/
Text
д
А.В. ЕФИМОВ
В. А. СКВОРЦОВ
РЯДЫ
И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
УОЛША
ТЕОРИЯ
И ПРИМЕНЕНИЯ
Б. И. ГОЛУБОВ
А. В. ЕФИМОВ
В. А. СКВОРЦОВ
ряды
И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
УОЛША
ТЕОРИЯ И ПРИМЕНЕНИЯ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1 987
ББК 22.161.5
Г62
УДК 517.587
Голубов Б. И., Ефимов А. В., Скворцов В. А. Ряды и преобра-
зования Уолша: Теория и применения.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.,
1987.—344 с.
Дается изложение основ интенсивно развивающейся теории рядов и преобра-
зований Уолша и их обобщений. Изучаются вопросы, связанные с представлением
функций рядами по этим системам, суммируемостью этих рядов и приближением
функций.
Освещается ряд приложений функций и преобразований Уолша в цифровой
обработке информации, в построении цифровых фильтров и в разработке специа-
лизированных вычислительных устройств. Излагаются вопросы, связанные с так
называемыми быстрыми алгоритмами и особенностями их реализации.
Для специалистов по прикладной математике и инженеров, а также для сту-
дентов технических вузов и математических факультетов университетов.
Ил. 6. Библиогр. 150 назв.
Рецензент
доктор физико-математических наук профессор В. Ф. Гапошкин
1702050000—073
* 053(02)-87 8’86
© Издательство «Наукаж.
Главная редакция
физико-математи ческой литературы,
Предисловие............................................................................................. 5
Обозначения................................................................................................ 8
Глава 1. Функции Уолша и ил обобщения............................................................... 9
§ 1.1. Система функций Уолша на полуинтервале [0, 1) ....... 9
§ 1.2. Система функций Уолша на группе..................................... 12
§ 1.3. Другие определения системы Уолша. Связь с системой Хаара ... 21
§ 1.4. Ряды по системе Уолша. Ядро Дирихле ....................... 26
§ 1.5. Мультипликативные системы и их континуальные аналоги. 28
Глава 2. Ряды Фурье — Уолша. Основные свойства........................................................ 40
§2.1. Простейшие свойства рядов Фурье—Уолша. Формулы для частных
сумм................................................................... 41
§ 2.2. Константы Лебега................................................................................... 46
§ 2.3. Модули непрерывности функций и равномерная сходимость рядов
Фурье — Уолша .............................................. 48
§ 2.4. Другие признаки равномерной сходимости............................................................. 53
§ 2.5. Принцип локализации. Признаки сходимости ряда Фурье—Уолша
в точке................................................................ 55
§ 2.6. Полнота и замкнутость системы Уолша................................................................ 60
§ 2.7. Оценки коэффициентов Фурье—Уолша. Абсолютная сходимость рядов
Фурье—Уолша............................................................ 64
§ 2.8. О рядах Фурье по мультипликативным системам........................................................ 70
Глава 3. Общие ряды Уолша и ряды Фурье—Стилтьеса. Вопросы
единственности представления функций рядами Уолша . . 74
§3.1. Общие ряды Уолша как обобщенные ряды Стилтьеса..................................................... 75
§ 3.2. Теорема единственности представления функций поточечно сходящи-
мися рядами Уолша...................................................... 83
§ 3.3. Теорема локализации для общих рядов Уолша.......................................................... 89
§ 3.4. Пример нуль-ряда по системе Уолша. Понятие об {/-множествах и
Л4-множествах.......................................................... 92
Глава 4. Суммируемость рядов Уолша методом средних арифмети-
ческих .......................................................... 96
§4.1. Линейные методы суммирования. Регулярность метода средних ариф-
метических ............................................................ 96
§ 4.2. Ядро метода средних арифметических для рядов Фурье—Уолша . . 99
§ 4.3. Равномерная (С, 1)-суммируемость рядов Фурье —Уолша непрерыв-
ных функций........................................................... 101
§ 4.4. (С, 1)-суммируемость рядов Фурье—Стилтьеса........................................................ 104
Глава 5. Операторы в теории рядов Фурье—Уолша ....................................................... 112
§5.1. Некоторые сведения из теории операторов в пространстве измеримых
функций .............................................................. 112
§ 5.2. Максимальный оператор Харди —Литтлвуда относительно последо-
вательности двоичных сетей............................................ 117
§ 5.3. Частные суммы ряда Фурье —Уолша как операторы..................................................... 119
§ 5.4. О сходимости рядов Фурье — Уолша в LP [0, 1)...................................................... 124
Глава 6. Обобщенные мультипликативные преобразования............ 126
§6.1. Существование и свойства обобщенных мультипликативных преобразо-
ваний .............................................................. 126
§ 6.2. Представление функций из L1 [О, оо) их мультипликативными пре-
образованиями .................................................. 133
§ 6.3. Представление функций из LP [0, оо), 1 < их мультиплика-
тивным преобразованием.......................................... 144
Глава 7. Ряды Уолша с монотонно убывающими коэффициентами . . 149
§7.1. Сходимость и интегрируемость суммы ряда............................... 149
§ 7.2. Ряды с квазивыпуклыми коэффициентами.................................. 157
§ 7.3. Ряды Фурье функций из класса LF....................................... 160
Глава 8. Лакунарные подсистемы системы Уолша............................. 166
§8.1. Система Радемахера.................................................... 166
§ 8.2. Другие лакунарные подсистемы.......................................... 170
§ 8.3. Центральная предельная теорема для лакунарных рядов Уолша . . 177
Глава 9. Расходящиеся ряды Фурье— Уолша. Сходимость почти всю-
ду рядов Фурье—Уолша функций из L2........................... 185
§9.1. Всюду расходящийся ряд Фурье—Уолша.................................... 185
§ 9.2. Сходимость почти всюду рядов Фурье—Уолша функций из L2 [О, 1) 189
Глава 10. Приближение функций полиномами Уолша и Хаара . • . 202
§ 10.1. Приближение в равномерной метрике............................... 202
§ 10.2. Приближение в метрике L? ................... 208
§ 10.3. Связь между наилучшими приближениями в разных метриках ... 217
§ 10.4. Связь между наилучшими приближениями в разных метриках (про-
должение) 222
§ 10.5. О наилучших приближениях с помощью мультипликативных и сту-
пенчатых функций................................................ 238
Глава 11. Применение мультипликативных рядов и преобразований
к цифровой обработке информации.............................. 243
§ 11.1. Дискретизация мультипликативных преобразований...................... 243
§ 11.2. Реализация дискретных мультипликативных преобразований .... 252
§ 11.3. Применение дискретных мультипликативных преобразований в сжа-
тии информации.................................................. 262
§ 11.4. Особенности обработки двумерных числовых массивов дискретными
мультипликативными преобразованиями............................. 275
§ 11.5. Описание классов дискретных преобразований, допускающих быст-
рые алгоритмы вычислений........................................ 278
Глава 12. Другие применения мультипликативных функций и преоб-
разований ................................................... 288
§ 12.1. Построение цифровых фильтров на основе мультипликативных пре-
образований .................................................. 288
§ 12.2. Мультипликативные голографические преобразования для обработки
изображений..........................-......................... 291
§ 12.3. Решение некоторых задач оптимизации.................................. 300
Приложение 1. Абелевы группы................................................. 315
Приложение 2. Метрические пространства. Метрические группы . . . 317
Приложение 3. Пространства с мерой........................................... 318
Приложение 4. Измеримые функции. Интеграл Лебега.......................... 320
Приложение 5. Нормированные и гильбертовы пространства....................... 325
Комментарии ................................................................. 330
Список литературы........................................................... 334
Предметный указатель........................................................ 341
ПРЕДИСЛОВИЕ
Классическая теория рядов Фурье имеет дело с разложением
функций по синусоидальным гармоникам. В отличие от этих непре-
рывных гармоник функции Уолша представляют собой «прямоуголь-
ные» волны. Такие волны стали часто использоваться в теории пе-
редачи сигналов, так как оказалось, что в некоторых случаях они
предпочтительнее синусоидальных волн. В предлагаемой книге из-
лагаются основы теории разложения функций в ряды по системе
функций Уолша и по более общим мультипликативным системам, а
также рассматриваются некоторые приложения этой теории.
Ортонормированная система функций, получившая наименование
системы Уолша, была введена американским математиком Дж. Уол-
шем в 1923 г. На развитие теории рядов Уолша сильное влияние
оказала и продолжает оказывать классическая теория тригонометри-
ческих рядов. При этом во многих вопросах обнаружился паралле-
лизм, но выявились и существенные отличия. Глубокие основы па-
раллелизма и различий вскрывает современный абстрактный
гармонический анализ, который изучает некоторые ортономированные
системы с точки зрения структуры топологических групп, являю-
щихся естественными областями определения этих систем. Если
тригонометрические функции определяются на окружности, то, как
мы увидим, систему функций Уолша удобно определять на группе,
существенно отличной от окружности. С этой точки зрения система
Уолша и обобщающие ее мультипликативные системы дают важную
модель, на которой можно проверять и иллюстрировать многие воп-
росы абстрактного гармонического анализа. Большой интерес систе-
ма Уолша представляет и для специалистов по теории общих орто-
гональных рядов, являясь одним из простейших примеров полной
ортонормированной системы, состоящей из ограниченных в совокуп-
ности функций. Некоторые, так называемые лакунарные подсистемы
системы Уолша играют существенную роль в теории вероятностей.
Наряду с развитием теоретических исследований, посвященных
рядам Уолша, за последние 10—15 лет резко возросло число работ,
связанных с применениями функций Уолша в вычислительной ма-
тематике, в теории кодирования, в цифровой обработке сигналов
и т. д. Начиная с 1970 г в США почти ежегодно проводятся пред-
ставительные конференции, посвященные применениям функций
Уолша, издаются сборники трудов этих конференций.
В 1969 г. и 1977 г. вышли две монографии X. Хармута, перево-
ды которых на русский язык изданы в 1977 г. и 1980 г. ([24], [25]*)).
Однако в этих книгах, содержащих большой материал по примене-
ниям функций Уолша, почти совершенно отсутствует математическая
теория, и поэтому целый ряд фактов, используемых в практике, не
получает в книгах Хармута теоретического обоснования. Приклад-
ным вопросам посвящена монография [22]. Книг же, содержащих
изложение основ теории рядов и преобразований Уолша, доступное
широкому кругу специалистов в области прикладной математики,
до сих пор не издавалось ни в СССР, ни за рубежом.
Одна из главных задач предлагаемой книги и состоит в том,
чтобы в какой-то степени устранить этот пробел. Книга предназна-
чена широкому кругу инженеров, студентам технических специаль-
ностей втузов и студентам университетов, специализирующимся в
области применения математических методов. Но кроме этого круга
читателей книга может представить интерес и для студентов и ас-
пирантов математических факультетов, поскольку может служить
введением в интенсивно развивающуюся теорию анализа Фурье на
группах. Изучив эту книгу, они смогут затем обратиться к много-
численной журнальной литературе по рядам Уолша (достаточно пол-
ный обзор научных работ на эту тему, вышедших до 1970 г., пред-
ставлен в статье Балашова и Рубинштейна р], а более поздних — в
статье Уэйда [4] и в заключительной главе монографии [1]) или при
желании перейти к изучению вопроса в более абстрактной поста-
новке по монографиям [1], [19], [21] и др. Знакомство с теорией
рядов Уолша также полезно при изучении общих вопросов теории
ортогональных рядов.
Первые десять глав книги носят в основном теоретический ха-
рактер, гл. 11 и 12 посвящены приложениям. Главы 1 и 2 служат
основой всего дальнейшего изложения и одинаково необходимы для
последующего изучения как теоретического, так и прикладного ма-
териала. Изложенные в гл. 3—5 результаты, касающиеся единст-
венности представления функций рядами Уолша, вопросов суммиру-
емости и сходимости в IS рядов Фурье—Уолша, непосредственно
не используются в главах, посвященных прикладным вопросам, так
что читатели, интересующиеся в первую очередь применениями, мо-
гут при первом чтении ограничиться лишь беглым ознакомлением с
этими главами. Напротив, понятия, изучаемые в гл. 6, посвященной
мультипликативным преобразованиям, широко используются в двух
последних главах.
В гл. 7 и 8, где рассматриваются ряды Уолша с монотонными
коэффициентами и лакунарные ряды, собраны лишь начальные све-
дения об этих важных классах специальных рядов Уолша, теория
•) Цифры в квадратных скобках обозначают ссылки на список литературы в
конце книги. При этом ссылки на научные статьи содержат фамилию автора и
номер статьи в списке работ данного автора (например, Ефимов I1]). Ссылки же
без указания автора относятся к списку монографий и учебников (например,
UL 121).
которых имеет обширные связи со смежными областями, в частности,
как уже отмечалось, с теорией вероятностей.
Глава 9 посвящена довольно тонким вопросам сходимости и рас-
ходимости рядов Фурье—Уолша и предназначена прежде всего ма-
тематикам. Приводимое здесь доказательство аналога для рядов
Уолша знаменитой теоремы Карлесона о сходимости почти всюду
рядов Фурье класса L2 принадлежит Ханту и в основных чертах
совпадает с доказательством для тригонометрического случая. При
этом, однако, многие технические детали упрощаются, что позволя-
ет ярче выделить основные идеи, освоив которые, читатель проло-
жит себе дорогу, в частности, и к изучению тригонометрического
варианта теоремы.
Рассматриваемые в гл. 10 вопросы приближения функций поли-
номами по системе Уолша и по мультипликативным системам явля-
ются основой многих применений функций Уолша. Наконец, в зак-
лючительных гл. 11 и 12 изложены методы приложений функций
Уолша и их обобщений к цифровой обработке информации, к пост-
роению специализированных вычислительных устройств, цифровых
фильтров и цифровых голограмм.
Чтобы помочь в работе над книгой читателям, знакомым с мате-
матикой лишь в объеме технического вуза, в конце книги в несколь-
ких Приложениях собраны используемые в отдельных главах на-
чальные сведения из теории групп, теории меры и интеграла Лебега
и из функционального анализа. В конце книги помещены также
комментарии к каждой главе, в которых приводятся ссылки на ис-
точники и краткие сведения по истории вопроса. Ввиду того что
по теории рядов Уолша имеются уже упоминавшиеся хорошие об-
зорные статьи, в комментариях лишь в отдельных случаях дается
информация о последующих исследованиях в рассматриваемых
областях.
Главы 1—5 (кроме § 1.5, § 2.5 и § 2.7) и гл. 9 написаны
В. А. Скворцовым, гл. 7, 8, 10 (кроме § 10.5) и § 2.7—Б. И. Го-
лубовым, гл. 6, 11, 12 и § 10.5 — А. В. Ефимовым, § 1.5 написан
совместно А. В. Ефимовым и В. А. Скворцовым, а § 2.5—совмест-
но Б. И. Голубовым и В. А. Скворцовым.
Авторы надеются, что предлагаемая книга будет способствовать
привлечению внимания к прикладным возможностям рассматривае-
мого здесь математического аппарата и тем самым расширению при-
менения теоретических исследований в этой области к решению
прикладных задач.
Авторы выражают искреннюю благодарность В. Ф. Гапошкину
и А. И. Рубинштейну, прочитавшим рукопись этой книги и сде-
лавшим ряд ценных замечаний, способствовавших улучшению изло-
жения материала.
Авторы
ОБОЗНАЧЕНИЯ
Параграфы в каждой главе имеют внутреннюю нумерацию. Также свою внут-
реннюю нумерацию имеют утверждения и формулы каждого параграфа. Так,
например, § 1.5 означает § 5 гл. 1, 2.3.5 означает утверждение 5 в § 2.3, а
(2.3.5) —пятую формулу в § 2.3. Аналогично П5.2 означает п. 2. Приложения
5; П5.2.3 означает утверждение 3 в П5.2. Знаки и ► означают соответствен-
но начало и конец доказательства утверждения.
Знак вэ обычно обозначает равенство по определению.
Мера Лебега множества А обозначается либо mes А, либо, в особенности при
обозначении длины интервала или отрезка А числовой прямой, используется бо-
лее короткая запись: | А |.
Предполагается знакомство читателя с общепринятой теоретико-множественной
символикой; 0 обозначает пустое множество.
Как обычно, (а, д) —интервал, [а, Ь] —отрезок, [а, 6) —полуинтервал, содер-
жащий точку а, но не содержащий точки Ь.
Другие обозначения вводятся по ходу изложения.
Глава 1
ФУНКЦИИ УОЛША И ИХ ОБОБЩЕНИЯ
§ 1.1. Система функций Уолша на полуинтервале [0, 1)
Рассмотрим на полуинтервале [0, 1) функцию
г (г\-1 1 при 1/2>’
° I — 1 при х£ [1/2, 1)
и продолжим ее периодически с периодом 1 на всю числовую ось.
Определим функции rk(х) =sr0(2*х), k — Q, 1, 2, ..представляющие
собой сжатия функции г0(х) в 2* раз. Функции rft(x) называются
функциями Радемахера.
Для функций гк(х), как видно из самого их определения, спра-
ведливо соотношение
Гк+т(х) = гк(2тх).
(111)
Из определения видно также, что гк{х) имеет период 1/2\ постоян-
на на двоичных полуинтервалах [m/2*+1, (т + 1)/2л+1), где т—
любое целое число, и принимает на этих полу-
интервалах попеременно значения 1 и —1,
а в точках вида m/2k+l, являющихся для rk(x)
точками разрыва, она непрерывна справа.
На рис. 1 изображен график функции rk(x)
на [0, 1) при k = 1.
Функции Радемахера иногда определяют
формулой
rk (х) = sign sin 2*+1 лх,
где
при
при
при
/>0,
/ = 0,
Это определение отличается от приведенного выше тем, что в соот-
ветствии с ним функции гк(х) равны 0 в точках разрыва. Обратим
внимание на то, что при принятом определении функции гк (х) нигде
не обращаются в 0.
Заметим для дальнейшего, что при всех и любом целом т
(т+\)/2*
$ гДх)<1х = 0. (1.1.2)
т/2*
Систему функций Уолша {шп(х)}£=0 мы получим в результате
всевозможных перемножений между собой функций Радемахера. При
этом договоримся о следующей нумерации функций Уолша (эту ну-
мерацию принято называть нумерацией Пэли\ см. комментарии к
гл. 1). Положим до0(х)=1. Чтобы определить wn(x) при п^1,
представим натуральное число п в двоичной записи, т. е. в виде
п = 2 ez2', (1.1.3)
i - О
где eft=l и ef = 0 или 1 при i = 0, 1, ..., k—1. Очевидно 2й
< 2Й+1, где k = k(n). Положим
о к-1
М*) = П (1.1.4)
1=0 1 = 0
Таким образом, функции системы Уолша принимают лишь два зна-
чения: 1 и — 1. В точках разрыва они непрерывны справа.
Приведенные определения функций Радемахера и функций Уолша
позволяют рассматривать их на всей вещественной прямой. Однако
часто функции Уолша wn (х) рассматриваются лишь на полуинтер-
вале [0, 1). Естественность этого ограничения области определения
обнаружится в § 1.2, где будет дано другое определение системы
Уолша.
Заметив, что при 2*^n<2*+1 в соответствии с (1.1.3) п—2* =
/?- 1
= 2 получим непосредственно из определения (1.1.4), что
4 = 0
справедливо равенство
Wn W = rk (X)w n-2k(x). (1.1.5)
В частности, rk(x) = W2k(x).
Отметим справедливость следующих утверждений.
1.1.1. Произведение целых степеней любого конечного числа функ-
ций Радемахера совпадает тождественно с некоторой функцией
Уолша (х), причем если k является максимальным номером вхо-
дящих в произведение функций rz(x), то I < 2*+1 и / = 0 тогда и
только тогда, когда все г{(х) входят в произведение в четной степени.
4 Так как всякая функция г{(х) в четной степени равна всюду
единице, то произведение конечного числа степеней функций Раде-
махера в случае, когда имеются функции rz(x), входящие в него в
нечетной степени, сводится к произведению этих функций Радема-
хера в первой степени rfi(x)-r?2(x)-... r/s(x), где i} < i2 < ... <
<is^k. Тогда в силу (1.1.4) получаем, что искомой функцией
Уолша является wt(x) при I = 2*1 + 2‘» 4- . ..+24 причем 0<Z<
< 2<*+1 2*+1. Если все функции Радемахера входят в произведе-
ние в четных степенях, то это произведение всюду равно единице
и совпадает с (х), что и доказывает полностью утверждение 1.1.1. ►
1.1.2. Произведение функций Уолша wn(x) и w^lx) совпадает
тождественно с некоторой функцией Уолша (х), /п. е. wn (х) • шт (х) =
10
= u>z(x), причем Z = 0 тогда и только тогда, когда п = т, и если
т<п < 2Л+1, то Z<2*+1.
4 В силу (1.1.4) произведение функций wn(x) и шт(х) является
произведением степеней некоторых функций Радемахера с номерами,
не превосходящими k. Остается применить 1.1.1. ►
Утверждение 1.1.2 будет уточнено в § 1.2, где, в частности, мы
укажем, как по п и т определяется Z.
Как видно из определения функций Уолша, они постоянны на
некоторых двоичных полуинтервалах. Для этих полуинтервалов вве-
дем специальные обозначения. Полуинтервалы
д*>в [5,2^1), (1.1.6)
будем в дальнейшем называть двоичными интервалами (или просто
интервалами) ранга k^O. При этом AJO) = [O, 1).
Совокупность всех интервалов ранга k будем называть двоичной
(или бинарной) сетью ранга k, а сами интервалы Л*** иногда
будем именовать ячейками сети 9^. Сеть задает разбиение полуин-
2Л-1
тервала [0, 1), причем [0, 1)= U Интервал ранга k, которому
т=о
принадлежит точка х, будем обозначать Д^. К каждой точке х
стягивается единственная последовательность вложенных интервалов
Ж-.-
Отметим, что два интервала одного или различных рангов либо
не пересекаются, либо один из них целиком лежит в другом.
1.1.3. Функция wn(x) при 0^п<2й+1 принимает постоянное
значение, равное 1 или —1, на каждом из интервалов А*£+1’,
0^т<2й+1, причем щ„(х) = 1 при x^A(t*+1).
◄I В самом деле, в произведение, определяющее функцию wn(x)
по формуле (1.1.4), входят, в силу условия п < 2Й+1, функции Ра-
демахера с номерами, не превосходящими k, а все они, как видно
из их определения, постоянны на каждом из интервалов А^+]) и
равны 1 на А(,й+1>. ►
Заметим, что при 2й п < 2Й+1 интервалы A^+1’ являются макси-
мальными двоичными интервалами постоянства функции щ„(х).
1.1.4. Для функций wn(x), 2к^п < 2Й+1, и каждого двоич-
ного интервала Д^’ = [/п/2й, (т+ 1)/2й), т = 0, 1, ..., 2й—1, спра-
ведливо равенство
(т +1 )/2*
te»n(x)dx = 0. (1-1-7)
т/2л
< Представим wn(x) в виде произведения (1.1.5), где и—2* < 2*.
Тогда в силу 1.1.3 wn-^(x) постоянна на интервале Д^\ принимая
на нем значение 1 или —1. Отсюда, учитывая (1.1.2),
(m+l)/2* (m+l)/2*
wn(x)dx—± rh (X) dx = 0,
m/2k m/2k
т. e. получаем равенство (1,1.7). ►
Из (1.1.7), в частности, следует, что для функций Уолша вы-
полняется равенство
J ( 1 при п = 0,
\t0„(x)dr={ Л , (1.1.8)
$ (0 при 1. '
1.1.5. Система функций Уолша удовлетворяет соотношениям
ортогональности
(1 ( 1 при п = т,
\wn(x)-wm(x)dx=\ п
g I 0 при п =^т,
т. е. является ортогональной нормированной системой на [0, 1).
Утверждение непосредственно следует из 1.1.2 и (1.1.8). ►
Отметим справедливость равенства
Wtmn W = (2"Х),
(1.1.9)
где функции Уолша естественно рассматривать на всей числовой
оси. Эго равенство вытекает из (1.1.4), примененного к разложению
k k
2тп = 2“ 2 = 2 в/2'’+»,
1 = 0 1=0
и из соотношения (1.1.1). В свою очередь из (1.1.9) следует полез-
ное соотношение
5 а*» (я) 2« (х) dx = J\ wn (2тх) wp (2тх) dx =
д<т) ^т)
/р1 (2“Л при п = р,
х=2’Л \ wn (x)wp(x)dx = | (1.1.10)
Г ' ' р 0 при п^р. v '
§ 1.2. Система функций Уолша на группе
В этом параграфе мы рассмотрим другой вариант определения
функций Уолша, связанный с иным подходом к области определения
этих функций.
Оказывается, что наиболее естественной и удобной для изучения
областью определения функций Уолша является множество после-
довательностей из нулей и единиц
х = {х0, хп х2, ...» х7, ...}, х7 = 0 или 1, / = 0, 1, 2, ... (1.2.1)
Каждой такой последовательности можно поставить в соответствие ряд
2х,2-/-*, (1.2.2)
/ = 0
который представляет собой двоичное разложение некоторого числа
12
х из отрезка [О, 1], т. е.
х= 2 х/2-/-1. (1.2.3)
/ = о
При этом соответствие между множеством последовательностей (1.2.1)
и множеством рядов (1.2.2) будет, очевидно, взаимно однозначным,
но соответствие между рядами вида (1.2.2) и точками отрезка [0, 1],
которые они представляют по формуле (1.^.3), взаимно однозначным
не будет, так как каждое двоично-рациональное число может быть
двумя способами записано рядом вида (1.2.2): один ряд будет ко-
нечный, другой—бесконечный, в котором, начиная с некоторого но-
мера, все Xj равны 1.
Поэтому для геометрического истолкования множества последо-
вательностей (1.2.1) подходящей моделью является не обычный отре-
зок [О, 1], а так называемый модифицированный отрезок [0, 1]*,
точки которого—сами разложения (1.2.2), а не их суммы. Отрезок
(О, 1]* можно представлять себе в виде обычного отрезка [0, 1], в
котором каждая внутренняя двоично-рациональная точка х «раз-
двоилась», образовав левую точку х—0, соответствующую бесконеч-
ному двоичному разложению числа х, и правую точку х + 0, соот-
ветствующую конечному разложению (точки 1 и 0 при этом не
раздваиваются, так как 1 можно разложить лишь в бесконечный
ряд вида (1.2.2), а нулю соответствует лишь разложение с тожде-
ственно нулевыми коэффициентами).
Множество последовательностей (1.2.1) превращается в коммута-
тивную группу (см. П1.1), если в нем следующим образом опреде-
лить алгебраическую операцию, которую условимся называть сло-
жением и обозначать символом ф: суммой двух последовательностей
« #
вида (1.2.1) x = (x/}/Lo и у = {у1}Т=п называется последовательность
*
2 = {z/}”=(, такая, что
г=хф^={х/©М"-*, (1-2.4)
_ (0 при Х/Н-Ы/ = 0 или 2,
( 1 при x/ + i//=l,
т. е. операция ф представляет собой покоординатное сложение двух
последовательностей по модулю 2.
Очевидно, что введенная операция ассоциативна и коммутативна.
» « «
Обратная операция @, определяющая такой элемент z^xQy, что
г9у = х, в данном случае совпадает с операцией ф, что непосред-
ственно следует из очевидного равенства у@у = О, где 0—последо-
вательность, состоящая из нулей и являющаяся нулевым элементом
группы.
Коммутативную группу, элементами которой являются после-
довательности (1.2.1), а сложением—операция ф, определяемая
формулой (1.2.4), обозначим G.
Так как множество последовательностей (1.2.1) можно привести
во взаимно однозначное соответствие с модифицированным отрезком
[О, 1]*, то операцию ф можно естественным образом перенести на
множество [0, 1]*, что превращает его в группу G.
Именно групповая структура G делает ее удобной областью
определения функций Уолша, свойства которых оказываются тесно
связанными с этой структурой.
Систему функций Уолша на группе G, или, что то же, на моди-
фицированном отрезке [0, 1]*, будем обозначать {^„(х)}^ и опре-
делять следующим образом. Пусть номер п имеет двоичную запись
(1.1.3), а элемент х группы G имеет вид (1.2.1). Положим
k
• • 28tXi /1 9
^(х) = (-1)‘=° . (L2b)
« •
При п = 2‘ получим, в частности, сгу(х) = (—1)х-. Эти последние
« *
функции естественно назвать функциями Радемахера rt(x) на
группе G, и тогда формула (1.2.5) примет вид, сходный с формулой
(1.1.4) для функций Уолша на вещественной прямой, а именно
к U) = П ((- W - П (Л(х))8‘. (1.2.6)
1 = 0 1=0
Из определения (1.2.5) видно, что при заданном п < 2ft+1 функ-
* *
ция wn(x) принимает постоянное значение, равное 1 или —1, на
каждом из множеств вида {х: х7=х°, /==0, 1, ..., k}, где набор
координат |xj, х?, ..., х?} фиксирован. Эти множества удобно ну-
меровать с помощью индекса /и, определяемого по формуле
k
m= 5 ^2*-/, (1.2.7)
/=о
а именно положим
Д<*+1» = {х: х7=х?, / = 0, 1, (1.2.8)
Естественность такого обозначения вытекает из следующих сообра-
жений.
Рассмотрим отображение X: G—*»[0, 1], определяемое с помощью
формулы (1.2.3), т. е. определим X как отображение, ставящее в
• •
соответствие каждой последовательности х вида (1.2.1) число х = к(х),
для которого х служит последовательностью коэффициентов двоич-
ного разложения. Отображение X однозначно, но, как уже отмеча-
лось, не взаимно однозначно. Посмотрим, что является образом
множества (1.2.8) при отображении X, т. е. изучим множество чисел
х, у которых разложение вида (1.2.3) построено с помощью
последовательности из (1.2.8). Очевидно, что для этих х
2 Л2-/'1 < х < 2 + 2 2-'"1 = 2 хй-/-* + 2-*~».
/То /=о * /=л+1 /=о
Но непосредственный подсчет показывает, что
k ( k \
2 хй-/-*= 2 х/2*-' )2-*-* = /n/2»+I,
/ ® о \/=о /
т. е. для рассматриваемых чисел х справедливо неравенство
m/2*+1 х (т + 1)/2*+х.
Таким образом, элементы множества Д^+1> могут быть истолко-
ваны как двоичные разложения чисел из отрезка [т/2*+х, (т + 1)/2А+х],
являющегося замыканием полуинтервала Дт+1>» чем оправдывается
обозначение множества (1.2.8). При этом Дт+1) можно геометрически
интерпретировать как подмножество модифицированного отрезка
[О, 1]*, которое отличается от обычного отрезка [т/2*+х, (т+ 1)/2*+х]
тем, что в нем двоично-рациональные точки «раздвоены» указанным
ранее образом, причем концевые точки понимаются как (m/2ft+1) + 0
и ((/и 4- 1)/2й+х)—0. Заметим, что при таком истолковании отрезки
Д^11Х) и Д‘от+1) не имеют общих точек, так как правым концом пер-
вого отрезка является точка (m/2ft+1)—0, а левым концом второго —
отличная от нее точка (т/2*+1) + 0.
В группе G множества Д^\ k = 0, 1, 2, ..., (Д^’=зС), являются,
как легко проверить, подгруппами, и при каждом фиксированном
k множества Д^’, т — 0, 1, ..., 2*—1, образуют множество всех
смежных классов (см. П 1.2) группы G по подгруппе Д$*’.
Связь свойств функций Уолша, определенных на G с ее груп-
повой структурой, определяется следующим важнейшим в теории
рядов Уолша равенством *):
w„(x^y) = w„(x)w„(y), n = 0, 1, 2, ... (1.2.9)
Справедливость (1.2,9) непосредственно вытекает из определений
операций ф и функций Уолша. В самом деле, из (1.2.4) видно,
что обычная сумма х{ + у{ и сумма х{@у{ имеют одинаковую чет-
k
ность. Это же верно по отношению к суммам S8/(x/ + !/f) и
1 = о
k
2 Gi У{), где 8f определяется разложением (1.1.3). Остается
t = о
воспользоваться определением (1.2.5).
•) Равенство (1.2.9) означает фактически, что шп(х) является характером
группы G.
Для того чтобы сформулировать следующее свойство функций
Уолша, введем в множестве неотрицательных целых чисел операцию,
сходную с операцией ф на группе G. Для этого заметим, что с
помощью двоичной записи вида (1.1.3) мы можем каждому неотри-
цательному целому числу п поставить в соответствие элемент группы
/г = (е0» fin • • •> 0, 0, ...
В результате получим взаимно однозначное отображение множества
целых неотрицательных чисел на подгруппу Go группы G, образованную
всеми финитными последовательностями, т. е. последовательностями, у
•
которых все члены, начиная с некоторого, равны нулю. Пусть т—эле-
мент подгруппы Go, соответствующий числу т. Тогда через пф т
обозначим число, которое при указанном выше отображении соответ-
« •
ствует элементу п ф т подгруппы Go. Другими словами, для получения
двоичного разложения числа, являющегося суммой пф/п, нужно
коэффициенты двоичных разложений чисел пит сложить покоор-
динатно по модулю 2.
По аналогии с формулой (1.2.9) получаем равенство
w„(x)wm(x) = wn®m(x), x£G. (1.2.10)
С помощью определений функций Уолша на группе G можно
получить новое определение функций Уолша на полуинтервале, эк-
вивалентное введенному в § 1.1. Для этого подробнее изучим связь
между полуинтервалом [0, 1) и группой G. Выше отмечалось, что
нарушение взаимной однозначности соответствия между G и [0, 1)
происходит лишь за счет двоично-рациональных точек, имеющих два
разных двоичных разложения. Если договориться для всех двоично-
рациональных точек пользоваться только конечными разложе-
ниями, то по каждой точке х£[0, 1) однозначно определяется по-
следовательность (1.2.1), т. е. определяется отображение g: [0, 1) —► G
по формуле
g(x) = ?=={x0, Xi, ..., x/t ...}, (1.2.11)
где х7- находится по формуле (1.2.3), понимаемой с указанной ого-
воркой для двоично-рациональных х. Ясно, что g(x)^=g(y) при
х^=у, так что отображение g устанавливает взаимно однозначное
соответствие между полуинтервалом [0, 1) и его образом G' при
отображении g, представляющим собой подмножество группы G, ко-
торое получается, если из G исключить все последовательности,
члены которых равны 1 начиная с некоторого места. Поэтому на G'
определено обратное отображение g"1, причем на G' оно совпадает
с введенным выше отображением X, являясь, таким образом, суже-
нием последнего.
Выше при доказательстве того, что множество А™+1) при отоб-
ражении X переходит в соответствующий отрезок, мы фактически
показали, что конечное двоичное разложение для точки /и/2Л+х име-
16
k
ет вид 5 х®2-/-1, где числа х® определяются из (1.2.7). Легко по-
/=°
нять, что в двоичных разложениях внутренних точек из полуин-
тервала [m/2*+1, (т + 1)/2*+1) = Д{£+п значения Xj совпадают с х’ при
O^.j^.k. Поэтому образ двоичного интервала Д^+1> ПРИ отображе-
нии g лежит в множестве Дт + 1). Точнее, образом Д„+1) при отоб-
ражении g является множество Дт + ” fl G'.
Теперь можно дать следующее определение функций Уолша на
[О, 1):
k
. S etxi
= ’ , n = 0, 1, ..., (1.2.12)
где {xj — последовательность знаков двоичного разложения числах,
конечная в случае двоично-рационального х, а {в,} определены ра-
венством (1.1.3).
Покажем, что то определение эквивалентно определению (1.1.4).
Для этого в силу (1.1.4) и (1.2.6) достаточно убедиться в том, что
r<W = ’r(g(x)) = (-l)4 1 = 0, 1, ... (1.2.13)
Для доказательства последнего равенства заметим, что коорди-
ната Xi последовательности g(x) (см. (1.2.11)) принимает одно и то
же постоянное значение для всех точек полуинтервала вида [m/2/+1,
т+ 1/2'+ l), поскольку, как было отмечено выше, этот полуинтервал
переходит при отображении g в множество Дт+1). Это значение сов-
падает (см. (1.2.8)) со значением х$ из разложения т в виде (1.2.7),
где k следует заменить на I. Отсюда видно, что в зависимости от
четности числа т при его изменении от 0 до 2f+1—1 координата
xt принимает попеременно значения 0 и 1, а значит, величина
(—1)*(-—значения 1 и —1. Но такое описание функции г,(х) фак-
тически совпадает с ее определением из § 1.1. Таким образом, ра-
венство (1.2.13), а тем самым и (1.2.12), установлено. При этом,
естественно, предполагается, что область определения функций Уол-
ша на прямой ограничена полуинтервалом [0, 1).
Групповая операция ф в группе G, или, что то же, на моди-
фицированном отрезке [0, 1]*, может быть с помощью отображения
g перенесена и на точки полуинтервала [0, 1) следующим образом.
Напомним сначала, что отображение g~l определено на подмноже-
стве G' группы G, состоящем из последовательностей, не обращаю-
щихся в тождественную единицу начиная с некоторого места. По-
ложим
*®y = g~4g(x)®g(y)), g(x) + g(y)£G'. (1.2.14)
Другими словами, для нахождения суммы х@у нужно рассмотреть
• •
последовательности х и у вида (1.2.1), соответствующие двоичным
Разложениям (1.2.3) чисел х и у, взяв при этом в случае двоично-
рациональных чисел конечные разложения, а затем, если сумма
хфу не оканчивается тождественной единицей, перейти с помощью
отображения g~l к соответствующей этой сумме точке полуинтер-
вала [0, 1).
Таким образом, сумму х@у мы определили не для всех пар х
и у. Это пришлось сделать для того, чтобы операция ф на [0, 1)
сохранила многие важные свойства, которыми обладает соответст-'
вующая операция на группе. Для теории рядов Фурье наиболее
существенное из таких свойств состоит в том, что сдвиг G —> G ф
ф у является взаимно однозначным отображением группы G на себя
и что при этом сдвиге конечное множество смежных классов
при фиксированном k взаимно однозначно переходит в себя (см. Ш .3).
Рассмотрение аналогичного отображения, использующего операцию
ф, на полуинтервале [0, 1) показывает, что оно будет взаимно од-
нозначным, если пренебречь некоторым счетным множеством. Преж-
де чем сформулировать соответствующее свойство, сделаем несколько
предварительных замечаний.
Отметим, что подмножество G\G' группы G, образованное всеми
последовательностями вида (1.2.1), члены которых равны 1 начиная
с некоторого номера (своего для каждой последовательности), оче-
видно, счетно. Счетно и множество (С\О')ф#, образованное при
фиксированном у всеми суммами вида ?фу, где z$G\G'.
Рассмотрим множество ly == X (G' ф g (#)), где X—определенное
выше отображение группы G на [0, 1]. Тогда множество [0, 1)\/
•счетно, так как [0, l)\/!ZcX(G\(G'®g(g)» = X((G\G,)®g(g)),
а последнее множество счетно как образ счетного множества.
Теперь можно сформулировать и доказать следующее утверждение:
1.2.1. При фиксированном у сумма х@у определена на всех
x^/y = l(G'®g(g)), т. е. всюду на [0, 1), за исключением счет-
ного множества. Отображение х—*-x®g является взаимно одно-
значным отображением множества 1у на себя. При этом для любого
двоичного интервала Д^
(MA,n/y)©g=A(/?n/B,
где номер ц определяется значением у, причем jf = / тогда и только
.тогда, когда у£&!ок‘. Если у двоично-рациональное, то /у = [0, 1)
и, значит, х—*хфу есть отображение всего полуинтервала [0, 1)
на себя.
•4 Напомним, что отображение g переводит [0, 1) на G', а отоб-
ражение 1 на множестве G' совпадаете g~l. Поэтому на (G'фg(у))п
Г) G' отображение X = g-1 взаимно однозначно и g(/ ) = (G' фg(g)) П
f)G', причем g^/^’n/y) = A<A,n(G/®g(g))nG'. Далее,
[(G' ® g (У)) П G'] ф g (g) = G' П (G' ф g (g)).
Отсюда в соответствии с (1.2.14) сумма х@у определена для всех
18
x£l и множество 1у при отображении х-»-х®у взаимно одно-
значно переходит на себя.
Известно (см. П1.3), что при сдвиге на элемент g(y) смежный
класс А‘/’ группы G переходит в некоторый смежный класс А/*’.
Ясно, что при этом
[А)*>n(G'©g(у))nG']®g(y) = А**’ПG' n(G'фg(у)),
откуда следует утверждение, касающееся отображения интервала
д<*>. При этом A/"®g(y) = A’-fe) тогда и только тогда, когда g(y)£
т- е- y^^k>-
Наконец, при у двоично-рациональном g(y) является финитной
последовательностью, и поэтому G'®g(y) = G', откуда и следует
последняя часть утверждения. ►
Теперь можно получить следующий аналог равенства (1.2.9) для
функций Уолша ып(х):
1.2.2. При любом п = 0, 1, 2, ...
wn(x®y) = w„(x)w„(y), (1.2.15)
если сумма х@у определена, т. е. при фиксированном у равенство
(1.2.15) имеет место для всех х £ [0, 1), кроме счетного множества,
и для всех х без исключения при у двоично-рациональном.
Достаточно доказать (1.2.15) в предположении, что сумма х@у
определена, ибо заключительная часть утверждения следует из 1.2.1.
Итак, считаем, что g(х) фg (у) £ G', и поэтому существует g"1 (g (х)ф
Воспользуемся последовательно определениями (1.2.14),
(1.2.12), равенством (1.2.9) и еще раз определением (1.2.12). Получим
(*® У) = wn (g-1 (g (х) фg (у))) = w„ (gg-1 (g (x) ф g (y))) =
= wn (g (x) ф g (y)) = wn (g (x)) w„ (g (y)) = w„ (x) w„ (y). ►
В частном случае при y=l/2*+1 равенство (1.2.15) приводит к
соотношению
“^(*©2*4 =-«>»(*). 2*<п<2‘« х€[0, 1). (1.2.16)
fe-l
В самом деле, в этом случае п = 2*+ 2 ef2f и поэтому опреде-
1 = О
ление (1.2.12) дает te»„(l/2ft+1) = (—I)11 =—1. Так как по (1.2.15)
wn^x®^) = wn(x)wn (girl),
то справедливо (1.2.16).
Непосредственно из (1.2.12) без всяких оговорок относительно
области определения следует аналог равенства (1.2.10). Именно спра-
ведливо равенство
wn{x)wm{x) = wn^m{x), х€[0, 1). (1.2.17)
Это равенство уточняет утверждение 1.1.2, поскольку легко прове-
рить, что если т^п <2k+1, то и пфю<2ш, и что пфт = 0
тогда и только тогда, когда п = /и.
* *
1.2.3. Пусть х и у—элементы группы G, а X—определенное выше
отображение G —>[0, 1]. Тогда
1М£)-М*)КМ!/Ф*)- (1-2.18)
• • « •
◄ Пусть для определенности Х(«/)>Х(х) (при X(i/) = A.(x) нера-
• •
венство очевидно) и x={xf}°L0, у = Рассмотрим последова-
тельность z = {z(};L0, где
_ I yh если xt = О,
Zi ~~ I 1, если х{ — 1.
Очевидно, что при каждом I выполнено неравенство zt > у{ и по-
00 00 #
этому X(z) = 2 Zf2-z-xJ> 2 — Цу)- Кроме того, г,>х,при
i — 0 • = О
каждом i и z{—xt = ziQ)xl^;yt^)xl. Отсюда Х(г)—Х(х) =
= 2 г£2-/-1—2 2 (^®xf)2-«"x = Х(£ф£). Но Цу)-
4 = G 4=0 1=0
# # * * * * __ *
— Цх)*^Цг)—Цх). Значит, Цу)—Х(х)<1(</фх), что и доказы-
* *
вает наше утверждение, поскольку случай к (у) <Х(х) рассматрива-
ется аналогично. ►
Величина ро(х, у) = h(x®y) = h(xQy) может играть роль рас-
стояния между элементами х и у *). Точно так же в качестве нового
расстояния между точками х и у из полуинтервала [0, 1) можно
взять величину
р*(-к, У) — Цё(х)@§(у)). (1.2.19)
Если для х и у определена сумма (1.2.14), то р*(х, у)'=х@у.
Из неравенства (1.2.18) и того, что всегда х = Ц§(х)) и у =
= Х (£(#))> непосредственно следует неравенство
\у-х| <р*(х, у), х, i/€[0, 1). (1.2.20)
Это неравенство показывает связь расстояния р‘ с обычным рас-
стоянием на прямой.
Из определения (1.2.19) видно, что расстояние р* не меняется
при сдвиге, а именно если хф? и j/ф? определены, то
Р*(х, 1/)==Р*(хфг, г/фг). (1.2.21)
*) Из (1.2.18) следует аксиома треугольника, после чего все аксиомы расстоя-
ния для K(xQy) оказываются выполненными.
1.2.4. а) Если x, y£\'k>, mo p*(x, y)^l/2ft. б) Если p*(x, y)^.
^\/2к, то найдется такой двоичный интервал А)4-1’, что х, у £
"с А)*-1’.
4 а) Из х, у € А'-’ следует, что х, = у, при i = 0, 1, k—1
в двоичных разложениях (1.2.3) (бесконечные разложения у двоично-
рациональных точек исключены). Тогда сумма g(x)©g(y) имеет
вид (0, 0.....О, гк, гк+1, ...) и, значит,
р*(х,
i=k
б) Допустим противное, т. е. что хну принадлежат разным
двоичным интервалам ранга k—1. Тогда найдется номер i такой,
что O^i^k—2 и в двоичных разложениях чисел х и у коэффи-
циенты при 2-'-1 отличаются друг от друга, так что в последова-
тельности g{x)®g(y} член с номером i равен 1 и поэтому в раз-
ложении числа ^(gW®g(i/)) присутствует в качестве слагаемого
член 2-'"1. Но поскольку i^k—2, то это означает, что в проти-
воречие с предположением р*(х, у) >2_ft+1 > 2~*. ►
1.2.5. Если уп—*у и у—двоично-иррациональное число, то
рЦУп, У)~^0.
◄ Для любого k найдем номер nv(k) такой, что при всех
и при некотором / имеем у, Остается применить 1.2.4.а). ►
Нетрудно проверить, что расстояния ро и р* превращают соот-
ветственно группу G и полуинтервал [0, 1) в метрическое прост-
ранство (см. П2.1 и П2.2).
Заметим, что в этих пространствах функции Уолша оказываются
непрерывными функциями. Это связано с тем, что двоично-рацио-
нальные точки, в которых функция Уолша терпит разрыв в клас-
сическом смысле, на модифицированном отрезке не только «раздваи-
ваются», но к тому же полученные в результате раздвоения точки
оказываются довольно далекими друг от друга в смысле расстояния
Pg; предоставляем читателю проверить этот факт, проведя соответ-
ствующие вычисления. Аналогичную ситуацию порождает расстоя-
ние р* на полуинтервале [0, 1). В этом случае, хотя двоично-рацио-
нальная точка и не «раздваивается», но вся ее левая полуокрестность
оказывается от нее удаленной на положительное расстояние.
§ 1.3. Другие определения системы Уолша. Связь
с системой Хаара
Обозначим через м(пк+т постоянное значение, которое при 0^
^n<2ft+1, 0^т < 2*+1 принимает функция о»п(х) на двоичном
интервале А^+п (и функция а>„ (х) на множестве А^+1)). Изучим мат-
рицу порядка 2ft+1 х 2Л+1, которая полностью описывает пер-
вые 2ft+1 функций Уолша.
1.3.1. Матрица (w£+m) является симметрической и ортого-
нальной.
Поскольку сейчас рассуждения будут вестись при фиксирован-
ном k, то будем для краткости опускать верхний индекс (Л+ 1) в
записи элемента матрицы. Проверим равенства m = п. Пред-
ставим п в виде (1.1.3), номер же интервала т можно представить
в виде (1.2.7), где числа х] при / == 0, 1, ..., k определяют мно-
жество Д^+1) (см. (1.2.8)). Тогда в соответствии с определением
(1.2.12) получим
Если теперь считать, что п является номером интервала Д^+1)
(или, что то же, множества Д^+1)), то в силу (1.1.3), (1.2.7) и (1.2.8)
множество Д^+1) определяется соотношениями х{ = ек_ь /=0, 1, ...
..., k. Роль коэффициентов в двоичном представлении числа т в
виде (1.1.3) будут играть числа х$, причем при 2* будет стоять ко-
эффициент 4-z- Тогда формула (1.2.12) даст для wm%n значение
k
что совпадает с полученным выше значением для wn,m. Итак, сим-
метричность матрицы (ш^+т)) проверена.
Ортогональность матрицы следует из ортогональности системы
{дои(х)}. В самом деле, в силу утверждения 1.1.3
1 2« + 1-1
( w„ (х) wt (х) dx = 2 J wn (х) wi (xfdx =
2* + *-1
= 5
tn tn »
0
откуда no 1.1.5 и следует ортогональность матрицы (и^>+Д)). ►
Теорема 1.3.1 позволяет доказать следующее полезное утвержде-
ние:
1.3.2. Любая функция Р(х), постоянная на каждом двоичном
интервале 1, представима в виде
2А—I
/>(х)= 2
( = 0
m. е. является полиномом по системе Уолша, у которого отличные
от нуля коэффициенты имеют номера, не превосходящие 2*—1*
При этом такое представление единственно.
◄ Используя введенные выше обозначения и обозначая че-
рез рт постоянное значение, которое функция Р (х) принимает на
интервале Д^’, получим следующую систему из 2k уравнений отно-
сительно
неизвестных а{, 0 I < 2k— 1:
2*-1
2 т = Рт< 1.
<=0
Определитель этой системы в. силу теоремы 1.3.1 отличен от
нуля, откуда и следует существование и единственность доказывае-
мого представления функции Р(х) полиномами Уолша порядка, не
превосходящего 2*—1.
Поскольку рассматриваемая функция заведомо постоянна и на
всех двоичных интервалах AU) ранга I > k, то все сказанное можно
повторить, заменив k на /. Получим единственное представление
функции Р(х) в классе полиномов порядка не выше 2‘—1. Но по-
скольку в этот класс входит и найденный выше полином порядка
не выше 2*—1, то он и обеспечивает нужное представление в этом
более широком классе. Таким образом, полученное нами представ-
ление является единственным в классе всех полиномов по системе
Уолша. ►
Покажем теперь, как матрица (o»n*+m) может быть построена по
матрице Установим соотношения
^^+m= -^++V. 2*+m = <>m ) (1'ЗЛ)
/г-1
при 0^п^С2*—1, 0^771^2^—1. Если п= 2 то 2п =
1 = 0
k k
— S8i-i2r и 2n+ 1=2°+ 2 ez-i2r- Далее, если т—номер интер-
1=1 1=1
вала Д*>, заданный соотношением (1.2.7), где k заменено на k — 1,
то при переходе к интервалам ранга k +1 разложения чисел т
k
и 2ft + /n можно записать в виде т= 2 x?-i2*-', 2ft + /n = 2*4-
k 1-1
+ 2 Отсюда, используя формулы (1.2.8), (1.2.5) и (1.2.12),
1 = 1
получаем
k k—i
2 8<-lxi-l 2 eix°i
^ = (-l)t=1 =(-!/ = » = <’w,
k
0.1 + 2 8/_lxi-i
m<k+ 4 —(___П i = l — Wl<ft>
W2n, a*+m 1 l' ~wn,mt
к
H+Zw’-l
<++1l’.m = (-l) < = ’ =<’m,
1-1+2 8< -1 ri-l
^«л+l. ==( 1)
Тем самым соотношения (1.3.1) доказаны.
В силу симметричности матриц (и'п?™) и (wn,+m) соотношения
(1.3.1) можно переписать в виде
w(№ = г^+1 = ^т,
^2к + п,2т = ^а*+л, ат + 1 =
(1.3.1')
при 0^n^2ft—1, 0^Zm^Z2k—1.
Соотношения (1.3.1) можно использовать для нахождения по
индукции явного вида матриц (^т): для получения матрицы
следует каждую строку матрицы написать дважды в виде двух
новых строк и дополнить полученные строки, приписывая к первой
строке справа еще один экземпляр этой же строки, а ко второй
строке добавляя справа все элементы той же строки с противопо-
ложным знаком. Проиллюстрируем эту процедуру, записав матрицы
порядка 2x2, 22х22 и 23х23:
Поскольку в силу симметричности матриц те же операции удвое-
ния производятся и со столбцами, то легко понять, что значения
первых 2k функций Уолша, задаваемых матрицами
и всеми последующими, совпадают между собой. В самом деле,
первое из равенств (1.3.1') как раз и показывает, что при 0 п 2k—1
определяемое матрицей порядка 2ft+1x2ft+1 значение функции wn(x)
на каждом из интервалов и Ag&W составляющих в сумме
интервал совпадает с заданным матрицей порядка 2*х2* зна-
чением этой функции на интервале А^>.
Таким образом, все функции Уолша однозначно определяются
последовательностью матриц {(^n/m)}£=o, где (ш^)0) = (1).
Итак, соотношения (1.3.1) вместе с соглашением о том, что
матрица порядка 1x1 имеет вид (Н%) = (1), полностью восстанав-
ливают все матрицы (ш(п%), 6 = 0, 1, 2, ..., и дают тем самым
новое, эквивалентное предыдущим, определение системы Уолша как
на полуинтервале [0, 1), так и на группе G.
Наконец, эти же матрицы позволяют установить связь
между системой Уолша и другой широко известной в теории функ-
ций ортогональной системой —системой Хаара—и исходя из этого
получить еще одно определение системы Уолша на [0, 1) через
функции Хаара.
Система функций Хаара {/?„(х)}п==о на [0, 1) определяется сле-
дующим образом. Полагаем й0(х)=1 при всех * из [0, 1). Пусть
24
_. „лп. л = 2* + т, Л>0, 0<тС24—1. Тогда полагаем
теперь #<-**** » »
hn(x) =
— 2*/2
О
при х е А^1’.
при хСА’&Й,
при хб [О, 1)\А<*>
(1.3.2)
(обратим внимание на то, что по приведенному определению функ-
ции Хаара в точках разрыва непрерывны справа; этим предлагаемое
определение несколько отличается от другого часто встречающегося
в литературе определения, в соответствии с которым в точках раз-
рыва функции Хаара считаются равными полусумме пределов слева
и справа).
Таким образом, функции Хаара с номерами п. — 2к + т, Osg^/n^
<2*—1, имеют своими носителями последовательно двоичные ин-
тервалы Ат’> ^1 = 0> 2*—1.
Покажем, что функции Уолша w{(x), 2*<2(^2*+1 — 1, можно
с помощью матрицы (te>^’m) выразить в виде следующей линейной
комбинации функций Хаара с теми же номерами:
2 0<н<2*-1. (1.3.3)
пг = О
Легко заметить, что сумма в правой части равенства (1.3.3)
на интервале А^*1’ принимает значение а на интервале А^1; —
значение —Но это означает, что вычисленные по формуле
(1.3.3) значения функций да2*+„(х) при О С «^2*—1 на интервалах
А^+1> С0Впадают со значениями, которые эти функции должны при-
нимать на тех же интервалах в соответствии со второй из формул
(1.3.Г), т. е. вычисленные по (1.3.3) значения согласуются с ранее
введенными определениями функций Уолша. Тем самым формула
(1.3.3) доказана. Поскольку она верна при любом k^Q, то она
определяет все функции Уолша wt(x) при i^l.
На соотношения (1.3.3) можно смотреть как на линейное преоб-
разование с помощью матрицы (2~k/2w^m) вектора (й2л, й2*+1, ...
• ••, в вектор (гзуаА, oM+j, .... tt^+i-i). Поскольку матрица
будучи симметрической и ортогональной, совпадает со своей
обратной, то преобразование (1.3.3) допускает следующее обращение:
8*-1
М+п = 2^ 2 0<n<2*— 1. (1.3.4)
т » О
Определение системы Уолша с помощью равенств (1.3.3) оказы-
вается полезным в тех случаях, когда из некоторых свойств рядов
по системе Хаара выводятся соответствующие свойства рядов по
системе Уолша.
§ 1.4. Ряды по системе Уолша. Ядро Дирихле
Мы будем рассматривать ряды по системе Уолша вида
2 (1-4.1) j
1 = 0 ’ 1
где коэффициенты а, будут, как правило, действительными.
Отметим ряд свойств частных сумм ряда (1.4.1)
п-1
s«W=2^(x). (1.4.2)
i = 0
1.4.1. При каждом п, l^n^2ft+1, сумма S„(x) принимает по-
стоянное значение на каждом из интервалов Д^+1), 0^/n<2*+1.
◄ Утверждение непосредственно следует из 1.1.3. ►
Постоянное значение, принимаемое функцией Sa (х) на интервале
Д^’ при n^2k, обозначим через s^’m.
1.4.2. Для любого интервала Д&> = Д^+1) и Д^Д при любом п,
2к < п^2к+1, имеют место равенства
с<4+1> I «<*+!> _(1 Л Ч\
J Sn(x)dx — J Sa*(x)dx=|AJ>|-4^,w’ (1.4.4)
д(А) д(Л)
•4 Представим сумму S„(x) в виде
n- 1
Sn(x) = S2n (x) + 2 ^wjx).
i = 2«
Тогда в силу равенства (1.2.16)
5»(x®-2*7t)— (х®-2Ат)= — S„(x) + S2s (х). (1.4.5)
Но нетрудно проверить, исходя из определения операции ф, что
если х принадлежит одному из интервалов Д^1’ и Д^Д, то хф l/2fe+1
принадлежит другому, причем обе точки принадлежат одному и тому
же Д^’. Поэтому S2k (хф-^п-^=52л(х), и с учетом (1.4.5) получай»
Sn (x) + S„ (хф= 2Sa* (х). (1.4.6)
Ввиду принятых выше обозначений оно совпадает с (1.4.3). Соотно-
шение (1.4.4) вытекает из равенства (1.4.3), если его домножить на
| Д^+1,| и учесть, что | Д<*>| = 21 Д&+1> |. ►
Применяя последовательно равенство (1.4.4) при п = 2к и прй
различных k, приходим к равенству
S2n+i(x)dx= J 52A(x)dx, /^0. (1.4.7)
№ №
В теории рядов Фурье по системе Уолша важнейшую роль иг-
рают частные суммы ряда 2 wi (х)> Для которых введем специальное
обозначение
п- 1
Dn (х) = (х)
1 = 0
(1.4.8)
и которые по аналогии со случаем тригонометрической системы бу-
дем называть ядрами Дирихле для системы Уолша.
Установим ряд свойств ядер Дирихле.
1.4.3. Ядро Dn(x) при 1<л^2й+1 принимает постоянное зна-
чение на каждом из интервалов А£+1>, причем
D„(x) = n при х£Д^+1>. (1.4.9)
4 Первая часть утверждения является частным случаем 1.4.1.
Равенство (1.4.9) следует из того, что при х£ AJ*+1) и при 0 sgli < 2k+l
все функции и», (х) равны 1 (см. 1.1.3). ►
Из соотношений (1.1.8) вытекает равенство
1
$Dn(x)dx=l, п=1, 2, ... (1.4.10)
о
Будем записывать п в виде n = 2k + m, где 1^т«С2й. Тогда
D„ (х) = D.,k (х) + 2 wt (х).
i=2*
Применяя соотношение (1.1.5) к каждой из функций wt(x) при
2й i < п— 1 < 2Й+1, получаем
Dn (х) = D2k (х) + rk (х) 2 t<!’l -2*(x) = D3*(x) + гк(х) 2 ^(х).
i-2k s=0
В результате приходим к равенству
D„ (х) = D2s (х) + гк (х) Dm (х) = Dtk (х) + w2k (х) Dm (х), (1.4.11)
п = 2 й + т, 1 < т С 2й.
Отсюда при т = 2к получаем
П2*+1 (х) = (1 + rk (х)) Da* (х). (1.4.12)
Установим теперь равенство
02*(x)-Jo „ри х€[0, 1)\Д£>. (14.13)
в Проверим это равенство индукцией по k. При k = 0 оно оче-
томН° Индукционный переход от k к k + 1 осуществляется с уче-
формулы (1.4.12) и того, что в соответствии с определением
функций Радемахера
, ,и_( 1 ПРИ х€до*+1>>
| —1 при х€Д(*+1),
причем Д$>*’ = Д^+1) и Д/+1). Тогда D2*+i(x) = 2D2* (x) = 2*+1 при
х€Д»*+п и D2a+i(x) = 0 при х£Д^+1), т. е. приходим к (1.4.13) для
k + 1.
Важную роль в дальнейшем будет играть неравенство
|Dn(х)|<2'-1, х€Д<1), i=l,2,..., п=1, 2, ... (1.4.14)
Для доказательства этого неравенства фиксируем «\>1 и проведем
индукцию по k, где 2*<n^2*+l. Заметим, что неравенство оче-
видно при п=1=2°. Предположим, что неравенство доказано при
п^2\ и установим его для 2* < п ^2*+1. Для этих значений п
справедливо равенство (1.4.11). Если i^k, то Д(°с[0, 1)\До*’с
с[0, 1)\Д^’, и, значит, в силу (1.4.13) О2« (х) = 0 при х£ Д'/*. Поэ-
тому (1.4.11) приводит к тому, что при тех же х имеем О„(х) =
= rlt(x)Dm(x)t откуда
|Dn(x)| = |D„(x)|, х(=Д«». (1.4.15)
Поскольку т = п—2*<2\ то для Dm(x) неравенство (1.4.14)
справедливо в силу индукционного предположения. Ввиду (1.4.15) то
же верно для Dn(x) при
Переходя к случаю i — k+\, отметим, что гй(х) = —1 при
х€Д(*+,). Поэтому, вновь обратившись к (1.4.11), учитывая (1.4.13)
и то, что Dm(x) = tn при х С Д^+пс:До*’ (см. (1.4.9)), получаем, что
Dn(x) = 2*—т при х£Д*?+1), откуда, в частности, вытекает справед-
ливость неравенства (1.4.14) при i = k+\.
Осталось рассмотреть случай i > k + 1. В этом случае Д‘/* с: Д*о*+1>,
и поэтому, в силу (1.4.9) £>„(x) = n^2ft+1^2‘-1, т. е. также спра-
ведливо неравенство (1.4.14).
Итак, (1.4.14) проверено для всех i, что завершает индукционный
переход от k к Л-Ь 1, а тем самым и доказательство неравенства
(1.4.14).
Из неравенства (1.4.14), в частности, следует, что
|D„(x)|<l/x, х€(0, 1), и=1,2,... (1.4.16)
В самом деле, если х#=0, то найдется i, при котором х^Д’/*, т. е.
2~'’^х < 2_<+1, и тогда в силу (1.4.14)
{/х.
§ 1.5. Мультипликативные системы
и их континуальные аналоги
Система Уолша является частным случаем более общего класса
систем функций — так называемых мультипликативных систем, кото-
рые будут здесь определены путем непосредственного обобщения
28
определений из § 1.2. Эти системы, как и систему Уолша, можно
рассматривать либо на полуинтервале [0, 1), продолжая их при
необходимости периодически на всю числовую ось, либо на группах,
подобных группе G.
Начнем с описания интересующего нас класса групп.
Пусть задана произвольная последовательность натуральных чисел
Р—{Pi. ........Р/. •••}. Р/>2, />1. (1.5.1)
С помощью Р определим множество целочисленных последователь-
ностей вида
х = {хп х2, ..х7, ...}, 1, />1. (1.5.2)
Это множество становится группой, которую обозначим G(P), если
в нем ввести следующее групповое сложение:
XjQ)у,-= Xj + у;-(modPj). (1.5.3)
Если группа G(P) построена по последовательности (1.5.1), все
члены которой равны 2, то она совпадает с рассмотренной в § 1.2
группой G. Заметим, однако, что в отличие от этого частного слу-
чая в общем случае операция 0, обратная к групповой операции ф,
не совпадает с последней и может быть определена как покоорди-
натное вычитание по модулю р7, т. е.
xpn.J если xJ>y^
’ XP/^-Xj—yf, если */<1//.
Определим на группе G (Р) мультипликативную систему функций.
При этом целые неотрицательные числа п, с помощью которых мы
будем нумеровать функции системы, запишем в так называемой
Р-ичной записи, обобщающей двоичную запись (1.1.3). Для этого
положим
/
/п0=1, (1.5.4)
s= 1
где ps—члены последовательности (1.5.4), и каждое п представим
в виде
k
.n=2a/n/-n 1, /=1, 2, (1.5.5)
/ = 1
Как и в случае двоичной записи, каждому числу п, имеющему
Р-ичную запись (1.5.5), можно поставить в соответствие элемент
группы G(P)
п={аи «2, ..., aft, 0, 0,
т- е. финитную последовательность из G(P). Так же как и в § 1.2,
это соответствие позволяет перенести групповую операцию ф на
множество целых неотрицательных чисел.
Определим теперь п-ю функцию системы {%„ (х)}”_0, положив для
п, имеющего представление (1.5.5), и для х вида (1.5.1)
» ♦ ( .Д а/хА*)
Х„ (х) = ехр ( 2га 2 • (1-5.6)
\ /=1 Pf J
Легко проверить, что для этих функций выполняются соотно-
шения **) ь (х © у)=(х) х„ Су), in(xQy) = x„(x)ia(y)a (1.5.7)
и Х„(х) Хт(х) = Хпфт(х), znwLw=Xne'n(x), (1.5.8)
аналогичные равенствам (1.2.9) и (1.2.10) для системы Уолша. За-
»
метим, что система функций (1.5.6) становится системой Уолша {до,}
в том частном случае, когда pz = 2 для всех /.
Так же как и в случае системы Уолша, область определения
функций (1.5.6) можно отобразить взаимно однозначно на «модифи-
цированный» отрезок [0, 1]’ или—с нарушением взаимной одноз-
начности в счетном множестве точек—на полуинтервал [0, 1). Для
этого следует каждому элементу х вида (1.5.2) группы G(P) поста-
вить в соответствие ряд
2(х/т7), (15.9)
где т} заданы равенством (1.5.4). Этот ряд, очевидно, сходится и
представляет собой Р-ичное разложение некоторого числа х, равного
ОО
сумме этого ряда. Отображение ХР:х—xjlmp переводящее
группу G (Р) в полуинтервал [0, 1), не является взаимно однознач-
ным, так как Р-ично-рациональные числа имеют два различных раз-
ложения— конечное и бесконечное. Если эти их разложения считать
соответствующими двум разным точкам, то точно так же, как и е
случае двоичного разложения в § 1.2, приходим к понятию «моди-
фицированного» отрезка [0, 1]р, который служит наглядным геомет-
рическим истолкованием группы G(P).
Соответствующая системе {%„} ортонормированная мультиплика-
тивная система функций на полуинтервале [0, 1) определяется по
*) Так введенные системы функций не исчерпывают всего класса мультипли-
кативных систем и обычно называются системами Прайса (см. [1], с. 68).
**) То есть система {х« W)o° является системой характеров группы G (Р)*
аналогии с определением (1.2.12) при помощи отображения
в :х__+х, которое каждому числу х£[0, 1) ставит в соответствие
последовательность вида (1.5.2) коэффициентов его Р-ичного разло-
жения (1.5.9) так, что Р-ично-рациональным точкам ставится в со-
ответствие конечное разложение. Тогда полагаем для п вида (1.5.5)
, k V
Х»(*) =%»(£₽(*)) = exp (2ni£ ^7} (1.5.10)
X /=1 J
Заметим, что коэффициенты х} Р-ичного разложения (1.5.9) чис-
ла х можно найти по формуле
Xj = [х/Пу] (mod ру), /^1,
где [а] обозначает целую часть числа а, причем для Р-ично-рацио-
нальной точки эта формула дает коэффициенты конечного разложе-
ния. Аналогично коэффициенты ау разложения (1.5.5) числа п можно
найти по формуле
а/ = [m7Z7] <mod^z)» />*•
Отметим, что функции
Х»у_1(х)=ехр(2ш‘7)> /=1, 2......... (1.5.11)
играют здесь роль, аналогичную той, которую играют функции
Радемахера при определении системы Уолша. С помощью этих
функций х«(х) записывается в виде
k
Хп(х)= П [Xmy_1 (*)]“/• (1.5.12)
Легко проверить, что функции %„ (х) при п < тк постоянны на
полуинтервалах вида
<15.13)
обобщающих понятие двоичных интервалов А*/’.
В группе G (Р) или на модифицированном отрезке [0, 1]р этим
полуинтервалам соответствуют множества
6<*’ = {х: Ху = Х/, /=1, 2. k\,
где г = 2 x?/nt_y.
Заметим для дальнейшего, что
</,+1)ра-1
и (1.5.14)
s=n>ft
и что
x* = s(modp*), (L5.15)
По аналогии с § 1.2 можно естественным образом перенести one 1
рацию ф с группы G (Р) на обычный полуинтервал [0, 1). При этом,
однако, равенство
Х« U® У) = Хи (*) Хи (У) U -5-16)
при фиксированном у будет иметь место для всех х, кроме счетного
множества (доказательство полностью аналогично доказательству
утверждения 1.2.2).
Отметим еще ряд свойств системы { я}.
Несложный подсчет с использованием формулы геометрической
прогрессии и формулы (1.5.11) приводит к равенству
/М» ( Р» ПРИ /' = 0, 1, ...» /«4-1—1,
-|0 пр„ х€8«-..Х6«.
(1.5.17)
Ортонормированность системы {х„} следует с учетом (1.5.8) и
(1.5.10) из соотношения
J X„(x)dx = 0, 1.
6<ft>
(1.5.18)
Для доказательства этого равенства заметим, что функции хя/_{ (*)
при / <£ постоянны на б’/-1’ и равны по абсолютной величине 1,
поэтому в силу (1.5.12)
|$ ХП(*)<М = |$ (*)]“*
в<4-1> 6(4-v
Последний же интеграл, ввиду постоянства функции xWft t(x)
на интервалах б(/’ и в силу (1.5.14), (1.5.11) и (1.5.15), сводится
к сумме
1 Oft", / \
(?=(>
Тем самым (1.5.18) и ортонормированность системы {хЛ доказаны.
Ядро Дирихле для системы {хя} обозначим так же, как и для
системы Уолша:
/г-1
(1.5.19)
s=0
(из контекста всегда будет ясно, о ядрах каких систем идет речь).
По аналогии с (1.4.11) можно непосредственно из определений
(1.5.10) и (1.5.12) получить
Д, (х) = (х) + (у^^, (х))% Dr (х),
(по определению считаем О0(х)^0). В свою очередь
ак~1
DVt.№ 2о (4-1 (х)*
откуда
Dn (х) = (х) °21 (х))’ + Dr (х) (Xefk_t (х))“*«
<7=0
(1.5.20)
п = актк_1 + г, \^г^тк_1.
В частности, при ак — рк—1 и r = mk_l получаем
2 fr**., (*))’•
<7=0
Отсюда индукцией по k с помощью формулы (1.5.17) приходим к
равенству
( тк при xg6^*,
при [0, l)\Si*>. (1.5.21)
Перейдем теперь к построению континуальных аналогов муль-
типликативных систем.
Заметим, что систему функций (1.5.6) можно рассматривать как
• • * • •
одну функцию двух переменных х(х, = причем роль обоих
аргументов в определении (1.5.6) сходная и разница между ними
состоит лишь в том, что второй аргумент, принимает не любые зна-
чения из группы С(Р), а лишь значения из счетной подгруппы, об-
разованной финитными последовательностями.
Смысл обобщения, которое мы собираемся предпринять, состоит
в том, чтобы и второй аргумент, играющий роль номера, принимал
континуальное множество значений, образующих некоторую группу.
Построим сначала группы, декартово произведение которых и
будет служить областью определения функции двух переменных,
обобщающей' мультипликативные системы.
Возьмем произвольную бесконечную в обе стороны последова-
тельность натуральных чисел
^^{...,р_у......p-i,p„p4......Р/. •••}. Р/>2, / = ± 1, ±2, ...
(1.5.22)
(Для удобства дальнейших записей не используем здесь индекс 0).
'Определим соответствующую этой последовательности группу 6(5*)
как множество последовательностей вида
*={•.., Х_у, ...j Х_ь X,, Х„ ..., X/, ...}, О^Ху^Ру—1,
/ = ±1, ±2, ..., х_у = 0, />Л(х)^1,
(1.5.23)
К. И. Голубов и др. 33
с групповой операцией ф, определяемой так же, как и в (1.5.3), с
той лишь разницей, что индекс / принимает все целые значения, не
равные нулю. Таким образом, группа 6(5*) состоит из последова-
тельностей, бесконечных лишь вправо.
Рассмотрим группу G (5s'), определяемую последовательностью 5s',
симметричной последовательности 5*, т. е.
5S'^{..., р'ч, .... р’-и pi, р'г..p'h ...}, (1.5.24)
Pi = P-/> / = ±1, ±2, ... (1.5.25)
Таким образом, группу 0(5*') образуют последовательности
х = {..., xij, ...» xLb х'и х2, xj, ...}, О^Х/^р.у—1,
/ =±1, ±2, .... Х1; = 0, j > £(х')>1.
(1.5.26)
• • *
Определим теперь функцию*) двух переменных % (х, х ), положив
для каждой пары (х, х')€б(5*)хС(5*')
(1.5.27)
Далее введем обозначения
/ / /По=1, m/sJIPj. "!.У=П S= 1 s= 1 p-»> / = 1, 2, ...
(1.5.28)
Учитывая (1.5.25), имеем
/ m; = m0 = l, = П Ps—m.j, m'_j = s=l TL p'-s S=1 = /П/, /=1,2,...
Зададим отображения групп G (5s) и G (5s') в множество действи-
тельных чисел. В отличие от группы G(P), которая отображалась
с помощью ряда (1.5.9) в полуинтервал [0, 1), каждую из групп
G(5*) и G(5S') отобразим на действительную полуось. Для этого
последовательности (1.5.23) поставим в соответствие ряд
k (X) 00
У (1.5.29,
J —/-Г1 I АмЙ fftj
а последовательности (1.5.26)—ряд
Л (*') <ю ,
/=1 i=’ 7
•) X (*» х>) как функция первого аргумента является характером локально
компактной группы G &),
Отображение ставящее в соответствие элементу х g G (5*) сумму
ряда (1-5.29), и отображение ставящее в соответствие элементу
х'^6(5*') сумму ряда (1.5.30), переводит каждую из групп 6(5*)
и 6(5*') в положительную полуось [0, оо). При этом в 5*-ично-ра-
циональных и соответственно в 5*'-ично-рациональных точках нару-
шается взаимная однозначность отображения. Если по аналогии о
«модифицированным» отрезком [0, 1]Р ввести понятие «модифициро-
* *
ванного» луча [0, оо)^» или [0, оо)^,, в котором каждая 5»-ично-ра-
циональная (соответственно 5*'-ично-рациональная) точка считается
дважды, то соответствие между таким лучом и группой будет вза-
имно однозначным и мы получим удобную геометрическую модель
групп 6(5*) и 6(5»').
Обычный луч [0, оо) можно однозначно отобразить в каждую из
групп 6(5*) и 6(5*'), определив отображения g^ и g&> следующим
образом. Полагаем g?: х-*{ху)£/я1 и g^'. х‘ —<- {х)}±/=1, где xt и
x’j—коэффициенты разложений соответственно вида (1.5.29) для чис-
ла х и вида (1.5.30) для числа х', причем для 5*-ично-рациональных
точек х и 5*'-ично-рациональных точек х' берутся конечные разло-
жения.
Эти коэффициенты можно найти с помощью равенств
Ху = [х/Пу]
X/ = [хт_у]
(mod ру), *-/ -|m_y+i
(mod р_у), x.j == ]
(mod р_у),
(mod ру),
(1.5.31)
/==1, 2, ..., где [а] означает целую часть числа а.
Итак,
k (X) ОО
+ W + W.
ft> ft , (1-5-32)
х' = £ — [x'J + {x'}
/=i /=i
(здесь {а} означает дробную часть числа а). В этих обозначениях
можно определить на [0, оо)х[0, оо) функцию
X (х, х') = х (g? х), gp (х')) = exp
x/x’-i
PJ
Ь(х)
(1.5.33)
Отметим ряд свойств функции х(х> х ) и соответствующей ей
Функции х(х, х').
2» 35
1.5.1. х(0, х') = х(х, 0) = |х(*. *')| = 1- Аналогично х(0^>, х') =
• . * * •
** х (х, 0^') = IX (х» х')| = 1» г^е $5*—нулевой элемент группы G (5*),
a 0^>'—нулевой элемент группы 0(3*').
1.5.2. Если х' = п—целое неотрицательное число, то х(х, п) —
— Кп ({*})<₽)> гДе (х» (х))<р>—мультипликативная система вида (1.5.10),
определенная с помощью последовательности Р = {р/}?.1, образованной
членами последовательности 3* с положительными индексами j.
Если х — п, то i(n, х') = хп({х'})(р-), где (х„(х))<р')—система вида
(1.5.10), определенная с помощью последовательности P'={pJ/Li та-
кой, ЧТО pj = p_j.
Аналогичное утверждение справедливо для функции х(*. х')-
Это свойство непосредственно вытекает из определения, так
как если дробная часть одного из аргументов в (1.5.33) равна нулю,
то значение функции не зависит от целой части другого аргумента.
1.5.3. х(х. Х')-Х({ХЬ [х'])х((х]. {x'})=X[x'](W)(P)-Xw({x'})(p')-
(Это равенство означает, что х(х> х') является скрещенным произ-
ведением систем х»({х })(Р') и Хт ({Х))(Р>- (См. Виленкин, Зотиков [*].)
Для проверки этого равенства достаточно (1.5.33) записать
в виде
/ k(x") \ , *(*) /к
. xjx-i\ (Л . 'V' x-ixi\
%(х, х ) = ехр( 2ш —— bexpl 2ш 2. —— I
\ /=1 / \ /=] /
и воспользоваться (1.5.32) и 1.5.2.
1.5.4. При фиксированном x'<mk (k^l, тк определены по
(1.5.28)) функция х(х> х') постоянна по х на каждом полуинтерва-
ле вида (1.5.13), где г принимает любые целые положительные зна-
00
чения (так что U 6*.*’ = [0, оо)). При фиксированном х<.т_к функ-
г=0
ция %(х, х9) постоянна по х9 при каждом интервале вида
b'r(k)~[rlm_k> r = 0, 1, 2, ...
При фиксированном х9 второй сомножитель в представлении
1.5.3 очевидно постоянен по х на полуинтервале [[х], [xj + 1), а
первый сомножитель, в силу 1.5.2, постоянен на каждом отку-
да и следует первая часть утверждения. Вторая часть, касающаяся
поведения х(х> х') при фиксированном х, доказывается аналогично.^
• • •
1.5.5. Функция х(х, х') мультипликативна по каждой перемен-
ной, т. е.
Х(х. у){(х, 2) = х(х*. У®z), х(х» У)х(г, У) = Х(ХФ*> У)>
Х(х> У)х(х, z) = x(x, yQz), %(х, у)х(г, y) = x(xQz, у).
<< Утверждение следует непосредственно из определения (1.5.27). ►
Заметим, что соотношения в 1.5.5 являются обобщениями ра-
венств (1.5.7) и (1.5.8).
Аналогичное утверждение для функции %(х, х') выполняется с
теми же оговорками относительно исключительного множества, что
и в случае равенства (1.5.16). Так, равенства
%(х, у)%(г, #) = x(x®z, у), %(х, y)t(z, y) = x(xQz, у) (1.5.34)
при фиксированных х и у имеют место для всех z из [0, оо), кроме
счетного множества значений.
Важными для приложений являются мультипликативные функции
х(х, х’), порожденные последовательностью (1.5.22) с дополнитель-
ным условием симметричности:
/=1, 2, ... (1.5.35)
В этом случае группа G(5*') совпадает с группой 0(5*) и, по су-
ществу, определяется последовательностью Р = (рь р2, ..., pf, ...),
а соответствующие функции. %(х, х') и х(х, х') наряду со свойствами
1.5.1 —1.5.5 обладают следующим свойством симметрии:
X {х, х') = х (х', х), х (х, х') = х (х', х). (1.5.36)
Обобщая понятие ядра Дирихле (1.5.19) для мультипликативной
системы (хп (*))₽» можно ввести ядро Дирихле для функции х (х, х')»
положив
X*
Dx, (х)» D (х, х') м $ х (х, 0 dt (1.5.37)
о
(знак * стоит над той переменной, по которой производится интег-
рирование).
Ядро D(x, х') связано с определенным в (1.5.19) ядром D„(x)(p>
равенством
' йх'1 (Х)(Р) + {х'| XU'] (Х)(Р) при 0 < х < 1,
О(х, х') = 1 .. u {г'} ... .. . , (1.5.38)
ХМ({х})<р) J Хм(0<₽')^ при х>1.
0
Докажем это равенство. При 0^х< 1 в силу свойств 1.5.3 и
1.5.1 функции х(х, х') имеем
х'
D (х, ?) = j Xin ({х})<р) Xtxj ({0)(₽') di ~
- $ Хгй(*)<р)^ + $ Хсй(4р)^«
о [*•)
[*•]-1"+1
•= S $ X» W(P) dt + {x'J Xrx i(x)(P> =
ЛиО n
*= D^'i (x)(P) + {x'} Xtvi (x)(P).
Если же то, учитывая соотношения
' 71+1
$ хИ{0)(₽')^ = 0. 2..... n=0, 1, 2....
п
имеем
D(x, х') =
lx'j х'
= $ Xfй({x})(P)Xt*j({/})<₽')<#+ $ Xia(W)(P)Xr*j({0)(P'>^="
о [И
[x'J-l
- S $ хЛМ)(₽)Хг*]({О)(Р')^4-
n=0 „
x*
+ $ Xrx'1 ({*})(p)Xui ({0)(!>') dt = %cx4 ({*})(P) $ X(x] ({t})(P') dt =
{*'}
° %(*'] (W)(P) $ X[j?j
0
Тем самым равенство (1.5.38) доказано.
Если поменять х и к' ролями, то получим для функции %(х, х')
другое обобщение ядра Дирихле:
X
Dx(x')z==D(x, x')=^x(t, x')dt, (1.5.39)
о
где уже х играет роль номера. Для этого ядра равенство, анало-
гичное равенству (1.5.38), запишется так:
D(x, х') =
dm(^)(P')+WXrxj (*')(₽')
{*}
Xrx]({*'})(₽') $ Xrx'j
0
при OsgCx' < 1,
при X>1,
где DtxJ(x')(p')—ядро вида (1.5.19) для системы {х» (*')}(₽>
Отметим справедливость следующего утверждения:
1.5.6. При фиксированном k^O каждая из систем функций
ВГ ’ <Pv*U)^T7^=x (*. ZT-B”
I V rnk \mk / J v==o I V m-k \ m-^/Jv=o
является ортонормированной ограниченной в совокупности системой
соответственно на промежутке [0, mk) и [0, m_k).
◄ Проведем доказательство для первой из этих систем, так как
для второй доказательство аналогично. При любом v имеем
«fc t —--------------- тк
о и
Если же v#=p, то в силу второго из равенств (1.5.34) и равенств
(1.5.37) и (1.5.38) имеем
Но поскольку v Ф р,
(1.5.21) получаем, что
т* ___________
значит, — © — (f бо. По
тк^тк^
и, следовательно,
Поскольку ограниченность рассматриваемых систем очевидна, то
тем самым утверждение полностью доказано. ►
Г л а в a 2
РЯДЫ ФУРЬЕ —УОЛША. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
Среди рядов по системе Уолша наиболее важную роль играют
ряды Фурье по этой системе, т. е. ряды вида (1.4.1), у которых
коэффициенты вычислены по формулам
1
о
где f(t)—некоторая интегрируемая функция. Из определения ряда
Фурье видно, что это понятие неразрывно связано с теорией меры
и интеграла.
В случае рассмотренной в § 1.2 системы Уолша {и>„ (х)}, опре-
деленной на группе G, в формулах для коэффициентов Фурье
G
участвуют интеграл Лебега, построенный по мере Хаара р для
группы G (см. П3.5). Основное свойство этого интеграла, наиболее
существенное для построения теории рядов Фурье, состоит в инва-
риантности интеграла относительно сдвига группы, т. е. в выпол-
нении для любой интегрируемой функции и любого элемента группы
х£в равенства
$/(’ех)ф(о=$/(ЬФ(Ь-
о о
Это свойство интеграла, на котором базируются многие результаты
о рядах Фурье, еще раз подчеркивает, что наиболее естественной
областью определения функций Уолша является группа G. Теория
рядов Фурье—Уолша на группе более элегантна, чем параллельная
ей теория на полуинтервале действительной оси, лишена тех ого-
ворок, которые приходится делать при формулировке результатов
в случае полуинтервала и которые связаны с тем, что полуинтервал
[О, 1) не является группой относительно операции ф. В то же
время такая теория требует владения некоторым аппаратом теории
групп, меры Хаара и другими связанными с этим понятиями.
В связи с этим язык теории рядов Фурье—Уолша на группе мо-
жет показаться на первых порах излишне абстрактным и непривычным
40
для неподготовленного читателя, которого к тому же интересуют
прежде всего вопросы приложений.
Поэтому мы предпочтем здесь в основном излагать теорию в
более наглядном варианте системы Уолша, определенной на полу-
интервале [0, 1). Читателям же, которые владеют упомянутыми
понятиями, рекомендуем при изучении всех результатов о рядах
по системе (х)} постоянно иметь в виду параллельные им ре-
зультаты о рядах по системе {и>л (х)} и даже, более того, восприни-
мать wn(x) как обозначение, заменяющее ^„(х), двоичные интервалы
A(/°—Как соответствующие им смежные классы группы G, а все
интегралы—как интегралы по мере Хаара на G.
В тех немногих случаях, когда перевод на язык группы осу-
ществляется не столь механически, будут сделаны необходимые по-
яснения.
§ 2.1. Простейшие свойства рядов Фурье—Уолша.
Формулы для частных сумм
Как уже сказано выше, рядом Фурье—Уолша некоторой интег-
рируемой по Лебегу на [0, 1) функции f мы будем называть ряд
вида (1.4.1) с коэффициентами
1
^=$/(0^(0^- (2.1.1)
о
Отметим сразу, что среди рядов (1.4.1) все равномерно сходящиеся
ряды являются рядами Фурье—Уолша. Это следует из возможности
почленно интегрировать равномерно сходящиеся ряды и из соотно-
шений ортогональности (см. утверждение 1.1.5). В частности, любой
полином можно рассматривать в качестве ряда Фурье от своей суммы.
В изучении рядов Фурье важнейшую роль играет инвариантность
интеграла относительно сдвига, осуществляемого с помощью опера-
ции ф, т. е. равенство
1 1
• (2.1.2)
о о
(Подынтегральная функция в левой части равенства не определена,
в соответствии с § 1.2, на некотором счетном множестве, зависящем
от х, но счетное множество, будучи множеством меры нуль, не
влияет на интегрируемость функции по Лебегу и на величину ин-
теграла.)
Для доказательства равенства (2.1.2) сначала покажем, что мера
Лебега инвариантна относительно рассматриваемого сдвига, т. е.
что для любого измеримого по Лебегу множества £<z[0, 1) и любого
х£[0,1) множество £фх^{/фх: t£E} измеримо и
mes (Е ф х) = mes Е (2.1.3)
(в случае группы это свойство входит в определение меры Хаара).
Заметим сначала, что это равенство справедливо для любого мно-
жества Л, которое представимо в виде объединения непересекающихся
двоичных интервалов Д, так как в силу утверждения 1.2.1 отобра-
жение А —>Дфх взаимно однозначно с точностью до счетного мно-
жества и при этом любой двоичный интервал А(Л) переходит в
двоичный интервал того же ранга /г, так что мера его не меняется.
Но любое открытое множество представимо в виде счетного объеди-
нения непересекающихся двоичных интервалов, и поэтому для него
(2.1.3) выполняется.
Отсюда и из определения измеримого множества (см. П3.2.3)
вытекает справедливость (2.1.3) и в общем случае.
Из (2.1.3) непосредственно следует (2.1.2) для характеристиче-
ской функции любого измеримого множества Ес: [0, 1), так как
1
J %£(/)d/ = mesE. Далее, (2.1.2) можно перенести на простые функ-
о
00
ции, т. е. на функции вида 2 ciXe{, где Е, не пересекаются. На-
конец, воспользовавшись определением интеграла Лебега как пре-
дела интегралов простых функций (см. П4.2), убеждаемся в спра-
ведливости (2.1.2) для любой интегрируемой функции.
Перейдем к изложению основных свойств рядов Фурье—Уолша.
Для коэффициентов Фурье (2.1.1) по аналогии с Тригонометри-
ческим случаем часто будем пользоваться обозначением /(»), т. е.
ряд Фурье функции f будем записывать в виде
2 (2.1.4)
£=0
где
1
(2.1.5)
о
Символом f обозначим последовательность {f(O}£o коэффициентов
Фурье функции f, т. е. функцию i f (/) на множестве целых не-
отрицательных чисел. В то же время f представляет собой образ
функции f при определенном на множестве всех интегрируемых на
[О, 1) функций отображенииf, которое назовем преобразованием
Фурье—• Уолша для полуинтервала [0, 1). Часто преобразование
f-+f будет обозначаться просто символом f Отметим ряд свойств
преобразования
2.1.1. Преобразование / линейно, т, е, для любых интегрируемых
функций f и g и действительных чисел а и ₽
< Это свойство является непосредственным следствием опреде-
ления (2.1.5). ►
2.1.2. /в(П = шв(а)/(1), где
В самом деле, воспользовавшись инвариантностью интеграла
относительно сдвига ©а и тем, что (/®а)фа = /, а затем приме-
нив равенство (1.2.15), получим
। 1
О о
1
= wi(а) 5 f (0»»i(0dt - wt(а)?(/). ►
о
Свойство 2.1.1, в частности, означает, что сложению двух функ-
ций соответствует сложение их коэффициентов Фурье. Естественно
поставить вопрос о нахождении такой операции над двумя функ-
циями, которая соответствует перемножению коэффициентов Фурье
этих функций. Другими словами, требуется по двум интегрируемым
функциям fug найти третью функцию <р такую, что <p(t) = /(t)-g(l)
при всех / = 0, 1, 2, ... На примере полиномов легко убедиться;
что функцию <р нельзя получить в результате обычного перемноже-
ния функций fug. Однако к ней можно прийти в результате при-
менения обобщенного умножения, называемого сверткой функций
f»g, обозначаемого символом * и определяемого равенством
1
<PW = (/*g)(x)^$f(Z©x)£(/)d/. (2.1.6)
о
Сначала следует доказать, что интеграл в (2.1.6) существует и
определяет интегрируемую функцию. Покажем, что эта функция
определена по крайней мере для почти всех х из [0, 1) (т. е. для
всех х за исключением точек из множества нулевой меры) и интег-
рируема по Лебегу на [0, 1), причем
1 1 1
J I (f * g) W | dx < $ I f (X) I dx $ I g (x) I dx. (2.1.7)
0 0 0
В терминах нормированного пространства интегрируемых функций
L([0, 1)) с нормой ll-llx (см. П 5.2) это означает, что ||/*g||i <||/МяЦр
Итак, надо доказать конечность интеграла J | f (/ ф х) g (/) | dt
о
1
для почти всех х и конечность интеграла J | (f *g)(x)\dx. И то и
о
1
другое получим, если докажем конечность интеграла J (] f ] * | g |) (х) dx,
о
так как
1 11 1
5l(/*^)(x)|dx<$$|/(/®x)g(0H/dx=$(|f|*|ff|)Wdx. (2.J.8)
о оо о
Применяя теорему Фубини (см. П4.4.4) и инвариантность • ин-
теграла относительно сдвига, получаем
11 11
0 0 0 0
1 / 1 \ 1 / 1 \
=$i«(oi (। г(он S м*=
о \о / о \о /
11
= $|/(r)|dx$|g(0|<it
о о
Отсюда и из (2.1.8) следует конечность упомянутых интегралов и
неравенство (2.1.7).
Докажем теперь, что если <р (х) = (f * g) (х), то
Ф(0==Л0£(0. « = 0,1,2,... (2.1.9)
Это равенство установим, несколько раз применяя теорему Фубини
(см. П4.4.4; в применимости теоремы Фубини убеждаемся, доказав,
как и выше, интегрируемость на [0, 1)х[0, 1) абсолютной величины
рассматриваемой функции), а также используя равенство (1.2.15) и
инвариантность интеграла относительно сдвига.
Имеем
1 1 1
Ф(0= * g)(x)wt(x)dx=^wt(x) $ f(t@x)g(i) dtdx~
0 0 0
1 1
= И wi(x)f(t®x)g(t)dxdt =
о о
1/1 к
= И $ f(t®x)w{(t^x)g(t)wi(t)dx ]dt=*
о \о /
1/1 X
— $ $ f(i®x)wt(tQ)x)dx jdt=*
О \о /
1
= $я(0^(0(Л0)^ = Г(05(0.
о
Найдем теперь интегральное выражение для частных сумм ряда
Фурье—Уолша функции /, которые будем обозначать через Sn(x, f)
или просто через S„ (х). Для этого в выражение для частной суммы
ряда (2.1.4) подставим значение коэффициентов (2.1.5) и воспользуемся
равенством (1.2.15).
Получим
n-i с I» fn-\ х
Sn(xJ)=S \f(t)wt(t}u>i{x)dt= J f(t)[ S wf(tQ)x))dt.
t = oo 0 \t=o /
Используя определение ядра Дирихле (см. (1.4.8)) и учитывая ин-
вариантность интеграла относительно сдвига, приходим к формуле
i 1
(х, f) = $ f (0 Dn (хф /) dt = $ f (хф t) D„ (f) dt,
о 0
n=l,"2, ...
(2.1.10)
К этой формуле можно было бы также прийти исходя из опреде-
ления свертки и из равенства (2.1.9).
Среди частных сумм ряда Фурье—Уолша особая роль принад-
лежит суммам с номерами 2*. Для этих сумм из (2.1.10) и (1.4.13)
можно получить при любом ft>0 и любом х£[0, 1) выражение
SAx, t)=\DAt>f{x®t)dt =
о
= 2*J f(x®t)dt
Если х£Д}*’, то при /£Д^’ в силу утверждения 1.2.1 имеет место
включение хф/^Д'*1 (счетное множество значений t, для которого
сумма хф / не определена, не играет роли при интегрировании). По-
этому из написанного выше выражения следует
sAx, /) = тат f f(t)dt, x£tf>. (2.1.11)
1 д<*>
Полезно заметить, что равенство (2.1.11) является характеристи-
ческим для ряда Фурье—Уолша, поскольку верно и обратное: если
для частных сумм Хал(х) ряда (1.4.1) при некоторой f£L([O, 1))
выполняется равенство
J i=0, ь 2*-1’ k>0'
(2.1.12)
то ряд (1.4.1) является рядом Фурье функции f(x).
В самом деле, очевидно, что каждый коэффициент а( ряда (1.4.1)
можно рассматривать в качестве коэффициента Фурье любой част-
ной суммы этого ряда S„ (х) при п > I. Поэтому, фиксировав i и
взяв такое k, что I < 2я, можем написать
at= J Sajt(/) wt (t)dt.
о
(2.1.13)
В силу 1.1.3 функция o»z(x) постоянна на каждом интервале Д)4’,
Обозначим ее постоянное значение через wtJ. Сумма S2*(x) также
постоянна на каждом Д)*’ (см. 1.4.1), принимая на нем значение
stit, j. Тогда ввиду (2.1.13) и (2.1.12)
2*-1 2^ — 1
ai— 2 J Sik(t)wi(t)dt= 2 —
/ = о Д(Л) / = о
2*-1 2*-1
= 2 J f(t)dt= 2 J f(t)w{(t)dt~
i~° д<и /=о ду,>
1
о
Итак, мы доказали следующую теорему:
2.1.3. Для того чтобы ряд (1.4.1) по системе Уолша был рядом
Фурье—Уолша некоторой интегрируемой на [0, 1) функции f, не-
обходимо и достаточно, чтобы для всех частных сумм етого ряда
с номерами 2* выполнялось равенство (2.1.12).
§ 2.2. Константы Лебега
Как будет видно из дальнейшего, при изучении вопросов схо-
димости рядов Фурье—Уолша очень существенную роль играют
величины
1
Le-$|D,(0|d/, (2.2.1)
о
называемые константами Лебега для системы Уолша.
Отметим, что из (1.4.13) следует соотношение
L8a = 1. (2.2.2)
Таким образом, по некоторой подпоследовательности номеров
константы Лебега ограничены. По другой подпоследовательности,
как будет показано, они растут неограниченно. Вместе с тем поря-
док этого роста ограничен сверху функцией In п, а именно справед-
лива теорема
2.2.1. Для констант Лебега L„ выполняется неравенство
Ln < logg п, п > 4. (2.2.3)
◄ Для доказательства предположим, что 2*^п^2*+1, &^2,
и воспользуемся оценкой (1.4.14), равенством (1.4.11), а также тем,
(k \
U А*/’). Получим, учитывая, что |А'/'| = 2_/,
i=i /
> k
о ,ж 1 д<й
к ь
^1 + £ 2'-*.2-'»1+-|.
1= 1
Поскольку то &^log2n, и поэтому Отсюда
при п>4 следует (2.2.3). ►
Следующее утверждение показывает, что порядок оценки сверху
в (2.2.3) является точным, т. е. для некоторой подпоследователь-
ности номеров {nk} последовательность Lnk имеет тот же порядок
роста, что и log2nfe. Члены искомой подпоследовательности, как
сейчас убедимся, можно взять так, чтобы при любом k^O выпол-
нялось неравенство 2*<^пЛ<2*+1. А-именно покажем, что искомую
последовательность образуют числа
= лм+1 = 2 22Z+1, 8 = 0, 1, 2, ... (2.2.4)
i=0 1=0
2.2.2. Если числа nk имеют вид (2.2.4), то справедливо нера-
венство
U>y(4+l)>41ogtnft, * = 0,1,2,... (2.2.5)
Отметим, что
025 + 2 1 4 025 + 2 1 4
и — ~______- г' -L 92*5 л —9 -________- 925 + 1!
/&25 $ 3" ♦ **25+1 ~ 3 *
т. е.
nft<y2ft, Л = 0, 1,2,... (2.2.6)
Отсюда
|De»(0|<|2* /€[0, 1), fe = 0, 1, 2, ... (2.2.7)
Для доказательства (2.2.5) сначала покажем, что
1
j |D„A(0|d/>4d+1)’ * = 0. t 2, ... (2.2.8)
2-Л-»
Это неравенство вначале проверим для & = 2s, применяя индукцию
по s, т. е. покажем, что
г
С |D„,f(/)|^>y(s+l), « = 0,1,2,... (2.2.9)
2-85-1
При з = 0 (2.2.9) очевидно, так как п0=1 и
1
$ |Dt(0|ctt = 3/4> 1/2.
1/4
Осуществим теперь индукционный переход от s—1 к s (s^l). По
индуктивному предположению
2-85
В силу (1.4.13) £>2»(/) = 224 при /^До25)- В то же время, вследст-
вие (2.2.7), |D (01 < ПРИ всех ^€[0» 0- Поэтому
|D2w(0|—|D„2(s_i) (01 >4^, /6ДГ. (2.2.11)
Заметив теперь, что (2.2.4)
^2s = 225 + п2 (5-1)» (2.2.12)
и применив (1.4.11) в сочетании с (2.2.11), получим
|£B2s(0I>P2«(0|-|DBg(s i) (01 >|22\
Отсюда, учитывая, что (2-24~2, 2~2*)<z A!>2S>, приходим к неравенству
2-w
f | Dnis (01 dt > 4 2"2‘• 4 • 22i = 4. (2.2.13)
2-8$-*
Еще раз применяя (1.4.11) с учетом (1.4.13) и (2.2.10), получаем
। 1
f Рвм(01^= f Р„ш_1)(0|Л>4«- (2.2.14)
2-*$ 2“ 2 J
Складывая неравенства (2.2.13) и (2.2.14), приходим к (2.2.9).
При fe = 2s+ 1 (s = 0, 1, ...) следует доказать, что
1
2-«$-« '
При s = 0 это неравенство выполняется, так как в этом случае
nls+1 = == 2 и
1
J |D2(0|^ = 24 = |.
1/а
Все дальнейшее в точности аналогично случаю, когда к четно.
Тем самым (2.2.8) полностью доказано.
Отсюда, заметив, что в силу (2.2.6) log2nft<£+l, получаем до-
казываемое неравенство (2.2.5). ►
§ 2.3. Модули непрерывности функций
и равномерная сходимость рядов Фурье—Уолша
При изучении вопроса о сходимости ряда Фурье—Уолша функ-
ции f приходится оценивать разность 3„(х, /)—/(х), для которой
можно получить, используя (2.1.10) и (1.4.10), следующее выражение!
1
Sn(x, f)-f(x)=^f(x®t)-f(x))Dn(t)dt. (2.3.1)
о
Для номеров вида 2* эта формула на основании (2.1.11) и оче-
видного равенства f (х) = 7 * С f (х) dt принимает вид
ДУ" J.
S^x, f)-f(x)=y±4 J (f(t)-f(x))dt, х£Д«>. (2.3.2)
Д<А>
Выведем отсюда следующую теорему:
2.3.1. Подпоследовательность частных сумм {S2a(x, /)} ряда
Фурье—Уолша любой непрерывной на отрезке [0, 1] функции f
равномерно сходится на [0, 1) к этой функции.
•4 Из равномерной непрерывности функции f следует, что для
любого 8 > 0 найдется такое 6 > 0, что \f(t)—/(х)|^е при
|/—х| < 6. Взяв столь большое kb, что 2~*« < б, получим, что если
при k^k0 точки /их принадлежат одному и тому же А)*’, то
|/—х| < б, и поэтому из (2.3.2) следует
|$4*(Х, f)-/(x)|<8, k^ka. ►
Можно уточнить это утверждение, указав, как скорость приближе-
ния функции / суммами о2л(/) зависит от гладкости функции f, ко-
торая характеризуется модулем непрерывности функции /, т. е. ве-
личиной
ш(6, /) = sup |/(/)-Дх)|. (2.3.3)
It-x ।< б
Л X €[0> 1)
Из (2.3.2) видно, что при всех х € [0, 1)
1-Мх, /)-/(*) /). (2.3.4>
Эту формулу можно конкретизировать для различных классов функ-
ций заданной гладкости, например для классов Липшица. Напом-
ним, что функция / принадлежит классу Липшица порядка а, а > О,
если со (б, /)^Сб“, где постоянная С не зависит от 6. Из (2.3.4^
непосредственно вытекает следующее утверждение:
2.3.2. Если f принадлежит классу Липшица порядка а, то
|S2a(x, /)-/(х)|<С2-«*.
В определении модуля непрерывности (2.3.3) фигурирует рас-
стояние |/—х| между точками / и х. Но ввиду важности операции
ф в теории рядов Уолша оказывается полезным рассмотреть дру-
гой модуль непрерывности, определяемый с помощью расстояния
р*(х, /), заданного равенством (1.2.19), следующим образом:
to (б, /)= sup |/(/)-/(х)|. (2.3.5)
Р* (/, X) < б
t, Л€[О, 1)
Ввиду неравенства |/—х| ^р*(/, х) (см. (1.2.20)) обычный модуль
непрерывности связан с только что определенным соотношением
со (6, /)<со(б,7). (2.3.6)
Мы уже говорили в § 1.2, что расстояние р*(х, /) порождает
новое определение непрерывности функции на [0, 1). Определим,
например, обобщенное понятие равномерной непрерывности. Ска-
жем, что функция f равномерно р*-непрерывна на [0, 1), если для
любого 8 > 0 найдется такое б > 0, что \f (/)—f (х)| < е, как только
р*(/, х) < е. Предоставляем читателю проверить, что все функции
системы Уолша, будучи разрывными в обычном смысле, оказыва-
ются равномерно р*-непрерывными на [0, 1).
Нетрудно проверить, что если х и то р*(/, х) < 1/2*.
Поэтому из (2.3.2) следует такое усиление оценки (2.3.4):
/), х£[0, 1). (2.3.7)
Точно так же можно усилить теорему 2.3.1, заменив в ней ус-
ловие непрерывности f на [0, 1] условием равномерной р*-непре-
рывности.
Понятие модуля непрерывности и полученные выше оценки легко
перенести на случай группы G и определенной на ней системы {wt}
с помощью введенного в § 1.2 расстояния ро(х, у). Мы не будем
останавливаться на этом детальнее.
Доказанная выше равномерная сходимость последовательности
частных сумм вида 32л(х, /), как можно заметить из доказательства
теоремы 2.3.1 и из (2.3.2), тесно связана с тем обстоятельством,
что константы Лебега с номерами 2* ограничены в совокупности
(см. (2.2.2)).
Докажем более общую теорему, демонстрирующую роль констант
Лебега в вопросах сходимости ряда Фурье—Уолша.
2.3.3. Для любой интегрируемой на [0, 1) функции f и для лю-
бого п справедливо неравенство
|3„(х, /)-/(х)1<<.>*(^, f)(2 + lL„), (2.3.8)
где k определяется соотношением п = 2к + т при т^2к.
4 В силу (2.3.1) и (1.4.11)
1
$„(х, +
о
1
+ $ И о-/ W] Гк (t) D„ (/) dt - л+ Jv (2.3.9)
о
Для первого интеграла, как и при доказательстве неравенства (2.3.7),
получаем оценку
|Л|<ф(1/2\ /). (2.3.10)
Jt представим в виде
Л=2.2 $ [7(хфО-/М]г*(О^(ОЛ-’2 -Л0 (2.3.11)
/=о д(*) /=о
и учтем, что Dm(t) постоянна на каждом Д)*’, Д**’= Д<2*-+1) и Д^|}’,
причем rfc(/)=l при ZgA’*/1» и г* (0 е—1 при /€А^#’. Кроме
того, если /£Д(а*+1>, то t А’^}’. Поэтому
Л'’ =
= $ [f(x®t)-f(x)]Dm(t)dt- J [f(x®/)-f(x)]DM(/)d/ =
^+1> 4^’
= у у [/(xe/e^-zwix
д<6+1> д<£+1)
Л«/ а2/
*Dm(t)dt~ J [Hx®t)-f(x®t®^y\Dn(t)dt. (2.3.12)
Д (Л + 1)
2/
Заметим, что точки хф/ и хф/ф1/2й+1 при /£Д(а/+1) принадле-
жат одному и тому же интервалу ранга k и поэтому
р(хф/, х&&±^<\!2*.
Отсюда и из (2.3.12) получаем
у |рл(ом/=4ф(1, /) у iD„(/)|dt
д<*+1> Д<Л>
Л/ 1
Складывая эти оценки по /, приходим с учетом (2.3.9)—(2.3.11) и
неравенству
f)-f(x)|<®(^, f)(l+4j|Oe(/)|d/)»
'о '
=®(i’0(1+iL-)- (2,313>
Но ввиду (1.4.11) и (1.4.13) Lm^.Ln+ l, что после подстановки в
(2.3.13) приводит к неравенству (2.3.8). ►
Из теоремы 2.3.3 вытекает следующая теорема о достаточном
условии равномерной сходимости некоторой подпоследовательности
частных сумм ряда Фурье — Уолша:
2.3.4. Если для некоторой функции f и некоторой возрастающей
последовательности {п{} s {2kt + mt}, mt^2ki, выполнено условие
lim ® (2.3.14)
то подпоследовательность частных сумм {Srtj.(x, /)} равномерно на
[О, 1) сходится к f.
4 Из (1.4.10) ясно, что Ln= $ \Dn(t)\dt^ 1 при 1. Поэтому
< о
из (2.3.14) вытекает, в частности, что lim cof —т-, /) = 0 и, значит,
Z -► оо \ 2*7 /
# z ! Ln \
limwf-^y, f 2+ -—-) = 0. Отсюда, применяя утверждение 2.3.3,
получаем доказываемое. ►
Поскольку для всех номеров и справедлива оценка (2.2.3), то
в качестве следствия из 2.3.4 можно получить признак равномерной
сходимости ряда Фурье—Уолша, являющийся аналогом признака
Дини—Липшица из классической теории рядов Фурье.
2.3.5. Если модуль непрерывности со (о, /) некоторой функции f
удовлетворяет условию
lira /7 = 0,
то ряд Фурье—Уолша функции f равномерно на [0, 1) сходится к f.
Если 4 2* < п 2*+х,' то из (2.2.3) следует, что Ln loga п
1, и тогда из условия теоремы вытекает, что (2.3.14) выпол-
няется для последовательности натуральных чисел n{ = i. >
Для непрерывной функции f теорему 2.3.5 естественно формули-
ровать в терминах обычного модуля непрерывности.
2.3.6. Если модуль непрерывности некоторой функции f удовлет-
воряет условию
lim o)(l/n, f) lnn = 0,
П -► 00
то ряд Фурье—Уолша функции f равномерно на [0, 1) сходится к f.
Утверждение следует из 2.3.4, если заметить, что определяемый
соотношением (2.3.3) модуль непрерывности является функцией,
монотонно возрастающей вместе с 6 и удовлетворяющей условию
<в(26, f)<2ft>(6, /). Поэтому у /) <®(-2*тт. /).
н остается применить (2.3.6).
В качестве частного случая теоремы 2.3.4 получаем, что если
подпоследовательность констант Лебега {ЛП1} ограничена, то соот-
ветствующая подпоследовательность частных сумм {Sn; (х, f)} произ-
вольной непрерывной на [0, 1] (или лишь равномерно р*-непрерыв-
ной на [0, 1)) функции f равномерно сходится к f. (Этим утвержде-
нием, в частности, покрывается теорема 2.3.1.)
В случае неограниченной подпоследовательности {Ln.} нетрудно
вывести, используя теорему Банаха—Штейнгауза (см. П5.3.3), что
для соответствующей подпоследовательности номеров {nJ и для лю-
бой точки х € [0, 1) найдется непрерывная на [0, 1] функция f,
у которой подпоследовательность {Srt;(x, f)} частных сумм ее ряда
Фурье—Уолша расходится в данной точке х. Мы не будем здесь
52
приводить подробное доказательство этого факта, которое представ-
ляет собой полезное упражнение на применение теоремы Банаха —
Штейнгауза к последовательности функционалов {F{(f)} === {Srt/ (х,/)}.
§ 2.4. Другие признаки равномерной сходимости
Докажем признак равномерной сходимости ряда Фурье—Уолша,
который полезен прежде всего тем, что из него легко выводятся
доугие, более простые и удобные в приложении, признаки равно-
мерной сходимости.
2.4.1. Определим для равномерно р*-непрерывной на [0, 1) функ-
ции f сумму
2*-1
- £ г-| / (*® АН (х® Н)|- <2'41)
Если равномерно на [0, 1) lim Тк(х) = 0, то ряд Фурье—Уолша
функции f равномерно на [0, 1) сходится к f.
Для оценки разности Sn(x, f)—f(x) воспользуемся равенст-
вами (2.3.9), (2.3.11), (2.3.12) и неравенством (2.3.10). Получим при
п = 2* + /п, /п<2*,
/-о A<vi>
В последней сумме в каждом из интегралов сделаем замену пере-
менной t —<- /©2//2*+1. Тогда, обозначая через f постоянное зна-
чение, которое ядро Dm(t) принимает на интервале Л}*’, получим
(2.4.2)
Заметим, что если t £ Д)*’, то / /2~*. Поэтому в силу неравен-
ства (1.4.16)
Р»,/|<2*//, /=1, 2, ...,2*-1. (2.4.3)
Кроме того, Dm<a = rn (см. 1.4.3). Оценивая первое слагаемое под
знаком суммы в (2.4.2) величиной m2~ka , /), а к каждому из
остальных слагаемых применяя неравенство (2.4.3), получаем
|S„(x, /)-/(х)|<2®(-1-, +
(2^—1 . \
2 Г1 р (х®* ® irn-J-f (*® < ©^У-)| (2-4.4)
/=1 /
Стоящая под интегралом сумма, представляет собой Л (•*©<)
(см. (2-4-1))» и, следовательно, при любом s > 0 неравенство
IТь (х Ф 01 < е выполняется для всех достаточно больших k и любых
хи/. Тогда все второе слагаемое в (2.4.4) не превосходит величины
2*е | Ai*+1)| = e/2. Поскольку и первое слагаемое справа в (2.4.4)
может быть сделано сколь угодно малым в силу определения равно*
мерной р*-непрерывности и модуля (2.3.5), то тем самым теоре-
ма 2.4.1 доказана. >
Доказанная теорема включает в себя признак Дини—Липшица
сформулированный в 2.3.5 (или в 2.3.6). В самом деле, ’
2*-1
и, значит, из выполнения условия теоремы 2.3.5 вытекает выполне-
ние условия теоремы 2.4.1.
В качестве другого следствия из теоремы 2.4.1 получим приз-
нак, аналогичный признаку Жордана для тригонометрических рядов.
2.4.2. Если функция f равномерно р*-непрерывна на [0, 1) и имеет
ограниченную вариацию на [0, 1), то ее ряд Фурье — Уолша схо-
дится к f равномерно на [0, 1).
Напомним, что определенная на каком-нибудь интервале (а, Ь)
функция f называется функцией ограниченной вариации, если все
i
суммы вида 2l/(fy)—/(«/)|. где {(а7, —произвольный набор
i = 1
непересекающихся интервалов, лежащих в (а, Ь), ограничены в сово-
купности. При этом верхняя грань таких сумм, взятых по всевоз-
можным указанным наборам интервалов, называется вариацией функ-
ции f на (а, Ь) и обозначается символом ^[/].
Очевидно, что
2*-1
L М(*Ф (2.4.5)
jstfn ' 7 * 7 *
так как пары точек ф , хф-^пт-) при различных / принад-
лежат, как нетрудно проверить, различным интервалам ранга & и
поэтому образуют непересекающиеся интервалы.
Найдем теперь неубывающую последовательность натуральных
чисел {mk} такую, что тк < 2*—1 при всех k и при этом тк—*оо
при k—♦ оо, но <о(1/2*, >0 при k—+ оо. Этого всегда можно
добиться, если выбрать {mJ стремящейся к оо достаточно медленно,
а именно взяв mft = e°«“<2-®’
Разбивая сумму Tk(x) (см. (2.4.1)) на две, получим, используя
(2.4.5), оценку
2*-|
/1 \ \ Л 7
2*-1
/=mft + l 1 4 ' ' 71
/)1"'".+й^тИ(Л.
Отсюда видно, что в силу выбора последовательности тк сумма
Тк(х) равномерно стремится к нулю при k—► оо. Остается при-
менить 2.4.1. >>
Отметим, что в силу неравенства (2.3.6) теоремы 2.4.1 и 2.4.2
будут тем более верны, если в них р*-непрерывность заменить обыч-
ной непрерывностью на [0, 1]. Отметим также, что всякая монотон-
ная ограниченная функция на [0, 1) очевидно имеет ограниченную
вариацию, так что теорема 2.4.2 применима к таким функциям.
§ 2.5. Принцип локализации. Признаки сходимости
ряда Фурье — Уолша в точке
Введем обобщающее определение (2.3.5) понятие интегрального
модуля непрерывности интегрируемой функции f относительно
сдвига ©Л:
1
>(6, f)=sup$|f(x©/i)-/(x)|dx. (2.5.1)
Л<«0
Отметим два свойства определенного так модуля непрерывности.
2.5.1. Если функция ф непрерывна на [0, 1] и о (6, f)—ее обыч-
ный модуль непрерывности, то
®(1)(б, ф)^й)(6, ф)^®(6, ф).
4 Достаточно заметить, что р*(х©Л, х)^6 при Л^б, и поэ-
тому на основании (2.3.5) и (2.3.6) получаем
|ф(х©Л)—ф(х)|<(о(б, фХ®(6, ф).
То обстоятельство, что при фиксированном h сумма хфЛ не опре-
делена для счетного множества значений х (§ 1.2), не играет роли
при интегрировании. >
2.5.2. Для интегрируемой по Лебегу на [0, 1) функции f
limw(1) (б, /) = 0.
6-*0
В силу свойств интеграла Лебега (см. П5.2.1) для любого
в>0 можно найти непрерывную на [0, 1] функцию ф такую, что
1
$!/(*)—ф(х)|с!х<е.
О
Тогда, учитывая инвариантность интеграла относительно сдвиг»
фЛ, получаем
। 1
$ J |f(x©ft)—<p(x©ft)|dr +
о о
1 1
+ $ |/W~ v(x)|dx+ J | Ф (лгфЛ)—ср (х)| dx
о о
1
С2в+ $|ф(х®Л)—<p(x)|dx,
О
откуда <о(1)(6, f) 2е + о)(1) (6, ф), или, в силу 2.5.1, со(1)(б, /)^
28 4-ш (6, ф). Так как ф непрерывна, величина <о (6, ф), а тем
самым и о(1> (б, f), может быть сделана сколь угодно малой при
достаточно малом б, что и доказывает 2.5.2.
. Установим теперь, что поведение на некотором интервале част-
ной суммы Sn (х) ряда Фурье любой интегрируемой функции с точ-
ностью до величины, стремящейся к 0 при и—>оо, определяется
значениями этой функции лишь на этом интервале.
2.5.3. Для любой интегрируемой на [О, 1) функции f и любого
натурального s имеет место оценка
S„(x, п- j
4<0S’
еде k определяется равенством n = 2lt + m.
Подставив вместо суммы S„(x, f) ее
(2.1.10), получим
n>2'
интегральное выражение
1</п<2*.
S„U, /)- $ f(x®t)Dn(t)dt
$ Hx®t)Dn(t)dt
[0.
Таким образом, для доказательства теоремы достаточно доказать не-
равенство
10. 1)\Л4®
п>2*. (2.5.2)
Воспользуемся формулой (1.4.11) для ядра Дирихле и тем, что
в соответствии с (1.4.13) D2*(/)=0 при t£ [О, 1)\AJW, так
как k^s. В результате получим, что Dn(t) = rk(t)DM(t) при
t g [О, 1)\MS). Учитывая далее, что при тех же t в силу (1.4.14)
2«- 1
|D<e(/)|^2J-i, a Aj)s> = U и проводя преобразования, анало-
ГИЧНЫв
примененным при выводе (2.3.12), получим
f(x®t)Dn(t)dt ~
2*-1 р
i=2‘ Д(Ъ
dt<
i
о
х=2-‘Ур(0-^/ф^и-)|л<
О
(О, 1)\до5>
Таким образом, неравенство (2.5.2), а тем самым и утвержде-
ние теоремы, доказано.
В качестве следствий 2.5.3 получаем два утверждения, которые
и составляют принцип локализации для рядов Фурье—Уолша.
2.5.4. Если интегрируемая на [0, 1) функция f обращается
в нуль на некотором двоичном интервале Ау°, то ряд Фурье—Уолша
этой функции равномерно на сходится к нулю, причем
|5я(х, О’ п>2’> (2-5-3)
где n — 2k + m.
Действительно, при х^А)” и /^А^’ очевидно хф t £ A)s>. По-
этому утверждение теоремы 2.5.3 непосредственно дает неравен-
ство (2.5.3). При этом равномерная сходимость S„(x, /) к нулю
вытекает из свойства 2.5.2 интегрального модуля непрерывности.
2.5.5. Если две интегрируемые на [0, 1) функции fug совпа-
дают на некотором двоичном интервале А, то их ряды Фурье —
Уолша являются равномерно равносходящимися на А, т. е. разность
этих рядов равномерно на А сходится к нулю.
Достаточно к разности f—g применить теорему 2.5.4 и учесть,
что в силу 2.1.1 ряд Фурье разности f—g равен разности рядов
Фурье функций f и g. ►
Из теоремы 2.5.5 следует, в частности, что если две интегри-
руемые функции совпадают в некоторой окрестности точки х,
то ряды Фурье — Уолша этих функций являются равносходя-
щимися в этой точке, т. е. в точке х либо оба ряда сходятся к од-
ному и тому же значению, либо оба расходятся.
Из принципа локализации легко получить локальные варианты
тех признаков равномерной сходимости, которые были доказаны
в § 2.3 и 2.4. Так локальный вариант теоремы 2.4.2 представляет
собой следующее утверждение:
2.5.6. Если интегрируемая на [0, 1) функция f равномерно р*-
непрерывна на некотором двоичном интервале Д и имеет на Д огра-
ниченную вариацию, то ее ряд Фурье—Уолша сходится к f равно-
мерно на Д.
Заметим, что функция
Д(х) =
f(x)
О
при х£Д,
при х£[0, 1)\Д
является равномерно р*-непрерывной и имеет ограниченную вариа-
цию на [0, 1). Поэтому в силу теоремы 2.4.2 ряд Фурье функции
Д сходится равномерно на [0, 1) к Д и, значит, в частности, сходится
равномерно на Д к f. Остается применить к функциям f и Д тео-
рему 2.5.5.
Установим теперь одно достаточное условие сходимости ряда
Фурье—Уолша в точке, которое является аналогом признака Дини
для тригонометрических рядов Фурье.
2.5.7. Ряд Фурье—Уолша интегрируемой функции f сходится
в точке х к числу с, если в некоторой окрестности точки х функ-
ция ---3—с интегрируема по Лебегу, т. е. при некотором в > О
Л+ б
f l((“)~c|d«<oo. (2.5.4)
J |u — x| ' В 9
х-б
В силу непрерывности интеграла как функции множества для
любого е > 0 при достаточно большом s найдется интервал Д)” ранга
а такой, что х£Д)*’с(х—х + б) и
|Н«)-с|
|«—х|
8
< 2’
д<«
du
(2.5.5)
При х^Д’/’ и t£ Де®’ очевидно, что хф/^Л®, если сумма хф/
определена (см. 1.2.1). По аналогии с тем, как мы доказывали инва-
риантность интеграла, выраженную в равенстве (2.1.2), можно дока-
зать, что
J |(х®о-х| ai~ J
(2.5.6)
В силу (1.2.20) |(хф/)—х|<р‘(хфД х) = Д и поэтому из (2.5.6)
и (2.5.5) получаем
A(S) A(S)
△о ао
|(хф/)-Л| а1< 2*
(2.5.7)
Далее, воспользовавшись оценкой (1.4.16) для ядра Дирихле,
получим на основании (2.5.7)
J (2.5.8)
4’ 4s’
при любом п.
Применим теперь теорему 2.5.3 к функции f(x)—с и выбран-
ному интервалу A&s>. Фиксируя s, найдем столь большое k^s,
чтобы при всех k ka выполнялось неравенство
=Су. Тогда в силу (2.5.8) и оценки из теоремы 2.5.3
ls»(*. D—с| = |5„(х, f—с)|<у + у = е,
что и доказывает утверждение теоремы 2.5.7 ►
Отметим, что из доказанной теоремы следует, в
ряд Фурье—Уолша функции f сходится в точке х
этой точке функция удовлетворяет неравенству
п > 2*«,
частности, что
к f(x), если в
(2.5.9)
при всех и, [и—х|С6, и каких-то а>0 и б > 0. Условие (2.5.9)
очевидно выполняется в каждой точке дифференцируемости функции f.
Таким образом, справедливо следующее утверждение:
2.5.8. В точке х, в которой интегрируемая на [0, 1) функция f
имеет конечную производную, ее ряд Фурье—У олша сходится к зна-
чению f(x).
В § 2.3 отмечалась особая роль подпоследовательности частных
сумм с номерами 2* в вопросах равномерной сходимости. Критерий
сходимости этой подпоследовательности в отдельной точке также
представляет интерес, отличаясь исключительной простотой.
2.5.9. Пусть {A,ft)} »{[aft, РЛ)}£_0—последовательность двоичных
интервалов таких, что х£&Р при любом k^O, и пусть f—инте-
грируемая на [0, 1) функция с неопределенным интегралом F(x)=a
X
= Подпоследовательность {S2*(x, f)} частных сумм ряда
о
Фурье—Уолша функции f сходится к числу а в точке х тогда и
только тогда, когда
1Гш = a. (2.5.10)
k —► qo PAr
◄ Для доказательства достаточно заметить, что в соответствии
с формулой (2.1.11)
А___ 1 С fit} sit __(Рй) F (aj)
Sas(x* Л--|ЗН|- -----k
1 1 4»
Предел в (2.5.10) называют производной по бинарной после-
довательности сетей {91Л} (см. § 1.1), или {%,}-производной, и
обозначают D^k^F(x). Таким образом,
D(„t)FW- Ito (2.5.11)
Дифференцируемость по бинарным сетям следующим образом
связана с обычной дифференцируемостью:
2.5ЛО. Если функция F имеет в точке х конечную производную
F' (x) = f(x), то в этой точке существует и производная по бинар-
ной последовательности сетей, причем D^F (x) = f(x).
4 Из существования производной F'(x) = f(x) в точке х следуют
равенства
Р (М- Р W = f (х) (₽ft-x) + о (I № I),
Р («-к)—Р(х) = f (х) (aft—х) + о (| |)
(при k —► оо). Вычитая из первого равенства второе, получаем
F (aft) = / (х) + о (| № |),
откуда и следует доказываемое утверждение. ►
Комбинируя 2.5.9 и 2.5.10, приходим к следующему признаку:
2.5.11. Подпоследовательность {S2*(x, /)} частных сумм ряда
Фурье—Уолша интегрируемой функции f с неопределенным инте-
гралом F сходится в каждой точке дифференцируемости неопреде-
ленного интеграла F(x), причем
lira S2*(x, f) — F' (х).
ОО
В свою очередь из этого признака и из теоремы о дифференци-
руемости почти всюду неопределенного интеграла Лебега (см. П4.4.5),
по которой F' (х) — f (х) почти всюду, приходим к такому выводу:
2.5.12. Для любой интегрируемой по [0, 1) функции f подпо-
следовательность {S2*(x, f)} частных сумм ее ряда Фурье—Уолша
сходится к f(x) почти всюду на [0, 1).
§ 2.6. Полнота и замкнутость системы Уолша
Начиная с этого параграфа мы будем систематически пользоваться
следующими общепринятыми обозначениями для классов интегрируе-
мых функций, каждый из которых является нормированным про-
странством (см. П5.1 и П5.2).
Для любого р^ 1 обозначим через L^ = L^[O, 1) множество из-
меримых функций /, у которых величина
/ 1 \ i/р
(2.6.1)
конечна. Эта величина обладает всеми свойствами нормы, если в IS
не различать функции, совпадающие почти всюду (подробнее об
этом см. в П5.2).
Вместо I? часто пишут просто L или L [0, 1).
Пространство непрерывных на [0, 1] функций будет обозначаться
С [0, 1], норма в нем
|f|c= sup |/(х)|. (2.6.2}
О < X < 1
Будем также пользоваться символами С [0, 1) и Ср* [0, 1) для обо-
значения соответственно равномерно непрерывных и равномерно
р*-непрерывных (§2.3) на [0, 1) функций с той же нормой (2.6.2).
Согласно 1.1.5 система Уолша является ортонормированной си-
стемой на [0, 1). Как и для любой ортогональной системы, для
системы Уолша очень важно проверить справедливость теоремы
единственности восстановления функции по ее коэффициентам Фурье.
Поскольку изменение функции на множестве нулевой меры не ме-
няет значений интегралов, определяющих коэффициенты Фурье, то
речь может идти лишь о единственности с точностью до значений
на множестве меры нуль. В случае же непрерывных функций этой
оговорки делать не нужно. Убедимся, что теорема единственности
имеет место для системы Уолша, а именно справедливо следующее
утверждение:
2.6.1. 1) Если f £ L [0, 1) и = 0 при / = 0, 1, 2, ..., то
/(х) = 0 почти всюду',
2) если f £Ср*[0, 1) и f(i) = 0 при 1 = 0, 1,2, ..то /(х) = 0
при [0, 1).
Теорема единственности для ортогональной системы связана со
свойством полноты системы. Напомним, что ортогональная система
функций называется полной относительно пространства Ср* [0, 1)
(или IS [0, 1)), если не существует отличной от нуля (отличной от
нуля с точностью до множества меры нуль в случае ЦЦО, 1)) функ-
ции, ортогональной всем функциям системы.
Ясно, что свойство полноты является просто переформулировкой
теоремы единственности, так что утверждение 2.6.1 эквивалентно
следующему утверждению:
2.6.2. Система Уолша полна относительно пространств L1 [0, 1)
и Ср* [0, 1).
Докажем 2.6.1, а тем самым и 2.6.2.
< Так как
1
J/(/)^f(/)d/ = 0, i = 0, 1, 2.......
о
то для любого полинома Tn(t) по системе Уолша справедливо со-
отношение
$/(/) Tn(t)dt = O.
о
Заметим, что сдвинутое ядро Дирихле Dn(xQ)t) в силу (1.2.15)
является при каждом фиксированном х полиномом по системе Уолша.
Поэтому из последнего равенства следует, что при х£ [0,1)
1
$f(t)Dt*(x®t)dt = O, fe = 0, 1, 2, ...
о
Но интегральное выражение в этом равенстве представляет собой
частную сумму ряда Фурье функции / в точках х (см. 2.1.10)).
Таким образом, получаем, что при х£[0, 1)
S2*(x, f) = 0, £ = 0,1,2.....
и, значит,
lira SaA(x, f) = 0, х£[0, 1).
00
Но в силу теоремы 2.5.12
lira S2*(x, f) = f(x)
00
почти всюду, откуда f(x) = O почти всюду на [0,1). В случае р*-
непрерывности отсюда, очевидно, вытекает, что /(х) = 0 всюду на
[0, 1). ►
Ясно, что 1) из 2.6.1 верно и для любого более узкого, чем
L[0, 1), пространства интегрируемых функций, в частности для
пространств IS [0, 1) при всех р, р^1. Итак,
2.6.3. Система Уолша полна относительно всех пространств
[0, 1), р>1.
В частности, система Уолша полна относительно пространства
I?[0, 1). Но для этого пространства полнота эквивалентна замкну-
тости системы (см. П5.4.1). Однако можно легко доказать замкну-
тость системы Уолша и без ссылки на эту эквивалентность, используя
теорему 2.3.1, причем доказать для любого L?, р^1.
Напомним, что система функций называется замкнутой относи-
тельно пространства L^, если для любой f € и любого в > 0
существует полином по этой системе Т (х), для которого
Bf(x)—T(x)J/,<e. (2.6.3)
Известно (см. П5.2.1), что множество непрерывных функций
всюду плотно в любом пространстве Ь₽[0, 1), р^1. Но по тео-
реме 2.3.1 любую непрерывную функцию <р можно с любой наперед
заданной точностью приблизить равномерно, а значит, и в норме
1Z[O, 1), частной суммой вида S2*(x, <р), т. е. полиномом по системе
Уолша. Итак, взяв любую функцию / С L-P [0, 1) и любое в >0,
найдем сначала такую непрерывную функцию <р, что ff—ф||р<е/2,
а затем такой полином Т по системе Уолша,, что ||<р—7’||/> < е/2.
В результате обеспечим выполнение неравенства (2.6.3). Таким
образом, мы доказали следующую теорему:
2.6.4. Система Уолша замкнута относительно каждого прост-
ранства LZ[0, 1), р>1, и С[0, 1).
Другими словами это же утверждение можно сформулировать
так»
2.6.4' . Множество полиномов по системе Уолша всюду плотно
в каждом пространстве L^[0, 1), ив С [О, 1).
Из замкнутости системы Уолша относительно пространства L2 [0, 1)
вытекает справедливость для нее равенства Парсеваля (см. П5.4.2).
2.6.5. Если f£L2[O, 1), то
СО 1
i = О О
п
◄ Заметим, что для любого полинома Т„ = 2 и любой
i = 1
функции f£L2[0,1) справедливо равенство
1 / П \ 2
О \ 1=0 /
\ п п
= $|f(0|M/-2 2 «Л0+.2 |«/|а=
0 i=0 i=0
/! п п
= $|/(012<«- 2 |/(0|‘ + 2 (Z(0—«/)а- (2.6.4)
о i = о i = о
В частности, если a, = /(i), т. е. в качестве Тп берется частная
сумма Sn(f), то
1 п
U-Sn(№ = }\f^dt- 2 |f(0|2, (2.6.5)
0 i = 0
П 1 CD
откуда видно, что 2 \f (0I2 \ 1/(012^ и, значит, ряд 2 I? (О |?
1=0 о 1=0
сходится, причем
00 1
2 |Л012<$1/(0М. (2.6.6)
‘ = ° о
С другой стороны, поскольку ввиду замкнутости системы Уолша
для любого 8 > 0 найдется полином Т по этой системе, удовлетво-
ряющий неравенству ||/—7||2<е1''2, то, написав для этого полинома
соотношение (2.6.4), получим, что для некоторого п
1 п
$1/(0 М- 2 1/(012<е.
О ‘ “ 0
Отсюда и из (2.6.6)
1 п * л
$ |/(0l2d/ < 8 + 2 lf(0la<8+ 2 lf(013<8+ $|/(0М.
0 i ж О 1=0 Q
Эти соотношения в силу произвольности 8 дают доказываемое утверж-
дение. ►
Заметим, что из равенства Парсеваля и из (2.6.5) вытекает, что
ряд Фурье—Уолша функции f£L2[0, 1) сходится к ней в норме
пространства L2 [0, 1). Помимо этого для системы Уолша, как и для
любой ортонормированной системы, справедлива теорема Рисса —
Фишера (см. П5.4.2).
В заключение параграфа остановимся на свойствах системы
{ч>1гт (0}Г-0> которые ПОНЭДОбЯТСЯ В ГЛ. 9. В силу (1.1.9) W{2m (t)=s
= wi(2mt). Это равенство показывает, что система (/)}“_0 на
каждом интервале Д}т> может рассматриваться как сжатая в 2т раз
по оси t система Уолша. Легко проверить, что на сжатую систему
переносятся свойства полноты и замкнутости. Соотношение (1.1.10)
показывает, что эта система ортогональна на Д}т). Как видно из
того же соотношения, она становится нормированной после умноже-
ния каждой функции на 2т^. Итак, справедливо утверждение:
2.6.6. Система {2mliwi2m (/)}“-о на каждом интервале ранга т
является полной относительно L? (Д/т>) ортонормированной системой.
§ 2.7. Оценки коэффициентов Фурье — Уолша.
Абсолютная сходимость рядов Фурье — Уолша
Приведем простейшие сценки скорости убывания коэффициентов
Фурье—Уолша, из которых, в части сти, будет вытекать стремление
к нулю этих коэффициентов.
Будем использовать понятия модулей непрерывности (2.3.3) и
(2.3.5) и интегрального модуля непрерывности (2.5.1).
2.7.1. Пусть 2*<Zn<2*+x. Тогда коэффициенты Фурье—Уолша
функции f L [0, 1) удовлетворяют неравенству
|f(n)|<±<Г (^, /). (2.7.1)
◄ Из определения функций Уолша и из равенства (1.1.5) видно,
что wn(2~k~~1) =—1 при < 2Й+1. Воспользовавшись равенст-
вом 2.1.2 при a = 2”ft“1, получим для коэффициентов Фурье функ-
ции /(/ф2"й"’1) равенство
1
$ f (/®2-*-х) wn (0 dt = f(n) w„ (2-*~x) = - f (n),
0
откуда
i
2/(n) = $ [f (2.7.2)
0
Поэтому
1
| f (n) I < 1 j I f (t ® 2-*-1)-/(01 dt < 4 e(2-*, f),
0
что и доказывает 2.7.1. ►
Для непрерывных функций на основании 2.5.1 как следствие
2.7.1 получаем теорему:
2.7.2. Коэффициенты Фурье—Уолша функции /£С[0, 1) удов-
летворяют неравенству
f).
а функции /ССр.[О, 1) — неравенству
где 2*<п < 2Л+Х.
Оценки теоремы 2.7.2 в определенном смысле являются точными (см. Ефимов [2],
Рубинштейн [2], [3]). Отметим также, что теорема 2.7.2 дает лишь оценку
сверху скорости убывания коэффициентов Фурье—Уолша функций из С [0, 1)
и Ср* [0, 1). Возникает вопрос, сколь быстрое убывание коэффициентов Фурье —
Уолша может реализоваться для функций из этих классов. Оказывается (см.
Бочкарев [?], f1]), что если fgC[O, 1) и [(п)~О (dn), где dniO и 2 < °°»
I
00
то / (х) тождественно постоянная. Если же 2 = то существует fo^C [0, 1),
п = 1
/о 5^ const, и — O (d„). Для функций же из Ср. [О, 1) коэффициенты f (п),
f const, могут убывать сколь угодно быстро.
В качестве другого следствия из 2.7.1 получаем с учетом 2.5.2
теорему о стремлении к нулю коэффициентов Фурье—Уолша:
2.7.3. Для любой функции f £ L [0, 1)
lira f(n)==O.
П-* 00
Для различных классов непрерывных функций можно получать
уточнение оценок из 2.7.2. Так, для функций из класса Липшица
порядка а ввиду неравенства «о (6, f)^CS“ получаем оценку
f(n) = O(n~a), п—-оо.
Из упомянутого выше результата Бочкарева, в частности, следует,
что в этой оценке для f£C[O, 1) значение а^1. Для /£СР, [0, 1)
значение а может быть произвольным положительным.
Аналогичные уточнения можно получать и для классов инте-
грируемых функций, например для интегральных классов Липшица,
определяемых с помощью ограничений на интегральный модуль не-
прерывности. Мы не будем подробнее останавливаться на этих
результатах.
Из неравенства (2.7.1) можно также получить оценку для коэффи-
циентов Фурье функции ограниченной вариации. Докажем сначала
утверждение
2.7.4. Если функция f ограниченной вариации имеет на [0, 1)
вариацию Vj[f], то
(у.
3 Б. И. Голубов и др. 65
•< Если h < 2-* и /£A)fe>, то и /фЛ^А)й). Поэтому при таких
Ли/
|/(/фЛ) —f(/)|< sup f (х)— inf f(x).
x в 4*ft> x g 4)*°
Кроме того, из определения вариации функции (§ 2.4) ясно, что
2Л-1
2 ( sup f(x)— inf
, = 0 \чх€Д^) яед^* у
Используя эти оценки, получаем следующую цепочку неравенств,
доказывающую утверждение:
1
0 ^ftsuP f(/)|d/ =
2*-1
= sup 2 $ IW®*)-f(t)\dt^
h< 1/2* > = 0 Д(Ъ
2Л-1 / \
< 2 mi sup гы- inf f(X) ►
/ = ° \л€Д^ х€Д^° /
2.7.5. Коэффициенты Фурье—Уолта функции f ограниченной
вариации удовлетворяют неравенству
|7(п)1<7>Ш. 2, ...
Комбинируя оценки из 2.7.1 и 2.7.4, получаем неравенство
Отсюда, учитывая, что n<2*+1, приходим к доказываемому утверж-
дению. ►
Переходя к рассмотрению абсолютной сходимости рядов Уолша,
00
заметим, что если ряд абсолютно сходится хотя бы в
i— О
одной точке х0, то ввиду того, что | (*о) Is | при всех i =
= 0, 1, 2, ..., отсюда вытекает абсолютная сходимость ряда из
коэффициентов и, значит, абсолютная сходимость ряда Уолша всюду.
Поэтому здесь, в отличие от случая тригонометрической системы,
нет смысла ставить отдельно вопрос об абсолютной сходимости ряда
Уолша на том или ином множестве точек из [0, 1). Итак, говоря об
абсолютной сходимости ряда Уолша, можно всегда под этим пони-
мать абсолютную сходимость ряда из коэффициентов.
Получим несколько вариантов условий, налагаемых на функцию /,
гарантирующих абсолютную сходимость ее ряда Фурье—Уолша,
66
т. е. выполнение соотношения
2|7(п)|<оо. (2.7.3)
п=0
Для их формулировки и доказательства понадобится, наряду с ин-
тегральным модулем непрерывности, определяемым равенством (2.5.1),
так называемый U-модуль непрерывности функции f С L2 [0, 1), т. е.
величина
ш«»(б, /) = sup ||/(хфй)-/(х)й2. (2-7.4)
Л <6
По аналогии с утверждением 2.5.1 легко показать, что
ю(2>(6, f)<©(6, f). (2.7.5)
Кроме того, из неравенства Коши—Буняковского (см. П5.2.2) не*
посредственно вытекает, что
ю(1)(б, /)<ш(2)(6, f). (2.7.6)
Сформулируем теперь достаточные условия абсолютной сходи-
мости.
2.7.6. Если f£La[O, 1) и
2 2*/2ш(а»(1/2*, f) < оо, (2.7.7)
«г=0
то выполняется (2.7.3).
◄ Равенство (2.7.2), верное при 2*^n<2*+1, показывает, что при
таких п коэффициенты Фурье—Уолша функции f(t)—f 2»+f)
равны 2f(n). Применяя равенство Парсеваля 2.6.5 к функции f(t) —
— /G®l/2*+1), получаем оценку
2* + *-1
п=2А
из которой и из (2.7.4), вытекает неравенство
2*+‘-1 #
4 2 (Лп))2<(<о‘*>(1/2*, f))a- (2.7.8)
Применяя неравенство Коши—Буняковского (см. П5.2.2), а затем
(2.7.8), приходим к оценке
2^4-1-1 1 \1/2 ✓2^ + 1 —1 \ 1/2
Е |7(«)|с( X 17(«)12} •( Е и) <2<^-1>(1, f).
п-2^ ' n-2k ' ' /1=2* ' 4
Отсюда, суммируя по k, получаем
Е г).
п=1 /г=0 4 '
Но ряд справа сходится по условию. Значит, выполняется и (2.7.3). ►
2.7.7. Если для некоторой функции f
(2.7.9)
то выполняется (2.7.3).
◄ Ввиду (2.7.5) из выполнения (2.7.9) следует выполнение усло-
вий теоремы 2.7.6, а тем самым и абсолютная сходимость рассмат-
риваемого ряда Фурье. ►
Для непрерывной функции f и обычного модуля непрерывности
аналог условия (2.7.9) естественно записать в виде
° А
м= 1
ОО.
(2.7.10)
2.7.8. Если для некоторой функции f £С[0, 1) выполнено соотно-
шение (2.7.10), то для коэффициентов Фурье—Уолша этой функции
справедливо (2.7.3).
◄ В силу монотонного убывания членов ряда (2.7.10) имеем
со оо 2^ “ со
д1/2
П=1 fe= 1 п = 2*—1 feal
<О (1/2*, /)
2*/а
Поэтому из условия (2.7.10) следует сходимость ряда У2 2fe/2co( 1/2*, f),
fe= ।
а значит, вследствие (2.3.6), и справедливость (2.7.9). Таким обра-
зом, утверждение 2.7.8 следует из теоремы 2.7.7. ►
Из теорем 2.7.6—2.7.8 в качестве следствий можно получить
достаточные условия абсолютной сходимости ряда Фурье—Уолша,
в которых накладываются определенные ограничения на скорость
убывания при 6—* 0 соответствующего модуля непрерывности. Так,
например, справедливо следующее утверждение:
2.7.9. Ряд Фурье—Уолша функции f сходится абсолютно, если
при а> 1/2 выполнено одно из следующих условий: (6, /) = О(6а),
ш(6, /) = О(6а), о(6, /) = О(6а) при 6->0.
-й Достаточно заметить, что каждое из приведенных условий
гарантирует сходимость соответствующего ряда в теоремах 2.7.6 —
2.7.8. ►
С помощью 2.7.6 доказывается также следующее утверждение:
2.7.10. Если функция f имеет ограниченную вариацию на [0, 1)
и выполнено соотношение
L Н<°°. (2-7.П)
6=0 4 '
то ряд Фурье—Уолша функции f абсолютно сходится.
◄ Поскольку
01 \ 1/2
то, считая h < 1/2\ получим
/)• (2-7.12)
В силу 2.7.4
Подставляя эту оценку в неравенство (2.7.12), получаем
/)«[/]
Следовательно,
Ё 2'яй'” , /) * KWi Ё /) •
Согласно (2.7.11) ряд справа в последнем неравенстве сходится.
Поэтому сходится и ряд слева, откуда на основании 2.7.6 заключаем,
что имеет место (2.7.3). ►
2.7.11. Если у функции с ограниченной вариацией модуль непре-
рывности удовлетворяет условию ю (6, f) — О In -$• при неко-
тором а >2, то ее ряд Фурье—Уолша абсолютно сходится.
◄ Из условия теоремы следует, что
L *-а/2<оо.
6=1 4 ' 4=1
Поэтому применима теорема 2.7.10. ►
Заметим, что условия предыдущей теоремы подавно выполнены,
если функция с ограниченной вариацией принадлежит классу Лип-
шица порядка а > 0.
Приведем критерий абсолютной сходимости ряда Фурье—Уолша,
использующий введенное в § 2.1 понятие свертки двух функций.
2.7.12. Для абсолютной сходимости ряда Фурье—Уолша функ-
ции f € L [О, 1) необходимо и достаточно, чтобы функция f могла
быть представлена в виде свертки двух функций g и h, принадле-
жащих пространству L2[0, 1).
◄ Пусть дано, что f = g*h, причем g, h £ 1Л [0, 1). В силу ра-
венства Парсеваля
2 li(«)l2=kll!<
м=0
2|й(п)|2 = М<оо.
п=О
Поэтому, используя (2.1.9) и применяя неравенство Коши—Буня-
ковского, получим
2 |7(«)1= 2 li(«)£(«)KIIHIIH< °°-
п=0 п=0
Пусть теперь ряд Фурье функции f абсолютно сходится, т. е.
2 |Z(«)I < оо. По теореме Рисса—Фишера (см. П5.4.3) найдутся
л = 0
функции g£ L2[0, 1) и ЙС L2[0, 1) с коэффициентами Фурье—Уолша
i(n) = /|f(n)|, ft(n) = signF(n)/|/(n)|, n = 0, 1,2...(2.7.13)
поскольку
2 li(«)l2= 2 l&(«)l2= 21/(ЮК
n=0 n=0 n=0
Рассмотрим свертку g*h. Тогда, в соответствии с (2.1.9) и (2.7.13),
имеет место равенство
(g*h)'~ (п) = /(п), п — 0, 1, 2, .
(2.7.14)
Так как согласно теореме 2.6.1 функция из L[0, 1) однозначно
определяется своими коэффициентами Фурье—Уолша, то по (2.7.14)
заключаем, что функция f совпадает со сверткой g»h как элемент
пространства L [0, 1). ►
§ 2.3. О рядах Фурье по мультипликативным системам
В § 1.5 был определен класс мультипликативных систем, обоб-
щающих систему Уолша. Все результаты о рядах Фурье—Уолша,
изложенные в предыдущих параграфах этой главы, имеют аналоги
для рядов Фурье по мультипликативным системам. Приведем здесь
лишь простейшие из них. Некоторые другие будут получены в ка-
честве частного случая из теорем гл. 6 о мультипликативных пре-
образованиях.
Особенность общих мультипликативных систем по сравнению с
системой Уолша, представляющей собой частный пример такой
системы, состоит в том, что они, вообще говоря, образованы комп-
лекснозначными функциями.
Рядом Фурье функции f £ L [0, 1) по системе {х„ (х)}”=0, опреде-
ленной равенством (1.5.10), назовем ряд
2 /(«)Х»(Д (2.8.1)
/1=0
где
1
/(«)=$ хЛЙ dt. (2.8.2)
о
Частные суммы ряда (2.8.1) выражаются через ядро Дирихле
этой системы (1.5.19) согласно второму из равенств (1.5.7) в виде
S„ (х) = 2 $ / (0 хЛО X» (х) dt = $ f (0 Dn (х© t)dt. (2.8.3)
'=0 о о
По аналогии с формулой (2.1.11) легко проверить, что для част-
ных сумм с номерами тк (см. (1.5.4)) в силу (1.5.21) выполняется
равенство
S-A Я = (2.8.4)
где интервалы ftp определены равенством (1.5.13). Это утверждение,
как и в случае системы Уолша, допускает обращение, так что спра-
ведлив следующий аналог теоремы 2.1.3:
2.8.1. Для того чтобы ряд по системе {%„(х)} был рядом Фурье
некоторой функции f£L[O, 1), необходимо и достаточно, чтобы
для всех частных сумм этого ряда с номерами тк выполнялось ра-
венство (2.8.4).
Из формулы (2.8.4) вытекает равенство
Smft(x, Z)-/(x) = ^ J (/(/)-/(х))(й, (2.8.5)
из которого непосредственно выводится следующее утверждение:
2.8.2. Подпоследовательность частных сумм {Smft(x, /)} ряда
Фурье по системе {х„(х)} любой непрерывной на [0, 1J функции f
равномерно сходится на [0, 1) к этой функции, причем
|Smfe(x, /)-/(х)|<®(-^, /), х€[0, 1). (2.8.6)
Это утверждение можно перенести, как и в случае системы Уолша
в § 2.3, на класс тех разрывных функций, которые оказываются
непрерывными относительно соответствующего операции Q расстоя-
ния на [0, 1), аналогичного расстоянию (1.2.19). Мы предоставляем
читателю ввести соответствующие системе {%„(*)} понятия расстоя-
ния р*, равномерной р*-непрерывности, обобщенного модуля непре-
рывности Ир (б, /), аналогичного заданному равенством (2.3.5), и
сформулировать в этих терминах обобщение теоремы 2.8.2.
Докажем теперь для системы {%„ (х)} аналоги теорем 2.5.9 и
2.5.12.
2.8.3. Пусть {6£} = {[aft, pft)}”=1—последовательность полуин-
тервалов вида (1.5.13) таких, что x£ty^ при любом k^O, и пусть
X
F(x)=^f(t)dt, где / £ L [0, 1). Тогда подпоследовательность {Sm/t(x, f)}
о
частных сумм ряда Фурье по системе {х„(х)} сходится в точке х
к числу а тогда и только тогда, когда
Ра
а.
(2.8.7)
◄ В силу формулы (2.8.4)
5 (х f\_ 1 С f (t\dt — F (Р*)
Л-i^i Р.-а,
откуда и следует доказываемое утверждение. ►
Предел в левой части равенства (2.8.7) может рассматриваться
как производная по последовательности сетей, образованных интер-
валами 6^. Но в отличие от сетей {9LJ из § 1.1 эти сети не будут
бинарными.
По аналогии с теоремой 2.5.10 легко проверить, что в каждой
точке х, в которой существует производная F' (х), существует и пре-
дел (2.8.7), равный F' (х). Поэтому из теоремы 2.8.3 и из того, что
F' (х) = f (х) почти всюду, следует утверждение
2.8.4. Для любой функции f£L[O, 1) подпоследовательность
(х, /)} частных сумм ее ряда Фурье по системе {%„ (х)} сходится
к f(x) почти всюду на [0, 1).
С помощью теоремы 2.8.4-установим полноту мультипликативной
системы.
2.8.5. Система {%„ (х)} полна относительно пространств L^[0, 1)
при любом р^\ и С[0, 1).
◄ Доказательство проходит по той же схеме, что и доказательство
теоремы 2.6.2. Как и там, из предположения, что
1
= л = 0,1,2...........
О
получаем равенство
1
\f(t)Dm(xQt)dt = O
о
при х£[0, 1), k — 0, 1, где Dmft(xQt) при фиксированном х
рассматриваем, как полином по системе {х„(х)}. Но в силу (2.8.3)
из последнего равенства заключаем, что при х £ [0, 1)
Sm*(x) = 0, /г = 0, 1, 2, ....
откуда с помощью теоремы 2.8.4 нриходим к выводу, что
f(x) = lim Sm (х) = 0 почти всюду на ГО, 1).
k-^CD
В случае непрерывности f отсюда следует, что f(x) = O всюду. ►
По аналогии с теоремой 2.6.4 доказывается утверждение
2.8.6. Система (х)} замкнута относительно каждого прост-
ранства L^[0, 1), и С[0, 1).
Отсюда, в частности, следует справедливость равенства Парсеваля
для мультипликативной системы.
Глава 3
ОБЩИЕ РЯДЫ УОЛША И РЯДЫ ФУРЬЕ— СТИЛТЬЕСА.
ВОПРОСЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
РЯДАМИ УОЛША
_________________________\_____________________
В этой главе будут рассматриваться общие ряды Уолша, т. е.
ряды, относительно которых заранее не предполагается, что их
коэффициенты вычислены по формулам Фурье. При изучении таких
рядов важную роль будет играть функция, являющаяся суммой ряда,
полученного в результате почленной интеграции исходного ряда
Уолша. С помощью этой функции будут сформулированы необходи-
мые и достаточные условия, гарантирующие, что данный ряд Уолша
является рядом Фурье—Уолша или рядом Фурье—Стилтьеса по
системе Уолша, т. е. рядом Уолша с коэффициентами вида
1
о
где интеграл понимается в смысле интеграла Стилтьеса (П4.3).
Попутно покажем, что произвольный ряд по системе Уолша в опре-
деленном смысле является рядом Фурье—Стилтьеса, если ввести
подходящее обобщение интеграла Стилтьеса. Это обобщение интег-
рала Стилтьеса будет опираться на понятие бинарных сетей, упоми-
навшееся в § 1.1.
В § 2.5 (см. 2.5.9) уже отмечалась связь между сходимостью
рядов Уолша и вопросами дифференцируемости функций по бинар-
ным сетям. В настоящей главе эта связь будет часто использоваться.
Поэтому ниже будут приведены некоторые результаты из теории
дифференцирования по сетям. На эти результаты будем существенно
опираться при изучении вопросов единственности представления
функций рядами по системе Уолша.
В § 2.6 была установлена теорема 2.6.1 о единственности восста-
новления функции по ее коэффициентам Фурье—Уолша. Здесь рас-
смотрим теоремы единственности другого рода. А именно будем
интересоваться вопросом о том, когда коэффициенты ряда по системе
Уолша (1.4.1) единственным образом определяются его суммой, пони-
маемой в том или ином смысле, а также вопросом о восстановлении
коэффициентов по этой сумме, если такая единственность имеет место.
В частности, в случае, когда сумма ряда интегрируема, возникает
вопрос, будут ли коэффициенты ряда совпадать с коэффициентами
Фурье этой суммы.
Отметим прежде всего, что если сходимость частных сумм Sn(x)
ряда (1.4.1) понимается в смысле сходимости по норме одного из
пространств !Z[0, 1), р>1, или С [0, 1) и S(x)—сумма ряда в
указанном смысле, то ряд (1.4.1) необходимо является рядом Фурье —
Уолша функции S(x).
В самом деле, в этом случае для любого i 0 можно рассматри-
вать а, в качестве коэффициента Фурье любой из частных сумм
S„(x) при n^t. Тогда
1 1
ar-$S (/)», (0= $ (Sn (0-S (/) dt С
о
О
1
< $ S(t)\dt = \\Sn-SII^O при п—оо,
о
откуда az = S(Z). В случае L^[0, 1) при р> 1 следует еще приме-
нить неравенство Гёльдера (ем. П5.2.2). Случай С [О, 1) еще более
очевиден.
Таким образом, при рассмотрении сходимости в смысле нормы
указанных пространств единственность представления имеет место,
причем обнаруживается ведущая роль рядов Фурье—Уолша среди
всех рядов по системе Уолша.
Сложнее обстоит дело в случае поточечной сходимости или сум-
мируемости. В § 3.4 будет показано, что для класса рядов Уолша,
сходящихся лишь почти всюду, коэффициенты ряда не восстанав-
ливаются однозначно по сумме ряда. Это вытекает из построенного
ниже примера ряда Уолша, сходящегося к нулю почти всюду, не
все коэффициенты которого равны нулю и, следовательно, не являю-
щегося рядом Фурье своей суммы.
Если же рассматривать ряды, сходящиеся всюду или всюду,
кроме счетного множества, то, как будет показано в § 3.2, единствен-
ность имеет место, причем, если ряд сходится к интегрируемой функ-
ции, его коэффициенты восстанавливаются по сумме с помощью
формул Фурье.
Аналогичные теоремы единственности можно установить и для
некоторых методов суммирования. Здесь эти вопросы не будут об-
суждаться, за исключением случая сходимости по подпоследователь-
ности частных сумм, представляющего, по существу, некий метод
суммирования.
§ 3.1. Общие ряды Уолша как обобщенные ряды Стилтьеса
Полезно использовать способ задания ряда Уолша посредством
последовательности кусочно постоянных функций.
3.1.1. Пусть заданы возрастающая последовательность натураль-
ных чисел {£>} и последовательность функций {ф;} таких, что <р7
постоянна на каждом из интервалов Д<М ранга fy, причем для
каждого Д£Д
$ фу(о^= 5 *). (3.1.1)
д(М д(*/>
tn tn
Тогда существует один и только один ряд по системе Уолша, у ко-
торого частные суммы S^(x) совпадают с Фу (%).
«4 В самом деле, взяв какую-то из функций фу, в силу 1.3.2 од-
нозначно представим ее в виде полинома
/2/
2 1 -1
<P/W= 22 w(4 (3.1.2)
Осталось проверить, что если > /, то в представлении qy в виде
полинома коэффициенты с номерами —1 совпадают с аг из
(3.1.2), т. е. имеет место равенство
2 ^-1
ф/, (*) = Ф/ (*) + 2 aiwi W-
й f
i = 2 J
Для этого, рассматривая коэффициенты полиномов в качестве их
коэффициентов Фурье, достаточно убедиться в том, что <рУ1 (i) = фу (i)
при i < 2*Л Но функции при i < 2kJ в силу свойства 1.1.3
принимают постоянное значение w{i т на интервале Д]£А Отсюда
и в силу вытекающего из (3.1.1) равенства
5 ФУ(О<И= $ Фд(0^> ii>h
tn т
получим
kf
1 2
Фл(0=^Ф/,(0«’Д0Л= 2 $ ФЛ(0^ =
О ... т=0 Д(М
tn
ki
2 '-1 1
= S J Ф/(^)^>= (Ф/(0а’/(0^ = Ф/(0- ►
m=o д(М о
tn
Рассмотрим теперь ряд (1.4.1) по системе Уолша и для его
частных сумм 52л (х) положим
X
Фй W = $ $>* (0 dt. (3.1.3)
О
♦) Последовательность {фу} является мартингалом (см., например, [16]).
76
Из равенства (1.4.7) видно, что для точек вида //2*
(Ц2к)— 5»*+>(0Л= 2 J S2A+i(/)d/ =
™+1 о т = ° Ak)
ат
/-1 .
= 2 J S2ft(/)d/ = i|>A(/72ft).
'п = 0 д<*)
Отсюда видно, что последовательность {ф/(х)}-10, образованная функ-
циями (3.1.3), в каждой двоично-рациональной точке вида j/2k ста-
новится постоянной, начиная с номера i — k, и тем самым сходится.
Таким образом, для всех двоично-рациональных точек х по ряду оп-
ределится функция ф (х) = lim (х). При этом ф (х) = фА (х) при
х = /72*, /—О, 1, ..., 2*, и поэтому, если х£ Д^ = то
ввиду (3.1.3) 7
f т+1 \ / т \
1 с “9Г")“'Ч) 9Г)
Sik (х) = WT1Sak (0 dt = И ' (3,1,4)
Заметим, что найденную функцию ф(х) можно рассматривать как
сумму почленно проинтегрированного ряда Уолша. При этом ф (0) = 0.
Рассмотрим теперь обратную задачу. Пусть на множестве дво-
ичных рациональных точек определена произвольная функция ф(х).
Тогда для каждого интервала Д^ — Д^1’ (J имеем
(3.1.5)
Положив
х€Д^,
0<m<2*—1, fe = 0, 1, 2,
получаем из (3.1.5), что
J Фй(х)^х = J <pi+i(x)dx + J V»+i(x)dx= $ <pft+I(x)dr.
д(А) д<А+1) д(4+1) *(А>
ат а2т агт+1 ат
Поэтому в силу 3.1.1 последовательность {ф* (х)} однозначно восста-
навливает ряд с частными суммами 52л (х) = (х), т. е. с частными
суммами, удовлетворяющими при х^Л(к> равенству
гк{Х)~ |Д^Т
Но в то же время эти частные суммы должны удовлетворять ра-
венству (3.1.4), где ф (х)—сумма почленно проинтегрированного ряда.
Поэтому
/т+1 X ( т \ . /m+ IX . [ т \
Ф IT ) — Ф ( 2Г ) = Ф ( J —Ф •
Применив это равенство к двоичному интервалу А^’ = [0, 1/2*)
и учтя, что ф(0) = 0, получим <р(1/2*)—ф(0) = ф(1/2Л). Затем то же
равенство применим последовательно к интервалам А^>, Д*/*, ..., A^it
и в результате придем к равенству <p(m/2s)—<р (0) — ip (т/2к). По-
скольку k—любое, то тем самым для всех двоично-рациональных
точек х доказано равенство ф(х)—<р(0) = ф(х).
Итак, справедливо следующее утверждение:
3.1.2. Каждому ряду Уолша (1.4.1) соответствует определенная
во всех двоично-рациональных точках отрезка [0, 1] функция 1р(х),
ф(0) = 0, которая является суммой ряда, полученного почленным
интегрированием данного ряда Уолша и для которой справедливо
равенство (3.1.4). Обратно, каждой функции ф(х), определенной во
всех двоично-рациональных точках отрезка [0, 1], соответствует
единственный ряд Уолша, частные суммы которого связаны с данной
функцией ф(х) равенством (3.1.4) и у которого сумма почленно про-
интегрированного ряда совпадает с ф(х)—ф(0).
Предел при k—► оо отношения в правой части (3.1.4) равен в соот-
ветствии. с определением (2.5.11) производной £{«Л}Ф(х) функции
ф(х) по бинарной последовательности сетей Таким образом,
соотношение (3.1.4) приводит к следующему обобщению теоремы
2.5.9 на общие ряды Уолша.
3.1.3. Пусть ряд (1.4.1) и функция ф(х) соответствуют друг
другу согласно терреме 3.1.2. Тогда подпоследовательность {Ssfe (х)}
частных сумм этого ряда Уолша сходится в точке х тогда и
только тогда, когда в той же точке дифференцируема по сетям
{9Ц функция ф(х), причем
lim (х) = £>{адф (х). (3.1.6)
Отметим, что для того, чтобы производная (2.5.11) была опреде-
лена в точке х, достаточно, чтобы дифференцируемая функция была
задана во всех концевых точках интервалов Д<*\ содержащих х,
и уж во всяком случае достаточно, чтобы эта функция была задана
во всех двоичных рациональных точках отрезка [0, 1].
Обобщая определение производной по бинарным сетям, введем
понятие верхней и нижней производной по бинарным сетям, опреде-
лив их равенствами
n{^(x)=ig^bj(4), (зл.7)
Г) ___ 12т 'ф(Рх)-Ф (ах)
|4?'| ’
где {А^> = [а*, ₽*)} —последовательность тех двоичных интервалов,
для которых х £ А<*’. Напомним, что для числовой последователь-
78
ности {ак} верхний и нижний пределы определяются соответственно
равенствами
lim ак = lim (sup at) lim ak = lim (inf aA.
i^k k+CD /
Из соотношения (3.1.4) вытекает следующее усиление равенства
(3.1.6): _
lim S2ft (х) — С\адф (х), lim (х) = (х), (3.1.8)
где функция ф(х) и ряд Уолша взаимно соответствуют друг другу
в указанном выше смысле.
Нам понадобится также понятие {9Ц-непрерывности функции,
т. е. непрерывности относительно бинарной последовательности сетей.
Скажем, что заданная на множестве двоичных рациональных точек
функция ф(х) {91/,}-непрерывна в точке х£[0, 1], если для каждой
последовательности {А£*>} двоичных интервалов А^1 = [а£, 0$), замы-
кание которых содержит точку х,
Ф(₽ж) —Ф(<4) —0, k->-oo. (3.1.9)
Заметим, что к двоично-рациональной точке стягиваются две после-
довательности замыканий вложенных двоичных интервалов—правая
и левая,— и для каждой из них мы требуем выполнения (3.1.9)
в случае {91/,} -непрерывности в этой точке.
3.1.4. Определенная во всех двоично-рациональных точках отрезка
[О, 1] функция ф(х) {Я1к}-непрерывна в точке х £ [0, 1] тогда и
только тогда, когда для частных сумм ряда Уолша, соответствую-
щего функции ф(х) согласно формуле (3.1.4), выполнено в точке х
соотношение
S»*(x±0)= о(2*), 6—оо. (3.1.10)
4 Из (3.1.4) следует, что если x^A*’ = [«*, ₽*), то
(х) 2~*=ф (₽*) -ф (а‘). (3.1.11)
Если же х принадлежит лишь замыканию интервала А}*’, совпадая
тем самым с его правым концом, то в силу постоянства S2* (х) на
А(*’ из (3.1.11) также следует
5ал (х-0)2-* = ф(₽*)-ф(а*).
Поскольку это равенство и (3.1.11) справедливы прй всех &>0, то
отсюда непосредственно следует доказываемое утверждение. ►
3.1.5. Если коэффициенты а{ ряда Уолша ^atwt(x) стремятся
к нулю при i-+ оо, то условие (3.1.10) выполняется равномерно по
х€[0, 1].
◄ Утверждение следует из очевидного неравенства
, 2*-1
|5аЦх)12-*<2-* 2о 1«4
где правая часть стремится к нулю как среднее арифметическое по-
следовательности, стремящейся к нулю (см. теорему 4.1.3 из сле-
дующей главы). ►
Из 3.1.4 и 3.1.5 получаем такое следствие:
3.1.6. Если коэффициенты ряда Уолша стремятся к нулю, то
соответствующая этому ряду согласно формуле (3.1.4) функция
ф(х) является {97J-непрерывной в каждой точке отрезка [0, 1].
Из формулы (3.1.4) и теоремы 2.1.3 вытекает следующее утвер-
ждение:
3.1.7. Для того чтобы ряд (1.4.1) по системе Уолша был рядом
Фурье—Уолша некоторой интегрируемой на [0, 1) функции f,
необходимо и достаточно, чтобы соответствующая этому ряду
функция ф (х), определяемая в двоично-рациональных точках как
сумма проинтегрированного ряда, совпадала в этих точках с неопре-
X
деленным интегралом F(x) — ^f (/) dt.
о
Отсюда, в частности, видно, что соответствующая ряду Фурье —
Уолша функция ф(х) всюду на [0, 1] является {SRJ-непрерывной.
Теорема 3.1.7 следующим образом может быть распространена
на ряды Фурье—Стилтьеса:
3.1.8. Для того чтобы ряд (1.4.1) по системе Уолша был рядом
Фурье—Стилтьеса некоторой непрерывной слева функции <р ограни-
ченной вариация на [0, 1), необходимо и достаточно, чтобы для
соответствующей этому ряду функции ф, определяемой в двоично-
рациональных точках как сумма почленно проинтегрированного ряда
(1.4.1), выполнялось во всех этих точках равенство
ф(х) = ф(х) —<р(0). (3.1.12)
В случае же непрерывности справа функции ф условие (3.1.12) за-
меняется условием
ф(х) = ф(х—0)—ф(0). (3.1.13*)
◄ Пусть для определенности функция ф непрерывна слева. Слу-
чай непрерывности справа рассматривается аналогично.
Функция ф представима в виде разности Ф = —ф2двух непре-
рывных слева неубывающих функций ф! и ф2 (см. П4.3.4), которые
определяют две меры Леб'ега—Стилтьеса mes,, и mes<p так, что при
этом (см. ПЗ.З) для двоичных интервалов Д’<*’= (m-|-l)/2ft)
имеют место равенства
те8ф1 Д<*> = ф! — Ф1
тез,,, Д^> = Ф2(^^)— Ф2(^-).
Вследствие равенства ф = ф2—ф2 отсюда следует, что
Ф —(ir) = тезФ1 —roes,,, Д^>. (3.1.14)
Пусть для функции <р выполнено (3.1.12). Тогда (3.1.14) можно
переписать в виде
— mes<ps Дт’- (3.1.15)
Как уже неоднократно отмечалось, коэффициенты at ряда Уолша
можно рассматривать в качестве коэффициентов Фурье частной
суммы Sn (х) этого ряда при i < п. Поэтому
1
а{ = $ S2a (х) (х) dx, i < 2*.
о
Отсюда, принимая во внимание тот факт, что функция wt(x) при
i < 2Л принимает постоянное значение whm на интервале и учи-
тывая (3.1.4) и (3.1.15), получаем
2Л-1 2Л-1
а,= 2 $ S2*(x)tt>/(x) dx = 2 t(-§))= '
m=l ffe) m=l \ \ * / \//
2*-l 2Л-1
= 2 ДЙ’— 2 wt, m mesq,, A}*».
m=l m=\
Но выражение справа представляет собой значение интеграла Ле-
бега—Стилтьеса по функции <р от ступенчатой функции ш{(х)
(см. П4.3.8). Таким образом,
1
az = (LS)$u>z(x)d<p(x). (3.1.16)
о
Обратно, пусть известно, что рассматриваемый ряд Уолша яв-
ляется рядом Фурье—Стилтьеса функции <р, т. е. его коэффициенты
вычислены по формулам (3.1.16). Тогда по аналогии с выводом фор-
мулы (2.1.11), учитывая (3.1.14) и П4.3.8, получим при x£A^*
S2fc (х, d<p)=CD2*(Z©x)d<p(0 = T7^>T J d<f(t) —
о I д« 1
= I I ^meS(P1 mes<p, &%’) = । । ^ф ( ^") Ф (’2*’))-
Отсюда в силу теоремы 3.1.2 ф(х) = ср(х) — ф(0), т. е. получаем
С помощью 3.1.8 можно установить справедливость следующей
теоремы:
3.1.9. Пусть ряд (1.4.1) по системе Уолша является рядом
Фурье—Стилтьеса некоторой функции ф. Тогда почти всюду на
[О, 1), а именно в каждой точке дифференцируемости ф, для част-
ных сумм данного ряда выполняется равенство
lim S2« (х, с(ф) = ф' (х). (3.1.17)
£->00
«4 Функция ф, будучи функцией ограниченной вариации, диф-
ференцируема почти всюду (см. П4.3.5). Но в каждой точке диффе-
ренцируемости функции ф у нее существует и производная по сетям
£>{едф(х) (см. теорему 2.5.10). В то же время согласно теореме
3.1.8 функция ф в двоично-рациональных точках совпадает (с точ-
ностью до аддитивной константы) с функцией ф, являющейся суммой
почленно проинтегрированного ряда, а для этой функции, в свою
очередь, справедлива теорема 3.1.3. Поэтому равенство (3.1.17) сле-
дует из (3.1.6). ►
Рассмотренная выше функция ф(х), являющаяся суммой почленно проинтегри-
рованного ряда Уолша, позволяет произвольный ряд Уолша рассматривать в опре-
деленном смысле как обобщенный ряд Фурье—Стилтьеса.
Рассмотрим следующее обобщение интеграла Римана — Стилтьеса.
Пусть задана произвольная функция ф(х), определенная во всех двоично-
рациональных точках отрезка [0, 1], и функция f (х), определенная всюду на [0, 1).
Рассмотрим последовательность разбиений полуинтервала [0, 1), соответствующую
последовательности сетей {9£jJ, а именно Л-м разбиением полуинтервала [0, 1)
будем считать его разбиение на ячейки сети 9Q&, т. е. на двоичные интервалы
/п = 0, 1, ..., 2Л—1. Поставим в соответствие Л-му разбиению интегральную сумму
2^_J
Л Г . /т+1 \ . / т
ш=0 X / \ /J
где — произвольные точки, удовлетворяющие условию
Если 7 = const при k -+ оо в том смысле, что любому е > 0 соответствует
такое kQ, что для всех k > kQ суммы 7^ независимо от выбора точек удовле-
творяют неравенству 17*— 11 < е, то скажем, что f (х) интегрируема на [0, 1)
по функции ф(х) относительно последовательности сетей {9£/J, им {^^-интегри-
руема по ф(х), и обозначим соответствующий интеграл так:
1
о
Класс интегрируемых в указанном смысле функций, очевидно, линеен. Сколько-
нибудь глубокие свойства интеграла 7 не требуются, так как он будет использован
лишь для записи коэффициентов Фурье — Стилтьеса, а для этого достаточно заме-
тить, что любая функция, для которой все Д^) при некотором k служат интерва-
лами постоянства, интегрируема в смысле этого интеграла при произвольной функ-
ции ф (х). В частности, определены при всех 0 интегралы
1
(3.1.19)
о
Ряд по системе Уолша, коэффициенты которого имеют вид (3.1.19), естест-
венно назвать обобщенным рядом Фурье—Стилтьеса от ф (х).
Теперь можно сформулировать следующий интересный факт, позволяющий
произвольный ряд Уолша рассматривать в качестве обобщенного ряда Фурье —
Стилтьеса.
3.1.10. Пусть ряд Уолша (1.4.1) и функция ф (х) соответствуют друг другу
в смысле теоремы 3.1.2. Тогда
1
а/ = {9Ы‘ wi W d^> 1 °*
о
Как и при доказательстве теоремы 3.1.8, при i < 2А справедливо равенство
1
2А—1
ai = \ S2« (х) wt (х) dx =
о * "'=1
О'/, т
Но выражение справа представляет собой &-ю интегральную сумму вида (3.1.18)
для функции (х), причем в данном случае величина этой суммы не зависит
от выбора точек ^т. Поскольку к тому же эти суммы равны а; при всех k
таких, что 2Л > /, то а; является пределом этих сумм, т. е. совпадает с интегра-
лом (3.1.19). ►
Доказанная теорема позволяет частные суммы Sn (х) любого ряда Уолша
(1.4.1) записывать в виде интегрального выражения, аналогичного выражению
(2.1.10) для рядов Фурье—Уолша, а именно
1
о
§ 3.2. Теорема единственности представления функций
поточечно сходящимися рядами Уолша
Установим некоторые свойства функций в зависимости от пове-
дения их {9Ц-производных, а затем с помощью этих свойств дока-
жем теорему единственности для рядов Уолша, сходящихся всюду,
кроме, быть может, счетного множества точек.
Прежде всего докажем следующее вспомогательное утверждение,
касающееся поведения частных сумм ряда Уолша с номерами 2к.
3.2.1. Пусть для частных сумм ряда У олша во всех точках замы-
кания некоторого двоичного интервала выполняется соотноше-
ние (3.1.10) (в концевых точках оно . может выполняться лишь изну-
три интервала). Тогда для некоторого р~> k найдутся два таких
не пересекающихся интервала и Д(У ранга р, которые вложены
в и для которых
S2,(x)<S2*(x), х€Д^’иД^, k<i^p.
Постоянное значение функции S^(x) на интервале Д^ обо-
значим s'm- В соответствии с теоремой 1.4.2
ca + 1>_l_cU+1>
s<,= 2m J • (3.2.1)
Поэтому хотя бы для одного из интервалов и Ajm+l выполня-
ется S 2,+i (х) < S 2/ (х).
Обозначим через А^+1> тот из двух интервалов ранга k+ 1, со-
ставляющих в сумме исходный интервал А<*’, на котором
(если последнее неравенство выполняется на обоих интервалах
ранга k+1, то берем любой из них). Аналогично выбираем Л^2+2>
из двух интервалов, составляющих в сумме Д^+1), и т. д. Много-
кратно повторяя это рассуждение, построим последовательность
вложенных двоичных интервалов для которых
/ = 1, 2, .... т^т. (3.2.2)
Каждому интервалу Д^*7* соответствует соседний с ним интервал
Д ~+/> того же ранга такой, что Д^+/> U Д ~ + Л = Д^+,-1>- Но интервалы
’ I Л<*+Л\ J 1 J~l
последовательности |Дт, f не вложены друг в друга.
Покажем, что найдется номер /0 1 такой, что
4+/’CsL (3.2.3)
/о
В противном случае имеем
47>s«. 1=1, 2, .... (3.2.4)
так что, в частности,
(3.2.5)
Но в силу (3.2.1)
4+/ + 4+'==24+/-1> /=1- 2’ •••• =
ту my mJ— 1 * и
Последовательно используя это равенство, применяя (3.2.4) и обо-
значение (3.2.5), получим
С1=24-4Г 1=(4;1 -skm)=4-е,
s^2=24T1-4t1<2(^-6)-<=<-2S>
4V = 2s^2-4+t3 < 2(s^-26)-^ = ^-226,
47= 2s^7‘-47 < 2 (4-2/-26)-^ = ^-2/-*6,
Отсюда следует, что < s^2~(i+^—62“(*+1) и s^+^2-u+^ не
стремится к нулю при /-^ оо. Но это значит, что в точке х, к ко-
торой стягиваются интервалы Д^;) (точка х либо принадлежит всем
интервалам, либо является общим концом этих интервалов, начиная
с некоторого), не выполняется соотношение (3.1.10), что противоре-
чит условию. Поэтому (3.2.4) не может иметь места при всех />1
и, значит, при некотором /0^>1 справедливо неравенство (3.2.3).
Теперь в качестве искомых интервалов ътр и Дш^ можно взять
при p = k+jQ интервалы Д^+/в) и Д^+/о). Используя (3.2.2), легко
J‘o h
проверить, что эти интервалы обладают всеми нужными свой-
ствами.
С помощью доказанного утверждения установим справедливость
следующей теоремы:
3.2.2. Пусть для частных сумм ряда Уолша, удовлетворяющих
условию (3.1.10) во всех точках отрезка [0, 1], неравенство
ПпГ82*(х)>0 (3.2.6)
выполняется при х£[0, 1), кроме, быть может, точек из некото-
рого счетного множества Е. Тогда
32л(х)>0, х6[0, 1), £>0. (3.2.7)
4 Очевидно, достаточно доказать, что для любого двоичного
интервала выполняется неравенство
82л(х)>0, х€ДЙ’. (3.2.8)
Предположим противное, допустив существование интервала
для которого выполняется противоположное неравенство
82л(х)<0, х€А<*>. (3.2.9)
Применим к этому интервалу утверждение 3.2.1. В результате най-
дем два интервала, которые обозначим Д(0) и Д(1). К каждому из
интервалов Д(в) и Д(1) снова применим 3.2.1. Получим непересекаю-
щиеся интервалы Д(00), Д(01), Д(М), Д(П), причем Д(в0) U Д(01)сД(Ю и
Д(10) U Д(Ц)СД(1). Продолжая этот процесс, на s-м шаге получим 2s
непересекающихся интервалов Д(81е, .е$), где е„ = 0 или 1, при-
чем если ps—ранг этих интервалов, то S2t (х) S2* (х) при х£
€Д(е,ег...е^) и при всех I, k<i^ps. Каждой последовательности
{8n}n-i из нулей и единиц соответствует последовательность вложен-
ных интервалов {Д(е1е,Последовательность {e„}„=1 можно
воспринимать как двоичную запись некоторого числа a, O^a^l,
так что множество таких последовательностей, а значит и последо-
вательностей вложенных интервалов {Д(8182...е$)}Г=1. имеет мощность
континуума. Но каждая последовательность вложенных интервалов
стягивается к некоторой точке отрезка [0, 1] так, что эта точка
принадлежит всем замыканиям этих интервалов. При этом одной
точке может соответствовать не более двух стягивающихся к ней
последовательностей интервалов. Поэтому среди континуума таких
последовательностей найдется последовательность, которая стягива-
ется к двоично-иррациональной точке х0, не принадлежащей мно-
жеству Е из условия теоремы, т. е. в этой точке выполнено нера-
венство (3.2.6). Но, с другой стороны, по построению в точке х0
82Z К) (х0), i k,
поскольку точка х0, будучи двоично-иррациональной, лежит строго
внутри каждого из интервалов стягивающейся к х0 последователь-
ности интервалов вида {А(8182...ад}Г=1- Следовательно, ввиду (3.2.9)
lim S2t (х0) ^S2n (х0) < 0, что противоречит неравенству (3.2.6), кото-
4->GO
рое выполнено, как отмечено выше, в точке х0. Таким образом, пред-
положение (3.2.9) приводит к противоречию, что и доказывает спра-
ведливость неравенства (3.2.8) для любого двоичного интервала Д^*,
а тем самым и справедливость утверждения теоремы. >
Доказанная теорема 3.2.2 эквивалентна следующей:
3.2.3. Пусть функция ф (х), определенная на множестве всех дво-
ично-рациональных точек отрезка [0, 1], {Я1к}-непрерывна для всех
х£[0, 1] и неравенство
П{^Ф(х)>0 (3.2.10)
выполняется для всех х£[0, 1), кроме, быть может, точек из неко-
торого счетного множества Е. Тогда ф (х) не убывает на множестве
двоично-рациональных точек из [0, 1].
В соответствии с 3.1.2 по функции ф (х) можно построить ряд
Уолша, для частных сумм которого выполняется (3.1.4). Тогда для
этого ряда по теореме 3.1.4 и ввиду предположенной непре-
рывности функции ф(х) всюду на [0, 1] выполняется (3.1.10). В силу
первого из равенств (3.1.8) из (3.2.10) следует (3.2.6) для построен-
ного ряда Уолша. Таким образом, к ряду Уолша, соответствующему
функции ф(х), применима теорема 3.2.2. Следовательно, для этого
ряда выполнено (3.2.7). Из (3.1.4) тогда следует ф((/п+1)/2*)>ф(/п/2*)
для любых т, 0^/пС2й—1, и /г-^0. Но очевидно, что для лю-
бой пары а и Ъ двоично-рациональных точек полуинтервал [а, Ъ)
представим в виде конечной суммы примыкающих друг к другу
двоичных интервалов. Поэтому из последнего неравенства следует
соотношение ф(6)^ф(а).
Доказанный признак монотонности функции ф(х) применим при
доказательстве следующей центральной для этого параграфа теоремы:
3.2.4. Пусть функция ф (х), определенная на множестве всех дво-
ично-рациональных точек отрезка [0, 1], ffl.k}-непрерывна для всех
х£[0, 1] и пусть для всех х£[0, 1), кроме, быть может, точек из
некоторого счетного множества Е, выполняется неравенство
£{«*} Ф (х) < f (х) < D{<nk} Ф (х), (3.2.11)
где f(x)—всюду конечная интегрируемая по Лебегу на [0, 1) функ-
ция. Тогда при всеху двоично-рациональных х
х
ф(х) = ф(0) + J f(t)dt. (3.2.12)
о
Так как f € L [0, 1), то в соответствии с теоремой П4.4.6
можно для произвольного в > 0 найти функцию и (х), которая всюду
на [0, 1) полунепрерывна снизу и обладает следующими свойствами:
а) ы(х)>—оо всюду на [0, 1);
б) ы(х)^/(х) всюду на [0, 1);
в) ц(х) £ L[0, 1) и $U(Od/<e + $f(/)#.
о о
Пусть
X
U(x) = J u(t)dt,
о
X
F(x)=^ f(t)dt.
о
Тогда в силу свойства в)
1/(1)—Г(1)<8.
(3.2.13)
Покажем, что из полунепрерывности снизу функции и(х) всюду
на [0, 1) следует, что
U(x)^u(x), x€[0, 1). (3.2.14)
Фиксируем точку х. В силу свойства а) в точке х выполняется не-
равенство и (х) > — оо. В соответствии с определением полу непре-
рывности снизу функции и (х) (см. П4.1) для всякого Л<н(х) найдется
о>0 такое, что при всех /€[0, 1) таких, что |/—х|<6, будет
выполнено неравенство и(/)>Л. Тогда для всех двоичных интер-
валов Д*’, для которых х£Д^’с(х—6, х+6), будем иметь
\u(t)dt> Л|Д«>|,
д«*>
откуда, полагая Д^’ = {акх, р*), получаем
t/(P*) > А
ах Й
Значит, нижняя производная относительно бинарных сетей в точке х
не меньше Л, и поэтому справедливо (3.2.14). Отсюда, в силу свойств
а) и б) функции и(х), получаем
£{^}^(х)>/(х), х€[0, 1), (3.2.15)
D{Mt/(x)>-o°, х6[0, 1). (3.2.16)
Учитывая конечность f(x), неравенства (3.2.11), (3.2.15) и легко
проверяемое для любых двух последовательностей {ак} и {&А} соот-
ношение lim (ак—bk) lim ak—lim Ьь, приходим к справедливому
/’—►QO /’-►00 /’-►00
при x£[0, 1)\E неравенству
DfM (U (x)—ф (x)) > V (x)—Ф (x) > f (x)— f (x) = 0.
В силу этого неравенства и {9^}-непрерывности разности U (х) —
— ф(х), можно применить теорему 3.2.3, на основании которой
разность t/(x) —ф(х) не убывает на множестве двоично-рациональ-
ных точек.
По аналогии с построением функции и(х) по функции —/ (х)
можно построить полунепрерывную снизу функцию — и(х) та-
кую, что для ее неопределенного интеграла — V (х) выполнены
неравенства
-V(l) + f(l) < е, (3.2.17)
£{«»}(— ^(х))>—f(x), х€[0, 1),
откуда
D{^}V(x)<f(x), х£[0, 1).
Как и выше при рассмотрении разности U (х)—ф(х), получаем
D{*k}W (х)—V (х)) > D{« к} ф (х)—D{>* к} V (x) > О
при х£[0, 1)\£, откуда, применяя теорему 3.2.3, приходим к вы-
воду, что разность ф(х)—V(x) не убывает на множестве двоично-
рациональных точек.
Из неубывания на множестве двоично-рациональных точек каж-
дой из функций U (х)—ф(х) и ф(х)—V (х) легко следуют нера-
венства
У(х)<ф(х)—ф(0)<£7(х), (3.2.18)
справедливые для всех двоично-рациональных точек. Поскольку не-
посредственно из определения функций U (х) и V (х) очевидны не-
равенства
V(x)<f (x)<D(x), х€[0, 1],
а из (3.2.13) и (3.2.17) вытекает, что
0<D(x)—У(х)<2е,
то, комбинируя эти неравенства с (3.2.18), получаем для всех дво-
ично-рациональных точек выполнение неравенства
|Г(х)-(ф(х)-ф(0))|С2е.
Так как е произвольно мало, то из последнего соотношения сле-
дует справедливость равенства (3.2.12) во всех двоично-рациональ-
ных точках х.
Теперь можно сформулировать весьма общую теорему единствен-
ности, из которой в качестве следствия вытекает ряд полезных ут-
верждений.
3.2.5. Пусть для частных сумм ряда Уолша, удовлетворяющих
условию (3.1.10) во всех точках отрезка [0, 1], выполняется при всех
х£[0, 1), кроме, быть может, точек некоторого счетного множе-
ства Е, неравенство
lim_S2*(x)</(x)<Iiin S2*(x), (3.2.19)
ft—>оо ft-х»
где f—всюду конечная интегрируемая по Лебегу на [0, \) функция.
Тогда данный ряд является рядом Фурье—Уолша функции f.
Эта теорема по существу является переводом на язык рядов
теоремы 3.2.4. В самом деле, в силу утверждений 3.1.2 и 3.1.4 и
соотношений (3.1.8), соответствующая данному ряду Уолша функция
ф (x) является {91J-непрерывной всюду на [0, 1] и для нее выпол-
няется неравенство (3.2.11). Таким образом, к ф (х) применима тео-
рема 3.2.4 и, значит, для -ф(х) во всех двоично-рациональных х
справедливо соотношение (3.2.12). Помимо этого, функция ф (х), как
соответствующая ряду Уолша, удовлетворяет условию ф(0) = 0.
Следовательно, по теореме 3.1.7 исходный ряд Уолша является ря-
дом Фурье—Уолша функции f. >
Следствием теоремы 3.2.5 является следующая теорема:
3.2.6. Пусть ряд по системе Уолша (I АЛ) всюду на [0, 1), кроме,
быть может, точек некоторого счетного множества Е, сходится
к конечной функции f £ L [0, 1). Тогда этот ряд является рядом
Фурье—Уолша функции f.
Заметим, что в силу очевидного соотношения |aznyz(x)| = |az|,
i = 0, 1, 2, ..., из сходимости ряда Уолша хотя бы в одной точке
следует, что а{—>0 при i—* оо. Тогда в силу утверждения 3.1.5
частные суммы этого ряда удовлетворяют условию (3.1.10). Кроме
того, в точках сходимости ряда очевидно выполняется соотношение
(3.2.19). Таким образом, применима теорема 3.2.5, откуда и сле-
дует доказываемое утверждение.
Из теоремы 3.2.6 вытекает утверждение, которое и представляет
собой теорему единственности в собственном смысле:
3.2.7. Если два ряда по системе Уолша
2 ЗМ’Д*)
О i = о
всюду, кромебыть может, счетного множества, сходятся к одной
и той же конечной функции, то эти ряды совпадают между собой,
т. е. at = bi при всех £ = 0, 1, ...
<4 Разность двух данных рядов представляет собой ряд с коэф-
фициентами at—bh который всюду, кроме, быть может, счетного
множества, сходится к нулю. Применяя к этому ряду теорему 3.2.6
с (а:) = 0, получаем, что коэффициенты at—являются коэффици-
ентами Фурье—Уолша от тождественно нулевой функции, т. е.
щ — Ь^О при всех £ = 0, 1, ... ►
§ 3.3. Теорема локализации для общих рядов Уолша
В этом параграфе мы будем пользоваться понятием так называе-
мого формального произведения ряда Уолша
00
(3.3.1)
^П — 0
и полинома по системе Уолша
р
Р (х)—bawn(x), (3.3.2)
п=0
которое определяется рядом
Sw(x), (3.3.3)
/ = 0
где каждый коэффициент ct получается, если сложить коэффициен-
ты при всех произведениях wm (х) w„ (х), равных wt (х). Известно,
(1.2.17), что wm(x)w„ (х) = гг>ШфП(х). Поэтому, учитывая, что (§ 1.2)
пф(/фп) = /, коэффициенты ct произведения (3.3.3) естественно
определить равенством
= 2 (3.3.4)
п = 0
3.3.1. Пусть коэффициенты ряда (3.3.1) удовлетворяют условию
limnm = 0, (3.3.5)
а коэффициенты ряда (3.3.3) получены из коэффициентов ряда (3.3.1)
и полинома (3.3.2) по формуле (3.3.4). Тогда ряды (3.3.3) и
(а^п{х)Р(х)) = Р(х)^ amwn(x) (3.3.6)
m=0 т=0
являются равномерно равносходящимися, т. е. их разность равно-
мерно сходится к нулю.
Фиксируем такое k, что р < 2*. Тогда для всех п из (3.3.2)
и (3.3.4) выполнено равенство п < 2k. Отметим, что отображение
I /фи при фиксированном и < 2k осуществляет перестановку мно-
жества вида {/: 0^l^s2k—1} при каждом натуральном s, т. е.
взаимно однозначное отображение этого множества на себя. Послед-
нее легко следует из определения операции ф (§ 1.2). Поэтому
1 s-2*-I
2 2 aiwi^- • (3-3-7)
1=0 1=0
Также легко проверить, что
если Z^s2* и п < 2й, то Z©n^s2*. (3.3.8)
Тогда на основании (3.3.7) и (3.3.2) имеем
s-2*~ 1 s-2*-l р
2 Clwl(x)= 2 ^bnai®nWn(x)wtQn(x) =
1=0 /=0 n=0
= 2^«W 2 ai®n™i®n(x) }=P(x) 2 «mW- (3.3.9)
n=0 \ /«0 J 1=0
Для произвольного натурального N найдется такое s, что
s2*CW <(s + 1)2*.
(3.3.10)
Тогда в силу (3.3.9)
N N
2 ki+iiPfc 2 |а,|.
I=s2* l=s2*
(3.3.11)
Возьмем теперь произвольное 8 > 0. Если N, а вместе с ним и
s2* из (3.3.10), достаточно велико, то |а,| < в для всех Z 25= s2*. Тогда
в силу (3.3.4) и (3.3.8) правая часть в (3.3.11) не превосходит зна-
/ р \
чения е( 2к 2 l^nl + 2*||P||c ), т. е. разность сумм в левой части
\ п= О /
(3.3.11) равномерно стремится к нулю при N—► <». ►
Из доказанной теоремы получим в качестве следствия такой ва-
риант теоремы локализации для рядов Уолша:
3.3.2. Для всякого ряда (3.3.1), коэффициенты которого удовлет-
воряют условию (3.3.5), и полуинтервала [а, 0) с двоично-рациональ-
<30
ними концами существует ряд 2 amwm (*)> У которого lim а*т — 0,
лп = 0 /п->ао
равномерно равносходящийся с рядом (3.3.1) на [а, 0) и равномерно
сходящийся к нулю вне [а, 0).
◄ Полуинтервал [а, 0) представим в виде конечного объединения
двоичных интервалов при некотором k. Тогда в силу утвержде-
ния 1.3.2 характеристическая функция %{а, 3) (%) этого полуинтер-
вала представима в виде полинома Р(х) по системе Уолша. Приме-
ним теперь к этому полиному и ряду (3.3.1) теорему 3.3.1 и
00
проверим, что в качестве искомого ряда 2 amwm(x) можно взять
т = 0
ряд (3.3.3). В самом деле, в силу 3.3.1 этот ряд равномерно равно-
<ю
сходится с рядом 2 amwm (х) Х[а. pi (х), а последний ряд, очевидно,
т — 0
просто совпадает с рядом (3.3.1) при х£[а, 0) и сходится к нулю
вне [а, 0).
Заметим теперь, что разности ат—а’т являются коэффициентами
ряда, сходящегося на [а, 0). Поэтому Ит(ага—а„) = 0. Отсюда и из
00
(3.3.5) следует выполнение условияlim а*т — Ъ. Итак, ряд 2
т-> оо т->0
обладает всеми требуемыми свойствами. ►
3.3.3. Пусть некоторая подпоследовательность вида {S *z(x)} част-
ных сумм ряда (3.3.1), удовлетворяющего, условию (3.3.5), сходится
к нулю на некотором интервале (a, b)c[0, 1) Тогда на этом интер-
вале (а, Ь) ряд (3.3.1) сходится к нулю, причем сходимость равно-
мерна на всяком полуинтервале [а, 0) с двоично-рациональными кон-
цами, содержащемся в (а, Ь).
◄ Достаточно доказать лишь последнее утверждение, касающееся
полуинтервала [а, 0) с двоично-рациональными концами. Применим
к ряду (3.3.1) и к полуинтервалу [а, 0) теорему 3.3.2. Согласно
этой теореме подпоследовательность частных сумм (х)| ряда
00
2 атШт(х) сходится к нулю на [а, 0) в силу равномерной равно-
т — О
сходимости с данным рядом (3.3.1). Но вне [а, 0) эта же подпосле-
довательность частных сумм также сходится к нулю, поскольку вне
[a, p) ряд 2 аЛ (*) в соответствии с теоремой 3.3.2 сходится
т= О
00
к нулю. Итак, для частных сумм ряда 2 (х) можно написать
т=0
соотношение
lim S\(х) lim S\,(x) = 0< lim S\(x)
при всех x£[0, 1). Применяя теперь к этому ряду теорему 3.2.5
при f(x) = O, получаем, что а'т = 0 при всех /п = 0, 1, ... Значит,
00
ряд 2 amwm(x)’ будучи тождественно нулевым рядом, равномерно
т = 0
сходится к нулю всюду на [0, 1), а поэтому и равномерно равносходя-
щийся с ним на [а, 0) ряд (3.3.1) равномерно сходится к нулю на
[а, 0). ►
§ 3.4. Пример нуль-ряда по системе Уолша.
Понятие об {/-множествах и Al-множествах
Построим ряд по системе Уолша, который сходится к нулю почти
всюду на [0, 1), и при этом не все его коэффициенты равны нулю.
Такие ряды в теории ортогональных рядов называют нуль-рядами.
Докажем следующую лемму:
3.4.1. Пусть Е—объединение некоторых интервалов Д)"’ ранга
п^1. Тогда функция
1 0 при х£[0, 1)\£,
Р„(х; Е)=| a,8„+M„(A:) при <3,41)
является полиномом по системе Уолша вида
Р„(х-, Е) = 2 tymw,(x), (3.4.2)
где
|Ь!" К 2-", 22» <1 < 22п+\ (3.4.3)
а множество E'ss{x: Ра(х\ £)= + !} представляет собой объедине-
ние некоторых интервалов ранга 2п +1 и
mes£' —-i-mesf. (3.4.4)
4 Последняя часть утверждения, касающаяся множества £', в том
числе равенство (3.4.4), следует непосредственно из определения (3.4.1).
Максимальный номер функций Уолша, входящих в разложение
(3.4.1), не превосходит 22л + (2"—1)2"<22л+1, так как /^2”—1.
Поэтому функция Рп (х; Е) постоянна на каждом интервале Д<2л+1)
ранга 2n+1 (см. 1.1.3). По теореме 1.3.2 Р„(х; Е) является поли-
номом порядка не выше 22л+х—1, что подтверждает правильность
92
верхнего индекса суммирования в (3.4.2). С другой стороны, по-
скольку на основании утверждения 1.1.4 для каждого интервала Д(?л>
при имеем J t^l-(x)dx=0, то из (3.4.1)
Д(2П)
$ Р„(х; E)dx = 0. ,345>
Д(2«> ' ’ ’ ’
Рассматривая коэффициенты полинома Рп (х; Е) как его коэффици-
енты Фурье и учитывая, что при i < 22п в силу 1.1.3 функции а»;(х)
принимает постоянное значение йУ/1У на каждом интервале Д<2Л), по-
лучаем согласно (3.4.5) соотношение
* 2*»-1
§Р„(х; Е) w{ (х) dx = 2 wi, I j Рп(^; £)dx = 0, i < 22л.
0 1=0 д/2Л)
Тем самым представление функции Р„(х; Е) в виде (3.4.2) доказано.
Осталось проверить оценку (3.4.3). Имеем
1 2»- 1
bfi — Рп(i) = J Рп(х; E)wi(x)dx~ 2 $ ^n(x', E)wt(x)dx.
О /=° д(П>
(3.4.6)
Из (3.4.1) ясно, что
$ Рп{х\ E)w{(x)dx = 0, Д)л’с:[0, 1)\Е, /==1, 2, ... (3.4.7)
ду»
Если же Ду’сЕ и 22n^i<22n+1, то представив i в виде i = 22n4-
-\-l2n + k, 0^/^2"—1, 0^&^2л—1, воспользуемся соотноше-
нием (1.2.17), постоянством на Д}7’ функций wk (х) при всех £<2Л
и равенством (1.1.10) для системы {w^n^x)}^. Получим
I J Р„(х-, Е) wt (х) dx | = | J w2tn+i2n (x)w2»n+i2n+k (x)dx| —
д<«> ду>
J wlm (x) wk (x) wl2n (x) wl2n (x) dx | = | J wl2n (x) wl2n (x) dx I =
ду» д</°
f 2“" при / = /,
= < Л (3.4.8)
( 0 при l=^l,
где 22”^t <22n+’1.
Подставляя (3.4.7) и (3.4.8х в (3.4.6), получим для i = 22п + /2" + k
1^"'1=1 $ рп^ £)<<У|(х)4х|= 2"»
д<т I U,
если Ду’аЕ,
если Д<Л)а:[0, 1)\Е,
откуда следует (3.4.3). ►
Теперь можно доказать основной результат этого параграфа.
3.4.2. Существует ряд по системе Уолша, не все коэффициенты
которого равны нулю и который сходится к нулю всюду на [О, 1)
вне некоторого замкнутого множества меры нуль.
•4 С помощью леммы 3.4.1 построим по индукции последователь-
ность множеств {Ffe}~e0 и соответствующих им полиномов {Pnk(x, F*)}
следующим образом.
Возьмем Fo = [O, 1) и п0=1. Найдем по лемме 3.4.1 полином
2з-1
Р^РДх; [0, 1))=
1=2*
и положим
7\(х)^14-Р„0(х; [0, 1)).
Из свойств полинома Р„0(х; [0, 1)) вытекает, что в точках некото-
рого множества, которое можно представить в виде объединения
интервалов ранга п1 = 3 = 2п0+1,—обозначим это множество через
fj — выполняется равенство Рл,(х; [0, 1))=1 и, значит, Т1(х) = 2,
причем mes Ft = l/a mes Fo = 1/i, Ftc:Ft и T1(x) = 0 на [О, 1)\Л.
Далее осуществим индуктивный переход от k к k+ 1.
Пусть уже построена последовательность множеств
с Fo, mesFr = 2“‘, (3.4.9)
причем Ft при i=l, 2, ..., k является объединением интервалов
ранга nt — 2nl^1 +1, и построена последовательность полиномов
{Р„.(х; Р/)}Й вида (3.4.2) таких, что если
' Л-1
7’A(x)Sl + S2/P„ (х; Ft),
/=9 /
ТО
Fk={x: 7\(х)~2*}, ТДх) = 0 при х€[0, 1)\F*. (3.4.10)
Применив тогда к функции РпДх; Pft) вида (3.4.1) с E = Fk лемму
3.4.1, убедимся, что POft(x; Fft) имеет разложение вида (3.4.2), при
этом полиномы 7\(х) и P«ft(x; FJ не содержат подобных членов,
так что если положить
Tk+i (х) в Тк (х) + 2*РП)к (х; Fk), (3.4.11)
то полином Тк(х) является частной суммой полинома Тк+1(х). Из
вида полинома Р^(х; Fk) нетрудно заключить, что если положить
^л+1 = {а':Тл+1(х)=2*+1}, то Fk+1aFk, 7\+1(х)=0 при х£ [0, l)\Fft+1,
mes Fk+1 = 1/2niesFft = 2”(ft+1> и Ffe+1 можно представить в виде объ-
единения интервалов ранга nk+l = 2nk+ 1.
Таким образом, все предположения индукции выполняются для
k н- 1, и тем самым построена бесконечная последовательность мно-
жеств Fk и полиномов Tk(x) со свойствами (3.4.9) и (3.4.10).
Из (3.4.11) видно, что Tk+1(x) можно рассматривать в качестве
частных сумм некоторого ряда Уолша, который этими суммами вида
22пл+ 1—1
S.„+l(x) = 2 atwi(x) = Tk+1(x)
4 к z=o
полностью определяется. Из (3.4.10) заключаем, что
S22„ft+1(x) = 0, х£[0, 1)\ГЛ+1. (3.4.12}
со _ —
Положив F = f) Fk, где Fk—замыкание множества Fk, причем в дан-
£=_0
ном случае mes Fk = mes Fk, получим из (3.4.9), 4TomesF = 0. В силу
(3.4.12)
limS + ] (х) = 0, х£(0, 1)\Л (3.4.13)
со. 2 fe
Заметим, что пк > 2nk_1 > 2*. В силу (3.4.3) a{ = 2kb^^ при
22лл<1<22Пл+1 = 2^+1, и поэтому |aJ = |2^)|^2^2-n^2ft2-2\
а при 2пь^Л <22Пь я£ = 0. Отсюда видно, что у построенного ряда
коэффициенты at стремятся к нулю при i —* оо. Это обстоятельства
вместе с соотношением (3.4.13) позволяет к построенному ряду и
к каждому составляющему интервалу открытого множества (О, 1)\Г
применить теорему 3.3.3. В результате получаем, что построенный
ряд всюду вне замкнутого множества F сходится к нулю, т. е. яв-
ляется искомым нуль-рядом. ►
В теории ортогональных рядов приняты такие определения:
Множество Е называется множеством единственности, или U-
множеством, для некоторой системы {q\}, если из того, что ряд па
этой системе сходится к нулю вне множества Е, следует, что все
его коэффициенты равны нулю.
Если же по системе {<рй} существует ряд, у которого не все коэф-
фициенты равны нулю и который сходится к нулю всюду вне мно-
жества Е, то множество Е называется М -множеством для системы {(?„}.
В этой терминологии теорема 3.4.2 звучит так: для системы Уолша
существует замкнутое М-множество меры нуль.
Нетрудно проверить, что любое множество Е положительной меры
на [0, 1) является Л4-множеством для системы Уолша. Для этога
достаточно рассмотреть ряд Фурье—Уолша характеристической функ-
ции замкнутого множества F положительной меры такого, что FaE.
Предоставляем проверить детали читателю.
С другой стороны, теорема 3.2.5, в которой положено /(х) = 0г
свидетельствует о том, что всякое счетное множество является (/-мно-
жеством для системы Уолша.
Что касается континуальных множеств меры нуль, то среди них
есть как М-множества, в чем мы убедились выше, так и (/-множества.
Первое континуальное (/-множество для системы Уолша построил
А. А. Шнейдер (см. комментарии к этой главе). Мы не будем здесь
приводить его построение. Отметим только, что в случае тригоно-
метрических рядов развита тонкая теория множеств единственности,
содержащая, в частности, глубокие критерии принадлежности мно-
жеств к классам М- или (/-множеств (см. [2], гл. 14). В случае
рядов Уолша эта теория еще недостаточно развита, хотя уже сейчас
ясно, что решение стоящих в этом направлении задач потребует
столь же сложных и глубоких методов, как и в тригонометрическом
случае (см. комментарии).
Глава 4
СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ УОЛША МЕТОДОМ
СРЕДНИХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ
Уже отмечалось в § 2.3, что ряды Фурье—Уолша даже непре-
рывных функций могут расходиться в отдельных точках, а в гл. 9
будет показано, что среди интегрируемых функций существуют та-
кие, ряды Фурье—Уолша которых расходятся всюду на [0, 1).
В связи с этим возникает необходимость рассматривать различные
методы суммирования, которые позволили бы восстанавливать функ-
цию по ее ряду Фурье. Рассматривавшаяся в гл. 2 сходимость по
подпоследовательности частных сумм с номерами 2" представляет
собой, по существу, один из таких методов суммирования. Здесь
рассмотрим другой широко применяемый метод суммирования,
а именно метод средних арифметических, или метод Чезаро первого
порядка, сокращенно—метод (С, 1).
Для рядов Фурье—Уолша непрерывных функций мы докажем
их равномерную (С, 1)-суммируемость, а для рядов Фурье—Стилтьеса
и, в частности, рядов Фурье—Уолша произвольных интегрируемых
функций будет доказана их (С, 1)-суммируемость почти всюду.
§ 4.1. Линейные методы суммирования. Регулярность
метода средних арифметических
Этот параграф носит вводный характер. Напомним, что под ме-
тодом суммирования понимают метод приписывания ряду, вообще
говоря, расходящемуся, определенной суммы.
Метод средних арифметических, или метод (С, 1), состоит в том,
что вместо рассмотрения сходимости частных сумм некоторого
числового ряда рассматривается сходимость средних арифметических
этих сумм, или (С, \)-средних,
°п— ($1 + • • • + ^п)/П.
Если lim ап существует и равен о, то говорят, что последователь-
на*®
ность (или сам ряд) суммируема, методом средних арифмети-
ческих (методом (С, 1)) к чи^лу о.
Метод (С, 1) является частным случаем так называемых линей-
ных методов суммирования, которые определяются следующим обра-
зом. Пусть каждому и=1, 2,... соответствует бесконечная строка
36
(чисел ая1, ам, .... апк,...), так что совокупность всех строк обра-
зует бесконечную матрицу
ац.. .aik... >
aril •••ank • *•
..........
Эта матрица и определяет метод суммирования, который так же,
как и матрицу, будем называть методом А.
Для данной последовательности определим средние п-го
порядка метода А (или А-средние) как суммы
к— I
если ряд в этом равенстве сходится (в противном случае будем счи-
тать, что соответствующие средние не определены).
Если Л-средние для некоторой последовательности опре-
делены при всех п=1, 2,... и lim = то скажем, что данная
П -> СО
последовательность (или ряд, для которого Sn являются част-
ными суммами) суммируема методом А к числу а.
Описанный метод называют линейным, потому что, как легко
проверить, если две последовательности и суммируемы
методом А соответственно к о* и о", то линейная комбинация этих
последовательностей + суммируема методом Д к числу
Метод (С, 1) является частным случаем описанного линейного
метода, так как соответствующие средние определяются с помощью
матрицы
(1 0 0 ........
1/2 1/2 0 ........
Г/п 1/п »»« 1/п ♦*. 0
’.................. У
В каждой строке этой матрицы имеется лишь конечное адсло отлич-
ных от нуля членов. Поэтому метод (С, 1) относят к классу яонечяо-
строчных линейных методов суммирования.
Другой упоминавшийся выше метод суммирования, состоящий
в нахождении предела подпоследовательности также является
конечнострочным и определяется матрицей, у которой в n-й строке
на пересечении со 2"-м столбцом стоит 1, а все остальные элементы
строки равны нулю.
Наибольший практический интерес представляют так называемые
регулярные методы суммирования, т. е. такие, которые, будучи при-
мененными к последовательностям сходящимся к некоторому
числу S, суммируют их к тому же числу S.
Докажем следующую теорему!
4 6. И, Голубов и др. 97
4.1.1. Линейный метод суммирования, заданный матрицей А,
будет регулярным, если выполнены следующие условия:
1) lim ank = 0 при всех k=\, 2,...;
п -> со
со
2) ряд 2 ank абсолютно сходится при любом п = 1, 2.........при-
k= 1
со
чем если Вп^ 2 1а«й|> то пРи всех а=1, 2,..где С —
константа, не зависящая от п;
00
3) если Ап= 2 апк> то ^п= !•
fe= I п -> оо
Условия 1)—3) были впервые рассмотрены Теплицем, который
доказал не только достаточность, но и необходимость этих условий
для регулярности метода. Докажем здесь только достаточность усло-
вий Теплица.
< Пусть последовательность сходится к числу S. Тогда Sn
можно представить в виде S„ = S4-en, где lim е„ = 0. В таком
п -> оо
случае
GO СО 00 00
(#’= 2 = S anks + 2 ankek = SAn + 2 апкек.
fe=l fe=l k=]
Здесь SAn, в силу условия 3), стремится к S. Поэтому остается
00
доказать, что lim S ank&k = 0. Взяв произвольное е > О, выберем
П -> а> k= 1
такое N, что |sJ<s/(2C) при k>N, где С взято из условия 2).
Тогда
jEl ^hk^k
й=1
N
Е antfik
k=\
J_____
‘ 2C
E
k~N +
I &nk I*
(4.L1)
Поскольку N уже фиксировано, то первая сумма справа в (4.1.1)
стремится к нулю при м—/оо в силу условия 1), и потому ее можно
сделать меньше 8/2 при достаточно больших и. Вторая сумма не
превосходит 8/2 в силу условия 2).
Итак, при достаточно больших п имеет место неравенство
СО I 00
2 а„кгк < в, а это и значит, что lim 2 а кгк = 0. >>
/г= I I п —> оо 1
4.1.2. Пусть метод А определяется конечнострочной матрицей
с неотрицательными элементами, для которых выполнено условие 1)
» kn
из 4.1.1 и Ап= 2 апк = 2 а к—1. Тогда метод А регулярен,
k —1 k=\
Ч Это утверждение является очевидным следствием теоремы 4.1.1,
так как ввиду неотрицательности элементов матрицы условие 2)
следует из 3). ►
4.1.3. Метод (С, 1) регулярен.
Ч Выше была выписана матрица, соответствующая этому методу-
Из вида этой матрицы непосредственно вытекает выполнение усло-
п
вия 1) из 4.1.1. Креме того, = — = 1, так что 4.1.3 следует
k- 1
из 4.1.2. ►
§ 4.2. Ядро метода средних арифметических
для рядов Фурье — Уолша
Средние арифметические (или (С, 1)-средние) частных сумм ряда
Фурье—Уолша некоторой интегрируемой функции f обозначим
п
М*. Л = ^£з,(х, Л- (4.2.1)
i- 1
Подставляя в (4.2.1) интегральное выражение (2.1.10) для частных
сумм, получаем
1 п 1
г 2^(0 г
а„(х, f) = Jf(x©02z4----^=Jf(x®OKn(O^, (4-2.2)
о о
п
где К„(0 = —"S D((t)—ядро метода (С, 1).
" i=0
Изучим ядро Kn(t).
Воспользовавшись (1.4.11), получим при и = 2* +/и, 1^/п^2*,
2* 2л + т
n/<„(0=2^(0+ S ^(0=
‘=1 «=2й+1
=2kK^{t)+ s (0^(04-^ (0^,(0) =
, i = l
= 2*К2* (t) + mD2k (0 + mw2* (t) Km (0- (4.2.3)
В частности, при т = 2* находим, что
2*+1К>+. (О = 2*К> (0 + 2 W (0 + 2*ам (О (0, (4.2.4)
или
2й+1К2л+1 (0 = 2* (1 + а-м (0) К (0 4- 2*Р2й (0. (4.2.5)
Исходя из этой формулы получим явный вид функции /С2*(0
и докажем ее неотрицательность.
4.2.1. При справедливо равенство
'(2*4- 1)/2
2*-Г-2
о
Ks*(t) =
при t € А^>;
при г = 0, 1
в остальных точках.
., k— 1; (4.2.6)
Тем самым ядро /С2л (/) неотрицательно при всех t € [0, 1) и всех
и
i i
О о
(4-2.7)
◄ Равенство (4.2.6) проверим индукцией по k.
При k = 0 оно справедливо, так как в этом случае
Кг» (0 = A"i(0 = Dj (0= 1 = (2®4-1)/2, /€[0, 1) = ДГ
Осуществим теперь индуктивный переход от k к k + 1 с помощью
формулы (4.2.5). Отметим, что Д‘Л' = Д^+1’и Д‘*+1> и Д2^ = Д2И1)и
иД(2г+Р+1. Применяя совместно (4.2.5) и (4.2.6), получим при t £ Д$ъ
К,*+,(0 = 1(14-Ш2ф)).£+1
, 1 9Л_/(2*+х+1)/2
при t € До*+1),
при /£Д?+1.
Для получения значения /<2*+1(0 при /СД’Д*, учтем, что D2a(/) = 0
при таких Л Тогда значение /<2л+«(0 на каждом Д2г\ r = 0, 1,...
..., k—1, определится лишь первым слагаемым в правой части
равенства (4.2.5). В результате
1 (2(А+D~ппп
*,*+• (0 = 1 (1 4- wik (0) = Г При
z 10 при
/ед^У,
/€дуду+1.
Осталось заметить, что в соответствии с (4.2.5) /С2л+1(/) сохраняет
значение 0 всюду, где /<2л(/) = 0. Итак, полностью проверено, что
формула (4.2.6) сохраняет вид при переходе от k к k4- 1, и, значит,
формула (4.2.6) доказана. Из нее вытекает неотрицательность ядра,
что в свою очередь влечет равенство (4.2.7). ►
Последовательно применяя (4.2.4), можно получить равенство
/г-1 fe-1
2*70(0=14- S 2‘D2i(t)+ S 2'да2( (0/0(0. (4.2.8)
г=о i=o
Получим еще одну формулу для ядра Kn(t), обобщающую (4.2.3).
Пусть
п=28/2Л efe=l, я«>=5еу2Л 7 = 0, (4.2.9)
/=0 /=0
В этих обозначениях (4.2.3) можно переписать следующим образом:
ntf„ (0 = 2^2» (0 + (0 4- ц>2* (0 na’/Qi, (0.
Подставим сюда выражение для n^/Qi) (0, полученное по той же
формуле с заменой п на nu>, и далее последовательно продолжим
такого рода подстановку, учитвшая значение 8у. В результате по-
лучим
пКп (0 = 2*Л2а (0 4- n^D2k (t) 4- a»2* (0 (2>‘-1ек_1К(0 4-
4- n‘%_lD2«-,(0 + (ffi»2A-.(/))e*-> л‘?’Л„(2)(0) = ...
too
' k k
... = 2«/ n (М))Ч/ +(o
/ = 0 i = i+\
k k k
+ Se/n‘*-/+1> П (W(O)8'D2/(O = 2 ez2^n.„</>(/) Л2/(/)+
/=0 i=/+l / = 0
+ 2 ^к~/+1^п_пФ (t)Dlf (/). (4.2.10)
/=c
Формула (4.2.10) позволяет установить следующее свойство ядер
Kn0):
।
4.2.2. При всех п^1 справедливо неравенство ^\K.a(t)\dt <2.
о
Это свойство ядер /(„(0 называют квазиположительностью.
◄ Применяя (4.2.10) и (4.2.7), а также учитывая, что nw’^
получаем
§ 4.3. Равномерная (С, 1)-суммируемость
радов Фурье — Уолша непрерывных функций
Как и при изучении равномерной сходимости в § 2.3, будем
рассматривать не только непрерывные функции в обычном смысле,
но и р*-непрерывные функции, для которых модуль непрерывности
определяется равенством (2.3.5). Равномерную (С, 1)-суммируемость
рядов Фурье—Уолша равномерно р*-непрерывных функций получим
в качестве следствия из утверждения, в котором скорость прибли-
жения таких функций (С, 1 ^средними оценивается через модуль
непрерывности.
«
4.3.1. Пусть со (6, 1)—модуль непрерывности функции f, опре-
деленный равенством (2.3.5). Тогда (С, \)-средние оп(х, f) ряда
Фурье—Уолша функции f удовлетворяют при 2A<n^2A+1 нера-
венству
k #
|о„(х, f)_/(x)|<c 2 2'-Асо(2“/, /), (4.3.1)
i = 0
где С—абсолютная константа.
1
< Используя (4.2.2) и то, что $ Kn(t)dt= 1, получим следующее
о
интегральное выражение для разности, которую нам нужно оцениты
1
О„(х, /)-/(х)=$[/(хф0-/(х)]Лл(0^.
о
Подставляя сюда выражение для Kn(t) из (4.2.3) при п = 2к + т,
1^.т^2к, и учитывая (4.2.8), получим
о„(х, f)-/(x)=lj[f(x©O-/W]^ +
О
Л-1 1
2^[f(x®0-fW]D2/(0d/ +
<=о о
1 k~l А
+ 7 L 2/ J <* © о - / to]w* (0 (О dt +
i=O О
1
+f j[/(x®O-fto]^(O^ +
о
1
+ т j [f (X® O-f to] (t) Кт (О dt.
(4.3.2)
Оценим сначала последнее слагаемое. Заметим для этого, что
ядро K.m(t) при т^2к определяется через ядра Дирихле, каждое
из которых постоянно на интервалах A/fe) (см. 1.4.3). Поэтому
принимает постоянное значение—обозначим его /—на интер-
вале Д}*\ / — 0, 1,..., 2ft-1. Кроме того, учтем, что wtk (t) = rk(t) = 1
при и wtk(t) = —1 при / G где Д(2*+1) и A(a/+i> = Д^-
Воспользуемся также тем, что если t €Да/+1>» то /ф £ Д*/+1\
и что точки хф/ и хф/ф 2^+1 при Д2/+1> принадлежат одному
и тому же интервалу ранга k, а значит,
|/(хфО — f (*ф^ф-2й+г)|<®(-^г» /)•
Применим также неравенство из 4.2.2. Имея в виду все вышеска-
занное, напишем следующую цепочку соотношений:
1
\[Kx®t)—f(x)]wzk(t)Km(t)dt
О
2*-1
У S [f(x®t)-f(x)]w2k(t)dt
1=0 д(*>
2^—1
J /to] —[f(яф'Фзгп)—/(*)])
, = 0 д£+1>
dt
2^_ J
2^-1 2^-1
/=0 4 7 v 7 z /ss0
0
(4.3.3)
Точно так же, заменив Km(t) на K2i(t), получим оценки для
величин, входящих в третье слагаемое в правой части равен-
ства (4.3.2):
i = o, 1, k-l.
(4.3.4)
Слагаемые, содержащие под интегралом ядра D2t(t)t оценим,
учитывая, что носителем этого ядра является интервал Д&° и что
при Д^ точки х и хф/ принадлежат одному и тому же интер-
валу ранга i:
1
,f\, i = 0, 1........k. (4.3.5)
Наконец, интеграл в первом слагаемом в (4.3.2) оценивается
«
модулем непрерывности ®(1, f). Подставляя теперь эту оценку и
оценки (4.3.3)—(4.3.5) в (4.3.2), получаем окончательно
1<Ш /)-п +
fe-1 *-1
+^2,“О /)+^S2'“(v'
/г-1
i=o x 2 / 4 '
k
<s£2'-*J(i. /),
i=0 \ 2 /
откуда следует (4.3.1) с константой С = 3. ►
Выведем как следствие следующую теорему;
4.3.2. Ряд Фурье—Уолша любой равномерно ^-непрерывной на
[0, 1), в частности непрерывной на отрезке [0, 1], функции f равно-
мерно (С, 1)-суммируем к f на [0, 1).
Ч Из условия следует, что o)(l/2z, /)—>0 при/—*оо. Приме-
ним к последовательности {co(l/2z, /)}-L0 метод суммирования с
конечнострочной матрицей
z 1 О О О 4li
/1/2 1/2 0 0 ...
1/4 1/4 1/2 0 ...
\1/2л 1/2* 1/2*-1 ... 1/2 0 ...
Очевидно, что для этого метода справедлива теорема 4.1.2. Значит,
этод метод регулярен, т. е. А—средние этого метода для последо-
вательности Л1*
I \ 2* /Л=о
k
стремятся к нулю при k —► оо. Это показывает, что сумма в пра-
вой части (4.3.1), которая равна 2а^Л)—со (1, /), также стремится
к нулю при k—оо. Это в силу (4.3.1) и доказывает утверждение
теоремы. ►
4.3.3. Если со (1/2', f) — 0(1/2'“) при 0<а^1 и i —* оо, в част-
ности, если f принадлежит классу Липшица порядка а, 0<а^1,
на [О, 1), то
( 0(1/пл) при 0 < а < 1,
/) — 1 О ((In п)/п) при а=1.
4 Подставляя вытекающую из условия оценку со sC
в (4.3.1) и учитывая, что
k
2ЛS^21)а ПРИ 0<а<1,
t=o 2 2
k
1 V о; 1 *+1 k .
2*^2 . 2* ^£«2*+* пРи а
i=0 2
а при 2*<п^2Л+1, fe^C4lnn, получаем требуемую оценку. ►
§ 4.4. (С, 1)-суммируемость рядов Фурье — Стилтьеса
В этом параграфе вновь воспользуемся техникой производных
относительно бинарных сетей и с ее помощью установим, что всякий
ряд Фурье—Стилтьеса по системе Уолша и, в частности, всякий
ряд Фурье—Уолша суммируется методом (С, 1) почти всюду на [0, 1).
Начнем с двух вспомогательных утверждений, связанных с поня-
тием расстояния р*(х, /), определенного в (1.2.19).
4
4.4.1. Пусть на некотором интервале 1 — (а, Ь) а{0, 1) задана
функция d(x) = min {р*(х, а), р*(х, 6)}. Тогда d(x) <2| /| при всех
х£1.
◄ Пусть Д(А)—интервал наименьшего ранга, который целиком
содержится в I. Тогда при любом х£1 интервал Д$?-1’ ранга k—1,
который содержит х, содержит также либо а, либо Ь, и поэтому
min{p*(x, а), р*(х, Ь)} Но |/|^^, так как Д(й) содержится
в /. Значит, d(x) ^2^7^21/1. >
4.4.2. Пусть Е—замкнутое множество на [0, 1) и функция р(х)
определена равенством р(х) = р*(х, £) = inf р*(х, у). Тогда для
УбЕ
почти всех х из Е сходится ряд
◄ Пусть {/„} —совокупность дополнительных интервалов к мно-
со *
жеству Е, т. е. U /„ = (0, 1)\Е. Ясно, что 2 I ln I 1 • Рассмотрим
/1=1 л= 1
функцию р(хфй) при произвольном h, 0<й<1. Тогда, обозна-
чая Е ф h = {х — у ф й: у € Е} и учитывая инвариантность интеграла
относительно сдвига фй, будем иметь
^р(хфй)с!х = J p(x)dx=2 $ p(x)dx=*
= 2+2 ^SAhy + S.Ah). (4.4.1)
n: I /л| <Л n: | ln\>h
Определив для каждого интервала функцию d„(x) из 4.4.1, заме-
тим, что p{x)^d„{x) для веех х£1п. Тогда в силу 4.4.1 для любого
х£[п выполняется неравенство р(х) ^21/„ |. Поскольку, кроме того,
mes((ЕфЛ)П/я)<|/в|» то получаем оценку
$ p(x)dx<2|/„|2.
(ЯфЛ) П /в
Отсюда
5,(й)С 2 2|/„|2.
и: J In Г< *
Эта оценка, в частности, может быть применена при , / = 1,2,...
В результате
2 2>S1(2-/)<2 2> 2 2|/п|2 =
'1 1 и: | 1п | < 2 " J
= 22|/„|* .2 2/<2 2 |/„Н/„Г1 = 2 2|М<2. (4.4.2)
п~1 Л2/<|/д|-‘ /1=1 л=1
Для оценки слагаемых суммы S2(h) из (4,4.1), для которых
11п | й, воспользуемся неравенством
|</фл—y)=h,
вытекающим из (1.2.20), откуда видно, что каждая лежащая в 1п
точка вида у@ h, где у С Е, т. е. точка х £ (Еф Л) П отстоит от кон-
цов интервала 1п не дальше чем на ft, и поэтому mes ((£ ф h) П /„) 2h.
Поскольку, кроме того, при х С (Е ф h) П 1п очевидно равенство р (х)
^.р*(г/ф/1, y) = h, где х = г/фй, у^Е, то в результате получим
S2(ft)< 2 h-2h = 2h2 2 1-
п: | In \ >h n: \ ln \ >h
Применяя эту оценку для Л = -Ф-, придем к неравенству
2 2/S2(2-/)< 2 2'-2-2~У 2 1 = 22'2-/ 2 1 =
/ = 1 1=1 \1п\>2~^ / = 1
= 2 2 2.2-/<2 4|/„|<4. (4.4.3)
n = l2~^ini
Учитывая (4.4.1)—(4.4.3) и применяя теорему Б. Леви (см. П4.4.2),
получаем неравенство
2 2/р(хф2’-')<1х= 2 $ P(x®2_^)dx^
£/ = » /=1 £
< 2 2'^(2-/) + 2 2/Ss(2-/)<6.
/ = 1 / = 1
ОО
Таким образом, функция 2 27р(хф2“/) суммируемая и поэтому
/ = I
почти всюду конечна.
Следующее утверждение является центральной в этом параграфе
технической леммой, из которой ниже выводится (С, ^-суммируе-
мость почти всюду ряда Фурье—Стилтьеса по системе Уолша.
4.4.3. Пусть ф(х)—функция ограниченной вариации на [0, 1),
причем ф'(х) = /(х) почти всюду. Пусть, далее, 17о[ф(и)—f(x)u] обо-
значает вариацию функции ф(и) — f(x)u, где х фиксировано, а и
меняется в промежутке [0, /). Тогда для почти всех х из [0, 1)
1
lim К2^(х@ /)dVo[ip>(u) — f (x)w] = 0, (4.4.4)
о
где Kn(t) — ядро метода (С, 1) для системы Уолша.
•4 Возьмем произвольное т) > 0 и найдем по теореме Лузина
(см. П4.1.2) такое замкнутое множество £xcz[0, 1), mes£1> 1 —
что функция f(x) непрерывна на множестве Ег. При этом легкс
добиться, чтобы Ех не содержало точек множества Р и ) U Р®2“Л,
1 / = 1 f
где'Р—не более чем счетное множество всех точек разрыва функции
Уо[ф(м)], а также чтобы Е± не содержало двоично-рациональных
точек.
В соответствии с теоремой П4.3.7
lim у Vxx+k [i|? (и)—f (х) и] = О
для почти всех х£[0, 1). Отсюда следует (см. 2.5.10), что
lim = 0 (4-4-5)
k -» оо | Д* | ax
для почти всех x£[0, 1), где, как обычно, {№к> = [ак, 0*)} обозна-
чает последовательность двоичных интервалов таких, что х € А« ’ при
всех Применив к последовательности под знаком предела
в последнем равенстве теорему Егорова (см. П4.1.1), найдем замк-
нутое множество Е2 такое, что mesE2> 1—у и
1 k
—[,])(«)—f(x)и]0 при k-^oo
равномерно по х на Е2. (4.4.6)
Пусть Е = Ei п Е2. Тогда Е замкнуто, не содержит точек указан-
I 00 1
ного выше множества Рщ U Рф2“Л и двоично-рациональных то-
l/ = i )
чек, mes Е > 1 —т). Функция f (х) непрерывна на Е, и поэтому,
в частности, найдется константа такая, что
|Цх)|<Лл, х$Е. (4.4.7)
Кроме того, если положить
sup sup-r-Ly У^[ф(ы)—f (x)u], (4.4.8)
хвЕ | Ajc I ax
то в силу (4.4.6)
lim Мл = 0. (4.4.9)
k -> 00
Ввиду произвольности т) достаточно доказать (4.4.4) для почти
всех х из множества Е.
Используя (4.2.6), можем записать
1
j/<2*(x®O£flzo[4’(u)—f § dVoH>(u)—f(x)u] +
0 X ф
k-\
+ £2*-'-? J dKJl’I’OO-f (")«]• (4.4.10)
r=0
Фиксируем x£E. Пусть х£Щ? = [акх, Р*). Тогда с точностью до
счетного множества хфДо*’ = Д** (см. 1.2.1). Первое слагаемое в пра-
вой части неравенства (4.4.10) мажорируется в силу (4.4.8) величиной
V*x [тр (м) —/ (х) и] < Мк,
£ ах
т. е. в силу (4.4.6) стремится к нулю. В сумме, составляющей вто-
рое слагаемое в правой части (4.4.10), сделаем замену индекса, поло-
жив k—r = j, и заметим, что при каждом /=1, ..., k с точностью
до счетного множества имеет место соотношение 2"/ф Д^’ = Д’Д’.у.
Тогда упомянутая сумма может быть записана в виде
4-* ^2/ J dV‘9 [ф(и)-f(x)u].
хф2-/фД<*’
Итак, следует доказать, что почти всюду на Е стремится к нулю
сумма
S=22/ $ dVof»|)(u)—f(x)u]. (4.4.11)
/=‘ хф8-/фД^
Фиксируем е>0 и, с учетом (4.4.9) и непрерывности f(x) на
множестве Е, найдем такое q — q(e), что
Л4,<е (4.4.12)
и
/(-*Э1<е, х, у$Е, |х—£|<2"«. (4.4.13)
Разобьем сумму (4.4.11) на две:
Q k
S — 2 "Ь S == S| + S,. (4.4.14)
/=1 + i
Учитывая (4.4.7) и легко проверяемое неравенство V# [ф(и)—f(x)a]
VI [чр (zz)j +1 / (х) 11, получим
$ dW(«M + |A(*’IIH*)l^<
/=‘ \*ф2-^а4‘» /
max ( ^[т|)(и)] +АП-2_А 2 2/<
V </<# хф2-/фД<Л> //ж|
Так как ио построению множества Е функция V‘9 [ф (и)] непре-
рывна в каждой точке вида / = хф2_/, где х£Е, то при фикси-
рованном q правая часть последнего неравенства, а тем самым и
S„ стремится к нулю при k—» оо. Поэтому при достаточно боль-
ших k
St<e. (4.4.15)
Оценим теперь сумму S2. При q < j и х$Е обозначим через
у7 = 1/7 (х) точку из Е, для которой достигается пнпр*(хф2_/, у),
цйЕ
т. е. z/y—ближайшая к хф2_/ в смысле расстояния р* точка из Е
и для нее р*(хф2~Л £) = р*(хф2Л уу). Указанный выше минимум
действительно достигается на Е, так как Е замкнуто и не содер-
108
жит двоично-рациональных точек, так что в силу 1.2.5 функция
р»(хф2~Л у) непрерывна по у на Е. Но х£Е. Значит,
р*(хф2% у^р’^фг-/, x)=J-. <4-4-16)
Отсюда с учетом (1.2.20), (1.2.19) и того, что / > q, получаем, что
Iх-yj|<Р*(*, yf) = X(g(X)фg(у,)фg(2-/)ф(2-/)) <
<р*(хф2“/, + (4.4.17)
Интеграл в каждом слагаемом суммы S2 оценим, учитывая, что ва-
риация суммы функций не превосходит суммы вариаций тех же
функций:
ЛУо[ф(и)—f(x)u]^
хф г-'фд'о*’
< $ dVfa[^(u)—f(y,)u] +
хф 2-/фд|*>
»ф2-/фД^>
В силу (4.4.13) и (4.4.17) 72^е2~*. Для того чтобы оценить
найдем для точек хф2_/ и у, двоичный интервал максимального
ранга fa ^k, которому обе точки принадлежат. Из (4.4.16) и из
1.2.4 следует, что
(4.4.18)
а из максимальности ранга /\ заключаем, что точки хф2~-/ и у,
принадлежат разным интервалам ранга /14-1, и поэтому ввиду
1.2.4, используя обозначения из 4.4.2, получаем
р(хф2-/) = р»(хф2-А Е) = р‘(х©2-Л у,)>2~^. (4.4.19)
Поскольку i^k, то содержащий точку у, интервал А^1’ содержит
в себе целиком интервал хф2~/фА^>. Поэтому, учитывая (4.4.8),
(4.4.12), (4.4.18), (4.4.19) и то, что у^Е, получаем оценку
/j= $ dVl [ф(ц)—/(«//)«]<
Хф 2-Д^’
< $ dVh [Ф(ы)-f(y^u] = V ^/[ф(и)_f («/,)«]<
д^»
< I Д<у | Мд с В2-А <2гр (хф2-/),
где Д^’= [а^, р^) обозначает интервал, содержащий у^.
Складывая оценку для и /2, приходим к неравенству
J dV‘Q [ф (u)-f (х) и] < в (2“* + 2р (х® 2-/)).
хф2-'фД^>
Учитывая эти неравенства для всех /, q<j^k, получаем
к С
S2= 2 2Л J dV'[W)-f(*)«]<
/=<7+1 Хф2-/®Д<4»
с 2 2/е(2-» + 2р(х®2-/))<2е + 2е 2 2/р(х®2-/)
/ = <7 + 1 /= 1
Складывая эту оценку с (4.4.15), получаем в итоге следующее не-
равенство, оценивающее сумму (4.4.14):
S = S1 + Sa<3e + 2e 2 2'р(хф2').
/ = 1
К ряду в правой части последнего неравенства применим утвер-
ждение 4.4.2. В силу произвольности в отсюда вытекает, что в каж-
дой точке х из множества Е, где сходится этот ряд, т. е. почти
всюду на Е, сумма S, определенная равенством (4.4.11), стремится
к нулю. Это доказывает (4.4.4) для почти всех х. ►
4.4.4. Пусть ф(х)—функция ограниченной вариации на [0, 1),
причем ф'(х) = /(х) почти всюду. Тогда ряд Фурье—Стилтьеса
функции ф(х) по системе Уолша (С, \)-суммируем к f(x) почти
всюду на [0, 1).
◄I Аналогично выводу формулы (4.2.2) легко получить, что
(С, 1)-средние частных сумм данного ряда Фурье—Стилтьеса могут
быть записаны в виде
1
<тп(х, £Гф)=$Л’п(х©О^Ф(О-
О
Требуется доказать, что
lim ($ f(x)\ =
n^»\Q J
1
= lim J Kn(x® —/(x)/) = 0 почти всюду на [0, 1).
® о
Покажем, что это равенство выполняется в каждой точке, в кото-
рой выполнены (4.4.4) и (4.4.5). Фиксируем такую точку х£[0, 1).
Воспользовавшись для интеграла Стилтьеса равенством (П4.3.6) и
применив формулу (4.2.10) для ядра Kn(t), где п представлено в
виде (4.2.9), получим, с учетом nw>^2*~'+1, следующую цепочку
неравенств:
i
О
1
< $ |*„ (*® ОI <М (ip(u)-f (х)«] <
О
k 1
С ± у 8У2/ j К2/ (х ф О dVl [ф (и)—f (х) и] +
/= О о
k 1
+| Ё 6/2'J D^x®о dr« to м-f w "1s 2Г+2(Л
/=0 0
Обозначим
i
hj(x)— $ Mx®0^[’f(«)-^W4
0
* 3x
g)(x)= J £>a/(x®lO^oto(M) — fW«]=2j%z*to(«) — f(x)ll].
0
Отметим, что ht,(x)—*0 при j —► оо в силу (4.4.4), a gy(x)—*0при
/ —* оо в силу (4.4.5). Суммы 2in) и 2»л> можно рассматривать как
n-е средние последовательностей {Лу(х)} и {gy(x)} для конечностроч-
ного линейного метода суммирования с матрицей, у которой эле-
менты n-й строки равны а/п = г‘Н/п при / k и 0 при j > k. Тогда
п
= 2 а/п~ 1 при всех п> и поэтому применимо утверждение 4.1.2.
/=о
Отсюда вытекает справедливость 4.4.4. ►
Ясно, что каждый ряд Фурье—Уолша функции L [О, 1) можно
рассматривать как ряд Фурье—Стилтьеса по системе Уолша абсо-
не
лютно непрерывной функции ip (х) = f Поэтому из теоремы
о
4.4.4 вытекает в качестве частного случая следующая теорема:
4.4.5 . Для любой функции f С L [О, 1) ее ряд Фурье—Уолша
(С, 1)-суммируем к f(x) почти всюду на [О, 1).
Глава 5
ОПЕРАТОРЫ В ТЕОРИИ РЯДОВ ФУРЬЕ—УОЛША
§5.1. Некоторые сведения из теории операторов
в пространстве измеримых функций
В этой и следующих главах многие результаты о рядах Фурье —
Уолша будут получены с помощью свойств операторов, действующих
из одного пространства измеримых функций в другое. Приведем
определения и установим простые общие свойства операторов рас-
сматриваемого класса.
Обозначим через 1/(у) следующую функцию распределения неко-
торой измеримой на [0, 1) функции /1
X,(z/)ssmes{x; | f (х) | > у} ♦). (5.1.1)
Установим формулу, позволяющую выразить норму функции f в
If [0, 1) через функцию 1/(у):
1 а
$|/(x)|^(ix=p \yp~l^f(y)dy, р>1. (5.1.2)
О о
Преобразуем правую часть доказываемого равенства к следующему
виду:
» а ✓ 1 ч
Р $ УР~1^/(У) dy = p\ yp~l ( $ Х{х: | f (X) I > V} (X, y) dxjdy,
о 0 \0 /
где, как обычно, обозначает характеристическую функцию мно-
жества Е. К последнему двойному интегралу применим теорему
Фубини (см. П4.4.4) и перепишем его с учетом того, что при фик-
сированном X
„ . ,л-1 1 при
UU)|>,}(X, у)-\ 0 при
Получим
ур~1%{» I / I >#)(х. y)dy]dx=*
i / 17<х)|
$
yp~*dy
I* dx.
Тем самым справедливость равенства (5.1.2) установлена.
•) Точнее, это функция распределения для [/ (х) |.
Кроме линейных операторов в дальнейшем будут использованы
поточечные верхние грани линейных операторов. Такие операторы
являются сублинейными (т. е. выпуклыми снизу). Это значит, что
если функции f и g взяты из линейного пространства, являющегося
областью определения оператора Г, то для измеримых функций из
пространства образов этого оператора почти всюду выполняются со-
отношения
\T(f + g)\<\Tf\ + \Tg\, |Т(с/)| = |с||Т/1. (5.1.3>
Легко проверить, что для сублинейного оператора Т и любых
функций f и g из области его определения имеет место включение
(х: | Tf | < у} П {х: | Tg | ^у} <={х: |T(f 4-£)|<2гД,
откуда, переходя к дополнению, получаем
К- |Ttf + g)|>2t/}C{x: |П| > у}и {х: \Tg\> у}.
Используя обозначение (5.1.1), приходим к неравенству
Ьт if+g) (2у) (у) + ^та (у)- (5.1.4>
Если оператор Т переводит пространство L^[0, 1) в себя (1
^р^оо) и удовлетворяет неравенству
ITfKCifl, (5.1.5>
(т. е. в случае линейного оператора удовлетворяет обычному усло-
вию ограниченности оператора), то скажем, что Т имеет сильный-
тип (р, р).
Если же при 1 р < оо
при у > 0, /€^[0,1), (5.1.6>
то скажем, что Т имеет слабый тип (р, р), а само неравенства
(5.1.6) назовем неравенством слабого типа (р, р) для оператора Т.
5.1.1. Если сублинейный оператор имеет сильный тип (р, р)
с константой С, то он имеет слабый тип (р, р) с той же кон-
стантой.
•4 Достаточно заметить, что
У^п(г/)= $ yPdx^ J|T/(x)|^dx. ►
| TH > у} 0
Отметим, что последнее неравенство в случае тождественного
оператора превращается в известное неравенство Чебышева
mes{x: |/(х)| > у} ^у~Р $|f(x)|'dx. (5.1.7>
О
Потребуется следующий частный случай интерполяционной тео-
ремы Марцинкевича!
5.1.2. Пусть для сублинейного оператора Т и двух чисел pj,
/=1,2, l<Pi<p2<oo,
//Xrf(l/)<Cp/J,/(x)|p/dx
о
при I/ > О,
f€Lp/[O, 1).
В случае р2 = <х> соответствующее неравенство слабого типа заме-
няется неравенством || Tf L С21| f Тогда
п р*~р п P“Pi / 1
\\Tfrp^p2»C1P1 С2 (^2-
для всех [О, 1), р± < р < рг.
•4 Пусть
pt -Pt
А = С1р>-Р‘С2Р‘-Р‘ ; при
р2 = оо Д = С^.
Фиксировав у > О, положим
f(x), если |/(х)|<Л«/,
О, если |Дх)|> Ау,
и fv(x)^f(x)—fy(x).
Из сублинейности оператора Т и того, что /(х) = /9(х) + /г/(х),
получаем в силу (5.1.4)
Ъ-rf (%У) ^Tfy(y) + kTfU (у).
Отсюда и из условий теоремы вытекает при р2 < оо соотношение
1 1
Лг/ (2у) < С?‘ y~Pi $ [ fy (х) |р* dx + Ср,у~Р‘ J | fy (х) |₽« dx =
О о
1
= CPly~pi J xU: I f MI > Ay} (X, у) I f (x) I* dx +
0
1
+ CP2*y-P‘ J %{x: I f M I < Ay} (X, y) | f (X) Ь dX.
0
Умножим полученное неравенство на р2Рур~\ проинтегрируем ре-
зультат умножения по у от 0 до оо и произведем с помощью тео-
ремы Фубини преобразования, аналогичные примененным при дока-
зательстве (5.1.2). В результате получим
1 ОО
$ | Tf (х) \Pdx = р $ (2Уу-1 Ut (2у) d2y <
О о
оо 1
< p2pCP1 J ур-₽• -1 J XU: I f w I > Aff) (X, у) I f (х) |Р' dxdy +
О о
05 1
+ р2РСрг J yP-Pf-1 J Х{х: । f w । < Ауу (х, у) | / (х) |₽« dx dy =
О о
1 А
= р2РС1' J |f(x)|pl $ yp-Pi-i dydx +
о о
1 со
+ р2РСр‘ I /(х) |Ра J yp-pt-i dydx =
о I f (*) i/а
1
=р2?срг J । f (х) )р. —2—. ] / (х) |р-₽. лр«-рах+
О
1
+ р2РС? $ [ f (х) |₽. | f (х) |р-₽«Лр»-р dx=
О
1 1
= P2PCpiA^-p -~±-^\f(x)\Pdx + p2PCp‘Ap^p-^^\f(x)\Pdx.
о * F о
Подставляя всюду значение А, приходим к доказываемому нера-
венству.
В случае р8 = оо имеем || fy ||„ Ау = Са1у и, значит,
Отсюда, ввиду определения (5.1.1), следует, что
^Tfv (у) — 0, и в предыдущей цепочке преобразований члены с по-
казателем ра можно просто опустить. ►
Приведем теорему о последовательности операторов.
5.1.3. Пусть последовательность линейных операторов {Т„}”=1
такова, что сублинейный оператор f (х) —* Tf (х) = sup | Tnf (х) | име-
п
ет слабый тип (р, р), 1 =Ср< оо, и пусть для любой функции q>
из всюду плотного в Lp [О, 1) множества lim Тпф(х) = <р(х) почти
п-+ со
всюду на [О, 1). Тогда для любой функции f £ L₽ [О, 1)
lim Tnf (х) = f (х) почти всюду на [О, 1). (5.1.8)
п -> 00
•4 В точке х, в которой нарушается (5.1.8), выполнено неравен-
ство
lim |Тя/(х)-/(х)|>0.
п -> оо
Значит, каждая такая точка попадает при каком-то натуральном п в
множество
Рп = {х: Hm ITkf(x)—/(х)| > 1/п}.
!< оо
Если Р—множество всех точек х, где нарушается (5.1.8), то
00
Р = U Рп- Поскольку Рп+1 =>•₽„, то mesP = lim mesP„, и если
П= 1 п -> со
мы для любого п покажем, что mes 1/п, то будет установлено
равенство mesP = 0.
Итак, утверждение будет доказано, если покажем, что
mes {х: lim \Tnf(x)—f (х) | > в} < в. (5.1.9)
п -* СО
Отметим, что
Йт | Т„/ (х)—f (х) | С lim" | TJ (х)—Тиф (х) | +
п -► 00 п -* со
н- lim |7>(х)—ф(х)| + |/(х)—Ф(х)|.
п -► со
Отсюда аналогично тому, как было получено неравенство (5.1.4),
нетрудно установить, что
mes {х: lim |TJ(x)—f (х) | > е}
п -> оо
< mes {х: Нт | Т„/ (х)—Т„ф (х) | > е/3} +
а —> оо
+ mes {х: ИпГ | Т„Ф (х)—ф (х) | > е/3} +
4-mes{x: |/(х)—ф(х)| > е/3}. (5.1.10)
Возьмем ф из всюду плотного множества, которое фигурирует в
условии теоремы. Тогда второе слагаемое справа в (5.1.10) обра-
тится в нуль. Из неравенства (5.1.7), примененного к функции
Ф(х)—/(х), следует для третьего слагаемого оценка
mes^x: |f (х)—ф(х)| > у)ф||£. (5.1.11)
Множество, фигурирующее в первом слагаемом, .очевидно, включается
в множество {х: sup|Tn(f(x)—ф (х)) | > е/3}, и поэтому, с учетом
п
неравенства слабого типа(р, р) для оператора Т (см. (5.1.6)), полу-
чаем для первого слагаемого справа в (5.1.10) оценку
mes {х: Hm | Тп (f (х)—ф (х)) | > е/3} <
п -> 00
<mes{x: Т(/(х)-ф(х)) > 8/3} <Сг^|7-ф^. (5.1.12)
Подставляя (5.1.11) и (5.1.12) в (5.1.10), получаем
mes{x: Hm | Tnf (х)—f (х)| > в} <(1 + -ф|£.
П -► 00
Выбирая функцию ф столь близкой к f по норме L? [0,1), что
е1 + i/р
У--ф|1/?<-(1+С/?уг/р, приходим к (5.1.9). ►
§ 5.2. Максимальный оператор Харди — Литтлвуда
относительно последовательности двоичных сетей
В теории тригонометрических рядов большую роль играет так
называемый оператор Харди —Литтлвуда, ставящий в соответствие
каждой интегрируемой функции f ее «максимальную функцию»
x+h
Mf(x)= sup С |/(01^-
ft>° Л
В теории рядов Уолша аналогичную роль играет оператор, опре-
деляемый с помощью двоичной максимальной функции
W) = sup-™ f If(01 dt, (5.2.1)
*>• I Ax I £k)
где —последовательность двоичных интервалов, содержащих
х, т. е. стягивающаяся к х последовательность ячеек двоичных се-
тей (см. § 1.1).
Установим ряд свойств оператора Л.
5.2.1. Оператор Л имеет слабый тип (1, 1), т. е. при всех
//> 0 и f£L[O, 1) справедливо неравенство
1
mes {х: Л/ (х) > у) С-ИI / (01dt. (5.2.2)
У V
о
◄ Введем обозначение
Ev^{x: hf(x)>y}. (5.2.3)
Поскольку из (5.2.1) ясно, что для всех х
I
о
1
то при 0 < y^^\f(tj\dt имеем £^ = [0, 1), поэтому (5.2.2) очевидно
о
выпрлняется.
Пусть теперь
1
(5.2.4)
о
Покажем, что в этом случае Еу можно представить в виде конеч-
ного или счетного объединения двоичных интервалов Ду, быть может
различных рангов, так, что выполняются условия
1) ДуПДг=0 при /=/и,
2)^=^ а,., (5.2.5)
3) у< ту-р jlf для всех Ау.
1 ч
Для каждого х € Еу рассмотрим последовательность интервалов
{AJ?)}, для которых Л**, и среди них обозначим через Дх интервал
наименьшего ранга из тех, для которых
> У-
Ввиду предположения (5.2.4) Дх Ф = [0, 1), и для Дх найдется
единственный интервал Aj из последовательности {Д^’} ранга на
единицу меньшего, чем ранг интервала Дх, такой, что ДЛа:А*,
|д;1=2|дх| и
•Л-
I Axl J
дх
Гогда
&х Дх д*
Заметим, что Дх целиком входит в Е , Отсюда ясно, что Е = (J Д*.
х € Ед
Остается выбрать из семейства
{Д,: х£Еу} (5.2.6)
последовательность непересекающихся интервалов, также дающих в
объединении Еу. Для этого воспользуемся тем свойством, что двоич-
ные интервалы Ду либо не пересекаются, либо один из них целиком
лежит в другом. Выберем из (5.2.6) сначала интервалы ранга 1,
если они там есть, затем—интервалы ранга 2 и т. д., причем на
n-м шаге присоединим к нашей последовательности те из входящих в
(5.2.6) интервалов ранга п, которые не содержатся в уже выбранных
интервалах ранга, меньшего п. Тем самым получим последователь-
ность {Ду}, удовлетворяющую всем условиям (5.2.5). Используя эти
условия, получаем неравенство
00 00 1
mes£I, = S|A/|<^-J-C|/(/)|d/ = l С | f (t)\dt <1 f |f (/) | dt,
j _ i * v У v if
I"' Aj E$, 0
что и доказывает (5.2.2). ►
5.2.2. Оператор Л имеет сильный тип (оо, оо), точнее
IIA/L<llfL
4 Утверждение непосредственно следует из определения (5.2.1)
и того, что при любом
△kJ ►
д(й>
Утверждения 5.2.1 и 5.2.2 в сочетании с интерполяционной теоре-
мой 5.1.2, примененной при рх=1 и р2=оо, доказывают справед-
ливость следующей теоремы:
5.2.3. Оператор Л имеет сильный тип (р, р) при любом р>
1 < р С оо, т. е.
Рассмотрим наряду с операторсм Л оператор Н, ставящий в со-
ответствие каждой функции f£L[O, 1) функцию
//f = sup|S2fc(x, f) I,
(5.2.7)
где S2k(x, f)—частные суммы ряда Фурье—Уолша функции f.
Ввиду (2.1.11) Hf (х) = sup -г-Ь
k>0 |Дх
J
д‘»>
. Отсюда ясно, что
О «С Hf (х) Л/ (х) при всех х£[0, 1). Поэтому из 5.2.3 следует
утверждение
5.2.4. Оператор Н, заданный формулой (5.2.7), имеет сильный
тип (р, р) при любом р, 1 < р^оо, т. е.
тР^сРшР.
§ 5.3. Частные суммы ряда Фурье — Уолша как операторы
Ниже используется так называемое «модифицированное» ядро
Дирихле по системе Уолша, определяемое равенством
D'n (0 = w„(t)D„ (О,
(5.3.1)
где Dn(f)—обычное ядро Дирихле для системы Уолша, определен-
ное равенством (1.4.8). Ядру D*(t) поставим в соответствие выра-
жение
1
Sn(x, — f (t)Dn(x@t)dt, (5.3.2)
о
которое естественно назвать модифицированной частной суммой.
Используя (5.3.1), (1.2.15) и (2.1.10), получаем, что
S;(x, f) = w„(x)Sn(x, wnf).
(5.3.3)
k
Если двоичная запись числа п имеет вид п = 2 efe= 1, то,
1 = 0
k
используя для сокращения записи обозначение пу = 2 (так
что nk — п), можно в соответствии с определением функций Уолша
119
(см. § 1.1) преобразовать выражение для ядра Dn(t):
п-1 2*-1 2* + е*_,2*-1-1
d„(0= 2 «»/(0= 2 2. w{(t)+...
i=0 i = 0 i = 2"
п j - 1 п - 1
...4-eft_y 2 «М04- ... 4-е. 2 “><(0 =
= г*-,., > =
=D2*(o+8fe-i 2 ...
(=0
2*-J-l
• • • + 8fc-/ 2 t%_1 +i (0 + • • • + ee^s.! (0 =
= D2»(0 + 8Jk_1O>2*(0 2 “'<(04- •••
1 = 0
k
•••4-е*-/ П (a’2*(0)e“ 2 “»<(04- ...
th=/г <-/4-1 i=0
k
. . . 4- e0 П (“’2" (0)*“®» (0 =
w= 1
' k fi
= 28»-/ П (Ш2>«(/))е'лО2*-/(/) =
/=0 zn=/e-/+l
k i-
= 2®y П (^-"(0)e^2/(0<
/ = 0 m=/+l
£
Умножая это выражение на te»„(0= Ц (о»2т(0)8я» и учитывая,
m=0
что при всех i справедливо тождество wj (0=1, получаем следующую
формулу для ядра (5.3.1):
л /
*>;(0= 2 8, п (а»8~(о)вт^2/ (о-
/=0 т=0
Заметим далее, что функция D2/(0 отлична от нуля лишь на ин-
тервале Д^’ и что на этом интервале u>2m(0=l при m<.j. Поэтому
последняя сумма преобразуется к виду
£ k
D'n (0 = 2 (i) Dv (t) = 2 8/£>;, (0. (5.3.4)
/-0 i‘0
Отметим следующее важное свойство ядра D‘n(t), которое и де-
лает его более удобным для применения, чем ядро Dn(t).
5.3.1. Если x(£&ls> для некоторого двоичного интервала Ди>,
s^0, то ядро Da(x@t) принимает постоянное значение при всех
/€Д(,,<
< В силу (5.3.4) утверждение достаточно проверить для функции
^*Л*ф0 = а’2'(х®0^-г/(хф0 ПРИ любом /. Функция а
значит и О*/(хф0, постоянна на каждом из интервалов Д‘/+х’ранга
/+1» так что утверждение очевидно, если ранг рассматриваемого
интервала A(s) удовлетворяет условию s ^ / + 1.
Если же s</+l, т. е. $^/, то из и х(£Д(*’ следует,
что хф/£А(05). Но в этом случае ввиду (1.4.13) D2j(x®/) = 0 и,
значит, ядро вновь постоянно относительно t на Аи). ►
Рассмотрим переход от интегрируемой функции f к ее частной
сумме Sn (х, /) или к модифицированной частной сумме S„ (х, f) как
результат действия линейного оператора Sn или S„, определенного
в пространстве интегрируемых функций. Установим следующее
свойство этих операторов:
5.3.2. Операторы Sn и S*n имеют слабый тип (1, 1) и сильный
тип (р, р) при всех р. 1 < р < оо, с константами, не зависящими
от п.
◄ Отметим прежде всего, что если один из операторов Sn и S*n
имеет слабый или сильный тип (р, р), то тот же тип имеет и вто-
рой из них. В самом деле, если Sn имеет сильный тип (р, р) с не-
которой константой Ср, то из очевидных ввиду | wn (/) | = 1 соотношений
ЙЗД1Ь>=II S„ ^сР№Лр=сд л,
следует, что S* также имеет сильный тип (р, р) стой же константой Ср.
Обратное утверждение получается аналогично, если подставить
в (5.3.3) вместо f функцию wnf и воспользоваться оценками
, llsuniHBsa^.nii^cj^jii^cjHr
Сходным образом проверяется одновременность выполнения для
Sn и S* неравенств, характеризующих слабый тип (р, р).
Итак, достаточно доказать теорему для одного из операторов Sn
и S*. Удобнее основную часть доказательства провести для опера-
тора S*. Сначала отметим, что из равенства Парсеваля (см. 2.6.5)
для системы Уолша вытекает, что || Sn (f) |^ Ц f ||2, т. е. S„ имеет
сильный тип (2, 2) с константой 1. Тогда, в силу доказанного выше,
и S’ имеет сильный тип (2, 2) с той же константой, т. е.
НЭДСШг (5.3.5)
Докажем теперь, что S* имеет слабый тип (1, 1), т. е.
1
mes {х: |S’(x, f) > у} <£ С |/(/)М/, (5.3.6)
У и
о
где С не зависит от п. Фиксируем функцию fCL[O, 1). Поскольку
при 0 < |f (01 dt неравенство (5.3.6) очевидно выполняется с
о
константой С = 1, то в дальнейшем можно предполагать, что
1
у> $ \f(t)\dt. Воспользуемся определенным равенством (5.2.3) мно-
о
жеством Еу и найденным для него представлением в виде объедине-
ния двоичных интервалов Ду, удовлетворяющих условиям (5.2.5)*
С помощью этих интервалов определим две вспомогательные функции:
g(x) =
[тзлР(<)Л
д/
IfW
при х^^сЕу1
при хе [о, 1)\^
(5.3.7)
и h(x) = f(x)—g(x). Если х^Еу — иДу, то из (5.2.5) следует, что
|g(*)|<
'^\f(t)\dt^2y.
1 Л/
(5.3.8)
Если же х £ Еу, то из определения множества Еу и максимального
оператора (5.2.1) следует, что в этом случае для всех двоичных
интервалов Д(/’, содержащих х, справедливо неравенство
1
I Ал’ I
j f(t)dt
(5.3.9)
Поскольку в силу теоремы 2.5.10 для почти всех х£[0, 1)
lim
k -* оо
1
I Л?’I
J f(t)dt = f{x),
д</>
то из (5.3.9) следует, что почти всюду на [0, 1)\Е\, выполняется
неравенство | f (х) | у. Это неравенство вместе с (5.3.8) и (5.3.7)
показывает, что
|g(x)| -ё^2у почти всюду на [0, 1).
Отметим, что отсюда, в частности, следует неравенство
I 1
\\g(t)\*dt^y\\g(t)\dt.
О о
(5.3.10)
Кроме того, из (5.3.7) вытекает, что
$ \g(t)\dt =
Ду I Ду
и поэтому
1 1
= |£(П|<# + $ |g(/)|d/<$|/(O|dt (5.3.11)
О ' Дх [0, l)\£j, О
Используя неравенство Чебышева (5.1.7) при р = 2, неравенство
(5.3.5), записанное для функции g, а также неравенства (5.3.10) и
122
(5.3.11), получаем
mesjx: | S; (x, —^5--------
1 l« 1
4$|g(0l2<tt 8j|g(0|di 8j|f(0|^
Получим теперь аналогичное неравенство для функции h(x). Отме-
тим, что Л(х) = 0 при х£ [О, 1)\£'э, и $ h(i)dt = 0 для любого ДуаЕу.
д/
Отсюда, фиксировав х(£Еу и воспользовавшись тем, что в силу свой-
ства 5.3.1 ядро ЭД(хф0 принимает постоянное значение на Ду —
обозначим его О^(хфДу),— получаем
1
5Дх, Л)=$Л(0^(х©0Л = 5$ h(t)D*n(x®t)dt =
о i Ду
h(t)dt = Q.
д/
Поэтому {х: S*(x, h)=£0}aEy, откуда, с учетом пункта 3) из уело-
вия (5.2.5), следует
mes <^х: | S* (х, h)\ > ~ С mes {х: | S* (х, Л)[ > 0}
1
/ / Ду о
Воспользовавшись теперь этим неравенством и неравенством
(5.3.12), а также соотношением (5.1.4) для оператора S*n и функций
g и й, получаем, что
1
mes/х: |$Дх, /)| > Лj(0|dt
1 } 0
Тем самым доказано, что оператор S* имеет слабый тип (1, 1) с кон-
стантой 9. Поскольку, как уже отмечалось выше (см. (5.3.5)), опе-
ратор S*n имеет сильный, а значит (см. 5.1.1), и слабый тип (2, 2)
с константой 1, то применима интерполяционная теорема 5.1.2,
откуда заключаем, что имеет сильный тип (р, р) при любом р,
1 < р ^2, т. е.
причем, как видно из 5.1.1, Ср определяется лишь значениями кон-
стант 1 и 9 и значением р, т. е. не зависит от п.
Распространим теперь последнее неравенство на случай 2 < р <оо,
используя переход к сопряженному пространству (см. П5.2.2). Пусть
/£Ь^[0,1), 2<р<оо, и ср £ 1Л [0, 1), где р и q связаны равенст-
вом = 1. Тем самым 1 < <?< 2, и в силу уже доказанного
Применяя теорему Фубини (см. П4.4.4), неравенство
(см. П5.2.2) и неравенство (5.3.13), получаем
(5.3.13)
Гельдера
$5Дх, f)y(x)dx = $ y(t)D*n(x@t)dt <p(x)dx =
о
0
_o
«= $f(0 Jo*(xe/)T(x)dx dt= $/(05Ж<Р)^
0
_o
0
(5.3.14)
1
Поскольку F(<p) = J S* (х, f) <р (х) dx является функционалом в про-
0
странстве 1Л[0, 1) с нормой, равной JS*(x, (см. П5.3.2), то
в силу (5.3.14) для этой нормы выполняется неравенство (см. П5.3.1)
Но это и означает, что оператор S* имеет сильный тип (р, р) при
2 < р < оо. Тем самым теорема доказана. >
§ 5.4. О сходимости рядов Фурье—Уолша в L^[0, 1)
Из теоремы 5.3.2 можно вывести следующую важную теорему:
5.4.1. Для любой функции L^[0, 1), 1 < р < оо,
1
$I/W-S„(x, f)\P dx-+0,
о
П —>оо,
т. е. частные суммы ряда Фурье—Уолша функции f сходятся к ней
по норме пространства L^[0, 1).
Воспользуемся тем, что полиномы по системе Уолша образуют
всюду плотное множество в LZ[0, 1) (см. теорему 2.6.4).
Заметим, что для любого полинома Т яри п, превосходящем
порядок этого полинома, имеет место соотношение Sn (х, Т) = Т (х).
При указанном п в силу теоремы 5.3.2
Поэтому
U~sn (flP<U-nP + №-sn (/)||F ^(i + cj т-пР.
Отсюда видно, что если полином Т выбран так, что |Т—<
< е/(1 + Ср), то при п, бблыпем порядка этого полинома, Ц f—Sa (/)[|<е.
Ввиду произвольности 8 отсюда следует утверждение.
Покажем теперь, что предыдущая теорема теряет силу при p=L
А именно справедливо такое .утверждение:
5.4.2. Существует функция, ряд Фурье—Уолша которой рас-
ходится по норме пространства L [О, 1).
<4 Покажем, что в качестве искомой функции можно взять сумму
ряда
00
(5.4.1>
k-\
Поскольку в силу (1.4.13)
1 1
|^afe3 (x)D2*8(x)|dx== $\d2v U)|dr= 1,
о о
то частные суммы ряда (5.4.1) сходятся по норме пространства
L[0, 1) к /€L[0, 1).
Каждое слагаемое в (5.4.1) представляет собой в силу (1.2.17)
полином
2^’+ 1 __1
i= 2fes
причем при различных k полиномы Pk(x) не содержат общих чле-
нов. Отсюда нетрудно заключить, что
fa’)=l/fc2, 2*’<f<2*8+’ —1,
и поэтому при любом mk таком, что 2ft3 + /n/J^2^+1, справедливо
равенство
/)—Sik.(x,
Взяв в качестве тк число из теоремы 2.2.2, удовлетворяющее не-
равенству 2й’-* < тк < 2**, получим, что
j | S.^ (х, f)-Sik. (х, f)\dx>^> 4 , k >2,
о
откуда видно, что ряд Фурье—Уолша функции / не может сходиться
по норме пространства L [0, 1). >
Глава 6
ОБОБЩЕННЫЕ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 6.1. Существование и свойства обобщенных
мультипликативных преобразований
Будем говорить, что комплекснозначная функция f(x) принад-
00
лежит L^(0, оо) при 1^р<оо, если | f (х)|рdx < оо. Норму f(x)
о
в пространстве Lp(O, оо) обозначим через и определим как
/• \1/р
1Л,= .
Предел функции /(х, а) при а—> оо по норме пространства 1^(0, оо)
будем обозначать через lim^ f (х, а), т. е. равенство
а ->оо
f(x) = limp f(x, а)
а -> со
означает, что
И(х)—f{x, a)||p->0, a—s-oo.
Определенная по набору (1.5.22) 5’ = (..., р_/, ..., plf ...
..., pj, ...) соотношением (1.5.33) функция %(х, у) для каждой
функции /(х)£1?(0, оо) порождает интегральные преобразования
вида
00
(6ЛЛ)
о
и
со
= (6.1.2)
О
которые будем называть прямыми мультипликативными преобразо-
ваниями.
Заметим при этом, что если набор (1.5.22) симметричен, т. е.
р_у- = pj для всех /=1, 2, ..., то
ИЛ (у) = [/]({/)• (6.1.3)
Преобразования (6.1.1) и (6.1.2) являются аналогами классического
преобразования Фурье.
Для функции /'(x)CLp(O, оо) при 1<р^2 прямым мульти-
пликативным L/’-преобразованием назовем функцию
а
& [/](«/) = f (У) = limp- $ f(x)x(x, y)dx (6.1.4)
а -*оо 0
или функцию
а
[Л (х) - f (X) = limP' С f (/) 7(^7) dt, где 1 + Л =1 • (6-1-5)
а ~>со d HP
Так как свойства преобразований (6.1.1) и (6.1.2) аналогичны,
то рассмотрим только свойства преобразования (6.1.1).
6.1.1. Преобразование ^[/] аддитивно и однородно, т. е. если
k
и = / = 1, •••. k, то
(См. 2.1.1.)
4| Это свойство следует непосредственно из аддитивности и одно-
родности интеграла. >
6.1.2. Сдвигу аргумента f(x) на величину фЛ, h > 0, соответст-
вует умножение преобразования ^[f] на % (Л, у), т. е.
со
$/(*ф/0х(х, y}dx = y\h, y)F[f],
о
а сдвигу на Qh—умножение на х(Л, у).
(См. 2.1.2.)
Действительно, производя замену хф ft = v *), учитывая равен-
ство (xQ)h)Qh = х = vQh и свойство (1.5.34) функции хСх» У)>
имеем
со со
$ f (хФ/г)х(х, у)dx = \f (v)x(v$h, у)dv =
О о
со
= $/(«)%(»> УШЬ y)dv = %(h, yjS’lf].
О
Аналогично, так как (хфЛ)фЛ = х = цфй, то
ОО <30
$f(x©A)x(x, 7) dx= $/СОх^фй. y)dv =
О о
со
= р(V) У) Х(Л, у) dv = х(Л, У)& [л. >-
О
*) Как указывалось, отображение х—>хфЛ с точностью до не более чем
счетного множества на [0, оо) взаимно однозначно и сохраняет меру.
Будем говорить, что функция f(x) есть ИР-ичная несимметрич-
ная свертка функции Д (х) с функцией f2 (х), и будем обозначать
«е/(х) = (Д*Д)(х), если
f(x) =
о
Несимметричную свертку функции ft(x) с функцией fi(x) обозначим
через g(x):
g(х) = $ ft(vфх)K(v)dv = (j2*Д) (x).
о
6.1.3. Если fj (х) € L1 (0, оо), / = 1, 2, то свертки f (х) = (Д * f2) (х)
и g(x) = (f2* Д)(х) существуют, принадлежат L'(0, оо) и справед-
ливы неравенства
и IldtOIWIW
.4 Доказательство аналогично приведенному в гл. 2 для (2.1.7).
Действительно, замечаем, что функции ®1(х, Ц) = Д (ифх)Д(и) и
<й2(х, а) = /2(офх))1(») измеримы, причем в каждой точке, где f2 (v)
(или Д (а)) конечна, т. е. почти всюду, справедливо равенство
00 со
$ |®1(х, u)|dx= |Д(y)l $ |Д(v®x)\dx = |Д (t»)|||Alli»
О о
или соответственно
$|co2(x, y)|dx= |Д (vJIUfaBi-
о
Следовательно,
00 со со со
$ dv $ | (х, v)| dx— J dv $ | ®2 (x, u)|dx= || Д || Д
0 0 0 0
Поэтому, применяя теорему Фубини, можем записать
СО 00 со со
$ $ li(v®x)f2(y)dv dx< J $|Д(ифх)Д(о)|<&Лх«
0 0 0 0
со со
о о
Аналогично
^fAv®x)ft(v)dv dxCHddMi-
О
6.1.4. Если оо), / = 1, 2, то для сверток справед-
ливы соотношения
О1 = Od ОН « Л£1 = ОГН[Л].
т. е. вП/]==^[£]-
По теореме Фубини и 6.1.2 можно получить
00/00 \
F [/] = Ш = $ ( $ fi (° ® х) Ый) dv ) х(х, у) dx =
о \о /
оо оо оо
$М»®*)Х(*. y)dx=^f7(vh(v> y)dvF[fJ =
0 0 о
Аналогично
00/00 \
£"[g] =£(#)* И $ fa(»®x)7jv) do)x(x, y)dx =
о \о /
оо оо оо
= $ hifidv $ ft (уфх) х(х, y)dx = $ Mti) х (v, у) dv Г [fa] =
0 0 о
____ =nAWJ.
Следовательно, F [f] = & [g].
В этой главе удобнее несколько изменить по сравнению с пер-
выми двумя главами определения понятий непрерывности и модуля
непрерывности функции. Функцию f(x) назовем 3*-непрерывной
в точке х£[0, оо), если
sup |/(хфЛ)—/(х)|—*0 при г—>оо. (6.1.6)
о < Л< \/тг
Несложно показать, что непрерывность в точке в смысле (6.1.6)
эквивалентна (для случая тг = 2Г) непрерывности в смысле расстоя-
ния р*, определенного в (1.2.19).
Последовательность, члены которой заданы соотношением
®г(/, l//nr) = cor(f) = sup max |/(хфй)—f (х)|, (6.1.7)
хе[0, ®> о < Л < \/тг
будем называть 3*-модулем непрерывности функции f (х).
6.1.5. Если /(х)£1?(0, оо), то преобразование
F [/] (У) = !(У)
3*' -непрерывно на [0, оо), где 3*' = (..., pf, ..., pt, p_t,p.f,...).
◄ Учитывая свойство (1.5.34) функции х(х, у), имеем
Лу®л)—f(y)=
оо ®
== $ / (X) [х(х, t/фЛ) — х(х, g)J dx = $ / (х) х(х, у) [х(х, Л) — 1] dx.
О о
5 Б. И. Голубов и др»
129
Выберем целое N9 столь большим, чтобы при заданном е > 0 для
любых h > 0 имело место неравенство
00 со
$ х(х, z/)[x(x, Л)—l]dx С2 $ | f (х)Idx < е.
N. N„
Пусть целое г>0 таково, что m_r+1 > NQ. Тогда для всех h
таких, что O^ft< 1/тг, и любых из (1.5.31) получаем
x_ft = 0 при k^r, h’_k = Q при k—l, 2, ... и й* = 0 при /г С г—1.
Поэтому
X (х, h) = exp 12ni £
' fe=i
+**?:* 1—exp
p* ) l Г1
X-lJl'k
Рк
= 1.
Но это значит, что
N._____________________
$ f(x)x(x, f/)[x(x, ft)— l]dx = O,
О
т. е- —7(^)1 <е. O^ft<l//nr. Таким образом, преобра-
зование aF[f] ^'-непрерывно на [0, оо). ►
Аналогично доказывается, что преобразование iF*[/] является
^-непрерывным на [0, оо).
6.1.6. Если функция /(х)€1?(0, оо) S*-непрерывна в точке х = 0
и преобразование & [/] = / (у) вещественно и неотрицательно, т. е.
f(y)^O при у € [0, оо), то Л{/)€к(О, оо), причем
СО
P(l/)d«/ = /(O).
о
-4 Так как f(t/)^O, то можно записать, что
А А
^\J(y)\dy=y(y)dy,
О о
причем для доказательства сходимости интеграла при А —> оо до-
статочно установить сходимость интеграла по подпоследовательности
любых целых значений Аг, например при А = тг.
На основании (1.5.38) и (1.5.21) получаем
Аг тг » со тг
$ f(y)dy*= $ $/(х)х(х, y)dxdy—^f(x)dx $ %(х, y)dy =
ООО 00
ао 1 ________
= ^/(x)D(x, гПг)dx— J/(x) D(x, tnr)dx =
О о
I imr 1 tmr
c=mr J f(x)dx = mr J f(O®x)dx.
о о
Следовательно,
П(^^ = Ит $ hy)dy = limmr J f(0Q)x)dx = f(0). ►
о о r-*® о
Докажем существование ^-преобразования (6.1.4).
6.1.7. Пусть оо), 1<р<;2. Тогда \J>-преобразова-
ние (6.1.4) существует и удовлетворяет неравенству
1?(»)К1/|1,. j + (6.1.8)
<4 Пусть b > 0, г—натуральное, n = [bmr], 6v(r)— полуинтервал
[-Й7’ и 6;(г)=[^7’ -S?)' ОпРеДелим числа
Ov= J f(x)dx, v = 0, 1, 2........
М
и функцию
ф» (х)= 2 <ы(х,
v=0 \ т-г /
В 1.5.6 было доказано, что система
{фу.г(х)}^/1 х(х, 77-) Г
1 V т_г \ «-г / Jv=o
является ограниченной в совокупности и ортонормированной на от-
резке [0, т_Д причем |<Pv, r(x)|< l/J^m_r = M.
Обозначим
И- 1
Ф (х) = 2 «vVv. г (х) = МФ„ (х)
и применим теорему Рисса ([13], с. 237). Получим
—— 1
|ФКМ₽ и,,
где
G“> Х1/Р'
|Ф(х)Г4х^ ,
/п-1 \1/р
Н IljP = ( 2 lflV ) 9
\v= 0 /
а потому для функции Фп(х) справедлива оценка
2
М|фякмд- hk
Отсюда следует, что
/п-l
J |фпМ|°'^<т.г[ 2 hvl' )
О \v = 0 /
Применяя неравенство Гельдера, найдем
j IfWl'dx.
6v(r)
Следовательно, для всех А < m_r
А тг
$ l®»W|p'dx< $ |Фп(х)|₽'<1х<
о о
/П-1 ч1/(р-1) ГЪ \1/(P-D
<( 2 $ IfWl^) . (6.1.9)
V=°6v(r) J \o J
Покажем теперь, что
ь
lim Ф„(x) = $ f (y)%(y, x)dy=J(x, b).
'-*« 0
(6.1.10)
Действительно, в силу 1.5.4 для всех y£b'v(r) при x<m_, имеем
Х(*. У) = Х(х, v/m_r). Поэтому
ф» (*)—У)^у =
п -1
Ъу(г)
X, ---
т_г
ъ ______________
— $ / (^)х(^. y)dy
п/т
< $ if(im-*o,
«>>
Значит, фиксируя А и устремляя г —♦ оо, из (6.1.9) и (6.1.10) по-
лучим
Переход к пределу при А —► оо дает
о
$ / (у) X (х, у) dy
о
(6.1.11)
Применяя неравенство (6.1.11) к функции
10 при О^х^а,
= l /(х) при а < х <оо,
получим
b ___________ Р'
$Д(1/)Х(*. У)аУ dx=
О
оо b a Ip'
= J $ f (10 X (x, y)dy— $ / (t/) % (x, y) dy dx =
0 0 0
\ l/(p-l)
I fo (X) \p dx )
t. e.
• f Ь \1/(P-1)
$| hx, b)—f(x, fl)|p'dx<( $ |/(x) \Pdx ) . (6.1.12)
0 \a J
Так как f (x)£Lp (0, сю), то при a, b—> оо правая часть в (6.1.12)
стремится к нулю, а потому, в силу замкнутости Lp'(0» °°)> f(x, а)
сходится в метрике IX (0, оо) к некоторой функции f (х) £ Lp’ (0, со).
Это означает, что LP-преобразование функции f (x)^Lp(O, оо) при
1 < р 2 существует.
Переходя в (6.1.11) к пределу прий—»• оо, получаем неравенство
(6.1.8)
/во \ 1/р' /00 X 1/р
( $ I f(x)|p'dx) <($|/(x)|Pdx) .►
\о / \о /
§ 6.2. Представление функций из L1 (О, оо)
их мультипликативными преобразованиями
Как отмечалось в § 6.1, для любой функции f(x)£Lx(O, оо) су-
ществует прямое мультипликативное преобразование
00
& [/] (у) =1(У)=^У (х)х(х, у) dx.
О
(6.2.1)
Однако, как и в случае экспоненциального преобразования Фурье,
обратное к (6.2.1) преобразование
00
/(*)=$ hy)l(x, y)dy
О
(6.2.2)
существует не для всякой функции f (х) € L1 (0, оо). Поэтому инте-
ресно выяснить, при каких условиях, налагаемых на функции / (х)
и f(y), имеет место соотношение (6.2.2).
Прежде чем перейти к нахождению таких условий, установим
одно утверждение о методе суммирования интеграла (6.2.2), играю-
щем роль, аналогичную методам Фейера и Абеля—Пуассона при
доказательстве теорем существования обратного экспоненциального
преобразования Фурье.
6.2.1. Пусть f(x)£L1(O, оо) и f(y)—ее мультипликативное
преобразование (6.2.1). Тогда в каждой точке &-непрерывности функ-
ции f(x) имеет место соотношение
тг
f(x) = lim р(^)х(х, y)dy, т^ррп^.
0
00
< Так как J |f(x)|dx < оо, то в интеграле
о
/Пг / <Ю \
АпЛА *)= И $/(Ох(А y)dt)y,(xt y)dy
о \о /
в силу теоремы Фубини можно изменить порядок интегрирования, т. е.
оо тг « ___________
Inr(f, x) = ^f(t)dt J %(tQx, y)dy=\f(t)D(tQx, inr)dt.
0 0 0
Из (1.5.38) и (1.5.21) заключаем, что
D(tQx, если i/mr<tQx<Q0.
Поэтому
l/mr
Imr (f, X) = mr J f(t)dt = mr J f(x@u)du.
MQx<l/mr 0
Отсюда следует, что если х является точкой ^-непрерывности функ-
ции /(х), то
1//пг
lim Imr (f, х) = lim mr J f(xQ)u)du = f(x). ►
r-KCO r-KCD Q
6.2.2. Пусть f(x)£Ll(O, оо) и ее мультипликативное преобра-
зование /(#)€!? (О, оо). Тогда в каждой точке ^-непрерывности
функции f (х), х£[0, оо), имеет место представление (6.2.2).
◄ Так как f(i/)gLl(O, оо), то интеграл в (6.2.2) сходится абсо-
лютно и потому
оо тг
$ y)dy — lim $ Шх(*. y)dy.
О О
Применяя 6.2.1, убеждаемся в справедливости 6.2.2. ►
Из 6.1.6 и 6.2.2 можно вывести следствие
6.2.3. Если f(x)^L1(O, оо), х = 0—ее точка ^-непрерывности
и преобразование f(y) вещественно и неотрицательно, то в каждой
точке 3*-непрерывности функции f (х) имеет место соотношение
(6.2.2).
Для мультипликативных преобразований имеет место равенство
Фурье—Планшерел я:
6.2.4. Пусть /(x)CL1(0, оо), f(x) ограничена и 3*-непрерывна,
а —ее мультипликативное преобразование. Тогда
со со
№(у) |My=$|/(x)pdx.
о о
◄ Рассмотрим 5*-ичную несимметричную свертку функции /(х)
с /(х), т. е. функцию
со
Ф (X) = 5 f (офх) ДД dv.
о
Из 6.1.3 следует, что ||ф||1 ^||f II!. а по 6.1.4
Лф](</)=ЛЛ(1/)>ТП^=1ЛЛ(у)12>о. у€[0, оо).
Из ограниченности f (х) £ L1 (0, оо) следует, что значение
Ф (0)== $ If (v)|2dv
о
конечно и в силу ^-непрерывности f(x) точка х — 0 является точкой
^-непрерывности функции ф(х). По 6.1.6 «Г [ф] 0/) € Lx (О, °°)» по-
этому, применяя 6.2.3, получим
CD 00
Ф (*) = $ f <v ® х) Д») dv = $ ? [ф] (у) 1 (х, У) dy =
О о
со
= $ I & [Л (У) I2 X (*• y)dy.
о
Полагая в этом равенстве х = 0, убеждаемся в справедливости
6.2.4. ►
Для доказательства соотношения (6.2.2) в случае, когда на 5*-
модуль непрерывности функции f (х) € L1 (0, оо) (см. (6.1.7)) наложены
некоторые условия, установим несколько вспомогательных оценок.
6.2.5. Пусть п—натуральное, 0 < а < 1 и f (х) £ L1 (0, оо). Тогда
-ч + а
Нт $ 1{у)1{х, y)dy = Q.
/1->00
◄ Имеем в силу теоремы Фубини
/„(Л а) = $ y)dy = $ y)dt)%(x, y)dy =
n n \o '
= p(0 $ xltQx, y)dydt=l f(t)[D(tQx, n + a)—D(tQx, n)]d/.
On 0
Условимся в дальнейшем опускать индекс Р у D„(x)P и х«(х)₽.
оставляя, однако, индекс Р' у Хп(х)р’- Принимая во внимание
(1.5.38), для 0^(@х<1 получаем
D(^Qx, п-+а) — D(tQx, п) —
= D„(tQx) + ay!in(tQx)—Dn(tQx)^=axn(tQx), (6.2.3)
а если l^k^tQx < k+ 1, то
а
D(tQx, n\a) — D(tQx, п) = %„({(©х}) J xk(v)p> dv. (6.2.4)
о
Производя замену / = гфх и учитывая (6.2.3) и (6.2.4), имеем
ОО _______ __________
l„(f, а)= $/(z®x)[D(z, n + a)—D(z,n)]dz =
О
1 да й+1 а
= $/(*©*) «%„ (z) dz + 2 $ /(z©x)x„({z}) JxJv)P-dodz =
О k= 1 k о
] ао 1 а
"=a$/(z©x)x„(z)dz + 2 $f(*+z®x)x„(z) \^(v)P'dvdz =
0 bl о 0
‘ ( 00 а ___ ) ________
-=5{а/(г®*)+ 2 /(^ + гфх)$Хй(Ф'* |xn(z)dz =
о ( *“* о 7
i
= a, z)x7(z)dz.
О
Заметим, что
г Г f * 1
\|F(/, а, z)|dz^\|а|/(гфх)|+ 2 |/(&+ гфх)|а| dz =
О о ( k ж 1 )
оо
= а $ |/(z©x)|dz < оо,
О
т. е. F(f, а, г)€ L1 (О, 1). По теореме Мерсера ([2], с. 76) коэффи-
циенты Фурье интегрируемой функции по ограниченной ортонорми-
рованной системе {хЛ (z)} стремятся к нулю. Поэтому
1
lim /„(/, а)= lim (f, а, z)x„(z)dz = O. ►
п -+ оо Л -> аь Q
в.2.6. Пусть г и n—целые числа, r^l, функ-
ция ф(х) постоянна на интервалах 6v(r —l) = [v/mr_j, (v + l)//n,_il,
a f(x) ^-непрерывна. Тогда для любого k — 0, 1, г—1 справео-
лива оценка
\/mk
f /(x)cp(x)x„(x)dr
0
где Mk= max |<p(x)|.
0 < X < l/mft
4 Запишем стоящий слева в доказываемой оценке интеграл
в виде
\ f(x)<p(x)x„(x)dv= 2
v=0
Так как
J /(*)ф(*)Х» (*)<&•
d<v (Г — 1)
(6.2.5)
$ X„(x)dx = 0,
ev<r-l)
v = O, 1,
О
как сумма корней степени рТ из единицы, и так как ф (х) постоянна
на 6v(r—0> т0> выбирая в каждом 6v(r—1) точки rv=v/m,.1®0,
в которых функция /(xv) определена, и полагая Мм = |Ф(ху)|, имеем
$ /(х)ф(х)£Дх)йх = $ [/(х)—/(ху)]ф(х)х„(x)dx
«V <*•-1)
ev (г-1)
< $ |f(x)—/(xv)|Mvdx =
ev(/--D
= Afv J If(xv®w)—f(xv)|du<
0
(f).
mr_i r 1
Подставив эту оценку в (6.2.5), получим требуемое утверждение. ►
6.2.7. Пусть п и г — целые числа, mr_Y < и < тг, п =
= п_1 + п_2т1+ ... + п_гтг_1 и /(х)£1?(0, оо). Тогда
Z(«/)xU. У)ду <(п_14-п_2+.. -+n_r)w,_1(f),
где —S'-модуль непрерывности функции f(x).
◄ Применяя теорему Фубини, можно записать
Х) =
п / СЮ \
$ (р(Ох(^. У)дих(х, У)ду =
<"r-t чо '
00 П
= J/(0 $ xUG*. у>&ум=
О mr-t
СЮ
= n)—D{tQx, inr.i)]dt,
О
я* в силу (1.5.38)
Jn.r(f,x) = $
0</Qz < 1
Используя вытекающее из (1.5.20) представление ядра Дирихле
znr_1-l n_f-l
Dn(z) = 2 Х/(2)+ 2 2 Х/(2) +
/ = 0 s= 1 / = s/nr-1
n-r mr-i+‘ + n-k+i mk-2~l _
2 Х/(2) =
i=n-rmr-t+ -+n-kmk-1
n-r~l ________
= Dmr_t(z)+ 2 Xsmr_1(z)Dmr_1(z) +
s=l
___________r - 2_______________________ " - к ~1
(Z) 2 ^n-r + lmr-2+ - + n-k-lmk^Dmk-l^ 2
fe=l sfe=0
и учитывая равенства
( mv при 0<z < l/mv,
O«v(2) = | о при l/znv<z< 1, v=l, 2....
получаем
«-r-1
4./(A x) = mr_1 2
s= 1
f(0 dt +
'-2 r _____________
+ 2 mk-l J f (0Ф«г(^©х)Хп_гтг_1(^©х)^>
*_1 0<tQt<l/mk_i
где
__________________________"-/г-1_____________
<Pjt(2) = Xn_r+imr_2+... + n_ft_I mk(z) 2 Xsftms_!(2).
sft-u
k=l, 2, .... r—2.
Так как при l^£=Cr—2 функции ф»(г) постоянны в каждом ин-
тервале 6v(r—1), v = 0, 1, ..., причем |q>fc(z)|n_ft, то, применяя
6.2.6, можем записать
) /(0фА(^©-*)Хп_,т,._1(ЮХ)Л
0 < tQx < 1/тк_1
п-*-
Кроме того,
о < t 0Х <
1__
тг-1
Ъг-ЛП-
Таким образом,
I г х> к/п'-1 (п-“а'~1 (/)+
г-2
ичг—1
k— *
Докажем теперь теорему об обращении мультипликативного
преобразования для функций f (х) £ L1 (0, оо).
6.2.8. Если оо) и ее ^-модуль непрерывности
и числа ри . •., рг, ... удовлетворяют условию
( '2рк-г\>г-ЛП = о(1), (6.2.6)
\*=1 /
то в каждой точке 9*-непрерывности f (х) имеет место равенство
(6.2.2).
< Пусть х—точка ^-непрерывности f(x). В силу 6.2.1 для до-
казательства теоремы достаточно установить соотношение
а
lim J f(y)%(x, y)dy = 0, а£[тг_и mr),
r~* a mr-l
где на основании 6.2.5 можно считать а целым числом, т. е. а ==*
= n£\rnr_Y, тг). Используя теперь 6.2.7, запишем
$ f(y)l(x,y)dy
<(Л-1 + • •+n-r)®r_1(/X
mr-i
<(Р1—1+ •••+Pr—1)<»r-i(/) = f S
\Л=1
В силу (6.2.6) имеем
Pk—r
(f).
1
п
lim $ f(f/)x(x, y)dy = Q. ►
r 00 m
В качестве следствия из 6.2.8 получаем утверждение
6.2.9. Если последовательность чисел plt ..., рг, ... такова,
Г
что 2 Pk^cr> с > 0, и f (х) £ Lx(0, оо), то из условия
к=1
®г-1(/) = о(1/Н (6-2-7)
следует справедливость равенства (6.2.2) в точках ^-непрерыв-
ности f(x).
Заметим, что если sup рп < оо, то (6.2.7) эквивалентно условию
®r(f) = o(l/lnmr).
Действительно, это следует из соотношений
г
" ’ lnmr — 2 In Рк 1н (SUP Рк^ —С1Г>
и в силу условий рк^2
In mr > г In 2 — c2r,
где 0 < с2 < сг.
Установим связь финитности . преобразования / (у) со свойствами
функции f(x). При этом воспользуемся следующим аналогом теоре-
мы Юнга (см. [10], т. 1, с. 257).
6.2.10. Пусть {со„(х)}”_о—полная относительно L2[a, ft] орто-
нормированная система функций, а функции f (х) и g(x) интегри-
руемы с квадратом на [а, Ь]. Тогда ряд
<» к *
гДе Ь], ck = \f(t)<ok(t)dt,
а а
сходится равномерно на [а, Ь] и справедливо равенство
X да X
а к~° а
◄ Пусть
п
Sn(t)= 2
k=0
Используя неравенство Коши —Буняковского, получаем
X П X
$ f — 2flcft $ g(t)a>k (/) dt
a a
x / b \ 1/2 / b
a \a / \a
B силу равенства Парсеваля правая часть стремится к нулю при
л—<-оо, а это означает, что ряд
00 с
2 ck\g(t)&k(t)dt
*=0 д
X
сходится равномерно по х£[а, Ь] к функции §f(t)g(t)dt. ►
а
Имеет место следующий аналог теоремы Котельникова [1] о пред-
ставлении функции с финитным спектром Фурье через ее значения
в равноотстоящих точках.
6.2.11. Если функция f(x)€Lx(O, оо) ^-непрерывна на полу-
оси [0, оо) и ее мультипликативное преобразование f(y) имеет
конечный носитель, т. е. f (у) = 0 при у>а, где а<.тг, то функ-
ция f(t) восстанавливается по значениям в точках = k/mr9 k ® О,
140
1,
с помощью равенства
где ядро D(u, £) определено в (1.5.38).
4 По 1.5.6 система функций фч г(у) = l/Уmr%(v/mr, у) ортонор-
мирована и ограничена на отрезке [0, тг). Из результатов Вилен-
кина [2] следует, что система {фу, г(х)}”=0 замкнута в L2 [О, тг].
Так как /(</) = 0 при у^тг, то /(«/) можно сопоставить ряд по
системе {фу, r(i/)}, т. е.
f{y) ~ 2 Mv.M У$ [0, тг],
v=0
где
тГ
by = J f (у) фу. г (у) dy = у==- J
v = 0, 1, ... (6.2.8)
С другой стороны, так как f (у) имеет финитный носитель, то (у) €
£1Л(0, оо), а потому в силу 6.2.1
т
mk
f (х) = lim f f (у) % (х, у) dy = С f (у) х (х, у) dy.
(6.2.9)
о
Из (6.2.8) и (6.2.9) вытекает, что
V mr \mrJf
Следовательно,
v = 0, 1, .
fG/)~SMv (6.2.10)
Так как система {фу, г(г/)} ограничена, а функция g(y) = %(x, у)£
£1?(0, тг), то ряд для произведения /(у)х(х» У)> в силу 6.2.10,
можно почленно интегрировать, а потому из (6.2.9) получим
/(x) = Jx(x, y)f± =
% v-0 4 Г 1 4 г '
QD
t. e.
f(x) = — V/f — \ d(— Qxt m \. ►
' v 7 mr \mr j \mr о » r J
r v=0 \ r / \ г /
В качестве следствия из 6.2.11 вытекает
6.2.12. Пусть функция f(x)€L‘(O, оо) 9*-непрерывна на [0, оо)
и ее мультипликативное преобразование f (у) имеет финитный но-
ситель, т. е. f (у) = 0 при у^тг. Тогда f(x)—ступенчатая функ-
ция, постоянная на интервалах г-го ранга 8v(r) — [v/mr,
v = 0, 1, ...
◄ Действительно, доказываемое следует из 6.2.11 и соотношения
/V ~ \ (тг ПРИ 0 ^(ylmr)Qx < 1/тг,
DI — fix, /пг = { „ ., , 4z-< ,
\тг / (0 при \/mr ^(v/mr)Qx < оо. ►
6.2.13. Если функция f(x)£Ll(O, оо)—ступенчатая, постоянная
на интервалах г-го ранга 8'v(r) — [y/m_r, (v+1)//п_г), то ее муль-
типликативное преобразование f(у) финитно, т. е. ](у) = 0 при
У>т_Т.
◄ Так как ступенчатая функция, постоянная на интервалах
r-го ранга бДг), может быть представлена в виде ряда
СО
fU) = Z>v-J-D(/kr,
v=0 г 4 г '
где cv—постоянные, то имеем
со
/(у)=!/(ох(й)
о
О у=
1
— 2
m-r vTo
™-rXG. у) dt.
v
замену
О < (v/m_r) @ t < l/m_f
-Qt = v, т. е. —-
V
1/т
Производя
получим
1(у) = 1^Су f x(-^-©f. y)dv =
v=o J \ m-r J
00 __________1/"» _ r
= L y) f x(v, y)dv.
V=o 'm-r ‘ Jo
Но для y^m_r
t/mr l/mf
$ x(y, y)dv — $ XWH^=O»
о 0
а потому /(</) = 0 при y^mr. ►
Установим теоремы, в некотором смысле обратные к 6.2.12 и
6.2.13, ограничиваясь при этом случаем симметричных наборов 9*,
т. е. случаем 9*'= 9*.
142
6.2.14. Пусть f(x)^L1(O, со) и f(x) = O при х^тг. Тогда
преобразование f(y)—ступенчатая функция, постоянная на интер-
валах г-го ранга 6v(r).~
4 Преобразование /(</) представим в виде
оо г * ______________ х
f(y)= 2 J f W Xcjrt (W) X* ({«/})dx = 2 c( J (fk) XS({«/}),
k=Q k *=°
где fk (*) = f(k + x) и cts(1 (fk) = 0 при k > mr в силу условия f (x) = 0
•при x>mr. Поэтому
mr — 1
Ну)=
k = 0
Но функции %&({«/}) при k^mr — 1 ступенчатые, с наименьшими
интервалами постоянства 6v(r). ►
6.2.15. Пусть f(x)^L1(0, оо) и ^-непрерывна на [0, оо). Если
ее преобразование f (у) является ступенчатой функцией, постоянной
на интервалах г-го ранга §v(r), то f(x) = 0 при х^тг.
<1 Предположим противное, т. е. пусть существует х0, х0^тг,
причем f(xo)#>O. Так как f(x) ^-непрерывна, то существует проме-
жуток [х0, a)£[l, 1+ 1) при некотором целом 1^тг такой, что
/(%)=/= 0 при всех х£[х0, а). Рассмотрим функцию flXot(t) — f ([х0] + t)
для t£ [0, 1). Существует номер v такой, что cv(ftXo])^Q. Преобра-
зование f(y) для r/£[v, v+ 1) представим в виде суммы
l(y)=h(y) + fAy) + h(y),
где
mr mr-1k+1
Ш = У(*)йГу)М= 2 $/(Ох(Г£)Л=
О k=Q k
mr-l 1 mr-l
= 2 $/»(0Kk(y)hui(t)dt= 2 Mf*)Xk(y)
fe=0 q fe=0
является ступенчатой функцией r-го ранга, п выбрано из условия
тг [х0] < тп, а
т,-' _________
h(y)= 2 Cv(fft) x*(z/)»
k —tnr
fAy)= 2 cv(fk)ik(y).
k=ma
Так как функции %к(У) линейно независимы и cv(flXi>y)=£O, то сущест-
вуют два соседних интервала 6ц (п) и 6u+i(n), принадлежащих одному
интервалу r-го ранга 6-(г)£[/, 1+ 1), в которых f2(y) принимает
различные значения. Учитывая, что f9(y) имеет период 1/т„, можно
сделать заключение о том, что функция fa (у) + f3 (у) отлична от
постоянной на 6- (г), а это противоречит условию теоремы. ►
§ 6.3. Представление функций из 1/(0, оо), 1 <р^2,
их мультипликативным преобразованием
В теореме 6.1.7 отмечалось, что для любой функции f(x)£
€1/(0, оо) при 1 < р 2 существует мультипликативное преобра-
зование (0, оо). При р = 2 для нуль-мерных локально ком-
пактных абелевых групп обратимость ^-преобразования доказана
в [1] (с. 84). Докажем обратимость ^-преобразования при 1 <
Далее в этом параграфе последовательность 53 будем считать
симметричной, т. е. p_k = pk для всех &==1, 2, ... Установим одно
свойство ядра D(u, 5), определенного в (1.5.37).
6.3.1. Для всех ядро D(u, 5) принадлежит 1/(0, оо) при
1 < р < оо.
◄ Имеем
$|D(«, £)|₽dw=$|D(M, £)|₽d«+S $ |D(w, 5)1"du.
0 0 l=i I
Для первого слагаемого очевидна оценка
р
€
о
о
о
Пусть /^1. Используя представление (1.5.38), запишем
i+i
\D(u, £)|₽du= J
i
X[5I(«) $ h(x)dx
0
/+1 {£}
= $ $ Xi(*)dx
I 0
Рассмотрим функцию
„ги—/ 1 при
® ' (О при
Имеем
ГО i ____
J K.i(x)dx^[g(x)%t(x)dx = cl(g),
о о
{£}
J XzW^
0
t. e. J %t(x)dx является l-м коэффициентом Фурье функции g(x) по
о
системе (х*(х)}.
Следовательно,
$|£>(«, 2kite)F,-8₽+ 2 2 IMS)!’-"
0 1=1
» Pr-i
^’+2 2 2 kj(£)l₽- (6.3.1)
Оценим коэффициенты ct(g). Пусть (/_,+1],
I ^£=0. Введем обозначения
<7 = exp^ и {^v = L^.
fee 1 *
Тогда
{В (B
Ci(£)=$XiW^= $ Ki(x)dx+ J %t(x)dx + J 7.l(x)dx.
0 ° IB,
Так как при
v/mr
J X/(x)dx=0, v=l, 2, .... r —1,
(v- l)/mr
и отрезок [0, содержит целое число отрезков [(v— l)/m,. v/mz],
U)r_i
то J x,(x)dx = 0, а поэтому
0
_____ ft), (B
ct(g) — $ Ki(x)dx+ $ h(x)dx=
{В,-! {В,
X,(x)dr+ J XzW^=
(B,
^г-1 + ^т1
{1}
= j X»Wdx =
Следовательно,
x=o
^ТГ51+ j K(x)dx.
(В,
1
mr
Подставив эту оценку в (6.3.1),
» Рг-1
sin---
Рг
sin---
Рг
получим
ё) |₽ du < ?р + У. /и,
о г=|‘-,=|
Рг/2]
Pr
Гж 1
Так как р>1, то последний ряд сходится, а значит D(u, |)£
gLp(O, оо) для любого £^г0. ►
6.3.2. Пусть f(x)£Lp(0, оо), где 1 <р^2 и
F (у) = limp- ? f (х) х(х, у) dx,
о
Lp'(О, оо), y + jr=l.
Тогда для почти всех х € [0, оо) имеют место равенства
Ux) = ^f(y^xiy7~i)dtdy, (6.3.2)
О о
t)dtdy^ (б.з.з)
о о
◄ Введем обозначение
f(У, a)=\f(х)х(х, у)dx.
о
Тогда при любом [О, оо) имеем
£ $[?(!/)—1(У> a)]dy 0 /5 \1/Р'/8 \1/Р <( f(y. a)\p'dy) \AiPdy) = \o / \o / = &/рЙ(У)-1(У, a)U
Из условия теоремы следует, что
lim ||?(y)-Uy, a)k = O, (6.3.4) а—*-ао
а потому для всех 5 С [0, оо)
$ f (!/)&/= Hm $ f(y, a)dy,
0 a->QD о
т. е.
$ § Л _______
$ f(y)dy= lim $ $/(Ох(Л y)dtdy =
S а->» 0 0
а £ ав
₽lim $/(0$х(О^^=$/(0‘ЖТ)^.
°-*00 оо о
Таким образом, для почти всех 1€[0, оо)
00
7(&)=3^(ОЩП)<«.
т е. справедливо равенство (6.3.2).
Для доказательства (6.3.3) достаточно установить равенство
£ » Е
$f(x)dx=$ F(fO$x(x, y)dxdy.
О 0 0
(6.3.5)
С помощью функции f(x) зададим последовательность определенных
на [0, 1) функций fb (x) = f (k + х). Рассмотрим интеграл
J f (и, a) D (и, ?) du.
о
По свойству 1.5.3 функции %(х, у) имеем
а
f(u, a)=$f(x)XiWXixi (u)dx =
о
[a]-l _____ " ____ _______
= 2 ci(fft)Zfc(«)+ J f(x)%i(x)dx%taJ(u),
*=0 [al
Для любых 0<|</ns^a, используя (1.5.38), получим
Л(а, |)=J/(u, a)D(u, l)du=\ J c0(f*)x*(«) +
У У h — n
k — Q
0
о
а
+ 5 /WXoW^Xra](w) {l}^[l}(u))du.
[Л] J
Учитывая ортогональность системы {x*(w)} на [0> П, имеем
[«] = /.
(6.3.6)
[&]-l [£] _______
/о («, Ю = 2 c. (/*) + Co (f[Ej) Ш = 5 f (У) dy + c0 (/U]) Co (g), (6.3.7)
й= 0 о
0
где
Аналогично
если
если
J f (и, a) D (и, £) du =
1
« '+1 Г[а1-1
О
= 2 J A C, (fk) Xt («) + \f (x) Xi (x) dx X[a] («) X
z=i i> [*=o j
Ш 00 _______
x Xi?] <“) j dt = 2 cz (f{6j) Ml).
Так как (x) € L3 (0, 1), £(х)£1/’(0, 1), то выполнено
Парсеваля
СЮ 1 6
2 с, (/lb]) С/ (g) = J Zu] (x) g(x)dx = J / (X) dx.
1=0 о ш
(6.3.8)
равенство
(6.3.9)
Из (6.3.7)—(6.3.9) заключаем, что
<» £
J f (и, a)D(u, l)du=^f(x)dx.
о о
Применим неравенство Гельдера
(6.3.10)
[?(«)-?(«, a)]D(u, l)du <||f («)-?(«, «)1И|Я(«. &)|р
и, используя (6.3.1), 6.3.4 и (6.3.10), при £:>0 получим равен-
ство (6.3.5)
» §
jf(n)D(n, l)du = ^ f (x)dx ►
о о
Глава 7
РЯДЫ УОЛША С МОНОТОННО УБЫВАЮЩИМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ
§ 7.1. Сходимость и интегрируемость суммы ряда
Пусть {сп}, п = 0, 1, ..., — монотонно убывающая последователь-
ность действительных чисел, т. е. Дс„ = с„—cn+i2>0, n = 0, 1, ...
Если при этом с„ —< 0, то будем писать сп 10.
Ниже мы систематически будем пользоваться следующим легко про-
веряемым тождеством, называемым преобразованием Абеля (см. [12],
с. 9):
л-1 л-2
2 2 ^ak^k+l + ап-1Вп—
k=m k=m
fc-1
где Bo = 0 и ^k= bt при k^l.
i = 0
7.1.1. Если cn 10, то ряд
(7.1.1)
сходится на интервале (0, 1), причем на любом интервале вида (6, 1),
где 0 < 6 < 1, он сходится равномерно.
Л- 1
•4 Пусть Sn(x)= 2 с№к(х)—частные суммы ряда (7.1.1). Приме-
«=о
няя преобразование Абеля, при l^m<n имеем
3» W —(х) = 2 с»®» (х) =
k—m
п — 2
= 2 ^kDk+i(x) + cn.1Dn(x)—cmDm(x), (7.1.2)
k-=m
k-\
где Dk(x) = 2tt’/(x)—ядро Дирихле. Как было показано в § 1.4,
/'= о
справедливо неравенство
|Dk(x)| < 1/х, 0<х<1, fc=l,2, ... (7.1.3)
Поэтому из (7.1.2) получаем
л-2
|S„(x)-Sw(x)|<l ^ck + -^ + cf~A. (7.1.4)
Так как с„ —* 0, то в силу произвольности п > т отсюда вытекает
сходимость ряда (7.1.1) в точке х£(0, 1). Более того, если 6 € (0, 1)
фиксировано, то
sup | S„ (х)—Sm (х) | < 2ст/6, п>т.
6<Х< 1
Из этого неравенства на основании критерия Коши и следует рав-
номерная сходимость ряда (7.1.1) на интервале (б, 1). ►
Отметим, что сумма ряда (7.1.1) в условиях теоремы 7.1.1 может
оказаться не интегрируемой по Лебегу на (0, 1).
7.1.2. Существует такая монотонно стремящаяся к нулю после-
довательность что функция
f(x)='2tcnwn(x) (7.1.5)
п=0
не интегрируема на интервале (0, 1).
◄ Как было доказано в § 2.2, для констант Лебега
1
Ln=\\Da{x)\dx, п=1, 2, ....
О
справедливо неравенство
Ln С logs«
при п^4
(7.1.6)
и существует такая стремящаяся к бесконечности последовательность
[пк} натуральных чисел, что
6 = 0, 1, ...
(7-1.7)
Более того, последовательность удовлетворяет условиям 2*<J
<пл<2*+1, Л = 0, 1, ... (см. (2.2.4)).
Выберем из последовательности {nk} такую подпоследователь-
ность |/пл}, чтобы выполнялись неравенства
S—1 Xl/log2mfc < : у / logs ms,
Л=1 00 (7.1.8)
V Vs ' 7 Кlog2 ms,
где 2V* ^ms < 2V*+1. После этого положим
С^С1==...=С^1 = £_^=, ....
Cmft = Cmft+i= • • • =Cms + 1-i, •••, (7.1.9)
('Ш. ^.4,1 ~ ./~Т~."~ ’ ^=0» 1> ...» ('Шц =
t fe+1 ylog2mft
Очевидно, сп 10. Поэтому согласно 7.1.1 ряд в правой части
(7.1.5) равномерно сходится на всяком интервале (6, 1) при 0<
<6< 1. Следовательно, функция f(x) интегрируема (даже в смысле
Римана) на [6, 1). Введем обозначение .
1
/(б)= J|f(x)|dr, 0<б<1, ,
б
и покажем, что / (6) —> оо при 6—^0, откуда и будет следовать,
что функция f(x) не интегрируема на (0, 1).
Применяя преобразование Абеля, на основании (7.1.9), получим
А (*)
У k
k= 1 mk
, 1 2“VJ Ч
* i/~i = ' Dms(x )| dx С | Dms(х) | dx j
S Г ( /i^2 У J Dm* {x) 1
(7.1.10)
Поскольку {тк} является подпоследовательностью {пк\, то согласно
(7.1.7) справедливо неравенство
Учитывая это, а также неравенства (7.1.3), (7.1.7), (7.1.8) и оценку
| Dms (х)| ^ms, из (7.1.10) получим
>4 KiogX-
— У -7== ( Т 'j К log» ms-7==== —►оо, S —* оо.
'4 s ' Klog»m,
Отсюда в силу монотонности функции I (6) следует, что / (б) —► оо
при б—>-0. ►
Таким образом, для того чтобы сумма ряда (7.1.1) с монотон-
ными стремящимися к нулю коэффициентами была интегрируемой
по Лебегу функцией, на коэффициенты этого ряда надо наложить до-
полнительные условия. Такое условие содержит следующая теорема:
7.1.3. Пусть последовательность {с„^0} монотонно убывает и
сходится ряд
(7.1.П)
п= 1
Тогда ряд (7.1.1) на интервале (О, 1) сходится к суммируемой
функции и является ее рядом Фурье—Уолша.
•4 Заметим сначала, что из сходимости ряда (7.1.11) и монотон-
ного убывания последовательности {ся} вытекает условие
c*log^<C У 7“*°. й—*оо, (7.1.12)
п=[УТ]
откуда, в частности, следует, что ck —► 0. Поэтому, согласно теоре-
ме 7.1.1, ряд (7.1.1) на интервале (0, 1) сходится к некоторой функ-
ции /(х). Докажем, что f€L[O, 1).
Пусть v—натуральное число и пусть Тогда на
основании неравенства (7.1.4) имеем
sup
п>т
п—1 m + v—1 п — 1 I
2 c4wfc(x) < 5 с»+ sup S ckwk(x) <
k=m k=m n>m + v k=m+v |
m + v-1 m + v-1 m+v-1
сь H 2 сь + 4vcm+v ^5 ck.
k=-m k=m k=m
Отсюда
i
A» = $SUP
o n>tn
n- 1
2 ckwk (x) dx =
fc = /n
v= 1 l/(v+ 1)
sup
n>m
n-1 co m+v—1
У сЛ(х) dxcsy^^ £
k=m v=l k—m
Применяя преобразование Абеля, получим
У —!___
~v(v+l)
Поэтому
У + У _£2________
т „ /л—т + 1
п—т гт=2т/
(7.1.13)
Так как ряд (7.1.11) сходится и выполнено условие (7.1.12), то
правая часть в неравенстве (7.1.13) при т—»• оо стремится к нулю.
Но поскольку
I
Jls»w—smW\dx^ln
О
при п > т,
152
!
J
то последовательность частных сумм s„(x) ряда (7.1.1) фундамен-
тальна в пространстве L(0, 1) и в силу полноты этого простран-
ства (см. П2.1, П5.1, П5.2) сходится в пространстве L(0, 1) к неко-
торой суммируемой функции s(x). Однако выше было установлено,
что ряд (7.1.1) всюду на (0, 1) сходится к некоторой функции f(x).
Отсюда (см. П5.2.4) следует, что s(x) = /(x) почти всюду. Таким
образом, сумма f(x) ряда (7.1.1) есть суммируемая на (0, 1) функ-
ция. Но тогда ряд (7.1.1) является рядом Фурье—Уолша функции
f(x). Действительно, так как
1
lim J |s„ (х)—f (x)|dx = 0,
П->00 Q
то тем более
i
lim $ wm (x) [s„ (x)—f (x)] dx = 0 (7.1.14)
rt-*QO Q
для всякого фиксированного /и = 0, 1, ...
Но так как при п^т справедливо равенство
1
\wm(x)sAx)dx = cm,
О
то из (7.1.14) получаем
1
cm=^f(x)wm(x)dx, т = 0, 1, ... ►
о
Если проанализировать доказательство теоремы 7.1.3, то легко
заметить, что фактически установлена следующая теорема:
7.1.4. В предположениях теоремы 7.1.3 последовательность частич-
ных сумм s„(x) ряда (7.1.1) сходится в L(0, 1) и имеет интегри-
руемую мажоранту, т. е.
SUPI s„ (х) | € L (0, 1).
Если с„|0, то по теореме 7.1.1 ряд (7.1.1) сходится равномерно
на всяком интервале (б, 1), где 0<б< 1. Поэтому его сумма /(х)
интегрируема по Риману на [6, 1) при всяком б£(0, 1). Оказы-
вается, что при этих условиях функция f(x) интегрируема в несоб-
ственном смысле, т. е. существует и конечен предел
।
lim \ f (х) dx.
о $
Более того, справедлива следующая теорема:
7.1.5. Если с„|0, то функция f(x), определяемая равенством
(7.1.5), интегрируема в несобственном смысле и ряд в правой части
(7.1.5) есть ее ряд Фурье—Уолта в этом смысле, т. е.
1
сп- lim f (х) wn (х) dx, п = 0, 1, ... (7.1.15)
0-*-+ 0 s
◄ Заметим, что из (7.1.15) при п = 0 следует несобственная
интегрируемость функции f(x). Таким образом, для доказательства
теоремы достаточно доказать равенства (7.1.15).
Так как в предположениях теоремы ряд в правой части (7.1.5)
равномерно сходится на [б, 1), 0<6< 1, то при любом М = 0,
1,... имеем
f (х) WN (х) dx = S Сп \ Wn (*) WN W =
п=о б
б
б
(х) WN W dx— 5 Wn (х) WN (х) dx
о
00 г
= cN— 2 М Wn (х) wN (х) dx.
”=о О
Будем считать 6 > 0 столь малым, что wN(x)= 1 на [0, 6]. Тогда
предыдущее равенство примет вид
1 00
$ f (х) wN (x)dx = cN— (х) dx.
б о
Теорема будет доказана, если покажем, что
со $
/(6)= 2 wn (x)dx-*0, 6 — 4-0. (7.1.16)
n=0 J
СО
Представим число б в виде 6 = 2 2_р*, где 1^рЛ< pk+i и рк—
1
целые. Воспользуемся неравенством
2Р1- 1
|/(б)|<б 2
п = 0
Согласно 1.1.4
* с
2 сД™п (х) dx .
О
(7.1.17)
2“Р1
J wn(x)dx = 0 при
о
и поэтому
СО б СО $
2 cnyVn(x)dx= 2 сп J wn(x)dx =
П92Р^ 0 nst2Pi 2 — Pi
а р2»+1) 2Р»-1-! 6 2(?+1)2Р1“1-1 «
= 21 2 сп } w„(x)dx+ 2 сп 5 wn(x)dx
q~1 ( 4=2<7.2Pi-1 2~₽» n=(2e+1) 2Pi— 1 2~Pi
(7.1.18)
Если n = 2q2f,'~i -\-s, где 0^s<2p<-1, то
®nW = “’2«2P1-l W Ws (X)-
Поскольку о»,(х)=1 при х€[2-р*, 2~р*+1)=>[2-Р‘, 6), то
(2<Z+1) 2Л-1-1 * f(2<7+l) 2Р1-1-! «
2 сп J a’„(x)dx=| 2 сп\ J w2q2Pl_l(x)dx.
ne2g2P«-1 2~ Pi \ n = 2q2Pi~l ) 2-Pl
Если же л = (2</+1)2р‘_14-s, где 0^s<2p<_|, то
(7.1.19)
0У„ (х) = 2Р1 _ 1 (х) W2Pl_ | (х) ws (х).
При х£ [2-р', 2-р>+1), как и выше, гг>Дх) = 1, a гг>2Р1_1 (x) = rP1_i (х)=
=—1. Поэтому
2(0+1) 20<“!-1 £
2 . сп $ wn(x)dx =
(20+1) 201“ 1 2“0i
f2 (0+1) 201 “ 1 — 1 б
= — ( 2 сЛ J tt>2<z2P1_i(x)dx. (7.1.20)
I (2?+1) 2Рх-< у 2-Р1
Из (7.1.18) —(7.1.20) получаем
1Л(в)|<в2
0=1
(20+ 1) 201 “ 1 - 1 2 (0+ 1) 201 “ 1 - I
2 с„— 2 сп
/1=20201“! n=(20+ 1) 201“ 1
^8 2|^Л-4+11й|. (7.1.21)
0=1
Так как последовательность {с„} монотонно убывает, то последо-
вательность {As, P1}S-2 также монотонно убывает. Следовательно,
00
2| ^«0. pt ^20+1,
0=1
) оо 3-20i“!-I
& 2( О5 ^0, рх ^2, Рх ” 2 2Pl” lC20L
s—2 n=20i
Отсюда и из (7.1.12) получаем неравенство
|/1(6)|<62p1->c2P,.
Но так как 6^2-2_р‘, то | Л (б) | Сс2р,- Поэтому из (7.1.17), учи-
тывая обозначение /г(6) (см. (7 1.18)), получаем
2P1-I
|/(б))<2-р' + 1 2 с„+с2Р =2o2Pt + c2Ptt
п = 0
где через о„ обозначены (С, 1)-средние последовательности {с„}.
Если о—► 0, то pt—► оо, и поскольку сп—>-0, а метод суммирова-
ния (С, 1) регулярен (см. 4.1.3), то о2Р,—*0. Тем самым /(б)—-О
при 6—>0, и требуемое утверждение доказано. ►
Кроме несобственного интеграла в вопросе об интегрируемости функций, пред-
ставляемых рядами Уолша с монотонными коэффициентами, полезным оказывается
понятие так называемого Д-интеграла, который определяется следующим образом.
Измеримая на множестве Е функция f (х) называется А-интегрируемой, если
выполнены два условия:
1) lim /Vmes{x: xg£, | f (х) | > N} = Q;
2) существует конечный предел
Um
7V-> + оо £
где
rf/ynAT-J ПрИ
17 WJ —0 при |;(x)|>yv.
Последний предел называется А-интегралом функции f по множеству Е и
обозначается через
(Л) 5 f (х) dx.
Е
Если функция f (х) интегрируема по Лебегу на множестве В, т. е. принадле-
жит классу L (Е), то для нее условия 1) и 2) выполняются. Следовательно, она
Л-интегрируема на В. Однако обратное утверждение неверно. Это будет следо-
вать, например, из 7.1.2 и доказываемой ниже теоремы
7.1.6. Если сп j 0, то функция (7.1.5) в интервале (0, 1) А~интегрируема и
0» = И) J f (х) (X) dx
(О, 1)
n = 0, 1,
(7.1.22)
т.е.ряд (7.1.1) является рядом Фурье—Уолша функции fe смысле А-интеграла.
4^ При доказательстве можно считать, что с0 > 0, так как в противном слу-
чае все коэффициенты с„ = 0 и утверждение теоремы очевидно. Итак, пусть > О
и задано N > 0. Положим п0 = п0 (N) = [N/2с0], где [а] — целая часть числа а.
Заменяя в неравенстве (7.1.4) индекс т на л0 и устремляя л к оо, получим
Если х£(0,
CnWn (%)
/7=0
00
2
k=n0
< 2сл0/х»
1) таково, что |/(х)|> то
lim Сио = 0, то
7V-*oo
О < х < 1,
00
2 CnWn W
п= п0
> W/2,
jV/2. Следовательно, N/2 < 2cli0/x, т. е. х < 4cn0/N,
(7.1.23)
поскольку
Так как
mes{x: xg(O, 1), |/(х) | > N} = o(]/N), W—►+«>,
и условие 1) из определения Л-интегрируемости функции f по интервалу В = (0, 1)
выполнено.
Проверим выполнение условия 2) этого определения. Для этого положим
ejv= sup х. Поскольку при | / (х) | > W выполняется неравенство х < 4с /N,
I / (х) f > N °7
то е^^4с уА/. Учитывая это, имеем
। 1
$ [/ (*) wn(x)\^dx— J f (х) wn (х) dx
0 £TV
I
} (/ W wn (x)]Ndx < /VeA< 4сПо.
о I
(7.1.24)
По теореме 7.1.5
сп, n=0, 1,.
и поэтому из (7.1.24), принимая во внимание, что
lim сп =0,
N « "°
получаем равенство
1
lim f [/ (х) wn (x)]Ndx = cn> 71 = 0,1,,..,
0
которое, с учетом доказанного условия 1), равносильно (7.1.22). При п = 0 из
(7.1.22) вытекает Л-интегрируемость функции f на (0, 1), чем полностью доказы-
вается 7.1.6.
Закончим этот параграф следующей теоремой:
7.1.7. Если £„|0, то функция f(x), определяемая равенством
(7.1.5), в интервале (0, 1) интегрируема по Лебегу в любой степени
1)> причем
1
lim \\f(x)—Sn(x)\?dx = 09 (7.1.25)
* о
п-1
где S„ (х) = 2 ckwk (х).
◄ Воспользовавшись неравенством (7.1.23), при любом р£(0, 1)
имеем
\f(x)-Sn(x)\r^(2cn/x}P, 0<х<1, п=1, 2,...
Интегрируя это неравенство, получим
1 1
j| f (x)-S„(х)Кdx<(2слИ.
о о х
Правая часть последнего неравенства при п —► оо стремится к нулю,
чем и доказывается (7.1.25). Наконец, из условий
1 ।
$|S„(x)|/’dx< оо, J|f(x)—S„(x)|>’dx< оо
О о
вытекает, что
। 1 1
$ |f(x)p’dx< J |S„(x)|Pdx + $ |/(х)—Sn(x}\Pdx< оо,
О'4 о
что завершает доказательство утверждения 7.1.7. ►
§ 7.2. Ряды с квазивыпуклыми коэффициентами
Пусть n = 0, 1,... — некоторая последовательность действи-
тельных чисел. Положим Дсл = е„—сл+1) Д2сл = Д (Дсл) = сл—2сл+14-
+ сп+а, n = 0, 1,... Если Дсл>0, п = 0, 1.....то последователь-
ность (с„} называется монотонно убывающей, а если Дгся 0, п =»
= 0, 1,...,то—выпуклой.
7.2.1. 1) Если последовательность выпукла и ограничена
вверху, то она монотонно убывает-,
2) если последовательность {ся} выпукла и ограничена, то
пДс„—<-0, п—* оо, (7.2.1)
и
2(п + 1)ДЧ<«>- (7-2.2)
п=0
◄ 1) Пусть последовательность {сп\ выпукла и ограничена сверху.
Докажем, что она монотонно убывает, т. е. Дс„^0, и = 0, 1,...
Предположим противное, т. е. найдется такое неотрицательное це-
лое т, что Дся < 0. Но так как Д2ся^0, n = 0, 1,..., то Дс„ < 0
и | Дс„ | > | Дся | при всех п > т. Поэтому
п —1 л- 1
Сп—ст — ~ 2 ^ск = 2 т)|Дст|-*оо, п —► оо,
k-m k=m
что противоречит ограниченности последовательности
2) Пусть последовательность выпукла и ограничена. Тогда
согласно 1) она монотонно убывает, т. е. Дг„^0, n = 0, 1,... Так
как {cj ограничена снизу, то она имеет конечный предел lim сп = с.
п-+ 00
Следовательно,
. с0—с = 2 < оо. (7.2.3)
л = 0
Но в силу выпуклости {с„) члены ряда (7.2.3) образуют монотонно
убывающую последовательность. Следовательно, из его сходимости
вытекает (7.2.1).
Применяя преобразование Абеля, получим
п, л-1
S Ч- 2 (* + 1) Д2сй + (п4-1)Ьса. (7.2.4)
4=0 4 = 0
Согласно доказанному (n+ 1) Ьсп —<-0 при п—► оо, а
Л
^2 Д^4 — ““ с„ j Cq с, п * оо.
4=0
Поэтому, переходя к пределу в равенстве (7.2.4), имеем
2 (* + 1) Д% = с0—с.
4 = 0
Следовательно, (7.2.2) доказано. ►
7.2.2. Если последовательность \сп} выпукла и сп-+Ъ, то {о„}
монотонно убывает и выполнены условия (7.2.1) и (7.2.2).
◄ Это утверждение непосредственно вытекает из предложения
7.2.1, поскольку условие сп—>-0 влечет ограниченность последова-
тельности (сп\. ►
Если последовательность {с„} такова, что
2 (и+1)|Д*с„|<оо, (7.2.5)
п = 0
то она называется квазивыпуклой. Из предложения 7.2.1 следует,
что ограниченная выпуклая последовательность является квазивы-
пуклой.
7.2.3. Если последовательность {с„} квазивыпукла, то ее члены
удовлетворяют условию (7.2.1).
◄ Действительно,
|Ася| =
00
fe = n
k=n
П —* ОО. ►
Следующая теорема дает достаточное условие того, чтобы ряд
(7.2.6)
п=0
являлся рядом Фурье—Уолша некоторой функция класса L(0, 1).
7.2.4. Если сп~>0 и последовательность квазивыпукла, то
ряд (7.2.6) является рядом Фурье—Уолша некоторой функции
класса L(0, 1).
Для доказательства этой теоремы потребуется следующая лемма:
7.2.5. Если сп[0 и сумма f(x) ряда (7.2.6) на интервале (0, 1)
принадлежит классу L(0, 1), то ряд (7.2.6) является рядом Фурье—
Уолша функции f.
< Очевидна следующая оценка:
1 1 б
J f (х) wn(x)dx— J f(x)wn(x)dx < J | f (x) |dx. (7.2.7)
об о
Так как по свойствам интеграла
б
lim |/(x)ldx = 0,
то из (7.1.15), (7.2.7) и (7.2.8) следует соотношение
1
J f (x)u»„(x)dx = c„, n = 0,
о
что и доказывает 7.2.5. ►
< Перейдем к доказательству теоремы 7.2.4. Пусть
(7.2.8)
п-1
w = 2 w
* = 0
— частная сумма ряда ^7.2.6). Применяя дважды преобразование
Абеля, получим
п-3
(X) = 2 (£ + !) W +
/г=0
+ (п— 1) (х) + cn_iD„ (х), (7.2.9)
где /<я (х) = — У В/Ах)- Так как | Dn (х) | < 1/х, а следовательно, и
*=1
|/(и(х)|<1/х при 0<х<1, то из предложения 7.2.3 и условия
сп —► 0 следует, что два последних слагаемых из правой части ра-
венства (7.2.9) при п—► оо стремятся к нулю при 0<х< 1. Далее,
поскольку | Кп (х) | < 1/х, то
У (/• + 1)|Д»^+1(х)|<1у (k + 1)|Д*с*|.
k=-0
Так как последовательность по условию квазивыпукла, то ряд
в правой части последнего неравенства сходится. Поэтому при 0<
< х < 1 сходится ряд
2 (k+ 1)Д’сЛА+1(х).
*=о
Следовательно, предел правой части равенства (7.2.9) при п—* оо
существует и конечен при 0<х< 1. Переходя к пределу в ра-
венстве (7.2.9) при n—»-оо, 0<х< 1, получим
/(х)= lim s„(x) = 2 (6+ 1)№скКк+1(х).
п-*- оо fe=0
Отсюда
|f(x)|< 2 (£+1)|дЧ№+1 (x)|.
<г=0
На основании 4.2.2 имеем
2 (k+ 1)| ДЧ1 $ |*t+i (x)|dx<2 2 (*+1)|Д^|<оо,
J (, fc=o
поэтому f(x)£L(O, I), причем
г 00
\ |/(x)|dx<2 2 (fe+ 1)|Д»с*|-
0 ьо
Так как f(x)£L(O, 1), то в силу леммы 7.2.5 ряд (7.2.6) является
ее рядом Фурье—Уолша. ►
§ 7.3. Ряды Фурье функций из класса Lp
В этом параграфе приводится необходимое и достаточное условие
того, чтобы сумма ряда
2 Cnwn{x) (7.3.1)
П=0
с монотонными коэффициентами являлась функцией из Lp [О, 1],
1 < р < оо.
Прежде всего установим лемму.
7.3.1. Пусть 1 < р < оо, <р(х)^О и функция уР(х)хР~* сум-
мируема на (1, оо). Тогда Фр(х)х~2, где
O(x)=fq>(0di (7.3.2)
1
также суммируема на (1, оо), причем
00 00
J 2^- dx<Ap^ (х) хР~* dx, (7.3.3)
1 1
где постоянная Ар зависит лить от р.
◄ Заметим сначала, что для любого а >= 1 их > а, применяя
неравенство Гельдера, имеем
$ Ф (t)dt = $ ф (0 t^-^/Pt-^-^pdt <
а а
/ х \ 1/р / х \ (P-D/P
yp(t)tP-*dt) Н t-b-Mp-vdt \ . (1.3А)
\а / \а J
С помощью этого неравенства покажем, что
ф (х) = J ф (/) dt = о (х1/р)9 х —> + оо. (7.3.5)
Действительно, второй сомножитель в правой части (7.3.4) имеет
порядок х1/р, а первый, согласно условию леммы 7.3.1, при доста-
точно большом а можно сделать сколь угодно малым. Следовательно,
для любого 8 > 0 можно выбрать а так, чтобы было справедливо
неравенство
х
J Ф (t) dt < ех1/р, х > а.
а
Фиксируя такое а, получим оценку
X
Ф(х) = Ф(а) + y(t)dt < Ф(а) + ех1/р, х > а.
а
Но если х > а достаточно велико, то Ф (а) < ех1/р и при таких я
имеем Ф(х)<2ех1/р. Отсюда в силу произвольности е>0 и сле-
дует (7.3.5).
Интегрируя по частям, получим
f = —1^®* + р f [Ф(0р-х-^-dt. (7.3.6)
I 1
6 Б. И. Голубов и др. 161
В силу (7.3.5) [Ф(х)р7х~*0 при х—►оо. Поэтому остается оценить
интеграл в правой части (7.3.6). Для этого воспользуемся тождеством
[ф(/)]Р-1^ = {[ф(/)]р-Ч-^-1}{<р(0
Применяя неравенство Гельдера, будем иметь
X
5[Ф(0Р_1ф(0-7-
1
М]-У 1,/₽ ( f [ф (/)]/> tP-^dt
Отсюда и из (7.3.6) следует оценка
X \ (о— i Vo / %
1 \1 / \1
X—> оо.
Деля обе части -того неравенства на первый из двух сомножителей
правой части, получаем
х —► ОО.
Из этого соотношения непосредственно следует (7.3.3). ►
7.3.2. Если последовательность {сп^0\ монотонно убывающая и
сю
2 (%ПР~* < оо,
п= 1
1 < р < оо,
(7.3.7)
то ряд (7.3.1) является рядом Фурье—Уолша некоторой функции
1].
Для натурального k положим
/I / т \р
Ik= J sup 2 cnwn(x) I dx.
q \m > k n=k /
(7.3.8)
Докажем неравенство
для 1 < p < 2,
для p^2,
(7.3.9)
где постоянные Ср зависят только от р.
Заметим, что в § 7.1 при доказательстве теоремы 7.1.3 для вся-
кого натурального v и l/(v+ 1) < x<J 1/v было установлено нера-
венство
п fe+v-1
sup <9 2 с«-
n^k m=k m=k
Поэтому
» J zft+v-1
/ft 21 v2 \ 2i ст ) •
v= 1 \ m=k /
Полагая <p(x) = cn+fe_1 при n^x<n+l, легко видеть, что усло-
вие (7.3.7) обеспечивает суммируемость функции на (1, оо).
Используя 7.3.1, приходим к оценке
21 (21 Gz+ft-ij L ^n+k-i^p “•
v=l \n=l / n=1
Следовательно,
1к<9рАр 2 <%("—k+ 1Х-». (7.3.10)
n = k
Отсюда для случая р^2 получаем нужное неравенство (7.3.9)
с Ср = 9РАр. Если же 1 < р < 2, то
(2ft-1 ос \ ft со
5 + 2 /<%(п—k + i)p-2^cp 2 ip~*+2*-p 2 cfrip~a.
n=k n=2k/ 1 = 1 n = 2k
Из этого неравенства и (7.3.10) следует оценка (7.3.9) при 1<р<2.
Таким образом, оценка (7.3.9) доказана и из (7.3.7) и (7.3.9)
заключаем, что 1к —< 0 (k —► оо). Но тогда из определения величины 1к
(см. (7.3.8)) следует, что последовательность частных сумм ряда
(7.3.1) фундаментальна в пространстве Lp [0, 1]. На основании пол-
ноты пространства Lp [0, 1] заключаем, что существует такая функ-
ция f (х) € Lp [0, 1], что
/ ‘ \ i/р
lim ( \ |s„(x)—f (x)|Pdx I =0.
n-<-«\o /
Тем более
i
lim J|s„(x)—f(x)|dx = 0.
® о
Отсюда, как и при доказательстве теоремы 7.1.3, выводим, что ряд
(7.3.1) является рядом Фурье—Уолша функции f. ►
На самом деле доказана более сильная теорема:
7.3.3. Если последовательность с„ 0 монотонно убывает и вы-
полнено условие (7.3.7) при некотором р€(1, оо), то ряд (7.3.1)
сходится в пространстве Lp[0, 11 к некоторой функции f и яв-
ляется ее рядом Фурье—Уолша. Более того, частные суммы sn(x)
ряда (7.3.1) имеют мажоранту sup |s„(x)|, принадлежащую про-
п > 0
спгранству L^[0, 1].
Справедлива теорема, обратная теореме 7.3.2. Для ее доказа-
тельства потребуется следующая лемма:
7.3.4. Если «р (х) £ L? [О, 1], 1 < р < оо, то имеет место нера-
венство
С J dx С (_£_ Y j | ф (х) Г dx, (7.3.11)
где
ф(х)=$|ф(/)|Л. (7.3.12)
О
< Прежде всего при 8 > 0, интегрируя по частям, получим
1 («». j pyaf dx _ ~ |;+j i®' -
8 е
т. е.
j
1 <8> < + 7Г=Т J[Ф (Л)Г 11Ф (%) 1 Х1~Р (7,3’13)
8
С помощью неравенства Гельдера из (7.3.12) получаем
/ • \ 1/Р / х \ (р- 1)/р
Ф(х)< Н |Ф(/)|^4 Кdt\ х~> + 0,
Io / ко )
и потому
[Ф (8)] W1 — О, е —> + 0.
Снова используя неравенство Гельдера, будем иметь
р/р
Ф (х)!^ dx >
= [/(е)](р-1>/₽
1 р/р
£|ф(х)р*£1х| .
<8 /
(7.3.14)
Из (7.3.13) и (7.3.14) находим
[/(8)]‘/'><о(1) + ^^
IФ (X)lp dx
8 — 4-0.
Переходя в этом неравенстве к пределу при 8 —► + 0, получим
i/р
i/р
что равносильно (7.3.11).
о
7.3.5. Если сп|0 и сумма f (х) ряда (7.3.1) является функцией
из LS [О, 1] при некотором р> 1, то выполнено условие (7.3.7).
Положим
X X
F(x)= f(t)dt, F1(x) = ^[f(t)\dt.
о е
Воспользуемся равенством
2"
О
при
при
0<х<2-»,
2“"<x< 1
(см. § 1.4). Тогда, учитывая монотонность последовательности {сп},
для любого натурального п 1 получим
Простые подсчеты приводят к неравенствам
2 c?».12« 2 FP(2-n)2n{P~1^
п=1 п=1
n=l 2”w 0
Отсюда на основании 7.3.4 получим оценку
ОО 1
У, (ftn -1 2'”/’-1» < (Дз)” J I f (*Fdx.
п=1 о
Принимая во внимание монотонное убывание последовательности
{сп}, имеем
оо оо 2^
2 С%ПР-?^ 2 <&-i 2 пР-*^
П=1 /?=1 n=2^-1
1
<шах(2Р-\ 2*-Р) 2 cfA-i2ft</’-1)<C;>$|f(xFdx.
fe=l о
Поскольку / £ [0, 1], то отсюда немедленно следует условие
(7.3.7). >>
Объединяя теоремы 7.3.2 и 7.3.5, приходим к следующей тео-
реме:
7.3.6. Для того чтобы ряд 7.3.1, где был рядом Фурье не-
которой функции из Lp[O, 1], 1 < р < оо, необходимо и достаточ-
но, чтобы выполнялось условие (7.3.7).
Глава 8
ЛАКУНАРНЫЕ ПОДСИСТЕМЫ СИСТЕМЫ УОЛША
§ 8.1. Система Радемахера
Система Радемахера (гДх)} = {и>2* (х)}, & = 0, 1, ...» с помощью
которой определяются функции системы Уолша (см. § 1.1), являет-
ся типичным представителем так называемых лакунарных подсистем
системы Уолша, свойства которых изучаются в следующих параг-
рафах этой главы. Эта система функций и ряды по ней обладают
интересными свойствами. Отметим прежде всего свойство мульти-
пликативности, которое выражается следующим предложением:
8.1.1. Если ... ^nk, k=l, 2, ...—произвольный
набор целых неотрицательных чисел, то интеграл
1
$ ГП1 (х) Гпг (х) ... Гп k (х) dx
о
равен 0 или 1, причем он равен 1 лишь в том случае, когда под
интегралом стоит произведение нескольких пар одинаковых сомно-
жителей.
«4 Это утверждение легко следует из 1.1.1 и свойства ортонор-
мированности системы Уолша. >
00
8.1.2. Если сходится ряд 2 то ряд по системе Радемахера
п=о
S апгп (х)
л=о
(8.1.1)
сходится почти всюду на [0, 1).
4 Так как rB(x) = o>3»(х), n = 0, 1, ..., то ряд (8.1.1) записы-
вается как
СО
2 апыгп (х).
п=о
(8.1.2)
По теореме Рисса—Фишера (см. П5.4.3) ряд (8.1.2) является рядом
Фурье—Уолша некоторой функции f(x)£L2[0, 1). Для этой функ-
ции
1
5ал (х, /) = 2 a-nw%n (х).
/1=0
(8.1.3)
По теореме 2.5.12 подпоследовательность частных сумм (8.1.3) ряда
Фурье—Уолша функции /(x)gL2[0, l)czL[0, 1) сходится почти
всюду на [0, 1). Но S2*(x, /) совпадает с частной суммой порядка
k ряда (8.1.1). Это завершает доказательство утверждения 8.1.2. >>
00
8.1.3. Если 2an==00, то ряд (8.1.1) расходится почти всюду
п=0
на [0, 1).
П-1
<< Положим 8я(х)= У aferft(x). Предположим, что утверждение
k-о
теоремы неверно, т. е. найдется ряд (8.1.1), сходящийся на некото-
ром множестве £ocz[O, 1) положительной меры Лебега, коэффици-
00
енты которого удовлетворяют условию 2 ап=°°- По теореме Его-
о
рова этот ряд равномерно сходится на некотором множестве ЕсЕ0
также положительной меры Лебега. В частности, существует посто-
янная М > 0 такая, что
|sn+F(x)—s„(x)|^Af, х^Е, п, р—натуральные.
Следовательно,
S (sn+p (x)—sn (х))2 dx < М* | Е |
или
ИПЧ-Р-1 \2
2 акгк(х)] dx =
k-n J
П+р-1 р
= |Е| 2 а? + 2 2 akai J rk(x) r{(x)dx. (8.1.4)
k-n n<k < n+p-1 E
В силу 8.1.1 система функций {^(х)rf(x)}, где ортого-
нальна и нормирована на [0, 1). Поэтому по неравенству Бесселя
/ \ 1
2 (S = (8.1.5)
0< k < i <00 \£ / О
где Хв(х)—характеристическая функция множества Е, т. е. х^(х)= 1
для х£Е и Хг(х) = О Для х(£Е. В левой части неравенства (8.1.5)
стоит ряд из квадратов коэффициентов Фурье функции Хг(х) по
ортонормированной системе {гк(х) r{(x)}, Поскольку
|Е]^1, то ряд слева в неравенстве (8.1.5) сходится, и поэтому
найдется такое число N (Е), что при всех n^N (Е) и всех р = 1,2, ...
справедлива оценка
S ( $ г к (х) rt (х) dx\ < | Е |2/9.
k < i < n+p-i \Е /
Учитывая это и пользуясь неравенством Коши — Буняковского, по-
лучим
2 akat] rh(x)r{(x)dx
k < i< n + p-i Е
п + р-1
k-n
Следовательно, используя (8.1.4), имеем
2
k-n
n^N(E), р= 1, 2, ...
ОО
Это означает, что ряд a„ сходится вопреки предположению. По-
п=о
лученное противоречие доказывает 8.1.3.
8.1.4. При любых р>0 и произвольных натуральных п справед-
ливо неравенство
<4 Докажем сначала (8.1.6) для случая р = 2г, где г — натураль-
ное число. Очевидно, имеет место тождество
"п-1
_fe=o
2 Г
где суммирование производится по всем целым неотрицательным
числам nlt п2, ..., Пу, аь а2, ..., осу, для которых nk < п и ах+ ...
...+ау = 2г. Интегрируя это равенство почленно по отрезку [0, 1]
и пользуясь свойством мультипликативности 8.1.1 системы Радема-
хера, получим
г Г»-» , J»r , •v'(2Р1+---+2Р/)! ,« 2₽/
J ^2 акгк(х) dx = 21 (2pi)l...(2ру)! аП1*‘ 'йп/ • (8.1.7)
где суммирование производится по всем наборам неотрицательных
целых чисел р1э 02, ..., Ру, для которых Pi+... + Py = r. Восполь-
зуемся тождеством
01+ ... + 0 у= г
(Р1~+«ч+Р/)1 д2В,
Р11...Р/ л*
(8.1.8)
Из (8.1.7) и (8.1.8) вытекает неравенство
П-1
2 акгк (х)
0 k-Q
где постоянная С равна максимуму отношения
(2р1+...+2₽/)! (Р1+...4-Р/! (2г)! PJ...P/ (2г)! ,
(2р1)!...(2Р/)! 1 Pjl-..Р/ -г!(2р1)!...(2р/)!^г!2^Г •
Таким образом, неравенство (8.1.6) в случае р = 2г, г—натураль-
ное, доказано.
/ 1 \ i/р
Легко видеть, что интеграл ( | f (x)|*dx j является возрастаю-
\о /
щей функцией параметра р € (0, оо). Действительно, если 0 < р <
< р' < оо, то по неравенству Гельдера (см. П5.2.2) имеем
1 /1 \ р/р' /1 \
$ I f (x)lp dx ( $ I f (ХЖ dx J М 1р'/(р'-р) dx Н-р/р' =
О \о / \о /
/ 1 \ р/р'
=( •
\о /
Поэтому на основании доказанного выше при 2г—2<р^2г
получим
Как следствие из 8.1.4 легко получаем утверждение
8.1.5. Для любых действительных aQ, ..., a„_j справедливо не-
равенство
П-1
/г=о
2 abrk<x) dx.
/г=0
(8.1.9)
4| Действительно, на основании неравенства Гельдера при р = 3/2г
q = 3 имеем
п— 1
S akrk (х)
k=0
2 / 1 \ 2/3 ✓ 1 \ 1/3
dx Н | Sn (х)| dx j | Sn (x)|4 dx j
\o J \o /
где
n- 1
s„ (x)= 2 akrk(x).
fe=0
Но для целых p = 2r в 8.1.4 доказано неравенство
\л=о
Из двух последних неравенств вытекает оценка
, \ 1/3 /1 \ 2/3
И- 1 \ / р \
У al) C4| J |S„(x)|dx)
ьо / \о /
эквивалентная (8.1.9). >»
§ 8.2. Другие лакунарные подсистемы
Будем, называть последовательность натуральных чисел
лакунарной по Адамару или просто лакунарной, если существует
таксе число <?> 1, что при всех £—1, 2, ... справедливы неравен-
ства nk+1/nk > q. Систему функций будем называть лаку-
нарной подсистемой системы Уолша, если {nk}—лакунарная после-
довательность. Поскольку rk(x) = w2fi (х), k = 0, 1, ..., то система
Радемахера является лакунарной подсистемой системы Уолша. Мно-
гие свойства рядов по системе Радемахера остаются справедливыми
и для рядов вида
00
2 a„wn Ах), (8.2.1)
*= 1 я
где {пк}—лакунарная последовательность. Такие ряды будем назы-
вать лакунарными рядами Уолша. Для них справедливы утвержде-
ния, аналогичные 8.1.2 и 8.1.3.
Докажем следующую теорему:
8.2.1. Если sm(x)—частные суммы лакунарного ряда Уолша
(8.2 1), причем в каждой точке х из некоторого отрезка Zcz [0, 1)
Пю s„(x)< + oo, (8.2 2)
m-*oo
то
2(|ай|<«>. (8.2.3)
Для доказательства этой теоремы потребуется несколько лемм.
8.2.2. В предположениях теоремы 8.2.1 найдется такой отргзок
[а, Ь]Ы, на котором частные суммы sm(x) лакунарного ряда Уолша
(8.2.1) равномерно ограничены сверху, т. е. для некоторой постоян-
ной М^О выполняется неравенство
sup sm(x)^.M, m=l, 2, ... (8.2.4)
а< х < Ь
Для доказательства рассмотрим двоичный интервал I'czl.
Пусть N — подмножество группы G, которое отображается на Г
операцией X (см. § 1.2). Введем обозначение
= |S„(x)K^}, т, 6=1, 2, ...»
где
• • m~l • •
S,W=2«*»»(4 (8.2.5)
k=0
Каждое множество Етк замкнуто в G, так как частные суммы (8.2.5)
<х>
непрерывны на G. Тогда множество Ek — n Етк замкнуто, а еле-
1
00
довательно, Nf — U Ek имеет тип Fo (множество Е называется мно-
k~ 1
жеством типа Fa, если оно является конечным или счетным объе-
динением замкнутых множеств). Множество ЛГ состоит из всех
последовательностей x£N, которые не содержат 1 в периоде. Это
вытекает из того, что для каждого такого элемента х найдется х£Г,
для которого Х(х) = х, и следовательно,
Sm(x) = Sm(g(x)) = sm(x).
Но тогда
Tim sm (х) < + оо, (8.2.6)
m->ao
и поэтому х£ П Emk, если k достаточно велико. Отсюда следует,
m== 1
(СО \
(J Ek ), где Z—не более чем счетное множество.
fe=i /
С другой стороны, множество N является окрестностью группы
G и не является множеством первой категории, т. е. не представи-
мо в виде объединения счетного множества нигде не плотных мно-
жеств. Поэтому одно из множеств Ек не является нигде не плотным
в G. Пусть это множество Ем. Тогда оно содержит некоторую
окрестность N группы G и согласно определению множества Ем
имеем '
sup |Sm(x)| /п=1, 2, ... (8.2.7>
X € w
Следовательно, выполняется неравенство (8.2.4), где [а, Ь)—неко-
торый двоичный интервал, содержащийся в /', поскольку /' содер-
жится в образе множества N при отображении X. >
8.2.3. Пусть nk+1/nk> q > 3, &=1, 2, ..., и
= П (1 + е^ (х)), = (8.2.8)
u 1 k
Тогда для любого интервала Д == = [m2~s, (т+ 1) 2~s), s = 0, 1, ...,
m = 0, 1, ..., 2s — 1, при достаточно большом пх справедливо
равенство
JpAr(x)dx=|A|. (8.2.9)
д
Поскольку wm (х) w„ (x)=wm ф „ (х) (см.) 1.2.17)), то произведение
(8.2.8) имеет вид
PN (х) = 1 + 2 av®v (•*), (8.2.10)
где справа стоит конечная сумма по индексам v. Индексы v, по
которым производится суммирование в равенстве (8.2.10), удовлет-
воряют неравенству Поэтому если -р п12>2*, то на
основании 1.1.4 для каждого такого индекса v имеем
$ nyv(x) dx = 0.
д
Следовательно, интегрируя равенство (8.2.10) по Д, получим равен-
ство (8.2.9), если пх 2s. ►
◄ Перейдем теперь к доказательству теоремы 8.2.1. Пусть лаку-
нарная последовательность {nJ такова, что п^Пь > Я > 1»
k—\, 2, ... Положим <7=1н-2е и выберем е'> 0 так, чтобы вы-
полнялись три условия:
а) (1+ 2е)(1—е') > а > 1, б)
в) 3T^F>a> 1- (8-2.11)
Найдем такое число Q = Q(e')>0, что при p>Q выполняются
неравенства >1 —е' и < 1 + е'. Затем фиксируем натураль-
ное г так, чтобы qr > шах (3, Q), и разобьем последовательность {nJ
на г подпоследовательностей {nftr+J, k = Q, 1, ..., где р = 1, 2.г.
Положим
N-1
Pn.p(x) = ^ (14-eftr+^nftr+p(x)),
Л/ - 1
П (l + ^,+ Pt%.„,(*)). (8.2.12)
k' #= Р
где е4г+/, = ±1, р=1, 2, ..., г, и пусть
Nr
s.vrW= 2 а^пЛх)
— частные суммы ряда (8.2.1). Тогда для любого интервала Д с JO, 1)
172
имеем
J sNr W P W ^X —
Д
akr+p J 0 + %r+pWnkr+p(x)) P$p (X)Wnkr+p (*)dx +
Д
r r-/V-l
+ 2 2 akr+P' \ wnkr+p,(x)PNtP(x)dx =
p'=l k = Q Г
p’p L J
w-i У-1
= 2 akr +P \ pn! p (x) wn (x) dx + 2 акг+ръкг +p f p (x) dx +
ft=° A *=0 X
r N-\
+ 2 2 akr+p' ? PN,p(x)wnkr+p,(x)dx=Ii + Ii + It. (8.2.13)
p' = l /г = 0 д
P' =^P
Будем теперь считать, что Д = Д") = [т2_\ (т+ 1)2_*) с [0, 1), где
s0, т^О—целые. Тогда согласно 8.2.3 имеем
Jp^p(x)dx = |A|,
д
если nx достаточно велико. Следовательно,
N-1
ц=। д | S akr+p^kr+p
k=0
(8.2.14)
при достаточно большом п1.
Оценим интеграл IrkpN, входящий в соответствующее слагаемое в /х:
д F
А
лг-1
(x)dx + 2 ) “Ч
v=0|^ '
(х) 2 Giv(x)dx ES
/ = о
- /} + /?, (8.2.15)
где Glv(x) — сумма всех произведений, каждое из которых содержит
в качестве множителей /+ 1 функций Уолша, номера которых nir+p
не превосходят Так как nkr+p^nlt то согласно 1.1.4 в слу-
чае tix 2s имеем
J^r+p(x)dx
д
(8.2.16)
Для суммы Ц справедлива оценка
со \
/?< 2 max \ wn. (x)wv(x)dx
v=0 /=0 u/v€G/v J r + P
v =# /?
(8.2.17)
где C(—биномиальный коэффициент. Так как <?r>max(3, Q) и
nsr^pln($_1} r+p > /, то любой номер у, для которого wv(x)€GjV,
принадлежит отрезку [(1—e')nvr+₽, (1 + s')fivr+p], где v^=k. Ноесли
s«vr+P = П°£ато 5„уг+р^[1о§лг+р]. Поэтому / = y®nftr+p#=0,
и на основании 2.7.5 имеем
max \ wn
wy € Gjy A 1
(х) u>v (х) dx =
шах
ХД (x)oyz(x)dx < Var Хд/Z < 2/Z, (8.2.18)
о
где Хд(х)—характеристическая функция отрезка А.
Если k < v, то
Z у flfrr + p (1 8 ) Пуг+р Kkr+p > 2 3 ) Пуг + Р — flvr + p,
поскольку из (8.2.11) следует, что в'< 1/2. Если же v > kt то
l^^ftkr + p y^^kr + p 0 4" ® ) Пуг + р > (З -^jflyr+p ~2 flyr + p.
Поэтому из (8.2.18) вытекает оценка
р 12
max \ w„ (x)wv(x)dx .
“’Vе Gjv д кг*Р nvr + p
Используя это неравенство, из (8.2.17) получаем
v=0
_12_У С> = 12У -<- 12<?'
Пчг+Р £0 V £0 %г+р (^-2) Пх •
Отсюда и из (8.2.15) и (8.2.16) имеем
12?'
(^-2)Я1-
Возьмем произвольно малое 6 > 0 и будем считать tit столь боль-
шим, что 12qr/(qr—2)пг < 6. Тогда | IrkpN | < 6 и для суммы 1г из
(8.2.13) справедлива оценка
N-1
1ЛК«2|^+Р|. (8.2.19)
о
Наконец, перейдем к оценке интеграла в слагаемых суммы /в:
J“4-+P' (x)PN,p(x)dx <
I & I
+ 2* 2С< max |J^r+p,
v = 0 / = 0 GI v I д
Wnkr+I>,(x}dx +
(x)wv(x)dx + (8.2.20)
где р' Ф р, но теперь v может быть и равным k. Если пг достаточно
велико, то
>0.
(8.2.21)
Это следует из 1.1.4. Как и выше, любое у, для которого
принадлежит отрезку [(1—e')nVr+p, (1+e')nVr+P]. Этот отрезок
может быть расположен наиболее близко к точке nkr+P' на числовой
оси при следующих значениях пары индексов v и р: a) v = k,
р = р' ±1, б) v = &—1, р' = 1, р = г, в) v = &+l, p' = r,
p=l. Во всех этих случаях nvr+P и tikr+P' являются последова-
тельными членами исходной лакунарной последовательности {nfe}-.
Члены в правой части (8.2.20) будут наибольшими тогда, когда у
и n,kr+P' наиболее близки друг к другу, т. е. в следующих случаях:
1) т€[(1—(1 + е')пк], a nkr+P’ играет роль пк+1,
2) ?€[(1—e')n4, (14-e')nfej, n4r+p- играет роль
В случае 1) согласно (8.2.11) получим
у/п4_! > (1 — е') nkmk_i >q(l —s’) = (1 + 2в) (1 — е') > а > 1.
Нетрудно проверить, что существуют такие постоянные А и В, за-
висящие лишь от а, что при т > и > А и mln > а > 1 справедливо
неравенство т © п 2S">-S, где т = 2Sm + т’, О^т' < 2s»». Поэтому,
подобно оценке (8.2.18), имеем
iw4P+rAx)wv(x)dx
д
iw^nkr+p,(x)dx <2
д
,B+i-sv
Но так как 2sv<y < 2S?+1, а ?€ [(1— в') nvr+p, (1 + e')nvr+p], то
$^ftr+P'WtMx)dx
д
С !Пуг+Р)
С = 2в+2/(1 —е').
Учитывая это неравенство, из (8.2.20) и (8.2.21) получим тре-
буемую оценку для JrkpN-.
N-l v
v=0/=0 Vr + P
JV-1
v=0
v=0
(8.2.22)
если /ц достаточно велико,
правая часть в неравенстве
Будем считать, что пх столь велико, что
(8.2.22) меньше ранее выбранного числа
6> 0. Тогда для суммы /я из (8.2.13) будет справедливо неравенство
|/з1<бр?1 2olfl^+₽4
P* P
(8.2.23)
Теперь из (8.2.13), (8.2.14), (8.2.19) и (8.2.23) следует
$ S/fr(x)PN,p(x)dx^sIt—| Л |—|/,| >
A
> 2 aitr+p^kr-¥p\ AI — в 2 I akr+p I — ® 2 2 I akr+P' !• (8.2.24)
fc=0 fe=0 p'=l fe = 0
Это неравенство справедливо для произвольной последователь-
ности efc=±l. Выберем последовательность еЛ=±1 так, чтобы
еЛай=|а&|, &=1, 2, ... Тогда, суммируя обе части неравенства
(8.2.24) по индексу р от 1 до г и считая б < | Д |/(2г), придем
к неравенству
г
2 j sNr W р
Р=1 Д
Nr Nr Nr
XIАI-б)Е l«/|-(г-1)|а7.|>Ж£ |а7|. (8.2.25)
/ = 1 / = 1 / = 1
Пусть теперь выполнены предположения теоремы 8.2.1. Согласно
8.2.2 найдется такой двоичный интервал Л = [т2“5, (т + 1)2"5) и
такая постоянная М > 0, что при &==1, 2, ... будут справедливы
неравенства sfe(x)<LA4 и, в частности, sNr(x)^M при всех ЛГ, г и
х£Д. Используя последнее неравенство и тот факт, что PN «(х)^0
(см. (8.2.12)), из (8.2.25) и (8.2.9) получим
Nr г
{PNtP(x)dx^Mr | A I,
/=i ₽=>X
Nr
те. AT =1,2, ... Устремляя N —> оо, убеждаемся
/ =1
в сходимости ряда (8.2.3).
Отметим, что доказательство проведено в предположении, что
первый член лакунарной последовательности {nfe} достаточно велик.
Этого можно добиться, отбрасывая несколько первых членов после-
довательности и изменяя нумерацию ее членов. Так как схо-
димость ряда (8.2.3) не зависит от конечного числа его членов, то
тем самым теорема 8.2.1 полностью доказана. ►
Очевидно, (8.2.2) в теореме 8.2.1 можно заменить условием
Hm sm(x)> — oo,
т -> ао
так как оно сводится к (8.2.2) умножением всех коэффициентов
ряда (8.2.1) на —1.
Учитывая это замечание, с помощью теоремы 8.2.1 нетрудно
доказать следующий результат:
8.2.4. Если лакунарный ряд (8.2.1) является рядом Фурье—Уолша
некоторой ограниченной функции, то он абсолютно сходится, т. е.
выполнено условие (8.2.3).
«4 Действительно, так как последовательность {nfe} лакунарна,
то найдется такое число q> 1, что nk+l/nk > q. k=l. 2, ... Пусть
ряд (8.2.1) является рядом Фурье—Уолша ограниченной измеримой
функции f(x). т. е. | f (х) | М, х£[0, 1], при некоторой постоянной
М 0, причем / (п) = ak при п ~nk и / (п) = 0 при п =/= nk. k = 1, 2,...
Тогда, обозначая через от (х) средние арифметические частных сумм
176
ряда
2 l(n)wn(x),
n=0
получим
2V-1
fe= 1 .
(8.2.261
N = 2, 3, ...
Для частных сумм sm(x, f) ряда (8.2.26) при nN_i<.m^nN будем
иметь
рЛ(х, /) —%у(*)| =
N-\
У Д*.
п"
w-i
akwn (х) < У
к t^\ nN
< I aN-i I Г1 + I ^-2I Г2 + • • • +1 а, | q~<N -*> _dN. (8.2.27)
Поскольку коэффициенты Фурье—Уолша стремятся к нулю (см.
2.7.3), то ак —<- 0 при- k —»• оо. Кроме того, поскольку |f(x)|<^/W,
то | ак | М при &=1, 2, ... Возьмем произвольное 8>0 и выбе-
рем Л\ столь большим, чтобы при k > Л\ выполнялись неравенства
MN1q~Nt < 8/2 и | ак | < -е. Тогда при N > получим
^-8 (q~l + q~*+ ... + q-<N>~») + </-"> (| aN, | + ... +1 а1 |)<
<^е7^+МЛ^'Л',<е-
Таким образом, dN—*0 при N —> оо. Но из (4.2.2) и 4.2.2 легко-
следует, что |crnjv(x)| ^2/И при всех N—1, 2, ... и х£[0, 1), так
как If(х)|^/И. Поэтому из (8.2.27) заключаем, что |sffl(x, f)\^.B
при m=l, 2, ... и х£[0, 1), где В — 2М + maxdN. Но так как
ряд (8.2.26) фактически является лакунарным рядом вида (8.2.1), то
из равномерной ограниченности его частных сумм на основании
теоремы 8.2.1 вытекает его абсолютная сходимость. ►
§ 8.3. Центральная предельная теорема для лакунарных
рядов Уолша
Основной целью настоящего параграфа является доказательства
следующей теоремы:
8.3.1. Пусть {aft}—произвольная последовательность действи-
тельных чисел, удовлетворяющая условиям
AN=(a\ + al+ ... +адО1/2 —> оо, N —> оо, (8.3.1)
max | ак | — о(Лд,), N —> оо. (8.3.2)
1 N
Тогда для всякой лакунарной последовательности {nft} натураль-
ных чисел и любого измеримого по Лебегу множества Е с [0, 1]
положительной меры |£| имеем
lim -г^у
оо I
Х’ Х^Е’ ak^nk(x)^y
— оо
<У<
оо.
e-^dX,
(8.3.3)
Для доказательства этой теоремы потребуется вспомогательное
утверждение о лакунарных последовательностях натуральных чисел.
8.3.2. Пусть {nk}—лакунарная последовательность натуральных
•чисел, т. е, существует такое q > 1, что nk+1/nk > q, k= 1,2,...
Тогда найдется число Т = Т (<?) > 0 такое, что при г>Т для любого
7 = 0, 1, ... уравнение
ф и*, ф • • • ф Ukp = у, nkl > nki >... > nkpi (8.3.4)
имеет конечное число решений, если nkjnki > qr. Более того, для
любого у найдется такая постоянная С —С (у, <?)^1, что урав-
нение (8.3.4) имеет не более Ср решений.
sv
◄ Для доказательства представим у в виде у = 2 e/2z, где е, = 0
I- о
или 1, причем 8S?=1. Пусть (л*,, п.кг, nkp) — решение уравне-
ния (8.3.4) и пусть
П/г, = S 8/,2Z, 6,1 = О ИЛИ 1, 8//=1.
/ 1 = 0 1
Положим 2Г= max //(очевидно, 4tosv^£). По определению опе-
1 </<₽
рации ф (см. § 1.2) уравнение (8.3.4) можно интерпретировать сле-
дующим образом:
в.
813 811 8isv 81SV+1 8i£
820 821 8 2 Sy 82Sy+ 1 e2g
83в 831 ... 83SV 83Sy+ 1 83£
8/?0 в/,1 ... 80Sy+l
®0 8J 1 0 . . . 0
(8.3.5)
Для элементов матрицы справедливы равенства
р
2 в.» = 8, (mod 2), i = 0, ..., s7,
z = i
а для элементов матрицы Вг — равенства
р
2 8/7 = 0 (mod 2), i — -|- 1, ..., g.
(8.3.6)
(8.3.7)
Так как <?> 1, то найдется натуральное / такое, что \ + 2~J^q.
Обозначим через sa наибольшее из целых чисел п^О, удовлетво-
ряющих неравенству 2п^а, где а—натуральное, т. е. положим.
se=[log2a]. Если число решений (8.3.4) при каком-то у бесконечно,,
то найдется среди них такое решение, что
2Sn*t = 2?>24 ntl/nft.,<2s+i-₽, ₽ = s„v
Отсюда и из (8.3.7) следует, что и nk, должны иметь £4-1—р
одинаковых старших членов двоичного разложения, т. е.
elz = eH, i = p, р+1, .... g. (8.3.8)
Предположим, что g—Р+ 1<£—fy, т. е. sT^P—1. Тогда в силу
(8.3.8) справедливы неравенства
«ft, 2g+eg_i2g-1 * * * s+ ... +е₽2₽ +(2₽-i+2₽-2+ ... +2»)
2S+ig-12S-1+...+^26
<1+-§-=1 + 2«-₽. (8.3.9>
Если nkJnki > qr, гдег>Т(^), то, так как nkJnkt ^2«+1~₽, при
достаточно большом Т (q) будет выполняться неравенство g—р^ j.
Но тогда из (8.3.9) имеем 1+ 2--/^</, что невозможно.
Следовательно, предположение s^igcp—1 приводит к противоречию.
Значит, sv^P, если g—Р^/. Таким образом, все двоичные раз-
ряды ранга, большего sv, в двоичном представлении числа пк> рав-
ны 0, т. е. e8Z = 0 при i = sv 4-1, .... g. Отсюда на основании
(8.3.8) заключаем, что eiz = e2/, i = Sy 4-1, .g. По тому
"* < (2?+e?-^'1+'-+6V^V +1)+2^+...+2» <
пк2~^ 2£+в»_12*-*+...+в 2v+1
s<p+1
<1+4Д = 1 + 2-(‘-“. + ,’1.
Если g—(s? 4-1) /, то nkJnki 1 + 2~f <1 q, что противоречит лаку-
нарности последовательности {nft}. Значит, g—sv^.j. Таким обра-
зом, все решения уравнения (8.3.4) необходимо таковы, что nki^
^2’+1 ^2*v+/+1, и число таких решений не превосходит 2^*’ + +1)/’==
s [С (У, Р)]р. ►
Перейдем к доказательству теоремы 8.3.1. Введем обозначение
N
^(*Л £) = -fg-j-
Равенство (8.3.3) тогда примет вид
у
lim FЛ {у, Е) = F (у) -±= [ е-^/2 а.
Л^® V 2л J
—со
(8.3.11)
Функция Е) является функцией распределения для суммы
N
_!_у
An^i
akWnk(x) на множестве Е. Поэтому, согласно обратной пре-
дельной теореме для характеристических функций (см., например, [5],
с. 241), для доказательства равенства (8.3.1) достаточно показать,
что характеристические функции
00
(8.3.12)
распределений (8.3.10) при Af—*оо равномерно сходятся к функ-
ции на любом конечном отрезке действительной оси.
w
Разобьем сумму 2 akwnAx) на блоки по г членов в каждом и
Аг= I й
остаток следующим образом. Будем считать, что N > г. Положим
N =Tr + N', где 0<#'<г, и пусть
N
Т-1
= -р У (а4г+1“Чг+1 W + акг+№кг + а(х) + ... +a(ft+1) rwn (ft+i) r (x)) +
AN 4=0
-|--^(ai + rrte)i + rr(x) + a2 + TrWi + Tr (x)+ ... + aNwN (x)) ==
r-1
= У zN,k (x)H-Za’, r(x). (8.3.13)
4= 0
Поскольку
| %N, k (x) | ( | ^kr+11 + I ^kr+2 I "b • • • “1“ I a<4+l> r I)»
|Z/V, T (x) | ( | al + 77 | + |*l2 + Tr| + • • • + | O.N I)»
то в силу (8.3.2) имеем
max |zw,a(x)|—>-0, N—► <». (8.3.14)
0<4<T
Воспользуемся соотношением
e* = (l+z)e*‘/2e<”i*l,>, z—>0.
Полагая z = z^*(x) и используя (8.3.12) и (8.3.13), получим
CM*, £) =
1 с 7 / | \ \ / г \
= ГЁТ ] п (1 +*Jv.Hx))exp( у У z!n, »(х) )ехр( У о (| zN, к (х) |2 их.
1 'р = о \ *=о J \ft=0 /
(8.3.15)
В силу (8.3.14) для любого е>0 найдется такое У0 = У0(е), что
если положить
т
S°(kv,*(x) |2) = ау(х),
А:=0
то для будем иметь
т
| aN (х) | С в S I zn. k (х) |а <
k * о
<Х2вД„2
+ 2Х2е
• • + а?4+1> г) + (<214- гГ + • • • + а*ы)
акг+ flkr-¥jwnkr^^nkr + j (х)) +
+
2 ^‘ + Trdj+ t№n. фп. _ (х)
i+Tr^ /+77' '
^вХ2(1 +2|PN (х)|).
(8.3.16)
Ясно, что | PN (х) | г (г—1), и поэтому ау(х) при N—* оо стре-
мится к нулю равномерно относительно х£[0, 1) и относительно
Х£[а, 6], где [а, Ь]—произвольный отрезок. Следовательно,
/ т \
ехр( 2 о (I zjv, л (х) |2 I = 1 + рд, (х, X), (8.3.17)
\£=0 /
где Ру (х, X)—►О при N—.оо равномерно относительно х £ ГО, 1).
и хе [а, Ь].
Оценим средний множитель под интегралом в правой части ра-
венства (8.3.15). Используя (8.3.13) и (8.3.16), получим
Szfr.Hx) = -X4(l + 2Py(x)).
*=о
(8.3.18)
Если будет доказано, что PN (х) при N — оо стремится к 0 по мере,
т. е. (см. П4.1)
|{х: х£[0, 1), |Ру (х)|>6}|-*°. АГ—* оо, 6 > 0, (8.3.19)
то из равенства (8.3.18) будет следовать предельное соотношение
/Г \
exp(-j-£ 4г. Их))—*ехр ( —¥-
\ 4=0 / '
N -+ оо (8.3.20)
в смысле сходимости по мере равномерно относительно X £ [а, &],
где [а, 6] — произвольный отрезок.
Заметим, что
I T / Т \1/»
П (! + «*.*(*)) <( II (l+|zy.ft(x)|’) <
£=0 \£=0 /
/ Г к
<ехр(-1£ |гу,А(*)Г)<М(Х), хе[О, 1). (8.3.21)
\ о /
Поэтому, по теореме Лебега о предельном переходе под знаком ин-
теграла (см. П4.4.1), из (8.3.15), (8.3.17) и (8.3.20) получим
Л,а/2 р Т
£)_1_ JJ(l + Zjv>ft(x))dx-^0, JV-+<x>, (8.3.22)
’ ' £*=0
равномерно относительно Х£[а, Ь], где [а, Ь]—любой конечный
отрезок.
Доказательство будет завершено, если докажем, что имеет место
(8.3.19) и справедливо предложение
8.3.3. Равномерно относительно X € [а, &]» где — оо < а <Ь < оо,
справедливо предельное соотношение
т
\П (l + Zjv.4 (x))dx-+|£|, Af-+oo. (8.3.23)
Е k~Q
Докажем сначала, что PN (х) при N —> оо стремится к 0 по
мере, т. е. справедливо (8.3.19). Для этого воспользуемся неравен-
ством Чебышева (см. (5.1.7))
1
|{х: х£[0, 1), | Р„(х)|>б} |< $6-’П(*М* (8-3.24)
о
и покажем, что его правая часть при N —+ оо стремится к 0. При-
нимая во внимание определение Р^(х) в (8.3.16), получим
1
$ Pn (*) dx =
\ 2
+ у aTr+ {aTr+jWnTr+ piTr+] (х) | dx =
S a^+iakr+i]+ £ flb+<arr+/l +
1
f £ а^иааг+]а^+ ua^r+ »№"ar+<®~or+y®»<|r+ u®"e, +0 W s
о
eVSo (8.3.25)
где последняя сумма распространяется на индексы i, /, и, v в пре-
делах от 1 до г и на индексы а, 0 в пределах О^а^0^Т, при-
чем i =/= и или / =/= v, если а=0.
Первая сумма в (8.3.25) оценивается достаточно просто:
г (г— 1) Г-1 max | eAr+z|4 ЛГ (ЛГ —1) max | атг+ i |4
2 л = 0 an + 2 А% "
г (г— 1) N г (г—1) / max | а/|\2
-ТП-Е ----*°- (8.3.26)
i— j *
Для оценки S"N представим сумму под знаком интеграла в правой
части (8.3.25) в виде суммы SN(x) и SN(x) следующим образом.
В сумму ЗдДх) включим все подынтегральные слагаемые, в которых
Р — а ^2, а в сумму SN(x) — все остальные, т. е. такие, в которых
0<р—а<1.
Оценим количество слагаемых в SN(x). Если О^а^Т и 0^
^р^Т, то имеется ровно Т таких пар (а, Р), где Р—а=1, и
ровно Т + 1 таких пар (а, р), где а = р. Число слагаемых в сумме
5д)(х), соответствующих паре (а, Р) такой, что а = р, не превышает
(г (г—1)/2)2 *. Таким образом, общее количество членов в сумме SN (х)
не превышает 2 (Т + 1) (г (г—1)/2)2. Учитывая это и (8.3.2), получаем
J SN (х) dx
о
2
max I ak I \ а
l<fc<2V j
&N J
o,
оо.
2
N
Рассмотрим типичное слагаемое
&ar+i&ar + flfir + u^-Rr+v^n G)n VO
p ar+i^ ar + j1' fir+u pr+u
(8.3.27)
(8.3.28)
суммы Syv(x), где P—a^2, 1 < v^r. Справед-
ливо неравенство ar + j ^(Pr + u) — г, и, таким образом, существуют
по крайней мере г чисел из заданной последовательности {nJ, рас-
положенных между паг+/ и п$г+и- Следовательно, n^r+v/^ar+i > Чг-
Интеграл от слагаемого (8.3.28) по отрезку [0, 1] равен нулю, если
номер функции Уолша в нем отличен от нуля. Таким образом, для
того чтобы оценить интеграл }SN(x)dx, надо оценить количество
о
слагаемых вида (8.3.28), у которых
ftar+i w СЭ Прг+v — 0*
(8.3.29)
По лемме 8.3.2 для случая р = 4 и у = 0 выберем такое г, что число
решений уравнения (8.3.29) не превосходит [С(0, д)]*. Тогда
2
An
2 [С (0, я)]4
" п—max
Л#
0, ЛГ — оо, (8.3.30)
где максимум берется по всем п*„ входящим в решения уравнения
(8.3.29).
Учитывая, что
1 1
SN = -^-{sN(x)dx+-^-{^N(x)dx,
An J An J
о о
из (8.3.25) — (8.3.27) и (8.3.30) заключаем, что
i
lim J P^(x)dx = 0. > (8.3.31)
Д' о
.4 Перейдем к доказательству предложения 8.3.3. По определе-
нию величин Z/v, fe(x) (см. (8.3.13)) имеем
т
П (1 + ZN, k (х)) =1+2 <4 (х), (8.3.32)
Л= О V>0
где
= a ..a (i^, (8.3.33)
«1 «2 kp
а суммирование производится по всем наборам (nki, nkv ...,
являющимся решениями уравнения (8.3.4), р=1, 2, ..., N. Заме-
тим, что сомножители ап^, и ап^ в (8.3.33) берутся из трех
различных сумм Zutk(x), &=?0, 1, ..., /V. Следовательно, между
nkx и nk3 содержится по крайней мере г членов последовательности
{nk}. Поэтому nkJnk* > qr и согласно 8.3.2
n . '
|а? I < 2 <?) max I^J/AvК у= 1, 2, ...
₽=1 I ккл I
Но если то при любом е>0 найдется такое Уо, что
| X | С (у, q) max < 8
1
при AZ^>Af0. Следовательно, lim aN =0 при y^l. Такая же оценка
/V—>со
справедлива и для — 1, т. е. lim а^ = 1.
Таким образом, равномерно относительно Х£[а, 6] имеем
0, I, М-^оо, 7=1,2,... (8.3.34)
Интегрируя равенство (8.3.32) по множеству Е и учитывая (8.3.34),
легко убедиться, что предельное соотношение (8.3.23) выполняется
равномерно относительно Х£[а, Ь], где —оо < а < b < оо. Тем
самым утверждение 8.3.3, а вместе с ним и основной результат
8.3.1 доказаны.
Глава 9
РАСХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ ФУРЬЕ —УОЛША. СХОДИМОСТЬ
ПОЧТИ ВСЮДУ РЯДОВ ФУРЬЕ—УОЛША ФУНКЦИЙ ИЗ L2
В гл. 2 было показано, что даже на непрерывную функцию
приходится накладывать существенные дополнительные условия для
того, чтобы обеспечить сходимость ее ряда Фурье—Уолша в той
или иной точке. При отсутствии таких условий, как отмечалось
в § 2.3, ряд Фурье непрерывной функции может расходиться в не-
которых точках.
Как много может быть точек расходимости у ряда Фурье непре-
рывной или произвольной интегрируемой по Лебегу функции? Это-
му весьма сложному вопросу посвящена настоящая глава.
В § 9.1 устанавливается, что ряд Фурье—Уолша интегрируемой
по Лебегу функции может не иметь ни одной точки сходимости.
Что касается непрерывных функций, то их ряды Фурье—Уолша
могут расходиться лишь на множестве меры нуль. Это следует в ка-
честве частного случая из доказываемой в § 9.2 глубокой теоремы
о том, что ряд Фурье—Уолша любой функции изЬ2[0, 1) сходится
почти всюду.
§ 9.1. Всюду расходящийся ряд Фурье—Уолша
Докажем аналог теоремы Колмогорова о существовании интегри-
руемой функции, ряд Фурье которой всюду расходится. Отметим,
что для системы Уолша соответствующая конструкция несколько
упрощается по сравнению с классическим случаем тригонометри-
ческой системы.
Докажем следующую лемму, играющую ключевую роль в этом
параграфе:
9. 1.1. Для любого натурального п существует полином вида
Л,И=Ц- 2 <W(A (9.1.1)
i=2n
обладающий свойствами:
О всюду,
2) для каждого х найдутся натуральные числа-1Х и тх такие,
что 2п < 1Х < тх < 2я+2 и для частных сумм полинома Рп с этими
номерами выполняется неравенство
|5„.л (х, P„)-Slx(x, Р„)\^п/4.
◄I Для фиксированного и найдется число т вида (2.2.4), для
которого 2"“1 <т<2п. Из неравенства (2.2.5) и теоремы 2.2.2
получаем
1
= P1-2)
о
Поскольку т < 2п, то ядро Dm(t) принимает постоянное значе-
ние на каждом из двоичных интервалов Ду”, / = 0, 1, 2Л—1
(см. 1.4.3). Из (1.2.15) и определения (1.4.8) видно, что ядроОга(хф/)
постоянно, когда x^A'/”, a /£ДЛ. Это постоянное значение обозна-
чим через Dy, Положим
Г 0 при sign Dy, z =1,
|1 при signDy,, = —1,
т. е.
(_ 1 f/,/ = sign Dy, f. (9.1.3)
На каждом Ду” выделим двоичный интервал ранга п + 2п вида
2«— 1
-+Е
2я 1=о 2"+»+!
1
2п+ 2п
Из этого определения следует, что для чисел t£dj в их двоичном
разложении (1.2.3) коэффициент при 2_(и+'+1’, 0^i^2"—1, ра-
вен уу, {. Поэтому в силу (1.2.12) при t£dj
и, значит, при каждом t, 0^i^2”—1, имеем вследствие (9.1.3)
w2n+i (0Dra(x©0 =|Dm(x®0l. (9.1.4)
Отметим, что длина интервала dy равна
|ф| = 2-<”+2’’). (9.1.5)
Покажем, что искомый полином определяется равенством
(х), (9.1.6)
i=o '
где х^(х)—характеристическая функция промежутка dy.
Поскольку функция Р„(х) постоянна на двоичных интервалах
Д(п + 2я)1 то из теоремы 1.3.2 следует, что она представима в виде
полинома по системе Уолша, порядок которого совпадает с верхним
индексом, указанным в сумме (9.1.1). Проверим правильность ниж-
него индекса в сумме (9.1.1). Для этого посмотрим на построенный
полином как на разложение функции Р„(х) в ряд Фурье—Уолша
и покажем, что в этом разложении все коэффициенты Фурье Р„ (i)
при 1^1^2И—1 обращаются в нуль.
: Заметим, что для всех /, и /2
$ Pn(t)dt = $ Pn(t)dt,
4"> д<п>
h h
откуда при всех k, и всех jt и /2
$ Pn(t)dt = $ P„(t)dt.
д(*>
/1 Ji
(9.1.7)
Для всякого i, l^i^2"—1, найдется такое k ^п, что 2й-1
^i<2ft и функция Wi(t) постоянна на каждом из интервалов А)-*’,
причем если A)ft-1) = Д‘2уиД(2у+1, то w:(t) принимает на А'*/ и A'^’+i
значения, противоположные по знаку и равные по модулю 1. Отсюда,
используя (9.1.7), получаем при l^i^2n—1 и 1-^.k^n
$ Pn(t)^i(t)dt =
д^-1>
$ Pn(t)dt- $ P„(f)dt =0,
дф
2/
1
р„(о=5^(о^(о^=о,
о
Л</г>
“2/4-1
1 <f<2" —1.
1
То, что Pn(0)= Pn(t)dt = 1, легко проверить, если учесть (9.1.5).
о
Итак, показано, что (9.1.6) и (9.1.1) действительно представляют
собой две записи одной и той же функции—полинома Рп(х).
Свойство 1) полинома Рп(х) очевидно из (9.1.6). Остается про-
верить свойство 2).
Фиксируем х и найдем для него номер i = i(x) такой, чтохСД^*.
Положим lx — 2"+i и тх2-l+it где т найдено в соответствии
с (9.1.2). Поскольку 0<f^2-z — 1 и 2n~l < т < 2", то 2п < 1Х <
< тх < 2п+2”“1 + 2п < 2'1+2".
Используя (2.1.10), (1.4.11) и применяя (9.1.6), (9.1.4) и (9.1.2),
получаем при х С А<л)
| Smx (х, Рп) S/X(x, Рп)| —
1
$ рпщ iDmv u© t)-D2n+i (%© о] dt
о
i
w2n+i(x) J P„(t)w2n+i (t)Dm(x@t)dt
0
2»
2n
w^i{t)Dm(x®t)dt = S22"J |D„(x®0l^
2« 1
-2 $ |D)»(x®0l^=U^(0l^>n/4.
^“ду» о
Таким образом, свойство 2) проверено и тем самым лемма 9.1.1
полностью доказана. ►
Теперь сформулируем и докажем основной результат этого па-
раграфа.
9.1.2. Существует функция f £ L [0, 1), ряд Фурье—Уолша кото-
рой расходится всюду на [0, 1).
◄ Рассмотрим последовательность полиномов Рп,(х) из леммы
9.1.1, причем будем считать, что
П/+1>П/ + 2"Л (9.1.8)
Вследствие (9.1.8) суммы (9.1.1), записанные для п = щ, при раз-
личных j не имеют подобных членов, кроме свободного.
Искомую функцию зададим рядом
00
(9.1.9)
00
Из (9.1.8) следует, что nz > 2/"1. Поэтому ряд
/ = i
в силу неотрицательности полиномов РП/ (х) и того, что
1
— сходится, и
Пу
I
о 7
к ряду (9.1.9) применимо следствие теоремы Леви (см.
00
П4.4.2),
при лю-
P^^-^Pn/(x)Wl(x)
откуда f (х) € L [0, 1). Отметим, что
бом i можно почленно интегрировать, так как к частным суммам
этого ряда в силу неравенства
п X -^-pnf(x)w{(x) J = 1 7 k /= 7
применима теорема Лебега (см. П4.4.1). Отсюда и из (9.1.8) при
2"/ i < 2 nf+i 1 получаем
f(i) = a‘/7n/,
где а*/’—коэффициенты полинома Р,(/(х), определенного в (9.1.1)
при п = «у, откуда следует, что для частных сумм ряда Фурье —
Уолша функции / выполняется при любых т и I, 2п/
nj
<2'7+* , соотношение
D—St(x, h = -^-(Sa(x, Pv)—St(x, Pn.)).
В частности, это верно, если в качестве I и т взять числа
и (см. 9.1.1). В результате получим для любой точки х £ [0, 1)
оценку
|$даф(*. П-^о>(х, /)р1/4.
Поскольку для каждой точки х это неравенство выполняется при
любом /, то тем самым получаем расходимость ряда Фурье —Уолша
функции f(x) всюду на [0, 1). ►
§ 9.2. Сходимость почти всюду
рядов Фурье—Уолша функций из L2[0, 1)
Докажем аналог для системы Уолша известной теоремы Карле-
сона, утверждающей, что ряд Фурье по тригонометрической системе
любой функции из L2 [0, 2л] сходится к ней почти всюду.
Справедлива следующая теорема:
9.2.1. Для любой функции /£L2[0, 1) частные суммы Sn(x, f)
ее ряда Фурье по системе Уолша сходятся к f(x) почти всюду на
[О, 1).
Эта теорема, как будет показано, вытекает из того, что оператор
f — Mf(x)ss sup IS„(x, f)|
-1 > I
имеет слабый тип (2.2), т. е. для него справедливо следующее утверж-
дение:
9.2.2. Для любой функции f С L2 [0, 1) и любого у>0 справед-
ливо неравенство
1
mesjx: sup |S„(x, f)| (ОМ.
где C—абсолютная константа.
В свою очередь утверждение 9.2.2 следует из такой основной
для этого параграфа леммы:
9.2.3. Для любой функции fgL2[0, 1), любого числа у>0и
любого натурального числа N можно определить такое множество?
E — E(f, у, N), что для некоторой абсолютной постоянной С выпол-
нены условия:
1
1)
О
2) |S„(x, f)\^Cy при х£[0, 1)\£ и 1^п< 2Л.
Покажем, что из 9.2.3 следует 9.2.2. Фиксируем z/>0. В силу
условия 2)
lx: sup |S„(x, f)\>Cy\cE,
( I < n < I
и поэтому в силу 1)
mes = mes I x: sup J5e(x, f)| >Cy\<
l .<п<Л j-
1
Поскольку это неравенство верно при любом W, и
{х: sup | Sn (х, f) | > Ct/| = U SN,
TO
1
mesfx: sup |Sn (x, f)| > Cy\ = lim mes^^-^-
I i f » У j
Бели, наконец, в последнее неравенство подставить у = у'1С> то по-
лучим неравенство из утверждения 9.2.2 с абсолютной констан-
той С3.
Заметим, что в лемме 9.2.3 можно исключить случай, когда при
некотором п < 2N тождественно выполнено равенство S„(x) = S2jv(x),
ибо при выводе из нее утверждения 9.2.2 можно учесть эти суммы
отдельно, так как в силу 5.2.4 и 5.1.1
1
mes {х: sup|SgAr(x, f)| >f/| J|f (0|2^-
Для доказательства того, что из 9.2.2 следует 9.2.1, достаточно
сослаться на теоремы 5.1.3, 5.4.1 и тот факт, что для каждого поли-
нома Уолша теорема 9.2.1 тривиальна.
Итак, для установления теоремы 9.2.1 осталось доказать лем-
му 9.2.3.
◄ Для доказательства 9.2.3 введем ряд вспомогательных обо-
значений и понятий.
Для каждого двоичного интервала Л ранга т (если т > 0) будем
обозначать через Д* соответствующий интервалу Д единственный
двоичный интервал ранга т—1, для которого Д а Д*. Отметим,
что |А| = 2_<я и |Д*| = 2|Д| = 2-я,+1.
N-i
Числу п с двоичным разложением п = 2 ef2f и /=о ранга т поставим в соответствие число интервалу Д
7V-1 TV—1 л(Д)=2в/2Л 2^0- j=m j—N (9.2.1)
Тогда п = п(Д) + s, где
СЛ II 1м? со Л ьо э _£ Е> । (9.2.2)
В соответствии с определением операции ф для натуральных чисел
(см. § 1.2) п = п(Д)ф5, и поэтому в силу (1.2.17)
О’» (0 = ^(4) (0 “МО-
(9.2.3)
Из (9.2.2) и 1.1.3 следует, что функция wa(t) постоянна на интер-
вале Д ранга т, принимая на нем значение, равное 1 или —1.
Введем в рассмотрение «локальные» коэффициенты Фурье, опре-
деляемые равенством
ап (А) = ап (A, f) ж j f (t) wn (/) dt. (9.2.4)
д
В частности, при Д = [0, 1) получаем обычные коэффициенты Фурье
а„(/) = ая([0, 1), /). В силу (9.2.3)
Яп(Д) (А) = ±а„(А). (9.2.5)
Если А—интервал ранга т, а Д'—интервал того же ранга и
такой, что Д‘ = ДиД', то, полагая в (9.2.3) s = 2m-1= 1/(2|Д|) =
= 1/| Д* | и учитывая значения функции и»8т-.(/), получим, что функ-
ция а»П(Д)+| д» |-« на одном из интервалов Д, А' равна а>п (д) (/), а на
другом равна—а>п<д)(0- Поэтому
йП(Д)+|д«|->(А*) = ±у [пи(Д) (А)—аЯ(Д) (Д')].
Отсюда и из того, что
°п (д> (Л*) = у [ал (д> (А) + ап <д> (Д')],
получаем
вЛ(Д) (Д) = йп(д) (А*) ± йп (д>+| д« |~‘(Л*). (9.2.бу
Ответим, что п(А) кратно 2®, и напомним (см. 2.6.6), что
система {2",/2оу12»« (/)}^_0 является полной ортонормированной систе-
мой на каждом интервале А ранга т. Коэффициенты 2~т/2ацт (A, f)
являются коэффициентами Фурье относительно этой системы. Равен-
ство Парсеваля (см. П5.4.2) для этой системы имеет вид
оо
-т4тЛ|/(0М = £|ап!ЧД, П1*. (9.2.7)
1 1 Д 4=0
Введем еще одно обозначение:
Лп(Д) = шах {|а„(Д')|, |а„(Д')|}, Д'иД' = Д. (9.2.8)
Поскольку аДД) = 1(аЛ(Д') + ап(Д")), то
|а„(Д)|<|Лп(Д)|. (9.2.9)
Основной технический прием проводимого далее доказательства
состоит в определении множества Q* специальным образом выбран-
ных пар (п(Л), Д). Множество Q* будет состоять из подмножеств
Qb U QJ = Q*. Для каждой пары (п(Д), Д)€Ф£ будет определено
/?=1
разбиение интервала Д, которое будет обозначаться Й = й(п(Д), Д, k).
С помощью разбиения Й будут определены интервалы ДсД и соот-
ветствующие им суммы вида
5п(дДх, /)-3Я(д,(х,/), (9.2.10)
«1ерез разности которых будет выражена сумма S„(x, f). Разбие-
ние Q поможет оценить суммы (9.2.10). Оценки этих сумм будут
получены для всех х, за исключением некоторых множеств малой
меры, своих для каждой суммы. Выбор пар Q*, разбиение Q и соот-
ветствующие оценки будут делаться с помощью чисел Ап (Д)
(см. (9.2.8)).
Приступим к реализации этого плана.
Числа ЛП(Д) регулируются множеством
S‘= иМ*: (9.2.11)
1 a 1
т. е. объединением таких интервалов Д, что если Д = Д' и Д', то
указанное в скобках неравенство выполняется хотя бы для одного
из Д' и Д". Значит, если Д S*, то для составляющих его Д' и Д'
выполняется противоположное неравенство, откуда с помощью равен-
ства Парсеваля (9.2.7) получаем при любом п
А"
В силу (9.2.5) те же неравенства выполняются для | (Д') | и
|ап(Д")|. Итак, (см. 9.2.8))
если Д<£5*, то Дл(Д)<у при п = 1, 2, ... (9.2.12)
Ясно, что множество S* можно представить в виде объединения
непересекающихся интервалов Д/, у которых для одной из их «поло-
винок», Ду, выполняется неравенство
i/m /=1.2,...
д/
Поэтому
1
mes S‘ = 21Д/1 = 2 21д/ К 2(/’2 $ | НО |» dt. (9.2.13)
/ / о
Множество S* составит часть искомого множества Е.
Рассмотрим интервалы, которые не содержатся в S*, т. е. для
которых верно (9.2.12). Для каждого натурального k определим
множество Qft таких пар (п(Д), Д), что выполнены два условия:
|ап<Д)(Д)|>у/2* при (л(Д), Д)€(?ъ (9.2.14)
1 ап (Д) К 2у/2к при |Д | = 1/2; _ 1
если же 1/2л^|Д|< 1/2, то | а-(Д)| < у/2* при всех 1(9.2.15)
таких п и Д, что п (Д) = п (Д) и Д Д» | Д | С 1/2. J
По этому определению пар из Qk видно, что
если (п(Д), Д)€&, то (п(Д), (
при всех Д Л и д таких, что п (Д) =п (Д). I
Рассмотрим полиномы
Рй(Д) = РДх, Д)^ _2_ an-(b)wn(Ъ(х). (9.2.17)
(п (А). м eQft
A D А
Заметим, что
Рк(х, Ь) = Рк(х, д»)+ 2 &п (д> (Д) (д> (х). (9.2.18)
(П(Д), A)gQfc
Если (л(Д), Д)€<?й, то в силу (9.2.16) в полином Рк (х, Д*) не могут
входить члены amwm(x) с т, для которого /п(Д) = п(Д), и поэтому
полином Рк(х, Д*) ортогонален на интервале Д функциями te»n^; (х),
т. е.
$Рк(х, Д*)а»П(Д) (x)dx = 0.
д
Значит, при (п(Д), A)€Qs имеем
fln (д) (Д) = ал <д) (Д; Л = ал(д)(Д, f—РДД*)).
Из этого равенства, (9.2.18) и равенства Парсеваля получаем
$|f(x)-Pft(x, Д)|Мх =
= $|f(x)—рк(х> Д*)— 2 Ол(Д) (Д)ОМД) (х) 8 dx =
д1 (л (A), A)€Qfe
= ^f(x)-Pk(x, &*)\*dx- 2 1а«(Д) (Д)И Д|- (9.2.19)
д (П(Д),Д)6(ЭЙ
Заметим, что если Aj и Д2 = Д, то
рк(Х, до=^(х, д;)=рдх, д).
Поэтому
2 $1/(х)-РЛ(х. Д‘)|Мх =
( Д 1=2
2 $IZ(x)-P»(x, Wdx. (9.2.20,
| Д(=2-<»+‘ X
1 В. И. Голубов и др.
193
Многократно применяя равенства (9.2.19) и (9.2.20), получим
0< 2 {\f(x)-pk(x, A)|2dx =
| Л|=2-ЛЛ
= 2 $ I/W-Рк(х, b*)\*dx- 2 „ |а„(Д)(А)|2|А| =
U| = 2-JV4
(л(Д). д> e Qft
= 2„ $|f(x)-PftU, A)pdx- 2 Ижд) (A)|2| A| =
|A|s=2"JV+Ia |A|-2-*
<п(Д). A)€<?fc
= ... =j|/(x)|2dx- 2 Ian(д> (A)|21A(.
о 1п(Ы,ь)еЧк
Отсюда, учитывая (9.2.14), приходим к неравенству
f|/(x)]2dx> £ |а„<д,(Л)|2|Д|>^- £ RI
0 (л (A), A)€Qft (л(А),Д)€рЛ
и в результате получаем
L |А|<-^-С|/(х)|Мх.
(л(Д),Д)е(?Л * 5
(9.2.21)
От множества Qk перейдем к множеству Qi, образованному всеми
такими парами (л, А*), что п = п (А*) и (n (А), А) £ Qk. Каждая пара
(п(Д), A)€Qa при этом порождает две пары из
и f п (А) + , А‘) . Поэтому вследствие того, что
(9.2.21) следует неравенство
QV- (п(А), А»)
| А* | = 21А |, из
£ |A|<4^j|f(x)|Mx.
(п, А) € Qfc 0
Изучим теперь пары из множества
Q* = и Q*.
1
Отметим, что
если Д = [0, 1), то из С Ап (Д) (Д) <
следует, что (п(Д), Д)€Ф^.
(9.2.22)
(9.2.23)
Это утверждение непосредственно вытекает из определения (9.2.8)>
неравенства (9.2.14) и первого неравенства в (9.2.15).
Кроме того,
если A(£S* и Д, (Д) (А), то существует набор
(и, АД) такой, что п(А) = и (А) для интервала
А ранга, на единицу большего, чем ранг А
(т. е. 2|А| = |Д|), ДсД, и(п(Д), Д)£
(9.2.24)
Докажем (9.2.24). Если А = [0, 1), то в силу (9.2.12) найдется
k, 1 для которого выполнено (9.2.23), и поэтому (п(Д), А)€
CQ*^, т. е. искомым набором является (п(Л), A, k).
Пусть А Д [О, 1) и (n(A), A)(£Q>. Тогда по условию и в силу
определения (9.2.8) по крайней мере для одного интервала Ас А
ранга, на единицу большего, чем ранг интервала А, выполнено
неравенство
I ап (Д) (А) | = | ап а, (А) | > у/2\
т. е. для (п(Д), А) выполнено (9.2.14). В то же время по определе-
нию множества QZ из предположения (n(A), A)(£Q’, следует (л (А), Ад£
Значит, для (п(А), А) нарушено свойство (9.2.15), касаю-
щееся случая | А | < 1/2, следовательно, существуют такие п и Д',
что п(А) = п(А) и Д'ДА, | Д'|^1/2, и при этом | а„ (Д') | у/2к,
т. е. для А = Д' и Д’, ДДА, выполнено неравенство Д^(Д)> у/2к.
Если (п(Д), A)€Q£, то набор (п(А), Д, k) является искомым.
Если (п(Д), А) Qt, то повторяем проведенное выше рассуждение,
быть может, несколько раз до тех пор, пока либо не получим на
каком-то шаге (п(Д), Д)€Сь либо не достигнем А — [0, 1), и тогда
дело сведется к уже рассмотренному в начале доказательства слу-
чаю, поскольку при А <2 S* выполнено и А <£ S*. Тем самым (9.2.24)
полностью доказано.
Можно условиться брать в (9.2.24) минимальное возможное k.
В этом случае
А~(А) < yl2^~l для всех А таких, что 1
— ~ ~ । (9.2.25)
А с Ас А, и всех п(А) таких, что п(Д) = п(Д). >
В самом деле, если бы (9.2.25) было неверно, т. е. для некото-
рого А, А с А с А, выполнялось противоположное неравенство
Л~^) (А) > t//2*“l, то, применяя к (n(A), A, k—1) утверждение
(9.2.24), получили бы противоречие с тем, что k минимальное.
Покажем, что
если (и(А), А) € <%, то А„ (Д, (А) < у!2к~к. (9.2.26)
При | Д ] < 1 из (п (Д), Д) € QZ следует, что для одной из «поло-
винок» интервала Д — интервала Д'— имеет место соотношение (и (Д'),
Д')€фй, и в силу (9.2.15)
I ап (Д<) (Д) | < у/2к, | ап (Д.Ж д |-> (Д) | < у/2к.
Если Д'и Д” = Д, то, подставляя эти опенки в формулу (9.2.6) и имея
в виду, что Д = (Д')* = (Д*)*, получим
|«П (Д') (Д') I = |аП(А')+| ЛI-(Д')| < У/2*-1,
I ап (дч (Д’) | = | ап (дп+) д । - (Д') | < у/2к~1.
Отсюда, учитывая определение (9.2.8) и то, что п(Д) равно либо
п(Д'), либо п(Д')-|-| Д|-1, приходим к (9.2.26) в случае | Д | < 1.
Заметим, что (9.2.26) вместе с (9.2.14) показывает, что при | Д | < 1
пара (п(Д), Д) может лежать лишь в одном Q*k. Однако пара (п, [0, 1))
может оказаться в двух разных множествах и Q*s, kt < k2.
Исключим тогда (п, [0, 1)) из Q£s. Тогда в силу ’ определения Qlt
и первого из неравенств (9.2.15) получаем, что (9.2.26) верно и в слу-
чае Д — [0, 1).
Покажем теперь, как построить для каждого интервала Д, вхо-
дящего в пару (п(Д), Д)€<?ь то разбиение О = й(п(Д), Д, k), для
элементов которого—двоичных интервалов Д' —выполнены сле-
дующие три условия:
Д'^Д, |Д'|>-1; (9.2 27>
Лп(Д> (Д) < у/2*'1, д => д i Д'; (9.2.28)
либо | Д'| > 1/2Л и Ап (Д, (Д') > у/2к~1, либо |Д'|=1/2Л. (9.2.29)
Построение разбиения Q начнем с того, что разобьем каждый
интервал Д на два составляющих его интервала ранга, большего
на единицу, чем ранг Д (из определения QI следует, что | А | > l/2yv)>
и включим в Q те из этих составляющих интервалов А, для которых
Ап
Для тех из половинок, которые не попали в Й (не попасть могут
обе половинки), продолжим процедуру деления. Каждый раз, осу-
ществив деление и взяв полученный после деления интервал А, либо
снова дробим его пополам, если Дл(Д)(А) < у/2*-1 и | Д| > 1/2Л, либо,
в противном случае, включаем А в Q. Легко убедиться, что в резуль-
тате получаем разбиение интервала А на непересекающиеся интер-
валы, для которых выполняются условия (9.2.27) — (9.2.29).
Каждой паре (л (А), А) С Qk поставим в соответствие суммы вида
5п|Д)(х, f)-S^ (х, /), х€А, А'аДсА, Д'€^, (9.2.30>
которые назовем отмеченными.
Заметим, что всякий интервал А*£й обладает тем свойством, что
пересечение Д"ЛД либо пусто, либо совпадает с Д\
Рассмотрим одну из сумм вида (9.2.30). Пусть
Л/-1 __ Д/-1
п(Д) = 2 8/2Л п(Д)« 2 е,2Л
ism i^m
где гп—ранг интервала Д, а т—ранг интервала Д. При этом rn > т,
а п(Д)<п(Д). Сумму (9.2.30) выразим с помощью модифицирован-
ного ядра Дирихле (см. (5.3.1)), переписав (5.3.1) в виде
и воспользовавшись затем (5.3.4). Тогда для х£Д можно написать
равенство
1
(Д) (х, f) Sn (Д) (х, f) = J f (/) wn {д, (х ф I) D*n Д) (х ф /) dt —
о
i
— $ / (0 и>„ (д> (х ф 0 D’ (д, (X ®t)dt =
о
(V—1 1
-= 2
/-mJ
W-l >
- S. 8/ И (0 <д> (хф о Dj (хф /)dt. (9.2.31)
/=т О
Заметим, что функции D*lj(f} = w,j (t)Dtj (/) при всех />т отличны
от нуля лишь на интервалах Д£аД<Р, а на них функции и>аУ (/) при всех
/ < т принимают постоянное значение, равное 1. Поэтому в силу
tn- 1 _
того, что а>п<Д)(0= П [^2/(01е/ ИЧ<Д>(О = аУ'1<Л>(0, t£&F, вы-
i—m
полняется равенство
,д> (/)£>’/(О = шЯ(д, (0^(0. />/й. *€[0» D-
Используя его и равенство (9.2.31), приходим к следующему выра-
жению при х£Дз
Sn <д> (X, f)-sn (Д> (X, f) = 2 в, J f (П Wn (д, (хфо D^J (хфо dt. (9.2.32)
/ «т 0
Определим вспомогательную функцию
ft (/\ —а п / / о\ i 1 при t £ Д £ Q, /ОО
g(/) g (/, Q) - 0 при Д. (9-2‘33)
В силу (9.2.28)
i£(0| <2^i. /€[0, 1). (9.2.34)
Фиксируем х£ Д. Найдется интервал Д' € Q такой, что х^Д' с Д.
Ядра Л*;(хф/) постоянны на интервалах ранга /+1 и поэтому
постоянны при —1 на всех интервалах ранга т, в частности
при /£Д и, тем более, при /£Д'сД. Все Р*/(хфО постоянны
также при /, принадлежащем любому другому интервалу Д"£й, так
как в этом случае х£Д" и применимо утверждение 5.3.1. Наконец,
при j^m и t (£ Д О*/(хф 0 = 0, так как х£ Д и потому хф t £ Д^т>,
т. е. точка хф/ лежит вне носителя ядра £*/(хф/). Все сказанное
позволяет следующим образом продолжить равенство (9.2.32), исполь-
зуя (9.2.33) и (9.2.4):
$п (Д) (*» /) $п (Д) (*» f) =
m-1
“«Wjx) 2е/2 J f =
j=m Д'бЙД'
tn — 1 /»
= (A> W 2 e/ 2 J S (0 (x ф t) dt =
/ = m Д' €Q Д'
m —1 I
= Wn<Д) (x) 2 8/ $ g(t) (хф t) dt. (9.2.35)
i =m о
Пользуясь обозначением (5.3.2) и формулой (5.3.4), можем при
W— 1
п(Д) = 2 записать
1=т
1
sn(Д) (х, g) = $ g (0 D* (Д) (хф 0 dt =
о
2V —1 > Г 2^—1
- 2 еДг(0 и»/(хф0 2 и'ДхфО
1=т о 1=0
d/ =
Л/-1 *
= 2 е/ S a,iW \g(t)wi(t)dt.
i =т t=s2/ о
Рассматривая последнюю сумму как ряд Фурье функции S*n (Д) (х, g),
можно сумму в правой части (9.2.35) истолковать как частную сумму
ряда Фурье, т. е.
m-l 1 т-1 2^ + 1-1 I
2 е/ J t)dt= 2 е/ 2 ^i(x) \ g(t)w{(t)dt =
q /=т t-=2/' 0
^т(Д)(^))«
Отсюда, используя обозначение (5.2.7), из (9.2.35) получаем, что
|5Я(Д)(х, f)-Snr^ /)|<^(5:(Д>(^))(х), х€М9.2.36)
Подчеркнем^ что мы получили оценку, в которой правая часть не
зависит от Д.
Выделим множество, на котором отмеченные суммы (9.2.30) могут
быть велики. Положим
УЭ[/‘(Л(Д), Д, £) = {х£[0, 1): H(S-n^(g))(x)>y/2«*}. (9.2.37)
Воспользуемся теперь тем, что оператор Н в соответствии с 5.2.4
имеет сильный, а значит, и слабый (см. 5.1.1) тип (р, р) при
1 < р< оо. Используя этот факт при р — &, получим
mest/*<c(-^.Y||S‘(A)(gr)||:.
\ У /
Эту оценку можно продолжить, учитывая сильный тип (6.6) опера-
тора S„(A) (см. 5.3.2), неравенство (9.2.34) и определение (9.2.33).
В результате получим
meSt/*<C'^U||e’<C-’^..^|A| = C"HJ.. (9.2.38)
С другой стороны, ввиду (9.2.36) и (9.2.37),
| <д> (Х, f) Sn^(x, /) | С »
x^U*, х€Д, А'сДсД, (9.2.39)
Теперь можно завершить построение множества Е, положив
£ = S’U U U £/*(п(Д), Д, k). (9.2.40)
*=• (П(Д), Д)€<?*
В силу (9.2.13), (9.2.22) и (9.2.38) получаем
/ ” \ 1
mes (2 + С" 4 £ J | f (/) |М/, (9.2.41)
\ £=! / 0
т. е. для построенного множества Е выполнено условие 1) из дока-
зываемой леммы 9.2.3 с абсолютной постоянной 2 + 4С'.
Осталось проверить условие 2), т. е. оценить S„ (х, f) при любом
х(£Е и 0 < п < 2Л.
Можно считать, что Л„(До)>0, Дон=[0, 1), ибо в противном
случае в силу (9.2.9) ап (До) = ап (/) = 0 и либо найдется такое число т,
п < /и < 2Л', что Sn (х, /) = Sm (х, f) при всех х £ [0, 1) и Ат (До) > 0,
либо S„(x, [) = S2n(x, f), а этот случай, как отмечалось в замеча-
нии к лемме 9.2.3 в начале параграфа, можно исключить из рас-
смотрения.
Поскольку x^S*, то До(£5* и для До верно (9.2.12). Поэтому
найдется такое, что
у/2*^А„ (^)<у/2К-\
и в силу (9.2.23) (и, До)€С^о- Значит, определено разбиение Qo =
= Q (д, До, kQ).
Пусть х принадлежит интервалу A1gQl). Из (9.2.39) следует, что
|S„(x, /)-W. f)\^y№*.
Ввиду (9.2.27) Дх^ До. Если п(Дх) = 0, то доказательство для дан-
ного х закончено. При п(Дх)=/=0 продолжим построение.
Отметим, что п(Дх) =5&0 влечет неравенство| Дх | > 1/2ЛГ(см. (9.2.1)).
В силу (9.2.29)
Л„(Д1)(Д1) = Лл(До)(Д1)>У/2^-1.
Так как x£S*, то ввиду (9.2.12) Ая(Д1)(Дх) < у. Значит, найдется £х,
1 С < &о. такое, что
у№ < Л„ <Д1> (Дх) < у/2*.-\ (9.2.42)
Левое из этих неравенств позволяет применить (9.2.24) и (9.2.25),
в результате чего найдем набор (пх, Дх, kx) такой, что для Ах,
2|ЛХ| = |ДХ|, АхсДх,
пх(Ах) = п(Ах), (9.2.43)
Ах z> Дх, &К6Х, причем £х, для которого (пх (Дх), Дх) С является
минимальным. Тогда в силу (9.2.25) для всех Д таких, что ДхаДсАх,
выполнено неравенство
Теперь можно рассмотреть разбиение Qx = Q (пх (Дх), Ах, £х). Пусть
точка х попала в интервал Д2^ОХ, причем в силу (9.2.29)
А- .тЛ^^у!^-1.
т (Ai) ' и
Значит, интервал Д2 не может быть одним из интервалов Д, ДхсДсАх,
так как для Д выполняется противоположное неравенство (9.2.44).
Поэтому ДДДХ и Д2 с Ах. Тогда, используя (9.2.43), получим
гах (Д2) = п (Д2). Запишем неравенство
|5„(д,>(х, Л—S„(As>(x, ЛК
| S„ (Д,> (х, Л $„(Д,)(х, f) | + | (jt) (х, Л ^П(Д1)(Х» Л| +
+ Is;. Л —Л| = 5х + 52 + 58.
Для оценки слагаемого s, заметим, что (см. (9.2.1)) и(Дх) равно
либо м(Ах), либо п(Дх) + |Дх|-1. В первом случае sx = 0. Во втором,
200
считая, что |А1| = 2“ла и A1 = A1uAj, получим
51 — I Sn (At)+ 2Л
1
о
2Vj Z(O^(Sl)(O^+J
\£1 Aj
<(1мЛж«й|)-
= у (I ап <А,} (А>) | + | a" (A.) (A|) I) 'С An (а,) (Д,).
В процессе преобразований использовались (9.2.5) и (9.2.8). Сла-
гаемые s2 и s3 представляют собой отмеченные суммы и оцениваются
с помощью неравенства (9.2.39), в котором = в качестве А вы-
ступает Ап а роль А играют соответственно Ах и Д2. В итоге, скла-
дывая оценки для Si, s2, s3 и учитывая (9.2.42) и то, что
получаем
|$ндо(*> /) 5л(Д1)(х, /)| ^ Д,:(Д1)( AJ4-2—1г-
2«1/2
<( 9F^i + ^-V<4-2-W2 у.
( 2*i-1 2*1/2 Н 9
Переход от Д/ к Д2 и полученная выше оценка фактически пред-
ставляют собой первый шаг индукции, который повторяется, если
п(Да)=5&0, конечное число раз. В результате получаем [0, 1) —
= До^ Д13, .. .5 Д,+п kt, > >...> ks~^ 1, причем п(Ду)#= 0 при
/<s, п(Д,+1) = 0 и
|5«(Д/)(х, Л-5„(Л/+1)(х, /)|<4-2-VV
Складывая эти оценки по /, имеем
|5и(х, /)|= /)-«п(Д/+1)(х» Л <^^2-^.
Согласовав постоянные в этом неравенстве и в (9.2.41), убеждаемся
в выполнении условия 2) леммы 9.2.3 и тем самым завершаем до-
казательство как этой леммы, так и теорем 9.2.1 и 9.2.2. ►
Глава 10
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ УОЛША
И ХААРА
§ 10.1. Приближение в равномерной метрике
Пусть f(t)—непрерывная на отрезке [0, 1] функция. Величина
£„(/)= inf L(0- Зал (о|. п=1. 2....... (Ю.1.1)
{«*}« *=0 ||
называется наилучшим приближением функции f полиномами Уолша
порядка п в равномерной метрике, если норма задается равенством
1Л= sup IH0I.
О < t < 1
а нижняя грань в правой части (10.1.1) берется по всем наборам
из п действительных коэффициентов. Из определения вытекает не-
равенство
f)\\,
п-1
где s„(i, f)= 2 частная сумма порядка п ряда Фурье—
6=0
Уолша функции f. Как показано в 2.3.1, для любой непрерывной
функции f имеем
П->ОО.
Следовательно, Е2« (/) —<-0, п—<-оо. Но так как последовательность
{En(f)}, n = 0, 1, ..., очевидно, не возрастает, т. е. Еп(/)^Ея+1(/),
то £„(/)—► 0 при п—.оо для любой непрерывной на отрезке [0,1]
функции f.
Ниже приведены двусторонние оценки наилучших приближений
Е„ (/) функции f через ее модуль непрерывности. При этом сначала
оценки устанавливаются для наилучших приближений непрерывных
функций полиномами по системе Хаара.
Напомним определение функций hn (х) системы Хаара (§ 1.3) и
их связь с функциями Уолша (§ 1.3). Функции системы Хаара за-
даются иа интервале [0, 1) следующим образом: ha(x)— 1 при х£ [0, 1);
если же п = 2* + т, k = 0, 1.....т = 0, 1, ..., 2й— 1, то
г 2ft/2 при х£Д^+1>,
М*) = ! ~2*/2 ПРИ (10.1.2)
( 0 при х£[0, 1)\Д^’,
Здесь A^) = [m/2fe, (m+ 1)/2л), 6 = 0, 1, ...» m»0, 1, ..., 2*—1.
Как показано в § 1.3, справедливы равенства
2^—1
и’2*+т(х) = 2-^2 5 <’Л»+Л(х), 0</п<2\ (10.1.3)
п-0
2k-l
h2n+n(x) = 2k/2 S w^mw2k+m(x), 0<я<2‘, (10.1.4)
m = 0
где (tOn/m)—симметричная ортогональная матрица порядка 2*.
Из равенств (10.1.3) и (10.1.4), принимая во внимание,’ что
2*-1
а>0 (х) = (х) на [0, 1), заключаем, что всякий полином 2 ап^я(х)
п =0
порядка 2к по системе Хаара является также некоторым полиномом
2*-1
2 b„w„(x) порядка 2к по системе Уолша и наоборот. Следова-
и = О
тельно, согласно (10.1.1) имеем
E2k(f) = E2k(f)lt, fe = 0, 1.....
где
EAfh= inf If (х) — 2 а*М*)| (10.1.5)
{ak} I *=0 И
— наилучшее приближение функции f полиномами порядка п по
системе Хаара в равномерной метрике. (Точная нижняя грань берется
по всевозможным наборам п действительных чисел а0, а,,-!.)
п-1
Заметим, что всякий полином 2 аь^к(х) порядка п по системе
k— о
Хаара является ступенчатой функцией специального вида. Дейст-
вительно, если n = 2®-]-/-|-1, Z = 0, 1, ..., 2“—1, /п = 0, 1, ...,и
Др = [//2®, (» + l)/2m), i = 0, 1, ..., 2®—1, то указанный полином
есть ступенчатая функция с интервалами постоянства Д)®+1>,
0^t^2/-(-l, и Д/"’, /< /^2®—1. Это легко следует из опреде-
ления функций Хаара^ (см. (10.1.2)). Верно и обратное утвержде-
ние, а именно
10.1.1. Если п = 2® + /4-1, 1 = 0, 1.....2®—1, т = 0, 1.......
то всякая ступенчатая функция 5\(х) с интервалами постоянства
д<«+!>, о^л С2/+ 1, и Д/">, /</^2®—1, может быть представ-
п-1
лена в виде полинома Хаара 2 ak^k (х) порядка п.
k = 0
< Требуется доказать, что уравнение
п-1
2 akhk(x) = ?„(x), 0<х<1, (10.1.6)
*=о
где 5*„(х)—ступенчатая функция указанного в формулировке пред-
ложения 10.1.1 вида, разрешимо относительно коэффициентов ак.
Будем считать сначала, что п—1=2®, т = 0, 1, ... В этрм случае
надо доказать, что если задана ступенчатая функция 5\« + i(x), при-
нимающая произвольные значения f = 0, 1, ..., 2т — 1, на
интервалах Д!т>, то найдется полином по системе Хаара вида
2*»- 1
2 ^knk(x)f совпадающий с этой функцией на [0, 1). Но, как уже
k=0
2 я* — )
отмечалось выше, всякий полином по системе Хаара вида 2 akhk
2'Л_ ।
является также полиномом по системе Уолша вида 2 bkwk и на-
6=0
оборот. Поэтому разрешимость уравнения (10.1.6) в случае п = 2ш-|- 1,
m — Q, 1, ..., следует из 1.3.2.
Пусть теперь n = 2m4-/+l, где 0^/<2m—1, т=1, 2, ...
Тогда левую часть уравнения (10.1.6) можно представить в виде
z п-1 2я*—! > п-1
2 аь<4 (х) = 2 (*) + 2 «А (4 (1 °-1 • 7)
к=0 4=0 4 = 2“
Согласно доказанному выше первый полином из правой части этого
равенства при подходящем выборе коэффициентов может совпасть
с произвольной ступенчатой функцией, имеющей интервалы постоян-
ства ДУ"’, s = 0, 1, ..., 2“ — 1. Что касается второго полинома
в правой части (10.1.7), то согласно определению (10.1.2) функций
Хаара при подходящем выборе коэффициентов он может совпасть
с любой ступенчатой функцией, обращающейся в нуль на интерва-
лах Д/”‘, /</^2“—1, и такой, что ее значения 6((т+1> на интер-
валах Д^‘+” подчинены условиям s = 0, 1, ..., I.
Следовательно, если ступенчатая функция S*n (х) в правой части
уравнения (10.1.6) принимает значение су”+1) на интервале Д}'п+1,)
/ = 0, 1, ...,2/4-1, и значение с/"’ на интервале Д'/"’, /=/4-1, ...,
2”—1, то в силу сказанного выше уравнение (10.1.7) равносильно
системе линейных алгебраических уравнений
hunt_h<m+l>_/МП+1>
"s W2S ----- C2S4 1 »•=
s = 0, 1....I, / = 1+1, .... 2m—1,
которая однозначно разрешима при любых правых частях. Таким
образом, уравнение (10.1.7) разрешимо и предложение 10.1.1 дока-
зано ►
Введем обозначения
аГ(/)= sup /(х), ₽?”’(/)= inf /(х), (10.1.8)
лел<т'
®Г(Л = аГ (/)—РГ’(/), s = 0, 1, .... 2m-l,m = 0, 1, ...,(10.1.9)
где, как и выше, Alm=[s/2e, (s4-1)/2ш).
204
10.1.2. Если функция f(x) непрерывна на [0, 1] и модуль непре-
рывности ее со (6, f), то
E„(f)h<^(l/n, f)^6En(f)h, n=l, 2, .... (10.1.10)
где En(f)h определяется из (10.1.5).
◄ Для п=1 неравенства (10.1.10) очевидны, так как
<о(1, f) = a«>(f)-P<«>(f), a ^(7)А = у[^0,(/)-Г(7)].
Пусть теперь натуральное п 2. Представим его в виде п = 2я* 4-
4-/4-1, 1 = 0, 1, ..., 2т—1, т = 0, 1, ..., и докажем равенство
Еп (Г)н = 4- max I max <o*m+1)(7), max ®|'n,(7)l. (10.1.11)
Z 10<Z<2Z+l l<i<2”> I
n — 1
С этой целью выберем полином Хаара 9\ (х) = 2 ak^k (х) по-
4=0
рядка п так, чтобы он на интервалах Ду"+1), s = 0, 1, ..., 2/4-1,
принимал значения у {ayn+1’(7)4-₽s'"+1>(7)}> а на интервалах Д™’,
/ = /4-1, 2я—1—значения у {ау™ (7)4-₽/”’(/)}• Такой полином
существует в силу 10.1.1. Этот полином осуществляет наилучшее
равномерное приближение константами функции f(x) на каждом из
интервалов Ду"+1>, s = 0, 1, ..., 2/4-1, и Д)™, / = /4-1, .... 2»—1.
•Следовательно, он осуществляет наилучшее равномерное приближе-
ние функции f(x) на [0, 1) среди всех полиномов Хаара порядкам.
Из определения указанного полинома легко следует (10.1.11). Из
этого равенства, учитывая обозначения (10.1.8) и (10.1.9), имеем
£в(/)л<4п1ах{ш(2-я-\ f), со(2“», f)} =
= 1о(2-», /)С®(2—
Таким образом, левое из неравенств в (10.1.10) доказано.
Из определения модуля непрерывности и равенств (10.1.9),
(10.1.11) получаем
<о(1/п, 7)^<о(2~», 7)^
max 12 max co'm+n (7), 2 max co/"’ (7), co™} (7) 4-
1 0<s<2/+l / < / < 2m
+ ^7+147)+®^V'(7)}<
<Zmax/3 max <o(m+l>(7), 3 max co/’” (7)1 = OEn(f)h.
( 0<s<2Z+l (</<2'л I
Тем самым доказано и правое неравенство из (10.1.10). ►
10.1.3. Для любой непрерывной на отрезке [0, 1] функции f
справедливы неравенства
£„(/)<2<о(1, /}^24Е„(7), «=1, 2, ... (10.1.12)
4 Действительно, если п = 2т, т = 0, 1, ..., то согласно
(10.1.3) и (10.1.4)
£2M(f) = E2M(f)ft (10.1.13)
и требуемые неравенства (10.1.12) вытекают в этом случае из 10.1.2.
Если же 2» < п < 2»+1, то представим п в виде п = 2т + 1, где
0 < I < 2т. Тогда, учитывая монотонное убывание последовательно-
сти {Ek{j)} и равенства (10.1.13), с помощью 10.1.2 получим
£„(Л<£2Я,(Л = Е2Я>(ЛЛ<®(2-», 20(2-'»“, /)<2(о(1/п, /),
т. е. имеет место левое неравенство из (10.1.12).
Аналогично,
со(1/п, /Х©(2‘“, /X2co(2-»“, /)< 12Е2т+. (/)Л =
= 12Е2ОТ+1(/)^12Е„ (/),
т. е. справедливо и правое неравенство из (10.1.12). ►
Из 10.1.2 и 10.1.3 в качестве следствия получаем
10.1.4. Для того чтобы непрерывная на отрезке [0, 1] функция f
принадлежала классу Lipa при некотором a£(0, 1], необходимо и
достаточно любое из следующих условий:
E„(f)h = O(n^ En(f) = O(n~a).
В теории приближений теоремы, в которых наилучшие прибли-
жения заданной функции (в некоторой метрике) полиномами данного
порядка по некоторой системе функций оцениваются сверху череа
модули непрерывности этой функции (в той же метрике), называются
прямыми теоремами, а теоремы, в которых наилучшие приближения
функции оцениваются снизу через ее модули непрерывности,— об-
ратными теоремами. К числу прямых теорем относится теорема
Джексона, согласно которой наилучшие приближения Еп (f)T непре-
рывной 2л-периодической функции f в равномерной метрике триго-
нометрическими полиномами
п-1
in (х) = a0 + S cos kx + sin kx)
t=i
порядка и оцениваются через ее модуль непрерывности на отрезке
[0, 2л] с помощью неравенства
£w(f)r<12(o(l/nJ).
(В настоящее время известно точное неравенство
Еп (f)T < ® . f) . f^const, П=1, 2, ....
доказанное Н. П. Корнейчуком, где перед модулем непрерывности
в правой части нельзя поставить никакой постоянной, меньшей 1.)
Левое из неравенств (10.1.12) или (10.1.10) можно рассматривать
как аналог теоремы Джексона для случая приближений полиномами
Уолша или Хаара. Однако правое из неравенств (10.1.12) (или
206
(10.1.10)) является специфическим для случая приближений поли-
номами Уолша (соответственно полиномами Хаара) в том смысле,
что аналогичное неравенство
со(1/п, /)<С£„(/)Г, п = 1, 2.......
не может быть справедливо для всех непрерывных 2л-периодических
функций ни при какой постоянной С.
Из 10.1.2 и 10.1.3 легко вытекает такое следствие:
10.1.5. Если для непрерывной на отрезке [0, 1] функции f при
п—+оо справедливо одно из условий Еп (/)Л = о (1 /п) или En(f) = o(l /п),
то f (х) = const.
◄ Действительно, если для непрерывной функции f выполнено
одно из указанных условий, то согласно 10.1.2 или 10.1.3 при
п—*оо имеем <о(1/п, /) = о(1/л). Отсюда в силу монотонности мо-
дуля непрерывности легко следует, что
<0(6, /) = о(б), 6-^ + 0. (10.1.14)
Но так как для любой точки х£(0, 1) справедливо неравенство
|f(x±6)—f (х)| ^ш(6, f) при х ± (0, 1), то из (10.1.14) получим
Йт 6-Ч/(х±б)—f(x)|< Шп Нт ^-2 = 0.
6-^+0 б->+0 0 д-> + 0 0
Поскольку левая часть этого неравенства неотрицательна, то она
равна нулю, а поэтому /'(х) = 0. Но так как точка х£(0, 1) про-
извольна, то функция f постоянна на интервале (0, 1), а в силу
непрерывности—и на отрезке [0, 1]. ►
Таким образом, непрерывные функции, отличные от постоянных,
не могут равномерно приближаться полиномами Хаара или Уолша
порядка и со скоростью о(1/п) при и—>оо. Этот факт объясняется
разрывностью функций Хаара и Уолша. Что касается непрерывных,
но не гладких, т. е. не имеющих непрерывной производной, функ-
ций, то для них полиномы Хаара и Уолша образуют достаточно
хороший аппарат приближения в равномерной метрике на отрезке
(0, 1]. При этом следует иметь в виду, что для наилучших равно-
мерных приближений полиномами Хаара имеет место достаточно про-
стая формула (10.1.11), которая в случае n = 2m, /и = 0, 1, ...,
остается справедливой и для наилучших равномерных приближений
полиномами Уолша в силу равенства (10.1.13). Отметим также, что
доказательство предложения 10.1.2 содержит простой и эффектив-
ный способ построения полинома Хаара, осуществляющего наилуч-
шее равномерное приближение заданной непрерывной функции, среди
всех полиномов Хаара порядка п. (Эффективного способа построе-
ния тригонометрического полинома наилучшего равномерного при-
ближения произвольной непрерывной 2л-периодической функции до
сих пор не известно.)
§ 10.2. Приближение в метрике Lp
Рассмотрим прямые и обратные теоремы приближения функций
в метрике пространства Lp[0, 1), 1^р <оо, полиномами Уолша и
Хаара.
Пусть задана функция f из Lp[0, 1), 1^р<оо, т. е. измери-
мая по Лебегу на [0, 1) функция, для которой конечна норма
/ 1 \ i/р
= l/WI'd*) • (10-2.1)
\о /
Величина
ЕГ (/) = inf L (х) -2 akwk (J , (10.2.2)
fe = 0 Up
где нижняя грань берется по всем наборам из п действительных
чисел а0, ...» ап, называется наилучшим приближением функции f
в метрике L^[0, 1) полиномами Уолта порядка п. Из этого опре-
деления вытекает неравенство
^₽,(/)<!l/W-s„(x. /)||„ (10.2.3)
где
П-1
f)=^f(k)wk(x) (10.2.4)
*=о
— частная сумма порядка п ряда Фурье—Уолша функции f.
10.2.1. Если /^L^[0, 1), 1^р<оо, то
Н2П(/)||,<||/||„ п = 0, 1, ... (10.2.5)
4 Действительно, как было показано в § 2.1, справедливо ра-
венство
Sin(x, f) = 2n $ f(t)dt при / = 0, .... 2й— 1, (10.2.6)
д<л>
где Д|'” «= [i/2", (i + 1)/2”). Воспользуемся неравенством Гельдера
ь t b \1/р t Ь \ 1/«
$Ф(0Ф(0^ <H|<p(0NN шшм) ,
а \а / \а /
7 + 7 = 1. (Ю.2.7)
для [а, ф (/) = /(/), ф(/)с=1. В результате из (10.2.6) по-
лучим
z2^1 с р \1/ 2 2» $ 2-Л \ дГ» / 2«- ) <2л/в( 2 \ -° д р < г x’" $ |/(0l'dt\ 2-"/«ЧЛР. ► 1П> J
Будем считать теперь функции Уолша и функцию / периодиче-
скими с периодом 1. Величина
/ 1 \1/р
Л= sup (\lf(x+h)~ f (x)pdx )
0</1<6 \o /
б>0, (10.2.8)
называется модулем непрерывности функции f в метрике L? [0, 1)
с шагом 6 или просто LP-модулем непрерывности.
10.2.2. Если f £ LP [0, 1), 1^р<оо, то
||f-s2»(f)||/,<2‘^(2-'’, f), n = 0, 1, ... (10.2.9)
◄ Учитывая равенство (10.2.6) и определение LP-нормы (10.2.1),
получим
/2"-1
U-S^(MP = [ 2 J /(х)-2» $
V-0 ь<(т д<П)
2«- 1
Р \lfP
Отсюда, пользуясь неравенством Гельдера (10.2.7) для оценки внут-
реннего интеграла, будем иметь
Меняя на основании теоремы Фубини (см. П4.4.4) порядок интегри-
рования и используя определение (10.2.8) l/’-модуля непрерывности,
придем к неравенству
10.2,3, Если /€^{0, 1), 1^р<оо, то
E^(J)^2'+^<»p(l/n, [), л.1, 2, ... (10.2.10)
◄ В самом деле, представим п в виде п = 2т + 1, где 1 = 0, ...
..., 2т—1, /и = 0, 1, ... Тогда на основании неравенств (10.2.3)
и (10.2.9) получим
Е(р) (f)^E2pm(f)^.21/pap(2~m, f)<
1 — 1 1
<2 + » ыр(2-т-\ f)<2 + ₽ ap(l/n, f). ►
Неравенство (10.2.10) можно рассматривать как аналог хорошо
известной оценки
£<f”(f)r<C,®,(l/n, f),
где (f)r = inf || f—/„L —наилучшее приближение функции
Un}
[0, 2л) тригонометрическими полиномами tn(x) порядка п в метрике
V[0, 2л).
Обозначим через Lip (а, р), 0 < а 1,1 р < оо, класс всех функ-
ций fgL/’fO, 1), для которых ®,(6,/) = О(6“). Тогда из 10.2.3
вытекает следующий результат:
10.2.4. Если f£Lip(a, р), 0 < а 1,1 < оо, то E(P>(f) =
= О(п~а).
Для доказательства обратной теоремы, в которой D-модуль не-
прерывности оценивается сверху через наилучшие приближения
в метрике L? [О, 1), потребуются три вспомогательных утверждения.
10.2.5. EcAuf£LP[O, 1), 1^р<оо, то
E^(f)^f-S2n(f)\\p^2E^(f), п = 0, 1, ...
◄ Левое неравенство является следствием определения величины
Е2рп (f). Для доказательства правого неравенства обозначим через
(х) полином Уолша порядка 2Л наилучшего приближения функ-
ции f в метрике Lp[O, 1), для которого £(2«’ (/) = || f—^2Л||,. Такой
п- 1
полином, очевидно, существует, так как величина f— 2 akwk
Л= О
при
р
/€ L? [О, 1) является непрерывной функцией коэффициентов а0, ...
..., a„_i. Пользуясь неравенством треугольника для L^-нормы
11ф + ф||р <11 ф|р+ИН’
(10.2.11)
часто называемым неравенством Минковского, и предложением 10.2.1,
получим
II f - (f) ц,=II f-s\n - s2n (f - ^2n) ц, <
<|| II, +1!s2n (f-?2n) II, <2II f-^2n II, = 2E% (/). ►
Пусть hn(x)—функции Хаара, задаваемые равенствами (10.1.2).
10.2.6. Для любого р>0 и любых действительных чисел ак,
2^ < 2OT+1, m —0, 1, ..., имеет место тождество
2ОТ + 1-1 п / 1 JA /г/п-и-1 \i/p
2 akhkр'ЧоЯ 2 Ы'1 . (10-2.12)
k=2m ||р \ &=2да J
◄ Действительно, если k — 2т + i, 0 < 2я, то | ft* (х) | = 2т/2
при х £ Др = [i/2m, (i + 1)/2'л) и hk (х) = 0 при х б [0, 1)\Др. Отсюда
легко следует равенство (10.2.12). ►
Пусть задана функция f£L[O, 1). Обозначим через Я\(х~)^
^„(х, f), п= 2, ..частную сумму порядка п ее ряда Фурье—
Хаара, т. е. положим
п - 1
^п(х)= ^akhk(x), (10.2.13)
о
где
1
ak~ak(f) = J/(x)hk (x)dx
о
(10.2.14)
— коэффициенты Фурье—Хаара функции f.
10.2.7. Если п—1=2Я + /, / = О, 1, ..., 2т—1, m = 0, 1,
то
5\(х) =
2ra+1 $ f(y)dy при хе^т+1\ 0</<2/-| 1,
дОП + 1)
2га $ f (у) dy при х £ Др, I < / < 2т,
tf*
где Др = [7/2*, (i + 1 )/2s), i = 0, 1, .... 2»—1.
◄I Подставляя выражения коэффициентов Фурье—Хаара (10.2.14)
в правую часть равенства (10.2.13), получим
1
?„(х) = if(y)Kn(x, y)dy,
О
где
Л— 1
кп (х, y)=^hk (х) hk (у)
1< = о
(10.2.15)
(10.2.16)
— ядро Хаара порядка п. Исследуем свойства этого ядра. Напом-
ним, что Л0(х)=1 при 0^х<1. Если же fe^l и k = 2m + l,
1 = 0, 1, ..., 2т—1, т = 0, 1, ..., то, полагая hk (х) = ftp (х), со-
гласно (10.1.2) получим
{2т/2 при хбД^+”,
—2т/2 при xCAg’A1»,
0 при х€ [о, 1)\др.
Очевидно, (х, у) = 1 для 0 х, у < 1. Введем обозначение
QP = Др х Др. Тогда функция hx (х) ftj (у) равна 1 на квадратах
Qoo и и равна —1 на квадратах QoV и Q^’. Поэтому ядро (х, у)=
= Л^1(х, у) + hx (х) ht (у) равно 2 при (х, t/)€QooUQn и равно 0 при
(х, y)€Q^uQVo’.
Легко доказать по индукции, что /С2я(х, у) = 2т на квадратах
Ом1', i = 0, 1, .... 2т— 1, и Кгт (х, у) = 0 на квадратах (ЭД1’, если
г =4=/, O^i, /<2m—1, /п = 0, 1, ...
Пусть теперь п = 2“ + / 4-1, где / = 0, 1, ..., 2я*— 1, /п= 1, 2, ...
Тогда согласно (10.2.16) имеем
Кп (х. У) = ^2“ (+ У) + 5 л*"’ (х) h'™' (у).
/?=0
функция (X) йГ’(«/) равна 2“ на квадратах Q&Vft и Q^+^fe+i»
равна —2“ на квадратах Q’^.Va+i и и равна 0 на осталь-
ной части квадрата Qoo = [O, I)2. Так как четыре квадрата QS',+i>,
и Огь+Игь образуются разбиением на четыре рав-
ные части квадрата Q(™\, на котором Дат(х, у) = 2т, то ясно, что
Кя(х, y) = 2“+1 на квадратах Q^+2V и г/г+1 и Д„(х, у) = 0 на
квадратах и ОгЯ+ъги- Следовательно,
к< v / 2“+1 при
п\х> У) j о при (х, f/)€Q'(™+”,
где i =/= /, 0<t, / С 2/ + 1, й = 0, 1, ..., I.
Таким образом, ядро КЛх, у) определено на объединении
2/+ I
2 Q^t" квадратов ранга /п+1.
i. М
Далее, поскольку
2йГ(х)ЛГ(^) = 0, (х, z/)€QP,
6=0
где или I < / <2“—1, или I < г < 2т—1, то
(х, у) = (X, у) = 2», (х, у) € QF.
Из установленных свойств ядра (10.2.16) и (10.2.15) следует
утверждение 10.2.7. ►
10.2.8. Для любой функции f € L/ [0, 1), 1^р<оо, справедливо
неравенство
п=1, 2, ..., (10.2.17)
где 0 < С, = 8 •2^₽(21/₽ + 4)<96.
4 Как отмечалось в § 10.1, любой полином порядка 2я* по си-
стеме Уолша является полиномом того же порядка по системе Хаара
и наоборот. Пусть s2o» (х, f) — частная сумма порядка 2“ ряда Фурье—
Уолша функции f. Из определения (10.2.8) LZ-модуля непрерывно-
го, пользуясь неравенством Минковского (10.2.11) и предложением
10.2.5, получим
ю,(2—, M<<op(2-m, )-52ш) + <о₽(2-“, s2»)<
<21|/ — s2/n И, + (2-«, s2») <4£'^ (/) + со, (2-», s2m), (10.2.18)
где s2»> (/) = s2«.
Из 10.2.7 и (10.2.6) следует, что частные суммы Фурье—Уолша
порядка 2я* совпадают с частными суммами Фурье—Хаара того же
порядка. Поэтому
2<п-1
S2m (X) = 2 ak^k (*).
k=0
где ak = ak(f)—коэффициенты Фурье—Хаара (10.2.14) функции f.
Пусть 0<й<2~“, т—1, 2, ... Поскольку й0(х) = 1, то
ГП — 1
||s2o» (х + й) — s2o» (x)L< 2 2 ak[hk(x + h)—hk(x)] . (10.2.19)
S=0 I !<=V p
Если k = 2s + l, 1 — 0, 1, .... 2s—1, s = 0, 1, 2, то разность
йй(х + й)—hk(x) отлична от нуля на множестве
л и.. (1 и /\../2z+1 ь 2Z4-1V //4-1 . /+1\
(Й) 2^у 2i + 1 2s + 1 / ( 2s h’ 2s ) ’
а вне его замыкания на любом отрезке длины 1, содержащем это
множество, она равна нулю. Заметим, что интервалы, составляю-
щие множество Ak(h), не пересекаются, так как 0<й<2_,в, 0<
< s < tn, tn = 1, 2, ... Кроме того, очевидно, что если Ак (й) э
==А(/°(й), то А£’ (й) Л A’s+’2 (й) = 0 при 0</<2“—2 и |йй(х + й)—
— hk (х) | < 2 2s на среднем интервале, составляющем множество
Ak(h), и |йДх + й) — hk(x)\^y2s— на крайних. Обозначим через
2 и 2* суммирование по четным и нечетным номерам соответствен-
но. Тогда, пользуясь неравенством
\а + Ь\Р (\а\Р + \Ь\Р), 1<р< оо,
получим
2* —1 ___ _________ _______ \ 1/р
2\a.it+i\p(Vr2sP + 2P\/^+Vr2sP)h} .
1= о )
Отсюда на основании 10.2.6 и 10.2.5 получаем
I2-S + 1-!
ak[hk(x + h)—hk(x)]
<2(1 4-2F-^i/«’2^|si/+.(f) —
р
<4-2^ (|з».+. (/)-/ +1|s4. (f)-Hp) й^ С
< (/).
Учитывая это неравенство, из (10.2.19) выводим
т- 1
|| S2m (X + К) — S2m (X) L < 16ft*/P 2 2S'₽ E^ (f).
r s=0
Так как h 6(0, 2~"] произвольно, то отсюда по определению (10.2.8)
LZ-модуля непрерывности имеем
m- 1
6)p(2~m, S2m)< 16-2-m/₽ 2 2s/p£(2₽2 (/).
? s=0
Используя эту оценку и неравенство Ег® (f) ^E^m-i (f), из (10.2.18)
получим
т- 1
а>р(2~т, /)<4(2*/₽ + 4)2-т/₽ 2 2s/pE^(f)- (10.2.20)
Пусть теперь задано произвольное натуральное п ^2. Предста-
вим его в виде /г = 2т + /, / = 0, 1, ..., 2я1— 1, т = 1, 2, ... Тогда
из (10.2.20) в силу монотонного убывания последовательности
{£fep> (/)}“= о имеем
Л7- 1
®_(1/п, Л С®» (2-», f) ^С’р2-^р 2 2^£'р2(/Х
r r s=0
<2C;-2-m/₽ 2P’_1£|P)(f)<21+^'C>->/P 2 ^“^(f),
/г=1 fe=l
где C'p — 4 (21Z₽ + 4), т. e. неравенство (10.2.17) для n |>2 доказано.
Если п— 1, то на основании свойств LZ-модуля непрерывности
из (10.2.20) при т=1 получаем
®F(1, П^2пр(1/2, f)<8(2i/₽+4)2-VP£<₽>(f). к
Отметим, что в силу непрерывности нормы при р —♦ оо неравен-
ство (10.2.17) с постоянной 96 верно и для р = <х>.
10.2.9. 1) Если 0<а<1/р^1, то условия Е(р> (/) = О (п~а),
п—>-оо, и /6 Lip (а, р) равносильны1,
2) (ели 0 < 1/р < 1, то из условия £#”(/) = О(п-а), п—> оо,
следует f^Lip (1/р, р);
3) если 0 < а = 1/р 1, то из условия Е(пр>(/) = Оп—+оо,
следует coF(6, f) = 0(S1/₽|ln6|);
4) если сходится ряд
2^/p-iE^>(/), 1Ср<оо, (10.2.21)
k= i
то f€Lip(l/p, р).
◄ Утверждение 1) вытекает из 10.2.4 и 10.2.8. Действительно,
если Е^ (f) = O(n~a), п—^<х>, где 0 < а <11, 1 < оо, то из 10.2.8
имеем
f П 1 \
®p(l/n, f) = O(n~1/p )• (10.2.22)
\ *=i /
n 1 / 1 \
2-----a—i л ( a )
kp — O\np /, n—<-oo, и, следова-
тельно, cop (1/n, f) = O(n~a), n->-<x>, t. e. <op(l/n, f)^.Cn~a, n=l,
2, ..., где C > 0—некоторая постоянная. Пусть задано произволь-
ное 6^(0, 1]. Подберем натуральное п = п(6) так, чтобы выполня-
лись неравенства l/(n+ 1) < б^ 1/пгТогда
соДб, f)^ap(l/n, f)<Cn-“C2C(n+1)-“<2Сб“.
Таким образом, fgLip(a, р).
Тот факт, что из условия f£Lip(a, р) следует Ejf” (f) = О (п_“),
п—<-оо, вытекает из 10.2.4. Тем самым утверждение 1) доказано.
Если Е(„р)(/) = О(п~а), п—+ оо, где 0 < i/p < a1, то, как было
показано выше, справедливо соотношение (10.2.22). Так как а> 1/р,
то а 1 = 0(1) и из (Ю.2.22) вытекает, что ®р(1/п, /) =
= 0(п~1/р), п—* оо. Отсюда, как и выше, следует, что /С Lip(1/р, р)
и утверждение 2) доказано.
Пусть теперь E{p)(f) = О(п~1/р), п—<<*>. Тогда выполнено усло-
вие (10.2.22) для а=1/р, т. е.
/ п \
. <Лр(1/П, f) = O[ П~1/р S4- ) = O(n-1/p Inn), П—<-оо,
X *= 1 /
п
так как S -г =0(1пп), п—< оо. Отсюда легко следует, как и при
k=i R
доказательстве утверждения 1), что®р (б, /)=0(61/р | In б |), б —>--|-0. Тем
самым утверждение 3) доказано.
Наконец, если сходится ряд (10.2.21) и 1-Ср< оо, то из 10.2.8
вытекает, что и>р(1/п, f) = O(n~1/p), п—-оо. Отсюда легко получить,
что (оДб, /) = О(б1/р), т. е. /С Lip (1/р, р).
00
Из 4), в частности, следует, что сходимость ряда 2 £л* (f) для
п= 1
f£L[O, 1) обеспечивает выполнение условия ®х(б, /) = 0(б). Но
тогда функция f эквивалентна функции ограниченной вариации на
[О, 1), т. е. можно так изменить ее значения на множестве нулевой
меры Лебега, что получим функцию ограниченной вариации на
[О, 1).
Утверждения 2) — 4) из 10.2.9 являются точными в следующем
смысле:
10 .2.10. 1) Если 0< 1/р<а^1, то из условия E^(f) = О (п~а),
п—+оо, вообще говоря, не следует, что ®р(б, /) = о(б|/о), б—<• 0;
2) из условия Е{р> (f) = O(n~l/p), п-+<х>, вообще говоря, не сле-
дует, что ыр (б, f) = o (д1/р | In б |), б —<• + 0;
3) из сходимости ряда (10.2.21), вообще говоря, не следует, что
«Дб, /) = о(6»/р), б-* + 0.
<4 Рассмотрим функцию f0(x) — (х). Тогда Е(пр> (/0) = 0 при п 2,
1^р<оо и, в частности, (/0) = О(п~а), п —► оо, при любом
а > 0, в том числе при а > l/р. Но так как (х) = 1 при 0 х <
<1/2, о»1(х) = —1 при 1/2 <х<1 и и>! (хЧ- 1) = ®j (х), то при
0 < А < 1/2 имеем u>1(x-f-h)—о>1(х) = —2 при -1—й^х<4- и
(х + Л) — (х) = 0 при х (£ £-1—ft, -g-J П [0, 1]. Поэтому
/ 1 \ i/р
( J | (х + h)—Wt(x)\pdx} = 2h1/p.
\o /
Следовательно, ®p(6, f0) = 261/p при 0 < 6 < 1/2, т. e. условие
ьлр (б, /о) = О (б1/₽), б —► + 0, выполнено, а условие (б, /0) = о (б1/"),
б—►Ч-О, — нет. Тем самым утверждение 1) доказано.
Поскольку £«”(/,)== О при п|>2, то 2 пР ' ^пру (/о) < 00• По-
п = 1
этому на примере функции fQ (х) = (х) убеждаемся в справедли-
вости утверждения 3).
Для доказательства 2) рассмотрим функцию
СО
А(Х)= 2 2-^Л2й(х).
1= о
Ряд в правой части, очевидно, сходится на интервале (0, 1). По-
кажем, что он сходится и по норме пространства \J> [0, 1) при лю-
бом р 1. Действительно, поскольку
со оо
2 2-"'ЧМр= 2 З-'^оо, 1</9<оо,
п—0 n — Q
то ft € [0, 1) при р€[1, оо). При этом
= 2 2~а/р = О(2-т/р),
п=т
т —► оо.
Если п = 2“Ч-/, / = 0, 1, ..., 2я—1, /и = 0, 1, ..., то
(/J < Е%к (h) = О (2-'"/₽) = О (п~^р), п-+<х>.
Отсюда на основании 10.2.5 и свойств W-модуля непрерывности
имеем
<0,(2—, /i)>®,(2—, s,«(/1))~®F(2— A-s2-(/,))>
> (2—, s2» (fi))-21| (f^p >
> мр (2—, sa» (h)) Ч- О (2~^p), m-+<x>.
Теперь для доказательства утверждения 2) достаточно доказать,
что
s <ар(2~т, т->-оо.
Но это следует из неравенства
<Лр(2~т, 82т(/\))>
/ 1 m —1 р \1/Р
$ 2 2-п/2[Л3«(х)—й2п(х + 2-л’)] dx ) =
\£_ 2 Я® /1=0 /
т-l р \1/Р
2 2-п/2Л2«(х + 2-'я) dx) = т2~т/р. >
п = 0 J
§ 10.3. Связь между наилучшими приближениями
в разных метриках
Рассмотрим условия, накладываемые на последовательность наи-
лучших приближений {Е^ (/)} функции f g L? [0, 1), 1Ср<°о, из
которых следует принадлежность этой функции пространству L^[0, 1),
где q > р, и произведем оценки ее наилучших приближений в мет-
рике 1Л[0, 1). При этом будем считать, что L°° [0, 1)—это прост-
ранство измеримых существенно ограниченных функций на [0, 1)
с нормой
llfL=suPvrailf(*)l <00.
0 < х < 1
которая называется существенной верхней гранью функции f на
[0, 1) и равна наименьшей из всех тех постоянных С^0, для ко-
торых неравенство |f(x)|^C справедливо почти всюду на [0, 1).
Пусть задана функция f £ L [0, 1) и пусть /)^„(Х),
п=1, 2......— частная сумма порядка п ее ряда Фурье—Хаара.
10.3.1. Если п = 2т + I, где 1 = 0, 1, ..., 2а — 1, /п = 0, 1,2.
то для всякой функции f g Lp [0, 1), 1^р<оо, справедливо нера-
венство
Г).
4| Частный случай этого утверждения, когда п = 2*, сводится
к 10.2.2. В случае произвольного п доказательство проводится на
основании 10.2.7 точно так же, как 10.2.2 доказывается на основа-
нии равенства (10.2.6). Поэтому подробное доказательство предо-
ставляется провести читателю. >
10.3.2. Если f £ L? [0, 1), 1^р<оо, то
Р„(/)К11Лг-
4| В случае n = 2m это утверждение сводится к 10.2.1, так как
3\т (f) = s2m (f), где s2« (/)—частная сумма порядка 2т ряда
Фурье —Уолша функции /. В случае произвольного п доказатель-
ство проводится на основании 10.2.7 точно так же, как 10.2.1 дока-
зывается на основании равенства (10.2.6). Поэтому доказательство
предоставляется читателю.
Утверждение 10.3.2 (как и 10.3.4) следует и из того, что —
мартингал и (см. [16], с. 416) {|| (f)^} t при любом 1, а так как
система Хаара—базис в L₽[0, 1], то limpn(/)||/, = ||f||p. >
10.3.3. Если /gL^[O, 1), 1^р<оо, то
ЕГ(ПЛ<и-^п(ШР^ЕГ(ПЛ, п=1, 2, ...
В случае и = 2"’ это утверждение сводится к 10.2.5. Для про-
извольного и оно доказывается на основании 10.3.2 аналогично
тому, как 10.2.5 доказывается на основании 10.2.1.
10.3.4. При l^p^oo для произвольных действительных чисел
ак справедливо неравенство
п + т
2 akfik
k=0
оо.
(10.3.1)
п + т
Полагая f(x)= 2 аЛйЛ(х), легко видеть, что —коэффициенты
6 = 0
Фурье—Хаара функции f. Поэтому согласно 10.3.2 справедливо
неравенство
Отсюда согласно неравенству Минковского (1Q.2.11) имеем
II п + т || II п
2 аЛ|| — 2 ak^fi
р |]fe=zi+1 ||р ||/г=0
аЛ
п + т
2 akhk
/г=0
Таким образом, требуемое неравенство (10.3.1) доказано для случая
1 ^р < оо. Остается заметить, что 10.3.2 справедливо и при оо.
(Неравенство (10.3.1) для случая р=оо можно получить и предель-
ным переходом при р —► оо из этого же неравенства для 1 ^р < оо,
если учесть, что ||f||0O= lim \\f Ц^Л >
р -> со /
10.3.5. При 1^р<оо и т~0, 1, ... справедливы неравенства
fl 1 \ /2ОТ + 2- 1 \ 1/р
(4/2)-i2mb\₽ J 2 К|' <
\ п~2т )
|2от + 2-1
2 anhn
п = 2т
<2К2-2 2 КН ,(10.3.2)
р V п=2т )
где ап — произвольные действительные числа.
Из неравенства
1 ^.р < оо,
и 10.2.6 имеем
Отсюда следует правое неравенство из (10.3.2), так как 2“1/р< 1
при 1 р < оо.
Обратимся к доказательству левого неравенства из (10.3.2). На
основании 10.3.4 имеем
шах
2^ + 1- 1
2 anh
п = 2т
2^ + 2- 1
п-2т + 1
Р.
2»» + 2-1 II
2 ал . (10.3.3)
-2"» ||р
п
<2
Пользуясь утверждением 10.2.6, а затем неравенством (10.3.3),
получим
2 anh„ (х)
п = 2ст
Р
dx +
2Ш + 2_ 1
2 (*^)
П = к т + 1
Отсюда следует левое неравенство из (10.3.2), если учесть, что
1 <^р < оо.
10.3.6. Если f^LP[09 1), 1^р<оо, n — 2m + k, где £==0, 1,...
..., 2ОТ—1, m = 0, 1, ...» то
(““)£<₽’ (f)A,
где an(f)—коэффициент Фурье—Хаара функции f.
Действительно, на основании 10.3.4 и 10.3.3 имеем
К Ш11hn = ||a„hn II, = || ^л+1 (/)-^„ (f)[\p <
< II (П - а + II +1 (f) - f 1„ < 4E<f> (Ла.
Так как || hn = 2т 2 то отсюда и следует нужная оценка. >
Перейдем к основным результатам этого параграфа:
10.3.7. Пусть f £ L? [О, 1), 1 <р < q < оо, и сходится ряд
2 ЕТ (Г)лп'р'<
9 1
Тогда f £ L* [0, 1), причем
(10.3.4)
£^(/)а<128(еГ(/)ап’’’+ 2 п = 1, 2...
\ /? = л+1 /
(10.3.5)
где Е{р> (f)h— наилучшие приближения функции f в метрике W [0, 1)
полиномами Хаара порядка не выше п.
Так как / £ [0, 1), то согласно 10.3.1 ряд Фурье—Хаара
функции f сходится к ней в метрике L*1 [0, 1), т. е. ||/—&п (/)||р—* 0,
п —* оо. Поэтому для любого п=1, 2, ... имеет место равенство
/ = ^„(/) + 2 (^+.(/)-^ал(/)],
fr = 0
(10.3.6)
которое надо понимать в том смысле, что ряд, стоящий в правой
части, сходится к функции / в метрике К [0, 1).
Пусть п = 2т + г, г = 0, 1, ..., 2я*—1, m = 0, 1, ... Тогда
2*+Я1^2*п, n2*+1 < 2*+<я+\ и при l<Zp<(?<oo на основании
10.3.5, 10.3.6 и 10.3.3 имеем
(/)-^2* (fl, <2 <*+m) ( 2 ' « ) .2 г 2х
X
/л2*+«-1 \1/<7 1 1 А
х( 2 ^2 j/2-2 \2“<7/х
\ «ел2Л /
(п2Л + ‘-1 \1/Р*1Р/<? ___Р_
2 й Ы₽ ) ( й max |аэП ’ » <
S«sn2* / J \п2Л < s < п2Л + ’ /
<2И2-2(*+т,( * "* )[4И2-2<А+т’(₽‘'0||Я12Я+1(Я—
—[шах(1, 2““ з).2<й+'">(₽” i)*
.4E^(/)J“T- < 2И2.2(*+п”(^Н-) х
х [16 Г2£^(/)аГ’ [4 |<2Е(^ (/)„]“ ’ <
<64(712*) ' E^(f)h. (10.3.7)
Устремляя q к + оо, убеждаемся, что это неравенство справед-
ливо и при 1 <р < </«» + оо. Из (10.3.6) на основании неравенства
(10.3.7) при 1 < р < 9<оо получим
(^/'(/)АС||/-^у)1<
< 2 II3^'^ (?) - (/)||9 С 64 2 (2Л«) (f)„.
Но так как
5 (п2*)““ Е<& (f)h < п~ Е<р> (/)А +22 Д'” (/)л ,
fc=o £=л+1
то из предыдущего неравенства следует (10.3.5). ►
10.3.8. Пусть f € Lp [0, 1), 1 < р < q ss^oo, и сходится ряд
2 E№(f)k~~~l. (10.3.8)
k— 1
Тогда f g L« [0, 1), причем
£<$(/)< 128 [е^Ц)2П + 2 ,
\ fe=2» + l )
n = 0, 1............... (10.3.9)
где E\p} (f)—наилучшие приближения функции f в метрике L? [0, 1)
полиномами Уолша порядка не выше k*).
◄ Действительно, легко убедиться, что сходимость ряда (10.3.8)
равносильна сходимости ряда
2 Д#(О2пСН0,
п=0
т. е. ряда
S " (7+),
м=0
поскольку Е${[) = Е$(/)А, п — 0, 1,... Но сходимость последнего
равносильна сходимости ряда (10.3.4). Итак, если сходится ряд
(10.3.8), то сходится и ряд (10.3.4). Поэтому согласно 10.3.7 /£
€ L« [0, 1) и выполнено неравенство (10.3.5). Полагая BHeMn = 2ra,
т = 0, 1,..., и пользуясь монотонностью последовательности Е{р' () )Л,
имеем
EW)A<128(E’^(/)A2m(^)+ 2 2^--^E^(f)k\.
Отсюда, учитывая равенство Д-(/)* = Д» (/), получим (10.3.9) ►
Отметим, что в следующем параграфе для функций / g L^[0, 1),
1 р < оо, при 1 р < q < оо неравенства
W/)ACC,(P, q)\Er(j)hn°~ <> + 2
И
Д”Ш<с8(р, <7)(др)(/)п”“+ 2
к
*) Утверждение 10.3.8 —аналог результата А. А. Конюшкова и С. Б. Стеч-
кина для случая приближения тригонометрическими многочленами.
с некоторыми постоянными, зависящими от р и q, будут выведены
другим методом как следствие из более точных теорем.
Частным случаем утверждения 10.3.7 является
10.3.9. Если f £ L? [0, 1), 1^р<оо, и сходится ряд
п= 1
то f£L®[0, 1), причем
E^(f)h^m[n^ET^h +
V fr = rl+l j
Отсюда и из 10.1.2 вытекает
10.3.10. Если функция f непрерывна на [0, 1], то
(0(l/n, /)<768[nvp£r(f)ft+ S
\ £=л+1
2
где 1<р<оо, п—1, 2,...
Частным случаем 10.3.8 является следующий результат:
10.3.11. Если функция f непрерывна на [0, 1], то
Е& (/) <128 Etydj) 2т ° + 2 2’ ° Е$ (/)} ,
\ s=m )
; оо, m = 0, 1,...
§ 10.4. Связь между наилучшими приближениями
в разных метриках (продолжение)
В этом параграфе докажем более точные теоремы того же типа,
что и 10.3.7, 10.3.8. Теоремы 10.3.7 и 10.3.8 получаются из них
в случаях 1 ^р < q < оо, но с постоянными в правых частях, за-
висящими от р и q, как следствия. Для доказательства основных
результатов потребуется ряд вспомогательных утверждений.
Модуль непрерывности функции /£L^[0, 1), 1^р<оо, опре-
делим несколько иначе, чем в предыдущем параграфе, а именно по-
ложим
/1~Л \i/p
<oJ(S, f)= sup \ \f(x + h) — f(x)\Pax ) , 0<6<1. (10.4.1)
o<h<6\j /
Таким образом, этот L^-модуль непрерывности зависит лишь от
значений функции f, принимаемых ею на отрезке [0, 1), в отличие
от L^-модуля непрерывности, задаваемого равенством (10.2.8), ко-
торый определяется для периодических с периодом 1 функций.
10.4.1. Если f£ L^[0, 1), 1 ^р < оо, то при 0 ^а < b 1
b Ь Ь—а
IP^^\f(x)-f(y}\i>axdy^2 $ {^(t, f)]Pdt. (10.4.2)
а а ь
◄ Производя соответствующие замены переменных, меняя на
основании теоремы Фубини порядок интегрирования и пользуясь
определением (10.4.1) L^-модуля непрерывности, получим
b (b х b (b-y I
= $ j S lf(u+y)—f (У)1Рdu I dy=
a \a ) a J
b-a /b-и \ 0 ( b \
= $ ! $ !/({/+«)—f(y)\pdy\du+ 5 1 $ \Hy+u)~f(y)\pdy\du—
0 t a ) a- b \a-u )
b-a fb-u \ b-a ( b \
= $ I J \f(y+“)—f(y)\pdy\du+ J ] $ \f(y—v}—f(y)\pdy\dv =
0 \ a / 0 \a+v /
b-a fb-u \ b-a (b-v \
“Si! I/(#+«)—f(y)lpdyldu+ $ { $ |f(0—/U+t’)p’d4<iy =
0 \ a J 0 \ a J
b-a (b -1 \ b-a
= 2 J H \f(y+t)-f(y)\pdy\dt^2 $ [оД/, f)]Pdt. ►
0 I, a 7 0
10.4.2. Если f£L?[O, 1), l^p<oo, и
t + h
ФА(0 = $ f(x)dx,
t
0</z< 1,
mo
l-h
$ И(О-ФА(ОМ<К(Л, or
0
(10.4.3)
◄ Пусть сначала 1 <p< оо. Пользуясь неравенством Гельдера
(10.2.7), получаем
l-h l-h h р
J |/(0-ФА(01'^= j \\[f{t)-f{t + u)]du dt<
0 0 0
1-ft / h
$ П |f(/)—f(t + u)\Pdu
0 to )
\f(t + u)-f(t)\Pdt J |f(t+u)-f(t)\Pdt\du^
Join J
h
<|f[®:(W, f)]Pdu^0(h, f)]p,
т. e. неравенство (10.4.3) для случая 1 < p < оо доказано. Если же
р=1, то доказательство проводится аналогично, но без использо-
вания неравенства Гельдера. ►
10.4.3. Если f € [0, 1), l^p<oo, и
(* + l)/n
•фи(/) = п J f(u)du, k/n^i <(k+\)/n, k = Q, ..., n— 1,
k/n
то при n=l, 2,... справедливо неравенство
l-l/n
$ 191/40-^(01^^ <[o>;(l/n, f)]P. (10.4.4)
о
◄ В случае n=l неравенство (10.4.4) очевидно, так как в этом
случае его левая часть обращается в нуль, а правая неотрицательна.
Пусть теперь n^2, 1 <р< оо. Пользуясь неравенством Гельдера,
получим
р
п-2 (* + DM
(fe + l)/n
f f(u)du dt =
п t
J f(u)du— J f(и)du
п — 2 1
(k + I)/n
k/n
п
т. e. для случая 1 < p < оо неравенство (10.4.4) доказано.
Если же р = 1, то приведенное доказательство проходит и в этом
случае, но при этом не надо пользоваться неравенством Гельдера. ►
10.4.4. Если f£LZ[O, 1), 1^р<оо, то
/ р X 1/Р / 1 \
(4 ,f), п=1,2,... (10.4.5)
\о /
◄ Пользуясь неравенством | а + b\lft> | a j1^ + [b|х/^, 1^р<оо,
получим
п
$ 1/(0—
о
1/р
1/р
4 J
Применяя к первому члену правой части
(10.2.11), будем иметь
неравенство треугольника
Ир
J |/(0-<Р1/п(П|'Л
, о
п
$ |«Р1/П(О-'МОГ<И
о
i/P
1 \ 1/р
[ 1/(0-
~ I
П J
Оценим первые два
(10.4.3) и (10.4.4);
слагаемых правой части с помощью неравенств
f) + n
р
(f(O-f(x))dr dt
1
i/р
' п
п
®2©J(l/n, П + /Г-
Воспользуемся неравенством Гельдера (10.2.7) и оценкой (10.4.2).
В результате получим
п1-?
dt
1/р
Отсюда и из предыдущего неравенства вытекает (10.4.5). ►
10.4.5. Если f € [0, 1], 1^р<оо, то
«Ш 1ЛХ<-Ш /). О<6<1.
(10.4.6)
•< Это неравенство непосредственно вытекает из
(10.4.1) модуля непрерывности, если воспользоваться
10.4.6. Пусть / С М [0, 1], 1^р<оо. Тогда
1) если р=1, то при л = 1, 2,... *)
определения
неравенством
SUP inf $|/(0Иф (10.4.7)
/ 1Z l£C[0, l]p EC[0, lip f
l|£|<l/n |£|>l/n J
*) Здесь | E | обозначает меру Лебега измеримого множества
® В. И. Голубов и др.
225
2) если 1 < р < оо, то при п — 2, 3,...
1 ——
SUP HlHOId/- sup
\П ' 17 ЕС[0, 1]]£ Е,С[0. 1]\Е^ f
|E|=l/n 1. 1Е.|=1/п )
^-Ln'-^Fn. (10.4.8)
◄ Рассмотрим случай р=1. Если п=1, то неравенство (10.4.7)
очевидно, так как его правая часть равна нулю, а левая неотри-
цательна. Пусть Положим
(*!+1)/п
^(0 = ^(0 = " $ | f (и) I du = ck, (10.4.9)
k/n
k/n^t < (k+ 1)/п, й = 0, 1,..., п—1.
Ясно, что
n Oh (1/n, 1|?)> j 0
п-2 <* + ')/"
fe=0 k/n
1 «-2 i = -гУ l^+x—max c{— min сД. n “ П )0<i<n-l 0<i<n-l f л=и
Но так как max сг = п sup \ j 0< r<n-l E C[0, 1] g 1 |E|< 1/n min ct = n inf \ty(t)dt, 0<£<n-l EC[0, lip |E|> 1/n
ТО
'’Й SUP (‘Ф(0^— inf Ся|?(/)с!Л (10.4.10)
\« / |E|<l/nJ |E|>l/nJ
с с
На основании 10.4.4, 10.4.5 и (10.4.10) имеем
'Хт- I/O"
1-А 1-й
₽ sup $ ||/(/ + Л)|-sup $ ||/(?+Л)|-
0<h< 1/n g 0<h< 1/n g
-^(^ + A) + ^(/ + A)-i|>(0+^(0-|HOIM/>
l-Л l
> sup $ |гр(/ + Л)-2$||/(0|-
0 < ft < 1/л £ 0
sup — inf —8<o;(l/n, |/|) =
| E | < l /л E | E | > I In £
= sup $[ф(/)_|/(/)| + |/(/)|]^-
|E|< l/«E
- inf J[A|>(0-|/(0l + lf(0l]^-8<(l/n, |f|)>
I E | > l/п e
sup (|f(/)|d/— inf —
|E|<l/ng |E|>l/rtg
I
0
> sup \\f(t)]dt — inf \f (Oldf— 16ю*(1/п, f),
|E|<l/ng |E|> 1/ng
что равносильно (10.4.7).
Пусть теперь 1 < р < оо, а ф определено в (10.4.9). Обозначим
через 0 df, d„_i последовательность {cfc}, k — 0, 1,...
..., п—1, расположенную в возрастающем порядке. Тогда
<од
Возможны два случая: a) dn_2 = d„_i; б) dn_2<dn_i. В случае а)
функция ф достигает наибольшего значения на множестве точек
Ла[0, 1] с мерой |Д|>2/и, и поэтому для этой функции правая
часть в (10.4.8) равна нулю, т. е. справедливо неравенство
(Opf—р sup Нф(Лс1/— sup ф(/)Л|. (10.4.11)
/ ЕС[0, 1]1й Е,С[0, l]\Eg, (
|Е|=1/л ( |Е,| = 1/л )
Рассмотрим случай б) и положим /£[0, 1], ф(/) = ^д-1}-
Очевидно,
<оД1/п, i|))>n-w(dn_i— d„_4) =
= п‘" ^ф(0Л-^-4_2)^п1“ D, (10.4.12)
где 0^0. Но для любого множества £cz[O, 1] с мерой |Е| —1/п
справедливо неравенство
D^\^(t)dt— sup J ^(t)dt = Di. (10.4.13)
Это следует из того, что если | Е п В | = 0, то Dx < 0, и поэтому
D > Dx. Если же | | Ч-1 В\Е | = 0, то D = В случае |Е Л В| >
>0 и | Е\В | 4-1 В\Е| > 0 имеем D > Dr. Итак, (10.4.13) действи-
тельно имеет место и в силу (10.4.12) справедливо (10.4.11).
Тем самым для любой функции ф вида (10.4.9) доказано нера-
венство (10.4.11). Поэтому, рассуждая, как и в случае р=1, поль-
зуясь неравенством треугольника для Ь₽-нормы, неравенством Гель-
дера, а также неравенствами (10.4.6), (10.4.11) и (10.4.5), получим
ifi)=
sup
0<й<1
0<h<l/n
1-й
$ l|fU + A)|-|/(0l|MZ
0
i/p
1-ft \ 1/p
$ |ф(/+й)-ф(/)р^
о J
1
P
-2 S ||f (01-Шdt
I 0
1/P
sup
EC[0, 1]
|E | = i/n
sup ^(t)dt
E U\E i
sup
£c[0, 1]
|£|=l/n
E
sup [\f(t)\dt
EjCfO, 1]\£ J
|Ei|=l/n
-2n’“ * ^suPi J||/(0| —8«; (1, |/|)>
\A\=l'n A
i-l 1-1(1 p/Р
>n p F„—2n p у II/(01-Ф(ОГ^| (1/n) P-
i-l
-8©;(i/n, |/|)>n p F„-i6©;(i/n, /),
откуда и следует (10.4.8). ►
Напомним определение равноизмеримых функций. Пусть /(х)
определена и измерима на интервале (0, 1). При фиксированном у
через E(f>y) обозначим множество всех точек х£(0, 1), для ко-
торых / (х) > у. Функция т (у) = | E(f > у) | называется функцией
распределения для f. Две измеримые на (0, 1) функции / и g назы-
ваются равноизмеримыми, если они имеют одинаковые функции
распределения. Ясно, что если одна из двух равноизмеримых функ-
ций интегрируема на (0, 1), то другая также интегрируема на этом
интервале, причем их интегралы равны.
10.4.7. Для любой измеримой на (0, 1) функции f существует
равноизмеримая с ней невозрастающая на (0, 1) функция F.
4 Очевидно, что функция m(y) = \E(f > у)\, не возрастающая
на (— оо, оо), непрерывна справа, причем т( — оо)=1, а /п( + оо).=
=0. Если эта функция строго убывает и непрерывна на (— оо, оо),
то для нее существует обратная функция F(x), которая, очевидно,
строго убывает и непрерывна на (0, 1). Эта функция F и будет
равноизмеримой с f на (0, 1).
Пусть теперь функция х = т(у) не является непрерывной. Рас-
смотрим кривую /: х = т(у), —оо < у< оо, и пусть у0—ее точка
разрыва. Присоединим к этой кривой весь промежуток, состоящий
из всех точек (х, у„), где m(t/0 + 0) < x^mQ/0—0). Поскольку функ-
ция т(у) непрерывна справа, то точка (т(у0), у0) = (т(Уо + 0), Уо)
принадлежит кривой I. Поступим так с каждой точкой разрыва
функции х — т(у). Дополненную таким образом кривую I обозначим
через I*. Тогда каждая прямая х = х0, где 0<х«^1, пересекает
кривую I* по крайней мере в одной точке, ординату которой обо-
значим через F(x0, f)==F(x0). Функция F(x) определена однозначно
при 0 < х 1, за исключением тех точек х, которым соответствуют
промежутки постоянства функции т(у). 11о эти значения х образуют
не более чем счетное множество М. Для каждого х^М положим
F (х) равной любому значению, не нарушающему монотонности функ-
ции F. Из построения функции F ясно, что | Е (F > t/0)| = | Е (f > у0)| =
=т(у0) при любом у0, т. е. функции F и f равноизмеримы. Очевидно
также, что функция F—невозрастающая. ►
10.4.8. Для любого измеримого по Лебегу множества Ес[0, 1]
справедливо неравенство
|Е|
$f(x)dx< $ F(x, f)dx, (10.4.14)
в о
где (х) € L [0, 1], a F(x, f)—невозрастающая равноизмеримая
с f функция, построенная в 10.4.7.
4 Пусть g(x) = f(x) при х$Е и g(x) = 0 при х£[0, 1)\Е.
Тогда g(x)^f(x) при х£[0, 1), и поэтому F(х, g)^F(x, f). Сле-
довательно,
1 1 |Е| |Е|
J f(x)dx— J g(x)dx= J F(x, g)dx — J F(x, g)dx^ J F(x, f)dx. ►
E 0 0 0 0
10.4.9. Если 0^f(x)£L[0, 1] и a£[0, 1], mo
Ta^ sup $
/a= inf J
|Al|=a m
a
f(x)dx= {j F(w, f)du,
0
1
f(x)dx — F(u, f)du.
1-a
(10.4.15)
< Если <х = 0 или <х=1, то равенства (10.4.15) очевидны. Дейст-
вительно, в случае а = 0 обе части этих равенств обращаются в нуль,
а в случае а = 1 оба эти равенства равносильны равенству
1 1
f (x)dx = J F(u, f)du,
о 0
которое вытекает из определения равноизмеримости функций.
Можно, таким образом, считать, что 0 < а < 1. Предположим,
что существует такое уа, что m(yQ) = a. Определим функцию ф, по-
ложив <р (х) = 0, если f (х) < у„, и ф (х) = f (х), если f (х) > у0. Тогда
ясно, что при любом х£[0, 1] справедливы неравенства 0^ф(х)^
<J(x). Кроме того, F(u, <f>) = F(u, f) при 0^«<а и F (и, ф) = 0
при а<м^1. Поэтому, полагая Л10={/: /£[0, 1], ф(О>Уо}.
будем иметь
1
sup $ <p(x)dx^ J ф(х)(1х= $ ф(х)г/х =
|M| = a^( Mll о
= ^F(u, <p)du=^F(и, y)du=^F(и, f)du. (10.4.16)
ООО
Из (10.4.14) следует оценка
ТаС $ F(u, f)du. (10.4.17)
о
Из (10.4.16) и (10.4.17) получаем первое равенство из (10.4.15) для
случая a = m(y0).
Пусть теперь а таково, что а=£т(у) для всех действительных у.
Это означает, что а принадлежит интервалу скачка функции т(у)
в некоторой точке у0. Положим 0= lim т(у) = т(у0). Ясно, что
г/-н/о + О
₽<a</n(i/0—0) и
|£(f >i/o)| —|S|=m(//o) = ₽, |Д (7 >«/о— -^-)| = |An|>a.
Значит,
| {х: t/0—1/n < f (х) < у,} | = | Д„\В | >а-₽,
и поэтому
|D|>a-0, D = {x: х£[0, 1], f(x) = y9} = П (Ля\5)«
п= 1
Найдем измеримое множество EcD такое, что |Е| = а—₽. Тогда,
если Мй = В{}Е, то
Га f (x)dx == J f (х) dx + f (х) dx =
м, в Е
a
«=$/(х) dx+y0(a—0)=$f(x)dx+$yed«.
в в р
Но так как /п(«/о) = 0=|5|, то из доказательства неравенства
(10.4.16) следует, что
г ‘с1
j f (x)dx> j F (и, f)du.
в о
Поэтому
Р а а
Ta^^F(u, f)du+<\jyl)du=^j F(u, f)du.
о во
Отсюда и из (10.4.17) вытекает первое равенство из (10.4.15) для
случая а=£т(у), —оо <у < оо. Итак, первое равенство из (10.4.15)
полностью доказано. Точно так же устанавливается и второе равен-
ство из (10.4.15). ►
При доказательстве первого равенства из (10.4.15) фактически
было доказано, что точная верхняя грань значений интеграла
J f{x)dx по множествам Мс[0, 1] меры |/И| = а достигается на не-
ти
котором множестве Мо меры | Мо | = а.
10.4.10. Пусть Os^f(x)€ L[0, 1], а€[0, 1/2], а Мо—множест-
во, для которого
sup ( f(x)dx = f(x)dx.
: |М]=а} м м
Тогда
2а
sup \f(x)dx=\ F(u, f)du.
ЕС0,\]\М^ S.
|с|=а
◄ Доказательство проводится точно так же, как и доказатель-
ство 10.4.8. ►
Из 10.4.9 и 10.4.10 следует утверждение
10.4.11. Пусть f £ Lp [0, 1], 1^р<оо. Тогда
1) если р = 1, то
®Ц1/п, f)>^
1/п 1
j F(x, |f |)dx — j F(x, |f |)dr
2) если p > 1, mo
l-i Zl/n 2/n
®;(l/n. f)>2-f7-H F(X, |f|)dx—J
' I' \/n
n=l, 2, ...;
(10.4.18)
n — 2, 3, ...
(10.4.19)
10.4.12, Пусть / G L₽ [0, 1], l^p<oo. Тогда
1) если р=1, то
f)>^F^, If 1, |f|)} ,
2) если p > 1, mo
n=l, 2, ...;
(10.4.20)
n = 2, 3, ...
(10.4.21)
GL in)-/)}•
◄ 1) Пусть p=l. Поскольку функция F (x, |f|) не возрастает,
то из (10.4.18) получим
откуда следует (10.4.20).
2) Пусть р> 1. Тогда из (10.4.19) имеем
Складывая эти неравенства, получим
z -i/р
^pV2n,Jf|)_F(l/«.Jll)l>=n__{f(l/2n, |f|)-F(l/n, |f|)},
т;е. неравенство (10.4.21). ►
Неравенство (10.4.21) остается справедливым и при р=1. Дейст-
вительно, при п>2 на основании (10.4.20) имеем
«<.;(!/«. /)>й{^„. izi)-f(i- 1, in)}>
>яИй' in)}.
т. е. получили неравенство (10.4.21) для р=1.
10.4.13. Пусть 1^р<^<оо и
/)Г<оо. (10.4.22)
П= 1 L \ /J
Тогда
/€Ь[0, 1] и lia^CGWIk + a1/’}. (Ю.4.23)
◄ Отметим сначала, что
1 1 1/2
|/|1 = Slf(x)|dr=$F(x, f)dx> $ F(x, f)dx>lF(-L, f),
о о 0 4 7
т. e.
F(l/2, /)<2У|к. (10.4.24)
Далее, на основании неравенства Гельдера
имеем
( k
io+L2
£ = 1
/)]’)
(10.4.25)
Согласно 10.4.12
F(2-»-\ I/D-F(2-*, 1/1X34.2^®;(2-*, /).
Поэтому
F(2-»-1, |/|)-F( 1/2, 1/1X34 2 2‘/₽®;(2-*, /),
4=1
где п=1, 2, ... Отсюда и из (10.4.24) имеем
l/D^U/lb+ 34 2 2^®;(2"», /). (10.4-26)
toss 1
Из (10.4.25) и (10.4.26) получаем
1 « 2-»+‘
$(F(x, |f|))’dx=2 (F(x, |f|))«dx<
о «=* 2-»
< 2 2-«{F(2-'’, |f |)}«<34« 2 2-яШ111+ 2 2Wp<(2-\ fl) <
n=l n=l \ fe=l /
» / n k(± _ 2_) \
<ca (<7)2 2-4 2 2 Vp ’4(2-‘, f)+|M <
n=I \fe=l /
/ » k(— — —) * \
<cs(<7) 2 2v₽ 2 [®;(2-*, f)p 2 s-^+iifii?)^
v = l n=k J
(* 42 _1)
<C.(<7) 2 2 V₽ 2/[<оД2-\ f)]H-OX
\fe= 1
/ 00 2Л — - 2 г ri \-i \
<с-(”С?,».Л,т" Mi' <)] +H<
Отсюда, используя обозначение (10.4.22), имеем
/ Г оо о \
=сй(я)Ш1 + ^)_ >
Докажем одно числовое неравенство, установленное Харди и
Литтлвудом.
10.4.14. Если 1<а, р<оо иа„>0, п=1, 2, ..., те
2 «’“I 2 а» ) <С(а, р) 2 п-а(па„у>. (10.4.27)
л=1 \fc== 1 / П= 1
◄ Положим фв = п~а 4- (п 4-1)”“+... Тогда <р„ СО(а)п1-“, и,
п
полагая «о = 0, s„ = 2 fl«> получим
/г = 1
2 n-asg= 2 (ф«—<рв+1И= 2 фж—ss-j—<pm+isp <
П=1 /1=1 п= 1
< 2 ф« (sg-sg-i) < С (а) 2 n‘-“ (sg-St-г).
п=1 /1=1
Ho sj—s£_, ^.C(p) s%~'aa. Поэтому
m m
2 n_“s?<C (a, p) 2 n,-“sP-’a„ =
n=l л=1
m Г _al Г a
= C(a, p) 2 I (na„)n~ ° 11 n~p’sp~l
n — I
где -^-+p- = l. Применяя неравенство Гельдера для сумм
т / т \1/Р / т \1/Р*
2«Л <( 2 кН 2l₽»r
гг=1 \л= 1 / \л=1 /
при a„ = (na„)n-ajp и ₽n = n p'sg-1 и учитывая, что p'(p— l)=p,
получим
tn f tn \ 1/P / m \1/P'
2 «"“Sn C (a, p) ( 2 (nan)pn.~a ) ( 2 n~asg ) .
л=1 \n=l J \n=l J
Отсюда
/ tn \ i_ / m \1/P
( 2 «"“«л ) °' ^C(a, p)[ 2 n~a(nan)p ) •
\n=l / \/l= 1 /
Поскольку 1—Д- = -1, то из этого неравенства вытекает (10.4.27). ►
10.4.15. Пусть 1^р<^<«» и / g L₽ [0, 1]. Тогда справед-
ливы неравенства
( Г -2—2 I17’)
<7)|Ш,+ 2*₽ (4₽w| (10.4.28)
E^(f)^C(p, q){E^(f)n'p~ ч + 2 kP~
i L*«n+i
i
(10.4.29)
где
Л-1
Ь0
E(»(f)= inf f (x)— 2 akwk(x)
{°*} 4=0
P
— наилучшее приближение функции f в метрике Lp полиномами
Уолша порядка п. Неравенства остаются справедливыми и при
замене E^y(f) на E{npy(f)h—наилучшие приближения функции f поли-
номами Хаара.
◄ Согласно 10.4.13 имеем
I Г “ g »/ • ( 1 Л
Ш9<С(<7)Ы+ 2 пр- f)) } (10.4.30)
’ L«»i J '
для f € L₽ [0, 1], 1 ^p < q < оо, где модуль непрерывности a>p(6, /)
определяется равенством (10.4.1). Поскольку сор(6, /)С<^(6, /). то
согласно 10.2.8 справедливо неравенство
(10.4.31)
Учитывая это, а также тот факт, что || f ||i || f ||р, из (10.4.30) по-
лучим
/ Га» ( 00 1 \
||Л?С96С(<7){||Л/,+ 2«-?(2 kp~ E^(f) ’ k
’ Ln=l \4=l J J >
Применим к правой части оценку (10.4.27) при ak — kp lE{kp)(f),
k— I, 2, ... В результате получим
т. е. получили (10.4.28). Поскольку согласно 10.2.8 неравенство
(10.4.31) остается справедливым и при замене E(kpy(f) на E<kp>(J)h, то
аналогично доказывается неравенство
±-2 1V4
пр (E<p>(f)k)< }
Остается доказать неравенство (10.4.29). Для этого обозначим через
п- 1
$«(*)= 2 afcffi»ft(x) полином наилучшего приближения в метрике Lp
k = 0
функции f £ Lp [0, 1], т. е. такой полином Уолша, что E(^(f)=^
= II/—SJk Очевидно, что
EF(f-Sj^\\f-Sjp = Ey(f), £=1,2,...,
и (/—•$„) при £>п.
Поэтому, заменяя в неравенстве (10.4.28) функцию / на f—Sn,
получим
ET(f) <||f-SJ|.<C(p, q) {llf-SJH
n q <x q
+ 2 (/))*+ 2 k~~2
_fc=l k=n+\
/ f n л_____________2\1/<7 г ®
ССЛР, </)U<'”(/)U+2 bp~ + 2
I \ k=\ J _k-L
(W))? 1,q
’ -2—2 ll/?
} kp (E^(f)Y>
1 00 q
рЕ^(Г)+ 2 kp
_k = n + 1
-2 I17’
(W
т. e. получили неравенство (10.4.29).
Подобным образом доказывается и аналогичное неравенство для
наилучших приближений полиномами Хаара. ►
Покажем, что при 1 < q < оо утверждения теорем 10.3.7 и
10.3.8 с постоянными С (р, q) вместо 128 вытекают в качестве след-
ствий из теоремы 10.4.15.
Для этого понадобится следующая лемма:
10.4.16. Пусть последовательность {а„}“-1 такова, что а„^0,
«=1, 2, и an^an+i. Тогда
<(2 + 2<1+a>/v)? {n(1+a)/va„ 4- 2 fc(1+a-v)/vflj
\&=n J I fc=/i+l I
(10.4.32)
при n=l, 2, ..., a£(—оо, оо) и v^l.
◄ Так как
n2™ + '-l
2 ka < (n2“) (n2“+1)“ < (2a+1 + 1) (n2“)1+“, a > 0,
k—n2m
n2zn + 1 —1
2 < (n2m) (n2m)a < (2a 4-1) (n2»)1+a, a < 0,
k=.n2m
TO
2 F<(2a+l)(n2»)l+“ (10.4.33)
k—n2m
при m = 0, 1, ..., n=l, 2, ... и вещественных a. Кроме того,
ясно, что
(п2«)3<(1+2Р)^ (10.4.34)
при п2/я“1 < k п2т, п, m= 1, 2, ... и вещественных 0. Поскольку
v^l, а последовательность {afe} неотрицательна и не возрастает,
то на основании (10.4.33) и (10.4.34) имеем
' оо \i/v / GO n2m + l-l \l/v / ao n2m + x-l \l/v
= 2 2 ^akj <( 2^» 2 *“) <
\k=n / \m = 0 k=n2m / \m = 0 k^n2m J
/ 00 \ l/v 00
<(l + 2“)1/v( 2 (n2'»)1+rta^2-» ) ^(1+2“)1''v 2 (rt2m)(1+a,/Van2<»<
\m=0 / m=0
/ oo n2m \
<(1 + 2a)1/v |n(1+“,/va„ + £ (п2”^2-г~- L aJ <
\ m = l fr=n2/n“1+l J
( 00 t i+tt \ n2m 1 +a 1
<(1 +2a)1/v{n<1+“,/van4-2 2 V +2 v J 2 k v ~ <
V ' m=l Ь. = п2т~х+\ '
< (1 + 2a)1/v (2 + 2<» +“>/v) < n<1+a)/va„ 4- 2 *(1 +a~v)/vaft У <
I k=n+l '
I 00
C(14-2a/v)(2 4-2<1+a>/v)<n<1+a’/va„4- 2 fe(1+a"v)/vaft
т. e. справедливо неравенство (10.4.32). ►
На основании (10.4.32) при 1 Ср < <7 < 00 имеем
1 1 / оо Q 1 1/<?
np~E^(f)+{ 2 [£Г(/)Н <
U = n + 1 f
^п~~~Е^Ц) + Ъ 2
ktzn+2
Аналогичное неравенство справедливо и для наилучших приближе-
ний E'kp>(f)h полиномами Хаара. Таким образом, утверждения теорем
10.3.7 и 10.3.8 с постоянными с(р, q) вместо 128 можно получить
как следствия из теоремы 10.4.15.
Далее, если Е[р) (f)h = О (k1/(f~1/p/\n (k + 1)) или E{kp} (f) =
/ _2___i_ I
= O\kp pl\n(k + l)) при 1 < q < оо, то на основании теорем
10.3.7 и 10.3.8 нельзя заключить, что f € L*7 [0, 1], так как ряды
в правых частях неравенств (10.3.5) и (10.3.9) в этих случаях рас-
ходятся. В то же время согласно теореме 10.4.15 в этом случае
справедлива оценка
= п — + оо,
или аналогичная оценка для наилучших приближений Е%> (f)h поли-
номами Хаара.
§ 10.5. О наилучших приближениях с помощью
мультипликативных и ступенчатых функций
Выше, в § 2.3 и в § 2.8, отмечалось, что ряды по мультипли-
кативным ортонормированным системам обладают как свойствами,
аналогичными аппроксимативным свойствам тригонометрической си-
стемы, так и свойствами, отличными от свойств тригонометрической
системы. Укажем еще одно свойство, не имеющее аналога для три-
гонометрической системы.
Пусть {x„(x)K-o, х£[0, 1),—определенная в § 1.5 набором Р =
= (pj, pt, ..., рп, ...) мультипликативная система функций. Обозна-
чим через £#”(/) наилучшее в метрике L₽[0, 1), l^p^oo, прибли-
жение функции f (х) € [0, 1) полиномами по системе {хп(х)}л°-о
порядка не выше п—1, т. е.
ck
Л— 1
/W—2с»х* (х)
<г=0
1 00
И — I
• Пусть Q„ (f, х) = 2 °4Xfc (х)» п —1,2, ...,— полиномы, осуществляю-
к=0
щие в метрике Lp [0, 1) наилучшее приближение функции f (х), т. е.
х)||, = £</”(/).
Такие полиномы существуют при каждом натуральном п, так как
Л — 1 I
/(х)—2 является непрерывной неотрицательной функ-
k~ 0 |jp
дней набора коэффициентов сь.
Определяемый с помощью р* (х, t) соотношением аналогичным
(2.5.1) модуль непрерывности /) функции /(х) в метрике
Lp(0, 1) при 6=l/m„ mr = prmr_lt обозначим через <&rp>(f)> T- e>
«/’(/) = sup l<p<oo.
0<h<^
Имеет место утверждение (ср. 10.2.5)
10.5.1 При любом р, l^p^oo, для функций f(x)£Lp[0, 1)
справедливы неравенства
◄ Частные суммы ряда Фурье функции f (х) по системе {%„ (^)}Т-о
запишем в виде (2.8.3):
1
S„(f, x)~\f(t)Dn(XQt)dt.
о
Производя замену xQt — u, откуда t=xQu, и учитывая инвари-
антность интеграла относительно операции ф, получаем
।
sAf, x)=\f(xQu)Dn{u)du.
о
Учитывая (1.5.21), находим, что
l/mr
Sm//, x) = mr J f(xQu)du.
0
(10.5.1)
Рассмотрим случай l^p<oo. Из (10.5.1), применяя обобщенное
неравенство Минковского (см. П5.2.3), получим
E^r(f}<U(x)-Smr(f, х)||,=
i/mr Р \1/Р
$ /(хфы)У« dxj
о /
l/mf
mr J \f(x) — f(xQu)\du
о
1 ,Х1тг \Р ~ 1/Р
И $ R(x)—f(xQu)\duj dx
.0 \ о /
Vm t . t/p
$ ( JlfW—f(.xQu)\pdxj du^
о X о /
l/mr / 1 J/P
^mr \ sup ( Jl/W—f(xQu)\p4x] du^wf^lf).
0 \0 J
Если же р=оо, то
£^“'(/Х max x)K
r 0<л<1 r
/ 1/mr \
max (mr |f(x)—f(xQu)\du j^cd*00^/)
0<x<l\ g /
и, таким образом, левая часть неравенств утверждения 10.5.1 уста-
новлена.
Для доказательства правой части этих неравенств заметим, что
при 0^Л< i/mr и всех /г = 0, 1, тг—1 имеем
Х*(хф Л) = %*(*).
а потому
mr-1
Qm/f. *)= 2 a»X*W = Qm.(A *фЛ)-
r fe=0 r
Учитывая это соотношение, для 0^Л< 1/т, получаем
»/(х)-/(*фЛ)И,==
= ilf(x)-Qmr(A X) + Q«,(A X®h)-f(X®hnp^
^f(x)-Qmr{f, х)||, + |1<М» x®h)-f{x®h)lp = 2E^r(f).
Отсюда находим, что
sup lf(x)-f(x®h)^2E4?(f),
т. e. полностью доказано утверждение 10.5.1. ►
Перейдем к рассмотрению приближений функций, заданных на
полуоси 0<1х< оо. Заметим, что в качестве аппарата приближения
на всей оси используются целые функции конечного типа. При этом
между целыми функциями конечного типа и преобразованиями Фурье
функций f(/)gt2(—оо, оо) имеется зависимость, устанавливаемая
теоремой Винера—Пэли ([10], т. 2, с. 408), утверждающей что
необходимым и достаточным условием финитности носителя преобра-
ОО
зования Фурье f(v)= $ f(t)e“inivtdt функции /(/)£La(—оо, оо)
— ос
является соотношение |/(z)| = 0(е(о+8)|г>), в > 0, при |г|—► оо, где
целая функция f(z) является продолжением функции /(/).
Как следует из 6.2.12 и 6.2.13, аналогом целых функций конеч-
ного типа в случае мультипликативного преобразования на полуоси
[0, оо) являются ступенчатые функции, постоянные на интервалах
определенного ранга. Поэтому изучим приближение с помощью таких
функций.
Определенную на [0, оо) функцию gr(x) назовем Р-ично целой
порядка не выше г, если она постоянна на каждом из интервалов
240
ранга г:
бг(г) = [//тг, (/+1)//пД /=0, 1, ...
Множество всех Р-ично целых функций порядка не выше г обозна-
чим через а через Stnr{f)—наилучшее в метрике Lp(0, оо),
l^p^oo, приближение функции f(f)£Lp(O, оо) при помощи
Р-ично целых функций порядка не выше г, т. е.
/? М/р
где MLP(O e) = ^J |<p(x)|pdxj при 1<р<оо и J<PllL«(0>ф)
= sup |ф(х)|. Через
Х€[0, оо)
©</”(/)= sup |/(хфЛ)—/(х)| р
0<Л<1/тг L <0. ®)
обозначим Р-ичный модуль непрерывности функции, f (х) £ Lp (0, оо)
в метрике Lp(0, оо).
Аналогом теоремы 10.5.1 является следующее утверждение:
10.5.2. При любом р, 1 <р^оо, для функций [(х)^и(0, со)л
0 Ър (0, оо) справедливы неравенства
◄ Рассмотрим функцию
l/mr
X)=mr J f(x©u)du,
о
которая постоянна на каждом из промежутков 6/(r)=[//mr, (/+1)/т,),
1 — 0, 1, ... По определению х)£У1г. Следовательно.
ед- mf i/to-g,(x)b(0 x)i р
Г ь (V»®) r 1* (V,®)
1/771^
«= f(x)—mr $ f(x@u)du
о
•Ло. •)
i/m^
тг 5 [f(x)—f(x®u)]du
о
(0, ®)
Как и при доказательстве 10.5.1, получаем отсюда, что
1//Пг
$ \\f(x)-f(x®un P
т. e. имеет место левая часть неравенств из 10.5.2.
Пусть теперь g*(x) = g*(f, х) —ступенчатая функция из 91, та-
кая, что
^;(Л = inf .>
(такая функция в $Rr существует и единственна). Так как при
<)^А< \/тг имеем gr(x) — gr(x®h), то можно записать
flf (x)-f (x®ft)||L₽ (0 ш =|f (x)-g; (х) +£(x®h)-f (x®A)||lP(0 ж) <
<ii/w-g;(x)ii P +iif(x®A)-^(x®/l)s»
L (U, QD) L (U, 0)
а потому
sup Ц/(Х)-/(Х®Л)||Р
0<h<l/mr L r
и 10.5.2 установлено. ►
Глава 11
ПРИМЕНЕНИЕ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ РЯДОВ
И ПРЕОБРАЗОВАНИЙ К ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКЕ
ИНФОРМАЦИИ
В последнее десятилетие значительно расширился интерес к ис-
следованиям, связанным с применением системы Уолша и ее различ-
ных обобщений к цифровой обработке информации. Это связано
с той особенностью функций Уолша, что каждая из них принимает
только два значения +1 и —1. В силу чего удается избежать
операций умножения при реализации в ЭВМ. Поэтому время выпол-
нения дискретного преобразования Адамара для большого массива
числовых данных почти в 10 раз меньше времени выполнения
дискретного преобразования Фурье того же самого массива данных.
Далее, дискретные преобразования Адамара (ДПА) и дискретные
преобразования по мультипликативным системам (ДМП) позволяют
добиться лучшего, чем при дискретном преобразовании Фурье (ДПФ),
распараллеливания вычислений, производства одновременных вычис-
лений на однотипных процессорах, позволяют проводить основные
вычисления без операции умножения чисел только с помощью опе-
рации сложения.
В настоящей главе мы остановимся на особенностях дискретиза-
ции мультипликативного преобразования и численной реализации
полученного дискретного преобразования. При этом как в этой, так
и в следующей главе мы ограничимся системами %(х, у), порожден-
ными симметрическими последовательностями 3* = (..., р_7, ...,
Р-i» Р1» •••» Р/> •••)» для которых числа /ъ удовлетворяют условию
p~j=pj, i= i. 2,...
§ 11.1. Дискретизация мультипликативных преобразований
Под дискретизацией мультипликативного интеграла
00
f(y)^f(t)KU7y)dt (11.1.1)
о
понимается приближенное вычисление этого интеграла при помощи
формулы прямоугольников с конечной суммой, т. е. переход от ин-
теграла (11.1.1) к сумме
/(^)=(п 12)
Хорошо известно (см., например, [6], с. 316), что если спектр
00
CD(v)= $ q>(t)exp(2nivt)dt
— оо
(11.1.3)
функции ф(0€^(—оо, оо) имеет финитный носитель, то дискре-
тизация интеграла (11.1.3) приводит к «размазыванию» пиков
в спектре <D(v), к появлению ложных пиков, а если спектр (D(v)
не финитен, то от дискретизации возникает эффект «наложения
частот». Оказывается, что при дискретизации интеграла (11.1.1) эти
дефекты отсутствуют.
Прежде чем переходить к доказательству основных результатов,
установим несколько вспомогательных соотношений.
11.1.1. Пусть п—натуральное число и f/£[0, тп). Тогда
тп-\
Lmn(y)= X (£-> У
k=o
т„,
О,
если
если
Ы=о,
l<[t/]<mn — 1.
•4 Если [//] = 0, то утверждение очевидно, ибо % (k/m„, у) =
= х(&/т„, 0)=1 (см. 1.5.3 и 1.5.1). Пусть [у]^1. Запишем числа
k!mn < 1 и [у] € [1, т„] в виде
_L = _L+A_|_...+.k> 1, / = 1, 2..п,
mn nt! [ т2 1 rnn9 ’ 1 ’ ’ ’ ’
я
[«/] = 2 У-/т!-Ь Pj~ 1.
» = 1
причем 0 для некоторого q — q({/)€[!, и]. Используя мульти-
пликативность функции %(х, у) и определение (1.5.33), имеем
Pi-lp.-l Рл-1
G/)=Z S ••• Ё =
/х=0/2=0 /и=о ''mi т" >
Р/-1 , а
-П £ £ ехр^.
/ = /U.= 0 \ J v=l / / = 1 /.= 0
Но так как */-^=/=0, q^n, то
S ехр
lq=4
%nHqy~q
Рч~
как сумма корней степени pq из 1, возведенных в степень у_ч,
1 ^У-q^Pq—l- Следовательно, Lm„(t/) = O при 1 <[<?]<т„—1. ►
11.1.2. пусть ft(x) и /2(х) абсолютно интегрируемы на [0, оо],
А (У) и А (у)—их мультипликативные преобразования, f2(x) ограни-
чена на [0, оо), a f2(z/)€L1(O, оо). Тогда мультипликативным
преобразованием произведения f (х) = f1(x)f2(x) является р-ичная
244
свертка преобразований ft (у) и ft (у), т. е.
00
1 (У) = [А • f.1 (у) = $ А (и) h (yQv)dv=l ft (у Qv) ft (v) dv.
о 0
◄ Из ограниченности A (x) и абсолютной интегрируемости A (x)
следует, что F[AA](f/) существует. Учитывая 6.2.2 и применяя
теорему Фубини, находим
а> со оо
f (у) = 5 А (х) ft (*) X (х, у) dx = 5 fl (х) J А (и) х (X, v) dv х (х, у) dx =
О 0 0
оо оо оо ’
= $ А» (и) $ А (X) %(x,yQv) dxdv=\ft (v) А (у Q v) dv.
0 0 о
Производя замену v = yQu, приходим к соотношению
00
/(«/) = $ А (У © «) А («) du: ►
о
11 .1.3. Пусть I—натуральное число. Тогда
\lmt
x(v, y)dv =
l/mt
О
при
при
Q^y< mt,
mi ^У < 00•
О
◄ Так как v^[0, 1/т{], то v < 1, и из 1.5.3, 1.5.1 получаем
Х(». l/) = x(v. [</])•
Обозначим [у] = п и запишем это число в виде
00
«= 2
/?= 1
Если п < то n_ft = 0 при а потому в силу определе-
ния (1.5.38)
X(v, 'O = X,IG')=1> n<tnh и£[0, l//nj, (11.1.4)
откуда первая часть соотношения 11.1.3 следует непосредственно.
Пусть Тогда
I V V
n=2«-ft^-i+ 2 = («);+ 2
*=i k=l+l A=Z+1
где n.vT^O, т. e. n-v€[l, pv—1], Имеем
l/mi '/"ft 1/гпг
S x(«. y)dv= $ ln(v)dv= $ X V (v)dv==
° ° .o <n)z+ 2 n^kmk^i
k=i+\
i/mt
•= $ X(»)>(0 П Xn.^-i (f) dv.
о * Л«/+1 «Я *
В силу (11.1.4) X(n)z(v)=l при v€[0. 1/mJ, а потому
11т1 1 lml V
$ Х(», y)dv= $ П Xn_smfc_1(v)do =
о Й k=i+\
mv--[
—(Г + ,р-1 / V-. \
= 2 J (Пк^)х^Ж
Г—(J T/my_1 \« = * + 1 /
Так как функции
Фг^(и)= jj f.n_kmk_.{V)
k=l +1
mV-l
постоянны на интервалах or(v—1), —1, a
z v 2nin_vvv
%n_vmv_1(y) = exp—P€Mv-l),
TO
wv-i .
{/nl ml " PV-1 Q /
Jx(v,f/)dv= У tr,v(M*— 1)) У ехр-2я^^ = 0
0 r = 0 vv=0
как сумма корней степени pv из 1, возведенных в степень n_vl
1 <n_v <pv— 1- ►
11.1.4. Пусть п и г—целые числа, N = mnmr и
С
D(u, £)==$ х(*, w)dx.
о
Тогда функция
Л/-1
(п.1.5)
ограничена при t € [0, оо) и ее мультипликативное
ф„, г (У) € L* (°. °0), причем
_ ( тг при 0^у< 1/т„,
Фл. г (у)— Q При 1/7Пп < 00.
преобразование
(11.1.6)
◄ В силу (1.5.38)
/ k \ (т.
D[ — Qt, m,) = < ‘
\тг^ г/ 10
при 0 ^.(k/mr)Q t < \!mr,
при \)mr (klmr) Q t < 1.
В сумму (11.1.5) при каждом фиксированном t входит конечное
число отличных от нуля слагаемых. Поэтому функция фл, г(/)
ограничена при и равна нулю при /^/п,+ 1(ибо
[(klmr)©/] > 1 при t'^mn+\ и при — 1).
Вычислим г (у). Имеем
00 00 7V-1
Фп.гО/) = j<Pn,r(Ox(*. y)dt==^ У, D "v)x(*. y)dt =
О О fe=O r 7
Производя замену t = -^-Qv,
1
< —, получаем
2V-1 l/mr-- ----------
Фи.гО/) = ££ J x ^е». y}dv =
fc = 0 0
tnnmr-\------------t—t----г
= S- L 4^) j X(*. y)dv~
fe=0 0
mn - 1 (/ + 1) mr- 1-—r-r-
= ЙГ E E Ц^) J X(». y)dv^
/=0 k=jmr 0
1 / -1_______mr -1 —---------
= 5- j X(W’ y)dv E
0 /=0 fc=0
l/znr
= -^-^m„(y) Lmr (y) j x(y. y)dv,
n 0
где Lmr{y} определено в 11.1.1. Используя 11.1.3, находим
m /гЛ-1 ^-D^(y)^mr(y) при 0^y<m„
Vn.rM—i тп
к 0 при тг^у < оо.
Применяя 11.1.1, получим
ф..,ы-< "ри ’<!,<1'
( 0 при 1 у < оо.
Подставив в это соотношение значение Dmn (у), приходим к ра-
венству (11.1.6).
Соотношение q>„, г (у) С L1 (0, оо) очевидно. ►
Перейдем теперь к дискретизации интеграла (11.1.1).
11.1.5. Пусть оо) и 9*-непрерывна на [0, оо], a f(y)
имеет финитный носитель, т. е. f(y) = O при у^тг Тогда для
узлов дискретизации tk^k/mr, k = 0, 1, mrmn—1, ступенчатая
функция
(тптг-t
— У f ("—} f. > у') пРи <.тг,
m« *Го \т'> \т' ' '
О при тг ^у < оо
связана с ](у) соотношением
1/тп
~f(y) = mr $ f(yQu)du,
О
(11.1.7)
(11.1.8)
т. е. ] (у) получается усреднением f (у) по интервалам 6ц (п) —
= [ц/тп, (j*+l)/m„), |х = 0, 1, ...
◄ Рассмотрим функцию
MO=<P».,(Of(O,
где ф„, r(t) определена в (11.1.5). Так как ф„, г(0 ограничена, то
Л (0 € L1 (0, оо) и (у) существует. Вычислим функцию (у):
р ________ р 1 тптг-1 _____
/1(«/) = JA(O (/, г/)Л=р(О^ £ D(±et,mr}X^y)dt =
О ' 0 fe=0 г
тптг-\ _____
= — У тг \
ГГ1п J
*=° о< —©/< —
тг тг
k
Производя замену t= — Qu и используя свойства функции %(х, у),
получим
=5 £ «(£•») J /Й0“)км)Л. (11.1.9)
fe=0 о
По условию /(«/) = 0 при у^тг. В силу 6.2.12 f(t) постоянна на
[V \ f k \ f k \
—, (v 4-1 )/mr ) , и, следовательно, fy — Quj=f (— j
при О^и < ^" • Принимая во внимание 11.1.3, получаем
—у—г-------г- . 1/г^г
L *(mr> J =
fe»0 о
f тпгпг^Х
' - i "ри
О при тг у < оо,
т. е. (см. (11.1.7)) f («/) =/1 («/). С другой стороны,'используя 11.1.2,
находим
оо
/1(у) = ^'[ф«,г7] = $ f(yQv) qn>r(v)dv.
о
Принимая во внимание (11.1.6) и (11.1.7), получим
{1//пЛ
тг 5 f(y&v)dv ПРИ 0<У<тг,
О при /пг^у<оо. ►
11.1.6. Пусть f (х)£1? (О, оо) и ^-непрерывна на [0, оо).
Если носитель преобразования f(y) не финитен, то, выбирая
узлы дискретизации tk = k/mr, k = 0, 1, ..., mnmr — 1, для ~f(y)
получаем представление
Для ](у) имеет место также равенство (11.1.8).
◄ Как и при доказательстве 11.1.5, рассматривая функцию (t)—
г (*)№)• для fi(y) имеем (11.1.9). Рассмотрим отдельно слу-
чаи 0^у<тг и /пг^у<оо.
Если 0 у<тг, то, принимая во внимание 11.1.3, т. е. раве-
нство х(ы, у)=1 при 0^ы< 1/тг, получим
\/тг 1/тг
С y)du = -^-mr С f(-£-Qu\du^-±- •
J • \tnr ' mr r J \mr / mr \mr /
О о
Подставив это равенство в (11.1.9), получим первую часть утверж-
дения 11.1.6.
Если тг у < оо, то полагаем
q (У) г q (у)
[«/] = 2 У-^ту-х= 2i/-vmv-i+ 2 {/-v/nv-i-Il/j’ + Mr
v=l v=l v=r+l
Так как [у\* < тг, то, учитывая мультипликативность функции
Х(х, у), получим при 0<м< 1/тг
Х(«. f/) = x(«. [«/]* +[«/Ь)=х(«. [«/]*) Х(«. [f/L) = X(w. [«/],)»
т. е. при тг^у<оо и [«/] = [*/]* + [!/] имеем, что %(х, у) равно
/ Ч(У> \ <7 (!/) Ж.У}
х(«. 2 t/-v/nv_! = П X(w. t/-v/nv-l)= П Xs/_v«tv-l (“)•
\ v=r+1 / v=r+1 V=r+1
Следовательно, при тг у < оо
1/сг / к \ / к \
i (u’i/)du= Ц^-©") II XiZ-vmv-,(«)<*« =
$ 4 7 ovr z ‘v=r+1
__ 1 f* f fa \
mr y \mr J
Доказательство соотношения (11.1.8) аналогично доказательству
этого соотношения в 11.1.5. ►
В качестве следствия из 6.2.4, (11.1.8) и (11.1.10) получаем
11 .1.7. Если функция /(х)£1?(0, оо) ограничена и ^-непрерывна,
то справедливо равенство
<*У=фНу)1*Лу. (11.1.11)
тг
Принимая во внимание 6.2.6, из (11.1.11) выводим оценку
11.1.8. Если /(х)€1?(0, оо) и ^-непрерывна на [0, оо), то при
т9^у < т9+и q^r, т. е. при
9(У)
[>] = S У-vtnv-i, i^y-g<p9— 1, q = q(y)>r,
справедлива оценка
Теоремы 11.1.5 и 11.1.6 дают возможность вычислить прибли-
женно преобразование / (у) в произвольной точке у. Однако в во-
просах спектральной обработки, в распознавании образов и
в целом ряде других приложений имеет большое значение и
обратная задача, т. е. задача восстановления значений f(tk) по
значениям f(yv). Из того, что согласно (11.1.7) f(y) = O при у^тг,
заключаем, что точки дискретизации yv функции ~f(y) следует выби-
рать в промежутке О^у < тг. Далее, из (11.1.7) следует, что
f{y) — ступенчатая функция на [0, тг] с интервалами постоянства
6г(п) = [1/тп, (/+ 1 )//и„). Поэтому, разбив промежуток [0, тг) на
тптг интервалов 6z(n) и выбрав в каждом промежутке произволь-
ную точку, например yi = Umn, можем записать для любого I —
-- 0, 1, ..., тптг— 1
ШпГПг — 1 ___________
f('_L>)==_L у f(—\ (11.1.12)
' \тп J та ' \тг )к\тг'тп) ' '
Преобразование (11.1.12) назовем прямым дискретным мультип-
ликативным преобразованием (ПДМП).
Для получения преобразования, обратного к (11.1.12), умножим
обе части равенства (11.1.12) на %(Z/m„, q/mr), где <7 = 0, 1, ...»
тптг—1, и просуммируем полученные равенства по I. Тогда
Шп^Г “ I
В силу 11.1.1
(
тп, если
0, если
Кроме того,
т. е.
D {AoJ-V-J тг> если
j 0> если k¥s(ft
Таким образом,
тптг - I
тптм
иль
tnnirir —1
Ш=А У 7(_LWA
JTj \тп J ^\тп * mr J
q = 0, 1, ..., тптг— 1.
(11.1.13)
Преобразование (11.1.13) назовем обратным дискретным муль-
типликативным преобразованием (ОДМП).
§ 11.2. Реализация дискретных мультипликативных
преобразований
Рассмотрим вопрос о вычислении дискретных мультипликатив-
ных преобразований (11.1.12) и (11.1.13). Если под вычислительной
операцией понимать операцию комплексного умножения, включая
входящие в эту операцию необходимые суммирования, а также
суммирование комплексных чисел, то вычисление всех значений
f(llm^ 1 = 0, 1, ..., тптг—1, может быть выполнено за (тптг)*
вычислительных операций. Однако и здесь, аналогично случаю диск-
ретного преобразования Фурье, возможно применение так называе-
мых быстрых алгоритмов. Их идея видна из специального пред-
ставления величины ](11т^.
11.2.1. Пусть целые j и v, / С[0, тп— 1], v£[0, mr— 1], записа-
ны в виде
п г
/г=2/-и^Ц-1» 2 - 1.
ц=1 Ц=1
Тогда справедливо следующее равенство:
(11.2.1)
Действительно, полагая k = jmr + v, где 0 j тп— 1, 0
—1, и используя мультипликативность функции х(х, у),
получим
Так как при фиксированном/ = О, 1, ..., тптг—1 каждая сумма
в (11.2.1) (начиная с суммы по /_1) вычисляется соответственно за
Pi* р2» •••» Pi» •••» Рг вычислительных операций, то справед-
ливо следующее утверждение:
11.2.2. Все значения f(l/mn), 1 = 0, 1, ..., тптг—1, могут быть
вычислены с помощью дискретного мультипликативного преобразо-
вания (11.1.12) за
К = (Pi + Рг + • • • + Рп + Pi + • • • + Рг) тат, (In та + In /п,) mjnr
вычислительных операций.
Аналогичное утверждение справедливо и для вычисления всех
значений обратного дискретного мультипликативного преобразова-
ния (11.1.13).
Преобразования (11.1.12) и (11.1.13) удобнее записывать в матрич-
ной форме. С этой целью введем обозначения
k> z=0’ ь •••• т»т"1, (н-2-2)
=== (Xq, Xf, • • ., Х(пптг— 1 )э
= (i/o> У1л •••> Утптг—\)
И и/ = (Гг,й), I, 6 = 0, 1....rn„tnr— 1, где Wk = ^(k/tnr,
Вектор Y будем называть спектром исходного числового массива X.
Преобразование (11.1.12) в этих обозначениях запишется в виде
Y = —WX,
тп
a (11.1.13) — в виде
X = —W*Y,
тг ’
где F» = (FJiZ), IT;iZ = x(///nn, q, 1 = 0, 1, ..., mnmr— 1.
Запись (11.1.12) в виде (11.2.1) означает, что матрица w раз-
мера тптгхтптг представлена в виде произведения п + r слабо
заполненных матриц IF(V) того же размера тптг'х,тптг, точнее, это
значит, что
где матрицы при 1 j п в каждой строке содержат ровно pj
отличных от нуля элементов, являющихся степенями величины
q = exp(—Ъш/рД а при п+1</^п + г содержат р^п отличных
от нуля элементов, являющихся степенями величины ехр(—2ш7р/_„).
Остановимся подробнее на реализации ДМП (11.1.12) в случае
= для всех &=1, 2, ...
Предварительно установим следующее соотношение:
11.2.3. Для любых k = 0, 1, ..., pr+n— 1, / = 0, 1, ..., pf+n—1
справедливы равенства
X (k/pr, l/pn) = Xt (Jlpn+r) = Xz (k/pn+r).
•4 При k = 0 или I = 0 утверждение очевидно. Пусть
п + г
k=^lk-vpv~1, k-v = 0 при V п + г + 1,
v= 1
/_v = 0 при V^/2 + r+l,
(modp), l-v =
Далее полагаем
^=E^vPv-’+L^.
M v=l V=1 P
(mod p).
(7_v = 0 при v= 1, 2,
v=l v=1 P V=1 P
(&-v = 0 при vs=l, 2, ...).
Имеем
— (modp) = ^(,+v) при
v n,
felv = O при v^/z+l,
^=[^7^] (modp) =
( 0 при
= ( Г k "1
[ p—vVirrj (modp) = £_(r_v+1) при
т. e.
V>r+ 1,
1 V r„
b
-(Г-У + 1)
pv
kLv
Аналогично получим
r n # r n I
+L -V"
v=l v=l P V— I v=l P
n + r n + r
k kv V'' -(n + r-v+1)
pn + r-^Z^ v ~ V »
p v= 1 P v=l P
n+r ~ n + r
I __ V5 -(H + r-V+ 1)
Используя определенйе (1.5.33) функции %(x, у), получаем
X (£. тг) = exp у- L =
(п г ч
k-(r + v} l-(n-v + l) + 5* £-(r-v+l)f-(rt + v) ), (11.2.3)
v=l v=l /
® n+r
(k* pn+r ) = eXP “77 21 ^-v^v = exP~5^ ^-V^-(n + F-V+l)> (11.2.4)
4 и J P V=1 v=H
n + r
X (/?«+/• » = exP “7“ 21 ^-(/i + r-v+i)/-v (11.2.5)
7 P v= I
Сумма в правой части (11.2.5) отличается от аналогичной суммы
в (11.2.4) обратным порядком суммирования. Это видно при замене
v = n + r—v'+l. Замена v = v'—-г в первой сумме из (11.2.3) и
v = r+l—vf во второй также приводит к сумме из (11.2.4). Это
и доказывает 11.2.3. ►
Принимая во внимание обозначения (11.2.2) и учитывая 11.2.3,
преобразования (11.1.12) и (11.1.13) при pi=pa= ... ==р^2 можно
записать так*
рп+г_ 1
= И адй (-рпт) » / = 0, 1, 1,
и /г=о 4 р 7
рп+r-l
*fe=7F L ^(тЛг). Л=0, 1,....
Так как п и г—произвольные целые числа, то, переобозначая п + г
снова через п и относя множитель перед суммой к одному преобра-
зованию, получаем
' = 0.1........Р--1. (11.2.6)
4-0,1..........Г-1. (11-2.7)
z=o 7
Из (11.2.6) и (11.2.7) заключаем, что если W == (7^)) » I, k =
= 0, 1, ..., рп—1,— матрица ПДМП, то матрица ОДМП IF* комп-
лексно сопряжена с Wy т. е. IF*=IF. Отсюда следует, что реали-
зация ОДМП совершенно аналогична реализации ПДМП, поэтому
ограничимся одной из них, например реализацией ПДМП (11.2.6).
Как отмечалось выше, матрица W преобразования (11.1.12) может
быть представлена в виде произведения слабо заполненных матриц.
Это означает, что матрица W = Ъ /г = 0, 1, ..., рп~\
преобразования (11.2.6) может быть представлена в виде произве-
дения п матриц W{n)W{n~1} ... IF(1> размера рпх рп, в каждой строке
и в каждом столбце которых содержится точно р отличных от нуля
элементов, являющихся степенями величины q = exp (—2ш‘/р). Пред-
ставление в виде подобного произведения не единственно, причем
в общем случае WW}=£W( } при /=#v, и реализация каждого пред-
ставления требует своего алгоритма вычисления. Следуя работе
Жукова [х], докажем, что для матрицы W возможно представление
W =СВп, где С—некоторая матрица перестановок, а В—слабо
заполненная матрица, имеющая блочный характер.
11.2.4. Существует слабо заполненная (при п^2) матрица В
порядка рпхрп такая, что матрица W = (%k(l/pn)), /, & = 0, 1, ...
..., рп—1, дискретного преобразования (11.2.6) может быть пред-
ставлена в виде W = СВп, где С—некоторая матрица перестановок
размера рпхрп, все элементы каждой строки которой, кроме одного,
равного 1, равны 0. Умножение такой матрицы на вектор-столбец
осуществляет перестановку элементов последнего.
◄ Обозначим элементы искомой матрицы В через bt< к,
= 0, 1, рп—1. Запишем I и k в виде
п
z = 2 tvp
k— 2 f^vP'
v= 2
п- 1
Здесь
Положим
ly-- l-y И У/ —- Pfc -0
при n= 1.
где
Так как
Ч- =
6„
V=2
TO
ч<$»
^1, к —
»*. *
Ч-
q‘*lk''
—2ni
<7=ехр—
л-1 _
’v~2.2 *>v-’
v= 1
/ п
I k'
•V*
при
при
п>2,
и = 1,
(11.2.8)
(°,
и,
если
если
при
при
при
при
V = [1,
V=#|X-
(11.2.9)
Z’> ¥=^v-i хотя бы при одном v = 2, 3........
Zv = fev-i при всех v = 2, 3
п.
s“.' - { о
1
n
Поэтому при nZ>2
bi,k —
• * п
q1^, если Z = Z‘+ 2
v=2
0 для остальных пар (Z, k).
Докажем по
жаются в виде
индукции, что элементы bffl
матрицы Вт выра-
т
2 1укп-т+х
ПР“
(11.2.10)
2'Х
при
m = n.
Доказательство соотношения (11.2.10) начнем со случая т = 2.
Учитывая, что В2 = ВВ, т. е.
= > h £=о, 1,...» p»-i,
и принимая во внимание (11.2.8) и (11.2.9), при п^З получим
Если
же п = 2, то
п
V = 2
7 = 1
Р-1 Р-1 * *
V.= 2 2
v;=ov*=o
Так как I и k фиксированы, то произведение символов Кронекера
отлично от нуля только в том случае, когда vz* = k*'_} при всех
/ а» 2, 3, ...» п, а потому
г>5 =
Р-1
2 ь
vl = ° 7, У?+ 2 fe/-* Р'
i =2
Р~~ 1 **
2
<=о 1 1
V k
q 1'
при п^З,
при п = 2.
Снова используя (11.2.8) и (11.2.9), получаем
p-i * «
= 2 b п q4'kn —
v;=° /;+₽2 '/V_?.v;+2 ki-^~l
j=2 j—2
P-1 # * *
= 2 5 n n-l ^kn-l+Vlkn,
vi=o 2 vi+ 2ft/-.₽y,~x
/=2 i=2
Выбирая vj==f;, ибо 6.. . = 0 при других vj, имеем
*2’ V1
при п^З,
при п — 2,
т. е. соотношения (11.2.10) при т = 2.
Предполагая соотношения (11.2.10) справедливыми при т ^.п—1,
найдем
пг
р-1 Р-1 п HLv*ikn-m+i-
2 2 ••• 2 V П ?i=1
v=0 v*_0 v«_0 /=m + l
Так как величины vj являются индексами суммирования, сим-
волы Кронекера отличны от нуля только при = для всех
268
j = m+l......n. Следовательно,
р-i
/О11= 2
v^=0
m
2 vi*n-m-U
^=0
p-1
m
p-l гЛ-т+2 vi*n-/n+i
2
v* = 0
где
n m n-1
a=S/;p/-?, ₽=2vX-»+ s k}_mpi-^
j-2 /=1 / = /n+l
f n-1 \
( если rn+l — n, то считаем 2 a/ = 0 ). Сомножители с пере-
\ /=/n + l /
менными величинами vj будут отличными от нуля, если только
v/=^+i Для всех / = 1» 2, ..., т. Поэтому
при т < n—1,
при т = п—1
т +1
2L 2 ^n-(m+i)+i
II 6,» .. oI = 1 при т<п— 1,
/=“+2 */’*/-(т + 1)4 г ♦
при т — п—1,
а это и есть (11.2.10).
Замечая теперь, что
п
wt, k = П (тг) - exp k-v (tt)v.
и учитывая соотношение
(ts’)vs[^'z’V] (modp) = /_(„-v+i),
можем записать для I, k — 0, 1, pn—1
' n n
2 ^-v^-Cn-v+l) 2 Mn-v+i
= -«v=l
(11.2.11)
Сравнивая эти выражения с равенствами
п
6<5 = ^=i , /, 6 = 0, 1, .... рл—1,
видим, что элементы матрицы Вп получены из элементов матрицы W
5*-ичной перестановкой элементов каждой строки, т. е. можем
записать, что
W = CB\ '
где С = (сг<Л), I, k = 0, 1, рп—1, и
и
ci, k
Действительно,
n
Pn-1 p-1 p-1 2
j, *== 2 ci,v^k= 2 ••• 2 <htVqi =
v=° vj=o v* = 0
Так как б.
t-i+i
p-1 p-1 n
= 2 • • • 2 TT б ♦ v*
v* = 0 v* = 0l=1 P w-f+1
=#0 ТОЛЬКО При = TO
.2/>/
<7'=1
S vn-j+ikn-i+i '2itikn-i+i
Wi,k = <1i = ' = <?/ = *
т e. справедливо равенство (11.2.11). ►
Представление матрицы W преобразования (11.2.6) в виде W—CBn
имеет ряд преимуществ по сравнению с представлением W =
= ... в котором r^=#F(V). Именно:
а) Умножение матрицы W на вектор X, т. е. вычисление WX =
= СВПХ, можно осуществить путем /г-кратного повторения одно-
типных операций умножения матрицы В на векторы BVX = ZV,
v=l, 2, ..., n—1, и последующей перестановки—5^-ичной инвер-
сии. Это значительно упрощает процесс алгоритмизации и програм-
мирования вычислений.
б) Так как каждые р строк матрицы В:
£р</<(£+1)р—1, fe = 0, 1..........р”-'— 1,
представляют собой разреженную определенным образом нулевыми
столбцами матрицу
(11 1 ... 1
1 q q2 т qP~Y
1 <7? fc4)e (<72('“1))*
1 qP"1 (q2(P~»)* ... (^’•1)2)ш
— 2m . m
q^=exp—^—, =
m (mod p), 1»
то вычисления можно производить параллельно на однотипных про-
цессорах, число которых может быть равным р1, где / = 1, 2, ..., рп~1.
в) Умножение элементов матрицы В2 на соответствующее число
компонент вектора X (или вектора Zv) осуществляется в комплекс-
ном базисе (1, t) с помощью комплексных умножений на величины
<7V = exp , v = О, 1, p— 1, и последующих сложений. Каж-
дое комплексное умножение осуществляется при этом за четыре опе-
рации умножения вещественных чисел и две сложения. Однако целе-
сообразнее проводить вычисления в псевдокомплексном базисе
(1, q, ..., цр~г). В этом случае, учитывая вытекающие из условия
1 4- <7 4- ... 4- qP'1 — 0 или qp"1 = — (1 4- <7 4-... 4- qP+a) соотношения
(<Zi 4- a2q 4- ... 4- ap_2qp~*) q =
= ®р-г 4" (®о ^/>-2) Я 4“ • • • 4* iflp-з ар-з) Яр *»
(а, 4- М 4- ... 4- ар_^Р-*) q* =
= (аР-г—ар-»)—аР-*Я+ • • • +(ар_1—ap_2)qP~*,
(at 4- atq 4- .. • 4- ар_2 qP~*) qP~* =
= — (1 4* </4~ • • • 4- <7₽+a) 4* 4- O3Q4- • • • 4- ^р-»Яр~3 —
= (— Oi 4- a2) 4- (— ai 4- a9) q 4- ... 4- (— 4- ap_2) др-»—а&Р~*,
видим, что все вычисления координат в псевдокомплексном базисе
(1, q, ..., qP~2) производятся только путем операции сложения.
Заметим при этом, что если р—составное число, например, p = pip2=
= 2-3, то компоненты базиса, отличающиеся друг от друга знаком,
/ я —2я»«3 , \
считаются различными I qs = exp —$— — —11.
Приведем в качестве примера вычисления при р = 3, т. е. в псевдо-
комплексном базисе (1, q), где <7 = ехр • Обозначим обрабатывае-
мые соответствующим блоком
/1 1 1 \
Вх= 1 Я Я*)
\1 q* q /
компоненты вектора Zv в псевдобазисе (1, q) через zx = а< • 1 4- pxqr,
га = а,-1 -|- $2q, zs = as-1 4-0з<7- Учитывая соотношения
zq =(аЛ 4-0?)<7==а<7 4-р<72==а<7—₽(1 4-<7) = —₽4-(а—•§)?,
zq2 = (а 4- 0<7) <72 = а<7* 4- fa’ “= ₽—а (1 4- <7) = (₽—а)—aq,
получим
/г1\ /г14" гз+г» \ / 4~®»4"аз)+(Р14-₽»4-₽») я
ВЛ гг ) = ( Zi+igq+zgq* 1 = ( (оц—0t4-₽»—а»)4-Ф14-«»~₽»—а»)<7
Чг,/ xzi+z^+zgq/ \(«i4-P»~ а»—₽»)4-(Р1—а,4-а,—р8)?
Следовательно, все псевдокомпоненты вектора B2Z в базисе (1, q)
вычисляются за 16 операций сложения вместо 16 операций умноже-
ния и 12 операций сложения в базисе (1, i).
Заметим, что применение при вычислении ДМП псевдокомп-
лексного базиса (1, q, ..., qp~2) позволяет, кроме устранения умно-
жений, вычислять одновременно за и тактов дискретное преобразо-
вание массива из рп(р—1) вещественных отсчетов. Для этого каж-
дую компоненту вектора Х==(х0, ..., хрп^)т следует рассматривать
как (р—1)-мерный псевдокомплексный вектор
у — fv<0) у<1) у(р-2)\__
Л-у- \'4"V » лу > • • * t
— х$у + x$yq + ... + x(vp~2yqp~2, v = 0, 1, ...,p"—1,
в котором числа / = 0, 1, р—2, выбираются определенным
образом из исходного массива в рп(р—1) отсчетов. Время вычисле-
ния ДМП всего массива сокращается при этом в р—1 раз.
§ 11.3. Применение дискретных мультипликативных
преобразований в сжатии информации
Благодаря растущим возможностям современных ЭВМ все более
широкое применение при решении многих теоретических и практи-
ческих задач находят дискретные преобразования Фурье (ДПФ) и
дискретные преобразования Уолша (ДПУ). Последние достижения
радиоэлектроники, микроэлектроники и вычислительной техники
позволяют более рационально использовать (см., например, [24]) и
общие дискретные мультипликативные преобразования (11.1.12) и
(11.1.13) (ДМП), частными случаями которых служат ДПФ и ДПУ.
ДМП применяются в различных процессах цифровой обработки
информации: при сжатии информации, в теории кодирования и дру-
гих. Поэтому весьма актуальной является проблема исследования
свойств ДМП.
Приведем математическую постановку задачи о сжатии информа-
ции с помощью дискретных ортогональных преобразований Т, зада-
ваемых невырожденной матрицей NxN.
Исходный вектор X размерности N преобразуем в вектор Y—TX^
который каким-либо способом заменяем на меньший по «объему»
вектор У. Исходный вектор X восстанавливаем приближенно в виде
Х = с погрешностью б = ||Х—Х||. Коэффициент сжатия ин-
формации равен т = | У|/| У[, где |У|—«объем» вектора Y. Опти-
мальным способом сжатия информации назовем такой, который
гарантирует минимум 6 при заданном т.
При методе сжатия информации, известном как зонное кодиро-
вание [24], вектор Y получается из вектора Y заменой части коор-
динат вектора Y нулями. «Объемом» вектора Y считается количе-
ство координат, не замененных нулями (очевидно, |V] = Af).
Для ДПФ, заданного в виде
1 V* f 2т kn ) л . at 1
= 4 2--------------тг-k n=0, 1, ...Д-1,
и класса векторов с действительными компонентами
Хд = [Хт = (х0, хъ ...,xw-i)|: ^max Jx^—х4|<Д|
Ефимовым [3] получена оценка
| | < Д/sin«=!, 2, ...» N — 1, (11.3.1)
которая им же в [8] улучшена для целых номеров п = М/2 и n—N/^
в два раза. На основании оценки (11.3.1) в качестве оптимального
способа зонного кодирования с помощью ДПФ целесообразно заме-
нять нулями центральные координаты вектора YT = (у0, yit ..., уы-\).
В работе Ефимова [4] для данного способа зонного кодирования
оценены погрешности восстановления 6 = |х4—xft| по координатам.
Аналогичные исследования для ДМП содержались в работе
Каныгина [*], где получен аналог оценки (11.3.1). Более детальные
исследования ДМП в равномерной и интегральной метриках и при
различных ограничениях на класс исходных векторов проведены
Беспаловым в работе [8], некоторые результаты которого будут
приведены ниже.
Ограничимся случаем рк = р для всех k=l, 2, ... и рассмотрим
зонное кодирование с помощью дискретных преобразований (11.2.6)
и (11.2.7). ДМП (11.2.6) переводит вектор Хг = (х0) хп ..., Xp«_j)
в вектор У7’ = (у0> Уи •••» l/pn-i) по формуле
рп
т. е.
yt = i £ Z = 0, 1, .... 1, (11.3.2)
Р fe=0 '
а обратное преобразование
р«-1
£ &Х/(Д). л=о, 1................р"-1, (11.3.3)
/=о 7
переводит вектор Y в вектор X, т. е. Х = ТС7~1У.
Пусть вектор Y получается из Y заменой k координат нулями.
Тогда коэффициент сжатия т равен рпЦрп—k), а погрешность вос-
становления равна б = || X— Х||, где X=W~1Y.
При заданном коэффициенте сжатия погрешность восстановления
вектора X зависит от способа зонного кодирования и от рассматри-
ваемой нормы. Заменять нулями целесообразно те координаты век-
тора У, которые малы по абсолютной величине, а потому вносят
меньший вклад при восстановлении исходного вектора. Далее сле-
дует помнить, что, как показано в § 11.2, при построении программ
реализации ДМП используется внутренняя структура преобразова-
ния IT. Именно, матрица 1У разбивается на однотипные блоки, бла-
9*1 263
годаря чему возможно распараллеливание вычислений. Поэтому
целесообразно заменять нулями координаты вектора У, которые
соответствуют целиком блоку (или нескольким блокам) матрицы W.
Из дальнейших вычислений будет видно, что именно в этом случае
получается наиболее высокая точность восстановления. Рассмотрим
также случай, когда нулями заменяются последние координаты yt,
что удобно при вычислениях на ЭВМ.
В соответствии со сделанными замечаниями введем обозначения:
вектор
PS рП—рЗ + *
YT==(o, .7., О' ypS, ypt+i, .... yps+*-i, 6, . * ~o)
назовем s-й пачкой вектора Y (в дальнейшем в записи У, мы иногда
будем опускать нули);
УТ« = (О» •••» 0» У1р*> У1р*+ 1» •••» W+hp'-ь 0. 0).
/=1, .... р— 1,
назовем /-й подпачкой s-й пачки вектора У (/ = 0, 1, ..., р—1).
Обозначим через У(/’ = 1У_1У/, n_i вектор размерности рп, восста-
новленный по /-й подпачке последней пачки вектора У, и через
/ р-< \
X{{’> = W~1\Y—2 n-i )—вектор, восстановленный по вектору
\ v=/ /
О/о» У и ^/р»->-ь 0, ..., 0) (при восстановлении не заменены
нулями первые /р"-1 координаты вектора У).
Также будем использовать обозначение
р—1
x=~^'^t^xnp+rXvp"-t (jnjt (11.3.4)
где р = 0, 1, .... р"~1 и O^v^p—1.
11.3.1. Для координат k = Q, 1, ...» рп—1, вектора У°>
справедливо представление
4ь = гЦ^1рп-,(^ ,
где ррС^^(|*+ 1)р—1» гц> определены в (11.3.4).
В выражение
«V’- X иал\ъ}
l=!Pn-i '
подставим значения yt из (11.3.2):
• F / = ГС О
Учитывая 11.2.3 и меняя порядок суммирования, получаем
р«-1 рп-i—1
Si xr S Х/Ря+/(ти)х/р',-1 + / “
кг=0 /Я О 4 Р ' \ р /
Но
pH-'— 1
Так как k £ [рр, (р + 1) р— 1], то неравенство имеет
место только для г € [рр, (р+ 1)р—1], а поэтому
(ц+1) Р—1
= xr^-'^Gja)pn~l =
р—1
р—1
п—1
Замечаем, что для ц= 2 P-vPv~' очевидно ц_„ = 0 и
v= 1
Таким образом,
р—i
(тО SqXup+*%/p«-* ^’Х/У1"1 (рл-)* ►
Из определений V4} и ХЧ} следует, что
AV> == ро> рл + ,., 4. p/-x>t
а потому из 11.3.1 вытекает утверждение
11.3.2. Для координат вектора имеет место равенство
j—।
4’ == X «и’хл.р"- > (v/pn).
VB О
где up ^.k^.(p.+1) р—1, /?,=fe—pip.
Обозначение (11.3.4) и последующие соотношения относятся к слу-
чаю s = n—1, поэтому приведем обозначения и соотношения, кото-
рые будем применять в общем случае s^n—1.
Представим произвольное k9 1, в виде
£ = &(р,, г, T]) = ppn~s +rp""s"1 + ‘n, (11.3.5)
где 0р, < ps, О^г^р—1, 0<т]<р7,-5“1—1. Как следует
из § 11.2, вектор X можно рассматривать как значения ступенча-
той функции f(t), которая на fe-м интервале n-го ранга 6Л(и) при-
нимает значение xk, причем xk расположены на интервале [0, 1]
через равные промежутки. Координаты вектора X группируем по
pn-s-i подряд идущих координат в пачки Js+1 (k) ранга $+ 1. Сред-
нее арифметическое сгруппированных таким образом координат обо-
значим через
Л(Н> Г) = „n-S-'l Xk(H, Г, Т]) (Н.3.6)
т)=0
и назовем средним значением (вектора X) по пачкам ранга s+ 1.
Тогда
1 ₽-1
а(н) = -т-Ц а (И. И
И г— О
есть среднее значение по р-й пачке s-ro ранга /Др). Введем также,
аналогично (11.3.4), обозначение
р-i
S «(Н. ИХ/р»"1
г= О
Применив преобразование Абеля и учитывая равенство
Л|А, /, s) = 4“
(11.3.7)
р-i
правую часть в (11.3.7) представим в виде
4 (р, /, s) =
р—2 г
г)—а (у., г+0)£ Х/р'-*(-£/),
F r=0 v= 0 \ К /
т. e.
p-2 r
4(p, /, «) = 4-22Да(Н. nS X/p'-«(£)- (H.3.8)
Из формулы (11.3.8) сделаем следующий вывод, который назовем
принципом локализации'.
11.3.3. При всех 1 р—1 значения величин А (ц, /, s) зави-
сят только от «скачков» средних значений по пачкам ранга s + 1,
266
равных Да(р, г) = а(р, г)—а(р, г+1), с номерами —2 и
не зависят ни от распределения отдельных координат хк, ни от
средних значений а(р) по пачкам ранга s.
<4 Действительно, если при некотором р. ко всем величинам
а(ц, г), где —1, добавим е, то на е изменится иа(ц), но
не изменятся величины Да (р, г) при всех 1 г р—2 и А (р, s). >
Пусть хд—класс векторов а = (а0, ..., «p-J с действитель-
ными координатами, удовлетворяющими условию
max las-!—
i < k < p—i
p—i
и пусть R (a, v) = 2 » где ° = exP (2ni/p).
/г = 0
11.3.4. Для любых р~^2 и l^v^p—1 справедливо соотноше-
ние
max|/?(a, v)|<Jp/sin —.
а б Xi IP
Применяя преобразование Абеля, имеем
р—1 fe—1 р—1
/?(а, v) = X ®vs + “₽-iL qVS =
k= 1 s= 0 s= О
p—1
= Т=7л S («л-!—ok)(l—®v‘)
и, оценивая это выражение, находим для
р-i
2р ... Р
п . лу , nv
2 sin — sin —
Р Р
Перейдем теперь к оценкам спектральных характеристик и по-
грешностей восстановления исходных векторов при некоторых видах
зонного кодирования. Будем употреблять следующие обозначения:
если а = (а0, а19 ..., a^-i)—АГ-мерный вектор, то
/JV-1 \1/р
И/ =И?=Ч 2 ) » 1<<7<оо,
v \fe ss 0 у
И И<~>= max Pftl-
0<fe< N-l
11.3.5. Для пачек Ys, s=l, ..., п—1, и подпачек Yj,s, i = l,
2, ..., р—1, спектральных характеристик рп-мерного вектора
XT = (xt, xlt ..., Хр«-1)€хд справедливы оценки
max (11.3.9)
X €Х А ”
а.
max ||У,||г<Рп-Л-1Д 1/Л(Р-1)2 + 4(Р2-1)- (И-З-Ю)
Хех4
Оценку (11.3.9) достаточно установить при q = 2, ибо при
2 < q оо норма вектора в lq не превосходит нормы в /2. Пусть
Оv < ps, — 1. Рассмотрим величину
р«-1
1 v ~ I ips+v \
которую в силу 11.2.3 можно записать в виде
р»—1
У}рЗ+х — — S Xk%jps + v
Р fe=0 ' '
Принимая во внимание обозначение (11.3.5), имеем
ps— 1 р— 1 p*-J-i-l
|//p*+v=— S + +
р ц=Сг=0 Т)=0 \P P P 7
p*-l p-1 p/i-J-i-i
S X/p*+v ( ““F j S X/p^+v ( jjfFT ) S xk(p,tr,v\) % - j+vf-21V
м ц=0 ' r=0 X 1 r]=0 \Pn /
Так как jps + v < p*+\ x\/pn < рп‘5^1рп^ l/ps+1, to x/^+v(T]/p”)=l»
а так как v < p\ r/ps+l <\lp5> то и %v(r/p^+1)= 1. Кроме того,
при p, < ps имеем
(P'/P,)5+l =
а потому
X/P* (H/р*) = exp / (p/psUt = 1 •
Таким образом, используя обозначения (11.3.6) и (11.3.7), полу-
чаем
Р^— 1 р—1
P/₽*+v==4 21 X/P*+v(-p)21 X/p*(z5Ti)p’’'*"1a(j*. Г) =
И LimO X И ' Г«() 4 7
p/-(
в£гп Z ь(т?)М(и» i, s+i)=
О9— I
eJF Z Л(И. /.
M u«0 x M 7
T. e.
p*-i
/, s+l}z (i). (11.3.11)
Используя свойства функций XvW> находим
| l//pf + v|2 = У/pS+v У/р* + у =
р*-1 р*-1
/. s+DL(i) £л(/, /, l+i)X,(')«
|A=0 J 1=0 \P 7
p*-l pS-1
=4? S И(н. /.s+i)i2+ Exv(?)B(ft. j,s+ik
U=o fe=l 7
где величины B(k, j, s+1) выражаются через Л(р, /, s+ 1) и их
комплексно сопряженные значения. Используя это представление
и равенство
p*-i
Еь(Д) = 0,
v = 0 7
имеем при 2 q оо
р«-1 ч 1/2 /р*-1
1/2
*=о
-р*-1 pf-1
_v=0 U=0
X V =0
ps-l
pj-i
pS-\
v=0
“11/2
"11/3
max | A (|i, /, s+ l)|2p' =
XexA
о < Ц < pS -1
= max |4(и, /, s+1)|. (11.3.12)
Хвхд
Так как в силу (11.3.6)
Да(ц, r)«
= 0n—x +1 (^иР/’”,, + грЛ"’,г “1 + i)"""'‘^M-Pn‘“, + k/+OP'*”"*”1+l))r
П=Г)
то из X g хд следует оценка
|Да(р, г) К
рЛ-<Г-1-1
-х | *црл“*+гря-*~1 + т) — Яцр'»-* + (г + 1) я*-*-1* Г |
Р п-0
Е р'*-*-1Д = р'’^-‘Д. (11.3.13)
п-о
Полагая X/p*-’(v/P*)e<°/v» гДе ®«ехр(—2ш7р), и учитывая, что при
0 г р—2
V “ /V\ 1 —щ/<Г+1)
2- %/р'-1 (- ) = —:—у-,
v-u \Рг/
3i3 (11.3.8), используя 11.3.4 и (11.3.13), находим
шах
Х€Хд
1
М(ц, /, s+i)|=
1
max -
Да(ц.г)вхрП_,_1д Р
р-2 г
£Аа(ц, г) £co'v
r = 0 v=0
= max — 17? (а, /’) I А ——А . т .
а6х „ s 1Д Р1 V Р sin(nj/p)
pTl—S — 1 д
Подставляя эту оценку в (11.3.12), получаем (11.3.9):
А
sin (nj/pY
Для доказательства оценки (11.3.10) рассмотрим вектор X*, коор-
динаты которого x*k получаются из координат xk вектора X следую-
щим образом:
%k = %k (Ц, г, т|) = # ([А, Г) ^(р*)’
Следовательно, имеем пачки идущих подряд одинаковых
координат. Обозначим Y* — ^ WX*. Принимая во внимание равенство
{11.3.11) и принцип локализации 11.3.3, заключаем, что Y* = YS.
Воспользуемся равенством Парсеваля || f ||z* == || f ||/#, взяв в качестве
образа вектор Yst а его прообраза—вектор X*. Имеем (||Х||^«
Е и; р-
2 Р k=0
р*-1р-1
= 7^1 Е £|«(Н. г)—а(И)Г (П.3.14)
н ц=0г=0
Учитывая (11.3.6), находим
|«(Н> г) — а(ц)| =
I pn-s-1-i
рП -5-1 + rpn“5“l + T]***
Н П=0
Хцрп-5 + vp«“^~1+T)
1
рП -5-1
рП-5“1_
рП-5-1
Так как X^n^, то
:M,pn“'s + rp”“'s”1 + T) ЯцрЯ-5 + fi)
1 Р-1 "|
'“Г" ^Li (%i>,pn ~ s+vpn ~ s-'★xi
P v=0
Подставив эту оценку в (11.3.14), получаем
>2и-5-1)Д2 1 (р(р-\)(2р-\) р(р~1)2 , р (р—1)2\
а Д 6 + 2 + 4---)
= р2 («-5-1)Д2 р2 (/г-5-1)Д2 <(р_ 1)2 +
т. е. имеем (11.3.10). ►
Неравенства (11.3 9) и (11.3.10) показывают, что наименьший
вклад в обратное преобразование (11.3.3) вносит последняя пачка
(s = n —1) спектральных характеристик, а из подпачек — подпачки
с номерами /, близкими к [р/2]. Установим тот максимальный вклад,
который /-я подпачка последней пачки спектральных характеристик
вносит в восстанавливаемый по формуле (11.7.3) вектор X, т. е. оценим
величину
11.3.6. При всех 1^/ ^р—1 и справедливо неравен-
ство
max II L.<
хехл 1о
А
sin (nj/рУ
(11.3.15)
◄ Пусть 0<р.<р4-1—1, рр £ =С (р. + 1)р—1. Используя дан-
ное в 11.3.1 представление вектора 1/(Л в множестве векторов X
с нормой
/ р"- \ v«
. Lk.1’1
I Q \Р * = 0 /
имеем
(рп-1 \1/$ / р»-1 \i/4
= L i«n) =(i£ к"1’ «
И л=о / V б=о /
< max |4>| = |W>||(ee)
Принимая во внимание представление (11.3.4) и оценку 11.3.4, полу-
чаем
max||VV>|L =
ХбХд
1
= max max —
хехд Р
р-i
1 рД __ Д
Р sin (nj/p) “ sin(n//p) '
Оценим теперь погрешность замены вектора X вектором
восстановленным по вектору (#0, ...» 0, ..., 0).
li.3.7. При всех 1 j р—1 и l^^^oo справедливы оценки
p-i
maxlX—У -1—... (11.3.16)
Х«хЛ“ v^sin(nv/p) ' >
◄ В силу линейности обратной матрицы F-1
X — ХУ>
V, П-1
v=/
р-1 р-1
V8/' V»/
Применяя 11.3.6, при 1^9^00 имеем
1
sin (Jiv/p)
Vss 1
1
sin (nv/p)
Итак, получены оценки координат вектора У и погрешности вос-
становления исходного вектора X в метриках 1Г Учитывая, что во
многих прикладных задачах требуется найти среднеквадратические
оценки, рассмотрим полученные результаты в метрике /2.
Большое практическое значение имеет выбор оптимального способа
зонного кодирования. По заданному коэффициенту сжатия т легко
определить число координат вектора Y, которые следует заменить
нулями. В зависимости от того, какие координаты вектора У заме-
няются нулями (т. е. в зависимости от способа зонного кодирования),
получаются различные значения погрешности восстановления б. Как
сказано выше, способ зонного кодирования, гарантирующий минималь-
ную погрешность, называется оптимальным. Для сравнения способов
зонного кодирования с помощью ДПФ и ДМП предварительно оценим
сжатие информации с помощью ДПФ, определяемого формулой
лг-1
1 V — 2nikl
Vl~~N 2- х*ехР~—
Л=0
Из (11.3.1) следует, что при 1^/^М—1
Шах у, ,-7;тк-
Отсюда в силу равенства Парсеваля || У ||zа = || X вытекает, что опти-
мальным способом зонного кодирования при ДПФ является такой,
при котором нулями заменяются центральные координаты вектора У.
Оценим погрешность восстановления в метрике /2. Пусть N —
четное (для случаев четного и нечетного N отличия незначительны).
Заменяем нулями 2s +1 центральных координат вектора У, т. е.
Un ,Уы , ->-,Уы, ..-,Уы , s<N/2.
а---s ——-S+1 - ---------+S
2 2 2 2
Тогда погрешность восстановления б равна норме в /2 вектора, состав-
ленного из указанных величин. Максимум погрешности при ДПФ
на классе векторов равен
6ф Ж Д
Используя монотонность функции y»=l/cosax и очевидное равенство
(я . ns \ ns
l==cos-^-, получаем
dx
cos2 л
N я Л 1
я 2u соз?(я//У)
/«1
dx
cos* х *
Отсюда
Приближенно максимальная погрешность при ДПФ в случае опти-
мального способа зонного кодирования равна
6ф~А ]/-^tg^<A|/2S.
(11.3.17)
В отличие от оптимального способа зонного кодирования с по-
мощью ДПФ, при сжатии информации с помощью ДМП целесооб-
разно заменять нулями координаты последней пачки вектора Y.
В этом случае основной множитель pn-s~1 в оценках (11.3.9), (11.3.10)
обращается в 1. Опираясь на результаты теоремы 11.3.7, в качестве
оптимального при ДМП можно предложить три различных способа
зонного кодирования, из которых в зависимости от заданного коэф-
фициента сжатия т и образующих чисел р выбирается один способ.
Первый способ. Заменяем нулями целиком последнюю пачку,
т. е. рп — рп~г координат вектора У. Тогда т = рп/рп~1 — р. Макси-
мально возможная погрешность при ДМП в метрике Г2 равна
p-i 1
A sin (jw/p)
Г 4рп (р—/+1) при 1,
I ’Т’(1п(т+ПРИ
Для оптимального способа зонного кодирования с помощью ДПФ
с тем же объемом исходной информации N = рп и коэффициентом
сжатия т = р необходимо заменить нулями 2s+l=p"— р""1 цент-
ральных координат вектора X, т. е. sc^^—(p—1), при этом, кан
следует из (11.3.17),
6ф~Д |А^(р-1)~р/^Д.
Второй способ. Заменяем нулями центральную подпачку
последней пачки координат вектора Y, т. е. р"-1 координат этого
вектора. Считаем р четным. Тогда
' Рп -1 । 1
рП_рЛ-1 ]
и в силу (11.3.15) SM^A.
В случае ДПФ с теми же N и т имеем
6ф = Д jA^^Ap/p»-’.
Третий способ. Заменяем нулями несколько подряд идущих
центральных подпачек последней пачки координат вектора У. Дан-
ный способ следует применять при больших р, р^б, ибо резкое
увеличение опенки (11.3.9) наблюдается лишь при приближении /
к 1 или к р—1.
При всех трех способах величина 6^, в отличие от бф, не зависит
от объема исходной информации Af и при больших N значительно-
меньше, чем бф.
Таким образом, при сжатии информации с помощью ортогональ-
ных преобразований методом зонного кодирования использование
дискретного мультипликативного преобразования гарантирует более
высокую точность восстановления исходного вектора, чем применение
дискретного преобразования Фурье.
§ 11.4. Особенности обработки двумерных
числовых массивов дискретными
мультипликативными преобразованиями
В предыдущем параграфе было показано, как оценки спектраль*
ных характеристик могут применяться для зонного кодирования,
т. е. для сжатия информации. Однако спектр исходного числового
массива, называемого исходным сигналом, используется и во многих
задачах распознавания образов. При этом в случае плоского (дву-
мерного) или многомерного сигнала для распознавания используются
также двумерные или соответственно многомерные спектры. Так как
многомерный сигнал можно преобразовать в одномерный за счет
увеличения объема этого массива, то встает задача установления
соотношений между спектром многомерного массива и спектром пре-
образованного из этого одномерного сигнала. Здесь сразу следует
заметить, что преобразование многомерного массива в одномерный
не единственно. Например, в случае двумерного массива fe),
/и, & = 0, 1, ..., Af — 1, возможно превращение его в одномерный
путем построчного сканирования с сохранением номера в каждой
строке:
хт.к = 2^+к, т, k = Q, 1, .... АГ —1.
Полученный при этом одномерный сигнал может иметь большие
скачки при k — N—1, так как разности —2/^+лг-1 соответ-
ствуют разности значений элементов в левом конце (пг + 1)-й строки
и правом конце /n-й строки. Поэтому в случае применения к одно-
мерному сигналу (zmN+k) дискретного преобразования Фурье в точ-
ках с большими скачками при обратном преобразовании будет иметь
место аналог явления Гиббса. Следовательно, при преобразовании
двумерного массива в одномерный следует выбирать такое сканиро-
вание, при котором в какой-то мере сохраняется «непрерывность»
при переходе от точки к точке, т. е. при сканировании расстояние
между ближайшими точками двумерного массива и полученного
одномерного должно быть минимальным. Однако в этом случае уста-
новить какую-либо зависимость между двумерным спектром исходного
сигнала и одномерным спектром преобразованного сигнала практи-
чески невозможно. Кроме того, следует иметь в виду то обстоятель-
ство, что для реализации одномерного цифрового массива объемом 7V2
с помощью одномерного ДПФ требуется вычислить дополнительно
к двумерному ДПФ примерно N (N — 1) значений тригонометрических
функций в точках, кратных л/№. Поэтому с точки зрения быстроты
вычислений двумерное ДПФ какого-либо массива предпочтительнее
одномерного ДПФ того же массива.
По-иному обстоит дело в случае дискретных мультипликативных
преобразований.
Существование зависимости между мультипликативным спектром
двумерного сигнала и мультипликативным спектром для одномерного
массива, полученным из двумерного путем построчного сканирова-
ния в одномерный, обнаружено Жуковым [2]. Спектр {ymt т =
= 0, 1, ..., рп—1, р = 0, 1, ...,рг—1, двумерного сигнала {akt v},
Jfe = 0, 1, рп — 1, v = 0, 1, pr — 1, определим соотношением
Ут, Ц
Pn-i p'-i
= 77+7 Е Е ak. vXu (7) Х« (7г) =
рг-1 рп-\
=tV Е Е
и v=0 * = 0 \ Р / \ Р J
11.4.1. Пусть {Ут, ц}, т — 0, 1, ..рп— 1, |л = 0, 1, ..., рг— 1,—
спектр двумерного прямоугольного сигнала {akf v), k = 0, 1, ..., рп— 1,
v = 0, 1, ..., р'—1, и {zz}, / = О, 1, рп+г—1,—спектр, полу-
ченный для одномерного сигнала {*»}, t) = 0, 1.рп+г—1, в ко-
тором при i\ = kpr-4-v, Q^k^.pn—1, 0^.v^.pr—1, положено
xn = xkp'+v = ak- v Тогда пРи 1 = ррп + т, — 1,
^~рп—1, справедливы соотношения
— гррп + т — 2р., т — Ут, ц»
т. е. при переходе от одномерного спектра {zt} к двумерному {z^, m}
путем расположения по рг элементов в каждой строке получаем
транспонированный исходный спектр {ут< ц}.
◄ По формуле (11.3.2) имеем
Pn+'-t
*« = 7+7 Е *4X4(777). / = 0- 1....р"+'-\. (11.4.2)
Учитывая свойство 11.2.3 и мультипликативность функций %ft(x),
получаем
p"+,-i
*« = 7777 Е *чХ«(т?7г)-
Р п-0 ' '
р"-1 р'-1
“7+7 Е Е xk^ +v*i (т^т1)-
н *=0 V—0 4 н ’
] р«_1 /_1 _ k _
n'l+r v X/ ( on ] X/ f nn+r J *
F Л=0 v=0 / \P /
Полагая I—ppn-{-ni, 0^р^рг—1, —1, находим
Так как при 0 =С v рг—1 имеем V 1 <z — . т. е. рп+r ^рп>
V vj рП+Г pn+1 — L « pn+2 1 *’’»
где Os^v/^p—1 для всех j, то при 0^/n<p"—1
Далее, используя 11.2.3, получаем равенство
Xup” (v/Pn+r) = Xv (ИР”/Р”+r) = Xv (Н/РО = Xu (v/Pf)-
Кроме того, так как р-ичные координаты чисел рр" и k/pn удов-
летворяют соотношениям
(ррл)_9^ f-^rl (modp)= р_(я_9)= (°
L J
при q п,
при <7>п+1,
(0 при
вэ [^р«-”1 (mod р) = { ,
1 j (*-(»-,+» при
<7>п+1„
дСп,
то
Хцр” (£) = ехр-^ S №">-« 6Ю9 = 1‘
Таким образом,
Р«-1 p'-i
(11.4.3)
Сравнивая (11.4.3) и (11.4.1), получаем 2Ц, т = ут, ц. ►
Заметим, что хотя число операций, необходимых для выполне-
ния преобразований (11.4.1) и (11.4.2), по порядку одинаково, тем
не менее вычисление на ЭВМ массива {ут, ц} по формулам (11.4.1)
занимает значительно больше времени, чем вычисление по формуле
(11.4.2). Это объясняется тем, что при реализации преобразования
(11.4.1) требуется организация перестройки всех вычислений при
переходе от вычислений во внутренней сумме к вычислениям во
внешней сумме.
§ It.5. Описание классов дискретных преобразований,
допускающих быстрые алгоритмы вычислений
Возросший в последние десятилетия значительный интерес к изу-
чению дискретных ортогональных преобразований обусловлен прежде
всего появлением целого ряда алгоритмов, подобных алгоритму
быстрого преобразования Фурье (БПФ) и рассмотренному в § 11.2
алгоритму вычисления ДМП, позволяющих осуществить реализацию
таких преобразований на ЭВМ в задачах, требующих больших объ-
емов вычислений в реальном масштабе времени. Исследования раз-
личных свойств ортогональных преобразований ведутся с целью их
Рис. 2
Рис. 3
•применения при обработке изображений и речевых сигналов, при
отборе признаков для распознавания образов, при анализе и про-
ектировании систем связи, при обобщенной винеровской фильтрации
и в целом ряде других прикладных вопросов.
Поэтому большой интерес поедставляет задача выяснения условий,
наложенных на квадратную матрицу порядка л хи, при которых
умножение ее на вектор-столбец требует выполнения порядка п log п
операций вместо л2 в общем случае Решение этой задачи для каж-
дой матрицы является основой создания алгоритмов типа БПФ для
этой матрицы.
В настоящем параграфе будут указаны необходимые и достаточ-
ные условия, при которых квадратная матрица А порядка лхл,
л = pq9 может быть представлена в виде произведения двух мат-
риц, имеющих одинаковую регулярную слабо заполненную струк-
туру.
Будем говорить, что квадратная матрица А порядка пхп, п = pq9
называется (р, уУфакторизуемой9 если она представима в виде про-
изведения Л = ВС, где элементы матриц
б = (&ь/) = (^.+<,р./. + м'> 1, hCff—1.
=° (СЛ, л) = + + с А’2, П'ч^р—1, 0^.АХ1 П1г^.Ц— 1,
удовлетворяют условиям
^i + ЬР» л+м = О при /1 #= /2,
Ckt + ktq, m,+msp~0 ПрИ tTli^^k3.
(11-5.1)
Структура матриц В и С показана соответственно на рис. 2 и 3,
где все элементы, кроме обозначенных звездочками, равны нулю.
11.5.1. Для элементов (р, д)-факторизуемой матрицы, А справед-
ливы соотношения
aii + i,p. h + — + it + h<!cii + ii4' 1гР~
= bikCkj, k = it + hq- (H.5.2)
◄ В самом деле, используя (11.5.1), находим
П-1 1 р-1
л4/= SkvCV2/= 2 2 bii + itPt Vj+Vjjp Cvi + vzqt h+i2P~
v= 0 vt = 0 v2 = О
— + it+itf cii+hq, ii+i2p blkCki. ►
11.5.2. Пусть Л|7, O^i^q— 1, 0^/^p— подматрицы
порядка pxq матрицы A = (am* k), образованные следующим образомх
A}j = (ar+ip,j+sp}j 0 f P—1, 0 s q—1. (11.5.3)
Для того чтобы матрица А была (р, руфакторизуемой, необходима
и достаточно выполнение условий
Rang/4f/<l, 1, 0<j^p—1. (11.5.4)
◄( Необходимость. Пусть А есть (р, </)-факторизуемая ма-
трица. Рассмотрим матрицу Л;/. На основании 11.5.1 имеем
Ur+ip, j + sp = br + ip, i + jq Ci + jq, j + sp*
Если при фиксированных i и / обозначить
Ьг+ip, i+jq = f = 0, 1, . p—1»
/+sp == Pd> s = 0, 1, ..., q—1,
to ar+iPt /+$р = аД- Отсюда и следует, что Rang4f/<1.
Достаточность. Пусть для любых v, р таких, что 0 v ^.q— 1,
О^р^р—1, выполняется (11.5.4). Тогда найдутся такие числа
ar+vp и Рц+sp, что элементы матрицы Av,» из (11.5.3) представимы
в виде
Clr + vp, ц + sp == ®r + vp Рц+ sp* (11.5.5)
Теперь полагаем
bi, / = bit + i2p, п + j2q =
= (° ”ри ' = 0' 1..........(11.5.6)
( a,1+ZsP при Л = 12, ’
Ck, tn ~ Ckt + k2q, mi + m2p =
f о при ^ = 0, 1, ..., q— 1.
= O , l. (11-5.7)*
\ Pmi+ m2p ПрИ
Очевидно, что построенные матрицы В = (Ь{</) и С = (ск>т) имеют
регулярную слабо заполненную структуру, определенную в (11.5.1).
Осталось проверить, что их произведение совпадает с матрицей А.
Действительно, на основании (11.5.6), (11.5.7) и (11.5.5) находим
п - 1 q - 1 р - 1
2 т = 2 2 ^ii + i2P, Vi+v2p Cvi + v2q, mY + m2p —
v=0 v1 = U\2 = 0
— bit + irf, ii+miq Cii+nhp, mi+m2p == ^it + i2P +т.гр = ^ii-¥i2pt mt+m2p* ►
Проверка условий (11.5.4) для матриц высоких порядков доста-
точно затруднительна. Поэтому условие (р, р)-факторизуемости ма-
трицы устанавливается в других терминах.
Со всякой невырожденной матрицей А будем связывать два ба-
зиса линейного пространства С": 6 = 0, 1, ...» п—1, —кано-
нический базис пространства С"(£-я компонента вектора ek равна
Рис. 4
единице, остальные компоненты равны нулю) и {ak}, k = 0t 1, ...
..., п—1,—базис из вектор-столбцов матрицы А. Обозначим через
L,=^(e,p, е{р+1......elp+P-A, i = 1......9—1.
L/=«S!’(ey, cij+p, ..., Лу+(?_1) р), I' — 0, 1, ..., р 1,
линейные оболочки в С" соответствующих систем векторов.
11.5.3. Если А—невырожденная (р, д)-факторизуемая матрица,
то при Z = 0, 1, ...» q—1, / = 0, 1, ..., р—1 выполняются нера-
венства
dim(LznL;-)>l. (11.5.8)
◄ Достаточно показать, что при Z = 0, I, ..., q—1, / = 0, 1, ...
..., р—1 существует по крайней мере один ненулевой вектор,
одновременно принадлежащий пространствам L { и L'f. Рассмотрим
вектор bi+Jg, т. е. вектор-столбец с номером г’Ч- jq матрицы В. По
определению факторизуемости матрицы А имеем bVl+Vzp, ^^ = 0,
осли v2=^=f. Следовательно,
г -1
2 ^Vt+V2p, i + jq ^Vt4- ip €
Vx = 0
С другой стороны, в силу невырожденности матрицы А находим
В = АС~1. Покажем, что матрица С~1 = (са.$)—слабо заполненная,
причем
Са,+а,р. + = 0, ОС, Р2, (11.5.9)
где 0^ап 0, 1, 0<а„ ₽i<<?—1. Действительно, пусть
T = где
М+<»Р. /t+М ~
" 1 при ц = /, и i, = /f, /,<
= ' 1, 0<1„ ЛСд—1, (Ц.5.10)
0 в остальных случаях,
— элемент матрицы перестановок, структура которой показана на
рис. 4. Образуем матрицу С' = СТ, где в силу (11.5.10)
Л- 1
Ckt m = ^kt+ktqt mi+mtq = 2 v^v, tn
V=0
p-1 17-1
= 2 S Cki + ktqt vt+vtp ^vt+vtp, mx^mtq— Cki^k^q, m2+tntp*
Vt = 0Vj = 0
Учитывая (11.5.1), получаем
т. e. отличны от нуля только элементы вида
Cfci+ap, л^+ар» ОС = 0, 1, . .., р—lt
а это есть блочно-диагональная матрица, структура которой пока-
зана на рис. 5. Матрица С' получена из С перестановкой столбцов,
Рис. 6
Рис. 5
поэтому она невырождена, ибо невырождена С. Поэтому каждый
блок матрицы С невырожден, так как det С равен произведению
определителей этих диагональных (q х <?)-блоков. Обратная матрица
к блочно-диагональной является также блочно-диагональной такой
же структуры, как и С' (рис. 6). Так как С'»С7\ то (С')“1==
^(СТу-^Т-'С-1, т. е.
Т (С')~х = ТТ-*С-* = = С-\
Ю Б. И. Голубов и др.
281
где Е—единичная матрица. Следовательно, С-1 = Так как
(С')-1 имеет блочную структуру, то произведение Т (С')-1, получаю-
щееся из (С')-1 перестановкой строк, имеет слабо заполненную струк-
туру, причем
* п~ 1 ♦
^а, 3 = +а2р, + = 2 ^ai + a2p, v £v, 01 + 0217>
v=0
где Су,/—элементы матрицы (С')“х. Используя определение (11.5.10)
элементов матрицы Т, получаем
?-i р-1
£а, £ “ 2 2 Azi+ajp, Vi + v2? £vi+v2p, 0i + p2<z = Ca2 + ai$, Pi + M’
vx=0 v2 = 0
Учитывая, что элементы блочно-диагональной матрицы равны нулю,
если вторые индексы их номеров различны, т. е. если о^^Ра,
убеждаемся в справедливости (11.5.9).
Покажем теперь, что наряду с bi+jq^Li также имеет место со-
отношение Действительно, используя соотношение (11.5.9),
находим
п-1 _ р-1 q- 1
^i+jq 2 <4 i + jq ~ 2 2 ^vi+ v2p, i+jq #Vi + v2p =
v=0 vt=0v2=0
<7-1
= 2 Q+^p, i + jq #/ + v2p б Ь/. ►
v2=0
11.5.4. Пусть для невырожденной матрицы А подпространства
Li, i = 0, 1, ..., q—1, и Ljt j = 0, 1, ..., p—1, удовлетворяют
при любых i, j условиям
dim(£€ AL/)= 1. (11.5.11)
Пусть ненулевые векторы Тогда система i =
=0, 1, ..., q—1, / = 0, 1, ..., p—1, образует базис в простран-
стве С".
◄ Так как число векторов /f/, z = 0, 1, —1,/ = 0, 1, ...
..., р—1, равно pq — n, то достаточно доказать их линейную не-
зависимость. Пусть
q-\ р-1
2 2 j f i. / = 0-
i=0/=0
р-t p-i
Так как 2 то тогда 2 ^,7\Л./ = 0- Наконец, так
как при фиксированном ifu7- С L], то из последнего соотношения на-
ходим ХЬ/ = 0 при всех i, /. ►
11.5.5. Для того чтобы невырожденная матрица А была (р, q)-
факторизуема^ необходимо и достаточно выполнение условий (11.5.11),
т. е. условий
dim(L/nL/)= 1, i = 0, 1, ..., q— 1, / = 0, 1, ..., р—1.
◄ Необходим ость. Пусть А — невырожденная (/?, ^-факто-
ризуемая матрица. Тогда, используя соотношения (11.5.8), находим
dim С" = 2 = 2 2 dim П £/) > 2 2 1 = РЯ = я,
i' = 0 i = 0 / = 0 i = 0 / = О
и, следовательно, в (11.5.8) имеют место точные равенства, т. е.
dim(LznL/)= 1.
Достаточность. Пусть для невырожденной матрицы А вы-
полняются условия (11.5.11). Тогда в силу 11.5.4 система векторов
{//,/}». * = О, 1, •••» Я~1» / = 0» 1> •••, Р— 1» образует базис
в пространстве С".
Введем обозначения
93 = {во, .....e„-i},
93' - {«о, «1............93" = {Д. 0, ..., /._t, р_J.
Тогда SSm.8'==S®->.8"'S8"->!8<, где через S. обозначены соответст-
вующие матрицы переходов из одного базиса в другой. В частности,
через обозначена матрица перехода из базиса 33 в базис 33'.
По определению столбцы этой матрицы состоят из координат векто-
ров базиса 33' по векторам базиса 33. Но 33—канонический базис.
Значит, координаты любого вектора из базиса 33' совпадают с его
компонентами. Но векторы базиса 33' (по построению этого базиса)
являются столбцами матрицы А. Итак, координаты разложения лю-
бого вектора из 33' по векторам базиса 33 представляют собой соот-
ветствующий столбец матрицы А. Следовательно, S^^^ = A.
Обозначим B = Ssq_+&> и С = Тогда А = ВС, и остается
показать, что матрицы В и С имеют регулярную слабо заполненную
структуру, определяемую соотношениями (11.5.1).
Заметим, что векторы /Л/, / = 0, 1, ..., р—1, принадлежат
подпространству и, следовательно, имеет место разложение
р-1
f i, j ~ 2 fv + ip, i+fp'^v+ip-
v=0
Отсюда, полагая b^b^j^f^, находим, что для компонент
k2^p—1, 0<m2, —1,
векторов bk выполняются соотношения bm, k = 0, если т2 Ф kt.
Таким образом, матрица В = столбцами которой являются
векторы {6Л, & = 0, 1, .п—1}, удовлетворяет соотношениям
(11.5.1).
Аналогично, векторы /ь/, £ = 0, 1, ..., q—1, принадлежат под-
пространству L]. Значит, векторы bk, k = jqt jq+l, ...» jq + q—1,
образуют базис в этом подпространстве. Отсюда получаем следующее
разложение:
<7-1 <7-1
(Ij+lp — 2 cv+iQ> i + ip'bv+jq— 2
VaO V=0
Вводя обозначение
C/+i^ = (0, • ••» 0, CiQ'j+ip, Cj4+iyj+fpt ..., Cjq+q-it J+ip' •••» 0),
находим, что cv, n = CvI+v2«, ц,+ц!Р = 0, если p.i=#v2. Значит, матрица
C = Ss”^8-, столбцами которой являются векторы ск, k = 0, 1, ...
..., п—1, также удовлетворяет соотношениям (11.5.1), и матрица
А как произведение В на С является (р, д)-факторизуемой. ►
В приложениях достаточно часто встречаются матрицы, элементы
которых получены перестановками строк и столбцов из (р, д)-факто-
ризуемых матриц. Установленные необходимые и достаточные усло-
вия допускают обобщение и на этот случай. Введем следующее
понятие.
Дискретным преобразованием Л = Л(Л), порожденным матрицей
А, будем называть, как это принято в цифровых методах обработки
информации, множество матриц А вида А = {А', А' = 7\А7\}, где
7\ и 7а—произвольные матрицы перестановок.
Очевидно, что дискретное преобразование Л порождается всякой
своей матрицей, т. е. если Л = Л(Л) и А'= Т\А7\ для некоторых
матриц перестановок 7\ и Tv то Л = Л(Л').
Из введенного определения следует, что произвольное дискрет-
ное преобразование Л представляет собой совокупность матриц, отли-
чающихся друг от друга перестановками строк и столбцов.
Дискретное преобразование Л называется (р, ^-факторизуемым,
если существует хотя бы одна (р, ^-факторизуемая матрица, его
порождающая.
Пусть дискретное преобразование Л порождается матрицей Л'.
С этой матрицей будем связывать две конструкции.
Обозначим через До i = 0, 1, .... q—1, подмножества из р эле-
ментов, выбранных из множества индексов {0, 1, ..., п—1} произ-
вольным образом так, что Семейство подмножеств
т={Д/г i = 0, 1, ..., q—1} образует разбиение множества чисел
{0, 1, ..., п—1}. Аналогично определяются подмножества Д), / =
=0, 1, ..., р—1, состоящие из q элементов каждое ив силу усло-
вия ДдПД/, = 0 образующие разбиениет'= {Д'/, j = 0, 1, ...,р—1}
того же множества из п чисел.
Пусть 1,=£(Д|)—линейная оболочка векторов канонического
базиса пространства Са, номера которых принадлежат множеству
Д|, и £/ = £(Д/)—линейная оболочка вектор-столбцов матрицы Л'
(порождающей дискретное преобразование Л) с номерами из множе-
ства Д). Пусть, наконец, Л<'’-,)—прямоугольная матрица размера
p'X.q, составленная из элементов матрицы Л', лежащих на пересе-
чении строк с номерами из множества Д, и столбцов с номерами из
множества Д), i = 0, 1, q—1, / = 0, 1, ..., р—1.
11.5.6. Для того чтобы дискретное преобразование А —А (А')
было (р, у)-факторизуемым, необходимо и достаточно существование
284
таких разбиений х и т' множества {О, 1, п— 1}, что
RangA«’')<l, i = O, 1.........q— 1, f=O, 1, .... р—\. (11.5.12)
◄ Необходимость. Пусть Десть (р, р)-факторизуемоедиск-
ретное преобразование. Это означает, что существует (р, <?)-факто-
ризуемая матрица А, также порождающая преобразование Л
(матрица А, вообще говоря, отлична от А'). Согласно определению
существуют матрицы перестановок 7\ и Т2 такие, что А'^Т^Т*.
Матрицы Л и Т, порождают некоторые перестановки на множестве
индексов {0, 1, ..., п— 1}. Обозначим через Д, подмножество, являю-
щееся образом при перестановке 7\ подмножества {ip, ip+1, ...
..., ip + (p—1)}, i = 0, 1, ..., q—1. Аналогично^ через Д/ обозна-
чаем образ при перестановке Тг подмножества {/, / -р р, ...
..., / + (<7—Ор}- Тогда = Ац и, следовательно,
Rang А’6 У) = Rang Af, t 1
в силу теоремы 11.5.2.
Достаточность. Пусть для матрицы А', порождающей диск-
ретное преобразование А, существуют разбиения т= {Д/( i = 0, 1, ...
..., q—1} и т' = {Д), / = О, 1, ...,р—1} такие, что для подматриц
Д‘/»/> выполняются соотношения (11.15.12). Обозначим через 7\
и ft матрицы, осуществляющие такие перестановки на множестве
{О, 1, ..., п— 1}, что образами подмножеств Д£ и Д) являются множе-
ства {ip, ip+l, ip + p—1} и {/, j + p, .... j + (q— l)p}.
Матрица A — T1A'T2 также порождает дискретное преобразование
А и является в силу 11.5.3 (р, ^-факторизуемой. Действительно,
для нее Ahy=A<',/> и, следовательно, RangAfi/^l. Значит, диск-
ретное преобразование А (р, р)-факторизуемо. ►
Дискретное преобразование будем называть невырожденным, если
порождающая его матрица невырождена. Очевидно, что тогда невы-
рождена любая матрица, порождающая дискретное преобразование,
так как определитель матрицы перестановок равен ± 1.
11.5.7. Для того чтобы невырожденное дискретное преобразование
А было (р, у)-факторизуемым, необходимо и достаточно существо-
вание таких разбиений х и х' множества {0, 1, ..., п—1}, что
dim (£f Л £/)= 1, t = 0, 1, ..., q— 1, / = 0, 1, ...,р—1. (11.5.13)
•4 Доказательство аналогично 11.5.6, но основано на использо-
вании 11.5.5. Необходимость условия (11.5.13) получается построе-
нием матриц перестановок Т, и Т2, как и в 11.5.6, а достаточность
этих условий—из построения матриц 7\ и Tt. Отметим, что если
матрицы Л и Т, уже выбраны, то можно положить и
Различия в факторизуемости дискретного преобразования и мат-
рицы можно проиллюстрировать на следующем примере. Пусть W —
дискретное преобразование Уолша, порожденное матрицей W =
— (wnk),n, k — 0, 1, 2r—1, где если n = nQ + n12 +... +
f r-1 1
+ nr_12r-1, k = ^„+^2+... 4-Air_12'-1) to ay„, s=exp < ni S nvkr_v_i >.
I v= 0 J
Покажем, что W является (2r-1, 2)-факторизуемым, хотя сама мат-
рица W не является (2Г-1, 2)-факторизуемой. Обозначим через
aft = (o»0ift, №2г-1,а)г, fe = 0, 1....2r—1,
вектор-столбцы матрицы W и построим два произвольных разбиения
т={Д(, i = 0, 1} и т' = {Д/, / = 0, 1, ..., 2Г-1 — 1} множества
{0, 1, 2Г—1}. По построенным разбиениям определяем подпро-
странства—линейные оболочки £, = £(Д() и £) = L (А/) векторов ка-
нонического базиса и вектор-столбцов матрицы W, номера которых
принадлежат соответственно Д, и Д/. Надо проверить выполнение
условия
dim(£f П£/)= 1, i = 0, 1, / = 0, 1, .... 2'"1— 1. (11.5.14)
Пусть разбиение т сделано следующим образом: Д„ = {0, 1, ...
..., 2Г~1—1}, Д1 = {2Г-1, ..., 2Г—1}. Разбиение т' построим так,
чтобы выполнялись условия (11.5.14). Всякое множество Д) состоит
из двух элементов, обозначим их /(1> и j12*. Тогда при фиксирован-
ном /
£/ = £ (Д/) = =2^ (tty(l), Лу(2))
и, следовательно, всякий вектор х подпространства Lj имеет вид
jc = A.ia/D4-X2a/2), где \—произвольные числа. Если x£Lit то
х = То^о + 7121+ .. +у2'-‘-1в2'-‘_1. Если теперь х^Х/ПХ/, то вы-
полняется векторное равенство
Х1а/1)4-Х2а/(2) = у0е0+... + ?2гч_1в2г-1_1 (11.5.15)
с неравными нулю коэффициентами. Правая часть векторного ра-
венства (11.5.15) имеет вид
Не
<роео + ... + y2r-i_ie2r->_f =
Y2r-i-i
0
0
Таким образом, чтобы удовлетворялось равенство (11.5.15), необхо-
димо и достаточно, чтобы нашлись такие не равные одновременно
0 коэффициенты и Х2, что последние 2Г~1 координат вектора
^«/1» +равны 0. Так как = ......a>2r-i,/D) и
a/2) = (ie>0iy(2), ..., a>2r-i,/<«>). то получаем следующую систему:
A1a»v>/(i) + l/jyv,/(2) = O, v = 2r_1.............................2r~ 1. (11.5.16)
Если v£{2r-1, ..., 2r—1}, то в разложении v = v#-|-2vJ + ...
...+2r-lvr_1 имеем уг_х = 1. Следовательно,
{<“1 ( Г-2 \
ni 2 } = exp<ni 2 +
s=0 J V s=o I
при p = jll>, jt2). Если теперь положить jw = Д1’ + /\2 + ... + jr_x2r~l
и /<а> = Г + /12 + ... + /г-12'’"1, то соотношения (11.5.16) примут
вид
/(1) ( г~ 2 \ у(2) г-2 \
Aj(—1)° ехр га' 2 +М—О ° expUi 2
\ s=o ) V s=o )
r-г \ Г /1) /(2>1
М-1) ° +М-1) ° =0
s= о ) L J
= ехр
при Vj = 0, 1, s = 0, 1, ..., г—2. Так как ft1’ и Д2) не совпадают,
/1) ,(2)
то (—1) ° и (—1)0 противоположны по знаку. Поэтому для выпол-
нения соотношений (11.5.16) достаточно положить 12 = Хх.
Итак, показано, что если взять разбиение т' = {Д), / = 0, 1, ...
..., 2Г-1—1} такое, что Aj={2/, 2/+ 1}, то соотношения (11.5.14)
удовлетворяются при i = 0, т. е.
dim (£0 П £/') = 1-
Аналогично проверяется, что для полученного разбиения %' имеем
также dim(L1nL;-)= 1. В силу 11.5.7 дискретное преобразование
Уолша (2Г-1, 2)-факторизуемо.
Замечая, что построенные подпространства L\ не совпадают с
подпространствами L\ или, что то же самое, разбиение т' не удов-
летворяет условиям утверждения 11.5.7, заключаем, что 11.5.7 не-
применимо к матрице 1Г, т. е. W не является (2Г-1, 2)-фак-
торизуемой.
Г л а в a 12
ДРУГИЕ ПРИМЕНЕНИЯ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ ФУНКЦИЙ
И ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
§ 12.1. Построение цифровых фильтров на основе
мультипликативных преобразований
Одним из основных элементов цифровой обработки сигналов явля-
ется цифровой фильтр. Под цифровым фильтром понимается преоб-
разование одной числовой последовательности {х(п)}, называемой
входной, в другую, {«/(п)|, называемой выходной последовательностью
или откликом фильтра. В общем виде соотношение между входной
последовательностью и откликом фильтра может быть записано в виде
Jf(n) = F({^(v)}v<n_i, {x(v)}v<„).
Быстро развивающиеся^ в последние десятилетия цифровые методы
обработки сигналов явились большим стимулом для развития как
теоретической базы, так и практических навыков в применении
цифровой фильтрации в различных областях. Не останавливаясь
подробно на проводившихся в этом направлении исследованиях,
изложенных как в большом числе журнальных статей, так и в це-
лом ряде монографий, рассмотрим только цифровую фильтрацию,
основанную на спектральном анализе рассматриваемых сигналов.
Значительному распространению такой цифровой фильтрации спо-
собствовали интенсивные разработки, ведущиеся с конца шестидесятых
годов, применения так называемых быстрых алгоритмов для реали-
зации дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Идея такой
фильтрации состоит в том, что с помощью ДПФ определяется спектр
У входного сигнала X, т. е. проводится преобразование Y^3~X.
Затем с помощью диагональной матрицы D над спектром У осуще-
ствляется необходимая фильтрация (сжатие, усиление или ослабле-
ние части спектральных составляющих и др.), после чего находится
отфильтрованный сигнал X = &"~lD$'X.
Мы остановимся на особенностях, связанных со спектральной
фильтрацией при помощи дискретных мультипликативных преобра-
зований (ДМП), причем ограничимся случаем, когда ДМП порож-
дается последовательностью совпадающих чисел pk = p^2 при всех
ft=l, 2, ... Обозначим через IT прямое ДМП массива объемом
р", а через (W)"1—обратное. Тогда общий вид спектральной фильт-
рации с помощью мультипликативных дискретных преобразований
288
запишется в виде
X = (W)-4)WX, (12.1.1)
где преобразования W и (IF)-1 определены соотношениями (11.2.6)
и (11.2.7). Обозначая через W матрицу преобразования (11.2.6),
представим ее в силу 11.2.4 в виде произведения W = СВп, где
элементы 6/>Jk матрицы В определены в (11.2.8), а элементы с(, к
матрицы С—в (11.2.12). Тогда (12.1.1) запишется в виде
X — (CBn)~lDCBnX.
Но (СВа)~1 = (Вп)~1С~1 = (В~1)пС~1 и C-1DC = D*, поэтому
х=(в-1)» с-чх:впх=(в-1)” D*Bnx. (12.1.2)
Покажем, что В-1 = -^-(В)г. Обозначая через ЬЦк элементы матрицы
В и используя равенство (11.2.8), для элементов b"lih матрицы (В)г
получаем представление (при п^2)
2*-v₽v-‘, 2'-v₽v"1
V=3 v=l
rt- 1
= n <l213>
n n
где <? = exp-^., &_vpv-1, / = 52 Z_vpv“*. Пусть c/(k—эле-
P V= 1 V= 1
мент произведения матриц (В)ГВ, т. е.
ci. *— 2 mbm, v
т = о
Используя (12.1.3) и (11.2.8), получаем
«Y.-’sn
m=0V=1 -(V+ip -V Ц=1 -(Ц + 1) —Ц
Так как при переменном индексе суммирования т величины
{ отличны от нуля только при m_(v+D = /-v при всех v= 1,
2, ..., п—1, то
^,* = 2 Пй ,. k =
rn.i=o Ц=1
n-i p-i _
= П б/ к 2 (12.1.4)
Ц=1 “♦* “Ч/П_1 = 0
Учитывая, что
— 2зи —2ju (р— 1) и <
Я = ехР — = ехР----'в Яр »
можем записать
р-i __ р-1
У qk_nm_i —- 2 ^-n+^-D *-л> л»-1 =
т__1=о m_i=o
I р, если &_„ + (/?—1)/_„ as O(modp),
(О, если А_л + (р—l)/_„^0(modp).
Но равенство k_n + (p—l)z_n^0(modp) означает, что k_n—
==0(modp), т. е. k_n = l_n. Таким образом, из (12.1.4) выводим
( р, если k_v = l_v, v=l, 2, ..., и, т. е. если l = k,
ci, к — ( о в остальных случаях,
а это означает, что (В)тВ = рЕ, где Е—единичная матрица. Следо-
вательно, В~1 — ^(В)Т, и алгоритм фильтрации (12.1.2) принимает
вид
Х = -1_((В)Г)Я (12.1.5)
р
Остановимся на особенностях реализации фильтрации (12.1.5).
Как отмечено в пунктах а), б) и в) в § 11.2, особенностями реализа-
ции произведения ВпХ является возможность n-кратного повторения
операции умножения матрицы В на соответствующий вектор-столбец,
возможность проведения вычислений на однотипных процессорах и
возможность проведения вычислений в базисе (1, qt ..., qp~2) с
помощью только операций сложения.
Найдем вид матрицы D* = C“‘1DC. Так как С—симметрическая
ортогональная матрица перестановок, то С"Х = С. Обозначая элементы
матрицы С через cltk, I, й = 0, 1, ..., рп—1, имеем в силу (11.2.12)
п п
с<,»=П 2
i=i i=i
i=i
Элементы d{_ г диагональной фильтрующей матрицы D можно запи-
сать в виде d{' i = 6tt где —диагональные элементы матрицы D.
Поэтому для элементов dh к матрицы ЕС получим выражение
рП-1 рп-1 п
Иц k— 2 df'iCitk= 2 ЛП ®i_v,
/=0 /=о V=1 1
п п
= \П 1 i~vPV~1’
Пусть теперь djj —элементы матрицы D* = CDC. Тогда
рИ-1 рп-1 п п
d‘’ П б/_ц.6_ (,-Ц+ЛП 6fe_V./_
Первое произведение отлично от нуля только при таких [0, рп—1],
для которых k_ (и—ц+1) J_|и» т. е. k_y —• i_ (д—v+d» v— 1,2, ../i.
Следовательно,
п
d** v5i $<- (я-v+D. /- (»-v+i) 34
2 FV4V-1
v“! -U-v+1)
V= 1
Отсюда следует, что d*it, отлично от нуля только при / = /, причем
dl t = где i*= 2 *-vP'1“v .
v= 1
Таким образом, умножая i-й элемент вектор-столбца ВпХ на
d*i, i = i = 0, 1, ...» рп—1, получим произведение D*BnX, при-
чем компоненты этого вектор-столбца записаны в базисе (1, q, ...
.?^-2). Осталось произвести n-кратное умножение матрицы (В)т
на соответствующие вектор-столбцы. Замечая, что каждые р столбцов
матрицы (В)т представляют собой разреженную нулевыми строками
матрицу Bt (см. б) из § 11.2), и учитывая равенства
(q)v = exp (2ш\/р) == exp (—2ш (p—v)/p) = qp~v,
v= 1, 2, ..., и,
заключаем, что вычисление произведения (В)т на вектор-столбцы
также можно проводить в базисе (1, q, ..., qp~2). Это означает,
что при проведении вычислений в цифровом фильтре (12.1.5) опера-
ции умножения используются только для умножения элементов диа-
гональной фильтрующей матрицы D* на элементы вектор-столбца
ВпХ, операции деления—для деления окончательных компонент
на рп, а все остальные вычисления—это операции сложения и вы-
читания.
§ 12.2. Мультипликативные голографические преобразования
для обработки изображений
В настоящее время при решении целого ряда задач хранения,
передачи и воспроизведения информации широко применяется так
называемая цифровая голография (см., например, [29], [30]), т. е.
анализ и синтез волновых полей с помощью цифровых вычислитель-
ных устройств, в основе которой лежит использование дискретного
преобразования Фурье. С ее помощью решаются задачи визуализа-
ции информации, создания оптических устройств обработки сигна-
лов, распознавания образов. Использование цифровых вычислитель-
ных устройств для анализа и синтеза волновых полей является
альтернативой аналоговым методам и в том числе методам физиче-
ской голографии. Оно обещает реализацию целого ряда преимуществ,
присущих цифровой технике обработки сигналов: высокой точности
и абсолютной воспроизводимости обработки, простоты алгоритма
обработки, доступности результатов. Более того, алгоритмическая
гибкость цифровой техники позволяет наряду с преобразованием
Фурье, реализуемым в оптических системах, расширить круг диск-
ретных преобразований, которые могут быть использованы в цифро-
вом голографировании. Другими словами, появляется возможность
построить аналог цифровой голограммы на основе других линейных
преобразований с сохранением всех преимуществ, заложенных в го-
лограммах Фурье.
Весьма интересными с этой точки зрения являются введенные
в § 11.1 дискретные мультипликативные преобразования (11.1.12)
и (11.1.13) и в том числе дискретные преобразования (11.2.6)
и (11.2.7), частным случаем которых (при р = 2) являются преобра-
зования Уолша. Приведем относящиеся к этому кругу вопросов
результаты Лисовца и Поспелова [1], [2].
Так как всякое двумерное дискретное мультипликативное пре-
образование относится к классу пространственно разделимых пре-
образований (см. [22], § 2.2), причем в случае преобразований, по-
рожденных системой {р» = р}Г-1, двумерное мультипликативное пре-
образование сводится к одномерному (см. § 11.4), то построение го-
лограмм на их основе очевидным образом может быть сведено к
одномерному случаю. При этом двумерное обобщение не представ-
ляет дополнительных трудностей.
Пусть pi, р2, ..., ps—последовательность целых чисел, pv^2,
v = 1, 2, ..., s. Обозначим N = ms = pi ... ps и ...
... ps_i, т. e. N = psNa. Всякому вектору X — (xt, xu .... xn-i)t
евклидова вещественного пространства с помощью определенных
в (11.1.12) или в (11.1.13) дискретных преобразований ставим в со-
ответствие вектор У = (у0, Уъ ...» У1у-1)г> компоненты которого
имеют вид
N-
Л = 0, 1.......У-1. (12.2.1)
Обратное преобразование записывается в виде
2V-1
= /=0, 1.........N—1. (12.2.2)
Каждая компонента вектора Y как комплексное число может быть
представлена в виде
«/ft = /Mfeexp{2nt0J, = (12.2.3)
0s’ = ^argi/ft, ^ = 0. 1.....N — 1.
Векторы М = (Л!0, ..., Mv_i)r и 0 = (0n 02, ..., no
аналогии co случаем преобразования Фурье называются спектром
мощности и фазовым спектром.
Хорошо известно, что знание только спектра мощности М недо-
статочно для восстановления исходного вектора X. Тем не менее
существует достаточно широкий класс векторов X, компоненты ко-
торых однозначно восстанавливаются лишь по спектру мощности М.
с помощью обратного мультипликативного преобразования. Для
описания одного из таких классов в пространстве векторов Sn —
= {Х: Х = (х0, хп xjv-i)r} построим линейное многообразие
размерности Na = N/ps следующим образом.
С помощью компонент векторов X^.Sn образуем векторы Xw=
=(х0, Xi, .... хлг0_1( 0, .... 0)г, которые составляют подпростран-
ство размерности в Sn- Рассмотрим вектор Z’0’, компоненты ко-
торого 40> определены соотношениями
( xv, если k = vpst v = 0, 1, .... N.—1,
если fe = vp,4-n, 1, (12.2.4)
и вектор E = (Q, VN, Q, ..., 0)г, имеющий только одну отличную
от нуля компоненту—вторую. Тогда множество векторов Z = ZW 4-
+ Е является линейным многообразием в Sn- Его размерность так-
же равна Na. Докажем следующее утверждение:
12.2.1. Пусть X(Z) = (x0, xlt ..., xn-i)t—вектор из Sn, полу-
ченный из вектора Z = Z(o) + £ с помощью соотношений
N—1
= п = о, 1, .... N—1, (12.2.5)
г п k=o 4 '
где Mk(Z)—спектр мощности вектора Z, полученный из соотноше-
ний (12.2.2) и (12.2.3). Тогда для любого Z = О, 1, ..., Ув—1 коор-
дината х{ вектора Х<0) выражается через координаты х„ следующим
образом:
•Либо хп Хпр^+ j, п 0,1,..., JVq 1, (12 2 6)
либо x^ = xn-i, xn+1 = ~X(n+i)Ps-i, n^Q, 1, ..., N0—2.
◄ Применим дискретное преобразование (12.2.2) к вектору Z =»
=ZW + E. Используя (12.2.4) и вид вектора Е, имеем
N-l N„-l (V+Dpj-l
f/* (^) = i/* = f‘Г’') = 77=' xL /L Znk
V 2V n=o V* / r v=o n=vpf V* /
1 _ ___ A
(12'2'7)
Отсюда для спектра мощности вектора Z получим
Mfc(Z)=^=|yft(Z)|2=^ s
2
__ J_
__ 1
— N
JVO-1
xv%k (*
v=0 v
Wo-1
S XV%k
v=0
Wo-1
2
2
v=0
v=0
Л/о
~n
-^Re
Vn
= МУ>Ч-1Ч-М^. (12.2.8)
Вычислим теперь компоненты вектора X(Z) по формулам (12 2 5):
*1
Kat k=0
1 = 0, 1, .... N — 1,
r(3)
где
(12.2.9)
Л/-1
’"' = 7T °'”=W1?lb
Л/-1
Очевидно, что
N-l
1 К N
л=о
Далее, при —1 имеем
KW Dn\n)~
1 = 0,
0, 1=1, 2, ..., N—l.
(12.2.10)
Л/-1
12
а)п =
л=о
' '* v=0
pj-1 (fc-s+BA/o
У /V k_s=Q k = kr-5
Л/о-1
^Tj- S ХЛк
Л v=0
2
Pi-1
1 V
л/<
ц = 0
1
Ps- 1
JVo-I
Si 4»
v= 0
Л/о-1
Ло + М
JVo-1
ц=0
X^k_sN.
2
^-s
X
2
Так как %к_ N,
\к* = 1 (в силу
определения и свойств функции xm(x) и равенства
(Й, —(mod ps) = [vps] (mod ps) = 0),
то
о'1»
n9-\
-U У
Vn £o
N„-l
=¥ Xvb
2
= 0
Учитывая, что
Ps - 1
^-^=0 V
P-J-1
л -s
pf-1
v ( 2iti(l\\b-s
,4(exp77^)*)
Р,
0
при (l/N)sszO (mod ps),
при (Z/ZV)f^O(modpJ,
получим
oj« =
Ps
H=0
0,
N9-l
2
v=0
если Z = 0(modpJ), т.e. при (12.2.11)
l = mps, m = 0, 1, .... Ng—1,
если /^0 (modpf).
Перейдем теперь к преобразованию выражения о|3), которое за-
пишем в виде
k = 0
n=0
Ps*-l (£_$+1) Afe-1
=- У ~
k—s =0
k=k~sN{
й_5=о k=k-tN,
JV*-1
n = 0
n9-i
n=0
ps-1 (fe_j+ 1)ЛГ0-1
Учитывая, что Xfe_sn„(n/Ng) = 1 при n = 0, ..., Na — 1, имеем
pf-l JV.-l A/,-1
2- 2- 2- xn
fe-.j=0 k'~0 n = 0
2Vo-l Wo-1
^k_sN,+k‘
“ДГ Xl Xn X* Х&'(yy @ дг ) XI X&-
/1 = 0 &' = 0 \ / \ / fe_^ = o
Так как при 0 и < 1
ХЛ> (") = exp us, ut =5 [«У] (mod pt)
(у ® 4? )ss [ (у в у) N ] <mod e1 (mod ©1 -
( pt—1 при C.s = 0,
~ ( Г-s — 1 при — 1,
где l-s I (mod pt), О^Г. ^ps—l, to
PS" 1
v ( 2ju f I \ \k-s
w -
( ps, если Г_< = 1, т. e. при l — yps +1, у = 0, 1, ..., No— 1,
( 0 при остальных I.
Следовательно,
т<” =
N,-l N,-l
W L X«L хД^®22^) ПРИ *“?/>,+ !.
n = 0 A?*=0 x ® '
О при остальных I.
Далее, в силу свойств ядра Дирихле
Nt, если ( уо при п = ?(
О, если 7^®+ (0 при остальных п.
Подставив это выражение в (12.2.12), получаем
( Х-, при / = ур4+1, у = 0, 1,
( 0 при остальных I.
N9— 1,
(12.2.14)
Аналогично получаем
Ps—1 (fe—s+OA'o—
tek-sNo
Но
Рг-i
*_*=0 ' ' ''
(р,, если /is+ 1 =0(modps), т. e. при /ls = p,— 1 и
l^yps+p,— 1. 7 = 0. 1, ... Wo—1,
О при остальных I
и
N.-l
^0 Kb ( ©70^) = ^.^ ~n® лГ“л^) =
( N9 при n = y+1,
~ V 0 при остальных n,
а потому
T(2)___
TZ —
•^v+l
x0
0
при / = (y+l)ps— 1, y = 0, 1,
при l = N9— 1,
при остальных I.
Wo—2,
(12.2.15)
Подставив в (12.2.9) выражения для о]1’ из (12.2.11), of0 из (12.2.12),
(12.2.14) и (12.2.15) и <т)2) из (12.2.10), получаем
при / = 0,
Ps_
V N
если l = mps, m=l, 2, ..., N„— 1,
1 = УР*+1> 7 = 0, 1» •••» Wo— 1,
(12.2.16)
ху, если
Ху+1, если
х„ при
Y = 0, 1, .... W.-2,
l = N— 1.
Таким образом, либо при n = 0, 1, ..., Wo—1
— %прз+ 1»
либо
р$—i» п — 0, 1, ..., We—2. ►
Полученный в 12.2.1 результат позволяет дать определение
дискретного мультипликативного голографического преобразования
по аналогии с голографическим преобразованием Фурье (см. [29],
§ 1.4). Пусть Л«(а0, аи .... а^_1)г—информационный вектор,
т. е. вектор, компоненты которого кодируют информацию, подлежа-
щую сжатию. Поставим ему в соответствие вектор (Л) € ^лг
следующим образом:
2<о>_(а'” если k = nPt' л = °» !»• • •» No~
к ~ 1 0 для остальных k£ [1, N — 1].
Это отображение осуществляет однозначное вложение всякого ин-
формационного вектора А в евклидово пространство $N. Находим
спектр мощности М суммы векторов Z(o) и Е. Вектор М будем на-
зывать голограммой А, а нелинейное преобразование А —+ М—муль-
типликативным голографическим преобразованием.
Установим связь мультипликативного голографического преобра-
зования с дискретным мультипликативным преобразованием инфор-
мационного вектора А. Замечая, что стоящая в (12.2.7) сумма
л/о-1 _
2 avXft(v/^o), 6 = 0, 1, .... ЛГ-1
v=0
(записанная для вектора Л), имеет по k период т. е. для любого
1, 2, ps—1 и любого А = 0, 1, NQ—1
tfe-l ЛГ0-1
“ ( v \ ~ ( v \
I м ) дг)
v=o 4 0/ v=o 4 0/
(см. преобразования для of* после соотношения (12.2.10)), положим
JV.-1
Ь*-fc = 0, 1................................ЛГ.-1. (12.2.17)
v=Q \
Используя (12.2.8) и (12.2.17), можем записать, что при & — 0,
1, .... 1 и 1
=,дГ I I8 + y~N ( w) ) 4" 1 “
-=v I bn I* Re<| I bk I exP (z arSb*) exP (—+ 1 =
= ± I bk p4--^=.IMcos (argbk+1 =
-(-^¥|^| + cos(arg^-^))’ + sin*(arg6(k—(12.2.18)
Формулы (12.2.18) и (12.2.17) дают основу для создания алго-
ритма получения цифровой голограммы. Однако эти алгоритмы зна-
чительно упрощаются в случае, когда р„ — р при v=.l, 2, ..., s.
Как следует из 11.2.4, вычисление величин Ьк по формулам (12.2.16),
т. е. умножение матрицы W = (у’)) > v = 0. h •••» —1»
на вектор-столбец А, осуществляется с помощью (s—1)-кратного
(Af0 = pi-1) умножения слабо заполненной матрицы В на А и после-
дующей р-ичной перестановки с помощью матрицы С. При этом,
если вычисления проводятся в базисе (1, q, ..., qp~*), q**
298
= ехр(—2ш’/р), то исключаются операции умножения чисел и окон-
чательный результирующий вектор будет записан в том же базисе.
Например, при р = 3 будем иметь
b^a^-i+^q, й = 0, 1, ..., 2V0—1.
а потому, учитывая соотношения
I ь*Iе == [«Г + а* ’ (cos -у—i sin у-) |* =
= (аГ)2 + = (а£»-сф>Г + а№1>
и в силу равенства = 1, 2)
Xfe+Л- $л/0 j = д^" j = ехр з j, k Nq 1,
имеем
Re(bftx*+*_^.(l/#)) =
= Re j(cos 2^~*—t sin ^y~?) (<4” 4-aV’cos-y— zaV’sin-y^ =
= cos 2-*-~- -f- a^’cos cos —a#'sin 2^~s- sin =
О Ou и и
= <’ COS ^y^ + «£’ COS -у (1 + s) =
<4e’~y<4w при &_s = 0,
= —у—y4D При Ls=l,
—у40’4-а“' при ^_s = 2.
Вместо формул (12.2.17) получаем отсюда
№ +ft_ = 4 «а*’ ~а*’Г + ^°^П) +
h -j^=- (аГ cos + о#> cos (1 +*.,)) 4-1 =
-= 1 + 4" (W -аН2 + a^’aV’) +
2
К }
а10>-уа?>
—уал’ — уа(/
—Ь<40, + <
при
при
при
*_s = 0,
fe-f= 1,
6_, = 2,
Л = 0, 1.........Мо — 1.
Подставив найденные Mv, v = 0, 1, ..., N—1, в (12.2.5), найдем
значения хп, причем вычисления снова проводятся по той же схеме
в базисе (1, q), только с матрицей (х» («/#)) размерности #х#.
§ 12.3. Решение некоторых задач оптимизации
В предыдущих параграфах рассматривались вопросы применения
мультипликативных функций в цифровой обработке, т. е. в задачах,
носящих по существу дискретный характер. Остановимся теперь на
применении мультипликативных функций в задачах, решением кото-
рых являются непрерывные процессы, а исходные данные задаются
дискретно. Такие задачи имеют реальный физический смысл. Напри-
мер, пусть линейный излучатель электромагнитных волн состоит
из N элементарных дипольных излучателей, расположенных вдоль
некоторого отрезка прямой. Требуется среди всех практически
осуществимых (т. е. дискретно подводимых) распределений токов
в таком излучателе выбрать то, при котором получающаяся диаграмма
направленности близка в каком-то смысле к заданной диаграмме
направленности.
Другим примером такой физической задачи является задача
о диффузии вещества. Пусть в силу каких-либо причин (возникающих
обычно в производстве некоторых электронных приборов) распреде-
ление концентраций вещества перед проведением процесса диффузии
можно 'задавать только дискретно. Задача состоит в отыскании
наиболее близкого среди всех реализуемых (т. е. дискретных) на-
чальных распределений к тому, которое в конце процесса диффузии,
т. е. через время Т, обеспечивает необходимое распределение кон-
центраций вещества в образце.
Для точной математической постановки сформулированных физи-
ческих задач и для их решения потребуются некоторые новые
понятия.
С помощью определенной в (1.5.10) для целого системы
функций Крестенсона—Леви %п(х) образуем систему функций
n = 0, 1, 2.........
которая, как и система Крестенсона—Леви на отрезке [0, 1],
является ортонормированной на [—1/2, 1/2] и замкнутой в прост-
ранстве L2(—1/2, 1/2). Образуем систему обратных преобразований
Фурье функций системы (12.3.1), т. е. систему
® 1/2
/?„(<o) = 7U j f„(U)^“d« = ^L=. j fn(u)e^du, (12.3.2)
-® —1/2
и установим ряд ее свойств.
12.3.1. Образованная с помощью системы (12.3.1) по формулам
(12.3.2) система функций Rn(<a), п = 0, 1,..., ортонормирована
в L*(R) и замкнута в смысле метрики этого пространства в классе
целых функций экспоненциального типа степени 1/2, интег-
рируемых с квадратом на действительной оси.
◄ Воспользуемся следующим следствием из теоремы Планшереля
(см., например, [13], с. 442): если q>lt <p1€L2(R), a и Ф2—их
преобразования Фурье, то
00 00
$ фх (»)Ф1(»)Л>= $ Ф1 (и) Фа (u) du. (12.3.3)
— 00 — 00
Применяя (12.3.3) к ортонормированным на [—1/2, 1/2] функциям
fn(u) и fm(u) и их преобразованиям Фурье Rn(o>) и Яж(<в), получим
оо во 1/2
$ #»(<”) Я. (®)d® = $ f„ (u)fm(u)du= j fn(u)fm(u)du =
— оо -00 -1/2
f 1 при m — n,
~ I 0 при. m^n,
т. e. система {/?„ (©)}“_« ортонормирована в L2 (R).
Пусть теперь функция ^(co)€^i/s- В силу теоремы Винера —
Пэли (см. [3], с. 26) для выбранной функции /?(©) существует
функция f(j/)€L2(—1/2, 1/2) такая, что
1/а
/?(w) = y=- J f(y)c*dy. (12.3.4)
-1/»
Далее, в силу замкнутости системы {f„ (у)] в пространстве
1?(—1/2, 1/2), ряд Фурье функции f(y) по этой системе сходится
к ней в L2(—1/2, 1/2), т. е.
N-1
Ну)- 2 спш
п=0
где
1/2
сп = $ f(y)fH3)dy, n = 0, 1, ... (12.3.5)
- 1/2
lim
N-*»
= о,
L* (-!/», 1/а»
Кроме того, по теореме Планшереля-
N-\
₽(©)— 2 с„₽„(®)
п= О
L«(R)
I N~X I
= f(y)— 2 cj»(!/)
I n = o II» (-i/a, i/»)
(12.3.6)
В силу произвольности функции /? (и) € из соотношений
(12.3.5) и (12.3.6) вытекает замкнутость системы {₽„(©)). ►
Заметим, что в силу (12.3.3)
С»- $ f (у) 1Лу) dy—^R (<о) R„ (и) <й», п = 0, 1....... (12.3.7)
-1/2 R
т. е. коэффициенты разложения Фурье произвольной функции
₽ (®) € l^i/a по системе (R„ (со)} совпадают с коэффициентами разло-
жения по системе {/„(//)} функции f (//)£ L2(—-1/2, 1/2), связанной
с 7? (со) соотношением (12.3.4). Следовательно, эту систему можно
использовать в качестве аппарата приближения в различных зада-
чах, связанных с множеством функций, интегрируемых с квадратом
на всей оси и имеющих финитное преобразование Фурье.
12.3.2. Для любой функции /?(со)С ITf/2 ее разложение по системе
{7?я (со)} равномерно сходится к ней на всей вещественной оси, причем
для всех со С R
W-1
Я((0)—Ц c„Rn(a)
п — О
Л/ — 1 II
₽ (©)— £ cnRn (ш)
n=o ||l2(R)
◄ Действительно, используя (12.3.2), (12.3.7) и (12.3.4), можем
записать
Л/-1
2 c„Rn(o>) =
n=0
1/2 АГ—1 1/2
= f f^eiaydy— У f
-1/2 rl=0 Я —1/2
1/2
1
ЛГ-1
=y= f Ml/)—e‘^dy.
Г2я-М n = o J
Применяя неравенство Коши — Буняковского, получаем
Ж<о)
1/2
N-1 2 '/2
f {у)— S Cnfniy) dy [ =
П V —
n=0
L*(R)
-1/2
1 я *-*
II м= О
L’(R)
Найден явный вид функций
Л
12.3.3. Пусть п = 2 «-vPv~1> k=^k(n), Тогда для Rn(&)
справедливо представление
2 1. co JL
---SID——IT
(О
Sln 2^1
◄ В самом деле, функция
, / (0 , л
"W+p
тип _v
р
k
z . 2л1 V*
Х»(У) = ехр — 2- П-чУч
Vsl
постоянна на интервалах 6z(£) = (//p*, (/+ 1)/р*), / = 0, 1, .
Поэтому
1/2
IХл (у+4)е“°Му
— 1/2
е - JCO/2 Р£“ 1 р
«,1Й
, , 1
e-fto/2 р
~/~2л К" <“^““^и==
О
Ts Е «.(МВД-------------------г~
1=0
2 рЙ-1
Г& Е z-<6‘W)exp Г
. /, . 1 1г
<®р+у—$Р*
р*
10)
2/
2 sin—=г нЛ-1
= Т=^Е Z.(S,(«))exp“£^-
2 1 (д q / ч
= - ?—---Sin--- Dr(0)),
/ 2л <о 2р* *V 7
где
s* И = £1 Хп (6/ (k)) expiM-^+-l-pfe).
l=o 2pk
Для подсчета Sj (со) рассмотрим суммы вида
pft-V+l_j
<Уп. V (®) = Xn. V (6< Ck)) exp —v+1)t
t=o 2pk
где .
Xn.v({/)= II(Xp“-‘(«/))',-'b. v=l, 2......k.
m=v
Ясно, что
on.i(tt>) = Sj (co).
Докажем рекуррентное соотношение
v“^ о n (2г
<Jn. V (<0) = a„, V+1 (©) X (Xpv-! (6r^_v)) -VexP -
v=l, 2, .... k— 1.
® 5
IP*
(12.3.8)
(12.3.9)
(12.3.10)
(12.3.11)
(12.3.12)
(12.3.13)
Производя в (12.3.10) замену
/ = //>*-*+/', r = 0, 1, .... р— 1, Z' = 0, 1...p*~v— 1,
получаем
, , * v»1 v /Л - \j»Yn“°(2^ + 1+2rP*-V—p*~v+1)
an.v(®)- L 2- Xn,v(%+rP*-v)exp——•..........T-~; г-------' =
r=0 «0
“ S exp“o(2/+I~/------------Lx«.v(6 -_v)exp^. (12.3.14)
/sO fseO * p P
Из определения (12.3.11) следует, что
х"'v (6/+,p*-v) “ (V"1 ^i+rPk-v))n~v tn. v+i (6/+rp?-v).
Поэтому
p-1
p-1
-S(M- <6,.„r-v))’-’X»-v (12.3.15)
Функцию Xn.v+i(l/) запишем в виде
~k . *
xn,v+i(y)= II (x₽“-‘ (y))n-m= exp S
m=v+l r msv+1
Так как
с / т । I т . Z-f-1 \
r_v = ( —4—x, ——=-),
. Z+ГР* \pv pk pv pk )
то ря-тг + —У-, 0<0< 1, и для m^v + 1 имеем
P pk
Ут “ [ур"] (mod (“V+Цг) pM] <mod ~ <mod p)'
L\p p* / J L рл J
а это означает, что при m^v + 1 координата ут числа У^1+г
совпадает с координатой х„ числа х € в/. Следовательно, при I =
= 0, 1, .... pf-v—1
Хл, v+i (®/+rj>jf_v) = Xn, V+1 (6{). (12.3.16)
Далее, так как при z/€6/+rpf_v и Z = 0, 1, ..., p*-v — 1
Уч = [ypv] (mod р) = [pv] (mod р) =
= r + [4rl(modp) = r’
L pK~v J
ТО
V- («„„>-.) -«Р^-V- 42-3.17)
Подставляя (12.3.16) и (12.3.17) в (12.3.15), имеем
£х"-v (6<+ гД-v) ехР "7 = £ (XPv-1 (6rp?-v))n-v х». v+1 (6? exp
Из последнего равенства и (12.3.14) получаем
p*~v-l , , ,
„ . . v «о (2/4-1 — p*-v+1)
<T/i, v («) = X, exp-----——=-£----x
Z=o 2pk
p-1
xS (Xpv-i (6 f_v))"-vXp.v+i(6/)exp
r=0 p P
P-1
p*-v-l
x £ b„-.(<,)exp _
l=o 2p*
P-1
-£(v-.(^.v))’->«p(^+^)x
r=0 p X P *P /
pk-V-1
X S z-».0,)exp
2p*
r=0 M
t. e. соотношение (12.3.13).
Записав (12.3.13) в виде
On,v(со) = оп,v+i(<o)yv, v=l, 2, 1,
и учитывая (12.3.12), находим
k-2 k-t
Sfe(®) = an. 1 (®) = °n. г (co) Y1 = ... = СТ (co) П Vv = O„. J (co) II
v=l v=l
Подставив значение опд(со) из (12.3.10) и значения yv, получаем
Sk (®).=X Хп,7 (бс) ехР —(-/+1~р) х
/= о 2ps
rr V / /X Пп V й»(2г+1—р)
х П 2- (Xpv-I (6roF-v)) vexp-----—ч-------
vssl re о
Принимая во внимание равенство (12.3.17) и соотношение
. ( iG>
23iin vr\_________ехр \pv~
-|-2mn-v J
2шп_у \
Р )
ГСО
еХр2^Т
<о
Sln
/ гео , шп_у
ехЧ2^+—
имеем
k р~}
о . . nV ко гео (1 — р) 2nin_vr
s~h (®) = 11 2- ехр — ехр '/'ехр ——
у=1 г=0 р ЛР р
А- ГСО (1 — р) f ГСО гео \
= 11 еХР ~V^eXP ехр
— JWI-V
СО
sin
' °
, 2pv
k
= П exp
, <»
sin -х V
— лги-у 2pv~1
Р . / СО . ЛИ-у\*
Заменяя в (12.3.8) 5^ (со) полученным выражением, имеем
Г'тг 1 k • sinn“T—;
n / \ 1/ 2 I . со тт —лгп-у 2pv~l
₽ (®) = 1/------Sin----- II ехр ----------------------г . ►
Г ” Ю 2? v/1 Р э1п/ ® I лп-у\
р )
Если в равенстве из 12.3.3 для 7?„(®) положить р = 2, то, учи-
тывая равенство
SIH —в Sinl-^-H- Л/1_у1 —
л тг/» • f ® । «ГСП—у\ f СО > «ГСП—у \ л «
= 2^"^ sin ^-^-4-— Jcos^-^q-j-H- — V n_v = 0 или 1,
получим выражение для функций Rn(o>), соответствующих системе
Уолша:
пГ+1 ]
R„ (со)= г__ — sin
" ’ К2л ®
<о
2^+1
/ <0
II* 2 COS(^T
ЛИ—у
“Т“
р
1 —
р
В качестве примера приведем выражения для первых семи функ-
ций /?„(<о) при р = 2:
п ? \ 2 1 . со
К 2л ® 4
г> / X 8г 1 . 9 со со
^((d)=7^iysinTcosT’
₽s(“)==F^^sin2Tsinf>
n / ч 16i 1 . , © co co
K4((0) = -r=—SIH2 77 COS-q COS-r,
]^2л V 16 8 4
n , v —16 1 . o CO co . co
(to) = — Sin2 Г7 COS Sin -Tl
К 2л to 16 8 4
n z v —16 1 . 9 co . co co
₽e(O) = F^®Sin 16S,n8 C0S4-
Приведем постановку задачи об оптимизации дискретного излу-
чателя электромагнитных волн, т. е. линейного излучателя, являюще-
гося совокупностью элементарных дипольных излучателей, распо-
ложенных вдоль отрезка прямой—//2^х^//2. Предположим, что
к элементарному излучателю длины Дх, находящемуся в окрестно-
сти точки х£[—1/2, 1/2], подводится ток, изменяющийся во вре-
мени /по синусоидальному закону
/ (х) Дх, со = const,
где f(x)—комплекснозначная функция, причем | f (х)| интерпрети-
руется как амплитуда, a Arg/(x)—как фаза тока, подводимого
к точке х. В этом случае зависимость от угла ф амплитуды излу-
чаемого под углом ф в плоскости, проходящей через ось х электро-
магнитного поля, однозначно связанная с диаграммой направ-
ленности излучателя, представляется в виде (см. [9], с. 13)
1/2 . <о
£)('Ф) = -я- У fWе ~х^ dx. (12.3.18)
-Z/2
Здесь ф—угол между перпендикуляром к оси х и произвольным
направлением (—л/2^ф^л/2), с = const, А—нормирующий мно-
житель, который для удобства возьмем в виде А = 2/Кл/2.
Если в (12.3.18) ввести обозначение и = у-sin фи произвести за-
мену переменной у = х/1, то получим
D (Ф) = D (arcsin = R(u) =
1/2 1/2
= 4- f f{ly)iu«dy = -^=r С f*(y)e^dy. (12.3.19)
— 1/2 ' 2Л — 1/2
Функция R(u) задана при и£ [—al/c, al/с]. Функция f*(у) = f (ly)
кусочно постоянна при г/С [—1/2, 1/2], так как рассматривается
дискретный излучатель. Кроме того, /*(//)£!?(—1/2, 1/2), поэтому
определяемая интегралом (12.3.19) функция 7? (и) может быть ана-
литически продолжена на всю комплексную плоскость С. Из теоремы
Винера—Пэли следует, что решение f*(y) уравнения (12.3.19), рав-
ное нулю вне промежутка [—1/2, 1/2], существует тогда и только
тогда, когда функция R (и) принадлежит классу 1Г,/2. Поэтому рас-
смотрим отдельно случаи, когда заданная диаграмма направленно-
сти R (и) С Wи когда R (и) € L2 (R).
12.3.4. Пусть R(u)£W*lt. Существуют кусочно постоянные ре-
шения Sn(y) уравнения (12.3.19), сходящиеся при п—+<х> в метрике
1?(—1/2, 1/2) к решению f*(y).
◄ Для приближенного решения уравнения (12.3.19) применим
метод парциальных диаграмм (см. [9], с. 28), состоящий в том, что
левая часть уравнения (12.3.19), т. е. функция R(u), разлагается
в ряд по системе {/?„(«)}:
R (и) ~ 2 cnRn («), са = $ R (х) ОО dx. (12.3.20)
л=0 R
Из равенств (12.3.7) следует, что ряд из функций (у)\ с теми же
коэффициентами сп является разложением функции f* (у) по системе.
Таким образом, искомая функция представляется в виде ряда
СО л
cn=\R(x)R^)dx, (12.3.21)
n=0 R
сходящегося к ней в метрике пространства L2(—1/2, 1/2) в силу
полноты системы {f„ (z/)} = -{х» (^+4)}- ►
Удобство в рассматриваемых вопросах определяемой в (12.3.2)
системы (/?„(©)} объясняется тем, что функции f„ (ы) = хв (и + 4)
являются кусочно постоянными и, следовательно, приближенное
N-1
решение SN(y)= %cnfn(y) уравнения (12.3.19), найденное в виде
п= 0
линейной комбинации этих функций, также кусочно постоянно.
Таким образом, приближенное решение задачи о распределении токов
в излучателе, найденное с помощью системы (# + 4)}’ может
быть воспроизведено на практике, т. е. решение уравнения (12.3.19)
методом парциальных диаграмм с помощью системы функций (<о)|
учитывает дискретную структуру излучателя.
Отметим также, что если решение уравнения (12.3.19) представ-
лено в виде частной суммы ряда по функциям + с осно-
ванием р, состоящей из W членов, где < р*, то для точного
воспроизведения этого распределения токов излучатель должен со-
стоять из р* элементарных излучателей одинаковой длины, ибо
упомянутая частная сумма имеет столько же интервалов постоянства.
Пусть теперь заданная диаграмма направленности R* (и) С L2(R),
т. е. она не обязательно из множества F?/2. Обозначим через
множество кусочно постоянных функций, равных нулю вне сегмента
308
[—1/2, 1/2] и имеющих на нем т одинаковых интервалов постоян-
г / 1 । k~~~ 1 1 . k \ 1 1П
ства + —, -у+тг)’ Л=1’ 2’ ••••'«•
12.3.5. Пусть линейный излучатель электромагнитных волн со-
стоит из р* элементарных излучателей одинаковой длины. Среди
всех практически осуществимых, т. е. принадлежащих Spk, распре-
делений токов f(y) в таком излучателе существует распределение
J(y), при котором получающаяся диаграмма направленности
1/2
J fWdy
-1/2
в среднеквадратическом смысле наиболее близка к заданной диаграмме
направленности
₽‘(<о)=-^- J f*(y)elav dy.
-1/2
При этом распределение f(y) определяется по формуле
р*-1
+ (12.3.22)
п=0 ' '
где
ca^\R*(u)Rju)du, h = 0, 1, .... р*—1, (12.3.23)
R
a Rn(u) определено в 12.3.3.
◄I Требуется найти функцию f(y)£Spii такую, чтобы
|Я*(со)—^(co)||M(R)= inf ||Я‘(<о)—/?(<b)|l»(r),
1/2
где R (ю) = -Д=- С f (у) е1в>у dy.
г J
-1/2
Таким образом, это задача о наилучшем приближении (в смысле
L’(R)) к требуемой диаграмме направленности с помощью системы
р* элементарных излучателей.
Пусть f*(y)—обратное преобразование Фурье заданной функции
/?•(©). Так как любую функцию из множества можно точно
представить в виде линейной комбинации первых р* функций Кре-
стенсона—Леви + n = 0, 1, ..., рк—1, то, используя
экстремальное свойство частных сумм ряда Фурье имеем
|p*-i о
S са^„(у + у) = inf (у)—/(//)II*(R)>
«=о 4 /|м<ю f«S®*
1/2 _
с„= { Г(у)ъ(у+ -?}<%
-1/2
^напомним, что функции + продолжены нулем на
всю ось^ .
Так как преобразование Фурье в L2(R) не изменяет нормы функ-
ций, из этого равенства следует, что
Z с„Х„(!/ + у)
и = О
= inf ||
feSpk
M(R)
pk-i и
/?*(«)— £ cnRn(u)J =
n = 0 ||L»(R)
(^)||m(R)= inf R‘(«)-#(m)||m(R).
t. e.
i
hy>= X cnx«(i/+4)’
n = 0
где в соответствии с теоремой Планшереля коэффициенты с„ пред-
ставляются через известные функции следующим образом:
сп=^ R*(u)Rn(u)du, п = 0, 1, рк—1.
R
Итак, для определения наилучшего в указанном смысле распре-
деления токов f(y) в излучателе необходимо найти рк коэффициентов
Фурье (12.3.23) и составить сумму (12.3.22). ►
Рассмотрим теперь задачу об оптимизации начального условия
диффузионного процесса. Предварительно введем ряд обозначений.
С помощью заданной в (12.3.1) системы {[„ («)} определим функции
Фя.»(«) = /»(“+^). k = 0, ±1, ±2.........п = 0, 1, ...,(12.3.24)
которые на промежутках « £ = |" —§• + &, у + j совпадают с функ-
циями Хп(м + 4”''^)’ а вне этих промежутков равны нулю.
Образуем также систему преобразований Фурье функций
т. е.
Т+* Т+*
= J f„(u+k)e{e>ttdu.
"F+* ~+k
(12.3.25)
Отсюда после замены «4-й = и получаем
1/2
Rn'k^=V^ J х»(^+т)е
-1/2
и, в силу (12.3.2),
яи. k (<*>)=*" ““*/?»(<»).
(12.3.26)
12.3.6. Система {/?„, (<о)} является ортонормированной и замк-
нутой в пространстве L2(R).
◄ Ортонормированность системы k (л>)} следует из соотноше-
ния (12.3.3) и ортонормированности функций Ф„, k(y) в L2(R).
Докажем замкнутость системы {₽n,fe(o))}. Возьмем произвольную
функцию R (со) € L2 (R) и произвольное число е > 0. Покажем, что
существует конечная линейная комбинация функций системы
{/?„, *(<»)}, отличающаяся от 7? (со) в метрике L2(R) не больше чем
на е:
М Nk II
ж®)— 2 2 <8.
k=-Mn=0 l|L*(R)
(12.3.27)
Пусть f(y)—обратное преобразование Фурье выбранной функции
/?(©)£ L2(R). По теореме Планшереля f(y)£ L2(R), т. е. интеграл
от квадрата модуля этой функции сходится. Поэтому существует
целое число М такое, что для выбранного числа в > 0
‘-Т . \
J + J \\f(y)^dy^^. (12.3.28)
М+Т/
Представим функцию f(y) в следующем виде:
= где
Очевидно, при всех k f (#)*€ L*(Jft), поэтому в силу замкнутости
системы функций {Фя, k (у)} в пространстве L2 (Jk) можно выбрать
коэффициенты сп< к так, что
Nk II ______
<e//4M + 2. (12.3.29)
n = 0 l|L»(J*)
Вне сегмента Jk считаем функции k(y) равными нулю. Следова-
тельно,
М Nk 112
2 2<иф.,»(у) =
М II Nn l|2
= 2 —2 сп, k (уц +
fe=-M|| n=o ||l« (jfe)
P(^) \*dy.
Отсюда и из неравенств (12.3.28) и (12.3.29) получаем
IM Nk
fw- L L
— M w«0
Cni ft®n> k (У)
|L«(R)
82
4M + 2
8?.
<(2M+1)
8?
T
Преобразование Фурье в L’(R) сохраняет норму функций, поэтому
IM Nk II
Ну)— 2 2 сп, кФ„, ft(y) =
fe=-Af„ = O ||L«(R)
IM W* й
л=-мп=о ||l« (R)
IM Nk g
₽(«>)— 2 2<?„,
k=-Mn=o ||l*.(R>
где через обозначен оператор обратного преобразования Фурье.
Таким образом, неравенство (12.3.27) установлено, что и доказывает
замкнутость в L2(R) системы функций {₽„, *(«>)}• ►
Через Н-, обозначим множество функций <p(x)£L2(R), преобра-
зования Фурье ф(и) которых представимы в виде
ф (и) = f (и) е~ где f(«)£L2(R), (12.3.30)
через Sm—множество кусочно постоянных функций из L2(R), име-
ющих т одинаковых интервалов постоянства на каждом из сегмен-
тов Jk, k = Q, ±1, .... а через SJ,—подмножество функций из5„,
равных нулю вне Jk.
Решение упомянутой задачи об оптимизации начального условия
диффузионного процесса дается следующей теоремой:
12.3.7. В множестве Spm существует функция <pj (х), являющаяся
наилучшим в метрике L2(R) приближением на Spm к такому началь-
ному условию
и(х, 0) = фо (х) £ L2 (R), (12.3.31)
что решение и (х, t) уравнения диффузии
дй (х, /)____д2и (х, /)
di а дх2
(12.3.32)
удовлетворяющее начальному условию (12.3.31), в момент времени
t — T совпадает с заданной функцией фг(х)£На»Т, т. е. и(х, 0) =
— Фо(х), а й(х, Т)==фг(х).
При этом функция Фо (х) представляется в виде
рт-\
фо’(х)= 2 с„,кФ„,к(х), x$Jk, k = Q, ±1, ....
n= 0
еде сп>к=^ R„t к(со)F [ФГ] (со)еа’®*г da, Фп< к(х) и Rn, к(о) определены
R
соответственно соотношениями (12.3.24) и (12.3.25),
F [Фг] (®) = J фг (и) е_‘®“ du
R
— преобразование Фурье функции Фг(х).
Решение 12.3.7 понимается в обобщенном смысле, когда на функ-
цию ф0(х) не налагается никаких условий, кроме ф,(х) € L2(R) ([15],
с. 202).
Г Ф0(х) при Хб 4,
( 0 при х £ Jk,
( Фо (х) при ,х с Jki
| 0 при хб Jk.
◄ Покажем, что начальное условие <р0(х)£ L2(R), для которого
u (х, Т) = <рг (х) € Нагт, существует и единственно. Для этого решение
и(х, Т) уравнения (2.3.32) выразим через начальное условие ф0(х)
с помощью преобразования Фурье ([13], с. 408):
F [U (X, Т)] (<0) = tF [фг] (ш) = [ф0] (©).
Отсюда и из того, что фг (х) £ следует, что
Г[фо]((о)==^ [фг] (oj)“ir'“4Ls(R), (12.3.33)
т. е. функция ф0(х) как элемент L2(R) может быть единственным
образом найдена с помощью обратного преобразования Фурье.
Представим функции ф0 (х) и ф0* (х) в виде
<PoW= 2 Фо (•*)*, где Фо(х)* =
k— — 00
Фо‘ (х) = 2 фо’ (Х)к, где ф0* (x)ft =
/? = - 00
Так как
Цфо(х) —Фо’(х)||ь»(К)= 2 ||ФоМл — Фо (x)J|l»(R>.
frss — 0©
то поставленная задача о нахождении наилучшего приближения
сводится к определению функций ф« (х)й, обладающих свойством
ho Wfe —ToWJ|m(^)= inf ЦФо(х)Л—Ф(х)||М(уЛ).
4^skpm
Замечая, что любую функцию из множества Spm можно точно пред-
ставить в виде линейной комбинации определенных в (12.3.24) функ-
ций Ф„, Ди), и учитывая экстремальное свойство частных сумм раз-
ложения Фурье, можем записать
II pW‘l II
inf ||ф0(х)Л — ф(х)||М(Л)= ФоМй— 2 с„, Дх)
II «=о ||м(Л)
Но это означает, что
рот-1
Фо’(х)й= 2 С„,кФ„,к(х),
П~0
где
с„.»= $Фо(х)*Ф„, Дх) dx,
Ik
k = дЬ 1, ..., n = 0, 1, ...,р/я—I.
Таким образом, для доказательства 12.3.7 необходимо найти коэф-
фициенты сп, k. Учитывая определение функций Ф0(х)* и принимая
11 Б. И. Голубов и др. 313
во внимание обобщенное равенство Парсеваля (12.3.3), имеем
си, л = $ Фо (х)* Ф„,»(х) dx = $ Фо (х) Ф„, л(х) dx=
Jk R
= $ [фо] («) F [Фп, ft] («) du, (12.3.34)
R
где aF—оператор преобразования Фурье. Но в силу (12.3.26)
[Фя. ft] («) = JФ7Й4е-^ dx = = eiukRA^- (12.3.35)
R
Из равенств (12.3.33), (12.3.34) и (12.3.35) получаем приведенное
выше выражение для коэффициентов с„1А. ►
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ
П1.1. Группой называется множество G с одной бинарной алгебраической
операцией, которая обладает свойством ассоциативности и для которой существует
обратная операция.
Здесь будут рассматриваться лишь группы, для которых определенная в них
операция является коммутативной. Такие группы называются коммутативными
или абелевыми. Алгебраическую операцию коммутативной группы обычно называют
сложением и обозначают знаком +. Иногда используются и другие обозначения.
Итак, коммутативной, или абелевой, группой называется непустое множе-
ство G, для которого выполнены следующие аксиомы:
а) На G задана операция сложения, так что каждой паре элементов а, b из G
поставлен в соответствие третий элемент, называемый суммой элементов а и b
и обозначаемый а+Ь.
б) Операция «4~» ассоциативна, т. е. для любых трех элементов а, Ь, с из G
имеет место равенство (а4-^) + ^=а + (^ + ^)*
в) Операция + коммутативна, т. е. для любых двух элементов а, b из G
имеет место равенство a+b = b+a.
г) В G существует нулевой элемент, т. е. такой элемент 0, что для любого
agG имеет место равенство а4-0 = а.
д) Для каждого a£G существует противоположный элемент, т. е. такой эле-
мент (—а), что а-|-(—а) = 0.
Нетрудно проверить, что нуль группы единствен. Можно также проверить,
что для любого agG противоположный элемент (—а) определяется однозначно
(см. [14]).
Если А и В— подмножества группы G, то через А 4- В обозначается множе-
ство всех элементов вида а4-Ь, где а£А, Ь$В. Если В состоит из одного эле-
мента Ь, т. е. В = {Ь}, то вместо А4~{^} будем писать А4“^« Через —А будем
обозначать множество всех элементов (—а), где а^А.
Одним из простейших примеров коммутативной группы является группа Z
всех целых чисел с обычным сложением в качестве групповой операции.
Примером конечной группы является группа Z(n), состоящая из чисел 0, 1, 4i.
..м п— 1, где групповая операция сложения (обозначим ее знаком ф, в отличив
от обычного сложения) определяется как сложение по модулю п, т. е.
еслИ а + Ь < п,
а + Ь — п, если а-^-Ь^п.
Другие примеры групп см. в § 1.2 и § 1.5.
П1.2. Подгруппы. Смежные классы. Фактор-группа. Подмножество Н группы G
называется подгруппой группы G, если оно само является группой относительно
определенной в G групповой операции.
Фиксируем некоторую подгруппу Н коммутативной группы G. Назовем эле-
мент a£G эквивалентным элементу b£G относительно подгруппы Н, если а—Ь£
£Н. Это отношение эквивалентности обладает следующими свойствами:
а) свойством рефлексивности', каждый элемент a£G эквивалентен самому себе
(так как а—а = 0£Я);
б) свойством симметричности: если а эквивалентен элементу Ь, то и, наобо-
рот, b эквивалентен элементу а (так как если а — Ь£Н, то и b—а = — (а—Ь)£
в) свойством транзитивности', если а эквивалентен d, а b эквивалентен с,
то а эквивалентен с (из а — Ь£Н и Ь—с£Н следует а — с=(а~ Ь) + (Ь — с)£Н).
Легко проверить, что если рассмотреть два подмножества, каждое из кото-
рых образовано взаимно эквивалентными друг другу элементами, то эти подмно-
жества либо совпадают, либо не пересекаются.
Таким образом, группа G распадается на попарно непересекающиеся под-
множества, состоящие из взаимно эквивалентных элементов. Эти подмножества
называются смежными классами группы G по подгруппе Н, а их совокупность
образует разложение группы G по подгруппе Н.
Очевидно, что для задания смежного класса достаточно указать один его
элемент а. Все остальные его элементы имеют вид a-\-h, где h пробегает всю
подгруппу Н. Поэтому этот смежный класс можно обозначить а-\-Н (см. П1.1).
Иногда смежный класс а-^-Н называют порожденным элементом а. Ясно, что
смежный класс порождается любым своим элементом.
Множество смежных классов группы G по подгруппе Н обозначают GfH,
В этом множестве можно ввести операцию сложения, назвав суммой смежных
классов а-\-Н и Ь-\-Н класс (а-\-Ь) -\-Н. Легко проверить, что эта сумма не за-
висит от выбора представителей а и b из классов а-\-Н и Ь-\-Н и что для вве-
денного сложения выполняются аксиомы коммутативной группы (см. П1.1). Та-
ким образом введенная операция сложения превращает G/Н в коммутативную
группу, которая называется фактор-группой группы G по подгруппе Н.
П1.3. Изоморфизмы и автоморфизмы. Сдвиги. Отображение ф группы G на
группу Gi называется изоморфным отображением или изоморфизмом, если оно
взаимно однозначно и сохраняет групповую операцию, т. е. для любых элемен-
тов а и b из G
ф(а+6) = ф(а) + ф(&),
где ф(а)+ф(^) — сумма в группе Gt.
Если G = Glt то определенное выше изоморфное отображение в этом случае
называется автоморфизмом группы G.
Для фиксированного элемента а коммутативной группы G отображение
х—►х+а является, как легко проверить, автоморфизмом. Оно называется сдви-
гом группы G на элемент а.
При фиксированной подгруппе Н сдвигу х—► х-}-а группы G соответствует
сдвиг фактор-группы G/Н на смежный класс а-\-Н. В самом деле, при сдвиге
х —► х+а все элементы произвольного смежного класса b^-Н переходят в эле-
менты класса Ь-{-а + Н, который, очевидно, можно представить в виде (Ь-\-Н)-\-
+ (а + #)» т. е. смежный класс Ь-{-а-\-Н можно рассматривать в качестве образа
класса Ь-\~Н при сдвиге фактор-группы GfH на смежный класс
Пр иложение 2
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. МЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
П2.1. Множество X называется метрическим пространством, если каждой
паре его элементов х и у поставлено в соответствие неотрицательное веществен-
ное число р (х, у) так, что выполняются следующие условия:
а) Р (•*» У) — 0 тогда и только тогда, когда х — у\
б) р (х. у) = р(у, х) (аксиома симметрии);
в) Р(х. z) + p(z, у) (аксиома треугольника).
Функция р (х, у) называется расстоянием между элементами х и у или мет»
рикой пространства X.
Множество точек
Ue (x0) = {xgX: р(х, х0) < 8},
где х0- некоторая фиксированная точка пространства X и е > О, называется
открытым шаром радиуса 8 с центром в х0 или ^окрестностью точки х0.
Точка xgA называется предельной точкой множества М cz X, если любая ее
окрестность (х) содержит бесконечно много точек из М.
Множество М с: X называется замкнутым, если оно содержит все свои пре-
дельные точки.
Если к произвольному множеству М CZ X присоединить все его предельные
точки, то получится замкнутое множество, которое называется замыканием мно-
жества М и обозначается Л4-
Множество М называется всюду плотным в X, если М — Х.
Точка х называется внутренней точкой множества М, если существует ок-
рестность этой точки иг(х), целиком содержащаяся в М.
Множество, все точки которого являются внутренними, называется открытым.
Имеет место следующая теорема (см. [13]):
П2.1.1. Для того чтобы множество М было открытым, необходимо и дсста»
точно, чтобы его дополнение Х\Л4 было замкнутым.
Для открытых множеств на числовой прямой с обычным расстоянием
р (х, у) — | х — у | справедливо следующее утверждение (см. [17]):
П2.1.2. Всякое открытое множество на числовой прямой представляет собой
объединение конечного или счетного числа попарно непересекающихся интервалов
(множества вида (а, оо), (—оо, а) и (—оо, оо) при этом также считаются ин-
тервалами).
Комбинируя это утверждение с теоремой П2.1.1, получаем такое следствие:
П.2.1.3. Каждое замкнутое множество Е на числовой прямой может быть
получено удалением из прямой конечного или счетного числа попарно непересекаю-
щихся интервалов.
Эти интервалы называют смежными интервалами множества Е,
Множество, которое может быть получено в результате не более чем счетной
совокупности операций объединения и пересечения открытых и замкнутых мно-
жеств, называется борелевским.
Подмножество М пространства X называется компактным, если из любого
его открытого покрытия (т. е. из системы открытых множеств {Аа} таких,
что Лс U Ла) можно выбрать конечное число множеств, также покрывающих М.
Если само множество X компактно, то оно называется компактным прост»
ранством.
Пространство X называется локально компактным, если любая его точка х
имеет окрестность Ue(x), замыкание которой компактно.
Последовательность {х„} элементов пространства X называется сходящейся к
элементу х£Х, если р (хп, х)—>0 при п—► оо.
Последовательность {х„} элементов пространства X называется фундаменталь-
ной, если для любого числа е > 0 найдется номер п0 (8) такой, что р(х„, хт) <
< е при всех п, т^п0 (е).
Метрическое пространство называется полным, если в нем каждая фундамен-
тальная последовательность является сходящейся.
П2.2. Множество G назовем метрической группой, если G является одновре-
менно коммутативной группой и метрическим пространством, причем операции
группового сложения и перехода к противоположному элементу согласованы с
метрикой в следующем смысле:
а) Если г = х-\-у, то для любой окрестности U (z) элемента г найдутся ок-
рестности U (х) и U (у) элементов х и у такие, что
U(x) + U(y)ciU(z).
б) Для любой окрестности U (—х) элемента (—х) найдется такая окрестность
U (х) элемента х, что —U (х) cz U (—х).
(Свойства а) и б) означают непрерывность относительно метрики операций сло-
жения и взятия противоположного элемента.)
Понятие метрической группы является частным случаем более широкого по-
нятия топологической группы (см. [18]).
Приложение 3
ПРОСТРАНСТВА С МЕРОЙ
П3.1. Класс Л множеств в пространстве X называется Q-аддитивным (или
вполне аддитивным), если
1) &£А, где 0 — пустое множество;
2) из того, что А£Л, следует, что
3) для любой счетной последовательности множеств {Л„}, Ап^Л выполня-
ется соотношение \)Ап£у1.
п
Функция множества р (А), определенная на всех множествах о-аддитивного
класса е/Л называется мерой, если
а) ОзСр(А)*С+оо для всех А£Л\
б) |х(0) = О;
в) для последовательности {Яд} такой, что Ап£<Д и ЛПП Ат~& при п т,
справедливо р, —
Пространство X с выделенным в нем о-аддитивным классом <4. и мерой р на
Л называется пространством с мерой,
П3.2. Мера на прямой. Наиболее часто используемой мерой на числовой пря-
мой является мера Лебега. Она определяется следующим образом.
Сначала для любого множества А на прямой определяется внешняя мера
mes* H) = inf (2l l:
I л «
(ПЗ.2.1)
где ln—интервалы, а |/„| —их длины. Ясно, что при этом для любого интер-
вала mes* 7 = | 1|.
ПЗ.2.1. Множество А назовем измеримым по Лебегу, если для любого е > О
найдутся замкнутое множество F и открытое множество Q такие, что F с A cz Q
и mes* (Q\F) < 8.
ПЗ.2.2. Совокупность измеримых по Лебегу множеств образует о-аддитивный
класс, включающий в себя все борелевские множества, и функция mes* на нем яв-
ляется мерой в смысле определения из П3.1. Эта мера называется мерой Лебега
на прямой и обозначается mes, т. е. для измеримых множеств А по определению
mesA = mes*y4. (См. [17].)
П3.2.3. Если множество А измеримо, то
mes А = inf mes Q = sup mes F,
где inf берется no всем открытым множествам Q, A cz Q, a sup—no всем замк-
нутым множествам F, F C A. (Cm. [17].)
ПЗ.З. Мера Лебега — Стилтьеса. Обобщением меры Лебега на прямой является
мера, которая следующим образом строится по заданной на прямой неубывающей
и непрерывной справа функции ф (х).
Определим следующую функцию интервала (а, Ь):
т(а, 6) = ф(д—0)—ф (а).
Эта функция обобщает понятие длины интервала, так как при ф(х) = х получаем
т(а, b) = Ь—а = 1 (а, Ь) |.
Подставляя теперь т/п вместо | 1п | в формулу (ПЗ.2.1), получим определе-
ние внешней меры mes^, а затем, выделив, как и в ПЗ.2.1, класс измеримых
относительно этой меры множеств, получим на нем меру mes^, называемую ме-
рой Лебега—Стилтьеса, соответствующей функции ф.
Заметим, что при этом
mestp (а, Ь) = т(а, д) = ф (Ь — 0)—ф (а),
mesi|> [а, &] = ф (Ь) —ф (а —0),
mes^ (а, Ь] = ф (Ь) — ф (а),
mes v[a, д) = ф (Ь—0) — ф (а—0).
(П3.3.1)
В частности, для отдельной точки mes^ {а} = ф (а)—ф (а—0).
В случае непрерывной слева функции ф(х) функцию интервала следует опре-
делить иначе, положив
т(а, Ь) = ф (Ь) — ф (а + 0).
Легко понять, как изменяются в этом случае соотношения (П3.3.1). В частности,
получим
mesqja, д) = ф (Ь)~ф (а). (П3.3.2)
П3.4. Мера Лебега на плоскости может быть определена так же, как и на
прямой в J13.2, с той лишь разницей, что в формуле (ПЗ.2.1) в качестве 1п
должны выступать двумерные интервалы, т. е. открытые прямоугольники со сто-
ронами, параллельными координатным осям, причем 11п | обозначает в этом слу-
чае площадь интервала 1п.
П3.5. Хааром была доказана следующая теорема о построении меры на груп-
пах (см. [28]).
ПЗ.5.1. На любой локально компактной метрической группе G (см. П2.2) су-
ществует мера ц, определенная на о-аддитивном классе всех борелевских подмно-
жеств этой группы и такая, что
а) p (A) > О для любого непустого открытого множества А;
б) р (а +А) = р (А) для любого борелевского множества (это равенство выра-
жает инвариантность меры, относительно сдвига);
в) р(—-А) = р(А).
Такую меру называют мерой Хаара на группе G.
Простейшим примером меры Хаара является мера Лебега на числовой пря-
мой /?, рассмотренной в качестве группы относительно обычного сложения веще-
ственных чисел.
Приложение 4
ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
П4.1. Пусть X —пространство с мерой р, заданной на некотором а-аддитив-
ном классе А. В этом случае все элементы класса Л именуются Л-измеримыми
множествами.
Определенная на X вещественная функция f называется Л-азмеримой (или .
^.-измеримой), если при любом вещественном С множество {х: f (х) > С} измеримо.
Если в качестве класса Л взять класс всех измеримых по Лебегу множеств
(см. П3.2), то получим определение функции, измеримой по Лебегу.
Определенная на метрическом пространстве X функция называется полунепре-
рывной снизу на X, если при любом вещественном С множество {х: f (х) > С} яв-
ляется открытым.
Две функции f и g, заданные на одном и том же измеримом множестве £,
называются эквивалентными, если
ц{х: f(x) #g(x)} = 0.
В связи с этим напомним следующую терминологию.
Если какое-то свойство выполнено на множестве Е всюду, кроме, быть мо-
жет. точек, образующих множество меры нуль, то говорят, что это свойство вы-
полнено почти всюду (сокращенно, п. в.).
Таким образом, две функции эквивалентны, если они совпадают почти всюду.
П4.1.1. Теорема Егорова. Пусть Е —множество конечной меры р и последо-
вательность измеримых функций {fn (х)} сходится почти всюду на Е к функции
f (х). Тогда для любого е> 0 существует таксе измеримое множество ЕгсЕ,
что р (Ег) > р (Е) — в и на Ее последовательность {fn (х)} сходится к f (х) рав-
номерно. (См. [13].)
В случае измеримых по Лебегу функций множество Ег можно считать замк-
нутым.
П4.1.2. Теорема Лузина. Для того чтобы функция f, заданная на отрезке
[а, Ь], была измерима по Лебегу, необходимо и достаточно, чтобы для любого
е > 0 существовало такое замкнутое множество Ег с [а, 6] и такая непрерывная
на [а, Ъ}функцияу, что ты Fe > (b — а) — е и f (х)--ф(х) при x£Fe. (См. [17].)
Последовательность заданных на измеримом множестве Е измеримых функ-
ций {fn (х)} называется сходящейся по мере к измеримой функции f (х), если при
любом е > 0 справедливо равенство lim р {х: | fn (х) — f (х) | > е} = 0.
п -> 00
Отметим, что последовательность, сходящаяся почти всюду, сходится и по
мере (см. [17]).
П4.2. Интеграл Лебега. Пусть Х~ пространство с мерой р, заданной на о-
аддитивном классе Л* Пусть (х) обозначает характеристическую функцию
320
множества Л, т. е.
VJfx)=J 1 ПР“ Х$А<
Ял ( ) I о при х(£А.
Функция вида
00
2°'ХЛ,«. (П4.2.1)
1 = 0 1
где {Л/} —произвольная последовательность взаимно непересекающихся множеств,
называется простой функцией. Легко проверить, что простая функция измерима
тогда и только тогда, когда все множества Л/, участвующие в ее определении, из-
меримы.
Простая измеримая функция f вида (П4.2.1) называется интегрируемой по
Лебегу (или суммируемой) на множестве Л= U Л/, если ряд абсолютно
сходится. При этом интеграл Лебега от функции f определяется как сумма этого
ряда, т. е.
р dj* = 2 a‘V (Л'>'
А ‘
Произвольная функция f называется интегрируемой по Лебегу (или сумми-
руемой) на множестве Л конечной меры, если существует последовательность {/.}
простых суммируемых на Л функций, равномерно сходящаяся к f. При этом
I f dp == lim \ f п dp.
п -> со J
Л А
Можно показать (см. [13]), что значение интеграла не зависит от выбора по-
следовательности {/„}.
Рассматривая множество бесконечной меры, ограничимся случаем так называе-
мой о-конечной меры, т. е. случаем, когда пространство X, в котором задана
мера р, представимо в виде суммы счетного числа множеств конечной меры:
X=]jXn, р(Хл)<со. (П4.2.2)
п
Назовем исчерпывающей последовательностью всякую монотонно возрастаю-
щую последовательность {Х„} измеримых подмножеств пространства X, удовлет-
воряющую условию (П4.2.2).
Функция f, определенная на пространстве X с о-конечной мерой р, называ-
ется суммируемой на X, если она суммируема на каждом измеримом подмноже-
стве А с: X конечной меры и если для каждой исчерпывающей последовательности
предел
lim \ f dp
П -> ОО J
существует и не зависит от выбора этой последовательности. Этот предел назы-
вается интегралом от f по X и обозначается fdp.
х
Итак, определен интеграл для произвольного пространства с мерой. В слу-
чае конкретных мер введенное определение приводит к конкретным видам интег-
рала. Классический интеграл Лебега на прямой или на плоскости получается,
если описанную выше конструкцию применить к мерам, введенным в П3.2 и
П3.4. При этом интеграл Лебега относительно меры mes обычно записывают в
виде J f dx вместо f d mes.
л А
П4.3. Функции ограниченной вариации. Интеграл Лебега — Стилтьеса. За-
данная на отрезке [а, &] функция / называется функцией ограниченной вариации
(или функцией с ограниченным изменением), если существует постоянная С такая,
что, каково бы ни было разбиение отрезка [а, д] точками а = х0 <Xi < ... <
< хл = Ь, выполнено неравенство
2 I/(*/)-/(*,-i)i <с.
i= 1
Величина
V2lf]^sup2
1=1
где sup берется по всевозможным конечным разбиениям отрезка [a, Z>], называется
полной вариацией (или полным изменением) функции f на отрезке [а, д].
Приведем ряд свойств функций ограниченной вариации и их полных вариа-
ций (см. [13]).
П4.3.1. Если а< Ь< с, то + =
П4.3.2. Для любых чисел а и 0
v% [а/1 + РМ Iа I vS [fil +1 р | 1).
П4.3.3. Всякая монотонная функция f является функцией ограниченной вариа-
ции, причем Va [f] = |f (b)—f (а) |.
П4.3.4. Для любой функции f ограниченной вариации функции и (х)«в [/]
и v (х)— f (х) являются монотонно неубывающими. Тем самым имеет место пред-
ставление
/ (х)-у(х) —(и(х) —f (х)),
т. е. любая функция ограниченной вариации представима в виде разности двух
монотонно неубывающих функций ♦).
П4.3.5. Всякая функция ограниченной вариации имеет почти всюду конечную
производную.
П4.3.6. Для всякой функции f ограниченной вариации почти всюду справедливо
равенство = | (х) |. (См. [20], с. 184.)
Для функций ограниченной вариации имеет место следующее обобщение изве-
стной теоремы о точках Лебега (см. [2], с. 41):
П.4.3.7. Пусть ф (х)—функция ограниченной вариации на [a, 6J. Тогда для
почти всех х£[а, д] справедливо равенство
= 0. (П4.ЗЛ)
Пусть А—множество, где не существует производная ф' (х). В силу
П4.3.5 mes 4 = 0.
*) Если при этом f непрерывна в точке х0 с какой-нибудь стороны, то то же
верно и для функций v(x) и v(x) — f(x).
Ввиду П4.3.6 для любого фиксированного числа с
dVXa[^(fi-ct]--:|V(X)_C| (П4.3.2)
почти всюду на [а, &]. Обозначим через Ес множество на [а, 6], для которого
(П4.3.2) не выполняется, mes£c = 0 при любом с.
Пусть {гп}—множество всех рациональных чисел» Образуем множество
E = (U Ег )1|Л. Очевидно, что mes£ = 0.
п
Докажем, что (П.4.3.1) выполняется всюду вне Е.
Действительно, пусть х$£Е. Тогда ф' (х) существует. Возьмем произвольное
е > 0 и найдем такое рациональное число гп, что
|Ф' (*) — тп | < е. (П4.3.3)
Тогда в силу свойств П4.3.2, П4.3.3 и неравенства (П4.3.3) имеем
У +й bf (О—W И | +Л № (О— +-J- кг* [(r„ - if' (X)) <
<1 (/)-г„Л + |г„-Г (*)1<4 ^+А[*«-М] + е. (П4.3.4)
Поскольку х&Е и, значит, х£ЕГп> то, применяя (П4.3.2) при с—гПУ получим
при достаточно малых | h | неравенство
|1 Vj+A[t(O-r»4-|'l’' (*)—11 < е,
откуда, учитывая (П4.3.3), имеем
lyJ+A[lf(/)_r„Z] <28.
Подставляя эту оценку в правую часть неравенства (П.4.3.4), находим, что при
достаточно малых \h \ выполняется неравенство
у vr*[if (O-tf'(x) л <38,
откуда и следует (П4.3.1). ►
П.4.3.8. Пусть функция ф ограниченной вариации, непрерывная, например,
справа, представлена в соответствии с П4.3.4 в виде разности двух неубывающих
непрерывных справа функций:
if (x) = lfi (X)— lf2 (X).
По каждой из функций фх и ф2 построим меру Лебега — Стилтьеса (см. ПЗ.З):
mes^ и mes^.
Теперь можно ввести интеграл Лебега — Стилтьеса по функции ф, положив,
по определению,
ь ь ь
$ f (х) dip (х) = р (х) d mes^ — $ f (х) d mes^.
a a a
При этом функция f считается интегрируемой по ф на [а, д], если определены
оба интеграла справа. Легко проверить, что значение интеграла по ф не зависит
от способа представления ф в виде разности монотонных функций.
П4.3.9. Для интеграла Лебега — Стилтьеса выполняется следующее неравенство
(см. [И], с. 206):
ь ъ
|p(x)dif (х)|<$|/(x)|diz£[if].
а а
П4.4. Перечислим ряд известных свойств интеграла Лебега (см. [13], [17]).
П4.4.1. Теорема Лебега. Если последовательность {fn} измеримых функций
на измеримом множестве А сходится по мере (в частности, п. в.) к функции f и
при есех п и х £ А
\fn (*) |<фй»
где ф суммируема на А, то предельная функция f также суммируема на А и
lim \ f п dp, — \ f dp,.
п->ж J J
А А
П4.4.2. Теорема Б. Леви. Пусть на измеримом множестве А
f 1 (х) /а (х) f п (х) ,
причем функции fn суммируемы на А и их интегралы ограничены в совокупности,
т. е.
А
Тогда почти всюду на А существует (конечный) предел f (х) = lim fn (х), функция
t суммируема на А и
lim \ fn dp,= \ f dp,.
П-+Ъ) д V -
А А
П4.4.3. Следствие из П4.4.2. Если при всех п и почти всех х £ А
оо
%(х)ЭаО и ^2 $ i|)„ (x)d|i < о»,
П=1 А
00
то почти всюду на А сходится ряд ф„ (х), причем
П=]
/00 \ 00
S (Z11|’я J w
А \п=1 / п=1А
П4.4.4. Теорема Фубини. Пусть р, — мера Лебега на плоскости (см. П3.4), а
и ру —линейные меры Лебега, рассмотренные соответственно на оси х и у.
Пусть функция f(x, у) интегрируема по мере р на квадрате [а, 6]Х[а, 6]. Тогда
ь / Ь К b , ь Ч
f (х, y)dp,= Ц р(х, y)dpy }dpx = J ( J f (x, у) dp,x (П4.4.1)
[a, b]x[a, b] . a \a / a \a J
При этом внутренние интегралы существуют при почти всех значениях перемен-
ного, по которому берутся внешние интегралы.
С другой стороны, если существует хотя бы один из повторных интегралов
\ ь/Ь \
IH*. Mg*. П $ IH-V.
то f (х, у) интегрируема на квадрате и справедливы равенства (П4.4.1).
х
П4.4.5. Для всякой суммируемой на [а, &] функции (функция F (х) = ^ f(t)dt
а
является функцией ограниченной вариации и почти всюду на (а, />] F' (x)z=f(x).
324
Доказательство следующей теоремы можно найти в [17], с. 461:
П4.4.6. Пусть f суммируема на [а, д]. Тогда для любого е > О найдется по-
лунепрерывная снизу на [а, 6] (см. П4.1) функция и(х), обладающая следующими
свойствами:
а) и (х) > —оо всюду на [а, д];
б) u(x)^f (х) всюду на [а, Ц;
в) и (х) суммируема на [а, 6], и
ь ь
и (х) dx < е + J f (х) dx.
а а
Приложение 5
НОРМИРОВАННЫЕ И ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
П5.1. Множество X называется линейным, или векторным, пространством,
если выполнены следующие условия:
а) X является абелевой группой (см. П1.1);
б) определено умножение элементов множества X на числа, так что для любого
х g X и любого числа а произведение ах является снова элементом множества
X, причем
61) а(рх) = (ар)х для любых чисел а, р и любого х £ X;
62) а (х-|-^) = ах+рх, (а + Р) х — ах-|-рг/ для любых чисел а, Р и любых
X, у € X;
63) 1-х —х для любого х £ X.
В зависимости от того, определено ли умножение в 6) для всех комплексных
или только для вещественных чисел, различают комплексные и вещественные ли-
нейные пространства.
Линейное пространство X называется линейным нормированным пространст-
вом, если каждому элементу х g X ставится в соответствие вещественное число,
которое называется нормой этого элемента и обозначается |]х|| и для которого
выполнены следующие условия (аксиомы нормы):
I. [| х ||0, причем || х || = 0 тогда и только тогда, когда х = 0.
II. ||axj = |a| ||х||.
ш. Ь-Ы<;||х|1+М
Всякое нормированное пространство становится метрическим, если в нем
ввести метрику с помощью равенства р (х, #)=||х—у||. Тем самым на нормиро-
ванные пространства переносятся все связанные с метрикой понятия, введенные
в П2.1, в частности, понятие полноты. Полные нормированные пространства назы-
ваются банаховыми пространствами. '
П5.2. Важным примером банахова пространства является линейное простран-
ство непрерывных ограниченных функций, заданных на некотором метрическом
пространстве X, с обычным поточечным сложением и умножением на числа и с
нормой || /Ц= sup |/ (х)|. Это пространство обозначается С (X).
хех
Другие примеры дают различные пространства интегрируемых функций с
интегральными нормами. Пусть X —некоторое пространство с мерой pi. Совокуп-
ность всех суммируемых на X функций образует линейное пространство с обыч-
ными операциями сложения функций и умножения их на числа. Для любого
числа pt \<*р < оо, рассмотрим множество таких измеримых на X функций f,
для которых суммируема функция | f |А Легко проверить, что величина
удовлетворяет аксиомам II и III нормы. Однако аксиома I может нарушаться,
так как из определения интеграла Лебега легко следует, что изменение функции
на множестве меры нуль не меняет значение интеграла. Поэтому для выполнения
аксиомы I нужно считать, что функции, эквивалентные друг другу на X (см. П4.1),
не различаются, а рассматр; ваются в качестве одного и того же элемента прост-
ранства. В частности, нулевым элементом следует считать любую функцию, равную
нулю почти всюду. Так образованное пространство с нормой Ц/Ц^ будем обозна-
чать LP (X).
В случае р=оо норма определяется несколько иначе. А именно, положим
|] f Цоф = inf {а: | f (х) | sC а почти всюду на X}
и определим L00 (X) как множество классов эквивалентных между собой функций,
для которых конечна величина jf IU, являющаяся нормой этого пространства.
Указанные пространства будут использоваться лишь в случае, когда в каче-
стве X берется отрезок числовой прямой [а, 6] или полупрямая [0, оо). Тогда
они обозначаются соответственно LP [а, Ь] и L? [О, оо).
Сформулируем некоторые свойства этих пространств.
П5.2.1. Множество непрерывных функций всюду плотно в пространстве
L? [а, Ь] при любом р, 1 ^р < оо (см. [2]).
П5.2.2. Неравенство Гельдера. Если f £ Lp [а, &], р > 1, и g£ L<?[a, &],
где 7+7= > то произведение fg является суммируемой на [а, Ь] функцией и
life 111
(см. [17], с. 214). В случае р = (? = 2 это неравенство называется интегральным
неравенством Коши — Буняковского, в отличие от известного неравенства Коши —
Буняковского для сумм:
Y/2 (2^1 )1/2-
П \ п J \ п /
Отметим, что если — 1, то как сами индексы р и q, так и простран-
ства L? и U называют сопряженными друг другу.
П5.2.3. В случае пространств LP [а, 6], р^1, аксиома III нормированного
пространства (см. П5.1), т. е неравенство
(ь \1/р/Ь \ 1/р /Ь \Л/р
<M|/(x)pdxj ,
a J \a J \a J
называется неравенством Минковского. (См. [2].)
Справедливо также обобщенное неравенство Минковского (см. [10], т. 1. с. 38)
для повторных интегралов:
где функция f (х, у) суммируема на прямоугольнике [а, &]х[с, d] и р^1
326
П5.2.4. Если последовательность {fn (х)} сходится по норме пространства
L [а, Ь] к f (х), то из нее можно выделить подпоследовательность {f„k (х)}, сходящуюся
к f (х) почти всюду. (См. [13].)
П.5.3. Линейным функционалом на линейном пространстве X называется чис-
ловая функция F (х), для которой F (x-{-y) = F (x) + F (у) при любых х, у g X и
F(ax) = aF(x) при любом х£Х и любом числе а.
На линейном нормированном пространстве X рассматриваются линейные
функционалы F, для которых конечна величина
HF[|e sup |/(х)|, (П5.3.1)
ЦхЦ<1
называемая нормой функционала F. Такие функционалы называются непрерывными
(или ограниченными), поскольку конечность величины (П5.3.1) эквивалентна непре-
рывности функции F на X (см. [13]).
П5.3.1. Пусть для линейного функционала F при некоторой константе С > О
и при всех х£Х выполнено неравенство
|F(x) |<С||х||.
Тогда функционал F непрерывен и [|F||cC. (См. [13], с. 176.)
П5.3.2. Для любой фиксированной функции f£LP(a, b) выражение
Ь
Р (g)^^f(x)g(x)dx
а
представляет собой линейный функционал, определенный на сопряженном прост*
ранстве L? (а, Ь) ( т.
е. j+y=l) . При зтом |F|=|Hr
П5.3.3. Теорема Банаха—Штейнгауза. Если последовательность {Fn} линейных
непрерывных функционалов, определенных на банаховом пространстве X, ограни-
чена в каждой точке х g X, то последовательность норм этих функционалов {|] Fn ||}
также осраничена.
П5.4. Гильбертовым пространством называется комплексное линейное прост-
ранство Н, каждой паре х и у элементов которого поставлено в соответствие
комплексное число <х, #>, называемое скалярным произведением этих элементов,
удовлетворяющее условиям:
а) <*> */> = <#, *> (в частности, <х, х> — вещественное число);
б) <*1 + х2, г/> = <хь 4/> + <х2,
в) <ax, z/> —а<х, у> для любого комплексного числа а;
г) <х, х>^0, причем <х, х> = 0 тогда и только тогда, когда х = 0.
Число || х (| в }^<х, х> удовлетворяет, как легко проверить, аксиомам нормы
(см. П5.1). Требуется, чтобы Н было полным относительно этой нормы, т. е. чтобы
оно было банаховым пространством.
Кроме того, в определении гильбертова пространства обычно включается тре-
бование, чтобы оно было бесконечномерным.
Если исходное линейное пространство вещественно, то мы аналогичным обра-
зом получаем определение вещественного гильбертова пространства. В этом случае
скалярное произведение предполагается вещественным для любых элементов.
Важнейшим примером гильбертова пространства (вещественного) является про-
странство L2 (а, Ь) со скалярным произведением
ь
<i, g>—\f w е(*)лх.
a
Определив интеграл Лебега для комплекснозначной функции <p = u-|-iu ра-
венством
ъ ь ь
J Ф (х) dx J и (х) dx + i J v (x) dx,
a a a
можем ввести в рассмотрение и комплексное пространство L2 (а, Ъ) со скалярным
произведением
ь
<f, g>^ 5 dx.
a
Система e1t e2, en, ... элементов пространства Я называется ортонор-
мированной, если
J 1 при /=/’
<е/, £/>=< .
7 ( 0 при i & ].
Орто нор мированная система {в/} называется полной, если не существует отлич-
ного от нуля элемента xg#, для которого <х, е/> = 0 при всех i==l, 2, ...
Ортонормирование я система {eft называется замкнутой, если множество ко-
нечных динейных комбинаций элементов системы всюду плотно в Н.
П5.4.1. Полнота системы {eft эквивалентна ее замкнутости. (См. [12].)
Для любого элемента xg# числа Q = <x, е/> называются коэффициентами
<30
Фурье элемента х относительно системы {ej, а ряд 2 ЭД называется рядом Фцрье
i = l
элемента х по этой системе.
П 5.4.2. Пусть {е,}—полная ортонормированная система в гильбертовом про-
странстве п. Тогда для любого элемента х^Н его ряд Фурье по этой системе
сходится к этому элементу относительно нормы пространства Н и при этом
коэффициенты Фурье удовлетворяют равенству Парсеваля'.
2 сМ*Иа- (П5.4.1)
i= 1
См. [13].)
П 5.4.3. Теорема Рисса—Фишера. Пусть {е;}—произвольная ортогональная
система в гильбертовом пространстве Н и пусть числа съ с2, ... таковы, что ряд
2 4 сходится. Тогда существует элемент х^Н такой, что последовательность
1
{q} является последовательностью коэффициентов Фурье этого элемента, т. е.
и при этом выполняется равенство (П5.4.1). (См. [13].)
П£.5. Теорема Ф. Рисса. Пусть {ф„ (/)} — ортонормированная система в про-
странстве L? (о, д), состоящая из функций, ограниченных в совокупности, т. е.
328
| Ф« (О I < М при всех t£\a, д] и всех п=1, 2, *..и пусть р и q таковы, что
7+7='-
Тогда справедливы два утверждения:
ъ
1. Если f^LP (a,b),mo коэффициенты Фурье cn~^f (0 фи (О dt функции f по
а
системе {<р„} удовлетворяет условию
/ « .\1/$ -^--i
1ф- D к»1« <мр н/п,.
\п=1 /
2. Если для числовой последовательности с = {сп] выполнено условие
( ж \1/р
2 |сл|р < <ю,
\п=1 J
то существует функция f(t)£№(a, b), для которой {с„} является последователь-
ностью ее коэфициентов Фурье, причем
А_1
WfWg^M^ ||cDp.
(См. [2], с. 211.)
П5.6. Теорема Мерсера. Если {фл (/)}—ортонор мированная система в прост-
ранстве L2 [а, Ь], состоящая из функций, ограниченных в совокупности, то коэффи-
циенты Фурье любой суммируемой функции по этой системе стремятся к нулю^
(См. [2], с. 76.)
Заметим, что теорема 2.7.3 является частным случаем этой общей теоремы.
КОММЕНТАРИИ
В комментарии включены некоторые весьма краткие сведения исторического
характера по затронутой тематике, ссылки на научные статьи, из которых заимст-
вованы приводимые в книге доказательства, и в некоторых случаях приведены
дополнительные комментарии к самим результатам. По поводу сведений о дальней-
ших достижениях в каждой из рассмотренных здесь областей см. обзорные статьи
Балашова и Рубинштейна р], Уэйда [4] и обзор в монографии [1].
Глава 1.
Функции Уолша были впервые определены Дж. Уолшем р]. Используемая
здесь нумерация этой системы введена Пэли р]. По поводу других нумераций
см. Балашов, Рубинштейн р] и Шипп [8]. Рассмотрение системы Уолша на группе
как частного случая системы характеров произвольных нуль-мерных компактных
коммутативных групп было впервые предпринято Виленкиным р] и несколько
позднее Файном р]. По поводу топологической структуры группы G, на которой
определены и непрерывны функции Уолша, см. [1] и [18]. Понятие модифициро-
ванного отрезка, по-видимому, впервые появилось в работе Шнейдера [3]. Связь
системы Уолша с системой Хаара (см. § 1.3) первым отметил Качмаж р]; см.
также [12]. Оценка (1.4.16) для ядра Дирихле по системе Уолша получена Шней-
дером р] и Файном р].
Введенные в § 1.5 мультипликативные системы являются частным случаем
более общих систем,, рассмотренных Виленкиным р]. На случай pj — p /= 2, где
{ру} — последовательность (1.5.1), обобщение функций Радемахера и Уолша осу-
ществлено в работах Леви р] и Крестенсона р]. Системы, соответствующие опре-
делениям (1.5.6) и (1.5.10), рассматривались Прайсом р] и Ефимовым р].
Континуальный аналог системы Уолша предложен Файном р]. Определенные
® § 1.5 группы 6 дают примеры локально компактных нуль-мерных групп,
системы характеров которых в общем случае изучались Виленкиным [3]; см. так-
же [1]. Континуальный аналог системы Прайса, т. е. функции (1.5.33), рассматри-
вался Ефимовым и Каракулиным р] при условии (1.5.35), а в общем случае
функции (1.5.33), а также функции (1.5.27) на группе G (^) рассмотрены Поспе-
ловым р]. См. также Ефимов, Поспелов р]. Соотношение (1.5.38) и утверждение
1.5.6 установлены Беспаловым.
Глава 2.
Свойства 2.1.1, 2.1.2 преобразования Фурье и свойство, выраженное формулой
(2.1.9), являются общими для всех преобразований Фурье на группах характеров
(см. [1], [19]). Константы Лебега для системы Уолша фактически оценены еще
Пэли р]. Они далее изучались Файном р] и Шнейдером [3]. Аналог теоремы
Дини —Липшица для системы Уолша (см. 2.3.6) доказан Файном р]. Модуль непре-
рывности (2.3.5) был введен в общем случае нуль-мерной группы Виленкиным р],
а модуль (2.5.1) для пространства —Моргенталером р]. Теорема 2.4.1 уста-
новлена Оневиром р]. Аналог признака Дини 2.5.7 доказан Файном р]. Теорема
2.5.12 была доказана в работе Качмажа р], а сходимость сумм S2k (х, f) в точках
непрерывности функции f отмечалась еще в работе Уолша р]. По поводу полноты
и замкнутости системы Уолша см. подробнее [12]. Простейшие оценки коэффи-
циентов Фурье —Уолша получены Виленкиным р] и Файном р]. По поводу
2.7.6 —2.7.8 см. Ионеда р], также Блюмин, Котляр р], Маклафлин р], Виленкин,
Рубинштейн р]. Теорема 2.7.9 доказана Файном р]. Заметим, что Бочкаревым р]
330
установлена окончательность условия (2.7.11) в теореме 2.7.10. О теореме 2.7.10'
см. также Виленкин, Рубинштейн р]. В § 2.8 приводятся лишь самые начальные-
сведения о рядах Фурье по мультипликативным системам. Подробнее об этом см.
в [1].
Глава 3.
Сумма ф (х) почленно проинтегрированного ряда Уолша была использована
для изучения свойств исходного ряда еще в статье Файна р]. Эта сумма играет
в теории рядов Уолша роль, сходную с ролью функции Римана при изучении
общих тригонометрических рядов (см. [2], с. 187).
Утверждения 3.1.2 и 3.1.3 представляют собой перенос на ряды Уолша соот-
ветствующих результатов из теории рядов Хаара (см. Скворцов р]). Идея исполь-
зования верхних и нижних производных по сети и непрерывности по сети также
заимствована из теории рядов Хаара (см. Скворцов р] — [3]). Приведенное в § 3.1
определение обобщенного интеграла Римана — Стилтьеса представляет собой, по-
существу, весьма частный случай конструкции интеграла Колмогорова (см. Колмо-
горов р]).
Вопросы единственности для рядов Уолша ставились и изучались под влия-
нием хорошо развитой теории единственности тригонометрических рядов (см. [2],
гл. XIV). Простейший вид теоремы единственности для ряда Уолша в случае,
когда в 3.2.6 множество особых точек Е пусто и f (х) = 0 всюду, доказана Вилен-
киным р]. При f (x)gL[0, 1), но Е по-прежнему пустом теорема 3.2.6 установле-
на Файном р]. В случае счетного множества Е она была получена Арутюняном
и Талаляном р] как следствие из аналогичной теоремы для рядов Хаара и дру-
гим способом Криттенденом и Шапиро р]. Приводимое здесь доказательство
теоремы и ее более общий вид 3.2.5 принадлежат Скворцову [4]. По поводу более
общих теорем единственности см. Арутюнян р], Скворцов [4], р], [8],Уэйд [х], [3].
Введенное в § 3.3 формальное произведение применил впервые Шнейдер р].
Ему же принадлежи] теорема 3.3.2. По поводу 3.3.3 см. Скворцов р]. Первые примеры
нуль-рядов по системе Уолша и тем самым первые примеры М-множеств меры
нуль построены Шнейдером [2] и Кури р). Первый пример совершенного множест-
ва меры нуль фактически содержится в работе Скворцова [5]. Пример, построен-
ный при доказательстве теоремы 3.4.2, представляет собой упрощенный вариант
примера из работы Скворцова [6]. Континуальное (/-множество для системы Уолша
построил Шнейдер [2]. По поводу дальнейших результатов, касающихся (7- и М-
множеств для системы Уолша см. Скворцов [9], р1], Уэйд [2], [4] и обзор в
книге [1].
Глава 4.
Подробнее о линейных методах суммирования см. в [23].
Ядро Кп W метода (С, 1) изучал Файн [х]. Ему принадлежит, в частности,,
формула (4.2.10). Формула (4.2.6) и теорема 4.2.2 доказаны Яно р], [2]. Доказа-
тельство теорем в § 4.3 приводится по статье Скворцова [10], посвященной более
общим вопросам. Теорему 4.3.2 о равномерной (С, 1)-суммируемости рядов
Фурье—Уолша непрерывных функций доказал Файн [х], но ранее в терминах
системы характеров нуль-мерных групп она была получена Виленкиным [х].
Теорема 4.3.3 при 0<а< 1 доказана Яно [2], а при а=1 — Ястребовой [1].
По поводу аналогичных теорем для мультипликативных систем см. Ефимов р],
Блюмин [х], [2]. Теорема 4.4.5 доказана Файном [3]. Теорема 4.4.4 сформулирована
без доказательства в работе Файна [4], и ее полное доказательство (как и дока-
зательство утверждения 4.4.3) приводится здесь впервые.
Глава 5.
Изложенные в § 5.1 результаты о сублинейных операторах и, в частности,,
теорема 5.1.2 в более общем виде содержатся в монографии [10], т. 2, гл. 12.
Двоичный максимальный оператор (5.2.1) является частным случаем максималь-
ного оператора по дифференциальному базису (см. [7]). Модифицированное ядро*
Дирихле (5.3.1) является в некотором смысле аналогом сопряженного тригоно-
метрического ядра Дирихле. Оно изучалось и использовалось Виллардом р].
Теорема 5.3.2 в части, касающейся сильного типа оператора Sni была доказана
Пэли [х]. Слабый тип этого оператора доказан Ватари [х]. По поводу аналогичных
утверждений для мультипликативных систем см. Янг [х].
Глава 6.
Для континуального аналога функций Уолша преобразование (6.1.1) (совпа-
дающее в этом случае с (6.1.2)) было введено Файном [2], а для общего случая
нуль-мерной локально компактной абелевой группы —Виленкиным [3].
Для симметричного набора т. е. в случае р_у = р,-, /=1, 2, ...» утвер-
ждения 6.1.3, 6.1.4, 6.1.5, 6.2.2, 6.2.3, 6.2.4 и 6.2.9 сформулированы в работе
Ефимова и Золотаревой р]. Утверждения 6.1.7, 6.3.1 и 6.3.2 доказаны Беспало-
вым [х]. Заметим, что, используя равенство Фурье — Планшереля 6.2.4, утвержде-
ние 6.1.7 можно легко установить с помощью интерполяционных теорем Рисса —
Торина (см. [28], с. 266—268). Утверждения 6.2.5 и 6.2.6 доказаны в работе
Ефимова и Золотаревой [2], 6.2.10, 6.2.11 и 6.2.13 доказаны Золотаревой [х],
я 6.2.12, 6.2.14 и 6.2.15— Беспаловым [3].
Глава 7.
Теорема 7.1.1 о равномерной сходимости ряда Уолша с монотонными стремя-
щимися к нулю коэффициентами на любом интервале (6, 1), 0 < 6 < 1, по-види-
мому, впервые доказана в работе Шнейдера [х]. Теоремы об интегрируемости суммы
такого ряда в несобственном смысле, а также в смысле Л-интеграла, а также о принад-
лежности указанной суммы любому классу LP (0, 1) при 0 < р < 1 доказаны в работе
Рубинштейна [х]. В этой же его работе построен пример ряда Уолша с монотон-
ными стремящимися к нулю коэффициентами, сумма которого не интегрируема
пэ Лебегу на (0, 1). Аналог теоремы 7.1.3 для случая системы Уолша в нумера-
ции Качмажа доказан Балашовым [х], а теорема 7.1.4 принадлежит Морицу [х].
Основной результат § 7.2 (теорема 7.2.4) принадлежит Яно р].
Основной результат § 7.3—теорема 7.3.6—в общем случае систем характеров
принадлежит Тиману (см. Тиман, Рубинштейн [х]). Для системы Уолша это уста-
новлено также Морицем [х].
Глава 8.
Теорема 8.1.2 доказана Радемахером [х], 8.1.3 — Колмогоровым, 8.1.4, 8.1.5,
Хинчиным (см. Колмогоров, Хинчинр]). Отметим, что Хаагерупом [х] найдены точ-
ные значения констант Ар и Вр в неравенствах Хиычина
\1/2 /г!
2 а1)
V=o / \g
р \{/Р / п \ 1/2
dx ) <ВР\ 2 ак )
J \*=0 J
п
2
k = 0
для 0 < р < оо.
Результаты §§ 8.2, 8.3 доказаны Моргенталером р], а частный случай теоремы
В.2.5 (для nft = 2*, т. е. для системы Радемахера) —Качмажем и Штейнгаузом [х].
По поводу более общих результатов о лакунарных рядах см. обзорные статьи
Гапошкина р] и Уэйда [4].
Глава 9.
Теорема 9.1.2 является аналогом для системы Уолша теоремы Колмогорова
о существовании всюду расходящегося ряда Фурье по тригонометрической систе-
ме (см. [2] с. 412 — 421). Пример, приведенный в § 9.1, представляет собой упро-
щенный вариант конструкции Муна р], предназначенной для более общего резуль-
тата. Первый пример всюду расходящегося ряда Фурье —Уолша был построен
Шиппом р], [2|, см. также Хеладзе [х]. Этим примерам предшествовал пример
ряда Фурье —Уолша, расходящегося почти всюду (см. Стейн [х]). Для мультипли-
кативных систем примеры расходящихся всюду рядов Фурье построены Хеладзе [2]
в случае, когда последовательность {pj из (1.5.1) ограничена, и Симоном р]
в общем случае. О других обобщениях теоремы Колмогорова см. Бочкарев р]
я Ульянов [2].
Теорема 9.2.1 принадлежит Билларду [х], перенесшему на случай системы
Уолша методы доказательства теоремы Карлесона [х]. Приводимое в § 9.2 доказа-
тельство заимствовано у Ханта [х]. По поводу более общих результатов см. Сьёлин
|1]. На мультипликативные системы при условии, что Pi = p при всех t, где
{р/} — последовательность (1.5.1), теорема 9.2.1 перенесена Хантом и Тейблсоном
I1], а при условии ограниченности последовательности {р/}—Госселином [xj.
Глава 10.
Результаты § 10.1 принадлежат Голубову [3]. Однако неравенство
£Л(/)л<12©(1/п, f), п=1, 2, ...,
которое менее точно, чем левое из неравенств (10.1.10), можно вывести в качестве
следствия из одной теоремы Надя J1]. Необходимость утверждения теоремы 10.1.4
также можно вывести из результата Надя р]. Отметим, что левое из неравенств
(10.1.10) является точным в том смысле, что неравенство
Еп f)
не может быть справедливым для всех непрерывных функций f и всех натураль-
ных п, если С < 1.
Теоремы 10.2.1—10.2.6 доказаны Ульяновым р], а теорема 10.2.7—Хааром р].
Утверждения теорем 10.2.8—10.2.10 установлены Голубовым [3].
Предложения 10.3.1 —10.3.3 доказаны Ульяновым!1], 10.3.4—10.3.11— Голу-
бовым [8].
Все результаты § 10.4, кроме 10.4.7, 10.4.8 и 10.4.15, принадлежат Ульяно-
ву р]. Утверждения 10.4.7 и 10.4.8 хорошо известны (см., например, книгу Зиг-
мунда [10], т. 1, с. 54 — 57), а 10.4.15 установлено Голубовым [3]. Для систем
характеров см. также Тиман, Рубинштейн р].
Утверждение 10.5.1 в случае приближения функциями Уолша установлено
Ватари [2], а в общем случае—Ефимовым р]. Утверждение 10.5.2 сформулиро-
вано в работе Ефимова р].
Глава 11.
Доказательство утверждений 11.1.1 и 11.1.2, а также идея доказательства
11.1.5 даны в работе Ефимова и Золотаревой р]. Утверждения 11.1.7, 11.1.8 и
11.2.3 приводятся впервые. Формулировки теорем 11.2.1 и 11.2.2 приведены в
работе Ефимова и Каракулина р]. Доказательство 11.2.4 дано Жуковым р], хотя
представление матрицы U7 в виде произведения однотипных матриц и переход
при вычислениях к новому базису впервые предлагались в работе Ефимова и Ка-
ныгина f1]. Оценки спектральных коэффициентов в § 11.3 даны Беспаловым [3],
р], но отдельные частные случаи этих оценок содержатся в работе Каныгина р).
Результат § 11.4 принадлежит Жукову [2], формулировки теорем § 11.5 приведе-
ны в работе Поспелова [2] (см. также Ефимов и Поспелов р]), а доказательства
этих теорем, любезно предоставленные А. С. Поспеловым, публикуются впервые.
Глава 12.
Изложение основ цифровой фильтрации дано в статье Кайзера р] в книге
[6] и в монографии [27]. Построение цифровых фильтров на базе функций Уолша
и общих мультипликативных преобразований рассматривается в работах Робин-
сона и Грейдера р], Хармута [Ч (см. также монографии [24] и [25], работы
Гуда I1], Татахара и Прабхакара р], Тубольцева р], [2]). Предложенный алгоритм
числовой фильтрации является обработкой алгоритма Тубольцева.
Комментарии к § 12.2 даны в тексте этого параграфа.
Результаты § 12.3 принадлежат Лесину р] (см. также Ефимов, Лесин I1]).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
I. МОНОГРАФИИ И УЧЕБНИКИ
1. Агаев Г. Н., Виленкин Н. Я., Джафарли Г. М., Рубиз-
штейн А. И. Мультипликативные системы функций и гармонический аналин
на нуль-мерных группах.—Баку: Элм, 1981.
2. Бари Н. К. Тригонометрические ряды.— М.: Физматгиз, 1961.
3. Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области.—
М.: Наука, 1964.
4. Владимиров В. С. Уравнения математической физики.— 3-е изд., пере-
раб. и доп.— М.: Наука, 1981.
5. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей.— М.: Наука, 1969.
6. Гольд Б., Рейдер Ч. Цифровая обработка сигналов.— М.: Сов. радио, 1973.
7. Гусман М. Дифференцирование интегралов в Rn — М.: Мир, 1978.
8. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функ-
ций в комплексной области.— М.: Наука, 1966.
9. Зелкин Е. Г. Построение излучающей системы по заданной диаграмме
направленности.— М.: Гссэнергоиздат, 1963.
10. Зигмунд А. Тригонометрические ряды.— М.: Мир, 1965.— Т. 1, 2.
11. Камке Е. Интеграл Лебега—Стилтьеса.— М.: Физматгиз, 1959.
12. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов.— М.: Физ-
матгиз, 1958.
13. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функ-
ционального анализа.— М.: Наука, 1981.
14. Курош А. Г. Курс высшей алгебры.— М.: Наука, 1975.
15. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н.
Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа.— М.: Наука, 1967.
16. Л оэв (Loeve М.) Теория вероятностей.— М.: ИЛ, 1962.
17. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной.— 3-е изд.—
М.: Наука, 1974.
18. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы.— М.: Наука, 1973.
19. Рудин (Rudin W.) Fourier analysis on groups.— New York: John Wiley and
Sons, 1967.
20. Сакс С. Теория интеграла.— M.: ИЛ, 1949.
21. Тейблсон (Taibleson М. Н.) Fourier analysis on local fields.— Princeton:
Princeton University Press, 1975.
22. Трахтман A. M., Трахтман В. А. Основы теории дискретных сигна-
лов на конечных интервалах.— М.: Сов. радио, 1975.
23. Харди Г. Расходящиеся ряды.— М.: ИЛ, 1951.
24. Хармут X. Передача информации ортогональными функциями.— М.:
Связь, 1975.
25. Хармут X. Теория секвентного анализа.— М.: Мир, 1980.
26. Хемминг Р. В. Численные методы для научных работников и инжене-
ров.— М.: Наука, 1968.
27. Хемминг Р. В. Цифровые фильтры.— М.: Сов. радио, 1980.
28. Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ. Т.1.—М.: Наука,
1975; Т. 2.—М.: Мир, 1975.
29. Федоров Б. Ф., Эльман Р. И. Цифровая голография.— М.: Наука, 1976.
30. Ярославский Л. П., Мерзляков Н. С. Методы цифровой гологра-
фии.— М.: Наука, 1977,
II. ЖУРНАЛЬНЫЕ СТАТЬИ
Арутюнян Ф. Г.
1. Восстановление коэффициентов рядов по системам Хаара и Уолша, сходя-
щихся к функциям, интегрируемым по Данжуа Ц Изв. АН СССР. Сер.
мат.— 1966.— Т. 30, № 2.— С. 325—344.
Арутюнян Ф. Г., Талалян А. А.
1. О единственности рядов по системам Хаара и Уолша // Изв. АН СССР. Сер.
мат.— 1964.—Т. 28, № 6.—С. 1391—1408.
Балашов Л. А.
1. О рядах по системе Уолша с монотонными коэффициентами // Сиб. мат.
журн.—1971,—Т. 12, № 1.—С. 25—39.
Балашов Л. А., Рубинштейн А. И.
1. Ряды по системе Уолша и их обобщения // Итоги науки. Математический
анализ, 1970.—М.: ВИНИТИ, 1971.—С. 147—202.
Беспалов М. С.
1. Мультипликативные преобразования Фурье в LP—М., 1981.— 21 с.— Деп.
в ВИНИТИ, № 100—82.
2. О равенстве Парсеваля и приближении функций рядами Фурье по мульти-
пликативной системе // Применение функционального анализа в теории при-
ближений : Межвуз. темат. сб.— Калинин: КГУ, 1982.—С. 28—42.
3. Сжатие информации с помощью дискретных мультипликативных преобразо-
ваний Фурье // Сборник трудов МИЭТ.— М.: МИЭТ, 1982.—С. 91—97.
4. Мультипликативные преобразования Фурье // Теория функций и приближе-
ний: Тр. Саратовской зимней шк., 24 янв.— 5февр. 1982 г.— Саратов: Сарат.
ун-т, 1983.—С. 39—42.
Биллард (Billard Р.)
1. Sur la convergence presque partout des series de Fourier —Walsh des fonctions
de Г espace L2 (0, 1) // Studia Math.— 1967.—V. 28, № 3, P. 363—388.
Блюмин С. Л.
1. О линейных методах суммирования рядов Фурье по мультипликативным
системам // Сиб. мат. журн.— 1968.— Т. 9, № 2.— С. 449—455.
2. Некоторые свойства одного класса мультипликативных систем и вопросы
приближения функций полиномами по этим системам // Изв. вузов. Мате-
матика.— 1968.— № 12.— С. 24—28.
Блюмин С. Л., Котляр Б. Д.
1. Операторы Гильберта — Шмидта и абсолютная сходимость рядов Фурье//Изв.
АН СССР. Сер. мат.— 1970.—Т. 34, № 1.—С. 209—217.
Бочкарев С. В.
1. Метод усреднений в теории ортогональных рядов и некоторые вопросы тео-
рии базисов // Тр. МИАН.—1978.—Т. 146.
2. О коэффициентах Фурье — Уолша// Изв. АН СССР. Сер. мат.— 1970.— Т. 34,
№ 1.—С. 203—208.
В а т а р и (Watari С.)
1. On generalized Walsh —Fourier series. I // Proc. Japan Acad.— 1957.— V. 73,
N 8.—P. 435—438.
2. Best approximation by Walsh polynomials // Tohoku Math. J.— 1963.— V. 15,
N 1.—P. 1—5.
3. Mean convergence of Walsh — Fourier series 11 Tohoku Math. J.—1964.—V. 16,
N 2.—P. 183—188.
Виленкин H. Я.
1. Об одном классе полных ортогональных систем // Изв. АН СССР. Сер.
мат.— 1947.—Т. 11.—С. 363—400.
2. Дополнения //Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных
рядов.— М.: Физматгиз, 1958.
3. К теории интегралов Фурье на топологических группах //Мат. сб.— 1952.—
Т. 30 (72), № 2.—С. 233—244.
Виленкин Н. Я., Зотиков С. В.
1. О скрещенном произведении ортонормированных систем функций // Мат.
заметки.— 1973.— Т. 13, 3.— С. 469—480.
Виленкин Н. Я., Рубинштейн А. И.
1. Одна теорема С. Б. Стечкина об абсолютной сходимости и ряды по системам
характеров нуль-мерных абелевых групп Ц Изв. вузов. Математика.—1975.—
№ 9,— с. 3—9.
Гапошкин В. Ф.
1. Лакунарные ряды и независимые функции Ц Успехи мат. наук.— 1966.—Т.
21, № 6.— С. 3—82.
Голова С. Ю.
1. Дискретное мультипликативное преобразование Фурье и оценка его спектраль-
ной плотности И Методы цифровой обработки изображений.— М.: МИЭТ,
1982. С. 45—56.
Голубов Б. И.
1. О рядах Фурье непрерывных функций по системе Хаара // Изв. АН СССР.
Сер. мат.—1964.—Т. 28, № 6.—С. 1271—1293.
2. Ряды по системе Хаара // Итоги науки. Математический анализ. 1970. — М.:
ВИНИТИ, 1971.
3. Наилучшие приближения функций в метрике L„ полиномами Хаара
и Уолша Ц Мат. сб.— 1972.—Т. 87, № 2.—С. 254—274.
Госселин (Gosselin J.)
1. Almost everywhere convergence of Vilenkin — Fourier series // Trans. Amer.
Math. Soc.— 1973.— V. 185.—P. 345—370.
Гуд (Good J.)
1. The interaction algorithm and practical Fourier analysis // J. Royal Stat. Soc.
(London).—1958.—V. B-20. P. 361—372.
Ефимов A. B.
1. О некоторых аппроксимативных свойствах периодических мультиплика-
тивных ортонормированных систем Ц Мат. сб.— 1966.— Т. 69, № 3.— С.
354—370.
2. О верхних гранях коэффициентов Фурье —Уолша // Мат. заметки.— 1969.— Т.
6, № 6.—С. 725—730.
3. О суммировании дискретного преобразования Фурье методом Валле
Пуссена // Тезисы докладов Всесоюзного симпозиума по теории аппроксима-
ции функций в комплексной области.—Уфа.: Изд-во БФ АН СССР.—1976.—
С. 33.
4. Об аппроксимативных свойствах дискретных преобразований Фурье //Методы
цифровой обработки информации: Сб. науч. тр. МИЭТ.— М.: МИЭТ, 1980.— С.
33—45.
5. Аппроксимативные свойства обобщенных мультипликативных систем // Крат-
кие сообщения Международного математического конгресса. VII. Секция 9.
Часть II.— Варшава, 1983.—С. 49.
Ефимов А. В., Золотарева С. Ю.
1. Мультипликативный интеграл Фурье и некоторые его применения // Док л.
АН СССР.— 1978.—Т. 242.—С. 517—520.
2. Мультипликативный интеграл Фурье и его дискретные аналоги // Analysis
Mathematics (Будапешт).—1979.— Т. 5.— С. 179—199.
Ефимов А. В., Каныгин В. С.
1. Один из алгоритмов вычисления дискретных преобразований типа Ада-
мара Ц Сборник научных трудов по проблемам микроэлектроники. Физ.-мат.
серия.— Вып. 22.—М.: МИЭТ, 1976.—С. 161—174.
Ефимов А. В., Каракулин А. Ф.
1. О континуальном аналоге периодических мультипликативных ортонормиро-
ванных систем // Докл. АН СССР.— 1974.— Т. 218. С. 268—271:
Ефимов А. В., Лесин В. В.
1. Решение одного интегрального уравнения с помощью системы функций Кре-
стенсона—Леви // Применение методов теории функций и функционального
анализа к задачам математической физики: Труды совещания.— Новосибирск,
1979.— С. 44—47.
Ефимов А. В., Поспелов А. С.
1. Интегральные преобразования, связанные с локально компактными груп-
пами // Тезисы докладов Международной конференции по теории приближе-
ния функций.— Киев, 1983.
Жуков Д. М.
1. О реализации алгоритма мультипликативного дискретного преобразования
Фурье И Методы цифровой обработки информации.— М.: МИЭТ, 1980.— С.
51—59.
2. Эквивалентность одномерного и двумерного преобразования Крестенсона —
Леви^/ Методы цифровой обработки изображений.— М.: МИЭТ, 1982. —С.
Золотарева С. Ю.
• 1. Частотные свойства мультипликативного преобразования Фурье // Методы
цифровой обработки информации.—М.: МИЭТ, 1980.— С. 82—93.
Ионеда (Yoneda К.)
1. On absolute convergence of Walsh—Fourier series //Math. Jap.— 1973.— V. 18,
N I.—P. 71—78.
Кайзер Д. (Kaiser J. F.)
1. Цифровые фильтры //Голд Б., Рейдер Ч. Цифровая обработка сигна-
лов.— М.: Сов. радио, 1973.
Каныгин В. С.
1. Вопросы аппроксимации дискретными преобразованиями в конечномерных
векторных пространствах // Применение функционального анализа в теории
приближений.— Вып. 5.—Калинин: КГУ.—1975.—С. 37—44.
Карлесон (Karleson L.)
1. On convergence and growth of partial sums of Fourier series // Acta Math.—
1966.—V. 116, N 1, 2.—P. 135—157.
Качмаж (Kaczmarz S.)
1. Uber ein Orthogonalsystem // Compt Rend, du I Congr. de math, des pays
slaves.— Warsawa, 1929.— S. 189—192.
Качмаж, Штейнгауз (Kaczmazz S., Steinhaus H.)
1. Le system orthogonal de M. Rademacher.— Studia Math.— 1930.— N 2.— P.
231—247.
Колмогоров A. H.
1. Untersuchungen uber Integralbegriff //Math. Ann.— 1930.—V. 103.—P.
654—696.
Колмогоров A. H., Хинчин А. Я.
1. Konvergenz der Reihen, deren Glieder durch den Zufall bestimmt werden//Мат.
сб.— 1926.—T. 32, № 3.—С. 668—677.
Котельников В. А.
1. О пропускной способности «эфира» и проволоки в электросвязи. Материалы
к I Всесоюзному съезду по вопросу реконструкции дела связи и развития
слаботочной промышленности.— М.: Упр. связи РККА, 1933.
Крестенсон (Chrestenson Н. Е.)
1. A class of generalized Walsh functions//Pacific. J. Math. 1955.— V. 5, №1.—
P. 17—32.
Криттенден, Шапиро (Crittenden R. B., Shapiro V. L.)
1. Sets of uniqueness on the group 2® // Ann. Math.— 1965.—V. 81, N 3.— P.
550—564.
Кури (Coury J. E.)
1. A class of Walsh M-sets of measure zero // J. Math. Anal. Appl.—1970.—V.
31, N 2.—P. 318—320.
Леви П. (Levy P.)
1. Sur une generalisation des fonctions orthogonales de M. Rademacher // Com-
ment. math, helv.— 1944.— V. 16.—P. 146—152.
Лесин В. В.
I. Об аналоге системы функций отсчетов, соответствующем функциям Уолша //
Мат. заметки.— 1977.— Т. 21, № 4.— С. 485—493.
Лисовец Ю. П., Поспелов А. С.
1. Голографическое преобразование Уолша // Применение ортогональных мето-
дов при обработке сигналов и анализе систем: Межвуз. сб.— Свердловск:
УПИ, 1981.—С. 69—73.
2. Мультипликативные голографические преобразования для обработки изобра-
жений // Методы цифровой обработки изображений: Сб. науч. тр. МИЭТ,—
М. МИЭТ, 1982.—С. 100—109.
Маклафлин (McLaughlin J. R.)
1. Absolute convergence of series of Fourier coefficients // Trans. Amer. Math.
Soc.—1973.—V. 184.—P. 291—316.
Mo ргенталер (Morgentaler G. W.)
1. On Walsh — Fourier series // Trans. Amer. Math. Soc.— 1957.— V. 84, N 2.— P.
472—507.
Мориц (Moricz F.)
1. On Walsh series with coefficients tending monotonically to zero 11 Acta Math.
Acad. Sci. Hung.—1981.—V. 38, N 1—4.—P. 183—189.
Мун (Moon К. H.)
1. An everywhere divergent Fourier—Walsh series of the class L (log+ log+ L)1”8 //
Proc. Amer. Math. Soc.— 1975.—V. 50.—P. 309—314.
Надь (Szokefalvi-Nagy B.)
1. Approximation properties of orthogonal expansions // Acta sci. Math.—
1953/54.—V. 15, P. 31—37.
О н e в и p (Onneweer C. W.)
1. On uniform convergence for Walsh —Fourier series // Pacific J. Math.—
1970.—V. 34, N 1.—P. 117—122.
Поспелов A. C.
1. Об одном классе факторизуемых матриц // Short communication (abstract)
International congress math. Warszawa, 1982.— Warszawa, 1983.
2. О некоторых свойстзах Р-ичной производной // Всесоюзная школа по тео-
рии функций, посвященная 100-летию со дня рождения академика Н. Н. Лу-
зина (10—19 сент. 1983 г.).— Кемерово: Кемеровский ГУ, 1983.
Прайс (Price J. J.)
1. Certain group of orthonormal step functions // Canad. J. Math.—1957.— V. 9,
N 3.—P. 413—425.
Пэли (Paley R.E.A.C.)
1. A remarkable series of orthogonal functions // Proc. London Math. Soc.—
1932.—V. 34.—P. 241—279.
Радемахер (Rademacher H.)
1. Einige Satze fiber Reihen von allgemeinen Orthogonal funktionen.— //
Math. Ann.—1922.—V. 87.—S. 112—138.
Робинсон, Грейдер (Robinson G. S., Grander R.)
1. A design procedure for nonrecursive digital filters on Walsh functions // Proc,
of Simposium on Applications of Walsh functions, Washington, 1971.— Wa-
shington.— 1971.—P. 95—98.
Рубинштейн А. И.
1* А-интеграл и ряды по системе Уолша // Успехи мат. наук.— 1963.— Т. 18,
№ 3.—С. 191—197.
2. О модулях непрерывности функций, определенных на нуль-мерной группе //
Мат. заметки.— 1978.— Т. 23, № 3.— С. 379—388.
3, О модулях непрерывности и наилучших приближениях в функций, пред-
ставимых лакунарными рядами Уолша // Изв. вузов. Математика.— 1983.—
№ 5.—С. 61—68.
Скворцов В. А.
1. Дифференцирование относительно сетей и ряды Хаара // Мат. заметки.—
1968.—Т. 4, № 1.—С. 33—40.
2. Вычисление коэффициентов всюду сходящегося ряда Хаара // Мат. сб.—
1968.—Т. 75, № 3.—С 349—360.
3. О рядах Хаара, сходящихся по подпоследовательностям частичных сумм //
Докл. АН СССР.— 1968.—Т. 183, № 4.—С. 784—786.
4. Некоторые обобщения теоремы единственности для рядов по системе Уол-
ша // Мат. заметки.— 1973.— Т. 13, № 3. — С. 367—372.
5. Пример ряда Уолша со всюду сходящейся к нулю подпоследовательностью
частичных сумм // Мат. сб.— 1975.— Т. 97, № 4.— С. 517—539.
6. Об одном примере нуль-ряда по системе Уолша// Мат. заметки.—1976.— Т.
19, № 2.—С. 179—186.
7. Теоремы единственности для рядов Уолша, суммируемых методом (С, 1) // Вест.
МГУ. Сер. мат.— 1976.—Т. 5.—С. 73—80.
8. Об условии единственности представления функций рядами Уолша // Мат.
заметки.— 1977.—Т. 21, № 2.—С.— 187—197.
9. О h-мере М-множеств для системы Уолша // Мат. заметки.— 1977.— Т. 21,
№ 3.—С. 335—340.
10. On Fourier series with respect to the Walsh—Kaczmarz system // Analysis
Math.—1981.—T. 7, N 2.—P. 141—150.
И. Об одном примере {/-множества для системы Уолша // Вест. МГУ. Сер.
мат.—1982,—Т. 5.—С. 53—55.
Симон (Simon Р.)
1. On the divergence of Vilenkin—Fourier series // Acta math. Hung.—1983.— V.
41, N 3—4.—P. 359—370.
Стейн (Stein E. M.)
1. On limits of sequences of operators // Ann. Math.— 1961.—V. 74, N 1.— P.
140—170.
С ь ё л и н (Sjolin)
1. An inequality of Paley and convergence a. e. of Walsh — Fourier series//Arkiv
math.— 1969.—V. 7, N 6.—P. 551—570.
Татахар, Прабхакар (Tatachar M., Prabhakar J. C.)
1. Design of digital Walsh filters // Proceedings of the Region VIEEE conference
digest Electrical Engineering for this Decade.—N. Y., 1976.— P. 192—193.
Тиман M. Ф., Рубинштейн А. И.
1. О вложении классов функций, определенных на нуль-мерных группах // Изв.
вузов. Математика.—1980.—№ 8.— С. 66—76.
Тубольцев М. Ф.
1. Быстрый алгоритм фильтрации в базисе периодических мультипликативных
функций.— Деп. в ВИНИТИ, № 2020—81.
2. О построении быстрого алгоритма фильтрации в базисе функций Уолша —
Пэли на основе неполной факторизации матрицы дискретного преобразова-
ния.—Деп. в ВИНИТИ, № 2045—81.
Ульянов П. Л.
1. О рядах по системе Хаара // Мат. сб.— 1964.— Т. 63, № 3.— С. 356—391.
2. А. Н. Колмогоров и расходящиеся ряды Фурье//Успехи мат. наук.— Т. 38,
№ 4 (232).—С. 51—90.
3. Вложение некоторых классов функций Я® // Изв. АН СССР. Сер. мат.—
1968.—Т. 32, № 3.—С. 649—686.
Уолш (Walsh J. L.)
1. A closed set of normal orthogonal functions 11 Amer. J. Math.— 1923.— V.
45.—P. 5—24.
Уэйд (Wade W. R.)
1. A uniqueness theorem for Haar and Walsh series 11 Trans. Amer. J Math.
Soc.—1969.—V. 141.—P. 187—194.
2. Summing closed (/-sets for Walsh series // Proc. Amer. Math. Soc.— 1971.— V.
29, N 1.—P. 123—125.
3. Growth condition and uniqueness for Walsh series // Michigan Math. J.—
1977,— v. 24.—P. 153—155.
4. Recent development in the theory of Walsh series // Internat. J. Math.,
Math. Sci.— 1982.— V. 5, N 4.—P. 625—673.
Файн (Fine N. J.)
1. On the Walsh functions // Trans. Amer. Math. Soc.— 1949.— V. 65, N 3.— P.
372—414.
2. The generalised Walsh functions // Trans. Amei. Math. Soc.— 1950.—V.
69.—P. 66—77.
3. Cesaro summability or Walsh—Fourier series // Proc. Nat. Acad. Sci. USA.—
1955.—V. 46, N 8.—P. 588—591.
4. Fourier—Stieltjes series of Walsh functions // Trans. Amer. Math. Soc.—
1957.— V. 86, N 1.—P. 246—255.
X а аге p у n (Haagerup V.)
1. Les melleures constantes de 1’inegalite de Khinchine // Compt. Rend. Acad.
Sci.— 1978,—AB286, N 5,— P, A259—262.
X a a p (Haar A.)
1. Zur theorie der orthogonalen Funktionensysteme // Matti. Ann.—1910, Bd.
69. —S. 331—371.
Хант (Hunt R. A.)
1. Almost everywhere convergence of Walsh —Fourier series of L2 functions//Actes
Congr. int. mathematiciens, 2, 1970.—Paris.—1971.— P. 655—661.
Хант, Тейблсон (Hunt R. A., Taibleson M. H.)
1. Almost everywhere convergence of Fourier series on the ring of intergers of
local field Ц SIAM J. Math. Anal.—1971.—V. 2, N 4.—P. 607—624.
Хармут (Harmuth H. F.)
1. Sequence filter based on Walsh functions // IEEE Trans, on Electromag-
netic compatibility.— 1968.— V. 10,— N 3.— P. 293—295.
Хеладзе III. B.
I. О расходимости всюду рядов Фурье—Уолша // Сообщ. АН Груз. ССР.—
1975.-Т. 77, № 2.—С. 305—307.
2. О расходимости всюду рядов Фурье по ограниченным системам Виленки-
на // Труды Тбилисского математического института АН Груз. ССР. Вып. 58,
1978.—С. 225—242.
Ш и п п (Schipp F.)
1. Uber die Grossenordnung der Partialsummen der Entwiklung integrierbarer
Functionen nach W-sy st emen // Acta Sci. math., 1967.—Bd. 28, N 1—2.— S.
123—134.
2. Uber die Divergenz der Walsh —Fourierreihen // Ann. Univ. Sci. Budapest.
Sec. math.- 1969.—Bd. 12.-S. 49—62.
3. О некоторых перестановках рядов по системе Уолша // Мат. заметки.—
1975.—Т. 18, № 2.—С. 193—201.
Шнейдер А. А.
1. О рядах по функциям Валыпа с монотонными коэффициентами // Изв.
АН СССР. Сер. мат.—1948.—Т. 12.—С. 179—192.
2. О единственности разложений по системе функций Уолша // Мат. сб.,—
1949.— Т. 24.—С. 279—300.
3. О сходимости рядов Фурье по функциям Уолша // Мат. сб.— 1954.— Т. 34,
№ 3.—С. 441—472.
Янг (Young W.-S)
1. Mean convergence of generalized Walsh — Fourier series.— Trans. Amer. Math.
Soc.—1976.—V. 218.—P. 311—320.
Яно (Yano S.)
1. On Walsh — Fourier series // Tohoku Math. J.— 1951.— V. 3, N 2.— P. 223—242.
2. On approximation by Walsh functions // Proc. Amer. Math. Soc.— 1951.—V.
2, N 6.—P. 962—967.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютно сходящиеся ряды Уолша 66
Алгоритм быстрый ДМП, ДПФ 252, 288
— получения цифровой голограммы 298
— Тубольцева 333
Базис псевдокомплексный 261
Вариация функции 54
Вектор информационный 297
Голограмма информационного вектора
298
Голография цифровая 291
Группа 315
— коммутативная (абелева) 315
— метрическая 318
— G двоичных последовательностей 13
— 6<Р) 29
- 6(^) 33
- G(?') 34
Групповое вычитание Q 13, 29
— сложение ф 13, 29
Двоичная сеть 11
Двоичный интервал 11
Диаграмма направленности 300, 307
Дискретизация мультипликативного пре-
образования 243
Дискретное преобразование Уолша
(ДПУ) 262
-----Фурье (ДПФ) 262
Задача оптимизации дискретного из-
лучателя 307
—-------начального условия диффу-
зионного процесса 310
Замкнутость системы в гильбертовом
пространстве 328
— — Уолша 62
7 - {х«} 73
запись числа двоичная 10
— — Р-ичная 29
Излучатель дискретный 307
Инвариантность интеграла относительно
сдвига 41
Интеграл А 156
— Колмогорова 331
— Лебега 321
— Лебега — Стилтьеса 323
— Римана — Стилтьеса обобщенный 82
Интегральный модуль непрерывности 5&
Квази положительность ядра метода
(С, 1) 101
Класс множеств вполне аддитивный,
(о-аддитивный) 318
Классы Липшица 49
Кодирование зонное 262
Константы Лебега 46
Континуальный аналог мультипликатив-
ной системы 33, 34
Коэффициент сжатия информации 262
Коэффициенты Фурье — Уолша 41, 64
--------локальные 191
Лакунарная по Адамару последователь-
ность 170
— подсистема 166
Лакунарный ряд Уолша 170
Мажоранта интегрируемая 153
Матрица (р, 0-факторизуемая 278
-----, критерий 282
Матрица (wn 21
Мера Лебега’ 319
— Лебега — Стилтьеса 319
— Хаара на группе 320
Метод парциальных диаграмм 308
— суммирования (С, 1) 96
-----линейный 96, 97
-----регулярный 97
Метрика 317
— пространства Ьр 208
— равномерная 202
Множество борелевское 317
Множество измеримое по Лебегу 319
— компактное 317
— типа Fa 171
— Л-измеримое 320
— Р-ично целых функций порядка не
выше г 241
* k
- Х„ 15
Модифицированная частная сумма 119
Модифицированное ядро Дирихле 119
Модифицированный луч 35
— отрезок [0, 1]* 13
-----[0, 1]*р 30
Модуль непрерывности в L2 209, 241
-----в I/ 209, 222
-----интегральный 55
-----со (6, /) 49
-----ю(6, /) 49
-----сог(/) (^-модуль) 129
-----со<?) (/) 239, 241
Мультипликативные системы 30
Наилучшее приближение в метрике U*
полиномами по системе Уолша 208
---------------------- {%п} 238
--------------Р-ично целыми функ-
циями 241
-----полиномами Уолша в равномерной
метрике 202
Непрерывности модуль — см. Модуль
непрерывности
Неравенство Гельдера 208, 326
— для констант Лебега 46
— Коши — Буняковского 326
— Минковского 210, 326
-----обобщенное 326
— слабого типа для оператора 113
— Чебышева ИЗ
Нуль-ряд по системе Уолша 92
Нумерация Пэли 10, 330
Оператор максимальный Харди — Литт-
лвуда 117
— сублинейный 113
— Hf 119
— Xf 117
Операция ф на группе G 13
----------G(P) 29
-----на множестве неотрицательных
целых чисел 16
-----на полуинтервале [0, 1) 17
— ©на группе G(Р) 29
Ортогональность функций Уолша 12
Отображение g: [0, 1) G 16
“ £Р: [0, 1)->G(P) 31
-gy [0, оо)(Я 35
— X: G [0, 1] 14
Отображение Хр: G (Р) —> [0, 1] 30
- ^:С(Я-И0, оо) 35
Отрезок модифицированный [0, 1]* 13
Оценка коэффициентов Фурье — Уолша
64
Полином по системе Уолша 22
Полнота системы в гильбертовом прост-
ранстве 328
-----Уолша 61
-----(XJ 72
Последовательность выпуклая 158
— квазивыпуклая 159
— сетей И
— фундаментальная 318
— Р 29
— ? 33
— Я 34
Преобразование Абеля 149
— дискретное голографическое 297, 298
-----мультипликативное обратное 252
--------прямое (ПДМП) 251
----------, реализация 256
-----, порожденное матрицей 289
-----Уолша (ДПУ) 262
-----, факторизуемость 285
-----Фурье (ДПФ) 262
— мультипликативное для /£1Л(0, оо)
обратное 133
-----для [0, оо) прямое 126
-----для [0, оо) 127
— Фурье — Уолша 42
Признак Дини — Липшица 52
— Жордана 54
— сходимости ряда Фурье — Уолша в
точке 58
Признаки равномерной сходимости 48—
53
Принцип локализации для рядов
Фурье — Уолша 57
-----для средних значений по пачкам
266
Произведение скрещенное систем 36
— формальное ряда Уолша на полином
89, 90
— функций Уолша 10
Производная по бинарной последова-
тельности сетей 59, 60
---------------верхняя 78
----------------нижняя 78
Пространство банахово 325
— гильбертово 327
— интегрируемых функций 325
— компактное 317
— линейное (векторное) 325
----- нормированное 325
— локально компактное 318
— метрическое 317
----- полное 318
Пространство непрерывных функций 325
— с мерой 318
Равенство Парсеваля 328
---для мультипликативной системы
73
---для системы Уолша 63
— Фурье—Планшереля 135
Разложение двоичное 13
— Р-ичное 30
Ранг двоичного интервала 11
— двоичной сети И
Расстояние р* на полуинтервале [0, 1)
20
— рв на группе G 20
Регулярность метода (С, 1) 98
Ряд лакунарный 170
— по системе Уолша 26
----------общий 74
----------с квазивыпуклыми ко-
эффициентами 157
----------с монотонными коэффи-
циентами 149
— Фурье по мультипликативной систе-
ме 71
— Фурье — Стилтьеса по системе Уолша
74
----------------обобщенный 82
— Фурье — Уолша 40
------- из L2 189
-------, расходящийся всюду 185
Свертка функций 43
— 5^-ичная несимметричная 128
--------мультипликативных преобра-
зований 244, 245
Сдвиг
Сеть ранга k 11
Сжатие информации с помощью ДМП
262
---, коэффициент 262
---, оптимальный способ 262
Сигнал отфильтрованный 288
Сильный тип (р, р) оператора 113
Система Крестенсона — Леви 300
— мультипликативная 30
---, ортонормированность 32
---, континуальный аналог 33
— Прайса 30, 330
— Радемахера 166
— Уолша на группе 14
— Уолша на полуинтервале 10
— Хаара 24, 25
Скрещенное произведение систем 36
Слабый тип (р, р) оператора ИЗ
Соотношение ортогональности 12
Спектр двумерного числового массива
Спектр мощности 292
— фазовый 292
— числового массива 254
Суммируемость методом (С, 1) ряда'
Фурье — Стилтьеса почти всюду 110
----------Фурье — Уолша почти всю-
ду 111
----------------равномерная 103
Сходимость подпоследовательностей
S л(х, f) почти всюду 60
2
---S л(х, [) равномерная 49
— ряда Фурье — Уолша в точке 58
---------- равномерная 48—55
--------функций из L2 почти всюд1
189
Теорема Банаха — Штейнгауза 327
— Винера — Пэли 240
— Егорова 320
— единственности для рядов Уолша'
61, 89
— Карлесона, аналог 189
— Колмогорова о расходящемся ряде
Фурье 332
----------------, аналог 185
— Котельникова, аналог 140
— Лебега 324
— Леви 324
— локализации для общих рядов Уол-
ша 191
— Лузина 320
— Марцинкевича интерполяционная.
113, 114
— Мерсера 329
— Рисса Ф. 328
— Рисса — Фишера 328
— Фубини 324
— центральная предельная для систе-
мы Уолша 177
— Юнга, аналог 140
Условия абсолютной сходимости ряда
Уолша 67
— равномерной сходимости ряда Уол-
ша — см. Признаки равномерной схо-
димости
— Теплица регулярности метода сумми-
рования 98
Фактор-группа 316
Фильтр цифровой 288
---, отклик 288
Фильтрация цифровая 288, 333
Формула для частной суммы ряда Фурье
по системе 71
------------- фурье — Уолша 45
— для ядра К ц (х) 99
•Функции равноизмеримые 228
— Радемахера 9
— Уолша на группе 14
----на полуинтервале [0, 1) 10
— %”, *). X *') 35
Функционал линейный 327
Функция интегрируемая в несобственном
смысле 153
----по Лебегу 321
— максимальная двоичная 117
— множества 318
— ограниченной вариации 54, 322
— простая 42, 321
— распределения 112
— суммируемая 321
— характеристическая 42, 167
— Р-ично целая порядка не выше г 240
— ^-непрерывная в точке 129
Хаара система 24, 25
Характер группы 15
Цифровая голография 291
— фильтрация 288, 333
Числа двоично-рациональные 13
— Р-ично-рациональные 30
Ядро Дирихле для системы Уолша 27
-------------модифицированное 119
---------- {Хп} 32
---для функции х(х» х') 37
— метода (С, 1) 99
— Хаара 211
Л-интеграл 156
М-множество 95
{/-множество 95
р*-непрерывность равномерная 50
Дорис Иванович Голубов, Александр Васильевич Ефимов, Валентин Анатольевич Скворцов
РЯДЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ УОЛША
Редакторы А. И, Рубинштейн, М. М. Горячая Художественный редактор Г. М. Коровина
Технический редактор С. Я. Шкляр Корректор Н. Б. Румянцева
ИБ № 12563
Сдано в набор 24 .06.86. Подписано к печати 05.02.87. Формат 60x90/16. Бумага книжно-
журнальная. Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл. печ. л. 21,5. Усл. кр.-отт. 21,5.
Уч.-изд. л. 25,77. Тираж 6250 экз. Заказ № 3116. Цена 3 р ЗО К,
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени МПО «Первая Образ-
цовая типография» имени А. А. Жданова Союзполиграфпрома при Государственном комитете
СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 1 13054 Москва М-54,
Валовая, 28
Отпечатано в типографии № 2 издательства «Наука». 121099 Москва Г-99, Шубинский пер., 6.
Заказ 489