Из истории возникновения математического анализа. Математика, кибернетика №11/1985

Author: Юшкевич А.П.
Tags: математический анализ функциональный анализ новое в жизни науке технике - серия математика кибернетика брошюра знание
Year: 1985
Similar
Развитие понятия интеграла
Хрестоматия по истории математики
Пути и лабиринты. Очерки по истории математики.
История математики. Том 1
Text
                    МАТЕМАТИКА. ,
КИБЕРНЕТИКА >

ПОДПИСНАЯ НАУЧНО-ПОПУЛЯРНАЯ СЕРИЯ	1985 11

А.П. Юшкевич

ИЗ ИСТОРИИ
ВОЗНИКНОВЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
НОВОЕ В ЖИЗНИ, НАУКЕ, ТЕХНИКЕ

ПОДПИСНАЯ НАУЧНО-ПОПУЛЯРНАЯ СЕРИЯ

МАТЕМАТИКА,
КИБЕРНЕТИКА

11/1985

Издается ежемесячно с 1967 г.

А. П. Юшкевич

Издательство «Знание» Москва 1985
ББК 22.161
Ю96

Адольф Павлович ЮШКЕВИЧ — доктор физико-математических
наук, профессор, заслуженный деятель науки РСФСР. Специалист
по истории математики, работает в институте истории естество-
знания и техники АН СССР.

Рецензент: Л. Д. Кудрявцев — член-корреспондент АН СССР.

СОДЕРЖАНИЕ

1.	Античная прелюдия ...............................  3

2.	Инфинитезимальная математика в средние века .... 7

3.	Научная революция Нового времени и математика . . .10

4.	На подступах к математическому анализу............,13

5.	Метод неделимых................ч...................14

6.	Метод интегральных сумм в трудах П. Ферма и Б. Паскаля 19

7.	Циклоида: исследования Ж. Роберваля................21

8.	Задачи на спрямление кривых и вычисление площадей
поверхностей.......................................  .	22

9.	Построение касательных и отыскание экстремумов ... 22

10.	Организация научных исследований..................26

11.	Разложения в бесконечные степенные ряды...........26

12.	Успехи дифференциальной геометрии.................29

13.	Связь между квадратурами и построением касательных . . 30

14.	И. Ньютон.........................................33

15.	Метод флюксий.....................................36

16.	Г. В. Лейбниц.....................................42

17.	Начала дифференциального и интегрального исчисления
Литература............................................44

Юшкевич А. П.

Ю96 Из истории возникновения математического ана-
лиза. — М.: Знание, 1985. — 48 с. — (Новое в жизни,
науке, технике. Сер. «Математика, кибернетика»;
№ 11).

11 к.

В брошюре коротко рассказано об истории математического анализа от
древнейших времен до эпохи Ньютона и Лейбница, т. е. до рубежа XVII—XVIII вв.
Основное внимание уделено инфинитезимальным методам древних греков, в част-
ности Архимеда, оказавшим большое влияние на становление математического
анализа в XVII в., а также некоторым направлениям математической мысли
времен средних веков. Рассмотрено развитие методов решения задач, отно-
сящихся, по существу, R дифференциальному и интегральному исчислению,
учению о бесконечных рядах и решению обыкновенных дифференциальных
уравнений.

Выпуск адресован лекторам, преподавателям и слушателям народных
университетов.

1702050000	ББК 22.161

51

© Издательство «Знание», 1985 г.
Математическим анализом называют
совокупность наук, общим предметом
изучения которых являются функции пе-
ременных величин. Еще Л. Эйлер два
с половиной века назад писал, что весь
«анализ бесконечных» вращается вокруг
переменных и их функций. С тех пор1
понятие функции было широко обобще-
но, так же как и понятие инфините-
зимальных, т. е. бесконечно малых и бе-
сконечно больших величин, но слова Эй-
лера сохраняют свою силу и поныне.

Отправным пунктом развития матема-
тического анализа (далее для сокраще-
ния мы часто будем говорить: анализ)
явилось дифференциальное и интеграль-
ное исчислениё, разработанное в послед-
ней трети XVII и начале XVIII в.
И. Ньютоном и независимо Г. В. Лейб-
ницем. В анализе Ньютона и Лейбница
содержались ростки и других разделов
математики, вскоре ставших относитель-
но самостоятельными, таких, как исчис-
ление конечных разностей, теория обык-
новенных дифференциальных уравнений,
вариационное исчисление и применявше-
еся во всех них, хотя еще не обосо-
бившееся учение о бесконечных рядах.
В XIX—XX вв. рамки анализа чрезвы-
чайно раздвинулись: даже простое пере-
числение входящих в него разделов за-
няло бы не одну страницу.

Математическим анализом называют и
более узкую группу наук, изучаемых на
младших курсах университетов, педаго-
гических институтов и высших техниче-
ских учебных заведений. Она включает
начала теории функций, дифференциаль-
ное и интегральное исчисление, общую
теорию рядов. Мы проследим историю
возникновения математического анализа
в этом более узком смысле слова до эпохи

Ньютона и Лейбница включительно. К
этому времени инфинитезимальные ме-
тоды имели уже более чем двухтыся-
челетнюю историю, к которой мы и обра-
тимся прежде всего.

1.	АНТИЧНАЯ ПРЕЛЮДИЯ

Самые ранние известные сегодня ма-
тематические тексты — древнеегипетские
папирусы и шумеро-вавилонские клино-
писные таблички — свидетельствуют, что
уже к концу III тысячелетия до н. э.
народы, обитавшие на плодородных зем-
лях бассейнов Нила и Тигра с Евфра-
том, обладали значительными знаниями
по арифметике и геометрии, достаточ-
ными для решения задач хозяйственной
и административной жизни. Установий-
шиесяв них социальные формации бь!ли
стабильными, и этому соответствовало,
насколько известно, стабильное состоя-
ние математики, долгое время не под-
нимавшейся над уровнем, достигнутым
около 2000 г. до н. э. Однако и на этом
этапе математике была присуща тенден-
ция к саморазвитию, постановке и реше-
нию отвлеченных задач алгебраического
и теоретико-числового характера. До соз-
дания стройных дедуктивных систем, по-
добных геометрии в «Началах» Евклида,
было еще далеко, но математики Древ-
него Востока уже владели отдельными
приемами дедукции, которые мы теперь
называем алгебраическими преобразова-
ниями й геометрическими построениями.
О математике других столь же древних
цивилйзаций того времени мы ничего
или почти ничего не, знаем. Судя по
сходству социальных формаций, сущест-
вовавших тогда в Индии, Китае и т. д.,
можно полагать, что и в них был накоп-
лен примерно такой же запас элемен-
тарных знаний.

Египет и Вавилон представляют для
истории науки особый интерес потому,
что они сыграли немалую роль в ста-
новлении всей древнегреческой культуры,
а тем самым культуры средних веков,
а затем Нового времени.

Мы не находим, однако, на Древнем
Востоке каких-либо признаков идеи мате-
матической бесконечности, хотя реша-
лись отдельные задачи, позднее стиму-
лировавшие развитие инфинитезималь-
ных методов, таких, как, например, из-
мерения круга и объема пирамиды. В
первом случае дело не пошло далее приб-
лижений, достаточных для тогдашней
практики и соответствующих приближе-
ниям л=3 или л=3 1/8. Об умении
вычислять объем пирамиды по данным
основанию и высоте свидетельствует пра-
вило определения объема усеченной пи-
рамиды с квадратным основанием. Одни
результаты могли быть найдены эмпи-
рически, другие с помощью сравнитель-
но элементарных геометрических опера-
ций вроде разбиения объема на более
простые фигуры, составленные из пира-
мид специального вида, кубов и т. п.

Математическая бесконечность, на-
сколько известно, явилась принципиаль-
но новым элементом древнегреческой,
или эллинской, культуры, стремительное
развитие которой, началось в VIII—
VII вв. до н. э. в материковой Греции
и греческих поселениях на значитель-
ной части побережья и островах всего
Средиземноморья, а также Черного моря.
Такие поселения существовали и в дельте
Нила и в Малой Азии. Не может быть
сомнений во влиянии древневосточной
культуры на греческую, хотя точных све-
дений о том, что именно позаимство-
вали при этом греки, не имеется. Во
всяком случае, выработанная ими за ко-
роткое время система философского и
научного, в частности математического,
мышления оказалась весьма далекой
от египетской или вавилонской. В Греции
впервые возникли рациональные фило-
софские системы, наука логики, дедук-
тивные математические теории, астроно-
мические модели Вселенной, элементы
естественных наук. На первом этапе
научные исследования тесно переплета-
лись с натурфилософскими построени-
ями, и тесная идейная связь математики
с философией сохранялась и в дальней-
шем, когда эти области знания отдели-
лись друг от друга.

Точно датировать время появления
идеи бесконечного мы не можем. Воз-
зрения представителей ранних натурфи-
лософских школ VII—V вв. до н. э.—
ионийской с центром в крупном поли-
тическом, экономическом и культурном
полисе (городе) Милете (на берегу Ма-
лой Азии), пифагорейской, первым цент-
ром которой явился Кротон в Южной
Италии, элейской (по названию горо-

да Элея в той же Южной Италии) —
дошли до нас в более позднем изложе-
нии, не очень далеком во времени, но
не всегда беспристрастном и ясном, или
в виде отдельных фрагментов и цитат,
в точности которых нет полной уверен-
ности. По-видимому, идея бесконечности
возникла у мыслителей ионийской шко-
лы, стремившихся объяснить все мно-
гообразие реального мира как следствие
превращений некоторого материального
первовещества — «воды», или влажной
субстанции (Фалес), «апейрона» (Анак-
симандр), «воздуха» (Анаксимен) или
«огня» («отец диалектики» Гераклит).
Само слово але/Qog означает беспре-
дельный, или бесконечный. В середине
V в. уроженец Ионии Анаксагор, неко-
торое время живший и учивший в Афи-
нах, отказался от принципа единой миро-
вой субстанции и принял существова-
ние бесчисленных качественно разнород-
ных элементов, «семян вещей». В это
время идея бесконечного и связанные
с нею понятия непрерывного и дискрет-
ного уже активно обсуждались в раз-
личных философских школах й среди ма-
тематиков. Анаксагор принимал беско-
нечную делимость и возможность сколь
угодно большого увеличения непрерыв-
ных величин: «В малом не существует
наименьшего, но всегда есть еще мень-
шее, также и для большого постоянно
имеется большее». В противоположность
Анаксагору его младший современник
Демокрит из Абдеры во Фракии явился
крупнейшим представителем чисто мате-
риалистического атомизма, распростра-
ненного им и на математику.

С именем Пифагора Самосского связа-
но слишком много разноречивых легенд,
чтобы можно было уверенно судить о
его личном вкладе в философию и науку,
но школа, основанная им во второй по-
ловине VI в. до н. э., наложила пе-
чать на весь дальнейший прогресс ма-
тематики. Два пункта должны быть
особенно подчеркнуты, притом вовсе не
относящиеся к открытию так называе-
мой теоремы Пифагора, которая впол-
не могла быть заимствована извне и
только впервые доказана в общем слу-
чае пифагорейцами. Это прежде всего
концепция математики как дедуктивной
науки, предметом которой служат отвле-
ченные геометрические фигуры и числа —
вклад пифагорейцев в арифметику нату-
ральных чисел, их отношений и пропор-
ций весьма внушителен. Это, далее,
убеждение в том, что во Вселенной гос-
подствуют математические закономер-
ности, частью геометрические, частью
арифметические, выражающиеся целыми
числами и их отношениями. Математи-
зация естествознания восходит к пифа-
горейцам, понимавшим ее, однако, еще
в весьма узком смысле. Несостоятель-
ность пифагорейской трактовки количест-
венных закономерностей Вселенной, не-
достаточность арифметики для их позна-
ния, обнаружились не позднее середи-
ны V в. до н. э., когда в самой школе
Пифагора было доказано — в предпо-
ложении непрерывности — существова-
ние несоизмеримых отрезков. Это имело
большое значение для всего последую-
щего развития инфинитезимальной мате-
матики.

В середине V в. до н. э. математика
выступает уже как разветвленная де-
дуктивная наука. Появляются специа-
листы математики. Именно в это время
Гиппократ Хиосский написал первые
«Начала», от которых до нас дошел фраг-
мент, посвященный квадрируемым луноч-
кам. Вместе с тем с большой остро-
той встают трудные проблемы, внутрен-
не присущие идеям бесконечности, непре-
рывности и движения. Об этом^ свиде-
тельствуют знаменитые «апории» (бук-
вально: трудности) современника Анак-
сагора — Зенона, ученика Парменида
из города Элеи в Южной Италии. В
элейской школе с большой тонкостью
были разработаны принципы логических
умозаключений и, по-видимому, впервые
введен прием «апагогического» доказа-
тельства истинности какого-либо предло-
жения с помощью приведения к противо-
речию допущения, что оно неистинно.

Апории Зенона мы знаем в поздней-
шей передаче, допускающей различные
истолкования. Но как бы их ни интерпре-
тировать, несомненно, что они вместе с
открытием несоизмеримости вызвали
своего рода кризис только-только нарож-
давшейся инфинитезимальной математи-
ки. Этот античный кризис наряду с по-
ложительным эффектом имел и отрица-
тельное последствие, преградив путь
обобщению некоторых плодотворных
идей и методов.

Еще при жизни Зенона или немногим
позднее Демокрит первый из греков опре-
делил объемы пирамиды и конуса, хотя
и без «доказательства», как позднее пи-
сал Архимед, и, быть может, установил
зависимость между объемом и площадью
поверхности шара, представляя себе его
как совокупности крайне малых недели-
мых элементов вроде пирамидок с верши-
ной в центре. Собственные выводы Де-
мокрита не сохранились. К ним, вероят-
но, восходит позднейший метод недели-
мых.

С именем афинского софиста (V в.
до н. э.) Антифона связана другая весь-
ма эффективная идея — неограниченная
аппроксимация искомых величин с по-
мощью последовательностей неограни-
ченно приближающихся к ним извест-
ных величин. Антифон использовал эту
идею, пытаясь решить классическую за-
дачу квадратуры круга, т. е. построения
с помощью циркуля и линейки квад-
рата, равного по площади данному кругу.
Он вписывал в круг правильный много-
угольник — хотя бы треугольник, а за-
тем, удваивая всякий раз число сторон,
получал последовательность многоуголь-
ников со все уменьшающимися сторона-
ми. Из возможности квадрирования эле-
ментарными средствами любого много-
угольника и все большего приближения
его площади к площади круга Анти-
фон сделал вывод о возможности квад-*
ратуры круга. Ход рассуждений Анти-
фона неизвестен. То ли он считал, что
многоугольник с очень большим числом
очень маленьких сторон сливается с кру-
гом, то ли он мыслил многоугольники
с актуально бесконечным числом точеч-
ных сторон. Выдающиеся греческие мыс-
лители, например Аристотель (384—322
до н. э.), отвергли квадратуру круга
Антифона как несовместимую с принци-
пами классической геометрии.

Как бы то ни было, выход из труд-
ностей, свойственных идее бесконечного,
был найден в том, что математики отка-
зались от явного ее употребления и даже
упоминания: во всех известных нам тру-
дах эпохи расцвета греческой науки нет
терминов для наименования бесконечно
малой или большой величин предела,
дадсе переменной величины и функции.
Все эти понятия, хотя ими фактически
пользовались, не были определены и не
стали предметом исследования. Со вре-
мени выдающегося математика и астро-
нома первой половины IV в. до н. э.
Евдокса Книдского выводы инфинитези-
мальной математики проводятся по «ме-
тоду исчерпывания», как его называли
в XVII в.,— методу, с нашей точки зре-
ния, представляющему собой начальный
вариант метода предельного перехода.
Самому Евдоксу принадлежат замеча-
тельные достижения: разработка общей
теории отношений и пропорций, охваты-
вающей также случай несоизмеримых ве-
личин (заменившей древним теорию дей-
ствительного числа),-формулировка из-
вестной аксиомы Евдокса — Архимеда,
исключающей употребление актуально
бесконечно малых величин, и первые при-
меры доказательств теорем с помощью
метода исчерпывания. Сочинения Евдок-
са не сохранились, их вытеснили более
поздние труды Евклида и Архимеда, но
известно, что он оказал большое влияние
на своих современников. Архимед припи-
сывает Евдоксу строгий «геометриче-
ский» вывод теорем об объемах пира-
миды и конуса, ранее высказанных Де-
мокритом: весьма вероятно, что Евдокс
также доказал предложение о том, что
площади двух кругов находятся в том
же отношении, что площади квадратов,
построенных на их диаметрах. Вывод
этого предложения имеется в знаменитых
«Началах» Евклида, работавшего в
Александрии около 300 г. до н. э.—
вскоре после закладки Александром Ма-
кедонским этого города, ставшего на
многие века крупнейшим научным цент-
ром.

Исключив метйд неделимых из числа
строго доказательных средств математи-
ческого рассуждения, греки продолжали
им пользоваться как средством открытия
новых теорем. В высокоразвитой и чрез-
вычайно утонченной форме применял его
в сочетании с принципами статики Архи-
мед (287—212 до н. э.), изложивший
в послании к александрийскому астро-
ному и математику Эратосфену целый
ряд новых теорем, впервые найденных
Хаким образом, но в трудах, предназ-
наченных для всего ученого мира дока-
занных им по методу исчерпывания. Так
были первоначально выведены квадра-
тура параболического сегмента, объемы
шара и его сегмента, затем сегментов

эллипсоида, параболоида и двуполого ги-
перболоида вращения, ряда центров тя-
жести и т. д. Судьба этого замечатель-
ного сочинения неясна. Рукопись его бы-
ла обнаружена только в начале нашего
столетия. Вполне возможно, однако, что
архимедова традиция продолжалась ка-
ким-то образом и в средние века не
только в арабских странах и далее в
Европе, но, быть может, и в Китае. Вооб-
ще влияние Архимеда на судьбы инфи-
нитезимальной математики вплоть до
XVII в. было огромным.

Существовали различные схемы мето-
да исчерпывания, нам для примера до-
статочно кратко рассмотреть суть одной
из таких схем.

Предпосылкой метода исчерпывания
служат: 1) аксиома Евдокса — Архи-
меда (для любых двух данных нерав-
ных однородных величин некоторое крат-
ное меньшей превосходит большую) и
вытекающее из нее предложение, соглас-
но которому, если от большей величи-
ны отнять больше ее половины, от остат-
ка больше его половины и т. д., то мож-
но, повторяя процесс, получить величи-
ну меньшую, чем меньшая величина, и
2) общая теория отношений Евдокса.

Для определения искомой величины
S образуются две бесконечные после-
довательности известных монотонно воз-
растающих щ, ^2, иПу ... и убывающих
Уь V2, иПу ... величин, обладающих
тем свойством, что для всех значений п

un<S<vn	(1)

и для произвольной положительной ве-
личины в существует такое число п, что,
начиная с этого номера,

vn — un<z,	(2)

а следовательно,

S — vn — S<8.	(3)

Величины и„ и п выбираются так, что для
всех них существует известная величина
Т с тем свойством, что

un<T<vn.	(4)

В таком случае

S=T.	(5)
Для доказательства примем сперва, что
S>7\ Тогда в силу (3) при некотором
п будет иметь место S—un<S—Т, т. е.
un>Tf что противоречит условию (4).
Если же допустить, что S<T, то в силу
(3) при некотором п получим vn—S<
<Т— 5, т. е. vn<ZT, что опять-таки не-
возможно. Следовательно, S=Tt что и
требовалось доказать.

Античная схема передана здесь в на-
шей терминологии и обозначениях. Древ-
ние греки, как сказано, не употребля-
ли инфинитезимальных терминов и ка-
кой-либо символики, все выражая слова-
ми. Такая манера изложения имела сво-
им следствием почти полное отсутствие
общих теорем о предельных переходах
и утомительное повторение при решении
каждой новой задачи принципиально
одинаковых рассуждений, сводящихся, с
нашей точки зрения, к установлению
единственности предела сходящейся мо-
нотонной последовательности. Что каса-
ется технических средств вычислений,
они были еще довольно бедными, но
в нескольких случаях (кубатура сегмен-
тов эллипсоидов и гиперболоидов, квад-
ратура спирали и других) величины, обо-
значенные выше unt vn, представляют со-
бой у Архимеда — опять-таки, с нашей
точки зрения,— нижние и верхние ин-
тегральные суммы для функций f(x) =
=х и f(x)=x\ пределами которых яв-

ляются S zdz и соответственно S z2dz.

о	о

Во втором случае Архимед использо-
вал правило суммирования ряда квадра-
тов натуральных чисел, известное, между
прочим, еще в Древнем Вавилоне.
Другой примечательный результат Архи-
меда, полученный им при определении
поверхности шара и шарового сегмента,

а

мы бы выразили интегралом §sin ср dcp=
о

= 1 — cos а. Отметим еще, что при
построении касательной к спирали,
носящей сейчас его имя, Архимед исполь-
зовал, разумеется в совершенно иной тер-
минологии, бесконечно малый треуголь-
ник в полярных координатах, впоследст-
вии названный Лейбницем характеристи-
ческим.

Заслуживает внимания отличие Архи-
меда от Евклида в использовании ме-

тода исчерпывания. Из теоремы Евкли-
да об отношении площадей кругов, ра-
зумеется, следует, что отношение пло-
щади круга к площади квадрата на его
диаметре постоянно, но в «Началах» не
ставится вопрос о вычислении этой кон-
станты, т. е., по-нашему, числа л/4. Ар-
химед в сочинении об измерении круга
прежде всего доказывает по методу ис-
черпывания, что круг равен по площади
прямоугольному треугольнику, катеты
которого равны длине окружности и ра-
диусу круга. После этого, вычисляя пе-
риметры некоторых вписанных и опи-
санных правильных многоугольников, он
заключает отношение длины окружности
к ее диаметру в границы: 3	<л< 3 у .

2.	ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНАЯ
МАТЕМАТИКА В СРЕДНИЕ ВЕКА

Метод исчерпывания был вслед за Ар-
химедом применен в средние века' От-
дельными арабскими математиками.’Са-
бит ибн Корра (830—901) - по-новому
квадрировал сегмент параболы: разде-
лив диаметр параболы некоторым спе-
циальным образом на неравные части, он
проделал вычисление, равносильное ИН-

fl

тегрированию S -\jxdx, — первое инте-
о

грирование нецелой рациональной функ-
ции f(x)=x2. Ибн ал-Хайсам (965—

1039), просуммировав ряд S £4, опреде-
лил объем некоторого параболического
тела вращения и вычислил, согласно На-
fl

шей символике, интеграл 5 x4dx.
о

Архимедовская традиция сохранялась
и в средневековой Европе, где спер-
ва с арабского, а в 1269 г. и с гре-
ческого были переведены на латынь,
ставшую общим языком ученых, его
сочинения. Однако подлинное возрож-
дение и новое развитие античных ин-
финитезимальных методов — недели-
мых и исчерпывания — явилось в Ев-
ропе делом более позднего времени.
С другой стороны, существенное зна-
чение приобрела разработка некоторых
математических проблем, отправным
пунктом которых явились натурфилософ-
ские сочинения Аристотеля и его по-
следователей, а также классические тру-
ды Птолемея о системе и Ибн ал-
Хайсама по оптике.

Века, последовавшие за распадом
Римской империи, были в Европе спер-
ва временем резкого культурного и науч-
ного спада, а затем и качественно
отличного нового подъема, в котором
важную роль сыграли и контакты с
арабским миром. Так, постепенно в За-
падной Европе распространяется ин-
дийско-арабская десятичная позицион-
ная нумерация, гораздо более совер-
шенная, чем вытесняемая ею римская,
алгебра (до квадратных уравнений вклю-
чительно), начала тригонометрии.
В XIII—XIV вв. научный прогресс ус-
коряется, возникают первые универси-
теты в Париже, Оксфорде, Кембридже
и других городах. Р. Гроссетест (1175—
1253) и Р. Бекон (ок. 1214—1294), ра-
ботавшие в Оксфорде, а второй также
в Париже, явились пионерами нового
течения натурфилософской мысли, хо-
тя мировоззрение их было стеснено ре-
лигиозными догматами. Оба они от-
стаивали ту мысль, что миропознание
должно опираться на опыт и наблю-
дение, оба возрождали античную про-
грамму математизации естественных на-
ук. Польский ученый XIII в. Вителло,
обучавшийся в Париже, написал «Опти-
ку», близкую к аналогичному труду
Ибн ал-Хайсама. В оптике использова-
лись предложения «Конических сечений»
Аполлония, младшего современника Ар-
химеда. Вителло был другом фламанд-
ского ученого Виллема из Мербеке,
автора упомянутого перевода сочине-
ний Архимеда. Так возникали между-
народное научное сообщество и вместе
Ci тем национальные научные школы.

Средние века были периодом преоб-
ладания элементарной математики. Но в
XII—XV вв. оживает интерес к инфини-
тезимальным проблемам как в методо-
логическом, так и в математическом
плане. Оставляя в стороне тонкие дис-
куссии о природе бесконечного и соот-
ношении непрерывного и дискретного,
нам следует остановиться на оригиналь-
ном направлении научной мысли в
XIV в., расцветшем в Оксфорде под

названием калькуляций и в Париже
учение о широте и долготе форм
или качеств, обладающих той или
иной степенью интенсивности, и под не-
которыми другими названиями. Отправ-
лявшиеся от некоторых идей Аристотеля,
обе школы, крупнейшими представите-
лями которой в Оксфорде был Р. Суайнс-
хед, или Суисет (ок. 1350), а в Пари-
же Н. Оресм (ок. 1323—1382), были
очень близки идейно и безусловно меж-
ду собой связаны. В парижской шко-
ле особенно отчетливо был представ-
лен геометрический аспект калькуляций.
Н. Бурбаки назвал учения, о кото-
рых идет речь, зачаточной формой тео-
рии изменения величин как функций
времени и графического представления
таких функций.

Если отвлечься от своеобразной тер-
минологии школы Оресма, то предметом
ее изучения служили различные зави-
симости между непрерывными, вообще
говоря, величинами, например, скоро-
стями или пройденными путями и вре-
менем, которые он изображал для на-
глядности горизонтальными отрезками и
отрезками, проведенными к ним под од-
ним и тем же углом, преимуществен-
но ортогонально. Концы второй катего-
рии отрезков образуют непрерывную
линию, так называемую линию интен-
сивности. Было бы необоснованным
усмотреть здесь аналитическую геомет-
рию в смысле Декарта и Ферма: нет
еще речи о координатах отдельных точек
и об алгебраических уравнениях плос-
ких линий. Но понятие переменной ве-
личины выступает отчетливо и притом
характеризуется кинематически; оно, од-
нако, не становится еще центральным
в математике. Изменение величин мыс-
лится как их течение, fluxus; такая
терминология получит широкое распро-
странение в XVII в., а выражение
«текущие координаты» сохраняется и в
наши дни. Для понятия функции тер-
мина пока нет, все изучаемые зависи-
мости описаны словесно и изображены
графически: ведь алгебра тогда еще на-
ходилась лишь на пути к созданию спе-
циальной символики. Но Оресм уже про-
водит некую классификацию функций.
Он различает три основных типа ка-
честв:

1.	Равномерные, мы бы сказали — с
постоянной ординатой и линией интен-
сивности, параллельной оси абсцисс.

2.	Равномерно-неравномерные, у кото-
рых разности ординат любых двух
функций пропорциональны разностям со-
ответствующих абсцисс. Линия интенсив-
ности — наклонная прямая, которая, в
частности, может проходить через нача-
ло координат.

3.	Неравномерно-неравномерные —
все остальные, причем Оресм различа-
ет много разновидностей: простые, ко-
гда линия интенсивности единая, на-
пример дуга окружности или эллипса, и
сложные, являющиеся комбинациями
дуг предыдущих линий, в частности
ступенчатые ломаные.

Весьма важным достижением обеих
школ является введение понятий мгно-
венной скорости и мгновенного уско-
рения, которых не знала древность и к
которым подошли в своих астрономиче-
ских трудах Сабит ибн Корра и ал-
Бируни (973—1048).

Одним из наиболее замечательных ре-
зультатов рассмотренной теории были ис-
следование равномерно-неравномерного
качества, иначе говоря, равномерно ус-
коренного движения и доказательство
равносильности такого движения равно-
мерному со скоростью, равной средне-
арифметическому начальной и конечной
скоростей. Геометрический вывод этой
теоремы у Оресма основан на равно-
великости треугольника abc и прямо-
угольника afgb, высота которого равна
половине высоты треугольника (рис. 1).
Здесь скорости изображены отрезками,
ортогональными к горизонтальным от-
резкам, изображающим время, а вся пло-
щадь изображает величину пройденного
пути. На рис. 1 показан случай, когда
начальная скорость нулевая. Если она
отлична от нуля, строится трапеция,
состоящая из такого же треугольника,
лежащего на прямоугольнике, верти-
кальная сторона которого равна началь-
ной скорости. Впрочем, речь идет не обя-
зательно о скорости «местного движе-
ния», как тогда выражались, а о лю-
бом таком «качестве» или такой «фор-
ме». Вся трактовка этого вопроса сви-
детельствует о том, что ученые, открыв-
шие приведенную теорему, руководство-
вались инфинитезимальной концепцией
взаимосвязи между скоростью движе-

Рис. 1

ния и пройденным путем. Правда, эта
инфинитезимальная интуитивная подо-
снова не высказана явно. Кроме того,
закон рассматривается в чисто отвле-
ченном плане, вне связи с пробле-
мой падения тяжелых тел. Сходство
вывода закона падения таких тел в пу-
стоте у Галилея (опубл, в 1638 г.) с вы-
водом Оресма разительно, только у Гали-
лея инфинитезимальные рассуждения
выступают гораздо более отчетливо и он
отправлялся от задачи новой механи-
ки, подсказанной техникой артиллерии,—
задачи определения траектории брошен-
ных тел.

У Оресма встречается немало дру-
гих предвосхищений инфинитезимальной
математики XVII в. Для примера до-
статочно привести неограниченно протя-
женную фигуру с конечной площадью.
Так, взяв два прилегающих друг к дру-
гу единичных квадрата и разделив один
из них прямыми, параллельными ка-
кой-либо из его сторон, на прямоу-
гольники с высотами, равными ’/г, ’Л,
‘/в, ...» он строит из них ступенча-
тую фигуру (рис. 2), простирающуюся в
бесконечность и площадь которой выра-
жается бесконечным рядом 1 + */2+1 /4+
4-7в+ •• Фигура эта изображает дви-
жение, скорость которого в течение каж-
дого дня постоянна, но изо дня в день
уменьшается вдвое. Только за всю веч-
ность, писал Оресм, тело пройдет путь,
вдвое больший того, какой был прой-

Рис. 2

2 Серия «Математика» № 11

9
ден в первый день; вместе с тем вся-
кий отрезок пройденного пути меньше
удвоенного, пройденного за первый день.
Убывающие геометрические прогрессии,
известные еще древним, или несколько
более сложные сходящиеся бесконечные
ряды, приводящиеся к таким прогрес-
сиям, встречаются во многих задачах
Оресма.

Достижения оксфордской и париж-
ской школ оказали значительное влия-
ние на развитие инфинитезимальной ма-
тематики последующих веков вплоть до
Ньютона и Лейбница.

НАУЧНАЯ РЕВОЛЮЦИЯ НОВОГО
ВРЕМЕНИ И МАТЕМАТИКА

В большинстве стран Западной и
Центральной Европы в XV—XVI вв.
наступил период возрождения — ин-
тенсивного усвоения и переосмыслива-
ния греко-римского культурного насле-
дия во всех его аспектах.

В это время в наиболее развитых
странах Европы начинается переход от
феодальной формации к капитализму.
Социальные сдвиги сопровождались ра-
дикальными изменениями в идеологии,
мировоззрение освобождалось от обвет-
шалой схоластики и давления религиоз-
ных догматов, стеснявших даже круп-
нейшие умы средневековья. Начинался
первый этап научной революции, про-
должавшийся приблизительно с середи-
ны XVI до рубежа XVII и XVIII вв.

Первый мощный удар был нанесен
по системе мира Птолемея, поддержи-
вавшейся церковью: этой системе, кото-
рая отводила Земле и человеку на ней
центральное и привилегированное место
во Вселенной, Н. Коперник (1473—1543)
в 1543 г. противопоставил гелиоцентри-
ческую систему. О труде Коперника
Ф. Энгельс писал: «Отсюда начинает
свое летоисчисление освобождение есте-
ствознания от теологии... с этого вре-
мени пошло гигантскими шагами также
и развитие наук...»* Система Птолемея
господствовала полтора тысячелетия,
система Коперника утвердилась в пере-
довых умах за три четверти века и
была затем дополнена идеями Дж. Бру-

* Энгельс Ф. Диалектика природы. М., Полит-
издат, 1982, с. 8.

но (1548—1600), учившего о безгра-
ничности Космоса и бесчисленности
находящихся в нем миров, и закрепле-
на астрономическими наблюдениями
Г. Галилея (1564—1642), сделанными в
начале XVII в. с помощью изобретен-
ной незадолго перед тем зрительной тру-
бы. Тогда же И. Кеплер (1571 —1630)
принципиально усовершенствовал систе-
му Коперника, установив законы движе-
ния планет по эллиптическим орбитам
и сокрушив старинную догму о совер-
шенстве круговых движений, сохранен-
ных еще Коперником.

Вообще с конца XV в. великие науч-
ные и технические открытия следовали
одно за другим: введение книгопеча-
тания; открытие морских путей в Ин-
дию и Америку; кругосветные путеше-
ствия, доказавшие существование анти-
подов, ходящих как бы вниз голо-
вой; изобретения в картографии, ар-
тиллерийской и оптической технике,
гидравлике и гидростатике, исследова-
ния в биологии и т. д.

Новое естествознание нуждалось в но-.
вом математическом аппарате. Значи-
тельное развитие получила плоская и
сферическая тригонометрия и наряду с
ней техника вычислений, высшим дости-
жением которой в ту пору явилось
изобретение в конце XVI в. шотланд-
цем Дж. Непером (1550—1617) и не-
зависимо в начале XVII в. швейцар-
цем И. Бюрги (1552—1632) логарифмов.

С бурным ростом приближенных вы-
числений связано пополнение числовой
области иррациональными числами как
равноправными и рациональными. На
этом убедительно настаивал фламан-
дец С. Стевин (1548—1620), успешно
выступивший также пропагандистом де-
сятичных дробей (1585). Еще раньше, с
XIII и особенно с XV в. в алгебре
вошли в употребление отрицательные
числа. В странах Востока такое рас-
ширение понятия числа произошло
ранее; быть может, кое-что европейские
математики заимствовали у арабов.
Практическое овладение полем всех
действительных чисел было одной из
предпосылок создания математического
анализа.

Ведущей математической наукой
XVI в. стала алгебра, понимаемая
как теория алгебраических уравне-
ний' Итальянцы С. дель Ферро (1456—
1526) и Н. Тарталья (1500—1557) нашли
для кубического уравнения решение в
радикалах, впервые опубликованное в
1539 г. Дж. Кардано (1501 —1556), а
ученик последнего Л. Феррарй (1522—
1565) сделал то же для уравнения
четвертой степени. Тем самым была по-
ставлена общая проблема решения в ра-
дикалах любых алгебраических уравне-
ний, исследование которой впоследствии
привело к разработке теории групп.
С другой стороны, Кардано впервые
ввел мнимые числа, правила действий
с которыми разработал вскоре Р. Бомбел-
ли (ок. 1526—1573).

Не менее важным было формирова-
ние в XV—XVI вв. символической ал-
гебры, в котором участвовали многие
ученые разных стран. Завершающим
звеном разработки алгебраического ис-
числения явилась символика, предложен-
ная в конце XVI в. французом Ф. Виетом
(1540—1603), который ввел большие
латинские буквы как для входящих в
алгебраические уравнения параметров —
коэффициентов, так и для неизвест-
ных величин. В 1637 г. Р. Декарт
(1596—1650) значительно упростил ал-
гебраическую символику, сообщив ей по-
чти тот вид, который она имеет сей-
час. Создание оперативного алгебраи-
ческого исчисления и замена словес-
ного изложения преобразованием фор-
мул не только повысили эффективность
алгебраических исследований, но и под-
готовили почву для создания матема-
тического анализа, которое было бы
невозможным без опоры на алгебраи-
ческое исчисление.

Алгебра явилась лидирующей матема-
тической дисциплиной XVI столетия. Ви-
ет видел в ней самый верный путь
для математических исследований, веду-
щий к решению всех возникающих за-
дач. И хотя границы приложимости ал-
гебры были неясными, некоторые ученые
считали ее единственным регулярным ап-
паратом науки, как бы «универсальной
математикой». Но уже сам Виет факти-
чески выходил за эти границы, вступая
в область инфинитезимальной математи-
ки (1593). Так, он произвел «спрямле-
ние» окружности с помощью спирали
Архимеда, просуммировал убывающую
бесконечную геометрическую прогрессию

(это не было, конечно, новостью) и
получил посредством неявного перехода
к пределу первое чисто аналитическое
представление виде изящного бес-
конечного произведения, которое мы в со-
временном виде записали бы так:
VT-V 4+4^4+47 4
(сходимость этого произведения была до-
казана только в конце XIX в. Ф. Рудио).

Виет был превосходным знатоком ан-
тичной математической литературы, ко-
торая в XVI в. получает все более
широкую известность в научных кругах.
В том столетии вышло несколько гре-
ческих и латинских изданий «Начал»
Евклида, сочинений Архимеда, «Кони-
ческих сечений» Аполлония, латинский
перевод «Собрания» Паппа Александ-
рийского (III в.), важного источника
дополнительных сведений о достижениях
предшествующих математиков, содержа-
щего и оригинальные результаты ав-
тора.

В Новое время формируется и но-
вая, механическая картина мира, вытес-
няющая средневековую концепцию физи-
ки несводимых друг к другу явных и
скрытых качеств; одновременно прин-
цип детерминизма вытесняет телеоло-
гическое воззрение на природу.

При всех различиях философских и
религиозных взглядов ведущие ученые
сходятся в трактовке основных вопро-
сов методологии естествознания. Физи-
ческий мир представляется как бы ог-
ромным механизмом, взаимно связан-
ные части которого* регулярно функцио-
нируют, подобно часам, согласно неко-
торым неизменным законам. Такое срав-
нение высказал впервые, кажется, Оресм,
а затем часам уподобил «небесную ма-
шину» Кеплер. Р. Декарт пошел еще
далее, распространив понятие машины
на животных и сохранив сознательную
работу мысли только за человеком, а
некоторые его последователи перенес-
ли эту аналогию и на человека.

Поскольку мир, во всяком случае
физический, есть некий механизм, то
средством познания его должна быть
механика — наука о законах движе-
ния материи. Идея универсальной меха-
ники, если можно так выразиться, ста-
новится главенствующей в науке XVII,
а затем XVIII и части XIX в. Все зако-
ны Вселенной в конечном счете сво-
дятся к законам механики. В таком ду-
хе высказывались самые крупные уче-
ные от Галилея до Лапласа и позд-
нее.

Но универсальная механика есть
наука математическая и потому мате-
матика наряду с экспериментом дол-
жна была стать общим методом физи-
ческого познания. Традиции, восходящей
к античности и продолженной передо-
выми мыслителями средних веков, пред-
стояло теперь принять новое направле-
ние. «При таком положении вещей,—
писал Энгельс,— было неизбежным, что
первое место заняло элементарнейшее
естествознание — механика земных и не-
бесных тел, а наряду с ней, на служ-
бе у нее открытие и усовершенст-
вование математических методов. Здесь
были совершены великие дела».* И далее
Энгельс называет важнейшие из них —
разработку аналитической геометрии,
введение логарифмов, открытие диффе-
ренциального и интегрального исчисле-
ния. Все эти исследования знаменова-
ли собой подлинную революцию в ма-
тематике, соответствующую революции в
естествознании: революцию в методах
вычислений, геометрического и инфини-
тезимальных исследований. Взятые вме-
сте, они знаменовали смену периода
элементарной математики периодом пе-
ременных величин, первый этап которо-
го занимает все XVII столетие. Лидирую-
щая роль в математической науке перехо-
дит теперь от алгебры к математическо-
му анализу.

Создание аналитической геометрии —
первоначально только теории плоских ал-
гебраических кривых — явилось важ-
нейшим условием и отчасти стимулом
становления математического анализа,
хотя инфинитезимальные вычисления на-
чались в XVII в., несколько ранее.
Р. Декарт первый опубликовал изложе-
ние аналитической геометрии в труде
«Геометрия», составлявшем одно из
приложений к его ^Рассуждению о ме-
тоде», предназначенном дать общие пра-
вила научного рассуждения и уста-

* Энгельс Ф. Диалектика природы. М., Полит-
издат, 1982, с. 8.	к

новления истины (1637).* Здесь впервые |
появляются уравнения алгебраических |
кривых, главным образом конических j
сечений, т. е. кривых второго порядка, |
а также и отдельных линий высших ]
порядков. Координаты, входящие в эти ?
уравнения, рассматривались как пере-
менные величины. Энгельс совершенно
справедливо подчеркивал: «Поворотным ]
пунктом в математике была декартова ]
переменная величина. Благодаря этому
в математику вошли движение и тем са- ;
мым диалектика...»**

Уравнения кривых, рассмотренные в
«Геометрии», явились первыми примера-
ми функциональных зависимостей, запи-
санных в почти современной математи- <
ческой символике. Это нововведение име- ’
ло далекие последствия. Правда, тер-
минология не была еще приведена в соот-
ветствие с новыми понятиями. Декарт ве- ;
рил, что его аналитическая геометрия —
единственный регулярный метод решения
задач посредством построения их корней
как некоторых отрезков (координат) то-
чек пересечения соответствующим обра- §
зом подобранных кривых. Декарт разли- I
чал заданные и неизвестные величины.
Затем в употребление вошло выражение
«неопределенные величины», и только !
Ньютон и Лейбниц ввели в обиход но-
вой математики укоренившиеся термины: j
первый — флюенты, т. е. текущие ве- ;
личины, а второй — величины по- \
стоянные и переменные.

Как сказано, инфинитезимальные вы-
числения возродились в Европе еще до
первых публикаций по аналитической
геометрии. Существенную роль сыграло |
издание и изучение классиков греческой
науки — Архимеда, Аполлония, Паппа, j
но самый интерес к их трудам обусловлен J
был насущной необходимостью естество- 1

* Будет справедливым добавить, что незави-
симо от Декарта и в одно время с ним к построению J
аналитической геометрии пришел П. Ферма j
(1601 —1665), изложивший его в одной рукописи, *
которая, однако, не получила широкого распростра- i
нения, между тем как «Геометрия» Декарта и осо- •?
бенно ее последующие латинские издания, содер-
жавшие полезные комментарии и существенные
дополнения других авторов, стали отправным
пунктом работ крупнейших математиков второй
половины XVII в., в том числе Ньютона
и Лейбница.

** Энгельс Ф. Диалектика природы. М., Полит-
издат, 1982, с. 224.

/

..... J
знания и техники в новом методе —
анализе. С точки зрения аналиста,
работавшего на рубеже XVII и XVIII вв.,
возникавшие тогда задачи разделялись
на несколько групп: 1) дифференциро-
вание функций (определение скорости
движения по данному закону изменения
пройденного пути, отыскание экстрему-
мов величин, построение касательных
и т. д.), 2) интегрирование функций
(определение закона пути по данной ско-
рости, измерение фигур, отыскание цент-
ров тяжести и пр.) и 3) интегриро-
вание обыкновенных дифференциальных
уравнений (так называемая обратная
задача на касательные и др.). Во всех
этих и родственных задачах требова-
лось реализовать различные предельные
переходы, применяя бесконечно малые и
бесконечно большие величины. Помимо
того, быстрое расширение классов функ-
ций и кривых, изучение которых стало
потребностью как приложений, так и са-
мой математики, повлекло за собой
создание мощного аппарата разложения
функций в бесконечные степенные ряды,
почти единственным примером которых
ранее являлась бесконечная убывающая
геометрическая прогрессия и ряды, легко
к ней приводящиеся.

> ГО-3 ! О

К созданию математического анализа
ученые XVI и начала XVII в. подходи-
ли с разных сторон. Труды Архимеда,
дважды переведенные на латынь италь-
янцами Ф. Мавролико (1494—1575) и
Ф. Коммандино (1509—1575), явились
для многих исходными. Оба итальян-
ских ученых овладели античным мето-
дом исчерпывания и могли применять
его к новым задачам. Однако гро-
моздкость античных доказательств в эпо-
ху поиска универсальных математиче-
ских приемов, расцвета алгебры и при-
ближенных вычислений почти сразу ста-
ла восприниматься как серьезное пре-
пятствие. Требовалось упростить метод,
а для этого ввести новые понятия и
установить общие их свойства. Сказан-
ное относится и к теории пропорций
Евдокса — Евклида, которая нуждалась
в сближении с арифметикой действи-
тельных чисел. Руководствуясь этими це-

лями, итальянские математики, а за ни-
ми и другие встали на путь выделе-
ния общих целей и схемы античных
форм предельного перехода. Одним из
первых сделал это римский профессор
Л. Валерио (1552—1618) в труде о цент-
рах тяжести тел (1604), продолжившем
изыскания Коммандино. Валерио откры-
то писал, что намерен сообщить приемам
своих предшественников прямой и об-
щий характер. Он раз и навсегда уста-
навливает, что разность между площа-
дями вписанной в сегмент выпуклой
плоской кривой и описанной вокруг
нее ступенчатых фигур, состоящих из
равновысоких параллелограммов, может
быть сделана меньше любой данной пло-
щади, если взять достаточно малой их
высоту. Другая общая теорема гласит
(в нашей терминологии): если члены
двух монотонных сходящихся последова-
тельностей {а„} и {Ьп} находятся в посто-

fl» с

янном отношении -^ == — , то в том же
bn d

отношении находятся и их пределы.
Ни явного определения предела, ни осо-
бого термина для этого понятия у Ва-
лерио еще не было. Ограничение мо-
нотонными последовательностями, соот-
ветствующее традиционным процедурам
аппроксимации фигур, удержалось в тео-
рии пределов до конца XVIII в. Кон-
кретные задачи, решенные Валерио, осо-
бого интереса не представляют.

Аналогичные идеи развивал в своем
«Геометрическом труде», законченном
в 1629 г., но увидевшем свет только
в 1647 г., фламандец Григорий из Сен
Венсана (1584—1667), учившийся в Ри-
ме и затем преподававший математику
в Лувене, Праге и других городах.
Регулярно применяя метод исчерпыва-
ния, он разъяснил общую структуру
его применения на примере вписывания
в два тела множества очень тонких
параллелепипедов, подчеркнув, что их
число можно увеличивать так, чтобы
они исчерпали оба тела, — отсюда
и произошло выражение «метод исчер-
пывания». «Геометрический труд» оказал
влияние на многих математиков.

Еще раньше применил метод исчер-
пывания С. Стевин в «Началах гидро-
статики» (1586) при вычислении дав-
ления воды р на боковую стенку за-
полненного ею куба со стороной, рав-
ной 1 футу. Стевин находил значение р,
13
разделяя боковую стенку на все воз-
растающее число все более узких гори-
зонтальных полос, оценивая снизу и свер-
ху давление на каждую полоску, соот-
ветствующее ее нижней и верхней грани-
цам, и оценивая численно снизу и сверху
суммарное давление. Обоснование ре-
зультата р=весу 1/2 куб. фута воды
представляет собой, с нашей точки зре-
ния, доказательство единственности пре-
дела последовательности таких сумм.
Позднейшие математики принимали уже
без доказательства тот факт, что две
величины, разнящиеся на величину,
меньшую любой данной, между собой
равны.

Весьма своеобразен был метод вве-
дения логарифмической функции Непе-
ром, придуманный им не позднее 1594 г.,
но опубликованный вместе с первыми
таблицами логарифмов синусов и коси-
нусов в 1614 г.; его теоретическое
обоснование увидело свет еще позднее —
в 1619 г. Определение логарифма у Не-
пера опиралось на сопоставление от-
резков, пробегаемых двумя точками,
движущимися одна равномерно, а другая
с некоторой переменной скоростью вдоль
двух параллельных прямых, причем оба
движения синхронны и вначале равно-
быстры. Здесь нет нужды воспроизво-
дить длинное кинематическое определе-
ние самого Непера, выдержанное в духе
оксфордской (может быть, и парижской)
университетской школы XIV столетия.
На языке современной математики его
можно адекватно передать следующим
образом. Если принять радиус круга (на
тогдашнем языке — полный синус)
равным 107, обозначить линию синуса у,
ее логарифм Ly=x, а общую начальную
скорость двух движений и0, то скорости

обеих точек будут

так что — — —
у 107

при х=0,

d* = dy = _voy
dt ' dt 107 '
и, поскольку y=107

x=Ly——107 In=107 In 107—107 In y.

*	io7	*

Таким образом, неперов логарифм
вовсе не есть, как часто думают,
натуральный. Термин «натуральный ло-
гарифм» ввели позднее П. Менголи
(1659) и затем Н. Меркатор (1668).
Из приведенных формул следует также,

что Li/=log£ _^.7, т. е. логарифмам Непе-
? 1 и

ра соответствуют наши логарифмы с ос-
нованием, приближенно равным JL, —
е
приближенно, поскольку вычисления са-
мого Непера содержали неточность*.
Свойства логарифмов Непера несколько
отличаются от нам привычных, так как
его логарифм 1, очевидно, не равен нулю,
нулю же равен логарифм полного сину-
са', т. е. 107, что представляло извест-
ные удобства в тригонометрических ра-
счетах того времени. Сам термин «ло-
гарифм» принадлежит Неперу; он обра-
зован из соединения слова Xoyos —
отношение, и ’aQi'&pos — число; лога-
римф есть «число отношения».

Вскоре появились и десятичные лога-
рифмы чисел, необходимость в которых
сознавали сам Непер и составитель пер-
вой их таблицы Г. Бриггс (1561 —1631).

Введение логарифмической функции,
одной из основных трансцендентных,
явилось важным успехом не только вы-
числительной математики, но и крупной
вехой на пути формирования исчисле-
ния малых. В геометрически-кинемати-
ческой форме она была определена,
по существу, некоторыми дифферен-
циальными уравнениями, а вычисление
неперовых таблиц явилось первым по
времени их приближенным численным
интегрированием. Связь логарифмов
с квадратурой гиперболической площади
и их разложением в ряды была уста-
новлена позднее.

5. МЕТОД НЕДЕЛИМЫХ

Наиболее эффектные аналитические
результаты были получены в начале
XVII в. с помощью чисто инфините-
зимальных рассмотрений, успешно вы-
теснивших неудобный метод исчерпыва-
ния. И. Кеплер, установивший три фун-
даментальных закона эллиптического
движения планет около Солнца и тем
самым создавший предпосылки для не-
бесной механики Ньютона, совершенно
открыто в одном труде 1615 г. заявил,
что архимедовы «косвенные доказатель-

* Логарифмы, соответствующие основанию е,
ввел Дж. Спейделл (1619). Впрочем, понятие
основания системы логарифмов тогда еще не было
выявлено.
ства, приводящие к невозможности,
о чем многие и много писали», в сущ-
ности, основаны на рассмотрении вели-
чин как совокупностей (или сумм)
неограниченного количества их беспре-
дельно малых элементов. Так, напри-
мер, круг надлежит рассматривать как
составленный из бесконечного множества
треугольников с общей вершиной в цент-
ре круга и с основаниями на окруж-
ности, которых столько же, сколько в ней
точек, т. е. опять-таки бесконечно много.
Основания маленьких треугольников
(рис. 3), заключенных в прямоугольном
треугольнике ОАВ, где АВ длина окруж-
ности, равны, основаниям точечных дуг
секторов, у которых общая высота —
радиус О А. Отсюда немедленно следует
равновеликость площади круга площади
прямоугольного треугольника ОАВ.
Пользуясь аналогичными соображения-
ми, Кеплер определил объемы некоторых
тел вращения дуг конических сечений
и других, древними не рассматривав-
шиеся. В этих случаях он представлял
себе тела составленными из «туник» —
неделимых кривых поверхностей. Еще
важнее, что таким же образом Кеплер
вывел в своей «Новой астрономии»
(1609) второй закон движения планет:
время движения планеты от конца боль-
шой оси до произвольного места на ее
эллиптической орбите относится ко вре-
мени полного оборота, как «сумма ра-
диус-векторов», проведенных из фокуса,
где находится Солнце, т. е. площадь
соответствующего сектора, относится
к «сумме радиус-векторов» всего эллип-
са, т. е. его площади. Технические
детали вывода здесь можно опустить.
Стоит все же заметить, что Кеплер
попутно приближенно в неявном виде
вычисляет интеграл sinxdx=l—cos ср,
о

встречающийся еще много ранее при
определении Архимедом поверхности

шарового сегмента (о чем Кеплер узнал
позднее из труда Паппа).

Инфинитезимальные идеи Кеплера
и его интерпретация античных методов
вызвали возражение со стороны отдель-
ных консервативных приверженцев клас-
сических норм строгости. Ведущие уче-
ные, однако, осознавали необходимость
прокладки новых путей в математике
бесконечного и смело применяли понятия
и методы, еще логически не отработан-
ные, но зато чрезвычайно продуктивные.
Все были уверены, что открытия, сде-
ланные с помощью недостаточно строгих
приемов, при желании можно обосно-
вать точно и с помощью метода исчер-
пывания, в строгости которого никто
не сомневался. Вот высказывание одного
из выдающихся представителей новой
математики бесконечного: «Было бы лег-
ко дать доказательство в духе Архи-
меда...», но «достаточно предупредить об
этом раз и навсегда, чтобы избежать
повторений» (П. Ферма).

Выше уже говорилось о^фактическом
применении неделимых Галилеем в его
«Беседах и математических доказатель-
ствах, касающихся двух новых отраслей
науки, относящихся к механике и местно-
му движению» (1638), заложивших ос-
новы динамики и учения о сопротивлении
материалов. Добавим, что знакомство
Галилея с литературой, восходящей к
Оресму и, вероятно, к оксфордским каль-
куляторам, засвидетельствовано его ран-
ним рукописным наследием. Подобно не-
которым средневековым мыслителям, Га-
лилей сознавал трудности, присущие
идеям бесконечности и непрерывного в
тогдашнем их понимании, до конца не
решенные, впрочем, не только им, но и в
наше время. Быть может, эти трудности
удержали Галилея от написания заду-
манного им сочинения о неделимых.

Это сделал другой, тесно связанный с
ним итальянец Б. Кавальери (ок. 1598—
1647) в «Геометрии, развитой новым
способом при помощи неделимых непре-
рывного» (1635) и примыкающих к ней
«Шести геометрических этюдах», издан-
ных посмертно (1647). Трудности, только
что упомянутые, сознавал и Кавальери,
обсуждавший их с Галилеем. Он решил-
ся, однако, отложить их в сторону: «Не-
зависимо от того,— писал он,— состоит
ли непрерывное из неделимых или не
состоит, совокупности неделимых сравни-
мы между собой и величины их стоят в
определенном отношении друг к другу».

Сравнение площадей плоских фигур
Кавальери сводил к сравнению их «всех
линий», именно сечений фигур движущи-
мися или «текущими» прямыми, парал-
лельными некоторой направляющей, на-
зываемой регулой. Для сравнения объе-
мов тел рассматриваются совокупности
их параллельных сечений; на этом
основан так называемый принцип Ка-
вальери. Конечно, «совокупности» неде-
лимых не следует понимать как их сум-
мы. Основная общая теорема Кавальери
гласит: «Фигуры относятся друг к другу,
как все их линии, взятые по их регуле,
а тела, как все их плоскости, взятые по
любой регуле». На языке наших учебни-
ков в первом случае речь идет о том, что
отношения «всех линий» двух плоских
фигур, ограниченных отрезком оси абс-
цисс (af Ь), непрерывными кривыми
У=Ь(х), У=Ь(х) и двумя перпендику-
лярными к оси ординатами, равны отно-
b	ь

шению интегралов p\(x)dx, ^(xjdx.
В «Геометрии неделимых», как принято
называть первый труд Кавальери, вычис-
ление проведено для степенной функции
у—хп в случаях п=1 и п=2, в «Шести
геометрических этюдах» — для натураль-
ных значений п до 9; дальнейшее обоб-
щение сделано по неполной индукции, хо-
тя прием Кавальери можно распростра-
нить на любые натуральные значения п.

Вычисления Кавальери весьма гро-
моздки и проведены в неудобной сим-
волике. Воспроизводить их нет смысла,
тем более, что те же результаты были
еще ранее получены двумя француза-
ми: в 1629 г. П. Ферма и в 1634 г.
Ж. Робервалем (1602—1675), которые,
правда, свои открытия, сделанные неза-
висимо, своевременно не опубликовали.

Чтобы все же дать некоторое пред-
ставление о стиле изложения Кавальери,
приведем его теорему, равносильную вы-
fl	а

числению отношения {a2dx: [x2dx, т. е.
а 9 а3
интеграла \xdx-~. Прежде всего
укажем, что наряду со всеми неделимы-
ми линиями фигур он вводит «все
квадраты», построенные на этих линиях.

Тогда формулировка Кавальери гласит:
пусть дан какой угодно параллелограмм
AEGC (рис. 4) и в нем проведена
диагональ ЕС. Тогда все квадраты па-
раллелограмма на RV(—a) относятся ко
всем квадратам любого из треугольни-
ков, образуемых диагональю, т. е. /?Т(-х)
или TV, как 3 к 1, причем за общую ре-
гулу берется однах из сторон парал-
лелограмма. Приведенную теорему мож-
но применять в равной мере к квадра-
туре параболы и спирали Архимеда, к ку-
батуре пирамиды и других тел (среди
этих тел и сегмента однополостного
гиперболоида вращения, на который Ка-
вальери обратил внимание), к задачам
механики, в общем, во всех случаях, ког-
да дело сводится к интеграции функ-
ции у=х2.

Метод Кавальери, несмотря на неяс-
ность его исходных понятий, несовер-
шенство символики, невозможность пря-
мого использования в задаче спрямле-
ния кривых и др., представлял собой
новый шаг вперед на пути становления
математического анализа и вскоре полу-
чил развитие в различных направлениях,
прежде4 всего в Италии, у продолжа-
теля дела Галилея и Кавальери —
Э. Торричелли (1608—1647), выдающе-
гося физика, механика и математика.
Речь идет об одном из его сочинений,
опубликованном в сборнике его трудов
(1644) и озаглавленном «Об остром
гиперболическом теле».

Новым у Торричелли было вычисление
объема неограниченно простирающегося
тела FEBDC (рис. 5), получающегося
дри вращении вокруг прямой АВ асимп-
тоты равносторонней гиперболы ху—а2
бесконечной площади, лежащей между
ординатой DC какой-либо ее точки
D(xo, уо), асимптотой АВ и отрезком АС
другой асимптоты — оси абсцисс. Квад-
рируемые бесконечно простирающиеся
площади строил из прямоугольников, за-
полняющих данный квадрат, еще Оресм;
Торричелли впервые произвел кубатуру
неограниченного криволинейного объема
FEBDC, установив равенство площадей
боковых поверхностей 2гш/=2ла2, впи-
санных в тело вращения цилиндров с
образующей IL и площадей кругов на
диаметре MI в прямом цилиндре AHGC
с высотой АС=хо и диаметром осно-
вания А//=2-72а.

Вычисление Торричелли можно пред-
ставить нашими равенствами:

Хо	Хо

5 2nxydx= J 2ла2б/х=2ла2х0. Впрочем,
о . . о

он ставил задачу вычисления объема
«острого гиперболического тела» EBD,
для которого теперь сразу получается
значение лс2х0. Мы бы выразили иско-
мый объем несобственным интегралом

ОО	ОО

л £ x2dy=na4 , но эквивалентного

подхода у Торричелли не было. Знаком
ли он был с идеей Кеплера представ-
лять себе тела, состоящие из неделимых
кривых поверхностей — «туник», не из-
вестно. Криволинейные неделимые при-
менил Кавальери в «Геометрии недели-
мых», сведя с их помощью квадратуру
витка спирали Архимеда к квадратуре
сегмента параболы.

В «Геометрических трудах» Торричел-
ли имеется ряд других интересных ре-
зультатов, но многие, однако, остались
в рукописях, опубликованных только в

1919 г. Мы еще упомянем некоторые из
них. Здесь же подчеркнем, что италь-
янская школа аналистов сыграла выдаю-
щуюся роль в разработке исчисления
бесконечно малых, однако метод Каваль-
ери претерпел существенные изменения.
Если перефразировать теоремы Кавалье-
ри о всех квадратах, о всех кубах, парал-
лелограмма и связанного с ним треуголь-
ника и т. д. в терминах арифметики и
теории пределов, то их можно записать
формулой:

т	1

lim S kn/ (/n+l)/n=—n.

Это можно доказать, разделив сторону
АЕ (см. рис. 4) параллелограмма на
равные части, провести через точки деле-
ния отрезки, параллельные АС, и сделать
необходимые расчеты. Именно такую
арифметизацию метода неделимых про-
извел профессор Оксфордского универ-
ситета Дж. Валлис (Уоллис, 1616—
1703), познакомившийся с итальянским
методом по «Геометрическим трудам»
Торричелли. Характерно название книги
Валлиса, в которой изложен его вари-
ант метода: «Арифметика бесконечных»
(1656). Как мы увидим, Валлис широко
использовал неполную индукцию даже в
тех случаях, когда мог без труда про-
вести точное рассуждение. Так, он заме-
чает, что дробь S $kn/ (/и+1 )т в случае
п=2 и при значениях т последовательно
равных 1, 2, ..., 6 будет такой

1	£__L 11.1_ ==±.__L.

2	”3 + 6; 12“ 3	12’ 18“ 3	18’

30=_3 ==± I ± . 5$ =Д =_L_i J_ •
80“ 8 “ 3 + 24’ 150 “30 “ 3 + Зб’

91 _j3== 1	J_.

252 ~"36~ 3 + 36’

откуда делает вывод, что второе слагае-
мое вообще равно 1 /6м — дроби, которая
при увеличении п становится меньше лю-
бой данной величины, а при бесконеч-
ном продолжении совершенно исчезает.
Точно так же он поступает, в случае
п=3, что дает ему а затем, чтобы
не затруднять читателя, заключает, что
аналогичный результат справедлив для
всех натуральных значений п. Впрочем,
Валлис, мог, как видно из дальнейших
предложений, провести корректное рас-
суждение и в общем случае. Что касает-
ся самого понятия неделимого, то еще
годом ранее в «Трактате о конических
сечениях, изложенных по новому методу»
(1655) он высказал мнение, что в случае
плоских фигур их можно понимать
и как линии и как параллелограммы
бесконечно малой высоты ~ (тут впер-
вые появляется известный знак бесконеч-
ности), ибо между теми и другими, по
существу, нет различия. Точно так же он
понимал неделимые элементы тел и дру-
гие их разновидности.

В «Арифметике бесконечных» Валлис
не только арифметизировал метод Ка-
вальери, но получил гораздо более об-
щий результат, распространив интегри-
рование степенной функции на положи-
тельные рациональные показатели, начи-
ная с простейшего случая. Именно,
если для параболической кривой у=хп,
где п натуральное число,

— ”й+Т’

то в последнем выражении ху есть пло-
щадь прямоугольника между коорди-
натными отрезками точки (х, у) и осями
координат. Кривая делит эту площадь
на две части — прилегающую к оси
абсцисс и прилегающую к оси ординат,
а они находятся в отношении 1:п.
Поэтому при

У 1	2±1

С y“dy=^- = —U п
иУ	п±хУ •

С другими рациональными показателями
дело обстоит сложнее, и здесь Валлис
ограничивается немногими . примерами
вроде п= 1 /3 или п=у, которые исследу-
ет с помощью своеобразного интер-
поляционного приема, после чего резуль-
тат по аналогии распространяет на
5 xm/ndx. Эти результаты он также по
о

аналогии распространяет на отрицатель-
ные показатели и тем самым производит
квадратуру гиперболических кривых
y=JL Он добавляет, что площадь такой
кривой, прилегающая к оси ординат, т. е.

§ ~, при м<1 имеет конечное значение,
о х

хотя и простирается в бесконечность;
при п=1 (обыкновенная гипербола)
площадь бесконечна, точно так же обсто-
ит дело при п>1. Все эти важные откры-
тия Валлис сделал самостоятельно и
опубликовал первый. Будет справедли-
вым сказать, что их еще ранее сделали
некоторые французские и итальянские
математики, но еще не опубликовали.

Уже в рассмотренной части книга
Валлиса сыграла важную роль как один
из отправных пунктов ранних исследова-
ний Ньютона. Вместе с тем она содержа-
ла гораздо более удивительное откры-
тие, всецело принадлежащее ее автору
и полученное им с помощью метода, кото-
рый он сам назвал * интерполяцией,
или интеркаляцией, и который состоял
в целесообразном определении для чис-
ловых последовательностей членов с
дробными индексами, промежуточных
между членами с натуральными номе-
рами (латинское слово interpolatio
означает, в частности, «некоторое изме-
нение», а слово intercalatio — вставку).

Здесь мы укажем лишь отдельные
элементы рассуждений Валлиса, притом
в современных обозначениях. Площадь
круга единичного радиуса выражется
интегралом

S (1-х2)'^dx=^,
о

который является частным случаем ин-
1

теграла 5 (1 —xk) ^х- Оказалось, что
о

удобнее использовать обратные значения
1

второго интеграла, т. е. 1:^(1—х*)<г,
которые (при k=2 и и=0, 1, 2, 3 и т. д.)
образуют последовательность

1 1-3 1-3-5 1-3-5-7

2 ’ 2-4 ’ 2-4.6 ’

названную Валлисом гипергеометри-
ческой. Число у надлежало определить

1

как член с индексом п= у, промежу-

1 ‘3

точный между 1 и -у. С этой целью Вал-
лис использовал обратные значения

I

интегралов вида $ (1 —х?) я, которые вы-
О
ражаются так называемыми фигурными
числами; мы можем записать эти значе-

ния в виде	Число

4

— предстояло вычислить как значение
таких факториальных выражений при
р= 1 /2, q= 1 /2. Эту задачу Валлис решил
чрезвычайно остроумно, произведя при-
том с полной строгостью оценку снизу
и сверху полученных промежуточных
значений, а перейдя затем к пределу,
получил красивое представление

Однако вычисление сумм такого рода
при возрастании п было громоздким
и к тому же не проходило для любых
рациональных показателей. Около 1642 г.
Ферма разработал другой способ квадра-
туры «бесчисленных парабол и гипер-
бол», письменно изложенный им в 1657 г.
и опубликованный посмертно в 1679 г.
Называя свой прием логарифмическим,
Ферма очевидно знал сочинения Непе-
р_

ра. И для парабол y=xq и для гипербол

4

— в виде бесконечного произведения

4^ = 3»3»5»5«7«7»9*9... .

я 2-4-4-6-6-8-8-10... ’

для вычислений, правда, неподходящее.
Интерполяционные приемы Валлиса по-
служили вскоре примером для молодого
Ньютона, в частности при выводе общей
формулы степени бинома. Позднее ин-
терполированием гипергеометрических
рядов, сходных с рассмотренными Вал-
лисом, занялись и другие математики;
так, J1. Эйлер около 1730 г. заложил
основы теории бета- и гамма-функций.
Упомянем, что знак л ввел в 1706 г.
В. Джонс (1675—1749), а регулярно
стал применять Эйлер (1707—1783).

6. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ СУММ

В ТРУДАХ П. ФЕРМА И Б. ПАСКАЛЯ

Как было сказано, во Франции и Ита-
лии валлисовы квадратуры степенной
функции были получены еще до выхода
«Арифметики бесконечных». Здесь пошли
другими путями. Это относится в той
или иной мере к Декарту, Робервалю,
Торричелли и Ферма. Квадратуры Фер-
ма, фактически вычислявшего пределы
интегральных сумм, образуемых при
некотором особом разбиении отрезка
интегрирования, заслуживают особого
внимания.

Квадратуру парабол вида у=хп для
натуральных п Ферма произвел около
1629 г. и в 1636 г. сообщил об этом
Робервалю, для которого она не явилась
новостью. Оба использовали неравенства

у=х q квадрируемая площадь разби-
вается на полоски ординатами, прове-
денными в точках с абсциссами, обра-
зующими геометрические прогрессии.
В случае парабол отрезок оси Ох раз-
бивается на части т точками с абсцис-
сами ах, а2х, ..., а^х, ..., где а<1. В этом
случае как ординаты у и отрезки оси
абсцисс Дх, так и построенные на отрез-
ках прямоугольники r/Дх, вписанные
в полоски или описанные около них, так-
же образуют геометрические прогрессии
с тем же знаменателем а. Нетрудно
подсчитать, что сумма площадей таких
прямоугольников (т. е. ЕуДх) при
р+д
т оо выражается в виде ———х q .
р+д

1—a q

Суммировать бесконечные убывающие
прогрессии европейские ученые умели
давно, и соответствующее правило
Ферма мог найти, например, у Виета,
символикой которого он регулярно поль-
зовался. После этого совершается второй
предельный переход: знаменатель всех
прогрессий берется столь близким к 1,
чтобы можно было «согласно методу
Архимеда приравнять» площади прямо-
угольников и полосок и вместе с тем
обойтись без повторения «боЛее хлопот-
ливого» апагогического доказательства.
Мы могли бы представить дальнейшие
вычисления Ферма подстановкой а=р^,
приводящей дробь J—— к виду ,
р+<7	1-

1—а q

что при р -> 1 дает в пределе—^— , так что
х р_	р+д

xq dx——9— х q .	0

p+q

Ферма проводит рассуждение только
для конкретных значений у2=х и у3=х2,
но оно носит совершенно общий харак-
тер. Следует сказать, что мы здесь из-
менили порядок изложения Ферма, кото-
рый сперва демонстрирует свой метод,
полагая а2>1 на примере гиперболы
у— Д- . Для нее он вычисляет бесконечно

V2

простирающуюся площадь между кри-
вой, какой-либо ординатой и асимптотой,
но тут же добавляет, что точно так же
можно провести вывод и для всех других
гипербол, кроме обыкновенной. Его вы-
вод соответствует вычислению несобст-
венного интеграла

?__А_ =_2_______!--, p>q.

J xp/q	p_q	p_q

x q

При p=q, т. e. в случае простой гипер-
болы r/= —, «метод изменяет», так как

все построенные прямоугольники и соот-
ветствующие члены прогрессии равны
между собой. В этом случае, как пока-
зали Григорий из Сен Венсана (1647)
и более четко в 1649 г. его ученик
А. де Сараса (1618—1667), гиперболи-
ческие площади выражаются логариф-
мами. Ферма это, конечно, знал, но обо-
шел молчанием.

В том же сочинении 1657 г. Ферма
произвел и другие интеграции, пользуясь
приемами, равносильными замене пере-
менных и интегрированию по частям.
Среди прочего ему удалось вычислить

площадь между версьерой у=

1

1+х2

и ее

асимптотой и площадь декартова листа
ху—х^+у3. Преимущество метода интег-

ральных сумм и вычислительных про-
цедур Ферма, изложенных в работе,
занимающей около двадцати страниц пе-

чатного текста, перед методом, описан-
ным в объемистой «Геометрии неде-
лимых» Кавальери, было очевидно всем,
кто знал эту работу.

Метод интегральных сумм был далее
развит Б. Паскалем (1623—1662), вы-
дающимся физиком, аналистом и геомет-
ром. Не отказываясь от выражений
«сумма линий» или «сумма неограничен-
ного множества линий», Паскаль всегда
фактически оперировал интегральными
суммами членов вида ydx. Он особен-
но подчеркивал, Что важно указывать,
на какие именно неограниченно малые
«части» прямой или кривой умножаются

неделимые, если только выбор таких
«частей» в задаче не очевиден. Когда
множество членов суммы неограниченно,
то она отличается от искомой вели-
чины, будь то площадь, объем, стати-
ческий момент и т. д., «только на вели-
чину, меньшую любой заданной», т. е.
сумма равна искомой величине. Кроме
того, Паскаль подчеркивал правомер- |
ность замены одних бесконечно малых |
другими, им (в нашей терминологии)
равносильными. Так, если около дуги
окружности описать многоугольную ло- j
маную, образованную равными малыми
касательными отрезками, то они равны
соответственным малым дугам окруж-
ности, когда множество их неограни- ;
ченно. Эти соображения изложены
в «Трактате о синусах круга» Паскаля,
напечатанном в 1658 г. Пусть в произ-
вольной точке D четверти окружности
радиуса г построен сколь угодно малый
прямоугольный треугольник ЕКЕ, где ЕЕ
касательная в точке D, А1=х, линия -
синуса DI=y, и дуга окружности s раз-
делена на равные части ds (рис. 6). i
Тогда из подобия треугольника EKE
(в котором EK—dx и KE—dy) треуголь- ]
нику	ADI следует	DI-EE=AD-KE	|

и при	замене ЕЕ на	равносильные	им	|

дуги ds yds=rdx, так	что	|

$ yds=^	rdx.	I

О	0	i

Это дает значения сразу двух интегра- ?
лов:	I

sin фб/ф= 1—cos ф,	cos фг/ф—sin ф, ।

о	о

где ф есть угол DAC, а ф угол DAB. 1

Рис. 6
Сам Паскаль не пользовался новой
алгебраической символикой, быть может,
потому, что близкие ему Роберваль
и Ферма конкурировали с Декартом, и
поэтому он формулировал первый ре-
зультат так: сумма синусов DI какой-
нибудь дуги четверти круга равна от-
резку основания между крайними сину-
сами, умноженному на радиус.

Интересны также частные результаты
Паскаля, относящиеся к интегрированию
или преобразованию интегралов нату-
ральных степеней синуса и косинуса.
Особое историческое значение приобре-
ло, однако, введение бесконечно мало;
го треугольника, образованного диффе-
ренциалами абсциссы, ординаты и дуги
кривой. Лейбниц, прочитавший неболь-
шой трактат Паскаля в 1673 г., назвал
в одной статье 1686 г. такой треугольник
характеристическим и дал ему новые
широкие применения, используя при этом
алгебру Декарта.

7,	ЦИКЛОИДА:

ИССЛЕДОВАНИЯ Ж. РОБЕРВАЛЯ

Мётод интегральных сумм быстро
вытеснял как основной применение не-
делимых в манере Кавальери, но и метод
неделимых в опытных руках давал иногда
изящные решения задач, которые в то
время не поддавались еще слабо раз-
витой технике более общих интеграцион-
ных приемов. Ярким примером может
служить квадратура одной арки цик-
лоиды — кривой, описываемой точкой
[ окружности, катящейся без трения и
скольжения вдоль прямой. Галилей, ко-
торому принадлежит название этой важ-
ной в математике и механике кривой,
еще в конце XVI в. попытался сравнить
площадь арки циклоиды с площадью
образующего круга, взвешивая их моде-
ли. Точную квадратуру произвел в 1634 г.

; Ж. Роберваль.

( Предположим, что образующий круг

радиуса г начинает качение по пря-
мой ОВ, когда описывающая циклоиду
точка М находится в точке О, и что
катящийся круг уже совершил оборот
на угол ф (рис. 7). Роберваль ввел
вспомогательную кривую ONB, точки ко-
торой N суть проекции точек М циклоиды
на вертикальный диаметр катящегося
круга, и которую он назвал спутницей
циклоиды. Кривая ONB делит описан-
ный около циклоиды прямоугольник на
две части, равные в силу симметрии
«спутницы» относительно прямой, прове-
денной через центр круга параллельно
ОВ. Циклоида и спутница ограничивают
два лепестка, с площадью каждой рав-
ной полукругу, так как «все линии»
лепестка являются вместе с тем полу-
хордами полукруга. Значит, площадь
циклоиды равна половине площади
описанного прямоугольника вместе с пло-
щадью образующего круга, или же
у 2лг-2г+л;г2, т. е. утроенной площади
образующего круга.

Несколько позднее Роберваль дал
построение касательной к циклоиде (см.
далее), а также определил4объемы раз-
личных образуемых ею тел вращения.
Ряд открытий Роберваля получил извест-
ность благодаря общему корреспонденту
многих ученых того времени М. Мерсенну
(1588—1648), и с конца 30-х годов цик-
лоида стала одной из самых популярных
кривых, на которой различные мате-
матики испытывали силу своих методов.
В печати два главных результата —
квадратуру и построение касательной —
сообщил Торричелли в 1644 г. Сам
Роберваль от публикации своих методов
отказывался в силу некоторых личных
причин, и его «Трактат о неделимых»
был издан лишь посмертно в 1693 г.

Нетрудно убедиться, что спутницей
циклоиды является синусоида и ли-
нией синусов назвал ее О. Фабри
(1607—1688), который независимо' от
Роберваля и по-другому исследовал обе
кривые (1659). X. Гюйгенс (Хейгене,
1629—1695) установил важные свойства
циклоиды в теории колебаний маятника,
а И. Бернулли и другие ученые по-
казали, что она дает решение задачи
о брахистохроне — кривой быстрейшего
радения тяжелого тела из точки А в точ-
ку В, не лежащую с Л на одной вер-
тикали. Эта задача (1696) стала от-
правной в развитии отдела анализа,
названного впоследствии вариационным
исчислением.

8,	ЗАДАЧИ НА СПРЯМЛЕНИЕ
КРИВЫХ И ВЫЧИСЛЕНИЕ
ПЛОЩАДЕЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Вычисление пределов интегральных
сумм было распространено и на другие
задачи измерения геометрических вели -
чин — спрямление кривых и компла-
нацию поверхностей. Декарт, считавший
единственным общим методом математи-
ки алгебру, в 1637 г. заявил, что ал-
гебраическое спрямление алгебраических
линий невозможно, зато год спустя ему
удалось спрямить логарифмическую спи-
раль (термин Г. Ф. Лопиталя), длина
дуги которой, считая от полюса, пропор-
циональна радиус-вектору конца дуги, —
свойство, которое независимо от Декарта
обнаружил Торричелли. Вообще, в доста-
точной мере овладев проблемой квадра-
тур, математики обратились к другим
родственным задачам геометрии кривых
линий и поверхностей. Поскольку об-
щего понятия об интеграле еще не было,
дело сводили к квадратурам — этот
термин сохранился поныне в широком
смысле решения, выражающегося в ин-
тегралах. В задачах на спрямление поль-
зовались бесконечно малым характери-
стическим треугольником, дающим для
бесконечно малой дуги ds выражения:
ds=-yjdx2-\-dy2 в прямоугольных декар-
товых координатах и ds=-\J dQ24-Q2d<p —
в полярных. В 1643 г. Роберваль уста-
новил таким образом равенство длин
соответствующих дуг спирали Архимеда
и параболы, а Ферма и Торричелли
спиралей Qn=kq)m и парабол высших
порядков. Тот же Ферма свел спрямле-
ние дуги параболы ,у2=2рх к квадратуре
площади равносторонней гиперболы х2—
—у2=р2\ так же поступил и Гюйгенс.
В самом деле, указанные дуга и пло-
щадь выражаются одним и тем же ин-
тегралом ^y2+p2dy.

Наконец, сразу четверо ученых дока-
зали ошибочность априорного сомнения
Декарта в возможности алгебраического
спрямления алгебраической кривой, ус-
тановив, что дуга полукубической пара-

болы у2=х2 выражается квадратурой
обыкновенной параболы у= у-^4+9х.
Это открыли в 1657 г. оксфордский
студент В. Нейл (1637—1670), затем
голландец X. Хейрат (1633—1660), за-
метка которого была в 1659 г. напеча-
тана во втором латинском издании «Гео-
метрии» Декарта, а также Ферма и Гюй-
генс. В 1658 г. к тому же результату
пришел другой оксфордский воспитан-
ник, впоследствии прославившийся как
архитектор и один из строителей лон-
донского собора св. Петра X. Рен (1632—
1723). Валлис опубликовал открытия
Нейла и Рена в одном своем трактакте
1659 г.

Сведены были к квадратурам и комп-
ланации некоторых поверхностей. Так,
Гюйгенс доказал; что площадь поверх-
ности сегмента параболоида вращения
приводится к алгебраической квадра-
туре, а эллипсоида — к квадратуре
круга и гиперболы, мы бы сказали:
выражается круговой и логарифмической
функциями. Результаты Гюйгенса стали
быстро известными благодаря переписке,
но обнародовал он их, притом без дока-
зательства, в сочинении «Маятниковые
часы» (1673).

9.	ПОСТРОЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ
И ОТЫСКАНИЕ ЭКСТРЕМУМОВ

Потребности астрономии и механики
вначале выдвинули на передний план
задачи интегрального исчисления. Пост-
роение касательных или нормалей и вы-
числение максимумов и минимумов
функций некоторое время стояло на вто-
ром плане. Античное наследие также бы-
ло гораздо богаче в первом случае,
чем во втором, хотя, например, Виет
в некоторой мере продолжил исследо-
вания свойств касательной к спирали
Архимеда, которые античный математик
вел средствами, в литературе нашего
времени справедливо названными диф-
ференциальными. Отдельные дифферен-
циальные задачи рассматривались и дру-
гими авторами начала Нового времени:
например, Тартальей (об угле наклона
орудия, обеспечивающем наибольшую
дальность полета снаряда) или Кепле-
ром (параллелепипед наибольшего объе-
ма, вписанный в данный шар).
Во второй четверти XVII в. проблемы
дифференциального исчисления изу-
чаются с тем же вниманием и не мень-
шим успехом, что и интеграционные. Для
их решения были предложены алгебраи-
ческие, кинематические и аналитические
приемы, причем последние довольно
быстро вышли на передний план.

Кинематическая трактовка задач этого
рода способствовала выявлению связей
между задачами на проведение каса-
тельных, а также вычисление скорости,
и операцией дифференцирования. Здесь
само собой возникало представление,
что движение точки по кривой направ-
лено по касательной к ней. Это изме-
нило античное определение касательной
как прямой, встречающейся с кривой
в одной точке и не пересекающей
кривую. На смену приходит понимание
касательной как кривой, проходящей че-
рез две бесконечно близкие точки кри-
вой или, что то же, как предельное
положение секущей, проведенной через
две близкие точки. Если кривая является
траекторией движущейся точки, то каса-
тельная выступает как диагональ парал-
лелограмма с вершиной в точке каса-
ния и со сторонами, которыми служат
подходящим образом выбранные состав-
ляющие мгновенной скорости движения
или действующей на движущуюся точку
силы. Такая концепция касательной,
естественно возникшая на основе учения
о движении, развитого Галилеем, в раз-
ных вариантах встречается у Декарта,
Роберваля, Торричелли, англичан
Дж. Грегори (1638—1675) и И. Барроу
(1630—1677) и далее у Ньютона. Ро-
берваль и Торричелли особенно подроб-
но разработали метод Построения каса-
тельной с помощью параллелограмма
скоростей или сил.

В ходе решения задач на касательные
и экстремумы выявилась общность упо-
требляемых схем инфинитезимальных
вычислений, и спустя некоторое время
это привлекло внимание к самим схемам.
Связь между обеими столь различными
по своей постановке задачами была ис-
пользована еще Архимедом, который,
правда, не углубился в раскрытие ее су-
ти, а отдельные ученые XVII в., как
Торричелли или его ученик М. Риччи
(1619—1682), по-своему возродили ме-
тод их гениального предшественника.

Первым по времени опубликования
прием построения касательных, вернее
нормалей к плоским кривым, привел
в «Геометрии» 1637 г. Декарт, вла-
девший им уже около 1629 г. К про-
блеме нормалей Декарт пришел в ходе
поисков формы линз, преломляющих (по
установленному им и В. Снеллом
закону) все лучи, идущие из одной
данной точки в другую данную точку.
Линзы были телами вращения, и дело
сводилрсь к отысканию кривой, для ко-
торой синусы углов, образуемых нор-
малью с радиус-векторами, соединяю-
щими точки кривой с источником света
и точкой схода преломленных лучей,
имеют данное отношение. Эту задачу —
первую из так называемых обратных
задач на касательные, в которых тре-
буется определить кривую по данному
свойству ее касательных или нормалей
и которые выражаются, вообще говоря,
обыкновенными дифференциальными
уравнениями, Декарт решил с помощью
инфинитезимальных соображений, нам
не известных. После этого он доказал
свойство найденных им при этом
«овалов» некоторых кривых четвертого
порядка с помощью изобретенного им
алгебраического метода проведения нор-
мали к данной кривой f(x, #)=0 в ее
точке М(а’ Ь)у основанного на том, что
точка пересечения нормали с осью абс-
цисс N(с, 0) является центром окруж-
ности радиуса MN, соприкасающейся
в М с кривой, т. е. имеющей с окруж-
ностью две или более общих точек, слив-
шихся в одну. Поэтому уравнение, воз-
никающее при совместном решении урав-
нений кривой f(x, у)=0 и окружности
(х—с)2+у2— (а—г)2, должно иметь ко-
рень двойной или большей кратности,
а это накладывает на искомое значение
величины с определяющее ее условие,
которое находится с помощью изобре-
тенного Декартом метода неопределен-
ных коэффициентов. Такой прием в «Гео-
метрии» применен к эллипсу, конхоиде
и «овалам». Вскоре Декарт заметил, что
его прием удобнее применять к прове-
дению касательной: в самом деле, тогда
ищется условие слияния двух (или бо-
лее) точек пересечения кривой с прямой,
имеющей уравнение первой степени.
Это подробно разъяснил издатель и ком-
ментатор латинского перевода «Геомет-
рии» голландец Ф. ван Схоотен (1615—
1660). Однако прием Декарта имел
ограниченную применимость: в случае
прямолинейных координат он годился
только для алгебраических кривых.
Впрочем, Декарт полагал, что только
такие линии, которые он называл «гео-
метрическими», поддаются исследованию
с помощью общего математического ме-
тода, каким он считал алгебру. Рас-
смотрение трансцендентных кривых,
которые Декарт именовал «механически-
ми», он из своей «Геометрии» исключал.

Декарт высоко ценил также свой метод
неопределенных коэффициентов, осно-
ванный на том, что при тождестве
двух целых алгебраических многочленов
должны быть тождественны коэффи-
циенты их членов одинаковой степени.
Ньютон и Лейбниц распространили ме-
тод неопределенных коэффициентов на
бесконечные степенные ряды. Попутно
упомянем, что, побуждаемый исследо-
ваниями Декарта, голландец И. Гудде
(Хюдде, 1628—1704) установил из алге-
браических соображений способ отыска-
ния двойных корней уравнений любой
степени. Его формальная процедура,
соответствующая отысканию общих кор-
ней данного уравнения f(x)=O и урав-
нения f'(x)=O и более простая, чем
у Декарта, была опубликована во вто-
ром латинском издании «Геометрии»
(1659—1661) и применена к задаче о ка-
сательных, а также — без дополнитель-
ных разъяснений — к отысканию экстре-
мумов по условию f'(x)=O.

Кинематический метод касательных
в отдельных случаях давал очень
простые и изящные построения. С его
помощью, например, Торричелли пост-
роил касательную к параболе. Заслужи-
вает по крайней мере упоминания
и построение нормали к циклоиде, при-
думанное в 1638 г. Декартом и в заро-
дыше содержавшее учение о мгновенных
центрах вращения. Это решение Декарт
распространил на укороченные и уд-
линенные циклоиды, возникающие при
качении круга с трением или сколь-
жением. Ту же задачу успешно решили
также Торричелли, Роберваль (подобно
Декарту) и по-другому Ферма.

Почти одновременно с тем, как Декарт
пришел к алгебраическому методу нор-
малей, т. е. около 1629 г., Ферма изобрел

другой, гораздо более перспективный |
и общий метод касательных и экст- 5
ремумов — тот самый аналитический |
метод, который после некоторой дора- I
ботки вошел в дифференциальное ис-
числение. Вскоре после выхода «Гео- ]
метрии» Ферма послал небольшое сочи- ?
нение «Метод отыскания максимумов
и минимумов» ее автору и Робервалю;
оно стало известно и многим другим j
задолго до публикации в 1679 г. Строго S
придерживаясь приема Ферма, мы пере- ।
дадим его для функции f(x) в современ- !
ной символике.

Составляется приближенное равенство
f(x+A) (х), где функция f(x) сперва
предполагается целым алгебраическим,
многочленом, отбрасываются подобные •
члены, производится сокращение на А, ?
после чего отбрасываются члены, в ко- \
торых еще сохраняются какие-либо сте-
пени А, и результат приравнивается ;
нулю. Корни полученного таким обра- :
зом уравнения могут придать /(х) ’
наибольшее или наименьшее значение, j
Это правило, очевидно, совпадает с из- >
вестным необходимым условием экстре-
мума дифференцируемой функции

1jm f(x+h)-f(x)_ = г, (%) =0	j

/i + о	h	j

Доказательство своего правила Ферма
не сообщил, но оно имеется в одном
письме 1643 г., из которого видно, что
Ферма рассматривал величину h как
бесконечно малую положительную пере-
менную в духе классического анализа
Коши — Вейерштрасса, значения кото-
рой могут быть приняты меньшими вся-
кого данного положительного числа. В ;
этом письме он в случае целого много- [
члена разлагает разности f(x+A)—f(x) j
nf(x—h)—f(x) по степеням ft, и требова- j
ние, чтобы для всех достаточно малых A j
значения f(x+A) и f(x—А) были одно-
временно больше f(x) или одновременно
меньше f(x), дает не только необходи-
мые, но и достаточные условия, при ко- 1
торых имеет место максимум либо ми- ?
нимум. Рассуждения Ферма сходны с те- -
ми, которые Л. Эйлер применил к любым
функциям, разложимым в так назы- ;
ваёмый ряд Тейлора. Впоследствии тот
же ход мыслей был уточнен с приме- ;
нением остаточного члена этого ряда.

Для целых неявных алгебраических

..н ..... J
многочленов f(x, у)=0 Ферма пользо-
вался дополнительным требованием, ко-
торое мы записываем как ^=0, а ирра-
циональные функции предварительно
приводил к рациональной форме.

«Отыскание касательных, — писал
в своей рукописи Ферма, — ... мы при-
водим к методу, изложенному выше».
Эти слова, неправильно понятые Декар-
том, повлекли за собой полемику меж-
ду обоими учеными. Недоумения Декарта
были в известной мере оправданы
чрезмерной лаконичностью изложения
Ферма. Но из писем Ферма видно, как
обосновывал он в данном случае метод
«приравнивания» двух ординат, равно-
сильный нашему дифференцированию;
он производил оценку снизу- и сверху
величины отрезка подкасательной с по-
мощью точных неравенств, сближая за-
тем границы приближений. Таким обра-
зом он получил для подкасательной t
кривой y=f(x) значение, которое мы
записали бы в виде отношения

t=y-y'.

Правило построения касательных Ферма
было кратко изложено в курсе матема-
тики (1642, 2-е изд., 1644) французского
математика П. Эригона. Исходным пунк-
том Ферма являлось рассмотрение беско-
нечно малого «характеристического тре-
угольника».

На примере декартова листа х3+у3=
=ху Ферма пояснил, как находить каса-
тельные кривых, заданных неявным урав-
нением f (х, у)=0; его выкладки соответ-
ствуют составлению уравнения

tdl + ydl=Q
дх ду

и не требуют, чтобы оно было предвари-
тельно решено. Если уравнение содержит
алгебраические иррациональности, Фер-
ма предварительно освобождается от
них, как и в задачах на экстремумы.

В переписке с Ферма Декарт подошел
к пониманию касательной как предель-
ного положения секущей, проходящей
через близкие точки кривой. Тем не ме-
нее это не помешало ему отрицать су-
ществование касательных в точках пере-
гиба. Ферма смотрел на дело шире, хотя
и не давал нового определения каса-

тельной; он указал также прием отыска-
ния точек перегиба: угол касательной
с осью абсцисс в таких точках имеет
экстремальное значение. Тангенс этого
угла, т. е. отношение ординаты к под-
касательной, равен производной уЛ=у',
и выкладки Ферма равносильны реше-
нию уравнения /'=0. Отысканием точек
перегиба занимались также Схоотен,
Гудде и другие ученые.

Словесные формулировки Ферма и его
приемы вычислений, проводившихся в ус-
тарелой символике Виета, равносильны
дифференцированиям и интеграциям.
На очереди дня стояла задача выра-
ботки общих понятий и расчетных схем
анализа, а также особой и удобной
символики, с одной стороны, а с другой —
четкого установления взаимной связи
между приемами решения двух главных
задач — на касательные и на квад-
ратуры.

Одна из таких схем дифференцирова-
ния была предложена бельгийцем
Р. Ф. де Слюзом (1622—1685), свя-
занным с итальянской и французской
математическими школами. Правило
вычисления подкасательной для любой
кривой с уравнением Saw„xznyn=0, из-
вестное ему уже около 1655 г., таково:
подкасательная t вычисляется из урав-
нения

fZmamnxm хуп+уЪпатпхтуп !=0

(очевидно являющегося частным слу-

чаем уравнения + г/^=0). ^вое пРа’

вило де Слюз получил, составляя раз-
ность значений суммы S для двух точек
(х, у), (xi, 1/1), поделив все на у—у\

и переходя к пределу при xi -> х,
ух -> у. Экстремум такой функции он на-
ходил, основываясь на том, что в точке

экстремума касательная параллельна оси
абсцисс, а потому ^=0.

Соответствующие письма де Слюза,
напечатанные в английских «Философ-
ских трудах» за 1672—1673 гг., были
известны Лейбницу в начале его заня-
тий анализом; Дж. Грегори и Ньютон
пришли к тому же результату само-
стоятельно несколькими годами ранее.
К сходным формальным приемам при-
шел, отправляясь от метода Ферма, так-
же Гюйгенс, с 1657 г. переписывавшийся
с де Слюзом. В этой переписке рас-
смотрены кривые ут=хп(а±х)р, пред-
ставляющие собой обобщения уравнений
эллипса и гиперболы относительно вер-
шины. Де Слюз занимался проблемой
касательных, Гюйгенс — квадратурами.

10.	ОРГАНИЗАЦИЯ НАУЧНЫХ
ИССЛЕДОВАНИЙ

Хотя мы не прослеживаем здесь исто-
рию научных учреждений и периодики,
надлежит отметить несколько событий,
существенно стимулировавших прогресс
науки и рост международной научной
информации. Из частных собраний уче-
ных возникали субсидируемые государст-
вом академии, ранее всего в Италии
(Академия рысей* — Accademia dei
Lincei в Риме, 1603), затем Королевское
общество в Лондоне (1662), Королевская
академия наук в Париже (1666), Бер-
линское общество наук (1700), преобра-
зованное потом также в академию
(1744), и Императорская Петербугская
академия наук (1724—1725) — ныне
Академия наук СССР. В 1665 г. нача-
лось издание «Философских трудов» —
„Philosophical Transactions" лондонского
общества и парижского «Журнала уче-
ных» — „Journal des Savans", в 1682 г.
появились издававшиеся на латыни
лейпцигские «Труды ученых» „Acta
Eruditorum", в 1699 г. вышел первый том
«Записок» Парижской академии, позднее
ставших ежегодниками, и этому примеру
затем последовали другие академии.
Знаменитый мыслитель Ф. Бекон в уто-
пии «Новая Атлантида» (1627) ярко
описал пользу «Дома Соломона», т. е.
дома мудрости как центра научных ис-
следований. В организации и работе
названных академий, обществ, журналов
принимали живое, иногда руководящее
участие многие выдающиеся математи-
ки: Валлис, Гюйгенс, Ньютон, Лейбниц,
который в беседах с царем Петром I
не раз обсуждал и план создания Ака-
демии наук в России, и другие ученые.

Издание нескольких еще не специали-
зированных журналов и академических
однотомников, выход которых к тому же

* Рысь служила символом зоркости, прозорли-
вости ученых.

постоянно задерживался, было недоста-
точным для общения ученый. Огромную
роль играла научная переписка, не-
посредственная или через добровольных
посредников, какими были в У\ариже
М. Мерсени, в Лондоне Г. Ольденбург
(1615—1677) и Дж. Коллинс (1625—
1683). Переписка некоторых математи-
ков достигала огромных размеров: в слу-
чае Лейбница, например, около 15 000 пи-
сем, Ньютона — 1500. Конечно, не все
письма и!мели научное содержание, но,
вообще говоря, переписка долгое время
служила самым верным и быстрым
средством общения ученых.

Рассматривая становление математи-
ческого анализа в национальном плане,
мы обнаруживаем, что первоначально
лидирующее положение заняла в силу
многих социальных причин и традиций,
восходящих к древности, Италия. Не-
сколько позднее вступает в действие
французская математическая школа,
дальнейший расцвет которой одно время
задерживали приверженность к «Гео-
метрии» Декарта с ее претензиями
на универсальность алгебры, а впослед-
ствии противопоставление его же теории
вихрей ньютоновой механике. Пагубную
роль сыграло и преследование гуге-
нотов.

Англия в начале XVII в. была пред-
ставлена лишь Непером, но с середины
этого века и здесь возникает пере- .
довая аналитическая школа. В Германии,
терзаемой долгими разорительными вой-
нами, в последней четверти XVII в.
выдвинулся (после нескольких лет пре-
бывания в Париже) Лейбниц. Сущест-
венный вклад внесли также бельгий-
ские и фламандские ученые, а с конца
столетия успешно выступают швейцарцы.
В России расцвет научных исследований
начался сразу после организации Пе-
тербургской академии.

11.	РАЗЛОЖЕНИЯ

В БЕСКОНЕЧНЫЕ СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Возвратимся к анализу, в становлении
которого с 60-х годов все большую
роль начинают играть бесконечные ряды.
Почвой, на которой выросло учение
о бесконечных рядах, служили прибли-
женные вычисления и представление раз-
личных классов функций в удобной для
исследования и вычисления форме бес^
конечных целых алгебраических много-
членов — степенных рядов. Ранее прак-
тически применялись только убывающие
геометрические прогрессии или ряды,
к ним непосредственно приводящиеся,
если не считать изолированного появ-
ления у португальца А. Томаса (1509),
последователя Оресма и преподавателя
Сорбонны, числовых рядов более слож-
ного характера, суммы которых он смог
лишь грубо оценить, не подозревая даже,
что имеет в них дело с натуральными
логарифмами чисел 2 и 3. Любопытно,
что как раз логарифмы явились первой
трансцендентной функцией, выражен-
ной бесконечными рядами. Это еще
один яркий пример взаимодействия
между важными для научной практики
вычислениями и общей математической
теорией.

Мы уже говорили, что Григорий
из Сен Венсана и де Сараса обнару-
жили связь площади гиперболы с ло-
гарифмами. Пользуясь остроумным
разбиением этой площади на некоторые
части, ирландский лорд В. Броункер
(1620—1684), первый президент Коро-
левского общества, не позднее 1657 г.
вывел ряд

1п2=ьН-зИ5^+--

а также ряд, сходящий быстрее

2-3-4 ‘ 4-5-6 ~ 6-7-8

и пригодный для приближенного вы-
числения In 2, так как In 2 равен раз-
ности А и суммы второго ряда. Броункер
указал также, что его приемы рас-
пространяются на логарифмы любых по-
ложительных рациональных чисел. Свое
открытие Броункер опубликовал в статье
в 1668 г. Интересно и его красивое
разложение числа 4/л в бесконечную
периодическую дробь

Столь же замечательны были откры-
тия, сделанные несколько ранее в Италии
П. Менголи в «Новых арифметических
квадратурах или о сложении дробей»
(1650), где он вторично доказал расхо-
димость гармонического ряда*, доказан-
ную впервые Оресмом,— свойство, кото-
рое он распространил и на обобщенные

У 1 и
гарманоческие ряды вида	Част-

ные суммы гармонического ряда Менголи
применил к оригинальному определению
натурального логарифма, которое мы
опустим, так как оно не получило широ-
кого распространения.

Принципиально новый шаг вперед сде-
лали разновременно и независимо друг от
друга Гудде (1656), Ньютон (1665) и не-
мецкий математик, переселившийся в
Лондон, Н. Кауфман (1620—1687), более
известный под именем Меркатора (это
латинское слово означает «купец», как
и немецкое Кауфман). Мы имеем в виду
разложение логарифмической функций в
степенной ряд. Первые двое ученых не
спешили с оповещением о своем откры-
тии, и его опубликовал Меркатор в
«Логарифмотехнике» (1668). Он удачно
перешел от гиперболы, отнесенной к
асимптотам, к смещенной гиперболе
у= произвел деление 1 на 1+* по
обычным правилам алгебры и затем по-
членным интегрированием возникшего
таким Образом ряда получил, что

$_^_=!п(1+х)=х-^ +£-£+...

Меркатор, правда, ограничился разло-
жениями для х=0,1 и 0,21 и нашел еще
«сумму логарифмов»

J In (14-z) dz=

Z	2	2-3 ' 3-4 “

для х=0,1. Читателям его труда было
ясно, что он в обоих случаях владеет
приемом общего разложения.

Сочинение Меркатора возбудило ши-

которую он вывел не известным нам
образом из валлисова бесконечного про-
изведения.

* Термин «гармонический ряд» ввел Броункер
потому, что три последовательных члена его
а, Ь, с всегда образуют так называемую гармони-
ческую пропорцию: а:с~(а—b):(b—с).
рокий интерес среди ученых. Валлис
в том же году указал в печати, что
разложением нельзя пользоваться при
х>1, и добавил разложение для 1Пу-Ц,
а Дж. Грегори в «Геометрических этю-
дйх» (1668) дал разложение

!пТ±7==2(х+У +Т +-)’

позволяющее вычислять логарифмы лю-

бого (положительного) числа z=

1 -f-x
1—X

ибо при ЭТОМ Х=|-р1

по модулю мень-

ше 1.

Так логарифм, введенный Непером
кинематически в форме, равносильной
дифференциальному уравнению, высту-
пил затем в форме квадратуры гипер-
болической площади и, наконец, степен-

ного ряда.

Декарт фактически пришел к уравне-
нию Непера еще в 1638 г., исследуя
получившую громкую известность обрат-
ную задачу на касательные, постав-
ленную ему Ф. Дебоном (1601 —1652).
Требовалось найти кривую, у которой
отношение подкасательной к ординате у
равно отношению данного отрезка b
к разности абсциссы и ординаты.
Соответствующее дифференциальное

уравнение имеет вид у'=Ь~У. В уверен-
ь

ности, что общего метода решения задач
такого типа не существует и так как пере-
бор множества алгебраических кривых
оказался безуспешным, Декарт в своем
ответе от 1639 г. предложил приближен-
ное построение искомой кривой, перейдя
к некоторой системе косоугольных коор-
динат £, *1, в которой эта кривая имеет
постоянную подкасательную (уравнение
преобразуется при этом в такое:

=—Vfofo- ). Численно решая задачу,
Декарт получил некоторые численные
неравенства, позволяющие строить иско-
мую кривую с любой степенью прибли-
жения. В заключение Декарт заметил,
что эта линия, по его терминологии,
«механическая», и потому не поддается
исследованию общим методом, пригод-
ным лишь для «геометрических», т. е.
алгебраических кривых.

Несколько новых разложений в сте-

пенные ряды открыл Дж. Грегори, не-
обыкновенно продуктивная научная дея-
тельность которого, так же, как Торри-
челли и Паскаля, была оборвана раннею
смертью — все трое умерли, не дожив
до сорока лет. Грегори учился в Абер-
динском университете, ряд лет провел
в Италии, где познакомился с дости-
жениями итальянской научной школы
и г^ в 1667—1668 гг. были изданы
две егЪ книги; третью он опубликовал
по возвращенО в Англию в 1668 г.,
а в 1674 г. он получил профессуру
в родном университете. Многие открытия
этого замечательного математика и фи-
зика-оптика были изложены только
в письмах или же остались в рукопи-
сях, изученных недавно. Так, из одного
письма 1670 г. к библиотекарю Коро-
левского общества Дж. Коллинсу сле-
дует, что он знал тогда общее разложе-
ние в ряд бинома (1+х)"1 (уже из-
вестное с 1664—1665 гг. Ньютону).
В другом письме 1672 г. Грегори сообщил
разложения для арктангенса

<p=tg ф— 1 tg3 ф+ ’ tgs ф
о	□

(этот ряд он нашел, вероятно, почлен-
ным интегрированием ряда, получающего-
ся при делении 1 на 1 -4-х2, где x=tg<p),
для tgcp и Inseccp (получается интегри-
рованием разложения tg ф), sec$ и
1 n tg(y + -j- )• На ших тригонометри-
ческих символов в то время еще не было.
Посмертные бумаги Грегори наводят на
мысль, что он владел общим разло-
жением Тейлора — Маклорена, но в яв-
ном виде оно не встречается. Если такое
предположение верно, то ряды для tg ф
и sec (р могли быть выведены с помощью
последовательного дифференцирования.

В «Истинной квадратуре круга и ги-
перболы» (1667), в которой Грегори сде-
лал попытку доказать, выражаясь не-
современному, что круговые и логариф-
мическая функции не являются алгеб-
раическими, он пользовался аппроксими-
рующими площади секторов этих кривых
последовательностями многоугольников,
которые впервые назвал сходящимися —
convergentes, этот термин он, вероятно,
заимствовал из оптики. Саму аппрокси-
мируемую величину он называл оконча-
нием — terminatio — последовательности
(Ньютон позднее предложил другой тер-
мин «предел» — limes). Операцию пре-
дельного перехода Грегори считал чрез-
вычайно важной, относя ее к шестому
действию, равноправному с первыми че-
тырьмя действиями и извлечением кор-
ней. Нам не придется более возвра-
щаться к Грегори, и здесь следует ска-
зать, что если бы он прожил долее и за-
вершил и опубликовал все свои откры-
тия, он мог бы, пожалуй, стать в один
ряд с обоими основателями математи-
ческого анализа.

На первой стадии учения о рядах ана-
листы руководствовались соображения-
ми, основанными больше на практике
и чутье, чем на теоретических основа-
ниях. Когда требовалось вычислить ка-
кую-либо конкретную величину, сообра-
зовывались со сходимостью соответст-
вующего бесконечного ряда (или произ-
ведения, или непрерывной дроби) и иска-
ли, если умели, оценку приближения.
Но при действиях с буквенными рядами
строили чисто формальное исчисление и,
как правило, оперировали с бесконеч-
ными многочленами так же, как с конеч-
ными. Область функций, в то время
известных, была еще весьма невелика,
и, поскольку все они являлись ана-
литическими либо всюду, либо по край-
ней мере на рассматриваемых интерва-
лах, такой подход к делу обычно не при-
водил к ошибкам. Потребность в поста-
новке общих проблем теории сходимости
рядов еще не возникла, и они не явля-
лись объектом теоретического изучения.
Так продолжалось долгое время, хотя
отличие сходящихся рядов от расходя-
щихся (термин, употребленный в одном
письме Николая I Бернулли к Лейбницу
от 1713 г.) было ясным с самого на-
чала, и вскоре возникли споры о закон-
ности применения расходящихся рядов.

Единственный общий теоретический
результат принадлежал здесь Лейбницу,
который в одном письме 1705 г. выска-
зал предложение о сходимости знакоче-
редующегося ряда с монотонно убываю-
щими членами, стремящимися к нулю,
а в другом письме от 1714 г. это пред-
ложение доказал.

Тем любопытнее, что на самой заре
учения о рядах был сделан первый шаг
к рассмотрению асимптотических разло-

жений в ряды. Поводом здесь послу-
жили уже упомянутые связи между част-
ными суммами гармонических рядов
и логарифмами. Речь идет об иссле-
дованиях Ньютона, изложенных в двух
письмах к Коллинсу от 1669 и 1671 гг.,
опубликованных много позднее. Тут мы
ограничимся упоминанием, что асимпто-
тические разложения получили широкое
применение в XVIII в. у Дж. Стирлинга,
Л. Эйлера и других ученых, строгая же
теория их была впервые построена
А. Пуанкаре (1886).

11	Д УНЦИАЛЬНОЙ

Задачи проведения касательных и нор-
малей относятся, собственно говоря,
к дифференциальной геометрии. Сущест-
венный вклад в эту, еще не обособив-
шуюся тогда дисциплину внес X. Гюй-
генс, занимаясь проблемой устройства
часов с маятником, поставленной еще
Галилеем. Требовалось добиться по-
стоянства периода качания маятника
независимо от его начального положения
относительно точки равновесия. Движе-
ние по окружности в принципе этого
не давало. Изучая свойства циклоиды,
Гюйгенс около 1658 г. установил, что
она обладает требуемым свойством.
При разработке этого открытия он при-
шел к теории эволют, или разверток
(латинское слово evolvere — разверты-
вать), а в области механики к понятию
центробежной силы, момента инерции,
теории физического маятника и т. д. Все
это было существенно для механики
Ньютона. Во время нескольких поездок
в Лондон и Париж Гюйгенс завел зна-
комство со многими крупными учеными;
с 1664 по 1681 г. он жил в Париже.
Сочинение, обычно сокращенно назы-
ваемое теперь «Маятниковые часы»,
подготовленное в 1665 г., было напеча-
тано в Париже в 1673 г. Не входя в его
подробный разбор и не касаясь работ
Гюйгенса по теории вероятностей и по оп-
тике (он автор первой волновой теории
света), мы коротко расскажем о ее диф-
ференциально-геометрическом содер-
жании.

Прежде всего Гюйгенс доказывает
изохронность циклоиды, т. е. упомянутое
ее свойство, что тяжелая точка, сво-
бодно падающай по обращенной, вы-
пуклостью вниз дуге циклоиды с верти-
кальной осью, имеет постоянный период
колебания независимо от того, с какой
точки начинается колебание. Итак, для
строго изохронного качания маятника
надлежит, чтобы он описывал дугу цик-
лоиды. Гюйгенс обнаружил, что нор-
мали к данной циклоиде касаются другой
конгруентной циклоиды, параллельно
смещенной относительно первой. Сле-
довательно, нерастяжимая гибкая нить
определенной длины, намотанная на вто-
рую циклоиду и закрепленная в ее
точке возврата — конце полной дуги,
при разматывании в натянутом состоя-
нии описывает первую циклоиду. На этом
основано устройство циклоидального
маятника и это же явилось отправ-
ным пунктом построенной Гюйгенсом
общей теории эволют *.

Линии, описываемые при развертыва-
нии нитей, натянутых на данную кри-
вую — эволюту, позднее назвали эволь-
вентами, т. е. развертывающими. По-
скольку касательная к эволюте нормаль-
на к эвольвенте, то длина дуги эволю-
ты равна длине смотанной с нее части
нити, а значит, разности длин отрезков
касательных в концах дуги, проведен-
ных до встречи с эвольвентой. Это
дает оригинальный прием спрямления,
прилагаемый к циклоиде, к полукуби-
ческой параболе, являющейся эволютой
обыкновенной параболы, а также к, эво-
лютам эллипса и гиперболы,являю-
щимся кривыми шестого порядка. Все
эти результаты затем обобщаются, при-
чем фактически вводится радиус кри-
визны, а эволюта выступает как геомет-
рическое место центров кривизны или же
точек пересечения бесконечно близких
нормалей. Чисто инфинитезимальный ха-
рактер. всех рассмотрений и вычислений
у Гюйгенса выражен с полной отчет-
ливостью. Для отрезка нормали эволь-
венты между нею и эволютой, т. е. для
радиуса кривизны, Гюйгенс приводит до-
вольно громоздкое выражение, которое
Иоганн и Якоб Бернулли в 1694 г.
записали в символах дифференциального
исчисления, а Ньютон еще ранее
в 1670—1671 гг. в обозначениях своего

* На практике в маятниковых часах поль-
зуются тем обстоятельством, что весьма малые
дуги окружности мало отличаются от циклои-
дальных.

метода флюксий. Таким образом, труд
Гюйгенса увидел свет уже тогда, когда
Ньютон в Кембридже далеко продви-
нулся в разработке только что назван-
ного метода и всего за два года до того,
как Лейбниц в том же Париже заложил
основы дифференциального и интеграль-
ного исчисления, в свете которого изло-
жение Гюйгенса представилось новым
поколениям математиков устарелым и из-
лишне сложным.

В, СВЯЗЬ МЕЖДУ
КВАДРАТУРАМИ
И ПОСТРОЕНИЕМ КАСАТЕЛЬНЫХ

Около полустолетия методы решения
задач на квадратуры и им подобных,
с одной стороны, и на проведение каса-
тельных и им родственных — с другой,
развивались самостоятельно и независи-
мо друг от друга. Общим был только их
инфинитезимальный характер. Для нас
взаимно обратный характер операций
дифференцирования и интегрирования
вытекает из исходных определений, как
и в случаях сложения и вычитания или
умножения и деления. В системах Ньюто-
на и Лейбница это свойство обеих опера-
ций выявилось разу. Но до введения ос-
новных общих понятий и операций мате-
матического анализа зависимость между
двумя типами инфинитезимальных за-
дач вовсе не была очевидной. В середине
XVII в. аналисты подходили к выявлению
этой зависимости разными путями, и фор-
мулировки, с помощью которых они
высказывали эту зависимость, были да-
леки от современных.

Правда, в некоторых сравнительно
элементарных задачах на квадратуры и
касательные, например в случае парабол
высших порядков, взаимно обратный ха-
рактер результатов и вычислений прояв-
лялся, казалось бы, довольно отчетливо.
Квадратура ставит в соответствие функ-
ции хт (ординате) функцию (пло-
щадь) , а определение касательной ставит
в соответствие функции хт (ординате)
функцию тхт-' (отношение ординаты к
подкасательной). В первом случае основ-
ной операцией до предельного перехода
являлось суммирование, а во втором вы-
читание. Но эти обстоятельства на пер-
вых порах не обращали на себя внима-
ния, их еще предстояло должным обра-
зом исследовать.

Имелся еще другой пример, наводив-
ший на размышления в том же направле-
нии: обратная задача на касательные.
Декарт в свое время заметил лишь, что
она лежит за пределами действия его
алгебраического метода. Ученые, регу-
лярно разрабатывавшие инфинитези-
мальные приемы, естественно, стреми-
лись сводить подобные задачи к квадра-
турам. Когда Лейбниц в одном из писем
к Ньютону от 1676 г., пересланном через
Ольденбурга, известил, что решил задачу
о кривой с постоянной подкасательной,
Ньютон тотчас откликнулся замечанием,
что определение этой кривой зависит от
квадратуры гиперболы. Связь между за-
дачами определения пройденного пути по
данной скорости и скорости по закону,
выражающему путь, также направляла
мысль все в ту же сторону. К геометри-
ческому или механическому представле-
нию зависимости между дифференциро-
ванием и интегрированием в их тогдаш-
нем обличии пришли Торричелли, Менго-
ли, Грегори и Барроу. Мы приведем далее
одну теорему последнего, которая позво-
лит правильнее оценить, насколько яснее
и проще выразили эту зависимость
Ньютон и Лейбниц.

Исаак Барроу (1630—1677), богослов
и математик, воспитанник Кембриджско-
го университета, работал в нем в 1649—
1655 гг., а затем предпринял четырех-
летнюю поездку по Франции, Италии
и Германии. По возвращении он недолго
преподавал в Лондоне, а с 1663 г. читал
в качестве профессора лекции по матема-
тике и оптике снова в Кембридже до
1669 г., когда получил назначение капел-
ланом при дворе короля Карла II. Он
хорошо знал греческих классиков мате-
матики и новую научную литературу
вплоть до Гюйгенса и Грегори. Его уни-
верситетские лекции были поневоле эле-
ментарными в соответствии с общим
уровнем подготовки и житейских, устано-
вок тогдашнего студенчества; посмертное
издание их вышло в 1683 г. В этих лек-
циях много места отводилось общему
описанию математического метода, поня-
тий непрерывного и дискретного, беско-
нечности и бесконечно малого, пропор-
циональности, несоизмеримости и т. д.

Возможно, что университетские «Ма-

тематические лекции», читанные в 1664—
1666 гг., должны б^ли служить введе-
нием к другому курсу, им не читавше-
муся, по крайней мере в главной части,
именно к «Геометрическим лекциям, в ко-
торых (преимущественно) излагаются
общие симптомы кривых линий» (1670),
«симптомы» — это латинизированное
греческое слово, означающее характер-
ные свойства или уравнения кривых. В
двух первых лекциях (I—II) развива-
ются кинематически-математические
идеи, восходящие к «калькуляциям» и
изучению о «широте форм». Здесь гово-
рится о времени и движении, взаимно
измеряющих друг друга, о том, что время
образуется при непрерывном течении его
бесконечно малых мгновений — момен-
тов, об изображении времени отрезками
прямой, а текущих скоростей — перпен-
дикулярами Ч ним, причем возникают
площади, выражающие пройденный при
движении путь. Кривые образуются дви-
жением точек или отрезков (например,
окружность — вращением отрезка вок-
руг одного из его концов). Все эти идеи
не были оригинальны, так же, как и
большая часть дальнейшего содержания
курса, в котором Барроу стремился сум-
мировать инфинитезимальные открытия
своих предшественников. Вместе с тем
изложение Барроу содержит улучшения
и упрощения, связанные с использова-
нием, в частности, картезианской алгеб-
ры, а кое-что и новое. В лекциях VII—
X Барроу предлагает решение задач на
касательные и квадратуры как в прямо-
линейных, так и полярных координатах.

Рассмотрим первую из них, т. е. задачу
о проведении касательной к кривой AMN
в точке N (рис. 8). Принимая отрезок
дуги MN бесконечно малым, он строит
бесконечно малый характеристический
треугольник MRN, который, если считать
отрезок дуги прямолинейным, подобен
треугольнику TPN, где ТР — подкаса-
тельная. Тут Барроу замечает, что до-
пустимо заменять бесконечно малую
частицу кривой равносильной ей части-
цей касательной. В отличие от более ран-
них авторов он дает специальные обозна-
чения всем отрезкам, именно PN=m.
PT—t, RM=a и NR=e. Это позволяет
придать алгоритмический характер реше-
нию задачи, правда, еще не в виде фор-
мулы. Правило решения таково: пишется
уравнение кривой в приращенных коор-
динатах, отбрасываются все члены выс-
шего измерения относительно а ие, а так-
же члены, свободные от этих бесконечно
малых величин, и затем в оставшемся
уравнении а заменяется на т и е на t.
Это дает уже известное Ферма уравне-
ние, которое .мы пишем в виде
tj-x+y^y> гДе Ж !/)=0 — уравнение
кривой. Обозначения Барроу были удоб-
нее, чем у Ферма, который придержи-
вался символики Виета. У Барроу встре-
чаются и другие вещи, заслуживающие
упоминания, например неравенство

(14-х)" >1-|-пх (х>0, целое я >1),
которое теперь носит имя Я. Бернулли,
опубликовавшего его в 1689 г.

В чисто геометрической форме выразил
Барроу связь между операциями диффе-
ренцирования и интегрирования. Пусть
монотонные кривые VGEG и VIFI, отне-
сенные к общей оси VP, таковы, что ор-
динаты DF верхней кривой, умноженные
на данный отрезок 7?, который можно по-
ложить равным 1, каждый раз равны пло-
щади VDE, ограниченной нижней кривой,
осью и ее ординатой DE, являющейся
продолжением. DF* (рис. 9). Тогда,
утверждает Барроу, отрезок DT, удовлет-
воряющий пропорции DT:R—DF:DE,
есть подкасательная для касательной к
верхней кривой в точке F. В принятых
нами современных обозначениях (VD==x,
DF—y, DE=z) теорему можно сформу-

* Умножение на отрезок обеспечивает соблю-
даемую Барроу однородность сравниваемых вели-
чин, в данном случае площадей.

у=\ zdx,
о

то подкасательная DT=t верхней кри-
вой VIF есть t=y.z\ поскольку t=у\ ,

то -г =2 или же du—zdx. Итак, интег-
dx

рирование нижней кривой дает диффе-
ренцирование верхней и наоборот, что
Барроу доказывает особо несколько
дальше.

Барроу дает два доказательства своей
теоремы. Одно, кинематическое, примы-
кает, по его собственным словам, к иссле-
дованиям Торричелли. Во втором, гео-
метрическом доказательстве, проведен-
ном Барроу со всей возможной стро-
гостью, рассуждения несколько длинны,
но их инфинитезимальная суть, которой
он и руководствовался, проста. Прира-
щение площади нижней кривой, т. е.
DEGP, равно приращению ординаты
верхней, т. е. LF. Если точка I бесконеч-
но близка к F, то характеристический
треугольник ILF рассматривается как
прямолинейный, криволинейная фигура
DEGP как прямоугольник, откуда сразу
получается dy=zdx. Именно в такой ма-
нере проведено доказательство обратной
теоремы.

То обстоятельство, что теоремы Бар-
роу и аналогичные предложения его
предшественников выражают взаимооб-
ратный характер интегрирования (при
переменном верхнем пределе) и диф-
ференцирования, стало прозрачно ясным
после того, как Ньютон и Лейбниц ввели
аналитические определения обеих опера-
ций. Ньютон сделал это уже ранее,
Лейбниц несколько лет спустя. Между
прочим, хотя Ньютон был учеником Бар-
роу и кое-что от него воспринял (глав-
ным образом кинематический подход к
основным понятиям анализа), собствен-
но аналитические открытия Ньютона не
были заимствованы у Барроу и не явля-
лись продолжением или переложением
на другой язык его теорем. Интересно,
что Барроу показывал рукопись своих
лекций Ньютону и печатно признавал,
что обязан некоторыми улучшениями и
добавлениями этому «мужу замечатель-
ного дарования». Что привнес Ньютон в
оптические лекции своего бывшего лекто-
ра, изданные в 1669 г., неизвестно, а в
математической части он чем-то ему по-
мог как раз в разделе, посвященном
вычислению подкасательной, при написа-
нии которого, по словам самого Барроу,
он использовал советы друга, по имени
не названного. Отношение свое к Ньюто-
ну Барроу выразил тем, что, покидая
Кембриджский университет, он рекомен-
довал на свое место Ньютона.

14. И. НЬЮТОН

С Ньютоном и Лейбницем мы вступа-
ем на почву анализа бесконечно малых
в собственном значении этого слова. Пер-
венство во времени открытия принадле-
жит Ньютону, первенство публикации —
Лейбницу. Позднейший спор о приорите-
те открытия, разгоревшийся в начале
XVIII в., не может влиять на объек-
тивную оценку вклада каждого из этих
двух великих ученых, столь различных
по многим своим воззрениям и интере-
сам, но единых в стремлении настолько
обогатить математический анализ, чтобы
он стал главным и эффективным сред-
ством познания природы.

За полустолетие после выхода трудов
Непера и Кеплера, с которых мы начали
рассказ о становлении математического
анализа, инфинитезимальная математи-
ка получила очень существенное разви-
тие. В интеграционных задачах встало

на первое место суммирование беско-
нечно большого количества бесконечно
малых слагаемых, и с помощью раз-
личных вспомогательных средств проин-
тегрированы степенная функция, многие
иррациональные и некоторые трансцен-
дентные функции. Понятие квадратуры
в известной мере заменяло понятие ин-
теграла. К квадратурам были приведены
отдельные задачи, выражаемые обыкно-
венными дифференциальными уравне-
ниями.

В дифференциальных задачах устанав-
ливалось единство процедур их решения,
сводящееся к разысканию бесконечно
малых разностей величин и пределов их
отношений. Фактически применялись не-
которые правила, равносильные диф-
ференцированию. Операция предельного
перехода была осознана как некое новое
действие математики, равноправное с
действиями арифметики и затем алгебры.
Математики приблизились к пониманию
связи между задачами обоих типов.

Третьим первостепенным достижением
было открытие возможности представ-
лять функции с помощью бесконечных
степенных рядов.

Все это происходило в условиях отказа
от античных критериев строгости и при-
менения еще нечетких понятий инфините-
зимальных величин, правда, в уверен-
ности, что все полученные таким образом
результаты можно безукоризненно обос-
новать на манер древних геометров. Та-
ким обоснованием, однако, ни у кого не
было ни времени, ни охоты заниматься.

Все эти достижения были велики, но
все же не составляли регулярного ис-
числения бесконечно малых, для чего не
хватало ни общих понятий, ни общих
правил обращения с этими понятиями,
ни единой и удобной символики, какая
уже существовала в алгебре. Основа-
ния такого регулярного исчисления, или
же анализа бесконечно малых, заложи-
ли Ньютон и Лейбниц.

Великий английский математик, меха-
ник и физик Исаак Ньютон (1643—1727)
родился в фермерской семье в деревне
Вулсторп, учился в школе маленького
соседнего городка, а летом 1661 г. по-
ступил в Тринити колледж (т. е. кол-
ледж св. Троицы) Кембриджского уни-
верситета, имея более чем скромную ма-
тематическую подготовку в пределах тог-
дашних школьных программ. Сперва он
занялся изучением философии от Аристо-
теля до Декарта и Гоббса. Перелом в
его занятиях наступил резко и, насколько
известно, довольно случайно. Летом
1663 г. Ньютон купил на ярмарке астро-
логическую книжку и увидел, что для по-
нимания некоторых мест нужно знать
тригонометрию, а взяв руководство по
этому предмету, не смог в нем разоб-
раться, так как не знал геометрии. Тут
он принялся за чтение «Начал» Евклида,
затем он прочитал одно английское руко-
водство по алгебре и проштудировал вто-
рое латинское издание «Геометрии» Де-
карта со всеми приложениями, а далее
«Арифметику бесконечных» Валлиса и
другие книги. После этого математиче-
ский гений Ньютона проявился очень
быстро. При чтении «Геометрии» он уже
сделал некоторые открытия в теории
алгебраических кривых, а интерполяции
Валлиса привели его зимой 1664/65 г. к
открытию общей теоремы о биноме, ранее
известной только для целых натуральных
степеней. Два года, начиная с лета
1665 г., он провел на родине из-за чумы
в Кембридже и за это время далеко
продвинулся в области анализа, причем
сразу пошел собственными путями, лишь
отталкиваясь от результатов своих пред-
шественников. Много позднее Ньютон,
разбирая свои юношеские записки, писал:
«Все это было в два чумных ТОда
1665 и 1666. Ибо в те дни я был в расцвете
своих творческих сил и занимался мате-
матикой и философией более, чем когда-
либо с тех пор». За эти два года он далеко
опередил всех своих предшественников
и почти всех современников. Весной
1667 г. Ньютон вернулся в Кембридж.
Был ли он знаком с Барроу ранее, не
известно. Во всяком случае, теперь меж-
ду ними установился контакт, но, пожа-
луй, в это время Ньютон мог уже больше
сам дать Барроу, чем Барроу ему. Во вся-
ком случае, распространенное мнение о
решающем влиянии Барроу на формиро-
вание Ньютона-аналиста, как доказыва-
ет изучение рукописного ньютоновского
наследия, ныне полностью опубликован-
ного, ошибочно. Вместе с тем не подле-
жит сомнению влияние Барроу на кине-
матическое толкование Ньютоном основ-
ных понятий и постановку общих задач
его метода. Вряд ли Ньютону изменила

память, когда он в 1713 г. писал, что
когда он приступал в 1665 г. к созданию
своего метода, то, «вероятно, что лекции
д-ра Барроу могли навести меня на рас-
смотрение образования фигур посред-
ством движения, хотя этого теперь и не
помню». В этом же направлении влияли
на него, быть может, «Беседы и матема-
тические доказательства» Галилея, с
английским переводом которых в 1665 г.
Ньютон тогда познакомился. Вот не-
сколько начальных строк из «Рассужде-
ния о квадратуре кривых», написанного
Ньютоном в 90-е годы: «Я здесь рассмат-
риваю математические величины не как
состоящие из крайне малых частей, но
как описанные непрерывным движе-
нием. Линии описываются не через при-
ложение частей, но непрерывным движе-
нием точек, поверхности — движением
линий, тела — поверхностей, углы — вра-
щением сторон, время — непрерывным
течением, и также обстоит дело и в дру-
гих случаях. Эти образования поистине
коренятся в сущности вещей и ежеднев-
но наблюдаются нами в движении тел».
Эти мысли и составили фундамент фило-
софии анализа Ньютона.

Осенью 1667 г. Ньютон начал в Кемб-
ридже работу в качестве «младшего чле-
на» Тринити колледжа, весной 1668 г.
стал «старшим членом» и вскоре получил
степень магистра, а в ноябре 1669 г.
занял в звании профессора место Барроу,
сохраняя эту необременительную долж-
ность около 26 лет и изредка навещая
Лондон. С близким ему по интересам
ученым миром Ньютон поддерживал кон-
такт в ходе редких встреч и переписки,
которую вел через посредство Коллинса
и Ольденбурга.

Первое изложение своего нового ана-
литического метода Ньютон записал
осенью 1666 г. в черновом наброске, озаг-
лавленном «Последующие предложения
достаточны для решения задач с по-
мощью движения». Математика была от-
нюдь не единственным предметом его за-
нятий. В эти же годы созревали основ-
ные принципы механики и небесной ме-
ханики Ньютона, в том числе мысль о
единой силе тяготения, определяющей
движение как земных, так и небесных тел.
Проверка гипотезы, что эта сила обратно
пропорциональна квадрату расстояния
между взаимно притягивающимися тела-
ми, на примере движения Луны не под-
твердила тогда эту мысль, так как Нью-
тон не располагал еще достаточно точ-
ным значением длины земного радиуса;
к этой проблеме он вернулся позднее.
Более успешно шли занятия оптикой. Он
открыл дисперсию света и самолично
изготовил линзы для построенного им
пёрвого в мире рефлектора.

Все эти вещи занимали многих выдаю-
щихся современников Ньютона. Только в
Англии X. Рен и Р. Гук (1635—1703)
пришли к мысли о таком же законе тяго-
тения, общая идея о котором приходила
на ум ученым еще с начала XVII в., но
оба не сумели построить систему небес-
ной механики. Грегори и Барроу также
занимались оптикой, причем первый со-
бирался сконструировать отражатель-
ную зрительную трубу.

В конце 1671 г. Ньютон представил
свой рефлектор Королевскому обществу
и вскоре был избран его членом. Затем
он передал обществу работу по теории
света и цветов, вызвавшую критику со
стороны Гука, Гюйгенса и французского
математика И. Г. Пардиса (1636—1673).
Ньютон, остерегавшийся всякой полеми-
ки, нарушавшей его душевный покой, ре-
шил впредь не печатать ничего, что могло
бы вызвать споры. В 1668 г. он подгото-
вил первое очень краткое изложение сво-
их аналитических открытий под назва-
нием «Анализ с помощью уравнений с
бесконечным числом членов (т. е. рядов),
рукопись которого летом 1669 г. передал
Барроу, переславшему ее Коллинсу. Не-
сомненно, что Ньютон хотел закрепить за
собой право на сделанные им перед тем
открытия, но печатать это наспех подго-
товленное сочинение, содержавшее ма-
лую часть его открытий, не пожелал.
Вернув оригинал Ньютону, Коллинс пе-
ред тем снял с нее копию, которую пока-
зывал или о которой сообщил письмен-
но некоторым ученым Англии, Шотлан-
дии, Франции и Италии. От замысла
напечатать «Анализ» в приложении к пе-
чатавшемуся тогда труду Барроу по оп-
тике Ньютон отказался, а стал гото-
I вить более полное изложение своих
I результатов в сочинении, известном под
i названием «Метод флюксий и бесконеч-
( ных рядов», данным его переводчиком
[ на английский язык Дж. Колсоном; как
; хотел назвать его сам Ньютон — не из-
। вестно.

«Метод флюксий», который был напи-
сан в 1670—1671 гг., Ньютон хотел напе-
чатать, но дело не удалось: издание мате-
матических книг не приносило книготор-
говцам прибыли. В результате последние
задуманные отделы этого важного труда
не были дописаны. Затем Ньютон отка-
зался от мысли издать это сочинение,
быть может, из опасения, что его чисто
инфинитезимальные установки смогут
вызвать новую полемику. Все же позднее,
будучи бессменным президентом Коро-
левского общества с 1703 г. и поль-
зуясь на родине безусловным автори-
тетом, он дал согласие на издание «Ана-
лиза» вместе с другим его сочинением
по теории интерполирования (1711), а
еще ранее, в 1704 г., издал свой третий
труд по анализу — упомянутое «Рас-
суждение о квадратуре кривых» вместе с
«Перечислением кривых третьего поряд-
ка» и «Оптикой», в которой предложил
корпускулярную теорию света, долгое
время конкурировавшую с волновой тео-
рией Гюйгенса (1690). «Метод флюксий»
впервые вышел в упомянутом англий-
ском переводе только посмертно, в
1736 г., латинский же текст увидел свет
только в 1779 г.

Столь позднее, а иногда и просто за-
поздалое издание трудов Ньютона по
анализу, естественно, препятствовало их
влиянию, особенно на Европейском кон-
тиненте. Правда, некоторые результаты
Ньютон сообщил Лейбницу по его прось-
бе в двух письмах 1676 г., когда тот уже
самостоятельно пришел к дифференци-
альному и интегральному исчислению.
В этих письмах были и новые для Лейбни-
ца вещи, но основные задачи и идеи
Ньютон зашифровал в виде анаграмм —
расположенных в алфавитном порядке и
должном количестве букв латинского
алфавита, составляющих всего три фра-
зы. Раскрыть секрет этих анаграмм было
немыслимо, но Лейбниц в этом уже не
нуждался. Только когда Лейбниц опуб-
ликовал свой первый мемуар по диффе-
ренциальному исчислению и затем ввел
в печати первые интегралы, Ньютон счел
нужным резюмировать в печати свой ме-
тод под видом двух писем к Валлису
от 1692 г., выдержки из которых появи-
лись в латинском издании «Трактата
по алгебре» Валлиса 1693 г.

Лишь в одном случае Ньютон нарушил

35g
свое кембриджское молчание и то по на-
стоянию своего друга, известного астро-
нома Э. Галлея (Хали, 1656—1742), имя
которого увековечено в названии кометы.
А именно: Ньютон чрезвычайно быстро
подготовил свои знаменитые «Математи-
ческие начала натуральной философии»
(1687), на издание которых решился, ког-
да новые измерения земного радиуса по-
казали согласие теории всемирного тяго-
тения с наблюдениями.

В 1696 г. Ньютон принял предложе-
ние стать сперва хранителем, а затем ди-
ректором Монетного двора в Лондоне.
Это была ответственная должность, на
которой Ньютон проявил свои большие
организаторские способности. В то время
денежные дела Англии были в большом
беспорядке, в обращении имелось много
фальшивых и неполновесных монет, хо-
рошие же припрятывались и перевози-
лись в другие страны. Ньютон поставил
чеканку новых монет на должную высоту
и занимал свой пост до кончины. С 1703 г.
он, как упоминалось, возглавлял Коро-
левское общество. Научная активность
его заметно снизилась, хотя изредка он
мог блеснуть быстрым решением новых
появившихся в печати трудных задач
анализа. В. 1709—1712 гг. Ньютон интен-
сивно занимался вместе со своим талант-
ливым последователем Р. Коутсом
(1682—1716) подготовкой второго уточ-
ненного издания «Математических на-
чал». Кроме того, он увлекся философ-
ско-богословскими вопросами и античной
хронологией, анализируя библейские
сказания. Противник католицизма и пан-
ства, Ньютон не был ортодоксальным
членом английской церкви; ближе всего
он 0ыл к деизму.

Скончался Ньютон на 85-м году. Похо-
ронен он, как и многие другие крупные
деятели английской культуры, в Вест-
минстерском аббатстве. Краткая эпита-
фия заканчивается словами: «Пусть ра-
дуются смертные, что существовало та-
кое украшение рода человеческого».

Ньютон был как математиком-анали-
стом, геометром и алгебраистом (мы
оставили в стороне его ценные лекции
по алгебре, изданные в 1707 г.), так и
астрономом, механиком и физиком, при-
том теоретиком, экспериментатором и
конструктором. Все эти направления
прекрасно сочетались в его творчестве,

которое во многом определило последую-
щее развитие всего математического
естествознания и механического или, точ- j
нее говоря, механико-математического ;
мировоззрения. Здесь решающую роль
сыграли «Математические начала нату-
ральной философии», предисловие к ко-
торым сжато выражает не только их
конкретное содержание, но и общую пер-
спективу развития физики, как ее пред- 1
ставлял себе их автор: «Сочинение это ?
нами предлагается как математические
основания физики. Вся трудность физи-
ки, как будет видно, стоит в том, чтобы
по явлениям движения распознать силы ]
природы, а затем по этим силам объяс-
нить остальные явления... Было бы жела-
тельно вывести из начал механики и
остальные явления природы, рассуждая
подобным же образом, ибо многое за-
ставляет меня предполагать, что все эти
явления обусловливаются некоторыми •
силами, с которыми частицы тел, вслед- J
ствие причин покуда неизвестных, или
стремятся друг к другу и сцепляются
в правильные фигуры, или же взаимно
отталкиваются и удаляются друг от
друга».

Закон всемирного тяготения, так же,
как и дальнодействие физических тел, ;
Ньютон объяснить не мог. Подводя итог j
своему монументальному труду, он в этом
прямо признавался, добавляя, что гипо-
тез — имеется в виду априорных гипо-
тез — он не измышляет. Тем самым он
противопоставлял свою картину мира
картезианской концепции, не принимав-
шей дальнодействия и пытавшейся дать
не столько количественное, как качест-
венное объяснение мира с помощью гипо-
тезы эфирных вихрей, увлекающих в сво-
ем регулярном течении все небесные тела
и вообще объясняющих все явления
вплоть до физиологических. Такую кон-
цепцию Ньютон отвергал как априорную.
Господствовавшие в Парижской акаде-
мии картезианцы избрали Ньютона в
1699 г. ее иностранным членом, но стара-
лись приостановить распространение его
небесной механики, которая все же одер-
жала верх и на Европейском континенте
полвека спустя.

15, МО'ОД ФР1СШСИИ	i

Обратимся теперь к методу флюксий,
заметив прежде всего, что он создан был
не столько для решения задач механики,
сколько в ходе развития ц широкого
обобщения предшествующих инфините-
зимальных методов как алгоритм, основ-
ными операциями которого служат:

1)	дифференцирование, начиная со
степенной функции;

2)	интегрирование как действие, об-
ратное дифференцированию;

3)	разложение функций в степенные
ряды, позволяющее изучать все
аналитические, в современном
смысле слова, функции с помощью
их ряда Тейлора.

Уверенность в представимости всех
употребительных в анализе функций
степенными рядами (включая ряды
с дробными показателями) основывалась
на изобретении нескольких специальных
приемов, среди них обращения рядов
и так называемого параллелограмма
Ньютона, на котором мы задерживаться
не будем. Эта уверенность сообщала
методу Ньютона, казалось бы, уни-
версальный характер. Сравнивая со-
зданное им исчисление с алгеброй,
Ньютон подчеркивал как их родство,
так и различие. То, чего обыкновенный
анализ достигает, когда это возможно,
посредством уравнений с конечным чис-
лом членов, его метод всегда достигает
при помощи бесконечных уравнений.
«И я не колеблюсь употреблять и здесь
термин анализ», который, таким образом,
стал синонимом исчисления бесконечно
малых.

Центральными понятиями анализа
явилась текущая величина — флюента,
ее флюксия, или скорость изменения
(наша производная), и бесконечно ма-
лый момент (дифференциал). К алгеб-
раической символике Ньютон добавил
знак бесконечно малой величины в виде
маленькой буквы «о», который имеется
уже в рукописях 1664 г., но в печати по-
явился у Грегори в 1668 г.*. Флюксии
Ньютон сперва обозначал какими-нибудь
буквами, отличными от соответствующих

* Происхождение знака о не ясно. Быть может,
он напоминал о ничтожной малости момента,
так как похож на знак нуля. Вряд ли Ньютон
мог взять его у Грегори, который в 1664 и после-
дующие годы был в Италии. В одном из писем
1638 г. Ж. де Богран (ум. в 1640 г.) употребил
знак о при изложении метода касательных Ферма.
Не известно, было ли письмо де Бограна Грегори
и Ньютону.’

флюент, но после опубликования Лейб-
ницем первой статьи по дифференциаль-
ному исчислению (1684) стал с этой
целью ставить над знаками флюент точ-
ки, например, х, у, z, ... или несколько
точек х, х и т. п. Такую символику он
применил около 1690 г. при работе над
«Рассуждениями* о квадратуре кривых»,
а в печати она появилась в упомя-
нутых письмах Ньютона к Валлису,
т. е. в 1693 г. Он придумал и специаль-
ный знак, заменяющий интеграл, —
штрих слева и сверху буквы вроде
'z, "z и т. п.

С самого начала новые понятия несли
на себе печать кинематической трактов-
ки. В 1665 г. Ньютон писал о «движе-
ниях» величин хиг/, обозначая их долгое
время ри q\ вскоре затем он меняет слово
«движение» на «скорость», слова же
«флюента» и «флюксия», т. е. текущая
(величина), появляются в рукописи
«Метода флюксий». В этом сочинении
сформулированы в терминах механики
две основные проблемы метода: 1. Длина
проходимого пути постоянно дана, тре-
буется найти скорость движения в пред-
ложенное время и 2. Скорость движения
постоянно дана, требуется найти длину
пройденного в предложенное время пу-
ти. Флюенты суть непрерывно возрастаю-
щие или убывающие, не обязательно
монотонно, во времени величины, мы бы
сказали функции универсального аргу-
мента,* ^именуемого временем; с поня-
тием времени связан термин «момент».
Ньютон тут же подчеркивает, что вре-
менем называет не время в обычном
смысле слова, но любую величину, рав-
номерное течение которой выражает
и измеряет настоящее время. В ранних
работах применяются только флюксии
первого порядка, флюксии высшего по-
рядка появляются лишь в 90-е годы.
Кинематическая формулировка двух ос-
новных задач метода тотчас переводится
на язык нового анализа:

1.	По данному соотношению между
флюентами определить соотношение
между их флюксиями. Термина «функ-
ция» у Ньютона нет, здесь его заменяет
слово «соотношение». Это задача диф-
ференцирования функции нескольких пе-
ременных, которые все зависят от одного
переменного параметра «времени».

2.	По данному уравнению, содержаще-

му
му флюксии, найти соотношение между
флюентами. В простейшем случае это
задача на обыкновенное интегрирование,
когда же в данное уравнение входят
наряду с флюксиями их флюенты, это
задача интегрирования дифференциаль-
ного уравнения.

Термина «функция», как сказано,
у Ньютона нет, вместо этого он говорит
об отнесенной величине (функции),
соотнесенной к другим (аргументу).
Правда, эта терминология практически
не использовалась. Третье основное по-
нятие — «моменты» текущих величин —
характеризуется как их неопределенно
малые части, прибавление которых
в неопределенно малые части времени
и вызывает непрерывное изменение ве-
личин. Термин «неопределенно малые»
равнозначен термину «бесконечно ма-
лые», или «исчезающие», также приме-
нявшемуся ранее. Моменты используют-
ся при дифференцировании на основании
того, что они пропорциональны флюк-
сиям величин, так что моменты флюент
х, у, z, ... суть соответственно хо,
уо, zo, ... В случае когда уравнение,
связывающее флюенты, есть f(x, у,,
z, ...) = 0, где f целый алгебраический
многочлен относительно всех перемен-
ных, правило дифференцирования полу-
чается путем отбрасывания в частном
f (х+хо, у+уо,(х, у,...) всех бесконечно
о

малых членов, т. е. членов, содержащих
какие-либо степени о. Словесно выска-
занное правило Ньютона можно записать
в виде

^x+^y+|tz+...=0 -
дх ду dt

или еще

dx+ Q dy+ Q dz+...=0.
дх dy dz

Для дифференцирования рациональ-
ных и иррациональных алгебраических
функций Ньютон предварительно избав-
ляется от дробей и радикалов, при-
равнивая их к вспомогательным флюен-
там. Это освобождает от нужды в от-
дельных правилах дифференцирования
частного и функции от функции, но
за счет усложнения вычислений. В «Ме-
тоде флюксий» нет даже правила диф-
ференцирования произведения; лишь

много позднее Ньютон доказал в «Мате-
матических началах» формулу момента
произведения, из которой сразу следуют
правила дифференцирования целой сте-
пени и частного.

Весьма любопытно, что в одной руко-
писи, вероятно относящейся к 1671 г.,
Ньютон сформулировал простейшие пра-
вила дифференцирования в виде аксиом
и их следствий. Ему, большому поклон-
нику античной математики, импониро-
вала аксиоматика древних. Недаром
«Математические начала» открываются
определениями количества материи, ко-
личества движения, различного рода сил
и далее «аксиомами или законами дви-
жения». Метод флюксий Ньютон не из-
ложил аксиоматически, но набросок,
о котором идет речь, заслуживает вни-
мания. В нем всего четыре аксиомы,
которые мы коротко передадим, поль-
зуясь тем же сокращением слова
«флюксия», что и сам Ньютон: 1) если
fl.Л=П.В, то Л=В; 2) если П.Л:П.В=Л,
где k постоянная, то A.B=k (в предпо-
ложении, что А и В обращаются в нуль
одновременно); 3) fl. (Л±В) = П.Л±
i=fl.B; 4) одновременные мойёнты от-
носятся как их флюксии. Что касается
первой аксиомы, то позднее Ньютон ука-
зал, что при равенстве флюксий флюенты
могут отличаться на произвольную ад-
дитивную постоянную. Далее следуют
многочисленные теоремы и следствия
о дифференцировании различных ал-
гебраических выражений и геометри-
ческих величин. Теорема I гласит, что
из пропорции A:B=C:D следует Л fl.£>+
+ Ш1.Л = ВП.С+СП. Л. Из этой теоре-
мы выводятся как следствия правила
дифференцирования произведения, част-
ного, степени и корня. Однако эти
правила впервые опубликовал Лейбниц
в 1684 г.

Дифференцирование неалгебраиче-
ских функций производится с помощью
их разложений в бесконечные ряды. Пер-
вым крупным результатом Ньютона была
общая формула так называемого бинома
Ньютона, издавна известная в случае
натуральных показателей. Ньютон вывел
ее для любых действительных показа-
телей зимой 1664/65 г. в манере «интер-
каляций» Валлиса. Изучая «Арифметику
бесконечных», Ньютон рассмотрел (мы
для простоты воспользуемся теперешни-
ми символами) сперва выражения интег-
ралов $ (1—х2)п/2с переменным верхним
о

пределом (Валлису нужны были значе-
ния таких интегралов с пределами 0 и 1).

Для четных п=0, 2, 4, 6,... это дало
последовательность

X, X--1х3, X—4-X3-h4-X5, X—^-Х3Ч-

О	о О	<5

+4х5-1х7(... .

Заметив, что знаменатели следуют здесь
в арифметической прогрессии, а числи-
тели суть цифры степеней числа 11, Нью-
тон выявил мультипликативный закон об-
разования коэффициентов разложения
для любых рациональных показателей

(1+х)"=1+-1х+ "-<^-х2+

, n(n—1) (/г—2)	t

“Г 1*2*3 Л “Т"-’-’

вопрос о сходимости которого оставил
в стороне. Для проверки своих резуль-
татов Ньютон возвел в квадрат и куб
ряды, возникающие при разложениях z
соответствующих у и п=у. Впослед-
ствии, в XVIII в. было предложено не-
сколько вариантов вывода биномиально-
го ряда, исследование же его сходимости
в общем случае комплексных значений
х и п провел только А.-Г. Абель (1826).

Вывод биномиального разложения
Ньютон подробно изложил в своем вто-
ром письме к Лейбницу осенью 1676 г.,
пересланном через Ольденбурга.

В перром труде Ньютона по анализу
1669 г. содержатся интересные разложе-
ния в ряды, но здесь он не применяет
биномиальную формулу, а пользуется
просто делением или непосредственным
извлечением корней. Так он получил, на-
пример, разложение для -у/ а2+х2 или
еще более сложной иррациональности
~\11-|-ах2
у=	—;» квадратура которой дает

-у 1—Ьх

дугу эллипса, т. е. первый в истории
математики эллиптический интеграл, в
виде довольно сложного ряда, получаю-
щегося при делении ряда для числителя
на ряд для знаменателя, подобно деле-
нию десятичных дробей, и последующего

почленйого интегрирования частного.

Зная разложение величины у в ряд
по степеням х, Ньютон производил об-
ращение ряда, т. е. выражал х в виде
ряда по степеням у, для чего пользо-
вался методом неопределенных коэффи-
циентов в комбинации с методом после-
довательных приближений. Например,
рассмотрение характеристического тре-
угольника в случае окружности #2=1—х2
позволяет выразить длину дуги s интег-
ралом

С dx	. 1 х3 . 1 • 3 х5 .

'=' 7Т=Г=л:+^ з+тт s +

 1-3-5 х7 
2-4-6 7 “Г"”

обращение этого ряда — ряд для синуса

Sinx=-j-— -[7273 + j.2.3.4.5	•’

а формула cosx=V 1— sin2x ряд для ко-
синуса

cosx=l — [ту+ 1.2.3.4- -

Точно так же обращение ряда для
1п(1+х), в опубликовании которого
Ньютона опередил Меркатор, привело
Ньютона к показательной функции

^-1=^ + ^ + ^+...

(символам е для обозначения основания
натуральных логарифмов первый раз
воспользовался Л. Эйлер в одном письме
1731 г., после чего применял система-
тически).

Как видно, первое сочинение Ньютона
по анализу 1669 г. содержало принци-
пиально важные элементы нового ана-
лиза. В нем содержится и попытка дока-
зать сходимость к истинному значению
полученных Ньютоном разложений. Гео-
метрические приложения здесь незначи-
тельны, но один вывод, связанный с диф-
ференцированием степенной функции и,

ш
значит, с квадратурой парабол у=ахп,
имеет общее значение.

Отправным пунктом является рассмот-

пг-\-п
па —”

рение кривой с площадью z= х п .
Дифференцирование дает ординату у=
=ахп и отчетливо выявляет взаимно об-
ратный характер обеих основных опера-
ций анализа. Параллельное геометриче-
ское рассуждение, относящееся к рис. 10,
где АВ=х, BD=y, площадь ABD=z,
а величина В$ «бесконечно убывает ц
исчезает», так что «становится нулем»^
по существу, содержит доказательство
общего предложения: площадь криволи-
нейной трапеции есть интеграл функции,
выражающей ординату данной кривой,
и, обратно, производная такой площади
по абсциссе выражается ординатой. Й
хотя Ньютон не установил четкого раз-
личия между неопределенным и опреде-
ленным интегралами в классическом
смысле этих терминов, и аналитической
формулы, выражающей определенный
интеграл разностью значений первооб-
разной функции (термин Ж. Л. Лагран-
жа) при верхнем и нижнем пределах,
у него нет, но геометрический эквивалент
этой формулы имеется в «Методе флюк-
сий», где сказано: «Для получения долж-
ного значения площади, прилежащей к
некоторой части абсциссы, эту площадь
всегда следует брать равной разности
значений z, соответствующих частям
абсцисс, ограниченных началом и концом
площади». Аналог той же формулы позд-
нее встречается и у Лейбница, так что
формула, о которой идет речь, справед-
ливо называется в учебниках нашего вре-
мени формулой Ньютона — Лейбница.

Вторая основная задача метода флюк-
сий, т. е. интегрирование функций и диф-
ференциальных уравнений, представляла
гораздо большие трудности, ибо интегри-
рование даже простейших рациональных

или иррациональных функций, вообще
говоря, порождало трансцендентные
функции, еще не изученные. Было естест-
венно заняться поисками алгебраически
интегрируемых иррациональностей, и не-
которые важные результаты Ньютон
вскоре получил. Так, во втором письме
к Лейбницу он привел достаточное усло-
вие алгебраической интегрируемости
дифференциального бинома

S xm(a-\-bxn)pdx,

состоящее в том, что одной из чисел
т-1-1 т-1-1 .

р, —±—\-р есть целое положитель-
ное. Впоследствии X. Гольдбах и Л. Эй-
лер независимо показали, что если одно
из этих чисел просто целое, не обяза-
тельно положительное, то имеет место
интегрируемость либо в алгебраических,
либо в логарифмических и круговых
функциях. (Исследование свойств диф-
ференциального бинома на сказанном не
остановилось: в 1853 г. П. Л. Чебышев
доказал не только достаточность, но и
необходимость перечисленных условий.)
В «Рассуждении о квадратуре кривых»
Ньютон пошел далее в исследовании
интегралов различных функций, которые
можно рассматривать как обобщения
дифференциального бинома, но на этом
мы задерживаться не будем. Добавим
лишь, что интегрирование некоторых
функций, рациональных относительно
х и	он свел к квадратуре

конических сечений.

Еще сложнее задача интегрирования
дифференциальных уравнений. Вообще
говоря, решения в квадратурах не при-
влекли внимания Ньютона, хотя отдель-
ные уравнения он таким образом решил.
Он даже не поставил задачи классифи-
кации уравнений 1-го порядка. Общим
приемом решения служило представле-
ние искомого решения степенным рядом
по целым или рациональным степеням
аргумента с определением коэффициен-
тов посредством некоторого специаль-
ного правила. Вообще говоря, Ньютон
искал частное решение, соответствующее
начальному условию у=0 при х=0. Вме-
сте с тем он знал, что дифференциаль-
ное уравнение имеет бесчисленное мно-
жество решений.

Примером может служить решение в
«Методе флюксий» уравнения
У=\ | У I ХУ  х2у
х ' а ' ~а? '

(т. е. линейного уравнения -|=у' = 1-|-

“Ь » котоРое Ньютон не выписал) в виде

Почти очевидное здесь решение в конеч-
ном виде (сумма ряда равна --!—

Ньютон не приводит.

На богатых дифференциально-геомет-
рических приложениях, имеющихся в
«Методе флюксий» (проведение каса-
тельных, учение о кривизне, не говоря об
экстремумах, и др.), мы останавливаться
не будем.

В «Математических началах» Ньютон
почти не применил метод флюксий вооб-
ще. Только лишь в середине труда по-
является теорема о моменте (дифферен-
циале) произведения и некоторые следст-
вия из нее. Вместе с тем это сочиненйе не
могло быть написано без инфинитези-
мальных вычислений. Как Ньютон перво-
начально выводил теоремы «Математи-
ческих начал», мы не знаем, но в сохра-
нившейся'рукописи, как и в пёчатном
тексте, изложение ведется на манер древ-
них, синтетически, хотя и без употреб-
ления метода исчерпывания. С нашей
точки зрения, здесь проведены вычисле-
ние пределов интегральных сумм, кото-
рые много десятков лет спустя выразили
двойными и тройными интегралами, ин-
теграция некоторых линейных дифферен-
циальных уравнений 2-го порядка с .по-
стоянными коэффициентами, решена од-
на задача вариационного исчисления и
т. д. Понятно, что использовать в «Мате-
матических началах» еще необнародо-
ванный метод флюксий Ньютон просто
не мог. Вместо этого он подводит под
инфинитезимальные вычисления, т. е.
предельные переходы, новый базис —
леммы о пределах или, как он еще выра-
жался, о первых отношениях зарождаю-
щихся величин и'последних отношениях
величин исчезающих. Лемм этих все-
го 11. Понятие предела не определяется
и принимается за исходное и очевидное,
так же, как и понятие мгновенной ско-
рости. В лемме 1 доказано, что если от-
ношение двух переменных величин в те-

чение конечного времени стремится к 1,
то они «напоследок» становятся равны-
ми. В лемме 4 выясняется, что если две
какие-либо величины разделены на оди-
наковое число частей, количество кото-
рых бесконечно возрастает, причем наи-
большая из них бесконечно умаляется,
а соотношение сумм соответственных
частей для обеих величин постоянно, то
и сами величины находятся в том же от-
ношении. Это предложение является
следствием аналогичного предложения о
площади криволинейного треугольника
AabcdE (рис. 11) и вписанных в него или
описанных прямоугольников’ у которых
наибольшее из оснований стремится к ну-
лю. В лемме 7 установлено, что послед-
нее отношение исчезающей дуги Л С глад-
кой кривой, ее хорды АВ и AD — отрезка
касательной в точке А равно 1 (рис. 12).
Все эти леммы имеют целью избежать

Рис. 12
«скучного изложения, долгих доказа-
тельств приведением к нелепости по об-
разцу древних» и вместе с тем «несколь-
ко грубого» (так выражался, между про-
*чим, и Кавальери) допущения недели-
мых. За леммами следует рассуждение
о том, что надлежит понимать под по-
следним отношением исчезающих вели-
чин, которое постоянно встречается при
вычислении флюксий. Это отношение, с
которым величины исчезают, но не до и
не после их исчезновения. Тут Ньютон
прибегает к аналогии с механикой, идеи
которой постоянно направляли его мыш-
ление. Ведь существует последняя ско-
рость тела в момент его остановки. По-
ставленная здесь проблема занимала
умы математиков еще многие десятиле-
тия.

Ньютон ввел в математику термин
«предел» и впоследствии по праву счи-
тался основоположником теории преде-
лов, хотя развитие этой теории началось
уже после его смерти. Сам он, по-види-
мому, видел в леммах только вспомога-
тельные предложения своего изложения
системы небесной механики, а не теоре-
тическую основу метода флюксий. В за-
вершающем «Рассуждении о квадратуре
кривых» только упоминается, что флюк^
сии находятся «в первом отношении за-
рождающихся приращений» соответст-
вующих флюент, а вообще широко ис-
пользуются «бесконечно малые» и, как
выражается Ньютон, «бесконечнейше
малые» (infinitissime parvae) величины.

Выше не раз говорилось об этом сочи-
нении. Однако гораздо интереснее та
часть недавно найденной его рукописи,
которая по непонятной причине не была
включена Ньютоном в печатное издание
и в которой приведены без вывода, при-
том в форме, отличной от позднее при-
нятой, ряды Тейлора и Маклорена. Мы
запишем близко, следуя Ньютону, толь-
ко ряд Маклорена: если y=az-|-6z2+
4-cz3H-dz44-..., причем у =0 при z=0, то
-У- =а, 2Ь=*	6с=	, 24d= и т. д.,

z	г2	г3	z4

где у, у, у и т. д. имеют значения,
соответствующие z=0.

Не известно, видел ли рукопись Ньюто-
на Б. Тейлор, сообщивший о ряде, нося-
щем его имя, в одном письме 1712 г. и
опубликовавший его в 1715 г. Возможно,
что дифференциальные свойства коэффи-

циентов разложения функции в степен-
ной ряд были известны Ньютону ранее:
на это есть прямые намеки в «Матема-
тических началах». Существует мнение,
что ряд Тейлора был известен и Дж. Г ре-
гори. Вообще глубина проникновения
Ньютона в учение о бесконечных рядах
поразительна. В черновиках мы находим
и так называемое преобразование Эйле-
ра (1755), которое используется как для
ускорения сходимости рядов, так и для
преобразования расходящихся рядов в
сходящиеся.

У Ньютона было несколько талантли-
вых последователей: Р. Коутс, А. де
Муавр (1667—1752), Б. Тейлор (1685—
1731), Дж. Стирлинг (1692—1770), на-
конец, К. Маклорен (1698—1746). После
этого развитие математического анали-
за в Англии заметно ослабевает. На кон-
тиненте же расцветает школа, основан-
ная Лейбницем, которая в Англии из-за
спора о приоритете получила полное
признание лишь во второй четверти XIX в.

16.	Г. В. ЛЕЙБНИЦ

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—
1716) родился в семье профессора мора-
ли Лейпцигского университета, учился в
университетах родного города и Иены,
в 1666 г. защитил диссертацию и степень
доктора юридических наук. Но еще ранее
он заинтересовался вопросами натурфи-
лософии, логики и математики. В том
же 1666 г. вычло его «Рассуждение о
комбинаторной искусстве», положившее
начало комбинаторике как особой ветви
математики, которую он позднее прило-
жил к решению систем линейных алгеб-
раических уравнений. Некоторые резуль-
таты этих исследований он изложил в
своей переписке, наиболее же глубокие
остались в рукописях, изученных только
в последние десятилетия. К задачам ком-
бинаторики подходили и отдельные пред-
шествующие ученые, занимались и неко-
торые современники Лейбница, но широ-
кое развитие ее было делом будущего.
Вскоре после окончания университета
Лейбниц поступил на службу к одному
немецкому государю и с дипломатически-
ми поручениями приехал весной 1672 г.
в Париж. Здесь он провел несколько лет,
установив контакт с ведущими учеными-
математиками, в том числе с Гюйгенсом.
Быстро овладев всей имеющейся литера-
турой вопроса, Лейбниц начал самостоя-
тельные исследования. Вообще интересы
его отличались исключительной универ-
сальностью, охватывая философию, ма-
тематическую логику, геометрию, меха-
нику, языкознание и т. д.

В начале 1673 г. он побывал недолго
в Лондоне, где демонстрировал сконст-
руированную им счетную машину и уста-
новил знакомство с рядом крупных уче-
ных. Ньютона там тогда не было, он на-
ходился в Кембридже. Эта машина была
совершеннее более ранней, построенной,
как Лейбницу было известно, Б. Паска-
лем (XVIII в. был эпохой не только ста-
новления математического анализа, но и
зарождения машинной математики). Ко-
ролевское общество избрало Лейбница
своим членом, а в 1675 г. его примеру
последовала и Парижская академия.
В 1676 г. Лейбниц покинул Париж, посту-
пил на службу к герцогу Ганновера в ка-
честве библиотекаря и историографа, но
являлся также и советником по самым
различным вопросам управления этим
самостоятельным в те времена герцогст-
вом. В 1700 г. он при поддержке дочери
ганноверского герцога Софии-Шарлот-
ты, вышедшей замуж за прусского коро-
ля, основал Берлинское общество наук,
став его первым президентом.

Последние годы жизни Лейбница в не-
которых отношениях сходны; в других
весьма отличны от последних лет Ньюто-
на. Оба состояли на государственной
службе, оба были президентами научных
обществ. У обоих при жизни появились
ученики. Оба всю жизнь оставались хо-
лостяками, оба были удручены спором о
приоритете. Но Ньютон ладил с высшими
кругами Англии, у Лейбница же сложи-
лись весьма холодные отношения с по-
следним ганноверским герцогом. Ньютон
был торжественно похоронен в Вестмин-
стерском аббатстве. Смерть Лейбница,
скончавшегося на 71-м году, прошла
почти незамеченной в стране, которую он
прославил своим научным творчеством,
и на его могильной плите в полу ганно-
верской церкви, где он похоронен, высе-
чены лишь два скромных слова ossa
Leibnitii — прах Лейбница.

В своей программе создания некоей
всеобщей науки Лейбниц пошел гораздо
дальше, чем Декарт, стремившийся

создать универсальную математику.
В некотором смысле Лейбниц возрождал
идеи испанского философа Люлля
(1235—1315), задумавшего создать ма-
шину, автоматически производящую от-
крытия с помощью комбинирования на-
чальных понятий,* а также немецкого
профессора математики И. Юнга
’ (1587—1657), предлагавшего построить
логическое исчисление по образцу ал-
гебраического и считавшего аристотеле-
ву логику неполной. Лейбниц преследо-
вал цель создания единого алгоритма
всех формализованных наук, оперирую-
щего аппаратом математизированной ло-
гики. Он представлял себе, что в прин-
ципе можно свести все понятия к немно-
гим элементарным, а последним поста-
вить во взаимно-однозначное соответст-
вие их знаки- «характеры», комбинации
которых позволят выразить все взаимо-
отношения вещей с помощью формул и
уравнений, преобразование или решение
которых заменит рассуждения. Такая
полная формализация мышления позво-
лит ученым в случае разногласий просто
взять в руки перья и сказать друг другу:
давайте вычислим — calculemus. Теперь
мы знаем, что такая мечта Лейбница не
реализуема, но это не лишает ее стимули-
рующего значения в истории человечес-
кой мысли и особенно в научных иссле-
дованиях самого Лейбница.

Свою науку мышления он называл
то «комбинаторной характеристикой»,
то «всеобщей характеристикой». С за-
мыслом Лейбница было связано то зна-
чение, какое он придавал выбору «харак-
теров» — символов: они должны быть
удобны для открытий и облегчения мыш-
ления, а для этого адекватно выражать
глубинную суть понятий. Этим требова-
нием Лейбниц часто руководствовался,
например, при введении индексов при
буквах, означающих величины, и, что для
нас самое важное, при создании обозна-
чений его системы математического ана-
лиза. С концепцией всеобщей характе-
ристики связан был и его интерес к ма-
шинной математике.

Здесь нет места' для рассказа о прой-
денном Лейбницем за два года пути к
открытию дифференциального и инте-
грального исчисления. Сам он указывал
как главные трй отправных пункта своих
размышлений: 1) метод характеристи-
ческого треугольника, увиденный им у
Паскаля и затем обобщенный; 2) алгеб-
раизированную геометрию Декарта и его
последователей; 3) работы Валлиса и
Меркатора о рядах и собственные ранние
исследования по суммированию некото-
рых рядов дробей с помощью порождаю-
щих их разностей. Уже в 1673 г. Лейбниц
довольно далеко продвинулся в несколь-
ких направлениях, в частности, зани-
маясь обратной задачей на касательные,
ввел термин «функция»,правда, сперва
только для обозначения различных от-
резков, связанных с кривой и «выпол-
няющих для данной фигуры некоторую
функцию», как абсцисса, ордината, под-
касательная и т. д. Латинский глагол
fungere, functus sum имеет несколько
значений вроде «выполнять обязан-
ность», «выражать» и т. п. В таком смыс-
ле это слово появилось в печати в статьях
Лейбница 1692 и 1694 гг., но уже в это
время в переписке с И. Бернулли оно
приобретает смысл аналитического вы-
ражения, каким-либо образом составлен-
ного из переменных и постоянных (оба
термина принадлежат Лейбницу). Более
широкое понимание функции, которое
обычно связывают с именами Н. И. Лоба-
чевского и П. Дирихле, принадлежит
Л. Эйлеру (1755). В 1673 г., решая одну
геометрическую задачу, Лейбниц полу-
чил разложение арктангенса, не зная, что
оно уже известно Грегори и Ньютону.
Отсюда он получил, по его собствен-
ному выражению, «арифметическую
квадратуру круга» — разложение.

—=1___L J______L 4.

4	3'5	7 "Т" - >

очень изящное, хотя и весьма медленно
сходящееся. Оно было опубликовано
в 1682 г.

17.	НАЧАЛА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Решающий шаг в создании дифферен-
циального и интегрального исчисления
Лейбниц сделал осенью 1675 г., когда на
протяжении двух недель ввел их основ-
ные понятия, обозначения и операции.
Сперва, 26 октября, он обозначает квад-
ратуры в манере Паскаля и пишет omn./,
т. е. все I (Z=linea, линия), только под-
разумевая, что ординаты I умножаются
на бесконечно малые приращения аб-

сциссы. Через три дня он заменяет слово
«все» знаком $, т. е. сумма линий (по
первой букве латинского слова summa).
Тут же добавляется, что таким образом
возникает новый род исчисления, а наря-
ду с ним другой: если дано $ 1=уа (мно-
житель а взят, чтобы получилась размер-
ность площади), то /= где d обозна-
чает разность (d — первая буква слова
differentia — разность). После еще не-
которых размышлений над совершен-
ствованием символики Лейбниц в ру-
кописи «Примеры обратного метода ка-
сательных» 11 ноября вводит вполне со-
временные знаки интеграла и дифферен-
циала.

Интеграл, который Лейбниц назвал
тогда еще просто суммой, определялся
как сумма бесконечного количества бес-
конечно малых разностей, и это сразу
выявило связь между операциями диф-
ференцирования и интегрирования. То
был интеграл, кзк мы бы сказали, с по-
стоянными пределами или с переменным
верхним пределом и нижним, равным
для простоты нулю. Слово «сумма»
И. Бернулли в переписке с Лейбницем
заменил на «интеграл», с чем последний
согласился; в печати оно появилось в
одной статье Бернулли 1690 г. Слово
«дифференциал» в печати появилось то-
же не сразу, первоначально применялся’
термин «разность», «дифференция». Ра-
бота Лейбница продвигалась быстро, и1
в ответ на письма Ньютона 1676 г. он<
через Ольденбурга послал ему летом!
1677 г. письмо, в котором рассказал о
своем обобщении метода касательных,
основанном на рассмотрении бесконечно
малых разностей «соседних» координат,
привел пример вычисления дифферент
циала z/=x2 как. разности (x+dx)2—х2,
в которой отбрасывается по уже издавна
известным соображениям квадрат бес-
конечно малой высшего порядка, и дал
правило дифференцирования произведе-
ния. Лейбниц упоминает, что в его ме-
тоде для вычисления дифференциалов не
требуется избавляться от иррациональ-
ностей, как поступали прежде матема-
тики. В примерах он фактически поль-
зуется свойством инвариантности перво-
го дифференциала. Он писал также, что
всегда можно квадрировать кривую, вы-
раженную «дифференциальным уравне-
нием», выражающим dx и произведенным
(derivata* *) из другого уравнения, выра-
жающего х. То есть кривая x=f(y) квад-
рируема, если известна функция x=F(y),
для которой dx=dF(y)—f(y)dy.

В последующие годы Лейбниц сущест-
венно продвинул свои исследования, но
не торопился с их обнародованием. Кое-
что он рассказывал знакомым, в част-
ности математику и философу Э. В. фон
Чирнгаузу (1651 —1708). Этот ученый не
сумел должным образом оценить новые
понятия и символику Лейбница, но позво-
лил себе изложить некоторые открытия
последнего без указания источника и не
вполне аккуратно в статьях, напечатан-
ных в «Трудах ученых» за 1682—1683 гг.
После этого Лейбниц решил опублико-
вать по крайней мере основы дифферен-
циального исчисления. В октябрьском
выпуске того же журнала за 1684 г.
появилась его статья «Новый метод мак-
симумов и минимумов, а также каса-
тельных, для которых не служат препят-
ствием ни дробные, ни иррациональные
величины, и особый для них род исчисле-
ния». В статье с таким длинным назва-
нием было всего семь страниц, отсут-
ствовали доказательства и имелись опе-
чатки и описки; все это, естественно,
затрудняло ее понимание.

Начинает Лейбниц с определения диф-
ференциала величины, графиком которой
является кривая AY с абсциссами х=АХ
и ординатами y=XY (рис. 13) (ориги-
нальный чертеж здесь несколько упро-
щен). DX есть подкасательная t, кроме
того, вводится произвольный отрезок dx,
изображающий разность абсциссы, т. е.
независимого переменного, а разность
ординаты вводится с помощью словесно
высказанной пропорции dy:dx=y:t. Та-
ким образом, на первых порах дифферен-
циалы dx или dy (это слово появляется
через несколько строк) вовсе не рассмат-
риваются как бесконечно малые. Далее
формулируются правила дифференциро-
вания суммы, разности, произведения,
частного**, степени и корня, а также —
в других выражениях — свойство инва-

* Слово «производная» (derivee) ввел Лагранж
сто лет спустя.

* * В другом месте статьи Лейбниц впервые
употребляет в качестве знака деления двоеточие.

Добавим, что 6 той же статье введены термины
«абсцисса» и «ордината» (координата — в 1682 г.).

Рис. 13

риантности первого дифференциала. Это
свойство, как подчеркивает Лейбниц, по-
зволяет обходиться без предварительно-
го устранения иррациональностей точно
так же, как правило дифференцирова-
ния частного избавляет от устранения
дробей, как это вынуждены были делать
все аналисты ранее (так поступал и
Ньютон). Попутно формулируются необ-
ходимые и достаточные условия макси-
мумов и минимумов функций одной пе-
ременной и нахождения точек перегиба
и без всяких разъяснений вводятся раз-
ности разностей, обозначаемые двумя
буквами вроде ddy (индексацию диффе-
ренциалов высших порядков Лейбниц
ввел, по-видимому, в 1695 г.). «Если
знать, так сказать, алгоритм этого исчис-
ления, которое я называю дифферен-
циальным,— писал Лейбниц,— то все
прочие дифференциальные уравнения мо-
гут быть получены при помощи общего
вычислительного приема». Здесь слово
«алгоритм», ранее обозначавшее деся-
тичную позиционную систему нумерации
(с которой в Европе познакомились бла-
годаря книге багдадского ученого IX в.
ал-Хорезми), впервые было применено в
новом, более широком смысле, после че-
го стало употребительным и в других
разделах математики. Новый метод, за-
являет Лейбниц, распространяется и на
трансцендентные линии. Этот термин
Лейбниц ввел в другой статье того же
1684 г.

О доказательстве своих правил Лейб-
ниц делает только краткое замечание,
что оно будет легким, если принять во
внимание, что дифференциалы величин
пропорциональны их мгновенным прира-
щениям или уменьшениям, а касатель-
ная есть прямая, проходящая через две
бесконечно мало отстоящие точки кри-
вой. В дальнейшем а^тор «Нового мето-
да» и его последователи сразу вводили
дифференциалы как бесконечно малые’
приращения величин. Быть может, перво-
начальное определение dx и dy рассмот-
ренное выше, Лейбниц привел, чтобы
избежать критики и споров, какие могло
породить (и порождало) использование
бесконечно малых.

Употребление нового метода Лейбниц
показал на двух примерах, подчеркнув
простоту и краткость их решения, которое
ранее можно было найти, только следуя
сложными обходными путями. По ходу
изложения Лейбниц заметил, что «обрат-
ный переход» от дифференциального
уравнения (т. е. интегрирование) получа-
ется лишь при некоторой, как он писал,
осмотрительности.

Знак интеграла Лейбниц ввел в печати
два года спустя (1686), не входя в под-
робности, но подчеркнув, что «...у нас
суммы и разности $ и d также взаимно
обратны, как степени и корни в обыкно-
венном исчислении»; в качестве примера
он записал с помощью знака $ уравне-
ние циклоиды в декартовых координатах.
Рассматривая интеграл как «сумму всех
у, умноженных на соответствующие dx»,
т. е. как определенный интервал, Лейб-
ниц мыслил его и как интеграл с пере-
менным верхним пределом, причем ниж-
ний часто брался равным нулю. Четкого
различения между вычислением пределов
интегральных сумм и разысканием перво-
образных функций не было, но, по су-
ществу, связь между обоими задачами
была установлена, и вскоре вычисление
неопределенных интегралов стало перво-
очередной задачей анализа. В статье
1693 г. Лейбниц доказал, что «общая
задача квадратуры сводится к отыска-
нию линии, обладающей определенным
законом наклона»,— мы бы сказали, что

х

если —J*-- = f(x), то S f(x)dx=E(x) в
ах ,	о

предположении, что F(0)=0. Таким об-
разом, в этой статье устанавливалась
связь не только между интегралом и диф-

Рис. 14

ференциалом, но и между интегралом и
производной, как тангенсом угла каса-
тельной с осью абсцисс. Здесь же в гео-
метрической форме выражена была из-
вестная ранее Ньютону, но им своевре-
менно не опубликованная «формула
Ньютона — Лейбница»; именно доказа-
но, что площадь FH(H)F квадрируемой
кривой Н(Н) равна разности ординат и
(F)(C) FC квадрирующей кривой С(С)
(рис. 14). Но целью статьи, о которой
идет речь, было «общее осуществление
всех квадратур посредством движения»,
а именно описание механизма, вычерчи-
вающего непрерывные интегральные кри-
вые для заданной непрерывной кривой;
более того, в конце статьи Лейбниц ука-
зал на возможность аналогичного по-
строения решений любой обратной зада-
чи на касательные, т. е. решений обыкно-
венных дифференциальных уравнений.

Справедливость требует заметить, что
геометрический метод квадрирования
кривых линий кратко наметил в одной
рукописной заметке середины 60-х годов
еще Ньютон, но / это было обнаружено
триста лет спустя. Несколькими месяца-
ми ранее Лейбница графически квадри-
ровал гиперболу Гюйгенс; квадрирую-
щая кривая Гюйгенса впоследствии была
названа трактрисой, или траекторией.
Лейбниц упоминает эту работу Гюйгенса;
появились также статьи на эту же тему
Якоба и Иоганна Бернулли. Говоря об
общей теории интегрирования, следует
добавить, что понятие о неопределенном
интеграле Лейбниц четко выразил, не
употребляя этого термина, в статье об
одной задаче механики (1694). Записав
встретившийся при этом интеграл, он
прибавил к нему «произвольную постоян-
f ную величину». Это важно, указал он,
' для общности решений; в каждом кон-
кретном случае значение постоянного
: слагаемого определяется по тому усло-
, вию, что искомая интегральная кривая
I проходит через данную точку.

। Лейбниц знал, что интегрирование
, функций порождает бесчисленное множе-
• ство новых трансцендентных. Универ-
; сальное средство их исследования Лейб-
J ниц видел в бесконечных степенных ря-
дах и методе неопределенных коэффи-
; циентов. В апреле 1693 г. он опубликовал
I статью с широковещательным названием
«Дополнение практической геометрии,
! распространяющееся на трансцендент-
[ ные проблемы с помощью нового самого
; общего метода бесконечных рядов», в
i которой показал на конкретных приме-
рах, как это делается: пишется степен-
। ной ряд с неопределенными коэффициен-
> тами, которые затем определяются при
। подстановке ряда в данное дифферен-
циальное уравнение. Попутно он анали-
i тически вывел частное решение линей-
ного однородного дифференциального
уравнения 2-го порядка с постоянными
коэффициентами, столь важного в теории
колебаний. В «Математических началах»
Ньютона есть задача о прямолинейном
движении точки, когда центростреми-
тельная сила пропорциональна расстоя-
нию от центра. Аналитически задача вы-
ражается дифференциальным уравнени-
ем указанного вида. Но Ньютон не пишет
уравнения, а ссылается на полученное
им синтетическим методом решение зада-
чи об определении закона центростреми-
тельной силы, направленной к центру
эллипса, по которому обращается тело.

В глазах Лейбница, как и Ньютона,
бесконечные степенные ряды являлись
i средством, сообщающим исчислению бес-
конечно малых поистине характер уни-
версального метода изучения функций.

Лейбницу принадлежит решение мно-
| гих других задач, на которых мы за-
держиваться не будем: прием логариф-
! мического дифференцирования, закладка
! начал операторного исчисления, формула
। многократного дифференцирования про-
! изведения и идея введения дифферен-

циалов с дробным индексом, начальная
разработка интегрирования рациональ-
ных функций, общая постановка про-
блемы интегрирования обыкновенных
дифференциальных уравнений в квадра-
турах, решение линейного и однородного
уравнений путем их сведения к уравне-
нию с разделяющимися переменными
и т. д.

Недостаток места не позволяет оста-
новиться на концепции бесконечно малой
величины у Лейбница. Высказывания его
по этому вопросу не были однозначными,
но преобладающей была концепция ак-
туально бесконечно малых величин, не
удовлетворяющих аксиоме Евдокса —
Архимеда. Эта концепция, многократно
подвергавшаяся критике, получила уже
в наши дни своеобразное оправдание
в так называемом нестандартном анали-
зе. Впрочем, идея потенциально беско-
нечно малых величин также высказыва-
лась Лейбницем. В других случаях он
оправдывал отбрасывание бесконечно
малых слагаемых просто чрезвычайной
малостью или же предлагал их рассмат-
ривать как полезные фиктивные понятия.
Единой трактовки вопроса у него не бы-
ло. В ней и нуждался еще анализ того
времени.

В 90-е годы к разработке анализа к
Лейбницу присоединились два выдаю-
щихся швейцарских математика —
братья Я. Бернулли (1655—1705), и
И. Бернулли (1667—1748), а затем уче-
ник младшего из них Г. Ф. де Лопиталь,
опубликовавший, пользуясь записками и
письмами своего учителя, первый курс
дифференциального исчисления: «Ана-
лиз бесконечно малых для исследования
кривых линий». Вместе с этими первыми
последователями Лейбниц заложил на-
чало большой математической школы,
крупнейшим представителем которой в
XVIII в. стал другой уроженец Швейца-
рии, научная деятельность которого прсХ
шла главным образом в Петербургской
академии, — Л. Эйлер (1707—1783).

Отдавая должное математическому ге-
нию Ньютона и его бессмертным заслу-
гам в основании математической физики,
а также достижениям его учеников, не
следует забывать, что в реальной разра-
ботке математического анализа главная
историческая заслуга в силу как субъек-
тивных, так и объективных обстоятельств
принадлежала Лейбницу и его школе.
Тут сыграли роль многие обстоятельства:
публикации статей Лейбница 1684 г. и
следующих лет, преимущество его симво-
лики, необычайная активность первых
последователей и их учеников, в том
числе, не считая уже названного Эйлера
и старших членов семьи Бернулли,
также племянника Николая и сыновей
И. Бернулли — тоже Николая и особенно
Даниила.

В одном письме к Гюйгенсу от 1691 г.
Лейбниц выразил пожелание, чтобы еще
в этом веке был доведен до завершения,
по крайней мере в главном, «анализ чисел
и линий», «чтобы отныне вся проница-
тельность человеческого разума обрати-
лась к физике». В этом ожидании творец
дифференциального и интегрального ис-
числения обманулся. В действительности
он открыл широкую дорогу в мир мате-

матического анализа и на этом пути сде-
лал только несколько решающих бросков
вперед в правильно намеченном им на-
правлении. Само же творчество его явля-
ется ярким примером взаимопроникнове-
ния глубоких общепознавательных идей,
принципиальных алгоритмических уста-
новок и их конкретного аналитического
воплощения.

Л И ТЕ РА ТУ РА

Бурбаки Н. Очерки по истории математики.
Пер. с фр. Башмаковой И. Т. М., ИЛ, 1963.

Строй к Д. Краткий очерк истории матема-
тики. Пер. с англ. Погребысского. Изд. 2-е. М., ИЛ,
1969.

История математики с древнейших времен
до начала XIX столетия. Под. ред. А. П. Юшкевича.
Т. 1—3. М., Наука, 1970—1972.

Хрестоматия по истории математики. — Мате-
матический анализ.

Теория вероятностей. Под ред. А. П. Юшкевича.
М., Просвещение, 1977.

Адольф Павлович ЮШКЕВИЧ

ИЗ ИСТОРИИ ВОЗНИКНОВЕНИЕ

НА ГЕМАТИЧ.’ ('КОГО АНчОИ'П

Гл. отраслевой редактор Л. А. Е р л ы к и н
Редактор Г. Г. Карвовский

Мл. редактор Н. А. Сергеева

Обложка художника Л. П. Ромасенко

Худож. редактор М. А. Бабичева

Техн, редактор С. А. Птицына
Корректор И. Н. Тереховская

ИБ № 7673

Сдано в набор 17,09.85. Подписано к печати 25.10.85. TI4510.
Формат бумаги 70X100 '/16. Бумага тип. № 3. Гарнитура
литературная. Печать офсет. Усл. печ. л. 3,90. Усл. кр.-отт. 8,12.
Уч.-изд. л. 4,59. Тираж 30 960 экз. Заказ 2476. Цена 11 коп.
Издательство «Знание». 101835, ГСП, Москва, Центр, проезд
Серова, д. 4. Индекс заказа 854311.

Ордена Трудового Красного Знамени Чеховский полиграфический
комбинат В/О «Союзполиграфпром» Государственного комитета
СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
142300, г. Чехов Московской области
/з-w

ДОРОГОЙ ЧИТАТЕЛЬ!

Брошюры этой серии в розничную продажу не по-
ступают, поэтому своевременно оформляйте под-
писку. Подписка на брошюры издательства .Зна-
ние" ежеквартальная, принимается в любом отде-
лении „Союзпечати".	►

Напоминаем Вам, что сведения о подписке Вы
можете найти в „Каталоге советских газет и жур-
налов" в разделе „Центральные журналы", руб-
рика „Брошюры издательства „Знание".

Цена подписки на год 1 р. 32 к.

"МАТЕМАТИКА.
КИБЕРНЕТИКА