Text
                    СБОРНИК
МАТЕМАТИКЕ
С контрольными работами
сно,
математ
ные
I


К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С.Н.Федин; Ю.А.Шевченко Сборник задач по высшей математике 'С контрольными работами 1 курс Допущено Министерством образования РФ в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям и специальностям в области техники и технологии 7-е издание МОСКВА АЙРИС ПРЕСС 2008
УДК 517(075.8) ББК 22.1я73-4 Л82 Лунгу, К. Н. Л82 Сборник задач по высшей математике. 1 курс / К. Н. Лунгу, Д. Т. Письменный, С. Н. Федин, Ю. А. Шевченко. — 7-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2008. — 576 с: ил. — (Высшее образование). ISBN 978-5-8112-3019-8 Сборник содержит свыше трех с половиной тысяч задач по высшей математике. Ко всем разделам книги даны необходимые теоретические пояснения. Детально разобраны типовые задачи, приведено изрядное количество разнообразных заданий различных уровней сложности для самостоятельного решения. Наличие в сборнике контрольных работ, устных задач и «качественных» вопросов позволит студенту подготовиться к экзаменационной сессии. Книга охватывает материал по линейной алгебре, аналитической геометрии, основам математического анализа и комплексным числам. Книга будет полезна студентам младших курсов и преподавателям вузов. ББК 22.1я73-4 уДк 517(075.8) © ООО «Издательство ISBN 978-5-8112-3019-8 «АЙРИС-пресс», 2003
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 5 Глава 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ § 1. Операции над матрицами .., 7 § 2. Определители 18 § 3. Ранг матрицы 35 § 4. Обратная матрица. Матричные уравнения 41 Глава 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ § 1. Исследование систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Метод Гаусса 55 § 2. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы Крамера 70 § 3. Однородные и неоднородные системы линейных уравнений 77 Глава 3. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА § 1. Векторы. Линейные операции над ними. Разложение векторов 91 § 2. Скалярное произведение векторов 101 § 3. Векторное произведение векторов 106 § 4. Смешанное произведение векторов 111 Глава 4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ § 1. Метод координат на плоскости 118 § 2. Прямая на плоскости 131 § 3. Кривые второго порядка 146 Глава 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ § 1. Метод координат в пространстве 172 § 2. Плоскость в пространстве 179 § 3. Прямая в пространстве 192 § 4. Прямая и плоскость в пространстве 203 § 5. Поверхности второго порядка 208 Глава 6. ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ § 1. Функции и их графики 225 § 2. Последовательности и их свойства 245 § 3. Предел последовательности 251 § 4. Предел функции 260 § 5. Непрерывность функции 274 3
Глава 7. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ § 1. Производная функции 288 § 2. Дифференциал 302 § 3. Теоремы о среднем. Правила Лопиталя. Формулы Тейлора 307 § 4. Исследование функций и построение графиков 316 Глава 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Важнейшие свойства интегрирования 328 § 2. Основные методы интегрирования 335 § 3. Интегрирование рациональных дробей 346 § 4. Интегрирование иррациональных функций 355 § 5. Интегрирование тригонометрических функций 359 Глава 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Приемы вычисления 366 § 2. Несобственные интегралы 380 § 3. Приложения определенного интеграла 389 Глава 10. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА § 1. Комплексные числа, основные понятия. Геометрическое изображение комплексных чисел. Формы записи комплексных чисел 432 § 2. Действия над комплексными числами 438 Глава 11. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1. Понятие функции нескольких переменных. График и линии уровня функции двух переменных 448 § 2. Предел функции в точке. Непрерывность функции в точке и на множестве 457 § 3. Частные производные. Полный дифференциал. Линеаризация функций 465 § 4. Дифференцирование сложных и неявных функций. Касательная и нормаль к поверхности 473 § 5. Частные производные и дифференциалы высших порядков 485 § 6. Производная по направлению. Градиент 495 § 7. Экстремум функции двух переменных 499 Ответы 514
ПРЕДИСЛОВИЕ Предлагаемый вашему вниманию сборник задач охватывает традиционный курс высшей математики в объеме первого курса технического вуза. Книга подготовлена преподавателями нескольких московских вузов, имеющими многолетний опыт лекционной и семинарской работы со студентами. Опираясь на этот опыт, а также учитывая достоинства и недостатки существующих пособий, авторы попытались создать в каком-то смысле универсальный задачник, пригодный как для самообразования, так и для активной работы с преподавателем на практических занятиях. Этим объясняется специфическая структура книги. Каждый раздел сборника начинается с необходимого теоретического минимума, включающего важнейшие определения, теоремы и формулы. Затем идет блок задач на эту тему, рассредоточенный следующим образом. Сначала подробно разбираются 1-3 типовые задачи, после чего предлагается для самостоятельного решения (дома или на семинаре) 6- 10 аналогичных задач. Далее снова разбираются 1-3 стандартные задачи на определенную узкую тему, после которых опять идут аналогичные задачи для закрепления приобретенного навыка. И так далее. Именно так происходит обучение на практических занятиях в вузах, поэтому мы надеемся, что такое распределение задач будет особенно удобно преподавателям, ведущим семинары по высшей математике. В конце каждого раздела находится, составляющий наиболее существенную его часть, весьма обширный массив задач для самостоятельной (без преподавателя) работы студентов. Предполагается, что именно из этой части раздела преподаватель будет черпать задачи для домашних заданий студентам. Мы уделили особое внимание стандартным задачам, достаточного количества которых так не хватает как преподавателям, так и студентам для успешного хода учебного процесса. Тем не менее в сборнике довольно много более сложных заданий и устных вопросов для продвинутых студентов; все они выделены в особый пункт, завершающий почти каждый раздел книги. Среди устных заданий — ив этом одна из особенностей книги — немало качественных вопросов, обычно предлагаемых на экзаменах по высшей математике. Эта часть задачника будет полезна студентам для подготовки к экзаменам и преподавателям для пополнения своего запаса подобных заданий. Наконец еще одна особенность этой книги — наличие контрольных работ в конце каждой главы. Опять-таки их могут использовать как студенты при подготовке к зачетам или контрольным, так и преподаватели при проведении последних. К подавляющему большинству задач сборника — а их в книге около
3500 — приведены ответы, а к наиболее трудным из них — решения или подробные указания. При работе над книгой труд авторов распределился следующим образом: глава 11, а также § 5 из главы 5 написаны Лунгу К.Н., главы 3-5, 9, 10 — Письменным Д. Т., главы 6-8 — Фединым С.Н., а главы 1, 2 — Шевченко Ю. А. Авторы будут признательны за любые отзывы, пожелания и критические замечания, которые можно присылать по адресу: 141103, Московская обл., г. Щелково-3, а/я 140, Федину С.Н. ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ В третьем издании были добавлены темы «Дифференциалы высших порядков» и «Формула Тейлора для функций двух переменных». Кроме того были исправлены опечатки и неточности, найденные нашими читателями. Всем им авторы выражают искреннюю благодарность. Особо хочется отметить к.ф.-м.н. Куланина Е. Д. и преподавателя математики из г. Днепропетровска (Украина) Пайкову Л. И., прорешавшую практически весь задачник и сделавшую немало ценных замечаний, способствовавших улучшению книги. Авторы признательны рецензентам — зав. кафедрой математического анализа МГПУ, профессору Мордковичу А. Г., зав. кафедрой высшей математики РУДН, профессору Михееву В. И., а также доценту кафедры общей математики факультета ВМиК МГУ Будаку А. В., высказавшим ряд полезных замечаний, большая часть из которых учтена при подготовке настоящего издания книги. Принятые обозначения ^ определение О начало решения задачи • конец решения задачи N множество натуральных чисел Z множество целых чисел R множество действительных чисел М2 действительная плоскость Е3 действительное трехмерное пространство С множество комплексных чисел U объединение множеств П пересечение множеств А С В А — подмножество множества В (Аф В) А С В А — подмножество множества В V любой, для любого 3 найдется, существует
Глава 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Матрицей А размера тхп называется прямоугольная таблица из га строк и п столбцов, состоящая из чисел или иных математических выражений ац (называемых элементами матрицы), i = 1,2,...,га, j = 1,2,. ..,п. Матрица А с элементами а^ обозначается также (а^). /аи ai2 ... aij ... ain\ 2г d22 ... a2j ... а2п (42 А = \ami am2 . . . Unj . . . Q"mn) Например, A — f _^ Л — матрица 2 x 3, ее элементы ац = 1, ai2 = х, ai3 = 3, o2i = -2y, ... Квадратной матрицей n-го порядка называется матрица размера п х п. Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали (т. е. с индексами г ф j) равны нулю. Единичной (обозначается Е) называется диагональная матрица с единицами на главной диагонали. Нулевой называется матрица, все элементы которой равны нулю. Примеры матриц: а) квадратная; б) диагональная; в) единичная; 0\ /1 0 0\ /0 и 0\ г) нулевая: а) ( 3 х -1 ); б) ( * 2 ) 5 в) 0 1 0 ; г) ( ). У / \0 0 1/ Vu и и/ § 1. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ ^ Суммой матриц А = (а^) и В = (bij) одинакового размера называется матрица С = (с^) того же размера, причем cij = а^ + b^, V i,j. Свойства операции сложения матриц. Для любых матриц А, В и С одного размера выполняются равенства: 1) А + В = В + А (коммутативность); 2)(А + В) + С = А + (В + С) = А + В + С (ассоциативность). ^ Произведением матрицы А = (а^) на число Л называется матрица В = (Ь^) того же размера, что и матрица А, причем bij = Xaij, V i,j. 7
Свойства операции умножения матрицы на число: 1) А • (ц • А) = (Л • /х) • А (ассоциативность); 2) А • (А + В) = А • А + А • В (дистрибутивность относительно сложения матриц); 3) (А 4- //) • А = А • А + fj, • А (дистрибутивность относительно сложения чисел). ^ Линейной комбинацией матриц А и В одинакового размера называется выражение вида а • А + /3 • В, где а и /? — произвольные числа. ^ Произведением А • В л*агарт( А и В (размеров т х п и п х г соответственно) называется матрица С размера ш х г, такая, что Таким образом, каждый элемент с^, находящийся в г-й строке и j-m столбце матрицы С, равен сумме произведений соответствующих элементов г-й строки матрицы А и j-ro столбца матрицы В. (Говоря популярным языком, чтобы найти элемент с#, нужно «приложить» г-ю строку матрицы А к j-му столбцу матрицы В, перемножить соответствующие элементы и полученные произведения сложить). Произведение А • В существует, только если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Свойства операции умножения матриц: 1) (А • В) • С = А • (В • С) = А • В • С (ассоциативность); 2) (А + В) • С = А • С + В • С (дистрибутивность); 3) А • (В + С) = А • С + В • С (дистрибутивность); 4) вообще говоря, А • В ф В • А — отсутствует коммутативность. ^ Коммутирующими (или перестановочными) называются матрицы А и В, для которых АВ — ВА. Если задан многочлен f(x) = апхп + ап-\хп~1 Н Ьсця + ао, то л«ат- ричным многочленом f(A) называется выражение an-An+an-i •Ап~1 + ... ... + а\ • А + ао • Е, где Ап = А • А •... - А для любого натурального п. Зна- п раз чением матричного многочлена f(A) при заданной матрице А является матрица. ^ Транспонированной к матрице А = (а^) называется матрица АТ = (ajj) такая, что ajj = a,ji, V i,j (т.е. все строки которой равны соответствующим столбцам матрицы А). Элемент строки матрицы назовем крайним, если он отличен от нуля, а все элементы этой строки, находящиеся левее него, равны нулю. Матрица называется ступенчатой, если крайний элемент каждой строки 8
находится правее крайнего элемента предыдущей строки. В матрицах А и В отмечены крайние элементы каждой строки: /1 2 4 А= 0 0 1 \0 ^ -1 3/ \0 0 0 0 не ступенчатая ступенчатая Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие операции: 1. Перемена местами двух строк (столбцов). 2. Умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля. 3. Прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца). Матрица В, полученная из матрицы А с помощью элементарных преобразований, называется эквивалентной матрице А (обозначается В~А). В дальнейшем будем рассматривать элементарные преобразования только над строками. 1.1.1. Найти линейную комбинацию матриц 2A + ЗВ, где И * -0( ) /-6 9 0\ _ /2 - 6 4 + 9 6 + 0 \ /-4 13 б\ + V6 3 Зу V0 + 6 2Н-3 -2 + Зу"\6 5 1/ Найти линейные комбинации заданных матриц: 1.1.2. А-АЯ, А = 1.1.3. 4А-5Б, А = 1.1.4. ЗЛ + 4Б, Л = Л 2 3\ (Ъ 4 Ъ\ 1.1.5. Пусть А=(1 п _1 1, В = I 6 0 — 2 I. Найти произведе- VI и -IJ \7 1 8/ ния АВ и В А (если это возможно).
*M[HR)(|o^ 1-я строка матрицы А прикладывается к первому столбцу матрицы Б, соответствующие элементы перемножаются, а произведения складываются _ / 11-3+2-6+3-7! 1-4+2-0+3-1 Ь5+2-(-2)+3 V¥TT"T" 3-8 \ _ -1)-8; " _ /36 7 25\ -{-4 3 -3)' Произведение В А не существует, так как число столбцов матрицы В не совпадает с числом строк матрицы А (3 Ф 2). • Найти произведения матриц АВ и В А (если они существуют): 1.1.6. 1.1.7. »2 3 1), Б = -С 1.1.8. 1.1.9. i.1.10. 1.1.11. Найти значение матричного многочлена /(А), если f(x) = Х -у3 Qj у3 о^~\,31+О-3 З-2+OOJ ~ \3 б)' -4 /5 ЮЛ /9 0\_/0 6 10
Найти значение матричного многочлена f(A): 1.1.12. /(*) 1.1.13. f(x) = 2х3 - За;2 + 5, А = Гl2 /1 2 0 1.1.14. /(х) = За;2 - 5а; + 2, Л = О 2 -1 . V-2 1 4 У /10 0 1.1.15. /(ж) = а;3 - 6а;2 + 9z + 4, Л = О 2 -lj. \0 1 4 Проверить, коммутируют ли матрицы А и В: fl 0 0\ /-3 0 0\ 1.1.18. A=\0 -3 0 иВ= О 4 0. \0 0 2/ \0 0 2/ '1 2 1\ /203 1.1.19. A=\0 1 3 ий= -1 2 -4 |. ^1 -2 4/ \4 1 2 1.1.20. Транспонировать матрицу А = О Записывая первую и вторую строки матрицы А как первый и, соответственно, второй столбец матрицы Ат, получим лТ /0 -3\ Л матрицу А^ = I 1. • /1 2 3\ 1.1.21. Транспонировать матрицу А = ( . « fi ). О Так как у матрицы А две строки и три столбца, то у ма- /1 4> трицы Ат будет три строки и два столбца: Ат = I 2 5 \3 6> Транспонировать следующие матрицы: 1 0 1.1.23. А= | -3 2 5 -1, 11
Вычислить произведения ААТ и А7 А при заданной матрице А: 1.1.24. А= ММ. 1.1.25. А = д). 1.1.27. Привести к ступенчатому виду матрицу А с помощью элементарных преобразований над строками: А = О Первый этап. Сделаем нулевыми все элементы матрицы под крайним элементом первой строки. Для этого вычтем из второй строки первую, умноженную на 3, и запишем результат во вторую строку. После этого к третьей строке прибавим первую, умноженную на 5, и запишем результат в третью строку. Получим матрицу А\. Второй этап. Теперь сделаем равными нулю все элементы матрицы под крайним элементом второй строки. Для этого умножим вторую строку на 3, третью строку — на 2, получившиеся строки сложим и результат запишем в третью строку. Получим ступенчатую матрицу ^2. /10-1 -1\ А = 3 -2 -1 0 II - 3 • I ~ \-5 3 2 — 1/ ПИ- 5 -1 /1 0 -1 -1 ~ Ах = 0 -2 2 3 \0 3 -3 -6/ 2 • III + 3 ■ II 0 -1 -1\ —2 2 31 — ступенчатая матрица. • 0 0 -3/ 1.1.28. Привести к ступенчатому виду матрицу А с помощью элементарных преобразований над строками: /0 -1 -1 - А= 1 2 4 7 \5 0 10 5 12
А = 2 4 7 О -1 -1 -3 | III-5 I 0 10 5 fl 2 4 7 0 -1 -1 -3 | III-10-II- -10 -10 -30) (12 4 7 0 —1 —1 —3 ] — ступенчатая матрица. 0 0 0 0 1.1.29. Привести к ступенчатому виду матрицу А = 3 • II - 2 • I 3 • III - 4 • I ~ 3 • IV - 7 • I /3 4 -5 7 0 1 19 -20 0 0 -342 360 \0 О О О 34-57 0 1 19 -20 0 17 -19 20 I III -17 II О -34 38 -40/ IV + 2 • III — ступенчатая матрица. Привести к ступенчатому виду матрицы: 1.1.30. 1.1.32. 1.1.34. '1111 1 3 2 11-3-2 0 12 2 6 23 ^5433-1 12J 1.1.31. 1.1.33. . 1.1.35. -5 -5 5 -1 -2 -1, 13
Дополнительные задачи Найти линейные комбинации матриц: 1137 2В 54 Л-(° 2 4\ В-( ° 5 1.1.37. 2Я-5Л,А-^_6 4 0J,-B-^_15 10 1.1.38. А-ХЕ, А=(1 ДУ (1 -2 5 3\ /027 -5\ 2 0 -3 1 I, £ = ( -8 1 3 0 5-10 4/ \ 4 2 -2 5 / 1 -2 0\ / 5 1 -2\ 1.1.40. ЬА - ЪВ + 2С, А = 3 5 1 , В = I -3 2 7 , \-1 2 4/ V4 ° -V /-5 3 1\ С= 2 0 5. \б 4 2J Найти произведения матриц АВ и В А (если это возмоэюно): г,,г. 4 1.1.42. А= (1 -2 3 0),В = /-2 3 1 \ /1 -2 -3> 1.1.45. Л= 5 4 0,^=0-3 1 \ 2 -1 -5/ \4 -4 5 Найти произведения матриц (АВ) -С и А- (ВС): 14
1.1.47. 1.1.48. А= (1 -3),Я = (_ 4 -3 2 5 -1 2 О -2 1. 4 1.1.49. 3 0N I О 1 I Л , - I -2 1 I, С — 4 3, 1.1.51. Л = | О Найти матрицу Ап: 1.1.50. A=(J j). /0 1 0\ 1.1.52. А= О О 1 . \0 О О/ Найти значение матричного многочлена f(A): 1.1.53. /(ж) = 2ж2 - Зж + 1, А = (I Д J. 1.1.54. /(ж) =Зж2 + 2ж + 5, А= (2 ~3J. /_1 О\ i 1 ггс f (~\ — От3 т2 -I- Ч 4 — I I Х.Х.ЭО. J \Х) — LJb X -f О, Л — I „ .. I . 1.1.56. /(ж) = 4ж3 - 2ж2 + Зж - 2, А = Г~2 J /1 -3 0\ 1.1.57. /(ж) = ж2 - Зж + 2, А= 0 2 1 . \3 -3 2/ /2 3 -3\ 1.1.58. /(ж) = Зж2 + Ъх - 2, A = О 1 4 1. \5 "2 1/ /1 0 1\ 1-1.59. /(ж) = ж3 - ж2 + 5, Л= 3 -1 0 . \0 0 2/ /2-3 1-1.60. /(ж) = 2ж3 - ж2 + Зж - 2, Л= 0 5 V-2 -1 1 О О |. О 0J 4 -l 3 15
Проверить у коммутируют ли матрицы А и В: 1.1.61. А= (1 2 3),В= [ 5). 1.1.62. А = 1.1.63. А = 1.1.64. А = 1.1.65. А = 1.1.66. А = 1.1.67. 1.1.68. Найти матрицу АТ: 1.1.71. Найти 1.1.70. А = 1.1.72. А А=(1 2 3 4). произведения матриц ААТ и А7 А: 1.1.73. 1 3 -4 -2 5 1 0 -7 2 ■G9- Л=(1 2 3 4). 1.1.74. А = 1.1.76. 16 А = 1 3 -4 0 0 5 0 2 0 -2 5 1 -3' 0 0 0 -7 2 \ • 1.1.75. А = 1.1.77. А =
Привести матрицу А к ступенчатому виду: 2 -1 5> 1.1.79. А= | 1 1 3 1 -5 1> 1.1.80. А = 1.1.82. 1.1.84. А= 11 «« 4 — 1.1. ВО. А— 1.1.81. ^= 1.1.88. 1.1.86. 11 «т 4 — 1.1.67. Л— 2 3-18 2-1-4 3 1 4 -7 -18 11 -13 1-12 9 Л 1 -1 0 4 \ 3 -1 -7 -4 7 7-1 -15-8-11 1 -1 -3 -2 5 0 2-1 —2 0 —4 7 Z 1U —1 Д -2 -4 5 2) Контрольные вопросы и более сложные задачи 1.1.88. Если матрицы А и В можно умножать, следует ли из этого, что их можно складывать? 1.1.89. Если матрицы А и В можно складывать, следует ли из этого, что их можно умножать? 1.1.90. Можно ли умножить квадратную матрицу на неквадратную? 1.1.91. Может ли произведение неквадратных матриц быть квадратной матрицей? 1.1.92. Может ли при умножении ненулевых матриц получиться нулевая матрица? 1.1.93. Могут ли совпадать матрицы А и АТ? 1.1.94. Как выглядит матрица (Ат)т? 1.1.95. Верно ли равенство (А + В)т = Ат + Вт? 1.1.96. Верно ли равенство (А + Е){А-Е) = А2 - Е? 1.1.97. Верно ли равенство (А + Е)2 = А2 + 2А + Е? 1.1.98. Верно ли равенство (А + В)(А - В) = А2 - В2? 1.1.99. Верно ли равенство (А + В)2 - А2 + 2АВ + В2? 1.1.100. Могут ли быть эквивалентными матрицы с различным количеством строк? столбцов? 1« 1.101. Обязательно ли существует произведение В А, если АВ = Е? 17 2-2361
1.1.102. Может ли нулевая матрица быть эквивалентной ненулевой матрице? 1.1.103. Может ли произведение матриц быть числом? 1.1.104. Как изменится произведение матриц А и В, если переставить г-ю и j-ю строки матрицы А? 1.1.105. Как изменится произведение матриц А и В, если к г-й строке матрицы А прибавить j-ю строку, умноженную на число с? 1.1.106. Как изменится произведение матриц А и В, если переставить г-й и j-ft столбцы матрицы В? 1.1.107. Как изменится произведение матриц А и .В, если к г-му столбцу матрицы В прибавить j-й столбец, умноженный на число с? 1.1.108*.Найти все квадратные матрицы А размера 2x2, если А2 = Е. 1.1.109*.Найти все квадратные матрицы А размера 2x2, если А2 — нулевая матрица. 1.1.110*.Найти матрицу А4'1, если А — квадратная матрица n-го порядка А = п 0 0 1 1 0 0 1 1 0 ... 0 ... 1 ... 0 0 0 0 0 0 \0 0 0 0 ... О 1/ 1.1.111*.Найти матрицу ( . /cosa —sinа I cos a 1.1.112*.Найти все матрицы, коммутирующие с матрицей А — ( « А. 1.1.113*. Доказать, что если А и В — квадратные матрицы n-го порядка, то суммы всех элементов главной диагонали у матриц АВ и В А равны. 1.1.114*.Матрица называется стохастической, если сумма элементов любой ее строки равна 1. Доказать, что произведение стохастических матриц — тоже стохастическая матрица. §2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Любой квадратной матрице n-го порядка А = О>21 \flln <*>2п •• можно поставить в соответствие выражение, которое назыв определителем (детерминантом) матрицы Л, и обозначается так: А = 18 О>21 О>2п или \А\ или det A.
^ Определитель 2-го порядка задается равенством: аи а Таким образом, определитель 2-го порядка есть сумма 2 = 2! слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение 2-х сомножителей — элементов матрицы -А, по одному из каждой строки и каждого столбца. Одно из слагаемых берется со знаком «+», другое — со знаком ^ Определитель 3-го порядка задается равенством: пц CLi2 ai3 ti азг азз + ( — (-о>па2за>з2). (2.1) Таким образом, определитель 3-го порядка есть сумма 6 = 3! слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение 3-х сомножителей — элементов матрицы А, по одному из каждой строки и каждого столбца. Одна половина слагаемых берется со знаком «+», другая — со знаком «—». Правило, по которому выбираются эти знаки, задается с помощью формулы (2.1) или другими методами, приведенными ниже. Определитель n-го порядка задается равенством: a22 0>2n Указанная сумма состоит из п\ слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение п сомножителей — элементов матрицы А, по одному из каждой строки и каждого столбца. Одна половина слагаемых берется со знаком «+», другая — со знаком «—». Правило, по которому выбираются эти знаки, в настоящем издании не используется и здесь не приводится. Методы вычисления определителей n-го порядка приведены ниже. Методы вычисления определителей 1. Правило «треугольников» (правило Саррюса) вычисления определителей 3-го порядка: первое из трех слагаемых, входящих в сумму (2.1) со знаком «+», есть произведение элементов главной диагонали, второе и третье — произведения элементов, находящихся в вершинах двух 19 2*
треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали. Три слагаемых, входящих в сумму (2.1) со знаком «-», определяются аналогично, но относительно второй (побочной) диагонали: 2. Разложение определителя 3-го порядка по первой строке: det A = O22 «32 «23 «33 «12 «21 «31 «23 «33 «13 «21 «31 «22 «32 (2.2) При таком способе вычисления определителя каждый из трех элементов a\j первой строки умножается на определитель 2-го порядка, составленный из элементов матрицы А, оставшихся после вычеркивания 1-й строки и j-ro столбца. При этом слагаемое с множителем a\j умножается на число (-1+ tl €ЬГ2 »tt 421 «22 O>23 Ц31 U32 «33 \1+2 О12 • Q>21 1:2 #13 22 «23 32 «33 &и—&&.—4ts «21 «22 <-23 «31 «32 <f33 Таким образом, вычисление определителя 3-го порядка сводится к вычислению 3-х определителей 2-го порядка. В общем случае можно вычислять определитель гг-го порядка квадратной матрицы А, сводя его к вычислению п определителей (п — 1)-го порядка. 3. Разложение определителя п-го порядка по первой строке. Аналогично последней формуле, имеем с с с 41 21 31 nl 1*12 «22 «32 «п2 t*13 • • • U23 • • • азз «пЗ ... 1*1/1, «2п «Зп «пп 20
(-1) 1+2 «12 «21 «31 12 &13~ 422 «23 32 «33 «nl Сп2 «пЗ «2n «3n O"nn 1*11 «21 «31 «nl cxi2 O22 «32 «n2 j С С С 23 33 пЗ • * * l7t ... «2п ... «Зп ... апп (-1) 1+n '«In* 1*11 «21 «31 «nl i*12 «22 «32 «п2 1*13 • • • «23 «33 • • • «пЗ • • • С с с ^171 -2п пп т.е. det A = 41 * «21 «31 «nl «22 «32 «п2 «23 «33 «пЗ «23 «33 «пЗ . . . ... «2п азп ... апп «2п «Зп а»» + «13 •• + (-1)1+г • «21 «31 «nl '«In * «22 «32 «п2 «21 «31 «nl O24 ••• «34 ••• «п4 • • • O22 «32 • • • «п2 ••• «2п «Зп а'пп «2п-1 «Зп-1 «пп-1 • (2-3) Аналогично задаются другие способы вычисления определителя n-го порядка — «разложение» по произвольной строке или произвольному столбцу— (2.4), (2.5). Определителем (детерминантом) 1-го порядка квадратной матрицы ^ = («и) называется значение ац: det А = ац. Дополнительным' минором М^ к элементу а^ квадратной матрицы А называется минор, составленный из элементов А, оставшихся после вычеркивания г-й строки и j-ro столбца. 21
Алгебраическим дополнением Ац к элементу ац квадратной матрицы А = (ац) называется произведение Ац = (—1)*+-? • Мц. /1 2 3\ Например, в матрице I 4 5 6 1 минором М2\ является определи- \7 8 0/ тель, составленный из элементов матрицы, оставшихся после вычерки- /1 2 3> вания 2-й строки и 1-го столбца: ( ^—ё—6- 8 0, Таким образом, М2\ = 2 3 8 0 = 20 — 3-8 = -24; соответственно, алгебраическим дополнением А2\ будет число A2i = (—1)2+1 • М2\ = = (—I)3 • (—24) = 24. В новых обозначениях, аналогично формуле (2.2), записывается формула «разложение определителя 3-го порядка по первой строке»: з detA = ац • Ац + а12 • Аи +ai3 • A1S = ^aij • А^. 3=1 Аналогично формуле (2.3) записывается формула «разложение определителя n-го порядка по первой строке»: п det А = ац • Ап + а12 • А12 Л + «ln-i • AXn-i + aln • А1п = 4. Разложение определителя п-го порядка по i-U строке: det А = ац • Ай + ai2 • Ai2 + • • • + a^n-i • ^m-i + % • ^in Yl^ Vi = T7n. (2.4) 5. Разложение определителя п-го порядка по j-му столбцу: det A = aij • Axj + a2j • A2j H h an-ij • An-ij + anj • Anj- V j = M. (2.5) 6. Метод приведения к треугольному виду заключается в приведении определителя (с помощью элементарных преобразований) к такому виду, когда все элементы, расположенные по одну сторону одной из диагоналей, равны нулю. 7. Метод рекуррентных соотношений состоит в том, что определитель п-го порядка выражают через определители того же вида, но более низкого порядка, используя элементарные преобразования и разложение по строке или столбцу. 22
Свойства определителей 1. Если у определителя какая-либо строка (столбец) состоит только из нулей, то определитель равен 0. 2. Если какие-либо две строки (два столбца) определителя пропорциональны, то определитель равен 0. 3. Если какую-либо строку (столбец) определителя умножить на произвольное число, то и весь определитель умножится на это число. 4. Если две строки (два столбца) определителя поменять местами, то определитель изменит знак. 5. Если к какой-либо строке (столбцу) определителя прибавить какую-либо другую строку (столбец), умноженную на произвольное число, то определитель не изменится. 6. Определитель произведения матриц равен произведению их определителей. Матрица, определитель которой равен 0, называется вырожденной; матрица, определитель которой не равен 0, называется невырожденной. 1.2.1. Вычислить определитель второго порядка 1 2 3 4 = 1-4-2-3= -2. Вычислить определители второго порядка: 1.2.3. 1.2.2. 1.2.4. 1.2.6. 1 -3 X 1 2 -4 xy У • COS if Sin (f — sin ip cos <p Решить уравнения: 2z+l 3 1.2.8. 1.2.10. 1.2.12. = 0. z + 5 2 2x - 1 x + 1 x+2 x-1 sin 2x sin x = -6. = 0. 1.2.5. 1.2.7. 1.2.9. 1.2.11. 1 2 3 4 -3 5 0 0 a b с d -l z + 3 x-1 1-х x-1 x-2 y+3 -y-S x-2 = 0. = 0. cos x cos 2x 1.2.13. Вычислить определитель 3-го порядка: 3 2 1 2 5 3 3 4 2 23
О Вычисляя определитель разложением по первой строке, получим: 5 3 4 2 -2- со to to со + 1- 2 5 3 4 = 3- (5-2-3-4) -2- (2 -2-3- 3) + 1 • (2-4-5-3) = Вычислить определители 3-го порядка: 1.2.14. 1.2.16. 1.2.18. 2 5 8 3 2-1 -2 2 3 4 2-3 1 1 1 4 5 9 16 25 81 1.2.15. 1.2.17. 1.2.19. 2 1 3 5 3 2 1 4 3 1 1 1 1 2 3 1 3 6 1 1 1 5 7 8 25 49 64 1.2.20. Вычислить определитель с помощью «правила треугольников» 1 0 0 0 2 0 0 0 3 О Из шести слагаемых не равным нулю будет только одно: +1-2-3 = 6. • Вычислить определители с помощью «правила треугольников»: 1.2.21. 1.2.23. 1.2.24. 0 0 3 0 2 0 0 2 0 1 3 5 1 0 0 0 4 0 1.2.22. 0 У 0 X 0 0 0 0 z Вычислить определитель разложением по какой-нибудь строке или столбцу: 5 0 7 6 2 -4 3 0 5 О Удобнее всего вычислять определитель разложением по строке или столбцу, содержащим наибольшее количество ну- 24
лей. Разложим определитель по 2-й строке: (-1) 2+1 6 3 -4 5 ч2+2 , 5 3 7 5 (-1) 2+3 О- 5 6 7 -4 = 2 • (25 - 21) = 8. 1.2.25. Вычислить определитель 3 0 2 -5 3 -1 6 0 3 О При разложении определителя 3-го порядка по строке или столбцу, знаки («+» или «—») перед слагаемым ац • Мц проще всего запомнить в следующем виде: Разложим определитель по 2-му столбцу: -0 + 3 ■ 3 2 6 3 - О = 3 • (9 - 12) = -9. Вычислить определители 3-го порядка разложением по какой-нибудь строке или столбцу: 1.2.26. 1.2.28. 1.2.30. 2 О 7 1 6 О 1 2 3 0 0 1 4 5 6 sin a cos a sin /3 cos /3 sin 7 cos 7 1.2.27. 1.2.29. 0 ь 0 2 0 3 а с е 1 1 -2 0 d 0 -1 1 Решить уравнения и неравенство: 1.2.31. 1.2.33. 1.2.35. 2 -1 5 -1 3- 2х + 0 7 -3 X 1 X 0 1 -1 3 — 6 3 2х + 1 2 0 з = 0. 1 1 .2 .2 .32. .34. -1 2-Зя 3 6 2х 4 х 3 1 + 3 0 2 2 -2 5 1 х - 0 2 = 0. Доказать равенство, используя свойства определителей: Q>1 °2 аз + C2 02 c\ С2 С3 25
Ь\ с\ Ь2 с2 Ьз сз + а\ а2 аз h ь2 Ьз а\х а2х а3х + а\ а2 аз ъ2 Ьз biy Ь2у ЬзУ О Так как третий столбец левого определителя можно представить в виде суммы трех столбцов, этот определитель можно представить в виде суммы трех определителей: а\ аз Третий столбец во втором определителе пропорционален первому столбцу, а в третьем определителе — второму столбцу, следовательно, оба этих определителя равны нулю. Что и завершает доказательство. • Доказать равенства: — xb\ a\ + xb\ 1.2.36. а2 — xb2 а2 + xb2 аз — хЬз аз + хЬз 1.2.37. а2 + xb2 аз + хЬз -f b\ а2х -h b2 + Ьз С\ с2 сз d с2 сз = 2х а\ а2 аз = (1-х2 ь2 Ьз ) ai а2 аз С\ с2 сз Ь\ с\ Ь2 с2 Ьз сз Вычислить, используя свойства определителей: 1.2.38. 1.2.40. 1.2.41. sin2 a sin2/? sin2 7 cos2 COS2 COS2 b + c c + a a + b a 7 1 1 1 1.2.39. sin2 sin2 sin2 a 7 cos2 COS2 COS2 a 13 7 cos 2a cos2/3 cos 27 Вычислить определитель 4-го порядка разложением по строке или столбцу: -2 1 3 0 -3 -1 -1 -2 0 2 5 4 2 2 -2 1 О Удобнее пользоваться разложением по строке или столбцу, содержащим наибольшее количество нулей. Разложим определитель по первой строке: -12 2 -1 5 -2 -2 4 1 1 -1 2 -(-3)- 12 2 3 5-2 0 4 1 + 0- 1-12 3 -1 -2 0-2 1 -!■ 3-15 0-2 4 = -2 ■ 9 + 3 • 31 + 0 - 2 • 6 = 63. 26
При вычислении определителей 4-го порядка разложением по строке или столбцу, знаки («+» или «-») перед слагаемым dij • Mij проще всего запомнить в следующем виде: Аналогично, для вычисления определителя n-го порядка знаки расположены следующим образом (в «шахматном» порядке, слева вверху знак «+»): 1.2.42. Вычислить определитель 4-го порядка а О 3 5 0 О Ь 2 1 с 2 3 О О О d Д = Разложим определитель по 4-ой строке: Д = (+d) а 0 1 0 0 с 3 ь 2 _ разложим определитель _ ~~ [ по 2-ой строке J ~~ = — d • b • а ■ с. -d-(-b) a ° Вычислить определители, используя разложение по строке или столбцу: 1.2.43. 1.2.45. 1.2.47. 1 2 3 d 1 2 3 4 0 0 с 0 1 0 0 4 2 Ъ 4 0 3 0 0 7 а 0 5 0 4 8 2 5 3-5 2-4 -3 4-5 3 -5 7-7 5 8-8 5-6 1.2.44. 1.2.46. 1.2.48. 0 а Ъ d 2 4 а 3 1 2 3 2 1 —о 0 с е -3 _2 Ь -1 2 3 5 -7 4 -Ь —с 0 0 4 3 с 4 3 7 11 7 5 -d —е 0 0 1 2 d 3 4 10 16 7 3 5 13 21 2 10 27
1.2.49. Вычислить определитель приведением к треугольному виду: 1 1 1 1 ... 1 -11 1 1 ... 1 -1-12 2 ... 2 Ai= -1. -1 -1 3 ... 3 -1 -1 -1 -1 ... п-1 О Прибавляя к каждой строке определителя первую строку, получим: Г разложим по 1 [первому столбцу] 1 0 0 0 0 1 2 0 0 • 0 1 2 3 0 0 1 ... 2 ... 3 ... 4 ... 0 ... 1 2 3 4 п = 1 2 .0 0 0 2 3 0 0 2 ... 3 ... 4 ... 0 ... 2 3 4 п _ Г повторяем разложение по 1 _ ~~ [первому столбцу п — 2 раза] ~~ п-1 = 1 • 2 • 3 •... • (п - 1) • п = п\ 1.2.50. Вычислить определитель n-го порядка: О 0 ... О -1 О 0 ... -1 О О -1 -1 0 О О Разложим определитель по первой строке О 0 ... 0-1 О 0 ... -1 О О -1 -1 0 О О п-1 Аналогично Dn-\ = (—l)n+1 • -Dn-2 и т.д. Таким образом, Dn = (-1)"+2 • (-1)"+1 •... • (-1)2+2 • Dx. 28
Учитывая, что (-1)»+а = (-1)», (-1)"+1 = (-I)""1, ..., (-1)2+2 = (-1)2; Dx = -1, получим выражение для £>„: Вычислить определители п-го порядка: 1.2.51. 1.2.52. 1.2.53. 1.2.54. п п п п — 1 п п п п 1 -1 п п п п 2 О -1 -2 п п п — 2 п п п 3 3 О -1 -2 -3 1 2 3 2 3 4 3 4 5 п — 1 п п п п п 3 2 2... 2 3 2... 2 2 3 ... .. п п п .. п п п .. п п п .. 3 п п .. п 2 п .. п п 1 п п п О п — 2 п — 1 п п — \ п п П 71 71 П П П П 1.2.55. 1 п 1 1 1 п 111 2 2 2 ... 3 1.2.56. Вычислить определитель п-го порядка методом рекуррентных соотношений: 2 1 0 0 ... О О 1 2 1 0 ... О О п - 0 1 2 1 ... О О О 0 0 0 ... 12 29
Разложим определитель по первому столбцу -1 2 1 0 1 2 0 0 ... 1 ... 0 ... 0 0 1 0 0 . 2 п-1 1 1 0 0 0 2 1 0 0 ... 1 ... 2 ... • 0 ... 0 0 0 1 0 0 0 • 2 п-1 = 2 • Dn_i -11 Вычислим D2, Dz и разложим второй определитель по первой строке 2 1 0 ... 0 0 1 2 1 ... 0 0 0 0 0 1 2 = 2L>n_i-Ai_2. п-2 2 1 1 2 2 1 0 1 2 1 0 = 2 2 1 1 2 -1 = 3; 1 1 0 2 = 2-3-1-2 = 4; 1 2 D4 = 2D3 - D2 = 2 • 4 - 3 = 5. Итак, £>2 = 3, Ds = 4, D± = 5. Докажем (по индукции), что Dn = п + 1. По предположению индукции, Dn_2 = n — 1, Z}n_i = п. Учитывая, что Dn = 2Dn-\ — Dn-2, получим Dn = 2га — (п — 1) = п + 1, что и требовалось. • Вычислить определители методом рекуррентных соотношений: 0 1 1.2.57. 3 2 0 1 3 2 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ... 13 га. 1.2.58. 1 1 аг 0 1 0 а2 1 0 0 Дополнительные задачи Вычислить определители 2-го порядка: 1.2.59. 30 2 -3 5 -4 1.2.60. а 0 0 0
1.2.61. 1.2.63. х" х ху2 у2 cos ф sin у sin ip cos ф Решить уравнения: 2s-3 4 1.2.65. 1.2.67. 1.2.69. -x -3 3-х x + 2 x + 1 x-1 x-2 y + 3 7-2/ x + 4 = 0. = 6. = -34. 1.2.62. 1.2.64. 1.2.66. 1.2.68. 1.2.70. а За Р 3/3 х2 + х + 1 z-1 х + 3 х-1 х-2 1-2/ sin2x cos2x Х ft х-2 х-2 - sin Зх cos3x 0. -4. = и. Вычислить определители 3-го порядка разлооюением по первой строке: 1.2.71. 1.2.73. 1 2 4 -2 4 1 1 3 6 1 3 7 3 1 -3 5 -2 2 1.2.72. 1.2.74. 1 2 0 а Ь с 1 3 2 Ь с а 0 1 3 с а Вычислить определители с помощью «правила треугольников»: 1.2.75. 1.2.77. а 0 0 0/30. 1.2.76. 0 0 7 cos а cos /3 0 cos а 0 cos 7 • 1.2.78. 0 cos /3 cos 7 0 1 1 0 X 0 1 0 1 X 1 X 1 1 0 0 X 0 Вычислить определители разлооюением по какой-нибудь строке или столбцу: 1.2.79. 1.2.81. 1.2.83. 2 0 6 1 4 7 3 1 7 2 5 8 3 6 0 5 0 8 1.2.80. 1.2.82. 1 3 5 X 0 X 2 4 6 2/ 2/ 0 0 0 7 2 Z Z cos а cos /3 cos 7 1 1 0 1 0 1 31
Решить уравнения и неравенства: 1.2.84. 1.2.86. 1.2.88. -3 2 1 х-1 О 7 2 -13 = 0. ? + 2 4 -1 -2 2 х-1 1 3 О = 0. 1.2.85. 1.2.87. 0 -1 х + 5 2-х 3-1 2 -3 х-1 1 z + 2 2 3 О 1 х = 6. 3 2-1 с + 2 О 1 -2 3-х 1 Не вычисляя определителей, проверить, что они делятся на а — Ь, Ь — с, с — а: 1.2.89. 1.2.91. 1 1 1 а Ь с а2 б2 с2 1.2.90. 1 1 1 а Ъ с be са аЬ 1 1 Ь с Ь3 с3 Вычислить, используя свойства определителей: 1.2.92. sin а cos а sin(a + £) sin/? cos/? sin(/? + £) sin 7 cos 7 sin (7 + S) 1.2.93. (а + 1) Вычислить определители разлооюением по строке или столбцу: Ь 0 1.2.94. х а 1.2.96. 1.2.98. 32 0 0 0 д 5 4 2 4 7 8 7 5 У е 0 а Ь с d 3 -9 -2 -3 0 0 к 2 4 3 5 2 4 7 3 0 0 0 и -1 -3 -2 -4 6 9 3 4 1.2.95. 1.2.97. 0 5 2 0 8 3 5 4 7 2 4 1 0 4 10 3 2 2 2 9 -8 5 10 5-858 6-547 1.2.99. 6 9 5 7 6 4 8 6 6 12 13 9 7 6 5 6 4 5 4 5 3
Вычислить определители приведением к треугольному виду: 1.2.100. 1 1 1 -1 1 1 1 2 -1 1 1 1 2 3 1 2 3 -1 п-1 1 -1 1.2.101. —п 1 — п 2 — п \-п 2-п 3-п 2-п 3-п 4-п О О -2 -1 1.2.102. -2 -1 X а\ а\ ai X а2 0 а2 а2 X -1 о о о 1.2.103. а-1 а>2 as 1-71 1 1 1 1-71 1 an-i an-i ап-\ х ап 1 1 1 1 1-п п. а0 —х 0 ai —х а>2 0 ... ап_х 0 0 аТ 0 0 1.2.104. О О О ... -х х Вычислить определители методом рекуррентных соотношений: 12.105. 1 1 1 1 0 «1 1 0 и 0 а2 1 • и 0 0 аз • ... 0 ... 0 ... 0 ... 0 • 1 0 0 0 • 10 О О ... 1 ап 1.2.106. 5 4 0 0 0 0 6 5 1 0 0 0 0 2 3 1 0 0 0 0 2 3 0 0 0 0 0 2 . 0 0 ... 0 ... 0 ... 0 ... 0 ... 3 ... 1 0 0 0 0 2 3 33 3-2361
Контрольные вопросы и более сложные задачи 1.2.107. Всегда ли определитель суммы матриц равен сумме их определителей? 1.2.108. Привести пример двух таких матриц, что определитель их суммы равен сумме их определителей. 1.2.109. Привести пример двух таких матриц, что определитель их суммы равен сумме их определителей, причем ни один из трех определителей не равен нулю. 1.2.110. Могут ли все алгебраические дополнения некоторой матрицы А = (aij) быть равны соответствующим минорам (А^ = М^)? 1.2.111. Могут ли все алгебраические дополнения некоторой матрицы А = (aij) быть равны соответствующим элементам (А^ = а^)? 1.2.112. Может ли определитель 2-го порядка принимать значение большее, чем определитель 5-го порядка? 1.2.113. Может ли определитель изменить знак на противоположный при транспонировании матрицы? 1.2.114. Дана квадратная матрица га-го порядка А = (а^). Чему равна п сумма 53 aij ' Mj ? 1.2.115. Можно ли вычислять миноры, дополнительные к элементам неквадратной матрицы? 1.2.116. Как изменится определитель 3-го порядка, если его строки переставить следующим образом: первую — на место второй, вторую — на место третьей, третью — на место первой? 1.2.117. Как изменится определитель га-го порядка, если его строки переставить следующим образом: первую — на место второй, вторую — на место третьей, ..., (га — 1)-ю — на место га-й, га-ю — на место первой? 1.2.118. Сколько всего миноров у квадратной матрицы га-го порядка? 1.2.119. Сколько всего миноров у матрицы размера т х га? 1.2.120. Могут ли все алгебраические дополнения некоторой ненулевой матрицы А = (a>ij) быть равны соответствующим минорам (Aij = Мц)? 1.2.121. Могут ли все алгебраические дополнения некоторой ненулевой матрицы А = (а^) быть равны соответствующим элементам 1.2.122. Вычислить определитель приведением к треугольному виду: 1 х ап 1 «21 «22 34 X2 X 1 X3 X2 X ... хп ... хп~г хп~2
1.2.123*. Дана квадратная матрица п-го порядка А = (<%). Чему равна сумма ап • А2\ + ai2 • А22 Н V ain-i • ^2n-i + ain * ^2n? 1.2.124*.Доказать, что если все элементы определителя 3-го порядка равны 1, то значение определителя — четное число. 1.2.125*.Доказать, что если числа а,Ь,с — действительные, то уравне- а — х b Л ние , =0 имеет действительные корни. о с — х 1.2.126*.Числа 255, 391, 578 делятся на 17. Не вычисляя значение опре- 2 5 5 делителя 8 , доказать, что он тоже делится на 17. 1.2.127*. Как изменится сумма всех алгебраических дополнений к элементам матрицы, если ко всем элементам матрицы прибавить одно и то же число? 1.2.128*.Вычислить определитель п-го порядка методом рекуррентных соотношений: 1 3 0 0 . 0 0 2 4 2 0 0 0 0 3 5 2 0 0 0 0 3 5 0 0 0 ... 0 ... 0 ... 3 ... 0 ... 0 ... 0 0 0 0 5 2 0 0 0 0 3 5 §3. РАНГ МАТРИЦЫ ^ Минором к-го порядка произвольной матрицы А называется определитель, составленный из элементов матрицы, расположенных на пересечении каких-либо к строк и к столбцов. В матрице А = норы: — 2-го порядка 1 2 можно указать, например, такие ми- 4 5 V минор ап 21 2 8 fll2h О221У ' I минор 4 4 7 -7 032 < v минор ^21 O24 — 3-го порядка 1 4 7 2 5 8 1 4 -7 2 5 8 3 6 9 1 4 -7 35
— 1-го порядка , |2| (минор |ai2|), |3| (минор |ai3|), |-7| (минор |а34|). Рангом матрицы А называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю. Обозначения: г (A), rang(A). Базисным минором называется любой из отличных от нуля миноров матрицы А, порядок которого равен г (А). Для следующей матрицы А ее ранг равен 1: /3 -2 /3 А={о о Любой из миноров 2-го порядка матрицы А равен нулю, и существует хотя бы один минор 1-го порядка, не равный нулю, например, |3| = 3. Базисным минором матрицы А является каждый из ненулевых миноров 1-го порядка: |3|(= 3), | - 2|(= -2), |2|(= 2). Для следующей матрицы А ее ранг равен 2: *=U n Ь ^)=2> так как существует минор 2-го порядка О 2 3 О = — 6, не равный нулю, а миноров 3-го порядка у матрицы А нет. Единственный базисный минор матрицы А — минор Q п о U Теорема 1.1. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется. Теорема 1.2. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ее ненулевых строк. Метод элементарных преобразований нахождения ранга матрицы заключается в том, что матрицу А приводят к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований; количество ненулевых строк полученной ступенчатой матрицы есть искомый ранг матрицы А. Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы А состоит в следующем. Необходимо: 36
1) Найти какой-нибудь минор Mi первого порядка (т. е. элемент матрицы), отличный от нуля. Если такого минора нет, то матрица А нулевая и г(А) = 0. 2) Вычислять миноры 2-го порядка, содержащие Mi (окаймляющие Mi) до тех пор, пока не найдется минор Мг, отличный от нуля. Если такого минора нет, то г(А) = 1, если есть, то r(A) ^ 2. И т.д. к) Вычислять (если они существуют) миноры fc-ro порядка, окаймляющие минор Mfc_i ф 0. Если таких миноров нет, или они все равны нулю, то т (А) = fc — 1; если есть хотя бы один такой минор М* ф О, то г (А) ^ fc, и процесс продолжается. При нахождении ранга матрицы таким способом достаточно на каждом шаге найти всего один ненулевой минор fc-ro порядка, причем искать его только среди миноров, содержащих минор Mk-i ф 0. 1.3.1. Найти ранг матрицы методом элементарных преобразований: О Приведем матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований: /2-15 6 03 1 4 0 -9 -3 -12 Полученная ступенчатая матрица содержит две ненулевые строки, значит ее ранг равен 2. Следовательно, ранг исходной матрицы также равен 2. • Найти ранг матрицы методом элементарных преобразований: /1 2 3 0\ 1.3.2. О 1 1 1 . 1.3.3. VI 3 4 1/ 2 -1 -10 (1 3 \1 (\ 2 2 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 3 1 1 6 4 6 —3 11 -3 1 2-125 -4; 37
1.3.6. 1.3.8. (2 1 1 1 1 а i 3 i i 2 i i i 4 1 3 1 i\ i i 5 4 li Л О О 1 4 0 10 2 5 0 0 13 6 . 1.3.7. 1 2 3 14 32 \4 5 6 32 77 J Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров и указать один из базисных миноров: /13 3 4 А= 0 0 1 2 \2 б 1 -2) Q Так как у матрицы А есть ненулевые элементы, то г (А) ^ 1. Найдем какой-либо ненулевой минор 2-го порядка (если он су- 3 3 ществует). Таким минором является, например, M<i — = 3 ф 0. Значит, r(A) ^ 2. Вычислим миноры 3-го порядка, окаймляющие 1 [разложение 1 _ 1 3 по 2-й строке] 2 6 3 = 3- 3 0 6 1 2 1 -2 1 : 0 ( 2 ( 3 1 1 +6- ) 4 2 -2 3 1 3 1 1 4 2 О 1 = 0; Все миноры 3-го порядка, окаймляющие Л) довательно, г(А) < 3. Итак, г(А) = 2. Одним из базисных миноров является разложение 1 _ по 1-му столбцу] ~~ = 3-(-2-2) + 6-(6-4) = -12 + 12 = 0; , равны нулю, еле- Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров и указать какой- либо базисный минор: 1.3.9. 1.3.11. 1.3.13. 38 1.3.10. 1.3.12. 1.3.14.
Найти ранг матрицы при различных значениях параметра X: 1.3.15. 1 3 2 1 2 -1 3 -1 -1 -2 -1 0 0 2 0 А 1.3.16. Дополнительные задачи Найти ранг матрицы методом элементарных преобразований: 1.3.17. 1.3.19. 1 -3 1 -14 22' -2 13 3-9 ^-4 -3 11 -19 17 '3-1325 5-3234 1-3-5 0 -7 -5 1 4 1 1.3.18. 1.3.20. 1.3.21. /4 3 8 6 4 3 4 3 8 6 -5 2 -7 4 -8 2 1 2 -1 3\ 2 7 -5 4 -6/ 1.3.22. '24 19 36 72 -38^ 49 40 73 147 -80 73 59 98 219 -118 ^47 36 71 141 -72 /17 -28 45 11 39 \ 24 -37 61 13 50 25 -7 32 -18 -11 31 12 19 -43 -55 ^42 13 29 -55 -68/ Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров и указать один из базисных миноров: (3 -1 2> 1.3.23. | 4 -3 3 3 0; '2-15 6 1.3.25. ( 1 1 3 5 Л -5 1 -3> '3 -1 2> 1.3.24. |4-33 а з 2} 1.3.27. Найти 13.29. /1 -2 1-11 2 1-12-3 3-2-1 1 -2 2-51-22 1.3.26. . 1.3.28. -2 3 -4 0 1-11 13 0-3 ^0-7 3 1 (2 1 -1 -1 1-111 3 3-3-3 5 -5 -5 4 -3 1 -з 1 -2 4 7 ранг матрицы при различных значениях параметра X: 39
(\ 1 1 1 1.3.31. | 1 A 1 Л Л 1 A A2, Контрольные вопросы и более сложные задачи 1.3.32. Может ли ранг матрицы быть равным нулю? меньше нуля? равным 2,5? 1.3.33. Ранг матрицы А равен г. Что можно сказать о г(2А)? г(-А)? г(0 • А)? 1.3.34. Как может измениться ранг матрицы при транспонировании? 1.3.35. Как может измениться ранг матрицы при добавлении к ней одной произвольной строки? Одного произвольного столбца? 1.3.36. Как может измениться ранг матрицы при вычеркивании одной строки? одного столбца? 1.3.37. Доказать, что у матрицы ранга 1 все строки (и столбцы) пропорциональны . 1.3.38. Ранг матрицы А равен г\, ранг матрицы В равен Г2. Что можно сказать о г (А + В)! г{А - В)? 1.3.39. Как может измениться ранг матрицы при добавлении к ней одной (такой же как первая) строки? 1.3.40. Доказать, что каждая матрица ранга 1 может быть предста- влена в виде \bnj 1.3.41. Найти ранг матрицы (а с2 ... сп). /Inn п 2 п п п 3 \п п п 1.3.42. Найти ранг матрицы размера п х п п\ п п п) /О 1 1 1 О 1 1 1 О Ч1 1 1 ... 0; 1.3.43*. Доказать, что если С — квадратная невырожденная матрица, и существует произведение матриц С • А, то г (С • А) — г(А). 1.3.44*. Доказать, что г{АтА) = г(ААт) = г(А). 1.3.45*. Доказать, что если ранг матрицы А не изменяется от приписывания к ней каждой строки некоторой матрицы В (с числом столбцов, как у матрицы А), то этот ранг не изменится от приписывания к матрице А всех строк матрицы В. 40
1.3.46*. Доказать, что любую матрицу ранга г можно представить в виде суммы г матриц ранга 1, но нельзя представить в виде суммы менее, чем г таких матриц. 1.3.47*. Найти ранг матрицы размера п х п /1-п 1 1 ... 1 \ 1 1-п 1 ... 1 1 1 1-п ... 1 1 1 1 ... 1-п) §4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. МАТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ^ Обратной матрицей к квадратной матрице А называется такая матрица (обозначается Л"1), что А~1 • А = А • А~х = Е. Замечание. Если матрица А~1 существует, то она единственна. ^ Присоединенной матрицей к квадратной матрице А = (а^) называется матрица А = (Aij)T, полученная транспонированием из матрицы, составленной из алгебраических дополнений Ац к элементам ац. Теорема 1.3. Если квадратная матрица А — невырожденная (т. е. Метод присоединенной матрицы вычисления обратной матрицы к невырожденной матрице А состоит в применении формулы (4.1). Метод элементарных преобразований (метод Гаусса) вычисления обратной матрицы к невырожденной матрице А состоит в следующем. Приписывая справа к матрице А размера п х п единичную матрицу размера п х п, получим прямоугольную матрицу Г = (А\Е) размера п х 2п. С помощью элементарных преобразований над строками матрицы Г сначала приведем ее к ступенчатому виду Fi = (А\\В), где матрица А\ — треугольная, а затем к виду Г2 = {Е\А~Х). Матричные уравнения простейшего вида с неизвестной матрицей X записываются следующим образом АХ = В, (4.2) ХА = В, (4.3) АХС = В. (4А4) 41
В этих уравнениях А, В, С, X — матрицы таких размеров, что все используемые операции умножения возможны, и с обеих сторон от знаков равенства находятся матрицы одинаковых размеров. Если в уравнениях (4.2), (4.3) матрица А невырожденная, то их решения записываются следующим образом: Если в уравнении (4.4) матрицы Аи С невырождены, то его решение записывается так: X = А~1ВС~1. 1.4.1. Найти (методом присоединенной матрицы) матрицу, обратную к данной: А = О 1) Найдем det A: detA = = -48 - 2 • (-42) + 3 • (32 - 35) = -48 + 84 - 9 = 27 ф 0. Так как det А ф 0, то матрица А~1 существует. 2) Найдем алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы А: 5 8 6 0 О — L • 4 7 6 0 1 Q -г о • 4 7 5 8 Аи = (- 5 8 4 7 6 0 6 0 А13 = (- А21 = - 2 3 8 0 1 7 1 4 2 8 3 6 4 5 7 8 = 24; = 6; = 6; = 50-6-8 = -48; = -(4 • 0 - 6 • 7) = 42; = 4 • 8 - 5 • 7 = -3; = -21; = -3; = -3. ^22 = Азг = ^33 = 1 7 2 5 1 4 3 0 3 6 2 5 '-48 24 - 3) Запишем матрицу А = (Aij)T = { 42 -21 6 -3 6 -3) 42
4) Найдем матрицу А -1. '-48 24 -3\ f-f | -g i-i - д Л— х I 12 -21 б -М -2 * det А 27 I о а о / I 9i 29 A 9 Сделаем проверку: _!£ *—1 л _ I 14* . А - И _1 5 Найти обратную матрицу методом присоединенной матрицы: ( 0 10. 1.4.3. 1.4.4. 3 2 -4 . 1.4.5. 1.4.6. |2 3 1 |. 1.4.7. 1.4.8. \-Ъ 2 1 У 1.4.9. Найти матрицу, обратную к матрице А = ( О 1) Найдем detA = ei2i an — a>i2Q>2i- Матрица ^21 ^22 А~г существует, только если det А ф 0. 2) Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы А: А\\ = O22? А\2 — ~^21) A21 = ~Q>12'i A22 = 0>ц. 3) Запишем присоединенную матрицу: А = Итак, для матрицы 2-го порядка присоединенная матрица находится очень просто — элементы главной диагонали меняются местами, а элементы побочной диагонали умножаются на 43
4) Найдем обратную матрицу А —1 -I T "I det A А = Найти обратную матрицу, используя результаты задачи 1.4-9: ,*.... (; j). ,.*.„. (j j). /х z \ (а -Ъ\ 1.4.12. . 1.4.13. . . \У -х) \-а Ь) 1.4.14. Найти (методом элементарных преобразований) матрицу, обратную к данной: . А= 11 2 -1 \2 2 4 О Записывая матрицу Г = (А\Е) размера (3x6), с помощью элементарных преобразований над строками приведем ее сначала к ступенчатому виду I\ = (A\\B), а затем к виду Г2 = (Е\А-1): Г = f\ 1 1 12-1 i2 2 4 1 0 0\ О 1 О II -1 О 0 1/ III -2I II + III 1 0 0> -3 1 1 -2 0 1/111:2 1 0 0 \ I — II — III -3 11 -1 0 1/2/ = Г2. 5 -1 —3/2> Итак, А'1 = | -3 1 1 к-1 0 1/2 Сделаем проверку: -.4= 44
11 1 \ /1 0 0> 1 2 -1 = 0 1 0 2 2 4/ \0 0 1> Найти обратную матрицу методом элементарных преобразований: 1.4.15. 1.4.17. 1.4.19. 1.4.21. 1.4.16. 1 2 3 1.4.18. |2 6 4 4 -14 -б> 1.4.20. ( 1 2 3 -2 4 \ 2 6 2 10 3 0-112 -14 0 5-4 5 -4-1-1 8 Методом элементарных преобразований найти матрицу, обратную к данной матрице размера п х п: А = /1 1 1 10 1 1 1 0 111 О Г = (А\Е) = /1 1 1 10 1 1 1 0 111 .. 1 .. 1 ... о; 1 О О О 1 О О 0 1 о\ о о 0 0 0 0 II-I III-I г1 = /1 'О О 0-10 0 0-1 \о о о а 0 0 1 -1 0 0 1 0 -1 0 ... 1 ... 0 ... 0 ... -1 1 -1 -1 . -1 0 1 0 . 0 0 0 1 0 ... 0^ ... 0 ... 0 ... 1) 0 0 0 2-п -1 -1 1 1 0 1 0 1 -1 -1 0 0 II-(-1) III (-1) 45
/1 0 0 ... О О 1 0 ... О О 0 1 ... О \0 0 0 ... 1 П-п 1 2-п 1 1 1-10 1 0 -1 о о Итак, А 1 — 1 1 1 1 -1 О О -1 о о 1\ о о • -V 1\ о о = Г2 = (Е\А~1) ... -у Найти матрицу, обратную к данной матрице размера пхп, используя метод элементарных преобразований: /1 О О ... О О\ 1 1 О ... О О 1.4.23. 1.4.22. О 1 1 о о 1.4.24. \о о о /10 0 1 1 О 111 У о\ о о 1.4.26. Vl 1 1 ... /1-10 -1 2 -1 0-12 о о о 1.4.25. о \ о о а о о а о о 1 1 О О 1 1 О п О 1 1 О 1 1 1 п ... О\ ... О ... О ... 1/ 1\ ... 1 ... 1 1 ; 0 \0 0 О 0 О 2 -1 -1 2 1.4.27. Решить матричное уравнение: О Запишем данное матричное уравнение в виде АХ = В. Его решением является матрица X = А~ХВ (если существует матрица А'1). 1) Найдем определитель матрицы А: detA = -1 2 2 -3 = -17*0. 46
Значит, обратная матрица А х существует, и исходное уравнение имеет (единственное) решение. 2) Найдем обратную матрицу АА 3) Найдем матрицу -2 - 1.4.28. Найти матрицу X, удовлетворяющую уравнению: О Запишем данное матричное уравнение в виде АХ С = В. Его решением является матрица X = А~1ВС~1 (если матрицы А~1 и С"1 существуют). 1) Найдем определители матриц А и С: detA = 1 О 1 2 = 2^0, detC = -1 -2 Матрицы А и С невырождены, значит, существуют обратные матрицы А~1 и С"1, и исходное уравнение имеет (единственное) решение. 2) Найдем обратные матрицы А~1 и С~1: ~2 V-l lJ-V-1/2 1/27 ° ~ ditC С 3) Найдем матрицу -2 -1 -2 -I - (!:?) (Л Л) ■ (? S) ■ Решить матричные уравнения: — ("о1 !)■*=(-'. 47
о1 /1 2 -3 1.4.33. Х- 3 2 -4= \2 -1 0 /1-2 3 1.4.34. 2 3 -1 ) X = \0 -2 /1 2 3\ 1.4.35. 2 4 б \3 6 9 1 -2 -1 1.4.36. |-3 2 2 3 -1 -2 Дополнительные задачи Найти (методом присоединенной матрицы) матрицу, обратную к данной: 1.4.37. 1.4.39. 1.4.41. 1.4.38. 1.4.40. 1.4.42. Найти (методом элементарных преобразований) матрицу, обратную к данной: 1.4.43. 1.4.45. 48 1.4.44.
1.4.46. /10 0 0 а 1 0 0 0 а 1 0 0 0 а 1 0 0\ 0 0 0 0 0 0 1.4.47. 1.4.48. 1.4.49. \р о о о . /1 а а2 а3 О 1 о а2 0 0 1а ч0 0 0 0 /12 3 4. 0 12 3. 0 0 12. 0 0 0 0 o о о о /0 11.. 10 1.. 110.. а I) (размер п х п). 2п-1 „п-2 (размер (п + 1) х (п + 1)). п — 1 п \ п-2 п-1 п-3 п-2 1 о 2 1 / л 1 (размер п х п). 1 1 Решить матричное уравнение: 1.4.50. X 1.4.51. X ,,,, (j ;).*=(>). 1.4.53. 1.4.54. 1.4.55. ■G V)- 1.4.56. 4 - 2361 '1 0 0\ /0 0 Г О 2 0 = 0 2 О 10 0 3/ \3 0 Оу 49
/1 -2 3\ /2\ 1.4.57. 2 3 -1 Х= -1 . \0 -2 \] \ъ] /1 -2 3\ /12 3\ /1 2 3> 1.4.58. 2 3 -1Х-4 5 6 = 4 5 6 \0 -2 1 / \7 8 0/ \7 8 0> Контрольные вопросы и более сложные задачи 1.4.59. Если матрица А не квадратная, может ли существовать такая матрица В, что: а) ВА = Е? б) АВ = Е? 1.4.60. Доказать, что если для квадратной матрицы А найдутся две такие матрицы В и С, что В А = АС = Е, то В = С. 1.4.61. Верно ли, что: а) (2А)~1 = 0,5- А~1 (аналог числового равенства J^ = 1.1J? б) (А + В)-1 =А~1+В~1? в) (-Е)-1 = -Е (аналог: -Ay = -l)? г) (АВ)-1 = А^В-1 ("аналог: \ = -- т)? 7 ч ' \ ао а о/ е) (А2)"1 = (А"1)2 (аналог: 4у = I - I)? 1.4.62. Верно ли, что: а) если|Л| = 0, то \А~Х\ =0? б) если \А\ = 2,то\А~1\ = -2! в) если |Л| = 2, то JA"1! = 0,5? г) l^l-l^"1! = 1? 1.4.63. Верно ли, что матрица А 1 имеет те же размеры, что и матрица А? 1.4.64. Следует ли второе утверждение из первого (если матрицы А и В произвольные): а) АВ = Е;ВА = Е? б) АВ = 2Е;ВА = 2Е? в) А • А = Е] А = Е или А = -Е? 1.4.65. Следует ли второе утверждение из первого (если матрицы А и В квадратные): а) АВ = Е;ВА = Е7 б) АВ = 2Е; ВА = 2Е? 1.4.66. Может ли матричное уравнение АХ = В иметь: а) одно решение? б) два решения? 50
1.4.67. 1.4.68. 1.4.69. 1.4.70. 1.4.71. 1.4.72. 1.4.73. 1.4.74. в) 17 решений? г) ни одного решения? Равносильны ли уравнения: б) АХ = В и X = В А'1 ? в) АХ = ВиХ = АВ-1 ? Как изменится матрица А"1, если в матрице А: а) поменять местами г-ю и j-ю строки (г-й и j-й столбцы)? б) г-ю строку (столбец) умножить на число А ф О? в) к г-й строке (столбцу) прибавить j-ю строку (столбец), умноженную на число А? Доказать, что матричное уравнение А • X = 0 (матрица А — квадратная) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда \А\ = 0. Квадратная матрица А = (а#) называется симметричной, если a>ij = aji (Уг, j). Доказать, что матрица, обратная к симметричной, будет симметричной. Решить матричное уравнение /1 1 1 ... 1\ /1 0 0 0 2 1 0 п п-1 п-2 \0 0 0 ... 1/ \0 U U ... 1 / Доказать, что если для квадратной матрицы А при некотором натуральном к выполнено равенство Ак = 0, то (Е - А)-1 = Е + А + ... + Ак~1. ( п „ ] V 0 bi) Найти матрицу, обратную к матрице I ~ „1 размера V U fcj\ J (A: -h Z) х (А: + /), где Ek и Ei — единичные матрицы размеров kxknlxl соответственно, А — произвольная матрица размера kxl. Пусть размеры матриц А, В, С таковы, что можно составить матрицу I ~ ~ 1, и существуют матрицы А"1 и С"1. Дока- зать, что (А В\~_ [А'1 -А-'ВС-1^ \0 CJ " V 0 С-1 ) ' 1.4.75. Доказать, что если матрица А\ получается из матрицы А поворотом на 90°, то обратная матрица Aj"1 получается из матрицы А~1 поворотом на 90° в обратном направлении. 1.4.76*. Доказать, что любая (m x п)-матрица А ранга г может быть представлена в виде произведения А = А\ ЕТ -Ач, где матрицы 51
Ai и Ач (размеров тхтпипхп соответственно) невырождены, а матрица Ег содержит элементы ац = а22 = • • • = о,гг = 1, и все остальные ее элементы равны 0. 1.4.77*. Доказать, что для любой (возможно, не квадратной) матрицы А уравнение АХ А = А имеет решение. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант 1 1. Найти значение матричного многочлена f(A): 2. Найти ранг матрицы приведением к ступенчатому виду. Указать базисный минор. /-2 0 8 1 -5 3-172 4 -8 2 -6 -3 -13 \11 -3 13 5 17 3. Вычислить определитель -2 3 5 7-14 9 -8 -6 /-2 3 5 4. Найти матрицу, обратную к матрице I 7 —1 4 ]. \9 -8 -бу 5. Решить матричное уравнение [ « 4 I • X = ( « _1 ~ 1. Вариант 2 1. Найти значение матричного многочлена f(A): 52 2. Найти ранг матрицы приведением к ступенчатому виду. Указать базисный минор. / (0 3 8 -1 -1 -3 0 -4 7 2 8 4 2 7 1 4 -8 -5
3. Вычислить определитель 3 5 4 -7 -1 8 2 6 9 3 5 4\ 4. Найти матрицу, обратную к матрице ( — 7 —1 8 1. 2 6 9/ R О /3 -1\ у /1 ~2\ 5. Решить матричное уравнение I ~ j . л = I j. Вариант 3 1. Найти значение матричного многочлена f(A): Дх) = -х3 + Зх2 + х - 2, А = ^ ^ -1 -4 3 9 6 7 5 2 8 2. Найти ранг матрицы приведением к ступенчатому виду. Указать базисный минор. '-2 3-116 3-1724 8 -3 2 7 -8 |* О 2 -13 4 -10) 3. Вычислить определитель /-1 9 5> 4. Найти матрицу, обратную к матрице 1—462 \3 7 8> /2 _з\ / 1 2 \ 5. Решить матричное уравнение ^*(1 4)=|^ ^ I' Вариант 4 1. Найти значение матричного многочлена f(A): f(x) = х3 + Зх2 + 2х - 1, А = f °х _3Л. 53
2. Найти ранг матрицы приведением к ступенчатому виду. Указать базисный минор. -7 -5 2 -6 -2 8 -1 2 0 -3 4 0 8 4 7 -13 1 20 3. Вычислить определитель -3 7 9 2 6 4 5 8 1 4. Найти матрицу, обратную к матрице 5. Решить матричное уравнение ~2\ /3 (Л i) = \4 9/'
Глава 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ □ § 1. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА-КАПЕЛЛИ. МЕТОД ГАУССА ^ Пусть задана система из т линейных уравнений с п неизвестными Хх,Ж2,. ..,х„: 012X2 С22Х2 nxn = Ъ\, (1.1) -I- а т,Хп — Om, где числа ац (г — 1,2,..., т; j = 1,2,..., п) называются коэффициентами системы, а числа Ъ\,..., Ьт — свободными членами. Решением системы (1.1) называется такой набор чисел (ci,C2,... ,сп), что при его подстановке в систему вместо соответствующих неизвестных (с\ вместо х\, ..., сп вместо хп) каждое из уравнений системы обращается в тождество. Если система (1.1) имеет хотя бы одно решение, она называется совместной] система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной. Система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. Две системы линейных уравнений с одинаковым числом неизвестных называются эквивалентными, если множества всех решений этих систем совпадают. Если Ь\ = Ъч — ... — Ьш = 0, то система называется однородной, в противном случае она называется неоднородной. Систему (1.1) можно записать в матричной форме: АХ = В, где А = a2n атп) — матрица системы, X = 55
столбец (или вектор-столбец) неизвестных, В = водных членов. Матрица (А\В) = ап \0"т\ •репной матрицей системы. O2n <W h \от/ — столбец ceo- Ьт/ называется расши- Теорема 2.1 (Кронекера-Капелл и). Система линейных уравнений (1.1) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы: г(А)=г(А\В). Исследовать систему линейных уравнений означает определить, совместна она или нет, а для совместной системы — выяснить, определенна она или нет. При этом возможны три варианта: 1) Если г(А) < г(А\В), то система несовместна. 2) Если г(А) = г(А\В) = п (где п — число неизвестных), то система совместна и определенна. 3) Если г(А) = г(А\В) < п, то система совместна и неопределенна. Для исследования систем линейных уравнений и нахождения их решений можно использовать, например, метод Гаусса: С помощью элементарных преобразований над строками приведем расширенную матрицу системы (A|jB) к ступенчатому виду (А'\В')\ (А'\В') = /a'n 0 0 0 In 0 0 0 о о "r+l bL где в г-ой строке (г = 1,2,..., г) самый левый ненулевой элемент обозначен через а{к{. Полученной расширенной матрице (А'\В') соответствует система линейных уравнений, эквивалентная системе (1.1). При этом г(А') = г(А), г(А'\В') = г(А\В), и утверждения о том, что полученная система со- 56
вместна (несовместна) и определенна (неопределенна) верны и для системы (1.1). Если хотя бы одно из чисел bj j,+1, не равно нулю, то + г(А'\В') > r(Af), и система несовместна; иначе (если bj,+i = ... = Ъ'т = 0) система совместна. В случае, когда система совместна, будет г [А!) = = г(А'\В') = г, где г — число ненулевых строк матриц А' и (А'\В'). Если г = п (где п — число неизвестных), то система определенна, в противном случае (если г <п) система неопределенна. Базисным минором матриц А1 и {А'\В') является, например, минор, составленный из элементов этих матриц, расположенных в первых г строках и столбцах с номерами 1, &2> &з? • • • > К- Назовем базисными (или главными) г переменных х\, Xk2»#fc3 > • • • > хкг ? а остальные п — г переменных назовем свободными. Без ограничения общности можно предположить, что главными переменными являются х\, #2, #з> • • • > #г> а свободными — #r+i, •.., хп. Тогда матрица (А'\В') (в случае когда г(А')=г(А'\В')) запишется в виде: о о о а22 о о а'1г агг+1 а'ТГ агг+1 0 0 К \0 0 ... О 0 ... О Запишем систему уравнений, соответствующую расширенной матрице (А'\В') в следующем виде — перенесем все слагаемые со свободными переменными xr+i, • • •, хп в правую часть: а'1гхГ = Ь[ — a'lr+1xr+i — ... — а'1пхп, а'2гхт = Ь'2 — a2 — ... — а2пх„ (1.2) a'r_lrxr = Ь;_! - a;_ a'rrxr = b'r- <r+1 zr+i - ... - а'г_1пхП1 -... - a'rnxn, где коэффициенты а'п, а22, • • •, o!rr H^ равны нулю. Пусть свободные переменные xr+i,..., хп принимают значения ^ь ..., tn-r. Тогда из последнего уравнения системы (1.2) переменная хг однозначно выражается через ti,..., tn-r: xr = xr(t\,... ,tn-r) = -j-(K — o!r arr — ... - a'rntn-r). Подставляя это значение хг в предпоследнее уравнение системы (1.2), получим выражение, однозначно задающее хг-\ через £i,..., tn-r: 57
Продолжая подставлять полученные значения xr,a:r_i,... в уравнения системы (1.2), получим выражения, однозначно задающие #i,£2,- • ->хг через £i,..., tn-r. Таким образом, каждому фиксированному набору значений свободных переменных xr+i = £i,...,xn = tn-r соответствует единственное решение системы (1.2) и системы (1.1): Х = h t2 (1.3) Общим решением системы (1.1) называется множество всех ее решений, записанных в виде формулы (1.3), выражающей произвольное решение системы в виде функций от п — r свободных переменных. 2.1.1. 58 Исследовать систему линейных уравнений; если она совместна, то найти ее общее и одно частное решение: = 7. О Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований: 1 -1 2 1 -1\ /1 -1 -1\ 7 ) II - 2 • I ~ \0 3 9 ) ' Ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы си- (А) значит, система совместна. Количество неизвестных также : п = г(А)=г(А\В) = 2, значит, система определенна, т.е. имеет единственное решение. Запишем систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице: Из второго уравнения х2 = 3; подставляя это значение в первое уравнение, получим х\ = 2.
2.1.2. Итак, общее решение (оно же единственное частное): (2; 3). Ответ, система совместна и определенна; общее решение (2; 3); частное решение (2;3). • Исследовать систему линейных уравнений; если она совместна, то найти ее общее и одно частное решение: хг х2 - х3 = -4, - Зх3 = О, -2х3 = 16. Q Приведем к ступенчатому виду расширенную матрицу системы: II-I III + 2 • I Так как г(А) = г(А\В) = 2 < 3 = п, то система совместна и неопределенна (т. е имеет бесконечно много решений). Количество главных переменных равно г (А) = 2, количество свободных переменных равно п — г (А) =3 — 2 = 1. Выберем какой-нибудь не равный нулю минор 2-го порядка получен- Л ной матрицы А, например, минор О 1 . Его столбцы — 1-й и 2-й столбцы матрицы А — соответствуют переменным х\ и Х2 — это будут главные переменные, а хз — свободная переменная. Запишем систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице: {Х\ + Х2 — Хз = —4, х2 - 2х3 = 4. Теперь для наглядности запишем эту систему в другом виде (слева остаются только главные переменные): I xi ■+■ Х2 = Хз — 4, Подставляя выражение для Х2 в первое уравнение, получим xi = —хз — 8. Обозначая свободную переменную хз через t, получим общее решение системы: (—t — 8;2t + 4;*). Частное решение системы получим, например, при t — 0: (—8;4;0). 59
2.1.3. Ответ, система совместна и неопределенна; общее решение (—t — 8; 2t + 4; t); частное решение (—8; 4; 0). • Исследовать систему линейных уравнений; если она совместна, то найти ее общее и одно частное решение: 6Xi — 3X2 — ЗХз — X4 = —9, —7xi + X2 + X3 — 2x4 = 8, k -3xi + 9x2 + 9x3 + 10x4 = 12. О Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду: 12 2 3 б -3 -3 -1 -7 1 1-2 ,-3 9 9 10 1 -9 I II - 6 • I 8 III + 7 • I 12 / IV + 3 • I 0 -15 -15 -19 0 15 15 19 15 15 19 2 2 3 0 -15 -15 -19 0 0 0 0 0 0 -15 I П(-1) 0 о /[Г'"2! 2 3 [0_15! 15 19 б o"J о о ко о о о о Так как г(А) = г(А\В) = 2 < 4 = п, то система совместна и неопределенна. Количество главных переменных равно г(А) = 2, количество свободных переменных равно п—г (А) =4-2 = 2. Выберем какой-нибудь не равный нулю минор 2-го порядка полученной 1 2 матрицы А, например, минор О 15 Его столбцы (1-й и 2-й столбцы матрицы А) соответствуют переменным хх и Х2 — это будут главные переменные, а хз и Х4 — свободные переменные. Заметим, что в качестве главных переменных в данном примере нельзя выбрать пару хг и хз, так как любой соответствующий им минор равен нулю: 2 15 2 15 = 0, = 0, 60
2.1.4. 15 О 15 О = 0. Запишем систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице: {х\ + 2х2 + 2хз -Ь 3x4 = 1, 15х2 + 15х3 + 19х4 = 15. Теперь запишем эту систему в другом виде (слева остаются только главные переменные): {xi + 2х2 = 1 — 2хз — 3x4, 15х2 = 15- 15х3 - 19х4. Из второго уравнения выразим х2, через хз и Х4: х2 = 1 - хз — — Щх±. Подставляя выражение для х2 в первое уравнение, получим х\ = —1 — ykX4- Обозначим свободные переменные: хз через *i, X4 через 15*2. Запишем общее решение системы: (—1 — 7*2; 1 — t\ — 19*2; *i; 15*2). Частное решение системы получим, например, при t\ = 1, £2 = 0: (—1;0; 1;0). Ответ, система совместна и неопределенна; общее решение (—1 — 7*251 —*i - 19*2;*i; 15*2); частное решение (—1;0; 1;0). • Исследовать систему линейных уравнений Х\ + х2 — Хз = —4, xi + 2х2 - Зх3 = 0, -2xi - 2х3 = 3. О Приведем к ступенчатому виду расширенную матрицу системы: II-I 111 + 2-1 Так как г(А) = 2^3 = г(А\В), то система несовместна (не имеет решений). В самом деле, последней строке полученной расширенной матрицы соответствует уравнение 0 • xi + 0 • х2 + 0 • хз = —13, не имеющее решений. Ответ, система несовместна. • 61
Исследовать системы линейных уравнений для совместных систем найти общее и одно частное решения: 2.1.5. 2.1.7. 2.1.9. 2.1.11. 2.1.13. +x2 =3, -х2 = -1. -х2 = 1, i - 2х2 = 2. + х2 +х3 = 3, 2xi — Х2 Н- хз = 2, +4x2 + 2х3 = 5. rxi +Х2 — хз = О, 8xi + Зх2 - бхз = О, [ 4xi - Х2 + Зхз = О. 2х - Зу = -2, х + 2j/ = 2,5, -2х - 4у = -5, 2.1.15. 2.1.16. 2.1.17. 2.1.18. 62 2.1.6. 2.1.8. 2.1.10. 2.1.12. 2.1.14. 2xi - Х2 + Зхз - 5x4 = 1, Xi — Х2 — 5хз = 2, 3xi - 2х2 - 2х3 - 5х4 = 3, 7xi - 5х2 - 9х3 + Юх4 = 8. Xi + 2X2 + ЗХз — Х4 = 8, 2xi - Х2 — 4хз + 3x4 = 1, 4xi - 7х2 - 18х3 + 11х4 = -13, 3Xi + Х2 — Хз + 2X4 = 9. 2xi - х2 + х3 + 2х4 + Зх5 = 2, 6xi - Зх2 + 2х3 + 4х4 + 5х5 = 3, 6xi - Зх2 + 4х3 + 8х4 + 13х5 = 9, 4xi - 2х2 + хз + Х4 + 2х5 = 4. 8xi + 6х2 + 5х3 + 2х4 = 21, 3xi + Зх2 + 2х3 + х4 = 10, 4xi + 2х2 х4 = 8, 5х2 + х3 + х4 = 15, 4х2 + 5х3 + 2х4 = 18. +x2 =3, i +2х2 = 0. +x2 +х3 =3, i +2х2+2х3 =6. Зх - у + 2z = 2, 4х - Зу + 3z = 3, х + Зу = О, 5х + 3z = 3.
{xi - 2x2 + x3 - x4 + Зх5 = 2, 2xi - 4x2 + 3x3 - 2x4 + 6x5 = 5, 3xi - 6x2 + 4x3 - 3x4 + 9x5 = 7. {9xi - 3x2 -f 5хз + 6x4 = 4, 6x1 - 2x2 + 3x3 + 4x4 = 5, 3xi - x2 + 3x3 + 14x4 = -8. 2.1.21. Исследовать систему из п линейных уравнений, найти общее и одно частное решение. \ + х2 + ... + хп = п - 2, х\ + яз + • • • + Хп = га - 3, Х\ + Х2 + . . . + Xn_i = П — 3. О Приведем к ступенчатому виду расширенную матрицу системы: п 1 1 1 0 1 1 1 О 1 1 1 ... О п - 3/ (п) -1 п-2\ п-3 п-3 II-I III-I Л 1 1 0-10 0 0-1 р о о о о п-2\ -1 -1 -1 -] II-(-1) Ш-(-I) „ Л 1 1 0 1 О О 0 1 \о о о п-2\ 1 1 I - II - III - ... - (п) (п-1) раз (1 0 0 0 1 0 . 0 0 0 1 0 ... 0 ... 0 ... 0 ... 1 п 1 1 1 63
Запишем систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице: = -1, = 1, = 1, хп = 1. Очевидно, эта система совместна и определенна, единственное решение (—1; 1; 1;...; 1). Ответ, система совместна и определенна; общее решение (оно же частное решение) (—1,1,1,..., 1). • Исследовать систему из п линейных уравнений, найти общее и одно частное решение: 2.1.22. < ... + 2хп = 2п, 2.1.23. ПХ\ + ПХ2 + . • . + ПХп = П2. Х\ + Х2 + . . • + Хп = 71, 2xi + 2х2 + • • • + 2хп = 2п, 2.1.24. i (п - l)xi + (п - 1)х2 + ... + (п + 1)хп = (п- 1)п, ПХ1 + 71X2 + • • • + 7lXn = 0. Xi + Х2 + Хз + Х4 + • • • + #п-1 + Хп = 71, Х4 + . . . + Xn_i + Хп = П - 2, . + Хп = 2, Х4 #2 Xn_i 2.1.25. < 64 xi + 2х2 + Зхз + 4х4 + • • • + (п - 1)#п-1 + пхп = п, -xi + Зхз + 4х4 + • • • + (п - l)xn_i + пхп = -п, -Xi - 2Х2 + 4X4 + • • • + (П - 1)ХП_1 + 71ХП = -П, —Xi — 2X2 — ЗХз — 4X4 - ... — (71 — 2)хп_2 + 7lXn = -71, —Х\ — 2X2 — ЗХз - 4X4 — ... - (71 — 1)ХП_1 = —71.
2.1.26. Исследовать систему линейных уравнений в зависимости от параметра А. В случае, когда система совместна, найти общее и одно частное решение: [4xi - 2х2 = А. О Приведем к ступенчатому виду расширенную матрицу системы: 2 -1 -2 Запишем полученную матрицу системы А (2 -1 8 \ II - 2 • I ~ V0 О А - 16/ ' =(2 -1 \0 О ее ранг г (А) равен 1. а) При А ф 16 получим расширенную матрицу системы <2 -1 (А\В) /о _1 Q \ = ( n n > 1 fi I, ее ранг г(А\В) равен 2. Таким образом, г (А) — \ф2 — г(А\В), система несовместна. б) При А = 16 получим расширенную матрицу системы (А\В) = о о , ее ранг г(А\В) равен 1. Значит, г (А) = = г(А\В) = 1 < 2 = п, система совместна и неопределенна. Полученной расширенной матрице системы соответствует уравнение 2х\ — х^ — 8. В качестве главной переменной можно взять, например, х^ = 2х\ — 8. Обозначая свободную переменную х\ через t, получим общее решение системы: (£; 2t — 8). Частное решение системы получим, например, при t = 0: (0; —8). Ответ. При А ф 16 система несовместна; при А = 16 система совместна и неопределенна, общее решение (t\2t — 8), частное решение (0; -8). • Исследовать системы линейных уравнений, зависящих от параметра А. Для совместных систем найти общее и одно частное решение: 2.1.27. 2.1.29. 2.1.31. 5 - 2361 + Х2 = А. - х2 + 2х3 = 5, -2x2 +4х3 = 10. 2.1.28. 2.1.30. f 2xi + Ах2 = 6, [Axi +8x2 = 12. xi +4х2 + 2х3 = -1, 2xi + Зх2 - хз = 3, xi - х2 - Зх3 = 4, Xi — 6х2 — Ахз = 9. +х2+хз = 1, + (1 + А)х2 + хз = А, +х2 + (1 + А)х3 = А2. 65
Дополнительные задачи Исследовать системы линейных уравнений, для совместных систем найти общее и одно частное решение: 2.1.32. 2.1.34. {xi - х2 = 1, 2xi - 2х2 = 5. 2.1.36. Зх - у = -5, 2х + Зу = 4, ж + 32/- з' х + 1,52/= 2. 2.1.38. 2.1.40. ^ Зх + у - bz = 0, х-2у- * = 0, 2x + 3y-4z = 0, х + б?/ - Зз = 0. 2.1.42. 2.1.43. 10xi - -2xi + 2.1.33. 2.1.35. {Зх + 2у= 5, 6х + 4у = 10. х-у/гу= 1, у *J X ~~ *^У — у J. зх+ у~ з • 2.1.37. 2.1.39. 2.1.41. ^ 1, Х3 = -^ 2х- у- z = 0, 3xi + 2x2 + x3 = 5, 2xi + 3x2 + x3 = 1, 2xi + x2+3x3 = 11, 3xi + 4x2 — xs = -5. 2.1.44. 66 I 3xi + 4х2 + х3 + 2х4 = 3, :i + 8x2 + 2хз + 5x4 = 7, [9xi + 12х2 + Зхз + Юх4 = 13. 2Xi + Х2 + 3X4 = 4, Х\ + Х2 — 2хз = 0, 3xi + Х3 — Х4 = 2, Х\ + Х2 + 4хз - 3X4 = -3.
2.1.45. 2.1.46. 45xi - 28х2 + 34х3 - 52х4 = 9, 36xi - 23х2 + 29х3 - 43х4 = 3, 35xi - 21х2 + 28х3 - 45х4 = 16, 47xi - 32х2 -I- Збхз - 48х4 = -17, 27xi - 19х2 + 22х3 - 35х4 = 6. 6xi + 4х2 + 5х3 + 2х4 + Зх5 = 1, 3xi + 2х2 + 4х3 + х4 + 2х5 = 3, 3xi + 2х2 - 2х3 + хА = -7, k9xi+6x2+ x3+3x4 + 2x5= 2. 2.1.47. - 2х4 + Зх5 = 1, 2xi + 2х2 + 4х3 - ж4 + Зх5 = 2, 3xi + Зх2 + 5х3 - 2х4 + Зх5 = 1, 2xi + 2х2 + 8х3 - Зх4 + 9х5 = 2. Системы 2.1.48-2.1.50 содержат по п уравнений. 2.1.48. + 2х2 + i + 4х2 + + • • • + ПХп = 1, ... + 2пхп = 2, + 2ПХ2 + + . • . + П2Хп = П. 2.1.49. 2.1.50. хг - х2 + х3 - х4 + ... + (-l)"-1^ = 1, 2xi - 2х2 + 2х3 - 2х4 + • • • + 2 • (-\)n-lxn = 2, (п - l)xi - (п - 1)х2 + ... + (п - 1) • (-1)""^ ПХ1 — ПХ2 + ПХз — ПХ4 + • • • + П • (-1)П~1ХП = 0. Xi + Х2 + + Xn-i = Х1+Х2 + +Хп-2 +Хп= 3 -fXn_i+Xn= = п - 1, 1, 2, 3, Х\ + Х3 + + Хп — П х\ + х2 + х3 + 4- хп — 2.1.51. Xi- Х2 - xi + 2х2 - х3 — Х2 + 2Хз — Х4 — Х„_2 + 2х„_1 — Хп = - xn-i+2xn= 0. 1, -1, о, О, 67
2.1.52. + x2 4- 3x2 + 3^3 + 2X4 x3 -f 3x4 + 2x5 = 0, = 4, = 6, = 6, хп_з 4- 3xn_2 4- 2xn_i = 6, xn_24-3xn_i-h2xn = 8, xn_i + 3xn = 7. Исследовать системы линейных уравнений, зависящих от параметра А. Для совместных систем найти общее и одно частное решение: 2.1.53. 2.1.55. 2.1.57. ci 4- х2 = 2. Cl - 4х2 = 2, - Ах2 = 1. zi 4- х2 + х3 = 3, L 4- Ах2 4- х3 = 3, I Xi 4- Х2 4- Ахз = 3. 2.1.54. 2.1.56. 2.1.58. f Axi - 4х2 = 2, 1 Xi - АХ2 = —1. {xi 4- 2х2 4- Зхз = б, 2xi 4- 5x2 - Зхз = А. i 4- х2 4- х3 -I- х4 = 4, 4- Ах2 4- х3 4- х4 = 4, 4- х2 4- Ах3 + х4 = 4, + Х2 + Хз + АХ4 = 4. Контрольные вопросы и более сложные задачи Ответы к задачам 2.1.59- 2.1.68, 2.1.71-2.1.73 проиллюстрируйте примерами. 2.1.59. 2.1.60. 2.1.61. 2.1.62. 2.1.63. 2.1.64. 68 К системе линейных уравнений с п неизвестными дописали произвольное уравнение с п неизвестными. Как при этом изменится множество решений системы? Из несовместной системы линейных уравнений удалили какое- то одно уравнение. Будет ли полученная система совместной? Множества решений двух систем линейных уравнений совпадают. Равны ли расширенные матрицы этих систем? Равны ли ранги этих матриц? Могут ли быть эквивалентными две системы линейных уравнений с одинаковым числом неизвестных, но с разным числом уравнений? Существует ли такая система линейных уравнений, что (1; 2; 3) — ее решение, а (-1; —2; —3) — нет? Если существует, что можно сказать о всех таких системах? Что можно сказать о множестве решений системы линейных уравнений, если ранг г(А) матрицы этой системы и ранг г(А\В) расширенной матрицы равны нулю?
2.1.65. 2.1.66. 2.1.67. 2.1.68. 2.1.69. 2.1.70. 2.1.71. 2.1.72. 2.1.73. 2.1.74. Что можно сказать о множестве решений системы линейных уравнений с матрицей А и расширенной матрицей (А\В), если г(А) > г(А\В)? Может ли частное решение системы линейных уравнений совпадать с ее общим решением? Возможно ли, чтобы система линейных уравнений с матрицей А имела то же множество решений, что и система с матрицей Ат, если: а) А ф 0; в) А ф Ат, система однородная; г) А ф Ат, система не однородная, совместная? Может ли множество решений системы линейных уравнений состоять ровно из одного решения? из двух решений? из 17-ти решений? Решить систему линейных уравнений с четырьмя параметрами а, Ь,с и d: х — у z + t = Доказать, что система п линейных уравнений с п — 1 неизвестными совместна тогда и только тогда, когда равен нулю определитель расширенной матрицы. Как выглядят решения совместной системы линейных уравнений, если все столбцы расширенной матрицы, кроме первого, пропорциональны? Что можно сказать о матрице совместной системы линейных уравнений, если в любом ее решении неизвестное Xk принимает одно и то же значение? Что можно сказать о матрице совместной системы линейных уравнений, если в любом ее решении неизвестное Хк принимает значение 0? Решить систему из 2п линейных уравнений -Х\ — #2 — Хз — . . . — Х2п-2 + %2п = —Х\ — Х2 — Хз — . . . 69
2.1.75. Решить систему уравнений (xix\xl = 2, < х\х\х\ = 4, 2.1.76. Система ау + Ьх = с, сх + az = 6, [bz Л-су = а. имеет единственное решение. Доказать, что abc ^ 0, и решить систему. 2.1.77. Система линейных уравнений записана в матричной форме: АХ = В. Известны два частных решения этой системы Х\ и Х2. Как выглядит система, имеющая одним из решений: а)Х!+Х2; б) AXi (Л — некоторое число)? Исследовать систему уравнений и найти общее решение в зависимости от параметров а, Ь, с, d: { az + fa/ + cz = d, 2.1.79*. §2. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ. ФОРМУЛЫ КРАМЕРА Пусть система из п линейных уравнений с п неизвестными записана в матричной форме: АХ = В, где А = (ау) — матрица коэффициентов системы размера п х п, Ь2 X = \Хп/ — столбец неизвестных, В = \Ъп) — столбец свободных членов. Если D — определитель матрицы А — не равен нулю, то система совместна и определенна, ее решение задается формулой: Х = А~1 В. 70
Другую форму записи этого утверждения дают формулы Крамера: Хк = 15~1 *=1,2,...,п, где Dk — определитель, получающийся из D заменой А:-го столбца на столбец свободных членов. 2.2.1. Решить систему уравнений по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы: {х1-х2 = -1, 2xi + х2 = 7. О а) Решим систему по формулам Крамера. Для этого найдем определитель матрицы системы: D = 1 -1 = 1-1- (-1) -2 = 3. Так как D ф О, то решение системы существует и единственно. Найдем определитель Di, подставляя в определитель D вместо первого столбца ( ~ 1 столбец свободных членов ( 7 ) • -1 -1 7 1 = (-1) -1 - (-1) -7 = 6. Определитель D2 получается из D подстановкой столбца свободных членов ( 7 1 вместо второго столбца ( 1 ) • 1 -1 D2 = = 1 • 7 - (-1) -2 = 9. 2 7 Отсюда получим решение системы уравнений: Xl ~ D ~ 3 ~~ ' Х2 ~ D ~ 3 ~ ' Ответ. (2;3). б) Решим систему с помощью обратной матрицы. Найдем матрицу А , обратную к матрице системы А - G V ме- тодом присоединенной матрицы. Так как det А = 3 ф 0, то матрица А~1 существует, поэтому решение системы существует и единственно. Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы А: = 1, А12 = -2, А21 = -(-1) = 1; А22 = 1. 71
2.2.2. Составим матрицу (А^) из алгебраических дополнений: Запишем матрицу А = Найдем матрицу 1 А'1 - = ( 9 1 1. 1 i - I 3 3 Найдем решение системы уравнений: V-т-©- Ответ. (2;3). Сравните решение примера 2.2.1 способами а) и б) с решением примера 2.1.1. • Решить систему уравнений по формулам Крамера и с помощью {xi + 2ж2 + Зж3 = 6, 4#i + 5#2 + бхз = 9, 7xi + 8х2 = -6. О а) Решим систему по формулам Крамера. Для этого найдем определитель матрицы системы: D = 1 4 7 2 5 8 3 6 0 = 27 (см. пример 1.4.1). Так как D ф 0, то решение системы существует и единственно. Найдем определители D\, D2 и £>3 подставляя столбец свобод- ных членов I 9 I вместо первого, второго и третьего столбцов V-6/ определителя Д соответственно: 6 2 3 9 5 6 -6 8 0 = 6- 5 6 8 0 -2- 9 6 -6 0 + 3- 9 5 -6 8 = 6 • (-48) - 2 • 36 + 3 • (72 + 30) = - 288 - 72 + 306 = -360 + 306 = -54, 72
1 6 3 4 9 6 7-6 0 = I. 9 6 -6 0 -6- 4 6 7 0 + 3- 4 9 7 -6 D2 = = 1 • 36 - 6 • (-42) + 3 • (-24 - 63) = 36 + 252 + 3 • (-87) = = 288 - 261 = 27, 12 6 Д, = = 1- 5 9 8 -6 -2- 7 -6 6' 8 -6 = 1 • (-30 - 72) - 2 • (-24 - 63) + 6 • (32 - 35) = = -102 - 2 • (-87) + 6 • (-3) = -102 + 174 - 18 = 54. Отсюда получим решение системы уравнений: Di -54 D2 27 . -" ~ D ~ 27 ~ "• Ответ. (-2;1;2). б) Решим систему с помощью обратной матрицы. Найдем /1 2 3\ матрицу А х, обратную к матрице системы А = I 4 5 6 I. \7 8 0/ Эта матрица найдена в примере 1.4.1: Найдем решение системы уравнений: 16 9 14 = Х = А~1-В= I ¥ -I 2 9 /(-16 • 6 + 8 • 9 - 1 • (-6))/9\ /(-96 + 72 + 6)/9\ = (14 • 6 - 7 • 9 + 2 • (-6))/9 = (84 - 63 - 12)/9 = \ (-1 • 6 + 2 • 9 - 1 • (-6))/9 ) \ (-6 + 18 + 6)/9 / Итак, х\ = —2, Крамера). = 1, Хз = 2 (как и при решении по формулам 73
1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 1- 5 6 8 9 -2- 4 6 7 9 + 3- 4 5 7 8 2.2.3. Решить систему уравнений по формулам Крамера и с помощью (xi + 2х2 + Зх3 = 6, 4хх + 5х2 + 6х3 = 15, 7xi + 8х2 + 9х3 = 24. О Найдем определитель матрицы системы: D = = 1 • (45 - 48) - 2 • (36 - 42) + 3 • (32 - 35) = = -3 - 2 • (-6) + 3 • (-3) = -3 + 12 - 9 = 0. Так как D = 0, то система не может быть решена ни по формулам Крамера ни с помощью обратной матрицы. При этом система является совместной (например, есть решение (1;1;1)) и неопределенной. Ответ, по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы систему решить нельзя. • Найти решения линейной системы уравнений, используя обратную матрицу и формулы Крамера. Указать те значения параметров (а и Ъ), при которых указанными методами систему решить невозмоэюно: 2.2.4. 2.2.6. 2.2.8. 2.2.10. 2.2.12. 2.2.13. 74 Xi 2xi 2ax Зах -x2 = + X2 = -Щ -Щ 4x + by + 7x- 2xi Xi X! axi Xi Xi f8</ + x2 + 3X2 + x2 + x2 + ax2 + x2 = -4, = -5. = o, = ab. 6z = 8, = 2. - xs = + 2x3 = = + X3 = + Хз = + ax3 = 3, -1, 5. 1, a, a2. 2.2.5. 2.2.7. 2.2.9. 2.2.11. i - 2^ = 11, i - V3x2 = 0. {ax + by = /i, cx + dy = f2. 2xi - 3x2 + x3 = -7, xi + 2x2 - 3x3 = 14, —xi — X2 + 5хз = —18. xi + 2x2 + 3x3 = 3, 2xi + 6x2 + 4x3 = 6, 3xi + 10x2+8x3 = 21. 3xi — 5#2 + 2жз — 4^4 = 0, -3xi + 4х2 - 5х3 + Зх4 = -2, -5xi 4- 7x2 - 7хз + 5x4 = -2, 8xi — 8x2 + 5хз — 6x4 = -5.
2.2.14. 2.2.15. 6zi - 5x2 + 4x3 + 7х4 = 28, 5xi - 8х2 + 5х3 + 8х4 = 36, 9xi - 8х2 + 5х3 + Юх4 = 42, 3xi +2x2 + 2x3-h 2х4 = 2. 2xi + 6х2 + х3 =0, xi + 2х2 - 2х3 + 4х4 = 0, —х\ + 4x2 + 5хз — 4x4 — О, 3xi + х3 + 2х4 = 0. Дополнительные задачи 2.2.16. Найти неизвестные коэффициенты многочлена /(х) = ах2 + +Ьх + с, удовлетворяющего условиям: /(-2) = -8, /(1) = 4, /(2) = -4. 2.2.17. Найти неизвестные коэффициенты функции /(х) = а • 3х+ +Ьх2 + с, удовлетворяющей условиям: /(0) = 2, /(1) = -1, /(2) = 4. Решить системы уравнений по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы: 2.2.18. Jzi-^5, ^2Xi + X2 = 1. 2.2.20. h- У = 2> [2x + ay = l. {x + 2y + 3z = 8, 4x + by + 6z = 19, 7x + 8y = 1. 2.2.24. I 6x + by + 4^ = -2, [9x + 8y + 7z = 3. fax+ by+ z-\, 2.2.26. < x + aby + z = b, x + by + az = 1. 2.2.19. 2.2.21. 2.2.23. 2.2.25. 2.2.27. = 0, - 5x2 = -10. \ax + 3by = 1, [Ьх + Зш/ = 1. i + 2x2 + 3x3 = 4, 2xi + 6x2 + 4x3 = -6, i + 10x2 + 8x3 = -8. 3x- 2x- 2x- 2X! xi 2xi f 2y + z = f 3y + г = f 2/ + 3z = -8, -3, -1. + x2+4x3+ 8x4=0, + 3X2 — 6X3 - x2 + 2x3 + 2x4=0, = 0. 75
2.2.28. 2x2 - Зх3 = -13, 2.2.29. 2.2.30. 2.2.31. k 5xi + бх2 + 7х3 - 2x4 = 19. —х\ + 4x2 + 5хз - 4x4 = —15, xi + 2х2 - 2х3 + 4х4 = 3, 2xi + 6x2 + хз = —6, 3xi + Хз + 2x4 = 11* Найти неизвестные коэффициенты многочлена /(х) = ах3 + +Ьх2 + с, удовлетворяющего условиям: /(-1) = 3, /(1) = 1, /(2) = -15. Найти неизвестные коэффициенты функции /(х) = alog3x+ +Ьх + с, удовлетворяющей условиям: /(1) = 5, /(3) = 8, /(9) = 19. Контрольные вопросы и более сложные задачи Ответы к задачам 2.2.32-2.2.35 проиллюстрируйте примерами. 2.2.32. 2.2.33. 2.2.34. 2.2.35. 2.2.36. 2.2.37. Могут ли различные методы решения системы линейных уравнений (метод Крамера и метод обратной матрицы) дать различные ответы? Возможно ли, чтобы система линейных уравнений имела решение с помощью метода Гаусса, но не имела решения по формулам Крамера? Совместная система п линейных уравнений с п неизвестными записана в матричной форме: АХ = В. Будут ли решениями системы оба набора из п чисел: А~1В и ВТА~г? В системе п линейных уравнений с п неизвестными поменяли местами два уравнения. Изменятся ли формы записи решения с помощью обратной матрицы и по формулам Крамера? Изменится ли общее решение? Доказать, что формулы Крамера являются другой формой записи решения X = А~1В системы линейных уравнений АХ = В. Решить систему линейных уравнений: Х2 + ... + Хп= 1, = Ь, 1 Х\ + Qjn X2 + . . . + 0>П Хп ^ и (все числа ai, a2,..., ап различны). 76
2.2.38. Пусть (#!,...,хп) и (2/i,...,2/n) — единственные решения систем линейных уравнений: annzn = bn. {dniyi + ... + annyn = cn. Доказать, что ci#i + ... + cnxn = b\y\ + ... + &n2/n- Записать это число в виде определителя. §3. ОДНОРОДНЫЕ И НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Пусть дана однородная система линейных уравнений: n = 0, (3.1) атпхп = О, или в матричной форме АХ — 0. Однородная система всегда совместна, так как существует тривиальное решение х\ — Х2 — •.. = хп = 0. Однородная система неопределенна тогда и только тогда, когда г (А) < п. Положим г = г(А). Пусть общее решение системы (3.1) записано в X = i,..., tn—r) \ tn-r ) где xi,..., xr — главные переменные, t\,..., tn-r — значения свободных переменных xr+i,..., хп. Выберем п — г решений системы (3.1), полученных из общего решения следующим образом: одно из значений свободных переменных полагается равным 1, а остальные — равными 0: 1 о о ) ,Х2 = о 1 \ о ) о о 77
Эти решения образуют нормальную фундаментальную систему решений однородной системы (3.1). Они обладают следующим свойством: Любое решение X системы (3.1) может быть единственным образом представлено в виде: X = aiXi + ... + an-rXn-r, где ct\,..., an-r — некоторые числа. ^ Любой набор из п — г решений системы (3.1), обладающих указанным свойством, называется фундаментальной системой решений системы (3.1). Набор из п — г произвольных решений системы (3.1) — образует фундаментальную систему решений тогда и только тогда, ко- гда матрица, составленная из их компонентов I • •. : | имеет U ранг п — г. Пусть дана некоторая неоднородная система линейных уравнений АХ = Б, (3.2) а АХ — 0 (система (3.1)) — соответствующая ей однородная система. Общее решение системы (3.2) может быть представлено в виде суммы общего решения системы (3.1) и какого-то одного (частного) решения системы (3.2). 2.3.1. Найти общее решение и фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений: Х\ — 2x2 — О? = о. О Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований: /1 -2 0\ (I -2 0\ \2 3 0J II - 2 • I ~ V0 7 0J ' Так как столбец свободных членов при всех элементарных преобразованиях не изменяется, его можно не писать и ограничиться матрицей системы А: [1 -2\ (1 -2\ \2 3 ) II - 2 • I ~ \0 7 ) " 78
Однородная система совместна всегда, т.е. ранг г(А) матрицы А однородной системы всегда равен рангу г(А\В) расширенной матрицы (А\В), в данном примере г (А) = г(А\В) = 2. Количество переменных п также равно 2: п = г(А) = г(А\В) = 2, значит, система определенна, т. е. имеет единственное (очевидно, тривиальное — нулевое) решение. Подробнее, запишем систему, соответствующую полученной матрице: ( Из второго уравнения получим х2 = 0. Подставляя это значение в первое уравнение, получим х\ = 0. Ответ, общее решение (0;0). • 2.3.2. Найти общее решение и фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений: {xi - х2 + хз — 0, 2xi + Х2 - хз = 0. О Запишем матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований: /!1 -1! 1 3 Т8*КаК ГМ) = ,(А|В)=2<3 = „, то система неопределенна, Количество главных переменных равно г (А) = 2, количество свободных переменных равно п — г (А) =3 — 2 = 1. Для определения главных переменных выберем какой-нибудь не равный нулю минор второго порядка 1 -1 у р рр /l-i 1 \ (I -1 1 \ \2 1 —iy II — 2 -1 ~ \0 3 -ЗуП: полученной матрицы А, например, минор Его столб- 0 1 цы — 1-й и 2-й столбцы матрицы А — соответствует переменным х\ и Х2 — это будут главные переменные, ажз — свободная переменная. Заметим, что в качестве главных переменных в данном примере нельзя выбрать пару х2 иа;з, так как соот- -1 1 п ветствующий им минор равен нулю: = 0. Запишем систему, соответствующую полученной матрице: {xi - х2 + х3 = 0, х2 - х3 = 0. Из второго уравнения, выражая х2 через хз, получим х2 = хз; подставляя это выражение в первое уравнение, получим х\ = 0. 79
Обозначив свободную переменную через £, получим общее решение системы: (0; t; t) = t • (0; 1; 1). Фундаментальную систему решений образует, например, решение {(0; 1; 1)}. Ответ, общее решение системы (0;£;£); фундаментальная система решений (0; 1; 1). • 2.3.3. Найти общее решение и фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений: (см. задачу 2.1.3) Xi + 2x2 + 2хз + 3x4 — 0, 6xi — 3x2 — Зхз — Х4 = 0, I Xi + Х*2, + Хз — £1X4 ~~ U, к -3xi + 9х2 + 9х3 + Юх4 = 0. Приведем матрицу системы к ступенчатому виду: (см. 2.1.3) г(А) = г(А\В) = 2 < 4 = п, то система неопределенна. В качестве главных переменных можно выбрать xi и Х2, соответствующие столбцам ненулевого 1 2 /1 6 -7 V-з Так как 2 -3 1 9 2 -3 1 9 3 -1 -2 10 1о 0 0 2! is: 0 0 2 15 0 0 3 19 0 0 минора второго порядка: 0 15 ; в качестве свободных переменных — хз и Х4. Запишем систему, соответствующую полученной матрице: fxi +2х2 + 2х3 + 3х4 =0, |15х2 +15х3+ 19х4 = 0. Из второго уравнения, выражая Х2 через хз и Х4, получим Х2 = — Хз — т^Х4- Подставляя это выражение в первое уравнение, получим xi = — у^Х4- Обозначая свободные переменные — хз через t\, X4 через 15^2 запишем общее решение системы: (-7t2; -*i - 19t2; h; 15*2) = h(0; -1; 1; 0) + *2(-7; -19; 0; 15). Фундаментальную систему решений образует, например, пара решений (0; -1; 1; 0) и (-7; -19; 0; 15). Ответ. Общее решение системы (—7^; —t\ —19^; h; Ш2); Фундаментальная система решений {(0; —1; 1; 0), (—7; -19; 0; 15)}. 80
Найти общее решение и фундаментальную систему решений для однородной системы линейных алгебраических уравнений: 2.3.4. 2.3.6. 2.3.8. 2.3.10. 2.3.12. 2.3.14. 2.3.16. 2.3.17. 2.3.18. 6 - 2361 [ xi 4 х2 = О, [xi -x2=0. \2х-Зу = 0, [4х -6у = 0. Зх2 — V 3 х\ — \/2хг 4 y/Qx2 =0, 2хх - л/12х2 = 0. f «1 + I ~X\ — Х2 ~ #3 = О, х2 4х3 = 0. 2.3.5. 2.3.7. 2.3.9. 2.3.11. х\ - х3 = О, Х2 - Х4 = О, -xi 4- х3 - х5 = О, —Х2 + Х4 — Хб = О, -х3 4 х5 = О, -х4 4хб = 0. 2xi - х2 + х3 = О, 4xi - 2х2 + 2х3 = О, 6xi - Зх2 + Зхз = 0. 2.3.13. 2.3.15. xi 4 2x2 4 4x3 - 3x4 = 0, 3xi 4 5x2 4 6x3 - 4x4 = 0, 4xi 4 5x2 — 2хз 4- ЗХ4 = 0, 3xi 4 8x2 4 24x3 - 19x4 = 0. Xi — x2 - 2хз 4 ЗХ4 = 0, xi 4 2x2 - 4x4 = 0, 2xi 4 x2 4 2хз - X4 = 0, xi - 4x2 4 X3 4 IOX4 = 0. 3xi 4 4x2 4 x3 4 2x4 4 3x5 = 0, 5xi 4 7x2 4 x3 4 3x4 4 4x5 = 0, 4xi 4 5x2 4 2хз 4 X4 4 5x5 = 0, 7xi 4 10x2 4 x3 4 6x4 4 5x5 = 0. [ xi 4 х2 = О, [-xi -х2 =0. fxi 4x2 -х3 =0, [xi - х2 4х3 = 0. 2xi - х2 = О, V8xi 4 л/2х2 =0, 4xi - 2х2 = 0. i 4 2х2 4 Зх3 = О, 4xi + 5х2 4 бхз = О, 7xi 4 8х24 9х3 = 0. xi - 2х2 4 Зхз = О, -xi 4 2х2 - Зхз = О, 2х! - 4х2 + 6х3 = О, -3xi 4 6х2 - 9х3 = 0. xi 4 2х2 4 Зх3 = О, 4xi + 5х2 4- бхз = О, L7xi 4 8x24l0x3 =0. 81
Найти общее решение и фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений в зависимости от параметра А; { + х2 - Зх3 = О, f8xi + х2 + 4х3 = О, xi - 2х2 - х3 = О, 2.3.20. < Axi - х2 + х3 = О, ~ 2Ах3 = 0. [a2xi + Зх2 4- 2х3 = 0. В задачах 2.3.21-2.3.25 вектором р будем называть упорядоченный конечный набор чисел р = (р\]р2', • • • \Pn)i в этом случае числаpi,p2,... ,рп будем называть компонентами вектора р (подробнее — см. Главу 3). Даны: 1) неоднородная система уравнений; 2) набор из трех векторов а\, а2, аз; 3) несколько систем векторов — В{. Требуется: а) Проверить, какие из трех векторов — й\, а2, а~з — являются решениями данной неоднородной системы уравнений. б) Выбрать те системы векторов В{, которые образуют фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы уравнений. в) Используя ответы к пунктам а) и б), записать общие решения данной неоднородной системы и соответствующей ей однородной системы уравнений. 2.3.21. /*i-*2+*s = 2, |2xi -2x2+ 2х3 = 4. ах = (1; -2; 3), а2 = (1; 0; 1), а3 = (5; 2; -1); Вг = {(-4; -2; 2), (2; 1; -1)}, В2 = {(2; 1; -1), (1; 1; 0)}. О а) Подставляя в систему уравнений компоненты вектора а~\ = (1; — 2;3), получим два неверных равенства: Значит, набор значений (1; —2; 3) не является решением данной системы. Теперь убедимся, что компоненты вектора а~2 = (1;0; 1) дают решение системы: (1 + 0 + 1 = 2, [2.1 + 20 + 21=4. Аналогично, компоненты вектора аз = (5; 2;— 1) также представляют собой решение данной неоднородной системы уравнений (проверьте самостоятельно!). 82
б) Сначала выясним, из скольких решений состоит фундаментальная система решений однородной системы уравнений, соответствующей заданной неоднородной системе: ixi -х2+хг =0, =0. Найдем ранг матрицы А этой системы, для чего приведем ее к ступенчатому виду: /1 -1 1\ А -1 1\ \2 -2 2) II - 2 • I ~ \0 0 Оу * Значит, г (А) = 1, и п — г (А) —3 — 1 = 2, откуда следует, что любая фундаментальная система состоит из двух решений. Нетрудно увидеть, что решениями указанной однородной системы уравнений являются все четыре вектора из систем В\ и В2 (проверьте самостоятельно!). Два решения указанной однородной системы будут образовывать ее фундаментальную систему решений тогда и только тогда, когда они линейно независимы, т.е. матрица, составленная из их компонент, имеет ранг 2. Составим матрицу из компонент векторов системы В\ и приведем ее к ступенчатому виду: -4 - 2 2 \ [-4 -2 2\ 1 —iy 2 II + I ~ \0 0 0у* Ранг этой матрицы равен 1, значит система В\ не является фундаментальной системой решений однородной системы уравнений. Исследуем систему векторов В2 • Составим матрицу из компонентов векторов из Въ и приведем ее к ступенчатому виду: (2 1 -1\ (2 1 -1\ \1 1 0 ) 2 • II - I ~ \0 1 1 ) ' Ранг этой матрицы равен 2, значит векторы из Б2 линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений однородной системы уравнений. в) Общее решение однородной системы может быть записано в виде линейной комбинации векторов Ь\ = (2; 1; —1) и 62 = (1; 1;0), т.е. суммы вида ii • 5i + *2 ■ 5а = ii ■ (2; 1; -1) + t2 • (1; 1; 0) = = (2*i;*i;-*i) + (*2;*2;0) = (2*i +*2;*i +*2;-*i), где £i и *2 — произвольные действительные числа. 83
Общее решение неоднородной системы уравнений может быть записано в виде суммы одного (частного) решения этой системы и общего решения соответствующей однородной системы уравнений. Так как и вектор а2 и вектор аз являются решениями неоднородной системы, то ее общее решение мы можем записать двумя способами: а2 + hh + t2b2 = (1; 0; 1) + (2*i + *2; *i + *2; -*i) = или аз + hbi +t2b2 = (5;2;-1) +(2ti + *2;*i + *2;-*i) = = (5 + 2ti + *2; 2 + *i + *2; -1 - *i). Ответ, a) a2 и аз; б) B2\ в) общее решение однородной системы (2*i -f *2; *i + *25 ~*i); общее решение неоднородной системы (l + 2*i+*2;*i+*2;l-*i) или (5 + 2*i+*2;2 + *i+*2;-l-*i). • 2.3.22. fa+**=*> [-2xi -4x2 = -8. Si = (0;2), а2 = (-2;3), а3 = (2;-1); В, = {(2; 1), (2; -1)}, В2 = {(2; -1)}, В3 = {(2; 1)}. (2x1 + х2 - 4хз = 0, 3xi + 5х2 - 7х3 = 8, 4xi — 5x2 — бхз = 1. Si = (-3; 2; -1), а2 = (0; 0; 0), а3 = (1; 2; 1); Вг = {(0; 0; 0)}, В2 = {(1; 2; 1)}, В3 = {(13; 2; 7)}. {-xi -x2 -hx3 = -1, Xi+X2-X3 = 1, xi + 2х2 - 2х3 = 2. = (1;1;1),52 = (0;0;1),5з = (0;1;0); = {(1; 1; 2), (0; 1; 1), (2; -1; 0)}, S2 = {(1; 0; 1), (0; 1; 1)}, (i - х2 - Зх3 + 2х4 = -1, 8xi - 5х2 - бхз + Зх4 = 2, 12xi - 7х2 - 9х3 + 5х4 = 3. Si = (-1; -2; 1; 2), а2 = (2; -2; 5; 2), а3 = (-4; -2; -3; 2); Вг = {(3; 0; 4; 0), (1; -2; 4; -3)}, В2 = {(-1; -1; -1; 3)}, 84
Дополнительные задачи Найти общее решение и фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений: 2.3.26. 2.3.28. 2.3.30. 2.3.32. 2.3.34. 2.3.36. 2.3.37. 2.3.38. 2.3.39. 2х2 =0. f [4x |4x 1 I 1 [3x f a u Xi s2 <Xi #2 Xi -3?/ = - y- i + 2x2 i + 5x2 1+4X2 ?i - 2x2 51 + 2X2 51 - 4X2 -x3 + — X4 + — X2 + — X3 + - X4 + 0. 2z + + + + - + x5 хь Хб Xb = 0. X3 = Зхз = Зхз = Зхз = 6х3 = = 0, = о, -х6 = 0, = 0. о, о, 0. = 0, = 0, = 0. = 0, 2.3.27. 2.3.29. 2.3.31. 2.3.33. 2.3.35. ^1 + Х2 — Хз + 2X4 = О, Xi + ЗХ2 ~ ЗХ3 + 4Х4 = О, 3xi + 2х2 + хз =0, Xi + 3X2 - 5X4 = 0. 2xi — 4x2 + 5хз + 3x4 = О, 3xi - 6х2 + 4х3 + 2х4 = О, 4xi - 8х2 + 17х3 + Пх4 = 0. 5xi + 6х2 - 2х3 + 7х4 + 4х5 = О, 2xi + Зх2 - х3 + 4х4 + 2х5 = О, 5xi + 9x2 — Зхз + Х4 + 6x5 = О, 7xi + 9х2 - Зхз + 5х4 + 6х5 = 0. [л/Зх- 32/= 0. Xi + 2x2 = 0, у/Зхг -\/12х2 =0, 2xi + 4х2 = 0. [2х- у- z = 0, i - 2х2 - Зх3 = О, 2xi + Зх2 + хз = О, 5xi -3x2 -8х3 =0. 2xi + Х2 — хз = О, Xi - 2X2 + Хз = О, xi + Зх2 - 2х3 = О, xi + 8x2 - 5хз = 0. 85
Найти общее решение и фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений в зависимости от параметра: 2.3.40. 4^-^ + 7*3=0, 2.3.41. 5x1+6x2-4*3- х4=0, i + ах2 + 2х3 = 0. 3x1+5x2 —Лхз =0. Контрольные вопросы и более сложные задачи Ответы к задачам 2.3.42-2.3.56 проиллюстрируйте примерами. 2.3.42. Может ли количество решений, составляющих фундаментальную систему решений, быть больше числа неизвестных? меньше? равно? 2.3.43. Может ли частное решение однородной (неоднородной) системы линейных уравнений быть ее общим решением? 2.3.44. Может ли однородная система линейных уравнений иметь ровно одно решение? ровно два? ровно 17? 2.3.45. Фундаментальные системы решений двух однородных систем линейных уравнений совпадают. Равны ли матрицы однородных систем? Равны ли ранги этих матриц? 2.3.46. У двух неоднородных систем линейных уравнений есть общее частное решение и у соответствующих им однородных систем совпадают фундаментальные системы решений. Равны ли расширенные матрицы неоднородных систем? Совпадают ли их общие решения? 2.3.47. Следует ли, что система линейных уравнений является однородной, из того, что сумма любых двух решений системы также является ее решением? 2.3.48. Верно ли, что сумма (разность) двух любых решений системы линейных уравнений также является ее решением, если система: а) однородна; б) неоднородна? 2.3.49. Может ли у неоднородной системы линейных уравнений быть фундаментальная система решений? 2.3.50. Может ли у однородной системы линейных уравнений не быть фундаментальной системы решений? 2.3.51. Верно ли, что произведение решения системы линейных уравнений на любое число также является ее решением, если система: а) однородна; б) неоднородна? 86
2.3.52. 2.3.53. 2.3.54. 2.3.55. 2.3.56. 2.3.57. Могут ли совпадать множества решений у двух различных систем линейных уравнений — однородной и неоднородной? Система линейных уравнений (I) однородна, система (II) неоднородна. Общее решение системы (II) может быть представлено в виде суммы частного решения системы (II) и общего решения системы (I). Совпадают ли матрицы систем (I) и (II)? Совпадают ли ранги этих матриц? Что можно сказать о множестве решений однородной системы линейных уравнений, если оно не изменяется при вычеркивании одного любого из уравнений системы? Пусть даны две однородные системы линейных уравнений. Что можно сказать о множествах их решений, если при добавлении ко второй системе одного любого из уравнений первой системы множество решений второй системы не изменяется? При каких условиях на числа а\, а2,..., ап для любых решений Xi, Х2,..., Хп неоднородной системы линейных уравнений сумма а\Х\ + а2Х2 + ... + оспХп также будет решением этой системы? При каких условиях в общем решении однородной системы Ьх4 = О, -Xi axi bxi + + cx2 dx2 + СЯ + ea сз + dxA P3 i=0, ^ = 0, = 0 в качестве свободных переменных можно взять хз и Х4? КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант 1 1. Исследовать систему уравнений на совместность и определенность, не решая ее. Указать главные (базисные) и свободные переменные. —2xi + Х2 — Хз + 4x4 — ~2; —х\ 4- Х2 Н- 9x4 = —13; —9xi + 4x2 ~ 5хз + 11x4 — 3; -15xi + 6х2 - 9х3 + 9х4 = 21. 2. Решить систему уравнений методом Гаусса. Указать общее и одно частное решения. Х\ — 2x2 — Хз + 3x4 = 5; Х\ Л- х2 + Хз*4- 2x4 — 13; х\ + 4x2 + Зхз + х4 = 21; х\ + 5x2 + Зхз - 4x4 = 3. 87
3. Решить систему с помощью обратной матрицы и по формулам Kpa-i мера. -3xi + 4х2 + х3 = 17; #2 - #з = 0; Зх2+5х3 = 8; 4. Решить однородную систему уравнений. Указать общее решение и фундаментальную систему решений. Xi + 5x2 — Зхз — 2x4 = 0; -2xi + х3 + 4х4 = 0; xi — 3x2 + 5хз + 2x4 = 0; 5xi - Х2 + бхз - 2x4 = 0. Вариант 2 1. Исследовать систему уравнений на совместность и определенность, не решая ее. Указать главные (базисные) и свободные переменные. 2xi - Х2 + Зхз + 5x4 = —3; -2xi + Зх2 - х4 = 8; 7xi - Зх2 + 2х3 + 4х4 = 0; —xi - 2x2 + 4хз + 7x4 = -14; -2xi - 2х2 + Ихз + 18х4 = -23. 2. Решить систему уравнений методом Гаусса. Указать общее и одно частное решения. 2х2 - х3 + 2х4 = -3; -xi - Зх2 + 2х4 = -3; - 4х3 + х4 = 0; - #2 + Зхз + 3x4 = 6. 3. Решить систему с помощью обратной матрицы и по формулам Крамера. ' + 2х2 - Зхз = -3; -2xi +6х2+9х3 = -11; ^-4xi - Зх2 + 8х3 = -2. 4. Решить однородную систему уравнений. Указать общее решение и фундаментальную систему решений. 2xi + 6х2 - 2х3 - 4х4 = 0; —5xi — 2x2 - хз + 5x4 = 0; -4xi + 14х2 - 8х3 - 2х4 = 0; -xi + 10x2 - 5хз - 3x4 = 0. 88
Вариант 3 1. Исследовать систему уравнений на совместность и определенность, не решая ее. Указать главные (базисные) и свободные переменные. -2хх - 2х4 = 5; + х3 4- 4х4 = 0; —3xi + 2x2 4- 4хз 4- 3x4 = —11; 13xi - 7х3 - 9х4 = 35. 2. Решить систему уравнений методом Гаусса. Указать общее и одно частное решения. '—3xi+2x2+ 5хз-2х4= —1; —4xi 4- 13хз + Х4 = —10; —2xi 4- 3x2 - Зхз - 4x4 = 6; 4 2xi — 4x2 4- Зхз + 5x4 = —8. 3. Решить систему с помощью обратной матрицы и по формулам Крамера. х2 - х3 = 10; —3xi + 3x2 + 2хз = 8; ci +2х2 + 8х3 = -1. 4. Решить однородную систему уравнений. Указать общее решение и фундаментальную систему решений. 3xi + 2x2 + 2хз + Х4 = 0; —3xi 4- Х2 — х3 + 4x4 = 0; 9xi + Зх2 + 5хз - 2x4 = 0; -9xi - 4х3 + 7х4 = 0. Вариант 4 1. Исследовать систему уравнений на совместность и определенность, не решая ее. Указать главные (базисные) и свободные переменные. —2xi 4- Х2 — хз + 3x4 = 3; 2xi 4- 2x2 4- 4хз + Х4 = 5; xi - 2х2 - 4х3 4- Зх4 = -12; -5xi — 5x2 — Юхз + 4x4 = —19; -5xi + 10х2 + 5х3 - 2x4 = 47. 89
2. Решить систему уравнений методом Гаусса. Указать общее и одно частное решения. xi - 2х2 + 2х3 - 4х4 = -2; 5xi + 8х2 - 4х3 + 12х4 = -4; 4#i - 1x2 + 5х3 - 12ж4 = -1; 2^1 + Зх2 - х3 + 4х4 = -3. 3. Решить систему с помощью обратной матрицы и по формулам Крамера. 3 + х2 - хз = Ю; + Зх2 + 2х3 = 8; +2х2 + 8х3 = -1. 4. Решить однородную систему уравнений. Указать общее решение и фундаментальную систему решений. -xi + Зх2 + Зх3 - х4 = 0; 2xi - 2х2 + хг + Зх4 = 0; —5xi + 11x2 4- 8хз — бх4 = 0; 3xi - Х2 + 5хз + 5х4 = 0.
Глава 3. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА § 1. ВЕКТОРЫ. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ^ Вектором называется направленный отрезок. Вектор с началом в точке А и концом в точке В обозначается символом АВ (или одной буквой, а, б, ...). Длина отрезка АВ называется длиной, или модулем вектора АВ и обозначается |АВ|, \а\. Вектор, длина которого равна нулю, называется пулевым вектором и обозначается 0 или просто 0. По определению нулевой вектор не имеет направления и коллинеарен любому вектору. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается через ё. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора а, называется ортом вектора а и обозначается а0. Два ненулевых вектора называются противоположными, если они имеют одинаковую длину и противоположные направления. Вектор, противоположный вектору а, обозначается —а; вектор АВ противоположен вектору В А ^ Векторы а и Ь называются коллинеарными^ если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записывают а \\ Ь. Три (и более) вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. ^ Два коллинеарных вектора а и Ь называются равными (а = Ь), если они сонаправлены и имеют равные длины. Совместим параллельным переносом начала неколлинеарных векторов а и Ъ. Начало и концы векторов образуют вершины треугольника. Углом между векторами а и Ь называется угол при вершине этого треугольника, соответствующий началу векторов. Если векторы сонаправлены, то угол между ними равен нулю; если противоположно направлены — угол между ними равен 180°. ^ Суммой двух векторов а и Ь называется вектор с, соединяющий начало вектора а с концом вектора 6, отложенного от конца вектора а. Обозначение: с = а + Ь. Для геометрического представления суммы векторов используют правила «треугольника» и «параллелограмма», проиллюстрированные на рис. 1 и 2 соответственно. 91
Под разностью векторов а и b понимается вектор с такой, что Ь + с ■ а. Обозначение: с = а — Ъ. Справедливо равенство а — Ь = а + (—Ь). О Рис. 1 а+Ь Рис. 2 ^ Произведением вектора а ф 0 на число А ф О называется вектор, который имеет длину |Л| • |а|, его направление если Л > О и противоположное направление, если Л < 0. Обозначение: Л • а. Отметим, что а = \а\ • а0, т. е. каждый вектор равен произведению его модуля на орт. Два ненулевых вектора а и Ь коллинеарны тогда и только тогда, когда один из них есть произведение другого на некоторое число, т. е. Ь = Л • а, Л — число (признак коллинеарности векторов). Три ненулевых вектора а, Ь, с компланарны тогда и только тогда, когда один из них является линейной комбинацией других, например, с = Ai • а + \2 • b (Ai, Л2 — числа не равные нулю одновременно) (признак компланарности векторов). 3.1.1. В треугольнике ABC дано: АВ = = а, АС = Ь, точка М — середина стороны ВС. Выразить вектор AM через векторы а и Ь. О Через точку М проведем прямые, параллельные сторонам АВ и АС. Получим параллелограмм АВ\МС\ (рис. 3), в котором AM A Ci Ь С Рис. 3 92
является диагональю. Следовательно, AM = АВ\ + АС\. Но АВ\ — ту а, АС\ — \ Ь (В\М иС\М — средние линии, поэтому АВг = ВгВ, Ad = CiC). Получаем AM = ± • а + 1 • b, т.е. Z Z 1.(а + Ь). • 3.1.2. Какому условию должны удовлетворять ненулевые векторы , _ а и 6, чтобы имело место соотношение |а -|- Ц = |а — 6|? ^ У О Построим на векторах а и /^ б, отложенных от точки О, па- /^* раллелограмм OADB (рис. 4). q Тогда OD = a + b, ВА = а-Ъ. Равенство \а + Ь\ = \а — Ь\ озна- Рис* 4 чает, что длины диагоналей параллелограмма равны, т.е. \АВ\ = \OD\. Отсюда следует, что данный параллелограмм есть прямоугольник. Следовательно, векторы а и Ь перпендикулярны. • 3.1.3. По данным векторам а и Ь построить векторы: 1) ia-26;2) 4a + Ь; S)2.(a-S); 4) J(a + 25)-J(a-25)-a-b. 3.1.4. Даны векторы а и b. Коллинеарны ли векторы с — а — 2д/3 • Ъ nd= -у/З-а + 6-V! 3.1.5. При каких значениях Л векторы 2Л • а и (Л3 — 1) • a, (a ^ 0) имеют одинаковое направление? 3.1.6. При каких значениях х векторы х3 • а и (х2 — х — 2) • a, a ^ 0, противоположно направлены? 3.1.7. Дано: |а| = 13, |6| = 19, \а + Ъ\ = 24. Найти |а - Ь\. 3.1.8. Дано: о ± Ь, \а\ = 5, \Ь\ = 12. Найти |а + Ь\ и |а - Ь|. 3.1.9. В треугольнике ABC: M — точка пересечения медиан треугольника, AM = a, AC = b. Разложить АВ и ВС по векторам а и Ь. 3.1.10. В параллелограмме ABCD: К и М — середины сторон ВС и CD, AK = a, AM = b. Выразить векторы BD и AD через а и Ь. 3.1.11. Точка О является центром тяжести (точка пересечения медиан) треугольника ABC. Доказать, что О А + ОВ + ОС = 0. 3.1.12. В четырехугольнике ABCD диагонали, пересекаясь, делятся пополам. Доказать, что этот четырехугольник — параллелограмм. 93
Проекцией вектора АВ на ось I называется число, равное длине вектора A\B± (рис. 5), взятой со знаком «плюс», если на-, правление вектора А\ВХ совпадает с направлением.оси и со знаком «минус» в противном случае. Точки А\, В\ — это точки пересечения оси I с перпендикулярными ей плоскостями, проходящими через точки А, В. Рис. 5 Обозначение пр^ АВ. Основные свойства проекции: 1. прДа + b) = npj a + npz Ь; 2. прДЛ • a)_= Л • npj a. Если г, j, & — орты координатных осей прямоугольной системы координат Oxyz, то любой вектор а единственным образом можно представить в виде их суммы (линейной комбинации) с коэффициентами ах, ау и az: a = ax-i+ay-j+az-k. Коэффициенты аХ1ауи az линейной комбинации называют координатами вектора а в базисе г, j и к. Координаты ах, ау, az вектора а — это его проекции на соответствующие координатные оси. Вектор а с координатами ах, ау, az записывают в виде а — {ax\ay\az). Длина вектора а определяется по формуле + al + al (1.1) Вектор а образует с координатными осями Ох, Оу и Oz углы а, /3 и 7 соответственно. Направление вектора а определяется с помощью направляющих косинусов: cos a, cos/3, cos 7 для которых справедливы равен- СТВа пХ о аУ aZ /- оч COSa=-ri7) COSp = 7ZT, COS7=TT7- (1-2) \а\ \а\ \а\ Направляющие косинусы связаны соотношением cos^2 a+cos2 ^-f cos2 7=1. Пусть даны двавектора а = (ах\ау\аг) ub= (bx;by]bz). Тогда: 1) векторы а иЪ равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты, т. е. а = 94
2) векторы a ub коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, т. е. «||5 <=►£ = £ = £. (1.3) Ох Оу Oz При слоэюении векторов их одноименные координаты складываются, при вычитании — вычитаются, при умножении вектора на число — умножаются на это число: а±Ь= (ах± Ьх;ау ± Ъу\ az ± bz), А • а — (А • ах\ Л • ау; А • az). Вектор v — ОМ, соединяющий начало координат с произвольной точкой М (х; у; z) пространства называется радиус-вектором точки М. Координаты точки — это координаты ее радиус-вектора f = (#; у; z) или f = x-i + y-j + z-k. Если вектор а = АВ задан точками А (х\; у\\ z\) и В (х2; 2/2 5 %2), то его координаты ах, ау, az вычисляются по формулам ах = Х2 — х\, ау = У2 — yi, az = Z2 — z\: а = АВ = (х2 -xi;y2 -yi;z2 - zi). (1.4) 3.1.13. Даны две точки Ai(3; —4; 1) и А2(4;6; -3). Найти координаты вектора а = А\А2. О Координаты ах,ау, az вектора находятся по формуле (1.4). В данном случае имеем: х\ = 3, у\ = —4, z\ — 1 и х2 = 4, у2 = 6, z2 = -3, т. е. а = МА2 = (1; 10; -4). • 3.1.14. Даны три последовательные вершины параллелограмма: Л(1;-2;3), Б(3;2;1), С(6;4;4). Найти его четвертую вершину D. О Обозначим координаты вершины D через х, у, z, т. е. D(x;y;z). Так как ABCD — параллелограмм, то имеем: ВС = AD. Находим координаты векторов ВС и AD: ВС = ()_:j) (2 ) Из равенства векторов ВС и AD следует, что х-1 = 3, у+2 = 2, z — 3 = 3. Отсюда находим: х = 4, у = 0, z = 6. Итак, D{A\ 0; 6). • 3.1.15. Найти координаты вектора а, если известно, что он направлен в противоположную сторону к вектору Ь = 5-г — 4-J + 2<\/2 • к, и его модуль равен 5. О Можно записать, что а = 5 • а0. Так как вектор а направлен в противоположную сторону к вектору 6, то а0 = — Ь . Найдем орт Ь . Из равенства Ь = \Ь\ • Ь находим Ь = -^-. Но |Ь| + (-4)2 + (2л/2)2 = 7. Значит, 6° = |i- |j Следовательно, а0 = — = - г + = - j — ^^ • fc и а = 5 а0 = 95
3.1.16. Вектор а составляет с осями Ох и Оу углы а = 60° и /3 = 120°. Найти его координаты, если \а\ = 2. О Пусть х, у, z — координаты вектора а, т.е. а = {x\y\z). Координаты вектора а найдем из соотношений cos а = -рг, cos/З = т*гг, cos 7 = f=r- Предварительно найдем cos 7- Так как N 'и cos2 a + cos2 /3 + cos2 7 = 1, то cos2 7=1- cos2 60° - cos2 120°, т. е. cos2 7 = i- Отсюда находим, что cos 7 = ^ или cos^ = ~ 9 ' Условию задачи удовлетворяют два вектора й\ и а2: й\ с направляющими косинусами cos a = A, cos^S = — i, cos 7 = ер и Й2 с направляющими косинусами cos a = A, cos^S = —A, cos^ - _^/2 Имеем- I - 2l -I - 2U ^2-^1и1-^2_ COS7 - 2 • имеем. 2~2' 2~2'2~22~2' -J = ^^ - 2 = ^* ОтС1°Да находим: хх = 1, ух = -1, zi = \/2 и х2 = 1, 2/2 = -1, 22 = -л/2, т.е. ai = (1;-1;л/2) /5 _ _ _ 3.1.17. При каких значениях а и /3 векторы a = —2г + 3j + afc и 5 = /?г - 6j Н- 2fc коллинеарны? О Так как а \\ 6, то —4 = -^-х = % (см. условие (1.3)). Отсюда находим, что a = — 1, /3 = 4. • 3.1.18. Разложить вектор с = (9; 4) по векторам a = (1; 2) и Ь = (2; —3). О Требуется представить вектор с в виде с = Aia + A2b, где Ai и А2 — числа. Найдем их, используя определение равенства векторов. Имеем: с = 9г + 4j, a = г + 2j, Ь = 2г — Sj и равенство 9г + 4] = Ai(* + 2j) + А2(2г - 3j), т.е. 9г + 4J = (Ai + 2А2)г+ +(2Ai - 3A2)j. Отсюда следует = 2Ai -ЗА2, т. е. Ai = 5, А2 = 2. Следовательно, с = 5а + 2Ь. • 3.1.19. Дана сила F = (4;4;-4\/2). Найти величину и направление силы F. (^ Величину силы F находим, используя формулу модуля вектора (1.1). Имеем ! + 42 + (-4л/2)2 = 8. Направляющие косинусы вектора F определяем по формулам (1.2): cosa = g = i cos/3 = i COS7 = У = —^г- О Z Z о Z 96
3.1.20. 3.1.21. 3.1.22. 3.1.23. 3.1.24. 3.1.25. 3.1.26. 3.1.27. 3.1.28. 7 - 2361 Итак, сила F = 8 действует в направлении вектора, образующего с координатными осями углы а = 60°, /? = 60° и 7 = 135°. • Доказать, что в любом треугольнике длины его сторон пропорциональны синусам противолежащих углов (теорема синусов). О Рассмотрим треугольник ABC. Пусть В А = с, ВС = а, АС = Ь. В плоскости треугольника ABC возьмем вспомогательную ось /, перпендикулярную, например, вектору Ь и спроектируем на эту ось векторы а, Ь и с (рис. 6). Так как Ь = а - с, то npz Ь = прДа — с), т.е. прДа - с) = 0, (прг Ь = 0, т.к. Ь JL /). Поэтому пр/ а — npz с = 0, т. е. npf a = пр1 с. Но щ>га = |а| • cos(90° — С) = \а\ • sin С, a npz с = \с\х х cos(90° - А) = |с| • sin А. Поэтому |а| • sin С = \с\ • sin А или sin A sin С Выбрав ось перпендикулярную, например, вектору с, аналогично получим: |5| = |5| sin A sin В' Из двух последних равенств следует, что Рис. 6 sin A sin В sin С' Найти координаты вектора а, если |а| = 3 и углы между вектором и координатными осями равны: a = /? = j. Луч образует с двумя осями координат углы в 60°. Под каким углом наклонен он к третьей оси? Даны векторы а = (2; 3), 6(1; -3), с(—1; 3). При каком значении коэффициента а векторы p = a + abnq = a + 2c коллинеарны? Даны точки A(-l;5;-10)2JB(5;-7;8), C(2;2;-7), Z>(5;-4;2). Проверить, что векторы А В и CD коллинеарны; установить, какой из них длиннее и во сколько раз; направлены они в одну сторону или в разные? Представить вектор d = (4; 12; -3) как линейную комбинацию векторов а = (2; 3; 1), Ъ = (5; 7; 0) и с = (3; -2; 4). На оси Оу найти точку М, равноудаленную от точек Л(1; — 4; 7) иВ(5;6;-5). На оси Ох найти точку М, расстояние которой от точки А(3; -3) равно 5. Даны вершины треугольника Л(3; -1; 5), £(4; 2; -5), С(-4; 0; 3). Найти длину медианы, проведенной из вершины А. 97
Дополнительные задачи 3.1.29. Дано разложение вектора с по базису г, j, к: с = 16г — 15j + 12fc. Найти разложение по этому же базису вектора d, параллельного вектору с и противоположного с ним направления, при условии, что |5| = 75. 3.1.30. Пусть векторы а и Ь неколлинеарны и АВ — ^а, Ж7=4(/?а-Ь), CD = —40b, £)A = а + аб. Найти а и /3 и доказать коллинеарность векторов БС и DA. 3.1.31. Даны четыре точки А, В, С, £. Точки М и N — середины отрезков АС и BD. Доказать, что MN = \{AD + СБ). 3.1.32. ABCDEF — правильный шестиугольник, АВ = р, БС = q. Выразить через р и q векторы CD, DE, EF, FA, AC, AD, АЁ. 3.1.33. Доказать, что средняя линия треугольника параллельна его основанию и длина ее равна половине длины основания. 3.1.34. Векторы а и Ь образуют угол у? = 60°, при этом \а\ = 5, |5| = 8. Найти \а + Ь\ и \а-Ь\. 3.1.35. В равнобедренной трапеции ОАСВ величина угла BOA = 60°, |0i?| = \ВС\ = \СА\ = 2, точки М и JV — середины сторон ВС и АС. Выразить векторы АС, ОМ, ON, MN через тип — единичные векторы направлений О А и ОВ. 3.1.36. Дано: АВ = а + 26, ВС = -4а -b,CD = -5а - 36. Доказать, что ABCD — трапеция. 3.1.37. Найти сумму векторов, соединяющих центр правильного треугольника с его вершинами. 3.1.38. На плоскости Оху построить векторы О А = а = 2г, О В = Ь = = Зг + Sj, ОС = с — 2г + 6j. Разложить вектор с по векторам а иб. 3.1.39. Дан вектор с = 4г + lj — 4fc. Найти вектор d, параллельный вектору с и противоположного с ним направления, если |й| = 27. 3.1.40. Найти вектор х, коллинеарный вектору а = i — 2j — 2к, образующий с ортом j острый угол и имеющий длину \х\ = 15. 3.1.41. Заданы векторы а = 2г + 3j, Ь = -3j — 2fc, с = г + j — к. Найти: 1) координаты орта а0; 2) координаты вектора а — ib + с; 3) разложение вектора а + Ъ — 2с по базису г, j,h, 4) npj(a-b). 3.1.42. Зная радиус-векторы Т\, ?%, гз трех последовательных вершин параллелограмма, найти радиус-вектор его четвертой вершины.
3.1.43. Даны радиус-векторы вершин треугольника ABC: г а = +3fc, г в = 3i + 2j + k, г с = i + 4j + fc. Показать, что треугольник ABC равносторонний. 3.1.44. Радиус-вектор точки М составляет с осью Оу угол 60°, а с осью Oz угол 45°; его длина \г\ = 8. Найти координаты точки М, если ее абсцисса отрицательна. 3.1.45. Три вектора a, b и с попарно перпендикулярны, а длины их соответственно равны 2, 3 и 6. Найти длину суммы 5 этих векторов и направляющие косинусы вектора 5. 3.1.46. Три силы Fiy F2, F3 приложены к одной точке, имеют взаимно перпендикулярные направления. Найти величину их равнодействующей F, если известны величины сил: |Fi| = 2, IF2I = Ю, 1*4 = 11. 3.1.47. Найти равнодействующую силу R сил Fi и ^2, а также углы а и /?, составляемые силой R с силами F\ и F2, если |Fi| = 15, |F2| = 10; угол между силами Fi и F2 равен 45°. 3.1.48. Найти направление и скорость ветра, являющегося результатом взаимного действия морского бриза, дующего со скоростью 14 м/с на берег и ветра, дующего с берега на море со скоростью 9 м/с и под углом в 60° к береговой линии. Контрольные вопросы и более сложные задачи 3.1.49. К двум тросам подвешен груз массой 30 т так, как это показано на рис. 7. Определить силы, возникающие в тросах, если Z.ACB = 120°. 3.1.50. Точка М, лежащая на отрезке АВ, делит его в отношении т : п, т.е. AM : MB = m : п; О — произвольная точка пространства. Выразить вектор ОМ через векторы О А и ОВ. 3.1.51. М — точка пересечения медиан треугольника ABC, О — произвольная точка пространства. Доказать равенство 1 1 3.1.52. Доказать, что для любых заданных векторов а, Ь, с векторы а + Ь, 6 + с, с — а компланарны. 99
3.1.53. Даны три некомпланарных вектора а, Ь и с. При каком значении А векторы \а + Ь + с, а + ХЬ + с, а + 6 + Ас компланарны? 3.1.54. Разложить вектор £ = а + Ь + с по трем некомпланарным векторам т = а + Ь - 2с, п = а - Ь, р = 2Ь + Зс. 3.1.55. В треугольнике ABC прямая AM является биссектрисой угла ВАС, причем точка М лежит на стороне ВС. Найти AM, если АВ = 5, АС = с, |Ь| = 2, |с| = 1. 3.1.56. Найти вектор я, направленный по биссектрисе угла между векторами а = 7i - 4j — 4к и Ь = —2г — j + 2fc, если \х\ — 5\/б. Указание, х = А • (Ь + а0). 3.1.57. Какому условию удовлетворяют векторы а и Ь, если: 1) |о + 5| > |а-5|; 2) \а + Ь\ < \a-b\i 3) |а + Ь| = |а| + |Ь|; 4)|а + Ь| = |а|-|Ь|? 3.1.58. Изменится ли сумма компланарных векторов, если все слагаемые векторы будут повернуты в одном и том же направлении на один и тот же угол? 3.1.59. Дать геометрическое построение разложения вектора а на два компланарных с ним слагаемых, если известны: а) длина и направление одного слагаемого; б) направление обоих слагаемых; в) направление одного и длина другого слагаемого. (Исследовать, когда разложение возможно, сколько имеет решений, если ни одно из слагаемых не параллельно а.) 3.1.60. В разложении вектора с = Ai -a+A2 -b по двум неколлинеарным векторам а и Ь могут ли оба коэффициента Ai и А2 или один из них равняться нулю? 3.1.61. Могут ли векторы а = (-2; 1; -2), Ь = (-2; -4; 4), с = (4; 3; -2) быть сторонами, треугольника? 3.1.62. Коллинеарны ли векторы а и Ь, если коллинеарны векторы а+Ъ и а — Ъ! 3.1.63. Может ли вектор составлять с координатными осями углы 30°, 120°, 60°? _ 3.1.64. Следует ли из равенства АВ = DC равенство AD = ВС? 3.1.65. Может ли угол между векторами равняться: 0°; 45°; 180°; 270°? 3.1.66. Как следует направить векторы а и Ь, чтобы длина вектора а + Ь была наибольшей? наименьшей? 3.1.67. Каково взаимное расположение точек А, Б, С, если: 1) векторы АС и АВ коллинеарны; 2) АС = СВ; 3) АС = -±СА? 3.1.68. Какому условию должны удовлетворять векторы а, Ь и с пространства, чтобы из них можно было образовать треугольник? 100
§2. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ ^ Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла <р между ними (см. рис. 8). Обозначение: а • Ь. Таким образом, а-Ь= \а\ • |b| -cos</?. (2.1) По определению а • 0 = 0 • а = 0. а О а Рис. 8 Формулу (2.1) можно записать в виде а -Ь = \а\ -прдб или а • Ь = \Ъ\ • пр^а. (2-2) Свойства скалярного произведения: 1. а • Ь = Ь • а (перестановочность); 2. a-(b + c)=a'b + a-c (распределительность); 3. (Ха) • Ь = Х(а • 6) (сочетательность по отношению к скалярному множителю); 4. а2 = \а\ (скалярный квадрат вектора а равен квадрату его модуля); 5. а • Ъ — 0 <=$> а ± b (или а = 0, или Ь = 0). В частности: ^ Векторы аи 5, скалярное произведение которых равно нулю, называются ортогональными. Если векторы а и b заданы своими координатами а = (ax;ay;az), b = {bx]by;bz), то _ а • b = axbx + а^ + аг62. (2.3) 3.2.1. Векторы а и b образуют угол <р = ^тг. Зная, что \а\ = 10 и |Ь| = 2, вычислить (о + 26) • (За - Ь). О Согласно свойствам скалярного произведения (а Н- 2Ь) • (За - S) = За2 + ЪаЬ - 2? = = 3|а|2 + 5|а| • |b| cos(oTb) - 2|Ь|2 = = 3 • 100 4- 5 • 10 • 2cos ?тг - 2 • 4 = 300 - 50 - 8 = 242. • о 101
3.2.2. Дано: \а\ = 2, \Ь\ = 1, (р = (а, 6) = |. Найти модуль вектора1 с = 2а - 36. _ 3.2.3. Дано: |а| = 3, |6| = 4, (р = (а, 6) = 120°. Найти модуль вектора с = За + 26. 3.2.4. Выразить длины медиан произвольного треугольника через длины его сторон. Q Рассмотрим треугольник ABC. Пусть AD — одна из медиан треугольника (рис. 9). Введем в рассмотрение векторы АВ = с, АС = b и AD = т. Тогда га = А(6 + с). Возведем обе части равенства в квадрат: А о С т2 = |(62 + 26-с+с2),т.е. |га|2 = Рис. 9 = \Ш2 + |с|2 + 26 • с). А так как а = ВС = 6 - с, то \af = |6|2- — 26 • с + \с\2. Значит 26с = |6|2 + \с\2 — \а\2. В итоге получаем N2 = \(\Ц2 + \с\2 + № + |с|2 - |а|2) = 1(2|6|2 + 2|с|2 - |а|2) и далее |га| = нл/2|6|2 + 2|с|2 - \а\2. • 3.2.5. Проверить, могут ли векторы а = 7г + 6j — 6fc, 6 = 6г + 2j + 9fc быть ребрами куба. Найти третье ребро куба. О Векторы а и 6 можно принять за ребра куба, если они ортогональны и имеют равные длины. Проверим это: а • 6 = 7 • 6 + + 6-2-6-9 = 42+12-54 = 0, значит а ± 6; |aj = л/49 + 36 + 36 = = 11, |6| = V36 + 4 + 81 = 11, значит \а\ = |6|. Найдем третье ребро с = (х; у; z) куба. Так как a _L с, то а • с = 0, т. е. 7ж + 62/ - 6z = 0; так как 6 _!_ с, то 6 • с = 0, т. е. 6х + 2у + 9z = 0; из равенств \с\ = |а| = |6| = 11 вытекает, что у/х2 +у2 + z2 = 11. Для нахождения координат вектора с решим систему уравнений 6х + 2у + 9z = 0, Из первых двух уравнений выражаем х и у через z (х = — 3z, 2/ = Мг) и подставляем их значения в третье уравнение системы: 9z2 + ^j-z2 + z2 = 121. Отсюда находим, что 2i = -2, ^2 = 2. Тогда #i = 6, Х2 = — 6 и 2/i = -9,2/2 = 9. Таким образом, c = ±(6i-9]-2k). • 102
3.2.6. 3.2.7. 3.2.8. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах а = 2г; + j и b = —j + 2fc. Найти вектор х, зная, что xla, а=(1;0; 1), х ±Ь, Ь=(0;2; —1), проекция вектора х на вектор с = (1; 2; 2) равна 1. Даны вершины треугольника Л(2; 3; -1), Б(4; 1; -2) и С(1; 0; 2). Найти: а) внутренний угол при вершине С; О а) Угол (р при вершине С есть угол между векторами С В и С А. Определим координаты этих векторов: СБ = (4-1;1-0;-2-2)=.(3;1;-4), СА = (2 - 1;3 - 0; -1 - 2) = (1;3; -3). Найдем их модули: \СВ\ = V9 + 1 + 16 = л/26, \СА\ = VI+ 9+ 9 = у/19. Согласно формуле (2.1) СВ-СА 3-1 + 1-3 +(-4)-(-3) 18 COS if = |CB|-|Ci4| = arccos V26-VT9 18 V494' л/494' б) Согласно формуле (2.2) — СВ-СА п*>сасв= ,/тт. = л/19 3.2.9. Даны векторы а = (3;-6;-1), Ь = (1;4;-5), с = (3;-4;12). Найти прё(а + Ь). 3.2.10. Даны некомпланарные векторы а, Ь и с, причем \а\ — \Ь\ = 1, \с\ = 4, а_J_ 6, (О) = (с,Ь) = 60°. Найти а) (а -26). (с -а); б) (а+ 6 +с)2. 3.2.11. Даны векторы а = (1;-3;4), Ь= (3;-4;2), с= (—1; 1;4). Найти nPfr-+c-a. _ _ 3.2.12. В_ треугольнике ABC: АВ = Ъ, АС = с. Выразить вектор h, направленный по высоте АН, через векторы Ь и с. О Имеем (рис. 10): h = 6 + ВН. Но ВН |1 ВС, где_ ВС = с-Ъ. Поэтому ВН=\(с-Ь) и Л=6+А(с-Ь). Множитель А найдем из условия В АН 1 ВС. Значит АН • ВС = 0, Рис. 10 103
т.е. (Ь + А(с-Ь)) • (с-Ь)_= 0. Получаем Ь-(с-Ь) + А-(с- б)2 = 0, откуда находим Л = —г^—=rJ-. Найденное значение Л подста- \с-Ь\ вляем в выражение для вектора h: п = ь+Ъ_(рс1 # \с-Ъ\ 3.2.13. Единичные векторы ei, ё2, ёз удовлетворяют условию ei + ё2 + ёз = 0. Найти ei • ёг + ёг • ёз + ёз • ё\. 3.2.14. Дано: |а| = 3, |5| = 2, \с\ = 5, (5,5) = (5, с) = |, векторы а, 6 и с — компланарны. Найти модуль вектора d = а + Ь — с. 3.2.15. Найти вектор х, зная, что он перпендикулярен к оси Oz и удовлетворяет условиям х • а = 9, х • b = —4, где а = (3; —1;5), 5=(1;2;-3). Дополнительные задачи 3.2.16. Показать, что четырехугольник с вершинами Л(-5;3;4), Б(-1; -7; 5), С(6; -5; -3) и D(2; 5; -4) есть квадрат. 3.2.17. Доказать, что вектор d — с • (Ь • а) — а • (Ь • с) перпендикулярен вектору Ь. 3.2.18. Найти вектор Ь, коллинеарный вектору а — г + 2j — Зк и удовлетворяющий условию b- a = 28. 3.2.19. Дано:_а = 4г - ] - 2*, 6 = (2; 1; 2). Найти: а) а • Ь; б) T в) 3.2.20. Какую работу производит сила F = (2; — 1; — 4), когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из точки А(1;-2; 3) в точку Б(5;-6; 1). 3.2.21. Найти работу равнодействующей сил Fi =i — j + к и F2 = = 2i + j + 3k при перемещении ее точки приложения из начала координат в точку М(2; —1; -1). 3.2.22. При каком значении Л векторы Ь = Лг — 5j• + ЗА; и с = г + 2j — Хк взаимно перпендикулярны? 3.2.23. В треугольнике ABC вершины имеют координаты Л(1; 1; -1), В(2;3;1), С(3;2;1). Найти: а) длины сторон; б) внутренние углы; в) острый угол между медианой BD и стороной АС. 3.2.24. Найти углы между осями координат и радиус-вектором точки 104
3.2.25. Доказать, что длины векторов а и Ь равны, если векторы а + Ь и а — Ь перпендикулярны. 3.2.26. Найти проекцию вектора а = (\/2; -3; —5) на ось, составляющую с координатными осями Ох и Oz углы а = 45° и 7 = 60°, а с осью Оу — острый угол /?. 3.2.27. Даны точки А(3;4; -2) и Б(2;5; —2). Найти проекцию вектора АВ на ось, составляющую с осями Ох и Оу углы а = 60° и /3 = 120°, а с осью Oz — тупой угол 7- 3.2.28. Векторы АВ = 2а - 6Ь, ВС = а + 76, СА = -За - 6 образуют треугольник ABC; векторы а и b — взаимно перпендикулярные орты. Найти углы треугольника ABC. 3.2.29. Зная, что а + b + с = 0, \а\ =3, |Ь| = 1, \с\ = 4, вычислить а-Ь + Ь-с + с-а. 3.2.30. Найти угол между биссектрисами углов Оху и Oyz. 3.2.31. Какой угол образуют единичные векторы а иЬ, если известно, что векторы m = a+2b и п = 5а—46 взаимно перпендикулярны. 3.2.32. Векторы а, Ь, с имеют равные длины и попарно образуют равные углы. Найти координаты вектора с, если а=(1;1;0), Ь=(0;1;-1). 3.2.33. Доказать, что точки А(-3; -7; -5), В(0; -1; -2) и С(2; 3; 0) лежат на одной прямой, причем точка В расположена между точками А и С. 3.2.34. Даны радиус-векторы трех последовательных вершин параллелограмма ABCD: та — 2%-\- 2j + fe, f в = г + Sj + 5fc, f<? = = 7i + 9j + Ilk. Определить радиус-вектор четвертой вершины D. 3.2.35. К вершине куба приложены три силы, равные по величине 1, 2, 3 и направленные по диагонали граней куба, проходящим через эту вершину. Найти величину равнодействующей этих трех сил. Контрольные вопросы и более сложные задачи 3.2.36. Доказать, что для любых четырех точек А, В, С и D пространства имеет место равенство АВ • CD + АС • DB + ВС • AD = 0. 3.2.37. Определить геометрическое место концов переменного вектора а?, если его начало находится в точке А и вектор х удовлетворяет условию х • а = а, где а — данный вектор и а — данное число. 3.2.38. Найти угол между биссектрисами двух плоских углов правильного тетраэдра, проведенными из одной его вершины. 3.2.39. В треугольной пирамиде ABCS: АВ ± CS, AC ± BS. Доказать, что ребра AS и ВС также перпендикулярны. 105
3.2.40. Используя единичные векторы е\, в2, е3, доказать, что для всякого треугольника ABC справедливо неравенство cos A + cos В + cos С ^ -. 3.2.41. Следует ли из равенства а • ё — Ъё, где ё — единичный вектор, равенство векторов а и Ь? — 2 — 2 3.2.42. Каков геометрический смысл равенства (а+ 6) + (а - Ь) = = 2(а2 + Ь2)? 3.2.43. Доказать, что —аЬ ^ а - Ь ^ аЬ; в каких случаях здесь имеет место знак равенства? 3.2.44. Пусть а, бис — ненулевые векторы. При каком их взаимном расположении справедливо равенство: (а • Ь) • с = а • (Ь • с)? 3.2.45. Можно ли говорить о скалярном произведении трех векторов? О скалярном кубе вектора? 3.2.46. Изменится ли скалярное произведение двух векторов, если к одному из них добавить вектор, перпендикулярный к другому сомножителю? 3.2.47. Коллинеарны ли векторы с\ = 2а+4Ь и с2 = 36—а, построенные по векторам а = (1; -2; 3), Ь = (3; 0; -1)? 3.2.48. Равносильны ли следующие два равенства: а) а = Ь и аа = аЬ\ б) a = bna-c = b-c; в) а = 6иа + с = 6 + с? 3.2.49. Какова длина отрезка MN, если MiV = 16? 3.2.50. Какой угол образует вектор а = (cos a; sin а) с вектором г? 3.2.51. Как расположены прямые АВ и АС, если (АВ + АС)2 = = (АВ-АС)2? §3. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ ^ Три некомпланарных вектора а, Ь и с, взятые в указанном порядке, образуют правую (левую) тройку, если с конца вектора с кратчайший поворот от первого вектора а ко второму вектору Ъ виден совершающимся против часовой стрелки, (соотв. по часовой стрелке) (см. рис. 11). левая тройка 106
^ Векторным произведением неколлинеарных векторов а и Ь называется вектор с, определяемый условиями: 1) вектор с перпендикулярен векторам аи Ь, т.е. с J_ a, c_L5; 2) длина вектора с равна площади параллелограмма, построенного на векторах а и b как на сторонах, т. е. \с\ = \а\ -\Ъ\ -siny?, <р=(а,Ь); (3.1) 3) векторы а, бис образуют правую тройку. Векторное произведение обозначается а х Ь или [а, Ь]. Если векторы аиЬ коллинеарны (в частности, один из этих векторов нулевой), то по определению a xb = 0. Свойства векторного произведения: l.axb=—(bxa) (антиперестановочность); 2. А • (б х 6) = Ха х b = а х ХЬ (сочетательность по отношению к скалярному множителю); З.ах(5 + с)=ах5 + ахс (распределительность); 4. а х Ь = 0 если а\\Ь (или а = 0 или b = 0). В частности: гхг = jxj = = kxk = 0. Если векторы а и Ъ заданы своими координатами а = (ax',ay;az), b= (bx',by\bz), то ахЪ = bx by bz , или axb = by bz ах az Ьх bz b b ^ ' Для вычисления площади параллелограмма, построенного на векторах а и b применяется формула S=\axb\. (3.3) Векторное произведение может быть выражено формулой а х b = S • ё, где ё — орт направления а хЪ. (3.4) 3.3.1. Даны два вектора а и Ь, для которых \а\ = 2, |6| = 6, (р = (а, Ь) = = |тг. Найти о а)ох6; б) |(2а + 36) х(а-Щ. О а) По формуле (3.1) находим модуль векторного произведения: \а х Ь\ = \а\ • \Ь\ • sin(a, b) = 2 • 6 • i = 6. По формуле (3.4) получаем а х Ь = 6 • ё, где ё — единичный вектор направления а х 6; 107
3.3.2. 3.3.3. 3.3.4. 3.3.5. 3.3.6. 3.3.7. 3.3.8. 3.3.9. б) Согласно свойствам векторного произведения цолучаем: (2а + 36) х (а - 46) = 2(а х а) - 8(а х 6) + 3(6 х а) - 12(6 х 6) = = -8(а х 6) - 3(а х 6) = -11(а х 6). Следовательно, |(2а +36) х (а-46)| = |-11(ах6)| = 11 • \а х 6| = 11 -6 = 66. • Найти координаты вектора а х (2а + 6), если а = (3; -1; —2), Даны векторы а = г + 2j — Зк, b = —2i + j + к. Найти: с = = (а-6) х(26); |с|._ Дано: |о| = 1, |6| = 2, (а,6) = |тт. Найти: |ах6|; |(а + 26)х(-а+36)|. Найти площадь треугольника с вершинами А(1;2;0),В(3;2;1), /~ч/ о. 1 • o^ Ks I ~~ £ \ л., £t) • О Площадь 5 треугольника ABC равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах АВ и АС, т.е. 5 = i|AB хАС\. Имеем: АВ = (2;0;1),АС= (-3;-1; 2). Тогда (см. (3.2)) АВхАС = 0 -1 1 2 ;- 2 -3 1 2 2 -3 0 -1 )■ т.е. АВ х АС = (1; -7; -2). Следовательно, 5 = i\/l+49 Найти площадь треугольника, построенного на векторах а = = г - 2] + Ък и 6 = 5J - Ik. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах а=(8;4;1)иЬ=(2;-2;1). Векторы а и 6 образуют угол 45°. Найти площадь треугольника, построенного на векторах а — 26 и За-I- 26, если \а\ = |6| = 5. Сила F = (2;—4; 5) приложена к точке О(0; 2; 1). Определить момент этой силы относительно точки А(—1; 2; 3). О Момент силы F относительно точки А есть вектор М = = О А х F. Находим координаты вектора О А и искомого вектора г j к -10 2 2-4 5 = OAxF = 0 -4 т.е. М = (8;9;4). -1 2 2 5 -1 0 2 -4 108
3.3.10. Дана сила F = (3;4;—2) и точка ее приложения А(2;-1;3). Найти момент силы относительно точки О(0; 0;0) и направление момента силы. 3.3.11. Три силы Fi = (2;4; 6), F2 = (1; —2; 3) и F3 = (1; 1; —7) приложены к точке А(3;— 4; 8). Найти величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки Б(4;-2;6). Дополнительные задачи 3.3.12. Упростить выражения: а) 2г(] хк) + 3](г х к) + Щг х J); б) (а + 6 + с)хс+(а + 6 + с)х6+(6-с)ха; в) (Зг - 4J - 5fe) х (_2г + 6j - к). 3.3.13. Показать, что (а — Ь) х (а 4- Ь) = 2(а х Ь); выяснить геометрический смысл этого равенства. 3.3.14. Показать, что (аЪ)2 + (а х Ь)2 = |а|2|Ь|2. 3.3.15. Дано: \а\ = 3, \Ь\ = 20, аЬ = 30. Найти \axb\. 3.3.16. Дано: \й\ = 3, jbj = 26, |й х 5| = 72. Найти аЬ. 3.3.17. Найти единичный вектор с, перпендикулярный каждому из векторов а = (3; —1; 2) и Ь — (—1; 3; -1). 3.3.18. Найти единичный вектор ё, перпендикулярный вектору а = = (1;4;3) и оси абсцисс. 3.3.19. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах а = Зр + 2? и 6 = 2р - <?, где |р| = 4, |<?| = 3, (^) = |тг . 3.3.20. Найти площадь треугольника с вершинами А(1; — 2;3), В(0;-1;2),С(3;4;5). 3.3.21. Даны векторы а = (-4;-8; 8), Ъ = (4;3;2). Найти векторное произведение, синус угла между ними, площадь параллелограмма, построенного на этих векторах. 3.3.22. Даны векторы а = Зг + ]_+ 2fc, Ь = 2г + 7] + 4fc и с = г + 2] + fc. Найти а х (6 х с) и (а х Ь) х с. 3.3.23. Найти координаты вектора ж, перпендикулярного оси аппликат и вектору а = (8; —15; 3). Вектор х образует острый угол с осью абсцисс; \х\ = 51. 3.3.24. Найти длины диагоналей и площадь параллелограмма, построенного на векторах а = к — j, b = i + j + к. 3.3.25. Вычислить синус угла, образованного векторами а = (2; -2; 1) иЬ= (2;3;б). 3.3.26. Даны вершины треугольника А(1; —1; 2), В(Ь; —6; 2), С(1; 3; -1). Найти длину его высоты, опущенной из вершины В на сторону АС. 109
3.3.27. Найти вектор х, перпендикулярный к векторам а = (2; —3; 1) и b = (1; —2; 3) и удовлетворяющий условию х • (г + 2j — 7fc) = 10. 3.3.28. Векторы а, бис удовлетворяют условию a+b+с = 0. Доказать, что axb = bxc = cxa. 3.3.29. Дано: а = (1; -4; 0), Ъ = (6; 3; -2), с = (1; -2; 2). Найти пр^(Ьхс). 3.3.30. Векторы а, Ь, с и 5 связаны соотношениями а х 5 = с х d, а х с = 5 х 5. Доказать, что векторы (о - d) и (Ь — с) колли- неарны. Контрольные вопросы и более сложные задачи 3.3.31. Доказать, что точки А, В и С лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда АВ х АС = 0. 3.3.32. Доказать, что векторное произведение не изменится, если к одному из сомножителей прибавить вектор, коллинеарный другому сомножителю. 3.3.33*. Доказать тождество Лагранжа: с2 а\ + Ъ\+с\ 3.3.34. 3.3.35. 3.3.36. 3.3.37. 3.3.38. 3.3.39. по Н- Найти площадь треугольника ABC с вершинами в точках A{xi\y\\z{), B(x2;y2;z2), С\ху,у3;zs). На векторах а = (2; —1; 7) и Ь = (1; 0; —4) построен параллелограмм. Найти высоту, опущенную из конца вектора Ь, и площадь треугольника, образованного этой высотой и сторонами параллелограмма. Доказать, что для любых векторов а, р, §, f векторы а хр, а х q, а х г компланарны. Три ненулевых вектора а, 5, и с связаны соотношениями а = b х с, b = с х а, с = а х Ь. Найти длины этих векторов и углы между ними. Доказать, что ах (Ь х с) = b • (а • с) — с • (а -Ь). Указание, орт г сонаправить с вектором Ь, орт j — в плоскости векторов бис. Найти координаты обеих частей и убедиться, что они равны. Вывести формулу для sin(a — /?). Указание, рассмотреть в плоскости Оху два единичных вектора ё\ и ё2, составляющих с осями углы аи^ соответственно; найти ei х ё2.
3.3.40. Какому условию должны удовлетворять векторы а и Ь, чтобы векторы За + Ь и а — 36 были коллинеарны? 3.3.41. При каких значениях а и /3 векторы а — аг + 7j + ЗА; и Ь = г+ +/3j + 2fc коллинеарны? 3.3.42. Дано: а х с = b x с, с ф 0. Можно ли отсюда заключить, что а = Ь? 3.3.43. Чему равно векторное произведение противоположных векторов? 3.3.44. Чему равно: а) ]_ х г;_ б) Jx(j_+&); в) 2г7 х (fe - 5J)? 3.3.45. Равносильны ли равенства а = 6иахс = 6хс? 3.3.46*. Даны два вектора а ф О, Ь ф 0. Можно ли подобрать вектор х так, чтобы а = Ь х х? 3.3.47. Чему равно векторное произведение коллинеарных векторов? векторов аи (—а)? 3.3.48. Найти: 1) 3 х t; _ 2) 2г х 5j; _ 3) г х (г + fc). 3.3.49. Верно ли соотношение \а х Ь\ ^ |а| • |Ь|? 3.3.50. Существуют ли такие векторы а и Е, что axb = bxa? §4. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ ^ Смешанным произведением трех векторов a, b и с называется число, равное скалярному произведению вектора ах 6 на вектор с. Обозначение: аЬс. Таким образом: abc — (а х Ь) • с Геометрически смешанное произведение интерпретируется как число, равное объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b и с как на ребрах. Смешанное произведение векторов a, b и с положительно, если данные векторы образуют правую тройку, и отрицательно — если левую. Свойства смешанного произведения: 1. (а х Ъ) • с = (Ь х с) • а = (с х а) • Ь, т. е. смешанное произведение не меняется при циклической перестановке векторов; 2. (а х Ь) • с = а • (b x с), т. е. смешанное произведение не меняется при перестановке знаков векторного и скалярного умножения; in
3. abc = —acb = —bac = cba т.е. смешанное произведение меняет знак на противоположный при перемене мест любых двух векторов- сомножителей; 4. abc = О, если а, бис компланарны (в частности, если любые два из перемножаемых вектора коллинеарны). Если векторы а, бис заданы своими координатами а = (ax;ay]az), Ь= (Ъх;Ьу\Ьг), с= (cx;cy;cz) то abc = ах ау сх az bz cz (4.1) Если abc > О, то a, b, с — правая тройка; abc < 0 — левая. Объем V\ параллелепипеда, построенного на векторах а, Ъ и с, и объем V2, построенной на них треугольной пирамиды, находятся по формулам i = \abc\, = \\abc\. о (4.2) (4.3) 3.4.1. Доказать, что четыре точки ;4i(3;5;l), А2(2;4;7), Аз(1;5;3), Ai(4; 4; 5) лежат в одной плоскости. О Достаточно показать, что три вектора А\А2, А\А3, А\А^ имеющие начало в одной из данных точек, лежат в одной плоскости (т.е. компланарны). Находим координаты векторов 3.4.2. 3.4.3. 112 AU4 = (4 - 3; 4 - 5; 5 - 1) = (1; -1; 4). Проверяем условие компланарности векторов (свойство 4 смешанного произведения векторов): АгА2 - - А1А4 = -1 -1 -2 О 1 -1 = 0-2 +12-0-2-8 = 0. Итак, векторы АгА2, А\А3 и А1А4 коллинеарны, следовательно точки А\, А2, As, A4 лежат в одной плоскости. • Проверить компланарны ли данные векторы: а) а= a;2L-2), Ъ_= (_1; -2;_1), с = (5; -2; -1); б) а = j + к, b = j - к, с = г. При каком значении А векторы а = i + j + Хк, Ъ = (0; 1;0) и с = (3; 0; 1) компланарны?
3.4.4. Даны вершины пирамиды А(5; 1; — 4), 2?(1;2;-1), С(3;3;—4), 5(2; 2; 2). Найти длину высоты, опущенной из вершины 5 на грань ABC. О Так как объем V пирамиды есть V — AS'/i, то h = Щ-, где h — \SO\ — высота пирамиды, S' — площадь основания (рис. 12). Находим V: AS = (-3; 1; 6), АВ = (-4; 1; 3), АС = (-2; 2; 0). И согласно формуле (4.3): 1 -3 1 3 2 0 -4 3 -2 0 + 6 -4 1 -2 2 = 1|18-6-36|=Л|-24| = 4. о о Находим 5' = SfAABC: = ^1 - 61 - 6j - 6к\ = | • бл/3 = Зл/3. Следовательно, h = -ii4_ — 3V3 з 3.4.5. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах 3.4.6. Найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах а = (2; 1; —3), Ь = г + 2j + fc, с = (1; —3; 1), опущенную на грань, построенную на векторах b и с. 3.4.7. Найти объем треугольной призмы, построенной на векторах о = (1;2;3),5=(2;4;1),с=(2;-1;0). 113 8 - 2361
3.4.8. Вычислить (а + Ь + с)(а - Ь - с)(а - Ъ + с). О Используя свойства смешанного произведения векторов, получаем: (а+Ь+с)(а-Ь-с)(а-Ь+с) = ((а+Ъ+с)х(а-Ь-с))-(а-Ь+с) = = (axa—axb—axc+bxa-bxb—bxc+cxa—cxb—cxc)-(a--b+c) = = (O-axb-axc-axb-O-bxc-axc + bxc-O)'(a-b+c) = = (-2axb-2axc)-(a-b + c) = -2(а х Ь + а х с) • (а- Ь + с) = = -2(аЬа - abb + абс + аса - асб + асе) = = -2(0 - 0 + аЬс + 0 + аЬс + 0) = -2 • 2аЬс = -4а6с. • 3.4.9. Вычислить произведение (а — b)(b — с)(с — а). 3.4.10. Вычислить произведение а(Ь — с)(а + Ь + 2с). 3.4.11. Какую тройку образуют векторы а, Ь и с: а) а = г + j, Ь = г - j, с = fc; б) а = (1; -4; 0), Ь = (6; 3; -2), с = (1; -2; 2)? 3.4.12. Векторы а, Ь и с взаимно перпендикулярны, образуют правую тройку. Найти abc, зная что \а\ = 4, |Ь| = 2, |с| = 3. 3.4.13. Даны векторы а = (3; 5; -1), Ь = (0; -2; 1) и с = (-2; 2; 3). Найти (a xb) х с. Дополнительные задачи 3.4.14. Вычислить произведение Ь(с + а)(Ь + 2с), если аЬс = 5. 3.4.15. Вектор с перпендикулярен векторам а и 6; (а, Ь) = ?, |а| = б, \Ъ\ = 3, |с| = 3. Найти аЬс. 3.4.16. Найти объем пирамиды с вершинами Ai(0;0;l), A2(2;3;5), А3(6;2;3), Л4(3;7;2). 3.4.17. Показать, что точки А(5;7;-2), Б(3;1;-1), С(9;4;-4) и D(l; 5; 0) лежат в одной плоскости. 3.4.18. Даны вершины пирамиды А(-5;-4;8), 5(2; 3;1), С(4;1;-2), D(6; 3; 7). Найти длину высоты, опущенной на грань BCD, 3.4.19. Объем тетраэдра равен 5, три его вершины находятся в точках А(2;1;-1), £(3;0;1), С(2;-1;+3). Найти координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси ординат. 3.4.20. Дан параллелепипед ABCDA\B\C\D\, построенный на векторах АВ = (4; 3; 0), AD = (2; 1; 2) и ААХ = (-3; -2; 5). Найти: а) объем параллелепипеда; б) площадь грани ABCD; 114
в) длину высоты, проведенной из вершины А\\ г) угол между ребром АВ и диагональю BD\. 3.4.21. Дана пирамида с вершинами в точках Ai(l;2;3), А2(-2;4;1), А3(7; 6; 3), А4(4; -3; -1). Найти: а) длину ребер АгА2, А\А3, А1А4; б) площадь грани А\А2Аз; в) угол между ребрами А\А\ и А\Аз\ г) объем пирамиды; д) длину высоты, опущенной на грань А\А2Аз- Контрольные вопросы и более сложные задачи 3.4.22. Векторы а, Ь и с удовлетворяют условию axb + bxc + cxa = 0. Доказать, что эти векторы компланарны. 3.4.23. Показать, что объем параллелепипеда, построенного на диагоналях граней данного параллелепипеда, равен удвоенному объему данного параллелепипеда. 3.4.24. Найти а х (Ь х с) - (ё х /) х_§, если а = (1; 2; -2), Ь = (-2; 3; 1), с = (2; -2; 2), ё = (-1; 3; 5), / = (1; 0; -2), q = (3; -2; 2). 3.4.25. Найти объем V пирамиды с вершинами в точках Ai(xi;y\]Zi), A2(x2;y2',z2), А3(хз]уз',г3), A±(x±;yA;z±). При каком условии точки А\, А2, A3, At принадлежат одной плоскости? 3.4.26. Даны единичные векторы ё\, ё2, ёз- Зная, что (£1,62) — = (^з?^1 х ё2) = а, доказать равенство (ё\ х ё2) • ёз — A sin 2а. z 3.4.27. Зная, что с = \\а Н- АгЬ найти соотношение между векторами а, б и с, не содержащее коэффициентов Ai и А2. Указание, исключить Ai можно умножением равенства вектор- но на а. 3.4.28. Доказать, что \аЪс\ ^ \а\ • |Ь| • |с|; в каком случае имеет место знак равенства? 3.4.29. Чему равно ab(c+\\а+Х2Ъ), где Ai и А2 — произвольные числа? 3.4.30. Доказать (геометрически), что при любых векторах а, 5 и с векторы а — 6, Ь — с, с —а компланарны. Каков геометрический смысл этого факта? 3.4.31. Чему равно aba? 3.4.32. Известно, что с = \ia + А25, Ai и А2 — числа. Чему равно абс? Пояснить алгебраически. 115
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант 1 1. В параллелограмме ABCD: О — точка пересечения диагоналей. Найти я, если 1) АВ = х • CD; 2) АС = х • Щ 3) ОВ = х- BD; 4)OC = xCD. 2. Разложить вектор с = (9; 4) по векторам о и 6, если а = (1;2) и 5=2»- 3J. 3. Найти вектор 5, зная, что d J_ а, 5 _L 5, где а = (2;3;—1), 5 = (1; -2; 3) и 5 • (2г - ] + fc) = -6. 4. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах о = Зр + ? и 5 = р - 25, где |р| = 4, |д| = 1, (р, 5) = |. 5. Дана пирамида с вершинами Ai(7;2;4), А2(7;— 1; — 2), А3(3;3;1), Л4(-4;2;1).Найти: а) угол между ребрами А1А2 и А1А4; б) объем пирамиды; в) длину высоты, опущенной на грань AiA^A^. Вариант 2 1. Дан параллелограмм ABCD. Доказать, что О А + ОС — OB + OD, где О — произвольная точка пространства. 2. Радиус-вектор точки М составляет с осью Ох угол 45°, с осью Оу — 60°. Его длина \г\ = 6. Найти координаты точки М, зная, что третья координата отрицательная. 3. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам а = 2i+j+k иЬ=(1;1;2). 4. Найти площадь треугольника ABC, в котором А(2; 1; 0), .В(—2; 4; 1), С(-3;-8;4). 5. Дана пирамида с вершинами Ai(l;3;6), A2(2;2;l), А3(—1;0;1), А4(-4;б;-3). Найти: а) косинус угла между ребрами А1А2 и б) объем пирамиды; в) длину высоты, опущенной на грань 116
Вариант 3 1. Даны векторы а и Ь и угол между ними равный 120°. Построить вектор с = 2а — 1,56 и определить его длину, если \а\ — 3, |Ь| = 4. 2. Проверить, что четыре точки А(3; -1; 2), Б(1; 2; -1), С(-1; 1; -3) и .D(3; —5; 3) служат вершинами трапеции. 3. Даны векторы а = 2г — j + 3fc, b = г — Sj + 2к, с = Зг + 2j - 4fc. Найти вектор х, если ха = —5, жб = -11, хс = 20. 4. В треугольнике с вершинами А(4; -14; 8), Б(2; -18; 12), С(12; -8; 12) найти длину высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ. 5. Дана пирамида с вершинами в точках А\{—2;0;— 4), А2(—1;7; 1), А3(4; -8; -4), А4(1; -4; 6). Найти: а) длину ребра А2А3; б) косинус угла между ребрами А\А2 и А\А^ в) объем пирамиды. Вариант 4 1. В ромбе ABCD диагонали АС = а и BD = Ь. Разложить по этим двум векторам векторы АВ, ВС, CD, DA. 2. Зная одну из вершин треугольника А(1; -6; 3) и векторы, совпадю- щие с двумя сторонами А В = Sj -f Ък и ВС = 4г + 2j — к, найти остальные вершины и вектор С А. 3. Найти вектор ш, зная, что fn _L с, та = 4, mb — 35, где а — (3; —2; 4), Ь=(5;1;6),с=(-3;0;2). 4. Зная две стороны АВ = (—3; — 2; 6), ВС = (—2; 4; 4) треугольника ABC, вычислить длину высоты AD. 5. Дана пирамида с вершинами в точках Ai(l;2;0), А2(3;0;— 3), Л3(5;2;б), А4(8;4;-9). Найти: а) длину ребра А2Аз; б) угол между ребрами А\А2 и AiA*; в) объем пирамиды. _i
Глава 4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ □ §1. МЕТОД КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ Прямоугольная система координат Метод координат заключается в установлении соответствия между точками прямой (плоскости, пространства) и их координатами — действительными числами при помощи системы координат. ^ Прямоугольная система координат Оху на плоскости задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми, на каждой из которых выбрано положительное направление и задан единичный отрезок. Эти прямые называют осями координат. Одну из осей называют осью абсцисс и обозначают Ох, другую — осью ординат {Оу). Единичные векторы осей Ох и Оу обозначают соответственно г и j Если М — произвольная точка плоскости, то вектор ОМ называется радиусом-вектором точки М. ^ Координатами точки М в системе координат Оху называются координаты радиус-вектора ОМ. Если ОМ = (х;2/), то координаты точки М записывают так: М{х\у)\ при этом число х называется — абсциссой точки М, а число у — ординатой точки М. Координаты точки полностью определяют ее положение на плоскости: каждой паре чисел х иу соответствует единственная точка М плоскости, и наоборот. Расстояние между двумя точками Mi{x\\yi) и М2(х2;у2) на плоскости вычисляется по формуле x1y + (y2-y1)2. (1.1) Координаты (х; у) точки М, делящей в заданном отношении А отрезок АВ, где А(х\\у\) и В{х2',У2) (А = irrk), находятся по формулам _ х1+Хх2 _ У1+\у2 Х~ 1 + А ' У~ 1+А ' ( ' В частности, при А = 1 (точка М делит отрезок АВ пополам), получаются формулы координат середины отрезка 118
Площадь ^треугольника с вершинами А(х\',у\), В(х2;у2), С(хз;уз) вычисляется по формуле \ 5 = -\{х2 - -У\) - {хз - или, что то же самое: 5 = к|Д|, где Д = -2/i)l 2/2-2/1 2/3-2/1 (1.4) Рис. 13 4.1.1. Найти точку, симметричную точке А(—2; 4) относительно биссектрисы первого координатного угла. О Проведем через точку А прямую /i, перпендикулярную биссектрисе I первого координатного угла (рис. 13). Пусть h П/ = С. На прямой 1\ отложим отрезок САг, равный отрезку АС. Прямоугольные треугольники АС О и А\СО равны между собой (по двум катетам). Отсюда следует, что |Oj4| = = |OAi|. Треугольники ADO и ОЕА\ также равны между собой (по гипотенузе и острому углу). Заключаем, что \AD\ = = \ОЕ\ = 4, \OD\ = \EA\\ = 2, т.е. точка Ai имеет координаты х = 4, 2/ = -2, т.е. Ai(4;-2). Отметим, что имеет место общее утверждение: точка А\, симметричная точке А(а; Ь) относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов, имеет координаты (6;а), т.е. Аг(Ь;а). • 4.1.2. Дана точка Л(3; —2). Найти координаты точек, симметричных точке А относительно оси Ох, оси Оу, начала координат. 4.1.3. Найти координаты точки А\, симметричной точке А(2; 4) относительно биссектрисы: 1) второго и четвертого координатных углов; ^ В 2) первого и третьего координатных углов. 4.1.4. В треугольнике с вершинами А(2; 3), #(6; 3), С(6; -5) найти длину биссектрисы ВЫ. О По свойству биссектрисы внутреннего М угла треугольника см МА ВС ВА (рис. 14). Находим, используя формулу (1.1), длины сторон ВС и В А треугольника ABC: \ВС\ = У(6 - б)2 + (-5 - ЗУ = 8, \ВА\ = = у/(2 - б)2 + (3 - З)2 = 4. Следовательно, Рис. 14 119
CM MA о j = ?, т. е. Л = 2. Находим координаты хм и ум точки' M, используя формулу (1.2): хм = i+ 2 » Ум = 10 1 (10 1 \ т.е. хм = "у, Ум = ^j т.е. М(^;^1. Находим длину биссек- трисы ВЫ: БМ = л/(^-б)2+(А-з)2 = Л + ^ = |^2, т.е. БМ = 4.1.5. Доказать, что треугольник с вершинами А(-2;-1), Б(6; 1), С(3; 4) — прямоугольный. 4.1.6. Точки А(2;4), £(—3;7) и С(—6; 6) — три вершины параллелограмма, причем А и С — противоположные вершины. Найти четвертую вершину. 4.1.7. Дан треугольник с вершинами А(—2;4), Б(—6;8), С(5; -6). Найти площадь этого треугольника. 4.1.8. Найти точку, в которой прямая, проходящая через точки А(5; 5) и .8(1; 3), пересечет ось Ох. О Координаты искомой точки С есть (х; 0). А так как точки А, В и С лежат на одной прямой, то должно выполняться условие (x2-xi)(y3-yi)-(x3-xi)(y2-yi) =0 (формула (1.4), площадь треугольника ABC равна нулю!), где (xi;yi) — координаты точки А, (£25 2/2) — точки В, (хз;уз) — точки С. Получаем (1-5)(0-5)-(ж-5)(3-5) = 0, т.е. 20+2(х-5) = 0, х-Ъ = -10, х = — 5. Следовательно, точка С имеет координаты х = — 5, у = 0,т.е.С(-5;0). • 4.1.9. Доказать, что три точки (2;3), (5; 7), (11; 15) лежат на одной прямой. 4.1.10. Разделить отрезок между точками (0; 2) и (8; 0) в таком же отношении, в каком находятся расстояния этих точек от начала координат. 4.1.11. На оси ординат найти точку, отстоящую от точки А(3; — 8) на расстоянии 5 единиц. Дополнительные задачи 4.1.12. Найти длину вектора АВ, соединяющего точки А(—4; 5) и В(—6; 7), и угол между этим вектором и положительным направлением оси Ох. 4.1.13. Отрезок с концами А(1;— 5) и Б(4; 3) разделен на три равные части. Найти координаты точек деления. 4.1.14. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, имеющей форму треугольника с вершинами в точках 120
В(х2',У2), С(хз]уз) (центр тяжести треугольника находится в точке пересечения его медиан). 4.1.15. Центр тяжести треугольника ABC лежит на оси Ох. Найти координаты вершины С, зная координаты вершин Л(3; 1) и В(1; -3); площадь треугольника равна 3. 4.1.16. На оси абсцисс найти точку М, расстояние от которой до точки А(1;4) равно 5. 4.1.17. Найти координаты точки, одинаково удаленной от осей координат и от координаты точки -4(1; 8). 4.1.18. Определить, есть ли среди внутренних углов треугольника с вершинами -4(1; 1), В(0] 2) и С(2; —1) тупой угол. 4.1.19. Даны вершины треугольника: -4(7; 2), 2?(1; 9), С(-8; -11). Найти расстояние от точки О пересечения медиан треугольника до вершины В. 4.1.20. Две противоположные вершины квадрата находятся в точках -4(3; 5) и С(1; —3). Найти его площадь. 4.1.21. Найти площадь четырехугольника с вершинами -4(—3;2), 4.1.22. Даны вершины треугольника А(-3;6), Я(9;-10), С(-5;4). Найти координаты центра и радиус описанного около него круга. 4.1.23. Даны вершины Л(2; 1), £(-2; -2), С(-8; 6) треугольника ABC. Найти длину высоты, опущенной из вершины В. 4.1.24. Даны две смежные вершины параллелограмма А(—2; 6), В(2; 8) и точка пересечения его диагоналей М(2; 2). Найти координаты двух других вершин. 4.1.25. Даны середины сторон треугольника М(-1; 5), ЛГ(1; 1), Р(4; 3). Найти координаты его вершин. 4.1.26. В треугольнике с вершинами О(0; 0), А(8; 0), В(0; 6) определить длину медианы ОС и биссектрисы OD. 4.1.27. Отрезок с концами А(-8; -8) и В(—2; —4) разделен на четыре равные части. Найти координаты точек деления. До какой точки надо продолжить отрезок АВ, чтобы его длина увеличилась в 3 раза? 4.1.28. Даны точки А(1;2) и £?(4;4). На оси Ох найти точку С так, чтобы площадь треугольника ABC была равна 5. 4.1.29. Даны две противоположные вершины квадрата Л(3;0) и С(—4; 1). Найти координаты двух его других вершин. 4.1.30. Дан треугольник с вершинами А(-\/&; 1), J9(0; 2), С(-2>/3; 2). Найти его внешний угол при вершине А. 4.1.31. Прямая проходит через точки А(2; -3) и В(—6; 5). На этой прямой найти абсциссу точки, ордината которой равна —5. 121
4.1.32. Определить центр тяжести однородной пластинки, изображенной на рисунке 15. - 6 12 6 12 4.1.33. Рис. 15 Определить площадь параллелограмма, три вершины которого — точки А(-2; 3), Я(4; -5), С(-3; 1). Контрольные вопросы и более сложные задачи 4.1.34. В точках Mi (ж i; 2/i), -ОДДа^З/г^ -Мз(#з;2/з) помещены массы mi, Ш2, газ соответственно. Найти центр тяжести системы. Указание, центр тяжести системы двух масс делит отрезок на части, обратно пропорциональные массам, сосредоточенным на концах отрезка. 4.1.35. Найти положение центра тяжести проволочного треугольника, вершины которого расположены в точках (0;0), (0;3) и (4;0). 4.1.36. Даны вершины однородной треугольной пластинки A(xi]yi), #(#252/2), С(#з;Уз)- Если соединить середины ее сторон, то образуется новая треугольная пластинка. Доказать, что центры тяжести обеих платинок совпадают. 4.1.37. Даны две смежные вершины квадрата А(2; —1) и В(—1; 3). Найти координаты двух его других вершин. 4.1.38. Найти координаты центра правильного шестиугольника, зная две его смежные вершины: А(2;0) и Б(5;3\/3). 4.1.39. Показать, что точки А(-3;8), В(1;5) и С(4; 1) могут служить тремя вершинами ромба, вычислить площадь этого ромба. 4.1.40. Прямая линия отсекает на оси Ох отрезок О А = 4 и на оси Оу отрезок ОБ = 7. Найти координаты основания перпендикуляра, опущенного из начала координат на данную прямую. Указание. А = 4jj. 122
4.1.41. В каких четвертях могут быть расположены точки М(х;у), если 1) ху > 0; 2) ху < 0; 3) х - у = 0; 4) х - у > 0; 5) х + у = 0? 4.1.42. Проведен отрезок от точки Л(1;—1) до точки (-4;5). Найти координаты точки, до которой нужно продлить его в том же направлении, чтобы длина его удвоилась? 4.1.43. Доказать, что во всяком прямоугольном треугольнике длина медианы, соединяющей вершину прямого угла с серединой гипотенузы, равна половине гипотенузы. 4.1.44. Точки А{х\\у\) и В(х2',У2) служат смежными вершинами ромба, диагонали которого параллельны осям координат. Как выразить координаты остальных вершин через координаты данных точек? 4.1.45. Как расположены точки, имеющие одну и ту же проекцию на ось 0x1 на ось Оу? Полярная система координат ^ Полярная система координат задается точкой О, называемой полюсом, лучом Ор, называемым полярной осью, и единичным вектором ё того же направления, что и луч Ор. Положение точки М на плоскости определяется двумя числами: ее расстоянием г от полюса О и углом <£>, образованным отрезком ОМ с полярной осью (рис. 16) и отсчитываемым в положительном направлении. M(r;<p) Рис. 16 ^ Числа г и <р называются полярными координатами точки М: г называют полярным радиусом, if — полярным углом. Если рассматривать значения г в промежутке [0; +оо), а значения у? в (—тг;тг] (или в [0;2тг)), то каждой точке плоскости (кроме О) соответствует единственная пара чисел ги<р,и наоборот. 123
Рис. 17 Если совместить полюс О с началом координат системы Оху, а полярную ось — с положительной полуосью Оху (рис. 17), то связь между полярными и прямоугольными координатами точки (кроме точки О) устанавливается формулами: | X = Г COS <£, I у = г sin </? (1.5) \Jx2 + у2 (1.6) Откуда, в частности, tg</? = ^, где х ф 0. 4.1.46. Найти прямоугольные координаты точки М с полярными координатами (2; — 4тг J. О Имеем г = 2, у> = — 4тг. По формулам (1.5) находим х — о = -л/3. Итак, М(-1; -л 4.1.47. Найти прямоугольные координаты точек А, В, С, D, Е для которых известны полярные координаты: Л(3;0), £н2;-тП, 4.1.48. Найти полярные координаты точки М с прямоугольными координатами (-УЗ;— 1). О Имеем х = — \/3, t/ = —1. По формулам (1.6) находим = -^т= = 4=- Точка М лежит — v 3 v 3 г = \/(-уД)2 + (-1)2 = 2, v в III четверти, следовательно, с учетом того, что — тг < ip ^ тг, получаем ^> = ^ - тг = — ^тг. Итак, My2; — йтг)- • 124
4.1.49. Найти полярные координаты точек А, В, С, D, Е для которых известны прямоугольные координаты: А(-3;3), Б(0;-5), 4.1.50. В полярной системе координат заданы точки М2(г2;</?2)- Найти: а) расстояние между точками М\ и М2; б) площадь треугольника 0M\M<i (О — полюс). О а) Воспользуемся формулами (1.1) и (1.5): d = V(x2- xi)2 + (2/2 - У1)2 = 4- (7*2 si = Vrl + Г2 - т. e. d = y/r\ +r% б) пользуясь формулой для площади треугольника со сторонами а и Ь и углом а между ними [S = Aabsina), находим площадь треугольника S = -Г1Г2 sin(<^2 -Ч>\)- • 4.1.51. Сторона правильного шестиугольника равна 1. Приняв за полюс одну из его вершин, а за полярную ось — сторону, через нее проходящую, найти полярные координаты остальных пяти вершин. 4.1.52. В полярной системе координат точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD совпадает с полюсом. Знал вершины Уц3; — $7г) и£[5;4тг), найти другие вершины параллелограмма. Дополнительные задачи 4.1.53. В полярной системе координат даны две противоположные вершины квадрата Af 2; — ^J иС(2;4тг). Найти его площадь. 4.1.54. Одна из вершин треугольника лежит в полюсе полярной системы координат, а другие в точках А(2;0) и В\А\ тП. Найти радиус вписанной в треугольник окружности. 4.1.55. В полярной системе координат даны точки А(8;-4тм и Б(6;тН. Найти полярные координаты середины отрезка, соединяющего эти точки. 125
4.1.56. Треугольник ABC задан полярными координатами вершин: Л(5;тП, В(8;|тм, С(3;1тм. Доказать, что он равнобедренный. 4.1.57. Найти полярные координаты точек, симметричных точкам (2;|), (l;-f)> (3;0) относительно а) полюса, б) полярной оси. 4.1.58. В полярной системе координат даны две смежные вершины квадрата А(2; — jj иВ13; д71")- Найти его площадь. 4.1.59. В полярной системе координат даны две вершины правильного треугольника: А(5; ?}, В(8; — j^j. Найти его площадь. 4.1.60. Найти площадь треугольника, вершины которого А(3;? В(8; ^гЯ")» С(6; йтм заданы в полярных координатах. Контрольные вопросы и более сложные задачи 4.1.61. Как расположены точки, полярные координаты которых удовлетворяют уравнению: а) г = 2; «>* = -$; в) <р = О? 4.1.62. Каковы координаты точки В полярной оси, отстоящей от точки а(7л/2;|) на 7 единиц? 4.1.63*. Построить множество точек плоскости, полярные координаты которых удовлетворяют уравнению: а) г = Ър\ б) г — 2sin<^; в) г =-2-; 7 COS (f' г) rsin<p = 1; = -1. Уравнение линии (кривой) на плоскости ^ Уравнением линии (кривой) на плоскости Оху называется уравнение F(x; у) = 0, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки этой линии и только они. Переменные х и у в уравнении линии называются текущими координатами точек линии. 126
Задача о нахождении точек пересечения двух линий, заданных уравнениями F\(x,y) = 0 и F2(x,y) = 0, сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными f Fi(a?;y)=O, 1F2(*;»)=O. (1.7) Аналогично вводится понятие уравнения линии в полярной системе координат: F(r; <p) = 0. Линию на плоскости можно рассматривать как траекторию пути, пройденного точкой, движущейся по какому-нибудь закону. Если абсцисса точки М(х; у) изменяется по закону х = x(t), а ордината — по закону у = y(t), где t — переменная, называемая параметром, то уравнение линии записывается в виде Эти уравнения называются параметрическими уравнениями линии. Линию на плоскости можно задать векторным уравнением г = где t — скалярный параметр: при изменении t конец вектора f = f(t) описывает некоторую линию, называемую годографом (см. рис. 18). Параметрические уравнения годографа: х = x(t), у = y(t). У\ О • О Рис. 18 Рис. 19 4.1.64. Описать уравнением множество всех точек плоскости, равноудаленных от начала координат и от точки А(—2; 4). О Пусть М(х] у) — произвольная точка искомого множества точек плоскости. Тогда согласно условию задачи, \МА\ = \МО\, где О(0; 0) — начало координат (рис. 19). По формуле (1.1) находим \МА\ и \МО\: \МА\ = у/(х + 2)2 + (у - 4)* \МО\ = = у/х2 +у2. Имеем у/(х -f 2)2 + (у — 4)2 = \Jx2 +2/2, т.е. х2 + 4х Н- 4 + 2/2 - 8?/ 4-16 = х2 + з/2, откуда 4х - 8у + 20 = 0. Окончательно получим х — 2у + 5 = 0. Это уравнение прямой, перпендикулярной отрезку О А и делящей этот отрезок пополам. • 127
4.1.65. 4.1.66. 4.1.67. 4.1.68. 4.1.69. 4.1.70. Составить уравнение линии, точки которой равноотстоят от двух заданных точек А(-2; 0) и Б(4; 2). Найти геометрическое место точек, одинаково удаленных от прямой х = 2 и точки F(4; 0). Стержень АВ скользит своими концами по координатным осям. Точка М делит стержень на две части AM = а и ВМ — Ь. Найти параметрические уравнения траектории точки М, приняв в качестве параметра угол t = /.OBA. О Рассмотрим треугольник МСВ (рис. 20): в нем \CB\=bcost, \СМ\ = bsint. Очевидно, \ОВ\ = (а + b)cost. Стало быть, х = = \OB\-\CB\ = (a + b)cos*-bcost = acos«, у = \МС\ = bsint. Таким образом, получаем уравнения искомой линии I х = a cos t, [у = bsint, Уравнение траектории точки М можно записать в виде F(x; у) = 0. Для этого перепишем найденные уравнения линии в виде - = cos£, У- = sint. Возводя в ква- а о драт полученные равенства и складывая их почленно, получаем У\ А \М(Х]У) х2 у2 О С В х а2 Ь2 Рис. 20 Линия, определяемая этим уравнением, называется эллипсом. • Составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до оси Ох в три раза меньше, чем до оси Оу. Найти уравнение траектории перемещения точки М, которая движется так, что расстояние от нее до точки Мо(2; -3) всегда равно 5. В полярной системе координат составить уравнение окружности диаметра а, если полюс системы координат лежит на окружности, а полярная ось проходит через ее центр. О Пусть М(г;(р) — произвольная точка данной окружности. Рассмотрим АОМА (см. рис. 21). Р Рис. 21 128
В нем \0М\ = г, Z.MOA = <р, ZOMA = ^ (вписанный угол, опирающийся на диаметр). Поэтому cos</? = —. Отсюда находим г — a cos tp — искомое уравнение окружности. • 4.1.71. Составить параметрические уравнения окружности. В качестве параметра t использовать угол между осью Ох и вектором ОМ. 4.1.72. Составить уравнение окружности радиуса Д, центр которой лежит на прямой, перпендикулярной полярной оси, а полюс системы координат лежит на окружности. 4.1.73. Луч выходит из полюса и наклонен к полярной оси под углом ?. Составить уравнение этого луча в полярных координатах. 4.1.74. Дана окружность х2 +у2=9. Лежат ли на ней точки Мх(2л/2; 1), М2(2; 3)? Пересекается ли эта окружность с прямой у = 3? О Подставляем координаты точки М\ в уравнение окружности. Получаем тождество (2д/2)2 + 1 = 9. Значит точка М\ лежит на окружности. Точка М2 не лежит на окружности, т.к. 22 + З2 ф 9. Для ответа на второй вопрос решим систему откуда получаем х = О, у = 3. Таким образом, окружность и прямая имеют одну общую точку (0; 3) — прямая касается окружности. • 4.1.75. Указать какие из данных точек Ai(l;l), A2(2;2), А3(л/3;—1), АА — А; ? J лежат на кривой у = 2 - х2. 4.1.76. Найти точки пересечения кривой у = б + 5я - х2 с осями координат. 4.1.77. Найти точки пересечения линий х + 1у = 25 и х2 + у2 = 25. 4.1.78. На окружности х2 Л- у2 = 25 найти точки: а) с абсциссой х = 3; б) с ординатой у = у0. Дополнительные задачи 4.1.79. В прямоугольных координатах даны параметрические уравнения кривых: .){* = 2*' *6R vlrlT: «ер;*). 129 9 - 2361
Найти уравнения заданных кривых в виде F(x; у) = 0. 4.1.80. Написать уравнение кривой, сумма расстояний от каждой точки которой до точек Fi(—2;0) и 1*2(2;0) равна 2у/5. 4.1.81. Вывести уравнение геометрического места точек, для которых модуль разности растояний до точек Fi(-4;0) и ^(4;0) равен 4. Контрольные вопросы и более сложные задачи 4.1.82. Найти уравнение множества точек, произведение расстояний от которых до двух данных точек Fi(a;0) и F2(—a;0) есть величина постоянная, равная а2. Полученное уравнение записать в полярных координатах. 4.1.83. Окружность радиуса а катится без скольжения по оси абсцисс из начала координат. Найти параметрические уравнения кривой, описанной точкой окружности, которая при начальном положении совпадала с началом координат. (За параметр t взять угол поворота радиуса окружности.) 4.1.84. Отрезок А В длины 2а скользит своими концами по сторонам прямого угла. Из вершины этого угла на этот отрезок опущен перпендикуляр ОС. Найти уравнение кривой, описанной основанием таких перпендикуляров. (Поместить полюс О в вершину прямого угла, полярную ось направить по стороне угла.) 4.1.85. Составить уравнение геометрического места центров окружностей, касающихся оси Ох и проходящих через точку А(2;3). 4.1.86. Прямая перемещается так, что треугольник, образованный ею с осями координат, меняется, но сохраняет постоянную площадь 5. Найти траекторию движения середины отрезка, отсекаемого осями координат на этой прямой. 4.1.87. Изобразить множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки А (фокуса) и данной прямой (директрисы). Составить уравнение кривой, обозначив через р расстояние от фокуса до директрисы (систему координат выбрать так как указано на рис. 22). 4.1.88. Какие геометрические образы соответ- \А Р ствуют уравнениям: а) 2ху = 0; Рис. 22 б) х2 + ху = 0; в) я2+з/2=О? 130
4.1.89. Проходит ли линия, заданная уравнением х2 + 4ху + 6у2 - 2х + 2у = О через начало координат? 4.1.90. Изобразить фигуру, заданную уравнением: 1) х + у = 1; 2) \х\ + М = 1; 3)х2 +2/2=О; ) ||1/ |»| 4.1.91. Симметрична ли фигура, заданная уравнением (х2 + у2 + у)2 = х2 -\- у2 относительно оси Oyl оси Ох? 4.1.92. Какая линия определяется параметрическими уравнениями: { = *-4? §2. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ Различные виды уравнения прямой Каждая прямая на плоскости Оху определяется линейным уравнением первой степени с двумя неизвестными. Обратно: каждое линейное уравнение первого порядка с двумя неизвестными определяет некоторую прямую на плоскости. 1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид у = кх + Ъ, (2.1) где к — угловой коэффициент прямой (т. е. тангенс угла а, который прямая образует с положительным направлением оси Ох, к = tga), Ь — ордината точки пересечения прямой с осью Оу. 2. Общее уравнение прямой: Ах + By + С = 0, (2.2) где А, В и С — постоянные коэффициенты, причем Аи В одновременно не обращаются в нуль (А2 + В2 фО). Заметим, что п = (А; В) — нормальный вектор прямой (п перпендикулярен прямой). Частные случаи этого уравнения: Ах + By = О (С = 0) — прямая проходит через начало координат; Ах + С = 0 (В = 0) — прямая параллельна оси Оу; By + С = 0 (А = 0) — прямая параллельна оси Ох; 131
Ах = О (В = С = О) — прямая совпадает с осью Оу; By = О (А = С = 0) — прямая совпадает с осью Ох. 3. Уравнение прямой в отрезках: jj + J-1, (2.3) где а и Ь — длины отрезков (с учетом знаков), отсекаемых прямой на осях Ох и Оу соответственно (рис. 23). У ъ о М2(0 с Ъ) 1 fi(a;O) \^ X Рис. 23 4. Уравкение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении: У -2/0 = *(я-а?о), (2.4) где к = tga (a — угол, образуемый прямой с осью Ох); (#о;2/о) — ко~ ординаты данной точки. Уравнение (2.4) называют также уравнением пучка прямых с центром в точке (#о5 2/о); уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения двух прямых А\х Л- В\у + С\ = 0 и + В2У + Сг = 0 имеет вид + Вгу + Ci + А(А2а: + В2у + С2) = 0, (2.5) где Л — числовой множитель. 5. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки М\(х\',у\) и М2(х2]У2), где 2/i ф 2/2, #i ф %2 имеет вид у^т_ = х-х^ 2/2 - 2/1 Х2- Xi Угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки, определяется по формуле _ к = У2 У1 . (2.7) х2 -xi Если х\ = х2, то уравнение прямой (2.6) имеет вид х = х\\ если у\ =2/2, то: у = 2/1- 6. Нормальное уравнение прямой: х cos а + у sin a — р = 0, (2.8) где р — длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а — угол, который этот перпендикуляр образует с положительным направлением оси Ох (рис. 24). 132
Общее уравнение прямой (2.2) можно преобразовать в нормальное уравнение (2.8) путем умножения на нормирующий множитель = ; знак перед дробью берется противоположным знаку 1 ± у/А2 + В2' свободного члена С (в общем уравнении прямой). О Рис. 24 Рис. 25 7. Уравнение прямой в полярных координатах имеет вид г cos((p — а) = р, (2.9) г, <р, а, р — изображены на рисунке 25 (полярная система координат). 4.2.1. Построить прямую, заданную уравнением 2х — у — 4 = 0. О 1- Для построения прямой достаточно знать координаты двух ее произвольных точек. Полагая в уравнении прямой, например, х = 0, получим у = —4. Имеем одну точку А(0; — 4). Полагая х = 1, получим у — -2. Отсюда вторая точка Б(1; —2). Осталось построить точки А и В и провести через них прямую (рис. 26). Рис. 26 Рис. 27 2. Задачу можно решить иначе, используя уравнение прямой в отрезках. Приведем уравнение к виду (2.3). Для этого перенесем свободный член (—4) в правую часть уравнения и обе его части разделим на 4. Получаем 2х — 2/ = 4, ^f~4 = l> 133
т. е. ^ + -^-7 — \ — уравнение прямой в отрезках на осях. На оси Ох отложим 2 единицы вправо (от начала координат); на оси Оу отложим 4 единицы вниз. Получаем две точки на осях, через которые проводим прямую (рис. 27). • 4.2.2. Записать уравнение прямой у = 2х — 3 в отрезках и построить ее. 4.2.3. Определить при каком значении а прямая (а2 — а)х+ (2 +а)у — - За + 1 = О а) параллельна оси Ох; б) проходит через начало координат. 4.2.4. Найти к из условия, что прямая у = кх + 2 удалена от начала координат на расстояние \/3. 4.2.5. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(—2; ^ J и образующей с осью Ох угол, равный arctg 3. 4.2.6. Уравнение прямой 4х - Зу + 12 = 0 представить в различных видах (с угловым коэффициентом, в отрезках, в виде нормального уравнения). О Для получения уравнения прямой с угловым коэффициентом разрешим заданное уравнение относительно у. Получим Зу — 4х +12 и далее у = \х + 4 — уравнение прямой с угловым о коэффициентом; здесь к = ^, 6 = 4. Для получения уравнения прямой в отрезках перенесем свободный член С = 12 вправо и разделим обе части уравнения на —12. В результате получим ~^~о + \ — 1 — уравнение в отрезках на осях; здесь а = —3, 6 = 4. Приведем исходное уравнение к нормальному виду (2.8). Для этого умножим обе части уравнения 4ж — Зу+12 = 0 на нормирующий множитель Л = > , т. е. Л = — i Перед - у/42 + (-3)2 э корнем взят знак «минус», т. к. свободный член (С = 12) имеет знак «плюс». Получим — ^(Ах —Зу+12)=0, т. е. —Ьх+^у — ^г = = 0; здесь cosa = —^, sina = ^ (cos2 a -I- sin2 a = Щ+ъъ = 4i p = ^, т. е. расстояние от О(0; 0) до прямой равно 2,4. • о 4.2.7. Записать уравнение с угловым коэффициентом, в отрезках и нормальное для заданных прямых и определить на каком расстоянии от начала координат они находятся: а) 2х - Зу + б = 0; б) х + 2,5 = 0; в) у = х-1; г) х + Ъу = 0. 134
4.2.8. 4.2.9. 4.2.10. 4.2.11. 4.2.12. 4.2.13. 4.2.14. Написать уравнение прямой, проходящей через точки: а) А(0;2),В(-3;7); У i 1"' А В У = 1 О а) Используем уравнение (2.6). Полагая в нем #i=0, у\ =2, х2 = -3, 2/2 = 7, получим = -^5, т.е. -Зу + 6 = — о О.. Рис. 28 или или 5х 4- Зу - 6 = 0. б) Решаем аналогично: У ~ -. = ? ~ i. Так как yi = 2/2, заключаем, что 2/-1 = О,2/ = 1 есть уравнение прямой, проходящей через точки Аи В. (Для наглядности построим точки и прямую в системе Оху — см. рис. 28.) • Найти угловой коэффициент к прямой и ординату точки ее пересечения с осью Оу, зная, что прямая проходит через точки Прямая проходит через точки Л(2;3) и В(—4;— 1), пересекает ось Оу в точке С. Найти координаты точки С. Какую абсциссу имеет точка М, лежащая на прямой, проходящей через точки А(—2; -2) и В(—1;6), и имеющая ординату, равную 22? Из пучка прямых, определяемых уравнением у + 3 = к(х — 2) выделить ту, которая проходит через точку А(—2; 5). О Подставим координаты точки А в уравнение прямой: 5 4- 3 = к(—2 — 2), получим к = 8 : (—4) = —2. Следовательно, искомое уравнение прямой есть у + 3 = —2(х — 2), т.е. 2х + у - 1 = 0. • Найти прямую, принадлежащую пучку -4х+2у+1+\(х-Зу+2) = 0 и проходящую через точку А{\; 0) и написать ее уравнение. Составить уравнение прямой в полярных координатах, если известно, что она проходит через точку М\2; тг ) и наклонена к полярной О ОСИ ПОД УГЛОМ tjT Рис. 29 Воспользуемся уравнением (2.9). Очевидно (см. рис. 29) () () 135
= 2cos^ = 2^ = \/3, т.е. р = л/3. Следовательно, уравнение искомой прямой есть г cosf tp — 2L) = у/3. • 4.2.15. Найти уравнение прямой: а) образующей с осью Ох угол 5 и пересекающей ось Оу в точке (0;-6); б) параллельной оси Ох и отсекающей на оси Оу отрезок, равный 2; в) отсекающей на осях координат отрезки, равные 3 и 4. Дополнительные задачи 4.2.16. Составить уравнение прямой, если точка М(4;2) является серединой ее отрезка, заключенного между осями координат. 4.2.17. Составить уравнение прямой, отсекающей на положительных полуосях координат равные отрезки, если длина отрезка, заключенного между осями координат, равна 7л/2. 4.2.18. Луч света, пройдя через точку А(2;3) под углом а к оси Ох, отразился от нее и прошел через точку В(—5; 4). Найти угол а. 4.2.19. Луч света направлен по прямой х — у — 1 = 0. Определить точку встречи луча с осью Ох и уравнение прямой, по которой направлен отраженный луч. 4.2.20. При каких значениях а и /3 прямая (а - /3)х + (2а + /3)у -1 = 0 отсекает на оси Ох отрезок, равный i а на оси Оу — отрезок, равный ^ (единиц масштаба). 4.2.21. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(4;4) и отсекающей от координатного угла треугольник площадью 5 = 4. 4.2.22. Составить уравнение биссектрисы внутреннего угла А треугольника ABC с вершинами А(1; -2), В(5;4), С(-2;0). 4.2.23. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(3; — 4), являющуюся основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую. 4.2.24. Дан треугольник с вершинами А(3; 2), Б(3; 8), С(6; 2). Написать уравнения сторон треугольника. 4.2.25. Составить уравнение прямой, зная, что расстояние от нее до начала координат равно л/2, а угол между перпендикуляром, опущнным из начала координат на прямую, и осью Ох, ра- вен jtt. 4.2.26. Найти площадь треугольника, заключенного между осями координат и прямой 2х — by + 10 = 0. 136
4.2.27. Составить (в полярных координатах) уравнение прямой, проходящей через точки Mi (4; |И и М2(4;0). 4.2.28. Равнобедренная трапеция с основаниями 10 и 4 имеет острый угол j. Написать уравнение сторон трапеции, приняв за ось Ох большее основание, за ось Оу — ось симметрии трапеции. 4.2.29. Через середину отрезка АВ, где А(4;0), J9(0;6), провести прямую, отсекающую на оси Ох отрезок вдвое больший, чем на оси Оу и написать ее уравнение. 4.2.30. Написать уравнение прямой, параллельной биссектрисе второго координатного угла и отсекающей на оси Оу отрезок, равный 3. 4.2.31. При каком значении С прямая 2х — Зу + С = 0 пересекает ось Оу в точках с ординатами Ь\ = 2; 62 = — 3? 4.2.32. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(2; — 1) и параллельной биссектрисе второго координатного угла. 4.2.33. Найти прямую, проходящую через точку пересечения прямых х — 2у + 3 = 0и2х + у + 5 = 0и параллельную оси ординат и написать ее уравнение. 4.2.34. Через точку пересечения прямых х + у — 6 = 0и2х + у — 13 = 0 провести прямую (не совпадающую с данными), отсекающую на осях равные отрезки и написать ее уравнение. 4.2.35. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку М(2; — 6) и отсекает на осях Ох и Оу отрезки одинаковой длины (считая каждый отрезок направленным от начала координат). 4.2.36. Через точку М(4; 3) проведена прямая, отсекающая от координатного угла треугольник, площадь которого равна 3. Найти точки пересечения этой прямой с осями координат. Контрольные вопросы и более сложные задачи 4.2.37. Даны две точки М\{—3;8) и М2(2;2). На оси абсцисс найти такую точку М, чтобы ломаная MiMM2 имела наименьшую длину. 4.2.38. Из точки А(-5; 6) выходит луч света под углом arctg(-2) к оси Ох и отражается от оси Ох, затем от оси Оу. Найти уравнения прямых, по которым направлены все три луча. 4.2.39. Доказать, что условие принадлежности трех точек Mi(x\;yi), (^2;2/2), Мз(хз;уз) одной прямой можно записать в виде Х\ У\ Х2 2/2 Уз 1 = 0. 137
4.2.40. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых х + у — 1 = 0их + 2у + 1 = 0 и отсекающей на отрицательной части оси Оу отрезок, равный 2. 4.2.41. Какова должна быть зависимость между коэффициентами А и JB, чтобы прямая Ах + By + С = О была наклонена к оси Ох под углом ^тг? 4.2.42. Найти уравнение прямой, содержащей биссектрису острого угла, образованного прямыми у = \/Зх + 4 и у = 4. 4.2.43. При каком значении а прямая х + у + а2-2а + 1 = 0 проходит через начало координат? 4.2.44. Является ли уравнение |х| + |у| = 0 уравнением прямой? 4.2.45. Является ли уравнение х2 - у2 = 0 уравнением прямой, содержащей биссектрису второго координатного угла? 4.2.46. Под каким углом к положительному направлению оси Ох наклонены прямые у = 1,5х и у = — у/Зх! 4.2.47. Какая из прямых 2х — 4у + 3 = 0их + у = 0 отсекает на оси ординат отрезок большей длины? 4.2.48. Прямая у = Зх + Ь пересекает ось Ох в точке с абсциссой а = 4. Чему равен параметр Ы 4.2.49. Является ли уравнение 5 - % = 1 уравнением прямой в отрезках? Какие отрезки отсекает она на осях координат? 4.2.50. При каких значениях С площадь, ограниченная координатными осями и прямой Зх + Юу + С = 0 равна 135 кв.ед.? 4.2.51. Каково уравнение семейства прямых, угловой коэффициент которых равен — 7j? о Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, пересечение прямых, расстояние от данной точки до данной прямой Под углом между прямыми в плоскости понимают наименьший (острый) из двух смежных углов, образованными этими прямыми. Если прямые 1\ и /2 заданы уравнениями с угловыми коэффициентами у — к\ х + Ь\ и у = &2# + &2, то угол (р между ними вычисляется по формуле Н (2Л0) Условие параллельности прямых 1\ и h имеет вид *i = к2, (2.11) а условие их перпендикулярности Ъ 1 (2.12) 138
(или кгк2 = -1). Если прямые 1\ и 12 заданы общими уравнениями А\х + В\у + С\ = О и Л2# + В2у + С*2 = 0, то величина у> угла между ними вычисляется по формуле условие их параллельности ^ = |^ (или Л!Б2 - A2tfi = 0), (2.14) Л2 ±>2 условие их перпендикулярности AiA2 + £i£2=0. (2.15) Для нахождения общих точек прямых 1\ и 12 необходимо решить систему уравнений [у = k2x + b2. = о, или fy = M + bi, (216) = 0, [у = kx + b При этом: если -Л т^ W^, то имеется единственная точка пересечения прямых; Л2 JD2 ABC если -pL = ■=!• ^ ^1- — прямые 1\ и /2 не имеют общей точки, т. е. Л2 JD2 L>2 параллельны; если -г1 = -=^ = _!■ — прямые имеют бесконечное множество общих А2 В2 С2 точек, т. е. совпадают. ^ Расстоянием d от точки Мо(хо; у о) до прямой Ах + By + С = 0 называется длина,перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Расстояние d определяется по формуле Ах0 + Вуо + d = + в2 (2.17) Расстояние от точки Мо(хо;уо) до прямой xcosa + у sin a — р = 0 вычисляется по формуле d = l^ocosa + 2/0 sin a — p|. (2.18) 4.2.52. Найти угол между прямыми: 1) у = 2х - 3 и у = ix + 5; 2) 2х - Зу + 10 = 0 и 5х - у + 4 = 0; 3) t/ = |х - 2 и 8х + 6у + 5 = 0; 4) у = Ъх + 1 и у = 5х - 2. 139
1) Воспользуемся формулой (2.10). Подставляя в нее зна- ° о | чения fci = 2 и &2 = А, находим tg</? = *"2 1 + 2 ' 2 - I 21 _ £ 2 4J 2) Подставим значения А\ = 2, В\ = -3, ^ = 5, #2 = — 1 в формулу (2.13): tgip = = $; = 1, _ 3 3) Здесь fci = 4, найдем fc2. Для этого перейдем от 6у = = — 8а: — 5 к эквивалентному равенству у = — ^х — §. Здесь о о fc2 = —I. Так как fci • fc2 = —1, то данные прямые (см. (2.12)) перпендикулярны. (По формуле (2.10) получаем: tgtp = = 00,*=$.) 25 12 1-1 4) fci = 5, fc2 = 5, tg <p = 0, ч> - 0. • 4.2.53. Найти угол между двумя прямыми: 1) Зх + 22/ - 1 = 0 и Ъх - у + 4 = 0; 2) у = 3,5х - 3 и 7а: - 2у + 2 = 0; 3) х + 4у + 10 = 0 и 5у - 3 = 0; 4) Зж - 2у + 0,1 = 0 и 2ж + Зу - 5 = 0. 4.2.54. Найти угол между прямыми: б) 2х — Зу = 0 и прямой, проходящей через точки (5; 0) и (0; 3). 4.2.55. Исследовать взаимное расположение следующих пар прямых: 1) За: + 5у - 9 = 0 и Юж - 6у + 4 = 0; 3) 2у = х - 1 и 4у - 2х + 2 = 0; 8) у = 3 - 6х и 12а: + 2у - 5 = 0; 9) 2а: + Зу = 8 и х + у - 3 = 0; 10) |а? - |у - 1 = 0 и |ж + |у + 2 = 0. 4.2.56. При каких значениях а следующие пары прямых: а) параллельны; б) перпендикулярны? 1) 2а: - Зу + 4 = 0 и ах - 6у + 7 = 0; 2) ах - Ау + 1 = 0 и -2я + у + 2 = 0; 140
3) 4х + у - 6 = 0 и Зх + ау - 2 = О; 4) х - ш/ + 5 = О и 2х + 32/ + 3 = О. 4.2.57. Через точку пересечения прямых Зх — 2у + 5 = 0, ж + 2у — 9 = О проведена прямая, параллельная прямой 2х + 2/ + 6 = 0. Составить ее уравнение. О Найдем сначала точку М пересечения данных прямых. Для этого решим систему уравнений {Зх - 2у + 5 = 0, х + 22/ - 9 = 0. Отсюда 4х = 4. И далее, х = 1, у = 4, т. е. М(1;4). Угловой коэффициент прямой 2х + у — 6 = 0 есть &i = —2. Следовательно, угловой коэффициент к прямой параллельной данной, есть к = — 2 (см. (2.11)). По направлению прямой (к = —2) и точке М(1; 4), ей принадлежащей, запишем уравнение искомой прямой: у — 4 = —2(х — 1), т.е. 2х + у — 6 = 0. • 4.2.58. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(—1; 2): а) параллельно прямой у = 2х — 7; б) перпендикулярно прямой х + Зу — 2 = 0. 4.2.59^ Найти уравнение прямой, проходящей через точку В{2\ —3): а) параллельно прямой, соединяющей точки М\{—4;0) и М2(2;2); б) перпендикулярно прямой х - 2/ = 0. 4.2.60. Показать, что уравнение прямой, проходящей через точку (#o5 2/o)5 и параллельной прямой Ах + By + С = 0, имеет вид А(х - х0) + #(2/ - г/о) = 0. 4.2.61. Показать, что уравнение прямой, проходящей через точку (хо; 2/о)5 и перпендикулярной к прямой Ах + By + С = 0, имеет вид А(х - х0) - #(у - 2/о) = 0. 4.2.62. Найти координаты точки М2, симметричной точке Mi(—3;4) относительно прямой 4х — у — 1 = 0. О Точки -Mi и М2 лежат на прямой MiM2, перпендикулярной прямой 4х — 2/ —1 = 0, и одинаково удалены от (см. рис. 30, прямая I). Найдем уравнение прямой MiM2. Так как угловой коэффициент к\ данной прямой равен 4, то угловой коэффициент к прямой M\M2 определяется равенствами к = —у- = —\. Поэтому уравнение прямой MiM2 есть 141 Рис. 30
у - А = —1 (х + 3), т. е. х+Ау —13 = 0. Найдем координаты точки) М — точка пересечения прямой MiM2 и данной прямой: {х + Ау - 13 = 0, Ах-у-1=0. Отсюда х = 1, у = 3, т.е. М(1;3). Точка М(1;3) делит отрезок MiM2 пополам. Из соотношений 1 = %х и 3 = "Г^ находим координаты х и у искомой точки М2: х = 5, у = 2 и М2(5;2). • 4.2.63. Точка А(2; —5) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой х — 2у — 7 = 0. Найти площадь этого квадрата. 4.2.64. Две стороны квадрата лежат на прямых Ъх — 12у — 65 = 0 и Ъх — \2у + 26 = 0. Найти площадь квадрата. 4.2.65. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А{\\ 2) так, чтобы расстояние от этой прямой до точек Mi (2; 3) и М2(4; —5) были бы равны. 4.2.66. Найти геометрическое место точек, расстояние от которых до прямой Ъх — 12у — 13 = 0 равно 3. 4.2.67. Написать уравнение прямой Z2, проходящей через точку Л(0; 2) под углом ? к прямой /i: х — 2у + 3 = 0. О Угловой коэффициент прямой 1\ равен i т.е. к\ = ^ Обозначим через к угловой коэффициент прямой /2. Тогда, по фор- муле (2.10), имеем tg ~ = 1 = 1* . Из этого уравнения на- ходим fc2 = 3 и fc3 = — i- Задача имеет два решения. Для каждого случая напишем уравнение прямой, проходящей через точку А в заданном направлении: у — 2 = 3(х — 0) иу-2 = -^(х — 0), т. е. 3# - у + 2 = 0 и z + 3t/ - 6 = 0. • 4.2.68. Найти расстояние между параллельными прямыми Зх + 4у — - 20 = 0 и 6х + 8у + 5 = 0. О Возьмем на первой прямой произвольную точку А. Пусть, например, х = 0, тогда у = 5, т.е. Л(0;5). По формуле (2.17) находим расстояние d от точки А до второй прямой: 4.2.69. Найти расстояние между прямыми 2х—Зу+8 = 0 и Ах—6у = 10. 4.2.70. Найти длину высоты BD в треугольнике с вершинами А(А; — 3), В(-2;6)иС(5;4). 142
Дополнительные задачи 4.2.71. Даны уравнения оснований трапеции: Зх- Ау —15 = 0, Зх — 4у — — 35 = 0. Найти длину ее высоты. 4.2.72. Написать уравнение прямой, проходящей через точку -4(1; 5) на расстоянии пяти единиц от начала координат. 4.2.73. Найти координаты точки, равноудаленной от двух точек (5; 4) и (—3; 2) и лежащей на прямой х — Зу + 8 = 0. 4.2.74. Даны две вершины треугольника А(2;-2), В(—6; 2) и точка 0(1; 2) пересечения его высот. Найти координаты третьей вершины С. 4.2.75. Составить уравнение прямой, содержащей высоту BD в треугольнике с вершинами А(-3;2), В(Ь; -2), С(0;4). 4.2.76. Найти координаты проекции точки А(1; —3) на прямую 2х - у + 5 = 0. 4.2.77. Найти координаты точки, симметричной точке А(—2; -2) относительно прямой х + у — 4 = 0. Контрольные вопросы и более сложные задачи 4.2.78. Составить уравнение прямой, симметричной прямой х + 2у - -6 = 0 относительно точки А(4; 2). 4.2.79. Доказать, что если две прямые параллельны, то их уравнения можно представить в таком виде, что они будут отличаться только свободными членами. 4.2.80. Найти уравнения прямых, на которых лежат биссектрисы углов между прямыми Зх — 4у + 12 = 0 и Ъх + Yly — 2 = 0. 4.2.81. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(2\Ъ) на расстоянии 2 единиц от точки Б(0; -1). 4.2.82. Написать уравнение прямой, проходящей через точку -4(1; — 1) так, что середина ее отрезка между прямыми 2х — Зу — б = 0 и 2х — Зу + 6 = 0 лежала бы на прямой 2х + 15у — 42 = 0. 4.2.83. Две смежные вершины квадрата имеют координаты (1;4) и (4; 5). Найти координаты двух других вершин. 4.2.84. Дан треугольник с вершинами -4(4; 6), В(—3; 0), С(2; -3). Найти уравнения прямых, на которых лежат биссектриса AD и высота СЕ, и величину острого угла между ними. 4.2.85. Можно ли подобрать коэффициенты Ai и Лг так, чтобы прямые Ъх — Зу Л-1 = 0 и \\х + А22/ -2 = 0 совпали? 4.2.86. Какой угол образует прямая -у= - | = 1 с положительным направлением оси Oyl оси Ох? 4.2.87. Какая должна быть зависимость между коэффициентами а и 6, чтобы прямая - + Я = 1 образовала с осью Оу угол 30°? 60°? 143
4.2.88. Какие из уравнений: б) 2^+1^-2 = 0, в) |я: - jy - 3 = 0, г) х - 3,2 = О, д) у +1 = О являются уравнениями прямых в нормальном виде? 4.2.89. При каком значении а прямая х + у — а = 0 касается окружности х2 + у2 = 1? 4.2.90. Под каким углом к оси Ох надо направить луч из точки А(2\ 4), чтобы отраженный луч прошел через точку Б(-5;3)? 4.2.91. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты а и Ь, чтобы прямые ах + by + 1 = 0, х — у + Ь = 0иу = 1 проходили через одну точку? 4.2.92. При каком значении а прямые (а + 1)х + (3 — а)у — 8 = 0 и (а — 3)х + (2а — 3)у = 0 взаимно перпендикулярны? 4.2.93. На прямой 2х — у + 4 = 0 найти точку, координаты которой связаны соотношением х + у — 7 = 0. 4.2.94. Каково взаимное положение двух прямых, угловые коэффициенты которых равны —2,5 и —0,4? 4.2.95. Как установить, принадлежит ли точка (хз',уз) прямой, уравнение которой Ах + By + С = 0? Смешанные задачи на прямую 4.2.96. Найти площадь треугольника, образованного прямыми: 2х + у + 4 = 0, х + 1у - 11 = 0 и Зх - Ъу - 7 = 0. 4.2.97. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А{—2; 1): а) параллельно оси Оу\ О б) образующей с осью Ох угол ^тг; в) перпендикулярно вектору а = (4; 2); г) параллельно биссектрисе первого координатного угла; д) перпендикулярно прямой 6х — у + 2 = 0; е) отсекающей на оси Оу отрезок длиной 5. 4.2.98. Через точку пересечения прямых Зх + 2у — 4 = 0их-5у + 8 = 0 проведены прямые, одна из которых проходит через начало координат, а другая параллельна оси Ох. Составить их уравнения. 4.2.99. Какой угол образует с осью Ох прямая, проходящая через точку /3(1; 3) и точку пересечения медиан треугольника с вершинами А(-1;4), В(2;3), С(5;8)? 144
4.2.100. Дан четырехугольник ABCD с вершинами Л(3;5), 5(6; 6), С(5;3), £>(1;1). Найти: а) координаты точки пересечения диагоналей; б) угол между диагоналями. 4.2.101. Луч света, пройдя через точки А(4; 6) и 5(5; 8), упал на прямую х-2з/ + 2 = 0и отразился от нее. Составить уравнение прямой, по которой направлен отраженный луч. 4.2.102. Известны вершины треугольника А(—4; — 2), 5(0; 1), С(2; — 1). Найти расстояние от начала координат до точки пересечения медианы, проведенной из вершины А, с высотой, проведенной из вершины 5. 4.2.103. Написать уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника ABC, если задана его вершина А(1;3) и уравнения медиан х — 2у + 1 = 0иу — 1 = 0. 4.2.104. Найти координаты основания перпендикуляра, опущенного из точки А(—1; 2) на прямую Зх — Ъу — 21 = 0. 4.2.105. Дан треугольник с вершинами в точках А(2;5), 5(5;— 1), С(8;3). Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения медиан треугольника перпендикулярно к прямой х + 2/ + 4 = О. 4.2.106. Известны уравнения прямых, на которых лежат две стороны ромба: х + 2у — 4 = 0, х + 2у — 10 = 0 и уравнение одной из его диагоналей х — у + 2 = 0. Найти координаты вершин ромба. 4.2.107. Дан треугольник с вершинами в точках А(1; — 2), 5(0; 5), С(—6; 5). Найти координаты центра описанной около треугольника окружности. 4.2.108. Даны две вершины равностороннего треугольника ABC: А(-6;0), 5(0; 0). Найти координаты а) третьей вершины С; б) центра вписанной в треугольник окружности. 4.2.109. Найти уравнения прямых, на которых лежат три стороны квадрата, зная, что четвертой стороной является отрезок прямой 4х + Зу — 12 = 0, концы которого лежат на осях координат. 4.2.110. Написать уравнение траектории движения точки М(х; у), движущейся так, что сумма расстояний от нее до прямых 2х—у = 0 и х + 2у = 0 остается постоянной и равной л/5- 4.2.111. Написать уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника, зная уравнения двух высот: 7х — 2у — 1 = 0 и 2х — 7у — б = 0 и вершину А(3; —4). 4.2.112. Даны вершины треугольника А(2; -2), 5(3; 5); С(б; 1). Найти: 1) длины сторон АС и ВС] 2) уравнения прямых, на которых лежат стороны ВС и АС; 3) уравнение прямой, на которой лежит высота, проведенная из точки 5; 145 Ю-2361
4) длину этой высоты; 5) уравнение прямой, на которой лежит медиана, проведенная из точки А; 6) длину этой медианы; 7) уравнение прямой, на которой лежит биссектрисса угла С; 8) центр тяжести треугольника; 9) площадь треугольника; 10) угол С. Более сложные задачи 4.2.113. Даны уравнения боковых сторон равнобедренного треугольника #+ у — 2 = 0и7я-у + 4 = 0и точка (3; 5) на его основании. Найти уравнение прямой, на которой лежит основание. 4.2.114. Даны координаты середин сторон треугольника: А(1;2), Б(7;4), С(3; -4). Найти уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника. 4.2.115. Даны уравнения 4х — Зу — 17 = 0 и \х — Ъу + 3 = 0 двух сторон квадрата и одна из его вершин А(2; -3). Найти уравнения прямых, на которых лежат две другие стороны квадрата. 4.2.116. Уравнение одной из сторон угла есть 4х - Зу + 9 = 0, уравнение его биссектрисы есть х — 7у + 21 = 0. Написать уравнение прямой, на которой лежит другая сторона угла. 4.2.117. Даны вершины треугольника А(—1;— 1), #(1;3), С(4; — 1). Из вершины В опущена высота. К какой из сторон ближе расположена середина этой высоты? 4.2.118. Найти уравнение прямой, параллельной прямой Зх—Ау — 10 = 0 и отстоящей от нее на расстоянии 3 единицы. 4.2.119. Показать, что биссектрисы углов, образованных прямыми Зя + 4?/ - 9 = 0 и 12х + 9?/ - 8 = 0, перпендикулярны друг другу. 4.2.120. Через точку А(г\\ ipi) проведена прямая, образующая с полярной осью угол в. Составить уравнение этой прямой. 4.2.121. Написать уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника, зная одну его вершину А(2; —7), а также уравнение прямых, на которой лежат высота 3# + у + 11 = 0и медиана х + 2у + 7 = 0, проведенные из различных вершин. §3. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА ^ Линии, определяемые алгебраическими уравнениями второй степени относительно переменных х и у, т. е. уравнениям вида Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 (A2 + B2 + C2 ф 0) (3.1) называются кривыми второго порядка. 146
Окружность ^ Окружностью называется множество всех точек плоскости, удаленных от заданной точки А этой же плоскости на одно и тоже расстояние R > 0. Точка А называется центром, аи — радиусом окружности. В прямоугольной системе координат уравнение окружности имеет (x-a)2 + (y-b)2 = R2, (3.2) где (а;Ь) — координаты ее центра, (рис. 31). Уравнение (3.2) называется каноническим уравнением окружности. В частности, если а = 0, b — 0 (т.е. центр окружности совпадает с началом координат), то уравнение (3.2) имеет вид о о о x2+y2 = R2. (3.3) Рис. 31 Общее уравнение второй степени (3.1) определяет окружность, если 4.3.1. Найти координаты центра и радиус окружности: 1) х2 + у2 - 4х + 8у - 16 = 0; 2) 9х2 + 9у2 + 42х - 54?/ - 95 = 0; О 1) Выделяя полные квадраты в левой части данного уравнения, приведем его к виду (3.2): х2 - 4х + 4 - 4 + у2 + 8у + 16' - 16 - 16 = 0, т.е. (х - 2)2 + (у + 4)2 = б2. Центр окружности находится в точке (2; —4), а радиус равен 6. 2) Преобразуем уравнение к виду (3.2): разделив обе части уравнения на 9, находим х2 + у2 + ^Фх — 6t/ — ^ = 0. И далее, х2 + ^х + Q) + 2/2 - 6</ + 9 - Щ - 9 - Щ = 0, т. е. 147
х ~*~ к) ~*" ^ ~~ З)2 = 25. Итак, Д = 5, центр окружности —- точка (-о 4.3.2. Найти координаты центра и радиус окружности: а) х2 + у2 - Ах + 6у - 3 = 0; б) Зя2 + Зу2 + 6х - 42/ - 2 = 0. 4.3.3. Написать уравнения касательных к окружности х2 + у2 — 6х + + 4у — 12 = 0, проведенных из точки М(0; 3). О Уравнения касательных будем искать в виде уравнений прямых с угловыми коэффициентами: у = кх + 3. Уравнение окружности приведем к каноническому виду (3.2): (х — З)2 + 4- (у + 2)2 - 9 - 4 - 12 = 0, т.е. (ж - З)2 + {у + 2)2 = 25. Для нахождения общих точек прямой и окружности решим систему уравнений Имеем: (х - З)2 + (кх + 3 + 2)2 = 25, т. е. х2 - 6х + 9 + к2х2 + + Юкх + 25 = 25, поэтому (А:2 + 1)х2 + (10fc - 6)х + 9 = 0. Так как прямая касается окружности, то это уравнение имеет единственное решение. Следовательно, его дискриминант равен нулю, т. е. (5fc - З)2 - 9(fc2 + 1) = 0, или 16А;2 - ЗОк = 0, откуда к\ = 0, к2 = тр Значит, у = 3 и у = ^х + 3 — искомые уравнения. • 4.3.4. Найти уравнение окружности, касающейся осей координат и проходящей через точку (4; —2). 4.3.5. Найти уравнения касательных к окружности (х—4)2 + (у — 2)2 = = 4, проведенных из начала координат. 4.3.6. Найти центр и радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами Зх 4- 4у — 12 = 0, 4х — Зу + 12 = 0, у = 0. Указание. Центр окружности равноудален от сторон треугольника. 4.3.7. Написать уравнение окружности, проходящей через точки: (-1;3), (0;2), (1;-1). О Уравнение окружности ищем в виде (3.2): Подставляя в это уравнение координаты данных точек, получим три уравнения для определения а, 6 и Л: + (3-Ь)2=й2, а2 + (2 - Ь)2 = R\ 148
Из первых двух уравнений получаем (-1 — а)2 + (3 — Ь)2 = а2 + + (2 - Ь)2, т. е. 1 + 2а + а2 + 9 - 66 4- Ь2 = а2 + 4 - 46 + Ь2, поэтому а — Ь = —3; из второго и третьего уравнений системы получаем а2 + (2 - Ь)2 = (1 - а)2 + (-1 - б)2, отсюда а - ЗЬ = -1. Решая систему уравнений f \а-Ъ= -3, [а-ЗЬ=-1, находим а = -4, Ь = — 1. Подставляя эти значения а и Ь во второе уравнение первоначальной системы, находим: 16 + 9 = i?2, т. е. Д2 = 25. Искомое уравнение есть (х + 4)2 + (у + I)2 = 25. Заметим, что уравнение окружности можно искать в виде х2 + у2 + 2£>х + 2Еу + F = 0. Так как данные три точки принадлежат окружности, то подставив их координаты в записанное уравнение, получим систему трех уравнений: Решив систему, найдем D = 4, Е — 1, F = — 8 и искомое уравнение окружности х2 + у2 + 8х + 2у — 8 = 0. • 4.3.8. Написать уравнение окружности, если: а) центр находится в точке С(-2; 0), а радиус R = 2; б) центр лежит в точке С(—4; 5) и окружность проходит через точку М(—1; 1); в) концы одного из диаметров имеют координаты (0; 4) и (6; 0). 4.3.9. Составить уравнение окружности, проходящей через точки ; 5), В(5; -1), если ее центр лежит на прямой х - у — 2 = 0. Дополнительные задачи 4.3.10. Найти расстояние между центрами окружностей х2 + у2 = 9 и х2 + у2 - 8х + 12 = 0. 4.3.11. Найти уравнение прямой, проходящей через центры окружностей х2 + у2 - 6х - 8у + 16 = 0 и х2 + у2 + Юх + 4t/ + 13 = 0. 4.3.12. Найти точки пересечения окружности (х - 2)2 + (у + З)2 = 20 и прямой г/ = х — 3. 4.3.13. Найти уравнение общей хорды окружностей: (х-1)2 + (у — З)2 = = 4, х2 + 2/2 - 6х - 10?/ + 30 = 0. 4.3.14. Найти центр и радиус окружности, описанной около треугольника с вершинами А(0; 2), В(1; 1), С(2; -2). 4.3.15. Составить уравнение окружности, касающейся прямых 2х+у — — 5 = 0и2ж+2/ + 15 = 0, причем одной из них — в точке Л(2; 1). 4.3.16. Найти угол между радиусами окружности (х — 4)2 + (у + З)2 — — 25 = 0, проведенными в точках ее пересечения с осью Ох. 149
4.3.17. Найти при каких значениях к прямая у = кх пересекает окружность х2 4 у2 - 8х — 2у 4 16 = 0; касается этой окружности. 4.3.18. Найти уравнения касательных к окружности х2 4 у2 = 5, параллельных прямой у = 2х + 1. Контрольные вопросы и более сложные задачи 4.3.19*. Найти уравнение касательной к окружности х2 4- у2 = R2 в точке (жо;уо)- 4.3.20*. Найти длины отрезков касательных, проведенных из точки А(6; 3) к окружности (х — I)2 4 (у 4- 2)2 = 1 от этой точки до точек касания. 4.3.21*. Найти уравнение окружности, симметричной окружности х2 — 2х + у2 4 4j/ 4- 4 = 0 относительно прямой х 4 у — 5 = 0. 4.3.22. Можно ли провести окружность через четыре точки: (1; —2), (5; 2), (5;-6), (7; 1)? 4.3.23. Пройдет ли окружность с центром в точке (—3;4) и радиусом R = 5 через начало координат? 4.3.24. Какие из точек А{—2\ 7), Б(1; 5), С(2; 3,9) лежат внутри круга, ограниченного окружностью (х + 2)2 4- (у — I)2 = 25? 4.3.25*. Написать уравнение множества окружностей, образованного параллельным переносом окружности х2 4 у2 410# — 6у 4- 25 = 0 вдоль оси Ох. 4.3.26. Дано множество концентрических окружностей х2 4- у2 4- 12у + 4 С = 0. Найти уравнение той окружности, радиус которой равен 10. Эллипс ^ Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами. Каноническое уравнение эллипса: £ + £-!, (3-4) где а — большая полуось, Ь — малая полуось эллипса. Координаты фокусов: Fi(—c;0), F2(c;0), где с — половина расстояния между фокусами (рис. 32). Числа а, Ь и с связаны соотношенем с2=а2-62. (3.5) Точки А, В, С, D называются вершинами эллипса, точка О — центром эллипса, расстояния п и r<i от произвольной точки М эллипса до его фокусов называются фокальными радиусами этой точки. 150
Рис. 32 Рис. 33 Эксцентриситетом е эллипса называется отношение фокусного расстояния 2с (расстояния между фокусами) к большой оси 2а: с е = - (е < 1, т. к. с < а). (3.6) а Фокальные радиусы определяются формулами: П = а + ех, Г2 = а — ех {г\ + г2 = 2а). (3.7) Директрисами эллипса называются прямые 1\ и /2 параллельные малой оси эллипса и отстоящие от нее на расстоянии, равном -; уравнения директрис: а а х = — и х = —. е е (3.8) Замечания. 1) Если а = Ь,то уравнение (3.4) определяет окружность х2 + у2 = а2; 2) если фокусы эллипса лежат на оси Оу, то эллипс имеет вид, изображенный на рисунке 33: В этом случае: 6>а, с2 = Ь2-а2, (3.9) е=1> (ЗЛО) уравнения директрис у = ±-; 3) уравнение эллипса с осями, параллельными координатным, имеет = 1, (3.11) {х - х0)2 (у - уо)2 а2 " Ь2 ' где (хо;уо) — координаты центра эллипса (рис. 34); 4) уравнения I у = о sin t, 151
о являются параметрическими уравнениями эллипса. 4.3.27. Показать, что уравнение 4х2+3у2- 8х+12у -32 = 0 определяет эллипс, найти его оси, координаты центра и эксцентриситет. О Преобразуем данное уравнение кривой. Так как 4х2 + Зу2 -8х + 12у - 32 = 4(х2 - 2х) + 3{у2 + 4у) - 32 = = 4(х2 - 2х + 1 - 1) + 3(2/2 + 4у + 4 - 4) - 32 = = 4(х - I)2 - 4 + 3(2/ + 2)2 - 12 - 32, то уравнение можно переписать в виде 4(х — I)2 4- 3(у + 2)2 =48, (ж - I)2 (у + 2)2 т.е. -—у) —h if; = 1- Получили уравнение вида (3.11); его центр симметрии имеет координаты (1; — 2). Из уравнения находим: а2 = 12, а = 2>/3 и Ь2 = 16, b = 4 (6 > а). Поэтому с = у/Ь2 — а2 = V16 — 12 = 2. Эксцентриситет эллипса j 4.3.28. Дано уравнение эллипса 24х2 + 49t/2 = 1176. Найти: 1) длины его полуосей; 2) координаты фокусов; 3) эксцентриситет эллипса; 4) уравнения директрис и расстояние между ними; 5) точки эллипса, расстояние от которых до левого фокуса F\ равно 12. О Запишем уравнение эллипса в виде (3.4), разделив обе его части на 1176: 49 24 1) Отсюда а2 = 49, Ь2 = 24, т. е. а = 7, 6 = 2>/б. 2) Используя соотношение (3.5), находим с2 = 72 — (2л/б)2 = = 25, с = 5. Следовательно, Fi(-5;0) и F2(5;0). 152
3) По формуле (3.6) находим: е = =. fy 4) Уравнения директрис (3.8) имеют вид х=±-г, т.е. х=Щ 1 5 их=-~ расстояние между ними а= -^ — ( — -^ ) = ^ = 19,6. О О \ О / О 5) По формуле 7*i = а + ех находим абсциссу точек, расстояние от которых до точки F\ равно 12: 12 = 7+ £#, т.е. х = 7. Подставляя значение х в уравнение эллипса, найдем ординаты этих точек: 24 • 49 + 49у2 = 1176, 49у2 = 0, у = 0. Условию задачи удовлетворяет точка А(7; 0). • 4.3.29. Найти полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет и уравнения директрис эллипса 16#2 + 25у2 — 400 = 0. 4.3.30. Составить уравнение эллипса, зная, что: 1) его большая полуось равна 10 и фокусы суть Fi(—6;0), F2(10;0); 2)o = 5,Fi(-3;5),F2(3;5). 4.3.31. Составить уравнение эллипса, проходящего через точки Afi(2;-4>/5) и М2(-1;2>/15). О Уравнение эллипса ищем в виде (3.4) ^ + y- = i Так как эллипс проходит через точки Mi и М2, то их координаты удовлетворяют уравнению эллипса: -% + Щ = 1 и а о \ + Щ = 1. Умножая второе равенство на (—4) и складывая а о с первым, находим —Щг = ~3> т.е. Ь2 = 64. Подставляя найденное значение Ь2 в первое уравнение, получаем \ + ^ = 1, откуда а2 = 16. Таким образом, искомое уравнение эллипса 2 2 есть ?л + Кг = L • 16 64 4.3.32. Составить каноническое уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси Ох, симметрично относительно начала координат, если: 1) задана точка Mi(2V3; 1) эллипса и его малая полуось равна 2; 2) заданы две точки эллипса Mi(0; 7) и М2(8; 0); 3) расстояние между фокусами равно 24 и большая ось равна 26; 4) эксцентриситет равен е = 4= и заданы фокусы (±7;0). 153
4.3.33. Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси Ох, симметрично относительно начала координат, зная, что: 1) Mi(2>/3;0,4>/10) и М2(-|; ^Й) — точки эллипса; 2) точка М(3; -2л/3) принадлежит эллипсу, е = ^Ф; 3) 2а = 20,е= |; о 4) расстояние между фокусами равно 4, расстояние между директрисами равно 5. 2 2 4.3.34. Найти уравнение касательной к эллипсу ^ + Щ- = 1, перпен- дикулярной прямой х — у + 50 = 0. О Уравнение касательной будем искать в виде у = кх + с. Ее угловой коэффициент к найдем из условия к • к\ = —1 перпендикулярности прямых, где fci — угловой коэффициент прямой х — у + 50 = 0. Так как к\ = 1, то к = — 1, уравнение касательной к эллипсу имеет вид у = -х + с. Общие точки прямой и эллипса находим, решая систему уравнений 20 + 5 ' у = —х + с. Получаем |J + х2 - 2сх + с2 = 1? т е 5х2 _ 8сх + 4с2 _ 20 = 0 Уравнение имеет единственное решение (прямая касается эллипса, т.е. имеет с ним единственную обитую точку) лишь в случае, когда его дискриминант равен нулю, т. е. 64с2 - 4 • 5(4с2 - 20) = 0 или 4с2 — 5(с2 - 5) = 0. Значит, есть два решения: с\ = 5 и С2 = -5. Условию задачи удовлетворяют две касательные: у = -х + 5иу = —х — 5. • 4.3.35. При каких значениях а прямая у = х — а пересекает эллипс х2 + 2у2 -4 = 0? Касается его? 4.3.36. Эллипс касается оси Оу в точке А(0; 2) и пересекает ось Ох в точках .В(4; 0) и С(10;0). Составить уравнение эллипса, если оси его параллельны осям координат. 4.3.37. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси Оу, а малая ось равна 2\/3. Каждый из фокусов равноудален от центра эллипса и от ближайшего конца фокальной оси. 2 2 О Уравнение эллипса имеет вид ^ + 75" = 1» Ь > а. По условию задачи 2а = 2\/3, т.е. а = \/3, и с = ^. Так как 154
с? = Ъ2 -а2 (3.9), то получаем: ^ = Ь2 - 3, т.е. Ь2 = 4. Та- 9 2 ким образом, уравнение эллипса есть Щг- + ^- = 1. • 4.3.38. Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси Оу, симметрично относительно начала координат, если: 1) его полуоси равны 5 и 8; 1| Дополнительные задачи 4.3.39. Найти длину диаметра (хорда, проходящая через центр) эллипса Зх2 + 8у2 = 22, делящего угол между осями координат пополам. 4.3.40. Найти координаты точек эллипса 16ж2 + 2Ьу2 — 400 = 0, для которых расстояние от левого фокуса в два раза больше расстояния от правого фокуса. Найти длину хорды эллипса х2 + 10у2 — 10 = 0, проходящей через его фокус параллельно малой оси. 2 у2 Найти длину хорды эллипса jfa + jj = 1, направленной по диагонали прямоугольника, построенного на осях эллипса. 2 2 Найти координаты точек эллипса у^ + К- = 1, в которых фокальные радиусы перпендикулярны. Определить траекторию перемещения точки М, которая при своем движении остается одинаково удаленной от точки А{2; 0) и от окружности х2 + у2 = 16. 4.3.45. Определить траекторию перемещения точки М, которая при своем движении остается вдвое ближе к точке А{—1;0), чем к прямой х — 8 = 0. 2 4.3.46. В эллипс х2 + ^4- = 1 вписан правильный треугольник, одна из вершин которого совпадает с правой вершиной эллипса. Найти координаты двух других вершин треугольника. 2 у2 4.3.47. В эллипс ^ + *j = 1 вписан квадрат так, что стороны его параллельны осям эллипса. Найти площадь квадрата. 4.3.48. Найти уравнения касательных к эллипсу х2 + 2у2 = 3, параллельных прямой х — 2у + 1 = 0. 4.3.49. Найти координаты точки эллипса 4х2 + 9у2 — 72 = 0, наиболее удаленной от прямой 2х — Зу — 1 = 0, вычислить расстояние от этой точки до данной прямой. 4.3.50. Найти координаты точки эллипса 9х2 + 25у2 = 450, расстояние от которой до правого фокуса в 4 раза больше расстояния до левого фокуса. 155 4.3. 4.3. .41. ,42. 4.3.43. 4.3, .44.
Контрольные вопросы и более сложные задачи 4.3.51. Вывести условие, при котором прямая Ах+Ву+С = О касается 2 2 эллипса ^V + Кг = 1. а о 4.3.52. Доказать оптическое свойство эллипса: луч света, выходящий из одного фокуса эллипса, отразившись от него, проходит через второй фокус. Указание, показать, что касательная к эллипсу образует равные углы с фокальными радиусами точки касания. 4.3.53. Эллипс, симметричный относительно осей прямоугольной системы координат, касается двух прямых х + 2у — л/39 = 0 и х — Зу + 7 = 0. Найти его уравнение. 4.3.54. Отрезок постоянной длины скользит своими концами по сторонам прямого угла. Найти уравнение кривой, описываемой фиксированной точкой М этого отрезка. 4.3.55. Доказать, что отношение расстояний от любой точки эллипса до фокуса и соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная е. 4.3.56. Чему равен эксцентриситет земного меридиана, имеющего форму эллипса, отношение осей которого равно 4тЩ? 4.3.57. Сколько касательных можно провести к эллипсу 4х2 + Ъу2 — -80 = 0 из точки Mi(0;4), M2(l;2), М3(5;3)? 4.3.58. Чему равен эксцентриситет эллипса, у которого малая ось равна расстоянию между фокусами? 4.3.59. Чему равен периметр четырехугольника, вершины которого со- 2 «.2 впадают с вершинами эллипса у^ + ^- = 1? Гипербола ^ Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек этой же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами. Каноническое уравнение гиперболы: 7-7-1- (ЗЛ2) где а — действительная, Ь — мнимая полуось гиперболы. Числа 2а и 26 называются соответственно действительной и мнимой осями гиперболы. Координаты фокусов: F\ (—с; 0), F2(c; 0), с — половина расстояния 156
Рис. 35 между фокусами (рис. 35). Числа а, Ъ и с связаны соотношенем с2=о2 + 62. (3.13) Точки А и В называются вершинами гиперболы, точка О — центром гиперболы, расстояния г\ и г 2 от произвольной точки М гиперболы до ее фокусов называются фокальными радиусами этой точки. Число е = - (е > 1, т. к. с > а), а называется эксцентриситетом гиперболы. (3.14) Фокальные радиусы определяются формулами: для точек правой ветви гиперболы: П=а + ех, Г2 = —а + ех; (3.15) для точек левой ветви: ri = —а — ех, Г2 = а — ex. (3.16) ^ Прямоугольник, центр которого совпадает с точкой О, а стороны равны и параллельны осям гиперболы называется основным прямоугольником гиперболы. Диагонали основного прямоугольника гиперболы лежат на двух прямых, называемых асимптотами гиперболы; они определяются уравнениями у = ±-х. (3.17) а ^ Две прямые 1\ и /2? параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящие от нее на расстоянии, равном -, называются директрисами гиперболы. Их уравнения а а х = - и х = — . е е (3.18) 157
Замечанья. 1) Если а = Ь, то гипербола (3.12) называется равносторонней (равнобочной). Ее уравнение принимает вид х2-у2=а2. (3.19) 2) если фокусы гиперболы лежат на оси Оу, то уравнение гиперболы имеет вид Ь2 а2 " L (3.20) Эксцентриситет этой гиперболы равен е = т, асимптоты определяются уравнениями 2/ = ±- ж, а уравнения директрис у = ±-. Гипербола (3.20) называется сопряоюенной гиперболе (3.12); она имеет вид, изображенный на рисунке 36; Рис. 36 Рис. 37 3) уравнение гиперболы с осями, параллельными координатным, име- (а? ~ хр)2 (у - у0)2 _ 1 —-з ^— - 1, (3.21) где (жо;2/о) — координаты центра гиперболы (рис. 37). 4.3.60. Дано уравнение гиперболы Бх2 — 4у2 = 20. Найти: 1) длины его полуосей; 2) координаты фокусов; 3) эксцентриситет гиперболы; 158
4) уравнения асимптот и директрис; 5) фокальные радиусы точки М(3;2,5). О Разделив обе части уравнения на 20, приведем уравнение гиперболы к каноническому виду (3.12): 9 9 4 5 Отсюда: 1) а2 = 4, Ь2 = 5, т.е. а = 2, Ъ = у/Ъ\ 2) используя соотношение (3.13), находим с2 =4 + 5, т.е. с = 3. Отсюда находим фокусы гиперболы: Fi(-3; 0) и F2(3; 0); 3) по формуле (3.14) находим е = 4; 4) уравнения асимптот и директрис найдем по формулам (3.17) и (3.18): у = ±&х и х = ±|; 5) точка М лежит на правой ветви гиперболы (а? = 3 > 0), воспользуемся формулами (3.15): ri = 2 + ^ . з = 6,5, г2 = = -2+|-3 = 2,5. • 4.3.61. Составить уравнение гиперболы, если ее фокусы лежат на оси Оу и расстояние между ними равно 10, а длина действительной оси равна 8. О Искомое уравнение гиперболы имеет вид (3.20). Согласно условию 2с = 10, с = 5; 26 = 8, Ь — 4. Из соотношения (3.13) найдем мнимую полуось а: 25 = а2+ 16, а2 = 9, а = 3. Получаем 2 2 уа~ \ — ^ — уравнение гиперболы. 9 4.3.62. Составить каноническое уравнение гиперболы, если: 1) 2с = 10, а = 3; 2) с = 3,е = 1,5; 3) 6 = 6, уравнения асимптот у = ±^ х. 4.3.63. Написать каноническое уравнение гиперболы, если: 1) с = 10 и уравнения асимптот у = ±$ х; о 2) е = й и расстояние между директрисами равно ^; 3) е = л/2 и точка М(%/3; л/2) лежит на гиперболе. 4.3.64. Найти уравнение гиперболы, фокусы которой находятся в точках Fi(-2;4) и F2(12;4), а длина мнимой оси равна 6. О Центр гиперболы лежит на прямой у = 4, параллельной оси Ох. Уравнение гиперболы имеет вид (3.21). По условию 26 = 6, 6 = 3. Расстояние между фокусами равно 14, т. е. 2с = 14, с = 7. Используя соотношение с2 = а2 + б2, находим а: 49 = а2 + 9, а = 2\/Т0. Центр гиперболы делит расстояние между фокусами 159
пополам. Поэтому хо = — "X — = ~t = 4. Записы- 2 (х-Ъг (v-4)2 ., ^ ваем уравнение гиперболы: -—-^г1 v* Q / = 1. • 4.3.65. Найти каноническое уравнение гиперболы с фокусами на оси Ох, проходящей через точки М\(6; -1) и Мг(-8; -2-\/2). 4.3.66. Найти уравнение гиперболы, симметричной относительно осей координат, зная, что ее мнимая полуось равна 2 и гипербола проходит через точку М(4; —ЩА). Найти расстояние от точки М до правого фокуса. 4.3.67. Найти угол между асимптотами гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2. О Уравнения асимптот гиперболы имеют вид у = ±— х. Найдем отношение -, воспользовавшись формулами (3.13), (3.14) и условием е = 2: е = % = ч'*^ &2 = Jl l + (^)2. Отсюда ^7!. Имеем: £ = л/4^Т = л/3. \) а Стало быть, уравнения асимптот гиперболы есть у = у/Зх и 2/ = —у/Ъх. Угол (/? между асимптотами найдем по формуле -fcl л/З + л/3 1-3 = >/3, <p = 60°. 4.3.68. Составить уравнения асимптот гиперболы построить ее. 4.3.69. Дан эллипс 5х2 + 8t/2 = 40. Найти уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы — в вершинах данного эллипса. У 160 Рис. 38 О Найдем координаты вершин А и В и фокусов эллипса, за- 2 у2 писав его уравнение в канонической форме %- + ^- = 1. Имеем о о
а2 = 8, а = 2л/2; Ь2 = 5, b = л/5- Из соотношения с2 = а2 — Ь2 находим с: с2 = 8 — 5, с = у/3. Можно записать: А(2у/2]0), JB(-2>/2;0), Fi(->/3;0), F2(>/3;0) (рис. 38). Обозначим через аг, &г, сг — соответственно полуоси гиперболы и половину расстояния между ее фокусами. Тогда, согласно условиям задачи, можно записать: аг = OF2, т.е. аг = \/3 и сг = О А, т.е. сг = 2%/2. Из соотношения с2 — а2 + Ь2 находим 8 = 3 + б2,, поэтому Ь2 = 5, Ьг = л/б. Подставляя найденные значения аг и Ьг 2 2 в уравнение (3.12), находим \— Щ- = 1 — искомое уравнение о О гиперболы. • 2 ^2 4.3.70. Дана гипербола у« - ^- = 1. Найти софокусный эллипс, проходящий через точку М\А; — ^j. Дополнительные задачи 4.3.71. Найти эксцентриситет гиперболы, зная, что расстояние между фокусами в 4 раза больше расстояния между ее директрисами. 4.3.72. На гиперболе 9х2 — 16у2 = 144 найти точку, для которой расстояние от левого фокуса в 3 раза больше, чем от правого. 4.3.73. Найти уравнения касательных к гиперболе 9х2 — 8у2 = 72, проведенных из точки С(2;0). 2 2 4.3.74. Найти уравнения касательных к гиперболе ^- — К- = 1, параллельных прямой х + у — 4 = 0. 4.3.75. Построить линию: а) 9х2 - 16у2 - Збх - 322/ - 124 = 0; 4.3.76. Доказать,что длина перпендикуляра, опущенного из фокуса на одну из асимптот гиперболы, равна мнимой полуоси. 4.3.77. Доказать, что произведение расстояний от любой точки гиперболы х2 — у2 = 4 до двух ее асимптот есть величина постоянная, равная 2. 4.3.78. Найти площадь треугольника, образованного асимптотами гиперболы 9х2 - 4у2 = 36 и прямой 9х + 2у - 12 = 0. 4.3.79. Вершины квадрата лежат на гиперболе 9х2 — \у2 — 125. Найти его площадь. 4.3.80. Найти эксцентриситет гиперболы, асимптота которой составляет с действительной осью угол а. 161 11-2361
4.3.81. Найти расстояние между точками пересечения асимптот гиперболы 9х2 — 16у2 = 144 с окружностью, имеющей центр в правом фокусе гиперболы и проходящей через начало координат. 4.3.82. Найти траекторию пути точки М, которая при своем движе- ниии остается вдвое ближе к прямой х — 2 = 0, чем к точке А(8;0). 4.3.83. На гиперболе х2 - у2 = 1 найти точку, фокальные радиусы которой перпендикулярны. 4.3.84. Найти расстояние между левым фокусом F\ гиперболы ^— -^ = 1и правым фокусом i<2 сопряженной с ней гиперболы. 4.3.85. Найти фокальные радиусы точки М(10;3\/б), лежащей на ги- 2 у2 перболе jk — ^- = 1. Найти расстояния от точки М до директрис. 2 4.3.86. На гиперболе ^г- -у2 = 1 найти точку М, ближайшую к прямой 2х+у — 2 = 0, и вычислить расстояние от точки до этой прямой. 4.3.87. Через левый фокус гиперболы х2 — у2 = 8 проведем перпендикуляр к ее оси, содержащей вершины. Найти расстояния от фокусов до точек пересечения этого перпендикуляра с гиперболой. 4.3.88. При каких значениях а прямая у = 2х+а пересекает гиперболу 2 2 Цг - ^о = 1? Касается ее? 4.3.89. Составить уравнение гиперболы, зная ее эксцентриситет е — \, фокусу (5; 0). 4.3.90. Составить уравнение гиперболы, зная ее фокусы .Fi(—8; 2), i<2(12;2) и расстояние между вершинами, равное 16. 2 2 4.3.91. Дан эллипс jj + tC = *• Найти уравнение софокусной равнобочной геперболы. 4.3.92. Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса 9х2 + 2Ьу2 = = 225. Найти уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2. Контрольные вопросы и более сложные задачи 4.3.93. Вывести условие, при котором прямая Ах+Ву+С = 0 касается 1 2 гиперболы ^2" ~~ fsr = 1- 4.3.94. Найти уравнение гиперболы, симметричной относительно осей координат и касающейся прямой х-у-2 = 0в точке М(4; 2). 162
4.3.95. Даны точки А(-1;0) и £?(2;0). Точка М(х;у) движется так, что в треугольнике AM В угол В остается вдвое больше угла А. Найти уравнение траектории движения точки М. 4.3.96. Доказать, что отношение расстояний от любой точки гиперболы до фокуса и до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная е. 4.3.97. Эксцентриситет гиперболы равен 3, фокальный радиус ее точки М, проведенный из некоторого фокуса, равен 12. Найти расстояние от точки М до односторонней с этим фокусом директрисы. 4.3.98. Доказать, что касательная к гиперболе в ее произвольной точке М составляет равные углы с фокальными радиусами этой точки. 4.3.99. Доказать оптическое свойство гиперболы: луч света, исходящий из одного фокуса гиперболы, отразившись от нее, идет по прямой, соединяющей точку отражения с другим фокусом. 2 2 4.3.100. Можно ли к гиперболе % - ^Ы = 1 провести касательные любого направления? Какое ограничение наложено на угловые коэффициенты касательных к этой гиперболе? 4.3.101. Какие линии определяются следующими уравнениями: 1) у = -2> 4.3.102. Чему равен угол между асимптотами гиперболы у2 = 100 + х2? 4.3.103. Чему равна площадь треугольника, образованного асимптотами гиперболы х2 — у2 = 1 и прямой х = 2? 2 2 4.3.104. Проходит ли гипербола ^ — Цу = 1 через точки 0(2; 0), Парабола ^ Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от заданной точки этой же плоскости, называемой фокусом, и заданной прямой, называемой директрисой. Каноническое уравнение параболы имеет вид У2 = 2рх, (3.22) где число р > 0, равное расстоянию от фокуса F до директрисы /, называется параметром параболы. Координаты фокуса f(ё;0]. Точка О(0;0) называются вершиной параболы, длина г отрезка FM — фокальный радиус точки М, ось Ох — ось симметрии параболы. 163
о м Рис. 39 Рис. 40 Уравнение директрисы I параболы имеет вид Х~ 2' фокальный радиус вычисляется по формуле (3.23) (3.24) В прямоугольной системе координат парабола, заданная каноническим уравнением (3.22), расположена так, как указано на рисунке 39. Замечания. 1) Парабола, симметричная относительно оси Оу и проходящая через начало координат (рис. 40), имеет уравнение х2 = 2ру. Фокусом параболы (3.25) является точка '(*§)■ Уравнение директрисы этой параболы Фокальный радиус точки М параболы (3.25) (3.26) (3.27) (3.28) 2) На рисунках 41 и 42 изображены графики парабол у2 = — 2рх и х2 — -2ру соответственно. 164
о о р х 2 Рис. 41 Рис. 42 3) На рисунках 43-46 приведены уравнения и графики парабол с осями симметрии, параллельными координатным осям. Уо У о О Хо X Рис. 43. (у - уо)2 = 2р(х - хо) Рис. 44. (у - у0)2 = -2р(х - х0) О Рис. 45. (х - хо)2 = 2р(у - уо) Рис. 46. (х - х0)2 = -2р(у - уо) 165
4.3.105. Дана парабола х2 = 4у. Найти координаты ее фокуса, уравнение директрисы, длину фокального радиуса точки М(4;4). О Парабола задана каноническим уравнением (3.25). Следовательно, 2р = 4, р = 2. Используя формулы (3.26), (3.27), (3.28) находим, что фокус имеет координаты (0; 1), т.е. F(0; 1); уравнение директрисы есть у = — 1; фокальный радиус точки М(4; 4) равен г = 4 + 1 = 5. • 4.3.106. Найти вершину, фокус и директрису параболы у = —2х2 + + &х — 5, построить эскиз графика. О Преобразуем уравнение у = —2х2+8х — 5, выделив в правой части полный квадрат: = -2(х2 - Ах + |) = -2(х2 - у т.е. у = — 2(х — 2)2 + 3 или (х-2)2 = — 4(j/ — 3). Уравнение параболы имеет вид, как на рис. 46. Вершина параболы имеет координаты (2; 3); 2р= i р = А Прямая х — 2 является осью сим- 1 7 метрии параболы. Координаты фокуса х = 2, у — Ъ— £=2£, о о т.е. F(2;2^J. Уравнение директрисы у = 3 + | = 3+^, т.е. у = ЗА. График изображен на рис. 47. • Рис. 47 4.3.107. Парабола симметрична относительно оси Ох, ее вершина находится в начале координат. Составить уравнение параболы, зная, что она проходит через точку А(—3; -3). 4.3.108. Найти высоту арки моста длиной 24м, имеющей форму параболы, уравнение которой х2 = -48у. 166
4.3.109. Найти уравнение касательной к параболе у2 = 4#, проведенной из точки А{—2; —1). О Уравнение прямой будем искать в виде у = кх + Ь. (3.29) Так как точка А принадлежит искомой касательной, подставляя ее координаты в уравнение (3.29), получим тождество -l = -2fc + b. (3.30) Далее, прямая (3.29) и парабола у2 = 4х имеют единственную обитую точку (касаются). Следовательно, система уравнений имеет единственное решение. Решаем ее относительно х и у. Это можно сделать различными способами, например, возвести правую и левую части первого уравнения в квадрат и подставить в левую часть полученного равенства вместо у2 его выражение из второго уравнения. Получим к2х2 + 2кЬх + Ь2 = 4х. Это — квадратное уравнение, имеющее единственное решение в случае, когда дискриминант равен нулю. Таким образом, ^ = (кЬ-2)2-к2Ъ2 = 0 или Ш = 4, Ь=\. (3.31) Теперь для параметров к иЬ прямой (3.29) имеем два условия: (3.30) и (3.31). Следовательно, искомые значения параметров находятся как решения системы из этих условий: Г—2*4-6= —1, i Подстановкой вместо Ъ в первое уравнение его выражения из второго, получим — 2к2 + к+ 1 = 0, откуда находим, что к\ = 1, &2 — —к- Система имеет два решения: ( кх = 1, \ И Следовательно, две прямые удовлетворяют условиям задачи. Их уравнения: у = х + 1иу = — ?— 2. • 4.3.110. К параболе у2 = 4х проведена касательная параллельно прямой 2х — у + 7 = 0. Найти уравнение этой касательной. 4.3.111. При каких значениях к прямая у = кх — 1 пересекает параболу у2 = -5ж? Касается ее? 167
Дополнительные задачи 4.3.112. Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси Оу, имеющей вершину в начале координат, если она проходит через точку А(—2; 4). 4.3.113. Найти координаты такой точки параболы у2 = бх, которая находится от директрисы на расстоянии 3,5. 4.3.114. Через фокус параболы у2 = \2х проведена хорда, перпендикулярная к ее оси. Найти длину хорды. 4.3.115. В параболу у2 = 2рх вписан равносторонний треугольник, одна из вершин которого совпадает с вершиной параболы. Найти длину стороны треугольника. 4.3.116. Найти длину хорды, соединяющей точки пересечения двух парабол, имееющих общую вершину в начале координат, а фокусы в точках (2; 0) и (0; 2). 4.3.117. Трос, подвешенный за два конца на одинаковой высоте, имеет форму дуги параболы. Расстояние между точками крепления 24 м. Глубина прогиба троса на расстоянии 3 м от точки крепления равна 70 см. Определить глубину прогиба троса посередине между креплениями. 4.3.118. Камень, брошенный под углом к горизонту, достиг наибольшей высоты 16 м. Описав параболическую траекторию, он упал в 48 м от точки бросания. На какой высоте находился камень на расстоянии б м по горизонтали от точки бросания? 4.3.119. На параболе у2 = —Ах найти координаты точки, расстояние от которой до прямой у = 1 + 3\/2 - х равно 3. 4.3.120. Парабола у2 — х отсекает от прямой, проходящей через начало координат, хорду, длина которой равна у/2. Составить уравнение этой прямой. 4.3.121. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, фокус которой находится в точке пересечения прямой Бх — Sy -{-12 = 0 с осью ординат; осью абсцисс. 4.3.122. Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси Оу и проходящей через точку пересечения прямой у — х = 0 и окружности х2 + у2 — 4у = 0. 4.3.123. Дана парабола х2 = 8у. Найти длину ее хорды, проходящей через точку А(1; 1) перпендикулярно прямой 2х — у + 3 = 0. 4.3.124. Уравнение линии привести к каноническому виду, построить ее: а) у = Ах2 + 8х + 7; б) х = Ъу2 - Щ + 6; в) у = х2 — 4х + 5; г) х = у2 + Зу. 168
4.3.125. Найти уравнение линии, все точки которой одинаково удалены от точки О(0; 0) и от прямой х + 4 = 0. 4.3.126. Найти уравнение прямой, которая проходит через вершину параболы у = —2х2 — 6х — 4 параллельно прямой 2х — у + 3 = 0. 4.3.127. Дана парабола у2 = \2х. Найти длину ее хорды, проходящей через точку А(8;0) и наклоненной к оси Ох под углом 60°. 4.3.128. Составить уравнение касательной к параболе у2 = 36#, проведенной из точки А(1; 10). 4.3.129. К параболе у2 = 36# проведены из точки А{\; 10) две касательные. Составить уравнение хорды, соединяющей точки касания. Контрольные вопросы и более сложные задачи 4.3.130. Доказать оптическое свойство параболы: луч света, исходящий из фокуса параболы, отразившись от нее, идет по прямой, параллельной оси этой параболы. 4.3.131. Доказать, что касательная к параболе в ее произвольной точке М составляет равные углы с фокальным радиусом точки М и с лучом, исходящим из точки М и сонаправленным с осью параболы. 4.3.132. Из фокуса параболы у2 = Ylx под острым углом а к оси Ох направлен луч света. Известно, что tga = j. Дойдя до параболы, луч от нее отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч. 4.3.133. Дана парабола у2 = Ах. Через точку (§;1) провести такую хорду, которая делилась бы в этой точке пополам. Составить уравнение этой хорды. 4.3.134. Показать, что фокус параболы и точки касания двух касательных к параболе, проведенных из любой точки директрисы, лежат на одной прямой. 4.3.135. Каково будет уравнение параболы у2 = 4ж, если ее ось симметрии повернуть на 90°? на 180°? на -90°? 4.3.136. Каково уравнение параболы с вершиной в точке (0;0), если уравнение ее директрисы 2у + 7 = 0? 4.3.137. Найти фокус и директрису кривой, заданной параметрически 4.3.138. Решить графически систему уравнений Г х2 + у = 4, \ х + у2 = 9. 169
4.3.139. Чему равна длина хорды, проходящей через фокус параболы х2 = 8у и перпендикулярной к ее оси симметрии? КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант 1 1. На биссектрисе первого координатного угла лежат точки А(3;3) и В(х\у), расстояние между которыми равно \/2. Найти координаты точки В. 2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 2х-у—1 — 0 и 3x-t/+4 = 0 параллельно прямой £х+2у—\Ъ = 0. 3. Найти угол между высотой AD и медианой АЕ в треугольнике с вершинами в точках А(1; 3), В(4; -1), С(—1; 1). 4. Найти каноническое уравнение эллипса, если а) расстояние между концами большой и малой оси равно 5, а сумма длин полуосей равна 7; б) расстояния от его фокуса до концов большой оси равны 2 и 14. 5. Через фокус параболы у2 = —х проведена прямая под углом 135° к оси Ох. Найти длину образовавшейся хорды. Вариант 2 1. Дан треугольник ABC с вершинами А{\\ 5), Б(4; 1), С(13; 10). Найти точку пересечения биссектрисы внутреннего угла А со стороной ВС. 2. Прямая у = кх -I- 4 удалена от начала координат на расстояние d = у/3. Найти значение к. 3. Даны последовательные вершины параллелограмма ABCD: А(—2; 5), £?(2; 7), С(-4; -3). Найти координаты четвертой вершины D и написать уравнение диагонали BD. 4. Найти уравнение прямой, содержащей диаметр окружности х2 + у2 — 6ж + 4у + 8 = 0, перпендикулярный прямой х — Зу + 2 = 0. 5. Найти уравнение гиперболы, зная, что ее эксцентриситет е = 2, фокусы гиперболы совпадают с фокусом эллипса у~ + у2 = 1. 170
Вариант 3 1. Найти координаты центра и радиус окружности, проходящей через точку А(-10;4) и касающейся оси Ох в точке В(—6;0). 2. Написать уравнение прямой, проходящей через точку (—2; 1) на расстоянии 1 от начала координат. 3. При каких значениях А и С прямая Ах + Зу + С = 0: а) параллельна прямой Зх - у + 8 = 0; б) перпендикулярна прямой у = 5х; в) проходит через точки (2;2) и (-1;4); г) пересекается с прямой Ах — 2у + 7 = 0. 4. Найти площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса Ъх2 + 9у2 — 180 = 0, а две другие совпадают с концами его малой оси. 5. Найти длину диаметра эллипса (хорды, проходящей через центр эллипса) §х2 + 21у2 = 225, перпендикулярного к асимптоте гиперболы х2 — у2 = 4, проходящей через первую и третью четверти. Вариант 4 1. Площадь треугольника ABC с вершинами А(-2; 1), Б(2; 2), С(4; у) равна 15. Найти ординату вершины С. 2. Через точку пересечения прямых 2х—у = 0 и х+Зу—1 = 0 проведена прямая, перпендикулярная прямой у = 3 - х. Найти ее уравнение. 3. Даны две смежные вершины А(—2; 4), В(2; 2) параллелограмма ABCD и точка М(1; —1) пересечения его диагоналей. Найти уравнения сторон ВС и CD параллелограмма. 4. Окружность проходит через точки Mi(l;5) и М2(5;3), а центр ее лежит на прямой 4 + j = 1. Найти уравнение окружности. 1 2 5. Дан эллипс х-р Л- Цг = 1. Найти уравнение гиперболы, вершины 1о о которой находятся в фокусах, а фокусы — в вершинах данного эллипса.
Глава 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ □ §1. МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ Прямоугольная система координат. Основные задачи Положение любой точки в пространстве можно однозначно определить с помощью прямоугольной системы координат. Эта система включает три взаимно перпендикулярные оси, пересекающиеся в одной точке О — начале координат. Одну из осей называют осью абсцисс (ось Ох), другую — осью ординат {Оу), третью — осью аппликат (Oz). На каждой из осей выбраны единичные векторы, которые обозначают соответственно г, j, к. Если М — произвольная точка пространства, то вектор ОМ называется радиусом-вектором точки М (см. рис. 48). Рис. 48 ^ Координатами точки М в системе координат Oxyz называются координаты радиус-вектора ОМ. Если ОМ = (x;y;z) (рис. 48), то координаты точки М записывают так: M(x;y;z); здесь число х — абсцисса, у — ордината, z — аппликата точки М. Каждой тройке чисел (х; у, z) соответствует одна и только одна точка пространства, и наоборот. Расстояние между двумя точками М\(х\;у\; z\) и М2{х2', 2/2; ^2) вычисляется по формуле d = (t/2 - (z2 - Координаты (x;y;z) точки М, делящей в заданном отношении А J отрезок АВ, (A(xnyi]zi), B{x2;y2\Z2)), определяются по 172
формулам НкА 3/1 X~ 1 + A ' У" 1 + A ' Z" 1+A • ( ' В частности, при Л = 1 (точка М делит отрезок АВ пополам), получаются формулы для определения координат середины отрезка 5.1.1. На оси Оу найти точку, равноудаленную от двух точек А(2; 3; 1) иВ(-1;5;-2). О Точка М, лежащая на оси Оу, имеет координаты М(0; у; 0). По условию задачи \АМ\ = \ВМ\. Найдем расстояния \АМ\ и |, используя формулу (1.1): \АМ\ = ^/(0 - 2)2 + (» - З)2 + (0 - I)2 = vV-6</+14 ; |BAf | = ^(0 + I)2 + (у - 5)2 + (0 + 2)2 = vV _ 102/ + 30 . Получим уравнение у/У2 - 6у + 14 = у/у2 - 10у + 30 . Отсюда находим, что 4$/ = 16, т. е. у = 4. Искомая точка есть М(0;4;0). • 5.1.2. Найти координаты точки на плоскости Оху, равноудаленной от трех точек: Л(4; 0; 2), В(-1; 2; 4), С(1; 1; -3). 5.1.3. Показать, что треугольник с вершинами в точках А(—3;2;4), В(0; -2; -1), С(1; 5; 9) равнобедренный. 5.1.4. Отрезок АВ разделен на 3 равные части. Найти координаты точек деления, если известны точки А(—2; 4; 1) и В(2; —4; —3). О Обозначим точки деления отрезка АВ в следующем порядке: С и D. По условию задачи \АС\ = \CD\ = \DB\. Поэтому точка С делит отрезок АВ в отношении А = к. Пользуясь формулами (1.2), находим координаты точки С: -2+1-2 2 4+|-(-4) 4 хс = -ттг = ~*' ус= i + i =з' 1 + 1 3 Имеем, С[ — ^; §; — A ). По формулам (1.3) находим координаты \ О О О/ точки D — середины отрезка С В: -| + 2 2 |-4 4 -|"3 ^ Xd == — — , VГ) — — « Zn •— ^ * и су *\ О Ч *? Ч /9 4 *Л а т. е. точка D имеет координаты (fi~?5~o)- • 173
5.1.5. Дана точка А(3; — 4; 2). Найти координаты точки, симметричной данной относительно координатных плоскостей, осей координат, начала координат. 5.1.6. Дан треугольник с вершинами в точках А(5;2;4), В(—3;6;0), С(3; 2; —4). Найти длину его медианы, проведенной из вершины А. 5.1.7. Вточках Ai(a;i;yi;*i), A2(x2;y2;z2), А3(х3;уз;2з), А4(х4;У4',г4) сосредоточены соответственно массы mi, Ш2, тз, 777,4. Найти координаты центра тяжести системы этих масс. Q Как известно из курса физики центр тяжести масс mi и 7П2, помещенных в точках А и В, делит отрезок АВ на части, обратно пропорциональные массам, сосредоточенным на концах отрезка (Л = ^). Исходя из этого, найдем сначала центр тяжести М\{х'\у'\ z1) системы двух масс mi и т,2, помещенных в точках А\ и А2: , = xi + ^х2 = a?imi + х2т2 1 + Sf + ' , _ У1ТП1 + 2/2^2 / _ zimi + У — ^ i + ТП2 ТПх + 777-2 Центр тяжести системы трех масс mi, m2 и m3 находим аналогично (Л = ^ У = mi + m2 -f тз ' mi + 777,2 + тз Находим, наконец, центр тяжести системы трех масс mi, m2, л^ «^ / \ пьа \. тз и 777-4 1^ = ; —; )• mi + т2 + тз II . 7714 х "г т _(_т _|_т ^4 Х\ТП\ И- Х2т2 + Хзтз _ mi+m2+m3+m4 y2m2 z = i + 777-2 ~Ь ^3 Н" ^4 + ггтг + ^з^з 4- ^4^4 mi + 7722 4" тз + 777,4 5.1.8. Показать, что треугольник с вершинами в точках А(8;0;6), В(2; -4; 2), С(6; -6; -2) прямоугольный. 5.1.9. Найти координаты центра тяжести треугольника с вершинами в точках 4(2; 5; 0), £(11; 3; 8), С(5; 1; 12). 5.1.10. Центр тяжести однородного стержня находится в точке М(1; -1;5), один из его концов есть А(—2; —1;7). Найти координаты другого конца стержня. 174
Дополнительные задачи 5.1.11. Найти координаты точки на оси Oz, удаленной от точки М(—2; —1;4) на 3 единицы. 5.1.12. Даны вершины треугольника Л(1;-1;3), В(—5; 2;-6), С(2; 1; — 2). Найти длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине А. 5.1.13. Лежат ли на одной прямой точки А(2;-3;1), Б(0;-11;3) и 5.1.14. В каких октантах могут быть расположены точки, координаты которых удовлетворяют одному из следующих условий: 1) х — у = 0; 2)x + z = 0; 3) ху > 0; 4) xyz < 0? 5.1.15. Найти центр и радиус сферы, которая проходит через точку А(4; — 1; — 1) и касается всех трех координатных плоскостей. 5.1.16. Найти расстояние от точки А(3; -4; 5) до начала координат и до осей координат. 5.1.17. Даны две вершины параллелограмма ABCD: Л(1;1;— 1), В(—2; 3; 0) и точка пересечения его диагоналей М(4; 0; 3). Найти координаты вершин С и D. Контрольные вопросы и более сложные задачи 5.1.18. Найти радиус сферы, проходящей через точки (0; 0; 0), (2; 0; 0), (0;3;0), (0;0;6). 5.1.19. Проверить, что три данные точки А(1;—5;3), В(Ь\— 1;7) и С(6; 0; 8) лежат на одной прямой. 5.1.20. Доказать, что прямые, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам. 5.1.21. Где расположены точки А(0; 0; z), В(х; 0; г), С(0; у; z)? 5.1.22. Чему равно расстояние от точки А(—12; -3;4) до оси Ох? 5.1.23. Ребро куба равно 1. Найти длину отрезка, соединяющего середины двух скрещивающихся ребер. 5.1.24. Длина радиус-вектора точки М равна 1. Может ли абсцисса точки М равняться 1? 2? 5.1.25. Как расположена точка в прямоугольной системе координат, если одна ее координата равна нулю? две ее координаты равны нулю? 175
Уравнение поверхности и кривой в пространстве ^ Уравнением поверхности в пространстве Oxyz называется уравнение F(x\y\z) = О, которому удовлетворяют координаты каждой точки поверхности и только они. Поверхность может быть задана уравнением F(x;y;z) = 0, (1.4) или, например, уравнением z = f{x\y) (у = <p(x\z), x = ф{у,г)). Уравнение вида F(x;y)=0 (1.5) определяет в пространстве цилиндрическую поверхность с образующими параллельными оси Oz и направляющей, лежащей в плоскости Оху и заданной в ней уравнением F(x\ у) = 0. Уравнение поверхности составляется по схеме составления уравнения линии на плоскости. Кривую (линию) в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей; тогда она задается системой двух уравнений I ei frr. „|. *\ — п (1.6) Если кривую рассматривать как траекторию движения точки, то она задается параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), z = z(t), te[a;b]. (1.7) 5.1.26. Найти уравнение сферы радиуса R с центром в точке О\ (а; 6; с). Q В прямоугольной системе координат Oxyz точка О\ — центр сферы — имеет координаты а, Ь и с. Пусть М(х\ у; z) — произвольная точка сферы. Тогда О\М — Д, или (см. (1.1)) у/(х - а)'2 + (у - Ъ)2 + (z-c)2=R. Окончательно получаем уравнение сферы (х - а)2 + (у - Ь)2 + (z-c)2=R2. • 5.1.27. Найти координаты центра и радиус сферической поверхности, заданной уравнением х2 + у2 4- z2 — 2х + 6z - 6 = 0. 5.1.28. Как расположены точки А(0; 5; 7), В(-3; 4; 0), С(0; 0; б) относительно сферы х2 + у2 + z2 + 2х — 4у — 6z — 11 = 0? 5.1.29. Какую поверхность определяет уравнение х2 + у2 + Ах — Юу + + 28 = 0? О Уравнение имеет вид (1.5), определяет цилиндрическую по- вехность с образующими, параллельными оси Oz; направляющей служит кривая х2 + у2 + Ах — Юу + 28 = 0, лежащая в 176
плоскости Оху. Выделим в левой части этого уравнения полные квадраты: (z2+4z+4)-4+(2/2-102/+25)-25+28 = 0, (х+2)2 + (</-5)2 = 1. Направляющей служит окружность радиуса 1 с центром в точке (—2; 5) (рис. 49). Таким образом, заданное уравнение определяет прямой круговой цилиндр. О О 5.1.30. 5.1.31. 5.1.32. Рис. 49 Какие геометрические образы определяются следующими уравнениями: 1)2/2=4; 2) у2 = х; 3) х2 + у2 + z2 = 0; 4) z2 + yz = 0? Определить, какие геометрические образы заданы уравнениями: 1) xyz = 0; 2) у2 - х2 = 0; 3)х2+2/2+4 = 0; 4) х2 + у2 - 2х - 3 = 0. Составить уравнение винтовой линии радиуса а и шага h. О Винтовую линию описывает точка, которая равномерно вращается вокруг неподвижной оси (на рис. 50 вокруг оси Oz) и равномерно перемещается в ее направлении. Пусть М(х\ у, z) — произвольная точка линии, а Мо(ж; у, 0) — ее проекция на плоскость Оху. Точка М лежит на образующей прямого кругового цилиндра, направляющей которого служит окружность радиуса а, описываемая точкой Мо. Обозначим угол поворота М$Ох через t, T.e.t = ZM0Ox. В силу равномерности движения точки М можно записать |ММо| = Ы. Имеем: х = acost, у = asint, z = |ММо| = bt. Для нахождения коэффициента Ь положим в последнем равенстве t = 2тг, z = h (в этом случае точка Мо совершит полный оборот; точка М опишет один виток, поднявшись на шаг h винта). Следовательно, h = 2тг6, b = ■£-. 177 12-2361
Рис. 50 Уравнениями винтовой линии будут г х = a cost у 5.1.33. Найти уравнение поверхности, каждая точка которой вдвое ближе к точке А(2;3;0), чем к точке В(—2;0;0). Дополнительные задачи 5.1.34. Какая кривая определяется уравнениями {х2 + у2 + z2 - 6х = 0, у - 2 = 0? 5.1.35. Какие кривые определяются уравнениями: 3) |х = 4? 178
5.1.36. Найти уравнение сферической поверхности с центром в точке С(2; 1; —4), проходящей через точку А(5; 3; 2). 5.1.37. Найти уравнение линии пересечения плоскости Oxz и сферы с центром в точке 0(2; 2; 2) и радиусом, равным 3. 5.1.38. Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек А(1; 0;0) и В(0; 1;0). Контрольные вопросы и более сложные задачи 5.1.39. Из точки М(2; 6; —5) проведены всевозможные лучи до пересечения с плоскостью Oxz. Составить уравнение геометрического места середин отрезков лучей от точки М до точки пересечения с плоскостью Oxz. 5.1.40. Найти геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки и данной плоскости. Указание. Поместить начало координат в середине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. 5.1.41. Вывести уравнение поверхности, сумма квадратов расстояний от каждой точки которой до точек F\ (—a; 0; 0) и 1*2 (а; 0; 0) равна постоянному числу 4а2. 5.1.42. Вывести уравнение поверхности, модуль разности расстояний от каждой точки которой до точек Fi(0; -5;0) и F2(0;5;0) равен 6. 5.1.43. Какую линию определяет система уравнений 5.1.44. Какую поверхность определяет уравнение х2 + у2 — 2у = 0? 5.1.45. Лежат ли точки Ai(0;-4;8), Лг(—1;2;2) на поверхности z = §2. ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ Различные виды уравнения плоскости Каждая плоскость в пространстве Oxyz определяется линейным алгебраическим уравнением первой степени с тремя неизвестными. И наоборот: каждое линейное уравнение первого порядка с тремя неизвестными определяет некоторую плоскость в пространстве. 1. Уравнение плоскости, проходящей через точку Mo(xo]yo]Zo) перпендикулярно вектору п = (А; В; С): А(х - х0) + В(у - у0) + C(z - z0) = 0. (2.1) 179 12*
Уравнение (2.1) называют также уравнением пучка (связки) плоскостей. Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую, образованную пересечением плоскостей А\х + В\у + C\z + D\ = 0 и А2х + #22/ + 4- C2z + D2 = О имеет вид Агх + #i2/ + Ci* + £>i + Л(А2я + В2у + С2|* + £>2) = 0, (2.2) (А2 + В2 + С2 / 0). (2.3) где Л — числовой множитель. 2. Общее уравнение плоскости: Всякий ненулевой вектор, перпендикулярный данной плоскости, называется нормальным вектором этой плоскости. В частности, вектор п= (А; В; С) — нормальный вектор плоскости, заданной уравнением (2.3) Частные случаи уравнения (2.3): Ах + By + Cz = 0 (D — 0) — плоскость проходит через начало координат; Ах + By + D = 0 (С = 0) — плоскость параллельна оси Oz (аналогичный смысл имеют уравнения Ах + Cz + D = 0, By + Cz + .D = 0); Ax + #2/ = 0 (D = С = 0) — плоскость проходит через ось Oz (Ах + Cz + D = 0,By + Cz + D = 0 — через ось Оу и Ох соответственно); Ах + D = 0 (В = С = 0) — плоскость параллельна плоскости Oyz (Cz + D = 0, By + D = 0 — параллельно плоскости Оху и Oxz соответственно); Ах = 0, т. е. х = 0 (В = С — D = 0) — плоскость совпадает с плоскостью Oyz (у = 0, z = 0 — уравнения плоскостей Oxz и Оху соответственно). 3. Уравнение плоскости в отрезках: М-!-1- <-> где а, Ь, с — абсцисса, оридината и аппликата точек пересечения плоскостью координатных осей Ох, Оу и Oz соответственно. 4. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки 2]Z2) и = 0. (2.5) х-xi у-у\ z- х2 -xi 2/2 - 2/1 z2 - Уравнение (2.5) в векторной форме имеет вид (г - й) • (f2 - fi) • (f3 - n) = 0, (2.6) где f, fi, f2, r3 — радиус-векторы точек M(x;y;z), Mi, M2 и Мз соответственно. 180
5. Нормальное уравнение плоскости: xcosa + 2/cos/3 -f г cos 7 — Р = 0, (2.7) где р — длина перпендикуляра ОК, опущенного из начала координат на плоскость; а, /3, 7 — углы, образованные единичным вектором ё, имеющего направление перпендикуляра ОК (рис. 51), с осями Ох, Оу и Oz (cos2 a + cos2 /3 + cos2 7=1)- Рис. 51 Рис. 52 Уравнение (2.7) в векторной форме имеет вид гё-р = 0. (2.8) Общее уравнение плоскости (2.3) приводится к нормальному виду (2.7) путем умножения на нормирующий множитель х = - ' знак перед дробью берется противоположным знаку свободного члена D (в общем уравнении плоскости). 5.2.1. Построить плоскости, заданные уравнениями: 1) 2» - 5 = 0; 2) х + z - 1 = 0; 3) Зх + 4^/ + 6z - 12 = 0. О 1) Плоскость 2у — 5 = 0 параллельна плоскости Oxz (см. (2.3), частные случаи); она отсекает на оси Оу отрезок, равный | и имеет вид, изображенный на рисунке 52. 2) Плоскость х + z — 1 = 0 параллельна оси Оу (см (2.3)); она пересекает плоскость Oxz по прямой х + z = 1, отсекая на осях Ох и Oz отрезки, равные 1 (рис. 53). 181
z , 1 l< 1 iiillf » Рис. 53 Рис. 54 3) Общее уравнение плоскости Зх + 4у + 6г — 12 = 0 перепишем в виде (2.4): Зх + 4у + 6z = 12, т.е. | 4-1 + | = 1. Эта плоскость отсекает на осях Ох, Оу, Ог отрезки, равные 4, 3, 2 соответственно (рис. 54). • 5.2.2. Составить уравнение плоскости, проходящей через: 1) точку М(—2;3; 1) параллельно плоскости Оху; 2) точку М и ось 0^/. Построить эти плоскости. 5.2.3. Составить уравнение плоскости, проходящей через: 1) точку А(5; —4; 6) перпендикулярно оси Ох; 2) точку А и отсекающей равные отрезки на положительных координатных полуосях. Построить эти плоскости. 5.2.4. Уравнение плоскости 2х — 6у + Ъг — 14 = 0 привести к нормальному виду. О Умножим обе части уравнения на нормирующий множитель (2.9): А = 1 т.е. *■;• '■ + (-б)2 + З2 Перед корнем взят знак «плюс», т.к. свободный член С = —14 заданного уравнения отрицателен. Имеем: = 0--, -т.е. -х - -у + -z - 2 = 0 . Здесь р = 2, т.е. расстояние от точки 0(0;0;0) до плоскости равно 2; 2 6 3 cosa=-, cosp = —-, 182
5.2.5. Определить направляющие косинусы радиус-вектора, перпендикулярного к плоскости Зх — Ау + bz — 10 = 0. 5.2.6. Написать уравнение плоскости: 1) параллелльной оси Oz и проходящей через точки М\ (3; —1; 2) иМ2(-1;2;5); 2) проходящей через точку М\ перпендикулярно вектору ЩШ2. О 1) Уравнение плоскости, параллелльной оси Oz, имеет вид Ах + By + D = 0 (см (2.3), частные случаи). Так как плоскость проходит через точки М\ и М2, то координаты этих точек удовлетворяют уравнению плоскости. Подставим их в уравнение Ах + By + D = 0. Получаем два уравнения с тремя неизвестными А, В, D. Выразим неизвестные коэффициенты А и В через D: умножив первое уравнение на 2 и сло- жив почленно уравнения, находим ЪА + 3-D = 0, т. е. А = -#£>; тогда В = 3 • (— 4Dj + D, т.е. В = —$D. Подставляя найденные значения А и В в уравнение Ах + By + D = 0, получаем — ^Dx+ ( — ^Djy + D = 0. После сокращения на ( — ^Dj уравнение искомой плоскости приобретает вид Зх + Ау — 5 = 0. 2) Используем уравнение (2.3) плоскости. Вектор М\М2 имеет координаты MiМ2 = (-1 — 3;2 — (—1);5 — 2) или М\М2 = = (—4;3;3). Так как искомая плоскость перпендикулярна вектору MiM2, он является ее нормалью и, следовательно, значения параметров А, В, и С в (2.3) равны —4, 3 и 3 соответственно. Уравнение плоскости, таким образом, имеет вид -Ах + Зу + 3z + D = 0. Точка Mi(3; —1; 2) по условию задачи лежит в плоскости. Следовательно, подстановкой координат точки Mi в уравнение плоскости получим тождество: -4-3 + 3-(-1)+3-2 + £> = 0. Отсюда находим, что D = 9. Уравнение искомой плоскости: -Ах Л- Зу + 3z + 9 = 0. • 5.2.7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Мо(2;3;~4) и параллельной векторам а = (—3;2;—1) и Ь = = (0;3;1). О Воспользуемся уравнением (2.1) плоскости. Имеем А(х - 2) + В(у - 3) + C(z + 4) = 0. 183
5.2.8. 5.2.9. 5.2.10. Найдем А, В и С. Так как плоскость параллельна векторам а и Ь, то в качестве ее нормального вектора п = (А;В;С) можно взять вектор п — а х Ь. Находим вектор п по форму- г J к ле a xb = п = ах Ьх Ьу Q>Z bz г j к -3 2 -1 О 3 1 = 2г - 9к + Зг + Sj = 5г + 3j - х-2 -3 0 У — 2 3 3 z + -1 1 значит, А = 5,Б = 3,С = -9. Искомое уравнение плоскости есть 5(х - 2) + 3(у - 3) - 9(z + 4) = 0, т. е. Ьх + Ц - 9z - 55 = 0. Замечание. Приведем второе решение задачи. Пусть М{х\ у; z) — произвольная точка искомой плоскости. Составим вектор MqM = (х — 2; у — 3; z + 4). Так как векторы МоМ, а и b компланарны, то их смешанное произведение равно нулю, т. е. = 0. Раскрывая определитель, получаем Ьх + Зу - 9z — 55 = 0. • Написать уравнение плоскости, проходящей через точки Mi(2;0; —1), М2(—3; 1;3) параллельно вектору s = (1;2; -1). Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(1; -1; 0), параллельно векторам а = (0; 2; 3) и b = (—1; 4; 2). Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки Mi(l;0;-l), M2(2;2;3), М3(0;-3;1). О Три точки, не лежащие на одной прямой, определяют в пространстве единственную плоскость. Ее уравнение будем искать в виде (2.3). Так как точки Mi, M2 и Ms лежат в одной плоскости, векторы М\М2 и М\М3 также лежат в ней (см. рис. 55) Рис. 55 Векторное произведение векторов М\М2 и MiM3 перпендикулярно плоскости а, в которой они лежат. Следовательно, в качестве нормали п к плоскости а можно взять вектор 184
п =р М\М2 х М\М3. Находим координаты векторов MiM2, М1М3 и п: МХМ2 = (2 - 1;2 - 0;3 - (-1)) = (1;2;4); МхМ3 = (0 - 1; -3 - 0; 1 - (-1)) = (-1; -3; 2); ] к п = М\М2 х MiM3 = 2 4 -1 -3 2 f(4 - (-3) • 4) - J(l • 2 - (-1) • 4) + *(1 • (-3) - 2 • (-1)) = Таким образом, параметры А, В и С плоскости, заданной уравнением (2.3) равны 16, —6 и —1 соответственно. Уравнение искомой плоскости, следовательно, имеет вид 16х - 6у - z + D = 0. Точка Mi(l;0;— 1) по условию лежит в плоскости. Следовательно, подстановка координат точки М\ в уравнение плоскости обратит его в тождество. Имеем: Откуда находим, что D = —17. Уравнение плоскости, проходящей через заданные точки М\, М2 и Мз, имеет вид 16я—6у — z — -17 = 0. Замечание. Приведенное решение задачи по сути является обоснованием формулы (2.5). • 5.2.11. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки Mi(-2;0;0), M2(0;4;0), М3(0;0;5). 5.2.12. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(1; -2;3) и линию пересечения плоскостей 2х — y + 2z-6 = 0 и Зх + 2у - z + 3 = 0. О Линия пересечения плоскостей — прямая. Выберем на ней две произвольные (несовпадающие) точки и сведем задачу к предыдущей — определение уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки. Координаты точек прямой, заданной пересечением плоскости 2х - у -\- 2z — 6 = 0 и Зх + 2у — z + 3 = 0, — это решения системы * Выбрать два решения этой системы можно различными способами. Поступим так: присвоим одной из переменных фиксированное значение (что-нибудь простое, например, равное нулю или единице), а значения остальных переменных найдем из 185
образующейся системы. Пусть, например, х = 0. Тогда система уравнений примет вид решение которой у = 0, z = 3. Итак, одна точка найдена. Обозначим ее М.2- Координаты этой точки М2(0;0;3). Для нахождения второй точки поступим аналогичным образом. Пусть теперь х = 3 (подставка z = 0 приводит к дробным решениям, что слегка усложняет арифметические процедуры). Исходная система уравнений примет вид решение которой у = —8; z — —4. Найдена вторая точка на прямой (обозначим ее Мз), координаты которой Мз(3; —8; -4). Теперь есть три точки Мх(1; -2;3), М2(0;0;3) и М3(3; -8; -4), определяющие в пространстве плоскость. Ее уравнение находится способом, показанным в решении задачи 5.2.7. Уравнение искомой плоскости: \4х + 1у — 2z + 6 = 0. • 5.2.13. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(1; 1; 1) перпендикулярно к линии пересечения двух плоскостей x-y + 2z-3 = 0n2x-z + 4 = 0. 5.2.14. Найти уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения двух плоскостей х - 2у + 3z — 4 = 0 и х -{-у — 5z + 9 = 0 и параллельной оси Ох. Дополнительные задачи 5.2.15. Найти объем пирамиды, ограниченной плоскостью х + Зу — bz — — 15 = 0 и координатными плоскостями. 5.2.16. Найти длину перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость 20х — by + 4z — 210 = 0и угол, образованный этим перпендикуляром с осью Oz. 5.2.17. Найти плоскость, зная, что точка М(2; — 4; 4) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость. 5.2.18. Найти геометрическое место точек, равноудаленных от точек М1(2;1;-2)иМ2(-2;3;4). 5.2.19. Найти уравнение плоскости, отсекающей на отрицательной полуоси Оу отрезок, равный 4, и перпендикулярной вектору 186
5.2.20. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки Mi (4; 2; 3) и М^ (2; 0; 1) и перпендикулярной к плоскости х + 2у + 3z + 4 = 0. 5.2.21. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(1; 0; 3) и перпендикулярной к плоскостям x + y + z — & = 0 и 2х - у + \z + 5 = 0. 5.2.22. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М\ (1; 2; 3) и Мг(—2; -3; 4) и пересекающей оси Ох иОгв точках с равными и положительными координатами. 5.2.23. Найти расстояние от начала координат до плоскости, которая пересекает оси Ox, Оу, Oz в точках с координатами а = —6, Ь = 3, с = 3. 5.2.24. Найти уравнение плоскости, проходящей через основания перпендикуляров, опущенных из точки М(2; 2; 2) на координатные плоскости. 5.2.25. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; -2; 5) и отсекающей на осях Ох и Оу втрое большие отрезки, чем на оси Oz. 5.2.26. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Mi перпендикулярно вектору MiM2 = г — j — 3fc, зная точку 5.2.27. Найти точку пересечения следующих плоскостей: 1) х - Зу + 2z - 11 = 0, х - 2у + z - 7 = 0, 2х + у - z + 2 = 0; 2) Зх + у + z - 5 = 0, х - 4у - 2z + 3 = 0, Зх - 12у - 6z + 7 = 0. Контрольные вопросы и более сложные задачи 5.2.28. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точку М)(#о;2/о;2о) параллельно двум векторам а = (mijnijpi) иЬ= (Ш25П25Р2), может быть представленным в виде х-х0 у - уо z - z0 mi п\ pi 7П2 П2 Р2 = 0. 5.2.29. Составить уравнение плоскости, проведенной через точку Mo(xo;yo',zo) параллельно вектору а = (ax;ay;az) и перпендикулярно плоскости Ах + By + Cz + D = 0. 5.2.30. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат, точку Мо(—1; 2; 1) и точку пересечения плоскостей 2х - 4у + bz = 21, х - 3z + 18 = 0, бх + у + z - 30 = 0. 5.2.31. Плоскости х = 0, у = 0, z = Ои Зх+у — 2z —18 = 0 образуют треугольную пирамиду. Найти объем куба, вписанного в пирамиду так, что три его грани лежат на координатных плоскостях, одна из его вершин — на последней плоскости (Зге 4- у — 2z — 18 = 0). 187
5.2.32. Найти точку, симметричную началу координат относительно плоскости 10х + 2у - llz + 450 = 0. 5.2.33. Чему равна площадь треугольника, отсеченного плоскостью 2х — 9у + 6z — 12 = 0 от координатного угла Oxzl 5.2.34. Каково уравнение плоскости, проходящей через точку (1; 2; 3) перпендикулярно вектору а = (3; 2; 1)? 5.2.35. Какое из следующих уравнений плоскости является нормальным 1) |ж- |г-6 = 0; 2) х + у-2 = 0; 3) у + 1 = 0; 4) х-1 = 0; и О 5) 2* + 6у - 2z + 2 = 0? 5.2.36. Проходит ли плоскость 2х — 4у + z — 3 = 0 через одну из следующих точек: А(2; 1; 3), Б(0; 2; 10), С(-3; -3; -3)? 5.2.37. Найти точки пересечения плоскости х-\-2у — 3z + 6 = 0 с осями координат. Угол между двумя плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей; расстояние от данной точки до данной плоскости Углом между плоскостями в пространстве называется угол между нормальными векторами этих плоскостей. Если две плоскости Q\ и Q2 заданы уравнениями А\х + В\у + C\z + D\ = 0 и ybaj + i^y + C^H-Аз = 0, то величина угла ц> между ними вычисляется по формуле AjA2 + BiB2 + СгС2 ,О1П. cos if = . (2.10) Bl + Cl-^Al + Bl + C* Величина наименьшего из двух смежных углов, образованных этими плоскостями, находится по формуле: _ _ BiB2 COSC/2 = (2.11) Условие параллельности двух плоскостей Q\ и Q2 имеет вид ^1 = ^1 = ^ , (2.12) условие перпендикулярности АХА2 4- Б^з + CiC2 = 0, (2.13) плоскости совпадают, когда А\ В\ С\ А2 В2 С2 D2 188
Расстояние d от точки Мо(хо; у о', zq) до плоскости Ax + By + Cz + D = O находится по формуле \Ax + By + Czo + D\ 2 + В2 + С2 Если плоскость задана уравнением х cos a + 2/cos/? + г cos 7 — Р = 0, то расстояние от точки Мо(хо;2/о5^о) ДО плоскости может быть найдено по формуле d = |х0 cos а + 2/о cos /3 + z0 cos 7 - Р | • (2.16) 5.2.38. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(1; —3; —2) параллельно плоскости Зх - 2у + Az — 3 = 0. О Ищем уравнение плоскости в виде Ах + By + Cz + D = 0 (это вид 2.3). Две параллельные плоскости имеют общую нормаль. Координаты нормали заданной плоскости п = (3; —2; 4). Следовательно, уравнение искомой плоскости имеет вид Зх - 2у + 4z + D = 0. Точка М(1; -3; —2) по условию лежит в искомой плоскости. Следовательно, подстановкой координат М в уравнение плоскости получим тождество: 3 • (1) — 2 • (—3) + 4 • (—2) + D = 0. Отсюда находим, что D = — 1. Уравнение искомой плоскости имеет вид Зх - 2у + 4z - 1 = 0. • 5.2.39. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(—4; -3; -2), параллельно плоскости х + 2у — Sz — б = 0. 5.2.40. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(0; —3; 2) параллельно плоскости, проходящей через три точки Mi(0; -2; -1), М2(1; -3; 4), М3(1; 1; -1). 5.2.41. Найти величину острого угла между плоскостями: 1) 11х - 8у - 7z - 15 = 0 и 4х - 10у + z - 2 = 0; 2) 2х + Зу - 4z + 4 = 0 и 5х - 2у + z - 3 = 0. О 1) Воспользовавшись формулой (2.11), получаем cos ip = |1 л/121 1.4- + 64 - 8 - (—10) — 7 • 1| + 49 • л/16 + 100 + 1 117 \/234 • л/117 л/Ш л/2 • л/117 л/2 2 7Г 2) Можно заметить, что выполняется условие (2.13) перпендикулярности плоскостей, т.к. 2 • 5 + 3 • (—2) —4-1 = 0. Следовательно, плоскости взаимно перпендикулярны; ip = ?. 189
5.2.42. Найти величину острого угла между плоскостями: 1)х + у-2г + 5 = 0и2х + Зу + 2-2 = 0; 2) 2х - 2у + z = 0 и z = 0. 5.2.43. Написать уравнение плоскости, параллельной плоскости х — 2у + 2z + 5 = 0 и удаленной от точки М(3; 4; -2) на расстояние d = 5. О Уравнение искомой плоскости ищем в виде х — 2у + 2z + + D = 0. Найдем значение D. Так как точка М удалена от искомой плоскости на расстояние d = 5, то по формуле (2.15) записываем к |3-2-4 + 2-(-2) + Л| с 5 = , = или 5 = /1 4 4 vT+4+4 3 т.е. 15 = ±(D — 9), откуда D = 24 и D = -6. Условию задачи удовлетворяют две плоскости х — 2у + 2z 4- 24 = 0 и х - 2у + 2z - 6 = 0. • 5.2.44. Найти расстояние между параллельными плоскостями: 1)х + у-г-2 = 0и2х + 2у -2* 4-5 = 0; 2) 2ж - Зу 4- 6г - 14 = 0 и 2х - Зу 4- 6z + 42 = 0. 5.2.45. Найти расстояние от точки Мо(5; 4; —1) до плоскости, проходящей через точки Мх(0;4;0), М2(0;4; -3), М3(3;0;3). 5.2.46. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки Mi (—1; 3; 0) и М2 (2; 4; — 1), перпендикулярно плоскости х - 2у + 3z - 10 = 0. О Ищем уравнение плоскости в виде Ах + By 4- Cz 4- D = 0. Точки Mi и М2 лежат в искомой плоскости, следовательно, вектор MiM2 также лежит в ней. Его координаты: MiM2 = = (2 - (-1); 4 - 3; -1 - 0) = (3; 1; -1). Так как заданная и искомая плоскости перпендикулярны, вектор-нормаль заданной плоскости лежит в искомой. Координаты вектора-нормали заданной плоскости: п = (1; —2; 3). Нормаль п\ к искомой плоскости находим как векторное произведение лежащих в ней неколлинеарных векторов: г j к х п = 3 1 -1 1 -2 3 п\ = (1;—10;—7). Уравнение искомой плоскости имеет вид х — 10у — 7z + D = 0. Подставляя координаты точки Mi = = (—1; 3; 0) (или М2), лежащей в плоскости, в это уравнение, находим, что D = 31. Уравнение искомой плоскости имеет вид х - 10у - lz + 31 = 0. • 5.2.47. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и точку М(2;1;—1) перпендикулярно плоскости 2x-3z = 0. 190
Дополнительные задачи 5.2.48. Установить, какие из следующих пар плоскостей являются параллельными, какие — перпендикулярными: 1) Зх + Ау - z + 8 = 0 и 6х + 82/ - 2z - 3 = 0; 2) Зх - 6у + Ъг - 12 = 0 и -х + 2у - z + 4 = 0; 3) х + 22/ - 5z + 1 = 0 и 2х + 4t/ + 2z - 7 = 0. 5.2.49. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(4;0;2) и перпендикулярной плоскостям х + у + z — Ои y-z = 0. 5.2.50. Найти координаты точки на оси Оу, равноудаленной от двух плоскостей x + 2y-2z + 6 = 0n2x + y + 2z-9 = 0. 5.2.51. Дана пирамида с вершинами А(2\ 2 - 3), В(3; 1; 1), С(-1; 0; -5), D(4; — 2;—3). Найти длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC. 5.2.52. Составить уравнение плоскости, расположенной на расстоянии четырех единиц от плоскости Зх — 6у — 2z + 8 = Ои параллельно ей. 5.2.53. Доказать, что параллелепипед, грани которого лежат в плоскостях 8x-4y+5z-7 = 0, Зх+2/-4г:+13 = 0, llx+472/+20z+2 = 0, является прямоугольным. 5.2.54. Найти объем куба, две грани которого лежат на плоскостях 13х + Ъу + \/2z - 5 = 0 и 13х + Ъу + \/2z + 23 = 0. 5.2.55. Даны уравнения трех граней параллелепипеда х + 4 = 0, y + 2z — 5 — 0, x-3t/ + 4z-12 = 0 и одна из его вершин (4; — 3;2). Найти уравнения трех других граней параллелепипеда. 5.2.56. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей 2х — у — 12z — 3 = 0иЗх + у — lz — 2 = 0 перпендикулярно плоскости 4х — 2у + 25 = 0. 5.2.57. Определить уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и составляющей с плоскостью х + л/&/ — z — 3 = 0 угол 60°. Контрольные вопросы и более сложные задачи 5.2.58. Составить уравнения плоскостей, делящих пополам двугранные углы, образованные плоскостями 2х — 2y + z + b = Qu х + 2у - 2z - 3 = 0. 5.2.59. Написать уравнение плоскости, расположенной на равном расстоянии от двух данных параллельных плоскостей 4х — Зу + + z-2 = 0h4x-32/ + z + 8 = 0. 5.2.60. Написать уравнение плоскости, проходящей через две точки Mi(0;0;2) и М2(0;1;0) и образующей угол 45° с плоскостью Oyz. 191
5.2.61. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей А\х + В\у + C\z + D\ — О и А2х + £?2?/ + + C2z + D2 = 0 и начало координат. 5.2.62. Найти уравнение плоскости, параллельной оси Оу и проходящей через точки Mi(ai;bi;ci) и М2(а2;&2;с2)- 5.2.63. При каких значениях а и /? уравнения будут определять параллельные плоскости: 1) 2ж + ш/ + Зг - 8 = 0 и /?ж - 6t/ - 6z + 4 = 0; 2) ax + 2y - Zz + 11 = 0 и Зж - 5j/ - 0z - 2 = 0? 5.2.64. Определить, при каких значениях 7 следующие пары уравнений будут определять перпендикулярные плоскости: 1) 4х - ly + 2z - 3 = 0 и -Зж + 2у + jz + 5 = 0; 2) ж - 7У + * = 0 и 2ж + 3j/ + 7* - 1,2 = 0. 5.2.65. Пересекаются ли плоскости 2х — у + z — 140 = 0, ж — z = 0, ж + 5у - 2z + 1 = 0? §3. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Различные виды уравнения прямой в пространстве 1. Канонические уравнения прямой, проходящей через данную точку (яо,2/(ь2о) параллельно вектору а = (т,п,р), имеют вид х-хр _у-у0 _ z-zp ~^г - ~^r ~ ~v~; ( } Всякий ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется направляющим вектором этой прямой. В частности, вектор а = (ш, п,р) — направляющий для прямой, заданной уравнениями (3.1). Обращение в нуль одного из знаменателей уравнения (3.1) означает обращение в нуль соответствующего числителя. 2. Параметрические уравнения прямой: (3.2) где t — переменный параметр, t € К. В векторной форме уравнение (3.2) имеет вид f = f0 + st, (3.3) где f0 = (жо;2/о;2о), s = (т\щр). 3. Уравнение прямой, проходящей через две точки M\(x\\y\\zi) и M2(x2;y2',Z2), где хг ф ж2, у\ Ф у2, z\ ф z2, имеет вид s-si = У -У1 = z~zi /3 4) х2 - xi у2 - yi z2 - z\' 192
4. Общее уравнение прямой: [ Агх + Вгу + dz + Dx = О, I А2х + В2у + С22 + D2 = О (3.5) (коэффициенты при переменных не пропорциональны). Направляющий вектор прямой (3.5) находится по формуле т.е. (3.6) 41 п2 в2 Сг с2 или ;- А2 s = с\ г А, А2 ; А2 3 в\ to to А; !)■ 5.3.1. Общее уравнение прямой преобразовать к каноническому виду и определить величины углов, образованные этой прямой с координатными осями. Q Для решения этой задачи надо знать какую-либо точку прямой и ее направляющий вектор s. Выберем точку на прямой следующим образом: положим, например, z = 0; тогда для определения абсциссы х и ординаты у у этой точки получим систему уравнений Г х + 2у + 2 = 0, \2х-2у-5 = 0, из которой находим х = 1, у = — 4. Итак, на прямой известна точка (1; — о5О)- Направляющий вектор прямой находим по формуле (3.6): Ч1Д -3 1 Тогда, согласие х-: -4 — искомое L 1 -3 2 1 > формуле У + § z ' -7 ; 1 2 ;зл), -( -6 D уравнение прямой. -2|) или 1 - х — 4 е. 1 s = (-4; У + 1 7 -7; -6). z 6 193 13-2361
Замечание. Каноническое уравнение прямой можно полу-i чить, зная две точки этой прямой. В качестве координат этих! точек можно взять два любых решения данной системы урав-' §;—4;1) и (0;— ^р;— #). Тогда искомое уравнение найдем, используя формулы (3.4): Г — - 77+- Г — 1 A 3 _ * ^ Q Z l n_5 "" _13 , I "" _3 _ i > U 3 4 "•" 3 2 -1 т.е. x-\ 2/+| z-1 s-§ j/+| «-1 ~ = ^¥ = T' или—= —= —■ Направление прямой задает вектор s = (4; 7; 6). Он образует с координатными осями Ox, Oy, Oz углы а, /? и 7 — соответственно. Находим эти углы по известным формулам ах ау az cos a = — , cos p = тгг , cos 7 = tzt • Н lal 1а1 Получаем cos а = . , cos /3 = Vf42 + 72 + б2 ' л/42 + 72 + б2 ' или cos а = , , cos /3 = —== , cos 7 = л/Ш ' л/Ж' л/Ж' Заметим, для контроля, что равенство cos2 a+cos2 /?+cos2 7=1 выполняется. • 5.3.2. Найти направляющий вектор прямой \z = 4. 5.3.3. Привести к каноническому виду прямую (х + 22/ + 4z - 8 = 0, 6х + 32/ + 2z - 18 = 0. 5.3.4. Найти направляющие косинусы прямой Т =^ ^? =z~~. 5.3.5. Составить параметрические уравнения прямых, проведенных через точку Мо(2; —1; -3) в каждом из следующих случаев: Га = -1 + 2*, 1) прямая параллельна прямой < у = 2 — 4£, 194
2) прямая параллельна оси 0у\ 3) прямая перпендикулярна плоскости Зх + у — z — 8 = 0. О 1) Так как прямые параллельны, то они имеют один и тот же направляющий вектор s = (2; —4; 1). Согласно формулам (3.2) имеем искомое уравнение прямой 2) В качестве направляющего вектора оси Оу можно взять вектор s = (0; 1; 0), совпадающий с ортом j. Искомое уравнение прямой есть т.е. 3) Вектор п = (3; 1; —1) перпендикулярен плоскости Зх + + у—z—8 = 0. Следовательно, в качестве вектора s можно взять вектор п, т.е. s = (3; 1; —1). Тогда параметрические уравнения прямой, перпендикулярной плоскости Зх + у — z — 8 = 0, примут вид [z = -3-t. 5.3.6. Найти параметрические уравнения прямой: 1) проходящей через точку (1; 0; —1) и параллельной вектору а = (2;3;0); 2) проходящей через точки (2; 2; 2) и (6; 2; 1). 5.3.7. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку Мо(4;3; —2) параллельно 1) вектору а = (3; -6; 5); 2) прямой < [2x-y-4z + l = 0. О 1) В качестве направляющего вектора прямой, проходящей через точку Мо возьмем вектор s равный вектору а, т. е. s = (3; —6; 5). Тогда, по формуле (3.1), канонические уравнения прямой примут вид х-4 _ у-3 _ z + 2 3 " -6 " 5 ' 195 13*
2) Направляющий вектор S\ данной прямой находим по формулам (3.6): 3 3 -1 к 1 -4 = г 3 -1 1 -4 -з 1 2 1 -4 + fc 1 2 3 -1 5.3.8. т. е. 5i = (—11; 6; -7). Так как данная прямая и искомая параллельны между собой, то в качестве направляющего вектора s искомой прямой можно взять вектор 8i, т. е. s = s\. Получаем^ канонические уравнения х-4 _ у-3 _ z + 2 -11 ~ 6 ~ -7 ' Найти уравнение прямой, проходящей через точку (3; —2; 5): 1) параллельно оси Oz\ 2) параллельно прямой I 2х + у - 4z + 3 = 0. Дополнительные задачи 5.3.9. Проверить, лежит ли точка М(1; -3; 2) на прямой hx-2y + z-ll = 0, [2х + 5з/ + 6* + 1 = 0. 5.3.10. Проверить, лежат ли на одной прямой три данные точки (-3;5;4), (2; 4; 6), (2; 14; 6). 5.3.11. Привести к каноническому виду уравнение прямой 5.3.12. Найти точки пересечения прямой х~-? ординатными плоскостями. 5.3.13. Найти точки пересечения прямой ix + y + z-4 = 0, ^~ту— = z 7 с кос координатными плоскостями. 5.3.14. Найти уравнение прямой, проходящей через точку М(—4; 2; 2) и пересекающей ось Oz под прямым углом. 5.3.15. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(1; —1;2) и перпендикулярной векторам а = (2;2;3) и Ь = 196
5.3.16. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М(1; 3; —2) и образующей с осями Ox, Oy, Oz углы 120°, 60°, 45° соответственно. 5.3.17. При каких значениях D прямая {4х - 6у + lz + D = 0, 2х + Ъу - Sz - 10 = 0 пересекает ось Ох? 5.3.18. Даны вершины треугольника А(-3; 2; 8), В(-7; 0; 3), С(3; 4; 5). Составить параметрические уравнения его медианы, проведенной из вершины А. 5.3.19. Даны две вершины параллелограмма ABCD: А(8;1;5) и D(-3;0;4) и точка пересечения диагоналей 0(2;4;—2). Найти уравнение стороны ВС. Контрольные вопросы и более сложные задачи 5.3.20. Даны вершины треугольника Л(3;—1;—1), Б(1;2;-7), С(-5; 14; —3). Составить канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершине В. 5.3.21. Найти соотношения, которым должны удовлетворять коэффициенты прямой Dx = 0, А2х + В2у для того, чтобы прямая: 1) проходила через начало координат; 2) была параллельна оси Оу\ 3) пересекала ось Oz; 4) совпадала с осью Ох. 5.3.22. Найти уравнения плоскостей, проектирующих прямую {х - 6у + 2z - 4 = 0, на координатные плоскости. 5.3.23. Каково уравнение оси Ох? 5.3.24. Написать параметрические уравнения прямой 197
Угол между двумя прямыми; условия параллельности и перпендикулярности прямых; условие компланарности двух прямых Пусть прямые L\ и L2 заданы уравнениями х-xi у -2/1 z-zi x-x2 у -t/2 и Z~Z2 mi п\ pi тп2 п2 р2 Под углом между прямыми понимают угол между направляющими векторами а\ = (mi;ni;pi) и а2 = (т2',п2',р2). Величина угла между прямыми L\ и L2 определяется из формулы т\т2 + п\п2 f + nf +pl +n%+pl (3.7) Для нахождения величины острого угла между прямыми L\ и L2 числитель правой части формулы (3.7) следует взять по модулю: cosy? = |mim2 +П1П2 +P1P2I I + п\ + р\ • л/т^ + Пз + р| (3.8) Условие перпендикулярности прямых L\ и L2 имеет вид тп\Тп2 4" Tt\Ti2 + р\р2 = 0. Условие параллельности (или совпадения) прямых — mi ni pi m2 П2 P2 Условием, при котором ^ве прямые L\ и L2 лежат в одной плоскости, является равенство (3.9) (3.10) Х2 — Х\ mi m2 2/2 -2/1 ni n2 ^2 — P\ P2 = 0, при этом, если a\ )j[ a2, то прямые L] и L2 пересекаются. 5.3.25. Найти величину острого угла между прямыми т — 4 ?/-1-1 г — ^ It — 1I-4-9' (3.11) -3 1 -2 О Направляющий вектор первой прямой есть s\ = (—3; 1; —2). Находим направляющий вектор s2 второй прямой: ■( -1 1 2 -1 ;- 1 2 2 -1 1 2 -1 1 V т.е. 198
Ло формуле (3.8) находим _ |-3-(-1) +1-5-2-31 _ л/10 COSip- ^9+1 + 4-71 + 25 + 9 " 35 ' поэтому if = arccos ^Д (« 85°). 5.3.26. Найти величину острого угла между прямыми: - U±± - z=l и x^4__2L-I_ti. ~ 8 ~ 7 7 ~ -2 ~ 8 ' -1=0, - t/ + Зг + 1 = 0. 5.3.27. Установить взаимное расположение прямых: {х = 5 - 8*, У = 4-6*, z = 3 + 4t; (^ 1) Выпишем направляющие векторы первой и второй прямых: 5i = (4;3;—2), 52 = (—8;-6; 4). Как видно, координаты этих векторов пропорциональны: 4 3-2 -8 -6 4 Следовательно, данные прямые параллельны или совпадают. Возьмем на первой прямой какую-нибудь точку, например точку (2; 0; -1). Подставим ее координаты в уравнение второй прямой: Г2 = 5 — 8*, ,0 = 4-6*, -1 = 3 + 4*. Получаем t = 4 — из первого уравнения, * = 4 — из второго, t = — 1 — из третьего. Это означает, что точка (2;0;—1) не принадлежит второй прямой; прямые не совпадают, значит они параллельны. 2) Координаты направляющих векторов si = (2; —3; 1) и $~2 = (3; 2; 4) данных прямых не пропорциональны. Следовательно, прямые либо пересекающиеся, либо скрещивающиеся. Проверим выполнение условия (3.11) принадлежности двух прямых одной плоскости, предварительно выписав координаты точек Mi и Мг, через которые проходят данные прямые: 199
Mi(O; 1; -2), M2(-4; -3; 1). Имеем 200 -4-0 -3-1 1-(-2) 2-3 1 3 2 4 -4 -4 3 2 -3 1 3 2 4 = -4 -3 1 2 4 + 4 2 1 3 4 2 -3 = -4 • (-14) + 4 • 5 + 3 • 13 = 115 ф 0. Следовательно, данные прямые — скрещивающиеся. 5.3.28. Выяснить взаимное расположение прямых: ' 6 " 2 " -1 * 5.3.29. Найти уравнение прямой, проходящей через точку Mi (-2; 3; 4) и перпендикулярной прямым х-2 _у + 1 _ z х _у + 2 _ z-1 1 -1 ~ 2 И 2 ~ 1 " 3 ' О Уравнение искомой прямой имеет вид 0-3 х + 2 т z-4 п Найдем т, п и р — координаты направляющего вектора s этой прямой. Используя условие (3.9) перпендикулярности прямых, можно записать: По правилу решения системы двух линейных однородных уравнений с тремя неизвестными находим: т = -1 1 t = - п— — 1 2 2 3 = t, p = 1 -1 Уравнения искомой прямой есть х + 2 у-3 z-A или -3 z-A - Ы t 3t Замечания: 1) Систему уравнений -5 |m-n + 2p = 0, I 2т + п + Зр = О
можно переписать в виде Р Отсюда — = — §, — = А т. е. т : п : р = -5 : 1 : 3, поэтому р о р о т = —5£, п = £, р = 3£, где t — число. 2) В качестве вектора s можно использовать вектор s\ х s2) т.к. искомая прямая перпендикулярна данным прямым. Тогда s = г 1 2 3 -1 1 к 2 3 = -5i+j + 3fc, т.е. m =-5, n = 1, p = 3. 5.3.30. Составить канонические уравнения прямой, лежащей в плоскости Оху, проходящей через начало координат и перпендикулярной к прямой х 7 = У_ Q = z Т • 5.3.31. Составить уравнение прямой, проходящей через точку Mi(l;—2;3) и перпендикулярной к прямым х Г = ^— = _ z-3 х + 2 _ 3/ + 4 _ z- 1 ~ -2 ' 2 ~ -5 ~ 4 ' Дополнительные задачи 5.3.32. Найти расстояние от точки М(—5;4;3) до прямой ж ~ = х-2 _ 5.3.33. Найти расстояние между параллельными прямыми 4~2Х3~4~2- е. Воспользоваться формулой 5д = i|a x Ь|. 5.3.34. Проверить, лежат ли прямые [х - 2у + 8 = 0, f Зх + 2z - 3 = О, < и < 12/ -I- ^гг — 6 = 0 [х — 5?/+ 9 = 0 в одной плоскости. 5.3.35. В уравнении прямой х 7 = ^ = § найти параметр п, при котором эта прямая пересекается с прямой ^ = У ~ = z "j" , найти координаты точки их пересечения. 201
5.3.36. Показать, что прямая \у = з*, I— перпендикулярна к прямой 5.3.37. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки М(-3;2;7) на: 1) ось Ох\ 2) плоскость Oyz. 5.3.38. Определить величины углов между осями координат и прямой х-2 _ у + 4 z-1 1 V 1 * 5.3.39. Найти величину тупого угла между прямыми [* = 5, [х = -2, у = -3 + 3*, и I у = 1 + 2*, z = 4-t [z = *. Контрольные вопросы и более сложные задачи 5.3.40. Найти координаты точки пересечения прямых х Т = 2£—— = и ~43"-2~4" 5.3.41. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми _ У-8 _ z-2 „ х-3 _ у-7 _ z-1 ~0~Зи2~-2~3* 5.3.42. Найти уравнение перпендикуляра, общего к двум скрещивающимся прямыми 2 1 3 5.3.43. Найти кратчайшее расстояние между диагональю куба с ребром, равным 1, и непересекающей ее диагональю грани. 5.3.44. Найти уравнение перпендикуляра, опущенного из точки М(2; -1; -3) на прямую х Г = Ч- = z "*"^. 5.3.45. Пересекаются ли прямые ж Г = ^—«~ = f и х Г = ^-=— = ~ 4 - 202
5.3.46. Найти уравнения прямых, проходящих через точку (1; 1; 1) а) параллельно оси Oz\ б) перпендикулярно оси Oz. 5.3.47. Написать уравнение прямой, по которой плоскость х—2у+\ = О пересекает кооординатную плоскость Oxz. §4. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ Величина угла между прямой (L) х ~ х0 — У ~~ У о _ z — zq u плос_ костью (Q) Ах + By + Cz + D = 0 определяется по формуле \Ат + Вп + Ср\ {лл. тир = . (4.1) у/т2 + п2 2 /А2 В2 С2 12 I /r»2 . * / A 2 Условие параллельности прямой (L) и плоскости (Q) имеет вид Am + Вп + Ср = 0 ; (4.2) условие их перпендикулярности: т 7i p Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости удобно воспользоваться параметрическими уравнениями прямой \ х = Хо + mt, , 2/ = 2/о -+- nt, = zo + pt\ координаты точки пересечения находятся из системы уравнений Г х = хо + mt, у = yo+nt, z = zo-\- pt, ,. 4v \ Ax + By + Cz + D = Q. ^ ' ' Условие, при котором прямая (L) лежит в плоскости Q: {аГ0 + Вуо++%Г+С = 0 (4'5) V (Если Am + Вп + Ср Ф 0, то прямая пересекает плоскость; если Am + + Вп + Ср = 0 и А#о + #2/о + С^о + -D ф 0 — прямая параллельна плоскости.) 5.4.1. Найти координаты точки, симметричной точке Mi (3; 4; 5) относительно плоскости х — 2у + z — 6 = 0. 203
О Точка М2, симметричная точке Mi относительно плоскости, находится на перпендикуляре к плоскости и является концом отрезка М1М2, для которого серединой будет точка N пересечения прямой М\Мъ и плоскости. Направляющий вектор перпендикуляра к плоскости — это вектор-нормаль этой плоскости п = (1; —2; 1). Уравнение перпендикуляра к плоскости, проведенного через точку М\, имеет вид (x = 3 + t, [z = b + t. Координаты точки N пересечения перпендикуляра с плоскостью находим, решая систему (см. (4.4)) {х = 3 + £, у = 4-2t, z = 5 + t, x-2y + z-6 = 0. Из равенства (3+£)-2(4—2£) + (5+£)-6 = 0 вытекает равенство 6£ — 6 = 0, т.е. t = 1. Следовательно, ж = 3+1 = 4, у = 4-2 = 2, z = 5 + 1 = 6, т.е. iV(4;2;6) — точка пересечения прямой и плоскости. А так как N — середина отрезка М1М2, то 1* ■ jF ^^^ Т* И Ж *} i Я JF ^^™" fy i % JF ^ H JF " •ьМ\ I 'ЬNl2 У\М\ 1^ УМ2 "М.\ xn = ~ , 2/лг = ~ » *n = Имеем 1 = 3 + хМ2 о _ 4 + ум2 2 ' 2 ' 2 Отсюда находим хм2 = 5, 2/м2 = 0, zm2 = 7, т.е. точка М% имеет координаты (5; 0; 7). • 5.4.2. Найти координаты точки, симметричной точке М(2; 8; 0) относительно прямой х ~«г = ^т=— = z ~-| . 5.4.3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; -3; 0) и прямую f2x + 2/-6z + 3 = 0, О Один из способов решения этой задачи мы уже приводили (см. задачу 5.2.12). Рассмотрим другой подход к решению. Составим уравнение пучка плоскостей, проходящих через данную прямую: 2х-\-у — 6z + 3 + \(x-y + 2z — 6) = 0 (см. (2.2)). Выделим среди них плоскость, проходящую через точку М(2; -3;0), подставив ее координаты в уравнение пучка: 2-2-3-6-0 + 3 + А(2 + 3 + 2-0- 6) = 0. 204
^Отсюда 4 + Л • (—1) = 0, т.е. А = 4. Из уравнения пучка при А = 4 находим уравнение искомой плоскости 2х + у - 6z + 3 + 4(ж - у + 2z - 6) = О, т. е. 6х - Зу + 2z - 21 = 0. • 5.4.4. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку М(0;1;2). 5.4.5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(4; —3;6) перпендикулярно прямой х ~ ** = ^ 7 = ^|. 5.4.6. Найти величину угла между прямой х ~ = ^—— = z ~*~J и плоскостью 4х — 2у — 2z — 3 = 0. Q Применяя формулу (4.1), находим |4-1 — 2-1 — 2 - (—2)| б 1 sin ч> = —— - = ———== = - . VI + 1 + 4 • >/16 + 4 + 4 л/б-\/24 2 Значит, у? = ?. • 5.4.7. Найти величину острого угла между прямой и плоскостью 2х + у + 2z — 5 = 0. 5.4.8. Установить взаимное расположение прямой и плоскости: {х = 2 - At, y = t, и Ъх - 6у + 2z - 10 = 0; = -3 + It - 4* -15 = 0. О 1) Имеем 5 = (—4;1;2), п = (5;—6;2). Как видно координаты направляющего вектора s прямой и нормального вектора п плоскости не пропорциональны: прямая не перпендикулярна плоскости (см. (4.3)). Найдем значение выражения Am + Bn + Ср: Ат + Вп + Ср = 5- (-4) - 6 • 1 + 2 • 2 = -20 - 6 + 4 = -22 ф 0. Условие (4.2) параллельности прямой и плоскости не выполняется. Значит, прямая пересекает плоскость. 205
2) Здесь а = (3;-1;2), п = (3;1;-4), Мо(-1;2;-4), Am + Вп + Ср = 3 • 3 + 1 • (-1) -4-2 = 9-1-8 = 0. Следовательно, данная прямая параллельна плоскости или лежит на ней. Проверим условия (4.5) принадлежности прямой плоскости: Ахо + Ву0 + Czo + D = 3- (-1) + 1 • 2 - 4 • (-4) - 15 = 0. Условия (4.5) выполняются, поэтому прямая леоюитп в плоскости. • 5.4.9. Установить взаимное расположение прямой L и плоскости Q: (1,)иЗя-г/ + 6z-12 = 0(Q); Дополнительные задачи 5.4.10. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую х - 0,5 у + 3 г + 2,5 « —_ ? = *-7j— = —L«~L- и перпендикулярной к плоскости Ъх 4- 4у - 5z - 6 = 0. 5.4.11. Написать уравнение плоскости, проходящей через параллель- ные прямые ^ = 2^1 = ^„^ = ^ = ^_. 5.4.12. Найти координаты точки пересечения прямой х Г = ^-=— = = z 7 с плоскостью Зх — у + 2z -f 5 = 0. 5.4.13. Найти координаты проекции точки М(2;2;—2) на плоскость Зх - у + г - 13 = 0. 5.4.14. Найти координаты проекции точки М(—3; 0; 2) на прямую 5.4.15. При каком значении т прямая х ~*~ ^ = У—~— = z ^'* парал- ТП Z D лельна плоскости Ъх — Ъу + 4z — 1 = 0? 5.4.16. При каких значениях С и D прямая х ~Z = У ~„ = = лежит в плоскости 2х — у + Cz Н- Z) = 0? 5.4.17. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки М(1; 1; 6) на прямую fx = -1 + 3^, y = 2t, 206
5.4.18. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой i у = -2 + 2t, = 1 + 2*. 5.4.19. Найти расстояние от точки М(3; 5; 5) до прямой х ~о = % = f. 5.4.20. Прямая L проходит через точку М(3; -4;0) и точку пересечения прямой § = У ~ = ^ ^j" с плоскостью х + у — z + 2 = 0. Найти величину угла, образованного прямой L с плоскостью 2х -К 2/ + 2* - 5 = 0. 5.4.21. Найти уравнение плоскости, проходящей через ось Ох и образующей с плоскостью у/2х + у — z + 2 = 0 угол, равный j. 5.4.22. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую |х + 2/-Зг-1 = О и отсекающей на оси Оу отрезок, равный 3. 5.4.23. Найти расстояние d между параллельными прямыми: 1) -12' 5.4.24. Плоскость а проходит через точки Mi (—6; 1; —5), M2(7; —2; —1), Мз(10; —7; 1). Найти точку, симметричную точке (3; —4; —6) относительно плоскости а. 5.4.25. Найти расстояние между прямыми х ~'г = \ = z 7 и -2 в Контрольные вопросы и более сложные задачи 5.4.26. Найти уравнение проекции прямой ^ = ^_\ = z^\ на плоскость, заданную уравнением 2х — Зу + z — 4 = 0. 5.4.27. Записать уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным прямым. 5.4.28. На плоскости х — 2у + 4z - 28 = 0 найти точку Мо, сумма расстояний от которой до точек Mi(4; 2; 1) и М2(—1; 1; 1) была бы наименьшей. 207
5.4.29. Найти уравнения плоскости, проходящей через линию пересе-. чения плоскостей f и образующей угол (р = ? с плоскостью х — 4у — Sz + 12 = 0. 5.4.30*. Доказать, что кратчайшее расстояние между прямыми f = = г 1 + 5i £ и г = f2 + s"2£ может быть вычислено по формуле |(f2 -f d = X S2| 5.4.31. Можно ли через прямую х 1" = ^—гу— = Z^o провести плоскость параллельно плоскости 12х — у + 10z — 3 = 0? 5.4.32. Каково уравнение прямой, проходящей через точку О(0; 0;0) перпендикулярно к плоскости x + y + z + l = 0? 5.4.33. Лежит ли прямая у = ^ = —^= в плоскости Зх + 2у + z — О? А в плоскости Зх + 2у 4- г — 1 = О? 5.4.34. При каких значениях р и В прямая х ~ = ^—j- = z ~ перпендикулярца плоскости бж + By — 3z + 1 = О? 5.4.35. При каком значении А плоскость Ах — 2у + 4г + 5 = 0 параллельна прямой |»-* = о, } х + у = О? § 5. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Если в пространстве R3 ввести прямоугольную систему координат Oxyz, то каждая поверхность определяется некоторым уравнением F(x,y,z) = 0, (x,y,z) — координаты любой точки поверхности. Если F(x,y,z) — многочлены не выше второй степени относительно совокуп* ности переменных х, у, z, то уравнение F(x,y,z) = 0 называется уравнением второго порядка, а поверхность, изображаемая этим уравнением называется поверхностью второго порядка. Если поверхность имеет специфическое расположение относительно системы координат (например, симметрична относительно некоторых координатных плоскостей, или имеет вершину в начале координат и пр.), то ее. уравнение имеет достаточно простой вид, который называется каноническим. 208
Канонический вид уравнений поверхностей второго порядка. Геометрическое изображение 1) Сфера радиуса R с центром в начале координат (рис. 56) Рис. 56 Уравнение (х — хо)2 + (у — уо)2 + (z — zq)2 — R2 изображает сферу радиуса R с центром в точке Mo(xo,yo,zo). 2) Эллипсоид с полуосями а, Ь, с и центром в начале координат (Рис.57) х у z _ При а = b = с = R эллипсоид превращается в сферу радиуса R. II Рис. 57 14-2361 Рис. 58 209
3) Однополостный гиперболоид с полуосями а, Ь, с и осыаОг (рис. 58) а 2 + Ъ2 Сечения гиперболоида горизонтальными плоскостями z — h являются эллипсами 2 2 ъ2 а' с2" Сечения гиперболоида вертикальными плоскостями х = h или у = h являются гиперболами. У2 z2 Л2 х2 z2 л h2 ¥~7 = i~J или J~7 = 1~f 4) Двуполостный гиперболоид с полуосями а, 6, с и осью Oz (рис. 59) О Ь2 с2 Сечения гиперболоида горизонтальными плоскостями z = ft, |ft| > с являются эллипсами 2 2 L2 х2 у2 _h2 Сечения гиперболоида вертикальными плоскостями х = h или 2/ = являются гиперболами. h2 л х2 z2 h2 1 у2 z2 у z h л х z h л То о = о — 1 ИЛИ —о о = —То" — 1- Ь2 с2 а а с2 Z\ Рис. 59 Рис. 60 5) Параболоид эллиптический с параметрами а, 6, р и вершиной в начале координат (рис. 60) ~2 „,2 210
Сечения параболоида горизонтальными плоскостями z — h (h > О при р > О, h < О при р < 0) есть эллипсы х2 ь2 + Сечения параболоида вертикальными плоскостями х = h или у = h являются параболами. -? или ? = 6) Параболоид гиперболический с параметрами о, 6, р и вершиной в начале координат (рис. 61) Рис. 61 Рис. 62 Сечения параболоида горизонтальными плоскостями z = h представляют собой гиперболы 9 9 х2 у2 2a2ph 2b2ph = 1. Сечения вертикальными плоскостями х = h и у = h являются параболами 0 9 0 ,9 У _ Ж Х - 9 Ь2 ~~ а2 а2 ~ Ь2' 7) Конус эллиптический с вершиной в начале координат и осью Oz (Рис.62) 211
Если а = ft, то конус круглый или круговой. Пересечение конуса горизонтальными плоскостями являются эллипсами х]_ y^_h^ а2 + ft2 " с2 (при h = О эллипс вырождается в точку). Сечения конуса вертикальными плоскостями х = hny = h являются гиперболами у2 z2 _ h2 х2 z2 _ h2 ft2 с2 а2 а2 с2 Ь2 или парой пересекающих прямых У2 *2 n *2 *2 n -о о=0 И "о 9—0 ПРИ Л = 0. ft с а с К поверхностям второго порядка относятся цилиндры, направляющие которых — линии второго порядка. Мы ограничимся перечислением цилиндров, направляющие которых расположены в плоскости Оху, а образующие — прямые, параллельные оси Oz. 8) Цилиндры: (1) Эллиптический (рис. 63) 2 2 72" + U - 1* Рис. 63 Рис. 64 Если о = 6 = Д, то цилиндр — круговой я2 + у2 = R. (2) Гиперболический (рис. 64) 212
(3) Параболический (рис. 65) у2 = 2рх. Примечание. Если в каждом из приведенных канонических уравнений заменить х = xi - х0, 2/ = 2/i - 2/о, z = zi - г0, где (xo,yo,zo) — фиксированные числа, то новые уравнения представляют те же поверхности и они занимают в системе координат O\X\y\Z\ такое же положение относительно плоскостей рис х\ = #0, 2/1 = 2/0? z\ = zq как поверхности, заданные канонически относительно координатных плоскостей х = 0, у = 0, z = 0. Другими словами, приведенные формулы представляют параллельный сдвиг поверхности на вектор ОМ = (xo,yo,zo). Метод параллельных сечений Если задано уравнение той или иной поверхности, то возникает задача исследования ее формы и расположения относительно координатных осей. Для решения этой задачи обычно применяют метод параллельных сечений: поверхность пересекается несколькими плоскостями, параллельными плоскостям координат. Форма и размер полученных сечений позволяют выяснить геометрическую форму самой поверхности. Пересечение поверхности с плоскостью Линию в пространстве Е3 можно определить как пересечение двух поверхностей. Таким образом уравнение линии можно записать в виде системы l>i(z,2/,z)=0, \F2(x9y,z)=0. Для исследования этой линии удобно воспользоваться цилиндром, проектирующем ее на ту или иную координатную плоскость. Если, например, проектируем линию на плоскость Оху, то исключим z из системы и получим уравнение (р(х,у) = 0. Оно изображает направляющую проек- трующего цилиндра на плоскость Оху. В зависимости от того, будет ли (р(х,2/) = 0 эллипсом, гиперболой, параболой, парой прямых — изучаемая линия сохранит соответствующее название. 5.5.1. Составить уравнение сферы с центром в точке Мо(—5;3;2) и касающейся плоскости 2х — 2у + z — 4 = 0. 213
О Для составления уравнения сферы нужен ее радиус. В данном случае R — расстояние от Мо до плоскости: д=1(-5)- 2-2-3 + 2-41 = ^ л/22 + 22 + 1 Искомое уравнение: (х + 5)2 + (у - З)2 + (z - 2)2 = 36. • 5.5.2. Составить уравнение сферы с центром в точке Мо(0; 4; 0), если она касается плоскости 2х + 6у — 3z - 3 = 0. 5.5.3. Составить уравнение сферы, касающейся двух параллельных плоскостей 6х - Зу - 2z - 35 = 0 и бх - Зу - 2z + 63 = 0, если ее центр расположен на прямой х ~ = У_ ~ = zj"^. О 1) Определим точки М\ и M<i пересечения прямой с плоскостями (заметим, что прямая перпендикулярна плоскостям). Для этого параметрические уравнения прямой х — 11 + 6£, у = — 4 - 3£, z = — 3 — 2t подставляем в уравнения плоскостей, находим t и возвращаемся к этим уравнениям. 6(11 + 6t) - 3(-4 - 3*) - 2(-3 - 2*) - 35 = 0, t = -l, Mi(5,-1,-1). Аналогично находим М2(—7,5,3). 2) Центр сферы Мо — середина отрезка М1М2: M0(-l, 2,1). Радиус сферы R = MOMX = у/36 + 9 + 4 = 7. 3) Уравнение сферы (х + I)2 + (у - 2)2 + (z - I)2 = 49. • 5.5.4. Составим уравнение сферы, проходящей через четыре точки О(0; 0; 0), Л(2; 0; 0), J5(l; 1; 0), С(1; 0; -1). О Уравнение сферы ищем в виде где (а, 6, с) — координаты центра ий — радиус неизвестные. Координаты данных точек превращают уравнение сферы в верные равенства, т. е. После возведения в квадрат, приведения подобных слагаемых получается система, из которой а = 1,Ь = 0, с = 0, Д2 = 1. Ответ, (х - I)2 + у2 + z2 = 1. • 214
5.5.5. Составить уравнение сферы если: 1) точки А(3; —2; 6) и В(5; 2; —2) являются концами одного из ее диаметров; 2) имеет центр в точке Мо(5;О;3) и проходит через точку 3) имеет центр в точке Мо(2; 1;3) и касается плоскости z = 6; 4) имеет центр в точке Мо(5; 2; —1) и касается плоскости 2х — - у + 3z + 23 = 0; 5) она симметрична сфере (х — I)2 + (у - З)2 + (z + 4)2 = 46 относительно плоскости Зх + у - 2z = 0; 6) она проходит через точки Л(1, —6, -2), #(4; —3; 2), ) 2 2 о 5.5.6. Найти точки пересечения поверхности tf+q— ^г- = 1 и пря- мойх_^__г±2 It) У 4 ° 4 " - 3 ~ 4 * О Параметрические уравнения прямой х = 4£, у = — 3£, £ = = — 2 + 4£ подставим в уравнение однополостного гиперболоида и определим значение £: ^^- + пд— —т— = 1» (* "" ^)2 = 0> *i,2 = 1- Следовательно, х = 4, у = —3, 2 = 2. Прямая имеет с гиперболоидом две совпадающие точки пересечения, т. е. прямая касается поверхности гиперболоида в точке Mi (4;— 3;2). • 5.5.7. При каких значениях параметра р плоскость 2х — 2у — z = р касается сферы х2 + у2 -Ь z2 = 81? О Если плоскость касается сферы, то расстояние от ее центра , 120 —2-0 —0—р| п до плоскости равно радиусу сферы, т. е. J . '—9. V4+4+1 Отсюда \р\ = 27, т. е. р = ±27. • 5.5.8. Установить при каких т плоскость у -h mz = 1 пересекает дву- полостный гиперболоид х2 + у2 - z2 = — 1: а) по эллипсу, б) по гиперболе. 5.5.9. Установить при каких т плоскость ту + z = 2 пересекает эл- Т2 72 липтический параболоид 2/ = у + у1 а) по эллипсу, б) по параболе. 5.5.10. Методом параллельных сечений исследовать поверхность, оп- 2 2 2 ределяемую уравнением т^+ g — ^г = — 1. 2 2 2 О 1) Перепишем уравнение в виде f«+q=ir~~ Iй пересекаем поверхность плоскостями z = h параллельными координатной плоскости Оху. 215
2 2 В сечениях получаются линии с уравнениями т* + о ^ При |/i| < 2 эти уравнения не имеют изображения (мнимые эллипсы) при h = ±2 они изображают точки (0; 0; 2) и (0; 0; -2), а при \h\2 > 2 получаются эллипсы №? = 1' где с С увеличением |Л| увеличиваются и полуоси эллипсов 4с и Зс, т. е. эллипсы расширяются (рис. 66). Поверхность симметрична относительно плоскости Оху. Рис. 66 2 2 2) Перепишем уравнение поверхности в виде т« — тг = 2 -^ ^ = -^--1и пересечем ее вертикальными плоскостями 2/ = /. При каждом / € (—оо; +оо) соответствующие уравнения описывают гиперболы. В частности, при I = 0 получаем гиперболу, 2 2 у^ — ^т- = — 1, расположенную в плоскости Oxz. 3) Сечения поверхности плоскостями х — г также гипербо- ЛЫ 2 2 2 9 4 16' Но из пп. 1) и 2) уже можно сделать вывод о строении поверхности: она состоит из эллипсов, «нанизанных» на гиперболу 2 2 т£ — %- = — 1 (i = 0). Поскольку два сечения, параллельных Oxz и Oyz — гиперболы, а одно — параллельное Оху —- 216
эллипс, то поверхность называется гиперболоидом эллиптическим; для уточнения — двуполостный, ибо состоит из двух отдельных частей (над и под плоскостью Оху). • 5.5.11. Установить тип заданных поверхностей и построить их. *) Т + 16 + 81 = 1; 2)x2+y2-4z2 = -l; 3) 3z2+2/2 = 2a(z-2); 4 5) у2 = 15s; 6)z = 5-x2-y2- 7) х2 - 9у2 = 4z2; 8) х2 = by - 1; 9) 2x2 — 4x + y2 — 6y — z2 = 0; 10) 2x2 - ly2 + llz2 = 0; Il)a: + 2 = y2-3y + 3z2+6s; 12) x2 = yz. 5.5.12. Определить линию пересечения поверхностей (z-4)2 + (2/-7)2 + (z + l)2 = 36 и 3x + y-z-9 = 0. О Первая поверхность — это сфера, вторая — плоскость. Они пересекаются или по окружности, или в одной точке, или вовсе не пересекаются. Найдем расстояние d от центра сферы Мо(4; 7; —1) до плоскости За; + у — z — 9 = 0. л/з2 +1 +1 vTI Поскольку d < R (R = 6 — радиус сферы), то плоскость пересекает сферу по окружности. Центр 0{х\; у\; z\) этой окружности расположен на перпендикуляре МоО, опущенном из центра сферы Мо на заданную плоскость (рис. 67). Уравнение перпендикуляра МоО в параметрической форме имеет вид ж = 4 + 3£, у = 7-М, z = —l-y. Подставим эти равенства в уравнение плоскости и находим L 3(4 + 3*) + (7 + t) - (-1 - t) - 9 = 0, t = -1. Подставим t = — 1 в параметрические уравнения перпендикуляра МоО. Находим: х = 1, у = 6, z = 0, т. е. 0(1; 6; 0) — центр окружности пересечения сферы и плоскости. 217
Из АОМоА (рис. 67) находим г2 = Я2-**2, г2 = 36-11 = 25, г = 5. 5.5.13. Рис. 67 Таким образом получено, что кривая представляет собой окружность радиуса 5 с центром в точке 0(1; 6; 0). • Составить уравнения касательных плоскостей к сфере (х — 2)2 + (у + I)2 + (z — З)2 = 6 в точках ее пересечения с ПрЯМОЙ х_^1 = -1L = *Lzl1. О Точки пересечения прямой со сферой получаются подстановкой равенств х = 1 + £, у = —£, z = I -f 2t в уравнение сферы, определением £ и подстановкой обратно в уравнения прямой. Имеем (1 + t - 2)2 + (-* + I)2 + (1 + 2* - З)2 = 6, 6(* - I)2 = 6, h = 0, t2 = 2. Далее хг = 1, у\ = 0, z\ = 1, х2 = 3, у2 = -2, ^2 = 5. Итак, Mi(l; 0; 1), М2(3; -2; 5) — точки пересечения прямой и сферы. Составим уравнение первой касательной плоскости, проходящей через Mi(l;0;l). Ее нормальный вектор МоМг, где Мо(2;-1;3) центр сферы: МОМХ = (-1;+1;-2), а уравнение плоскости: -(х - 1) + у - 2(z - 1) = 0 или x-y + 2z-3 = 0. Уравнение второй плоскости, по аналогии: x-y+2z—15 = 0. Полученные плоскости параллельны потому, что данная прямая проходит через центр сферы Мо(2;—1;3) (получается при t = 1). • 218
5.5.14. Установить, что плоскость у — 2 = 0 пресекает эллипсоид т2 у2 т1 Тл^с + о=^по эллипсу. Найти его полуоси и вершины. О Пересечение двух поверхностей в пространстве преставля- ет некоторую линию, принадлежащую как одной так и другой поверхности. Уравнение этой линии в нашем случае имеет вид 16 + 8 + 9 ~ х> -2 = 0. Подставим у = 2 в первое уравнение и получаем у^ 4- %■ = А. Это уравнение эллипса, расположенного в плоскости у — 2 = 0. Поскольку каноническое уравнение полученного эллипса име- 2 2 ет вид =-g- + j-F = 1, то его полуоси равны а = у/8 и b = (с2 = а2 — Ь2, с = У^5)> а вершины эллипса расположены в точках Ai(—л/8;2;0) и А2(8;2;0) — на большем диаметре, #i(0; 2; -у^^б) и В2(0; 2; \/^5) — на меньшем диаметре. • 2 ^2 5.5.15. Исследовать линию пересечения гиперболоида тг + д — * = 1 с плоскостью 4х — Зу — Viz — 6 = 0, пользуясь ее проекциями на координатные плоскости. О Линия пересечения гиперболоида с плоскостью определяется системой f о 2 Выражаем из второго уравнения _ 4х - Зу - 6 2 _ 1бх2 + 92/2 + 36 - 24x2/ ~ 48х + < Z~ 12 И Z~ 144 и подставляем в первое уравнение. Получаем 9у2 + 8ху + 16х - Yly - 60 = 0. Это уравнение проекции на плоскость Оху линии пересечения гиперболоида с плоскостью. Вместе с тем это уравнение цилиндрической поверхности с образующей, параллельной оси Oz, направляющая которой есть исследуемая линия. Уравнение этой линии следует привести к каноническому виду известными формулами преобразования координат (поворот осей и сдвиг). В данном случае методом разложения на множители можно получить (у + 2)(9t/ + 8а: — 30) = 0, т. е. наша линия представляет пару прямых у + 2 = 0 и 8х + 9у — 30 = 0, которые пересекаются в точке -30 = 0, 219
5.5.16. 5.5.17. т.е. Mi (6;-2). По аналогии с этим, проектируем искомую линию на плоскость Oxz. Получаем пару прямых х - 3z = 0 и Ъх — 9z -12 = О, которые пересекаются в точке Мг(6; 2). Наконец, на плоскость Oyz искомая линия проектируется в прямые y-f 2 = 0 и 5у + 8z — 6 = 0, которые пересекаются в точке М3(-2;2). Если проекции на координатные плоскости данной линии являются пересекающимися прямыми, то сама эта линия представляет пару пересекающихся в точке М(6; — 2; 2) прямых. Координаты М получаются из координат ее проекций Mi, M2, М3. • Установить какие линии определяются системами уравнений: (*-D2 ■ (2/ + D2 1)1 3 + 6 2) Дан гиперболический параболоид х2 — ^- = z и одна из его касательных плоскостей: 10ж — 2у — z — 21 = 0. Найти уравнения каждой из тех двух прямых, по которой плоскость касается с параболоидом. О Уравнения искомых прямых задаются системой уравнений, которую последовательно преобразуем. 10x-2y-z-21=0, [z = 10z - 2у - 21, ,.2 <£ = 10x-2y- 21, (5.1) (5.2) Уравнения прямых (5.1) и (5.2) получены в общем виде. Приведем (5.1) к каноническому виду. Для этого найдем две точки на прямой (5.1): 10x-2y-z-21 = 0, 2х - у - б = 0 - 2у - z - 21 = 0, 220
. Гшх-* = 21, ' \2х - 6 = О ¥ = 0:Г*~ _' ^М2(3;0;9). Составим уравнение прямой, проходящей через точки М\ и М2. MiM2 = (§;3;9) = |(1;2;б). Прямая (5.1) имеет вид х ~ ^ = ^ = ^ к или параметрически: х = 3 + £, у = 2£, z = 9 + б£. (Уравнение прямой определяется неоднозначно: например, при t = 2 находим на этой прямой точку хо — 5, 2/о = 4, 20 = 21, а потому ее уравнение можно записать и так х ~ = У ~ = ^ ~ ). По аналогии, прямую (5.2) можно привести к виду х ~ ^ = ^ ~ = г "^. • Дополнительные задачи 5.5.18. Составить уравнение сферы радиуса R = 9, проходящей через точки А(-5; 10; -1), В(1; -2; -1), С(-8; -2; 2). 5.5.19. Сфера проходит через три точки А(-2;4;1), £?(-5;0;0), С(3; 1; —3), а ее центр лежит на плоскости 2ж + 2/-2 + 3 = 0. Составить ее уравнение. 5.5.20. Составить уравнение сферы, проходящей через четыре точки: Л(1; -2; -1), £(4; 1; 11), С(-8; -2; 2) и £>(-5; 10; -1). 5.5.21. Установить как расположена точка А{2\—1;3) относительно каждой сферы — на сфере, внутри нее или вне: 1)(*-3)2 + (2/ + 1)2 + (2-1)2 = 4; 2) (х + 14)2 + (2/ - II)2 + (г + 12)2 = 625; 3) (х - б)2 + (у - I)2 + (z - 2)2 = 25. 5.5.22. Определить центр Mo(xo;yo;zo) и радиус окружности: [2x-2y-z + 9 = 0. 5.5.23. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения двух сфер. 2х2 + 2у2 + 2z2 + Зх - 2у + z - 5 = О х2 + 2/2 + ^2 - х + Зу - 2z + 1 = 0. 5.5.24. Составить уравнение сферы, проходящей через начало координат и окружность: | 2х - Зу + bz - 5 = 0. 221
5.5.25. Методом параллельных сечений исследовать геометрическую форму поверхностей заданных уравнениями: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) х2 9 х2 9 х2 т z = z = x2 4 x2 4 X2 + 16 ♦■£ 2 1 e\ jr ■*- + 9 ~ 9 = 2y. 25 + ^2 + 16 z2 4 -^; .t. 9' = i; = 1; = 1; = 1; = i; Более сложные задачи 5.5.26. Определить, как расположена прямая относительно сферы — пересекает ли, касается или проходит вне ее. Прямая и сфера заданы следующими уравнениями: 2) х = 5+3*, y = 2t,z = -25-2*, x2+y2+z2-4x-6y+2z-67 = 0; |2х-2/ + 2,-12 = 0, х2+2/2 + ,2_2х + 2у + 4,_43 = о. [2z-42/-z + 6 = 0, 5.5.27. Найти кратчайшее расстояние от точки А до сферы с заданным уравнением: 1)Л(-2;6;3),х2+2/2 + ^-4 2) А(1; -1; 3), х2 + 2/2 + г2 - 6х + 4у - Юг - 62 = 0. 5.5.28. Составить уравнение плоскости, касательной к сфере х2 + у2 + + г2 = 49 в точке Mi (6; -3; -2). 5.5.29. Доказать, что плоскость 2# — 6у + Зг — 49 = 0 касается сферы х2 + у2 + г2 = 49 и вычислить координаты точки касания. 5.5.30. Составить уравнения плоскостей, касательных к сфере х2 + + у2 + z2 = 9 и параллельных плоскости х + 2у - 2z + 15 = 0. 5.5.31. Доказать, что в каждом из указанных ниже случаев заданные поверхность и плоскость имеют одну общую точку и найти ее координаты: 1) ^ + ^ = 2?/, 2х - 2у - z - 10 = 0, 222
2) ^ + £ - |J = -1, 5х + 2z + 5 = О, 3) |J - ^ + |^ = 1, Зх - 12» - 4z + 54 = 0. 5.5.32. Доказать, что плоскость 4х — 5j/ — 10z — 20 = 0 пересекает од- О 2 9 нополостный гиперболоид §е + if?» ~ X = 1 п0 пРямолинейным образующим. Составить уравнения этих образующих. 5.5.33. Доказать, что плоскость 2х — 12у — z + 16 = 0 пересекает гиперболический параболоид 2z = х2 — 4у2 по прямолинейным образующим. Составить уравнения этих прямых. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант 1 1. Начало отрезка АВ находится в точке А(2; -3; 4). Точка М(—1; 2; 5) отсекает от него четвертую часть (AM : АВ — 1 : 4). Найти координаты точки В. 2. Какие поверхности определяются уравнениями: 1) х2 + у2 + z2 - 10s + 8у - 8 = 0; 2)у = 4z2? 3. Составить уравнения плоскости, проходящей через: 1) ось Oz и точку А(2\ —3;4); 2) точку А параллельно плоскости Оху. 4. Треугольник ABC образован пересечением плоскости 2х + Зу + + 4z — 12 = Ос координатными осями. Найти уравнения средней линии треугольника, параллельной плоскости Оху. 5. Найти уравнения перпендикуляра к плоскости х—2у+2-9 = 0, проходящего через точку А(—2;0;— 1), и определить координаты основания этого перпендикуляра. Вариант 2 1. На оси Ох найти точку, равноудаленную от двух точек А(3; —1;2) {х2 + у2 -+■ z2 = 64 х2+у2 + г2_2а;'=58 найти точку: 1) абсцисса которой равна 4; 2) аппликата которой равна 2. 3. Составить уравнение касательной плоскости к сфере (х — I)2 + + (у + 2)2 + (z - 2)2 = 27 в точке Мо(2; -1; -3). 223
4. Даны три последовательные вершины параллелограмма: А(2;4;3), Б(-3;0;6), С(-4;2;1). Найти уравнения стороны AD и диагонали BD. 5. Найти расстояние оси точки А(0; 2; 5) до прямой х ~ * = ^ = z Вариант 3 1. Найти центр шара радиуса R = 5, который расположен в пятом октанте и касается всех трех координатных плоскостей. 2. Найти уравнение геометрического места точек, равноудаленных от двух точек Ai(3; 2; 1) и А2(-4; -2; 1). 3. Найти угол между плоскостью х + у = 0и плоскостью, проходящей через точку М(3; — 1; — 1) и содержащую ось Ох. 4. Через точку М(2; 1; —4) провести прямую, параллельную биссектрисе координатного угла Oyz. 5. Найти проекцию точки А(2; -1; 3) на плоскость Ъх — 2у + z +15 = 0. Вариант 4 1. Отрезок АВ разделен на 5 равных частей точками С, D, E, F (АС = CD = DE = EF = FB). Найти координаты точек D и С, если известны точки А(2; 2; 5) и #(—3; 1; 0). 2. Составить уравнение линии пересечения плоскости Oyz и сферы, центр которой находится в точке (7(4; -3; 2) и радиус равен 10. 3. На оси Ох найти точку, равноудаленную от точки Л(1; 2д/2; 0) и от плоскости х + 2/ — 5 = 0. 4. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М(5; -7; 9) параллельно прямой {х - Зу + 2z - 6 = 0, 2х - t/ + 4z + 17 = 0. 5. Найти расстояние между прямыми х ~ ^ = ^ZTT = * "t и х + 5 _ У + 3 _ z + 6 8 " -4 ~ 12 *
Глава б. ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ §1. ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ Определение функции Везде далее в этом параграфе под множествами будут пониматься числовые множества, т. е. множества, состоящие из действительных чисел. Множество всех действительных чисел будет обозначаться буквой Е. ^ Пусть каждому числу х из некоторого множества X поставлено в соответствие одно и только одно число у. Тогда говорят, что на множестве X задана функция. Способ (правило), с помощью которого устанавливается соответствие, определяющее данную функцию, обозначают той или иной буквой: /, д, h, <р,... Если, например, выбрана буква /, то пишут У = f(x). Переменная х при этом называется независимой переменной (или аргументом), а переменная у — зависимой. Множество X называется областью определения данной функции и обозначается D(f), а множество всех чисел у, соответствующих различным числам х € X, — областью значений этой функции и обозначается E(f). ^ Если числу xq из области определения функции f(x) соответствует некоторое число у о из области значений, то у о называется значением функции в точке хо (или при х = xq). График функции ^ Пусть заданы прямоугольная система координат Оху и функция у = f(x). Графиком функции f(x) называется множество всех точек плоскости с координатами (я; /(х)), где х Е D(f). Множество точек на координатной плоскости является графиком некоторой функции в том и только в том случае, когда каждая вертикаль- нал (т.е. параллельная оси Оу) прямая пересекает его не более чем в одной точке. График функции у — f(x) зачастую можно построить с помощью преобразований (сдвиг, растяжение) графика некоторой уже известной функции. 225 15-2361
В частности: 1. График функции у = f(x)+a получается из графика функции у = f(x) сдвигом вдоль оси Оу на \а\ единиц (вверх, если а > О, и вниз, если а < 0); 2. График функции у = f(x — Ь) получается из графика функции у = f(x) сдвигом вдоль оси Ох на |6| единиц (вправо, если Ь > 0, и влево, если Ь < 0); 3. График функции у = kf(x) получается из графика функции у = /(х) растяжением (сжатием) вдоль оси Оу в к раз (1/fc раз), если fc>l(fc€(0,l)); 4. График функции у = f(mx) получается из графика функции у = f(x) сжатием (растяжением) по оси Ох в га раз (1/гп раз), если т > 1 (те (0,1)); 5. График функции у = —f(x) получается из графика функции у = /(х) симметричным отражением относительно оси Ох\ 6. График функции у = f(—x) получается из графика функции у = f(x) симметричным отражением относительно оси Оу. Четность, нечетность и периодичность функции ^ Функция называется четной, если: 1) множество D(f) симметрично относительно нуля (т.е. V# G 6 £>(/) =* -х € £>(/)); 2) для любого х € D(f) справедливо равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси Оу. ^ Функция f(x) называется нечетной, если: 1) множество D(f) симметрично относительно нуля; 2) для любого х Е D(f) справедливо равенство f(—x) = —f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Функция, не являющаяся ни четной, ни нечетной, называется функцией общего вида. ^ Функция f(x) называется периодической, если существует число Г^О, что для любого х € D(f) справедливы условия: 2)/(* + Г) = /(*). Число Т называется периодом функции f(x). Если Т — период функции f(x), то числа ±Т, ±2Т, ±ЗТ,... также являются периодами этой функции. Как правило, под периодом функции понимают наименьший из ее положительных периодов (основной период), если таковой существует. Если функция f(x) периодическая с периодом Т, то ее график переходит сам в себя при сдвиге вдоль оси Ох на Т единиц влево или вправо. 226
Сложная функция. Элементарные функции ^ Пусть область значений функции у = f(x) содержится в области определения функции д(у). Тогда функция z = g(f(x)), xeD(f) называется сложной функцией или композицией функций / и д и обозначается д о /. Основными (или простейшими) элементарными функциями называются: постоянная функция у = с; степенная функция у = ха, а € Ж; показательная функция у = ах, а > 0; логарифмическая функция у = = loga х, а > 0, а ф 1; тригонометрические функции у = sinx, у — a у = tgx, t/ = ctgx, у = secx (где sec a: = } ), у = cosecx (где 1 \ \ COS X / \ ^) 1 \ \ COS X / \ cosecx = —т^—); обратные тригонометрические функции у = arcsinx, sin х / у = arccosx, у = arctgx, у = arcctgx. На рисунках 68,а и 68,6 приведены соответственно графики функций 2/ = arcsinx и у = arctgx. = arcsin x = arctg x О Рис. 68 ^ Элелсепшарпылсг* функциями называются функции, которые получаются из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций (+, —, •, :) и композиций (т.е. образования сложных функций). Монотонная, обратная и ограниченная функция ^ Функция f(x) называется неубывающей (невозрастающей) на множестве X С £>(/), если для любых значений х\,Х2 € X таких, что х\ < Х2, справедливо неравенство f(x\) ^ /(#2) (соответственно, f(x\) ^ /(^2)). 227
^ Функция f(x) называется монотонной, если она невозрастаю- щая или неубывающая. ^ Функция f(x) называется возрастающей (убывающей) на множестве X С D(f), если для любых значений xi,#2 € X таких, что х\ < Х2, справедливо неравенство f(x\) < /(#2) (соответственно, f(xi) > f(x2)). ^ Функция f(x) называется строго монотонной, если она возрастающая или убывающая. ^ Пусть для любых различных значений Х\,Х2 G D(f) справедливо, что f{xi) ф f{x<2). Тогда для любого у G E(f) найдется только одно значение х = д(у) G D(f), такое, что у = f(x). Функция х = д(у), определенная на E(f), называется обратной для функции f(x). Отметим, что Е(д) = D(f). Если функция f(x) имеет обратную функцию, то каждая горизонтальная прямая у — с пересекает ее график не более чем в одной точке. Пусть функция х = д(у) (иногда ее обозначают х = f~1(y)) — обратная для функции у = f(x). Если обозначить аргумент этой функции через х, то ее можно записать в виде у = д(х). Тогда g(f(x)) = х для всех х G £>(/), f(g(x)) = х для всех х G E(f). Иными словами, если функция д(х) — обратная для функции f(x), то функция f(x) — обратная для функции д(х); поэтому обе эти функции называют еще взаимообратными. Пусть функция у = f(x) вырастает (убывает) на отрезке [а; Ь]. Тогда на отрезке [/(а);/(Ь)] (соответственно, [/(Ь);/(а)]) определена возрастающая (убывающая) функция д(х), обратная для функции f(x). График функции д(х), обратной для функции /(х), симметричен графику f(x) относительно прямой у = х. ^ Функция у = f(x) называется ограниченной сверху (снизу) на множестве X С D(f), если существует такое число М, что f(x) ^ М (/(ж) ^ М) для всех х G X. ^ Функция у = f(x) называется ограниченной на множестве X С D(f), если существует такое число М > 0, что |/(х)| ^ М для всех х G X. Гиперболические функции Гиперболическими функциями называются следующие четыре функции: 1) гиперболический синус у = sh#, где shx = -—=^— (график этой нечетной возрастающей функции изображен на рис. 69,а); 228
2) гиперболический косинус у — char, где chx = е \е— (график этой четной функции см. на рис. 69,5); 3) гиперболический тангенс у = thx, где thx = = е ~е~ ех +е~ (график этой нечетной возрастающей функции см. на рис. 69,в); 4) гиперболический котангенс у = cthx, где cthx = Щ^- = ех + е_ (график этой нечетной убывающей функции см. на рис. 69,г). = shx О О -1 О 'y = chx О х -Т Рис. 69 Для гиперболических функций имеют место формулы, аналогичные (с точностью до знака) соответствующим формулам для обычных тригонометрических функций: ch2 х — sh2 x = 1, ch 2x = ch2 x + sh2 x, ch(x ±2/) = ch x ch 2/ ± sh x sh у, sh(x ± y) = sh ж ch у ± ch x sh у и т. д. Неявные и параметрически заданные функции Формула у = f(x) определяет явный способ задания функции. Однако во многих случаях приходится использовать неявный способ задания функции. 229
^ Пусть данная функция определена на множестве D. Тогда, если каждое значение х G D и соответствующее ему значение функции у удовлетворяют некоторому (одному и тому же) уравнению F(x; у) = О, то говорят, что эта функция задана неявно уравнением F(x;y).= 0. Сама функция в этом случае называется неявной функцией. ^ Графиком уравнения F(x\y) = 0 называется множество всех точек координатной плоскости Оху, координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Пусть на некотором множестве X С R заданы две функции х = x(t) и у = y(t). Тогда множество всех точек на плоскости Оху с координатами (x(t),y(t)), где t G X, называется кривой (или линией), заданной параметрически. Если кривая, заданная параметрически, является графиком некоторой функции у = f(x), то эта функция также называется функцией, заданной параметрически (или параметрически заданной). 6.1.1. Найти области определения функций: О 1) Дробь э ~*~} определена, если ее знаменатель не ра- х — 1 вен нулю. Поэтому область определения данной функции находится из условия х2 — 1 ф 0, т.е. х ф ±1. Таким образом, £>(/) = (-оо; -1) U (-1; 1) U (1; +оо). 2) Функция f(x) = \/Ъ — Зх определена, если подкоренное выражение неотрицательно, т.е. 5 — Зх ^ 0. Отсюда х ^ §, и, значит, D(f) = (-00; § . 3) Выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть положительным, поэтому функция 1п(х + 2) определена в том и только в том случае, когда х + 2 > 0, т. е. х > -2. Значит, £>(/) = (-2; +оо). • 6.1.2. Найти области определения функций: 230
О 1) Функция ах, а > О определена при всех действительных значениях х, поэтому функция 2» определена в точности при тех значениях х, при которых имеет смысл выражение -, т.е. х при х ф 0. Далее, область определения второго слагаемого находим из двойного неравенства — 1 ^ х ~^ ^ 1. Отсюда — З^х + 2^3, т.е. — 5 ^ х ^ 1. Область определения функции f(x) есть пересечение областей определения обоих слагаемых, откуда D(f) = [—5; 0) U(0; 1]. 2) Функция 7cos2# определена при всех действительных значениях х, а функция 3 / — лишь при тех значениях - х2 ях х, при которых 2х — х2 ф 0, т. е. при х ф 0, х ф 2. Таким образом, D(f) = (-оо; 0) U (0; 2) U (2; +оо). • Найти области определения функций: 6.1.3. /(я) = фЦ. 6.1.4. /(я) = sin х -f I 6.1.5. f(x) = logs(-x). 6.1.6. f(x) = #x2 -7x +10. 6.1.7. f(x) =x2+ tgx. 6.1.8. f(x) = Vx^7 + V10 - x. 6.1.11. f(x) = e^ • Iog2(2 - 3x). 6.1.12. /Or) = arccos(:r - 2) - \n(x - 2). 6.1.13. Найти множества значений функций: 1) f(x)=x2+4x + l] 2)/(*) = 2*2; 3) f(x) = 3-5cosx. О 1) Так как х2 + 4х + 1 = (ж + 2)2 - 3, а (х + 2)2 ^ 0 для всех значений ж, то f(x) ^ —3 для всех х. Поскольку к тому же функция (х + 2)2 принимает все значения от 0 до оо, то 2) Е(х2) = [0;+оо), поэтому множество значений функции 2х совпадает с множеством значений функции 2х при х ^ 0. Отсюда E(f) = [1;+оо). 3) E(cosx) = [-1;1], откуда E(-5cosx) = [-5;5]. Так как /(ж) = -5cos:r+ 3, то E(f) = [-2; 8]. • 231
Найти множество значений функций: 6.1.14. f(x) = х2 - 81 + 20. 6.1.15. f(x) = 3~x\ 6.1.16. /(z) = 2sinz-7. 6.1.17. /(я) = ±+4. X 6.1.18. f(x) = ±arctgz. 6.1.19. f(x) = уДГ^х + 2. 6.1.20. Для функции /(х) = х2+3 найти: 1) /(0); Х 2) /(-2); 3) /(v^); 4) /(-я); 7) /(а) + 1; 8) /(2х). О 1)-3). Подставляя значение х = 0 в аналитическое выражение для данной функции, получим: /(0) = Ч"*" = — 3. Аналогично находим /(-2) = "22/31 = J, /(л/2) = {^л\ = = л/2 + 3. 4)-6). Для того, чтобы найти /(-я), надо формально заме- ■ о нить х в формуле для /(ж) на —ж. Тогда f(-x) = ~\3~ л = (-х) - 1 _ з - х - -' 1 * ~ + 3 • Точно так же найдем /(1) = \_г • Точно так же найдем /() = ^= _ ^ 6.1.21. Для функции f(x) = х3 -2х найти: 1) /(1); 2) /(-3); 3) /(-^5); 4) f(-x); 5) /(Зх); 6) /(I); 7)/fe; 8)/(6-2). 6.1.22. Для функции (p(t) = у^5 найти: 1) ¥>("!); 2) ^(-5); 3) V(f); 4)^(2 + 3); 5) v(2t - 1). 232
6.1.23. Какие из следующих функций четные, какие нечетные, а какие — общего вида: 2)/(х)=х4-5|х|; 3) f(x) = ex-2e f ~x; О 1) D(f) = (—оо;+оо), и, стало быть, область определения функции симметрична относительно начала координат. Кроме ( — Х)3 т*3 того, f(-x) = /Длй'+ г = ~^T^Y = ~/(ж)> т-е- Данная функция нечетная. 2) £>(/) = (-оо; +оо) и f(-x) = (-х)4 - 5| - х| = х4 - 5|х| = = f{x). Следовательно, функция четная. 3) £>(/) = (-оо;+оо) и /(-я) = е-' - 2е* ф ±/(х), т.е. данная функция общего вида. 4) D(f) = (—1;1), т.е. область определения симметрична относительно нуля. К тому же /(-х)=1п тз^~^п( ТТ^ ) = = — In }~х = —/(ж), т. е. функция нечетная. • 1 -г X 6.1.24. Какие из следующих функций четные, какие нечетные, а какие — общего вида: 1) fix) = sas; 2) f{x) = х5 + Зх3 - х; 3) f{x) = Vi; 4) f(x) = arcsinz; 5) /(x) = sin a; + cosx; 6) f{x) = \x\ - 2; 7) /(X) A ex 8) f{x)=x-ex 6.1.25. Определить, является ли данная функция периодической, и найти ее наименьший положительный период, если он существует: 1) f(x) = sin4x; 2) /(z)=cos25:r; 3)/(s)=tgJ; 4) f(x) = sin2x + cos3x; 5)/(x)=x2. О 1) Наименьшим положительным периодом функции sin x является число 2тг. Покажем, что наименьший положительный период sin4# — число ^ — \- 233
Действительно, sin4fx + ?) = sin(4x + 2тг) = sin4x, т.е. Г = ~ — период данной функции. С другой стороны, если Т\ > 0 — какой-либо другой период этой функции, то sin4(x + Т\) = sin4x для всех х, т.е. sin(4x + 4Ti) = sin4x, xGi Отсюда следует, что 4Ti — период функции sin£, где t = 4х, и, значит, 47\ ^ 2тг, т. е. Тг ^ £ Таким образом, Т = тт — наименьший положительный период функции sin4x. Аналогично можно показать (см. также задачу 6.1.123), что наименьший положительный период функций sin(kx + b) и cos(fcr + 6) (fc ф 0) — это число 4Д. 2) Поскольку cos2 5х = * "I" c^s ^-^, то период данной функции совпадает с периодом функции cos 10x. Рассуждая как и в пункте 1), легко показать, что наименьший положительный период функции cos 1 Ох равен тп = -f- Таким образом, наи- 1U О меньший положительный период функции f(x) равен ?. о 3) Наименьший положительный период tgx равен тг, поэтому наименьший положительный период функции tg § будет равен (см. рассуждения в пункте 1)) 7Т7оТ = ^7Г- 4) Наименьшие положительные периоды функций sin2x и cos3x соответственно равны (см. пункты 1) и 2)) 4?, т.е. тг, и ^. Нетрудно показать (см. также задачу 6.1.124), что наименьший положительный период суммы этих функций будет равен наименьшему общему кратному их периодов, т. е. числу 2тг. 5) При х > 0 функция определена и возрастает, поэтому не может быть периодической. Значит, и на интервале (—оо; +оо) функция не является периодической. • 6.1.26. Какие из следующих функций периодические, а какие — нет? Там, где это возможно, найти наименьший положительный период функции: l)/(x) = cos|; 2) fix) = \х\; 3) Six) = tg(2a: - 1); 4) f(x) = sin | - ctg x; 5) f(x) = sin3x • cos3x. 234
Наибольшее целое число, не превосходящее х (т. е. ближайшее слева на числовой оси), называется целой частью х и обозначается [х] (или Е(х)). Например, [тг] = 3, [—4,5] = — 5 и т.д. Число х — [х] называется дробной частью х и обозначается {х}. Так {1,8} = 0,8, {-2,7} = 0,3 и т.д. 6.1.27. Построить график функции: 1) У = И; 2) У = {х}. О 1) Функция [х] равна п на каждом полуинтервале [п; п +1), поэтому ее график имеет следующий «ступенчатый» вид (рис. 70). -3 -2 -1 ! О у = [ -6 1 1- 1 2 3 -1 -2 -3 -3 -2 -1 О Рис. 70 Рис. 71 2) На каждом полуинтервале [п; п+1) имеем: [х] = п, поэтому функция {х} принимает одни и те же значения. Таким образом, достаточно построить ее график на [0; 1) (здесь {х} = х), а затем параллельно перенести эту часть на все остальные промежутки. В итоге получим график, изображенный на рисунке 71. • 6.1.28. Построить график функции: 1) у = х2 +4х + 3; 2) у = -2sin3x; О 1) Выделяя полный квадрат в данном квадратном трехчлене, преобразуем функцию к виду у = (х + 2)2 — 1. Теперь ясно, что для построения графика функции, достаточно сначала сместить параболу у = х2 влево на 2 единицы (получается график функции у = (х + 2)2), а затем на 1 единицу вниз (рис. 72). 2) Сжав стандартную синусоиду у = sin x в три раза к оси Оу, получим график функции у = sin3# (рис. 73). Растянув полученный график в два раза вдоль оси Оу, получим график 235
Рис. 72 функции у = 2sin3a; (рис. 74 а)). Осталось отразить последний график относительно оси Ох, результатом будет искомый график (рис. 74 б)). у = sin Зх Рис. 73 у = 2 sin Зх у = — 2sin3x Рис. 74 3) Опустив на А вниз график дробной части х (рис. 71), получим график функции у = {х} — 1 (рис. 75 а)). Теперь те 236
Рис. 75 части этого графика, которые расположены ниже оси Ох, отражаем относительно этой оси — в итоге имеем искомый график (рис. 75 б)). • Построить графики функций: 6.1.29. у = |ж-3|. 6.1.31. 2/ 6.1.33. у = 2х~1+ 6.1.35. y = tg|a?|. 6.1.30. у = х2-6х + 6.1.32. у = -2 + 1. ж 6.1.34. y = log3(-x). 6Л.36. „=*±|. 6.1.37. Найти сложные функции / о р и д о /, где 1) /(х) = V*. fl(x) = х2; 2) /(*) = х3, д(х) = 2* - 1. О 1) По определению композиции функций имеем (/ °д)(х) = = /Ш) = Vx*= И, (fl о /)(х) = g(f(x)) = (у^)2 = х, х > 0. 2) Аналогично, (fog)(x) = (2x-l)3, (gof)(x) = 2я3-1. • 6.1.38. Найти сложные функции /о^иро/, где 1) /(ж) =ех, д(х) = 2)/(х)=Зж + 1,р 3) /(ж) = |ж|, ^(ж) 6.1.39. Найти обратную функцию для данной: 3) 2/ = V*- О 1) Функция у = х — 1 возрастает на промежутке (—оо; +оо), а значит, для любых х\ ф x<i имеем: f(x\) ф /(жг). Отсюда следует, что на (—оо; +оо) эта функция имеет обратную. Для того, чтобы найти эту обратную функцию, разрешим уравнение у = х — 1 относительно ж, откуда ж = у + 1. Записывая полученную формулу в традиционном виде (т.е. меняя ж и у местами), найдем окончательно: у = ж-Ы — обратная функция к исходной. 237
су 2) Функция у = —^-д- убывает на множестве (—оо; — 3)и X ~г О U(-3; +оо), являющейся областью определения. Поэтому у нее су есть обратная, которую найдем, разрешая уравнение у — ~? относительно х. су Отсюда получим, что функция у — - — 3 — обратная к X исходной. 3) Функция у = у/х возрастает на промежутке [0; +оо) и, стало быть, имеет обратную. Рассуждая, как в пунктах 1) и 2), найдем обратную функцию у = х2, х Е [0; + оо). Область определения этой функции совпадает с областью значений исходной функции у = у/х, т.е. с промежутком [0; +оо). • 6.1.40. Доказать, что функция у = х2 не имеет обратной на интервале (-оо;+оо). О Для любого уо > 0 уравнение уо = х2 имеет два решения х\ = у/уо и Х2 = —у/Уо (т.е. каждая горизонтальная прямая у = 2/0 пересекает график функции у = х2 в двух точках). Но функция имеет обратную только в том случае, если такое решение единственно. Значит, данная функция действительно не имеет обратной на интервале (—оо; +оо). • Какие из следующих функций имеют обратные? Для таких функций найти обратные функции. 6.1.41. 2/ = 3z + 5. 6.1.42. у = х3-2. 6.1.43. у = \х\. 6.1.44. У=^^. Выяснить, какие из следующих функций являются монотонными, какие — строго монотонными, а какие — ограниченными: 6.1.45. f(x) = с. 6.1.46. f(x) = sin2 x. 6.1.47. f(x) = arctgz. 6.1.48. f(x) = -x2 + 2x. 6.1.49. /(*) = |±J. 6.1.50. f(x) = [x] (см. задачу 6.1.27). 6.1.51. Вычислить значения гиперболических функций: shO, chO, thO, shl, ch(ln2). 6.1.52. Доказать тождества: ch2z + sh2z; 2) sh2x = 2shxchx; 3) ch2 x = ch2x + l. 4) sh2 x = 5) chx • chy = i[ch(x -f y) + ch(z - j/)]; 238
6) shx • shy = i[ch(a: + y) - ch(x - y)]; 7) shx • chy = i[sh(x + y) + sh(x - y)]. 6.1.53. Функция у задана неявно. Выразить ее в явном виде. 1) ху = 7; 2)х2+2/2 = 1,уО. О 1) При ж ^ 0 из данного уравнения получим у = —. 2) Выражая у из данного уравнения, имеем у = — >/1 — х2. 6.1.54. Функция у задана неявно. Там, где это возможно, выразить ее в явном виде: ) |у| ; 3) еу -sinу = х2. 6.1.55. Какие из следующих точек принадлежат графику уравнения у + cos у — х = 0: ), В(0;0), 6.1.56. Кривая задана параметрически 1) Найти точки на графике при t = 0, £ = 1, £ = — д/2. 2) Какие из следующих точек лежат на этой кривой: i;H), C(2;8), £>(0; 1)? Дополнительные задачи Найти области определения функций: 6.1.57. /(z)=ctg*. 6.1.58. 6.1.59. f(x) = arccos3x. 6.1.60. f(x) = j^. 6.1.63. f(x) = elnx. 6.1.64. f(x) = arcsin(log3 x). 6.1.65. f(x) = VT^.*rctgk 6.1.66. /(x) 6.1.67. /(x) = cos i -h 1п(ж -f 1) + 1УтГ=х. X 239
Найти множества значений функций: 6.1.68. f(x) = 4-х2. 6.1.69. f(x) = \х\ - ±. 6.1.70. f{x) = 2±. 6.1.71. f(x) = ln(x2 + 1). 6.1.72. f(x) = e*2-2*-\ 6.1.73. f(x) = ^. 6.1.74. f(x) = sin ж • cos ж. 6.1.75. f(x) = y/x2 + 4. 6.1.76. /(x) = я2 - 4x + 3, x e [0; 5]. Найти 2/(0), 2/(2), 2/^|J, ?/(t2), 32/(5x) й/ш функции у(х): — 1 при я < 2, 6.1.77. y(x) = y/2x + 7. 6Л78 у(ж)=<| о 1 при ж > 2. 6.1.79. Решить уравнение f(x) = /(1), где f(x) = 4х3 — Ах + 1. 6.1.80. Выяснить, какие из следующих функций являются четными, какие — нечетными, а какие — функциями общего вида: 1) у(х) = М; 2)у(аг) = |аг + 1|-|*-1|; 3) ¥>(*) = |t-2|; 4) 7) л(в) = aggia. 8) f{x) = с. 6.1.81. Дана функция f(x) = х, х € [0;+оо). Доопределить ее на интервале (-оо; 0) так, чтобы новая функция д(х), определенная на интервале (—оо; +оо), была: 1) четной; 2) нечетной; 3) функцией общего вида. 6.1.82. Выяснить, какие из следующих функций периодические, и оп-* ределить их наименьший положительный период: 1) у = 1п|ж|; 2) у = |cosa;|; 3) у = Ю; 4ч sin 5а ; у ~ cos4x-2* 240
Построить графики функций: 6.1.83. г 6.1.85. г 6.1.87. г 6.1.89. г 6.1.91. г 6.1.93. ? / = In х2. х-2 1 х + 3* / = coseca:. / = х • sin x. / = |z + l| + |z-2|. 4х + 5 6.1.84. у= ||х-2|-3|. 6.1.86. y = -y/i~ + 2. 6.1.88. у = 1-3\пх. 6.1.90. у = 2i. 6.1.92. 2/ = arcsin|x|. 6.1.94. у = х3-3x2+3x-l. {1 при х > О, О при х = О, — 1 при ж < 0. 6.1.96. Найти сложные функции / ° /, f ° 9 И 9 ° fi если: 1) /(as) =x2, д(х)= х + 2; 2) /(х) = signs (см. задачу 6.1.95), д(х) = -2; Какие из следующих функций имеют обратные? Для таких функций найти обратные функции. 6.1.97. 2/=y^. 6.1.98. у = 2х~3. 6.1.99. у={ 2Х2 пРи^0' у \-х2 прих<0. 6.1.100. у = signx (см. задачу 6.1.95). Выяснить, какие из следующих функций монотонные, какие — строго монотонные, а какие — ограниченные: 6.1.101. у = 2~*2. 6.1.102. у = у/х~^2. 6.1.103. 2/=^. 6.1.104. у = х3-х. х 6.1.105. 0 = ^М 6.1.106. у=("3 пРи*<0' х "г х * [ х при ж ^ 0. 6.1.107. Доказать тождества: 1) 1 - th2 х = -Д—; 2) cth2 х - 1 = -Д—; СП X SI1 X 3) sh(lnx) = ж ~ 1; 4) ch(lnz) = ж9+1; 5) shx + chx = ех; 6) chx - shx = e~x. 241 16-2361
Построить графики уравнений: 6.1.108. ху = 0. 6.1.109. |i| +|2,| = 1. 6.1.110. ху = у3. 6.1.111. ж2-у2 =0. Более сложные задачи 6.1.112. Пусть D(fi) = Xi, D(f2) = Х2. Доказать, что D(f) = Xi П Х2 в любом из следующих случаев: 2) f(x) = Ш ■ h(x).' 6.1.113. Записать одной формулой функцию, область определения которой состоит из: 1) одной точки; 2) двух точек; 3) множества всех целых чисел. 6.1.114. Привести пример функции /(#), для которой: 1) £>(/) = £(/); 2) D{f) Э E{f); 3) £>(/) С £(/). 6.1.115. Найти множество значений функции: 1) f(x) = ^i; 6.1.116. Записать одной формулой функцию, область значений которой состоит из: 1) одной точки; 2) двух точек; 3) множества всех целых чисел. 6.1.117. Пусть E(fi) = Хи E(f2) = X2. Верно ли, что: 6.1.118. Могут ли существовать такие функции /i(x) и /2(х), что E(fi) = E(f2) = К, но: 1) ВД + /2) = {1}; 2) Я(Л • /а) = {2}? Ответ объяснить. 6.1.119. Доказать, что: 1) сумма, разность и произведение двух четных функций есть четная функция; 2) произведение двух нечетных функций есть четная функция; 242
3) сумма двух нечетных функций есть нечетная функция; 4) произведение четной и нечетной функции есть нечетная функция. 6.1.120. Верно ли, что сумма четной и нечетной функции есть четная функция? нечетная функция? Ответ пояснить. 6.1.121. Какая функция, определенная на всей действительной оси, является и четной и нечетной одновременно? Показать, что такая функция единственна. 6.1.122. Пусть f(x) — произвольная функция с симметричной относительно нуля областью определения. Доказать, что: 1) функция f(x) + f(—x) — четная; 2) функция f(x) — f(—x) — нечетная. 6.1.123. Пусть функция f(x) периодическая и имеет период Т. Доказать, что функция f(kx + b), где к ф 0, также периодическая с Т периодом 4п. 6.1.124. Пусть функции f\(x) и /2(2) периодические с периодами Т\ и Тг соответственно. Доказать, что любое положительное число, кратное Т\ и Тг, является периодом функций Д ± /2, /i • /2- 6.1.125. Обозначим через D(x) функцию Дирихле: ~, v Г1 при рациональных я, |^0 при иррациональных х. Доказать, что: 1) периодом этой функции является любое рациональное число, большее нуля (поэтому у этой периодической функции нет наименьшего положительного периода); 2) никакое иррациональное число не является периодом этой функции. 6.1.126. Доказать, что следующие функции не являются периодическими: 1) f(x) = cos я2; 2) /(z)=sin|z|; 3) f(x) = х • sin x; 4) f(x) = In cos x. 6.1.127. Найти наименьший положительный период функций: 1) у = cos2 a: — sin2x; 2) у = |sin2z|; 3) 2/ = sin4|+cos4|. 6.1.128. Доказать, что: 1) график функции у = \f(x)\ получается из графика функции у = f(x) так: часть графика, расположенная не ниже оси Ох, остается без изменений, а «нижняя» часть графика симметрично отражается относительно оси Ох; 243
2) график функции у = f(\x\) получается из графика функции у = f(x) так: правая часть графика (при х ^ 0) остаётся без изменений, а вместо «левой» строится симметричное отражение «правой» относительно оси Оу. Построить графики функций: 6.1.129. y = cos2x. 6.1.130. у = sin4 х + cos4 x. 6.1.131. у = arcsin(sinx). 6.1.132. у = x + sinx. 6.1.133. у = sign(cosx). 6.1.134. у = \х\ + \х + 1| + \х + 2|. 6.1.135. y = \og3(sinx). 6.1.136. !/=(Iafi 6.1.137. Решить графически уравнения: 1) \х - 3| - х - 1 = 0; 2) х3 + 2х - 4 = 0; 3) 1пж + ж = 1. 6.1.138. Решить графически неравенства: 1) я3 > ж; 2) 2Ж + ж > 0; 3) sinx ^ А. 6.1.139. Найти /(ж), если известно, что 1)/(х + 2) = ^; 2)/(х3)=х2+4; 6.1.140. Доказать, что существует только одна функция /(#), определенная на всей числовой оси, такая, что для любой функции д(х), также определенной на всей оси, справедливо равенство fog = gof. Найти эту функцию. 6.1.141. Существуют ли функции, обратные сами себе? Ответ обосновать. 6.1.142. Что можно сказать о графике функции, обратной самой себе? 6.1.143. Доказать, что четная функция не может быть строго монотонной. 6.1.144. Доказать, что: 1) сумма двух возрастающих (убывающих) функций — также возрастающая (соответственно, убывающая) функция; 2) сумма, разность и произведение двух ограниченных функций — также ограниченная функция. 244
6.1.145. Показать, что: 1) частное двух ограниченных функций может не быть ограниченной функцией; 2) произведение двух возрастающих функций может не быть возрастающей функцией. 6.1.146. Показать, что следующие функции ограничены: 1) я*) 2) /(*) ^5 v 2 — cos х 6.1.147. Доказать, что 1) функция у = shx, х Е Ж имеет обратную функцию, равную 1п(х + у/х2 + 1). Эта обратная функция называется ареасинус гиперболический и обозначается arshx. Таким образом, arshx = ln(x + \Jx2 + 1); 2) функция у = thx, х е Ж имеет обратную, равную i In } ~*~ х. Z 1 — X Эта функция называется ареатангенс гиперболический и обозначается arthx. Таким образом, *i 1 + х arth х = - In . 2 1-х 6.1.148. Исключив параметр £, явно выразить функцию у: = t2 4- 6* + 10; §2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА Определение последовательности ^ Пусть каждому натуральному числу п (т.е. п = 1,2,3,...) по некоторому закону поставлено в соответствие единственное действительное число хп. В этом случае говорят, что задана последовательность: xi, X2,..., хп,... Последовательность х\, Х2,..., хп,... будем обозначать {хп}. ^ Числа xi, X2,..., хп,... в последовательности {хп} называются членами последовательности; х\ — 1-м членом последовательности, Х2 — 2-м членом последовательности,..., хп — п-м (энным) или общим членом последовательности. ^ Формулы, позволяющие выразить п-й член последовательности через предыдущие члены, называются рекуррентными. 245
Свойства последовательностей ^ Последовательность, все члены которой равны одному и тому же числу, называется постоянной. Таким образом, для постоянной последовательности {хп} имеем: Х\ = Х2 = ' * ' = Хп = . . . . ^ Последовательность {хп} называется неубывающей (невоз- растающей), если Vn: хп ^ хп+\, т.е. х\ ^ Х2 ^ • • • ^ хп ^ ^ #n+i ^ ... (соответственно, Vn: #п ^ хп+ь т.е. #1 ^ x<i ^ ... ... ^ жп ^ яп+1 ^ ...). Невозрастающие и неубывающие последовательности объединяют общим термином — монотонные последовательности. ^ Последовательность {хп} называется возрастающей (убывающей), если Vn: хп < xn+i, т. е. х\ < x<i • • • < хп < xn+i... (соответственно, Vn: хп > жп+1, т. е. х\ > х<ь > • • • > хп > хп+\ > ...) Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим названием — строго монотонные последовательности. ^ Последовательность {хп} называется ограниченной сверху (ограниченной снизу), если существует такое число М, что все члены последовательности меньше (соответственно, больше), чем М. Последовательность, ограниченная сверху и снизу одновременно, называется ограниченной. Это определение равносильно следующему: последовательность {хп} ограничена, если существует такое число М > 0, что для всех п справедливо неравенство \хп\ < М. ^ Последовательность {хп} называется неограниченной, если для любого М > 0 найдется такой ее член хп, что \хп\ > М. Действия над последовательностями ^ Пусть {хп} и {уп} — две произвольные последовательности. Суммой (разностью) последовательностей {хп} и {уп} называется последовательность, каждый член которой есть сумма (соответственно, разность) соответствующих членов последовательностей {хп} и {уп}' Таким образом, {хп} + {уп} = {хп + уп}. 246
Аналогично определяется произведение и частное двух последовательностей {хп} и {уп}, причем в случая частного, разумеется, предполагается, что уп ф 0, Vrc. Другими словами, для того, чтобы сложить, вычесть, умножить или разделить две данные последовательности, надо сложить, вычесть, умножить или разделить их соответствующие члены. Частным случаем операции умножения последовательностей (если одна из последовательностей постоянна) является операция умножения последовательности на число: для того, чтобы умножить последовательность {хп} на число я, необходимо каждый член этой последовательности умножить на а, т.е. а • {хп} = {а • хп}. 6.2.1. Написать первые четыре члена последовательности {жп}, если: ., *„ = !#; 2) хп — п-й знак в десятичной записи числа е; 8) ял = l,sn = a;n-i+2. О 1) Подставляя поочередно п = 1,2,3,4 в формулу для общего члена последовательности, найдем: х\ = —1, #2 = к, хг = -1, х4 = 1. 2) Поскольку е = 2,71828..., то х\ = 2, х2 = 7, х3 = 1, х4 =8. 3) В соответствии с формулой хп = хп-\ + 2 получим: х2 = xi + 2 = 3, х3 = х2 + 2 = 5, х4 = хъ + 2 = 7. • Написать первые четыре члена последовательности {хп}, если: 6.2.2. хп = 2n+1. 6.2.3. хп = п2 + 2гс + 3. 6.2.4. ягп = (-1)* + 1. 6.2.5. Xn U п 6.2.6. xn=sin^. 6.2.7. xi = -1, хп = -П'Хп-1. Зная несколько первых членов последовательности {хп}, написать формулу ее общего члена: ROO illl ft О Q 1 1 1 1 1 o.^.e. l, 3,5,y,... b.z.n. 1'4'9'16'25'"' 6.2.10. 2,ll,ll,ll,... 6.2.11. -1,2,-3,4,-5,... 6.2.12. Какие из следующих последовательностей ограничены сверху? ограничены снизу? ограничены? 1)2,4,6,8,...; 2)-1,-4,-9,-16,...; «ч 1 1 1 ; З'гР'З*'"'1 4)-2,4,-8,16,... 247
О 1) Данная последовательность, состоящая из всех четных положительных чисел, ограничена снизу, но не ограничена сверху. 2) Последовательность ограничена сверху (хп = —п2 < О, п = 1,2,3,...), но не ограничена снизу. 3) Последовательность ограничена, так как она ограничена снизу и сверху: 0 < хп = Дг < 1. 4) Последовательность {(—2)п} не ограничена, так как для любого числа М > 0 можно найти такой номер п, что \хп\ = = 2п> М. Ш Какие из следующих последовательностей {хп} ограничены, если: 6.2.13. хп = (-1)п. 6.2.14. хп = п3 + 2п. 6.2.15. хп = - Inn. 6.2.16. хп = П±±. IV 6.2.17. 6.2.18. Хп=\ 1 прип=2£ \у/п прип=2А;+1. 6.2.19. Какие из следующих последовательностей монотонные, а какие — строго монотонные: 1) хп = 2п + 1; 3) Хп = X; ТЬ 4) хп = [у/п\; 5) -1,-1,-2,-2,-3,-3,...? О 1) Данная последовательность строго возрастает, т. к. жп+1 = 2(п+ 1)4-1 = 2п + 3 > 2п + 1 = хп для всех натуральных чисел п. 2) Последовательность \ ±—^— \ = \— 1,1,-i... \ не яв- ляется ни монотонной, ни строго монотонной, так как, например, Х\ < #2, НО Х2 > Х%. 3) {^2[ = {l,T,i,--- | — убывающая последовательность, так как хп = ^ > 4) Последовательность {[v^]} — {1,1,1,2,2,...} — неубывающая, так как xn+i = [у/п + 1] ^ [у/п\ = хп, п = 1,2,3,... и к тому же, например, Х\ = х%. 5) Данная последовательность невозрастающая, так как %п ^ #п+ъ тг = 1,2,... и некоторые (например, первый и второй) члены этой последовательности равны между собой. • 248
Какие из следующих последовательностей монотонные? строго монотонные? ограниченные? 6.2.20. яп=п-±. 6.2.21. zn = cos^. п * 6.2.22. хп = -п t *. 6.2.23. хп = -у/п. п 6.2.24. Хп = 7Г,7Г,7Г, . . , 6.2.25. Пусть {хп} =1 {п}, {t/п} = 1 f — две последовательности. Найти последовательности {хп+уп}> {хп-уп}, {хп-уп} и { ^ }. ^ Уп J О По определению операций над последовательностями имеем: {х„у„} = {1} = {1,1,1,...}; {} {} Найти последовательности {хп ± уп}, {хп • ?/n} w \ ^ [, I Уп > 6.2.26. rrn = (-1)", уп = (-2)п. 6.2.27. хп = п2 + 1, уп = п. Найти последовательности ахп + ^2/п, еслг*: 6.2.28. яп = п, 2/п = Зп, а = 2, ^ = -1. 6.2.29. жп = (л/2)п, Уп = 1, а = v^, /3 = -5. Дополнительные задачи Найти первые четыре члена последовательности {хп}, если: 6.2.30. хп = ^. 6.2.31. хп = 1. п 6.2.32. хп = [у/п] (см. 6.1.27). 6.2.33. a?i = 2, хп = \хп-г - 2|. 6.2.34. хп = п! (читается эн-факториал), где п! = 1 • 2 •... • п. су 6.2.35. хп — n-й знак в десятичной записи числа у. Зная несколько первых членов последовательности {хп}, написать формулу ее общего члена: 6.2.36. 2,5,10,17,26,.... 6.2.37. -1,1, -1,1, -1,.... йооо 1111 R9 4Q 1 1 1 ^ 1 249
Какие из следующих последовательностей {хп} ограничены, если: 6.2.40. хп = sinn. 6.2.41. х = — —-^-1 п 6.2.42. хп = (-\/3)2п. 6.2.43. хп = {-\)п+1у/п. Среди следующих последовательностей указать монотонные; строго монотонные; ограниченные последовательности: 6.2.44. хп = sinn. 6.2.45. хп = ™_ . 6.2.46. хп = Р2п) (п ^ 2), где Р^п — перимет/р правильного 2п-уголь- ника, вписанного в единичный круг. 6.2.47. Я1 = 1, Яя = _2_ Найти последовательности {хп} и I J°n ~ 0 \, если: у. оУл ~\~ & ) 6.2.48. хп=п, уп = 1. 6.2.49. хп = п2, уп = п. Более сложные задачи 6.2.50. Найти первые семь членов последовательности Фибоначчи, определяемой рекуррентной формулой хп = хп-\ + #п-2 при П > 2, #i = Х2 = 1. 6.2.51. Найти первые четыре члена последовательности {-Pn}? n = = 3,4,5,..., где Рп — периметр правильного n-угольника, вписанного в круг единичного радиуса. 6.2.52. Написать формулу общего члена последовательности, каждый четный член которой — рациональное число, а каждый нечетный — иррациональное. 6.2.53. Найти общий член последовательности, зная несколько ее первых членов: 1) х\ = 3, Х2 = 1, #з = 4, х4 = 1, хъ = 5,... 2)7,9,13,21,37,... 6.2.54. Найти формулу общего члена последовательности, заданной с помощью рекуррентного соотношения _ 1 _ 1 2 2 - xn_i 6.2.55. Пусть последовательности {хп} и {уп} ограничены. Доказать, что последовательности 3) {xn • yn} также ограничены. 6.2.56. Привести пример двух ограниченных последовательностей, таких, что их частное является неограниченной последовательностью. 250
Доказать, что следующие последовательности ограничены: 6.2.57. хп = у/п2 + 1 - п. 6.2.58. жп = 1п(п +1) - Inn. 6.2.59. хп = ^4 п 4 п 6.2.60. я:п = «п-з+жп-^ я.1 = 2, а;2 = 5. Какие из следующих последовательностей монотонные? строго монотонные? ограниченные? 6.2.61. хп = $-. 6.2.62. хп = 1пп-п. ТЬ 6.2.63. xi = 1, хп = -—Ц-у. л>п—1 "Г J- 6.2.64. хп — n-й знак десятичной записи некоторого иррационального числа q. 6.2.65. Может ли произведение двух немонотонных последовательностей быть: 1) монотонной, но не строго монотонной последовательностью; 2) строго монотонной последовательностью? 6.2.66. Показать на примере, что произведение двух возрастающих последовательностей {хп} и {уп} может не быть даже монотонной последовательностью. §3. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Бесконечно малые последовательности, предел последовательности ^ Последовательность {ап} называется бесконечно малой, если для любого сколь угодно малого положительного числа е можно подобрать такой номер N, что, начиная с этого номера (т. е. для всех п ^ iV), будет выполнено неравенство |ап| < е. В дальнейшем тот факт, что последовательность {ап} — бесконечно малая, мы будем сокращенно обозначать так: б. м. {ап}. ^ Число а называется пределом последовательности {хп}, если последовательность {ап} = {хп — а} является бесконечно малой. На основе определения бесконечно малой последовательности можно дать другое, эквивалентное, определение предела последовательности. ^ Число а называется пределом последовательности {хп}, если для любого положительного числа е можно подобрать такой номер N (как правило, зависящий от е), что, начиная с этого номера (т.е. для всех п ^ N), будет выполнено неравенство \хп — а\ <е. 251
В случае, если последовательность {хп} имеет своим пределом число а, говорят также, что последовательность {хп} сходится (или стремится) к числу а, и обозначают этот факт так: lim хп = а или хп -¥ а (при п ->• оо). п-*оо ^ Если последовательность не имеет предела,, то говорят, что она расходится. Иногда удобно использовать геометрическое определение предела последовательности, эквивалентное двум предыдущим: ^ Число а называется пределом последовательности {хп}, если в любом интервале с центром в точке а находятся почти все (т. е. все, кроме конечного числа) члены этой последовательности. Связь между сходимостью и ограниченностью последовательности Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной.. Всякая монотонная и ограниченная последовательность сходится. Всякая постоянная последовательность, члены которой равны а, сходится к этому числу, т. е. lim a — a. п—юо Свойства бесконечно малых последовательностей Сумма (разность) двух бесконечно малых последовательностей также является бесконечно малой последовательностью. Таким образом, {ап} и {/Зп} — б. м. => {ап ± /Зп} — б. м. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность является бесконечно малой последовательностью, т. е. {ап} — б. м., {хп} — огранич. посл-ть =Ф> {ап • хп} — б. м. Произведение двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью: {ап},{0п} — б.м., => {аП'/Зп} — б.м. Произведение бесконечно малой последовательности на постоянное число является бесконечно малой последовательностью: {с*п}—б.м., eel ==> {с-ап} — б.м. Операции над пределами последовательностей 1. Предел суммы (разности) двух сходящихся последовательностей равен сумме (соответственно, разности) их пределов: lim xn = a, lim yn = b => lim (хп ±уп) = а±Ь. п—юо п—юо п->оо 252
2. Предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению их пределов: lim хп - a, lim уп = Ь => lim (xn • уп) = ab. п—юо п—юо п—юо В частности: — постоянный мцожитель можно выносить за знак предела: lim хп = а, с Е К => lim (сжп) = с • а; П—ЮО 71—ЮО — предел натуральной степени от сходящейся последовательности равен этой степени от ее предела: lim хп = а => lim (хп)к = ( lim хп)к = ак, к = 1,2,3,... п—>оо п—>оо п—юо 3. Предел частного двух сходящихся последовательностей равен частному их пределов: ОТ fl lim xn = a, lim yn = 6, (6^0, 2/п ^ 0 Vn) => lim — = -. n-юо n->oo n->oo 2/n 6 4. Предел корня fc-й степени от сходящейся последовательности равен корню этой же степени от предела последовательности: lim хп = а, к = 2,3,4,... =Ф- lim \/x~^ = \fa. п—юо п—>оо Пределы и неравенства Пусть все члены данной сходящейся последовательности неотрицательны. Тогда ее предел также неотрицателен: lim хп — а, хп ^ 0 Vn ==> а ^ 0. п—юо Пусть каждый член одной сходящейся последовательности больше или равен соответствующему члену другой сходящейся последовательности. Тогда и предел первой последовательности больше или равен пределу второй последовательности: lim хп = a, lim уп = 6, хп ^ уп Vn => a^ b. П-+ОО П—ЮО Теорема 6.1 (о промежуточной переменной). Пусть соответствующие члены трех данных последовательностей {хп}, {уп} и {zn} удовлетворяют условию хп ^уп ^ zn. Тогда если последовательности {хп} и {zn} сходятся к одному и тому же пределу, то последовательность {уп} также сходится к этому пределу: хп<;Уп^ zn, Vn, lim:rn = \imzn = a => lim yn = a. п-юо 253
Бесконечно большие последовательности ^ Последовательность {хп} называется положительной бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого числа М найдется такой номер N, что для всех п, начиная с этого номера, выполняется неравенство хп > М. Про положительную бесконечно большую последовательность {хп} говорят также, что она стремится к плюс бесконечности, и пишут lim хп = -foo. п—юо Заметим, что эта запись, так же, как и слова о стремлении к плюс бесконечности, носит условный характер и не означает существование предела в том смысле, как это было определено в начале этого параграфа. То же относится к отрицательной бесконечно большой и бесконечно большой последовательностям, определенным ниже. ^ Последовательность {хп} называется отрицательной бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого по модулю отрицательного числа М найдется такой номер N, что для всех п, начиная с этого номера, выполняя неравенство хп < М. Про отрицательную бесконечно большую последовательность {хп} говорят также, что она стремится к минус бесконечности, и пишут lim хп = -оо. п—>оо ^ Последовательность {хп} называется бесконечно большой, если последовательность {\хп\} является положительной бесконечно большой. Если последовательность {хп} — бесконечно большая (б. б.), то говорят также, что она стремится к бесконечности, и пишут lim xn = оо. п-юо Последовательность {хп}, все члены которой отличны от нуля, — бесконечно малая тогда и только тогда, когда последовательность {— \ — бесконечно большая: *n^0(Vn); {хп}-б.м. Кроме того, полезно иметь в виду следующее: 1. Пусть lim хп = a, lim уп — ±оо. Тогда lim ^ = 0. п—>оо п—>оо п—юо Уп 2. Пусть lim хп = а, (в том числе а = Н-оо), а > 0 (соответственно, п—юо а < 0, в том числе а = -оо), lim уп = 0, уп > 0 Vn. Тогда lim ^ = +оо п—>оо п—юо Уп (соответственно, = — оо). 254
Число е Последовательность { (1 + ) | — возрастает и ограничена сверху, а поэтому сходится. Ее пределом является замечательное иррациональное число е = 2,71828182845..., служащее основанием натуральных логарифмов. Таким образом, (1 \п 1 + -) =е. п/ п 6.3.1. Используя определение, доказать, что последовательность {an} = ill — бесконечно малая. Ш \ И+1 Рис. 76 О Пусть е — произвольное положительное число. Тогда из неравенства \ап\ < £, т.е. — < е, получим п > -. Поскольку число - может не быть целым, то, положив N = - + 1 (рис. 76), мы найдем искомое натуральное N. Действительно, для всех п ^ N будем иметь — < е, т.е. \ап\ < е. Но это и означает, что последовательность {ап} = «|1> — бесконечно малая. • Используя определение, доказать, что следующие последовательности {ап} — бесконечно малые: 6.3.2. ап = —2-у. 6.3.3. ап = -4=. уп 6.3.4. Доказать, что последовательность {ап} = < ~- > — бесконечно малая, и для каждого данного е найти такой номер N, что для всех п ^ N справедливо неравенство \ап\ < е, где 2) £ = 0,1; 3) е = 0,015. 255
6.3.5. Используя определение предела, доказать, что последовательность 2, 4, i, т,..., п .,,... сходится к числу 1. Z О 4 ТЬ — 1 О Обозначив хп = —^Чг, выберем произвольное число е > О, Тогда \ХП ~ 1| = п-1 -1 п — (га — 1) п-1 п-1 и неравенство \хп — 1| < е будет выполнено в точности тогда, когда —i-=- < е, т. е. га - 1 > -, откуда га > - + 1. Положив ТЬ л. о с N = \- + 2 , получим, что для всех га ^ N справедливо неравенство \хп — 1| < е. В соответствии с определением предела это и означает, что lim жп = 1. # Используя определение предела, доказать, что: 6.3.6. lim 3n + 2 = 3. п^оо га + 1 6.3.7. lim p^=± = |. п-»-оо ога + 2 о 6.3.8. lim Ln J L = 2. n—>-oo ra 6.3.9. Доказать, используя определение предела, что последовательность {хп} = \ Уп I сходится к числу 1, и для каждого I yra j данного е найти такой номер N, что для всех п ^ N верно неравенство \хп — 1| < е, где -1 2) е = 0,1; 3) е = 0,07. 6.3.10. Найти пределы последовательностей: Зп2-п + 2. 5t^ + 2 ' !) 1™ ^^ 2) lim п-юо 3) lim £ п^оо у/П + 1 О 1) Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, поделив числитель и знаменатель на старшую степень п, т. е. на п2: 5п2 + 2 5 + 4, 256
Отсюда, используя теорему о действиях над пределами, получим: . _ 1 , 2 ton (3 - I + + 2 п—юо + ^ lim (5 + 4j lim 3 - lim £ + lim Л 3 - lim ± + 2 lim Д n-»oo n—>oo lim 5 + lim Д- n—>-oo n—>-oo n n-^oon- _ n—>oo 5 + 2 lim Л- п-юоп~ _ n—>oo 3-0 + 0_ 3 ~ 5" 5 + 0 В последних равенствах мы воспользовались тем, что предел константы — константа, а также тем, что последовательности { — \ к \\\ — бесконечно малые. Окончательно, lim 3n2 - n + 2 = 3 5n2 + 2 5' 2) Домножим и разделим выражение под знаком предела на сопряженное к нему, после чего воспользуемся формулой разности квадратов: Поэтому = 2 lim п-»°° уп + 1 + vn - 1 Поскольку последовательность у/п + 1 + у/п — 1 — беско- нечно большая, то последовательность у/п + 1 + у/п - 1 — бес= 0, а значит, и конечно малая. Отсюда lim . —у= n-юо Vn + 1 + У/П — 1 lim (у/п + 1 — \/n — 1) = 0. п—>оо 3) Поделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень п (выбираем из двух вариантов у/п? и у/п), т.е. на : п3/2. Тогда 1 1 1 у/п + 1 257 17-2361
Оба слагаемых в знаменателе последней дроби, т.еДи —А=, — п у/пг бесконечно малые последовательности, следовательно, вся эта дробь — бесконечно большая последовательность. Отсюда lim п—>оо Найти пределы: 6.3.11. lim 2ак=£ш п—юо 71 6.3.13. lim -^-Ф 5п2 - 1 lim n-юо Юп3 - Зп + 2' 21п3 + 7п - 8 6.3.17. lim Vn2 + 3n. 6.3.19. lim Ып2 + п - п). п->оо = lim 1 1 n-юо ^ _|_ = 00. 6.3.14. 6.3.12. lim ; ~ пъ. т 7п2-1 6.3.15. lim 4^15п! + 1"п. 6.3.16. lim П->СХ) 6.3.18. lim 5n3 + 4п2 - 2п + Г n2-hl \Jn2 + n + 4 6.3.20. lim \/g±n-V5JE±2g. Дополнительные задачи Используя определение, доказать, что данные последовательности — бесконечно малые: 6.3.21. 6.3.22. -,-,g,...}5?r,... 6.3.23. 1>2'б'""'п!'"в 6.3.24. Доказать, что последовательность {ап} = \ 3 \ — беско- I п + 2 J нечно малая, и для каждого данного е найти такой номер ЛГ, что для всех п ^ N верно неравенство \ап\ < е, где 1)е = 0,1; 2) е = 0,01; 3) е = 0,001. Используя определение предела, доказать, что: 6.3.25. lim = 1. 6.3.27. lim п—>оо 258 п-)-оо 4 — П 3n+1 - 1 _ 6.3.26. lim -p— = 5. п-^-оо П + 7 = 3.
6.3.28. Найти предел а последовательности {хп}, где хп = п "*" CQSжп. ть Найти номер ЛГ, начиная с которого величина \хп — а\ будет меньше е, если 2) е = 0,1; Найти пределы: 6.3.29. lim IlLt^ n->oo on' 6.3.31. 6.3.37. lim xg + 2Л, если lim arn =-1. n—>oo a? -f- 4 n—>oo 6.3.38. lim Vn3 + n2 - 4 - л/п1 \/n5 + 2n + \/n^" Более сложные задачи 6.3.39. Доказать, что у одной последовательности не может быть двух разных пределов. 6.3.40. Показать, что частное двух бесконечно малых последовательностей может не быть бесконечно малой последовательностью. 6.3.41. Привести пример такой бесконечно малой последовательности {хп}, что: 1) первые сто ее членов больше 1000; 2) существует бесконечно много как положительных, так и отрицательных ее членов. 6.3.42. Доказать, что следующие последовательности {хп} не имеют предела: 5) хп = п2; 6) хп = 1 + 2 + • • • + п. 6.3.43. Привести пример последовательности {хп}, которая расходится, но для которой последовательность {|#п|} сходится. 259
6.3.44. Показать, что: 1) каждая бесконечно большая последовательность является неограниченной; 2) не каждая неограниченная последовательность является бесконечно большой. 6.3.45. Найти пределы (в пунктах 2) и 3) предварительно доказать, что предел существует): 1) lim хп~3ж" + 2, если lim xn = 2; п—юо Хп — Z п—юо 2) lim я?„, если хп = y/6 + xn-i, хг = л/б; п-юо X2 -9 3) lim хп, если хп = п~1} , х\ = 7. п—юо о 6.3.46. Найти пределы: 6.3.47. Пусть {хп} — бесконечно малая, а {уп} и {zn} — бесконечно большие последовательности. Верно ли, что всегда: 1) {хп -Уп} — бесконечно большая последовательность; 2) {хп -уп} — бесконечно малая последовательность; 3) {хп -уп) — сходящаяся последовательность; 4) {Уп ' Zn} — бесконечно большая последовательность; 5) {Уп + zn} — расходящаяся последовательность? 6.3.48. Привести пример таких сходящихся последовательностей {хп} и {уп}, что: 1) хп > уп Vn, однако lim xn = lim yn\ п—юо п—юо 2) хп > Ю0уп > 0 Vn, однако lim xn = lim yn- п—юо п—>оо 6.3.49. Найти пределы: 1) lim (1 + А' п—юо \ Tlj 2) lim §4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Определение предела ^ Окрестностью точки хо называется любой интервал с центром в точке хо. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки хо кроме, быть может, самой точки х$. Дадим первое определение предела функции (по Гейне): 260
^ Число А называется пределом функции /(х) в точке хо, если для любой последовательности {хп}, сходящейся к хо (хп ф хо Vn), последовательность {f(xn)} соответствующих значений функции сходится к А. Обозначается это так: lim f(x) = А или /(х) -+ А (при х -»• хо). x—txo Первое определение предела функции эквивалентно второму определению (по Коши): ^ Число А называется пределом функции /(х) в точке хо, если для любого сколь угодно малого числа е > О найдется такое число S > О (вообще говоря, зависящее от е), что для всех х таких, что \х — хо\<6,хфхо, выполняется неравенство \f(x) — А\ < е. Первое определение называется также определением предела функции «на языке последовательностей», а второе — определением предела «на языке £-£» (эпсилон-дельта). Операции над пределами функций Пусть функции f(x) и д(х) определены в некоторой окрестности точки хо и, кроме того, lim fix) = Л, lim g(x) = В. Тогда: Х-+ХО Х-*Хо 1. Предел суммы (разности) этих функций равен сумме (соответственно, разности) их пределов, т. е. \im[f(x)±g(x)] = A±B. Х-+ХО 2. Предал произведения функций равен произведению их пределов, \hn[f{x).g(x)] = A.B. X—¥XQ 3. Предел частного функций равен частному их пределов (при уело- вии В #0), т.е. M ^ д{х) В Отсюда, в частности, вытекает, что постоянный множитель можно выносить за знак предела функции, т. е. lim f(x) = А ==> Va G R : lim af(x) = a lim f(x) = aA. XtXo X—УХо X^Xo Для функций справедливы аналоги соответствующих теорем для последовательностей о пределах корня и степени. Пределы функций и неравенства Пусть функции fi(x) и /г(#) определены в некоторой окрестности точки хо (кроме, быть может, самой этой точки) и /i(x) ^ h(%) для всех 261
значений х из этой окрестности. Пусть, кроме того, lim /i(x) = Ai, lim /2(2:) = A2. X—¥Xq X—>Xq Тогда Ai ^ A2. Теорема 6.2 (о промежуточной переменной). Пусть функции /i(x), f(x), /2(2;) определены в некоторой окрестности U(xo) точки хо (кроме, быть может, самой этой точки) и для всех х £ U(xo), x ф xq верно неравенство fi{x) ^ f(x) ^ f2(x). Пусть, кроме того, lim fi(x) — X^-Xq = lim /2(2) = А. Тогда lim f(x) также существует и равен А. X—tXQ X—>Xq Теорема 6.3 (о сохранении знака). Если предел функции в данной точке хо положителен, то и все значения функции в некоторой окрестности этой точки (кроме, быть может, самой точки х0) положительны. Теорема 6.4 (об ограниченности функции, имеющей предел). Пусть функция имеет предел в данной точке. Тогда она ограничена в некоторой окрестности этой точки. Предел функции на бесконечности Пусть функция f(x) определена на бесконечном промежутке (а; Н-оо). ^ Число А называется пределом функции f(x) при х -> +оо, если для любой положительной бесконечно большой последовательности {хп} (т.е. хп ->• +оо, п -» оо) последовательность {f(xn)} соответствующих значений функции сходится к А. Обозначение: lim f(x) = A. Равносильное определение предела функции при х -> +оо на языке е-6 будет выглядеть так: ^ Число А называется пределом функции f(x) при х -> +оо, если для любого числа е > 0 найдется такое число М > 0, что для всех значений х > М выполняется неравенство \f(x) — А\ < е. Аналогично определяется предел функции f(x) при х -> -оо. Обозначение: lim f(x) = A. х—> — оо 262
Односторонние пределы ^ Пусть функция /(х) определена в правой полуокрестности точки #о, т. е. на некотором интервале (хо, хо + <J), где 6 > 0. Тогда говорят, что число А называется пределом функции f(x) справа в точке хо (или правосторонним пределом), если для любой последовательности {хп}, сходящейся к xq и такой, что все ее члены больше, чем хо, соответствующая последовательность значений функции {/(хп)} сходится к числу А. Обозначения: lim fix) = А или /(хо + 0) = А. ж->-а:о+О Аналогично определяется предел функции слева (или левосторонний предел) в точке Хо, обозначаемый lim /(х) или f(xo — 0). х—>жо~О Очевидно, что lim f(x) существует в том и только в том случае, X—>Xq когда существуют и односторонние пределы lim fix) и lim fix), ж->-жо+О ж>жО причем все три числа равны, т. е. lim fix) = lim fix) = lim fix). x^x v я>х+О ж^ж0 Замечательные пределы Первый замечательный предел lim - Второй замечательный предел ,. sin я lim = 1. / 1\х lim (1 + - ) =е. я-юо\ X/ Часто используются следующие следствия из обоих замечательных пределов: sin ax ^ hm = а, а е R; X = 1, X hm (1 + х) * = е, lim — = 1, lim = 1. ж>0 х>0 X х>0 X Бесконечно малые и бесконечно большие функции ^ Функция (р(х) называется бесконечно малой при х -* хо (или в окрестности точки хо), если lim (f(x) = 0. X—УХо Таким образом, А = lim f(x) <£=> f(x) = А + а(х), где а(х) — бесконечно малая при х ->• хо- 263
Пусть а(х) и /?(х) — бесконечно малые функции при х —> х<> Тогда: 1) Если lim -щ-1 = А ф О, то функции а(х) и /?(х) на- х—>хо Р\£) зываются бесконечно малыми одного порядка в окрестности точки #0- В частности, если lim -щ—{ — 1, то а(х) и /3(х) называются X—>Хо Р\%) эквивалентными бесконечно малыми (в окрестности точки хо), что обозначается так: а(х) ~ /?(х), х —> xq. О/ I T* I 2) Если lim -л)—( = 0, то функция а(х) называется бес- X—>Xq P\%) конечно малой более высокого порядка, чем /?(х). Этот факт записывается так: а(х) = о(/?(х)), х -> Хо и говорят, что а(х) — о малое от /5(х) при х -> xq. В частности, если а(х) — бесконечно малая при х -> хо, то а(х) = о(1), ж ->• xq. При решении многих задач используются следующие эквивалентности, верные при х ->• 0: sinx~x, I —cosx^—, tgx~x, arcsinx^x, arctgx ~ x, ln(l -f x) ~ x, аж - 1 ~ xlna (в частности, ех — 1 ~ x), Кроме того, имеет место следующий факт: если /?(х) ~ Л(х), х и существуют пределы lim a(x) • /?(х) и lim -згт? то X>Х Х>Х Р\ЗС) lim a(x) • ^З(х) = lim a(x) • /?i(x), x—>-xo x—>-xo A W)= lim Таким образом, предел произведения или частного двух бесконечно малых не меняется при замене любой из них на эквивалентную бесконечно малую. 6.4.1. Доказать, что lim(2x + 1) = 5, используя 1) первое определение предела функции; 2) второе определение предела функции. О 1) Пусть {хп} — произвольная последовательность, сходящаяся к 2, т. е. такая, что lim xn = 2. Тогда в соответствии п—юо со свойствами пределов последовательностей lim f(xn) = п—юо = lim (2xn + 1) = 2 lim xn + lim 1 = 2-2 + 1 = 5. n—юо n—юо n—юо 264
Так как lim f(xn)=b для любой последовательности {хп}, п—юо сходящейся к точке хо = 2, то по первому определению предела функции это как раз и означает, что lim (2х + 1) = 5. 2) Зафиксируем произвольное е > 0. Требуется по этому е найти такое S > 0, чтобы из условия х ф #о, |ж — жо| < 5, т.е. из 0 < |# — 2| < <$ вытекало бы неравенство \f(x)-A\ <е, т.е. |(2я? + 1) - 5 < е\. Последнее неравенство приводится к виду \2(х — 2)| < £, т.е. \х — 2| < |. Отсюда следует, что если взять S = ^ то неравенство \х — 2| < J будет автоматически влечь за собой неравенство |/(х) — 5| < е (это значит, что для всех х, для которых верно первое неравенство, будет верно и второе). В соответствии со вторым определением предела функции это означает, что lim (2х + 1) = 5. • Используя первое определение предела функции, найти пределы: 6.4.2. lim (4ж + 3). 6.4.3. lim (х2 - 4х + 8). x^-V ' х+2К J 6.4.4. lim у/1-х2. 6.4.5. Используя второе определение предела функции, доказать, что: 6.4.6. lim(3s-2) = -2. 6.4.7. lim(-s + 4) = 3. 6.4.8. lim x2 = 9. 6.4.9. lim ± = i 3 5 6.4.10. Доказать, что функция у = signx не имеет предела в точке Хо = 0. О Действительно, если выбрать последовательность {х'п} = = \ — >, сходящуюся к нулю, то lim fix' ) = lim (sign — ) = lim 1 = 1, х-юо n ж-юо\ n/ ж-юо т. е. последовательность {/(я^)} соответствующих значений функции сходится к единице. Если же выбрать последовательность {х1^} = I — —\, также сходящуюся к нулю, то lim fix'') = lim signf ) = lim (-1) = -1. n—юо n—юо \ и/ n—too Таким образом, мы нашли две различные последовательности {х'п} и {ж^}, сходящиеся к точке хо = 0, для которых 265
соответствующие последовательности {f(x'n)} и {/(#„)} значений функции f(x) = signx сходятся к различным числам. Это противоречит первому определению предела функции, и, значит, у функции sign ж нет предела в точке х0 = 0. • Доказать, что функция f(x) не имеет предела в точке хо, если: 6.4.11. /(*) = 1, хо = 0. при х ^ 2, 6.4.12. JK~,- л тп„^о „. о х при х < z, Хо = 2. 6.4.13. Доказать по второму определению предела, что lim /(x) = 1, о/ -1 \2 х—ьхо где /(х) = — -Л—hi, хо = 1. Найти соответствующее S по данному £, если: 2) е = 0,01. 6.4.14. Используя свойства пределов функций, найти следующие пределы: 1) Ит За2-1 lim ^ о . я-юо 2х2 + Зх О 1) Применяя теорему о действиях над пределами функций, получим: lim —^ 1 + 5х Н- 2 lim (4х2 + 5х + 2) х->-1 lim Зх2 — lim 1 х—у — 1 x—t—1 lim 4x2 + lim Ъх + lim 2 3 lim x • lim x — 1 4 lim x • lim x + 5 lim x + 2 я-»-1 ж->--1 я->>-1 3- (-!)(-!) -1 =2 2) Так как пределы числителя и знаменателя при х —> 2 равны нулю, то мы имеем неопределенность вида У. «Раскроем» эту неопределенность (т.е. избавимся от нее), разложив 266
числитель и знаменатель на множители и сократив их далее на общий множитель х — 2: hm х2-4 = lim (х-2)(х = Inn 7zttг = Inn. (х - 2)(Х - 3) Х-+2Х-3 В полученной дроби знаменатель уже не стремится к нулю при х —> 2, поэтому можно применять теорему о пределе частного: Окончательно lim 2 = ж - 3 Ит(я-З) 2-3 = — 4. —^——^— X — ЬХ + 6 3) Здесь мы также имеем неопределенность вида У. Домно- жим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное к числителю (избавляемся от иррациональности в числителе): 4) Числитель и знаменатель дроби — бесконечно большие функции, поэтому здесь имеет место неопределенность —. Раскрывая эту неопределенность, поделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень х, т. е. на х2: х-х2 2х2 Осталось воспользоваться свойствами пределов, а также тем, что функции — и -4j — бесконечно малые при # —> оо: lim = lim lim + lim ^ - lim 1 lim 2 + 3 lim1 Х lim (2+ и ' и 2 + 0 267
Найти пределы: 6.4.15. lim (5x2 + 6.4.17. lim >>x . х->0 X — X 6.4.19. lim *->5 x2 - 25 6.4.21. 6.4.23. lim ^^±. x-»-l X3 + 1 2x 6.4.25. lim y/xt2b~b- х->о хг + 2х 6.4.27. lim \/2£±3-3a *-»з \Jx-2 - 1 6.4.29. lim ^8~ж~2. х-Ю X 6.4.31. 6.4.33. j5xx d - xz + 7x 3 a? х-юо X4 - ЗХ2 + Г 6.4.35. lim (у/х2 +4-х). 6.4.37. Найти пределы: 3> } 6.4.16. lim x6 - 2x + 3 6.4.18. lim fc-f. 6.4.20. lim 4x3-3x2+x ^o 2x 6.4.22. limi 2x2f~x" X ^ ~х +3х-3 6.4.24. lim ^ + 7х + 6— ! - 2х2 + х - 1 х->-б х3 + 6х2 + Зх + 18 6.4.26. lim x* ~2x—. +2 Vx2 + 6x - 4 6.4.28. lim 6.4.30. lim 4 V5 - x - 2 6.4.32. lim a1"3*2 o. x->oo X2 + 7X - 2 .4.34. lim o f ~ \x Л. x-^oo 2xd + XZ + 1 6.4.36. lim . 2 о x^ooVx2 -3 2) lim ste; 7 x)o sin3x' 4) lim arcsinx 7 x)0 X >->% *х — /i / х^0 х 1) Сделаем замену у = ах; тогда 2/ —> 0 при х —>- 0 и sin otx л • ^ 2/ 1 • ol sin I/ I • sin у -г> = lim .ч = lim *- = a lim —*- = ск. В по- lim = ш = ^ j = а Цт lt = а. В по- х^О X 3,-уО (^) j/->0 У у->0 2/ следнем равенстве мы воспользовались первым замечательным пределом. Таким образом, lim sinax = a. х->0 X 2) Поделим числитель и знаменатель дроби под знаком предела на х, после чего воспользуемся предыдущим пунктом: 268
3) Сводя предел к первому замечательному, сделаем замену у = х - |. Тогда у -> 0 при х-)>|,ах = 2/+§> откуда .. cosx .. cos(2/-»-f) hm = hm —t—v ч 2/ = х_>ж2х-тг у^02{у+ f) -7Г -sin 2/ 1 sin 2/ = 11т-2Г" = "211т — 1 "2" Во втором равенстве в этой цепочке мы использовали формулу приведения, а в последнем — первый замечательный предел. 4) Сделаем замену t = arcsinx, т. е. х = sin t. Ясно, что t ->• О при х —у 0, поэтому arcsinx t ,. 1 1 slnt ~ t™ (™±±) ~ lim ^ v t ) t = 1. t ) Найти пределы: 6.4.38. 6.4.40. 6.4.42. sin22x' lim 1-cosx Найти пределы: 1) lim (l+ £)* 2) lim vT+~5z; 3) 4) lim ; x>o 6.4.39. 6.4.41. 6.4.43. 6.4.45. lim x • ctgx. x^0 cos 5x - cos За: lim lim sin2x tg4x* О 1) В данном случае мы имеем неопределенность вида 1°°. Для ее раскрытия сделаем замену у = ?. Тогда у -¥ оо при х -> оо и исходный предел сводится ко второму замечательному пределу: 269
2) Поскольку у/1 + Ъх = (1-Ь5а;) *, то здесь мы также имеем дело с неопределенностью 1°°, для раскрытия которой нам снова понадобится одна из форм второго замечательного предела. Сделаем замену у = Ьх. Тогда у -> 0 при х -> 0 и ( + j/)] = e5. /-»0 J 3) Поделив числитель и знаменатель дроби на х, сведем данный предел к частному пределов из пункта 1): lim [ I) = lim ( I ) = lim x - z->oo П — -) _ 5 e 4) Сделав замену у = 2х и применяя одно из следствий из второго замечательного предела, получим: е2* _ i еу _ i 2 .. е2' - 1 2 hm — = hm —= = - hm 7 ± 7 = hm =hm 7х 2/->-о ±у 7 у->о у 6.4.47. Доказать, что: 1) lim ,, = 7 ж-^о х In а' 2) lim £^i =1па; (\ пх 1 + HL) =emn; .ч ,. 1п(1 + ах) 4) hm —* L = a. ' z>0 X X Найти пределы: 6.4.48. Hm 2>/TT3S. 6.4.49. lim (|^|)Ж. 6.4.50. Цт(§±&)\ 6.4.51. lim \3 + 2ж/ 2 - 2 6.4.52. lim(^)*+2. 6.4.53. lim 6.4.54. lim(l-sins)sib. 6.4.55. lim x[ln(x 4- 3) - In ж]. ' 6.4.56. Найти пределы справа и слева функции f(x) = sign ж в точке х0 =0. 270
О Так как /(х) = 1 при х > 0, то /(0 + 0)= lim /(x)= lim 1 = 1. Аналогично находим: /(0 - 0) = х Шп o f{x) = x Urn о(-1) = -1. « Найти односторонние пределы функций fix) в точке хо: 6.4.57. fix) = [х], х0 = 2. {-2 при х ^ 1, f прих>1; а) хо = 1; б) х0 = 11. 6.4.59. Заменяя бесконечно малые эквивалентными, найти пределы: 1) lim Щ?-, ' х_>.о sin3x 2) li 1 — COS X О 1) В силу следствия из первого замечательного предела sinax~ax, х->0. Отсюда (при х-+0) sin4x~4a:, a sin3x~3x, поэтому АЛ sm4x .. 4х 4 lim = lim — = -. sin ox x->o 3x 3 2 2) При x -> 0 имеем ех-1~жи1- cos ~ ^-, откуда x - (ex -1) x - x Л hm —— = hm —j- = 2. 1 — cosx я-и) (^_) Найти пределы, используя эквивалентные бесконечно малые: 6.4.60. ВаШ 6.4.61. Цт1п(1 + У. о ^ х_).о arcsin3x 6.4.63. lim g^|. x->0 О — 1 6.4.64. ЦтУ/ГТ7х--1 6>4>65> limarctg(x-2) xfO X x>2 X — 2x Дополнительные задачи Используя первое определение предела функции, найти пределы: 6.4.66. Iim(x2-x). 6.4.67. lim -^. ж)2х +1Х + 3 ( 6.4.68. lim ^x2 + 27. 6.4.69. lim (x + 2а)5. х->0 х^ю 271
Используя второе определение предела функции, доказать, что: 6.4.70. lim sin x = 0. 6.4.71. lim \x\ = 0. 6.4.72. lim x3 = 1. 6.4.73. lim -^-j = 2. Доказать, что функция f(x) не имеет предела в точке хо, если: 6.4.74. f(x) =sin±, xo =0. х 6.4.75. ., v _ J 1, если х — рациональное \0, если х — иррациональное (функция Дирихле), х0 = А. Найти пределы: 6.4.76. lim %L 2x 6.4.78. дШп1 VV | 6.4.80. lim Зх + 5а: - 2 6.4.82. lim (—L - -т4- ж—^2 \ а; — z х — ' . .3 i Л . . Г 6.4.84. lim 6.4.86. lim 6.4.88. lim 6.4.90. lim х2 -8ат Ы - - -у 3 -2' с 6.4.92. lim 5ж4 - 2х + 3 а:2-3х4 * (ж2-3)(2х+9) 6.4.96. lim 6.4.98. lim 6.4.100. lim 6.4.102. lim (x - 2)ctg7rx. 272 6.4.77. lim л/4х - 1. 6.4.79. lim 6.4.81. lim 6.4.83. lim 6.4.85. lim 6.4.87. lim x4 + 2a:2 ' x + a)3 _ хз a 3 - 6.4.89. lim 6.4.91. lim 6.4.93. lim 1 - 2 6.4.95. lim (л/х2 + 4 - Юх). 6.4.97. lim f—|? f^-qV 6.4.99. lim Щ2&. smzx 6.4.101. lim + 6.4.103. lim • tg 2a;
6.4.104. lim ar<isi"7x. 6.4.105. lim zsin(2). " x>o sm4x ifoo \x/ 6.4.106. lim 1^4. 6.4.107. lim(l + tg*)cts*. x->-0 4—1 x->0 6'4Л09- 6.4.110. lim (fe^)+- 6.4.111. lim K\10 + £/ >o 6.4.112. lim (l + XY. 6.4.113. lim (cos 2x) ^. * + \ t J X+° 6.4.114. lim (y/x2 + 2x + 2 - y/x2 - 2x - 3). Найти односторонние пределы функции f(x) в точке хо: 6.4.115. /(z)=ei,zo = 0. 6.4.116. /(ж) = -Ду, где {ж} = ж — [х] — дробная часть х\ хо = 1. 6.4.117. Доказать эквивалентность следующих функций при х —> 0: 1) екх - 1 - кх; 2) arcsin ax ~ ах; 3) tgx-sinx ~ 1х3; 2 4) lncosx ~ ~%- Найти пределы, заменяя бесконечно малые эквивалентными: 6.4.118. lim1^1^/2). 6.4.119. lim 2sing - 1 х->0 tg Sx x-+0 X 6.4.120. 1шж<аго^^, 6.4.121. x^>o arctg3/2 2x V 6.4.122. lim Vl + *2-l. 6.4.123. lim Vl + xs ^0 1 - COSX x-)-0 X Более сложные задачи 6.4.124. Верно ли, что: 1) если функция f(x) имеет предел в точке #о, & функция д(х) не имеет предела в этой точке, то функция f(x) + g(x) имеет предел в точке xq\ 2) если функции f(x) и д(х) не имеют предела в точке хо, то функция f(x) + ^(x) также не имеет предела в этой точке? 6.4.125. Доказать, что lim sinx не существует. х—>>+оо 273 18-2361
6.4.126. Привести пример функции, которая определена и не имеет пре-^ дела во всех целых точках (х Е Z), но имеет предел во всех остальных точках. 6.4.127. Доказать, что: 1) сумма (разность) бесконечно малых при х —>• хо функций также бесконечно малая при х -»> хо функция; 2) произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию (в частности, произведение двух бесконечно малых) есть бесконечно малая функция. 6.4.128. Показать на примерах, что: 1) частное двух бесконечно малых при х -> хо функций может не быть бесконечно малой функцией; 2) если а(х) — бесконечно малая при х -¥ хо, а /?(х) — бесконечно малая при х —>• xi, то сумма а(х) + /3(х) может нигде не быть бесконечно малой функцией; 3) сумма бесконечно больших функций при х —У хо может быть даже бесконечно малой при х —> xq. 6.4.129. Привести пример функции, бесконечно малой при х ->• 1, х ->■ 2 и х -> 3, но не являющейся бесконечно малой в окрестностях других точек. Найти пределы: 6.4.130. lim Ш£. 6.4.131. lim ж-юо X 6.4.132. lim (cos x)"^. 6.4.133. lim 6.4.135. lim 6.4.136. lim я-Ю X §5. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ Непрерывность функции в точке ^ Функция f(x) называется непрерывной в точке а?о, если она определена в некоторой окрестности этой точки и lim f(x) = X¥X X-¥Xq Если обозначить х — хо = Дх (приращение аргумента), /(х) — /(хо) = = Ду (приращение функции, соответствующее приращению аргумента Дх), то это определение можно записать в эквивалентной форме. 274
^ Функция f(x) называется непрерывной в точке хо, если она определена в некоторой окрестности этой точки и lim Ay = 0. Дя-Ю Таким образом, если функция /(х) непрерывна в точке хо, то бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции. Односторонняя непрерывность ^ Функция f(x) называется непрерывной слева в точке хо, если она определена на некотором полуинтервале (a; хо] и lim /(х) =/(х0). X—>Xq— О =} Функция f(x) называется непрерывной справа в точке хо, если она определена на некотором полуинтервале [хо; Ь) и lim /(*) = /(*„)• х—>>жо+О Функция /(х) непрерывна в точке хо тогда и только тогда, когда она непрерывна слева и справа в этой точке, т. е. когда lim /(х) = lim /(x) = /(x0). x—Ухо— О хИО Непрерывность функции на промежутке ^ Функция f(x) называется непрерывной на данном промежутке (интервале, полуинтервале, отрезке), если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. При этом если функция определена в конце промежутка, то под непрерывностью в этой точке понимается непрерывность справа или слева. В частности, функция f(x) называется непрерывной на отрезке [а; Ь], если она: 1) непрерывна в каждой точке интервала (а; 6); 2) непрерывна справа в точке а; 3) непрерывна слева в точке Ъ. Точки разрыва функции ^ Пусть точка хо принадлежит области определения функции f(x) или является граничной точкой этой области. Точка xq называется точкой разрыва функции /(х), если /(х) не является непрерывной в этой точке. 275
Точки разрыва подразделяются на точки разрыва 1-го рода и 2-го рода. ^ Если в точке хо существуют конечные односторонние пределы lim f(x) и lim fix), но они не равны между собой, или же односторонние пределы равны между собой, а значение функции в этой точке не совпадает с односторонними пределами, то хо называется точкой разрыва 1-го рода. Если в точке хо существует конечный предел lim /(хо), а /(хо) X—¥Xq не определено или lim f(x) ф /(хо), то эта точка называется точкой х-+хо устранимого разрыва. Точки разрыва 1-го рода функции /(х), не являющиеся точками устранимого разрыва, называются точками скачка этой функции. Если хо — точка скачка функции /(х), то разность Д/(хо) = = lim /(x) - lim fix) не равна нулю и называется скачком функции ж->яо+О х-^-хо-0 /(х) в точке хо- ^ Если в точке хо не существует хотя бы один из односторонних пределов lim /(x) или lim /(x), то хо называется точкой x^t-XQ—O х—>хо+О разрыва 2-го рода. Свойства функций, непрерывных в точке Теорема 6.5. Пусть функции /(х) и д(х) непрерывны в точке хо. Тогда функции /(х) ± д[х)\ /(х) • д\х) и f(x)/g{x) (если д(х0) ф 0) также непрерывны в точке xq. В частности, если функция /(х) непрерывна в точке хо, то функция а • /(х), где a Е М, также непрерывна в точке хо- Теорема 6.6 (о непрерывности сложной функции). Пусть функция и(х) непрерывна в точке хо, а функция f(u) непрерывна в точке ио = = u(xq). Тогда сложная функция f(u(x)) непрерывна в точке хо- Непрерывность элементарных функций Теорема 6.7. Все простейшие элементарные функции (с, ха, ах, loga x, sinx, cosx, arcsinx, arccosx) непрерывны в каждой точке своих областей определения. 276
Из этой теоремы, а также из двух предыдущих следует, что также непрерывны в каждой точке своих областей определения все функции, полученные из простейших с помощью конечного числа арифметических операций и операции композиции. Свойства функций, непрерывных на отрезке Теорема 6.8 (Больцано-Коши). Пусть функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [а; 6] и принимает на его концах разные знаки. Тогда найдется хотя бы одна такая точка xq £ (а;Ь), что /(#о) — 0. Теорема 6.9 (о промежуточных значениях). Пусть функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [а;Ь]. Тогда для любого числа С, заключенного между числами /(а) и /(6), найдется такая точка xq е [а;Ь], что f(x0) = С. Теорема 6.10 (1-я теорема Вейерштрасса). Пусть функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [а;Ь]. Тогда эта функция ограничена на этом отрезке. Теорема 6.11 (2-я теорема Вейерштрасса). Пусть функция }(х) определена и непрерывна на отрезке [а; Ь]. Тогда эта функция принимает на отрезке [а;Ь] свои наибольшие и наименьшие значения, т.е. существуют такие точки Х\,Х2 £ [о>]Ь], что для любой точки х Е [а; 6] справедливы неравенства f(xi) ^ f(x) ^ f(x2). 6.5.1. Заполнить таблицу для функции /(#), найдя для каждого приращения Ах в точке хо = 2 соответствующее приращение Ах Ау -1 -0,2 -од -0,01 1 0,2 0,1 0,01 а) /(х) = Зх + 1; 6)/(x) = {X-J ПРИХ 0, при х > 0. 277
6.5.2. 6.5.3. На основании заполненной таблицы сделать предположение о поведении функции в точке хо = 2. О а) При Ах = — 1 имеем х — хо + Ах = 2 — 1 = 1, откуда А?/ = fix) - /(хо) = /(1) - /(2) = 4 - 7 = -3. Аналогично находим и другие значения Ау. В результате получаем таблицу Дх Ду -1 -3 -0,2 -0,6 -0,1 -0,3 -0,01 -0,03 1 3 0,2 0,6 0,1 0,3 0,01 0,03 Как видно из этой таблицы, малым значениям приращения аргумента соответствуют малые значения приращения функции. Поэтому можно сделать предположение о непрерывности данной функции в точке хо = 2. Разумеется, подобные нестрогие рассуждения не могут служить доказательством непрерывности функции в данной точке. б) Производя вычисления как и в пункте а), получаем таблицу Дх Ау -1 -1 -0,2 -0,2 -од -од -0,01 -0,01 1 1 0,2 1 0,1 1 0,01 1 Из таблицы видно, что малые приращения функции соответствуют малым приращениям аргумента лишь слева от точки хо = 2; справа же от этой точки (т. е. при Дх > 0) Ау не уменьшается при уменьшении Дх. Отсюда можно предположить, что хо = 2 — точка разрыва данной функции; при этом /(х) непрерывна слева в этой точке. • Найдя для каждого приращения Дх функции /(х) в точке Хо = — 1 соответствующее приращение Ау, заполнить таблицу Дх Ау -0,5 -од -0,01 0,5 0,1 0,01 На основании заполненной таблицы сделать предположение о поведении функции в точке хо = — 1. ~ при х ф —1, при х = —1; а) /(*) = х + 1 1 б) /(*) = X2. Заполнить таблицу для функции /(х), найдя для каждого приращения Дх аргумента в точке хо = 1,5 соответствующее приращение Ау. Дх Ду -0,6 -0,3 -0,1 -0,01 0,6 0,3 од 0,01 Заполнив таблицу, сделать предположение о поведении функции в данной точке. Построить график функции и указать на 278
нем точки, соответствующие Да; = 0,6, Дх = 0,3, Дх = 0,1 и Дх = 0,01. а)/(х) = |х-1,5|; ч ./ ч I—^гт при ж < 1,5, б) f(x) = ix-l,5 У 2х — 3 при х ^ 1,5. 6.5.4. Пользуясь определением непрерывности функции доказать, что функция у = х2 непрерывна в произвольной точке xq E R. О Пусть Ах — приращение аргумента в точке хо. Найдем соответствующее приращение функции: Ау = f(xo + Ах) - /(so) = (а* + Ах)2 - х2 = = (х2 + 2х0 • А* + (Ах)2) - х2 = 2х0 • Ах + (Дх)2. Теперь, применяя теоремы о пределе суммы и произведения функций, получим: lim Ay = lim [2x0 • Дх + (Дх)21 = = lim 2xo-Ax-h lim (Дх)2=2х0- lim Дх+f lim Дх) =0. Дя->>0 Дж->0 Дж-)-0 \Дж-Я) / Таким образом, lim Ay = 0, что и означает (по определению) Дж->-0 непрерывность данной функции в точке Хо G К. • 6.5.5. Пользуясь определением, доказать непрерывность функции /(х) в каждой точке Хо € R. а) № = с; б) f{x) = х; в)/(х)=х3; г) /(х) = 4х2 - 5х + 2. 6.5.6. Доказать, что функция прих<0 не является непрерывной в точке хо = 0, но непрерывна справа в этой точке. Построить график функции /(х). О Найдем односторонние пределы в точке хо = 0. Слева от точки хо имеем /(х) =0, поэтому lim /(x) = lim 0 = 0. ж-Ю-0 Ж-+0-0 Аналогично, lim f{x) = lim 1 = 1. z-»0+0 z-Ю+О Кроме того, /(х0) = /(0) = 1, откуда следует, что lim /(х)^/(0)= lim f{x). х->0—0 ж-»0+0 279
о" Рис. 77 Это означает, что в точке 0 не выполнены все условия непрерывности функции, но функция f(x) непрерывна справа в этой точке. График функции f(x) изображен на рис. 77. • 6.5.7. Доказать, что функция \х при х ^ 1, 2 при х > 1 не является непрерывной в точке xq = 1, но непрерывна слева в этой точке. Построить график функции f(x). 6.5.8. Доказать, что функция ,, ч f-ж - 3 при х < -2, не является непрерывной в точке хо = —2, но непрерывна спраг ва в этой точке. Построить график функции f(x). 6.5.9. Доказать, что функция у = [х] (см. задачу 6.1.27) непрерывна во всех точках хо ф тг G Z, а во всех точках хо = п G Ъ — непрерывна справа. 6.5.10. Доказать, что функция у = {х} (см. задачу 6.1.27) непрерывна во всех точках хо ф п G Z, а во всех точках хо = п G Ъ — непрерывна справа. 6.5.11. Исследовать на непрерывность и построить график функции X sin x 1 при при при X — X тг > — 7 < тг 2* X < ^ тг 4 2' Найти скачок функции в точках скачка. О Функции у — х, у = sin ж и у = 1 непрерывны на всей числовой прямой, поэтому данная функция может иметь разрывы только в точках, где меняется ее аналитическое выражение, т.е. в точках х\ = —тг и Х2 = 5-. Исследуем функцию на непрерывность в этих точках, для чего найдем соответствующие односторонние пределы и значения функции. 280
В точке х\ — — тг имеем: lim fix) = lim x = — тг, lim f(x) = lim sinx = 0, /(-тг) = -тг. Таким образом, в этой точке т. е. функция имеет разрыв 1-го рода и непрерывна слева. Скачок функции f(x) в точке х\ = —тг равен ДД-тг) = lim f(x) - lim Ж-+-7Г+0 Ж->-7Г- = тт. Аналогично, для точки х^ — 5 получим: lim /(x) = lim sin a: = sin — = 1, lim f(x) = lim 1 = 1, >f+0 z>f+O а значение / ( 5-) не определено. Отсюда следует, что х^ — ^ точка устранимого разрыва для функции f{x). Рис. 78 График функции изображен на рис. 78. • 6.5.12. Исследовать на непрерывность и построить график функции f(x). Найти скачок функции в точках разрыва. {2, если х < —2, л/4-я2, если - 2 ^ х < 2, # — 2, если х > 2; Гх3 + 1, если ж < 1, б) /(ж) = { 2, если К х ^ 2, Зж, если х > 2. 281
6.5.13. Используя только график функции /(х) (рис. 79), указать ее точки разрыва и определить их род. Рис. 79 6.5.14. Установить характер разрыва функции /(х) = "*~о в точке X — 2i хо = 2. О Находим: ,. 2х + 1 2х lim — = -оо, lim — ж->2-0 X - 2 л' z->2+0 X - 2 = -оо, то есть функция в точке хо = 2 не имеет ни одного из односторонних пределов. Отсюда следует, что хо = 2 — точка разрыва 2-го рода. • 6.5.15. Установить характер разрыва функции в точке Хо: 6.5.16. Исследовать на непрерывность функцию /(х) в точке a) f{x) = arctg j-^-p хо = 1; б) f{x) = r-l_r = 3. 6.5.17. Используя свойства непрерывных функций, доказать, что функция fix) = х3 — 5х2 + 7 непрерывна на промежутке (-оо;+оо). О Функции у = х2,у = х3иу = с непрерывны на промежутке (—оо; +оо). Следовательно, данная функция /(х) также непрерывна в каждой точке хо G Е как сумма непрерывных функций у = х3, у = — 5х2 (эта функция непрерывна, так как является произведением непрерывных функций у = -5 и у = х2) и 282
6.5.18. Используя свойства непрерывных функций, доказать, что функция /(х) непрерывна на промежутке (—оо;+оо). в) /(x)=sin5x-e3a;-1; г) /(х) = ^х-2 + cos2 4x. 6.5.19. Найти предел, используя свойства непрерывных функций: .. х2 + 8х - 1 lim о • х->з х — 4 О Данная функция элементарная, поэтому она непрерывна на области определения, т.е. при всех х ф ±2. Следовательно, /(х) непрерывна и в точке х = 3, откуда ,. х2 + 8х-1 З2+ 8-3-1 32 аА ^ lim о :— = -Zo : = ~г = 6,4. • х-+з х2 - 4 З2 - 4 5 6.5.20. Найти пределы, используя свойства непрерывных функций: а) lim x ~~ц4* +5; х->1 X + X б) lim a 'I 9 i 7 ж-)-—2 X + Зх в) lim л/х2 + х - 2; х->-2 г) lim ln(l + cos(x - 1)). 6.5.21. Исследовать функцию у = -?— ОА «г на непрерывность на [X -\- £)\Х — 6) отрезке [а; 6], если а)[а;Ь] = [-1;2]; 6)[а;Ь] = [-5;0]; в)[а;Ь] = [-3;4]. О Данная функция элементарная, поэтому она непрерывна на области определения, т. е. при всех х, не равных —2 и 3. В точке xi = — 2 функция терпит разрыв 2-го рода, так как 1 ,. 1 lim — тг = +оо, lim — г = —оо. х_>_2_о (х + 2)(х - 3) ' *->-2+о (х + 2)(х - 3) В точке Х2 = 3 также разрыв 2-го рода, потому что 1 i.l lim — — = —оо, lim — = +оо. х_>3-о(х + 2)(х-3) ж-^з+о(х + 2)(х-3) Отсюда следует, что данная функция непрерывна на отрезке [—1;2] (так как xi,X2 ^ [—1;2]); на отрезке [—5;0] функция непрерывна всюду, кроме точки —2, в которой терпит разрыв 2-го 283
рода (х\ € [—5;0], хг £ [—5;0]); на отрезке [—3;4] функция имеет две точки разрыва 2-го рода xi = —2, хг = 3, а в остальных точках непрерывна (xi;x2 £ [—3;4]). • 6.5.22. Исследовать функцию /(х) на непрерывность на отрезках [0; 2]; [-3;1];[4;5],если 2> '<*> = FT^ 5)/(*) = 1隣|; 4) f{x) = Vx2 - х - 20. Дополнительные задачи 6.5.23. Доказать, что следующие функции непрерывны в каждой точке своей области определения: а) /0*0 =tgz; б) f{x) = ctgz; в) f(x) = Д-; г) /(*) = >±f. 6.5.24. Исследовать на непрерывность функцию у = |sign#|. Построить график этой функции. Более сложные задачи 6.5.25. Используя определение, доказать непрерывность на (—оо; +оо) следующих функций: а) f(x) = sin ж; б) f(x) = cos я; в)/(*)=е*. 6.5.26. Доказать, что функция Дирихле (см. задачу 6.1.125) разрывна в каждой точке хб! 6.5.27. Привести пример двух разрывных в точке хо функций f{x) и д(х), для которых функция h(x) будет непрерывна в этой точке: в) h{x) = f(x) + д(х); б) h(x) = f(x) ■ д(х). 6.5.28. Привести пример двух функций f(x) и д(х), разрывных в каждой точке х € М, для которых функция h(x) непрерывна на всей действительной оси: a)/l(x) = /(x) + ff(x); б) h(x) = f(x) ■ д(х). 284
6.5.29. Доказать, что функция f(X) [ [ 0, если х = 0. имеет разрыв 2-го рода в точке 0. 6.5.30. Доказать, что функция Г х • sin 1, если х ф О, f(x) = < х ( О, если х — 0. непрерывна на (—оо; +оо). 6.5.31. Пусть функции f(x) и д(х) непрерывны справа (соответственно, слева) в точке хо- Доказать, что функции a) f(x)+g(x); 6)f(x).g(x); в)Пх)/д(х)(д(хо)ф0) также непрерывны справа (соответственно, слева) в точке xq. 6.5.32. Привести пример функции, непрерывной и неограниченной на данном интервале. 6.5.33. Привести пример функции, заданной на отрезке [а; Ь] и неограниченной на нем. 6.5.34. Привести пример непрерывной на некотором множестве функции, которая принимает значения 0 и 2, но не принимает значения 1. 6.5.35. Привести пример функции, непрерывной на каждом из промежутков [0;1) и [1;2], но не являющейся непрерывной на их объединении, т.е. на отрезке [0;2]. 6.5.36. Привести пример функции /(х), непрерывной на интервале (а;Ь), множество значений которой: а) интервал; б) отрезок; в) полуинтервал. 6.5.37. Привести пример функции, которая достигает на данном отрезке наибольшего и наименьшего значений и принимает все промежуточные значения между ними, но не является непрерывной на этом отрезке. 6.5.38. Пусть функция f(x) непрерывна в точке xq. Доказать, что тогда функция f(x) ограничена в некоторой окрестности этой точки. 6.5.39. Доказать, что всякий многочлен третьей степени имеет по крайней мере один действительный корень. 6.5.40. Доказать, что если функция f(x) непрерывна на данном промежутке, то и функция |/(х)| также непрерывна на этом промежутке. 6.5.41. Привести пример функции /(х), разрывной на отрезке [а;Ь], для которой функция |/(#)| непрерывна на этом отрезке. 285
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант 1 Найти пределы: . Х2 _ 3s + 1 о Г л/хТТ-2 х3 — 1 ' z-+3 л/х - 2 - 1 3 Ит Цх-sinx ( я-Ю X • Sill X х-юо\Х — 5. Для данной функции /(а:) требуется: а) найти точки разрыва; б) найти скачок функции в каждой точке разрыва; в) сделать чертеж. {О, х < -я- sins, -тг < х < О 7Г, X ^ 0. Вариант 2 Найти пределы: 1. ит , «;+f ,. 2. lim Г 8 4 2 ит , ;f ,. 2. lim y|^ х-)—2 дГ - X - 8Х - 4 ж-^2 1 - V3 - X о 1. tgх - sinx 3. lini -о 3 . 4. hm ^О X"3 5. Для данной функции /(х) требуется: а) найти точки разрыва; б) найти скачок функции в каждой точке разрыва; в) сделать чертеж. {х + 1, х<0 (х + 1)2, 0<х^2 -х + 4, х>2. Вариант 3 Найти пределы: 1. lim^Tto' x-*i x6 - х2 + Зх - 3 3 Цх + sinx о 2х 286
5. Для данной функции f(x) требуется: а) найти точки разрыва; б) найти скачок функции в каждой точке разрыва; в) сделать чертеж. '-х, х < О Вариант 4 Найти пределы: 3, х>2. 1. li: x- 3. lim х-2\ 2. lim sin За: у/х + 2 - V2 4. цт -2 Ьх* 5. Для данной функции f(x) требуется: а) найти точки разрыва; б) найти скачок функции в каждой точке разрыва; в) сделать чертеж. -2, *<-§ 2sinz, -| < х ^ | 1, х>%.
Глава 7. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ §1. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ Понятие производной ^ Пусть функция у = f(x) определена в некоторой окрестности точки х0. Предел отношения приращения Ау функции в этой точке (если он существует) к приращению Да: аргумента, когда Ах -> О, называется производной функции f(x) в точке xq. Обозначения: f'(xo) или у'{хо) или •* V °' или f'\x=Xo. Таким образом, f{xo) = Шп ^ = lim ДхИ) Ах Дя* Шп ^ = lim Дх-И) Ах Дя-*О Ах Вычисление производной называется дифференцированием функции. Таблица производных 1. (с)' = 0, с = const; 2. (ха)' = а • ха~1 (где aGl); в частности, 3. (ах)' — ах • In а, а > 0; в частности, (ех)' = еж; 4. (loga ж)' = ^Д—, а > 0, о / 1; в частности, (In ж)' = —; 5. (sinx)' = cosx; 6. (cosx)' = — sinx; - -L- 8. 9. (arcsinx)' = y ; 10. (arccosa:)' = / ; 1 - x2 v 1 - x2 , 2; 12. (arcctgz)' = -, 1 2; 1 + ж 1 + я 13. (shx)' = chz; 14. (chx)' = shx; 15. (thx)' = —i-; 16. (cthz)' = —X-. ch x sh a; 288
Основные правила дифференцирования Пусть с — константа, а и(х) и v(x) имеют производные в некоторой uix точке х. Тогда функции u(x)±v(x), с-и(х), u(x) -v(x) и —j-4 (где v(x) ф 0) также имеют производные в этой точке, причем 1. (u±'v)' = u'±i/; 2. (и • v)1 = u'v + ш/, в частности, (си)1 = с-и'; s fuY = u'v-uv' в частности (сУ = _а£ Пусть теперь функция и = ip(x) имеет производную в точке хо, а функция у = f(u) — в точке г*о = </?(яо). Тогда сложная функция у — f({p(x)) также имеет производную в точке а?о, причем у'(х0) =у'(щ) 'u'( Геометрический смысл производной Пусть функция у = f(x) имеет производную в точке xq. Тогда существует касательная к графику этой функции в точке Мо(хо;2/о)> уравнение которой имеет вид У -2/0 = f'(xo)(x-xo). При этом f'(xo) = tg а, где а — угол наклона этой касательной к оси Ох (рис. 80). »=/(*), касательная О' Хо Рис. 80 ^ Прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой и имеет уравнение Если f'(xo) = О (т.е. касательная горизонтальна), то нормаль вертикальна и имеет уравнение х = хо. 289 19-2361
Пусть даны две пересекающиеся в точке Mo(xo,W) кривые у = fi(x) и у = /2(ж), причем обе функции имеют производные в точке xq. Тогда углом между этими кривыми называется угол между касательными к ним, проведенными в точке Mq. Этот угол у можно найти из формулы = /2Ы-/1Ы Логарифмическая производная При нахождении производных от показательно-степенной функции u(x)v^x\ а также других громоздких выражений, допускающих логарифмирование (произведение, частное и извлечение корня), удобно применять логарифмическую производную. ^ Логарифмической производной от функции у — f(x) называется производная от логарифма этой функции: 0..У- £ Используя логарифмическую производную, нетрудно вывести формулу для производной показательно-степенной функции u(x)v^: (uv)' =uv -v' -Inu + u"-1 -u'-v. Производная неявной функции Пусть функция у = у (я), обладающая производной в точке х, задана неявно уравнением F(x,y)=0. (1.1) Тогда производную у'(х) этой функции можно найти, продифференцировав уравнение (1.1) (при этом у считается функцией от х) и разрешая затем полученное уравнение относительно у'. Производные высших порядков ^ Производная f'(x) от функции f(x) называется также производной первого порядка. В свою очередь производная от функции f'(x) называется производной второго порядка от функции f(x) (или второй производной) и обозначается f"{x). Аналогично определяются производная третьего порядка (или третья производная), обозначаемая fnt(x) и т.д. Производная n-го порядка обозначается f^n\x). 290
Производная функций, заданных параметрически Пусть функция у = f(x) определена параметрически функциями х = x(t) и у = y(t). Тогда если функции x(t) и y(t) имеют производные в точке to, причем xr(to) ф О, а функция у = f(x) имеет производную в точке хо = x(to), то эта производная находится по формуле xt{t0) xt Вторая производная у"(х) находится по формуле 7.1.1* Пользуясь определением, найти производную функции y=f(x): 1) У = Зх2; 2) у = sin ж. О 1) Придадим аргументу х приращение Ах. Тогда соответствующее приращение Ду функции будет иметь вид Ay = f(x + Ах) - f{x) = 3(х + Ах)2 - Зх2 = = 3(х2 + 2жДа: + (Ах)2 - х2) = ЗДх(2х + Ах). Отсюда находим предел отношения -г^ в точке х при Ах —> 0: lim %L = lim ЗАХ(2ЛД + Да:) = 3 lim (2х+Дх) = 3-2х = 6х. Ах^О Ах Аж)0 Дж Дя>0 Таким образом, у' ^ (Зх2)' = 6ж. 2) Найдем приращение Ау функции, соответствующее приращению Ах аргумента, используя формулу разности синусов: л ч Л Ах ( Ах\ Ау — sm(x + Ах) — sin х = 2 sin -— • cos I x + —- 1. Отсюда л, Ау 1# ^ ^ hm -— = lim А = lim Ах Ax-)>0 Ax = lim , ЛЛ • lim cos [x + —— = cosx. В последнем равенстве мы воспользовались первым замечательным пределом и непрерывностью cosx. Таким образом, у1 = (sinx)' = cosx. • 291
Пользуясь определением, найти производные функций: 7.1.2. у = Ьх-2. 7.1.3. у = х3. 7.1.4. у = у/х. 7.1.5. у = ±. 7.1.6. Пользуясь основными правилами дифференцирования, найти /'(ж), если: )() ()() О 1) Преобразуем функцию к виду /(х) = 9-аГ2/3-5-5*. Отсюда, используя таблицу производных, получим /'(х) = (9 • аГ2/3 - 5 • 5х)' = (9 • х"2/3)' - (5 • 5х)' = = 9 • (х-2/3)' - 5 • (5*)' = 9 • (-|) ■ x-i-1 - 5 • 5х In5 = = _6х-5/3-5х+11п5. 2) Воспользуемся формулой для производной произведения: /'(x) = [(x4-*)(3tg*-l)]' = = (х4 - x)'(3tgx - 1) + (х4 - x)(3tgx - 1)' = = (4х3 - l)(3tgx - 1) + (х4 - х) ^ COS X Найти производные указанных функций: 7.1.7. j/ = x3-ix2 + 2x-4. 7.1.8. у = 2 О 7.1.9. у = 6х7 + 4х3 - |х. 7.1.10. у = О 7.1.11. y^^-J + J^. 7.1.12. у= 7.1.13. s/ = z^ + 3sinl. 7.1.14. у = 5 • 2х + | ctga:. 7.1.15. 2/ = tgx-ctgx. 7.1.16. 2/ =-lOarctgx + T 7.1.17. у = ж3 log2 ж. 7.1.18. 2/ = (z2+a; + l)(z2 7.1.19. /(*) = i^t-4. 7.1.20. z = (y/j/ + 1) arcsiny. 7.1.21. ц= 2$Г+1- 7.1.22. /( 292
Найти производную данной функции в точке xq: 7.1.23. у = х • arctgz, х0 = 0. 7.1.24. у = х4 + Xs - 175, х0 = 1. 7.1.25. у = 7.1.26. у= У* 1, а?о = 9. 7.1.27. Применяя правило дифференцирования сложной функции, найти производную функции у: 1) у = sin2 х] 2) у = ln(arctg3:r). Q 1) Данная функция является композицией двух имеющих производные функций и = sinx и f(u) = и2. Так как и' = cosx, a f'(u) — 2и, то с учетом правила дифференцирования сложной функции получим: у'(х) = (u2)fx = 2u-u' = 2sinx • cosx = sin2x. 2) Функция In(arctg3x) — композиция функций u=arctg3x и f(u) = lnw, откуда Функция arctg3x, в свою очередь, является композицией двух функций v — Ъх и g(v) = arctgv, поэтому для нахождения ее производной нам придется еще раз применить правило дифференцирования сложной функции: (arctg3x)' = Отсюда окончательно 3 = У> = Найти 7.1.28. 7.1.30. 7.1.32. 7.1.34. 7.1.36. 7.1.38. 7.1.40. производные фут y = cos5x. y = cos3*. y = Vt&- 1 In я' у = ectgx. у = arctg2i. X »= V(l-3x)» 7.1.29. у = 73*"1. 7.1.31. у = (х + 1)100. 7.1.33. у = arcsin «у/ж. 7.1.35. y = lnsinx. 7.1.37. у = arccos(ex). 7.1.39. у = sin9(|). т.1.41. у = arcsin 293
7.1.42. 7.1.44. 7.1.46. 7.1.48. 7.1.50. 7.1.52. 7.1.54. 7.1.56. 7.1.58. у = 1п(я + л/я2 -1). у = х3 • sin(cosa;). у = log6sin4x. | + cos4|. _ х 7.1.43. t/=(l+tg23z).e-i. 7.1.45. 2/=tg4z+| tg3 4x4-1 tg5 4s. 7.1.47. у = 3*2 • л/х3 - Ъх. 7.1.49. у = cos * " ^ 7.1.51. 2/=а 7 1 ^Ч 1/ — ^sh^ 5ж • • J..OO. 7/ — ^ 7.1.55. у = arccos у/х 4- Vx - ; — sm a: cos2 l + tgx +I' Используя логарифмическую производную, найти производные функций: l)y = xainx; 2) (х - I)3 • VJT2 О 1) Прологарифмируем обе части равенства 2/ = xsinx. Тогда In у = In xsm x, т. е. In у — sin a: • In x. Теперь продифференцируем последнее равенство, при этом в левой части используем производную сложной функции, а в правой — производную произведения: (Inу)1 = (sinx • lnx)', т.е. ^- = (sinx)'lnx 4- si / . У или V- = cos# -lnx+ £И1£. У ( х \ Отсюда у1 = ylcosx • \пх 4- ^^) ) Х ' или, учитывая, что у = V х / 2) Непосредственное дифференцирование данной дроби привело бы к громоздким вычислениям, зато применение логарифмической производной позволяет найти ответ без труда: Отсюда, используя формулы для логарифма произведения, частного и степени, получим: In у = 1п(х - I)3 + \п(х + 2)1/2 - Ы(х + 1)2/3, In у = 31п(ж - 1) + i ln(x + 2) - 21п(ж + 1). 294
Осталось продифференцировать обе части полученного равенства: (In у)' = [3 ln(z - 1) + i ln(* + 2) - | ln(z + 1)]' или • 3 у х-1 2(х + 2) откуда / _ / О -j- ^ \ т.е. = (s-l)8yST2/ 3 1 _ 2 ч У (ж +1)2 Var-1 2(x + 2) 3(ж + 1)/' '(* + 1)2 Найти производные: 7.1.59. y = z*. 7.1.60. у = (ж — 3) V^ ~г о) 7.1.63. y = (tgx)cosa!. 7л>в4ш у= (l-x^-cos6^ 7.1.65. Найти производную неявно заданной функции у: х3+у3 = sin(x-2y). О Дифференцируя обе части уравнения и учитывая, что у — есть функция от х (поэтому, например, (у3)'х = Зу2 • у'), получим: Зх2 + Зу2 • у' = cos(z - 2у)(1 - 2у') или ох т^ оу у — соь^х — "У) — ^У соь^х — ^У/« Отсюда находим у': или 2/'(32/2 + 2cos(z - 22/)) = cos(z - 2у) - Зх2, , _ cos(x - 2у) - Зх2 Найти производную функции у, заданной неявно: 7.1.66. е'У - cos(x2 + 2/2) = 0. 7.1.67. 4 + а2 7.1.68. х2+у2 = 1п^ + 7. 7.1.69. х 295
7.1.70. х4-у4 = х2у2. 7.1.71. ey = е- ху. Найти у1 в точке (0; 1). 7.1.72. Найти производную у'{х) от следующей функции, заданной параметрически: ж = 2 cost, t/ = 3sin£. О Производная функции у (х) находится по формуле у'(х) = { откуда в нашем случае , (Ssint)' Scost y{x) = = = Найти у'{х) для заданных параметрически функций у = у(х): 7.1.73. х = t3 + t, у = t2 + t + 1. 7.1.74. x = t - sin*, 2/ = 1 - cos*. 7.1.75. x = e*sin£, у = e*cos£. 7.1.76. x = sin21, у = cos2 t. 7.1.77. x = bcht, y = 4sht. 7.1.78. 1) Написать уравнения касательной и нормали к параболе у2 = = 4# в точке М(1; 2). 2) Найти точки, в которых касательная к графику гиперболы у = — параллельна прямой у = — \х + 3. X 4 3) Найти угол, под которым пересекаются кривые » = 5 и х2-у2 = 12. О 1) Найдем у'(х) как производную неявной функции: (у2)1 = = (4ж)', т.е. 2уу' = 4, откуда у1 = -. Значит, у'{х0) — |/'(1) = 1. Отсюда получаем уравнение касательной в точке М: у — 2 = х — 1, т. е. у — х + 1- Теперь найдем уравнение нормали: у — 2 = — (х — 1), т.е. 2/ = -я + 3. 2) Угловой коэффициент данной прямой равен — 4, поэтому производная к кривой в искомой точке xq также равна —4: У'Ы = -\, т.е. --^ = -1, откуда ж2 = 4, или а: = ±2. 3) Сначала найдем точку пересечения кривых, для чего подставим у = - во второе уравнение: х2 — (-1 =12, или * — ^ = 12, где t — х2. Решая последнее уравнение, найдем 296
t = 16, откуда x = ±4, у = ±2. Таким образом, имеем 2 точки пересечения Mi(4; 2) и М2(-4;-2). Найдем угол ipi пересечения кривых в точке Mi, предварительно вычислив у[ (4) и у2 (4) из уравнений у\ = - и х2 - у\ = 12: »)' = 12' - у»)' = 12 Теперь окончательно найдем Поскольку знаменатель дроби обратился в ноль, то это означает, ЧТО Ц>1 = тр Аналогично находим угол ^2 = ^ во второй точке пересечения данных кривых. • Найти уравнения касательной и нормали к данной кривой в точке х$: 7.1.79. у = ех, х0 = 0. 7.1.80. у = sinх, х0 = ?. 7.1.81. В какой точке касательная к кривой у = \пх параллельна прямой: а) у = 2х + 5; б) у = х + V3? 7.1.82. Найти углы, под которыми пересекаются кривые у2 = 2х и х2+у2 = 8. 7.1.83. Найти: 1) /'"(ж), mef(x) = sinSx; 2) у^д. для функции у = у(х), заданной параметрически х = t2, y = t*. О 1) Находим первую производную: f(x) = (sin За:)' = 3cos3x. Отсюда получим вторую производную — f"{x) = (3cos3x)' = -9sin3z, а затем и искомую третью: f"'(x) = (-9sin3x); = -27cos3x. 2) Воспользуемся формулой // _ xt • У и ~ V't' xtt Ухх " (4)3 ' 297
откуда „ _ (г2)7 • (г3)" - (г3)' ■ (t2)" _ 2t- et - з*2 ■ 2 _ ы2 _ з Ухх~ [(*2)']3 " (2*)3 ~8*3~4**# Найти производные указанных порядков для следующих функций: 7.1.84. у = tg3x, у" =? 7.1.85. у = -х • cosx, у" =? 7.1.86. у = In2 х, у" =? 7.1.87. у = х • In я, у'" =? 7.1.88. у = е2х, </у) =? 7.1.89. у = 1п(1 + ж), ум =? 7.1.90. х = t3, ?/ = *2, 2/^ =? 7.1.91. х = cost, у = sint, 2/^х =? Дополнительные задачи Пользуясь определением, найти производные следующих функций: 7.1.92. у = -4. 7.1.93. у = е*. 7.1.94. y = bts-2t + 7. 7.1.95. /(ft) = -Л—. 1г + 1 Найти f'(xo) no определению производной: 7.1.96. /(х) = 4х2 - Зх + 8, хо = 1.7.1.97. /(х) = cos 2х, х0 = 0. Найти производные функций: 7.1.98. у = Ьу/х+Ц- -£-. 7.1.99. 2/ = Юж X "^ X •*/ 7.1.100. у = 2ctgx-3sinx. 7.1.101. 2/ = arctgx + 7 • ех. 7.1.102. 2/ = 19x-8arcsinx. 7.1.103. у = (х2 - 1)(х3 +х). 7.1.104. <р(а) = 3arcsina — 4arccosa 7.1.105. f(t) = —Ц^-. 7.1.106. 2/ = 3sin2x-lgx + 7.1.107. у = (I)* - ^ + 4-. 7.1.108. , = J± 7.1.109. г/ = (х + 1)(х + 2)(а; + 3). 7.1.110. у = (х2-1)(х2-3)(х2-5). 7.1.111. /(х) = ^f^- 7.1.112. у = 7.1.113. j/ = N/i(x5 + N/5-2). 7.1.114. j/= 298
Найти производную данной функции в точке хо: 7.1.115. f(x) = -£rr,x0 = l. X т 1 7.1.116. /(х) = 4х + 6^/х, xo = 8. 7.1.117. /(х) =х2 + 3sinx-7rx, х0 = £. 7.1.118. /(х) = е*+1 • (4х - 5), х0 = In2. Найти производные функций: 7.1.119. 2/ = 10*2+1. 7.1.121. t/ = ch4|. 7.1.123. у = cos4 x — sin4 x. 7.1.125. y=i I 7.1.127. x = ln4sin3£. 7.1.129. y = arcsin x 7.1.120. ?/ = tg4x. 7.1.122. 2/ = ln(5x3-x). 7.1.124. y = V4-7x2. 7.1.126. у = (sin3x - cos3x)2. 7.1.128. /(ft) = axctg>//i. 7ЛЛЗ°- 2/ = 7.1.131. y = X — 7.1.132. j/ = sh(ln(tg2x)). 7.1.133. у = xarcsinx +л/1-х2. 7.1.134. 2/ = 3sin3 2x+4 sin 2x. 7.1.136. у = arcsin \J\ — x2. 7.1.138. y = 7.1.140. y = 7.1.142. y= 7Л.144. /(, 7.1.143. y = 7.1.145. f{x) = Vх2'1 + arctg ±. X X 7.1.146. , = 2-х 299
Найти производные функций, используя логарифмическую производную: 7.1.148. j/ = xarct«*. 7.1.149. у = {х2 7.1.152. у = 3х - х5 • ч/ж4 + х. 7.1.153. f(t) = Найти производную функции у, заданной неявно: 7.1.154. у/х + у/у = у/Е. 7.1.155. х2 + Ъу2 - Аху + 10 = 0. 7.1.156. arcsin — = ylnx. 7.1.157. arctgt/ = х2у. у 7.1.158. хУ -ух = 1. 7.1.159. х2 + t/2 = 4. Найти 2/' в точке (-л/2; \/2). Найти у'(х) для заданных параметрически функций у = у(х): 7.1.160. x = t3,y = St. 7.1.161. х = cos31, у = sin3 t. 7.1.162. x = Ш:, у = ^j-l. 7.1.163. x = t - arctg*, у = ^ + l. Найти уравнения касательной и нормали к данной кривой в данной точке: 7.1.164. у = х3,х0 = -2. 7.1.165. ж2+з/2=4, М0 = (1;л/3). 7.1.166. у = 2х — х2 в точках пересечения с осью Ох. 7.1.167. x = t2,y = t3,t0 =2. 7.1.168. В какой точке касательная к параболе —х2 + 4х — 6 наклонена к оси абсцисс под углом а) 0°; б) 45°? Найти угол между кривыми: 7.1.169. у = х3 + Зх2 + 2х и у = -Ъх - 5. 7.1.170. у = sin х и у = cos я, 0 ^ х ^ тг. Найти производные указанных порядков для следующих функций: 7.1.171. у = In cos х, у" =? 7.1.172. у = sin2 x, ?/" =? 7.1.173. у = 5*, у" =? 7.1.174. у = ^^j, у" =? 300
7.1.175. f{x) = xex, f"(x) =? 7.1.176. г(ф) = cos</>, rVv\ip) =? 7.1.177. у = In ж, y(n> =? 7.1.178. z=cos3*, y=sin3t, y%x = ? 7.1.179. x = e3t,y = e5t,yZx=? Более сложные задачи 7.1.180. Доказать, что: 1) производная четной функции — нечетная функция; 2) производная нечетной функции — четная функция. 7.1.181. Пусть функция f(x) — периодическая с периодом Т. Доказать, что /'(#) (если она существует) также периодическая функция с периодом Т. 7.1.182. Доказать, что функция у = \х\ не имеет производной в точке Xq = 0. 7.1.183*. Построить пример функции, непрерывной на всей действительной прямой и имеющей производную всюду, кроме точек 1 и 2. Рис. 81 7.1.184. Исходя из графика функции (рис. 81), указать точки, в которых функция не имеет производной или разрывна. 7.1.185. Дифференцируя данные тригонометрические тождества получить соответственно формулы для cos2x, cos3x и cos(x + a), а = const: 1) sin2x = 2 sin x cos х; 2) sin Зх = 3 cos2 x sin x — sin3 x; 3) sin(x + a) = sin x cos a + cos x sin a. 7.1.186. Доказать, что: 1) (ax)W =a*lnna; 2) (si 3) 301
7.1.187. Доказать частный случай (при п = 2) формулы Лейбница для второй производной произведения: если и(х) и v(х) имеют вторые производные, то 7.1.188. Верно ли, что если функция f(x) имеет производную в точке #о, а функция д(х) — не имеет, то функция f(x)g(x) также не имеет производной в точке xq ? §2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ Понятие дифференциала ^ Пусть функция у = f(x) определена в некоторой окрестности точки хо. Тогда если существует такое число А, что приращение Ау этой функции в точке хо, соответствующее приращению Ах аргумента, представимо в виде: Ау = А • Ах + а{Ах) • Дя, (2.1) где lim а(Ах) = О, то функция f(x) называется дифференци- Аж->0 руемой в точке xq. При этом главная, линейная относительно Ах, часть этого приращения, т.е. А* Да:, называется дифференциалом функции в точке Хо и обозначается dy или df(xo). Нетрудно показать (положив у = х в формуле (2.1)), что dx = Ах. Функция f(x) дифференцируема в точке xq тогда и только тогда, когда в этой точке существует конечная производная /'(а?о); при этом А = /'(а?о). Поэтому df(xo) = f'(xo)dx, или, если f'(x) существует на данном интервале (а; 6), то dy = f'(x)dx, х е (а; Ь). Отсюда f'{x) = -Д, т.е. производная функции у = f(x) в точке х равна отношению дифференциала этой функции в данной точке к дифференциалу независимой переменной. Если приращение Ах аргумента х близко к нулю (т. е. достаточно мало), то приращение Ау функции приближенно равно ее дифференциалу, т.е. Ay « dy, откуда f(x0 + Ах) « f(x0) + f'(xo)Ax. df(xo) Последняя формула удобна для приближенного вычисления значения функции f(x) в точке Хо + Да: по известному значению этой функции и ее производной в точке xq. 302
Геометрический смысл и свойства дифференциала Геометрически (рис. 82) приращение Ау функции f(x) в точке х — есть приращение ординаты точки на кривой (Ау = АС), а дифференциал dy функции в этой точке — приращение ординаты соответствующей точки на касательной (dy = АВ). У О х+Ах Рис. 82 Пусть и(х) и v(x) — некоторые функции, дифференцируемые в точке х. Тогда: 1. dC = 0, где С — константа. 2. d(au) = а • du, где а — константа. 3. d(u ±v) = du± dv. 4. d(u • v) = udv 4- vdu. 6. Инвариантность формы дифференциала. Если у = f(u(x)) — сложная функция, то df (и) = J'(u) du, или dy = y'u- du, т. е. форма дифференциала не меняется (инвариантна) независимо от того, рассматривается у как функция независимой переменной х или зависимой переменной и. Дифференциалы высших порядков Пусть функция у = f(x) дифференцируема на интервале (а, Ь). Тогда, как известно, в каждой точке этого интервала определен дифференциал dy = f'(x)dx функции f(x), называемый также дифференциалом первого порядка (или первым дифференциалом). ^ Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) от функции у = f(x) в точке х G (а, Ь) называется дифференциал от дифференциала первого порядка функции f(x) в этой точке. зоз
Дифференциал второго порядка обозначается сРу или d?f(x). Таким образом, dPy = d(dy). Учитывая, что dy = f'(x) dx, где dx — не зависящая от х константа, получим d2y = f"(x)(dx)2, или, более кратко, d2y = f"(x)dx2. Аналогично определяются дифференциалы третьего и более высоких порядков: d3y = d(d?y), dAy = d(d3y),... В общем случае, дифференциалом п-го порядка от функции f(x) в точке х называется дифференциал от дифференциала (п — 1)-го порядка функции f(x) в этой точке: сГу = й{<Г-1у), т.е. dny = f(n\x)(dx)n, или, более кратко, dny = f^n\x)dxn. Отсюда следует, что /(»)(») = ^|, в частности f"(x) = ^|. ах cLx Заметим, что для дифференциалов высших порядков свойство инвариантности (как для дифференциалов первого порядка) не имеет места. 7.2.1. Найти дифференциал функции У = ех3. О Так как dy = y'dx> то в данном случае dy = (ех ) dx = = 3x2-ex*dx. • Найти дифференциал функции: 7.2.2. у = arctg у/х. 7.2.3. у = (х3 - х) tg x. 7.2.4. y = x2lnx. 7.2.5. у = \~2 . х + 1 7.2.6. Найти приращение и дифференциал функции у = х2 — Зх + 1 в точке хо = 2, если Ах = 0,1. О Сначала найдем приращение Ау в общем виде: Ау = у(х + Ах) - у(х) = = [(х + Дх)2 - 3(х + Ах) + 1] - (х2 - Зж + 1) = = х2 + 2жДя + (Ах)2 -Зх- ЗАх + 1-х2+Зх-1 = = 2хДх - ЗДх + (Ах)2 = (2х - 3)Ах + (Дх)2. Из полученного выражения для приращения Ау видно, что его линейная часть в произвольной точке хо равна (2хо — 3)Дх. Тогда по определению дифференциал данной функции будет равен dy = (2х — 3)Дх, или, в более привычной записи, dy = = (2х - S)dx. 304
Второе слагаемое в полученной записи для Ау, т.е. (Дх)2, есть бесконечно малая более высокого порядка, чем первое слагаемое. Заметим, что можно найти dy и сразу (без вычисления Ау) по формуле dy — y'dx, откуда dy = (x2 — 3x+l)'dx=(2x — 3)dx. Теперь найдем Ау и dy в точке хо = 2, если Ах = 0,1: Ау = (2 • 2 - 3) • 0,1 + (0,1)2 = 0,1 + 0,01 = 0,11, dy = 0,1. • Найти приращение и дифференциал функции у — у[х) в общем виде, а также в точке х$, если известно Ах: 7.2.7. у = х3 + 2х, х0 = 1, Ах = 0,01. 7.2.8. у = х2 + х - 5, х0 = 0, Ах = 0,5. 7.2.9. Вычислить приближенно: 1) In 1,02; / О 1) Воспользуемся приближенной формулой f(x0 + Ах) к /(х0) + f(xo)Ax. Тогда, подставляя f(x) = lnx, получим ln(x0 + Дх) та 1пх0 Н • Дх. х0 Полагая здесь хо = 1, Дх = 0,02, найдем In 1,02 та In 1 + i • 0,02 = 0,02. Таким образом, In 1,02 та 0,02. 2) Учитывая, что /(х) = у/х, xq = 25, Дх = —1, получим 1 + Дх та л/xq + — • Дх, т. е. \/24 та л/25 + —у= • (-1) = 4,9. Окончательно л/24 «4,9. Вычислить приближенно: 7.2.10. S/26. 7.2.11. tg44°. 7.2.12. (1,02)5. 7.2.13. Найти dy, сРу и d?y для функции у = у/х. О Поскольку dx 20 - 2361 dy = y'dx = ( Vx)'dx = -x- * '6 S/X* 305
то „__Jdx2 3 99 Отсюда 27 27z2 To же самое можно было найти иначе, предварительно отыскав производные у', у" и у"1, а затем воспользоваться формулами: Найти dy и dry: 7.2.14. у = (х2 + I)3. 7.2.15. у = sin2 x. Дополнительные задачи Найти дифференциалы функций: 7.2.16. y = 2C0SX. 7.2.17. v = ln3sinx. 7.2.18. f(x) = tffi=i. 7.2.19. S(t) = т4=-. Найти приращение и дифференциал функции у в общем виде, а также в точке xq, если известно Ах: 7.2.20. у = 4х2 + 1, хо = 1, Дж = 0,02. 7.2.21. 2/ = |я|, яо = Ю, Дж = -0,1. Вычислить приближенно: 7.2.22. sin 29°. 7.2.23. arctgl,05. 7.2.24. (0,99)4. Найти dy и dPy: 7.2.25. 2/ = аЧ4. 7.2.26. у = ж(1пж-1). х + 1 7.2.27. Найти dy, d?y и dsy, где у = хп. 306
Более сложные задачи 7.2.28. Используя дифференциал, доказать приближенную формулу (1 + а)п « 1 + п • а. 7.2.29. Используя определение, доказать, что функция у = \х\ не является дифференцируемой в точке xq = 0. 7.2.30. Вычислить приближенно: при х = 1,04; х 7.2.31. Показать, что если у = f(u(x)), то dPy ф y'^du2, т.е. свойство инвариантности для дифференциалов второго порядка не выполняется. §3. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ. ПРАВИЛА ЛОПИТАЛЯ. ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА Теоремы о среднем Теорема 7.1 (Ролля). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a; ft], дифференцируема на интервале (а; ft) и принимает на концах отрезка равные значения (т.е. /(а) = f(b)). Тогда существует по крайней мере одна точка с на интервале (a; ft), для которой /'(с) = 0. Теорема 7.2 (Лагранжа). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь] и дифференцируема на интервале (а;&). Тогда на интервале (а;Ь) найдется такая точка с, что f(b)-f(a)=f(c)(b-a). Теорема 7.3 (Коши). Пусть функции f(x) и д(х) непрерывны на отрезке [а;Ь] и дифференцируемы на интервале (а; 6), причем д'(х) ф 0 для всех х е (а;Ь). Тогда найдется такая точка с на этом интервале, ЧТ° f(b) - /(а) = № д(Ь)-д(а) 307 20*
Правила Лопиталя Первое правило Лопиталя. Пусть функции /(х) и д(х) дифференцируемы в некоторой окрестности U(xo) точки хо, кроме, быть может, самой этой точки, и д'(х) ф О для всех х Е U(xq), x ф xq. Тогда если lim /(х) = lim g(x) = 0 (в этом случае говорят, что в точке хо имеет X—>Xq X^Xq место неопределенность вида У) и существует lim ,) с, то существует и х->х0 а (х) и lim Ц-4-, причем х-+хо д{х) = Ига XJ.J.XX . . XJ.X11 • . . . х^-хо д(х) х^хо д (х) Второе правило Лопиталя. Пусть функции f(x) и д(х) дифференцируемы в некоторой окрестности U(xo) точки хо, кроме, быть может, самой этой точки, и д'(х) ф 0 для Vx G f/(xo), х ф xq. Тогда если lim f(x) = lim g(x) = оо (т.е. в точке xq имеет место неопределенность х>х х->0 вида —) и существует lim ,; (, то существует и lim Ц-4-, причем оо7 х-+хо д (х) х->х0 дух) д[х) х-+х0 д Если отношение *f\ ! в свою очередь представляет собой неопреде- 9 \х) ленность вида У или —, то правило Лопиталя (при условии выполнения соответствующих ограничений на функции /'(х) и <7;(х)) можно применять второй раа и т.д. Формула Тейлора ^ Пусть функция /(х) имеет в некоторой окрестности точки хо производные /', /",.••> f(n\ Тогда для любой точки х из этой окрестности имеет место равенство fix) = /(хо) + ^-(х - хо) + £&±(х - хо)2 + ... /(п) \21(х - хо)п + о({х - хо)п) при х -4 х0. Эта формула называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Последнее слагаемое (т. е. остаточный член) в формуле Тейлора ино- f(n+l)/c\ гда записывают в виде ^— Л/ (х~хо)п (в этом случае надо дополни- 308
хельно предполагать существование f^n+1\x) в данной окрестности точки #о)- Соответствующая формула тогда называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. В случае хо = 0 формула Тейлора принимает вид и называется формулой Маклорена. Полезно помнить разложения по формуле Маклорена некоторых важнейших элементарных функций: ех = 1 + х + ^- + --- + ^г+о(хп), 1\ п\ т2 т4 £_ + £. + . г2 г3 о п /с». 7.3.1. Проверить, справедлива ли теорема Ролля для функции f(x) = = х2 — 2х на отрезке [—1; 3], найти соответствующее значение с (если оно существует). О Функция непрерывна на отрезке [—1;3] и дифференцируема на интервале (—1; 3). Кроме того, /(—1) = /(3) = 3, поэтому теорема Ролля на данном отрезке для данной функции справедлива. Найдем значение с G (—1;3), для которого /'(с) = 0, из равенства (ж2 — 2х)' = 0, т. е. 2х - 2 = 0, откуда х = 1. Поскольку 1 G (—1;3), то с = 1 — искомое значение. • Проверить справедливость теоремы Ролля для функции f(x) на данном отрезке, найти соответствующее значение с (если оно существует): 7.3.2. f(x) = \х\ - 2, [-2; 2]. 7.3.3. f(x) = -х2 + Ах - 3, [0; 4]. 7.3.4. /(*)=«»*, [f;4f]- 7.3.5. f{x) = 309
Проверить справедливость теоремы Лагранжа для функции f(x) на данном отрезке, найти соответствующее значение с (если оно существует): 7.3.6. /(*)=е*,[0;1]. 7.5.7. /M = J,[i;i]. 7.3.8. /(ж)=ф-1|, [0;3]. Найти точку, в которой касательная к кривой у = f(x) параллельна хорде, соединяющей точки А и В на этой кривой: 7.3.9. у = х2 — 4х, А(1; -3); Б(5; 5). Сделать поясняющий рисунок. 7.3.10. у = ]пх, А(1;0); В(е;1). 7.3.11. Найти пределы, используя правило Лопиталя: 1) Ит Insin3x ' х^0 \пх 2) lim X — Sin X 1) Поскольку In sin Зх и In x стремятся к бесконечности при 00 Применяя правило Лопиталя, получим х -» 0, то в данном случае имеем неопределенность вида —. .. Insin3x .. (Insin3z) .. lim — = hm — -,— = hm I (I ) o = hm — -,— = hm — = In а: я-и) (In x) x-^o sm3x = 3 lim cos Sx • lim . . Q ч = 3 • . q = 1- sm3i jjm sm3x v x ' x x В последнем равенстве мы воспользовались первым замечательным пределом. 2) lim х3 = lim (я - sin я) = 0, поэтому имеем неопределен- ж-Ю ж-»0 ность вида У. Воспользуемся правилом Лопиталя: х3 (x3Y Зх2 г От lim = lim rj = lim = - =z x^o x — sinx x-+o (x - sinan x-j-ol-cosx LOJ я — sinx ж-+о (х - sinx)' x-j-ol-cosx LoJ (3x2)' 6x o 1 = lim —^ ^-—7 = lim = 6 :— = 6. x-+o (1 — cosx) x-+o sinx lim Шк^- +o x x В этом примере правило Лопиталя применялось дважды. Найти пределы: 7.3.12. lim ^ + o"1S- 7-ЗЛЗ- х^2 X3 - Sx - 2 7.3.14. Um^r^l. 7.3.15. lim х->0 Sin Ж х-^+оо 310
7.3.16. lim 4- Ж-++00 x 7.3.18. Найти пределы: 1) lim xlnx; 7 жю+о 2) limf-r^ ЦУ О 1) Здесь имеет место неопределенность вида 0 • оо, которую мы раскроем, предварительно сведя ее к неопределенности —; а далее воспользуемся правилом Лопиталя: lnx j; • In x = lim ж-»0+0 lim x • In x = lim ттг = — = ;-»0+0 z->>0+0 (i) LooJ = lim %^= lim 7-Цт = - lim a? = 0. я->0+0 (IV 00 (Д) 2) Имеем неопределенность сю - оо. Сведем ее к неопределенности У, приведя дроби к общему знаменателю: r / 1 1 \ ,. z-l-lnz rOi lim I 1 = lim — = - = . (x — 1 — lnx)' . 1 — 7 rOi = lim -rz ——ry = lim *^rr = — = ljlna:) ar-^ilnx+^j^ LOJ Правило Лопиталя в этом примере применялось дважды. • Найти пределы: 7.3.19. Jan^x2-e-x. 7.3.20. lim (± - -^-\ 7.3.21. \m^x(ei-l). 7.3.22. Um^-L-y - j^y). 7.3.23. Найти пределы: 1) lim хж; 2) lim(cosx)i. О 1) В этом случае имеем неопределенность вида 0°. Неопределенности этого, вида, также как и неопределенности вида 1°°, оо°, можно найти, предварительно вычислив предел от логарифма функции. Итак, обозначим у = хх. Тогда lim In у = liin ln(#x) = lim x In x = 0 311
(задача 7.3.18). Таким образом, In lim у = lim \ny = О, откуда lim у = 1, т.е. lim xx = 1. 2) Здесь неопределенность вида 1°°. Обозначив у = (cos x) •, найдем lim Iny: т 1 г 1 / \^ г In(cosz) гОт lim In w = lim ln(cosz) * = lim = - = (ln(cosaO)' = lim -—-—-.—— = hm(-tgx) = 0. z-X) Отсюда In lim у = lim \ny = 0, т.е. lim у = lim (cos x)* = 1. s->-0 z-+0 x^-0 x->0 Найти пределы, используя правило Лопиталя: 7.3.24. lim я?*«ж. 7.3.25. lim (cos 2x) *. 7.3.26. lim ИЛ*2. 7.3.27. Ит 7.3.28. Разложить многочлен Р(х) = х4 - х3 + 5я2 - 4х +1 по степеням х — 1, используя формулу Тейлора. О Так как р(п)(х) = 0 при n ^ 5, то в разложении данного многочлена по формуле Тейлора будут только слагаемые вида — 1 j (х — хо), где к ^ 4. Поэтому Учитывая, что Р(1) = 2, Р'(1) = 7, Р"(1) = 16, Pw(l) = 18, p(/v")(l) = 24, получим окончательно Р(1) = 2 + 7{х - 1) + 8(х - I)2 + 3(ж - I)3 + {x- 1)4. • Разложить многочлен Р(х) по степеням х — х$, если 7.3.29. Р(х) =х3+ 4х2 - 6х - 8, х0 = -1. 7.3.30. Р(х) = хъ - Зх4 + 7х + 2, х0 = 2. 7.3.31. 1) Разложить по формуле Тейлора функцию /(ж) = -1 в точке ж0 = 1; 2) Разложить по формуле Маклорена функцию f(x) = arctgx до о(х3). 312
О 1) Сначала найдем формулу для n-го члена разложения. Так как /'(1) = -1!, /"(1) = 2!, /'"(1) = -3!, = 4!, .... /(n)m то *■—^-(x - l)n = (-l)n • (x - l)n. Отсюда - = 1 - (х - 1) + (х - I)2 - {х - I)3 + ... X • • • + (-l)n • (x - l)n + o((x - l)n), x -> x0. 2) Необходимо представить данную функцию в виде arctg'(O) arctg"(0) 2 arctgx = arctg(O) 1! 2! arctg'"( Учитывая, что arctg(O) = 0, arctg'(O) = -2х arctg"(O) = х=0 ,2 = 1, = 0, arctgm(0) = 2(Зх2-1) х=0 получим требуемое разложение: X / ч \ arctgx = х —— Н- о(х ). Разложить по формуле Тейлора функцию f(x) в точке 7.3.32. f{x) = 2х, х0 = log2 3. 7.3.33. f(x) = & ж=0 х0 = 1. Разлоэюить по формуле Маклорена функцию f(x) до о(хк), где 7.3.34. f(x) = е2"*, к = 4. 7.3.35. f(x) = arcsinx, к = 3. Дополнительные задачи Проверить, выполняется ли теорема Ролля для функции f(x) на данном отрезке, найти соответствующее значение с (если оно существует): 7.3.36. f(x) = х2, [1; 3]. 7.3.37. f(x) = x3 - 16z, [-4;4]. 7.3.38. f(x) = sin I, f-±; 1]. 7.3.39. f(x) =x- [x], [-3; -1]. 313
Проверить справедливость теоремы Лагранжа для функции f(x) на данном отрезке, найти соответствующее значение с (если оно существует): 7.3.40. f{x) = х3, [-3;0]. 7.3.41. f{x) = ^, [-2;1]. 7.3.42. f{x)=\nx, [e;e2]. Найти точку М, в которой касательная к кривой у = f(x) параллельно хорде АВ, если: 7.3.43. у = у/х, А(1] 1); В(4; 2). Сделать поясняющий чертеж. 7.3.44. у = -х2 + х, А(0; 0); Я(2; -2). Найти пределы, используя правило Лопиталя: 7.3.45. lim *»-;* + ;. 7.3.46. lim 20 4 + 3 ю 7.3.47. limeXrfX. 7.3.48. lim »"**? ~x. o sinza: o x 7.3.49. lim e* Г1. 7.3.50. lim O 2 Г. 7.3.50. lim 1 ^\. . Sin Ж ar^2 ln(x - 2) 7.3.51. lim ^%^. 7.3.52. lim r 3 ^l"x -. + 2х 5х3 + ж2 - 7x + 3 7.3.53. lim x • sin 1. 7-3-54- Km (* " f) *g*- 7.3.55. limxlnctgx. 7.3.56. 7.3.57. lim (ctg2 a - \\. 7.3.58. lim (1 -1—). 7.3.59. lim(ctgx)sin-. e3#60> lim /2 ж-)>О\7Г 7.3.61. lim(l + 2*)i. 7.3.62. 7.3.63. Ит(1-х)1пж. 7.3.64. lim (тг - 2x) x^0V ' x>f0 Разлоэюить многочлен Р(х) по степеням х — xq, если 7.3.65. P(x) = x4 - Зх2 + ж - 1, x0 = -2. 7.3.66. P(x) = x3 + 4x2 + Sx + |, x0 = ^. Разложить по формуле Тейлора функцию f(x) в точке xq: 7.3.67. /(ж) =же*,я0 =-1. 7.3.68. f(x) = ]п(2х - 1), х0 = 1. 314
разложить по формуле Маклорена функцию /(х) до о(хк), где 7.3.69. /(х) = sin2 х, А: = 4. 7.3.70. /(х) = chx, к = 5. 7.3.71. Разложить функцию /(х) = tgx по формуле Маклорена до о(хк), к = 1,2,3 и построить разными цветами в одной системе координат графики /(х) и соответствующих многочленов Тейлора Pi (ж), Р2(ж) иРз(яг). Более сложные задачи 7.3.72. Пусть функция /(х) непрерывна на отрезке [а; Ь] и /(а) = /(Ь). Следует ли из того, что /(х) дифференцируема не во всех точках интервала (а; Ь) (т. е. условия теоремы Ролля не выполнены), что не существует такой точки с G (а; 6), что f'(c) = О? 7.3.73. Используя теорему Лагранжа, доказать, что если функция /(х) непрерывна на отрезке [а; Ь] и имеет положительную (соответственно отрицательную) производную на интервале (а;Ь), то она возрастает (соответственно убывает) на этом отрезке. Используя теорему Лагранжа, доказать неравенства: 7.3.74. ех > 1 + х при х G К. 7.3.75. п(а - Ь)ап~1 <Ьп-ап < п(Ь - а)^"1 при 0 < а < Ь, п = 2,3,... 7.3.76. Пусть х\ и Х2 — корни многочлена -Р(х). Доказать, что у многочлена Р'(х) найдется корень, лежащий между х\ и Х2- 7.3.77. Доказать, что если /'(х) = 0 (Vx G Е), то /(х) = const. 7.3.78. Доказать, что производная функции /(х) = (х2 — 1) • х • (х2 — 4) имеет четыре действительных корня, и найти интервалы, в которых они находятся. Доказать тождества: 7.3.79. arcsinx + arccosx = 5, х G [0; 1]. 7.3.80. arctgx + arcctgx = тт, х > 0. 7.3.81. arctgx + arctgl = |, х > 0. 7.3.82. Показать, что предел lim х ~ cosж не может быть вычислен ^ я-юс X + COSX по правилу Лопиталя. Найти этот предел другим способом. Используя формулу Маклорена, доказать неравенства: 7.3.83. 1п(1 + х) < х при х > 0. я _ 7.3.84. tgx > х + y при 0 < х < ^. 315
7.3.85. С точностью до 0,0001 вычислить sinl°, используя формулу Маклорена. 7.3.86. С точностью до 0,001 вычислить In 1,3, используя формулу Маклорена. Используя формулу Маклорена, вычислить пределы: 7.3.87. lim/S *-asina:. т.3.88. lim ж-И) X 7.3.89. lim^-K14-^. 7.3.90. lim x ~ X 0 z-ю х х~>° х • sin a: §4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ Условия монотонности функции Если функция f(x) дифференцируема на интервале (а; Ь)1 и для любого х из интервала (а; Ь) выполнено неравенство f'(x) > О (/'(#) < 0) то f(x) возрастает (соответственно убывает) на этом интервале. Условие же Vx E (a; b): f'(x) ^ 0 (ff(x) ^ 0) равносильно тому, что функция f(x) не убывает (соответственно, не возрастает) на интервале (а;Ь), т.е. Vxi,X2 Е (а;Ь) из х\ < х2 следует f{x\) ^ f(x2) (соответственно, f(xi) > f(x2)). Экстремумы функции ^ Точка хо называется точкой локального максимума (локального минимума), если существует такая окрестность U(xo) этой окрестности, что (соответственно, f(x) ^ /(х0), Vx Е С/(х0), ж ф х0). Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума, а значения функции в этих точках — экстремумами функции. Теорема 7.4 (Ферма — необходимое условие экстремума). Если хо — точка локального экстремума для функции /(#), то в этой точке производная функции либо равна нулю (/'(#()) = 0), либо не существует. 1В том числе возможны случаи а = — оо, Ь = +оо. 316
^ Точки области определения непрерывной функции /(ж), в которых ее производная не существует или равна нулю, называются критическими точками функции. В силу теоремы Ферма экстремумы функции находятся среди ее критических точек. Первое достаточное условие экстремума. Пусть функция /(х) непрерывна в точке хо и дифференцируема в некоторой ее окрестности (кроме, быть может, самой точки хо). Тогда, если f'{x) меняет знак при переходе через точку хо, то хо — точка локального экстремума (если с «+» на «—» — локальный максимум, если же с «—» на «+» — локальный минимум). Второе достаточное условие экстремума. Пусть функция f(x) имеет в точке хо производные первого и второго порядков. Тогда, если f'(xo) = 0, f"(xo) ф О, то хо — точка локального экстремума. В частности, если f'(xo) = О, f"(xo) < 0, то хо — точка локального максимума, а если /'(хо) = 0, f"(xo) > О, то хо — точка локального минимума. Если a?i, Ж2,..., хп — критические точки непрерывной на отрезке [а; 6] функции /(х), то наибольшее и наименьшее значения этой функции есть соответственно наибольшее и наименьшее из чисел /(a), /(xi), Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба ^ Функция /(х), определенная на интервале (а; Ь), называется выпуклой вверх (выпуклой вниз) на этом интервале, если точки любой дуги графика функции расположены выше (соответственно, ниже) хорды, стягивающей эту дугу (рис. 83,о и б). О = f(x) О = /(*)> Рис. 83 Иногда выпуклость вверх (соответственно, выпуклость вниз) называют просто выпуклостью (соответственно, вогнутостью). График выпуклой вверх (выпуклой вниз) на интервале (а; Ь) функции также называют выпуклым вверх (соответственно, выпуклым вниз). 317
Можно дать другое, эквивалентное, определение выпуклости вверх (выпуклости вниз): функция f(x) называется выпуклой вверх (выпуклой вниз) на интервале (а; 6), если график этой функции при х Е (а; Ь) расположен ниже (соответственно, выше) касательной, проведенной в любой его точке (рис. 84,а и б). = f(x) О о b х Рис. 84 Достаточное условие выпуклости вверх (вниз). Пусть функция f(x) имеет вторую производную на интервале (а; 6). Тогда, если f"(x) ^ О (соответственно, /"(#) ^ 0) на этом интервале, то функция f(x) выпукла вверх (соответственно, выпукла вниз) на нем. ^ Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки хо- Тогда если при переходе через точку х0 функция меняет направление выпуклости, то эта точка называется точкой перегиба функции f(x). Точка (хо, /(#о)) при этом называется точкой перегиба графика функции f(x) (рис. 85,а и б). i о =/(*) Рис. 85 Необходимое условие точки перегиба. Если xq — точка перегиба функции f(x), то в этой точке вторая производная функция либо равна нулю (/"(хо) = 0), либо не существует. ^ Точки, в которых вторая производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками 2-го рода. Точки перегиба следует искать среди критических точек 2-го рода. Первое достаточное условие точки перегиба. Пусть функция f(x) непрерывна в точке хо и имеет вторую производную в некоторой окрест- 318
ности этой точки (кроме, быть может, самой точки х0)- Тогда если при переходе через точку хо вторая производная меняет знак, то хо — точка перегиба. Второе достаточное условие точки перегиба. Пусть в точке хо функция f{x) имеет производные до третьего порядка включительно. Тогда если f (хо) = 0, a f'"(xo) ф О, то хо — точка перегиба этой функции. Асимптоты Прямая линия га называется асимптотой графика функции у = = /(х), если расстояние d от точки М, лежащей на этом графике, до прямой т стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по графику от начала координат в бесконечность (рис. 86 а), б), в))2. О х Ъ б Рис. 86 У1 т О М X в Асимптоты бывают трех видов: вертикальные, наклонные и горизонтальные. ^ Прямая х = хо называется вертикальной асимптотой графика функции /(х), если хотя бы один из односторонних пределов lim f(x) и lim f(x) равен бесконечности (рис. 86 а)). х—^хо-\-О х—>а?о— О ^ Прямая у = kx+Ъ называется наклонной асимптотой графика функции f(x) при х -> +оо (при х -> -оо), если lim (f(x) — х—>+оо — (kx + 6)) =0 (соответственно, lim (f(x) — (kx + b)) = 0) x—>■—oo (рис. 86 6)). Прямая у — kx + b является наклонной асимптотой графика функции f(x) при х -¥ +оо (при х -> —оо) тогда и только тогда, когда существуют пределы lim Х-++00 X =ки lim [/(я?) -кх] = 2Приведенное здесь наглядное описание асимптоты не является, вообще говоря, строгим математическим определением. 319
(соответственно, lim ^ = к и lim [f(x) - кх] = Ъ). Частным случаем наклонной асимптоты (при А: = 0) является горизонтальная асимптота (рис. 86 в)). Прямая у = Ь является горизонтальной асимптотой графика функции f(x) при х —> +оо (при х -> — оо) тогда и только тогда, когда lim f(x)=b х—)-+оо (соответственно, lim f(x) = b). х—> — оо Построение графиков функций При построении графика данной функции целесообразно пользоваться следующей схемой: 1) найти область определения функции; 2) исследовать функцию на четность, нечетность и периодичность; 3) найти участки непрерывности функции, а так же точки разрыва с указанием вида разрыва; 4) найти точки пересечения графика с осями координат; 5) найти интервалы знакопостоянства функции; 6) найти асимптоты; 7) найти интервалы возрастания и убывания, экстремумы функции; 8) найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба. 7.4.1. Найти интервалы возрастания и убывания функции f(x) = = х3 - 6х2 + 5. О Функция определена на всей числовой оси, а ее производная равна/'(ж) = Зх2-12х = 3(х — 2)(х+2). Функция f(x) возрастет ет тогда и только тогда, когда f (х)) > 0, т. е. (х — 2)(х + 2) > О, откуда х G (—оо;— 2)U(2;+oo). Аналогично, данная функция убывает в точности когда f'{x) < 0, т.е. (х — 2)(х + 2) < О, откуда a; G (-2; 2). Таким образом, функция f(x) возрастает на интервалах (—оо; -2) и (2; +оо), а убывает на интервале (-2; 2). • Найти интервалы возрастания и убывания функции f(x): 7.4.2. /(я?) = (а:-2)2. (ж+ 2). 7.4.3. /(z)=ln(s2-2z + 4). 7.4.4. Найти экстремумы функции f(x) = хг — 9х2 + 15х. Q Функция определена и дифференцируема на всей числовой прямой, причем f'(x) = Зх2 — 18х+15 = 3(х-1)(х—5). Критические точки х\ = 1, Х2 = 5. Воспользуемся вторым достаточным 320
условием экстремума, для чего найдем /"(1) и /"(5): f"(x) = 6х - 18 =► /"(1) = -12, /"(5) = 12. Поскольку /'(1) = 0, а /"(1) < 0, то х = 1 — точка локального максимума, причем /(1) = 7. Аналогично, так как /'(5) = 0, а /"(5) > 0, то х = 5 — точка локального минимума, а /(5) = -25. • Найти экстремумы функций 7.4.6. /(я) = *f. 7.4.6. /(*) = -f-y. 7.4.7. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции '<">" гНрг О Функция определена и дважды дифференцируема на всей действительной оси. Находим вторую производную: 7 (Х) (х* + I)3 * Отсюда получим: функция выпукла вверх тогда и только тогда, когда /" < 0, т.е. х2 — ^ < 0, или \х\ < Д=. Функция выпукла вниз тогда и только тогда, когда х2 — 1 > 0, т.е. хе (-oo;-4-)u(-J-;+oo). Таким образом, функция выпукла вверх на (—у= ;~т=)5 выпукла вниз на (—оо;—^=J и на (-7=5+00]. Откуда ясно, что точки Хл = —4= и Х2 = -4= являются точками перегиба V3 V3 данной функции. • Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функций 7.4.8. f{x) = ^f^j. 7.4.9. fix) = х4 - 4х3 - 48х2 + бх - 9. 7.4.10. Найти асимптоты графика функции f(x) = ™ х-1* О Функция непрерывна всюду, кроме точки х = 1, в которой 2 она терпит разрыв второго рода, причем lim х Л = — оо, х—^1—0 X 1 2 lim ., = +00. Отсюда следует, что прямая х = 1 — вер- Ж-+1+0 X — 1 тикальная асимптота и других вертикальных асимптот нет. 321 21-2361
Проверим, есть ли у графика функции наклонные асимптоты. Находим f(x) х к = lim = lim = 1, откуда z-Ц-оо X ж-»+оо X — 1 / X2 \ 1 Ь = lim (f(x) — кх) = lim ( х) = lim = 0. x-H-oov v ' ' ж-++оо\# — 1 / ж-++оо х — 1 Таким образом, прямая у = х — наклонная асимптота графика функции при х -> +оо. Аналогично получим, что эта прямая является наклонной асимптотой и при х ->■ — оо. Поскольку угловой коэффициент к наклонной асимптоты не равен нулю, то график функции не имеет горизонтальных асимптот. # Найти асимптоты графика функции f{x): 7.4.11. /(х) 7.4.12. f(x)=x-ex. 7.4.13. Провести полное исследование функции у = —-—т и построить 4-х ее график. О Область определения £>(/) функции — вся числовая ось, за исключением точек х = —2 и х = 2, т.е. D(f) = (-оо; -2) U (-2; 2) U (2; +оо). Функция непериодическая; исследуем ее на четность и нечет- НОСТь: (-х)3 х3 Следовательно, данная функция нечетная и ее график симметричен относительно начала координат. Поэтому далее исследуем функцию только при х ^ 0. Найдем точки пересечения графика с осями координат: с осью Оу график пересекается при х = 0, откуда У = ДО) = 0, т. е. М(0; 0) — точка пересечения с осью Оу; с осью Ох график пересекается, если f(x) = 0, т. е. —-—т = 4 — х = 0, откуда х = 0. Таким образом, М(0;0) — единственная точка пересечения графика с осями координат. Находим интервалы знакопостоянства функции: /(*)>0 <^ Т^>0 ^=> *(4-*2)>0, 4-х 322
и так как мы рассматриваем только случай х ^ 0, то получаем О < х < 2. Аналогично f(x) < 0 при х > 2. Далее, д.з хз lim « = +00, lim ^ = —°о, я->2-0 4-Х2 Х-+2+0 4-Х2 т. е. прямая х = 2 — вертикальная асимптота. Отсюда, в силу симметрии, следует, что прямая х = — 2 — также вертикальная асимптота. Найдем наклонные асимптоты: к= lim ^= lim -^ = -1, х—>-+оо X ж—>-+оо 4-Х (х3 \ 4х ^+х)= lim 9=0, 4-х2 / ж->+оо 4-х2 т. е. прямая у = —х — наклонная асимптота при х -> +оо (то же и при х -> — оо). Горизонтальных асимптот график не имеет. Найдем интервалы монотонности и экстремумы функции, исследуя первую производную: х2(12-х2) х2(2л/3-х)(2л/3 + х) (4-х2)2 (4-х2)2 Отсюда видно, что при х ^ О (см. рис. 87) функция имеет максимум в точке х = 2л/3 (причем /(2л/3) = —Зл/3 « —5,2), возрастает на (0; 2) и (2; 2л/3) и убывает на (2л/3; +оо). Рис. 87 Чтобы определить интервалы выпуклости и точки перегиба, вычислим вторую производную: _ 8х(12 + х2) ' (Ж) * (4-х2)3 • Отсюда ясно, что при х ^ 0 функция выпукла вверх (т.е. /" < 0) на (2;+оо) и выпукла вниз (т.е. /" > 0) на (0;2), х = 0 — точка перегиба. 323
\ N -2л/3 ч { N -2- ч г -3\/3 3 J чЧч Чч 1 ! \ J ^ J J 2л/3 X ч ч Рис. 88 Учитывая накопленную информацию, строим график функции при х ^ 0, а затем симметрично отражаем его относительно начала координат (рис. 88). • Провести полное исследование и построить графики функций: 7.4.14. /(я)=2х2 + ±. 7.4.15. f(x) = X Дополнительные задачи Найти интервалы возрастания и убывания функций: 7.4.16. f(x) =x + e~x. 7.4.17. f(x) = xlnx. 7.4.18. у = Т^. Найти экстремумы функций: 7.4.20. /(ж) = х3 - Зх + 1. 7.4.22. у = х — arctgx. 324 7.4.19. 7.4.21. у = ex*~Ax+b. 7.4.23. г = у/Б - 2ip
Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функций: ГЛ.24. /(х) = е~*2. 7.4.25. у = х5 - 10х2 + 7х - 9. 7.4.26. у = cos х. 7.4.27. x = £-arctg£. 7.4.28. При каком значении а функция t/ = х4 +а In х имеет единственную точку перегиба при х = 1? Найти асимптоты графиков функций: 7.4.29. 2/=-^о- 7.4.30. y = e'i. 7.4.31. /(ж) = -^—1 -. 7.4.32. /(х) =x- arctgx. X + ОХ — О Провести полное исследование и построить графики функций: 7.4.33. 2/ = е^2. 7.4.34. у = 1п(1 - я2). 7.4.35. 2/ = —^"*. 7.4.36. t/ = ж3 - 4ж2 + Зх. 7.4.37. 2/ = z+i. 7.4.38. 2/ = х2-е"ж. х 7.4.42. у = х — lnx. Более сложные задачи 7.4.43. Привести пример дифференцируемой функции, имеющей экстремумы только в точках х = 0, ±1, ±2,... 7.4.44. Доказать, что точка перегиба функции не может быть одновременно ее точкой экстремума. 7.4.45. Доказать, что всякий многочлен нечетной степени п (п ^ 3) имеет по крайней мере одну точку перегиба. 7.4.46. Доказать, что всякий четный многочлен с положительными коэффициентами не имеет точек перегиба, но имеет единственную точку минимума. 7.4.47. Показать, что критическая точка 2-го рода не обязательно является точкой перегиба функции. 7.4.48. Пусть функция /(х) дважды дифференцируема и выпукла вверх (выпукла вниз) на интервале (а;Ь). Доказать, что функция f (х) строго убывает (соответственно, возрастает) на этом интервале. 325
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант 1 1. Найти производную функции у = arctg3 In 2 2. Найти производную функции у = (у/х)&ТС8ШХ 3. Найти производную у1 (х) неявной функции хг х sin(x — 2з/) Ч = 7х. У 4. Найти -#, если х = е~г • cost, у = ег • cost. 5. Найти предел, используя правило Лопиталя hm -jr. ->+оо е олное исследование функции /(х) = х2 + -\ ее график. 6. Провести полное исследование функции /(х) = х2 + -\ и построить X Вариант 2 1. Найти производную функции 2. Найти производную функции у = х&тс^7х. 3. Найти производную у'(х) неявной функции 4. Найти -Д, если х = cost + sint, у = sint — t • cost. 5. Найти предел, используя правило Лопиталя hm о 6. Провести полное исследование функции f(x) = —Л—- и построить х — 4 ее график. 326
Вариант 3 1. Найти производную функции 2. Найти производную функции у = (х2 + 3)tga\ 3. Найти производную у'{х) неявной функции 3 2 Х+1 • ^ ху = arcsin4x. 2/ 4. Найти ^, если х = £±±, 2/ = t=-l. 5. Найти предел, используя правило Лопиталя In cos х hm . 6. Провести полное исследование функции f(x) = e^^ и построить ее график. Вариант 4 1. Найти производную функции 2. Найти производную функции у — 3. Найти производную у'(х) неявной функции 4. Найти -Д, если х = ег • sin£, у = ег 5. Найти предел, используя правило Лопиталя hm . х-+о tg ж 6. Провести полное исследование функции f(x) = х2 • е~х и построить ее график.
Глава 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ §1. ВАЖНЕЙШИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРИРОВАНИЯ Первообразная функция ^ Пусть функция f(x) определена на некотором (конечном или бесконечном) интервале (а, Ь). Тогда функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (а, 6), если F'(x) = f(x) для всех х Е (а, Ь)3. Если F(x) — первообразная функция для функции /(х), то функция F(x) + С, где С — некоторая постоянная, также первообразная для функции f(x). Кроме того, если F(x) и G(x) — две первообразные для функции /(х), то они отличаются на некоторую постоянную, т. е. существует такое число С € R, что F(x) — G(x) = С. Таким образом, зная только одну первообразную F(x) для функции /(#), мы без труда находим и множество всех первообразных для этой функции, которое совпадает с множеством функций вида F(x) + С, где С — произвольная постоянная. Если функция f(x) непрерывна на данном интервале, то у нее существует первообразная на этом интервале. Неопределенный интеграл ^ Совокупность всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x). Обозначения: / f(x) dx (читается так: «интеграл эф от икс дэ икс»). Таким образом, если F(x) — какая-нибудь первообразная для функции /(х), то J f(x)dx = F(x) + C (в правой части последнего равенства более правильно было бы написать {F(x) + С}, поскольку речь идет о множестве всех первообразных, но фигурные скобки, обозначающие множество, обычно не пишут). Знак / называется интегралом, функция f(x) — подынтегральной функцией, a f(x) dx — подынтегральным выражением. ^ Операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции называется интегрированием этой функции. 3В дальнейшем указание интервала (а, 6) будем опускать. 328
Интегрирование — операция, обратная операции дифференцирования (т. е. операции, заключающейся в нахождении производной от данной функции). У всякой непрерывной на данном интервале функции существует неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла Везде далее предлагается, что все рассматриваемые неопределенные интегралы существуют. 1. JdF(x)=F{x) + C. 2.djf(x)dx = f(x)dx. 3. / af(x) dx = a I f(x) dx, где а ф О, т. е. постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла. 4. |[/(х) + 9(х)} dx = f f(x) dx + J g(x) dx, т. е. неопределенный интеграл от суммы функций равен сумме неопределенных интегралов от этих функций. 5. Если / f(x) dx = F(x) + С, то J f(ax + b)dx= -F(ax + b) + С, где а ф 0. a Таблица простейших интегралов Следующие интегралы обычно называются табличными интегралами: В частности, [l-dx = x + C, /-^=2^ +С, /% = -! + С. J J \J X J X X 3.ff=\n\x\+C. В частности, / ex dx = ex + C. 5. f sin x dx = - cos x + C. 6. / cos x dx = sin x + C. 7. [-dx_=t +c J ШГЖ 8. sin ж 329
x + a В частности, / % — arctgx + С. t/ »C "T~ A 10. / -t-^—= = arcsin ^ + C, (a > 0). J \Ja2 - x2 a В частности, / —. = arcsin a: -h C. J л/1-х2 11. f^* + С Иногда к этому списку добавляют еще несколько интегралов: 13. tshxdx = chx + C. 14. Гchxdx = shx + C. 15. / tg x dx = — In | cos x\ + C. 16. ctg x dx = In | sin x\ + C. 17. [ Ж. = In J sin a: tgf +C. cos a; = In Интегралы, получающиеся из табличных линейным сдвигом аргумента (т. е. интегралы вида / cos3xdx, / . _ ^, / e7x+1dx, ...) будем называть почти табличными интегралами. 8.1.1. Используя таблицу, найти следующие интегралы: 1) Воспользуемся табличным интегралом 2 (a = —3): dx 2) Аналогично находим: -1 + 1 330
3) Используя табличный интеграл 4 (а = 2), находим: 4) Подставляя а = у/Ъ в табличный интеграл 10, получим: /dx г dx х _ . = / , = arcsin -7= + С/. V5-x2 У J(^\2_V2 V5 (л/5)2 - х2 5) Воспользуемся табличным интегралом 12 (а = — 7): = In \х ж2 — 7 Найти интегралы, используя таблицу: 8.1.2. fx10dx. 8.1.3. 8.1.4. [ tyxdx. 8.1.5. / 8.1.6. /--^Ц-. 8.1.7. 8.1.8. Используя таблицу и основные свойства неопределенного интеграла, найти интеграл: О 1) Воспользуемся свойствами 3 и 4 неопределенного интеграла: lno = 3 In a 2) Почленно поделим числитель подынтегральной дроби на знаменатель: х ~ Зж + 5 = х| _ %х± + 5х~^. Отсюда ух = f x§dx-3 fx*dx + 5 f x 331
2 "г 1 2 ' ~~2 ' - -X - Х2 + X + . Найти интегралы, используя таблицу и основные свойства неопределенного интеграла: 8.1.9. . /75 _ W. 3 \dx Уча; ^з Р + 7/ 8.1.11. / л/х(х2 + l)dx. 8.1.12. 8.1.13. f^y^-dx. 8.1.14. /*(4sinx+8x3 Ц-) dx. 8.1.15. Найти «почти табличный» интеграл dx О Поскольку л/16 — 9х2 = ^/16 - (Зх)2, то данный интеграл отличается от табличного I . заменой х на Зх. Поэтому в соответствии со свойством 5 интеграла имеем: 1 • Зх _ _ = - arcsin — -f С. i - 9х2 3 4 Найти «почти табличные» интегралы: 8.1.16. Jcos2xdx. 8.1.17. f(9x + 2)17dx. 8.1.18. /g^r-p 8.1.19. J4?-bxdx. 8.1.20. [V3xT4dx. 8.1.21. / д^ . 8.1.22. Найти интегралы: 1) /sin2xdx; 2) f ^g—dx. J J X T* 1 О 1) Воспользуемся формулой понижения степени: sin2 x = = 1~с2О82ж. Отсюда /.2 , /* 1 — cos2x , 1 г/н _ ч , sin х ах = / ах = - / (1 — cos2x)ax = 1/ sin2x\ х sin2x 332
2) Преобразуем подынтегральную дробь: х2 (ж2 + 1)-1 1 = 1- х2 + 1 х2 + 1 х2 + 1' Отсюда имеем /С dx _, ах - I ~2—- = х - arctg ж + С Найти интегралы: 8.1.23. fcos2xdx. 8.1.24. f ^=-^dx. 8.1.25. /^#к. 8-1-26. / 5 + sin3 x dx i x -9 У sin2x Дополнительные задачи Найти первообразную F(x) для функции /(ж), удовлетворяющую условию F(x0) = у0: 8.1.27. /(ж) = cos ж, ж0 = 77, 2/о = -2. 8.1.28. /(ж) = Л, ж0 = л/2, 2/о = 1. ж Найти интегралы, используя таблицу неопределенных интегралов, и результат проверить дифференцированием: 8.1.29. [-&-. 8.1.30. , Ж то У 5 8.1.31. /^ж. 8.1.32. У 5 -т^—. ^4-ж2 8.1.33. /-т^2—. 8.1.34. / Jx . У у/х2^! У х2 -25 Найти интегралы, используя основные свойства неопределенного интеграла: 8.1.35. /(, + |)2dx. 8.1.36. 8.1.37. /(7*-§ + 4cosx)<fe. 8.1.38. ft^g--#*-£) dx. 8.1.39. / у^-3^ж2 + 1& 8.1.40. У v^ 8.1.41. /"(58Ьж-7сЬж-Ь^ж. 8.1.42. 333
8.1.43. 8.1.44. Найти «почти табличные» интегралы: 8.1.45. fsin7xdx. 8.1.47. |(l-4x)2001dx. 8.1.51. 2-llx dx. 8.1.46. I fy2x - Sdx. 8.1.48. /o-^h?. J УХ ~h ( 8Л'50- /sTTT 8.1.52. Найти интегралы: 8.1.53. /sin23xdx. 8.1.55. ftg2xdx. 8.1.57. /(3tgx - 2ctgx)2dx. 8.1.59. . 4x2- 8.1.54. fcos2Sxdx. 8.1.56. [*Z±±dx. J x — 5 8 i *я f 4y^l - x2 + -1'58- У Xй-! sin2 x cos2 x * 8.1.60. a sin2x cos ж dx. Контрольные вопросы и более сложные задачи 8.1.61. Пусть /(х) и #(х) — непрерывные функции и f f(x)dx = f д(х) dx. Верно ли, что /(х) = р(х)? 8.1.62. Доказать, что функция {О, если х ^ О, 1, если х > О не имеет первообразной. 8.1.63. Найти первообразную для функции у = \х\. Найти интегралы: 8.1.64. х — 1 8.1.66. I sinSx • cosЪхdx. 8.1.65. 8.1.67. 8.1.69. 8.1.71. У ^h7 X COS 2, ^—. -h cos x dx 334
8.1.72. / a df -. 8.1.73. fsi^xdx. J x2 + 4a: + 5 J 8.1.74. / . .sin» У sm a: — si » » +cos3» dx sin x cos я + cos x 8.1.75. Пусть функции f(x) и д(х) непрерывны. Верно ли, что I f(x) ■ д(х) dx = I /(*) dx ■ j g(x) dx, т. е. интеграл от произведения двух функций равен произведению интегралов от них? §2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Метод подстановки (замена переменной) ^ Пусть требуется вычислить интеграл / f(ip(x)) • (p'(x)dx, при этом функции <р'(х) и f(x) непрерывны на заданном интервале. Тогда этот интеграл можно упростить с помощью подстановки t = <p(x), используя равенство ff(<p(x))-<p'(x)dx = Jf(t)dt. (2.1) Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле. Иногда удобнее делать подстановку не t = ц>(х), aai = ^(t), где ф(г) — функция, имеющая непрерывную производную (т. е. непрерывно дифференцируема). Применяя такую подстановку к интегралу / f(x) dx, получим еще одну формулу замены переменной (2.2) Получающиеся после применения той или иной подстановки интегралы должны быть более удобны для интегрирования, чем исходные. Не существует общего «рецепта», следуя которому можно всегда понять, какую подстановку надо применить к данному интегралу. Однако следует иметь в виду следующие полезные подсказки: 1) если под знаком интеграла стоит сложная функция /(<^(х)), то, как правило, используется подстановка t = ц>(х) (к примеру, если в подынтегральном выражении встречается функция sin —, то стоит попробовать X подстановку t = —, а если ех — то t = х2 и т. д.); х 2) если в подынтегральном выражении есть готовый дифференциал функции </?(#), т. е. выражение ф'{х) dx, то имеет смысл попробовать подстановку t = ip(x). Поэтому целесообразно запомнить следующие формулы для наиболее часто встречающихся дифференциалов: 335
cos xdx = d(sin x), sin xdx = -d(cos x), -dx = d(lnx), -y=dx = 2d(v/x), x \x/' а ч /? —3^2— dx = d(tgx), . л dx = -d(ctgx) и т. д. cos x sin x В простых случаях введение новой переменной можно (после приобретения определенного навыка) проводить в уме, мысленно обозначив соответствующую функцию через t или какую-либо иную букву: щ 2/, г,... Интегрирование по частям (метод стрелок) ^ Пусть производные функций и(х) и v(x) существуют и непрерывны на заданном интервале. Тогда имеет место равенство / uv'dx = uv — / vu'dx. (2.3) Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Поскольку v'{x)dx = dv(x), u'(x)dx = du(x), то формулу (2.3) часто записывают в более компактном виде: / udv = uv — / vdu. (2.4) Метод интегрирования по частям целесообразно применять в тех случаях, когда получающийся в правой части формулы (2.3) (или формулы (2.4)) интеграл проще исходного либо подобен ему. Этим методом, например, пользуются, когда под знаком интеграла стоит произведение многочлена на одну из функций sinx, cosx, ax, lnx, arcsin x, arctgx и т. д. В частности, интегрирование по частям применяют к интегралам вида /xn-exdx, I xn sin xdx, 1 хп cos xdx, /xnlnxdx, Г xn arcsin x dx, (n = 1,2,3,...) или подобным. Также с помощью интегрирования по частям находятся интегралы вида / arcsin x dx, / arccos x dx, / arctg x dx, / arcctg x dx, ex cos x dx, ex sin xdx и подобные им. Более наглядно и просто интегрирование по частям записывается с помощью эквивалентного метода стрелок1 /(х) • g(x) dx = F{x) • д(х) - [ F(x) • д'(х) dx, (2.5) 44 Fix) g'(x) 1 Автор С. Н. Федин. 336
т. е. при интегрировании произведения двух функций под каждой из них рисуется стрелка, при этом на конце одной стрелки (интегральной / J пишется первообразная соответствующей функции, а на конце другой (дифференциальной / J — производная второй функции; тогда в правой части равенства получается произведение функции, стоящей на конце интегральной стрелки, на функцию в начале другой стрелки (эти функции соединены пунктиром в формуле (2.5)) минус интеграл от произведения функций на концах стрелок. Или, более кратко, справа получается: конец интегральной стрелки на начало другой минус интеграл от произведения функций на концах стрелок. 8.2.1. Найти интеграл, используя подходящую подстановку: 1) J(7x - l)23<fc; 2) /*a:2-sin(a:3 + l)<fc; о\ f xdx 3)J PTT О 1) Данный интеграл — почти табличный и поэтому легко вычисляется с помощью свойства 5 интеграла из предыдущего параграфа. Однако такие интегралы можно находить и с помощью замены переменной. В нашем случае применим подстановку t = 7х — 1. Тогда dt = 7dx, откуда dx = \dt. Поэтому / (7* - 1?Чх = /> • \dt = \ Возвращаясь к переменной ж, получим окончательно: 2) Подынтегральное выражение содержит сложную функцию sin (ж3 + 1), поэтому стоит попробовать подстановку t = = х3 + 1. Тогда dt = d(x3 + 1) = 3x2dx, откуда x2dx = Ыг. Таким образом, I х2 sin(x3 + 1) dx = I sin(x3 + 1) • x2dx = f sin t • -dt = = - fsintdt = --cost + C = --cos(a;3 + 1) + C. о J 3 «3 3) Поскольку xdx=7zd(x2) = 7zd(x2 + l), а выражение x2 + 1 стоит в знаменателе подынтегральной дроби, то целесообразно 337 22 - 2361
сделать замену t = х2 + 1. Тогда xdx c\dt I rdt = i In \x2 + 1| + С = ^ ln(z2 + 1) + C. Мы избавились от знака модуля в последнем выражении, так как х2 + 1 > 0, Vs. • Последний из разобранных интегралов является частным случаем /ff(x) dx J \y\— (в числителе подынтегральной дроби здесь J\x) стоит производная знаменателя), решаемых с помощью замены t = f(x). Поэтому Найти интегралы, используя подходящую подстановку: .Z.J. / у4ж — оах. о.^.о. / у- -rj. 8.2.4. / sin3 ж • cos х dx. 8.2.5. / ех* • x2dx. 8.2.6. о о q f xzdx о о о / arctgх da? O.J.O. / —д -. O.^.Sl. / Jj*2— . 8.2.10. Найти интеграл с помощью подстановки, предварительно преобразовав подынтегральное выражение: х ~ sin « » 2) Г х ~ si у —^г ) 1) Представим исходный интеграл в виде разности двух интегралов: Первый из двух последних интегралов — табличный, а во втором надо сделать подстановку t — —. Тогда dt = — *Щ, от- куда Щ = —dt. Следовательно, х /х — sin г г 2—~ dx = In|x| — sint- (—dt) = In\x\ + / sintdt = = In \x\ - cos t + С = In bl - cos - -I- C 338
2) Запишем данный интеграл как разность двух интегралов: 5а;-1 dx = Xdx dx = 5 [ Xdx f dx J у/4-х2 J y/A-x Второй из двух полученных интегралов — табличный, а в первом сделаем подстановку t = 4-х2. При этом условимся писать все вспомогательные выкладки и обозначения, относящиеся к данной подстановке, в квадратных скобках под соответствующим интегралом. В частности, J xdx = —2xdx xdx = -±dt -\dt Vt -5 v 4 — x2 — arcsin — + C. 2t Таким образом, t Ъх-\ ^ = _^ J y/ 4 — x Найти интегралы с помощью подстановок, предварительно преобразовав подынтегральные выражения: ЗГ • 2 8.2.11. / у> + Ъ dx. 8.2.12. /eSi"2 ж • sin 2x dx. 8.2.13. — 2sina: Г l-2sin J cos2x dx. 8.2.14. Зх-4 dx. 8.2.15. Найти интеграл, используя подходящую подстановку х = y/x)' 1) Сделаем такую замену х = ip(t), чтобы подкоренное выражение 1-х2 стало полным квадратом. Подходит, например, подстановка х = sint (или х = cost). Тогда = [х = sin t => dx = cos t dt] = y/\ — sin21 • cos tdt r л/cos21 • cos t dt sin21 sin2t -/■ sin2t sin21 _ r cos2 tdt _ " J sin2t ~ sin2t = -ctgt-t + C. 339 22*
Учитывая, что t = arcsinx, получим окончательно: г л/1 -х2 \ ^—dx = - ctg(arcsinx) — arcsinx + С — J xz Jl-x2 — arcsin x + C. x 2) Сделаем замену х — t2, чтобы корни извлекались нацело: t) = 2 f^ V^ Найти интегралы, используя подходящую подстановку х = 8.2.16. [V^^dx. 8.2.17. /—р-—.. J J xVx + 1 8.2.18. [xV2^dx. 8.2.19. / 8.2.20. Найти интеграл, используя интегрирование по частям: 1) [x-exdx; 2) flnxdx; 3) I x2 cosxdx. О 1) Проинтегрируем по частям, используя метод стрелок: ( х • ех dx = х • ех - [ 1^ ех dx = хех - ех + С. Заметим, что если бы мы поменяли порядок стрелок, то в итоге получился бы более сложный интеграл: 2 2 x=^-ex-f^-exdx. Умение выбирать нужный порядок стрелок (к счастью, здесь возможны только два варианта) приходит с практикой. 2) Для того, чтобы к этому интегралу можно было применить метод стрелок, необходимо иметь произведение двух 340
функций под знаком интеграла. Для этого домножим подынтегральную функцию на единицу. Тогда /In x dx = f 1 -Inxdx = х • Inx — / х • — dx = х In x — I dx = j у/И/ j x j s-i =x\nx-x + C. 3) Воспользуемся методом стрелок: / x2 • cos x dx = x2 • sin x — 2x sin x dx. 2x • sin x После однократного применения метода стрелок получили более простой интеграл. Тем не менее для его вычисления требуется еще раз применить этот метод: / 2х • sin xdx — -2x • cos x - / 2 • (- cos x)dx = 2 • (—cosж) = — 2х • cos x + 2 I cos xdx = —2x • cos x + 2 sin x + С Отсюда окончательно I x2 • cos x dx = x2 - sin x -I- 2x cos x — 2 sin x + С • Найти интегралы, используя интегрирование по частям: 8.2.21. Jxsmxdx. 8.2.22. J(2x - 1) - е3х dx. 8.2.23. Jh^dx. 8.2.24. Jx-2xdx. 8.2.25. fin2 xdx. 8.2.26. fx&TCtgxdx. 8.2.27. Найти интеграл / еж • cos xdx. О Используем метод стрелок: * • cos xdx = ех - sin x — / еж • sin x dx. К полученному в правой части равенства интегралу (отметим, что он, в сущности, не проще исходного) снова применим 341
метод стрелок: /ех • sinх dx = — ех cos x — / ех(— cosx)dx = ех • (-cosx) = — ех cos х -f / ex cos x dx. Отсюда / ех • cos х dx = ex sin x — ( -еж cos x + / ех • cos х dxj = = б (sin x -|- cos x) — /6 • cos x dx. В итоге снова получили исходный интеграл, и может показаться, что решение зашло в тупик. Однако, перенеся этот интеграл в левую часть равенства, получим1 2 / ех • cosxdx = ex(sinx + cosx) + С. Теперь окончательно г ~ . ех(sinх + cosx) _ ^ / е cos х dx = — + С. 9 J 2t Найти интегралы: 8.2.28. / ех • sin x dx. 8.2.29. / sin In x dx. При вычислении некоторых интегралов приходится комбинировать подстановку с методом интегрирования по частям. 8.2.30. Найти интеграл: 1) / arctgxdx; 2) / siny^xdx. О 1) Сначала воспользуемся методом стрелок: г , г xdx I 1 • arctgxdx = xarctgx - / - 2* 1 Появление константы С объясняется тем, что фактически все интегральные формулы, в том числе и формула интегрирования по частям, верны с точностью до константы, которую обычно в этих формулах не пишут. Ну а поскольку в данном случае произвольная константа С неявно присутствует в интеграле из левой части равенства, то она должна появиться и в правой части. 342
К полученному интегралу применим подстановку t = 1+х2: = 1 + х2 =>dt = Отсюда находим = -dt /arctg xdx — х arctg x — - ln(l + х2) + С. 2) В этом интеграле, наоборот, сначала сделаем подстановку, а потом применим метод стрелок: / sin y/xdx = I sin t • 2tdt = —2t • cos t — I (— cos t) • 2dt = 2^J (-cost)-2 = -2*cos£ + 2 f costdt = -2tcost+ 2sint + С = х + 2 sin V5 + С • 8.2.32. l^^-dx. dx 8.2.35. 8.2.37. 8.2.39. 8.2.41. 8.2.43. 8.2.45. 8.2.36. 8.2.38. Найти интегралы: 8.2.31. / arcsinxdx. Дополнительные задачи Найти интегралы, используя подходящую подстановку: 8.2.33. /cos(6x-hl)dx. 8.2.34. J /л/tg х dx cos2x f x5dx J \/x6 + 7 /• (2x-f 3)dx У (ггЧзх-1)4 /In 5x dx x ' У*4х- ^x2 8.2.47. ftg2xdx. dx arccos a: • \/l — а:2 8.2.40. / cos11 2a: • sin 2x dx. 8.2.42. 8.2.44. fctgxdx. 8.2.46. / ^ У si 8.2.48. cos xdx sin x 343
8.2.49. [e-x3-x2dx. J 8.2.51. 8.2.50. f f dx 8.2.52. / <& ' 2x + 7>dx J ^/хз _ ж2 + 7x - 2 8.2.53. J x(2x + l)3bdx. 8.2.54. f(x - Найти интегралы, предварительно преобразовав подынтегральные выражения: /3\/х — 2 cos —т — 5 —dx. 8.2.61. /(cos2 x - sin2 x) 8.2.62. />t 8.2.56. 8.2.58. 8.2.60. dx. (g rdx. cos x Найти интегралы, используя подходящую подстановку х = 8.2.63. [ л/16 - x2dx. 8.2.64. /\~Г' 8.2.65. /хл/хТЗйх. 8.2.66. / 7—%-^. У У (х + 1)л/х 8.2.67. / *dx . 8.2.68. У л/1 - х Найти интегралы, используя интегрирование по частям: 8.2.69. fxlnxdx. 8.2.70. /(2х + 3) • cosxdx. 8.2.71. f x-shbxdx. x cosxdx sind x 8.2.73. fx2lnxdx. 8.2.75. fx3exdx. 8.2.77. 8.2.72. 8.2.74. f(x2 - 4x + l)e"x dx. 8 2 76 / arccos x dx 8.2.78. [-ф?£-. 8.2.80. Je3x-cos2xdx.
Найти интегралы, комбинируя методы интегрирования по частям и подстановки: Найти интегралы: 8.2.89. f^^dx. У yfx 8.2.91. sin a: 8.2.93. COS X 8.2.82. 8.2.84. у In (ж + л/х^ТТ) dx. 8.2.81. Je^dx. 8.2.83. Jx3-ex2dx. 8.2.85. /sin2x-lnsinxdx. 8.2.86. f x2 aiccosSxdx. 8.2.87. f xsiny/xdx. 8.2.88. /arcsin2zcte. 8.2.90. faxctgy/xdx. 8.2.92. у ln*xa 8.2.94. Более сложные задачи Пользуясь правилом интегрирования по частям, найти интегралы: 8.2.96. fy/l + x2 dx. 8.2.95. [у/1-х2 dx. Найти интегралы: 8.2.97. [ . dx J sin х • ( 8.2.99. 8.2.101. • cosx .2.98. Л 8 8.2.100. x2dx л/1-х2 x2 -2x + 10* 8.2.102. [ ~гЩ-. Используя метод интегрирования по частям, доказать, что 8.2.103. у eQ* • cosbxdx = QCOS^ + ^inbx - eax + С. 8.2.104. / eax • sin bx dx = a sin frx - fr cos frx . eax + c> ^ ^ 8.2.105. 345
§3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Правильные и неправильные дроби Рациональной дробью называется выражение вида Щ&, где Р(х) и Q{x) — многочлены. Р(х) Рациональная дробь п) ( называется правильной, если сте- \ X ) пень многочлена Р(х) в ее числителе меньше степени многочлена Q(x) в знаменателе. В противном случае дробь называется неправильной. Всякая неправильная рациональная дробь ^) с с помощью деления числителя на знаменатель приводится к виду Ро(х) — многочлен (целая часть при делении), а ^}\ I — правильная рациональная дробь (остаток). Поэтому [ у^Щ- dx = Ро(х) dx + пх)xl dx. J Щ\Х) J J \с£\\Х) Так как интеграл / Po(x)dx вычисляется элементарно (сводится к сумме табличных), то интегрирование неправильной дроби сводится к интегрированию правильной дроби. Интегрирование правильной рациональной дроби сводится, в свою очередь, к интегрированию простейших дробей. Разложение правильной дроби на простейшие дроби ^ Правильные дроби следующих четырех типов называются простейшими (или элементарными) дробями: (х-аУ Ах + В . ' х2 + рх + q' Ах Л-В л» _ о q л > (р дГ При этом предполагается, что А, В,р, q — действительные числа, а квадратный трехчлен х2 + рх + q в дробях III и IV типов не имеет действительных корней (т. е. р2 — Aq < 0). Каждая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей указанных четырех типов. А именно: 346
если знаменатель данной правильной дроби п) ( разложен на неповто- ряющиеся линейные и квадратные множители Q{x) = (х- сц)*1 • (х - а2)к2 -...-(х- ап)кп • (х2 +Plx + qi)r* •... х (2 + ЯтУ™ , где fci, A:2,... fcn, ri, Г2,... rm — натуральные числа, то эту дробь можно представить в виде следующей суммы простейших: Р(х) Аг А2 Ак1 Коэффициенты A\, A2,..., Bi, Ci,..., Bri, Cri,... в разложении (3.1) находятся с помощью метода неопределенных коэффициентов или метода частных значений (см. решение задачи 8.3.12.). Отметим, что общее число этих коэффициентов равно степени многочлена Q(x). Таким образом, интегрируя правильную дробь, мы сначала раскладываем ее на сумму простейших, а затем интегрируем каждое слагаемое в этом разложении. Вычисляя интегралы от простейших дробей, надо иметь в виду, что: 1) Простейшие дроби первых двух типов — почти табличные: -dx = А • In \x - а\ + С, ж — a A 1 = з—г • 7 rj—r + С, А: ^ 1; 1 - A: (x - a)*"1 ^ (ж - a)fc 1 - A: (x - a)k 2) При интегрировании простейшей дроби третьего типа л ' —, х + рх + q где р2 — 4д < 0, сначала выделяют в числителе производную знаменателя, т. е. 2х+р: д ^ х + Б = - Отсюда Г Ах + В Л f / -о dx = / J хг +рх + q J Ах + В dx / ъ +рх + q J xz +px + q dx = (2x+p)dx / Ар\ г dx J = А г (2x+p)dx / _ Ар\ г 2J x2+px + q V 2/J x н откуда dt = (2x -h p)dx и +px + q V 2/J x2+px + q' В первом из полученных интегралов делаем замену t = х2 + рх + q, /(2# х* dt ^ /TlnK| + C ln(a + рх + q J t 347
Во втором интеграле сначала выделяем полный квадрат в знаменателе подытегральной дроби, а потом делаем подходящую линейную под- становку: dx г р , f I —■ — = \у = х + £ =► dy = dx = х2 4- рх -h g L 2 J Окончательно Ax + B — p2 \/4д - p2 3) Если требуется проинтегрировать простейшую дробь четвертого типа J [х Ах где п = 2,3,4,... и р2 - \q < 0, то сначала, как и [х + рж + q) в пункте 2, в числителе дроби производная от квадратного трехчлена в знаменателе, откуда (ж2 -fpx + g)n = "2 (x2 + px -f q)n dx+[B-^- где 2 J'J dy Последний интеграл считается с помощью рекуррентной формулы, позволяющей свести его к более простому интегралу dy i (у2 + а?)п 2(п - \)а2 У 1 2n-3 r + a2)""1 a2 ' 2n - 2 У dy (t/2 + a2)* "1" Далее к интегралу I -т-ъ ^1\п-\ снова применяется рекуррентная формула, понижающая степень знаменателя подынтегральной дроби, и так далее, пока не получится табличный интеграл / 2 У 2. 8.3.1. Найти интеграл j -^ j х 348 6х-7 4х +13 О Дискриминант квадратного трехчлена в знаменателе подынтегральной дроби отрицателен, поэтому данная дробь — простейшая третьего типа.
Сначала найдем производную знаменателя дроби: (х2 4- 4х 4-13)' =