Author: Зарубин В.С. Кувыркин Г.Н. Власова Е.А.
Tags: анализ математика физика математическая физика
ISBN: 5-7038-1768-4
Year: 2001
Text
Математика в техническом
университете
Выпуск XIII
I И? БОЛЕЕ iИ КНИГИ В
\ ОДНИ РУКИ И 2ХВДВЕ !
КОЛОХЗА
Комплекс учебников из 20 выпусков
Под редакцией В. С. Зарубина и А. П. Крищенко
I. Введение в анализ
II. Дифференциальное исчисление функций
одного переменного
III. Аналитическая геометрия
IV. Линейная алгебра
V. Дифференциальное исчисление функций
многих переменных
VI. Интегральное исчисление функций
одного переменного
VII. Кратные и криволинейные интегралы.
Элементы теории поля
VIII. Дифференциальные уравнения
IX. Ряды
X. Теория функций комплексного переменного
XI. Интегральные преобразования
и операционное исчисление
XII. Дифференциальные уравнения
математической физики
XIII. Приближенные методы математической физики
XIV. Методы оптимизации
XV. Вариационное исчисление и оптимальное управление
XVI. Теория вероятностей
XVII. Математическая статистика
XVIII. Случайные процессы
XIX. Дискретная математика
XX. Исследование операций
Е.А. Власова, B.C. Зарубин,
Г.Н. Кувыркин
ПРИБЛИЖЕННЫЕ
МЕТОДЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
Под редакцией
д-ра техн. наук, профессора B.C. Зарубина
и д-ра физ.-мат. наук, профессора А.П. Крищенко
Допущено
Министерством образования
Российской Федерации
в качестве учебника для студентов
высших технических учебных заведений
Москва
Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана
2001
УДК 517.1@75.8)
ББК 22.193
В58
Рецензенты: проф. МП. Галанин, проф. Д.В. Георгиевский
В58 Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Прибли-
Приближенные методы математической физики: Учеб. для вузов / Под
ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им.
Н.Э. Баумана, 2001. -700 с. (Сер. Математика в техническом
университете; Вып. XIII).
ISBN 5-7038-1768-4 (Вып. XIII)
ISBN 5-7038-1270-4
Книга является тринадцатым выпуском серии учебников „Математика
в техническом университете". Последовательно изложены математические
модели физических процессов, элементы прикладного функционального
анализа и приближенные аналитические методы решения задач математи-
математической физики, а также широко применяемые в научных исследованиях и
инженерной практике численные методы конечных разностей, конечных и
граничных элементов. Рассмотрены примеры использования этих методов
в прикладных задачах. '
Содержание учебника соответствует курсам лекций, которые авторы
читают в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Для студентов технических университетов. Может быть полезен
преподавателям, аспирантам и инженерам.
Ил. 76. Табл. 3. Библиогр. 81 назв.
Выпуск книги финансировал
Московский государственный технический
университет им. Н.Э. Баумана
УДК 517.1@75.8)
ББК 22.193
© Е.А. Власова, B.C. Зарубин,
Г.Н. Кувыркин, 2001
© Московский государственный
технический университет
ISBN 5-7038-1768-4 (Вып. XIII) им- НЭ' БаУмана- 2001
ISBN 5-7038-1270-4 © Издательство МГТУ
им. Н.Э. Баумана, 2001
ПРЕДИСЛОВИЕ
Точное аналитическое решение задач математической физи-
физики обычно требует интегрирования дифференциальных урав-
уравнений с частными производными, включающих искомые функ-
функции. Эти уравнения в общем случае необходимо проинтегри-
проинтегрировать в некоторой пространственно-временной области, на
границе которой искомые функции подчинены заданным крае-
краевым условиям.
Реализация такого подхода связана обычно с большими и
не всегда преодолимыми трудностями. Но с прикладной точ-
точки зрения наряду с аналитической формой точного решения
задачи не меньшее значение имеет получение приближенного
аналитического решения или приближенных числовых значений
искомых величин. Математические модели ряда физических
процессов содержат интегральные или интегро-дифференци-
альные уравнения, в которых искомые функции входят и под
знак интеграла. Точное аналитическое решение таких уравне-
уравнений возможно лишь в редких случаях, что также подчеркивает
значимость приближенных методов решения.
Дифференциальные уравнения, описывающие законы сохра-
сохранения и переноса физических субстанций и используемые при
постановке задач математической физики (они приведены в
первой части книги), можно рассматривать как операторные,
действующие в тех или иных функциональных пространствах.
В связи с этим во второй части кратко изложены необходимые
сведения из функционального анализа и рассмотрены свойства
некоторых операторов, характерных для таких задач. Эти
сведения использованы затем при изложении приближенных
аналитических и численных (в третьей и четвертой частях) ме-
методов решения задач математической физики.
6 ПРЕДИСЛОВИЕ
Значительное число примеров, иллюстрирующих рассма-
рассматриваемые методы, связаны с процессами теплопроводности в
твердом теле. В силу прозрачности физической постановки та-
таких задач и предсказуемости качественного характера решения
они являются хорошим „полигоном" для проверки эффективно-
эффективности методов и сопоставления различных подходов к получению
количественного решения краевых задач, описываемых диффе-
дифференциальными уравнениями эллиптического и параболического
типов. Методы, применяемые для решения краевых задач,
описываемых уравнениями гиперболического типа, проиллю-
проиллюстрированы на примерах, связанных с волновым уравнением.
Ссылкой в тексте на конкретный выпуск комплекса учеб-
учебников „Математика в техническом университете" является его
номер, записанный римскими цифрами. Например, [1-7.5] озна-
означает ссылку на пятый параграф седьмой главы в первом вы-
выпуске, тогда как (см. 1.2) отсылает читателя ко второму па-
параграфу первой главы этой книги, а (см. Д.4.1) — к первому
дополнению четвертой главы этой книги. Ссылки в тексте на
номера формул и рисунков набраны обычным шрифтом (на-
(например, B.1) — первая формула в главе 2, рис. 1.5 — пятый
рисунок в главе 1).
За предисловием следует перечень основных обозначений,
где наряду с их краткой расшифровкой даны ссылки на разделы
этого или других выпусков серии, в которых можно найти
более подробное объяснение каждого обозначения. После этого
перечня приведены написание и русское произношение букв
латинского и греческого алфавитов.
В конце книги помещены список рекомендуемой литерату-
литературы и предметный указатель, в который входят в алфавитном
порядке (по существительному в именительном падеже) все
выделенные в тексте полужирным курсивом термины с ука-
указанием страницы, где они строго определены или описаны.
Выделение термина светлым курсивом означает, что в данном
параграфе он отнесен к ключевым словам и читателю для пони-
понимания излагаемого материала должно быть известно значение
этого термина. Читатель может уточнить это значение, най-
найдя при помощи предметного указателя необходимую страницу,
на которой используемый термин определен или описан. Если
термин введен в другом выпуске, то указан его номер римской
цифрой. Курсивом в предметном указателе даны ссылки, ука-
указывающие на дополнительную информацию о термине.
Изучение приближенных методов математической физики
опирается на знание практически всех разделов общего курса
высшей математики. Поэтому перед чтением этой книги необ-
необходимо в целях самоконтроля выполнить следующие несложные
задания. В конце каждого задания приведена ссылка на тот вы-
выпуск, в котором при возникновении затруднений можно найти
все необходимые сведения. Значения терминов, выделенных в
тексте этих заданий прямым полужирным шрифтом, далее
будем считать известными (в основном тексте книги зти тер-
термины не выделены и не входят в предметный указатель).
Задания для самопроверки
1. Как определить множества целых Z и рациональ-
рациональных Q чисел при помощи множества N натуральных чи-
чисел? Что такое абсолютное значение действительного числа
и модуль комплексного числа? Каковы свойства точ-
точных верхней и нижней граней подмножества множества
действительных чисел R? [I]
2. Из каких этапов состоят доказательства от против-
противного и по методу математической индукции? [I]
3. Что такое объединение, пересечение, разность и
прямое (декартово) произведение множеств (подмно-
(подмножеств), дополнение множества? [I]
4. Какие точки множества в Rn называют внутренни-
внутренними, граничными, предельными, изолированными? Что
такое открытое, замкнутое, ограниченное, компактное
множества в n-мерном евклидовом арифметическом про-
пространстве Rn? [V]
8 ПРЕДИСЛОВИЕ
5. Запишите с помощью неравенств условия принадлежно-
принадлежности точки х промежуткам числовой прямой: отрезку
[а, 6], интервалу (а, 6), полуинтервалу (а, 6], бесконечно-
бесконечному интервалу (—оо, Ь) и бесконечному полуинтервалу
К+оо). [I]
6. Изобразите на числовой прямой окрестности конеч-
конечной и бесконечной точек расширенной числовой пря-
прямой. В чем отличие этих окрестностей от проколотых ок-
окрестностей и полуокрестностей? [I]
7. Какими свойствами обладает взаимно однозначное
отображение двух множеств? Чему равна композиция
прямого и обратного отображений двух множеств? [I]
8. Приведите примеры составной и периодической дей-
действительных функций действительного переменного и
укажите их области определения (существования) и зна-
значений. Как расположены относительно начала координат
графики четной и нечетной функции? [I]
9. Сколько нулей имеет многочлен степени п? В чем
различие между простым и кратным нулем? [I]
10. Сформулируйте определения предела, производной
и дифференциала действительной функции действитель-
действительного переменного в точке. Всякая ли функция, непрерыв-
непрерывная в точке, является дифференцируемой в этой точке?
Приведите примеры функций, имеющих точки: а) устра-
устранимого разрыва; б) разрыва первого рода; в) разры-
разрыва второго рода. Каковы свойства функции, непрерыв-
непрерывной (дифференцируемой) на отрезке? Как вычислить
производную сложной функции? Что называют вектор-
функцией? [I], [II]
11. Является ли сходящаяся числовая последователь-
последовательность ограниченной? В чем различие между монотонной
и строго монотонной последовательностью? Сформу-
Сформулируйте признак Веиерштрасса сходимости последователь-
последовательности. [I]
12. В каких точках числовой оси функции sinx, 1/х являют-
являются бесконечно малыми, а функции х2, ctgx — бесконечно
большими? [I]
13. В чем различие между монотонной и строго моно-
монотонной в некотором промежутке функциями? Каковы усло-
условия существования в нем непрерывной и строго монотонной
функции, обратной заданной функции? Изобразите графики
возрастающей, убывающей, невозрастающей и неубыва-
неубывающей в промежутке функций. [I]
14. Приведите примеры бесконечно малых при х —> а функ-
функций: а) одного порядка; б) первого порядка малости одной
относительно другой; в) несравнимых; г) эквивалентных.
Каковы свойства эквивалентных бесконечно малых функций?
В каком случае главную часть функции, бесконечно малой
при х —У а, можно представить степенной функцией? Каков
смысл символов „о малое" и „О большое"? [I]
15. Что такое абсолютная и относительная погрешно-
погрешности? [II]
16. Каковы правила вычисления скалярного, векторно-
векторного и смешанного произведений векторов? Что такое
нулевой, единичный и коллинеарные векторы, радиус-
вектор точки в пространстве? [III], [IV]
17. Что такое квадратная, прямоугольная, блочная,
симметрическая, нулевая, единичная, верхняя (нижняя)
треугольная, вырожденная матрица? Что представляют
собой транспонированная и обратная матрицы по отно-
отношению к данной матрице? Как вычислить ранг матрицы?
Чему равен определитель диагональной матрицы? При
каком условии однородная квадратная система линейных
алгебраических уравнений (СЛАУ) имеет ненулевое реше-
решение? [III]
18. Перечислите аксиомы линейного пространства, ко-
которым подчиняются линейные операции в этом простран-
пространстве. Что называют базисом и размерностью линейного
10 ПРЕДИСЛОВИЕ
пространства? Каковы аксиомы расстояния между эле-
элементами метрического пространства и нормы элементов
нормированного пространства? В чем состоит отличие
этих пространств? Дайте геометрическую интерпретацию не-
неравенства треугольника в трехмерном евклидовом ариф-
арифметическом пространстве R3. Что такое ортонормиро-
ванный базис в Rn? [I], [IV]
19. Как найти собственные значения и собственные
векторы линейного оператора в конечномерном линей-
линейном пространстве? Что такое собственное подпрост-
подпространство линейного оператора, характеристические мно-
многочлен и уравнение матрицы? Какую квадратичную
форму называют положительно (отрицательно) опреде-
определенной? Сформулируйте критерий Сильвестра. [IV]
20. Запишите выражение для тривиальной линейной
комбинации п векторов (функций) и сформулируйте опре-
определение линейно зависимой (независимой) системы век-
векторов (функций). [III], [IV], [VIII]
21. Что называют векторной функцией многих пе-
переменных и ее координатной функцией, частной про-
производной и производной по направлению? Запишите
формулу Тейлора для скалярной функции многих пе-
переменных. При каком условии смешанная производная
не зависит от последовательности дифференцирования? Что
понимают под внешней нормалью к кусочно гладкой кри-
кривой, ограничивающей область на плоскости? Что понимают
под внешней нормалью к кусочно гладкой поверхности,
ограничивающей область в пространстве? [V]
22. Что такое неопределенный интеграл? Напишите
формулу интегрирования по частям и формулу Ньюто-
Ньютона — Лейбница. Чему равна производная определенного
интеграла по переменному верхнему пределу? Что такое
абсолютно сходящийся несобственный интеграл? В чем
разичие интегралов Римана и Лебега? [VI], [IX]
и
23. Что называют кратным (в том числе двойным и
тройным), криволинейным и поверхностным интегра-
интегралами, скалярным и векторным, безвихревым, потенци-
потенциальным, соленой дал ьным и лапласовым полями, пото-
потоком и циркуляцией вектора, телесным углом? Напишите
выражения для операторов Гамильтона и Лапласа в де-
декартовой прямоугольной системе координат. Как при
помощи оператора Гамильтона записать операции диверген-
дивергенции, градиента и ротора? Что понимают под элементар-
элементарным объемом? [VII]
24. Что такое сходящийся числовой ряд? При каких усло-
условиях функциональный ряд сходится на данном множестве
поточечно, равномерно, абсолютно, условно? Что такое
радиус сходимости степенного ряда? Запишите частич-
частичную сумму и остаток ряда Тейлора. В чем различие между
ортогональной и ортонормированной системами функ-
функций? Как вычислить коэффициенты Фурье разложения
функции в ряд Фурье? Каков смысл выражения почти всю-
всюду? Что понимают под замыканием множества? [IX]
25. Что называют линейным дифференциальным опе-
оператором и линейным обыкновенным дифференциаль-
дифференциальным уравнением (линейным ОДУ), нормальной системой
ОДУ, уравнениями с частными производными эллипти-
эллиптического, параболического и гиперболического типов?
Напишите уравнения Лапласа, Пуассона, теплопроводно-
теплопроводности и волновое уравнение. В чем различие между задачей
Коши и краевой задачей? Что такое начальные и гранич-
граничные условия? [VIII], [XII]
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
•^ и > — начало и окончание доказательства
# — окончание примера, замечания, теоремы, следствия
а ? А — элемент а принадлежит множеству А 1-1.1
А — {а, Ь, с} — множество А состоит из элементов а, 6, с 1-1.1
0 — пустое множество 1-1.1
А С В, В D А — множество А включено в множество В 1-1.2
N — множество натуральных чисел 1-1.3
Z — множество целых чисел 1-1.3
Q — множество рациональных чисел 1-1.3
К — множество действительных чисел 1-1.3
С — множество комплексных чисел 1-4.3, X
X xY — декартово произведение множеств X и Y 1-2.5
К" — произведение (декартово) п множеств действитель-
действительных чисел (n-я декартова степень множества К);
n-мерное линейное арифметическое пространство
1-2.5, IV
[а, 6], (а, Ь) — отрезок, интервал с концами в точках а и b
1-1.3
[а, 6), (а, Ь] — полуинтервалы с концами в точках а и Ь 1-1.3
\х\ — абсолютная величина (модуль) числа х 1-1.3
оо — объединение бесконечных точек +оо и —оо 1-1.3
А =$¦ В — из высказывания А следует высказывание В [А —
достаточное условие В, а. В — необходимое условие
А) 1-1.5
А <=> В — высказывания А и В равносильны 1-1.5
13
— квантор существования (Зх — существует такое х,
что ...) 1-1.5
— квантор всеобщности (Vx — для любого х) 1-1.5
щ- — сумма п слагаемых а\, а,2, ¦¦-, ап 1-2.6
п
Y[ ат — произведение п сомножителей а\, аг> ¦¦, ап 1-2.6
к = 1,п — число к принимает последовательно все значения
из множества натуральных чисел от 1 до п включи-
включительно 1-2.6
supX, sup а; — точная верхняя грань множества X 1-2.7
inf X, inf x — точная нижняя грань множества X 1-2.7
х?Х
р и tp — полярные координаты (радиус и угол) точки на
плоскости 1-4.3
lim f(x) — предел функции f(x) в точке а (при х -> а) 1-7.1
х—>а
5х и5у = 5/(х) — приращения аргумента х и функции у =
= /(ж) 1-9.1
/'(а) — производная функции f(x) в точке а II
у'(ж), у'х, dy/dx, у' — производная функции y = f{x) II
dx и dy = df{x)\x-a — дифференциалы аргумента х и функции
у = /(ж) в точке а II
f(n>(a) — производная n-го порядка (га-я производная) функ-
функции f(x) в точке а II
/ — знак интеграла VI
U — замыкание области U IX
Ж1) Ж2, яз — координаты точки в декартовой прямоугольной
системе координат Ох^Хз 1.2
еь е2> вз — орты декартовой прямоугольной системы коорди-
координат OxiX2X3 1.2
14 ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
V — дифференциальный оператор Гамильтона VII, 1.3
V2 = Д — дифференциальный оператор Лапласа VII, 2.1
О — нулевой элемент линейного пространства IV, 4.1
[•] — скачок значений функции при переходе через по-
поверхность разрыва 2.2
С[а,Ь] — нормированное пространство функций, непрерыв-
непрерывных на отрезке [а, Ь] IX
Ск[а,Ь] — нормированное пространство функций, непрерывно
дифференцируемых к раз на отрезке [а, Ь] 4.1
L<2[a,b] — гильбертово пространство функций, суммируемых
с квадратом на отрезке [а, Ь] IX
L2(fi) — гильбертово пространство функций, суммируемых
с квадратом в области Q 5.1
{"u>ti}n — система N функций ип, n=l,N 4.1
{ип} — последовательность функций ип, п G N 4.1
|| • || — норма элемента или оператора в нормированном
пространстве 4.1
p{u,v) — расстояние между элементами uevb метрическом
пространстве U 4.1
D(f), R(f) —¦ область определения и область значений функ-
функции (оператора, функционала) / 4.2, 4.4
А°В,АВ — композиция, произведение операторов А а В
4.2
1ц — тождественный оператор I:U -*U 4.2
А~х — оператор, обратный к оператору А 4.2
?(ZY,W) — линейное пространство линейных операторов, дей-
действующих из линейного пространства U в линейное
пространство W IV, 4.5
кегЛ - - ядро линейного оператора А IV, 4.5
(u,v) — скалярное произведение элементов и и v евклидова
(гильбертова) пространства 5.1
15
и Lv — элементы и и v евклидова (гильбертова) простран-
пространства ортогональны 5.1
w L М — элемент w в евклидовом (гильбертовом) простран-
пространстве ортогонален подпространству М 5.1
Единицы измерения физических величин
кг, м, с — килограмм, метр и секунда — основные единицы
измерения массы, расстояния и времени 1.2
Дж, Кл, Н — джоуль, кулон и ньютон — единицы измерения
энергии, электрического заряда и силы 1.2
Вт, А, В, Ом — ватт, ампер, вольт и ом — единицы измерения
мощности, силы электрического тока, электриче-
электрических напряжения и сопротивления 1.3
К — кельвин — основная единица измерения температу-
температуры 1.3
Па — паскаль — единица измерения давления и механиче-
механического напряжения 1.3
Используемые сокращения
ГИУ — граничное интегральное уравнение 12.1
ГЭ — граничный элемент 12.2
КЭ — конечный элемент 10
МГЭ — метод граничных элементов 12
МКР — метод конечных разностей 7.1
МКЭ — метод конечных элементов 10
ОДУ — обыкновенное дифференциальное уравнение 4.2
СЛАУ — система линейных алгебраических уравнений 6.1
16
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Буквы латинского алфавита
Начертание
А а
В b
С с
D d
Е е
F f
G g
Н h
I i
J j
К k
L 1
M m
A a
В b
С с
D d
E e
F f
G g
H h
I i
J j
К к
L I
M m
Произно-
Произношение
a
бэ
цэ
ДЭ
e
эф
же
аш
и
йот
ка
эль
эм
Начертание
N п
О о
Р Р
Q Ч
R г
S s
Т t
U u
V v
W w
X х
Y у
Z z
N п
О о
Р р
Q q
R г
S s
Т t
U и
V v
W w
X х
Y у
Z z
Произно-
Произношение
эн
о
пэ
«У
эр
эс
тэ
у
вэ
дубль-вэ
икс
игрек
зэт
Представлен наиболее употребительный (но не единствен-
единственный) вариант произношения (в частности, вместо „йот" иногда
говорят „жи").
Буквы греческого алфавита
Начер-
Начертание
А
В
Г
Д
Е
Z
Н
0
а
Р
7
5
?
С
Произно-
Произношение
альфа
бета
гамма
дельта
эпсилон
дзета
эта
тэта
Начер-
Начертание
I
К
Л
М
N
^
О
п
L
А
V
о
IT
Произно-
Произношение
йота
каппа
ламбда
ми
ни
кси
омикрон
пи
Начер-
Начертание
Р
Е
Т
Т
Ф
X
ф
п
р
а
т
V
<р
X
Ф
и
Произно-
Произношение
ро
сигма
тау
ипсилон
фи
хи
пси
омега
Наряду с указанным произношением также говорят „лямб-
„лямбда"
,мю и „ню
ЧАСТЬ I
Математические
модели физических
процессов
1. ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ
СУБСТАНЦИИ
1.1. Особенности постановки
задач математической физики
Предметом изучения математической физики является тео-
теория математических моделей физических явлений. Эта теория
находится на стыке математики и физики, поскольку такие мо-
модели описывают конкретные физические процессы, а методы
построения и исследования этих моделей являются математи-
математическими.
Однако методы, характерные для математической физи-
физики, применимы для изучения не только физических явлений.
Эти методы в настоящее время используют в химии, геоло-
геологии, биологии, экологии, экономике. Находят они применение
и в технике при математическом моделировании различ-
различных технических систем и устройств, под которым понимают
адекватную замену исследуемого технического объекта его ма-
математической моделью и ее последующее изучение методами
вычислительной математики с привлечением современных вы-
вычислительных средств.
Столь широкое распространение методов математической
физики связано с большой общностью математических моделей,
базирующихся на фундаментальных законах природы, в том
числе на законах сохранения таких физических субстанций,
как масса, энергия, заряд, количество движения и момент
количества движения*. Это приводит, в частности, к тому,
'Довольно часто в физике и механике наряду с термином „количество
движения" используют термин „импульс".
20 1. ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ СУБСТАНЦИИ
что одни и те же математические модели описывают явления
различной природы.
Для математической физики характерно исследование про-
процессов в системе, представляющей обычно некоторую про-
пространственную область, заполненную непрерывной материаль-
материальной средой (так называемой сплошной средой). В такой
области величины, описывающие состояние среды и протекаю-
протекающие в ней физические процессы, зависят, как правило, от про-
пространственных координат и времени. Теоретической основой
построения математических моделей таких процессов являются
механика и электродинамика сплошных сред. В общем случае
модели математической физики описывают поведение системы
на трех уровнях: взаимодействие системы в целом с внешней
средой; взаимодействие между элементарными объемами сис-
системы и свойства отдельно взятого элементарного объема.
Взаимодействие на первом уровне находит отражение в
формулировке краевых условий, т.е. условий на границе
области решения задачи, включающих в общем случае гранич-
граничные и начальные условия. Второму уровню отвечает описание
взаимодействия элементарных объемов на основе законов со-
сохранения физических субстанций и их переноса в пространстве,
что позволяет построить математические модели процессов
переноса этих субстанций. Наконец, третий уровень соот-
соответствует установлению уравнений состояния среды, т.е.
построению математических моделей поведения среды в эле-
элементарном объеме.
В упомянутые математические модели входят характерные
для задач математической физики уравнения с частными про-
производными [XII], а в некоторых случаях — интегральные и
интегро-дифференциалъные уравнения. Такие уравнения от-
относят к классу функциональных, решением которых являются
функции (в отличие от уравнений, решением которых являют-
являются числа). Эти модели могут содержать также интегральные
функционалы от искомых функций [XV]. На допустимом мно-
множестве функций функционал достигает так называемого ста-
1.2. Плотность физических субстанций 21
ционарного значения, которому отвечает стационарная точка
функционала, т.е. искомое решение рассматриваемой задачи. В
некоторых случаях это значение может соответствовать экс-
экстремуму функционала, что обычно связано с формулировкой
задачи на основе некоторого вариационного принципа, имею-
имеющего определенное физическое содержание [XV].
1.2. Плотность физических субстанций
Количественной характеристикой любой физической суб-
субстанции является ее объемная плотность, т.е. количество
этой субстанции в единице объема. Рассмотрим окрестность
точки МбПс К3, имеющую диаметр d и объем AV. Пусть в
этом объеме находится масса Дт некоторой сплошной среды.
Предел
Вт §? = **> A.1)
называют плотностью среды в той точке М пространства,
к которой стягивается рассматриваемая окрестность при d -4 0.
Основной (стандартной) единицей измерения плотности среды
является кг/м3.
Аналогично можно ввести понятие объемной плотности
энергии как предел
где АЕ — количество энергии в объеме AV. Основной едини-
единицей измерения объемной плотности энергии является Дж/м3.
Если объем AV содержит электрический заряд AQ, то предел
называют объемной плотностью электрического заря-
заряда, основной единицей измерения которой является Кл/м3.
22
1. ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ СУБСТАНЦИИ
Напомним [VII], что если функции р(М), е(М) и ре{М)
ограничены в ограниченной замкнутой области ПсК3и непре-
непрерывны в Q всюду, кроме, быть может, некоторого множества
точек объема нуль, то эти функции интегрируемы в области Q.
В дальнейшем пространственную область П будем обозначать
так же, как и ее объем V. Тогда для массы то, энергии Е и
электрического заряда Q в этой области можно записать
m=[p(M)dV, E= fe{M)dV, Q=fpe{M)dV. A.4)
Понятие объемной плотности применимо не только к фи-
физическим субстанциям, выражаемым скалярными величинами
(массе, энергии, заряду), но и к субстанциям, выражаемым
векторными величинами. Пусть векторное поле скорости дви-
движения среды задано векторной функцией v = v(t,x), завися-
зависящей в общем случае от времени t и координат ж,, i — 1,2,3,
радиус-вектора х = х\е\ + #2^2 + яз^з, определяющего положе-
положение точки пространства относительно прямоугольной системы
координат ОХ1Х2Х3 с ортами е, (рис. 1.1). Тогда произве-
произведение pv можно назвать вектором объемной плотности
количества движения среды. Аналогично векторное про-
произведение х х (pv) назовем вектором объемной плотности
момента количества движе-
движения среды относительно начала
координат. Основными единицами
измерения модулей этих векторов
кг кг Не Не
:, или
являются
и
•с м-с'
3 И 2
м3 м2
Х2
Рис. 1.1
соответственно.
Если pv — непрерывная функ-
функция координат в пространственной
области объемом V всюду, кроме,
быть может, некоторого множест-
1.2. Плотность физических субстанций
23
ва точек объема нуль, то для находящейся в этой области среды
векторы количества движения J и момента количества движе-
движения К можно представить в виде
= JpvdV,
v
К= fxxpvdV.
v
A.5)
Замечание 1.1. Подынтегральные функции в A.4) и A.5)
могут в общем случае зависеть от времени t. Тогда значения
соответствующих интегралов также могут изменяться во вре-
времени. Пусть действительная функция С = C(t,x) непрерывно
дифференцируема по t и задает в текущий момент времени
зависимость от пространственных координат объемной плот-
плотности некоторой физической субстанции. Количество C(t) этой
субстанции в фиксированный момент времени t в объеме V вы-
выражает интеграл
C(t) = Jc(t,x)dV, A.6)
v
зависящий от параметра t [VII].
Пусть точки поверхности 5, ограничивающей объем У, дви-
движутся вместе с частицами среды, находящимися в этих точках,
с заданной скоростью v(t,x) относительно системы координат
ОХ1Х2Х3 (рис. 1.2). Тогда в момент времени t-\- At поверхность
Рис. 1.2
24 1. ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ СУБСТАНЦИИ
переместится в положение 5' и будет ограничивать объем V.
Сначала рассмотрим случай, когда V С V. Предполагая, что
интеграл в A.6) дифференцируем по параметру t, найдем ско-
скорость изменения количества субстанции. Согласно определе-
определению производной [II],
At )
h!)dv' (L7)
где V* = V \ V — объем, который ометает поверхность 5 при
перемещении в положение 5'. Этот объем представим состоя-
состоящим из элементарных цилиндров, каждый из которых имеет
основание dS и образующую длиной |г(Р)|Д(, параллельную
вектору v(P) — v(t,x(P)) скорости среды в точке Р € 5, при-
причем п(Р) — единичный вектор внешней нормали к поверхности
5 в точке Ре S (см. рис. 1.2). Тогда элементарный объ-
объем во втором интеграле в правой части A.7) запишем в виде
dV = v(t,x)n{P)AtdS ^ 0, PeS, и получим
}\™irJC(t + At,x)dV =
v
= lim — C(t + At,x)v{t,x)nAtdS= C(t,x)v(t,x)ndS,
1.2. Плотность физических субстанций 25
поскольку C(t + At,х) ->C(t,х) при Д?—^Овсилу непрерывно-
непрерывности функции C(t,x).
Предполагая непрерывную дифференцируемость по коорди-
координатам функций С и v, преобразуем интеграл в правой части
последнего равенства по формуле Остроградского — Гаусса. В
итоге, учитывая, что подынтегральная функция первого инте-
I, „\ « - dC(t x)
грала в правой части A.7) равна частной производной —^ ',
х G V, получаем формулу дифференцирования по времени t ин-
интеграла, взятого по изменяемому во времени объему:
, A.8)
где V — дифференциальный оператор Гамильтона
- 9 4. 9 4- 9 ПО)
= — е\ -\ в2 + 7ч еЗ) A.9)
axi 0x2 0x3
е,, г = 1,2,3,— орты системы координат ОХ1Х2Х3 (см. рис. 1.2).
Напомним, что действие этого оператора на векторную функ-
функцию соответствует операции дивергенции.
Отметим, что к A.8) можно прийти и в случае, когда
V С V, но при этом во втором интеграле в правой части A.7)
dV = v(t,x)n(P)AtdS ^ О, Р е S. Можно показать*, что A.8)
применимо при произвольном изменении объема V во времени.
Для фиксированного объема Vo, ограниченного неподвижной
относительно системы координат ОХ1Х2Х3 поверхностью So,
вместо A.8) будем иметь
dC(t) _ ,
dt ~~c
'См.: Седов Л.И.
26 1. ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ СУБСТАНЦИИ
1.3. Перенос физических субстанций
Большинство изучаемых в математической физике процес-
процессов связано с переносом в пространстве конкретных физиче-
физических субстанций: массы, энергии, электрического заряда, ко-
количества движения или его момента. Интенсивность переноса
физической субстанции определяют плотностью потока,
равной количеству субстанции, переносимой в единицу време-
времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению
переноса. Среди механизмов переноса выделяют конвективный
(или молярный) и диффузионный (или молекулярный).
Первый из них связан с движением сплошной среды, опре-
определяемым векторным полем ее скорости v = v(t,M), M € К3, в
момент времени t. Для физической субстанции, выражаемой
скалярной величиной, плотность потока конвективного пере-
переноса является вектором, коллинеарным вектору скорости v и
равным произведению v и объемной плотности этой субстан-
субстанции. Так, направление и интенсивность конвективного перено-
переноса массы определяет вектор плотности потока массы pv,
где р — плотность среды. Модуль этого вектора равен количе-
количеству массы, переносимой в единицу времени через единичную
площадку, перпендикулярную направлению вектора скорости.
Основная единица измерения плотности потока массы (как и
модуля вектора объемной плотности количества движения
среды) — -^—.
' м2 • с
Направление и интенсивность конвективного переноса энер-
энергии и заряда определяют векторами ev и pev плотности
потока энергии и плотности электрического тока,
где е и ре — объемные плотности энергии и электрическо-
электрического заряда соответственно. Модули этих векторов измеряют в
Вт/м2 и А/и2 соответственно.
Диффузионный перенос физических субстанций может про-
происходить и при отсутствии направленного движения среды (на-
(например, при хаотическом молекулярном движении в жидкости,
1.3. Перенос физических субстанции 27
газе или плазме и тепловом движении ионов, атомов и моле-
молекул в твердом теле). При неравномерном пространственном
распределении в среде объемной плотности С некоторой физи-
физической субстанции хаотическое движение микрочастиц среды
постепенно приводит к выравниванию этого распределения. В
изотропной среде, свойства которой одинаковы во всех на-
направлениях, диффузионный перенос физической субстанции,
вызванный неравномерным пространственным распределением
скалярной величины С, происходит в направлении убывания
объемной плотности, т.е. в направлении, противоположном на-
направлению градиента VC скалярного поля, задаваемого в про-
пространстве в текущий момент времени t функцией С — C(t,M).
При построении математических моделей в математической
физике широко используют эмпирический закон диффузионно-
диффузионного переноса
j(&> = -tf(c>VC, A.11)
где jf(c) — вектор плотности потока физической субстанции
при диффузионном переносе; К^ — эмпирический коэффици-
коэффициент диффузионного переноса этой субстанции. Функцию С —
= C(t,x) обычно предполагают непрерывно дифференцируемой
необходимое число раз по всем ее аргументам. Она выполня-
выполняет роль потенциальной функции по отношению к векторному
полю плотности потока этой субстанции при ее диффузионном
переносе.
Например, функция С = C(t, M) может задавать распреде-
распределение в среде объемной плотности некоторого вещества (при-
(примеси в жидкости или газе, ионов в плазме, легирующего эле-
элемента в сплаве). В этом случае К''с) называют коэффициентом
диффузии данного вещества в этой среде, а A.11) выражает
известный в физике закон Фика*.
Интенсивность диффузионного переноса физической суб-
субстанции не всегда связывают с градиентом скалярного поля
объемной плотности этой субстанции. Так, в математических
*А.Э. Фик A829-1901) — немецкий физик.
28 1. ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ СУБСТАНЦИИ
моделях процесса распространения в среде теплоты как одной
из форм энергии в качестве потенциальной функции вместо е
используют функцию Т = T(t,M) распределения в простран-
пространстве в текущий момент времени t температуры, характеризую-
характеризующей при определенных условиях объемную плотность тепловой
энергии среды. Это приводит к установленному французским
математиком и физиком Ж.Б.Ж. Фурье A768-1830) эмпири-
эмпирическому закону теплопроводности [XII]
g = -AV7\ A.12)
где q — вектор плотности теплового потока, А — теплопровод-
теплопроводность среды.
Линейную связь вектора плотности потока физической суб-
субстанции с градиентом некоторой потенциальной функции ис-
используют и в тех случаях, когда перенос этой субстанции про-
происходит путем движения микрочастиц под действием внешнего
поля. Так, под действием электростатического поля, описы-
описываемого потенциальной функцией U = U(M) электрического
напряжения, в электропроводящей среде возникает электриче-
электрический ток, вектор плотности которого равен
j(e) = -trVU, A.13)
где а — электрическая проводимость среды. Если ввести
вектор Е = —VU напряженности электростатического поля, то
из A-13) получим уравнение
j{e)=oE, A.14)
обобщающее закон Ома* на случай сплошной среды (модули
векторов j(e) и Е измеряют в А/м2 и В/м соответственно).
При неравномерном распределении давления, заданном функ-
функцией р = p(t,M), через пористую среду может просачиваться
Т.С. Ом A787-1854) — немецкий физик.
1.3. Перенос физических субстанции 29
жидкость или газ. Тогда вектор скорости частиц жидкости
или газа подчиняется закону Дарси*
v = -xVp, A.15)
где х — коэффициент фильтрации.
Потенциальная функция в соотношении A.11) может зави-
зависеть от пространственных распределений нескольких физиче-
физических величин. Например, для многокомпонентной смеси хими-
химически реагирующих веществ диффузионный перенос физиче-
физических субстанций связан с выравниванием неравномерного про-
пространственного распределения так называемого химического
потенциала, который зависит от концентрации этих веществ,
температуры и давления. В этом случае вектор плотности по-
потока конкретной субстанции будет линейной комбинацией век-
векторов, коллинеарных градиентам концентрации, температуры
и давления соответственно. Тогда говорят о концентрационной
диффузии субстанции, ее термо- и бародиффузии.
Не затрагивая особенностей различных процессов диффузи-
диффузионного переноса, ограничимся лишь констатацией того, что в
большинстве случаев вектор j(c) плотности потока конкретной
физической субстанции можно считать линейно зависящим от
градиента некоторой потенциальной функции Ф(?,М), которая
не всегда совпадает с объемной плотностью С этой субстанции.
Эту зависимость можно записать в общей форме
j(C) = _#(Ф)уф, A.16)
где А''*) — коэффициент пропорциональности. Если среда ани-
анизотропна, т.е. ее свойства различны в различных направлениях,
то вместо A.16) используют соотношения
ЛС)_
Ji -
*А. Дарси A803-1858) — французский инженер.
30 1. ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ СУБСТАНЦИИ
где j\ — проекции вектора ус> на координатные оси Ох,- пря-
прямоугольной системы координат Ох1Х2хз; K\j ' — компоненты
тензора второго ранга коэффициентов переноса конкретной
субстанции.
Представленные соотношения характерны для диффузион-
диффузионного переноса субстанций, объемная плотность которых явля-
является скалярной величиной. Объемные плотности количества
движения и момента количества движения являются вектор-
векторными величинами, Что усложняет выражения для плотностей
потоков этих субстанций при диффузионном переносе.
Дополнение 1.1. Некоторые
формулы векторного анализа
При постановке задач математической физики и преобра-
преобразовании описывающих их уравнений часто приходится исполь-
использовать формулы векторного анализа, в том числе формулу
Остроградского — Гаусса. Напомним, что она связывает меж-
между собой интеграл по пространственной области У С К3 от
дивергенции векторного поля, задаваемого векторной функ-
функцией и(М), М G V, и интеграл по ограничивающей V кусочно
гладкой поверхности S от проекции ип(Р) = и(Р)п(Р) вектора
и(Р) на направление единичного вектора п(Р) внешней норма-
нормали к S в точке Р G S:
f\/udV= fundS= fundS. A.18)
V S S
При этом полагают, что векторная функция и(х) непрерыв-
непрерывно дифференцируема на замыкании V = V U S области V по
всем координатам Х{, i = 1,2, 3, радиус-вектора х G R3, опреде-
определяющего положение точки пространства относительно прямо-
прямоугольной системы координат Ох^Хз (см. рис. 1.1). Отметим,
что поверхностный интеграл в A.18) берется по всем участ-
участкам поверхности 5, ограничивающей область V. Ясно, что в
Д. 1.1. Некоторые формулы векторного анализа 31
двумерном случае V соответствует плоской области (не обя-
обязательно односвяэной), ограниченной замкнутыми плоскими
кривыми (контурами), составляющими ее границу S.
М.В. Остроградский в 1834 году получил формулу A.18)
для произвольного многомерного случая. Пусть ограничен-
ограниченная область п С Кт имеет границу дп, заданную уравнением
/(М) = О, М G П, причем функция / непрерывно дифференци-
дифференцируема по координатам х,(М), г= 1,т, точки М. При этом
частные производные -^- не обращаются одновременно в нуль
ни в одной точке на дп, т.е.
|V/| = ^
где V — дифференциальный оператор
Здесь е{ — орты ортонормированного базиса в Rm. Поэтому в
любой точке Р?дп границы дп существует единичный вектор
A.20)
IV/I
внешней нормали к дп, если знак функции / выбрать так, что-
чтобы было / < 0 для точек, принадлежащих области п. Поскольку
частные производные функции / непрерывны, то направляю-
направляющие косинусы
' |v/|0*,-' ' '
вектора п(Р) относительно ортов е^ также непрерывно зависят
от координат ?j(P), г = 1, т, точки Р G дп.
32 I. ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ СУБСТАНЦИИ
Представим интеграл по области О, от непрерывной на ее
замыкании il = SlUdSl действительной функции w(M), М € О,
в виде тп-кратного интеграла:
/ wd?l = /¦¦/
п п
Если область О. в Кт является прямоугольным параллелепипе-
параллелепипедом, т.е. ж, 6 (а,-, 6,), i = 1, т, то интеграл в A.21) можно найти
последовательным вычислением определенных интегралов:
\ wdU= / dxi I dx2 ... / w(xux2,...,xm)dxm.
«2 «m
В более общем случае предположим, что точки, принадле-
принадлежащие области ?1 С Кт, образуют в линейном пространстве
Кт выпуклое подмножество, т.е. при произвольно выбранных
двух точках М', М" € fi с координатами я,(М") и ж,-(М"), г =
= 1, т, соответственно точка М с координатами
, i=l,ro, a €[0,1],
также принадлежит замыканию О. области О. и для этой точки
/(М) ^ 0 при любых а € [0, 1]. Геометрически это означает, что
прямая, параллельная, например, орту ет и проходящая через
любую точку М G П, пересечет границу (Ш не более чем в двух
точках М„, М- € 50 (рис. 1.3).
Иными словами, если координаты х\, х2, ..-, хт^\ фиксиро-
фиксированы, то при движении точки М € П по этой прямой координа-
координата хт пробегает интервал (х'т, х'^), где х'т = f*(xi,x2,...,a;m-i)
и x'm = f*{xi,x2,...,xm^i). Ясно, что подстановка х'т и ж^
вместо хт в уравнение /(ж) = 0 границы д?1 обращает его в
Д. 1.1. Некоторые формулы векторного анализа
33
,п(Ю
xm-l
Рис. 1.3
тождество. Тогда по аналогии с вычислением тройных инте-
интегралов вместо A.21) можно записать
I wdQ= /•••/ dxidx2...dxm-i I wdxm, A.22)
П D Mxi,x2 xm-i)
где D С Km-1 — область, которая является проекцией обла-
области П С Кт на гиперплоскость К, ортогональную орту ет
(см. рис. 1.3).
Пусть w= д-12-, где ит(х\,Х2,¦ ¦ • ,хт) — функция, непрерыв-
•i
ная вместе со своей производной -х— на замыкании П. В этом
случае A.22) примет вид
f*(xi,x2 xm-l)
dx
a
D
К0ЛОХ2А
HE БОЛЕЕ 1Й КНИГИ В
ОДНИРУХИ И 2XS ДВЕ !
= / um(xl,x2,...,xm-l,f*{xi,x2,...,xm-i))dD-
D
- / um(xl,x2,...,xm_iJ,(xi,x2,...,xm-i)
34 I, ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ СУБСТАНЦИИ
Так как аргументы подынтегральной функции ит интегра-
интегралов в правой части этого равенства являются координатами
точек М* и М» границы дп, то в первом из этих интегра-
интегралов dD = пт{М*)A{дЩМ*)), а во втором интеграле dD —
=-nTO(M»)dEfi(M»)), где пт является направляющим коси-
косинусом (относительно орта е„,) единичного вектора п внешней
нормали к Oil в соответствующих точках, a d(dSl) — элемен-
элементарным участком границы д?1 в окрестности каждой из этих
точек. Поэтому эти интегралы можно заменить одним инте-
интегралом по границе Oil и в итоге записать
A.23)
п дп
Ясно, что произвольную область ?1 С Rm можно разбить
внутренними границами на такие подобласти, для которых
сохраняет силу A.23). Объединяя интегралы по этим под-
подобластям и учитывая, что интегралы по участкам внутренних
границ взаимно уничтожатся, поскольку направляющие коси-
косинусы внешних нормалей в точках таких границ имеют про-
противоположные знаки, заключаем, что A.23) справедливо для
произвольной области с гладкой границей. Но интеграл в пра-
правой части A.23) не изменит своего значения, если множество
точек, в которых подынтегральная функция терпит разрыв,
имеет меру Лебега, равную нулю. Поэтому A.23) верно и в
случае кусочно гладкой границы <Ш.
Аналогично A.23) для любой функции щ(х\,Х2,---,хт), i =
= I, m, непрерывной вместе со своей производной -— на замы-
кании fi, можно записать
Г dui f
/ -~du^ I щщй(дп), г=1,т. A.24)
я эп
Д.I.I. Некоторые формулы векторного анализа 35
Суммируя по г эти равенства, получаем формулу Остроград-
Остроградского
/т о i. m
J2]rdu= J2UiUi
a '-1 эп
для области ft С Rm в m-мерном пространстве Rm. Обозначая
и = ще\ + «2^2 + ¦ ¦ ¦ +wmem и учитывая A.19) и правила скаляр-
скалярного умножения в евклидовом арифметическом пространстве
Rm, вместо A.25) приходим к формуле Остроградского в виде
jVud9.= fund(du), A.26)
эп
где п = пхе\ +п2е2 + ... + птет.
Пусть в A.26) й — vS/й, где и, v — действительные функ-
функции, дважды непрерывно дифференцируемые на замыкании Г2.
Тогда, выполняя в соответствии с A.19) дифференцирование,
находим Vtt = uV(Vm) + (ViJ)VS = vV2u-\- [Vv)Vu и после под-
подстановки в A.26) получаем
= f
или
jW2udn= fv{Vu)nd{du)- j{Vv)Vudn. A.27)
il Эп SI
Меняя в A.27) местами функции «или вычитая полученный
результат из A.27), имеем
/~ ~ с ~ ~
(W2u-uV2v)du= {vVu-uVv)nd(dtt). A.28)
Я Эп
36 1. ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ СУБСТАНЦИИ
В трехмерном случае (т = 3) оператор V соответствует
дифференциальному оператору Гамильтона V, а V2 — опера-
оператору Лапласа V2, часто обозначаемому А. Обозначив в A.27)
и A.28) трехмерную область fi символом V, а поверхность ОН
символом S, приходим к известным первой и второй формулам
Грина
f vV2udV= fv(Vu)ndS- f(Vv)VudV, A.29)
V S V
f(vV2u-uV2v)dV= [(vVu-uVv)ndS, A.30)
v s
установленным английским математиком и физиком Дж. Гри-
Грином A793-1841) в 1828 году в связи с его исследованиями по
теории потенциала. Здесь и и v — действительные функции,
дважды непрерывно дифференцируемые на замыкании V обла-
области V;n — единичный вектор внешней нормали к 5. Равенство
A.29) иногда называют предварительной формулой Грина. Та-
Таким образом, A.27) и A.28) можно рассматривать как обобще-
обобщение первой и второй формул Грина на m-мерный случай.
Отметим, что при приближенном решении задач матема-
математической физики нередко возникает необходимость в преобра-
преобразовании интегралов по области V, содержащих вместо V2w
выражение вида V(AVw), где А(М) — действительная функция,
имеющая на замыкании V кусочно непрерывные производные
по координатам точки М € V. В этом случае вместо формул
A.29) и A.30) будем иметь
IvV{XVu)dV= SXv{Vu)ndS- f \{Vv)VudV, A.31)
V S V
/"uV(AVu)= fuV{XVv)dV+ fX(vVu~uVv)ndS. A.32)
Вопросы и задачи 37
Ясно, что при Л = const эти формулы переходят в формулы
A.29) и A.30).
Вопросы и задачи
1.1. Доказать, что если функция /(г) дважды непрерывно
дифференцируема и г= у/х\ -\- х\ + ^з> то ^f{r) = f'{r)x/r и
V2/(r) = f"(r) + 2/'(г)/г, где х = ххех + х2е2 + х3е3 и ег, г =
= 1, 2, 3, — орты прямоугольной системы координат ОХ1Х2Х3.
1.2. Доказать, что объем V, ограниченный поверхностью 5,
можно вычислить по формуле
V=l-J(S7x2)ndS,
s
где х — радиус-вектор точки поверхности, an — единичный
вектор внешней нормали к поверхности в этой точке.
1.3. Доказать справедливость формул A.31), A.32).
2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
ФИЗИЧЕСКИХ СУБСТАНЦИЙ
2.1. Закон сохранения массы
Пусть скалярное поле плотности среды и векторное по-
поле скорости движения этой среды заданы в некоторой обла-
области ПсК3 непрерывно дифференцируемыми функциями р =
= p(t,M) и v — v(t,M) времени t и координат ж,-, г= 1,2,3,
точки М G П в прямоугольной системе координат ОХ1Х2Х3. Рас-
Рассмотрим в этой области произвольную подобласть V, объем
которой обозначим тем же символом V. В этой подобласти в
некоторый момент времени t находится в соответствии с A.4)
масса сплошной среды
т= f .p{t,M)dV.
V(t)
Пусть точки поверхности S, ограничивающей объем V, дви-
движутся вместе с частицами среды. Тогда масса среды в этом
изменяющемся во времени объеме V(t) остается постоянной,
поскольку частицы среды не пересекают поверхность 5. По-
Поэтому в соответствии с A.8) имеем
V(t) V(t)
Это равенство является одной из интегральных форм закона
сохранения массы.
В фиксированный момент времени t выделим некоторый
объем Vn(t) С V(t), ограниченный поверхностью 5„, точки ко-
которой также движутся вместе с частицами среды. Поэтому
2.1. Закон сохранения массы 39
B.1) сохраняет силу и для объема Vn(t). Обозначим через dn
диаметр области, соответствующий этому объему. Пусть по-
последовательность {Vn(i)} объемов Vn{t) С V(t), n G N, такова,
что при dn —> 0 они стягиваются в точку M6fi. Тогда при усло-
условии непрерывности подынтегральной функции в B.1), согласно
теореме о среднем значении для тройного интеграла [VII], из
B.1) следует, что
lim -4
v{
J \dt
Отсюда получаем локальную форму закона сохранения массы
^ 0. B-2)
В системе координат, движущейся вместе с частицей сре-
среды, изменение плотности во времени описывается полной про-
изводной dp/dt = -?- + u(V/t>), равной сумме локальной -?- и
конвективной (или переносной) производных. Так как W{pv) =
= pS7v + w(V/o), то вместо B.2) можно написать
^ + p\7v = 0. B.3)
В механике сплошной среды B.2) и B.3) называют уравнени-
уравнениями неразрывности.
Если среда несжимаема, то ее плотность неизменна, хотя в
случае неоднородной среды в различных точках пространства
и в различные моменты времени она может иметь разную
плотность. Но в системе координат, движущейся вместе с
любой частицей несжимаемой среды, dp/dt = 0. В этом случае
уравнение неразрывности принимает наиболее простой вид
0. B.4)
40 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ СУБСТАНЦИЙ
Ясно, что B.4) справедливо и для однородной несжимаемой
среды при р~ const, что следует и из B.2).
Отметим, что в случае несжимаемой среды операции инте-
интегрирования по изменяемому во времени объему и дифференци-
дифференцирования по времени можно менять местами. Действительно,
для объемной плотности С некоторой физической субстанции,
используя A.8) и выражение для полной производной, имеем
Отсюда в случае несжимаемой среды с учетом B.4) заключаем,
что
Если в B.5) положить С = 1, то в случае сжимаемой среды
с учетом формулы Остроградского — Гаусса будем иметь
~= fvvdV= fvndS.
Таким образом, дивергенция Wv{t,M) является локальной ско-
скоростью относительного увеличения элементарного объема в
окрестности точки М в момент времени t. Очевидно, что для
несжимаемой среды в соответствии с B.4) эта скорость равна
нулю, т.е. объем области, занятой средой, остается постоян-
постоянным, но область может изменять свою форму.
Пусть С = рСт, где Ст = Cm(t,M) — количество физиче-
физической субстанции, приходящейся на единицу массы среды, нахо-
находящейся в момент времени t в окрестности точки М. Тогда,
заменяя в B.5) С на рСт и учитывая B.3), в случае непре-
непрерывной дифференцируемости по времени t функций p(t,M) и
2.1. Закон сохранения массы 41
Cm(t,M) получаем
B-6)
Пример 2.1. Пусть скорость среды, заполняющей внеш-
внешность ПсК3 сферы радиуса го с центром в начале прямоуголь-
прямоугольной системы координат ОХ1Х2Х3, задана векторной функцией
времени t и радиус-вектора х точки М € О, области fi, причем
vo(t) имеет смысл модуля вектора скорости на поверхности
этой сферы. Так как вектор v скорости среды в любой точке
Мёй сонаправлен радиус-вектору х этой точки, а модуль \v
зависит лишь от расстояния точки М € ?1 от начала координат,
то векторное поле скорости среды является центральным [VII].
С учетом того, что проекция вектора скорости на ось Ох,,
i = 1, 2, 3, равна t;,- = Vo(t)rgXi/\x\3 и |ж| = у/х\ + х\ + х\, найдем
дивергенцию этого поля:
д ^дЫ1ж13)
г=\ г=1
Я 2|*|
Итак, в любой точке области функция v = uo(f)roaj/|aj|3 удовлет-
удовлетворяет B.4), т.е., согласно B.3), среда является несжимаемой
(но не обязательно однородной).
Нетрудно убедиться, что ротор этого поля скорости равен
(dv\ dv3 \ / dv-2 d
УОХ3 OX\) \
42 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ СУБСТАНЦИЙ
т.е. векторное поле является не только соленоидальным (в силу
Vu = 0), но и безвихревым, а так как область Q поверхностно
односвязна, то и потенциальным [VII]. По определению по-
потенциального поля существует такая действительная функция
(p(t,x), что v(t,x) = V(p(t,x). Эту функцию называют ска-
скалярным потенциалом векторного поля скорости, или коротко
потенциалом скорости. В этом случае B.4) переходит в
уравнение Лапласа
VV = 0, B.8)
где V2 = Д — дифференциальный оператор Лапласа. Гранич-
Граничное условие для B.8) на поверхности сферы |ж| = го с учетом
B.7) имеет вид
'"' =vo(t), B.9)
М=го
где п = х/\х\ — единичный вектор внешней нормали к сфе-
сфере. Таким образом, B.8) и B.9) в сочетании с условием
ограниченности (р при |х| —? оо составляют вытекающую из
закона сохранения массы математическую формулировку кра-
краевой задачи для нахождения потенциала скорости. Несложно
проверить, что задаче B.8), B.9) удовлетворяет функция ip =
= -vo(t)rl/\x\ + Со, где Со = const.
Если несжимаемая среда неоднородна, то зависимость ее
плотности p(t,x) от времени t в точке пространства с ради-
радиус-вектором х описывается уравнением неразрывности B.2),
которое можно записать в виде ~ = —V(pVtp). При установив-
установившемся движении такой среды, т.е. при -?- = 0, векторное поле
плотности pV(p = pv потока массы является соленоидальным.
Если же поле скорости потенциально, но среда сжимаема, то по-
потенциал <р поля скорости не удовлетворяет B.8), а B.2) и B.3)
переходят в равенство
о I
- = о. #
2.1. Закон сохранения массы 43
Закон сохранения массы можно применить не только к од-
однородной среде, но и к смеси п разнородных веществ, заполня-
заполняющих некоторый объем V. Для каждого k-го вещества, к = 1, п,
можно ввести плотность р^к\ характеризующую его объемную
концентрацию в смеси, а при помощи векторной функции «(*) =
= «'*)(?,х) задать векторное поле его скорости. Тогда для
плотности смеси получим
п
\ Л „СО /о 1 п\
р = у ру , (z.lU)
к=\
а из условия, что вектор pv плотности потока смеси при
конвективном переносе равен сумме векторов p^k^v^, к = 1, п,
плотностей потоков отдельных веществ, найдем вектор средней
скорости смеси
][У*>„<*>. B.11)
р к=\
Пусть в смеси не происходит превращения веществ. Тогда
для каждого к-го вещества справедлив закон сохранения массы
в виде B.1):
пТП-к I I "г . ,-,/ ifci (fci\ | ,т, „ /„ , п\
dt
V(t)
Рассуждения, аналогичные проведенным при получении B.2)
и B.3), в случае непрерывности в B.12) подынтегрального
выражения позволяют записать при к = 1, п
= 0, или -^ \-p(k)Vv(k) = 0. B.13)
Ясно, что, суммируя по к первые равенства в B.13) и учитывая
B.10) и B.11), получаем уравнение неразрывности смеси в
виде B.2).
44 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ СУБСТАНЦИЙ
Если же в смеси происходит превращение веществ за счет
химических реакций или ионизации, то для каждого к-го веще-
вещества этот процесс характеризуется скоростью mv' изменения
массы этого вещества в единицу времени в единице объема,
причем из условия сохранения массы смеси следует, что
т{у] = 0. B.14)
В этом случае вместо B.12) получим выражение, соответству-
соответствующее закону сохранения массы к-го вещества:
dt
V(t) V(t)
Отсюда приходим к локальной форме закона сохранения массы
к-го вещества:
^ m<vfc), * = ТЯ B.15)
Суммирование B.15) по к с учетом B.10), B.11) и B.14) снова
приведет к B.2).
Величина p^v является вектором плотности потока к-го ве-
вещества при конвективном переносе, определяемом движением
смеси в целом, а величину jW = p^k^(vk — v) можно рассматри-
рассматривать как вектор плотности потока этого вещества при диффу-
диффузионном переносе, вызванном отличием скорости к-го вещества
от средней скорости смеси. Тогда B.15) можно представить в
виде
^ * = ТЯ B.16)
Принимая во внимание B.10) и B.11), нетрудно установить, что
сумма по к всех векторов jW равна нулевому вектору 0.
Скорости отдельных веществ в смеси обычно неизвестны.
Но для описания диффузионного переноса А;-го вещества в
2.1. Закон сохранения массы 45
смеси можно использовать эмпирический закон Фика (см. 1.3).
Обозначим объемную концентрацию к-го вещества через С, т.е.
С = р(кУ Тогда с учетом A.11) вместо B.16) получим
^ 4C). B.17)
Здесь К^ — коэффициент диффузии данного вещества в
смеси, который в общем случае может зависеть от С, времени
т(С) ¦ (к) ^
и пространственных координат, a l\, = m\, . Ьсли средняя
скорость смеси равна нулю, т.е. v = О, а К(с) не зависит от С
и пространственных координат, то из B.17) следует, что
«ff<c)V2C+ /{?>. B.18)
Для нахождения объемной плотности С = C(t,x) в объеме Vo,
ограниченном неподвижной поверхностью So, необходимо ре-
решить B.18) при заданных краевых условиях. В эти условия
должны войти функция Со(х) — С@,ж), задающая в V распре-
распределение С в момент времени, принимаемый за начальный, т.е.
начальные условия, и граничные условия на S.
Если 1\, не зависит от С или же зависит линейно, то B.18)
является линейным уравнением параболического типа. При
— = 0 и линейной зависимости 1\, ' от С из B.18) следуют
уравнение Гельмголъца*', а если — = 0 и /у не зависит
от С, то — уравнение Пуассона**, относящиеся к уравнениям
эллиптического типа. Наконец, при — = 0 и /j, = 0 имеем
уравнение Лапласа. Подчеркнем, что все эти варианты урав-
уравнений следуют из локальной формы закона сохранения массы
некоторого вещества в смеси.
'Г.Л.Ф. Гельмгольц A821-1894) — немецкий физик, математик, физио-
физиолог и психолог.
**С.Д. Пуассон A781-1840) — французский механик, физик и матема-
математик.
46 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ СУБСТАНЦИЙ
2.2. Дивергентная форма
уравнения неразрывности
Пусть в каждой точке трехмерного пространства, опреде-
определяемой радиус-вектором х в прямоугольной системе координат
ОХ1Х2Х3 (см. рис. 1.1), плотность р{х) среды и вектор v(x) ее
скорости не зависят от времени t, т.е. процесс переноса массы
является установившимся. Тогда —- = 0 и из B.2) получим так
называемую дивергентную форму
B.19)
уравнения неразрывности. Используя выражение A.9) для
дифференциального оператора Гамильтона и представление
v — v\e\ + v%e2 + извз вектора скорости среды в координатной
форме, где и, — проекция вектора v на ось Ох,, г — 1,2, 3, а е, —
единичный вектор, задающий направление этой оси, запишем
B.19) в координатной форме:
, д
1
B.20)
Рассмотрим произвольный объем V € Ш3, ограниченный по-
поверхностью S (рис. 2.1) и заполненный сплошной средой. В
окрестности каждой точки этого объема справедливо равен-
равенство B.19). Интегрируя это равенство по объему V и используя
Рис. 2.1
2.2. Дивергентная форма уравнения неразрывности 47
формулу Остроградского — Гаусса, запишем
fpvndS = fv(pv)dV = O, B.21)
где п — единичный вектор внешней нормали к поверхности S.
Если в области V существуют такие точки, в которых функ-
функции р(х) и v(x) не имеют непрерывных производных по про-
пространственным координатам или не являются непрерывными,
то в этих точках B.19) не имеет смысла, а формула Остроград-
Остроградского — Гаусса не применима к области V в целом и первое
равенство в B.21) в общем случае теряет силу. Вместе с тем
следует отметить, что если множество таких точек в V € R3
имеет меру Лебега, равную нулю, в частности образует в V
линию или поверхность, то значение интеграла по V в B.21),
равное нулю, остается неизменным.
Пусть поверхность S*, в точках которой функция pv не
является непрерывной и которую называют поверхностью
разрыва, делит область V на две подобласти V\ и V2 так,
что ViUV2US* = V и ViC\V2nS* = 0 (см. рис. 2.1). Выяс-
Выясним, при каких условиях на поверхности S* сохраняет силу
B.21). Обозначим через Si и S2 части поверхности S = 5i US2,
ограничивающие вместе с 5* объемы V\ и Уг соответственно.
Предположим, что в V\ и Уг функция pv, которую обозначим
P\V\ и /Э2«2 соответственно, непрерывно дифференцируема по
пространственным координатам. Тогда к каждой из областей
Vi и Vi можно применить формулу Остроградского — Гаусса
и написать
/ piVlndS+ I plvln*dS= /
Si S' Vx
I p2v2ndS+ / p2V2{-n*)dS= / V(p2V2)dV = 0,
52 5* V2
48 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ СУБСТАНЦИЙ
где п* — единичный вектор нормали к поверхности 5*, на-
направленный в сторону области Vi. Складывая почленно эти
равенства и учитывая, что 5* является в V множеством то-
точек объема нуль, получаем
I piV\ndS+ I p2V2ndS+ pivin*dS + p2V2{—n")dS =
Si S2 S- S*
= / pvndS+ I (piv\ - p2V2)n"dS =
S 5»
= f\7(piVi)dV+ fv(p2v2)dV= f
Следовательно, B.21) как интегральная форма закона сохране-
сохранения массы остается в силе при условии
f{
B.22)
Пусть V является окрестностью некоторой точки М" ? 5* с
радиус-вектором х(М*) (см. рис. 2.1). Стягивая V к точке М*,
из B.22) получаем, что
p\v\n* = /Э2«2те* на S*, B.23)
где /9j, Uj и /?2, «2 — пределы функций р(х) и v(x) при стрем-
стремлении к точке М" G S* точек М\ ? V\ и Мг G V^ соответствен-
соответственно. Следовательно, B.23) устанавливает условия в точках на
поверхности разрыва, не противоречащие закону сохранения
массы.
Таким образом, векторная функция pv может не быть не-
непрерывной в точках поверхности 5*, но должна сохранять
непрерывность проекции на нормаль п* при переходе через
эту поверхность. При этом допустим разрыв проекции этой
функции на плоскость, касательную к 5* в точках разрыва.
2.2. Дивергентная форма уравнения неразрывности 49
Отметим, что это свойство любого соленоидального векторно-
векторного поля, дивергенция которого равна нулю. В частности, в
точках поверхности, ограничивающей векторную трубку в та-
таком поле, допустим разрыв векторной функции, но ее проекция
на нормаль к этой поверхности равна нулю.
Условие вида B.23) позволяет строить так называемые не-
негладкие и разрывные решения задач математической физики,
не удовлетворяющие B.19) во всех точках рассматриваемой
области, путем „сшивания" гладких решений, полученных в
подобластях, где B.19) сохраняет силу. Такие задачи возни-
возникают при изучении процессов переноса массы, например, в
неоднородной несжимаемой среде с резким или скачкообраз-
скачкообразным изменением плотности, в сжимаемой среде со скачками
уплотнения и ударными волнами.
Эти соображения вызывают естественное стремление по-
попытаться использовать дивергентную форму уравнения нераз-
неразрывности для общего случая неустановившегося во времени
движения сплошной среды. В этом случае функции р и v в
уравнении неразрывности B.2) зависят не только от простран-
пространственных координат, но и от времени t.
Аналогично B.20) запишем B.2) в координатной форме:
Эр д{рух) d{pv2) d{pv3) _ .
at дх\ дх-1 дхз
Наличие в левой части B.24) четырех частных производных
позволяет придать ей компактную форму, которую удобно
использовать в дальнейшем при рассмотрении ряда вопросов.
В четырехмерном евклидовом арифметическом простран-
пространстве R4 с ортонормированным базисом е = (et, ei, e2, e3) опре-
определим вектор
г = p(voet + viei + v2e2 + v3e3) =p(voet + v), B.25)
где Vq — произвольная константа, имеющая размерность ско-
скорости (эту константу можно принять равной 1 м/с), и введем
50 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ СУБСТАНЦИИ
дифференциальную операцию дивергенции при помощи опера-
оператора
~ 1 д д д д 1 д _ ,ппс.
V = — et — + ei — + е2^— + е37г— = — et— + V, 2.26
uo от dzi дх2 ox3 v0 at
который аналогичен дифференциальному векторному операто-
оператору A.19) (см. Д.1.1). В соответствии с правилом стандартного
скалярного умножения, учитывая B.25) и B.26), вычислим
~ dp dpvi dpv2 дру3
ot ох\ дх2 ох3
Сравнивая правую часть этого равенства с B.24), приходим
к выводу, что уравнение неразрывности в пространстве R4
можно записать в виде
Vr = 0. B.27)
Такую форму представления уравнения неразрывности бу-
будем называть обобщенной дивергентной.
Пусть V — произвольный изменяющийся во времени объем,
ограниченный движущейся поверхностью S (см. рис. 1.1), точ-
точки которой перемещаются со скоростью v(t,x) среды. В таком
объеме масса т среды будет неизменной во времени (см. 2.1).
Обозначим через в С [^о, ^i) промежуток времени ?, в течение
которого происходит движение среды, и рассмотрим область
Q = 9xVcK4c границей дп (рис. 2.2). Интегрируя B.27)
по области Q и применяя в R4 формулу A.26) Остроградского
(см. Д.1.1), получаем
jrnd{dU)= /v?dfi = 0, B.28)
дп П
где п — единичный вектор внешней нормали к д?1 (в данном
случае dQ = dtdV и d{dU) = dt dS).
Пусть в области Q существуют точки M(t; ц; х2\ х3) G п,
в которых функция г(М) не является непрерывной или же
2.2. Дивергентная форма уравнения неразрывности
51
Q
Рис. 2.2
не имеет непрерывных частных производных по координатам
этих точек. Тогда интеграл по области П в B.28) аналогич-
аналогично интегралу по трехмерной области V в B.21) сохранит свое
значение, равное нулю, если такие точки образуют множество
П* С П с мерой Лебега, равной нулю. Но при этом первое
равенство в B.28) может не иметь места. Пусть такое множе-
множество dQ* С О. является в R4 гладкой поверхностью [V] и делит
область Q на две подобласти fii и Пг так, что Qi U Q2 U д?1* = П
и fiinfi2n<9fi* = 0.
Множество dQ" С R4 зададим уравнением
0 = 0, B.29)
где <p(t,x) — действительная функция, непрерывно диффе-
дифференцируемая по времени t и пространственным координатам
ж,-, г = 1,2,3, радиус-вектора х точки М € R3, причем част-
частные производные этой функции по пространственным коор-
координатам не обращаются одновременно в нуль в любой точке
M*(t; Х\\ Х2', Хз) G д?1*, т.е. \Vip\ ф 0. Тогда по аналогии с выра-
выражением для вектора нормали к поверхности в R3 [V] получим
с учетом B.26) выражение
dip dip dip
дхх дх2 дх3
определяющее в R4 вектор, который можно рассматривать как
вектор нормали к дп* в произвольной точке М* € дп*.
п - ~
v0
B.30)
52 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ СУБСТАНЦИЙ
Рис. 2.3
Если через г* и г% обозначить пределы функции г(М)
при стремлении к точке М* € дО.* точек М\ ? 0,\ и Мг € ?2г
соответственно, то, используя ту же процедуру, что и в случае
установившегося переноса массы, в произвольной точке М* ?
6 80.* приходим к условию
на
B.31)
при выполнении которого сохраняет силу первое равенство в
B.28).
Теперь в трехмерном пространстве R3 с системой координат
ОХ1Х2Х3 рассмотрим подвижную поверхность, заданную тем же
уравнением B.29). Пусть в момент времени t эта поверхность
занимает положение S* и за время Д? переходит в положение S*
(рис. 2.3). Вектор скорости v*(t,M*) перемещения поверхности
5* в точке М* € S* определим как предел
v*(t,M*)= lim
x{Mf) - x{M*)
At
B.32)
где М* €5*1 — точка пересечения S* с прямой, лежащей на
направлении единичного вектора
B.33)
х=х(М*)
2.2. Дивергентная форма уравнения неразрывности
53
нормали к S* в точке М* 6 S*, а аг(Мх*) и х{М") — радиус-
векторы точек Мх* и М* соответственно. Так как <p(t,x(M*)) —
= 0 и tp(t + At,x(Mf)) = 0, то в линейном приближении с учетом
B.33) получаем
dt
х-х(М')
At
х=х(М')
T) - x{M*)) = 0.
\V<p(t,x)\
Отсюда в силу того, что векторы x\Mf) - х(М*) и п*(М*)
являются коллинеарными, имеем
d<p{t,x)
> \Чф,х)\ dt
и после подстановки в B.32) находим
х=х(М*
n*{M*)At
dt
х=х(М*)
п*(М*). B.34)
V(y5 = — -?¦
Учитывая, что в B.30) V<p = — -?- et + V<y3, и используя B.33)
и B.34), запишем
B.35)
Тогда вместо B.31) с учетом B.25) и обозначения [•] скачка
значений функции при переходе через поверхность разрыва S*
в направлении, противоположном вектору п*, в любой точке
54 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ СУБСТАНЦИЙ
М* 6 5* имеем
[p{t,x(M*))v{t,x(M*))n*(M*)} =
= [p{t,x(M*))]v*(t,M*)n*(M*).
Отсюда следует, что если поверхность 5* неподвижна относи-
относительно системы координат ОХ1Х2Х3, т.е. функция <р не зависит
от t и |и*(М*)| = 0, то для любой точки М* 6 5* верно условие
B.23). Если же для каждой точки М* 6 5* в фиксированный
момент времени t ввести свою сопутствующую систему
координат, начало которой имеет скорость, определяемую
вектором и*(?,М*), то в такой системе координат будем иметь
[p(t,x(M*))w{t,a:(M*))n*(M*)] =0, М* 6 5*, B.36)
где w = v — v* — вектор скорости движения среды относитель-
относительно точки М* 6 S*.
Пример 2.2. Пусть среда разнородна и состоит из смеси
п веществ, плотность и скорость которых описывают функции
/>(*)(?,аг) и и(*)(?,аг), fc=l,n, непрерывно дифференцируемые
в области ?2 С К4 по всем своим аргументам. Тогда для
каждого k-го вещества вместо B.15) получим обобщенную
дивергентную форму закона сохранения массы в виде
Уг(*) = го^, B.37)
где rhy(t,x) — непрерывная в области п С R4 функция, харак-
характеризующая скорость образования этого вещества в единице
объема за счет превращения из других веществ, а г^ отлича-
отличается от г в B.25) лишь верхним индексом к у функций р и v.
Интегрируя B.37) по области О. и используя формулу Остро-
Остроградского в виде A.26), получаем
fr^nd{dU)= fv№dU= fm(y]dU, B.38)
an n n
2.2. Дивергентная форма уравнения неразрывности 55
где, по-прежнему, 30 — граница области ?2, а п — единичный
вектор внешней нормали к дО.
Пусть теперь множество дО* С О точек, в которых функция
r(fc) не имеет непрерывных производных или разрывна, делит
область О на две подобласти О\ и 0.2 = (О \ дО*) \ О\, причем
на <Ю* может происходить образование fc-ro вещества за счет
превращения из других веществ со скоростью rhs . Если
дО* является в О множеством, мера Лебега которого равна
нулю, то интеграл по О в B.38) не изменит своего значения и
второе равенство в B.38) сохранит силу, но первое равенство в
общем случае не будет иметь места. Действительно, из условия
сохранения к-го вещества в области О. теперь следует, что
fr^nd(dQ)=fm{y)dU+ f mij0d{dU*). B.39)
Эп п Эп-
Обозначим через дп\ и <Ю2 = д€1\ дп\ части границы дО.
области ?2, ограничивающие извне подобласти ?2i и 0.2 соответ-
соответственно, и предположим, что в О\ и ?2г функция г^к\ которую
обозначим г\ ' и г2 соответственно, непрерывно дифферен-
дифференцируема по всем своим аргументам. Тогда к каждой из этих
подобластей можно применить формулу Остроградского A.26)
и написать
fr[k)ndCO)+ f?[k)n* d{3Q*) = fvr[k)du,
dui Эп' ui
I f(k)nd{d0)+ IrBk)(-n*)d(do*)= fvf(k)du,
дп2 дп* П2
где n* — единичный вектор нормали к дО*, направленный в
сторону подобласти ?2г- Складывая почленно эти равенства
и считая дО* С О множеством, имеющим равную нулю меру
56 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ СУБСТАНЦИЙ
Лебега, с учетом второго равенства в B.38) получаем
[ 7[k)nd(dU) + [ r2k)nd{dU) +
J J
+ fr[k)n*d(dU*)+ I r2k\-n*)d{d<V) =
= fr^nd{dU)+ f\r[k) -r2k))n*d{dQ.*) =
Эй дп*
f~~(k) „ f~~(k) f ~~(k\ f (к) ,^
= / Vr\ d\l+ I Vr2 dU= I Vrv > dU = I rhy dU.
nx n2 ^ ^
Отсюда с учетом B.39) следует, что второе равенство в B.38)
сохраняет силу при выполнении условия
f (r[k)-r{2k))n*d(dU*)+ f m{sk)d(dU*)=0. B.40)
дпт дп*
Рассматривая область ?2 как окрестность некоторой точки
М* € д?1* и стягивая эту окрестность к данной точке, из B.40)
заключаем, что
{г;-г*2)п* + т{к) = 0 на S*, B.41)
где г]1 и г2 — пределы функций г[' и г2 при стремлении
к точке М* € д?1* точек М\ 6 О.\ и Mi 6 0.2 соответственно.
Если множество д€1* задано в R4 уравнением B.29), то точке
М* € Oil* в момент времени t соответствует точка М* € S*
на поверхности разрыва 5*, заданной тем же уравнением в
R3 (см. рис. 2.1). Тогда с учетом B.35) и обозначения скачка
функций при переходе через поверхность разрыва 5* в любой
точке М* € 5* получаем
[pW(t,x(M*))vW(t,x(M*))n*{M')]+th{k)(t,x(M*)) =
= [pW(t,x{M*))]v*(t,M*)n*(M*). B.42)
2.3. Законы сохранения заряда и тепловой энергии 57
Для записанного в виде B.17) закона сохранения k-го веще-
вещества, имеющего в движущейся со скоростью v среде объемную
концентрацию С = р(к\ вместо B.37) будем иметь
VC = /{?>, B.43)
где С = Cvoet + Cv- K^VC (K^ — коэффициент диффу-
диффузии); 1у ' = rhy . В этом случае вместо B.42) получаем
[(C{t,x{M'))v{t,x(M*)) -
], B.44)
где Ps — nvs'. Отсюда в сопутствующей для точки М* 6 5*
системе координат приходим к условию
2.3. Законы сохранения электрического заряда
и тепловой энергии
Пусть в области Vo С К3, ограниченной поверхностью So,
неподвижной относительно прямоугольной системы координат
Охххгхз (рис. 2.4), существуют источники электрического заря-
заряда интенсивностью 1у , равной изменению его объемной плот-
плотности ре в единицу времени. Через jn> обозначим проекцию
вектора j(e) плотности электрического тока в точках поверх-
поверхности So на направление в этих точках единичного вектора п
внешней нормали к So- Тогда, учитывая A.4), условие сохране-
сохранения заряда в объеме Vo можно представить в виде
Vo Vo So
58 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ СУБСТАНЦИЙ
dS
п(Р)
Рис. 2.4
Отсюда, используя A.10) и формулу Остроградского — Гаусса,
получаем интегральную форму закона сохранения электриче-
электрического заряда:
J \ dt
B.45)
Так как объем Vq произволен,' то при условии непрерывности
подынтегральной функции из B.45) находим локальную форму
этого закона:
at
B.46)
Выделив конвективную и диффузионную составляющие пе-
реноса электрических зарядов (см. 1.3), запишем j(e) = pev +
+ аЕ, где вист — вектор скорости и электрическая проводи-
проводимость среды; Е — напряженность электрического поля. Тогда
вместо B.46) получим
B.47)
В отличие от B.18), куда входит лишь одна неизвестная функ-
функция С, в B.47) помимо неизвестной функции ре входит еще
и напряженность J5, которая, вообще говоря, зависит от ре
2.3. Законы сохранения заряда и тепловой энергии 59
(см. 3.5). Поэтому даже при заданных функциях 1у и v, как
правило, формулы B.47) недостаточно для получения полной
формулировки задачи.
В четырехмерном евклидовом арифметическом простран-
пространстве R4 с ортонормированным базисом е = (ej, ei, ег, ез) опре-
определим вектор ге = pevoet + pev + сгЕ, где, как и в B.25), vo —
произвольная константа, имеющая размерность скорости. То-
Тогда обобщенная дивергентная форма закона сохранения заряда
примет вид Vre = Iy , причем дифференциальная операция ди-
дивергенции задана в R4 при помощи оператора B.26). Пусть
векторная функция re(t,M) не имеет непрерывных производ-
производных или не является непрерывной в точках М* ? 5* некоторой
поверхности 5*, делящей область Vo на подобласти Vi и VV То-
Тогда по аналогии с B.44) в любой точке М* 6 S* получим для
этой поверхности разрыва условие
+ I(se)(t,M*)=[pe{t,M*)]v*(t,M*)n*(M*). B.48)
Здесь Ig — поверхностная интенсивность источников заряда,
равная изменению заряда в единицу времени на единице площа-
площади поверхности S*, v*(t,M*) — вектор скорости перемещения
точки М* G 5* вместе с поверхностью S*, а символ [•] обозна-
обозначает скачок значений функции при переходе в точке М* ? S*
через поверхность 5* в направлении, противоположном единич-
единичному вектору п*(М*) к этой поверхности.
Условие B.48) позволяет „сшивать" на поверхностях раз-
разрыва так называемые гладкие решения, полученные в отдель-
отдельных подобластях и удовлетворяющие закону сохранения заряда
B.47). Необходимость в этом возникает, например, при пере-
переносе заряда в неоднородной среде и при возникновении источ-
источников заряда на границах контакта разнородных материалов.
Перейдем к рассмотрению закона сохранения тепловой энер-
энергии в неподвижной несжимаемой среде, занимающей неизменяе-
60 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ СУБСТАНЦИЙ
мый во времени объем Vo, ограниченный поверхностью 5о, фик-
фиксированной относительно системы координат Ох^хз- Пусть в
среде действуют источники тепловой энергии объемной мощно-
мощностью 1у . Через qn обозначим проекцию вектора q плотности
теплового потока в точках поверхности So на направление в
этих точках единичного вектора п внешней нормали к So- То-
Тогда условие сохранения тепловой энергии в объеме Vo примет
вид
jtjeTdV = J I^dV- J qndS. B.49)
Vo Vo So
Здесь st — объемная плотность тепловой энергии.
Применяя A.10) и формулу A-18) Остроградского— Гаусса,
из B.49) получаем интегральную форму закона сохранения
тепловой энергии в виде
B.50)
В силу произвольности объема Vo из B.50) при условии непре-
непрерывности подынтегральной функции следует локальная форма
этого закона:
/.
B.5!)
Примем, что st в B.51) зависит лишь от температуры Т,
причем
Т
= fcdT, B.52)
ет
о
где О 0 — теплоемкость единицы объема среды. Тогда, под-
подставляя A.12) и B.52) в B.51) и используя правило дифференци-
дифференцирования интеграла по верхнему пределу, получаем нелинейное
(в общем случае) дифференциальное уравнение нестационарной
2.3. Законы сохранения заряда и тепловой энергии
61
теплоп роводности
-jr- = —V(AVl ) Н . B.5о)
Если теплопроводность среды А не зависит от температуры и
пространственных координат, то вместо B.53) имеем анало-
аналогичное B.18) уравнение
B.54)
где а = А/с— температуропроводность среды. Примем, что a
не зависит от температуры. Тогда если 1у не зависит от Т
или зависит линейно, то B.54) будет линейным уравнением па-
раболического типа. Если — = 0 и 1у /с не зависит от Г, то из
B.54) следует дифференциальное уравнение стационарной те-
теплопроводности, являющееся уравнением Пуассона. Наконец,
при — = 0 и /|?' = 0 B.54) переходит в уравнение Лапласа.
Отметим, что все перечисленные типы уравнений получены из
локальной формы закона сохранения тепловой энергии непо-
неподвижной несжимаемой среды.
В уравнение B.53) входит единственная неизвестная функ-
функция Т = T(t,M), M 6 Vo, описывающая изменение во времени t
распределения температуры в области Vo (рис. 2.5). Для ре-
решения уравнения B.53) необходимо задать краевые условия.
Начальным условием будет распределение в Vo температуры
62 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ СУБСТАНЦИЙ
То(М) = Т(О,М) в момент времени t = О, принимаемый за на-
начальный, а на ограничивающей Vb неподвижной поверхности So
должны быть заданы граничные условия. Рассмотрим некото-
некоторые типы граничных условий.
Если в точках М € Si на участках Si С So поверхности 5о в
любой момент времени t > О функция fi(t,M) задает значения
температуры этой поверхности (см. рис. 2.5), то говорят о
граничных условиях I рода [XII] и записывают
T(t,M) = /i(t,M), Me Si. B.55)
На остальных участках S2 = Sq\Si поверхности So граничные
условия в общем случае могут иметь вид
\{VT(t,P))n(P) = f2{t,P,T(t,P)), PeS2, B.56)
где п(Р) — единичный вектор внешней нормали к Sq в точ-
точке Р е S2- Функция f2(t,P,T(t,P)) имеет смысл проекции на
направление п(Р) вектора плотности теплового потока, подво-
подводимого извне к поверхности' S2 в окрестности точки Р € S2.
Если эта функция не зависит от T(t,P), то B.55) называют
граничными условиями II рода [XII], а если
f2{t,P,T(t,P))=a(t,P){Tc(t,P)-T(t,P)), PeS2, B.57)
то граничными условиями III рода, причем Тс и а ^ 0 — за-
заданные температура внешней среды и коэффициент теплооб-
теплообмена с этой средой. При а = 0 имеем f2 = 0, что соответству-
соответствует частному случаю граничных условий II рода на идеально
теплоизолированной поверхности. Поскольку значения /2 по
физическому смыслу задачи конечны, то при увеличении ин-
интенсивности теплообмена (а —> оо) имеем T(t,P) —t Tc(t,P). В
этом случае граничные условия III рода переходят в граничные
условия I рода.
Пример 2.3. Рассмотрим прямой стержень, поперечное
сечение которого является правильным шестиугольником со
2.3. Законы сохранения заряда и тепловой энергии
63
Х2*
стороной I (рис. 2.6). Примем, что
объемная мощность 1у' источников
энергии в стержне, коэффициент те-
теплообмена а на его поверхности и
температура Тс внешней среды не из-
изменяются по длине L стержня.
Если / <С L, то поперечные се-
сечения стержня, достаточно удален-
удаленные от его торцов, будут находить-
находиться примерно в одинаковых условиях,
так что переносом тепловой энергии
вдоль стержня можно пренебречь. Поэтому процесс переноса
тепловой энергии в каждом из таких сечений можно рассма-
рассматривать независимо от процесса в соседних сечениях, а задачу
переноса тепловой энергии сформулировать как двумерную в
системе координат Oxix2. Тогда искомой будет функция Т =
= T(t,x\,x2), описывающая нестационарное температурное по-
поле в поперечном сечении стержня. В этом случае B.53) примет
вид
с— = [X——) -\ (А ) + IyK B.58)
ot дх\ V ох\) дх2 V дх2/
На контуре шестиугольного поперечного сечения имеем гра-
граничные условия III рода
A(VT)n(P) = a(Tc-T), B.59)
причем в данном случае
где п\ и п2 — направляющие косинусы единичного вектора
внешней нормали к контуру. В математическую формулиров-
формулировку задачи должно входить начальное условие в виде заданного
начального распределения температуры в рассматриваемом по-
поперечном сечении стержня:
в2). B.60)
64 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ СУБСТАНЦИЙ
Если T0(xi,x2) = const, a 1у\ а, Тс, с и А не зависят от коор-
координат, то в силу симметрии поперечного сечения стержня ре-
решение задачи достаточно найти для треугольника ОАВ с иде-
идеально теплоизолированными сторонами О А и О В (см. рис. 2.6).
В этом случае вместо B.59) имеем
дТ
= а(Тс - Т) на АВ;
А— = 0 на О А;
дх2
B.61)
=0 на 05,
причем п\ = -1/2 и п'2 = \Д/2. #
В процессе теплопроводности возможно возникновение по-
поверхности, для точек которой не будет выполнено условие
непрерывности функции температуры или производных этой
функции. Рассмотрим сначала зту ситуацию на примерах.
Пример 2.4. Пусть Твердое тело объемом Vq ограничено
поверхностью Sq и разделено на две части V\ и Vj поверхностью
5* (рис. 2.7), причем Ai и \2 — коэффициенты теплопроводно-
теплопроводности материала частей V\ и V2 соответственно. В точках Р ? So
заданы постоянные во времени значения температуры Т(Р) =
=¦ h{P)i а в каждой из частей V\ и V2 тела установившееся
Рис. 2.7
2.3. Законы сохранения заряда и тепловой энергии 65
распределение температуры при отсутствии объемных источ-
источников тепловой энергии удовлетворяет уравнениям
/V(A1VT1(M1)) = 0, M.GVk,
< B.62)
(v(A2vt2(M2)) = o, M2evu
которые следуют из B.53) при — = 0 и 1у = 0.
Предположим, что в точках М* € 5* тепловой контакт
частей V\ и V2 тела является идеальным, т.е. Т\{М*) =Т2(М*)
и функция
7\(М), MeVt;
Т(М) = { Т2(М), MeV2; B.63)
MeS*,
непрерывна в точках М & S*. Рассмотрим баланс тепловых
потоков, проходящих через элементарный участок dS* поверх-
поверхности 5* в окрестности некоторой точки М* € 5* (см. рис. 2.7).
Из V\ к этому участку в соответствии с A.12) (законом Фу-
Фурье) поступает тепловой поток dQi = -Ai(VXi)ni(M*) dS*, где
П\(М*) — единичный вектор нормали в точке М* € 5", внеш-
внешней по отношению к части V\ тела. Аналогично из части
V'2 тела к данному участку поступает тепловой поток dQ2 =
= — \2(VT2)n2{M*)dS*. В сумме эти тепловые потоки равны
нулю: dQ\ + dQ2 = 0. Отсюда имеем
) -I- A2(VT2)n2(M*) = 0,
или, учитывая, что щ = -п2, получаем
А^А^. B.64)
Таким образом, если через поверхность передается тепловой
поток и Ai ф А2, то -5-^- ф -5-2-, т.е. производная ¦?— по напра-
влению вектора пх{М*) функции B.63), непрерывной в точке
66 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ СУБСТАНЦИИ
М* G 5*, терпит в этой точке разрыв. Равенство Т\(М*) =
= Т2(М*) и B.64) составляют граничные условия IV рода, или
граничные условия идеального теплового контакта.
Отличие теплового контакта между частями V\ и V2 тела
в окрестности точки М* G 5* от идеального можно характе-
характеризовать некоторым конечным значением ак ^ 0 коэффициен-
коэффициента контактной проводимости (идеальному тепловому контакту
соответствует ак —> оо, а значение ак — 0 отвечает идеально
теплоизолированному участку поверхности 5*). Тогда вместо
B.64) для точки М* G 5* имеем
aK(T1-T2) = A2^. B.65)
ощ
Отсюда следует, что при конечном значении ак передачу через
поверхность 5* теплового потока сопровождает скачок темпе-
температуры [T(M*)] = Ti(M*)-T2(M*), M*eS*, в направлении,
противоположном вектору щ(М*), где под Т\{М*) и Т2(М*)
в данном случае надо понимать пределы функций Т\(М\) и
Т2(М2) при сближении с М* точек М\ и М2 соответственно. #
Если при переходе через некоторую поверхность рассма-
рассматриваемая функция не является непрерывной, то говорят о
поверхности сильного разрыва по отношению к этой функ-
функции, а если функция непрерывна, а разрывна хотя бы одна из
ее частных производных, то говорят о поверхности слабо-
слабого разрыва. При идеальном тепловом контакте частей тела с
различными значениями Ai и А2 контактная поверхность 5* в
примере 2.4 является поверхностью слабого разрыва по отно-
отношению к функции B.63) температуры Г(М), М G V. В случае
неидеального теплового контакта 5* будет поверхностью силь-
сильного разрыва по отношению к функции температуры.
Пример 2.5. Рассмотрим двухслойную пластину, слои ко-
которой имеют различные значения коэффициентов теплопровод-
теплопроводности Ai ф А2, и примем, что температурное поле в пластине
одномерно, т.е. изменяется лишь в направлении координатной
2.3. Законы сохранения заряда и тепловой энергии
67
оси Oxi (рис. 2.8). Пусть при уста-
установившемся процессе теплопроводно-
теплопроводности через пластину в положительном
направлении этой оси проходит те-
тепловой поток плотностью q. Тогда
в случае идеального теплового кон-
контакта между слоями в соответствии
с B.64) в плоскости контакта (х\ = 0)
имеем
q = -\?± = -\J?*. B.66)
н dxi dxx v ;
Рис. 2.8
Ясно, что при постоянных значениях Ai и \2 температура
по толщине h\ первого слоя и по толщине h2 второго слоя будет
изменяться линейно (на рис. 2.8 изображено распределение
температуры для случая Ai < A2). При заданных значениях q,
температуры Тс внешней среды и коэффициента а теплообмена
на поверхности пластины при хх = h2 из B.66) несложно найти,
что Т2(Л2) = Тс + i, Т2@) = Тх@) = T2(h2) + q-hl и Т^-ЛО =
а Аз
= Гх@) + Ур-. Отсюда получаем
qhx
qh2
При т^ ^С -г" перепадом АТ2 температуры по толщине вто-
рого слоя можно пренебречь по сравнению с перепадом АТ\
по толщине первого слоя и принять температуру второго слоя
однородной по его толщине, т.е. Т2{х{) = const. Таким обра-
зом, существенное различие термических сопротивлении -^- и
т-2- слоев позволяет упростить математическую модель про-
Аг
цесса установившейся теплопроводности в двухслойной пла-
пластине. Возникающая при этом погрешность пропорциональна
. Ьсли при сопоставимых толщинах слоев их теплопровод-
ности отличаются на два и более порядков (это характерно,
68 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ СУБСТАНЦИЙ
например, для металлов и теплоизолирующих материалов), то
погрешность вычисления температур не превышает процента
от ДТЬ
Принятое упрощение можно использовать и в случае неста-
нестационарного процесса теплопроводности, описываемого в слоях
пластины уравнениями
dt ~ai
д2т2
dt
B.67)
где Ъ\ — \\ /с\ и а,2 = Х2/с2 — температуропроводности пластин,
а с\ и с2 — их объемные теплоемкости. Помимо начальных рас-
распределений Ti@,xi) = T°(xi) и T2@,Xi) = T%{xi) температуры
в слоях в момент времени t = 0 для решения B.67) необходимо
задать граничные условия:
=T2 и
*2 7Т ='
B.68)
Интегрируя второе уравнение B.67) по толщине h2 второго
слоя и учитывая B.68), получаем
dT2(t,Xl)
82T2(t,xi) J \2
Отсюда, полагая при h2/X2 <C hi/Xi температуру по толщине
этого слоя однородной, т.е. T2(t,xi) = Гг(?) = Ti(t,0), находим
при X! = 0.
B.69)
2.3. Законы сохранения заряда и тепловой энергии
69
Т1
Рис. 2.9
Это равенство и первое равенство B.68)
являются в принятом приближении гра-
граничными условиями для первого урав-
уравнения B.67). Отметим, что мы, пре-
пренебрегая термическим сопротивлением
второго слоя пластины, учитываем его
теплоемкость. Характер распределе-
распределения температуры по толщине пластины
в некоторый момент времени t в этом
приближении показан на рис. 2.9.
Таким образом, плоскость х± = О остается и при принятом
приближении поверхностью слабого разрыва по отношению как
к установившемуся, так и к нестационарному распределениям
температуры в рассматриваемой двухслойной пластине.
Пример 2.6. Поверхность слабого разрыва по отношению
к распределению температуры может возникнуть при фазовом
переходе в среде (например, в процессах плавления, испарения,
сублимации, затвердевания или конденсации), причем эта по-
поверхность может перемещаться во времени t относительно ча-
частиц среды. Примем, что переход среды из одного агрегатного
состояния в другое происходит при фиксированной температу-
температуре Т* = const и сопровождается поглощением единицей массы
среды тепловой энергии г (величину г называют теплотой пла-
плавления, испарения или сублимации и для этих процессов обычно
г>0).
Рассмотрим в неподвижной среде одномерное поле темпе-
температуры, изменяющейся лишь в направлении координатной оси
Ох\. Тогда плоскость Х\ = х*, в которой температура сре-
среды равна Т*, будет поверхностью слабого разрыва относи-
относительно распределения температуры в среде, если в процессе
фазового перехода тепловой контакт между различными агре-
агрегатными состояниями этой среды сохраняется идеальным, т.е.
Ti(t,x*) — T2(t,x*) = Т" (рис. 2.10). Эта плоскость разделяет
два агрегатных состояния среды с теплопроводностями Ai и Аг,
70 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ СУБСТАНЦИЙ
О
существующие при температурах
соответственно выше и ниже Т*.
Скорость v* = dx*/dt движения по-
поверхности слабого разрыва в дан-
данном случае можно найти из баланса
тепловой энергии при х\ =х*. С
учетом A.12) запишем
B.70)
где р — плотность среды перед изменением ее агрегатного со-
состояния. Ясно, что v* > 0 при г > 0, если левая часть B.70)
положительна, и наоборот. Таким образом, движущаяся плос-
плоскость фазового перехода при г ф 0 является поверхностью силь-
сильного разрыва по отношению к функции плотности теплового
потока. #
Условия на поверхности 5* разрыва в процессах теплопро-
теплопроводности можно сформулировать в более общем виде. Для это-
этого в четырехмерном евклидовом арифметическом пространстве
К4 с ортонормированным базисом е = (е<, е\, в2, ез) введем
вектор q = ?г°ое« + д, причем, как и в B.25), v0 — произвольная
константа, имеющая размерность скорости. При этом локаль-
локальная форма B.51) закона сохранения тепловой энергии перейдет
в обобщенную дивергентную форму Vg = Iy .
Пусть векторная функция q(t,M) не имеет непрерывных
производных или не является непрерывной в точках М* G 5*
поверхности S*, делящей область Vo на подобласти V\ и V?.-
Примем, что эта поверхность может перемещаться, причем ее
точки М* G 5* имеют скорость v*(t,M*). Тогда аналогично
B.44) в любой точке М* € 5* получим
= [eT(t,M*)]v'(t,M*)n*(M*), B.71)
2.3. Законы сохранения заряда и тепловой энергии 71
где Ig — поверхностная интенсивность источников тепловой
энергии. Если поверхность 5* неподвижна, то \v*\ = 0 и из
B.71) следует условие
[qn(t,x(M*)]+*s)(tMM*)) = 0 B.72)
для скачка значений qn = q(t,M*)n*(M*) проекции вектора
q на направление единичного вектора п*(М*) нормали к 5*
при переходе в точке М* € 5* через 5* в противоположном
направлении.
В примере 2.5 плоскость Х\ = О, разделяющая слои двух-
двухслойной пластины, неподвижна. Поэтому при отсутствии в
этой плоскости источников тепловой энергии равенство B.66)
в случае установившегося процесса теплопроводности и второе
равенство при х\ = 0 в B.68) в случае нестационарного процесса
соответствуют условию B.72) при Ig = 0. Если же в нестаци-
нестационарном процессе теплопроводности пренебречь термическим
сопротивлением второго слоя пластины и учитывать лишь его
теплоемкость, то это равносильно появлению в плоскости Х\ — 0
источника тепловой энергии с поверхностной интенсивностью
Ig = —h,2C2-^-- В этом случае граничное условие B.69) также
соответствует B.72), если учесть, что qn = — a(Tc — Т\) перед
переходом через плоскость Х\ = 0 в направлении, противопо-
противоположном положительному направлению оси Ох\.
Пусть плоскость xi = х* фазового перехода, в которой при
фиксированной температуре Т* = const происходит изменение
агрегатного состояния среды, имеет в момент времени t ско-
скорость v* (см. пример 2.6). В этой плоскости при и* > 0 проис-
происходит скачок [ет] = рг объемной плотности тепловой энергии
?т, что в соответствии с B.71) при Ig =0 связано со скачком
[<7„] плотности теплового потока, учитываемым условием B.70).
В сопутствующей системе координат, движущейся вместе с
плоскостью фазового перехода, трактовка условия B.71) будет
иной. Теперь относительно системы координат, движущейся
72 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ СУБСТАНЦИЙ
вместе с этой плоскостью, не происходит затрат тепловой энер-
энергии на изменение значения ет, но в этой плоскости действует
источник тепловой энергии с поверхностной интенсивностью
—prv*, что также приводит к B.70).
2.4. Закон сохранения количества движения
Согласно второму закону Ньютона, скорость изменения ко-
количества движения любого тела равна сумме всех сил, действу-
действующих на это тело. Для сплошной среды, находящейся в объеме
V, ее количество движения в соответствии с A.5) равно
= JpvdV,
B.73)
где р и v — плотность и вектор скорости среды. Действующие
на среду силы распределены по ее объему и ограничивающей
его поверхности. Такие силы называют соответственно объем-
объемными и поверхностными. Примером объемной силы является
сила тяжести, а поверхностной — сила давления.
Объемные силы будем характеризовать вектором объемной
плотности
? B-74)
где R — вектор равнодействующей сил, распределенных по
объему AV среды, ad — диаметр области, занятый этим
объемом. Аналогично вектором плотности поверхностных сил
будет предел
^ B.75)
где Р — вектор равнодействующей сил, распределенных по
участку AS поверхности 5, ограничивающей рассматриваемый
объем V среды, a d' — диаметр области, соответствующий
этому участку поверхности. Модули векторов Ьир измеряют
в Н/м3 и Н/м2 (или в Па — Паскалях) соответственно.
2.4. Закон сохранения количества движения 73
Пример 2.7. Если среда находится в однородном поле
тяготения, характеризуемом вектором g ускорения свободного
падения, то на массу Дто в объеме ДV будет действовать сила
тяжести R = gAm. Тогда, согласно A.1) и B.74), найдем
, ,. gAm Am
о = hm = о Iim = pa
AV у
При действии на плоский участок поверхности AS внешнего
давления р равнодействующая будет равна Р = —pASn, где
п — единичный вектор нормали к участку AS, внешней по
отношению к объему, занятому средой. В этом случае из B.75)
следует, что
-pASn
р = hm ——— = -рп.
as-40 AS
Можно показать, что и в случае произвольной криволинейной
поверхности при действии внешнего давления вектор плотности
поверхностных сил в точке поверхности с единичным вектором
внешней нормали п будет равен — рп. #
Равнодействующие сил, распределенных по объему V и
ограничивающей его поверхности 5, будут соответственно
fbdV и fpdS,
поскольку силы, действующие между отдельными частями сре-
среды внутри объема V, взаимно уравновешены. Тогда, согласно
второму закону Ньютона и равенству B.73), получим инте-
интегральную форму закона сохранения количества движения
j fpvdV= fbdV+ fpdS. B.76)
V V S
Ясно, что если в некоторых точках объема V и поверхности
5 приложены сосредоточенные силы, то в правую часть B.76)
должна войти также и равнодействующая таких сил.
74 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ СУБСТАНЦИЙ
Заменяя в B.6) Ст на проекцию Vi вектора v на ось Ох,,
г = 1, 2, 3, прямоугольной системы координат ОХ1Х2Х3 с ортами
е,, имеем
V V
Поскольку v = V\e\ + «2е2 + ^зе3) то
так что вместо B.76) для произвольного объема V, ограничен-
ограниченного поверхностью 5, можно написать
BJ7>
V S
Понятие плотности поверхностных сил применимо к любой
точке Мб V объема V среды, если в этой точке задать еди-
единичный вектор п и провести через нее перпендикулярно этому
вектору элементарную площадку AS. В этом случае вектор
р, определяемый согласно B.75), принято называть вектором
напряжения. При этом сила pAS будет действовать со сторо-
стороны части среды на ту ее часть, для которой вектор п является
внешней нормалью к площадке AS.
Ясно, что вектор р в фиксированной точке среды зависит
от ориентации площадки AS, задаваемой единичным вектором
п — щех + П2в2 + пзез с направляющими косинусами щ, п2, пз
относительно координатных осей 0\\, 0x2, Охз соответствен-
соответственно (рис. 2.11). Рассмотрим пирамиду с треугольным основа-
основанием AS, боковые грани которой параллельны координатным
плоскостям. Объем такой пирамиды равен AV = hAS/S, где
h — высота, опущенная из вершины пирамиды на основание
AS в точку М € AS, а площади боковых граней, перпендику-
перпендикулярных координатным осям, равны соответственно
AS2 = ASn2, AS3 = ASn3.
2.4. Закон сохранения количества движения
75
Х2
Рис. 2.11
Применяя теоремы о среднем значении для тройного и двой-
двойного интегралов к интегралам по объему AV и ограничиваю-
ограничивающей его поверхности [VII], в соответствии с B.77) имеем
dv hAS . hAS
p-j-—z 0—5—
at 6 6
= pAS + piASni + p2ASn2 + p3ASn3,
где pi, P2, рз — векторы напряжений на боковых гранях пи-
пирамиды, перпендикулярных соответствующим координатным
осям (чертой сверху обозначены средние значения параметров
в объеме и на соответствующих участках поверхности). Сокра-
Сокращая это равенство на AS и затем стягивая объем пирамиды в
точку М так, что при h —> О пирамида, сохраняя ориентацию
относительно координатных осей, остается подобной сама себе,
получаем
р + Р\ Щ + ргп2 + р3п3 = 0. B.78)
Равенство B.78) должно быть выполнено для любой пло-
площадки, проходящей через любую точку в объеме V или на
ограничивающей его поверхности 5. Рассмотрим квадратную
матрицу ((T,j) третьего порядка с такими ее элементами <x;j,
i,j= 1,2,3, что
•pi =
¦ Рг =
¦ РЗ =
B.79)
76 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ СУБСТАНЦИЙ
Тогда для проекций вектора р = р\е\ Л-рг^-г +Рз^з на коорди-
координатные оси, согласно B.78), имеем
' Pi = ЯхСГц + П2СГ21 + П3СГ31,
B.80)
Эти соотношения, устанавливающие линейную зависимость
проекций вектора напряжения в площадке от проекций вектора
нормали к этой площадке, составляют содержание фундамен-
фундаментальной леммы Кохии.
Матрица (<т,,) = (<7ц) преобразует проекции n,-, j = 1, 2, 3,
вектора п в проекции pi, г = 1, 2, 3, вектора р в соответствии с
соотношениями B.80), которые можно записать в виде
i= 1,2,3,
или, используя правило суммирования слагаемых по повторяю-
повторяющимся индексам (здесь по индексу j), в виде
Pi = njaji, ij = 1,2,3. B.81)
Известно [IV], что такая матрица соответствует тензору вто-
второго ранга. В данном случае его называют тензором на-
напряжений. Из B.81) видно, что элемент ац матрицы (tfji) —
компонента тензора напряжений — является проекцией на
координатную ось Ох; вектора р напряжения в площадке, еди-
единичный вектор внешней нормали к которой совпадает с ортом
ej, т.е. rij = 1. Диагональные элементы <?ц, въъ, ^зз этой
матрицы называют нормальными напряжениями, а вне-
диагональные — касательными к площадке, причем первый
индекс элемента <7ji указывает на отмеченную выше ориента-
ориентацию площадки. Если <7ji > 0, то считают, что соответствующее
напряжение действует в положительном направлении оси
2.4. Закон сохранения количества движения
77
i— 1,2, 3, а при <7ji < О — в противоположном. На рис. 2.12
показаны направления действия нормальных и касательных на-
напряжений для случая tjji > 0, г, j = 1, 2, 3.
Рис. 2.12
Из B.80) следует, что
Pi = (auei + o-2je2 + <7з.ез)п = р
т.е. pi является проекцией вектора
i = 1, 2, 3,
B.82)
B.83)
на направление единичного вектора п нормали. Поскольку
B.82) верно и для точек на поверхности 5, ограничивающей
объем У, занятый средой, то B.77) можно записать в проекциях
на координатные оси в виде
^ ~ bt) dV = jpidS = jp^ndS, i = 1, 2,3,
где Vi и bi — проекции векторов v и Ь на координатные оси
Ox,-, i= 1,2,3. Отсюда, используя формулу Остроградского —
Гаусса, находим
i = 1,2,3.
B.84)
78 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ СУБСТАНЦИЙ
В прямоугольной системе координат с учетом правила сум-
суммирования по повторяющимся индексам
Тогда в случае непрерывности подынтегральной функции в
B.84), учитывая произвольность рассматриваемого объема V,
получаем локальную форму закона сохранения количества дви-
движения в проекциях на координатные оси
ГЗГ - *•-7Г1 = °' U = 1,2,3, B-85)
at OXj
называемую уравнениями движения. В векторной форме
B.84) и B.85) с учетом правила суммирования по повторяю-
повторяющимся индексам г, j = 1, 2, 3 примут вид
Если среда неподвижна, то B.85) переходят в уравнения
равновесия
^- + bi = 0, или ^iei + 6 = 0, г, j= 1,2,3. B.87)
OXj OXj
При этом B.84) принимает вид
+ bi)dV = 0, г =1,2,3. B.88)
Отметим, что B.88) сохраняет силу и в случае, если множе-
множество точек в V 6 R3, в которых векторная функция р(') не имеет
непрерывных производных по координатам радиус-вектора х
или даже не является непрерывной, имеет меру Лебега, рав-
равную нулю. Если множество таких точек образует некоторую
2.4. Закон сохранения количества движения 79
поверхность разрыва 5*, делящую V на две подобласти Vj и
V-2 (см. рис. 2.1), то процедура, аналогичная использованной в
2.2, дает условие для скачка [р^та*] проекции вектора рМ на
направление единичного вектора п* нормали к 5* в виде
[p(')n*] + tf = 0, i= 1,2,3, B.89)
где р* — проекции на координатные оси Oxj вектора р* плот-
плотности внешних поверхностных сил, которые могут быть при-
приложены на этой поверхности. Такие силы могут возникнуть,
например, при взаимодействии среды с электромагнитным по-
полем*. Умножая B.89) на направляющие косинусы п,-, г = 1, 2, 3,
вектора нормали п*, суммируя по индексу г и учитывая B.83),
приходим к условию
[W4-] + Р*п* = 0, t, з = 1, 2, 3, B.90)
выраженному через компоненты тензора напряжений и запи-
записанному с учетом правила суммирования по повторяющимся
индексам.
Чтобы получить условия на поверхности разрыва в случае
движущейся среды, в уравнении неразрывности B.2) перейдем
к координатной записи дифференциальной операции диверген-
дивергенции:
а также учтем, что
dvi dvt dvi
Тогда вместо B.85) будем иметь
+
'См.: Седов Л.И.
80 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ СУБСТАНЦИЙ
В четырехмерном евклидовом арифметическом простран-
пространстве К4 с ортонормированным базисом е = (е*, е\, ег, ез) вве-
введем векторы
р(*) = pvtvoet + {pVjVi - ffj,-)ej, i, j = 1,2,3,
где, как и в B.25), Vq — произвольная константа, имеющая
размерность скорости. Используя векторный оператор B.26),
перейдем от B.91) к обобщенной дивергентной форме закона
сохранения количества движения в виде
VpW-6i = o, г =1,2,3. B.92)
Теперь процедура, аналогичная использованной в 2.2, при-
приведет к следующим условиям на поверхности разрыва 5*:
i - o-ji)n]\ = [pvi]v*n* + pf, i = 1, 2,3, B.93)
где г>* — вектор скорости перемещения точек поверхности 5*.
Умножая B.93) на п* и суммируя не только по индексу j, но и
по индексу г, получаем условие
[p{vn*J - ffjintf] = [pvn*]v*n* +р*п*, г, j = 1, 2,3, B.94)
обобщающее B.90) на случай движущейся среды. Если поверх-
поверхность 5* неподвижна, т.е. |г>*| = 0, то первое слагаемое в правой
части B.94) исчезает. Тот же результат имеет место, если сре-
среда несжимаема, так как в этом случае в соответствии с B.23)
[pvn*] = 0 на 5*.
Вектор момента К количества движения среды, находящей-
находящейся в объеме V, можно представить в виде A.5). Интегральная
форма закона сохранения момента количества движения отно-
относительно некоторой фиксированной точки устанавливает ра-
равенство скорости изменения вектора К моменту относительно
этой же точки всех действующих объемных и поверхностных
сил. Можно показать*, что при отсутствии моментов, распре-
'См.: Седов Л.И.
Д.2.1. Формулы векторного анализа в случае неоднородной среды 81
деленных по объему V или ограничивающей его поверхности
S, из этого закона следует симметрия тензора напряжений,
т.е. <Tij = <7ji, i, j = 1, 2, 3. Однако в общем случае может воз-
возникнуть необходимость учитывать распределенные по объему
и поверхности моменты (в частности, при движении среды в
электромагнитном поле*).
Дополнение 2.1. Формулы векторного
анализа в случае неоднородной среды
Законы сохранения физических субстанций в неоднородной
сплошной среде при постановке задач математической физики
приводят к дифференциальным уравнениям с переменными ко-
коэффициентами. Например, в уравнении B.53) нестационарной
теплопроводности, следующем из закона сохранения тепловой
энергии (см. 2.3), теплопроводность А(М) среды может быть
функцией координат точки М € R3. Более того, если среда
еще и анизотропна, т.е. ее свойства передавать тепловую энер-
энергию различны в различных направлениях, то вместо А в B.53)
войдет тензор \{М) теплопроводности. Он является тен-
тензором второго ранга и в прямоугольной системе координат
ОХ1Х2Х3 имеет вид квадратной матрицы третьего порядка:
B.95)
22
причем Xij = Xji, i,j=\,2/,l. Каждая из компонент этого
тензора может быть функцией координат Х{ точки М ? R3.
В этом случае B.53) примет вид
^(^) ^ B-96)
"См., например: Можен Ж.
82 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ СУБСТАНЦИЙ
где Т — искомая функция температуры; с > 0 — теплоемкость
единицы объема среды; 1у — объемная мощность источников
тепловой энергии.
Замечание 2.1. Напомним, что симметрическую матрицу
вида B.95) ортогональным преобразованием можно привести к
диагональному виду. Координатные оси, задаваемые ортонор-
мированным базисом, в котором матрица B.95) является диа-
диагональной, называют главными осями тензора, которому
соответствует эта матрица. Тогда при совпадении координат-
координатных осей Ох,, г = 1, 2, 3, с главными осями тензора А(М) вместо
B.96) получим
dt
где А, — диагональные элементы матрицы B.95) после ее при-
приведения к диагональному виду, называемые в данном случае
главными коэффициентами теплопроводности анизо-
анизотропной среды. #
Уравнения с переменными коэффициентами могут быть ре-
результатом линеаризации нелинейных математических моделей
физических процессов. При приближенном решении нелиней-
нелинейных задач методом итераций обычно приходится решать та-
такие уравнения на каждой итерации.
Выражение в виде двойной суммы в правой части B.96)
характерно для многих уравнений с переменными коэффици-
коэффициентами, встречающихся в задачах математической физики.
В более общем случае ru-мерного евклидова арифметического
пространства Rm рассмотрим интегралы
Д.2.1. Формулы векторного анализа в случае неоднородной среды 83
по конечной области И С Rm с границей д?1. Здесь и и v —
действительные функции, дважды непрерывно дифференциру-
дифференцируемые по всем своим аргументам х\, Х2, ..., хт на замыкании
fi области Q, а переменные коэффициенты a±j = a,ji, i,j = 1, m,
непрерывно дифференцируемы по тем же аргументам на П.
Если в A.25) принять
v^ ди .
то интеграл в левой части A.25) совпадет с первым из рас-
рассматриваемых интегралов. Тогда получим обобщение формулы
Остроградского на случай переменных коэффициентов:
Используя B.97) и равенство
„ т т г. „ т т ^. г.
ои\ v^ v^ of °u\ x~* x~* dv аи
для второго из рассматриваемых интегралов находим
/
an
84 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ СУБСТАНЦИЙ
Меняя в B.98) местами функции и и и и вычитая полученный
результат из B.98), с учетом равенств a,i2 = a.,-,-, i,j = l,m,
получаем
д ( ди \ д
а г=^=1
да •='j=i
Таким образом, B.98) и B.99) можно считать обобщением пер-
первой и второй формул Грина соответственно на случай т-мер-
ного пространства и переменных коэффициентов.
Вопросы и задачи
2.1. Поле скорости несжимаемой среды задано функцией
V = -Г—ГХв! +V2(Xl,X2)e2)
\х\
где |ж| = \/х\ + a?2- Найти функцию ^(ж^хг), если 1^@,z2) = ^'
и проверить, является ли поле скорости потенциальным.
2.2. В проходящих через фиксированную точку площадках
с единичными векторами нормали пап' действуют векторы
напряжений р и р' соответственно. Доказать, что рп' = р'п.
2.3. Найти зависимость вектора плотности объемных сил
от координат точки, если тензор напряжений в неподвижной
среде задан матрицей
а = const.
axi^2
Ъах\
0
Ъах\
0
2ах3
0
2ах3
0
3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ СРЕД
В общем случае количество неизвестных функций, входя-
входящих в уравнения, полученные из законов сохранения физиче-
физических субстанций, превышает количество этих уравнений. По-
Поэтому таких уравнений обычно недостаточно для построения
замкнутой формулировки задач математической физики. Так,
для получения из закона сохранения тепловой энергии диффе-
дифференциальных уравнений B.53) и B.54) нестационарной тепло-
теплопроводности, содержащих единственную неизвестную функ-
функцию температуры среды, пришлось использовать эмпирический
закон A.12) теплопроводности и зависимость B.52) объемной
плотности тепловой энергии от температуры. Эта зависи-
зависимость является характерным примером уравнения состояния
среды.
Чтобы использовать B.85) для формулировки задач мате-
математической физики, полагая заданным поле вектора Ь плотно-
плотности объемных сил, необходимо установить связь между век-
вектором v скорости среды и тензором напряжений. Эта связь
также может быть выражена соответствующим уравнением со-
состояния среды, часто называемым математической моделью
среды. Рассмотрим некоторые из таких моделей.
3.1. Модели идеальной жидкости (газа)
К жидкости (или газу) относят такую среду, вектор на-
напряжения в любой точке которой в состоянии покоя всегда
коллинеарен вектору нормали к любой площадке, проходящей
через эту точку. Для твердых тел это имеет место лишь в
условиях всестороннего сжатия или растяжения.
86 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ СРЕД
Идеальной (невязкой) жидкостью (или идеальным газом)
считают среду, для которой указанное свойство сохраняется
и при движении. При этом в любой точке такой среды тензор
напряжений с компонентами <Tij, i,j = 1,2, 3, является шаро-
шаровым, т.е. (Tij = а0 при i — j и aij = О при г / j. В этом случае
величину <г°, взятую с обратным знаком, называют давлением
жидкости (или газа) и обозначаютр, т.е. р= —ст°. Тогда вместо
уравнений движения B.85) получим в прямоугольной (декарто-
(декартовой) системе координат ОХ1Х2Х3 соотношения
*%=*-&=*• i=1'2-3' (зл)
называемые уравнениями Эйлера. Они установлены Л. Эй-
Эйлером в 1755 году. Их можно представить в векторной форме:
C.2)
Принимая во внимание, что [VII]
dv dv , __. dv 1
- = _ + («V)»=~+-
можно записать C.2) также в виде
При умеренных давлениях жидкость обычно считают не-
несжимаемой. Если несжимаемая жидкость однородна, т.е. р =
= р° — const, то при заданном значении р° C.1) и уравнение
неразрывности Vv = 0 B.4) образуют замкнутую систему че-
четырех уравнений относительно четырех неизвестных функций
«t» г = 1,2,3, и р. Несжимаемая жидкость может быть неод-
неоднородной, т.е. состоять из частиц, имеющих различную плот-
плотность, но сохраняющих ее в процессе движения неизменной (т.е.
3.1. Модели идеальной жидкости (газа) 87
-В. = 0). Тогда к указанным четырем следует добавить урав-
уравнение ^ + V(/9v) = 0 B.2). Оно позволяет найти функцию р =
= p(t,x), описывающую распределение плотности неоднородной
несжимаемой жидкости в пространстве в различные моменты
времени t, если в момент времени t = 0, принимаемый за на-
начальный, задано начальное распределение ро{х) = р@,х).
Пусть при р — р° — const векторные поля скорости однород-
однородной несжимаемой жидкости и объемных сил являются потен-
потенциальными, т.е. V х v = 0, v = Vtp и Ь = VB, где ip и В —
действительные функции, зависящие в общем случае от време-
времени и пространственных координат. Тогда C.3) принимает вид
<»>
Отсюда следует интеграл Кохии — Лагранжа
причем для нахождения функции g(t) достаточно располагать
зависимостью от t левой части C.5) в какой-либо одной точке
области движения жидкости. Из B.4) получаем, что потенциал
скорости if удовлетворяет уравнению Лапласа V2y? = 0, т.е.
является гармонической функцией.
При установившемся движении -?- = 0 и C.5) переходит в
известный интеграл Бернулли*
C.6)
Это уравнение Д. Бернулли установил в 1738 году для течения
жидкости в поле силы тяжести, т.е. при В = —р°дохз, где #о —
*Д. Бернулли A700-1782) — швейцарский математик и механик.
88 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ СРЕД
ускорение свободного падения, а хз — координата, отсчитыва-
отсчитываемая вертикально вверх.
Если плотность среды зависит только от давления, то про-
процесс в такой среде называют баротропным. Газ называют
совершенным, если он подчиняется уравнению состояния
P = pRT, C.7)
где R — удельная газовая постоянная для данного газа. Дви-
Движение совершенного газа является баротропным процессом при
известной температуре Т газа или же при отсутствии теплооб-
теплообмена частиц газа между собой и с внешней средой, т.е. в случае
адиабатического течения. Действительно, в этом случае для
единицы массы газа
cvdT + Pd(l/p) = 0, C.8)
где cv — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме.
В C.8) первое слагаемое характеризует изменение внутренней
энергии газа, а второе — работу давления при изменении
объема 1//э единицы массы газа. Из C.7) находим
dp pdp
dT=
и, подставляя в C.8), получаем дифференциальное уравнение с
разделяющимися переменными
cvdp (cv , \pdp_n
интегрирование которого приводит к зависимости
р = Ср1, С - const, C.9)
где -у = 1 Н = -? — показатель адиабаты; ср — удельная
теплоемкость газа при постоянном давлении.
3. /. Модели идеальной жидкости (газа) 89
Таким образом, в случае баротропного движения газа зави-
зависимость р= f{p), уравнения Эйлера C.1) и уравнение неразрыв-
неразрывности B.2) образуют замкнутую систему относительно пяти
неизвестных функций V\, V2, V3, р и р. Если векторное поле
плотности Ьр = Ь/р объемных сил, приходящихся на единицу
массы газа, является потенциальным, т.е. Ьр = VBP, где Вр —
действительная функция, зависящая в общем случае от времени
и пространственных координат, то при потенциальном движе-
движении газа, когда v = Vy?, можно получить интеграл Коши —
Лагранжа C.5). Для этого введем функцию давления
р
- [*Р
"У р'
р
Ро
где ро — некоторое заданное значение давления, полагая, что
плотность газа возрастает с ростом давления, т.е. — = —гт > 0.
dp f'(p)
Тогда -Vp= VP, так что из C.3) при V X v = О следует
% + \(V<PJ + P-B, = h(t), C.10)
причем функцию h(t) можно найти тем же путем, что и функ-
функцию g(t) в C.5).
Дифференциал функции давления можно представить в
виде
Р Р dp
Отсюда следует, что
1 d?_ \_dP_
р dt a2 dt
Тогда, используя уравнение неразрывности в виде B.3) и зави-
зависимость v = Vy?, имеем
if+vV = o. (in,
90 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ СРЕД
Система C.10), C.11) замкнута относительно неизвестных
действительных функций Р и (р, поскольку а2 можно также
представить как функцию Р. Например, в случае адиабатиче-
адиабатического течения, учитывая C.9), получаем
= 7-. C-12)
up p
а для функции давления
а2 уС
' РО
РО РО
7-1
•7-1
Ра ,
где ро = (^) . Отсюда следует линейная зависимость а2 —
= (Т- ljP + CpJT1 = G- lJP + C1/^^.
В ряде прикладных задач аэродинамики и акустики тече-
течение газа можно рассматривать как возмущенное относительно
известного движения или состояния покоя. Так, при малых воз-
возмущениях около состояния покоя систему C.10), C.11) можно
линеаризовать и привести к виду
dip п п 1 дР -
i+p0 +vV0
где Oq = const — значение -^, вычисленное для невозмущенного
состояния. Исключая отсюда Р, получаем так называемое
волновое уравнение
^ = agVV, C.13)
которое является дифференциальным уравнением гиперболи-
гиперболического типа. Значение ао имеет смысл скорости распростра-
распространения волн в газе и носит название скорости звука. Если в
невозмущенном состоянии газ имеет температуру Т, то для
3.2. Модели вязкой жидкости 91
адиабатического течения из C.7) и C.12) следует известная
формула ао — \/~fRT. И. Ньютон предполагал, что при рас-
распространении звуковых волн течение газа изотермическое, и
получил для скорости звука выражение \ЛЙТ. Эта ошибка позд-
позднее была исправлена П.С. Лапласом.
При установившихся колебаниях с некоторой частотой и
функцию <р можно представить произведением зависящей толь-
только от времени / периодической функции вида smut или cosut
(или линейной комбинации этих функций) и функции и, зави-
зависящей лишь от пространственных координат и описывающей
форму волны. Тогда C.13) переходит в уравнение эллиптиче-
эллиптического типа
V2u+~u = 0, C.14)
Ч
называемое уравнением Гельмгольца.
При взаимодействии идеальной жидкости (идеального га-
газа) с непроницаемой границей области течения из-за того, что
вектор напряжения коллинеарен вектору п нормали к границе,
возможно проскальзывание частиц, т.е. отсутствует их при-
прилипание к границе. Поэтому на таких границах совпадают
проекции векторов скорости жидкости (газа) и заданной скоро-
скорости «° границы на направление нормали, т.е. vn = v°n, или (в
случае потенциального поля скорости) (V<p)n = v°n. На сво-
свободной границе области должно быть задано давление, а на
проницаемых границах — вектор скорости или давление.
3.2. Модели вязкой жидкости
В отличие от идеальной (невязкой) жидкости при движе-
движении вязкой жидкости компоненты тензора напряжений в вы-
выбранной прямоугольной системе координат OxjX2X3 в общем
случае могут принимать произвольные значения. Рассмотрим
наиболее простую модель изотропной вязкой жидкости, связы-
связывающую компоненты Uij тензора напряжений с компонентами
92 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ СРЕД
тензора скоростей деформаций
линейными соотношениями
aij = -p6ij + k(VvNij+2T]Zij, i, j = 1,2,3, C.16)
где коэффициенты Лит; характеризуют вязкое сопротивле-
сопротивление при движении среды, а <5,_, = 1 при г = j и <5,j = 0 при
г ^ j (тензор второго ранга с компонентами <S,j называют
единичным). В этой модели предполагают отсутствие про-
проскальзывания частиц жидкости на границе с твердым телом,
т.е. векторы скоростей жидкости и твердого тела в точках
такой границы совпадают (в точках неподвижной границы ско-
скорость жидкости равна нулю).
Из C.16) следует, что среднее нормальное напряжение равно
a° = = -p+(k + -t)Wv. C.17)
Так как Vr характеризует скорость изменения единицы объема
среды в окрестности точки с радиус-вектором аз, то k -f -т? в
C.17) называют коэффициентом объемной вязкости.
Тензор напряжений, для которого а° = 0, называют де-
виатором напряжений. Любой тензор напряжений можно
представить суммой шарового тензора и девиатора с компо-
компонентами Sij = o~ij - o°8ij. Из C.16) следует, что
Sij = 2t)lj, lj = ^ij--{^v)Sijt i, j= 1,2,3, C.18)
где ?ij являются компонентами девиатора скоростей де-
деформаций. Они характеризуют скорость изменения формы
частицы среды постоянного объема путем сдвиговых деформа-
деформаций. Поэтому т? называют коэффициентом сдвиговой вязкости.
3.2. Модели вязкой жидкости 93
Если подставить C.16) в уравнения движения B.85), то с
учетом суммирования по повторяющемуся индексу j получим
dvt dp dkVv drjZij . .
dt oxi oxi oxj
Отсюда при постоянных k и rj с учетом C.15) приходим к
векторной форме уравнений Навье — Стокса
p^- = b-Vp+{k + v)V(Vv) + r]V2v. C.20)
at
Уравнения движения вязкой жидкости при упрощенных пред-
предположениях вывел в 1822 году французский инженер и механик
А. Навье A785-1836). Эти уравнения в виде, соответствую-
соответствующем C.20), были получены в 1845 году английским физиком и
математиком Дж.Г. Стоксом A819-1903).
В отличие от идеальной жидкости при контакте вязкой
жидкости с твердым телом отсутствует проскальзывание, воз-
возникает эффект прилипания. Поэтому при задании граничных
условий должны совпадать векторы скорости частиц жидкости
и точек такой границы (а не только их проекции на направле-
направление нормали к границе).
Для несжимаемой (Vw = 0) неоднородной вязкой жидкости
с постоянным значением rj уравнения неразрывности B.2), B.4)
и уравнение C.20) в виде
p^- = b-Vp + rjV2v C.21)
at
образуют замкнутую систему относительно неизвестных фун-
функций p(t,x), v(t,x) и p(t,x). Неоднородность несжимаемой
жидкости может быть вызвана зависимостью ее плотности от
температуры или от концентрации растворенной в жидкости
примеси. В поле тяготения такая неоднородность приводит
к изменению векторного поля объемных сил. Если несжимае-
несжимаемая жидкость однородна, т.е. р = const, то в указанной системе
94 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ СРЕД
уравнения B.2) и B.4) равносильны и система B.4), C.21) будет
замкнута относительно функций v(t,x) и p(t,x). Рассмотрим
один из путей модификации математической модели, содер-
содержащей систему B.4), C.21), на сравнительно простом примере
двумерного течения.
Пример 3.1. При достаточно медленном движении вязкой
жидкости можно пренебречь в C.21) инерционными силами,
приравняв правую часть нулю. Тогда в частном случае течения
однородной несжимаемой вязкой жидкости параллельно коор-
координатной плоскости ХхОхг получим систему уравнений
дх \ дх[ дх% )
[
dp (d2v2 d
+4+
Ч ^2
ix\ ox2
Ясно, что последнее уравнение в C.22) превращается в то-
тождество, если ввести функцию ф, удовлетворяющую соотноше-
соотношениям
дф dip
(ее называют функцией тока). Физический смысл этой
функции состоит в том, что она постоянна вдоль каждой
линии тока, которая при установившемся течении совпадает с.
траекторией частиц жидкости, а расход жидкости между двумя
любыми линиями тока пропорционален разности значений ф,
соответствующих этим линиям.
Функцию (; = —, характеризующую угловую ско-
скорость вращения частиц жидкости при движении в плоскости,
называют завихренностью. Учитывая C.23), получаем урав-
уравнение
дЧ дЧ
+<' C-24)
3.2. Модели вязкой жидкости 95
связывающее функцию тока и завихренность. Если продиффе-
продифференцировать первое уравнение в C.22) по х2, а второе — noii,
и из второго результата вычесть первый, то получим уравне-
уравнение Пуассона
дЬ2 дЬх {д\ д\х_
+Л+H C-25)
не содержащее давления р.
По найденной из C.25) функции ? затем из C.24) можно най-
найти функцию тока ф и из C.23) вычислить проекции ut вектора
скорости на координатные оси О\\, Ох2. Если необходимо най-
найти поле давления, то дифференцированием первого уравнения
C.22) по хх, второго — по х2 и сложением результатов с учетом
третьего уравнения C.22) приходим к уравнению Пуассона
эь2
C.26)
дх\ дху ох\ дх2
Обычно контур Г, ограничивающий двумерную область F,
в которой рассматривают течение жидкости, содержит участ-
участки, соответствующие твердым стенкам. На таких участках не
удается задать в корректной форме граничные условия для за-
завихренности и давления и при решении прикладных задач эти
условия обычно получают последовательными приближениями
из C.24) и первых двух уравнений C.22) соответственно. Отме-
Отмеченные трудности можно частично преодолеть, если из C.24) и
C.25) исключить завихренность и получить уравнение четвер-
четвертого порядка
дх\) ~ 1]\дхх дх
относительно функции тока.
Для левой части C.27) используют запись V2(V2^)) (иногда
VV или А2ф, если оператор Лапласа обозначают Д), имея в ви-
виду, что в данном случае оператор Лапласа действует в плоско-
плоскости. При этом onepamopV2V2 называют бигармоническим.
96
3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ СРЕД
Если векторное поле объемных сил является потенциальным,
т.е. b = V6, то —— = —— и C.27) переходит в бигармониче-
ское уравнение V2(V2^) = 0. Функцию, удовлетворяющую
такому уравнению, называют бигармонической.
Несмотря на высокий порядок бигармонического уравне-
уравнения, математическая модель течения вязкой жидкости на осно-
основе функции тока имеет то преимущество, что появляется воз-
возможность корректно сформулировать граничные условия. Со-
Согласно физическому смыслу функции тока, на непроницаемом
для жидкости участке контура ее значение не изменяется, т.е.
•ф — const. Если весь контур Г, ограничивающий односвязную
область F (рис. 3.1), является непроницаемым, то на нем можно
принять тр = О. На участке Г» (рис. 3.2), через который жид-
жидкость вытекает из области F (или поступает в эту область) и
на котором задана скорость течения r°(P), Р ? Г*, нетрудно
вычислить изменение функции тока
,(Р)
ф(Р) = ф(А) + J v°(P')n(P')ds(P'), Р ? Г„
где ф(А) — значение функции тока в точке А € Г«, от которой
отсчитывают длину s(P') дуги до текущей точки Р' 6 Г» с
единичным вектором п(Р') внешней нормали.
п{Р)
Рис. 3.1
Рис. 3.2
3.2. Модели вязкой жидкости 97
Если в области F до решения задачи можно установить
линию Го симметрии течения (см. рис. 3.2), то она будет совпа-
совпадать с одной из линий тока, на которой ф — Со = const, а в точ-
точках Р 6 Го частицы жидкости не будут вращаться, т.е. С(^) = О,
и в соответствии с C.24) V2tp(P) = 0. Совмещая в любой точке
Р 6 Го оси координат с направлениями t(P) касательной и п(Р)
нормали к линии симметрии, в силу инвариантности оператора
Лапласа относительно поворота ортогональной системы коор-
координат [VII] получаем
У(Р) ау(р) _
dt2{P)
Но так как ф(Р) — const, Р € Го, то
п
и, следовательно, в качестве граничного условия можно взять
д2Ф(Р) .
дпЦР) ~U<
Аналогичные рассуждения можно провести применительно
к свободной поверхности жидкости (участок Г на рис. 3.1), ес-
если пренебречь трением жидкости с воздухом (или иным газом)
на этой поверхности. Однако на участке Г*, соответствующем
твердой стенке, происходит прилипание частиц жидкости и в
точках Р 6 Г* вектор v(P) скорости жидкости равен заданно-
заданному вектору v*(P) скорости стенки (например, при вращении
сосуда с жидкостью). Поэтому в соответствии с C.23) имеем
на такой стенке
PeV, C.28)
где t(P) — единичный вектор в направлении касательной к
контуру в точке Р ? Г*, повернутый относительно единичного
вектора п(Р) внешней нормали против хода часовой стрелки.
Ясно, что в случае неподвижной стенки v*(P) = 0.
98 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ СРЕД
Таким образом, модель вязкой жидкости позволяет задать
в каждой точке контура Г по два граничных условия для
функции тока ф, необходимых для решения уравнения C.27) с.
бигармоническим оператором. Эти граничные условия можно
записать в достаточно общем виде следующим образом:
ф(Р) = ф° = const, ^ppO, Р€Г2 = Г\Г1)
где /о(Р) и /i(P) — заданные функции точки на контуре Г,
ограничивающем область F, а число гр° можно принять равным
нулю.
3.3. Упругое твердое тело
Переходя к уравнению состояния твердого тела, ограни-
ограничимся математической моделью линейно упругой изотропной
среды. Эта модель в выбранной прямоугольной системе коор-
координат ОХ1Х2Х3 связывает компоненты оц тензора напряжений
с компонентами тензора деформаций
где м,- — проекции вектора и перемещения точек тела, линей-
линейными соотношениями
C.31)
Здесь G — объемная деформация, А и Д — константы Ла-
Ламе*. Соотношения C.31) выражают так называемый обоб-
обобщенный закон Гука**, а C.30) называют соотношениями
Кохии.
*Г. Ламе A795-1870) — французский математик и инженер.
**Р. Гук A635-1703) — английский ученый.
3.3. Упругое твердое тело 99
Из C.31) для среднего нормального напряжения находим
C.32)
а для компонентов девиатора напряжений получаем
8ц = 1$?ц, ?ij = ?ij-^eSij, i,j = 1,2,3. C.33)
Коэффициент К = А + -/х называют модулем объемного ежа-
о
тия, а Д — модулем сдвига. В инженерных задачах чаще
используют коэффициенты
4±s *
называемые модулем упругости, равным отношению (Т\\/е\\
нормального напряжения стц при растяжении образца матери-
материала тела вдоль оси 0\\ к соответствующему удлинению ?ц,
и коэффициентом Пуассона, равным взятому с обратным зна-
знаком отношению Е2г/?\\ удлинений также при растяжении вдоль
этой оси соответственно.
После подстановки C.30) в C.31) и затем в уравнения дви-
движения B.85), полагая линейно упругое тело однородным, т.е.
константы Ламе не зависящими от координат, получаем век-
векторную форму уравнений Ламе
p^ = b + (\ + fi)V{Vu)+jiV2u, C.35)
причем Vu — G. В соотношениях Коши C.30) компоненты
тензора деформаций предполагают малыми по сравнению с.
единицей. Поэтому изменение плотности р твердого тела также
мало и при использовании C.35) уравнение неразрывности
можно не рассматривать, положив pfiz p° = const.
При малых деформациях перемещения, скорости и ускоре-
ускорения частиц тела могут быть, вообще говоря, значительными.
Однако на практике часто встречаются задачи, в которых ма-
малы и эти величины. Тогда в C.35) левую часть заменяют на
100 3. MA ТЕМА ТИ ЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ СРЕД
р° —— и получают уравнение относительно единственной неиз-
Ос
вестной функции u — u(t,x):
+
Учитывая, что V2u = V(Vti) -Vx(Vxm) [VII], это уравнение
можно записать в следующем виде:
Помимо C.36) или C.37) в формулировку задачи должны вхо-
входить векторные поля начальных перемещения и скорости, а на
границах тела должны быть заданы векторы перемещения или
напряжения.
Любое векторное поле в односвязной области можно пред-
представить как сумму потенциального и соленоидального вектор-
векторных полей [VII], т.е.
Ь
и = и*+и* = УФ + Ухги, — = V* + VxS, C.38)
где Ф, Ф и w, В — скалярные и векторные потенциалы полей
перемещений и и массовых сил Ь/р° соответственно, и* = УФ
и u,=Vxt». Подставляя C.38) в C.37), получаем
- 4V х (V х (V х го)),
^() 4
или, считая а\ = (Х + 2]1)/ро и a\ = Ji/p° константами,
=O, C.39)
где 0 — нулевой вектор.
3.3. Упругое твердое тело 101
Если теперь к C.39) применить операцию дивергенции и
учесть, что V(V х /) = 0 для любой дважды непрерывно диф-
дифференцируемой векторной функции /, то получим
= 0.
Так как V х и* — V х (УФ) = 0, то и V х С\ = 0. Известно
[VII], что если в некоторой области дивергенция и ротор
некоторого вектора являются нулевыми, то этот вектор в
данной области тождественно постоянен. Обозначая С\ =
= У#, где Н — некоторая гармоническая функция, для которой
У2# = 0, приходим к неоднородному волновому уравнению
описывающему распространение со скоростью at волн, сопро-
сопровождаемых растяжением и сжатием среды, но не вызывающих в
силу V х и* = V х (УФ) = 0 изменения формы ее элементарного
объема.
Если же применить операцию ротора к C.36) и учесть, что
(\ + jl)/p° — const, а V х (V/) = 0 для любой дважды непрерывно
дифференцируемой действительной функции /, то будем иметь
V х
(U
( (U*~^U*'> - a22V2(u* + и.) - УФ - V х В) =
Выполнение этого равенства можно обеспечить, если положить
д2и, о о
at2 *
102 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ СРЕД
Таким образом, пришли к неоднородному волновому уравне-
уравнению, описывающему распространение со скоростью a-i волн
сдвига, не вызывающих в силу Vtt» = V(V x w) = 0 изменения
элементарного объема среды, но изменяющих его форму.
Отметим, что в установившемся состоянии, когда пере-
перемещения не зависят от времени, из C.36) следует векторное
уравнение теории упругости в перемещениях
v2t*+—-—ve+^ = o. (з.4О)
1 - 2i/ /x
В проекциях на оси Ох; оно переходит в уравнения
V| ^ = 0, t^l.2,3, C.41)
1 — 2f oxi р
полученные в 1821 году А. Навье для частного случая А = Д,
что соответствует v — 1/4, а в 1828 году О. Коши для общего
случая.
Применяя к C.40) операцию дивергенции и учитывая, что
© = Vtt, получим
Отсюда следует, что при отсутствии объемных сил объем-
объемная деформация и в соответствии с C.32) среднее напряжение
являются гармоническими функциями. В этом случае, исполь-
используя C.41), получаем трехмерное бигармоническое уравнение.
V2(V2u,) = 0, г= 1,2,3, т.е. проекции перемещений являются
бигармоническими функциями. Так как в соответствии с со-
соотношениями Коши C.30) и обобщенным законом Гука C.31)
компоненты тензоров деформаций и напряжений являются ли-
линейными комбинациями производных перемещений, то эти ком-
компоненты при отсутствии объемных сил также будут бигармо-
бигармоническими функциями.
3.4. Уравнение переноса энергии в среде 103
3.4. Уравнение переноса энергии в среде
Рассмотренные выше (см. 3.1-3.3) модели идеальной жид-
жидкости, вязкой жидкости (газа) и линейно упругого твердого
тела позволяют формулировать задачи математической физи-
физики в тех случаях, когда поведение среды не связано существенно
с теплофизическими и электромагнитными явлениями. Необ-
Необходимость учитывать влияние теплофизических явлений при
постановке задач математической физики вызвана прежде все-
всего тем, что процессы в реальной среде часто сопровождает
преобразование одного вида энергии в другой. Это приво-
приводит к изменению температуры, от которой могут существенно
зависеть свойства среды. Изучение процессов преобразова-
преобразования энергии требует привлечения сведений из термодинамики.
Здесь мы ограничимся лишь рассмотрением уравнения перено-
переноса энергии.
Из закона сохранения энергии следует, что скорость из-
изменения полной энергии Е любого тела равна подводимой к
нему мощности от внешних источников энергии. Пусть тело
имеет изменяющийся во времени t объем V(t), ограниченный
подвижной поверхностью 5 (см. рис. 1.1), точки которой пере-
перемещаются вместе с частицами тела. Поле скорости частиц тела
описывает векторная функция v = v(t,M) времени и координат
ж,-, i — 1, 2, 3, точки М 6 R3 в прямоугольной системе координат
ОХ1Х2Х3 с ортами е,, а распределение в V плотности среды —
функция р = p(t,М).
Объемную плотность е энергии среды в V(t) представим
как сумму объемных плотностей pv2/2 и ри кинетической и
внутренней энергий соответственно, где и — u(t, M) — внутрен-
внутренняя энергия единицы массы среды. Тогда полная энергия тела
будет
/г 2
edV= p(y + u)dV. C.42)
V(t) V(t)
104 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ СРЕД
Заменяя в B.6) Ст на v2/2 + u, имеем
V(t) V(t)
Мощность, подводимая от внешних источников энергии,
включает совершаемую в единицу времени работу
W= f bvdV+fpvdS C.44)
V(t) S
объемных Ь и поверхностных р сил, поток энергии
Qs = - Iq{E)ndS, C.45)
передаваемый через поверхность 5 (q^ — вектор плотности
потока энергии, п — единичный вектор внешней нормали к
этой поверхности), и количество полной энергии
Qv= I I[v]dV, C.46)
V(t)
выделенное в объеме V в единицу времени источниками с.
объемйой мощностью 1у '. Тогда в силу закона сохранения
энергии имеем — = W + Qs + Qv, откуда, учитывая C.43)-
C.46), получаем
diy/2 + u) [ dv f du
—dt dv= I pvTtdV+ j pTtdV =
V(t) V(t) V(t)
= f bvdV+ fpvdS- fq(E)ndS+ I I(VE)dV. C.47)
V(t) S S V
3.4. Уравнение переноса энергии в среде 105
Приняв во внимание B.81), запишем с учетом правила
суммирования по повторяющимся индексам i,j = 1, 2, 3
pv = piejV = rijCTjiVi = (TjiViejn,
где aij — компоненты тензора напряжений. Тогда, применяя
формулу Остроградского — Гаусса, получаем
pvdS= / ajiViejndS =
s s
= f V{a]lvle3)dV= I ^^-dV. C.48)
J J OXj
V(t) V(t)
Используя ту же формулу, имеем
[qWndS= I VqWdV. C.49)
S V(t)
Умножив второе уравнение B.88) скалярно на вектор v и
проинтегрировав результат по объему V(t), запишем
[ pv — dV= [ bvdV+ I d-p^v%dV. C.50)
J dt J J dxj
V(t) V(t) V(t)
Подставляя C.48)-C.50) в C.47), находим
V(t)
Используя представление C.15) компонентов ?,-j тензора
скоростей деформаций, получаем
dvi I / dvi dvj \ 1 / dvi dv3 \ 1 / dv^ dv3
~дх~= 2\'дх~ + 'дх~) + 2\'дх~'"дх~) =^ij + 2\~дх~ ~ ~дх~
106 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ СРЕД
Отсюда с учетом правила суммирования по повторяющимся
индексам и симметрии тензора напряжений (ст^ = ст^) находим
поскольку
dv{ dvj\ dvi dvt
)аa
~0<
Таким образом, вместо C.51) приходим к интегральной форме
закона сохранения энергии в объеме V:
I dV = 0.
V dt ' ' ' '¦"'"/
V(t)
В случае непрерывности подынтегральной функции в C.52)
рассуждения, аналогичные проведенным при получении B.2) и
B.3), приводят к локальной форме этого закона, представляю-
представляющей собой уравнение переноса энергии
n— — fT--f-- — VaW-i-f(E} i i — 1 9 Ч (Ч VU
at
Наличие в правой части C.53) слагаемого <T{j?ij, характеризу-
характеризующего объемную мощность источников энергии, связанных с
работой напряжений, заставляет в общем случае рассматри-
рассматривать это уравнение вместе с уравнением переноса количества
движения (см. 2.4).
Если в неподвижной среде происходит перенос только теп-
тепловой энергии, т.е. ?tJ = 0, q№) = q, Iv — Iy , и массовая
плотность внутренней энергии зависит лишь от температуры
Т, то C.53) переходит в дифференциальное уравнение B.53)
нестационарной теплопроводности. В более общем случае и
может зависеть не только от температуры, Iv может харак-
характеризовать объемную мощность выделения не только тепловой
энергии, а q(E) быть суммой векторов плотности потоков раз-
различных видов энергии (например, тепловой и энергии электро-
электромагнитного излучения). Однако при этом могут возникнуть
3.4. Уравнение переноса энергии в среде 107
распределенные по объему и поверхности моменты (в частно-
частности, при взаимодействии среды с электромагнитным полем*),
что может нарушить симметрию тензора напряжений (см. 2.4,
3.3) и потребовать уточнения уравнения C.53).
Вернемся к закону сохранения энергии в виде —- = W -\-Qs-\-
dt
+ Qv и снова используем C.44)-C.46), C.48) и C.49). Тогда,
заменяя в B.5) С объемной плотностью е энергии и учитывая
C.42), получаем
V(t) V(t)
= I bvdV+ fpvdS- fq{E)ndS+ I IEdV =
V(t) S S V(t)
W + I{vE))dV,
V(t)
или
= J {bv
^ ^ jV^O. C.54)
v
Отсюда следует, что
^ (Я) {Я-К *,J = 1,2,3. C.55)
Интегральная форма C.54) закона сохранения энергии оста-
остается в силе и в том случае, если множество точек в V ? R3, в
которых подынтегральная функция не является непрерывной,
имеет меру Лебега, равную нулю. Пусть это множество образу-
образует поверхность 5*, которая делит область V на две подобласти
*См., например: Можен Ж.
108 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ СРЕД
V\ и V-2. Для получения условий на такой поверхности разры-
разрыва введем в четырехмерном евклидовом арифметическом про-
пространстве R4 с ортонормированным базисом е = (е(, е\, в2, е3)
вектор ё = ?voet +ev + q^ -ajiViej, где, как и в B.25), щ —
произвольная константа, имеющая размерность скорости. Ис-
Используя векторный оператор B.26), вместо C.55) запишем
Ve=llE)-bv. C.56)
Теперь процедура, аналогичная использованной в 2.2, приведет
к следующим условиям на поверхности разрыва 5*:
[(ev + q^ - aJtviej)n*] = [e]v*n* + I{SE) - p*v, C.57)
где v* — вектор скорости перемещения точек поверхности
5*; те* — единичный вектор нормали к 5*; Ig — мощность
источников энергии, действующих на поверхности S"; р* —
плотность внешних поверхностных сил, которые могут быть
приложены на этой поверхности (см. 2.4).
3.5. Уравнения Максвелла
Математические модели, описывающие электромагнитные
процессы в сплошной среде, используют ряд известных физи-
физических понятий и законов.
Электромагнитное поле характеризуют векторными функ-
функциями Е = E(t,x) и Н — H(t,x) напряженности электриче-
электрического и магнитного полей соответственно, где t — время.
х — радиус-вектор точки в прямоугольной системе коорди-
координат Oxix2x3. Для среды, обладающей диэлектрической е и
магнитной fi проницаемостями, вводят также векторы электри-
электрического смещения D =ееоЕ и магнитной индукции В —
(е0 « 8,8542 • 1(Г12 ^ и и0 = 4тг • 1(Г7 « 1,2566 ¦ 1(Г6
В-м
3.5. Уравнения Максвелла 109
электрическая и магнитная постоянные, причем _ = с га
л/гоТ^о
« 2,9979 • 108 м/с — скорость света в вакууме). Электромагнит-
Электромагнитные процессы в такой среде описывают уравнения Максвелла*
—= 0, VS = 0,
dt C.58)
где 0 — нулевой вектор; j^ — вектор плотности электриче-
электрического тока; ре — объемная плотность электрического заряда.
В C.58) модули векторов Е и Н измеряют в В/м и А/м соот-
соответственно, что предписано системой единиц СИ. Связь между
j(e) и Е для изотропной среды при отсутствии распределенных
сторонних источников электродвижущей силы (ЭДС) устана-
устанавливает закон Ома в виде A.14). В случае анизотропной среды,
свойства которой зависят от направления, вместо электриче-
электрической проводимости а в A.14) следует использовать тензор
второго ранга коэффициентов электрической проводимости.
Запись C.58) предполагает, что среда неподвижна относи-
относительно системы координат ОХ1Х2Х3, а эта система инерциаль-
на, т.е. неподвижна или движется поступательно с постоянной
скоростью. Отметим, что вакууму соответствуют значения е =¦
= ц = 1. Кроме того, в вакууме j№ = 0, т.е. а = 0, и обычно
ре = 0. Можно показать [XII], что тогда при возникновении
электромагнитных колебаний каждая из проекций векторов
напряженности электрического и магнитного полей, соответ-
соответствующая функции if времени и пространственных координат,
будет удовлетворять волновому уравнению вида
§ <2VV C.59)
При установившихся колебаниях с некоторой частотой и> фор-
форма волны для каждой из этих проекций, описываемая функцией
*Дж.К. Максвелл A831-1879) — шотландский физик и математик.
110 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ СРЕД
и только пространственных координат, удовлетворяет уравне-
уравнению Гелъмголъца
и2
V2m + — u = 0. C.60)
В среде с электрической проводимостью а > 0 колебания будут
затухающими, а вместо C.59) при е ф 1 и \i ф 1 получим так
называемое телеграфное уравнение
В частном случае постоянного электрического поля в по-
покоящейся среде, называемого электростатическим, из C.58)
следует система уравнений электростатики
VxJS = O, VD = pe. C.62)
В случае постоянного магнитного поля в неподвижной среде из
C.58) имеем систему уравнений магнитостатики
VxH = j(e'\ V5 = 0. C.63)
Первое уравнение C.62) есть условие потенциальности элек-
электростатического поля, для которого с помощью соотношения
Е = -VU можно ввести потенциал U. Из второго уравнения
C.62) при D—??oE получаем
V(Vetf) + — = 0. C.64)
Если диэлектрическая проницаемость среды е = const, то из
C.64) следует уравнение Пуассона
V2(/+ —= 0. C.65)
??о
Так как объемная плотность ре электрических зарядов в
электростатическом поле не изменяется во времени, то в среде
отсутствует электрический ток. Поэтому в средах с электри-
3.5. Уравнения Максвелла 111
ческой проводимостью a > 0 (например, в металлах) в соот-
соответствии с A.14) должно быть Е — —VU = 0, т.е. U = const и,
согласно C.65), ре = 0. Это означает, что если металлическое
тело объемом V, ограниченным поверхностью 5, имеет элек-
электрический заряд Qe, то он будет сосредоточен на поверхности
тела.
Пример 3.2. Пусть в полости заземленного металличе-
металлического тела с внутренней поверхностью So расположено тело из
металла, ограниченное замкнутой поверхностью 5» (рис. 3.3).
В области V между этими телами находится среда с диэлектри-
диэлектрической проницаемостью е(М) и объемной плотностью ре(М)
электрических зарядов, а внутреннее тело заряжено до потен-
потенциала (/» относительно заземленного тела. В этом случае рас-
распределение потенциала U(M) описывается уравнением C.64) с
граничными условиями
= u0 = o, P'eS0; u{P*) = u*, P*es«. C.66)
Рис. 3.3
Интегрируя второе уравнение C.62) по области V, с учетом
формулы Остроградского — Гаусса находим
fvD(M)dV= f D(P)n(P)dS +
J
5.
' D(P)n{P)dS =
So V
112 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ СРЕД
где п(Р) — единичный вектор внешней (относительно области
V) нормали в точках Р поверхностей 5, и 5о- Это соотношение
останется верным и в частном случае ре{М) = 0. В этом случае
получаем равенство
/D(P)n{P)dS = - f D(P)n{P)dS. C.67)
S, So
Если ввести поверхностную плотность электрического заряда
р$ (Р) = D(P)n(P), то C.67) можно интерпретировать как
равенство по абсолютной величине электрического заряда Q,
сосредоточенного на поверхности 5» внутреннего тела, и наве-
наведенного электрического заряда на поверхности So заземленного
тела.
Таким образом, решение краевой задачи C.64), C.66) по-
позволяет определить векторную функцию D(P) = е(Р)?оЕ(Р) =
= —e(P)eoVU(P), F € 5 = 5» LMo, электрического смещения и
поверхностную плотность р$ = D(P)n(P) электрического за-
заряда, а затем, используя C.67), вычислить заряд внутреннего
тела
Q= ID{P)n{P)dS= Ip{s\P)dS. C.68)
s. s.
При pe{M) = 0 рассматриваемую систему характеризуют элек-
электрической емкостью С = Q/U*. #
При изучении электромагнитных процессов в поляризую-
поляризующихся и (или) намагничивающихся средах уравнения C.58)
Максвелла рассматривают совместно с соотношениями
D = e0E + P и В = цо{Н + М), C.69)
где Р и М — векторы электрической поляризованности и
намагниченности среды соответственно. В некоторых случаях
для сред, называемых диэлектриками, можно принять
i e = l + X{e\ C.70)
3.5. Уравнения Максвелла 113
где х'е^ — электрическая восприимчивость среды. Для сред,
относящихся к диамагнетикам и парамагнетикам, можно так-
также использовать линейные соотношения
ц = 1 + Х(т), C.71)
гДе Х^ — магнитная восприимчивость. Ясно, что для ани-
анизотропных сред х^ и х^"\ а значит, Еи/i будут тензорами
второго ранга, а единицу в последних равенствах C.70) и C.71)
заменит единичный тензор второго ранга.
Для некоторых сред зависимость Р от Е
и М от Н нелинейна и даже не является
однозначной функцией. Так, для сегнетоэлек-
триков график зависимости Р от Е имеет
вид петли гистерезиса (рис. 3.4). На рисун-
рисунке стрелками отмечено направление движения
точки по кривой при возрастании и убывании
модуля Е=\Е\ с учетом смены направления р с 34
вектора Е на противоположное, что условно
соответствует значениям Е < 0. При этом с некоторым запаз-
запаздыванием происходит смена на противоположное направление
и вектора Р, что также условно соответствует значениям Р < 0
модуля Р= \Р\. Аналогичный вид имеет график зависимости
М от Н для ферромагнетиков. На характер указанных зависи-
зависимостей могут повлиять механические напряжения в среде (так
называемые пьезоэлектрический и пьезомагнитныи эффекты*,
которые широко используют в технических устройствах). В
этом случае возникают дополнительные составляющие элек-
электрической поляризованности и намагниченности, выражаемые
векторами
pH=d(e)a и ()
где а — тензор напряжений второго ранга; d^ и d'm) —
тензоры третьего ранга пьезоэлектрических и пьезомагнитных
коэффициентов.
*См.: Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П.
114 3. MA ТЕМА ТИ ЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКО ТОРЫХ СРЕД
Следует отметить существование и обратных пьезоэлектри-
пьезоэлектрического и пьезомагнитного эффектов, когда электрическое и
магнитное поля вызывают деформацию среды. В некоторых
средах возникает деформация, пропорциональная квадрату на-
напряженности электрического или магнитного поля и неизме-
неизменяемая при изменении направления вектора напряженности на
противоположное. Эти явления называют соответственно элек-
трострикцией и магнитострикцией. Они, в свою очередь, мо-
могут повлиять на поляризуемость и намагничивание среды.
Некоторые среды обладают так называемыми прямым и
обратным магнитоэлектрическими эффектами: поляризуются
под действием магнитного поля и намагничиваются под дей-
действием электрического поля. Дополнительные составляющие
электрической поляризованности и намагниченности в этом
случае можно представить в виде
где G — тензор второго ранга Магнитоэлектрических коэффи-
коэффициентов.
Таким образом, математические модели взаимодействия
среды с электрическим и магнитным полями достаточно слож-
сложны и многообразны. Дополнительное усложнение таких моде-
моделей связано с необходимостью учитывать влияние температур-
температурного состояния среды на ее свойства. Но при всем разнообразии
этих моделей уравнения Максвелла остаются в силе, являются
универсальными и сохраняют свое фундаментальное значение.
Отметим, что если к третьему уравнению C.58) применить опе-
операцию дивергенции и использовать четвертое уравнение C.58),
то придем к локальной форме закона сохранения электрическо-
электрического заряда B.46) при условии, что в среде отсутствуют источ-
источники заряда (/е = 0).
Силы воздействия электромагнитного поля на среду на-
называют пондеромоторными. На неподвижную относительно
выбранной инерциальной системы координат среду при отсут-
3.5. Уравнения Максвелла 115
ствии электрической поляризации и намагниченности
_ ^.(m) _ g т е ? _ р _ |^ действует так называемая сила Ло-
Лоренца, вектор объемной плотности которой равен
ьМ = РеЕ + 1юЗ{е)хИ- C-72)
Для электрически поляризованной и намагниченной неподвиж-
неподвижной среды с учетом правила суммирования по повторяющемуся
индексу имеем*
{ , C.73)
где индекс »"= 1,2,3 указывает номер координатной оси Ох,-,
на которую спроектирован соответствующий вектор. Если
для среды справедливы C.70) и C.71), причем электрическая и
магнитная восприимчивости являются скалярами и не зависят
от координат, то выражение в круглых скобках в C.73) равно
нулю. Это выражение может быть отлично от нуля для анизо-
анизотропной среды или в случае, когда электрическая и магнитная
восприимчивости зависят от координат.
Ясно, что при взаимодействии среды с электромагнитным
полем пондеромоторные силы должны быть учтены в уравне-
уравнениях движения или равновесия (см. 2.4). Более того, в общем
случае при таком взаимодействии возникают распределенные
в объеме среды моменты (пары сил), что приводит к утрате
свойства симметрии тензором напряжений**.
Известно, что объемная плотность энергии электромагнит-
электромагнитного поля в вакууме равна w = (sqE2 + цоН2)/2. Направление
и интенсивность переноса этой энергии характеризуют век-
вектором S — Е X Н Умова — Пойнтинга, введенном в работах
русского физика Н.А. Умова A846-1915) и английского физика
'См.: Седов Л.И.
"См.: Можен Ж.
116 3. MA ТЕМА ТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ СРЕД
Дж. Г. Пойнтинга A852-1914). Если первое и третье уравнения
C.58) скалярно умножить на. Н и Е соответственно и затем,
приняв для ваккума е = ц = 1 и j(e) = 0, из первого результата
вычесть второй, то получим
Я(V хЕ)- E{V х Я) = -Мо# — - ^Е—.
Отсюда в силу Я(У х Е) - E(V x Я) = V(?J x Я) [VII] прихо-
приходим к уравнению Умова— Пойнтинга
^ + V5 = 0, C.74)
которое является локальной формой закона сохранения энергии
электромагнитного поля в вакууме.
Аналогично из C.58) следует уравнение Умова— Пойнтинга
f+ VS + ,«E = 0, 6=Я^ + я?, C.75)
для электрически поляризуемой и намагничиваемой среды.
Слагаемое j^E характеризует для неподвижной среды так
называемое джоулево тепло, т.е. объемную мощность Це' ис-
источников тепловой энергии, передаваемой среде при ее взаимо-
взаимодействии с электромагнитным полем. Эти источники должны
быть учтены в уравнении C.53) переноса энергии.
В среду также поступает энергия, затрачиваемая на элек-
электрическую поляризацию и намагничивание. Объемная мощ-
мощность источников этой энергии равна
где с учетом C.69)
1 Е / Я
и /м = /юЯ
C.76)
3.6. Электромагнитные процессы в движущейся среде
117
Если зависимость Р от Е (или М от Н) имеет вид петли ги-
гистерезиса (см. рис. 3.4), то часть затрачиваемой на процессы
поляризации (или намагничивания) энергии электромагнитно-
электромагнитного поля может переходить в теплоту, что также следует учи-
учитывать в уравнении C.53) переноса энергии.
3.6. Электромагнитные процессы
в медленно движущейся среде
Выше (см. 3.5) приведены уравнения C.58) Максвелла для
электрически поляризованной и намагниченной среды, непо-
неподвижной относительно некоторой инерциальнои системы коор-
координат. Их запись будет неизменна (инвариантна), если при пе-
переходе к другой инерциальнои системе координат, движущейся
относительно прежней поступательно с постоянной скоростью,
применить преобразование, предложенное в 1904 году нидер-
нидерландским физиком и математиком Х.А. Лоренцом A853-1928).
Пусть оси системы координат О'х',х'2Хз параллельны соот-
соответствующим осям системы координат ОХ1Х2Х3 и точка О'
движется относительно точки О вдоль оси Oxi с постоянной
скоростью v в положительном направлении этой оси (рис. 3.5).
Тогда при преобразовании Лоренца время и координаты в этих
системах будут связаны соотношениями
t-vxi/c2
х' =
Х\ — Vt
/
"¦3
Рис. 3.5
118 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ СРЕД
где с — скорость распространения электромагнитных волн в
вакууме. Эти соотношения отличаются от формул преобразо-
преобразования Галилея*
относительно которого инвариантны уравнения классической
(нерелятивистской) механики.
При сравнительно медленном движении среды можно пре-
пренебречь значением и2/с2 по сравнению с единицей и при пре-
преобразовании системы координат использовать приближенные
формулы. В этом случае C.58) будут инвариантны относитель-
относительно преобразований Галилея, если в новой инерциальной системе
координат, движущейся относительно прежней со скоростью
V, принять**
V = D+e0VxB, H' = H-VxD, p'e = t
где величины со штрихом относятся к новой системе коорди-
координат, а соответствующие им величины без штриха — к прежней
системе.
Г. Минковский*** сформулировал принцип, позволяющий
использовать C.77) при произвольном поле скорости среды, за-
задаваемом в прежней системе координат векторной функцией
v = v(t,x), если в C.77) V заменить на v. Тогда в рассматри-
рассматриваемом приближении уравнения C.58) будут справедливы для
элементарного объема движущейся среды в сопутствующей сис-
системе координат, движущейся вместе с этим объемом.
В частном случае, когда \Н\ < \v\\D\ и \В\ < |ю|\Е\, в C.77)
можно принять Е' = Е и D' = D, а C.58) привести к виду
'^ Х dt
*Г. Галилей A564-1642) — итальянский физик, механик и математик.
"См.: Можен Ж.
*"Г. Минковский A864-1909) — немецкий математик и физик.
3.6. Электромагнитные процессы в движущейся среде 119
В этом приближении изменение электрического поля порожда-
порождает магнитное поле, но обратным эффектом (электромагнитной
индукцией) пренебрегают. С учетом C.77) в прежней системе
координат для движущейся среды имеем
где а — электрическая проводимость среды.
В случае, когда \Е\ < |w| |В| и \v\ \D\ < \H\, в C.77) допу-
допустимо принять Н' = Н и В' = В, а C.58) записать в виде
eft
Здесь учитывается эффект электромагнитной индукции, поро-
порождающий электрическое поле при изменении магнитного поля,
но пренебрегается обратным (магнитоэлектрическим) эффек-
эффектом. Принимая во внимание C.77), получаем
C.78)
Пример 3.3. В математической модели магнитной гидро-
гидродинамики обычно принимают*, что в движущейся проводящей
среде отсутствуют поляризация и намагниченность, т.е. D —
= SqE и В = fioH, но может протекать электрический ток
(j(e) ф о), причем |w| |2Э| С \Н\, так что приближенно Н' = Н.
Будем считать, что среда идеальная (невязкая) и имеет плот-
плотность р. Тогда уравнение неразрывности имеет вид B.2)
C.79)
*См.: Седов Л.И.
120 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ СРЕД
а вместо векторной формы C.2) уравнений Эйлера получим
C.80)
где р — давление, и в соответствии с C.72) и C.77) (с заменой
V на и) в инерциальной системе координат вектор объемной
плотности силы Лоренца
причем вектор j(e) плотности электрического тока задан по-
последним равенством в C.78). В уравнении C.53) переноса энер-
энергии мощность объемных источников энергии, обусловленных
выделением джоулева тепла (см. 3.5), равна
К указанным соотношениям необходимо добавить уравнения
Максвелла C.58), записанные с.учетом приближенного равен-
равенства Н' = Н в сопутствующей системе координат, движущейся
с элементарным объемом среды:
дН
^- = O, Vtf = 0,
BE' C-81)
xHeo=j\
В частном случае бесконечно большой электрической прово-
проводимости (а—Юо) среды математическую модель магнитной ги-
гидродинамики удается упростить. Так как плотность электри-
электрического тока должна быть конечной, из последнего равенства
C.78) следует, что Е = —v х В = -fiov х Н, т.е. напряженность
электрического поля в идеальном проводнике в сопутствующей
системе координат равна нулю (Е' = 0). Тогда из третьего и
четвертого уравнений C.81) имеем
j<e> = V х Я, ре = 0, C.82)
3.6. Электромагнитные процессы в движущейся среде 121
а первое и второе уравнения C.81) дают
0. C.83)
Ясно, что для идеального проводника /# = О, а в C.80) Ь^ =
= (VxH) xB = //0(Vxtf)xH.
Используя формулы векторного анализа [VII], с учетом
второго уравнения C.83) находим
V х (v х Я) = (HV)c - (юV)H + e(Vff) - H(V») =
= (HV)e- (wV)H- H(Vi>),
(V x H) x H= (HV)H-W.
Тогда из C.80) и первого уравнения C.83) получим два вектор-
векторных уравнения
ан C>84)
относительно двух векторных функций v и Н и двух действи-
действительных функций р и р. Вместе с C.79) и уравнением состояния
р = р(р) уравнения C.84) составляют замкнутую систему.
Предположим, что все неизвестные функции зависят лишь
от одной пространственной координаты ц, причем вектор v
скорости среды имеет лишь одну ненулевую проекцию v на
координатную ось Ох\, а Ь = 0. Применяя к первому уравнению
C.83) операцию дивергенции и учитывая, что V(V X /) =
= 0 для любой дважды дифференцируемой векторной функции
/, имеем -L—1 — 0. Из второго уравнения C.83) следует,
что —— = 0, где Н\ — проекция вектора Н на ось О\\.
Следовательно, ' = 0, т.е. Hi = const. Примем Н\ = 0, а
otox\
122 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ СРЕД
проекцию вектора Н на направление, перпендикулярное оси
Oxi, обозначим Я. Тогда (HV)H = 0 и (ifV)w = 0, а вместо
C.79) и C.84) с учетом уравнения состояния р = р{р) получим
систему трех уравнений
dv д ( , , . мо „,\ ОН dvH _Q
относительно трех искомых величин р, v и Я.
Дополнение 3.1. Поверхности разрыва
в электромагнитном поле
Используя формулу Остроградского — Гаусса и теорему
Стокса, уравнения Максвелла в некоторой инерциальной сис-
системе координат можно представить в интегральной форме:
So
V0
Edx-
Lo
= ( BndS =
C.85)
ds-
где Lq и Sl — замкнутый контур и натянутая на него поверх-
поверхность; Vo и So — объем и ограничивающая его поверхность (все
они неподвижны относительно выбранной системы координат);
х — радиус-вектор точки М G Lq в этой системе координат; Е
и Н — векторы напряженности электрического и магнитного
полей соответственно; ре — объемная плотность электрическо-
электрического заряда. Нижний индекс п обозначает проекцию на направле-
направление единичного вектора п внешней нормали к S или нормали
Д.3.1. Поверхности разрыва, в электромагнитном поле 123
к Sl векторов D, В и j^ электрического смещения, магнит-
магнитной индукции и плотности тока соответственно (нормаль к Si
выбрана так, что наблюдаемый с ее стороны обход контура L
осуществляется против хода часовой стрелки). К уравнениям
C.85) следует добавить закон сохранения заряда в интеграль-
интегральной форме (см. 2.3)
(PjV, C.86)
So V0
где /|Я — интенсивность объемных источников электрического
заряда.
Так как C.58) справедливы для среды, неподвижной отно-
относительно выбранной системы координат, то применение C.85)
также ограничено этим случаем. Пусть М* ? 5* С Vo — неко-
некоторая точка на поверхности S* сильного разрыва относительно
функций, входящих в C.85)-C.86). Условие B.48) на поверх-
поверхности разрыва, которое следует из закона сохранения заряда
в движущейся среде, установлено выше (см. 2.3). В данном
случае для среды, неподвижной относительно сопутствующей
системы координат, с учетом равенства jW = aE вместо B.48)
получаем
[7(е)п-] + ^_ = 0 на 5*, C.87)
где ру — поверхностная плотность зарядов, расположенных
на 5* в окрестности точки М* ? S*, а символ [•] обозначает
скачок значений функции при переходе в точке М* ? S* через
поверхность 5* в направлении, противоположном единичному
вектору п*(М*) к этой поверхности. Аналогично, используя
рассмотренную выше (см. 2.2) процедуру, из C.85) в сопут-
сопутствующей для точки М* ? 5* системе координат находим
[Dn*] = pf, [Bn*] = 0. C.88)
124 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ СРЕД
Проведем к поверхности S* касательную в точке М* ? S* в
направлении единичного вектора V и выберем в качестве по-
поверхности Sl участок плоскости, содержащей векторы п* и 4*
и ограниченной прямоугольным контуром Lq протяженностью
2/j в направлении единичного вектора п* (рис. 3.6). Обход это-
этого контура против хода часовой стрелки будет соответствовать
условию, что векторы п*, t* и единичный вектор п нормали
к Sl образуют правую тройку некомпланарных векторов, т.е.
Рис. 3.6
При h —>• 0 интегралы по Sl, в C.85) также стремятся к ну-
нулю, и при последующем стягивании контура Lq в точку М*
для произвольного направления касательного вектора ?*, пер-
перпендикулярного вектору п* в точке М* ? S*, при отсутствии
поверхностных токов получаем
[ег] = о, [т*] = о.
C.89)
Еще раз подчеркнем, что условия C.87)-C.89) справедливы в
случае неподвижной относительно сопутствующей для точки
М* ? S* системы координат. При сравнительно медленном от-
относительно этой системы координат движении среды векторы,
входящие в C.87)-C.89), можно преобразовать в соответствии
с C.77). Если векторы скорости среды на обеих сторонах по-
поверхности S* перпендикулярны S* в точке М* G 5*, то из C.77)
Д.3.2. Примеры задач, описываемых интегральными уравнениями 125
следует, что условия C.88) не изменятся, а если эти векторы
касательны к 5* в этой точке, то не изменятся условия C.87)
и C.89).
Установленные условия на поверхности разрыва дают по-
полезную информацию для корректной формулировки граничных
условий при решении задач математической физики в областях
непрерывного изменения искомых функций и их производных.
В частности, из C.87)-C.89) следует, что при решении уравне-
уравнений Максвелла в дифференциальной форме C.58) в сочетании с
локальной формой B.46) закона сохранения электрического за-
заряда можно задать на границе области проекции векторов D,
В, j'e) на нормаль к этой границе и проекции векторов Е и Н
на направление касательной к ней.
Дополнение 3.2. Примеры задач,
описываемых интегральными уравнениями
Математические модели ряда физических процессов могут
содержать не только дифференциальные уравнения с част-
частными производными, но и интегральные и интегро-диф-
интегро-дифференциальные уравнения, в которых искомые функции
(а иногда и их производные) входят и под знак интеграла.
Характерным примером интегрального уравнения является ин-
интегральная формула Грина, содержащая объемный потенциал
и потенциалы простого и двойного слоя, которой удовлетворя-
удовлетворяет решение задачи для дифференциального уравнения Пуассо-
Пуассона [XII]. В некоторых случаях математическая формулировка
задачи в виде интегрального уравнения оказывается более про-
простой и может быстрее привести к цели, нежели использование
соответствующих дифференциальных уравнений.
Пример 3.4. Вернемся к системе металлических тел, рас-
рассмотренной в примере 3.2. Возможен иной подход к построе-
построению математической модели такой системы.
126 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ СРЕД
Из физики известно, что, соглас-
согласно закону Кулона*, неподвижный то-
точечный электрический заряд q, на-
находящийся в точке М' eR3 с ради-
ус-вектором ж', определяющим поло-
положение этой точки относительно на-
начала прямоугольной системы коор-
координат 0XiX2x3 (рис. 3.7), создает в
точке М е R3 с радиус-вектором х электростатическое поле с
вектором напряженности
Е{х)=лч ,*-*:
47Г??о \& — &\
и потенциалом
п 1
Щх) =
где е — диэлектрическая проницаемость среды; ?о — электри-
электрическая постоянная (см. 3.5). Заменим q зарядом pe[x')dV(x') в
элементарном объеме dV{x') в окрестности точки с радиус-век-
радиус-вектором х', находящейся в некоторой области V, ограниченной
замкнутой поверхностью 5, или зарядом pg{x')dS{x') на эле-
элементарной площадке dS(x'), где ре и р^ — объемная и поверх-
поверхностная плотности электрического заряда. Тогда, суммируя
действие таких зарядов и полагая е = const, получаем
1 f^jg) i г^'даи
4тгеео7 |ж - ж'| 4тгее0У |ж-ж'|
В соответствии с граничными условиями C.66) значения
U в точках Р* ? S* и Р ? So поверхности 5 = 5, U So, огра-
ограничивающей область V, заключенную между металлическими
телами (см. рис. 3.3), заданы. Приравнивая этим значени-
значениям левую часть C.90), приходим к интегральному уравнению
"Ш.О.Кулон A736-1806) — французский инженер и физик.
Д.3.2. Примеры задач, описываемых интегральными уравнениями 127
(е)
относительно неизвестной поверхностной плотности pys' элек-
электрического заряда в точках поверхности S. После решения
этого уравнения из C.90) можно найти потенциал U(x) элек-
электростатического поля в любой точке М ? V с радиус-вектором
х, а при помощи C.68) вычислить электрический заряд Q вну-
внутреннего металлического тела. #
Пример 3.4 иллюстрирует возможность свести математиче-
математическую формулировку задачи, содержащую одно или несколько
дифференциальных уравнений, к интегральному уравнению.
Приведем примеры задач, интегральная формулировка кото-
которых следует непосредственно из их физической постановки.
Пример 3.5. Рассмотрим замкнутую тонкостенную обо-
оболочку с поверхностью S (рис. 3.8), в полости которой находится
диатермичная среда, т.е. среда, полностью прозрачная для те-
теплового излучения. Извне оболочка поглощает тепловой поток
с заданной плотностью q{M), M ? 5, а внутри оболочки проис-
происходит лучистый теплообмен между ее отдельными участками.
Построим математическую модель такого процесса переноса
тепловой энергии.
Рис. 3.8
Выделим в окрестности точки М ? 5 участок оболочки с
площадью dS(M) внутренней поверхности и составим для этого
участка уравнение баланса тепловой энергии. Примем, что по
толщине оболочки температура Т(М) однородна. Согласно за-
128 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ СРЕД
кону Стефана — Больцмана* теплового излучения, внутренняя
и внешняя поверхности рассматриваемого участка излучают
тепловые потоки плотностью q(M) = е(М)<тоТ4(М) и q*{M) =
= е*(М)а0Т4(М) соответственно, гдее(М) и е*(М) — коэффи-
коэффициенты излучения этих поверхностей, а <то = 5,67 • 10~8 2 —
постоянная Стефана — Больцмана. Плотность теплового по-
потока, проходящего через диатермичную среду и падающего на
этот участок с внутренней поверхности оболочки, обозначим
q'(M). Этот поток частично поглощается, а частично отража-
отражается, т.е. q'{M) = A{M)q'{M) + R(M)q'{M), где А{М) и ЩМ) —
коэффициенты поглощения и отражения внутренней поверхно-
поверхности данного участка.
В итоге для рассматриваемого участка (если не учитывать
перенос тепловой энергии между соседними участками тонко-
тонкостенной оболочки путем теплопроводности) получаем q{M) +
+ A{M)q'{M) = q*{M) + q{M), или
q{M) + A{M)q'{M) = (е{М)+е*{М))<т0Т4{М). C.91)
В C.91) входят две неизвестные функции положения точки
М е S: температура Т(М) этого участка и плотность q'{M)
падающего на него теплового потока. Это означает, что по-
постановка задачи пока не замкнута и необходимо использовать
дополнительные соотношения.
Примем, что распределение по направлениям излучения,
отраженного от внутренней поверхности оболочки, является
рассеянным (диффузным) и подчиняется закону Ламберта**
dQ'lfi{M) = Д(М)9(М) cosipMdS{M)dn, MeS, C.92)
где dQ'^(M) — проходящий через телесный угол <Ш поток излу-
излучения, отраженного от площадки dS(M) под углом (рм к напра-
направлению внутренней нормали к оболочке в точке М ?S (рис. 3.9).
*Й. Стефан A835-1893) и Л. Ббльцман A844-1906) — австрийские
физики.
**И.Г. Ламберт A728-1777) — немецкий математик и физик.
Д.3.2. Примеры задач, описываемых интегральными уравнениями 129
Рис. 3.9
Закон Ламберта строго справедлив для поверхности, облада-
обладающей свойствами абсолютно черного тела, но его допустимо
применять и в случае достаточно шероховатой поверхности (в
противоположность гладкой поверхности, отражение от кото-
которой является зеркальным).
Будем считать, что распределение по направлениям соб-
собственного излучения также подчиняется закону Ламберта
MeS.
C.93)
Нетрудно убедиться, что интегрирование C.93) по поверхности
F полусферы радиуса г с центром в точке М 6 5 приведет к
значению q(M) dS(M), соответствующему потоку собственного
излучения площадкой dS(M). Действительно, для телесного
— площадь
угла имеем du = dF/r2, где dF = г
элементарного участка полусферы, на который опирается этот
телесный угол (см. рис. 3.9). Тогда получим
2тг т/2
( ,„ ,,,ч.„ q(M)dS(M) Г , '[ .
/ dQlfi(M)dF=—— ^—- dtp s
оо
n/2
= 2q(M) dS{M) f sin<pM d{s\n<pM) = q{M) dS{M).
130 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ СРЕД
Аналогичный результат можно получить и для отраженного
излучения.
В окрестности точки NeS выделим участок оболочки с
площадью внутренней поверхности dS(N) (см. рис. 3.8). С
этого участка на площадку dS(M), согласно закону Ламберта,
направлен поток dQv(N) = ——- cos(pivdS(N)dQM собственно-
го излучения и поток dQ<p'(N) = R(N)^-'-cos<pndS(N)dUM
7Г
излучения, отраженного от этого участка. В данном случае
-, где 1^м — расстояние между точками N
и М, а <рм и <рм — углы прямой NM с внутренними нормалями
к оболочке в точках N и М соответственно.
В итоге на единичную площадку внутренней поверхности
оболочки в окрестности точки М 6 S падает посылаемый пло-
площадкой dS(N) поток плотностью
dq>N{M) =
Если проинтегрировать правую часть этого равенства по всей
поверхности S, то найдем плотность суммарного теплового
потока, падающего на площадку в окрестности точки М € S:
q'{M)= [(q{N) + R(N)q'{N))u(M,N)dS{N). C.94)
5
Здесь
Отметим, что при вычислении интеграла в C.94) точка М G S
фиксирована.
Обозначим q°{M) = а0Т4{М). Тогда q(M) = s{M)q°(M),
q*(M) =s*(M)q°(M) и вместо C.91) можно записать
q{M) + А{М) q'(M) = (е{М) +е*(М)) q°{M). C.95)
Д.3.2. Примеры задач, описываемых интегральными уравнениями 131
Выражая q' из C.95) и подставляя в C.94), приходим к инте-
интегральному уравнению относительно функции q°(M), M G S:
е{М)+е*{М)
А(М)
-/;
R{N)e*{N)
q°(N)Lj(M,N)dS{N) =
-1
C.96)
A(N)
_q(M)
A(M) J A(N)
s
Решение этого уравнения позволяет
найти установившееся распределение
температуры Т(М) = (q°(M)/aoI/4
по поверхности 5 рассматриваемой
оболочки.
Для сферической оболочки <рм —
= <рк и lj(M,N) = 1/Dято) = const
(рис. 3.10), где го — радиус оболочки.
В этом случае из C.94) следует, что
q'(M) = -Ц f(e(N)q°(N) + R(N)q'(N)) dS(N) = q' = const,
4ят0 J
So
т.е. в окрестности любой точки М ? So внутренней поверхно-
поверхности So сферической оболочки плотность q' падающего потока
одинакова. Подставляя в это равенство q°(N) из C.95), нахо-
находим
Рис. ЗЛО
e*(N)A(N)dS(N)Y f e(N)g{N)dS{N)
Г-
e(N)+e*(N) J J e{N)+e*(N)
So So
и затем при помощи C.95) вычисляем
Т{М) = I
C.97)
q{M) + A{M)q'
{e(M)+e*(M))a0'
C.98)
132 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ СРЕД
Пусть свойства внутренней и внешней поверхностей оболоч-
оболочки соответствуют серому телу, т.е. е(М) = А(М) = е = const
и ?*{М) = ?* = const, М ? So. Тогда, согласно C.97), в C.98)
имеем
^f C.99)
Примем, что q(M) — плотность поглощенного внешней поверх-
поверхностью сферической оболочки потока солнечного излучения на
околоземной орбите. Если направить ось Ог отсчета угла а на
Солнце (рис. 3.11), то получим при 0 < /3 ^ 2тг
q(a) =
? qs cos a,
0,
C.100)
где q$ — солнечная постоянная, ха-
характеризующая плотность потока сол-
солнечного излучения на среднем рассто-
расстоянии Земли от Солнца (примем, что
(?s/^o)l/4 = 390K). Полагая для сфе-
сферы dS = rl sin a dad/3, из C.98)-C.100)
при ?* =? находим, что установивше-
установившееся распределение температуры, сим-
симметричное относительно оси Oz, на
освещенной стороне оболочки будет
Рис. 3.11
Наибольшая температура Ттах = 347 К соответствует значению
а = 0, а вся неосвещенная сторона оболочки имеет температуру
Tmin = 232 К.
Пример 3.6. Пусть рассмотренная в примере 3.5 сфери-
сферическая оболочка So радиуса го имеет толщину h, а материал
оболочки обладает теплопроводностью А. Составим уравнение
Д.3.2. Примеры задач, описываемых интегральными уравнениями 133
переноса тепловой энергии излучением с учетом передачи те-
теплоты путем теплопроводности, считая по-прежнему темпера-
температуру по толщине оболочки однородной. Теперь баланс тепловой
энергии участка оболочки в окрестности точки М G So вместо
C.91) примет вид
AW2T(M) + q{M) + A{M)q\M) =
= (е{М) +e*{M))GQT4{M), C.101)
причем в данном случае оператор Лапласа от искомой функции
Т(М) температуры следует вычислять по поверхности сферы
[VII]:
п. 1 ОТ/. 0Т\ 1 д2Т
V2T=^—— sina— + 2 . 2 7м2,
TnSina oa \ oa/ rism a up
где a, E — угловые координаты точки М ? Sq (см. рис. 3.11).
Отметим, что V2T = -^ —^- при a = 0 и a = тт.
г С/Ск
Используя C.101), вместо C.97) теперь получаем
J
* f?*(N)A{N)dS(N)
J e{N)+?*{N)
So
и, подставляя в C.101), приходим к интегро-дифференциально-
му уравнению
= {е{М) +е*(М))*0Т4{М) - q{M) -
J у"' s(N) + e*(N)
So
f?*{N)A{N)dS{N)
J e{N)+e*{N)
So
относительно искомой функции Т(М), М е Sq.
134 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ СРЕД
Вопросы и задачи
3.1. Доказать, что для идеальной жидкости (газа) мощность
напряжений можно представить в виде - -?-.
р at
3.2. Показать, что равновесие покоящейся идеальной жид-
жидкости (или газа) возможно лишь при условии b(V x Ь) = 0.
3.3. Доказать, что разложение тензора напряжений на ша-
шаровой тензор и девиатор единственно.
3.4. Значения компонент (в МПа) тензора напряжений в
некоторой точке среды заданы матрицей
70 0 -20'
0 50 0
-20 0 40
Разложить его на шаровой тензор и девиатор. Найти вектор
напряжения, действующий в проходящей через эту точку пло-
площадке с единичным вектором нормали n = 2ei/3-2e2/3 + e3/3,
где et, i= 1,2,3, — орты прямоугольной системы координат
ОХ1Х2Х3. Вычислить модуль этого вектора, его проекцию на
направление вектора нормали и угол между этими векторами.
3.5. Вывести C.20) из C.19).
3.6. Используя C.31), получить зависимости компонентов
тензора деформаций от компонентов тензора напряжений и
вывести C.34).
3.7. В некоторой точке среды известен тензор скоростей
деформаций. Записать выражения для объемной мощности
источников энергии, связанной с работой напряжений в иде-
идеальной и вязкой сжимаемой и несжимаемой средах.
3.8. Вывести волновое C.59) и телеграфное C.61) уравнения
из уравнений C.58) Максвелла.
ЧАСТЬ II
Элементы
функционального
анализа
и приближенные
аналитические методы
4. НОРМИРОВАННЫЕ
ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ
Постановки задач математической физики, рассмотренные
в части I этой книги, включают функциональные уравнения,
связывающие искомые и заданные функции, принадлежащие
некоторым множествам функций. Поэтому при изучении при-
приближенных методов математической физики возникает необхо-
необходимость использовать некоторые понятия и методы функцио-
функционального анализа. Одними из основных объектов изучения в
функциональном анализе являются бесконечномерные норми-
нормированные пространства, элементами которых во многих слу-
случаях являются функции. В этой главе использованы некоторые
положения функционального анализа, изложенные в [IX].
4.1. Нормированные пространства
Множество, между элементами которого установлены опре-
определенные соотношения, часто называют пространством. Если
такое множество состоит из функций, то говорят о функци-
функциональном пространстве. Так, если множество функций
удовлетворяет аксиомам линейного пространства [IV], то его
часто называют линейным функциональным пространством.
Его элементами могут быть, например, скалярные или вектор-
векторные (действительные или комплексные) функции. Векторные
функции будем обозначать так же, как и векторы — полужир-
полужирным курсивом (например, /, и, v), а скалярные — светлым
курсивом (например, /, и, v).
Пример 4.1. Множество всех определенных на числовой
прямой Е многочленов Рк{х) = аох + а^х ~1 + аь-\х + а^ сте-
степени не выше некоторого натурального числа к G N с произ-
произвольными действительными или комплексными коэффициента-
138 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ
ми (с обычными операциями сложения функций и умножения
на числа) является линейным функциональным пространством.
Множества скалярных действительных функций или вектор-
функций, непрерывных или непрерывно дифференцируемых на
отрезке [а, Ь], удовлетворяют аксиомам линейного простран-
пространства и поэтому являются линейными функциональными про-
пространствами. #
В дальнейшем, если специально не оговорено, будем рассма-
рассматривать линейные функциональные пространства, элементами
которых являются скалярные действительные функции с опера-
операцией умножения только на действительные числа. Если система
{^п}лг элементов линейного функционального пространства U
является в U линейно зависимой (независимой) [IV], то для
краткости эту систему будем называть линейно зависимыми
(независимыми) функциями ъЫ. В основном будем изучать бес-
бесконечномерные линейные функциональные пространства, т.е.
такие, в которых можно указать сколь угодно большое число
линейно независимых функций.
Под линейной оболочкой системы функций ип € U, «6N,
образующих (бесконечную) последовательность {ип}, будем по-
понимать множество всевозможных (конечных) линейных комби-
комбинаций функций этой системы. Систему {ип} функций из U
называют линейно независимой, если любая ее конечная под-
подсистема линейно независима. Линейная оболочка бесконечной
линейно независимой системы {ип} функций является беско-
бесконечномерным линейным функциональным пространством.
Пример 4.2. Множество всех действительных функций
одного действительного переменного, непрерывных на отрез-
отрезке [а, Ь], является линейным пространством (см. пример 4.1),
причем бесконечномерным, поскольку для любого TV 6 N су-
существует N линейно независимых элементов этого линейного
пространства. Например, многочлены хп, n = l,N, линейно
независимы. Линейное пространство многочленов степени не
выше некоторого натурального числа N конечномерно [IV]. #
4.1. Нормированные пространства 139
Говорят, что в линейном пространстве U задана норма, если
каждому элементу u EU поставлено в соответствие действи-
действительное число ||и||, причем верны три аксиомы нормы:
1) ||и|| ^ 0 и ||и|| = 0 тогда и только тогда, когда ||и|| = 0;
2) ||cm|| = |a|||tt||, a?R;
3) ||tt + «|| ^ ||u|| + ||«||, и, v € U (неравенство треугольника).
Линейное пространство, в котором задана норма, называют
нормированным пространством. В случае линейного функцио-
функционального пространства, в котором определена норма, говорят
о функциональном нормированном пространстве, а нор-
норму элемента (функции) в таком функциональном пространстве
называют нормой функции.
Чтобы подчеркнуть, что речь идет о норме функции и
в пространстве И, будем писать ||tt||j/, а правило, которое
устанавливает соответствие между функцией и?К нее нормой
в U, будем обозначать || • \\ц.
Отметим, что в нормированном пространстве U справедли-
справедливо неравенство
о^|НЫМ1К11«±ИКН1 + Н, u,veu. D.1)
Действительно, если в неравенстве треугольника (аксиома 3)
заменить сначала и на г* — t>, а затем v на v — и, то получим
неравенства ||и|| - ||«|| ^ ||и - v|| и ||v|| - ||u|| ^ ||v - tt||. Учи-
Учитывая равенства || — v\\ = \\v\\ и ||u — v\\ = \\v — u|| (аксиома 2),
приходим к D.1).
Нормированное пространство U является метрическим про-
странствомс метрикой, индуцированной нормой, т.е. p(u,v) =
= ||u - v\\, и, v € U. Под сходимостью последовательности {ип}
по норме || • \\и понимают сходимость этой последовательности
по метрике р, индуцированной нормой || • \\ц. Элемент и?К на-
называют пределом последовательности {ип} с U, сходящейся
по норме, если
lim ||и„-и|| = 0. D.2)
71КОО
140 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ
Понятия окрестности точки, внутренней, изолированной,
граничной и предельной точки множества, фундаментальной
последовательности, ограниченности, замкнутости и компакт-
компактности множества, введенные для метрического пространства
[1], применимы и для нормированного пространства.
Определение 4.1. Последовательность {ип} С U назы-
называют фундаментальной в нормированном пространстве U,
если для любого числа е > 0 можно указать такое число N ? N,
что при всех m > N и п > N верно неравенство \\ит — ип\\ < е.
В полном нормированном (банаховом*) пространстве лю-
любая фундаментальная последовательность сходится по норме.
Банахово пространство будем обозначать символом В.
Пусть U — нормированное пространство. Напомним [IX],
что если для множества X С U его замыкание X, т.е. объеди-
объединение X со всеми предельными точками X из U, совпадает с
U, то множество X называют всюду плотным в U. С уче-
учетом определения предельной точки множества в метрическом
пространстве [1] можно дать следующее эквивалентное опреде-
определение.
Определение 4.2. Множество X С U называют всюду
плотным в нормированном пространстве К, если для любого
и ? U и любого е > 0 найдется такой элемент и' ? X, что
||u-tt'||<?.
Нормированное пространство U называют сепарабельным,
если в этом пространстве существует счетное всюду плотное
подмножество.
Пусть U\QU — линейная оболочка некоторой системы эле-
элементов ип, п ? N, нормированного пространства U. Если
эта оболочка — замкнутое множество, то она является под-
подпространством нормированного пространства U. Напомним,
что систему элементов называют замкнутой в банаховом про-
пространстве, если ее линейная оболочка является всюду плотной в
*С. Банах A892-1945) — польский математик.
4.1. Нормированные пространства 141
этом пространстве. Замкнутость системы {un} означает, что
любой элемент u?U можно сколь угодно точно (по норме этого
пространства) представить конечными линейными комбинаци-
комбинациями элементов данной системы, т.е. для любых u G U и е > О
можно подобрать такой номер N ? N и такие коэффициенты
an € R, n = I, N, что для элемента
N
n=l
будет выполнено неравенство ||ti — ujq\\ < e.
Пример 4.3. Функциональное пространство непрерывных
на отрезке [о, Ь] действительных функций /(ж) одного действи-
действительного переменного х является линейным (см. пример 4.1).
Оно будет банаховым [IX], если ввести норму
||/||= max:|/(*)|. D.3)
х€[а,Ь]
Это банахово пространство обозначают С[а,6].
В линейном функциональном пространстве С[а,Ь] можно
ввести и другую норму. Из свойств интеграла Римана и нера-
неравенства треугольника для действительных чисел следует, что
соотношение
ь
-I
|/(ar)|efar, feC[a,b], D.4)
задает норму в С[а,Ь]. Но полученное нормированное простран-
пространство с нормой D.4) не является полным. Покажем это для
случая [а, Ь] = [0,1]. Например, нетрудно убедиться, что после-
последовательность непрерывных наотрезке [0, 11 функций (рис. 4.1)
Г 0, (К*<1/2-1/п;
?>«(*)=< nar+l-n/2, l/2-l/n^ar<l/2; D.5)
1, 1/2<я<1,
142 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ
0 l-l I
2 n 2
1 х
Рис. 4.1
в нормированном пространстве С[а, Ь] с нормой D.4) является
фундаментальной. Действительно, для любого е > 0 при любых
п > — и т > п имеем
1
1/2
1/2-1/n
1/2
1/2-1/n
Однако эта фундаментальная последовательность не имеет пре-
предела в С[а.6]. Предположим противное: пусть существует
непрерывная на отрезке [0, 1] функция щ, для которой
1
lim ||</>n - </>о|| = lim / \<рп(х) - (fo(x)\dx = 0.
п—»оо п—Юо _у '
Заметим, что для разрывной в точке х = 1/2 функции
JO, 0^х< 1/2;
D.6)
4.1. Нормированные пространства 143
справедливы равенства
1
n^o / l^nix) - v(x)\dx =
= lim
1/2
/
П
ПХ+1--
dx = lim — = 0.
2
In
1/2-1/n
Тогда
\<ро(х) - ip{x)\dx = lim^ \(po(x) - (p(x)\dx ^
о о
1 1
^ Jm^ \<ро(х) - <pn(x)\dx + \\m^ \(pn(x)-(p{x)\dx = 0.
1
0 0
Поскольку |<?>о(я) — V'(a;)l ^ О для x ? [0,1] и
1 1/2 1
/ \tpo(x) -ip(x)\dx= / \tpo{x) -(f(x)\dx+ / \(fo(x) -<p(x)\dx,
0 0 1/2
то каждый из двух последних интегралов равен нулю. Отсюда
в силу неотрицательности и непрерывности подынтегральной
функции \(ро(х) — (р(х)\ на каждом из промежутков [0,1/2) и
[1/2,1] получаем ipo(x) = tp{x) для всех х ? [0,1/2) U [1/2,1]. То-
Тогда х = 1/2 является для функции (ро{х) точкой разрыва первого
рода, что противоречит предположению непрерывности ipo на
отрезке [0, 1].
Таким образом, последовательность {<?>„}, фундаментальная
в линейном нормированном пространстве С[о,6] с нормой D.4),
не является сходящейся в U по этой норме, т.е. С[а,6] с нормой
D.4) не будет полным нормированным пространством.
144 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ
Можно показать*, что банаховым является пространство
суммируемых (или интегрируемых по Лебегу**) на отрезке [а, 6]
функций f(x), обозначаемое Li[a,6] и имеющее норму [IX]
ь
\\f\\ = J\f(x)\dx, D.7)
a
которая определена при помощи интеграла Лебега. Элемен-
Элементами пространства Li[a,6] являются классы функций, равных
почти всюду на отрезке [0, 1]. В частности, этому простран-
пространству при [a, b] ¦=¦ [0,1] принадлежит не интегрируемая по Риману
на отрезке [0,1], но интегрируемая по Лебегу на этом отрезке
функция Дирихле
(l, z€Qn[0,l];
Х1г)~\0, *€[O,1]\Q,
причем ||х(а;)|| = 0, поскольку эта функция почти всюду равна
нулю.
Пример 4.4. Функциональное пространство U действи-
действительных функций одного действительного переменного, к раз
непрерывно дифференцируемых на отрезке [а, 6], является ли-
линейным (см. пример 4.1). В этом функциональном простран-
пространстве можно вводить следующие нормы:
о= max: 1/CI,
х€[а,Ь]
!= max max |/<т>()|
*См.: Колмогоров А.Н., Фомин СВ.
**А. Лебег A875-1941) — французский математик.
4.1. Нормированные пространства 145
где /(т)(я), т ^ 1, — производная порядка т функции /(я), а
Функциональное пространство ZY с нормой || • ||0 является ли-
линейным многообразием банахова пространства С[о,6] (см. при-
пример 4.3). Поскольку это линейное многообразие не является за-
замкнутым в С[о,6] (существуют последовательности непрерывно
дифференцируемых функций, сходящиеся в С[о,6], т.е. по нор-
норме || • ||о, к непрерывной функции, которая ни в одной точке
отрезка [о, 6] не имеет конечной производной*), то функцио-
функциональное пространство U с нормой || • ||о не является банаховым.
Нетрудно показать, что нормы || • ||i и || • Цг, действующие
в функциональном пространстве К, являются эквивалентными,
т.е. найдутся такие положительные числа а и 0 > 0, что
«11/112^11/111^11/112, feu.
Отметим, что последовательность {/„} С U сходится по нормам
|| • ||i или || • ||г тогда и только тогда, когда функциональные по-
последовательности {/п (х)} производных сходятся равномерно
на отрезке [о, 6] при любом m = 0, к [IX]. Отсюда, в частности,
ясно, что из сходимости последовательности {/п} С U по нор-
нормам || • ||i или || • ||2 следует сходимость этой последовательности
по норме || • ||0. Обратное утверждение неверно. Так, например,
последовательность функций /п(я) = — sin n2x, n ? N, равномер-
равномерно сходится на отрезке [0,1] к нулевой функции, поскольку
max |/п(ж)| ^ - -> 0 при n-Юо и, следовательно, сходится
*e[o,i] n
к нулю по норме || • 110- Функциональная последовательность
{fn(x)} = {ncosn2x} первых производных не является равно-
равномерно сходящейся на отрезке [0,1]. Более того, она расходится
при х = 0, так как /?@) = п.
Функциональное пространство U с нормой || • ||i или нормой
|| ¦ ||г является банаховым и его обозначают Cfc[o,6].
'См.: Фихтенгольц Г.М-
146 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ
4.2. Операторы в нормированных пространствах
Пусть U и W — некоторые множества. Если множества U и
W наделены некоторой структурой, например, являются функ-
функциональными пространствами (линейными, нормированными
и т.п.), то обычно отображение A: U —> W называют опера-
оператором. При действиях с операторами используют термино-
терминологию, связанную с отображениями множеств. В частности,
U называют областью определения оператора Л, обычно
обозначаемую D(A), а подмножество
R{A)={w?W:3ueU (w = A(u))} —
областью значений оператора А.
Если заданы операторы А: И -»¦ W и В: У\>\ -»¦ V, где И,
W, Wi, V — некоторые множества, a R(A) С ?>(#) = Wi,
то говорят о композиции операторов В о А с областью
определения D(B о А) — U. Если включение R(A) С D(B) не
имеет места, но R(A) П D(B) / 0, то композицию операторов
В о А можно определить на более узком множестве D1 С И,
таком, что для любого и ? D' элемент А{и) 6 D(B).
Если заданы два оператора А\: 1А\ —> W и Л2: ZY2 —> W, при-
причем Ы\ С ZY2 и Ai(u) = i42(ti) для любых и 6 Wi, то оператор Лх
называют сузюемиелс оператора Лг, а оператор Л2 — рас-
расширением А\.
Определение 4.3. Оператор 1ц- U-лЫ, который перево-
переводит любой элемент иеИ в себя, т.е. 1ц(и) = и,и?И, называют
тождественным. Оператор А: И —> W, R(A) = W, называ-
называют взоилмо однозначным, если каждому элементу ги 6 Д(Л)
отвечает единственный прообраз и ? D(A), т.е. для каждого
w 6 W существует и притом единственное решение уравнения
A(u) = w, D.8)
называемого операторными. Если оператор А: И —> W явля-
является взаимно однозначным, то оператор Л: W—> ZY, удо-
4.2. Операторы в нормированных пространствах 147
влетворяющий условию Л (го) = и тогда и только тогда, ко-
когда выполнено D.8), называют обратным к А. При этом
D{A~l) = R(A) и Д(Л-Х) = D{A). Композиции А'1 ° А = 1и и
Л о Л = /yv являются тождественными операторами, преобра-
преобразующими любой элемент множества U или W в себя. *
Примером взаимно однозначного оператора является линей-
линейное преобразование линейного (векторного) пространства Rn в
себя, имеющее в некотором базисе невырожденную матрицу. В
этом случае обратному оператору в том же базисе будет соот-
соответствовать обратная матрица. Произведение невырожденной
матрицы на обратную к ней равно, как известно, единичной
матрице, которая соответствует тождественному оператору.
Пример 4.5. Пусть оператор A: C[a,b]-t C[a,b] каждой
непрерывной на отрезке [о, Ь] функции / ставит в соответствие
непрерывную функцию ц> ? С[а,Ь] по правилу
х
<p{x)=Jf(t)dt, хе[а,Ъ].
Тогда R{A) = U С С[о,6] — множество всех непрерывно диф-
дифференцируемых на отрезке [о, Ь] функций с условием <р(а) = 0.
Если рассматривать оператор А как действующий из С[о,6] в
ZY, то он имеет обратный оператор А~1ш. И —> С[о,6], причем ра-
равенство А~1{ф) = /, <р ?И, эквивалентно тому, что f(x) — (р'(х),
х €[а,Ь].
Пример 4.6. Покажем, что оператор А: С[0,1] -»¦ С[0,1],
который каждой непрерывной на отрезке [0, 1] функции /
ставит в соответствие непрерывную функцию tp = A(f) no
правилу
х
<P(x) = Jf(t)dt + f(x), xe[0,l], D.9)
о
имеет обратный оператор А~1: С[0,1] -»¦ С[0,1].
148 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ
Рассмотрим сужение оператора А на множество U непре-
непрерывно дифференцируемых на отрезке [0,1] функций. Если
функция f &U, то функция <р = A(f) также принадлежит мно-
множеству U. В соответствии с D.9) имеем
<p'(x) = f(x) + f(x), же [0,1], D.10)
причем </з@) = /@). Разрешим D.10) относительно функции
/. Оно является линейным неоднородным обыкновенным диф-
дифференциальным уравнением (ОДУ) относительно неизвестной
функции /, удовлетворяющей начальному условию /@) = <р@).
Общее решение соответствующего однородного ОДУ имеет вид
f(x) = Ce~x. Решая D.10) методом Лагранжа [VIII], получаем
X
= e-x f
о
Интегрируя по частям, получаем
х
Х - е~х [ еV(*) dt + Ce~x =
о J
о
f(x) = е*
о
= <р{х) - <р{0)е~х - е~х f e*tp{t) dt + Ce~x.
о
Отсюда, используя начальное условие /@) = V'(O), находим С =
= <р@). Значит, решение уравнения D.10) имеет вид
X
f(x)=<p(x)-Jet-x<p(t)dt, х €[0,1]. D.11)
о
Таким образом, для любой функции <рЕИ существует един-
единственная функция / € И, удовлетворяющая уравнению A(f) = <р,
причем функция / определена равенством D.11).
4.2. Операторы в нормированных пространствах 149
Докажем, что оператор В: С[0,1] —> С[0,1], ставящий в со-
соответствие всякой функции <р € С[0,1] функцию / = В(<р) по
правилу D.11), является обратным к оператору А. Найдем
образ функции <р G С[0,1] при действии оператора А° В. Ес-
Если v?i = A°B(tp) = A(B(<p)), то
0 0 0
х х т х
= f(f(T)dr-
0 0 0 0
Так как функция g(r,t) = el~Tip(t) непрерывна в замкнутой
области D = {(г, t) G К2: O^r^x, O^i^r}, то можно поме-
поменять порядок интегрирования в повторном интеграле [VII]
XT XX
Ie~Tdr /el<p(t)dt= I€l(f{t)dt I e~Tdr =
0
x
= - fet(e-x-e-t)<p{t)dt = -e-x fet<p{t)dt+ [<p{t)dt.
0 0 0
Итак, возвращаясь к вычислению <pi(x), получаем <pi{x) = <р(х),
х е [0,1], т.е. А о В{<р) = <р,ч>е [0, 1].
Аналогично можно показать, что В о A(f) = /, / € С[0,1].
Таким образом, оператор В является обратным к оператору А,
т.е. В = А~Х.
Определение 4.4. Операторы Ajy: W —> U и Л^Г1-' W ~*
->?/ называют соответственно левым и правым обратным
к оператору Л: ?/ —> W, если
Л-ЧД^ и AoA;x=Iw, D.12)
где 1ц п Iw — тождественные операторы вИ и W.
150 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ
Отметим, что если существует оператор Л, обратный к
оператору Л, то, согласно определению 4.3, оба эти операто-
оператора являются взаимно однозначными и уравнение Аи = / имеет
единственное решение и = Л / ?U. Существование оператора
AJy не означает, что оператор А сюръективный, а существова-
существование оператора Л~' не означает, что оператор А инъективный.
Теорема 4.1. Если существует правый обратный оператор
Л к оператору A: U —> W, то операторное уравнение
A(u) = f D.13)
для любого feW имеет решение и = A~*(f) e U, а если су-
существует левый обратный оператор AJ*, то уравнение D.13)
имеет не более одного решения. Если существуют и правый
и левый обратные операторы, то они единственны и совпада-
совпадают с обратным оператором Л, а D.13) имеет единственное
решение.
Ц Пусть существует А~г. Тогда элемент и = A~l{f) ?U
обращает D.13) в тождество, так как
A{A;'{f)) = (а°а;*)(Г) = iw(f) = few.
Допустим, что существует AJX. Если и ?14 является решением
уравнения А(«) = /, то AJ* о А{и) — Af1 (/), или и = Л/~1(/),
т.е. решение и является образом элемента / G W при действии
оператора А^х и определено однозначно.
Из существования и правого, и левого обратных операто-
операторов следует, что D.13) имеет и притом единственное решение,
т.е. оператор А взаимно однозначный и имеет, согласно опре-
определению 4.3, обратный оператор А~х. Пусть наряду с Af1
существует еще один левый обратный оператор В, т.е. AJy о А —
= В°А = 1и. Тогда Af1 о А°А~У = В°А°А~\ или AJ~* о Iw =
= 5o/yv- Следовательно, AJ^ = В, что доказывает единствен-
единственность AJ . Аналогично можно доказать единственность А~*.
4.2. Операторы в нормированных пространствах 151
Так как Ajy и Л единственны, а Л — оператор, одновре-
одновременно и левый, и правый обратный к Л, то Л = Ajy = Л. >
Пусть теперь К aW — нормированные функциональные про-
пространства с нормами || • \\и и || • ||w соответственно, а область
определения D(A) оператора Л: U —> W содержит проколотую
о
окрестность U точки Uo (в этой точке оператор Л может быть и
не определен). Элемент wq ? W называют пределом оператора
Л в точке Uo, если для любого е > О найдется такое 6 = 8(е), что
о
для любого и ? U при условии ||u — Uo||i/ < S будет выполнено
||А(и) — trollw < ?• При этом пишут Л(и) —>wo при и—>-и0-
Это определение соответствует понятию предела отображе-
отображения метрических пространств U и W с .метриками, индуци-
индуцированными нормами этих пространств.
Определение 4.5. Оператор A:U—> W, где WnW —
нормированные пространства, называют ограниченным, ес-
если он преобразует всякое ограниченное множество из своей
области определения D(A) —If во множество элементов, огра-
ограниченное в W.
Определение 4.6. Оператор A: U —> W, где U и W —
нормированные пространства и D(A) = U, называют непре-
непрерывным в точке Uo G D(A), если для любой окрестности
W С W точки гио = Л(ио) существует такая окрестность U С U
точки Uo, что Л(и) G W для любой точки u G t/ (кратко пишут
Л(и)—>Л(и0) при и—>Uo). Оператор, непрерывный в каждой
точке u0 G ^(Л), называют непрерывным.
Эти определения соответствуют определениям непрерывно-
непрерывности отображения в метрических пространствах [I].
Пример 4.7. Покажем, что оператор Л: С[0,1] —> С[0,1],
заданный правилом
ф) = /2{х), же[0,1],
152 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ
является ограниченным и непрерывным. Действительно, если
U — ограниченное множество в С[0,1], то найдется такое число
М > 0, что для любых функций / € U справедливо неравенство
= max |/(а;)| ^ М. Тогда, если v= A(f), fell, то |MI =
е[о\]
= max f2(x) <С М2, и множество АШ), состоящее из образов
фЛ]
всех элементов / € И, ограничено.
Покажем, что оператор А является непрерывным. В самом
деле, для любых функций /, /о € С[0,1] имеем
\\A(f) ~ A(fo)\\ = jnax l/2(*) - /02(z)| =
I/И - /оИ| \f(x) - fo(x) + 2fo(x)\ ^
\f(x) - /оИ^
Если для произвольного числа ? > 0 положить
то при условии ||/ — /о|| < S будет справедливо неравенство
\\A(f) - A(fQ)\\ < е. Согласно определению 4.6, оператор А
является непрерывным. #
Прежде чем ввести следующий важный класс операторов
в банаховых пространствах, дадим некоторые определения,
связанные с компактными множествами в метрических (нор-
(нормированных) пространствах.
Определение 4.7. Множество X С М, где М — метриче-
метрическое пространство, называют компактным в М, если из всякого
бесконечного подмножества этого множества можно выделить
последовательность, сходящуюся к некоторому элементу из X.
4.2. Операторы в нормированных пространствах 153
Отметим, что это определение эквивалентно определению
компактного множества в метрическом пространстве, введен-
введенному при помощи понятия открытого покрытия множества
[I]. Множество X в метрическом пространстве М называ-
называют относительно компактным (или предкомпактным)
в М, если его замыкание X компактно в М.
Определение 4.8. Оператор A: U —> W, где И, W — нор-
нормированные пространства, называют вполне непрерывным,
если он непрерывен ъЫ и преобразует любое ограниченное мно-
множество из U в множество, относительно компактное в W.
Иными словами, из любой ограниченной в U последователь-
последовательности можно выбрать подпоследовательность, которую вполне
непрерывный оператор преобразует в сходящуюся к некоторо-
некоторому элементу из W.
Не всякий непрерывный оператор является вполне непре-
непрерывным. Так, тождественный оператор 1ц вполне непреры-
непрерывен в нормированном пространстве U лишь при условии, что
пространство U конечномерно. В таком пространстве любое
ограниченное множество относительно компактно [IX]. Поэто-
Поэтому оператор 1и является вполне непрерывным. В бесконеч-
бесконечномерном нормированном пространстве U этот оператор не
будет вполне непрерывным, поскольку он преобразует единич-
единичный шар (ограниченное множество) в себя, а единичный шар не
является относительно компактным в бесконечномерном про-
пространстве. Это утверждение вытекает из следующей теоремы.
Теорема 4.2. Пусть последовательность {ип} образует
линейно независимую систему элементов нормированного про-
пространства И, а Ып — подпространство, которое совпадает с.
линейной оболочкой системы элементов и,, г= \,п. Тогда
существует последовательность {vn} элементов vneU, удовле-
удовлетворяющая условиям: 1) ||»„|| = 1; 2) vn eUn\ 3) p{vn,Un-\) =
= inf ||t»n-u|| > 1/2.
154 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ
А Так как {ип} — линейно независимая система в И, то ип
?Un-i, n G N, и, следовательно [IX],
p(un,Un-i)= inf ||un-u|| = a> 0.
В силу свойств точной нижней грани существует такой элемент
К eZ4_i, что
or ^ ||un —ш*|[ < 2ог. D.14)
Поскольку для любого элемента и 6 Un-\ элемент и* + и ?
G Un-\ {Un-i — подпространство в U) и ип - и* ^ 0 (un ^ ZYn_i,
< eZYn-i), то
p{un,Un-\)= inf ||«n-<-«|| = /9(un-<,ZYn_i).
Следовательно, р(ип — u^,Un-i) — а. Очевидно, что эле-
элементы
удовлетворяют условиям 1 и 2 теоремы. Учитывая D.14),
проверим выполнение условия 3:
_ р{ип - u'n,Un-\) _ <* _о_ _ 1_
Hi» it* II lit» ii* II 9/v 9'
|| il llu il /a z
что завершает доказательство теоремы. >
Таким образом, согласно теореме 4.2, в единичном шаре
бесконечномерного нормированного пространства можно вы-
выбрать последовательность {«„}, для которой p(vn,vn-i) > 1/2,
п = 2, 3, ..., и, значит, никакая ее подпоследовательность не
может быть сходящейся (не является фундаментальной). Сле-
Следовательно, единичный шар в нормированном пространстве
4.2. Операторы в нормированных пространствах 155
является относительно компактным множеством тогда и толь-
только тогда, когда это пространство конечномерно.
Прежде чем привести примеры вполне непрерывных опе-
операторов, сформулируем без доказательства* критерии относи-
относительной компактности множеств в некоторых нормированных
пространствах.
Теорема 4.3 (теорема Арцела**). Для того чтобы мно-
множество X в С[а,Ь] было относительно компактным, необходимо
и достаточно, чтобы были выполнены следующие условия:
1) множество X должно быть равномерно ограниченным
множеством функций, т.е. существует такое число М > О,
что для каждой функции <р 6 X верно соотношение |v?(a:)| ^ М,
х ? [а, Ь];
2) множество X должно быть равностепенно непрерыв-
непрерывным множеством функций, т.е. для всякого ? > 0 существу-
существует такое число S = 5(е) > 0, что для любой функции (р ? X и
любых точек Х\,Х2 € [а, Ь], таких, что \х\ — Жг| < 6, верно нера-
неравенство |v?(a:i) — ^(^г)! < е.
Для нормированного пространства Lp[a,b] функций /, для
ь
которых конечен интеграл Лебега J\f(t)\pdt, р ^ 1, и норма
а
определена равенством [IX]
&
справедлива следующая теорема, доказанная М. Риссом"""\
Теорема 4.4. Для относительной компактности в Lp[a,b]
множества X С Lp[a,b] функций необходимо и достаточно, что-
чтобы были выполнены следующие условия:
'Доказательство см.: Люстерник Л.А., Соболев В.И.
**Ч. Арцела A847-1912) — итальянский математик.
***М. Рисе A886-1969) — шведский математик, венгр по национальности.
156 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ
1) множество X ограничено в Lp[a,b], т.е. существует такое
число М > 0, что ||/|| ^ М, f ? X.
2) для всякого е > 0 найдется такое число S = 8(е) > 0, что
h)-f(t)\pdt<e
для всех чисел h, таких, что 0 < h < 6, и для всех / 6 X (считаем,
что f(t) - 0 для всех t 6 К \ [а, 6]).
Пример 4.8. Покажем, что в С[а,6] вполне непрерывным
является оператор A: C[a,b]-t C[a,b], действующий по правилу
ь
<p=A{f) <^ <p(t)= fK{s,t)f{s)ds, te[a,b],
где K(s,t) — действительная функция двух переменных, непре-
непрерывная на замкнутом квадрате D = {(s, t) G R2: s, t € [a, b]}. Из
свойств интегралов с параметрами [VI] следует непрерывность
оператора А. Докажем, что оператор А любое ограниченное
множество в С[а,6] переводит в относительно компактное.
Так как функция K(s,t) непрерывна на ограниченном за-
замкнутом множестве D С К2, то она ограничена на этом множе-
множестве [V], т.е. l/^s,^)! ^ С для всех точек (s,t) ? D, где С — не-
некоторое число. Пусть X С С[а,6] — произвольное ограниченное
множество непрерывных функций. Тогда для некоторого числа
R > 0 для всех / 6 X верно неравенство ||/|| = max |/(s)| ^ R.
se[a,b]
Если <р = A(f), f 6 X, то для всех t ? [а, Ь] имеем
ь
[
J
\K{8,t)\max\f(s)\d8$CR(b-a) = M.
se[a,b]
Следовательно, условие 1 теоремы 4.3 выполнено и мно-
множество А(Х), состоящее из образов элементов множества X,
4.2. Операторы в нормированных пространствах 157
равномерно ограничено. Докажем равностепенную непрерыв-
непрерывность этого множества. Так как ограниченное и замкнутое
множество D С К2 является компактным в R2, а функция K(s,t)
непрерывна на D, то она равномерно непрерывна на множе-
множестве D [I]. Следовательно, для любого числа ? > 0 найдется
такое число S = 5(е) > О, что \K(s,ti) — А'(в,^)| < -577-—г Для
всех t\, ti G [a, b], для которых \t\ —12\ < 5, и для всех s G [a, b].
Тогда для <р = A(f), f G X, имеем
ь ь
\ = \[K(s,U)f(s)ds- [K(s,t2)f(s)ds ^
ь ь
[\K(s,U)-K(s,t2)\ max \f(s)\ds^ f
J se[a,b] J
a a
R{b-a)
Rds =
для всех U, <2 € [a, b], таких, что \t\ —12 \ < S.
Таким образом, множество А(Х) равностепенно непрерыв-
непрерывно. Условия 1 и 2 теоремы 4.3 для множества А(Х) выполнены
и, следовательно, А(Х) — относительно компактное множе-
множество, а оператор А — вполне непрерывный.
Пример 4.9. Покажем, что оператор A: L2[a,b]—t L2[a,b],
действующий по правилу
t
<p(t)= f(x)dx, te[a,b],
a
вполне непрерывен. При любых функциях /ь/г G /^[в)?»] для
Vi = A(fi) и v?2 = A(f2) имеем
Ь t t
[^ dt<:
-f
a
6 *
dt.
158 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ
Применяя далее к внутреннему интегралу неравенство Коши
Буняковского для L<i[a,b\ [IX], получаем
б t
о
^(b-aJj(fl(x)-f2(x)Jdx^(b-aJ\\f1-f2\\2,
а
что и доказывает непрерывность оператора А. Докажем,
что любое ограниченное в L2[a,6] множество он переводит в
относительно компактное.
Пусть X — произвольное ограниченное множество в L2[a,b],
т.е. для некоторого числа С > О для всех / € X справедливо
неравенство
11/11= (/l/(*)la«fa) $С.
а
Если ip = A(f), f € X, то имеем
б
\\<P\\
=(J Jf(*
)d*
2 ч 1/2
dtj
tj
6 ь
2 ч1/2
{j{jlfiX)]dX) ^ =v/r^
а а а
Применяя к последнему интегралу неравенство Коши —¦ Буня-
Буняковского, получаем
Следовательно, множество А(Х) образов элементов множества
X ограничено в Ь2[а,Ь], т.е. выполнено условие 1 теоремы 4.4.
4.2. Операторы в нормированных пространствах
159
Пусть 0 < h < 6 и <р= A(f), f € X. Тогда, вновь используя
неравенство Коши — Буняковского, получаем
Ь t+h
f(x)dx-Jf(x)dx
-/
Ь t+h
f(x)dx
Ь t+h
dt^
a t
Ь t+h
J[j\f(x)\dx
dt =
dt <
a t
Ь Ь
Ih( I \f{x)\2dx\dt^ Ih( f\f{x)\2dx)dt^{b-a)C2h.
a t
a a
Если для произвольного е > 0 выбирать 8 = ?—-, то условие
С2 (о — а)
2 теоремы 4.4 будет выполнено. Согласно этой теореме, мно-
множество А(Х) является относительно компактным в L2[a,b] и,
следовательно, оператор А вполне непрерывен. #
Пусть оператор Р отображает нормированное простран-
пространство U в себя. Запись Pm(u), m € N, означает, что оператор
Р действует последовательно m раз: сначала на элемент u € U,
затем на элемент Р(и), потом на Р(Р(и)) = Р2(и) и, наконец,
на Рт~х (и), т.е. Рт = Рт~1 о Р. Таким образом, определен но-
новый оператор Pm:U^rU, который называют m-й степенью
оператора. В случае т = 0 полагают, что Р° = 1ц.
Рассмотрим оператор P:U^rU, удовлетворяющий для не-
некоторого числа М > 0 условию
u,veu.
Если это условие верно для некоторого числа М < 1, то опера-
оператор Р называют сжимающим ъЫ, а число М — коэффици-
коэффициентом сжатия. Для сжимающего оператора Р выполняется
неравенство ||P(ii) — P(t>)||^ < ||tt — v\\u, u,v?U, т.е. рассто-
расстояние между образами любых элементов (точек) из U меньше
160 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ
расстояния между этими элементами. Элемент и* € U, удо-
удовлетворяющий условию Р(и*) =tt*, называют неподвижной
точкой оператора Р в К, т.е. при отображении Р образ
неподвижной точки совпадает с этой точкой. Любой опера-
оператор имеет некоторое множество неподвижных точек, причем
это множество может быть пустым. В полном нормированном
пространстве сжимающий оператор имеет единственную непо-
неподвижную точку [I].
Пример 4.10. Докажем, что уравнение
D.15)
имеет единственное решение в банаховом пространстве С[0,1].
Для этого покажем, что оператор Р: С[0,1] —> С[0,1], действу-
действующий по правилу
md" V x€[0,l],
является сжимающим в банаховом пространстве С[0,1].
Для любых функций f,g € С[0,1] имеем
1 1
9{y)dy
».ЧУ
*ФЛ\] X + у/1+у2
О
1
^ max \f(y) -д(у)\ шах /
уфл] x?[o,i]J х + Wl + у2
4.3. Линейные операторы 161
Так как М — In A + л/2) < 1, то оператор Р является сжимаю-
сжимающим в банаховом пространстве С[0,1] и, следовательно, имеет
одну неподвижную точку, т.е. D.15) имеет единственное ре-
решение.
4.3. Линейные операторы
Перейдем к изучению линейных операторов в нормирован-
нормированных пространствах. Пусть U и W — нормированные простран-
пространства. Поскольку нормированное пространство является линей-
линейным, то для него остается в силе определение линейного опера-
оператора, действующего в линейном пространстве. Напомним, что
если оператор A: U —»¦ W линейный, то по определению
A(Xu + fj,v) = XAu + pAv, u,v?U, A,^eK, D.16)
и вместо D.8) обычно пишут Аи = w, w € W. Область значе-
значений R(A) С W любого линейного оператора A: U —> W является
линейным многообразием. Действительно, выберем произволь-
произвольные ух,у2 € ЩА) и А,^ € К. Пусть х\ — прообраз у^ и xi —
прообраз t/2, т.е. Ах\ —у\ и Ла?2 = у%. Используя D.16), полу-
получаем
3/ = Aj/i -f- fiy2 = XAxi + \iAxi = A(Xxi + цх2).
Поэтому у = At/i -f-^J/2 € R(A), и в силу произвольного выбора
У\, J/2 и чисел A, fi заключаем, что ЩА) — линейное много-
многообразие.
Линейный оператор А:1А-±УУ отображает нулевой элемент
О € U в нулевой элемент 0 € W, т.е. ДО = 0. Оператор О:Ы —>
—>¦ W, отображающий любой элемент х € ZY в элемент 0 € W,
называют нулевым.
Теорема 4.5. Линейный оператор A: U —> W, где ZY и W —
нормированные пространства и 1?(Д) =И, непрерывен в любой
точке tto € D(A), если он непрерывен в точке 0 € U.
162 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ
4 Пусть и —> tto в нормированном пространстве U. Тогда v =
= и — и0 —> 0 € ZY. Поскольку оператор Л: ZY —>¦ W непрерывен
в точке 0, то, согласно определению 4.6, Av —> 0 € W при
г —>¦ 0, и, следовательно, А{и — tto) —> 0 при it —> tto- В силу
линейности оператора А имеем А(и — tt0) = Аи — Auq, т.е.
Лад — Auq —> 0 при и —> tt0, или Л« —> Аи0 при tt —> tt0, что,
согласно определению 4.6, доказывает утверждение теоремы. >
Рассмотрим свойства ограниченного линейного оператора.
Теорема 4.6. Линейный оператор A: U —> W, где U и W —
нормированные пространства, является ограниченным тогда и
только тогда, когда он ограничен на единичном замкнутом
шаре
U(O,l) = {tt€ZV:||tt||w<Cl} D.17)
с центром в точке 0 € U, т.е. если существует такое число М > О,
что
||4ti||wsCM, tt€U(O,l). D.18)
А Если линейный оператор А является ограниченным, то, оче-
очевидно, он ограничен на шаре U@,1) (см. определение 4.5). Если
же выполнено D.18), а X С U — произвольное ограниченное
множество, то X С U@, R) = {и € U: \\u\\u ^ Щ для некоторого
числа R > 0. Для любого элемента tt € X имеем —и € U@,1), a
значит,
Таким образом, оператор А является ограниченным. >
Отметим, что если оператор А не является линейным, то
D.18) нельзя использовать в качестве критерия ограниченности
этого оператора.
Теорема 4.7. Линейный оператор А: И —> W, где И, W —
нормированные пространства, является ограниченным тогда и
4.3. Линейные операторы 163
только тогда, когда
||Au||w < Af||u||w, ueU, D.19)
где М > О — некоторое число.
4 Согласно теореме 4.6, оператор А ограничен тогда и только
тогда, когда он ограничен на единичном шаре D.17). Поэтому
докажем эквивалентность утверждений D.18) и D.19).
При и = 0 € U имеем Аи = 0 € W, так что выполнение D.18)
и D.19) очевидно. Пусть и^Ои выполнено D.18). Положим
v = и/||и||и. Тогда \\v\\u = 1, и поэтому в соответствии с
D.18) ||Л«||уу ^ М, или, учитывая линейность оператора и
однородность нормы (см. 4.1, аксиома 2 нормы), имеем
Отсюда следует D.19). Обратно, если верно D.19), то при
\\u\\u ^ 1 из D.19) следует D.18). >
Теорема 4.8. Линейный оператор A:U —> W, где И, W —
нормированные пространства, непрерывен тогда и только то-
тогда, когда он ограничен.
< Пусть А непрерывен. Допустим, что он неограничен. Тогда
множество элементов Аи € W, где и € U@,1), U@,1) С U —
единичный замкнутый шар с центром в точке 0, неограничено.
Поэтому в силу отрицания условия D.18) для любого п € N
существует такой элемент ип ?И, \\ип\\и ^ 1, что ||4ttn||w ^ п.
Отсюда для элемента vn = un/n имеем как
так и ||«n||w = i ||un||w ^ i. Тогда ||t?n|| -^ 0 при п -> оо, и в силу
непрерывности оператора А имеем ||Л«п||уу —> 0 при п —> оо, что
164 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ
противоречит неравенству ||Д«п||уу ^ 1, п € N. Это доказывает,
что непрерывный оператор ограничен.
Пусть теперь А ограничен. Тогда, согласно теореме 4.7,
справедливо неравенство D.19). Следовательно, если ||u||t/—>0,
то и ЦЛиЦуу —>0, а это равносильно тому, что Аи —>0 при и —>0,
т.е., согласно определению 4.6, оператор А непрерывен в точке
О € U и поэтому в силу теоремы 4.5 непрерывен. >
4.4. Линейные ограниченные функционалы
Рассмотрим важный частный случай линейного оператора.
Определение 4.9. Линейный оператор F: Ы —> R, опреде-
определенный на нормированном пространстве ZV, называют линей-
линейным функционалом.
Линейный функционал F: U —> К является ограничен-
ограниченным, если образом любого ограниченного в U множества бу-
будет ограниченное числовое множество, или, согласно теоре-
теореме 4.6, если функционал F переводит единичный замкнутый
шар D.17) в ограниченное числовое множество. В силу общих
свойств линейных операторов линейный функционал F: U —> К
непрерывен в ZV, если он непрерывен в какой-либо одной точке
из U (например, в точке 0 €?/). Для непрерывности линейного
функционала необходимо и достаточно его ограниченности на
единичном шаре.
Точную верхнюю грань значений |Ftt| € К на единичном
замкнутом шаре называют нормой линейного функционала
F, т.е.
||F|| = sup |Ft*|. D.20)
Так как для линейного функционала L_^i = р( JL.) то
IMI ЧН/Г
= sup !?У D.21)
и/0 IMI
4.4. Линейные ограниченные функционалы
165
Действительно, учитывая D.20), с одной стороны,
\Fu
\\
sup -jt—|Г = SUP
u/0 \\u\\ u/0
sup
Так как |Fu| ^ L-y при ||u|| ^ 1, u ф 0, то, с другой стороны,
||F||= sup
sup
||u|Kl
u/0
sup
Из D.21) следует, что ||F|| ^ тг~1Г> и Ф О, т-е. для любого и &U
справедливо неравенство
Пример 4.11. Покажем, что интеграл
D.22)
о
W-/.W
dt
определяет ограниченный линейный функционал в нормирован-
нормированном пространстве С[а,6].
Поскольку
ь
x{t)dt
D.23)
то этот функционал ограничен и, согласно теореме 4.8, непре-
непрерывен. С учетом D.21) и D.23) имеем, с одной стороны,
|1Л1= sup ИМ <;&-«,
хфО \\х\\
166 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ
а с другой стороны, \1(х)\ — Ь - а при x(t) = 1 и ||/|| ^ Ь — а.
Следовательно, норма этого функционала ||/|| = Ь — а.
Пример 4.12. Докажем, что интеграл
1
1{х)= tx(t)dt
-1
задает ограниченный линейный функционал в нормированном
пространстве С[—1,1]. Пусть х€С[-1,1] — произвольная
функция, принадлежащая единичному шару, т.е. ||х|| ^ 1. Тогда
1 1
\I{x)\^J\tx(t)\dt^\\x\\J\t\dt=\\x\\
-i -1
Следовательно, функционал 1{х) ограничен, причем в силу
D.20) имеем неравенство ||/|| ^ 1.
Заметим, что значение интеграла 1(х) от функции хо =
= xo(t) = sgni, <€[-!, 1], равно единице:
1 1
1(хо) = / tsgntdt= / \t\dt= 1.
-l -l
Однако функция хо не принадлежит С[—1,1]. Рассмотрим по-
последовательность непрерывных на отрезке функций, определен-
определенных следующим образом (рис. 4.2):
J'
< nt,
Xn{t) =
t 6 [1/n, 1].
Предельной функцией (в смысле поточечной сходимости) на
отрезке [—1, 1] для функциональной последовательности {?„(?)}
4.4. Линейные ограниченные функционалы
167
-1
О I
п
Рис. 4.2
1 t
как раз и является функция xo(t). Поскольку txn(t) — четная
функция, для любого п € N имеем
1 1 1/п 1
I(xn)= txn(t)dt = 2 txn(t)dt = 2 nt2dt + 2 tdt =
1/n
I/n
1
Так как |/(яп)| —> 1 при п —> оо и ||а;п|| = 1, п € N, то
= sup |/(a:)|>8up|/(a:n)|=l.
Учитывая полученное выше неравенство ||/|| ^ 1, приходим к
выводу, что ||/|| = 1.
Пример 4.13. Вычислим норму линейного функционала
F: С1 [-1,1] —> R, заданного следующим образом:
1
F(x)= jx{t)dt-x{-\), ieC'[-l,l].
168 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ
В нормированном пространстве С1[— 1,1] норма определена
равенством (см. пример 4.4).
Пусть \\x\\ ^ 1, т.е.
max |a;(t)| ^ 1, max \x'(t)\ ^ 1.
Так как функция х € С1[—\, 1] удовлетворяет на отрезке [—1, t],
t 6 (—1,1], условиям теоремы Лагранжа [II], то \x(t) — х(—\)\ =
= |з'(с)||*+1|,гдес€(-1,0. Тогда
1 1
\ = \J{x{t)-x(-l))dt
о о
1
Jcmax \x'{c)\{t+l)dt
Следовательно, в соответствии с D.20) получаем ||F|| $C -.
Для функции xQ(t) = t с нормой ||хо|| = 1 справедливо равен-
равенство
о
о о
Отсюда, согласно D.20), имеем ||F|| ^ -. В итоге ||F|| = -.
Пример 4.14. Интеграл
1
1{х)= ft2x{t)dt
4.4. Линейные ограниченные функционалы
169
определяет линейный функционал в нормированном простран-
пространстве L\[—1,1] суммируемых {интегрируемых по Лебегу) на от-
отрезке [—1, 1] функций с нормой
\\x\\ = J\x{t)\dt.
-1
Найдем норму этого функционала. Если ||х|| ^ 1, то
|/(ж)| ^ ft2\x{t)\dt^ f\x{t)\dt=\\x\\^\.
-i -i
Поэтому в соответствии с D.20) ||/|| ^ 1.
-1 0
Рис. 4.3
Рассмотрим последовательность {хп} функций вида
'О, t€[-l, l-1/n);
xn{t) =
n,
(рис. 4.3). Все эти функции принадлежат Li[—1,1]. Для каждо-
каждого п € N вычислим норму функции xn{t):
1 1
\\хп\\= f\xn{t)\dt= I пЛ=1.
l-1/n
170 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ
Так как
\1{х)\ =
1 1
jt2xn{i)dt = / nt2dt =
-1 l-l/n
при п —> ос, то
= sup
Учитывая ранее установленное неравенство ||/|| ^ 1, получаем
РН=1- #
Норма линейного функционала имеет простую геометриче-
геометрическую интерпретацию. Множество элементов нормированного
пространства 14, удовлетворяющих уравнению Fu = ^назо-
^назовем гиперплоскостью. Расстояние до этой гиперплоскости
от нулевого элемента О 6 U обратно пропорционально норме
функционала F, т.е.
Действительно, согласно D.21), имеем
N1 Г/О
1 1
= SUP ТТЛ
F(u)
= sup
1
inf lit?I
1
Пусть ZYo — подпространство нормированного простран-
пространства И и Fq — ограниченный линейный функционал в Uq.
Тогда продолжением этого функционала на все простран-
пространство U называют линейный функционал F, определенный на U
4.5. Нормированное пространство линейных операторов 171
и такой, что Fu = Fqu, u € Uq. Одной из центральных тео-
теорем о функционалах в нормированных пространствах является
следующая.
Теорема 4.9 (теорема Хана" — Банаха). Любой ли-
линейный ограниченный функционал Fq, определенный на под-
подпространстве Uq нормированного пространства U, имеет такое
продолжение F на все нормированное пространство, что линей-
линейный функционал F ограничен в U и ||^о||м = НЛ1м- #
Доказательство этой теоремы можно найти, например, в
учебниках А.Н. Колмогорова и СВ. Фомина или Л.А. Люстер-
ника и В.И. Соболева. Ее геометрический смысл состоит в том,
что всякий линейный ограниченный функционал Fq, опреде-
определенный на подпространстве Uq С И, может быть продолжен до
линейного ограниченного функционала F, определенного на U
таким образом, что гиперплоскость в U, заданная уравнением
Fu= 1, будет находиться от точки О 6 U на том же расстоя-
расстоянии 1/||FO||, что и гиперплоскость в Uq, заданная уравнением
Fou=l.
4.5. Нормированное пространство
линейных операторов
Пусть А, В, С, ... — линейные ограниченные операто-
операторы, областью определения которых является нормированное
пространство И, а множество значений лежит в нормирован-
нормированном пространстве W. Множество этих операторов обозначим
C{U,W) и положим
(ХА)и=ХАи, u?U, A 6 R. D.24)
Несложно проверить, что операторы А + В и АЛ являются
линейными ограниченными и также принадлежат множеству
C(U,W). Таким образом, на множестве C(U,W) заданы опе-
операции сложения элементов и умножения элемента на число, и
*Г. Хан A879-1934) — австрийский математик.
172 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ
легко убедиться в том, что для этих операций выполнены все
аксиомы линейного пространства. Значит, множество операто-
операторов ?(?/, W) является линейным пространством [IV]. Отметим,
что нулевым элементом этого линейного пространства являет-
является нулевой оператор.
Норму в C{U, W) введем аналогично тому, как вводили нор-
норму для линейных функционалов (см. 4.4). Нормой линейного
оператора А € C(U, W) назовем число
|И||= sup \\Au\\w, D.25)
IMI
т.е. точную верхнюю грань значений ||Аи||уу на единичном
замкнутом шаре U@,1) D.17) с центром в точке 0?И. Как
и для линейных функционалов, нетрудно доказать, что
\\Щ\и
и что нормой оператора А является точная нижняя грань
множества всех чисел М, удовлетворяющих D.19). Отсюда
следует справедливость неравенства
||/Hw^||/i||H|M, иен. D.26)
Проверим выполнение аксиом нормы (см. 4.1) в линейном
пространстве C(U,W). Пусть ||Л|| =0. Тогда из D.26) следует,
что Аи — О для всех и € ?/, т.е. А — О. Верно и обратное: если
оператор А нулевой, то для всех и € U имеем ||Аи||уу = 0 и иэ
D.25) находим ||Л|| = 0. Согласно D.25), имеем
||аЛ||= sup ||аЛи||уу = |а| sup \\Au\\w - \a\
П1^ llIK
Наконец, используя D.25), получим неравенство треугольника
для норм операторов А, В ? C(U,W):
= sup
^ sup \\Au\\w+ sup ||Bti||w =
l
4.5. Нормированное пространство линейных операторов 173
Таким образом, пространство C(U, W) линейных ограниченных
операторов является нормированным с нормой, определяемой
D.25).
Пример 4.15. Оператор A: C[a,b] —t C[a,b], рассмотрен-
рассмотренный в примере 4.8, является линейным ограниченным. Линей-
Линейность его очевидна, а ограниченность следует из непрерыв-
непрерывности (см. теорему 4.8). Найдем норму оператора А, если
K(s,t) = es+t, s, t 6 [a,b]. Тогда оператор А определяется пра-
правилом
<P=Af
Пусть / — произвольная непрерывная функция, такая, что
= max |/(s)| ^ 1. Тогда получим
s€[a,ft]
1И/11 = т,ах,
6 Ь
!et+sf(s)ds = тахе( fesf(s)ds
J i€[a,b] \J
t€[a,6]
a
eb
fes\\f\\ ds ^ eb Iesds = eb(eb - ea).
a a
Следовательно, \\A\\ ^ eb(eb -ea). Если /0(s) = 1, s ? [a, Ь], то
b
\\Afo\\= max fet+sds = eb(eb- e°).
t€[a,b]J
a
Так как ||/0|| = 1, то ||Л|| > eb(eb - e°). В итоге получаем
= е6(е6-е°).
Теорема 4.10. Если пространство W банахово, то и
пространство C(U, W) линейных ограниченных операторов ба-
банахово.
174 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ
Щ Пусть {Ап} — фундаментальная последовательность элемен-
элементов Ап 6 C{U, W). Тогда, согласно определению 4.1, для любого
е > О существует такой номер N(s) ? N, что для любых т > N(e)
и п > N(e) выполнено неравенство \\Ат — Ап\\ < е. Выберем
произвольный элемент и 6 м1 и рассмотрим последовательность
{Anti} элементов Апи 6 W. Она также фундаментальна в
банаховом пространстве W, поскольку, согласно D.26), для
т> N(e) и п> N(e)
\\Ати - Anu\\w = \\{Ат - An)u||w ^ \\Ат - Ап|| \\и\\и < е\\и\\и.
Так как пространство W банахово, то {Лп«} сходится к неко-
некоторому элементу w из W. Любому элементу и 6 м1 поставим в
соответствие единственный (в силу единственности предела по-
последовательности) элемент w € W, который является пределом
последовательности {Апи}, т.е. определим оператор А, удовле-
удовлетворяющий равенству
lim Anu = Аи. D.27)
71->ОО
Оператор А является линейным в силу линейности опера-
операторов Ап и свойств предела в банаховых пространствах [IX].
Покажем, что он ограничен. Из неравенства D.1) имеем
Следовательно, числовая последовательность {||АП||} фунда-
фундаментальна и, значит, является сходящейся [I]. Поэтому {||АП||}
ограничена, т.е. существует такое число с > 0, что ||А„|| ^ с,
п € N. Отсюда, учитывая D.26), имеем ||А„«||уу ^ С11и||м- Пр6"
дел при п —> оо левой части этого неравенства равен ||Ati||w,
поскольку в соответствии с D.1)
|||Anti||w - ||Att||w| ^ \\Апи - Au\\w,
а из D.27) следует, что ||Anti - Au||w -* О ПРИ п ~> °°- Таким
образом, получаем ||Ati||w ^ c||ti||i/, т.е. оператор А ограничен
и Au?{U,W).
4.5. Нормированное пространство линейных операторов 175
Докажем, что оператор А является пределом последователь-
последовательности {Ап} в пространстве ?(li,W), т.е. \\АП — А\\ —i О при
п —У оо. Выберем произвольное число е > 0. Так как после-
последовательность {Ап} является фундаментальной в ?(?/,W), то
\\АП - Ат\\ < е/2 для всех натуральных чисел пит, превыша-
превышающих некоторое число N(s) € N. Для произвольного элемента
и € ?/ и m, n > N имеем
„ - i4m)it||W ^ |Ип - А\\ \Ы\ HI
т\
Так как ||(А„ - Ат)и - (Ап - А)и\\у» = \\(Ат - A)u\\w -)• 0 при
т —> оо, то ||(ДП - Am)-u.||w —у \\{Ап - ^)i*||w ПРИ т —> °°- По-
Поэтому, согласно теореме о предельном переходе в неравен-
неравенстве [I], получаем ||(ДП - A)tt||w ^ Ill^llw- Отсюда находим,
что ||ЛП - Л|| = sup \\{An — A)u\\w ^ ^ < е. Следовательно,
IMI 2
Ап —>¦ А при п —>• оо по норме в C(U,W).
Итак, любая фундаментальная последовательность {Лп}
элементов из C(U,W) сходится к элементу этого пространства.
Следовательно, C(U,W) является банаховым пространством. >
Последовательность операторов {Ап} С ?(W,W) назы-
называют сходящейся поточечно к оператору А, если для любой
точки и?И имеем Апи —>• Аи при п —>• оо по норме в W. Отме-
Отметим, что если последовательность операторов {Ап} С ?(?/,W)
сходится по норме пространства ?(?/,W) к некоторому опера-
оператору А € C(U, W), т.е. ||Д^ — Л|| —>¦ 0 при п—> оо, то она сходится
поточечно к оператору А. Действительно, согласно D.26),
llM-^O, n-юс, иеИ.
Обратное утверждение неверно. Например, рассмотрим
последовательность операторов {Ап} С ?(U,W), U — С[0,1],
W = R, причем
1/п
Апи = п / u(s) ds, и € С[0,1].
176 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ
В силу свойств интеграла с переменным верхним пределом [VI]
для любой функции и 6 С[0,1] имеем
l/n t
lim Апи = lim n / u(s)ds =lim- / u(s)ds =
71-ЮО 71-ЮО J ' t->0 t J
Определим оператор Л: С[0,1] —>• R равенством Аи = и@),
и 6 С[0,1]. Нетрудно показать, что А ? C(U,W). Последова-
Последовательность {Ап} сходится поточечно к оператору А, поскольку
lim Апи = и@) = Аи, и€С[0,1]. Однако последовательность
п—>оо
{Ап} в данном случае не является сходящейся к оператору по
норме пространства C(U,W), т.е. lim ||ЛП — Л|| / 0. Действи-
Действительно, если
f2n2s-l, se[0,l/n2];
Un{S)-\ 1, *€A/п2,1],
то ||ип|| = max |«n(s)| = 1, и при любом п € N
1/п
-Л||= sup
п I un (s) ds —
о
1/п2 1/п
Г , Г
У У
О 1/п2
~
Следовательно, оператор А не является пределом последова-
последовательности {Ап} С ?(W, W).
4.5. Нормированное пространство линейных операторов 177
Сформулируем один из основных принципов функциональ-
функционального анализа — принцип равномерной ограниченности.
Теорема 4.11 (теорема Банаха — Штейнгауза*).
Если последовательность {Ап} операторов Ап 6 ?(U,W) огра-
ограничена в каждой точке и S U банахова пространства И, т.е.
Mu^U ЭА„>0 VneN: \\Anu\\^Ku,
то числовая последовательность {||^4П||} норм этих операторов
ограничена.
Доказательство этой теоремы можно найти, например, в
учебнике Л.А. Люстерника и В.И. Соболева.
Следствие 4.1. Если последовательность {Ап} операторов
Ап € ?(U,W), где U — банахово пространство, поточечно
сходится к оператору A: U —t W, то последовательность {||ЛП||}
ограничена.
< Так как Апи -? Аи при п —i oo, то [IX]
lim ||Anit||w = ||y4it||w, u€U, D.28)
71—?ОО
и числовая последовательность {Ц^иЦ} ограничена для любого
элемента u?U. Поэтому в силу теоремы 4.11 последователь-
последовательность {||ЛП||} ограничена. >
Теорема 4.12. Если U и W — банаховы пространства, а
последовательность операторов Ап € C(U,W) такова, что для
каждого элемента и 6 U последовательность {Лпг1} фундамен-
фундаментальна, то {Ап} сходится поточечно к некоторому оператору
Ae?(U,W).
< Так как {Лпг1} — фундаментальная последовательность, а
W — банахово пространство, то для каждого и?И существует
*Г. Штейнгауэ A887-1972) — польский математик.
178 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ
предел w ? W этой последовательности. Тем самым определен
оператор A:U-tW, где
Аи = lim Anii, и ?14.
В силу свойств предела и линейности операторов Ап € C{U, W)
оператор А линейный. Согласно следствию 4.1, последователь-
последовательность {||Л„||} ограничена, т.е. найдется число М > О, такое, что
||y4nti||w ^ М||и||г^, и ? И, п ? N. Отсюда, переходя к пределу
при п —} оо и учитывая, что в силу условия Апи —> Аи при п —»• сю
справедливо D.28), получаем ||Ли||уу ^ M||ti||i/, u?li. Следова-
Следовательно, {Апи} сходится поточечно к оператору А € ?{U,W). >
Перейдем к изучению операторов, обратных к линейным
ограниченным операторам. Обратный к линейному оператору
А является также линейным оператором. Действительно, со-
согласно D.16), для любых чисел c*i, огг G R
А(ахи\ +<*2и2) = «1 Аих + «2-4^2, щ, и2 ? D(A).
Отсюда при w\ — Аи\, w2 = Аи2 и любых {3\, 02 € R с учетом
определения 4.3 имеем
Л (ftto, +/32w2) - A-1{ClAul+^Au2) =
= Л i4(/Jitti + fcu2) = j9it*i +C2u2 = /3, A~xwx +C2A~1w2.
Множество тех элементов и G D(A) =U, для которых Аи =
= О € W, называют ядром оператора А ? C(U,W) и обозначают
ker Л. Множество ker Л не пусто, так как АО = О и О € кегЛ.
Нетрудно показать, что множество ker Л является линейным
многообразием.
Теорема 4.13. Для любого ограниченного линейного опе-
оператора Л ? ?(W,W) ядро ker Л является подпространством.
•Ц Докажем, что множество ker Л замкнуто в U. Пусть v —
предельная точка множества ker Л. Тогда существует последо-
последовательность {«„} С ker Л, для которой vn —»• v при п —ь оо. Так
4.5. Нормированное пространство линейных операторов 179
как Л — линейный ограниченный оператор, то, согласно тео-
теореме 4.8, он непрерывен. Следовательно, Avn —> Av при п —> оо,
но Avn = О ? W, те е N, и, значит, Ли = О. Итак, г ? ker Л. В
силу произвольности предельной точки v многообразие кет А
замкнуто и ker Л — подпространство. >
Теорема 4.14. Линейный оператор A: U -> W, где М и
W — линейные пространства и Я(Л) = W, взаимно однозначен
тогда и только тогда, когда его ядро состоит лишь из нулевого
элемента, т.е. кет А — {О}.
< Пусть ker Л = {О}, но допустим, что существует элемент
w ? R(Л), имеющий два прообраза u,v ? D(Л), таких что u^v.
Но тогда Аи = w и Av = w. Отсюда следует, что А(и — v) —
= 0 ? W, т.е. существует отличный от нулевого элемент и — v,
принадлежащий кет А. Это противоречие доказывает взаимную
однозначность оператора Л при условии кет А = {О}.
Пусть теперь оператор Л взаимно однозначен. Тогда любой
элемент в W имеет только один прообраз. В частности, элемент
О € W имеет единственный прообраз О ? И, т.е. ядро кегЛ
оператора Л состоит из одного элемента, кет А = {О}. >
Замечание 4.1. Согласно теореме 4.14 и определению 4.3,
для существования у линейного оператора Л ? ?(U, W), Я(Л) =
= W, обратного оператора Л необходимо и достаточно, что-
чтобы кегЛ={0}. #
В функциональном анализе важное место занимает следую-
следующая теорема.
Теорема 4.15 (теорема Банаха об обратном опера-
операторе). Допустим, что U и W — банаховы пространства, а
А ? ?(U,W) — линейный ограниченный взаимно однозначный
оператор, для которого D(A) =Wh ЩА) = W. Тогда обратный
оператор Л ограничен. #
Доказательство теоремы можно найти, например, в учебни-
учебнике А.Н. Колмогорова и СВ. Фомина. Здесь докажем следую-
следующую теорему.
180 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ
Теорема 4.16. Пусть А €?(?/, W) — линейный ограни-
ограниченный оператор и W = R(A). Тогда для существования и
ограниченности в W оператора Л, обратного к оператору
А, необходимо и достаточно, чтобы для некоторой константы
г > 0 для всех и ? U было выполнено неравенство
||y4t*||w^r||t*||M. D.29)
< Необходимость. Пусть оператор А~х существует и
ограничен в W. Тогда в соответствии с D.19) найдется такое
число с > 0, что ||Л-1и()гу ^ c||i>||w, и € W = R(A). Полагая v =
= Аи и г = 1/с, приходим к D.29).
Достаточность. Пусть выполнено D.29). Тогда Аи =
= 0 (Е W возможно лишь при и = 0 € И, т.е. кет А — {0}. Поэтому,
согласно замечанию 4.1, у оператора А существует обратный
оператор А~1. Полагая в D.29) и — A~1v) получаем ЦЛ!?!^^
^ -||u||w) т.е. в силу теоремы 4.7 оператор А~1 ограничен. >
т
Замечание 4.2. Из D.26) и хода доказательства теоре-
теоремы 4.16 следует, что при выполнении условия D.29) для нормы
обратного оператора справедлива оценка
II/T'IK^. D.30)
Пример 4.16. Найдем решение интегрального уравнения
II рода
1
u(t)+ fes+tu(s)ds = w(t), t€[0,l], D.31)
о
где и, w ? С[0,1] — непрерывные на отрезке [0, 1] неизвестная
и заданная функции соответственно. Пусть функция и € С[0,1]
является решением этого уравнения. Обозначим
1
f
eau{s)ds = C{u).
о
4.5. Нормированное пространство линейных операторов 181
Покажем, что число С(и) однозначно определено правой частью
D.31). Подставляя функцию u(t) в D.31), получаем тождество
u{t)+C{u)eb = w{t), t € [0, 1]. D.32)
Умножим обе его части на функцию е4 и проинтегрируем по
отрезку [0, 1]:
1 1 1
/ ebu(t)dt + C{u) e2tdt= / elw(t)dt.
J J J
0 0 0
Отсюда находим
или
Подставив С {и) в D.32), получим, что любое решение уравне-
уравнения D.31) однозначно определено его правой частью:
1
u(t) = w{t)--^-jet+sw{s)ds, * €[0,1]. D.33)
Нетрудно проверить, что верно и обратное утверждение.
Для любой непрерывной на отрезке [0, 1] функции w(t) непре-
непрерывная функция u(t), определяемая равенством D.33), является
решением уравнения D.31).
Заметим, что линейный ограниченный оператор А: С[0,1] —>
—*¦ С[0,1], определяемый в соответствии с D.31) равенством
Ли = го, имеет линейный ограниченный обратный оператор
182 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ
А~1: С[0,1]—>-С[0,1], определяемый в соответствии с D.33) ра-
равенством A~lw=u (линейность и ограниченность операторов
А и А'1 несложно проверить). #
Пусть А € L = ?{U,W) и В е С = ?(W, V), где ?/, V, W —
нормированные пространства. Композиция линейных операто-
операторов Б о Л сохраняет свойства линейности, поскольку для любых
элементов и, v G U и любых чисел Л, /х € R
(В о А)(Аи + /хг) = В{\Аи + nAv) = \{В о А)и + ц{В ° A)v.
Дважды используя D.26), для любого элемента и ?И получаем
Вычисляя при \\u\\u ^ 1 точные верхние грани левой и правой
частей этого выражения и учитывая D.25), приходим к нера-
неравенству
D.34)
для нормы композиции операторов. Таким образом, компози-
композиция В о А является элементом нормированного пространства
C(U,V) линейных ограниченных операторов.
Рассмотрим нормированное пространство C(U) линейных
ограниченных (а значит, согласно теореме 4.8, непрерывных)
операторов, отображающих нормированное пространство U в
себя. Если U — банахово пространство, т.е. U — В, то в силу те-
теоремы 4.10 С(В) также является банаховым пространством. В
С(В) наряду с операциями D.24) сложения операторов и умно-
умножения оператора на число можно ввести операцию умноженил
операторов как их композицию, отображающую В в себя.
Пусть А, В ? С{В). Тогда по определению АВи = (А ° В)и,
и ? В. В общем случае АВи ф В Аи, т.е. умножение операторов
в С{В) не обладает свойством коммутативности. О произве-
произведении АВ говорят, что оператор В умножен слева на А, или
оператор А умножен справа на В. Произведение операторов
4.5. Нормированное пространство линейных операторов 183
А, В ? ?{В), будучи их композицией, ограничено, причем в со-
соответствии с D.34) имеем
|ИВК|И||||в|| и ||ВЛК||Я|||И|| D.35)
(здесь и далее норма || • || определена в С(В)). Таким образом,
если A, Be ?{В), то и АВ, ВА € С{В).
Теорема 4.17. Если Л„, Вп € С(В), n ? N, и lim An =
n-Юо
= А <Е ?{В), lim Bn = B? С(В), то
n—Voo
lim Л„Б„ = АВ. D.36)
п-юо
•Ц Используя D.1) и D.35), запишем
\\AnBn-AB\\ = \\(AnBn-AnB) + (Л„В-АВ)\\ <:
<:\\AnBn-AnB\\ + \\AnB-AB\\<:\\An\\\\Bn-B\\ + \\B\\\\An-A\\.
Поскольку последовательность {Ап} операторов An G С(В) схо-
сходится в банаховом пространстве ?(#), она ограничена. Сле-
Следовательно, числовая последовательность {||ЛП||} также огра-
ограничена. Так как ||ЛП — Л|| -> 0 и \\ВП — ВЦ -> 0 при п -> сю, то
и ||Л„БП - АВ\\ -> 0 при п -> сю, что доказывает утверждение
теоремы. >
Теорема 4.18. Если А € ЦВ) и ||Л|| ^ q < 1, то опера-
оператор I — А ? С{В) имеет обратный ограниченный оператор 5 =
= (/ — А)~1, причем
\\S\\ < у^- D.37)
^ В банаховом пространстве С(В) рассмотрим ряд
>С- D-38)
к=0
184 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ
В силу D.35) и условия теоремы для произвольного к ? N имеем
?*- Ряд
к=0
сходится при q < 1. Поэтому к некоторому элементу 5 G С(В)
сходится и ряд D.38) [IX].
Для частичной суммы
Sn=I+A + A2 + A3 + ...+ An D.39)
ряда D.38) находим
Sn(I - А) = I + А + А2 + ... + Ап -
- А - А2 - ...- Ап - Ап+Х = I - An+i.
Аналогично (/ - A)Sn = 1- An+1. Поскольку ||Ап+Х \\ ^ \\А\\п+х ^
^qn+1, q < 1, то |И"+1|| -»¦ 0 при п -»¦ сю, а значит, Л"+1
стремится при п—Юок нулевому оператору О G С(В). Переходя
в двух последних равенствах к пределу при п —> оо, получаем
5(/ — А) = (/ — A)S = I. В силу теоремы 4.1 заключаем, что
оператор / — А имеет обратный оператор, причем (/ — Л) =
= 5.
Из D.39) с учетом D.1) и формулы для суммы геометриче-
геометрической прогрессии следует
1 _
iD.40)
Переходя в D.40) к пределу при п -> оо и учитывая, что ||Л|| ^
^ q < 1, приходим к D.37). >
Пример 4.17. Рассмотрим интегральное уравнение II рода
ti,/eC[a,b], D.41)
4.5. Нормированное пространство линейных операторов 185
где А'(?,?) — ядро этого уравнения, являющееся функцией,
непрерывной на декартовом произведении отрезка [а, Ь] на себя,
а Л ф 0 — параметр данного уравнения. Представим D.41)
в виде операторного уравнения (/ — А)и = /, где оператор А
преобразует искомую функцию и(?) в функцию
т.е. действует из С[а,Ь] в С[а,Ь], так как v{?) G C[a,b].
Используя свойства определенного интеграла [VI], для функ-
функции v = Аи и любой точки ? ? [а, Ь] находим
6
N01 = \ I K(t,t)u(t)dt
$C|A|(b-a) max |A'(?,?)| max |и(^)|. D.42)
Пусть
9 = |А|F-а) max |tf(?,t)|< 1. D.43)
?,<€[а,Ь]
Тогда с учетом D.42) получим
1И«||с[а,б] = max>(?)| ^ q max |u@| = ?||«||с[а,б]-
Отсюда в соответствии с D.43) и введением нормы оператора
при помощи D.19) следует, что ||Л|| ^ q < 1.
Таким образом, согласно теореме 4.18, существует опе-
оператор S, обратный к оператору I — А, т.е. рассматриваемое
интегральное уравнение при выполнении условия D.43) имеет
единственное решение и° = 5/, причем в соответствии с D.26)
и D.37) ||«о||с[а,б] ^ ||5||||/||с[а,б]^ y^II/IIcm, где
186 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ
4.6. Спектр линейного оператора
Рассмотрим операторное уравнение
Au-Xu = f, или (Л-А/)и=/, и, /ей, D.44)
где А — линейный оператор, отображающий линейное много-
многообразие D{A) банахова пространства В в В, a X — некоторый
числовой параметр. Соответствующее D.44) однородное опе-
операторное уравнение
Аи-Хи = О, или (А- Х1)и = 0 D.45)
всегда имеет тривиальное решение и — О.
Пусть для некоторого фиксированного Л оператор А — XI
имеет обратный (А - Л/) = R\(A), называемый резольвент-
резольвентным оператором (или резольвентой оператора А). То-
Тогда для этого А уравнение D.44) имеет при любом f ? В един-
единственное решение и = R\(A)f, a D.45) — лишь тривиальное
решение и = О. Если в этом случае оператор R\{A) ограничен,
то такое фиксированное Л называют регулярным значением
оператора А.
Если при фиксированном А уравнение D.45) помимо триви-
тривиального имеет решение п ? D(A), п~фО, то такое А называ-
называют собственным значением (или характеристическим
числом), а п — соответствующим этому значению А соб-
собственным элементом (или, в случае функциональных про-
пространств, собственной функцией) оператора А.
Пусть А и п ? D(A) — некоторое собственное значение
оператора А и соответствующий этому А собственный элемент,
а D.44) имеет при некотором / решение и', т.е.
Аи - Хп = О, Аи - Хи' = /.
Складывая почленно эти два соотношения, получаем А(п+и') —
— Х(п + и') = f, т.е. п + и' также является решением D.44).
4.6. Спектр линейного оператора 187
Отсюда видно, что уравнение D.44) в случае собственного
значения А имеет несколько различных решений.
Совокупность всех значений А, не являющихся регулярны-
регулярными, называют спектром оператора А. В частности, все
собственные значения принадлежат спектру. Действительно,
если А — собственное значение оператора А, то ядро операто-
оператора А — А/ содержит наряду с нулевым элементом 0 ? D(A) по
крайней мере один собственный элемент п ? D(A), соответству-
соответствующий этому собственному значению, т.е. кег(Л - А/) ф {О}. Но
тогда, согласно теореме 4.14, не существует оператора, обрат-
обратного к оператору А — XI, и А не является регулярным значением
оператора А.
Отметим, что в конечномерном банаховом пространстве
спектр любого линейного оператора состоит только из соб-
собственных значений. Если линейный оператор А определен в
бесконечномерном банаховом пространстве, то его спектр мо-
может включать:
1) точечный спектр, состоящий из множества собствен-
собственных значений оператора А;
2) непрерывный спектр, содержащий те значения А, для
которых на множестве У С В значений оператора А — XI опреде-
определен обратный оператор (А - А/), причем Y ф В, но замыкание
У=В;
3) остаточный спектр, состоящий из тех значений А,
для которых оператор (А - А/) определен на множестве
Y с В, причем 7 ф В.
В случаях 2 и 3 оператор (Л — А/) может быть неограни-
неограниченным. Таким образом, спектр линейного оператора является
объединением трех непересекающихся множеств: точечного,
непрерывного и остаточного спектров.
Теорема 4.19. Если А — линейный ограниченный опера-
оператор в банаховом пространстве В и |А| > \\A\\, то А — регулярное
значение оператора А.
188 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ
А Из условия теоремы ясно, что А ф 0 и ^_J1 = q < 1. Оператор
А — XI = —А(/ —-) в силу теоремы 4.18 имеет обратный
ограниченный оператор и при этом
что доказывает утверждение теоремы. >
Следствие 4.2. Если А ? С(В) и А — точка спектра
оператора А, то |А| ^ ||>4||, т.е. точки спектра оператора А
принадлежат кругу радиуса ||Л|| с центром в нуле.
Теорема 4.20. Регулярные значения линейного ограничен-
ограниченного оператора А € С(В), действующего в банаховом простран-
пространстве В, образуют открытое числовое множество.
4 Если А — регулярное значение оператора А, то существу-
существует ограниченный резольвентный оператор R\(A) = {А — А/),
определенный на всем банаховом пространстве В. Пусть |ДА| <
< (||Дл(>4)||)~ • Рассмотрим оператор Л-(А + ДА)/, записав
его в виде
А - А/ - ДА(Л - \I)R\{A) = {А- А/)(/ - ДАЯА(Л))-
Для того чтобы существовал ограниченный обратный оператор
(А — (А +ДА)/) , достаточно, чтобы существовал ограничен-
ограниченный обратный оператор (/ - AXR\{A)) . Согласно теоре-
теореме 4.18, ограниченный обратный оператор (/ — A\R\(A))~
существует, поскольку из условия |ДА| < (||Д\(Л)||)~ следует,
что ||ДАЯ\(Л)|| < 1. Таким образом, вместе с А совокупность
регулярных значений оператора А включает окрестность А ра-
радиуса (||Дл(Л)||)~ , т.е. совокупность регулярных значений —
открытое числовое множество. >
4.6. Спектр линейного оператора 189
Следствие 4.3. Спектр линейного ограниченного опера-
оператора А ? С(В), действующего в банаховом пространстве В,
является замкнутым числовым множеством.
•* Спектр оператора А ? С{В) является дополнением множества
регулярных значений, которое, согласно теореме 4.20, откры-
открыто в R или в С. Дополнение же открытого множества всегда
замкнуто [I]. >
Пример 4.18. Пусть в банаховом пространстве С[—тг, тг]
оператор А определен равенством Аи = и(—х), х € [—тг, тг]. То-
Тогда операторному уравнению Аи — Аи = 0 помимо функции
и(х) = 0 при Ai = 1 будут удовлетворять все четные функции
и(х) = и(—х), принадлежащие С[—7г,7г], а при Аг = —1, — все
нечетные функции и(х) — -и(-х) из С[—тг,тг]. Следовательно,
Ai = 1 и Аг = — 1 являются собственными значениями рассма-
рассматриваемого оператора и принадлежат его спектру.
Покажем, что спектр оператора А содержит лишь два соб-
собственных значения Ai = 1 и \2 = —\ и, следовательно, совпа-
совпадает с точечным спектром. Пусть д € С[—тг, тг] — произволь-
произвольная функция из С[—7г,тг]. Операторное уравнение Аи — \и = д
эквивалентно уравнению и(—х) — \и(х) — д(х), х ? [—тг, тг], или
уравнению и(х) - \и(-х) = д{—х), х ? [-тг, тг]. Умножая пред-
предпоследнее уравнение на А и складывая с последним, получаем
A - А2)«(х) = д{-х) + Хд(х), х € [-тг, тг].
Если А^±1, то непосредственной проверкой можно устано-
установить, что резольвентный оператор R\(A) определен равенством
и является ограниченным в С[—тг,тг]. Следовательно, любое
число А ф ±1 является регулярным значением оператора А.
Пример 4.19. В банаховом пространстве С[0,1] равенст-
равенством Аи = хи(х) определен линейный ограниченный оператор А.
190 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРА ТОРЫ
Операторное уравнение Аи - \и = /, где / € С[0,1] — задан-
заданная функция, эквивалентно уравнению хи(х) — Хи{х) = /(х),
х ? [0, 1], где искомой является непрерывная на отрезке [0,1]
функция и{х). При А ? К\[0,1] решение этого уравнения суще-
существует и единственно для любой функции / € С[0,1] и опреде-
определено равенством и(х) = 21^1. Таким образом, при А ? R\ [0,1]
существует ограниченный резольвентный оператор R\{A), и А
является регулярным значением оператора А.
Пусть А ? [0,1]. Если непрерывная на отрезке [0, 1] функция
и(х) является решением уравнения (х — А)и(х) = /(х), х € [0,1],
то при х = А левая часть уравнения обращается в нуль. Следова-
Следовательно, необходимым условием существования решения в этом
случае является /(А) = 0. Таким образом, при А ? [0,1] резоль-
резольвентный оператор R\(A) определен на множестве Уд С С[0,1],
состоящем из функций, равных нулю в точке х = А. Кроме то-
того, можно показать, что оператор R\(A) не ограничен на Уд.
Итак, отрезок [0, 1] является спектром оператора А, причем
остаточным, поскольку Уд ф С[0,1].
,2
Пример 4.20. Дифференциальный оператор А = —-r-z
определен на линейном многообразии D(A) банахова простран-
пространства С[0,1], состоящем из функций и(х), дважды непрерывно
дифференцируемых на отрезке [0, 1] и принимающих значения
и@) = иA) = 0. Операторное уравнение Аи - \и = 0 являет-
является линейным однородным обыкновенным дифференциальным
уравнением (ОДУ)
и" + Хи = 0 D.47)
с постоянными коэффициентами. Если А = 0, то общее решение
этого ОДУ имеет вид и(х) = С\ -ЬСгХ. Из условий и@) = иA) =
= 0 получаем С\ = Сг = 0 и и(х) = 0, х ? [0,1]. Следовательно,
А = 0 не является собственным значением оператора А.
Если А < 0, то характеристическое уравнение для D.47)
имеет корни ±-\/—А € R, а общее решение ОДУ D.47) примет
4.6. Спектр линейного оператора 191
ВИД
и(х) = С\ ехр{х\^Х) + С*2 ехр(-хх/^А).
Так как и@) = иA) = 0, то С\ + С\ = 0 и C1*exp(v/::A) +
+ Cj ехр(—\/—А) = 0. Отсюда находим С* = CJ = 0, так что
А < 0 не является собственным значением оператора А.
Если А > 0, то, решая для D.47) характеристическое уравне-
уравнение, находим его комплексно сопряженные корни ±iw, где ш > 0
и w2 = А. В этом случае общее решение ОДУ D.47) имеет вид
u(x) = Cicoswx + C^sinwx. Из условий и@) = иA) = 0 получаем
С\ — 0 и С\ cosw + C^sinw = 0. Следовательно,
C2sinw = 0. D.48)
Если в D.48) принять С2 = 0, то придем к тривиальному
решению и(х) = 0 ОДУ D.47). Если же положить Ci ф 0, то
из D.48) получим sinw = 0, т.е. ш = kit, k ? N, поскольку ш > 0.
Таким образом, имеем бесконечное множество нетривиальных
решений
Ufc(x) = C2sinb-x, C2GR\{0}, D.49)
уравнения Аи - \и = 0 при А = (ктгJ, к ? N.
Итак, А^ = (&7гJ, fc? N, являются собственными значени-
значениями оператора А, причем каждому из них соответствует од-
одномерное подпространство, состоящее из собственных элемен-
элементов (собственных функций) ид.(х), определяемых соотношением
D.49), и нулевой функции и(х) = 0. #
Рассмотрим спектр вполне непрерывного линейного опера-
оператора А, действующего в бесконечномерном банаховом про-
пространстве В. Такой оператор, будучи непрерывным, в силу
теоремы 4.8 является и ограниченным. Отметим, что для та-
такого оператора нуль будет точкой спектра. Действительно, в
противном случае существует непрерывный линейный опера-
оператор Л: В -> В, обратный к А. Тогда, поскольку А и Л —
непрерывные отображения, оператор А открытый единичный
192 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ
шар переведет в открытое множество из В, обязательно со-
содержащее некоторый замкнутый шар положительного радиуса.
Так как оператор А вполне непрерывен, то этот замкнутый
шар является относительно компактным, из чего следует конеч-
конечномерность В (см. 4.2), а это противоречит первоначальному
условию.
Таким образом, точка 0 € К принадлежит спектру вполне
непрерывного оператора А. Выясним некоторые свойства
точечного спектра такого оператора.
Теорема 4.21. Вполне непрерывный линейный оператор
А в банаховом пространстве В при любом S > 0 имеет лишь
конечное число линейно независимых собственных элементов,
отвечающих собственным значениям, превышающим по моду-
модулю S.
< Предположим противное. Пусть для некоторого 6 > 0 суще-
существует последовательность линейно независимых собственных
элементов уп линейного оператора Л, для которых Ауп = Хпуп
и |An| > S, п 6 N. Согласно теореме 4.2, найдется последо-
последовательность {vn} С В, такая, что для любого номера n? N
справедливы утверждения
n; p(vn,Bn-l)= inf ||t,n-i,||>i D.50)
«GOi I
где Bn — линейная оболочка элементов yk, к = 1, п. Так как
|А„| > <$, то ^ = 1Ы- < 7, т.е. последовательность \~\
II Ап II |Ап| о I. Ап J
ограничена в В. Рассмотрим последовательность {ип}, где
ип = ^(т^)) и € N. Так как vn G Вп, а элементы j/i, j/2> •••,
уп составляют базис в Вп, то
Е
п
(п)
к=1
4.6. Спектр линейного оператора 193
Кроме того, учитывая соотношения Ауь = ХкУк, к=1,п, имеем
71 (п)
a
n (n) n—\ ч
Eak V^ (n) (*k \
А„ ^—' ^An /*
Поэтому для любого номера п ? N справедливо представление
un = vn + zn, где
п-1 »
к=\
Пусть I и тп, I < тп, выбраны произвольно. В силу разложе-
разложений um = vm + zm, где zm € Bm-i, н ui = vi + zi, где z\ ? B{-\ С
С fim_i, имеем у — v\-\-z\ — zm ? Bm-\. Отсюда, учитывая
условия D.50), приходим к соотношениям
\\um - г1(|| = \\vm + zm - vi - zi\\ = \\vm - j/|| > -.
Итак, из последовательности {un}, являющейся при действии
вполне непрерывного оператора А образом ограниченной по-
последовательности {vn}, нельзя выбрать сходящуюся подпосле-
подпоследовательность, т.е. пришли к противоречию, что доказывает
теорему. >
Следствие 4.4. Число линейно независимых собственных
элементов, отвечающих данному собственному значению А ф 0
вполне непрерывного оператора А ? С(В), конечно.
•* Достаточно применить теорему 4.21 для 6= '-^-. >
Следствие 4.5. Для любого вполне непрерывного операто-
оператора. А ? С(В) число собственных значений конечно или счетно.
194 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ
Все собственные значения можно представить в виде конечной
или бесконечной последовательности {Ап}, причем
(собственные значения в этой последовательности повторяются
столько раз, какова размерность собственного подпространст-
подпространства). Если {А„} бесконечна, то А„ -> 0 при п -> сю. #
Спектр вполне непрерывного линейного оператора в банахо-
банаховом пространстве состоит только из точечного спектра и точки
нуль, которая может принадлежать спектру любого вида. Это
утверждение следует из теоремы, которую называют альтер-
альтернативой Фредгольма*.
Теорема 4.22. Пусть В — банахово пространство, А: В —>
-? В — линейный вполне непрерывный оператор и А ф 0. Тогда
для операторных уравнений Аи — \и = / и Аи — Хи — О имеет
место одна из следующих возможностей:
1) однородное уравнение имеет только тривиальное реше-
решение, а А является регулярным значением оператора А. В этом
случае неоднородное уравнение для любого элемента f ? В име-
имеет решение и = (А — А/)/ и притом единственное;
2) однородное уравнение имеет хотя бы одно нетривиальное
решение. В этом случае неоднородное уравнение либо не имеет
решения, либо имеет более одного.
Пример 4.21. Найдем спектр оператора А: С[0,1] —> С[0,1],
действующего по правилу
1
= А{и) <=^> <p(t)= ts2u(s)ds,
Согласно выводам примеров 4.8 и 4.15, оператор А является
вполне непрерывным линейным оператором.
*Э.И. Фредгольм A866-1927) — шведский математик.
4.6. Спектр линейного оператора 195
Если А ф 0 является собственным значением оператора А, то
существует отличное от нулевого решение и ? С[0,1] уравнения
1
t f s2u(s)ds=Xu(t), ? € [0,1]. D.51)
о
Этим решением будет собственная функция, отвечающая А и
имеющая вид u(t) — —, где а ф 0, что следует из D.51), если
обозначить
1
а = / s2u(s)ds.
Подставляя u(t) = — в последний интеграл, получаем уравнение
А
относительно о и А:
о
Решая его, находим a(l — —) = 0. Так как о ф 0, то А = 1/4.
Если функцию u(t) =t подставить в D.51) при А= 1/4, то
получим верное тождество.
Таким образом, единственное собственное значение опера-
оператора А, отличное от нуля, равно 1/4, а собственные функции,
отвечающие этому значению, имеют вид Ct, где С ф 0, и вме-
вместе с нулевой функцией образуют одномерное подпространство
в С[0,1]. Следовательно, спектр оператора А состоит из двух
значений 0 и 1/4, принадлежащих точечному спектру. Соб-
Собственному значению А = 0 отвечает любая ненулевая функция
u(t), t G [0, 1], для которой
t2u(t)dt = 0,
о
например, u(t) = At - 3.
196 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ
4.7. Пополнение нормированного пространства
Если последовательность {ип} элементов банахова прост-
пространства В такова, что любой элемент и ? В можно единствен-
единственным образом представить в виде сходящегося ряда
ап<ип, an?R, D.52)
то последовательность {ип} называют счетным базисом в В.
При этом равенство D.52) называют разложением элемента
и по базису {ип}, а коэффициенты ап в этом равенстве —
координатами элемента и в данном базисе.
Счетный базис является последовательностью линейно не-
независимых элементов. Банахово пространство со счетным ба-
базисом сепарабельно [IX], но не всякое сепарабельное простран-
пространство имеет счетный базис.
Обсуждение математических моделей физических процес-
процессов в части I показывает, что в этих моделях, как правило,
приходится иметь дело с решением операторного уравнения
вида
P(u) = f, D.53)
где Р — некоторый оператор в банаховом пространстве В,
и € D(P), f G ЩР)- На практике элементами банахова про-
пространства являются функции и(х), определенные в некоторой
области V С Кто и удовлетворяющие краевым условиям на гра-
границе 8V этой области. Большинство приближенных методов
решения подобных уравнений основано на построении такой
последовательности {йдг}, что
lim P{uN) = f. D.54)
При этом изучают вопросы, имеет ли последовательность
предел, принадлежит ли этот предел D(P) и является ли он
решением уравнения Р(и) = /.
4.7. Пополнение нормированного пространства 197
Учитывая D.52), можно положить
N
uN = J2°n(N)un, an(N)?R, D.55)
n=l
где функции un ? В, n = 1, N, являются элементами счетного
базиса {un} в банаховом пространстве В.
Если область определения D(P) оператора Р является под-
подпространством и un ? D(P), re € N, то при выполнении условия
D.54) в некоторых случаях (см. 5.2) можно ожидать, что по-
последовательность {им} будет сходиться к искомой функции
uo € D(P), удовлетворяющей D.53). Но если un ? D{P), то и
Un ? D(P), так что выражение P(un) в D.54) не будет опреде-
определено. Поэтому следует использовать такие функции un € D{P),
n € N, которые бы составляли счетный базис {un} в D(P).
Однако D(P) может и не быть подпространством. Тогда
последовательность {?t^} С D(P) может сходиться к элементу
u ? D(P), не являющемуся решением уравнения D.53) в обыч-
обычном смысле. Кроме того, D.53) не имеет решения в D(P), если
/ ^ Я(Р), что характерно для прикладных задач.
Эти трудности можно преодолеть, расширив понятие ре-
решения операторного уравнения. Такое решение, называемое
обобщенным в отличие от классического решения ио €
G D(P), рассматривают в пространстве, получаемом расши-
расширением области D(P) определения оператора F, пополняя ее
некоторыми особыми элементами.
Напомним, что линейные пространства D и D' называ-
называют изоморфными, если существует такое взаимно однознач-
однозначное отображение <р: D —> D', что ф{\и + fiv) — \<р(и) + fi<p(v),
A, /j. ? R, и, v ? D. Такое отображение называют изоморфиз-
изоморфизмом этих пространств.
Определение 4.10. Нормированные пространства D
и D' называют изометричными и говорят, что D' изоме-
трично D (и наоборот), если существует их изоморфизм р как
198 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ
линейных пространств, удовлетворяющий условию
= ||tt||?», и е D. При этом изоморфизм ip называют изомет-
рией.
Определение 4.11. Банахово пространство В называют
пополнением нормированного пространства D, если су-
существует линейное многообразие D' С В, изометричное D и
являющееся множеством, всюду плотным в В (D' = B).
Теорема 4.23. Любое нормированное пространство D име-
имеет некоторое пополнение В. Любые два пополнения В\ и Bi
нормированного пространства D иэометричны.
Ч Две фундаментальные последовательности {ип} и {и'п} эле-
элементов из D назовем эквивалентными и будем писать {ип} ~
~ {<}, если
lim ||<un - <||D = 0. D.56)
n-too
Для отношения ~ из D.56) следуют свойства рефлексивности
({¦«п} ~ {ип}, так как ||ttn - ип\\в = 0), симметричности (если
{ttn} ~ {<}, то {<} ~ {ttn} в силу ||ttn - <||D = |К - un\\D) и
транзитивности: если {ип} ~ {и'п} и {и'п} ~ {и"}, то {ип} ~
~ {tt^}, так как из D.1) имеем
о ^ ж - <||D = ц(«п - О + « - <)||d ^
и после перехода в этом неравенстве к пределу при п —> сю
получаем
lim ||ttn -ti^HD = 0.
п-юо
Следовательно, отношение ~ является отношением эквива-
эквивалентности. Поэтому множество всех фундаментальных после-
последовательностей элементов из D распадается на непересекающи-
непересекающиеся подмножества, каждое из которых составляет некоторый
класс эквивалентности. Множество классов эквивалентности
фундаментальных последовательностей из D обозначим В и
4.7. Пополнение нормированного пространства 199
покажем, что его можно наделить структурой банахова про-
пространства.
Начнем с определения в В операции сложения. Пусть и и
v — классы эквивалентности по отношению, введенному в D.
Выберем из этих классов эквивалентности фундаментальные
в D последовательности {ип} ей и {vn} E v. Нетрудно прове-
проверить, что последовательность {«„ + «„} также фундаментальна
в D. Поэтому она входит в некоторый класс эквивалентности,
который обозначим u + v. Покажем, что определение этого
класса корректно, т.е. оно не зависит от выбора последователь-
последовательностей из классов и и v. Пусть {un} ~ {и'п} и {«„} ~ {v'n}.
Докажем, что {un + vn} ~ {u'n + v'n}. Наряду с D.56) будет вер-
верно и
lim \\vn-v'n\\D = 0. D.57)
n—?oo
Используя D.1), получаем
Переходя в этом неравенстве к пределу при п —> оо и учитывая
D.56) и D.57), имеем
К + «„) - « + <)||о = О,
т.е. {un + vn} ~ {u'n +v'n}, а значит, и {u'n + v'n} e u + v, что
доказывает корректность определения в В операции сложения
элементов.
Введем операцию умножения элементов из В на числа. Если
последовательность {ип} 6 и фундаментальна в D, то легко
проверить, что последовательность {Attn}, где А 6 К, также
фундаментальна в D. Следовательно, она входит в некоторый
класс эквивалентности, который обозначим Аи. Проверим, что
определение этого класса корректно, т.е. оно не зависит от
выбора последовательностей из класса и. Пусть {un} ~ {tt'n}.
200 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ
Докажем, что {Хип} ~ {AuJJ для любого А 6 R. Используя
D.56), находим
lim ||Attn-A<||D = |A| Hm \\ип - u'n\\D = 0,
n—too п—юо
т.е. {Хип} ~ {Au{J, а значит, и {Аи^} 6 Аи, что доказывает
корректность определения в В операции умножения элемента
на число.
Итак, в В введены линейные операции. Так как они опреде-
определены через линейные операции в D, то можно показать, что в
В выполнены все аксиомы линейного пространства. Поэтому В
является линейным пространством. Роль нулевого элемента в
В выполняет класс О, определяемый условием и + 0 = й, и е В.
Представителем этого класса является фундаментальная после-
последовательность, все члены которой равны нулевому элементу
О <Е D. Отсюда, учитывая D.56), получаем, что последователь-
последовательность {ип} <= О тогда и только тогда, когда ||un|| —> 0 при п —> оо.
Введем норму в линейном пространстве В. Для любого клас-
класса эквивалентности и выберем фундаментальную последова-
последовательность {ип} ейи положим
||п||0 = lim IKHd. D.58)
п—юо
Так как в соответствии с D.1)
|||«m||D - ||«п||г>| ^ \\ит ~ Un\\D,
то числовая последовательность {||«п||} в силу определения 4.1
фундаментальна и, согласно критерию Коши [I], сходится к
некоторому пределу. Значение этого предела не зависит от
выбора последовательности из класса и. В самом деле, для
произвольных последовательностей {ип} и {и'п} из класса экви-
эквивалентности и в соответствии с D.1) имеем |||«п||с — |1ип1|о| ^
^ ||«п-«'п||о и, используя D.56), получаем \\u\\D - ||«'п||д -> 0
при п —»• оо, или lim ||u'||d= lim ||«п||о.
n-Voo n-юо
4.7. Пополнение нормированного пространства 201
Для D.58) выполнены аксиомы нормы (см. 4.1). Действи-
Действительно, \\u\\b ^ 0, причем если \\u\\b — 0, то для любой последо-
последовательности {un} 6 и в соответствии с D.58) ||«„||р —»• 0 при
п —>¦ оо. Таким образом, {«„} Е 0, т.е. и = 0. Очевидно и
обратное: если ti = 0, то \\й\\в — 0. Из аксиом нормы имеем
||А«„||о = |А|||«п||о и ||«п + «п||с ^ ||«п||с + ||«п1Ь, где А е R,
{un} 6 и и {«„} 6 и. Переходя в этих соотношениях к пределу
при п—>оо, получаем ||Ай||в = |А| ||й||в и ||tZ + t;||g ^ ||й||в-(-||ю||в.
Таким образом, D.58) определяет в линейном простран-
пространстве В норму, т.е. В является нормированным пространством.
Покажем, что оно включает линейное многообразие D', изоме-
тричное D. Прежде всего убедимся, что существует инъектив-
ное отображение <р, переводящее D в В. Любому элементу u? D
поставим в соответствие класс <р(и) = и' 6 В фундаментальных
последовательностей, которому принадлежит стационарная по-
последовательность {ип} с элементами ип = и 6 D, n 6 N. Ясно,
что эта последовательность сходится к элементу и ? D. Но
если в классе эквивалентности й'бВ хотя бы одна последова-
последовательность {ип} 6 и' сходится к некоторому элементу и 6 D, то
все последовательности этого класса сходятся, причем к этому
же элементу и 6 D. В самом деле, пусть {и'п} ? и'. Тогда с
учетом аксиомы 3 нормы (см. 4.1) запишем
\\и'п - u\\D ^ \\и'п - и„||р 4- ||«n - «||D.
Переходя в этом неравенстве к пределу при п->оои учитывая
D.56), получаем, что ||и'„ — и\\о —> 0 при п —^ оо. Поэтому, если
4>(и) = ip{w) для некоторых u,w 6 D, иф w, то класс экви-
эквивалентности tp(u) состоит из последовательностей, которые
сходятся как к и, так и к ги, что невозможно. Следователь-
Следовательно, отображение ip инъективно.
Из D.58) вытекает, что если и 6 D и и' = <р(и), то
Ив = Н1о. D.59)
Обозначим область значений отображения <р через D'. Соот-
Соответствие ip между элементами и 6 D и классами й' 6 D' С й.
202 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ
удовлетворяющее D.59), является биективным (взаимно одно-
однозначным) отображением D в D'. Это отображение линейно
в силу определения в В линейных операций с классами экви-
эквивалентности, и поэтому D' — линейное многообразие в В, а
отображение <р — изоморфизм между D и D'. В качестве
нормы в D' используем норму в В. С учетом D.59) ||у(«)||о' =
= ||v?(u)I|b = \\u\\d- Согласно определению 4.10, это означает,
что D и D' изометричны.
Итак, множество D' всех классов и', содержащих стацио-
стационарные последовательности, члены каждой из которых равны
соответствующему элементу из D, является линейным много-
многообразием в В, изометричным D. Покажем, что это многообра-
многообразие всюду плотно в В. Выберем произвольное е > 0 и в любом
классе и 6 В рассмотрим некоторую фундаментальную последо-
последовательность {ит} 6 и элементов из D. В силу определения 4.1
фундаментальной последовательности существует такой номер
N е N, что
IK-«-m||D<! D-60)
при т > N и п> N. Зафиксируем номер т > N. Тогда класс
у(«п») = **то 6 ГУ содержит стационарную последовательность,
все элементы которой равны ит. В соответствии с D.58) и
D.60) получим
|t»n ~ «m||D < | < ?¦ D.61)
Это означает, что в любой е-окрестности точки и? В найдется
хотя бы одна точка из D'. Таким образом, согласно определе-
определению 4.2, линейное многообразие D' всюду плотно в В.
Наконец, покажем, что нормированное пространство В яв-
является полным, т.е. банаховым. Пусть задана фундаментальная
в В последовательность {«„} элементов из В. Так как D' всюду
плотно в В, то для каждого ип 6 В можно найти такой элемент
vn e D', что
1
1К-«п||в<-. D.62)
4.7. Пополнение нормированного пространства 203
Тогда, используя D.1), получаем
\\vm - «„||в = ||(um - um) + (un - vn) + (um - un)\\B ^
< — + - + \\um-un\\B. D.63)
m n
Согласно определению 4.1 фундаментальной последователь-
последовательности, для произвольного е > 0 существует такой номер N, что
\\пт — ип\\в < -j при т> N и п > N. Выберем т > max< -, iV \
и п > тах< -, N >. Тогда из D.63) имеем
||»т-»™||в <j + ! + !=e, D-64)
что, согласно определению 4.1, означает фундаментальность
последовательности {«„} в Б. Благодаря изометричности D' и
D каждому элементу vn 6 D' соответствует единственный эле-
элемент vn 6 D, причем в силу фундаментальности последователь-
последовательности {vn} последовательность {vn} также фундаментальна и
ей соответствует некоторый класс эквивалентности v 6 В.
Учитывая D.1) и D.62), запишем
0 ^ ||йп - v\\B ^ \\йп - vn\\B +1|5 - 5п||в < - +1|5 - 5П||В. D.65)
п
Так как \\v - vn\\B = lim ||wTO - ьп\\в, то lim |1«-«п||в = 0.
т-Уоо ГО-+ОО
Переходя в D.65) к пределу при п —> оо, получаем
lim ||йп - и||в = 0,
т.е. на основании D.2) заключаем, что lim tln = v. Это озна-
n-foo
чает, что произвольная фундаментальная последовательность
элементов из В сходится по норме || • \\в к элементу, также при-
принадлежащему В, т.е. нормированное пространство В является
полным (банаховым) пространством (см. 4.1).
204 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ
Таким образом, все условия определения 4.11 выполнены,
а это значит, что В является пополнением нормированного
пространства D. >
Вопросы и задачи
4.1. Доказать, что в функциональном пространстве 14 не-
непрерывно дифференцируемых на отрезке [а, Ь] функций f(x)
можно ввести следующие нормы:
ь
= f\f(x)\dx
J
= / a + max /' * , / 2 = / f(x)\dx+ max If x
хб[о,6] У xe[a,b]
a
Показать, что нормы || • ||] и || • ||2 эквивалентны норме
||/||o = max^ max \f{x)\, max \f'(x)\ i, feU,
т.е. найдутся числа a,, /Jj > 0, i = 1, 2, такие, что
«,-H/llo^ 11/11,-^All/llo, /ew.
4.2. Доказать неравенство Гельдера* для интегралов при
i/p/ ^ \i/9
I / |5(^)|9Л )
V/ /
a a a
4.3. Доказать неравенство Минковского для интегралов при
L L I
1/р
*О. Гёльдер A859-1937) — немецкий математик.
Вопросы и задачи 205
4.4. Показать, что множество Lp[a,b], р ^ 1, функций /,
определенных на отрезке [а, 6], для которых существует ко-
ь
нечный интеграл Лебега f\f(t)\pdt, является нормированным
a
пространством с нормой
4.5. Доказать, что нормированное пространство Ck[a,b]
функций /, имеющих на отрезке [a, b] непрерывные производ-
производные до fc-го порядка включительно, с нормой
к
m»:|/W(*)|, f€Ck[a,bl
является банаховым.
4.6. Доказать, что оператор А: С'[0,1] —> С[0,1], действу-
действующий по правилу tf = Af ^=> <р{х) = -J-, х 6 [0, 1], является
непрерывным.
4.7. Является ли оператор A: U —> С[а,Ь], где U — нор-
нормированное пространство непрерывно дифференцируемых на
отрезке [а, 6] функций с нормой
= max |/(x)|, feU,
хе[а,Ь]
действующий по правилу <p = Af <*=> <p(x) = j-, x 6 [а, 6],
непрерывным?
4.8. Пусть Q[0,1] — нормированное пространство непре-
непрерывных на отрезке [0,1] функций / (с обычными операциями
сложения и умножения на число) с нормой
1/2
206 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ
Доказать, что оператор A: Q[0,1] —»• Q[0,1], действующий по
правилу ip = Af ф=ф- ip(x) = /2(я), х 6 [0, 1], не является непре-
непрерывным, а оператор А: С[0,1] —? Q[0,1], действующий по тому
же правилу, непрерывен.
4.9. Доказать, что оператор А: С[0,1] —> С[0,1], действую-
действующий по правилу
<p=Af
при t 6 [0, 1], является вполне непрерывным.
4.10. Является ли оператор А: С[0,1] —> С[0,1], действующий
по правилу tp= Af <$=> ip(t) = t3f(t), t 6 [0, 1], вполне непре-
непрерывным?
4.11. Выяснить, будет ли вполне непрерывным оператор
А: С![0,1] -> С[0,1], определяемый равенством (Af)(t) =
t e [о, 1].
4.12. Доказать, что оператор A: Lp[a,b] —> Lp[a,b], p
(см. задачу 4.4), действующий по правилу
<p{t) = Jf(t)dt, f?Lp[a,b],
является вполне непрерывным.
4.13. Доказать, что для линейного ограниченного функци-
функционала F:U-tR, определенного в нормированном пространстве
U, норма ||F|| = inf M — inf/С, где М и К, — множества всех чи-
чисел М и К, таких, что |Ftt| ^ M||tt||w для всех и € U и |Ftt| ^ К
для всех и 6 U, удовлетворяющих условию ||tt||^ ^ 1.
Вопросы и задачи 207
4.14. Найти норму линейного функционала F, определенно-
определенного в нормированном пространстве И:
а) F(x) = 2x(l)-x@), x = x(t), x€W = C[-l,l];
б) F(x)= f x(t)Bt-l)dt, x = x(t), x€W = C[0,l];
о
l
в) F{x)= Jtx(t)dt-x(O), x = x(t), xeW = C[0,l];
о
l
r) F(x) = t2x{t)dt, x = x{t), xeW = L2[-l,l];
-l
2
д) F(x)= ft4x(t)dt, x = x(t), xeW=Li[-2,2].
-2
4.15. Доказать, что оператор A: U —? V (U, V — нормирован-
нормированные пространства) является линейным ограниченным, и найти
его норму, если:
t
а) (Au)(t)= u(s)ds,U = C[0,l],V = C[0,l]\
б) (Au)(t) = u(t), U = C[-l, 1], V = С[0,1];
в) (Au)(t) = t2u@), U = С[0,1], V = С[0,1];
г) (Д«)(*) = u(i2), W = С[0,1], V = С[0,1].
4.16. Доказать, что оператор А: С[0,1]—>С[0,1], определя-
определяемый равенством
1
(Ли)@ = u(t) + fts2u(s)ds, t е [0, 1],
о
является линейным ограниченным. Доказать, что существует
оператор Л, обратный к оператору Л, причем этот оператор
также является линейным ограниченным. Найти Л.
208 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ
4.17. Для каждого значения параметра абК найти спектр
оператора А: С[0,1] —У С[0,1], определяемого для любой функ-
функции / 6 С[0,1] равенством {Af){x) = xf(x) + а/@), х 6 [0,1].
Какие точки спектра принадлежат точечному, остаточному,
непрерывному спектрам? Имеет ли этот оператор собственные
функции?
4.18. Доказать, что операторы, определяемые соотношени-
соотношениями D.31) и D.33), являются линейными и ограниченными.
4.19. Доказать, что следующие уравнения имеют единствен-
единственное решение в банаховом пространстве С[0,1]:
4.20. Доказать, что оператор A: Lp[a,b] —У Lp[a,b], действу-
действующий по правилу
ь
f{t)= f K{t,s)<p{s)ds, te[a,b],
где K(t,s) — функция, непрерывная в квадрате [а, б]2, является
вполне непрерывным. Найти спектр этого оператора, если:
а) K(t,s) = ts4, a = 0, 6 = 1;
б) K(t,s) = t-s, o = 0, 6=1;
в) K{t,s) = ts{l-ts), a - 0, 6=1;
sin A;i sin
,
5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ
ПРОСТРАНСТВАХ
5.1. Гильбертово пространство
Бесконечномерное банахово пространство, в котором вве-
введена операция скалярного умножения, индуцирующая норму
этого пространства, называют гильбертовым*. Мы будем обо-
обозначать его, как правило, символом % (по первой букве фами-
фамилии Д. Гильберта). Скалярное произведение элементов и и v
будем обозначать (u,v).
Напомним, что операция скалярного умножения удовлетво-
удовлетворяет следующим аксиомам скалярного умножения (в их фор-
формулировках -и, «, ги — произвольные элементы линейного про-
пространства, а а — произвольное действительное число):
1) (и, v) = (v, и) (симметрия);
2) (u + w,v) = (u,v) + (w,v) (дистрибутивность);
3) (аи, v) = а {и, v) (однородность);
4) (и, и) ^ 0, причем {и, и) = 0 тогда и только тогда, когда
-и = 0 (неотрицательность скалярного квадрата).
В случае комплексного гильбертова пространства аксиома
симметрии принимает вид (и, v) = (v, и).
Норма в гильбертовом пространстве, порожденная скаляр-
скалярным умножением, выражается через скалярный квадрат (и, и):
\\u\\ = у/(и, и). E.1)
Неравенство Коши — Буняковского
/ E.2)
*Д. Гильберт A862-1943) — немецкий математик.
210 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
справедливо для произвольного евклидова пространства, в том
числе и для гильбертова пространства (в последнем случае его
иногда называют неравенством Шварца*). Отметим, что
неравенство Коши — Буняковского превращается в равенство
тогда и только тогда, когда элементы «иг» линейно зависимы,
т.е. один из них может быть получен умножением другого на
число. В частности, это верно, когда хотя бы один из элементов
и, v является нулевым.
С учетом E.1) неравенствоE.2) принимает вид
|<«,*>|<Н||И. E.3)
Пример 5.1. В линейном пространстве X функций, непре-
непрерывных на отрезке [0, 1], скалярное умножение можно ввести
соотношением [IX]
1
</,<?> = Jf(x)g(x)dx, f,geX. E.4)
о
Несложно проверить, что для формулы E.4) выполнены все
аксиомы скалярного умножения. Это пространство, являясь
линейным (см. пример 2.1), будет нормированным. При этом
норма, индуцированная скалярным умножением, определена
соотношением
/ Г \1/2
11/11= [J f2{x)dxj , /GA-.
о
Последовательность функций из X, фундаментальная в
нормированном пространстве X, может не иметь предела в
X, т.е. нормированное пространство X со скалярным умно-
умножением E.4) не является полным (а значит, и гильбертовым).
Например, нетрудно показать, что последовательность {<рп} не-
*Г. Шварц A843-1921) — немецкий математик.
5.1. Гильбертово пространство 211
прерывных на отрезке [0,1] функций <рп{х), рассмотренных в
примере 4.3 (см. рис. 4.1), фундаментальна в X, но не является
сходящейся в X.
Известно*, что гильбертовым является пространство фун-
функций f(x), суммируемых на отрезке [0, 1] с квадратом. Это
пространство обозначают Ь2[0,1]. Скалярное умножение в нем
определяют соотношением
1
(f,g)=ff(x)g(x)dx, f,geL2[0,l], E.5)
о
а норму — соотношением
41/2
f2(x)dxj , /6Z,2[0,l]. E.6)
о
Равенство E.5) аналогично E.4), но теперь интегралы в E.6) и
E.5) следует понимать как интегралы Лебега. Нетрудно убе-
убедиться, используя свойства интеграла Лебега [IX] (они анало-
аналогичны свойствам определенного интеграла), что для E.5) вы-
выполнены все аксиомы скалярного умножения.
Сходимость в среднем квадратичном фундаментальной по-
последовательности {дп(х)} функций дп{х) 6 L2[0,1] к функции
д{х) ? Ьг[0,1] означает, что
1
limoj{9n(x)-g(x)Jdx = 0.
П—НХ)
О
Отметим, что непрерывные, непрерывно дифференцируемые
заданное число раз, кусочно постоянные и измеримые огра-
ограниченные функции (в том числе принимающие на [0, 1] конеч-
конечное число значений) составляют всюду плотные подмножества
гильбертова пространства L2[0,1] [IX]. Поскольку в L2[0,1] cy-
*См., например: Колмогоров А.Н., Фомин СВ.
212 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
ществуют счетные всюду плотные подмножества (например,
многочлены с рациональными коэффициентами), то простран-
пространство L2[0,1] будет сепарабельным. #
Гильбертовым пространством является множество
действительных функций, суммируемых с квадратом на изме-
измеримом множестве Q С R71 [XV]. Скалярное умножение в L2(fi)
вводят соотношением
= Jf(x)g(x)dx,
a
Для этих функций конечен интеграл Лебега
И f\\2 _ / | /V-.\|2 J_
\\J\\ — I \J\X)\ axl
п
который определяет норму в L2(fi).
Обобщением пространства L2(fi) является гильбертово про-
пространство L2(fi,cr) функций, суммируемых с квадратом и с
весом а, где (г(х) — неотрицательная измеримая на П действи-
действительная функция. Для функций из L2(fi,cr) конечен интеграл
= J\f(x)\2<r(x)dx.
п
Скалярное произведение в L2(fi) имеет вид [XV]
(f,9)= f{x)g(x)<r(x)dx, f,g 6 L2(fi,cr).
•J
Гильбертовым будет и линейное пространство L2 (fi) век-
векторных функций /: П —> Rm, определенных на измеримом мно-
5.1. -Гильбертово пространство 213
жестве Q С Кп, для которых конечен интеграл
= J(f(x),f(x))dx,
п
где (•, •) обозначает операцию стандартного скалярного умно-
умножения векторов m-мерного евклидова арифметического про-
пространства. Правило скалярного умножения в L™ (Q) задает
формула [XV]
(f,g) = J{f(x),g(x))dx, /,ffe4
п
Отметим, что в /,2[0,1], L2(fi) и L2m' (п) считают равными
любые две функции, отличающиеся на множестве, для кото-
которого мера Лебега равна нулю (говорят также „на множестве
меры нуль"). Это обеспечивает выполнение аксиомы скаляр-
скалярного умножения (и соответственно нормы), согласно которой
(и, и) = 0 только в случае, если и является нулевым элементом
линейного пространства.
Напомним, что если элементы и к v гильбертова простран-
пространства Ц связаны соотношением (tt, v) = 0, то их называют ор-
ортогональными. В этом случае используют запись tt.Lt> (или
t> J. tt). Если элемент w ? Л ортогонален каждому элементу
tt подпространства М С И, т.е. w А. и, и ? М, то этот эле-
элемент называют ортогональным подпространству М и пишут
w 1M.
Если последовательности {ttn} и {vn} элементов гильберто-
гильбертова пространства Ц по норме сходятся к элементам и и », то
существует предел [IX]
lim (ttn,t>n) = (tt, t>), u,vEW. E.7)
n—foe
Полагая в E.7) сначала vn = v, n G N, а затем v = tt и vn = ttn,
n G N, получаем
lim (ttn,t>) = (tt, t>) и lim ||ttn|| = llttll, E.8)
n—foo n-too
214 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
в частности при » = щиз первого равенства E.8) имеем
lim <«„,«> = <«,«> = Н|. E.9)
п—>оо
Замечание 5.1. Элемент иеЛ, ортогональный множеству
М, всюду плотному в гильбертовом пространстве Л, является
нулевым элементом 71, т.е. и — 0 ? И. Действительно, если
и 1 М и М = W, то существует последовательность {ип} С М,
такая, что ип -> ti при п -> оо, и для любого п ? N имеем
(un,ti) = 0. Тогда
0 = lim (ttn, и) — ( lim ttn, -u) = (и, и) = \\u\\2,
п->оо \п-Юо I
т.е -u = 0. Таким образом, если для некоторого элемента и ? И
при любом v ? М справедливо (tt, t>) = 0, то ti = 0 ? И.
Теорема 5.1. Пусть последовательность {i>aJ b гильберто-
гильбертовом пространстве Ц образует счетный базис. Если для неко-
некоторого элемента и ЕЛ выполнены равенства (и, v^) = 0, к ? N,
то и — 0.
< Множество М всех элементов вида
E.10)
будет всюду плотным в 7i, так как эти элементы образуют
линейную оболочку счетного базиса [IX]. По условию теоремы
(и, t>jt) = 0 при произвольном к ? N. Поэтому с учетом линей-
линейности скалярного умножения, согласно E.10),
к=1 к=1
Отсюда в соответствии с замечанием 5.1 следует, что и — 0. >
5.2. Операторы и функционалы в гильбертовом пространстве 215
В любом сепарабельном гильбертовом пространстве % су-
существует ортонормированный базис [IX]. Напомним схему по-
построения ортонормированного базиса в %. Если И сепарабель-
но, то можно выделить счетное множество М cTi, такое, что
М — %. Располагая элементы из М в виде последовательности
и удаляя из нее все элементы, являющиеся линейными комби-
комбинациями предыдущих, получаем линейно независимую систему
{un} С М, замкнутую в %.
Используя процесс ортпогонализации Грама — Шмидта, эту
систему можно ортонормировать и получить ортонормирован-
ную систему {wk} функций Wk 6 М, к 6 N, причем также замк-
замкнутую в %. Ортонормированная замкнутая система и является
ортонормированным базисом в *H. Отметим также, что эта сис-
система будет полной ортонормированной системой. Для такой
системы справедливо, что в *H нет элемента, кроме нулевого,
ортогонального всем элементам этой системы.
5.2. Операторы и функционалы
в гильбертовом пространстве
Рассмотрим линейный оператор A: D(A) —> И, область оп-
определения D(A) которого является всюду плотным множе-
множеством в гильбертовом пространстве И.
Определение 5.1. Линейный оператор А называют сим-
симметрическим, если для произвольных элементов и, v 6 D(A)
справедливо равенство (Аи, v) — (и, Av), и положительным,
если к тому же (Аи, и) ^ 0 для любого элемента и 6 D(A),
причем (Аи, и) — 0 тогда и только тогда, когда и — 0. При
выполнении неравенства
(Ли,«)^72|Н|2, ueD(A), E.11)
где 7 ф 0, положительный оператор А называют положи-
положительно определенным.
216 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Таким образом, любой положительно определенный опера-
оператор является положительным, а значит, и симметрическим, но
обратное, вообще говоря, неверно. Отметим, что для положи-
положительно определенного оператора А ядро кегЛ = {0}.
Пример 5.2. Рассмотрим оператор А = —j-^ на множест-
множестве D(A) дважды непрерывно дифференцируемых на отрезке
[0,1] функций w(x), удовлетворяющих однородным граничным
условиям
w@) = w(l) = 0. E.12)
Множество D(A) является линейным многообразием в гильбер-
гильбертовом пространстве Z/2[0,1] функций, суммируемых с квадра-
квадратом и определенных на отрезке [0,1]. В самом деле, для любых
функций f{x), g(x) € D(A) и произвольных чисел а, C € R имеем
(af(x)-\-/3g(x)) 6 D(A), поскольку любая линейная комбинация
дважды непрерывно дифференцируемых функций дважды не-
непрерывно дифференцируема, а
если /@) = <7@) = /A) = g(l) = 0. Множество D(A) является
всюду плотным в ?2[0,1] (см. пример 5.1).
Отметим, что если в E.12) хотя бы одно из граничных усло-
условий неоднородное, то множество D{A) уже не будет линейным
многообразием. Пусть, например, вместо E.12) заданы гранич-
граничные условия w@) — 0 и w(l) = 1. Тогда для f(x),g(x) ? D(A)
имеем /A) = <7A) = 1. Можно подобрать такие числа а, /3 ? К,
что (а/A) +0д{1)) = а + 0ф 1, т.е. (af{x) + 0g{x)) ? D(A), a
это означает, что множество D(A) не является линейным мно-
многообразием.
Линейность оператора А следует из свойств линейности
множества D(A) и линейности операции дифференцирования.
Убедимся, что оператор А симметрический. Ясно, что для
функций из D(A) интеграл в E.5) достаточно рассматривать
в смысле Римана. Используя E.5) и интегрируя по частям с
5.2. Операторы и функционалы в гильбертовом пространстве 217
учетом условия вида E.12), для функций u, v 6 D(A) получаем
1 11
(Аи, v) = — I u"vdx = -u'v + / u'v'dx = / u'v'dx =
о
1 1
1 Г
I
= uv 1 - fuv"dx= f u(-v")dx = (u,Av), E.13)
о о
т.е. оператор А — симметрический в D{A).
Из E.13) следует, что
(Aw,w)= (w'Jdx^0, weD(A),
о
причем если (Aw, w) — 0, то w'(x) = 0, х ? [О, 1], а значит, w —
постоянная на отрезке [0, 1] функция, и в соответствии с задан-
заданными граничными условиями имеем w(x) = 0, х ? [0, 1]. Таким
образом, оператор А является положительным в D(A). В при-
примере 5.10 показано, что этот оператор является и положительно
определенным в D(A), т.е. для него справедливо неравенство
E.11), которое в данном случае имеет вид
1 1
(Aw,w)= f(w'Jdx^y2 I w2dx, w e D{A). E.14)
о о
Если расширить область определения оператора А, сняв
граничные условия E.12), то он утратит свойство симметрич-
симметричности. В самом деле, рассмотрим функции и(х) = х и v(x) =
= х(\ — х), которые дважды непрерывно дифференцируемы на
отрезке [0,1], но функция и(х) не удовлетворяет условию E.12).
Тогда вместо E.13) получим
1 1 1
(Аи, v) = ~ / u"vdx = 0, (и, Av) = - I uv"dx= / '.
О 0 0
#
218 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Выясним, каков общий вид линейного ограниченного функ-
функционала в гильбертовом пространстве И. Для такого функци-
функционала справедлива следующая теорема.
Теорема 5.2 (теорема Ф. Рисса*). Для любого линейно-
линейного ограниченного функционала J в гильбертовом пространстве
% существует единственный элемент «G?{c нормой ||и|| = ||«/||,
такой, что
Ju = (it,») G R, tt € U. E.15)
¦^ Рассмотрим ядро kerJ линейного ограниченного функцио-
функционала J, являющегося частным случаем линейного оператора.
Согласно теореме 4.13, ker J является подпространством в 7i.
Если ker J = 71, то J = 0 и равенство E.15) справедливо при
г = О. В случае kerJ ф % существует отличный от нулевого
элемент «о -L ker J [IX]. Тогда для любого и G % выберем эле-
элемент
w = (Ju)v0 - (Jvo)u,
для которого
Jw = (Ju)(Jvo) - (Jvo)(Ju) = 0,
т.е. w € kerJ, и поэтому w X v0, или
(гю, v0) = 0 = (Ju) (v0, v0) - (Jv0) (u, v0).
Отсюда
Jv0
Ju= r(tt, »o>-
( )
При v = \ v°'v° t согласно аксиоме однородности скалярного
(fofo)
(см. 5.1), приходим к E.15).
Если бы существовало два элемента t и t], удовлетворяю-
удовлетворяющих E.15), т.е. Ju = (и, v) = (it, t>i), то в силу дистрибутивно-
*Ф. Рисе A880-1956) —венгерский математик.
5.2. Операторы и функционалы в гильбертовом пространстве 219
сти скалярного умножения для всех и е И было бы (и, v - Vi) =
= 0 и V\ = v (см. замечание 5.1).
Из E.15) с учетом неравенства Коши — Буняковского E.3)
получаем | Ju\ = | (и, v) | ^ ||u|| ||«||, причем неравенство перехо-
переходит в равенство при и = Аи. Отсюда, согласно D.20), находим
1И1= sup \Ju\ = \\v\\. >
Отображение F: С х С -> К, где С — линейное простран-
пространство, называют функционалом, зависящим от двух элементов
линейного пространства L. Функционал J[u, v], зависящий от
двух элементов и, v € L линейного пространства L, называют
билинейным, если при любом фиксированном v он является
линейным по и, а при любом фиксированном и — линейным по
v, т.е. для произвольных действительных чисел а\ и а^
а2и2, v] = аг J[ui,v] + a2J[u2,v],
J[u,
Полагая в билинейном функционале v — и, получаем квад-
квадратичный функционал J[u] = J[u,u]. Этот функционал на-
называют положительно определенным, если для любого ненуле-
ненулевого элемента и е L выполнено неравенство J[u] > 0. Частным
случаем квадратичного функционала является функционал ви-
вида J[u] = {Аи, и), ие D(A) С Н, который, согласно E.11), будет
положительно определенным, если линейный оператор А —
положительный. Квадратичный функционал J[tt] сильно по-
положителен, если существует такое постоянное число к > 0, что
J[u] ^ &||ti||2 для любого элемента и G D(J).
В гильбертовом пространстве % рассмотрим операторное
уравнение
Au=f, E.16)
где А — положительный оператор. Такое уравнение характер-
характерно для линейных задач математической физики.
220 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Теорема 5.3. Если оператор А положительный, то уравне-
уравнение Аи = / имеет не более одного решения в D(A).
М Допустим, что операторное уравнение имеет два решения щ
и г*2, т.е. выполнены равенства
Ащ = f и Axi2 = /.
Вычитая второе равенство из первого и учитывая, что А явля-
является положительным (и поэтому линейным) оператором, полу-
получаем А(и\ — «2) = 0) что равносильно равенству
(Л(tti - «2), («1 - ti2)) = 0.
Отсюда, согласно определению 5.1 положительного оператора,
U\ — «2 = 0, ИЛИ ti( = «2- >
Функционал вида
J[u] = (Au,u)-2(f,u) E.17)
с квадратичным слагаемым (Аи, и) и линейным по ti вто-
вторым слагаемым обычно также называют квадратичным. Связь
между решением операторного уравнения E.16) и точкой мини-
минимума функционала E.17) устанавливает следующая теорема
о квадратичном функционале.
Теорема 5.4. Пусть оператор А, определенный на всю-
всюду плотном множестве D[A) в гильбертовом пространстве 71,
является положительным. Элемент tio € D[A) является реше-
решением уравнения Аи = / тогда и только тогда, когда квадра-
квадратичный функционал J[u] = (Аи, и) — 2(/, и) принимает на «о
минимальное значение в D(A), т.е. J[u] > «/[tio] для любого эле-
элемента « € D{A) \ {ti0}.
< Функционал J[u] определен при всех tt € D(A). Пусть эле-
элемент «о € D(A) удовлетворяет E.16), так что / = Auq. Под-
Подставляя это выражение для / в E.17), с учетом симметрии
5.2. Операторы и функционалы в гильбертовом пространстве 221
и дистрибутивности скалярного умножения (см. 5.1) и симме-
симметричности положительного оператора А (см. определение 5.1)
получаем
J[u] = (Аи, и) -2 (Аи0, и) = (Аи, и) - (Аи0, и) - (и, Аи0) =
= (Аи, и) - (Аи0, и) - (Аи, 1*0) + (Аи0, i*0) - (Аи0, и0) =
= (А(и - 1*0), 1* - i*o> - (Аи0, i*o) •
Следовательно, J[t*o] = — (Аи0, и0), а
J[u] — J[uo] = (А(и - t*0), tt - t*o) ^ 0
в силу положительности оператора А, причем Ju = Ju0 лишь
при 1* = 1*о-
Пусть теперь функционал E.17) принимает минимальное
значение в D(A) на элементе 1*о, т.е.
J[uo + tv]^J[uo], veD(A), teR.
Используя аксиомы скалярного умножения и симметричность
положительного оператора А, получаем
J[i*o + tv] - (А(и0 + tv), t*o + tv) - 2</, 1*0 + tv) =
= (Au0 + tAv, 1*0 + tv)-2 (/, i*0) - 2t (f, v) =
= (Au0, i*o) + 2t (Au0, v) +12 (Av, v) - 2t (f, v)-2 (f, i*0).
При v ф 0 правая часть этого равенства является квадратным
трехчленом по t и при фиксированных i*o, / и v достигает
минимума в точке t — 0. Следовательно,
— J[i*o + H =2<Л«0,«>-2</,ю> = 0,
или (Аи0 - f,v) = 0. Поскольку элемент v G D(A) выбран про-
произвольно и D(A) всюду плотно в И, то, согласно замечанию 5.1,
222 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Аи0 — / = 0, т.е. элемент uq € D(A) является решением уравне-
уравнения Аи = /. >
Пример 5.3. Обыкновенное дифференциальное уравнение
E.18)
E.19)
с граничными условиями
w@) = w(/) = 0,
описывает изменение вдоль жестко закрепленной на концах бал-
балки ее прогиба w(x), вызванного распределенной поперечной
нагрузкой q(x) (рис. 5.1), непрерывной в интервале @,/). Бал-
Балка имеет длину I, модуль Е = const > 0 упругости материала,
а момент 1(х) инерции ее поперечного сечения является два-
дважды непрерывно дифференцируемой на отрезке [0, /] функцией
координаты х, причем 1(х) > 0, х ? [0, /].
w(x)
Рис. 5.1
Задачу E.18), E.19) можно представить операторным урав-
уравнением Aw — q, где оператор
E.20)
определен на множестве D(A) С 1<2[0,/] функций, непрерывных
на [0, /] вместе со своими производными до четвертого поряд-
порядка включительно и удовлетворяющих E.19). Множество D(A)
5.2. Операторы и функционалы в гильбертовом пространстве 223
является линейным многообразием, всюду плотным в гильбер-
гильбертовом пространстве Ьг[0,/] (см. пример 5.1).
Ясно, что оператор А является линейным в силу линейности
операции дифференцирования. Используя E.4) и интегрируя
по частям с учетом E.19), для любых f,g? D(A) имеем
Ш, д) = J(EIf")"gdx = (EIf")'g^ - J(EIf")'g'dx =
о о
= -Elf'g' ' + f EIf"g"dx = f EIf"g"dx. E.21)
о о
Аналогично получаем
/ /
(/, Ад) = Jf(EIg")"dx = JEIf"g"dx,
о о
т.е. линейный оператор А, согласно определению 5.1, является
симметрическим в D(A).
Из E.21) следует, что
(Aw,w)= IEI{w'ydx^0, w^D(A), E.22)
причем если (Aw, w) = 0, то w"(x) = 0 на [0, /]. Отсюда w(x) =
= Ах + В, но, согласно E.19), А = В — 0, а значит, w(x) = 0, т.е.
в соответствии с определением 5.1 симметрический оператор А
является в D(A) положительным.
Квадратичный функционал E.17) в данном случае с учетом
E.22) имеет вид
= (Aw,w)-2(q,w)= f EI(w"Jdx-2 fqwdx E.
23)
224 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
и при заданной функции w 6 D(A) прогиба балки равен удвоен-
удвоенной полной потенциальной энергии этой балки. Первое слагае-
слагаемое в правой части E.23) отвечает удвоенной упругой энергии
балки, а второе — взятой с обратным знаком удвоенной рабо-
работе внешних сил, т.е. заданной распределенной нагрузке q(x). В
связи с этим E.23) обычно называют функционалом энергии.
Это название часто переносят и на общий случай квадратич-
квадратичного функционала E.17).
Пусть г^о € D(A) — решение E.18). Подставляя q = (EIw'q)"
в E.23) и учитывая, согласно E.21), что
f(EIv%)"wdx= fEIw'ow"dx, weD(A),
о
получаем
I t
J[w] = I EI(w"J dx-2 f EIw%w"dx =
о о
= f EI(w"-w'oJdx- f EI(w?Jdx.
Поскольку (w" - w'qJ ^ 0, то функционал J[w] достигает ми-
минимума в D(A) лишь при условии w" — w'q = 0, т.е. при w(x) =
= wo(x) + Aix + В]. Но в силу E.19) Л, = В, = 0, и (как это
и следует из теоремы 5.4) функционал J[w] минимален в D(A)
при w(x) = wo(x), х 6 [0, /].
Элемент г^о € ^(^4), минимизирующий E.23), является ре-
решением уравнения E.18), что следует из теоремы 5.4.
Замечание 5.2. Теорема 5.4 утверждает лишь эквивалент-
эквивалентность задач нахождения решения tt0 € D{A) операторного урав-
уравнения E.16) и поиска элемента и", минимизирующего функци-
функционал E.17). При этом предполагается, что D(A) всюду плотно
5.2. Операторы и функционалы в гильбертовом пространстве lib
в Н. Но нередко возникают ситуации, когда элемент / в E.16)
не принадлежит области R(A) значений этого оператора и ре-
решения E.16) в обычном смысле не существует. Так, в случае
разрывной функции q(x) в E.18) (см. пример 5.3), что харак-
характерно для прикладных задач, это уравнение не имеет решения
в D(A), а значит, и функционал E.23) не достигает минимума
в D(A).
Пусть {«„} — последовательность элементов un ? D(A),
минимизирующая функционал E.17). Эта последовательность,
будучи фундаментальной в D(A), может сходиться к элементу
и* ? D(A). Тогда можно рассмотреть некоторое расширение
функционала E.17). В этом случае
J[u*]= lim {(Ann, tin) -2 (/,«„»,
n—foo
и такой функционал может принимать минимальное значение
в некотором расширенном по отношению к D(A) множестве.1
Элемент и* ? D(A), минимизирующий этот функционал, явля-
является примером обобщенного решения операторного уравнения
E.16) в отличие от его классического решения «о € D(A). Необ-
Необходимость построения такого расширенного множества может
возникнуть, например, в случае, когда в E.16) элемент / не
принадлежит области значений оператора А (/ ^ R{A)).
В более общем случае операторному уравнению
P(u) = f, f€7l, E.24)
с оператором Р, не обязательно положительным, но непрерыв-
непрерывным, не удается поставить в соответствие минимизируемый
функционал. Если «о € D(P) — классическое решение E.24),
то оно при и — «о удовлетворяет равенству
(Р(и), «) = </,«), veil. E.25)
Но E.24) может и не иметь классического решения (например,
при / ^ ЩР)). В этом случае может существовать элемент
226 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
tt» ^ D(P), являющийся пределом последовательности {«„} с
элементами ttn 6 D(P), причем
lim (Р(ип), «) = </,«), «6%.
Такой элемент u» G % называют слабым решением опера-
операторного уравнения E.24). Если tt» G D(P), то слабое решение
совпадает с классическим. Слабое решение можно рассматри-
рассматривать как частный случай обобщенного и для его нахождения
необходимо каким-то образом расширить область возможных
решений уравнения E.24).
5.3. Энергетическое пространство
Пусть на линейном многообразии D(A) С Н, всюду плотном
в гильбертовом пространстве %, задан положительно опре-
определенный оператор А. Определим на D(A) новое скалярное
произведение
(u,v)A = (Au,v), u,v€D(A). E.26)
Нетрудно проверить, что для него выполнены все аксиомы
скалярного умножения. В самом деле, в силу симметричности,
а значит, и линейности положительно определенного оператора
(см. определение 5.1) для произвольных и, v б D(A)
<«. v)a = (Аи> v) = (**> Av) = (Av,u) = <«. u)a .
что доказывает симметричность нового скалярного умноже-
умножения. Аналогично для любых и, v, U\ ? D(A) и а, а\ ? К
(at* + ct] U\, v)A = ( А (аи + a\ «]),«) = (aAu + ai Au\, v) =
= а (Ли, v) + ai (Ли,, v) = a (it, «)л + ax (iti, «)
что доказывает дистрибутивность и однородность нового ска-
скалярного умножения. Неотрицательность скалярного квадрата
и его невырожденность следуют из определения 5.1 и E.26).
5.3. Энергетическое пространство 111
Скалярное произведение E.26) определяет новые норму
~пУ, u € D(A), E.27)
и расстояние
pA{u,v) = \\u-v\\A, u,veD(A). E.28)
Скалярное произведение (и,и)Л и норму \\и\\А обычно
называют энергетическими.
Для положительно определенного оператора А связь между
новой и прежней нормами устанавливает соотношение
||ti||^72||u||2, или ||u|| ^ -\\и\\А, E.29)
7
с той же самой постоянной у фО, что и в E.11).
Квадратичный функционал J[u] = (и, и)А - 2 (/, и) E.17),
или функционал энергии (см. пример 5.3), с учетом E.26) и
E.27) можно записать в виде
J[u] = \\u\\\-2(f,u). E.30)
Пример 5.4. В гильбертовом пространстве L2[0,1] фун-
функций, суммируемых с квадратом на отрезке [0, 1], рассмотрим
оператор А = — -—, область определения D(A) которого явля-
является линейным многообразием дважды непрерывно диффе-
дифференцируемых функций и(х), удовлетворяющих условию «@) =
= ыA) = 0 (см. пример 5.2). В примере 5.10 показано, что этот
оператор положительно определен, а из E.13) и E.26) следует,
что
1
(и, v)A = (Аи, v) = fu'v'dx = (и1, v'), u,v? D(A). E.31)
о
Таким образом, новое скалярное произведение функций из
D(A) совпадает с прежним скалярным произведением их про-
производных. Ясно, что энергетическое скалярное произведение,
228 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
заданное равенством E.31), можно распространить на более
широкое по сравнению с D(A) линейное многообразие, содер-
содержащее, например, функции, имеющие кусочно непрерывную
производную на отрезке [0, 1].
Для новых нормы и расстояния, согласно E.27), запишем
\1/2
2j E.32)
E.33)
/ Г \1/2
u,v) = \\u-v\\A=^J(u'-v'Jdx) .
о
Функционал энергии E.30), заданный на множестве D(A),
в данном случае имеет вид
1 1
J[u]= f(u'Jdx-2 !fudx.
о о
Отсюда видно, что функционал J[u], как энергетические ска-
скалярное произведение E.31) и норма E.33), может быть опреде-
определен на более широком, чем D(A), линейном многообразии. #
Множество D(A) с энергетическим скалярным произведени-
произведением E.26) является евклидовым пространством. Обозначим его
Ua- Из E.29) следует, что если последовательность функций
«п € Ua, n 6 N, является фундаментальной в пространстве На,
то она фундаментальна и в И, а если она сходится к элементу
u?Ua, то, конечно, она сходится к этому элементу и в И, но
обратные утверждения, вообще говоря, неверны.
Последовательность {ип} С ^(^4) может быть фундамен-
фундаментальной в гильбертовом пространстве И (относительно нормы
|| • || этого пространства), но не быть фундаментальной в ев-
евклидовом пространстве На (относительно нормы || • \\а)- Дей-
Действительно, вернемся к примеру 5.4, в котором "К — //г[0> 1]) & —
= — -7-j и D{A) — линейное многообразие дважды непрерывно
5.3. Энергетическое пространство 229
дифференцируемых на отрезке [0, 1] функций и(х), удовлетво-
удовлетворяющих условиям и@) = u(l) = 0. Последовательность функций
un(x) — -sinnirx, n € N, принадлежащих D(A), является фунда-
фундаментальной в //г[0,1], поскольку сходится к функции и(х) = 0:
, 1|2 fs\n2mrx 1
\un\\ = I -—ax ^ —¦ —>• 0 при n —>• oo.
J nz n1
n1
Однако эта последовательность не является фундаментальной
в евклидовом пространстве Ид, поскольку с учетом равенства
E.32) при га€ N
1
IK - «2n|fi = У «(*) - «#2„(*)>2 dx =
О
1 1
= / (тгсовгатга; — ncos2nnxJdx = 7г2 / I —
— 2cosra7ra; cos2ra?ra; H j dx = тг .
В частности, последовательность {un} не сходится по энерге-
энергетической норме, и функция и(х) = 0, х 6 [0,1], не является ее
пределом по энергетической норме.
Нормированное пространство 14а с нормой \\u\\a E.27) не
обязательно будет полным. Пополнение 14а называют энерге-
энергетическим пространством и обозначают 'На- Если же 14а
полное, то оно совпадает с энергетическим пространством, но
этот случай обычно не представляет практического интереса.
Перейдем к более общему случаю, когда нормированное про-
пространство 14а с нормой ||i*||a E.27) не является полным. Вос-
Воспользуемся рассмотренной в теореме 4.23 процедурой построе-
построения пополнения нормированного пространства. Пространство
230 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Ua со скалярным произведением (•, -)А является частным слу-
случаем нормированного пространства с нормой ||и|Ц = у/(и,и)А.
Пополнив Ид как нормированное пространство, согласно те-
теореме 4.23, придем к банахову пространству В, элементами
которого являются классы и эквивалентных фундаментальных
относительно энергетической нормы последовательностей {ип}
элементов из D(A). В силу полноты В это пространство ста-
станет гильбертовым (обозначим его У-а), если в нем операцию
скалярного умножения ввести равенством
(un,vn)A,u,venA, E.34)
где {«„} и {vn} — произвольные последовательности из классов
эквивалентности и и v.
Покажем, что предел в E.34) существует и конечен, т.е.
последовательность {(иП) vn)A} фундаментальна. Используя
неравенство треугольника и аксиомы скалярного умножения
(см. 5.1), запишем
\(um,vm)A-(un,vn)A\ ^
^ \(ит, Vn)A - (Um, Vn)A\ + \(um, Vn)A - (Un, Vn)A\ =
= \(Um,Vm-Vn)A\ + \(um-Un,Vn)A\ ^
KIU- E.35)
Фундаментальные последовательности {мп} и {«„} ограниче-
ограничены, т.е. существует такое с > 0 и такой номер N € N, что
\\ип\\А ^ с и \\vn\\A ^ с при п > N. Тогда при m > N и n > N
будем иметь
\(um,vm)A - (ип, vn)A\ ^ с(||«то - vn\\A + \\ит - 1*„|Ц). E.36)
Таким образом, из фундаментальности {ип} и {«„} следует,
согласно определению 4.1, фундаментальность последователь-
последовательности {{un,vn)A}.
5.3. Энергетическое пространство 2,31
Покажем также, что значение предела в E.34) не зависит
от выбора последовательностей из классов и и v. Выберем
произвольные последовательности {и'п} € и и {v'n} € v. Тогда
аналогично E.35) и E.36) имеем
|<«„, vn)A - «, v'n)A\ ^ \\un\\A\\vn - v'n\\A +
+ \\ип - u'JA \\v'n\\A <C c(\\vn - v'n\\A + IK - <|Ц). E-37)
Так как {un} ~ {«„} и {vn} ~ {v'n} (см. теорему 4.23), то
справедливы D.56) и D.57) в виде
lim ||t»n - <||Л = 0 и lim \\vn-v'n\\A = 0. E.38)
n-юо n-foo
Переходя в E.37) к пределу при п-+оо и учитывая E.38),
получаем
limJ(un,vn)A-{u'n,v'n)A\ = O.
Отсюда с учетом E.34) следует lim (un,vn)A= lim (u'n,v'n)A.
n—?oo n—voo
Для E.34) аксиома симметрии скалярного умножения вы-
выполнена в силу симметрии (•, -)А (см. 5.1), а аксиомы дистрибу-
дистрибутивности и однородности — в силу соответствующих свойств
(¦, -)А и свойств пределов. Ясно, что аксиома неотрицательно-
неотрицательности скалярного квадрата (п, й)-цА > 0 верна, поскольку левая
часть неравенства является пределом последовательности не-
неотрицательных чисел (ип,ип)А. Если й = 0, т.е. й — нулевой
элемент в 71а, то такой класс содержит стационарную последо-
последовательность, все члены которой равны нулевому элементу 0 в
D(A). Поэтому, согласно E.34), (й,й)-ц =0. Обратно, если
0=(й,й)п = lim (un,un)A= lim \\un\\2A,
то это означает, что последовательность {ип} эквивалентна
стационарной последовательности, все члены которой равны
нулевому элементу 0 в D(A), т.е. {ип} € й — 0.
Отождествим элемент и ? D(A) с классом и ? % а, содер-
содержащим стационарную последовательность, все члены которой
232 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
равны и. Тогда можно считать, что D(A) С На, причем
т.е. для любых элементов из D(A) операции энергетического
скалярного умножения, определенные в D(A) и На, совпадают.
Отметим, что из теоремы 4.23 следует, что D(A) всюду плотно
вПА.
Таким образом, для "На выполнены все условия определе-
определения 4.11 пополнения нормированного пространства, т.е. по-
построенное гильбертово пространство "На является пополнением
евклидова пространства Ua-
Замечание 5.3. Описанная процедура пополнения евкли-
евклидова пространства до гильбертова применима для любого (не
только энергетического) евклидова пространства, ф
Из процедуры этого построения следует, что D(A) — Ua С
С У-а, UА — Н-А (замыкание по энергетической норме). Если
рассмотреть евклидово пространство D(A) со скалярным про-
произведением (•, •) гильбертова пространства % и повторить опи-
описанную выше процедуру пополнения (относительно нормы в %),
то получим само гильбертово пространство Л. Поскольку мно-
множество всех фундаментальных последовательностей элементов
из D(A) относительно нормы в % включает множество всех
фундаментальных последовательностей элементов из ^(^4) от-
относительно энергетической нормы, то "На С %.
Теорема 5.5. Если положительно определенный оператор
А определен на множестве D(A), всюду плотном в энергети-
энергетическом пространстве На со скалярным произведением (¦, ¦)А
E.26), то функционал энергии J[u] — (и, и)А - 2(/, tt) E.30)
достигает минимума на элементе и* € "На, однозначно опре-
определяемом равенством
(u\u)A = (f,u), ueUA. E.39)
5.3. Энергетическое пространство 233
А Функционал (/, и) при любом фиксированном элементе / ? Н
является линейным ограниченным в гильбертовом пространстве
Н, причем
.К/, «Ж 11/11 HI, «€W. E.40)
Но при любом и € %л справедливо E.29). Тогда вместо E.40)
можно написать | (/, и) | <С '^- \\u\\a, т.е. этот функционал, если
его сузить на На, будет ограниченным линейным функциона-
функционалом в На- Поэтому, согласно теореме 5.2 Ф. Рисса, существует
такой элемент и* € На, однозначно определяемый элементом
/ € Н, что справедливо E.39). Тогда вместо E.30) получим
т.е. функционал энергии достигает минимума при условии
||tt —и*\\А = 0, что в силу аксиомы 3 нормы (см. 4.1) отвечает
равенству и = и* в На- >
Замечание 5.4. Из хода доказательства теоремы 5.5 сле-
следует, что функционал энергии E.30) имеет в энергетическом
пространстве На единственный минимум, достигаемый на эле-
элементе и* € На, являющемся единственным обобщенным реше-
решением операторного уравнения E.16) с положительно определен-
определенным оператором А.
Напомним, что если и* ? D(A), то элемент и* называют
обобщенным решением операторного уравнения E.16). Если же
и" ? D(A), то элемент и* совпадает с классическим решением
этого уравнения. Если и* fi D(A), то E.16) не имеет классиче-
классического решения и0 ? О(Л). В самом деле, элемент «о, удовлетво-
удовлетворяющий уравнению Аи = /, согласно теореме 5.4, есть точка
минимума функционала E.17), который совпадает с E.30) в
D(A), т.е. должны совпадать элементы и0 € D(A) и и* ? D(A),
что невозможно.
234 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
5.4. Однородное операторное уравнение
Перейдем к рассмотрению однородного операторного урав-
уравнения
Аи-ХВи = О, E.41)
где А и В — симметрический и положительно определен-
определенный операторы соответственно, действующие в гильбертовом
пространстве %, причем D(A) С D(B). Число А назовем соб-
собственным значением этого однородного уравнения, если
при этом А оно имеет решение, отличное от тривиального
решения и — 0. Такое нетривиальное решение называют соб-
собственным элементом операторного уравнения E.41),
соответствующим собственному значению А.
В частном случае В — I, где / — действующий в "К тожде-
тождественный оператор, E.41) переходит в D.45). Напомним, что
в этом случае значение А и соответствующее ему решение D.45)
называют собственными значением и элементом оператора А,
а не операторного уравнения.
Пусть и € D(A) — собственный элемент уравнения E.41),
соответствующий собственному значению А, т.е.
Аи = \вй. E.42)
Если умножить обе части E.42) скалярно на и ? D( А), то из по-
полученного равенства (Аи, и) — \(Вй,и) следует, что в случае
положительного (а тем более, положительно определенного)
оператора А собственные значения А уравнения E.41) поло-
положительны.
Некоторому собственному значению А операторного урав-
уравнения E.41) могут соответствовать несколько линейно неза-
независимых собственных элементов, число которых определяет
кратность этого собственного значения. Собствен-
Собственное значение называют простым, если его кратность равна
единице, а в противном случае — кратным. Если линейная
5.4. Однородное операторное уравнение 235
оболочка собственных элементов, соответствующих некоторо-
некоторому собственному значению А, является замкнутым множеством
в Н, т.е. подпространством (так, в частности, будет при конеч-
конечной кратности А), то говорят о собственном подпростран-
подпространстве операторного уравнения.
Пусть Ив — энергетическое пространство, являющееся
пополнением нормированного пространства D(B) по энерге-
энергетической норме
\\и\\в = у/(и,и)в = у/(Ви,и), E.43)
индуцированной энергетическим скалярным произведением
(u,v)B = (Bu,v). E.44)
Рассмотрим два различных собственных значения Ai и А2 с
соответствующими собственными подпространствами 5] и 52.
Эти подпространства будут ортогональными в Нв, т.е.
(u,v)B = (Bu,v) = (Bv,u) = O, ueSu veS2. . E.45)
Действительно, умножив скалярно обе части равенств
Аи = XiBu, ие Si, и Av = A2Bv, и 6 S2,
на v 6 52 и и 6 Si соответственно, получим
(Аи, v) — Xi (Bu, v) и (Av, и) = А2 (Bv, и).
В силу симметричности оператора А имеем (Аи, v) — (Av, и).
Поэтому Ai (Bu, v) = А2 (Bv, и), или (Ai — А2) (tt, v)B = 0. По-
Поскольку Ai ф А2, то приходим к E.45).
Предположим, что у уравнения E.41) все собственные значе-
значения простые, а их множество счетно. Тогда набор собственных
236 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
значений можно представить в виде возрастающей последова-
последовательности {А„}. Пусть каждому из этих собственных значений
А„ отвечает одномерное собственное подпространство Sn, со-
содержащее собственный элемент vn 6 Sn, га € N. Тогда в соответ-
соответствии с E.45) будем иметь (vm, vn)B = О при тфп, т.е. система
{«„} ортогональна в энергетическом пространстве Ив- Если
эта система к тому же является полной в %в, то °на будет в
"Нв счетным базисом.
Ясно, что если vn — собственный элемент уравнения E.41),
соответствующий собственному значению А„, то wn = г—^г—
||»п||в
также является его собственным элементом, соответствующим
А„. Если система {«„} полна в Ив, то система {wn} собствен-
собственных элементов wn будет в "Нв ортонормированным базисом,
т.е. (wm, wn) = 0 при тфп и \\wn\\ = 1, га € N. В этом случае
любой элемент и € D(A) можно представить в Кв рядом Фурье
E.46)
с коэффициентами ап = (и, wn)B = (Bu, wn). Согласно равен-
равенству Парсеваля, получим
оо
Нв = <«, «>в = <Я«, «> = XX- E-47)
п=1
Отметим, что ряд в E.46) сходится не только в %в, но и в
И, поскольку для нормы в "К справедливо неравенство ||и|| $С
^7||«||в, 7>0.
Для фиксированного N 6 N и произвольного и 6 D(A) с уче-
учетом равенства Awn = \nBwn, n 6 N, а также симметричности
операторов А и В и линейности скалярного произведения имеем
N N N N
{Аи, ^2anwnJ = Y^an (и, Awn) = ^2ап (и, Bwn)Xn = ^a2n\n.
n—l n=l n=l n=l
5.4. Однородное операторное уравнение 237
Отсюда при N —t оо в силу непрерывности скалярного произ-
произведения, используя E.46), получаем
a2n\n. E.48)
71=1
Замечание 5.5. Любой собственный элемент и уравнения
E.41), соответствующий собственному значению А, является
собственным и для уравнения
(А + сВ)и = ХВи, E.49)
где с 6 R, но будет соответствовать собственному значению
А(с) = А + с. Действительно, подставляя в E.49) и и А(с) вместо
и и А соответственно и учитывая E.42), приходим к тождеству.
Таким образом, путем выбора константы О 0 можно добиться,
чтобы в неубывающей последовательности {А„(с)} собственных
значений Ап(с) уравнения E.49) наименьшее из них было бы
положительным, т.е. \\{с) > 0, а оператор А + сВ в E.49) —
положительно определенным. В самом деле, используя E.47) и
E.48), при Aj(c) >0 запишем
п=\ п=1
Но для положительно определенного оператора В верно нера-
неравенство (Ви, и) ^ 72||ttl|2- Поэтому при выполнении условия
Ai(c) > 0 оператор А + сВ будет положительно определенным.
Нахождение собственных значений и соответствующих им
собственных элементов операторного уравнения составляет со-
содержание задачи на собственные значения. Эти задачи
для E.41) с симметрическим оператором А и для E.49) с по-
положительно определенным оператором А + сВ эквивалентны в
том смысле, что собственные значения связаны простым соот-
соотношением Ап(с) = А„ + с, п € N. Поэтому без потери общности
238 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
примем, что оператор А в E.41) является положительно опре-
определенным. Тогда наряду с энергетическим пространством ~Нв
можно ввести энергетическое пространство Ид с энергетиче-
энергетической нормой ||u||^ = (it, u)A = (Аи, и), в котором система {wn}
будет ортогональной:
(wm, wn)A = (Awm, wn) = Am {Bwm, wn) =
= Xm(wm,Wn)B = \rn5mn. #
Важные свойства собственных значений для операторного
уравнения E.41) с положительно определенными операторами
А и В устанавливает следующая теорема.
Теорема 5.6. Пусть все собственные значения однород-
однородного операторного уравнения Аи — ХВи = 0 E.41) образуют
возрастающую последовательность {Ап}, а соответствующие
собственные подпространства Sn одномерны. Тогда для лю-
любого собственного значения этого уравнения с положительно
определенными операторами А и В справедливы равенства
(Аи, и) . (Аи, и) , .
Xi= mm ) ;, An= mm ) (, n > 1, E.50)
u€D(A)\{0} (Bu, u) u€Wn (Bit, It) V ;
где Un — множество ненулевых элементов из D(A), ортогональ-
ортогональных в Kb собственным элементам Wk, к= 1,п—1, т.е. удовле-
удовлетворяющих условиям (Bu, Wk) = 0. При этом минимум в E.50)
достигается тогда и только тогда, когда it — любой элемент,
принадлежащий собственному подпространству Sn уравнения
E.41), соответствующему Ап.
4 Рассмотрим сначала в E.50) случай п= 1. Используя E.47)
и E.48), запишем
(Ви,и)~ g
п=1
5.4. Однородное операторное уравнение 239
причем равенство возможно лишь при условии an — 0, п > 1.
Но тогда, согласно E.46), u — a\W\ 6 Si, т.е. минимум в E.50)
может быть достигнут только на элементе, принадлежащем
одномерному собственному подпространству Si, соответству-
соответствующему собственному значению Ai.
При п > 1 для элемента u € Un С D(A), удовлетворяющего
условиям теоремы, в E.46) коэффициенты ак — (и, гид.) = 0, к =
= 1, п-1, так что
оо
^2 E.51)
к=п
Тогда, снова используя E.47) и E.48), запишем
причем равенство возможно лишь при ак — 0, А; > п, т.е., со-
согласно E.51), минимум в E.50) может быть достигнут только
на элементе и = anwn € Sn, принадлежащем одномерному соб-
собственному подпространству Sn, соответствующему собствен-
собственному значению Ап. >
Теорема 5.6 устанавливает свойства собственных значений
уравнения E.41) в предположении, что они существуют. Рас-
Рассмотрим частный случай E.41), когда В = I. Тогда эта теорема
устанавливает условия существования последовательности {А„}
собственных значений Ап положительно определенного опера-
оператора А и полноту системы {го„} соответствующих им собствен-
собственных элементов го„. В этом случае собственные элементы опера-
оператора А можно рассматривать как нетривиальные обобщенные
решения го„ операторного уравнения Аи = Antt в энергетиче-
энергетическом пространстве Мл- Равенство Avin = Xnwn справедливо
тогда и только тогда, когда
(го„, и)А = Ап (го„, it), иеЯА- E.52)
240 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Теорема 5.7. Пусть любое множество элементов и € На
энергетического пространства На положительно определенно-
определенного оператора Л, ограниченное по энергетической норме \\u\\a —
= (Аи, и), является относительно компактным в гильберто-
гильбертовом пространстве Н. Тогда этот оператор имеет неограничен-
неограниченную неубывающую последовательность {Ап} положительных
собственных значений АП) а соответствующие им собственные
элементы wn € На образуют систему {wn}, полную как в На,
так и вН.
М Рассмотрим ограниченный снизу функционал
J! И1>0) El53)
и обозначим через Ах его точную нижнюю грань, причем Ai ^
^ 72 > 0) гДе 72 — константа в неравенстве (Аи, и) ^ 72||'ul|2 Для
положительно определенного оператора Л. Сначала докажем,
что существует элемент W\ € На, для которого Jo[i"i] = A^
По свойству точной нижней грани для любого m 6 N можно
найти такой элемент ит ? На, что
Переходя в неравенстве Ai ^ ./o[i*m] ^ Ai + 1/m к пределу при
т-> оо, находим
lim J0[«m]= Нт „^ =Х\. E.54)
т-К» т-Юо ||ltm||''
В неравенстве
«А)[ит + ^Ч*] = -jt —По ^ ^Ь Ч^ёТ^д, t € R,
||itm + 1ч*||
заменим квадраты норм скалярными произведениями и запи-
запишем
(ит + tu, um + tu)A ^ \х (ит + tu, ит + tu) ,
5.4. Однородное операторное уравнение 241
или, используя свойства скалярного умножения,
12{\\и\\\ - AjIHI2) + 2t((um, u)A - Ai (um, u)) +
+ \\um\\A-Xl\\um\\2^0.
Если квадратный трехчлен относительно произвольного t ?R
не меняет знака, то его дискриминант неположителен, т.е.
(<«т, ™>Д - Al (Um, It)J ^
= \\u\\l ^U-xA\\um\\2
^ \\щ\а{\\"тп\\а - Aiii«mir; = ниц*yjr^Y - ^j \\u™
Очевидно, что зто неравенство справедливо и для элементов
vm = ttm е ~На последовательности {vn}, т.е.
| ym||^-Ai. E.55)
При этом ||ют||д ^ Ai. Равенство E.54) запишем в виде
lim J0[um]= lim Jo[wm||«m||] = lim ЦющЦ^Аь E.56)
m—foo то—foo m—foo
Положим u = vm — Vk и подставим в E.55):
Меняя в этом неравенстве местами индексы так, запишем
\(vk, vk - vm)A - A! (vk, vk - vm)\
Сумма левых частей этих неравенств с учетом неравенства
треугольника дает
|(»т. »г» - Vk)A - Ai (vm, Vm - Vk)\ +
+ |(»fe, Wfe - »т)д - Al (Vk, Vk -Vm)\2
> \{vm-vk)vm-vk)A- Xi(vm-vk,vm-vk)\ -
242 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Итак, после почленного сложения упомянутых неравенств по-
получаем
^ IK. - vk\\A(y/\\vm\\\ -X1 + y/\\vk\\\ - Ax). E.57)
Согласно E.56), последовательность {vm} ограничена по
энергетической норме, т.е. ||t>m|U <с = const, m € N. Значит,
в соответствии с неравенством треугольника \\vm — г^Щ $С
^ \\vm\\A + \\vk\\A < 2с. Из E.57) с учетом E.56) вытекает,
что для произвольно выбранного числа е > 0 существует такой
номер Ni, что при к > т > N\ справедливо неравенство
' \- E-58)
По условию теоремы ограниченное по норме || • \\а множество
элементов vm € На относительно компактно в Н, т.е. из лю-
любого подмножества этого множества можно выделить последо-
последовательность, сходящуюся по норме || • ||. Такую подпоследова-
подпоследовательность обозначим {wm}. Тогда {vm} является фундамен-
фундаментальной последовательностью в Н, и поэтому для выбранного
числа е > 0 существует такой номер N2 > N\, для которого
\\vm - Vk\\ < tj- при к > т> N2. Но из неравенства E.58) вы-
вытекает, что ||t>m — Vk\\A < ? при к > т > N2, т.е. последователь-
последовательность {vm} фундаментальна в На и в силу полноты На сходит-
сходится к некоторому элементу w\ € На, так что \\vm - w\\\a ->0 при
т —> оо. Поскольку \\vm — W\\\a ^ l\\vm — ¦"'lib то эта последо-
последовательность сходится к тому же элементу w\ и в Н. Так как
||ют|| = 1 и ||г>т||д ^ А],тос учетом E.56) имеем
||u>i||= lim ||t>ml| = 1 и ||u>i||^ = lim ||t>m||4 = Ai,
т.е. J0[w\] = Xi.
Покажем теперь, что элемент w\ € На является обобщен-
обобщенным решением операторного уравнения Аи = Aiu в энергети-
энергетическом пространстве На- Полагая в E.55) vm = vm, при т —> оо
5.4. Однородное операторное уравнение 243
с учетом E.56) и vm —>¦ w\ как в Ла, так и в И, находим
(wuu)A = Xi(wuu), иеЛл, E.59)
что совпадает с E.52) при п= 1. Таким образом, ненуле-
ненулевой элемент w\ ? Ла является нормированным собственным
элементом оператора Л, соответствующим собственному зна-
значению \\.
Если Лию — собственное значение и соответствующий ему
собственный элемент оператора Л, то справедливо неравенство
Т 11»11 И1л_ х
М|2
поскольку Aj по предположению является точной нижней гра-
гранью функционала E.53). Следовательно, Лг является наимень-
наименьшим собственным значением оператора А и оно положительно.
Обозначим теперь через Лг точную нижнюю грань функци-
функционала Jq[u] при дополнительном ограничении (и, W\) = 0. Это
ограничение сужает множество элементов и 6 Л а, на котором
следует искать минимум в E.53). Поэтому Л2 ^ Ар Повто-
Повторяя с учетом дополнительного ограничения предшествующие
рассуждения, можно установить, что Аг является вторым соб-
собственным значением оператора А и что этому значению со-
соответствует нормированный собственный элемент гиг, ортого-
ортогональный W\.
Продолжая этот процесс, построим неубывающую последо-
последовательность положительных собственных значений А„, п 6 N,
и соответствующую им последовательность {i^n} нормирован-
нормированных собственных элементов wn оператора А. В общем случае
в последовательности {А„} некоторые элементы могут совпа-
совпадать, т.е. соответствующее им собственное подпространство
оператора А может быть неодномерно, причем собственные
элементы с этими номерами образуют в нем ортонормирован-
ный базис, если оно конечномерно.
Это подпространство не может быть бесконечномерным,
поскольку А„ —)¦ оо при п —)¦ оо. Докажем это от противного.
244 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Допустим, что последовательность {А„} ограничена, т.е. Л„ <С
<; Л2 = const, п € N. Тогда для любого номера п € N из E.52)
при и = wn € %a имеем
(wn, wn)A = \\wn\\2A = \n(wn, wn) = Ап||ги„||2 = An,
т.е. ||гип||д = л/\,, $С Л. Таким образом, элементы последователь-
последовательности {wn} образуют в %а ограниченное по энергетической
норме множество, которое по условию теоремы компактно в
Н, т.е. из любой части этого множества можно выделить сходя-
сходящуюся в % подпоследовательность, которую обозначим {wm}.
Она фундаментальна в К, и поэтому \\wm - Wk\[2 < 1 для доста-
достаточно больших номеров тик. Но это невозможно, поскольку
собственные элементы wm ортонормированы вКи
\\wm - wk\\2 = (wm - wk, wm - wk) =
= ||um||2 - 2(um, wk) + \\uk\\2 = 2.
Отсюда следует, что An —> со при п —> оо.
Покажем, что система {wn} ортогональных в %а собствен-
собственных элементов оператора А полна в Нд, т.е. является в %а
счетным базисом. Любое собственное значение А„ является
точной нижней гранью функционала Jq[u] на множестве эле-
элементов u € Hai удовлетворяющих дополнительным ограничени-
ограничениям (u, Wk) = 0, к = 1, п-1. Если бы система {wn} была неполна
в %Ai то нашлись бы отличные от нулевого элементы, ортого-
ортогональные в На всем wn. Обозначая через А точную нижнюю
грань Jq[u] на указанных ненулевых элементах, из предыду-
предыдущих этапов доказательства этой теоремы получаем, что А —
собственное значение оператора А, большее любого An, n G N.
Но это невозможно, поскольку Ап -4 оо при п —\ оо.
Система {wn} собственных элементов wn €E %а оператора А
полна ивЯ. Действительно, энергетическое пространство %а
шире области D(A) определения оператора Л, всюду плотной в
Н. Поэтому На также всюду плотно в %. Для произвольных
е > 0 и / G К выберем элемент д G На так, чтобы выполнялось
5.4. Однородное операторное уравнение 245
неравенство ||/ — д\\ < -. Для этого элемента выберем такую
линейную комбинацию bit^i + b2W2 + ... + b^w^ с коэффициен-
коэффициентами bn € К, п = 1, N, что выполняется условие
N
п=1
где 7 > 0 — константа в неравенстве ||и||д ^ т|1и11* Тогда,
используя неравенство треугольника, можно записать
N N
п=1 п=1
N , N
n=l n=l
Итак, для произвольного е > 0 существует линейная комбина-
комбинация элементов системы {wn}, которая отличается от / по норме
пространства % меньше чем на е. Это означает, что система
{wn} собственных элементов оператора А является замкнутой
в %. Но замкнутость ортонормированной системы в гильберто-
гильбертовом пространстве равносильна ее полноте [IX]. Значит, система
{wn} полна в Н. Она также полна и в На, поскольку На С Н. >
Если положительно определенный оператор А удовлетворя-
удовлетворяет условию теоремы 5.7, то говорят, что он имеет дискрет-
дискретный спектр. Можно показать*, что эта теорема верна, если
оператор А симметрический и положительный, а для общего
случая операторного уравнения E.41) она имеет следующую
формулировку.
Теорема 5.8. Пусть положительно определенные операто-
операторы А и В в гильбертовом пространстве Я таковы, что любое
множество элементов энергетического пространства На, огра-
ограниченное по энергетической норме || • \\а, является относительно
*См.: Михлин С.Г., 1970.
246 5, ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
компактным в энергетическом пространстве Нв- Тогда соб-
собственные значения уравнения E.41) образуют неограниченную
неубывающую последовательность {А„} положительных чисел,
а из собственных элементов этого уравнения можно сформиро-
сформировать систему {«„}, полную как в Нд, так и в
5.5. Уравнения с вполне непрерывными
симметрическими операторами
Пусть % — гильбертово пространство, а Л — вполне
непрерывный симметрический оператор, действующий в %.
Рассмотрим операторные уравнения
Au-Xu=f E.60)
и
Аи-Хи = 0. E.61)
В случае конечномерного евклидова пространства для любого
симметрического оператора существует ортонормированный
базис, состоящий из собственных векторов данного оператора,
и решение уравнений E.60) и E.61) при их записи в этом базисе
не вызывает затруднений. В бесконечномерном пространстве
для произвольного линейного симметрического оператора та-
такое утверждение сделать нельзя. Однако если оператор к тому
же является вполне непрерывным, то аналогичное утвержде-
утверждение можно сделать и в случае бесконечномерных пространств.
Итак, выясним свойства собственных элементов и собствен-
собственных значений симметрического вполне непрерывного оператора
в гильбертовом пространстве.
Теорема 5.9. Если А — симметрический линейный огра-
ограниченный оператор в гильбертовом пространстве Н, то наи-
наименьшее число С ^ 0, для которого выполнено неравенство
\(Аи,и)\^С\\и\\2, иеН, E.62)
равно ||Л||
5.5. Уравнения с вполне непрерывными операторами 247
4 Если наименьшее число, для которого выполнено неравен-
неравенство E.62), обозначить С а, то, имея, согласно D.26) и E.2),
неравенство
\(Au,u)\^\\Au\\\\u\\^\\A\\\\u\\2,
приходим к соотношению С а ^ |И||- Отметим, что последнее
неравенство справедливо для любого ограниченного оператора
в Я.
Для симметрического оператора А и любых u, v, w € Ti
имеем (А2и, и) = (Аи, Аи) и
(A(w + v), w + v) — (A(w — v),w — v)= (Aw, w) + (Av, w) +
+ (Aw, v) + (Av, v) - (Aw, w) + (Av, w) + (Aw, v) - (Av, v) —
Положив w = Xu, v = (I/A) Аи, А ф 0, получим
(Aw, v) = (a\u, jAu\ = \\Au\\2.
Используя E.62) и равенство параллелограмма [IX], имеем
-Au)-
А /
(А[Хи - —Аи), Хи - -Аи) ^ -Сa A-U+ т
4 \ V А/ А/4 II А
+ \сА\Хи - ^Ли||2 = l-CA
Для произвольного и ф 0 положим А = ^/ЦЛ-иЦ/Ц-иЦ. Тогда
||Ли||2 ^ Сд||Ли||||и||, откуда \\Au\\ ^ Сд||и||. Следовательно,
1И11 ^ Са- Имея ранее полученное неравенство С а
заключаем, что ||Л|| —Са- >
248 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
В предыдущей главе (см. 4.6) рассмотрены свойства спек-
спектра вполне непрерывного оператора в банаховом простран-
пространстве. Все отличные от нуля точки спектра для такого операто-
оператора являются собственными значениями. Однако существование
отличных от нуля собственных значений не гарантировалось.
Если вполне непрерывный оператор в гильбертовом простран-
пространстве У. является к тому же симметрическим, то он всегда имеет
ненулевое собственное значение.
Теорема 5.10. Всякий вполне непрерывный симметриче-
симметрический линейный ненулевой оператор А имеет хотя бы одно от-
отличное от нуля собственное значение Л, причем |Л| =
4 Согласно теореме 5.9, имеем
sup ||
ни
Обозначим через С левую часть записанного неравенства. Тог-
Тогда С — это наименьшее из всех чисел, для которых | (Аи, и)\^.
^ С при ||«|| = 1. Пусть v — произвольный элемент, отличный
от нуля. Тогда для и = v/\\v\\ имеем
v
и ' м и
v\\ \\v\\
или |(Лг>,г>)| ^ С||г?||2. Согласно теореме 5.9, С^ \\A\\. Таким
образом,
ИИ
причем ||Л|| > 0, так как А ф 0. В силу свойств точной верх-
верхней грани существует последовательность {ип} С Л, такая,
что ||un|| = 1, п е N, и | (Аип, ип) | -)¦ \\A\\ при п ->¦ оо. Из по-
последовательности {«„} можно выбрать подпоследовательность
{и"/Ль=1> Для которой (АиПк,иПк) -* \ при к -4 оо, причем А
равно либо ||.4||, либо —|
5.5. Уравнения с вполне непрерывными операторами 249
Обозначим vk = иПк, к € N. Тогда, учитывая равенство
\\vk\\ = 1, к G N, имеем
О <С \\Avk - \vk\\2 = \\Avk\\2 - 2Л (Avk, vk) + Л2. E.63)
Поскольку
2\(Avk,vk)-\2$\\Avk\\2^\\A\\* 2
lim (Avk, vk) = A,
существует lim ЦЛю^Ц = А. Переходя к пределу в E.63) при
к—Юо
к —>оо, получаем
lim ||Лю*-Аю*||2 = 0,
fc-+oo
или
Лг?^ — Аг)^ —> 0 при к -> схэ. E.64)
Так как оператор Л вполне непрерывный, а последователь-
последовательность {«л} ограничена в 71, то последовательность {Ли&} обра-
образует множество, относительно компактное в %. Поэтому из
нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность {Avkm}-
Учитывая E.64), имеем сходимость последовательности {vkm}-
Обозначим ее предел v. Тогда Avkm -> Av при т -> оо, причем
|Ы| = lim ||«fc II = 1. Согласно E.64) Av — Аи, v ф 0, т.е. А —
собственное значение оператора А и |А| = ||Л||. >
Согласно теореме 4.21 и ее следствиям, вполне непрерыв-
непрерывный симметрический оператор в гильбертовом пространстве
Л имеет конечную или счетную последовательность {А„} соб-
собственных значений Ап ф 0, п G N, где каждое из них повторяется
столько раз, какова размерность собственного подпространст-
подпространства оператора (все его собственные подпространства конечно-
250 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
мерны), причем
|Ai| ^ IA2I ^ ... ^ |АП| ^ |An+i| ^ ... и lim An = 0,
п—Юо
если последовательность {Ап} бесконечна. В силу теоремы 5.10
и следствия 4.2 \\A\\ = |Ai|. Последовательности {Ап} отвеча-
отвечает ортонормированная система {<рп} собственных элементов.
Ортонормированности всегда можно добиться, поскольку соб-
собственные элементы, отвечающие различным собственным зна-
значениям, ортогональны, а собственные подпространства, отве-
отвечающие различным собственным значениям, конечномерны и в
каждом из них можно выбрать ортонормированныи базис, при-
применяя процесс ортогонализации Грама — Шмидта.
Теорема 5.11. Пусть А — вполне непрерывный симмет-
симметрический линейный оператор, действующий в гильбертовом
пространстве Н, а {жп} — ортонормированная система соб-
собственных элементов (не обязательно бесконечная), отвечающая
последовательности {Ап} собственных значений А„ ф 0. Тогда
для любого элемента и € % справедливо разложение
4 Пусть сначала система {хп} бесконечна. Для произвольного
элемента uGW положим
(v>,xn)xn, keN. E.65)
n=l
Так как {хп} — ортонормированная система, то (г?*,, хп) = 0,
п= 1,&, т.е. Vk принадлежит подпространству Нк, образован-
образованному элементами, ортогональными х\, х2,..., х^. Очевидно,
что Нк — линейное многообразие, а его замкнутость следует
из непрерывности скалярного умножения. Значит, Нк можно
5.5. Уравнения с вполне непрерывными операторами 251
рассматривать как гильбертово пространство. Если Ак — су-
сужение оператора А на подпространство Нк, то оператор Ak
действует из %к в Нк- Действительно, так как AkV = Av для
любого v ? %k, то при п — 1, к и v ^Нк имеем
(Akv, хп) - (Av, хп) = (v, Ахп) = (v, \пхп) = An (v, xn) - 0.
Согласно теореме 5.10, верно равенство \\Ak\\ = |A^+i|. По-
Поэтому в соответствии с E.65) для Vk получаем
Кроме того, в силу ортонормированности системы {хп} имеем
п=1
Поскольку Xk+i -* 0 при к -4 оо, а последовательность
ограничена, имеем
к
У^(и, хп) Ахп = ||y4wfc||-» 0 при
п=1
Следовательно,
к
п(и,хп)хп-± Аи при
и справедливо разложение
п=\
252 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Пусть теперь система {хп} конечна, т.е. {а;п} = {а;п}*_1.
Тогда элемент
к
п=1
принадлежит подпространству 7ik, которое образуют элемен-
элементы, ортогональные х\, xi,..., х^. Если А^ — сужение опера-
оператора А на Нк, то в силу теоремы 5.10 оператор А^ является
нулевым, поскольку ни один собственный элемент оператора
А, отвечающий отличному от нуля собственному значению, не
принадлежит V.k- Таким образом, 7ik = ker А и и 6 кет А. Тогда
n=l
что завершает доказательство теоремы. >
Теорема 5.12 (теорема Гильберта — Шмидта). Для
любого вполне непрерывного симметрического линейного опе-
оператора А в гильбертовом пространстве И существует ортонор-
мированная система {#„} собственных элементов, отвечающих
собственным значениям А„ ф 0, такая, что любой элемент и € V.
единственным образом можно представить в виде
где v € ker Л. При этом с„ = (и, хп) для всех возможных
номеров п.
М Для любого элемента и^.% его ряд Фурье по ортонормиро-
ванной системе {хп} собственных элементов сходится к неко-
некоторому элементу w € % [IX]:
(и,хп)хп.
5.5. Уравнения с вполне непрерывными операторами 253
Учитывая, что Ахп = \пхп, получим
поскольку оператор А непрерывный. Согласно теореме 5.11,
также имеем
\п(и, хп)хп.
Следовательно, Аи — Лго = 0 6 % и элемент и — го = v 6 кет А.
Таким образом,
v,
где v 6 кет А, а го _1_ г», поскольку v как собственный элемент, от-
отвечающий нулевому собственному значению, ортогонален лю-
любому собственному элементу хп. Итак, искомое представление
элемента и € И получено.
Докажем единственность этого представления. Пусть су-
существует еще одно представление tt = го' -)- и', где го' L г»',
v' 6 кет А. Тогда го + v = го' + v' и го — го' = »' - и, причем
(го - го', v' — v) = 0. Следовательно, го - го' = и' - v = О € TL,
а для элемента го разложение по ортонормированной системе
{хп} совпадает с рядом Фурье элемента го [IX], что и доказы-
доказывает единственность полученного выше представления. >
Следствие 5.1. Если % — гильбертово сепарабельное про-
пространство, А — вполне непрерывный симметрический линей-
линейный оператор в И, то в % существует ортонормированный
базис, состоящий из собственных элементов оператора А.
4 Для доказательства утверждения достаточно к ортонорми-
ортонормированной системе {хп} собственных элементов оператора А,
отвечающих его ненулевым собственным значениям, добавить
254 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
счетный или конечный ортонормированныи базис подпростран-
подпространства кегЛ, который в сепарабельном гильбертовом простран-
пространстве всегда существует [IX]. >
Следствие 5.2. Если нуль не является собственным зна-
значением вполне непрерывного симметрического линейного опе-
оператора А в гильбертовом пространстве Н, то в % существует
ортонормированныи базис, состоящий из собственных элемен-
элементов оператора А. #
Перейдем к изучению неоднородного операторного уравне-
уравнения E.60), в котором А^О и А — вполне непрерывный сим-
симметрический оператор в гильбертовом пространстве %. Пусть
собственные значения Ап ф 0 и соответствующие собственные
элементы хп оператора А известны, и элемент и € % являет-
является решением уравнения E.60). Тогда, согласно теореме 5.11,
имеем
^2,xn)xn-\u = f. E.66)
Умножим скалярно обе части E.66) на хк:
\k(u,xk)-\(u,xk) = (f,xk). E.67)
Если А не равно ни одному собственному значению Хк, то для
любого возможного к получим
Тогда в соответствии с E.66) искомое решение имеет вид
^jC".>-.-s'- E68)
Наоборот, если ряд в E.68) сходится, то элемент и в E.68)
является решением уравнения E.60). Ряд в E.68) действитель-
действительно сходится для любого / € W, поскольку последовательность
5.5. Уравнения с вполне непрерывными операторами 255
{Sn} его частичных сумм фундаментальна. Так как последо-
последовательность {Ап} сходится к нулю при п —> оо, то сходится и
последовательность < ( " 1 У и, следовательно, она явля-
является ограниченной. Поэтому для / > к имеем
n=fc+l " n=fc+l
где М — верхняя грань последовательности < ( " 1 >.
Ряд
п=1
сходится [IX]. Поэтому для произвольного числа е > 0 найдется
такой номер N, что
а значит, и \\S[ — Sk\\2 < ? при / > к < N.
Если А совпадает с некоторым собственным значением, ко-
которому отвечает собственное подпространство размерности т,
то А=А„, п — к, к+т—1. В соответствии с E.67) элемент
/ должен быть ортогонален собственным элементам хп, п =
= к, к+т— 1, а значит, и собственному подпространству, отве-
отвечающему А. В этом случае решение имеет вид
xn--f, E.69)
где сп — произвольные действительные числа для п — /г, к+т-1
и cn = -i Y'Жи' для остальных номеров п. Наоборот, если
А Ап — А
(/) *п) = 0, п = fc, fc+m-1, коэффициенты сп для номеров п =
= &, /г+т— 1 выбраны произвольно, а для остальных номеров
256 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
сп = -^ ' *"', то ряд в E.69) сходится, и элемент и, определя-
А Лп А
емый E.69), является решением уравнения E.60).
В случае, когда А совпадает с некоторым собственным зна-
значением, но элемент / не ортогонален соответствующим соб-
собственным элементам, уравнение E.60) не имеет решений.
Пример 5.5. Найдем решение интегрального уравнения II
рода
1
A + ts)u(s) ds - Xu(t) = 2#-\-\. E.70)
1
Оно эквивалентно операторному уравнению Аи — Хи = /, опре-
деляемому функцией / = 2t2 — - - - и оператором А: 1*2[— 1,1] —>¦
о 3
—>¦ //г[-1,1], действующим по правилу
1
(Au)(t)= f K(t,s)u(8)ds, «€L2[-1,1],
где K(t,s) = 1 +ts — непрерывная в квадрате [-1,1]2 функция,
удовлетворяющая условию K(t,s) = K(s,t). Нетрудно доказать^
что в этом случае А является симметрическим вполне непре-
непрерывным линейным оператором.
Сначала найдем ненулевые собственные значения операто*
ра А. Так как ,
1 1
(Au)(t)= fu(s)ds + t Isu(s)ds =
-l -l
то собственные функции необходимо искать в виде ip(t) =
= a + bt. Подставляя функцию <p(t) = а + Ы в уравнение А(р = \ip,
получаем
11
(a + b8)ds + t s(a + bs) ds = X(a + bt),
-l -l
5.5. Уравнения с вполне непрерывными операторами 257
или (А - 2)а + (А - 2/3N* = 0, t € [-1,1]. Таким образом, соб-
собственным значениям Ai = 2 и Аг = 2/3 отвечают собственные
функции <pi(t) = -^ и <p2(t) = у|t (при условии 11^11 = \\ip2\\ = 1)
и соответствуюшие одномерные собственные подпространства.
Тогда при А ф 2, 2/3 интегральное уравнение E.70) имеет един-
единственное решение, определяемое E.68):
-1
1
2/3 ./d* / 1*3,
-1
AV2-AV 3 3/1-1 2-3A9I-1
i, 2\_
3 + 3/
При A = 2 функция f(t) =2t2 - -- - ортогональна функции
(?) = —r, т.е. (/, V
E.69) имеем решение
= —r, т.е. (/, Vi) = 0. Следовательно, в соответствии с
1
3 Г/ j s 2\ /3
-1
Ci t 2 t
где С1€КиС = Д= + х — произвольное действительное число.
v2 3
При А = - функция f(t) = 2t2 - - - - не ортогональна функции
3 3 3
Уг@ = у?*' так ЧТО интегРальное уравнение E.70) решений
не имеет. #
258 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Линейные дифференциальные операторы, как правило, яв-
являются неограниченными, и, следовательно, не являются не-
непрерывными. Однако в ряде случаев эти операторы имеют
обратные операторы, оказывающиеся вполне непрерывными.
Сформулируем теорему, затрагивающую такие случаи*.
Теорема 5.13. Пусть Л — неограниченный линейный сим-
симметрический оператор в сепарабельном гильбертовом прост-
пространстве Н, а его обратный оператор Л является вполне не-
непрерывным. Тогда всегда можно выбрать ортонормированный
базис {хп} в Н, состоящий из собственных элементов операто-
оператора Л", причем нуль не является собственным значением этого
оператора, а последовательность {//„} собственных значений
Л [А~1хп — цпхп) содержит бесконечно много различных
значений. Спектр оператора А совпадает с последовательно-
последовательностью {А„}, А„ = —, а хп — собственные элементы оператора
Л, отвечающие собственным значениям А„. Если А — регу-
регулярное значение оператора Л, то для всех и € % справедливо
равенство
71=1
Дополнение 5.1. Сопряженные пространства
и сопряженные операторы
Рассматривая линейные ограниченные функционалы, опре-
определенные в нормированном пространстве И, как частный слу-
случай линейных ограниченных операторов с областью значений,
лежащей в банаховом пространстве R, заключаем, что множе-
множество линейных ограниченных функционалов образует банахово
пространство (см. 4.5). Его обозначают U* и называют сопря-
сопряженным с U. Норма любого функционала F ?И* определена
'Доказательство теоремы см., например: Хатсон В., Пим Док.
Д.5.1. Сопряженные пространства и сопряженные операторы 259
равенством
||F|| = sup |F(u)|.
1Н1
Пример 5.6. Найдем пространство, сопряженное с Rn, где
норма задана равенством
F R" =
»
п
х
= (хь х2, ..., xn)eRn.
Пусть е,-, г — 1,п, — стандартный базис в Rn. Тогда для
любого элемента х € Rn справедливо разложение
Если F — произвольный линейный функционал, действующий
в Rn, то
и, согласно неравенству Коши — Буняковского,
||F||= sup |F(«)|= sup
sup
\
Причем, если
Xq
(n
i=i
-1/2 n
260 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
то ||xo||r" = 1 и
F(xo) =
\
а значит, для любого F е К* = (R™)* имеем
\\П
A
Таким образом, любой линейный функционал F G (Rn)* од-
однозначно определен вектором (F(ei), F(e2), ••¦, F(en)). На-
Наоборот, любой вектор (/i, /2, ..., /n) € Rn задает линейный
функционал F € (Rn)*, действующий по правилу
причем
Л
Нетрудно показать, что соответствие между функциона-
функционалами F и (F(ei), F(e2), ..., F(en)), где F 6 (Rn)*, является
изоморфизмом, сохраняющим нормы соответствующих элемен-
элементов, т.е. пространства (Rn)" и R" изометричны. Поэтому
можно считать, что с точностью до изометрии (Rn)* = Rn. #
Рассмотрим банахово пространство Lv\a,b]^ p > 1, функ-
функций, суммируемых с р-й степенью, норма в котором опре-
определяется равенством
Д.5.1. Сопряженные пространства и сопряженные операторы 261
Можно доказать*, что банахово пространство, сопряженное с
Lp[a<b], изометрично банахову пространству Lq[a,b], где 1/р +
+ \/q— 1, т.е. L*[a,b] = Lq[a,b]. Любой линейный ограниченный
функционал F € L*[a,b] можно представить в виде
ь
F{x) = Jx(t)f(t)dt, xeLp[a,b],
a
где / — некоторая функция из Lq[a,b], причем ||F|| = ||/||,. В
частности, ^2[°)Ч = ^2[a,b].
С банаховым пространством L\[a,b] суммируемых функций
сопряжено банахово пространство Ь^а^Ь] функций /, по-
почти всюду ограниченных на отрезке [а, Ь], с нормой
которая определяется формулой
= inf SUp
где \iE обозначает меру Лебега множества Е С [а, Ь]. Любой
функционал F = L^[a,b] имеет вид
ь
F(x)= I'x(t)f(t)dt, xeLfab],
а
где / — некоторая функция из L^a^b], a ||F|| = ||/||оо-
Согласно теореме Ф. Рисса, любой линейный ограниченный
функционал F в гильбертовом пространстве И имеет вид
F{x) = (х, и), х 6 И, где и — некоторый элемент из Л, причем
||F|| = ||tt||. Несложно установить, что И* изометрично 7{, при
этом используют запись %* = %.
В пространстве U*, сопряженном с нормированным про-
пространством ZY, рассматривают два вида сходимости: силь-
сильную — сходимость по норме в U* (в этом случае сходи-
сходимость последовательности {Fn} к функционалу F означает, что
*См., например: Люстерник Л.А., Соболев В.И.
262 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
\\Fn — F\\ —>• 0 при п —>• оо) и слабую — поточечную сходимость
(в этом случае сходимость последовательности {Fn} к функци-
функционалу F означает, что Fn(x) —>• F(x) при n —> оо для любого
элемента х еИ).
Из сильной сходимости последовательности {Fn} С К* вы-
вытекает ее слабая сходимость, причем к тому же пределу. Дей-
Действительно, пусть \\Fn — F\\ —>• 0 при п —? оо. Тогда для любого
х еИ имеем |Fn(jc) - F(x)\ ^ \\Fn -F\\ \\х\\ц ->•() при п -*¦ оо. Сле-
Следовательно, Fn(a:) —>• F(a;) при п —>• оо.
В случае гильбертова пространства %, учитывая, что % —
= 7i*, а любой линейный ограниченный функционал имеет
специальный вид (см. теорему 5.2), можно утверждать, что
слабая сходимость последовательности {ип} к элементу и ?fi
равносильна условию: (ип, х) —> {и, х) при п —>• оо для любого
хек.
Пример 5.7. Покажем, что последовательность, сходяща-
сходящаяся слабо, может не сходиться сильно. Рассмотрим гильбер-
гильбертово пространств //2[0,тг] и в нем последовательность функций
fn(t) — sin nt, n G N. Так как (/m, /„} = 0 при тф п и
7Г
||/„||2= I si
sin2ntdt = ^, ne
то ||/m - /n||2 = ||/m||2 + ||/„||2 = 7Г. Значит, в силу определе-
определения 4.1 последовательность {/„} не является фундаментальной
в //2[0,тг] и не сходится сильно. В то же время {/п} сходится
слабо к нулевой функции из //2[0,тг]. В самом деле, для любой
функции х G //2[0,тг] имеем
7Г
= / x(t)sinntdt = с„,
о
где сп — коэффициенты Фурье функции х е L2[0,7r] по орто-
оо
тональной системе {/„}. Так как ряд Y1 сп сходится [IX], то
71=1
Д.5.1. Сопряженные пространства и сопряженные операторы 263
сп -? 0 при п —>• оо. Это и означает, что последовательность
{/„} сходится слабо в L2[0,7r] к нулевой функции. #
Пространство, сопряженное с К*, называют вторым
сопряженным с нормированным пространством U и обозна-
обозначают W*. Таким образом, U** = (И*)*. Выясним, какова связь
между U и U**. Предварительно докажем теорему, которая
является следствием теоремы Хана — Банаха.
Теорема 5.14. Пусть U — нормированное пространство и
элемент Uq G U не является нулевым. Тогда существует линей-
линейный ограниченный функционал F, такой, что F(u0) = ||«о||«)
-* Пусть C = {tuo}, teR, т.е. С — одномерное подпространство
в U. Зададим на ? линейный функционал F(tuo) = t\\uo\\u, t G R.
Отметим, что F(uo) = ||«o||w- Тогда для любого элемента u? С
имеем F(u) = \\u\\u- Следовательно, норма ||F|| функционала
F, определенного на одномерном нормированном пространстве
С, равна единице. По теореме Хана — Банаха функционал F
можно продолжить до линейного ограниченного функционала,
заданного на U, с нормой, равной единице. >
Теорема 5.15. Пусть U — банахово пространство. Тогда
U изометрично некоторому подпространству bW*.
< Любому элементу uq ?U поставим в соответствие функци-
функционал JUo, определенный на сопряженном с U пространстве W
соотношением JUo{F) = F(uo), F G U*.
Функционал JUo является линейным. Действительно, для
любых Fb F2 G U* и а, /3 G R имеем
JU0{aFl +/3F2) = (aF1 +0F2){uo) =
Функционал JUo ограниченный, поскольку для любого элемента
F ? U* с нормой ||F|| ^ 1 справедливо неравенство |^«0(^Г'I ~
= |F(«0)| ^ ||F|| ||tio||i/ ^ Iltto||w- Из этих неравенств также за-
заключаем, что ||JUo|| ^ ||«о||м-
264 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Итак, определено отображение ip: U —>• U** банахова про-
пространства U на некоторое подмножество U**. Докажем, что
это отображение линейное. В самом деле, для любых Uo, Vo?U
и а, /3 ? К. имеем
= F{au0 + 0vo) = aF{u0)
Согласно теореме 5.14, из условия JUo = О G U* следует
u0 = 0 ? U, и отображение ip является взаимно однозначным.
Легко показать, что образом банахова пространства U при
отображении <р будет некоторое подпространство U**.
Докажем, что отображение (р сохраняет нормы соответ-
соответствующих элементов. Выше было показано, что ||</uo|| ^ ||**o||w-
Согласно теореме 5.14, для любого ненулевого элемента uq^U
существует функционал Fq eU*, такой, что \\F0\\ — 1 и Fo(uo) =
= \\ио\\и. Тогда Ju0(Fo) = F0(u0) - ||ito||u и
||Juo||= sup |J
Следовательно, ||Jao|| = ||«o||w- >
Если W = К, то банахово пространство U называют
рефлексивным. Таким является любое гильбертово простран-
пространство %, поскольку %** = СИ.*)* = %* = %¦ Рефлексивными так-
также будут и пространства Lp[a,b], 1 < р < оо.
Перейдем к определению сопряженного оператора. Пусть
А — линейный ограниченный оператор, переводящий норми-
нормированное пространство U в нормированное пространство V.
Поставим произвольному функционалу J G V* в соответствие
функционал F, определенный в2/по правилу
J-^F «=> F(u) = J(Au), и eU. E.71)
Докажем, что функционал F, соответствующий функционалу
J ? V*, является линейным ограниченным, т.е. FeU*. Дей-
Д.5.1. Сопряженные пространства и сопряженные операторы 265
ствительно, для любых щ, u2 € U и а, /3 е R имеем
+ /3u2) - J(A{aui+Cu2)) = J{aAux +/3Au2) =
= aJ{Aux)+(M{Au2) = a
Следовательно, F — линейный функционал.
Для любого элемента и ? К, удовлетворяющего условию
||«||w ^ 1» имеем
\F(u)\ = \J(Au)\ <? ||J||v||^llv ^ \\J\\v\\A\\ \\u\\u ^ \\J\\v\\A\\,
где || • ||t/ и || • ||у — нормы в пространствах U и V, а || Л|| — норма
оператора А в нормированном пространстве ?(i/,V) (см. 4.5).
Таким образом, FeU*, причем ||F|| ^ ||J||y|H||-
Итак, рассматриваемое соответствие между функционала-
функционалами из V* и U* определяет отображение А*: V* —? U*\ которое
называют оператором, сопряженным с линейным ограни-
ограниченным оператором А. При этом используют обозначение F =
= A*J, так что равенство в E.71) принимает вид
(A*J)(u) = J(Au), ueU, JeV*. E.72)
Теорема 5.16. Оператор А*, сопряженный с линейным
ограниченным оператором A: U —f V, где W и V — нормирован-
нормированные пространства, является линейным ограниченным, причем
Л Докажем линейность оператора А*. Для любых Ji,J2 G V*,
а, C ?К и и ?К с учетом E.72) имеем
Теперь докажем ограниченность оператора А*. Для всякого
элемента иеМ, \\u\\u ^ 1, учитывая E.72), получаем
\(A*J)(u)\ =
266 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Следовательно,
\\A*J\\U.= sup \(A*J)(u)\$\\J\\v.\\A\\.
l
Отсюда
||Л*||= sup \\A*J\\u- $ \\A\\.
\\J\\v&
Для произвольного элемента u0 G U с нормой ||iio||t/ ^ 1*
согласно теореме 5.14, существует функционал Jo G V*, такой,
что ||Jo||v = 1 и Jo{Auo) — \\Auo\\v- Поэтому с учетом E.72)
имеем
\\Auo\\v = Jo(Auo) = (A*J0)(u0) «С ||Л*/0|МК||?/ ^
Следовательно,
||Л||= sup
Отсюда, учитывая доказанное выше неравенство
приходим к равенству ||Л*|| = ||Л||. >
Пусть % — гильбертово пространство и Л — линейный
ограниченный оператор, действующий в %. Так как № = %,
то сопряженный с А оператор А* действует также в %. Про-
Произвольный функционал J G %*, согласно теореме 5.2 Ф. Рисса,
можно представить в виде J(u) = (ii, v), где v — некоторый
фиксированный элемент из %. Оператор А*, сопряженный с Л,
ставит функционалу «/ в соответствие линейный ограниченный
функционал F по правилу
F = A*J <—>¦ F(u) = J{Аи) = (Аи v) и е 71.
Однако, согласно теореме 5.2 Ф. Рисса, F(u) = (и,«*), где
v* ? % — элемент, однозначно определяемый функционалом F.
Д.5.1. Сопряженные пространства и сопряженные операторы 267
Тогда имеем (Аи, v) = (и, v*), и G %. Так как v ?7i отожде-
отождествлено с J e%*, a, v* еП — с F ? U*, и F = A*J, to можно
положить v* = A*v. Следовательно, получаем
(Au,v) = (u,A*v), u,veU. E.73)
Равенство E.73) соответствует определению сопряженного
оператора в евклидовом пространстве [IV] и однозначно опре-
определяет оператор А*, сопряженный с А.
Пример 5.8. Рассмотрим в гильбертовом пространстве
Z/2[0,l] линейный ограниченный оператор
1
(Au)(t) = j' K(t,s)u(s)ds, ueL2[0,l], *е[0,1],
0
где K(t,s) — функция, непрерывная в квадрате [О, I]2. Для
любых функций и, v e L2[0,l], учитывая E.73), имеем
1 1
(Au,v)= fv(t)( IK(t,s)u{s)ds\dt =
о о
1 1
= / K(t,s)v(t)u(s)dsdt =
о о
1 1
= f u(s)( fK(t,s)v(t)dt)ds=(u,A*v).
о о
Таким образом, сопряженный с А оператор А* действует по
правилу
1
(A*u)(s) = JK(t,s)u(t)dt, ugL2[0,1], 5G[0,l]. #
268 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Найдем оператор А**, сопряженный с оператором А*. Для
любых и, v G V. с учетом E.73) имеем
(it, A**v) = (А*и, v) = (v, A*u) = (Av, u) = (it, Av).
Следовательно, А** — A.
Линейный ограниченный оператор A: ft —>• 7i называют
самосопряженным, если А* — А. Тогда для любых и, v EfL,
согласно E.73), справедливо равенство (Au,v) = (и, Av). Это
соответствует определению симметрического оператора и опре-
определению самосопряженного оператора в евклидовом простран-
пространстве. Самосопряженными являются операторы многих урав-
уравнений математической физики. Например, самосопряженные
операторы, действующие в комплексном гильбертовом про-
пространстве, находят применение в квантовой механике.
Дополнение 5.2. Критерий базисности
системы функций
Пусть В — банахово пространство, а, В* — его сопря-
сопряженное пространство, т.е. пространство всех линейных непре-
непрерывных функционалов в В. Напомним, что система {хп} С В
является замкнутой в В, если замыкание линейной оболочки
этой системы совпадает с В [IX].
Систему {хп} С В называют минимальной в В, если для
любого k G N элемент х). ? Xk, где Xk — замыкание линейной
оболочки элементов {хп} при п ф к. Систему {хп, уп} пар
элементов хп 6 В и уп е В* называют биортогональной, если
Ут(хп) = 0 при п ф т, и биортонормированнои, если
1, п = т;
О, пфт.
В конечномерном линейном нормированном пространстве эле-
элементы биортонормированнои системы образуют биортогональ-
ные (или взаимные) базисы [IV].
Д. 5.2. Критерий бгоисности системы функций 269
Пусть {хп,уп} — биортонормированная система. В этом
случае {уп} называют системой, сопряженной с системой
{хп}. Если {хп} — замкнутая система в банаховом простран-
пространстве В, то сопряженная с ней система (если она существует)
единственна. Для существования у данной последовательности
{хп} С В последовательности {уп} С В*, образующей с {хп} би-
ортонормированную систему, необходимо и достаточно, чтобы
система {хп} была минимальной в В.
Напомним, что систему {хп} С В элементов банахова про-
пространства В называют базисом, если для любого элемента х € В
существует единственный ряд
anxn, E.74)
71=1
сходящийся к а; по норме пространства В, где ап(х) — функци-
функционалы, определенные в В. Сформулируем критерий базисности
системы функций в банаховом пространстве.
Теорема 5.17. Для того чтобы система {хп} С В была
базисом в банаховом пространстве В, необходимо и достаточно,
чтобы выполнялись три условия:
1) {хп} замкнута в В;
2) {агп} минимальна в В;
3) существует такое число М > 0, что для любых х ? В и
iVeN верно неравенство
N
71=1
гДе {уп} — система, сопряженная с {хп}.
Следствие 5.3. Если {хп} — базис в В, то функционалы
ап(х) в E.74) являются линейными ограниченными функциона-
функционалами и определяются в В равенствами ап(х) =уп{х), где {уп} —
система, сопряженная с {a?7i}.
270 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Дополнение 5.3. Положительная определенность
эллиптического оператора
В ограниченной области п G Кто с кусочно гладкой грани-
границей дп рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с
переменными коэффициентами
и граничными условиями
tt(as) = 0, xedui; E.76)
E.77)
на участках дпх С^и дП2 = ffi\8Ui. Здесь и(х) 6 C2(fi) —
искомая функция; atj(x) = aj,-(se) 6 С^П), с(ж),/(ж) 6 С(П)
и <т(ж) 6 С(9$7г) — заданные функции; rij(x), j = l,m, —
направляющие косинусы единичного вектора п 6 Кт внешней
нормали к дп. Далее ограничимся случаем с(х) ^ 0, х 6 П, и
о-(ж) > 0, ж 6 0fi2-
Рассмотрим гильбертово пространство % = //г(Г2) функ-
функций, суммируемых на $7 с квадратом, в котором скалярное
произведение и норма определены соотношениями
{u,v)~ I uvdu и ||и||2= ju2du. E.78)
п п
В соответствии с E.75), E.76) и E.77) при помощи равенств
^(^)
Д.5.3. Положительная определенность эллиптического оператора 271
введем операторы А и N, которые имеют области определения
D(A) = С2(п) и D(N) — C1(dU2) соответственно, являющиеся
линейными многообразиями в Ьг(О). Нетрудно проверить, что
эти операторы являются линейными.
Убедимся в том, что А является симметрическим операто-
оператором. Используя E.79), E.78) и B.99), получаем
(Аи, v) — (Av, и) =
)
о. '-1 j-1
поскольку на dQ\, согласно E.76), и = v = 0, а на дО.2, согласно
E-77),
mm r\ г\
v^v^ ( аи ov \
У У aU\vTi u-z—) Щ = vNu - uNv= -vau + uav — 0.
^—'^—' \ OXi OXx)
Следовательно, (Аи, v) — (Av, и), т.е. оператор А является сим-
симметрическим.
В соответствии с B.98) и E.7б)-E.78) запишем
~ т т
(Аи,и)=- \и/ , jX я_ х„Ча_ .
/m m / л с\
/mm r\
uEEo'^nt
эп -ii=i j
3.80)
272 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Если существует такое число fio > 0, что при любых х Е ?2
для произвольных наборов чисел t\,t2,...,tm GK выполняется
неравенство
771 771 771
j^ E.81)
то оператор А называют эллиптическим на замыкании ?2.
В этом случае E.75) относят к уравнениям эллиптического ти-
типа. Отметим, что левая часть E.81) является квадратичной
формой, а коэффициенты atj = a/,-, i,j— l,rn, — элементами
симметрической матрицы этой квадратичной формы. Тогда
выполнение E.81) означает, что эта квадратичная форма явля-
является положительно определенной.
Если существует такое ц0 > О, что для любых iGfl
то оператор А также называют эллиптическим. При этом
квадратичная форма, стоящая в левой части этого неравенства,
является отрицательно определенной. Но при изучении свойств
оператора А при выбранном в E.75) знаке перед символами
сумм и условии с(х) ^ 0, х € ?2, существенно выполнение условия
эллиптичности оператора именно в виде E.81).
Если оператор А эллиптический, то из E.80) и E.81) с
учетом неотрицательности функций сна получаем
n !=1
¦ [cu2dn+ I an2 d{du) ^ 0. E.82)
n эп2
При (Аи, и) = 0 каждый из интегралов в E.82) должен обра-
обратиться в нуль. Тогда из равенства нулю первого интеграла
Д.5.3. Положительная определенность эллиптического оператора 273
следует, что и = Со = const, но из граничного условия E.76) на
участке д?1\ границы области Q имеем Со = 0, так что и = О на
замыкании Q. Поэтому, согласно определению 5.1, А является
положительным оператором.
Но возможен случай, когда д?1\ — 0, т.е. д&2 = д?1. В этом
случае равенство нулю второго и третьего интегралов в E.82)
даст
о I
0 и Со
п эп
Если одна из непрерывных и неотрицательных функций с или а
отлична от нуля хотя бы в одной точке области Q или границы
сК2 соответственно, то снова имеем Со = 0, а оператор А будет
положительным. Однако это утверждение теряет силу, если
с = 0вПиа = 0на сЮ. При этом решение задачи E.75)-
E.77) может и не существовать или быть неединственным.
Рассмотрим этот случай подробнее.
Интегрируя E.75) при с = 0, а = 0 по области Q, получаем
Преобразуя интеграл в левой части зтого равенства по формуле
Остроградского A.26) и учитывая, что в данном случае Nu = О
на дп, устанавливаем необходимое условие
/« т т г.
/dn=- Y2Y2at3'dtni
п эп l=1 •7=1 3
= 0 E.83)
эп l=1 •7=1 " эп
существования решения задачи. Но даже если условие E.83)
выполнено и решение и существует, то функция, отличающаяся
от и на произвольную константу, также является решением
этой задачи. Подчиним решение и дополнительному условию,
274 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
аналогичному E.83):
fudu = 0. E.84)
п
Тогда при и = Со имеем Со = 0, т.е. и в этом случае (при с = 0 в
Пи<т = 0на dil) оператор А будет положительным. Следовате-
Следовательно, если решение и (Е D[A) существует, то в силу теоремы 5.3
оно единственно в D(A).
Выясним, при каких условиях оператор А, будучи эллипти-
эллиптическим, является положительно определенным оператором.
Так как первый и третий интегралы в правой части E.82) нео-
неотрицательны, то при с(х) ^ со > 0, х G ?2, с учетом E.78) имеем
(Аи, и);> си2 dQ^c0 и2 du = со||м||2.
Таким образом, если о(х) ^ 0 на д&2 С dQ и с(х) Jj cq > 0 в Q, то
оператор А, согласно определению 5.1, является положительно
определенным.
Если же со = 0, то второй интеграл в правой части E.82)
неотрицателен, так что получаем
771 Л 9 Г
J2(^) du+ I <ru2d(dn). E.85)
i=1 ' эп2
n '-1 эп2
Положим и = vw и вычислим
C"u \ 2 v^ ( \ V^
1 i=l * i=l * *
2
Д.5.3. Положительная определенность эллиптического оператора 275
Отсюда, отбрасывая первую (неотрицательную) сумму в пра-
правой части равенства и интегрируя по области ft, получаем
« = 1
п '-' п '-'
Положив в формуле Остроградского A.25) щ = w v-—, пре-
СУХ %
образуем первый интеграл в правой части этого неравенства:
п г=1
эп '-1 an
где n,', i = 1, m, — направляющие косинусы единичного вектора
п внешней нормали к границе области Q, а -^ — производная
функции и по направлению этой нормали. Тогда вместо послед-
последнего неравенства будем иметь
;— d(du) <
П l=1 * П l=1
E.86)
дп
Начало координат в RTO можно выбрать так, что все точки
из ft будут внутренними точками декартова произведения то
отрезков [0, bi\, i= 1, то, т.е. область ft вместе со своей границей
dQ будет полностью погружена в то-мерный прямоугольный
параллелепипед со сторонами 6,-, г = 1, то. Положим
m
П
sln
276 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
и вычислим
771. г\О
ТП <) ТП
Тогда для интеграла в левой части E.86) получим
- I w2vJ2]ndu = 4 Iw2v2du = q fu2
n i=1 ' n n
dQ.
E.87)
n i=1 ' n n
Так как функция v в любой точке границы DQ положитель-
положительна, то для второго интеграла в правой части E.86) имеем
Ясно, что на границе д?1 величина -
ограничена, т.е.
= const > 0, что приводит к оценке
:сх fu2d(du).
on
E.88)
Подставляя E.87) и E.88) в E.86) и обозначая через С большее
из чисел 1/ди C\/q, получаем неравенство
f
п
C>0. E.89)
п '-1
эп
Так как функция и € ?}(Л) удовлетворяет граничным условиям
E.76) и E.77), то дп в E.89) следует заменить на сЮг-
Если функция а в неравенстве E.85) ограничена снизу
значением Oq > 0, то, обозначая через ц меньшее из чисел /хо
и сто, из E.85) находим
и,и)^ц[ JZ(j^) du+ / u2d{du)\, ц>0
\J ._, \OX{J J )
п '-1 9П2
Д.5.3. Положительная определенность эллиптического оператора 277
Сравнивая зто неравенство с E.89) при замене dQ на (Юг и
учитывая E.78), в итоге получаем
2dn = *r2\\u\\2, 72 = ^- E-90)
п
Таким образом, в случае со = 0 оператор А является положи-
положительно определенным при условии, что а ^ оо > 0 на сЮ2 С (Ю.
При с = 0 в Q и 9^2 = 0 из E.85) и E.89) следует, что
оператор А остается положительно определенным. Можно
показать*, что А является положительно определенным при
с = 0 в области Q и a = 0 на части (Юг С dQ границы этой
области. Если же при этом dSl? = д?1, то оператор А сохраняет
положительную определенность лишь на множестве D*(A) С
С ?*(;4) функций, удовлетворяющих дополнительному условию
E.84).
Итак, оператор Л, определенный первым равенством E.79),
будет положительно определенным, если он является эллиптиче-
эллиптическим, т.е. для него выполнено E.81), и при этом с^со>0в?2и
а > 0 на 8U2- При с = 0 вп оператор Л, будучи эллиптическим,
сохранит положительную определенность, если либо дО.2 = 0,
либо а ^ а0 > 0 на (Юг С dQ, либо a = 0 на дО.2 С с>?2 (т.е. при
dfii ^0)- Наконец, при сеО в П и (г?0 на 9П необходимо
выполнить дополнительное условие E.84).
Пример 5.9. Несложно проверить, что оператор Лапласа,
представленный в виде
является эллиптическим, поскольку для выполнения условия
E.81) достаточно принять цо = 1. Установлено [XV], что этот
'См., например: Михлин С.Г., 1968 или Ректорис К.
278 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
оператор является симметрическим и положительным при усло-
условии и = 0 на всей границе области. Изложенное выше показы-
показывает, что при этом условии оператор Лапласа, определенный на
множестве функций, дважды непрерывно дифференцируемых в
области fi и удовлетворяющих однородным граничным услови-
условиям вида E.76), E.77), будет и положительно определенным при
указанных выше ограничениях для а на c>fi2 (при сеОвП).
Эллиптическими являются и операторы дифференциальных
уравнений, описывающих перенос физических субстанций в
неоднородных и анизотропных средах и вытекающих из со-
соответствующих законов сохранения (см. часть I). Например,
в уравнении B.96) нестационарной теплопроводности тензор
теплопроводности А может быть представлен положительно
определенной матрицей B.95) третьего порядка. Квадратичная
форма с такой матрицей в декартовой прямоугольной системе,
координат соответствует в общем случае трехосному эллипсо-
эллипсоиду, а элементы A,j, i,j = 1, 2, 3, этой матрицы удовлетворяют
неравенству E.81). Таким образом, из вышеизложенного следу-
следует, что оператор А, определенный первым равенством в E.79)
при djj = A,j, является положительно определенным на множе-
множестве функций, дважды непрерывно дифференцируемых в обла-
области fi и удовлетворяющих граничным условиям E.76), E.77)
при указанных выше ограничениях для с в fi и а на #fi2- Яс-
Ясно, что при Oij[x) — А(ж) > 0, х € fi, это свойство сохраняет на
указанном множестве и оператор Л, определенный равенством
Аи = -V(AVu).
Пример 5.10. Изложенный выше подход можно применить
к исследованию оператора Штурма — Лиувилля А, который
на множестве D(A) дважды непрерывно дифференцируемых
на отрезке [0,1] функций и(х), обращающихся на концах этого
отрезка в нуль (множество D(A) — линейное многообразие в
,1]), определен равенством
Au = -(p{x)u'{x))' + q{x)u{x), х ? [0, 1]. E.91)
Д.5.3. Положительная определенность эллиптического оператора 279
Используя интегрирование по частям и учитывая, что м@) =
= v@) = мA) = иA) = 0 для функций u, v e D(A), находим
1
(Au,v) = J(-(p(x)u'(x))' + q(x)u(x))v(x)dx =
о
1 1
= — p(x)u'(x)v(x) + р(х) u'(x) v'(x) dx-\- I q{x)u{x)v{x)dx =
о о
1
= р{х) v'{x) и{х)^ - Г(р{х) v'{x))'u{x) dx +
о
+ / q(x) u(x) v(x) dx = {Av, и).
о
Следовательно, оператор А является симметрическим. Далее
вычислим
1
(Аи, и) = J(- (р(х) «'(i))' + q{x) u{x))u{x) dx =
о
1 1
= —р(х)и(х)и(х) + р(х)(и'(х)) dx + I q(x)u2(x)dx =
о о
1 1
= fp(x)(u'{x)Jdx+ [q(x)u2(x)dx. E.92)
о о
Примем, что 0 < ро ^ Р{%) и 0 ^ q(x) ^ q при любых х € [0, 1)].
Тогда вместо E.92) получим
1 1
(Аи,и)^ро f(u'{x)Jdx+ fq{x)u2{x)dx>0. E.93)
о о
При (Аи, и) = 0 каждый из интегралов в правой части E.93)
обращается в нуль. Из равенства нулю первого из них следует,
280 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
что и{х) = Со = const, х € [0, 1], а из условия м@) = иA) =
— 0 — что Со = 0. Таким образом, оператор А является
положительным. Ясно, что при q(x) ^ q0 > 0, х € @, 1), оператор
А будет положительно определенным, причем (Аи, и) ^ <7о|М|.
Покажем, что оператор А может остаться положительно
определенным при выполнении условий р(х) ;> р0 > 0, q(x) J> q0,
х € @, 1), и в случае q0 < 0, если значение \qo\ не слишком велико.
Положим и(х) = v(x)w(x) и, опуская обозначение аргумента х,
вычислим
(и'J = v2(w'J + 2vv'ww' + {v'Jw2 = v2(w'J + (vv'w2)' - vv"w2.
Отбрасывая первое (неотрицательное) слагаемое в правой ча-
части этого равенства, получаем (vv'w2)' — vv"w2 ^ (и'J и, инте-
интегрируя по отрезку [0, 1], находим
1 1
v{x)v'(x)w2{xI - fv(x)v"(x)w2{x)dx^ f(u'{x)Jdx. E.94)
о о
Выберем v(x) = sin пх. Тогда v"(x) = -ж2sin nx и
v(x) v"{x) w2{x) = -tt2v2{x) w2{x) = -n2u2{x),
а вместо E.94) будем иметь
i i
п2 fu2(x)dx^ f(u'(x)Jdx.
E.95)
Отметим, что увеличение множителя перед интегралом в левой
части E.95) невозможно, поскольку при w(x) = 1, т.е. при и(х) =
= v(x) = sin7ra; E.95) переходит в равенство.
Из E.93) с учетом E.95) следует
1 1 1
(Аи, и) >я-2ро / u2(x)dx+ / q{x)u2(x)dx^(n2po + qo) / u2(x)dx.
Вопросы и задачи 281
Таким образом, при условии n2p0 + q0 > О
2 |2^0, E.96)
и оператор А является не только положительным, но и положи-
положительно определенным. Если в E.91) q(x) = qo = 0 и р(х) = ро= 1,
л d2
то имеем положительно определенный оператор А = — —— с.
dx*
областью определения D(A).
Несложно проверить, что рассмотренные в этом примере
операторы сохранят свойство положительной определенности
на множестве D{A) функций и(х), удовлетворяющих не только
условиям м@) = мA) = 0, но и условиям м@) = и'A) = 0 или
Вопросы и задачи
5.1. Доказать, что оператор дифференцирования D = -j~,
ax
действующий из нормированного пространства U непрерывно
дифференцируемых на отрезке [а, Ь] функций и в нормирован-
нормированное пространство V непрерывных на [а, Ь] функций v с нормами
6
ь
\и\\ц=А I u2(x)dx, mGW, и ||u||v = I v2(x)dx, v (E V.
J \ J
\ a
соответственно, не является ограниченным.
5.2. Доказать, что оператор A: Z^fO, 1] —> ^[0, l]i действую-
действующий по правилу
1
f(t)= IK{t,s)ip{s)ds, *е[0, 1].
где K(t,s) — функция, непрерывная в квадрате [О, I]2, является
симметрическим тогда и только тогда, когда K(t,s) = K(s,t),
282 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
t, s G [0,1]. Выяснить, будет ли оператор А симметрическим,
если:
а) K(t,s) = t2 + s2 + l, *,se[0,l];
б) K(t, s) = t3 + ts2 + s3-s, t,se [0,1].
5.3. Найти собственные значения и собственные элемен-
ты оператора А = -j-j-, определенного на множестве функции
и(х), непрерывно дифференцируемых на отрезке [0, 1] и при-
принимающих значения: а) и@) = и'A) = 0; б) и'@) = иA) = 0;
в) и'(О) = u'(l) = 0; г) и@) = u(l) = 0, u'(O) = u'(l).
5.4. Доказать, что спектр вполне непрерывного симметри-
симметрического оператора А целиком лежит на отрезке [m, M], где
т = inf (Аи, и), М = sup (Аи, и),
IMI=i IH|=i
причем т, М — точки спектра.
5.5. Найти решение интегрального уравнения II рода
у(х)
7Г
— А /
5.6. Показать, что оператор А, заданный равенством E.91),
является положительно определенным на множестве дважды
непрерывно дифференцируемых на отрезке [0, 1] функций и(х),
удовлетворяющих условиям и@) = и'A) = 0.
5.7. Используя E.95), показать, что оператор А E.20), рас-
рассмотренный в примере 5.3, является положительно определен-
определенным на множестве D(A) четырежды непрерывно дифференци-
дифференцируемых в интервале @,/) функций, удовлетворяющих E.19).
5.8. Каким вариантам граничных условий (помимо вариан-
варианта E.19)) должны удовлетворять функции из множества D(A)
четырежды непрерывно дифференцируемых в интервале @, /)
функций, чтобы оператор А E.20), рассмотренный в приме-
примере 5.3, был положительным на D{AI
6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
В связи с развитием и совершенствованием вычислитель-
вычислительной техники возросла роль численных методов приближенного
решения задач математической физики. Но при этом не утра-
утратили своего значения приближенные аналитические методы,
позволяющие получить в конечном виде соотношения между
искомыми функциями и заданными параметрами рассматри-
рассматриваемой задачи.
Существует много подходов к построению приближенных
аналитических методов решения задач математической физи-
физики. В этой главе рассмотрены общая схема такого построения и
оценки возникающих при этом погрешностей, а также проекци-
проекционные методы и методы, связанные с представлением искомого
решения в виде разложения по малому параметру.
6.1. Общая схема построения
приближенных методов
Рассмотренные в этой части свойства функциональных про-
пространств и действующих в этих пространствах операторов
позволяют наметить достаточно общую схему построения при-
приближенных методов решения операторного уравнения
A{u) = f, ueD(A)cH, fen, F.1)
к которому можно свести формулировку большинства задач
математической физики. Для определенности будем предпо-
предполагать, что существует единственное решение и°. Это реше-
решение может быть либо классическим, т.е. принадлежать области
284 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
D(A) оператора А (необязательно линейного) и позтому удовле-
удовлетворять F.1) непосредственно, либо обобщенным (в частности,
слабым), т.е. и° ? D{A) (см. замечание 5.2).
Существо приближенного метода нахождения и° ? D(A)
обычно состоит в построении для F.1) последовательности
{ип} приближенных решений ип ? D{A), п ? N, сходящейся по
норме к и°. При практической реализации такого подхода при-
приходится ограничиваться конечной последовательностью {ип}н,
но тем не менее важно знать, что последовательность {ttn} схо-
сходится к элементу и0. Кроме того, желательно получить оценки
для величины ап = \\ип — it0^^) (например, в виде неравенства
<*п ^ C[in, где С — некоторая константа, а /Зп > 0 — элементы
последовательности, сходящейся к нулю). Если при нахожде-
нахождении ип используют элемент ип-\ (при п = 1 этот элемент будет
нулевым приближением), то говорят о методе итераций, или
методе последовательных приближений. Наличие оценок мо-
может иногда при заданной погрешности приближенного решения
ttyv указать необходимое число, итераций N.
Чтобы найти ип, заменим F.1) приближенным уравнением
Ап{хп)=уп, xn?D{An), yneR{An), F.2)
где оператор Ап в некотором смысле аппроксимирует оператор
А, а уп — элемент / (во всяком случае для упрощения поиска ип
желательно, чтобы Ап был линейным оператором, у которого
существует обратный оператор А~1). При этом пространства
D{An) и R(An) могут быть и конечномерными. В этом случае
существование у линейного оператора Ап обратного означает,
что матрица оператора Ап квадратная, а размерности D(An) и
R(An) одинаковы.
Введем операторы Хп и Уп, осуществляющие отображе-
отображения Хп: D(A) -> D{An) и Yn: R(A) -> R(An), причем уп = Yn(f).
Эти операторы могут, например, отображать бесконечномер-
бесконечномерное функциональное пространство в конечномерное или фор-
формировать либо сетку конечных элементов, либо конечно-раз-
конечно-разностную сетку. Пусть уравнение F.2) имеет единственное ре-
6.1. Общая схема построения приближенных методов
285
шение x°n G D(An). Вообще говоря, х°п $. D(A), и поэтому х°п
нельзя отождествлять с un € D(A) и считать приближенным
решением F.1). Но при помощи оператора Un можно перей-
перейти к этому решению: un — (/п(ж°). В частности, Un может
быть оператором интерполирования, который по дискретному
представлению элемента ж° ? D(An) восстанавливает его образ
ип ? D(A). На рис. 6.1 условно показана связь рассматривае-
рассматриваемых пространств и их элементов.
Рис. 6.1
Будем говорить, что последовательность {ж°} сходится,
если выполнено условие ||ж° — Л'п(')||с(лп) —> 0 при п —> оо, при-
причем элементы Хп(и°) в каком-то смысле приближают элемент
и0. Полагая далее Ап линейным оператором, имеющим обрат-
обратный оператор А~1, примем, что Ап аппроксимирует оператор
А на элементе и € D(A), если
7пН = |Ип*п(«) - Уп{Аи)\\ЩАп) -> 0 при п -> оо. F.3)
Значение 7n(tt) — это расстояние в R{An) между элементами
АпХп(и) и Yn(Au) (см. рис. 6.1).
Теорема 6.1. Если
«-1
||7„К)->0 при п
F.4)
286 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
то последовательность {ж°} сходится, причем
\\x°n-Xn(u°)\\D{An)^vn, neN. F.5)
¦4 В силу равенств Лпж° = Уп(/) = Yn(Au°) с учетом F.3) имеем
IK - Xn(u°)\\D(An) = \\A-lAn{x°n - Хп(и°))\\ЩАп) $
^\\А-1\\\\Апхоп-Ап(Хп(и°))\\ =
Yn(Au°) - Ап(Хп(и°))\\ = \\А?\Ы*°) - «„,
что доказывает теорему. >
В частности, если операторы Ап, п ? N, аппроксимируют
оператор А на элементе и° и операторы А~1 ограничены, то
последовательность {ж°} сходится. Но, согласно теореме 6.1,
если выполнено условие F.4), то последовательность может
сходиться и в случае, когда либо отсутствует аппроксимация,
либо оператор Л не является ограниченным.
Теорема 6.2. Если vn -> 0 и Un(Xn(u°)) -> и° при п -> оо,
а оператор Un является линейным и ограниченным, то последо-
последовательность {ип} элементов ип = f/n(x°) сходится к искомому
элементу и°, причем
neN. F.6)
¦4 Действительно, учитывая равенство ип = f/n(x°) и неравен-
неравенство треугольника, находим
= \\{Un(x°n) - UnXn(u0)) + {UnXn(u°)-u°)\\D{A) ^
^ \\Un(x°n) - UnXn(u°)\\D{A) + \\UnXn(u°) - и°\\ЩА) ^
< \Ш\ ||< - Хп(и°)\\ЩАп) + \\UnXn(u°) - ч°\\ЩА).
6.1. Общая схема построения приближенных методов 287
Отсюда получаем F.6), так как в случае и„ -> 0 при п—уоо
справедливо утверждение теоремы 6.1 в виде F.5). >
Пусть оператор ?/„, не являясь линейным, может быть пред-
представлен в виде Un(x) = Vnx + B(f), где Vn: D(An) -> D(A) —
линейный ограниченный оператор и В: R(A) —> D(A) — неко-
некоторый оператор. Тогда нетрудно проверить, что теорема 6.2
сохраняет силу после замены в F.6) \\Un\\ на ||Vn||. Практиче-
Практическое применение теорем 6.1 и 6.2 обычно затруднено, так как
элемент и° неизвестен, но они оказываются полезными при по-
построении приближенных методов.
Пример 6.1. В примере 4.17 установлено, что интеграль-
интегральное уравнение II рода
ь
F.7)
где?€ [a,b], и(?), /(?) eC[a,b], K(?,t) — ядро этого уравнения,
непрерывное в квадрате [а, Ь]2, имеет единственное решение
и°(?) при задании действительной функции /(?) и выполнении
условия D.43)
q=(b-a) max \K(t,t)\<l. F.8)
?.<€[а,!>]
Один из методов приближенного решения F.7) состоит в
разбиении отрезка [а, Ь] на п — 1 частей точками &, i = 1, п, и
приближенной замене определенного интеграла квадратурной
суммой. Тогда вместо F.7) получим систему линейных алгеб-
алгебраических уравнений (СЛАУ)
F.9)
относительно значений х± = ы(?,-) искомой функции ы(?) в уз-
узлах ?i соответствующей квадратурной формулы (здесь Dj —
весовые коэффициенты этой формулы).
288 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
В данном случае линейные операторы А и Ап определены
левыми частями F.7) и F.9) соответственно. Из F.7) следу-
следует, что D(A) = R{A) — C[a,b]. Операторы Хп и Yn совпада-
совпадают, т.е. Xn = Yn, и отображают бесконечномерное множество
С[а,Ь] непрерывных на отрезке [а, 6] функций на подмножество
D(An) — R{An) n-мерного арифметического пространства Кп
значений ж, = Хп(щ) и j/i = Yn(fi) в узлах ?, квадратурной фор-
формулы, где щ = u(&), fi = /(?,), г = 1, п.
Запишем СЛАУ F.9) в виде
где хп и уп — векторы с координатами Xj и j/j, i = l,n, / —
тождественный оператор, а Вп — оператор, матрица (BtJ)
которого имеет элементы Bij = DjK(?i,?j), i,j= l,n. Норму
этой матрицы, соответствующую кубической норме векторов
хп и уп, найдем как наибольшую сумму абсолютных значений
элементов Bij в строке, т.е.
t=l,nj=1 j=1 ,,,=l,n
Для большинства применяемых квадратурных формул весовые
коэффициенты положительны, и их сумма равна Ь — а [VI].
Поэтому с учетом F.8) получим следующую оценку для нормы
оператора Вп:
ЦЯп|| = ||(Ву)|К(Ь-а) max \K(Z,t)\=q< 1.
?,t€[a,b\
Согласно теореме 4.18, заключаем, что оператор Ап = I — Вп
имеет обратный оператор А~х, причем ЦДй1!! ^ 1 • Это
означает, что существует вектор ж° с координатами х°, г =
= 1, п, который является единственным решением СЛАУ F.9).
Попытаемся теперь применить теорему 6.1 для проверки
сходимости последовательности {ж°}. Предварительно при
6.1. Общая схема построения приближенных методов 289
помощи F.3) найдем выражение для jn(u), для чего с учетом
F.7) и F.9) запишем при г = 1,м
ь
(Уп(Аи))^Хп(Ащ)=Х{- IK(?i,t)u(t)dt,
(AnXn(u)). = xt-
Следовательно,
ь
{АпХп{и)){-{Уп{Аи))г= I'K{b,t)u
Отсюда в соответствии с F.3) получаем
Ь
7п(«) = max
г=1,п
{
= max | Д,-1, F.10)
fcl.n
где R{ — погрешность используемой квадратурной формулы
при фиксированном аргументе ?, ядра K(?i,t) в F.10).
При равномерном разбиении отрезка [а, 6] на четное число
га — 1 (га ^ 3) частичных отрезков разбиения длиной h = -
можно использовать квадратурную формулу парабол, для ко-
которой [VI]
? FЛ1)
где М+ — наибольшее значение на [а, 6] абсолютной вели-
величины четвертой производной по t подынтегральной функции
К'(?,,?)«(?) в F.10). В данном случае применение теоремы 6.1
возможно, если располагать оценкой для уп(и°). Покажем, что
290 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
эту оценку можно получить, если функции K(?,t) и /(?) четы-
четырежды непрерывно дифференцируемы по своим аргументам,
т.е. покажем, как в таком случае можно найти значение М\ в
F.11). Тогда интеграл в F.7) можно рассматривать как за-
зависящий от параметра ? и дифференцировать его по этому
параметру [VI].
Поскольку функция и°(?) удовлетворяет F.7), т.е.
6
K(Z,t)uo(t)dt + f(Z), F.12)
а
дифференцированием этого выражения находим
^ ^ т = 1Л („3,
и убеждаемся, что функция и°(?) также четырежды непрерыв-
непрерывно дифференцируема. Учитывая, что (см. пример 4.17)
T
и располагая оценками для наибольших абсолютных значений
производных функций K(?,t) и /(?) по ?, можно найти такие
jm fl° (С\
оценки и для ^ ' в F.13), а затем получить оценку М\ для
производной
_ Л ff
m—l
подынтегральной функции в F.10).
В итоге из F.10) и F.11) получаем
6.1. Общая схема построения приближенных методов 291
т.е. в соответствии с F.3) оператор Ап аппроксимирует опера-
оператор А на элементе и0. Поскольку
то vn -> 0 при п -> оо, а значит, согласно теореме 6.1, по-
последовательность {ж°} сходится, причем из F.5) следует, что
координаты (ж°), вектора ж° при п —> оо стремятся к значе-
значениям и°(&) искомой функции и°(?) в соответствующих узлах
формулы парабол.
В простейшем случае можно принять, что приближенное
решение F.7) является непрерывной действительной функцией
un(?) = С/„ж°, совпадающей в узлах & со значениями (г°); и ли-
линейной между соседними узлами, т.е. воспользоваться линейной
интерполяцией. Тогда для нормы определенного таким обра-
образом оператора [/„ имеем \\Un\\ — 1, причем функция UnXn(u°)
совпадает в узлах ?, с искомым решением и°(?), а между сосед-
соседними узлами линейна. Поэтому в случае линейной интерполя-
интерполяции [II]
\\UnXn(u°) - U°
где
= max
Итак, и vn -> 0, и UnXn(u°) —> и° при п -> оо. Следовательно,
согласно теореме 6.2, последовательность {ип(?)} приближен-
приближенных решений F.7) сходится к искомой функции и°(?), причем
р ()
в соответствии с F.6)
max |
М4 {Ь — о) F — а)
"^7 180(п-1L+ 28(п-1J'
292 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Более быструю сходимость последовательности {ип(?)} к
искомому решению можно обеспечить, если оператор (/„ задать
соотношением
F.14)
«"=1
т.е. ип = Un(ж°) = Vna;° + //, где Vn — линейный ограниченный
оператор, заданный выражением
В этом случае, учитывая F.8), имеем
где ||ж°|| = max |(i?)i| — кубическая норма вектора ж°. Отсюда
t=l,n
в соответствии с D.26) следует, что ||Vn|| ^ q < 1. Теперь
t'=l
так что, принимая во внимание F.10), F.11) и F.12), получаем
\\Un(Xnu°) - и°\\с[аМ = max |П„(О - «°(€)| =
= max
б
Г
{
йМ.
{b-af
180(п-1L'
Таким образом, и в этом случае справедливо утверждение тео-
теоремы 6.2 о сходимости последовательности {и°(?)} к искомому
6.2. Погрешности приближенных методов 293
решению и°(?), но теперь в F.6) \\Un\\ следует заменить на ||Vn||,
что приводит к неравенству
||«п@ - «°(ОНс[а,Ц ^ И^И^ + \\Un(XnU°) - U°||CM] ^
M4q (Ь-аM (Ь-аM М4 {b-af
^ 1180AL+ 4
1-9180(п-1L+ 4180(n-lL \-q 180(n-lL'
Таким образом, при линейной интерполяции скорость схо-
сходимости последовательности {«°(?)} была пропорциональна
—, а при использовании F.14) стала пропорциональной
1
("-IL'
6.2. Погрешности приближенных методов
При поиске приближенного решения операторного уравне-
уравнения вида F.1) неизбежно возникновение погрешностей. Их
источники связаны со следующими основными причинами: не-
неточностями в задании оператора и правой части F.1) при
постановке задачи, погрешностями применяемого метода ре-
решения F.1) и вычислительными погрешностями.
Рассмотрим сначала первую причину возникновения по-
погрешностей, записав вместо F.1) уравнение
(A + AA)u=f + Af, ueD(A)cn, / € Я(Л) С ft, F.15)
где АА и Д/ G R(AA) — искажения в операторе и правой части
F.1) соответственно, причем D(AA) Э D(A) и R(AA) С R{A).
Предположим, что операторы А и АА являются линейными
ограниченными и существует обратный оператор А'1, а иска-
искажения в операторе А достаточно малы, т.е. ||Л~' АА\\ ^ q < 1.
Тогда, согласно теореме 4.18, оператор Л + ДЛ имеет обрат-
обратный оператор S = (А + ДЛ) = А-1A + А~1АА)~1, причем с
учетом D.35) и D.37) ||5|| ^ -. Это означает, что суще-
294 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
ствует единственное решение и*, удовлетворяющее F.15):
F.16)
Из F.16) вычтем равенство Аи0 = /, где и0 — решение D.37)
и запишем
А(и* - и0) = -ААи* + Д/.
Отсюда, учитывая неравенство треугольника и D.26), получаем
||и* - и°|К \\А~1 АА\\ \\vT\\ + \\А~1\\ ЦД/II ?
l\. F.17)
Такую оценку погрешности \\и* — и°\\ называют апостери-
апостериорной (по латыни a posteriori — из последующего), поскольку
ее можно получить лишь после решения F.15), уже располагая
элементом и*.
Из F.15) с учетом оценки нормы оператора S = (А + АД)
имеем
Тогда, подставляя ||w*|| в F.17), находим априорную оценку
погрешности (по латыни a priori — из предыдущего)
||tt* - u°|| <; ^ 4q\\f\\ + ЦД/Ц). F.18)
1 -q
Для практического применения оценок F.17) и F.18) необ-
необходимы значения |f^4 ж JJ и q, нахождение которых часто являет-
является непростой самостоятельной задачей. Из F.16) и равенства
Аи0 = / получим
[А + ДЛ) {и* - и0) = - ААи0 + Д/.
6.2. Погрешности приближенных методов 295
Отсюда с учетом неравенства треугольника, D.26) и оценки
для нормы оператора 5 находим
1 КЦ + ||(Л + ал)-1!! ЦД/1К
. F.19)
Обозначим /х(/1) = ЦЛЦЦД-'Ц (в конечномерном случае /х(Д)
называют числам обусловленности матрицы оператора А).
Тогда, если \\А~1\\ ||ДЛ|| < 1, приняв q = ЦЛ-^ЩДЛЦ, из F.19)
получим
Поскольку II/H $С ||/1|| • ||tt°||, приходим к априорной оценке для
относительной погрешности
}
11/11
Отметим, что оценка F-20) зависит от относительных по-
погрешностей в операторе и правой части F.15). Ясно, что при
выполнении условия у.(А) ' j — q < 1 и больших значениях
II-"II
правая часть F.20) может существенно превысить сумму
ЦААЦ и ЦА/Ц
Прежде чем рассматривать остальные причины возникно-
возникновения погрешностей, предположим, что мы располагаем при-
приближенным решением ип уравнения F.1), полученным в дей-
действительности как итог приближенного решения уравнения
F.15). Пусть при подстановке ип в F.15) возникает невязка
$ = (А + АА)ип — / + Д/, т.е. ип удовлетворяет не F.15), а
уравнению (Д + АА)ип = / + Af + 5. Поэтому, зная невязку 8,
296 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
можно получить апостериорную оценку относительной погреш-
погрешности приближенного решения ип, если в F.20) заменить ||Д/||
на||Д/|| + ||*||:
\\ип-и°\\^ ц{А) (\\AA\\ \\Af\\ + \\8\\
IM
1ИП
Погрешность метода приближенного решения F.1) путем
замены этого уравнения на F.2) можно оценить при помоши
теоремы 6.1. Но в действительности при замене F.1) на F.2)
возникают дополнительные погрешности, так что вместо F.2)
приходится решать „возмущенное" уравнение
{Ап + ААп)хп = уп + Ауп, AyneR(An), F.22)
причем D(AAn) С D(An) и ЩААп) D ЩАп). Сравнивая F.22)
с F.15), приходим к выводу, что по аналогии с F.20) будем
иметь априорную оценку относительной погрешности решения
F.2) в виде
/||ЛЛПЦ
||уп|
где х°п и хп — решения F.2) и F.22) соответственно, а ц{Ап) —
В действительности за счет вычислительных погрешностей
при решении F.22) вместо хп получим элемент хп G D(An), под-
подстановка которого в F.22) приведет к невязке 6п. Замена в
F.23) ||Дуп|| на ||Ду„|| + ||^п|| позволяет получить апостериор-
апостериорную оценку относительной погрешности " он > вызванной
совместно второй и третьей причинами.
Наконец, следует оценить погрешность Аип, возникающую
при переходе от решения ж° уравнения F.2) к приближенному
решению ип = Un(x°n) уравнения F.1). Учитывая возможное
6.3. Метод малого параметра 297
искажение AUn оператора Un и погрешность Аж° = хп — ж°
решения F.2), находим
un + Aun = Un(x°n) + Aun = (Un + AUn)(x°n + Ax°n),
или, считая операторы Un и AUn линейными,
Aun = {Un + AUn)Ax°n + AUnxl
Отсюда с учетом неравенства треугольника и D.26), получаем
априорную оценку абсолютной погрешности
?
|^|| / \\х\\ \\и\\
Чтобы учесть еще и вычислительную погрешность, достаточно
к ||Дж°|| добавить норму невязки \\6П\\, где
5п^ип- ((/„ + Д(/„)« + Ах°п),
а йп 6 D{A) — элемент, вычисленный в итоге перехода от
решения F.2) к приближенному решению F.1). Тогда придем
к апостериорной оценке абсолютной погрешности
6.3. Метод малого параметра
Пусть в банаховом пространстве В задано операторное
уравнение Ви = /, и, f ? В, где В — линейный ограниченный
оператор из банахова пространства С(В) линейных ограничен-
ограниченных операторов. Пусть оператор В можно представить в виде
298 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
В = Во - АД, А ф 0, где Во имеет известный или достаточно
просто получаемый обратный оператор BqX G С(В). Посколь-
Поскольку в С(В) определено умножение операторов, запишем
A)u = f, feB, F.24)
где / — тождественный оператор.
Согласно теореме 4.18, оператор / — XBq1 A 6 ?(#) при
|А| ЦВ^МЦ $5 g < 1 имеет обратный оператор
k(BQ-iA)k, F.25)
к=о
причем [Bq1A)° = I. Таким образом, выбирая параметр А до-
достаточно малым по абсолютному значению, можно обеспечить
существование обратного оператора 5 € С{В).
Используя F.24) и F.25), из равенств
и теоремы 4.1 устанавливаем, что оператор SBq1 является
обратным к В. Поэтому, учитывая F.25), находим решение
уравнения F.24) в виде
^4 F.26)
к=0 /fc=O
где А = Bq1 А и й = Bq f. Из условия существования обратного
оператора 5 получаем, что ряд в F.26) сходится, если |А| <
Из F.26) получим приближенное решение
N
kAk:u. F.27)
6.3. Метод малого параметра 299
Вычитая F.27) из F.26) и оценивая полученную разность по
норме, найдем оценку погрешности приближенного решения
F.27):
ею оо
\u-uN\\B = \\ ? ХкАкЦ < ? \Х\к\\Акй\\в
k=N+l k=N+l
^\МВ. F.28)
Пример 6.2. Пусть для интегрального уравнения II рода
ь
F.29)
где А ф 0, и, / ? C[a,b], ядро K(?,t) является непрерывной в
квадрате [а, Ь]2 функцией и выполнено условие
9 = |Л|(Ь — а) max \K(?,t)\< 1. F.30)
Представим F.29) в виде операторного уравнения (Во - ХА)и =
= /, где Во = I, & А — оператор, который ставит в соответствие
функции и ? С[а,Ь] функцию v ? C[a,b] по правилу
б
v@ = jK(t,t)u(t)dt.
а
Таким образом, A: C[a,b]->C[a,b].
С учетом F.30) и примера 4.17 имеем
Ь
K{Z,t)u{t)dt
1И«||С[в,б] = max |w(OI = max
а
Ь
300 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Отсюда в соответствии с D.26) следует, что ||Л|| ^ т^г, или
I'M
|А| ЦВ^МЦ ^ q < 1, так как в данном случае Во = I. Таким
образом, полагая в F.26) А = А и и = Bq1 f = If = /, для
искомой функции получаем
\kAkf, F.31)
fc=0
причем в данном случае A°f = f, Af = tpi, где
Представим в явном виде оператор Ак, к > 1. Обозначим
(?,0 = K(?,t). Тогда можно записать A2f — <р2, где
б 6 6
2(t) = J K(t,T)w(T)dT = J K(?}T)dT J Kt(T,t)f(t)dt =
6 Ь
= Jf(t)dtJl<(tr)Kl(T,t)dT.
Обозначая
a
приходим к равенству
6.3. Метод малого параметра 301
Используя метод математической индукции, нетрудно пока-
показать, что Akf = (fk, где
причем для нахождения ядра A'jt(?,?) имеем рекуррентную фор-
формулу
6
Kk{Z,t) = j K{Z,T)Kk-.,{T,t)dT, А: = 2,3,...
a
Так как сходимость последовательности функций как эле-
элементов банахова пространства С[а,Ь] эквивалентна сходимости
этой функциональной последовательности на отрезке [а, Ь], то
F.31) равносильно равенству
? € [a, b], F.32)
k=\
причем ряд в правой части этого равенства сходится к функ-
функции и(?) равномерно на отрезке [о, Ь]. Рассмотрим некоторые
частные случаи.
В уравнении F.29) положим а = О, Ь = 1 и K(?,t) = е^~ь. Так
как max |A'(?,?)| = e, то условие F.30) будет выполнено при
|А| < 1/е. В данном случае K\(?,t) = e^~l и
1 1
K2(S,t) = J' K{Z,T)Kx{T,t)dr = j'е*-тет-Чт = е*-1.
о о
Значит, для любого номера к имеем Kk{$,t) = e^~l и Ак = А. В
соответствии с F.32) и формулой для суммы членов геометри-
302 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
ческой прогрессии получаем
00 г \ ? г
1 л J J
k=\ 0
Пусть теперь в F.29) a = 0, 6=1 и A'(?,i) = 2? - t. Тогда
условие F.30) будет выполнено при |А| < -. Найдем приближен-
приближенное решение уравнения F.29) для /(?) = 1. В F.27) ограничимся
значением Л^ = 2 и в соответствии с F.32) вычислим
о
1
о
1
о
Тогда приближенное решение примет вид
Нетрудно проверить, что точным решением уравнения F.29)
в рассматриваем случае является функция
vs/ ' 1-A/2 + AV6 1-
п л 1
которая также является линейной. При А = - различие при-
5 31
ближенного и точного решений существенно: «2 (?) = -f H «
« 1,2500^ + 0,6456 и «@ = ^t+Щя 1,4118^ + 0,7059, но уже
6.4. Общий случай метода малого параметра 303
при А = I имеем и2(?) = ~$ + ^ « 0,5625? + 0,8490 и и(?) =
= —? Н « 0,5783? + 0,8675, т.е. коэффициенты отличаются не
83 83
более чем на 2 %. #
Рассмотренная сравнительно простая процедура построе-
построения приближенного решения носит название метода малого
параметра. Однако если в операторном уравнении Ви =
= f оператор В не является линейным ограниченным, то этот
метод становится более громоздким. Модификация метода по-
потребует введения ряда дополнительных понятий.
6.4. Общий случай метода малого параметра
Пусть Л — некоторый промежуток числовой прямой, 14 —
нормированное пространство, а и: Л —> U — функция действи-
действительного переменного А, имеющая область определения Л и
область значений в U. В нормированном пространстве U с нор-
нормой || ¦ || элемент а 6 U называют пределом функции и{\) в точке
Ао € Л, если ||т*(А) - а|| —> 0 при А -? Ао, и пишут
а= lim ii(A), или и(Х) —>а при А —> Ао-
Функцию и(Х) называют непрерывной в точке Ао € Л, ес-
если ||т*(А) — х*(Ло)|| —> 0 при А —^ Ао Отметим, что функция и
является отображением метрических пространств. Поэтому
введенные выше понятия предела и непрерывности функции в
точке соответствуют понятиям предела и непрерывности ото-
отображения метрических пространств в точке [I].
Если существует предел
^и(хо)еи,
А — Ао
то элемент ii'(Ao) называют производной функции и(Х) в точ-
точке Ао. Производные высших порядков определяют (как и для
304 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
действительной функции действительного переменного) после-
последовательно. Если и(Х) имеет в точке Ао производные любого
порядка, то говорят, что функция и(Х) бесконечно дифферен-
дифференцируема в точке Ао.
Пусть {tin(A)} — последовательность функций ип: Л С R—>
Тогда можно рассматривать функциональный ряд
un(A), F.33)
n=l
элементами которого являются функции действительного пере-
переменного A G Л с областью значений в нормированном простран-
пространстве ZV. На такие ряды можно перенести все понятия, введенные
для функциональных рядов в случае U — R [IX].
Напомним, что при фиксированном А 6 Л ряд F.33) как
ряд элементов нормированного пространства U сходится к
некоторому элементу и{\) 6 U, если к этому элементу сходится
последовательность {5fc(A)} частичных сумм
этого ряда, т.е.
lim Пип{Х)-и{\) =о.
!1 *¦—' II
71 = 1
Если при некотором А 6 Л сходится числовой ряд с элементами
||iin(A)||, то ряд F.33) называют абсолютно сходящимся в точке
A G Л. Отметим, что если U — банахово пространство, то
абсолютно сходящийся ряд сходится к некоторому элементу
Множество всех точек А 6 Л, для которых ряд F.33) схо-
сходится, называют областью сходимости этого ряда, а множе-
множество всех А, для которых он сходится абсолютно — областью
6.4. Общий случаи метода малого параметра 305
абсолютной сходимости. Говорят, что ряд F.33) сходится к
функции и(Х) равномерно на множестве Л С R, если для любо-
любого е > 0 найдется номер N, зависящий только от е, такой, что
для всех A ? Л и к > ./V справедливо неравенство ||5^ — и(А) || < е.
Для рядов вида F.33) в банаховом пространстве U справедли-
справедлива теорема, аналогичная признаку Вейерштрасса равномерной
сходимости функционального ряда [IX]: если для всех А ? Л
оо
справедливы неравенства ||tin(A)|| ^в„,пбМ,и ^ an < оо, то
п=1
ряд F.33) равномерно и абсолютно сходится на множестве Л.
В дальнейшем эту теорему также будем называть признаком
Вейерштрасса равномерной сходимости ряда.
Ряд
оо
А0)*, ukeU, A,AoeR, F.34)
элементов нормированного пространства U назовем степенным
рядом с коэффициентами из нормированного пространства U.
Определение 6.1. Функцию и{\) G U называют ана-
аналитической в точке Ао G R, если ее можно представить в
некоторой окрестности этой точки сходящимся (по норме || • ||)
рядом вида F.34), т.е.
оо
ti(A) = ^tin(A-A0)n. F.35)
п=0
Так как в F.35) можно ввести новое переменное А - Ао = ^,
то в дальнейшем без ограничения общности принимаем Ао = О
и вместо F.35) будем рассматривать ряд
F.36)
п=0
Как и в случае действительных рядов, здесь справедлива тео-
теорема Абеля [IX], которую можно сформулировать следующим
306 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
образом: если степенной ряд F.36) с коэффициентами из ба-
банахова пространства U сходится в некоторой точке Ао Ф 0, то
он сходится абсолютно в каждой точке интервала (—|Ао|, |Ао|) и
сходится равномерно на любом отрезке [-г, г], где г < |Ао|; если
же этот ряд расходится в некоторой точке Х\, то он расходит-
расходится и в любой точке А, для которой |А| > |Ai|. Отсюда следует,
что для всякого степенного ряда F.36) с коэффициентами из
банахова пространства U существует такое число R ^ 0, что:
1) при |А| < R этот ряд сходится, причем абсолютно;
2) при |А| ^ г < R он сходится абсолютно и равномерно;
3) при |А| > R этот ряд расходится.
Число R при этом называют радиусом сходимости этого
ряда, а промежуток (—R, R) — интервалом сходимости. Из
теоремы Абеля следует, что радиус сходимости можно опреде-
определить соотношением
При R = 0 ряд F.36) сходится в единственной точке А = 0, а
при R = oo этот ряд сходится при любых значениях А. Оценку
снизу для радиуса сходимости устанавливает следующая лемма.
Лемма 6.1. Для радиуса сходимости степенного ряда F.36)
с коэффициентами из банахова пространства U справедлива
оценка R ^ -, если существуют такие постоянные М > 0 и к > 0,
К
что в F.36), начиная с некоторого номера п 6 N, ||tin|| ^ Мкп.
¦4 Достаточно показать, что при |А| < - ряд F.36) сходится.
АС
Пусть \Х\к — q < 1. Тогда, начиная с некоторого номера п 6 N,
имеем
Так как члены геометрической прогрессии Mqn образуют при
q < 1 сходящийся числовой ряд, то ряд F.36) в силу признака
Вейерштрасса сходится, причем абсолютно и равномерно. >
6.4. Общий случай метода малого параметра 307
Теорема 6.3. Сумма и(Х) степенного ряда F.36) с коэффи-
коэффициентами из банахова пространства U непрерывна при |А| < R,
где R — радиус сходимости этого ряда.
<4 Поскольку ряд F.36) в интервале (—R, R) сходится абсолют-
абсолютно, то ряд с действительными членами ||tin||An также сходится
при |А| < R, и его можно почленно дифференцировать в этом
интервале [IX]. Ряд с членами пЦг^пЦА™ сходится при |А| < R.
Пусть Ао € {—R, R)- Тогда для некоторого числа р 6 @, R)
справедливо неравенство |А0| < р. Обозначим
F.37)
п=1
Выберем любое число А, для которого |А| < р. Поскольку
tt(A) — сумма ряда F.36) для А 6 {—R, R), то
п=1
оо
Отсюда, учитывая F.37), получаем
n=l
и поэтому функция и(Х) непрерывна при |А| < R. >
Степенные ряды вида F.36) с коэффициентами из банахова
пространства U, так же как и ряды с действительными члена-
членами, можно бесконечно много раз дифференцировать почленно
в интервале сходимости. Справедлива следующая теорема*.
*См.: Треногий В.А.
308 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Теорема 6.4. Сумма и(Х) степенного ряда F.36) с коэффи-
коэффициентами из банахова пространства U, имеющего радиус схо-
сходимости Я, является бесконечно дифференцируемой функцией
в любой точке интервала ( — /?,/?), причем для любого А; € N
имеем
)tinAn-*1 Ае(-Я,Я), F.38)
п=к
где и^кЦ\) — производная А;-го порядка функции и{\). #
Пусть функция и{\) со значениями в банаховом простран-
пространстве U бесконечно дифференцируема в точке А = 0. Тогда
степенной ряд
т(Л,-?:=!»А-. F.39)
п=0
где ti(™)@) — производная n-го порядка функции ti(A) в точке
А = 0, причем ti(°)@) = ti@) и 0! = 1, называют рядом Тейлора
функции и(Х).
Теорема 6.5. Степенной ряд F.36) с коэффициентами
иэ банахова пространства ZY, сходящийся в интервале (—Я, Я),
является рядом Тейлора своей суммы и(Х).
¦4 Если при А€ (—R,R) справедливо F.36), то в силу теоре-
теоремы 6.4 в любой точке А интервала (—Я, Я) существуют произ-
производные т*(*)(А), к € R, функции ti(A). С учетом F.38) имеем
ti(fc)@) = k\uk. Следовательно, Uk = U ,, и
n=0 n=0
Следующая теорема, играющая важную роль применитель-
применительно к методу малого параметра, является очевидным следстви-
следствием теоремы 6.5.
6.4. Общий случай метода малого параметра 309
Теорема 6.6. Если в нормированном пространстве Ы два
степенных ряда
nA", un,vn?U, F.40)
n-0 n=0
равны при |А| < R для некоторого числа R > 0, то равны и их
коэффициенты при одинаковых степенях А, т.е. и к — Vk для
любого к. ф
Пусть ?(B,W) — банахово пространство линейных ограни-
ограниченных операторов, действующих из банахова пространства В
в банахово пространство W. Отображение В: Л С R —> С{В, W)
будем называть оператор-функцией. Отметим некоторые
свойства оператор-функций, связанные с понятием аналитич-
аналитичности.
1. Если оператор-функции В1(Х), #2(А), А ? Л, со значени-
значениями в ?(#,W) являются аналитическими в точке Ао € Л, то
оператор-функция Bi(X) + В2{Х), А е Л, также аналитична в
этой точке.
2. Если оператор-функции fli(A), Вг(А), А ? Л, со значени-
значениями в C(B,W) ?(W,Z?) соответственно аналитичны в точке
Ао G Л, то оператор-функция Б](А)°Б2(-М также аналитична в
этой точке.
3. Если оператор-функция В(А), А е Л, со значениями в
С{В) аналитична в точке Ао G Л и ||5(А)|| < 1 в некоторой
окрестности этой точки, то оператор-функция (/ — В(Х))
где / — тождественный оператор в В, аналитична в точке Ао-
4. Если оператор-функция В: Л С К -*• С(В, W) и функция
и: Л С R —у <Р аьглитичны в точке Ао G Л, то функция 5(A)ti(A),
A G Л, аналитична в этой точке. Более того, если в некоторой
окрестности точки Ао справедливы разложения
310 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
то в этой окрестности справедливо разложение
сю
B{\)u{\) = J2(BkUo + Bk-lul + ... + Bouk)\k. F.41)
*:=0
Пусть задано операторное уравнение
B(X)u = f(X), ueB, AeR, F.42)
причем В(А) <Е ?(B,W), /(А) б W и В, W — банаховы про-
пространства. Покажем, что если В(А) и и(Х) аналитичны в точке
А = 0, а оператор Во = В@) имеет ограниченный обратный опе-
оператор, то в некоторой окрестности точки А = 0 у оператора
В(Х) существует ограниченный обратный В (А), являющийся
аналитической оператор-функцией. При этом уравнение F.42)
имеет единственное решение и(Х) = В (А)/(А), которое также
является аналитической функцией в точке А = 0.
Представим оператор В(А) в виде
В(А) = В0-(В0-В(А)) =
= Во°(/ - fi0"' °(Во- В(Х))) = В0о{1 - Л (А)), F.43)
где Л (А) = BqX о (Во - В(А)) — оператор, отображающий В в се-
себя и являющийся ограниченным как композиция ограниченных
операторов.
Из аналитичности оператора В(А) в точке А = 0, согласно
теореме 6.3, вытекает его непрерывность в этой точке. Поэто-
Поэтому существует такое число г > 0, что при |А| < г
1И(А)||<||В-1Ы|В(А)-Во|и<1. F-44)
Следовательно, согласно теореме 4.18, при |А| < г оператор
/ —Л(А) имеет ограниченный обратный оператор (/-Л (А)).
Но тогда и у В (А) существует ограниченный обратный опера-
оператор В (А) = (/ - Л(А)) °Bq1 . Так как Л(А) является анали-
аналитической в точке А = 0 оператор-функцией, то В (А) также
аналитическая оператор-функция в этой точке.
6.4. Общий случай метода малого параметра 311
Таким образом, уравнение F.42) при |А| < г имеет един-
единственное решение и(Х) = В-1(А)/(А). Если функция /(А) ана-
литична в точке А = 0, то решение и(Х) — аналитическая в
точке А = 0 функция, т.е. при |А| < R для некоторого R > 0 в
соответствии с F.36) имеем
ukeB. F.45)
fc=o
Покажем, как можно найти коэффициенты ик в F.45), если
известны представления оператор-функции В(А) и функции
/(А) в виде степенных рядов с коэффициентами из банахова
пространства. Пусть при |А| < р
и /(А) = ?/***• F.46)
fc=o fc=o
Тогда R = min{p, г}. Подставляя F.45) в F.42) и учитывая
F.46), приходим при |А| < R к тождеству
Ч=о ' fc=o fc=o
или в соответствии с F.41)
со со
^2(Вки0 + Bk-lUl + ... + Bouk)Xk =
k=0 k=0
Приравнивая, согласно теореме 6.6, коэффициенты при оди-
одинаковых степенях А, получаем систему операторных уравнений
fifctin_fc = /n, n€N. F.47)
fc=o
312 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Решая эти уравнения последовательно, имеем
«о = Bq /о,
«1 = В'1 о (/,-В, «о),
и2 = Б^ о (/2 - Bjtti - В2и0),
Вычислив n + 1 первых элементов «ь А; = 0, п, найдем п-ю
частичную сумму ряда F.45), которую можно принять за при-
приближенное решение
p,r} F.48)"
к=\
уравнения F.42).
Пусть В(Х) и /(А) в F.42) таковы, что для коэффициен-
коэффициентов Вк и /к в разложениях F.46), начиная с некоторого номера
к ^ 1, справедливы оценки ||Д||уу ^ М\Оск и ||fifc оS^1| ^ М(Зк~1.
Тогда F.42) имеет единственное решение в виде степенного
ряда с радиусом сходимости R ^ min < -, ——— >. Действи-
Действительно, при а\Х\ — q < 1, начиная с некоторого номера к, имеем
II/fcAfc||w = II fkHvv IA|fc ^ Мхак\Х\к = МцК
Отсюда, согласно лемме 6.1, следует оценка снизу р ^ — для
радиуса сходимости степенного разложения /(А) в F.46). Кро-
Кроме того, если |А| < ———, а значит, и \Х\0 < 1, то, используя
F.43), первое разложение F.46) и формулу для суммы членов
6.4. Общий случай метода малого параметра
313
убывающей прогрессии, получаем
|И(Л)|| = \\В? о (В{\) - Во)\\ < ЦБ о
(
Jt=i
M|A|
Таким образом, при г =
м+р
выполнено условие F.44), и
(М +13)
F.42) имеет единственное решение, которое при |А| < г можно
представить в виде степенного ряда F.45) с радиусом сходи-
сходимости
Пример 6.3. Линейное интегральное уравнение
7Г
- ^ J
u(t) cos(? -1 + \?t) dt = f(?),
F.50)
определяемое параметром А^О и функцией /€С[—тг,тг], не
зависящей от А, рассмотрим как операторное уравнение с
линейным оператором В(Х): С[—7Г,7г] —> С[—7Г,7г], являющимся
ограниченным для любого A G К. Так как / не зависит от А, то
в данном случае в F.47) /0@ = /(О и /п(О = 0. п е N.
Найдем разложение оператор-функции В{\) в степенной
ряд. Поскольку
dk
А=0
л=0
314 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
то получим разложение в ряд Тейлора [IX]
fc=O
Следовательно, для любого элемента и G С[—7г,7г] имеем
1 /*
u{?) = u(t)- — J U(t
—ir
Поскольку при t, A G [—тг, я1]
\\u\\n™\\\k 2|А|
то символы суммы и интеграла можно поменять местами [IX].
В итоге для любого А 6 К имеем
оо Afc-
BW .(О = «о - Е 5F / "
fc—о
оо
или Я(А) = Е flfcAfc, где
fc=O
Во«@ = «(О ~^f u(t) cos(e - t) dt,
— 7Г
, teN.
Будем искать решение уравнения F.50) в виде
е€[-7Г,7г], «fcGC[-T,7T]. F.51)
6.4. Общий случай метода малого параметра 315
Первое уравнение в F.47) примет вид
МО - ^/МО cos(? -t)dt = /(О, F.52)
а для произвольного n
= 0. F.53)
Так как cos(? — t) = cos? cost + sin^ sin t, равенство F.52)
можно записать в виде
F.54)
где
d = — uo(t) costdt, C2 = — / uo(t) sintdt.
2тг J zn J
Умножим F.54) поочередно на cos? и sin ? и после интегриро-
интегрирования по ? от — 7Г до 7Г найдем
1Г
Ci = - I f(t) costdt, C2 = - I f{t) sintdt.
к J n J
—ir —ir
Таким образом, F.54) эквивалентно уравнению
МО = /(О + \J f(t) cos(e - *) Л, F.55)
316 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ А НАЛИТИ ЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
т.е. F.52) для любой функции / G С[—7Г, 7г] имеет и при том
единственное решение в С[—7Г,тг]. Поэтому существует опера-
оператор Bq1 , обратный к оператору Во, причем для норм в С[—7Г,7г]
имеем
|«о|| = Klf\\ $ II/II + - max I ff(t)
7Г ?€[-7г,тг] I/
Следовательно, ||fl0 !|| ^ 1 + -.
При п=1 в F.53) имеем
т.е. интегральное уравнение, аналогичное F.52). Таким обра-
образом, функция «i(?) также представима в явном виде. Подоб-
Подобным образом можно найти решения уравнений, получаемых из
F.53) для последующих значений п.
Можно показать, что для нормы оператора Bk, k G N,
справедливо соотношение ||flfc|| ^ -п2к = 2тг(тг2)*~1, и поэтому
Hflifcflo1!! ^ Bтг + 8)(тг2)А:-1, т.е. в F.49) М = 2тг + 8 и C = тг2, а
так как в данном случае в F.46) Д = 0, к 6 N, то в F.49) а = 0.
Таким образом, существует и единственно решение уравнения
F.50) в виде степенного ряда F.51), который в соответствии с
F.49) имеет радиус сходимости й^ — «0,0414.
iR
о
1 1
К г
6.4. Общий случай метода малого параметра 317
Пример 6.4. В качестве иллюстрации применения метода
малого параметра к решению краевой задачи рассмотрим на-
нахождение приближенного установившегося распределения тем-
температуры T(r,z) в тонкой оптиче-
оптической линзе (рис. 6.2). Неоднородное
температурное поле, возникающее
при воздействии на линзу различ-
различных энергетических факторов, вы-
вызывает термоупругие напряжения,
которые влияют на качество изо-
изображения в оптической системе в
связи с появлением термооптичес- Рис. 6.2
ких аббераций*.
Пусть объем V, занимаемый осесимметричной линзой тол-
толщиной Н, ограничен участком Sr круговой цилиндрической
поверхности радиуса R и двумя гладкими преломляющими по-
поверхностями S\ и 5г, образованными вращением вокруг оси
линзы кривых, заданных зависимостями z = /i(r) и z = /г(г)
соответственно (см. рис. 6.2). При постоянных значениях ко-
коэффициента А теплопроводности линзы и объемной мощности
Ая)
1у энерговыделения установившееся осесимметричное распре-
распределение температуры в линзе, описываемое функцией T(r,z),
зависит от двух координат: радиальной г и осевой z. Эта функ-
функция удовлетворяет уравнению Пуассона
4-
Температуру на поверхности Sr примем равной Tr, т.е. гра-
граничное условие на этой поверхности имеет вид
T(R,z) = Tr. F.57)
На преломляющих поверхностях происходит теплообмен с окру-
окружающей средой, имеющей постоянную температуру Г«. Его
*См.: Зино И.Е., Тропп Э.А.
318
6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
интенсивность на поверхностях Si и S2 характеризуют коэф-
коэффициенты теплообмена <*i и а2 соответственно, входящие в
граничные условия третьего рода [XII]
дТ
дТ
= а2(Т* - Т)
F.58)
Производные функции T(r,z) по направлениям щ и п2, опре-
определяемым единичными векторами п\ и п2 внешних нормалей в
точках поверхностей S\ и 52 соответственно, можно выразить
через производные по координатам гиг, используя направля-
направляющие косинусы этих нормалей относительно осей От и Ог\
Л (г)
cos(nbr) =
cos(n2)r) = --
Л (г)
Введем безразмерные координаты р= — и ? = ~ и обозна-
чим е— -р, Q = Iy —. Тогда краевая задача F.56)-F.58) будет
эквивалентна следующей краевой задаче для функции T(p,Q-
Уравнение F.56) примет вид
>-q-) + -q72= ~e2Q, F.59)
условие F.57) — TA,Q = Tr, а вместо F.58) получим
дТ дТ^
Jp~~~d
Jl+e'f*(p) F.60)
С—/i \P)
дТ
= Bi2(T.-T)
С=/ая(р)
?(p), F-61)
6.4. Общий случай метода малого параметра 319
где Ш = Ш, Up) = ^Ш и Bit = =?, Bi2 = ^. Отме-
тим, что безразмерный параметр Bi = ^— является отношением
термического сопротивления — пластины толщиной Я, выпол-
1
неннои из материала линзы, к термическому сопротивлению -
a
теплообмена с окружающей средой*.
В данном случае F.59) соответствует операторному уравне-
уравнению В(е)Т = /(е), где f(e) = -e2Q и В: C2(V) -> C(V), причем
B=(B0 + e2B2)eC(C2(V),C(V)), где
{н\2
Для тонкой линзы параметр е = ( — I -С 1, т.е. является ма-
малым. Поэтому в F.60), F.61) примем
F.62)
F.63)
Решим сначала задачу F.59)-F.61), не принимая во вни-
внимание граничное условие на поверхности Sr. Распределение
температуры с учетом вида функций В(е) и f(e) будем искать
в виде
Т(р, С) = е2ЩР, С) + е% (р, С) + .. •, F.64)
считая, что числа Био Bii и Bi2 имеют порядок единицы. Под-
Подставляя F.64) в F.59) и учитывая приближенные равенства
F.62) и F.63) в уравнениях F.60) и F.61), после приравнива-
приравнивания нулю выражений при каждой степени параметра е получим
'Этот параметр называют числом Био в честь французского физика
Ж.Б. Био A774-1862).
320 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
последовательно решаемую совокупность краевых задач отно-
относительно функций To(p,Q, T\(p,Q и т.д. Так, для нахождения
первой из этих функций имеем уравнение
д?Г = -Q F-65)
с граничными условиями
-^? = В1,(Г.-Го), ^ = Bi2(T.-f0) F.66)
при С = fi{p) и С = h{p) соответственно. Функция T\{p,Q
должна удовлетворять уравнению
д? " рдР\р dp)
(
рдР\р dp
и граничным условиям
+ Bi2Ti = h{p)Q 2/
при С — fi{p) и С — f2ip) соответственно.
Дважды интегрируя уравнение F.65), получаем
| оИ- F-67)
Подстановка этого представления в граничные условия F.66)
приводит к системе алгебраических уравнений относительно
функций С\{р) и Сг(/э). Решая систему, находим
C1(p) =
CQ{p) = Qfx f2 2
6.4. Общий случаи метода малого параметра 321
iBi,Bi2 {h-h) - Bi! - Bi2
В этих формулах у функций j\ и /2 опущен аргумент р. Далее
можно перейти к нахождению функции T\(p,Q и т.д.
Подчеркнем, что функции To(p,Q, Ti(p,Q, ••• найдены без
учета граничного условия на поверхности 5л- Поэтому и
решение T(p,Q в виде F.64) не обязательно удовлетворяет
этому условию.
Найдем теперь решение T(p,Q краевой задачи для однород-
однородного уравнения, соответствующего F.59), и однородных гра-
граничных условий, соответствующих F.60), F.61), но потребуем,
чтобы было выполнено условие ГA,С) +ТA,?) = Tr на поверх-
поверхности Sr. При решении этой задачи используем безразмерные
координаты ?= —- и С,. Тогда решение «(?,?) —Т{\ —е?Х) на
поверхности Sr должно удовлетворять равенству
и@,С)+ГA,С) = Гя. F.68)
Решение «(?,?) будем опять искать в виде
24i(?,C) + --.. F-69)
причем un(?,Q -* 0 ПРИ ? —>• °° Для п — 0,1, 2,..., и в соответ-
соответствии с F.64) и F.68) «о@,С) = Tr - fo(l,С), «i@,C) = -Ti(l,С)
и т.д. Кроме того, функция «(?,0 должна удовлетворять од-
однородному уравнению
84 е Эй 82и А /с_
+ +° FJ0)
322 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
которое соответствует неоднородному уравнению F.59) после
. 1-р
замены ? = —-, и однородным граничным условиям
(ел)
F.72)
при С = 7i (?) = Л A - e?) и С = /г (О = Л A - ?f) соответственно,
которые следуют из условий F.60), F.61) после указанной
замены.
Если подставить F.69) в F.70), то, приравнивая нулю вы-
выражения при каждой степени параметра е, для нахождения
функции ио(?,С) получим уравнение Лапласа
~^ + ^ = 0> F>73)
Введение безразмерной координаты ? привело к растяжению
области, прилегающей к поверхности 5д, в направлении изме-
изменения этой координаты. Поэтому эту область можно прибли-
приближенно представить полубесконечной полосой, заданной нера-
неравенствами
(К ?<<*>, 7i@KCO2@),
и F.73) рассматривать в такой полосе. Тогда, подставляя раз-
разложение F.69) в уравнения F.71) и F.72), а затем приравнивая
нулю выражение при е2, можно положить f\(?) = /2(?) = 0 и
для функции ио(?,С) получить однородные граничные условия
F.74)
при С = /i@) и С = /г@) соответственно. Краевая задача для
F.73) с граничными условиями F.74), ио@,С) = TR - Т0A,С)
6.5. Метод ортогональных проекций 323
и wo(?tC) —* О ПРИ ? —> оо может быть решена методом Фурье
(разделения переменных) [XII] или при помощи интегрального
преобразования либо на отрезке [/^0), /г@)], либо в полуогра-
полуограниченном промежутке [0, оо] [XI]. Формулировки краевых за-
задач для нахождения функций мп (?,?), " € N, входящих в правую
часть F.69), являются более громоздкими, но решение этих за-
задач можно получить теми же методами.
В итоге, согласно принципу суперпозиции решений [XII],
функция
будет решением исходной краевой задачи F.56)-F.58).
6.5. Метод ортогональных проекций
Пусть искомая функция и удовлетворяет операторному
уравнению
Au = f, F.75)
где А — линейный непрерывный оператор, области определе-
определения D(A) и значений R(A) которого являются всюду плотными
подмножествами гильбертова пространства % со скалярным
произведением {¦, •). Если перенести заданный элемент / в ле-
левую часть этого уравнения, то получим равенство
Au-f = O,
где 0 — нулевой элемент в %. Выберем в % счетный базис {v^}-
Тогда это равенство, согласно теореме 5.1, можно заменить
системой эквивалентных равенств
(Аи - f, vk) = О, fceN. F.76)
Пусть последовательность {ип} образует в D(A) счетный
базис. Тогда в соответствии с D.52) искомый элемент и 6 D(A)
324 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
можно единственным образом представить в виде
оо
« = ?ап«„, а„еК, uneD(A). F.77)
n=l
Подставляя F.77) в F.76) и учитывая свойства скалярного
¦произведения и оператора А, получаем
(Аи, vk) = ( Л]Рапмп, vk \ = (A YimJ?2anuni vk) =
\ N
vk) = lim Y*an (Aun, vk) =
' n=l
N-+oo
v n=l
n=l
Таким образом, система равенств F.76) равносильна сис-
системе
оо
?>п(Л«п,т;*) = (/>*), fc6N, F.78)
n=l
представляющей собой бесконечную систему линейных алге-
алгебраических уравнений относительно координат ап элемента
и в базисе {ип}. Если в F.77) ограничиться первыми N эле-
элементами ип счетного базиса, т.е. приближенно принять
N
u&uN =]Pantin, uneD(A), F.79)
n=l
и в F.78) ограничиться первыми N равенствами, в которых
суммирование выполняется от 1 до N, то получим конечную
систему N линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
N
«n (Aun, vk) = </,«*>, k = T^/V, F.80)
n=l
6.5. Метод ортогональных проекций 325
относительно N первых координат ап. Элементами матрицы
такой системы будут скалярные произведения (Aun,Vk)-
Решения СЛАУ F.80) при различных N естественно рас-
рассматривать как приближения неизвестного решения уравнения
F.75). Если, в частности, {vk} является ортонормированным
базисом в 71, то решению СЛАУ F.80) соответствует реше-
решение un вида F.79) уравнения А^и = /дг, где А^ — оператор,
действующий из iV-мерного подпространства Djy(A), совпа-
совпадающего с линейной оболочкой системы {tin}yv, в iV-мерное
подпространство Rjv(A), совпадающее с линейной оболочкой
системы {«^}дг. При этом Apju совпадает с N-i/i частичной
суммой разложения элемента Аи по базису {и^}, а /дг является
оо
/V-й частичной суммой ряда f = J2 fkvk, где Д = (/, Vk).
Jt=i
Однако в случае произвольного базиса {vk}, даже если опре-
определитель матрицы СЛАУ F.80) отличен от нуля, нельзя утвер-
утверждать, что последовательность {идг} приближенных решений
вида F.79) при N —>• оо сходится к классическому и0 или слабо-
слабому и* решениям уравнения F.75). При некоторых ограничениях
ответ на вопрос о сходимости {itjv} K ио или к и» удается ре-
решить теоретическим путем (см. Д.6.1). Однако на практике
часто приходится ограничиваться лишь сравнением между со-
собой нескольких приближенных решений.
Описанная схема построения приближенного решения урав-
уравнения F.75), приводящая к СЛАУ F.80), лежит в основе боль-
большой группы приближенных аналитических методов, которые
обычно объединяют под общим названием метод ортого-
ортогональных проекций. Такое название объясняется тем, что ра-
равенства F.80) представляют собой условия ортогональности
элемента Aupj — f всем базисным элементам Vk N-мерного под-
подпространства Rpf(A). При этом функции ип, п = 1, N, которые
используют для представления приближенного решения F.79),
называют базисными, а функции Vk в СЛАУ F.80) — проек-
проекционными.
326 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Метод ортогональных проекций является частным случа-
случаем проекционного метода, в котором условия равенства ну-
нулю проекций невязки Ай^ — f операторного уравнения
на элементы Vk, k=l,N, базиса N-мерного подпространства
tiN С ЩЛ) имеют более общий вид (см. Д.6.1). Если R(A) с
С Z/2(K), то чаще метод ортогональных проекций называют ме-
методом взвешенных невязок. В этом случае счетный базис в
R(A) будет образован последовательностью {и*} действитель-
действительных функций v^, к G N, так что F.80) можно рассматривать
как N условий равенства нулю определенного в L,2(R) скаляр-
скалярного произведения невязки операторного уравнения и весовых
функций Vk, к = 1, N. Иногда процедуру применения F.80)
называют методом моментов, или методом Галеркина —
Петрова*.
Особенности каждого конкретного метода в группе мето-
методов, определяемых условиями F.80), зависят от выбора счетных
базисов в D(A) и R(A). Такие методы рассмотрены ниже.
6.6. Коллокации в подобластях и в точках
Рассмотрим один из наиболее простых приемов нахожде-
нахождения приближенного решения операторного уравнения Аи = f
F.75). Пусть области определения D(A) и значений R(A) опе-
оператора А, входящего в F.75), являются всюду плотными под-
подмножествами гильбертова пространства L,2(V) функций, сум-
суммируемых (интегрируемых по Лебегу) с квадратом в области
V С Rm.
Разобьем V на N подобластей Vjt, к = 1, N, так, чтобы
выполнялось равенство
N
*Б.Г. Галёркин A871-1945) — российский инженер и ученый в области
механики. Г.И. Петров A912-1987) — российский ученый в области меха-
механики.
6.6. Коллокации в подобластях и в точках 327
где Vk П V/ = 0 при к ф /, причем мера Лебега множества V \ Vo
равна нулю. Для любого к = 1, N примем
С6-81)
Используя схему построения метода ортогональных проек-
проекций, приближенное решение уравнения Аи = / будем искать в
виде F.79)
N
n=l
где ип, n—l,N, — первые N элементов счетного базиса в
D(A), a N коэффициентов ап являются решением системы
линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида F.80)
» г г
?>n / AundV= fdV, k=l,N, F.82)
n=l $ $
поскольку в L,2(V) с учетом F.81)
(Aun, vk) = / Aunvk dV = / Aun dV,
vk
V Vk
Описанную процедуру поиска приближенного решения урав-
уравнения Аи — f называют методом коллокации е подобла-
подобластях Vk, к — 1, N (по латыни collocatio — размещение, расста-
расстановка), или методом разделения области V.
Пример 6.5. Особенности применения метода коллока-
коллокации в подобластях рассмотрим на примере хорошо известной
328
6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
°1 II 1 1 I 11 1 Л
Рис. 6.3
задачи из курса сопротивления материалов, имеющей точное
решение. Пусть шарнирно закрепленная на концах балка имеет
постоянную по ее длине / жесткость ?7, на изгиб (Е — мо-
модуль упругости материала балки, /» — геометрический момент
инерции ее поперечного сечения) и нагружена равномерно рас-
распределенной подлине поперечной нагрузкой q = const (рис. 6.3).
Зависимость поперечного прогиба w(x) балки от продольной
координаты х удовлетворяет обыкновенному дифференциаль-
дифференциальному уравнению (ОДУ) четвертого порядка
d4w(x) _
l*~dx^~-q>
F.83)
и граничным условиям
W(Q) = WA)=:
d2w(x)
х=0
_ d2w(x)
dx2
= 0.
x=l
Перейдем в F.83) и в граничных условиях к безразмерным
— * х ,*ч E]*
величинам, обозначив ? = - и щ(?) = —
€@,1),
de
F.84)
= 0.
Решение краевой задачи F.84) можно получить последователь-
последовательным интегрированием и нахождением произвольных постоян-
постоянных из граничных условий.
6.6. Коллокации в подобластях и в точках 329
Дважды интегрируя дифференциальное уравнение в задаче
F.84), получаем
и из условия
= 0 находим C-i = 0, а затем из условия
= 0 вычисляем С\ = --, так что можно записать
2
промежуточный результат в виде ОДУ второго порядка
с граничными условиями и@) = иA) = 0. В свою очередь
двукратное интегрирование F.85) дает
Из условия щ@) = 0 следует, что С\ — 0, а затем из условия
нA) = 0 вычисляем Сз = —. В итоге получаем
«й=й-й+1г F-86)
Найдем теперь приближенное решение краевой задачи F.84)
методом коллокации и сравним с точным решением. Точность
приближения будем оценивать по отличию приближенного ре-
решения от точного в точке максимального прогиба балки. Для
точного решения из необходимого условия экстремума функ-
функции и(?)
= e e 1
6 4 24
330 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
находим стационарную точку ? = -, в которой эта функция
имеет максимум, так как из F.85) следует, что "'2' < 0 при
f € @, 1). В этой точке максимальное значение безразмерного
прогиба балки в соответствии с F.86) равно
и* = — «0,01302. F.87)
Оценим теперь это значение при помощи метода коллокации.
В F.84) операторное уравнение содержит линейный опера-
тор А = -j-j, определенный на всюду плотном линейном мно-
многообразии X С Z/2[0,1] четырежды непрерывно дифференциру-
дифференцируемых на отрезке [0,1] функций. В качестве счетного базиса
в этом подпространстве выберем систему функций sin пж? ?
G D(A), n G N, удовлетворяющих однородным граничным усло-
условиям краевой задачи F.84).
В методе коллокации сначала ограничимся случаем N = 1.
Тогда в представлении F.79) имеем u(f) и щ (?) = а\ sin тг?, а в
F.82) Vi = V = [0,1] и dV = df, так что из F.82) получим
или
" ..... 1
Отсюда a\ — —j и 0,01613, т.е. в этом приближении максималь-
максимальный безразмерный прогиб Wj = —- балки примерно на четверть
превосходит его точное значение и* в F.87).
При N — 2 имеем «2(О = aisin7r? + a2sin2^. Точкой ^ =
= 1/2 разобьем отрезок [0,1] на два промежутка V\ = [0, 1/2] и
6.6. Коллокгщии в подобластях и в точках 331
V2 = A/2,1] и в соответствии с F.82) запишем СЛАУ относи-
относительно коэффициентов а\ и а^'-
1/2 1/2 1/2
4 • d4 in 2тг? ,r /
ооо
1 1 1
4 ^ /
1/2 1/2 1/2
Учитывая, что
d3sin7r?
определим коэффициенты записанной СЛАУ:
1/2 . 1/2 ,
sin
о о
1 1
1/2 1/2
Так как правые части обоих уравнений равны 1/2, окончатель-
окончательно получаем СЛАУ
1 .. 1
из которой следует, что a2 = 0 и снова ai = —j. Итак, при рав-
равномерном разбиении отрезка на #ве части (N = 2) получили то
же решение, что и при N = 1. Такой результат не является слу-
случайным. Дело в том, что функция sin2:r? нарушает симметрию
прогиба симметрично нагруженной балки (см. рис. 6.3).
332 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
При N = 3 используем равномерное разбиение отрезка [0,1]
на три промежутка V\ = [0, 1/3], V2 = A/3,2/3) и V3 = [2/3,1].
В этом случае
F.88)
1/3
и система F.82) принимает вид
1/3
0
2/3
1/3
1/3
f dtsin
J ~W
0
2/3
1/3
1/3
0
2/3
1/3
f ,c
0
2/3
1/3
"
/¦d4sin
2/3
2/3
2/3
Вычисляя интегралы, получаем СЛАУ
2/3
- 54a3 = -,
4 1
решением которой являются а! = —-, а2 = 0, а3 = j. При
У7Г 4ОТГ
= 1/2 вычислим максимальный безразмерный прогиб балки
0,01427,
превышающий примерно на 10% его точное значение и*.
6.6. Коллокации в подобластях и в точках 333
Теперь применим метод коллокации в подобластях к реше-
решению ОДУ F.85) второго порядка. При N = 1 имеем щ (?) =
= c^sin^ и в соответствии с F.82) запишем
1
или а\ ¦
Отсюда —27rai = , или aj = — и 0,01326. В этом прибли-
приближении максимальный безразмерный прогиб Mj « 0,01326 балки
лишь на 2% выше его точного значения и*. В случае W = 2
возникает ситуация, аналогичная рассмотренной выше.
При N = 3 приближенное решение имеет вид
из (f) = **i sin 7г? + a2 sin 27г? + S3 sin Зя-f. F.89)
Тогда, разбивая отрезок [0,1] равномерно на три промежутка
и используя F.82), приходим к СЛАУ
Si + 6a2 + 12й3 =
162тг'
13
7
Hi - 6а2 + 12а3 =
162тг
Отсюда сначала находим а2 = 0, а затем Ъ\ = ——- и аз= .
Максимальный безразмерный прогиб балки
239
что всего на 0,23% отличается от его точного значения и*.
Таким образом, применение метода коллокации по подобла-
подобластям к решению одной и той же задачи о прогибе балки, но
описываемой ОДУ различных порядков, дает более точный ре-
результат в случае уравнения более низкого порядка. #
334 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Перейдем к рассмотрению другого пути построения при-
приближенного решения операторного уравнения Аи = /. Коэф-
Коэффициенты ап в представлении F.79) будем искать из условия
равенства нулевому элементу 0 невязки Аи — f этого оператор-
операторного уравнения в заданной системе N точек хь €.V, k = 1, N.
Тогда вместо F.82) получим СЛАУ
JV
Y^anAun(xk) = f(xk), k = TN. F.90)
n=l
Такую процедуру поиска приближенного решения уравнения
Аи = f называют методом коллокации в точках, а точки
Xk G V — точками коллокации.
Пример 6.6. Применим метод коллокации в точках к ре-
решению краевой задачи F.84). При N = 1, приняв как и в при-
примере 6.5 и\ (f) = a\ sin7rf, для точки fi = 1/2 в середине отрезка
[0,1] вместо F.90) запишем
или а,\п4 = 1, т.е. а\ = — и 0,01027. В этом случае макси-
максимальный безразмерный прогиб и\ = а\ балки примерно на 20 %
ниже его точного значения и* в F.87). Отметим, что резуль-
результат весьма чувствителен к выбору точки коллокации. Так,
выбрав fi = -, получим uj" = ^- и 0,01452, а при fi = - полу-
чим Uj = — и 0,02053. Ясно, что существует точка fi € @,1),
обеспечивающая совпадение значения Uj с и*, однако ее можно
найти, лишь зная заранее значение и*. Но и в этом случае при-
приближенное решение щ(?) не будет совпадать на отрезке [0,1] с
точным решением F.86).
Нетрудно проверить, что при N = 2 и симметрично располо-
расположенных на отрезке [0, 1] точках коллокации ^1=<и^2 = 1—*в
приближенном решении ui(?) =aisin7r? + a2sin27rf всегда a2 = 0
6.6. Коллокации в подобластях и в точках
335
и а\ =
Так, при & = - и ?2 = ~ имеем а! = -7Г-
n* sin nt
?3 0,01185.
В случае N = 3 функция м3(?) имеет вид F.88) и при выборе
равномерно расположенных на отрезке [0, 1] точек коллокации
?j = - f2 = т и ?з = Ti используя F.90), приходим к СЛАУ
4 L 4
81а3 1
-81а3 = -т,
7Г
I л/5'
из которой находим а\ =
81а3
л/2
л/2 + 1
п >/2 — 1 п л
= 0 и а3 = ,-.„ . ¦ Прибли-
женное значение максимального безразмерного прогиба балки
равно
1 40\/2 + 41
из —
~ аз =
2тг4
162л-4
! 0,01237,
что на 5% меньше его точного значения и* в F.87).
Применим теперь метод коллокации в точках к решению
ОДУ F.85) второго порядка. Используя при N =1 приближен-
приближенное решение в виде щ (?) = Hi sin 7г? и точку коллокации ?i = 1/2,
в соответствии с F.90) запишем
Отсюда — п2а\ — — или а\ == —-^ та 0,01267. В этом прибли-
8 ~ 8тг
жении максимальный безразмерный прогиб Uj та 0,01267 балки
лишь на 2,7% ниже его точного значения и* в F.87). При N = 2
ситуация аналогична рассмотренной выше. В частности, при
равномерно расположенных на отрезке [0, 1] точках коллокации
fi = 1/3 и ?2 = 2/3 имеем а2 = 0 и Hi = Щ = ¦ 2 та 0,01300.
336
6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Используя при N = 3 F.90) и F.89) и принимая
= 1/2 и ?3 = 3/4, получаем СЛАУ
= 1/4,
~ , 9а3
Отсюда находим сначала аг = 0, а затем Hi =
3\/2-4
576ж2
64 ж4
и а3 =
. Вычисляя максимальный безразмерный прогиб балки
и3 =
- а3 =
3>/2~ + 4 3>/2-4
64тг2
5767Г2
72тг2
: 0,01301,
устанавливаем, что он менее чем на 0,1 % отличается от точно-
точного значения и* в F.87).
Итак, применение метода коллокации по точкам дало луч-
лучшие результаты (как и в примере 6.5) при описании прогиба
балки при помощи ОДУ более низкого порядка.
Пример 6.7. Рассмотрим применение метода коллокации
для решения уравнений в частных производных. Остановимся
на сравнительно простом примере линейной одномерной зада-
задачи нестационарной теплопроводности в пластине толщиной h.
Пусть зависимость температуры T(t,x) от времени t и коорди-
координаты х удовлетворяет уравнению теплопроводности
с начальным условием Т@,х) = То при ( = 0 и граничными
условиями
= 0, T{t,h)=T*, F.92)
дх
х=0
6.6. Коллокгшии в подобластях и в точках 337
где a — коэффициент температуропроводности материала пла-
пластины, а Т* — заданная температура поверхности пластины
при x = h. Отметим, что первое условие в F.92) по физическому
смыслу означает идеальную тепловую изоляцию поверхности
пластины при х = 0.
Приближенное решение задачи будем искать в виде
F.93)
удовлетворяющем F.92). Неизвестную функцию D(t) снача-
сначала найдем приближенно методом коллокации в подобластях,
положив N = 1. Для этого после подстановки F.93) в F.91)
проведем осреднение по всей толщине пластины:
дТ „d2f\ J Г/ x2\dD(t)
ЯдТ
¦зг-
d
0
В результате приходим к однородному ОДУ
решение которого имеет вид
D(t) = D@)exp(-3p) = ?>@)exp(-3Fo), F.95)
~t J
где ?о — —^ — число Фурье, имеющее смысл безразмерного
времени, a D@) — пока неизвестное начальное значение функ-
функции D(t).
Отметим, что в данном случае осреднение F.91) по тол-
толщине пластины соответствует выполнению закона сохранения
338 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
тепловой энергии для этой пластины. Поэтому применительно
к задачам теплопроводности метод коллокации в подобластях
при N — 1 иногда называют интегральным методом теплового
баланса.
Для нахождения значения D@) в F.95) можно потребовать,
чтобы распределение T(t,x) F.93) температуры при ? = 0 удо-
удовлетворяло в среднем по толщине пластины начальному усло-
условию:
Отсюда D@) = 2(Г* - То) и в итоге, подставляя F.95) в F.93),
получаем приближенное решение
f{t,x) = T*-1(T*- To) (l - У exp(-3Fo).
Введем новую функцию
T*-f(t,x)
*>- Т* - То '
где ? = -, и представим полученное приближенное решение в
безразмерной форме:
01(Fo,e) = 3^-exp(-3Fo), ? ? [0,1]. F.96)
Известно точное решение T(t,x) рассматриваемой задачи.
Это решение в безразмерной форме имеет вид*
«an
"См., например: Зарубин B.C., 1983.
6.6. Коллокации в подобластях и в точках
339
Таблица 6.1
Fo
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,80
1,00
1,50
2,00
Точное
решение
e(Fo,0 F.97)
? = о
1,000
1,000
0,999
0,992
0,975
0,949
0,772
0,609
0,474
0,371
0,290
0,177
0,108
0,032
0,009
1,000
0,995
0,954
0,897
0,842
0,792
0,605
0,471
0,368
0,287
0,225
0,137
0,084
0,024
0,007
I
F.96)
? = о
1,500
1,413
1,330
1,253
1,180
1,111
0,823
0,610
0,452
0,337
0,248
0,136
0,075
0,017
0,004
1риближенное
F.98)
? = 0
1,234
1,175
1,118
1,063
1,013
0,964
0,753
0,588
0,460
0,359
0,281
0,171
0,105
0,031
0,009
Z = Ci
1,000
0,952
0,906
0,862
0,821
0,781
0,610
0,477
0,373
0,291
0,228
0,139
0,085
0,025
0,007
решение 6i(Fo,?)
F.100), F.101)
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
0,951
0,705
0,522
0,387
0,288
0,212
0,116
0,064
0,015
0,003
F.125)
? = о
1,250
1,189
1,131
1,076
1,023
0,974
0,758
0,590
0,460
0,358
0,279
0,169
0,103
0,029
0,008
В табл. 6.1 приведены результаты расчета (с точностью
до трех знаков после запятой) значений функций ©i(Fo,?) и
0(Fo,?) при ? = 0 по формулам F.96) и F.97) для различных
значений Fo. Сравнение этих результатов показывает, что при-
приближение F.96) является довольно грубым, особенно при малых
значениях Fo (при Fo ^ 0,1 результаты расчета по формуле
F.96) противоречат физическому смыслу задачи).
Погрешность приближенного решения можно уменьшить
вдвое, если значение D(Q) в F.95) найти, исходя из условия,
что среднеквадратичное отклонение
AR=±J(f@,x)-ToJdx
распределения температуры в момент времени t = 0 от задан-
заданного начального значения То достигает минимума. Вычислим
340 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
это отклонение, используя представление F.93) распределения
температуры:
Из условия -^- = 0 получим D@) = ^(Г* - То). Однако и в
этом случае большое отличие коэффициента 3 при числе Фурье
в отрицательном показателе экспоненты приближенного реше-
решения F.96) от соответствующего коэффициента — « 2,4674 в
первом слагаемом точного решения F.97) приводит к значи-
значительной погрешности.
Теперь для нахождения функции D(t) в приближенном пред-
представлении T(t,x) F.93) распределения температуры используем
метод коллокации в точках. Потребуем, чтобы оно удовлет-
удовлетворяло уравнению F.91) и начальному условию в одной точке
коллокации с координатой х\ ? [0,h). Тогда, подставляя F.93)
в F.91) и полагая х = х\, получаем однородное ОДУ
Отсюда
Начальное значение D@) находим, используя F.93) при t = 0,
из условия T@,xi) = Tq."
jj2 » /71* ГТЛ
-lib или ^(о) = ——-г*.
6.6. Коллокации в подобластях и в точках
341
В итоге получаем
F.98)
Ясно, что лучшие результаты F.98) даст при расчете из-
изменения температуры во времени в точке коллокации, т.е. при
? = ?i • Если значение ?i выбрать из условия равенства показа-
показателей экспонент в F.98) и в первом слагаемом точного решения
F.97), то получим ?) = J1 $ яз 0,4352, что приводит к удов-
удовлетворительным результатам расчета по этим формулам при
Fo > 0,1 не только в точке ? = ?Г> но и на поверхности пластины
при ? = 0 (см. табл. 6.1).
Для уменьшения погрешности приближенного решения при
малых значениях числа Фурье можно добавить в правую часть
F.93) дополнительные слагаемые с зависящими от времени ко-
коэффициентами, для нахождения которых потребуется исполь-
использовать методы коллокации в подобластях или в точках при
N > 1. В этом случае придется решать систему из N ОДУ.
Если начальное распределение температуры в пластине одно-
однородно, то понизить погрешность приближенного решения при
малых значениях числа Фурье можно также путем условного
разбиения процесса нестационарной теплопроводности на две
стадии (рис. 6.4). Первая стадия соответствует распростра-
распространению возмущения температурного поля
от поверхности при х = h, вызванного
скачкообразным изменением температу-
температуры от начального значения Го До значе-
значения Т*, а вторая стадия — изменению
температуры по всей толщине пластины
одновременно.
Величина h*(t) на рис. 6.4 характе-
характеризует глубину проникновения темпера-
Рис. 6.4
342 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
турного возмущения и изменяется на первой стадии от 0 до h.
В наиболее простом виде распределение температуры на этой
стадии можно приближенно представить в виде
h-hm(t)^x^h. F.99)
Подставляя F.99) в F.91) и интегрируя по переменному х в
пределах от h — /i*(?) до h, в соответствии с интегральным
методом теплового баланса получаем
ОТ, ~д2ТЛ [ д
a)dx {T T) I
h-h.{t) h-h.(t)
h
d2 / h-x\i
1 - . , . ax
h-h.(t)
или ОДУ h*{t)dh*(t) = 6adt с начальным условием /г*@) = 0.
После подстановки решения /i*(i) = \/l2at этого ОДУ в F.99)
при 1 — V^12Fo ^ ^ ^ 1 имеем
F.100)
Температурное возмущение достигает противоположной по-
поверхности пластины (? = 0) за время t\, которое соответствует
значению roi = —¦ — —.
Примем, что распределение температуры на второй стадии
процесса имеет вид F.93). Поэтому функция D(fy в F.93)
снова будет удовлетворять однородному ОДУ F.94). Однако
значение ?>@) в решении F.95) этого ОДУ теперь следует
искать из условия совпадения распределений температуры в
6.7. Метод наименьших квадратов 343
„ , п 1.
конце первой (при го= —) и начале второй стадии процесса
теплопроводности, что дает jD(O) = Т* — Tq. В итоге при Fo ^ —
получим
e3(Fo,0= Т*т/_%Х) = A -e2)exp(-3(Fo- 1)). F.101)
Эту формулу можно записать также в виде
F.102)
-10
где А' = ехр@,25) ~ 1,2840 довольно близко к значению коэф-
фициента А\ = - и 1,2732 при первом члене точного решения
F.97). Результаты расчетов по F.100) и F.101) при ? = 0 пред-
представлены выше (см. табл. 6.1) и достаточно хорошо согласуются
с точным решением.
6.7. Метод наименьших квадратов
Рассмотрим еще один метод приближенного решения опе-
операторного уравнения Аи = /, где А — линейный непрерывный
оператор, области определения D(A) и значений R(A) которо-
которого являются всюду плотными подмножествами гильбертова
пространства И. Пусть система {ип} С D(A) образует счет-
счетный базис в D(A). Приближенное решение
N
й^ = ^2апип, aneR, F.103)
n=l
уравнения Аи — f будем искать из условия минимума нормы
ЦЛтадг —/|| невязки этого операторного уравнения, в котором
коэффициенты ап принимают любые действительные значения.
344 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Из этого условия получаем
N 2
min \\AuN-f\\2=imn\\y^anAun-f. F.104)
\\y
Для произвольных значений ап € К, п — 1, N, имеем
2 / N
n=l 4=1 fc=l
N N N
n=l Л=1 Л = 1
Таким образом, нужно найти минимум неотрицательной
функции N переменных ап, n=l,N. Необходимыми услови-
условиями достижения этого минимума [V] будут равенства нулю
частных производных правой части F.105) по переменным а^,
к — 1, JV, что приводит к системе линейных алгебраических
уравнений (СЛАУ)
N
J2"n(Aun}Auk) = (f,Auk), k = TjV, F.106)
n=l
относительно коэффициентов ап, совпадающей с F.80) при Vk =
= Аик ? R(A) С П.
Если однородное операторное уравнение Аи — 0, где 0 —
нулевой элемент в Л, имеет лишь нулевое решение и — О,
т.е. ядро линейного оператора А состоит только из нулевого
элемента, то система {Аип}^ является линейно независимой в
И при любом N, так как последовательность {ип} образует в
D(A) счетный базис. В противном случае из элементов системы
{ЛгАп}дг можно было бы составить равную 0 нетривиальную
линейную комбинацию
N N N
n=l n=l
6.7. Метод наименьших квадратов 345
но это означало бы, что существует ненулевое решение урав-
уравнения Аи = 0, поскольку функции ип счетного базиса линейно
независимы и их нетривиальная линейная комбинация отлична
от 0.
Скалярные произведения в левой части F.106) являются эле-
элементами матрицы Грама системы функций АиП) п= 1, N. Но
для линейно независимой системы функций определитель этой
матрицы отличен от нуля [III]. Поэтому СЛАУ F.106) при лю-
любом N имеет единственное решение относительно неизвестных
ап, n = l,N. Описанный способ нахождения коэффициентов
ап в F.103) называют методом наименьших квадратов
приближенного решения операторного уравнения Аи = /. При
этом F.104) можно трактовать как условие наилучшей по нор-
норме аппроксимации элемента / линейной комбинацией элементов
Аип, п = \, N. Если система {Аип}^ является ортогональной в
%, т.е. (Аип, Auk) = 0 при п ф к, то СЛАУ F.106) имеет един-
(f, Auk) --,—j\7
ственное решение ап = ^-—^, п = 1, TV.
\\Аи„\\
Пусть для оператора А область определения D(A) С % =
= L,2(V). Тогда вместо F.106) можно написать
N г г
J2anl(Aun)AukdV=lf(Auk)dV, k=l,N. F.107)
71=1 у у
Если система {Аип}^ ортогональна в L,2(V), то из F.107) сразу
получаем
F.108)
Пример 6.8. Применим метод наименьших квадратов к
приближенному решению задачи F.84). Это решение будем
искать (как и в примере 6.5) на всюду плотном линейном мно-
многообразии X С Ьг[0,1] четырежды непрерывно дифференциру-
дифференцируемых на отрезке [0, 1] функций, удовлетворяющих граничным
346 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
условиям F.84). В качестве счетного базиса в X рассмо-
рассмотрим систему функций ип(?) = sinn7r?, n 6 N. Отметим, что
ип(?) € D(A) образуют ортогональную в Ьг[0,1] систему функ-
функций, так как при п ф к
1
{ип, щ) = I si
Функции Аип(€) — (nnLs\nnn^, n € N, также ортогональны
на отрезке [0,1]. Кроме того, учитывая, что правая часть /
дифференциального уравнения в задаче F.84) равна единице,
получим
1 1
/ IX \ ^ I , /^\ / \
Ч7Г/ J Ч7Г/
О О
114,, ||2 _ [(л.. (e\\2Je—fn\ /„:„2 C/)f_ (П7Г)
Отсюда следует, согласно F.108), что ап = 0 для всех чет-
четных п = 2т, т 6 N, а для всех нечетных п = 1т — 1 находим
о„ = а2т-\ = тг—^ттт-г. Так, oj = 4- « 0,0130709 и а3 = -i-r «
Bт-1)*я-5 я-5 243я-5
« 0,0000537. Уже в первом приближении максимальный без-
безразмерный прогиб и\ = ai = — балки (см. рис. 6.3) менее чем
на 0,4% превышает его точное значение F.87), равное и* =
= —— « 0,0130208, а в следующем приближении значение Ц =
= Oj — 03 = ——j- ~ 0,0130162 отличается от точного менее чем
на 0,04%. Нетрудно проверить, что решение уравнения F.85)
второго порядка с дифференциальным оператором A — -z-j при-
приведет к тому же результату.
6.7. Метод наименьших квадратов 347
Итак, приближенное решение задачи F.84) можно предста-
представить в виде
~ (Bт-1)тг)&
Ясно, что получающийся из F.109) при N -» оо ряд
x (Bm-l)rrM
FЛ10)
сходится на отрезке [0,1], причем равномерно, так как ряд
4 °° 1
~ъ 13 л5 Г\Г является мажорирующим для ряда F.110).
Выясним, к какой функции v{?) сходится ряд F.110). После
почленного четырехкратного дифференцирования F.110) полу-
получим ряд
который сходится к единице поточечно в интервале @,1) и
является рядом Фурье функции <р(х) = 1 в этом интервале [IX].
Поэтому функция f(x) является в этом интервале четвертой
производной суммы ряда F.110), т.е. функции v(€). Таким
образом, —тШ = 1) ? € @,1), и, следовательно, функция v(?)
удовлетворяет уравнению в F.84). Но она удовлетворяет и всем
граничным условиям задачи F.84) при ? = 0 и ? = 1, что следует
непосредственно из F.110), а также из ряда, полученного
двукратным дифференцированием F.110). Отсюда заключаем,
что функция и(?) как сумма ряда F.110) совпадает с точным
решением F.86) задачи F.84), а «ле.(О сходится к точному
решению м(?) при N -> оо равномерно на отрезке [0, 1], а
следовательно, и в L2[0,1].
348 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Оценим скорость сходимости по норме ||и-йдг||. Так как
iV-й остаток функционального ряда F.110)
4sinBm- 1)тг^
сходится на отрезке [0, 1] абсолютно и равномерно [IX], то
сходится и квадрат этого остатка. Поэтому в силу ортого-
ортогональности на отрезке [0, 1] функций un(?) =sinn7r? имеем
7Г
10
Если в дифференциальное уравнение "^' = 1 задачи F.84)
подставить приближенное решение йдг из F.109), то получим
невязку
Bm_i)jr
Тогда, принимая во внимание ортогональность на отрезке [0, 1]
функций ип(?) =sinn7r^, находим [IX]
о
16 Д 8 =1_ "
^Ц Bт - 1Jтг2 ^ ^^ Bт - 1Jтг2 х ^^ Bт - 1Jтг
m=l v 7 m=l v 7 m=l v '
6.7. Метод наименьших квадратов 349
Учитывая, что*
00 1
1
^ Bm-lJ
в итоге получаем
8 ^ 1
Таким образом, для данной задачи скорость сходимости при-
приближенного решения к точному при N -» оо существенно выше
стремления к нулю нормы невязки, ф
Ясно, что пример 6.8 носит иллюстративный характер, по-
поскольку задачу F.84) легко решить точно последовательным
интегрированием (см. пример 6.5). В общем случае установить
сходимость к точному решению приближенного решения, полу-
полученного методом наименьших квадратов, довольно сложно.
Теорема 6.7. Пусть А — линейный непрерывный оператор
в гильбертовом пространстве 71, область определения D(A) и
область значений R(A) которого всюду плотны в 71, {ип} —
счетный базис в D(A). Тогда построенное по методу наимень-
наименьших квадратов приближенное решение F.103) сходится в %
при N -» оо к классическому решению операторного уравнения
Аи = /, / 6 ЩА), если система {Лип} является счетным бази-
базисом в R(A) и для некоторого г > 0 выполнено условие
||уН|?т|Н, ueD(A). F.112)
¦4 При выполнении условия F.112), согласно теореме 4.16, суще-
существует ограниченный обратный оператор А~1, т.е. оператор-
операторное уравнение Аи = /, / € R(A), имеет единственное решение
uQ = A~lf. В силу свойств счетного базиса {Лг*п} систе-
система {Aun}w является линейно независимой при любом N 6 N,
'См.: Градштейн И.С, Рыжик ИМ.
350 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
т.е. СЛАУ F.106) при любом N имеет единственное решение
относительно коэффициентов ап, n=l,N. Кроме того, для
произвольного / € ЩА) при заданном г > 0 можно найти такое
iVt6Na такие коэффициенты ап € К, п = 1, ЛГ», что справед-
справедливо неравенство
N.
\\f-J2<*nAun\\<re. F.113)
п-\
Если в F.113) ап заменить соответственно на коэффициен-
коэффициенты ап, п = 1,ЛГ», найденные из условия F.104), то неравенство
останется верным, поскольку в этом случае его левая часть
достигает минимума. Но и при N > N* будет выполнено не-
неравенство
N
|/-^апЛ«Т1||<г?, F.114)
если коэффициенты а„, n=l,iV, найдены из условия F.104).
Действительно, при ап = ап, п= 1, ЛГ», и ап = 0, п = ЛГ„+ 1, ЛГ,
левые части F.113) и F.114) совпадут, а при нахождении
коэффициентов ап иэ условия F.104) левая часть F.114) может
только уменьшиться.
Таким образом, с учетом F.79), F.114) и равенства / =
получаем
- AuN\\ = \\А{и0 - ида)|| < те.
Отсюда, учитывая F.112), имеем ||-ио-илг|| < ?• Следователь-
Следовательно, идг —у и0 при N —)• оо. >
Отметим, что при выполнении условий теоремы 6.7 для по-
построенного по методу наименьших квадратов приближенного
решения ид; F.103) имеем Лидг —> / при N —> сю, т.е. стремит-
стремится к нулю норма ЦЛидг — /|| невязки операторного уравнения,
возникающей при подстановке йдг в уравнение Аи — /. Это
6.8. Методы Бубнова — Галеркина и Ритца 351
позволяет при помощи вытекающего из F.112) неравенства
^\\Aun-f\\ F.115)
оценивать по норме погрешность приближенного решения. В
заключение заметим, что F.112) верно для положительно опре-
определенного оператора А. В самом деле, в этом случае в соответ-
соответствии с E.2) и E.11) имеем ||Att||||tt|| ^ (Аи, и) ^72||ul|2i откуда
при 72 = т следует F.112).
6.8. Методы Бубнова — Галеркина и Ритца
Рассмотрим частный случай метода ортогональных проек-
проекций приближенного решения операторного уравнения Аи = /.
Пусть области определения D(A) и значений R(A) оператора
А являются всюду плотными подмножествами сепарабельно-
го гильбертова пространства %, а система {и^} — счетным
базисом в D(A) и ЩА). Приближенное решение й^ вида F.79)
уравнения Аи = /, согласно методу ортогональных проекций
для случая, когда проекционные функции совпадают с базисны-
базисными, т.е. Vk = Uk, k= 1, N, находим, решая получаемую из F.80)
систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
N
J2^n(Aun,uk) = (f,uk), k = T7N, F.116)
n=l
относительно коэффициентов ап.
Такую процедуру нахождения приближенного решения опе-
операторного уравнения Аи = f называют методом Бубно-
Бубнова* — Галеркина. Поскольку метод ортогональных проек-
проекций является, в свою очередь, одним из вариантов проекцион-
проекционного метода, то условия существования решения СЛАУ F.116)
и сходимости приближенного решения следуют из теорем 6.11,
*И.Г. Бубнов A872-1919) — русский инженер.
352 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
6.12 и замечаний 6.3, 6.4 (см. Д.6.1). Отметим, что метод
Бубнова —¦ Галеркина можно использовать, не накладывая на
оператор А существенных ограничений: он может не быть
положительно определенным оператором, симметрическим и
даже линейным.
Рассмотрим более подробно практически важный случай,
когда оператор А является положительно определенным. В
этом случае элементы ип счетного базиса {ип}, используемого
при построении приближенного решения й^ вида F.103), мо-
могут и не принадлежать области D(A) определения оператора А,
т.е. ип ? D(A), n = 1, N. Это существенно расширяет возмож-
возможности метода Бубнова — Галеркина по сравнению с методами
коллокации и наименьших квадратов.
Пусть %а — энергетическое пространство, которое явля-
является пополнением нормированного пространства D(A) по энер-
энергетической норме
индуцированной энергетическим скалярным произведением
(u,v)A = (Au,v).
Теперь приближенное решение операторного уравнения Аи =
— f с положительно определенным оператором А вместо F.79)
можно искать в виде
N
uN = Y2anun, uneHA, F.117)
п=1
где функции ип, п 6 N, образуют счетный базис в энергетиче-
энергетическом пространстве На- При этом коэффициенты ап, n = l,N,
находят из решения СЛАУ F.116), которая принимает вид
= (f,uk), k = T7N. F.118)
n=l
6.8. Методы Бубнова — Галеркина и Ритца 353
Элементы (un, Uk)A, k, п = 1, ЛГ, в F.118) составляют матрицу
Грама системы функций {ип}м, которая в силу свойств счетно-
счетного базиса {ип} является линейно независимой в энергетическом
пространстве На- Следовательно, определитель этой матрицы
отличен от нуля, а СЛАУ F.118) имеет единственное решение
относительно коэффициентов ап, n — l,N.
Рассмотрим еще один метод приближенного решения урав-
уравнения Аи = / с положительно определенным оператором А, в
конечном итоге опять приводящий к решению СЛАУ F.118).
Обобщенное решение и* этого уравнения единственно и мини-
минимизирует квадратичный функционал J[u] — (Аи, и) — 2(/, и),
который называют также функционалом энергии. Если элемен-
элементы минимизирующей последовательности {и^} искать в виде
F.117), то при нахождении коэффициентов а„, п= 1, N, придем
к совпадающей с F.118) СЛАУ. Такую процедуру нахождения
коэффициентов принято называть методом Ритца*.
Таким образом, методы Ритца и Бубнова — Галеркина при-
приближенного решения уравнения Аи = / в случае положительно
определенного оператора А приводят к решению одной и той же
СЛАУ F.118). Однако метод Бубнова — Галеркина в отличие
от метода Ритца можно применять и для решения уравнения
Аи = / с произвольным оператором А.
Пусть {ип} — базис в %Ai ортонормированный относи-
относительно энергетического скалярного произведения. В этом
случае приближенное решение F.117) с коэффициентами ап =
= (/, wn)A, полученными методом Ритца, будет частичной сум-
суммой ряда Фурье [XV]
F.119)
71=1
обобщенного решения и* уравнения Аи = f. Это означает, что
в случае ортонормированного в На базиса {ип} приближенное
*В, Ритц A878-1909) — немецкий физик и математик.
354 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
решение F.117) уравнения Аи — f с положительно определен-
определенным оператором А сходится в На к обобщенному решению
F.119) этого уравнения по энергетической норме, причем в си-
силу свойств ряда Фурье [IX]
оо
\\и*-йы\\2А= ? а?п. F.120)
Но для положительно определенного оператора А обобщен-
обобщенное решение и» уравнения Аи = f совпадает со слабым реше-
решением этого уравнения, удовлетворяющим равенству (ur,v)A =
= (/, v) для любого v Е На- Это следует из совпадения СЛАУ
для нахождения коэффициентов приближенного решения мето-
методами Ритца и Бубнова — Галеркина. Поэтому приближенное
решение йдг сходится при N —> оо и к слабому решению и* 6 На
уравнения Аи = / по энергетической норме. Поскольку для
энергетической нормы ||u||^ ^ tIMI» to ^n сходится к и* и по
норме || • || в гильбертовом пространстве.
Замечание 6.1. Выбор в F.117) и F.118) в качестве ба-
базисных функций (и совпадающих с ними проекционных) соб-
собственных элементов положительно определенного оператора А
обеспечивает сходимость не только приближенного решения к
слабому решению уравнения Аи = /, но и сходимость к нулю
нормы невязки этого операторного уравнения. Действительно,
пусть ип, п 6 N, — собственные элементы оператора Л, соот-
соответствующие собственным значениям Ап > 0, образующие в Н
ортонормированный базис. Если несколько различных линейно
независимых собственных элементов соответствуют одному и
тому же собственному значению, то положим, что в этом слу-
случае существует столько же равных между собой собственных
значений, т.е. различными значениями индекса п обозначим
различные собственные элементы. Умножая скалярно равен-
равенство Аип = Antin на Uk и учитывая, что (Аип, и к) = (ип, Uk)A,
запишем
(Аип, ик) = Ап (ип, ик) = \п6пк = (ип, ик)А,
6.8. Методы Бубнова — Галеркина и Ритца 355
где Snk = 1 при п = к и Snk = О при п ф к. Отсюда следует, что
(ип, ип)А = Лп и (un, Uk)A = 0 при кф п, т.е. в соответствии г
F.118) ап = , так что вместо F.117) будем иметь
71=1
Подвергая F.121) действию оператора А, получаем
N (f \ N
п=\ п п=1
Правая часть F.122) является конечной суммой разложения
элемента / в ряд Фурье по ортонормированной системе {ип}
функций ип, п б N. Поэтому Лйдг —>• / при TV —> ос.
Пример 6.9. Используем метод Бубнова — Галеркина для
приближенного решения краевой задачи F.84), уравнение ко-
которой содержит положительно определенный оператор А = —.
Решение будем искать во всюду плотном подмножестве X С
С Ь2[0,1] четырежды непрерывно дифференцируемых на отрез-
отрезке [0, 1] функций, которое является линейным многообразием.
Как и в примере 6.5, в качестве счетного базиса в X выберем
систему функций ип(?) =smnir? 6 D{A), n 6 N, удовлетворяю-
удовлетворяющих граничным условиям в F.84).
Так как функции un(?) 6 D(A) ортогональны на отрезке
[0,1] (см. пример 6.8), то при п ф к
1 1
/г
[Aun(€))uk(€)d€= (птг) / sinn7r?sin kn?d? = 0.
J
о о
В случае п = к находим
1 1
356 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Учитывая, что в задаче F.84) правая часть / дифференциаль-
дифференциального уравнения равна единице, для нечетных к = 2т — 1 имеем
1
Г
(/,«*;)= / si
и в соответствии с F.116) для нечетных п = 2т — 1 получаем
4 „
ап = a2m-i = Bт-1M^5 и а" - а2т = 0 для всех четных п =
= 2т. Это означает, что для рассматриваемой задачи метод
Бубнова — Галеркина и метод наименьших квадратов приводят
к одинаковому результату. Несложно проверить, что к тому же
результату приведет и решение уравнения F.85) с граничными
условиями и@) = иA) = 0. #
Метод Бубнова — Галеркина широко применяют и для при-
приближенного решения тех операторных уравнений, в которых
оператор не является положительно определенным.
Пример 6.10. Применим метод Бубнова — Галеркина как
вариант метода взвешенных невязок к приближенному реше-
решению задачи, рассмотренной в примере 6.7. Приближенное ре-
решение сначала будем искать в виде F.93), а в качестве весовой
функции возьмем входящую в F.93) функцию V\{x) = 1 — (x/hJ.
Эта функция при использовании метода Бубнова — Галерки-
Галеркина выполняет одновременно роль и базисной и проекционной
функций.
Подставив F.93) в F.91), приравняем нулю взвешенную
невязку
df д2т\ ...
Aa
6.9. Задачи на собственные значения 357
Отсюда следует обыкновенное дифференциальное уравнение
0, ,,,23,
dt
решение которого представим в виде
D(t) = D@)exp(-^|) = D@)exp(-2,5Fo), F.124)
где Fo = ^ — число Фурье (безразмерное время), a D@) —
начальное значение функции D(t), которое найдем из равенства
нулю взвешенной невязки в начальном условии задачи:
h
J{f@,x)-To)vl(x)dx =
После вычислений получим D@) = -(Т* — То) и, подставляя
F.124) в F.93), запишем
=? F.125)
Результаты расчета по F.125) при ^ = 0 приведены в табл. 6.1.
6.9. Задачи на собственные значения
Рассмотрим однородное операторное уравнение вида E.41)
Аи-ХВи = 0, и,0Е D(A) СП, F.126)
где А и В — линейные операторы, действующие в гильберто-
гильбертовом пространстве И, причем D(A) С D(B) и D(A) — всюду
358 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
плотное в И подмножество. Напомним, что число А назы-
называют собственным значением этого операторного уравнения,
если F.126) при этом А имеет решение, отличное от тривиаль-
тривиального решения и = 0. Выше (см. 5.5) показано, что если А —
симметрический оператор, а. В — положительно определен-
определенный, то при решении задачи на собственные значения в F.126)
без потери общности можно принять оператор А также поло-
положительно определенным. Как и выше (см. 5.5) предположим,
что все собственные значения операторного уравнения F.126)
простые, образуют счетное множество и их можно предста-
представить в виде элементов возрастающей последовательности {Ат}.
Тогда каждому из этих собственных значений Ат отвечают
собственный элемент wn, \\wn\\ = 1, и одномерное собствен-
собственное подпространство Sm, совпадающее с линейной оболочкой
этого элемента.
В прикладных исследованиях задачи на собственные зна-
значения уравнения F.126) возникают, например, при анализе
колебаний различных динамических систем. В этом случае
собственные значения пропорциональны квадрату частот соб-
собственных колебаний. При исследовании условий перехода сис-
системы из одного состояния в другое собственные значения ха-
характеризуют уровень внешних воздействий на систему, при
котором такой переход возможен. В частности, собственные
значения могут иметь смысл критических нагрузок, вызываю-
вызывающих потерю устойчивости равновесия или движения системы.
Приближенное решение задачи на собственные значения
уравнения F.126) можно найти с помощью метода Бубнова —
Галеркина. Искомый собственный элемент приближенно пред-
представим в виде
N
uN = ^2anun, aneR, un ? D{A), N G N, F.127)
71 = 1
где ип ? D(A) — элементы последовательности {ип}, образу-
образующей в D(A) счетный базис. Подставляя F.127) в F.126) и
6.9. Задачи на собственные значения 359
используя F.76) при Vk = Uk, к = 1, ЛГ, приходим к однородной
системе линейных относительно коэффициентов ап алгебраиче-
алгебраических уравнений (СЛАУ)
N
O, к = 1,7V, F.128)
n=l
но содержащей неизвестное число Л.
Эта СЛАУ имеет нетривиальное решение относительно ко-
коэффициентов ап при условии detG;v = 0, где <?дг — симме-
симметрическая матрица порядка N с элементами (Aun - \Bun, Uk),
к,п= 1, N. Каждое значение Am , тп = 1, N, удовлетворяющее
уравнению detGw = О, примем в качестве приближения к соб-
собственному значению Ат уравнения F.126) при условии, что Am
(как и Ат) занумерованы в порядке возрастания т. Ясно, что
при фиксированном N можно найти приближенные значения
лишь для N собственных значений уравнения F.126).
Замечание 6.2. Можно показать", что при любом m <C N
верно неравенство Ат ' ^ Ат и при возрастании N значения
Am для фиксированных m не возрастают, причем Ат —> Ат и
\\wln ' - гит||-^ -4 0 при N —)¦ оо, где в соответствии с F.127)
N
Ч^Е0»^»' uneD(A),
п=\
(m) (N)
и ап — координаты единичного вектора гот , удовлетворя-
удовлетворяющего СЛАУ F.128) при А = Х,п . Отметим, что в частном
случае В = /, где / — тождественный оператор в И, числа
Ат , т= 1, N, являются собственными значениями симметри-
симметрической матрицы А с элементами (Аип, Uk), A;, n = I, TV, и служат
"См.: Гавурин М.К.
360 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
приближением к собственным значениям симметрического опе-
оператора А [XV]. При этом Wn ' будет единичным собственным
вектором матрицы А, отвечающим ее собственному значе-
нию Am .
Таким образом, из решения уравнения detG = 0 можно по-
лучить значения А^ , т = 1, N, дающие оценки сверху для соб-
собственных значений Ато уравнения F.126). В ряде прикладных
задач не менее важным является получение для Ат оценок снизу
(в частности, для выяснения возможной погрешности прибли-
приближенного решения вариационной задачи [XV]). Такую оценку
для Ai несложно получить, если известно или легко вычисляемо
собственное значение Aj операторного уравнения А'и = Х'В'и,
где А' — симметрический оператор с областью определения
D(A') С D(A), В' — положительно определенный оператор, для
которого D(B') D D(B), причем
(А'и, и) (Аи, и)
В "этом случае, согласно теореме 5.6 и замечанию 5.5, имеем
Aj ^ Aj. Ясно, что аналогичный прием можно использовать
с целью получения для А} оценки сверху. Для этого необ-
необходимо располагать собственным значением X" операторного
уравнения А"и = Х"В"и, где А" — симметрический оператор,
для которого D(A") Э D(A), а В" — положительно определен-
определенный оператор с областью определения D(B") С D(B), причем
D{A") С D(B") и
Тогда, согласно замечанию 5.5 и теореме 5.6, получим, что
Пример 6.11. Из условия равновесия шарнирно оперто-
опертого упругого стержня длиной /, сжатого вдоль оси Ох силой
6.9. Задачи на собственные значения 361
Рис. 6.5
Р (рис. 6.5), следует обыкновенное дифференциальное уравне-
уравнение (ОДУ)
Eh{x)—yY- + Pu{x) = Q, xe @,1), F.131)
с граничными условиями и@) = иA) = 0, где Е — модуль упру-
упругости материала стержня; 1*{х) — jr4(x) — момент инерции
кругового поперечного сечения стержня с зависящим от коор-
координаты х радиусом г(х); и(х) — отклонение точек оси стержня
от оси Ох (при отсутствии силы Р ось стрежня совпадает с
осью Ох).
Примем r(x) = aJ\ + у и, обозначив ? = у и А = 4, от
F.131) перейдем к краевой задаче
= 0, ^ @,1);
F.132)
для однородного ОДУ с однородными граничными условия-
условиями. Пусть А = —-JZ5 и Ви = -г^ > 0. Оператор А является
положительно определенным на линейном многообразии D(A)
дважды непрерывно дифференцируемых на отрезке [0, 1] фун-
функций, обращающихся на концах этого отрезка в нуль (см. при-
пример 5.10). Оператор В также положительно определенный, но
на множестве D(B) функций, непрерывных на отрезке [0, 1], по-
поскольку (Ви, и) =4-i^L > ||u||2. Таким образом, D(A)cD(B),
и задача F.132) является задачей на собственные значения опе-
операторного уравнения F.126).
362 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
При заданных граничных условиях наряду с тривиальным
решением и(?) = 0, ? € [0, 1], краевая задача F.132) может иметь
решения un(?) ^ 0) соответствующие собственным значениям
Ап. В данном случае важно оценить наименьшее собственное
значение Ai, пропорциональное наименьшей сжимающей силе,
вызывающей потерю устойчивости прямолинейной формы рав-
равновесия стержня.
Для оценки значения Ai сверху используем функцию и(?) =
= ?A — ?), дважды непрерывно дифференцируемую на отрезке
[0, 1] и удовлетворяющую граничным условиям u@) = u(l) = 0,
и вычислим
1
о
Тогда, согласно теореме 5.6, получим
. .(Аи, и) 1
<6Ш>
Оценку снизу значения Ai можно получить, если рассмо-
рассмотреть стержень с круговым поперечным сечением постоянного
радиуса R' = а ^ г (ж). Для такого стержня вместо задачи
F.132) имеем
Несложно проверить, что собственными функциями задачи
F.134) будут ип(х) = sinnn?. Этим функциям соответствуют
6.9. Задачи на собственные значения 363
собственные значения
\'п=^~, F.135)
причем наименьшее из них (при п = 1) равно Aj = — и 2,4674
и соответствует значению эйлеровой (или первой критической)
силы Ркр = ' а = [VIII], вызывающей потерю устойчи-
устойчивости прямолинейной формы равновесия стержня с постоянным
круговым поперечным сечением (задача нахождения этой силы
была впервые рассмотрена Л. Эйлером в 1744 году).
Из сравнения F.134) с F.132) следует, что А'= А = — —
и В' = 4 > 0, причем (А'и, и) = (Аи, и) и (В'и, и) ^ (Ви, и) для
любого элемента иб D(A), т.е. выполнено неравенство F.129).
Тогда с учетом F.133) получаем двустороннюю оценку
., 7Г2 . , 1
Оценка F.136) является довольно грубой, поскольку верхняя
граница превышает нижнюю более чем в два раза. Отметим,
что для стержня с круговым поперечным сечением постоянного
радиуса R" = \/2а ^ г(х) получим А" = А = - ^ и В" = 1 > О,
причем (А"и, и) = (Аи, и) и (В"и, и) ^ (Ви, и), и G D(A), т.е.
будет выполнено неравенство F.130). Но для такого стержня
А" = 7Г2 « 9,8696, что почти в два раза выше верхней границы в
F.136). #
Для улучшения верхней границы собственных значений сле-
следует увеличивать число N базисных функций при приближен-
приближенном представлении собственных функций (см. замечание 6.2).
Покажем, как можно улучшить нижнюю оценку. Сначала рас-
рассмотрим случай, когда оператор В в F.126) является тожде-
тождественным, т.е. В = /.
364 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Теорема 6.8. Пусть А -— симметрический неотрицатель-
неотрицательный оператор с областью определения D(A) Сйв гильберто-
гильбертовом пространстве 7i и для некоторого v > 0 отрезок [0, v\ не
содержит точек спектра этого оператора. Тогда оператор
Аи = А — vl является положительным, т.е. (Аии, и) > 0 для лю-
любого ненулевого элемента и G D(A).
Ч Согласно условию теоремы, любое A 6 [0, v\ является регуляр-
регулярным значением оператора А и поэтому существует обратный
оператор R\ = Лд' = (А - А/). Из области определения D(A)
оператора А выберем любой ненулевой элемент и^Ои положим
g = Avu. Тогда g ф О, поскольку в противном случае элемент
и был бы собственным для оператора A, a v — собственным
значением этого оператора.
Пусть v = t>(A) = R\g — решение операторного уравнения
= g. Введем вспомогательную функцию
В частном случае А = v имеем v = и и 4>(v) = (Аии, и). Таким
образом, необходимо доказать, что <p(v) > 0 для любого нену-
ненулевого элемента и 6 D(A).
Обозначим vi =t>(Aj) = R^g и t>2 = t>(A2) — R\29 — решения
операторного уравнения A\v = g для двух значений A!,A2G
G [0, v]. Тогда, учитывая, что оператор А симметрический,
получим
V?(A2) - (p(\i) = (g, v2) - (g, vi) = ((A - Xil)vi,v2) -
- ((A - A2/)tJ, vi) = (Avi,v2) - Ai (vu v2) -
- (Л»2, »i> + A2 (»2, »i> = (A2 - Ai) (t>2, »i>. F.137)
Так как </ = (A - A2/)t?2 = (Л - Xx I)vx, то
(A - Xil){v2 -vx) = (A- Xil)v2 -{A- X2I)v2 = (X2 - Xi)v2,
6.9. Задачи на собственные значения 365
или V2 — v\ = (A2 — Xi)R\1V2- С учетом неравенства треуголь-
треугольника имеем
||«2 - «ill < |А2 -
. F.138)
Значение Ai является регулярным для оператора А, и поэтому
оператор /?д, ограничен, так что при Аг —> Ai справедливо
неравенство |Аг — А^ЦДдЛ < 1/2. Тогда из F.138) следует, что
Отсюда получаем, что vi -^v\ при Аг —> Alt и поэтому («2i **i) —>
—> ||t>i||2 при Аг —> Ai. Заменяя в F.137) Ai на А и и} на и, в
соответствии с определением производной находим
Так как g ф 0, то и v ф О, а значит, у?'(А) > 0 при A G [0, f]
и функция v'(A) возрастает на отрезке [0,v]. Для неотрица-
неотрицательного оператора А имеем <р@) = (^4о"| «) = (Ли, ») ^ 0 для
любого элемента и 6 ^(Л). Следовательно, <р(^) > 0 для любого
ненулевого элемента и ? Д(Л). >
Теорема 6.9. Пусть А — симметрический оператор, дей-
действующий в гильбертовом пространстве И, и отрезок [а, 6]
не содержит точек спектра этого оператора. Тогда оператор
АаА\) = (А — а1)(А — Ы) является положительным.
Положим т = ^——, fi = —^ и введем оператор W\ = Ат+\ =
= А- (т + \I. Значение А € [—/л, ц] является регулярным для
оператора Wo = Лт, и поэтому оператор ТУд = Wo — А/, а так-
также оператор W\ W-д = W* - А2/ имеют ограниченные обратные
366 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
операторы W^1 и (WxW-x)'1 соответственно. Это означа-
означает, что отрезок [0,^2] не содержит точек спектра оператора
Wq , который, являясь квадратом симметрического операто-
оператора Ат = A — ml, будет неотрицательным, так как для любого
ueD(A)
(W2u, и) = (Ат(Ати), и) = (Ати, Ати) = \\Ати\\2 > 0.
Таким образом, для оператора Wq на отрезке [0, fi2] выполнены
условия теоремы 6.8. Поэтому оператор W2 — ц21 = W^W-ц =
= АаАь является положительным. >
Теорема 6.10. Пусть А — симметрический оператор в
гильбертовом пространстве И и элемент uGW удовлетворяет
условию Аи ф О. Если число Ai = ' "'"' принадлежит интерва-
интервалу (а, 6), причем на отрезке [а, 6] находится единственная точка
A G (а, Ь) спектра оператора Л, являющаяся собственным значе-
значением этого оператора, то справедливо неравенство
Ф{Ь) ^ Л ^ ф(а), F.139)
где
_ t(Au,u)-\\Au\\2
П) t\\u\\*-(Au,u) •
¦4 Оператор А на отрезках [а, А - е] и [А + ?,Ь] при достаточ-
достаточно малом е > 0 удовлетворяет условиям теоремы 6.9. Поэтому
операторы Ах — ЛаАд-г = {А - а1)(А - (А -еI) и Л2 = А\+еАь =
= {А — (А + еI)(А — Ы) являются положительными. Следова-
Следовательно,
, и) = ((А2 - {а + А - е)А + а{\ - е)/)«, и) =
= \\Au\\2 -(а + \-е) (Аи, и) + а{\ - е)\\и\\2 =
= (А - е)(а\\и\\2 - (Аи, и)) - [а(Аи, и) - \\Au\\2) > О
6.9. Задачи на собственные значения 367
и аналогично
= (A + e)(b\\u\\2 - (Аи, и)) - (Ь(Аи, и) - \\Au\\2) > 0.
Из этих неравенств, учитывая, что, согласно условию теоремы,
а < И^ < Ь, т.е. а\\и\\2 - (Аи, и) < 0 и 6||u||2 - (Аи, и) > 0,
находим
. а
Л
Переходя к пределу при бг —>¦ 0, получаем F.139). >
Теорему 6.10 можно применить для двусторонней оценки
наименьшего собственного значения Ai симметрического опе-
оператора А, если известна такая гарантированная оценка \2
снизу следующего собственного значения А2, что Ai = ' ' ' <
< А2 < А2. Эта теорема верна для любого а < 0, причем в
соответствии с F.139)
., , ,. t(Au,u)-\\Au\\2 (Аи, и) т
Ф(-ОО)= lim \ ' " 7-= II 112 =Al
v ' <-+-оо t||u||2- (Аи, и) \\u\\2
и поэтому
1<Т>(Г.Г<Л-<Х|=*'-"'• F-140)
В случае положительного оператора А имеем (Аи, и) > 0 и
Ai > 0, так что вместо F.140) получаем
368 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Ясно, что F.141) имеет смысл при условии Ai ^ я, выполняю-
выполняющимся в силу неравенства Кохии — Буняковского \(Аи,и)\ ^
^ \\Au\\ \\u\\. Поскольку для положительного оператора Ai > О,
то использование F.141) эффективно только при условии х <
< Аг> так как в противном случае левая часть в F.141) не будет
положительной.
Отметим, что оценки F.140) и F.141) сохраняют силу и
в том случае, если собственное значение Ai кратное, но изо-
изолированное. В этом случае под А2 следует понимать гаран-
гарантированную оценку снизу наименьшего собственного значения
А2 > Ai. Аналогично можно получить двустороннюю оценку для
А2 и т.д.
Теперь вернемся к операторному уравнению F.126). Можно
показать*, что неравенство F.141) применимо для двусторон-
двусторонней оценки наименьшего собственного значения Ai этого урав-
уравнения, если положить
Al~(Buuy *-(АииУ FЛ42)
где ненулевые элементы и € D(A) и / 6 D(B) удовлетворяют
равенству Au=Bf. При этом по-прежнему гарантированная
оценка А2 снизу собственного значения А2 должна превышать
значение х, аоценка F.141) применима при условии Ai < х < \2.
Пример 6.12. Используем F.141) и F.142) для уточнения
двусторонней оценки собственного значения Ai однородного
уравнения F.132), рассмотренного в примере 6.11. Для функ-
функции и{?) =?A -?), удовлетворяющей однородным граничным
условиям и@) = иA) = 0, найдем / из условия Аи — Bf. Имеем
"См.: Ректорис К.
6.9. Задачи на собственные значения 369
откуда /= A +?J/2. Далее вычисляем
1
и, используя найденное в примере 6.11 значение (Au,u)= 1/3,
в соответствии с F.142) находим
=}—4^ = 7. F.143)
(Аи,и)
В качестве гарантированной оценки снизу собственного
значения А2 используем F.135) при п = 2, т.е.
А2 = ±—L - л-2 и 9,8696, F.144)
а в качестве А} примем верхнюю оценку в F.136):
Таким образом, условие Ai < х < \2 выполнено. Подставляя
F.143)-F.145) в F.141), получаем
3,4021 ^ Л, ^ 5,3532. F.146)
Сравнение с F.136) показывает, что при совпадении верхних
оценок нижняя оценка 3,4021 несколько улучшена по отноше-
отношению к прежнему значению 2,4674.
Попытаемся улучшить верхнюю оценку Ai, используя функ-
функцию u*(?) = u(?) +Cu2(?), также удовлетворяющую граничным
условиям и@) = иA) = 0. Константу С найдем, согласно теоре-
с с * (Au*,u*)
ме 5.0, из необходимого условия минимума отношения j— (-.
(Bum, u*)
370 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Предварительно найдем
и вычислим
X
Аналогично
_ /25-361п2 499-7201п2 2329 - 3360 In 2
3 10 С+ 35
В результате получаем
(Аи*, и*) 35+14С + 2С2
(Ви*,и*) 6,5391+2,7653С + 0,3132С2'
Наименьшее значение этого выражения X* т 5,3028 соответ-
соответствует значению С « 0,9785. Таким образом, замена функции
и{х) более сложной функцией и*(х) позволила понизить верх-
верхнюю оценку наименьшего собственного значения Ai менее чем
на 0,5%.
Для уточнения нижней оценки значения Ai запишем
ВГ = JT = Аи*= 2A -c + MW - О)-
6.10. Особенности выбора базисных функций 371
Отсюда найдем
а затем с учетом полученного значения С вычислим
,, . ,*\_ Л, . «а/, ~„ «ч2 ,. 245-7С + 50С2
о
Таким образом,
(Au*,u*)- 35 + 14C + 2C2
5'b51L
Заменяя в F.141) Ai на Af, x на х* и подставляя F.144),
получаем
4,8983 ^ Ai ^ 5,3028.
Сравнение с F.146) показывает, что нижняя оценка возросла и
теперь отличается от верхней оценки менее чем на 8%.
6.10. Особенности выбора базисных функций
Из рассмотрения различных вариантов метода ортогональ-
ортогональных проекций видно, что базисные функции ип в гильбертовом
пространстве И, которые входят в представление приближен-
приближенного решения операторного уравнения Аи = /, должны удовле-
удовлетворять ряду требований. Сформулируем некоторые требова-
требования к этим функциям, предполагая, что ищется приближенное
решение вида
N
UN = YlanUn- F.147)
71=1
1. Конечная система {un}jv используемых функций долж-
должна быть линейно независимой. Тогда такая система функций
372 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
образует базис в TV-мерном подпространстве Нм С Н, которое
является линейной оболочкой этой системы, а им € Н^.
2. Для сходимости приближенного решения и^ G #лг к сла-
слабому решению и* ? % уравнения Аи = f можно потребовать,
чтобы система {ип}м используемых функций входила в сис-
систему {ип}, являющуюся ортонормированным (или ортогональ-
ортогональным) базисом в %. Для того чтобы гарантировать, что норма
невязки операторного уравнения при TV —> ос стремится к ну-
нулю, можно потребовать выполнения некоторых дополнитель-
дополнительных условий.
3. Базисные функции ип должны принадлежать области
определения D{A) оператора А, так как для нахождения коэф-
коэффициентов ап в F.147) необходимо предварительно вычислить
значения (Аип, vjt), где т>ь k= I, N, — проекционные функции,
а это возможно лишь при выполнении сформулированного тре-
требования.
Перейдем к обсуждению перечисленных требований.
Необходимость выполнения условия линейной независимо-
независимости конечной системы {ип}м выбранных базисных функций
очевидна. При нарушении этого условия матрица СЛАУ F.80)
будет вырожденной. Однако даже если базисные функции ли-
линейно независимы, увеличение их количества N, преследующее
цель уменьшить погрешность приближенного решения F.147),
может привести из-за возрастания порядка СЛАУ к росту вы-
вычислительной погрешности. Например, если с увеличением TV
эти функции становятся все более близкими (т.е. нормы их
разностей уменьшаются), то увеличивается число обусловлен-
обусловленности матрицы и растет чувствительность решения СЛАУ к
погрешностям в коэффициентах и правых частях уравнений
СЛАУ [IV]. Поэтому при ограниченном числе TV выбор этих
функций связан с проблемой минимизации возникающей по-
погрешности. Так, если в случае линейной задачи в качестве
одной из базисных функций использовать какое-либо частное
решение этой задачи, то его дополнение до полного решения
6.10. Особенности выбора базисных функций 373
может быть достаточно точно аппроксимировано меньшим чи-
числом базисных функций.
Выбор в качестве базисных функций элементов ортонор-
мированного (или ортогонального) базиса в Л гарантирует
сходимость при N —> ею приближенного решения, полученного
при помощи метода ортогональных проекций. При использова-
использовании метода наименьших квадратов условия сходимости уста-
устанавливает теорема 6.7. Одно из этих условий требует, чтобы
функции ип принадлежали счетному базису в Л. В этом случае
норма невязки операторного уравнения при TV —> со стремится
к нулю.
Если используются методы Бубнова — Галеркина и Рит-
ца, то, согласно замечанию 6.1, для стремления к нулю невязки
операторного уравнения необходимо, чтобы функции ип бы-
были собственными элементами положительно определенного
оператора А, хотя для сходимости приближенного решения
достаточно принадлежности этих функций базису в энергети-
энергетическом пространстве Ла, ортонормированному относительно
энергетического скалярного произведения. В более общем виде
условия сходимости приближенного решения сформулированы
в рамках проекционного метода (см. Д.6.1), частным случаем
которого является метод ортогональных проекций.
Однако при приближенном решении прикладных задач ба-
базисные функции не всегда удается выбрать так, чтобы они
были элементами ортонормированного (или ортогонального)
базиса в Л или Л а- Тогда можно ограничиться более слабым
требованием, чтобы функции ип принадлежали некоторому
счетному базису. Напомним, что система {ип} является ба-
базисом в гильбертовом пространстве лишь в том случае, если
она является замкнутой в этом пространстве [IX].
При приближенном решении уравнения Аи = / с положи-
положительно определенным оператором А методами Бубнова — Га-
Галеркина или Ритца требование выбора базисных функций из
области D{A) определения этого оператора можно ослабить.
Дело в том, что в общем случае речь идет о поиске слабого ре-
374 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
шения ил € На этого уравнения в энергетическом пространстве
На, так что, вообще говоря, и* ? D(A). Но тогда функции ип
в F.147) можно выбирать не только из D(A), но и из На-
Пример 6.13. Рассмотрим краевую задачу
f-{p(x)u'(x))' + q(x)u(x) = f(x), xe@,l);
< F.148)
U@) = «(l) = 0.
Пусть 0 < ро ^ р{х) ^ р, |р'(х)| ^ р\ и 0 < q{x) ^ q при любых
а; 6 @, 1), ро, Pi Pi) 9 — положительные константы. Оператор
Штурма — Лиувилля А, вводимый равенством Аи = — (ри')' +
+ дм, определен на множестве D{A) дважды непрерывно диф-
дифференцируемых на отрезке [0, 1] функций, обращающихся в
нуль на концах этого отрезка. Это множество является линей-
линейным многообразием гильбертова пространства 1/г[0,1] функ-
функций, суммируемых с квадратом на отрезке [0, 1].
На множестве D(A) оператор А положительно определен-
определенный (см. пример 5.10), но краевая задача F.148) не будет
иметь классического решения в классе функций из D(A), ес-
если функция /(х) не принадлежит области R(A) значений этого
оператора (например, имеет в интервале @, 1) точки разрыва).
Для нахождения слабого решения операторного уравнения Аи =
= / необходимо пополнить множество D{A). Пополнение На
этого множества можно построить по энергетической норме
|| • ||л, индуцированной энергетическим скалярным произведе-
произведением, определяемым для функций и, и 6 ^(^4) равенством
1
(и, v)A = (Аи, v) = I (-(р(х) и'(х))' + q(x) u(x)) v(x) dx.
о
Отсюда, интегрируя по частям, с учетом граничных условий
находим
1
(и, v)A = I (p(x) u'{x) v'(x) + q(x) u(x) v(x))dx.
6.10. Особенности выбора базисных функций 375
В результате для энергетической нормы с учетом E.95) и
оценок функций р(х) и q(x) получим
1
\\u\\\ = <«, u)A = J(p(x) u'2(x) + q(x) u(xJ) dx
1
^ f(u'(x)Jdx. F.149)
0
1 1 1
0 0 0
d2
Оператор В = — -— также положительно определен на мно-
dx2
жестве D(A) (см. пример 5.10). Это множество, согласно те-
теореме 4.23, всюду плотно в энергетическом пространстве Лв,
которое является пополнением множества D(A) по норме || • ||в,
индуцированной энергетическим скалярным произведением, ко-
которое для функций u, v ? D(A) определяется соотношением
1
(u, v)B = (Вщ v) = J{-u"(x)) v(x) dx.
о
Отсюда интегрированием по частям с учетом граничных усло-
условий получим
1 1
(и, v)B = J u'(z) v'{x) dx, \\и\\% = j(u'(x)Jdx. F.150)
о о
Функции un{x) = sinn7rx, x ? [0, 1], n G N, являются собствен-
собственными элементами оператора В (см. пример 4.20) и образуют в
D(A) ортогональный базис [IX]. Поэтому система этих функ-
функций является замкнутой в D(A), а значит, и в Ив-, поскольку
множество D(A) является всюду плотным в Лв (см. опреде-
определение 4.11 и теорему 4.23). Но из F.149), F.150) и оценок для
функции р(х) следует, что
376 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Следовательно, На состоит из тех же элементов, что и Ив, так
что система функций ип(х) является замкнутой и в На-
Систему функций ип(х) — smnnx, ngN, можно ортонор-
мировать на отрезке [0, 1], но их использование в качестве
базисных функций при приближенном решении краевой задачи
F.148) методами Бубнова — Галеркина или Ритца не обеспе-
обеспечит стремления к нулю при TV —У ею невязки в соответствующем
операторном уравнении Аи~ /. Дело в том, что эти функции,
будучи собственными элементами оператора В, не являются
собственными элементами оператора А (см. замечание 6.1). #
Для дифференциального оператора А условие ип Е D(A),
п = 1, TV, учитываемое при выборе базисных функций в F.79),
означает, что функции ип должны удовлетворять не только
требованиям дифференцируемости, но и граничным условиям
на поверхности 5, ограничивающей область V решаемой зада-
задачи. Напомним, что в основе большинства дифференциальных
уравнений математической физики лежат локальные формы за-
законов сохранения физических субстанций (см. 2), которые для
процессов, не зависящих от времени, можно представить в виде
Au=-V{AiU) + BlU = f, D(A) С R(A) С R, F.151)
где и G D{A) и / € ЩА) — искомая и заданная функции про-
пространственных координат, а А\ и В\ —линейные дифференци-
дифференциальные операторы, относительно которых предполагаем, что
порядок производных по пространственным координатам в В\
не выше, чем в А\ (тогда порядок производных в Л на еди-
единицу выше, чем в ^i). Ясно, что А\и в данном случае будет
векторной функцией (часто градиентом искомой функции и).
Выбрав в качестве проекционных функции и*, е L2{V), к €
G N, образующие в гильбертовом пространстве ^(V) счетный
базис, согласно теореме 5.1, вместо F.151) можем записать
(Аи, vk) = (/, vk), к = 1777, или
[V, keN. F.152)
6.10. Особенности выбора базисных функций 377
Равенства F.152) вместе с краевыми условиями составляют
интегральную формулировку задачи, описываемую опера-
операторным уравнением F.151).
Пусть приближенное решение уравнения F.151) определяет-
определяется методом ортогональных проекций в виде
N
uN = ^anun. F.153)
71=1
Тогда, подставив F.153) в левую часть F.152), получим урав-
уравнение, левая часть которого представлена в виде линейной ком-
комбинации N слагаемых
vkdV, *,п = ТЖ F.154)
с неизвестными коэффициентами ап. В результате получим
СЛАУ
N
J2an(Aun,vk) = (f,vk), * = T77V, F.155)
n=l
относительно неизвестных коэффициентов an, n=l,N. Если
ип ? D{A), то в соответствии с первой формулой Грина вместо
F.154) при к, п = 1, N получим
{Aun,vk)= lvkBxundV +
+ !{Axun)VvkdV- f vk[Aiun)ndS> F.156)
v s
где n — единичный вектор внешней нормали к поверхности 5.
Из F.156) следует, что требования к дифференцируемости
базисных функций ип можно было бы частично переложить на
проекционные функции vk, т.е. выбрать в F.153) ип G D\ =
= D(A\) U D{B\), n = l,N, непрерывно продолжив при этом
378 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
оператор А на D\ С L2{V), а от функций vk потребовать непре-
непрерывной дифференцируемости в V. Действительно, пусть не-
необходимые условия дифференцируемости, определяющие при-
принадлежность ип € D(A), п= I, N, нарушены в точках Р* е S*
некоторой поверхности S*, разделяющей область V на две под-
подобласти V\ и Уг {V = V\ U V2U5*), но выполнены в каждой из
этих подобластей. Тогда вместо F.156) получим
(Aun,vk)= / vkBxundV+ (Aiun)WvkdV +
V Vr
+ I (AiUnWvkdV - vk(A\un)ndS-
J J
v2 s
- j{{Axun)xn* -(AxunJn*)vkdS, F.157)
s*
где n* — единичный вектор нормали к поверхности 5*, внешней
по отношению к подобласти Vi,'a через (^iMn)i и {А\ипJ обо-
обозначены пределы векторной функции А\и{Р) при стремлении
точки Р к Р* G S* со стороны подобластей V\ и V2 соответ-
соответственно. Но при выборе ип ? D\ эти пределы равны, так что
интеграл по поверхности 5* исчезает. Поскольку точки Р* € S'
образуют в области V множество, имеющее равную нулю меру
Лебега, то
J(AlUn)VvkdV + J'(Axun)VvkdV = J
т.е. при ип € D(A\) F.157) равносильно F.156).
Таким образом, учитывая F.156), СЛАУ F.155) можно
записать в виде
N
fk, fc = UV, F.158)
6.10. Особенности выбора базисных функции 379
где при к, п = 1, N
= [v
[{AlUn)VvkdV - f vk(AlUn)ndS, F.159)
а значения fk — (f, vk), к = 1, N, равны интегралам в правой
части F.152). Следует отметить, что в методе наименьших
квадратов такой подход не снижает требований к дифферен-
дифференцируемости функций ип, так как преобразование F.156) ска-
скалярного произведения при выборе vk = Ащ вызовет, наоборот,
повышение требований к дифференцируемости функций ип. В
самом деле, Vvk = V(Auk) и un € D(VA).
При выборе базисных функций можно сделать еще один шаг
по пути ослабления требований к их гладкости в области V.
Дело в том, что по физическому смыслу функция А\и обыч-
обычно является вектором плотности потока некоторой физической
субстанции (см. 1). Законы сохранения таких физических суб-
субстанций, как масса, энергия, заряд, количество движения, до-
допускают разрывность этой векторной функции на некоторой
поверхности разрыва S*, но требуют непрерывности ее проек-
проекции (Aiu(P))n*(P), Ре 5*, на направление нормали п* к этой
поверхности. Ясно, что это условие будет выполнено, если в
F.159) функции ип выбраны так, что ип € D\ = D{A\) U D(B\),
Предположим теперь, что функции ип, п = 1, N, в F.159)
выбраны так, что на поверхности 5*, разделяющей область V
на две подобласти V\ и V2 {V = V\ U V^US*), проекция {А\и)п*
терпит разрыв, т.е. в F.157) нарушено условие
{А1ип(Р*)I = {А1ип(ПJ, P*?S*. F.160)
Допустим, что функции t>fc, k= l,iV, также разрывны на
этой поверхности, т.е. пределы v[ (/**) и v^'(P*) каждой
380 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
функции vk(P) при стремлении точки Р к Р* € 5* со стороны
подобластей V\ и V2 могут быть не равны. Тогда вместо F.157)
будем иметь
(Aun,vk)= fvkB1undV+f{A1un)VvkdV +
V V,
+ / (A\un)VvkdV — / vk{A\un)ndS —
J J
Vi S
>{k] (AlUn)in* - v{k2){AiunJn*) dS. F.161)
Но для сходимости приближенного решения необходимо,
чтобы условие F.160) было выполнено. Для этого воспользу-
воспользуемся методом взвешенных невязок, выбрав в качестве весовых
функций ~D +»4 ):
v + v
ton* - (ЛщпJп*) к 2к dS = 0. F.162)
Вычитая левую часть F.162) из правой части F.161), получаем
(Aun,vk)= fvkBlundV+ /{Axun)VvkdV + I{Axun)VvkdV -
r f
- j vk(AlUn)ndS- J ((i4ittn)m* + (A1unJn*)
A)_
((in)m AnJ)Vk 2Vk dS.
s s*
Отсюда вытекает, что для исчезновения интеграла по поверх-
поверхности 5* достаточно непрерывности функций vk, k=l,N, в
точках поверхности 5*.
Ясно, что поверхность 5* может быть выбрана в области
V произвольно. Поэтому в случае непрерывных в области V
6.10. Особенности выбора базисных функций 381
проекционных функций Vk, k= I, N, обладающих в ней кусочно
непрерывными производными, для вычисления элементов Gnk,
k,n=\, N, матрицы СЛАУ F.158) применима формула F.159).
При этом допустимо, чтобы функции A\un, n=l,N, были
разрывны в точках, образующих в области V множество, мера
Лебега которого равна нулю.
Например, если в F.151) А является дифференциальным
оператором второго порядка, т.е. А\ имеет первый порядок, то
для вычисления интегралов в F.159) от базисных функций ип,
n — l,N, достаточно потребовать, чтобы они обладали лишь
кусочно непрерывными производными. Полученный результат
справедлив и для частного случая метода ортогональных про-
проекций — метода Бубнова -— Галеркина при выборе в F.153)
Vk = Uk, к = 1, N. В случае, когда А является положительно
определенным оператором, для приближенного решения урав-
уравнения F.151) можно применить метод Ритца. Тогда функции
ип будут принадлежать соответствующему энергетическому
пространству %а, в котором определена энергетическая нор-
норма || • \\а, а функционал энергии E.30) в рассматриваемом случае
примет вид J[u] = \\u\\\ - 2(/, и). Отметим, что указанные воз-
возможности ослабления требований к гладкости базисных фун-
функций важны при численном решении задач математической
физики, в частности методом конечных элементов.
Теперь обратимся к вопросу об удовлетворении граничных
условий на поверхности 5, ограничивающей область V. Пусть
на участках S\ С 5 этой поверхности задано граничное условие
U F.163)
а на участках 5г = 5\ S\ — граничное условие
() PeS2, F.164)
где /i, /3 и /г — заданные функции. Тогда приближенное ре-
решение в виде F.153) должно удовлетворять условию F.163) в
382 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
каждой точке Р ? Si, а для выполнения F.164) можно потре-
потребовать равенства нулю взвешенной невязки, возникающей при
подстановке F.153) в F.164). При выборе функций vk в каче-
качестве весовых будем иметь
/((AiuN)n +/3uN - f2)vkdS = 0, А; = 17Ж
F.165)
В этом случае вместо F.153) целесообразно искать прибли-
приближенное решение в виде
N
uN = u0 + ^2anun, F.166)
n=l
где uQ(P) = /i(P) при Р 6 Si, а функции ип и> Vk выбрать
так, чтобы ип(Р) = Vk(P) = 0, Р 6 Si, к, п = 1, N. Подставим
F.166) в F.152) и выполним преобразования, аналогичные тем,
которые привели к СЛАУ F.158). Тогда с учетом F.165)
получим систему уравнений F.158), в которой при к, п = 1, N
Gnk = J{vkB\Un + (AlUn)Vvk) dV + ICunvkdS,
V S2
/fc= I {fvk - (AtUo)Vvk - VkB^uo) dV + I\f2- Cuo)vkdS.
V S2
Описанный подход позволяет не накладывать на выбор фун-
функций ип € Di = D(A\) U D(B\), n = 0, N, ограничений, вытека-
вытекающих из условия F.164). В связи с этим такое граничное
условие обычно называют естественным. В противопо-
противоположность этому граничное условие F.163), которому должно
удовлетворять F.166), называют главным, а иногда предва-
предварительным в том смысле, что оно должно быть учтено еще до
нахождения коэффициентов ап при построении приближенного
6.10. Особенности выбора базисных функций 383
решения F.166). Хотя приближенное решение можно строить,
не соблюдая граничных условий, функции ип все же лучше вы-
выбирать с учетом этих условий, так как при их выполнении
последовательность приближенных решений будет иметь более
высокую сходимость", особенно в окрестности точек Р € 5г.
Более строгое разделение граничных условий на главные и
естественные следует из вариационной формулировки задачи
для положительно определенного оператора А. Естественные
граничные условия можно получить из условий стационарности
функционала, входящего в эту формулировку, если приравнять
нулю его первую вариацию. Граничные условия, не предста-
представленные в условиях стационарности функционала, являются
главными. Преобразуя вариационную формулировку задачи,
можно получить функционал Лагранжа, называемый иногда
полным. Этот функционал отличается тем, что в условия его
стационарности входят все граничные условия (отметим, что в
теории упругости термин пфункционал Лагранжа" имеет иной
смысл). При использовании такого функционала все гранич-
граничные условия будут естественными и базисные функции можно
выбирать лишь с учетом ограничений по их дифференцируе-
мости.
Если в вариационную формулировку задачи входит миними-
минимизируемый функционал, который допустимо рассматривать на
множестве функций, удовлетворяющих главному граничному
условию вида F.163), то это ограничение можно снять ме-
методом штрафа. Суть этого метода состоит в добавлении
к функционалу положительного слагаемого, которое быстро
возрастает, когда приближенное решение и^ не удовлетворя-
удовлетворяет условию F.163). При минимизации такого функционала
йм(Р) —> fi(P) при N ->¦ оо, причем скорость сходимости к
/i(P) в случае Р € Si будет зависеть от коэффициента, устана-
устанавливающего „тариф штрафа" за нарушение условия F.163).
"См., например: Михлин С.Г., 1966, а также: Ректорис К.
384 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Пример 6.14. Рассмотрим краевую задачу для уравнения
Пуассона
Mev, F.167)
с заданными на кусочно гладкой поверхности 5, ограничиваю-
ограничивающей область V, граничными условиями
и(Р)=д(Р), PeSrCS, F.168)
a(P)u(P)=a(P)h(P), PeS2 = S\Su F.169)
где п{Р) — единичный вектор внешней нормали к поверхности
5 в точке Р € S. Одной из интерпретаций этой задачи может
быть нахождение установившегося распределения температуры
и(М) в области V при заданном распределении д(Р) темпера-
температуры на участках S\ поверхности 5 и заданных на участках S2
условиях теплообмена с окружающей средой, имеющей темпе-
температуру h(P) (функция а(Р) > О характеризует интенсивность
теплообмена).
Краевой задаче F.167)-F.169) соответствует вариацион-
вариационная формулировка, включающая минимизируемый функционал
[XV]
J[u}= f^(VuJ-fu^dV + ^fa(u-hJdS, F.170)
который рассматривают на множестве функций «(М), непре-
непрерывных на замыкании V = VUS области V, имеющих в V ку-
кусочно непрерывные производные по координатам точки М 6 V
и принимающих значения и(Р) = д(Р) в точках Р ? S\. Эти
функции могут не удовлетворять граничному условию F.169),
являющемуся для этого функционала естественным. Если глав-
главное граничное условие F.168) заменить естественным гранич-
граничным условием
Pe Si, 0>O, F.171)
6.10. Особенности выбора базисных функций 385
то вместо F.170) получим функционал
l-ja{u-hJdS+^j(u-gJdS, F.172)
который можно рассматривать на множестве функций «(М), не
удовлетворяющих граничным условиям на всей поверхности 5.
Последний интеграл в F.172) равен среднеквадратичной
невязке, вызванной нарушением главного граничного условия
F.168). При этом значение параметра C в F.172) определяет
„тариф штрафа" за нарушение этого условия, а по физическо-
физическому смыслу характеризует в F.171) интенсивность теплообмена
на участках Si поверхности 5 с условной окружающей сре-
средой, имеющей температуру д(Р), Р ? S\. Так как функция
Vu(P)n(P), P ? Si, ограничена, то из F.171) следует, что
w(P) —> д(Р) при /3 -» оо, т.е. при предельном переходе бу-
будет удовлетворено главное граничное условие F.168) исходной
краевой задачи. Ясно, что при минимизации F.172) с фик-
фиксированным конечным значением /3 полученное приближенное
решение щ{М), М 6 V, не будет удовлетворять F.168), но по
мере возрастания /3 значение последнего интеграла в F.172) бу-
будет стремиться к нулю и ир{Р) —> д(Р), Р € S\. #
Отметим, что построить базисные функции ип и проек-
проекционные функции Vk так, чтобы un(P) = Vk(P) — О, Р 6 Si,
к, п = 1, N, можно следующим образом. Если подобрана такая
функция w 6 Dx = D(Ai)UD(B!), что ш(Р) = 0 при Р € Si, a
пп 6 D\ и функции Vk имеют в области V кусочно непрерывные
производные, то функции ип =ипп и Vk = uvk будут удовлетво-
удовлетворять всем необходимым требованиям.
При решении многомерных задач функции ип(М) и ffc(M)
можно представить в виде произведения сомножителей, завися-
386 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
щих только от одной координаты точки М G V. Если область V
в направлении одной из координатных осей (например, оси Ох\)
ограничена плоскостями, перпендикулярными этой оси, то для
упрощения подбора таких сомножителей можно принять коэф-
коэффициенты ап в F.166) зависящими от этой координаты. Тогда
вместо СЛАУ F.158) получим систему N обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений (ОДУ) относительно N неизвестных
ап — ап(х\), п = 1, N, причем порядок этих ОДУ будет совпа-
совпадать с порядком старшей производной по хг в дифференциаль-
дифференциальном операторе А. Для решения такой системы ОДУ необходимо
использовать граничные условия, заданные на указанных плос-
плоскостях.
Описанный способ построения приближенного решения мно-
многомерной задачи, известный как метод Канторовича*, ана-
аналогичен методу разделения переменных (методу Фурье). Этот
способ можно использовать и в случае, если в выбранной систе-
системе криволинейных координат область V в направлении одной
из них ограничена координатными поверхностями.
Рассмотрим случай, когда физические процессы, описывае-
описываемые операторным уравнением вида F.151), зависят от времени.
Тогда оператор В\ в F.151) будет включать дифференцирова-
дифференцирование по времени, т.е. искомая функция u(t,M) будет зависеть не
только от пространственных координат точки М ? V в обла-
области У, но и от времени t. При этом в F.151) и в граничные
условия F.163), F.164) могут входить функции f(t,M), fi(t,P)
и f2(t,P)- Тогда, используя метод Канторовича, приближенное
решение йдг можно искать в виде
N
^2an{t)un{M), f> О, M?V, F.173)
n=l
*Л.В. Канторович A912-1986) — отечественный математик и эконо-
экономист, лауреат Нобелевской премии за работы по математической эконо-
экономике.
6.10. Особенности выбора базисных функций 387
где функции «о и ип удовлетворяют условиям Uo(t,P) = f\(t,P)
и un(P) = 0 при Ре Si.
В этом случае, подставляя F.173) в F.152) и проводя при
условии Vk(P) = О, Р € Si, преобразования, аналогичные преды-
предыдущим, получаем систему N ОДУ
ХД /'vkBx{anun)dV + an( I' {Axun)VvkdV+ ICunvkdSj J =
n=1 V v s2 ^
= f{fvk-(Alu0)Vvk-vkBiu0)dV+f(f2-Cu0)vkdS, F.174)
где fc = l,iV, относительно функций an(t), n=l,N. Важно
подчеркнуть, что теперь оператор В\ действует не только на
функции un, зависящие от пространственных координат, но и
на функции an{i).
Для решения системы ОДУ F.174) необходимо задать на-
начальные распределения п^г\М) = u(r)@,M), M € V, искомой
функции (при г = 0) и ее производных по времени до порядка
R включительно, если в операторе Bi старшая производная по
времени имеет порядок R + 1. Например, при R = 0 начальные
значения ап@) можно найти из условий равенства нулю взве-
взвешенной невязки, возникшей при подстановке F.173) при t = 0 в
начальное условие и@,М) = п^(М). Это приведет к СЛАУ
N
n=l
0) un(M)vk(M)dV =
- f(u{o\M)-uo@,M))vk(M)dv, k = Tj4. F.175)
Пример 6.15. Рассмотрим задачу нестационарной тепло-
теплопроводности в твердом теле, описываемую дифференциальным
388 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
уравнением (при t > О, М € V) вида B.53)
- V(A(M)VT(i,Mj) = I^(t,M), F.176)
где с(М) и \(М) — объемная теплоемкость и коэффициент те-
теплопроводности материала тела, a Iy (t,M) — объемная мощ-
мощность источников энерговыделения. Пусть искомая функция
T(t, М), описывающая распределение температуры на участках
S\ С S и 5г = S\S\ кусочно гладкой поверхности 5, ограничи-
ограничивающей область V, удовлетворяет граничным условиями вида
B.55) и B.56)
) = ft(t,P), PeSu F.177)
\(P)VT(t,P)n(P)+!3(t,P)T(t,P) = fZ(t,P), PeS2, F.178)
и начальному условию
Т@,М) = /о(М), M€VU52, F.179)
в момент времени t = 0, принимаемый за начало отсчета. В
F.176) —F-178) все функции за исключением искомой T(t,M)
считаем заданными.
Сопоставляя F.176) с F.151), устанавливаем, что в данном
случае правая часть F.151) соответствует функции 1у , опе-
оператор В\ определен первым слагаемым в левой части F.176),
а оператор А\ определен равенством А\и = AVu. Граничные
условия F.163), F.164) и F.177), F.178) совпадают по фор-
форме. Поэтому если приближенное решение задачи F.176) —F.179)
представить аналогично F.173) в форме
N
TN(t,M) = T0{t,M) + J2"n(t)un{M), i>0, MeV, F.180)
n=l
где функции То и ип удовлетворяют условиям То(?,Р) = fi(t,P)
и ип{Р) = 0 при Ре Si, то система ОДУ F.174) для нахождения
Д.6.1. Проекционный метод 389
функций an(t) примет вид
N
N , , , , , ч
$Д~|г I cunvkdV + an I \(Vun)VvkdV + an I 0unvkdS) =
"=1 V V S2
s2
где A; = 1, TV. Необходимые для решения этой системы началь-
начальные значения ап@) получим из СЛАУ вида F.175) при k=l,N
N .
un{M)vk{M)dV = I (fo{M)-To{0,M))vk{M)dV.
Изложенный подход применен для приближенного решения
одномерной задачи нестационарной теплопроводности в плос-
плоской стенке (см. примеры 6.7 и 6.10).
Дополнение 6.1. Проекционный метод
Рассмотрим обобщение метода ортогональных проекций,
известное как проекционный метод. Этот метод есть ме-
метод приближенного решения операторного уравнения Аи = f в
гильбертовом пространстве %, где А — линейный оператор,
имеющий область определения D(A) и область значений R(A),
всюду плотные в Л. Будем также предполагать, что существу-
существует ограниченный обратный оператор Л.
Последовательность подпространств Ядг С "К назовем пре-
предельно плотной в 71, если для любого элемента u?7i последова-
последовательность расстояний {p{u,Hn)} от и до подпространств Ядг
удовлетворяет условию
p(u,HN)= inf ||u- w|| ->¦ 0 при N -> со. F.181)
390 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Суть проекционного метода состоит в следующем. Для опе-
операторного уравнения Аи = / выберем две последовательности
{Un} и {Vn} подпространств Un С D(A) и VN с ЩА), N ? N,
предельно плотные в %. Для каждого подпространства Vjv вы-
выберем ограниченный линейный оператор Pn- % -> Vn с обла-
областью значений R{Pn) = Vn, удовлетворяющий условию PN = Pn
(такие линейные операторы называют проекционными, или
проекторами). Последовательность решений un ? Un опера-
операторных уравнений PnAu = Pn f, N ?N, при некоторых услови-
условиях можно рассматривать как последовательность приближений
для решения операторного уравнения Аи = /.
Описанная схема приближенного решения операторного
уравнения Аи = / является корректной при выполнении двух
требований:
1) каждое операторное уравнение PnAu — PnS имеет реше-
решение Un € Un, и притом единственное;
2) последовательность {un} сходится к искомому решению
и операторного уравнения Аи =¦/ в каком-либо смысле (напри-
(например, по норме гильбертова пространства).
Теорема 6.11. Пусть A: D(A) -4 ЩА) — взаимно одно-
однозначный линейный оператор в гильбертовом пространстве И,
Р — проектор в ?{, удовлетворяющий условию V — R{P) С
С ЩА), a U С D(A) — подпространство в Н. Если выполнены
условия PAU = V и
||Р«||>г|И, ve AU, F.182)
где т > 0 — некоторое число, то для любого элемента / е У.
операторное уравнение РАи — Pf имеет решение в U, и притом
единственное.
^ Пусть Р — сужение проектора Р на подпространство AU,
т.е. Pv = Pv при v ? AU. В силу условия F.182) линейный
оператор Р имеет нулевое ядро, т.е. кегР= {0}. Поэтому он
Д.6.1. Проекционный метод 391
является взаимно однозначным и отображает подпространст-
подпространство AU взаимно однозначно на V. Следовательно, существует
обратный оператор Р: F—> AU. Так как линейный оператор
А обратим, то определен линейный оператор А~гР~1: V —? U,
обратный к линейному оператору РА. Существование такого
оператора означает, что для любого элемента / ? % оператор-
операторное уравнение РАи — Pf имеет решение tt, принадлежащее U,
и притом единственное. При этом и — A~l P~l(Pf). >
Теорема 6.12. Пусть A: D(A) -4 ЩА) — взаимно од-
однозначный линейный оператор в гильбертовом пространстве
71, для которого D(A) и R(A) всюду плотны в Л; {Ujy} и
{Vn} — некоторые последовательности подпространств в %
и Pn- % -> V/v, N G N, — проекторы, образующие равномер-
равномерно ограниченную последовательность, т.е. ||Pjv|| ^ С, N ? N,
для некоторого числа С > 0. Тогда, для того чтобы при лю-
любом f ?Л каждое операторное уравнение PjyAu — Ppjf, N G N,
имело единственное решение им ? l//v, причем ||Att^ — /|| -4 0
при N -4 оо, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись сле-
следующие условия:
1) последовательность подпространств AUn предельно плот-
плотна в И;
2) PNAUN = VN,N? N;
3) существует такое т > 0, что для каждого номера ./V
выполняется неравенство ||Р^г|| ^ t||v||, v G AUn.
При выполнении указанных трех условий скорость сходимо-
сходимости последовательности {Аи^ — f\\ к нулю определяется соот-
соотношением
•Ц Необходимость. Предположим, что для любого эле-
элемента / G Н каждое уравнение Р^Аи = Рлг/i N ? N, имеет
единственное решение и^ ? Un, причем ЦЛи^ - /|| —> 0 при
392 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
N —> оо. Тогда, согласно неравенству
P(f,AUN)= inf \\f-v\\^\\f-AuN\\,
v?AUN
заключаем, что p(f, AUn) —> 0 и последовательность подпрост-
подпространств {AUn} является предельно плотной в %. Таким образом,
первое условие теоремы выполняется.
Зафиксируем произвольный номер N. Поскольку Pv% —
= D(Pn) — VJvj то Для любого элемента /* G Vn существует
такой элемент f ?%, что P/v/ — /*. Уравнение Р^Аи = /*
эквивалентно уравнению PjyAu = Pjv/, a потому, согласно
предположению, имеет решение идг G Un, и притом единствен-
единственное. Это означает, что P^AUm — Vn, т.е. выполняется второе
условие теоремы.
Докажем, что выполняется и последнее, третье условие те-
теоремы. Обозначим через Р^ сужение оператора P/v на подпро-
подпространство AUn- Поскольку линейный оператор Р^ ограничен и
взаимно однозначно отображает банахово пространство AUn
на банахово пространство V/v, то, согласно теореме Банаха
об обратном операторе, существует ограниченный обратный
оператор Р^1: Vn —> AUn- Покажем, что последовательность
норм ЦР^Н этих операторов ограничена. Пусть tijv ? Un —
решение операторного уравнения Р^Аи = PnS- Тогда Аи^ =
= Pfl1 PnS, и условие \\Aun - /|| -> 0 при N -> оо означает, что
Р^1 Pjv/ — / —> 0 при ./V —> оо. Следовательно, Р^ Р^ f —> / при
Л^ —> оо. Последнее условие верно для любого элемента f ?%.
Согласно теореме Банаха — Штейнгауза, последовательность
{II-Pn^vII} ограничена, т.е. для некоторого числа С* > 0 име-
имеем H-P^fWll ^ C*i п € N. Поэтому для любого элемента v G Vn,
учитывая, что Pjyv — v, имеем
||Р^Ч| = H^^rll < HP^Pvll HI < C-||«||.
Из этих неравенств вытекает, что ЦР^1!! ^ С", N ? N.
Д.6.1. Проекционный метод 393
Выбрав произвольный элемент / ? AUn и положив v =
получим
т.е. третье условие теоремы выполнено с т = 1/С*.
Достаточность. Согласно теореме 6.11, из второго и
третьего условий теоремы 6.12 вытекает, что каждое урав-
уравнение РмАи = Pv/, N 6 N, имеет решение и^, и притом
единственное. Это решение можно представить в виде и^ —
= J4~1P^1Pv/, где P/v — сужение проектора Рн на подпро-
подпространство AUn. В соответствии с третьим условием теоремы
имеем ||/де || ^ -¦ Кроме того, по условиям теоремы ||Pjv|| ^ С'
N € N. Следовательно, ЦР^^лгЦ ^ — и для любого элемента
v € AUn, учитывая равенство v = Pf^1 Pnv, получаем
Так как элемент v € AUn выбирался произвольно, то
inf II/-«11 =
Согласно первому условию теоремы р(/, AUn) —> 0, при N —too.
Поэтому и ||/lti;v — /|| —»• 0 при N —* оо. >
Замечание 6.3. Если Un и VJv — конечномерные линей-
линейные пространства одинаковой размерности, то второе условие
теоремы 6.12 является следствием ее третьего условия. Дей-
Действительно, из третьего условия вытекает, что все операторы
Рдг имеют нулевое ядро. В этом случае для каждого номера N
394 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
оператор РыА, рассматриваемый на конечномерном линейном
пространстве f/дг, также имеет нулевое ядро. Значит, его образ
имеет ту же размерность, что и линейное пространство Un- Ес-
Если dimf/дг = dim Vn, то размерность подпространства PnAUn
в Vn совпадает с размерностью Vn- Но зто возможно лишь при
PNAUN = VN.
Замечание 6.4. Если в условиях теоремы 6.12 оператор А
имеет ограниченный обратный оператор, то для любого элемен-
элемента / G R(A) последовательность {un} решений операторных
уравнений Р^Аи = PnS сходится по норме к решению и урав-
уравнения Аи = f. Действительно, в этом случае
Согласно теореме 6.12, ||.4г*лг ~ /|| ~+ О ПРИ N —> оо. Поэтому и
— tt|| —> 0 при N -4 оо. ф
Рассмотрим проекционный метод в частном случае, когда
выбор последовательностей подпространств {Un} и {Vn}, a
также последовательности проекторов {Рдг} определяется па-
парой ортогональных базисов {ип} и {«„} в гильбертовом про-
пространстве У. следующим образом. Подпространства Un и V)v
являются линейными оболочками конечных ортогональных сис-
систем элементов tti, tt2, ..., un и «i, «2, ..., vn- Оператор Pn
является оператором ортогонального проектирования на V^
(или ортпопроектпором), т.е. каждому элементу / ? У. с раз-
оо
ложением / = X) fkvk в соответствие ставится его проекция /де
fc=i
N
на VN, равная fN = Z) /fe«fc, т.е. Pf = fN.
Отметим, что в рассматриваемом случае \\Pn\\ = 1, N € N, и,
следовательно, последовательность проекторов Pn равномерно
ограничена. Приближенное операторное уравнение PnAu —
— PnS 1 решение которого ищется в конечномерном линейном
пространстве Un, равносильно уравнению Pn(Au — /) = 0. Но
Вопросы и задачи 395
равенство P^v — 0 означает, что все коэффициенты разложе-
разложения элемента v в ортогональном базисе {vk} с номерами к <i N
равны нулю, т.е. (v, Vk) = 0, к = 1, N. Таким образом, решение
операторного уравнения PnAu = P^f удовлетворяет
системе уравнений (Аи — /, и*.) = 0, к = 1, N. Заменяя элемент
N
и G l//v его разложением и — ?) anun в базисе t>i, u2, ..., vjy
n=l
этого линейного пространства, приходим к системе линейных
уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложе-
разложения аь а2, ..., алг:
k=l,N. F.183)
n=l
Нетрудно увидеть, что в рассматриваемом случае проек-
проекционный метод совпал с методом ортогональных проекций, а
система F.183) не отличается от системы линейных уравне-
уравнений F.80), к которой приводит метод ортогональных проекций.
Это позволяет рассматривать проекционный метод как обоб-
обобщение метода ортогональных проекций, а для исследования
метода ортогональных проекций использовать теоремы 6.11 и
6.12, дополнительно учитывая замечания 6.3 и 6.4.
Вопросы и задачи
6.1. Одномерное установившееся распределение температу-
температуры Т(х) в стенке толщиной h удовлетворяет обыкновенному
дифференциальному уравнению
где
( J)( J) хе[0,Ч,
396 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
a ill и i?2 — главные радиусы кривизны одной из поверхностей
стенки. На этой поверхности выбраны участок площадью Fq и
начало отсчета координатной оси Ох, направленной по нормали
к поверхностям стенки, на которых заданы значения темпера-
температур Г@) = То и T{h) = Th. При условиях *?-? < 1 и J±- < 1
методом малого параметра найти распределение Т(х) и срав-
сравнить его с точным решением задачи.
При тех же условиях методом малого параметра решить
одномерную нестационарную краевую задачу
T(h,t)=Th,
где t — время, а — температуропроводность (см. 2.3) матери-
материала стенки.
6.2. Упругая балка длиной / с постоянной жесткостью на
изгиб ?7* (см. рис. 6.3) закреплена таким образом, что ее про-
прогиб w(x) удовлетворяет условиям w@) = w'@) = w(l) = w"(l) = 0.
Найти форму прогиба оси балки под действием распределенной
нагрузки интенсивностью q(x) = </о( 1 + у) методами колло-
кации в подобластях и в точках и сравнить результаты при
одинаковом числе слагаемых в представлении приближенного
решения, а также провести сравнение с точным решением за-
задачи.
6.3. Методами коллокации в подобластях и в точках най-
найти одномерное стационарное распределение температуры Г(г),
г G [Ri, Rt\i по толщине стенки трубы с внутренним R\ и на-
наружным /?2 радиусами, описываемое обыкновенным дифферен-
дифференциальным уравнением
<PT{r) I dT{r) 4?)r2 _
Вопросы и задачи 397
где 1у — объемная мощность энерговыделения (см. 2.3) в
стенке при г = i?2! А — теплопроводность (см. 1.3) материала
трубы. На поверхностях трубы принять T(i?i) = T(R2) = То-
Результаты сравнить с точным решением задачи.
6.4. Методами коллокации в подобластях и в точках найти
одномерное установившееся распределение температуры Т(х) в
стенке с поверхностью двоякой кривизны (см. задачу 6.1).
6.5. Найти решение уравнения F.85) с граничными услови-
условиями u@) = иA) =0 методом наименьших квадратов и сравнить
с решением, полученным в примере 6.8.
6.6. Вязкая несжимаемая жидкость движется в трубе ква-
квадратного поперечного сечения, причем вектор v скорости жид-
жидкости направлен вдоль оси Охз трубы, т.е. его проекции на
координатные оси Oxi и Ох2, перпендикулярные стенкам тру-
трубы, равны нулю (v\ = и2 = 0). Методом наименьших квадратов
и методом Бубнова — Галеркина найти распределение в по-
поперечном сечении трубы проекции г?з(?1,?2) вектора скорости
жидкости на ось Охз- Функция Уз(х\,Х2) удовлетворяет урав-
уравнению
+ dxj)
где г) — коэффициент сдвиговой вязкости жидкости (см. 3.2);
Р = р(хз) — заданная функция изменения давления жидкости
вдоль оси трубы. На стенках трубы принять из = 0. Сравнить
результаты с точным решением задачи.
6.7. Решить задачу 6.1 методом наименьших квадратов
и методом Бубнова — Галеркина и сравнить результаты с
точным решением.
6.8. Решить задачу 6.2 при условиях u»@) = u»"@) = w(l) =
= w"(l) = 0 методом наименьших квадратов и методом Бубно-
Бубнова — Галеркина и сравнить результаты с точным решением.
398 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
6.9. Убедиться, что применение метода Бубнова — Галер-
кина для решения уравнения F.85) с граничными условиями
«@) = «A) = 0 и для решения краевой задачи F.84) дает оди-
одинаковый результат.
6.10. Найти двустороннюю оценку критической силы, вы-
вызывающей потерю устойчивости прямолинейной формы равно-
равновесия стержня с круговым поперечным сечением, рассмотрен-
рассмотренного в примерах 6.11 и 6.12, если
mx(l — x)
p , m = 4.
ЧАСТЬ III
Сеточные методы
7. ОСНОВЫ МЕТОДА
КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Используемые в задачах математической физики модели
физических процессов (см. 1-3) предполагают в большинстве
случаев непрерывность распределения искомых величин в про-
пространстве и их непрерывное изменение во времени. Вместе с
тем можно получить некоторое приближенное представление о
пространственном распределении и эволюции во времени этих
величин, если оперировать совокупностью их значений в фик-
фиксированные моменты времени на конечном множестве точек
пространства. Ясно, что уменьшение интервалов между выб-
выбранными фиксированными моментами времени и сокращение
расстояний между выбранными точками пространства должны
приближать такое дискретное представление к непрерывному
распределению искомых величин.
7.1. Понятие о сеточных методах
Множество точек пространства, используемых для прибли-
приближенного представления непрерывного пространственного рас-
распределения какой-либо величины, называют пространствен-
пространственной сеткой, а точки — узлами (или узловыми точками)
этой сетки. Аналогично множество фиксированных момен-
моментов времени называют временной сеткой, а такие моменты
времени — узлами этой сетки. Объединение пространственных
сеток, рассматриваемых в выбранные фиксированные моменты
времени, образует множество узлов пространственно-вре-
пространственно-временной сетки. Множество узлов пространственной сетки в
фиксированный момент времени называют слоем простран-
402 7. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
ственно-временндй сетки. Значение величины в узле сет-
сетки называют узловым.
При необходимости значения величин в промежутках между
узлами сетки можно найти интерполированием. Это позволяет
получить по дискретной информации об искомых величинах их
приближенные непрерывные зависимости от пространственных
координат и времени.
При рассмотрении пространственного распределения иско-
искомых величин их зависимость может быть существенной не от
всех трех пространственных координат. Тогда наряду с общим
случаем трехмерной сетки в частных случаях она может
быть двумерной или даже одномерной. В стационарных
задачах искомые величины не зависят от времени. Поэтому
необходимость в использовании временной сетки при решении
таких задач отпадает.
Понятия сетки и сеточного узла являются основными при
построении большой группы приближенных методов решения
задач математической физики, называемых сеточными ме-
методами (иногда используют собирательный термин — ме-
метод сеток). В таких методах непрерывное пространственное
распределение искомых величин и описание их непрерывного
изменения во времени представляют совокупностью их зна-
значений в узлах пространственно-временной сетки. При этом
производные искомых функций, входящие в дифференциальные
уравнения математической физики и краевые условия, прибли-
приближенно заменяют (аппроксимируют) в каждом узле конечными
разностями. В итоге исходную математическую формули-
формулировку задачи сводят к системе уравнений (в общем случае
нелинейных) относительно неизвестных узловых значений. Та-
Такие уравнения называют разностными, а их систему вместе
с правилами их построения называют разностной схемой.
Одной и той же краевой задаче могут соответствовать различ-
различные разностные схемы. В случае линейной задачи разностная
схема включает систему линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ).
7.1. Понятие о сеточных методах 403
Описанный подход приводит к одному из наиболее широко
применяемых вариантов метода сеток — методу конечных
разностей (МКР) приближенного решения задач математи-
математической физики. Но математическая формулировка таких за-
задач может и не содержать дифференциальных уравнений, а
включать интегральные уравнения (в общем случае — инте-
гро-дифференциальные) или функционалы, в которых искомые
функции входят в подынтегральное выражение [XV]. В таких
случаях узлы пространственно-временной сетки используют
для построения квадратурных формул, что позволяет прибли-
приближенно заменить интегралы соответствующими квадратурными
суммами, содержащими узловые значения искомых функций. В
итоге метод сеток также приводит к системе уравнений отно-
относительно неизвестных узловых значений.
Отметим, что группу соседних узлов пространственно-вре-
пространственно-временной сетки можно использовать для построения непрерывной
функции, имеющей так называемый конечный носитель (на-
(например, являющейся интерполяционным многочленом, прини-
принимающим некоторое значение в фиксированном узле и нулевое
значение во всех соседних). Из таких функций, построенных
для каждого узла сетки с конечным числом узлов, можно соста-
составить базис конечномерного функционального пространства, в
котором применимы проекционные методы приближенного ре-
решения задач математической физики. При таком сочетании
эти методы иногда называют проекционно-сеточными*.
В частности, подобный подход приводит к методам конеч-
конечных или граничных элементов, которые также обычно относят
к группе сеточных методов. При этом под элементом в об-
общем случае понимают подобласть пространственно-временной
области, содержащую группу соседних узлов соответствующей
сетки, используемую для построения упомянутой непрерывной
функции, т.е. конечный или граничный элемент является ко-
конечным носителем этой функции.
'См., например: Марчук Г.И., Агошков В.И.
404 7. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
7.2. Аппроксимация производных
конечными разностями
Можно выделить два основных способа построения прибли-
приближенных формул для производных функции по ее значениям в
узлах пространственно-временной сетки. Такие формулы при-
принято называть аппроксимирующими, а замену ими производ-
производных в уравнениях — аппроксимацией производных.
Рассмотрим эти способы применительно к действительной
функции и(х) одного переменного х. Как и в случае численного
дифференцирования, они основаны на использовании интер-
интерполяционных многочленов или на применении формулы Тей-
Тейлора [II]. Отличие состоит в том, что при численном диффе-
дифференцировании известны узловые значения функции, а при ап-
аппроксимации производных эти значения еще предстоит найти
в процессе приближенного решения задачи.
Пусть ип — значения функции и{х) в узлах хп, п— 1,N,
одномерной сетки. Известно [II], что для функции и(х) можно
построить интерполяционный многочлен Лагранжа
N N _
uN(x) = J2^nbn(x), Ln(x)= П JLZJtSL, G.1)
n=l m=l,m/n Xn Xm
степени N — 1, принимающий в узлах значения ип. При этом
для значений х, не совпадающих с узлами, погрешность на
равномерной сетке с расстоянием h между соседними узлами
[шагом сетки) пропорциональна hn. Дифференцированием
G.1) можно получить и№(х) ййУ(г), х € (xlf xn), k = l, N-1,
но погрешность этой приближенной формулы оценить сложно.
Погрешность выражений, аппроксимирующих производные
функции и(х), называемую погрешностью аппроксимации,
удобно оценивать, используя второй способ построения при-
приближенных выражений для производных путем представления
этой функции формулой Тейлора в окрестности фиксированно-
7.2. Аппроксимация производных конечными разностями 405
го узла хп:
7П,
G.2)
где Un = v,W (х) | , к = 0, т, причём и„ — un = u(zn). Слага-
Слагаемое О((х —xn)m+1) указывает, что погрешность представле-
представления функции и(х) € Cm[xi, хм] при помощи G.2) имеет (т + 1)-й
порядок малости при х —> хп.
Этим способом установлено [II], что для первой произ-
производной
un =+О(Л) =
а для второй производной
+ O(h) = ^ + O[h ),
где h = |xn±i — xn\ = const. Таким образом, погрешность ап-
аппроксимации первой производной правой и левой конечными
разностями имеет первый порядок малости при h —> 0, а цен-
центральной конечной разностью— второй порядок малости. Та-
Такой же порядок малости имеет погрешность аппроксимации в
G.3). Для краткости обычно говорят просто о порядке по-
погрешности аппроксимации, опуская слово „малости". От-
Отметим, что правую и левую конечные разности (или конечные
разности вперед и назад соответственно) можно рассматри-
рассматривать как центральные, но при аппроксимации первой произ-
производной в промежуточных узлах xn±j/2 = хп ± h/2, т.е.
). G.4)
406 7. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Порядок погрешности аппроксимации производных можно по-
повысить, построив конечно-разностные соотношения, содержа-
содержащие большее число узловых значений функции и(х) [II].
В случае сетки с переменным шагом между соседними
узлами, используя G.4), приближенно получаем
G>5)
где hn = -(xn+i - xn_i), hn±1/2 = |ж„±1 - хп\. Для оценки по-
порядка возникающей в G.5) погрешности сначала при помощи
представления G.2) функции и(х) в окрестности узла хп запи-
запишем единым выражением значения этой функции в узлах хп±\:
h2 hz
, i и , и nil/2 , ni n±\/2
=un± unhn±1/2 + un—^-± un — 1
n
±- p.»)
Затем, разделив равенство G.6) с верхними знаками „ + " в
индексах и перед слагаемыми на /in+i/2i a равенство с нижними
знаками „-" — на /in_j/2 и сложив почленно результаты,
получим
1 -Un hh
и
Пп-1/2
Iv Лп+1/2 ~ hn+l/2Kl/2 К-\/2
-ип _ ... G.7)
Таким образом, аппроксимация G.5) имеет первый порядок
погрешности. Нетрудно убедиться, что при постоянном шаге
сетки hn — /in±i/2 = h G.7) переходит в G.3).
Чтобы аппроксимировать в узле хп неравномерной сетки
четвертую производную функции и(х), в соответствии с G.5)
7.3. Метод баланса 407
можно записать
1 /и" -и" и" —v"\
п ~ U \ ^ г , I 1
пп v пп+\/2 Пп-\/2 '
1/2
а затем при помощи G.5) выразить вторые производные в узлах
хп и хп±1:
IV 1 fun+2 ~ ип+1 . ип ~ un4-l \
"" ~ TfT Г ( Г + —Г )-
"¦п'*п+1/2дп+1 ч ап+3/2 "п+1/2 у
hlh
-ип п1 „
lhn+l/2 \ ^п
1 /Цп_2-Цп-1 Цп-Цп-1\ _
hnhn-i/2hn-\ \ ^п-З/2 ^п-1/2 '
^п^п-1/2 ^ ^п+1/2 ^п-1/2 '
где /in±1 = -|zn±2 - ж„| и /г„±3/2 = к«±2 - а:п±11. В случае рав-
равномерной сетки {hn±if2 — hn±3/2 — hn = h = const) получим
IV
Ц„_2
Можно показать, что погрешность аппроксимации в G.8) имеет
первый порядок, а в G.9) — второй порядок.
7.3. Метод баланса
В дифференциальные уравнения задач математической фи-
физики, вытекающие из законов сохранения физических субстан-
субстанций и описывающие процессы в неоднородной среде, часто
входят выражения вида
{р(х)и'(х))\ {г(х)и"(х))" G.10)
408 7. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
и аналогичные им, причем функции р{х) и г(х) в своих обла-
областях определения могут иметь точки разрыва первого рода. Но
даже в случае дифференцируемости этих функций при аппрок-
аппроксимации таких выражений нецелесообразно предварительным
дифференцированием выделять в них явно старшую производ-
производную функции и(х). Дело в том, что при этом в разностном ви-
Де будут нарушены условия баланса, соответствующие закону
сохранения рассматриваемой физической субстанции, или усло-
условия равновесия действующих нагрузок. Кроме того, функции
v(x) = — р{х)и'(х) и w(x) = г(х)и"(х) имеют определенный фи-
физический смысл (например, плотности теплового потока, если
и — температура, ар — теплопроводность среды, или изгиба-
изгибающего момента, если и — прогиб балки, а г — ее жесткость
на изгиб), так что эти функции также желательно аппрокси-
аппроксимировать на одномерной сетке (обычно в ее промежуточных
узлах).
Рассмотрим аппроксимацию первого выражения в G.10) в
узле хп € [zn_i, xn+i] сетки с переменным (в общем случае)
шагом, предполагая, что функция р(х) на отрезке [яп-1, xn+i]
положительна и имеет конечное число точек разрыва первого
рода, но функция v(x) = — р{х) и'(х) непрерывна на этом отрезке
и непрерывно дифференцируема в интервалах между точками
разрыва. Сначала проинтегрируем равенство и'[х) = —-т-r на
отрезке [хп, хп+1]:
/du(x) , Г v(x) ,
dx J p(x)
и приближенно примем, что v{x) к, vn+1/2 — v(xn+l/2) = const
при х € [хп, хп+г]. Тогда получим
f dx
/
p(*Y
7.3. Метод баланса 409
и отсюда
Un+i -Un /--тих
^п+1/2«-Рп+1/2—7 , G.11)
ftn+l/2
где
1 _ 1 Г dx
Рп+1/2 «Ti+1/2 J P(x)'
Рп+1/2 Пп+1/2
Аналогично находим
«n-l/2 ~ -Pn-l/2-T ~, G-12)
«п-1/2
где
1 _ 1 Г _dx_
Рп-1/2 ^п-1/2 У Р(х)
-1/2
Используя центральную конечную разность в узле хп, с учетом
G.11) и G.12) получаем
(p(z)u'(z))' =-v'(x)
Уп+1/2 - Уп-1/2
-ип
1 / ~ u-n+l — а„ и,„_1 — un \
«7~ 1^+1/2 "Г* +Р»-1/2-Т )• GЛЗ)
«71 V «П+1/2 «71-1/2 '
Описанную процедуру построения аппроксимации левой ча-
части G.13) называют методом баланса (иногда интегро-ин-
терполяционным методом), поскольку правая часть G.13) по-
позволяет в разностной форме выполнить условия баланса, соот-
соответствующие тому или иному закону сохранения. Если функция
и{х) имеет смысл температуры, а р(х) — теплопроводности
среды, то отношения ^"±1/2 в G.11) и G.12) равны суммарным
Рп± 1/2
термическим сопротивлениям слоев неоднородной среды, рас-
расположенных между соседними узлами, а выражение в скобках
в правой части G.13) является суммой притекающих в узел хп
410 7. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
тепловых потоков. Если же и(х) трактовать как распределе-
распределение электрического потенциала, а р(х) — как электрическую
проводимость, то в скобках в правой части G.13) получим
сумму электрических токов, притекающих в этот узел (отноше-
(отношения „п±г/2 в G.11) и G.12) будут суммарными электрическими
Рп±1/2
сопротивлениями слоев среды между соседними узлами). Ана-
Аналогичную трактовку имеет G.11)-G.13) применительно и к
другим физическим процессам.
Оценка порядка погрешности, возникающей при аппрокси-
аппроксимации левой части G.13), в общем случае довольно сложна*. В
частном случае р(х) = р0 = const имеем j?n±1/2 = Ро и аппрок-
аппроксимация G.13) равносильна G.5), т.е. имеет первый порядок
погрешности, который возрастает на единицу при Л.п±1/2 = h =
— const, поскольку тогда аппроксимация G.13) будет равно-
равносильна G.3).
Если функция р(х) непрерывна, то можно получить аналог
формулы G.13), заменив в ней рп±\/2 n&Pn±\/2 = P(xn±i/2)- Оце-
Оценим возникающий при такой аппроксимации порядок погреш-
погрешности, полагая, что функции и(х) и р(х) непрерывно диффе-
дифференцируемы необходимое число раз на отрезке х ? [zn_i, xn+i\-
Для этого сначала при помощи представления вида G.2) функ-
функции v(x) = — р(х)и'(х) в окрестности узла хп запишем единым
выражением значения этой функции, вычисленные в точках
xn±i/2 = хп ± /
p{x)u'{x) —p{x)v!{x)
х=г
п±1/2
±
х=хп
±(р(х)и'(х)
,=m 2 2
c=xn 4
±-(p(i)u(i))'
h3
t=xn 8
п±1/2
'См., например: Самарский А.А.
7.3. Метод баланса
411
Затем после почленного вычитания из равенства с верхними
знаками „ + " в индексах и перед слагаемыми равенства с ниж-
нижними знаками „ —" получим
{р(х)и'(х)У
р(х)и'(х)\ -р{х)и'(х)\
1/2
х=х„
-(р(х)и'(х))"
h2 -h2
n+l/2 n-1/2
x=xn 24(/ln+,/2 + ^n-
¦n). G-14)
-(p(x)u'(x))'
где hn = max{/in_,/2, hn
Теперь при помощи разложения функции и(х) в ряд Тейлора
в окрестности точек ?n±i/2 запишем значения этой функции,
вычисленные в узлах хп и
х=1п±1/2
hn±l/2
16
±1,
x=xn±\/2 2 2
h3
8 24
r=rn±l/2
hn±l/2
16
Вычитая почленно из последнего равенства предыдущее, полу-
получим
±и'(х)
«'"(I)
сп±1/2
r-In±l/2
412 7. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Бели умножить это равенство на значение pn±i/2 =p{xn±i/2) и
учесть, что
р(х)и'"(х)
то получим
±р(х)и'(х)
х=хп±\/2
= р(х)и'"(х)
±{р(х)и'"(х)У
гп±1/2
с=х„ 2
O(h2n),
ип±1-ип
^п±1/2
Тр(х)и'"(х)
с=х„ 24
х=хп
^п±1/2
48
+ O(h*).
После почленного сложения строк с верхним и нижним знаками
соответственно и подстановки результата в G.14) находим
{р(х)и(х))
х=х„ Пп
гп+1/2
Рп-1/2
х=Хп
-((р(*)«Ч*)Г+И*)^(*))')|_ X
3„)- G-15)
24
Итак, при равномерно расположенных узлах (ftn±i/2 = hn — h =
= const) погрешность аппроксимации левой части G.15) первым
слагаемым правой части G.15) имеет второй порядок, а если
узлы расположены неравномерно, то лишь первый порядок.
Теперь перейдем к аппроксимации второго выражения в
G.10) в узле хп G [хп-2, хп+2] неравномерной сетки, предпола-
предполагая, что функция г(х) на отрезке [з;„_2, хп+2] положительна и
имеет конечное число точек разрыва первого рода, но при этом
7.3. Метод баланса 413
функция w(x) = г(х)и"(х) непрерывна на этом отрезке и два-
дважды непрерывно дифференцируема в интервалах между точка-
точками разрыва. Сначала проинтегрируем равенство и"(х) — Щ^-
на отрезке [^n_i/2) жп+1/2]) приближенно приняв на этом отрез-
отрезке гф) « wn = w(xn):
/d2u(x) , , f w(x) f dx
Отсюда, используя G.4), получаем
wn«T-(—7 + —7 )- G-16)
«n ч "n+1/2 "n-l/2 '
где
rn К J r(x)'
Аналогично находим
G-17)
n+l ч "п+3/2 "п+1/2
Г„_1
( 7
ч «3/2 Лп-1/2
Здесь
хп-1/2
Г„_1 /М„_2-И„-1 Mn-Mn_iN /-,1Оч
( 7 + -Г )• G.18)
п-1 ч «п-3/2 Лп-1/2 7
/
1 _ 1 Г _dx_ 1 _ 1 Г _dx_
Гп+i ftn+i У ф)' гп_1 Л„_1 У г(г)
, /ln±i = -\xn±2 - Хп\, Х„±3/2 = Хп±1 ±
±/in±3/2- В итоге, используя G.5), получаем
И ^n±3/2 lxn±2 гп±1|, /ln±i
х=хп Пп
414 7. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Аппроксимация производных при помощи метода баланса
приводит к единообразным выражениям вне зависимости от
того, как расположены возможные точки разрыва функций р(х)
и г(х) в G.10). В случае неоднородной среды использование
метода баланса обычно позволяет ограничиться применением
равномерной сетки с постоянным шагом.
7.4. Пример простейшей разностной схемы
В одномерных стационарных краевых задачах математи-
математической физики искомые функции зависят лишь от одной про-
пространственной координаты и не зависят от времени. В мате-
математическую формулировку таких задач входят обыкновенные
дифференциальные уравнения (ОДУ) с граничными условиями.
Рассмотрим построение разностной схемы для сравнительно
простой краевой задачи, описываемой линейным ОДУ второго
порядка
-u"(x) + q{x)u(x) = f(x), хб[0,1], G.20)
где q(x), f(x) ? С[0, /], с граничными условиями
К задаче G.20), G.21) можно прийти при рассмотрении
установившегося распределения температуры и(х) в тонком
цилиндрическом стержне длиной /, торцы которого имеют за-
заданные значения температуры по и п;, а на его боковой поверх-
поверхности происходит теплообмен с
окружающей средой (рис. 7.1).
При этом интенсивность тепло-
теплообмена задает функция q{x) > 0,
х G [0, /], а изменение температу-
температуры ис(х) среды вдоль стержня —
функция f(x)/q(x).
О ¦-?¦ Разобьем отрезок [0,/] вну-
внутренними точками хп — nh, n —
= l,N— 1, на N частичных от-
7.4. Пример простейшей разностной схемы 415
резков равной длины h = l/N, т.е. введем равномерную одно-
одномерную сетку с номерами узлов п = О, N. Для каждого вну-
внутреннего узла xn, n = 1, N - 1, используем аппроксимацию G.3)
второй производной и"(х), имеющую второй порядок погреш-
погрешности. Тогда из G.20) получим систему N — 1 разностных
уравнений
-Un+1~2^ + Un-1 +qnun = fn, n = MV^T, G.22)
относительно неизвестных узловых значений ип искомой функ-
функции и(х), причем qn = q(xn), fn = f(xn) и в соответствии с G.21)
ио = Щ, un = ui-
Итак, разностная схема в данном случае состоит из рав-
равномерной одномерной сетки с N + 1 узлами и системы G.22)
разностных уравнений при заданных значениях ио и и^. Ясно,
что G.22) образует систему N — \ линейных алгебраических
уравнений (СЛАУ) относительно узловых значений ип, п =
= 1, N — 1, матричная запись которой
Аи = у G.23)
включает квадратную трехдиагональную матрицу
/2 + 4lh2 -1 0 ... 0 0
-1 2 + q2h2 -I ... О О
0 -1 2 + q3h2 ... О 0
О 0 0 ... 2 + qN-2h* -1
О 0 0 ... -1 2 + <7лг_
X
порядка N — 1 и векторы и = («i иг ... ип ... ww_i) , у =
= B/1 2/2 •••Уп ... yjy-i)T, где уг = fih2 + u0, yjy-i — /лг-i^2 +
-I- идг и з/„ = /п/г2, п = 2, ЛГ—2. Из (iV - IJ элементов матрицы
416
7. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
А ненулевыми являются лишь 37V — 5 и соответствуют коэффи-
коэффициентам СЛАУ G.22), которую можно представить в виде
-anun-i+bnun-cnun+l=yn, n = 2, N-2,
G.24)
где an = cn-i = 1, n = 2, iV-1, и bn - an
= l,iV-l, если учесть, что ai =cjv_i =0. При g(z
коэффициенты в G.24) удовлетворяют неравенствам
Ьп - ап - сп ^ 0,
2 # 0, n =
0, ж G @, /)>
п=1,ЛГ-1,
G.25)
cn>0, n=l,iV-2.
В рассматриваемом случае выполнены неравенства
К1. п = 1, ЛГ-1,
G.26)
причем а\ = сд[_1 = 0, т.е. при п = 1 ип = iV-1 первое нера-
неравенство в G.25) является заведомо строгим. Если это неравен-
неравенство является строгим хотя бы для одного значения п, будем
говорить о трехдиагональной матрице с частичным диа-
диагональным преобладанием. В случае q(x) > 0, х € @,1), все
неравенства в G.26) строгие, т.е. А — матрица с диагональным
преобладанием. СЛАУ, у которой матрица с диагональным
преобладанием, имеет решение, и притом единственное [III].
Это решение можно найти методом Гаусса.
Для решения СЛАУ, матрица которой имеет частичное
диагональное преобладание, наиболее эффективным является
метод прогонки, основанный на возможности выразить любое
узловое значение un, n= I, N—2, через значение ип+\ в соседнем
7.4. Пример простейшей разностной схемы 417
узле, т.е.
vn, n=l,N-2, G.27)
причем из первого равенства G.24) имеем /^ = ?i и щ = ^-, а
далее из G.24) при помощи G.27) находим
Сп Уп -\- anl/n-l о дг—К (~, оо\
цп = 1 , vn = , n = 2,IV-2. G.28)
Подставляя идг_2 = /^лг-гидт-] + "лг-2 в последнее равенство
G.24), получаем
yN-\ +0.N-IVN-2 ,_ ооч
un-1 = т • G.29)
Это позволяет затем при помощи G.27) и предварительно
вычисленных по формуле G.28) коэффициентов fin и i>n найти
остальные значения и„, где номер п последовательно принимает
значения N -2, ..., 1.
Решение СЛАУ G.24) существует и единственно, если по
формулам G.27)-G.29), полученным из СЛАУ эквивалентны-
эквивалентными преобразованиями, можно однозначно найти неизвестные
значения un, n= 1,ЛГ—1. Это будет в том случае, когда ни
один из знаменателей Дп = Ьп — an[in-\ в G.28) и G.29) в про-
процессе вычислений не обращается в нуль. С помощью метода
математической индукции покажем, что для существования и
единственности решения СЛАУ достаточно выполнения усло-
условия G.26). Действительно, А\ = Ь\ ф 0 и \цх\ = |^| ^ 1. Пред-
Предположим, что Д„_1 Ф 0 и l/^n-il ^ 1 при 2 < п ^ N — 1. Тогда
получаем
i| ^ \bn\ -|OnA*n-i| ^ \ЬП\ -\ап\ > О,
т.е. Д„ ф 0. Кроме того, имеем |ДП| ^ \сп\, п — 1, ЛГ-2, и в дан-
данном случае |Д„| ^ |вп|, п = 2, ЛГ—1. Поэтому |/хп| = у^г ^ 1 и
ап\ ^ |ДП|. Следовательно, алгоритм метода прогонки, исполь-
418 7. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
зующий рекуррентные формулы G.27) и G.28), не приводит к
накоплению вычислительной погрешности, связанной, напри-
например, с ошибками округления. В таком случае говорят, что
алгоритм обладает вычислительной устойчивостью.
В рассматриваемом случае алгоритм метода прогонки обла-
обладает устойчивостью и по входным данным, поскольку
возможные погрешности в задании исходной информации при
формулировке краевой задачи G.20), G.21) не возрастают в
процессе вычислений благодаря выполнению неравенств |/х„| ^
^ 1 и \ап\ ^ |Д„| ^ 1. Алгоритм называют устойчивым, если
он обладает одновременно и вычислительной устойчивостью и
устойчивостью по входным данным, и неустойчивым в про-
противном случае.
Для СЛАУ G.24) справедлив так называемый принцип
максимума, состоящий в том, что ип ^ 0 при выполнении
неравенств G.25) и и0 ^ 0, и^ ^ 0, уп ^ 0, п — 1, N—1. Докажем
это от противного. Предположим, что ип > 0 в одном или
нескольких внутренних узлах хп, п= 1, N—2. Обозначим через
хт узел, в котором значение ит > 0 является наибольшим.
Тогда в соответствии с G.25) имеем
amUm^amum-i, cmum>cmum+i
и с учетом G.24) запишем
0 < {Ьт-ат -ст)ит <
< Ьтит - атоит_! - cmum+i = ут ^ 0. G.30)
Полученное противоречие @ < 0) доказывает, что ип ^ 0, п —
= l,iV-2. Если же наибольшим является значение и^-\ > 0,
то при т = N — 1 также приходим к противоречию в G.30),
поскольку а.м-1 > 0 и сдг_1 = 0.
СЛАУ G.24) получена эквивалентными преобразованиями
из СЛАУ G.22). Поэтому принцип максимума по отношению
к G.22) можно сформулировать так: и„ ^ 0 при выполнении
неравенств G.25) и и0 ^ 0, и^ ^ 0, /„ ^ 0, п— 1, N—1.
7.4. Пример простейшей разностной схемы 419
Если в G.22) /„ = 0, п = 1, ЛГ-1, то для узловых значений
un, n = 1, ЛГ—1, являющихся решением такой СЛАУ при vq = ио
и vn — un, справедлива оценка
max \vn\ ^ тах{|цо|,|цдг|}-М> 0. G.31)
n=l,W-l
Действительно, рассмотрим совокупность узловых значений
?„ = ип - М, п = 1, ЛГ-1, которые будут удовлетворять G.22)
при fn = -Mqnh2 ^0, n= I, ЛГ-1, причем ^о = ио - М ^ 0 и ^ =
= ид[ — М ^ 0. Поэтому, согласно принципу максимума, имеем
?n ^ 0, или vn ^ M, n = 1, ЛГ - 1, откуда следует G.31).
Пусть теперь множество узловых значений wn, n = 1, ЛГ-1,
удовлетворяет СЛАУ G.24) при условии wq = w^ = 0. Обо-
Обозначим Y = max |/n| и рассмотрим совокупность узловых
71=1,ЛГ-1
значении
Непосредственной проверкой убедимся, что тогда значения
?n = wn — zn, n = 1, ЛГ — 1, будут удовлетворять СЛАУ G.24)
при условии ?о = Ov = 0, если в ее правой части /„ заменить
на fn — Y — qnzn ^0, n = 1, ЛГ—1. Следовательно, согласно
принципу максимума, получим (,n ^ 0, или
max |/J, п = 1,ЛГ-1. G.32)
xn(l-xn)
Отсюда с учетом Nh = I находим
Y12 I2
max |wn| ^ max \zn\ ^ = — max |/nj. G.33)
п=1,ЛГ-1 n^l^-l 8 8 n=l,^-l
420 7. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Ясно, что при заданных значениях и0 и и^ решение СЛАУ
G.24) можно представить в виде ип = vn + wn. Поэтому с уче-
учетом G.31) и G.33) справедлива оценка
max \un\ = max_|vn +wn| ^
n=\,N-\ n=l,N-l
^ max [fn|+ max \wn\ ^
n=l,N-l n=l,N-l
I2
^max{|uo|,M} + - max |/n|. G.34)
о п=1,ЛГ-1
Теперь вывод об устойчивости по входным данным алгорит-
алгоритма метода прогонки при решении СЛАУ G.22) можно перене-
перенести на соответствующую этой СЛАУ разностную схему. Пусть
ип, п = 1, N—1, — решение СЛАУ G.22) при правых частях /п
и заданных и0, и^. Тогда значения т)п = ип — ип, п = 1, N—1,
будут удовлетворять СЛАУ G.22) при правых частях Д/п =
= /„—/„ и заданных Дмо = Щ — щ, Дидг = мдг — идг, а вместо
G.34) получим
max |т?та| = max \ип - ип\
n=\,N-\ N
I2
- тах_|Д/п|. G.35)
Значения Д/п, п = l,N—l, и Дм0, Дмдг можно рассматри-
рассматривать как погрешности при задании исходной информации для
краевой задачи G.20), G.21). Выполнение неравенства G.35)
означает, что рассматриваемая разностная схема обладает ус-
устойчивостью по входным данным.
Перейдем к оценке погрешностей, возникающих при при-
приближенном решении краевой задачи G.20), G.21). Пусть функ-
функция ?(аг) является точным решением этой задачи и предполо-
предположим, что п(х) имеет на отрезке [0, /] непрерывную производную
четвертого порядка. Тогда, подставляя в разностные уравне-
7.4. Пример простейшей разностной схемы 421
ния G.22) вместо un значения пп = п(хп) и используя прибли-
приближенный вариант G.7) при hn±i/2 = h, получим
йп_1 -2пп+пп+1 _ _,, _lwh2
+ 4U / u + u +
+ ?nun-/n = <v^ = Vn, n = T^V^T, G.36)
поскольку, согласно G.20), -п" + <7n«n - /n = 0. Значение
V> = max Щ = — max |й™|? —^-h2, M4 = max |uIV(x)|,
n=l,N-l 12n=l,N-l 12 *€[0,/]
назовем погрешностью аппроксимации ОДУ G.20) рас-
рассматриваемой разностной схемой. Говорят, что разностное
уравнение аппроксимирует ОДУ, если ф —)¦ 0 при h —> 0. При
этом показатель степени то' в неравенстве V ^ C'hm , где С >
> 0 — некоторая константа, называют порядком аппрокси-
аппроксимации. В данном случае т! — 2.
Из G.36) следует, что значения пп, n=l,N— 1, удовле-
удовлетворяют G.22) при замене /„ на /п = /„ + V"n) т.е. значения
Аип =пп-ип удовлетворяют условиям Аи0 — Дидг = 0 и СЛАУ
G.22) при замене в ней /п на фп. Тогда в соответствии с G.32)
и G.36) имеем
\пп~ип\^хп——^ max \фп\ ^
2 n=l,N-l
^M4hzxn—^, п=1,ЛГ-1, G.37)
откуда следует
М412 2
Аи= max \ип - ип\ ^ -—-h\ G.38)
71=1,Af-l У6
Значение Ди называют погрегиностью разностной схемы.
Если Дм —> 0 при h —> 0, то говорят, что решение разност-
разностных уравнений сходится к решению соответствующей краевой
422 7. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
задачи, или короче: разностная схема сходится. При этом по-
показатель степени т в неравенстве Аи ^ Chm, С > О, называют
порядком точности разностной схемы. Для рассматри-
рассматриваемой разностной схемы т = 2. Совпадение порядка точности
разностной схемы с порядком аппроксимации является в дан-
данном случае следствием непрерывной зависимости решения ип,
п = 1, N — 1, разностных уравнений от их правых частей*.
Оценки G.37) и G.38) погрешности, называемые априор-
априорными, обычно трудно использовать на практике, поскольку
значение М4 сложно оценить до решения задачи. Апостери-
Апостериорную оценку погрешности можно получить методом Рунге,
используя результаты решений СЛАУ G.22) на так называемых
сгущающихся сетках, т.е. на нескольких сетках с увеличиваю-
увеличивающимся числом узлов при условии сохранения ранее введенных
узлов. Пусть и*. — значения в узлах х*., п* — l,N*— 1, удо-
удовлетворяющие G.22) при Uq = п0, u*N. =п[, числе N* = 2N узлов
сетки и ее шаге h* = h/2. Оценивая левую часть в G.37) сверху,
т.е. заменяя неравенство G.37) равенством, для узла хп =х*. =
= х\п находим
. . . , о ' Xji -—г-=
\ип-ип\ = М4п хп ^ , п= 1, iv —1,
1-х*. h2 I - хп
\un* ~ un' \ — lVl4yH ) Xnm — IVI4 Xn —- ,
24 4 24
где п^. = 11вип* = 1, N* — l. Отсюда получаем
4К.-<.| = |«п-«п|,
или, обозначая Ди* = |п^. - и* |
4Ди*(х„) = \пп - ип\ = |(й„ - и*)
В итоге для узла х„ получаем оценку погрешности
Д< = \пп - <| ^ '""I" = Дмп. G.39)
*См., например: Самарский А.А.
7.4. Пример простейшей разностной схемы
423
Пример 7.1. Рассмотрим краевую задачу
-u"{x) + x2u(x)= (y +
u@) = l, u(l) = 0,
имеющую точное решение п(х) = cos—. Используем разност-
разностную схему G.22) при<7„ = хпи/„= \^- + xljcos~-, гдеж„ = 2.,
я = 0, 4, т.е. разобьем отрезок [0, 1] тремя внутренними точ-
точками на N = 4 частичных отрезков равной длины /j = — = -.
Тогда при заданных значениях ио = 1 и идг = 0 получим СЛАУ
из трех уравнений
п2 \ 4л-2 + п2 7гп ———
+ lNl
Ее решение методом прогонки представлено в табл. 7.1.
Таблица 7.1
п
0
-
1
2
3
-
4
1,000000
-
0,926080
0,709703
-
0,384324
-
0
п*
0
1
2
3
4
5
6
7
8
<•
1,000000
0,981114
0,924413
0,832097
0,707733
0,556116
0,383082
0,195300
0
««0
1,000000
0,980785
0,923880
0,831470
0,707107
0,555570
0,382683
0,195090
0
а;
0
3,29
5,33
6,27
6,26
5,46
3,99
2,10
0
А„
0
-
5,56
-
6,57
-
4,14
-
0
С*
0
4,34
7,43
9,29
9,91
9,29
7,43
4,34
0
В случае ./V* = 8 та же разностная схема приведет к СЛАУ
из семи уравнений
*J\ * . 16тг2+(п*J тгп*
-<-»= 4096 С051Г
424 7. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
причем Uq = 1 и u*N, — 0. Решение этой СЛАУ и значения п(хп«)
точного решения в узлах х„« = — приведены в табл. 7.1. Там
же представлены значения Д* = 104|п(хп«) — и*, |. Их сравнение
со значениями Дп = 104Ди„, вычисленными в соответствии с
G.39), показывает, что метод Рунге дает в данном случае
хорошие результаты. Вместе с тем погрешности значения С* =
= 104 • —-(/i*Jz?,(l — ж*.), соответствующие априорной оценке
G.37), где в данном случае
., i-iv, м я fKx\\ ж*
Мл = max \и (х) = — max cos — = —.
х=[0,1] 16x=[0,l] \2/l 16'
заметно выше (см. табл. 7.1).
Вопросы и задачи
7.1. Какой порядок погрешности имеет формула и"±1 и
— Г5 , где п — постоянный шаг одномерной сетки:
7.2. Показать, что погрешность аппроксимации в G.8) име-
имеет первый порядок, а в G.9) — второй порядок.
8. ОДНОМЕРНЫЕ
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
8.1. Разностные схемы для стационарных задач
Рассмотрим одномерную стационарную краевую задачу,
которая включает линейное обыкновенное дифференциальное
уравнение (ОДУ) второго порядка
u(x) = f(x), xe[0j], (8.1)
с переменными коэффициентами и граничные условия
-ахи'{х) + сш@) = 5, Р\и'{х) + Cи{1) = 0, (8.2)
х=0
х=1
где <*i, a, a, fli, C, /3 — действительные числа, удовлетворя-
удовлетворяющие условиям а\ + а2 ф О и (З2 + (З2 ф О, а р{х), q(x) и f(x)
являются заданными функциями независимого переменного х.
Далее примем, что р(х) ^ р° > 0 и q{x) ^ 0 при х € [О, I], а\а ^ О
К краевой задаче (8.1), (8.2) можно прийти, изучая, на-
например, распределение температуры и(х) при стационарной
теплопроводности в стержне длиной /, аналогичном изобра-
изображенному на рис. 7.1, но с переменной площадью поперечного
сечения, пропорциональной значениям функции р(х) (функция
q(x) описывает изменение периметра этого сечения). На боко-
боковой поверхности стержня происходит теплообмен с окружаю-
окружающей средой, температура которой пропорциональна значениям
функции /(х), а (8.2) задают условия теплообмена на торцах
стержня. При «1 = 0 и (или) ft\ — 0 получаем частный случай,
когда на торце стержня х = 0 задана температура и@) = а/а и
(или) на торце х = / задана температура иA) = C/C.
426 8. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
Если функции р{х), q(x) и f(x) имеют на отрезке [0,/] ко-
конечное число точек разрыва, то при аппроксимации ОДУ (8.1)
целесообразно использовать метод баланса. Разобьем отрезок
[0,1] внутренними точками xn, n= l,N— 1, на ./V частичных
отрезков длиной hn±i/2 = \xn±i - хп\, т.е. введем неравномер-
неравномерную (в общем случае) одномерную сетку с номерами узлов
п = О, N. В соответствии с методом баланса вычислим инте-
интегралы от левой и правой частей (8.1) по отрезку [xn_i/2, хп+г/2],
где xn±1/2 = xn±I/in±1/2. Тогда, учитывая G.11)-G.13), полу-
получим систему N - 1 разностных уравнений
- Т-(Рп+1/2—Г \-Рп-1/2—7 ) +Япип = fn, (8-3)
К ^ ГЩ+1/2 «п-1/2 J
7i= 1, ЛГ-1, где hn = ^(Лп
хп+1/2
Чп = т- / q{x)dx, /n = — / f(x)dx, (8.4)
Пп J Пп J
xn-l/2 xn-l/2
а рп±\/2 соответствуют G.11) и G.12).
В общем случае порядок погрешности аппроксимации пер-
первого слагаемого в ОДУ (8.1), полученной в соответствии с
G.13), не превышает единицы. Поэтому производные в гранич-
граничных условиях (8.2) достаточно аппроксимировать с тем же
порядком погрешности, т.е. использовать правую и левую ко-
конечные разности соответственно:
(8.5)
Ясно, что в частных случаях ах = 0 и (или) /3\ = 0 граничные
условия (8.2) при х = 0 и (или) х = / будут удовлетворены в
разностной схеме точно.
8.1. Разностные схемы для стационарных задач
427
Если же (8.3) аппроксимируют ОДУ со вторым порядком
погрешности и а\ ф О и (или) /3i ф О, то целесообразно и (8.2)
аппроксимировать также со вторым порядком погрешности. В
этом случае соотношения
/г,/, ~ /г,,,
(8.6)
Pn-i/2
-«о
«1/2
UN - МЛГ-1
«1/2
~2~'
7
un-fN
(8.7)
полученные при помощи метода баланса интегрированием (8.1)
на отрезках [0, 21/2] и [ялг-1/2! 'L будут иметь порядок погреш-
погрешности аппроксимации не менее двух. В соотношениях (8.6),
(8.7) обозначено
Pl/2
h/2
/
/0 =
М/2
f-1/2
= -^— ! q(x)dx, fN = -r^— f f(x)
"N-1/2 J "N-1/2 J
dx.
Из (8.2) имеем
= -p@)u'(x)
p()=
x~l Pi
и после подстановки в (8.6), (8.7) получаем
bouo - сощ = г/о,
(8.8)
428 8. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
где
h\/2 Ct Pl/2
bo = со + qo~~ + p@)—, co = T—,
2 «i fti/2
Л « РЛГ-1/2
—, алг = 7 »
«1 ^N-1/2
7 hN-l/2
^-1 yN = jN—7, J[
Из физического смысла краевой задачи (8.1), (8.2) вытекает,
что если e*i ф 0 и (или) /3i 7^ 0, то обычно ац = р@) и (или)
Аппроксимацию (8.5) граничных условий (8.2) с первым
порядком погрешности также можно привести к виду (8.8),
если принять
Pi/2 , , ~ а 5
со = т—' oo = co + p1i2—, Уо
hi/2 ' Oil
РЛГ-1/2 . /5 Д
aN—7 , t>N = aN + pN_i/2 — , VN = PN-l/2-?--
Ллг-1/2 /5i Pi
После умножения каждого разностного уравнения (8.3) на
hn запишем
-anun_i+6nun-cnun+1 =yn, п=1,ЛГ-1, (8.9)
где
_ Рп-1/2 , _ ~ , _ Рп+1/2 _т,
an — Т > "п — ап г Сп + ЦпПп 1 Сп — — , уп — Jn^v.'
"п-1/2 nn+l/2
Итак, (8.8) и (8.9) образуют систему N +1 линейных алгебраи-
алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно неизвестных узловых
значений ип, n = 0,N, искомой функции и(х). В матричную
запись
Аи = у (8.10)
8.1. Разностные схемы для стационарных задач
429
этой СЛАУ входят квадратная трехдиагональная матрица
b0 -с0 0 ..- П П \
О —по Ьо
о
о
о
о
о
о
(8.11)
О О О ... bN-i -cN-i
\ О О О ... -aN bN
порядка N + 1 и (N + 1)-мерные векторы и= (и0 щ
У = («/о У\ •••
Так как ап = сп_ь n = l,N, то эта
матрица симметрическая. Она содержит не более 2N +1 не
равных между собой ненулевых элементов и является матрицей
с частичным диагональным преобладанием, поскольку &о > со и
biv> а^. СЛАУ с такой матрицей может быть решена методом
прогонки.
Замечание 8.1. Если функция р(х) непрерывно дифферен-
дифференцируема на отрезке [0, /], то, казалось бы, целесообразно про-
продифференцировать первое слагаемое в (8.1), использовав затем
G.3) для аппроксимации и"(х) и центральную конечную раз-
разность для аппроксимации и'(х) на равномерной сетке с шагом h:
- (р(х)и'(х))'=-р(х)и"(х) -р(х)'и'(х) »
h2 rn 2h
где рп и p'n — значения функции р(х) и ее производной в узле
хп. Но при этом коэффициенты в (8.9) примут вид
Рп Рп
п 2
сп =
Рп
так что матрица (8.11) утратит симметричность, а для вы-
выполнения неравенств G.25), связанных с существованием для
430 8. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
данной разностной схемы принципа максимума, шаг сетки не-
необходимо будет выбирать из условия
I»' I
h max_—<2. (8.12)
n=l,N-l Pn
Это условие может оказаться весьма обременительным при
резком изменении функции р(х) на отрезке [0,/], когда \р'(х)\
достаточно велико при х € [0, /]. Нарушение условия (8.12) мо-
может привести к утрате матрицей (8.11) свойства частичного
диагонального преобладания, что не гарантирует эффектив-
эффективности метода прогонки и ставит под сомнение возможность
использования данной разностной схемы на практике.
Замечание 8.2. Другим примером утраты свойства час-
частичного диагонального преобладания матрицей (8.11) при ап-
аппроксимации дифференциального уравнения являются задачи,
описываемые ОДУ G.20) при q(x) < 0 или (8.1) при р(х) > 0 и
q(x)<0, zG[0, 1].
Ограничение на выбор шага сетки возникает и для задач,
в которых наряду с диффузионным переносом физической суб-
субстанции необходимо учитывать и конвективный перенос дви-
движущейся средой (см. 1.2). В качестве примера рассмотрим
установившийся процесс переноса вещества с концентрацией и
в одномерной системе, описываемый ОДУ
-Du"(x) + v(x)u'(x) = f(x), xe[0,l], (8.13)
где v — скорость среды, D — коэффициент диффузии вещества
в среде, а функция f(x) характеризует в данном случае интен-
интенсивность подвода вещества в систему. Это же ОДУ описывает
перенос тепловой энергии, если и считать температурой среды,
D — коэффициентом температуропроводности, а / — величи-
величиной, пропорциональной мощности распределенных источников
теплоты.
8.1. Разностные схемы для стационарных задач 431
Аппроксимация производных в (8.13) центральными раз-
разностями на равномерной одномерной сетке с узлами хп = nh,
п = О, N, и шагом h приводит к разностным уравнениям
D «п\ 2D (D уп
+ )U+
со вторым порядком аппроксимации, которые соответствуют
(8.9) при
Теперь условие частичного диагонального преобладания мат-
матрицы А в СЛАУ (8.10) выполнимо лишь при -~jr- ^ 1, причем
хотя бы для одного значения п зто неравенство должно быть
строгим.
Это условие будет выполняться в любом случае, если в (8.13)
аппроксимировать первую производную левой или правой раз-
разностью, ориентированной против движения среды, т.е. при
vn > 0 использовать соотношение
v(x)u'(x)
а при vn < 0 —
1
=vn
х=хп И
v(x)u'(x) =vnUn+l~Un+O(h).
х=хп
Объединяя эти соотношения в одно
v(x)u'(x)
in
получаем разностные уравнения вида (8.9) с первым порядком
аппроксимации и коэффициентами
_ D \vn\ + vn i_^,kJ _ D \vn\ - Уп
h2 2h h2 h h1 2ft
432 8. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
п= 1, N—1. Нетрудно проверить, что теперь матрица (8.11) со-
сохраняет свойство частичного диагонального преобладания при
любых значениях vn, но порядок аппроксимации разностной
схемой уравнения (8.13) снижен на единицу. #
Вернемся к рассмотрению разностной аппроксимации ОДУ
(8.1). Если входящие в него функции р(х), q(x) и f(x) являются
периодическими с периодом /, т.е.
p(x)=p(x + l), q{x) = q(x + l), f{x) = f{x + l), x 6 R,
то это ОДУ может иметь периодическое решение и(х) = и(х+1),
х € R, с тем же периодом. Для поиска такого решения вместо
граничных условий (8.2) на концах отрезка [0, /] следует задать
условия „сшивания"
и@) = иA), р{х)и'(х) =р(х)и'(х) . (8.15)
х=+0
х=1-0
Если р(+0) = рA - 0), то второе равенство в (8.15) переходит в
равенство производных и'@) = и'A). Это означает, что решение
в точках х = 0 и х = / будет гладким.
Такая задача возникает, например, при нахождении распре-
распределения температуры при установившейся теплопроводности в
упомянутом выше тонком стержне длиной /, если он изогнут
так, что его торцы находятся между собой в идеальном тепло-
тепловом контакте. При этом температура и(х) и тепловой поток
v(x) =—р(х)и'(х) изменяются вдоль стержня непрерывно.
Разностную схему для поиска периодического решения мож-
можно построить исходя из следующих соображений. Если на ка-
каждом из отрезков [0,1], [/,2/], ... ввести неравномерную (в
общем случае) сетку с N + 1 узлами, причем узлы ждг, x^n, ¦ ¦ ¦
будут общими для соседних отрезков, то коэффициенты и пра-
правые части в (8.9), а значит, и искомые узловые значения ип
станут повторяться с периодом N, т.е.
an = <*n+N, К = Ьп+н, сп = сп+к, уп = Уп+N, ип = un+N.
8.1. Разностные схемы для стационарных задач
433
Тогда вместо (8.8) в дополнение к (8.9) получим
= u0.
(8.16)
СЛАУ (8.8), (8.16) можно привести к матричной форме
(8.10), но теперь ЛГ-мерные векторы и и у будут иметь коорди-
координаты ип и уп, п — 0, ЛГ—1, а квадратная матрица А порядка N
примет вид
Ьо -с0 0 ... 0 -a0 \
-О! 6i -С! ... 0 0
А =
0
-а2
Ь2
0
0
0
\-cn-i
0
0
0
О
-ОдГ-1
-CN-2
Ьлг-1 У
(8.17)
Таким образом, матрица у! теперь не является трехдиагональ-
ной, что не позволяет применить для решения этой СЛАУ
обычный вариант метода прогонки. Вместе с тем матрица
(8.17), как и матрица (8.11), является симметрической, т.е. ао =
= сдг_1, а число не равных между собой ненулевых элементов
будет не более 2N.
К СЛАУ с матрицей, отличной от трехдиагональной, при-
приводит и разностная схема краевой задачи для ОДУ (8.1) с
граничными условиями, которые зависят не только от гра-
граничных значений искомой функции и ее производной. Такие
граничные условия называют связанными. В частности,
такие граничные условия могут содержать интегралы от иско-
искомой функции. Рассмотрим на примере, каким образом может
войти такой интеграл в граничные условия.
Пример 8.1. Если для ОДУ (8.1) вместо (8.2) заданы оба
условия на одном конце отрезка [0, /] при х = 0 в виде и@) = ио
и и'(ж)| = и'о, то вместо краевой задачи получим задачу Ко-
ши для ОДУ второго порядка [VIII] с указанными начальными
условиями при х = 0. Такие условия могут быть заданы, напри-
например, как результаты измерения температуры одного из торцов
434 8. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
стержня (см. рис. 7.1) и проходящего через этот торец тепло-
теплового потока. Тогда целью решения задачи будет нахождение
распределения температуры по длине стержня, соответствую-
соответствующее этим результатам измерения.
В общем случае неравномерной одномерной сетки с номе-
номерами узлов п = О, N из второго начального условия, используя
правую конечную разность, находим щ — Uq + ^0^1/2 и далее,
разрешая (8.3) относительно un+1, п= 1,ЛГ—1, приходим к ре-
рекуррентной формуле
Qnhn.hn+\i2\
1 - I ип -
Рп+1/2 )
__ Pn-l/2hn+l/2u _ fnhnK+1/2 ,g 18,
Рп+1/2^п-1/2 Рп+1/2
Однако алгоритм, использующий (8.18), не обладает ни вы-
вычислительной устойчивостью, ни устойчивостью по входным
данным, т.е. является неустойчивым, поскольку коэффициент
при ип заведомо превышает единицу.
Рассматриваемую задачу можно свести к задаче Коши для
нормальной системы двух ОДУ [VIII]
и'(х) = ^-, v'(x) = q{x)u{x)-f(x), xe[0,l],
с начальными условиями и@) = щ и и@) = p@)u'Q — v0. Тогда,
используя правые конечные разности, получаем разностную
схему
MnJ-1 ~ tin Vr, 1)ПА.\ — V-n
n+1 И — Л Л±1 И — п и - f п — О ЛГ-1 IR 19")
— ) , — ЧПаП Jni ll — ") Jv l1 yO.LV)
"n+1/2 Pn nn+l/2
с заданными значениями uq и vq. Выражая vn из второго
равенства (8.19) и подставляя в первое равенство, приходим к
рекуррентной формуле
(+l/2\ , п+1/2
ип+х = 1 ^- \ип + vn+1
V Р ) Р
Рп ) Рп Рп
8.1. Разностные схемы для стационарных задач 435
Аналогично, выражал ип из первого равенства (8.19) и подстав-
подставляя во второе равенство, находим
Vn+1
= I 1
\ Рп
Из последних двух формул следует, что для обеспечения вы-
вычислительной устойчивости алгоритма, построенного на основе
разностной схемы (8.19), значения /in+i/2 должны удовлетво-
удовлетворять условию
max — < 2.
Это условие при больших значениях отношения qn/Pn будет
весьма обременительным, поскольку его выполнение может
привести к необходимости выбора чрезвычайно малого ша-
шага сетки. Но рассматриваемую задачу можно сформулировать
как краевую, если для ОДУ (8.1) наряду с граничным условием
u@) = uo при х = 0 второе граничное условие задать при х = I
в виде
^- J q(x)u(x)dx = p@)u'o- J f(x)dx. (8.20)
Условие (8.20) получено интегрированием ОДУ (8.1) на отрез-
отрезке [0, /] с использованием заданного второго начального условия
u'ix)\ _0 = и'о- При построении разностной схемы входящие во
второе граничное условие интегралы можно приближенно пред-
представить соответствующими квадратурными суммами.
Предположим, что для интегрируемой на отрезке [0, /] функ-
функции F(x)
Г
I
AnF(xn) + R, (8.21)
n=0
436 8. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
где Ап — весовые коэффициенты квадратурной формулы, а
R — ее погрешность, причем узлы хп квадратурной формулы
совпадают с узлами сетки. Тогда, пренебрегая в (8.21) значени-
значением R и используя для аппроксимации производной и'(х) в (8.20)
левую конечную разность, можно записать
N N
inqnUn = PqUq - У ;Anfn = VN,
где pN = p(l) и po = p@), или
N-i
yN. (8.22)
n=l
Здесь
«ЛГ-1/2 «N-l/2
и gn = Anqn, n = 1, N-2. Ясно, что (8.22) в сочетании с разност-
разностными уравнениями вида (8.3) для внутренних узлов образуют
СЛАУ, для которой матрица не будет трехдиагональнои. #
В некоторых случаях в ОДУ вида (8.1) могут входить слага-
слагаемые, зависящие от неизвестных граничных значений искомой
функции:
где г*(х) и s*(x) — функции, интегрируемые на отрезке [0,/].
Тогда вместо (8.3) получим систему N — 1 разностных урав-
уравнений
~ T-lPn+l/2-Т + Рп-1/а-Т )
Пп V «п+1/2 «п-1/2 '
n+1/2 ^n-1/2
8.1. Разностные схемы для стационарных задач
437
га= 1, N—1, где дополнительно обозначено
^71+1/2 ^71+1/2
rn = — / r*(x)dx, *n = ^" / s*(x)dx-
Сравнивая эту систему с (8.9), видим, что в левой части
уравнений появились еще два слагаемых, и систему можно
записать в виде
-<pnu0-anun-1+bnun-cnun+i-ipnuN = yn, n = l,N-l, (8.23)
где <рп = rnhn, фп = snhn.
В случае связанных граничных условий аналогично (8.22)
при х = 0 имеем (см. пример 8.1)
ЛГ-1
(8.24)
n=l
где 0°, п = 1, ЛГ—1, ^о и уо — известные коэффициенты. Тогда
(8.22)-(8.24) образуют СЛАУ вида (8.10) с квадратной мат-
матрицей
\
(8.25)
f bo
—oi—ipi
-<рз
К ~<PN
~9\
b\
-a2
0
0
~9i
~9°2
b2
-a3
0
~92
-9°з
0
-c2
Ьз
0
-9з
¦¦¦ -9°N-i
0
0
0
... bN^ -c
••• ~9N-l
-Фо
-Ф1
-¦02
-фз
N-\ ~ФЫ-
bpj
порядка Л^+1, которую можно получить из трехдиагональнои
матрицы (8.11) того же порядка заменой окаймляющих ее
строк и столбцов строками и столбцами с ненулевыми (в общем
случае) элементами.
438 8. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
Для одномерных стационарных задач, описываемых линей-
линейными ОДУ выше второго порядка, разностная схема предста-
представляет собой СЛАУ с матрицей, в большей мере заполненной
ненулевыми элементами, чем трехдиагональная матрица, ха-
характерная для задач с ОДУ второго порядка. Это связано
с необходимостью использовать для аппроксимации производ-
производных порядка выше второго значения функций более чем в трех
соседних узлах.
Пример 8.2. Рассмотрим построение разностной схемы
краевой задачи для линейного ОДУ четвертого порядка
(r(x)u"(x))" + q(x)u(x) = f(x), *€[0,/], (8.26)
где г(х) ^ го > 0 и q(x) ^ 0 на отрезке [0, /]. Таким уравнением
описывается, например, поперечный прогиб и(х) балки под
действием распределенной поперечной нагрузки f(x). Балка
имеет переменную жесткость г(х) на изгиб и лежит на упругом
основании, реакцию которого определяет слагаемое q(x)u(x).
Для задачи с дифференциальным уравнением (8.26) должны
быть заданы четыре граничных условия. Если речь идет об
изгибе балки, граничные условия отражают то, как закреплены
ее концы. Так, для консольной балки с жестко защемленным
левым и свободным правым концами (рис. 8.1) граничные
условия имеют вид и@) = и'@) = и"{1) = и'"A) = 0. Если балка
имеет на концах опоры, допускающие (в отличие от жесткого
защемления) поворот ее поперечного сечения пропорционально
действующему в этом сечении изгибающему моменту (рис. 8.2),
то в этом случае граничные условия принимают следующий
вид: а@) = ti(/) = 0, «'@) = аг@) «"@), «'(/) = 0г{1) и"{1). Из
S
Рис. 8.1 Рис. 8.2
8.1. Разностные схемы для стационарных задач 439
этих уравнений при a = 0 = О вытекают условия жесткого
защемления, а при a —> сю или C —? со — шарнирного опирания:
и"@) = 0 или «"(/) = 0.
Предположим, что четыре граничных условия для ОДУ
(8.26) заданы попарно на каждом из концов отрезка [0, /] и со-
содержат (в общем случае) линейные комбинации первых трех
производных функции и(х) в точках х = 0 и х = /, причем тре-
третья производная входит лишь в одно условие из каждой пары.
Тогда на одномерной и, вообще говоря, неравномерной сетке
с узлами хп, n = Q,N, граничные условия можно аппроксими-
аппроксимировать при помощи правых и левых разностей (см. 7.2). В
результате получим уравнения
- doui + eou2 = уо,
Аппроксимация четвертой производной в ОДУ (8.26) воз-
возможна при помощи центральных разностей лишь в узлах с
номерами п = 2, N—2. Для этих узлов из (8.26) в соответствии
с G.16)-G.19) следует
а„ип_2 - Ь„и„-1 +спип - dnun+l + епип+2 = у„, (8.28)
где с учетом того, что hn_1/2 + hn+1/2 = 2Л„,
rn-\ , rn_i 2г„
**71. ^^ .. ^ ^ ¦ vn ^^~ XjLt-k I _ _ ^х I _ ^ч ibiiim™»^^—
)ап — епт. .9 т
440 8. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
Разностные уравнения (8.27) и (8.28) образуют СЛАУ вида
(8.10) с пятидиагональной матрицей
\
( со
-61
а2
0
0
V о
-d0
Cl
-62
аз
0
0
e0
-d\
c2
-b3
0
0
0
e\
-d2
сз
0
0
0 ...
0 ...
e2 ...
-d3 ...
0 ...
0 ...
0
0
0
0
ajv-i
0
0
0
0
0
-bN-x
ам
0
0
0
0
Ctf-l
-biw
0
0
0
0
-djv
CN
порядка N + 1 Ясно, что
еп = ап+2, n = 2,N-4, и dn = bn+l,n = 2, iV-3,
но в целом эта матрица будет симметрической лишь в некото-
некоторых частных случаях задания граничных условий. #
СЛАУ вида (8.10) с полученными выше матрицами мож-
можно решить методами линейной алгебры (в частности методом
Гаусса), на основе которых разработаны алгоритмы и составле-
составлены программы, входящие в математическое обеспечение ЭВМ.
Однако эти программы предусматривают обычно запись в па-
памяти ЭВМ всех элементов матрицы СЛАУ, содержащей для
системы из N уравнений N2 элементов. Вместе с N значениями
правых частей алгебраических уравнений исходная информа-
информация составляет N(N-\-\) чисел. При решении СЛАУ методом
Гаусса количество арифметических операций пропорциональ-
пропорционально N3.
Для решения СЛАУ с трехдиагональной матрицей наибо-
наиболее рациональным является метод прогонки. Ниже (см. Д.8.1)
рассмотрены различные модификации этого метода, позволяю-
позволяющие в некоторых случаях получить решение СЛАУ с матрицей,
отличающейся от трехдиагональной, например с пятидиаго-
пятидиагональной матрицей.
8.2. Задача Штурма — Лиувилля 441
8.2. Задача Штурма — Лиувилля
Вернемся к случаю р(х) ^ ро > 0 и qo ^ q(x) ^ 0 (х G [0, 1]) в
(8.1), характерному для систем, в которых возможны явления
бифуркации, резонанса, теплового взрыва и т.п. Для таких
систем может быть поставлена задача нахождения критиче-
критических условий, при которых возникают подобные явления, т.е.
вычисления критических нагрузок, резонансных частот колеба-
колебаний, предельных значений теплового воздействия и т.д. Такие
задачи включают однородное обыкновенное дифференциаль-
дифференциальное уравнение (ОДУ) вида (8.1) при f(x) = 0 с однородными
граничными условиями. Входящий в ОДУ искомый критиче-
критический параметр находят из условия существования нетривиаль-
нетривиального решения однородной задачи, которую называют задачей
Штурма — Лиувилля.
Применим метод конечных разностей к приближенному
решению такой задачи с ОДУ
-(р(ж) «'(*))'-(А-?(*))«(*) = О, хе [0,/], (8.29)
и граничными условиями и@) = 0 и и'(я)| _, = 0 на концах от-
отрезка [0,1]. При этих условиях и при выполнении неравенства
л'2Ро > — <7о оператор А, заданный при помощи (8.29), будет
положительно определенным (см. пример 5.10) с положитель-
положительными собственными значениями. При невыполнении этого не-
неравенства свойство положительной определенности может быть
утрачено, но оператор А останется симметрическим, а его соб-
собственные значения будут действительными числами [XV].
В случае равномерной одномерной сетки с шагом h = l/N
и узлами хп = nh, n = 0, N, рассматриваемой задаче отвечают
разностные уравнения (при Uq = 0)
(bn- X)un-cnun+i =0, n = l,N, (8.30)
442
8. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
где в соответствии с методом баланса сдг = 0, а также
х„+1 xn+h/2
— = -^— = h f -Д, Ьп = ап+сп + Т [ q(x)dx, (8.31)
сп an+l J р(х) h J
хп
xn-h/2
n = 1, N — l, и, кроме того,
h
1 - h f dx
0
- J q{x)dx.
l-h/2
Отметим, что переход от (8.29) к (8.30) позволяет найти при-
приближенные значения AJ^ лишь N собственных значений Ато,
т= 1, iV, оператора рассматриваемой задачи.
Условием существования нетривиального решения следую-
следующей из (8.30) однородной системы линейных алгебраических
уравнений (СЛАУ) Аи — Mil = 0, где и = (щ щ ... идг) —
вектор узловых значений, О — нулевой вектор размерности N,
I — единичная матрица порядка N, А — трехдиагоналъная
матрица
А =
-ex 0
0 -a3 63
0
0
0
0
0
0
\
0
V о
о
о
о
о
7
(8.32)
порядка N, будет равенство нулю определителя detD — A/).
Так как в (8.31) ап+\ = сп, п= I, N—1, то матрица А является
симметрической. Поэтому все корни Aj^, m— I, N, характери-
характеристического уравнения det(A — XI) = 0 этой матрицы действи-
действительные и являются ее собственными значениями.
8.2. Задача Штурма — Лиувилля 443
Перед нахождением собственных значений и соответствую-
соответствующих им собственных векторов матрицы А целесообразно оце-
оценить промежуток их возможного изменения. Сначала рассмо-
рассмотрим произвольную симметрическую матрицу (a,ij) порядка N
с элементами а^ = a,ji, i,j = 1, N. Пусть А — собственное зна-
значение этой матрицы, я. Xj — координаты соответствующего
ему ненулевого собственного вектора. Тогда для i = l,N будем
иметь (по индексу i нет суммирования!)
N
jXj = Xxi, или (А — а,-,)х,- =
Отсюда с учетом неравенства треугольника находим
KIN' *'=MV- (8.33)
j=rUN
Выбирая i так, чтобы \xi\= max \xj\, из (8.33) получаем
j=l,N
(8-34)
поскольку V^l ^ 1, j = 1, iV. Таким образом, все собственные
\Xi\
значения рассматриваемой матрицы лежат в промежутке, явля-
являющемся объединением отрезков [ац — pi, ац-\-рЦ, г = 1, N, а для
наибольшего собственного значения имеем оценку
Атах^ тах_(а« + />0- (8.35)
*=1,ЛГ
Установленные свойства собственных значений составляют со-
содержание теоремы Гершгорина* применительно к симме-
симметрической матрице.
*С.А. Гершгорин A901-1933) — российский математик.
444 8. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
Для трехдиагональной матрицы (8.32) из (8.34) и (8.35)
получаем
К1 + Ы, n=l,N, (8.36)
max_(|an| + 6n + |cn|). (8.37)
п=1,ЛГ
Если в (8.85) выполнено третье неравенство и Ьп > 0, n = I, N,
то из неравенств (8.36), (8.37) следует, что А ^ Ьп - \ап\ - |cn| ^
^ 0, т.е. все собственные значения неотрицательны. Если к
тому же А является матрицей с частичным диагональным пре-
преобладанием, то detA^O (см. Д.8.1), т.е. она не имеет нулевого
собственного значения и все ее собственные значения положи-
положительны, причем с учетом соотношений |Ь„| = Ьп ^ \ап\ + \сп\,
п = 1, N, из неравенств (8.36), (8.37) следует более грубая, но и
более простая оценка
Атах ^ 2 тах_Ьп (8.38)
«=1,ЛГ
наибольшего собственного значения матрицы А по ее наиболь-
наибольшему диагональному элементу.
Замечание 8.3. Покажем, что любая трехдиагональная
симметрическая матрица А — (апт) порядка N, у которой
отличны от нуля все элементы an,n+i) стоящие над диагональю
(такую матрицу относят к неразложимым), имеет простые
собственные значения. Для этого рассмотрим матрицу 5 =
= А — ?/, где ? — некоторое число.
Сначала убедимся, что минор этой матрицы, соответствую-
соответствующий элементу s^i, отличен от нуля. Действительно, определи-
определитель матрицы Si порядка N— 1, полученной вычеркиванием
ЛГ-й строки и первого столбца в матрице 5, равен взятому
с обратным знаком произведению элемента si2 = «Иг ф 0 на
определитель матрицы Si порядка N — 2, образованной вычер-
вычеркиванием первой строки и второго столбца в матрице S\. В
8.2. Задача Штурма — Лиувилля 445
свою очередь, этот определитель равен взятому с обратным
знаком произведению элемента «23 = ^23 ф 0 на определитель
матрицы 5з порядка N — 3, полученной вычеркиванием в 5г
второй строки и третьего столбца, и так до тех пор, пока
не дойдем до матрицы 5дг-ь имеющей единственный элемент
sn-i,N — aN-\,N ф 0- Следовательно, матрица 5 имеет ненуле-
ненулевой минор порядка N — 1, равный произведению стоящих над
ее диагональю элементов и числа (—l)^. Для матрицы (8.32)
этот минор равен произведению всех элементов сп, п = 1, N—1.
Таким образом, согласно определению ранга матрицы [III],
Rg5 ^ TV — 1 при любом ?. Но если ? — собственное зна-
значение матрицы А, т.е. det5 = detD — ?/) = 0, то Rg5 < iV.
Отсюда следует, что Rg5= N — 1, а размерность лдра опера-
оператора, которому соответствует матрица 5, равна единице [IV].
Это означает, что каждому собственному значению матрицы
А соответствует лишь один (с точностью до константы) соб-
собственный вектор. Но для любого самосопряженного оператора
с симметрической матрицей существует ортонормированный
базис [IV], состоящий из N линейно независимых собственных
векторов этой матрицы, каждый из которых не может соответ-
соответствовать двум различным ее собственным значениям. Так как
матрица А имеет всего N собственных значений, то кратность
каждого из них должна быть равна 1, т.е. все собственные
значения простые. Для неразложимой трехдиагональной ма-
матрицы с частичным диагональным преобладанием при апп > О,
п = 1,N, все собственные значения положительны и попарно
различны. #
Нахождение приближенных значений Х*т при N 3> 1 итера-
итерационными методами связано с многократным вычислением зна-
значения характеристического многочлена det(y4 — XI) матрицы А
при пробных значениях А. Применение в данном случае форму-
формулы вида (8.38) затруднено в силу нарушения условия частичного
диагонального преобладания применительно к матрице А- А/,
что может вызвать неустойчивость процесса вычислений. Су-
446 8. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
ществует устойчивый и экономичный способ, требующий для
вычисления detD — XI) всего 57V арифметических операций
(сложений и умножений). Он основан на рекуррентной фор-
формуле
Afn = 6nAfn_i-oncn_1Mn_2l n = TjV, (8.39)
где Мп — угловой минор порядка п трехдиагональной матрицы
А — XI. Такие миноры иногда называют главными или главны-
главными диагональными. Для начала вычислений при п= 1 следует
положить Мо = 1 и M_i = 0. Тогда, последовательно увеличивая
п, при 7i = N получаем det(A — XI) = Мдг.
Отметим, что наряду с решением уравнения detD — XI) — 0
для нахождения собственных значений матрицы А и соответ-
соответствующих им собственных векторов применяют итерационные
методы, не использующие вычисление значений характеристи-
характеристического многочлена*.
Иной путь нахождения собственных значений связан с при-
применением алгоритма, характерного для численного решения
задачи Коши для ОДУ первого порядка [VIII]. Однако исполь-
использование для этой цели рекуррентной формулы
ип+\ - — "п-— «п-ь n=l,7V-l, (8.40)
Cji Сп
Сп
которая следует из (8.30), приведет в общем случае к неустой-
неустойчивому алгоритму. Действительно, если задаться пробным
значением А и при п = 1 выбрать произвольное ненулевое зна-
значение щ (например, щ = 1), что возможно, так как любому
собственному значению Ато соответствует собственная функ-
функция и(т)(х), определенная в однородной задаче с точностью до
постоянного множителя, то из (8.40) при и0 = 0 можно найти
значение и-i и затем, увеличивая номер п, последовательно все
значения ип+\ вплоть до идг. Но так как в (8.40) коэффици-
коэффициенты Ьп/сп при ип и -ап/сп при и„_1 по абсолютной величине
"См.: Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В.
8.2. Задача Штурма — Лиувилля 447
могут превышать единицу, то из-за накопления вычислитель-
вычислительной погрешности попытка уточнить значение А, удовлетворяя
последнее уравнение
- адгидг_1-f (Ьдг - А)идг = 0 (8.41)
однородной СЛАУ, может не дать положительного результата.
Преодолеть возникающие трудности можно следующим об-
образом. Обозначим
p(x)u'(x) = -v{x) (8.42)
и после подстановки в (8.29) получим
v'{x)-(\-q(x))u{x)=0, (8.43)
причем (8.42) и (8.43) образуют систему двух ОДУ первого
порядка. На неравномерной одномерной сетке с узлами хп, п =
= О, N, ей соответствуют разностные уравнения
Рп-1/2—7 = -^п-1/2, п=1,ЛГ; (8.44)
1-1/2
(A-0n)«n, п=1,ЛГ-1, (8.45)
где pn_i/2 и qn вычислены, согласно методу баланса, в соответ-
соответствии с G.12) и (8.4).
Приняв щ = 1, из (8.44) при п = 1 и щ = 0 получим
= —г^-. Тогда, задаваясь пробным значением А, последова-
/2
тельно при каждом значении n= \,N — 1 находим сначала из
(8.45) fn+i/2, а затем из (8.44)
= пп - ^±HlVn+l/2t п = 17лРТ. (8.46)
Рп+1/2
Если при п = N — 1 вычисление по (8.46) даст un+i — un, не
удовлетворяющее (8.41), то следует задать новое значение А и
448 8. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
повторять описанную процедуру до тех пор, пока это уравне-
уравнение не будет удовлетворено с заданной точностью. В итоге
получим одно из собственных значений Ат. Такой алгоритм
решения задачи получил название метода стрельбы. В дан-
данном случае ведется „пристрелка" граничного условия при х = /
путем подбора параметра Ат.
Отметим, что вычисления этим методом можно вести в
обратном направлении, задавшись пробным значением А и
приняв un = 1. Тогда из (8.41) получим u#-i = — , затем
из (8.44) найдем vN_l/2, а из (8.45) ¦—
fyv-3/2 + ^/V-i/2,4 ~ ч
"ЛГ-З/2 = "ЛГ-1/2 2 ( ~ qN-l)UN-i-
Это позволит из (8.44) вычислить u;v-2) из (8.45) найти и#-5/2
и т.д. Если при последующем уменьшении п вычисленное из
(8.44) значение щ будет отлично от нуля, т.е. не будет удовле-
удовлетворять граничному условию при х = 0, то следует корректи-
корректировать значение А до тех тех пор, пока это граничное условие
не будет удовлетворено с заданной точностью. Таким обра-
образом, в этом варианте метода стрельбы подбором параметра Ат
ведется „пристрелка" граничного условия при х = 0.
Процесс вычислений по формулам (8.44), (8.46) устойчив и
погрешности не накапливаются при переходе от n-го узла к
(п+1)-му, если коэффициенты, связывающие un+i/2 c un-i/2
и un+i с ип, не превышают по модулю единицы. Подставив
второе равенство (8.44) в (8.46), получим
1/2-
+1/2
«n+1 = (l ^-Г= " (A-gn)^n+1/2)un- x? Un_
4 ZPn+l/2 ' Pn+1/2
Отсюда следует условие устойчивости
-(A-?nV
п+1/2
8.2. Задача Штурма — Лиувилля 449
или в случае равномерной сетки (/in±i/2 = h = const)
ЛЧ min Щй-. (8.47)
n=l,N-l Л~Чп
Аналогичное условие устойчивости получим, если во второе
равенство (8.44) подставим (8.46), заменив пнап-1.
Условие (8.47) задает ограничение на выбор шага сетки,
причем это ограничение ужесточается при поиске больших
собственных значений Ат с большими номерами т. Это свя-
связано с тем, что каждому собственному значению Ат рассма-
рассматриваемой задачи соответствует собственный вектор и^ =
I (т) (т) (га)\ « ("О "л—Х7
= [и\ и2 ... Идг ) узловых значении «п ', п = 1, iv, кото-
которые удовлетворяют (8.44). В непрерывной системе, описывае-
описываемой ОДУ (8.29), этому вектору отвечает собственная функция
и(т)(я), которая в интервале @,1) имеет т—1 нулей. При
больших т функция и(т)(х) становится быстро переменной и
для ее удовлетворительной аппроксимации на одномерной сетке
требуется большое число узлов. Поэтому описанный алгоритм
на сетке с N + 1 узлами обычно позволяет достаточно точно
вычислить лишь несколько первых собственных значений Ат
при т <С N. Для нахождения больших значений Ат системе
(8.42), (8.43) можно поставить в соответствие другие разност-
разностные схемы или проинтегрировать эту систему численно одним
из вариантов метода Рунге — Кутты (см. 8.3).
Пример 8.3. Рассмотрим задачу Штурма — Лиувилля для
однородного ОДУ
-и"{х)-Хи(х) = 0, iG@,l), (8.48)
с однородными граничными условиями и@) = иA) = 0. Неслож-
Несложно проверить, что собственными функциями этой задачи будут
um(x) = sinmjra:, m E N, соответствующие собственным значе-
значениям А = (тптгJ.
450 8. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
Разобьем отрезок [0, 1] внутренними точками хп = nh, n =
= 1,7V—1, на N частичных отрезков одинаковой длины h =
= \/N и на одномерной равномерной сетке с номерами узлов
п = 0, N используем аппроксимацию G.3) второй производной
и"{х), имеющую второй порядок погрешности. Тогда из (8.48)
получим однородную систему N — 1 разностных уравнений
h2 I*-
Отсюда с учетом граничных условий и0 = и^ = 0 приходим к од-
однородной СЛАУ (А — Х1)и = 0 вида (8.30), в которой элементы
симметрической трехдиагональной матрицы А порядка N — 1
имеют следующие значения: ап = cn_i = — = N , п = 2, N — \, и
Ьп = — = 27V2, п — 1, TV —1. Таким образом, для этой матрицы
п
получаем характеристическое уравнение
2/V2-A -N2 0 ... О О
-N2 2N2-X -N2 ... О О
О -N2 2N2-X ... О 0 =
О 0 0 ... 2N2 - А
О 0 0 ... -N2
левая часть которого содержит определитель порядка N — 1.
При N — 2 это уравнение принимает вид 2N2 — А = 0, откуда
А = 27V2 = 8, что является достаточно грубым приближением
к первому собственному значению Ai — п2 X 9,8696 рассма-
рассматриваемой задачи Штурма — Лиувилля. Для 7V = 3 имеем
B/V2 — АJ — N4 = 0. Отсюда получаем два собственных значе-
значения: Aj = N2 = 9 и А? = 3/V2 = 27. Значение Aj приблизилось
к Ai, но XI достаточно сильно отличается от второго соб-
собственного значения Аг = 4тг2 w 39,4784. При N = 4 уравнение
BN2 — АK — 2N4BN2 — А) = 0 имеет три действительных корня:
8.2. Задача Штурма — Лиувилля 451
Х\ = B - \/2)/V2 « 9,3726, А? = 2/V2 = 32 и А^ = B +
и 54,6274. Для сравнения приведем третье собственное зна-
значение Аз = 97г2 и 88,8264. В случае N — 5 характеристическое
уравнение
B/V2 - АL - SN4BN2 - АJ + /V8 = О
является биквадратным относительно 27V2 — А, что позволяет
найти четыре корня
X* —
Л1,2,3,4 —
или Х\ % 9,5492, А^ « 34,5492, А!| « 65,4508 иА^й 90,4508. Яс-
Ясно, что для получения удовлетворительного приближения даже
к первому собственному значению Aj необходимо выбрать до-
достаточно большое значение N.
Отметим, что корни рассматриваемого характеристическо-
характеристического уравнения можно представить в виде А? = 4/V2sin —, к =
= 1, N—1. Из этого представления вытекает, что Aj —> Ai при
N -> оо.
Используем метод стрельбы для получения приближенного
значения Х\. В данном случае, выбрав щ = 1, из (8.44) при п =
= 1 и щ — 0 найдем vx/2 = —\/h = —N и, задавшись пробным
значением А, последовательно при каждом значении n = I, N-]
вычислим из (8.45) vn+l/2 — un-i/2 + А/гип = un_i/2 + -тр, а затем
из (8.46) ип+\ = ип - hvn+l/2 = un- V"V,/2 ¦ При TV = 10, задава-
задаваясь пробным значением А= 10, получаем им ~ —0,1089, а для
пробного значения А = 9,7 находим им « 0,0470. Это означает,
что условию им = 0 будет удовлетворять промежуточное зна-
значение А, т.е. 9,7 < Aj < 10.Последовательными приближениями
устанавливаем, что |идг| ^ Ю~6 при А = А| «9,7887. В случае
N = ЮО такая же точность достигнута при Aj и 9,8688, что по
сравнению с Ai меньше лишь на 0,0008.
452 8. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
Использование метода стрельбы для вычисления второго
собственного значения при условии, что |идг| ^ 10~6, дает А? ~
и 38,1966 при N = 10 и А? « 39,4654 при N = 100. Последний
результат меньше значения Аг на 0,0130. Отметим, что условие
(8.47) устойчивости выполнено для всех вариантов расчетов,
проведенных в этом примере.
8.3. Нестационарная задача теплопроводности
В качестве характерного примера рассмотрим одномерную
нестационарную краевую задачу теплопроводности в твердом
теле, описываемую линейным дифференциальным уравнением
с частными производными (см. 2.3)
'W). <> О, (М9)
где T(t,x) — зависящая от времени t и пространственной ко-
координаты х € @, /) температура тела; с(х) > 0 и Х(х) > 0 —
объемная теплоемкость и теплопроводность; Iy'(t,x) — объем-
объемная мощность внутренних источников тепловой энергии. По-
Помимо (8.49) в формулировку нестационарной краевой задачи
теплопроводности должны входить начальные условия в виде
заданного распределения температуры Т@,х) =Т°(х) в момент
времени t = 0, принимаемый за начальный, и граничные усло-
условия, заданные на концах отрезка [0, /]. В данном случае примем
граничные условия вида (8.2):
-X(x)
9T(t,x)
Х(х)
дх
dT(t,x)
х=0
дх
(8.50)
(8.51)
x=l
Можно указать три основных подхода к решению такой
краевой задачи с использованием метода конечных разностей
(МКР).
8.3. Нестационарная задача теплопроводности 453
Первый из них, называемый методом прямых, связан г
аппроксимацией производной в левой части (8.49):
где Тк-\{х) и Тк{х) — распределения температуры в теле в мо-
моменты времени tk-\ и tk — tk-\ + &tk в начале и конце к-го
интервала времени Atk- При рассмотрении процесса тепло-
теплопроводности в теле на А;-м интервале времени предположим,
что распределение 7\_i(x) известно из решения задачи на пред-
предшествующем, (к — 1)-м интервале, а при к = 1 оно определено
начальными условиями, т.е. 7о(х) = Т°(х). Тогда, подставив
(8.52) в (8.49) при условии, что правая часть (8.49) соответ-
соответствует моменту времени tk, получим линейное обыкновенное
дифференциальное уравнение (ОДУ) второго порядка
х € [О, I],
описывающее искомое распределение температуры Tk(x). Это
ОДУ может быть решено с учетом граничных условий в фикси-
фиксированный момент времени tk способами, рассмотренными выше
(см. 8.1).
Второй подход основан на использовании аппроксимации
правой части (8.49) на одномерной сетке с N узлами хп ? [0, /],
п = О, N. Это соответствует переходу от непрерывного во вре-
времени и пространстве процесса теплопроводности к его дискрет-
дискретной в пространственном отношении математической модели.
В итоге с учетом заданных граничных условий получаем нор-
нормальную систему ОДУ относительно искомых узловых значе-
значений Tn(t) температуры, зависящих от времени. В задачу Коши
для этой системы в качестве начальных условий входят узловые
значения Гп@) = Т°(хп) = Т° в момент времени t - 0.
454 8. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
Наконец, третий подход объединяет первые два и связан г
переходом к дискретной математической модели нестационар-
нестационарного процесса теплопроводности как в пространстве, так и во
времени. Эта модель в каждый фиксированный момент време-
времени на одномерной сетке соответствует системе линейных алге-
алгебраических уравнений (СЛАУ). Последовательно рассмотрим
пути решения нестационарной краевой задачи для уравнения
(8.49) на основе второго и третьего подходов.
При аппроксимации правой части (8.49) на одномерной
неравномерной сетке с N узлами хп ? [0, /], п = О, N, нормальная
система ОДУ принимает вид
" KTn{t) + CnTn+l {t) + U{t)- (8<53)
Здесь в соответствии с методом баланса
Хп+1
an+l
Хп хп—1/2
0, N, причем ao = cN = aN+i =0, xn±1/2 = -(xn + xn±1),
/2 = 0 и xn+1/2 = zjv = '• Кроме того,
Ьп = ап + сп, fn{t)= J I{v4)(t,x)dx, (8.55)
xn-l/2
n=l, TV — 1. По аналогии с (8.8) при аппроксимации (8.50),
(8.51) получим Ьо = со + а, Ь^ = а^ + C и
*l/2 XN
= a{t)+ J I{vq)(t,x)dx, fN{t) = 0{t)+ j llq)(t,x)dx.
xN-\/2
8.3. Нестационарная задача теплопроводности 455
В матричной записи (8.53) имеет вид
(8.56)
с начальным условием Т@) = Т°, где векторы T(t), T° и f(t)
размерности N + 1 имеют координаты Tn(t), T° и fn{t), п —
= О, N, соответственно; диагональная матрица S содержит на
своей диагонали элементы sn; квадратная матрица А порядка
УУ + 1 является трехдиагональной вида (8.11). Используя (8.39),
нетрудно установить, что det Д = 0 при а = C = 0, т.е. в этом
случае матрица А будет вырожденной. В дальнейшем предпо-
предполагаем, что значения а и C неотрицательны и хотя бы одно из
них положительно. При этом А будет матрицей с частичным
диагональным преобладанием.
Из (8.54) следует, что an+i = сп ф 0, п = О, N — 1, т.е. матрица
А неразложимая и симметрическая. В силу замечания 8.3 она
имеет N + 1 простых (т.е. попарно различных) положительных
собственных значений \т, т= 1, 7V+1, а ее собственные век-
векторы образуют ортонормированный базис [IV]. В этом базисе
матрица А имеет диагональный вид Л, в котором диагональ-
диагональными элементами являются собственные значения. При этом
Л = С АС, где С — ортогональная матрица порядка N + 1,
столбцами которой являются собственные векторы матрицы
А. Учитывая, что ССТ = СТС = /л/+ь гДе In+i — единичная
матрица порядка N + 1, получаем А — С АС .
В линейном пространстве Mn+i(R) матриц порядка N + 1
введем спектральную норму. В этом случае М^+\(К) будет
конечномерным ((N + 1)-мерным) нормированным простран-
пространством. Определим в этом пространстве функцию ев =ехр(В),
BeMN+l(R):
+ B+±B + ^B + ...,
где ряд в правой части равенства сходится абсолютно для
любой матрицы В € M^+i(K) по спектральной норме к некото-
456 8. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
рой матрице ехр(В) G Mn+i(R) [IX]. Нетрудно доказать, что
для любых t, s G К и А Е M/v+i(R) справедливо ехр((? + s)A) =
= exp(tA)exp(sA) и
d , „ exp((t + At)A)-exp[tA) . , „
— ехр(М) = lim F" *—' ^—L = Aexp(tA).
dt v ; At^o At FV '
Из последнего равенства следует, что общее решение систе-
мы линейных однородных ОДУ -~ = — A*T(t), определяемой
матрицей А* порядка N + 1, имеет вид T(t) =exp(—A*t)T, где
Т — произвольный вектор из R^+1. Применяя метод вариа-
вариации постоянных, получаем решение системы (8.56) в матричной
форме
t
T{t) = exp(-/U)T° + S-1 [ехр(-АлA - T))f(r) dr, (8.57)
где A* = 5 M, причем экспоненциальную функцию от квадрат-
квадратной матрицы A*t можно представить сходящимся рядом
exp(->U) = / + > v > A{. (8.58)
В частном случае sn = s = const > 0, n = 0, N, имеем Ал = Л/s,
т.е. все собственные значения Aj^ = Am/s, m= 1, W+l, матрицы
Л, положительные и простые. Поэтому
exp(-Aj)=CDCT, (8.59)
где D — диагональная матрица порядка N + 1 с элементами
При N ^> 1 практическое использование решения непосред-
непосредственно в виде (8.57) затруднено. Рассмотрим приближенные
8.3. Нестационарная задача теплопроводности 457
способы нахождения вектора T(t). Для этого введем совокуп-
совокупность интервалов времени Atk, к 6 N. Тогда в пределах к-го
интервала Atk = tk — tk-\ можно представить (8.57) в виде
t
J
ex?(-A4t-T))f(T)dT,
где Тк-i = T(tk-\) — вектор узловых значений температуры в
момент времени t^-i- В частности, при t = tf. для конца к-го
интервала отсюда получим
Тк = T(tk) = exp(-A-At/fe)!**-, +
Atk
+ f exp(-A4Atk-T))f(tk-i+T)dT. (8.60)
о
Для малых значений At к в (8.58) под знаком суммы можно
ограничиться лишь первым слагаемым и вместо (8.60) записать
Tk = Tk-i-A.Tk-iAtk+ I f{tk-\+T)dT-
о
Atk
-Л. I f(tk_x+T)(Atk-T)dT. (8.61)
о
При известной зависимости координат вектора f(t) от t инте-
интегралы в (8.61) нетрудно вычислить при помощи квадратурных
формул.
Требование малости интервала Atk количественно можно
охарактеризовать при помощи какой-либо нормы матрицы Л»,
например ее спектральной нормы ||Л»||. Тогда справедливость
(8.61) связана с предположением ||Л»||Д^ <С 1. Но алгоритм вы-
вычислений по (8.61) будет устойчивым по отношению к накопле
нию погрешностей при выполнении более слабого ограничения
||/— Л*Д?/ь|| ^ 1, приводящего к неравенству ||Л»||Д^ ^ 2.
458 8. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
Спектральная норма квадратной матрицы является кольце-
кольцевой [IV], т.е. для спектральной нормы произведения квадрат-
квадратных матриц В и С справедливо неравенство ||ВС|| ^ ||В||||С||.
Так как матрица 5 диагональная с элементами — > 0 на диа-
гонали, то все ее собственные значения положительны (как и
для матрицы А). Поэтому спектральные нормы матриц 5
и А будут равны их наибольшим собственным значениям [IV].
Тогда с учетом (8.38) можно написать
/ 1 \
тах_— тах_А„
\n=O,N Sn/ n=0,N
где
= max_6n, smin= min_sn
n=O,N n=O,N
Таким образом, из условия ||Л»||Д^ ^ 2 вычислительной устой-
устойчивости рассматриваемого алгоритма следует ограничение на
выбор интервала времени
Atk ^ ШТ\ ^ ь~- (8'6 }
П^1*!! "max
В том случае, когда собственные значения каждой из ма-
матриц S~l и А сильно отличаются друг от друга, т.е. их числа
обусловленности велики, ограничение (8.62) заставляет выби-
выбирать Atk слишком малым и использование (8.61) становится
нерациональным. Системы ОДУ вида (8.56) с такими ма-
матрицами принято называть жесткими. В рассматриваемой
задаче теплопроводности такая ситуация может возникнуть
вследствие сильной неоднородности материала тела, т.е. рез-
резкого изменения функций с(х) и Л(х), и при значительной не-
неравномерности сетки. Аналитическое решение для жестких
систем содержит обычно экспоненциальные функции с сильно
отличающимися друг от друга показателями, что и вызывает
указанные вычислительные трудности и требует применения
специальных методов*.
"См.: Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В.
8.3. Нестационарная задача теплопроводности 459
Для численного решения системы (8.56) можно использовать
один из вариантов метода Рунге — Кутты. Эти варианты
можно построить на основе представления решения этой систе-
системы интегралом в пределах интервала времени Д^:
Atk
Tk = Tfc_! + S-1 J (/(«*_,+г) - AT{tk.x +t))<Lt. (8.63)
о
Если интеграл в (8.63) заменить с погрешностью, пропорци-
пропорциональной (AtkJ, выражением (Д-i — ATk^\)Atk, где Д_] =
= f(tk-\), то получим рекуррентную формулу метода Эйлера
Тк = (I - Л.Д**)Т*_, + 5-1 Д_! Atk. (8-64)
Метод Эйлера является простейшим вариантом метода Рун-
Рунге — Кутты. В этом случае условием устойчивости алгоритма
остается неравенство (8.62).
Если для представления интеграла в (8.63) использовать
квадратурную формулу трапеции, то придем к выражению
^ ^ (8-65)
с погрешностью, пропорциональной (А^K. Отсюда следует,
что
гДе fk = f(tk). Условие устойчивости алгоритма вычислений
теперь принимает вид
II ( * Л "\~' ( * A Ml
Можно показать, что для матрицы А с частичным диагональ-
диагональным преобладанием и диагональными элементами Ьп > 0 это
условие выполняется для любых значений
460 8. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
Чтобы избежать обращения матрицы / + AAtk/2 и сохра-
сохранить третий порядок погрешности аппроксимации, алгоритм
вычислений на к-м интервале времени можно построить следу-
следующим образом: сначала по (8.64) вычислить вектор-прогноз Тк,
который затем использовать в правой части (8.65) вместо век-
вектора Тк. Условием устойчивости такого алгоритма с прогнозом
и последующей коррекцией будет неравенство
II * 2 II ^
которое обычно в меньшей мере ограничивает выбор Atk, чем
условие (8.62).
Другой путь построения алгоритма, обеспечивающего тре-
третий порядок погрешности аппроксимации на к-м интервале
времени, связан с представлением интеграла в (8.63) выраже-
выражением (fk-i/2 — ATk_ij2)Atk-\, где индекс к — 1/2 указывает на
то, что значения зависящих от времени величин соответству-
соответствуют моменту tfc_i/2 = tk-\ -f -Atk в середине этого интервала.
Тогда по методу Эйлера найдем вектор
а затем — искомый вектор
Тк = Тк-\ +S~ (Л-1/2- ATk_1/2)Atk_i. (8.69)
Устойчивость двухступенчатого алгоритма (8.68), (8.69) гаран-
гарантирована при выполнении неравенства (8.67). Отметим, что в
соответствии с (8.58) левые части в (8.62) и (8.67) являются
нормами усеченных представлений выражения exp(—A*Atk) с
остаточными членами O((AtkJ) и О((Д^K) соответственно.
Чтобы найти вектор Тк с погрешностью порядка г = 4
необходимо в пределах &-го интервала времени использовать
8.3. Нестационарная задача теплопроводности
461
трехступенчатый алгоритм, например такой:
AT(i) = 5-1
ДТ<2) = S-1
АТ(з) = 5_i
Atk,
Нетрудно проверить, что условием устойчивости этого алго-
алгоритма будет неравенство
Наконец, приведем пример четырехступенчатого алгоритма с
порядком погрешности г = 5, в котором для ДТ^ и ДТ^
сохраняются прежние выражения, а далее вычисления проводят
по формулам
Atk,
_ 1
6
Все перечисленные алгоритмы принадлежат семейству ме-
метода Рунге — Кутты. В этом семействе можно построить алго-
алгоритмы с еще более высоким порядком погрешности г. Способы
их построения удобно пояснить на примере решения системы
(8.56) с нулевым вектором f(t). В этом случае на к-м интервале
времени из (8.60) получим
(8.70)
462 8. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
Учитывая свойство экспоненциальной функции
можно в соответствии с (8.58) сначала вычислить
с порядком погрешности г, а затем последовательно за г шагов
с тем же порядком погрешности найти
и, наконец, ехр(-Л.Д^), использовав этот результат в (8.70).
Наиболее употребительными являются алгоритмы метода
Рунге — Кутты при г ^ 5. Их можно использовать и для ре-
решения нелинейных задач (например, в случае, когда в (8.49)
параметры с, Л и 1у произвольным образом зависят от иско-
искомой функции — температуры).
Реализация третьего подхода к решению нестационарной
краевой задачи при помощи МКР связана с предположением
о постоянстве скорости изменения искомой функции в преде-
пределах интервала времени в каждом узле одномерной сетки по
пространственной координате и равносильна использованию в
(8.56) аппроксимации производной not конечно-разностным со-
соотношением вида (8.52). Тогда из (8.56) получим разностную
схему
- АТк) (8.71)
с весовыми коэффициентами 1 - г/ и г) € [0, 1], называемую
двухслойной разностной схемой с весами, поскольку
в нее входят узловые значения температуры на двух слоях
пространственно-временной сетки.
8.3. Нестационарная задача теплопроводности 463
Значению 7/ = О соответствует явная двухслойная раз-
разностная схема, совпадающая с (8.64). В этом случае (8.71)
можно явно разрешить относительно искомого вектора Tfc, а ка-
каждое узловое значение Т%, n — 0,N, температуры в конце к-го
интервала времени Д^ вычислить независимо от остальных из
выражения
Г* = Tf (l - ~Д^) + "^ + СпТ^Х + f" Atfct (8.72)
\ sn ' sn
которое получается из (8.53) при аппроксимации производной
—j^ правой конечной разностью (разностью „вперед").
Если в (8.49) с(х) = с = const, Л(х) = Л = const, Iy(t,x) = 0, то
в случае одномерной равномерной сетки с шагом h разностная
схема, соответствующая (8.72), принимает вид
Atk h2 с
Сюда входят узловые значения температуры в четырех уз-
узлах пространственно-временной сетки, составляющих шаблон
этой разностной схемы. При графическом изображении ша-
шаблона его узлы принято соединять отрезками прямых (рис. 8.3).
В данном случае шаблон и разностную схему называют четы-
четырехточечными. Разностная схема (8.71) и ее шаблон являются
шеститочечными. Для одномерной равномерной сетки он изо-
изображен на рис. 8.4.
П-li П I П+1 |
-о 0 9--к
-•--*:
Atk ¦
¦Ath
pfe-i
n+1
n-1 n n+1 n-1 n n+1
Рис. 8.3 Рис. 8.4
464 8. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
Процесс вычислений по (8.72) будет устойчивым, т.е. по-
погрешность вычисления температур Т%, n = 0, N, по абсолютной
величине не будет превышать наибольшей из погрешностей,
возникших при вычислениях на предыдущем интервале време-
времени, если сумма модулей коэффициентов при значениях темпе-
температуры в правой части (8.72) не превышает единицы:
1Д п =
_brL
Sn
Отсюда в силу частичного диагонального преобладания матри-
матрицы А в (8.71) и положительности ее диагональных элементов
имеем
> _
n=Q,N Sn n=O,N Sn
что не противоречит условию (8.62), но приводит в общем
случае к несколько менее жесткому ограничению
^ (8.73)
n=O,N On
выбора интервала времени Atk.
Если в (8.71) принять rf= 1, то получим неявную двух-
двухслойную разностную схему в виде СЛАУ
(8.74)
с трехдиагональной симметрической матрицей 5, = S -\-
имеющей положительные диагональные элементы и обладаю-
обладающей частичным диагональным преобладанием. Четырехточеч-
Четырехточечный шаблон этой схемы для одномерной равномерной сетки
изображен на рис. 8.5. Из (8.74) не удается получить явного
выражения вида (8.72) для вычисления узловых значений Т*, но
такую СЛАУ можно решить обычным методом прогонки, при-
причем разностная схема (8.74) в сочетании с алгоритмом метода
прогонки будет корректной. Отметим, что при Atk — At =
= const коэффициенты /хп в (8.86) не будут зависеть от номера
8.3. Нестационарная задача теплопроводности 465
к интервала времени. Это существенно уменьшает число ариф-
арифметических операций при решении нестационарной краевой за-
задачи.
Выбор в (8.71) 7?= 1/2 приводит к так называемой двух-
двухслойной симметричной разностной схеме. Она также
является неявной и соответствует СЛАУ
относительно вектора Тк узловых значений температуры в кон-
конце интервала времени Д^. Трехдиагональная симметрическая
матрица 5» = 5 + -AAtk этой СЛАУ также имеет положитель-
положительные диагональные элементы и частичное диагональное преоб-
преобладание, что обеспечивает корректность разностной схемы при
г) = 1/2 в сочетании с методом прогонки. Поскольку эта схе-
схема эквивалентна (8.65), то она устойчива при любых значениях
Atk, а погрешность аппроксимации этой схемой производных
по времени пропорциональна (AtкJ. Шеститочечный шаблон
этой схемы аналогичен изображенному на рис. 8.4.
Замечание 8.4. Отметим, что формально устойчивая раз-
разностная схема может подавлять возникающие вычислительные
погрешности двумя путями: затухающими колебаниями и мо-
монотонно. Первый путь не отвечает физическому содержанию
задачи теплопроводности, так как при отсутствии внешнего
теплового воздействия температура любой точки тела стре-
стремится к установившемуся значению монотонно, без колебаний
466 8. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
около этого значения. Поэтому для получения при численном
решении задачи нестационарной теплопроводности с примене-
применением (8.71) физически оправданных результатов следует вы-
выбирать Atk из условия монотонного затухания погрешности.
Можно показать*, что схема (8.71) в случае равномерной про-
пространственной сетки с шагом h обладает таким свойством при
5(?йГ *
Производную по времени в (8.56) можно аппроксимировать
не только при помощи разности узловых значений Тп в на-
начале и конце к-го интервала времени Atk, но использовать
для этого известные значения Тп в предшествующие моменты
времени. Такая аппроксимация позволяет повысить порядок
погрешности по At^, но требует в процессе решения задачи
хранить в памяти ЭВМ результаты вычислений на нескольких
предыдущих интервалах. Если использовать центральную ко-
конечную разность и скорость изменения температуры в пределах
удвоенного интервала времени 2At — t^ — t^-i вычислить в мо-
момент времени tk-i, то из (8.56) с учетом (8.53) получим явную
трехслойную разностную схему
Ткп = Г* + 2{anTknZ{ - ЬпТ'-г + спТ^\ + Z*) А*. (8.75)
Эта схема неустойчива при любых значениях At, так как сумма
модулей коэффициентов при значениях температур в правой
части (8.75) превышает единицу.
Замена Тк~х и ^(Тк + Тк~2) в (8.75) приводит к явной трех-
трехслойной схеме
' (8'76)
устойчивой в силу (8.54) и (8.55) при любых значениях Д?, по-
поскольку теперь сумма модулей коэффициентов при значениях
'См., например: Зарубин B.C., Селиванов В.В.
8.4. Некоторые динамические задачи 467
температур в правой части не превышает единицы. Одна-
Однако эта схема при больших значениях At становится неточной,
узловые значения температуры от интервала к интервалу изме-
изменяются немонотонно даже при отсутствии внешнего теплового
воздействия, и результаты расчета теряют физический смысл
(см. замечание 8.4).
С учетом физических соображений выбор больших значений
At допускает неявная трехслойная разностная схема, в
матричной записи имеющая вид
Tk12 \ +Tk-2) + fk-i. (8.77)
Она удобна, в частности, при решении нелинейных задач, когда
с, Л и 1у в (8.49) произвольным образом зависят от температу-
температуры. В этом случае элементы матрицы А и координаты вектора
fk-i вычисляют по известным узловым значениям температуры
в момент времени tf.-i и, используя метод прогонки, находят
узловые значения температуры в момент времени tk. Одна-
Однако при расчете на первом интервале по времени (к = 1) вектор
Тк-2 неизвестен. Поэтому применение трехслойной разностной
схемы при решении задачи теплопроводности возможно лишь
со второго интервала, а расчет на первом интервале следует
провести по какой-либо двухслойной разностной схеме.
8.4. Некоторые динамические задачи
Трехслойные разностные схемы применяют при решении
методом конечных разностей (МКР) динамических краевых
задач, описываемых дифференциальными уравнениями со вто-
второй производной искомой функции по времени t. Например,
при распространении в идеальной (невязкой) среде волн малой
амплитуды функция u(t,x) перемещения частиц среды удовле-
удовлетворяет волновому уравнению
«>«. ,€@,0, (8.78)
468 8. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
где а — скорость звука в этой среде. Примем для опреде-
определенности на концах отрезка [0, /] граничные условия в виде
u(t,0) = fo(t) и u(t,l) = fi(t), а начальные условия
du(t,x)
согласуем с граничными:
= /о@), «°(/) = /,@),
= v°(x) (8.79)
На равномерной одномерной сетке с шагом h и узлами
хп = nh, п = О, N, при постоянном интервале времени At = т =
= const можно аппроксимировать (8.78) трехслойной симме-
симметричной разностной схемой
*
2 2 * W2
п = 1, ЛГ—1, с весовыми коэффициентами ц и 1 — 2т/. Кроме того,
из граничных условий имеем и$ = /о(^) и и^ = fi(tk), где ^ =
= А;г, к е N, а иэ первого условия (8.79) — и° = и°(хп), п = О, Л/*.
Так как в (8.81) аппроксимация вторых частных производ-
производных искомой функции u(t,x), входящих в (8.78), имеет второй
порядок погрешности (см. 7.2), то целесообразно, чтобы ап-
аппроксимация производной в (8.79) имела бы такой же порядок
погрешности. Для этого используем центральную конечную
разность и запишем
du(t,xn)
at
, /t — U, IV ,
t=o
где верхним индексом -1 отмечены узловые значения ип функ-
функции u(t,x) на фиктивном слое, соответствующем моменту вре-
8.4. Некоторые динамические задачи 469
мени t = —т. Отсюда находим u = u\ — 2и°т и после подста-
подстановки в (8.81) при к = 1 получаем СЛАУ
(8.82)
относительно неизвестных значений и\, п= 1,7V—1.
СЛАУ (8.82) имеет трехдиагональную симметрическую ма-
матрицу с одинаковыми диагональными элементами Ьп = 2т/72 + 1,
ат
где 7= -л а все ненулевые внедиагональные элементы также
п
одинаковы и равны — цу2, т.е. при ц > 0 и любых значениях 7
она является матрицей с диагональным преобладанием. Следо-
Следовательно, СЛАУ (8.82) имеет единственное решение, которое
нетрудно получить с учетом известных из граничных условий
значений и^ = /0(т) и ulN = fi(r) обычным методом прогонки.
Затем тем же методом можно при k ^ 2 решить СЛАУ
«*:1 - 2**-1 + «*;») +2U*-1 - г**, (8.83)
которая следует из (8.81). СЛАУ (8.83) также имеет матрицу г
диагональным преобладанием, что обеспечивает вычислитель-
вычислительную устойчивость алгоритма метода прогонки.
Можно показать*, что разностная схема (8.81) в сочетании
с методом прогонки при условии ч1 = Щ— < — обладает и
п1 1 — 4г(
устойчивостью по входным данным. При т/= 1/4 это условие
выполняется для любых значений интервала времени г. В част-
частном случае г/ = 0 (8.82) и (8.83) явно разрешимы относительно
*См.: Самарский А.А.
470 8. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
искомых узловых значений и^, n= I, N — 1, к Е N, но при этом
возникает ограничение т < - на выбор интервала времени.
а
При невыполнении равенств (8.80), выражающих согласова-
согласование начальных и граничных условий, волновое уравнение (8.78)
может иметь негладкие решения u(t,x) с разрывами частных
производных на линиях x±at = const, называемых характери-
характеристиками волнового уравнения [XII]. Негладкие решения, име-
имеющие разрывы не только производных, но и самих искомых
функций, характерны для задач газовой динамики. Для по-
построения таких решений используют специальные разностные
схемы*.
Рассмотрим особенности построения разностной схемы для
динамической задачи, описываемой системой уравнений с не-
несколькими неизвестными функциями. В качестве примера
обратимся к одномерной математической модели магнитной
гидродинамики (см. пример 3.3), содержащей систему нелиней-
нелинейных уравнений
dv д ( . . и0 „2\ дН dvH
с тремя неизвестными функциями: плотностью р, скоростью
среды v и напряженностью магнитного поля Я, зависящими от
времени t и координаты хх (/i0 — магнитная постоянная, зави-
зависимость р(р) давления среды от плотности считаем заданной).
Используя первое уравнение, преобразуем первое слагаемое
во втором уравнении:
dv dv dv dpv dpv2
Для сокращения записи введем матрицу-столбец U — {p pv H)
размера 3 х 1 и представим систему уравнений в матричном
*См., например: Самарский А.А., Попов Ю.П., а также: Пирумов У.Г.,
Росляков Г.С. или Рихтмайер Р., Мортон К.
8.4. Некоторые динамические задачи
471
виде
dU dvU
+
dW
(8.84)
(H2 \
О p(p) + /*o-5- OJ —матрица-столбец.
Для решения системы (8.84) при помощи МКР можно ис-
использовать как явные, так и неявные разностные схемы. Од-
Однако в случае неявной схемы неизвестные величины в конце
каждого интервала по времени в силу нелинейности системы
приходится находить последовательными приближениями. От-
Отметим, что каждую из итераций можно выполнить при помощи
матричной прогонки.
Здесь ограничимся описанием явной разностной схемы
типа предиктор-корректор, алгоритм которой на каждом
интервале времени состоит из двух этапов. Сначала по из-
известным в момент времени tk-\, т.е. в начале А;-го интервала
времени Д^, значениям элементов матриц U и W в узлах
одномерной равномерной сетки с шагом h находят значения
элементов матрицы U в так называемых полуцелых узлах про-
пространственно-временной сетки (рис. 8.6):
Un±l/2 ~
k-lrjk-l
i
rk-\\
fc-1/2
O-- fc-1
n-1 n-1/2
n n+1/2 n+1
Рис. 8.6
472 8. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
Эта явная схема („предиктор"), в которой для аппроксима-
аппроксимации производных использованы разности вперед по времени t
и центральные разности по координате х\, позволяет с погреш-
погрешностью O(Atk,h2) получить прогноз для значений элементов
матрицы U в момент времени i^-i/2 B середине интервала Atk
в промежуточных узлах сетки по координате хл. По этим
значениям в тех же полуцелых узлах можно вычислить значе-
значения скорости v и единственного отличного от нуля элемента
Р(р) + оА*о#2 матрицы W и затем перейти ко второму этапу
(„корректору"):
Ah , k-l/2(Jk-l/2 _ к-1/2Пк-ф wk-l/2 _ w*-l/24
h \Vn+l/2Un+l/2 Un-l/2^n-l/2 + Пп+1/2 ^71-1/2/-
Шаблон этой явной схемы носит название „крест" (узлы про-
пространственно-временной сетки, входящие в этот шаблон, отме-
отмечены на рис. 8.6 крестиком в кружке).
Можно показать*, что несмотря на погрешность O(Atk,h2)
первого этапа после выполнения второго этапа итоговая по-
погрешность имеет второй порядок как по времени, так и по
пространственной координате, поскольку главные члены по-
погрешности, возникшие при аппроксимации производной по вре-
времени на этапе „предиктор", компенсируются затем на этапе
„корректор". Наряду с удобством вычислений по явным схе-
схемам описанная разностная схема имеет ограничение на выбор
допустимого интервала времени:
Дополнение 8.1. Модификации метода прогонки
Выше (см. 7.4) показано, что выполнение условия G.26)
достаточно для существования и единственности решения сис-
системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с трег-
*См., например: Пиру мое У.Г., Росляков Г.С.
Д.8.1. Модификации метода прогонки 473
диагональной матрицей А. При выполнении этого условия А
является магприцей с частичным диагональным преобладани-
преобладанием, а алгоритм метода прогонки — устойчивым. Рассмотрим
эти вопросы применительно к решению СЛАУ (8.10) с трехдиа-
гональной матрицей (8.11) при более слабых ограничениях
n=l,N-l, (8.85)
причем Ь0Ьн ф 0 и в последнем неравенстве апсп ф 0, а хотя бы
в одном из них должно быть соблюдено строгое неравенство.
В частных случаях задания узловых значений щ и (или) идг
искомой функции и(х) имеем в (8.8), (8.11) и (8.85) с0 = 0, щ —
= Уо/Ьо и (или) aN = 0,uN = уи/Ьм-
Для построения алгоритма решения СЛАУ (8.10) с матри-
матрицей (8.11) используем представление G.27) в виде
ип = цпип+1 + 1/п, 7i = 0,/V-1. (8.86)
Из первого равенства (8.8) имеем /х0 = Со/Ьо и;/о = Уо/^сь а далее
из (8.9) и (8.86) находим
(8.87)
Используя уравнения (8.86) и (8.87) для п — N — 1 и подставляя
во второе равенство (8.8) представление w/v-i — LlN-\uN + i/N-i-
получаем
VN + aNVN\ (8.88)
ON -
что позволяет затем при помощи (8.86) и предварительно вы-
вычисленных по (8.87) коэффициентов /хп и vn последовательно
найти остальные значения ип для п — N — 1, N — 2, ..., 1,0.
474
8. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
Непосредственным
/ bo
АХ =
0
0
\ о
и верхней
/1
Л2 =
0
0
0
\о
перемножением
0
Ах
-а2
0
0
-Мо
1
0
0
0
0 ...
0 ...
д2 ...
0 ...
0 ...
0 ...
-АН •••
1
0 ...
0 ...
нижней
0
0
0
Длг-
—«л
0
0
0
1 -
0
1
г /
0
0
0
HN-
1
0 \
0
0
0
W
\
л
)
треугольных матриц, где Дп = Ьп - an/xn_i, п = 1, N, — знаме-
знаменатели в соотношениях (8.87), можно показать, что А = А\А2-
Поскольку dety4 = det y4i dety42 и dety42 = 1, получим
N
(8.89)
n=l
Таким образом, условие det А ф 0 существования обратной ма-
матрицы А~х будет выполнено, если при Ь0фО выполнены условия
Дп ф 0, п = UV-
Алгоритм метода прогонки можно построить и в обратном
направлении, положив
ип = /х' un-i +v', n = N,i
причем ii'N = aN/bN, u'N - yN/bN и
' — Qn / _ Уп+СпУ'п+1
Ьп-спц'п+1' n Ьп-спц'п+1'
(8.90)
n = N-l,...,l. (8.9Г
Д.8.1. Модификации метода прогонки
475
Тогда получим
и вместо (8.89) будем иметь
N-1
bo ~
(8.92)
'п = Ьп-спц'п+1.
п-0
Отсюда следует, что для существования матрицы А~* необхо-
необходимо, чтобы Д^ ф О, п = О, N — 1, при 6л/ # 0.
Покажем, что для обеспечения Д„ ф 0 или Д^ ф 0 доста-
достаточно выполнения неравенств (8.85). Действительно, поскольку
|/хо| = Р- ^ 1, с учетом третьего неравенства (8.85) при п— 1
имеем
|Ai| = |bi -ai/io| ^ |bi| - |«i| |/io| ^ |ci| + |ai|(l - |/iO|) > 0, (8.93)
т.е. |Ai| ^ |ci| и Д) ^ 0. Отсюда, используя (8.87), находим
Увеличивая номер п, последовательно устанавливаем, что А„ ф
/0 и |/х„| <С 1 при п < N. Для выполнения условия Д# ф 0
требуется, чтобы в (8.85) имело место хотя бы одно строгое
неравенство. Если \b^\ > \a^\, то при \hn-i\ ^ 1 получаем
11 > 0 (8.95)
ф 0. Если |Ь0| > |со|, то |/io| < 1 и в соответствии с (8.93)
и (8.94) |Ai| > |ci|, |/ii| < 1, а значит, и \цп\ < 1, п = 2, ЛГ-1, в
том числе \hn-i\ < 1. Теперь (8.95) справедливо даже при |6д/| =
= \ajsf\. Наконец, в случае \bm\ > \am\ + |cm| при 1 ^ m ^ N - 1 с
учетом |/im-i| ^ 1 получим
= \Ьт - a
|Ьт| - \а
|ст|,
476 8. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
т.е. |Дт| > |ст|, |Дт| ф О и \цт\ = -Ы- < ?={ = 1, а затем.
|Zim| \Ст\
увеличивая номер п — m-\-l, N— 1, будем иметь |//„| < 1, в том
числе l/iyv 11 < 1, так что неравенство (8.95) справедливо даже
при \bN\ = \aN\.
Таким образом, условия (8.85) с учетом &o^N ф 0 гаранти-
гарантируют существование и единственность решения СЛАУ (8.10) с
матрицей (8.11) и попутно являются достаточными для выпол-
выполнения неравенств \\in\ ^ 1) п = 0, N—1, что формально обеспе-
обеспечивает устойчивость процесса вычислений при использовании
рекуррентного соотношения (8.86). При выполнении этих усло-
условий говорят, что разностная схема (8.8), (8.9) в сочетании
с алгоритмом метода прогонки является корректной.
Отметим, что условия (8.85) можно ослабить, допустив ап =
= 0 или сп = 0 для некоторых п = 1, N— 1. В самом деле, пусть,
например, ат = 0 при таком т, что 1 ^ m ^ N — 1. Тогда (8.8),
(8.9) можно представить в виде двух СЛАУ:
- anun-x + bnun - cnun+i = yn, n =
относительно неизвестных ип, n — m,N, и
-апип_! +bnun-cnun+i =yn, n=l,m-2,
— у0, -am_!Wm_2 + bm-XUm_x =ym-l
относительно неизвестных и„, п = 0,т— 1. Каждая из этих
СЛАУ соответствует корректной разностной схеме, но обе
могут быть решены сквозной прогонкой путем вычисления
коэффициентов (8.87) и нахождения значений «дг из (8.88) и
ип, п = ЛГ-1,0, из 8.86).
Подсчет количества арифметических операций в соотно-
соотношениях (8.86)-(8.88) показывает, что в процессе вычислений
следует выполнить ЗЛГ умножений, 2ЛГ+ 1 делений и ЗЛГ сложе-
сложений и вычитаний. При реализации алгоритма на ЭВМ наиболее
медленной операцией является деление. Вместо 2/V + 1 делений
Д.8.1. Модификации метода прогонки All
можно выполнить N -\-\ обращений знаменателя Д„ коэффици-
коэффициентов цп и vn, но тогда возрастет на 2/V + 1 число операций
умножения. Если же не делать различия между арифметиче-
арифметическими операциями, то общее их количество составит 8/V+ 1,
причем из них 3/V — 2 операций уходит на вычисление коэффи-
коэффициентов /лп, п = О, N— 1.
Отметим, что возможность построения алгоритма метода
прогонки как на основе (8.86), (8.87), так и на основе (8.90),
(8.91) позволяет уменьшить суммарное количество арифмети-
арифметических операций, если при решении задачи представляют ин-
интерес не все значения и„, п = 0, N, а лишь одно значение um.
Пусть m rs /V/2. Тогда, используя (8.87), находим рьт и vm, при
помощи (8.91) вычисляем ц'т+х и v'm+l, а затем из (8.86) при
п — т и из (8.90) при п — т + 1 получаем систему из двух алге-
алгебраических уравнений
откуда следует
um —
В этом алгоритме, называемом встречной прогонкой, уда-
удается сэкономить примерно N арифметических операций по
сравнению с обычным методом прогонки. Экономия будет
более существенной, если коэффициенты ап, Ьп и с„ в (8.9)
постоянны, а в (8.8) с0 — а^ = 0, поскольку тогда /~i'N_n = //„.
п = 0, т.
В ряде задач математической физики помимо значений и„
в узлах разностной схемы представляют интерес и значения
/ Wn-i), n-l,/V, (8.96)
пропорциональные приближенным значениям производной и'(х)
искомой функции и(х). Если и(х) имеет смысл перемещения в
твердом теле, то и'(х) является деформацией. Тогда 9тг—1/2 в
(8.96) имеет смысл приближенного значения напряжения в том-
478 8. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
ке жп_1/2. В теплофизических задачах и(х) — распределение
температуры, а ^п—1/2 в (8.96) по абсолютной величине соот-
соответствует плотности теплового потока при х = хп_г/2- В за-
задачах электрофизики и(х) может иметь смысл электрического
потенциала. Тогда и'(х) по абсолютной величине соответству-
соответствует напряженности электрического поля, a 9n-i/2 — плотности
электрического тока в точке хп_г/2-
Для неоднородной среды коэффициенты в (8.9) и в том чи-
числе ап могут резко изменять свои значения. В таком случае
использование (8.96) для вычисления 9n-i/2 по предварительно
найденным значениям ип, п = О, N, приводит к значительной
потере точности. Этого можно избежать, если перейти к опи-
описанной ниже потоковой прогонке.
Рассмотрим случай, когда матрица (8.11) является симме-
симметрической, т.е. сп~ап+\, п = О, N—1, и обозначим Ьп = ап +
+ an+i + dn, причем а0 = aw+i =0, dn > 0, п = 0, N, и ап > 0,
n = 1, TV. Тогда вместо (8.8) и (8.9) с учетом (8.96) получим
а\щ + у0 - (8<97)
Из (8.96) найдем ип = ип+\ + /2, п = О, N — I, и подставим в
(8.86), где теперь
an+1
п = О, N — 1. В итоге будем иметь
9n+l/2 + an+l(l-^n)
или
/ n«n = i;'n, n=l,N, (8.99)
где Д„ = апA — /xn-i) и vn = anvn-\.
Д.8.1. Модификации метода прогонки 479
СЛАУ (8.97), (8.99) содержит 2N + I уравнений с 27V + 1
неизвестными и распадается на две независимые СЛАУ. Пер-
Первую получим, если представление un = Vn ~"~'/2, вытекающее
/in
из (8.99), подставим в (8.97):
9n-i/2 = ~ , , , n = l,N. (8.100)
Здесь ?yv+i/2 = 0- Из этой системы для п= N находим gyv-i/2> a
затем последовательно для п = N — 1, jV — 2, ...,1 вычисляем и
все остальные значения 9n-i/2- Вторую систему получим, если
выражение </n-i/2 = vn — Дп^п, вытекающее из (8.99), подставим
снова в (8.97):
Jln+lUn+i +yn- Vn+i + Vn
— /о1П1ч
n=l,N, (8.101)
Vn + dn
причем fi^ = fiN+i = vn+\ = 0. При n — N из (8.101) вычисляем
ujv, затем последовательно для n = N — I, N — 2,...,1 находим
значения un, а из (8.97) по найденному значению щ вычисля-
вычисляем U().
Из (8.98) и (8.99) имеем Jix — airfo/(ai +^o) и
n+1 +rfn + an(l-/xn_1) an+1 + rfn + Jin
Отсюда при an+i > 0 и dn > 0, n= 0,N-l, следует, что цп > 0.
Тогда в (8.100) при ?n+i/2 получаем коэффициент ~ ^" < 1,
что обеспечивает устойчивость вычислений по этой формуле.
Но и в (8.101) при «n+i коэффициент
1
1,
что также гарантирует устойчивость вычислений по (8.101).
480 8. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
Таким образом, алгоритм потоковой прогонки обладает
устойчивостью по отношению к погрешностям вычислений.
Для его реализации требуется 21N + 1 арифметических дей-
действий", что примерно вдвое превышает число операций, необ-
необходимых для вычисления значений ип обычным методом про-
прогонки с последующим нахождением значений ?n-i/2 из (8.96).
В том случае, когда краевая задача для обыкновенного диф-
дифференциального уравнения (ОДУ) (8.1) имеет периодическое
решение, матрица А в СЛАУ (8.10) имеет вид (8.17), т.е. не
является трехдиагональной. Для решения такой СЛАУ можно
применить модифицированный вариант метода прогонки, на-
называемый циклической прогонкой.
Этот вариант основан на представлении узловых значений
искомой функции в виде
, n = 0,N, (8.102)
где значения vn находят из решения системы
-anvn-i +bnvn-cnvn+1 = yn, n = 1,7V —1, (8.103)
и условий ио = uw = 0, а значения wn — из системы
-anwn-i +bnwn-cnwn+i =0, n=l,N-l, (8.104)
и условий w0 = wn — 1- Умножением (8.104) на и0 и почленным
сложением результата с (8.103) при том же номере п можно
убедиться, что с учетом (8.102) будет удовлетворено (8.9).
Аналогично удается удовлетворить и второе равенство в (8.16).
Чтобы удовлетворить первое равенство в (8.16), подставим в
него (8.102) при п = 0, 1 и N - 1. Тогда с учетом vo = 0 и Wq= 1
запишем
"См.: Самарский А.А., Николаев Е.С.
Д.8.1. Модификации метода прогонки 481
ИЛИ
yo + aovs-t+cov^
6aiU7v cw
Решение систем (8.103) и (8.104) получают обычным мето-
методом прогонки, причем для каждого номера п коэффициент /хп
будет одинаков для обеих систем, что позволяет уменьшить
общее число арифметических операций, которое при полной ре-
реализации алгоритма циклической прогонки составляет 14jV — 8.
Если выполнены достаточные условия (8.85), то, как было по-
показано ранее, гарантирована устойчивость алгоритма решения
СЛАУ (8.103) и (8.104). Кроме того, можно показать*, что из
этих условий следует Ьо — aoti>7v-i — co^i ф 0, т.е. щ в соответ-
соответствии с (8.105) имеет конечное значение.
Более сложной модификации приходится подвергать метод
прогонки при решении класса задач, которым соответствует
СЛАУ (8.10) с матрицей (8.25). Решение такой СЛАУ можно
представить в виде
, n = Q,N, (8.106)
где и° находят при Uq = u°N = 0 из СЛАУ
- а»«°-, + ЬХ-е„1См = У», n=hN-l, (8.107)
vn при «о = 1 и vw = 0 из СЛАУ
-anvn-i+bnvn-cnvn+i =<pn, n-l,N-l, (8.108)
а wn при wq = 0 и wn = 1 из СЛАУ
- апwn-i + bnwn - cnwn+i = фп, п= l,N-\. (8.109)
Из (8.106)-(8.109) ясно, что значения ип, п= 1, /V—1, удовле-
удовлетворяют разностным уравнениям (8.23). Для нахождения и0 и
«N используем оставшиеся два разностных уравнения в (8.22)
"См.: Самарский А.А., Николаев Е.С.
482 8. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
и (8.24), подставив в них (8.106) при п = 0 и п — N. В итоге
получим систему двух уравнений относительно щ и upj:
{bo- {g°,v))u0- (фо + {д°, w))uN = yo+(g°, u°),
~{<PN+ {9,v))u0- Fn- {g, w))uN = yN + (g,u°).
Здесь (•, -) обозначает сумму TV — 1 попарных произведений.
Например,
N-i
n=l
Если определитель этой системы
A=(bo-(g°,v)){bN-(g,w))-
- (ф0 + {д°, w)) {i>N + E, v)) ф 0, (8.110)
то она имеет единственное решение
_ (bjv - {g,w))(yo+ {д°, и0)) + (фо + E°, w))(yN + E, «°))
и°~ д '
_ A>N + (g,v))(yo + (g°,^0)) + Fo-(g°, и)) (yN + {д, и0))
uN- - .
Выполнение условий (8.85) достаточно для устойчивости
алгоритма обычного метода прогонки при решении систем
(8.107) — (8.109). Можно показать* справедливость (8.110) при
более ограничительных по сравнению с (8.85) неравенствах
N-\ N-\
п=1 п=1
(8.111)
\Ьп\ ^ |ап| + |с„| + |у»п| + |^п|, апспф0, п= 1, TV—1,
причем хотя бы в одном из них должно быть выполнено стро-
строгое неравенство. Вместе с тем, если известно, что СЛАУ
'См.: Самарский А.А., Николаев Е.С.
Д.8.1. Модификации метода прогонки 483
(8.22) -(8.24) имеет единственное решение, то справедливо соот-
соотношение (8.110), и tio и им имеют единственные значения даже
при нарушении условий (8.111).
Рассмотренные варианты метода прогонки для решения
СЛАУ (8.10) можно применять, когда А является матрицей с
частичным диагональным преобладанием, т.е. выполнены усло-
условия (8.85). При их нарушении нельзя гарантировать отли-
отличие от нуля знаменателя коэффициентов \хп и vn в (8.87) и
справедливость неравенства \in $C 1, обеспечивающего устойчи-
устойчивость описанного алгоритма метода прогонки по отношению
к вычислительным погрешностям. Удобство такого алгорит-
алгоритма состоит в использовании простых рекуррентных формул,
реализующих для СЛАУ с трехдиагональной матрицей метод
Гаусса без выбора главного элемента по строкам матрицы, по-
поскольку при частичном диагональном преобладании главный
элемент расположен на главной диагонали. Этот алгоритм свя-
связан с монотонным изменением номера узла сначала в одном
направлении, а затем — в противоположном. Если СЛАУ (8.10)
имеет единственное решение, но условие (8.85) нарушено, то
можно построить алгоритм немонотонной прогонки*, кото-
который основан на методе Гаусса с выбором главного элемента.
В этом случае может не соблюдаться монотонное изменение но-
номера при нахождении узловых значений искомой функции.
Метод прогонки можно использовать для решения последо-
последовательными приближениями нелинейных краевых задач. Рас-
Рассмотрим нелинейное ОДУ второго порядка
u"{x) + f{x,u) = 0, as € [0, /], (8.112)
где f(x,u) — непрерывно дифференцируемая по и и непрерыв-
непрерывная по х действительная функция, при заданных значениях
и@) = ио и и{1) = щ (8.113)
искомой функции и(х) на концах отрезка [0,/].
"См.: Самарский А.А., Николаев Е.С.
484
8. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
Аппроксимируя при помощи G.3) вторую производную в
(8.112) на равномерной одномерной сетке с шагом h и узлами
хп = nh, n = О, N, получаем систему разностных уравнений
-и„_1+2«п-«п+1=Л2/п, n=l,N-l, (8.114)
где /„ = f{xn,un), хп = nh. Эта система включает N - 1 не-
нелинейных конечных уравнений относительно N — 1 неизвест-
неизвестных узловых значений ип. Алгоритм решения системы (8.114)
с помощью последовательных приближений можно построить
различным образом, но он должен обеспечивать сходимость
итераций к искомому решению.
Пусть узловые значения и„ ~ получены на (к — 1)-й ите-
итерации (при к = 1 они соответствуют некоторому начальному
приближению). Тогда на к-й итерации (8.114) перейдет в сис-
систему уравнений
(8.П5)
где Z^) = f(xn,Un ), образующих СЛАУ с квадратной
трехдиагональной матрицей
А =
f 2
-1
0
0
^ 0
-1
2
i
0
0
0
-1
2
0
0
... 0
... 0
... 0
... 2
... 1
o>
0
0
-1
2 J
порядка N — 1. Решая эту СЛАУ методом прогонки и используя
(8.86), с учетом граничного условия irN' = щ последовательно
находим
(8.116)
Д.8.1. Модификации метода прогонки
485
где в соответствии с (8.87) при an = сп = 1, Ьп = 2, n = I, Af-1,
ао = /*о = 0 и v^k' = «о
—1
Обозначим г„ — «п - «* погрешность на fc-й итерации, где
и* — узловые значения, соответствующие истинному решению
системы (8.114), т.е. удовлетворяющие равенствам
Вычитал эти равенства почленно из (8.115), получаем СЛАУ
где
(8.118)
Решал эту СЛАУ также методом прогонки и учитывал (8.116)
и (8.117), при Zq ' = zfr' — 0 находим
TV
Используя (8.118), введем оценку
max
n=l,N-l
Тогда из (8.119) будем иметь
(8-120)
N
j-i
i=n+l
486 8. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
N2
Отсюда, учитывая, что max n(N - п) ^ — и Nh = I, полу-
наем "•=>•'"-' "
Таким образом, достаточным условием сходимости алгоритма
последовательных приближений является выполнение неравен-
неравенства -\2М\ < 1, не зависящего от числа узлов сетки.
О
Пример 8.4. Рассмотрим прямой стержень длиной L с
круговым поперечным сечением радиуса R, излучающий с бо-
боковой поверхности. Температура То торцов стержня (при х = О
и х = L) поддерживается постоянной. Если принять, что темпе-
температура в поперечном сечении стержня однородна и изменяется
лишь вдоль координаты х 6 [О, L], то установившееся распреде-
распределение температуры Т(х) будет описываться нелинейным ОДУ
d2T(x)
2Y2nRecTT4(x) = 0, xe@,L), (8.121)
где А — коэффициент теплопроводности материала стерж-
стержня; е — коэффициент излучения его боковой поверхности;
сто = 5,67 • 10~8 2 — постоянная Стефана — Больцмана
(см. пример 3.5). Из физического смысла задачи ясно, что
Т{х) 4. То при х е @,1).
Положив и = Т/Т0, приведем (8.121) к безразмерному виду
-C«4(O = 0, ?=-^€@,1), C = 2L2^T3, (8.122)
и запишем граничные условия: и@) = иA) = 1. Из сравнения
(8.48) с (8.122) следует, что в данном случае f(x,u) = — Си4,
так что ¦'jf 'u) = -4Си3 и в соответствии с (8.120) при 1 = 1 и
и < 1 имеем
-М, = - max
n=\,N-l
df(xn,u)
ди
= - max |-4с7ц I = —.
Д. 8.1. Модификации метода прогонки
487
Следовательно, для сходимости изложенного выше алгоритма
последовательных приближений достаточно выполнения нера-
неравенства С/2 < 1. В табл. 8.1 приведены значения un ¦ 103, п =
= 1, N/2, рассчитанные при N = 20 н С =2 (при этом учтена
симметрия распределения температуры относительно середи-
середины стержня). Отметим, что положение, когда значения un на
двух последовательных итерациях в каждом узле отличаются
меньше чем на 10~6, было достигнуто за 20 итераций.
Таблица 8.1
С
2
5,12
100
1000
п
1
969
944
779
573
2
943
897
650
417
3
921
859
566
335
4
902
828
507
286
5
886
803
464
253
6
874
784
434
230
7
864
769
412
215
8
858
758
397
205
9
854
752
389
199
10
852
750
386
197
Непосредственными вычислениями при N = 20 сходимость
изложенного алгоритма была установлена при С ^ 5,12. Чтобы
значения ип на двух последовательных итерациях отличались
меньше чем на 10~6, при С =5,12 потребовалось свыше 1000
итераций (см. табл. 8.1).
Обеспечить сходимость последовательных приближений при
больших значениях параметра С можно за счет некоторой мо-
модификации изложенного алгоритма. Для этого (8.122) запишем
в виде ^
= С, или
Если при выполнении к-й итерации множитель 1 + и + и2 + и3
(к— I)
вычислять по узловым значениям ип ', найденным на преды-
предыдущей итерации, то вместо (8.115), полагая h = \/N, получим
B
- §* (8-123)
488
8. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
n=l, 7V-1, где
С
Решение системы (8.123) методом прогонки при N = 20 для
значений С=2 и С = 5,12 привело к указанным в табл. 8.1
результатам, но за 6 и 8 итераций соответственно. Там же
приведены значения ип ¦ 103, п = 1, ЛГ/2, при С = 100 и С =
= 1000. Положение, когда значения на двух последовательных
итерациях отличаются менее чем на 10~6, было достигнуто за
44 и 205 итераций соответственно. #
Рассмотрим модификацию метода прогонки для решения
СЛАУ (8.27), (8.28) с пятидиагоналъной матрицей (см. при-
пример 8.2). Такая матрица позволяет построить алгоритм про-
прогонки, положив
«n =
(8.124)
Формулы для коэффициентов е„, ?„ и г/„ найдем, выразив при
помощи (8.124) и„_г и и„_2 через ип и un+i и подставив их в
(8.28). В итоге получим
?n =
/п - апУп-2 -
(8.125)
Если считать, что ао = ах = bo = 0, то из (8.125) следует
— ° с — е° _ f°
Co' c0' c0 '
d\ - &i?o
А,
А]
А]
-ftl
CO
Д.8.1. Модификации метода прогонки 489
Далее для n = 2,N используем непосредственно (8.125), учи-
учитывая, что едг_1 = едг = rfjv = 0. Тогда при п = N — 1 получим
fjv_i = 0, а при п — N имеем едг = ?лг = 0 и
uN = r)N = — — . (8.126)
cjv - ajvcJV-2 + (ajv^JV-2 - djv)?JV-i
После вычисления идг из (8.124) при п = N — 1 с учетом ?дг-1 — 0
находим wjv_i = ?jv_iun + //jv-i и затем по этой же форму-
формуле для п = N — 2, yV — 3,..., 0 последовательно вычисляем все
остальные узловые значения un. Для реализации описанного
алгоритма необходимо выполнить 19ЛГ — 10 арифметических
операций.
Можно показать*, что разностная схема (8.27), (8.28) в
сочетании с алгоритмом (8.124) —(8.126) является корректной,
(однозначно разрешима и гарантирована от накопления вычи-
вычислительных погрешностей), если отличны от нуля все выписан-
выписанные в левых частях (8.27) и (8.28) коэффициенты и выполнены
условия частичного диагонального преобладания приведенной
в примере 8.2 пятидиагональной матрицы, т.е.
|cjv| ^ |ajv| + IM, IcJV-i
|с„| ^ К| + |ЬП| + \dn\ + |en|, n = 2, N-2,
и хотя бы в одном из этих условий достигается строгое нера-
неравенство.
Подобно обычному методу прогонки (для решения СЛАУ
с трехдиагональной матрицей) и в случае пятидиагональной
матрицы также можно построить алгоритмы встречной, пото-
потоковой, циклической и немонотонной прогонок, а также прогон-
прогонки для случая задания дополнительных условий интегрального
типа. Возможно применение алгоритма (8.124)-(8.126) для
решения последовательными приближениями нелинейных ОДУ
четвертого порядка.
*См.: Самарский А.А., Николаев Е.С.
490 8. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
Вопросы и задачи
8.1. Показать, что погрешность аппроксимации в G.8) име-
имеет первый порядок, а в G.9) — второй порядок.
8.2. Методом прогонки найти установившееся распределе-
распределение
0
(?)=
Т{х/К) - Тр
безразмерной температуры по толщине стенки (см. задачу 6.1)
при Ri — —2i?2 и /i = 0,2/?2- Используя разностную схему (8.71)
при т/ = 0, 1 и 1/2, решить нестационарную часть этой задачи,
_ at
приняв в качестве безразмерного времени т — -щ.
8.3. Методом прогонки найти установившееся распределе-
распределение
JL\xT_(r/R2)-T0
безразмерной температуры в стенке трубы (см. задачу 6.3) при
R\ = r^-
8.4. Решить задачу 6.2 методом прогонки для случая пяти-
диагональной матрицы.
8.5. Сформулировать теорему Гершгорина.
8.6. Решить задачу 6.10 методом стрельбы.
8.7. Показать, что условие (8.66) выполняется при любых
значениях Atk, если трехдиагональная матрица А порядка
N обладает диагональным преобладанием и ее диагональные
элементы Ьп > 0, п = 1, N.
8.8. Построить шаблоны разностных схем (8.75)-(8.77) и
(8.81).
9. МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ
9.1. Особенности решения многомерных задач
Изложенные в предыдущей главе (см. 8.3) подходы к реше-
решению одномерной нестационарной краевой задачи применимы и
к многомерным задачам. Если время протекания физического
процесса, описываемого многомерной нестационарной задачей,
разбить на последовательность интервалов Atk, k G N, и прове-
провести аппроксимацию производных искомых функций по време-
времени t, то в соответствии с методом прямых можно перейти к
многомерной стационарной краевой задаче относительно рас-
распределений этих функций в момент t^ в конце k-го интервала
Atk. Эту задачу можно решить приближенными аналитиче-
аналитическими методами (см. 6), а для численного решения применимы
метод конечных разностей (МКР), метод конечных элементов
и метод граничных элементов.
Можно также в области решения многомерной нестацио-
нестационарной задачи ввести пространственную сетку и на этой сет-
сетке аппроксимировать производные искомых функций по про-
пространственным координатам. В результате получим систему
обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) относи-
относительно изменяющихся во времени узловых значений этих фун-
функций. Такая система в сочетании с заданными начальными
условиями составит математическую формулировку задачи Ко-
Ши, для численного решения которой можно использовать один
из вариантов метода Рунге — Кутты.
Как и в случае одномерных нестационарных задач, третий
подход к решению многомерных задач объединяет первые два
и связан с переходом к дискретной математической модели
рассматриваемого физического процесса как во времени, так и
в пространстве. Эта модель на каждом k-м интервале приведет
492 9. МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ
к системе конечных уравнений относительно узловых значений
искомых функций в момент времени tk в конце этого интервала.
Если исходная краевая задача является линейной, то конечные
уравнения будут также линейными.
9.2. Двумерная и трехмерная
задачи теплопроводности
Третий подход к решению многомерных задач (см. 9.1) рас-
рассмотрим сначала на достаточно простом примере двумерной
нестационарной задачи теплопроводности в твердом теле, опи-
описываемой уравнением
dt a\ дх\ + дх\
где а — коэффициент температуропроводности, а температура
T(t,M) зависит от времени t и декартовых координат х\, xi
точки М G F двумерной области F решения задачи. Граничные
и начальные условия примем в виде
T(t,P) = f(t,P), Ре Г; Г@,М) = Г°(М), MeF, (9.2)
где Г — граница области F (рис. 9.1).
Введем в F двумерную пространственную сетку Fh с ша-
шагами h{, i— 1,2, постоянными вдоль каждой из координатных
осей (на рис. 9.2 принято h\ = h,2 = h = const). При этом в узлы,
вообще говоря, не принадлежащие Г, но расположенные наибо-
наиболее близко к границе и составляющие множество Гд, перенесем
из ближайшей к каждому узлу точки Р G Г заданные гранич-
граничные значения (9.2) температуры. Отметим, что возникающая
при этом погрешность является основной причиной, ограни-
ограничивающей применение МКР к решению задач в многомерных
областях произвольной конфигурации.
Равенством
Л Т — ~ "-1 ~ 2-*п +^71+1 • 1 о /По\
Лгг^п —О Гг , * = 1, 2, (9.3)
9.2. Двумерная и трехмерная задачи теплопроводности
493
Рис. 9.1
Рис. 9.2
где п — номер внутреннего узла двумерной сетки Fh, отсчи-
отсчитываемый вдоль координатной оси Ох,, введем разностный
оператор Л„. Тогда для любого внутреннего узла Мп ? Fh
этой сетки, имеющего температуру T+(t), с учетом G.3) запи-
запишем
d2T(t,M)
dxj
М-Мп
Опуская нижний индекс в обозначении узлового значения тем-
температуры и аппроксимируя в (9.1) производную по времени на
к-и интервале, для каждого внутреннего узла сетки Fk полу-
получаем
_ тк—1
(9.4)
i=l,2
В более подробной записи (9.4) имеет вид
тк-\ Тк —0Тк
п~ 1тп „ im-l,n "ш
~^=щ
h\
Тт~-\,п ~ 2Ti
+
7
К
p
m,n-\
грк-1
_ nrpk-l ,rp
k—l
h\
494 9. МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДА ЧИ
Шаблон этой разностной схемы изображен на рис. 9.3. Она
является двумерным аналогом двухслойной схемы (8.71) с ве-
весами, имеет при щ = щ = 1/2 погрешность O((AtkJ, h\ + h\)
и приводит к системе линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ) относительно значений Тк во внутренних узлах сетки
Fh. Для решения этой СЛАУ необходимо использовать из-
известные значения Тк в узлах, принадлежащих множеству Г^,
и значения Тк~1 во всех узлах сетки Fh, вычисленных на пред-
предшествующем интервале времени. Ясно, что при к = 1 значения
Тк~1 определены начальными условиями (9.2).
тк
m,n-l
At,
m,n+l
Рис. 9.3
Из (9.4) следует, что квадратная матрица СЛАУ в каждой
строке содержит пять ненулевых элементов, причем один из
них расположен на диагонали, а расположение остальных за-
зависит от соответствия между нумерацией узлов и уравнений
системы. Однако при любом варианте нумерации эту матри-
матрицу не удается привести к пятидиагопальной, что не позволяет
использовать для решения СЛАУ соответствующий вариант
метода прогонки (см. Д.8.1). Решение этой СЛАУ можно
получить при помощи матричной прогонки, обеспечивающей
заметное снижение общего числа арифметических операций,
если область F является прямоугольной.
В случае произвольной области F одним из экономичных по
числу арифметических операций методов решения рассматри-
рассматриваемой СЛАУ является продольно-поперечная прогонка.
9.2. Двумерная и трехмерная задачи теплопроводности 495
Она основана на переходе от разностной схемы (9.4) к разност-
разностной схеме
<
rpk _ rpk-\/2
Каждое из двух соотношений этой схемы представляет сово-
совокупность одномерных неявных двухслойных разностных схем
по осям Я] и хч соответственно, причем первое из них содержит
неизвестные узловые значения Тк~х12 температуры в момент
времени ?fc_i/2 в середине А;-го интервала, а второе — значе-
значения Тк в тех же узлах в момент tk в конце этого интервала.
Отдельно взятая одномерная схема, следующая из первого со-
соотношения (9.5), включает значения Тк~х12 в цепочке узлов при
х2 = const, а следующая из второго соотношения — искомые
значения Тк в цепочке узлов при х\ = const. Все эти узловые
значения могут быть найдены при помощи обычного метода
прогонки.
Выясним условия эквивалентности (9.4) и (9.5). Для этого
исключим Тк~х12 из (9.5), введя разностные операторы
г'=1,2, (9.6)
где / — тождественный оператор. Тогда (9.5) примет вид
в1тк-1'2 = с2тк-\ в2тк = с1тк-1/\
откуда получаем В\В2Тк = С\С2Тк~х, т.е. с учетом (9.6) при-
приходим к разностной схеме
Л11-(г/;гЧA-#ы). (9.7)
1=1,2
496 9. МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДА ЧИ
Сравнивая уравнение (9.7) с (9.4), заключаем, что при щ —
— гJ = 1/2 разностная схема (9.7), а значит, и (9.5) аппрок-
аппроксимируют дифференциальное уравнение (9.1) с погрешностью
O((AtkJ, h\ + h\). Отметим, что несмотря на совпадение по-
порядков погрешности разностных схем (9.4) и (9.5) результаты
расчетов по ним будут различны, что объясняется наличием в
(9.7) дополнительных слагаемых.
В частном случае r/j = щ = 1 каждое из соотношений (9.5)
приводит к неявной двухслойной разностной схеме, обеспе-
обеспечивающей вычислительную устойчивость алгоритма метода
прогонки при любых значениях Д^ > 0. В этом случае (9.5) на-
называют локально-одномерной разностной схемой. Ясно,
что переход в (9.5) при выборе щ = щ — 0 к явной схеме не имеет
смысла, поскольку такой выбор приводит к явной двухслойной
разностной схеме непосредственно из (9.4). Можно показать,
что при этом алгоритм вычислений устойчив при выполнении
условия
Рассмотренные свойства разностной схемы (9.5) можно рас-
распространить на случаи переменных (в том числе разрывных)
коэффициентов в уравнении теплопроводности, наличия в теле
источников энерговыделения и двумерной сетки с переменным
шагом в направлении каждой из координатных осей, а так-
также — на случаи двумерных задач в цилиндрической системе
координат и осесимметричных задач в сферических координа-
координатах. Однако идею продольно-поперечной прогонки не удается
в общем виде перенести на трехмерные задачи нестационарной
теплопроводности. Но для задачи в произвольной области с
размерностью d, описываемой дифференциальным уравнением
дт _Лат
g <9-8>
9.2. Двумерная и трехмерная задачи теплопроводности 497
можно построить локально-одномерную разностную схему
rpk-l+i/d _ yfc-l+(
, (9.9)
которая при каждом значении г= l,d позволяет использовать
обычный метод прогонки в отличие от разностной схемы
fc
(9.10)
обобщающей (9.4) и аппроксимирующей (9.8) непосредственно.
При 7/, = 1/2 для всех значений г= l,d разностная схема
(9.10) аппроксимирует (9.8) со вторым порядком погрешности
как по Atjt, так и по шагам /i,- пространственной сетки, а в
остальных случаях порядок погрешности по Д^ уменьшается
до единицы. Выясним порядок погрешности схемы (9.9). Для
этого исключим из (9.9) промежуточные значения Th~l+t/d, i —
= 1, d— 1, и с учетом (9.6) запишем
S=i ' \=i
Отсюда, например, для случая d = 3 получим
грк _ грк—1 3
+ (Х1Х2Л11Л22 + Х2Х3Л22Л33 + ХзХхЛззЛп)^ Atk,
498 9. МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДА ЧИ
где \г = 1 - *)u i=l,3. В случае щ = щ = Щ= 1/2 имеем
(
Тк
и, сравнивая с (9.10) при d = 3 и тц = 1/2, г = 1,3, приходим
к выводу, что (9.9) аппроксимирует (9.8) с погрешностью
O((AtkJ, h\ -f h\ + Л3). Иное сочетание значений г/, снижает
порядок погрешности по Д^ до 1.
При d = 2 и rji: = 1/2, г = 1,2, разностная схема (9.9) по по-
порядку погрешности эквивалентна (9.5), но приводит к более
простой структуре алгоритма, поскольку при прогонке вдоль
каждой цепочки узлов сетки, соответствующих ж, = const, ис-
используются значения температуры только в этих узлах. При
d = 3 таким же преимуществом обладает разностная схема ти-
типа предиктор-корректор
yfc-5/6 rrk-\ rrk-2/Z rrk-5/6
Д^/2 At/2
Т ~Т ' =(Aii + A22
Atk
которая сочетает локально-одномерную схему („предиктор")
для предсказания узловых значений в момент времени f^-i/2
в середине интервала Atk и явную схему („корректор") для
завершения расчета на этом интервале. Эта схема также имеет
второй порядок погрешности как по Atk, так и по шагам
пространственной сетки, а алгоритм вычислений по каждому
из соотношений этой схемы устойчив при любых значениях Atk-
9.2. Двумерная и трехмерная задачи теплопроводности 499
Для решения многомерных нелинейных задач теплопровод-
теплопроводности наряду с явной схемой, которая следует из (9.10) при
щ: = 0, i — l,d, и имеет ограничение на выбор значения
можно использовать не имеющую такого ограничения схему,
обобщающую неявную трехслойную разностную схему вида
(8.77). Для многомерных задач эту схему можно представить
в виде
Т -Т 2 =1л*-1(Г* + Г*-1+Т*-2) + /*-1, (9.11)
2т
л*-1
где Л — разностный оператор на ортогональной многомер-
многомерной сетке с переменными (в общем случае) шагами Л, вдоль
каждой из координатных осей, аппроксимирующий дифферен-
дифференциальный оператор -V(AVT) в нелинейном уравнении тепло-
теплопроводности вида B.53). Зависящие от температуры узловые
Iм
значения /* источникового члена -^-, входящего в B.53), и
коэффициенты с и А вычисляют по известным при расчете на
к-м интервале узловым значениям Тк~1 в момент времени t^-\
в середине удвоенного интервала 2т = tk — tk-i-
Из (9.11) следует разностная схема
1). (9.12)
В d-мерной декартовой прямоугольной системе координат
d
Ак-*=^А$г\ (9.13)
t=i
где Л^ — разностный оператор, аппроксимирующий диффе-
1 д Л д \
ренциальныи оператор --—I А-—1, входящий в правую часть
С OXt \ OXi /
B.53). Отметим, что (9.13) верно и для анизотропного тела
500 9. МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ
при совпадении главных осей тензора теплопроводности с ко-
координатными осями (см. замечание 2.1).
Так как (9.11) аппроксимирует B.53) по г с первым по-
порядком погрешности, то (9.12) имеет по г погрешность О(т2).
Поскольку с учетом (9.13)
то порядок погрешности по г не уменьшится, если от (9.12)
перейти к разностной схеме
которая эквивалентна схеме
T / = jk-2 + 2Г д*-1
/ о
Первое соотношение явно разрешено относительно узловых
значений Jlfc~1+1/<i, а второе (при d = 2) или два других (при
d = 3) приводят к СЛАУ с трехдиагональными матрицами,
решаемым обычным методом прогонки.
9.3. Различные многомерные задами
Изложенные выше (см. 9.2) способы решения многомерных
задач нестационарной теплопроводности можно применять в
более широком классе нестационарных краевых задач мате-
математической физики, описываемых дифференциальными урав-
уравнениями параболического типа или системами таких уравне-
уравнений. Эти же способы применимы и для решения стационарных
9.3. Различные многомерные задачи 501
(статических) задач, описываемых дифференциальными урав-
уравнениями эллиптического типа. Искомое решение таких задач
можно рассматривать как предельное, установившееся состо-
состояние в условной дискретной системе, в которой происходит
нестационарный физический процесс при заданных в стаци-
стационарной задаче постоянных во времени граничных условиях.
Если стационарная задача имеет единственное решение, то при
произвольно выбранном начальном условии решение нестацио-
нестационарной задачи для условной дискретной системы в пределе при-
приводит к искомому установившемуся состоянию. Такой прием
получения решения стационарной задачи называют методом
установления.
В случае неединственности решения рассматриваемой ста-
стационарной задачи установившееся состояние будет связано с
задаваемым начальным условием. Тогда начальное условие
приобретает смысл нулевого приближения, от близости кото-
которого к искомому решению зависит объем вычислений при ис-
использовании метода установления.
Помимо этого метода для решения многомерных линейных
стационарных задач математической физики при помощи МКР
можно указать еще ряд способов, которые приводят к СЛАУ,
вытекающей из дискретной математической модели рассма-
рассматриваемого физического процесса. К ним относятся вычи-
вычислительные методы линейной алгебры, связанные с последова-
последовательным исключением неизвестных или мультипликативным
разложением матрицы СЛАУ, а также большая группа ите-
итерационных методов решения СЛАУ [IV]. В случае нелинейных
задач дискретная модель приводит к системе конечных урав-
уравнений, решаемой также итерационными методами [V].
Некоторые из итерационных методов* в определенном смы-
смысле можно трактовать и как варианты метода установления,
поскольку получаемые в процессе последовательных приближе-
приближений к искомому решению стационарной задачи промежуточные
'См.: Самарский А.А., Николаев Е.С., а также: Трауб Дж.
502 9. МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДА ЧИ
состояния соответствуют условному нестационарному процес-
процессу в дискретной системе. Если решаемая задача имеет вари-
вариационную формулировку, включающую функционал с извест-
известными экстремальными свойствами, то используемый итераци-
итерационный метод можно соотнести с методом локальных вариаций
и контролировать сходимость процесса последовательных при-
приближений по изменению значения функционала от итерации к
итерации.
Все эти способы направлены на вычисление значений ис-
искомой функции во всех узлах сетки, соответствующей обла-
области решения задачи. Если же цель решения задачи состоит
в нахождении не всех узловых значений, а лишь в одном или
нескольких характерных узлах, то эффективным может ока-
оказаться вероятностный подход, который рассмотрим на простом
примере.
Пример 9.1. Пусть в двумерной области F, ограниченной
замкнутой кривой Г и представленной сеткой Fh с шагом h =
= const (сетка имеет квадратные ячейки), необходимо найти в
некотором внутреннем узле М1т ? Fh с номерами / и m значе-
значение м(М^) искомой функции и(М), описываемой уравнением
Лапласа
с граничными условиями
u{R) = g{R), Re Г. (9.15)
Если для аппроксимации вторых частных производных исполь-
использовать G.3), то задаче Дирихле (9.14), (9.15) будет соответство-
соответствовать разностная схема
п (9.16)
9.3. Различные многомерные задачи 503
где Mq € Fh — любой внутренний узел сетки F^, а Гд —
множество узлов этой сетки, вообще говоря, не принадлежащих
границе Г, но наименее удаленных от нее. В каждый такой узел
Щ перенесено заданное в (9.15) граничное значение g{Rrs) =
= g(R) из точки R ? Г, наиболее близкой к Rrs ? Г^.
Поскольку разностная схема (9.16) линейная, то справедливо
равенство
где P(Mg, Rrs)g(Rrs) — коэффициент влияния граничного узла
Rrs G Г на значение искомой функции во внутреннем узле Mq.
По физическому смыслу задачи Дирихле в частном случае
g(R) = g0 = const, R ? Г, должно быть u(M) = g0, M E F. В
таком случае g(Rrs) = g0, Rrs е ГЛ, и и(М,р) = g0, M?p G Fh.
Отсюда следует, что
Коэффициент Р(Мд, Rrs) можно истолковать как вероят-
вероятность события, состоящего в том, что частица, выпущенная
в узле Mq G Ffi, после случайного блуждания по сетке Fh по-
попадет в граничный узел Rrs G FV Записав первое уравнение в
(9.16) в виде
коэффициенты в правой части интерпретируем как вероят-
вероятность перехода блуждающей частицы из произвольного вну-
внутреннего узла Mq ? Fh.B конкретный соседний с ним узел. Ясно,
что для квадратной сетки эти вероятности одинаковы и рав-
равны 0,25. Направление перехода можно выбрать в зависимости
504 9. МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ
от того, в какой промежуток попадет число z, выбранное как
случайная величина в полуинтервале @,1] (для генерирования
случайных чисел существуют специальные алгоритмы). Напри-
Например, если z ? @, 0,25], то блуждающая частица переходит из
узла М\ в узел М?_], если z € @,25, 0,5], то — в узел М*+1
и т.п.
Блуждающая частица, выпущенная из интересущего нас уз-
узла М[т, после серии описанных переходов попадет в граничный
уэел Rrs € Yh с известным значением щ =д(Щ). Затем из того
же узла М1т выпускают вторую частицу и фиксируют значение
щ в том граничном узле, куда она попадет после случайного
блуждания. Эту процедуру повторяют для N частиц, и в итоге
искомое значение функции в узле Mlm ? F^ можно представить
как математическое ожидание случайных значений ип, п =
= 1, N, в достигнутых граничных узлах, т.е.
1 N
u(Mi) = -^un, (9.17)
71=1
причем относительная погрешность (9.17) составит \/\/N. #
Изложенный подход к решению стационарной задачи со-
составляет существо метода статистических испытаний,
называемого также методом Монте-Карло. Ясно, что для обес-
обеспечения приемлемой точности решения значение N в (9.17)
должно быть достаточно велико, что связано со значительным
временем счета на ЭВМ. Поэтому нахождение этим методом
значений искомой функции во многих узлах может оказаться
нереальным. Однако простота алгоритма и возможность вы-
вычислить искомые значения в одном или нескольких узлах без
решения всей задачи в целом привлекают внимание к этому ме-
методу и стимулируют его дальнейшую разработку. Отметим,
что вероятностную интерпретацию можно дать и разностным
схемам, соответствующим нестационарным задачам.
9.3. Различные многомерные задачи 505
Перейдем к рассмотрению способов решения при помощи
МКР многомерных дифференциальных уравнений гиперболи-
гиперболического типа. Волновое уравнение
d2u{t,M)
dt2
описывает распространение звуковых волн в некоторой двумер-
двумерной области F. Здесь а — скорость звука в среде, а функция
u(t,M) может соответствовать возмущенному распределению
плотности или давления среды. Это же уравнение в сочетании с
заданными на границе Г области F значениями u(t, Р) = 0 опи-
описывает поперечные колебания закрепленной по контуру мем-
мембраны. В этом случае функция u(t,M) в момент времени t
характеризует отклонение точки М € F от положения ее рав-
равновесия в плоскости мембраны.
Используем для аппроксимации (9.18) аналогичную (8.81)
трехслойную симметричную разностную схему
ик - 2ик~1 + ик~2
M^V + ^ + O-2*)»*). (9-19)
t=l,2
где г — интервал времени, а Л„ соответствует обозначению
(9.3). Эта схема при щ = щ = 0 становится явной, имеет по-
h2h2
грешность О (г2, hj + h2,) и ограничение (атJ ^ ' 2 на выбор
значения г, а при тц € @, 1] — неявной, так что для нахождения
узловых значений ик в конце &-го интервала времени приходит-
приходится применять продольно-поперечную прогонку.
В случае щ — rj2 = 1/2 (9.19) аппроксимирует (9.18) также
с погрешностью О(т2, h2 + h\). Поэтому следующее из (9.19)
равенство
(9.20)
506 9. МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДА ЧИ
имеет по т четвертый порядок погрешности. Поскольку
то порядок погрешности по т не уменьшится, если от (9.20)
перейти к локально-одномерной разностной схеме
(9.21)
Первое из этих соотношений позволяет найти узловые значения
uk-\/2 B момент времени ijt-i/2 = tk-\ + т обычным методом
прогонки вдоль цепочек узлов при х2 = const, а затем также
прогонкой, но вдоль цепочек узлов при Х\ = const решают
СЛАУ с трехдиагональными матрицами, следующие из второго
соотношения, и находят узловые значения ик в конце к-го
интервала времени.
Разностную схему (9.21) нетрудно распространить на слу-
случай трехмерной области V решения задачи. Функцию u(t,M)
в (9.18) можно рассматривать как перемещение или скорость
среды, т.е. в многомерной задаче эта функция становится век-
векторной, что требует соответствующего обобщения разностных
схем (9.19) — (9.21). В качестве примера обратимся к двумер-
двумерной динамической задаче теории упругости в перемещениях,
описываемой системой дифференциальных уравнений со сме-
смешанными производными
д2щ ~ o~,02ui . ~д2щ ~ д2и2
Ь + (Х + 2,) + , + (Х + )
(9 22)
\ \ дх\дх2
следующей после линеаризации уравнений Ламе в векторной
форме C.35). Здесь р — плотность среды, А и /I — константы
9.3. Различные многомерные задачи 507
Ламе, ы, и 6^, г = 1,2, — проекции векторов перемещения и
плотности объемных сил на координатные оси Ох,.
Аппроксимируем (9.22) трехслойной симметричной разност-
разностной схемой
-!Д,-з) х
-^!). г=1>2> (9-23)
где операторы Д, и Д_, правой (вперед) и левой (назад)
конечных разностей заданы равенствами
Wn+1 - Wn
г
hi
Wn-Wn-i .
, Д-,-г(;п = , г =1,2,
h
причем нижними индексами у скалярной величины w отмечены
номера узлов сетки, равномерно расположенных с шагом /г,-
вдоль оси Oxi при условии ж3-, = const. Ясно, что
Ц
дают аппроксимации первой и второй производных по я, со
вторым порядком погрешности (см. 7.2).
Разностная схема (9.23) при щ — щ = ^ явная, а при 7]\ —
~щ — 1/2 неявная с погрешностью О(т2, h? + h\). В последнем
случае она имеет вид
г2
..Jt-2
' +2"' , t= 1,2. (9.24)
508 9. МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ
Поскольку с учетом G.3)
„fc-i
fc-1
1 """ dt2 t=tk_t
то с погрешностью не ниже второго порядка по г заменим в
(9.24) -(«з-t+из-?) на из-} и запишем
i =1,2. (9.25)
Разностный оператор в левой части (9.25) с погрешностью
четвертого порядка заменим произведением операторов, вхо-
входящих в левые части соотношений
i1'2
_2)^:,1, i=l,2, (9.26)
? + «?-2) = «?-1/2, i=l,2. (9.27)
Эта разностная схема аппроксимирует (9.22) с погрешностью
О(т2, h\-\-h\) и применима без ограничения на выбор интер-
интервала т. Аналогично схеме (9.21) соотношение (9.26) позволяет
к—1/2
вычислить узловые значения ui в момент времени tk_xi2 =
= tk-\ + - обычным методом прогонки вдоль цепочек узлов при
хз-i = const, а затем также прогонкой, но вдоль цепочек узлов
при Х{ = const решают СЛАУ (9.27) с трехдиагональными ма-
9.3. Различные многомерные задачи 509
трицами и находят узловые значения и* в конце к-го интервала
времени.
Локально-одномерную схему (9.26), (9.27) можно обобщить
и на случай трехмерной динамической задачи теории упруго-
упругости. Отметим, что разностная схема (9.26), (9.27) и ей по-
подобные не применимы к решению статических задач теории
упругости методом установления. Дело в том, что система
уравнений (9.22) при постоянных во времени граничных усло-
условиях и проекциях вектора плотности объемных сил описыва-
описывает незатухающие гармонические колебания в линейно упругом
теле. Но разностную схему метода установления нетрудно
построить, если в (9.22) левые части, характеризующие про-
екции инерционных сил, предварительно заменить на г—- и
г-~— соответственно, где г — параметр, имеющий смысл коэф-
коэффициента сопротивления. Модифицированные таким способом
дифференциальные уравнения можно аппроксимировать на ин-
интервале времени At к разностной схемой*
fc-l/2 _ fc_l _
г " 'l/2
Atk 4 v~l ' "-
-\-JlA\A-\U2 + (A + L\l)L\iL\-
uk-u~42
r —
"См.: Зарубин B.C., Селиванов В.В..
510 9. МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДА ЧИ
к которой можно применить метод установления в сочетании с
обычным методом прогонки.
Рассмотрим особенности построения разностной схемы для
дифференциального уравнения четвертого порядка C.27)
V2(VV(M)) = /(M), MeF, (9.28)
где ф(М) и /(М) — искомая и заданная функции соответствен-
соответственно в двумерной области F, ограниченной контуром Г. Если
ф(М) имеет физический смысл функции тока, то это уравне-
уравнение описывает установившееся движение несжимаемой вязкой
жидкости (см. пример 3.1). В декартовой прямоугольной сис-
системе координат OxiX2 бигармонический оператор имеет вид
д2ф
дф
djdj
дх\ dxjdxj дх\
Аппроксимация четвертой производной функции ф по ка-
каждой из координат в соответствии с G.8) требует использо-
использования значений этой функции в пяти соседних узлах конечно-
разностной сетки, расположенных в направлении изменения ко-
координаты. Для аппроксимации смешанной производной потре-
потребуется девять узловых значений функции. В случае квадратной
сетки с шагом h (рис. 9.4) с учетом G.3) для узла с номерами
man запишем
дАф
дх\дх\
т,п
Фт+1,п+\ ~ 2^m+l,n + фт+1,п-1
Л4
г,
Можно показать, что погрешность такой аппроксимации имеет
второй порядок. В итоге, учитывая G.9), для (9.28) получаем
9.3. Различные многомерные задачи
511
'ГП- 1,71+1
rm,n+2
V'm.n+l i
^m,n-2
m-2
разностную схему
1
^4 (^m+2,n + Фт-2,п + V>m,n+2
2 , .
V-
¦ I
m-1 m m+1
Рис. 9.4
n+2
• n+1
n-1
---!-- n-2
m'+2
8 . v 20
- rjlVm+l.n + V'm-l.n + V'm.n+l + ^m+l,n-l j + Т^Фтп = Jmn,
гДе /mn — значение функции f(M) в узле с номерами тип.
Надо сказать, что эта схема обладает существенным недо-
недостатком. Если ее использовать для вычисления значений фтп,
переходя последовательно от одного узла сетки к другому,
то такой процесс последовательных приближений сходится, но
очень медленно. Причина заключается в том, что значение фтп
является разностью двух почти одинаковых сумм, заметно пре-
превосходящих это значение. Кроме того, эта схема применима
лишь в узлах, отстоящих на два шага от границы. Так как по-
помимо значений функции ф на границе области обычно заданы
значения ее первой или второй производной по направлению
512 9. МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ
нормали к границе (см. пример 3.1), то для аппроксимации
этих производных в граничных узлах со вторым порядком по-
погрешности приходится применять левые или правые конечные
разности, включающие значения в трех и четырех узлах со-
соответственно. Чтобы использовать для аппроксимации этих
производных центральные разности, можно ввести дополни-
дополнительный ряд фиктивных узлов за пределами границы. Такой
прием допускает применение этой схемы во всех внутренних
узлах, но тем не менее не устраняет отмеченного недостатка и
затрудняет алгоритмизацию процесса последовательных при-
приближений.
При решении прикладных задач удобнее (9.28) заменить
системой двух уравнений второго порядка
V2C(M) + /(M) = 0, M?F. (9.29)
При двумерном течении несжимаемой вязкой жидкости по
физическому смыслу функция С(М) является завихренностью
(см. пример 3.1). Если задать в качестве нулевого приближения
ожидаемое распределение функции С(М), то в соответствии с
C.29) граничных условий будет достаточно для однозначного
решения при помощи МКР первого уравнения в (9.29). После
этого недостающие граничные условия для функции ? можно
найти, рассматривая первое уравнение в граничных точках.
Завершает итерацию решение второго уравнения в (9.29), даю-
дающее узловые значения функции ?, используемые на следующей
итерации при решении первого уравнения, и т.д. Вычисли-
Вычислительная практика показывает, что такие итерации сходятся
существенно быстрее, чем при решении исходного уравнения
(9.28).
В некоторых случаях могут быть заданы граничные значе-
значения обеих искомых функций в (9.29). Так, поперечные прогибы
w(M) упругой пластинки площадью F в плане, нагруженной
распределенной поперечной нагрузкой q{M), описывает диф-
9.3. Различные многомерные задачи 513
ференциальное уравнение
V2(DV2w(M))=</(M), MeF, (9.30)
Z7L3
где D = ° — жесткость пластинки толщиной /г0 с моду-
модулем упругости Е и коэффициентом Пуассона v. Это уравнение
применимо, если прогибы малы по сравнению с ho- Погонные
изгибающие моменты Mi, г = 1,2, приходящиеся на едини-
единицу длины поперечного сечения пластинки и перпендикулярные
осям Ох,-, можно выразить через вторые производные от функ-
функции прогиба:
d2w\
Отсюда
.. Мх + М2 nfd2w d2w\ 2
l + v \d J
Следовательно, (9.30) можно представить системой двух урав-
уравнений второго порядка
V2w(M) = -^-, V2M{M) + q(M) = 0, MeF. (9.31)
Если пластинка по контуру Г, ограничивающему область F,
не защемлена жестко, а лишь оперта так, что касательная плос-
плоскость в граничных точках может свободно поворачиваться при
изгибе пластинки, то изгибающие моменты на краях пластин-
ки будут равны нулю. Тогда граничные условия для системы
(9.31) примут вид w(P) = 0, Л4(Р) — 0, Р ? Г, что позволяет при
заданной функции </(М), MeF, сначала при помощи МКР ре-
решить второе уравнение в (9.31), а затем по найденным узловым
значениям функции М также при помощи МКР решить первое
Уравнение.
514 9. МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ
Отметим, что выше рассмотрены сравнительно простые
примеры многомерных задач. Достаточно сложные разност-
разностные схемы приходится строить для решения при помощи МКР
многомерных задач, которые описывают системы дифференци-
дифференциальных уравнений различных типов, причем среди этих урав-
уравнений могут быть и нелинейные. Характерные примеры таких
задач можно найти в специальной литературе*.
Дополнение 9.1. Алгоритмы
матричной и ортогональной прогонок
Любое линейное обыкновенное дифференциальное уравне-
уравнение (ОДУ) высокого порядка или систему таких ОДУ можно
свести к нормальной системе ОДУ. На одномерной сетке с уз-
узлами хп, п = О, N, разностную схему для такой системы можно
представить в матричной записи:
Q f+
(9.32)
Povo — /о, Qnvn = /n+\ ,
где vn — вектор размера К искомых неизвестных в узле с но-
номером п\ векторы /„+1, /о и fiv+i имеют размеры К, К\ и К?.
соответственно (причем А' = К\ + Ki) и в качестве координат
имеют узловые значения правых частей уравнений исходной
нормальной системы ОДУ и ее граничных условий; элементы
квадратных матриц Pn+i и Qn порядка К зависят от узловых
значений коэффициентов при неизвестных в исходной системе
ОДУ, а элементы в общем случае прямоугольных матриц ffo и
Qn размеров К\ х К и K<i x К соответственно зависят от ко-
коэффициентов в заданных граничных условиях рассматриваемой
краевой задачи.
Разностную схему вида (9.32) можно получить не только
непосредственной аппроксимацией производных в нормальной
*См.: Галанин М.П., Попов Ю.П.\ Самарский А.А., Попов Ю.П.;
Белоцерковский О.М.; Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р.; Роуч П.
Д.9.1. Алгоритмы матричной и ортогональной прогонок 515
системе ОДУ. К подобному виду можно свести любую раз-
разностную схему, полученную в результате аппроксимации про-
производных в ОДУ высокого порядка или в системе таких ОДУ.
Например, обозначая применительно к разностной схеме (8.27),
(8.28)
/„+1 = (/„000), « = 2,7V-2; fN =
вместо (8.27), (8.28) получаем
i-\ In) ,
где
n = 2,N-2;
-1 =/jV,
Id,
т.е. в данном случае К' — 4 и К\ — Къ = 2.
Краевую задачу, описываемую системой линейных ОДУ
второго порядка, целесообразно аппроксимировать на одномер-
одномерной сетке разностной схемой, сходной по структуре с (8.8),
(8.9), но в матричной записи
Bnun-Cnun+i =
= /о, -
(9.33)
где un и /„ — в общем случае векторы размера Л'„; Ап и Сп —
прямоугольные матрицы размеров Кп х Кп-\ и A"n x А'п+]
516 9. МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ
соответственно; Вп — квадратные матрицы порядка Кп. В
частном случае Кп-\ = Кп = Кп+\ = К матрицы Ап и С„ также
становятся квадратными.
Для решения (9.33) можно построить алгоритм матрич-
матричной прогонки, аналогичный алгоритму обычного метода про-
прогонки:
9n;
(9.34)
un=Enun+1+gn, п=ЛГ-1,ЛГ-2,...О,
где
Е0 = В0-1С0; En = DnCn,
9о = Во /0; gn = Dn(fn+Angn-i), n = l,N.
Здесь Еп — прямоугольная матрица размера Кп X А"п+ь ад„ —
вектор размера Кп.
Корректность разностной схемы (9.33) в сочетании с ал-
алгоритмом (9.34) матричной прогонки гарантирована*, если
матрицы Вп, n = 0,N, невырожденные, а матрицы Ап и Сп,
п= 1,ЛГ—1, ненулевые и, кроме того, выполнены неравенства
п =
\\Вр 'СоН ^ 1, H
= 1,ЛГ—1, для норм матриц в соответствующих конечномер-
конечномерных векторных пространствах, причем хотя бы в одном из
них имеет место строгое неравенство. Эти достаточные усло-
условия являются матричным аналогом достаточных условий (8.85)
корректности обычного метода прогонки. При выполнении
указанных условий матрицы Вп - АпЕп-\, п = 1, N, будут не-
невырожденными, т.е. существуют обратные к ним матрицы Dn,
входящие в выражения для матриц Еп, и Ц^Ц ^ 1, что обеспе-
обеспечивает устойчивость алгоритма (9.34) относительно вычисли-
вычислительных погрешностей.
Если в (9.33) все векторы имеют одинаковый размер К,
совпадающий с числом искомых действительных функций в
'См.: Самарский А.А., Николаев Е.С.
Д.9.1. Алгоритмы матричной и ортогональной прогонок 517
рассматриваемой задаче, а все матрицы — квадратные порядка
Л", то реализация алгоритма матричной прогонки при заранее
найденных матрицах Dn = (Вп - AnEn^i)~l, п = 1, ЛГ, требует
примерно 6K2N арифметических операций. Однако для обра-
обращения каждой из матриц Вп — АпЕп-\ необходимо порядка К3
операций. Таким образом, при однократном решении зада-
задачи общее число арифметических операций можно оценить как
K3N + 6K2N. Если данную задачу решают m раз для различ-
различных правых частей ОДУ или граничных условий, то матрицы
Dn остаются неизменными и затраты на выполнение всей серии
расчетов составят KZN + 6mK2N операций, а на вычисление
К2
одного узлового значения — h 6K операций. Для сравне-
тп
ния напомним, что в алгоритме обычного метода прогонки
для вычисления одного узлового значения при однократном ре-
решении задачи необходимо примерно восемь арифметических
операций.
Разностную схему (9.32) также можно свести к схеме (9.33)
и затем использовать для получения решения алгоритм (9.34)*.
Непосредственное решение (9.32) можно получить при помо-
помощи алгоритма, называемого ортогональной прогонкой и
связанного с обращением матриц Pn+i, и = О, ЛГ—1, и ортогона-
лизацией столбцов вспомогательных прямоугольных матриц.
Искомое решение (9.32) представим в виде
vn = Snwn + yn, n = 0,N, (9.35)
где Sn — прямоугольная матрица размера К х А'г, a wn и уп —
векторы размера К% и К соответственно. Чтобы при п = О
решение (9.35) удовлетворяло равенству PqVq = /о, матрицу So
и вектор уо находят из условий
(9.36)
где ОA2) —- прямоугольная нулевая матрица размера К\ X К^-
Способ нахождения So и у0 рассмотрим в дальнейшем.
*См.: Самарский А.А., Николаев Е.С.
518
9. МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ
Предполагая невырожденность матриц Pn+i в (9.32), после
подстановки (9.35) в первое равенство (9.32) получаем
nSnWn = Pnll (fn+1 +QnVn),
n = 0, TV— 1, или
Sn+1wn+l+yn+1-Rn+iwn = rn+1, n = 0,7V-1, (9.37)
где
Rn+i =
nVn), (9-38)
причем прямоугольная матрица Лп+1 имеет размер К X Кг, а,
вектор rn+i — размер К.
Далее используем равенства
= Р~1г (/n+i + QnVn) - Sn+1 zn+1, (9.39)
п = О, /V—1, в которых неизвестны квадратная матрица Qn+i
порядка Кг и вектор zn+i размера AV Из (9.37) и (9.39) следует
соотношение
Sn+i (t«n+i - un+\wn) = Sn+izn+i, n = 0, N-1,
которое становится тождеством, если положить
ftn+i«0n = «»n+i-*n+i, n = O,N-l, (9.40)
Таким образом, если векторы zn+1 и невырожденные матри-
матрицы Qn+i, и = 0, ЛГ—1, а также матрица So и вектор уо были бы
известны, то, увеличивая номер п, по рекуррентным формулам
уп+\ -
(9.41)
Д.9.1. Алгоритмы матричной и ортогональной прогонок 519
которые следуют из (9.39), можно найти векторы уп+1 и матри-
матрицы Sn+\. Тогда в правой части (9.35) будут неизвестны лишь
векторы wn, n = О, N.
Из последнего равенства (9.32), а также равенства (9.35) при
n = N получаем Qn^m = Qn(SnwN + Vn) — /w+i, или
= /л/ч-i - QnVn-
Отсюда можно найти вектор w^ размера Л^, если квадратная
матрица QnSn порядка Л^ не является вырожденной. Затем,
последовательно выбирая п = N — 1, N — 2,..., 0, из (9.40) нахо-
находим все остальные векторы
wn = u~ll(wn+1 -zn+1), (9.42)
а из (9-35) — искомое решение для (9.32).
В выборе матриц Qn и векторов zn есть некоторый произ-
произвол. Этот выбор целесообразно провести из условий
n = 0JV, (9.43)
где /B) — единичная матрица порядка А'г, а О^2) — нулевой
вектор размера Къ- Выполнение этих условий гарантирует
устойчивость рассматриваемого алгоритма относительно на-
накопления вычислительных погрешностей, поскольку столбцы
каждой из матриц 5П образуют систему ортонормированных
векторов и норма каждого вектора и матрицы в целом не пре-
превышает единицы.
Каждую из матриц Sn, n = 0, N, получим из матрицы Rn
ортонормированием столбцов последней так, чтобы 5n = RrS^n-
Сначала для п = 0 представим в виде блочной матрицы
Яо =
520 9. МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ
где Pq ' — невырожденная квадратная матрица порядка К\
и Pq — прямоугольная матрица размера К\ х К2, являю-
являющиеся блоками прямоугольной матрицы Pq размера К\ X К
[К ~ К\ + К2) при ее представлении в виде блочной: Pq =
= (Pq -Pq). Обозначим через Sr и Rr столбцы матриц
So и i?o с номером г. Предположим, что прямоугольная матри-
матрица До размера К X К2 имеет ранг К2, т.е. столбцы Дг, г = 1, Л'г,
являются линейно независимыми. Тогда, используя процесс ор-
тогонализации Грома — Шмидта, находим
1 1 r~1
"
11
I Г =
t=l
где Qir — элементы верхней треугольной матрицы По порядка
К2, т.е. П,у = 0 при 1 ^ г < 1; $С К2.
Так как 5о = До^оХ и с Учет°м правил умножения блочных
матриц
убеждаемся, что Fo5'o = Ройо^ц1 =О^12\ т.е. матрица 50 удо-
удовлетворяет второму условию (9.36). Чтобы удовлетворить пер-
первому условию (9.36), построим матрицу-столбец
Вопросы и задачи 521
и выразим через нее вектор уо = Хо — SoSoXo. Тогда, действи-
действительно, получим
РоУо — PqXq — PqSoSq Хо = PqXo =
По найденной матрице 5о и известным матрицам Qq и Р\
из второго равенства (9.39) находим матрицу R\ = P^QqSq и,
проводя процедуру ортонормирования ее столбцов, получаем
матрицы 5] и П], а затем и все остальные матрицы Sn+i и
Для нахождения векторов г„+1, п = О, ЛГ—1, подставим пер-
первое равенство (9.39) во второе условие (9.43) и, используя пер-
первое условие (9.43), запишем
- Sn+1Sn+izn+i = Sn+irn+i - zn+i = 0B).
Отсюда следует, что zn+\ = S^+1rn+i, n = О, ЛГ-1. При п = О
из (9.38) находим r\ = P1~1(/i+ QoJ/o) и затем zi =5xri, что
позволяет из первого равенства (9.39) получить вектор у\ =
= V] — S\Z\) найти Г2, z<i и т.д.
Таким образом, установлены все соотношения, позволяющие
получить решение системы (9.32) при помощи алгоритма орто-
ортогональной прогонки.
Вопросы и задачи
9.1. Показать, что при выборе в (9.4) и (9.19) щ = rj2 =
= 0 алгоритм вычислений будет устойчивым при выполнении
условий aAtk ^ ,,' ?, и (атJ < ,,' 2,, соответственно.
522 9. МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ
9.2. Методом установления решить задачу 6.6, используя
разностную схему (9.5) при щ = г]2— 1/2.
9.3. Каков порядок погрешности аппроксимации в (9.16)?
Как можно разбить полуинтервал @, 1] на промежутки, чтобы
выбрать направление перехода блуждающей частицы в сосед-
соседний узел (см. пример 9.1), если (9.14) аппроксимировать на
прямоугольной сетке, для которой h\ = 2fi2, т.е. шаг по оси
в два раза больше шага по оси
9.4. Показать, что погрешность аппроксимации разностной
схемы, построенной для (9.28), имеет второй порядок.
9.5. Построить разностную схему для (9.28) с переменными
шагами сетки по обеим координатам.
9.6. Решить задачу 6.6 с помощью матричной и ортогональ-
ортогональной прогонок.
ЧАСТЬ IV
Методы конечных и
граничных элементов
10. ОСНОВЫ МЕТОДА
КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
При изложении проекционных методов (см. 6) решения за-
задач математической физики отмечено, что в качестве базисных
функций могут быть использованы кусочно непрерывные функ-
функции, отличные от нуля лишь в отдельных конечных подобластях
той области, где рассматривают решение задачи. Такие под-
подобласти в сочетании с выбранным типом базисных функций
принято называть конечными элементами (КЭ), что и
дало название методу решения задач, опирающемуся на ука-
указанный подход к построению базисных функций. По существу
метод конечных элементов (МКЭ) является проекционно<е-
точным методом в том смысле, что процедуру, характерную
для проекционных методов и базирующуюся на наличии ин-
интегральной формулировки задачи, реализуют на совокупности
КЭ, заполняющей область решения задачи. Эту совокупность
КЭ называют сеткой конечных элементов.
В пределах каждого КЭ искомое решение приближенно
представляют многочленом. Коэффициенты этого многочлена
выражают через заранее неизвестные значения искомой функ-
функции (в более общем случае — и значения ее производных)
в определенным образом выбранных точках КЭ, называемых
узлами конечного элемента. Как и в методе конечных
разностей зти значения называют узловыми, причем узловые
значения искомой функции и ее производных объединяют об-
общим названием узловые параметры. Объединив отдельные
КЭ в сетку, удается выразить искомое решение через неиз-
неизвестные узловые параметры, которые затем находят, используя
интегральную формулировку задачи.
Сначала на достаточно простом примере одномерной крае-
краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения
526 10. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
(ОДУ) второго порядка последовательно рассмотрим отдель-
отдельные этапы применения КЭ к решению такой задачи. Эти этапы
позволят сформировать более детальное представление о сущ-
сущности МКЭ.
10.1. Одномерная краевая задача
Пусть на отрезке [0, 1] определены ограниченные функции
f(x), p{x) и q(x), причем
р(*)^ро>0, q{x)>0, *€ [0,1]. A0.1)
На этом отрезке будем искать решение и(х) линейного ОДУ
Au = f{x) A0.2)
с дифференциальным оператором
удовлетворяющее граничным условиям
и@) = 0, A0.3)
и'A)=0. A0.4)
При выполнении условий A0.1) оператор А(и) будет поло-
положительно определенным на множестве X дважды непрерывно
дифференцируемых на [0,1] функций и(х), удовлетворяющих
условиям A0.3) и A0.4) (см. пример 5.10). Краевая задача
A0.2) — A0.4) может иметь на множестве X классическое ре-
решение и*(х), если функции f(x) и q(x) непрерывны, а функция
р(х) непрерывно дифференцируема на отрезке [0, 1]. При этом
функция и*(х) минимизирует функционал энергии
A0.5)
10.1. Одномерная краевая задана 527
который допустимо рассматривать на более широком множе-
множестве функций и(х) по сравнению с множеством X. Действи-
Действительно, A0.5) сохраняет смысл на множестве X* Э X функ-
функций, удовлетворяющих главному для A0.5) граничному условию
A0.3) и имеющих на отрезке [0, 1] лишь кусочно непрерывную
производную (при условии, что множество точек разрыва про-
производной имеет на [0,1] меру Лебега, равную нулю). Более
того, A0.5) сохраняет смысл, если функции р(х) и q{x), удовле-
удовлетворяющие условиям A0.1), и функция f(x) имеют на отрезке
[0, 1] конечное число точек разрыва первого рода. Напомним,
что функцию и*(х), минимизирующую при этом A0.5), назы-
называют обобщенным решением задачи A0.2) — A0.4).
Вариационная формулировка задачи A0.2)-A0.4), содержа-
содержащая функционал A0.5), позволяет для поиска приближения к
обобщенному решению использовать метод Ритца. Это при-
приближение можно искать в виде
N
uN{x) = ^2anun{x), aneR, A0.6)
п=1
где ап — искомые коэффициенты, которые зависят от выбора
системы базисных функций ип(х), n=l,N. Подчеркнем, что
A0.6), называемое при фиксированном N приближенным ре-
решением операторного уравнения A0.2), должно удовлетворять
главному для функционала A0.5) граничному условию A0.3), но
может не удовлетворять его естественному граничному усло-
условию A0.4). Действительно, A0.4) следует из условия SJ — 0
стационарности функционала A0.5), получаемого приравнива-
приравниванием нулю его первой вариации [XV]
1 1
6J[u,6u] = 2 J pu'6u'dx + 2 J(qu-f)Sudx =
о о
1
= 2р{х)и'{хNи{х) '+2 I {-{ри'У + qu - fNudx = 0.
528
10. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Это равенство при произвольной на полуинтервале @,1] вари-
вариации 5и(х) функции и(х) и выполнении A0.3), т.е. 5и@) =0,
приводит к двум условиям в виде A0.2) и A0.4).
Если на отрезке [0, 1] функции р(х), q(x), f(x) имеют точки
разрыва первого рода, то включим их в число точек хп 6 [0, 1],
п = 0, N, при помощи которых проведем разбиение этого от-
отрезка на N частичных отрезков. В A0.6) в качестве базисных
функций на отрезке [0, 1] выберем
ип(х)= <
0,
x< zn-i;
x? [arn_i,arn];
x
n+l
— X
A0.7)
0,
и, кроме того, идг = — ^-
XN—XN-1
x € (xn,xn+i};
x > xn+i,
при x G [агдг_1, агдг] и идг = 0
при х < хдг_1, где х„ — координаты точек отрезка [0,1],
являющихся узлами КЭ, расположенными на границах между
элементами, причем хо — 0 и х^ = 1.
Таким образом, ип(хп) = 1 и функция ип(х) линейно изме-
изменяется в пределах частичных отрезков [zn_i,arn] и [аг„,гп+х],
примыкающих к точке хп, п = 1, N—1, принимая на их проти-
противоположных концах нулевое значение (рис. 10.1). Это значение
10.1. Одномерная краевая задача 529
остается неизменным на всех частичных отрезках, не содержа-
содержащих точку хп. При п = N имеем и^(х^) = 1, а функция и^(х)
линейно изменяется в пределах отрезка [ялг-ь хдг] и равна нулю
на остальных частичных отрезках.
На любом частичном отрезке [zn_i,zn], n = 2, N, при по-
помощи базисных функций wn_j(z) и ип(х) можно однозначно
представить в виде an_i«n_i +anun(x) линейную функцию и(х),
принимающую в точках zn-i и хп значения w(zn_i) = an_i и
и(хп) — ап соответственно. В самом деле, учитывая A0.7),
имеем
* v Хп X X Хп—1
+ ап =
п— 1
Ясно, что при п = 1 функция и\(х) однозначно представляет
на частичном отрезке [0, х\] линейную функцию и(х) = aiUi(x),
имеющую на его концах значения wi@) = 0 и u(xi) = a\.
Каждый частичный отрезок в сочетании с определенными
на нем линейными базисными функциями является простейшим
примером конечного элемента (КЭ) с двумя узлами на его
концах. Базисную функцию, в одном узле КЭ равную единице,
а во всех остальных узлах (этого и других КЭ) равную нулю,
называют функцией формы этого конечного элемента. Ее
номер совпадает с номером узла, в котором она равна единице.
В данном случае каждый из КЭ имеет две функции формы,
определяемые A0.7). Геометрически линейная функция формы
ип(х) в точке х € [zn_i,zn] равна отношению длин отрезков
[xn_i,x] и [in_!,a;n].
Если в A0.6) использовать систему базисных функций A0.7)
с добавлением функции un{x), to un(x) будет на отрезке [0, 1]
непрерывной кусочно линейной функцией, принимающей в точ-
точках хп, п = 1, N, значения й^(хп) = ап и wjv@) = 0 (рис. 10.2).
Чтобы не выделять особо частичный отрезок [0,zi], можно
530 10. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
на нем ввести функцию формы ио(х) = 1 при х 6 [0,х\]
и ио(х) = 0 при х > х\ и вместо A0.6) написать
N
n(x), ап?К,
A0.8)
п=О
положив в соответствии с главным для функционала A0.5)
граничным условием A0.3) ао = йдг(О) = 0.
•71+1
Хп жп+1
Рис. 10.2
N-l XN
Приближенное решение A0.8) принадлежит множеству X*,
на котором допустимо рассматривать функционал A0.5). Ис-
Используя аддитивность определенного интеграла [VI], предста-
представим A0.5) в виде
N
n=l
/ {p{u'J + qu2-2fu)dx.
A0.9)
На каждом частичном отрезке [in_i,in], n = l, N, запишем
uN(x) = an-iun(x) + апип(х) = an_i + (ап - an_x
10.1. Одномерная краевая задача. 531
Отсюда дифференцированием находим
йп - ап-\
u'N(x) = an-lU'n(x) + anu'n(x) =
xn-xn_Y
х G [xn-i, хп], причем а0 = 0. Подставляя uj^(x) и u'N(x) в A0.9)
вместо и и и'(х) соответственно, получаем
агп-l
N
И /
~i J
=1„
) dx
N
-2V / f(x) (an.! + (a» - a»,,) X Xn~l ) dx. A0.10)
^1
Теперь условие 6J = 0 стационарности функционала A0.5)
переходит в N необходимых условий }UN* — 0, п = 1, iV, ми-
9а „
нимума квадратичной функции A0.10) переменных ап [XV]. В
итоге получаем систему линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ)
F, A0.11)
где а и F — ./V-мерные векторы с координатами ап и
х„
n~l dx+ [ f(x) Xn+l ~ X dx, A0.12)
z J xn+l - xn
а матрица К порядка N благодаря тому, что при фиксирован-
фиксированном п = 1, N—1 в A0.10) отличны от нуля коэффициенты только
532 10. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
при произведениях ап-\ап и anan+i, является трехдиагональной
с элементами
Xn
= f p{x) + q{x){x - Дп-i) dx +
+ / : ^^ di, A0
-Zn)
(при n = N вторые интегралы в правых частях выражений для
Fn и Кпп исчезают, а /f^.N+i как и А'ю не являются элементами
матрицы К). При фиксированном n = l,./V-l из равенств
A0.14), A0.15) следует, что /СП)П+1 = Kn+i<n, т.е. матрица К
не только трехдиагональная, но и симметрическая.
Для произвольных функций р(х), q(x) и f(x) интегралы в
формулах A0.12) и A0.13) —A0.15) не удается вычислить точно
и приходится прибегать к методам численного интегрирования
с применением квадратурных формул. Приближенное вычисле-
вычисление этих интегралов можно упростить, если на отрезке [0, 1]
использовать линейную аппроксимацию функций р(х), q{x) и
f(x) в виде
М N N
p{x)KY2pmUm{x), q{x)&Y^4rnUm{x), f(x) W ]T fmum (x),
m=0 m=0 m=0
10.1. Одномерная краевая задача 533
где рт =р(хт), qm = q(xm) и /m = f(xm). Тогда, подставляя
A0.6) в A0.5), получим
1 N ч , N ч 2
^2pmum{x))(^2anu'n(x)j dx
0 m=0 ' ^n=l '
m=0
N V
dx~
) ( N \/ N \
~ 2 / ( Yl ^ит{х) 1 r^anun{x) 1 dx.
{ ^m=0 ^ 4=1 ^
Из условий д = 0 снова приходим к СЛАУ вида A0.11), но
теперь с учетом
1
un-i(x)un+1(x)dx = 0, n=l,iV-l,
о
координаты Л^-мерного вектора F равны
Г N
n= un(x)
„
= / (/п-1Ип-1+/„ип(а;))ип(г)
о m=0
, n = TjV, A0.16)
а элементы симметрической трехдиагональной матрицы К по-
порядка N с учетом и'п(х) = 0, х ? [arn_i, arn+1], могут быть вы-
534 10. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
числены по следующим формулам (п принимает значения от 1
ДОЛГ):
диагональные элементы
т=0 т=0
Xn
_ f (Pn-\un-i{x)+pnun(x)
J V (xn-xn_xJ
+ {qn-iun-i(x) +qnun(x))ul(x) j dx +
J \ {xn+1-xnJ
xn
+ {qnun{x)+qn+1un+i{x))ul{x))dx, A0.17)
недиагональные элементы
f
m=0
N
+ / Un(x)Un_l(xJ^qmUm(x)dx =
{ m=0
J (xn-Xn-iJ
xn-l
xn
/ {qn-iun-i{x)+qnun{x))un{x)un^i(x)dx. A0.18)
Xn-l
10.1. Одномерная краевая задана 535
При этом А'ю не является элементом матрицы К. Снова при
п = N вторые интегралы в правых частях выражений для Fn и
Кпп исчезают.
Интегралы от базисных функций в A0.16) — A0.18) можно
вычислить по общей формуле*
Xn
/ur (х) us (х) dx = -^ (х — x_i) A0 19)
Не!
Тогда для п = 1, N получим
Fn g(zn?„_!) +(gw+i ЖП),
где в правой части при п = N следует опустить второе слагае-
слагаемое. Далее,
_ 1 pn-1+pn , 1 Рп+Рп+1
Лпп-7 г — h
Z Хп Жп_1 L Хп^.\ Хп
+ ^ (in-a;n_i) + — (xn+i-xn), A0.20)
где в правой части при п = N следует опустить второе и
четвертое слагаемые, и
и- Pn-i+pn , Qn-i+Qn, v Cinon
лп,п-1 = -г7 Н 7^ in"-! ¦ A0.21)
2(a;n-a;Tl_i) 12
Перечислим рассмотренные выше этапы:
1) переход от формулировки задачи в виде операторного
уравнения к интегральной формулировке (в данном случае к
вариационной формулировке, содержащей функционал A0.5));
2) разбиение области, в которой предстоит искать прибли-
приближенное решение задачи (в данном случае отрезок [0, 1]), на
'См., например: Норри Д., де Фриз Ж.
536 10. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
подобласти и определение в них базисных функций, т.е. выбор
типа КЭ;
3) формирование при помощи совокупности КЭ структуры
приближенного решения и использование его в интегральной
формулировке задачи (в данном случае приближенное решение
в виде A0.6) принадлежит множеству функций, на котором
допустимо рассматривать функционал A0.5));
4) получение СЛАУ Ка = F для нахождения координат ап
вектора а, являющихся значениями искомой функции в узлах
КЭ;
5) применение КЭ (при необходимости) для вычисления ин-
интегралов, входящих в выражения для элементов матрицы К и
координат вектора F.
Эти этапы в целом и составляют процедуру получения при-
приближенного решения задачи, называемую методом конеч-
конечных элементов (МКЭ). Ясно, что нахождение значений
коэффициентов ап требует применения тех или иных методов
для решения СЛАУ. Однако этот этап неизбежен не только для
завершения процедуры МКЭ и поэтому его обычно рассматри-
рассматривают как самостоятельный.
Замечание 10.1. Подчеркнем, что приближенное решение
одномерной краевой задачи A0.2) —A0.4) при помощи МКЭ
приводит к симметрической трехдиагональной матрице К в
СЛАУ вида A0.11). Более того, если в A0.2) р(х) ^ р0 > 0 и
q(x) ^ 0 при х € [0, 1] и qn > 0 хотя бы в одном из узлов с номером
п = 1, N, то К является матрицей с частичным диагональным
преобладанием, а для нахождения коэффициентов ап в A0.6)
эффективно применение метода прогонки. #
Из A0.12), A0.13)-A0.15) или A0.16-A0.18) следует, что
применение так называемых финитных базисных функций
ип(х), n = 0,N, отличных от нуля только в пределах тех КЭ,
которые содержат узел хп, дает возможность независимо вы-
вычислять вклады отдельных элементов в матричное уравнение
вида A0.11). Это очень удобно при алгоритмизации МКЭ по
10.1. Одномерная краевая задача 537
сравнению с приближенными методами решения, в которых ба-
базисные функции могут быть отличны от нуля лишь в отдельных
точках отрезка [0,1].
Чтобы получить представление о погрешности, которая мо-
может возникнуть при применении МКЭ, сравним n-е уравнение
+ Кппип + А'п(п+1)Ип+1 = Fn
СЛАУ A0.11), которое с учетом A0.20), A0.21) принимает вид
Pn-1+Pn , ч , Pn+1+Pn
—— - r\Un — Ип_1
2(хп+1-хп
Чп—1 ' Чп I \ I , \ I Чп
rz fan - arn_i)(«n_i + и„) + —
II о
7
ж„), A0.22)
с конечно-разностной аппроксимацией A0.2), положив в (8.3)
Pn±i/2 — „(Pn + Pn±i)- Тогда для узловой точки с номером п =
= 1, N—1 запишем
Рп-1 + Рп , ч . Рп + 1 + Рп
(U U) +
, ч
(«п " «n+l)
Для совпадения A0.22) с A0.23) достаточно, чтобы q(x) = 0 и
f(x) = const на [0, 1]. В этом случае полученные ранее (см. 8.1)
оценки погрешности аппроксимации для уравнения A0.23) мож-
можно перенести на уравнение A0.22) и заключить, что послед-
последнее имеет первый порядок аппроксимации. В частном случае
равномерного расположения узлов на отрезке [0,1], т.е. при
xn+i — хп = хп — жп_1, порядок аппроксимации будет вторым.
538 10. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
10.2. Типы конечных элементов
Рассмотренный выше (см. 10.1) тип конечного элемента
(КЭ) является одним из простейших и пригоден для прибли-
приближенного решения методом конечных элементов (МКЭ) лишь
одномерных задач математической физики. Существует доста-
достаточно много типов КЭ, в том числе позволяющих решать мно-
многомерные задачи. Можно выделить одномерные, двумерные и
трехмерные КЭ. Если одномерный КЭ представляет собой от-
отрезок с двумя или более узлами, то двумерные могут иметь
форму треугольника, четырехугольника (в том числе прямо-
прямоугольника) и вообще многоугольника с расположением узлов не
только в вершинах. Столь же разнообразны по форме и трех-
трехмерные КЭ. Применительно к нестационарным (динамическим)
задачам могут быть построены КЭ в пространственно-вре-
пространственно-временной области, когда искомое приближенное решение зависит
не только от пространственных координат, но и от времени.
При рассмотрении типов КЭ удобно принять, что в отдель-
отдельно взятом КЭ надо решить задачу приближенного представ-
представления некоторой функции по заданным значениям ее узловых
параметров, т.е. решить задачу аппроксимации функции в пре-
пределах этого КЭ. Если при построении КЭ в качестве узловых
параметров используют лишь значения функции (в случае век-
векторной функции — значения ее базисных функций), то КЭ
называют лагранжевыми, поскольку в этом случае аппрок-
аппроксимация функции в пределах КЭ аналогична ее представлению
интерполяционным многочленом Лагранжа. Если же наряду с
этим в узлах КЭ используют и значения производных функции,
то КЭ называют эрмитовыми*.
Среди лагранжевых КЭ по виду аппроксимирующих мно-
многочленов различают симплексные (от латинского слова sim-
simplex — простой), комплексные (от латинского слова сот-
plexus — сочетание) и мультиплексные (от латинского слова
*Ш. Эрмйт A822-1901) — французский математик.
10.2. Типы конечных элементов
539
multiplex — сложный). Интерполяционные многочлены, исполь-
используемые в симплексных КЭ, являются линейными, т.е. первой
степени, и содержат постоянное слагаемое и слагаемые, линей-
линейно зависящие от всех координат (и времени, если речь идет
о КЭ в пространственно-временной области решения задачи).
Число коэффициентов в таких многочленах равно числу узлов
симплексного КЭ и на единицу больше числа независимых пере-
переменных. Одномерным симплексным КЭ является отрезок с уз-
узлами на концах (см. 10.1). Двумерным симплексным КЭ будет
треугольник (рис. 10.3), а трехмерным — тетраэдр (рис. 10.4),
причем узлы этих КЭ совпадают с вершинами треугольника и
тетраэдра. Таким образом, d-мерный симплексный КЭ имеет
d + 1 узлов.
О
хз
О
m
/A
4/
7
4 Vn(M)
X2
Рис. 10.3
Рис. 10.4
Интерполяционные многочлены комплексных и мультиплекс-
мультиплексных КЭ имеют степень выше первой, т.е. являются нелинейны-
нелинейными. Число узлов таких КЭ более чем на единицу превышает
число независимых переменных. В комплексных КЭ использу-
используют полные интерполяционные многочлены степени s J> 2, содер-
содержащие все возможные слагаемые, у которых сумма степеней не
превышает s. Интерполяционные многочлены мультиплексных
КЭ не являются полными, а границы таких КЭ совпадают г
координатными поверхностями.
540 10. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Симплексные конечные элементы. По-существу, бы-
было показано (см. 10.1), что при помощи функций формы од-
одномерного симплексного КЭ можно однозначно представить
линейную функцию, используя ее значения в двух узлах. Интер-
Интерполяционный сплайн первой степени двух переменных можно
однозначно построить по трем значениям функции в вершинах
треугольника [V].
Это означает, что в двумерном симплексном КЭ ?)д ли-
линейная функция /(М) координат Xi(M), жг(М) точки М ? .Од
однозначно определена своими значениями //, fm, fn в трех его
узлах с номерами Z, m, п (см. рис. 10.3) при условии, что эти
узлы не лежат на одной прямой (в этом случае говорят, что
треугольный КЭ невырожденный). Приведем формулу для зна-
значения этой функции в точке М 6 Од [V]:
A0.24)
где F > 0 — площадь КЭ, a Fi(M), Fm(M), Fn(M) — площади
треугольников с вершиной в точке М и основанием, совпада-
совпадающим со стороной КЭ, противолежащей узлам с номерами Z,
m, n соответственно. На рис. 10.3 выделен один из таких тре-
треугольников с площадью Fn(M). Известно, что F= -\detA\ [V],
причем элементами первых двух строк квадратной матрицы
A =
1 1
третьего порядка являются координаты Х\, х?, узлов КЭ в пря-
прямоугольной системе координат 0xiX2. Отметим, что определи-
определитель det А этой матрицы будет положительным, если КЭ невы-
невырожденный и очередность расположения координат его узлов в
столбцах матрицы А соответствует обходу их против хода ча-
часовой стрелки, т.е. узлы КЭ составляют правую тройку точек.
10.2. Типы конечных элементов
541
Площади треугольников с вершиной в точке М € D можно вы-
вычислить аналогично. Например, Fn{M) = — |det An(M)\, где
(х\\ х1т хх(М)\
Х21 Х2т Х2(М) .
11 1 /
Ясно, что ОШ. + Щ&
г Г
+ *Щ*1 = 1 для любой точки М €
Г
6 ?)д. При совпадении этой точки, например, с узлом п имеем
FJM) л Fi(M) Fm(M) n гт,
—~~L = 1 и 1„ ' = 1, ; = 0. Таким образом, рассматривая
г г г
отношения площадей в A0.24) как функции формы <pi{M) =
pi{M) ,A,\ Fm(M) /,,ч Fm(M)
= —y-S <Pm{M) = шКр > и v»m(Af) = m^, ; двумерного сим-
симплексного КЭ, запишем
A0.25)
При помощи функций формы можно выразить координаты
?i(M), Жг(М) любой точки М 6 Од. Действительно, полагая в
A0.25) сначала/(М) =ж1(М), а затем /(М) =ж2(М), получаем
A0.26)
Наоборот, каждую из функций формы такого КЭ можно выра-
выразить через координаты его узлов и координаты точки М 6
Например, для узла с номером п имеем
= xu<pi(M)+xlm<pm(M)+xln(pn(M),
\x2(M) = x2m{M) + x2mipm(M) + x2n<pn(M).
Fn |detAn|
F
2F
X\l Xim XX{M)
X21 X2m X2(M)
2F\
хцх2т-
1 1 1
- xlmx2t + (x2i - x2m)xx (M) + (xlm - хц)х2(М)у A0.27)
542
10. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Так как узлы с номерами lama точка М образуют правую
тройку точек, то det An J> 0 и срп(М) J> О, М ? .Од. На рис. 10.5
представлены графики функций формы двумерного симплекс-
симплексного КЭ, являющиеся наклонными гранями пирамид с высотой
1 и основанием .Од.
*1 I D,
m
Рис. 10.5
Частные производные функций формы по координатам в
пределах двумерного симплексного КЭ сохраняют постоянное
значение. Например, из A0.27) находим ^ =
Ж2' ~ f2m
2г
вычислении интегралов от произведения нату-
натуральных степеней q, r, s функций формы удобно использовать
формулу*
q\r\s\
:2F. A0.28)
С учетом 0! = 1 A0.28) сохраняет смысл и при нулевых показа-
показателях степени.
В пределах двух треугольных КЭ с общей стороной мож-
можно точно представить непрерывную кусочно линейную функ-
функцию двух переменных, которая в пределах каждого из этих
КЭ имеет постоянный градиент. В самом деле, их общая
сторона является одномерным симплексным КЭ, так что зна-
* См., например: Норри Д., де Фриз Ж.
10.2. Типы конечных элементов
543
Рис. 10.6
чение f(M) этой функции в любой
точке М такой стороны однозначно
определено значениями функции в об-
общих узлах соседних треугольных КЭ,
а график такой функции состоит из
двух треугольников с общей сторо-
стороной (рис. 10.6). Произвольную гра-
границу (в том числе с криволинейными
участками) плоской области D* С К
можно приближенно заменить лома-
ломаной и затем полученный в результате многоугольник заполнить
треугольными КЭ, т.е. провести триангуляцию области и по-
получить сетку КЭ. В данном случае такая сетка КЭ будет плос-
плоской. Рассматривая попарно соседние КЭ, приходим к выводу,
что сетка КЭ позволяет ограниченную функцию д(М), М € D*.
определенную в области D*, приближенно заменить непрерыв-
непрерывной кусочно линейной функцией, принимающей в каждом узле
значение, совпадающее со значением в этом узле функции д{М).
Отметим, что функции формы, удовлетворяющие A0.26) в
сочетании с условием у?/(М) + (рт(М) + <рп(М) = 1, называют
барицентрическими координатами точки М относитель-
относительно вершин треугольника (по гречески /Зароя — тяжесть). Они
были введены в 1827 году немецким математиком А.Ф. Ме-
Мебиусом A790-1868) при решении задачи о таком размещении
системы масс в вершинах треугольника, при котором данная
точка была бы центром масс этой системы. Иногда эти функ-
функции формы называют также естественными узловыми коорди-
координатами точки М 6 ?>д в двумерном симплексном КЭ.
Перейдем к рассмотрению трехмерного симплексного КЭ
Од с узлами, имеющими номера k, /, m, п, не лежащими в одной
плоскости и являющимися вершинами тетраэдра (см. рис. 10.4).
Как и в треугольном КЭ положение точки М 6 Од можно
определить ее барицентрическими координатами, но теперь
относительно четырех узлов, что приведет к системе линейных
544
10. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
алгебраических уравнений (СЛАУ)
Xik<Pk(M)+xucpi(M)+xlmcpm(M)+xlnipn(M) = :
' A0.29)
относительно функций формы <^(М) с соответствующими ин-
индексами. В первых трех строках квадратной матрицы
В =
х\к х\1 х\т
Х2к Х21 Х2т
хЗк Х31 хЗт ^Зп
1 1 1 1 У
четвертого порядка этой СЛАУ стоят координаты xj, x2, х3
узлов в прямоугольной системе координат ОХ1Х2Х3. Функции
формы будут однозначно связаны с этими координатами, если
матрица В невырожденная, т.е. detS ф 0.
Используя свойства определителей [III], из первых трех
столбцов detS вычитаем четвертый столбец и получаем
х\к
Х2к
хЗк
1
хц
Х2\
Х3\
1
х\т
Х2т
хЗт
1
•" 171
хЗп
1
Х2к~х2п Х21-Х2п Х2т — Х2п Х2п
Х3к~х3п Х31~х3п Х3т-Х3п Х3п
0 0 0 1
xik~xin a;i/
Х2к~х2п Х21~х2п Х2т-Х2п
хЗк ~ Жзп Х31 ~ хЪп хЗт ~
Определитель в правой части этого выражения равен смешан-
смешанному произведению трех векторов, направленных вдоль ребер
тетраэдра, выходящих из одной вершины (в данном случае, из
10.2. Типы конечных элементов
545
узла с номером га). Следовательно, detA^^ О, если эти век-
векторы некомпланарны [III], т.е. вершины тетраэдра не лежат
в одной плоскости, а его объем V отличен от нуля. В этом
случае говорят, что трехмерный симплексный КЭ невырожден-
невырожденный. Отметим, что |detS| — 6У, причем detB = 6V, если при
наблюдении из га-го узла обход узлов с номерами к, I и т осу-
осуществляется по ходу часовой стрелки (см. рис. 10.4).
Согласно правилу Крамера, из A0.29) находим, например,
для га-го узла
A0.30)
xu xlm
Х2к Х21 Х2т Х2(М)
хЗк Х31 х3т х3(М)
111 1
поскольку определитель в A0.30) равен 6Vn(M), где Vn(M) —
объем тетраздра с вершинами в точке М и в узлах с номерами
к,1 и m (см. рис. 10.4). Аналогично можно найти выражения для
(fk(M), (pi(M) и ipm(M). Таким образом, барицентрическими
координатами точки М относительно узлов трехмерного сим-
симплексного КЭ являются отношения объемов соответствующих
тетраэдров.
Производные функций формы в пределах трехмерного сим-
симплексного КЭ также сохраняют постоянное значение. Так, на-
например, из A0.30) с учетом изменения знака определителя при
перестановке строк следует, что
д<рп 1
a*
д<рп 1
дх2 6V
6V
X2hx2l
X3kx3l
1 1
lit 1/1771
111
X3kx3lx3m
X2m
X3m
1
i
1
6У
d(pn
0x3
1
X2kX
xZkZ
!
1 1
2\x2m
3lx3m
x\kx\\x\m
X2kx2lx2m
1 1 1
546 10. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
При вычислении интегралов от произведения натуральных сте-
степеней р, q, r, s функций формы справедлива формула*
J
„6У. A0.31)
С учетом 0! = 1 A0.31) сохраняет смысл и в случае нулевых
показателей степени.
Два соседних трехмерных симплексных КЭ с общей гранью
позволяют точно представить непрерывную кусочно линейную
функцию трех переменных, которая в пределах каждого из этих
КЭ имеет постоянный градиент. Действительно, их общая тре-
треугольная грань является двумерным симплексным КЭ, так что
значение этой функции в любой точке такой грани однознач-
однозначно определено значениями функции в общих узлах соседних
трехмерных КЭ. Аналогично плоской области произвольную
пространственную область ?1* можно приближенно заменить
совокупностью таких КЭ, образующих пространственную сет-
сетку. Рассматривая попарно соседние КЭ, приходим к выводу,
что эта сетка дает возможность ограниченную функцию h(M),
МЕЙ*, определенную в области ft*, приближенно заменить
непрерывной кусочно линейной функцией, принимающей в ка-
каждом узле значение, совпадающее со значением в этом узле
функции h{M).
Итак, при линейной аппроксимации на d-мерном симплекс-
симплексном КЭ ft с числом узлов d+ 1 действительной функции ы(М),
Мей, можно записать
и(М) » miv>i(M) +... + ud+1<pd+1(М) = С/еТФе(М), A0.32)
где Ue и Фе(М) — матрицы-столбцы размера (d+l) X 1, эле-
элементами которых являются значения ип этой функции в узлах
'См., например: Норри Д., де Фриз Ж.
10.2. Типы конечных элементов 547
и функции формы <pn(M), M € fi, n— l,d+l, этого КЭ. Од-
Однако линейная аппроксимация функции в пределах каждого
симплексного КЭ может оказаться довольно грубой, особенно
в случае больших по абсолютному значению градиентов этой
функции, а повышение точности потребует использования сет-
сетки КЭ с весьма большим числом симплексных элементов. Общее
число КЭ можно уменьшить, если в пределах каждого элемента
повысить степень аппроксимирующего многочлена, т.е. перей-
перейти к комплексным или мультиплексным КЭ.
Комплексные конечные элементы. Одномерный ком-
комплексный лагранжев КЭ — это отрезок X С R с N > 2 узлами
в точках xn, n=l,N. В пределах такого КЭ функцию и(х)
можно аппроксимировать многочленом степени s = N — 1:
N
U(z)«]rUnLn(a:), A0.33)
n=l
где un — узловые значения этой функции, а
Li \ ТТ х ~Хт
"(*)= П 7^
zn хт
тфп
интерполяционный многочлен степени s — N — 1, который и
является функцией формы этого КЭ, соответствующей узлу хп,
так как Ln(xn) = 1, п = 1, N, и Ln{xm) = 0 при хт / xn, a
N
!„(*) = 1. A0.34)
п=1
Последнее равенство следует из свойства правой части соотно-
соотношения A0.33) точно представлять все многочлены до степени
s = N - 1 включительно [II]. Функция и(х) = 1 является много-
многочленом нулевой степени и для нее un = u(xn) — 1, n = 1, N, что
доказывает справедливость A0.34).
548 10. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Если на одном или обоих концах отрезка X узел отсут-
отсутствует, то такой одномерный КЭ называют сингулярным. В
этом случае A0.33) экстраполирует функцию и(х) в окрестно-
окрестности конца отрезка, на котором отсутствует узел.
Полный многочлен двух переменных, имеющий степень s,
включает — — коэффициентов [VII]. Поэтому для по-
строения двумерного комплексного лагранжева КЭ, функции
формы <fn которого являются многочленами степени s, не-
необходимо располагать значениями аппроксимируемой функции
в N = C + 1)(а + 2) узлах. При s = 2 имеем N = 6. Если вы-
выбрать треугольный КЭ, то при его произвольном расположении
в плоскости любая из сторон может оказаться параллельной од-
одной из координатных осей, например Oxi, т.е. быть отрезком
прямой Х2 = const. Вдоль этой стороны многочлен будет ква-
квадратным трехчленом по х\, и для однозначного определения его
коэффициентов необходимо три узловых значения аппроксими-
аппроксимируемой функции. Таким образом, на каждой стороне необходи-
необходимо иметь по три узла. Эти узлы можно
расположить в вершинах и серединах
сторон треугольника (рис. 10.7). Тогда
функции формы у>„', п=1,б, такого
комплексного КЭ удается выразить че-
через три линейные функции формы y>i,
Рис. 10.7 ^ у,3 симплексного КЭ.
Так, в узле 4, находящемся в середине стороны ТреуГОЛЬНИ-
ка, имеем y>i = <f2 — 1/2- Если положить <р\ ' = 4y>iy>2, то такая
функция формы будет многочленом второй степени, принимаю-
принимающим значение 1 в „своем" узле и 0 во всех остальных. Функция
формы <р\ также должна быть произведением двух линейных
сомножителей. Если одним из них будет у>х, то произведение
обратится в нуль во всех точках стороны, противоположной
узлу ] (в частности, в узлах 2, 3 и 5). Чтобы произведение
обращалось в нуль в узлах 4 и б, оно должно содержать сомно-
10.2. Типы конечных элементов 549
житель y>i — 1/2. Но произведение <р\(<р\ — 1/2) в узле / равно
лишь 1/2, т.е. его необходимо нормировать, умножив на два. В
B)
итоге получаем <р\ = ip\Bip\ — 1). Теперь можно записать
<^2) = ^,B(^,-1), v>i2) = 4vi92, 42) = ^2B^2-l) (Ю.35)
и т.д. с учетом перестановки нижних индексов, указывающих
номера узлов. Несложно проверить, что сумма всех функций
формы </>„ , п = 1, б, равна единице.
При s = 3 для построения полного многочлена необходи-
необходимо N = 10 узлов. Если снова выбрать треугольный КЭ, то
при его произвольном расположении на каждой стороне должно
быть по четыре узла. Действительно, любая из сторон может
оказаться параллельной одной из координатных осей, напри-
например Oxj. В этом случае многочлен будет кубичным по х\, и
для однозначного определения его коэффициентов необходимо
знать четыре значения аппроксимируемой функции. Если по-
поместить узлы в вершины и каждую из сторон разделить узлами
натри равные части, то останется десятый узел, который будет
внутренним. Для упрощения построе-
построения функций формы его целесообразно
поместить в точку пересечения меди-
медиан треугольника (рис. 10.8). Функции
формы (fn, n = 1, 10, этого комплекс-
комплексного КЭ также удается выразить через } 4 5
три линейные функции формы <р\, ^2, рис 10 8
<?з симплексного КЭ.
(з)
В узле 10 <р\ — ф2 — V3 = 1/3- Положим <р\0' =
и убедимся, что такая функция формы, являясь многочленом
третьей степени, принимает значение 1 в „своем" узле и 0
во всех остальных. Функции формы <рп остальных узлов с
номерами п — 1,9 также должны быть произведениями трех
линейных сомножителей. Так, чтобы функция формы <р\ '
обращалась в нуль в узлах 2, 3, б и 7, она должна содержать
¦550 10. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
сомножитель <р\, а сомножители щ — 1/3 и v?i - 2/3 обеспечат
обращение в нуль в узлах 5, 8, 10 и 4, 9 соответственно. Однако
произведение v?i(v?i-l/3)(v?i-2/3) в узле 1 равно 2/9. Умножая
его на 9/2, получаем ip\ ' = -<PiC<f\ — l)Cv>i - 2).
По аналогии с предыдущим КЭ можно заключить, что функ-
функция формы узла, принадлежащего только одной стороне тре-
треугольника, должна содержать произведение линейных функций
формы прилегающих вершин. Так, для узла 4 наличие в его
функции формы ^4 сомножителя в виде произведения v>iV>2
обеспечивает ее обращение в нуль во всех „чужих" узлах, кро-
кроме узлов 5 и 10. Обращение в нуль в этих двух узлах будет
обеспечено, если третьим сомножителем будет <рх — 1/3. Но
произведение y'l^CVi ~ 1/3) в узле 4 равно 2/27. Умножив его
на 27/2, получим <р\ = t<Pi<P4C<P\ — !)• В итоге запишем
C 0C - 2),
и т.д. также с учетом перестановки нижних индексов, ука-
указывающих номера узлов. Непосредственной проверкой можно
убедиться, что сумма всех функций формы ^n , n = 1, 10, снова
равна единице.
Можно показать*, что треугольный комплексный элемент
удается построить и в случае s > 3, а четырехугольный —
при s > 4. Полный многочлен степени s от трех координат
(s+l)(s + 2)(s + 3) . . .
Xi, X2, х3 имеет i ' коэффициентов. Аналогично
двумерному случаю можно установить, что при s ^ 4 такой
многочлен удается построить лишь для комплексных элементов
в форме тетраэдра.
*См., например: Зарубин B.C., Селиванов В.В.
10.2. Типы конечных элементов 551
Если при s = 2 каждую грань тетраэдра выбрать в виде
треугольника, изображенного на рис. 10.7, то N = 10, а функ-
функции формы <р№ с соответствующими индексами следуют из
A0.35). Если же при s = 3 каждая грань тетраэдра имеет вид,
показанный на рис. 10.8, то N = 20 и функции формы узC) г
соответствующими индексами можно найти из A0.36).
Отметим, что представление функций формы ifn'(M) ком-
комплексных КЭ в виде A0.35) или A0.36) позволяет при вычисле-
вычислении интегралов использовать A0.28) или A0.31), а производные
этих функций по координатам выразить через производные
функций формы симплексных КЭ. При аппроксимации дей-
действительной функции u(M), MEfl, в пределах комплексного
КЭ Q с числом узлов N остается в силе A0.32), но теперь раз-
размер матриц-столбцов Ue и Фе будет N х 1, а их элементами —
узловые значения un этой функции и функции формы у>п (М),
п = 1, N, КЭ соответственно.
Мультиплексные конечные элементы. Мультиплекс-
Мультиплексный лагранжев КЭ в прямоугольных декартовых координатах
х,, i= I, d, имеет вид прямоугольника (d= 2) или прямоуголь-
прямоугольного параллелепипеда (d = 3). На каждой из параллельных
координатной оси Oxj сторон (или ребер) таких КЭ число уз-
узлов Ni и их расположение одинаково, но может отличаться от
числа и расположения узлов на сторонах (или ребрах), парал-
параллельных другой оси (или другим осям). Наибольшее возможное
число узлов в прямоугольнике (с учетом внутренних) равно
N\N2, а в параллелепипеде (с учетом внутренних и на его гра-
гранях) — NiN2N3- Функция формы для n-го узла в точке М„ г
координатами х,п является произведением интерполяционных
многочленов по каждой из координат:
552
10. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
где М — точка с координатами a;,, i=l,d, принадлежащая
мультиплексному КЭ, а Х{т — координаты узлов на стороне,
параллельной оси Ох,. При z, = цп, г = 1, d, в га-м узле Ln(xin) =
= 1 и (рп(Мп) = 1, а во всех остальных узлах (рп{М) = 0.
Многочлены в A0.37) имеют в общем случае по каждой из
координат Xi, i = 1, d, различную степень s; = jV; — 1 и поэтому
не являются полными. Вместе с тем многочлен, аппроксимиру-
аппроксимирующий функцию и(М) вдоль каждой стороны (или ребра) КЭ,
является полным по соответствующей координате, обеспечивая
непрерывность аппроксимации на границе между соседними
элементами. В связи с этим мультиплексный КЭ с различ-
различными значениям S{ удобен для согласования между собой сим-
симплексных КЭ (или комплексных КЭ с низкой степенью полного
интерполяционного многочлена) в области малых градиентов
искомого решения и комплексных КЭ с высокой степенью мно-
многочлена в области, где ожидаются большие градиенты искомого
решения.
Если на всех сторонах (или ребрах) мультиплексного КЭ
число Ni узлов одинаково, то для прямоугольника или пря-
прямоугольного параллелепипеда при s, = JV, — 1 ^ 4 многочлен
остается неполным. Например, в прямоугольнике с узлами в
вершинах (рис. 10.9) можно построить билинейный многочлен
а0 + Ь\Х\ + 62^2 + Ь\2Х\х2 с четырьмя коэффициентами. Эти
коэффициенты однозначно определены узловыми значениями
аппроксимируемой функции [V], а на сетке таких прямоуголь-
Х2
О
-1
$2
1
0
-1
1 «1
Х1
Рис. 10.9
10.2. Типы конечных элементов 553
ников билинейные многочлены представляют непрерывную ку-
кусочно линейную функцию.
Билинейный многочлен отличается от полного многочлена
степени s = 2 отсутствием слагаемых, содержащих х\ и х\.
Если ввести дополнительные узлы в серединах сторон прямо-
прямоугольника и не вводить внутренних узлов, то можно построить
многочлен
а0 + hxi + b2x2 + bl2xix2 +
+ Ьпх\ + 622*2 + с\^х2 + c2xix\ A0.38)
с восемью коэффициентами. В отличие от полного многочлена
степени s = 3 в нем отсутствуют слагаемые с х\ и х\. Анало-
Аналогичная ситуация возникает и для трехмерных мультиплексных
КЭ в форме прямоугольного параллелепипеда.
В середину прямоугольного КЭ поместим начало прямо-
прямоугольной системы координат O?i?2, оси которой параллельны
его ребрам (см. рис. 10.9). Тогда функцию формы для любо-
любого n-го узла, находящегося в вершине прямоугольника, можно
записать в виде
1 2
ДA+&&) 14 A0.39)
где ?;, г= 1,2, — координаты принадлежащей КЭ точки М,
а ?т — координаты n-го узла, принимающие значения ±1. В
случае прямоугольника с дополнительными узлами в серединах
сторон для узлов в вершинах получим
х 2
г—1
а для дополнительных узлов с координатами ?гт, одна из
которых равна нулю, —
^^"^^ ДA + и&), т = Т~4. A0.41)
1=1
554
10. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Когда на каждой стороне прямоугольника равномерно распо-
расположено по четыре узла, имеем
1=1
В прямоугольной системе координат Ofi&fo с началом в се-
середине КЭ в виде прямоугольного параллелепипеда (рис. 10.10),
имеющего узлы только в вершинах с координатами &„ = ±1, г =
= 1, 2,3, п— 1, 8, для функций формы получим
A0.42)
t=i
где ^, — координаты точки М, принадлежащей этому КЭ. При
наличии дополнительных узлов в серединах ребер с координа-
'f I
Рис. 10.10
10.2. Типы конечных элементов
555
тами ?tm, m = 1, 12, одна из которых равна нулю, имеем
о з
Ч>п{М) =
- 2
для дополнительных узлов и узлов в вершинах соответственно.
Когда на каждом ребре параллелепипеда равномерно распо-
расположено по четыре узла, для узлов в вершинах при &„ = ±1
получим
A0.43)
а для узлов при ?lk = ±1/3, ^2jt = bk = ±1, fc = 17
(Ю.44)
Для шестнадцати промежуточных узлов на остальных восьми
ребрах следует в A0.44) соответствующим образом изменить
индексы.
Мультиплексные КЭ можно постро-
построить не только в прямоугольных, но и в
любых ортогональных системах коорди-
координат, в том числе в полярных (или ци-
цилиндрических) и сферических координа-
координатах. Для трехмерных задач применимы
лагранжевы КЭ в виде треугольных пря-
прямых призм (рис. 10.11), причем в плос-
плоскости, параллельной основанию призмы,
аппроксимирующий многочлен является
полным (линейным или более высокой Рис. 10.11
tf
556 10. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
степени) по двум координатам. После умножения этого много-
многочлена на многочлен по координате ?, отсчитываемой вдоль оси
О?, перпендикулярной основанию, получают неполный много-
многочлен по трем координатам. Однако КЭ, у которого хотя бы
одна грань непараллельна координатным плоскостям, строго
говоря, нельзя отнести ни к симплексным (или комплексным),
ни к мультиплексным.
Например, для прямой треугольной призмы с узлами только
в вершинах получим
п = 1,2,3, A0.45)
где ? — координата точки М, перпендикулярная основанию,
?„ = ±1 — координата основания, содержащего n-й узел, а
ipn(M) — функция формы гг-го узла двумерного симплексного
КЭ, совпадающего с основанием призмы. При наличии допол-
дополнительных узлов в серединах всех ребер призмы имеем
для узлов в вершинах, серединах боковых ребер и сторон осно-
основания соответственно, причем <рп(М) — функция формы дву-
двумерного симплексного КЭ в сечении призмы, перпендикуляр-
перпендикулярном боковому ребру в узле с номером п или m, a f*{M) и
<рт(М) — функции формы этого КЭ для узлов на концах сто-
стороны основания, содержащей узел с номером к.
Аналогично можно построить функции формы для КЭ в
цилиндрических координатах г, <р, z, когда сечение области
решаемой задачи, проходящее через ось Oz, разбито на дву-
двумерные симплексные КЭ, а ? выполняет роль полярного угла <р.
10.2. Типы конечных элементов 557
Как и в случае комплексных КЭ, при аппроксимации дей-
действительной функции и(М), М € fi, в пределах мультиплекс-
мультиплексного КЭ fi с общим числом узлов N справедливо приближение
A0.32), причем элементами матриц-столбцов Ue и Фе размера
N X 1 являются узловые значения un этой функции и функции
формы <pn(M), n = 1, N, мультиплексного КЭ соответственно.
Все рассмотренные типы КЭ обеспечивают непрерывную
аппроксимацию искомой функции как внутри элемента, так и
на границах между однотипными соседними элементами. Но
может возникнуть необходимость обеспечить при переходе че-
через границу между соседними КЭ непрерывную аппроксима-
аппроксимацию не только функции, но и всех ее производных первого
порядка. Такую аппроксимацию называют гладкой. Это
требование можно выполнить, если при построении КЭ ис-
использовать в качестве узловых параметров не только значения
функции, но и значения ее производных, т.е. перейти от ла-
гранжевых к эрмитовым КЭ.
Эрмитовы конечные элементы. Простейшим одномер-
одномерным эрмитовым КЭ является отрезок [a;n_i,a;n] с узлами на
концах и узловыми значениями Mn_i, u'n_l, ип, и'п функции и(х)
и ее производной и'(х). Эти значения единственным образом
задают кубический интерполяционный многочлен Эрмита, ап-
аппроксимирующий в пределах этого КЭ дифференцируемую на
концах отрезка функцию и(х):
/ ч / ч?2(аг — arn_i) + h
и{х) » «п_! (хп - хJ^ ^з +
^-, A0.47)
где h = xn- xn-i. Для четырежды непрерывно дифференцируе-
дифференцируемой в интервале (a;n_i, xn) функции и(х) наибольшая возможная
погрешность в A0.47) пропорциональна Л4 [II].
558
10. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Если обозначить f = i^-i, ф{?) = A - fJ(! + Ю и ш(?) =
= ?A — ?J, то вместо A0.47) аналогично A0.32) можно напи-
написать
«(М) »
те = (м„_ь <_!, «„, <), A0.48)
Т
гдеФе(М) = (^A— ?) hu(\— g) ф(?) Ли>(?)) —матрица-стол-
—матрица-столбец размера 4x1, элементами которой являются функции фор-
формы рассматриваемого одномерного эрмитового КЭ, а М —
точка с координатой х 6 [a;n_i, xn].
Рис. 10.12
Примером двумерного эрмитова КЭ с полным кубическим
многочленом является треугольник с узлами в вершинах и
четвертым узлом в точке пересечения медиан (рис. 10.12), в
котором в качестве узлового параметра принимают значение
«4 аппроксимируемой функции и{х\,Х2), дифференцируемой в
трех остальных узлах. Как и в случае комплексного КЭ функ-
ция формы !р\ — 27(рх<р2(рз для этого узла обращается в нуль
на всех сторонах треугольника, поскольку на любой стороне
одна из функций формы <pi, <p2 или <рз двумерного симплексно-
симплексного КЭ равна нулю, а в „своем" узле равна единице, поскольку
fi = Ч>2 — f3 = 1/3- В вершинах треугольника узловыми параме-
параметрами являются значения мп, п= 1,2,3, функции u(xi,x2) и ее
частных производных uni, м„2 первого порядка по координатам
х\ и х2 соответственно. Итак, общее число узловых параметров
10.2. Типы конечных элементов 559
равно 10, что необходимо для однозначного построения полно-
полного кубического многочлена двух переменных. Функции формы
(например, для узла с номером га = 1) можно записать в виде*
?ll = </>l(*23</>2 - *22</>з) + (&22 ~ *2з)</>1</>2</>3, A0.49)
где 612 = (ж2)з- (x2)i, 613 = (x2)i - (x2J, b22 =
= (^1J - (^i)b причем (x\)i и (x2)i, i = 1,3, — координаты
узлов в вершинах треугольника. Если номера п = 1, 2, 3 узлов
возрастают при движении против хода часовой стрелки, то для
узлов с номерами 2 и 3 в A0.49) следует провести циклическую
перестановку нижних индексов. Положим
л. 1лл\ (~Щ Ч3) Ч3) Ч3) Ч3) Ч3) Ч3) Ч3) Ч3) Ч3)\Т
Фе(М) = (<р\ > pu' ip\> <р\ ' р' ip> ^3 ?>3i ^32 П )
t/(e> = (их ИЦ «12 М2 «21 «22 «3 «31 «32 «4) -
Тогда для приближенного значения функции и(М) в точке
М, принадлежащей рассматриваемому КЭ, аналогично A0.48)
получим и(М) и и^Ф(М)е.
Изменение функции м вдоль каждой стороны такого КЭ
аппроксимирует кубический интерполяционный многочлен Эр-
мита по координате sn, направленной вдоль этой стороны и
отсчитываемой от узла с номером п= 1,2,3 (см. рис. 10.12).
Коэффициенты этого многочлена можно однозначно выразить
« ди
через узловые значения функции и и ее производной -— в вер-
шинах на концах каждой из сторон КЭ. Производная -— в
<75„
каждой вершине с номером п является линейной комбинаци-
комбинацией значений ип\ и ип2, одинаковой для соседних КЭ с двумя
*См., например: Зарубин B.C., Селиванов В.В.
560
10. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
общими вершинами. Поэтому кубические многочлены, постро-
построенные в соседних КЭ, совпадают на стороне между этими
вершинами. Это обеспечивает непрерывность аппроксимации
- ди
функции и и ее производной -— при переходе через границу
между КЭ. Однако непрерывность аппроксимации производ-
- ди
ной — в направлении нормали v к границе между соседними
ди
КЭ в общем случае отсутствует, поскольку изменение -^ вдоль
ди
этой границы описывает многочлен, квадратичный по sn, и
его коэффициенты нельзя однозначно найти по двум значени-
значениям -- в вершинах на концах этой стороны. Таким образом,
ди
рассматриваемый КЭ не обеспечивает гладкой аппроксимации
функции и.
Треугольный эрмитов КЭ с гладкой аппроксимацией функ-
функции и{х\,Х2) можно построить на основе полного многочлена
пятой степени, содержащего 21 коэффициент. В качестве узло-
узловых параметров в вершинах с номерами п= 1, 2,3 принимают
{д2и\ {д2и
по шесть значении ип, «п1, ип2, ипП = 1 — 1 ип22- ( д-у
и Мп12 = (-х—?—1 , а в серединах сторон — значения ит„ =
\OXlOX2/ п
— (¦з~) ) m = 4, 5,6, производных в направлении нормали к
\аи/ т
каждой из сторон (рис. 10.13), т.е. всего 21 параметр.
U311M322U312A3
U111U122U112
11U222U212
Рис. 10.13
10.2. Типы конечных элементов 561
Изменение u(sn) вдоль любой стороны такого КЭ описывает
многочлен пятой степени по координате sn. Его коэффициенты
ди д2и
однозначно определены значениями и, -— и —-^ в двух верши-
дзп дзп
ri ди сРи
нах на концах зтои стороны, оначения -— и —т в каждой
дз„ дз„
вершине являются линейными комбинациями узловых параме-
параметров (uni, мп2 и ипц, un22, Mni2 соответственно), одинаковы-
одинаковыми для КЭ с общими вершинами. Поэтому многочлены пятой
степени, построенные в соседних КЭ, совпадают на стороне
между этими вершинами, что обеспечивает непрерывность ап-
ди d2u
проксимации и, -— и —5- при переходе через границу между
дзп дз„
соседними КЭ. Производную -^ на любой стороне КЭ аппрок-
симирует многочлен четвертой степени по sn, коэффициенты
ди д2и
которого однозначно определены значениями —- и в двух
аи дидз
ди
вершинах на концах этой стороны и значением — в ее середине.
тт ди д и и
по значения ¦—- и —--— в каждой вершине являются также ли-
ди дидз
нейными комбинациями узловых параметров в той же вершине,
одинаковыми для соседних КЭ с общими вершинами. Следова-
Следовательно, при переходе через границу между соседними КЭ будет
, м ди
обеспечена непрерывность аппроксимации и производной ^-,
т.е. гладкая аппроксимация функции и.
Прямоугольный КЭ со сторонами, параллельными осям де-
декартовой системы координат OxiX2, обеспечивает гладкую
аппроксимацию функции и(хих2), если в каждой вершине с
номером m в качестве узловых параметров выбрать по четы-
четыре значения um, umi, um2 и umi2, m= 1,4 (рис. 10.14). Вдоль
. - ди
каждой стороны изменение функции и и ее производной — в
ди
направлении v нормали к этой стороне описывают кубические
многочлены по координате sm, отсчитываемой от вершины с
номером т. При этом коэффициенты многочлена, аппрокси-
аппроксимирующего функцию и, однозначно связаны с ее значениями
562
10. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
*2
О
4
1
42M412
Ь
12M112
м
32M312
3
2
2212
xl
Рис. 10.14
и значениями производной
ди
в вершинах на концах рассма-
рассмасо
d«i d2
значениями —- и
от/ duds
триваемои стороны, а коэффициенты многочлена для —
в этих же вершинах. Таким образом,
узловых параметров оказывается достаточно для обеспечения
непрерывности аппроксимации функции и ее первых производ-
производных при переходе через границу между соседними КЭ. Внутри
КЭ функцию и аппроксимирует многочлен, содержащий произ-
произведения координат ii и г2 в степенях от 0 до 3. Такой много-
многочлен является неполным и его обычно называют бикубическим.
Для каждого из 16 узловых параметров можно построить функ-
функцию формы, используя произведения кубических многочленов
от х\ и х2 вида A0.47).
Четырехугольные (в частности, прямоугольные) КЭ с глад-
гладкой аппроксимацией искомой функции можно построить путем
объединения треугольных КЭ. Это может привести к умень-
уменьшению общего числа узловых параметров, но обычно связано
с усложнением функций формы. Возможность уменьшения об-
общего числа узловых параметров становится более важной для
трехмерных КЭ. Параметры узлов, расположенных внутри та-
таких КЭ, можно исключить приемом, получившим название кон-
конденсации*.
'См., например: Норри Д., де Фриз Ж.
10.3. Матричная форма представления функций 563
10.3. Матричная форма
представления функций
Одним из преимуществ метода конечных элементов (МКЭ)
при решении задач математической физики является простота
и однотипность операций по подготовке задачи к решению.
В значительной мере это преимущество связано с матричной
формой представления основных соотношений, используемых
в МКЭ.
Пусть для определенности речь идет о решении задачи в
некоторой области V С Kd. Сначала следует выбрать тип ис-
используемых конечных элементов (КЭ) и заполнить ими область
V так, чтобы они не пересекались и не образовывали пустот,
а также достаточно точно представляли границу области, ес-
если она имеет криволинейные участки. В результате получим
сетку КЭ, занимающую область Vo, в общем случае не совпа-
совпадающую с V, но обычно такую, что Ко С V.
Обозначим общее число КЭ через Е. Необходимо устано-
установить взаимно однозначное соответствие между номерами N =
= 1, yVs узлов образованной сетки и номерами узлов п — 1, Nf
каждого отдельного КЭ с номером е— 1, Е. Если КЭ выбран-
выбранного типа имеет внутренние узлы, то для таких узлов устано-
установление соответствия происходит независимо от соседних КЭ. В
противоположность этому граничные узлы принадлежат одно-
одновременно нескольким соседним КЭ, что необходимо учитывать
во избежание пересечения элементов или возникновения пустот
между ними. Итогом установления указанного соответствия
между глобальной (сквозной) нумерацией узлов сетки и локаль-
локальной нумерацией узлов КЭ является построение для каждого КЭ
с номером е матрицы fte размера Ne x N%, элементы которой
Г271дг = 1, если узел N сетки совпадает с узлом п этого КЭ, в
противном случае П^ = 0.
Зависящие в общем случае от времени t узловые значения
M/v(i) действительной функции можно представить на сетке
564 10. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
КЭ матрицей-столбцом U размера N% x 1, а значения «п (О
этой функции в узлах КЭ — матрицами-столбцами Ue размера
Ne х 1. Если функция является векторной и имеет D коорди-
координатных действительных функций, то размеры матриц U и Ue
будут TVe х D и Ne х D соответственно. В случае эрмитовых
КЭ элементами этих матриц будут не только значения функ-
функций, но и значения используемых при аппроксимации функций
производных. Тогда под D следует понимать наибольшее число
узловых параметров, задаваемых в узле выбранного варианта
эрмитова КЭ. Связь между введенными матрицами и их эле-
элементами устанавливают соотношения
ие = ад «1е)@ = ? dn%uN(t). (Ю.50)
N=1
Замечание 10.2. Рассмотрим случай векторной функции
u(t,M) времени t и координат точки М € V, имеющей смысл
перемещения (скорости или ускорения) среды. Тогда коорди-
координатные функции Ui(t,M) i = 1, d, являются проекциями u(t,M)
на оси Ох, прямоугольной системы координат, называемой
обычно глобальной. В каждом конечном элементе может быть
определена своя так называемая локальная система координат,
базис которой не обязательно совпадает с базисом глобальной
системы координат. Если эти базисы совпадают, то в A0.50)
размеры матриц U и Ue будут Nz x d и Ne X d соответственно,
а их элементами — узловые значения им(Ь) и u^t-(t) соответ-
соответственно.
Если же базис в КЭ с номером е не совпадает с базисом
глобальной системы, то вместо A0.50) в случае векторной
функции будем иметь
j=\ N=\
10.3. Матричная форма представления функций 565
где а(е) — квадратная матрица перехода порядка d от базиса
глобальной системы координат к базису локальной системы в
(е) . . -T—j
элементе с номером е, причем элементы а-', i,} = l,a, этой
матрицы равны косинусам углов между осями Ох; и Ох'
глобальной и локальной систем координат соответственно. В
дальнейшем для упрощения будем считать базисы локальной
системы во всех КЭ совпадающими с базисом глобальной сис-
системы координат. #
Пусть выбранный тип конечных элементов является лагран-
жевым. Для КЭ с номером е и числом узлов Ne, занимающего
область Ve С Vo С V, функции формы <р)?'(М), га = I, Ne, зави-
зависят от координат a;t- (M), i = l,d, точки М € Ve и образуют
матрицу-столбец Фе(М) размера Ne x 1 (см. 10.2). Тогда дей-
действительную функцию u(M), M € V, в пределах этого КЭ
можно приближенно представить функцией
и^(М) = GетФе(М) = 5>leVLe)(M), M € Ve, A0.52)
п=\
где {/е — матрица-столбец размера Ne X 1 с элементами и^ ,
равными узловым значениям функции и.
В случае векторной функции и(М), М € V, имеющей D
координатных функций u,(M), i= I, D, вместо A0.52) получим
?/е(М) = ?/етФе(М), M<EVe. A0.53)
Здесь {/е — матрица размера Ne x D с элементами гг^, га =
= l,7Ve, г = 1, D, равными узловым значениям координатных
функций, a Ue(M) — матрица-столбец размера D х 1, элемен-
элементами которой являются координатные функции ще'(М) век-
векторной функции г*(е)(М), М € Ve, приближенно описывающей
в этом КЭ векторное поле, задаваемое функцией и(М). Таким
566 10. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
образом, как действительную, так и векторную функции в КЭ
можно приближенно представить произведением двух матриц.
Элементы одной из них являются узловыми значениями этой
функции или ее координатных функций (в общем случае зави-
зависящими от времени), а элементы другой — функциями формы,
зависящими только от координат точки М € Ve.
Пример 10.1. Предположим, что векторная функция и(М),
Мб V С №d, задает поле перемещения среды. Тогда D = d
и элементами матрицы-столбца Ue(M) размера d X 1 в A0.53)
будут функции и,- (М), которые аппроксимируют в КЭ Ve С V
проекции щ(М), М € V, перемещения на координатные оси
Ох\е), i = \~d.
Полагая локальные и глобальные координаты любой точки
М € Ve С V совпадающими, т.е. xf'(M) = ж,-(М), i = l,d, с
учетом A0.50) и A0.53) получаем, что перемещение среды на
сетке КЭ можно приближенно задать матрицей-столбцом
Е
?/(М) = ?/т?]^Фе(М) = (/тФ(М) A0.54)
е-1
размера dx 1 с элементами м*(М), аппроксимирующими про-
проекции щ(М), М € V. При этом элементами матрицы-столбца
A0.55)
размера N% х 1 являются функции формы <^v(M), М € Vo,
сетки КЭ.
Тензор деформаций имеет в прямоугольных координатах
компоненты (см. 3.3)
/»- iJ=~d- A0-56)
Вопросы и задачи
В КЭ с номером е эти компоненты можно приближенно пред-
представить в виде
«!?
где v?j — проекции на оси Ох,, гI — 1, d, вектора и в n-м узле
КЭ с номером е. В случае симплексных конечных элементов
имеем (см. 10.2)
ф Ь$ A0.58)
и вместо A0.57) получим
п=1
т.е. в каждом симплексном КЭ предполагается однородная (не
зависящая от координат) деформация. Соотношения, анало-
аналогичные A0.56), A0.57) и A0.59), дают приближенное предста-
представление тензора скоростей деформаций. #
При использовании эрмитовых КЭ, когда в качестве узло-
узловых параметров выступают не только значения аппроксими-
аппроксимируемой функции, но и ее производные по пространственным
координатам, вид матричных соотношений остается прежним,
если соответствующим образом изменить в A0.52) и A0.53) ма-
матрицы l№ и Ф<е>(М) (см. 10.2).
Вопросы и задачи
ЮЛ. Вывести формулы A0.12) и A0.13)-A0.15).
10.2. Доказать справедливость A0.19), A0.28) и A0.31).
568 10. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
10.3. Убедиться, что сумма всех функций формы A0.35)
и A0.36) для треугольного конечного элемента с шестью и
десятью узлами соответственно равна единице.
10.4. Выразить коэффициенты билинейного многочлена че-
через значения аппроксимируемой функции в вершинах прямо-
прямоугольника.
10.5. Вывести формулы A0.39)-A0.46).
10.6. Получить выражения вида A0.49) для всех функций
формы треугольного эрмитового конечного элемента и убе-
убедиться, что их сумма равна единице.
11. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
Схема применения метода конечных элементов (МКЭ) к
решению задач математической физики кратко изложена в на-
начале предыдущей главы. В этой главе мы более подробно оста-
остановимся на особенностях МКЭ и примерах его использования
при решении прикладных задач.
11.1. Особенности применения
метода конечных элементов
Использование метода конечных элементов (МКЭ) для ре-
решения любой задачи математической физики возможно при
наличии интегральной формулировки этой задачи. Пути по-
построения такой формулировки рассмотрены выше (см. 6). В
частном случае эта формулировка может содержать функци-
функционал в виде интеграла по области V, где предстоит искать
решение задачи, достигающий на искомом решении экстре-
экстремального значения.
Выбор типа конечного элемента (КЭ) при решении задачи
зависит от требований к классу функций, на котором допу-
допустимо рассматривать ее интегральную формулировку. Если
в эту формулировку входят производные искомой функции до
порядка р включительно, то допустимые функции должны при-
принадлежать классу непрерывно дифференцируемых р - 1 раз, а
производные порядка р в области V могут быть кусочно непре-
непрерывными.
Интегральная формулировка значительного числа задач ма-
математической физики содержит производные лишь первого по-
порядка, т.е. р = 1. Поэтому достаточно, чтобы допустимые функ-
функции были непрерывны в области V, а их производные утра-
утрачивали непрерывность лишь на множестве точек, мера Лебега
570 П. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
которого в V равна нулю. Таким свойством обладают функ-
функции формы симплексных КЭ. Для некоторых задач интеграль-
интегральная формулировка содержит и производные второго порядка.
Это приводит к необходимости использовать эрмитовы КЭ,
функции формы которых обеспечивают непрерывность произ-
производных первого порядка при переходе через границу между
соседними КЭ. Свойство функций формы КЭ обеспечивать вы-
выполнение требований к классу функций, диктуемых интеграль-
интегральной формулировкой задачи, называют согласованностью.
После выбора типа КЭ в случае границы области V, име-
имеющей криволинейные участки, возникает проблема заполнения
этой области конечными элементами так, чтобы была доста-
достаточно точно отражена геометрия границы. Образуемой при
этом сетке КЭ будет соответствовать область Vo, в общем
случае не совпадающая с V. Отличие Vo от V является од-
одним из источников погрешности, возникающей при применении
МКЭ к решению задачи математической физики. Влияние
этой погрешности можно ослабить использованием меньших по
размерам элементов, т.е. измельчением сетки КЭ, или пред-
представлением границы области при помощи более сложного типа
КЭ, одна или несколько сторон (или граней) которых являют-
являются криволинейными*. В дальнейшем в этой главе Ко будем для
упрощения отождествлять с V, т.е. считать, что сетка КЭ точ-
точно соответствует области решения задачи.
Вторым источником погрешности являются ошибки аппрок-
аппроксимации искомой функции функциями формы выбранного типа
КЭ. Влияние этой причины не всегда удается снизить путем
уменьшения размеров КЭ. Более эффективным может оказать-
оказаться переход от симплексных к комплексным КЭ, а в случае
границы простой формы — к мультиплексным КЭ.
По существу МКЭ основан на том, что искомое решение
удается приближенно представить на сетке КЭ в виде раз-
разложения по функциям формы, причем коэффицентами этого
'См., например: Норри Д., де Фриз Ж.
11.1. Особенности применения метода конечных элементов 571
разложения являются неизвестные узловые параметры — зна-
значения искомой функции (а в общем случае и ее производных)
в узлах сетки, совпадающих с узлами отдельных КЭ. В случае
линейной задачи математической физики подстановка такого
разложения в интегральную формулировку задачи приводит к
системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относи-
относительно узловых параметров. Если задача является нелинейной,
то элементы матрицы СЛАУ будут зависеть от неизвестных
узловых параметров. Тогда узловые параметры приходится
находить последовательными приближениями, задаваясь ожи-
ожидаемыми значениями и уточняя элементы матрицы после оче-
очередного решения СЛАУ.
Матрица этой СЛАУ благодаря свойствам функций фор-
формы КЭ содержит значительное число нулевых элементов, что
упрощает практическую реализацию МКЭ на ЭВМ. Более то-
того, простота и однотипность свойств КЭ позволяют поручить
ЭВМ не только решение такой СЛАУ, но и автоматизиро-
автоматизировать ряд предшествующих этапов: разбиение области решения
задачи на конечные элементы и построение их сетки с нумера-
нумерацией элементов и узлов; построение системы функций формы
в пределах каждого КЭ; вычисление вкладов отдельного КЭ в
матричное уравнение; формирование глобальной матрицы для
всей сетки КЭ. Существуют алгоритмы оптимальной нумера-
нумерации узлов КЭ, обеспечивающие минимальную ширину ленты
ненулевых элементов глобальной матрицы, что позволяет эко-
экономить вычислительные ресурсы при хранении и обработке
этой матрицы.
Отмеченные особенности превращают МКЭ в один из наи-
наиболее гибких и универсальных современных методов числен-
численного решения широкого круга задач математической физики.
Помимо его строгого обоснования на основе общей теории про-
проекционных методов для ряда прикладных задач нетрудно дать
физическую или механическую интерпретацию МКЭ с исполь-
использованием приближенных дискретных моделей сплошной среды,
имеющих конечное число степеней свободы. Первые разработ-
572 11. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
ки МКЭ были связаны именно с такими дискретными моделями
в механике деформируемого твердого тела. В частности, в за-
задачах статики упругих конструкций разбиение области сеткой
КЭ, рассмотрение равновесия отдельных КЭ и установление
связей между ними приводит к системе уравнений, совпада-
совпадающей с той, которая следует из формальной процедуры МКЭ.
Наглядность, простота и возможность автоматизации про-
процедуры МКЭ делает его весьма удобным для численного реше-
решения прикладных задач. На его основе разработаны достаточно
универсальные программные комплексы, которые широко ис-
используют в инженерной практике. Однако для уверенного при-
применения любого приближенного метода необходимо распола-
располагать возможностью оценки возникающей погрешности и иметь
представление о скорости сходимости приближенного решения
задачи к истинному. На практике эти вопросы обычно решают
тестированием МКЭ на задачах, для которых известно точ-
точное решение. Но для определенного круга задач (в основном,
для линейных задач математической физики) можно получить
априорные оценки погрешности аппроксимации искомого ре-
решения на сетке КЭ и скорости его сходимости к истинному
решению при измельчении этой сетки*.
11.2. Задачи теплопроводности в твердом теле
Последовательно рассмотрим применение метода конечных
элементов (МКЭ) для решения линейной задачи стационарной
теплопроводности в изотропном твердом теле, возможности
учета при помощи МКЭ анизотропии свойств материала тела и
нелинейных факторов, а также решение задачи нестационарной
теплопроводности.
Стационарная теплопроводность. Пусть распределение
температуры Т(М), зависящее от положения точки М € V на
'См.: Норри Д., де Фриз Ж., а также: Стренг Г., Фикс Дж. или:
Сьярле Ф.
11.2. Задачи теплопроводности в твердом теле
573
замыкании V = V U 5 области V, ограниченной поверхностью
S (рис. 11.1), удовлетворяет дифференциальному уравнению
A1.1)
с граничными условиями B.55) и B.56)
A(P)VT(P)n(P)+/3(P)T(P) =
52.
(П.2)
A1.3)
Здесь А > 0 — коэффициент теплопроводности; 1у — мощ-
мощность объемного энерговыделения; /i и /2 — заданные функции
положения точки Р на участках Si С 5 и 52 = 5 \ Si ф 0 по-
поверхности 5 соответственно; п — единичный вектор внешней
нормали к поверхности 5; /3 > 0 — коэффициент теплообмена.
Уравнение A1.1) является частным случаем B.53) и следует из
закона сохранения тепловой энергии в теле.
п(Р)
Рис. 11.1
Краевой задаче A1.1) — A1.3) соответствует ее интеграль-
интегральная формулировка, содержащая функционал [XV]
v
^T2 - /аг) dS, A1.4)
S2
574 П. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
минимизируемый на распределениях температуры Т(М), удо-
удовлетворяющих A1.2), непрерывных на замыкании V и имеющих
в V кусочно непрерывные производные по пространственным
координатам х,, г= 1,3 (в случае трехмерной задачи). Функ-
Функция Т'(М), Мб V, удовлетворяющая A1.1) — A1.3), является
точкой экстремума (минимума) функционала A1.4). Этот
функционал можно использовать для приближенного решения
рассматриваемой задачи при помощи МКЭ. При этом функции
формы конечных элементов (КЭ) обеспечивают непрерывную
аппроксимацию искомой функции Т(М), М G V, на сетке КЭ,
заполняющей область К, а в пределах каждого КЭ — непре-
непрерывность производных функции Т(М).
Пусть сетка КЭ состоит из Е лагранжевых конечных эле-
элементов, каждый из которых имеет Ne узлов и занимает область
Ve С V, е = 1, Е. Тогда вместо A1.4) можно написать
e[T], (П-5)
е=1
причем вклад КЭ с номером е в значение функционала J[T]
составляет
- I(vq)
T)dV + j\^T2 - f2T)dS. A1.6)
ve
Второй интеграл в правой части A1.6) отличен от нуля лишь
при условии, что граница S'e данного КЭ имеет общие участки
с поверхностью 5г, т.е. S'e = 5еП52 Ф 0.
В пределах каждого КЭ искомое распределение температу-
температуры аппроксимируем матричным выражением вида A0.52):
M?Ve, е = ТГЁ, A1.7)
где в и Фе(М) — матрицы-столбцы размера Nex \у элементами
которых являются значения Т„ температуры в узлах КЭ с
11.2. Задачи теплопроводности в твердом теле 575
номером е и функции формы <у?„ (М), п — 1, Ne, этого КЭ
соответственно. Тогда в матричной записи будем иметь
PeS^. A1.8)
Так как с учетом (П.7)
где В\е'(М) — матрица-столбец размера Ne X 1 с элементами
^" —-, п = 1, 7Ve, t = l,3, то квадрат градиента температур-
(У ОСi
ного поля в КЭ можно представить в виде
= етеве(М){етеве(м))т =
МеКе, € = 17^. A1.9)
Здесь Ве(М) — блочная матрица размера Л^ X 3, блоками
которой являются матрицы В] .
После подстановки A1 .Т) — A1.9) в A1.6) получим
J (
vc
+ I (^Р-в]Фе(Р) фТе(Р) 6е - /2(Р) вТеФе(Р)) dS.
576 II. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
Элементы матрицы 0е узловых значений температуры не за-
зависят от координат, и поэтому в силу линейности матричных
операций и операции интегрирования можно записать
где Ле — квадратная матрица порядка Ne, называемая матри-
матрицей теплопроводности КЭ, с элементами
1,п = ТЖ, A1.11)
a Qe — матрица-столбец размера Ne X 1 с элементами
Q\e) = J I{vq)(M)<p\e)(M)dV + J h(P)<de)(P)dS. A1.12)
Отметим, что матрица Ле является симметрической.
Перейдем в A1.10) от локальной нумерации узлов к глобаль-
глобальной (см. 10.3) при помощи матриц Пе размера Ne х Nz, e — 1, Е,
где iVj; — общее число узлов сетки КЭ. Тогда после подстанов-
подстановки A1.10) в A1.5) получим
J[T] « ^6ТЛ0 - 6TQ, A1.13)
где 0 — матрица-столбец размера Nz X 1 значений температу-
температуры Tn в узлах сетки КЭ; Л — симметрическая матрица порядка
iVs, называемая глобальной матрицей теплопроводно-
теплопроводности, с элементами
ЕЕЕ"!?л/(:)^. A1-14)
е=1 Ы п=1
11.2. Задачи теплопроводности в твердом теле 577
причем П^у — элементы матрицы ?)е; Q — матрица-столбец
размера N% X 1 с элементами
е=1 п=1
Правую часть A1.13) можно рассматривать как конечно-
конечномерный аналог J[TVE] функционала A1.4), полученный при
использовании метода Ритца и соответствующий элементу
(иле)
последовательности, минимизирующей этот функционал, при-
причем Ф(М) — матрица-столбец размера iVs X 1, элементами ко-
которой являются функции формы
Е Ne
<рм(М) = 2_]yj^nivVn (^)t iV = l,iVs, A1.17)
e=l n=l
определенные на сетке КЭ. Правую часть A1.13) можно пред-
представить многочленом второй степени относительно iVs пере-
переменных TV:
J[Tnt\ = ^ / У AlisjTlTjsi — > QlTl* A1.18)
L=1N=1 L=\
Так как минимизируемый функционал A1.4) ограничен сни-
снизу [XV], то функция A1.18) также ограничена снизу, поскольку
в этом случае для минимального значения функционала, дости-
достигаемого на функции Т*(М), М ? V, справедливо неравенство
J[T.] ^ J[7WB]. A1.19)
Поэтому функция A1.18) также достигает минимума при не-
некотором наборе значений Tjv, N — 1, Nz-
578 П. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
В частном случае, когда в A1.1) 1у{М) = О, М eV, а в
A1.3) /2(Р) = 0, PgS2, имеем QL = 0, L = Tj^, т.е. A1.18)
будет квадратичной формой G Лв. Если при этом в A1.2)
/i(P) = 0, Р ? S\, или же участки поверхности S\ отсутствуют,
то оператор Аи = -V(AVw) в A1.1) при А(М) > 0, М G V, явля-
является положительно определенным (см. пример 5.9), а диффе-
дифференциальное уравнение V(AVT) = 0 имеет единственное реше-
решение ТЬ(М) = 0, М G V [XV]. На этом решении функционал A1.4)
достигает минимального значения, причем J[To] = GqAGo = 0,
где Go — матрица-столбец (вектор) размера iVs X 1 с нулевыми
элементами.
Стационарная точка Tq(M) = 0, М G V, функционала A1.4),
в которой он достигает минимума при 1у'{М) = 0, М € V,
и /г(-Р) = 0, Р G 5г, единственна. Поэтому для любой функ-
функции ТлгЕ(М) ^0, М G V, вида A1.16), удовлетворяющей A1.2)
при fi(P) = 0, Р G Si, в соответствии с A1.19) имеем J[Tnb] >
> ./[То] = 0. Следовательно, для соответствующего этой функ-
функции ненулевого вектора Q получаем G Лв > 0.
Пусть S\ ф 0 и сетка КЭ имеет N\ узлов Р^ ? Si, номера
которых упорядочены так, что N = ЛГ*+1, N, где N* = N - N\.
Предположим, что существует функция Tn^(M), M G V, при-
принимающая в этих узлах значения T/ve(Fjv) = /ш, Pn G Si, N =
— iV*+l, N, из которых хотя бы одно отлично от нуля, и такая,
что G Лв ^ 0 для соответствующего ей ненулевого вектора G.
Тогда найдется непрерывная функция Т*(М), М ? V, имеющая
в V кусочно непрерывные производные, удовлетворяющая усло-
условиям T»(Pn) = /jjv, Pn ? Si, N = 7V*+1, N, и минимизирующая
функционал A1.4) при $\м) = 0, М G V, и /2(Р) = 0, Р ? S2.
Для этой функции J[T*\ > 0. Действительно, по физическому
смыслу задачи в этом случае на участках поверхности S2 ф 0
происходит теплообмен тела, температура которого отлична
от нуля, со средой, имеющей нулевую температуру. Так как
функция Т*(М), М G V, является стационарной точкой функ-
функционала A1.4), то выполнено условие стационарности A1.3), в
11.2. Задачи теплопроводности в твердом теле 579
котором слагаемое (A(P)VT(P))n(P) равно отличной от нуля
плотности теплового потока, проходящего через поверхность
5г- Следовательно, Т(Р) ф О, Р € 5г, а этого уже достаточно,
чтобы J[Tt] > 0 при /3 > 0. Тогда с учетом A1.19) получаем,
что J[T/vE] ^ J[T*] > 0, т.е. для ненулевого вектора G, соответ-
соответствующего функции ТлгЕ(М), MG V, имеем GTAG > 0, а это
противоречит сделанному предположению. Таким образом, для
любого ненулевого вектора G квадратичная форма G ЛО и ее
матрица Л являются положительно определенными.
Если S\ ф 0 и сетка КЭ имеет N\ узлов Pn € Si, N =
= N*+1,N, с заданными в соответствии с A1.2) температу-
температурами Г(Рдг) = /i(Pjv) = /1ЛГ1 то A1.16) должно принимать в
этих узлах заданные значения. Тогда из необходимых усло-
условий от» = 0, L = 1, iV*, минимума функции A1.18) с учетом
Aln =<A.nl получим систему линейных алгебраических уравне-
уравнений ((!ЛАУ)
J2alnTn = Ql- 2 л^/ш, ^ = п^- (П-20)
N=l\ N=N'+1
Симметрическая матрица Л* порядка N* этой СЛАУ получена
из положительно определенной матрицы Л вычеркиванием по-
последних N\ строк и столбцов. Поэтому все ее угловые миноры
останутся положительными, т.е., согласно критерию Сильве-
Сильвестра [IV], матрица Л* также положительно определенная, а
СЛАУ A1.20) имеет единственное решение. Если же участ-
участки поверхности S\ отсутствуют, то iV* = iVs и сумма в правой
части A1.20) исчезает.
Отметим, что в силу свойств функций формы КЭ в матри-
матрице Л* отличны от нуля лишь элементы на пересечении строк
и столбцов с номерами, соответствующими номерам узлов сет-
сетки, принадлежащих одному и тому же КЭ. Поскольку обычно
^е -С ЛГе, большинство элементов матрицы Л* равны нулю.
Такие матрицы называют слабозаполненными (или разре-
разреженными). Для численного решения СЛАУ с такой матрицей
580 11. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
можно использовать способы, приводящие к существенной эко-
экономии вычислительных ресурсов ЭВМ*.
Учет анизотропии материала твердого тела. Если
материал тела анизотропный, то А в A1.1) и A1.3) следу-
следует заменить тензором теплопроводности А, который можно
представить симметрической матрицей B.95) третьего поряд-
порядка с элементами AtJ(M) = AJt(M), i,j = 1, 3. Тогда функционал
A1.4) примет вид
t=1 1=1 52
а вместо A1.11) для КЭ с номером е получим
J\e)P. A1.21)
Зависимость компонент A,j(M), г,j = 1,3, тензора А от
декартовых координат ж,(М) точки М € Ve аппроксимируем
в пределах КЭ с номером е соотношением вида A0.52)
m=l
где А,-*'(Mm) — известное значение \\j (M) в узле с номером
т. Тогда первый интеграл в A1.21) примет вид
т=\ (, t=l j=l
"См.: Джордж А., Лю Дж., а также: Писсанецки С.
11.2. Задачи теплопроводности в твердом теле 581
Отсюда в случае симплексных КЭ, используя A0.58), получаем
W^' f^ (П.22)
m=l
Интеграл в A1.22) не зависит от номера тп узла. Поэтому для
трехмерной задачи при Ne = 4 при помощи A0.31) находим
3 3
где через 14 обозначен объем области конечного элемента с
номером е, а
We
j(e) J
является среднеарифметическим узловых значений компоненты
\ij тензора А в симплексном КЭ. В случае двумерной задачи
(ЛГе = 3) в A1.23) Ve следует заменить на площадь Fe КЭ, а
для одномерной (Ne = 2) — на его длину /е. Для изотропного
материала вместо A1.23) получим
t=l
где А — среднеарифметическое узловых значений А в сим-
симплексном КЭ.
Пусть в трехмерном КЭ с номером е одна из граней име-
имеет площадь S'e и аппроксимирует участок поверхности S2, на
котором задано граничное условие A1.3). Зависимость коэф-
коэффициента теплообмена 0{Р) от координат точки Р ? S'e аппрок-
аппроксимируем соотношением
m=l
582 11. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
где N'e — число узлов КЭ, принадлежащих рассматриваемой
грани; Рт — значение 0{Р) в узле с номером т. Тогда второй
интеграл в A1.21) примет вид
NL
Так как грань трехмерного симплексного КЭ является дву-
двумерным симплексным КЭ, для которого N'e = 3, то, используя
A0.28), находим
Ли = ~ 30 ~5'' Al2 = ~ 60 ~5^'
= И
а остальные значения Л/п получаем соответствующей пере-
перестановкой нижних индексов. Для двумерной задачи N'e = 2.
Используя A0.19), вычисляем XJj = ^C/3<е) + $е)I'е, Л^ =
= —(/?[ +/?2 г^ гДе 'е — длина стороны треугольного сим-
симплексного КЭ, на которой заданы граничные условия вида
A1.3). Аналогично можно вычислить интегралы в A1.12).
Учет нелинейности. Зависимость А и 1у' от координат
точки М G V в (ИЛ) и А, /3 и /г от координат точки Р G 5г
в A1.3) позволяет путем итераций учесть и зависимость этих
функций от температуры, т.е. приближенно решить нелиней-
нелинейную задачу стационарной теплопроводности. Уточняя узловые
значения этих функций по найденным в первом приближении
из решения СЛАУ A1.20) значениям Tjy , 7V= I, TV*, темпера-
температуры в узлах сетки КЭ, можно вычислить уточненные значения
элементов матриц Л и Q, а затем, решая снова СЛАУ A1.20),
получить узловые значения Т^' во втором приближении и т.д.
Вместе с тем благодаря известному экстремальному свойству
функционала A1.4) для решения нелинейной задачи применимы
и различные модификации методов оптимизации [XIV]. Кратко
остановимся на одном из наиболее простых вариантов с точки
11.2. Задачи теплопроводности в твердом теле 583
зрения построения алгоритма решения нелинейных задач, на-
называемом методом локальных вариаций.
Вариация STn температуры лишь в одном ЛГ-м узле сетки
КЭ относительно принятого в качестве нулевого приближе-
приближения значения Т^ вызывает изменение 6J[Tns] лишь той части
функционала A1.18), которая непосредственно зависит от уз-
узлового значения Т\г. Варьируя только это значение, можно
добиться минимума </[TjvE], а затем перейти к варьированию
температуры в соседнем узле и т.д. После обхода всех узлов
подобную процедуру приходится повторять, так как каждое
последующее варьирование температуры в соседнем узле мо-
может отклонить значение J[T^] от минимального. Поэтому
сначала рационально вести варьирование во всех узлах с до-
достаточно грубым шагом ДТ, а затем, получив совокупность
значений Tfo , N = l,N*, первого приближения, для которых
переход к температурам Тдг = Tfc ± AT уже не понижает зна-
значения </[T/vE], следует уменьшить шаг варьирования (например,
вдвое) и повторять описанную процедуру до тех пор, пока шаг
варьирования не станет менее заданной точности вычисления
температуры.
Нестационарная теплопроводность. Перейдем к рас-
рассмотрению задачи нестационарной теплопроводности в твер-
твердом теле, описываемой дифференциальным уравнением (при
!>0,Ме V) вида B.53)
= у(А(М)ут(г,М)) + 49)(г,м), (п.24)
где с(М) — объемная теплоемкость материала тела, с гранич-
граничными условиями вида A1.2), A1.3)
A1.25)
) = f2(t,p), Pes2, (п.26)
и начальным условием Т@,М) = /о(М), М 6 VUS2, в момент
времени t = 0, принимаемый за начало отсчета. Сформулиро-
584 П. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
ванной задаче не удается поставить в соответствие функцио-
функционал, для которого ее решение было бы его точкой экстремума".
Поэтому в качестве интегральной формулировки этой задачи
примем условия вида F.76)
J(c(M)dT^tM)-V(\(M)VT(t,M))-I(vq)(t,M))vL(M)dV +
+ / (\(P)VT(t,P)n(P) + 0(t,P)T(t,P)-f2(t,P))vL{P)dS = O
s2
ортогональности проекций невязки, возникающей при подста-
подстановке в A1.24) искомого приближенного решения, на элементы
vi, L = 1,ЛГе, базиса TVs-мерного подпространства "HjvE гиль-
гильбертова пространств all непрерывных в V функций, имеющих
в V кусочно непрерывные производные и обращающихся в нуль
на Si.
Преобразовывая последнее равенство при помощи первой
формулы Грина и учитывая, что v^(P) = 0 при Р € Si, получаем
(обозначения аргументов функций опущены)
(V(AVT))V«t + (c^ - /{?>)иь) dV +
(PT-f2)vLdS = 0, L=MV7- (П.27)
s2
Приближенное решение рассматриваемой задачи будем искать
в виде, аналогичном A1.16):
A1.28)
ЛГ=1
где Tjv(t) — зависящие от времени значения температуры в
узлах сетки КЭ, а в качестве базиса подпространства Hn^
примем систему {(p^(M)}^s функций A1.17), т.е. базисные и
*См.: Зарубин B.C., Селиванов В.В.
11.2. Задачи теплопроводности в твердом теле 585
проекционные функции возьмем одинаковыми, что характерно
для процедуры метода Бубнова — Галеркина. В примере 6.15
получена система обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнений (ОДУ) для нахождения зависящих от времени коэффици-
коэффициентов an(t) в приближенном решении F.173) рассматриваемой
задачи. Однако отличие A1.28) от F.173) состоит в том,
что при использовании МКЭ нет необходимости в построе-
построении функции, которая удовлетворяла бы главному гранично-
граничному условию A1.25), так как достаточно в A1.28) положить
T/v(t) = fi{t,PN) — /ijv(?) в JVi узлах Pjv G S\ конечноэлемент-
ной сетки, принадлежащих участкам S\ поверхности S. Это
позволяет из числа базисных функций исключить те функции
<рм, которые соответствуют указанным узлам, но сохранить их
в представлении A1.28) приближенного решения.
Номера N оставшихся базисных функций (рн(М) упорядо-
упорядочим так, что N = 1, JV*, где N* = JV^ — Лг1 (ясно, что в частном
случае отсутствия участков Si, т.е. S2 = S, имеем N\ = 0 и
N* = JVs). В силу свойств функций формы КЭ имеем <Pn{P) —
= 0, N - 1,7V*, PG Si. Подставляя A1.28) в A1.27) вместо Г,
приходим к системе ОДУ (обозначения аргументов функций
опущены)
N*
i
у . = 1
N=N-+1
586 П. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
или, используя обозначения элементов матриц,
N=1
A1.29)
Начальные условия для этой системы составляют значения
Tjv(O) = /o(Mjv), где Mn — узлы сетки КЭ с номерами N —
Отметим, что элементы Л^дп L, N = 1, iVs, глобальной ма-
матрицы теплопроводности Л могут зависеть в A1.29) от време-
времени в силу возможной зависимости от времени коэффициента
теплообмена /3 в граничном условии A1.26). Аналогичное за-
замечание относится и к элементам Ql матрицы-столбца Q. В
A1.29) входят также значения
Сця= I c{M)ipi{M)(pf](M)dV, L, iV = l,iVs, A1.30)
которые являются элементами симметрической матрицы по-
порядка TVs, называемой глобальной матрицей теплоемко-
теплоемкости. Ее (как и глобальную матрицу теплопроводности) удоб-
удобнее формировать из вкладов отдельных КЭ. Учитывая A1.17)
и A1.30), эти значения можно представить в виде
cLN=J2 [<м) (XXMf)(M)) (XX
E
e=l /=1 n-\
где
Г
V. A1.31)
11.2. Задачи теплопроводности в твердом теле 587
Элементы С|„ , /, n= 1,Ne, образуют симметрическую ма-
матрицу теплоемкости КЭ с номером е, имеющую порядок
Ne. Элементы этой матрицы распределяют полную теплоем-
теплоемкость КЭ
С<е)= fc{M)dV
ve
по его узлам в виде сосредоточенных теплоемких масс та-
таким образом, что изменение внутренней энергии дискретной
системы совпадает с ее изменением в КЭ при непрерывных рас-
распределениях с(М) и T(t,M), M € Ve- Если зависимость с(М) от
координат точки М G Ve аппроксимировать в пределах этого
КЭ соотношением
m=l
где Cm — значение с(М) в узле с номером то, то вместо
равенства A1.31) получим
CIS Ec-?) 4>t){M)^\ML>^{M)dV. A1.32)
Отсюда в случае симплексных КЭ для трехмерной задачи при
Л^е = 4, используя A0.31), находим
) Зс
С + с + с ы 2c+2cS + c + C
11 ~ 60 е' 12~ 120 е'
а остальные значения С/„ получаем соответствующей переста-
перестановкой нижних индексов. Для двумерной GVe = 3) и одномерной
задач значения С,* нетрудно вычислить, используя A0.28) и
A0.19) соответственно.
Систему ОДУ A1.29) запишем в матричном виде
CT^- + KmQ = Qm, A1.33)
at
588 11. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
где С* и Л* — симметрические матрицы порядка N* с эле-
элементами Cln и Aln, L, N = 1, N*, соответственно; 0* и Q" —
матрицы-столбцы размера N* х 1 с элементами T^(t) и
(^ ) L=1,N*,
соответственно. Обращением матрицы С* систему A1.33) мож-
можно привести к нормальной системе ОДУ и для ее решения
использовать один из вариантов метода Рунге — Кутты. Од-
Однако обращение матрицы С* далеко не всегда оправдано с
точки зрения экономии вычислительных ресурсов ЭВМ при
полном решении задачи, особенно в тех случаях, когда суще-
существенна зависимость теплоемкости тела от температуры и эту
зависимость необходимо учесть путем решения A1.33) итера-
итерациями, последовательно уточняя элементы матрицы С.
Рассмотрим некоторые способы приближенного решения
системы A1.33), имея в виду для нелинейных задач возмож-
возможность учета зависимости от температуры не только теплоем-
теплоемкости, но и коэффициента теплопроводности тела. Используем
конечно-разностную аппроксимацию производной в A1.33) в
пределах интервала времени At^ = tk — ^-l > приняв
dt ~ Atk '
где индексы./: — 1 и к соответствуют моментам времени в нача-
начале и конце fc-го интервала. Применим двухслойную разностную
схему с весами и вместо A1.33) получим
Am), (П-34)
где г/ G [0, 1]. Индексы к — 1 и к в обозначениях матриц С* и Л*
указывают на то, что элементы этих матриц в общем случае
11.2. Задачи теплопроводности в твердом теле 589
не остаются постоянными. В частности, они могут изменяться
при изменении температуры в силу возможной зависимости от
нее теплоемкости и коэффициента теплопроводности тела.
В предельных случаях г) — 0 и г) — 1 A1.34) соответствует
явной и неявной разностным схемам аппроксимации A1.33).
Но в отличие от метода конечных разностей (МКР) выбор
г/= 0 не приводит к распаду A1.34) на независимые уравне-
уравнения относительно неизвестных узловых значений температуры.
Сохраняется лишь преимущество явной схемы, связанное с воз-
возможностью решения нелинейных задач без итераций на каждом
интервале времени, поскольку после обращения матрицы С^_1
можно разрешить A1.34) явно относительно искомой матрицы-
столбца
в; = е?_!
В правой части этого равенства все параметры известны или
могут быть вычислены по найденным на предыдущем итервале
времени (при к= 1 — по начальным) узловым значениям темпе-
температуры, составляющим матрицу-столбец О*к_г. Следует иметь
в виду, что использование явной схемы накладывает ограниче-
ограничение на выбор Atk иэ условия устойчивости (см. 8.3).
При 77= 1 A1.34) принимает вид
Выбирая A?;t, можно руководствоваться лишь соображения-
соображениями точности расчета, поскольку неявная схема устойчива при
любых значениях At к. В случае существенной зависимости
теплоемкости и коэффициента теплопроводности тела от тем-
температуры вычисления по A1.35) на каждом интервале времени
приходится проводить несколько раз, последовательно уточняя
значения элементов матриц С? и Л?. При слабой зависимости
этих элементов от температуры обычно достаточно ограни-
590 11. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
читься лишь первым приближением, приняв
) <»¦*>¦
Отметим, что в случае нелинейных граничных условий и зави-
t(q)
симости объемной мощности 1у знерговыделения от темпера-
температуры элементы матрицы-столбца Q*k также заранее неизвестны
при расчете на к-м интервале и возникает необходимость их по-
последовательного уточнения в A1.35) и A1.36).
Если в A1.24) приближенно принять
dT(t,M)^Tk(M)-Tk-i(M)
dt ~ Atk ' '
рассматривая правую часть A1.24) в момент времени tk, то в
соответствии с методом прямых получим последовательность
краевых задач для дифференциально-разностного уравнения
с граничными условиями Тк(Р) = fi(tk, Р), Р € Si, и
А(Р)vn(P)п(
= fi{tk,P)- Каждой иэ этих задач соответствует функционал
[XV]
%tf - hTk) ds,
S2
минимизируемый на распределениях температуры Тк(М), удо-
удовлетворяющих граничному условию Тк(Р) = f\(tk,P), P € Si,
11.2. Задачи теплопроводности в твердом теле 591
непрерывных на замыкании V = V U 5 и имеющих кусочно
непрерывные производные в области V, ограниченной поверх-
поверхностью 5. Используя процедуру МКЭ, этот функционал можно
привести к виду A1.18) и затем из условий его минимума полу-
получить СЛАУ вида A1.20), решение которой будет эквивалентно
A1.35). Но в случае нелинейной задачи, минимизируя такой
функционал, например, методом локальных вариаций, мож-
можно непосредственно найти приближенное распределение Tjt(M)
(Me V) температуры в момент времени ?*.
Выбор г]— 1/2 в A1.34) приводит к двухслойной симметрич-
симметричной разностной схеме и более высокому порядку погрешности
по Atk по сравнению с остальными значениями Т]. Того же
эффекта можно добиться, если для решения задачи нестацио-
нестационарной теплопроводности использовать КЭ в пространственно-
временной области*, однако и в том, и в другом случае необ-
необходимо уточнять элементы матриц С*, А* и Q* при решении
нелинейных задач.
Избежать последовательного уточнения элементов этих ма-
матриц можно с помощью неявной трехслойной разностной схемы
(П-37)
2At
устойчивой при любых значениях At. Здесь зависящие от тем-
температуры элементы матриц С'^_1, A*._x и Q*k_1 вычисляют по из-
известным на к-м интервале времени элементам матрицы-столбца
®Jc_ii соответствующим моменту времени tk-i в середине удво-
удвоенного интервала 2At — t\. — tk-2- Поэтому A1.37) можно явно
разрешить относительно искомой матрицы-столбца в*.. Отме-
Отметим, что при к = 1 из-за отсутствия информации об элементах
матрицы-столбца в*._2 для нахождения в*, придется использо-
использовать одну из двухслойных разностных схем.
*См., например: Зарубин B.C., Селиванов В.В.
592 П. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
11.3. Двумерное течение вязкой жидкости
Метод конечных элементов (МКЭ) можно применить к ре-
решению задач, математическая формулировка которых включа-
включает несколько искомых функций и в нее входит более чем одно
дифференциальное уравнение. В качестве примера, связанного
с решением системы уравнений, рассмотрим достаточно мед-
медленное установившееся двумерное течение однородной несжи-
несжимаемой вязкой жидкости параллельно координатной плоскости
XjOx2 (см. 3.2) в области F, ограниченной кусочно гладким
контуром Г. Такое движение описывает система трех уравне-
уравнений вида C.22)
где bi и dj — проекции на оси Ох, векторов плотности и
скорости объемных сил соответственно; р — давление; г\ —
коэффициент сдвиговой вязкости жидкости.
Разобьем область F на Е лагранжевых конечных элементов
(КЭ), образующих сетку КЭс общим числом N% узлов. На этой
сетке введем систему {<?лг}лге функций вида A1.17)
A1.39)
е=1 п=1
где <рп (М), п = l,Ne, — функции формы КЭ с номером е =
= 1, Е и числом узлов 7Ve; fij^ — элементы матрицы fie размера
Nt х TVs, устанавливающей соответствие между номерами узлов
в отдельном КЭ и в сетке КЭ (см. 10.3).
Приняв A1.39) в качестве проекционных функций, в соответ-
соответствии с условиями F.76) ортогональности невязки УУ^-мерному
подпространству %^.п гильбертова пространства % непре-
непрерывных на F функций, имеющих в F кусочно непрерывные
11.3. Двумерное течение вязкой жидкости 593
производные, умножим A1.38) на функцию (fi(M), L = 1, N^,
и проинтегрируем по области F:
)=0, .-=1,2, A1.40)
Здесь V2 — двумерный оператор Лапласа в плоскости \\O\2.
Функции <рь(М) имеют в области F кусочно непрерывные
производные по координатам ж,-, г =1,2. Поэтому, используя
первую формулу Грина, запишем
Г
-J{V<pL(M))Vvi(M)dF, г =1,2,
где V и п(Р) — двумерный оператор Гамильтона и единичный
вектор внешней нормали в точках Р6 Г контура Г соответ-
соответственно. Тогда вместо A1.40) получим
(M)^ dF +
+ r,J<pL{P)(Vvi(P))n(P)dr = O, i=l,2, L=TX. A1.42)
Г
Распределения давления и проекций скорости в области F
аппроксимируем при помощи их узловых значений рн и идг;
соотношениями
р(М) = ^2pNipN(M), Vi(M) = ^2 Wi<PN(M), i = 1, 2,
N=1 N=1
594 П. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
которые подставим в A1.41)
2 JVj
fF = 0, г= 1,2, L =
и A1.42)
JVy
JV=1
r
- V /
ЛГ=1
= O, *=1,2, 1 = 1,ЛГЕ.
iV=l
Отсюда следует система линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ) в матричной записи
DU = Q, A1.43)
где U — матрица-столбец размера SN-? X 1, элементами которой
являются
U3N = pN, i =1,2, N=\,
Матрица-столбец Q имеет тот же размер и элементы
11.3. Двумерное течение вязкой жидкости 595
и Qsl = 0, г =1,2, L=l,N-?. Элементами симметрической
матрицы D порядка 3iVs являются
= /
и Дзх,,злт = 0, г, j = l,2, L,N = l,Nz,rfle8ij = l при t = j и % = 0
при i ф j.
Отметим, что второй интеграл в выражении для Яз(Ь-\)+г
отличен от нуля, если узел с номером L принадлежит участ-
участку границы Г, на котором заданы значения (Vut)n. Так как в
выражениях для элементов матрицы D подынтегральные функ-
функции отличны от нуля лишь при условии, что узлы с номерами
L, N = 1, TVs принадлежат одному КЭ, то эту матрицу, а заодно
и матрицу Q удобнее формировать (аналогично матрицам те-
теплопроводности и теплоемкости) из вкладов отдельных КЭ.
Пусть в простейшем случае на контуре Г скорость жидкости
равна нулю, т.е. u;v'i — 0, i — 1, 2, во всех N\ узлах с номерами
N', принадлежащих границе, а в узле с номером iV» задано
значение давления р* (последнее необходимо для однозначного
нахождения давления в остальных узлах). Тогда для N* =
= 3iVs - 2N\ - 1 неизвестных узловых значений получим СЛАУ
D*U* = Q*, в которой симметрическая матрица D* порядка
N* получена из матрицы D вычеркиванием строк и столбцов
с номерами 3(iV — 1) + г, i =1,2, и 3iV», а матрица-столбец
U* размера N* X 1 — вычеркиванием строк с указанными
номерами из матрицы U. Для формирования матрицы-столбца
Q* размера N* х 1 предварительно следует составить матрицу-
столбец Q размера N* х 1 с элементами
ьг(М) -
596 П. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
и Qzl = 0, г= 1, 2, L — 1, TVs, а затем вычеркнуть из нее строки
с указанными выше номерами.
В более общем случае могут возникнуть трудности при за-
задании корректных граничных условий для давления (см. 3.2).
Тогда для решения задачи целесообразно использовать равно-
равносильное системе A1.38) уравнение вида C.27)
AL44)
относительно функции тока ф(М), М ? F. Проследим путь
применения МКЭ к решению краевой задачи, описываемой
A1.44) с характерными для функции тока граничными усло-
условиями вида C.29):
ф(Р)=/о(Р), |^ = /1(П Р€ Г! С Г; A1.45)
(П-46)
где п(Р) — направление внешней нормали к границе Г в точке
Р € Г; fo(P) и fi(P) — заданные функции положения точки на
этой границе, а число \p° положим равным нулю.
Краевой задаче A1.44)-A1.46) соответствует функционал*
A1.47)
где функция /(М), М € F, равна правой части A1.44), мини-
минимизируемый на функциях, непрерывно дифференцируемых на
замыкании F = FUF, имеющих кусочно непрерывные вторые
производные в области F и удовлетворяющих A1.45). Убе-
Убедимся, что стационарная точка этого функционала является
'См., например: Ректорис К.
11.3. Двумерное течение вязкой жидкости 597
решением рассматриваемой краевой задачи. Для этого вычи-
вычислим вариацию функционала A1.47), вызванную вариацией 8ф:
,8ф] = f{V2ф)V28фdF- /f5xl>dF. A1.48)
F F
Преобразуем первый интеграл в A1.48) при помощи второй
формулы Грина, положив в ней и = У2ф и v = 8ф:
= I
- /
. A1.49)
Последний интеграл в правой части A1.49) исчезает, так как
на контуре значения ф в соответствии с A1.45) и A1.46) заданы
и поэтому 8ф = 0.
Второй интеграл в правой части A1.49) представим в виде
({Ч2ф){У8ф)пйТ= 1{У2ф)8{Чф)пйТ+ (
г2
Здесь интеграл по участкам Т\ контура будет равен нулю,
поскольку на этих участках в соответствии с A1.45) заданы
значения [Чф)п и поэтому 8(Фф)п = 0. В итоге с учетом A1.48)
и A1.49) условие стационарности функционала A1.47) примет
вид
,8ф]= I [Ч2{Ч2ф)- f)8il>dF+ f{1V2фЩVф)пdГ = O.
F Г2
При произвольных вариациях 8ф в области F и на участках Гг
ее границы зто условие будет выполнено, если ф удовлетворя-
удовлетворяет A1.44) и A1.46), т.е. является решением рассматриваемой
краевой задачи.
598 11. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
Функционал A1.47) будет строго выпуклым, если для любых
функций ф\ ^ V;2, на которых его допустимо рассматривать,
при а ? @, 1) выполнено строгое неравенство [XV]
ЩФиФ?) = aJtyi] + (l-ff)JW - ^Mi+A-<t)V^] > 0. A1.50)
При исследовании функционала на выпуклость в его предста-
представлении можно опустить линейное относительно функции ф сла-
слагаемое [XV]. Тогда с учетом A1.47) и A1.50) получим
- f
поскольку неравенство значений функций ф\ и ф2 хотя бы
в одной точке М ? F в силу непрерывности этих функций
означает, что ф\ - фъ ф 0 в некоторой окрестности такой точки.
Так как вариация A1.48) строго выпуклого функционала
A1.47) линейна относительно 6ф всюду в его области опреде-
определения, то всюду в этой области существует его дифференциал
Гато. Кроме того, функционал A1.47) имеет единственную
стационарную точку [XV], в которой он достигает наименьше-
наименьшего значения.
Отсюда следует, что краевая задача A1.44) -A1.46) име-
имеет единственное решение, а условие минимума функционала
A1.47) можно использовать в качестве интегральной форму-
формулировки этой задачи. Так как функционал A1.47) допустимо
рассматривать на функциях, непрерывно дифференцируемых
на замыкании F, то при разбиении области F необходимо
использовать сетку КЭ, обеспечивающую гладкую аппрокси-
аппроксимацию функций не только в пределах отдельных элементов, но
П.З. Двумерное течение вязкой жидкости 599
и при переходе через их границы. Это обстоятельство требу-
требует применения эрмитовых КЭ, узловыми параметрами которых
наряду со значениями искомой функции являются и значения ее
производных. В частности, можно использовать треугольные
КЭ с шестью узлами и функциями формы в виде многочленов
пятой степени (см. 10.2), что позволит при решении задачи по-
получить не только значения функции тока во всех узлах, но и
значения проекции скорости в вершинах треугольников, выра-
выражаемые через производные функции тока по координатам я,,
i= 1,2 (см. 3.2).
Отметим, что процедура применения МКЭ при использова-
использовании эрмитовых КЭ остается прежней. После разбиения области
F на Е эрмитовых КЭ представим функционал A1.47) в виде
A1.51)
e=l
где Je[i/)] — вклад в функционал КЭ с номером е = 1, Е и пло-
площадью Fe. Распределение функции тока в пределах отдельного
КЭ с номером е аппроксимируем соотношением
^(М) = Ф>(е)(М), A1.52)
где Фе и Ф^(М) — матрицы-столбцы размера N'e X 1, элемен-
элементами которых являются узловые параметры и функции формы
), п = 1, iVg, КЭ соответственно, N'e — общее число узло-
узловых параметров (а не узлов!) КЭ. С учетом A1.52) имеем
0 ф^е\ (^фJ = ^еВе(^еВе)\ ,-=1,2, A1.53)
где В\ — матрица-столбец размера N'e X 1 с элементами
^" ^—-, а Ве — блочная матрица размера Л^ х 2, блоками
которой являются матрицы В\ .
600 П. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
Используя A1.52) и второе соотношение A1.53), для вклада
КЭ с номером е = 1, Е в функционал J[rp] получаем
1 Е Г ~ f
— -Ф^Л^^Фе — Фе^^\ A1.54)
где А^ — симметрическая матрица порядка N'e с элементами
матрица-столбец размера iV^X 1 с элементами
В A1.54) перейдем от локальной нумерации узлов к глобаль-
глобальной (см. 10.3) при помощи матриц Пе размера ./Ve x N%, e = 1, Е,
где iVj; — общее число узловых параметров (а не узлов!) сетки
КЭ. Тогда после подстановки A1.54) в A1.51) получим
A1.55)
где Ф — матрица-столбец размера ЛГ? X 1 значений функции
тока и ее производных в узлах сетки КЭ; А — симметрическая
матрица порядка iV^ с элементами
е=1 ;=1 п=1
11.3. Двумерное течение вязкой жидкости 601
причем Г^дг — элементы матрицы f2e; Q — матрица-столбец
размера N% x 1 с элементами
е=1 п=1
Правая часть A1.55) является конечномерным аналогом
Jbl>N'] функционала A1.47), полученным при использовании
метода Ритца и соответствующим элементу
A1.58)
N=1
последовательности, минимизирующей этот функционал, при-
причем Ф(М) — матрица-столбец размера N^ x 1, элементами ко-
которой являются функции
Е Ne
ММ) = ??ПпМе)(М). ЛГ = 1,ЛГ?. (П.59)
е=1 п=1
Эти функции определены на сетке КЭ и образуют базис конеч-
конечномерного функционального пространства.
Ясно, что правую часть A1.55) можно представить много-
многочленом второй степени относительно Nj> переменных ф^:
L=lN-l L=l
Так как минимизируемый функционал A1.47) ограничен сни-
снизу [XV], то функция A1.60) также ограничена снизу, поскольку
в этом случае для минимального значения функционала, дости-
достигаемого на функции ф*(М), М G F, справедливо неравенство
J[i>*] ^ Jbl>N']- Поэтому функция A1.60) также достигает ми-
минимума при некотором наборе значений фм, N — 1, N^.
602 11. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
В общем случае часть узловых значений функции тока и ее
первых производных в A1.60) может быть задана, если суще-
существуют узлы, принадлежащие участкам Гх границы, поскольку
A1.58) должно удовлетворять граничным условиям A1.45) на
FV Пусть число заданных узловых значений в таких узлах
равно N[, а число искомых узловых значений составляет /V* —
= N^ — N[ и их номера упорядочены так, что N = 1, N". Тогда
из необходимых условий — =0, L = 1, N', минимума функ-
ции A1.60) с учетом Aln = Anl получим СЛАУ
N* W?
Y^ N,, L = l,N\ A1.61)
N=l N'=N* + \
Если же участки Pi границы отсутствуют, то N* = N^ и сумма
в правой части A1.61) исчезает.
Отметим, что матрица СЛАУ A1.61) и симметрическая ма-
матрица D СЛАУ A1.43) являются слабозаполненными. Поэтому
для численного решения СЛАУ с такими матрицами целесо-
целесообразно использовать способы, позволяющие сокращать число
арифметических операций и экономить память ЭВМ*.
11.4. Задачи теории упругости
Переменное во времени t векторное поле малых переме-
перемещений u(t,M), M 6 V, в однородном линейно упругом теле,
занимающем область V, можно описать уравнениями Ламе в
векторной форме C.35), если их левую часть заменить на р°'—-г-
С/Г
(см. 3.3), где р° = const — плотность материала тела. Тогда в
проекциях на оси Ox,-, i— 1,3, декартовой прямоугольной сис-
системы координат эти уравнения примут вид
AL62)
"См.: Джордж А., Лю Док., а также: Писсанецки С.
11.4. Задачи теории упругости
603
Здесь щ и Ь, — проекции на координатные оси векторов пере-
перемещений и плотности объемных сил соответственно; А и /} —
константы Ламе; 0 = —-!¦ — объемная деформация (здесь и
далее происходит суммирование слагаемых по повторяющему-
повторяющемуся нижнему индексу).
Статическая задача. Рассмотрим сначала статическую
задачу теории упругости, положив в A1.62)
соответствует уравнениям равновесия B.87)
dt2
= 0, что
Ь, = 0, г, j = 1,3,
A1.63)
где (Tij — компоненты тензора напряжений, причем <j{2 = ст^.
На участках S\ и S<i =S\S\ поверхности 5, ограничивающей
область V (рис. 11.2), примем граничные условия
Ре 5,
A1.64)
где и°(Р) и р°(Р) — заданные функции координат точки Р;
п} = nej — направляющие косинусы единичного вектора п
внешней нормали к поверхности S2, причем е^, j; = 1, 3, — орты
декартовой прямоугольной системы координат.
п(Р)
Х2
Рис. 11.2
604 11. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
Покажем, что стационарная точка функционала
ЯЛ \ Г Г
f\% i Л'Л^ I IT / I L IT/ / О JO /11 np\
—в +Mi I аК — / biUidv — I Pi Uidb, A1.65)
v v s2
где с учетом соотношений Коши C.30)
A1.66)
*,i=T73, (п.67)
(sij=Sji, i,j— 1,3, — компоненты симметрического тензора
деформаций), на множестве функций Uj, дважды непрерыв-
непрерывно дифференцируемых на замыкании V = V U 5 области V и
удовлетворяющих первому условию A1.64), является решением
рассматриваемой краевой задачи. Действительно, вычисляя ва-
вариацию этого функционала, вызванную вариациями <Ju,, i— I, 3,
и учитывая равенства -^- = &ij^~, где <?,j — компоненты еди-
ничного тензора второго ранга (т.е. Sij = 1 при i — jn Sij = 0
при гфз), получаем
- fbiSuidV- fp°SutdS.
s2
Подынтегральную функцию в первом интеграле, используя
соотношения обобщенного закона Гука C.31), преобразуем к
виду
дбщ дбщ
доц . до
поскольку OjiSui можно рассматривать как проекции вектора
OjiejSui на оси координат Oxj, j = 1,3. В итоге, используя
11.4. Задачи теории упругости 605
формулу Гаусса — Остроградского A.18) и учитывая, что
(Gjiej6ui)n = UjiUjSui, находим
6J[u,6ui]= (TjiTijSuidS- (-^- + ьАбщ+ (ajiTij-p°NuidS.
Si V S2
В этом равенстве первый интеграл обращается в нуль,
поскольку функции щ должны удовлетворять первому условию
A1.64), так что 6щ(Р) =0, i = 1, 3, при Ре 5i- В стационарной
точке и* функционала A1.65) J[u*,Sui\ = 0, г = 1, 3. Поэтому
при произвольных вариациях 6щ на участках поверхности 5г и
в области V из равенства нулю второго и третьего интегралов
следует, что проекции и* должны удовлетворять A1.63) и
второму условию A1.64) соответственно, т.е. функции и* будут
решением задачи A1.63), A1.64).
Входящие в функционал A1.65) скалярные величины 9 и Т
являются инвариантами первого и второго порядка [IV] тензо-
тензора деформаций ?, т.е. свертками этого тензора, и не зависят
от выбора координатных осей. Первая из них является следом
симметрической матрицы третьего порядка, соответствующей
е. Эту матрицу ортогональным преобразованием можно при-
привести к диагональному виду с элементами ?i, 62 и ?з на главной
диагонали, которые имеют смысл линейных деформаций (удли-
(удлинений) вдоль осей нового базиса. В этом базисе в соответствии
с A1.66), A1.67) будем иметь
i,j = M- A1.68)
Функционал A1.65) будет строго выпуклым, если для любых
функций iii(М) ф. щ(М) с проекциями и\ ' и и\ ', i = 1,3,
удовлетворяющими первому условию A1.64), при а € @,1)
Щщ,и2) = crJ[ui] + A-ct)J[u2]-J[crui + A-а)и2]>0. A1.69)
В соответствии с соотношениями Коши C.30) обозначим
606 U. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
Тогда с учетом A1.66), A1.67) и A1.69) получим
R(UUU2) = \
V
Ц^ f(
Aei3AetjdV > 0,
поскольку первый интеграл в правой части неотрицателен,
а второй положителен, так как неравенство щ(М) ф ui(M),
М € Vl>S2, означает, что Ащ{М) = и\1)(М) -и^](М)ф0 хотя
бы для одного из значений i— 1,3, причем Ащ(Р) = 0, РЕ Si,
т.е. Ди,(М) не может быть константой. Поэтому хотя бы один
из компонентов Де^- тензора А? в некоторой точке Мб К (а в
силу непрерывной дифференцируемости функций U{ — и в ее
окрестности) будет отличен от нуля. Тогда при ортогональ-
ортогональном преобразовании к диагональному виду симметрической
матрицы, соответствующей этому тензору, хотя бы один из эле-
элементов на главной диагонали будет отличен от нуля, поэтому с
учетом A1.68) функционал A1.65) является строго выпуклым
на рассматриваемом множестве функций.
Так как вариация 5J[u,5ui\ функционала A1.65) линейна от-
относительно Sui всюду в области его опеределения, то у него
всюду в этой области существует дифференциал Гато [XV]. По-
Поэтому строго выпуклый функционал A1.65) имеет единствен-
единственную стационарную точку, в которой он достигает наименьшего
значения [XV]. Таким образом, задача A1.63), A1.64) имеет
единственное решение, а A1.65) входит в интегральную фор-
формулировку этой задачи.
11.4. Задачи теории упругости 607
Используем функционал A1.65) для решения задачи A1.63),
A1.64) методом конечных элементов (МКЭ). Если считать
границы между соседними конечными элементами (КЭ) по-
поверхностями слабого разрыва функции перемещений, то этот
функционал можно рассматривать на множестве непрерывных
функций щ, непрерывно дифференцируемых лишь в пределах
отдельных КЭ (см. 6.10). Поэтому возможно использование
лагранжевых КЭ, в том числе симплексных.
Разобьем область V на Е лагранжевых КЭ, каждый из
которых имеет Ne узлов и занимает область Ve, е = 1, Е. Общее
число узлов образованной таким образом сетки КЭ обозначим
N-?. Тогда вместо A1.65) с учетом свойства аддитивности
интеграла по области V получим
Je[u}, A1.70)
е=1
причем вклад КЭ с номером е в значение функционала J[u]
Je[u}= I(^(ОJ + ДТ -biU^dV - Jp°UidS. A1.71)
Второй интеграл в правой части A1.71) отличен от нуля лишь
при условии, что граница данного элемента имеет общие участ-
участки с поверхностью 5г, т.е. 5? = Se П5г ф 0.
В пределах каждого КЭ с номером е векторное поле пере-
перемещений «(М), М 6 Ve, приближенно представим матричным
выражением вида A0.53):
(/е(М)=((/(е))Тфе(М), MeVe, A1.72)
где U^ — матрица размера Ne X 3 (в случае трехмерной зада-
чи) с элементами ит , п = 1, /Vf) г — 1, 3, равными искомым уз-
узловым значениям проекций Ui(M) вектора перемещений и{М):
608 11. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
Ue{M) — матрица-столбец размера 3x1, элементами которой
являются координатные функции ще'(М) векторной функции
u(e)(M), M e Ve, аппроксимирующей в этом КЭ функцию и(М);
Фе(М) — матрица-столбец размера Ne X 1, элементами которой
являются функции формы ifn' (M) КЭ, зависящие от координат
х\е)(М) точки M€Ve.
Выразим вклад Je[u] КЭ с номером е в функционал A1.65)
через искомые узловые значения w^y. В соответствии с A0.52)
при г— 1, 3 и п = 1, Ne
4 ^Vl) MZVe, A1.73)
где ?/¦ — матрица-столбец размера Ne x 1, являющаяся одним
из трех блоков матрицы U^. Аналогично в пределах КЭ
A1.74)
где Ь^' и р^у, п = 1, Ne, t = 1, 3, — узловые значения проекций
векторов плотности объемных и поверхностных сил соответ-
соответственно.
Используя A0.52), A0.57), A1.66), A1.67) и A1.73), для об-
общего случая зависимости А(М) и Д(М) от положения точки
М G Ve находим (опуская обозначение этой точки и приме-
применяя правило суммирования по повторящимся нижним индексам
i,j=l73, m,n,q=l,Ne)
Подставляя эти соотношения, а также соотношения A1.73),
A1.74) в равенство A1.71), для вклада КЭ с номером е в
11.4. Задачи теории упругости 609
функционал A1.65) получаем
~ЪШ f №№dV -?}п% f №№dS. A1.75)
Из A1.75) следует, что Je[u] аппроксимируется квадратич-
квадратичной функцией 3iVe переменных ч^ . Это позволяет вариацию
функционала A1.65), используя A1.70), представить в виде
=т^- AL76)
e=l
Учитывая, что —щ- = $'im$jk, где 8'1т = 1 при 1 = т н 6\т — 0 при
1ф т, /, m = I, iVe, из A1.75) находим
+
~ bni^'lmSik [ v'mVn'* dV ~ Pni S'lmSik [ VmVi^ ^^ A1-77)
V. 5!
610 11. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
Так как <Рт Sim = <Pn Sin = <р\> \ а результат суммирования по
повторяющемуся индексу не зависит от обозначения этого
индекса, то второй и третий интегралы в правой части A1.77)
равны. Кроме того, Sik-^— = -тг— а также
дх, дхк
t дХ]
=
nl
mi д д пз д
j дхк mi дх{ дхк пз дх, дхк
dXj \u»k dXj +и«> дхк )+ дхг Vй- дхк
~гдхТ пк дх{ +2dxju^ дхк ~
-1ич\дх3 дхк +6>к дхг dxi у
В итоге A1.77) примет вид
^r«4e!n^S-^' **=1Д ',«=ттж, (П.78)
ди\к
где
vc
П.4. Задачи теории упругости 611
A1.80)
Элементы Ajfcinj- составляют симметрическую матрицу К^ по-
порядка ЗЛ/е, называемую .матрицей экесткости _К\Э, а эле-
элементы bik — матрицу-столбец ?Ке) размера 3Ne x 1. Отметим,
что при использовании симплексных КЭ в виде тетраэдров (для
трехмерной задачи) -^— = <fik =const, так что с учетом A0.31)
где А^е) и /7(е) — средние арифметические узловых значений
констант Ламе КЭ с номером е = 1, Е.
Подставив A1.78) в A1.76), запишем необходимое условие
J[u,6u] = 0 экстремума функционала A1.65):
e=l
Чтобы использовать это условие для нахождения узловых зна-
значений перемещений, перейдем в нем при помощи матриц Qe,
е = 1,Е, устанавливающих соответствие между номерами уз-
узлов каждого КЭ с номерами N узлов сетки КЭ (см. 10.3), от
и„- и 6и\е, к unj и Suik, L, N — 1, Л/е> соответственно:
]:Ui 0, j,k = h$, A1.81)
e=l
или в матричной записи SUT{KU - В) = 0, где К — симметри-
симметрическая глобальная матрица жесткости порядка З/Vs с
элементами
е-\
612 11. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
U и В — матрицы-столбцы размера 3/Vj; x 1 с элементами
и bik = Y1 ш\ь "il соответственно.
е=1
Если игнорировать граничные условия A1.64), заданные на
участках S\ поверхности 5, то вариации 5uik в A1.81) можно
считать произвольными, что приводит к системе линейных
алгебраических уравнений (СЛАУ)
L,N = 1,NE, j, ft =1,3, A1.82)
или в матричной записи KU = В. Однако в узлах сетки
с номерами TV', соответствующих точкам P^i ? Si, значения
uNij = ul(PNi) заданы, т.е. в A1.81) 8и^к = 0 при L = /V'.
Упорядочим номера N' так, чтобы N' = /V*+l, /Vs, где N* =
= /Ve — TVi и /Vi — общее число узлов на участках Si. Тогда в
остальных узлах с номерами L — N = 1, N* вариации би^к будут
произвольны.
Таким образом, условие A1.81) будет выполнено, если ис-
искомые узловые значения unj, N — 1, TV"*, удовлетворяют СЛАУ
K*U* — В", где К* — симметрическая матрица порядка 3/V?,
полученная из глобальной матрицы жесткости К вычерки-
вычеркиванием строк и столбцов, соответствующих номерам N' =
= /V*+l, TVj;, a U* и В* — матрицы-столбцы размера 3/V* х 1 с
элементами ujijj, N = 1, /V*, и
соответственно. Отметим, что матрица К* является слабоза-
полненной, поскольку любой ее злемент отличен от нуля лишь
в том случае, если номера строки и столбца соответствуют
номерам узлов сетки, принадлежащих одному и тому же КЭ.
Это позволяет использовать для численного решения СЛАУ с
такой матрицей способы, приводящие к экономии вычислитель-
вычислительных ресурсов ЭВМ*.
'См.: Джордж А., Лю Дж., а также: Писсанецки С.
11.4. Задачи теории упругости 613
Динамическая задача. Перейдем к рассмотрению дина-
динамической задачи теории упругости, описываемой уравнения-
уравнениями Ламе A1.62), которым соответствуют уравнения движения
B.85)
Аналогично статической задаче теории упругости на участках
Si и Si = S\Si поверхности 5, ограничивающей область V
(см. рис. 11.2), зададим граничные условия вида A1.64)
u,-(t,P) = «?(*,F), PeSi; atJ(t,P)nJ(P)=p°(t,P), P€53>
где u°(i, Р) и p°(t, Р) — заданные функции времени и координат
точки Р. В качестве начальных условий примем зависимости
проекций м,@,М) = щ(М) перемещений и "'у—- = и,(
скоростей от координат точек М ?V в момент времени t = О,
принимаемый за начало отсчета.
Сформулированной задаче не удается поставить в соот-
соответствие функционал, для которого ее решение было бы его
точкой экстремума. Поэтому в качестве интегральной фор-
формулировки этой задачи примем условия F.76) ортогональности
невязок, которые возникают при подстановке в A1.83) и в гра-
граничные условия искомого приближенного решения, TVs-мерному
(по числу узлов сетки лагранжевых КЭ в области V) подпро-
подпространству %n-? гильбертова пространства % непрерывных на
V = VL)S функций, имеющих в V кусочно непрерывные произ-
производные и принимающие на S\ нулевые значения. Это решение
будем искать в форме
M?V, i = 1,3, A1.84)
лг=1
где UNi(t) — зависящие от времени проекции перемещений в
узлах сетки КЭ, а линейно независимые функции формы узлов
614 П. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
этой сетки
Е
N = TJb, A1.85)
e=l
обрадуют базис TVg-мерного подпространства.
Можно показать*, что указанные условия ортогональности
приведут к системе ЗЛ^е обыкновенных дифференциальных
уравнений (ОДУ)
mLN8k]d U^ + kLk,NiuNj(t) =bLk{t), A1.86)
L,N = l,Nz, fc,j = l,3, с начальными условиями
= uj(M]y), где Mn € V — точки, соответствующие узлам с
номерами N. Отметим, что элементы Ь^к в общем случае могут
зависеть от времени, поскольку в них входят заданные в A1.83)
и граничных условиях функции Ьк и р?, к = 1, 3, вообще говоря,
зависящие от t.
Входящие в A1.86) значения
fhLN = J P°{M)<pL{M)<pN(M)dV
v
являются элементами симметрической глобальной матрицы
масс М порядка TVg. Ее (как и глобальную матрицу жестко-
жесткости) удобнее формировать из вкладов отдельных КЭ. Учитывая
A1.85), эти значения можно представить в виде
= ? /V(M) (n?V!e
In
e=l
*См.: Зарубин B.C., Селиванов В.В.
11.4. Задачи теории упругости 615
где
mln
= J' P°(M)<p\e\M)<pV(M)dV.
Элементы m)^', I, n = l,iVe, образуют симметрическую леа-
трицу масс КЭ с номером е, имеющую порядок 7Ve. Эти
элементы распределяют массу КЭ
= fP°{M)dV
т
по его узлам в виде сосредоточенных масс так, что измене-
изменение кинетической энергии дискретной системы совпадает с ее
изменением в КЭ при непрерывных распределениях плотности
р°(М) и проекций "'у—'-, М ? Ve, скорости*. Матрица масс
аналогична матрице теплоемкости. Поэтому для вычисления
ее элементов в случае симплексных КЭ можно использовать со-
соотношения, полученные для матрицы теплоемкости (см. 11.2).
Чтобы представить A1.86) в матричной записи, перейдем
к глобальной матрице масс М порядка 3N% с элементами
mLk,Nj = ™3(L-i)+k,3(N-i)+j — mLN&kj и запишем
~M^?- + KU = B. A1.87)
Снова примем, что в N\ узлах сетки с номерами N', соответ-
соответствующих точкам Pjyi € Si, в силу граничных условий заданы
зависимости uNii(t) = u°(t,P'N). Поэтому вместо A1.87) будем
иметь
J2 г г*
^ A1.88)
где М — симметрическая матрица порядка 37V* = 3GVj; — iVj),
полученная из матрицы М вычеркиванием строк и столбцов,
соответствующих номерам N' =¦ iV*+l, TVj;, a U* и В* — матри-
*См., например: Зарубин B.C., Селиванов В.В.
616 11. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
цы-столбцы размера 3JV* х 1 с элементами UNj(t), N = 1, N*, и
_ d2u){t,PN,)
-™Lk,N'j ^2
соответственно. От A1.88) обращением матрицы М* можно
, перейти к нормальной системе ОДУ и найти решение этой
системы с учетом заданных начальных условий численно, на-
например, методом Рунге — Кутты.
11.5. Электромагнитное поле
в цилиндрическом волноводе
При проектировании устройств для передачи энергии элек-
электромагнитными волнами возникает необходимость анализиро-
анализировать электромагнитное поле в волноводе— цилиндрическом ка-
канале (не обязательно с круговым поперечным сечением), обра-
образованном электропроводными (обычно металлическими) стен-
стенками*. Примем, что стенки волновода являются идеальными
проводниками, что соответствует поверхности, отражающей
без потерь падающую на нее волну (аналогично прохождению
света через трубу с зеркальной внутренней поверхностью).
Пусть среда, заполняющая волновод, имеет значения диэлек-
диэлектрической и магнитной проницаемостей ?= 1, /х = 1 и в ней
отсутствуют электрические токи и заряды. Тогда при рас-
распространении в волноводе электромагнитной волны с частотой
и форма волны для любой проекции векторов напряженности
электрического Е и магнитного Н полей, описываемая функ-
функцией и пространственных координат, удовлетворяет уравнению
Гелъмголъца C.60)
V2u + fc2u = 0, * = -, A1.89)
где ей 2,9979 • 108м/с — скорость света в вакууме.
*С.м.: Сильвестер П., Феррари Р.
11.5. Электромагнитное поле в цилиндрическом волноводе 617
Ось Ох3 декартовой прямоугольной системы координат на-
направим вдоль образующей цилиндрического волновода с про-
произвольным замкнутым контуром Г его поперечного сечения,
ограничивающим односвязную область F (рис. 11.3). Вдоль
этой оси в достаточно длинном волноводе могут распростра-
распространяться бегущие волны [XII]. Опишем изменение формы одной
из таких волн в направлении оси Охз функцией cos/Зхз @ > 0)
и примем, что в этой волне Яз = 0, т.е. отсутствует проек-
проекция вектора Н на ось Охз. В этом случае проекции Н\ и
Hi вектора Н, а также проекции Е\ и Е^ вектора Е можно
выразить через проекцию Ез [XII]. Так как в идеальном про-
проводнике вектор напряженности электрического поля является
нулевым, а на внутренней поверхности стенок волновода как
на поверхности разрыва тангенциальная проекция вектора Е
в соответствии с C.89) непрерывна, то Е3 = 0 в точках Р ? Г.
X2
r F
г
0
\
p
л
Рис. 11.3
Подставляя и — Ез = 10B:1,2:2)cos/За:з в A1.89), получаем
уравнение Гельмгольца относительно функции го(М) = ги(х1,х2)
двух переменных:
V\w + Xw = 0, A1.90)
где V^ — двумерный оператор Лапласа в координатной плос-
плоскости Х1ОХ2, а А = к2 — E2. Эта функция должна удовлетворять
однородному граничному условию
PET.
A1.91)
618 11. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
Отсюда следует, что в волноводе возможно распространение
волн рассматриваемого типа лишь с такими значениями /3, для
которых при заданных значениях к существует ненулевое реше-
решение краевой задачи A1.90), A1.91), т.е. задачи на собственные
значения для оператора Лапласа V\. Этот оператор при усло-
условии A1.91) является положительно определенным (см. Д.5.3) и
все его собственные значения А„, п 6 N, положительны (см. 5.4).
Таким образом, каждому собственному значению А„ > 0 со-
соответствуют значение /Зп — \/к2 — \п и собственная функция
го(М), М ? F, характеризующая форму волны в плоскости
поперечного сечения волновода. Наименьшему собственному
значению Ai отвечает также наименьшая (называемая крити-
критической) частота w, = cy/\[, ограничивающая снизу частоты
электромагнитных волн, которые могут распространяться в
рассматриваемом волноводе. Следовательно, наименьшее соб-
собственное значение Ai задачи A1.90), A1.91) позволяет вычи-
вычислить одну из важнейших характеристик волновода. Это значе-
значение для волновода с произвольным поперечным сечением можно
найти при помощи метода конечных элементов (МКЭ).
Для применения МКЭ от краевой задачи A1.90), A1.91)
перейдем к ее вариационной формулировке, содержащей функ-
функционал
J[w] = ~J{(VwJ-Xw2)dF, A1.92)
F
минимизируемый на множестве непрерывных функций w(M),
принимающих в соответствии с A1.91) нулевое значение на
контуре Г и имеющих в области F кусочно непрерывные про-
производные. Используя аналогичную описанной выше (см. 11.2)
процедуру разбиения области F на Е конечных элементов (КЭ)
с общим числом TVg узлов и необходимые условия минимума
функционала A1.92), получаем однородную систему линейных
алгебраических уравнений (СЛАУ)
A1.93)
11.5. Электромагнитное поле в цилиндрическом волноводе 619
где W -— матрица-столбец размера Nx; x 1, элементами которой
являются узловые значения функции го; А и В — симметриче-
симметрические матрицы порядка N% с элементами
е=1 /=1 п=1 е=1 /=1 п=1
В этих равенствах
t=1
^njv — элементы матрицы Пе, устанавливающей соответствие
между нумерацией узлов в каждом КЭ с номером е = \,Е и
глобальной нумерацией, а у>„ , п — l,Ne) — функции формы
этого КЭ, имеющего ./Ve узлов и занимающего область Fe.
Пусть iVi узлов, принадлежащих контуру Г, имеют номера
N = yV»+l, N%, где N* — Nz - N\. Поскольку в этих узлах
заданы нулевые значения функции w, вместо A1.93) имеем
однородную СЛАУ
N.
^2{Aln ~ ^BLN)WN = 0, L = l,yV,. A1.94)
N=l
Элементы Ацч и Вцч в A1.94) составляют симметрические
матрицы Л» и В» порядка JV* соответственно, полученные вы-
вычеркиванием из матриц А и В последних N\ строк и столбцов.
С помощью этих матриц A1.94) можно представить в матрич-
матричной записи
A.W. = \B*W*, A1.95)
где W» — матрица-столбец размера N* х 1, элементами которой
являются значения функции w во внутренних узлах сетки КЭ.
620 U. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
Матрица В является положительно определенной. Это
свойство сохраняет и матрица В». Поэтому существует мат-
матрица В, обратная к матрице В», так что искомое значение
Ai будет наименьшим корнем характеристического уравнения
det(y4»B~1 - А/») = 0 матрицы А+В'1, где /» — единичная
матрица порядка N*. Существуют различные способы решения
такого уравнения [II], [IV].
Матрица АВ~1 в общем случае не является симметриче-
симметрической. Поэтому более удобный способ нахождения собственных
значений и собственных векторов СЛАУ A1.95) связан с ис-
использованием разложения Холецкого В* = SS , где S — ниж-
нижняя треугольная матрица порядка N,. Тогда после умножения
A1.95) слева на S~l получим
или
Ау = Ху, A1.96)
где A = S~1Am(S~1) ¦—симметрическая матрица, а у — S W* —
iV.-мерный вектор, координаты которого являются линейными
комбинациями значений функции w во внутренних узлах сетки
КЭ и характеризуют форму волны.
Задачу нахождения собственных значений и собственных
векторов СЛАУ вида A1.96) обычно называют алгебраиче-
алгебраической проблемой собственных значений. Алгоритмы численного
решения этой проблемы хорошо разработаны и входят в мате-
математическое обеспечение современных ЭВМ*.
Отметим, что аналогичная рассмотренной задача возника-
возникает при исследовании акустических колебаний в цилиндрическом
канале, по которому распространяется бегущая звуковая волна.
В замкнутом объеме, называемом резонатором, могут возник-
возникнуть стоячие акустические или электромагнитные волны. Их
частота и форма также удовлетворяют уравнению Гельмгольца
* См., например: Воеводин В.В., а также: Уилкинсон, Райнш.
Вопросы и задачи 621
соднородными граничными условиями. Краевая задача A1.90),
A1.91) описывает установившиеся колебания гибкой мембра-
мембраны, закрепленной по контуру Г. К этой же задаче приводит
анализ возможности теплового взрыва в твердом теле с вну-
внутренними источниками энерговыделения, объемная мощность
которых возрастает с увеличением температуры*.
Вопросы и задачи
11.1. Вывести A1.11) и A1.12).
11.2. Получить A1.20).
11.3. Вычислить значения С}„ в A1.32) в случае одномер-
одномерных и двумерных симплексных конечных элементов.
11.4. Получить выражения для элементов матрицы А(е),
входящей в A1.54).
11.5. Вывести формулы A1.79) и A1.80).
11.6. Проверить справедливость выражений для элементов
глобальной матрицы масс, входящих в A1.86).
11.7. Вывести выражения для элементов матриц А а В в
A1.93) в случае одномерных и двумерных симплексных конеч-
конечных элементов.
*См.: Зарубин B.C., 1983.
12. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД
ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Одним из эффективных путей приближенного решения за-
задач математической физики является использование их инте-
интегральной формулировки в сочетании с применением метода
граничных элементов (МГЭ). Этот метод можно рассматри-
рассматривать как модификацию метода конечных элементов (МКЭ)
для аппроксимации искомых функций, но не в области V ре-
решения задачи, а на ее границе S. Это позволяет понизить
размерность решаемой задачи: вместо трехмерной задачи в
пространственной области решать двумерную задачу на огра-
ограничивающей поверхности, а вместо двумерной — одномерную
на ограничивающем плоскую область контуре.
В теоретической основе МГЭ лежит переход от задачи, опи-
описываемой дифференциальными уравнениями с частными про-
производными, к ее интегральной формулировке. Но в отличие от
МКЭ эта формулировка включает интегралы от искомых фун-
функций и их производных, вычисляемые лишь по границе области.
Интегральные уравнения, содержащие такие интегралы,
принято называть граничными.
12.1. Граничные интегральные уравнения
Рассмотрим последовательность перехода от математиче-
математической формулировки задачи, описываемой дифференциальными
уравнениями с частными производными, к граничному инте-
интегральному уравнению (ГИУ) сначала на примере двумерной
краевой задачи для уравнения Пуассона.
Обозначим через r — r(M, Mq) расстояние между точками
и М двумерной области F, ограниченной кусочно гладкой
12.1. Граничные интегральные уравнения
623
кривой Г (рис. 12.1). Будем считать,
что Г может содержать лишь конечное
множество угловых точек (точка Pq на
рис. 12.1), причем в этих точках су-
существуют односторонние касательные и
конечные односторонние пределы кри-
кривизны гладких участков кривой Г.
Напомним, что функция
v{M,M0) = -
r(M,M0)
До '
A2.1)
Рис. 12.1
где До > 0 — некоторое произвольно выбранное расстояние
(например, характерный размер рассматриваемой области F),
является фундаментальным решением уравнения Лапласа V2u =
= 0 в К2 [XII]. Эту функцию иногда называют сингулярным ре-
решением уравнения Лапласа на плоскости, так как V2u(M Mo) =
= 0 во всех точках М € К2, за исключением точки Мо € К2, в
которой v —> оо. Действительно, поместив в точку Мо начало
прямоугольной декартовой системы координат OxiX2, запишем
г(М,Мо) = \/х2(М) + ^(М) и вычислим
dv
дх\
г2
2+2Г -О
при г(М,Мо) ф 0.
По физическому смыслу v(M, Mq) описывает в координат-
координатной плоскости xvOx2 осесимметричное скалярное поле, созда-
создаваемое источниками (например, температурное поле, создавае-
создаваемое тепловыми источниками), равномерно распределенными на
прямой, перпендикулярной этой плоскости и проходящей через
точку Мо. Если на такой прямой расположить с постоянной ли-
линейной плотностью положительные электрические заряды, то
624 12. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
функция v(M,Mo) будет пропорциональна потенциалу возни-
возникающего при этом плоского осесимметричного электростати-
электростатического поля.
Пусть на замыкании F = F U Г области F определена два-
дважды непрерывно дифференцируемая функция и(М). Введем
круговую окрестность Uc(Mo) с центром в фиксированной
точке Mo € F, ограниченную окружностью Гс радиуса е, не
имеющей общих точек с контуром Г, и рассмотрим область
F» — F\ (U?(Mo) иГ?) (см. рис. 12.1). На замыкании F* этой
области обе функции и(М) и v(M,M0) дважды непрерывно
дифференцируемы, причем V2t; = 0, и к ним применима вторая
формула Грина:
fvV2udF= f{vV2u-uV2v)dF =
F. F.
= f(vVu-uVv)ndr+ (v\7u-uVv)ndT, A2.2)
г г,
где п — единичный вектор внешней нормали к границе обла-
области F*.
Будем стягивать при е —> 0 окрестность U?(Mo) в точку Mq.
В точках окружности Г? внешняя нормаль направлена к точке
Мо, так что
(V«)n=-
Э
-
1
г
Кроме того, на этой окружности v=— In-J- и dV = edtp, где
/to
(fi € [0, 2л") — угол, отсчитываемый от оси Oxi (см. рис. 12.1).
Второй интеграл в правой части A2.2) можно представить в
виде
2тг 2тг
Ј�. A2.3)
12.1. Граничные интегральные уравнения 625
Первые производные функции и непрерывны на F и потому
ограничены. Следовательно, ограничен и первый интеграл в
правой части A2.3). Так как eln-J—^0 при е—^ 0, то первое
Ко
слагаемое в правой части A2.3) стремится к нулю при е—>0.
Второй интеграл в A2.3) равен 2л"пс, где пе — среднее значение
функции и на окружности Г?. Так как п? —*• и(Мо) при е —> 0,
то в итоге /2 —> -2тги(Мо) при е —> 0.
Первый интеграл в правой части A2.2) не зависит от е и
поэтому при е —> 0 сохраняет свое значение. Левая часть A2.2)
при е —> 0 является несобственным интегралом
ro= /vV2udF = - I(\nr-^^\v2u(M)dF(M) A2.4)
F
по области F от неограниченной в окрестности точки Мо функ-
функции. Этот интеграл сходится, так как существует предел пра-
правой части A2.2). Итак, учитывая предельное значение инте-
интеграла /г, получаем интегральное представление дважды непре-
непрерывно дифференцируемой функции и(М) в произвольной точке
Мо € F в виде
2пи(М
0) = Jч
¦ /'(V2H(M))lnr(M'M°)rfF(M), M,M0€F, РёГ. A2.5)
J Но
Пусть теперь точка Мо находится на кусочно гладкой гра-
границе Г области F. В частности, Мо может быть угловой точкой
этой границы (рис. 12.2). Дугой Г? окружности радиуса е с
центром в точке Мо выделим подобласть Fe С F. Тогда на за-
замыкании F» = F» иГ*иГ? области Ft — F\ (FCUFC) с участком
626 12. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Рис. 12.2
Г« С Г внешней границы имеем V2t> = 0 и к функциям u, v снова
можно применить вторую формулу Грина:
fvV2udF = f(vV2u-uV2v)dF =
F. F.
= J(vVu - uVv)ndT + HvVu - uVv)ndV. A2.6)
Г. Гс
Аналогично предыдущему можно Показать, что средняя
часть A2.6) при е—>0 имеет пределом несобственный интеграл
A2.4), который сходится на пересечении области F и окрест-
окрестности Uj(Mo) точки Мо € Г. Второй интеграл в правой части
A2.6) по аналогии с A2.3) представим в виде
()
^p- J u(P)d<p, PeTs, A2.7)
о о
где &<р(е) — 1с/?, 1с — длина дуги Г?. В силу ограниченности
первых производных функции и на F первое слагаемое в пра-
правой части A2.7) при ? —> 0 исчезает. Второе слагаемое можно
представить в виде —Ду?(е)пе, где й? — среднее значение функ-
функции и на дуге Г5. Так как п? —} и(Мо) при е —> 0, а А<р(е) при
этом стремится к значению <р(Мо) угла, образованного каса-
касательными к контуру Г в угловой точке Мо 6 Г и обращенного
12.1. Граничные интегральные уравнения 627
в сторону области F (см. рис. 12.2), то /? —> -(р(М0)и(М0) при
е —> 0. Ясно, что если точка Мо € Г лежит на гладком участке
контура, то <р(Мо) — п.
Но теперь при е -> 0 несобственным станет и первый инте-
интеграл в правой части A2.6). Представим его в виде
h =
г
- /(V«(P))n(P)lnr(P'Mo)dr(P), Мо€Г, A2.8)
J ПО
Г
и убедимся, что он сходится на участке Г$ = mUa(M0) гра-
границы Г, попавшем в некоторую (^-окрестность Ui(M0) точки
Мо € Г. Если Ts состоит из прямолинейных участков, то на них
(Vlnr(P,M0))n.(P) = 0 и первый интеграл в правой части A2.8)
является собственным. Если же Гд состоит из криволинейных
участков r's и Г?' (рис. 12.3), то получим неопределенность ви-
вида 0/0
on г on г
где 7 — угол между направлением п вектора внешней нормали
п(Р) и вектора г, проведенного из точки Мо в точку Р € Г,$, а
п(Р)
Рис. 12.3
628 12. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
г = |г|. Раскроем эту неопределенность по правилу Бернулли —
Лопиталя [II]:
,. COS7 ,. —sin7 ду ,. ду
hm = hm ^— = — hm -%-,
r-tO Г r-Ю 1 Or г-Ю Or
поскольку 7 —» 7г/2 при г —> 0. Величина ¦—- характеризует кри-
Эг
визну участка Г^ в окрестности точки Мо € Fj и для кусочно
гладкой границы Г имеет в любой точке Мз конечные одно-
односторонние пределы. Таким образом, и в этом случае первый
интеграл в правой части A2.8) является собственным. Ясно,
что этот вывод справедлив и в случае, если Г^ состоит из прямо-
прямолинейного и криволинейного участков, имеющих общую точку
Мо е Vs.
Второй интеграл в правой части A2.8) будет сходящимся,
если для любого а > 0 существует такое 6(а) > 0, что
Г*
< а, Мо € Г{. A2.9)
Функция и(М) непрерывно дифференцируема на участке Га
и поэтому ее производные ограничены, т.е. существует такое
число С\ > 0, что \(Vu(P)n(P)\ ^ Ci при Ре Г\$. Но тогда
справедлива оценка
г*
г(Р,М0)
dT(P)
In
r(P,M0)
До
dF(P), M0€ ГУ A2.10)
12.1. Граничные интегральные уравнения
629
Если Ts состоит из прямолинейных участков, то на каждом из
них в предположении, что 8 < 1, имеем
dr =
= Я0{б\\п8\ -5- lim?|K|) = R0(8\\n8\-8).
Тогда при выборе числа 8 > 0, такого, что <S|lni5| — 8 < ,
С1К0
условие A2.9) будет выполнено.
Если же Г& состоит из криволинейных участков Г'$ и Г^'
(рис. 12.4), то на любом из них (например, на Г?) интеграл
в правой части A2.10) можно представить в виде
/3= f\\nr(P,M0)\dT(P) =
где ^0 — координата, отсчитываемая от точки Мо вдоль ка-
касательной к кривой Г?, а т] = т/(^) — уравнение этой кривой,
= 0. Убедимся, что этот интеграл схо-
причем 77@) = ¦—
Рис. 12.4
630 12. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
дящийся и его значение путем уменьшения числа 8 > 0 можно
сделать меньше любого наперед заданного числа а/С\. Для
подынтегральной функции f(x) в A2.11) выберем в качестве
функции сравнения д(?) = -^ и вычислим при А € @, 1)
В силу признака сравнения несобственный интеграл /з от
неограниченной функции f(x) сходится, поскольку сходится
интеграл от функции д(х). Так как в некотором промежутке
[0,8) справедливо неравенство /(?) ^ /f </(?), гДе К = const > О,
то
S S
о о
Тогда при выборе 8, удовлетворяющем условию
условие A2.9) будет выполнено.
Итак, интеграл 1\ в A2.8) является сходящимся, а из A2.6)
следует, что для случая Мо € Г будет справедливо интегральное
представление A2.5), если в нем в соответствии с предельным
значением интеграла A2.7) заменить 2л- на v?(M))- Тогда для
общего случая Мо € F, учитывая, что <р(М0) = 2л- при Мо € F,
получаем
V>(M0) «(Мо) = ^(?(Р)и(Р,Мо) - и(Р) v'(P,M0)) dV(P) -
г
- fv{M,M0)V2u{M)dF{M), MeF, Mo<EF, РеГ, A2.12)
12.1. Граничные интегральные уравнения 631
= (Уи(Р))п(Р) и
v*(P,M0) = (Vt>(P,M0))n(P) = -
Если функция и(М) в области F удовлетворяет уравнению
Пуассона
V2u(M) + /(M) = 0, M?F, A2.13)
где /(М) — заданная функция координат точки М, то из
A2.12) следует ГИУ
<p(Mo)u(Mo) = J(q(P)v(PMo)-u(P)v*(P,Mo))dr(P) +
Г
+ [ f{M)v{M,M0)dF{M), M?F, M0€F, P € Г. A2.14)
F
Отметим, что подынтегральная функция в последнем интегра-
интеграле в правой части A2.14) известна и его можно вычислить при
любом положении точки Мо € F. Для решения этого ГИУ не-
необходимо на контуре Г задать граничные условия.
Если в точках Ре Г заданы значения u(P) = /i(P), то,
полагая в A2.14) Мо € Г и подставляя заданную функцию
u(Mq) = /i(M0), получим ГИУ
o) = J{q(P)v(P,M0) - /,(P)i;*(P,Mo))rfr(P) +
г
+ [f(M)v(M,M0)dF(M), м е f, мо,Рег,
относительно производной q{P), Р ? Г, искомой функции и(М),
М ? F, по направлению внешней нормали в точках Р € Г.
632 12. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
После нахождения функции q(P) можно вычислить при помощи
A2.14) значение и(М0) искомой функции в любой точке Mq е F.
При задании в точках Р € Г значений q(P) = /2(Р), полагая
в A2.14) Мо € Г и подставляя вместо q(P) заданную функцию
/2(Р), Р в Г, приходим к ГИУ
+ If(M)v(M,M0)dF(M), MeF, Мо, Ре Г,
относительно значений искомой функции и(М0), Мо € Г, на
границе, которые входят и в левую часть, и в подынтеграль-
подынтегральную функцию первого интеграла в правой части этого ГИУ.
После нахождения этих значений можно также вычислить при
помощи A2.14) значение и(Мо) искомой функции в любой точке
Mo€F.
В более общем случае на контуре Г (рис. 12.5) могут быть
заданы граничные условия
(u(P) = fl(P), РеГ С Г;
{ A2.15)
Рг г\Г
12.1. Граничные интегральные уравнения 633
где /i, /2, /3 — известные функции точки на контуре. Тогда
вместо A2.14) получим
<р(Мо)ч(Мо) = J{q(P)v(P,M0) - fi(P)v*(P,M0)) dV(P) -
г*
-J({f2(P)-P(P)u(P))v(P,M0)-u(P)v'(P,M0))dr(P) +
г,
+ ff(M)v(M,M0)dF(M), MeF, Moe~F, Per. A2.16)
F
В A2.16) неизвестными являются значения u(P) в точках Р 6 Г,
и значения q(P) производной функции и по направлению векто-
вектора внешней нормали в точках Р ? Г*. Получить аналитическое
решение ГИУ A2.16) удается лишь для области F простейшего
вида (например, для внутренности и внешности окружности и
для полуплоскости).
Перейдем к рассмотрению трехмерных задач.
Фундаментальное решение уравнения Лапласа w(M, Mo) =
= -— в К3 позволяет найти интегральное представление
г(М,М0)
функции и(М) в области V, ограниченной поверхностью 5
[XII]. Для случая, когда поверхность 5 кусочно гладкая, а
функция и(М) дважды непрерывно дифференцируема на за-
замыкании V = VUS, это представление можно записать в виде
4жи(М0) = / (q(P)w{P,M0) - u(P)w*(P,M0))dS(P) -
5
- w(M,M0)V2u(M)dV(M), M,Moev, PeS, A2.17)
v
где w*(P,Mo) = (Vw)n(P) — производная функции w по напра-
направлению единичного вектора п(Р) внешней нормали к поверхно-
поверхности 5 в точке P?S. Для функции и(М), удовлетворяющей
634 12. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
уравнению Пуассона
V2m(M) + /(M) = 0, MeV, A2.18)
где /(М) — заданная функция, путем, аналогичным рассмо-
рассмотренному для плоской области, можно получить, используя
A2.17), ГИУ
w(Afo) «(Mo) = f{q(P) w(P, Mo) - u{P) w'{P, Mo)) dS(P) +
s
+ If(M)w(M,M0)dV(M), M,ev, PeS, MoeF, A2.19)
где u;(Mo) — телесный угол, под которым из точки Мо ? V
видна внутренность области V (в частности, и;(Мо) = 4я" при
Мо ? V и и;(Мо) = 2п, если точка Мо лежит на гладком участке
поверхности 5).
Если граничные условия имеют вид
(и(Р) = МР), Ре 5* С 5;
где /i, /2, 0 — заданные функции, то из A2.19) получим
{0)u(M0)=f(q{P)w{P,M0)-fl(P)w'{P,M0))dS{P) +
s*
¦ J((/2(Р) - 0(P)u(P))w{P,Mo) - u(P)w'(P,Mo)) dS(P) +
¦ If(M)w(M,Mo)dV{M), Mev, MoeV, PeS. A2.21)
5,
+
В этом ГИУ неизвестными являются функция и(Р), опреде-
определенная на 5», и функция g(F), определенная на 5*. После их
12.2. Способы аппроксимации функций на границе 635
нахождения можно вычислить из A2.21) значение и(М0) в лю-
любой точке Мо € V.
Как и в двумерном случае, получить аналитическое решение
ГИУ A2.21) удается лишь для простейших областей (например,
для шара, внешности сферы и полупространства [XII]). Но
ГИУ A2.16) и A2.21) можно решить приближенно численными
методами.
12.2. Способы аппроксимации
функций на границе
Первым этапом численного решения граничных интеграль-
интегральных уравнений (ГИУ) A2.16) и A2.21) является аппроксимация
искомых функций и функций, заданных в граничных услови-
условиях на границе области решаемой задачи. Для этой цели удоб-
удобно использовать разбиение границы на участки, которые по
аналогии с конечными элементами также принято называть
элементами, но граничными (ГЭ), что и дало название со-
соответствующему численному методу решения ГИУ — методу
граничных элементов (МГЭ).
Способы аппроксимации функций рассмотрим сначала для
случая двумерной области F, ограниченной кусочно гладким
контуром Г (рис. 12.6). Границу Г разобьем на Np граничных
элементов Гп, n— I, Nr- Если на границе есть угловые точки.
М0=Р
Рис. 12.6
636 12. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
то ГЭ расположим так, чтобы эти точки оказались на стыке
элементов. В простейшем варианте МГЭ в каждом ГЭ можно
взять один узел (точку Рп 6 Гп) и поместить его в середине
элемента. Это означает, что в пределах каждого ГЭ функции
аппроксимированы их узловыми значениями. Так как каждый
ГЭ является гладким участком контура Г, то в любой точке
Р€ Гп, п= 1, iVr, определен единичный вектор п(Р) внешней
нормали к Г.
Пусть для определенности в области F требуется найти ре-
решение уравнения Пуассона A2.13) с заданными граничными
условиями, т.е. решить ГИУ A2.14). Совместим точку Мо € Г
с тп-м узлом, т.е. положим Мо = Рт ? Гта. Для этого узла, лежа-
лежащего на гладком участке границы, в A2.16) имеем (р(Мо) = к.
Поэтому вместо A2.16) с учетом аддитивности интеграла по Г
[VII] запишем
-unv*m(P))dr(P) +
¦Jf(M)vm(M)dF(M), A2.22)
F
/ Г» П \
где в соответствии с A2.1) vm(P) = —1
+
F
;
Но
v'm(P) = (Vv(P,Pm))n(P) = -(Vln r-i^iy{P).
Ro > 0 — некоторый характерный размер области F; r(P, Pm) —
расстояние от точки Рт € Гт до точки Р (см. рис. 12.6).
Используя A2.22) для каждого узла, получаем в матричной
записи
HU = GQ + B, A2.23)
где U и Q — матрицы-столбцы размера iVr x 1, элементами
которых являются узловые значения ип, qn, n= I, /Vp; В —
12.2. Способы аппроксимации функций на границе
637
матрица-столбец размера Np x 1 с элементами
Ьт= ff{M)vm(M)dF{M), т = Т^; A2.24)
F
Н и G — матрицы порядка Np с элементами
г„
m, n = 1, Np- Здесь Smn = 1 при m = n и <$тап = 0 при тфп.
Интегралы по ГЭ Г„, п — 1, iVr, входящие в выражения для
hmn и <7mn, B случае пфт можно вычислить при помощи обыч-
обычных квадратурных формул. Но в выражениях для диагональ-
диагональных элементов hmm и дтт матриц Я и G ин-
интегралы являются несобственными, посколь-
поскольку при сближении точки Р ? Гт с точкой
Рт 6 Гт (т-м узлом) расстояние г(Р,Рт) —>¦ О,
так что ита(Р) —> оо. Для прямолинейного ГЭ
Гт длиной /та, полагая, что нуль отсчета ко-
координаты ? расположен в средней точке Мо =
= Рт € Гта этого элемента (рис. 12.7), имеем
9тт=
/т/2
02.25)
Если же ГЭ криволинейный, то в окрестности точки Рт 6 Гт
его можно приближенно представить прямолинейным участком
Г^ длиной 1'т с точкой Мо посередине, что дает
9тт=д'тт+ / Vm{P)dr{P).
638 12. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Теперь функция vm(P) при Рб Гт\Г(„ не имеет особенностей и
можно применить обычные квадратурные формулы, а значение
д'тт найти из A2.25), заменив 1т на 1'т.
В случае прямолинейного ГЭ интеграл в выражении для
hmm равен нулю, так как тогда v^(P) = О, Р € Гт \ {Рт}, по-
поскольку расстояние г(Р,Рт) = ? между точками Рт, Р € Гт
изменяется в направлении, перпендикулярном единичному век-
вектору п(Р) нормали в точке Р (см. рис. 12.7). Криволинейный
ГЭ Гт в малой окрестности точки Рт € Гт снова можно пред-
представить прямолинейным участком Г'т длиной 1'т и этот участок
исключить при вычислении интеграла, положив
J
v*m(P)dr(P)K I v*m(P)dr(P).
Но проще воспользоваться тем обстоятельством, что A2.23)
справедливо и для частного случая /(М) = 0, М € F. Тогда
при задании на контуре Г значений и(Р) — Uo = const решением
уравнения Лапласа V2u(M) = 0 будет -и(М) = и0, причем q(P) =
= 0, Ре Г, а вместо A2.23) получим HU — О^г, где Омг —
нулевая матрица-столбец размера Np x 1. Теперь значения ип =
= щ, п = 1, iVr, будут удовлетворять матричному уравнению
HU = Ojyr лишь при условии равенства нулю суммы элементов
в каждой строке матрицы Я, т.е. при
™- A2.26)
пфт
Отсюда можно вычислить значение hmm, не прибегая к инте-
интегрированию по ГЭ Гт.
Интеграл в A2.24) также является несобственным и схо-
сходится в окрестности точки Рт € Гт, если функция f(M) огра-
ограничена в этой окрестности (см. 12.1). Его можно вычислить,
например, при помощи квадратурной формулы Гаусса, не ис-
12.2. Способы аппроксимации функций на границе 639
пользующей значения подынтегральной функции в граничных
точках. Иной путь состоит в том, чтобы в малой ^-окрестно-
^-окрестности Uj(Pm) точки Рт е Гт радиуса Ro& принять /(М) w/m,
где /т — предел функции /(М) при стремлении точки М 6 F
к точке Рт. Тогда для пересечения F$ — FnU,s(PTO), считая,
что S < 1, получим
= Jf(M)vm(M)dF(M)x-fm
Fs 0
и в результате вместо A2.24) запишем
bm*h+ J f(M)vm(M)dF(M), m = 177vF,
F\Ft
где последний интеграл можно вычислить по обычным квадра-
квадратурным формулам.
Таким образом, для выбранного разбиения на ГЭ границы Г
области F и заданной функции /(М), М € F, в A2.23) определе-
определены все элементы матриц Я, G и В. Если на Г заданы значения
u(P) = fi(P) искомой функции и(М), то в A2.23) известны все
элементы un, n = I, /Vp, матрицы U. Тогда A2.23) переходит
в систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) GQ =
= В — HU относительно элементов qn, n = I, N?, матрицы Q,
которые являются узловыми значениями производных функции
и по направлению единичного вектора п(Рп) внешней нормали
к контуру Г в узловых точках Рп € Гп. После решения этой
СЛАУ, используя A2.14) при у>(М0) = 27г, в любой точке Мо € F
640 12. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
можно вычислить значение искомой функции
-unJ>(Р,М0)ЙГ(Р)) +
р
' п
. A2.27)
п=1 п
1 п
Погрешность вычислений по формуле A2.27) зависит от
точности представления функций и(Р) и ц{Р) их постоянны-
постоянными значениями в пределах каждого ГЭ и от погрешности при
вычислении входящих в A2.27) интегралов. Если в преде-
пределах каждого ГЭ Гп длиной 1п принять v(P,Mo) ~ v(Pn,Mo) и
u*(P,M0)«u*(Pn,M0), РпеГп, п= 1,ЛГГ, то A2.27) переходит
в менее точную, но более простую формулу
«(Мо) « ^ 2j(«?nV(Pn, Mo) - Ип^*(Рп, М0))/„
п=1
^- [ f(M)w(M,M0)dV(M). A2.28)
2л- у
Предположим, что функция f(M) непрерывна в окрестно-
окрестности любой точки Мо области F или V. Тогда несобственные
интегралы по F в A2.27) и по V в A2.28) сходятся равномерно
в окрестности этой точки (см. 12.1) и их можно дифферен-
дифференцировать по координатам точки Мо как по параметрам [VII].
Это позволяет вычислить не только значения искомой функции
в точке Мо, но и значения ее производных в этой точке, что
важно при решении некоторых прикладных задач. Например,
при решении задачи теплопроводности наряду с вычислением
температуры часто необходимо вычислить плотность теплово-
теплового потока, выражаемого через градиент температурного поля.
В более общем случае, когда заданы граничные условия
A2.15), будем иметь iVp узлов на участках Г* С Г контура Г
и iVp = Np — iVr узлов на участках Г* = Г \ Г*. Подставив в
12.2. Способы аппроксимации функций на границе 641
A2.23) un = /Х(РП) в узлах РпеГ* и qn = /2(Pn) - un в узлах
Рп € Г«, придем к СЛАУ
A2.29)
где X — матрица-столбец размера iVp x 1, элементами которой
являются неизвестные значения qn в узлах Рп € Г* и un в узлах
Рп ? Г*, упорядоченные в соответствии с нумерацией узлов.
При этом для элементов матрицы А порядка iVp и матрицы-
столбца В0 размера N? х 1 получим выражения
= -дтп,
A2-30)
МР)
п=1 А:=1
если Рп е Г*, Рк € Г», и
A2-31)
п=1
если Рп 6 Г*, Pfc € Г*. Отметим, что для некоторых (или
для всех) ГЭ Гп С Г* возможно /3(РП) =0, т.е. qn = f2(Pn) и
amn — hmn. После решения СЛАУ A2.29) все значения un
и gn, n= l,iVr, будут известны, так что для вычисления
значения и(Мо) искомой функции и в любой точке Mo € F
можно использовать A2.27).
Распределение функций и(Р) и q(P) на границе Г области
F можно представить более точно, если в пределах каждого
ГЭ аппроксимировать эти функции линейными зависимостями.
Тогда узлы целесообразно расположить на стыке соседних ГЭ,
причем так, чтобы узлы не находились на границе участков
Г* и Г* с различными типами заданных граничных условий
A2.15). При этом в каждом n-м узле, n = I, iVr, будет известно
либо значение un — /i(Pn), Pn ? Г*, либо значение f2(Pn) —
642 12. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Пусть узлы Р„ и Рп+1 с номерами пип+1 принадлежат ГЭ
П с номером /= 1, Nr, а фп{Р) и Фп+\{Р) — линейные функ-
функции расстояния точки Р € Г/ от этих узлов, отсчитываемого
вдоль ГЭ Г/, причем фп — 1, Фп+\ = 0, когда Р совпадает с Рп,
и ф\' = О, vi+i = 1) когда Р совпадает с Рп+\. Тогда по ана-
аналогии с одномерными симплексными конечными элементами в
пределах ГЭ Гт функции и(Р) и q(P) аппроксимируем выра-
выражениями
( и.С) С Р) = ?/._ »/,(') С Р1 -4- м_ , ,»/,('). Г Р)
A2.32)
Р€ Г/. После их подстановки в A2.14) снова придем к A2.23),
но теперь, учитывая, что узел Рп является общим для ГЭ Гт и
Гт_1, получим, что
f
Г, Г|_!
при пфт, значения hmm вычислены по формуле A2.26) и
Г, Г«_!
Для прямолинейного ГЭ Г/ длиной // с нулем отсчета ко-
координаты & в узле Рп 6 П, т.е. при &(Р„) = 0 и &(Pn+i) = Гь
находим
Тогда для узла Рт, в котором стыкуются два прямолинейных
ГЭ с номерами / — 1 и / и длинами //_i и // соответственно,
12.2. Способы аппроксимации функции на границе 643
получим
Если же в узле Рт стыкуются два криволинейных ГЭ с номера-
номерами / — 1 и /, то в окрестности узла зти ГЭ можно приближенно
представить прямолинейными участками Г\_1 и Г| длиной l'l_l
и 1\ соответственно и написать
9тт=9'тт+ J фЦ-1)(Р)"т(Р)<1Г(Р) + JфЦ
р р//
11—1 Ч
где r;'_j = Г,_1 \ Г;_! и Г'{ = rt\ Ц. Значение д'тт находим,
заменяя в A2.33) U-\ на /{_j и // на /J, а интегралы можно
вычислить по обычным квадратурным формулам, поскольку
функция vm(P) не имеет особенностей при Р € F"_j U Г^.
При задании граничных условий A2.15) снова из A2.23)
следует СЛАУ A2.29), решение которой дает недостающие
узловые значения un и qn, n = 1, ЛГр. После этого, подставляя
A2.32) в A2.14) при <р(Мо) = 2тг, можно вычислить значение
u(Mq) искомой функции и в любой точке Л/о 6 F:
1 Nr
n=1 г,_,иг,
1 Wr Г
~^^2Un I MP)v*{P,
n=1 rwur,
+ ^- f f(M)v{M,M0)dF{M), A2.34)
F
где фп(Р) = ф{г!-1](Р) при F 6 Г,_! и Vn(F) = Ф(г!](Р) при F 6 Г,.
Распределение функций и{Р) и ?(F) в пределах ГЭ можно
аппроксимировать и более сложными, чем линейные, зависи-
644 12. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
мостями (например, многочленами второй и более высоких
степеней), однако это приводит к увеличению числа узлов в
каждом ГЭ и арифметических операций при вычислении инте-
интегралов, входящих в выражения для элементов матриц Н и G.
При необходимости более точного представления этих функций
на границе области может оказаться, что рациональнее исполь-
использовать большее число простых ГЭ с линейной аппроксимацией
или даже с постоянными значениями функций в пределах ка-
каждого элемента.
Решение при помощи МГЭ трехмерной задачи в области V
для уравнения Пуассона A2.18) с граничными условиями A2.20)
связано с представлением ограничивающей эту область кусочно
гладкой поверхности 5 совокупностью Ns двумерных ГЭ. Эти
элементы целесообразно выбирать в виде треугольников или
четырехугольников (плоских или криволинейных) с аппрокси-
аппроксимацией функций и(Р) и q(P) в пределах каждого ГЭ с номером
га = l,Ns постоянными значениями «„ и qn или же зависимо-
зависимостями от координат в форме многочленов.
Если в пределах га-го ГЭ 5„ принять и(Р) т «„ и q(P) ~ qn,
Р 6 5П, п = l,Ns, то соответствующее задаче A2.18), A2.20)
ГИУ A2.21) переходит в матричное уравнение вида A2.23) с.
элементами ип, qn и
Ьт= ff(M)wm(M)dV(M), ro=lJVs, A2.35)
v
матриц-столбцов U, Q и В соответственно. При этом элемен-
элементами матрицы Н порядка Ns будут значения
hmn= I w*m{P)dS(P), тпфщ и hmm = - ]Г hmn,
Sn n=l,Ns
пфтп
а элементами матрицы G порядка Ns — значения
5ш„= fwm{P)dS(P), m,n = Tjfs'- A2.36)
Sn
12.2. Способы аппроксимации функций на границе 645
В A2.35) wm(M) =w{M,Pm) = г(д/Рт), где г(М,Рт) — рассто-
расстояние между точкой Рт 6 5т, выбранной в середине ГЭ 5т, и
точкой М € V. Тот же смысл имеет wm(P) в выражении для
<7mn в A2.36), а в выражении для hmn через w^n(P) обозначе-
обозначена производная (ywm(P))n(P) функции wm(P) в направлении
единичного вектора п{Р) внешней нормали к поверхности 5 в
точке Р ? Sn. Отметим, что нахождение диагонального эле-
элемента hmm через внедиагональные элементы в m-й строке ма-
матрицы Н позволяет избежать вычисления телесного углъ,и(Рт)
в случае, если в точке Рт 6 Sm С 5 поверхность 5 не является
гладкой.
Трудности, возникающие при вычислении дтт, можно пре-
преодолеть так же, как это было сделано для двумерной задачи,
представив ГЭ Sm в окрестности точки Рт 6 Sm участком плос-
плоскости. При вычислении интеграла в A2.35) целесообразно, как
и в случае двумерной задачи, применить квадратурные фор-
формулы Гаусса или же получить в аналитической форме оценку
вклада в этот интеграл в малой окрестности точки Рт ? Sm.
Используя A2.20), можно преобразовать A2.23) в СЛАУ
вида A2.29) относительно N$ неизвестных значений qn на
участках 5* С S поверхности 5 и «„ на участках 5* = S\S*.
При этом в A2.30) и A2.31) Г* следует заменить на 5*, а Г, —
на 5*.
После нахождения из решения СЛАУ вида A2.29) недоста-
недостающих значений un и gn, n= I, Ns, можно, используя A2.19) при
и>{М0) = 47г, вычислить значение u{Mq) искомой функции в лю-
любой точке Mq 6 V:
П=1
¦j- I f(M)w{M,M0)dV{M). A2.37)
646 12. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Точность вычислений по A2.37) зависит от погрешности ап-
аппроксимации функций и(Р) и q(P) их постоянными значениями
в пределах каждого ГЭ и от точности вычисления входящих в
A2.37) интегралов. По аналогии с A2.28) можно воспользовать-
воспользоваться и менее точной формулой
п=1
— [f(M)w{M,M0)dV{M), A2.38)
4тг J
v
где Рп — точка, выбранная в середине га-го ГЭ площадью 5„.
Несобственный интеграл по области V в A2.37) и A2.38)
сходится равномерно в окрестности точки Mq E V, если в этой
окрестности функция /(М) непрерывна [XII]. Поэтому его
можно дифференцировать по координатам точки Mq как по
параметрам, что позволяет вычислять производные искомой
функции u{Mq).
Аппроксимации ГЭ функций и{Р) и q{P) многочленами
в пределах двумерных ГЭ 5„, га = 1, Ns, на поверхности 5
и вычисление возникающих при этом интегралов аналогичны
соответствующим процедурам, используемым в методе конеч-
конечных элементов (см. 10.2). Тогда неизвестными в СЛАУ вида
A2.29) будут значения этих функций в узлах таких ГЭ.
Замечание 12.1. Известно*, что решение краевой задачи
для уравнения Лапласа можно представить в виде потенциалов
простого или двойного слоя с плотностями, удовлетворяющими
ГИУ. Эти ГИУ также могут быть решены при помощи МГЭ.
Однако плотности потенциалов обычно не имеют определенно-
определенного физического смысла, а их нахождение является промежуточ-
промежуточным звеном, дающим возможность затем вычислить значения
'См.: Михлин С.Г., 1968.
12.3. Учет анизотропии и неоднородности 647
искомых функций, имеющих конкретную физическую интер-
интерпретацию в содержательной постановке решаемой задачи. В
связи с этим способы, позволяющие найти плотности потенциа-
потенциалов в качестве вспомогательных функций, относят к непрямым
МГЭ в отличие от прямых МГЭ, которые направлены непо-
непосредственно на вычисление значений функций, имеющих опре-
определенный физический смысл. В частности, к прямым следует
отнести вариант МГЭ, рассмотренный в этом параграфе.
12.3. Учет анизотропии и неоднородности
Уравнение Пуассона A2.18) описывает широкий класс физи-
физических процессов в изотропной однородной среде (см. 1), т.е.
в среде, свойства которой не зависят ни от направления, ни от
координат точки М 6 V в рассматриваемой области V. Однако
при решении прикладных задач довольно часто возникает необ-
необходимость учета такой зависимости, что в некоторых случаях
удается осуществить в рамках метода граничных элементов
(МГЭ). Рассмотрим эти возможности на примере решения при
помощи МГЭ задачи стационарной теплопроводности в трех-
трехмерной области V.
Пусть в области V, ограниченной кусочно гладкой поверх-
поверхностью 5, находится неподвижная однородная анизотропная
среда. Свойство этой среды передавать тепловую энергию
характеризует тензор А теплопроводности с компонентами
Xij = Xji = const, i, j = 1, 3, составляющими симметрическую ма-
матрицу B.95) третьего порядка. Если ориентацию осей Ох,
декартовой прямоугольной системы координат выбрать так,
чтобы они совпадали с главными осями тензора А, то процесс
стационарной теплопроводности в области V будет описывать
дифференциальное уравнение с частными производными
A2.39)
648
12. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
где Т(М) и /|Я(М) — температура среды и объемная мощ-
мощность внутренних источников энерговыделения, зависящие от
координат точки М 6 V, а А^1^ = const — главные коэффици-
коэффициенты теплопроводности анизотропной среды. Отметим, что
A2.39) вытекает из равенства нулю левой части формул A.31),
A.32) (см. замечание 2.1).
Изменим масштабы по осям координат в соответствии с за-
Л /до
меной переменных Х{ = xi\ -гщ, где А0 = const — некоторый
масштаб измерения главных коэффициентов теплопроводно-
теплопроводности, в качестве которого можно выбрать одно из значений А^1).
Тогда вместо A2.39) получим
д2Т(М)
или
+
= 0, Mev,
A2.40)
где V2 — оператор Лапласа в системе координат ОХ1Х2Х3
(рис. 12.8), а М — точка, соответствующая точке М € V после
изменения масштабов по осям координат и преобразования
области V в область V (на рис. 12.8 принято А0 = А^1) и
< А*1) <
Рис. 12.8
12.3. Учет анизотропии и неоднородности 649
Получившееся в итоге преобразования уравнение Пуассона
A2.40) в сочетании с соответствующим образом преобразован-
преобразованными граничными условиями можно решить в области V при
помощи МГЭ (см. 12.2), а затем результаты решения перене-
перенести в исходную область V. Однако такой путь не всегда удобен,
особенно в случае области сложной конфигурации. Но для ре-
решения A2.39) в исходной области V необходимо располагать
фундаментальным решением в пространстве К3 однородного
уравнения
Убедимся, что функция
( . о ч -1/2
Т,ЫМ)-х3(М0)JЖ)) A2.42)
C
является таким фундаментальным решением, т.е. удовлетво-
удовлетворяет A2.41) во всех точках Л/ 6 К3, за исключением точки
Л/о 6 К3, в которой w(M,Mo) -+ со. Действительно, поместим
начало системы координат OxiX2X3 для упрощения выкладок в
точку Л/о, т.е. положим xj(Mo) = О, j = 1, 3, и вычислим
ч —Ч /">
XjJ(Jj) X'~\(i) ~~W X'~\{i)'
i=l 7
92й5 „2 ^й А0 „з А0 „з A'
i=i ' N i=i
при w < со.
650 12. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Отметим, что совмещение координатных осей и главных
осей тензора А не является обязательным условием построения
фундаментального решения однородного уравнения стационар-
стационарной теплопроводности в анизотропной среде. При произволь-
произвольной ориентации главных осей тензора А относительно коорди-
координатных осей из B.96) получим
-o. Mev. A2.43)
Можно показать, что функция
• 33 \ -1/2
tS(M,Mo)= (^^ДД^ЛЯДгЛЛ/)J) , A2.44)
\=i j=\ '
где Axi(M) = Xi(M) — Xi(Mo) и /9,j = pji = const — компоненты
симметрического тензора коэффициентов термического сопро-
сопротивления среды, обратного к тензору А, удовлетворяет A2.43)
при 1у(М) — О во всех точках М Е R3, кроме точки Л/о, в ко-
которой w(M, Mo) —> оо.
В формуле Грина вида B.99) положим т = 3, aij = X,j,
и = Т(М), v — w(M,M0), а П и дп отождествим с V и 5
соответственно. Тогда B.99) можно использовать аналогично
процедуре, рассмотренной выше (см. 12.1), для перехода от
A2.43) к граничному интегральному уравнению (ГИУ)
u(M0) = J(q(P)w(P,M0)-T(P)w*(P,M0))dS(P) +
S
!i{vq){M)w{M,Mo)dV(M), Mev,
12.3. Учет анизотропии и неоднородности 651
Здесь и(М0) — телесный угол, под которым из точки Мо € V
видна внутренность области V (см. 12.2),
г=1 j=l
t=i j=\ 3
где щ(Р) — проекция на координатную ось Ох, единичного
вектора п(Р) внешней нормали к поверхности 5 в точке Р € S.
Как и ранее (см. 12.2), от этого ГИУ можно перейти к
системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) A2.29)
при заданных на участках 5* и 5, поверхности 5 граничных
условиях вида A2.20)
PeS'cS;
12.45)
где /i, /2, C — известные функции положения точек на границе
5. Решение СЛАУ относительно неизвестных узловых значений
Тп и qn, п — 1, Ns, при разбиении поверхности 5 на Ns гранич-
граничных элементов (ГЭ) позволит затем по формуле вида A2.37)
вычислить значение температуры в любой точке Мо € V:
n=l
-i- f I(vg){M)w{M,M0)dV(M). A2.46)
4тг J
Отсюда можно перейти к более простой, но менее точной
формуле вида A2.38).
652 12. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Пусть теперь требуется найти решение уравнения Пуассона
вида A2.18)
+
I{V4)(M)
= о, м е V,
A2.47)
в трехмерной области V, состоящей из двух подобластей V и
V", имеющих общую границу в виде кусочно гладкой поверх-
поверхности 5* (рис. 12.9). В каждой из подобластей среду будем
считать изотропной и однородной, имеющей постоянные, но
различные коэффициенты теплопроводности А = А' и А = А" (да-
(далее одним и двумя штрихами отмечены величины, относящиеся
к подобластям V' и V" соответственно). Это означает, что 5*
является в данном случае поверхностью разрыва, причем силь-
сильного, если тепловой контакт между подобластями отличается в
общем случае от идеального, т.е. в соответствии с B.65)
Х'д'(Р) = ак(Т'{Р) - Т"{Р)) = -А'У(Р), Р € 5*, A2.48)
где ак ^ 0 — коэффициент контактной проводимости (см. 2.3),
q'(P) = {VT'(P))n'(P), q"(P)=(VT"(P))n"(P), P€5*,
п'{Р) и п"(Р) — единичные векторы внешней по отношению
к соответствующим подобластям нормали к поверхности S*
в точке Р 6 S*. Напомним (см. пример 2.4), что при ак = О
хз
V"
Рис. 12.9
12.3. Учет анизотропии и неоднородности 653
участки поверхности S* будут идеально теплоизолированными,
т.е. q'{P) = q"(P) = 0, а при ак —^ оо тепловой контакт будет
идеальным, т.е. Т'(Р) = Т"(Р), и соответствующие участки S*
составят поверхность слабого разрыва.
Используя в каждой из подобластей фундаментальное реше-
решение уравнения Лапласа в К3, имеющее вид w(M, Mo) = tM M у
где г(М, Мо) — расстояние между точками М и Mq в К3, можно
перейти к ГИУ вида A2.19)
и'(М0)Т'{М0) = Х' f{q'{P)w(P,Mo)-T'(P)w*(P,Mo))dS(P) +
s>
+1i^]{M)w(M,M0)dV{M), MeV, Pes', MoeV', A2.49)
v
u'{Mo)T"(Mo) = \"J{q"{P)w{P,Mo)-T"{P)w*{P,Mo))dS{P) +
S"
+ fi{vq)(M)w(M,Mo)dv(M), Mev", Pes", Moev", A2.50)
V"
где 5' = 5" U S*, S" = S"US*, причем 5" и S" — участки внешней
границы подобластей V и V" соответственно, составляющие
поверхность S = S'uS", 5/П5" = 0 (см. рис. 12.9).
Разобьем поверхности S', S" и S* на N', N" и N* граничных
элементов соответственно с постоянными в пределах каждого
ГЭ Sn значениями Тп и qn, n = T^N, N = N' + N" + N*. При
переходе с использованием заданных на поверхности 5 гра-
граничных условий от ГИУ A2.49) и A2.50) к двум СЛАУ вида
A2.29) общее1 число неизвестных в каждой СЛАУ будет на N*
превышать число уравнений. Для объединения обеих СЛАУ в
одну квадратную необходимо использовать условия A2.48) на
поверхности 5*, что даст недостающие 2N* уравнений. После
654 12. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
решения квадратной СЛАУ относительно неизвестных значе-
значений Тп и qn можно вычислить значение температуры в любой
точке Мо € V. Например, для точки Мо € V получим
Г'(М0)«^- [I{v4){M)w(M,M0)dV(M) +
4тг J
V
+ — У* Нп !w{P,M0)dS{P)-T'n fw*(P,M0)dS(P) ).
4тг *—' \ J J )
71—1 с С
Отсюда можно перейти к более простой формуле вида A2.38).
Ясно, что рассмотренную процедуру учета неоднородности
области V можно использовать и в случае, если V состоит из
более чем двух однородных подобластей с различными коэф-
коэффициентами теплопроводности. Однако в прикладных задачах
коэффициент теплопроводности А(М) может быть кусочно не-
непрерывной функцией положения точки М € V. Такая ситуация
характерна, например, для нелинейной задачи теплопроводно-
теплопроводности в неоднородной области, когда коэффициент теплопровод-
теплопроводности среды зависит от температуры и при решении задачи
последовательными приближениями на очередной итерации мо-
может быть представлен кусочно непрерывной функцией А(М),
М € V. В этом случае вместо A2.47) будем иметь уравнение
Важно отметить, что функция /[?'(М) в A2.51) при решении
нелинейной задачи последовательными приближениями может
отражать на очередной итерации зависимость объемной мощ-
мощности внутренних источников знерговыделения не только от
координат точки М € V, но и от значений искомой функции
Т(М) температуры.
Применить МГЭ непосредственно к решению A2.51) не уда-
удается, так как для произвольной функции А(М) неизвестно фун-
фундаментальное решение соответствующего однородного уравне-
уравнения V(A(M)VT(M)) = 0. Но при условии, что функция А(М)
12.3. Учет анизотропии и неоднородности 655
имеет в области V кусочно непрерывные производные, A2.51)
можно преобразовать, выделив в явном виде оператор Лапласа:
A(M)V2T(M) + (VA(M)) VT(M) + I{vq){M) = 0, M € V.
Отсюда, учитывая, что А(М) > 0, получаем
V2T(M) + /(M,T) = 0, MeV, A2.52)
где
Отличие уравнения A2.52) от уравнения A2.18) состоит лишь в
зависимости от температуры функции /. Эту зависимость при
использовании МГЭ можно учесть последовательными прибли-
приближениями.
Пусть Т^к\М), М € V, — распределение температуры, най-
найденное на к-й итерации (при к = 0 оно соответствует началь-
начальному приближению), a fk{M) = f(M,T^(M)). Тогда для на-
нахождения следующего, (к+ 1)-го приближения используем ГИУ
вида A2.19)
s
fk{M)w{M,M0)dV{M), M,€V, P€S, M0€V. A2.53)
Процедура перехода от уравнения A2.53) к СЛАУ вида A2.29)
описана выше (см. 12.2). Сходимость последовательных при-
приближений проще всего контролировать по максимальному зна-
значению |r(fc+1)(M) - T(fc)(M)|, M € V.
656 12. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
12.4. Нестационарные задачи
Рассмотрим особенности использования метода граничных
элементов (МГЭ) для решения нестационарных задач на при-
примере задачи нестационарной теплопроводности в однородной
трехмерной области V, ограниченной кусочно гладкой поверх-
поверхностью S (рис. 12.10). Пусть функция T(t,M), описывающая
изменение во времени t температуры среды в точке М € V =
= VUS, удовлетворяет уравнению вида B.54)
dT{t,M)
1 dt
, Mev,
A2.54)
где с = const — объемная теплоемкость среды; А = const —
коэффициент теплопроводности среды; 1-$' — объемная мощ-
мощность внутренних источников энерговыделения. Кроме того,
заданы начальное условие Т@,М) = Т°(М) в момент времени
t = 0, принимаемый за начальный, и граничные условия
PeS'cS;
A2.55)
на участках S* и 5» поверхности 5, где /i, /г и /3 — известные
функции времени и положения точки Р на поверхности, а
5,
П(Р)
X2
Рис. 12.10
12.4. Нестационарные задачи 657
q(t,P) = (VT(t,M))n(P) — проекция градиента температуры
на направление единичного вектора п(Р) внешней нормали к
поверхности S.
Однородному уравнению A2.54) (при Iy (t,M) = 0) во всех
точках М € R3, кроме точки Mq € R3, удовлетворяет при t > г
функция [XII]
где а — А/с, r(M, Mq) — расстояние между точками М и Mq.
Эту функцию называют фундаментальным решением уравне-
уравнения теплопроводности в пространстве. Она описывает изме-
изменение температуры при t> t в точке М, вызванное мгновенным
выделением в момент времени t = т в точке Мо количества теп-
теплоты, численно равное с.
Используя A2.56), задачу A2.54), A2.55) можно свести к
граничному интегральному уравнению (ГИУ)*.
w(M0)T(i,M0)= [T°{M)w{t,M,M0)dV +
v
t
+ а IJ(q(T,P)w{t-T,P,MQ)-T(T,P)w*{t-T,M,MQ))drdS(P) +
0 S
t
+ a I IIiJ)(T,M)w(t-T,M,MQ)dTdV, A2.57)
о v
где w*(t - t,P,M0) = (Vw(f - т,Р,М0))п(Р). Если промежу-
промежуток времени, в течение которого рассматривается процесс не-
нестационарной теплопроводности, разбить на интервалы Д^ =
— tk~ tk-i и в пределах каждого к-ro интервала принять функ-
*См., например: Карташов Э.М.
658 12. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
ции T(t,M), q{t,P) и Iy(t,M) не зависящими от времени,
заменив их на Тк{М) = T(tk,M), qk(P) = q(tk,P) и fy\tk,M)
соответственно, то вместо A2.57) получим ГИУ
и(М0) Тк(М0) = [т{1к-х, М) w{Atk, М, Мо) dV +
v
+ ajqk(P)(J w(tk-T,P,Mo)dr)dS(P)-
S tfz — \
-afTk(P)(jw'(tk-T,P,Mo)dr]dS(P) +
S tk \
llq)(tk,M)( f w{tk-T,M,M0)dAdV(M). A2.58)
Для численного решения ГИУ A2.58) при помощи МГЭ
поверхность S разобьем на граничные элементы (ГЭ) с общим
числом Ns граничных узлов Рп 6 S, п = 1, Ns, а область V —
на конечные элементы с общим числом Ny внутренних узлов
Mi 6 V, /= l,iVy. Тогда A2.58) можно свести к матричному
уравнению
HkUk = GkQk + DkWk-l+Bk, A2.59)
где Uk и Qk — матрицы-столбцы размера Ns x 1 с элемен-
элементами Тк(Рп) и qk(Pn) соответственно; Нк и Gk — матрицы
порядка Ns; Wk-\ — матрица-столбец размера (Ns + Nv) X 1,
элементами которой являются известные значения температур
в граничных и внутренних узлах в момент времени t^-i B на-
начале к-ro интервала (при к — 1 эти значения соответствуют
начальному распределению температуры); Dk — матрица раз-
12.4. Нестационарные задачи 659
мера Ns x (Ns + Ny) с элементами
= J
где <pi(M) — функция формы, соответствующая внутреннему
или граничному узлу с номером I и использованная при аппрок-
аппроксимации функции T(?fc_i,M), M eV; Вк — матрица-столбец
размера Ns x 1, элементы которой
&<*> = J I{vq)(tk,M)(J w(tk-T,M,Pm)dAdV(M)
v
отражают влияние внутренних источников энерговыделения на
значения Тк(Рп) и qk(Pn), n = l,Ns.
Значения элементов матриц #ь Gk и Dk зависят, как это
следует из A2.58), от значения Atk, конфигурации области V,
расположения граничных и внутренних узлов, а также от спо-
способа аппроксимации функций Тк{Р), qk{P) в пределах каждого
ГЭ и функции T{tk-\, М) в пределах каждого конечного элемен-
элемента. При Atk = const элементы этих матриц не будут зависеть от
номера интервала, так что нижний индекс А; в их обозначениях
может быть опущен.
Как и в случае решения уравнения Пуассона (см. 12.2)
интегралы, входящие в выражения диагональных элементов
и gmm матриц Нк и Gk, являются несобственными. В
малой окрестности m-го узла ГЭ можно заменить плоским
(к)
участком и вычислить вклад в элемент gmm аналитически,
а для преодоления трудностей, возникающих при вычислении
h{mm, рассмотрим случай I^\t,M) = 0, 5* = 5 и fi{t,P) -
— Т°(М) = То = const. Тогда температура в области V и на
ее поверхности будет неизменной во времени и равной То, а
матрицы Qk и Вк станут нулевыми. Тогда из A2.59) получим
660 12. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
k-i, причем все элементы матриц Uk и Wk-\ равны
То- Отсюда следует, что
Ns+Nv
i / ., umli lll—l:iySi
пфт
для любого А;-го интервала.
В простейшем варианте МГЭ, когда в пределах каждого ГЭ
5n, n= I, Ns, функции Тк(Р) и Цк{Р) совпадают со значениями
Тк(Рп) и Цк{Рп)-, Рп € 5"п, соответственно, из A2.58) получим
tk
w*{tk-T,P,M0)dTdS{P),
S tk — \
tk
f w{tk-T,P,M0)dTdS{P).
S t/t-i
В частном случае задания на всей поверхности S температуры
T(t, Р) = /i (?, Р) все элементы матрицы Uk известны и из A2.59)
можно найти
Qk = G~kx(HkUk - DkWk-i - Bk),
/
т.е. вычислить значения Цк{Рп), Рп € S, п= 1, Ns- Это позво-
позволит, используя A2.58) при cj(Mo) =47г, вычислить температуру
Тк(Мо) в любой точке Mq ? V в момент времени t/t в конце А;-го
интервала.
Другой путь применения МГЭ к решению нестационарной
задачи A2.54), A2.55) состоит в предварительной замене в
A2.54) производной —^—'- конечноразностным соотношением
Тк(М)-Тк-АМ) ,. -.
—*——т *—'-, т.е. связан с обращением к методу прямых.
Тогда из A2.54) для момента времени tk получим уравнение
1 ~ М€ V, A2.60)
12.4. Нестационарные задачи 661
где
а из A2.55) — граничные условия
PeS*cS;
„ „, „ A2-61)
\\qk{P)+P{tk, Р) ЩР) = f2(tk,P),
Непосредственной проверкой можно убедиться, что фун-
фундаментальным решением однородного уравнения A2.60) при
fk(M) = 0 будет функция
Теперь задачу A2.60), A2.61) можно свести к ГИУ
u(MQ)Tk(MQ)=J(qk(P)wk(P,Mo)-Tk(P)wt(P,Mo))dS(P) +
s
+ ffk(M)wk(M,M0)dV(M), Me к, Pes, MoeV, A2.6З)
v
где w*k(P,M0) = (Vwk(P,M0))n(P). Как и выше (см. 12.2),
можно перейти от A2.63) к системе линейных алгебраических
уравнений (СЛАУ) вида A2.29) относительно неизвестных зна-
значений Тк(Рп) и qk{Pn) в узлах Рп € 5, п — 1, iVs, ГЭ, на которые
следует разбить поверхность S.
Еще одна возможность решения задачи A2.54), A2.55) при
помощи МГЭ связана с использованием интегрального пре-
преобразования Лапласа. Применяя зто преобразование к A2.54),
A2.55) и учитывая начальное условие, получаем уравнение в
изображениях
V2T(s,M)-!r(s,M) = -/(s,M), Me К, A2.64)
662 12. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
где
оо
T(s,M)= fT{t,M)e-stdt,
о
со
CL л
О
с граничными условиями (в случае неизменного во времени
коэффициента теплообмена /?(Р))
A2-65)
\q(s,P)+P(P)T(s,P) = Jf2(t,P)e~stdt, PeS..
о
Здесь
оо
q(s,P) = Jq{t,P)e-stdt.
о
По аналогии с A2.62) фундаментальным решением однород-
однородного уравнения A2.64) (при f(s,M) = 0) будет функция
что позволяет от задачи A2.64), A2.65) перейти к ГИУ
u(M0)T(s,M0)=J(q{s,P)w{P,M0)-T{s,P)w*{P,M0))dS(P) +
s
+ ff(s,M)w(M,M0)dV{M), Mev, Pe5, MoeF, A2.66)
v
где w'(P,Mo) = (Vw(P,M0))n(P).
12.5. Статическая задача теории упругости 663
При выделении N5 граничных узлов Рп ? S, n= l,Ns,
A2.66) можно свести к матричному уравнению вида A2.23)
HsUa = GsQa + Bs, A2.67)
в котором элементы всех матриц будут зависеть от параметра
$ интегрального преобразования Лапласа. С учетом A2.65) из
A2.67) следует в матричной форме зависимость от $ изображе-
изображений Тп($) и qn(s) в граничных узлах, а затем с использованием
A2.66) — и зависимость от $ изображений Т($,Мо) во внутрен-
внутренних точках Мо G V. Для перехода к оригиналам Tn(t) и T(t,M0)
вследствие матричной формы зависимости изображений от я
приходится применять численные способы обращения преобра-
преобразования Лапласа*.
12.5. Статическая задача теории упругости
Применение метода граничных элементов (МГЭ) к реше-
решению задач теории упругости также основано на возможности
перехода от формулировки краевой задачи, содержащей диф-
дифференциальные уравнения и граничные условия, к граничному
интегральному уравнению (ГИУ). Однако в отличие от урав-
уравнения Пуассона для такого перехода вместо второй формулы
Грина в случае линейно упругой среды необходимо использо-
использовать теорему взаимности работ, суть которой сводится к
следующему.
Пусть линейно упругая среда занимает область V С R3,
ограниченную кусочно гладкой поверхностью S. Свойства сре-
среды описывают константы Ламе А и /х, устанавливающие связь
между компонентами су, и е^, г,j = 1,3, тензоров напряже-
напряжений и деформаций соответственно в виде обобщенного закона
Гука C.31). Рассмотрим два состояния равновесия этой среды.
Первое состояние характеризуется проекциями и, векторах* пе-
перемещения частиц среды на оси Ох, декартовой прямоугольной
'См., например: Крылов В.И., Скобля Н.С.
664 12. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
системы координат, компонентами e,j и <т,л i, j = 1,3, тензоров
деформаций и напряжений соответственно, а второе — величи-
величинами Hi, lij и 7?ij.
Если эти состояния вызваны действием двух систем объ-
объемных и поверхностных сил с проекциями 6,, Pi и 6,, р, соот-
соответственно, то должны быть выполнены уравнения равновесия
(здесь и далее в этом параграфе принято правило суммирова-
суммирования по повторяющимся нижним индексам i,j= 1,3)
-0, MeV, A2.68)
OXj OXj
и граничные условия
aij(P)nj(P)=pi(F), aij{P)n}{P)=pl{P), PeS, A2.69)
где rijk — проекции единичного вектора п внешней нормали к
поверхности S на координатные оси Ох;, г = 1,3. Кроме того,
в соответствии с соотношениями Коши C.30)
_1(дщ_ диЛ _ „\(^L fO^L
и в соответствии с обобщенным законом Гука C.31)
(И, = Ав% + 2fleij, Wij = AOfJ.-j + 2j«e,j, A2.71)
где Э = SijSij — объемная деформация; 5ij — компоненты
единичного тензора второго ранга, для которого <5,j = 1 при
г — j и 8{}¦ = 0 при г ф j.
Используя A2.71), можно установить, что с учетом 8{j5ij = 3
( )-{BSij + Щ - QSij) =
12.5. Статическая задача теории упругости 665
Отсюда интегрированием по области V получаем
!оц1ц dV = JaijSij dV. A2.72)
v v
Учитывая A2.68)-A2.70) и симметрию тензора напряже-
напряжений, преобразуем интеграл в левой части A2.72):
V V V
л г f ^-(дщ &uj\
^>™ = J '« 2 (eJJ + tot)
V
= j Oijtijui dS - j -q-^Щ dV = / p,-t«i dS + j Ь{Щ dV.
s v J s v
Аналогично можно преобразовать интеграл в правой части
A2.72), в результате вместо A2.72) получим итоговое соотно-
соотношение
fpiui dS+ I biui dV = fpiUi dS + fbiUi dV A2.73)
S V S V
упомянутой теоремы: работа первой системы сил на переме-
перемещениях, вызванных второй системой сил, равна работе второй
системы на перемещениях, вызванных первой системой.
Чтобы избавиться в правой части A2.73) от интеграла по
области V и перейти к ГИУ, необходимо располагать решени-
решением задачи для перемещений в неограниченной линейно упругой
среде, вызванных приложением в точке Mq ? R3 сосредоточен-
сосредоточенной силы /. Для этого рассмотрим уравнение C.40) теории
упругости в перемещениях, положив в нем вектор плотности
объемных сил равным Ь{М) = /(Мо)$з(М,Мо), где 6з(М, Мо) —
дельта-функция, обладающая в случае функции f(M), M ? V =
= VliS, непрерывной на замыкании V области V, свойством
, Мо ? V;
f{MN3{M,M0)dV{M) = { 4тг _
V \ 0, M0<?V,
666 12. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
где ш(Мо) — телесный угол, под которым из точки Мо 6 V
видна „внутренность" области V (в частности, ш(М0) = 4тг при
Мо € V и ш(М0) = 2тг, если точка Мо лежит на гладком участке
поверхности S). Тогда C.40) примет вид
^ i A2.74)
где v = —^ — коэффициент Пуассона упругой среды.
2(А + Д)
Решение A2.74) будем искать в виде и = и* + й, причем и*
удовлетворяет векторному уравнению Пуассона
W = -i/*3, A2.75)
или в проекциях на координатные оси Ox,, t = 1,3,
V2ti? = -i/,-*3. A2-76)
Известно [XII], что'uj = —ч=-, где г — расстояние между
точками М, Мо € Я3, удовлетворяет A2.76). Тогда
L A2.77)
u L
Апцг
будет удовлетворять A2.75).
Подставляя теперь и = и* +и в A2.74), получаем уравнение
(l-2jy)V2u + V(Vu) = -V(Vu*) A2.78)
относительно искомой векторной функции и. Применяя к не-
нему операцию ротора и учитывая, что Vx(Vy) = 0 для любой
дважды непрерывно дифференцируемой действительной функ-
функции у, получаем V2(Vxu) = 0, где 0 — нулевой вектор. Таким
образом, проекции д,¦. = (Ухи)е^ векторной функции g =
12.5. Статическая задача теории упругости 667
на координатные оси Oxi, г = 1,3, с ортами е^ удовлетворя-
удовлетворяют уравнениям Лапласа V2<?j = 0, т.е. являются гармоническими
функциями.
Особенность рассматриваемой задачи состоит в том, что
по мере удаления от точки Мо G К3 перемещения, деформации
и напряжения, вызванные приложением в этой точке силы /,
стремятся к нулю, в том числе и </« —> 0, г = 1,3. Но функция
gi, являясь гармонической в пространстве Ш3 и обращаясь
в нуль на бесконечности, равна тождественно нулю [XII].
Таким образом, g = Vxtt = 0 и поэтому существует скалярный
потенциал Ф искомого векторного поля, задаваемого функцией
и, т.е. и = УФ. Тогда из A2.78) получим
= -v(VtO,
или
VB(l - 1/)У2Ф + Vtt*) = V/i = 0.
Отсюда следует, что функция h = const. Но на бесконечности
она должна обращаться в нуль. Поэтому с учетом A2.77) имеем
A2.79)
rV(Y
8tt/xA-i/) \г/
Правая часть A2.79) определена всюду в R3, кроме точки Мо
приложения силы /.
Пусть функция ф удовлетворяет уравнению V2^ = 1/г. То-
Тогда вместо A2.79) запишем
У2Ф = 2 2
8ji
Этому равенству удовлетворяет функция
Ф= — -W- A2.80)
8?гДA1/) ^ '
668 12. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Убедимся, что функция ф = г/2 является решением урав-
уравнения V2^ = 1/г. Для этого поместим точку Мо в начало
сферических координат, в которых это уравнение примет вид
[XII]
Id/ 2dip\ _ 1
г2 dr\ dr ) г
Последовательным дифференцированием находим
(Г
dr ~2' dr\ dr)~ dr
так что действительно V2(-) = -. Подставляя ф= ~ в A2.80),
получаем
и = УФ = -т^-^ rV(/Vr).
167T/i(lI/)
В итоге, учитывая A2.77), имеем
„ = „• + ?=-i--—^ rV(/Vr). A2.81)
47Г/ХГ 167T/i(l - I/) V ' V У
Это решение получено в 1848 году У. Томсоном*. Оно являет-
является фундаментальным решением однородного уравнения C.40)
теории упругости в перемещениях (при 6 = 0).
Для перехода от A2.72) к ГИУ удобно представить A2.81) в
проекциях щ(М) = щ '(М,М0) fi(M0), i, I = 1, 3. Тогда значение
функции щ'(М, Мо) будет указывать перемещение в точке
MgR3B направлении оси Oxi, вызванное приложением в точке
Мо единичной силы в направлении оси Ох/. Положим / =
и, учитывая, что е^е; = 8ц, запишем
V(/Vr) = е^(/,е,|^) = fS ^
*У. Томсон (лорд Кельвин) A824-1907) — английский физик и матема-
математик.
12.5. Статическая задача теории упругости 669
В итоге вместо A2.81) получим
fiet д2г _ е, /6ц 1 д2г
fii fig _ , 1 д2г \
Ui€i~ Anfir 16тгДA-1/) dxidxi 4тг/й V г 4A—v) дх.дх])
Отсюда находим искомую функцию
- A2l82)
При помощи A2.82), используя соотношения Коши A2.70) и
обобщенного закона Гука A2.71), можно найти деформации и
напряжения в точке М ? Ш3, вызванные приложением в точке
Мо единичной силы, направленной вдоль оси Ох/:
) = 1 ^ +
4'}(М,Мо) = Ае2(М' Мо)% + 2/kjj)(М, Мо), г, i, / = ТД
а затем вычислить проекции р\'(М,М0) = а\- (M,M0)rij(M)
вектора напряжений на площадку, проходящую через точку М
и имеющую направляющие косинусы rij(M) единичного вектора
п(М) нормали к этой площадке.
Подставляя в A2.73) uf\M,M0) вместой,, a,pf\M,M0) вме-
вместо j»j и полагая 6, = 5з6ц, с учетом указанного выше свойства
дельта-функции получаем ГИУ
s
+
V
[bi{M)u\l)(M,Mo)dV(M), MGV, PGS, M0?V. A2.83)
670 12. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Это ГИУ можно решить при помощи МГЭ. Для этого кусочно
гладкую поверхность S разобьем на Ns граничных элементов
(ГЭ) Sn, n= l,Ns, причем угловые точки и ребра, если они
есть на поверхности, расположим на стыке элементов. Тогда
в пределах каждого ГЭ будет определен единичный вектор
внешней нормали к поверхности.
В простейшем случае в каждом ГЭ Sn функции щ(Р) и pi{P)
аппроксимируем значениями щ(Рп) и Pi(Pn) соответственно в
точке Рп G Sn, помещенной в середине ГЭ, т.е. приближенно
заменим эти функции их узловыми значениями в га-м узле.
Совместим точку Mq 6 Г с m-м узлом, приняв Mq = Рт 6
G Sm. Для этого узла, лежащего на гладком участке границы,
в A2.83) имеем ш(М0) = ш(Рт) = 2я\ Тогда вместо A2.83),
используя свойство аддитивности определенного интеграла,
получаем
{pi(Pn)uf)(PfPm)-ui(Pn)p\l\p,Pm))dS(P) +
+ Jbi(M)u\')(M}Pm)dV(M), i,/=M,
v
или в матричной записи, учитывая, что точку Мо можно
совместить с любым m-м узлом,
D, A2.84)
где ?/, Q и D — матрицы-столбцы размера ZNs x 1 узловых
значений u3{n_l)+i = щ{Рп), p3(n-i)+; =Pi(Pn), n=l,Ns, и
= Jbt(M)u\l)(M,Pm)dV(M), m=\7Ns, A2.85)
12.5. Статическая задача теории упругости 671
соответственно, Я и G — матрицы порядка SNs с элементами
Л3(т-1)-М,з(п-1)-Н = Sjf + Jp\'4p, Pm) dS(P), m, n = ТГЩ
sn
^3(m-i)+/,3(n-i)+,- = Ju\l)(P,Pm)dS(P), m, n = ТЖ,
sn
5mn = 1 при m = n и 5mn = 0 при тпфп.
Подынтегральные функции в интегралах по ГЭ 5n, n =
= 1, TVs, входящих в выражения для элементов матриц Я и G,
при п ф m ограничены. Поэтому такие интегралы можно вычи-
вычислить при помощи обычных квадратурных формул [VII]. При
n = m несобственные интегралы в выражениях для элементов
матрицы G можно вычислить аналитически, если ГЭ Sm явля-
является плоским*. В случае криволинейного ГЭ в окрестности
точки Рт G Sm целесообразно ГЭ аппроксимировать плоским
участком 5^,, вычислить аналитически вклад в несобствен-
несобственный интеграл на этом участке, а на остальной части ГЭ, где
отсутствуют особенности в подынтегральных функциях, ис-
использовать для вычислений обычные квадратурные формулы.
Выражения для элементов матрицы Я при n = m также
содержат несобственные интегралы. Можно избежать их вы-
вычисления, если учесть, что матричное уравнение A2.84) спра-
справедливо и для частного случая перемещения области V как
твердого тела при отсутствии поверхностных и объемных сил и
заданных значениях щ(Рп) = u° = const. В этом случае матри-
матрицы Q и D будут нулевыми и вместо A2.84) получим HU = Оз^-
где O3NS — нулевая матрица-столбец размера 3Ns x 1. Те-
Теперь заданные значения u3(n-i)+i — щ(Рп) = u°, n = 1, JVr, будут
удовлетворять матричному уравнению HU = Озлл? лишь при
"См., например: Бенерджи П., Баттерфилд Р.
672 12. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
условии
Х>з(т-1)+/,з(„-1)+, = 0, г,/ = 1,3. A2.86)
Отсюда можно вычислить значения /i3(m-i)+;,3(m-i)+«i He при-
прибегая к интегрированию по ГЭ 5т.
Интеграл в A2.85) также является несобственным. Можно
показать, что он сходится в окрестности точки Рт G Гт, ес-
если функция 6,(М) ограничена в этой окрестности. Его можно
вычислить, например, при помощи соответствующей квадра-
квадратурной формулы Гаусса, не использующей значения подынте-
подынтегральной функции в граничных точках.
Если на границе S области V заданы значения перемеще-
перемещений щ(Р) = /,(Р), Ре S, i= 1, 3, то в A2.84) будут известны все
элементы матрицы U. Тогда A2.84) переходит в систему линей-
линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно значений
Pi(Pn) в точках Рп G Sn. После решения этой СЛАУ, используя
A2.83) при ш(Мо) = 47Г, в любой точке Mq G V можно вычислить
значения
Ns ,
г0) = J2Pi(pn) / u\l)(P,M0)dS{P) -
n=l X
-Х>,(Р„) [p\l)(P,MQ)dS(P)
n=l X
I
5„
bi(M)u\l)(M,MQ)dV(M), MeV, PeS, MQeV. A2.87)
V
Приняв, что uiV>,Mo)MVn,Mo) H/)f)(F,Mo)«/)i0(Fn)Mo),
¦fn G 5n, n = 1, iVg, в пределах каждого ГЭ с площадью 5П, вме-
12.5. Статическая задача теории упругости 673
сто A2.87) получим менее точную, но более простую формулу
«/(Л/о) =
п=1
+ fbi{M)u\l)(M,M0)dV{M). A2.88)
V
Можно показать, что несобственный интеграл по области
V в A2.87) и A2.88) сходится равномерно в окрестности точки
Л/о € V, если в этой окрестности функция 6,(М) ограничена.
Поэтому его можно дифференцировать по координатам точки
Л/о как по параметрам. Это позволяет вычислить в любой
точке Мо € V компоненты тензоров деформаций и напряжений.
В более общем случае на участках Su С S поверхности S мо-
могут быть заданы проекции щ(Р) вектора и перемещения, а на
участках Sp = S\SU — проекции Pi(P) вектора напряжения. В
этом случае разбиение поверхности S на Ns ГЭ целесообразно
провести так, чтобы каждый ГЭ целиком находился либо на
участке Su, либо на участке 5р. Тогда A2.84) можно привести
к квадратной СЛАУ вида A2.29) с SNs неизвестными значени-
значениями «;(Р„), Р„ € Sp, и р,(Р„), Р„ € Su, i = ТД n = 1,NS. Воз-
Возможен и более сложный вариант задания граничных условий,
когда на некоторых участках Sup = S\ (Sul)Sp) известны линей-
линейные комбинации указанных проекций. Тем не менее с учетом
этих линейных комбинаций общее число неизвестных гранич-
граничных значений составит 3Ns, причем формирование элементов
матриц А и В° в СЛАУ вида A2.29) аналогично рассмотренно-
рассмотренному выше (см. 12.2).
Если область V состоит из нескольких подобластей, в ка-
каждой из которых упругие свойства однородной среды различ-
различны, то матричные уравнения вида A2.84), составленные для
каждой из однородных подобластей, можно объединить в одну
СЛАУ при помощи условий, заданных на поверхностях кон-
контакта этих подобластей (см. 12.3). Для учета анизотропии
674 12. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
упругих свойств среды и ее неоднородности в области V приме-
применимы те же приемы, что и при использовании метода конечных
элементов для решения задач теплопроводности (см. 12.3).
12.6. Сравнение методов
граничных и конечных элементов
Метод граничных элементов (МГЭ) основан на использова-
использовании фундаментальных решений линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами и поэтому в своем
исходном виде применим к решению линейных задач в обла-
областях, содержащих однородные среды. Если область состоит
из нескольких смежных подобластей, содержащих однородные,
но различные среды, то в рамках МГЭ несложно состыковать
между собой решения для отдельных подобластей. Однако учет
неоднородности среды и (или) ее анизотропии требует, как
правило, применения процедуры последовательных приближе-
приближений (см. 12.3). Аналогичная ситуация возникает и при исполь-
использовании МГЭ для решения нелинейных задач.
В методе конечных элементов (МКЭ) учет неоднородно-
неоднородности и анизотропии среды не вызывает принципиальных труд-
трудностей. Однако в случае нелинейных задач при матричном
представлении уравнений относительно узловых значений ис-
искомых функций элементы матриц зависят от этих значений,
что также приводит к итерациям.
Ясно, что формулировка исходных задач в виде гранич-
граничных интегральных уравнений (ГИУ) приводит к уменьшению
размерности на единицу, т.е. для двумерных задач имеем од-
одномерные ГИУ вдоль контура области, а для трехмерных —
двумерные ГИУ по поверхности, ограничивающей область. От-
Отметим, что некоторые осесимметричные задачи удается свести
к одномерным ГИУ вдоль контура осевого сечения рассма-
рассматриваемой области. Поэтому последующее применение МГЭ
для решения ГИУ позволяет обычно решать системы линейных
12.6. Сравнение методов граничных и конечных элементов 675
алгебраических уравнений (СЛАУ) с матрицами меньшего по-
порядка, чем при использовании МКЭ для решения той же задачи.
Однако формируемые на основе МГЭ матрицы не содержат
нулевых элементов (в случае разбиения области на однород-
однородные подобласти матрица является блочно-ленточной, причем
отдельные блоки состоят только из ненулевых элементов).
В противоположность этому матрица, сформированная на
основе МКЭ, имеет большое число нулевых элементов. Опти-
Оптимизируя нумерацию узлов КЭ, такую матрицу можно свести
к ленточной с минимально возможной шириной ленты. Это
позволяет уменьшить затраты памяти ЭВМ и число арифме-
арифметических операций при решении СЛАУ с ленточной матрицей.
Кроме того, вычисление каждого элемента такой матрицы тре-
требует меньшего числа операций, чем для элемента матрицы при
ее формировании на основе МГЭ, хотя при отсутствии в ГИУ
интеграла по области объем вычислений также уменьшается.
Оценки показывают, что при решении МГЭ трехмерных
задач затраты машинного времени в четыре — десять раз
меньше, чем при их решении МКЭ с той же точностью*. Вы-
Выигрыш растет при решении задач, благоприятных для МГЭ.
Например, в случае неограниченной области подбором фун-
фундаментального решения можно автоматически удовлетворить
условиям на бесконечности, тогда как в МКЭ эти условия при-
придется удовлетворять приближенно введением большого числа
удаленных КЭ. При наличии у области участка границы с за-
заданным нулевым значением производной искомой функции в
направлении внешней нормали (например, идеально теплоизо-
теплоизолированный участок в задаче теплопроводности или свободная
поверхность в задаче движения жидкости) также можно подо-
подобрать фундаментальное решение, которое автоматически удо-
удовлетворит такое граничное условие, что позволит не разбивать
этот участок на граничные элементы (ГЭ).
*См., например: Бенерджи П., Баттерфилд Р.
676 12. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
В МГЭ погрешности связаны лишь с аппроксимацией грани-
границы при помощи ГЭ и приближенном представлении на границе
искомых и заданных функций, тогда как ГИУ является точ-
точной формулировкой искомого решения во всей области. В МКЭ
же возникают дополнительные погрешности при представлении
искомого решения во всей области. Бели при решении зада-
задачи представляет интерес не все поле в области, а лишь его
фрагменты или же единственное значение искомой функции
в какой-либо характерной точке области, то МГЭ позволяет
получить эту информацию с более высокой точностью и при
меньшем объеме вычислений.
Проведенное сравнение показывает, что ни МКЭ, ни МГЭ
не имеют абсолютного преимущества при решении широкого
класса задач, но существуют типы задач, для которых приме-
применение одного из этих методов предпочтительнее. В некоторых
случаях удобным может оказаться одновременное применение
этих методов, когда в части области вводят сетку КЭ, а ре-
решение в остальной части представляют в виде ГИУ с последу-
последующим применением МГЭ. Возможно комбинировать МГЭ и с
другими численными методами*.
Дополнение 12.1. Особенности
решения осесимметричных задач
Рассмотрим область V, полученную вращением вокруг оси
Охз плоской области F (не обязательно односвязной), ограни-
ограниченной кусочно гладкой границей Г, образующей при вращении
кусочно гладкую поверхность S (рис. 12.11). Введем цилин-
цилиндрическую систему координат р, ср, z, начало которой совпа-
совпадает с началом декартовой прямоугольной системы координат
ОХ1Х2Х3, а ось Ог направлена по оси вращения Охз-
В граничном интегральном уравнении (ГИУ) A2.19) для
функции и(М), удовлетворяющей в области V уравнению Пуас-
*См., например: Бреббил К., Теллес Ж., Вроубелл Л.
Д.12.1. Особенности решения осесишлетричных задач 677
Рис. 12.11
сона A2.18), перейдем к цилиндрическим координатам, поло-
положив
dV(M) = р(М) d<p(M) dp{M) dz(M) = p(M) d<p(M) dF(M).
Тогда вместо A2.17) получим
lit
= j J{q(P)w{P,Mo)-u(P)w*(P,Mo))p(P)d<p(P)dr(P) +
г о
+ t f f(M)w{M,Mo)p(M)d<p(M)dF{M), A2.89)
Mev,Moev,PeS.
Пусть в осесимметричной области V требуется найти ре-
решение уравнения Пуассона A2.18) с граничными условиями
A2.20), причем функции /(М) в A2.18) и ft(P), /2(P), /3(Р)
не зависят от угловой координаты (р. При этом A2.18) можно
678 12. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
представить в виде
a A2.20) заменить на A2.15). Ясно, что в зтом случае искомая
функция и(М) и ее производные по р и по z также не будут
зависеть от <р. Тогда из A2.89) следует ГИУ
u(M0)u(M0)=J(q(P)((P,M0)-u(P)C(P,M0))p(P)dr(P) +
г
h I f{M)C(M,M0)p{M)dF(M), MeF, M0€F, Р€Г, A2.91)
F
где
С(М,М0)= tw{M',M0)d<p{M'), M,MoeF, M'eV; A2.92)
C(P,Mo) = [*>*(?,Mo)d<p(Pl), Moev, Per, p'es. A2.93)
0
Для вычисления интегралов в этих равенствах расстояние
г(М', Mq) между точками Мо € F и М' € V, входящее в фунда-
фундаментальное решение w(M',Mo) = уравнения Лапласа
в пространстве, представим в цилиндрических координатах
(рис. 12.12):
г2(М',М0) = р\М) + р2
J. A2.94)
Тогда, принимая в A2.94) <р(Мо) = 0 и учитывая, что
1
Д. 12.1. Особенности решения осесимметричных задач 679
Ы
Рис. 12.12
где п(Р) обозначает направление единичного вектора п(Р)
внешней нормали к поверхности S в точке Р € S, из A2.92)
получаем*
') _^ВД_
',М„) fi{M,M0)
, М, Мо € F,
а из A2.93) находим
дп{Р) гЦР,М0)
р(Р),г(Р,М0)
4 г
2
l-Jb»
где К(А;) и Е(А;) — полные эллиптические интегралы первого и
второго рода соответственно
'См.: Зарубин B.C., 1985.
680 12. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
с модулем к = к(М,Мо) = 4р(М)р(Мо)/ц2(М,Мо) и
М2(М,М0) = {р(М) +р{Мо)J+ (z(Af) - *(М0)J.
Разбиению поверхности S на, N кольцевых граничных эле-
элементов (ГЭ) 5П, '« = 1, N, соответствует разбиение контура Г
также на N участков, которые аналогичны ГЭ при решении ме-
методом граничных элементов (МГЭ) двумерной задачи. Поэто-
Поэтому эти ГЭ будем обозначать не 5„, а Гп. Если теперь искомую
функцию и ее производную по направлению нормали аппрокси-
аппроксимировать в пределах каждого ГЭ их постоянными значениями,
т.е. положить и(Р) и и(Р„) = «„ и q{P) = (Vm(P)) п{Р) и q{Pn) =
= д„, где Р„ € Г„ — узел в середине ГЭ Г„, то ГИУ A2.91)
перейдет в матричное уравнение вида A2.23), в котором эле-
элементами матриц U и Q размера N х 1 являются значения ип и
<7„, элементами матрицы В размера N х 1 — значения
Ьт = J f(MK(M,Pm)p{M)dF(M), m = UV,
F
элементами квадратной матрицы Н порядка N — значения
тфп,
и hmm, вычисленные по формуле A2.26), а элементами матрицы
G порядка N — значения
Интеграл в выражении для элемента дтт является несоб-
несобственным, так как при сближении точек Р, Рт € Гт модуль
к -> 1 и К(к) ->• оо. При
(Р(Р) - р(Рт)J + (z(P) - z(Pm))
2р(Р)р(Рт)
Д. 12.1. Особенности решения осесимметричных задач 681
можно приближенно принять*
Тогда для прямолинейного ГЭ Гт длиной /т (т.е. для коль-
кольцевого ГЭ Sm с прямолинейной образующей) несобственный
интеграл можно вычислить аналитически:
I -ln ш?) ^+6mK/2 -ipm ~bmK/2) -
, A2.95)
где
., pm p(Pm), 6m = — sinam ^ 0,
sin am 2
am — угол между радиальным направлением и внешней нор-
нормалью п(Рт) в узле Рт € Гт (рис. 12.13). Если прямолинейный
элемент ГЭ Гт параллелен оси Oz, to sin am = 0 и
п ~3/ (\ 1
Утт 'v/
16pm/
'См.: Зарубин B.C., 1985.
682 12. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
х3
Рис. 12.13
Для ГЭ с малым значением рт значение i/(P,Pm) может
оказаться большим и поэтому вычисление несобственного ин-
интеграла в аналитической форме становится возможным лишь
в малой окрестности точки Рт G Гт в пределах той части
Т'т С Гт длиной 1'т <С 2WP' Jfm, в середине которой остается
точка Рт G Гт. За пределами этого участка подынтегральная
функция не содержит особенности и можно использовать обыч-
обычные квадратурные формулы. Поэтому
9тт — 9тт ""
где д'тт находят, заменяя в A2.95) 1т на 1'т.
Аналогично можно найти значение дтт для криволинейного
ГЭ Гт, если в окрестности точки Рт € Гт представить ГЭ
небольшим прямолинейным участком длиной 1'т.
При задании на контуре Г граничных условий вида A2.15) и
в случае осесимметричной задачи из A2.23) при помощи A2.30)
и A2.31) можно перейти к системе линейных алгебраических
уравнений (СЛАУ) A2.29). Решение этой СЛАУ дает недо-
недостающие узловые значения ип и qn, n = l,N. После этого,
используя A2.91) при ш(Мо) = 4тг, можно вычислить значение
Вопросы и задачи 683
и(Мо) искомой функции и в любой точке Mq € F:
u(M0) = -^- I f{M)C(M,M0)p{M)dF{M) +
F
+ — Уип U{P,Mo)p{P)dT(P)-un f(P,
47rrrf\ У У
n—1 p P
An In
Отметим, что при помощи МГЭ аналогичным образом мож-
можно решать нестационарные осесимметричные задачи и задачи
теории упругости при осесимметричном напряженно-деформи-
напряженно-деформированном состоянии среды*.
Вопросы и задачи
12.1. Показать, что на прямолинейном в окрестности точки
Mo G Г участке границы Г первый интеграл в правой части
A2.8) является собственным.
12.2. Доказать, что интеграл в выражении для диагональ-
диагонального элемента матрицы Н в A2.23) равен нулю, если соответ-
соответствующий граничный элемент является прямолинейным.
12.3. Проверить, что функция A2.44) является фундамен-
фундаментальным решением уравнения A2.43) при 1у(М) = 0.
12.4. Убедиться, что A2.56) удовлетворяет однородному
уравнению A2.54) (при Iy\t,M) = 0) во всех точках М ? R3,
кроме точки Mq € Ш.3.
12.5. Проверить, что A2.62) является фундаментальным
решением однородного уравнения A2.60) (при Л(М) = 0).
'См., например: Зарубин B.C., 1985.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ
ЛИТЕРАТУРЫ
Учебники и учебные пособия
Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные ме-
методы для инженеров. М.: Высш. шк., 1994. 544 с.
Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.:
Наука, 1987. 600 с.
Беляев Н.М., Рядно А. Методы теории теплопроводности: В 2 т. Т. 1.
М.: Высш. шк., 1982. 328 с.
Березанский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ.
Курс лекций. Киев: Вища школа, 1990. 600 с.
Власова Е.А., Феоктистов В.В., Чадов В.Б. Введение в прикладной
функциональный анализ. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1994. 54 с.
Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука,
1977. 304 с.
Гавурин М.К. Лекции по методам вычислений. М.: Наука, 1971. 248 с.
Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г., Терпигорева В.М. Математический
анализ (специальные разделы): В 2 т. Т. 2. М.: Высш. шк., 1980. 296 с.
Калиткин И.И. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.
Канторович Л.В., Акилов Г.Л. Функциональный анализ. М.: Наука,
1984. 752 с.
Карташов Э.М. Аналитические методы в теплопроводности твердых
тел. М.: Высш. шк., 1979. 416 с.
Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика:
Пер. с нем. М.: Мир, 1969. 448 с.
Колмогоров А.Н., Фомин СВ. Элементы теории функций и функцио-
функционального анализа. М.: Наука, 1989. 624 с.
Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные мето-
методы: В 2 т. Т. 1. М.: Наука, 1976. 304 с.
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: В 3 т. Т.З. М.:
Высш. шк., 1989. 352 с.
Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анали-
анализа. М.: Высш. шк., 1982. 272 с.
_____ 685
Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы.
М.: Наука, 1981. 416 с.
Михлин С.Г. Курс математической физики. М.: Наука, 1968. 576 с.
Михлин С.Г. Вариационные методы математической физики. М.:
Наука, 1970. 512 с.
Пирумов У.Г., Росляков Г.С. Численные методы газовой динамики.
М.: Высш. шк., 1987. 232 с.
Садовничий В.А. Теория операторов. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986.
368 с.
Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 с.
Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.
432 с.
Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений.
М.: Наука, 1978. 592 с.
Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики.
М.: Наука, 1975. 352 с.
Седов Л.И. Механика сплошной среды: В 2 т. Т. 1. М.: Наука, 1970.
492 с.
Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в ма-
математической физике. М.: Наука, 1988. 334 с.
Талдыкин А.Т. Элементы прикладного функционального анализа. М.:
Высш. шк., 1982. 384 с.
Треногий В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 496 с.
Турчак Л.И. Основы численных методов. М.: Наука, 1987. 320 с.
Федоренко Р.П.. Введение в вычислительную физику. М.: Изд-во
МФТИ, 1994. 528 с.
Феоктистов В. В. Бесконечномерные пространства и применение
функционального анализа в математической физике. М.: Изд-во МГТУ
им. Н.Э. Баумана, 1994. 54 с.
Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа: В 2 т. Т. 2. М.:
Наука, 1968. 464 с.
Справочные издания и монографии
Александрова Н.В. Математические термины: Справочник. М.: Высш.
шк., 1978. 190 с.
Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеха-
гидромеханика и теплообмен: Пер. с англ. В 2 т. М.: Мир, 1990. 728 с.
686 СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных
сред. М.: Наука, 1984. 520 с.
Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в при-
прикладных науках: Пер. с англ. М.: Мир, 1984. 496 с.
Бреббия К., Теллес Ж., Вроубелл Л. Методы граничных элементов:
Пер. с англ. М.: Мир, 1987. 524 с.
Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для
инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1986. 544 с.
Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алго-
алгоритмы, программы: Справочное пособие. Киев: Наук, думка, 1986. 546 с.
Воднев В. Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Математический словарь
высшей школы / Под ред. Ю.С. Богданова. Минск: Вышэйш. шк., 1984.
528 с.
Галанин М.П., Попов Ю.П. Квазистационарные магнитные поля в
неоднородных средах: Математическое моделирование. М.: Наука, 1995.
320 с.
Герасимович А.И., Рысюк Н.А. Математический анализ: Справочное
пособие для студентов втузов и инженеров: В 2 т. Т. 1. Минск: Вышэйш.
шк., 1989. 288 с.
Горинштейн A.M. Практика решения инженерных задач на ЭВМ. М.:
Радио и связь, 1984. 232 с.
Градштейн И.С, Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и
произведений. М.: Физматгиз, 1963. 1100 с.
Джордж А., Л\о Дж. Численное решение больших разреженных систем
уравнений: Пер. с англ. М.: Мир, 1985. 336 с.
Дороговцев А.Я. Математический анализ: Справочное пособие для
преподавателей математики, инженерно-технических работников и студен-
студентов. Киев: Вища школа, 1985. 528 с.
Зарубин B.C. Инженерные методы решения задач теплопроводности.
М.: Энергоатомиздат, 1983. 328 с.
Зарубин B.C. Прикладные задачи термопрочности элементов конст-
конструкций. М.: Машиностроение, 1985. 296 с.
Зарубин B.C., Селиванов В.В. Вариационные и численные методы
механики сплошной среды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1993.
360 с.
Зино И.Е., Тропп Э.А. Асимптотические методы в задачах теории
теплопроводности и термоупругости. Л.: Иэд-во Ленингр. уи-та, 1978.
224 с.
687
Иванов В. В. Методы вычислений на ЭВМ: Справочное пособие. Киев:
Наук, думка, 1986. 584 с.
Коул Дж. Методы возмущении в прикладной математике: Пер. с англ.
М.: Мир, 1972. 276 с.
Крылов В.И., Скобля Н.С. Справочная книга по численному обраще-
обращению преобразования Лапласа. Минск: Наука и техника, 1968. 296 с.
Кувыркин Г.Н. Термомеханика деформируемого твердого тела при
высокоинтенсивном нагружении. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,
1993. 144 с.
Курбатов П.А., Ариниин С.А. Численный расчет электромагнитных
полей. М.: Энергоатомиздат, 1984. 168 с.
Лыков А.В. Тепломассообмен: Справочник. М.: Энергия, 1972. 560 с.
Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю.В. Прохоров.
М.: Сов. знцикл., 1988. 848 с.
Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред: Пер. с англ. М.:
Мир, 1974. 320 с.
Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Наука,
1966. 432 с.
Можен Ж. Механика электромагнитных сплошных сред: Пер. с англ.
М.: Мир, 1991. 560 с.
Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов: Пер. с
англ. М.: Мир, 1981. 304 с.
Писсанецки С. Технология разреженных матриц: Пер. с англ. М.: Мир,
1988. 412 с.
Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и тех-
технике: Пер. с англ. М.: Мир, 1985. 590 с.
Решение краевых задач методом Монте-Карло / Б.С. Елепов, А. А. Крон-
берг, Г.А. Михайлов, К.К.Сабельфельд. Новосибирск: Наука, Сибирское
отд., 1980. 176 с.
Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач:
Пер. с англ. М.: Мир, 1972. 420 с.
Роуи П. Вычислительная гидродинамика: Пер. с англ. М.: Мир, 1980.
616 с.
Рудин У. Функциональный анализ: Пер. с англ. М.: Мир, 1975. 448 с.
Силъвестер П., Феррари Р. Метод конечных элементов для радиоин-
радиоинженеров и инженеров-электриков: Пер. с англ. М.: Мир, 1986. 232 с.
Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. М.:
Наука, 1979. 640 с.
688 СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Справочное пособие по приближенным методам решения задач высшей
математики / Л.И. Бородии, А.И. Герасимович, Н.П. Кеда, И.Н. Мелешко.
Минск: Вышэйш. шк., 1986. 190 с.
Стренг Г., Фикс Док. Теория метода конечных элементов: Пер. с англ.
М.: Мир, 1977. 352 с.
Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач: Пер.
с англ. М.: Мир, 1980. 512 с.
Толмачев В.В., Головин A.M., Потапов B.C. Термодинамика и элек-
электродинамика сплошной среды. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988. 232 с.
Трауб Дж. Итерационные методы решения уравнений: Пер. с англ.
М.: Мир, 1985. 264 с.
Уилкинсон, Райнш. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линей-
Линейная алгебра: Пер. с англ. М.: Машиностроение, 1976. 390 с.
Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы матема-
математических вычислений: Пер. с англ. М.: Мир, 1980. 280 с.
Хатсон В., Пим Дж. Приложения функционального анализа и теории
операторов: Пер. с англ. М.: Мир, 1983. 432 с.
Шуп Т.Е. Прикладные численные методы в физике и технике: Пер. с
англ. М.: Высш. шк., 1990. 256 с.
Задачники
Механика сплошных сред в задачах / Под ред. М.Э. Эглит. В 2 т. М.:
Московский Лицей, 1996. Т. 1, 396 с; Т. 2, 394 с.
Треногий В.А., Писаревский Б.М., Соболева Т.С. Задачи и упражнения
по функциональному анализу. М.: Наука, 1984. 256 с.
Халмош П. Гильбертово пространство в задачах: Пер. с англ. М.: Мир,
1970. 352 с.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аксиомы скалярного умножения
IV, 209
Алгоритм неустойчивый 418
- устойчивый 418
Альтернатива Фредгольма 194
Аппроксимация гладкая 557
- производных 404
- функции VII, 538
Базис стандартный IV
- счетный IX, 196
Блок матрицы III
хЗариация функционала первая XV
Вектор напряжения 74
- собственный квадратной
матрицы IV
Величина случайная XVI
Вероятность события XVI
Волны стоячие XII
1 иперплоскость XIV, 170
Девиатор напряжений 92
- скоростей деформаций 92
Дельта-функция XII, 665
Дифференциал Гато XV, 598
Завихренность VII, 94
Задача Дирихле XII, 502
- иа собственные значения 237
- Штурма — Лиувилля XI, 441
Закон Гука обобщенный 98
Запись СЛАУ матричная III
Значение регулярное оператора 186
- собственное IV, 186
-- квадратной матрицы IV
-- кратное 234
- - операторного уравнения 234
-- простое 234
- узловое 402
Изометрия 198
Интеграл Бернулли 87
- зависящий от параметра VI
- Коши — Лагранжа 87
- эллиптический второго рода VI,
679
- первого рода VI, 679
Интерполирование II
Интерполяция линейная
(двухточечная) II
Квадрат скалярный IV, 209
Класс эквивалентности XIX
Композиция операторов 146
Компонента тензора IV
Константы Ламе 98
Координаты точки
барицентрические 543
- элемента в базисе IX, 196
Коэффициент сжатия 159
Коэффициенты весовые VI
- теплопроводности главные 82
Кратность собственного значения
234
690
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Лемма фундаментальная Кошн 76
Матрица Грама IV
- жесткости глобальная 611
- конечного элемента 611
- квадратичной формы IV
- масс глобальная 614
- конечного элемента 615
- неразложимая 444
- ортогональная IV
- положительно определенная IV
- пятндиагональная 440
- разреженная 579
- с диагональным преобладанием
III, 4 Л*
частичным 416
- слабозаполненная 579
- теплоемкости глобальная 586
-- конечного элемента 587
- теплопроводности глобальная 576
- - конечного элемента 576
- трехдиагональная III, 415
Матрица-столбец III
Мера Лебега IX
Метод баланса 409
- Бубнова— Галеркина351
- вариации постоянных VIII
- взвешенных невязок 326
- Гаусса III
-- с выбором главного элемента III
- граничных элементов 635
- итераций 1-100 , 284
- Канторовича 386
- коллокацин в подобластях 327
точках 334
- конечных разностей 403
- элементов (МКЭ) 536
- локальных вариаций 583
Метод малого параметра 303
- моментов 326
- наименьших квадратов IV, 345
- ортогональных проекций 325
- последовательных приближений
1-100, S84
- прогонки III, 416
- проекционный 389
- прямых 453
- разделения области 327
- Ритца 353
- Рунге II
- Рунге — Кутты VIII, 459
- сеток 402
- статистических испытаний 504
- стрельбы 448
- установления 501
- Фурье XII
- штрафа 383
Методы проекционно-сеточные 403
- сеточные 402
Метод Эйлера VIII, ^59
Метрика 1-177
Минор III
- главный IV, 44*>
- порядка к III
- угловой III
Миноры главные диагональные
VIII, 446
Многообразие линейное IX
Многочлен интерполяционный II
-- Лагранжа II, 4°4
-- полный 539
- Эрмнта кубический II, 557
Множество всюду плотное IX, 140
- измеримое IX
- объема нуль VII
- относительно компактное 153
691
Множество предкомпактное 153
- функций равномерно
ограниченное 155
-- равностепенно непрерывное 155
Моделирование математическое 19
Модель математическая II
Напряжение касательное 76
- нормальное 76
Невязка уравнения операторного
326
Неравенство Коши — Буняковского
IV, 209
- Шварца 210
Норма IV, 139
- кубическая IV
- линейного оператора 172
- функционала 164
- спектральная IV, 455
- функции 139
- энергетическая 227
Область значений оператора 146
- определения оператора 146
Оболочка линейная IV, 138
Ожидание математическое XVI
Оператор 146
- бигармонический 95
- взаимно однозначный 146
- вполне непрерывный 153
- неотрицательный XV
- непрерывный 151
- в точке 151
- нулевой IV, 161
- обратный 146
-- левый 149
- правый 149
- ограниченный 151
- положительно определенный 215
Оператор положительный 215
- проекционный 390
- разностный 493
- резольвентный 186
- самосопряженный IV, 268
- сжимающий 159
- симметрический 215
- сопряженный IV, 265
- тождественный IV, 146
- Штурма — Лиувилля XI, 278
- эллиптический 272
Оператор-функция 309
Орт III
Ортопроектор 394
Оси главные тензора 82
Отрезок разбиения частичный VI
Оценка погрешности
апостериорная 294
- априорная 294
Параметр интегрального
уравнения 185
- узловой 525
Плотность количества движения
среды объемная' 22
- момента количества движения
среды объемная 22
- объемная 21
- потока 26
- массы 26
- - энергии 26
- среды 21
- электрического заряда объемная
21
-- тока 26
- энергии объемная 21
Поверхность разрыва 47
- сильного 66
- слабого 66
692
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Погрешность аппроксимации 404
-- ОДУ 421
- квадратурной формулы Vljff 289
- разностной схемы 421
Подмножество выпуклое XV, 32
Подпоследовательность 1-243
Подпространство нормированного
пространства IX, ЦО
- собственное операторного
уравнения 235
Покрытие множества открытое
1-188
Пополнение нормироввнного
пространства 198
Порядок аппроксимации 421
- погрешности аппроксимации 405
- точности разностной схемы 422
Последовательность
минимизирующая XV, 225
- сходящаяся поточечно 175
- фундаментальная 1-314, 140
Потенциал векторного поля
скалярный VII, 42
- объемный XII, 125
- скорости 42
- слоя двойного XII, 125
- простого XII, 125
Предел последовательности,
сходящейся по норме IX, 139
Преобразование интегральное
Лапласа XI
- линейное IV
- ортогональное матрицы IV
Принцип максимума 418
- равномерной ограниченности 177
Прогонка встречная 477
- матричная 516
-¦ немонотонная 483
- ортогональная 517
Прогонка потоковая 478
- продольно-поперечная 494
- циклическая 480
Продолжение функционала 170
Проектор 390
Произведение скалярное
энергетическое 227
Пространства нормированные
изометричные 198
Пространство 1-177, 137
- банахово IX
- рефлексивное 264
- гильбертово IX, 209
- линейное бесконечномерное IV,
138
- метрическое 1-177
- нормированное полное IX
-- сепарабельное IX, Ц0
- сопряженное IV, 258
-- второе IV, 263
- функций почти всюду
ограниченных 261
- суммируемых IX
с квадратом IX
р-й степенью 260
- функциональное 137
- нормированное 139
- энергетическое 229
Процесс ортогоналиэации Грама —
Шмидта IV
Главенство Парсеваля IX
Разложение матрицы
мультипликативное IV
- Холецкого III
- элемента по базису IX, 196
Разность конечная II
-- левая (назад) II, 405
-- правая (вперед) И, 405
693
Разность конечная центральная II,
405
Ранг тензора IV
Расширение оператора 146
Резольвента оператора 186
Рефлексивность XIX, 198
Решение классическое 197
- обобщенное 197
- операторного уравнения
приближенное XV, 527
- слабое 226
- тривиальное IV
- фундаментальное уравнения
Лапласа XII, 623
теплопроводности XII, 657
Ряд мажорирующий IX
Свертка тензора IV
Сетка временная 401
- двумерная 402
- конечных элементов 525
- одномерная 402
- пространственная 401
- пространственно-временная 401
- трехмерная 402
Сила эйлерова VIII, 363
Симметричность XIX, 198
Система биортогональная 268
- биортонормированная 268
- замкнутая IX, ЦО
- координат сопутствующая 54
- минимальная 268
- ОДУ жесткая 458
- ортонормированная IX
- - полная IX
- сопряженная 269
След матрицы IV
Слой сетки
пространственно-временной 401
Соотношения Коши 98
Спектр дискретный 245
- оператора IV, 187
- непрерывный 187
- остаточный 187
- - точечный 187
Среда сплошная 20
Степень оператора 159
Сужение оператора 146
Сумма квадратурная VI
Схема разностная 402
- двухслойная неявная 464
с весами 462
симметричная 465
явная 463
- корректная 476
- локально-одномерная 496
- - неявная трехслойная 467
- типа предиктор-корректор 471
- трехслойная симметричная 468
- - явная трехслойная 466
Сходимость в среднем
квадратичном IX, 211
- сильная 261
- слабая 262
Хензор IV
- второго ранга единичный 92
- деформаций 98
- напряжений 76
- скоростей деформаций 92
- теплопроводности 81
- шаровой 86
Теорема Арцела 155
- Банаха об обратном операторе
179
- Банаха — Штейнгауза 177
- взаимности работ 663
- Гершгорнна 443
694
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Теорема Гильберта — Шмидта 252
- о квадратичном функционале 220
- Стокса VII, 122
- Ф. Рисса 218
- Хана — Банаха 171
Тетраэдр VII, 539
Точка неподвижная оператора 160
- стационарная функционала XV,
21
- экстремума функционала XV
Точки коллокации 334
Транзитивность 1-43, 198
Триангуляция области VII, 543
Тройка некомпланарных векторов
правая III, 124
- точек правая V, 540
Трубка векторная VII
Уравнение теории упругости в
перемешениях 102
- функциональное 20
Уравнения движения 78
- Ламе 99
- Максвелла XII, 109
- Навье — Стокса 93
- равновесия 78
- Эйлера 86
Условие граничное главное
(предварительное) 382
-- естественное 382
Условия граничные связанные 433
- краевые 20
Устойчивость алгоритма
вычислительная 418
- по входным данным 418
Узел квадратурной формулы VI
- конечного элемента 525
- сетки 401
- промежуточный 405
Умножение операторов 182
- скалярное IV
-- стандартное IV
Уравнение бигармоническое 96
- Гельмгольца 45
- интегральное 125
- граничное 622
- II рода XI, 180
- интегро-дифференцнальное 125
- неразрывности 39
- операторное XV, 146
- однородное 186
- разностное 402
- состояния 20
- телеграфное XII, 110
Окорма уравнения неразрывности
дивергентная 46
обобщенная 50
Формула Грина вторая VII, 36
-- интегральная XII, 125
- - первая VII, 36
- квадратурная VI, 287
- Гаусса VI
- Остроградского 35
- Остроградского — Гаусса VII, 30
- парабол VI, 289
- трапеции VI
Формулировка задачи
интегральная 377
Функции базисные 325
- - финитные 536
- весовые 326
- проекционные 325
Функционал билинейный 219
Функционал выпуклый строго XV,
598
- квадратичный 219
- Лагранжа XV
- линейный 164
-- ограниченный 164
- энергии 224
Функция аналитическая 305
- бигармоническая 96
- гармоническая XII, 87
- Дирихле 1-107, Ц4
- измеримая IX
- интегрируемая по Лебегу IX, 144
- потенциальная VII, 27
- собственная оператора 186
- суммируемая IX, 144
-- с квадратом и весом IX, ?12
- тока 94
- формы конечного элемента 529
Тлело обусловленности матрицы
IV, 295
- характеристическое 186
695
Шаблон разностной схемы 463
Шаг сетки 404
Шар 1-179
- замкнутый 1-179
«Зквивлентность XIX
Элемент граничный 635
- конечный (КЭ) 525
- комплексный 538
- лагранжевый 538
- мультиплексный 538
- - симплексный 538
- сингулярный 548
- - эрмитовым 538
- ортогональный подпространству
IX, 213
- собственный оператора 186
- операторного уравнения 234
Элементы ортогональные IX, 213
Эллипсоид трехосный III
Ядро интегрального уравнения 185
- оператора IV, 178
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Основные обозначения 12
ЧАСТЬ I. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ 17
1. Основные физические субстанции 19
1.1. Особенности постановки задач математической физики 19
1.2. Плотность физических субстанций 21
1.3. Перенос физических субстанций 26
Д.1.1. Некоторые формулы векторного анализа 30
Вопросы и задачи 37
2. Законы сохранения физических субстанций 38
2.1. Закон сохранения массы 38
2.2. Дивергентная форма уравнения неразрывности ... 46
2.3. Законы сохранения электрического заряда и тепловой
энергии 57
2.4. Закон сохранения количества движения 72
Д.2.1. Формулы векторного анализа в случае неоднородной
среды 81
Вопросы и задачи 84
3. Математические модели некоторых сред 85
3.1. Модели идеальной жидкости (газа) 85
3.2. Модели вязкой жидкости 91
3.3. Упругое твердое тело 98
3.4. Уравнение переноса энергии в среде 103
3.5. Уравнения Максвелла 108
3.6. Электромагнитные процессы в медленно движущейся
среде 117
Д.3.1. Поверхности разрыва в электромагнитном поле . . . 122
Д.3.2. Примеры задач, описываемых интегральными уравне-
уравнениями 125
Вопросы и задачи 134
697
ЧАСТЬ II. ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬ-
ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА И ПРИБЛИЖЕННЫЕ
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ 135
4. Нормированные пространства и операторы 137
4.1. Нормированные пространства 137
4.2. Операторы в нормированных пространствах 146
4.3. Линейные операторы 161
4.4. Линейные ограниченные функционалы 164
4.5. Нормированное пространство линейных операторов 171
4.6. Спектр линейного оператора 186
4.7. Пополнение нормированного пространства 196
Вопросы и задачи 204
5. Операторы в гильбертовых пространствах 209
5.1. Гильбертово пространство 209
5.2. Операторы и функционалы в гильбертовом простран-
пространстве 215
5.3. Энергетическое пространство 226
5.4. Однородное операторное уравнение 234
5.5. Уравнения с вполне непрерывными симметрическими
операторами 246
Д.5.1. Сопряженные пространства и сопряженные операторы 258
Д.5.2. Критерий баэисности системы функций 268
Д.5.3. Положительная определенность эллиптического опера-
оператора 270
Вопросы и задачи 281
6. Приближенные аналитические методы 283
6.1. Общая схема построения приближенных методов . . 283
6.2. Погрешности приближенных методов 293
6.3. Метод малого параметра 297
6.4. Общий случай метода малого параметра 303
6.5. Метод ортогональных проекций 323
6.6. Коллокации в подобластях и в точках 326
6.7. Метод наименьших квадратов 343
6.8. Методы Бубнова—Галеркина и Ритца 351
6.9. Задачи на собственные значения 357
6.10. Особенности выбора базисных функций 371
Д.6.1. Проекционный метод 389
Вопросы и задачи 395
698 ОГЛАВЛЕНИЕ
ЧАСТЬ III. СЕТОЧНЫЕ МЕТОДЫ 399
7. Основы метода конечных разностей 401
7.1. Понятие о сеточных методах 401
7.2. Аппроксимация производных конечными разностями 404
7.3. Метод баланса 407
7.4. Пример простейшей разностной схемы 414
Вопросы и задачи 424
8. Одномерные краевые задачи 425
8.1. Разностные схемы для стационарных задач 425
8.2. Задача Штурма — Лиувилля 441
8.3. Нестационарная задача теплопроводности 452
8.4. Некоторые динамические задачи 467
Д.8.1. Модификации метода прогонки 472
Вопросы и задачи 490
9. Многомерные задачи 491
9.1. Особенности решения многомерных задач 491
9.2. Двумерная и трехмерная задачи теплопроводности . 492
9.3. Различные многомерные задачи 500
Д.9.1. Алгоритмы матричной и ортогональной прогонок . 514
Вопросы и задачи " 521
ЧАСТЬ IV. МЕТОДЫ КОНЕЧНЫХ И
ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 523
10. Основы метода конечных элементов 525
10.1. Одномерная краевая задача 526
10.2. Типы конечных элементов 538
10.3. Матричная форма представления функций 563
Вопросы и задачи 567
11. Прикладные задачи 569
11.1. Особенности применения метода конечных элементов 569
11.2. Задачи теплопроводности в твердом теле 572
11.3. Двумерное течение вязкой жидкости 592
11.4. Задачи теории упругости 602
11.5. Электромагнитное поле в цилиндрическом волноводе 616
Вопросы и задачи 621
699
12. Введение в метод граничных элементов 622
12.1. Граничные интегральные уравнения 622
12.2. Способы аппроксимации функций на границе .... 635
12.3. Учет анизотропии и неоднородности 647
12.4. Нестационарные задачи 656
12.5. Статическая задача теории упругости 663
12.6. Сравнение методов граничных и конечных элементов 674
Д.12.1. Особенности решения осесимметричных задач . . . . 676
Вопросы и задачи 683
Список рекомендуемой литературы 684
Предметный указатель 689
Учебное издание
Математика в техническом университете
Выпуск XIII
Власова Елена Александровна
Зарубин Владимир Степанович
Кувыркин Георгий Николаевич
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Редактор Н.Г. Ковалевская
Художник С.С. Водчиц
Корректор О.В. Калашникова
Оригинал-макет подготовлен
в Издательстве МГТУ им. Н.Э. Баумана
под руководством А.Н. Канатникова
Изд. лиц. №020523 от 25.04.97
Подписано в печать 18.06.2001. Формат 60x88 1/16.
Печать офсетная. Бумага офсетная № 1.
Усл. печ. л. 43,75. Уч.-изд. л. 41,32.
Тираж 3000 экз. Заказ № 6341
Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана.
107005, Москва, 2-я Бауманская, 5.
Отпечатано в Производственно-издательском комбинате ВИНИТИ,
140010, г. Люберцы Московской обл., Октябрьский пр-т, 403.
Тел. 554-21-86.
ISBN 5-7038-1768-4
7681