту, равную единице. То, что эта л. в. не
290
переломов под узлами С и Л, можно доказать также следующим
р=1 в узле С; усилие в подвеске этого узла будет па пил °^разом: поставим груз
испытывать никакого усилия; вырежем сначала у!ел С\ в котором сил^Р К°1 пя *^4УДСТ
на два наклонных направления, и затем узел Е. где усил ^в^оТнодкТсе
ыяггпавления. Это разложение сделано на фиг. 494, из
на вертикальное и горизонтальное напра
которой ВИДНО, ЧТО V3 — 7Г’ „лмпгятоЛЫ1ЫМ эле-
Стержень U8 нижнего пояса явля^ ^еда^^влияние выражается л. в., состоя-
ментом. Пока груз находится вне большом пан
19*
шей из прямых ab и ес (фиг. 493), которые пересекаются друг с другом под моментной точ-
ьогМ строятся, как для простой фермы. Когда груз движется в пределах названной панели,
го нижний пояс и стержни D' и S4 получают добавочные усилия, как элементы фермочки,
показанной на фиг. 495. На л. в. это выражается появлением дополнительного треуголь-
ника bde. rr
Усилие в стержне ЕГ всегда равно усилию и8.
Л. в. усилия строится, как для простой фермы,
бавлением треугольника, представляющего собой л. в.
на фиг. 495.
* ———
остальных элементов фермы.
Указание. --------------- - .
гательные фермочки. Для тех элементов, которые входят одновременно в две фермы, нужно
построить сначала основную л. в. н затем наложить на нее дополнительную.
Для построений л. в. можно рассуждать также следующим образом. Представим
себе сначала, что груз движется по верхнему поясу km. Тогда все подвески и подкосы
выключатся из работы, и ферма превратится в простую. При движении поверху л. в. Е3
, а л. в. Da отличается от нее до.
усилия D3 в фермочке, показанной
1 Задача 3. Проверить правильность л. в., построенных на фиг. 496, и построить л. в.
остальных элементов фермы.
Указание. Для построения этих л. в. следует выделить основную ферму и вспомо-
гательные фермочки. Для тех элементов, которые входят одновременно в две фермы, нужно
построить сначала основную л. в. н затем наложить на нее дополнительную.
Для построений л. в. можно рассуждать также следующим образом. Представим
себе сначала, что груз движется по верхнему поясу km. Тогда все подвески и подкосы
выключатся из работы, и ферма превратится в простую. При движении поверху л. в. Е3
для такой фермы состоит нз трех прямых н имеет вид aknmb. Если мы теперь спустим груз
вниз, то в пределах четвертой и пятой панелей (считая слева) л. в. останется без измене-
ния, так кай подвески передадут груз на ннжнне узлы фермочки knm, а перенос груза сверху
вниз, происходящий в пределах этой фермочки, отражается исключительно на тех элементах,
которые входят в ее состав. Когда же мы перенесем груз с узла т в узел р, то усилие
1; поэтому достаточно от точки т л. в. отложить вверх
ординату 4~ И Но когда груз стоит в узле /?, ферма снова превращается в простую и л. в.
левой прямой ak.
вниз, то в пределах четвертой и пятой панелей (считая слева) л. в. останется без измене-
ния, так кай подвески передадут груз на ннжнне узлы фермочки knm, а перенос груза сверху
вниз, происходящий в пределах этой фермочки, отражается исключительно на тех элементах,
изменится: оно увеличится на
V3 при движении понизу имеет вид apqb, следовательно, точка р лежит на продолжении
Прн .помощи такого же рассуждения легко получается л. в. для средней стойки. |
§ 4. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ ПРИ ПОМОЩИ ДИАГРАММЫ УСИЛИИ
И Когда груз Р = 1 перемещается по узлам фермы, то каждому его положению
соответствует определенная система усилий во всех ее стержнях. При помощи
вырезания узлов или* метода сечений или графического построения диаграммы уси-
лий можно найти все эти усилия и нанести их на чертеж или записать их вели-
чины в виде таблицы. В этих диаграммах или таблице, очевидно, будут содер-
жаться все^ ординаты л. в. усилий для всех стержней фермы. Однако построение
такого количества диаграмм потребует больше работы, чем непосредственное
построение л. в. Действительно, при построении л. в. мы имеем ту выгоду, что
можем не строить ординат промежуточных точек, лежащих на одной прямой;
при построении же диаграмм мы такой экономии труда не получим.
Мы можем, однако, сильно сократить себе работу, если заметим, что у всех
этих диаграмм некоторые участки отличаются друг от друга только масштабом.
На этом основании можно свести всю работу к построению двух диаграмм уси-
лий, а для симметричных ферм — даже к построению одной диаграммы. Действи-
тельно, где бы ни был расположен груз Р=1, мы можем рассечь ферму на две
части, проведя разрез через интересующий нас стержень. При этом по одну сто-
рону будут расположены груз и одна из опорных реакций, а по другую сторону—
только одна реакция. Приняв эту реакцию за нагрузку, достаточно построить со-
ответствующую ей диаграмму усилий.
Рассмотрим для примера ферму, представленную на фиг. 497. Освободим ее
левый конец от опорного стержня А и приложим вместо последнего вертикальную
силу =» 1. На фиг. 497, б построена соответствующая этой нагрузке диаграмма
усилий, содержащая усилия всех стержней, кроме тех трех, которые входят
в состав крайней правой панели. Величины усилий можно назвать числами влияния
опорной реакции рА на соответствующий стержень.
остроенная диаграмма содержит все данные для получения любой л. в-
опустим, что мы хотим построить л. в. для раскоса gh. Пусть груз
тоит справа от этого раскоса на расстоянии х от левой опоры. При это*1
слева от разреза действует опорная реакция следовательно, усилие
раскосе выражается вектором gh диаграммы, умноженным на . . Когда грр
Освободим ее
левой опоры,
если бы груз стоял в КаКое полУчилось бы
к _ РЭ °Й Части ФеРмы на рас-
дается вектором Л/, умноженным на —
V л л. коптчаппе 1акже на знаки vrunutt
Если бы ферма была несимметричной, то
нагрузив правый конец сосредоточенной силой.
।
усилия. Последнее
/-'== 1 стоит слева от разрезанной панели ня
то В силу симметрии фермы искомое усилие будет такЛ™"™ Х От
в симметричном раскосе hi, если бы груз стоял в °
стоянии х от правой опоры; следовательно, в этом случае «<• —-------—'
. этом случае искомое усилие выра-
. Разумеется, беря величину векторов из
диаграммы, следует обращать внимание также екторов из
Если бы ферма была несимметричной, то нельзя бмпл л
ВТОРУЮ> закрепив лёвый₽аННЧИТЬСЯ °ДН°Й
Эти лц способом, однако, не всегда можно так j
удается только в том случае, когда усилие" Г л юбом
конец фермы и
прямо и просто получить все
элементе
а)
Фиг. 497.
зная только нагрузку, расположенную по одну сторону от
можно определить,
него, и опорные реакции. Если мы возьмем составную ферму, представленную
на фиг. 496, где эти условия не соблюдаются, то встретимся с затруднением.
Пусть, например, груз расположен слева от элемента £>з- Если мы нагрузим узел В
вертикальной силой Rb~ то мы усилие D3 не определим, пока не будем знать,
расположена ли сила Р поверху или понизу.
Для того чтобы воспользоваться вышеуказанным способом, придется построить
диаграмму, вызываемую силой = 1 или Rb ~ 1 Для основной фермы, выкинув
подвески и подкосы, затем отдельно построить л. в. усилий для вспомогательных
фермочек и после этого найденные обоими способами усилия в совпадающих эле
ментах сложить. Ц
§ 5. ПРИМЕНЕНИЕ СПОСОБА ЗАМЕНЫ СВЯЗЕЙ
Построим л. в. усилия в стержне EF фермы, показанной на. фиг. 498, а. Для
этого заменим его стержнем CD, показанным на фиг. 498, б. Заменяющую ферму
будем рассматривать как находящуюся под действием груза Р—1, а’
которая заменяет отброшенный стержень EF. Подберем эту силу из того условия,
чтобы усилие в заменяющем стержне CD обратилось в нуль:
Тр хТх ~
=—], а также силы х,
л
0;
293
гтепжие от подвижного груза и от неподвижной
. /— усилия в этом стержне ш
1 Из этого уравнения получаем формулу.
здесь Тр и Т3
силы х = - -
которая показывает, ^что л. в.
ным множителем — уг.
усилия х отличается от л. в. Тр только постояв
Фиг. 498.
имеет вид
отсекают
Л. в. усилия Тр в стержне CD нижнего пояса балочной фермы
треугольника с вершиной под шарниром G. Ее продолженные прямые
на опорных вертикалях отрезки
Усилия во всех стержнях заменяющей фермы, вызываемые силой х
найдем проще всего при помощи диаграммы усилий, — ------------------с-
фиг. 498, Ввиду симметричности системы и симметричного действия силы
достаточно построить половину диаграммы,
оказалось растягивающим и выразилось на диаграмме вектором тр.
= 1, МЫ
которая построена на
Усилие в стержне CD, названное Тр
и
294
Для построения л. в. усилия х
Тр на постоянный множитель — Т
......... чтоТспрп!0 р™ить все ординаты л. в.
Л. в. усилия в любом стержне заданной жРп° "а *ИГ‘ 498’ г'
ержне заданной фермы выражается формулой:
где Sp— л,
от нагрузки х .. ______д.
w J л «. rfionu, JI. L_ _ --
наты которой предварительно умножены на постоянное
На фиг. 498, д показано построение л. в,
. в. усилия в том же стержне заменяющей Лепмы а с
X = 1. Следовательно, л. в. S получается^ сложения л” ор“-
остоянное число с л. в. $Р.
. усилия О4. Нетрудно сказать сразу,
даже не пользуясь построенной диаграммой, что для этого стержня S1 = —
достаточно написать уравнение моментов левой или правой отсеченной части
относительно точки Н. На диаграмме это усилие выражается вектором Д Умножив
зХТна фиг. 49?ГУ B“y " “ С * " П°Л>'™М —
§ 6. ПРИМЕНЕНИЕ МГНОВЕННЫХ ЦЕНТРОВ ВРАЩЕНИЯ
Кинематическим методом построения л. в. мы пользовались уже раньше»
Напомним содержание этого метода. Для того чтобы получить л. в. усилия в каком-
нибудь стержне 7147V фермы, нужно его удалить и заменить двумя равно "Противо-
положными силами х, приложенными в узлах Ж и ДА (фиг. 499). Полученному
механизму нужно мысленно дать бесконечно малое возможное перемещение. При
этом каждое из его звеньев повернется вокруг своего мгновенного центра вра-
щения. Сила Р= 1 совершит при этом работу, равную 1&Р, где 8р есть проекция
перемещения точки приложения этой силы на направление
самой силы. Совместная работа обеих сил х выразится
произведением хЬх, где йд.— проекция взаимного переме-
щения точек М и N на направление ТИМ Согласно прин-
ципу возможных перемещений сумма работ внешних сил
должна равняться нулю
откуда
Зр 4-== О,
Фиг. 499.
право считать знаменатель
механизме при бесконечно
$р пропорциональна величине
В этой дроби мы имеем
постоянным; действительно, в
малых перемещениях величина
не зависит от абсолютной величины 3^.
Так как точка приложения груза может совпадать с различными точ-
ками фермы, то под величиной следует понимать перемещение любой из этих
точек. Отсюда вывод: дадим механизму бесконечно малое возможное перемещение
и построим
приложения
форму, что
выражаться
Вместо
ствующих точек, так как эти величины соответственно пропорциональны.
Для всякого геометрически неизменяемого звена механизма график пер
щений ор представляет собой прямую. Отсюда следует, что л. в. все
содержит столько прямых, сколько различных звеньев ветре
чает на своем пути движущийся груз г 1- Гпбой про-
Нулевая точка каждой прямой, принадлежащей л. в., пРедставляет ° м
екцию соответствующего мгновенного центра; действительн , пр _ 50q
мещении звена эта точка остается неподвижной, т. е. для нее ор • 0
показаны некоторое звено F, поворачивающееся вокруг мгновенного центр
соответствующий ему график перемещений, или скоростей р.
и значение дроби
график величин ор, т. е. проекций перемещений всевозможных точек
_-= 1 на направление груза. Этот график будет иметь ту же
в. усилия х. Отличие между ординатами обоих графиков может
I
можно говорить о скоростях соответ-
груза Р
и л
лишь некоторым коэфициентом пропорциональности.
перемещений 8р и :
295
ЩИ X л.
взаимного пересечения двух прямых, принадлежу
представляет собой проекцию мгновенного центра
ащения тех двух звеньев, которым соответствую^
Это вытекает из того, что взаимный мгновенный центр предсту
вляет собой как бы мгновенный шарнир, сву
эти прямые.
Фиг. 500.
зывающий оба звена друг с другом.
Эти теоремы связывают вопрос о построй
нии л. в. с вопросом о построении мгновенных
центров вращения.
Построим л. в. для нескольких элементов
фермы, показанной на фиг. 501. Она — очень
проста, и для нее все л. в. легко получаются
без помощи мгновенных центров вращения, но
знакомство с новым методом лучше начинать
на простом примере.
На фиг. 503 даны л. в. для четырех ха-
рактерных элементов; для двух стержней верх-
него и нижнего пояса, для раскоса и для стойки.
Фиг. 503, а дает построение для стержня DF.
Механизм, который получается после удаления
этого стержня *, состоит из двух заштрихованных
дисков, из которых левый, обозначенный циф-
рой 7, опирается на неподвижный шарнир Л,
а правый 2—на подвижной опорный стержень В. Взаимный мгновенный центр вра-
щения этих звеньев совладает с точкой С. Л. в. состоит из двух прямых, пере-
секающихся под точкой С и имеющих нулевые точки под опорами. Если не
интересоваться масштабом, то форма л. в. получается моментально.
Фиг. 501.
Знак любой ординаты можно найти следующим образом. Возьмем произволь-
ную точку механизма, например, точку С, и дадим ей мысленно перемещение по
направлению силы Р, т. е. вниз. При этом левый диск повернется вокруг А по
часовой стрелке, а правый — вокруг В против часовой стрелки. Угол DCF умень-
шится, следовательно, точки D и F сблизятся между собой. Отсюда следует, что
ордината л. в., расположенная под точкой С, отрицательна. Нам достаточно найти
знак одной из ординат графика; остальные сами собой получаются из чертежа.
Для полноты исследования выясним еще вопрос о масштабе. Обозначим
скорость взаимного сближения точек D и F при возможном перемещении меха-
низма через а угловую скорость взаимного вращения звеньев 7 и 2 вокруг их
в
разрезать его и снабдить муфтой,
не удалять. Достаточно мысленно
котором он мог бы скользить концами (фиг. 502).
Фиг. 502.
296
Фиг. 503.
.„го «игра С через "Р"“» "f *“ отг° ‘><5“н”««
через гх. Легко сообразить, что ох = гх • “ 12, оfкуда
“12 = г- Ч)
Ппедставим себе, что в точке А, совпадающей с мгновенным центром вра.
шення звена / лежат покрывая друг друга, две точки, из которых одна принад.
Хит звену J а другая скреплена со звеном 2. Скорость последней по верти-
"ому направлению относительно точки А звена 1 выразится формулой
-а -и где а —расстояние вертикали, проходящей через точку А, до центра С
(в нашем примере благодаря прямолинейности нижнего пояса —это просто рас.
стояние от точки А до С). Соответствующая ордината л. в. выражается формулой:
__ Ър __ да?щ12_ __
Х *Х
Этот же результат мы получили раньше статическим путем. Если мы представим
себе две совпадающие друг с другом точки обоих звеньев, отстоящие от центра С
по горизонтали вправо или влево на величину гх, то ско-
рость их взаимного движения по вертикальному направ-
лению будет равна а соответствующий ей на л. в.
отрезок ординаты будет равен:
Правило масштаба можно сформулировать так: если
л. в. мы возьмем две прямые, соответ-
Ф иг. 504. ствующие тем двум звеньям, которые были
связаны между собой отброшенным стерж-
нем,]и от их точки пересечения отступим по горизонтали на
величину г, то отрезок ординаты, заключенный между обеими
прямыми, в этом месте будет равен единице. Под величиной г сле-
дует понимать длину перпендикуляра, опущенного из мгновенного центра взаим-
ного вращения этих звеньев на ось отброшенного стержня.
На фиг. 503, б построена л. в. для стержня ЕС нижнего пояса. Мгновенный
центр взаимного вращения звеньев 1 и 2 совпадает с точкой D. Перпендикуляр г
совпадает со стойкой DE\ длина его обозначена через л. Отрезок ординаты,
отстоящий от точки D на расстоянии rz и заключенный между обеими прямыми,
равен единице. Л. в. однозначная. Чтобы получить знак какой-нибудь из ее орди-
нат, представим себе, что точка С передвинулась по направлению груза Р, т. е.
вниз; тогда угол EDC увеличится, точки Е и С разойдутся, следовательно, орди-
ната под точкой С положительна. 2
На фиг. 503, в построена л. в. для раскоса EF. Удалив этот стержень, мы
получим шестизвенный механизм, состоящий из двух заштрихованных дисков,
дв}х соединительных стержней DF и ЕС, опорного стержня В и неподвижного
звена (земли). Диску 1 соответствует прямая, имеющая нулевую точку на левой
опорной вертикали, т. е. под мгновенным центром Л. Диску 2 соответствует
прямая, имеющая нулевую точку на правой опорной вертикали. Точка взаимного
пересечения этих двух прямых лежит под мгновенным центром 12 взаимного вра-
щения звеньев 1 и 2. Нетрудно видеть, что этот мгновенный центр в то же время
является моментной точкой способа сечений. На чертеже показаны также плечо й
отрезок ординаты, равный единице, который служит для определения масштаба,
м л опРелеления знака какой-либо ординаты, например, ординаты, располо-
женной под точкой Е, дадим механизму такое перемещение, чтобы точка Е пере-
местилась вниз. Диск 1 повернется вокруг своей неподвижной точки А по часовой
релке. диск 2 повернется вокруг своего мгновенного центра, лежащего где-то
продолжении вертикального опорного стержня В. Нам незачем разыскивать
^от мгновен11ый центр> 3 важно лишь установить, в какую сторону поворачн-
ется диск Для того чтобы дать вполне наглядное решение этого вопроса,
представим себе, что диски 1 и 2 работают *
ШИхся между собой в их взаимном мгновенном центре* /^фиг^оТ» Т™™*
центр вращения звена 2 расположен где-то справа от 79 ™ 5°4)’ ТаК Как
так называемого „внутреннего зацепления". Как Честно ~ ппи т^/М6еМ СЛуЧЭЙ
оба колеса вращаются в одну и ту же сторону; это впро^ви^но и Х”
Фиг. 505.
ственно из чертежа. Такое движение мы будем иметь всегда когда мгновенные
центры звеньев 1 и 2 расположены по одну сторону от центра 12. Установив это.
мы сразу видим, что, когда точка Е идет вниз, то точка F идет вверх т е.
длина отрезка EF увеличивается, следовательно, ордината л. в. под точкой Е
положительна т/
На фиг. 503, г аналогичным образом построена л. в. для стойки V.
Задача 4. При помощи мгновенных центров вращения построить л. в. для фермы
На фиг. 505, а показано построение л. в. Отбросив левы»'
стержень, мы превращаем ферму в механизм. Мгновенные центры Р
хУУ
})ИГ. 5о5.
н
„ 5 лежат в точках В, D и G. Для построения л. в. достаточно наити точку пересечения
пямых ’ н 5, которая должна лежать под мгновенным центром взаимного вращения 2,
Положение этого мгновенного центра в свою очередь определяется простейшей шарНИр.
ной четырехзвенной цепью, состоящей из звеньев 2, 3, 4, 5.
На фнг 505 б построена л. в. усилия УБ в опорной стоике. Верхняя фигура изобра.
ж-ает тот механизм, который получается после удаления этой стойки. Звено 1 неподвижно.
Мгновенные центры звеньев 4, 5, 8 лежат в точках В, D, G. Мгновенный центр взаимного
воашеипя 5Л’ лежит иа пересечении осей стержней 6 и 7. Мгновенный центр 24 взаимного
вращения тех двух звеньев 2 и 4, к которым была прикреплена своими концами выбро.
шейная стойка VR, определяется из четырехзвеиной шарнирной цепи 1-2-3-4. Мгновенный
центр вращения звена 2 вследствие неподвижности звена / совпадает с шарниром /2
Прямая 2 на л. в. имеет нулевую ординату под точкой 12 и пересекается с прямой 4 под
точкой 24.
Применяя выведенное ранее правило для масштаба ординаты, мы убедимся, что отре.
зок ординаты, совпадающий с осью стойки V& и заключенный между прямыми 2 и 4, равен
единице. Впрочем, этот вывод можно получить непосредственно, если заметить, что вер.
тикальный груз 1, приложенный в точке /, вызывает в стойке усилие, равное единице.
Фиг. 505,в изображает построение л. в. для одной из промежуточных стоек У
В механизме, который получается после удаления этой стойки, нижний пояс принадлежит
шести дискам, следовательно, искомый график будет состоять из такого же числа прямых.
Прямые, отвечающие дискам /, 4, 5, 8, имеют нулевые точки под опорами Л, В, D, G.
Построение можно выполнить в следующем порядке: под произвольным углом наклона
провести прямую 8 через ее нулевую точку; прямую 5 провести через ее нулевую точку
и через точку пересечения ее с прямой 8, лежащую над мгновенным центром 58; после
проведения прямой 5 определится и прямая 7; затем провести прямую 4; прямая 1 должна
быть проведена через свою нулевую точку и через точку ее пересечения с прямой 4
лежащую под мгновенным центром 14.
Примеры более сложных случаев применения мгновенных центров вращения можно
найти в книге автора „Кинематический метод в строительной механикегл. X.
§ 7. ПРИМЕНЕНИЕ ПЛАНОВ СКОРОСТЕЙ
Планы скоростей также дают возможность строить график перемещений для
звеньев механизма. При этом способе отпадает необходимость разыскивать мгно-
венные центры вращения, которые иногда выходят за пределы чертежа, а вспомо-
гательные построения располагаются более компактно. Для построения л. в. планы
Фиг. 506.
низм°спп₽п^Ка3«ВаЮТСЯ особенно удобными в тех случаях, когда изучаемый меха-
низм содержит большое количество звеньев. *
фепмы с "°М°ЩИ неполяРного плана перемещений несколько л. в. Д-1Я
РФХ па7ежН°длиРне0йТ^игИ С5Т0°6Й)КОЙ ПОСРеДИНе’ Имеющей параллельные пояса и
Для НездыИГ'пnnuL п°казано построение л. в. усилия в одном из раскол»*
Дл; езды понизу служит фнг. 506, а, а для езды поверху —фиг. 506, 6
300
с точкой 2. Изображение точки 5 лежит
звено окажется
план скоростей.
совпадают с самими точками,
должно быть
компактный чертеж,
на пересечении двух
что точка 5' совпадает
Чтобы облегчить себе построение скоростей пялим ..„г
вместе с его опорами такое движение, при котором заштрнхоХое^^ “еХанизму
неподвижным. При этом условии построим неполярный Р
Изображения 2 и 3 неподвижных точек 2 и 3
Точка 4 поворачивается вокруг шарнира 2, поэтому и^брТж^ие 4*
взято на прямой 42 . Для того чтобы получить возможно более
совместим точку 4 с точкой 2. Изображение точки 5 лежит
прямых: 4-5 ||4-5 и 3'-5'||3-5. Из этого построения ясно, ючм
с 3. Узел присоединен двумя стержнями к точкам 3 и 4; узел 8—двумя стеож-
нями к точкам би о и т. д. Полученный механизм имеет простейшую геометри-
ческую структуру, следовательно, изображения всех узлов строятся без особого
труда. При этом, как видно из надписей на чертеже, целый ряд изображений
сливается друг с другом.
Сближение точек 4 и 1 выражается проекцией вектора 4'-4 на направление
перпендикулярное к раскосу, т. е. отрезком, равным k sin о, где к —длина панели’
о — угол между раскосом и поясом. Приняв отрезок равным единице, имеем
Л sin о = 1.
Вертикальная скорость точек 5, 9, 13 равна 5-5' = 9-9' = 13—13'= ——-
sin? ’
; в остальных узлах ординаты
в точке А получаем ординату 16 — 16' = ~ = g .—
л. в. равны нулю. Таким образом, получается зигзагообразная л. в. (фиг. 506, я),
у которой крайняя правая ордината равна нулю, а крайняя левая равна —~п
После этого изменяем неподвижное звено, для чего достаточно провести ось
абсцисс так, чтобы крайние ординаты обратились в нуль.
Построение л. в. для случая езды поверху (фиг. 506, б) не требует особого
пояснения.
Полезно повторить то же построение, пользуясь уравнением работ. Дадим
рассматриваемому механизму такое возможное перемещение, при котором заштри-
хованное звено будет неподвижно. Пусть груз стоит в узле 9. На механизм дей-
ствует всего 5 сил: две силы х, заменяющие раскос £>, две силы, заменяющие
реакции опор А и В, наконец сила Р == 1 в узле 9. Так как точки В и 1
неподвижны, то правая опорная реакция и одна из сил х не будут фигурировать
в уравнении моментов, которое будет иметь вид:
^Рс~А • 16 —16'—1 • 9 — 9' — xksin<p = 0,
или
1Л-—xksin<b = 0,
откуда
То же будет при
в узлах 3, 7, 11 и
тельно изображения
2 sin с? sin ср ’
груза в узле 5. При расположении же его
заштрихованной части момент силы Р относи-
--г
расположении
в любом узле
ее точки приложения равен нулю, почем)
Выражение . Д есть л. в. опорной реакции А в масштабе, при котором
к «.„„о I - Мы видим, таким образом, что к основному
крайняя левая ордината равна ’ 11 ’
„ п Следовательно, мы получим несколько иным
зигзагу нужно добавить эту л. в. ^ледова 1сл j
путем ту же окончательную л. в. усилия D. ™^яно нафиг. 507,а
Построение л. в. О для случая езды "°низу ”рИХОванное’ изображения узлов
и б. Здесь за неподвижное звено принято Р »
wUl
надписаны на чертеже. После сказанного выше это построение понятно без всяких
пояснений.
Построение л. в. усилия
вернутого полярного плана
V производится наиболее удобно при помощи непо-
скоростей (фиг. 508) Ч Освобождаем ферму от опор
Фиг. 507.
и придаем ей такое движение, при котором точка О (нижний конец стойки)
останется неподвижной, а точка С переместится по вертикали. Полюс О плана
скоростей, построенного на фиг. 508, располагаем на продолжении нижнего пояса
фермы, а для скоростей выбираем такой масштаб, чтобы изображение С располо-
жилось на продолжении верхнего пояса. Таким образом, скорость изменения
Фиг. 508.
длины V выразится вертикальным вектором С'О. Изображение точки 1 получится
на пересечении прямых:
0-7'J_ 0-7 и C'-7,J_C-7,
т* е. совпадает с точкой О'-
1 Основные сведения о полярном плане скоростей даны в конце книги.
302
изображение точки 2 расположится на пересечении прямых:
0-2' | 0-2 и С'-2' | С-2,
т. е. совпадает с полюсом О; точка 3' —на пересечении прямых:
2'-3' ±2-3 и 1'-3'±1-3,
т. е. совпадает с О.
Продолжая построение, мы убедимся, что половина изображений всех узлов
остается на продолжении соответствующих поясов, а другая половина переходит
с верхнего пояса на нижний и с нижнего —на верхний. Изображения же точек
15, 16, Л и симметричных с ними точек крайней правой стойки лежат на сере-
дине высоты между поясами. В результате мы получим две зигзагообразные л. в.
с осями абсцисс х-х: одну на фиг. 508, а (езда понизу) и другую на 508, б
(поверху). Окончательные л. в. имеют ось абсцисс х'-х', проходящую через нуль
под крайними стойками.
Эти две л. в. изображаются фигурой самой фермы. Каждая из них предста-
вляет собой непрерывный зигзаг, образуемый той или другой из двух систем
раскосов, причем осью абсцисс служит средняя горизонталь фермы Ч
Задача 5. Для шарнирного кольца, показанного на фиг. 509, построить л. в.
опорной реакции отвечающие действию вертикального груза Р — 1, направленного вниз,
или горизонтального груза, направленного вправо, предполагая, что груз обходит весь
контур кольца2.
Фиг. 509.
г, узле П и строим либо неполярный план «ОР0”®1’
Удаляем опорный стержень R (в У ) полярный, показанный на фиг. 509, б. а
показанный на фиг J509,. а либо
они строятся непосредственно и без всякого з рз
1 Мюллер-Б реслау, Г рафнческая сталию*е\тр%54—356.5’
2 Кинематический метод в строительной механике, стр.
303
. е. неповер-
вектором 2-/г, а вергИ-
1. скоростей показанный на фиг. 509, а, как почти везде в настоящей
Неполярный план скоростей "в х скоростей, т. е. перпендикулярных к дсй.
книге, представляет собоп план р } плане параллельны самим стержням. После
ствитсльным; изображения в. Разложим нормальную сКо.
получения этого c'^p вкторомР^', на горизонтальную и вертикальную слагаю
Р?не 2'Ти’Л г оРран з o7i а л ?и Т° п р о ё к ц и я ₽д е й с т вигельлои е. непо_
иутой) ск°р°стнO’“MPJ4 СЭтиЯ двее проекции Ьмогу“ рассматриваться как ординаты
h 3 v Ь„" п ” 7похоляшие через точку 2. Вектор 2-k (вертикальный) выражает влияние гори.
з^тальноёоТрузщ Тоящего в точке 2, а вектор 2'-k (горизонтальный) - влияние верти-
кального груза, стоящего в той же
Фиг. 510.
точке. Поступая таким же образом
с остальными узлами кольца, получим
обе искомые л. в.
Масштаб л. в. получается при по-
мощи вектора выражающего ско-
рость перемещения точки 1 по направ-
лению удаленного опорного стержня.
Опустив из точки V перпендикуляр на
этот стержень, получим отрезок Vx
(фиг. 509, а). Принимаем его равным
единице и тем самым получаем масштаб
ординат обеих л. в. Тот же масштаб со-
храняет свое значение и при всяком
ином направлении силы Р.
Для определения знака любой
ординаты, например, ординаты в точке
2, поступим следующим образом. Усло-
вимся отсчитывать скорость любой точ-
ки от ее изображения к самой
точке и будем считать, что действи-
тельные направления скорости полу-
чаются при помощи поворота векторов
плана на 90° по часовой стрелке
(можно также взять для всех точек
обратное направление отсчета векторов
или обратное направление поворота; иа
окончательный результат это ие по-
влияет). Таким образом, для точки 2
скорость выразится вектором 2'-2, по-
вернутым на 90° по часовой стрелке;
при этом
После поворота на 90° вектор 2'k,
как видно из чертежа, пойдет по вер-
тикали вниз, a k-2 — по горизонтали
н л е в о. В то же время скорость
выразится вектором 1'-т, направлен-
влево,
ным
жению точки
। ж _________________________...........
вертикального груза будет отрицательна, а для горизонтального — положительна. Если бы
мы изучали действие горизонтального груза, направленного влево, то для горизонтально^
ординаты л. в. пришлось бы взять, конечно, отрицательный знак. Нахождением знака для
точки 2 л. в. можно ограничиться: знаки для остальных точек определяются сами собой из их
расположения относительно оси абсцисс. Можно также сказать, что на нашем черте^е
положены левее своих изображений, а для горизонтального
ниже своих изображений.
_____^^и_м тепсРь ТУ iKe задачу при помощи полярного плана. Здесь оказывается бс>лее
а изображения стержней оказываются^^
. в. и строим при нем полярный план, показанный на фиг. 509, б. Его построен1^
IVJiniXVT upCMCtin ipcujci uvui^w--- nlliM
достаточно спроектировать соответствую
т. е. в направлении сжатия опорного стержня. Итак, нисходящему дви
2 соответствует сжатие стержня /?. -Можно также сказать, что при удли-
нении этого стержня точка 2 идет вверх и вправо. Поэтому в точке 2 ордината л. в. для
вертикального груза будет отрицательна, а для горизонтального — положительна. Если бы
мы изучали действие горизонтального груза, направленного влево, то для горизонтально^
ординаты л. в. пришлось бы взять, конечно, отрицательный знак. Нахождением знака для
точки 2 л. в. можно ограничиться: знаки для остальных точек определяются сами собой из их
расположения относительно оси абсцисс. Можно также сказать, что на нашем чертеж^
положительная ордината л. в. получается для вертикального груза в тех точках, которые РаС'
положены левее своих изображений, а для горизонтального — в точках, расположении
ниже своих изображений.
Решим теперь ту же задачу при помощи полярного плана. Здесь оказывается более
целесообразным построить план неповернутых скоростей, на котором скорости ®ЫР
жаются векторами, параллельными им, а изображения стержней оказываются лер
пендик} лирными самим стержням. Берем произвольный полюс О на оси абси.
будущей л. в. и строим при нем полярный план, показанный на фиг. 509, tf. Его построй
в данном случае требует не более 2—3 мин. Столько же времени требует построение л-
пак видно из фиг. 509, в и г, для получения л. в. достаточно спроектировать соответствую
образом вершины полярного плана скоростей. Это показывает, что полярным планов с
ростеи особенно хорошо пользоваться в качестве универсальной л. в. , пЫл
Для получения масштаба ординат л. в. принимаем вектор l'-п на фиг. 509,б Рав1
единице. На нашем чертеже масштаб полярного плана — втрое больше, чем неполярно •
Для получения знака ординат принимаем скорости всех точек направленными по соог
ростей особенно хорошо пользоваться в качестве универсальной л. в
единице. На нашем чертеже масштаб полярного плана
ZKiup 1 -ft па If rile * рпГО
втрое больше, чем кеполяр
304
ствлющим лучам от изображения точки к полюсу о р
п0 величине и направлению вектором 2'-О то LnnJ?™ СКОРОСТЬ точки 2 выражается
-—вектором 7 -л. направленным влево. Отсюда ПР Сть точки / в направлении стержня
точка - идет вниз и влево. Следовательно, влияние ЧТ° При УК0Р°чении стержня 7?
отрицатетьным, а горизонтального груза, иаправтенного Р™ального груза в точке 2 будет
Задача 6. На фиг. 510, а показана схема коана гтпг» пРав0, положитетьным.
точки А. Груз Р подвешен на тросе, перекинутом чепеч Ео™рого поворачивается вокруг
блоков можно для упрощения принять равными тлю. D и радиусы
СДИТ??Ь стрелу неподвижной
I
® стреЛл “че наР>'шает«!- Предельными направлениями
п0 величине и направлению вектором 2'-on°iI?CL?’ Если скоРость точки 2
..Л л/лж£ 1/ «. ж* —. _ ' ** 4 1 VI i III <
точка 2 идет вниз и влево. Следовательно
_ « YW* 1— Ч V-Т Л/Т Р Tin _ 9
Задача 6. На фиг. 510, а показана схема
блоков можно для у прощения принять равными нулю" ТпХ. л01?! 8 точках D * Е> радиусы
, силии в элементах стрелы при ее вращении. ° тРебуется определить закон изменения
своей точки приложения ^^От такого ^'обращенп^лвп- р"Лу.Р ^“«ающейся вокруг
?ф1Я, а). НаРушается‘ Предельными направлениями* с^ы 'р будеТ^^О^
Для элемента «Sj наиболее невыгодным бупет тяк-ла
певдику лярно к линии DB; таким направлением пусть будет СО^УснлнеХ^отвГа ™Р'
такому направлению силы Р, мы должны отложить в некпт™™ * « 51 ’Отвечающее
параллельному DD’ и, приняв его за диаметр построить ^масштабе по направлению.
При любом направлении силы Р искомое усилие будет выпа1^Л.гЛУ°кРУ^Н0СТЬ ^иг* 510’^‘
ноРй из полюса О параллельно силе Р. Искома™
Аналогичным образом строится отвечающая впантрыгпА f ^СМ* 1V’29e
(фиг. 510, в). Моментной точкой для этого усилия служит С, поэтому диаметТокружности
влияния перпендикулярен линии DC, у диаметр окружности
...21^»™^°' УЧеСТЬ’ ЧТО иапРяжение тРоса создает в верхнем поясе дополнительное
.. Г]?пИС\е Усилие ^ получится, как геометрическая сумма радикса-вектора дуги аЬ
(фиг. 510, в) и постоянной силы Р, Достаточно провести из точки О как из центра, окруж-
ность радиуса Pt тогда усилие S2 при произвольном направлении силы Р выразится длиной
параллельного ей вектора ссг, |
§ 8. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПОВЕРКА ТЕОРЕТИЧЕСКОГО
РАСЧЕТА ФЕРМ
Теоретический расчет статически определимой фермы, как мы видели, может
быть произведен различными способами — при помощи вырезания узлов или прове-
дения более сложных сечений, а также при помощи мгновенных центров вращения,
планов скоростей, замены связей и т. д. Все эти методы, отличаясь друг от
друга промежуточными вычислениями или построениями, приводят всегда к оди-
наковому результату. Подвергать эти методы экспериментальной поверке — это то
же самое, что поверять основные законы статики. В настоящее время, после сто-
летий развития механики, в этом уже нет надобности.
Что же в таком случае следует подвергать экспериментальной поверке и
нужна ли вообще таковая, если речь идет о статически определимой системе?
Да, нужна. Она нужна, потому что в основе расчета лежит не действительное
сооружение, а его условная расчетная схема.
Если мы соорудим модель фермы, со всей практически возможной точностью
копирующую расчетную схему, т. е. модель с абсолютно прямыми осями стержней,
с шариковыми подшипниками или с более простыми, но хорошо отшлифованными
и смазанными узловыми соединениями стержней и т. д., то мы существенной раз-
ницы между фактическими и теоретическими продольными усилиями стержней не
обнаружим. Такая поверка не стоит того труда, который будет на нее затрачен.
Весь смысл поверки состоит в том, чтобы убедиться в достаточной правди-
вости принятой расчетной схемы, или, иначе говоря, в допустимости принятых
приближений и упрощений. Поверка должна установить степень точности наших
условных расчетов, оценить эту точность в числах и указать, при каких условиях
данная расчетная схема делается неприемлемой.
Разумеется, не следует думать, что каждый проектировщик обязан произв^
ДИТЬ экспериментальную поверку своих теоретических р ч . строи-
этом. Нужно лишь, чтобы теоретические расчеты, излагаемые в курсах стр
тельной механики, изучаемые студентами и применяемые ими затем
они становятся инженерами, не имели схОяас™ко'“е;аяФХ1Х
а были бы подкреплены опытными данными. Только тогда можно трезво
тельно отнестись к ним как к условным расчетам. ,тлп„ИПЬНУю ферму. Ее
Рассмотрим для примера несложную металлическую СТР°"ИЛ 1Ке?ничего
стержни жестко приварены в узлах к металлическому листу („к фасонке ),
то мы существенной раз-
ами, не имели схоласт . •
опытными данными. Только тогда можно трезво и созна
металлическую стропильную ферму. Ее
20 Зак. 1842, И М. Рабинович.
похожего на шарнир не имеется. Оси стержней, образующих узел, не пересекаются
= ОД.ЮЙ точке, так как конструктивно это не всегда возможно. Таки.,
образом две важных характеристики расчетной схемы отсутствуют. При дефор.
мании такой фермы на концах стержней возникают защемляющие моменты, каждый
стержень растает на совместное действие продольной силы, изгибающего момента
Схема фермы
и поперечной силы. Наличие последних двух
силовых факторов отличает работу действи-
тельной фермы от расчетной схемы.
Третье различие касается величины про.
дольных сил. Нетрудно убедиться, чт0
моменты защемления, возникающие на кон-
цах стержней, должны сказывать влияние на
эти величины.
После сказанного становится ясным, за-
чем нужна экспериментальная поверка. Мо-
жет даже показаться, что различие между
теоретическими и действительными усилиями
весьма значительно и что поверка под-
твердит этот печальный факт.
Что получается на самом деле, можно
усмотреть, например, из фиг. 511, где пока-
заны теоретические и опытные линии влия-
ния основных растягивающих или сжимающих
напряжений в стержнях одного из железно-
дорожных мостов, обследованных мостоиспы-
тательной станцией Института инженерных
исследований НКПС. Сплошными линиями
показаны опытные, а пунктирными — теоре-
тические л. в. для трех стержней фермы:
для элементов верхнего и нижнего поясов и
для одного из раскосов.
Имеющееся расхождение объясняется не-
учтенными в расчете факторами — жест-
костью узлов, пространственной работой про-
участием проезжей части в работе нижнего пояса. Некоторое
Фиг. 511.
летного строения и
влияние оказала также возможная неточность весов испытательного поезда, кото-
рый был использован для получения опытной л. в. Расхождения эти сравнительно
енвелики и подтверждение теоретических расчетов можно признать удовлетвори-
тельным.
Несколько большие расхождения получаются между опытными и расчетными
л. в. напряжений в отдельных фибрах. И
РАСПОРНЫЕ ФЕРМЫ И РАСПОРНЫЕ КОМБИНИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ
§ 1- ФЕРМА С НАКЛОННЫМ ОПОРНЫМ СТЕРЖНЕМ
неизменяемую систему,
то она обращается в рас-
- горизон-
Если ферма, которая представляет собой геометрически-
имеет на одном конце наклонный опорный стержень
порную систему, и при действии вертикальной нагрузки’ в’ней появлтется
тальная составляющая опорной реакции.
На фиг. 512,а показана схема такой распорной, арочной фермы. Пусть она
нагружена вертикальными силами. Разложим правую наклонную реакцию Ro на
вертикальную составляющую Кв и горизонтальную Н, как показано на фиг 512 б
Фиг- 512.
Составив уравнение моментов всех внешних сил и опорных реакций относительно
левого опорного шарнира А, мы найдем Vb, т. е. вертикальная составляю-
щая правой опорной реакции имеет такую же величину, которую она имела бы
прн вертикально расположенном стержне В. Распор выражается формулой /7= Vg tg а.
Спроектировав все силы на горизонталь, мы найдем, что распор на левой опоре
имеет такую же величину, как и на правой. Наконец, приравняв нулю момент
всех сил относительно точки В, найдем Va~ Va, т. е. вертикальная составляю-
щая левой реакции также не зависит от наклона стержня В.
После того как опорные реакции найдены, можно определить усилие в любом
стержне способом сечений. Нужно только не забыть, составляя уравнение моментов
отсеченной части фермы относительно соответствующей точки, включить в это
уравнение не только вертикальную, но и горизонтальную составляющие соответ-
ствующей опорной реакции.
Распор Н обращен внутрь пролета. В зависимости от того, совпадают ли знаки
моментов вертикальной составляющей опорной реакции и соответствующего распора
относительно моментной точки или нет, усилия в том или ином элементе фермы
получаются большими или меньшими, чем в простой балочной ферме.
Особенно резко влияние распора проявляется на линиях влияния.
307
20*
В Задача 1. Построить л. в. для фермы фиг. 513, у которой правый опорный стержень в
ИМееф"рма°Для построения л. в. усилия Оа в верхнем стержне про.
ведем разрез и воспол“^’1/7илня б^раХрной фермы состоит в том, что обе опорВЫе
Найдем то положение груза Р= 1. при котором реакция RA проход
К, Для этого проводим прямую АК и продолжаем ее до встречи
И Задача 1. Построить л. в
W — Ж* •
Ферма ADFB
СУмнчнъ от л. в. того же
реакции—наклонньь
через моментную точку
Р-7
Фиг. 513.
с продолжением оси опорного стержня В. Спроектировав эту точку встречи на ось
находим нулевую точку л. в. После этого построение л. в. уже не представляет никак
труда. . Л
Для получения масштаба нужно продолжить одну из двух основных прямых до
сечения с вертикалью, проведенной из нулевой точки другой основной ПРЯМ
Отрезки вертикалей соответственно равны -тг и-^-. Для доказательства представим се
п п
что гр>з стоит над опорой Л, но приложен к консоли, которая прикреплена к правой ч
фермы. При этом /?д=1. Рассматривая равновесие левой части фермы и беря момент
la к правой
беря момент
308
сид относительно моментной точки, Получим 1
О, откуда
а
О
„„„ OWJOK
Построение л. в. усилия (Л в стеожне ни»в.™ „ Р ра н h ’
построения лишь тем, что моментная точка совпадаеГзлесТСЛ°™‘-а<7ся ог ‘итоженного
Читателю предлагается разобрать построение л в vc,mJ л°‘.' ‘
новых л. в. Полезно также построить л. в. усилий в оагкпгя» . постР°ить несколько
А к В расположены на разных уровнях. раскосах для тех случаев
, когда опоры
§ 2. ТРЕХШАРНИРНАЯ АРОЧНАЯ ФЕРМА
Так называется трехшарнирная арка, у которой обе полуарки представляют
собой фермы. Распор, вызываемый в такой системе, определяется совершенно
Фиг. 514.
таким же образом, как в сплошной т
пехшарнирной арке. Он не зависит от гео-
IV CI IV LJ viinw-- К Г * Г ЛллПЛ
метрической структуры и очертания полуарок, а зависит исключительно от распо-
ложения трех основных шарниров (двух пятовых и одного ключевого) и, конечно,
309
R on./₽ V которой обе опоры расположены на одном уровне,
пТрн“” ^вертикальной нагрузки ^распор выражается формулой:
О котовый получился бы от заданной нагрузки
где Air— изгибающий момент, который v v rovwp-l стпяптмп,
в сечении С простой балки АВ. В симметричной арке грузу Р-1, стоящему
в узле С, соответствует М°с=±, поэтому ордината в вершине л. в. распора
I
₽аВНПо?тпоим л. в. для фермы фиг. 514, определяя усилия по способу сечений
и склтдывая влияние вертикальных опорных реакций с влиянием распора.
Начнем с усилия О в одном из стержней верхнего пояса. Когда груз распо-
ложен справа от моментной точки, уравнение моментов можно написать в виде:
О • Го — Hfо = О,
Ra •а
или
Но Ra • а есть изгибающий момент в сечении, проходящем через моментную
точку в простой балке АВ, Обозначим его через Af0. Тогда
Когда груз расположен слева от моментной точки, то
Rb (I — а) О • го — Hfо = 0
или
Но при этом снова можно написать, что
Rb (I — а) = Л40,
поэтому получим прежнюю формулу:
и л. в. распора, умно-
Из полученной формулы вытекает и построение л. в. О, как суммы л. в. изгибающего
момента А10, умноженного на постоянный множитель —
женного на постоянное число —.
го
Суммирование обеих основных л. в. показано на ф
чины ординат, необходимые для построения.
Для построения этой л. в. мы могли бы воспользоваться также нулевыми
точками, подобно тому как мы это делали при расчете сплошной трехшарнирной
арки. Этот же прием был использован нами в задаче 1, поэтому не будем его здесь
излагать.
иг. 514, а, где даны и вели-
Л. в. усилия U для стержня нижнего пояса (фиг. 514,^) строится совершенно
таким же способом, но только здесь — другая моментная точка; расстояние ее
до левой опорной вертикали обозначено через с, плечо усилия Z7—через rjr, плечо
распора — через /ц.
Тот же принцип применен для построения фиг. 514, в и а, на которых нзО'
Сражены л. в. усилий в раскосе D и в стойке V.
310
Все четыре л. в. ярко отражают на себе
Наты всех этих л. в. оказываются сильно сни^ЯНИе распора: наибольшие Орди-
1ех же линий балочной фермы. Одного ВЗглХ J"° сравие'"™ с ординалами
ПОНЯТЬ, что распор позволяет значительно умеиы»», ЭТИ Л’ в' достаточно, чтобы
поЛ) чить экономию материала, уменьшить влиян^расчетные сечения стержней,
и благодаря этому увеличить тот предельный г,™собствеИнОго веса как нагрузки
крыт данной системой. ролет, который может быть пере-
Л. в. можно построить также не nonwver
для этой цели кинематический метод. У Ь принципом наложения. Применим
Разъединим стержень О. Механизм клтопын ™
фиг. 515,а. При помощи простого построенияР ™ ПОЛУЧИТСЯ- изображен на
31 • 15-\- 34 • 45 = 351
находим мгновенный центр 35. Проекция его ия „
кой прямой 3. Прямая 2 составляет продолжение прямой 7 СЛУЖИТ "улевой
усилия О сводится к трем прямым. ’
Разъединив стержень Z7, получим механизм
Мгновенный центр 24 находится из построения;
точ-
вследствие чего л. в.
, изображенный на фиг. 515Д
21 • 14 -f- 23 • 34 = 24.
Его проекция на ось абсцисс служит нулевой точкой прямой 2.
Для получения л. в.
фиг. 515,6. Необходимые
определяются при помощи
усилия D рассматриваем механизм, изображенный на
для этой цели мгновенные центры вращения 13 и 36
построений:
Л
12- 23+15 • 53 = 13,
31 • 16-j— 34 - 46 36.
После нахождения этих точек мгновенный центр 36 проектируется на ось
абсцисс, и через полученную таким образом нулевую точку проводится под произ-
вольным углом наклона прямая 3, На продолжение этой прямой проектируют
мгновенный центр 13 и через полученную точку проводят прямую /, которая имеет
нулевую точку под левой опорой. После этого проводятся соединительные пря-
мые 2 и 4,
Построение л. в. V показано на фиг. 515,г. Мгновенные центры 14 и 46
определяются при помощи построений:
12 - 24 + 13 - 34=14.
41 • 16+45-56 = 46.
точки А по часовой стрелке, и точка 13, которая служила
vuvv.M.cs. Выясним, что произойдет с точкой 24, т. е.
Звено 4 повернется вокруг своего мгновенного центра 4b
мгновенный центр взаимного вращения 14,
сторону от мгновенных центров 16
Итак, стойка окажется растянутой,
Первый из этих мгновенных центров определяет нам ту вертикаль, на которой
лежит точка взаимного пересечения прямых 1 и 4, а второй определяет нулевую
точку прямой 4.
Масштаб л. в. везде надписан и не требуют пояснений. Что касается знака
ординат то об этом достаточно говорилось в предыдущей главе. Ограничимся
поэтому разъяснением знака одной из ординат л. в. V, например ординаты, располо-
женкой под шарниром 12. Предположим, что эта У^^^ереместиладь^юда.^Диск^
повернется вокруг —
нижним концом стойки, опустится
с верхним концом стойки
также по часовой стрелке, так как
как показывает чертеж, лежит по одну
и 46. В таком случае точка 24 пойдет вверх
и исследуемая ордината линии влияния положительна.
символического равенства пояснен в приложении, в конце книги.
311
Фнг. 515.
§ 3. СВЯЗЬ МЕЖДУ УСИЛИЯМИ В IIОнг л y nnv
и многоугольником АРОЧНОЙ ФЕРМЫ
Многоугольник давлений строится пля
шенно таким же образом, как для сплошной тмхп^^Т арочной фе₽мы совеР-
собой многоугольник равнодействующих т. е тя™и рной аРки> Он представляет
для данных внешней нагрузки и опорных пеакпий веревочный многоугольник
влена по равнодействующей всех левых или правых сил” СТ°Р°На КотоРого наира-
9
Фиг. 516.
Многоугольник равнодействующих позволяет быстро определить усилия во всех
стержнях фермы от какой-нибудь заданной неподвижной нагрузки. Еще быстрее он
позволяет определить знак усилия в элементах поясов.
Для двухпоясной арочной фермы с треугольной или раскосной решеткой
(фиг. 516) можно доказать следующую теорему: если многоугольник да-
влений, отвечающий какой-нибудь заданной неподвижной
нагрузке, проходит внутри очертания фермы, то при действии
этой нагрузки оба пояса сжаты. Для доказательства проведем через три
стержня произвольное сечение TV— N
(фиг. 517), и пусть S есть соответствую-
щая этому сечению сторона многоуголь-
ника давлений. Равнодействующая всех от-
брошенных правых сил равна 5. Вместе
с тем равнодействующая всех левых сил
уравновешивается усилиями в трех перере-
занных стержнях. Но так как обе равно-
действующие должны быть друг другу
равны и противоположны, то можно ска-
зать, что сила S разлагается на три со-
ставляющие, направленные по этим стерж-
ням. Напишем, что момент силы S относи-
Фиг. 517.
моменту силы U\ но моменты сил S и U могут иметь отно-
” — сжи-
тельно точки А равен сумме моментов ее
составляющих, т. е. I-------
сительно точки А одинаковый знак только в том случае, если усилие U
мающее. Взяв сумму моментов относительно точки В, можно доказать аналогичным
образом, что стержень О также сжат.
Может случиться, что многоугольник равнодействующих совпадает с одним из
поясоварки. В этом случае усилия, отличные от нуля, получатся
только в названном поясе и в тех стойках или подвесках кото-
рые соединяют его узлы с точками приложения силы
на фиг. 514 нагрузка, приложенная в узлах верхнего пояса и
что нижний пояс служит для нее веревочным многоугольником, "
стойкам и нижнему поясу. Доказательство этой теоремы основано на однозначност
3
пешения статически-определимых систем. Предполагая, что работает только одИн
веревочный многоугольник, мы получим равновесие; но двух различных решение,
удовлетворяющих условиям равновесия, оыть не может.
§ 4. РАЗНОВИДНОСТИ АРОЧНОЙ ФЕРМЫ
Разновидностью трехшарнирной арочной фермы является в первую очередь
стагически-определимая арочная ферма с затяжкой (фиг. 518). В ней распор воспри-
нимается затяжкой, а по отношению к опорным реакциям она является безраспор.
ной, т. е. аналогична балочной
НОЙ,
Фиг. 518.
ферме. Однако с точки зрения
распределения усилий в элементах
самой фермы (не считая затяжки)
данная система ничем не отли-
чается от арочной, так как, вы-
кинув затяжку или один из ее
стержней и заменив отброшенный
элемент силами, мы получим ароч-
ную ферму. Как и в сплошной
трехшарнирной арке, затяжка мо-
жет быть прямолинейной или ло-
маной; статическая характеристика системы от этого не меняется. Затяжку можно
рассматривать как третий пояс, а ферму фиг. 518 как трехпоясную.
Опорные реакции определяются, как в балочной ферме; для определения же
усилия в затяжке следует провести разрез, проходящий через средний шарнир, и
составить уравнение моментов
одной полуарки относительно этого шарнира.
В качестве упражнения рекомендуется построить л. в. для этой системы.
К арочным фермам можно причислить также системы, состоящие из шарнир-
ной арки или цепи с двумя балочными фермами, соединенными шарниром.
Фнг. 519.
Балочные фермы
в последнем случае они
структуру этих систем
статически-определимы.
Шарнирная цепь АСВ
могут быть
расположены сверху (фиг. 519) или снизу (фиг. 520);
играют роль затяжки. Анализируя геометрическ) Ю
, легко убедиться, что они геометрически неизменяемы и
ных сил, передаваемых ее ^истема’!• нах°дится под действием вертикаль-
Известно, что веревочный или стр СТ° КЭ «И ^иг’ 51или подвесками (фиг. 520).
вески только в том случае m Ржневой многоугольник может находиться в равно-
лучи которого, исходящие из^полкюа*1116 СИЛЫ °^Г,ЯЧ' ,П1' ..-«.«...лпьяик.
314
Известно, что веревочный
иг. 519) или подвесками (фиг. 520).
>
силы образуют силовой многоугольник»
параллельны соответствующим сторон*81
установленном численном
нагрузки, действующей на ферму
"IV ТГПт. -- It__ Г Г' J-
веревочного. На фиг. 519,а, показан такой
условлена исключительно формой самой шарнирной апки^°УГ°ЛЬНИК- Его *°₽ма
от характера и расположения внешней нагоуч™ и™ совершенно не зависнт
при всевозможных вариациях внешней нагрузки ' ™ J Же МОЖет ИЗменяться в нем
тельно коэфициент пропорциональности ₽У ’ риложенной к ферме? Исключи-
В этом состоит замечательное свойство шарнирной цепи АГР. v
ее элементах находятся между собой в паз LCPPAr , Ц АСВ' Усилия во всех
отношении. При всевозможных вариациях внешней нагрузкиТейстХшей ™™еННОМ
усилия во всех элементах цепи и во всех подвесках или стоках У^п “ Фер”У’
с фермами, изменяются'в одно и то же число паз Можно ’ СОеДи,1яющ,|х ее
выбирает себе нагрузку одного и того же совершенно определенного'
отвечает ее природе. Например, если цепь симметрична еленного
будут симметричны, как бы односторонне ни располагалась
Это, конечно, объясняется тем,
трически-неизменяемой системы и поэтому в ы н у ж д е н а оставаться
сказать, что цепь всегда
J типа, который
то и усилия в ней всегда
внешняя нагрузка,
что рассматриваемая цепь входит в состав геоме-
- в равновесии.
С
Фиг. 520.
Из сказанного следует, что если отвлечься от масштаба, то усилиям во всех
элементах цепи и в подвесках такой системы отвечает одна л. в. Установка поезда,
которая является наиболее невыгодной для одного из этих элементов, является
одновременно наиболее невыгодной для всех остальных. Отношение между орди-
натами л. в., отвечающих различным элементам, равно отношению между длинами
соответствующих лучей или сторон силового многоугольника.
Мы не будем здесь излагать способ определения усилий систем, показанных
на фиг. 519 и 520, так как ниже, в § 6, будет разобрана висячая система с балкой
жесткости, способ решения которой вполне сходен с решением названных систем. 3
л
§ 5. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ВИСЯЧИХ СИСТЕМАХ
Висячей системой называется такая, у которой основная несущая конструкция,
перекрывающая пролет, работает на растяжение. Простейшим видом висячей системы
является нить (трос), которая перекинута через перекрываемое отверстие и несет
подвешенные к ней элементы конструкции, предназначенные для воспринятия местной
нагрузки. Такие висячие системы применялись для пролетных строений мостов еще
в глубокой древности, что объясняется простотой их конструкции и легкостью
возведения. На, фиг. 521 изображен один из таких примитивных висячих мостов .
При переходе через такой мост в нем возникают настолько сильные волне-
образные колебания, что пешеход вынужден останавливаться или хвататься за трос
который одновременно служит перилами; в противном случае он рискует
сброшенным в реку. гром?-
Системы висячих мостов, применяемые в настоящее время, обладаютгеоме
трической неизменяемостью. Это свойство может оыть ТО™ им рг^Л™.
способами. Например, можно образовать висячую систему из перевернутой трех
шарнирной арки. Такой пример показан на фиг. 522.
1 Про*. г П. Передерий, Курс мостов, ч. II, стр. I, 1928.
315
Когда многоугольник равнодействующих проходит внутри этой арки, то оба
ее пояса раб^^‘‘^"’'^Гсоедипении цепи с балкой или балочной фермой;
последние в этих случаях получают название „балки жесткости , или „фермы
Фиг. 521.
жесткости “.
На фиг. 523 показан вид Крымского
моста через
Москву-реку;
его
пролетное строение состоит из цепи, сжатых пилонов и балки жесткости.
Современные крупные висячие мосты представляют собой выдающиеся произведе-
ния инженерной науки; многие из них поражают грандиозностью пролетов и изяще-
Фиг. 522.
вяютгя от факт, что рекордные пролеты под тяжелую нагрузку перекры-
элементы системамиэ объясняется, главным образом, тем, что растянутые
использованием 3^ Потери Устойчивости и поэтому могут применяться с лучшим
няемая для tdocor е^Иала’ ^Ущественную роль играет также то, что сталь, приме-
ший достигнутый ’ допУскает очень высокие растягивающие напряжения. Наиболь-
настоящее время пролет висячего моста составляет 1 280 Я»
§ 6. РАСЧЕТ ЦЕПИ, УСИЛЕННОЙ БАЛКОЙ ЖЕСТКОСТИ
статически-опое^лимой™3/! нНа ^ИГ' является геометрически-неизменяемо^ J
шарнир С неРбь^ Хп?СТВИТеЛЬНО’ если бы балка имеющая среДН"
I плена цепью, она обладала бы одной степенью свободы*
316
К ней прикрепляется узел 1 цепи п
присоединен к неподвижной опорной точка л У* стеРжней
пень свободы системы не изменяется ’ Я дРУг°й —
Далее таким же способом г,™ ... _
порядке узлы 2, 3, ...,
система имела бы одну степень свободыГэтот
влен по нормали к траектории точки 11
п делает систему неподвижной.
Как уже отмечалось выше *
из которых один
„ ----- к балке. От этого сте-
Далее таким же способом пои ломти»
-- .... ? ' ” В —«—„ом
- стеожеик ₽ ° СТержня П'12> то
стержень, если только он не наппя-
’ У™»-ет Указанную степень свХды
на который непосредственно дейгоу^Т^
вертикальные натяжения подвесок. Усилия
,-г. , ------ ..„I^ в,_____, ,
Фиг. 523.
во всех элементах цепи и в подвесках выражаются одним силовым многоугольником:
первым соответствуют лучи, а вторым — стороны многоугольника.
Следовательно, какова бы нн была внешняя нагрузка и где бы она ни рас-.
положилась, соотношение между усилиями в каких угодно элементах цепи и в под-
весках остается без изменения. Если, например, при изменении нагрузки усилие
в каком-нибудь элементе удвоится, то оно и во всех прочих элементах удвоится.
В частности, если цепь очерчена по квадратной параболе, то усилия во всех под-
весках остаются равными между собой при действии любой нагрузки Ч
Построив в произвольном масштабе такой многоугольник, мы тем самым
выражаем всю совокупность неизвестных через одну неизвестную. Достаточно
будет найти усилие хотя бы в одном элементе цепи или в одной подвеске, чтобы
сейчас же определился масштаб силового многоугольника, а следовательно, и прочие
усилия.
1 То, что усилия в подвесках параболической цепи всегда равны меащу собой,
казалось сначала невероятным. В журнале „Известия Собрания инженеров> путг и °
•№ 4 за 1899 г. была помещена статья, отрицавшая этот вывод, а также ответ на нее
проф. Ф. с. Ясинского.
417
т™ как подвески вертикальны, то усилия во всех элементах цепи имеют одНу
и ту же горизонтальную проекцию. Будем называть ее распором и обозначать
6уКВСппоёктиРуем опорные точки балки А и В на цепь и в полученных точках £
и F рассечем последнюю. Действие откинутых крайних частей цепи заменим гори.
Фиг. 524.
зонтальной составляющей Н и вертикальными V“A и V'B. Равнодействующая вер-
тикальной и горизонтальной составляющих направлена по цепи, поэтому
чается ^имметрична, то = <Pj и при любом расположении нагрузки полу-
из балкиТЗдГД°ТКосите^^° точки F уравнение моментов всей системы, состоящей
Оалки АСВ и цепи EF (отрезанной в точках Е и F):
откуда
f у — х-
( Кд) I-------------2 Pi (I------х^) — О,
1/д + VA = - р.
та вертикальная реакция, которая возникла бы на опоре А, если бы вс«
система состояла из простой балки АВ.
(2)
318
Составив уравнение моментов относительно точки Е получим-
I 1 т w 1
Кв-j- ув== -T\pixi^V°B,
(3)
где V°B —реакция, которая получилась бы на опоре В простой балки АВ
Итак, суммы вертикальных реакций на левом и правом концах не отличаются
от левой и правой реакций простой балки.
Проведем разрез через шарнир С так, чтобы пересечь цепь в точке Е и
в другой точке, бесконечно близкой к средней подвеске (фиг. 525). Усилие в цепи
на левом конце разлагается на составляющие V'A и Н, а на правом—на верти-
кальную составляющую, проходящую
через точку С, и горизонтальную Н.
Обе горизонтальные силы образуют
пару с плечом /, а суммарный мо-
мент внешней нагрузки, если она
имеется на участке АС, и вертикаль-
ной силы V'A Равен изгибаю-
щему моменту простой балки АВ.
Итак
М°с —Н/ = 0,
или
Фиг. 525.
Полученная формула аналогична формуле распора для арки, имеющей стрелу /.
Зная Н_ находим V"A и VfR по формулам (1) и реакции VVB по формулам:
V'A=V°A — Htgv, V'B=V°B — Htg<f. (5)
Изгибающий момент в любом сечении D
балки (фиг. 526) равен;
Фиг. 526.
женная на этом участке,
конец балки стремится
конечно, и л. в. Vв-
Балки жесткости сплошного
При средних и больших пролетах они
основе предположение о неизменяемости может шла,».-
большого пролета это п тОМ, что в цепи допускаются
(6)
Поперечная сила Qn в том же сече-
нии выражается формулой (фиг. 526):
QB = СЬ—н (7)
Линии влияния И, V’A, MD и QB
построены на фиг. 524 в предположении
узловой передачи нагрузки на балку.
Обращает на себя внимание значительная
разгрузка балки жесткости от изгибающих
моментов и поперечных сил, объясняемая
влиянием распора Н. Л. в. УА имеет от-
рицательный участок; нагрузка, располо-
вызывает реакцию УА, направленную вниз, причем левый
оторваться от опоры. Аналогичным свойством обладав ,
сечения применяются лишь при малых пролетах.
I заменяются балочными фермами. ГРОен
- EiSi» расчет, подобно Д-
1 генеРаль может послужить причиной
висячих систем большого пролета это “1^—
заметной неточности в определении усили • благодаря чему ее узлы полу-
обычно весьма высокие растягивающие напряжения, д j
чают вертикальные и горизонтальные перемещ
не всегда пренебрежимо малые.
3lq
Первым следствием деформации цепи является изменение распора Н. Вместо
формулы (4) приходится писать:
гпе ДГ-приращение стрелы/, вызванное нагрузкой. Однако эта формула также
неточна- исправленному значению распора Н, очевидно, отвечает новое значение
вел™ Д/. Следовательно, для нахождения правильных величин И и Д/ нужно
сделать несколько последовательных приближений.
Деформация цепи отражается, однако, не столько на напряжениях в самой
пени сколько на изгибающих моментах в балке жесткости. Это объясняется тем,
что последние выражаются, согласно формуле (6), малой разностью двух боль-
ших величин. Незначительное изменение распора Н влечет за собой значительное
в процентном отношении изменение изгибающих моментов. Поэтому расчет висячих
систем больших пролетов требует уточнений, основанных на рассмотрении дефор.
миро ванной схемы. В
Задача 2. Определить усилия в двухпоясной ферме с балкой жесткости, имеющей
промежуточные шарниры D и Е (фиг. 527) \
По отношению к балке жесткости каждый пояс с его подвесками играет роль одной
связи, поэтому для сохранения статической определимости необходимо снабдить балку двумя
промежуточными шарнирами.
Фиг. 527.
многоугольника пл я irn-m П0казаны построенные в произвольном масштабе два силовых
За основные неизвестмкгГЬпнпВЛрХлЯЯ И нижняя цепи служат веревочными многоугольниками,
и х2, на которые нужно vmhhw °тобразно принять два коэфициента пропорциональности *1
чить истинные значения ^гипЖВТЬпПерВЫИ 11 ВТ°Р°Й силовые многоугольники, чтобы полу-
моментов в сечениях л П.осле 9ТОГО сле*Ует написать выражения изгибающие
Эти уравнениями Е баЛКИ И "Равнять их нулю. И
для вертикальных сил пХт/гТаИ1ТЬ’ пользуясь тем, что всякий веревочный многоугольник
моментов. Отрицательные и™ЛНЫХ К ^алке’ служит в то же время эпюрой изгибаюпШ-
щихся ей через подвески от врпх^гл моменты в сечениях D и Е балки от сил, переда»*
на полюсное расстояние х.н ер?него„пояса, выражаются ординатами Л и Д, умноженных’
1 ь По той же причине отрицательные изгибающие момент
Дальнейшее развитие едеиИппим№МаТИЧеСКИЙ метод в строительной механике, 1928, стр.
инж. С. А. Цаплина .Многоценные ви7яциР°Г(ЬП0ЯСН«ЫХалВИСЯЧИХ ферм содержится в брош»Р >
Vi сцепные висячие фермы®, М. 1933. 1
(8)
। и достаточно, чтобы
многоугольниками и чтобы шар-
"‘’"-"о середины пролета. Дей-
11 /3 не буд^т пропорциональны
в элементах верхней цепи и
найдутся из силового
ММЫ УЗЛОВЫХ
в этих сечениях от сил, передающихся балке чепм пля
ординатами /2 и /*. умноженными на x.Ji.,. Отсюда ПОЯВескн от нижнего пояса, выражаются
о X, = Q
где Л& ^-изгибающие моменты, которые возникли бы в сечениях п и р
внешиеи нагрузки, если бы оиа была приложена к простой бачке ГР и. Е °Т заданиой
“ Е =, р'“
»р.< в ,, £ „ бГ, р.™.™
сгвительно при соблюдении ЭТ11Х условнй ординаты Л тельНо
ординатам /3 н /4. J1
После того как величины xt и х2 будут найдены, усилия „
в тех элементах подвесок, которые расположены между поясами" - ”
цепи, г *
многоугольника а\ в элементах нижнего пояса___
в нижней части подвесок —
нагрузок верхней и нижней цепи.
§ 7. ПОНЯТИЕ ОБ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ВАНТОВЫХ ФЕРМ
Известный интерес как с практической, так и с теоретической точки зрения
представляют такие геометрически-неизменяемые шарнирно-стержневые фермы все
стержни которых от совместного действия постоянной нагрузки и заданных времен-
ных испытывают исключительно растягивающие усилия. Стержни таких ферм могут
быть сделаны из гибких стальных тросов или кабелей, поэтому такие фермы
получили название вантовых.
Отсутствие сжимающих усилий позволяет иметь в стержнях вантовых ферм
высокие напряжения и приводит поэтому к значительному уменьшению собственного
веса конструкции. В то же время оно устраняет возможность продольного изгиба.
С теоретической точки зрения заслуживает внимания прежде всего то, что
эти фермы несравненно больше всех других систем ферм оправдывают шарнирную
схему расчета. Действительно, какова бы ни была конструктивная форма узловых
соединений Стержней, самая гибкость последних делает невозможным появление
сколько-нибудь ощутительных изгибающих моментов.
Своеобразие расчета вантовых ферм заключается в самой постановке задачи,
т. е. в необходимости подобрать такую систему фермы и такое расположение ее
узлов, которые обеспечили бы во всех стержнях при всех положениях временной
нагрузки растягивающее суммарное усилие от временной и постоянной на-
грузок. Разумеется, что и при проектировании обычных ферм инженер не должен
ограничиваться одной пассивной констатацией величины усилий, а должен варьиро-
вать ферму таким образом, чтобы получить решение наиболее экономное и целесо-
образное. Однако при проектировании вантовой фермы ограничиваться определе-
нием усилий просто нет никакой возможности, а синтез является здесь неотъемлемой
частью задачи.
В известной степени теория вантовых ферм, по нашему мнению, является
одной из первых и немногих пока страниц той будущей теории ферм, в которой
на первом месте будет стоять созидание новых форм, новых систем, отвечающих
ряду заранее заданных условий и обеспечивающих наивыгоднейший способ воспри-
нятая нагрузки. Это направление в современной теории ферм представлено на-
столько слабо, что контуры будущей синтетической, созидательной теории
ферм еще почти невозможно разглядеть.
Некоторые общие положения теории вантовых ферм даны нами в исследо
нии, опубликованном в 1924 и 1930 гг.1. Мы приведем здесь без доказательства
несколько теорем, выведенных в этом исследовании. веоти-
Какова бы ни была плоская вантовая ферма, рассчитанная на действигерти
калькой внешней нагрузки, она должна во всяком случае удовлетворять следую
щим требованиям:
к трппии вантовых ферм, статья в „Технике и экономике
также в тридцатом сборнике Института инженерных
исследовании НКПС „Вантовые фермы в мостостроении , и. кюи.
321
1 И. М. Рабинович
путей сообщения* № 1—4, 1924, а
L к w v —- г—'*** » w л • к д j| Ж !L Ж Л X.
21 Зак. 1842. И. М. Рабинович.
яА Феома не может быть закреплена на одном конце и свободна на дРугом
Крайний левый и крайний правый узел должны быть опорными, а при.
ложенные к ним реакции должны иметь отличную от нуля горизонтальную со£та.
ВЛЯЮ^УВсе ненагруженные узлы должны лежать внутри выпуклого многоуголь.
ника огибающего контур фермы.
Н Если имеется всего два опорных узла, то вся ферма должна быть располо-
жеиа ниже прямой, соединяющей эти узлы, т. е. она должна быть висячей.
д) Контур фермы должен быть таков, чтобы многоугольники равно действую,
щих („многоугольники растяжений»), отвечающие всевозможным комбинациям по-
стоянной нагрузки с временной, проходили внутри его.
е) Если вантовая ферма спроектирована под данную нагрузку, как ферма
равного сопротивления, т. е. с одинаковым растягивающим напряжением во всех
стержнях, то ее вес зависит только от расположения опорных и нагруженных
узлов; координаты остальных узлов не влияют на вес.
§ 8. МНОГОПОЯСНЫЙ ВЕРЕВОЧНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК
Системой, из которой может быть выведен обширный класс вантовых ферм,
является „многопоясный веревочный многоугольник“. Так мы будем называть
ферму, которая составлена из семейства веревочных многоугольников, содержащих
Фиг. 528.
уменьшает степень свободы на единицу, поэтому
— 1 — (л — 1) = т — п. Для того чтобы
необходимо, чтобы было т = п, т. е. число панеле!
1-ю сторону, общую для всех веревочных многоугольников.
одинаковое число сторон и вершины, расположенные из одних и тех же верти-
калях. Вершины соединены между собой стойками (фиг. 528). Пусть число
панелей каждого пояса части MN равно тп, а число поясов — /z. Верхний много-
угольник вместе с поддерживающей его тягой NM' при отсутствии других много-
угольников имел бы степень изменяемости т — 1. Каждый новый многоугольник,
присоединенный к системе, —
суммарная степень изменяемости равна т
фигура была неизменяема, р|
многоугольника должно равняться числу его поясов. Тягу NM' mqwhq рассматри-
вать как /г-1- 1-ю сторону, общую для всех веревочных многоугольников.
аждый пояс работает, как простой веревочный многоугольник, которому со*
тветствует некоторый определенный силовой многоугольник. Но в то время
ш!рСТ0 Верев°чиый многоугольник обладает лишь мгновенным равновесием,
ногопоясный многоугольник, содержащий п поясов и столько же панелей, обладав
постоянным равновесием: произвольную действующую на него внешнюю нагруз#
гпп^Спределйет между поясами так, что каждый из них получает от подвесок.
разно своей природе, всегда один и тот же тип нагрузки выражаемый ег°
силовым многоугольником. ’
«Tutt ПостР°им для каждого пояса такой системы силовой многоугольник, отвечаю*
пяпя ?Т“°Й Нагру3ке’ т- е- пР°веДем из произвольного полюса пучок лучей’
р ллельных сторонам соответствующего пояса, и пересечем этот пучок вертикали
НОЙ прямой. Отрезки вертикали примем за силы
масштабе и обозначим через “ ’ измеРим их в произвольном
* il’ * г'2> •
Первый индекс обозначает номер пояса, а
За неизвестные примем коэфициенты пропорцион<альностиеЛ”,’
которые следует умножить соответствующие силовые
какую-нибудь стойку сверху донизу и спроектируем все силы
иа вертикаль (фиг. 529). Номер стойки обозначим через т Равно
действующая двух сил, приложенных к сторонам верхнего пояса
равна вертикальной силе Р - ----------- - *
второго пояса равна Р2т - г» и т. д. Отсюда
2» • • • > на
многоугольники. Вырежем
равнодействующая двух усилий
(9)
, опре-
Дальнейшее решение уже никаких
ППГ'П ’—‘ Ч1П-
Таких уравнений можно написать п и, решив их совместно
делить все неизвестные г,:.
трудностей в себе не заключает.
Перечислим некоторые интересные свойства многопоясного ве-
ревочного многоугольника. Если внешняя нагрузка такова, что
один из поясов фермы служит для нее веревочным многоугольни-
ком, то из всех поясов работает лишь этот пояс, усилия же
в остальных обращаются в нуль. Это непосредственно вытекает
из принципа однозначности решения. Если к уже действующей
внешней нагрузке прибавить нагрузку такого типа, то усилия
изменятся только в одном этом поясе.
А
Фиг. 529.
А
3
А
2)>l{2.
Если две группы нагрузок в сумме образуют систему сил, для которой один
из поясов служит веревочным многоугольником, то они вызывают в остальных
поясах усилия, соответственно равные и противоположные. Зная эффект одной
группы, мы тем самым знаем и эффект другой.
Из сказанного вытекает следующее свойство линий влияния.
Загрузим ферму системой сосредоточенных сил, расположенных под узлами
и подобранных так, что какой-нибудь пояс служит для них веревочным много-
Фиг. 530.
- - L- для любого из остальных поясов имеет такой вид, что значе-
к . что можно опасаться появления отрицательных усили
форму многопоясного веревочного многоугольника, перед1 У
Ф Р У ли вниз. Можно указать целый ряд таких пРость1
_______J многоугольника при не
остальные же остаются без изменения; при этом можно
такой ферме и общей теорией детер
' пкияя связь которая позволяет трактовать целы
замечательная связь, г
угольником; л. в
Если л. в
ную площадь, так
нужно изменить i
некоторые из его узлов вверх или
преобразований многопоясного
лишь одной из л. в., <----
решать систему уравнений (8) вторично.
Между теорией распределения усилий в
минантов существует :------
21*
ного М1югоугольника. принимает более простой вид, когда некоторые
МнаГпоотяжении того или иного числа панелей сливаются между собой^ На
пояса на протяжении частично слившимися элементами. Про-
ф,1Г. S30 Р,“к«Х расположенных ферм;
летное строение "
сохранения >.
были соединены друг с другом.
На фиг.
многоугольника,
с раскосной или т
четырех поясов:
ряд теорем о детерминантах как теоремы о влиянии вариаций формы многопояс.
ного МНОГОУГ02Г,«Многоугольник принимает более простой вид,
МИОГОПОЯСИЫЙ мн У ______________ помрлай сливаются
а пятипоясная ферма с частично слившимися элементами. Про.
w состоит из двух таких симметрично расположенных ферм; для
статической определимости необходимо, чтобы в шарнире W они не
'^чГпоказан'" еще более простой вид четырехпоясного веревочного
’ который производит впечатление обычной двухпоясной фермы
треугольной решеткой; на самом деле он состоит из следующих
„. 1 Л 2) MBCEN, 3) MACFN, 4) MBDFN.
Чи,ЫИнтепесшлм свойством обладает объем материала или пропорциональный ему
собственный вес многопоясного веревочного многоугольника, рассчитанного на
постоянную нагрузку и имеющего при этой нагрузке во всех стержнях одно
и то же напряжение а. Само собой разумеется, что при данной величине с вес
фермы зависит от ее формы. Если мы, не изменяя числа поясов и числа панелей
at
Фиг. 531.
будем варьировать очертание фермы, передвигая узлы по вертикальному напра-
влению, то будем поручать фермы разного веса. Но если при этом положение
точек М, М' и всех узлов нижнего пояса останется без изменения, то и вес фермы
останется без изменения. Если же мы будем изменять расположение узлов нижнего
пояса на их вертикалях, то вес фермы будет тем меньше, чем ближе нижний пояс
будет подходить к многоугольнику натяжений (многоугольнику равнодействующих)
фермы.
Хотя многопоясный веревочный многоугольник может принимать весьма разно-
образные формы и является родоначальником множества вантовых ферм, он не
исчерпывает последних. Возможны и другие фермы. Не существует общих правил
для их нахождения, но автором указаны некоторые общие геометрические свойства,
обязательные для всякой такой фермы, рассчитанной на вертикальную нагрузку-
Например, два крайних узла непременно должны быть опорными и нагружены
наклонными реакциями; все ненагруженные узлы должны лежать внутри контура
выпуклого многоугольника, описанного около фермы; система не может быть за-
щемленной на одном конце и свободной на другом, и т. д.
Доказательства всех этих теорем и ряда других даны в названном выше
исследовании автора. Здесь мы только хотели дать читателю понятие о своеобра3^?
и принципиальной важности поднятых там, недалеко еще неисчерпанных, вопросов
__ "Ч
мянутом^бопншТ ’pw7 в’ "°свяи‘енные теории и применению вантовых ферм, см. в уп*
нова BaS? мо2ты“ ТпЫЛ фе₽МЫ В м°«о«роении“, а также в книге инж. Е. И. Кр«»
менярмгЗН °ВЫе мос ы * тРансжелдориздат, 1935. См. i апл\с
меняемое™ миогопоясных ферм, сборник „Исследования по
также Я. Б. Л ь в и и. Условия ней*
1 теории сооружений", вып-
324
На
угольника,
некоторых
прямых линий.
Стойки, очевидно, -
нулю. Удалив эти стойки,
систему. На 4
§ 9. ПРИМЕР РАСЧЕТА РАПИАпии^г
Лиг 532 ,п БАЛЬНОЙ ВАНТОВОЙ ФЕРМЫ
фиг. 532 представлен частный c-nvun»
У которого ОСИ различных поясов (мХо"”*0 Явочного много-
панелей, прИМыкающих к средн ша(пнИП°УГ°ЛЬНИКОв) иа протяжении
угольник, а на протяжении остальных панелей ™ ₽У’ сливаются в единый
лнвий панелей, до пилона, идут раздельно в
И1рают роль одиночных стержней’ ь
иг. 533 представлена^схеТ называем>ю Радиальную г ’
имеет вид опрокинутой трехшарнирной арк^ХтаменноГиз"0 СТр°еНИЯ> К010Р0е
ных вантовых ферм. Основными элементами являются -----"
и Dv которые работают при любом расположении
и Ц работают только тогда, когда нагрузка расположена ,
стержни £>3 и V,- только тогда, когда нагрузка расположена’ иТ^—р^Ц
много-
j виде
в них усилия равны
1 вантовую
из двух таких радиаль-
длинные наклонные стержни D
внешней нагрузки. Стержни d\
j в левой половине фермы*
2»
Фиг. 533, а изображает л.
в левой части работает только
В. £>,. Когда груз находится справа от узла С то
стержень Dt; перерезав его и составив'уравнёние
Фиг. 532.
моментов правой половины относительно шарнира В, мы убедимся, что усилие
изменяется по линейному закону. Ордината под узлом С проще всего определяется
так: поставим груз Р== 1 под этим узлом; тогда из всей фермы будут работать
только стержни £>1 и D'lf а усилия в них определятся из силового многоуголь-
ника, представленного на фиг. 533, а. Вторая прямая той же л. в. определяется
при помощи нулевой точки, которая расположена под точкой взаимного пересече-
ния прямых Z>2 и D'v Действительно, когда груз стоит под этой нулевой точкой,
то он уравновешивается натяжениями D2 и Z)', а стержень Dx выключается.
Аналогичным образом строятся остальные л. в. этой несложной фермы.
Ординаты л. в. Z)2 и U1 под узлом F получаются из силового многоугольника,
построенного на фиг. 533, и дающего разложение силы Р=1 на направления О2
и Uu и т. д.
Для определения расчетного усилия в каждом стержне нужно загрузить его
л. в. собственным весом фермы и временной нагрузкой (поездом), установленной
в такое положение, при котором получается наибольшее растягивающее
усилие. По суммарному растягивающему усилию и заданному допускаемому напря-
жению подсчитываются сечения. Таким способом обеспечивается необходимы
Так мы будем
запас прочности.
Однако этого недостаточно. Необходимо, кроме того, установить поезд в такое
положение, при котором он вызывает наибольшее сжимающее усилие и сло-
жить последнее с усилием, которое вызывается постоянной а это
суммарное усилие окажется отрицательным (сжимающим), то ферм' |тельным
так как тросы на сжатие работать не могут. Если оно окажется
то нужно установить к о э ф и ц и е н т з а п а с а нар ат я «е н и^Гак - бул-
называть число, показывающее, во сколько раз след у г1-ммаоное усилие
ность рассматриваемой временной нагрузки, для тоге чтобы J Р У,ении
в стержне обратилось в нуль. При дальнейшем бесконечно малом увели .е^
временной нагрузки стержень уже начнет сжиматься, а на
I
постоянной нагрузкой, и наибольшим сжимающим от
.гпчет такую же катастрофическую роль, какую появление напряжения,
стержня игртст таку лен играет для растянутого стержня. Коэфициент
равного временному со Р еиию между растяГивающим усилием данного стержня,
запаса, очевидно, рав ПОСТОЯ11НОЙ нагрузкой, и наибольшим сжимающим от
которое вызывается » п
ВреМрЛ°Лпостоянная нагрузка может быть принята равномерно распределенной по
Фиг. 533.
пределенной на отрицательной части л. в. и имеющей интенсивность р т я, то
растяжение от постоянной нагрузки будет g(o>+ — где и> и ш—абсолютные
величины площадей положительной и отрицательной частей л. в., а наибольшее
сжимающее усилие будет р<и_. Коэфициент запаса на растяжение равен:
VHP !U 'п,!)'щ',ент_ запаса для какого-нибудь стержня слишком мал, то его
У личить путем соответствующей передвижки узлов. Например, для того
(10)
МОЖНО
чтоб^
1 Е. И. Крыльцов, Вантовые мосты, 1935, стр. 18.
326
еЛичить этот коэфициент для стержня Dt (фиг. 533), следует поместить не-
'йолько ииЖе Узел тогда нулевая точка л. в. передвинется влево и площадь
С0ложительного участка этой линии увеличится, а отрицательного — уменьшится.
1
Фиг. 534.
На фиг. 534 показана схема моста с радиальными вантовыми фермами. Мост
предназначен под узкоколейную электрическую железную дорогу. Средний пролет
его равен 156 Л£.
Фиг. 535.
| Задача 3. Построить л. в. для вантовой
этой схеме построен в СССР мост пролетом 80 лс.
фермы, представленной на фиг. 535. По
Глава XI
СИСТЕМЫ, СОСТАВЛЕННЫЕ ИЗ ДИСКОВ И КОМБИНИРОВАННЫЕ
§ 1. ГДЕ ВСТРЕЧАЮТСЯ ТАКИЕ СИСТЕМЫ?
Диском как известно, называется геометрически-неизменяемая плоская фигура.
Простейшим диском является стержень. Если он шарнирно прикреплен к другим
элементам системы в каких-либо двух точках А и В и не несет никакой нагрузки
в промежутке между этими точками, то воспринимаемое * им ^усилие сводится, как
внешних сил и
в любом числе
мы знаем,' только к одной силе, направленной по прямой АВ.
Диск может находиться под действием любого количества
может быть шарнирно связан с остальными элементами системы
Фиг. 536.
точек. Однако система, содержащая в своем составе диски, не всегда сложнее
системы, составленной из стержней. Нужно учесть, что диск сам может представлять
собой шарнирно-стержневую систему. Рассмотрение совокупности стержней, обра-
зующих эту систему, как единого диска, ведет к упрощению, а не к усложне-
нию задачи.
Например, при определении усилия в стержне АВ балочной фермы, пред*
ставленной на фиг. 536, целесообразно рассматривать ферму как совокупность
двух дисков, связанных между собой стержнем АВ и шарниром С,
На протяжении данного курса мы неоднократно встречались с системами,
составленными из дисков или из дисков и стержней. К числу первых относятся
многопролетные статически-определимые балки, трехшарнирные арки, рамы. К числу
вторых („комбинированных* систем) относятся трехшарнирные арки с затяжкой5
рамы с затяжками, висячие системы с балкой жесткости и др. Расчет этих систем
дан в соответствующих главах курса. Здесь им посвящается отдельная, хотя и н£
большая, глава, чтобы подчеркнуть некоторые специальные вопросы их расчета.»
§ 2. ПОРЯДОК РАСЧЕТА
Расчет любой системы—простой или сложной—начинается с выяснения е
геометрической структуры. В результате этого анализа получаются полезные У
ния относительно последовательности определения усилий. Если в системе мо*11
различить основную часть, на которую опираются остальные, то в первую очередь
следует обратиться к такой части, которая опирается на другие и сама не служит
опоре каких других частей. От нее нужно перейти к другим элементам,
соблюдая последовательность, обратную той, которая характериз\ ет постепенное
образование системы из простейшей фигуры.
Если в системе невозможно выделить основную геометрически неизменяемую
фигуру, то задача значительно осложняется. Тогда приходится прибегнуть либо
к преобразованию системы методом замены связей, либо к кинематическому методу,
либо к составлению системы совместных уравнений, либо к способу ложного поло-
жения и т. д.
В общем виде дать указание наиболее рационального способа и порядка
определения усилий в сложной системе дисков вряд ли возможно. Мы рассмотрим
несколько сравнительно простых возможных схем.В
§ 3. ШАРНИРНЫЙ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК
Довольно много различных систем, составленных из дисков, приводится к схеме
шарнирного четырехугольника. Эта цепь имеет 4 степени свободы и, следовательно,
нуждается в четырех связях. Простейшая схема получается, когда этот четырех-
угольник прикреплен четырьмя стержнями к неподвижному звену или к какому-
нибудь диску. В свою очередь эта схема может иметь несколько вариантов.
1. Три опорных стержня прикреплены к одному диску, а четвертый — к дру-
гому (фиг. 537). Здесь основным является звено 7; к нему неподвижно прикреплено
Фиг. 537. Фиг. 538. »
звено 2; в последнюю очередь прикреплена диада, образованная дисками 3 и 4.
Эти два диска работают только на нагрузку Р и Q и представляют собой трех-
шарнирную арку с ключевым шарниром В и пятовыми А и С. Определив способами,
указанными в главе VII, реакции в шарнирах А и С, можно затем остальные
усилия определить без труда. На фиг. 538 представлена рама, отвечающая схеме
фиг. 537.
2. Два опорных стержня прикреплены к одному диску, а два —к другому
(фиг. 539, 540).
Схема, представленная на фиг. 539, решается очень просто, так как диски I
и 2 образуют трехшарнирную арку, а на нее насажена диада 3—4, которая также
представляет собой трехшарнирную арку.
Схема, изображенная на фиг. 540, несколько сложнее. Ее расчет можно
свести к расчету трехшарнирной арки следующим образом. Если бы не было
опорных стержней, мгновенный центр вращения диска 3 относительно диска 1
лежал бы в точке 31. Поэтому мы можем считать, что эти два диска образуют
трехшарнирную арку с ключевым шарниром в точке 31 и пятовыми в точках £*
и F\ эту арку следует рассчитать на силы Р и Т. Аналогичным образом можно
считать, что диски 2 и 4 образуют арку с ключевым шарниром в точке 24.
32&
Диск 2 имеет опорные стержни СЕ
пятовый шарнир. Другой пятовый
рассчитать на силы Р и
на силы Р и S.
Фиг. 539.
Те же две схемы очень просто
полярного или полярного плана
стоятельно такой расчет.
и DF-, в точке
шарнир лежит
G их пересечения лежит его
в точке Н- Эту арку нужНо
Фиг. 540.
рассчитываются при помощи построения не
скоростей. Рекомендуем читателю проделать само
Фиг. 541.
Двухъярусные рамы, представленные на фиг. 541, а и бу
ственно схемам 539 и 540.
3. Два опорных стержня прикреплены к
дискам (фиг. 542, а и б).
отвечают соответ
одному диску, а два — к двум другим
Фиг. 542.
Схема а просто решается
опорный стержень G и вместо
330
при
него
йшее“ноР ₽ ЩЗеТСЯ В ДИСК’ Закре“'« опорными стержнями. даль.
Схема б решается такой же заменой опорного стержня F или п
Обе схемы легко рассчитываются также кинематическим методом Предоста-
вляем читателю продумать различные возможные варианты расчета нРе«0СТ»-
Фиг. 543.
На фиг. 543, а и б представлены две рамы, имеющие ту же структуру что
системы, показанные на фиг. 542. • ’
4. Каждая
сторона четырехугольника имеет один опорный стержень (фиг. 544).
Фиг. 544.
но
из
Эта схема сложнее предыдущих,
опорных стержней. После того как
этим
методом будет найдена реакция
соответствующего опорного стержня,
реакции
остальных трех стержней най-
дутся
при помощи трех моментных то-
чек. Далее можно будет найти реак-
ции, действующие в шарнирах. Напри-
мер, реакцию в шарнире А, действую-
щую на диск 7, разложим на составляю-
щие RA и проходящие через точки
и В (фиг. 544, б). Из уравнения мо-
ментов диска 1 относительно точки D
и из уравнения моментов диска 4 отно-
сительно точки В найдутся силы RA
и она просто решается заменой одного
Фиг. 545.
Пример системы, построенной по данной схеме, показан на фиг. 545.
В частных случаях, например, при наличии оси симметрии, решение упрощается.
Рассмотрим для примера схему фиг. 544 при наличии оси симметрии. При действии
331
симметричной нагрузки (фиг. 546) реакции горизонтальных опорных стержней обра-
щаютсЛ нуль, а реакции вертикальных опорных стержней равны между собой.
Фиг. 546.
В данном примере каждая из них
что реакции в шарнирах В и С
равна Р. Из условий равновесия диска 3 следует,
горизонтальны, а реакция в шарнире D склады-
вается из горизонтальной X и вертикальной Р,
Фиг. 547.
Из фиг. 546, б видно, что Л’=Р-—.
На фиг. 547 изображен случай нагрузки
обратно-симметричной. Вертикальные реакции
образуют пару, а горизонтальные в сумме
равны 2Pcos а. Из обратной симметрии сле-
дует, что усилия в стержне ВС и в средней
части стержня AD равны нулю. Изобразим
на чертеже реакцию опорного стержня G
произвольным горизонтальным вектором. Уси-
лия во всех стержнях найдутся последова-
тельным вырезанием узлов G, С, F, £), £.
Таким способом получим на чертеже горизон-
тальную реакцию стержня Е. После этого
достаточно будет приравнять сумму обеих горизонтальных реакций величине 2Pcosa,
чтобы получить масштаб сил. Форма дисков 7, 2, 3, 4 при этом построении не
имеет значения; при построении можно
как это сделано на фиг. 547.
их заменить шарнирными треугольниками,
§ 4. ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ
Задача № 1. На фиг. 548 построены эпюры М, Q и N для составной балки. Пове-
рить эти эпюры.
< Указание: Усилие в затяжке DE определяется, как и в трехшарнирной арке, по
рмуле.
сжимающее усилие в стойках равно:
})ИГ. 550—552.
Задача № 6. Построить эпюры для фиг. 553
влениоГнГфиг. 549Вь1вести Ярения эпюр М, Q и N для составной балки, предста-
о к 3 4 Нж£ % Общий вид эпюр дан на фиг. 549.
фиг. 550—552. ' ' Построить эпюры М, Q н N для систем, представленных на
Задача № 6. Построить эпюры для фиг. 553.
Полурама3САИнаходитУся^о)?^йг^ОАТСЯПОЛАеЙСТВИемтрехсИл* пеРесекающихся в точке
иилурама ил находится под действием двух сил, пересекающихся в точке К. н двух вер-
Фиг. 548.
Фиг. 551.
Фиг. 550.
Фиг. 552.
Фиг. 553.
333
тикальних сил; отсюда следует, что равнодействующая /?2 первых двух сил также верти-
кальна. Остается уравновесить силу Р двумя вертикальными и /?2>
Задача № 7. Определить опорные реакции в системе, схема которой представлена на
л
силы 7, которая пересекается в одной
фиг. 554. „
Указание. Зададимся произвольно величиной усилия в стержне I и разложим его
на направления 2 и 3. Далее, найдем направление силы 7, которая пересекается в одной
Фиг. 554.
точке с силами 2 и 4; из условий равновесия части ВС найдем силы 4 и 7; вырезанием
узла D — силы 5 и 6. Найдем равнодействующую сил 7,3 и 5; из условий равновесия части АВ,
находящейся под действием трех сил (названной равнодействующей, силы Р и реакции
определим силу Р н реакцию в шарнире Л. Остается найти масштаб, приравняв вектоо
силы Р заданной величине этой силы, gy
Глава XII
О РАСЧЕТЕ СООРУЖЕНИЙ С ОДНОСТОРОННИМИ СВЯЗЯМИ
§ 1. ПРИМЕРЫ СООРУЖЕНИЙ С ОДНОСТОРОННИМИ связями
сопротивляться движению только
Фиг. 555.
свободно положенной на опоры,
Односторонними или выключающимися связями мы будем называть такие, реакции
которых не могут изменять своего знака на обратный. Каждая такая связь, находясь
в натянутом или напряженном состоянии, способа
в одном направлении; при движении в обрат-
ном направлении она выключается и ее реакция
обращается в нуль.
В инженерных сооружениях такие реакции
встречаются довольно часто: таковы реакции
между отдельными кирпичами или камнями
в кладке, выполненной насухо, без раствора;
между клиньями каменного свода, между фун-
даментом сооружения и грунтом; между балкой
и самими опорами. Односторонними связями в сооружениях являются стержни, мо-
гущие работать только на растяжение, например, гибкие тросы, а также длинные
стержни малой жесткости. Общеизвестным примером систем с односторонними свя-
зями являются вантовые фермы, а также висячие фермы других систем, арки
с затяжками, не могущими работать в качестве распорок, и т. п.
Своеобразным примером может также служить система с односторонними или
выключающимися шарнирами. На фиг. 555 схематически изображены такие шарниры,
допускающие свободное вращение в одном направлении и препятствующие вращению
в обратном направлении. В первом случае они не дают никакого реактивного
момента; во втором случае осуществляют защемление и развивают реактивный момент.
Замечательным примером системы с односторонними связями служит арочное
перекрытие системы выдающегося русского инженера, впоследствии почетного ака-
Фиг. 556.
демика Владимира Григорьевича Шухова (26/VIII 1853—2/II 1939 г.). Эта система,
представляющая собой легкую параболическую металлическую арку с многочисленными
струнами — затяжками (фиг. 556), впервые была применена в 1896 г. на Всерос-
сийской художественно-промышленной выставке в Н. Новгороде в качестве стропил
для перекрытия здания главного машинного отдела. Этой же сетчатой системой
335
пепекпыто здание б. Верхних Торговых рядов на Красной площади в Москве. Лег-
кость и оригинальность этой системы до сих пор поражают зрителя. Ее автору
принадлежит и первая попытка расчета этой системы.
S 2. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА СООРУЖЕНИЙ С ОДНОСТОРОННИМИ СВЯЗЯМИ
Основная особенность расчета сооружений, содержащих односторонне работаю-
щие элементы, состоит в том, что расчетная схема сооружения сама является функ-
цией нагрузки. При изменении нагрузки одни связи могут выключиться, другие —
включиться- число работающих элементов может увеличиваться и уменьшаться.
Может, например, случиться, что при одной нагрузке сооружение будет работать
как статически-неопределимая с одним числом лишних неизвестных, при другой —
с другим числом, а при третьей — как статически-определимая и т. д. Какая именно
система работает, выясняется обычно только в процессе расчета.
В связи с этим приходится в применении к таким системам внести известные
коррективы в некоторые общепринятые в строительной механике понятия, например,
в понятие о геометрической изменяемости и неизменяемости систем, об их стати-
ческой определимости и неопределимости, о предельном состоянии сооружения и
его коэфициенте запаса и т. д.
Основная трудность расчета состоит в том, чтобы установить, какие элементы
сооружения являются „ рабочими “ при заданной нагрузке. Если бы это было изве-
стно, то определение усилий можно было бы произвести обычным способом. На
самом деле оба вопроса тесно связаны между собой. Для того чтобы решить первый
из них, нужно предварительно выяснить знаки усилий, а усилий нельзя узнать,
пока неизвестно, какие элементы работают. Задачу приходится решать путем попыток.
В настоящей главе мы будем говорить только о системах статически-опреде-
лимых.
Разберем некоторые вопросы, относящиеся к теории их расчета.
§ 3. СИСТЕМЫ С АНТАГОНИСТИЧЕСКИМИ СВЯЗЯМИ.
ЧЕТЫРЕХШАРНИРНАЯ АРКА
В зависимости от характера системы, содержащей односторонние связи, и от
расположения последних возможны два случая: 1) какие-либо две связи I и k нахо-
дятся в таком взаимодействии, что когда одна из них работает, другая выключается,
и наоборот; одновременная работа или одновременное выключение обеих связей
невозможно. Такие связи мы будем называть антагонистическими; 2) между свя-
зями i и k не существует этой зависимости; такие связи будем называть незави-
симыми или обычными.
Антагонистические связи могут существовать только в такой
системе или в такой части системы, которая обладает одной
степенью изменяемости.
Действительно, только в такой системе взаимные перемещения звеньев являются
определенными (с точностью до масштабного множителя), поэтому только в ней
можно обеспечить антагонистический характер работы двух связей.
Для примера рассмотрим так называемую четырехшарнирную арку,
в которо изгибающие моменты в некоторых случаях распределяются более выгодно,
чем в трехшарнирной.
гг.апиип1^не^аРНИт?НаЯ арка пРедставляет собой интересное видоизменение трех-
nnvvPK V П° Существу ее можно рассматривать как особого вида трехшар-
ичгпХки Рмрнярт ^°’торой сРедний шарнир, в зависимости от характера внешней
нагрузки, меняет свое положение.
Рассмотрим четырехзвенный шарнирный механизм, представленный на фиг. 557.
- 1 .Стропила. Изыскание
и теория арочных ферм’
расчете см. в заметке проф. В. п 4’^“ва, юу/ г. м совремспп^-
транспортная академия, Информ, бюллетень № 9," 1946 СТроПИЛ системы Шухова’. Военн -
рациональных типов прямолинейных стропильных ферм
ииж-м^хаиика В. Г. Шухова, Москва, 1897 г. О современном
Lti
В. Г. Шухов (1853—1939/
Зак. 1842 И- М Рабинович.
вокруг D и звено ВС— вокруг О. Если мы повернем звено
то, очевидно, угол а увеличится, а угол р уменьшится;
второй
каждый
именно,
С таким образом (фиг. 555), чтобы
взаимное вращение своих элементов, а
о
Фиг. 557.
ABCD будет геометри5ческн-неизменяема при
При бесконечно малом возможном перемещении звено АВ поворачивается вокруг
«пчки А -звено -DC—i - ~
ХБ п0 часовоП стРелке
если мы повернем его в обратную сторону, то первый угол уменьшится, а
Увеличится. Устроим шарниры В и Л ~ ‘ ----
>3 иИх допускал лишь одностороннее
чТОбы один из них допускал
только увеличение угла а, а дру-
гой только увеличение угла р
или же, наоборот, чтобы один
допускал уменьшение угла а, а
другой — уменьшение угла р.
Такой односторонний шар-
нир может быть конструктивно
осуществлен различными спо-
собами, которых мы здесь раз-
бирать не будем.
Допустим, что шарниры
В и С допускают только уве-
личение углов а и р. Дока-
жем, что при этом условии система
действии какой угодно нагрузки. Предположим, что последняя стремится повер-
нуть звено АВ по часовой стрелке. В этом случае шарнир В останется фактически
шарииром, потому что он неспособен противиться такому движению, но так как
угол р при этом движении должен уменьшиться, то шарнир С превратится в жесткую
связь. Таким образом система превратится в трехшарнирную арку со средним шар-
ниром, расположенным в сечении В. Если же внешняя нагрузка стремится пере-
местить систему в обратную сторону, то последняя превратится в трехшарнирную
арку со средним шарниром, расположенным в сечении С. В обоих случаях система
будет геометрически-неизменяема.
Своеобразие расчета такой системы состоит в том, что здесь на принцип незави-
симости действия сил налагаются известные ограничения. В самом деле, появление
какой-нибудь новой нагрузки может переместить шарнир из положения В в С или
наоборот, а это повлечет за собой изменение действия и всех остальных нагрузок.
Пусть дана какая-нибудь внешняя нагрузка. Будем считать сначала систему
четырехшарнирным механизмом. Дадим ему бесконечно малое перемещение в про-
извольную сторону, например, повернем стержень АВ по часовой стрелке. Под-
считаем на этом возможном перемещении ра-
боту внешних сил. Если она окажется поло-
жительной, то это будет свидетельствовать
о том, что нагрузка стремится произвести
перемещение в ту же сторону. В таком слу-
чае шарнир С замкнется, и система превра-
тится в трехшарнирную арку ABD, которую
и нужно будет рассчитать обычным спосо-
бом. Если работа окажется отрицательной, то
систему нужно будет рассчитать, как трех-
шарнирную арку ACD.
То направление, в котором нагрузка
стремится переместить механизм, можно, не
подсчитывая работ, легко определить из плана
скоростей. Как было доказано в § VIII, 36, для этого достаточно перенести все
силы на полярный план скоростей и подсчитать их момент относительно полюса
плана (фиг. 558). Знак момента покажет, в какую сторону эти силы стремятся
повернуть план скоростей, и тем самым покажет и направление перемещения то-
чек в и С. Например, если план скоростей под влиянием перенесенной на него
нагрузки поворачивается по часовой стрелке, то точка В механизма идет вправо;
это все, что нам нужно знать для дальнейшего решения задачи.
22*
Фиг. 558.
S 4 УСЛОВНО И БЕЗУСЛОВНО НЕИЗМЕНЯЕМЫЕ СИСТЕМЫ
* С ОДНОСТОРОННИМИ связями
Систему, имеющую в числе своих связей то или иное количество односто-
ронних,
няемой,
Фиг. 559.
мы будем называть условно или безусловно геометрически-неизме-
смотря по тому, сохраняет ли она свойство неизменяемости только при
действии нагрузок, подчиненных каким-то условиям,
или же при действии любых нагрузок.
Пусть дана кинематическая цепь с жесткими звенья-
ми и двусторонними связями, обладающая п степенями
свободы. Если бы мы добавили «двусторонних и взаимно-
независимых связей, то она сделалась бы геометрически-
нензменяемой и статнчески-определимой. Спрашивается,
каково минимальное число односторонних связей, при
помощи которых можно добиться той же цели.
Введем сначала п независимых односторонних связей.
Для большей наглядности представим себе, что эти связи
имеют вид стержней, шарнирно связывающих звенья
между собой и могущих работать только на растяжение.
За элементарное возможное перемещение примем такое,
при котором один из этих стержней выключается, его
концы сближаются, а остальные сохраняют свою длину без изменения. Любое воз-
можное перемещение системы можно представить себе как сумму таких элементарных.
Допустим, что существуют такие две точки А и В, расстояние между которыми
при любом из этих перемещений увеличивается. В этом случае достаточно связать
А и В таким стержнем, который способен только укорачиваться, но не удлиняться,
и система, очевидно, сделается безусловно неизменяемой. Итак, при наличии
таких двух точек систему с п степенями свободы можно сделать
<о неизменяемой при по-
1 односторонних связей.
в плоскости при
односторонне рабо-
мощи п
В частности, легко доказать, что точку
можно закрепить
помощи
тающих опорных стержней, а в про-
странстве при помощи четырех.
Разумеется, для этого нужно направить опорные
стержни не как попало, а с соблюдением спе-
циальных условий. Диск
закрепить в
Фиг. 560.
можно
плоскости при помощи
односторонних стержней,
э анстве — при помощи семи
На фиг. 559 показан пример неподвижного
прикрепления точки тремя стержнями, а на
фиг. 560 — пример неподвижного прикрепления
диска четырьмя стержнями.
Легко убедиться, что любое перемещение
точки на фиг. 559 и любое перемещение диска
на фиг. 560, т. е. поворот диска : ___'
центра, вызвали бы растяжение по меньшей мере
Можно было бы указать простой графический
няемости и неизменяемости таких систем1.
в любую сторону вокруг любого мгновенного
мере одного из опорных стержней.
метод решения вопросов изме-
г * о РАСЧЕТЕ СИСТЕМ С ОДНОСТОРОННИМИ связями
система, образованная из кинематической цепи с п степенями свободы путем
сторонних связей, статически-неопределима; ее расчет здесь
итти в дальнейшем только об условно
ние связи**, .Инженерный сб^ сооружений, содержащих односторон-
340
добавления п
рассматриваться не будет/ Речь будет
неизменяемых системах.
Фиг. 561.
При расчете таких систем могут встретиться задачи следующих типов:
а) задана внешняя нагрузка н задано расположение всех связей, требуется
оВерить равновесие системы и в случае наличия такового — определить усилия;
б) при тех же заданиях выяснить, какова должна быть внешняя нагрузка,
чтобы система находилась в равновесии;
в) наконец, при заданных вариациях внешней нагрузки подобрать такое рас-
положение односторонних связей, которое обеспечило бы равновесие.
рассмотрим для примера задачу о
равновесии диска, опирающегося на
три односторонних стержня 7, 2, 3
/фиг. 561). Заменим внешнюю нагрузку
ее равнодействующей R.
а) Сила Я, а также расположение
опорных стержней заданы. Составив
обычным способом уравнения моментов
относительно точек А, В, С, найдем
усилия в стержнях, и если все три ока-
жутся растягивающими, то решение
имеет реальный смысл, в противном
случае равновесие невозможно.
бив) Требуется найти область
расположения силы и ее направления
таким образом, чтобы система была
в равновесии. Нетрудно заметить, что при той ориентировке стержней, которая по-
казана на фиг. 561, необходимо и достаточно, чтобы линия действия силы Я про-
ходила вне треугольника
в крайнем случае, касалась его в одной из
его вершин и давала бы относительно то-
чек Ау В и С момент, направленный по ча-
совой стрелке.
Если внешняя нагрузка приводится к паре
сил, то для равновесия системы, показанной
на фиг. 561, достаточно, чтобы момент пары
был направлен по часовой стрелке.
Предлагаем разобрать те же вопросы
при обратной ориентировке стержня 7, по-
казанной пунктиром.
в) Дана сила /?, требуется рационально
разместить опорные стержни. Решение непо-
средственно вытекает из п. „б“.
Аналогичным образом можно разобрать
также вопрос о расчете на несколько ком-
бинаций нагрузок и на подвижную нагрузку,
растяжение, а другая часть сжатие, то необхо-
АВС или,
Фиг. 562.
Если часть нагрузок
вызывает
димо определить коэфициент запаса на растяжение подобно тому, как это делается
для вантовых ферм. Так, на фиг. 562 сила Р вызывает сжатие всех стержней,
а Я— растяжение. Для того чтобы стержень 3 был растянут, необходимо, чтобы
суммарный момент обеих сил относительно А был положительным:
Ма (Я) — МА (Р) 0, или МА (R) — k МА (Р) = О,
где k-—коэфициент запаса. Отсюда
МЛ (7?)
k~ МА(Р)’
Аналогичным образом нужно Определить k из уравнений моментов отно* и-
тельно точек В и С и из трех найденных значений k взять наименьшее. Если
окажется, что &> 1, то система будет р равновесии.
341
Интересно решить ту же задачу при помощи принципа возможных перемеще-
ний. Дадим диску такое возможное перемещение, при котором один из стержней,
например, стержень 3, окажется сжатым и выключится из работы. Например,
повернем диск вокруг точки /4 против часовой стрелки. Тогда в уравнения работ
войдут только внешние силы. Признаком равновесия в этом случае служит то,
что су м м а работ внешних сил на любом возможном беек о-
нечно-малом перемещении, должна быть отрицательной1. Нетрудно убе-
диться, что, написав уравнение работ сил Д' и Р при повороте диска на угол
и сократив уравнение на d<o, мы получим то же самое неравенство, которое
написано выше2. В
1 М. В. Острог рад
Примеры применения
механике лекция XVI. изд. Академии Т’ ’’ Ч‘ 2‘ ^кции "° «»«««гическои
“ Примеры применения пп, Н> СССР, 1946.
наук М, С. Бернштейна ,Рас-1сРт Хегоущий^ пеРеме,«ении см. в брошюре канд. техн,
конструкций с односторонними связями”. Стройнздат. 1947,
Глава ХШ
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ УЗЛОВ И СТЕРЖНЕЙ ПЛОСКИХ ФЕРМ
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
При вычислении или построении усилий
делали никакого различия между деформированной
в стержнях ферм мы не
и начальной системой, так как
предполагали, что все деформации ничтожно малы по сравнению с основными раз-
мерами фермы — ее пролетом, панелями, высотой и т. д. Однако существуют
такие вопросы, при решении которых мы не можем игнорировать деформации
и вызываемые ими перемещения узлов. Так, например, определение усилий
в стержнях статически-неопределимой фермы от неподвижной или подвижной
нагрузки невозможно без рассмотрения деформаций; мы в этом убедимся позже,
Лри расчете таких ферм. С другой стороны, жесткость статически-определи-
мой или статически-неопределимой фермы характеризуется величиной перемещений
ее узлов. При проектировании сооружений приходится уделять известное внимание
вопросам жесткости, т. е. заботиться о том, чтобы прогибы не были слишком
велики. Вопрос о жесткости фермы встает также при решении вопроса о действии
на нее динамической нагрузки, так как частота собственных колебаний фермы
зависит в сильной степени от ее жесткости.
В ферме с прямыми стержнями и идеальными шарнирами деформации стержней
сводятся только к удлинениям или укорочениям. Если стержень имеет по всей
длине постоянную площадь сечения и испытывает усилие N, то его удлинение
или укорочение, если они не выходят за пределы пропорциональности, выражаются
формулой:
Концы стержня сближаются или расходятся между собой на величину AZ,
и это изменение расстояния между узлами влечет за собой изменение положения
последних в плоскости, а следовательно, и изменение положения стержней.
Задача о нахождении нового положения всех узлов по заданным удлинениям
стержней фигуры имеет чисто геометрический характер. При графическом ее
решении возникает следующее осложнение: перемещения узлов очень невелики по
сравнению с длинами стержней, поэтому их приходится строить в очень крупном
масштабе.
С другой стороны, для фермы такой крупный масштаб не годится, так как
этого не допускают размеры чертежа. Чтобы не чертить перемещения в слишком
мелком масштабе и в то же время избежать громадного увеличения чертежа фермы,
остается один путь: придумать такое построение, которое позволило бы одновре-
менно чертить перемещения в крупном масштабе, а ферму — в мелком Ч Строи-
тельная механика владеет несколькими такими методами. Обычно задача решается
графическим или графо-аналитическим путем.
фических расчетов
1 По этому поводу см. статью проф. В. П. Фармаковского „Условие жизненности гра-
вы)еГХС1ХРрСЧеТу79 W296°PHHKe *^енингРадского 1ШСТИТУта инженеров путей сообщения!
§ 2. ПОНЯТИЕ О ДИАГРАММЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
^та диаграмма дает в произвольном масштабе величину и направление пере-
мещений всех узлов фермы. Все построение основано на графическом решении
следующей простой задачи: по заданным перемещениям АА и В В точек А и В
и заданным удлинениям стержней СА и СВ определить перемещение точки С
бЬиг 563 а) Это решение показано на фиг. 563, б: из произвольного полюса О
проводится вектор А,, выражающий собой перемещение точки А. Из конца этого
вектора проводим вектор Д/р равный и параллельный заданному удлинению
стержня СА' если это удлинение положительное, то точка С перемещается вверх
(удаляется о’т А) и на диаграмме вектор А/, ведется вверх; если же стержень СА
------------------------------------ и вектор Azj откладывается вниз.
сжат,
Если бы
то точка С идет вниз
стержень
СА
следовательно, и вектор вина.
оставался неповернутым, то перемещение точки С вырази-
лось бы геометрической суммой векто-
ров At и А/
ров Aj и А/п т. е. вектором OQ. На
самом деле стержень СА поворачивается
вокруг точки А на неизвестный угол,
вследствие чего точка С получает до-
полнительное перемещение по окруж-
ности радиуса АС. Считая перемещения
ничтожно малыми по сравнению с этим
радиусом, мы можем заменить элемент
окружности элементом прямой, перпен-
дикулярной к радиусу; поэтому к век-
тору ОСг добавляем неизвестную по
величине составляющую QC', перпен-
дикулярную к Д/г Само собой понятно,
что соотношения, справедливые для
бесконечно малых перемещений, мы
имеем право изображать на чертеже
в любом, хотя бы и весьма крупном,
масштабе.
Точка С принадлежит одновремен-
но стержням СА и СВ. На этом осно-
вании проводим из полюса О вектор А2,
выражающий перемещение точки В;
к нему добавляем заданную по вели-
т. е. укорочение стержня СВ, и из
*2 восставляем к А/2 перпендикуляр С2С'.
Перемещение точки С выражается по величине и направлению вектором ОС',
А
Фиг. 563.
и по
чине
полученной таким способом точки С2 восставляем к А/2 перпендикуляр С2С'.
Искомая точка С' диаграммы лежит на пересечении перпендикуляров САС и
направленным от О к С'.
Имея полное перемещение точки С, мы можем получить и проекцию его на
5Sb’ на"РимеР,_ вертикальную проекцию, которая обычно неточно назы-
определяются также углы поворота и % обоих
направлению составляющую AZ
вается прогибом. Легко
стержней:
^1 =
‘2
(1)
На фиг. 563, б вектор
поворачивается вокруг точки
жень СВ поворачивается вокпуг В
«и.« »•
стержнях. Если величина
найдены то удлинения всех’стержней"сейчас
На фиг. 564,6 построена диаграмма
со стержня А В, у которого i
направлено но оси стержня. Так как стёпжёйГ^^* “еРем™ие конца “
к как стержень растянут, то точка В перемещается
344
CtC направлен вправо, следовательно, стержень СА
А по часовой стрелке; судя по вектору
° в ту же сторону.
стержнях. Если величина силы" ЪТТТ* СХеМН фермЫ И ЗНаки уСИЛИЙ В ее
илы ” и площади всех сечений заданы, а усилия
же могут быть вычислены.
перемещений. Построение начинается
конец Л неподвижен, а перемещение конца В
стер-
вЕ:йдГве^ 0Т Т0ЧКИ л'’ КОТ0₽ая ‘ полю-
СО»
• Далее находим на диаграмме изображение точки С-
откладываем от найденной точки В укорочение стержня СВ в виде вектора В'С ,
оараллельного этому стержню, а от полюса О, который служит изображением
неподвижной точки Л,—удлинение стержня АС в виде вектора А'(>, на пересе-
лении перпендикуляров к обоим векторам находим изображение <?' точки С.
Далее находим последовательно изображения узлов Е, F, О, Н. Для большей
ясности построения векторы, выражающие удлинения или укорочения, показаны
жирными линиями, а векторы, выражающие влияние поворота стержня, — тонкими.
Фиг. 564.
Часть фермы, расположенная выше раскоса HG, не испытывает никаких
усилий; удлинения всех ее стержней равны нулю. Взаимное перемещение концов
любого стержня, направленное вдоль стержня, равно нулю. Получив на диаграмме
изображения точек Н и G, проводим из них прямые, перпендикулярные стерж-
ням ///, ОД и на их пересечении находим изображение точки /. Аналогичным
образом находятся изображения точек К, L и Ж. Следовательно, изображения
стержней части фермы HIKLM перпендикулярны самим стержням. Вообще
если какая-либо часть фермы перемещается, как одно целое
не деформируясь, то ее изобра-
жение на диаграмме перемещений
получается подобным ей и повер-
нутым на 90°.
Перемещение точки С выражается на
диаграмме вектором OC't направленным от
О к С'; перемещения точки D—вектором
ODr и т. д. Перемещение точки F относи-
тельно точки С равно геометрической раз-
ности их абсолютных перемещений, т. е.
Фиг. 565.
ОС — ОС = OF' + СО = С г'.
Следовательно,
взаимное
перемещение
произвольных
двух узлов выражается на диаграмме вектором, соединяющим
их изображения.
В разобранном примере стержень АВ после деформации оставался параллель-
ным самому себе. На фиг. 565, а показан более общий случай: опорный стержень
на конце В не перпендикулярен оси АВ. Построение диаграммы для этого случая
показано на фиг. 565, б: от полюса О проводится вектор параллельный
стержню АВ и выражающий собой влияние удлинения; к нему восставляется
перпендикуляр, выражающий влияние поворота. Суммарное перемещение точки В
должно быть перпендикулярно к опорному стержню; следовательно, из полюса О
нужно провести прямую ОВ\ выражающую это суммарное перемещение, до
встречи с прямой ВХВ'.
§ 3. ПОСТРОЕНИЕ ДИАГРАММЫ ПЕРЕМЕЩЕНИИ В БОЛЕЕ ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
В рассмотренном примере построение диаграммы перемещений было облег-
чено тем что с самого начала имелся один стержень, а именно АВ, для которого
S известны перемещения обоих концов. В большинстве случаев опорные узлы
отделены друг от друга более, чем одной панелью (например, в фиг. 566),
Г тогда уже ни одного такого стержня не имеется. Построение диаграммы,
естественно, усложняется: его приходится разбить на два этапа.
1-й этап. Удалим опорные стержни, помещенные в узлах А и G (фиг. 566,а),
узлы свободными. Вместо этого сделаем мысленно опорными узлами
и сделаем эти
Фиг. 566.
с,
с изображением D' неподвиж-
получились подвижными: их перемещения
п_ОЛНОГО (любого) стержня фермы, например поместим в узле D два
а пеоемешини^а’ *^ЗЛе один. Тогда узел D сделается неподвижным,
onnnuorr, ла вполне определится удлинением стержня DK и направле-
стеожень пеопенпи^РЖНЯ’ помещенного в Узле К. Проще всего — направить этот
останется неповепииУЛЯРН ггК °СИ стержня тогда последний после деформации
ос с еповернутым. Построенная при таких допущениях диагпамма пеоемеше-
ннй показана на фиг. 566. б. Ее полюс совпадает диаграмма перемете
ного узла D. Узлы А и G, естественно
выражаются векторами D'A' и D'G' ’
Откажемся Т
в узлах О и ТС и пля тпт р стержней, которые мы на время ввели
жесткому диску поступатьХ^меХн^Г plZ™™’ С°°бЩИМ Ф₽РМе
ному перемещению этого узла, т. е. вектору D'A'J Это
и противоположное получен -
1 равносильно
346
uncv полюса в точку лг
"б|Дь точки выражалось раньше ве^оп^П'/Г0’ перемещение как°й-
‘^тоической разностью: втором D К, то теперь оно выразится
удовлетворив таким образом условию неподвижности точки А
тех условий которые налагаются наличием деХствительадто
ВТЯУК г”Ы П°Вернуть всю ФеРму относительно
точки л так’ чт°бы узел G попал на свою опору. Поворот
вызывает добавочное перемещение точки G по направлению
дому к AG. С другой стороны, полное перемещение этой
перпендикулярным к ее опорному стержню. Следовательно, искомоеТзобр^ажени!
точки G на диаграмме получится, если мы проведем на фиг. 566, б прямую G'G
терпендикулярную к опорному стержню узла G, до пересечения с прямой A'G
перпендикулярной к прямой AG. Действительное перемещение точки G выразится
По величине и направлению геометрической суммой G" А' А'(У =
вектором G"G', направленным от G" к G'. г
При повороте фермы как диска вокруг точки А изображения всех ее узлов
перейдем к выпол-
опорного
неподвижной
вокруг точки А
перпендикуляр-
точки должно быть
/Л
/л
е.
на диаграмме перемещений должны образовать фигуру, подобную самой ферме
и повернутую относительно нее на 90° ''
а изображением точки G является G". Построив на отрезке Л'СТ ф
ную ферме, мы получим искомые точки В", С”, D"\ Е" и т. д.
Действительные перемещения узлов В, С, D и т. д. выразятся векторами
и повернутую относительно нее на 90°. Но изображением точки А является А1,
игуру, подоб-
•»
что же касается всех тех перемещений, которые
формы данной системы, то для их нахождения
1»
Если бы нас интересовали исключительно перемещения узлов нижнего пояса,
то 2-й этап можно было бы значительно сократить: вместо того чтобы строить
фигуру, подобную ферме, можно было бы ограничиться нахождением точек В",
ГУ'\ Е\ F”. Для этого достаточно было бы разделить отрезок A'G" на шесть
равных частей.
Если бы требовалось найти перемещение какого-нибудь одного узла, не
находя перемещений остальных узлов, то достаточно было бы провести две
прямые. Например, для нахождения точки I" достаточно провести прямые А'Г' 1_ AI
и 0'7" | GI до их взаимного пересечения.
Заметим еще, что 2-й этап нужен исключительно для нахождения абсолют-
ных перемещений узлов;
характеризуют изменение
все необходимые точки содержатся уже в 1-м этапе.
Пусть, например, требуется найтн вызванное деформацией фермы изменение
длины прямой DM, а также ее угол поворота. Взаимное перемещение точек D и М,
полученное из первого этапа построений, изображается вектором ЕУМ'\ а изме-
нение первоначальной длины прямой DM, очевидно, равно проекции этого вектора на
направление DM.
Построение диаграммы является приближенным, так как оно основано на
замене криволинейных перемещений узлов прямолинейными. Для практических
целей его точность оказывается в большинстве случаев вполне достаточной
(конечно, при условии тщательного выполнения чертежа). Так как в процессе
построения ошибки постепенно накладываются друг на друга, то для повышения
точности можно рекомендовать начинать 1-й этап построения по возможности
с одного из стержней, расположенных у середины пролета, а не у концов его.
§ 4- ПОСТРОЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ДЛЯ ТРЕХШАРНИРНОЙ АРКИ
1-й этап (фиг. 567). Разъединяем обе полуарки в шарнире D и строим диа-
граммы перемещений для каждой из них в отдельности. На фиг. 567, б показана
Диаграмма, соответствующая левой полуарке, причем приняло, что стержень СЕ не
изменяет своего направления и имеет неподвижную точку Е. На фиг. 567, в
построена диаграмма для правой полуарки, причем принято, что стержень IF
сохраняет свое направление и имее! неподвижную ючку А Перенеся полюсы этих
347
диаграмм
в точки А' и Н', МЫ удовлетворим условиям неподвижности шарни-
ров /4 и И• « /г
Перемещение шарнира D выражается на фиг. ob ,
H'D-₽Эти два вектора не равны между собой, между тем как по условиям
задачи точка D должа иметь одно и то же перемещение независимо от того,
будем ли мы ее считать точкой левой полуарки или правой.
йэтап. Дадим левой полуарке дополнительный поворот около точки А,
_____ около точки Н. Для этого из полюса А на фиг. 567, б про-
прямую A'N, перпендикулярную к хорде AD левой полуарки. Где-то
прямую П , F J . rx/z ----- перемещение
и в векторами A'D’
независимо
от того,
а правой—поворот
ведем
этой прямой должна лежать искомая точка D . Полное
шарнира
на
Фиг, 5(57,
и
проекция его на направление
выразится неизвестным пока вектором D'D";
т. е. укорочение этой хорды, выражается прямой DrN, перпендикулярной к A'N.
На фиг. 567, в аналогичным образом проведем прямую Н'М, перпендикуляр-
ную к хорде HD правой полуарки, и из точки О' опустим на И'М перпенди-
куляр D М. Зная две проекции D' N и D'M искомого вектора D'Df\ мы можем
построить и самый вектор. Перенесем проекцию D'N с фиг. 567, б на фиг. 567, в;
из четырехугольника MD’ND”, имеющего прямые углы при вершинах /И и N мы
сейчас же получим точку D". Вектор Df D” мы можем после этого перенести
на фш. 7,6. Таким образом мы будем иметь точку D" на обеих фигурах.
гтглаоТм 3.аК?НЧИТЬ 2’Й этап, остается построить фигуры, подобные левой
а на фиг. 567, в - -
на
Чтобы закончить 2-й этап,
и правой полуарке, приняв за базу на фиг. 567, б прямую A'D"
прямую Н D . J
31
§ 5. НЕПОЛЯРНЫЙ ПЛАН ПЕРЕМЕЩЕНИЙ »
Неполярный план повернутых на 90° перемещений можно строить не только
для механизмов с жесткими звеньями, но и для ферм с деформирующимися стерж-
нями- Перемещение каждой точки н
вектором, соединяющим точку с ее изображением.
у ы а н с к и и, Курс строительной
на эюм плане изображается, как мы знаем.
1 Про ф.
механики самолета, вып L
3J8
|Ь« Л . В. ’л, ~ ~
’.л-, 568).
Эта основная задача решается следующим образом. Повернем вектор Д,
Р nnnnWPUHP Л Л9 ♦ ООГТЧПЖ0 _ uuivivp
нс
затем отложим от точки Af
по
по направлению,
I пусть требуется найти перемещение узла С по заданным
I точек I и Нм заданным удлинениям А
'J*568).
I |фи.
I вой стрелке в положение А А
I ^ендикулярному к АС, век-
I ОР из конца послеДнего
I введем прямую ас. парал-
I 1%ную линии АС. Искомая
I ^чКа с должна лежать на этой
I п3раллели, так как повернутое
| перемещение точки С склады-
вается из трех составляющих:
I Дь К и составляющей, обу-
| ^явленной поворотом стерж-
I ня АС. П° той же причине
изображение с точки С должно
1ежать на прямой Ьс. Получив
вектор Сс. остается повернуть
его против часовой стрелки,
чтобы получить истинное пере-
мещение ССГ.
Заметим, что на фиг. 568
векторы Aj и А2 отвечают
случаю удлинения обоих
стержней. Действительно, повернув, например, вектор А'а на 90° против часо-
вой стрелки, убедимся, что он направлен вверх, т. е. в сторону удаления
точки С от А.
§ 6. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПРОГИБОВ ФЕРМЫ ПРИ ПОМОЩИ
ДИАГРАММЫ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
на вертикали, проходящие
точки А',
При помощи диаграммы перемещений можно получить проекции перемещений
узлов фермы на любое направление. Чаще всего приходится определять верти-
кальные перемещения узлов. Диаграмма (многоугольник) этих перемещений, по-
строенная для узлов какого-нибудь пояса фермы, называется линией его прогибов.
Вернемся к ферме, представленной на фиг. 566, и построим вертикальные
перемещения всех узлов ее нижнего пояса.
Спроектируем изображения узлов этого пояса, полученные из 1-го этапа
построений, т. е.
через те же узлы. Мы получим многоугольник abcdefg (фиг. 566, а). Давая после
этого ферме как жесткому диску всевозможные перемещения в ее плоскости, мы
этим, как известно, будем лишь менять ось абсцисс многоугольника прогибов.
Но так как в узлах А и G прогибы равны нулю, то искомая замыкающая много-
угольника совпадает с прямой ag.
Как видим, для построения многоугольника прогибов оказалось возможным
ограничиться 1-м этаном построений. Это произошло потому, что интересующие
нас перемещения по своему направлению совпали с направлением опорного
стержня узла G.
На фиг.
того же пояса. Вершины многоугольника a' b' с'd' е'frgf получены путем проекти-
рования соответствующих точек Д', В', Cf и т. д. на горизонтали узлов. Что же
касается замыкающей a' g”. то она проведена так, что ордината точки g\ т. е.
отрезок g"g', равна горизонтальной проекции действительного перемещения опор-
ного узла G, т. е. проекции вектора G”Gr. Следовательно, для построения много-
угольника горизонтальных перемещений пришлось частично использовать 2-й этап
ц0С1 роения, а именно использовать точку G".
566,г построен многоугольник горизонтальных перемещений
<349
7 IIOCTPOFHHl ЛИНИИ ПРОГИБОВ КАК ВЕРЕВОЧНОГО МНОГОУГОЛЬНИКА
Если нас интересуют перемещения не всех узлов фермы, а лишь узлов
верхнего или нижнего пояса, притом не полные перемещения, а лишь проекции
их на определенное направление, то можно обойтись без построения диаграммы
перемещений. Для эгой цели разработаны непосредственные способы построения
ЛИНИИ
тех многочисленных параллелей
и перпендикуляров, обилие ко-
прогибов, позволяющие не проводить
Фиг. 569.
торых, характерное для диа-
граммы перемещений, снижает
ее точность.
Выделим из фермы инте-
ресующий нас пояс как отдель-
ную шарнирную цепь (фиг. 569),
и будем разыскивать проекции
перемещения всех узлов этой
цепи на какое-нибудь заданное
направление, например на вер-
тикальное. Введем лишь одно
ограничение: среди стержней
рассматриваемой цепи не долж-
но быть ни одного, направлен-
ного параллельно проекции
перемещений (в данном слу-
чае ни одного вертикального).
Допустим, что линия про-
гибов уже найдена. Возьмем
произвольную прямую ab и от
нее отложим на вертикалях,
проходящих через узлы, coot-
ветствующие вертикальные пе-
эту линию прогибов за веревочный многоуголь-
ремещения у % и
ник для некоторой фиктивной системы вертикальных сосредоточенных сил
..., которые мы будем в дальнейшем называть „упругими грузами".
Запишем прежде всего связь между величинами ® и у. Такая связь между
ординатами веревочного мноугольника
установлена § III, 11 формулой (5);
она имеет следующий вид:
w н( Уп Уп-1 Уп+1—Уп
п \ > — ~—
4 лл+1
где Н — полюсное расстояние
вого многоугольника, которое
иметь произвольную величину.
Выразим теперь разности уп —Уп_г
и Jn+i—уп через удлинения стержней
и их углы поворота. Рассмотрим стержень 77—Т??,
вызывает уменьшение прогиба уп на величину sin
угол Д₽п вокруг точки п—2 .
ЧИНУ In • • cos следовательно:
т. д. Примем
и соответствующими ему силами была
Фиг. 570.
сило-
может
1,п (фиг. 570). Его удлинение
а его поворот на малый
1 обусловливает уменьшение прогиба на вели*
Уп — Уп-1
• sin ^п* Aftn * COS
Но Xn==Zn cos
Р«; поэтому
2*22^1 , r\
К =--------/f ‘g |3Й — Д0П = —ем tg — Д.ЗЯ,
где ев- — относительное удлинение стержня и — ], и.
350
Точно так же
Оююда
Но так как
tgSn
«+1
еп+! ?п+1-
Дф„,
I 719
где Дф„— взаимный поворот стержней, примыкающих к узлу л, то окончательно
®»п = Д?я — еп tg
*£&»+!•
(3)
Если
= 90° или
ря+1 = 90°, то = zt со. Но этот случай мы с самого начала
исключили.
Если стержни не испытывают никаких удлинений или укорочений, т. е. если
еп = еп+1 = 0, то wn= Дфп. В этом случае упругие грузы в извест-
ном масштабе выражаются углами
взаимного поворота смежныхстерж-
н е й.
То же самое получается в том случае,
когда стержни горизонтальны, так как при
этом tgp„ = tg₽„+1
Итак, при условии, что все относительные
удлинения стержней и их углы взаимного по-
ворота известны, мы можем легко построить
линию прогиба, как веревочный многоугольник.
Зная, кроме того, прогибы в двух точках
(опорных), мы сможем провести и замыкаю-
щую ab.
Остается показать, каким образом можно
определить величины Дф^. Предварительно ре-
шим следующую элементарную задачу: по задан-
ным весьма малым относительным удлинениям
сторон шарнирного треугольника (фиг. 571)
= 0.
Фиг. 571.
определить изменение его углов.
Так как изменения углов треугольника не зависят от его абсолютного пере-
мещения, то примем точку Л неподвижной и стержень АС—неповернутым. Пред-
положим, что сторона удлинилась на Д/н а остальные две остались без измене-
ния. На фиг. 571 построена для этого случая диаграмма; стороны р2 и р3 перпен-
дикулярны сторонам /2 и /3, причем, согласно свойствам этой диаграммы, р2 = /2 * ^а3’
• Да
или
как
Да3 =------Знак минус поставлен потому,
*2
что на
иг. 571, б вектор АГВ
направленный вниз, свидетельствует о том, что угол а3 уменьшился.
Из треугольника А'В'С' получается пропорция:
р2 : Д/г = sin (90°•—а2): sin (180°—aj,
или
COS а2
sin ’
Да3 = —
COS a2
1 Z2 sin at *
Но из треугольника ABC вытекает:
Итак
/i: /2 = sin ax : sin a2, или /а sin = lx sin a2.
Да8
Д/i cos a2
Zj sin a2
= — £j Cfg OCq.
351
Подобно ЭТОМ)
1 LiKOiien
Д(х2 = — cig as.
Aat == —i (Да2~|- Да;$) “
Sj (dg «2 H-Ctg as).
Влияние относительных удлинений s2 и e8 можно найти из тех же формул
путем циклической перестановки индексов. Остается просуммировать влияние всех
трех удлинений, и мы получим искомый результат.
Заметив, что в случае отсутствия температурных удлинений
JBSj = CTj, Е&% °2» ^£3 = °3»
где через □ обозначены нормальные напряжения, можем написать этот результат
в следующем виде:
Е • = (oj — a2) ctg a3 -J- — os) ctg a2,
f-Да2=(с2 —o3)ctga1-}-(c2 —ajctgog, । . (4)
E • Aas = (os — aj ctg a2 -j- (o3 — o2) ctg a,. J
Обратимся теперь к ферме (фиг. 572).
Пусть требуется определить изменение
ментами нижнего пояса. Сначала определяем
В этих формулах растягивающие напряжения считаются положительными,
а сжимающие — отрицательными.
угла <рп между двумя смежными эле-
из отдельных примыкающих к этому
узлу треугольников величины Дак,
Дя2, Да3. Далее, продиференцировав
тождество
ai 4” а2 + as 4“ <?п = 2т? == const,
получИхМ
Фиг. 572. Д<р.п = — (Де*! 4" 4~ Даз)-
В этом и состоит окончательное решение вопроса о нахождении величин Дф„,
необходимых для вычисления упругих грузов.
§ 8. СПОСОБ МОРА ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИИ ПРОГИБОВ
М Приведем указанный Мором способ построения линии прогибов для шарнирно-
стержневой цепи (фиг. 573), у которой заданы продольные деформации стержней
Фиг. 573.
и их взаимные углы поворота. Если
пений двух стержней, сходящихся в
мы обозначим
узле Л через
разность относительных удли-
$
Д/8
h
лл
= Рз и т. д.,
352
поворота стержня /, через а
через и т. д.,
узла, например узла Дб, выразятся формулами:
а углы взаимного поворота смежных стержней
io вертикальные и горизонтальные перемещения произвольного
= 2
•J i 8
4 — 1
4=^4
ДфБ = 2 «;аг —
i
4=4
(5)
Вертикальное (горизонтальное) перемещение узла Аъ может быть вычислено
как сумма статических моментов относительно As вертикальных (горизонтальных)
сил и горизонтальных (вертикальных)
сил приложенных в соответствую-
щих узлах. Можно также представлять
себе две системы сил ccz и рг-, как на-
правленные перпендикулярно к той пло-
скости, в которой расположены оси
стержней, но для вычисления вертикаль-
ных прогибов брать моменты грузов а,г
относительно оси г», а моменты грузов
р. — относительно оси и.
Из этого способа автоматически
вытекает как частный случай графо-
аналитический способ Мора для по-
строения упругой линии балки.
Свой способ построения линии
прогибов шарнирной цепи Мор приме-
нил впоследствии к расчету ферм с
жесткими узлами и рам *.
а)
5
1
§ 9. ВЛИЯНИЕ ДЕФОРМАЦИИ
ПОЯСОВ И РЕШЕТКИ НА ПРОГИБЫ
ФЕРМЫ 2
Проф. В. К. Качуриным произве-
дено исследование того влияния, кото-
рое оказывают деформации различных
элементов фермы на ее прогиб. Заим-
ствуем из его книги рассуждения, отно-
сящиеся к линии влияния прогиба
среднего узла фермы с параллельными
поясами, представленной на фиг. 574.
Как будет доказано во второй части
курса, л. в. прогиба для любого узла
фермы совпадает с той линией прогиба
фермы, которая получится от загру-
жения этого узла неподвижной силой
Влияние деформации поясов
Фиг. 574.
I
I
L_ веяние деформации раскосов^
I I
j_Влияние деформации стоек —
t—— I • • """I
Предположим сначала, что дефор-
мируются только пояса. Вследствие
укорочения стержней сжатого верхнего
пояса и удлинения растянутого нижнего все прямоугольники превратится и
и ферма примет вид, показанный на фиг. 574, б. Разумеется, что здесь показан
прямоугольники превратятся в трапеции
1 Дальнейшие приложения графоаналитического метода см. в Рабо*е проф. А. А. У май
ского „Статика и кинематика рамных систем”, сборник „Исследования по т р pj
женим*, 1936.
2 В. К. К а ч у р и н, Статика мостов, стр. 185 и сл.» 1934.
23 Зак. 1842. И. М» Р&ждиьнм*
i.ik как действительные деформации завися! <н нлощд
п р и м с р н ы й вид
сечения стержней.
Ппимепный вид фермы, обусловленный исключительно деформацией раскосов,
„я Фиг 574 в и, наконец, примерное влияние деформации стоек —на
ЛИНИ.
дсй сечения
показан на фиг. 574, в и,
фиг. 574, г. д е ж показаны отдельно линии прогибов, вызванные дефор-
мациями поясов, раскосов и стоек при каких-то размерах сечений этих элементов,
я на Фиг 574 з — суммарная линия прогибов. По утверждению проф. Качурина, этот
суммарный график почти для всех типов балочных ферм получается близким к тре-
угольнику так как линия прогибов, вызванная деформацией поясов, имеет выпук-
лость обращенную вниз, а остальные две кривые — выпуклость, обращенную вверх.
Из сказанного можно сделать тот вывод, что в отличие от балки сплошного
сечения в которой, как известно, деформации сдвига слабо влияют на прогиб,
в балочной ферме взаимный сдвиг поясов, обусловленный податливостью решетки,
оказывает на прогиб существенное влияние.
§ 10. ОБ ОДНОМ ПРИЛОЖЕНИИ ДЕФОРМИРОВАННОЙ ФИГУРЫ ФЕРМЫ. РАСЧЕТ
„НУЛЕВЫХ" СТЕРЖНЕЙ
В фермах встречаются иногда такие стержни, которые при обычном статиче-
„ нулевыми", т. е. не испытывающими никаких усилий,
назначение которых
длины сжатых стержней верхнего
ском расчете оказываются
Таковы, например, на фиг. 575 стержни ab, cd, ef и т. д
состоит в уменьшении так называемой „ свободной“
пояса при расчете последних на продольный изгиб.
Обычно размеры таких стержней назначаются на основании конструктивных
соображений, так как при общепринятом методе расчета пришлось бы назначить
их площадь поперечного сечения равной нулю.
Однако нетрудно убедиться, что при достаточном возрастании деформаций
фермы эти стержни также вовлекаются в работу, получают отличные от нуля уси-
Фцг. 575.
лия и даже, в зависимости от своей жесткости и размеров поперечного сечения
М гут оказать влияние на несущую способность всей фермы.
дИТЬ ЭТ^ Усилияи уяснить необходимые сечения таких стержней можно,
весия более глубокому расчету, а именно составив уравнения равно-
весия^для ее деформированной фигуры.
познакомитТ^ии^бЫЛИ указаны пРимеры таких расчетов, и мы считаем полезным
смотрим работу стлгГ С ИХ основной идеей хотя бы в самом сжатом виде. Рас-
В начальный 1КИ В пР0Стейшей «Н^е, показанной на фиг. 576.
п начальный момент стойка CD
узла D она увлекает за собой
тельному растяжению; наконец
начинает работать на сжатие. В этом
слабое сечение стойки может hi
зиться весьма серьезно на п
стойки и вычктвяамла им па Работе всей фермы. Такой преждевременный выгиб
Сущность расчета такой 3?ушение ФеРмы легко наблюдаются на модели (фиг. 577).
Ф рмы, основанного на рассмотрении деформированной
не работает, затем вследствие опускания
узел С верхнего пояса, подвергаясь незначи-
в момент образования перелома в этом поясе
состоянии она остается до конца. Слишком
вызвать ее преждевременное выпучивание и отра*
354
фигуры. i. е
13 отказе с'|итать Деформации ничтожно малыми показана на Лиг *7я
Вйрежем левый опорный узел и спроектируем все силы на горизонтальЛы вер
тикаль:
$1 cos Aoj — S2 cos (9 -ф &э2) = о,
•у Р + ‘ Л<?1 — s2 s«n (•? + д?2) = о.
Затем вырежем средний верхний узел и спроектируем все силы на
Ss— 2Sj • Д-jj = о.
(а)
(Ь)
вертикаль:
В этих трех уравнениях содержатся пять
Фиг. 576.
На основании геометрических или
по диаграмме перемещений) получается
перемещения нижнего конца стойки:
кинематических соображений (например
следующее выражение для вертикального
=+а®» ’ctg (d)
Кроме того
'll = ''к> + Д5з-
(т13 cos 4
Д$1 sin ?) 04
Подставив в формулы (f) выраже-
ния (d) и (е), получим:
Д?2 = (е1 + е2> Ct5? ?>
(е)
Фнг. 578.
стержней. Эти удлинения выражаются
следовательно, пять уравнений (а), (Ь), (с), (g) содержат
где £р е2, £3 — относительные удлинения
через усилия S*, 52, Ss,
пять неизвестных.
Особенность этих уравнений по сравнению с обычными уравнениями статики
состоит в том, что они — трансцендентны; действительно, после подстановки урав-
нений (g) В первые три уравнения величины ер е2, е3, пропорциональные неизвест-
ным S2, S3, окажутся стоящими под знаком синуса и косинуса. Следовательно,
линейной зависимости между этими неизвестными и внешней
силой Р мы не получим.
Другое отличительное свойство этих уравнений состоит в том, что неизвестные
усилия зависят от en ео, е«, следовательно — и от площадей сечения. Иначе говоря,
о’
35о
23*
они не могут быть найдены из одних только уравнений статики, в которые, как
известно, эти площади не входят; задача оказывается статически-
неопределимо й.
Мы не будем останавливаться на решении полученных уравнений. Точное
решение их — невозможно, приближенное же решение может быть проведено с любой
степенью точности при помощи процесса последовательных приближений.
Из этого простейшего примера уже видно, насколько осложняется вся расчет-
ная задача, когда мы переходим к составлению таких уравнений статики, в которых
учтено искажение основной фигуры. 1 В
»К о\федеа.ен,ы, "силшИ^^^ также статью кавд. техн, наук Я. Б. ЛьвшИ
вып. IV, 194У. ? * Ы стержнях. ферм , «Исследования по теории сооружений**,
Глава XIV
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ
§ 1. ЗНАЧЕНИЕ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СИСТЕМ
Плоская ферма может находиться в равновесии только в том случае, когда
все действующие на нее силы расположены строго в ее плоскости. Так как на
практике это требование невыполнимо, то плоская ферма неустойчива и неминуемо
должна иметь закрепления, не лежащие в ее плоскости. Так, например, плоские
стропильные фермы связываются между собой поперечными связями, фермы про-
летных строений мостов — поперечными и продольными связями, а также проез-
жей частью, и т. д. Плоская ферма вместе с ее связями фактически является уже
пространственной системой. Если мы тем не менее пытаемся рассчитывать ее, как
плоскую, то мы обязаны смотреть на такой расчет, как на приближенный. Имея
преимущество перед точным в отношении простоты, он менее выгоден, так как
недостаточно учитывает работу дополнительных элементов, не лежащих в плоскости
фермы.
Кроме тех ферм, которые можно с известным приближением рассматривать
как плоские, существуют такие фермы, ярко выраженный пространственный харак-
тер которых не дает никакой возможности считать их плоскими. Таковы многие
системы купольных ферм, применяемых для перекрытий гражданских и промыш-
ленных сооружений, фермы корпуса жесткого дирижабля, самолета, фермы неко-
торых систем башен, мачт и т. д. Их необходимо рассчитывать, как пространствен-
ные системы.
Задачи и методы расчета пространственных систем — принципиально те же,
что и для плоских систем, но отличаются значительно большей сложностью, так
как приходится вести графические построения в двух плоскостях проекций и удо-
влетворять значительно большему количеству уравнений статики, чем при решении
плоских систем.
§ 2. СЛОЖЕНИЕ СИЛ В ПРОСТРАНСТВЕ
Сложение сил имеет целью, главным образом, замену одной системы сил дру-
гой, ей эквивалентной, но более простой. Две системы сил являются эквивалент-
ными, если их проекции на любые три оси и моменты относительно этих осей
соответственно равны между собой.
Сложение сил, пересекающихся в одной точке, может быть произведено при
помощи силового многоугольника по правилу сложения векторов. Разумеется, мно
гоугольник получается пространственным. Его замыкающая по величине и по напра
влению выражает собой равнодействующую силу; эта равнодействующая
проходит через общую точку приложения заданных сил.
Система параллельных сил приводится либо к равнодействующей силе, имеюше
то же направление и равной их геометрической сумме, либо к паРе_
Г Для нахождения "последней достаточно спроектировать
31>7
геометрическая сумма параллельных сил не равна нулю, то они
равнодействующей силе
такую систему на две взаимно-перпендикулярные плоскости и, рассматривая полу-
ченные да? проекции как плоские системы сил, построить для каждой из них
Хвочный многоугольник и найти равнодействующую. Такое построение показано
да фиг 579. здесь вся система приведена к одной силе, положение которой в про-
гтпшстве определяется ее двумя проекциями R и
Р Если сДне пересекаются в одной точке и не параллельны между собой,
ТО в общем случае они не приводятся к одной равнодействующей силе или к паре
сил. Простейшая эквивалентная им система со-
стоит из силы Р и пары 7И, причем проекция
силы R на любую ось равна сумме проекций
заданных сил; следовательно, эта сила вполне
определенна по величине и направлению. Что
касается ее положения в пространстве, то оно
может быть выбрано произвольно, но в зави-
Фиг. 579.
симости от этого выбора будут изменяться
величина момента 7И и плоскость действия
равнодействующей пары.
Если мы перенесем точку приложения си-
лы R из А в какую-нибудь точку А' (фиг. 580),
то к равнодействующей паре, выражаемой век-
тором М, придется добавить пару Rd, следо-
вательно, к вектору М геометрически приба-
вить вектор, перпендикулярный к плоскости,
содержащей силу R и проходящей через точки
А и А'.
Разложим вектор М на взаимно-перпендикулярные составляющие Y, X, из кото-
рых первая параллельна силе р. Всегда можно подобрать положение точки А'
так, чтобы упомянутая плоскость была перпендикулярна вектору X и чтобы, кроме
того, получилось Rd —— X. Тогда вектор момента сведется только к составляю-
щей Y, параллельной силе R. В этом случае линия действия силы R называется
главной осью системы, а вектор Y — главным моментом. Главный момент является
минимальным из всех возмож-
ных.
Другое простое преобра-
зование пространственной си-
стемы сил — это сведение ее
к кресту сил, т. е. к двум
силам. Такое представление
системы сил всегда возможно.
В самом деле, мы можем при-
вести систему сначала к си-
ле R и к паре Ж, действую-
щей в некоторой плоскости Е
(фиг. 581, а), а затем одну
Фиг. 580.
из сил пары приложить в точ-
ке А, дав ей в плоскости Е
произвольное направление и произвольную величину (фиг. 580, 6). Другая сила Q
расположится на расстоянии от первой. Сложив Q и R, получим силу Р и
тем самым сведем всю систему к кресту сил (Р, Q). Пара сил и просто сила
являются частными случаями креста.
Всякая прямая, пересекающая обе силы креста, является н у л е в о й прямой
системы сил, так как суммарный момент последней относительно такой прямой,
очевидно, равен нулю. Свойства нулевых прямых связаны с теорией нулевой
системы, разработанной в 1837 г. Мэбиусом.
ж₽ст?ёмДеНИе сист®мы к кресту сил может быть произведено бесконечным мно-
X™6 ’ РИЧем между Разнообразными эквивалентными крестами суще-
ствуют интересные зависимости. F J
358
Попытки создать для сложения сил в пплгтгю.,^ .
которое по своему значению было бы аналогично гра*ическое построение,
плоской системы/ привели Мориса 1ви ТХии ₽ -Н°МУ ««^угольнику
Однако это построение не обладает практическими достоинствами
п имеет лишь теоретическое значение. Г v d ,и
в последнее время Ф. М. Димент-
для
веревочной пирамиды.
..................своего прототипа
Ьолее интересное обобщение предложено
бергом Ч
Другой путь намечается сле-
дующей теоремой: для того
чтобы пространственная
система сил была в рав-
новесии, необходимо и
достаточно, чтобы ее
проекции на три взаимно-
перпендикулярные ПЛО-
СКОСТИ были уравнове-
шены. При графическом пост-
Фиг. 581.
роении этот признак переходит
в следующий: для каждой из этих трех проекций силовой и веревочный мно-
гоугольники должны оказаться замкнутыми. Для доказательства теоремы заме-
тим, что:
1) равновесие проекции системы сил на плоскость х, у выражается тремя
условиями: 2^=0, 2^~ О, (z) = Q;
2) равновесие проекции на плоскость х, г эквивалентно трем условиям:
3) наконец равновесие в плоскости у, z эквивалентно условиям 2^ — 0»
2 Z = 0, 2 (*) = среди которых только одно последнее является новым.
В итоге система удовлетворяет шести независимым уравнениям статики.
§ 3. РАЗЛОЖЕНИЕ СИЛЫ НА ТРИ СОСТАВЛЯЮЩИЕ, ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ С НЕЙ
В ОДНОЙ ТОЧКЕ
Задачу о разложении всегда можно заменить задачей об уравновешивании:
стоит повернуть либо разлагаемую силу, либо ее составляющие в обратную сто-
рону, и получится уравновешенная система сил.
Силы, проходящие через одну точку, должны удовлетворять трем условиям
О
Фиг. 582.
оси стержней /, 2
движной: точка А,
пендикулярное к этой плоскости.
2 Y = 0, 2 Z “ 0; поэтому задача о разложении заданной
силы Р на три направления, пересекающиеся с нею
в одной точке, является в общем случае определенной,
разложение на большее количество направлений явля-
ется неопределенным, а на два направления — невоз-
можным. В частном случае, когда силу Р требуется
разложить на три направления, лежащие в одной пло-
скости, задача будет неразрешимой, если сама сила Р
не лежит в той же плоскости, и неопределенной, если
она лежит в этой плоскости.
Что задача о разложении силы Р на три напра-
вления, не лежащие в одной плоскости, будет опре-
деленной, вытекает также из геометрической неизме-
няемости и неподвижности стержневой системы, пред-
ставленной на с]
лежат в одной плоскости
и
очевидно
Ьиг. 582. Однако в том случае, когда
, фигура перестает быть непо-
может иметь бесконечно малое перемещение, пер
1 „О пространственном веревочном многоугольнике" „Инженерный сборник т V»
вып. 1, 1948.
35У
и
действующую 7?
так как она
сечения плоскостей (7, 3) и (Р, 2).
Для построения этой линии найдем сначала следы а
Разбираемая задача имеет важное значение для теории ферм. Для решения ее
имрртся много различных способов.
Изложим здесь графическое решение. Пусть даны в двух плоскостях проек -
ний сила Р и направления тех сил 1, 2, 3, которые должны ее уравновешивать
583> Будем искать сначала равнодействующую двух сил, например равно-
. R сил 1 и 3. Она, очевидно, лежит в плоскости сил 1 и 3. Но
' ^’уравновешивает остальные две силы, т. е. Р и 2, то она одновременно
лежит и в плоскости последних. Итак, она направлена по линии взаимного пере-
сечения плоскостей (/, 3) и (Р, 2). « о >
Для построения этой линии найдем сначала следы а, Ъ, с, а пр ых 1, 2, 3
и Р на горизонтальной плоскости. Прямая ас представляет ^обо^£Ориз^
след плоскости (7, 3)
ного пересечения есть
а прямая bd—след плоскости (2, P). Точка в их взаим-
горизонтальный след искомой
прямой. Поэтому прямая Ас
Фиг. 583.
1_3. Имея эту проекцию и
представляет собой горизонтальную проекцию прямой Имея эту проекцию и
горизонтальный след е, проектируем эту точку на ось и получаем вертикальную
проекцию той же прямой
После этого мы можем построить показанный на фиг. 583, б силовой много-
угольник. Сначала сила Р уравновешивается силами 2 и для чего строится
в двух плоскостях проекций силовой треугольник. После этого введенная в каче-
стве вспомогательной величины сила 7?i_3 разлагается на две составляющие по
заданным направлениям 7 и 3. Правильность построения поверяется тем, что
дая вершина силового четырехугольника должна лежать в обеих проекциях на
одной вертикали. F
Построение значительно упрощается, когда в
линии действия двух сил, например сил 1 и 3
вспомогательные построения отпадают: в названной
дольник превращается в треугольник а!Ь'с\
К CL О A\ * ’
их проведя из точек с, b прямые по направлениям 3 и 7» мы L
ии найдем четвертую вершину d. По ней в вертикальной плоскости
360
одной из плоскостей проекций
сливаются в одну. Тогда все
плоскости проекций четырех -
который может быть построен сразу
плоскости проекций сейчас же получаются вер-
на
(фиг. 584), после чего в другой
шины a. Ь, с;
проекций определится и вершина d'. Задачу можно решать
ческим путем, составляя уравнения проекций или моментов
лишь тогда, когда удается легко вычислить косинусы
углов наклона или плечи сил.
Для дальнейших приложений важны следующие част-
ные случаи уравновешенной системы сил, пересекающихся
в одной точке. На фиг. 585 показана система пересекаю-
щихся сил, причем все они кроме силы 5 лежат в одной
плоскости. Спроектировав все силы на нормаль к этой
плоскости, мы сейчас же убедимся из условий равнове-
сия, что 5 = 0.
В применении к пространственной ферме этот вывод
можно сформулировать так: если в ненагружен-
ном узле А имеется одиночный стержень 5,
то усилие в нем равно нулю (одиночный
стержень узла — такой, который не лежит в плоскости,
в которой расположены все остальные стержни дан-
ного узла).
Если система состоит из трех сил, не лежащих в одной
плоскости, то каждая из них является одиночной, так как
через две другие всегда можно провести плоскость.
Отсюда следует, что все три силы равны нулю. В не-
также чисто аналити-
но этот путь хорош
Фиг. 584.
нагруженном пространственном трехстерж-
невом узле все три стержня являются
нулевыми. Если все силы кроме двух лежат в одной плоскости, а линии
действия этих двух, 5 и Г, составляют продолжение друг друга (фиг. 586),
Фиг. 585.
Фиг. 586.
то 5 4~^=0, или 5=—Г. Доказательство основано на том, что равнодействую-
щая сил 5 и Т может рассматриваться как одиночная сила.
При помощи этих теорем легко выделяются нулевые стержни при расчете ферм.
§ 4. РАЗЛОЖЕНИЕ СИЛЫ ИЛИ СИСТЕМЫ СИЛ НА ШЕСТЬ НАПРАВЛЕНИЙ
Любая сила или система сил, вообще говоря, может быть разложена на шесть
составляющих, направленных по шести произвольно заданным прямым. Действи-
тельно, это разложение заключает в себе только шесть неизвестных величин соста-
вляющих, которые и могут быть найдены из шести уравнений статики. Если
требуется разложить силу на большее число составляющих, то задача — неопре-
деленна, а если на меньшее, — то в общем случае неразрешима.
Разложение силы на шесть направлений в общем случае, когда никакие два
направления не пересекаются между собой и непараллельны, представляет со о
Довольно громоздкую задачу. Ею занимались многие, начиная с Мора, зложение
некоторых решений, а также библиографию (далеко неполную) можно на ти
в книге Г. Д. Ананова1.
1 „Метод ортогональных проекции в задачах механики", I осте х изд ат, 1348.
Jbl
Практическое значение проблемы состоит в том, что к ней приводится задача
о нахождении статически-определимых реакций геометрически-неизменяемого тела,
нпикоепленного к фундаменту при помощи шести опорных стержней. Но общий
случай расположения этих стержней встречается редко.
В частных случаях, как мы сейчас увидим, задача решается легко.
Фиг. 587. Фиг. 588.
Например, если силы 1 и
гой (фиг. 587), то за одну
а за другую — прямую CD\
2 лежат в одной плоскости, а силы 3 и 4 — в дру-
из моментных осей следует принять прямую ДВ,
в оба уравнения моментов войдут остальные две
силы.
Если только две силы (1 и 2) лежат в одной плоскости (фиг. 588), то про-
водим вторую плоскость через точку их пересечения А и через силу 3 и находим
следы С и О силы 4 на обеих плоскостях. Тогда одной из моментных осей
Фиг. 589.
будет прямая AD, а другой — пря-
мая ВС.
Если три силы (7, 2 и 3) ле-
жат в одной плоскости (фиг. 589),
то моментная ось АВ дает возмож-
ность написать уравнение, содер-
жащее одну неизвестную силу 6;
ось ВС позволяет определить из
одного уравнения силу 4, а ось
А С — силу 5.
Если три силы пересекаются
в одной точке, то через нее всегда
можно провести прямую, пересекаю-
щую две другие, и получить одно
уравнение с одним неизвестным.
Если пять прямых лежат в параллельных плоскостях, то можно получить одно
уравнение с одним неизвестным, спроектировав все силы на нормаль к этим
плоскостям.
§ 5. СЛУЧАИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ СИЛЫ НА ШЕСТЬ
НАПРАВЛЕНИЙ
Для того чтобы разложение какой-нибудь силы Р на заданные шесть напра-
влений было возможным и определенным, необходимо, чтобы детерминант шести
уравнений статики был отличен от нуля. Соблюдение этого условия совершенно
не зависит от силы Р, а зависит исключительно от расположения этих шести
прямых.
Фнг. 590.
плоскости (фиг. 590), то пря-
В
Фиг. 591.
а самые стержни расположить
стержня, не лежащих в одной
так, чтобы их плоскость не
В некоторых частных случаях можно, не вычисляя детерминанта сразу сказать
ЧТО разложение неопределенно или невозможно, Таков, например, следующий
случай. заданные шесть прямых расположены так, что их можно
пересечь одной прямой. Действительно, относительно этой секущей момент
всех шести сил равен нулю; если сила Р не
пересекает той же прямой, то разложение не-
возможно; если пересекает, — то оно неопре-
деленно.
То же самое получится, если более трех
прямых проходит через одну точку, так как
через нее можно провести прямую, пересекаю-
щую остальные прямые.
Тот же вывод справедлив для случая, когда
более трех прямых параллельны между собой,
так как параллельные прямые пересекаются
между собой в одной бесконечно далекой
точке.
Сюда же относится тот случай, когда
более трех прямых лежат в одной плоскости.
Например, если силы 7, 2, 3 и 4 лежат в oj
мая АВ пересекает все шесть прямых.
Если все заданные направления перпендикулярны к одной
и той же прямой, то проекция их на эту прямую равна нулю, следовательно,
в зависимости от направления силы Р решение будет либо невозможным, либо
неопределенным.
Шесть сил, которые должны уравновесить заданную систему сил, можно рас-
сматривать как реакции шести опорных стержней жесткого тела. В общем случае
такое количество опорных стержней уничтожает
подвижность тела; разобранные же выше част-
ные случаи неопределенности или невозможности
задачи о равновесии отвечают такому расположе-
нию опорных стержней, при котором тело со-
храняет бесконечно малую подвижность.
Можно указать такое простое расположение
шести опорных стержней, которое всегда гаран-
тирует неподвижное прикрепление тела. Для этого
достаточно расположить опорные точки в вер-
шинах произвольного треугольника (фиг. 591),
следующим образом: 1) через точку А провести три
плоскости, 2) через точку В провести два стержня
проходила через вершину А; 3) через С провести
шестой стержень так, чтобы он не пересекал прямой АВ.
§ 6. ПРИЗНАКИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕИЗМЕНЯЕМОСТИ И НЕПОДВИЖНОСТИ
ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ШАРНИРНО-СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
При анализе геометрической неизменяемости и
неподвижности пространствен
ной фермы и при определении усилий в ее стержнях обычно считают, что концы
стержней связаны друг с другом идеальными шаровыми шарнирами, которые
лишены трения и допускают вращение вокруг любой оси, проходящей через центр
шарнира. Расчет по шарнирно-стержневой схеме является приближенным и введен
лишь для упрощения.
Опоры пространственных ферм схематически изображаются либо тремя опор-
ними стержнями, либо двумя, либо одним. Первый гип опор допускает вращение
системы вокруг неподвижной точки по любому направлению (3 степени свободы).
Такое узловое соединение можно представить себе как шар, входящий в сфери-
ческие углубления, устроенные в опорной подушке и в опираемом теле (фиг. ОУА а).
Элу опору называют неподвижной шаровой.
3(53
Втооой тип эквивалентный двум опорным стержням, допускает поступательное
движение тела по определенному направлению и, кроме того, поворот вокруг трех
осеГ(4 степени свободы) и носит название подвижной цилиндрической опоры
Хг 592 б) Он состоит из нижней опорной подушки и из уложенных на нее
шлиндричёских катков, ио которым катается верхняя опорная подушка. На
последнюю при помощи шара, лежащего в углублении, опирается тело
Наконец, одностержневая опора может быть представлена схемой фиг. 5J2, в.
Она состоит из опорной подушки и шара, могущего кататься по ее поверхности,
и допускает поворот вокруг трех осей и поступательное перемещение по любому
направлению на поверхности (5 степеней свободы). Предполагается, что опираемое
тело прижато к шару внешними силами и отделяться от него не может.
Обозначим число собственных стержней фермы через С$, число опорных
стержней — через С_, число узлов —через У. Каждый узел, или — вернее — центр
каждого узла, можно рассматривать как точку, которая при отсутствии каких бы
ТО
стержней — через Q
ни было связей обладала бы в пространстве тремя степенями свободы. Когда
Фиг. 592.
©
мы соединяем две точки стержнем, то уменьшаем их суммарную степень свободы
на единицу, так как их шесть координат оказываются связанными между собой
зависимостью вида:
(Х1 — ла)2 + (У1 —Уъ)2 + (г: — гз)2 =
где d—длина стержня. Следовательно, каждый стержень эквивалентен одной
связи. Полное число связей равно Сф 4- Со. Вычтя из числа связей число степеней
свободы, мы получим число лишних связей. Обозначим его буквой Л,
Итак:
(1)
Если Л<0, то система не имеет достаточного числа стержней и поэтому
является изменяемой или подвижной кинематической цепью. Если Л=0, то система
не имеет лишних стержней и может оказаться геометрически-неизменяемой и ста-
тически-определимой. Если Л > 0, то система имеет лишние стержни и может
оказаться геометрически-неизменяемой и статически-неопределимой. В двух послед-
них случаях необходимо конечно, не ограничиваясь подсчетом числа стержней,
рассмотреть еще их расположение.
В том случае, когда Л~Ъ, уравнение (1) принимает вид:
- | '-'О*
может СЛУЖИТЬ необходимым (по недостаточным) признаком
ческой определимости. Его можно было бы . - 7
подсчета числа неизвестных сил, которое равно" Сф + СОГ* из “ч
тики, получаемых при вырезании всех узлов, которое равно ЗУ.
от впппп. ?™bH° 0Гделить вопрос о геометрической неизменяемости фермы
мая о-Лсвои —сти и выяснить, представляет ли собой ферма, отделен-
потому что |РАП0₽’ 0ДН0 Целое’ т0 ми должны подставить в уравнение (Г) С„ = 6,
У 'еометрически-неизменяемая система для обеспечения своей неподвиж-
364
стати-
легко получить также, исходя из
и из числа уравнений
НОСТИ требует шести опорных стержней. Следовательно число лишних стержней
фермы, отделенной от ее опор, выражается формулой: стержней
<^г=з Сф -j— 6 — ЗУ,
j признак геометрической неизменяемости и статической
имеет вид
определимости такой фермы
3 У — Сф —6,
(2) ’
Например, система, представленная на фиг. 593, содержит 8 узлов и 17 стеож
ней, следовательно:
3 У = 3*8 == 24;
Об 4" 6 = 17 —6
т. е. недостает одного стержня.
Для того чтобы эта система
сделалась неизменяемой, доста-
точно поставить диагональ в
верхнем основании или внутри
тела.
В качестве другого при-
мера рассмотрим геометри-
чески-неизменяемую плоскую
ферму, но вообразим, что
Фиг. 593.
все ее шарниры — шаровые.
В плоской ферме число узлов
и число стержней связаны между собой такой зависимостью:
Сделав соответствующую подстановку в формулу (1")> получим:
2У=С0 + 3.
Л=(2У— 3)4-6— ЗУ = 3 — У.
Если ферма имеет больше трех узлов, то Л < 0, т. е. замена цилидрических
плоских шарниров шаровыми превращает ее в кинематическую цепь. Например,
для фермы фиг. 594 У =7, следовательно Л=3 — 7 = — 4, т. е. система
имеет четыре степени изменяемости.
*
Фиг. 594.
Действительно, ее можно „перело-
мить" вокруг каждого из ее рас-
косов.
Подсчет числа лишних или не-
достающих стержней сильно облег-
чается, если ферма имеет вид вы-
пуклого многогранника с треуголь-
ными гранями, ограничивающего
односвязное пространство. Все стерж-
ни такой системы можно рассматривать как лежащие на замкнутой наружной
поверхности.
Если мы обозначим । число граней буквой Г, то число стержней будет равно
Сф=2£-> так как каждый стержень входит в состав двух смежных граней.
Вместе с тем всякий выпуклый многогранник удовлетворяет знаменитой теореме
Эйлера, доказанной им в 1752 г.:
Сф = — 2»
(3)
т. е. число стержней равно числу узлов, сложенному с числом граней и умень
шейному на два1.
1 См. об этом вопросе книги членов-корр. АН СССР проф.
„Выпуклые многогранники , 1950, гл. XI и проф. Л. А. Р *
355
Исключив из этих двух уравнений величину Г, найдем
Сф — ЗУ— ь.
В ПРОИЗВОЛЬНОМ ВЫПУКЛОМ МНОГО"
гранями или взаимный
Полученный вывод показывает, что стержневая система, имеющая вид много-
гпанника с треугольными гранями (так называется сетчатая система), автоматически
уповлХояе? условиям геометрической неизменяемости и ста-
тический определимости, не нуждаясь ни в каких внутренних
С Т 6 Этатеорема является частным случаем более общей, доказанной Коши в 1813 г.
и сформулированной им следующим образом: „
граннике, в котором все грани — неизменяемые, углы между
наклон ребер также неизменяемы".
Пользуясь этой теоремой, можно во многих случаях
геометрическую структуру ферм. Например, для того чтобы
ную на фиг. 593, можно было
считать сетчатой и, следователь-
но, неизменяемой системой, ей
недостает одной диагонали в
верхней грани. О фиг. 595 можно
быстро анализировать
систему, представлен-
Фиг. 596.
сразу, не считая стержней и узлов, сказать, что она геометрически-неизменяема и
не имеет лишних стержней.
Система, изображенная на фиг. 596, не является сетчатой. Чтобы стать
таковой, она должна была бы иметь диагональ в верхнем основании, диагональ —
в нижнем и кольцо из четырех стержней в нижнем основании; но вместо этих
недостающих шести стержней она имеет столько же дополнительных опорных
стержней (общее количество опорных стержней равно 12 вместо 6).
После того как будет выяснено, что исследуемая ферма имеет структуру,
приемлемую для геометрически-неизменяемой и неподвижной стержневой системы,
необходимо выяснить, не является ли она мгновенно-изменяемой или подвижной,
ото можно сделать при помощи таких же методов, которые применяются для
решения вопроса о мгновенной изменяемости в теории плоских ферм; проще
всего —при помощи метода нулевой нагрузки.
§ 7' 1ттпстп^11ЕОМЕТРИЧЕСКОГ'1 НЕИЗМЕНЯЕМОСТИ И НЕПОДВИЖНОСТИ
ПРОСТРАНСТВЕННЫХ РАМНЫХ И КОМБИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ
Пространственные стержневые системы могут содержать не только шарнир-
я ’е’ Н° И Жесткие узлы- Такие стержневые системы, у которых все узлы жесткие,
Такие’ K0T°Pbie состоят из жестких (рамных) элементов, связанных между
собой шарнирно, мы будем называть пространственными рамами (фиг. 597).
, СЛИ В состав системы> кроме рамных элементов, входят шарнирно-стержневые,
мы будем ее называть комбинированной.
366
Любая неизменяемая плоская млн пространственная фигур! обладает в про-
странстве шестью степенями свободы. Исключение составляет отрезок прямой:
оН обладает только пятью степенями свободы, так как не может вращаться вокруг
Ll»J
себя самого.
Шаровой шарнир, соединяющий любые два элемента, например, плоские или
пространственные фигуры, прямые стержни или прямой стержень с какой-нибудь
фигурой, налагает на их движение три связи. Действительно, такой шарнир уничто-
жает возможность взаимного поступательного перемещения обоих элементов по
направлению трех координатных осей.
Шарнир, ‘связывающий между собой п элементов, эквивалентен п — 1 простым
шарнирам.
Прямой стержень, прикрепленный концами к двум элементам при помощи
шаровых шарниров, отнимает одну степень свободы.
Обозначим число геометрически-неизменяемых и статически-определимых
элементов через /д; приведенное число шаровых шарниров, соединяющих эти элементы
друг с другом, через п; число прямых
стержней, которые не входят в состав
этих элементов, но связывают их шар-
нирно между собой, — через С; число
опорных стержней — через Со. Число
лишних связей выразится так:
Л = 3/2 С —j— Сф —— 6 z/z. (4)
Можно построить формулу не-
сколько иначе. Будем рассматривать
систему, как составленную из элемен-
тов двух типов: 1) прямых стержней,
2) геометрически-неизменяемых фигур
Фиг. 597.
любого вида. Число элементов первого
типа обозначим через С\ а второго — через/л7; приведенное число всех шаровых
шарниров, связывающих между собой элементы — через п'} число опорных стерж-
ней— через Со.
Тогда
Л — Зп' -}
Cq — — 5 С*7.
(5)
Признак статической определимости выражается условием Л = О. Разумеется,
этот признак является необходимым, но недостаточным. Если опорных стержней
нет, то при анализе геометрической неизменяемости (игнорируя возможность пере-
мещения всей фигуры как целого) следует положить Со = 6.
На фиг. 598, а показана для примера шарнирно-стержневая ферма, а на
фиг. 598, б* в — две системы, образованные из нее удалением четырех стержней
и введением четырех жестких двухстержневых соединений, которые отмечены
дугами. Для фиг. 598, б и в имеем:
п = 6,
С = 0, Cq= 6, /72 = 4, *77=3 • 6 6
6 -4=0
или
/г'= 6, С' = 0, Со=6, т' = 4, *77=3 -6-]- 6—6-4 = 0.
Однако нельзя сказать, что обе фигуры геометрически неизменяемы: вторая
имеет лишние закрепления по направлениям СЕ и DE и изменяемые длины по
направлениям CD и ГЕ.
Фиг. 598, а можно рассматривать не только как шарнирное соединение стер-
жней, но также как шарнирное соединение четырех геометрически-неизменяемых и
статически-определимых элементов (фиг. 598, г).
При такой трактовке будем иметь:
,/ = 6, (? = 0, Со = 6, т' = 4, л=3 • 64-6—-6 • 4 = 0.
Зй7
Определим в заключение степень изменяемости шарнирно-стержневого fe-уюль-
ника с Л шаровыми шарнирами.
w'efr, т' = 0, C' — k, = —fe)> 1Г= —Л = 2(/г— 3).
При
3
== О; при k = 4
IT =2 и т. д.
Плоский стержневой
плоскости k — 3 степеней
шарнирный ^-угольник без диагоналей имеет в своей
изменяемости. Кроме того, он может быть сдеформирован
Фиг. 598.
путем „перелома- по линии, совпадающей с любой из возможных диаго-
няемости ДЭ М0ЖН0 был° бы, казалось, сделать следующий вывод: степень изме-
== k — 3 4 -
k(k—3) _(^+2)(/г —3)
2 “ ~2
Но для всякого многоугольника
(*+?) (k — 3)
2 (/г — 3).
368
помощи упомянутых п р
(Л+2) (£ — 3)
Поэтому часть перемещений узлов в плоскости многоугольника может быть
достигнута при
Иначе говоря, не все из числа
j l j ран с 1 венных перемещений,
перемещений являются независимыми.
§ 8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИИ
ФЕРМАХ СПОСОБОМ
ЫРЕЗАНИЯ УЗЛОВ
Если в ферме имеется какой-нибудь трехстержневой узел, стержни которого
не лежат в одной плоскости, то решение задачи начинаем с этого узла. Если
к нему не приложена внешняя нагрузка, то во всех трех стержнях усилия равны
нулю; если же внешняя нагрузка имеется, то усилия могут быть найдены либо
графически, например, вышеуказанным способом, либо аналитически, если потребные
для этого углы или плечи определяются легко. После этого следует искать новый
узел, хотя бы и содержащий четыре стержня, но в котором имеется только три
неизвестных усилия, притом не лежащих в одной плоскости. Если такой узел
имеется, то вырезаем его и находим его усилия указанным выше способом и т. д.
Возможность или невозможность непосредственного определения всех усилий
этим способом зависит от геометрической структуры фермы.
Задача 1. Определить усилия в ферме, представленной нафиг. 599, от силы Р, при-
ложенной в узле /.
Ферма, которую вам нужно рассчитать, называется куполом Шведлера. На фиг. 599
он состоит из двух ярусов, каждый из которых представляет собой правильную усеченную
пирамиду. Боковые грани имеют вид t
плоских трапеций с диаюналью. Если Pt
бы эта система имела нижнее кольцо, , / f
состоящее нз шести стержней с тремя ff ^,(f a'cr b
диагоналями, а также три диагонали в
верхнем кольце, то она была бы гео-
метрически-неизмеияема, как сетчатая
система. Отсутствие этих 12 стержней
возмещается таким же количеством до-
бавочных опорных стержней. Всего
имеется 18 опорных стержней — по 3
в каждом нз опорных узлов.
Поместим в узле / силу Р, имею-
щую произвольное направление. Прежде
всего выделим нулевые стержни. В узле
2 стержень 2-а одиночный, а так как
внешней нагрузки в этом узле нет, то
стержень 2-а является нулевым. После
удаления этого стержня узел а оказы-
вается состоящим нз трех одиночных
стержней а-5, а-6, а-Ь9 которые все
являются нулевыми. Вслед затем отпа-
дает узел b с оставшимися в нем тремя
стержнями b-б, b-f н b-c\ затем последо-
вательно отпадают узлы с и d,
В узле 6 остаются четыре стержня,
причем стержень б-f является одиноч-
в узле f три
стержня, не лежащих в одной плоскости,
ным. Откинув его, получим
следовательно, этот узел отпадает. После
него, очевидно, отпадет и узел е.
Все нулевые стержни показаны на
фиг. 599 тонкими линиями.
Определение усилий во всех
остальных стержнях может быть произ-
Фнг. 599.
ведено последовательным вырезанием
узлов в порядке, указанном их нумерацией. В каждом таком узле мы встретим по три
неизвестных усилия, не лежащих в одной плоскости, или по два, лежащих в одной
плоскости. В последнюю очередь придется рассмотреть опорные узлы, в каждом из кото-
рых неизвестными будут трн опорные реакции.
Представим себе теперь, что сила Р переместилась из узла 1 в узел 2, зате i в узел а
и т. д., т. е. что она прилагается в любом узле верхнего кольца. Кроме того, будем считать,
что ее наклон к стержням нагруженного узла остается таким же, каким он был в узле /.
Очевидно, что при этом, благодаря полной цикличности купола, усилия во всех стержнях
получаются из предыдущего решения путем циклической перестановки. Никаких новых
построений нли вычислений не потребуется.
24 Зак. 1842. и М. Рабинович.
369
Из того же первоначального решения могут быть получены и все линии влияния.
iinoMMCD. усилие в стержней вызываемое вертикальным грузом, стоящим в узле 2,
овппдаст с усилием стержня с-е от такого же груза, стоящего в узле /, и т. д.
При одновременном загружении нескольких узлов усилия в стержнях определяются
по принципу наложения, простым суммированием.
Для того чтобы быть в состоянии быстро определить усилия от какой угодно нагрузки,
стоящей в любом узле любого яруса, достаточно сделать следующее: взять узлы любого
из меридианов" купола и нагрузить каждый нз ннх тремя взаимно-перпендикулярными
силами, равными единице. В рассматриваемом примере меридиан имеет три узла, но так как
нижний неподвижно оперт, то достаточно нагрузить два узла шестью силами. Имея соот-
ветствующие шесть диаграмм усилий, мы сможем простым суммированием определить усилие
в любом стержне от какой угодно нагрузки.
Особенно простое решение получается в том случае, когда сама внешняя нагрузка
имеет циклический характер. Например, если все узлы каждого кольца загружены одина-
ковыми вертикальными силами, то все стержни, принадлежащие одному кольцу, испытывают
одинаковые усилия; соответственно равные усилия получаются также во всех меридианах.
Легко показать, что в таком случае диагонали не работают. Вместо вырезания всех узлов
фермы можно ограничиться вырезанием узлов одного меридиана. Ц
§ 9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ ПРИ ПОМОЩИ РАЗЛОЖЕНИЯ ФЕРМЫ НА ПЛОСКИЕ
СИСТЕМЫ
Пусть в состав пространственной статически-определимой фермы входит такая
плоская система стержней, которая, будучи отделена от остальных стержней фермы,
осталась бы в своей плоскости геометрически-неизменяемой и неподвижной.
Эта плоская ферма, понятно, не могла бы воспринимать никакой нагрузки, не со-
впадающей с ее плоскостью.
Легко доказать следующую общую теорему: если нагрузка простран-
ственной фермы состоит из сил, приложенных к узлам этой
плоской фермы и лежащих в ее
Фиг. 600.
плоскости, то вся нагрузка вос-
принимается только стержнями
плоской фермы, усилия же во
всех прочих стержнях прост-
ранственной фермы обращаются
в нуль. Доказательство непосредственно
вытекает из принципа единственности
решения статически-определимой задачи.
В самом деле, предположим, что усилия
распределяются согласно этой теореме; в
таком случае плоская ферма будет нахо-
диться в равновесии вследствие своей гео-
метрической неизменяемости и неподвиж-
ности, все же прочие узлы — вследствие
обращения сходящихся в них усилий в нуль.
Итак» решение, указанное теоремой, удо-
влетворяет всем требованиям равновесия,
следовательно, оно правильно.
На основании этой теоремы можно
легко определять усилия в некоторых
фермах, в частности, в фермах, имеющих
вид призм или усеченных пирамид. Для
примера рассмотрим ферму, представлен-
ную на фиг. 600. Она представляет собой
усеченную шестигранную пирамиду, раз-
цами. Пусть
вляющие S, к -----
влияние каждой составляющей в
Сила U вызовет сжатие
реакцией, приложенной в
испытывать не будут.
в узле А приложена
Г, £7, направленные
сосредоточенная3 ^Ь1р°₽щонтальн,'|ми коль‘
по трем стержням э^о Х™
отдельности. У ’ и рассмотрим
точке О. Вс^роЧиеРастерВжниТСА ОПОРНОЙ
Р ни фермы никаких усилий
370
Силл s воспринимается исключительно плоской гранью ABCD (фиг. 601),
tn.w Т—исключительно гранью AEFD (фиг. 602).
Фиг. 601.
Фиг. 602.
Совершенно таким же образом разложится сила, приложенная в любом узле
промежуточного кольца.
§ 10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ СПОСОБОМ ЗАМЕНЫ СТЕРЖНЕЙ
Определим усилия в стержнях фермы, изображенной на фиг. 603, а. Все ее
боковые грани составлены из треугольников. Вместо недостающих двух диагоналей
основания имеются два дополнительных опорных стержня, т. е. всего восемь опор-
ных стержней.
Фиг. 603.
Преобразуем ферму так, чтобы она превратилась в простейшую. Для этого
прежде всего превратим узел А в двустержневой, удалив два стержня, например,
АВ и АС. Усилия, которые возникают в этих стержнях от внешней нагрузки (на
24* 271
чертеже нагрузка не показана), обозначим через Л( и X,. В пятиугольное основание
наедем две диагонали С'н D F.
Легко доказать, что полученная ферма (фиг. ЬОб, б) принадлежит к про-
стейшим; она образована из геометрически-неизменяемого и неподвижного основа-
ния B'C'D'E'F' путем последовательного добавления трехстержневых узлов
(триад) F, Е, D, С, В, А.
Будем искать усилия в этой ферме. , ,
Назовем усилия в заменяющих стержнях C'F' и D F, вызываемые внешней
нагрузкой, соответственно через Up, Vp; усилия в них же, вызываемые двумя
силами Хг при условии, что ^=1, через Ц, Vt и вызываемые силами
Х2 = 1 — через U2, V2.
Усилия во всех остальных стержнях обозначим соответственно через Sp\
где верхний индекс обозначает номер стержня. Так как заменяющая ферма
2
принадлежит к числу простейших, то усилия во всех ее стержнях легко опре
деляются путем последовательного вырезания узлов.
Для того чтобы усилия в заменяющей ферме ничем не отличались от усилий
в заданной ферме, необходимо, чтобы усилия в заменяющих стержнях от
совместного действия внешней нагрузки и сил XY и Х2 обратились в нуль:
^1*1+ v2x2+vp=q. ) '
(6)
Усилия и Х2) которые будут найдены из системы уравнений (6), предста-
вляют собой не что иное, как действительные усилия в стержнях В А и СА
заданной фермы. После того как они будут найдены, усилия в остальных стержнях
заданной фермы найдутся по схеме:
S(i) = + 4% + S(p.
(7)
Признак геометрической неизменяемости заданной фермы состоит в том
что все усилия 5<Ч вычисленные по этой формуле, должны быть конечными и
определенными. Так как заменяющая ферма геоме-
трически-неизменяема, то величины Si\ заве-
домо конечны и определенны, поэтому необхо-
димо и достаточно, чтобы величины и X
также были конечны и определенны. Отсюда
вытекает следующий
детерминант системы
от нуля:
критерий неизменяемости:
(6) должен быть отличным
2>
77
Фиг. 604.
7/7
§ 11. задачи и примеры
Jr Задача 2. Проверить геометрическую неизме-
яемость фермы, представленной на фиг. 604.
По своей структуре эта ферма является сетчатой
темой, поэтому в общем случае она статически опре-
делима. Для дальнейшего анализа применим способ
нулевой нагрузки. В узле / сходятся трн стержня, не
лежащие в одной плоскости, следовательно, при отсут-
ствии внешней нагрузки равновесие требует, чтобы
рермы, представленной на фиг. 604.
все три их усилия обратились в нуль. Откинув стержни,
остаются только три стержня, поитом _этом узле, мы замечаем, что в узле 2
узел также является нерабочими т* *3^жащие в одной плоскости; следовательно, этот
нумерацией на чертеже, мы убедимся и™ <1реходя От Узла к узлу в порядке, указанном
и только нулю. Следовательно Лнг™я ,.ери нУлевой нагрузке все усилия равны нулю
Задача 3. Определить степ^Г.зменяеХЛ^.,., _______________________,. ... J
372
и только нулю. Следовательно d
изменяемости системы, изображенной на фиг. 605.
V
к
и
Задача 4- Определить усилия в трех опорных стержнях АВ AC AD обоазхюших
а прямой трехграннои пирамиды с основанием в виде правильного Треу7ольнпкаУВСР.
н имеют длину /, а стороны основания — длину а. Сила Р — вертикальна (фиг. 606).
Ь»бра
г Из условии симметрии ясно, что все три силы равны
e»W с0®01''' Обозначим их через S и спроектируем на
рертикаль;
3S • cos a = P,
3 cos a *
ГДС
9
h
о
COS a —
Фиг. 605.
Задача 5. То же — от силы Р, параллельной прямой ВС
(фш. 607).
Составим уравнение моментов относительно осн ВС.
Силы Si и как пересекающиеся с осью, не войдут в
это уравнение, н в нем останутся лишь силы и Р.
Но так как Р || ВС, то момент силы Р равен нулю, сле-
довательно, S3 = 0. Силы Р, S\ и лежат в одной плоскости, поэтому усилия Si и S2
определяются, как в плоской ферме.
Задача 6. То же — от горизонтальной силы Р, перпендикулярной к прямой ВС
608).
Момент относительно оси ВС. Момент силы Р равен Ph. Момент S3 можно
найти, перенеся
силу в точк\ D н разложив на горизонтальную и вертикальную соста
эту
Фиг. 606. Фиг. 607. Фиг. 608.
h
вляющие. Первая пересекает ось ВС, а потому не дает момента, вторая же имеет плечо,
равное высоте треугольника BCDS т. е.
имеет вид:
яУЗ с о с h V «
, и равна S3sin р = . Уравнение моментов
h аУ 3
= 0
откуда
S3 =----^—Р.
аУЗ
Момент относительно оси DC. Так как сила Р горизонтальна, т. е. парал-
лельна плоскости треугольника BCD, то ее можно разложить на составляющие парал-
лельно и перпендикулярно прямой DC. Последняя составляющая равна Psin 30е ее
момент равен h. Итак:
—h
^.^Р = 0;
a V3
373
Наконец, из и ловпй симметрии следует, что <$2 = Si.
Очень просто решается задача графически (фиг. 609). В вертикальной плоскости
проекций строим в произвольном масштабе силовой треугольник со сторонами Г, 2', 3', так
как проекция силы Р обра
щается в нуль. В горизон-
тальной плоскости проекций
получается четырехуголь-
ник, который строится сле-
дующим образом: длина от-
резка рг, выражающего со-
бой горизонтальную проек-
цию силы S3, берется из
пропорции
рг _ AD
так как обе проекции
зтой силы пропорциональны
проекциям соответствую-
щего стержня; затем прово-
дятся прямые 1 и 2 и в по-
лученном четырехугольнике
pqsr сторона qs принимается
равной Р. Тем самым опре-
деляется масштаб
многоугольников.
Заметим, что
задач № 4—6 дает
ность определить
любой силы, приложенной
в точке А, так как силу
всегда можно разложить на
соответствующие три со-
ставляющие.
Задача 7. Определить
опорные реакции пирами-
дальной фермы, имеющей
нагруженной горизонтальной силой Р,
стержни 2 н 4 составляют продолжение
продолжение одной из сторон а\ остальные три стержня —
силовых
решение
возмож-
влняние
Фиг. 609.
в основании прямоугольник со сторонами а, b
параллельной сторонам а (фиг. 610). Опорные
сторон Ь; опорный стержень 1 —
вертикальны.
и
J-Момент относительно оси
AD\ моменты реакций Pn p2f р3,
пересекающихся с осью а, и силы Р, па-
раллельной этой оси, равны нулю, по-
этому Рв = 0.
2. Момент относительно оси
АВ- Рб •а — Ph, или р5 = ~ .
3. Проекция на вертикаль:
р _ „ Ph F
з---Р5 =----.
а
4* Проекция иа направле-
ние Р: р1 = _/э F
5. Проекция на АВ; Р2 = — р4.
6. Момент относительно
осн fl.
Силы р2 и р4 образуют пару с момен-
ТОМ Я2а, следовательно, R, L = 0, или
£
Фиг. 610.
Задача Q Решить ту же задачу, считая, что сила Р—вертикальна.
ванне Фермы - пряХ^гоТьТникСИЛИЯ ” стер1княх ФеРмы’ представленной на фиг. 611. Осно-
зуясь vXVelt,„ ер^а~Статически-°пРеДелима- Уснлня определим аналитически, поль-
иям моментов и проекций. Положительные реакции направим так: верти-
о74
вниз, 1 оризонгальные — но часовой стрелке Уравнения
L И (CD) = 0, откуда /?2 = 0;
3 Пр (ВС) = 0
S И(Л) = 0,
^льйЬк’
ПОР«ЛКС,
, или
или
6. Af (ВС) = 0.
составим в следующем
Ry —~ R^»
Rd- 4,
P(HCD)
пли
или
или
Л/(ВВ)==0,
Пр (CD) — 0,
Ph —* /?4^ — 0,
h
7. Равновесие узла £:
Neb = ^еа ” 0 и Ned =
8. Равновесие узла В:
NBC = = /?1 = NgE
Из (4) /?5 = — Р'> из (5) после под-
становок R\ = 0, /?г> — — Р и /?б = /?з по-
РЪ
думается R-s~ R$~ \ этим заканчивает-
ся определение реакций.
Фиг. 611.
л в R2
Фиг. 612.
В узле А осталось два стержня; нх усилия уравновешивают силу Р:
Р 'AD Р , 1 „.1.2
^AC = -^AD = 2^ = p—=a V + + Т
г*
Из равновесия узла Е:
2а*
В }злс С проектируем силы па CD;
МСА cos а + NcD = О,
или
cos а==-~ 2*
талькой
Задача 10. Построить линии влияния для ^татическн определимой плоской горизон-
рамы,
нагруженной вертикальной силой Р = 1 (фиг. 612, а). Рама опирается на три
вертикальных стержня 7, 2, 3 и три горизонтальных
Фиг. 613.
4, б, 6Л
Решение. Нетрудно доказать, что реакции гори-
зонтальных опорных стержней равны нулю. Реакция каж-
дого нз трех вертикальных стержней определяется из
уравнения моментов относительно горизонтальной оси,
пересекающей остальные два стержня. Так, например,
реакция 7?3 определяется из уравнения моментов относи-
тельно оси АС: направив положительную реакцию вверх,
получим:
Гр
7?дГ3 —1гр 6 ИЛИ 7?3 —— •
На фиг. 612, б построено отношение —- для различ-
на
ных сечений, а на фиг. 612, в те же ординаты отложены
от оси абсцисс, представляющей собой развертку оси рамы.
Л. в. представляет собой зеркальное отраже-
ние л. в. 7?3.
Л. в. получается из уравнения моментов относи-
тельно оси АЕ. В развернутом виде она представлена на
фиг. 612, г.
Те же л. в. нетрудно получить кинематическим
путем: каждая из них представляет собой график верти-
кальных перемещений всех точек оси рамы, возникающих
при условии, что соответствующий опорный стержень
переместился по вертикали на величину, равную единице.
В проиввольном сечении F ригеля BD возникают
изгибающий момент М вокруг горизонтальной оси, пер-
пендикулярной к оси ригеля, и крутящий момент во-
Л. в. когда груз Р
круг оси ригеля.
= 1 расположен справа от F, MF ==
ж ___ _ _ ...г. , 7?i«, а когда слева, то
Л4 1(а — х). При этом за положительный момент принят такой, которому отвечает
растяжение ннжнего волокна. Л. в. в развернутом виде показана на фиг. 612, д.
Л. в. Мк: когда груз расположен справа где угодно или слева на ригеле, то
= RJi — Ру, где у — расстояние от точки
показана на фиг. 612, <?. Положение
следовательно, для всех сечений ригеля линия
когда он расположен на левой стойке, то =
приложения груза до оси ригеля (фнг. 612, а). Эта л. в.
сечения F ничем не выделяется на л. в
влияния Afg — одна и та же.
31
л кинематически л. в. MF получается, как график вертикальных перемещений рамы,
ращенной в механизм при помощи цилиндрического шарнира F (фиг. 612, ж).
Правая часть рамы поворачивается при этом вокруг горизонтальной оси СЕ, а
левая вокруг оси AG. Л. в. получается путем установки шарнира, показанного на
£С?Г*и^4С 3t пРичем пРавая и левая части поворачиваются соответственно вокруг осей
ЧТ0 В стойках крутящего момента не будет.
редоставляем читателю построить л. в. вертикальной поперечной силы QF.
оечиыт^Г?! ПостР°ить эпюры изгибающих и крутящих моментов, продольных н попе-
ных стеожмрй JnT^Q?KH 0пРеДелим°й четырехстержневой рамы, опирающейся на 6 опор-
О1Л чержнеи (фиг. Ыо). * г
возникают3n₽LnuuS^a4ajla наЙ1и опорные реакции из шести уравнений статики. От силы Q
изминают реакции только в стержнях / и 4.
е сложном случае рама может иметь криволинейный ригель.
ч37Ь
Задачи 12, 13- Определить усилия и построить зпюры дчя комбинированных систем,
..педставленных на фиг. 614, а и б. В состав первой из них входят две вертикальные
плоские рамы с жесткими узлами А, В, Ct D, связанные между собой при помощи шести
.терцией. В состав второй —две пространственные трехстержневые рамы с жесткими
узлами А и В, также связанные др) г с другом шестью стержнями.
Фиг. 614.
Указание. Обе системы образованы из шарнирно-стержневой статически опреде-
лимой фермы (параллелепипеда с шестью диагоналями) путем замены связей: выброшенные
стержни заменены жесткими узлами. В стержнях, имеющих на обоих концах шарниры,
усилия получаются такими же, как в заменяющей шарнирной ферме. Тем самым опреде-
ляются и усилия, которые передаются на рамы. После этого уже нетрудно построить эпюры
для последних.
12. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ В ЭЛЕМЕНТАХ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ
„БИКОНСТРУКЦИЙ" 1
На фиг. 615, а и б изображена на фасаде (вид спереди) и в плане (вид
сверху) консольная пространственная ферма — „биконсоль". Она составлена из
двух плоских параллельных ферм, соединенных по верхнему и нижнему поясам
при помощи связей в одну пространственную геометрически-неизменяемую систему.
Верхние связи обозначены сплошными линиями, а нижние — пунктиром. Требуется
определить усилия от произвольно направленной силы Р, приложенной в узле М
передней фермы.
Для того чтобы система, отделенная от опор, была геометрически-неизме-
няема, она должна была бы иметь на левом конце заднюю грань в виде четырех-
угольника с диагональю, т. е. 5 стержней. Отсюда следует, что она должна быть
закреплена на левом конце при помощи 5 4~ 6 — 11 опорных стержней.
Разложим силу Р на две составляющих, из которых одна лежит в плоскости
передней фермы, а другая ей перпендикулярна. Первая вызовет усилия только
в передней ферме; эта задача целиком относится к плоской статике. В дальней-
шем будем говорить только о второй составляющей; ее мы обозначим через S.
Выделим сначала нулевые стержни. К ним относятся, во-первых, вертикаль-
ные стойки передней и задней ферм, кроме стоек LD и LtDl* во-вторых, гори-
зонтальные распорки верхних и нижних связей — ВВи ККЪ LLV и т. д., кроме
крайней правой распорки GGlf которая служит одновременно общим элементом
обоих поясов. Наконец, к нулевым принадлежат стержни PG и /JjGj. Часть фермы,
лежащая правее нагруженного узла, не является нулевой, так как она необхо-
дима для обеспечения неизменяемости левой части. Действительно, если ее отсечь,
1 Термин „биконструкция* предложен проф. А. А. Уманским для обозначения про-
странственных систем, которые составлены из двух одинаковых плоских дисков, связанных
между собой при помощи тех или иных связей. Специально разработанный им метод
расчета таких систем изложен в его оригинальной книге „Пространственные системы*1,
Стройнздат, 1948 г. В настоящем параграфе дана иллюстрация этого метода на простейшем
примере.
J77
то левая часть будет заканчиваться прямоугольником MMXEEV нс имеющим
диагонали, а это, согласно теореме Коши, будет свидетельствовать об изменяе-
мости системы.
Вырезая последовательно узлы Л7, К, J\ и проектируя все силы на
направление S и обозначив расстояние между фермами через А, получим усилия
в раскосах верхних связей:
Л7 ЛГ S S MLK
Nml. = = — 2^-₽ = — Т' ~7Г>
4 А г АГ NT 5 ЦК
= №; 4 = ~2---•
Из этих формул видно, что усилия в раскосах пропорциональны длине самих
раскосов. По этой причине зигзаг, образованный раскосами верхних связей в левой
Фиг. 615.
~* “я“Гф" «»>'“»
<-/, ™/ •„ „х”: разриов
= - Ктц = = — NlK = Nk j _ _
указанным свойством.
нее служат°Д,Н?Й И3 веРтикальнь|Х ферм, например, в передней,
усилия, передаваемые раскосами связей. Проекции
Njj =
'м‘ 2 h
Эти усилия также обладают
Определим усилия
Нагрузкой для
37а
этих усилий на направление, перпендикулярное плоскости фермы, уничтожаются
g каждом узле; на ферму передаются только проекции этих усилий на ее пояса.
Цо так как усилия в раскосах пропорциональны длине последних, то проекции
этих усилий на плоскость фермы пропорциональны длине поясов. Поэтому верх-
ний и нижний пояса сами служат силовыми многоугольниками для нагрузок,
которые передаются ферме. В узлах нижнего пояса приложены силы, равные
равные
а в узлах верхнего — наклонные и горизонтальные силы,
соответственно
где b — MR = RG. Эти силы показаны на фиг. 615, в.
Для ясности чертежа они несколько отодвинуты от контура фермы; точки их
приложения показаны кружками.
Для примера найдем усилие в стержне JK верхнего пояса.
Произведем разрез 11—11 и вычислим момент всех правых сил относительно
точки В. Этот момент равен сумме произведений всех сил на их плечи относи-
тельно В; он выражается удвоенной площадью фигуры, образованной силовым
многоугольником и двумя лучами, соединяющими концы многоугольника с момент-
ной точкой. Эта площадь заштрихована на фиг. 615, в. Обозначив ее через Q и
учтя масштаб сил, найдем, что момент
on s
равен 2S • ^ = т
а искомое усилие
QS
Чтобы найти усилие в раскосе ВК, нужно спроектировать на направление BJ
равнодействующую правых сил, которая равна замыкающей силового многоуголь-
— S
ника правых сил, т. е. выражается произведением КС-
Для задней фермы поток нагрузок, передаваемых раскосами, имеет во всех
узлах обратное направление по сравнению с нагрузками, которые передаются
передней ферме.
§ 13. О НЕКОТОРЫХ ТЕЧЕНИЯХ В ОБЛАСТИ ТЕОРИИ РАСЧЕТА
ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СИСТЕМ
И Расчет пространственной фермы представляет собой с математической точки
зрения элементарную задачу, однако практическое проведение расчета в боль-
шинстве случаев требует большой затраты труда. Это объясняется двумя причи-
нами: 1) необходимостью изображать пространственные построения на плоском
листе, 2) значительным количеством стержней, которое в пространственных фер-
мах доходит до многих десятков, а иногда и до нескольких сот. Громоздкость
операций, сложность чертежа, множество вспомогательных геометрических построе-
ний делают расчет сколько-нибудь сложной пространственной фермы весьма
обременительным.
Естественно, что эти обстоятельства тормозят применение на практике про-
странственных систем, создавая у инженеров-проектировщиков сдержанное отно-
шение к ним.
В XX столетии поиски более удобных решений направились в сторону пере-
смотра способов изображения пространственных сил на чертеже. По-
скольку силы являются векторами, принципиальной разницы нет между задачей
изображения сил, скоростей и ускорений. Задачи пространственной статики и
пространственной кинематики здесь сливаются. У инженеров, проектирующих
пространственные сооружения и пространственные механизмы, оказалась общая
цель. Представлялось ясным, что если будет найден более простой способ
изображать пространственные векторы, то тем самым будут облегчены и все
операции с ними.
Первая попытка уйти от способа Монжа — изображения пространственных
фигур при помощи ортогональных проекций на две плоскости — принадлежит
проф. Виктору Львовичу Кирпичеву (5/Х 1845 — 7/XI 1913). Познакомившись со
статьей гениального русского кристаллографа, проф. Е. С. Федорова: „Новая
геометрия как основа черчения", он в 1908 г. предложил воспользоваться для
называемой стереографической проекцией ’.
пягиетл ппостранственных ферм гак
О. з подучается путем проектирования точек шаровой поверхности из точки этой
„ХпХста ( полюса») на плоскость экватора. Эгот способ, применяемый при
Хкчши карт” позволяет переносить все построения со сферы па плоскость.
н,пм состоит его методологическое значение. Однако его применимость огра-
ничивается куполами, узлы которых лежат на сферической поверхности.
Следующий шаг был сделан швейцарским профессором Майором. В 1910 г.
он опубликовал труд, в котором содержится метод изображения пространственных
сЬигур позволяющий сводить все построения пространственной статики к построе-
ниям на плоскости. Автор в своем изложении основывался на теории линейных
комплексов, которая широким кругам инженеров неизвестна, поэтому его книга
оказалась доступной лишь немногим. Мы видели, что за 50 лет до Майора
такую же ошибку сделал другой швейцарский профессор Кульман, который без
особой надобности изложил графическую статику на основе проективной геометрии.
" ------!2, вышедшей через год после
та оболочка, в которую Майор запрятал
является излишней. Со свойственным ему
мастерством он изложил тот же способ,
основываясь только на элементарных по-
ложениях статики. Суть дела состоит
в следующем: все пространственные силы
условно изображаются на одной плоско-
сти, которую Кирпичев предложил назы-
вать „картинной плоскостью"; самый чер-
теж он называет „картиной".
Все операции с пространственной си-
стемой сил производятся исключительно
на картинной плоскости, а полученный
результат в случае надобности может быть
обратно отображен в пространство.
которых пространственные построения приво-
Она получается i
Проф. В. Л. Кирпичей в небольшой статье
появления книги Майора, показал, что
свой метод от глаз
непосвященных,
Фиг.
616.
Те условности
дятся к плоским, подверглись в дальнейшем различным изменениям, которые имели
целью устранить те или иные неудобства способа Майора. Сжатый обзор различ-
ных предложений, появившихся в литературе с того времени до наших дней,
читатель может найти в статье акад. С. А. Христиановича 3.
Наибольшее применение получил следующий способ изображения. На гори-
зонтальную картинную плоскость наносится произвольная точка О — „полюс“
картины (фиг. 616). Горизонтальная проекция Н данной силы наносится на чер*
теж без изменения величины и направления в виде силы //'; ее плечо b относи-
тельно полюса О берется пропорциональным вертикальной проекции Z, т. е. b = kZ*
где k произвольный, но постоянный для данной картины коэфициент. Сила Н'
вместе со следом р служат изображением силы Р на картинной плоскости.
В советской литературе проблемы пространственной статики и пространствен-
ной кинематики представлены рядом интересных и оригинальных исследований 4.
отличие от зарубежной литературы дело не ограничивается опубликованием
отдельных статей; появляются монографии, рассчитанные на продвижение в широ-
при
помощи
. vrmnН р П” 4 е В' Заметка о применении стереографической проекции к расчету
нений44 7Х1 стРМ18?е1917К Общсства те^нологов, стр. 135, 1908. См. его „Собрание сочи-
П И че в’ Новый способ графического расчета купольных и других про-
т\та т xv ™ Данный проф. Майор. Изв. Петроградского политехнического инсти-
зс д V* «Собрание сочинений", стр. 191, 1911
матнки. \ Ушех'7 х
оригинальных и переводных Хй 2а%
О сп₽...;Л Г°Рб> нов и А. А. Уж-........... _,MJ1
института ’выл' I М%9эе А,30бРа«ен»я проф. Майора
Всеукп A. L L 924о ПР° взаемш 1 ' “'
сеуьр. Дк. наевши. 2, Киев, 1927 “
380
и кине-
вып. VII, 1940. В ’этом же сборнике помещен ряд
Этюды по геометрии и статике, Киев, 1923,
Изв. Киевского политехнического
крив». Збирник праць. Институту тсхиич. механики.
27. Статика пространственных систем, Госстроицздат, 1932.
и
ТСМ).
м а и с к и и
кие массы инженеров и студентов. Такова книга профессоров Б. Н. Горбунова и
д, А. Уманского „Статика пространственных систем", которая представляет собой
руководство, содержащее наряду с известным материалом ряд оригинальных
обобщений.
В теории пространственных систем, в особенности в теории пространствен-
ных рам получил известность комбинированный метод расчета, в котором графи-
ческий метод изображения сил на картинной плоскости сочетается с аналитическим.
Например, решение задачи о разложении силы на шесть направлений в пространстве
сводится к решению нескольких линейных уравнений, содержащих по одной
неизвестной, и к попутным графическим построениям. Этот метод получил назва-
ние метода „моторов" („мотором" называется система сил, состоящая из главного
вектора и главного момента).
Большие заслуги в разработке этого метода, а главное — в
его эффективном
применении к расчету ферм и рам принадлежит безвременно скончавшемуся талант-
ливому советскому профессору Борису Николаевичу Горбунову. Помимо ряда ста-
тей он опубликовал специальную книгу, в которой разработал приложение метода
моторов к расчету пространственных рам Ч
Как уже упоминалось выше, в последнее время в теории пространственных
систем по инициативе проф. А. А. Уманского возник новый раздел: расчет
„биконструкций". Систематическое изложение специальных методов расчета таких
систем дано в его цитированной выше книге: „Пространственные системы".
Ф. М Д и м е н т б е р г, Общий метод пространственной графостатикн, основанный на
изображении в одной плоскости. Изв. Отд. техн, наук АН СССР № 7, 1939.
Его же, К вопросу о чисто графическом разложении системы сил в пространстве,
„Инж. сборникт. III, вып. I, 1946.
Ф. М. Диментберг и Я. Б. Шор, Графическое решение задач пространственной
механики при помощи построений на одной плоскости. „Прикл. математика и механика*,
т. IV, вып. 5-6, 1940.
1 Б. Н. Горбунов, К расчету пространственных замкнутых контуров, Сборник
„Рамы и фермы пространственные и плоские" под ред. проф. И. М. Рабиновича, 1933.
графической статике моторов®, „Успехи математ. наук44, вып. VII» 1940.
Б. Н. Горбунов н Ю В. Кротов, Основы расчета пространственных рам, 1936.
ПРИЛОЖЕНИЕ
НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ ПОСТРОЕНИЯ ДЛЯ ПЛОСКИХ ШАРНИРНЫХ
МЕХАНИЗМОВ
§ 1. МГНОВЕННЫЙ ЦЕНТР
РАЩЕНИЯ
И ЕГО ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
Всякое взаимное бесконечно малое перемещение двух дисков в плоскости
может рассматриваться как взаимный поворот их около общей точки, называемой
мгновенным центром взаимного вращения этих дисков. Мгновенный центр
можно было бы также называть мгновенным шарниром, так как в отношении беско-
Фиг. 617.
В какой-либо
нечно малых перемещений и соот-
ветствующих им скоростей он
играет совершенно такую же роль,
какую играл бы помещенный в
этой точке и связывающий эти
диски шарнир.
Диски или звенья цепи бу-
дем обозначать цифрами 7, 2, 3
и т. д., а мгновенный центр взаим-
ного вращения двух звеньев,
имеющих какие-либо номера 7, /г,—
символом ik. Этот символ обла-
дает свойством переместитель-
ности: мгновенные центры Ik и ki
совпадают друг с другом. Мы
будем условно обозначать это
так: ik — ki.
проведем через все точки звена i нормали
к траекториям, которые описываются этими точками относительно звена k. Все
эти нормали пересекают
в мгновенном центре ik, L
Направление скорости любой
пендикулярно
(фиг. 617).
момент времени
1СИ между СОООИ В ОДНОЙ ТОЧКе—
В этом — основное свойство мгновенного центра.
। точки звена I относительно звена k — пер-
к прямой, соединяющей эту точку с мгновенным центром ik
ного^центра™ ВСеХ Т0Чек пРопоРциональны расстояниям
этих точек до мгновен-
но
(О
что MrwnnZJof «аЯ СКОРОСТЬ вращения звена i относительно звена k. Можно сказать,
скоростей 1 центР вРац1ения является в то же время мгновенным полюсом
JS2
§ 2. ПОСТРОЕНИЕ МГНОВЕННЫХ ЦЕНТРО
ВРАЩЕНИЯ ДЛЯ ПРОСТЫХ
МЕХАНИЗМОВ
Простейшим механизмом является шарнирный четырехугольник с одной закре-
пленнсL” 619_’ Мгновенные центры /2,23,34,14 совпадают с центрами
Остаются неизвестными два мгновенных центра: 24
соответствующих шарниров,
и 13. Для нахождения
точки 24 необходимо про-
вести нормали к траекто-
риям двух точек звена 2.
Так как точка 12 описывает
окружность около центра 14,
а точка 23—около центра 34,
то прямые 14—12 и 34—23
как радиусы будут служить
нормалями к этим окруж-
ностям, следовательно, иско-
мый мгновенный центр 24
будет лежать на их пе- Фиг. 618.
ресечении.
Для нахождения мгновенного центра
13 заметим, что взаимное движение
если звено 1 сделается неподвижным, а звено 4 —
звеньев 1 и 3 не изменится,
Фиг. 619.
подвижным. Произведя такое пре-
образование и воспользовавшись
снова предыдущими рассужде-
ниями, мы убедимся, что точка 13
лежит на пересечении прямых 12—
23 и 14—34.
Форма звеньев четырехуголь-
ник при этом не играет никакой
роли (фиг. 619).
Построение мгновенных цен-
тров вращения звеньев 2 и 4 на
фиг. 620 может быть произведено
в следующем порядке. Сначала
в четырехзвенном механизме, со-
ставленном из звеньев /, 2, 3 и 6, определяется мгновенный центр 26, который
лежит на пересечении прямых 16—12 и 23—36. После этого переходим к звену 4.
Фиг. 620.
Нормалью к траектории точки 24 этого звена служит прямая 26—24 (так как
точка 24 принадлежит одновременно звену 2); нормалью к траектории точки 40
служит прямая 45—56. На пересечении этих двух прямых и лежит искомый центр 4 .
$ 3. ПОСТРОЕНИЕ
МГНОВЕННЫХ ЦЕНТРОВ ВРАЩЕНИЯ ДЛЯ ЬОЛЕЕ СЛОЖНЫХ
МЕХАНИЗМОВ
Теорема о трех мгновенных центрах вращения состоит в следующем: при
всяком бесконечно малом взаимном перемещении произвольных трех дисков /, 2, 3
в плоскости мгновенные центры их взаимного вращения лежат на одной прямой.
Доказательство дано на фиг. 621: мгновенный центр> 23 может одновременно
рассматриваться как
Фиг. 621.
точка диска 2 и как точка диска 3. В первом случае его
скорость относительно ди-
ска 1 перпендикулярна ли-
нии 23—12, а во втором —
перпендикулярна линии 23—
31. Но так как эти ско-
рости должны совпасть меж-
ду собой, то и линии 23—
12 и 23-31 должны слиться
в одну прямую.
Построим вторично
мгновенные центры враще-
ния для фиг. 620, но уже пользуясь теоремой о трех мгновенных центрах
вращения. Мгновенный центр 26 должен лежать на прямой 21—16 и в то же время —
на прямой 23—36, следовательно, он совпадает с точкой взаимного пересечения
этих прямых. Для сокращения записи введем условное, символическое равенство:
21 • 16-^23- 36=26,
61
Фиг. 622
сум^вухта^их пр3оиазЧваедениРйМУПР°ХОДЯЩУЮ чеРез соответствующие две точки,
знак равенства- совпадете д^х точек ” соответствУЮЩИХ упрямых.
Построение мгновенного центра 46 запишется в следующем виде:
42.26-[-45 -56<=46.
384
имводичеСкое равенство читается так точка взаимного пересечения пря-
12 - 26 и 45 - 56 совпадает с мгновенный центром 46.
для того чтобы найти мгновенный центр 53, нужно выполнить построения,
Эго v
выражаемые следующими двумя символическими равенствами:
54.42 56 • 62 = 52,
56.63_|_ 52 • 23 = 53.
Единственная трудность построения мгновенных центров вращения состоит
в установлении последовательности составления символических уравнений,
т. е. в решении некоторой комбинационной задачи. Для этого требуется некоторый
навык. После того как уравнения составлены, никаких трудностей не остается, и
построение сводится к проведению прямых через постепенно определяемые или
заданные мгновенные центры.
Выясним еще порядок построения мгновенных центров вращения всех
фиг. 622 относительно неподвижного звена. Здесь мгновенные центры 36
уходят в бесконечность. После нескольких попыток нетрудно написать1.
(1)
(2)
(3)
(4)
8,10- 10,1 + 89 • 91 = 81
78-8,10-^-76-6,10=7,10
7,10 • 10,14-79 • 91 = 71
67 • 71 +6,10- 10,1 = 61
34.46-^35-56= 36
36 - 61 4-32 -21 = 31
46- 61 ^-43- 31 =41
53- 31 4-56- 61 = 51
звеньев
и 7, 10
(5)
(6)
(7)
(8)
Если рассматривать мгновенные центры вращения как мгновенные шарниры,
то каждое символическое уравнение как бы выделяет из кинематической цепи
мгновенный четырехзвенный механизм, для кото-
рого из предыдущих построений найдено положе-
ние четырех шарниров2.
§ 4. ПОСТРОЕНИЕ ПОЛЯРНОГО ПЛАНА
СКОРОСТЕЙ
При бесконечно малом перемещении диска АВС
в его плоскости (фиг. 623) скорость любой его
точки пропорциональна расстоянию этой точки
до мгновенного центра вращения О:
v v„~BO • о>; к-СО-%
Л О л
где о) — угловая скорость диска.
Отложим величины этих скоростей от по-
люса О на лучах ОА, ОВ, ОС в виде отрезков Оа,
ОЬ, Ос. Тогда из условия пропорциональности
отрезков не трудно вывести, что фигура abc
подобна и параллельна основной фигуре АВС.
Перенесем фигуру Oabc, не меняя направления
ее прямых, в произвольное новое положение и назовем ее полярным планом
повернутых или нормальных скоростей. Он получается, если из произ-
вольной точки О плоскости (не обязательно из мгновенного центра вращения)
провести лучи Оа, ОЬ, Ос и т. д., соответственно перпендикулярные и пропорцио-
нальные скоростям точек А, В, С, ... диска. Точки а, Ь, с и т. д. называются
изображениями соответствующих точек А, В, С, ... Любая прямая АВ,
принадлежащая диску, параллельна ее изображению ab на полярном плане.
Фиг. 623.
1 Номера, выражаемые двузначными числами, отделены запятой. Например, мгновенный
Центр взаимного вращения звеньев 8 и 10 обозначен через 8, 10 и т. д.
2 Отсюда следует, что не всегда аппарат теоремы о трех мгновенных центрах вра-
щения является достаточным для построения мгновенных центров вращения. Например,
ли в состав данного механизма не входит ни одна четырехзвенная цепь, то невозможно
^тРоить непосредственно ни одного символического равенства. В этих случаях прихо-
ся пРибегать к более общему методу построения мгновенных центров, основанному на
Рвменении так называемых „нормальных лучей* (см. книгу автора „Кинематический метод
в строительной механике*, § 18, 1928). Р
2и Зам. 1842. И М. Рабинович.
385
Полярный план даег самое компактное изображение скоростей любой ючки
любого звена, принадлежащего данному механизму.
Если какое-либо звено неподвижно, то его изображение превращается в точку,
совпадающую с полюсом плана.
Если какое-либо звено
одинаковые по величине и одинаково направленные скорости, поэтому его изобра-
жение также превращается в точку, но не совпадающую с полюсом.
движется поступательно, то все его точки имеют
Фиг. 624.
На фиг. 624 показаны простейший четырехзвенный механизм и соответствующий
ему полярный план. Для построения последнего берется произвольный полюс О;
с ним совмещаются изображения неподвижных точек А и D. Далее проводится
произвольной длины прямая ab || АВ. После этого определяется точка с, для чего
проводятся прямые Ьс || ВС и ас |] АС.
Чтобы найти скорость произвольной точки Е звена ВСЕ, нужно построить
на прямой Ьс фигуру Ьсе, подобную фигуре ВСЕ, т. е. провести be || BE и се || СЕ.
Скорость точки Е выражается вектором Ое.
Фиг. 625.
направления скоростей всех точек
направлены в одну и ту же сторону
Истинные
ОЬ, Ос, Ое и
точно задать направление вращения одного из звеньев
чтобы из плана скоростей сейчас же
всех точек.
н. фиг. 625, а изображен механизм, имеющий вид шарнирного восьмиуголь-
ему п.. опорными стержнями. На фиг. 625, б представлен соответствующий
совпадают г ПЛаН ск°Р°стей* Изображения всех неподвижных точек А, В, С, .. •
дится пппичраП0Л1°а0М Построение начинается с того, что из полюса прово-
льной длины прямая, параллельная одному из опорных стержней,
перпендикулярны к лучам Оа,
относительно точки О. Доста-
механизма, например, звена АВ,
нашлись истинные направления скоростей
««пример. прямая 0—2. Изображение точки 3 находится на пересечении пря-
ных О — ЗЦВ______3. и 2—3 || 2—3 и т. д Так ведется построение, пока не будет
найдено изображение точки 8. После этого остается провести на плане пря-
мые $___] и 2—1. параллельные одноименным стержням механизма, чтобы найти
изображение точки 1.
§ 5. ПОСТРОЕНИЕ НЕПОЛЯРНОГО ПЛАНА СКОРОСТЕЙ
Этот способ изображения скоростей состоит в том, что повернутые на 90
векторы скоростей откладываются не от единого п элюса, а от тех точек, скорости
которых изображаются этими векторами. Так, например, скорости
какой-либо прямой А В (фиг. 626) изображаются векторами АА' и
точки А' и
и В- Так как
точек А и В
ВВ'} причем
являются „ изображениями“ точек А
= ДД' = ЛО-«,
где и—угловая скорость вращения звена АВ, то
АА': ТЗВ' = АО:Вд,
откуда следует, что А'В' [| АВ, т.
прямой, принадлежащей жесткому
параллельно самой прямой.
Из сказанного следует, что порядок построения
неполярного плана для кинематической цепи ничем
не отличается от порядка построения полярного плана.
е. изображение
диску, всегда
о
Фиг. 626
Возьмем для примера разобранную нами систему фиг. 625. Она вторично
изображена сплошными линиями на фиг. 627. Изображения А’, В', С' неподвижных
Фиг. 627.
точек сливаются с самими этими точ-
ками.
Изображение 2' точки 2 намечаем
в произвольном месте на линии Л — 2;
очевидно, что при этом линию А' — 2'
можно считать параллельной линии
А — 2, так как обе они сливаются. Далее
проводим прямую 2'—3' || 2—3 до встре-
чи с прямой В— 3, затем 3 —4' [] 3—4
до встречи с прямой С — 4, и т. д.
Допустим, что точка 2 механизма
переместилась влево; для того чтобы
получить действительную скорость этой
точки, нужно, как показывает чертеж,
повернуть вектор 2—2' вокруг точки
2 на 90 против часовой стрелки.
В таком случае действительные скоро-
сти всех прочих точек также найдутся
поворотом соответствующих векторов
против часовой стрелки.
Как видно из всего сказанного,
простую опепаиию OnL^Z" собой в большинстве случаев весьма
— операцию. Однако в том случае, когда кинематическая цепь имеет
затруднения, для преодоления которых
сложным Me i одам построения1,
чго полярный и неполярный
j малых п е о е м е ш а и тл *
ппоет^НИе ПЛанОВ СкоР°Стей представляет
ростую операцию. Однако г
придется СпТрУ^гуру’ МОГУГ встретиться
Р дется прибегнуть к более
служат^™ В заключен‘1е, ,.v
1ПГ1П, <КЖе Планами бесконечно
планы скоростей
так как последние
У автора .Кинематический метод в строительной механике", § 23.
387