Text
Про<*». С. П. ГЛАЗЕНАП
ЗАДАЧНИК
НАЧАЛЬНОЙ математике
)
ГОСУДЛРСТНЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО у1ЕНЛИ1НГГ>А./1 ~ I П % 4
— 1 уЦКБНИКН — VUEBHbJK ПОСОБИЯ ДЛЯ 'ГЯ^ДОЛОЙ UJKO/Ihl ___
ЧАСТЬ II
- 1ЛЙ
ЛЕНГИЗ
Ленинградское Отделение
Государственного Издательства
Ленинград, Дом Книги, Просп. 25 Окт. 28. Телефоны: 132-14,570-14: Москва, Тверская, 51. Телефоны: 3-92-07, 4-92-31.
МАТЕМАТИКА.
1. Учебники и пособия для учащихся.
Богословский, И. Н. - Учебник и упражнения по коммерч, арифметике. (Печ.) Бэм, Д. — Элементы геометрии. Для II ступени. (Печ.)
Бэм, Волков и Струве, — Полный сборник задач и упражнений по алгебре-(Печ.)
Вульф п Динзерливг. — Элементарная алгебра, ц. 2 р.
Гляленпп С.—. pcnvouuv
Крогиус, В. А. Прямолинейная тригонометрия, и. 50 К.
Кулишер, А. Р. Учебник геометрии (Печ.)
Лебедпнцев, К. Ф. - Введение в вьдешую математику.от. к печ.) \
Его же. — Учемгик математики для фаб-зявуча (Гот. к печ )
Мартин, П.. и О. Шмидт. — Геометрия __ -туй ппття СТ ИЯСТАПСКПХ. Для I CTV-
е.
£ ВОЗВРАТИТЬ КНИГУ НЕ ПОЗЖЕ ОБОЗНАЧЕННОГО ЗДЕСЬ СРОКА с Г;
1
1 > h !«
] о-
] I ?И
] 1 их
1 ₽о :их
Ка,
• 1-се
мил ых. (х от к печ.} 1 математики. кой ^ххсч. )
2. Методические руководства и пособия для учителей.
Кавун И. 11. Приближенные вычисления. г. у р.
’К'У.-ек IO II. Обучение счету. (Не » в тП^ког* Троцкий, С. И. — Методика на
чальнего курса математики, в 2 частях Под ред. П. Н. Кавуна ц. 1 р. 10 к.
Юнг, Дж. — Как преподавать матвма тику, ц. 2 р.
УЧЕБНИКИ И УЧЕБНЫЕ ПОСОБИЯ ДЛЯ ТРУДОВОЙ ШКОЛЫ
Про<*>. С. П. ГЛАЗЕНАП
**-*_ I I
ЗАДАЧНИН" г
по -’/
НАЧАЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ
а
ДЛЯ ШКОЛ ПЕРВОЙ СТУПЕНИ
3 w
с 38 рисунками и ключом, содержащим ответь! • f
~ ТРЕХ ЧАСТЯ
ЧАСТЬ II \ (второй концентр)
Иедание третье, исправленное и дополненное
Запущено /осударствеитн ^чехыи CcS'rno*
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛЕНИНГРАД
1924
(£оСуДар(тпв('нно£ ^иАат^ЛЪСгпво.
Гиз. Ks 10126.
50.000 экз.
Ленинградский Гублит № 966
Предисловие.
Настоящая книга является вторым концентром „Начального задачника по математике". В ней находятся повторительные главы к I части. Главная цель .Задачника" —научить учащихся быстро считать и попутно на задачах знакомить их с вопросами народного хозяйства и общественной жизни — проводится и в настоящей книге. Для приобретения навыка в быстром счете приведено много задач для устного решения и особая глава „Испытание на скорость счета" (§ 17). Скорый счет приучает учащихся к быстрому соображению, что весьма важно в жизни. С целью развития способности быстрого счета таблица умножения распространена до 12, при чем умножение на 11 и на 12 производится по правилам умножения на однозначные числа. Знание кратных 11 и 12, в особенности 12, ье только содействует усвоению быстрого счета с этими числами, но имеет и жизненное значение, потому что некоторые предметы считаются не единицами или десятками, а дюжинами, и, следовательно, часто приходится умножать и делить на 12. С тою же целью в настоящей книге излагаются некоторые упрощенные правила для быстрого счёта как умножения, так и деления. Наконец, изложено особое правило для письменного умножения многозначный чисел, заключающееся в том, что умножение начинается нес разряда единиц или с низшего разряда множителя, а с высшего. Подобный способ умножения имеет преимущество перед общепринятым в том отношении, что множимое, умноженное на число высшего разряда множителя, дает сразу главную часть искомого произведения, а это облегчает, с одной стороны, производство счета в уме, с другой же, — проверку умножения.
Многочисленные упражнения на все четыре действия как с целыми числами, так и с дробными и именованными, содействуют той же цели усвоения быстроты счета устно н письменно.
4
Как и в первой части, здесь приводятся несложные, но жизненные задачи из сельской, городской, фабрично-заводской и политической жизни. Внимание уделено также и задачам с географо-экономическими данными в широком масштабе.
В конце настоящей книги помещены геометрические задачи, применительно главным образом к практической жизни. Геометрические задачи доведены до вычисления объемов кубов и параллелепипедов.
С начала настоящей книги учащиеся знакомятся более основательно с метрической системой, чем в первой части, что является необходимым при современных условиях жизни, когда эта система введена в С.С.С.Р.
Как и в I части, А. Т. Шенкман оказал мне помощь в составлении задач на общественные темы и в просмотре всего „Задачника1* и в дополнении его в методическом отношении. Приношу ему свою благодарность.
С. Главенап.
Сиет и нумерация!
§ 1. Повторение чисел меньше двадцати.
1. Как называются и пишутся числа меньше двадцати ?
2. Как пишется десять?
3. Как пишется одиннадцать?
4. Как пишется двенадцать, тринадцать, четырнадцать и т. д.?
5. Я хочу послать переводом по почте семнадцать рублей. Как написать это число?
6. На покупку сушеных плодов надо отправить в Самарканд переводом по почте одиннадцать рублей. Как вы напишете это число на переводном бланке?
7. В классе пятнадцать учеников и четырнадцать учениц. Как вы напишете эти числа?
8. Чтобы в Ленинграде с Проспекта 25 Октября попасть в Смольный, надо сесть в трамвай маршрутов тринадцатого или семнадцатого. Как обозначены их номера на вагонах?
§ 2. Повторение чисел от двадцати до ста.
1. Как называются и пишутся числа меньше ста?
2. Как пишется двадцать?
3. Какие числа вы поставите на место черточек в первом столбце? (см. Ответы § 2. Задача 1).
4. Какие числа вы поставите на место черточек во втором, третьем, четвертом и т. д. столбцах?
5. Как пишется двадцать семь?
6. Как было обозначено в календаре число в день Великой Октябрьской Революции?
7. Как вы напишете цифрами двадцать один? Двадцать шесть? Тридцать? Сорок восемь? Шестьдесят пять?
8. Что означает 36?
9. Напишите тридцать три цифрами.
— 6 —
§§ 2—3.
10. На книжной полке стоят сорок семь книг. Как написать это число?
11. Означает ли в числе 33 первая 3 то же самое, что и вторая?
12. Прочитайте: 37; 73; 39; 60; 52; 44; 87.
13. Напишите: шестьдесять семь; восемьдесят; семьдесят три; девяносто; девяносто девять.
14. Для школы куплено девяносто шесть тетрадей в одну линейку. Как вы напишете это число?
15. В плодовом саду собрано семьдесят пять больших корзин яблок. Напишите это число?
16. В Ленинградском порту разгружаются двадцать семь пароходов. Как напишете это число?
§ 3. Числа от ста до тысячи.
Числа от ста до тысячи называются и пишутся сле-
дующим образом: сто........................................100
сто один.........................101
сто два..........................102
и т. д.
сто девяносто девять ........... 199
двести...........................200
и т. д. триста...........................300
триста один......................301
триста два.......................302
и т. д.
пятьсот..........................500
пятьсот один.....................501
пятьсот два......................502
и т. д. пятьсот двадцать два............522
пятьсот двадцать три............523
и т. д.
девятьсот........................900
девятьсот один...................901
девятьсот два . •...............902
и т. д.
девятьсот девяносто девять . .
999
§§ 3-4. - 1 -
1. Назовите по порядку все числа:
от 172 ДО 200; ОТ 265 до 297; от 453 ДО 480;
от 583 до 623; от 782 до 830; от 951 до 1000.
2. Напишите некоторые числа после 102, после 200 и после 902.
3. Как пишется: сто девяносто девять? Двести? Триста семьдесять пять? Семьсот двадцать шесть?
4. Каким образом вы пишете сокращенно: 7 сотен, 8 десятков, 3 единицы?
5. Означает ли в числе 333 первая 3 то же самое, что вторая и третья 3?
6. Прочтите числа: 783; 808; 924; 247; 656 и 408.
7. Напишите числа: пятьсот шесть; шестьсот семьдесят восемь; девятьсот пятнадцать; двести шесть.
8. На Ирбитскую ярмарку для закупки сибирской пушнины надо отправить переводом по телеграфу семьсот двадцать пять рублей. Как вы напишете это число на телеграфном бланке?
9. От Ленинграда до Москвы шестьсот сорок три километра. Как написать это число?
10. Что такое километр?
11. Из тысячи рабочих завода подписалось на «Красную Газету" восемьсот пятнадцать человек. Как написать это число?
§ 4. Числа больше тысячи.
Числа, начиная от тысячи и больше, называются и пишутся следующим образом:
тысяча.........................1000
тысяча и один...................1001
тысяча и два ..................1002
и т. д.
две тысячи .................... 2000
две тысячи и один ............. 2001
и т. д.
999 тысяч.................... 999000
999 тысяч и 1 ... ... 999001
и т. д.
999 тысяч 999 ............... 999999
миллион..................... 1000 000
миллион и один.............. 1000001
и т. д.
8
§§ 4-5-
4 миллиона 200 тысяч . . 4 200000
4 миллиона 200 тысяч и 1 42000J1 999 миллионов, 999 ты-
сяч. 999 ........... 999999999
1 миллиард............. 1 000000000
1. Назовите одно из чисел, которое должно находиться после 1002.
2. Назовите по порядку все числа: от 1005 до 1033; ОТ 1 147 до 1 190; от 1 272 до 1 300; от 21 272 до 21 290; от 156075 до 156 100; от 1 272021 до 1 272 050.
3. Напишите одно из чисел, которое должно находиться после 999001, после 2001, после 1000001.
4. Как вы напишете цифрами триста шестьдесят восемь тысяч четыреста?
5. Напишите цифрами четыреста миллионов четыреста тысяч четыреста.
6. Означают ли в этом числе первые 400 то же самое, что вторые и третьи?
7. Напишите словами 27 259; 138 545; 1 429 038.
8. В нынешнем году обороты одного из советских трестов превзошли двадцать миллионов восемьсот тысяч семьсот тридцать два рубля. Напишите это число.
9. За первое полугодие тысяча девятьсот двадцать третьего года по Северо-Западной Области собрано государственных доходов двадцать три миллиона триста восемнадцать тысяч сто семьдесят рублей. Напишите это число цифрами.
10. Великая Октябрьская Революция произошла двадцать пятого октября (а по новому стилю 7 ноября) тысяча девятьсот семнадцатого года. Напишите эти числа.
§ 5. Классы числа.
1. Как делятся цифры, изображающие числа, на классы и на разряды?
2. Перепишите следующие числа и отделите в них классы занятою:
6278 800074
32689 5076650
478272 12364280
3. Сколько разрядов может быть в классе с левой стороны?
4. Разберите число 13 735 579.
5. Разберите таким же образом число 752 489125.
§§ 5-6.
9
6. Начиная справа, отделите занятою и назовите классы числа 5079 365.
7. Каждый класс читается и называется смотря по месту, но класс с нолями, ООО, не читается, а класс с правой руки или класс единиц не называется.
8. Прочтите первый класс с левой руки числа 3087 650.
9. Назовите тот же класс.
10. Каким образом вы нашли название этого класса?
11. Прочтите и назовите второй класс с левой руки того же числа.
12. Прочтите первый класс того же числа.
13. Прочтите теперь все число.
14. Прочтите подобным же образом числа: 70 000 352 и 70352 000.
15. Прочтите следующие числа:
27 534 27045 273
63 726 26 365
3 805 135473 805
10005 49 999 001
72 525 60000 002
6031 274 584
9999 805 437 280
16859 10 270 027
127 562 307526 004
3 000 834 800000 000
16. Класс с левой стороны может состоять из одного, двух или трех разрядов; все же остальные классы с правой стороны состоят из трех разрядов.
§ 6. Упражнения.
1. Прочтите первый класс (с левой стороны) числа 5 726340.
2. Прочтите второй и третий классы того же числа.
3. Как называются числа, начиная слева, первого, второго и третьего классов того же числа?
4. Напишите следующие числа в класс с левой стороны: пять, двадцать, сорок восемь, триста шесть, семьсот тридцать пять.
5. Сколько разрядов должно быть в других классах, стоящих справа?
6. Напишите семь в правом классе числа, состоящего из двух классов.
7. Напишите семьдесят в правом классе такого же числа.
— lo-
gs 6-7.
8. Напишите семьсот в правом классе такого же числа.
9. Напишите ноль в полном классе.
10. Напишите в полном классе семьдесят семь, восемьсот три, двести двадцать два.
11. Напишите з полном классе: девяносто; десять; один; двести, девятьсот семь; шестьдесят.
12. Напишите- семьдесят пять миллионов триста шестьдесят восемь.
13. Напишите следующие числа: три тысячи восемьдесят три; две тысячи восемь; триста пять тысяч сто девяносто пять; пять миллионов семьсот тысяч восемьсот девять; двадцать шесть миллионов тридцать тысяч восемьдесят семь; три тысячи триста три; четыре тысячи два; пятьсот тысяч пять; семь миллионов семьсот тысяч семьдесят; шестьдесят шесть миллионов шестьдесят шесть тысяч шестьдесят шесть; восемь миллионов пятьсот двадцать пять тысяч; семьсот двадцать миллионов семьдесят две тысячи семьдесят два.
§ 7. Деньгй С.С.С.Р.
Рубли и копейки обозначаются начальными буквами р. и к. Буква р. ставится после числа рублей, а буква к. ставится после числа копеек. Например, 27 р. 65 к. означает 27 рублей 65 копеек. В торговых учреждениях, коммерческих предприятиях, в трестах, в банках и других учреждениях иногда р. ставится перед цифрами; напримео: Р. з. 732,50, что читается следующим образом: рублей золотом семьсот тридцать два рубля и 50 копеек.
1. Напишите семь рублей и тридцать восемь копеек; двадцать пять рублей и 96 копеек; тысяча двести семьдесят четыре рубля и пятьдесят девять копеек.
2. Прочтите:
29 р. 15 к. 789 р. 75 к. 4 349 р. 25 к.
145 р. 25 к. 2 045 р. 10 к. 27941 р. 50 к.
3. Уездный Отдел Народного Образования (УОНО) прислал в школу учебников на сто двадцать пять рублей пятнадцать копеек. Напишите эту сумму цифрами.
4. В ведомости на жалованье служащего написано 28 р. 32 к. Скажите, сколько получает этот служащий?
§ 8.
— 11 —
§ 8. Русские счеты.
Еа рисунке перед вами русские счеты: в них на каждой проволоке, кроме первой и четвертой, насажено по 10 костяшек; на первой же и на четвертой насажено только по 4; о них сказано ниже. На пятой проволоке снизу находится первый разряд или единицы; затем идут десятки; далее сотни. Эти три проволоки составляют перзый класс (единиц, десятков и сотен); затем идут
разряды тысяч, десятков тысяч и сотен тысяч, составляющих второй класс, и так далее.
Если все 10 костяшек первого разряда переведены справа налево, или, как принято говорить, положены на счеты, то вместо 10 единиц налево передвигается 1 костяшка второго разряда, и вы говорите: вместо 10 единиц я положил на счеты 1 десяток; все же 10 костяшек первого разряда переводятся направо; тогда получается 1 десяток и 0 единиц, или 10. Таким же образом вы поступаете и с десятками. Когда вы переложите справа налево 10 костяшек второго разряда, так что образуется десять десятков, то вместо них перекладывается налево 1 костяшка третьего разряда, или 1 сотня; все же 10 костяшек На счетах получается 100. Таким
Рис. 1. Русские счеты.
перемещаются направо, же образом вы можете
положить на счеты тысячи, десятки тысяч и т. д. Не вспо-
минаете ли еы как вы решали задачи с брусками?
Две проволоки с 4 костяшками имеют следующее назначение: на первой откладываются четверти копеек или полушки; а на второй четверти рубля, или четвертаки.— Две же проволоки с 10 костяшками (внизу) служат для
счета копеек.
Задачи.
1. Положите на счетах 125; затем скиные положенное число и положите 2 076; снова скиньте и положите 47 209.
2. Положите на счеты семьсот шестьдесят восемь тысяч двести пять.
— 12 —
§S> 8—9.
3. Положите на счеты 8 и прибавьте к ним 13; прибавьте еще 27; затем еще прибавьте 149. Скажите, сколько вы получили.
4. За день городская кооперативная лавка продала товаров на следующие суммы: 47 р. 27 к.; 123 р. .48 к.; 405 р. 29 к.; 939 р. Об к. и 87 р. 91 к. Положите их на счеты и скажите, сколько получилось.
5. Для проверки полученной суммы скиньте с нее на счетах же последовательно все суммы. В остатке вы получите ноль.
Положите снова все эти суммы на счеты и сосчитайте, сколько вышло. Сосчитайте, во сколько времени вы можете положить все эти суммы на счеты. Кто в классе всех скорее считает на счетах?
6. Из числа 27 349 р. 35 к. скиньте 405 р. 25 к.; затем скиньте еще 99 р. 28 к. и еще 120 р. 30. Сколько осталось?
7. Положите на счеты 38067 р. 28 к. и удвойте это число. Сколько получилось?
8. Разделите пополам 426 282 р. 64 к. Сколько получилось?
§ 9. Римская нумерация.
У римлян ния чисел: было семь главных знаков для обозначе- 1 означает 1; V , 5; X в 10; L „ 50; С „ 100; D „ 500; М я 1000;
1. Напишите числа от 1 до V римскими цифрами.
2. Напишите римскими цифрами от XX до XXX.
3. Считайте десятками до 100 следующим образом и пишите их римскими цифрами: Один десяток X; два десятка XX; три десятка XXX,—один десяток до пятидесяти или четыре десятка XL; пятьдесят L; пятьдесят и один десяток или 60: LX; пятьдесят и два десятка или 70: LXX; пятьдесят и три десятка или 80: LXXX; один десяток до ста или 90: ХС; сто С.
Заметьте, что римляне никогда не пользовались подряд одним и тем же числом более, чем 3 раза: после 111 идет не 1111, а 1 до V, или IV; после XXX идет не четыре десятка ХХХХ, а 1 десяток до 50, или XL.
4. Напишите римскими цифрами все десятки от 50 до 100.
§§ 9—10. — 13 —
5. Напишите римскими цифрами все числа от 80 до 100.
6. Нарисуйте рядом два циферблата; на одном обозначьте часы арабскими цифрами, а на другом — римскими.
7. На старинной книге указано, что она напечатана в MDCCXX1V году. Скажите, когда напечатана эта книга.
8. На фронтоне старинного общественного здания указано, что оно построено в MDLXXV году. Скажите, когда построено это здание.
§ 10. Термометр и измерение температуры.
Для измерения температуры воздуха, воды или вообще
какого-нибудь вещества построен особый прибор назы-
ваемый термометром (измеритель тепла); он на рисунке 2. Термометр изобретен французским ученым Реомюром в начале XVIII столетия и состоит из тонкой стеклянной трубки, оканчивающейся внизу шариком. Шарик и часть трубки наполнены ртутью. Трубка прикреплена к деревянной или металлической оправе, разделенной на нумерованные деления. Ртуть расширяется от нагревания и сжимается от охлаждения; в первом случае она поднимается в трубочке, а во втором она понижается. Когда шарик погружен в тающий лед, против верхнего конца ртутного столбика ставят черточку, обозначают ее нулем и говорят, что температура равна нулю градусов (0°) или, что термометр стоит на нуле. Если же погрузить шарик термометра в кипящую воду, то ртутный столбик поднимается довольно высоко и против его верхнего конца ставят другую черточку, которую обозначают цифрой 80, и говорят, что при кипении воды ее температура равна 80 градусам (80°). Все пространство между этими двумя черточками делится на 80 равных частей, называемых
изображен
Рис. 2. Термометр Реомюра.
градусами Реомюра по имени изобретателя.
В начале того же XVIII столетия шведский ученый Цельзий разделил простран-
ство термометра между точками кипения и
тающего льда на 100 частей, которые называются градусами Цельзия. В науке принят термометр Цельзия, а в С.С.С.Р., в общежитии — термометр Реомюра.
Зная устройство термометров Реомюра (Р) и Цельзия (Ц.), мы можем переводить градусы Р. в градусы Ц. и на
— 14 —
§§ Ю-11.
оборот, помня, что 1° Ц. меньше 1° Р. и что, следовательно, некоторая высота ртутного столбика будет определяться большим числом градусов Ц., чем Р.
Температура тела здорового человека равна 36° Ц.
1. Сколько градусов в температуре тела здорового человека по термометру Р.?
2. Для стерилизации молока необходимо нагреть его до 80° Ц. Сколько это составит градусов по Р.?
3. Отсчитайте по оконному термометру число градусов и скажите, сколько сегодня градусов по Р. и по Ц.
4. Сегодня температура наружного воздуха 9° Р. Сколько это составит по LL?
5. Для правильного брожения теста из пшеничной муки необходимо 25° Ц. Сколько это градусов по Р.?
6. Для сквашивания хорошей простокваши следует молоко довести до температуры 29° Ц. Сколько это градусов по Р.
7. Зимою в Москве температура воздуха доходила до 32° Р. мороза. Сколько это градусов по Ц.?
8. Летом на солнце термометр Реомюра показывает -|-300. Сколько это градусов по Ц?
9. Нормальная температура в школе зимою+14 градусов по Р. Сколько это будет по Ц.?
Сложение.
Целое равно сумме всех его частей
8 рубл. = Б рубл. + 3 рубл.
Чему
= Б рубл. 3 рубл.?
Рис. 3. сложение.
§ 11. Повторение пройденного.
1. Что такое сложение?
2. Как называются складываемые числа?
3. Как называется число, получаемое от сложения слагаемых?
§§ 11-12-
— 15 —
4. Каким знаком обозначается действие сложения?
5. Какой знак ставится перед итогом или суммою?
6. Как называется 3 и 2 в равенстве 3-1-2 —5? Ках
называется 5?
7. Сложите числа:
7 9 4 5
6 7 8 6
3 2 9 2
5 8 7 4
8. Сельско - хозяйственное Общество взялось поставлять в Красную армию следующие продукты:
пшеничгой муки............ 2000 центн.
ржаной муки............... 10 500 „
растительного масла .... 430 „
соли...................... 285 „
сахару рафинада........... 829
Сколько центнеров всех продуктов оно должно поставить?
9. Нижегородские кустари-металлисты изготовили за зиму разные изделия и отправили их с первым волжским пароходом в Астрахань, а именно:
220 дюжин столовых ножей;
220 „ столовых вилок;
350 „ висячих замков;
800 десятков кос;
600 „ серпов.
Сколько дюжин и сколько десятков разного товара они отправили в Астрахань?
§ 12. Устное сложение и упражнения в беглом счете.
1. Складывайте быстро:
87696142921 4-2; 4-1; -|-9; 4-2; -|-5; 4-5; 4-8; 4-7; 4-3; -J-8; -|-6;
2- 39284578972
6; 5; 1; 7; 7; 9; 2; 9; 9; 7; 5;
3- 45678912689
7; 7; 7; 7; 7; 7; 4; 5; 8; 9; 9!
— 16 —
§ 12.
Сложите следующие числа:
4. 8 9 5 6 4 3 2 7
2 4 5 9 7 8 6 3
7 2 1 3 5 7 4 9
— — — — — —— — —*•
5. 5 3 6 9 8 7 6 4
9 8 1 2 5 4 7 3
1 4 4 3 7 6 3 8
— —- — — — — — —
G. 9 7 3 3 7 4 9 8
4 8 8 7 8 5 3 7
7 2 6 5 6 9 2 3
1 7 4 1 2 1 6 4
'— — — — — — — —
7. 8 3 4 3 4 5 9 5
6 1 7 9 2 3 2 7
4 5 5 4 1 4 6 2
2 9 2 5 8 1 5 4
7 8 6 8 7 9 4 6
— — — — — — — —
8. 8 9 7 5 6 4 5 5
9 4 5 8 4 9 2 6
7 2 9 9 2 3 9 8
6 6 8 9 9 8 7 4
5 1 6 7 3 6 8 2
3 5 4 2 7 7 6 5
9. Спросите, сколько лет каждому из детей рабочих вашей фабрики, и сосчитайте, сколько их до 10-летнего возраста, и, сложив их возрасты, сосчитайте общую сумму их лет.
10. Узнайте, сколько домов крыто железом в каждой деревне вашей волости и сколько их во всей волости.
II. Считайте: 12. Считайте.
от 1 до 99 через двойки. от 3 до 99 через четверки.
я 1 „ 97 » тройки. п 1 я 96 „ пятерки.
я 2 и 98 я ч 99 2 W 97 ♦♦ я
п 1 .. 97 »» четверки. Я 3 и 98 99 "
» 2 . 98 м Н 4 н 99 " и
§§ 12-13.
-IT-
IS. Считайте:
14. Считайте:
от 1 до 07 через шестерки; от 6 ДО 96 через шестерки.
я 2 • 98 и Я » 1 Я 99 „ семерки.
и 4 я 94 WWW 2 W 93 „ „
V 1 п 97 WWW 3 я 94 ,
Я 5 я 95 Я И Я 4 Я 95 „
15. Считайте'
ОТ 5 до 96 через семерки; от 3 до 99 через-восьмерки
W 6 и 97 и и я 4 W 92 £
7 » 98 » и я 5 п 931 X; у я \
п 1 Я 97 „ восьмерки. и 6 Я 9-1
* 2 я 98 W я м 7 я 95 W * ~
1S. Считайте:
от 8 до 96 через восьмерки от 5 до 95 через девятки.
я 1 я 91 я девятки. я 6 я 96 « я
я 2 я 92 » Я я 7 я 97 W п
3 я 93 Я Л я 8 я 98 я я
Я 4 я 94 и » W 9 я 99 я »
§ 13. Задачи.
1. В день празднования годовщины Октябрьской Революции в программе школьного вечера участвовало 7 исполнителей от I класса, 6 от II и 4 преподавателя. Сколько исполнителей участвовало.
2. В интернат привезли 5 кг картофеля, 3 кг лука и 6 кг разных корнеплодов. Сколько всего килограммов овощей доставлено в интернат?
3- В школе принят учебник в трех частях: в одной части 8 печатных листов, в другой — 6 и в третьей — 7. Сколько всего печатных листов в трех частях этого учебника?
В трех младших классах начальной школы по стенам развешаны показательные картины: в классе А — каРтин, в классе Б — 8, а в классе В—9 картин. Сколько енных показательных картин во всех трех классах?
Задачник по нач. --атеистике ч. П, 2
5. Книги библиотеки в 6 комнатах:
в 1-й комнате в 10
„ 2-й „ „9
„ 3-й „ „ 12
. 4-й „ . 10
„5-й „ „8
я 6-й и „ 5
8 - §§ 13-14.
университета расположены шкафах;
»>
W п п »
Сколько всего шкафов с книгами в университетской библиотеке?
§ 14. Сложение двух и многозначных чисел.
1. Объясните, как складываются следующие числа: 17, 46 и 25.
2. Перепишите следующие числа и сложите их слева направо:
62 63 27 72 34 45 30 39
27 19 38 25 29 36 25 48
56 109 293 470 133 1055 7359
28 56 108 163 29 917 1038
3. Сложите следующие числа:
32 62 73 58 44 83 92 18
56 18 29 37 58 68 73 92
23 39 56 26 25 17 48 76
177 208 439 1728 2189 3293
207 3 25 142 7236 509
35 109 35 1059 5395 7126
2 376 576 268 4407 2275
4. Сложите еще следующие числа по изложенному в ответах правилу слева направо, начиная сложение с чисел высшего разряда:
534 985 306 1248 95о0
693 676 918 5793 4809
4592 5694 14893 27804
4988 8047 39048 59328
95683 46099 785432
95683 57903 505398
§§ 14—15. — 19 —
и когда кончите складывать эти числа, то сложите еще несколько чисел по своему усмотрению, и скажите, как скорее и как легче складывать числа: слева направо или справа налево.
Перепишите, сложите и проверьте итоги следующих
чисел:
5. 91 28 69 150 452
25 47 44 937 527
76 59 52 396 648
15 92 74 415 729
38 84 62 293 885
— — — — ———
6. 49 127 123 2735 10503
64 262 209 8629 2999
11 533 390 6444 33427
73 682 459 5576 42740
58 794 806 4309 73125
§ 15. Задачи.
1. С трех полей советского хозяйства (совхоз) сжато 121, 76 и 85 бабок овса. Сколько всего бабок овса сжато с этих полей?
2. В течение одного месяца по статьям коммунального хозяйства получено дохода 120, 95, 117 и 38 р. Как велика полученная за этот месяц сумма?
3. 5 строений совхоза, при его учреждении в 1903 г., были застрахованы от огня в 940, 830, 970, 720 и 800 р. Как велика страховая сумма за эти строения?
4. Уполномоченный губернского кооператива скупил по деревням и хуторам рогатый скот и разделил его на 4 стада: в первом было 47, во втором 36, в третьем 60 и в четвертом 55 голов. Сколько голов скота было у него в этих четырех стадах?
5. Летом, в Ленинграде, когда в 1919 г. движение было бесплатное, в первом вагоне трамвая сидело 40 человек, во втором 32, а в третьем, прицепном открытом вагоне 47. Сколько всего человек было в этих трех ваюнах?
6. На общем собрании членов Союза Работников Просвещения для выборов представителей на губернскую конференцию присутствовало 96 чел. от одного учреждения, 54 от другого и 25 от третьего. Сколько человек было на собрании?
2'
— 20 —
§ 15.
7. При расселении на хутора проложена новая дорога, при чем отдельным хозяевам пришлось устроить 73, 56, 102, 136, 170 и 89 кв. м. Какую площадь занимает новая дорога?
8. В совхозе Тверской губ. рожь посеяна на 5 участках: на первом посеяно 9 центн.; на втором 17 центн.; на третьем 18 центн.; на четвертом 21 центн., а на пятом 22 центн. Сколько всего ржи посеяно на этих участках?
9. От Ленинграда до Москвы 643 км, а до Рязани на 198 км больше. Сколько верст от Ленинграда до Рязани?
40. Областной кооператив распределил губернским первичным кооперативам из имеющегося у него скота 237 коров, 643 быка и 728 овец, и оставил для следующего распределения 56 коров, 65 быков и 81 овцу. Сколько голов скота было у него до их распределения?
11. Сельский кооператив продал товары: в январе на 7 325 р., в феврале на 8 727 р., в марте на 12 137 р., в апреле на 37 275 р., в мае на 28928 р. и в июне на 46 279 р. На сколько рублей продано товаров в эти 6 месяцев?
12. До войны 1914 г. переселилось в Сибирь, на новые места, следующее число переселенцев: в первую четверть года 23 272, во вторую четверть года 148 728, в третью четверть 58 450 и в последнюю четверть: 2025. Сколько человек переселилось в Сибирь за этот год?
13. В 1910 году в поволжских губерниях было следующее число сох и железных плугов:
в Тверской .... 95 689 сох и 24 314 плугов
„ Ярославской . . 37 172 W п 26 219 »
,, Костромской . . 160 292 Г 9 332 п
„ Нижегородской. 187 579 п п 22 028 п
„ Казанской . . . 257 832 п п 83 219 я
„ Симбирской . . 214 981 п п 48 767 »
„ Самарской . . . 84 712 W п 342 629 п
„ Саратовской . . 206 931 т> » 170 190 л
„ Астраханской . 1 376 п и 45 376 Я
Сколько всего сох и плугов было во всех этих гу-
берниях в 1910 году?
14. В том же году в заднепровских губерниях было
следующее число сох и железных плугов:
в Волынской . . . 76 362 сохи и 104 588 плугов
„ Киевской .... 33 2 ;0 п я 163 387 п
„ Подольской . . 37 668 п п 169 714
„ Херсонской . . 2 32/ » п 248 861
Сколько всего сох и плуго было во всех этих гу-
берниях в 1910 году?
§ 16.
— 21 —
§ 16. Сложение многих чисел.
i. При решении следующих примеров найдите итог каждого столбца. Затем для проверки итога разделите каждый столбец на три части, как указано черточками, и найдите частные итоги каждой части и итоги всех трех
частей каждого столбца. Конечный итог же, что первоначальный. должен быть тот
41 249 68304 75000 19 476
30 475 23114 3 249 5 800
68 807 64328 5 786 6024
48880 23 265 47 560 33475
9369 17 249 12 593 10 490
96082 3006 8 444 5 045
36203 79 257 50250 43 225
68 408 8 600 3 640 6 750
54 480 7 459 10497 8240
18387 . 5 425 6584 7 000
45 209 30001 25500 23 450
86026 6 724 6627 19 490
9999 25 750 80 750 6 825
39048 6032 1 750 12004
10580 30 064 2 335 5 689
42 479 2 999 10 048 3 000
70000 4 505 21 742 5 624
10 289 12 206 5005 13 423
Итог или сумма первого столбца = ; 785 970.
Итог первой части = 294 862
„ второй „ =308 713
„ третьей „ =182 395
Итог всех трех частей = 785970
2. Спросите, сколько учащихся в каждом классе вашей школы, и узнайте число всех учащихся в ней.
- 22 - §§ 16-17.
3. Спросите, сколько лет каждому вашему товарищу по классу и найдите сумму лет всего класса.
4. Посмотрите, сколько страниц в каждой книге на вашей полке и найдите сумму всех страниц.
5. Постарайтесь узнать, сколько дворов в деревнях вашей волости и найдите общее число дворов.
6. Постарайтесь узнать число учащихся в каждой школе вашей волости и найдите общее число учащихся.
7. Запишите квартирную плату жильцов большого дома (обычно вывешивают в воротах) и узнайте общий доход дома от квартирной платы.
8. Постарайтесь узнать, сколько сел и деревень в вашей волости, сколько жителей в каждом из этих селений и как велико все население волости.
§ 17. Испытание на скорость счета.
1. Прочтите как можно скорее следующие числа: 12, 19, 16, 14, 9, 13, 18, 16, 14, 17, 10, 15, 2 и 10.
2. Сложите как можно скорее пары следующих чисел:
876349865476 959699755876
3. Считайте как можно скорее от 1 до 25.
4. Считайте как можно скорее от 1 до 100 через девятки, через 8-ки, через 7-ки, через 6-ки, через 5-ки, через 4-ки, через 3-ки и через 2-ки.
Если вы можете считать числа этой задачи так же скоро, как простой счет, то вы знаток счета.
5. Сложите как можно скорее следующие числа:
9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
6. Прибавляйте к 1 как можно скорее: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1.
7. Можете ли вы складывать числа двух предыдущих задач одинаково скоро?
8. Определите время, которое вам необходимо для того, чтобы сложить один из столбцов задачи № 1 § 16 (на предыдущей странице): если вы сложите его в минуту, то вы хорошо изучили счет, а если в 40 секунд то отлично.
— 23 —
§ 18.
Вычитание.
Целое равно сумме всех его частей
8 кг. — б кг. -f- 3 кг.
8 кг. = 5 кг. -|- сколько?
Чему = 8 кг. — б кг.?
Рис. 4. Вычитание
§ 18. Повторение пройденного.
1. Что такое вычитание?
2. Вычтите 3 из 7. Скажите, сколько вы получите; которое из этих чисел называется уменьшаемым; которое вычитаемым; которое разностью или остатком?
3. Каким знаком обозначается вычитание и как он называется?
4. Чему равно уменьшаемое ?
5. Если дана сумма двух чисел и одно из слагаемых, то чему равно другое слагаемое? Как вы его найдете?
6. Сумма равна 8, и одно из слагаемых равно 3; чему равно другое слагаемое?
7. Напишите 8 — 5 = 3 и скажите как называется 8; как называется 5; как называется 3.
3. Которое число называется уменьшаемым в задаче 9 — 3 = 6? Которое число вычитаемым? Которое число разностью?
— 24 -
§§ 19 20.
§ 19. Упражнения.
По данной сумме и одному из слагаемых найдите другое слагаемое. Какое число следует поставить вместо буквы х?
1. 1 = 2 — X 1 = 3 — х 2 = 3 —х 9 = 15 —х
2. 2 = 4 X 2 — 5 — х 3 = 5 — х 2 = 6 —х
3. 5 = 6 — X 1 = 1 — х 4 = 7-х 6= 7 —х
4. 1 = 8 — X 2 = 8 — х 5 = 8 —х 6= 8—х
5. 4 = 9 — X 7 = 9 — х 5 = 9-х 3= 9 —х
6. 2 = 9 — X 1 = 9 —х 6 = 9 —х 8= 10 —х
7. 8 = 10 — X 6= 10 —х 9 = 10 —х 7= 10 — х
3 2 = 10 — X 3 = 10 —х 5 = 10 —х 1 = 11—X
9. 2 = И — X 3 = 11 —х 8 = 11 —X 6 = 11 —X
10. 7 = 11 — X 5 = 11 —X 1 = 12 —х 2 = 12 —х
И. 9 = 12 — X 8 = 12 —х 5 = 12 —х 4 = 12 —х
12. 2 = 13 — X 4 = 13 —х 6 = 13 — х 7 = 13 —х
13. 9 = 13 — X 5 = 13 —х 1 = 14—х 5 = 14 —х
14. 8 = 14 — X 6 = 14 — х з- 14 —х 4=14 —х
15. 3 = 15 — X 6 = 15— х 9 = 15 —х 7 = 15 —х
16. 8 = 15 — X 4 = 15 — х 4 — 16 — X 5=16 —х
17. 9 = 16 — X 6 = 16 — X 3 = 16 — X 7 = 16 — х
18. i = 17 '-*-х 3 = 17 —х 7 = 17 — х 5 = 17 —х
19. 2 = 18 — X 9 = 18 —х 7 = 18 — х 3 = 18 —х
20. 1 = 19 — X 5 = 19 —х 9 = 19 —х 8=19 —х
21. 7 = 10 — X 5 — 15 — х 5 = 18 — х 5 = 16— х
22. 3 = 6 — X 4 = 5 — х 6 = 9 —х 8=16 —х
23. 5 = 15 — X 3 = 7-х 3 = 14 — х 9 = 16 — х
21. 6 = 19 — X 3 = 9- х 4 = 8 — х 7= 18 —х
§ 20. Действие вычитания в тех случаях, когда значение цифр вычитаемого меньше значения цифр соответствующих разрядов уменьшаемого или равны им.
1. Из 78 вычесть 24.
„2. Найдите разность 897 — 265. Напишите вычитаемое под уменьшаемым и объясните подробно, как в задаче № 1.
3. Найдите разность 986 — 723. Напишите вычитаемое под уменьшаемым и найдите разность без объяснения.
— 25 —
§ 21.
4. Перепишите, вычтите и проверьте:
95 87 974 6798 9856
— 52 — 23 — 312 — 5317 — 7523
33 65 726 8268 7438
— 21 — 25 — 511 — 5134 — 6126
§ 21. Задачи.
5. Аэроплан летит при обыкновенных условиях по 140 км в час. На сколько км эта скорость больше скорости ускоренного поезда, равной 50 км в час?
6. От начала года прошло 205 дней. Сколько осталось до конца простого года, содержащего 365 дней, и до конца високосного года, содержащего 366 дней?
7. Из 975 центн. сена к весне осталось 234 центн.; остальное количество скормлено скоту. Сколько центнеров сена скормлено скоту?
8. Из 169 центн. картофеля, собранного на отруб-ьом участке, продано 72 центн. и оставлено на семена 35 центн.; остальной картофель оставлен для хозяйства. Сколько центнеров оставлено для хозяйства?
9. На улучшение участка земли надо истратить 875 р.; из этой суммы уплачено 630 р. Сколько еще осталось уплатить?
10. Рабочие большой заводской мастерской получили в получку 5 789 р. и, оставив на свои расходы 4 564 р., остальное хотят внести коллективно в Государственную Сберегательную кассу. Сколько рублей они могут внести?
11. Сколько удойных дней в простом году, если сухостой коровы равен 51 дню?
12. Из земельной дачи, содержащей 297 участков в Уссурийском крае, для переселенцев отведено в одном месте 31 участок, а в другом 25 участков. Сколько участков осталось в этой даче?
13. Сколько лет прошло от основания Ленинграда в 1703 I. до 1925 года?
14. Переплетчик, получив заказ на 393 книги, в первую неделю доставил 172 книги. Сколько книг он должен еще доставить из числа данных ему?
15. С ниточной фабрики отправлено 28732 дюжины катушек, из них 18212 дюжин на станцию железной дороги.
— 26 —
§§ 21—22.
а остальные в городские склады. Сколько дюжин катушек отправлено в городские склады?
16. От Ленинграда до Москвы 643 км, а до Бологого 321. Сколько километров от Бологого до Москвы?
17. В двух соседних совхозах Московской губ. взметан пар под озимую рожь в различное время: в одном совхозе взметан в начале мая, а в другом в начале июня. Навозу положено одинаковое количество, по 2 400 пудов на десятину. Почва в обоих совхозах одинаковая; поля обработаны хорошо. С одного гектара собрано:
в 1-м совхозе 2 704 кг. зерна и 6 232 кг. соломы;
ВО 2-м „ 2 000 „ „ „4210 „
Насколько больше зерна и соломы собрано в первом совхозе? Что выгоднее: ранний или поздний взмет пара?
§ 22. Действие вычитания в тех случаях, когда значение правой цифры вычитаемого больше значения правой цифры уменьшаемого.
1. Объясните, каким образом 29 вычитается из 67.
2. Покажите, каким образом пишется это вычитание.
3. Вычтите 37 из 95 и дайте полное и сокращенное объяснение.
4. Таким же образом найдите разность между 123 и 96.
Упражнения.
5. 32 91 75 84 46 66 78
— 19 — 29 — 36 — 75 — 17 — 38 — 39
6. 53 88 86 72 64 40 52
— 26 — 49 — 39 — 27 — 37 — 24 — 33
7. 25 74 54 51 87 91 77
— 19 — 45 — 28 — 33 — 48 — 35 — 38
8. 04 92 37 71 58 94 53
— 27 — 86 — 9 — 18 — 19 — 37 — 27
9. 25 47 62 56 32 54 41
-— 19 — 28 — 35 — 27 — 19 — 26 — 18
§§ 23—24.
— 27 —
§ 23. Действие вычитания в тех случаях, когда значение нескольких правых цифр вычитаемого больше значения предстоящих цифр уменьшаемого.
Несколько правых цифр вычитаемого могут быть больше предстоящих цифр уменьшаемого.
1. Как вы вычтете 267 из 403? Дайте ответ на брусках.
2. Дайте полное объяснение этого вычитания.
3. Из 626 вычтите 377; объясните, как производится вычитание.
4. Объясните, как производится вычитание 328 из 800.
Спишите следующие числа, произведите вычитание и проверьте полученные разности.
5. 460 — 178 803 — 527 712 — 619 1259 — 369 8706 — 3828
6. 502 — 264 320 — 196 814 — 456 5781 — 2999 7803 — 4927
7. 707 — 278 426 — 297 321 — 192 6205 — 3348 9320 — 4444
8. 348 — 259 721 — 526 555 — 466 5715 — 2829 7913 — 2935
9. 843 — 384 532 — 239 303 — 85 4862 — 2888 5472 — 2594
После письменного решения этих задач, решите их устно, не переписывая их. Произведите вычитание елевой стороны; например, для первого вычитания 7-й задачи скажите: 4, 2, 9; для последнего вычитания 8-й задачи скажите: 4, 9, 7, 8. Старайтесь вычитать скоро.
§ 24. Задачи.
1. Бухарец продал 37 м коврового сукна из куска длиною в 82 м. Сколько метров сукна осталось у него?
2. Группа рабочих внесла коллективно в Государственную Сберегательную Кассу: в январе 112 р.; в феврале 95 р.; в марте 207 р.; в апреле перед посевом взяла из кассы 384 р. для хозяйства. Сколько у них осталось от сделанных в эти месяцы взносов?
— 28 —
§ 24.
3. Первичный кооператив сделал закупки в 2 приема: в первый прием на 1 275 р. и на 2 486 р. и счета были сполна оплачены; во второй прием куплено на 983 р. и на 1 829 р. В уплату даны 30 банкнот по 10 червонцев. Спрашивается: а) на сколько всего куплено лавкою в эти два приема? б) сколько получено сдачи при второй покупке?
4. Уполномоченный кооператива имезший 27 голов скота, прикупил еще 39; кооператив взял часть его скота, и у него осталось 43 штуки. Сколько голов он отдал кооперативу?
5. В коммунальном хозяйстве собрано 4 565 центн. картофеля; из этого урожая продано 2 473 центн. на крахмальный завод; оставлено 917 центн. на семена и для хозяйства 510 центн.; остальное количество продано на рынке. Сколько продано на рынке?
6. С одного гектара неудобренного луга скошено 5 центн. сена и отавы; с такой же площади, удобренного 4 центн. томас-шлака и 3 центн. калийной соли, скошено сена и отавы 20 центн. На сколько увеличился укос сена от искусственного удобрения? Что такое гектар?
7. Какое число на 3 758 меньше 9632?
8. Циферблат часов имеет нумера от I до ХИ. Если бы он имел нумера от 1 до XXIV, то на сколько больше показывали бы часы, когда часовая стрелка вечером направлена отвесно вниз, а минутая отвесно наверх, против обыкновенных часов?
9. В библиотеке 7587 томов книг; из них 876 томов исторических книг; 402 тома изящной литературы; 326 биографий, а остальные книги сельско-хозяйственной литературы. Сколько томов сельско-хозяйственной литературы?
10. Большее из двух чисел равно 6 322, а их разность равна 3654. Чему равно меньшее число?
11. Один поезд вышел из Ленинграда в Москву, а другой из Москвы в Ленинград по Октябрьской железной дороге. Между этими городами 643 км. Какое расстояние будет между поездами после того, как один поезд прошел 125 км, а другой 268
12. Два поезда, скорый и товарный, вышли из Уфы на восток один вслед за другим. Скорый поезд прошел 1015к,и в сутки, а товарный 296 км. Какое расстояние между поездами будет к концу первых суток?
§ 25
— 29 —
Умножение.
-ея-п га&ггеи.
i'llEWIH» .
Рис. 5. Умножение.
§ 25. Определения.
1. Что такое умножение?
2. Как называется то число, которое повторяется слагаемым несколько раз, и то число, которое показывает, сколько раз повторяется слагаемое?
3. Как называется сумма от сложения одинаковых слагаемых?
4. Каким знаком изображается умножение?
5. Покажите на примере действие умножения?
G. Как читается умножение?
7. Из сельской школы вышел на прогулку отряд юных ленинцев (пионеров) в числе 15 человек мальчиков и девочек; они выстроились в 5 рядов по 3 человека, а когда вышли на большую дорогу, то перестроились в 3 ряда по 5 человек. Можете ли вы сказать, что 5 X 3 = 3X5?
Рис. б. 3 X 5 — 5 X 3.
— 30 —
§S 25-28.
8. Из Астрахани вверх по Волге вышли б караванов с нефтью; в каждом караване было 5 барж, наполненных нефтью. Сколько было барж во всех караванах?
9. По пути караванов, описанных в задаче № 8, один пароход испортился и не мог более буксировать баржи; корча произошла около Царицына, где буксир и был оставлен для ремонта машины. Пришлось его баржи распределить между остально!ми караванами. Сколько барж стало в каждом караване?
10. В день леса дети посадили около школы маленькие деревца в 6 рядов по 7 штук в каждом ряду. Сколько деревцев посажено?
11. На заводе приготовлены к отправке веялки и расставлены во дворе в 6 рядов по 6 в ряд. Сколько веялок заготовлено?
§ 26. Упражнения.
Надо в уме уметь считать произведения чисел до 12. Некоторые предметы принято считать дюжинами, т.-е. по 12 штук; поэтому полезно знать произведения чисел на 12, иначе каждый раз придется прибегать к бумаге и карандашу или к счетам.
1. Составьте и запомните таблицу умножения на 11:
11Х1 = П
11 X 2 = 22
11 X 3 = 33
И х 4 = 44
11 X 5 = 55
11 Х6 = 65
11 X 7 = 77
11 X 8 = 88
11 х 9 = 99
и кроме того:
И X 10=110 и И X Н = 121.
2. Составьте и запомните таблицу умножения на 12:
12X1 = 12 12X4 = 48 12X7 = 84
12X2 = 24 12X5 = 60 12X8 = 96
12X3 = 36 12X6 = 72 12X9=108
и кроме того:
12 X 10=120; 12 X П = 132 и 12 < 12=144.
3. Чему равны произведения: 12X9? 12x6? 12X5? 12X3? 12X8? 12X4? 12ХИ? 12Х7? 12X12? 12X2?
Старайтесь давать ответы скоро.
4. Как называется произведение двух одинаковых чисел?
§§ 26-27.
— 31 —
5. Поставьте числа вместо буквы х в следующих
произведениях: 2X2—х 6Х6=х ЗХЗ=х 1X1—х 4 X 4 — х 8 X 8 = х
1 5X 5 — х 9 X 9 = х
Напишите следующие числа:
9, 2, 7, 6, 3, 8, 5, 1, 4,
и помножайте их:
в. На 2 и прибавляйте по 1.
7. На 3 и прибавляйте по 2.
8. На 4 и прибавляйте по 1; на 4 и прибавляйте по 2; на 4 и прибавляйте по 3.
9. На 5 и прибавляйте по 4.
10. На 6 и прибавляйте по 1, по 2, по 3, по 4 и по 5.
11. На 7 и прибавляйте по 6.
12. На 8 и прибавляйте по 1, по 2, по 3 и по 4.
13. На 9 и прибавляйте по 1, по 4, по 6, по 8 и по 9.
14. На 10.
15. На 11 и прибавляйте по 1. по 3, по 5, по 7 и по 10.
16. На 12 и прибавляйте 'по 1, по 2, по 3, по 4, по 5, по 6, по 7, по 8, по 9, по 10 и по 11.
Поставьте числа вместо буквы х в следующих равенствах:
хХх — 1 х X х— 4 х/х= 9 х X х = 16 х X х = 25
х%х= 36 хХх— 49 хХх= 64 XX х= 91 хХх = 100
§ 27. Упражнения с множителем меньше 13.
1. Помножьте 278 на 6 и объясните, как вы умножаете.
2. Помножьте 346 на 11 и объясните, как вы умножаете.
3. Помножьте 963 X 12.
Если вы запомните таблицы умножения на 11 и на 12, то умножение всякого числа на 11 или на 12 производится очень легко.
— 32 —
§§ 27-28.
Перемножьте следующие числа:
4. 28 56 126 448 983
Х2 Х9 Х12 хи Хб
5. 37 62 53 148 759
Х7 ХИ Х12 Х9 Х5
6. 68 125 278 579 425
X 12 X 3 > П Х8 Х7
7. 2907 12563 92406 240721
Х9 Х4 Х7 X 12
8. 6807 5042 46735 608032
Х9 хи Х5 Х8
9. 7037 32006 40005 35003
Х12 хи Х9 Х7
§ 28. Задачи.
1. Сколько дней в 2, 6, 7, 12, 40 и 52 неделях?
2. Сколько дней в 3, 8, 14 и 20 рабочих неделях?
3. Сколько месяцев в 5, 12 и 20 годах?
4. 1 кг некоторого товара стоит 12 р. Сколько стоят 7 кг, 18 кг и 32 кг?
5. Жница может сжать в 1 день рожь с 2 500 кв. м. Сколько она может сжать в 4 дня?
6. Скорый поезд проходит в 1 час 60 км. Сколько километров он пройдет в 12 часов?
7. Сколько литров молока можно получить от 7 коров в течение года, если в среднем 1 корова доится 317 дней и если считать ее средний суточный удой в 12 литров?
8. Сколько соломы требуется в год для подстилки под стадо коров в 11 голов, если под каждую из них ежедневно требуется 8 кг соломы?
9. Ленинград и Иркутск лежат на серединах соответствующих часовых поясов. В то время, когда часы Ленинграда показывают 2 ч., в Иркутске 7 ч. На сколько градусов Иркутск восточнее Ленинграда? Если Ленинград лежит во втором поясе, то в каком лежит Иркутск?
10. В кооперативную лавку доставлено: 232 пакета кофе по 2 кг, 78 пакетов пиленого сахара по 5 кг, 116 пакетов бисквитов по 6 кг и 56 коробок крахмала по 3 кг. Сколько всего килограммов товара доставлено в лавку?
11. Звук проходит 330 м в 1 секунду. Если громовой удар слышен через 6 секунд после блеска молнии,
§§ 28-30.
— 33 —
То на каком оасстэячии от наблюдателя был разряд молнии?
12. Подрядчик взялся выстроить для Союза работников просвещения на пригородном поселке 8 дач по 12 250 р и 4 дома по 23720 р. Какую выгоду он получил от этого предприятия, если ему пришлось заплатить за работу дач и домов 73 270 р. и за разные материалы 92 630 р.?
13. Культотдел Союза послал в 12 заводских клубов наборы книг, по 573 книги в каждый клуб. Сколько книг послано Союзом?
14. На кирпичном заводе работают 12 мужчин и 8 женщин. Каждый мужчина может сделать 250 кирпичей в 1 день, а каждая женщина 200 кирпичей. Сколько кирпичей будет сделано теми и другими в 11 дней?
§ 29. Множитель равен 10, 100, 1000 и т. д.
1. Помножьте на 10 следующие числа: 5; 68; 73; 80; 95 27 и 14.
2. В школу привезено 16 пакетов с учебниками по 10 экз. в каждом пакете. Сколько всего экземпляров учебников привезено в школу?
3. Садовник связал для отправки по железной дороге 276 пакетов по 10 дичков яблони и 58 пакетов по 10 дичков груши. Сколько всех дичков им отправлено?
4. В полевой культуре капуста посажена в 75 рядах по 10 кочней. Сколько кочней всего посажено?
5. Во время празднования 1-го мая в одной колонне, шедшей по Проспекту 25 Октября, было 472 ряда рабочих и служащих по 10 человек в ряду. Сколько человек было в этой колонне?
6. Умножьте:
568 X ЮО; 568 X 1000; 275 X 10000;
Выполните следующие умножения:
7. 275 X ЮО; 706X1000; 562ХЮ; 368X 10000.
8. 693 X Ю00; 7806 X 100; 3142X10; 845X 10000.
9. о024 X ЮО; 3429 X Ю00; 8750 X 10; 93470 X 1000.
§ 30. Множитель разрядное число.
1. Умножьте 278 на 40.
2. Умножьте 386 на 300.
3. Умножьте 729 X 5000; 317 X 600; 8645 X 2000.
4. Умножьте 1247X70000; 267X300; 379X8000.
Зтячиик попач. математик», я, IJ.
— 34 —
§§ 31-33
§ 31. Множитель больше 12.
1. Помножьте 72 на 23 и объясните.
Перемножьте следующие числа:
2. 35 х 78; 63 X 25; 79 X 45
3. 223 X 37; 569 X 56; 838 X 67
4. 176X216; 325X 220; 488 X597
5. Помножьте 3703 X 4003.
Перемножьте следующие числа:
6. 7509 X 3004; 3064 X 2057; 4005 X 2603.
7. 5609 X 6009; 7009 X 3507; 5603 X 7095.
8. 8032 X 6207; 8432 X 7035; 9406 X 8007.
§ 32. Упражнения.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
336 х 13; 478 X 27; 295 X 49; 507 X 40. 648X 32; 956X65; 707X77; 500X32.
620 X 50; 823 X 46; 376 X 55; 428 X 30.
5786 X 37; 6073 X 50; 4380 X 69; 8700 X 40.
9106 X 45; 7643 X 23; 8567 X 58; 3479 X 90. 5875X 78; 6432 X 44; 5905X36; 9510X60. 7356X207; 4907X456; 8632 X405; 6900X613. 7540X 347; 8945X578; 3028 X 340; 4009x720. 7360X450; 4515X823; 2030X656; 4300x378.
4703 X 300; 8756 X 400; 3021 X 7000; 731 X 30. 4062 X 340; 7306 X 2600; 4287 X 350; 9680 X 370.
5720 X 7280; 6800 X 5400; 3285 X 2050; 8350 X 50302.
§ 33. Задачи.
1 Для укрепления смычки с деревней каждый из 273 рабочих завода подписался на 2 облигации Крестьянского займа. На сколько облигаций подписались рабочие?
2. На окраинах город'; расположено 10 заводов, в каждом из которых, в среднем, работает по 2300 человек. Сколько рабочих в этих 10 заводах?
— 35 —
§ S3.
£. Ювелир продал 3 дюжины колец по 22 р. за кольцо и 2 дюжины часов по 37 за штуку. Сколько он получил за все кольца и часы?
4. Правление лесоторга купило на сплавной реке 38 плотов бревен, в каждом плоту по 145 бревен. Сколько бревен куплено лесоторгом?
5. На армию требуется ежемесячно по 9 725 кг мяса. Сколько потребуется мяса для нее в течение 11 месяцев?
6. Из одной копны (10 снопов) намолачивается 16 кг ржи. Сколько, яга ржи будет намолочено с 10 гектаров, если на каждом из них будет по 110 копен такого же достоинства?
7. После умолота урожая засыпано пшеницы в за-кромы: в течение 6 дней по 250 кг, в течение 11 дней по 283 кг и в течение 12 дней по 297 кг в день. Сколько килограммов пшеницы засыпано в закром ы?
8. На фабрике ежедневно изготовляется 285 ковров. Сколько ковров изготовляется в 2 рабочие недели?
9. Отец и сын, оба плотники, пошли весною работать на железную дорогу. Отец зарабатывал по 20 р. в неделю, а сын по 17 руб. Сколько они зарабатывали вдвоем в 12 недель?
10. В картофельном поле было 736 борозд и в каждой борозде 132 гнезда картофеля. Сколько гнезд картофеля было в этом поле?
11. Сколько метров в 13 километрах?
12. Сколько квадратных метров в 1 гектаре?
13. Сушеная рыба, нанизанная на прутик, называется меткой; 60 меток составляют копу; 60 коп составляют трост. Сколько меток в 60 трестах?
14. Артель садовников продала местному кооперативу 14 ящиков яблок по 50 кг каждый и получила за них 5 мешков ржаной муки по 50 кг каждый и кроме того еще 77 р. 75 к. Сколько стоили кооперативу все яблоки, если Ю кг ржаной муки оценивается в 2,50 р. ?
15. Тепличная рама содержит 24 стекла; каждое стекло имеет в длину 22 см, а в ширину 18 см. Сколько кв. см стекла в тепличной раме?
16. Для упаковки урожая яблок следует сколотить 720 ящиков. Сколько кг гвоздей понадобится для того, чтобы сколотить все ящики, если на каждые 2 ящика идет 1 кг гвоздей?
з*
— 36 —
§§ 33-34.
17. Деревянная крестьянская борона имеет в ширину 1 м. Сколько километров крестьянин должен пройти, чтобы заборонить ею 1 гектар в 1 след?
18. Двухзвенная железная борона „Зигзаг**, имеет в ширину 2 м. Сколько километров должен пройти крестьянин, чтобы заборонить ею 1 гектар в 1 след?
Рис. 7. Железная борона „Зигзаг**.
§ 34. Особые правила, упрощающие умножение.
Умножение обыкновенно начинается с единиц, но можно начинать с цифр высшего разряда, т.-е. слева
Напишите число высшего разряда множителя под единицами множимого и начните умножение с числа высшего разряда; затем, при последовательном умножении на числа следующих низших разрядов, отступайте на одно место вправо. Ставьте всегда правую цифру частного произведения под ту цифру множителя, на которую производится умножение множимого. Для примера умножьте 478 на 346 обоими способами; вы получите:
Умножение обыкновенным способом:
Умножение предлагаемым способом:
478
Х346
2868
1912
1434
478
Х346
1434
1912
2868
165388 165388
Предлагаемый способ предпочитается многими на том основании что первая строка составляет главную часть произведения; в приве
§ 34.
— 37 —
денном примере 1434(00), а остальные строки меньшую часть: десятки и единицы. Прием этот для двухзначных чисел значительно облегчает счет в уме.
1. Выполните по изложенному способу умножения: 376 X 247’ 1275X26; 8504 X 402.
2. При умножении на однозначное число, а также на 11 и на 12 множитель пишется рядом с множимым, а произведение под горизонтальною чертою. Например:
78ь 593 х5
3932515
6878 X7
48146
32 698X12
392 376
5682Х П
62502
3 Если множитель начинается с единицы, то его следует писать рядом с множимым, и, не умножая на 1, производить дальнейшее умножение по изложенному способу.
Помножьте 7856 на 129:
7856X129
15714
70694
1013414
Первая строка есть произведение данного числа на 1 — на первую цифру множителя.
4. Умножьте таким способом: 376 X 148; 2349X168; 7905X127 и объясните.
5. Если множитель оканчивается 1. то его также следует писать рядом с множимым. Умножение производится обыкновенным способом, но на 1 не умножается. Помножьте 34892 на 431:
34892 X 431
104676
139568
15038452
Первая строка 34892 есть частное произведение данною числа на 1.
G. Из 100 кг вощины выходит в среднем 45 кг чистого воска. Сколько воска выйдет из 470 килограммов вощины?
7. На одну магазинную надставку рамочного улья идет 32 секционные рамочки. Сколько рамочек пойдет на 71 улей?
— 38 —
§§ 35-36.
Деление.
Рис. 8. Деление.
§ 35. Определения.
1. Что такое деление?
2. Как называется произведение в делении?
3. Как называется данный множитель?
4. Как называется искомый множитель?
5. Каким знаком обозначается деление?
6. Разберите числа при делении 12 на 4.
Скажите, как называются данные числа, а также и искомое?
7. Поставьте числа вместо буквы х в следующих действиях:
72 = 9Хх 72 = 8Хх
72 : 9 — х 72 : 8 = х
§ 36. Деление на числа меньше 13.
Если вы хорошо помните таблицу умножения, то вы быстро решите следующие примеры. Вы помните, что при умножении даны два сомножителя и ищут их произведение; при делении же дано произведение (делимое) и один из сомножителей (делитель); ищут второй сомножитель (частное).
1. 26: 2; 39: 3; 40: 10; 27 : 9.
2. 96: 12; 108: 12; 24: 4; 36: 3.
3. 96: 8; 60 : 12; .63: 7; 66: 11.
4. 78: 6; 84: 7; 108: 9; 84 : 12.
5. 55 : 5; 66: 6; 121 :11; 99 : 9.
§§ 36-37 39 —
6. 88: 8; 33 : 3; 64 : 8; 22: 2.
7. 77 : 11; 44 : 4; 27 : 3; 72 : 12.
8. 18 : 2; 18 : 3; 45 : 5; 96: 12.
9. 54 . 6, 64 : 8, 72: 8; 88 : 11.
10. 49: 7;’ 77 : 7; 14 : 2; 21 : 3.
11. 84 : 7; 12: 6; 24 : 8; 25- 5.
12. 28: 4; 35 : 5; 42 : 6; 56: 7.
13. 77 : 7; 48: 4; 30: 5; 36 : 3.
14. 14: 2; 12 : 3; 16: 4; 32 4.
15. 63 : 9; 54: 9; 45: 5; 81 : 9.
§ 37. Задачи.
1. Крестьянин, собрав осенью 1020 кг картофеля, желает разделить их на 3 равные части; одну часть он оставляет для семьи, другую часть для семян и для корма скота, а третью желает продать. Сколько килограммов картофеля в каждой части?
2. Рабочие завода организовали подписку на 3 газеты по подшефной волости, всего 81 экземпляр. Подписались поровну на „Ленинградскую Правду", „Красную Газету* и „Деревенскую Бедноту*. Сколько вышло „Красной Газеты"?
3. Отряд юных ленинцев, состоящий из 96 чел., на смотру перед Х1П съездом Росс. Коммунистической Партии (РКП), был выстроен в 4 шеренги. По скольку человек было в каждой шеренге?
•5 . В избу-читальню поступает ежедневно 35 экземпляров газеты с 5 названиями, поровну. Сколько экземпляров поступает „Красной Газеты"?
5. 270 кг пшеничной муки должны быть развешены на 9 равных частей и размещены в 9 мешках. Сколько кг окажется в каждом мешке?
6. 672 кг лесных орехов, привезенные на пароходе в Ростов-на-Дону, должны быть перевезены на берег на 6 лодках, поровну. Сколько придется на каждую лодку?
7. Рабочие исполнили работу в 32 часа. Сколько рабочих дней потребовала работа?
8. Из Донской Области пришлось отправить 64 вола, для чего были поданы вагоны, в которые можно разместить по 8 волов. Во сколько вагонов размещены волы?
9. В трудовой школе дети сами изготовили тетради из 480 листов бумаги. Сколько тетрадей вышло, если на каждую пошло по 12 листов?
10. Сколько стульев можно купить на 144 р., если каждый стул стоит 12 р.?
— 40 —
s§ 37-88
11. По Ладожскому каналу барка может пройти по 3 км в час. Во сколько часов может она пройти 33 км?
12. Требуется настлать пол шириною в 432 см. Сколько досок шириною в 18 см потребуется для этого, если длина досок такая же, как длина пола?
13. Сколько мешков можно сделать из 35 м холста, если на каждый мешок требуется 35 дм?
14. Рабочие завода „Гидравлик" в количестве 76 человек подписались на Крестьянский выигрышный заем, всего на 380 р. На сколько рублей подписался каждый?
§ 38. Остаток от деления.
1. Как вы поступите, если при делении одного числа на другое, кроме целого частного, получится остаток?
Найдите частные от деления следующих чисел:
а) деление пишите с остатком (незаконченное деление) и остаток поставьте в скобки:
2. 19:3; 14:6; 17:5; 25: 4; 37: 9; 17: 7; 28: 5-3. 33:6; 27:8; 33:5; 23:11; 98:12; 89:11; 83:12.
4. 13:5; 51:7; 97:9; 51: 6; 73: 9; 75:12; 69:11.
б) Найдите полное частное (законченное деление).
5. 15:12; 15:11; 48:7; 76:9; 85: 9; 64: 7; 56: 5-
6. 38: 6; 49: 6; 55:7; 23:4; 77:12; 84:11; 96: 9.
7. 71: 8; 57: 6; 27:4; 39:5; 45: 6; 70:11; 82:12-
§ 39. Задачи.
1. Сборка машины требует 35 часов работы. Можно ли собрать эту машину в 4 рабочих дня?
2. Сколько кусков шведского толя надо купить, чтобы покрыть 450 кв. м крыши, если одним куском его можно покрыть 4 кв. м крыши?
3. Из Донской Области надо отправить в Ленинград гурт в 62 вола. В 1 вагон помещается только 8 голов. Сколько вагонов необходимо иметь для отправки этого гурта и сколько волов недостает для того, чтобы во всех вагонах было по 8 голов?
4. В зале трудосой школы стоит 450 стульев, да еще 30 стульев снесено в школьную мастерскую для починки. Сколько полных дюжин стульев находится в зале и сколько дюжин в нем будет после починки?
§§ 39-40.
— 41 —
5. Для одного человека продуктов хватит на 76 дней. На сколько дней хватит тех же продуктов на 11 человек и на сколько человек хватит остаток?
6. На покупку стульев для сельской школы дано 227 р.; каждый стул стоит 4 р. Сколько стульев можно купить на эти деньги и сколько останется рублей?
7. По Ладожскому каналу барка может итти по 3 км в час. Во сколько часов она пройдет 28 км?
8. Между Можайском и Москвою 111 км. Несколько учеников с учителем решили пройти это расстояние пешком и по пути осмотреть все достопримечательности. Они выступили из Можайска и в день могут проходить 13 км. Во сколько дней они пройдут все расстояние?
9. Садовод, развозя навоз по саду на ручной тачке с большим колесом, может свезти каждый раз 50 кг, которые и идут на удобрение одной яблони. Сколько яблоней он может удобрить, если для сада у него приготовлено 620 кг навоза, и сколько килограммов его останется для последней яблони?
10. На мыловаренном заводе Губернского Совета Народного Хозяйства ежедневно употребляется 20 центн. жиру, 21 кг соды и 3 кг разных других химических материалов. На сколько дней хватит 350 центн. жиру, 364 кг соды и 53 кг разных других химических материалов?
11. В городской общественной бесплатной библиотеке книжные шкафы имеют по 8 полок и на каждую полку можно расставить 63 книги. На сколько полок можно расставить 5 475 книг и сколько для них надо шкафов?
12. В большом советским учреждении уполномоченный Общества Друзей Воздушного Флота собрал 350 р. от записавшихся в почетные члены Общества, получив с каждого по 10 руб. Сколько членов записалось в ОДВФ?
13. Я состою в организации „Друг Детей", и номер моего членского билета 10861. Какой десяток я начинаю собою?
§ 40. Деление больших чисел на числа меньше 13.
Не забывайте, что надо хорошо знать таблицу умножения; надо также помнить таблицу умножения на И и на 12.
1. Разделите 868 на 3 и объясните, как вы производите деление.
— 42 —
§§ 40 - 42.
Разделите, проверьте и объясните:
2.182:3; 385:2; 496:4; 725:5; 427.7.
3.562:11; 876:12; 427:8; 563:9; 376:4.
4.348:12; 5832:12; 6964:9; 3650:11.
5.23 479:8; 7 952:4; 8 754:7; 35682:12.
6.54 267:11; 9531:9; 786 542:5; 278 563:3.
7.879365:7; 478035:9; 1080544:4; 14576555:8.
8.1 540888:11; 172 420 632:12; 2376541:5.
Разделите следующие числа:
9.735:10; 8 650:10; 89430:10; 12105:10.
10.1027:10; 37 556:10; 429:10; 89:10; 90:10.
§ 41. Деление на числа больше 12.
х 1. Разделите 304 на 13.
Разделите и объясните:
2.270:16; 495:15; 983:13; 576:18.
3. 959:17 ; 897:14; 827:19; 862:18.
Разделите следующие числа:
4. 3726 : 100; 8473 : 100; 10256 : 1000; 237861 : 10000.
3. 9600 : 100; 10562 : 1000; 35820 : 1000; 5483000 : 100.
6. 8624 : 10; 48250 : 10; 1 092 600 : 100; 789300 : 1000.
7. 3425 : 20; 79040 : 40; 82034 : 300 ; 56026 : 70.
8.45023:50; 900347:600; 34200:700; 895040:800.
9. 420 : 40; 425 : 40; 720 : 60; 724 : 60.
10. 3600 : 600; 3650 : 600; 3654 : 600.
11. 2780 : 780; 2785 : 780; 4430 : 780.
12.4435:780; 102000 : 3000; 102400 : 3000.
13. 102430 : 3000; 102438:3000.
§ 42. Задачи.
1. В яичном складе 22 200 яиц уложены поровну в 37 небольших ящиков. Сколько яиц в каждом ящике?
2. Длина пустоши 350 м, а ширина составляет одну седьмую часть длины. Чему равна ширина этой пустоши, и сколько в ней кв. м?
3. Ежедневно рассыпают на скотном дворе 16 кг гипса. На сколько дней хватят 5 840 кг?
4. Рабочая артель, состоящая из 17 человек, заработала 3 740 р. Сколько приходится на каждого?
§§ 42—4^.
— 43 —
5. С 47 гект. собрано 11 280 цнтн. сахарной свеклы. Как велик в срецнем урожай с 1 гект.?
6. На скотном дворе ежедневно наливается из чана в желоба 15 гектолитров воды. На сколько дней хватит волы в чане, содержащем 75 гкл. ее?
7. В войсковой части требуется в год 4 264 кг коровьего масла. Сколько следует поставлять в неделю, считая в году- 52 недели?
8. В школе плодоводства ученики старшего класса зарабатывают в месяц 67 р.; расходуют же на свое содержание 25 р. Во сколько месяцев они отложат сбережение в 294 р.?
9. Сколько недель в 6 216 часах?
£0 Во сколько часов можно долететь из Москвы до Одессы, расстояние между которыми 1 470 км, если скорость аэроплана равна 140 км в час? В Москве аэроплан поднялся в 8 час. утра. Когда он спустился в Одессе?
11. В Северо-Западной Области] для осушки болот в 1923 г. проведены канавы на протяжении 27 030 м. Сколько это составит полных километров?
12. Указанные в предыдущей задаче канавы проведены для осушки 510 гектаров болота. Какой длины канава приходится в среднем на каждый гектар?
13. Город Чита расположен на 114 градусе восточной долготы. В каком часовом поясе он находится и какое там время, когда часы в Ленинграде показывают 2?
§ 43. Деление больших чисел.
1. Разделите 722437 на 893 и объясните.
Упражнения.
Разделите:
2. 181076: 892; 387 654: 427.
3. 287 653 : 1 032; 1 023 650 : 3 655.
4. 788807:2320; 7370348:5442.
5. 6 355 270: 127; 4 299347:6842.
6. 8 039 318: 266; 9 543809: 333.
§ 44. Задачи на все четыре действия.
1. В сентябре 1922 г. при оказании помощи безработным Ленинграда Союз металлистов выдал пособия на 1 304 чел., Союз печатников на 1 500 чел., Союз пищеви
— 44 —
§ 44.
ков на 1600 чел. и Союз текстильщиков на 1392 чел. Сколько безработных по этим 4 союзам получили пособия?
2 По сведениям, напечатанным в производственном сельско-хозяйственном плане >по Северо-Западной Области на 1924 год, стр. 25, культура льна за пятилетие 1904 — 1908 была следующая:
Площадь Урожай
посева. семян.
В России .... 1,52 милл. гект. 5,5 милл. центн
, Брит. Индии . 1,21 „ 3,3 „
„ Аргентине . . 1,18 8,8 . „
„ С-А. Соед. Шт. 1,02 7,2 ,
Вычислите, сколько цнтн. семян льна было собрано за пятилетие 1904 —1908 в этих странах.
3. С 1915 г., когда наступила разруха из-за войны, культура льна катастрофически пала в России, как это видно по данным, сообщенным в той же книге (зад. 2), в частности в губерниях Северо-Западной Области:
Губернии. 1915 г. 1920 г. 1922 г.
гект . культуры льна.
Псковская 95 988 14 971 17914
Новгородская . ., . 27 235 20983 23 928
Ленинградская . . . 3 027 2917 5 409
Олонецкая 1 776 932 1612
До 1920 г. культура льна падала, а затем стала возрождаться.
Вычислите уменьшение числа гект. подо льном с 1915 по 1920 г. и увеличение с 1920 по 1922 г.
4. В первый год организации Касс Взаимопомощи при губернских Отделах Союзов Кассы объединяли: по Союзу Нарпитания 3107 чел., по Союзу швейников 2 904 чел., по Союзу пищевиков 5 000 чел. и по Союзу деревообделочников 850 чел. Сколько членов Кассы Взаимопомощи было в этих четырех союзах?
5. Сколько масла получится из 3 000 л цельного молока, если из каждых 100 л его получается Зг/4 кл масла?
6. На 1 гект. посеяно 130 кг ржи, а собрано 1 300 кг. Сколько килограммов ржи можно собрать при подобном урожае с 12 гект. за вычетом семян?
7. Во что обойдется 1 цнтн. живого веса, если за быка весом в 4 цнтн. заплачено 720 р.?
§ 44.
— 45 —
8. Провоз лошадей из Омска до Москвы обошелся в 263 р. Если бы за провоз было заплачено на 8 р. меньше, ”0 провоз одной лошади обошелся бы в 17 р. Сколько лошадей было отправлено?
9. Уполномоченный Донбасса выехал в Уральск закупать лошадей и взял с собою для этой цели 21420 р. Продажных лошадей оказалось много, и цена 1 лошади установилась в 150 р Уполномоченный решил купить лошадей, сколько окажется возможным, на все взятые деньги; при этом у него остался остаток меньше 150 р. Чтобы использовать свою поездку наивыгоднейшим образом, он на остаток купил телят по 40 р. за штуку. Сколоко лошадей и телят он купил?
10. За наем городской квартиры уплачивается в месяц 20 р., а за электрическое освещение по 6 р. Через некоторое время уплачено за то и другое 130 р. За сколько месяцев заплачена эта сумма?
fl. На сколько хуторских участков может быть разделена земельная дача в 4 556 гект., если в каждом участке должно быть 17 гект.?
12. Сколько кв. см заключается в оконном стекле высотою в 60 см и шириною в 40 см?
13. Сколько квадратных сантиметров можно сделать из квадрата, стороны которого равны 5 см?
14. Сколько квадратных дм заключается в одном квадратном метре?
15. В 4 равных стеклах окна 12 800 кв. см. Сколько кв. см в каждом стекле? Какова ширина стекла, если его высота равна 80 см?
16. Во что обойдется окраска пола большого зала, плюющего в длину 24, а в ширину 15 м, если окраска 1 кв. м стоит 2 р.?
17. Из участка огородной земли длиною 60 и шириною 40 м следует сделать опытные делянки по 4 кв. м. Сколько делянок можно сделать?
18. Из 40 кг известкового камня получается 22 кг негашеной извести. Сколько кг известкового камня следует взять для получения 88 кг негашеной извести?
19. Для того, чтобы погасить 1 цнтн. свеже-обожженной комовой извести, требуется 37 л воды. Сколько требуется воды для того, чтобы погасить 20 цнтн. извести?
20. При опрыскивании 35 яблоней бордосскою жидкостью для уничтожения грибной болезни яблок, называемой яблоковою паршею (пятнистость), требуется 1 бочка в 170 литр, этой жидкости. Сколько бочек состава требуется для опрыскивания сада в 1 820 яблоней? '
21. Сколько требуется медного купоооса и свежегашеной извести для опрыскивания яблоневого сада в 1000
— 46 —
§ 44.
яблоней, если одной 120 литровой бочкой можно опрыскать 25 яблоней и если для составления двух таких бочек состава требуется 5 кг медного купороса и 9 свеже-гашеной извести?
22. Четыре кооператива получили товару на 2 44ч р. поровну. Сколько заплатил за товар каждый?
23. Какое расстояние проходит товарный поезд в 1 секунду времени, если в 40 секунд он проходит 360 метров?
24. Какое расстояние пройдет скорый поезд в 1 минуту, если в 1 час он проходит 79200 метров?
25. Еженедельно на корм скоту идет 100 кг картофеля и на домашнее хозяйство 12 кг. Как велик должен быть запас картофеля на четверть года (13 недель)?
26. Сколько голов скота можно содержать в хозяйстве, если собрано 725 цнтн. сена, и если на 1 голову требуется в год 29 цнтн.?
27. Два зубчатых колеса водяной мельницы имеют: одно 45 зубцов, а другое 15. Сколько оборотов сделает второе колесо в то время, как первое сделает 60 оборотов?
28. На 1 гектаре посажены яблони рядами в шахматном порядке; ряд от ряда отстоит наЮлг, а яблоня от яблони в ряду на те же 10 м. Сколько яблоней посажено?
29. Постройка железной дороги длиною в 320 км обошлась в 9600000 р. Сколько стоила постройка 1 версты?
! 1 1 1 1 1 < 1 < 1 1 1 JL
Рис. 9. Черепица крыши в плане и в разрезе.
30. Длинный сенной сарай должен быть покрыт черепицей; для этого куплено 4410 штук, в один ряд в ширину крыши помещается 42 черепицы. Сколько метров в длину сарая могут быть покрыты черепицей, если ши
§ «
47 —
рина одной черепицы 18 см, и если одна черепица захватывает соседнюю на 4 см?
ЗЕ Около городского дома разбит сад, имеющий вид прямоугольника длиною в 72 м и шириною в 46 м. Во что обойдется обнести его забором, если стоимость 1 м равна 7 р.?
32. Сколько кирпичей в прямоугольной куче, если в длину помещается 70, в ширину 48, а в высоту 37 кирпичей?
33. Полевая земля в 32 гкт. разделена на 4 равных по величине клина: в одном клину засеяна рожь, в другом овес, в третьем яровая пшеница, а четвертый клин оставлен под пар. С первого клина собрано 112 цнтн. ржи, со второго 64 цнтн. овса, а с третьего 72 цнтн. пшеницы. Сколько цнтн. зерна собрано с этих трех клиньев и сколько цнтн. зерна собрано с 1 гектара каждого клина?
84. В совхозе 576 гектаров земли; из них половина под пашней, четвертая часть под лугами, 6 гкт. неудобной земли под дорогами, прудами, двором и пр.; остальная площадь под лесом. Какова площадь отдельных угодий?
35. Из намолоченных в совхозе в первую очередь 250 цнтн. пшеницы, 125 цнтн. употреблено на посев; затем во вторую очередь намолочено 648 цнтн.; 178 цнтн. оставлено для домашнего расхода, а остаток продан по 8 р. за цнтн. Сколько получено денег за проданную пшеницу?
36. В Лужском уезде Ленинградской губ. в 1919 году на каждую тысячу жителей приходилось 40 чел. неграмотных в возрасте от 14 до 35 л. Всего неграмотных этого возраста в уезде было 8 000 чел. Сколько жителей было в уезде?
87. На одном заводе рабочие подписались на облигации Крестьянского займа по 85 к. за облигацию, всего на сумму 637 р. 50 к. На другом заводе подписались на столько же облигаций, но, запоздав с подпиской, заплатили уже по 87 к. Сколько лишних денег пришлось им платить за свое промедление.
38. В Новгородской губ. крестьянские комитеты взаимопомощи за первые 3 месяца 1924 г. оказали помощь 1500 семей. Если работа пойдет так же и дальше, то скольким семьям могут оказать помощь эти комитеты за год?
39. На 1 гкт. вывозится 60 возов хлевного навоза по 45 центн. Сколько следует вывезти возов и цнтн. его на 12 гектаров?
40. В хозяйстве по расчету голов скота накоплено 1 260 цнтн. хлевного навоза. Спрашивается: 1) На скольких возах можно вывезти его, если на 1 воз можно наложить 5 цнтн.? 2) Сколько гектаров пашни можно удобрить
— 48 —
§ 44.
этим навозом, если его следуег положить по 280 цнтн. на 1 гект.?
41. Из 21 гект. хуторского участка отчуждено под дороги 2835 кв. м. Сколько земли осталось у хуторянина?
42. Корова получает ежедневно 4 грамма поваренной соли. Сколько следует иметь ее на 38 коров на целый год (365 дней)? (1000 граммов составляют 1 килограмм.)
43. В 1903 г. среднее годовое потребление сахара во всей России было 7 кг на человека, не считая патоки и меда, а в Англии 41 кг. На сколько увеличилось бы
Рис. 10. В каждой голове сахара 8 кг.
потребление сахара в СССР, если бы оно было такое же, как в Англии, и если во всем Союзе считается 132 миллиона жителей обоего гола?
44. Общественная столовая кооператива „Полюстрово** отпустила за два дня мая месяца 3 300 обедов. Сколько обедов отпустила бы столовая за весь май при том же числе обедающих?
45. Автомобиль был в движении 6 час.; первые 3 часа он шел со скоростью 80 км в час; затем 2 часа по 3 км в 2 мин.; и последний час по 24 м в 1 сек. Какое расстояние прошел автомобиль?
46. Корове задают ежедневно 2 кг клевера, 750 г льняных жмыхов и 1 кг 200 г отрубей. Как велик должен быть запас кормов на 18 коров на 1 год?
47. Солнце находится в среднем расстоянии от земли на 149000000 км. Во сколько времени пройдет это расстояние свет, если в 1 секунду он проходит 300000 км?
48. По данным сельскосоюза в 1923 г. имелось 12 773 коммун, артелей и товариществ по совместной обработке земли. Всего под этими коллективными хозяйствами было 651 423 гект. пашни. Сколько пахотной земли в среднем приходилось на одно коллективное хозяйство?
§§ 44—45.
— 49 —
49. Перед Великой Октябрьской Революцией в России на каждую тысячу жителей приходилось 771 чел. крестьян и 16 чел. дворян. Сколько было всего крестьян и дворян пои населении в 135 миллионов человек, и во сколько раз крестьян было больше, чем дворян?
50. Рабочие завода, в количестве 2 723 человек, постановили отработать сверхурочно по часу в день в течение недели, а заработанные деньги передать в фонд имени В. И- Ленина. Какую сумму они передали в фонд, если, в среднем, каждый зарабатывал в день 1 р. 20 к.?
51. Если поезд железной дороги проходит 608 км в 19 часов, то сколько км он проходит в 1 час?
52. Океанский пароход совершает рейс из Нью-Йорка в Гамбург в 9 дней. Расстояние между этими городами 6 734 км. Сколько км проходит пароход в 1 день?
53. Сколько дней в ^32 часах?
54. Сколько часов в 7 200 минутах?
55. Какое число, будучи помножено на 23, даст 36087?
56. Сколько раз 27 может быть вычтено из 62397?
57. Если произведение двух множителей равно 21015 и один из множителей равен 45, то чему равен другой множитель?
58. Во сколько раз 375 больше 15?
59. Во сколько раз 14 меньше 1484?
60. Сколько тетрадей можно сшить из 30 стоп бумаги, если в стопе 480 листов и на тетрадь идет 6 листов?
61. Сколько километров в 22000 м?
62. Сколько килограммов в 37 000 г?
63. Корова дает в первые 185 дней удойного периода в среднем по 10 л, в следующие 97 дней по 9 л, и в последние 33 дня по 8 л. Сколько всего литров молока она дает за все это время?
§ 45. Скобки.
выражение (7 + 2 + 8) X 13? выражение выражение выражение
1. Что означает
2. Что означает
3. Что означает
4. Что означает
Чему равно:
5. (17-1-2 —4) X (47 + 3);
(32 — 17 + 45) : (17 — 2;;
6. (13+14) X (44-+-18): (72-4-18): 30;
(31 — 2+19) : 16?
(37 + 8) X (13 + 3 + 6)?
(37-4-8): (13+2)?
(25 — 18+36) X (47 — 12) (48+12—10) : (25 — 15);
(3 4-75 + 22) X (19— 14);
(3 + 75 + 22) : (19—14);
(7 + 102 —ЗП X (23+17) (35 + 74 — 13): (15 — 9).
(25-7 + 1) X 41; (45 + 72—12): 15;
8. , 300 + 50) X (35 — 33); (150 — 50) : (75 — 25).
7
Яат&чпик по пач. математике, ч. 11.
4
— 50 —
§§ 45—46.
9. Одна треть урожая озимой ржи должна быть оставлена до будущего года. Сколько цнтн. ее следует сохранить, если на 3 клиньях озимого посева рожь собрана в количестве 37, 39 и 44 цнтн.?
10. 3 улья с живыми пчелами дали следующий сбор меда: 1-й —12 кг\ 2-й — 11 яг; 3-й — 9 к?\ а 4-й пришлось подкормить 4 кг меда. Четверть всего сбора меда оставляется до весны будущего года на случай необходимости подкормки пчел. Сколько меда оставлено до весны'1
11. Урожай овса определился в сам 6. Сколько собрано его с трех участков, на которых посеяно 6 цнтн., 5 цнтн. и 3 цнтн.?
§ 46. Некоторые упрощенные приемы для устного счета.
При умножении некоторого числа на 5 проще умножить его на 10 и произведение разделить на 2. Например;
27Х5 = (27ХЮ) : 2=135.
I. 38X5; 77X5; 14X5; 56X5.
а. 140X5; 33X5; 19X5; 199X5.
При умножении некоторого числа на 25 проще умножить его на IOO н произведение разделить иа 4. Например:
13 X 25 = (13 100) : 4 == 325.
3.31X25; 12X25; 48 X 25; 82 X 25.
При умножении некоторого числа иа 6, помножьте ei о сначала на 5 и полученное произведение сложите с данным числом. Например:
28 X 6 = 28 X 5 + 28X1 = 2|~+28= 140 + 28 = 168.
4. 32 X 6; 71 ' 6; 15 X 6; 85 X 6.
При умножении некоторого числа на 7 поступайте подобным же образом; помножьте данное число на 5 и полученное произведение сложите с удвоенным данным числом. Например:
32X7 = 32X5 + 32X2 = ^2-^ + 64= 160 + 64 = 224.
Некоторые предпочитают умножать десятки и единицы отдельно и затем складывать частные произведения: 32 X 7 = 30 X 7 + 2 X 7 = = 210 +14 = 224.
5- 61 X 7; 27 X 7; 44 X 7; 55 X 7.
При умножении некоторого числа на 8, вы умножаете данное число на 10 и вычитаете удвоенное данное число. Напрчмер: 75X8 = = 75 X 10 — 75 X 2 = 750—150 = 600.
Подобным же образом .можно умножить «нсла на 9, на И, на 12 на 18, на 19 на 21, на 22 и т. д.
§§ 47 48.
— 51 —
§ 47. Делители и множители.
Е Найдите один из делителей 12.
2. Найдите все делители 12.
3. Найдите все делители чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 10 и И.
4. Найдите все делители чисел 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22 и 23.
5. Найдите все делители чисел 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34 и 35-
6. Найдите все делители чисел 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46 и 47.
7. Укажите какое-нибудь число, которое делится только на 1 и на самое себя.
8. Напишите все числа от 1 до 20, которые не имеют других делителей, кроме 1 и самих себя. Как называются такие числа?
9. Напишите составные числа от 21 до 50.
10. Напишите все числа от 21 до 50, которые не имеют иных делителей, кроме самих себя и 1.
11. Напишите простые числа от 51 до 70.
12. Может ли 71 быть разделено На 2? На 3? На 4? На 5? На 6? На 7? На 8? На 9? Не простое ли оно число? Убедитесь, может ли оно быть разделено без остатка на 2, 3, 5, 7, 1J, 13, 17 и т. д.
13. Напишите простые цифры от 71 до 100.
14. Простое ли число 101? Простое ли число 111?
15. Какие числа делятся без остатка на 2? Помните ли вы как называются числа, делящиеся без остатка на 2?
16. На какие цифры оканчиваются четные числа?
17. Какие числа делятся без остатка на 3?
18. Какие числа делятся без остатка на 4?
19. Делятся ли на 4 числа 724; 836; 20S, 252?
20. Какие числа делятся без остатка на 5? Если последняя цифра равна 0, то число состоит из круглых десятков и, следовательно, оно делится на 5; если же последняя цифра равна 5, то и в этом случае число делится на 5 без остатка.
21. Какие числа делятся без остатка на о?
22. Какие числа делятся на 9?
§ 4-1. Задачи.
1. Крестьянин, имеющий 3 сыновей, желает отдать им поровну овец, у него их 38 штук. Сколько следует продать овец (наименьшее число штук), чтобы всем сыновьям досталось поровну овец?
— 52 —
§§ 48-50.
2. Можно ли разделить 276 гект. земли на три равных участка и сколько гект. будет в каждом участке?
3. В интернат прислано 385 м материи. Сколько в интернате воспитанниц, если на каждую пришлось по 5 метров материи?
4. На заводе работают 750 человек. Каждые 50 человек выбирают одного представителя в рабочий комитет (завком). Могут ли 750 рабочих разбиться на равные группы по 50 человек, и сколько у них будет предста вителей?
§ 49. Общий наибольший делитель.
1. Что называется общим делителем двух или нескольких чисел? Какой общий делитель имеют числа 15 и 25°
2. Найдите общие делители чисел 12, 18 и 24.
3. Найдите общий наибольший делитель чисел 15. 30 и 45.
4. Существуют ли числа, не имеющие общим делителем 1 ?
5. Назовите несколько пар чисел, у которых нет других общих делителей, кроме 1. Как называются числа, у которых нет общего делителя больше 1 ?
6. Взаимно ли простые числа 6, 8 и 10?
7. Взаимно ли простые числа 8 и 9?
8. Чему равен общий наибольший делитель чисел 12, 18 и 24?
9. Найдите общий наибольший делитель следующих чисел:
6, 18 и 12; 60, 120 и 30; 5о, 72 и 144;
10, 15 и 20: 18, 12 и 24; 32, 64 и 48;
35, 60 и 75; 14. 28 и 42; 20, 35 и 80-
§ 50. Кратные числа.
1. Что называется кратным данного числа?
2. Назовите все кратные числа 2 до первой сотни.
3. Назовите все кратные числа 3 до 99; 4 до 100; 5 ДО 100; 6 до 96; 7 до 91.
4. Существует ли число, которое не является кратным 1 ?
5. Что называется общим кратным двух или нескольких чисел?
6. Напишите все кратные числа 2 и доведите их до 36; составьте из этих чисел особый список. Составьте другой список, в который поместите кратные 3 и доведите его
$§ 50 51.
— 53 —
тоже до 36. Выпишите из первого списка все числа, кратные от 3, и составьте новый список, а из второго списка другой, который содержал бы все кратные 2. Составьте, наконец, еще список кратных 2 и 3. Сравните все три списка. Что вы получили? Вы получили 3 одинаковых списка. Какое число есть наименьшее кратное 2 и 3?
7. Составьте список до 72 всех общих кратных 3 и 4.
8. Составьте список до 90 всех общих кратных 6 и 9.
9. Какое наименьшее кратное 6 и 9?
10. Составьте список первых 6 общих кратных 9 и 12. fl. Какое наименьшее кратное 3 и 12?
Примечание R задачах на дроби часто приходится находить наименьшее кратное двух или нескольких чисел.
12. Как найти наименьшее кратное 12 и 18?
13. Чему равно наименьшее кратное 6 и 8?
14. Найдите наименьшее кратное следующих чисел:
8 и 10, 9 и 12: 8 и 14; * 8 и 12;
6, 9 и 10; 2, 3 и 5; 9, 12 и 15; 10, 12, и 18.
§ 51. Обыкновенные дроби.
1. Что такое дробь?
2. Что такое знаменатель дроби?
3. Что такое числитель дроби?
4. Покажите на примере, как пишутся дроби.
5. Может ли быть дробь больше 1?
6. Приведите пример обыкновенной правильной дроби.
7. Приведите пример неправильной дроби.
8. Улица большого города разделена вдоль на равные полосы или части: одна занята рельсами трамвая, две соседние назначены для езды автомобилей, экипажей и для подвод, а две крайние у домов для пешеходов; это панели. Какую часть составляют панели?
9. 3 этажа большого коммунального дома заняты маленькими квартирами, а 1 этаж большими. Какую часть дома составляют маленькие квартиры?
10. Вода, доставляемая Ленинграду, распределяется следующим образом: 1 часть подается военным учреждениям, 1 часть фабрикам и заводам. 1 часть железным дорогам, 1 часть коммунальным учреждениям и 3 части жилищным организациям. Какую часть получают фабрики с заводами и железные дороги?
11. На рабочем факультете (рабфак) из _ каждых 6 студентов, трое состоят членами Российской Коммх ни-
— 54 —
§§ 51—52.
стической Партии (РКП), двое членами Российского Коммунистического Союза Молодежи (РХСМ) и один беспартийный. Какую часть составляют беспартийные?
12. У наседки 7 цыплят: 3 белых и 4 черных. Какую часть всех цыплят составляют черные цыплята?
§ 52. Сокращение дробей.
1. Изменится ли значение дроби, если числитель и знаменатель ее разделить на одно и то же число?
Рис 11. Сокращение дробей.
Нарисуйте квадрат, разделите его на части, как на рисунке, и каждую часть обозначьте особою буквою: левую верхнюю А, правую верхнюю Б; левую нижнюю В и правую нижнюю Г и дайте ответ.
2. Какую часть целого составляют части А, Б, В и Г?
о г\^ 4 2
3. Объясните, что ,,
10 о
2 1
4. Объясните, что „ =sj- . о Q
5. Нарисуйте прямую линию длиною в ° дм, нари-
О з л Z-
суите другую линию длиною в-4 дл. Сравните оое линии. Не равной ли они длины?
6. Объясните делением прямоугольника на части, что 1е _ 5 12~’б ’
7. Таким же образом объясните, что -]?- = -!
Ю о
8. Объясните также, что = -3 .
16 4
9. Приведите дробь к сокращенному виду.
§§ 52—53.
— 55 —
Сократите следующие дроби:
10. 9 “36 ’ 14 . 28 ’ 27 36 ’ 18 36 108 ’ 132 '
11. 36 . 48 72 54 250
48' ’ 64 ’ 81 > 63 ’ 1055
12. 27 . 96 . 60 72 182
81 ' 98 ’ 72 84 ’ 376 ’
13 216 144 196 256 . 171
288 ’ 432 ’ 210 1 272 ’ 393
14. Из земельного участка, входящего в состав
совхоза в количестве 81 гект., следует отмежевать 9 гект
под станцию железной дороги. Какая часть участка отойдет под станцию?
15. В совхозе собрано 1050 центнеров картофеля; из них 50 центнеров следует отправить в соседний интернат. Какая часть отправляется в интернат и какая часть останется в хозяйстве?
16. Из Харькова в Киев выехала по железной дороге группа комсомольцев харьковской трудовой школы. Доехав до родины Т. Шевченко, г. Миргорода, некоторые комсомольцы пожелали узнать, какую часть дороги они проехали?
17. В Феодосийском порту стояли 14 пароходов и 70 парусных кораблей. Какую часть всех кораблей составляют пароходы?
Рис 12 Океанский пароход.
§ 53. Приведение дробей к общему знаменателю.
1. Изменится ли значение дроби, если ее числитель и знаменатель умножаются на одно и то же число?
Нарисуйте прямоугольник, как на стр. 54. и объясните,
— 56 —
§§ 53-54.
2. Таким же образом объясните, что
3. Нарисуйте прямоугольник; разделите его на 12рав-
пых частей и объясните, что 2__ 3 8 i2 *
4. Приведите дробь 5 6 К знаменателю 12.
ь it 5 9 м It 45.
к и 3 14 W в 42.
w м 3 8 •> и 64.
п я 3 4 » т» 12.
W и 5 8 » г 72.
и W 2 15 »» т. 60.
7 57.
п W 19 и и
§ 54. Приведение дробей к общему наименьшему знаменателю.
1. Что называется общим наименьшим знаменателем?
2 3 2. Приведите дроби , и к общему О 4 наименьшему
знаменателю. Приведите к следующие дроби: общему наименьшему знаменателю
„ 3 1 . 3. 8 и 4 , 1 и f5 ; 1 и 2 . 36’ 2 3’ 3 5 7 4 ’ 6“ И 9 ’
» 2 2 *' 9 И 3 ’ 5 3 .. 1 . 2 3. 'б ’ 5 И 8 ’ 9 И 8 ’ |и 1;
-235 5. у, уи^; ХИ1; 1и1- « 8 ’ 9 12’ 1 1 6 И 7 ’
fi 1 3 L 6‘ 3 И 4’3 11 11 1 И Т: Т И Т’ 5 И -в*
7. Как получается общий наименьший знаменатель Двух дробей, если один из знаменателей является кратным другого? 8. Как получается общий наименьший знаменатель дробей, знаменатели которых суть взаимно-простые числа?
§§ 54— 56.
— 57 —
9. Как получается общий наименьший знаменатель дробей, знаменатели которых имеют несколько общих делителей?
10. Приведите к общему наименьшему знаменателю , 3 9 12
дроби: 4 , Го и й .
§ 55. Дроби больше единицы, равные единице и смешанные числа.
1. Приведите неправильную дробь -- к смешанному О *
числу.
Приведите к целому или смешанному числу следующие
дроби;
•> 91 9 25 _ 73 . 65 79 75
. “ • —
3 ’ 8 ’ 2 ’ V 4 ’ 12 ’ 6 ’ 8
3. 91 69 _ 83 49 . 824 278 ззз
9 ’ 11 ’ 12 б'’ 137’ 100’ 168 '
§ 56. Сложение дробей.
- Л 1 1
1. Сложите дроби 7 и
Сложите следующие дроби:
2. т + 1 , 2 У’ 1 -4--- 2 4 ’ 4 + 1 5 6 ’ 7 5 4- 9 1 1 5 6 ' 1
2 , 1
3. 7 + 28 3 1 4 ’ 10 4- 25’ у + 7'
й. ±д_ 5 1 J У 1 7 + т= 1 12 “F 3 16’ — 4- 4 ' 5 7
5. 1 + 1 8 4 3 О ; 4 + 1 5 + 4 + 1
6. Сложите А 2 6 3 и 4-
Сложите следующие смешанные числа:
2 1 и 1 - 1
9-+4у; э--
2+б1;
3 ‘ и4 ’ 4
п+4+4’
“ 4+4+4’
7.
8.
Г.
3—4-1—.
3 ’ 6 ' 4
ь 1^4-4-.
2 9 12
^Ь8|4-б^.
|+24+4-
— 53 -
§§ 56— 57.
Приведите к неправильной дроби следующие смешанные числа:
11. з| ; 6-3 ; 5 '. ; 14 7 ; 143-’ ; 37 А .
о о О о О
2 3 3 3 1 1
12 6 ; 5 ; 7- ; 22-.; 277-; 30, .
9 8 7 о 3 4
13. 8 1 ; 9 3 ; 8 f ; 10 7 ; 100 3 ; 202- .
5 4 6 9 4 7
§ 57. Задачи.
1. Миша выростил в огороде дыню: ее он дал своей маме, брату и ' сестре. Какую часть дыни он роздал?
2. Из кооператива дети принесли в детский дом коло-5 3
тый сахар. Один мальчик принес а кг, другой кг и тре-о о
з
тип кг. Сколько сахару принесено в детский дом?
3. Рожь насыпана в три мешка: в одном цнтн.
3 2 „
в другом цнтн. и в третьем цнтн. Сколько центнеров ржи в трех метках?
4. В 3 дня намолочено 5 ' цнтн., 43 цнтн. и 6,' цнтн. Z т О
пшеницы. Сколько пшеницы намолочено в эти 3 дняэ
5. Из запасов ячменя сельский хозяин продал сначала 2 3 1.7-
5 , затем 20 и наконец t часть. Какую часть запаса он продал?
6. Поденщик работал в экономии бу, 4^, 53 и 3 3 дней. Сколько всего дней он работал за это время?
7. Для детей детского дома куплено 3^ куска сукна и 8-^ кусков материи. Сколько всего кусков куплено для детей детского дома?
8. Огород разбит прямоугольником; в длину он имеет 573 м, а в ширину 26м. Какова будет длина забора, если им обнести весь огород?
§ 57.
— 59 —
9. Во время урока ученик решил 4 задачи. На первую 5 1 1
он затратил р2 урока, на вторую 4 на третью и на четвертую . Осталось ли еще свободное время?
10. Студенты рабочего факультета по возрастам распределяются так; до 20 л. * часть; от 20 до 25 л.— 2 от 25 до 30 л.—i Узнайте, есть ли студенты старше 30 лет.
Примечание. В задачах, подобных № 9, сумма всех дробей должна быть меньше 1, иначе на остаток ничего не придется. Если же
об остатке не упоминается, то сумма дробей должна быть равна 1. В старинны' книгах приводится следующий занимательный рассказ-задача. 11екий араб завещал своим 3 сыновьям стадо в 17 в рбл одов
1
2
1
3
следующим образом: старшему
второму
1
и третьему стада.
После смерти отца сыновья стали делить верблюдов, но разделить их никак не могли; число 17 не делится нн на 2, ни на 3 и ни на 9. Тогда они пошли к другу покойного отца, который выслушал их и сказал: я любил вашего отца; хороший он был человек; в память о нем примите от меня одного ве[ блюда и разделите все стадо согласно воле отца. Сыновья взяли верблюда и, разделив стадо, получили следующее число верблюдов:
Старшин 1 сын 2 от 18 получил 9 верблюдов.
Второй 1 " 3 » 18 6
Третий 1 ” 9 „ 18 2 W
Итого . 17 вепблюдов.
К их удивлению лишним оказался 1 верблюд, который и был возвращен другу их покойного отца.
Сумма дробей
опа меньше 1. Если бы отец оставил сыновьям 18 вербтодов. то после их дележа 1 верблюд оказался бы лишним.
Если в завещании ие упоминается об остатке, то сумма всех частей должна равняться 1. Завещание составлено неправильно.
- - 60 —
§§ 58—59.
§ 58. Вычитание дробей.
1 Чему равна разность ’— | ?
Произведите вычитание следующих дробей:
о _3 £__L. 1 1 з__1
” 4 Т’ 8—7’ 2 ~~ 5Г’ ~1~ 5
3 3 _ A- ,4_5
’ 4 8’ 3~ б"’ 12 2’ 15 6
4 !5._5- 1?_±. И_ 3 • 7 1
16 7’ 17 7’ 19~8“’ 7 9
2 3
5. Чему равна разность 9j — 3—?
Найдите разность:
6.
7.
А2 Т1
о— — 3- ;
3 2
Ч - 4
8|-51;
4-4;
4-4 4
9 ‘
§ 59. Задачи.
8. От полосы земли шириною в 42~2 .и отрезана полоса з
шириною в 18 м. Чему равняется ширина оставшейся 4
ПОЛОСЫ?
2 1
9. Из 61 - гкт. ярового клина совхоза 32-~ гкт. засеяны ячменем; остальная часть засеяна овсом. Как велика площадь земли под овсом?
10. В одно1', мешке 35— кг соли, а в другом О
з
17 кг. На сколько в первом мешке больше соли, чем 4
во втором?
11. Цибик чая весит 15 ^ кг, а один цибик без чая
1- кг. Какой чистый ве^ чая?
4
12. Служащий на железной дороге истратил - своего
1 1
жалованья на квартиру, — на одежду и — на разные рас-6 12
ходы. Какая часть жалованья у него осталась?
§§ 59—60.
- 61 —
13. Сумма двух чисел равна 12 одно из слагав-
КО
v ых равно 8-д. Чему равняется другое слагаемое? О
14. От куска материи в 120 м отрезано при пер-„3 .. -1
вой продаже 4— .и, при второй i- .и, а при третьей 4 8
12у м. Сколько .метров осталось в куске?
15. Сколько следует прибавить к 467^, чтобы получить 1000?
16. Какая разница между 1 420-4 квинт, и 1512— 2 4
КВИНТ-?
17. Длина огорода 6&4 м, а ширина Збу м. Какая разница между длиною огорода и его шириною?
18. Узнайте, какая часть урока осталась свободной
V ученика в задаче № 9, § 57.
19. Узнайте, какая часть студентов рабфака имеет зозраст выше 30 лет (см. задачу № 10, § 57).
§ 60 Умножение дроби на целое число.
1. Умножьте у на 4.
з
2. Умножьте „ X 4.
О
3. Чему равны произведения:
уХ4; 4 <6; 7 Х8; д X 3; gX5; w X 5.
4. Вычислите произведения:
7 8 17 3
12Х3’ is'*'5, Т^4, эдХ8, YqX7,
32 „75 „ 41 52 „ 32
47 ’ 100Х “°’90? ’ 102 Х ’ 100
7
12
хз.
5. |Х25;|х36;уХ 18;|х14;|х56;
4 X ЮО; 4 X 75; 4 X 30; 4 X 20; 4 > 32. ZU О О Э о
— 62 —
в. ^хгЗ^ХЗЗ^ХР; 9;
ах25чй 2120°; г«' это-
7. з’ 16; 7* X 18; 11’хЗО; 17 ’ V 13, 4 2 3 12
1Цх17, З1’х27; 45^X15; 41^*25.
- = 222--. 12 12
8. 35 ’ X 12-; 47-|х48.’; 73'-Х2*!; 121’ X 13 |-» 2 12 3 4 5 13 3
§ 61. Задачи.
1. Какой будет месячный приход молока от коровы при среднем суточном удое в 8^ литр.? (Месяц считается в 30 дней.)
2. В интернате на обед отпускается ежедневно - кг О мяса на человека. Сколько мяса потребуется на 7 человек на 11 дней?
3. С 1 гектара собрано 612^ кг ржи. Сколько ржи было бы собрано при таком же урожае с 14 гект.?
♦
4 На заводе требуются ремни для привода в дви-__з
жение колес; на каждое колесо идет 2э ,и, а всех 4
колес 4. Сколько метроь ремней придется купить?
з
5 На хуторе продано 25 кг сливочного масла по
1 ’ р. за {кг м. ц.) Сколько получено за масло?
• 1
6. Из 100 литров цельного молока получается 3- кг сливочного масла. Сколько сливочного масла получится из 300 лигров?
7. Если на украшение школы к празднику 1-го Мая
32 учащихся посвятили одновременно 3- ч., то сколько рабочих часов пошло на украшение школы?
§§ 61—63.
— 63 —
8. 48 рабочих отработали 2 часа сверхурочно на подарок книг подшефной волости. Скажите, какую часть дня они проработали, и сколько рабочих дней стоил весь подарок?
9. На собрании присутствовало 560 человек. Собрание началось с опозданием на часа. Сколько рабочих часов пропало зря у всех собравшихся?
§ 62. Деление дроби на целое число.
1. Разделите 9 на 2.
7
2. Разделите - на 3.
Разделите следующие дроби на целые числа:
3. 5 „ 7 . 16 25 _ 8
8 ’ 2’ 12 : °’ 19 : 4 ’ 100 * 13 ; 4-
16 31 ' 4-^: 10; 7 ’ 41 ’ 8 _ 3 °’ 4 :3Ч: 25;
4. 4 2 2. 4з:3; 7 ,ч фз.
Ч 3; 1273 : 3; О :5; 4 = 4.
Г ч : 3 (4 : 3)4-
5- 4:5; 4о:2: 8.4з^,,3г5-
§ 63. Задачи.
1. 7* муки должны быть разложены поровну в 3 мешочка. Сколько муки придется насыпать в каждый мешок?
2. На 3 равных палка отпущено 2- кг мяса. Сколько мяса приходится на 1 паек?
3. б '- стеров дров следует свезти на 4 возах поровну. Сколько дров придется положить на каждый воз?
— 64 —
§ 63.
4. На семи одинаковых станках ткацкой фабрики в з
день соткано 141 - м полотна. Сколько м полотна сот-4
кано на каждом станке?
5. Пол комнаты содержит 56- кв. м. Длина пола равна 9 м; какой ширины пол этой комнаты?
(5. В течение 1 рабочей недели получается 40-^ кг масла из семян подсолнечника. Сколько масла добывается ежедневно, если ежедневно его добывается равное количество?
7 Земельная дача в 77у гкт. должна быть разделена поровну на 5 хуторских участков. Сколько гкт. придется на каждый участок?
2
8. 21^ мешка суперфосфата должны быть поровну рассыпаны для удобрения 5 гект. поля, приготовленного под овес. Сколько придется суперфосфата на каждый гектар?
9. На фундамент одной стены городского дома длиною в 11 м пошло 41 * куб. м дикого камня. Сколько дикого камня пошло на 1 -м стены?
з
10. В городской интернат доставлено 36-4 кг масла для приготовления пищи в течение одной недели. Масло должно быть разделено на все дни недели поровну. Сколько масла приходится на 1 день?
з
15. Трое крестьян купили у кг семян огурцов и раз делили поровну между собою. Сколько семян пришлосо получить каждому?
12. На собрании в прениях выступало 7 человек,
а сами прения продолжались 1— часа. Какую часть часа
6 .занимал, в среднем, каждый оппонент?
13. Крестьяне привезли в свою школу 33-^ стеров дров. Пятеро учеников уложили эти дрова на место. Сколько стеров уложил каждый ученик?
14. С электрической станции прислали счет за апрель
2
месяц, на сумму 2- рубля. На какую часть рубля, в среднем, сгорело в квартире в 1 день?
§§ 63—65.
— 65 —
15. Классная комната содержит 238у»ггкуб. м воздуха, а занимается в ней 36 учащихся. Сколько воздуха приходится на каждого учащегося?
16. На станцию жел. дор. пришел груз для школы, весом в 672 кг, содержащий книги. Два класса в составе 64 чел. дружно взялись за перенос книг в школу. Сколько килограммов пришлось нести каждому и тяжело ли это?
§ 64. Умножение на дробь.
1. Умножьте 3 ка —.
О
„ 2 4
2. Умножьте --- на —.
3 5
3 Поясните умножение дроби на дробь графическим г 4 2
способом, например, — на —.
О о
Упражнения:
6- 5 X 7 X 4; 12 X {; 15 X у; 14 х 1.
10x4; 12хН; 1024x1; 74* 4; 86 х 4-9 13 345
r 1 ч 3 2 1 3 2 4. , 22 8 7
"4 А 4’ 5 Х7’’ 10Х'9’ 7’4 * 31’ ¥Х ТГ
з А - А- 7' А- 3 1 • 3 2
TX’5,9z'2,lbX7’’ 8 4 4 ’ 7" Х"з"’
3 4x7 4x7
4x4-7 З^хг!; 421x32.;.
§ 65. Задачи.
„ 1
1. Пол комнаты имеет в длину 62 а в ширину
4 1 м. Сколько стоит накат пола, если за квадратный 4
метр уплачивается (м. ц.) 1у р. ?
3 1
2. Ржи посеяно 127— кг\ она родилась сам 9у. Сколько собрано ржи?
З&лачннк по нал. математике ч П.
5
— 66 —
§§ 65—56.
3. Килограмм некоторого товара стоит 16-- р. Сколько <-,1 стоят 13у кг?
1 3
4. Огород имеет в длину 47у м, а в ширину 32— м. Сколько кв. м земли в огороде?
2
5. —учащихся школы состоит в комсомоле (РЛКСМ). О
,, 9
па закрытое собрание коллектива явилось — всех комсомольцев. Какая часть учащихся присутствовала на собрании?
6. На рабфаке — студентов состоят членами Рос-2 сийской Коммунистической Партии (РКП); из них--комсомольцев. Какая Часть всех студентов в рабфаке состоит в РКСМ?
§ 6Ь. Деление на дробь.
1. Разделите 1 лист бумаги на четвертушки. Сколько раз - листа заключается в 1 листе? Чему равняется 1 ?
2. Разделите 1 кг на восьмушку кг Сколько раз кг О
заключается в 1 кг? Чему равняется 1 : —?
О
8. 21 кг муки должны быть разделены на пайки по у кг. Сколько выйдет пайков?
3'1
4. Сколько стоит 1 кг некоторого товара, если у кг его стоят (м. ц.) 6 р.?
5. Не замечаете ли вы, что надо делать, чтобы разделить некоторое число на дробь?
6. Симентальская корова дает в среднем 8у литр. молока ежедневно. Во сколько удойных дней она даст при том же удое 2458 у литр, молока?
7. 6 кг сахару должны быть разделены между детьми 3
поровну по у кг каждому. На сколько детей хвадит
6 кг?
§3 66-67.
— 67 —
8. На детском празднике орехи должны быть разве-
3
шены в маленькие мешочки по кг. Сколько мешочков
получится из 9 кг?
1
9. Пахотное поле в 22у гект., находящееся в пользо-_ з
вании совхоза, должно сыть разбито на клинья по Зу гект. каждый. На сколько клиньев можно разбить 22у гект?
10. К годовщине Великой Октябрьской Революции учащиеся сшили флаги для украшения школы. На каждый флаг з
пошло у м материи. Сколько флагов вышло из 9 метров?
li. В одном районе Ленинграда весною 1924 г. при-, 7
нято в школы 3.500 детей, что составляет всего числа детей, принятых в это время в школы Ленинграда. Сколько детей принято по всему городу в школы?
12. Рабочий факультет Ленинградского Технологического Института окончило весною 1924 г. 192 рабочих, 4
что составляет у всего числа окончивших рабфак в этом году. Как велик был весь выпуск на рабфаке Ленинградского Технологического Института весною 1924 г.?
Разделите следующие числа на дроби:
13. 15 : 2 3 25 20 . 7 31 :У: : 31: 100 : —; 17 : 17 18
14. 1 V г- |0О со Г" 1 со о - 00 |г-сч ” I1' со
15. 31 : 5 2 11 13’ у; 76 : у; 15^ : 2~; 142у : у
16. 18 : о 7 9 14 21 : у; 81 : - 85у : у
§ 67. Упражнения и различные задгчи на дроби.
Произведите указанные действия над следующими дробями:
2 3 3.5 2 3 5.2
Г 3“ 7’ 8 ‘ Т’ У ‘ 7’ 9 “"Т
° 2 5 ' !?• 7—4-1-^-- 54 I 15 - 2у -j- ly. 75 + 13, 59 -|-1R
5*
— 68
§ 67.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
5 _ 2 8
Т~3’ 9
4 - 4
3 2
5 4 9_
~8 > 35' 14
6Х 12-|;
’:Д; 1:14;
19 18 8
12 : Л
8 4
6
4~’+:
JI
9
* г
>х
5 6 3
V’ 7 8'
4“ 4-
2 с
10 5y2i 21’ 7 Х 35’ 4x4
1= * = 4
44 4 = 4
3 л
_ 3
(4+2)х(4+4); (4+4) = (4+|). з
9. Если 15 составляют-^- некоторого числа, то чему
равна у того же числа? Чему равно все число?
19. Если 15 составляют у некоторого числа, то чему равно самое число?
7
11. Урожай овса засыпан в 374 мешка по у цнтн. в каждом. Как велик урожай овса?
12 Два соседа купили вместе 123 кг семенного льна; з
один взял 57у кг. Сколько льняного семени получил другой?
13. В земельном участке 65угект. На приведение каждого гектара в культурное состояние затрачено 253 р. Сколько затрачено на весь участок?
14. Что стоит 1 кг некоторого вещества, если за
7 „ .
— к? его заплачено 7 р.г О
3
1». На обсеменение бу гект. требуется 864 кг ржи. Сколько требуется на 1 гект.?
16. Сколько масла можно получить от одной коровы, дающей в среднем в течение 310 дней по 11 у кг молока, если из 28 кг получается 1 кг масла?
17. На овсяное поле рассыпается по 50 кг чилийской селитры на у гект. Сколько надо рассыпать ее на 2 у гект.?
— 69 —
§ 67.
18. В четырех полях сельско-хозяйственной коммуны 3 7 11
засаживаются картофелем клинья в Зу, 2у. 4у и 5у гект. Сколько требуется семенного картофеля на все поля, если на 1 гект. его требуется 1228 кг?
„ 7
19. Убойный вес свиньи составляет у ее живого веса. Что можно заплатить за свинью в 148 кг живого веса, если по местным ценам 1 кг мяса стоит....?
20. В хуторском хозяйстве имеется 473 кг свса. На 2
прокорм телят ежедневно отпускается 3-у кг овса. На сколько дней хватит запас овса?
21. Откормленный вол весит 675 кг. Убойный вес ра-3
вен у- живого веса. Сколько можно заплатить за вола, если по местным ценам 1 кг мяса стоит....?
22. Пробные удои коровы дали следующее количество 111113
молока: 14, 15^. 16т. 15;> 15;-. 15;-> 14-г и 15 ли-’ 2 3 4 ’ 3' 3 4
тров молока. Определить: а) средний суточный удой и б) сколько литров молока можно ожидать от коровы при том же среднем удое в 298 удойных дней.
3
23. С 17угект. собрано 28 400 кг ржи и 56800кг соломы. Как велик урожай с 1 гект.?
24. Рабфак Электротехнического Института им. Ленина весною 1924 г. окончило 9 ч. крестьян, что составляет у- часть всего выпуска. Как велик весь выпуск и сколько рабочих в этом выпуске?
25. Урожай картофеля был израсходован следующим , 3 1
образом: у продано на крахмальный завод, сохранено 1
для посева в следующем году; изведена в домашнем хозяйстве и остаток в 4480 кг употреблен на корм скоту. Как велик был урожай картофеля?
26. По отчету Губкома (Губернского Комитета) РЛКСМ на X Губернском Съезде (Ленинград, июнь 1924 г.) Союз 4
объединяет 56 000 человек, из которых — составляет юно-шество и у — подростки. Укажите, сколько в Ленинграде комсомольцев-подростков.
— 70 —
§ 67.
27. Сколько стоит 1 килограмм ячменя, если 4 у кг его по местным ценам стоит . . . . ?
28. Картофельное поле удобрено 92у кг калийною 1
солью по местной цене.........за кг и 68у кг сернокислым аммонием по местной цене.........за кг. Как ве-
лик расход на удобрение?
29. Окружность круга в Зу раз больше его диаметра. Как велик диаметр, если длина всей окружности равна 27у jw?
4
30. Извозчик имеет запас овса в 163у кг на 63 дня. Какой может быть ежедневный расход овса?
31. Корова дает в среднем в год 2929 кг молока. Сколько получится масла, если оно составляет по весу часть молока, и если в стаде 12 коров?
з
32. В интернате из бу кг масла -на каждого воспи-1
танника пришлось у кг. Сколько в интернате воспитанников?
33. Куплено 2у литров керосина. Сколько раз можно заправить лампу этим керосином, если в лампу вливается у литр, керосина?
34. В большой сельской школе на всех учителей, учи-3 тельниц и служащих ежемесячно выплачивается 219у р. Сколько всех служащих в школе, если каждый из них по-з лучает 18у р.?
35. Двое пешеходов вышли из одного и того же места по двум противоположным направлениям; один проходил по 15у км, а другой по 17у км в день. На каком расстоянии друг(от друга они будут в конце второго дня?
§ 68.
— 71 —
Десятичные дроби.
*
§ 68. Определения.
Разделите квадрат на 10 равных длинных полос; каждую из этих полос на 10 малых квадратов; каждый малый квадрат на 10 равных коротких полос и наконец каждую короткую полосу на 10 крошечных квадратиков, как показано на рисунке, и скажите:
Рис. 13.
1. Сколько получилось длинных поле с? Сколько малых квадратов? Сколько коротких полос? Сколько крошечных квадратиков?
2. Какую часть большого квадрата составляет одна длинная полоса? Один малый квадрат? Одна короткая полоса? Один крошечный квадратик?
— 72 —
§§ 68—69.
3. Какую часть длинной полосы составляет малый квадрат? Одна короткая полоса? Один квадратик?
4. Какую часть малого квадрата составляет одна короткая полоса? Один крошечный квадратик? И так далее.
5. Как называется последовательное деление некоторой величины на 10, 100, 1000 и т. д. равных частей?
6. Какие дроби называются десятичными?
7. Можно ли разложить десятичную дробь на несколько обыкновенных дробей, знаменатели которых последовательно равны 10, 100, 1000 и т. д. Разложите, на-563
пример юдо на 3 составляющие дроби.
8. Прочитайте дробь — в виде ряда дробей, знаменатели которых суть 10, 100, 1000.
Л „ 5630
9. Прочитайте дробь в виде ряда дробей, знаменатели которых суть 10, 100, 1000 и 10000.
10. Как называются разряды десятичных дробей?
§ 69. Обозначение и нумерация десятичных дробей.
1. Как обозначаются и как пишутся десятичные дроби?
2. Напишите 3 сотых в виде десятичной дроби.
5 7 3
3. Напишите дроби 4- одною десятичною
дробью.
4. Напишите дроби + WW + Гоооо одною деся' тичною дробью.
5. Чему равен знаменатель десятичной дроби 0,4857?
Примечание. Знаменатель дроби = 0,4857 равен десяти
lUvUU
тысячам, а не десятитысячным.
6. Чему равен знаменатель десятичных дробей 0,17; 0,05; 0,386?
7. Чему равен знаменатель десятичных дробей 0,5025: 0,0006 ; 0,95432?
8. Чему равен знаменатель десятичных дробей 0,5; 0,50; 0,500 и 0,5090?
9. Которая из двух дробей больше: 0,5 или 0,50?
10. Прочтите десятичную дробь 0,06; сначала прочтите числитель, затем знаменатель, а затем всю дробь.
11. Прочтите следующие дроби: 0,37; 0,004; 0,268; 0,9148; 0,1276 ; 0,00007; 0,0427; 0,026078.
§§ 69-71.
— 73 —
12. Как вы пишете смешанное десятичное число?
43. Напишите десятичными дробями: 3 десятых; 3 сотых; 3 тысячных; 3 десятитысячных; 737 десятитысячных; 92 сотых; 92 тысячных; 654 миллионных; 3027 десятитысячных; 9 сотых; 8 тысячных; 1 десятую; 7 десятитысячных; 5 миллионных; 25 тысячных; 68 сотых; 1 тысячную; 375 тысячных.
14. Напишите следующие смешанные десятичные числа:
Триста два и семьдесят пять сотых.
Семьсот восемнадцать и четыре тысячных.
Девять тысяч двести тринадцать и две сотых.
Восемьсот тридцать шесть тысяч двадцать четыре и пять десятитысячных.
Двадцать пять тысяч двадцать пять и двадцать пять стотысячных.
Двести и семь десятитысячных.
15. Накладные расходы на фабриках и заводах Ленинграда за последний (1924) год уменьшились, пегому что число служащих, приходящихся на каждые сто рабочих, упало с шестнадцати и восьми десятых до четырнадцати и девяти десятых Запишите последние числа цифрами.
§ 70. Сложение десятичных дробей.
1. Сложите следующие десятичные дроби: 0,32 ф--4-0,7865 0,5408 и объясните, как вы сложите их.
Сложите следующие десятичные смешанные числа:
2. 625,81
8,828
102,75
0,4207
800,43
3. 9707,008
0,263 1120,47 2480,452
10,0005
4. 276,0001
34,27
0,423
1276,56
30,01
§71. Задачи.
Рубль делится на 100 частей, называемых копейками; копейка есть 1 сотая часть рубля и может быть написана двояким образом: или 1 коп., или же 0,01 р. В последнем случае она изобрахсается десятичною дробью.
Примечание. В следующих задачах цены предметов примерные, или же вовсе не обозначены. Когда нет цен, следует выставлять местные цены. Копейки изображаются копейками, или сотыми долями рубля.
— 74 —
§§ 71-72.
5. За яблоню заплачено 3,65 р.; за приготовление посадочной ямы 0,75 р.; за кол для привязки яблони 30 к. и за ее посадку 25 к. Во что обошлась посаженная яблоня?
6. Со хоз продал двух коров и быка: одна корова весила 200,7 кг, другая 213,5 кг, а бык 252,3 кг. Сколько живого веса было во всех трех животных?
7. Совхоз состоит из следующих угодий: усадебной земли и под дорогами 12,75 гект.; под пашней 243,765 гект.; под лугами 58,34 гект.; под выгоном 30,056 гект.; под лесом 45,3 гект.; под рекою 2,059 гект. Сколько гект. во всем имении?
8. В различных участках сельско-хозяйственной коммуны засеяно: озимой ржи 12,56; 38,48; 7,52; 18,4; 20,02 и 32,49 центнеров. Сколько ржи всего посеяно?
9. Управление совхозом продало ржи на 127,58 р.; ячменя на 540,07 р.; картофеля на 326,25 р.; сена на 185,50 р. и соломы на 56,40 р. На сколько рублей всего продано?
10. Вагон томас-шлака в 160 центн. стоит (м. ц.)
Провоз до станции назначения . . . 21,48 р.
Станционные расходы.............. 3,32 „
Доставка со станции до хутора . . (м. ц.)
Во что обошлось все удобрение?
11. Комсомол Ленинградской губернии состоит на 0,66 из рабочих, на 0,2 из крестьян, на 0,12 из служащих и на 0,02 из интеллигенции. Что должно получиться от сложения этих дробей и получается ли?
§ 72. Вычитание десятичных дробей.
1. Вычтите сначала 8,72 из 31,42, а затем 8,725 из 31,42 и объясните, как вы это сделаете.
Найдите разности следующих дробей и смешанных десятичных чисел:
2. 1,75 — 0.43; 0,872 — 0,2; 3,28 — 1,73; 78,5 — 13,205; 919,304 — 15,2; 37,25 — 0,473.
3. 8 260,002 — 4 323,005; 14,3 — 2,7629: 215 — 0,73.
4. 47,02 — 16,23; 1 002,003 — 287,55; 329,5 — 148,3477.
§§ 73—74.
— 75 —
§ 73. Задачи.
5. Из 15 квинталов ячменя продано 5,25 квинт. Сколько осталосп ячменя?
6. Из 28,5 гект. поля 5,7 гект. взято под корнеплоды; 2,8 гект. под клевер 1-го года; 2,8 гект. под клевер 2-го года и 5,5 гект. под озимь; остальная часть определена под яровые хлеба. Сколько гектаров под яровыми хлебами в этом поле?
7. С одного гектара Ивановской ржи скосили осенью на корм 51,26 цнтн- зеленной массы, а на следующий год собрали 19,75 цнтн. зерна и 42,86 цнтн. сухой соломы; за год же перед тем с такой же площади было скошено на корм 54,75 цнтн. зеленой массы, собрано зерна 23,75 цнтн. и сухой соломы 48,5 цнтн. Какая разница между этими двумя урожаями?
8. Из 48,5 цнтн. томас-шлака рассеяно по яровому полю 32,75 цнтн. и в огород отдано 6,25 цнтн. Сколько осталось томас-шлака?
9. Для городской школы куплено дров на 2376,20 р.; из них уплачено 1936 р. 20 к. Сколько осталось уплатить?
:0. По ценам московской товарной биржи на 19-VI 1924 г. центнер муки полукрупки стоит 25,50 р„ а центнер гречневой крупы 10,75 р. На сколько мука полукрупка дороже гречневой крупы?
11. Там же указано, что 10 кг гвоздей стоит 3,90 р., а 10 кг кровельного железа 3.35 р. Сравните эти цены.
§ 74. Умножение десятичных дробей.
1. Умножьте 0,76 на 0,6 и объясните, как вы это делаете.
Перемножьте следующие десятичные дроби и смешанные числа:
2. 2,84X0,5; 2,84X0,5; 28,4X0,5; 0,284X0,05; 2,84 X X 0,05; 284 X 0,005; 2,84 X 5; 2,84 X 0,005.
3.0,538X0,75; 102.3X3,003; 12,86X0,4623; 92,675 X X 0,0025.
4. 34,28X 1.2845; 827,6 X 24,48 ; 0,4258X0,321; 0.0003Х X 0,0027.
— 76 -
§§ 75 76.
§ 75. Задачи.
3. Лошадь получает ежедневно 3,25 кг овса. Как велик должен быть запас для 2 лошадей на 20 дней?
6. Сколько требуется ржаной соломы на подстилку 3 коровам на 100 дней, если на 1 корову ежедневн ) по лагается 4,5 кг?
7. На 1 гект. высевается 14,75 кг ржи. Сколько ржи требуется на 15,67 гект.?
8 Сколько следует заплатить за улучшение 13,75 гкт. земли, если улучшение 1 гектара обошлось в 76,85 р.?
S. Окружность круга в 3,14 раза больше его диаметра. Чему равняется окружность круга, если его диаметр равен 4,86 м? (Ответ должен быть дан до сотых долей метра.)
' 10. В городском саду вокруг круглого бассейна с фонтаном сделана дорожка, шириною в 2,5 л», а радиус бассейна равен 4,7 м. Чему равна длина стенки бассейна и длина наружного края дорожки? (См. задачу № 9 и ответ дайте до десятых долей метра.)
11. При выплате жалованья служащим высших учебных заведений объявлено, что ставка 1-го разряда составляет 7,25 р. в месяц. Сколько получит служащий 13-го разряда, имеющий коэффициент 3,7 (при сетке 1 : 5)?
12. Сколько получит служащий 12-го разряда, имеющий коэффициент 5,6 при сетке 1 :8, если на 1-й разряд выходит 9,65 р ?
§ 76. Деление десятичных дробей.
1. Разделите смешанное десятичное число на целое число: 195,51 : 57.
2. Разделите 195,83 на 57.
3. Разделите смешанное число на десятичную дробь: 27,345 : 0,63.
4. Разделите десятичную дробь на десятичную же дробь: 0,7688 : 0,244.
5. Разделите десятичную дробь на смешанное десятичное число: 0,363 : 27,56.
Найдите частное от деления следующих десятичных чисел:
6. 225,72 : 9; 225,72 : 0,9; 225,72 : 0,09; 225,72 : 0,009.
7. 56,889: 27,09; 38,8864 : 3,472; 25,60965 : 46,563;
0,3668 : 0,524.
3.445,13:7; 60,573:3; 36,552:12; 1310,19:0,17.
9. 509,524:1,27; 0,4825:0,5; 0,02742:0,03; 2,4563:24,563.
§§ 76 -78. — 77 —
Найдите частное с приближением до одной сотой (до второго десятичного знака).
10. 12: 17; 75,1241 : 24,02; 302,4501 : 0.52; 0,0302:0,12.
§ 77. Задачи.
1. Сколько мешков ржи по 0,75 цнтн. каждый можно насыпать из закрома, заключающего 54 цнтн. ее?
2. Сколько участков земли по 200,25 кв. м можно выделить из 32040 кв. м ?
3. Сельский хозяин отпускает ежедневно на содержание двух лошадей по 2,7 кг овса на каждую лошадь; на сколько дней хватит 594 кг овса?
4. За выкорчевку 0,8 гект. заплачено 1100 р. Во сколько обойдется корчевка 1 гект.?
5. За штукатурку комнаты, стены и потолок которой содержат 115,2 кв. м, заплачено... (местные цены). Что стоит штукатурка 1 кв. м?
6. Уборщица школы получала за месяц 24,05 р., имея 8-й разряд с коэффициентом 2,6. Какова была ставка на первый разряд?
7. К X губернскому съезду РЛКСМ (VI 1924 г.) во всесоюзном масштабе на каждую волость в среднем приходилось 15 комсомольцев, что составляет 0,03 всего количества деревенской молодежи. Сколько молодежи считается на волость?
§ 78. Смешанные задачи на все четыре действия над десятичными дробями.
1. Площадь класса содержит 48,048 кв. м при длине в 8,4 м. Найдите ширину класса.
2. Измерьте длину, ширину и высоту вашего класса в метрах и найдите площадь пола и кубатуру класса. Измерения произведите с точностью до первого десятичного знака.
3. Центральный Комитет Российской Коммунистической Партии (ЦК РКП) состоит нз 54 человек, из которых 29 рабочих и 25 интеллигентов. Определите состав Ц.К. в сотых долях.
4. Узнайте, какая площадь пола и сколько воздуха приходится на каждого ученика вашего класса, по данным задачи № 2.
5. На столике равномерно разложены тяжелые вещи, общим весом в 62,12 кг. Какое давление испытывает каждая из четырех ножек?
— 78 —
§ 78.
6. На 2 лошади конбазы отпускается ежедневно 6,2 кг овса. Сколько требуется для 1 лошади на 1 неделю?
7. Собрано пшеницы: с 1-го поля 47,5 цнтн., со 2-го 58,75 цнтн., с 3-го 80,5 цнтн. Сколько всего собрано?
8. По сведениям ЦК МОПР'а (Международная Организация помощи борцам революции) на 1 мая 1924 г. в тюрьмах буржуазных стран томилось около 100000 политических заключенных; из них на Германию приходилось 0,07, на Италию 0,05 и на Польшу с Финляндией 0,052. Сколько заключенных приходилось на каждую из указанных стран?
9. С 0,7 гкт. собирается 16,6 цнтн. сена и отавы. Сколько будет собрано при том же урожае с 1,2 гкт.?
10. Ежедневно пахарь вспахивает 0,35 гект. Во сколько дней он может вспахать 5,25 гект.?
11. Из 1 литра цельного молока отделяется сепаратором 0,2 литра сливок. Сколько сливок получится из 25,5 литров цельного молока?
12. Крестьянин пользовался 20,76 гкт. земли, впоследствии по разверстке ему присоединили 0,66 гкт., 1,04 гкт. и 0,25 гкт. Затем пришлось произвести отчуждение под дороги и общественные нужды 2,06 и 0,10 гкт. Спрашивается :
а) Сколько гектаров осталось в его пользовании ? б) Сколько досталось в пользование каждому из его трех сыновей после его смерти, если они разделили землю поровну?
13. Опытная делянка составляет^ гектара (10000 кв. метр.). Чему соответствует сбор ржи с одного гектара, если с опытной делянки собрано 25,5 кг?
14. На полную обработку 1 гект. пашни требуется в среднем 30 мужских рабочих дней, 10 женских и 19 конных дней. Что стоит обработка 1,85 гект. пашни по местным поденным ценам?
15. В губернском страховом учреждении было 5781 пожарный случай, за что было уплачено в возмещение пожарных убытков 9671613 р. Какова средняя стоимость одного пожарного случая?
16. Из совхоза доставляется на советский сахарный завод 2460 цнтн. свеклы; из этого числа 0,07 часть скидывается на грязь. Спрашивается: а) Сколько цнтн. чистой свеклы получит завод? б) Сколько придется заплатить за 1 цнтн. чистой свеклы, если за 100 цнтн. уплачивается (вставьте местные цены)?
§ 78.
— 79 —
17. При глубине вспашки земли в 15 см на одной лошади можно вспахать в 5,5 дней 2,2 гект Спрашивается, сколько вспахивается ежедневно?
18. За время с 1 января по 1 мая 1924 г. ЦК МОПР'а послал в Германию 114538 долларов и в Италию 17000 долларов. Определите, сколько пришлось в среднем на каждого заключенного? (См. данные задачи 8 этого же параграфа.)
19. Сколько весит рожь, взвешиваемая на десятичных весах, если они показывают на чашке разновесок: 1,5 10,25 кг? 5,75 кг? 25,6 кг?
20. Сколько следует поместить на чашку десятичны ; весов, чтобы отвесить 575 кг? и 325 кг?
21. Какой живой вес трех черкасских волов, если на чашку десятичных весов поставлено: 1) 1,05 цнтн.? 2) 1,07 цнтн.? и 3) 1,06 цнтн.?
22. Расходы сельского общества, состоящего из 253 дворов, достигают 2675,85 р. в год; постоянные же доходы 1892,07 р. Какое должно быть обложение 1 двора, если к концу года в кассе общества должен быть остаток в 1535 р.?
23. По сведениям, помещенным на стр. 11 книги „Производственный сельско-хозяйственный план по Северо-Западной области на 1924 год* (Ленинград, 1924), посевная площадь в Северо-Западной области (губернии: Ленинградская, Новгородская, Псковская, Череповецкая и Карел-республика) подвергалась следующим изменениям за годы ’920—1923 по сравнению с 1916 годом:
Засеяно тысяч гектаров
ГОДЫ: озимых хлебов. яровых хлебов.
1916 681,5 676,8
1920 556,1 398,8
1921 565,3 503,8
1922 643,0 506,0
1923 673,9 621,1
Примите число тысяч гектаров озимых и яровых посевов в 1916 г. за единицу и вычислите до сотых долей единицы посевную площадь этих хлебов в четырех революционных годах.
24. Из 65 гект. земли совхоза выделено: под жилой дом и постройки 0,08 гект.; под плодовый сад 2,77 гект.; под огород 0,25 гект.; остальная земля назначена под поля и луга. Какую площадь занимают поля и луга и какую часть всего участка они составляют?
— 80 —
§§ 78—79
25. Из 48 кг чилийской селитры крестьянин уступил 13,75 кг соседу; 10,25 кг сохранил для огорода; оставшуюся же селитру рассыпал для удобрения огорода. Сколько рассыпано им на огороде?
26. Из 26,5 кг цельного молока получается 1 кг сливочного масла; сколько получится масла из 1664 кг молока?
27. Сельско-хозяйственный союз купил вагон каинита в 100 квинталов и отпустил одному сельскому обществу 0,25 купленного каинита, а другому 0,11 его. Сколько квинталов каинита всего отпущено и сколько осталось?
28. При постройке дома расходы выразились следующими суммами:
Земляные работы и фундамент .... 1731,27 р.
Каменные и печные работы...... 1009,43 „
Плотничные работы............. 1547,14 „
Крыша и чердаки................ 402,75 „
Малярные работы................413,42 „
Штукатурные работы............. 629,57 „
Слесарные работы.............. • 200,50 „
Стекольные работы.............. 303,65 „
Водопроводные работы........... 91,70 „
Железные балки, бетонные работы и известь.................... 3391,85 „
Прокладка проводов для электрического освещения.............. 1178,30 »
Бревна, доски и гонт для крыши . . 2007,05 „
Каменный материал и кирпичи .... 978,35 „
Во что обошлась постройка, если зодчему уплачено 0,035 всей стоимости?
29. На писчебумажной фабрике кочегар за учетный период проработал 13 урочных дней и 36 часов сверхурочных, из которых 16 часов оплачиваются в полуторном размере и 20 часов в двойном размере. Сколько ему следует получить при поденной плате в 87,5 коп.? [Урочным днем называется 8-часовой рабочий день.]
§ 79. Превращение обыкновенных дробей в десятичные.
з
1. Превратите — в десятичную дробь.
2. Превратите в десятичные дроби следующие обык--115 3
новенные дроби: —; —; —; —.
5 4 8 5
§§ 79-81.
— 81 —
3. Превратите в десятичные дроби следующие обыкновенные:
4- рубля, удержав сотые доли рубля или копейки.
О
I
у кг, удержав сотые доли его.
з
— метра, удержав тысячные доли его.
4. Измерьте свой рост в метрах и его сотых долях и скажите, сколько вышло сантиметров.
5. Определите свой вес в килограммах и его сотых долях.
6. Узнайте в километрах и тысячных долях расстояние от школы до совета.
7. Узнайте вместимость школьного бака с питьевой водою в куб. дециметрах (литрах) и его десятых долях.’
§ 80. Обращение десятичных дробей в обыкновенные.
1. Обратите в простые дроби следующие десятичные дроби:
0,75; 0,22; 0,35; 0,5; 0,4; 0,19; 0,232; 0,717.
2. По докладу на пленуме Всероссийского Совета Профессиональных Союзов (ВЦСПС) в начале 1924 г. заработная плата составляла 0,65 до-военной. а производительность труда 0,75. Обратите эти дроби в обыкновенные.
3. Во всем СССР РЛКСМ насчитывается 700 тысяч членов и кандидатов, из которых 0,75 рабочего юношества. Переведите эту дробь в обыкновенную и определите число комсомол-рабочих.
4. Обратите следующие десятичные дроби в обыкновенные: 0,4095 кг; 0,06 цнтн.; 0,08 метра; 0,937 километра.
§ 81. Средние величины.
1. Суточный удой молока коровы за одну неделю был следующий, в литрах 12,0; 12,3; 11,9; 11,8; 12,0.; 12,2 и 12,4. Вычислите средний суточный удой за эту неделю.
2. Средний суточный удой молочного стада совхоза, в литрах, за первые десять дней сентября был следующий: 405,0 ; 408,1; 407,2; 410,3; 109,7; 406,5; 404,9; 405,6; 406,4 и 407,8. Вычислите средний суточный удой молока этого периода.
Затачник по нач. математике, ч. II.
6
— 82 —
§§81 82.
3. Определите средний возраст детей рабочих вашей (Ь-^оЧКИ по тем данным, которые вами собраны в задаче 9 § 12.
4. Определите среднее число домов, крытых железом, приходящееся на 1 деревню вашей волости, по данным, полученным вами в задаче 10, § 12.
5. Возраст комсомольцев третьего класса школы II ступени был следующий: 15 л. 2 м.; 15 л. 1 м.; 14 л.
0 м.; 16 л. 8 м.; 17 л. 0 м.; 16 л. 2 м.; 14 л. 6 м.; 14 л. 8 м.
и 15 л. 11 м., а не вошедших в состав партии Комсомола 14 л. 0 м.; 14 л. 6 м.; 14 л. 1 м.; 15 л. 0 м.; 15 л. 8 м.;
14 л. 11 м.; 16 л. 2 м.; 17 л. 0 м. и 16 л. 5 м. Вычислите
средний возраст тех и других.
6. На -щ— часть одного гектара сжато и обмолочено 8 пробных снопов пшеницы для определения ожидаемого урожая. Эти 8 снопов дали следующее количество зерна пшеницы в килограммах: 1,8; 1,6; 1,9; 2,1; 1,7; 1,5; 1,9 и 2,2. Вычислите средний вес зерна с одного снопа и ожидаемый урожай с 1 гектара.
7. В совхозе стадо коров имеет следующий возраст:
1-леток . . . 20 штук 5- леток . . . 8 штук
2 „ 18 „ 6 я • . . 6 л
3 „ ... 15 „ 7 » . . 2 м
4 „ ... 12 „ 8 . . 1 в
Вычислите средний возраст этого стада.
8. Число учащихся в 8 школах волости было следующее: 53; 47; 52; 64; 75; 24; 31 и 48. Вычислите среднее число учащихся в одной школе.
Задачи прикладной геометрии.
§ 82. Углы и их измерение.
Угол есть геометрическая фигура, образуемая двумя пересекающимися линиями (рис. 14).
Рис. 15. Прямые углы.
Рис. 14. Угол.
§§ 82—83.
— 83 —
Если пересечь прямою линиею АБ (рис. 15) другую ВГ таким образом, чтобы оба образуемых ею угла были равны между собою, то получатся поямые углы.
Рис. 16. Угол в один градус.
Углы измеряются градусами, а градус есть — часть 90 прямого угла (рис. 16). Градус обозначается маленьким кружком над числом; например, девяносто градусов обозначается 90°, тридцать градусов: 30° и т. д. (рис. 17).
Рис. 17. Измерение углов градусами.
Угол обозначается или тремя буквами; например БВА (рис. 14), при чем средняя буква ставится у вершины угла, а две крайние на его сторонах, или же одною буквою, помещаемою у вершины угла.
Круг, разделенный на градусы, центр которого совпадает с вершиною угла, служит для измерения величины углов. На рисунке 17 нарисованы углы в 10°, в 20, в 30° и в 60е.
Угол в 90е называется прямым; углы меньше 90 называются острыми, а больше 90° тупыми.
§ 83. Треугольники.
Треугольник есть плоская фигура, ограниченная тремя прямыми линиями, и имеющая три угла. Если в треугольнике все 3 угла острые (рис. 18), то он называется косоугольным; если один из углов его прямой,
Рис. 18. Косоугольный треугольник, например А (рис. 19), то
— 84 —
§ 83.
треугольник называется прямоугольным, а если один из углов тупой, например А (рис. 20), то треугольник называется тупоугольным. Сторона БВ (рис. 19), лежащая против прямого угла, называется гипотенузою, а остальные стороны — катетами.
Рис. 19. Прямоугольный треугольник.
Рис. 20- Тупоугольный треугольник.
Если все три стороны треугольника равны между собою, то треугольник называется равносторонним (рис. 21); у него все три угла акже равны между собою Треугольник, имеющий две равные стороны, называется равнобедренным; третья сторона называется основанием, а равные стороны — боковыми сторонами или бедрами. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны между собою (рис. 22).
Рис. 21. Равносторонний треугольник.
Рис. 22. Равнобедренный треугольник.
Сумма трех углов треугольника равна 180°. Это свойство следует запомнить: оно очень важно.
Треугольники считаются равными, если все их стороны и углы равны между собою. Если же только одни углы равны между собою, то треугольники называются подобными.
1. Сколько углов имеет треугольник?
2. Сколько градусов в угле А (рис. 19), прямоугольного треугольника?
§§ 83—84. — 85 —
3. Чему равна сумма двух острых углов прямоугольного тр’еугольника?
4. Если в одном из острых углов прямоугольного треугольника содержится 60°, то сколько содержится а другом остром угле?
5. Может ли в прямоугольном треугольнике (рис. 19) угол Б или В содержать 90°?
6. Если в треугольнике один из углов меньше 90°, то какова будет сумма двух других углов: будет ли она больше или меньше 90°?
7. Если в треугольнике один угол содержит 65°, а другой 85°,то сколько градусов содержится в третьем угле?
8. Если в тупоугольном треугольнике тупой угол содержит 130°, то сколько градусов содержится в остальных двух углах?
9. Если в одном угле содержится 130°, а в другом 30°, то сколько градусов содержится в третьем угле?
10. Чему равняется обвод равностороннего треугольника, если каждая его сторона равняется 5 л?
11. Чему равняется длина каждой стороны равностороннего треугольника, если его обвод равен 21 см?
12. Полотно железной дороги, шоссе и пригородный канал образуют равносторонний треугольник, разделанный под огород. Какова длина забора, окружающего весь огород, если сторона вдоль шоссе равна 160 м?
13. Чему равняется обвод равнобедренного треугольника, если основание равно 4 м, а каждое бедро в 2 раза больше?
14. Чему равняется каждое бедро равнобедренного треугольника, если обвод его равняется 250 м, а основание 50 м?
§ 84. Прямоугольники и квадраты, их площади и площади прямоугольных треугольников.
Прямоугольники (рис. 23) и квадраты (рис. 24) ограничены четырьмя сторонами и имеют четыре угль. Как
Рис. 24. Квадрат.
Рис. 23. Прямоугольник.
— 86 —
§ 84
в прямоугольнике, так и в квадрате, все 4 угла прямые. В прямоугольнике противолежащие стороны, а в квадрате все 4 стороны равны между собою.
15. Чему равняется обвод земельного участка, имеющего форму прямоугольника, длинная сторона которого равна 400 м, а короткая 310 м?
16. Чему равняется обвод земельного отруба квадратной формы, одна сторона которого равна 673,7 м?
17. Другой отруб имеет форму прямоугольника, соседние стороны которого равны 740 и 700 м. Чему равняется обвод этого отруба?
18. Чему равняется каждая сторона квадрата, если его обвод равен 16 j/.w?
Нарисуйте прямоугольник АБВГ (рис. 25); его длина или основание ГВ= 4 см, а высота АГ —3 см. Площадь его, как вы знаете (книга 1, стр. 79) равна 4X3 кв. см = 12 кв. см. Проведите диагональ, соединяющую вершины углов А и В; вы разделите прямоугольник на два
Рис. 26. Площадь треугольника.
Рис. 25 Диагональ прямоугольника.
равных треугольника; АБВ и АГВ. Следовательно, площадь треугольника равна половине площади прямоугольника. На рисунке 26 нарисован такой же треугольник, как и на рис. 25. Площадь его равна 4X3 кв. с.и = 6кв. см.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения из его катетов (половина основания треугольника на его высоту).
19. Чему равна площадь прямоугольного треугольнике., катеты которого равны 15 и 12 м?
20. Участок земли имеет форму прямоугольного треугольника, катеты которого равны 80 и 72 м. Чему равна площадь этого участка?
2*. Огород имеет форму прямоугольника АБВГ (рис. 27) с прилегающим к нему треугольником БВД. Определите число квадратных сажен, заключающихся
S 84.
— 87 —
в огороде, если ширина прямоугольника равна 12 .>/, основание 20 м и основание прилегающего треугольника 9 м, как обозначено на рис. 27.
22. Прямоугольный участок земли длиною 240 м и шириною 80 м разделен диагоналоЮ на 2 равных прямоугольных треугольника. Сколько кв. м в каждом треугольнике?
23. В участке земли имеющем форму прямоугольного треугольника, катеты равны 120 и 75 метрам. Как велика площадь участка, и сколько в нем удобной земли, если под дорогами и под болотами неудобной земли 0,175 часть участка?
24. Сельский хозяин получил высшую награду за свое образцовое хозяйство и вставил полученный диплом в деревянную рамку со стеклом. Рамка имеет снаружи в длину 80 см, в высоту 60 слг, а ширина канта рамки равна 5 см. Сколько см по внутреннему краю рамки? Сколько кв. см содержит стекло? Сколько кв. см содержится во всей рамке с кантом?
25. Сад имеет вид прямоугольника длиною в 50 .и. а шириною в 30 .и; он окружен дорожкой шириною в 1,2 м Сколько кв. м во всем саду, считая и дорожку?
26. Отрубной участок имеет форму прямоугольника длиною 250 м, а шириною 120 м. Сколько метров надо отрезать от края, считая по длинной стороне, чтобы осталось 2 гектара или 20000 кв. м?
27. В гумне следует сделать новый накат пола. Гумно имеет внутри (в чистоте) в длину 20 м, а в ширину 7 м. Сколько потребуется досок шириною 25 см и длиною в 5 м, чтобы сделать новый накат пола во всем гумне?
— 88 —
§ 85.
§ 85. Параллелограмм и трапеции: площади косоугольных и тупоугольных треугольников.
Плоская фигура о четырех сторонах, из которых противолежащие параллельны между собою, называется параллелограмом.
Фигура АБВГ, нарисованная сплошными линиями, есть параллелограм. Линия ВГ, на которой как бы лежит параллелограм, называется его основанием, а линия ГД или равная ей BE, образующая с основанием 90° и нарисованная пунктиром, называется его высотою.
Треугольники АДГ и БЕВ, построенные высотами параллелограма, ею сторонами АГ и БВ и линиями АД и БЕ, параллельными основанию, равны между собою; это видно из построения. Вырежьте из бумаги параллелограм
Рис. 28. Площадь параллелограмма.
и отрежьте от него боковые треугольники и убедитесь, что они равны между собою. Если, поэтому, мы отрежем правый треугольник БЕВ и поставим его в левую часть на место нарисованного треугольника АДГ, то получим прямоугольник, площадь которого будет та же самая, что и данного параллелограма АБВГ. Итак, площадь параллелограма, как и площадь прямоугольника, равна основанию ГВ, помноженному на высоту ДГ. Высота ДГ перпендикулярна к основанию ГВ и называется перпендикуляром.^
28. Чему равна площадь параллелограма, основание которого равно 12,2 см, а высота 8,25 см?
29. Сколько кв. м в участке земли, имеющем форму параллелограмма, если каждая из противолежащих параллельных сторон равна 142 м, а расстояние между ними 51,7 м?
§ 85.
— 89 —
Нарисуйте параллелограм АБДВ (рис. 29) и разделите его диагональю АД на две части; вы получите два равных треугольника АБД и АДВ- Площадь каждого из этих треугольников равна половине площади параллелограма; площадь же последнего, как вы знаете, равна основанию ДБ, умноженному на высоту АГ; следовательно, площадь косоугольного треугольника равна половине основания, умноженной на высоту, или половине произведения из' основания на высоту.
Рис. Z9. Площадь треугольника.
Если бы провели диагональ БВ вместо АД, то получили бы тоже два равных тупоугольных треугольника АБВ и БДВ. Площадь каждого из них равняется половине площади параллелограма АБДВ, т.-е. -1- ДВ X АГ. Итак, пло
щадь тупоугольного треугольника тоже равна половине
произведения основания на высоту.
30. Чему равна площадь косоугольного треугольника, основание которого равно 90, а высота 36 м?
31. Вычислите площадь тупоугольного треугольника, основание которого равно 47, а высота 24,2 м?
32. Сколько кв. м заключается в цветнике, имеющем
форму прямоугольного треугольника, катеты которого
3 1
равны 20~4 м и 9-^- .и?
33. На рисунке 30 изображена так называемая щипцовая стена дома. Верхняя треугольная часть называется щипцами или вилкою. Высота вилки БГ считается от конька крыши Б до верхнего края стены. Сколько кв. м в вилке, если ширина стены равна 8 м, а высота ее 3,5 м? Сколько кв. м во всей щипцовой стене, если высота стены.
Рис. 30. Щипковая стена дома
равна 10,7 Л1?
— 90 —
§ 85.
Четыреугольная фигура, имеющая только две параллельные между собою стороны, называется трапецией.
Например, в фигуре АБВГ (рис. 31) сторона АБ параллельна ВГ, а сторона АВ не параллельна БГ.
Земельные угодья часто имеют вид трапеций, и сельскому хозяину приходится иметь дело с ними.
Рядом с данной трапецией АБВГ нарисуйте другую такой же величины, как и данная, но поверните ее таким образом, чтобы ее верхняя сторона была внизу, именно ГЕ, а нижняя на верху БД; тогда вы получите параллелограм АДВЕ, площадь которого равна двойной площади данной трапеции. Назовите основание данной трапеции ВГ одною буквою б (большая сторона), а параллельную ей верхнюю сторону буквою м (малая сторона). Из построения вы
Рис. 31. Площадь трапеции.
видите, что основание двойной трапеции BE равно б -'-м. Вы знаете, что площадь параллелограма АДВЕ равна его основанию б-)-м, умноженному на высоту ИЛ, которую мы назовем буквою в: (б-|-м)Х в; а это равняется двойной площади данной трапеции; поэтому площадь данной трапеции равна половине площади параллелограма:
2 (б ' м) X в, или в.
Итак, площадь трапеции равняется полусумме длины ее параллельных сторон, умноженной на ее высоту.
84. Заливной луг формы трапеции имеет следующие размеры: большая параллельная сторона равна 75,2 л/, а короткая 49,8 м. Растояние между ними 36,2 .я. Чему равняется площадь этого луга?
35. Параллельные стороны земельного участка формы трапеции равны: одна 294 м, а другая 206 м. Какова должна быть высота трапеции, чтобы площадь ее равнялась пяти гектарам (50 000 кв. м)?
§ 86.
— 91 —
§ 86. Объемы кубов и брусьев.
Вы помните, что кубическим сантиметром называется объем тела, имеющего в длину, в ширину и в высоту по 1 с.я? Как называются объемы кубов, имеющих в длину, в ширину и высоту no 1 метру? По 1'дециметру; по 1 миллиметру?
36. Сколько сторон или граней в кубе?
37. Сколько прямых углов у куба?
38. Поставьте в один ряд 3 куб. си. Составьте еще 2 таких ряда и поставьте их не в тот же ряд, а рядом с первым; вы получите 3 ряда, образующих квадратную фигуру; в нем 9 куб. с.м; они составляют первый слой кубических сантиметров. Составьте еще 2 таких слоя и поставьте их над первым. Сколько получится кубических сантиметров? В этой постройке (рис. 33) будет в длину 3 см\ столько же в ширину и столько же в высоту. Вы получили большой куб; в нем 3 X 3 X X 3 куб. см или 27 куб. см. Как вы получили это число?
Рис. 32. Куб сантиметр. Рис. 33. Объем куба.
39. Сколько куб. см можно поставить на квадратную площадку длиною и шириною в 10 см, если поставить их в один слой? Сколько таких слоев надо поставить один на другой, чтобы высота постройки равнялась длине и ширине нижнего слоя? Сколько куб. c.w будет в такой постройке?
40. Сколько куб. дм можно поставить в один слой на площадку в 1 кв. м? Сколько подобных слоев надо наложить один на другой, чтобы построить куб высотою в 1 м? Сколько куб. Ом в 1 кубическом метре?
41. Сколько кубических сантиметров можно поставить в один слой на площадку длиною в 4 см и шириною в 3 см
42. Сколько куб. м заключается в корпусе сарая, не считая крыши, длиною| 18 м, шириною 6 м и высотою 4 м?
— 92 —
§§ 86—87.
43. Сколько куб. м заключается в прямоугольном теле, или брусе, длиною в 5-|-, шириною в 4 и высотою в З улг?
44. Сколько куб. м воды заключается в баке длиною в 2,25, шириною в 1,5 и высотою 1,2 м?
45. Сосчитайте, сколько весит вода в баке, описанном в задаче 44, если 1 куб. м воды весит 1000 кг?
46. Определите вес железной балки длиною в 1 м, шириною в 6 см и толщиною в 3 см, если 1 куб. дм железа весит 7 кг [1 куб. дм равен 1000 куб. ели].
47 Сколько брусков длиною в Ю см, шириною и толщиною по 0.6 см можно уложить в ящик длиною вбО см шириною в 30 см и глубиною в 10 см?
48. Сколько куб. см содержится в ящике длиною в 8, шириною в 4,5 и высотою в 3,3 см?
Рис. 34. План подвала.
49. На участке земли в сельско-хозяйственном товариществе надо выкопать подвал под дом, план которого изображен на рисунке 34. Сколько куб. м земли придется вынуть из подвала, если глубина подвала должна быть 2,1 м? Что будет стоить работа по выемке земли, если выемка куб. м по местным ценам обходится в 0,58 р.?
50. Зал заседаний Совета Рабочих Депутатов имеет в длину 35,4 м и в ширину 29 м Сколько приблизительно человек может в нем поместиться во время митинга, если каждый человек, стоя занимает 0,2 кв. м?
§ 87. Задачи на счет времени.
Промежуток времени от полудня до полудня или от полуночи до полуночи называется сутками.
Сутки делятся на 24 часа: час на 60 минут; минута на 60 секунд. За начало суток принимается полночь; в пол
§ 87.
- 93 —
день считается 12 часов; затем считается 13, 14, 15 и т. д. часов до следующей полуночи.
Семь суток или дней образуют неделю. Дни недели называются: понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота и воскресенье. Недели соединяются в месяцы, а месяцы в год. В году считается 12 месяцев, состоящих из 30 и 31 дня, крбме 1 месяца, состоящего из 28 или 29 дней. Годы бывают простые и високосные. Простой год состоит из 365 дней, а високосный из 366 дней- В простом году в феврале считается 28 дней, а в високосном 29. Високосными считаются те года, число которых делится без остатка на 4; например, 1916, 1920, 1924 и т. д. Остальные года простые.
В простом году 52 недели-}-1 день; в високосном 52 недели-}-2 дня.
Рис. 35. Счет дней в месяцах по косточкам сложенных рук.
В Юлианском календаре, или старом стиле високосные года чередуются с простыми, как изложено, а в Грегорианском календаре, или новом стиле, они прерываются в каждое полное столетие, число которого не делится без остатка на 400. Например, 1900-й год не делится без остатка на 400; поэтому в Грегорианском календале он простой, а в Юлианском високосный.
Месяцы чередуются в следующем порядке:
1. Январь содержит 31 день 7. Июло содержит 31 день
2. Февраль п 28 ил и 29 8. Август 31 г
3. Март п 31 день 9. Сентябрь 30
4. Апрель п 30 . 10. Октябрь 31 л
5. Май п 31 „ 11. Ноябрь 30 ч
6. Июнь м 30 „ 11. Декабрь 31 п
Для запоминания, в какие месяцы считается 31 день и в какие меньше 31 дня, пользуются выступающими
— 94 —
§ 87.
косточками сложенных в кулак рук. На первую выступающую косточку мысленно помещают январь (31 д.) затем в углубление февраль (28 — 29 Д-); на вторую выступающую косточку — март (31) и т. д. На левой руке помещаются семь месяцев, кончая июлем. Затем переходят на правую руку и помещают август (31) на правую выступающую косточку; далее в углубление приходится сентябрь; за ним идет октябрь (31) на второй выступающей косточке; ноябрь (30) попадает в углубление, и счет заканчивается декабрь — ноябрь, попадающим на вступающую косточку.
Упражнения и задачи.
1. Сколько часов считается, когда обе стрелки направлены на XII?
2. Сколько считается часов,когда днем часовая стрелка f.маленькая) направлена на III, а минутная (большая) на XII?
3. В какое время часовая стрелка находится между XII и 1, а минутная направлена на III?
4. В какое время ночью часовая стрелка находится между II и III, а минутная направлена на VI?
5. В какое время днем часовая стрелка находится между VII и VIII, а минутная направлена на IX?
5. На какие цифры направлены стрелки в 8 часов?
7. На какие цифры направлены стрелки в 14 часов?
8. На какие цифры направлены стрелки в 17 часов?
9. Сколько часов прошло от полуночи до 15 часов?
10. Сколько часов прошло от 2 до 20 часов?
11. Сколько времени прошло от половины пятого (^5) до 8 часов утра?
12. Сколько времени прошло от 10 часов до 15 часов и 20 минут?
13. Йз Ленинграда в Лугу поезд вышел в 9 ч. 30 м. и шел со скоростью 30 километров в час: а) Сколько км он прошел к 11 ч. 45 м.? б) К какому времени он был на 90-м километре от Ленинграда и в) Когда поезд прибудет в Лугу, отстоящую от Ленинграда на 140 километров?
14. Сколько месяцев прошло от 1 января до 1 сентября ?
15. Сколько дней прошло от 1 января до 11 марта в 1920 году?
16. Сколько дней прошло от 10 февраля до 23 апреля 1925 года?
17. Хмерика открыта в 1492 году. Сколько лет прошло с тех пор до настоящего года?
§ 87-
— 95 —
18. Раздробите в часы, минуты и секунды: 3 дня и 4 у час.
19. Выразите в годах и днях с приближением до одной сотой дня время обращения следующих планет
вокруг солнца, принимая год
Меркурий . . . 87,97 дней
Венера. . . 224,70 „
Марс......... 686,98 „
Нептун. .
равным 365,24 дн.
Юпитер . . . 4332,59 дней
Сатурн. . . . 10759,24 „
Уран.......... 30688,39 „
. . . 60181,11
20. Великий Ньютон родился 4 января 1643 г. (25 декабря 1642 г стар, ст.), он прожил 84 г. 2 м. 27 дн. Когда он умер?
21. К. Маркс родился 5 мая 1818 г., он прожил 64 г. 10 м. 9 дн. Когда он умер?
22. Парижская Коммуна была провозглашена 18 марта 1871 г. Великая Октябрьская Революция наступила через 46 л. 7 м. 19 дн. Когда произошла эта Революция?
23. Астрономическая труба была изобретена Галилеем в 1609 году. Через 283 года миллионером Иерксом, возле Чикаго в Северной Америке, была выстроена обсерватория с величайшею астрономическою трубою, имеющею объектив в 40 дюймов. Когда выстроена эта обсерватория?
24. Восстание декабристов произошло 26 декабря 1825 г., а через 91 год 2 м. 13 дн. было низвергнуто самодержавие в России. Когда это произошло?
25. На первой книге, напечатанной изобретателем книгопечатания Гуттенбергом, выставлен 1448 год. Через 117 лет в России напечатана первая книга Иваном Федоровым. Когда Иван Федоров напечатал первую книгу в России?
26. Фр. Энгельс родился 28 ноября 1820 г.; он прожил 74 г. 8 м. 8 дн. Когда он умер?
27. Открытие Америки относят к 12 октября 1492 г., а через 310 л. 9 м. 27 дн. совершен первый рейс изобретенного Фультоном парохода. Когда это было?
28. Свержение самодержавия произошло 12марта1917 г., а Временное Правительство объявило Россию республикой только через 6 месяцев и 2 дня. Когда Россия объявлена республикой?
29. Первая Всероссийская забастовка рабочих была 29 октября 1905 г., а через 13 л. и 8 дн. открылся Первый Всероссийский Съезд Советов. Когда это было?
30. Пулковская Обсерватория открыта 7 августа 1839 г. ciap. ст., а через 18 л. 4 м. 4 дн. в Ленинграде учрежден Технологический Институт. Когда он учрежден?
— 06 —
§ 87
31. Великий Исаак Ньютон родился 4 января 1643 г. (25 декабря 1642 г.). Сколько лет прошло с тех пор до настоящего времени?
32. Мировой закон тяготения открыт Ньютоном в 1682 году. Сколько лет тому назад совершено это великое открытие?
33. В. И. Ленин родился 10 апреля 1870 г., а умер 21 января 1924 г. В каком возрасте умер В. И. Ленин?
34. Великая Октябрьская Революция произошла 7 ноября 1917 г. Сколько времени прошло с тех пор?
35. Пулковская астрономическая обсерватория учреждена 7 августа 1839 г. Сколько времени она существует?
36. Со времени изобретения первого паровоза Жозег фом Кюньи до 1924 г. прошло 155 лет. В котором году он был изобретен?
37. Почтовые марки были впервые введены в Англии Джемсом Чальмерсом в 1840 г. Сколько лет прошло с тех пор до настоящего времени?
38. Декрет об Единой Трудовой школе обнародован 30 сентября 1918 г. Сколько лет существует Единая Трудовая школа?
39. Пишущая машина изобретена в 1874 г. Сколько лет прошло с тех пор?
40. В каком возрасте был В. И. Ленин, когда умер Фр. Энгельс?
41. Первая большевистская резолюция была вынесена Петроградским Советом Рабочих Депутатов 19 сентября 1917 г. Через сколько времени настала Великая Октябрьская Революция?
42. Центральный Дом Крестьянина открыт в Москве 10 ноября 1922 г. Сколько времени он существует?
43. Совет Народных Комиссаров образован 8 ноября 1917 г. Сколько времени прошло с тех пор?
44. Революция в Германии произошла 9 ноября 1918 г. На сколько она случилась позже нашей Февральской Рево люции—12 марта 1917 г. (нов. ст.)?
45. Французский химик Лавуазье открыл в 1785 г. основной закон химии о вечности материи. Сколько лет до нашего времени совершено это великое открытие?
46. Современник Ньютона Эдмунд Галлей составил в 1700 г. первую таблицу возрастов людей одного английского прихода, или так называемую таблицу смертности, на основании которой была устроена первая касса взаимного страхования жизни на случай смерти. Сколько времени прошло с тех пор?
47. Жатки или жнейки изобретены Мак-Кормиком в 1834 г. Сколько лет прошло с тех пор?
— 97 —
48. Е- И. Ленин скончался 21 января 1924 г. в возрасте 53 л. 9 и. 11 дн. Когда он родился?
49. Союз Советских Социалистических Республик (СССР) образован 30 декабря 1923 г., а Великая Октябрьская Революция произошла на 6 л. 1 м. 23 дн. раньше. Когда произошла Великая Октябрьская Революция?
50. Первая железная дорога в России была проложена между С.-Петербургом (ныне Ленинградом) и Царским Селом (ныне Детским Селом); она открыта для движения в 1838 году. Сколько лет прошло с тех пор?
51. Между провозглашением Парижской Коммуны и Великой Октябрьской Революцией прошло 46 лет 7 мес. и 19 дней. Когда была провозглашена Парижская Коммуна?
52. Освобождение крестьян от крепостной зависимости в России состоялось 3 марта 1861 г. (19 февраля стар, ст.) Сколько времени прошло до Великой Октябрьской Революции?
53. Свержение Монгольского ига совершилось в 1480 году, когда рухнула власть Золотой Орды. Сколько лет прошло с тех пор?
54. К. Маркс скончался 14 марта 1883 г., имея 64 г. 10 м. и 9 дн. о г роду. Когда родился К. Маркс?
55. Когда была 1-я Всероссийская забастовка рабочих, если после нее через 12 л. и 8 дн. состоялся 1-й Съезд Совета Рабочих Депутатов 7 ноября 1917 г.?
56. Когда вошел в силу Земельный Кодекс Р.С.Ф.С.Р., если он опубликован за 1 г. 1 м. и 20 дн. до смерти В. И. Ленина?
57. Декрет ВЦИК'а о международном юношеском дне опубликован за 1 г. 3 м. 8 дн. до образования С.С.С.Р. в 1923 г. 30 декабря. Когда был опубликован декрет о международном юношеском дне?
58. Американец Грегем Белль изобрел в 1876 г. прибор для переговоров на расстоянии, названный телефоном (по-гречески теле — расстояние, фон — звук). Сколько лет прошло с тех пор?
59. Русский физик Александр Степанович Попов изобрел в 1896 г. прибор для беспроволочного телеграфирования, который был впоследствии усовершенствован итальянцем Маркони. Сколько лет это произошло после изобретения телефона Беллем?
60. В 1791 г. итальянец Гальвани открыл явление, названное в его честь гальванизмом. Это явление электрическое, оно имеет в настоящее время обширное применение в жизни. Сколько лет тому назад совершено это великое открытие?
Зячачнпк по пая. математике, я. II.
7
ОТВЕТЫ
§ 1. 1. Числа меньше двадцати называются и пишутся следующим образом:
ноль..............О десять..........10
один..............1 одиннадцать . .11
два...............2 двенадцать ... 12
три.............. 3 тринадцать . . 13
четыре...........4 четырнадцать . .14
пять..............5 пятнадцать ... 15
шесть.............6 шестнадцать . . 16
семь..............7 семнадцать ... 17
восемь...........8 восемнадцать . .18
девять...........9 девятнадцать . . 19
2. 1 десяток и 0, или 10. — 3.1 десяток и 1 или 11. — 4. 12 13, 14 i т. д. — 5. 17. G. Я напишу 11. Самарканд лежит в Центральной Азии. Старинный город с красивыми магометанскими мечетями. В окрестностях Самарканда м ого плодовых садов, в которых виноград, абрикосы и другие плоды высушиваются для вывоза. В пределах С. С. С. Р. можно пересылать деньги в запечатанных конвертах, подавая их на почте открытыми, или переводными бланками. Последний способ удобнее и дешевле. — 7. Я напишу: 15 учеников и 14 учениц. — 8. На трамваях поставлены цифры: на одном 13, а н другом 17.
§ 2. 1. Числа меньше ста называются и пишутся следующим образом:
двадцать ........ 20
двадцать один ... 21
двадцать два .... 22
двадцать три .... 23 двадцать четыре . . 24 двадцать пять ... 25 двадцать шесть ... 26 двадцать семь ... 27 двадцать восемь . . 28 двадцать девять . . 29
девяносто..........90
девяносто один ... 91
девяносто два ... 92
девяносто три ... 93 девяносто четыре . . 94 девяносто пять . . .95 девяносто шесть . . 96 девяносто семь . . 97
девяносто восемь . . 98 девяносто девять . . 99
— 99 —
2. 2 десятка и 0, или 20. — 3 и 4. 30, 31, 32, и т. д. — 5. 27.— 6. 25. — 7. 21; 26; 30; 48; 65. [Учитель задает вопросы подобного рода.] — 8. 36 означает 3 десятка и 6 единиц; при написании цифр слова „десятка" и единиц" опускаются и пишутся просто 2 цифры: 36.—9. 33. —10. 47. —11. Нет, первая 3, считая справа, означает единицы и находится на месте или разряде единиц, а вторая 3 означает число десятков и находится на месте или разряде десятков.— 13. 67; 80; 73; 90; 99. —14. 96. —15. 75 корзин. —16. 27.
§ 3. 1. Учитель предлагает ученикам считать числа по порядку по своему выбору. — 3. 199; 200; 375; 726.— 4. 783; 7 означает семьсот, но приставка „сот" не пишется; она пропускается, как пропускается и слово „десяток" после 8 и „единиц" после 3. — 5. Нет, первая 3, считая справа, означает 3 единицы и находится в разряде единиц; вторая 3 означает 3 десятка и находится в разряде десятков; третья 3 означает 3 сотни и находится в разряде сотен.—7. Я напишу: 506; 678; 915; 206.—8. 725 рублей. В пределах С. С. С. Р. можно пересылать деньги не только по почте (зад. 5 § 1), но и по телеграфу. Для этого на особом телеграфном бланке пишется сумма перевода и адрес получателя; последний извещается телеграммой о получении денег на его имя, и он получает их с телеграфной конторы. Подобная пересылка весьма удобна.— 9. 643 километров. Километр (л-.и) — это международная путевая мера; в нем содержится 1000 м.—10. 815 чел.
§ 4. 2. Учитель предлагает ученикам считать числа по порядку по своему выбору. — 4. 368 400. 5. 400400 400.— 6. Нет, первые 400 с правой стороны означают 400 единиц; вторые 400 означают 400 тысяч, а третьи 400 означают 400 миллионов. — 7. Учитель пишет на доске по своему выбору и предлагает ученикам прочесть и выразить словами написанные числа.—8. 20 800 732 р.—9. 23 318 175 р.— 10. 25 Октября 1917 года.
§ 5. 1. Цифры, изображающие числа, делятся, считая справа налево, на классы по три места в каждом; места же в классе называются разрядами. — 3. В левом классе может быть 1, 2 или 3 разряда.—4. 13 — это третий класс, считая справа налево; 735 — второй, а 579—первый. Для того, чтобы узнать название класса с левой стороны, надо сначала назвать по порядку все классы, начиная с правой стороны. — 5. 7552 — это третий класс; 489 — второй, а 125—первый. — 6. 5,079,365. Я отделяю справа 3 цифры и говорю, что они составляют первый класс или класс единиц; отделяю следующие 3 цифры и говорю, что они составляют второй класс или класс тысяч; в третьем классе остается один разряд, занятый 5; я называю ее
7*
— 100 —
миллионами.—8. 3.—9. Миллионы.—10. Я отделил и назвал классы с правой руки. —11.87 тысяч. 12. 650. —13. Три миллиона восемьдесят семь тысяч шестьсот пятьдесят. — 14. 70 миллионов 352 и 70 миллионов 352 тысячи. —16. Учитель приводит несколько примеров и затем предлагает учащимся самим привести несколько примеров. Например, 1293; 23 501 675; 347 809 и др.
§ 6. 1. 5. — 2. 726 и 340. — 3. Числа первого класса миллионы, второго тысячи и третьего единицы. — 4. 5,20, 48, 306, 735. —5. 3 разряда. —6. 007.—7. 070, —8. 700.— 9. 000. —10. 077; 803; 222. —11. 090; 010; 001;200;907;060. — 12. 75000368.—13. 3083; 2008; 305195; 5700809; 26030087; 3 303; 4002; 500005; 7 700070; 66066066; 8525 000; 720072072.
§ 7. 1. 7 р. 38 к.; 25 р. 96 к.; 1 274 р. 59 к, —3. 125 р. 15 к. — 4. Двадцать восемь руб. и тридцать две коп.
§ 8. Преподаватель решает на русских счетах ряд задач по своему усмотрению. —3. 197. — 4. 1603 р. 01 к.— 6. 26 724 р. 52 к. —7. 76134 р. 56 к. —8. 213141 р. 32 к.
§ 9. 1. 1, П, Ill, IV, V. —2. XXI; ХХП; XXIII; XXIV; XXV; XXVI; XXVII; XXVIII; XXIX и XXX. —4. L; LX; LXX; LXXX; ХС; С.—5. LXXX; LXXXI; LXXX1I; LXXX1II; LXXX1V; LXXXV; LXXXVI; LXXX11; LXXXV1I1; LXXX1X; ХС; ХС1; ХСП; XCIII; XCIV; XCV; XCVI; XCVII; XCVI1I; XCIX; С. —7. В 1724 г. —3. В 1575 г.
§ 10. 1. 100°Ц равны 80еР или каждые 5° Ц. равны 4° Р. Следовательно, число градусов по Р. на 1 пятую часть меньше, чем по Ц. Для перевода 36° Ц. на градусы Р., я уменьшаю их число на одну пятую, или на 7° и 1 пятую, и получаю 28° и 4 пятых.—2. 64° Р.—3. Учитель приучает учащихся отсчитывать температуру воздуха по оконному термометру и предлагает им производить отсчеты ежедневно и вести записи. Полезно вести записи в 9 ч. утра, в 1 ч. дня (13 ч.) и в 7 ч. вечера по солнечному времени. Средняя из этих температур принимается за суточную температуру воздуха. — 4. 80° Р. равны 100°Ц. или каждые 4° Р. равны 5° Ц. Следовательно, число градусов по Ц. на 1 четвертую часть больше, чем по Р. Для перевода 9° Р. на градусы Ц. я увеличиваю их число на одну четвертую часть, или на 2° с четвертью, и получаю 11° с четвертью.— 5. 20° Р. — 6. 23° и 1 пятая градуса Р. — 7. 40° Ц.— 8. 37 с половиною градусов по Ц.—9. 17 с половиною градусов Ц.
§ 11. 1. Сложение—это сокращенное присчитывание.— 2. Присчитываемые или складываемые числа называются слагаемыми. — 3. Получаемое от их сложения число называется итогом или суммою. — 4. Сложение обозначается знаком который читается ,и“, или „плюс*. Например: 2-}-3 произносится „2 и 3“, или „2 плюс 3“.—5. Перед
- 101
итогом или суммою иногда ставится знак равенства =; этот знак читается: „равняется", или „равен". Например: 3-4-2 = 5 читается .3 да 2 равны 5", „3 и 2 равны 5“ или „3 плюс 2 равны 5“.
Разъясните, что 34-2 = 5. Отсчитайте сначала 3 бруска и затем еще 2; сложите их вместе и сосчитайте, сколько стало боусков. Вы убеждаетесь, что их стало 5.
К 7 требуется приложить 5; вы пишите следующим образом: 7 4-5 = 12.
Увеличьте 6 на 4; вы пишите 6|4~10.
Сложением одно число прикладывается к другому; к одному числу присчитывается другое; одно число увеличивается на число единиц другого.
Вместо того, чтобы ставить знак4~ между слагаемыми числами и писать их рядом, можно писать одно число под другим, например:
7 или просто 7
-1-8 8
15 15
—6. Числа 3 и 2 называются слагаемыми; 5 называется суммою или итогом. — 7. Способ писания одного числа под другим особенно удобен в том случае, когда прихс-ходится складывать несколько многозначных чисел.— 0. 14044 центн.—9. 790 дюжин и 1400 десятков.
§ 12. 9. Учитель задает такие же задачи всем учащимся класса. Полученные суммы сверяются, и в случае несогласия поверяются самими же учащимися.
§ 13. 1. 17 исполнителей. — 2. 14 кг—3. 21 печатный лист. — 4. 22 картины. — 5. 54 шкафа с книгами.
§ 14. 1. Я поступаю следующим образом; я пишу:
первое число: 1 десяток, 7 единиц, или 17
второе число: 4 десятка, 6 единиц, или 46
третье число: 2 десятка, 5 единиц, или 25
[сумма = 8 десятков, 8 единиц, или 88]
и затем складываю, начиная с единиц.
Сумма единиц равна 18 или 1 десятку и 8 единицам; я пишу 8 в столбце единиц, а 1 десяток прикладываю к десяткам; сумма десятков будет 8; я пишу в столбце десятков 8 и в итоге получаю 8 десятков и 8 единиц, или 88, что и написано выше под чертою.
— 102 —
Таким же образом складываются трех и многозначные числа.
Примечание. Обыкновенно начинают складывать с верхнего числа и переходят к нижнему, но можно начинать и с нижнего числа.
Если складываются два двухзначных ’ или многозначных числа, то сложение следует вести слева, а не справа. Например, сложить 38 и 25. Вы пишете слагаемые одно под другим 38 и начинаете сложение с десятков: 3 де- -1-25 „ сятка и 2 десятка равны 5 десяткам, но у- порядок вы пишете 6, потому что сумма единиц 1Ч 'rnnu.pUI,a данного числа 8—|—5 больше 10, именно ----
13, или 1 десяток и 3 единицы.'Сумма 13 расчленяется на 1 десяток и 3 единицы, и 1 десяток присчитывается к полученным ранее 5 десяткам, а 3 единицы пишутся рядом. Порядок сложения изображен несколько выше направо.
При некотором навыке сложение производится весьма быстро. Сложив десятки, вы смотрите на единицы; заметив, что сумма их больше 10, а это заметить легко, вы увеличиваете полученную непосредственным сложением сумму на 1; если же сумма единиц данного числа меньше 10, то сумма десятков оставляется без изменения. . Сумма или итог пишутся скоро и безостановочно, как будто вы переписываете число, а не складываете. — 5. 245; 310; 301; 2191; 3241. —6. 255; 2398; 1987; 28193; 162794.
§ 15. 1. 282 бабки.—2. 370 р. —3. 4260 р. —4. 198 голов.— 5. 119 человек.— 6. На собрании присутствовало 175 чеп. — 7. 62о кв. м—₽. 87 центн.—9. 790 верст.— 10. 1810 голов скотам Кооперативы бывают: первичные или местные, затем уездные, обслуживающие первичные; далее губернские, обслуживающие уездные и наконец областные, обслуживающие губернские той же области. —11. На 140671 р. —12. 232475 чел. —13. Сох было 1246564; плугов 772074. —14. Сох было 149 597 и плугов 686550.
§ 18. 1. Вычитание есть сокращенное отсчитывание меньшего числа от большего. Большее число называется уменьшаемым; отсчитываемое число называется вычитаемым, а получаемый остаток — разностью. — 2. В разности я получу 4. Число 7 есть уменьшаемое; оно уменьшается, так как от него отсчитывается 3. Число 3 это вычитаемое; оно вычитается из уменьшаемого, а 4 есть разность или остаток.—3. Вычитание обозначается знаком “ и читается „без“ или „минус". Например, 7 -4 = 3 читается „7 без 4 равно 3“, или ,.7 минус 4
— 103 —
разно 3“.—4. Уменьшаемое равно вычитаемому, ело женному с разностью. Если п — 3 = 4, то 7 = 34-4._______
5. Вы помните, что целое равно сумме всех его частей; например, 8 = 5 —3. Если дана сумма и одно из слагаемых и требуется найти другое слагаемое, то оно будет найдено вычитанием из суммы данного слагаемого. — 6. Если сумма равна 8, и одно из слагаемых есть 3, то дпугое слагаемое равно 8 — 5, или 3.
§ 20. 1. Я разбиваю 78 и 24 на десятки и единицы и, написав одно число под другим, произвожу вычитание:
7 десятков 8 единиц, или 78.
— 2 десятка 4 единицы, или 24.
5 десятков 4 единицы, или 54.
Я начинаю вычитать с левой руки: 7 десятков без 2 равны 5 десяткам; я пишу 5 в столбце десятков. 8 единиц без 4 равны 4 единицам; я пишу 4 в столбце единиц. Затем говорю: я получил 5 десятков и 4 единицы, или 54.
Для проверки я складываю вычитаемое с разностью и в сумме получаю уменьшаемое: 54~|-24 = 78.
§ 21. 5. На 90 км в час. — 6. Осталось 160 дней до конца простого года и 161 день до конца високосного.— 7. Скоту скормлено 741 центн. — 8. Для хозяйства оставлено 62 центн.—9. Осталось уплатить 245 р. —10. В Государственную Сберегательную Кассу можно отложить 1225 р.— 11. 314 дней. —12. Остался 241 участок. Уссурийский Край лежит в Восточной Сибири; он назван так по большой реке Уссури, впадающей в большую же реку Амур. Уссури течет с юга на север, а Амур сначала с запада на восток, а затем на северо-восток и впадает в Великий Океан. В Уссурийском Крае, на границе с Китаем, лежит большое озеро Ханка, из которого вытекает судоходная река Сунгача, впадающая в Уссури. Местное население края гольды; летом приходят на звериный и другие промыслы китайцы, манчжуры и корейцы. —13. 222 года. —14. Он должен еще доставить 221 книгу. —15. В городские склады отправлено 10 520 дюж. —16. 322 км—17. На 704 а зерна и на 2022 кг соломы. Ранний взмет пара значительно выгоднее; от раннего взмета пара в почве задерживается вся весенняя влага, которая обеспечивает рост и урожай хлебов даже в засушливые годы. К го желает получить больше хлеба, тот должен пораньше взметать пар.
— 104 —
§ 22. Я разбиваю данные числа 29 и 67 на десятки и единицы и, написав одно число под другим, произвожу вычитание:
6 десятков 7 единиц или 67.
— 2 десятка 9 единиц или 29.
3 десятка 8 единиц или 38.
Я начинаю вычитать с левой руки: 6 десятков без 2 десятков равны 4 десяткам, но я пишу 3, потому что 9 единиц больше 7 и вычесть их из 7 единиц нельзя; тогда я занимаю 1 десяток от 6 десятков и вычитаю 2 десятка из 5; в разности получаю 3, которые и пишу под десятками. Затем занятый десяток я раздробляю на 10 единиц, прибавляю их к 7 единицам и вычитаю 9 единиц из 17; в разности получаю 8, которые и пишу под единицами. 2. 67 — 29 = 38. Для проверки вычитания я складываю 29 |-38;всумме получаю данное уменьшаемое 67.
§ 23. 1. У меня 4 сотенных связки и 3 отдельных бруска. Я развязываю 1 сотеннуку связку и получаю 3 сотенных связки, 10 связок по 10 брусков и 3 отдельных бруска. Затем я развязываю 1 связку в 10 брусков и прикладываю 10 свободных брусков к 3 отдельным, и тогда у меня получится: 3 сотенные связки, 9 связок по 10 брусков и 13 отдельных брусков. Я отнимаю 7 брусков от 13 отдельных и в разности получаю 6; от 9 связок по 10 брусков отнимаю 6 связок и в разности получаю 3 связки, и наконец, от 3 сотенных связок отнимаю 2 и в разности получаю 1. — 2. Из 3 единиц я не могу вычесть 7 единиц; для того, чтобы иметь возможность вычесть их, я занимаю от 4 сотен 1 сотню или 10 десятков, которые вместе с 0 десятков дают-мне те же 10 десятков; от них я занимаю 1 десяток, оставляя 9 десятков нетронутыми, а 1 десяток или 10 единиц присоединяю к 3 единицам и получаю 13 единиц. Теперь я могу произвести вычитание и говорю: 7 единиц из 13 дают 6 единиц; я пишу их в столбце единиц. Далее: 6 десятков из 9 десятков дают 3 десятка, которые я пишу в столбце десятков, и наконец 2 сотни вычитаю из 3 сотен и в разности получаю 1 сотню, которую пишу в столбце сотен. В разности получаю 136. Проверка: 267—|— 136 = 403.
§ 24.1. От куска ковровой материи осталось 45 метров. Бухарцы — жители Бухары. Бухара — Народная Республика, находящаяся с 24 августа 1924 г. в друже-
— 105 —
стьенных отношениях с Р.С.Ф. С. Р., расположена в Средней Азии, к юго-востоку от Аральского моря. По юго-западной границе Бухары проходит среднее течение Аму-Дарьи. Бухара богатая страна, обладающая плодородною землею; из нее вывозят много сушеных плодов; кроме того, она славится своими коврами, шелковыми тканями и барашковыми шкурками, называемыми мерлушками.— 2. Осталось 30 р. — 3. Всего куплено в оба приема на 6573 р. Сдачи получено 188 р. — 4. Он продал 23 штуки. -5. На рынке продано 665 цнтн. — 6. На 15 цнтн. Гектар — это международная земельная мера, содержащая 10000 кв. м. — 7. 5874.-8. На 6 часов. — 9. 5983 тома книг сельско-хозяйственной литературы. —10. Меньшее число равно 26и8 (6322— 3654). —11- 253 км-—12 719 километров.
§ 25. 1. Умножение есть арифметическое действие для нахождения суммы в том случае, когда одно и то же слагаемое повторяется несколько раз. — 2. Число, повторяемое слагаемым несколько раз, называется множимым, а число, показывающее, сколько раз повторяется множимое, называется множителем.—3. Число же, которое получается от такого сложения, называется произведением. — 4. Умножение изображается наклонным крестом „Х“- Если он поставлен перед множимым, то читается „раз*1, если же он поставлен после множимого, то читается „умноженное”.— 5 Пример 4 к. + 4к.-}-4 к. = 3 X 4 к., или 4 к. X 3. В обоих случаях 4 к есть множимое, а 3 множитель.— 6. 3 X 4 к. читается: 3 раза 4 копейки, а 4 к. X 3 читается: 4 к- умноженное на 3. — 7. Да, я могу сказать, что 5x3—3X5 и что в обоих случаях получается 15.— 8. 30 барж. — 9. По 6 барж. —10. 42 деревца. —11 36 веялок.
§ 26. 4. Произведение двух одинаковых чисел называется квадратом этих чисел.
§ 27. 1. Я пишу:
2 сотни, 7 десятков, 8 единиц, или .... 278 Х6 __Хб
16 сотен, 6 десятков, 8 единиц, или .... 1668
Я начинаю умножение с единиц; умножаю 8 единиц иа 6 и получаю 48, или 4 десятка и 8 единиц и пишу 8 единиц под единицами, а 4 десятка удерживаю в уме.
Затем я умножаю 7 десятков на 6 и получаю 42 или 4. сотни и 2 десятка, которые вместе с удержанными в уме 4 десятками составляют 6 десятков; я пишу их на втором месте под десятками, а 4 сотни удерживаю в уме.
— 106 —
Далее, я умножаю 2 сотни на 6 и получаю 12 сотен, ! оторые вместе с удержанными в уме 4 сотнями составляют 16 сотен, или 1 тысячу и 6 сотен; я пишу их под сотнями на третьем и четвертом месте или разряде.
Таким образом я получаю 1 тысячу, 6 сетей, 6 десятков и 8 единиц, или 1668.
Все умножение изображено выше с правой стороны.
2. Я пишу;
346 JX И 3 806
Я умножаю 6 на 11 и получаю 66, или 6 десятков и 6 единиц, 6 единиц пишу в разряде единиц, а 6 десятков удерживаю в уме.
Затем умножаю 4 десятка на 11 и получаю 44 десятка, которые складываю с 6 десятками, удержанными в уме, и получаю 50 десятков; 0 десятков пишу в столбце десятков, а 5 сотен пока удерживаю в уме.
Далее, я помножаю 3 сотни на 11 и получаю 33 сотни; прибавляю к ним 5 сотен, удержанных в уме, и получаю 38 сотен, которые и пишу на 3-м и 4-м месте. Все действие умножения на 11 производится как умножение на однозначное число: оно написано в начале примера.
3. Я умножаю данное число 963 сразу на 12:
963 > 12
11556 в
При этом я говорю; 3 на 12 равны 36; пишу 6 под единицами и 3 удерживаю в уме; затем 6 на 12 равны 72; прикладываю к ним удержанные в уме 3 и получаю 75; 5 пишу под десятками, 7 удерживаю в уме; далее умножаю 9 на 12 и говорю 108; складываю их с 7, удержанных в уме и получаю 115, которые и пишу в произведении. Таким образом я сразу получаю 11 556. — 4. 56, 504; 1 512; 4928;5898. — 5. 259: 682; 636; 1 332; 3795. —6. 816; 375; 3058; 4632; 2975.-7. 26163; 50252; 64 5 842 ; 2888652,— 8. 61263; 55 462; 233 675; 4864 256,—S. 84444; 352 066; 360 045; 245 021.
§ 28. 1. 14; 42; 49; 84; 280 и 364 дня. —2. 18; 48; 84 и 120 дней. — 3.60; 144 и 240 месяцев. — 4. 84; 216 и 384 р. — 5. 10000 кв. м или 1 гектар. — 6. 120 км,— 7. 26 628 литр. — 8. <2045 кг.—9. На 75 градусов. Иркутск лежит в седьмо '
— 107 —
поясе. Ленинград лежит во втором поясе. —10. 1718 кг.— 11. 1980 м. Можно вывести практическое правило: разделите число секунд на 3 и в частном получите расстояние удара молнии от вас в километрах. Так, например, 1980 м очень близко к 2 км (6:3 = 2).—-12. 26980 р. —13. 6876 книг. —14. 50 600 кирпичей.
§ 29. 1. При умножении некоторого числа на 10 каждая единица обращается в десяток, каждый десяток в сотню, каждая сотня в тысячу и т. д. Все цифры множимого переходят в высший разряд на одно место. Пример: 37x10= = 370. Самое же действие сводится к тому, что к множимому приписываются справа 1 нуль. Будет 50; 680; 730; 800; 950; 270 и 140. —2. 160 экземпл. — 3. 3340 дичков.— 4. 750 кочней капусты.—5. 4720 человек рабочих и служащих.—6. При умножении некоторого числа на 100, на 1 000 и т. д. вообще на десятичное число, к данному множимому приписываются столько нулей, сколько их в данном десятичном множителе. 56800; 568000; 2750000.— 7. 27 500; 706000; 5 620 ; 3 680000.— В. 693000; 780600; 31 420: 8 450 000. — 9. 602 400; 3 429 000; 87 500; 93 470 000.
§ 30. 1. При умножении некоторого числа на разрядное число, например на 40, следует сначала умножить данное число на 4, и полученное произведение увеличить в 10 раз, т.-е. прибавить к нему справа один нуль. При умножении 278 на 40, сначала я умножаю 278 на 4 и к произведению приписываю нуль справа. Вычисление располагаю следующим образом:
278
X 40
11 120
2. Сначала я умножаю 386 на 3 и полученное произведение увеличиваю в 100 раз, приписывая справа два нуля:
386 X 300 115 800
3. 3645000; 208200; 17290000.—4. 87290000; 80100; 3 032000.
§ 31. 1. Я перемножаю данные числа следующим образом: сначала умножаю на единицы, а затем на
десятки.
72 X 3 единицы = 216 единиц.............21 (
72 X 2 десятка =144 десятка или . . . • • 1 440
72 X23 ...................ТТТ"........1 656
— 108
Действие располагается таким образом:
72
X 23
216 Д44 165о
Я помещаю правую цифру каждого частного произведения под тою цифрою множителя, на которую умножается данное число.— 2. 2730; 1 575; 3555. — 3. 8251; 31 864 ; 56146. —4. 38016; 71500; 291336. —5. Если между цифрами множителя встречаются нули, то на нули умножение не производится, а следующие частные произведения передвигаются налево на столько мест, сколько нулей между цифрами множителя, и правые цифры частного произведения ставятся под тою цифрою множителя, на которую производится умножение.
Пример:
3 703 Х4003 11 109 14812 14823109
В данном случае между 3 и 4 множителя находятся два нуля; поэтому второе частное произведение передвинуто на два места влево, и тогда правая цифра второго произведения приходится под цифрою множителя 4.— 6. 22557036; 6302648; 10425015. —7 33704481; 24 580563; 39 249015. —8. 49854624; 59319120; 75313842.
§ 32. 1. 4628; 12906; 14455; 20280; —2. 20736; 62140; 54 439; 16000. —3. 31 000; 37 858; 20680; 12840.—4. 214082; 303 650; 302 220; 348000. —5. 423 270; 175 789; 496 886; 313110. —6. 458 250; 283008; 212 580; 570 600. —7. 1522 692; 2 237592; 3 495 960; 4 229700.-8. 2 616 380; 5170 210; 1029 520; 2 886 480.—9. 3312 000; 3 715845; 1 331 680; 1625400. —10. 1 410900 ; 3502400; 21147000; 21930,— 11. 1 381080; 18995600; 1 500450; 3581 600. —12 41 641 590; 36 720000; 6734250; 420021 700.
§ 33.1.546 облигаций.—2.23 000 рабочих.—3. 1 680 р. — 4. 5510 бревен.—5. 106975 кг мяса.—6. 17 600 кг ржи.— 7. 8 177 кг пшеницы.— 8. 3 420 ковров.—9. 444 р.— 13. 97152 гнезда картофеля. —11. 13 000 м.—12. 10.000 кв. м.—13. 216 000 меток. Название метка, копа и трост встречаются в Поволжье и на притоках Волги, а также на Урале. —14. 140,25 р. —15. 9504 кв. см.—
— 109 —
16. 360 кг. —17. 10 км. Гектар — это площадь земли, имеющая в длину и в ширину 100 км (квадрат). Необходимо пройти 10 км. —18. 5 км. Прямой расчет иметь железную борону „Зигзаг"; человеку легче работать; работа идет скорее, а купить борону можно в уездном или волостном складе. Советское правительство оказывает кредит крестьянам.
§ 34. 6. 211,5 кг чистого воска. — 7. 2 272 секционные рамочки.
§ 35. 1. Деление есть арифметическое действие для нахождения одного из сомножителей, когда даны другой сомножитель и их произведение. — 2. Произведением в делении называется делимое: оно равно делителю, умноженному на частное.—3. Данный множитель называется делителем.—4. Искомый же множитель частным. — 5. Деление обозначается двоеточием „ : этот знак читается „деленное на"1) — 6. Например, 12:4 означает 12 деленное на 4. В данном случае 12 есть делимое, 4 есть данный множитель или делитель; разыскивается другой сомножитель или частное; искомое число равно 12, деленному на 4.
При решении практических задач встречаются два различных случая: 1) деление именованного числа на равные части и 2) деление именованного числа на число того же наименования. Первый случай: разделить 15 кг яблок на 5 равных частей; в каждой части получится по 3 кг яблок. В частном получилось именованное число. Второй случай: разделить 15 кг яблок на части по 3 кг в каждой; например, разложить 15 кг яблок в ящики по 3 кг в каждый. В частном получится 5 ящиков. Делением определилось сколько раз 3 кг содержится в 15 кг. В первом случае получилось именованное число, а во втором отвлеченное.
Первый случай деления называется делением по существу, а второй — делением в смысле содержания.
§ 36. 1. 8 и 9, потому что 9 X 8 и 8 X 9 дают в произведении 72.-2. 8; 9; 6; 12. —3. 12; 5; 9; 6. — 4. 13; 12; 12; 7.-5. И; 11; 11; Ц_ — 6. 11; И; 8; 11. —7. 7; 11; 9; О.— 8. 9; 6; 9; 8.-9. 9; 8; 9; 8. —10. 7; 11; 7; 7. —11. 12; 2; 3; 5.— 12. 7; 7; 7; 8. —13. 11; 12; 6; 12. —14. 7; 4; 4; 8.— 45- 7; 6; 9; 9.
’) Англичане и американцы обозначают деление двоеточием с горизонтальною чертою посередине: 4- во избежание смешения его с двоеточием, как знаком препинания.
— 110 —
§ 37. 1. По 340 кг.— 2. 27 экз.-—3. По 24 чел.— 4. 7 экз. — 5. 30 кг.— G. По 112 кг. — 7. 4 рабочих дня.— 8. В 8 вагонах. —9. 40 тетрадей. —10. 12 стульев.— 11. В 11 часов. — 12. 24 доски. —13. 10 мешков.— И. По 5 рублей.
§ 38. 1. Частное не всегда может быть выражено целым числом; иногда получается остаток. Например, при делении 23:7; если для частного взять 3, то получается остаток 2.
Действительно:
23:7
21 3
2
В этом случае говорят: при делении 23 на 7 получается частное 3 и в остатке 2. Такое деление называется неполным или незаконченным. Если желают закончить деление, то частное пишут в виде смешенного числа. Например, 23:7 = 3^. —2. б + (1); 2-\ (2); 3-]-(2); 6-[-(1); 4-4-(1); 2 + (3); 5-}- (З).-З. 5 + (3); 3 + (3); б + (3); 2 + (1) 9-|-(2); 8 + (1); 64 (11).-4. 2 + (3); 7 + (2); 10 + (7) 8 + (3); 8+С1); 6-т-(3); 6 + (3).
Остаток поставлен в скобки.
5. 1А=11.;1<64;8<94;^;11|_6 б4 = б|; 4’446152:7тг10' =104--7- 4>4>4’4’ ч I . А 4 . , 5 72’ 6ТГ’ 6б-
§ 39. В этом параграфе повторяются некоторые задачи, помещенные в § 37, ио в частном получается целое число с остатком, тогда как в § 37 деление происходило без остатка. — 1. В 4 рабочих днях всего 32 рабочих часа; следовательно на 5-й день останется еще 3 часа работы.— 2. Надо купить 113 кусков, так как 112 кусками можно покрыть только 448 кв. м. За недостатком железа или черепицы можно покрывать крыши домов картоном, называемым шведским. Картон следует окрашивать смолою с песком; от этого он твердеет и становится долго; вечном. -3. Необходимо иметь 8 вагонов; в 7 вагонах можно разместить 56 волов, по 8 штук в вагоне, а в 8-м вагоне будет только 6 шт. Двух волов недостает для того, чтобы во всех вагонах было их поровну. Донская Область расположена по берегам реки Дона, впадающего в Азовское море. Правый берег Дона, прозванного —
— Ill —
„тихим" из-за тихого течения, высокий или нагорный и состоит из меловых гор, имеющих белый цвет. В Дон ской области добывается много каменного угля. Сельское хозяйство и скотоводство отличается своим развитием. Ежегодно большие гурты волов особой породы, называемой „черкасской", отправляются в Ростов-на-Дону, в Одессу, в Москву и в Ленинград. В Донской же области развито виноградарство и плодоводство.—4. 37 дюжин, а после починки будет 40 дюжин стульев. — 5. Продуктов на 11 человек хватит на 6 дней, и в остатке останется продуктов на 10 человек на 1 день.- 6. Можно купить 56 стульев, и останется 3 р. — 7. В 9^ часов Ладожский канал вырыт вдоль берега Ладожского озера ‘ от р. Свири до р. Невы. Ладожское озеро довольно бурное, и в ветреную погоду плоскодонные барки не могут итти по озеру; по каналу же они могут итти во всякую погоду. — 8. В 9 дней. На 9-й день останется пройти 7 км. — 9. Он может удобрить 12 яблоней по 50 кг, а на тринадцатую яблоню останется только 20кг.—10. На 17 дней и еще останется: жиру 10 центн.; соды 7 кг и разных химических материалов 2 кг.—11. Всего И шкафов; из них 10 будут наполнены книгами, а в 11-м 6 полок будут полны книгами, а на 7-й только 57 книг. —12. 35 чел.— 13. 1087-й десяток.
§ 40. 1. Я пишу
8 сотен, 6 десятков, 8 единиц: 3
2 сотни, 8 десятков, 9 единиц и ’
О
868:3
289i
26 3
24_
28
27
' 1
1
1
3
Я делю сначала 8 сотен на 3; получаю в частном 2 сотни и в остатке 2 сотни; 2 сотни я пишу на первом месте; оставшиеся 2 сотни или 20 десятков я соединяю с данными 6 десятками и получаю 26 десятков, которые и делю на 3; в частном я получаю 8 десятков и в остатке 2 десятка; 8 пишу после сотен, а остаток в 2 десятка раздробляю в 20 единиц и присоединяю к ним 8 данных единиц; полученные 28 единиц делю на 3 и получаю в частном 9 с остатком 1,или 9у. Частное 9 пишу после десятков и получаю в частном:
2 сотни, 8 десятков, 9 единиц и или 289 <. О о
— 112 -
В действительности деление производится так, как изображено на правой стороне, при чем частное пишется под делителем: 289-$.
Примечание. Некоторые пишут делитель слева, а частное под делимым, производя деление в уме, как здесь изображено:
3) 868 •
2891.
Для проверки деления найденное частное умножается на делитель, и должно получиться делимое: 289$ X 3 = = 289 X 3-|-$ X 3 = 8671 = 868; я умножаю целое Част-ное на делитель и прибавляю остаток.—2. 60 3; 192-у; 124; 145: 61. —3. 51-^; 73; 53 $; 62^; 94.-4. 29; 486; 773 $; 331$-.— 5.2934-—-; 1 988; 1 250$; 2973$. —6. 4933$; 1 059;
II о I Z 11
157 308-1-; 92 854 $ .—7.125 623-*-; 53 115; 270136; 1 822 069 ? .— о о / о
8. 140080$$; 14368386; 475308-$- —9- Ю- Если делитель 10, то частное в 10 раз меньше делимого, и для уменьшения делимого в 10 раз следует в нем отделить занятою одну цифру справа. Если делимое оканчивается на нуль, то этот нуль откидывается, а если оканчивается на значащую цифру, то она будет остатком.
Пример 1. 2780:10=278,0 278.
Пример 2. 38754: 10 = 3 875,4 = 3875 и остаток 4.
§ 41. 1. Я делю сначала 30 десятков на 13 и получаю в частном 2 десятка и в остатке 4; в частном я пишу 2, а остаток в 4 десятка или 40 единиц соединяю с 4 единицами данного делимого; полученные 44 единицы я делю на 13 и получаю в частном 3 единицы, а в остатке 5. Я пишу 3 ед| ницы после 2 десятков, а 5 ставлю числителем дроби, знаменатель которой есть делитель 13. Все действия изображаются следующим образом:
304 : 13
ZL. 23^
44 13
39
5
— 113 —
2. la-?; 33> 75.8.. 32.-3. 56^; 64^; 43^-; 47-«-. - 4. Деление на 100, 1000, 10000 и вообще на круглые десятичные числа выполняется таким образом, как и деление на 10, т.-е. отделяется запятой» справа 2, 3, 4 и вообще столько цифр,-сколько нулей следует за 1. Например: 488:100 = = 4,88 = 4Ц-остаток 88. 37-{-остаток 26; 84-{-остаток 13; 10-{-остаток 156; 23-|-остаток 7861.
7. Е сли некоторое число делится на разрядное число, то деление производится по общим правилам. 171 и остаток 5; 1976; 273 и остаток 134; 800 и остаток 2о. — 8. 900 и остаток 23; 1500 и остаток 347; 48 и остаток 600; 1118 и остаток 640; — 9. 10 и остаток 20; 10 и остаток 25; 12; 12 и остаток 4. —10. 6; 6 и остаток 50; 6 и остаток 54.—11. 3 и остаток 440; 3 и остаток 445; 5 и остаток 530,- 12. 5 и остаток 535; 34; 34 и остаток 400; —13. 34 и остаток 430; 34 и остаток 438.
§ 42. 1. По 600 яиц в ящик. —2. Ширина равна 50 м, а площадь 17500 кв. м — 3. На 365 дней, или на один год. —4. По 220 р. — 5. 24U центн.— 6. На 5 дней. — 7. По 82 кг в неделю. — 8. В 7 месяцев.-—9. Сначала я узнаю, сколько дней содержат 6216 часов; для этого я делю 6216 ч. на 24 ч. и получаю 259 дней, а затем 259 делю на число дней в неделе, или на 7, и получаю в частном 37 недель.— 10. В 10у ч.; он спустится в Одессе в 18 ч. 30 м. — 11.27 полных километров и 30 .и. —12. По 53 м на гектар.— 13. В 7 часовом поясе; когда в Ленинграде 2 ч. в Чите 7 час.
§ 43. 1. Я начинаю деление с цифр высшего разряда и замечаю, что первые 3 цифры, именно 722 тысячи, не могут быть разделены на 893; поэтому в частном не будет тысяч, а только сотни. Я тогда беру в делителе четыре цифры 7224 и делю их на 893; в частном получаю 8 сотен, которые я и пишу на первое место в частном, как изображено на правой стороне страницы. Полученные 8 я умножаю на делитель и произведение 893 X X 8 = 7144 вычитаю из первых четырех цифр делимого; в остатке получаю 80 сотен, которые раздробляю на десятки (800) и складываю их с 3 десятками делимого, в итоге получаю 803, которые меньше 893; поэтому в частном
будет 0 десятков, что я и пишу на втором месте делителя. Затем я раздробляю 803 в единицы (8030) и складываю их с единицами делимого 7; в итоге получаю первый остаток 8037 единиц, которые и делю на 893: в частном получаю 9; я пишу их на третьем месте после 0.
е Задачник по нач. математике, ч. II.
72 24 37 : 893
7144 809
“80 37
8037 б
— 114 —
Помножив 9 на делитель, я получаю произведение 893 X X 9 = 8037, которое и вычитаю из первого остатка 8037 и получаю нуль. Целение получилось полное, без остатка. —2.203; 907 с остатком 365. — 3. 278 с остатком 757; 280 с остатком 250.- 4. 340 с остатком 7; 1354’с остатком 1880. — 5. 50041 с остатком 63; 628 с остатком 2571.— 6. 30223; 28660 с остатком 29.
g 44. 1. 5886 чел.— 2. 24,8 милл. центн.—8. Падение и возрождение культуры льна выражалось следующими числами льняной культуры:
В губерниях: Псковской. . . . с 1915 по 1920 - падение. 81 017 гект. с 1920 по 1922 возрождение. 2 942 дес.
Новгородской . . . . 6 252 „ 2 945 „
Ленинградской . ио „ 2 492 „
Олонецкой . . . . . . 844 „ 680 „
После 1922 года по частным сведениям культура льна, вследствие спроса его заграницей, быстро возрождается.— 4. В первый уже год объединились 11861 чел. в кассах взаимопомощи профессиональных союзов. — 5. 971. кг.— 6. 14040 кг — 7. 180 р. — 8. 15 лошадей. - 9. 142 лошади и 3 теленка. Г. Уральск лежит к югу Уральского хребта и славится своими хорошими лошадьми.—10. За 5месяцев.-11. На 268 участков/—С2. 2400 кв. c.w- -13. 25 сантиметровых квадратов.—14. 100 кв. м— IS. 3200 кв. си.; ширина равна 40 см.—16. 720 р.—17 600 делянок. -18. 160 кг,- -19. 740 л. воды. В природе встречается известковый камень. Обожженный он жадно поглощает воду, при чем нагревается и затем рассыпается в порошок. Свежеобожженный известковый камень называется свежеобожженною комовою известью, потому что он сохраняет вид камня. В сыром месте он понемногу поглощает влагу из воздуха и рассыпается в порошок; тогда известь называется пушенкою. Облитый водою обожженный известковый камень называется свежегашенною известью, вместо слов .облить известковый камень водою" говорят „погасить известь". Обожженный известковый камень не следует трогать руками, потому что он поглощает влагу кожи и при этом обжигает ее настолько сильно, что она сходит с рук, что причиняет боль и страдание. 20. 52 бочки. — 21. 100 «г медного купороса и 180 кг извести — 22 Каждый заплатил по 611 р. — 23. 9 м.— 24. 1320 л. — 25. 1456 кг.— 26. Можно содержать 25 голов скота. — 27. 180 оборотов.—28 121 яблоня. [В гектаре 1 = 101 рядов, или
— 115 —
II рядов, а в каждом ряду 1 яблоня, или 11 яблоней.
Следовательно, на одном гектаре, имеющем 100 м в длину и 100 .« в ширину, можно посадить 11 яблоней X 11 рядов — — 121 яблоня Если же отсечь 1 ряд, и по 1 яблоне в каждом ряду, чтобы яблони не сидели на самой границе, то крайние ряды и крайние яблони будут отступать от границы на 5 м; тогда на 1 гектаре будет 10 рядов по 10 яблоней, или 100 яблоней. Последний способ посадки предпочтительнее, так как яблони не выходят своими ветвями на соседние участки.— 29. Постройка одного километра железной дороги обошлась в 30 000р. — 30. Куплено черепицы на 105 рядов, по 14 см всего на 1470 см или на 14,7 м.—31. 1652 р.—3? 124 320 кирпичей.— 33. 248 цнтн. зерна. С 1 гект. собрано: ржи 14 цнтн., овса 8 цнтн. и пшеницы 9 цнтн. 34. 288 гект. под пашней; 144 гект. под лугами, 6 гект. неудобной земли и 138 гект. под лесом. — 35. За проданную пшеницу получено 4760 р. —33 200000 жителей.— 37. Они переплатили 15 руб.—38. 6000 семействам.—39. 7 20 возов и 32.400 цнтн.— 40. На 252 возах можно вывести удобрение на 4,5 гект.— 41. 20 гект. 7165 кв. «.—42. 55 480 г поваренной соли, или 55кг и 480 г. или 55*/з кг.—-43. Потребление увеличилось бы на 4 488 милл. кг. Подобное потребление вызвало бы возникновение многих сахарных заводов, а в зависимости от этого многие тысячи сельчан и горожан нашли бы себе хороший заработок; кроме того, сельское хозяйство и животноводство сильно развилось бы в Союзе. На рис. 11 изображено наглядно сравнительное среднее годовое потребление сахара в С. С. С. Р. и в Англии. Каждая голова сахара весила 8 кг.— 44. 51150 обедов.—
45. В первые 3 часа он прошел 80 км X 3............
во вторые 2 часа по 3 км в 2минуты, или 3км X30 -= 90 км в 1 час, всего = = 90 км X 2............
в третий час по 24 м в 1 сек. всего:
24 X 60 X 60
—— — -— км = .
1000
= 240 км.
= 180 „
86 „ 400 м.
Итого . . 506 км 400 м.
46. Всего потребуется: 131 цнтн. и 40 кг клевера, 49 цнтн. 27 кг и 500 г льняных жмыхов и 78 цнтн.
8*
116 —
2
и 84 кг отрубей. — 47. В 496-|- сек., или в 8 мин.
2
и 16усек. — 48. 51 гектар в среднем приходится на 1 коллективное хозяйство. — 49. До революции было крестьян 104085000 и дворян 2 160000; крестьян было в 48-^ раза больше, чем дворян. — 50. 2450 р. 70 к.—51. В 1 час поезд проходит 32 км.—52. 748^ км.- 53. 18 дней. — 54. 120 часов.— 55 1569. — 56. 2311 раз- — 57? 467.—58. В 25 раз.— 59. В 106 раз. — 60.2400 тетрадей. — 61. 22 км — 62. 37 кг.— 63. 2987 л.
§45. 1. Выражение (7 —|-2 —8) X 13 означает, что сумма чисел, заключенных в скобки, должна быть умножена на 13. Для вычисления произведения мы складываем числа в скобках и сумму умножаем на 13. Мы получаем: (7 + 24-8) X 13=17 X 13 = 221. — 2. Выражение (31—2 + + 19): 16 означает, что числа, заключенные в скобки, должны быть разделены на 16. Для вычисления этого частного мы соединяем числа в скобках в один итог, который и делим на 16. Мы получаем: (31—2+19): 16 = = 48:16 = 3. — 3. Выражение (37 + 8) X (13 + 3 + 6) означает, что итог чисел первой скобки должен быть умножен на итог чисел второй скобки: (37 + 8) X (13 + 3 + 6) = = 45X22 = 990.—4. Выражение (37-}-8) : (13 + 2) означает, что итог первой скобки должен быть разделен на итог второй скобки: 45 : 15 = 3. — 5. 750; 4; 1505; 5.— 6. 1674; 3; 500; 20, —7. 779; 7; 3000; 16. —8. 700:2.— 9. (37+39+44) цнтн.; 3=40 цнтн.—10. 7 кг.—11 (6 + 5 + 3) цнтн. X 6 = 84 цнтн.
§ 46. 1. 190 ; 385; 70; 280.-2. 700; 165; 95; 995.— 3. 775; 300; 1200; 2050.—4. 192; 426; 90; 510. —5. 427; 189; 308; 385.
§ 47. Множитель некоторого числа есть точный целитель этого числа. 1. Наир., 2.—2. 2; 3; 4; 6. —3. 1; 2; 3; 2; 5; 2 и 3; 7; 2 и 4; 3; 2 и 5; 11, —4. 13; 2 и 7; 3 и 5; 2, 4 и 8; 17; 2, 3, 6 и 9; 19; 2, 4, 5 и 10; 3 и 7; 2 и И; 23.—5. 2, 3, 4, 6, 8 и 12; 5; 2 и 13; 3 и 9; 2, 4 и 7, 29; 2, 3, 5, 6, 10 и 15; 31; 2, 4, 8 и 16; 3 и И; 2 и 17; 5 и 7.-6. 2, 3, 4, 6, 9, 12 и 18; 37; 2 и 19; 3 и 13; 2, 4, 5, 8, 10 и 20; 41; 2, 3, 6, 7 и 21; 43; 2, 4, 11 и 22; 3, 5, 9 и 15; 2 и 23; 47. —7. Напр., 7, 13» 17, 19 и др. —8. 2, 3, 5, 7, И, 13, 17, 19. Такие числа называются простыми. — 9. 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49 и 50. —10- 23, 29, 31, 37, 41, 43 и 47. —II. 53, 57, 59, 61 и 67. —12. Нет, не может быть. 71 число простое.— 18. 73, 79, 83, 87, 89, 91 и 97. —14. Число 101 простое, а 111 составное, оно делится без остатка на 3. —15. На 2 делятся все числа, число единиц которых делится на 2;
— 117 —
все числа, которые делятся без остатка на 2, называются четными. —-1Ь. Четные числа оканчиваются на 0, 2, 4, 6 и 8. 17. Заметьте и запомните, что на 3 делятся без
остатка все числа, сумма цифр которых делится на 3. Напр., 27 делится без остатка на 3, потому что сумма цифр этого числа делится на 3. Число 52 371 делится на 3, потому что 5 24“3-}-7-|- 1 = 18 делится на 3. Про-
верьте делением. —18. Заметьте и запомните: веете числа делятся на 4 без остатка, десятки и единицы которых (т.-е. 2 последние цифры) делятся без остатка на 4. Например число 216. Так как две последние цифры (16) делятся на 4, то и все число разделится на 4. —19. Да, 724; 836; 208 и 252 делятся без остатка на 4.— 20. Заметьте и запомните, что все числа, оканчивающиеся на 0 или на 5, делятся без остатка на 5. Например: 75, 625, 720, 840. Все десятки делятся на 5, а потому, если последняя цифра равна 0, то число состоит из круглых десятков и, следовательно, оно делится на 5; если же последняя цифра равна 5, то и в этом случае число делится на 5 без остатка.— 21. Заметьте и запомните: все четные числа, которые делятся на 3, делятся без остатка и на 6.—22. Заметьте и запомните: все числа, сумма цифр которых делится на 9, делятся без остатка на 9. Например, 37 503; сумма цифр равняется: 3-f-7-(-5-}-0-|-3 = 18; 18 делится без остатка на 9; следовательно и все число разделится на 9.
§ 48. 1. 38 не делится без остатка на 3, но если продать двух овец, то останется 36, которое разделится на 3; в частном получится 12 овец.— 2. Можно; в каждом участке будет 92 гект.—3. 77 воспитанниц.—4. Могут; всех групп по 50 чел. будет 15, и столько же будет у них представителей.
§ 49. 1. Общим делителем двух или нескольких чисел называется число, являющееся точным делителем каждого из них. Если у двух или нескольких чисел имеются несколько общих делителей, то наибольший из них называется общим наибольшим делителем.
Например, у чисел 6 и 8 общий делитель 2. Два есть общий точный делитель 6 и 8. Общий делитель 15 и 25 есть 5. — 2. 2, 3 и 6.—3. 5. — 4. Нет, не существует; всякое целое число может быть разделено на 1. — 5. 5 и 7; 10 и 17; 6 и 23. Числа, у которых нет общего делителя больше 1, называются взаимно - простыми.—6 Нет, у них общий делитель 2. — 7. Да, числа 8 и 9 взаимнопростые.— 8. Общий наибольший делитель 12, 18 и 24 равен 6. —9. 6, 5, 5; 30, 6, 14; 36, 16, 5.
§ 50. 1. Число, которое делится без остатка на данное число, называется кратным этого числа. Например, 6 есть кратное 3, так как 6 делится на 3 без остатка.
— 1 is —
2. Все четные числа. — 3. 6, 9, 12 и т. д.; 8, 12, 16 и т- л. 10, 15, 20 и т. д.; 12, 18, 24 и т. д.; 14, 21, 28 и т. д. — 4. Нет, не существует: все числа суть кратные от 1.— 5. Общим кратным двух или нескольких чисел называется такое число, которое делится без остатка на эти числа. Из числа нескольких кратных чисел двух или нескольких чисел наименьшее называется наименьшим кратным данных чисел. — 1. 12, 24, 36, 48, 60 и 7z. — 8. 18, 36, 54 72, 90.—9. 18. —10. 36, 72, 108, 144, 180,216, 252, —11. 24.— 12. Я разлагаю оба числа на множители и получаю:
12 2X2X3
18= 2X3 У 3
Я говорю, что наименьшее кратное должно иметь множителем 12 или 2X2X3; поэтому мы удерживаем эти множители. Затем я замечаю, что наименьшее кратное должно иметь множителе,м 18 или 2X3X3; но 2 уже содержится в 12; в нем содержится также одна 3; мы приписываем к 12 вторую 3 и получаем 2 X 2X33—36, которое и будет наименьшим кратным чисел 12 и 18. Действительно, 36:12 = 3 и 36:18=2. 36 без остатка делится на 12 и на 18. —13. Наименьшее кратное от 6 и 8 должно содержать множителем 8, или 2x2X2. Я удерживаю все эти множители; оно должно также иметь множителем 6, или 2 X 3; но 2 уже содержится множителем в 8, а 3 нет; поэтому мы приписываем множителем 3 и получаем 2 х 2 X X 2 X 3 = 24. Итак, наименьшее кратное чисел 6 и 8 есть 24. — 14. 40; 36; 56; 24; 90; 30; 180; 180.
§ 51. 1. Дробь есть одна или несколько равных частей единицы. — 2. Знаменателем дроби называется число, показывающее на сколько равных частей разделена единица; оно пишется под горизонтальною чертою.— 3 Числителем дроби называется число, показывающее сколько взято частей единицы; оно пишется над горизонтальною чертою. — 4. Пример: три четверти метра пишется следующим образом: .н 4 есть обыкновенная дробь; 3 есть числитель, а 4 знаменатель; написанная дробь означает, что метр разделен на 4 равные части, и что взято 3 из них. — 5. Дробь может быть меньше 1, равна 1 или больше 1.
Дробь, числитель которой меньше знаменателя, называется правильною дробью в отличие от неправильной дроби, числитель которой больше знаменателя или 1 1 2 4 5 7 9
равен ему. — 6. 2, 3, 3 и др. — 7. 4, 3, у и др.—
»• 1—»• <—,0- 4-п4-«4-
— 119 —
4 2 ~
но А = 26 8: слеДОвательно, - = |. Последняя
дробь отличается от первой тем, что ее числитель и -знаменатель в два раза меньше числителя и знаменателя первой дроби я делю числитель и
знаменатель первой дроби ~ на 2 и получаю сокращенную дробь . — 4. А —26 2, но с другой стороны А = 1 ;
2 1
следовательно, „ . — 5. Обе линии равной длины: следо-
О Ч •
6 3 П Л
вательно,8 д. - 4 д. — 6. Я делю прямоугольник горизонтальною линиею на 2 равные части, а вертикальными линиями на 6 равных частей и убеждаюсь, что .
9. Несократимою называется такая дробь, числитель и знаменатель которой взаимно простые числа. Пример: если в данной дроби я сокращу (т.-е. разделю) числитель и знаменатель на 9, то получу: ^-= Дробь тоже сократима, потому что 8 и 12 имеют 4 общим наибольшим делителем; я могу разделить числитель и знамена-8 2
тель на 4 и получаю: = у- Последняя дробь несократима, потому что 2 и 3 суть взаимнопростые числа; даль-неишее сокращение невозможно. Итак: Над
дугою, между дробями ставится общий делитель, на который сокращается дробь.
10. 9 1 . 14 _ 1. 27_ 3 . 18 _ 1 108 1
36 4 28 -2' 36 ~ 4 ’ ЗЗ-- 2 432 ~ 4 ’
11. 36 48 3 . 4 ’ 48 _ 3 . 72 _ 8 64 — 4 ’ 81 — 9 54 ’ 63 6 7 ’ 250 1055 - 50 21Г
12. 27 81 1 . з; 96 _ 48 60 _ 98 ~ 49 ’ 12 ~ 5 . 72 ~ 6 ’ 84 6. 182 7’ 376 _ 91 188'
13. 216 288 _ _ J1. 4 ’ 144 у. 196 432 3’ 210 “ 98. 256 105’ 272 - - 16. 171 17’ 393 57 ~ 131-
15. 9 81 у. _ ~ 9’ сч 50 — 10 1 1050 — 210 ’21 1000 _ И 1050 ~ .20 21 • — 16. Учитель
предлагает учащимся самим узнать, какое расстояние от Харькова до Миргорода и до Киева. Комсомольцы должны достать указатель железных дорог и в нем разыскать эти расстояния, или же смерить их по карте С.С.С.Р. Можно также узнать на станции железной дороги. —
— 120 —
§ 53. 1. Я рисую квадрат и делю его горизонтальною и вертикальною линиею на 4 равных квадрата, и один из полученных малых квадратов,в свою очередь.делю на 4 маленьких квадратика. Один маленький квадратик равен боль-
2 1
того квадрата, а г, составляют большого квадрата; 10 о
1 2 ..
следовательно,Итак, от умножения числителя и знаменателя на одно и то же число, значение дроби не из-
, 5 '.О 5 25 3 9 3 24
меняется. —4. ~6 — уу — у — ~Ь4’
3 9 5 _ 45 2 8 7 _ 21
7 “ 17’ 7Г “ 72 ’ Ь5 ~ 60’ 19 ~ 57’
§ 54. 1. Общим наименьшим знаменателем двух или нескольких дробей называется наименьшее кратное знаме-
2 8 3 9 3 2
нателей этих дробей. — 2. ~Г = тг-— 3. -= и — ;
о 1Z 4 1Z о о
4 _5_. 3 4 27 30 28 f 2 • 6 _ 100 72 15 .
V И IP Vй V’ 36’ 36 И 36~4’ ~9И V’ ’120’ 120 И 120 ’
16 27 5 3 28 18 35 ' 8 ’7 4 3 7
72 И 72’ Т5 И 15 5" 42’ 42 И 425 56 И 5б“’ 36 И 36 ’ 42
6-4 94 35 48 5
И 4Г-6‘ ‘12’ И 12’ ~12 И 12’ “20 И 20’ 40‘ И 40
7. Общим наименьшим знаменателем и будет это кратное число. — 8. Общий наименьший знаменатель дробей, знаменатели которых суть, взаимнопростые числа, равен произведению знаменателей этих дробей.—9. Общие делители повторяются наибольшее число раз. Например, если у одного знаменателя множитель 2 повторяется три раза, а в других знаменателях по одному только разу, то 2 берется множителем 3 раза, т.-е. наибольшее число раз.— 10. Общий наименьший знаменатель состоит из множителей 2X2X5X5=100, а приведенные дроби равны 75 90 48
----: ---и ---•
100 100 100
§ 55. Дробь, равная единице или больше единицы, называется неправильною; ее числитель равен или больше 5 4 7
знаменателя; например, -у, —, — и т. д.
Смешанным называется число, состоящее из целого
_ ,з i „ 1 .2
числа и дроби; например, в—; 2—; 3— и т. д. — 1- 2 у. — 2. 2|, 11|, 4 4 181; 51; Ijl; -3. 1(>1;
А3 А11 О1 А2 О78 <55
11 12 6 137 100 50 56
— 121 —
§ 56. 1. Складываемые дроби должны быть приводимы к общему знаменателю. Обычно приводят дроби к общему наименьшему знаменателю.
Разделите прямоугольник на 6 равных частей и назовите одну из них буквою А. Вы видите, что
1 половина прямоугольника = 3 А = 3 шестым-
1 треть „ = 2 А = 2 шестым.
Сумма . - = 5 А = 5 шестым.
Итак:
Приведение дробей к общему наименьшему знаменателю и их сложение производится и пишется следующим образом:
Рис. 36. Сложение дробей.
6
1-е дей-
ствие.
Данные дроби пишутся одна под другою;
общий знаменатель пишется направо внизу 1 3
под горизонтальною чертою, а справа от дан- 2 ных дробей пишутся числители приводимых 1 дробей, как изображено левой стороны, у 2
Затем числители складываются и пишутся ______
над общим знаменателем, как изображено 5 I5
5 т Иг
направо: 00
Все дей-
стзие.
Полученная дробь повторяется под данными дробями. Первая половина приведения изображена налево, а все приведение и самое сложение—направо. В действительности пишется так, как изображено направо. Если в сумме получается неправильная дробь(больше единицы), то она, как обык-1 новенная, пишется направо от вертикальной линии, — 3 а налево под данными дробями пишется смешанное 2 1 2
_ число. Пример: сложите -=- 4" V- Общий наимень-у 4 ший знаменатель равен 6; числители приведенных ----- 7 11
1 6 дробей равны 3 и 4; сумма равна г или 1у, что и ’б? п о
пишется под данными дробями.—л. jQ-> *у> 1 2’ is'
— 122 —
5 11 19. Н _ 27 25 13. 2L c J33. i21 ' (•
28’ 12’ 50’ 30'“ ‘ 40’ 28 ’ 48 ’ 1 * * * 36 ’ 40 ’ 420‘— ’’’
2
0- 8 При сложении смешанных чисел сле-
дует сложить сначала дроби, и если полу-
7?_ g чится неправильная дробь, то отделяется
4 целое число, которое и прикладывается к
~ сумме целых чисел данных смешанных 5 17 а
11— 1 чисел.
12 12 12
Можно располагать сложение и по горизонтальной
строке:
. 6, 7=1+2
3'4 3'4 и ' ' 12 ' 12
i" ' |3='4
Лучше, однако, располагать складываемые смешанные числа по вертикальному столбцу, как это делается при сложении целых чисел.
5 ,, 13 _ 7 11 х 1 5 53
л 7V’ 315’ 5Т2’~ а‘ 14Т2~’ 67’ 9- 16165;
23 ——10. 27—; 49—.- *1. Если смешанное число приводится к неправильной дроби, то целая часть его приводится к дроби с тем же знаменателем, что и знаменатель дробной части смешанного числа, и затем обе части
соединяются в одну дробь. НаприМер, привести 5- к не-к .. . 5X4 20
правильной дроби. Имеем: 5= = 4- эта дрооь, рав-
ная целой части смешанного числа,
складывается с его
дробною частью, 23 11 33 з£ 119. 287
и получается 4’ 3’ 5 ’ Т’ 8 ’ Т’
189 „ 56 43 — — 12. —z —’•> 5 . g ’ 8 52 113 832 121 13. 41 J9 53
7 ’ ~5 ’ ~3 ’ 4 ’ Р ~Т’ 6 ’
97 403 1415
9’ 4 ’ 1~ ’
3 1
§ 57. 1. Он отдал — - или ~2
1
того сахару. — 3. 2цнтн. — 4.
дыни. —2. 1 - кг коло-4
3
16-z- цнтн. пшеницы.— о
5. — всего запаса яЧменя.— 6. 20-^- дней. — 7. И'4’ кус-
ков.—8. 168-у ль— 9. Да, осталось.— 10. Да, есть.
— 123 —
§о8.1. До вычитания дробей они должны быть приведены к общему знаменателю. Обычно приводят дроби к наименьшему общему знаменателю.
Рис. 37. Вычитание дробей.
Нарисуйте прямоугольник и поступите как и в случае сложения дробей: разделите его на 6 равных частей одною горизонтальною и двумя вертикальными линиями и назовите Одну часть буквою А. Вы получите:
1 половина прямоугольника — 3 А 3 шестым.
1 треть „ = 2 А — 2 „
Разность . . = 1 А = 1 шестой.
или
1 J_ 1
2 — J " 6’
Самое вычитание производится и пишется так же точно, . как и при сложении:
I 2 з Общий наименьший знаменатель ра- 1 ~2 3
1 3 1 2 3 ?
1 з вен 2 : 2 6’ 3 6 Mri .ПЫ1ПРПЛ ; - — - даст в разно- 6 о в столбце дробей и 1 3 2
6‘ 6 1 1
— окончательно:
6 1 1 3 2 1 6 6
1-е лей- 2 3 6 б 6 Все лей-
ствие. ствие.
2. _5 . 1 ~8~’ ~8 ’ 3 -8 —3 10 ’ 35 ’ ’ ‘ 3 ~8~’ 1 5 1 _4 5. 9. 2 ’ 12 ’ 10 ‘ 48 ’ 34 ’ 55 152 ’
55 11 1 - 5 „ 5 13 13 38
72’ 5‘ 512‘ — 8. 3,; 3- о 12 ^24 • — 20’315’ 45 ‘
8 59. 8. 23 3- м.—9. 35-5, гкт. засеяны овсом.—19. В 3 4 12
первом мешке на 18 g- кг соли больше, чем во втором.—11. Чистый вес чая 14 * кг.—12. У него осталось
— 124 —
всего жалованья.—18. Другое слагаемое равно Зуг.— 5 1
14. Осталось 95-^- м.— 1в. До 1000 недостает 532у~.—
16. 92— - квинталов или центнеров. — 17. Разница равна
3 1 1
31- м. — >8. — часть. —19. — часть.
§ 60. 1. Умножить дробь на целое число значит взять дробь слагаемым столько раз, сколько единиц в целом числе.
1х4=А+2.+2+А=^=1|.
7 7777 7 7
3 _ 3 ( 3 3 3_3'Х4
8Х ~ 8 8 ’’ 8 8 “ 8
Я могу сократить полученную дробь, потому что у 4 и 8 есть общий делитель 4; после сокращения я получаю:
ЗХ4_ 3 _ 3 _ 1 8 ~8 4~ 2 “ 2 ‘
Итак: при помножении дроби на целое число, следует помножить ее числитель или разделить ее знаменатель на данное число.
„ з , 1 • _5 _ . 3 3 1 4 „4
3. 1у, 4у, Оу, 4-у, 2.-4. 1-у, 3“13’ 2у’
Ч>;3Т;11Г; /’ = '°; п '°; *2|>3*
7 17 2 17
45; 18; 16; 28.-6. 4~; Ю-;9; 7-; 10—; 11-;82;
7
151 — -7. Ери умножении смешанного числа на целое,
как целая, так и дробная часть смешанного числа умножаются отдельно на данное чивло, а при умножении смешанного числа на смешанное оба числа превращаются в неправильные дроби, которые и перемножаются по известным правилам.
Примеры:
1) 17-^ X 13 = 17 X 13+Л X 13 = 221 4-|5=22О Н- 1у = I Lt 1 1 IL.
— 125 —
ox oJx/ii1 281 ,25 7025 i
2) 35- X12y = -—X-7 = -7- = 4 j9-;52; 135;340; 222— ;
о L О L io Io 12
308 -f-; 840; 678; ЮЗг-у-.—8. 439^; 2291??; 2079-; 1654^
7 4 10 36 4 39
§ 61. 1. 247— л. — 2. 9— кг.—3. 8575 кг.—5. 103 .-и.—
з
5. 30 p 90 к—6. 9-^- кг масла.—7. 112 рабочих часов,— 1
8. Каждый проработал рабочего дня, а все вместе 12 рабочих дней. — 9. 420 часов.
4
§ 62. 1. Разделить на 2 значит раздробить на
2 равные части; при этом в каждой части будет в 2 раза 2 л
меньше, или Поэтому:
± ?- 4 : 2 - 2
9 9 9
2. Я не могу разделить 7 на 3 равные части без 1
остатка, но я могу каждую j уменьшить в три раза и
1 1- _ „ 7 7
тогда я получу = тг, а 7 таких частей равны о — = =7.
44 о А 9 о X о Z4
Итак,
7 7 7
— • 3 — — —
8 8 X 3 24'
Если числитель дроби не делится без остатка на данное число, то знаменатель данной дроби умножается на данное число. Поэтому:
При делении дроби на данное число следует ее числитель разделить или ее знаменатель помножить на данное число.
3 5 . 7 4 _L- 2 . 4 3 7 1 . 3
16’ 60’ 19’ Io' 13 ’ зГ’ 4?’ 40’ Г’ 100“
4. При делении смешанного числа на целое число, как целая часть, так и дробная, делятся отдельно и оба частных складываются, а если делимое меньше делителя, то смешанное число превращается в неправильную дробь, ко-
7. i5. .41.
торая и делится по известным правилам. у,
-19. U- Д7 8 • 89 • 25 к I1!- 7?1- 1—• 2—
z24 ’ 36’ 15 ’ 250’ 32' ® * 40’ ^200’ 26 ’ 35"
— 126 —
13 7 1
§G3. t.2 . va—2. 4 кг мяса. —3. По 168 стер. — S. 204. —
5 б-1- м-—6^ кг.- 7. 15-^ гкт. -3. 4, мешка.
4 4 2 3
9. з4 куб. м. —10. 5— кг. -II. По о кг.--12. , часа
4 4 о о
. . 2 “*2
или 10 минут. — 13. 63 стер. 14. р., или 8 к.
5 1
jf>. 6о куб. м. — 16. По Юаг кг, не тяжело.
О Z
§ 04. 1. Умножить 3 на -z значит найти от 3; это 3 о
2
действие условились писать следующим образом: ЗХ 5-
2
Для нахождения у от 3 я сначала делю 3 на 5 частей;
3 3X2
получив V’ я беру 2 такие части и получаю —z—. Итак: 3 3
Для умножения какого-нибудь числа на дробь я сначала делю данное число на знаменатель данной дроби и затем помножаю на ее числитель.
„ „ 2
2. По изложенному правилу я сначала делю 3
2 .
на э частей; получаю.......................-
з X
, 2X4
затем беру 4 такие части; получаю........., - -
Итак, при умножении дроби на дробь перемножаются числители обеих дробей и их знаменатели, и затем произведение числителей делится на произведение знаменателей.
3. Я строю прямоугольник и делю его вертикальными линиями на 5 равных частей, а горизонтальными на 3 равные части. Я получу 15 равных частей или клеток;
4
одну из них я называю буквою А. Я замечаю, что у прямоугольника содержат 12 таких клеток- Следова-
4 1 4
тельно у—i2 А. Если я возьму 3 от у прямоугольника,
, 14
то я получу 4 клетки; поэтому -г- от — прямоугольника о 3
2 4
равны 4 А, а 3 от 5 того же прямоугольника равны 8 А,
— 127 —
8 I
или j-. так как каждая клетка равна у прямоугольника. Мы условились называть результат от умножения числа , 2 4
на дробь их произведением; поэтому нахождение — от -*j о 4 2 8
или умножение , на - равняется Мы пишем: О О 1О
10
11
1 4
4. 3 з ; 4; 9; 8 1
19; 34;54;
2
. —а.
3
Тб’
5
2 1 88 56 12. 2 1 3 1
’35’ 15"’ 217’ 99’ 35’ 3 ’ 2’ 32’ 4
- 6.
24
35
1 U. iJ5- 2±-Я45- 84--18’ 36’ 2 7 ’ 8 56 ’ 84 10’
1365-' .
4
При умножении смешанных чисел я обращаю их в неправильные дроби, которые и перемножаю по известным правилам.
7 5 1
1. 41— р. 2. 1213у кг. — 3. 219 р. 37 у к. -
’ - 3 5
4. 1550 г кв м. — а. 5 учащихся. —6. в^ех студен-
тов.
1 .
§ 66. 1. Получится 4 раза, а именно 1:^—4.
2. Получится 8 раз, а именно l:g=8.--3. Из 1 кг
3 4 „ 4 4 х 21
выйдет 1: —= у пайка, а из 21 кг выйдет у 21— 3 пайков = 28 пайков.- 4. Если -у кг товара стоят 6 р.,
1 6 - 1А
то — кг стоит в 3 раза меньше, или -у р., аз пятых ш.,
— 128 —
Итак-6 р:у~~з~р-=10 р. — 5. Замечаю: надо помножить данное число на обратную дробь.— 6. В 298 дней.— 7. На 8 детей. — 8. 24 мешочка. — 9. По 6 клиньев.— 10. 21 флаг. — 11. 10 000 учащихся. —12. 240 чел.—
1 2 4 7 4
13. 52<; 51—; 93; 105; 18.—14. 1—; 1-^; 41; 3—. —
2 4 7 2
15. 43-т-; И4; 1~, 189 - —16. 20; 9; 108; 10б- -3 xi I У О
,5,5 29 2 „ 11
Г 12’ 1 24 ’ 35’ 1 9 2 418’
27 -4 2 5 ; 411;4-< - 5 1 36’ 56 6 12’ 3 • 14
1 14 1 9
в. 76; 8S.p48.-7. 4
§ 67.
1 1
3.
6 ’ 18
9-^; 7 15
1 . 2
’ V V’
1 „13
1 Т’ 2196’
5
72’
3
7 ’
12
49’
3 95 1
39— ; Ю—.— 9. — часть равна 5, 10 522 4
а целое 20. —10. 24. —
11. 327-’- цнтн. —12. 6э’ кг—13. 16571— р. —14. 8 р.— 15. 128 кг—16. 124 кг —17. 450 кг —18. 20 047^ кг — 20. На 129 дней. — 22. а) Средний суточный удой равен 3 7
15-77- л и б) в 298 дней можно ожидать 4525 молока.— 10 О
23. 1600 кг ржи и 3200 кг соломы. — 24. 54 чел.; рабочих
45 ч.—25. 25600 кг—26. Комсомольцев 44800 ч , а подростков 3
11200 чел. — 29. 8— м— 30. Ежедневный расход овса мо-з
жет быть в 2— кг—31. 1212 кг масла —32. 54 воспитан-
2
ника. — 33. 9 раз —34. Всего 12 служащих.—35.65—
§ 68 1. Получилось: 10 длинных полос; 100 малых квадратов; 1000 коротких полос и 10000 крошечных квадратиков.— 2. Одна длинная полоса составляет часть большого квадрата; один малый квадрат составляет часть
1
его; одна короткая полоса часть, а один крошечный квадратикбольшого квадрата.—3. Малый ква-1
драт составляет часть длинной полосы; одна короткая
— 129 —
1 1
полоса -од часть ее, и один крошечный квадратик 10од
часть ее. — 4. Короткая полоса составляет малого ква-
1
драта, а один крошечный квадратик — Q часть его.— 5. Деление некоторой величины на 10 равных частей и дальнейшее подразделение этих частей на 10, 1 ОС и т. д. равных частей называется десятичным делением а части — десятичными частями, в частности десятые деления.— 6. Десятичная дробь есть одна или несколько десятичных частей единицы; она имеет знаменателем 10, 100, 1000 или вообще 1 с некоторым числом нулей.— 7. Десятичная дробь может быть разложена на несколько дробей, знаменатели которых последовательно
„563
равны 10, 100, 1000 и т. д. Например, дробь может
_ 500 60 . 3 5.6.3
быть разложена на 1Ooq i ]ООо ' юоо’или 10 юо^Гооо ' 865
8. Дробь -- од читается в виде отдельных дробей следующим образом: восемь десятых, шесть сотых и пять 8.6.5
тысячных, или + + — " 5 десятых, 6 сотых, 3 тысячных и 9 десятитысячных. —10. Разряды десятичных дробей называются: десятые, сотые, тысячные, десятитысячные, стотысячные, миллионные и т. д., или 1-й, 2-й, 3-й, 4-й и т. д. разряды.
§ 69. 1. Для упрощения писания дробей, знаменатели которых суть 10, 100, 1000 и так далее, условились писать их без знаменателей, а перед десятыми ставить нуль с занятою, или нуль с точкою, или же просто одну точку; остальные же цифры числителя пишутся по порядку разрядов,— сотые, тысячные, десятитысячные и т. д. без 379
запятых или точек. Например, дробь пишется следующим способом: 0,379, или 0.379, или же 379 *).— 2. 3 сотых пишутся следующим образом: 0,03. Так как десятых долей нет, то на месте разряда десятых 5 . 7 . 3 573 6 .
ставится 0. 3. 1Q ^ООО-ЮОО-0’573’-4’ Ю
। 3 , 4 , 9 6349 „ „ _
+ ™+йй + юйо = »=О’6349- Заметьте, знаменатель
О Последний способ писания десятичных дробей без нуля, С одною точкою, принят американцами и англичанами; они став:;-точку выше обыкновенной, означающей знак умножения. Например, 0,379 они пишут: • 379.
Зндачиик по нач. агатеагативе, ч. П.
— 130 —
соединенной дроби тот же самый, что и последней дроби ряда отдельных дробей. —5 Знаменатель равен 10000. Разряды считаются, начиная от десятых, затем идут сотые, тысячный, десятитысячные и т. д. — 6- 100; 100 и 1000.— 7 10000; 10000 и 100000 — 8. 10; 100; 1000 и 10000.— 9. Обе дроби равны между собою. Первая дробь равна 5 десятым, а вторая 50 сотым, или 5 десятым и 0 сотым; 0 сотых означает, что их нет, — следовательно, обе дроби равны между собою. К тому же самому заключению я прихожу. если я напишу десятичные дроби в виде простых _ „ 5 50 5
дробей: 10 и —= —. Далее, я заключаю, что 0,5 = 0,50 = = 0,500 = 0,5000 и т. д. —10. Числитель 6, знаменатель 100, а вся дробь шесть сотых. —12. В смешанном числе целая часть числа отделяется занятою от дробной части; например, 8,5; 10,12; 3,33; 600,04; 17,059. При чтении десятичных чисел после прочтения целой части, отделенной запятой, следует ставить союз „и“. Например 8,5 читается: восемь и пять десятых; 10,12 читается: 10 и 12 сотых. Если не вставить союз „и", то может быть недоразумение; например, если 600,007 прочесть без союза „и“, то выйдет шестьсот семь тысячных, т.-е. 0,607. Следует читать: 600 и 7 тысячных.— 13. 0,3; 0,03; 0,003; 0,0003 ; 0,0737; 0,92, 0,092 ; 0,000654; 0,3027; 0,09; 0,008; 0,1; 0,0007: 0,000005 ; 0,025; 0,68; 0,001; 0.375, —14. 302.75; 718,004; 9,213,02; 836,024.0005; 25,025,00025; 200,0007.-15. 16,8 и 14,9.
§ 70. 1. Я пишу слагаемые одно под другим так, чтобы запятые были в одном и том же столбце, запятая под запитою, и складываю как целые числа по известным мне правилам; в итоге запятая ставится на том же месте, что и в слагаемых, под запятыми слагаемых. Например, при сложении 0,32-1-0,7865-1-0,5408 я пишу и складываю следующим образом:
0,32 0,7865 0,5ч08 1,6473
2. 1538, 2387, —3. 13318,1935.-4. 1617, 2631-
§ 71. 5. 4,95 р. в. 666,5 кг. — 7. 392,27 сект- — 8. 129,47 цнтн. ржи. -9. Всего продано на 1235,80 р.— И. Должно получился 1,00 и действительно это число и получается.
§ 72. 1. При вычитании десятичных дробей вычитаемое пишется под уменьшаемым так, чтобы запятая была под занятою, и затем вычитание производится по
— 131 —
правилам вычитания целых чисел. В разности запятая также ставится под запятыми. Например:
31,42 — 8,72
22,70
Если в уменьшаемом меньше десятичных разрядов, чем в вычитаемом, то справа ставится столько нулей, чтобы в уменьшаемом было столько же разрядов, как и в вычитаемом. Я знаю, что 31,42 = 31,420. Если поэтому из 31,42 вычитается 8,725, то я пишу:
31 120
8.725
22,695
2 1.32; 0,672; 1,55; 65,205, 904,104; 36,777.-3. 3936,997; 11,5371; 214,27.-4. 30,79; 714,453; 181,1523.
§ 73. 5. 9,75 квинт. — 6. 11,7 гект. определено под яровые хлеба. — 7. В ^первый год собрано больше: зеленой массы на 3,49 цнтн.; зерна на 4 цнтн.; сухой соломы .на 5,64 цнтн. — 8. 9,5 цнтн. —9. Осталось уплатит ь 440 р.— 10. На 4,75 к. —11. 10 кг гвоздей дороже 10 кг кровельного железа на 55 к., а 1 кг на 5*/з к.
§ 74. 1. Десятичные дроби перемножаются как целые числа, и в произведении отделяется занятою столько цифр справа, сколько десятичных знаков в множимом и множителе вместе взятых.
Пример: я умножаю 0,76 на 0,6. Я пишу обе десятичные дроби в виде простых дробей и перемножаю их; получаю:
76 . . 6 456 _
100 Х 10 “ 1000 —0, 6’
Если бы я перемножил 76 и 6 как целые числа, то получил бы 456, а при перемножении десятичных дробей справа отделяется запятою столько цифр, сколько десятичных знаков (или разрядов) в множимом и множителе вместе взятых: 2-[-1=3 десятичных разряда или знака. Я получаю 0,456. — 2. 142; 1,42; 14,2; 0,0142; 0,142; 1,42. 14,2; 0,0142.-3. 0,4035; ЗО7,2и69; 5,945178; 0,2316875.— 4. 44,03266; 20259,648; 0,1366818; 0,00000081.
9*
— 132 -
§75.5.130кговса.—6.1350кг соломы.—7. 231,13кгржи.—
Примечание. При перемножении десятичных дробей приходится иногда округлять произведение. Если, например, во множимом 3 десятичных знака, а во множителе 2, по существу же задачи не требуется более 3 десятичных знаков, то два знака отбрасываются или произведение округляется до трех десятичных знаков. При округлении произведения удерживаемый знак или остается без изменения или же увеличивается на 1 единицу; он остается без изменения в том случае, если отбрасываемый знак меньше 5, и увеличивается на 1 единицу, гели отбрасываемый знак равен или больше 5. Например, 5,25 р. умножается на 1,37. По существу задачи следует удержать только копейки или сотые доли рубля, т.-е. только 2 знака; в произведении же получаетси 4 знака:
5,25 р. X 1,37 = 7.1925 р.
Откидывая третий и четвертый знаки, я оставлю удерживаемые два знака без изменения и получаю 7,19 р.
Если 3,67 р. умножаются на 2 25, то в произведении получается:
3,67 р. X 2,25 = 8,2575 р.
Откидывая два последних знака 75, я должен последний из, удерживаемых знаков увеличить на 1 и получаю: 8,26 р. В торговле при округлении произведения удерживаемый знак всегда увеличивается на 1 единицу, за исключением тех случаев, когда отбрасываемые знаки равны нулю.
8. 105о,69 р. — 9. 15,26 м.—10. Длина стенки 29,5 м; длина наружного края дорожки равна 44,6 ж. —11 и 12. Все советские служащие распределяются по 17 разрядам тарифной сетки, с таким расчетом, что самый старший (17 разряд) получает в 5 раз больше, чем самый младший (1-го разряда) при сетке 1:5 или в 8 раз при сетке 1:8. Промежуточные разряды имеют соответствующие дробные множители (коэффициенты) от 1,2 до 4,7 в сетке 1:5 и по 1,4 до 7,4 в сетке 1:8. Служащий в задаче 11 получает
26,82 р. а в задаче 12 — 54,04 р.
§ 76. 1. Делю сначала целую часть 51-57
делимого на 57 и получаю целую часть ’---
частного, именно 3. Помножив 57 на 3 ---- 3,43
и, вычтя произведение 171 из 195, яполу- 245 чаю остаток в 24 единицы. Раздробив 228
24 единицы в десятые доли и прибавив 171 5 десятых делимого, я получаю 245 деся- ш
тых. Разделив их на 57, я получаю —-
в частном 4 десятых, которые и пишу и
после запятой. Помножив 4 десятых на 57, я получаю 228 десятых, которые вычитаю из 245 десятых; в остатке получаю 17 десятых. Раздробив остаток в сотые доли и прибавив одну сотую делимого, я получаю 171 сотую,
— 133 —
которые делятся без остатка на 57; в частном получается 3 сотых, которые и пишу после 4 десятых частного.
Итак, при делении смешанного десятичного числа на целое я делю сначала целую часть делимого и получаю целую часть частного, которую и отделяю занятою от следующей десятичной части. Весь порядок деления изображен направо. — 2. Может случиться, и это бывает часто, что смешанное число не делится без остатка на данное целое число. Например, при делении 195,83 на 57. Разделив 195,83 на 57, я получаю то же частное, что и в предыдущей задаче, и кроме того остаток 32 сотых, так что частное 32
будет 3,43 и — сотых. Очевидно, что искомое частное заключается между 3,43 и 3,44. Первое будет меньше искомого частного, а второе больше; оба частных будут приближенные; первое будет с недостатком, а второе с избытком. Если отбрасываемый остаток меньше половины делителя, то удерживаемый знак не изменяется, а если больше половины, то удерживаемый знак увеличивается на 1. В нашем случае 32 больше половины 57, 32
или —больше половины, и в этом случае 3,44 будет более точное значение частного, чем 3,43.
Для получения тысячных долей я раздробляю остаток 32 в тысячные доли и получаю 320 и делю их на 57; в частном я получаю 5 тысячных, которые и пиш\ на третьем месте. Для получения десятитысячных долей, следует остаток в 35 тысячных раздробить в десятитысячные и разделить их на делитель 57. В частном полу-чается 6 и остаток 8, который меньше половины делителя: следовательно более точное частное будет 3,4356.
195,8э00:57
171 3,4356
248
228
203
171
320
285
“350
342
8
— 134 —
Раздробление сотых долей в тысячные и далее в десятитысячные равносильно приписыванию нулей к делимому, оканчивающемуся только на сотых долях.— 3. Я заменяю это деление делением на целое число; для этого я умножаю делимое и делитель на 100; тогда делитель станет целым числом, и данное деление 27,345:0,63 заменится делением: 2734,5:63. Частное от этой замены не изменится, и я получаю 2734,5:63 = 43,4 — 4. В этом случае я также заменяю это деление делением на целое число; для этого я умножаю делимое и делитель на 1000; тогда данное деление заменяется делением на 244, именно: 768,8:244. Частное не изменит своего значения: оно равно 3,1, точнее 3,2. В данном примере делимое больше делителя; но может быть и другой случай: делимое меньше делителя, например. 0,2795:0,873. Я заменяю эго деление делением на целое число; для этого я увеличиваю делимое и делитель в 1000 раз, что производится перенесением запятой на 3 знака вправо; получается:
279,5:873.
Так как 279 не делится на 873, то в частном я пишу О
279,5:873
261 03~
176
и ставлю запятую. Затем целое число 279 единиц раздробляю в десятые доли и прибавляю 5 десятых делимого; сумму их 2795 делю на 873; в частном получаю 3, а всего 0,3 с остатком 176. Если требуется получить для частного большую точность, то я раздробляю 176 десятых в сотые и делю 17о0 на 873; я получаю в частном 2 сотые, так что оно будет 0.32.—5. Разделить 0,363 на 27,56. Как и во всех предыдущих случаях я применяю то же правило: уничтожаю запятую в делителе: я получаю 2756; я увеличил его в 100 раз. Для того, чтобы частное не изменилось, я увеличиваю и делимое в 100 раз. Тогда мне придется делить 36,3 на 2756, что и сделано здесь:
36,30 : 2756
2756 0,0131
8740 точнее:
8268 0,0132
4720
2756
1964
— 135 -
Так как 36 не делится на 2756, то в частном я пишу О и ставлю запятую. Затем раздробляю 36 единиц в десятые и прибавляю 3 десятых делимого; получается 363 десятых; они гоже не делятся на 2756; поэтому в частном я ставлю 0 десятых; после этого я должен раздробить десятые в сотые и разделить 3630 на 2756; в частном я получаю 1 сотую, которую и пишу после 0 десятых. Полученный остаток 874 сотых раздробляю в тысячные и 8)40 делю на 2756; в частной! получаю 3 тысячных, которые и пишу после 1 сотой. Я продолжаю деление таким же образом до требуемого десятичного разряда.— 6. 25,08; 250,8; 2508; 25080. —7. 2,1; 112; 0,55; 0,7.— 8. 63,59; 20,191; 3,046; 7707. —9. 401,2; 0,965 ; 0,914; 0,1. — 10. 0,71; 3,13; 581,63; 0,25.
При делении на десятичное число я переставляю как в делимом, так и в делителе, запятую на столько мест вправо, чтобы делитель стал целым числом; от этого делимое и делитель одновременно увеличиваются в 10, или 100, или 1000 и т. д. раз; частное же от этого не изменится. Затем деление производится по правилам деления целого, дробного или смешанного десятичного числа на целое число.
§ 77. 1.72 мешка. — 2.160 участков.— 3. На ПО дней,— 4. 1375 р.—6. Ставка 1-го разряда получится от деления оклада24,05 р.на коэффициент2,6,именно24,05:2,6—-9,25 р. — 7. 500 чел. молодежи.
§ 78. 1. Ширина класса 5,72 м.—3. Рабочих 0,54 всего состава,а интеллигентов — 0,46.—5. На каждую ножку стола давление равно 15,53 кг.—6. 21,7 кг. — 7. 186,75. — 8. В Германии 7000; в Италии 5000 и в Польше с Финляндией 5200 чел. — 9. 28,5 цнтн. —10. В 15 дней. —11. 5,1 литр сливок. —12. а) 20.55 дес.; б) 6,85 дес. —13. 25,5 цнтн. С гектара получится столько центнеров, сколько килограммов с опытной делянки. Опытными делянками называются небольшие участки земли для опытных посевов при изучении влияния натуральных или искусственных удобрений на урожай хлебов и сельско-хозяйственных растений. Обыкновенно на нескольких делянках ставятся опыты с различными удобрениями, а одна делянка, называемая контрольной, оставляется без удобрения. На опытных делянках производятся и другие опыты, например, опыты над способом обработки почвы, над временем посева семян и т. д. Весьма удобными являются делянки в часть гектара или в 100 кв. .н, называемая аром.— 15. Средняя стоимость одного пожарного случая (убытка) определилась в 1674,74 р. —16. а) Завод получил чистой свеклы 2287,8 цнтн.. а 172,20 цнтн. скинуто на грязь.—
— 136 —
17. Ежедневно вспахивается 0,4 гект.—1С. В Германии по 16,36 р. на человека, а в Италии по 3,40 р. —19. 15; 102,5; 57,5; 256 кг, а всего 431 кг. — 20. 57,5 кг; 32,5 кг.— 21. 31,8 цнтн. — 22. 9,17 р.—23. Я делю числа 1920 и следующих годов на соответствующие числа 1916 года; например: 6252 —= и т- Д- и получаю следующую таблицу:
Засеянная площадь
Годы озимых хлебов яровых хлебов
1916 1 1
1920 0,81 0,59
1921 0,83 0,75
1922 0,94 0,88
1923 0,99 0,92
из которой видно, как быстро восстановляется сельское хозяйство Северо-Западной области, пришедшее в упадок во время империалистической и гражданской войны. Можно предсказать, что в ’924 году посевная площадь будет уже не меньше, чем в 1916 году, а в 1925 году будет больше. Особенно быстрс восстановились посевы яровых хлебов. —24. Поля и луга занимают 61,9 дес., составляющих 0,95 всей площади участка — 25. В огороде рассыпано 24 кг чилийской селитры Чилийская селитра весьма ценное искусственное удобрение; она содержит азотистое вещество, необходимое для растений. Чилийская селитра привозится главным образом из Чилийской республики в Южной Америке, где она добывается в рудниках, содержащих большие залежи ее. —26. Из 1664 кг цельного молока получится 62,8 кг масла. — 27. Отпущено 36 квинт, и осталось 64 квинт. — 28. Стоимость постройки 13884,98 р., и кроме того зодчему 485,97 р., а всего 14370,05 р. Зодчий или архитектор, это — художник, изучивший правила постройки жилых домов и общественных зданий. — 29. За 13 урочных дней он получил 87,5 X 13 = 11,375 р. При 8-часовом рабочем дне за 1 час приходится получитьк., а в по-о
луторном размере за 16 часов = -^-к. X 1,5Х 16ч.= 2,625р. о
и еще за 20 часов в двойном размере^?—к. X 2 X 20 ч.=4,375 р.; всего же 11,375 + 2,625 + 4,375=18,38 р.
§ 79. 1. Разделите числитель данной дроби на знаменатель по известному вам правилу, деления десятичного числа на целое число; вы и получите искомую деся-
— 137 —
точную дробь. Превращение производит! я следующим образом:
3,0 | 4
2’8 0.75
20
20
з
Итак: — = 0,75. 4
При превращении обыкновенной дроби в десятичную могут представиться два случая:
1) числитель данной дроби, раздробленный в десятичные доли, делится без остатка на ее знаменатель; например:
—=0,5; - = 0,25:4 = 0,4; -7= °-75 и т Д-
2 4 5 4
и 2) числитель данной дроби, раздробленный в десятичные доли, не делится без остатка на ее знаменатель; например:
1 1 а
—=0,333.....; — = 0,1428.....- = 0,27 27 27
3 7 11
В последнем случае приходится удерживать только те десятитысячные знаки, которые требуются задачею, а все остальные отбрасываются. Например: * рубля равна 0,3333... рубля. Первые два знака составляют копейки — 33 коп.; они имеют реальное значение, а третий десятичный знак составляет 3 десятых копе ки, которые не имеют практического значения, а потому они отбрасываются. Вместе с ними отбрасываются также тысячные и более мелкие доли рубля и копеек. Если отбрасываемые знаки больше 5, то последний из удерживаемых знаков увеличивается на 1 единицу. —2. 0,2; 0,25; 0,625; 0,6.—3. 0,33 р.; 0,14 кг; 0,273 м.
§ 80. Для обращения десятичной дроби в обыкновенную, я пишу ее в виде обыкновенной дроби с десяти-
ричным знаменателем, и привожу ее к сокращенному виду, а если нельзя, то оставляю несократимой. Например 0,25 = -^- = —. Следовательно, 0,25 =-1-. Десятичная 100 4 4
дробь 0,17 равняется —; она несократима. — 1. 4 ; —
100 4 50 20
J_- 2 - А-2 ’ 5 ’ 100’
—; —.—2. 1 - и —3. А и 525 комсомол-125 1000 20 4 4
— 138 —
. 4095 819 б , 8 о
рабочих. — 4.-----=------кг-, —цнтн. или 6 кг; -м или 8с.«;
Р ЮООО 2000 100 100
Q37
—— километра, или 937 м.
1000
§ 81. Средние величины выводятся из суммы всех измеренных или наблюденных величин, называемых вариантами, разделенной на число вариантов. Средние величины получаются путем вычисления и в природе не существуют. Например, средний удой молока одной коровы за неделю, месяц или удойный период, или средний удой нескольких коров; средний возраст учащихся в одном классе или в одной или нескольких школах,— все эти
средние величины получаются только путем вычисления, и не принадлежат ни одной корове и ни одному ученику; случайно один или несколько вариантов могут иметь то же значение, что и средняя величина. Средние величины выражаются обыкновенно смешанными числами с десятичными дробями. Иногда эти десятичные дроби не имеют смысла; например, при определении числа жителей на 1 гектар, может получиться среднее число 7,3 человека, при чем 3 десятых человека не имеют смысла, но их оставляют для того, чтобы показать, что число жителей в данной области не делится точно, без остатка, на число гектаров данной области. Если мысленно распределить жителей по гектарам, то на одних будет больше 7, а на других меньше 7. 1. Я складываю все записанные удои молока за неделю и делю сумму на 7 (число дней недели): (12,0-}-12,311,9 4-+ 11,8 12,0 + 12,2 4-12,4): 7 или = 12,1 литра.—2.407,1
литра. — 5. 15 лет 6,2 мес. и 15 лет и 3,4 мес.—6. Средний вес зерна одного снопа равен 1,84 кг; вес его с 8 снопов или с одной сотой части гектара равен 14,7 кг, а с гектара 1470 кг, или 14,7 цнтн. — 7. Я умножаю число вариантов на их возраст, складываю полученные произведения и делю сумму на число голов всего стада. Я получаю:
20 1 20
18 2 36
15 3 45
12 4 48
8 5 40
6 6 36
2 7 14
1 8 8
82
247
— 139 —
и делю —-— = 3,0 года, если же исключить молодняк 82
до двух лет, то получится ^L=4,3 года; это будет средний возраст молочного стада. — 8. 49,3 учащихся.
§ 83. 1. Треугольник имеет 3 угла. — 2. В угле А 90 градусов.— 3. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90е, сумма их, сложенная с'числом градусов прямого угла, именно 90°, дает 180е, что и должно быть у каждого треугольника.— 4. Если в одном угле прямоугольного треугольника 60е, то в другом 30°.______
5. Нет, не может, так как тогда на третий угол не придется ни одного градуса. — 6. Сумма двух других углов треугольника будет больше 90°. —7. В третьем угле содержится 180° - (65 + 85°) = 180 — 150е = 30°. — 8. В двух остальных углах содержится 180е — 130° — 50°.—9. В третьем угле содержится 180° — (130е-]-30°) = 180°—160° = 20°.— 10. 15 м. — II. 7 см. —12. 160 м X 3 = 480 м. —13. 4-J-2X X 2X4 .w = 20 м,—14. 1 (250 50) .м= 100 иг.
§ 84. 15. 1420 и. — 16. 2694,8 л». — 17. 2880 м. — 18. 4 м.—19. 90 кв. .и. — 20. 2880 кв. м.— 21. ^12 20-J-
. 9х 12\ кв — 29( кв. м. — 22.9 600 кв. м. — 23.3712,5 кв. м. — 2 ,
24. По внутреннему краю 240 см. Стекло содержит 3500 кв. см- Во всей рамке содержится 4 800 кв. см.— 25. 1697,76 кв. м.— 26. Во всем прямоугольнике 30000 кв. м. Надо отрезать столько кв. м, чтобы осталось 20000 кв. м, т.-е. 10 000 кв. м. Надо отрезать ‘ или 83 — 27. 112 досок.
§ 85. 28. 100,65кв.см,—29.7341,4кв..и.-30.1 635 кв..и.— 31. 568,7 кв. ж —32. 98 9 кв. м — 33. В вилке 14 кв. м, а во 16
всей стене 99,6 кв. м.—34. Площадь луга равна — (75,2 I--f-49,8) X 36,2 кв. лт=62,5 X 36,2 кв. jw=2 262,5 кв. м.—35. Высота трапеции должна быть в 200 м.
§ 86. 1 куб. м; 1 куб. дециметрам: 1 куо. мм. ЗС. 6 сторон. — 37. 24 прямых угла (в каждой стороне по 4 прямых угла). —38. Я помножил 3 kv6. см, т.-е. число куб. см. одного ряда, на число рядов и получил 3 куб. см X 3 раза или 9 куб. см, заключающихся в 1 слое,_я помножил на 3 по числу слоев и получил 9X3 куб. см— = 21 куб. см или 3X3X3 куб. см.— 39. 100 куб. см; 19 слоев; всего будет 100 X 10 куб. сл = 1000 куб. см.
— 140 —
40. 1000 куб. дм.— 41. 12 куб. см. — £2. 432 куб. лг-|-—1_ 50 000: -1 (294 -|- 200) j — 43. 77 куб. м. — №. 4,05 куб. м. — 45. 4 050 кг. — 46. 12,6 кг. — И. 5000 брусков. — 48. 118,8 куб. см. — 49. 1 142,12 куб. м. Стоимость работы по выемке земли равна 662,43 р. — 50. 5133 чел., или с округлением 5000 чел.
§ 87. 1. Если днем, то 12 часов, а если ночью, то 0 часов. — 2. 15 часов. — 3. Ночью четверть первого, днем 12 ч. 15 мин. или четверть тринадцатого.—4. Половина третьего.— 5. Без четверти 20 часов.—6. Часовая стрелка на VH1, а минутная на XII. — 7. Часовая стрелка на II, а минутная на XII. — 8. Часовая стрелка на V, а минутная на XII.—-9. 15 часов. —10. 18 часов. —11. 3‘/г часа.—12. 5 ч. 20 м. —13. а) 67 ’/г (в 12 ч. 30 м. и в) поезд прибудет в Лугу в 14 ч. 10 м.—14. Прошло 8 месяцев.— 15. 74 дня. —16. 71 день- —18. 76 ч. 42 м. 513/? с.—19. Обращение Меркурия и Венеры вокруг Солнца меньше года, а потому значение их оборотов остается без изменения: 87,97 дн.; Венера 224,70 дн.; Марс 1 г. 321,74 дн.; Юпитер 11 л. 314,95 дн.; Сатурн 29 л. 167,28 дн.; Уран 84 г. 8,23 дня; Нептун 164 г. 281,75 дн. Вокруг Солнца обращаются 8 больших планет, считая в том числе и Землю. Начиная от Солнца, они расположены в следующем порядке: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран и Нептун. Земля совершает свой оборот вокруг Солнца в 1 год. У Земли есть вечная спутница — Луна: она обращается вокруг земли в 27,3 дня. Меркурий и Венера не имеют спутников, а остальные планеты имеют: Марс 2, Юпитер 8, Сатурн 10, Уран 4 и Нептун 1. Все спутники, кроме Луны, очень слабые и могут быть видимы только в астрономические трубы или телескопы. — 20. Ньютон умер 31/111 1727 г. (20/111 стар. ст.). Исаак Ньютон величайший гений; он открыл закон тяготения, явившийся основою всех современных физических, механических и астрономических наук. Без знания закона тяготения нельзя было устроить современные железные дороги, современные пароходы и фабричные машины, значительно облегчающие, как известно, труд человека. — 21. К. Маркс умер 14/III 1883 г. — 22. 7/Х1 1917 г. — 23. Галилей один из великих астрономов Кроме изобретения астрономической трубы, он открыл законы качания маятника, без чего нельзя было построить часы; он открыл небесные светила, пятна на Солнце и объяснил целый ряд явлений. Телескоп Галилея был маленький, с объективом всего в 2 дюйма, а в 1892 г. американец Иеркес построил обсерваторию и установил в ней громаднейший телескоп, объектив которого имеет в диаметре 40 дюймов. — 24. 12'11!
— 141 —
1917 г. — 25. Иван Федоров напечатал в России первую книгу в 1565 г. —26. фр. Энгельс умер 5/VIII 1895 г.— 27. Первый пароходный рейс совершен 9/VI1I 1803 г. Сначала пароходы были маленькие, слабосильные, а в наше время их постройка доведена техникой до громадных размеров. Современные пароходы перевозят целые города: несколько тысяч человек и большое количество грузов. —28. 14/IX 1917 г. —29. 7/Х1 1918 г, —30. 11/XII 1857 г.— 33. В. И. Ленин прожил 53 г. 9 м. 11 дн.— 36. В 1769 г. — 40. Фр. Энгельс умер 6/VI1I 1895 г., а В. И. Ленин родился 10/1V 1870 г.; следовательно ему было 25 лет 3 мес. и 27 дн. — 41. Через 1 м. 18 дн. —44. На 1 г. 7 м. 28 дн. поз ке. — 45. Лавуазье был французский академик; его открытие считается величайшим: ни одна частица вещества, как бы мала она ни была, не может исчезнуть, и из ничего ничего не может создаться. Этот закон называется „вечностью материи". — 46. Эдмунд Галлей был другом И. Ньютона и помогал ему в вычислениях закона тяготения. Составление таблицы смертности относят к 170G г. Все общества взаимного страхования жизни основаны на этих таблицах. Страхуя свою жизнь, человек обеспечивает жизненное существование своей семьи после его смерти. — 47. Жнейки или жатки составили могущество Сев. Америки и ее богатство. Изобретатель их Мак-Кор-мик избавил человечество от необходимости с большим трудом, и утомительною работою жать серпом рожь, пшеницу, овес и др. растения; одна его жатка заменяет труд семи человек; они распространены по всему земному шару. В Сибири, Азии, Африке, Австралии, не говоря об Америке и Европе, жатки работают и доставляют человечеству изобилие хлеба. — 48. В. И. Ленин родился 10/1V 1870 г. —49. 7/Х1 1917 г. (нов. ст.). —50. 86 лет.— 51. 18/1II 1871 г. —52. 56 л. 8 м. 4 дн. —53. 344 года.— 54. 5'V 1818 г. —55. 29/Х 1905 г,—56. 1/Х11 1922 г. — 57.22/ХП 1922 г. — 58. Грегем Белль принадлежит к числу гениальных изобретателей. Едва ли можно себе представить теперь жизнь без телефонов. Телефон доставляет неисчислимые удобства жизни, ускоряет работу и уменьшает наши расходы; мало того, обеспечивает безопасность нашей жизни.
59. Через 20 лет.— Изобретение А. С. Попова причисляется к великим нашего времени. В настоящее время оно так усовершенствовано итальянцем Маркони (после смерти А. С. Попова), что без электрических проводов можно разговаривать, как по телефону, слушать лекции Университета, концерты и т. д. Можно разговаривать на громадны; расстояния.
Конец второй части.
Алфавитный указатель предметов.
Цифры без § означают страницы ключа.
Автомобиль § 44; § 51.
Азовское море ПО.
Америка 87; 136; 141.
Аму-Дарья 105.
Амур 103.
Англия § 41; 115.
Араб § 57.
Аральское море 105.
Армия Красная § И; § 33.
Артель § 33; § 42.
Астрахань § 25.
Астрономическая труба § 87. ПО.
Аэроплан § 20.
Бак водяной § 86.
Барашковые шкурки § 24; 105.
Безработные § 44.
Белль. Грегем § 87, 141.
Бетонные работы 8 78.
Библиотека § 13; § 24; § 39.
Бордосская жидкость § 44.
Буксир § 25.
Бухара, бухарец § 24, 105.
Великая Октябрьская Революция § 2; § 4; § 13; § 41; § 66 § 87, 116.
Великий океан 103.
Верблюд § 57.
Веялка § 25; 105.
Взмет пара 103.
Вилки столовые § 11.
Водопроводные работы § 78.
Военные учреждения § 42; § 51.
Возраст, таблицы зозр. § 81.
Волга § 33; 108.
Воск, вощина § 34; 109.
Восточная Сибирь 103-
Временное Правительство § 87.
Высшие учебные заведения'§ 75.
Галилей § 87; 140; 141.
Галлей. Эдмунд § 87; 142.
Гальвани, гальванизм § 87.
Гамбург § 44.
Германия § 78; 135; 136.
Гипс § 42.
Год простой § 87.
Гольды 103.
Госуд. Сберегательная Касса § 21; 103.
Грегорианский календарь § 87. Грибная болезнь яблони § 44. Громовой удар § 28.
Губернии: Астраханская § 15, Виленская § 15. Витебская § 15, Казанская § 15, Костромская § 15, Ленинградская § 45; § 78, Минская § 15, Нижегородская § 15, Новгородская § 44; § 78; 114, О донецкая § 44,114,Псковская §78, Самарская § 15. Саратовская 8 15, Симбирская § 15, Тверская § 15, Херсонская § 15, Череповецкая § 78, Ярославская § 15.
Губернское Страховое Учреждение § 78.
Губернский Съезд РКСМ § 67.
Губком § 67.
Гумно § 84.
Гутенберг § 87.
Декабристы, их восстание § 87
Декрет об Единой Трудовой школе § 87.
Декрет ВЦИК о международном юношеском дне § 87.
Делянки, опытные § 78; 114; 135.
День леса § 25.
„Деревенская беднота", газета §37. Детский дом § 57,
Детский праздник § 25; § 66.
Детское Село § 87.
Дон, область. Донбас § 35- 110. „Друг детей*, организация § 39. Жатка, жнейка § 87; 141.
Железные балки § 78: § 86.
Железные дороги § 51, § 59; § 63; § 87; 115; 119.
Живой вес § 67; § 78.
Жилищные организации § 51.
143 —
Завод § 33; § 39; § 44; § 48; § 61;
135-
Завком § 48.
Звериный промысел § ЮЗ.
Звук § 28.
„Зигзаг", борона § 33; 109.
Земельный кодекс § 87.
Земляные работы § 78.
Земной шар 106.
Зодчий § 78; 136.
Зубчатые колеса § 44.
Ивановская рожь § 73 Изба-читальня § 37. Известковый камень § 44; 114 Известь обожженная § 78.
Индия британская § 44.
Интернат § 13; § 48; § 61; § 63;
Иркутск § 28: 106.
Италия § 78; 135; 136.
Каинит § 78.
Калийная соль § 24; § 13; § 68.
Каменный материал, работы § 78.
Кант, рамки § 84.
Караван § 25-
Карелореспублика § 78.
Касса Взаимопомощи § 44, 114.
Квартира городская § 44.
Керосин § 67-Киев § 52; 119. Кирпич § 44; 107. Кирпичный завод § 44. Китай, китайцы ЮЗ.
Книги § 14; 16.
Ковер 105.
Коллектив § 41.
Комитеты Взаимопомощи § 44.
Коммуна § 67; § 71.
Коммунальные учреждения § 15;
§ 24, § 51
Комсомольцы § 71; 119; 128.
Конбаза § 78 Конференция § 15.
Кооперативы § 15; § 24; § 28; § 42; . § 57; 102.
Кооператив „По построво" § 48. Копа § 33; 108.
Корабль парусный § 62.
Корейцы 1ОЗ._
Корчевка § 77.
Коэффициент жалованья § 75; 77; 135.
„Красная Газета" § 3; § 37. Крахмальный завод § 24. Крестьянский заем § 33; § 37; § 44. Крыша § 78.
Культотдел § 28.
Культура льна § 44; 114.
Кустари § 11; §16.
К-оньи. Жозеф § 87-
Лавуазье § 87; 148.
Ладожский канал, озеро § 39; 111.
Ленин, В. И. § 44; § 87; 141.
Ленинград § 1; § 2; § 15; § 24; § 28;
§ 51; § 66; § 71; § 73; § 87; 107;
111; 113.
„Ленинградская Прагда", газета § 37.
Ленинцы, юные § 37.
Лесные орехи § 37.
Лесторг § 33.
Луга, Лужский уезд § 44; § 87.
Магазинная надставка улья § 34.
Мак Кормик § 87; 141. ’
Малярные работы § 78.
Маиджуры 103.
Маркони § 87; 142
Маркс, К. § 87; 140
Масло § 67; 136.
Медный купорос § 44; 114.
Меридиан 107.
Метка § 33; 108.
Мешок § 77; 135.
Миргород § 51; 119.
Можайск § 39.
Молния § 28; 107.
Москва § 3; § 4; § 39: § 42: 111.
Московская Товарная Биржа § 73.
Мука полукрупка § 73.
Мыловаренный завод § 39.
Накат пола § 84.
Нева 111.
Низвержение самодержавия § 87.
Ниточная фабрика § 21.
Ножи столовые § 11.
Нью-Йорк § 44.
Ньютон § 87; 140: 141
Обсерватории § 87.
Общественная столовая § 44.
Общ. Друзей Воздушного Флота § 79.
Одесса § 42; 111: 113.
Омск § 44.
Освобождение кресть"н § 87.
Отдел Народного Образования § 7.
Откомхозы 102.
Отруби § 53-
Отрубной участок § 84.
Паек § 63; § 66; 127.
Панель § 51
Парижская Коммуна § 87.
Пароход океанский § 44; § 52; 141.
Первая большевистская резолюция § 87.
Первая Всероссийская забастовка рабочих § 87.
Переплетчик § 21.
Пишущая ма дина § 87.
Планеты § 87; 140.
Плотничные работы § 78.
— П4 —
Подвал § 86.
Поденщик § 5'
Подсолнечник § 63.
Подшефная волость § 36; § 61.
Поезд железной Дороги § 24; § 44.
Пожарный случай § 78; 135.
Полевая культура капусты § 29-Польша § 78; 135.
Пипов, А. С. § 87; 142.
Постройка дома § 78.
Потребительская лавка § 24.
Почтовые марки § 87.
Празднование 1 мая § 29.
Проспект 25 Октября § 29.
Пушнина § 3.
Пчелы § 45.
Пятнистость яблок § 44.
Рабочая неделя § 63.
Рабочий день § 37-
Рабочие § 21; § 24; § 44; § 61; 135.
Рабфак, рабочий факультет § 51;
§ 57; § 59; § 65; § 66: § 67.
Разряды жалованья § 75.
Революция в Германии § 87.
Реомюр § 10; 100.
Ремни § 71.
Римляне § 9; § 14.
РКП § 51.
РКСМ § 51; § 77; § 78.
Российская Коммунистическая Партия— РКП § 60, 76.
Ростов на Дону 111.
Рыба § 33.
Рязань § 15.
РСФСР § 87, 105.
Сад городской § 75.
Самарканд § 1; 98
Сахар, сах. свекла § 42; § 57; § 66;
§ 44.
Сборка машин § 39.
Свержег ие Монгольского ига § 87.
Свержение самодержавия § 87.
Сверхурочные часы § 44.
Свирь, река 111.
Северо-Западная область § 4, § 10, 93.
Секционные рамочки § 32.
Сельский союз § 44.
Сельское общество § 78.
Сельско - хозяйственное общество
§
Сернокислый аммоний § 67.
Сетка жалованья § 75.
Сибирь § 15; 103; 141.
Симентальская корова § 66.
Слесарные работы § 78.
Служащие § 50; § 75.
Смола § 39.
Смольный § 7.
Смычка § 33.
Собрание § 61; § 62; § 65.
Совет Волостной § 79.
„ Народных Комиссаров § 87.
„ Народного Хозяйства § 44.
„ Рабочих Депутатов § 36; 8 86;
§ 87-
,, Служащих § 122.
Советское Правительство 109.
Советское учреждение § 39.
Совхоз § 15; § 51; § 44; § 59; § 71;
§ 78; § 81.
Соед. Штаты Северной Америки § 44
Солнце § 44.
Соль поваренная § 44.
Союз § 34.
„ Деревообделочников § 44.
„ Металлистов § 44.
„ Нарпитания § 44.
„ Печатников § 44.
„ Пищевиков § 44.
„ Работников Просвещения § 15;
§ 20.
„ Сельск<-хозяйственный § 78.
„ Текстильщиков § 44.
„ Швейников § 44.
СССР § 7; § 44; § 78; § 87; 98; 99;
115; 119.
Ставка содержания § 75; § 77; 135.
Стекольные работы § 78.
Страхование жизни, стр. учреждеийя
§ 78; § 87; 141.
Студенты § 7; 127.
Сунгача, река 103.
Суперфосфат § 63.
Таблица смертности § 87.
Телефон § 87, 141.
Тепличные рамы § 33.
Тетпади § 44.
Технологический Институт § 66.
Товариществе § 44.
Томас-шлак § 1; § 73.
Трамвай § 1; § 51; 99; 102.
Греет советский § 4; § 10.
Трост § 33; 108.
Тюрьмы § 8
Убойный вес § 67
Уборщица школы § 77.
Удои пробные § 67.
Удойные дни, периоды § 21 ;§ 44; 128.
Уездный Отдел Народного Образование (УОНО) § 7.
Улей § 15.
Улица большого города § 51.
Умолот § 33.
Уполномоченный Цонбаса § 44.
Уральский хребет, Уральск 114.
Урожай § 33; § 45.
Уссури, река 103.
Уссурийский край § 21, 103.
— 145 —
Фабрика § 33; § 51; § 63; § 78.
Февр. Революция § 87.
Федоров, Иван § 87; 141.
Феодосия, порт § 52.
Финляндия § 78; 135.
Фронтон § 9.
Фундамент дома § 78.
Хавка, огеро 103.
Харьков §52; 119.
Хутор § 15; § 61.
Хуторское хозяйство § 67.
Ху горской участок § 44.
Царицын § 25.
Цельзиус § 10 100.
Центральный Дом Крестьянина § 87.
Цибик чая § 59.
ЦК МОПР § 78.
ЦК РКП § 78.
Чальмерс. Джемс § 87.
Часовой пояс § 28; § 42;
Часы § 87.
Черкасский скот 111.
Черепица § 44; 115.
Чилийская республика 136.
> селитра § 67; § 78; 136.
Шведский толь § 39; 110.
1Чевченко, Т. § 52.
Школа городская § 73.
» начальная § 13.
» плодоводства § 42.
> сельская § 25; § 67.
> трудовая § 39; § о Г, § 87.
Шоссе § 98.
Штукатурка § 77: § 78.
Щипцовая стена § й5.
Ювелир § 33.
Юлианский календарь § 87.
Яблоневая парша § 44.
Яблони, яблока § 33; § 71; 111; 114; 115.
Электрическое освещение § 41; § 78.
Электрическая станция § 63.
Электрическое явление § 87.
Электротехнический Институт § 67. Энгельс. Фр. § 87; 141.
ОГЛАВЛЕНИЕ 11 ЧАСТИ.
Предисловие.................. .... .
стр.
3
Счет и нумерация.
1. Повторение чисел меньше 20............................. 5
2. Повторение чисел от 20 до 100.......................... 5
3. Числа от 100 до 1000 .... .................... б
4. Числа больше 1000 ... ..............
5. Классы числа . ..... .... . . . 8
6. Упражнения............................................. 9
7. Русские деньги........................................ 10
8. Русские счеты... ......................... 11
9. Римская нумерация.................................... 12
10- Термометр и измерение температуры ................... 13
Сложение.
11. Повторение пройденного................................ 14
12. Устное сложение и упражнения в беглом счете........... 15
13. Задачи............ .................. ... 17
14. Сложение двух и многозначных чисел. .18
15 Задачи......................................... . 19
16. Сложение многих чисел.......................... . 21
17. Испытание на скорость счета ... . . 22
Вычитание.
18. Повторение пройденного. . . ... . . 23
19. Упражнения ......................................... 24
20. Действие вычитания в тех случаях, когда значение цифр вычитаемого меньше значения цифр соответствующих разрядов уменьшаемого или равны им.................... . . 24
21. Задачи............................................. . 25
22. Действие вычитания в тех случаях, когда значение правой цифры вычитаемого больше значения правой цифры уменьшаемого.................................................
23. Действие вычитания в тех случаях, когда значение нескольких правых цифр вычитаемого больше значения пред-стоящих цифр уменьшаемого. . . ........... . .
24. Задачи......................... ....................
147 —
,s определения........................................... 2т
упражнения................................. - - 30
; Упражнения с множителем меньше 13 31
2$. Задачи............................................... 32
79 Множитель равен 10, 100, 1000 и т. д. . - 33
ЗО'. Множитель разрядное число ... 33
31' Множитель больше 12 . . 34
ЗХ Упрат нения 34
зз’ Задачи.................... 34
3-’. Упрощенные правила умножения . 36
у. Деление.
35 Определения, у • / - . . ..... 38
36. Деление на ысли! меньше 13 . . 38
37. Задачи. . / Л- - .39
38. Остаток у . ...... 40
39. Задачи-.^, . ....................... 40
40. Деление яДьших чисел на числа меньше 13 41
41. Деление на числа больше 12 ... . 42
42. Задачи.................. . 42
43 Деление больших «исел .... . 43
44. Задачи на все четыре действия - 43
45. Скобки. . ................................ 49
46. Некоторые упрощенные приемы для устного счета 50
47. Делители и множители................. . 51
48. Задачи...................... . 51
49. Общий наибольший делитель ... 52
50. Кратные числа. ... . . . . 52
Дроби.
51 Обыкновенные дроби . .
52. Сокращение дробей................... ....
53. Приведение дробей к общему знаменателю...........
54. Приведение дробей к общему наименьшему знаменателю .
55. Дроби больше единиц, равные единице и смешанные числа............ .... .............. .
56- Сложение дробей ....
57. Задачи.................
58- Вычитание дробей
“9- Задачи..........................
°" Умножение дроби на целое число -
G1- Задачи.................
Деление дроби на целое число -
Задачи......................
“4 Умножение на дробь................... ...
Задачи.................. -
Деление на дробь и задачи...............
°’- Упражнения и различные задачи на дроби. . . .
53
54
55
56
57
57
58
>0
60
61
62
63
64
65
66
66
67
— 148 —
Десятичные дроби.
68 Определения.............................
69. Обозначение и нумерация десятичных дробей
70. Сложение десятичных дробей . ...
71. Задачи. .... ....
72. Вычитание десятичных дробей . . .
73. Задачи................. ...............
74. Умножение десятичных дробей ... ...
75. Задачи. . . . . .
<6. Деление десятичных дробей
77. Задачи........................................
78. Смешанные задачи на все четыре действия над десятичным! дробями............................... .... •
79. Превращение обыкновенных дробей в десятичные.
80. Обращение десятичных дробей в обыкновеннее.
81 Средние величины ........... . . . . ..........;
Задачи прикладной гео л' т в и и
82. Углы и их измерения
83. Треугольники...................... ’%- . .
84. Прямоугольники и квадраты, их площади и плбша. нря! моугольных треугольников . . А> . .1
8г>. Параллелограмм и трапеции: площади косоугольных я туло-1 угольных треугольников. .............. . .
86. Объемы кубов и брусьев .
87. Задачи на время........ ...........................
Упражнения и задачи . . . . . ....
Отие^ы.............................. ................
Алфавитный указатель предметов. . . ...