КНИГОИЗДАТЕЛЬСТВО „НАТЕЗИГ
Одесса, Стурдзовский пер., 2
ВЫШЛИ В СВЕТ:
Проф. Р. Дедекинд. Непрерывность и иррацио¬
нальные числа. Перевод с немецк. проф. С. О.
Шатуновского. Со статьей переводчика: „Дока¬
зательство существования трансцендентных чи¬
сел", 4-е исправленное издание. 44 стр. 8°.
Ф. Журдэн. Природа математики. Перевод. с
английск. под ред. проф. И. Ю. Тимченко.
• VIII + 177 стр. 16°.
Проф. Литцманн. В чем ошибка? Перевод с не¬
мецкого под ред. проф. С. О. Шатуновского.
VIII + 78 стр. 16°.
Проф. Ф. Меннхен. Некоторые тайны артистов
-вычислителей. Перевод с немецк. под редакцией
проф. И. Ю. Тимченко. VIII84 стр. 16°.
С. Роу. Геометрические упражнения с куском
бумаги. 2-е издание. VIII 168 стр. 16°.
Проф. С. О. Шатуновский. Введение в анализ.
VIII + 224 стр. 8°.
Г. Шуберт. Математические развлечения и
игры. Перевод с немецкого с дополнениями
проф. С. О. Шатуновского, 2-е изд., VH1186
стр. 8°.
Проф. А. Эддингтон. Пространство, время и
тяготение. Перевод с ангф Ъ прим. проф.'
Ю. Г. Рабиновича. VIII 21&>стр. 8°.
Проф. А. Эддингтон. Теор^ф относительности
и ее влияние на научрую мысль. Перевод
с англ. под ред. проф^ИУО. Тимченко. 56 стр. 16°.
yfy (См. 3 стр. обложки)

В. ТРИЕР
Магистр наук в Копенгагене
В ЧЕМ ОШИБКА?
ЛОЖНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ
и УЧЕНИЧЕСКИЕ ОШИБКИ
ПЕРЕВОД С НЕМЕЦКОГО
Л. С. ЛЕВИНОЙ-БРИ
С 24 чертежами в тексте
ОДЕССА 1923

Р. О. П. (Одесса) № 1403.
-я Гостипогр. им. КарДа Маркса. — № 2367. 3000 экз.

ПРЕДИСЛОВИЕ
В этом томике, уже десятом в „Математи¬
ческой Библиотеке", объединяются шутка и
серьезное из области математики. Шутливые
ложные умозаключения затрагивают немало
вопросов, подлежащих серьезному научному
исследованию, зато, с другой стороны, на
серьезном лице учителя наверно появится ве¬
селая улыбка при взгляде на некоторые из
этих ученических ошибок. Хотелось бы, чтобы
учащим и учащимся, веселым и серьезным
математикам этот небольшой сборник кое-что
принес; пусть он содействует тому, чтобы при¬
внести в серьезное преподавание некоторые
веселые, а в веселую беседу—некоторые^ёо-
лее серьезные моменты.
Ложные умозаключения собраны Литцман-
ном. Ученические ошибки выбраны^ Триером
(по предложению издателя „Математической
Библиотеки") из его рукописного сборника,
которым он пользовался ^течение ряда лет,

VI
как материалом для упражнений при подго¬
товке преподавателей. Знакомые и коллеги
принесли свои лепты для настоящего сбор¬
ника. Им всем, а в особенности профессорам
Гутцмеру (Галле), Штёккелю (Гейдельберг) и
Виттингу (Дрезден), помогавшим читать кор¬
ректуру, приносим нашу искреннюю благо¬
дарность.
В. Литцманн,, В. Триер
Бармен и Копенгаген
Март 1913

ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ
Стран.
23
24
26
29
31
48
75
Строка
Напечатано
Должно быть ч
черт. 4 £
1 сн.
черт. 3
1 св.
черт. 4
черт. 3
13 св.
восставим
восставим из
их середины
3 сн.
2 BE
— 2 BE
4 св.
LD
LH
11 сн.
равнений
уравнений
8 сн.
698 950
698 860

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Ошибочные математические умо¬
заключения
I.	ВВЕДЕНИЕ
Собранные в первой части этой книжки
ошибочные умозаключения в большинстве
строятся на таком приеме: ошибка намеренно
включается в цепь умозаключений по возмож¬
ности незаметным образом для читателя, ко¬
торый лишь, дойдя до нелепого вывода,
замечает, что в чем-то дал себя провести. Не
с каждым читателем и не в отношении каждой
задачи цель эта может быть достигнута в
одинаковой степени. Бывают люди чрезвы¬
чайно подозрительные, которых трудно обойти,
особенно, когда какое-нибудь поразительное
утверждение с самого начала заставляет их
удвоить свою осторожность. Помимо того,
далеко не безразлично, в какой мере читатель
знаком с общепринятыми в элементарной
математике приемами вычислений и Доказа¬
тельств. Так, например, я включилг^гожные
умозаключения, основанные на теории нера¬
венств, только потому, что в школьном курсе
(по крайней мере, в Германии) отдел этот
является каким-то -пасынком>/Для того, кто
много работал с неравенствами, дело сводится

2	Ошибочные	умозаключения
просто на просто к грубым ошибкам. То же
относится и к примерам из теории рядов.
Итак, мы должны замаскировать ошибку,
если хотим поразить читателя.
Если из равенства
0.7 = 0.8
путем деления на 0 мы приходим к выводу,
что
7 = 8;
если из равенства
( — а)2 = а2
путем извлечения корня квадратного из обеих
частей равенства мы находим
— а = а\
если из сопоставления двух противоречащих
друг другу уравнений
х ~\~у — 1
х-\-у = 2
делается заключение, что
1 = 2,
— то все эти способы выводов Taji/нелепы,
что вряд ли кто впадет в такие ^ошибки.
Разумеется, нельзя отрицать, что при случае
могут представить интерес й^такие ложные
умозаключения, в которых ошибки ясны, как
на ладони. Вот несколько* примеров подобного
рода.	,
Прежде всего возьмем прекрасное доказа¬
тельство Пифагоровой теоремы, чго сумма изо-

Введение
3
браженных на чертеже 1 квадратов I и II, по¬
строенных на катетах, равна обозначенному
знаком III квадрату, построенному на гипо¬
тенузе. Непосредственно путем простого сло¬
жения убеждаются, что I -}- 11 = III.
Вот еще очень известная история: некто
приходит в магазин и покупает нож за
1*50 руб. На другой день он вновь заходит в
Черт. 1.
,:Г
магазин, желая обменять свой нож;.оц выби¬
рает себе другой, стоимостью в 3 /?, щ ничего
не заплатив, собирается уходитц. Когда вла¬
делец магазина задерживает его^^ хитрец го¬
ворит: Ведь я оставил Вам нож ценою в Н50 р,
а вчера я заплатил Вам наличными 1*50 р.

4
Ошибочные умозаключения
Вместе это составляет 3 р, и мы, таким обра¬
зом, в расчете.	■
Не менее интересным, хотя далеко не таким
общеизвестным, является следующее рассужде¬
ние: Часто приходится слышать мнение, что
число людей в прежние времена было значи¬
тельно меньше, чем в настоящее время. На¬
сколько, однако, такой взгляд ложен, можно
убедиться помощью следующих простых со¬
ображений. Пусть число живущих в настоящее
время людей будет п. Каждый из этих п че¬
ловек имел отца и мать, т. е. двух родителей;
число всех его дедушек и бабушек будет 4.
Если вернуться назад к /7-му поколению, то
число всех его предков в этом поколении
будет 2Р. Допустим теперь, что продолжи¬
тельность жизни одного поколения—30 лет;
это скорее слишком мало, чем слишком много.
Таким образом, если вернуться на 30/7 лет
назад, то у одного человека в то время жило
2Р предков. Для п человек получим п. 2Р пред¬
ков. Так как 210 равно приблизительно
1 ООО, то, следовательно, 300 лет тому назад
было приблизительно в 1 ООО раз больше
людей, чем в настоящее время, „600 лет
тому назад их было в 1000000 раз больше
и т. д.	;0
В заключение еще один прцмёр; требуется
доказать следующее предложение. На прямой
заданы точки А, О, Ж, B,Nвыказанном порядке
так, что

Введение
Надо доказать, что
AM AN
MB BN
Решение, которое фактически дал один
ученик, было таково. Можно сократить две
последние дроби, одну на М, другую на N и
получить
А
в ~в'
Это равенство бесспорно верно, следова¬
тельно, правильно и доказываемое предло¬
жение.
Последний пример, за который иной чита¬
тель вероятно расплатится возгласом ау!, на¬
поминает об обычном вопросе новичка в ма¬
тематическом кружке, почему нельзя сокра-
dy
тить на d выражение —, или при вычислении
положить г)	=	f	d, что дает 1, в силу
того, что, как известно, интегрирование и диф¬
ференцирование являются обратными опера¬
циями.
Особый класс ошибочных умозаключений
образуют те умозаключения, в которых^ш-
 	:?f7
*) Фактически было проделано такое вычисление:
J* f(x)dx	У dx	А.	'•	'х
’ ff{x)g (х) dx	f g (x) dx	g	(x)	dx

б
Ошибочные умозаключения
вершенно неверные вычисления приводят к
правильным выводам. Поражает читателя в
таких случаях то обстоятельство, что вместо
ожидаемого ложного результата, получается
правильный. Приведем только два примера
такого типа . В дробях ^ или ^ можно без¬
наказанно „сократить" числителя и знамена¬
теля каждой на 6; мы, несмотря на это, при¬
дем к правильному заключению. Точно так
же вполне допустимо „вынести из под знака
корня“ 5 в выражении Т/ 5^ или 12 в выра-
Приводимые в дальнейшем сложные оши¬
бочные умозаключения распределен^ в две
главы: в одной содержатся примеры из об¬
ласти арифметики и алгебрьь^в другой из
геометрии. Некоторые ошибочные умоза¬
ключения, относящиеся скорее к механике,
чем к математике, включены в надлежащие
места.
Разделение не проводится вполне строго.
В главе, относящейся к геометрии, тоже при-
жении 12143* Действительно,
и вообще

Введение
7
ходится вычислять. Я полагаю, что бывают
такие случаи, когда только вычисления и могут
обнаружить ошибочность вывода; таковы, на¬
пример, те случаи, когда, скажем осторожно,
у некоторых людей непосредственное созер¬
цание дает отказ. Я хотел бы напомнить здесь
об известном вопросе - шутке.
Вообразим себе, что земной экватор охва¬
чен веревкой, что она немного велика и пре¬
восходит его по размерам приблизительно на
10 метров. Вообразим себе далее, что концы
веревки соединены между собой, и что веревка
повсюду одинаково свободно натянута вокруг
земли. Спрашивается, как далеко отстоит ве¬
ревка от земли. В состоянии ли муха про¬
браться между землей и отстающей от нее
веревкой?
Ответ, как известно, гласит, что муха без¬
условно может пробраться, и что даже чело¬
век не слишком высокого роста в состоянии
пройти под веревкой, не наклоняясь.
С наглядным представлением этого факта
дело обстоит- плохо. Не один математик уве¬
рял меня, что он не в состоянии себе этого
представить; многие не-математики говорили
мне, что это вообще не верно, в вычислениях
кроется, очевидно, ошибка.
Ошибочных умозаключений, который во¬
преки своей математической внешности отно¬
сятся к области физики, я здесь нО/фассма-
тривал. Они очень многочисленны. Назову
только один пример. Из известного уравнения
состояния газов p.v = RT следует, что при
постоянном давлении, скажем, в одну атмо¬

8
Ошибочные умозаключения
сферу, объем газа сведется к нулю, когда газ
охладится до — 273°, и затем, что объем станет
меньше нуля, отрицательным, если продол¬
жать охлаждение далее
Я не указывал источников отдельных лож¬
ных заключений. Во многих случаях этого сде¬
лать нельзя; любопытные случаи ошибок пере¬
даются из уст в уста и лишь впоследствии их,
быть может, кто-нибудь опубликовал, при чем
нет уверенности в том, что указанный случай
не появился раньше в каком-нибудь семейном
или ученическом журнале. Мне хотелось бы
только отметить, что в новейшем издании
известной работы W. W. Rouse В all’а,
Mathematical Recreations and Essays, я встре¬
тил среди многих известных и значительное
число незнакомых ошибочных заключений.
Быть может, тот или другой читатель сумеет
пополнить каким-либо иным интересным лож¬
ным выводом тот материал, который дан на
следующих страницах.
В заключение еше пару слов относительно
того, как я себе представляю чтение этих
ошибочных умозаключений. Недостаточно от¬
дать дань изумления ложному выводу и выте¬
кающему отсюда ошибочному умозаключению,
будто и математика, стоящая ^быше всяких
ошибок, тоже может оказаться бессильной.
Следует, разумеется, открыть ^ошибку и разо¬
браться в ней. Я всецело предоставляю эту
работу читателю и даже избегаю давать хотя
бы только указания^* Этом направлении. Но
и раскрытие ошибок читателем еще не яв¬
ляется конечной целью. Не следует ограни¬

Арифметика и алгебра
9
читься только тем, что ткнешь пальцем в
ошибочное место. Следует вывести эту ошибку
на свежую воду, извлечь ее из той более или
менее замаскированной оболочки, в которую
она наряжена. Полезно, пожалуй, и приду¬
мать для нее другие одежды. Зародыши мно¬
гих из этих ошибок сыграли в истории мате¬
матики важную роль, некоторые ошибки сле¬
дует рассматривать, как исходные точки для
новых путей математического исследования.
II.	ЯРИФМЕТИКЯ И ЯЛГЕБРЯ
1
2 кгр — 2 ООО гр
3 кгр = 3 ООО гр .
Произведения равных на равные дают равные
результаты, поэтому
6 кгр = 6 ООО ООО гр.
2
Если к двум предложениям:
1 кошка имеет 4 ноги	Ъ
у
0 кошек имеют 3 ноги щ,
(последнее предложение читай: нет^кошки,
имеющей 3 ноги) применить основное поло¬
жение: „равные величины, сложенные с рав¬
ными, дают равные“, то мы подучим замеча¬
тельный результат:	^
1 кошка имеет 7 ног.

10
Ошибочные умозаключения
3
Всякое число равно такому же
удвоенному числу.
а2 — а2 = а2 — а2.
Если в левой части вынести а за скобку, а к
правой части применить формулу
С* +У> (х —у) = *2 —У*.
то отсюда будет следовать, что
а .(а — а) = (а а) а (а — а).
Если теперь обе части равенства разделим на
общего множителя (а — а), то получим в за¬
ключение, что
а — 2а.
Это ложное умозаключение с некоторыми
его следствиями можно облечь в другую форму.
Пусть будет х = 1 , тогда х2 = 1 или х2 — 1 =0,
следовательно (после деления на х—1), и
л: —[— 1 = 0, т. е. х = — 1. Отсюда следует, что
1= — 1 или 2а = 0, т. е. всякое число есть
нуль. Нетрудно поэтому математически дока¬
зать поговорку: „Однажды значит ни разу“ !
(„Einmal ist keinmal").
л
ф
Все числа равны-между собой.
Пусть а и b два числа и притом 6. Тогда
вводят положительное,число с, которое удов¬
летворяет соотношению
а = b —{— с.

Арифметика и алгебра
И
Если помножить это равенство на а— b, то
получим
а . а — а .Ь = а .Ь -)- а . с — b . b — b .с
а .а — а .Ь — а . с — а . b — b .b — b лс
а .(а — b — с) = b Л а — b — с),
и, сокращая обе части на общего множителя,
найдем, что
Чтобы решить их, вставляют значение х из
второго уравнения в первое и получают
4-у-\-у = 8.
Отсюда следует
а — Ь.
5
Даны уравнения
2 х-j-y = 8
4 = 8.
6
Уравнение
6х + 25= Юлг+15	^
W'NS 4
преобразовывают следующим образуя:
3(2* — 5) = 5(2*— 5)^
следовательно,

12
Ошибочные умозаключения
7
Уравнение
лг + 5 с _ 4 * — 40
х — 7	13 — х
преобразовывают таким образом:
х + 5 — 5(х — 7)	4 х — 40
х — 1	— 13 —л: ;
4 х — 40	4 х — 40
х — 7	13 — х 1
4 х — 40	4	х — 40
7 — хГ ~ ТЗ — х ’
и находят, что 7 = 13.
8
Доказательство т о г о, ч т о 2X2 = 5.
Есть театральная пьеса под таким заглавием:
дважды два равняется пяти. Если качество
театральной пьесы пропорционально числу
представлений, которая она выдерживает, то
это должна быть очень хорошая пьеса. К со¬
жалению, я не знаю только, доказывается ли
в этой пьесе справедливость заглавного ра¬
венства. Во всяком случае это можно было
бы сделать в следующей форме:
<?

Арифметика и алгебра
13
Число не изменяет своего значе¬
ния, если прибавить к немуединицу.
Из равенства
л2 — п (2 ti —j— 1) = (ti —J— 1 )2 — (n —{— 1) (2 tt -|— 1),
в справедливости которого легко убедиться,
выполнив умножение, следует
я2 — и(2л + 1)+р^-|2 =
= (л +1)2 - (« +1) (2 я +1) + (—i1)2;
( 2л + 1\2 Л ,	2л	+ 1\2
(«	2— )=((в + 1>	2~)	=
я-^±1 = я+1-?2±1;
/г = az —[— 1 .
10
Два произвольных числа равны
друг другу.	~
Дается равенство
(х — af = (x—bf.
Если из обеих частей равенства извледь корень,
то мы получим	;Ч
х — а = х — by
следовательно
а = b.

14
Ошибочные умозаключения
11
Всякое положительное число рав¬
но отрицательному числу, имеюще¬
му ту же абсолютную величину.
По правилам извлечения корней имеем
У— а - У— а = У (— а). (— а) = У а1 = а ;
У^а. VII7a = (У~а)* = - а ;
откуда следует
а = — а .
12
Логарифм отрицательного чис¬
ла равен логарифму соответству¬
ющего положительного числа.
Имеем:
2 log a — log (а2) = log ([— а]2) = 2 log (— а) ,,
и, следовательно, согласно утверждению,
log а = log (— а).
Частным случаем является утверждение:
логарифм — 1 есть нуль. 4^
Логарифмируя выражение
(_i)2=i;#
получаем
2 log (— 1) = log 1=0.
Из заключения log £—1) = 0 можно сделать
еще другие поразительные выводы. Отсюда

Арифметика и алгебра
15
следует, например, что
10° = —1,
и так как левая часть равенства = 1 , то
Если	то	и	а^>2Ь(а и b положи¬
тельные числа). Из неравенства
путем умножения на b получаем
а. b>b2,
и далее, отнимая от обеих частей по а2,
а. b — сг2^>Ь2 — а2.
После деления на b — а получаем
а^> b а.
Если к этому уже достаточно замечательному
неравенству прибавить почленно неравен¬
ство (1), то получим
Всякое положител ьное число
меньше нуля. Пусть п целое положитель¬
ное число. Тогда
2п — 1 < 2/г.
1 = —1 .
13
а)
а^> b
2a^>2b -f- а,
следовательно,
s-
а>2£.
14

Арифметика и алгебра
17
следовательно,
ут ^ у=л
VT'
или
J___ .
/
Таким образом,
/2=1.
16
К критике одного физического
закона. Если газ, нагреваясь на t° при по¬
стоянном давлении, расширяется в объеме от
v0 при 0° до vt, то, как известно, по закону
Гей-Люссака имеем:
vt=vQ{ 1 + at),
1
где а равняется ^73.
Если же, напротив того, оставить объем
постоянным, то между давлениями pt и pQ при
t° и 0° будет существовать равенство
Pt = P0O+at).	^
Если перемножить оба равенства, то*получим
VfPt = P0.vQ(1-\-at)l.^-
Итак, известный закон Бойля-Г^й-Люссака
vtpt = v0p0(l^.iit)
ложен?

18
Ошибочные умозаключения
17
Ахилл и черепаха. Ахилл и черепаха
затеяли бег взапуски. Черепахе дали фору,
скажем, в 100 м. Наше рассуждение пока¬
жет, что Ахилл не в состоянии догнать чере¬
паху даже в том случае, если бы * он бежал
быстрее своей противницы, скажем, в 10 раз.
Когда Ахилл пробежит 100 метров, черепаха
будет впереди его на 10 м. Когда он пробе¬
жит и эти 10 Му то черепаха всетаки будет
впереди его на 1 м. Когда Ахилл пройдет и
этот метр, его соперница будет впереди на
10 см. Когда он преодолеет и это расстояние,
черепаха все еще будет впереди его. Про¬
должая это рассуждение, мы найдем, что хотя
расстояние между ними уменьшается, но ни¬
когда вполне не исчезает; фактически та¬
ким образом Ахилл никогда не догонит че¬
репахи.
История Тристрам Шенди *). Исто¬
рия Тристрам Шенди является чем-то противо¬
положным состязанию в беге между Ахиллом
и черепахой. Шенди начал писать свою био¬
графию и делал это,так основательно, что
на историю первых двух дней своей' жизни
он потратил 2 года. Очевидно, что, продолжая
работать таким же темпом, он4 не закончит
своей работы, за которой его застигнет смерть.
г) Эта история, в сущности, не ошибочное умоза¬
ключение. а парадокс. Предыдущее ошибочное умо¬
заключение также известно под именем парадокса
Зенона.

Арифметика и алгебра
19
Если бы, однако, он жил достаточно долго,
вся биография была бы закончена. В самом
деле, допустим, что дело идет о двух днях
хотя бы очень поздней поры его жизни;
—если только он будет жить достаточно долго,
он всетаки доберется до этого момента в
своей биографии..
18
Сумма бесконечного ряда 1—1 -f-
-f- 1 — 1-f-l — 1-j есть у. Сумма s беско¬
нечной геометрической прогрессии с началь¬
ным членом а и знаменателем отношения q
есть
а
Данный ряд есть геометрический ряд с пер¬
вым членом 1 и знаменателем отношения — 1.
Если подставить эти значения в формулу суммы,
то получим
1	1
г
Кто знаком с учением о рядах, тот легко по¬
лучит ряды:
ГХТП	+	...
\-\-x-\-x2	1	.	1 \\ Г	1
гг—I1= 1 —	Xs	—X* 4--’
\-]-Х-\-Х2-\-ХЪ	1	1
в справедливости которых можно убедиться

20
Ошибочные умозаключения
простым делением. Если положить в них х = 1,
то получим для суммы нашего ряда также
числа у и Что же правильно?
19
Натуральный логарифм числа 2
есть 0. Разложение в ряд дает для натураль¬
ного логарифма числа 2 значение
log nat2 = l —	у — ^- + у-
Этот ряд сходится. Если собрать отдельно
все положительные и отрицательные члены,,
то получим:
lognat2=(l-t-y+y + -) —(т+Т+Т+‘
Если прибавить выражение, стоящее во вто¬
рых скобках, к тому, что стоит в первых, и
затем вычесть прибавленное выражение из
вторых, то получим
lognat2 = (l —1—^—1—^—1— * •	^4“
+a+i+y--
-2(т+#Н+4
Если раскрыть обе^лары круглых скобок и
помножить выражение во вторых скобках на 2,

Арифметика и алгебра
21
TQ ПОЛуЧИМ
log nat 2 = (l + у + у + у + •••) —
— О +Т+У + Т + Т + -);
log nat 2 = О.
20
Значение натурального лога¬
рифма числа 2 не изменяется от
умножения на 2.
Если ряд
(1) lognat2 = l— у + у~ Т + Т
умножить на 2, то получим
21ognat2=2—1+у —	—	У~1“Т—
Если собрать члены с одинаковыми знамена¬
телями и расположить дроби в порядке возра¬
стающих знаменателей, то получим
liii	^
(2) 2lognat2 = l—т + у —T + y-g^»..
Но это то же, что выше отмечено номером (1).
Итак,	,
log nat 2 = 2 log nal2Y
вывод, который, разумеете#,'можно было бы
получить непосредственно из N° 19.

22
Ошибочные умозаключения
21
е = \ и £ = сю. Основание £ = 2*71828... на¬
туральных логарифмов чаще всего опреде¬
ляется, как предел, к которому стремится вы¬
ражение^ + когда п бесконечно возра¬
стает. Если взять предел выражения, стоящего
в скобках, то дробь-^-стремится к 0, все вы¬
ражение в скобках принимает, стало быть, зна¬
чение 1, и бесконечное произведение множите¬
лей, каждый из которых равен 1, само равно 1.
Таким образом, е оказывается равным 1.
Однако, можно поступить и иначе. Если
привести выражения в скобках к общему зна¬
менателю, то получим положительную дробь
Как бы велико п ни было, дробь всегда
неправильная, потому что числитель всегда
остается на 1 больше знаменателя. Теперь,
как легко убедиться, бесконечное произведе¬
ние равных множителей равно 0, если мно¬
жители правильные дроби; равно 1, если
множители равны единице (как выше было
сказано); равно оо, если множители > 1.
В данном случае имеет место последнее. Таким
образом, для предела, а вместе; с ним для
числа е получаем оо.
III. ГЕОМ£ТРЙЯ
Геометрическое доказательство
того, ч т о 64 = 65. Вырежем из миллиме-

Геометрия
23
тровой бумаги или” из другой какой-нибудь
бумаги, разлинованной на квадратики, два
прямоугольных треугольника с катетами
3 и 8 и две трапеции с 2 прямыми
Черт. 3.	Черт- i
.. СЧС'
углами каждая, параллельные сГйроны кото¬
рых соответственно равны 3 и 5^ а расстояние
между ними равно 5 (черт. 2р* Если сложить
эти 4 фигуры вместе так, как указано на
черт. 3, то общая площадь равна 64, если же

24
Ошибочные умозаключения
сложить их так, как указано на черт. 4, то
получим 65. Из этих четырех фигур можно
составить и такую фигуру, площадь которой
выражалась бы числом 63. Кто сумел бы это
сделать?
23
Всякий ^треугольник есть тре¬
угольник равнобедренный. Пусть ABC
будет какой-нибудь треугольник; построим
биссектрису угла
А и восставим
перпендикуляр к
основанию ВС в
его середине D
(черт. 5). Обе пря¬
мые пересекутся,
иначе они были
С бы параллельны,
а в таком случае
Черт. 5.	треугольник уже
был бы равнобед¬
ренным, и мы могли бы избавится от даль¬
нейшего доказательства. Пусть точка пере¬
сечения прямых будет М. Рассмотрим сначала
тот случай, когда эта точка М лежит внутри
треугольника. Опустим из М н$/АВ и АС
перпендикуляры MF и ME. '
Тогда
(1)	ДАЕМ^А&ЁМ,
(2)	AMDBmAMDC.
Из (1) следует ^
MF = ME,
А

Г еометрия
ИЗ (2)
МВ = МС,
следовательно,
(3)	AMBF^AMCE.
Из (1) следует
(4)	AF	=	AE,
из (3)
(5) .	FB	=	EC.
Если сложить
равенства (4)
и (5), то по¬
лучим
АВ = АС у
что и требо¬
валось дока¬
зать.
Если бы
точка пере¬
сечения бис¬
сектрисы и
медианы ле¬
жала не вну¬
три треуголь¬
ника, а вне
его, то, как
ЧеРт* 6-^
указано на черт. б, можно было бы повто¬
рить то же доказательство с тем только
различием, что в конце доказательства не

26
Ошибочные умозаключения
пришлось бы складывать равенства (4) и (5),
а вычитывать равенство (5) из равенства (4).
Ближайшим следствием доказанного утвер¬
ждения явится то положение, что все тре¬
угольники равнобедренные.
24
Прямой угол равен тупому. Пусть
дан четырехугольник ABCD (черт. 7), в кото¬
ром А прямой угол, сто¬
роны AD и ВС равной
длины и, наконец, угол
ABC тупой. К сторонам
АВ и DC восставим пер¬
пендикуляры, которые пе¬
ресекутся в S. Точку S
соединим с вершинами
четырехугольника. Тогда
5Л =SB и SD = SC, сле¬
довательно,
ASAD^ASBC,
откуда следует
A D = SВ С.
Если из этого равенства почленно вычесть
равенство
^zSAB — ^cS
то в результате найдем^ Что первоначально
принятый нами за тупой угол ABC равен
прямому углу BAD

Геометрия
27
25
Если в четырехугольнике две про¬
тивоположные стороны равны, то
другие две стороны параллельны.
Пусть ABCD четырехугольник, в котором две
противолежащие сто¬
роны А В и DC равны
по длине (черт. 8). Вос¬
ставим к стороне AD из
ее середины Е перпен¬
дикуляр, а также пер¬
пендикуляр к стороне
ВС из ее середины F.
Оба перпендикуляра
пересекутся в точке 5
Если же они были бы параллельны, то и AD и
ВС тоже были бы параллельны, и незачем
было бы доказывать наше утверждение.
Я желаю доказать, что ESF прямая; отсюда
непосредственно будет следовать, согласно с
нашим утверждением, что прямые AD и ВС
параллельны. Соединяю 5 с вершинами че¬
тырехугольника. Тогда треугольники SAE и
SDE, а также треугольники SBF и SCF
равны, и так как притом AB = DC, то-равны^
и треугольники SAB и SDC. Из этих равенств
вытекают следующие равенства углов:
а)
(2)
(3)
■$:ESA = $:ESD
$:ASB = $:DSC <
&BSF=-$:CSF;'
Складывая эти 3 равенства* найдем, что угол
Е S F выпрямленный, чем и * доказано наше

28
Ошибочные умозаключения
утверждение. Разумеется нужно разъяснить
еще один пункт. Мы допустили, что точка
пересечения 5 двух перпендикуляров, вос¬
ставленных к сторонам из их середины, лежит
доказывается тем, что складывают равенства
(2)	и (3) и обнаруживают, что SE, как и SF,
являются биссектрисами угла ASD; обе они
должны, следовательно, совпасть.
Часть прямой равна всей прямой.
Пусть в разностороннем треугольнике ЛВС
угол а будет наибольшим, и в силу этого
/? острым (черт. 10). Мы обкладываем
угол у на стороне А В при верщийе А; вторая
сторона угла пересекает В С деточке D. Из А
опускаем, кроме того, на £ СГперпендикуляр
в
F
Черт. 9.
S
С
внутри четырехуголь¬
ника. Но она может на¬
ходиться и вне четы¬
рехугольника . Из черт. 9
ясно виден весь со**
ответствующий этому
случаю ход доказатель¬
ства. Только в конце
доказательства не нуж¬
но складывать три ра¬
венства между углами:
совпадение SE и SE
26
'	"	V< \У
л
и так как площади подобных треугольников

Г еометрия
29
относятся друг к другу, как квадраты соответ¬
ственных сторон, то
(2)	AABC:ADBA=AC2:AD2.
В треугольниках ABC и DBA, если принять
стороны В ОиВСза основания, высоты равны;
следовательно, пло¬
щади их относятся,	а
как основания ВС и
BD. Таким путем по¬
лучаем пропорцию:
А С2 A D2
(3)
ВС BD
углы. Применим
гласящую, что в треуголь-
стороны, лежащей против
Против стороны А С
в Д ABC и про¬
тив стороны AD в
AABD лежат острые
сюда теорему
нике квадрат
острого угла, равен сумме квадратов двух
других сторон без удвоенного произведения
одной из этих сторон на проекцию другой на
нее. В силу этой теоремы имеем:
А АВ2-\-ВС2 — 2ВС.ВЕ АВ2-\- BD2 — 2BD.BE
W	ВС	~	BD
Если разделить почленно каждое слагаемое
числителей на соответствующих знаменателей,
то, отняв от обеих частей по 2BE, получим
АВ? ' -ВС^-А!+ вГК
(5)
ВС
BD
Если перенесем BD в левуй часть, а ВС в

30
Ошибочные умозаключения
правую и затем приведем в каждой части
члены к общему знаменателю, то найдем, что
АВ* — ВС.ВО	А В2 — ВС .В D
ВС
BD
В силу равенства числителей будут равны и
знаменатели:
В С = В D.
В этом и заключалось наше утверждение.
27
У го л,
прил ежащии
А
к гипотенузе
прямоуголь¬
ного равно¬
бедренного
треугольни¬
ка, р а в е н 60°.
На прямой В С
по одну сторо¬
ну ее построим
равносторон¬
ний треуголь¬
ник ABC и
равнобедрен¬
ный прямо¬
угольный тре¬
угольник DBC
(черт. 11). Отло-
^ жим сторонуЛС
на прямой АС
о от С до Я.
Точку Н соеди¬
ним с серединой
К стороны BD и продолжим за К до пересече-
Черт. 11.

Геометрия
31
ния в L с продолжением ВС. Точку L соединяем
с D. К стороне LD в ее середине М восставим
перпендикуляр, который пересечет в точке О
перпендикуляр, восставленный к прямой LD
из ее середины N х). Эту точку О соединяем
с точками C,D,H и L. Теперь, OD и ОL, а
также OL и ОН равны, т. е. ОD = ОН. Сле¬
довательно, треугольники ОСН и OCD равны,
так как CD — СИ. Отсюда следует,* что угол
, DC В, прилежащий к гипотенузе прямоуголь-
. ного равнобедренного треугольника, равен
углу равностороннего треугольника.
28
Окружности всех кругов равны.
Оба данных круга можно наложить концен-
Черт. 12.
трически один на другой и твердо соединить
друг с другом (черт. 12). Пусть больший круг ка¬
тится по прямой AD, пробегая длину Л D, рав¬
ную его периферии. Тогда точка ^ на пери-
х) На чертеже точки N и /^расположены очень
близко одна к другой!

32
Ошибочные умозаключения
ферии меньшего круга опишет путь СВ.
Отрезки Л D и СВ равны, как противоположные
стороны прямоугольника. Так как, кроме того,
оба круга твердо связаны друг с другом, то
при одном обороте большего круга меньший
тоже сделает только один оборот. Таким обра¬
зом, прямая СВ есть не что иное, как развер¬
нутый меньший круг. Отсюда следует, что
окружное™ обоих кругов равны по длине.
Сумма углов сферического тре¬
угольника есть 180°. Вот известное дока¬
зательство теоремы о сумме углов плоского
* треугольника: чертят
треугольник ABC,
Если, наконец, сделать в точке А поворот в сто¬
рону В на угол аг, то получим то же направле¬
ние, которого мы держались'при вступлении в
круговой обход, с той тодь'ко разницей, что
мы за этот промежуток времени успели обер¬
нуться один раз вокруг/самих себя, т. е. на
угол в 360°. Сумма внешних углов равна по¬
этому 360°. Так как внутренний угол вместе
29
примерно, на полу,
затем переходят сна¬
чала от А к В, обра¬
щаются к С, повер¬
нувшись на внешний
угол /Г; теперь пере¬
ходят в С, делают
поворот на угол у'
в направлении к А.
Черт. 13.

Геометрия
33
с соответствующим ему внешним составляет
180°, то сумма всех внутренних и внешних
углов равна 540°; для суммы внутренних
остаются, следовательно, 180°.
При этом доказательстве нигде не пользу-
, ются тем обстоятельством, что движутся по
плоскости. Поэтому можно целиком применить
то же доказательство и к треугольнику на
какой-угодно кривой поверхности. Если, на¬
пример, А, В, С будут не три близко лежащие
друг к другу точки на полу комнаты, а три
далеко отстоящие друг от друга пункта, взятые
в Германии или где-либо на земле, то резуль¬
тат будет тот же. Отсюда ясна справедливость
нашего утверждения и для треугольников на
шаровых поверхностях и даже на любых кри¬
вых поверхностях.
Сумма двух параллельных друг
другу сторон трапеции равна 0. Про¬
должим парал-
дем обе диагонали трапеции^ /iu и BD, и
прямую, соединяющую точки Е и Е. Три части,
30
лельные сто¬
роны трапеции
А В
Е
в противопо¬
ложных напра¬
влениях, а
именно а зз В
до Е на длину 6,
b за D до F на
длину а. Прове-
ABCD (черт. 14)
F D	ЖС

34
Ошибочные умозаключения
на которые делится отрезок BD прямыми
АС и EF, пусть будут г, у их. Из двух пар
подобных треугольников получим
а х	z
_
y + z х+У
Если к последней части этой пропорции при¬
менить теорему об отношении разности пре¬
дыдущих к разности последующих, то получим
1 .
Поэтому
Ь z — х
= — b, или а-\-Ь = 0.
31
Все треугольники суть равносто¬
ронние треугольники. Продолжим сто¬
роны b и с треугольника
ABC (ч^рт. 15), а имен¬
но сторону с на вели¬
чину b до точки D, а
сторону b на длину с до
точки Е. Из теоремы об
отношении синусов в
применении ^.треуголь¬
никам ВСЕ^Ш BCD (обо¬
значая соответственно че¬
рез	у	величины
углов А, В, С треугольника ЛВС) вытекает:
I о I ^ У° ^ "4~ с • I
8,п10+тЖ*—8Шт°
sin (у-Ь-
6 + С • 1
—— sin^-a.
a	2

Г еометрия
35
А отсюда получаем
sin ^ + у aj =sin (y + ya) .
то есть,
P = Y-
Таким же образом найдем, что у = а, а если
все 3 угла треугольника равны между собой,
то треугольник равносторонний.
32
Диагональ квадрата равна сумме
двух его сторон. Пройдем путь от Л к С в
нарисованном здесь
квадрате (стороны
которого для про¬
стоты положим рав¬
ными 1) таким обра¬
зом, что пойдем сна¬
чала в В, а затем в
С; пройденный путь
равен тогда 2. Длина
пути остается не¬
изменной, если мы
вместо этого пути
пойдем по ступень¬
кам АВ1В2В3Сл Если
теперь удвоить число ступенек, уменьшив
вдвое высоту каждой из них, тр^ общая
длина пути все же останется \ равной 2.
Мы можем так продолжать^на чертеже
указано такое последоватед^йбе удвоение
еще дважды. Пусть число ступенек, благо¬
в	в8	в'	с

36
Ошибочные умозаключения
даря дальнейшему удвоению, возрастает до
бесконечности; общая длина пути постоянно
остается равной двум, самый же путь все
больше приближается к диагонали АС и в
пределе сливается с нею.
Длина диагонали оказывается, таким обра¬
зом, равной 2. Доказательство не связано не¬
пременно с квадратом; можно с одинаковым
успехом исходить из параллелограмма и до¬
казать, что его диагональ равна сумме двух
смежных сторон.
33
я = 2. Начертим круг и один из его диаме¬
тров. Если d есть длина диаметра, то длина
окружности равна
jvd. Начертим вну¬
три нашего круга
два других круга,
центры которых ле¬
жат на диаметре, и
диаметры которых
равны радиусу пер¬
вого круга. Пусть
они расположены
так, как указано на
черт. 17*; Сумма окру-
Черт. 17.	жностДЙ этих 2-х кру-
годИтакже равна зъ d.
Если в каждый из двух внутренних кругов
вписать подобным же образом по два круга,
то сумма окружностей] fecex четырех кругов
все еще равна буде|1 я d. Это остается спра¬
ведливым, сколько^ бы мы ни продолжали

Геометрия
37
указанный процесс. Что же мы получим в пре¬
деле для'бесчисленного множества кругов?
Полученная фигура будет незначительно от¬
личаться от самого диаметра, который, разу¬
меется надо вообразить себе двойным: с одной
стороны, как предел к которому стремятся
верхние части кругов, с другой стороны, как
предел нижних частей. Таким образом, мы
найдем
л d = 2d.
Итак,
зъ = 2.
34
2
зг = 2у . Площадь*половины эллипса, огра¬
ниченная малой осью, есть у я; а#, где а и b
половины главных осей эллипса. Площадь
плоской фигуры, ограниченной дугой пара¬
болы и хордой длиною 2 Ьу проведенной па¬
раллельно касательной в вершине на рас¬
стоянии а от касательной, равна	а. 2 6. Если
/Луг
полуось эллипса а станем увеличивать
определенно, то эллипс превратится в пара¬
болу. В пределе получим равенство
-^-jzab = — a.2b.
Jy
Следовательно,
8 « 2\^
^="з = у

38
Ошибочные умозаключения
35
Принципы построения машины
времени. Из землеведения известен тот
факт, что судна, совершающие кругосветные
путешествия, в известном месте меняют дату
(место это находится приблизительно за 180-ым
меридианом), т. е. от натуральной последова¬
тельности дат отбрасывают один лишний день
при движении с запада на восток и, наоборот,
прибавляют один день при обратном переходе.
Представим себе такой случай, что удалось
бы построить столь быстро летящий аппарат,
который мог бы облететь один раз вокруг
земли в 23 часа. В таком случае летчик, дей¬
ствуя согласно указанному выше правилу,
при полете с запада на#восток вернулся бы
к исходному пункту на один час раньше, чем
вылетел. Жаль, что при теперешнем состоя¬
нии авиации такой способ не может еще при¬
меняться в действительности. К счастью, задачу
проникнуть в давно минувшие или будущие
времена можно разрешить еще иначе. От¬
правляются на северный полюс. Если обойти
его по направлению с запада на восток, то с
каждым оборотом мы будем терять один день,
так как при каждом переходе ч^рез соответ¬
ствующее место изменения,^даты мы один
день должны отбросить. ТакИке, как мы пе¬
реходим к временам прошедшим, мы можем
шагнуть и вперед в ^б^щущее: стоит только
обходить полюс в противоположном направле¬
нии с востока на з&пад. Если построить ап¬
парат, который создал бы возможность бы-

Геометрия
39
строго обращения вокруг полюса, то с помощью
такого аппарата можно было бы в короткое
время вернуть молодость самым старым людям,
открылись-бы неожиданные перспективы для
истории, и каждый получил-бы возможность
бросить взгляд в будущее.
36
Яэроплан имеет собственную скорость в с
километров в час. Он летит по ветру, соб¬
ственная скорость которого v килом, в час,
направляясь к городу, отстоящему на / кило¬
метров. По прибытии туда, он немедленно
поворачивает обратно и летит против ветра.
Так как замедляющее действие противного
ветра на обратном пути равно ускоряющему
действию попутного ветра на прямом пути, и
так как равны расстояния, на протяжении
которых имели влияние ускорение и замед¬
ление, то ускоряющее и замедляющее дей¬
ствия ветра взаимно уничтожаются, и поездка
туда и обратно потребует Щ часов. Если, на¬
пример, с = 80км, / = 600 км, то на поездку,
будет затрачено 15 часов. Как мы видим, силцу*
ветра v здесь не при чем. Скорость ветра без*
различна: воздушный корабль возвратился к
месту отхода в 15 часов, ибо опозда^|й|^ при
движении в прямом направлении от/против-
ного ветра будет компенсироваться ускоре¬
нием при обратном движении. Р^умеется, мы
должны допустить, что во вре*р поездки ско¬
рость ветра остается неизменной.

40
Введение
Этот результат показывает, что аэроплан
мог-бы вернуться обратно даже в том случае,
если бы скорость ветра при поездке туда и
обратно равнялась бы собственной скорости
аппарата, или, пожалуй, даже превосходила
бы ее!
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Ученические ошибки в математике
1.	ВВЕДЕНИЕ
Приводимые ниже 50 задач, за немногими
исключениями, „действительные", т. е. они в
такой именно форме, как мы их при¬
водим, сдавались мне или моим коллегам
учениками в процессе ежедневных занятий
или на экзаменах; многие из этих задач пред¬
лагались так называемой „общей подготови¬
тельной испытательной комиссией" в Дании,
в состав которой я входил, как экзаменатор,
в течение многих лет. Грубые ошибки в счете
встречаются в этих примерах только в виде
исключения. Неправильное понимание и не¬
понимание пройденных теорем наряду с ло¬
гическими ошибками—таковы недочеты, кото¬
рые встречаются чаще всего. ^Нередко все
написанное вполне правильнс^йЬ не хватает
чего-то более или менее существенного, и
это делает решение неудовлетворительным;
иногда заблуждение вУзвано неправильным
чертежом. Особого ^Внимания заслуживают
отдельные любопытные случаи, где вывод
правилен, несмотря на то, что были допущены

Введение
41
серьезные ошибки, друг друга компенсиро¬
вавшие.
Что касается порядка расположения задач,
то первоначально я имел в виду группировать
их по родам ошибок; но проведение этого
принципа оказалось затруднительным и даже
невозможным. Тогда я решил разбить все
задачи на 4 группы соответственно их мате¬
матическому содержанию и внутри каждой
группы строго придерживаться такого прин¬
ципа расположения: на первом плане от¬
сутствие знания, затем отсутствие уме¬
ния и, наконец, недостаточное мы¬
шление. Эта классификация отнюдь не яв¬
ляется идеальной; граница между уменьем и
правильным рассуждением не всегда может
быть строго проведена: в одной и той же
задаче могут встретиться ошибки различного
рода; в двух из сообщенных стереометриче¬
ских задач ошибки алгебраического харак¬
тера. Несмотря на это, принятый порядок
расположения материала наиболее удобен,
как для автора, так, быть может, и для
читателя.
Я убежден, что чрезвычайно полезно озна¬
комиться с наиболее часто встречающимися^
при решении задач ошибками. Даже тот, ккУ'
в состоянии правильно решить задачу, часто
не сразу найдет ошибки в неправильном ре¬
шении; иногда он сочтет нечто правильное
за ошибку, или же ошибочное \ примет за
правильное, или же, умея, быть может, ука¬
зать ошибки, затрудняется уловить ход мыслей,
приведший к этим ошибкам.v
ч!

42
Ученические ошибки
Таким образом, я надеюсь дать не только
учащим, но и учащимся желательный им ма¬
териал, ибо очень часто ошибочно решенная
задача дает гораздо больше для математиче¬
ского разумения, чем задача, которую сразу
удалось решить гладко и правильно.
Затем еще одно замечание: решения задач,
как сказано, повторяют с буквальной точ¬
ностью решения, данные самими учениками.
Большинству этих ученических изложений свой¬
ственна одна ошибка. Ученики избегают тек¬
ста и ограничиваются скелетом формул даже в
тех случаях, где пояснения неизбежны. Какие
из-за этого возникают трудности для понимания,
показывают многие из следующих примеров.
II.	АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
1
Требуется решить уравнение
Ух + 4	  Ух	—	4
УУ+1+2Уб + 1 -yy+i-2V6 + l ’
Решение
2 /б^+ К^+4 //^T^t/6-|-4=
=V>?+x+2Vr6x+Vx—‘1 —8/6-4;
-j-1 -j-8 = 4|/^6 x\ 2 l^^f- \ = У bx 2;

Алгебраические уравнения	43
2
Написать уравнение, оба корня которого на
\ меньше,чем корни уравнения 7л;2 — блг-j-l =0.
Решение
Пусть а и |8 будут корнями данного урав¬
нения; тогда корнями нового уравнения будут
а-|-уи/?+у,и уравнение
-У2~(а+Т+^+т)-у+(а+т) (^+т)=0
будет искомым. Но
сс-]—	=	б, а£?= 1
(теоремы о сумме и произведении корней
квадратного уравнения); поэтому получим
У — 7у + Ц = 0,
или
4у2 — 28у + 17 = 0.
3
Дано .V-[-л: J/2 = 1; требуется найти л;.^^
Решение	Jp"'

44
Ученические ошибки
4
х-{-2Ух = 3; требуется найти х.
Решение
x + 2Vx = 3,
]/^=-l±J/4 = {_3
В силу того, что данное уравнение содержит
квадратные корни, необходимо подставить
найденные значения. Тогда мы видим, что 1
удовлетворяет уравнению, а 9 есть „посторон¬
ний корень".
5
Из уравнений
надо найти х и у. Специально требуется ис¬
следовать случаи а = 0 и а = —3.
(а — 2) аг —|- (3 а— \)у = 2а;
4х — 2 (а — 1 )у = — а
Умножим верхнее уравнение^а 4, а ниж-
Решение
нее на а — 2.*3атем путем вычйтания получим:
у (2а2 -f-18 а) = ф'	б Д,
поэтому
  a (a	я	+	б
У~ 2а{а-± 3)~2(а + 3)

Алгебраические уравнения	45
Вставляя это выражение в верхнее уравнение
имеем:
а — 3
х:
2(а + 3)'
Если а = 0, то х = — у, _У = 1 •
Если а =— 3, то х =— оо, у= ос.
6
Из уравнений
(1)	а2х2	=	Ь2у2
(2)	2	а х2 = Ь2 су
надо отыскать х и _у.
Решение
Путем деления получим
су_у_
2 с ’
или
ас
т-
Вставляя в (2),
2ах2 = Ь2с-Ц->
х2-—,
4	у
I
АГ = —"2” У
Вставляя в (1),
2	2>3С2	,0 2	2	Д2С2<^	I	ас
a2--j- = b*y2, _у2=—,V у ==_)___

46
Ученические ошибки
7
Решить уравнения
(1)	X2—У = 9,
(2)	2х + 3у = 22.
Решение
Из (2)
22 — Зу
Х-~2
и, вставляя в (1), имеем:
5^ —132^ + 448 = 0,
Вставка в (1):
и 112
у = 4. и -у
х = + 5 и ’■х: = + -^-
8
Ищутся два числа, которых сумма, про¬
изведение и сумма квадратов равны между
собою.
Решение
Из	^
х+у = ху=:х*Л-1#>'
получим, так как
х2-\-у2 = (g++)2 — 2 ху,
3(-’с+3') = (л'+3')".
X +у 3=3,

Алгебраические уравнения	47
и тогда х и у оказываются корнями уравнения
и2 — 3 гг —}— 3 = О,
откуда
3 + У—з
“ = —у—•
Задача имеет, следовательно, только мнимые
решения.
9
Из Скандерборга в Силкеборг г) идут 3 по-
езда: А, В и С. На весь путь поезд А тратит
на 10 минут больше, чем В, но 40 минутами
меньше, чем С; скорость хода поезда А
(путь, пройденный в 1 час) на 6| километра
меньше, чем скорость поезда В, но на 12f ки¬
лометра больше, чем скорость С. Сколько
часов тратит поезд А на всю поездку, и ка¬
кова его скорость?
Решение
А в пути 60 х мин, скорость его	у	клм,
В „	„	50*	. „	„	у-\- Ц „
В „	п 100*	„	„	у 12f „
В таком случае можно написать уравнения
xy = (x--i)(yJr4),
60 ху = 50 ху -j- 310 *
У = 31
откуда в силу пол^ч.
ранее результата
Искомая скорость равна 31 километру^ а про¬
должительность всей поездки дд^йоезда А
равна 1 часу.
*) Два ютландских городка-^v

Алгебраические уравнения	49
откуда, с помощью полученного ранее резуль¬
тата, найдем
а2 — Ь2
ху=~2—
Составим тогда квадратное уравнение:
~2
г— .а2 — Ъ2 п
-а]/2 .z-\-—?— = 0,
из которого находим
а У 2 , т/2^2	а	У 2	. ЬУ2
z = -j-± У -4-	2“ = -Г“±Т“в
Стало быть,
(а-b) У 2 '
{а + Ь)У 2
Х~~ 2
  (а — Ъ) У 2
2
(а + Ь)У2
2
12
Составить уравнение, корни которого долж¬
ны быть квадратами корней уравнения
х*-\-ахъ-\-Ьх2-\-cx-\-d = 0. Какие значения
надо приписать коэффициентам а,Ь,си d, что¬
бы оба уравнения совпали?
Решение.
Назовем неизвестную нового уравнения че^
рез у, в таком случае
X = ±VУ-
Вставляя это выражение в данное(уравнение,
получим уравнение
y* + ayYy-\-by-±_c - d = 0,

52	Ученические	ошибки
Решение
log л; log у + log л: log -| = log у ;
log л: (log у + log-|) = log у; _
log л. log у = log у;
log х=\\
лг = 10.
15
Найти х из уравнения
9.12^ = 6*'
Решение
Если положить Yх=у> то уравнение пре¬
вратится в
9. \2У= 6у7
или
9.(2.6f =[6У]2;
это уравнение распадается на 2 уравнения:
6У = 0 и 9.2? = 6У,
из которых первое не дает ]т$?у никакого
конечного значения. Второе Преобразовы¬
вается следующим образом.;«|И
<\ А*
9.2У = 2У-3У
и затем снова распадется на
2У = 0 и 9 = 3У.

Арифметика и алгебра
53
Первым из этих уравнений, как и раньше,
пренебрегаем; из последнего получаем:
Из сосуда, содержавшего вначале 2000
литров воды, вытекает через трубу 50 литров
в минуту. Сколько воды содержится в сосуде
по истечении 1, 2, 3,, х минут? Является ли
количество воды в сосуде прямо или обратно
пропорциональным времени? Является ли
вытекающее количество воды прямо или
обратно пропорциональным времени?
По истечении 1 минуты в сосуде находится
2000 — 50 = 1950 литров
по истечении	2	минут	в	сосуде	находится
2000 — 2.50 = 1900 литров
по истечении	3	минут	в	сосуде	находится
2000 — 3.50=1850 литров
по истечении	х	минут	в	сосуде	находится
Чем больше прошло времени, тем ме^цше
количество воды в сосуде, т. е. когц|чё<:тво
воды в сосуде обратно пропорционально вре-
мени.
Чем больше времени прошло* |€м больше
успело вытечь воды из сосуда, w^.° количество
воды, вытекающее из сосудЦчпрямо пропор¬
ционально времени.
у = 2, следовательно х = 4.
16
Решение
2000 — л:.50 литров.

54
Ученические ошибки
17
Вычислить с помощью логарифмов
з
чину * =/log 0:3.
Решение
* = /0-4771—1 = /— 0*5228;
log (—х)== 0-239 5;
log jc = — 0 239 5 = 0760 5 — 1;
х = 0-5761.
18
(4Г*+(4Г'-?:
найти *.
Решение
41од* 91оЗ  13^
glog* 1 glOg* "б"»
чтобы это имело место, должно быть
log * = 1,
поэтому	^
*=™.
Найти х из уравнения
9 Л21/т=6х.
вели-

Арифметика и алгебра
55
Решение
Если положить
V х= У1
то предложенное уравнение изменится в сле¬
дующее:
Если разложить числа 9, 12 и б на перво¬
начальных делителей, то после простейших
преобразований получим:
3*+у ^2у 2У* Зу2
Так как число только одним способом раз¬
лагается на первоначальных множителей, то
Так как уравнения должны быть совместны,
то пригоден только корень у = 2. С
9А2У = 6Г.
2+у=у2; 2у=у2у
или соответственно
Для каких значений а и ^Уёыполняется
неравенство	оЛ
Ух = 2, х = 4.
20

56
Ученические ошибки
Решение
а* + Ь*>2аЬ
а2 — ab^> ab — Ъ2
а {а — b)^>b{a — Ь)
а^> Ь.
Неравенство, таким образом, всегда имеет
место, если
а > Ь.
21
Даны 3 числа
£1 = 2”.5Р.7,
£, = 10”. 24,
tB = 6n Л5Р .20.
Требуется найти общий наибольший дели¬
тель и общее наименьшее кратное этих чисел;
пир суть целые положительные числа ип<^р.
Решение
Мы имеем
^ = 2п.5р.7,
f8 = 2".5”.23.3,
t3 = 2n .3" .5Р . Зр сФ°. 5.
4%’
Поэтому общ. наиб. дел. = 5^*:2Л , если п < 3,
и = 5”.23, если п^> 3.
Затем отыскиваем орЖ наиб. дел. для
и уже найденного числа*
Общее найм, кратйое найдется путем деле-

Арифметика и алгебра
57
ния произведения этих чисел на их общ.
наиб, делителя.
22
Доказать, что я4 — 1 делится на 240, где п
простое число, большее 5.
Решение
240 = 3.5.24;
я4—1 = (я2 —|— 1) (ft ~j~ 1) {ti — 1).
3 будет делителем, потому что п — 1,/г и п-f-1
три последовательных числа натурального
ряда. Одно из этих чисел должно делиться
на 3, но простое число п не может быть
кратным числа 3. Число /г4—1 делится на 5
по теореме Ферма х). Число/г4 — 1 делится на
24 в силу следующих соображений: п дает при
делении на 2 остаток 1, поэтому п4 при де¬
лении 'На 24 дает остаток 14=1. Если же при
делении на 24 получаем в остатке 1, то я4—1
делится на 24.
23
Какие остатки могут получаться при деле¬
нии аъ — а на 12 {а положительное целое
число)?	^
  ^
г) Теорема Ферма гласит: при р простом и а це¬
лом, не делящемся на р без остатка, число ар~1 — 1
делится без остатка на р. Эту теорему^а^ывают иногда
также „малой" теоремой Ферма в ^отличие от столь
знаменитой в новейшее время ^большой теоремы
Ферма" (ср. Матем. библиот. 3 томик).

58
Ученические ошибки
Решение
Выражение
а3 — а = а(а-}-1)(я— 1)
делится на 3, потому что три множителя пред¬
ставляют три последовательных числа в ряду
чисел. При делении на 4 число а дает один
из остатков 0, 1, 2 или 3; число а3 дает со¬
ответственно остатки 0, 1, 8 или 27, число
а3 — а дает поэтому 0, 0, 6, 24; если же оста¬
ток есть 24, то деление возможно; итак, ответ
О или 6.
Если два числа а и b взаимно-простые, то
а-\-Ь и а.Ь также взаимно-простые. Это тре¬
буется доказать.
Решение
Если число делит произведение ab, то это
число необходимо должно делить только од¬
ного из множителей, например, множителя а.
В таком случае а-\-Ь не может делиться на
это число, иначе и b делилось бы на а (сумма
только в том случае делится на некоторое
число, если каждое слагаемое делится на это
число), но b не может делиться н§ч£, потому
что а и b числа взаимно-просты^ Итак a -f- b
не делится ни на какого множителя произве¬
дения ab, i.e. а-\-Ь и ab числа р|аимно-простые.
жительные числа, то^э^абсолютной величине
а-\-Ь больше, чем а^—Ь.
24
Требуется
если а и b поло-

Арифметика и алгебра
59
Решение
Обозначим числовое значение числа t че¬
рез \t\ и будем рассуждать так:
\а + Ь\ = \а\ + \Ь\\
М;Н61>М —1*1;
\а\ — I ^ I = I a^ I •
Следовательно,
I я + £ | > | я — Ь |,
что и требовалось доказать.
26
Требуется исследовать, можно ли из нера¬
венств
ab^cd и ae^>cf
вывести неравенство
bf^> ed
(все буквы обозначают положительные числа).
Решение
о ^°v
Путем деления	фу'
откуда
bf>ed. У}У
(jQ
Итак, на поставленный вопрос следует отве¬
тить утвердительно.

60
Ученические ошибки
27
Требуется найти последний член ап и число
членов п геометрической прогрессии, в кото¬
рой первый член равен а, знаменатель k, а
сумма членов Ь.
Пример 1.
Пример 2.
а = /г = 3, Ь-
a = k = 3, b -
--1 092.
10000.
Решение
Пример 1.	1	092
_з-«л.з
Пример 2.	10000	=
1—3	’
ап =729;
729 = 3. з"_1 = з";
й = б.
3 - а„. 3
1—3	•
а„ = б667|;
66671 = 3"! ’
_ 1од6б6767__3-В24 0
”	log	3
' 0‘477 1
‘У
28
= 8*01.
Первый и четвертый члены геометрической
прогрессии соответственно равны 2*1 и
— 0*0168; сколько ^ членов ряда надо взять,
чтобы составить сумму 1*75056?

Арифметика и алгебра
дает
или же
откуда
П :
Решение
2*1 .qB= -0*016 8;
Я = -0-2;
1-75056 = 2-1 '
(— 0-2)” = — 0,000 32,
log 0Ю0032	0*505 2—4 к ^ ч
: 1^0-2 ^ 0301-0=1 =5 (Гфиблиз.).
29
Найти л: из уравнения
. log (5 + 3 х) * + log (5 — 2л:)1 = 4.
Решение
2 log (5 + Зж) + 2 log (5 — 2х) = 4
log [(5 + 3*) (5-2*)] = 2
25+ 15л:—Юл: —6л:2 = 100
6л:* — 5л: + 75 = 0
 5 ± +25 — 24. 75	5	±5+71+^1
* 12 .12 ^
IV.	ГЕОМЕТРИЯ HR ПЛОСКОСТИ >Ф°
30 #
Построить выражение
х = |/(2+-62)1^2 ' •
3
где а и b данные отрезки

62
Ученические ошибки
Решение
Положим
2 а2 — Ь2 =у2
и построим у2, как катет прямоугольного тре¬
угольника, в котором 2а гипотенуза, а b вто¬
рой катет. Тогда
так что z будет четвертой пропорциональной
величин 3, у и |/2". Наконец, строим
как среднюю пропорциональную между у и z.
Даны 2 концентрических круга; их радиусы
а и Ь, причем а^>Ь. Найти радиус третьего
круга, концентрического двум данным, кото¬
рый делит кольцо между двумя данными кру¬
гами на два других кольца таким образом, что
площадь внешнего кольца вдвое больше пло¬
щади внутреннего.
Решение
Назовем искомый радиус через х; применяя
теорему о площг	^ных	фигур,	найдем
Положим
УУ2
3
31

Геометрия на плоскости
63
откуда после преобразований имеем:
х2 -2х{2а — Ь)-\-2а2 — Ь2 = 0,
x = 2a — b±V4a2 + b2 — 4ab — 2a2 + b2,
х = 2 а — 6 +(а — Ь)У2.
32
Дан треугольник ABC.
пересекающую сто¬
роны АВ и ВС и
равноотстоящую от
А и Ву причем рас¬
стояние ее от В вдвое
больше ее расстоя¬
ния от С (черт. 18).
Решение
Разделим АВ по¬
полам в точке М\ ВС
Провести прямую,
Черт. 18.
разделим на 3 равные
части, и пусть N ближайшая к С точка деле¬
ния. Прямая, проходящая через точки М и N,
и будет искомая.
33
В треугольнике ABC даны стороны
а = 1*3 ему Ь = 05 см, c = V2cm.	^
Биссектриса внешнего угла при В пере¬
секает продолжение АС в D. Наmj^AD
(черт. 19).
# На основании
написать
л:
Г3~
Решение
известной
х + 0*5
1*2
. V£V
теоремы
можно
— 0-1

64
Ученические ошибки
откуда следует
х-{-0'5 = — 6.
Так как отрезок не может быть отрицатель¬
ным, то
AD = 6cm.
34
Биссектриса острого угла прямоугольного
треугольника делит противоположный катет
на 2 отрезка длиной
в 4 и 5 см. Как велики
стороны треугольника?
(черт. 20)
Решение
х ^/v

Геометрия на плоскости
65
35
Через середину хорДы, соответствующей
центральному углу в 120°, проведена другая
хорда; один из ее отрезков втрое больше
другого. Что это за хорда?
Решение
Это должен быть диаметр, потому что рас¬
стояние хорды от центра равно половине ра¬
диуса, так что двумя отрезками проведенной
хорды будут \г и |г (г = радиус круга). Второй
отрезок, таким образом, втрое больше первого.
36
Два круга, пересекающие друг друга в Р и Q,
касаются сторон угла; точки касания одного
А и Лъ другого В
и В±, так что А и
В лежат на одной
и той же стороне
угла. Требуется
доказать, во 1-х,
что продолжения
прямой PQ про-	ч	21
ходят через сере-	р	*
дины отрезков ЛВ и А±ВХ и, во 2-х, что AAlt
ВВХ и PQ друг другу параллельны (черт, 21).
Решение.
Положим, что PQ пересекает ©|р»езок АВ
в точке С, а отрезок АХВХ — в ?0Ще Сг. Тео¬
рема о секущей и касательной дает:
C42 = CP.CQ^&2.

бб
Ученические ошибки
Таким образом, С есть середина АВ. Таким
же приемом найдем, что С1—середина А1В1.
AAV PQ и ВВХ параллельны друг другу,
потому что отсекают равные части на прямых
АВ и AtBv ;
37
Построить треугольник по двум отрезкам,
на которые бис¬
сектриса угла де¬
лит противолежа¬
щую сторону, и
одному из углов,
прилежащих к
этой стороне. Ука-
Черт. 22.	зать,	какое	усло¬
вие должно быть
соблюдено, чтобы задача имела два различ¬
ных решения (черт. 22).
Решение
На одной стороне данного угла (Л) откла¬
дываются данные отрезки а и Ь. Вершина
третьего угла треугольника будет пересече¬
нием другой стороны угла с окружностью
„круга отношений" х). Если долящы суще¬
ствовать два решения, то сторона угла должна
пересечь окружность. В том случае, когда они
касаются друг друга, мы получим для опреде-
"V'
х) Этот круг есть геометрическое место точек,
обладающих тем свойство^ что расстояния каждой
из них от точек А ц & относятся друг к другу,
как а: Ь.	7

Геометрия на плоскости	6‘
ления радиуса г круга отношения:
а а -\-2г
откуда
г-
2 г— <
а Ь
таким образом,
sin А
а — Ь ’
аЪ
г	а	—	b	ab
a-\-r	,	ab	а2	а
аЛ й
1 а — b
Два решения требуют, стало быть, чтобы
было
• и ^ Ь
sin А < —
^ а
Как известно,
sin А < 1 .
Из этих двух неравенств имеем
— <С 1 или b < я .
а	^
Искомое условие сводится, таким образом, к
тому, чтобы больший из данных отрезков
прилегал к вершине данного угла.
38
В прямоугольном тре¬
угольнике даны катеты
а и Ь. В треугольник
вписан квадрат, одна из
вершин которого созпа-
дает с вершиной прямого	Черт.	23.
угла. Как велика сторона’ кваДрата? (черт. 23)

68
Ученические ошибки
Решение
Диагонали квадрата делят пополам его
углы. По известной теореме о биссектрисе
угла в треугольнике (см. обозначения на чер¬
теже) имеем:
а Ь а-\-Ь	а-\-	Ъ
~т р	у^+'р’
отсюда
а Уа?+~Ь*
т =—	г
a -j- b
Затем из малого прямоугольного треугольника
слева:
«> , г	\2	•>	°2 (°2 + £2)
+ О - *)2 = ™2 =	i
Если решать это уравнение обычным обра¬
зом, т© найдем для искомой стороны квадрата
2 значения, а именно,
ab	а2
х =——f* и X
а-\- b	а-\-Ь
39
У двух треугольников стороны соответ¬
ственно равны а, Ь, с и av^gic1, их пери¬
метры р и рх. Дано, что
av€rPi '	•
4v '
Подобны ли эти треугольники?

Геометрия на плоскости
69
Решение
Если треугольники подобны, то, как изве¬
стно,
а   Ъ   с
аг	Ьх ~	сх 5
из того, что дано, и на основании известного
предложения из учения о пропорциях, получаем
а Ь с ас  р
а
ai +	+	ci	Pi
если же стороны двух треугольников пропор¬
циональны, то треугольники подобны.
40
В каких описанных четырехугольниках диа¬
гонали взаимно перпендикулярны? (черт. 24)
а/
\ь
X N.
X У
Z )
и /
d\
/ с
Черт. 24.

70
Ученические ошибки
Решение
Так как четырехугольник описанный, то
(см. обозначения на чертеже),
о. —|— с=== Ь —|— d.
Согласно теореме Пифагора
• a2 -j- с2 = х2 -{-у2 -f- z2 -j- и2 = Ь2 -j- d2.
Из этих равенств можно получить
а2 — b~ = d2 — г2	а2 — d2 — b2 — c2
и
а — b — d — с
Путем деления
(I —{" b — d — |— с
Стало быть a — d
и b — с
а — d — b •
с.
Путем деления
cl —j— d b —j— с
Стало быть а — Ь
и d~c.
Все четыре стороны четырехугольника
равны, т. е. четырехугольник есть ромб.
V.	ТРИГОНОМЕТРИЯ. СТЕРЕОМЕТРИЯ И АНА¬
ЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Высота тетраэдра А — BQD, проведенная
из вершины Л, равна /г, три ребра, выходящих
из вершины В, относятся между собой, как
три данных числа р, ^ й двугранный угол
между ABC и DBC есть а; <£ ABC —и и
<£:DBC = v. Требуется найти объем тетраэдра.

Тригонометрия
71
Решение
АВ : ВС: BD = p:q:r;
АВ __ р
ВС. BD	’
BC.BD = ^^\
Р
V — \ h . \ ВС. BD sin v = ~- 1г . AB'qr- sin v\
D	£	Op
ЛВ= h	V—	№<lrsXnV
sina.sinw ’	6p	sina sinw
42
Круговой сегмент вращается около оси,
которая проходит через центр круга, не пе¬
ресекая сегмента. Отношение между объемом
тела вращения, полученного при полном
обороте сегмента, и всей поверхностью на¬
званного тела есть ^ радиуса круга. Какое
выражение можно получить для определения
числа градусов соответствующей дуги? Какие
значения можно приписать числу п!
Решение	s
Пусть г будет радиус, искомое чисдр гра¬
дусов 2л;, хорда сегмента k, ее расстояние от
центра шара Q, ее проекция на ось враще¬
ния h. Тогда, согласно известным\формулам:
-irnhk*
6 1 »
	-TZI	—^ г
2 nrh + 2 ngh	п *

72	Ученические	ошибки
ИЛИ
nk2 = \2r{r + Q).
Если внести сюда
k = 2rsin л:
и
Q = r cos л:,
то получим
п. 4г2 sin2A: = 12r2 (1 -|- cos л:),
или
л sin2* — 3 (1 cos л:),
равенство, которое можно переписать так:
п.4sin2 у cos2 у = 3.2 cos2 у ,
откуда
I
2п — 3
*	1/3	л:	1/:
ЯП-2 = Кй- C0s Т= V 2п
и, наконец,
т/б
sin л: = I/ -
и/6п — 9
sin а: = |/ —^5—,
Так как sinA; должен быть веществен¬
ным, то	D
6я 9 25 0,	^
стало быть
^ з ^
"Чл-!
В виду ТОГО, ЧТО	^	Х
sin^^ 1.
• должно быть
6п —9 5S л2,

Тригонометрия, стереометрия
73
ИЛИ
п2 — 6я + 9^0,
(п — 3)2^0,
п^З.
Ответом на последний вопрос задачи является
поэтому
п^З.
43
Если развернуть на плоскости кривую по¬
верхность конуса вращения, то мы получим
круговой сектор, дуга которого 237*77°. Тре¬
буется вычислить осевой угол.
Решение
Образующая конуса пусть будет s, радиус
основания г и половина осевого угла v\
в таком случае
откуда
= 237*77°,
г = 37*85;
Далее> 	 ‘
откуда
наконец,
откуда
237’77	о	Qi-,,Qr
-W^^'3? 85Л	рф
s = 57-31;
37-85
sin © = =7^. ЛОГ
©=--41-35°. '

74
Ученические ошибки
44
На прямой расположены три точки Л, В, С
в определенном порядке; требуется найти
аналитическим путем геометрическое место
точек, из которых АВ и ВС видны под
одинаковыми углами.
Решение
Оси координат располагаются таким обра¬
зом, чтобы точки А, В, С и переменная точка
Р имели соответственно координаты (0,0);
(а, 0); (b, 0) и (х,у). Согласно данным требо¬
ваниям получаем
аг {х — а)	(х—а)(х — Ъ)
Если привести дроби к обычному виду и
упростить равенство, то получим после сокра¬
щения на у:
х2 -j~_y2 — 2ах -j- а2 = 0;
уравнение представляет собою круг*ф
45
Составить уравнения касательных к кругу
(* + 1 )2 + (.У гг З)2 = 29.
в точках, которых абсцисса равна 4. Соста¬
вить затем уравнение второй степени, пред¬
ставляющее пару этих касательных.

Тригонометрия, стереометрия, аналит. геометрия 75
Решение
f
Если вставить х = 4 в уравнение круга, то
получим у = 5 и у= 1; касательная в точке
(4,5) имеет в таком случае уравнением
5 (а: —1) —j— 2 (у — 3) = 292,
или
5 х-\-2у = М2.	%
Касательная в точке (4,1) выражается уравне¬
нием
5{х + \)-2{у-3) = 29\
или
Ъх — 2 у — 830.
Уравнение пары касательных получится пе¬
ремножением уравнений отдельных касатель¬
ных; оно будет, следовательно,
(5 х + 2у) (5 х — 2у) = 842.830,
или
25 х2 — 4у2 = 698 950.
46
Найти д: из уравнения
tang 2х = cotg [tang (log 7)].
<0
Решение
'
2 д; = cotg (log 7) =	•
1	1	J&	=	19-23.
tang (log 1) tang 48*42° ’
x = 9615.

76
Ученические ошибки
47
Даны стороны треугольника а, 6, с. Выра¬
зить с помощью этих величин sin Л.
Решение
Как известно, имеем соотношение
а 	 Ъ		 с
sirM	sinJ3	sinC
В пропорции мы имеем право перемещать
средние члены; тогда получим:
a	b	sin В
sin Л с sin С
стало быть
л ас
Sin Л = — •
и
48
Надо доказать формулы
Л В С
r = s tang у tang у tan9 у
и ' .
R = -
А В
  ГПС 	 ГАС	jJl.
\
значение (в Дании).1)
2
где буквенные выражения, имеют обычное
х) Л, В, С—углы треугольника, s—полупериметр,
г и R радиусы вписанного и описанного кругов.

Тригонометрия, стереометрия, аналит. геометрия 77
Решение
Деля первое равенство на второе, по¬
лучим
г л . А . В . С
-д = 4 Sin у Sin у sin у
Это же соотношение получается путем де¬
ления известных формул
R а
2 sin А
. В . С
sin — sln"2~
г — а —
А
cosy
Значит обе формулы справедливы.
, 49
Какому условию должны удовлетворять
а, /? и у, если
tang a -f- tang/? + ta ng у = tang a. tang /?. tang y?
Решение.
Данное равенство может быть преобразо¬
вано в такое	о
tang а =	= ~ tang ф0);
таким же путем получаем
tang /? = — tang (а ^
tang у = — tang (а -J-

78	Ученические ошибки
Вставляя значения для tang/? и tang у в вы¬
ражение для tang а, получим
«•япл п =	+ ^'/)+tang (« + /?) _
У 1 — tang (а + у) tang (а + £)
= tang (2 а + /9 -f- у)= — tang (fi-\-у)
{согласно с вышеприведенным равенством).
Таким образом,
■2a + /? + y = pjr-fw — ft — у,
то есть,
v+P + 7=Y(P+ D-
50
Найти ')
tang 3 х -f- tang 5 x
1тл	tang л-
x — г
Решение
Если x — ~2 -> 70
tang 3x = tang 5x = tang x,
и, стало быть, искомый предел
2 tang х	?	У
tang х
*) Задача была предео>йена ученикам, которые
прошли уже дифференциальное исчисление.