А. В. Георгиевский
УСТОЙ Ч И ВОСТЬ П POUECCOB
ДЕФОРМИРОВАНИЯ
ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ
УРСС
Москва, 1998

Г363
Д. В. ГЕОРГИЕВСКИЙ. Устойчивость процессов деформирования
вязкопластических тел. М.: «УРСС», 1998. — 176 с.
Рассматриваются задачи механики деформированного твёрдого
тела, связанные с устойчивостью идеально- и вязкопластических
течений. Приводятся соответствующие постановки задач, обобщающие
известные постановки для идеальных и вязких несжимаемых
жидкостей. Значительное внимание уделяется энергетическим методам
решения и получению интегральных оценок устойчивости невозмущённого
процесса деформирования. Решаются некоторые нестационарные
краевые задачи идеально- и вязкопластических течений в неклассических
областях, а также с учётом движения границ жёстких зон.
Для научных сотрудников, аспирантов и студентов,
специализирующихся в области механики деформированного твёрдого тела и
гидродинамики неньютоновских жидкостей.
Рецензенты:
кафедра прикладной математики МГТУ им. Н.Э.Баумана;
доктор физ.-мат. наук, профессор АТ.Петров
Издательство «УРСС». 111672, г. Москва, ул. Новокасинская, д. 27/174.
Лицензия ЛР №063377 от 23.05.94 г. Подписано к печати 30.12.97 г.
Формат 60X88/16. Печ. л. 11. Зак. № у
ТОО «Типография ПЭМ».
121471, г.Москва, Можайское шоссе, д.25.
ISBN 5-88417-129-3 © Д. В. Георгиевский, 1998.
© Издание: «УРСС», 1998.

Содержание
Предисловие 6
Предисловие автора 8
Глава 1. Критерии и методы исследования устойчивости процессов
деформирования 11
§ 1. Математические определения и критерии
устойчивости процесса 12
§ 2. Устойчивость относительно малых и конечных
возмущений параметров основного движения, внешних,
начальных данных и геометрии области 25
§ 3. Устойчивость процессов деформирования относительно
возмущений материальных функций 31
§ 4. Устойчивость материала по отношению к изменению его
внутренней структуры (применительно к композитам)
и немеханическим взаимодействиям 36
§5. Потеря устойчивости при численном моделировании
процесса 39
Глава 2. Общая линеаризованная задача устойчивости нелинейных
течений 42
§6. Общая краевая задача устойчивости относительно
малых возмущений 42
6.1. Типы определяющих соотношений материала .... 42
6.2. Постановка начально-краевой задачи устойчивости . 44
6.3. Общая схема метода интегральных соотношений и
основные теоремы 48
§ 7. Устойчивость процессов деформирования тел с вектор-
но линейными соотношениями 52
7.1. Постановка задачи и её сведение к проблеме на
собственные значения 52
7.2. Сведение трёхмерной картины возмущений к
двумерной и обобщённая теорема Сквайра 53
7.3. Обобщённая задача Орра—Зоммерфельда (ОЗОЭ). . 57
7.4. Метод интегральных соотношений и достаточные
интегральные оценки устойчивости у

4
СОДЕРЖАНИЕ
7.5. Минимизация квадратичных функционалов и
нахождение оценивающего параметра 63
Глава 3. Устойчивость вязко- и идеальнопластических течений . . 68
§ 8. Обобщённая задача Орра—Зоммерфельда для процессов
деформирования вязкопластических тел 71
8.1. Оценки устойчивости вязкопластических течений как
следствия полученных в§7 71
8.2. 0303 для одномерного вязкопластического сдвига . 74
§9. Плоское вязкопластическое течение Куэтта 76
9.1. Нижние оценки критических чисел Рейнольдса ... 76
9.2. Оценки фазовой частоты колебаний 79
§ 10. Плоское вязкопластическое течение Пуазейля 80
10.1. Нижние оценки критических чисел Рейнольдса . . 80
10.2. Плоскопараллельное движение тяжёлого слоя по
наклонной плоскости 83
§ 11. Диффузия вихревого слоя в вязкопластической среде . . 84
11.1. Тангенциальный разрыв скорости на границе
полуплоскости 84
11.2. Устойчивость точного решения задачи о диффузии
вихревого слоя в вязкопластической полуплоскости ... 87
11.3. Разрыв тангенциального напряжения на границе
полуплоскости 89
11.4. Устойчивость точного решения задачи о разрыве
тангенциального напряжения на границе
вязкопластической полуплоскости 91
§ 12. Вязкопластическое круговое течение Куэтта—Тейлора . 92
12.1. Невозмущённое движение и условия его
существования 92
12.2. Постановка обобщённой задачи
Орра—Зоммерфельда 94
12.3. Интегральные оценки устойчивости 96
12.4. Осесимметри^ные возмущения 99
12.5. Коротковолновые возмущения и вязкий предел . . 100
§13. Идеальножёсткопластическое течение Куэтта 101
13.1. Постановка обобщённой задачи
Орра—Зоммерфельда 101
13.2. Интегральные оценки устойчивости 102
13.3. Течение Куэтта в узком смысле и длинноволновое
приближение 104

СОДЕРЖАНИЕ 5
§ 14. Наследственно вязкопластические сдвиговые течения . . 106
14.1. Наследственно вязкопластическое течение Пуазейля
в плоском слое 107
14.2. Наследственно вязкопластическое течение Куэтта . 108
14.3. Постановка линеаризованной задачи устойчивости 110
Глава 4. Некоторые задачи о нестационарных вязко- и идеально-
пластических течениях в сложных областях 113
§ 15. Идеальножёсткопластическое течение внутри плоского
конфузора с криволинейными стенками 120
15.1. Постановка задачи о течении в плоском конфузоре
с криволинейными стенками 121
15.2. Независимость девиатора напряжений от q\ и
«псевдорадиальное» течение 123
15.3. Возможные ортогональные системы координат ... 124
15.4. Аналитическое решение задачи для спиралевидных
конфузоров 126
§ 16. Схлопывание сферического пузырька в вязкопластичес-
кой и нелинейно-вязкой среде 129
16.1. Движение границы пузырька в сферически
неоднородной среде и постановка задачи Коши 129
16.2. Влияние пластической составляющей 131
16.3. Влияние упрочнения 132
§ 17. Разгон и торможение тяжёлого вязкопластического слоя
на наклонной плоскости 133
17.1. Постановка начально-краевой задачи и
стационарный режим 134
17.2. Замена переменных и линейное скалярное
соотношение 136
17.3. Некоторые модели с нелинейным скалярным
соотношением 140
§ 18. Вязкопластические течения с малым пределом текучести 141
18.1. Постановка задачи о вязкопластическом течении с
малым пределом текучести 141
18.2. Тестовый пример 144
18.3. Течение в плоском конфузоре 145
Литература 149
Таблица 171
Contents 173

Предисловие
Книга, которую Вы держите в руках, посвящена устойчивости.
Это избитый и неопределённый термин. Он применяется и в житейском
и в научном смысле. Все знакомы с такими понятиями, как «морально
устойчив», «неустойчивый характер», «устойчивый банк». Все знают,
что стол может быть устойчивым на трёх ножках и никогда не устойчив
на двух.
В научном смысле при изучении устойчивости вводится объект
исследования (геометрия тела, траектория спутника, течение
жидкости, стержневая конструкция). Этот объект снабжается некоторыми
параметрами и мерами отклонения по этим параметрам. Кроме того,
вводится класс возмущений со своими мерами, по которым можно
судить насколько велики эти возмущения.
Каков бы ни был «реальный» объект исследования, при изучении
устойчивости рассматривается только его математическая модель, т.е.
в большинстве случаев проверяется устойчивость системы
дифференциальных уравнений с соответствующими граничными условиями и
начальными данными1*.
Тем не менее, каждый объект исследования требует
индивидуального подхода и применения специального математического
аппарата. Например, при рассмотрении динамических систем используются:
качественная теория дифференциальных уравнений, эргодическая
теория, теория фракталов и т.д. В последнее время исследуется переход
детерминированной системы к хаосу (две произвольные начально-
близкие точки фазового пространства расходятся друг от друга так, что
их будущее поведение становится уже непредсказуемым).
В механике сплошной среды подходы к исследованию
устойчивости в жидкости и в твёрдом деформируемом теле различны. В
жидкости, как правило, рассматривается переход от ламинарного
течения к турбулентному. Экспериментальное наблюдение такого перехода
доступно каждому, кто будет постепенно открывать водопроводный
кран.
В упругих твёрдых телах интересуются существованием смежных
форм равновесия системы, поэтому теория устойчивости упругих
систем может быть поставлена в связь с теорией бифуркации Пуанкаре.
^Фундаментальные основы обшей теории устойчивости з&тожнл в 1892 году
Л. М. Ляпунов.

ПРЕДИСЛОВИЕ
7
При рассмотрении неконсервативных задач упругости, а также
неупругих систем были разработаны другие подходы к исследованию
устойчивости. Было установлено, что для некоторого класса возмущений
система может быть устойчивой, а для другого класса —
неустойчивой. Однако в большинстве случаев потеря устойчивости в механике
деформируемого твёрдого тела трактуется как скачкообразный
переход в новое состояние. Такой переход называется прощёлкиванием,
катастрофой, коллапсом и т.д.
В предлагаемой книге описан подход к исследованию
устойчивости, который для некоторого класса задач объединяет подходы,
принятые при изучении, как жидкости, так и деформируемого твёрдого тела.
Автор исследует не только течение классической вязкой жидкости, но и
процессы деформирования вязкопластических, идеальнопластических
сред, тел с достаточно сложными определяющими соотношениями. Это
позволяет смоделировать течение металлов и полимеров при
различных технологических режимах, поведение пластов земной коры в поле
силы тяжести, течение нефте- и торфопродуктов в трубах и открытых
каналах.
Автор затрагивает проблему «турбулизации» твёрдых тел со
сложной реологией. Математические основы этой проблемы были заложены
А.А.Ильюшиным ещё в 30-е годы, но отложены в связи с начавшейся
войной и необходимостью использования теории малых упругопласти-
ческих деформаций для решения срочных задач. В книге уделяется
место и для трактовки устойчивости как непрерывной зависимости от
«входных данных». Такая трактовка используется, в частности, при
анализе разностных схем и вычислительных алгоритмов. Если же
вопрос об устойчивости системы решается численным методом, то важно
знать, является наблюдаемая неустойчивость следствием «физической»
неустойчивости или связана с неустойчивостью разностной схемы или
численного алгоритма.
Обобщение второй методы Ляпунова на бесконечное число
степеней свободы дал в своё время А. А. Мовчан. В книге даётся развитие
его идей, касающихся понятия устойчивости по двум мерам.
Вводятся более общие понятия и определения. Думаю, что они послужат
стимулом для дальнейших исследований в общей теории
устойчивости. Уверен, что читатель не пожалеет, что приобрёл эту книгу. Она
поможет ему ознакомиться с новейшими достижениями теории
устойчивости вязкопластических течений и настроит на оптимистический
лад в решении других важных проблем теории устойчивости.
Профессор
Б. Е. Победря

Предисловие автора
Трудно даже перечислить все труды и монографии, посвященные
устойчивости движения абсолютно твёрдых тел, а также процессов
деформирования сплошных сред. Начиная с классических работ Л.
Эйлера, Дж. У. Стретта (Рэлея), Г.Л.Ф. Гельмгольца, А. Пуанкаре, А.
М.Ляпунова, Дж. X. Брайена, В. Ритца, У.Томсона (Кельвина), О. Рейнольд-
са, Н.Е.Жуковского, И.Г.Бубнова, эти вопросы глобально развивиа-
лись и в известных исследованиях учёных нашего столетия:
С.П.Тимошенко, Т. Кармана, Дж. И.Тейлора, А. А. Ильюшина, А. Ю. Ишлин-
ского, Дж.Л.Сайнджа, Г. Б. Сквайра, Л.Д.Ландау, Л. Г.Лойцянского,
Э. И. Григолюка, Л. X.Доннелла, С. Чандрасекара, Д.Д.Джозефа, Линь
Цзя-Цзяо, И. И. Воровича, П.Дразина, Дж. Стюарта, В. В. Болотина,
X. Л. Драйдена, А. С. Вольмира, Н. X. Арутюняна, А. Н. Гузя, Б. Е. Побе-
дри, В. Д. Клюшникова, С. А. Шестерикова, В. Г. Зубчанинова, А. Г.
Куликовского, Н.А. Алфутова и других.
Как говорил Александр Михайлович Ляпунов, в устойчивости
нет универсальных определений и критериев, нет ничего абсолютного,
всё зависит от цели исследования и природы ожидаемой
неустойчивости в системе. Основная задача — выделение области изменения
внешних параметров («управляющих параметров»), при которых
данный физический процесс можно считать устойчивым в том или ином
смысле относительно некоторого класса возмущений. Поэтому
именно механика, как феноменологическая часть естествознания, призвана
формулировать критерии и классифицировать типы потери
устойчивости процессов в природе.
С точки зрения математики теория устойчивости — часть
математической физики, изучающая вопрос о том, как решения систем
дифференциальных уравнений ведут себя при изменении начальных
данных, внешних параметров, материальных функций, а также
структуры самих этих систем. Применительно к уравнениям механики,
описывающим движение абсолютно твёрдых тел и деформирование
сплошных сред, обзор основных критериев и методов исследования
устойчивости приведён в главе I этой книги. Большое внимание
уделено тому, что в системах с бесконечным числом степеней свободы
необходим подходящий выбор а) класса возмущений основного
процесса; б) пространств с соответствующими мерами, ограничивающими
возмущения различных величин. Понятие «устойчивость процесса по
набору мер» — дальнейшее развитие предложенного А. А. Мовчаном и

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
9
ставшего за последние сорок лет уже классическим понятия
«устойчивости по двум мерам». В §§2-5 даны возможные определения, на
повестке дня формулировки достаточных и необходимых признаков,
т.е. построение математической теории.
Существует два подхода для анализа начально-краевой задачи
устойчивости в возмущениях. Первый из них основан на аналитико-
численном исследовании линеаризованной (локальной) либо
нелинейной (глобальной) системы уравнений в вариациях. Эффективность
современных методов вычислений вместе с преимуществами новых
поколений ЭВМ позволяют рассчитывать довольно сложные процессы
и судить об их неустойчивости (получать точные критические значения
безразмерных параметров). Однако в результате больших затрат мы
часто получаем слишком много информации (возмущённое движение
в любой момент времени в каждой точке пространства!), хотя затем
используем только небольшую её часть. Эти затраты приводят к тому,
что к настоящему времени полностью численно исследованы только
простейшие одномерные стационарные сдвиги в рамках уравнений
Навье—Стокса.
Второй подход, называемый энергетическим, базируется на
вариационной постановке глобальной задачи в возмущениях и проблеме
минимизации функционалов. На преимуществах и недостатках этого
подхода применительно к ньютоновским сдвиговым течениям довольно
точно акцентировано внимание во введении к известной монографии
Д.Джозефа «Устойчивость движения жидкости». М: Мир, 1981. Все
эти слова можно было бы повторить и здесь. Отметим лишь, что
численный и энергетический анализы призваны не взаимоисключать,
а дополнять друг друга для создания единой микро- и макрокартины
неустойчивости процесса.
В главе 2 книги выбран класс материалов с достаточно общими
векторными и скалярными определяющими соотношениями,
описывающими внутреннюю реологию. Причина такой общности состоит в
том, что в сложных технологических режимах связь тензоров
напряжений и деформаций или скоростей деформаций может непредсказуемо
меняться, причём найти её экспериментально практически
невозможно. На большую роль правильного выбора определяющих соотношений
в задачах устойчивости течений обратил внимание А. А. Ильюшин более
полувека назад. Поэтому в подобных задачах необходимо вводить
допуск как на пороговый эффект, т.е. учитывать пластические свойства,
так и на упрочнение материала.
Достаточные оценки устойчивости, полученные в главе 2 на
основе энергетического анализа линеаризованных задач, довольно общие.

10
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
В главе 3 они уточнены для каждого конкретного вязко- и иде-
альнопластического течения (течения Куэтта и Пуазейля в плоском
слое, Куэтта—Тейлора, диффузия вихревого слоя в полуплоскости,
наследственно вязкопластический сдвиг). Здесь уже фигурируют не
критические числа Рейнольдса, а критические кривые на плоскости:
число Рейнольдса — безразмерный предел текучести при сдвиге.
В главе 4 исследованы некоторые имеющие самостоятельный
практический интерес задачи о нестационарном движении вязко- и
идеальнопластических сред в неканонических областях.
* * *
Автор выражает глубокую признательность профессору Борису
Ефимовичу Победре за участие и постоянное многолетнее обсуждение
результатов книги как на научно-исследовательских семинарах, так и
в личных беседах.
Большую поддержку автору оказал член-корреспондент РАН
Алексей Антонович Ильюшин.
Автор благодарен всем сотрудникам кафедры механики
композитов МГУ, а также С.А.Довбышу и А. Н.Якивчику за помощь в
оформлении оригинал-макета данного издания в AMS-T^Xe.
Научная работа поддержана Российским Фондом
Фундаментальных Исследований (проект № 96-01-01233).
Издание книги осуществлено при финансовой поддержке
Федеральной целевой программы «Интеграция» (проект 426).
Москва
Май 1997 г.

Глава 1
Критерии и методы исследования
устойчивости процессов
деформирования
Задача устойчивости невозмущённого состояния
деформируемого твёрдого тела заключается в изучении поведения этого тела при
создании определённого класса возмущений. Исходное состояние
(исходный процесс) понимается устойчивым, если малые по некоторой
мере возмущения вызывают малые по некоторой, возможно, другой
мере отклонения параметров состояния от их невозмущённых
значений.
Феноменологический подход в механике предполагает два
способа задания возмущений при t ^ О — детерминированный и
вероятностный. Последний из них означает, что возмущения являются
случайными величинами с заданными на основе экспериментов
статистическими характеристиками. При детерминированном же способе
описания поведения тела выделяется определённый класс возмущений,
относительно которого исследуется устойчивость. Набор таких классов
может охватывать широкий спектр механических и немеханических
воздействий на систему, причём заранее неизвестно, какое из
воздействий приведёт систему в критическое состояние, предшествующее
потере устойчивости.
В данной главе даётся обзор исследований по устойчивости
процессов деформирования с концептуальной точки зрения. Проводится
классификация типов потери устойчивости в зависимости от природы
возмущений, накладываемых на основное состояние тела. В частности,
выделяются [52]:
— устойчивость относительно малых и конечных возмущений
параметров основного движения (скоростей, напряжений, температур
и т.п.), внешних данных (массовых и поверхностных сил, заданных
скоростей и перемещений на границах и т. п.) и геометрии области
(вариации границ, поверхностей раздела);
—- устойчивость относительно возмущений материальных
функций и правомерность различных предельных переходов по физическим
параметрам;

12
ГЛАВА 1
— устойчивость самого материала по отношению к изменению его
внутренней структуры (в основном, применительно к композиционным
материалам) и немеханическим взаимодействиям;
— устойчивость численного процесса моделирования
механической задачи и возможная физическая интерпретация потери
устойчивости численного процесса.
Каждому из этих четырёх направлений посвящены §§ 2-5
соответственно. Вместе с тем необходимо подчеркнуть относительную
условность подобного деления. Неустойчивость, вызванная одной группой
причин, зачастую приводит к более глобальной неустойчивости,
объясняющейся другими причинами, и так далее. Но факт качественного
изменения в тот или иной момент протекающего процесса, который и
интерпретируется в широком смысле как потеря его устойчивости, —
наблюдаемое явление. Задача исследователя заключается в построении
математической модели как самого процесса так и возмущений,
накладываемых на него. Природа же выбираемых возмущений должна
соответствовать природе ожидаемой потери устойчивости.
§ 1. Математические определения и критерии
устойчивости процесса
Понятие устойчивости по Ляпунову решения обыкновенного
дифференциального уравнения, сформулированное в конце прошлого
столетия [127], исторически стало первым строгим математическим
определением устойчивости процесса. Решение x(t) уравнения
i = /(M) A.1)
называется устойчивым при t = tQ по Ляпунову, если для любого
е > О существует 6 > О такое, что для каждого другого решения x(t),
удовлетворяющего условию ||£(*о) -ж(*о)|| < 6, следует \\x(t) -x(t)\\ < e
для всех t ^ Iq. Устойчивость при t = tQ (а, следовательно, и при
любом другом начальном моменте времени) эквивалентна непрерывной
зависимости решений от начальных данных, равномерной по t.
Неустойчивость решения x(t) определяется как логическое
отрицание предыдущего утверждения, а равномерная устойчивость по
Ляпунову [161] как независимость 6 от t0. Известны также определения
притягивающего, эквипритягивающего, равномерно и глобально
притягивающего решений уравнения A.1). Если же решение x(t)
удовлетворяет предыдущим четырём оперделениям и дополнительно
устойчиво по Ляпунову2*, то оно называется соответственно асимптотически
2* Притяжение не означает устойчивость (см. контрпримеры в [180] так же, как и
наоборот).

КРИТЕРИИ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
13
устойчивым [127], эквиасимптотически устойчивым [272],
равномерно [132] и глобально [15] асимптотически устойчивым.
Один из методов исследования устойчивости, опирающийся на
некотором явном представлении решения, в частности,
бесконечными рядами, носит название первый метод Ляпунова. Другой же метод,
известный как второй или прямой метод Ляпунова, использует
вспомогательные скалярные функции Ляпунова или функции типа Ляпунова
(см., например, [213]).
Не останавливаясь подробно на самих формулировках, отметим
здесь следующие классические понятия и утверждения теории
устойчивости решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений:
теорема Ляпунова [127] и теорема о равномерной устойчивости [161];
понятие устойчивости по отношению к части переменных [127] и
соответствующая теорема [179]; теорема Четаева о неустойчивости [213]
и два следствия из неё, установленные значительно раньше и
известные как первая и вторая теоремы Ляпунова о неустойчивости [127];
теоремы об асимптотической [127], эквиасимптотической [297] и
частичной асимптотической [179] устойчивости. В [127] также доказаны
утверждения о неустойчивости и асимптотической устойчивости,
устанавливаемым по первому (линейному) приближению. Использование
этих двух утверждений, связанных с анализом собственных значений
матрицы А и характером убывания при ||а?|| —► 0 вектор-функции F в
уравнении
ё= Ax + F(t,x), £eRn, t>t0 A.2)
оказывается удобным во многих практических приложениях.
Классические подходы в исследовании устойчивости систем
обыкновенных дифференциальных уравнений связаны со следующими
теоремами: теоремы Барбашина и Красовского для периодических и
автономных систем [14, 15]; теорема Матросова, касающаяся
асимптотической устойчивости [138]3'; теорема Малкина об устойчивости при
постоянно действующих возмущениях (тотальной устойчивости) [133];
теоремы Калмана [263] и Якубовича [221] в частотном методе для
управляемых систем [170]. Особое внимание уделим методу
сравнения [119], обобщающему давно известные теоремы об устойчивости и
асимптотической устойчивости и, по-видимому, являющемуся
предпосылкой метод интегральных соотношений для уравнений с частными
производными. В широком смысле метод сравнения устанавливает
определённые динамические свойства в исходной модели в
предположении, что некоторыми динамическими свойствами обладает вспомо-
В этой же работе с помощью данной теоремы проанализирована асимптотическая
устойчивость произвольного невозмушённого движения гироскопа.

14
ГЛАВА 1
гательная модель. Примерами здесь могут служить теорема Штурма о
нулях на отрезке, дифференциальные неравенства для систем
обыкновенных уравнений, интегральные неравенства типа Гронуолла и
Вендорфа. Как и прямой метод Ляпунова, метод сравнения не требует
точного решения уравнений возмущённого движения, благодаря чему
находит широкое применение в приложениях.
Устойчивость критических точек дифференциальных систем,
имеющих гамильтонову форму, напрямую связано с устойчивостью
равновесия механических систем с конечным числом степеней свободы.
Ключевое достаточное условие устойчивости консервативной системы
(теорема Лагранжа—Дирихле) утверждает, что положение равновесия
будет устойчивым в каждой точке, где потенциальная энергия
имеет изолированный минимум. Требование изолированности минимума
является сильным, и известны примеры, когда при его отсутствии
устойчивость имеет место (замечания Пенлеве) (см. [180]). Условия
обратимости теоремы Лагранжа—Дирихле с использованием
вспомогательных функций описываются теоремой Четаева [213]. Обращения
же с использованием уравнений первого приближения связаны с
теоремой Ляпунова [127] и при более общих допущениях с теоремой
Койтера [265].
Большое число классических исследований посвящено
устойчивости равновесия механических систем с п степенями свободы
при наличии диссипации и гироскопических сил. Сошлёмся здесь на
исторический обзор [180] по этой тематике, затрагивающий обобщения
теоремы Томсона—Тэта (утверждение Сальвадори), условия
гироскопической стабилизации и дестабилизации, а также вопрос устойчивости
точек либрации в ограниченной задаче трёх тел [136].
А. А. Мовчаном и А. М. Слободкиным в шестидесятые годы
проведено систематическое обобщение прямого метода Ляпунова на задачи
устойчивости механическим систем с бесконечным числом степеней
свободы. В [141] рассмотрена тонкая упругая пластинка, шарнирно
опёртая по двум сторонам и подверженная действию силы в своей
плоскости. Введено функциональное пространство R(w,p) с
расстоянием p(w\, wi)
*в,') = /5р5?
dkw{(x,t) dkw2(x,t)]2 _,
ах +
дхк
+ / [ .* . / dw2(x,t)
о
A.3)
dx,

КРИТЕРИИ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
15
состоящее из элементов w = [w(x,t)\wt{x,t)], О ^ х ^ 1, t ^ *0, где
w(x, t) — прогиб пластинки.
Пусть L(w,t) — класс функций, удовлетворяющих уравнению
движения, граничным условиям шарнирного опирания и
дополнительным условиям гладкости (непрерывности по совокупности x,t
функций w, wxt, wxxti wxxxx, wtt). Функция w(x,t) = 0 класса L,
которой в R(W)p) отвечает одна фиксированная точка 0, называется
невозмущённым движением, остальные же кривые из L возмущённым.
Определение 1.1. Движение w(x,t) = 0 называется устойчивым,
если для любого е>0 существует 6(е)>0 такое, что для любого
элемента w(x, t) £ L, удовлетворяющего неравенству /?[0, w(x, to)] < 6,
имеет место неравенство p[0,w(x,t)] < e, t > t0.
В качестве функции Ляпунова выбирается некоторый
функционал, который в силу уравнений краевой задачи и неравенств Фридрихса
при значениях нагрузки меньших эйлеровской является положительно
определённым. Следовательно, из основной теоремы прямого
метода Ляпунова невозмущённое движение w(x11) = О устойчиво, причём
функцию р можно взять в виде A.3).
В работах [142, 144] дано определение устойчивости движения по
двум метрикам:
Определение 1.2. Невозмущённое движение w° называется устой-
чивым по метрикам (р\,р2), если для любого е>0 существует
6(е)>0 такое, что для любого возмущённого движения w(wo1to)t),
удовлетворяющего неравенствам p\(w°,Wo)<6 и p2(w°,wo)<6 при
t = to, имеет место неравенство p\[w°yw(wo1to,t)]<e при t>t0.
Из этого определения при р\=р2=р получается определение 1.1.
Для процессов с запаздыванием можно дать следующее
определение устойчивости по двум метрикам:
Определение 1.3. Невозмущённое движение w° называется
устойчивым по метрикам (р\,Р2), если для любого е > О
существует 6(e) > О такое, что для любого возмущённого движения
™(щ, tQy t),удовлетворяющего неравенствам р\ [(w°, w(w$, t$, t)]<6 и
P2[w0,w(wo>£o>0] < б на начальном пути деформирования t°^t^to,
имеет место неравенство p\[w° ^(у)о^1)]<е при t > Jo-
Сформулируем теперь основную теорему Ляпунова—Мовчана
[142-144], являющуюся достаточным условием устойчивости (а во
многих случаях и необходимым условием, т.е. критерием
устойчивости) процесса по двум метрикам.
Теорема 1.1. Невозмущённое движение устойчиво по метрикам
(РиР2), если в силу уравнений краевой задачи существует положи-

16
ГЛАВА 1
тельно определённый по р\, непрерывный4^ по pi и невозрастающий
вдоль данного движения функционал.
Для характеристики отклонения возмущённого движения w(x,t)
от невозмущённого введём три метрики
р] = / (w1 + WjWj + щ)<Ш, p}s -I (w2 + WjW^i)dQ,
о п
pi = sup |w| + sup I (w ,-w ,-),/21 + sup |w*|, A.4)
x x *• •* x
причём p\s — статическая мера для р\.
Функционал полной энергии H(w) равный сумме кинетической
энергии K(w) = fapw}/2dtt и потенциальной V(w) положительно
определён и непрерывен по р\, если этими свойствами обладает V(w)
по отношению к pXs. Кроме того, H(w) непрерывен по р2 и остаётся
постоянным для консервативных систем (упругих тел). Следовательно,
состояние равновесия устойчиво по паре (рьрг)» если потенциальная
энергия V(w) положительно определена по ри в силу уравнений
краевой задачи. Данное утверждение обобщает на сплошные среды
теорему Лагранжа—Дирихле в случае, когда V имеет в положении
равновесия изолированный минимум.
Обобщённая на системы с бесконечным числом степеней свободы
теорема Лагранжа—Дирихле, как показано в [193], носит лишь
достаточный характер. В качестве простейшего примера приведена задача
устойчивости равновесия w = О однородной свободной струны:
pwti=TxwXXl 0<я</, t^O, A.5)
ЦО, t) = w(l, *) = 0, w(x, 0) = w0(x), wt(x, 0) = щ(х),
где fi — линейная плотность, Т\ — натяжение струны.
Полная энергия
H(w) = - / pwldx + - / Txw\dx A.6)
о о
непрерывна по мере р4
р4 = sup \w\ + sup \wx\ + sup \wt\ A.7)
X X X
4)B [141. 142. 144| вместо термина «непрерывный функционал* используется
понятие «функционал, допускающий бесконечно малый высший предел». Определяется также
понятие «исчезающий вдоль данного движения функционал».

КРИТЕРИИ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
17
и в силу неравенств Фридрихса положительно определена по мерам р5
и рв
i
р25 = (w2 + w2x + w2)dx, рв = sup |w\. A.8)
0
Следовательно, по теореме 1.1 равновесие устойчиво по парам метрик
(Ps,Pa) и (рб,/>4).
В случае бесконечной с обоих концов струны существует точное
решение Даламбера задачи A.5)
x+at
w(x,t) = -[w0(x-at)+wn(x + at)] + — J v(l(Odt, a2 = — , A.9)
x-at
из которого следует устойчивость по (р4,Рл) или просто по р4-
Между тем H(w) A.6) не является положительно определенной ни по
мере Ра A.7) ни по соответствующей ей статической мере p4s
p4s =SUp|w| +Slip\wx\. A.10)
X X
Интеграл энергии здесь даёт лишь частичное представление об
устойчивости, которой может обладать система.
Более общим примером служит задача об устойчивости
ограниченного упругого тела в рамках линейной теории. Потенциальная
энергия упругого тела записывается следующим образом
V(w)
= - CijkiWijWudQ. A.11)
На границе Е = Eu (J Eff |J EUG заданы однородные граничные условия.
Тогда из неравенств Корна
/ CijkiWijWkjdQ ^ С\ / WijWijdil ^ С2 / WiWidQ, A.12)
п п
следует устойчивость равновесия по паре метрик (/>|,/ъ),
определяемых A.4).
Таким образом, интегральная мера H(w) как аналог функции
Ляпунова не совсем физична в задачах устойчивости. Особенности
понятия устойчивости равновесия в смысле Ляпунова для систем с

18
ГЛАВА 1
бесконечным числом степеней свободы отмечены в [192]. Эти
особенности опять могут быть проиллюстрированы на примере однородной
упругой струны и краевой задачи A.5) для неё. Основной вопрос
заключается в следующем: малость каких величин5' (перемещений,
скоростей, деформаций, более высоких производных от w по х и t)
необходимо потребовать в начальный момент времени для того, чтобы
равновесное положение струны w(x,t) = О было бы устойчивым по
некоторой наперёд заданной мере? Или, другими словами, по каким
парам мер равновесие w(x, t) = О устойчиво на бесконечном интервале
времени?
Частичный ответ на поставленный вопрос приведён ниже в
таблице.
w(x,t)
wx(x,t)
wt(x,t)
wxx(x,t)
wxt(x,t)
wtt(x,t)
w(x
•
0)
wx(x,0)
•
•
wt(x,0)
•
•
•
wxx(x,0)
•
•
•
wxt(x,0)
•
•
•
Символы в каждой из строк показывают, какие производные w должны
быть достаточно малы при t = 0 для того, чтобы величина, стоящая
в этой строке слева, была мала при t > 0. Так, например, если
p7\t=0 = sup^K^O)! + \wxt(x,0)\) < 6, то p%(t) = s\xpx(\wxx(x,t)\ +
\wxt{x,t)\ + \wtt(x,t)\) < eF), и исходное состояние струны устойчиво
по паре мер (p7,Ps) и по мере pi.
Видно, что одновременная малость начальных отклонений и
начальных скоростей вовсе не гарантирует малость скоростей и
деформаций даже на конечном интервале времени (если при этом не
обеспечена малость начальных деформаций). В этом состоит принципиальное
различие понятий устойчивости по Ляпунову решений обыкновенных
дифференциальных уравнений [127, 213] и уравнений с частными
производными. Необходимость рассмотрения в случае последних понятия
устойчивости по нескольким мерам иллюстрируется в [192] и на более
5*Везде в [192] малость величины понимается в смысле метрики ре A8), т.е. по
норме пространства непрерывных функций.

КРИТЕРИИ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
19
сложных (двумерных и трёхмерных) примерах. Характер непрерывной
зависимости решений уравнений с частными производными от
начальных данных (а именно с ним связано классическое математическое
понятие устойчивости) может быть разнообразным и не иметь
аналогов в теории обыкновенных уравнений даже на сколь угодно малом
интервале времени. Итак, всякое определение устойчивости
равновесия механической системы с бесконечным числом степеней свободы,
как подчёркивается в [192], должно удовлетворять основному
требованию: «независимо от того, будет ли (в смысле этого определения)
равновесие устойчивым или неустойчивым на бесконечном интервале
времени, устойчивость должна иметь место на малом интервале
времени. Таким образом, понятие устойчивости равновесия тесно связано
с вопросами корректности постановки задачи Коши для уравнений
возмущённого движения» [194].
Результаты аналогичного характера были получены и в [300], где
показано, что равновесие невесомого упругого шара, закреплённого
по поверхности, неустойчиво в том смысле, что малость начальных
скоростей (при отсутствии начальных смещений) не обеспечивает в
последующем движении малости напряжений. Указанная неустойчивость
проявляется на любом сколь угодно малом интервале времени.
Энергетический критерий устойчивости равновесного состояния
упругого тела [233, 266], сформулированный Ляпуновым ещё в конце
прошлого века, получил в [191] чёткое обоснование с позиций прямого
метода Ляпунова и понятия устойчивости по двум мерам. Изучена
устойчивость стационарного решения смешанной краевой задачи для
одной нелинейной системы уравнений в частных производных, а в
качестве примера рассмотрено равновесие гибкой упруго-растяжимой
нити с произвольной зависимостью натяжения от коэффициента
удлинения.
Дальнейшее развитие теория устойчивости по двум мерам
применительно к обыкновенным дифференциальным уравнениям типа A.1) и
функциональным уравнениям получила в работах [119, 137, 271]. В
монографии [190] собраны решения многих задач устойчивости в
механике сплошной среды, где с помощью прямого метода Ляпунова найдены
критические значения тех или иных параметров. Среди таких краевых
задач отметим примеры, моделирующие флаттер панели в потоке газа,
колебания упругой хвостовой части самолёта, процесс в однородном
химическом реакторе первого порядка с обратной связью и др.
В [282] на основе достаточного условия устойчивости
равновесия в форме Ляпунова—Мовчана анализируется равновесие упругой
ортотропнои прямоугольной пластины под действием тангенциальных
нагрузок постоянной интенсивности, непрерывно распределённых в

20
ГЛАВА 1
срединной плоскости. Рассмотрены два варианта нагружения:
консервативное и неконсервативное (следящие за направлением касательной
к срединной поверхности силы).
Построению функционала Ляпунова в задачах устойчивости
упругих стержней, пластин и оболочек посвящены работы [236, 268, 269].
Формулировки общих утверждений об устойчивости вязкоупругих тел
с позиций прямого метода связаны с обобщением на континуальные
системы соответствующих утверждений из теории устойчивости
функциональных уравнений с неограниченным последействием [107]. Такие
обобщения в ряде задач для вязкоупругих стержней и одномерных
конструкций сделаны в [74, 292].
Разнообразие имеющихся методов и подходов, напрямую не
связанных с построением функционала Ляпунова, объясняется различием
в целях исследования устойчивости. Одни из них применимы только
для процессов определённого класса, другие для определённых
физических моделей. Так, например, для процессов, заведомо
неустойчивых по общим определениям, важной является методика нахождения
критического времени, т.е. времени, при прошествии которого
характеристики процесса достигают фиксированных значений (условная
устойчивость или устойчивость на конечном интервале времени [1]).
В обзорах по устойчивости деформирования вязкоупругопластических
тел и элементов конструкций [1, 8, 28, 29, 116, 215] внимание
акцентируется на нескольких классических подходах. Остановимся в этом
параграфе на них и дадим предпосылки некоторым другим методам, о
которых подробнее будет идти речь в последующих параграфах.
Устойчивость деформирования с позиции энергетических методов
сводится к вариационной проблеме экстремума некоторого
функционала, который в потенциальных системах является потенциальной
энергией. Это бывает более эффективно, когда точное решение
краевой задачи затруднено из-за её сложности, а также привлечения
термодинамики и анализа связанных процессов. В задачах
устойчивости упругих стержней, пластин и оболочек энергетические методы
были применены Дж. X. Брайаном, С. П. Тимошенко и В. Ритцем. При
их использовании прогибы • конструкции описываются бесконечными
рядами с неизвестными амплитудами при каждой моде. Эти амплитуды
определяются из принципа виртуальных работ (метод Рэлея—Ритца).
Отметим здесь и метод Бубнова, состоящий в том, что постановка
краевой задачи заменяется условием ортогональности уравнения, в которое
подставлено выбранное представление искомой функции, к самой этой
функции [60].
Обзор задач устойчивости сложных упругих тел и анализ,
выполненный на основе энергетических методов, дан в [6]. Здесь энергети-

КРИТЕРИИ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
21
ческий критерий бифуркационной потери устойчивости представлен в
двух основных формах — форме Брайана и форме Тимошенко. Для
описания закритического поведения упругих элементов конструкций
рассмотрены задачи в нелинейной постановке.
Основы теории устойчивости упругопластических систем были
заложены в конце XIX века Т. Карманом, а в середине XX века
развиты А. А. Ильюшиным. В [94] изложена строгая теория
бифуркаций и устойчивости за пределом упругости, хорошо соответствующая
экспериментальным данным. В этой теории докритическая стадия
деформирования описывается простым процессом нагружения. При
бесконечно малом же продолжении процесса за точку бифуркации
нагружение становится квазипростым. Исходя из этого для описания
докритического этапа применяется теория малых упругопластических
деформаций, а затем для анализа процесса выпучивания
деформационная теория. Таким образом, в данной теории момент перехода процесса
из докритического в закритический режим учитывается посредством
«переключения» определяющих соотношений, что соответствует
излому траектории деформации. Как показано в [85], теория
устойчивости Ильюшина согласуется с экспериментами значительно лучше чем
аналогичные подходы, построенные на основе теории течения с
изотропным упрочнением и теории пластичности для траектории средней
кривизны (несмотря на то, что последние две теории охватывают более
широкий класс траекторий деформаций).
В [85, 86] построена модифицированная теория бифуркаций и
устойчивости упругопластических процессов. В основе принятой здесь
методолгии лежит общий принцип: процесс нагружения системы
становится неустойчивым, если сколь угодно малое его продолжение
вызывает быстрый рост перемещений и деформаций в каких-то точках
тела. Все начальные несовершенства формы и приложения нагрузок
принимаются за возмущения, и об устойчивости исходного процесса
нагружения судится по пребыванию возмущённой системы в
окрестности основного процесса. Следовательно, выпучивание системы с
начальными несовершенствами так же, как и послебифуркационное
поведение идеальной системы (без начальных несовершенств),
интерпретируются как некий возмущённый процесс. Критическое состояние
этого процесса имеет место в предельной точке (точке бифуркации
Пуанкаре). Достижение же предельной точки принимается за критерий
неустойчивости в квазистатике, а соответствующая нагрузка считается
критической.
Вариационные принципы применительно к устойчивости
неупругого поведения тел изложены в монографиях [145, 175, 295]. Наличие
диссипации в таких средах приводит к тому, что потенциальной

22
ГЛАВА 1
функции, строго говоря, не существует. Её заменяет функционал
переменных состояния, зависящий от внешних параметров (например,
функции нагрузки от времени для вязкоупругих систем).
Неустойчивость как причина наблюдаемого качественного
изменения состояния тела в [102] и ряде других работ связывается
с появлением в процессе деформирования бифуркационных (БЫ) и
псевдобифуркационных (ПБЫ) точек. Границу устойчивых состояний
определяет точка бифуркации Б0, отвечающая условию
неединственности решения. Первый в истории деформирования момент
неединственности первых приращений внутренних параметров определяется
точкой Б'1 равноактивной бифуркации процесса. Если БЫ-точки в
процессе отсутствуют или им предшествуют ПБЫ-точки, то
неустойчивость (выпучивание, прощёлкивание) наступает после прохождения
N таких точек.
К энергетическим и бифуркационным методам анализа
устойчивости следует отнести и аппарат теории катастроф [54,171].
Принимается, что п-параметрическое семейство функций состояния V{x\,..., хт\
С|,... ,сп) механической системы зависит от т переменных состояния
и п управляющих параметров. Классификация критических точек V
разной степени вырожденности и описание качественного
поведения системы в окрестности этих точек составляют сущность
математической теории катастроф применительно к задачам устойчивости
упругого либо термодинамического равновесия. Существуют два
основных принципа-критерия потери устойчивости: принцип максимального
промедления и принцип Максвелла [306]. Согласно первому из них
состояние системы определяется в любой момент локальным
(стабильным) или метастабильным минимумом функции состояния до тех
пор, пока он существует. Данный принцип обычно применяется при
описании градиентных динамических систем, когда мы не располагаем
способом узнать, стал ли некоторый отдалённый минимум глобально
устойчивым или ещё нет. Принцип Максвелла гласит, что состояние
системы определяется глобальным минимумом функции состояния.
Такой принцип применим для систем, характеризуемых функцией
распределения. Уровень шума (флуктуации) может оказаться достаточным
для преодоления потенциального барьера и переведения системы в
качественно другое положение с меньшим значением потенциальной
функции6'.
Бифуркационное множество в п-мерном пространстве,
построенное на основе принципа максимального промедления, определяется
'Такое явление в термодинамике носит название «фазовый переход» или «фазовый
скачок».

КРИТЕРИИ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
23
из условия
d2v
dXjdXj
Поскольку последнее условие локальное (т. е. зависит лишь от
производных V), то и множество называется локальным бифуркационным.
При использовании же принципа Максвелла бифуркационное
множество определяется из уравнений Клаузиуса—Клапейрона и называется
нелокальным.
С помощью аппарата теории катастроф в [40, 305] получены
критические нагрузки и найдены формы потери устойчивости
сжатого линейно упругого стержня с нелинейными связями. Качественное
механическое различие описанных выше бифуркационных множеств
на примере устойчивости сжатой по контуру прямоугольной упругой
пластины с реологическими подкрепляющими элементами
проиллюстрировано в [253]. Изучение потери устойчивости подкреплённых
упругих пластин, оболочек и других элементов конструкций с
позиции теории особенностей проведено в многочисленных работах (см.,
например, [244, 254, 282, 307].
Предпринималась попытка7' перенесения качественных методов
теории катастроф на наследственно-деформируемые тела и связанной
с этим классификации особых точек в задачах о закритическом
поведении элементов конструкций при ползучести. Эта классификация
основана на продолжении основного движения за границу
устойчивости. В [64, 65] с помощью первого метода Ляпунова получен критерий
динамической устойчивости при консервативном и неконсервативном
нагружениях. Подход, использованный в [64], отличается тем, что об
устойчивости равновесного положения наследственно
деформируемого тела судится по квазистатике, т.е. динамическими слагаемыми в
возмущённых уравнениях пренебрегается.
В монографии [67] излагаются некоторые вопросы
квазистатической устойчивости трёхмерных тел для нелинейно вязкоупругой,
'См. Бондаренко Ю.Л., Громов В. Г. Основные теоремы о квазистатической
неустойчивости и послекритическом поведении наследственно-деформируемых оболочек.
Тула, 1985. 20 с- Деп. в ВИНИТИ 04.10.85,№ В;
Бондаренко Ю.Л., Громов В. Г Примеры качественного анализа нестационарных
бифуркаций, разветвлений, катастроф наследственно-деформируемых систем. Тула, 1985.
28 е.- Деп. в ВИНИТИ 04.10.85,№ В;
Громов В. Г. Неустойчивость, бифуркации, катастрофы установившихся движений
наследственно деформируемых тел: Дисс. ... доктора физ.-мат. наук. Тула, Тульский
политехи, ин-т, 1984. 371с.

24
ГЛАВА 1
вязкопластической и упругопластической (теория малых упругопласти-
ческих деформаций и теория течения) сред, а также вопросы
термовыпучивания и устойчивости при ползучести. Как отмечается, для общего
линейного реологического тела термин «устойчивость» имеет смысл,
отличный от смысла устойчивости при упругих деформациях, так как
малое отклонение от положения равновесия вызывает необратимые
деформации. Критическая сила в этом случае — наименьшая сила, при
которой могут появиться соседние равновесные формы.
В [67] и более поздних работах выделяются три подхода в
исследованиях устойчивости трёхмерных деформируемых тел. Первый
подход заключается в наложении трёхмерных вариаций на большие до-
критические деформации. Это оправдано при изучении конструкций,
изготовленных из каучукоподобных материалов, а также в задачах
геофизики о складкообразовании. Второй подход заключается в
применении трёхмерных линеаризованных уравнений при малых докритических
деформациях. Он имеет обширную область применения, включающую
устойчивость металлических и тонкостенных конструкций,
изготовленных из жёстких материалов с малой сдвиговой жёсткостью. При третьем
же подходе, связанном с именами Л.С.Лейбензоиа и А. Ю. Ишлин-
ского, используются уравнения Ламе, а параметр нагружения вводится
специфическим образом в граничные условия. Анализ задач при этом
существенно упрощается, так как параметр нагружения не входит в
основные уравнения, а, следовательно, и в характеристические
уравнения устойчиовсти.
Среди других методов и подходов необходимо отметить метод,
связанный с непосредственным анализом уравнений равновесия в
возмущениях. Векторное уравнение в возмущениях скалярно умножается
на вектор вариации перемещений, на границе области обращающийся
в ноль, а затем полученное скалярное соотношение интегрируется по
всей области тела. Применяя интегральные неравенства, можно
получить достаточные оценки устойчивости равновесия в зависимости
от формы области, вязкоупругопластических свойств материала,
задаваемых нагрузок и перемещений. Такая методика применительно к
анализу устойчивости вязкоупругих стержней и пластин отражена в [75,
80, 172) и некоторых других работах этой же научной школы. Об
аналоге прямого анализа линеаризованных уравнений равновесия в задачах
о течении материала (по существу, это метод интегральных
соотношений) подробнее пойдёт речь в последующих главах. Результатами
здесь являются достаточные интегральные оценки устойчивости в тех
или иных функциональных пространствах известного либо частично
известного исходного течения.

КРИТЕРИИ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
25
§ 2. Устойчивость относительно малых и конечных
возмущений параметров основного движения,
внешних, начальных данных и геометрии области
Методы возмущений, берущие своё начало от исследований
А. Пуанкаре задачи трёх тел в небесной механике, позднее нашли
широкое применение в механике сплошной среды. В гидро- и
газодинамике хорошо известны метод сращиваемых асимптотических
разложений и метод деформированных координат [23]. В теории
упругости и пластичности методы возмущений основываются на введении
малого параметра, который характеризует возмущение граничных
условий [88]. В монографии [150] изложены современные асимптотические
методы решения дифференциальных уравнений, в частности, методы
сингулярных возмущений, используемые в тех случаях, когда
непосредственные разложения по малому параметру непригодны во всей
области. Обширная библиография работ по развитию и применению
методов теории возмущений в канонических и неканонических
областях и методов вариации формы границ содержится в [68, 114, 151].
В [91] дана постановка краевой задачи устойчивости вязкопла-
стического течения относительно малых возмущений. Линеаризация
уравнений движения проводится вблизи основного состояния, причём
это состояние считается известным из тех или иных
геометрических или физических соображений. Возмущения накладываются как
на уравнения границы тела, так и на известные кинематические и
динамические поля внутри области течения. Внешние данные —
поверхностные нагрузки и скорости границ — не варьируются. За счёт
этого система уравнений, получающаяся после подстановки
фундаментальных решений линеаризованных уравнений движения в
линеаризованные граничные условия на невозмущённых поверхностях,
однородна. Характеристическое уравнение в данном случае связывает
параметр частоты возмущения по времени и волновое число (волновые
числа).
Далее в [91] предложен способ нахождения закона движения,
т.е. лагранжевых координат каждой частицы тела. В
приложениях в качестве основных течений вязкопластической среды выбраны
растяжение-сжатие бесконечной полосы и растекание толстостенной
полой сферы под действием внутреннего давления. В последнем случае
одним <из типов возмущений, наложенных на одномерное растекание
Vr(r,t), принимается эксцентриситет внутреннего отверстия трубы.
Таким образом, в [91] устойчивость основного движения исследуется
относительно малых вариаций начальных данных и геометрии области.
Устойчивость вязкопластического течения полосы, круглого прута
и круглой пластины изучены в [95, 96] с точки зрения эйлерова подхода.

26
ГЛАВА 1
Критерий устойчивости основного движения в этих работах связан с
тем, что в любой точке границы тела угол между вектором перемещения
в данной точке и вектором возмущения границы должен быть тупым.
Если же этот угол острый, то движение считалось неустойчивым.
Более полный обзор решённых задач об устойчивости вязко- и
идеальнопластических течений, моделирующих различные физические
являения и технологические процессы, дан в главе 3.
Приведём ниже возможный взгляд на понятие «устойчивость
основного движения» физического тела по отношению к начальным
либо постоянно действующим возмущениям. Эта концепция существенно
зависит от типа возмущений, накладываемых на систему.
Предполагается, что известно решение некоторой краевой задачи, описывающее
процесс деформирования твёрдого тела со временем. Это означает, что
известны векторные поля скорости v°(x,t) и перемещений й° (£,£),
тензорные поля напряжений £°(ж,£), деформаций £°(ж,0 и скоростей
деформаций £°(ж,£), скалярные поля температуры Т°(£,£)> давления
p°(x,t), плотности р°(ж,£) и, возможно, другие параметры (связанные
поля, условия фазовых и химических превращений одних компонентов
в другие и т.д.) как функции эйлеровых координат х и времени t.
Известен также закон изменения границ -Fa(£,£) = 0 области, в которой
происходит движение. В эту систему границ включаются поверхности,
на которых заданы кинематические и динамические условия, условия
разрыва или раздела сред, а также поверхности жёстких зон. Если все
перечисленные поля не зависят явно от времени, а, следовательно,
все границы тела в эйлеровом пространстве неподвижны, то процесс
деформирования является стационарным или установившимся.
Пусть наряду с описанным выше процессом (условно
процессом А), который называется основным либо невозмущённым и помча-
ется индексом «о», протекает ещё один процесс В, вообще говоря,
напрямую никак не связанный с первым. Причиной, по которой эти
два процесса рассматриваются вместе, является их близость в
некоторый момент времени t = t0. Если *о — величина конечная, то без
ограничения общности можно перенести начало временного отсчёта в
этот момент и считать *о = О- Значение *о может быть равно и -оо8\
Понятию «близость», использованному в предыдущем абзаце,
естественно, придаётся строгий математический характер. В
зависимости от того, какие характеристики процессов А и В совпадают
при t = to, а какие нет, различают типы начальных возмущений.
8)При t ^ to процесс А вовсе не переходит в процесс В, а они протекают
независимо друг от друга в двух телах, вообще говоря, с разными определяющими соотношениями.
Поэтому не возникает вопрос, откуда взялся процесс В или что привело к возникновению
возмущённого движения?

КРИТЕРИИ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
27
Наиболее классический вид начальных отклонений — возмущения
векторных полей скоростей 6И(х^о) и перемещений 6й(х,Ьъ),
тензорных полей напряжений 6a(x,to), деформаций 6е{х>1ъ) и
скоростей деформаций 6v(xyto), скалярных полей температуры #Г(£,£0),
давления 6p(x,to), плотности 6p(x,t$) как функции эйлеровых
координат. Границы области тела также получили некоторые
начальные приращения 6Fa(x,to), a = 1,2,...,п. Это означает, что
процесс В при t = tQ имел характеристики v(x,to) = (v° + 6v)(x,t0),
a(x,to) = (a° + 6a)(xyto) и т.д. и протекал в области, ограниченной
поверхностями Fa(x, £0) = (F„ + 6Fa)(x, <0) = 0, а = 1,2,..., п. Строго
заданные в начальный момент t = t0 функции 6v, #£,...y6Fa служат
начальными условиями для некоторой начально-краевой задачи.
Проследим за развитием процесса В при t > tQ. Пусть
материальные функции в телах, где реализуются А и В, как и внутренняя
структура этих тел, одни и те же. Кроме того массовые силы и
заданные на возмущённых границах Fa(x,t) = 0 нагрузки, кинематика,
температура и другие внешние параметры не изменяются. Таким
образом, можно сформулировать начально-краевую задачу для процесса В
или задачу возмущённого движения. Её решениями будут функции
координат и времени v(x,t), a(x,t), ... , определённые в области с
системой границ Fa(x)t) = 0. Эти решения могут сильно отличаться
от соответствующих решений, характеризующих процесс А, и иметь
собственные качественные особенности, поэтому знаки вариаций в
них носят пока чисто условный характер.
Введём набор мер {рьР2>--->Р*Ь описывающих начальные
отклонения £v(£,£o), 6а(х^о), ... , 6Fa(xyto), причём каждая из них
является функционалом в своём функциональном пространстве.
Аналогично будем рассматривать набор текущих мер {р\ (£), р2@> • • • > Pfc(O)»
описывающих развитие возмущений 6v(x,t), 6a(x,t),... , 6Fa(x,t)
соответственно.
Определение 2.1. Процесс А называется устойчивым по парам
мер {(р°\,р\)ЛръР2),-<, (pliPk)}, если для любого набора е =
{в\,...,Sk} существуют 6\,..., 6к такие, что для любого процесса
В, удовлетворяющего неравенствам
НИ*,*о)Н,;<«!, 11*гB,*о)||,;<*2, ••• . l|Mb(*,*o)IU<«* B.1)
при t — to, имеют место неравенства
\\ev(x,t)\\Pl<^ , ||«2(г,0Нл<е2, ••• , \\6Fa(x,t)\\»<eb B-2)
в любой момент t > tQ.

28
ГЛАВА 1
Из определения 2.1, являющегося следствием общего определения
1.2, при pi = p°i (i = !,...,&) следует определение устойчивости
процесса по набору мер {ри.. .,/>*} (аналог 1.1).
Сформулированное понятие устойчивости процесса в смысле
Ляпунова—Мовчана интерпретируется здесь как устойчивость
относительно начальных возмущений параметров основного движения (сюда
включаются и начальные возмущения геометрии области). Так как
даже ненулевое начальное возмущение только одной величины (напрмер,
границы области) вызывает при t > t0 возмущения всех других
характеристик движения, то нет смысла выделять понятие устойчивости
относительно каждого из перечисленных возмущений. Важно, чтобы
все они принадлежали описанному классу.
Достаточным условием устойчивости процесса А по отношению к
начальным возмущениям является его асимптотическая устойчивость,
т. е. требования
lim ||«f(*,')IU = °> lim p£0M)IU = 0, ... ,
t-+oo t-кх /~ ^ч
lim||№a(f,0IU=0.
t—+00
Кроме того предполагается, что в любой момент t > t^
\\6v(x,t)\\Pi<^ ||«2(f,0IU<l, ••• , ||«Fe(f,«)IU<l. B.4)
В этом случае речь идёт о малых возмущениях, и начально-
краевая задача, описывающая процесс В, может быть линеаризована
«вблизи основного состояния» (процесса А). При этом вторые и
более высокие степени величин с б считаются много меньшими чем
первые и отбрасываются, а граничные условия сносятся с возмущённых
поверхностей Fa{x,t) =0 на невозмущённые Fa(x,t) = 0, которые
известны из основного движения. Слагаемых, не содержащих величин
с 6, в уравнениях и граничных условиях нет, поскольку процессы А
и В протекают в телах с одними и теми же свойствами, и внешние
данные, как уже было сказано, не варьируются.
Параметры процесса А будут входить только в качестве известных
коэффициентов, зависящих* от х и t, в линеаризованные уравнения
в возмущениях. Все эти уравнения однородные, а вариации
граничных поверхностей выражаются через скорости либо перемещения на
границах.
Методы решения полученной линеаризованной задачи могут
быть самыми разнообразными, на них мы остановимся ниже.
Пока же предположим, что решение найдено, т.е. известны величины
9^В B.3) и B.4) все возмущения в некотором базисе обезразмерены.

КРИТЕРИИ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
29
6v, 6а, ..., 6Fa как функции х и t > to. Если они удовлетворяют
требованиям B.3) и B.4), то процесс А заведомо устойчив (и даже
асимптотически устойчив) по отношению к начальным возмущениям
своих параметров. Если же одно из условий B.3), B.4) оказывается
невыполненным, то процесс А не будет асимптотически устойчивым,
но будет ли он устойчив по Ляпунову—Мовчану, т. е. согласно
определению 1.2, ничего сказать заведомо нельзя10*.
Ограничения B.3), B.4) на заранее неизвестные решения имеют
аналогию с полуобратным методом Сен-Венана во многих задачах
механики сплошной среды. Если решение задачи не существует в
классе выбранных ограничений, то это означает лишь неудачный выбор
этого класса. Таким образом, невыполнение одного из требований B.3),
B.4) — необходимое условие неустойчивости процесса А в смысле
Ляпунова—Мовчана.
В случаях, когда основное движение тела не зависит от какой-
либо координаты хр, допускается понижение числа независимых
переменных в уравнениях в возмущениях. Это достигается
выделением множителя exp(ispxp) во всех неизвестных функциях. Если же
основное движение стационарное, то после выделения множителя
exp(aJ), а — а* + ш** Е С задача в возмущениях становится
фактически статической. После подстановки фундаментальных решений
однородных линейных уравнений в однородные граничные условия мы
придём к дисперсионно-волновому уравнению, связывающему а и sp.
Критерием асимптотической устойчивости будет неравенство а* < О,
выполненное при любых sp £ Е. Следовательно, анализ устойчивости
сводится к выяснению положения на комплексной плоскости корней
характеристического уравнения.
Описанная методика исследования устойчивости является
классической, но на практике применяется достаточно редко. Дело в том,
что фундаментальные решения можно выписать явно только в самых
простых случаях основного движения. Обычно такими состояниями
являются покой и равномерное прямолинейное движение среды, а
класс соответствующих задач охватывает устойчивость равновесия
различных структур с границами разделов в силовых или температурных
полях (конвективная, плотностная либо гравитационная устойчивость).
Для нетривиальных основных процессов фундаментальные решения
записываются в виде рядов либо интегральных преобразований, что
'По этому поводу говорят, что неустойчивость «в малом» ещё не означает
неустойчивости «в большом». Действительно, критические условия потери устойчивости
относительно малых возмущений обычно бывают более сильными чем относительно
конечных возмущений.

30
ГЛАВА 1
делает затруднительным численно-аналитическое исследование
характеристического уравнения. Здесь возникают вопросы сходимости и
приближённой аппроксимации решений. Наконец, возможны случаи,
когда само основное движение (процесс А) точно найти нельзя, а
можно определить численно либо экспериментально с некоторой степенью
точности какие-то его характеристики. Тогда на помощь приходят
интегральные методы анализа устойчивости, такие как метод
сравнения [119], метод интегральных соотношений [104], прямой анализ
уравнений равновесия [75, 80, 172] и другие. Результат применения
подобных методов — получение достаточных интегральных условий
устойчивости в виде достижения безразмерными параметрами
задачи своих критических значений. Именно эта информация зачастую
представляет практический интерес.
Более общим классом возмущений чем начальные вариации
параметров основного движения являются наряду с последними постоянно
действующие возмущения внешних данных: объёмных (/>Fi)°(£,£),
поверхностных Р^(x,t) сил, заданных на границе перемещений Ul(x,t),
скоростей Vi(x>t), температуры T?(x,t) и других связанных полей.
Другими словами, внешние данные в задаче для процесса В
следующие: [(pFi)° + 6(pFi)](x,t), {PI + 6Pi){x,t), ..., (Г + 6T)(x,t), причём
величины со знаком 6 — заданные функции времени и координат
объёма либо поверхности тела.
Наряду с системой мер {р°{1..., р°к}9 описывающих начальные
отклонения параметров движения, введём ещё одну систему {/?i@> ...,
Pi(t)}. Каждая из I функций времени /?,- — мера в
функциональном пространстве, которому принадлежит соответствующая внешняя
величина.
Обобщая определение устойчивости по двум мерам в смысле
Ляпунова—Мовчана (определение 1.2), сформулируем понятие
устойчивости относительно начальных возмущений параметров основного
движения и постоянно действующих возмущений внешних данных.
Определение 2.2. Процесс А будем называть устойчивым по парам
мер {(phPi), {pbPi), • • •, (p°k,Pk)} и по системе мер {/Зь . „ , /?,},
если для любого набора е = {е\, ...,£*} существуют 5i(e), ...,
6k+i(t) такие, что для любого процесса В, удовлетворяющего
неравенствам B.1) при t = to и
\\б(рР)(Ы)\\ь < Ь+х, ||«^<)||А<**+2, ... , (
\тзМл<Ь«
при t> t0, имеют место неравенства B.2) при t> tQ.

КРИТЕРИИ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ 31
Так же, как и ранее, при Pi = р] (г = 1,..., к) мы получим аналог
определения 1.1 устойчивости по наборам мер {ри... ,/>*}, {/?ь..., А}
для случая постоянно действующих возмущений внешних данных.
В конкретных приложениях значения этих возмущений при
t*^ to, конечно же, неизвестны, поскольку флуктуации внешних полей
имеют стохастическую, а не детерминированную природу. В таком
случае должны быть заданы их основные вероятностные характеристики —
законы распределения в пространстве и по времени, математические
ожидания, дисперсии, моменты высших порядков, — а в качестве
функций /?i(£),...,А(£) взяты вероятностные меры, построенные тем
или иным способом.
§ 3. Устойчивость процессов деформирования относительно
возмущений материальных функций
Гораздо менее исследованным по сравнению с описанными в
предыдущем параграфе является направление, связанное с
устойчивостью относительно возмущений материальных функций. Процесс В
протекает теперь в теле со свойствами отличными от тела, в
котором протекает основной процесс А. Кроме того внешние и начальные
данные этих процессов, по-прежнему, могут различаться.
Выпишем ниже определяющие соотношения неизотермического
связанного процесса деформирования [167], при котором
единственными независимыми параметрами состояния служат тензор-процесс
скоростей деформаций v^ и температура Г. В области П при t > О
имеем семь соотношений
*ij = Cijki (v) vki + Qijd, s = RijVij + ati, C.1)
где $ — T - T0, T0 — температура в недеформированном состоянии,
и закон Фурье
qi^-KijTj. C.2)
Вместе с тремя уравнениями движения
«ijj + pFi^p—,
шестью соотношениями Стокса
2vij = Vij + vjj , C.4)
уравнением неразрывности
^ + (pvih = 0 C.5)
(з.з)

32
ГЛАВА 1
и уравнением притока тепла
ds
pT~dt = РЯ ~ Чц + *ijVij ' '
определяющие соотношения C.1), C.2) замыкают систему B1
уравнение) в области Q относительно компонент тензоров напряжений вц и
скоростей деформаций Vjj, векторов скорости г;, и притока тепла &,
а также скалярных функций: температуры Г, удельной энтропии s и
плотности р. Внешними данными здесь являются объёмные силы pFj
и мощность внутренних источников тепла pq.
Материальные функции, входящие в C.1)—C.6) и определяющие
термомеханические свойства среды, суть следующие тензоры чётного
ранга: тензор вязкостей С^; тензор теплопроводности А^-, матрица
которого в силу второго закона термодинамики неотрицательно
определена; тензоры термомеханической связности Qij и Rij\ скалярная
функция о, которую можно выразить через одну из теплоёмкостей ср
или cv.
Как и ранее, все параметры основного процесса А — как 21
неизвестную величину так и перечисленные выше материальные
функции тела, в котором этот процесс происходит,— будем помечать
индексом «о». Аналогичные параметры для процесса В отличаются
от предыдущих на величины 6vi, би^, ..., 6Т\ 6Qijy ..., да, причём
предполагается, что известно, как возмущения материальных функций
зависят от времени и координат.
Пусть система мер {7i@i-- >7m@) характеризует изменение со
временем каждой из т материальных функций для процесса В. Так,
например, в качестве норм для оценок тензора четвёртого ранга С^ы
и тензора второго ранга Qij можно выбрать следующие
IIС И*, = J СтСт <Ш, ||g|& = jQldil, C.7)
П ft
где Qu — интенсивность тензора Q.
Дадим определение устойчивости процесса А относительно
начальных возмущений параметров основного движения, постоянно
действующих возмущений внешних данных и возмущений материальных функций
тела.
Определение 3.1. Процесс А называется устойчивым по парам
метрик {(/?!, р{), (р°2) р2),..., (pL pk)} и по системам мер {(Зи..., #}
и {7ь • • ч 7m} f если для любого набора ё = {ei,...,£*} существуют

КРИТЕРИИ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
33
6i(£),...,#fc+f+m(£) такие, что для любого процесса В,
удовлетворяющего неравенствам BЛ) при t — £q, неравенствам B.5) и
pC(£,OII7l < Wi, \\6Q(xMi2 < Wi, • • • , (
\\6a(x,t)\\lm <<Wm
при t > t$, имеют место неравенства B.2) при t> 1$.
Устойчивость основного движения согласно определению 3.1
можно рассматривать и в частных случаях, когда внешние данные
либо начальные данные не варьируются и совпадают в процессах А
и В. При этом все функции времени /?i,...,/?t либо все постоянные
р°и...,р°к следует положить равными нулю. Если же внешние силы
и начальные данные не варьируются вообще, то речь идёт о
чувствительности данного движения к физико-механическим свойствам
материала. Особый интерес здесь представляет случай, когда
материал тела, в котором протекает процесс А, не обладает какими-то
свойствами (соответствующие материальные функции равны нулю), а
процесс В реализуется в теле, этими свойствами обладающем. Отметим
характерные случаи:
1. Устойчивость изотермического (Qij = О, Кц? = 0, а = 0,
Aij — 0) либо несвязанного (Qij = 0, Rij = 0) процесса к возмущению
термомеханических либо связанных свойств. Сюда надо отнести класс
задач о конвективной или тепловой неустойчивости первоначально
стабильного (в классе чисто механических возмущений) движения или
состояния покоя.
2. Устойчивость линейно вязкого течения относительно
возмущения пластических свойств. При значениях предела текучести т5
больших нуля в возмущённом течении могут возникнуть недеформиру-
емые области (жёсткие зоны), которых в принципе нет при т5 = 0. Эти
области начинают образовываться вблизи тех точек, где в основном
движении интенсивность напряжений минимальна. Их наличие может
существенно сказываться на характере течения. Так, например, вязкое
течение Пуазейля в плоском слое при возмущении предела текучести
реализуется в двух несвязанных между собой пристеночных слоях, и
граничные условия для такого течения будут уже совершенно иными.
3. Устойчивость идеально пластического течения Сен-Венана
относительно возмущения вязких свойств. С вариациями такого рода
связаны проблемы единственности основного движения, поскольку
введение в пластическую модель вязкости делает диаграмму cru ~ vu
взаимооднозначной.
4. Устойчивость движения упругого тела относительно
возмущения внутренней и внешней (рэлеевской) вязкости, причём потеря

34
ГЛАВА 1
устойчивости здесь понимается как по динамическому критерию, так
и по статическому (прощёлкивание конструкций, бифуркации,
катастрофы и т.п.).
Неустойчивость во всех перечисленных примерах говорит о
следующем. Возьмём решение, отвечающее процессу В, и устремим в нём
параметры материальных функций, относительно возмущений которых
исследуется устойчивость, к нулю (каждый по своей мере). Если после
выполнения такой операции мы не получим решение, отвечающее
процессу А, либо не совпадут какие-то интегральные (качественные,
обобщённые) характеристики решений, то процесс А, реализуемый в
теле с модулями CijkhQ°ij%... ,a°, будет неустойчивым к возмущениям
6Cijkh6Qij,...,6a, в смысле мер {p\(t),...,pk(t)}, {7b->7m}. Здесь
имеет место неравномерная сходимость семейства процессов В по
параметру одной или нескольких материальных функций. В механике
известны (см., например, [160]) многочисленные «парадоксы»
подобного характера, возникающие при формальных предельных переходах
в статических и динамических задачах.
Более глобальное проявление неустойчивости — изменение
типа системы дифференциальных уравнений C.1)—C.6) в результате
варьирования материальных функций. В этом случае речь идёт об
устойчивости самого материала, а не какого-либо движения.
Изменение типа системы связано с тем, что тензор С^ы при наложении
на него малых или конечных возмущений 6Сф1 перстаёт быть
положительно определённым в интегральном смысле. Под положительной
определённостью понимается существование положительной
скалярной функции К(х11) в неравенстве Корна [258, 259]
/ С£м(£, t)vk)lVij dO ^ / К(х, t)vijVij dQ. C.9)
Система уравнений в возмущениях превращается из эллиптической в
гиперболическую, что влечёт за собой качественное изменение
поведения всех решений с любыми граничными и начальными условиями.
В общей теории определяющих соотношений неустойчивость
материала интерпретируется как потеря положительной
определённости касательного модуля д£(е)/д& или касательной податливости
#£(£)/#£ [ 164], т.е. невыполнение условий, обобщающих C.9):
дТ(е)
Vh3m>0: h: ~ :h^mh:h, C.10)
да
dG(a)
V/i3n>0: h:-^^:h^nh:h C.11)

КРИТЕРИИ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
35
Следует отметить, что понятие «устойчивость материала» в
механике сплошной среды введено достаточно давно Д.Друккером [243].
В случае, если процесс деформирования двумерен либо трёхмерен,
это понятие не столь ясно как при одномерном растяжении или
сжатии. Строгое определение гласит [159, 243], что в любой
квазистатической системе перемещений от равновесной конфигурации работа,
проделанная системой сил, поддерживающей равновесие, должна быть
положительной. Речь идёт о работе, выполняемой системой
дополнительных сил на дополнительных перемещениях (так называемой работе
второго порядка), в которую не включается работа, выполненная
системой сил в невозмущённом состоянии (работа первого порядка).
Другими словами, нагруженная равновесная конфигурация устойчива,
если приложенная система сил не совершает работы.
В [76] также различается устойчивость в малом и устойчивость
в большом. «В прямом смысле устойчивость в малом — обычное
требование, невыполнение которого означает, что конструкция будет
самопроизвольно отклоняться от своего равновесного состояния при
фиксированной нагрузке. Кривые нагрузка-прогиб или а ~ е при
простом нагружении имеют положительный наклон. Устойчивость в малом
для цикла и устойчивость в большом характерны для большинства
пластичных конструкционных металлов и пластичных конструкций при
рабочих нагрузках и умеренных перегрузках. Условия устойчивости
материалов часто неявно подразумеваются в методиках и нормах
проектирования, но нельзя предполагать, что эти условия имеют силу и
для композитов, поскольку они не являются законами природы»11).
Из процитированного отрывка следует, что несмотря на
термин «устойчивость материала» имеется ввиду всё-таки устойчивость
конкретного движения с заданными параметрами либо чаще всего
равновесия конфигурации. «Предельное состояние материала» следует
понимать как состояние, в котором внешние нагрузки в заданном
движении либо равновесии достигли своих критических значений.
После этого поведение системы неустойчиво в том смысле, что процесс
разрушения будет ускоряться и без дополнительного нагружения12).
м)См. [76|,с. 19.
1 * Расхождение в терминологии, возможно, объясняется неточностью дословного
перевода с английского языка сочетаний «stability of material», «unstable materials» и т. п.
в переводных работах [76, 159] и в более поздних русскоязычных статьях, уже
использовавших эти термины.

36
ГЛАВА 1
§ 4. Устойчивость материала по отношению к изменению его
внутренней структуры (применительно к композитам)
и немеханическим взаимодействиям
Следуя по пути дальнейшего усложнения физической модели,
примем, что заданный процесс характеризуется не только
термомеханическими величинами, но и величинами, описывающими связанные
поля [63, 165, 166, 169] и немеханические взаимодействия, в частности,
химические превращения друг в друга каждого из М реагирующих
веществ [66, 168]. Такой учёт даётся обобщённой
термодинамической моделью многокомпонентной среды. Независимыми параметрами
состояния в ней наряду с тензором скоростей деформаций и
температурой являются концентрации веществ с\,... >cM {са — ра/р\ ]СС« = О
в каждой точке х £ О в момент t > 0.
Определяющие соотношения C.1) перепишутся в виде
*ц = Cijkl(v)vkl + Qijti + ]Г V\fca , s = RijVij + a# + ]T baca D.1)
a a
и дополнятся связью химических потенциалов /z(af) (парциальных
удельных энергий Гиббса) с v, f сй
MW = #j?>Vy + ХЩ + ]Г С(")(/% , a = I, ... , М. D.2)
К обобщённому закону Фурье
следует добавить связь импульса уа> = pa(va - v) (]C«i = 0)
вещества с номером а с градиентами температуры Г и химических
потенциалов ^
зГ^-^Tj^D^f, a=i,...,M. D.4)
Р
Вместе с тремя уравнениями движения C.3), шестью соотноше-
нтмн Стомса C.4), уравнением неразрывности C.5), уравнением для
концентраций
^+iff = !>*•&. в=1,-,*, D.5)

КРИТЕРИИ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
37
где Jp — скорость /3-ой реакции, и обобщённым уравнением притока
тепла
V « /,• « D.6)
a C
определяющие соотношения D.1)-D.4) замыкают систему B1+5М
уравнений) относительно 21 термомеханической величины,
перечисленных в предыдущем параграфе, а кроме того, SM функций са,
jia)^ ^(«) Внешними данными здесь являются объёмные силы pF{,
мощность внутренних источников тепла pq и стехиометрические
коэффициенты иар{3\ Индекс р в D.2), D.4)-D.6) при суммировании
пробегает значения от 1 до числа химических реакций в данной точке
тела.
К материальным функциям, введённым ранее в § 3, надо добавить
тензоры химико-механической связанности V\^\ Ф^ ; матрицы
«химической» d\j' и «термохимической проводимости» а\"'; скалярные
функции термохимической связанности Ьа9 х > скалярные функции
£(<*)(Р)^ имеющие чисто химическую природу 14\
Понятие устойчивости процесса А относительно немеханических
взаимодействий различных компонентов в каждой точке области Q
также основывается на подходе Ляпунова—Мовчана и может быть
математически описано с помощью определений аналогичных 2.1, 2.2
и 3.1. Процесс В характеризуется теперь не только термическими и
механическими величинами (v° +6v)(x,t)9 (<r° + 6a)(x,t), ... , {&° +
6#)(xyt)9 но и концентрациями веществ (с°а + 6ca)(x,t) E2a6ca = 0).
Поэтому набор мер ё в неравенствах B.2) следует расширить: ё =
{б\,..., е&,..., €k+M } » имея в виду, что последние М чисел этого набора
ограничивают вариации концентраций 6са в возмущённом движении.
С другой стороны, вариации новых материальных функций V\*\ #•* ,
d\j\ ba, x^i ((aW\ описывающих химико-механические свойства
Г3^о0 > 0, если вещество а входит в правую часть /?-ой реакции и г/ар < 0, если
в левую; J^JL, va/3 = 0.
'^Достаточно основательный обзор современных представлений о понятии
химического потенциала применительно к теории фазовых превращений в механике сплошной
среды дан в [62}.

38
ГЛАВА i
вещества, могут быть оценены в соответствующих функциональных
пространствах.
Неустойчивость данного процесса в многокомпонентной среде по
отношению к немеханическим (химическим) взаимодействиям
означает, что при малом варьировании начальных, внешних данных и
материальных функций значения концентрации в возмущённом движении
сильно отличаются от своих значений в основном движении.
Образование новых веществ с новыми физико-механическими и термическими
свойствами говорит об изменении внутренней структуры материала.
Следствием этого является изменение в возмущённом состоянии
плотности, модулей упругости, вязкостей и других характеристик, а также
наличие новых поверхностей раздела и границ фаз. Вопросы
устойчивости и закритического состояния в данном случае довольно сложны и
поэтому практически не исследованы.
Типичными материалами, в которых внутренняя структура —
важный параметр состояния, являются композиты, описываемые
математическими моделями с разрывными по координатам материальными
функциями определяющих соотношений [164]. Согласно постулату ма-
крофизической определимости Ильюшина все эти материальные
функции могут быть найдены из опытов с макроскопическими образцами.
Однако таких опытов может понадобиться слишком много, в этом
случае можно найти осреднённые материальные функции, входящие
в эффективные определяющие соотношения (например, с помощью
опытов с представительными образцами).
Конструкционные особенности внутренней структуры композита
определяют сложное, порой малопредсказуемое поведение всего тела
в целом. Так, композит, составленный из анизотропных элементов,
на макроуровне может проявлять изотропные свойства (хаотически
ориентированные короткие стальные волокна в бетоне на
масштабном уровне, значительно превышающем длину волокна) и наоборот
(длинные стальные волокна в резиновой матрице). Система полостей в
упруго-пластической матрице превращает её в композит со сдвиговым
и объёмным модулями меньшими чем у материала матрицы. Этот
композит проявляет значительные пластические изменения объёма, хотя
материал матрицы сам по себе несжимаем. Система же
параллельных длинных цилиндрических отверстий в матрице приводит уже к
макроанизотропии как в упругой, так и в пластической областях.
Эти и другие примеры [113, 134] свидетельствуют о том, что
многие важные макроскопические свойства композита могут быть скрыты,
если не проводить тщательного теоретического и экспериментального
анализа его поведения. Сказанное относится и к проблеме
устойчивости композитов относительно возмущения внутренней структуры, а

КРИТЕРИИ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
39
также химического взаимодействия компонентов \ Например,
наличие малой объёмной доли кобальта как пластического связующего в
цементированном карбиде вольфрама позволяет реализовать в этом
композите прочность равную прочности самих частиц карбида
вольфрама [76].
В композитах, армированных длинными цилиндрическими
волокнами, при растяжении или сжатии типичное нарушение
структуры — разрыв одного или нескольких волокон и, как следствие,
перераспределение напряжений. После разрушения слабейших
волокон невозмущённый процесс остаётся устойчивым, но диаграммы
нагружения и разгрузки уже не совпадают (хотя материал ведёт себя
упруго). В композитах же без связующего таких, как ткани с большим
количеством параллельных волокон малого диаметра, трос и других,
перераспределение нагрузки происходит квазистатически. Соседние
волокна при этом равномерно воспринимают нагрузку с разрушенных
волокон.
Перераспределение напряжений через матрицу приводит к
тому, что изменение упругих свойств материала происходит только в
крайне ограниченной области вблизи места разрушения. Пластичность
матрицы, а также способность взаимного проскальзывания волокна
и матрицы локализуют область микроразрушения и играют важную
роль в обеспечении надёжности композита при растяжении-сжатии.
Таким образом, один из принципов создания волокнистых
композитов (волокнитов) с устойчивой внутренней структурой заключается
в обеспечении возможности плавного перераспределения нагрузок от
вышедших из строя элементов к работающим. Неустойчивость здесь
трактуется как начало обвального (неуправляемого) разрушения всей
структуры.
§ 5. Потеря устойчивости при численном моделировании
процесса
Число точных аналитических решений в задачах механики
довольно ограничено. Большая их часть собрана в классических монографиях
и является учебным материалом в соответствующих курсах. Решение
же, получаемое с помощью численных или аналитико-численных
методов, должно удовлетворять наперёд заданной точности, кроме того,
,5*Что касается последнего, то химические процессы взаимодействия волокон с
матрицей хотя и зависят от времени и напряжений, но период их протекания чаще
всего значительно больше чем рассматриваемое время нагружения и разгрузки. Поэтому
для описания текущего состояния в теле можно использовать методы, применяемые для
стационарного анализа.

40
ГЛАВА 1
до него желательно добраться с наименьшими затратами. Эту
проблему условно можно разбить на ряд этапов [167]: постановка задачи;
доказательство корректности постановки; дискретизация задачи и
доказательство корректности приближённой задачи и её «близости» к
исходной; выбор численного метода решения; программирование на
компьютере; анализ численных результатов и их сравнение с
экспериментом.
Вместе с тем основным требованием, предъявляемым на практике
к решению задачи механики, является его устойчивость по отношению
к тем или иным возмущениям. Для анализа устойчивости важно знать
осреднённые характеристики, безразмерные параметры и числа, с
достижением которыми своих критических значений связан переход
системы в качественно иное состояние. Возникают вопросы:
— можно ли численно выявить критические параметры, при
которых некоторый физический процесс теряет устойчивость, если
характеристики этого процесса заранее неизвестны и сами суть решения
некотрой краевой задачи?
— что означает потеря устойчивости при численном
моделировании: некорректность дискретизированной задачи (например,
неустойчивость разностной схемы) или нечто, реально происходящее в
физическом теле?
Ответы на эти вопросы далеко не очевидны и, вероятно,
неоднозначны. При анализе численных результатов в каждой конкретной
задаче они имеют свои особенности. Приведём в качестве примера
задачу об эволюции радиуса пузырька в вязкой среде под
действием давления на бесконечности [81]. Численный анализ задачи Коши
основного движения показывает, что су шествуют, два режима сжатия
пузырька. Если безразмерное давление на бесконечности р^ не
превышает критического значения р*, то радиус пузырька R с течением
времени t плавно уменьшается до нуля. Если же давление больше
этого значения, то происходит резкое схлопывание пузырька, чем
теоретически и объясняется явление кавитации.
Какова же причина такого поведения численных кривых R(t)
при достаточно большом безразмерном давлении? Можно дать три
различных ответа на этот вопрос:
а) это есть устойчивое невозмущённое движение, получающееся
в результате решения задачи Коши при рх > р*;
б) при рх > р* невозмущённое движение потеряло устойчивость
относительно малых начальных и действующих возмущений;
неустойчивое же решение численно выявлено быть не может в принципе,
поэтому результат вычислений — картина того, как ведёт себя система
после потери устойчивости;

КРИТЕРИИ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
41
в) при Рос > р* потеряла устойчивость лишь разностная схема,
и решение дискретизированной задачи не имеет ничего общего с
решением континуальной.
Экспериментальные наблюдения показывают, что,
действительно, при достаточно большом внешнем давлении имеет место кавита-
ционное схлопывание пузырька, поэтому ответ в) неверен. Различие
в ответах а) и б) представляет в большей степени теоретический
интерес, поскольку оба они подтверждают качественное изменение
реального физического процесса при р^ = р*, что и важно для
прикладного исследователя. В данной же задаче можно точно указать,
какой ответ верен. Для этого заметим, что безразмерный параметр р^
обратно пропорционален динамической вязкости среды, окружающей
пузырёк. Следовательно, для идеальной жидкости р^ = оо, те.
заведомо рос > р*. Но в случае идеальной жидкости задача сводится к
классической задаче Рэлея, которая имеет точное аналитическое
решение. Из этого решения следует, что время схлопывания конечно, а
скорость в момент схлопывания обратно пропорциональна радиусу в
степени 3/2. Таким образом, следует выбрать ответ а).
Хорошо известны примеры потери устойчивости численных
процессов, отвечающие варианту ответа в). Они соответствуют нарушению
признака устойчивости (например, спектрального для линейных задач)
численной схемы. Формулировка этого признака включает в себя как
физико-механические характеристики системы так и параметры схемы,
не имеющие отношения к континуальной задаче.
Вопросы устойчивости, затронутые в §§3-5, достаточно новы, и
им предстоит посвятить отдельные исследования. В этой главе
ограничимся лишь общими концептуальными положениями, возможными
определениями устойчивости по набору мер (аналогичными
определениям Ляпунова—Мовчана) и кругом тех задач, которые могут быть
промоделированы на основе подобного подхода.

Глава 2
Общая линеаризованная задача
устойчивости нелинейных течений
Исследование устойчивости невозмущённого состояния в
физическом теле относительно малых возмущений приводит к
линеаризованной краевой проблеме, включающей в себя систему линейных по
скоростям уравнений в области, систему граничных условий, снесённых
на невозмущённые поверхности тела, и, возможно, начальные условия.
В случае стационарного основного движения эта проблема сводится к
задаче на собственные значения. Примером здесь служит классическая
задача Орра—Зоммерфельда для одномерного сдвига вязкой жидкости
[18,58].
Подобная методика применима и при изучении устойчивости
тел с нелинейными определяющими соотношениями. Структура
соответствующих уравнений здесь существенно сложнее чем в линейной
модели. Для вязкопластических течений задача осложняется
наличием жёстких зон, границы которых могут меняться в процессе
возмущённого движения.
Данная глава посвящена постановке и анализу линеаризованной
краевой задачи устойчивости тела с достаточно общей связью
напряжений и скоростей деформаций, допускающей как упрочнение, так и
существование предела текучести. Основное течение рассматривается
в трёхмерной либо двумерной области, на границе которой заданы
условия одного из трёх типов. Обсуждаются случаи, когда трёхмерная
картина возмущений может быть сведена к двумерной. На основе
метода интегральных соотношений строятся различные независимые
оценки устойчивости основного течения. В эти оценки входят
физические свойства материала, геометрия области и максимальная скорость
скольжения в невозмущённом состоянии. Основные результаты
формулируются в виде нескольких теорем и следствий из них [37, 39, 44, 45].
§ 6. Общая краевая задача устойчивости
относительно малых возмущений
6.1. Типы определяющих соотношений материала. Пусть тяжёлое
изотропное несжимаемое тело с плотностью р занимает в момент t
физическую область Q эйлерова пространства с декартовой системой

УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ТЕЧЕНИЙ
43
координат (Ох\Х2Хъ). Эта область ограничена кусочно-гладкой
поверхностью Е (Е = Ev U Е5 , Е„ П Es = 0). Выделим также в О некоторую
совокупность Пг подобластей Пн с кусочно-гладкими границами Ert,
причём Ег* могут иметь общие точки с Etf либо с Es.
Определяющие соотношения в теле П, связывающие напряжения
aij(x,t) и скорости деформаций Vij(x,t), могут быть представлены в
виде объединения векторных (тензорных) и скалярных определяющих
соотношений. Векторные соотношения связывают девиатор s,j(a?,£)
напряжений (sij(x>t) = <Jij(x,t) + p(x,tNij) и девиатор скоростей
деформаций, который в силу несжимаемости совпадает с самим тензором
скоростей деформаций vij(x,t).
Известно [163, 164], что общий вид изотропной потенциальной
функции, связывающей два симметричных тензора £ и £ с нулевыми
следами, таков
8ij = 2Mitty + М2[vikvkj - — Sijj , F.1)
где Mi и Мг — скалярные функции двух инвариантов тензора v:
максимальной скорости скольжения U = Bv^vtj)I/2 и кубического
инварианта J = VijVjkvki. Условие потенциальности означает, что
3UdM{/dJ = dM2/dU.
Если же изотропная тензорная функция F.1) ещё и квазилинейна,
то М2 = 0, Mi = M(t7), что соответствует нелинейно-вязкой жидкости
либо вязкопластическому телу (материалу Ильюшина—Бингама):
зу = 2M{U)vij . F.2)
Величина М представляет собой отношение максимального
касательного напряжения Т — (sijSij/2I/2 к максимальной скорости
скольжения U. Скалярное определяющее соотношение Т = T(U) для
векторно линейных тел F.2) характеризует собственно реологию
материала. В случаях, когда кривая T(U) выпукла вверх (Т** < 0), говорят,
что материал обладает мягкой характеристикой, а если вниз (Г** > 0),
то жёсткой16* [167]. Единственная физически линейная модель,
описываемая соотношениями F.2), имеет место при М = \i — const и
называется ньютоновской жидкостью с динамической вязкостью \х. Среды,
для которых lim T(U) = 0, принято называть нелинейно-вязкими
жидкостями, а для которых lim T(U) = rs > 0, — вязкопластическими
16) Жирная точка • в верхнем индексе всюду означает производную от данной
величины по скалярному аргументу U.

44
ГЛАВА 2
телами с пределом текучести при сдвиге rs. Деформирование таких
тел происходит лишь там и тогда, где и когда T(x,t) > т5, остальная
же область Пг занята жёстким ядром течения [145]. Таким образом,
граница Ег определяется из условия
х е Er : T(x,t) = T8 . F.3)
Во многих работах (например, в [129]) считается, что в
точках Ог материал ведёт себя как вязкоупругое тело. Здесь возникает
дополнительная задача об определении напряжённо-деформированного
состояния внутри Ог уже в терминах тензоров <т и £.
Выберем одной из физических величин, входящих в базис
обезразмеривания, плотность р. В качестве двух других могут быть выбраны
характерные скорость V и линейный размер h области О. В таком
базисе величины, обратные безразмерной вязкости и
безразмерному ускорению силы тяжести д, как известно, называются числом
Рейнольдса Re = pVh/fi и числом Фруда Fr = V2/(gh). Если
динамическая вязкость материала р, зависит от G, то число Re также
является функцией U. Если же в этом случае /i надо включить в базис
обезразмеривания, то будем выбирать значение ft при U —* 0, как это
сделано в § 16. Введём в рассмотрение также число к = Tsh/(tiV),
характеризующее влияние пластических свойств по сравнению с вязкими
и играющее важную роль в теории вязкопластичности [91].
6.2. Постановка начально-краевой задачи устойчивости.
Уравнения движения и условие несжимаемости в безразмерных переменных
имеют вид
dvt
t>tf = 0 . F.5)
Для задания граничных и начальных условий потребуем
хет,
v(xyt) = W{x,t), F.6)
х £ Es : <Tij(x, t)rij(x, t) — Pi(x, t), F.7)
t = о : v(x) = vQ(x), fGfi . F.8)
Пусть уравнения самих поверхностей Е„ : Fv (x, t) = 0, Es :
Fz(x,t) = 0, Er : Fr(f,^) = 0 допускают представления х$ — /Джь#2,0>
*з - fs(x\>x2,t), ж3 = fr(x\,x2,t) соответственно. Движение этих
поверхностей с течением времени определяется из уравнений
df(v:s:r) df(v;s;r) #/(ti;e;r) - ,- v /a n\

УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ТЕЧЕНИЙ
45
Для постановки начально-краевой задачи четыре уравнения F.4),
F.5) и шесть уравнений C.4), из которых в силу F.5) только пять
независимы, следует замкнуть в области шестью определяющими
соотношениями среды £ = P(v) или v = G(s), из которых независимы
также только пять, задать граничные условия F.3), F.6), F.7) на
поверхностях, движущихся по закону F.9), и начальное условие F.8). В
результате решения и определения четырнадцати функций в О (три
компоненты г;,-, функция давления р, и две пятёрки независимых
компонент тензоров £ и v) из F.3) можно найти закон изменения границ
Sri жёстких зон.
Для статически определимой исходной начально-краевой задачи
по найденному полю напряжений строится величина T(x,t) и в случае,
если она принимает значение т5 на множестве, объёмная мера
которого равна нулю, из F.3) однозначно определяются поверхности ЕГ1-,
ограничивающие жёсткие зоны (жёсткие ядра) Оп. В случае же
статически неопределимой задачи, решаемой в скоростях, единственность
решения зависит от класса функций, в котором оно ищется. Если
векторное поле v(x,t) разыскивается в классе непрерывно
дифференцируемых вплоть до границы П функций, то поверхности жёстких
зон £гг и само поле скоростей определяются однозначно. В
противном случае возможна неединственность решения. Примером может
служить плоское вязкопластическое течение Куэтта в горизонтальном
слое, где наряду с прямолинейным профилем скоростей решениями
будут всевозможные ломаные профили, в которых вертикальные
отрезки (области Он) чередуются с отрезками, равнонаклонёнными к
горизонтали. Распределение вертикальных отрезков по толщине слоя
может быть произвольно.
Существенно требование того, чтобы объёмная мера множества
£г была равной нулю, т. е. чтобы это множество действительно было
«поверхностью» в Е3. Контрпримером является одномерное сдвиговое
идеальнопластическое течение в плоском горизонтальном слое, где
Т(£,£) = rs в области слоя17\ и профиль горизонтальных скоростей
может быть произвольным даже в классе непрерывно
дифференцируемых по толщине слоя функций [146]. Распределение жёстких зон по
толщине здесь также произвольно.
Основное движение, являющееся решением поставленной
начально-краевой задачи, как и в главе 1, будем помечать индексом «о».
Для исследования устойчивости согласно определению 2.1 предполо-
'Это есть скалярное определяющее соотношение идеальнопластического
материала.

46
ГЛАВА 2
жим, что на основное состояние системы наложены малые возмущения
V{ = V°i + SVi , Vij = V°j + SVij , Оц = (T°ij + 6(Tij ,
о , , о , . F.10)
p = p + dp, Sij = Sjj + 05^ .
Так как в дальнейших формулах будут встречаться величины, входящие
только в правые части равенств F.10), то будем опускать знак б у
возмущений.
Линеаризуем уравнения F.4), F.5), C.4) вблизи основного
движения, считая квадраты безразмерных возмущений всех величин много
меньше самих возмущений. Получим
~Рл + Sijj = -~ + tf^j + VijVj , F.11)
«м = 0, F.12)
2vij = t;,-^ + г/#. F.13)
Варьируя определяющие соотношения, взятые в общем виде F.1),
после некоторых преобразований найдём, что
Sij = W%klvkl, F.14)
где
+ ^°L ^jf farnj - \би) Пв„я,, F.15)
^ч О О
Д*;*/ = M«)j , У&ы = -~^f • F-16)
Открывающиеся и закрывающиеся скобки в индексах означают
операцию штьтсрнирования. Тензоры четвёртого ранга И^ и У^и
зависят только от основного состояния системы, поэтому помечены
индексом «о», причём V^w зависит лишь от кинематики
невозмущённого движения. Этот тензор имеет стандартные типы симметрии
Vjju - Vjikl = Vujj. а кроме того Vi°ikl = 0 в силу несжимаемости
основного течения и V^j = 1 в силу нормировки.

УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ТЕЧЕНИЙ
47
Если же связь тензоров £ и £ векторно линейна, т. е. выбрана в
форме F.2), то соотношения F.15) упростятся:
W°jkl = 2МAijkl + 2U° ^V°jk,. F.17)
Проблемы устойчивости процессов деформирования таких тел впервые
были затронуты в классических работах [91, 95, 96].
Линеаризация граничных условий F.6), F.7), F.3) представляет
собой их снесение с возмущённых поверхностей ж3 = /(и;$;г)(#ь#2>0 +
%>;«;г)(#ь#2>0 на невозмущённые жз = f(v;s,r)(x\,X2,t). Будем иметь
жз = Л(ж|,«2,0 • i>i = Vv z %-+6Wi, F.18)
OXs
#з = fs(x\,x2lt) : <т^п° = -aijTij + 7]s г——%LJ- + 6Pi, F.19)
OX i
йТТ°
#з = fr(x\1x2,t) : 2vijVij + 7)rUc'—- = 0, F.20)
OXt,
где SWi, 6Pi — вариации внешних данных, заданные на
соответствующих поверхностях. Если же внешние данные фиксированы в основном
и возмущённом движениях, то в F.18), F.19) надо положить 6Wi = 0,
SPi = 0.
Компоненты нормали п° и 6щ, входящие в условия F.19),
выражаются через fs и ns следующим образом
о Js,J о » т г 1 -\
1 ' , , ' ' , F.21)
UJ~ |Я°| |n<f ' Пз~ |Й°|3 '
Если область fl занимает две среды A) и B) с границей раздела
Ес: #з = f(x\yx2,t) в основном движении и ж3 = (/с + Чс)(жьж2?0
в возмущённом, то необходимо ставить контактные условия на Ес.
Линеаризованные кинематические условия совместности, снесённые
на Ес, имеют вид
^l)--f)^c/-KA)-<B)) = 0, F.22)
ох$
а динамические —
(а$ - <$)п> + «]" - „3>, + ifcj^-Kirg" - а5>Л =0. F.23)
-&с3

48 ГЛАВА 2
Линеаризуя далее уравнение F.9), получим закон движения
возмущённых поверхностей Е„, £,,, Ег, Ес
—дГ-=-у'-^Г-°'-д^Г> ^E(w;c). F.24)
Кроме того потребуем, чтобы
t = 0: 6v(x) = 0. F.25)
Таким образом, трёхмерная краевая задача устойчивости
нелинейного течения заключается в решении четырёх уравнений F.11), F.12),
куда с помощью F.13), F.14) подставлены выражения £ через #, с
граничными условиями F.18) - F.20) и, возможно, F.22), F.23),
выполненными на поверхностях, определяемых уравнением F.24). Для
нестационарного основного течения присоединим и начальное
условие F.25). Примером такого нестационарного течения может служить
процесс диффузии вихревого слоя (одномерный сдвиг полуплоскости
с начальным разрывом скоростей либо напряжений вдоль границы),
устойчивость которого будет изучена в следующей главе.
6.3. Общая схема метода интегральных соотношений и основные
теоремы. Приведём ниже общую схему применения метода
интегральных соотношений для анализа линеаризованной краевой задачи
устойчивости некоторого невозмущённого процесса деформирования.
Этот метод, использованный ранее в задачах устойчивости
одномерного плоскопараллельного сдвига в слое идеальной (задача Рэлея),
вязкой (задача Орра—Зоммерфельда), идеальной стратифицированной
(задача Тейлора—Гольдштейна), а также вязкой стратифицированной
(задача Дразина) жидкостей, позволяет получать довольно общие (в
основном, достаточные) признаки устойчивости. В широком смысле
он включает в себя использование различных интегральных неравенств
(типа неравенств Фридрихса, Пуанкаре, Шварца) и априорных оценок
в различных функциональных пространствах. В силу сложной
структуры уравнений устойчивости в области (несмотря на их линейность)
и невозможности выписать их точные фундаментальные решения для
дальнейшей подстановки в граничные условия, учитываются лишь
общие характеристики невозмущённого процесса такие, как физико-
механические параметры, геометрия области, профиль скорости.
Начиная с первых классических результатов по устойчивости течений
идеальной жидкости (теорема Рэлея о точке перегиба, теоремы Фьор-
тьофта и Ховарда о полукруге) вплоть до современных исследований,
учитывающих рейнольдсову и рэлеевскую вязкости тела,
электромагнитные свойства и другие эффекты, метод интегральных соотношений
нашёл широкое применение (см., например, обзор [104]).

УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ТЕЧЕНИЙ
49
Пусть жёсткие зоны в области течения О отсутствуют, а вся
поверхность Е, ограничивающая О, состоит из части HV9 т.е. на ней
заданы только кинематические граничные условия, не меняющиеся
при переходе от основного движения к возмущённому:
х е £ : Vi = 0. F.26)
Пусть также каждая компонента v — элемент вещественнознач-
ного пространства 1^(Й) со стандартной в нём нормой [178]. Умножим
обе части F.11) на vi9 просуммируем по г и проинтегрируем по П.
Тогда с учётом F.12), F.26) получим
\d_
Ydt
где
(Ji2 +1\ +l\) = - / v-jViVj <LQ- I s^j dSl, F.27)
l!(t) = Jvj
•2 <m.
Из неравенства Шварца, применённого к первому слагаемому в
правой части F.27), следует цепочка неравенств
-JvljViVjdQ^qijjlviWvjldQ ^ ЦA}+1)) ^ y(JT?+j|+J?), F.28)
где
qij(t) = sup \v0ij\, Q(t) = max Bqaa + ga/9 + ^a + ga7 + qla).
fi a= 1,2,3
Оценка снизу второго интеграла в правой части F.27) может
производиться двумя путями. Первый из них основан на чисто
алгебраических преобразованиях, а именно на минимизации квадратичной
формы: SijVij = SijVij — WijkiVkiVij ^ Kv^Vij, где компоненты W?jki
имеют вид F.15). Таким образом, имеем
/ SijVij dQ^ Кх I VijVij (Ш = -KJijIij , F.29)
где
Кх(t) = inf K(x, t), lfj(t) = / vjj <Ш,

50
ГЛАВА 2
Второй способ основан на непосредственном применении
неравенства Корна [258, 259] в случае стандартных типов симметрии
Щи = W°jlk = Wklij:
j SijVijdti = / Wt°jklvkjvLj dQ ^ / 'KvijVijdQ ^ -К21и1и , F.30)
где __
K2(t) = 2MK(x,t).
Лемма 6.1. Пусть область Q можно заключить
а) в параллелепипед l\ x 12х 12 либо
б) в бесконечный цилиндр прямоугольного l\ х 12 сечения либо
в) между плоскостями, отстоящими друг от друга на
расстоянии 1\.
Тогда для любой функции v(x,t) с компонентами из 1^@)
справедливо неравенство
Iijlij > Aq/j/j, F.31)
где а) А2п = ir2(lj2 + Г22 + 1^2) либо б) А2п = тг2(/,~2 + 122) либо
в) \l = ir2/l}.
Доказательство леммы 6.1 вытекает из неравенств Фридрихса для
функций с компактным носителем в О [178].
Собирая вместе вспомогательные оценки F.28)—F.31) и
подставляя их в F.27), получим
- Iniljlj) < Q - \lKQ , *>0, F.32)
где а — 1 или а = 2 в зависимости от выбора цепочки F.29) или
F.30). Из F.32) следует утверждение о том, что при t > 0 функция
Ij(t)Ij(t)eFw не возрастает, т. е. заведомо
ЩЩ ^ 1,@I,@) t'F{i\ t> 0, F.33)
где
t
F(t) = f (кЪка(т) - Q(r)) dr. F.34)
о
Таким образом, доказана следующая

УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ТЕЧЕНИЙ
51
Теорема 6.1. Достаточным условием устойчивости невозмущённого
течения v°(x,t) в Е3 относительно трёхмерных возмущений
является совокупность требований к F(t) :
a) inf F(t) > -00; б) lim F(t) = +00.
<>0 t-*+oo
В случае установившегося течения (Q = const, Ka = const) из
F.34) и теоремы 6.1 следует
Теорема 6.2. Достаточным условием устойчивости невозмущённого
стационарного течения v°(x) в К3 относительно трёхмерных
возмущений является неравенство Q < A^Hfa.
Так как Ijlj — fn\v\2dQ, то в формулировках теорем 6.1 и 6.2
имеется ввиду устойчивость по паре мер (p{),pt), где
р] = J \v\\x,t)dU, pl = J \v\\x,0)d(l = p2t@). F.35)
Это соответствует понятию асимптотической устойчивости по
Ляпунову— Мовчану: невозмущённое течение называется (асимптотически)
устойчивым18^ если для любого е > 0 существуют 6>0nt = T>0
такие, что при р$ < 6 и t > Т имеет место неравенство р < е.
Теорема 6.1 утверждает, что числа е и 6 можно выбрать
произвольно, а момент времени Т определяется равенством F(T) = \пF/€).
При выполнении условий а) и б) теоремы такое время всегда
существует.
Неравенство Q < A^ijfa, входящее в формулировку теоремы 6.2,
ограничивает в пространстве безразмерных параметров задачи область
заведомой устойчивости основного процесса. В силу стационарности
последнего границы этой области со временем не меняются. В случае
ньютоновской вязкой жидкости это неравенство равносильно тому,
что некоторая комбинация чисел Яе, Fr и, возможно, других не
превосходит своего критического значения.
Наряду с (асимптотически) устойчивыми рассматриваются
условно устойчивые или устойчивые на конечном интервале времени процессы:
невозмущённое течение называется условно устойчивым, если
существует R > 0 при котором для любого е найдутся 6>0nt = T>0
такие, что при р0 < 6 и t > Т имеет место неравенство р < R + е.
'В гидродинамических приложениях под термином «устойчивость* обычно по
умолчанию понимают именно асимптотическую устойчивость. В противном случае речь
идёт о смене типов устойчивости и переходных циклах.

52
ГЛАВА 2
Аналогично теореме 6.1 можно дать достаточный признак условной
устойчивости.
Теорема 6.3. Достаточным условием условной устойчивости
невозмущённого течения v°(x,t) в R3 относительно трёхмерных
возмущений является объединение следующих требований к функции F(t),
определяемой соотношением F.34):
a) inf F{t) > -oo; 6) lim F(t) = F^ > 0.
t>{) t-^+oo
Доказательство почти дословно повторяет вывод теоремы 6.1, а
из неравенства F.33) видно, что 6 можно взять опять же произвольно,
в качестве R выбрать число Eexp(-F0C), а в качестве Г такой момент
времени, что F(t) > \n[6/(R + e)] при t > Т. При выполнении условий
а) и б) теоремы 6.3 такое время Г всегда существует.
Из общей схемы применения метода интегральных соотношений,
приведённой выше, и получения достаточных интегральных признаков
устойчивости видно, что основной проблемой в каждой конкретной
задаче будет нахождение оценивающих параметров Ka(t), Кц и Q(t),
входящих в определение F.34) функции F(t). В последующих
параграфах и главах конкретизируем вид определяющих соотношений
материала. Оценки устойчивости при этом будут не простым
следствием полученных в данном параграфе, а улучшены в зависимости от
структуры уравнений в области.
§ 7. Устойчивость процессов деформирования тел
с векторно линейными соотношениями
7.1. Постановка задачи и её сведение к проблеме на собственные
значения. Общий вид связи тензоров £ и £ для векторно линейных
материалов19' представляется соотношениями F.2). Связь же возмущений
тензоров jS и v даётся формулами F.14), F.17).
Для формулировки линеаризованной краевой задачи
устойчивости в возмущениях подставим F.17) в F.14), а затем F.13) и F.14) в
уравнения движения F.И). Получим
-р4 + 2{М0ии(у) + U°MlV^jkiVki(v)j = —- + VjVi%j + vljVj, G.1)
где Мь в МAГ); м; = {dM/dU)(U°).
19*Такие материалы в литературе также называются «квазилинейными».

УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ТЕЧЕНИЙ
53
Три уравнения G.1) вместе с условием несжимаемости F.12)
образуют замкнутую систему в области О относительно четырёх функций
Vj, р. Возмущения начальных и граничных условий на поверхностях
Е„,ЕЯ,ЕГ и, возможно, Ес производятся таким же образом, как это
было сделано в § 6, поэтому сейчас на этом останавливаться не будем.
В случае стационарного основного движения сведём
поставленную задачу в области к задаче на собственные значения. Для этого
выпишем отдельные гармоники возмущения по осям (Ох\), (Оху)',
учёт всех гармоник равносилен применению преобразования Фурье по
переменным х\ и ж2. Представим неизвестные величины в форме
v(x, t) = vy(xi) exp(isMXM + ot), G.2)
p(x, t) = рУ(х3) exp(i$MxM + «0 , G.3)
где 5j, «2 — вещественные компоненты двумерного волнового вектора
з; з3 формально положено равным нулю; а = a*+iatif — комплексная
частота. Критерием устойчивости основного течения является
неравенство а* < 0, выполненное при любых $i, s?.
Подставим G.2), G.3) в систему G.1), F.12) и получим для
комплексных амплитуд vv, pv:
-ismpv - Ew3/' + 2M0jv/m + 2(U°Mm0V°ljki)jVki + 2isjM0Vjm +
= avm + VjiisjVn + <5лО + Vmjv] , G.4)
w*ffc+t>3V, = 0, G.5)
причём 2vJTO = isjVm + iswvj + 6jiVm + 6m$vf. Штрих означает
дифференцирование по ж3.
7.2. Сведение трёхмерной картины возмущений к двумерной и
обобщённая теорема Сквайра. Ограничим невозмущённое движение
классом плоских течений v°s = ^(ж^жз), v\ = 0, v\ = г;|(ж|,а:з),
возмущения же, по-прежнему, оставим трёхмерными. Умножим уравнение
G.4) на зт и просуммируем по га. Предварительно вводя обозначения
s = у/8тзгп% и{ = 8mVm/s4 1*3 = V3, #v = spy js\, 7 = as/s{, будем
иметь
-isgv + -MoJ(iVii + isv] + fyttf') + 2(lT MXiW)j—1& +
+ — MQ(-s щ +щ ) + 2%U М0Уте,ы-—vkl + 2U M0Vmm—vkl =
= 711, + t;. — (%SjU\ + ^3^1 ) + VmjVj • V&)
S\ S\

54
ГЛАВА 2
Третье уравнение G.4) и условие несжимаемости G.5) в новых
переменных имеют вид
-gv' + -MoJ(isjuv3 + v]1 + 6j3u?) + 2(£Гм:Уэ%,Ь—tu +
+ -1м0(-52^ + иГ) + 2^°m:f3%^^ + 2£/°м:^-4' =
= 7W3 + Vj —(iSjU) + SjiUi ) + vxjVj — , G.7)
S\ S\
i8u(+ui' = 0. G.8)
Рассмотрим теперь вместо G.2), G.3) двумерную картину
возмущений В ПЛОСКОСТИ (Ох\Ху)\
v\(х\, #з, £) = Мжз) exp(is#i + 7О , vj = 0,
G 9)
0з(а?|,ж3,О = из(зз)ехр(|*а:1+7*)>
р(жьжз,0 = д(ж3)ехр(г5Ж1 +70- G-Ю)
Подставляя G.9), G.10) в G.1), F.12), получим
-isq + M0j(isu\6j\ + isuj + 6jiu\) + 2(U°M'QV?jkl)jUkl +
+ М0(-А, + u?) + 21ЕГ m:V|°iwmiw + 2СГмХз*/%, =
= 7^| 4- Vj(is6ji^i + ^Wi) + v°\jUj, G.11)
-g' + М0,Дш4з«л + t4j + 6jiu}) + 2(I7°MoV'3jW),jt*JW +
+ Mo(-A3 + щ) + 2Ш0МФХШ8ик1 + 2tT M^Ww =
= 7^3 + v°j(is6j\Ui + ^з«'з) + V3jttj, G.12)
is^i +гг'з = 0. G.13)
Идея преобразования Сквайра, предложенного более полувека
назад в работе [301] для одномерного стационарного сдвига ньютоновской
жидкости, заключается в сравнении систем уравнений, полученных для
трёхмерной и двумерной в плоскости сдвига картин возмущений. Если
эти системы совпадают с точностью до коэффициента s\/s при числе
Яе, то в силу неравенства s\ ^ s и пропорции a/s\ = j/s
устойчивость волны возмущения, распространяющейся под углом к плоскости
основного сдвига, повышается. В этом и состоит теорема Сквайра [18].
Формальное обобщение преобразования Сквайра на случай
произвольного плоского основного движения и достаточно общего типа

УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ТЕЧЕНИЙ
55
сред проведено выше. Оно приводит к сравнению систем G.6) —
G.8) и G.11) - G.13). Как видно, уравнения G.6), G.7)
существенно отличаются от уравнений G.11), G.13) и не могут быть получены
из последних переобозначением коэффициентов. Это говорит о
невозможности сведения в столь общем случае трёхмерной картины
возмущений к двумерной. На подобный факт в теории устойчивости
неньютоновских жидкостей отмечалось и ранее [32].
Выделим здесь три важных независимых случая.
А) Пусть M(U) = \i = 1/Яе, т.е. имеется вязкая жидкость. Тогда
уравнения G.6), G.7) упростятся и примут вид
V 1 S / 2 V , W/\ V,«o V, о S V/. о V /я ,,,
-isq + (-su\+U\ ) = 7^1 +iV\SU\ + v3— щ +V\jVjy G.14)
S\Re S\ '
V/ , S / 2 V , V//\ V , ♦ о V , о S V/ . о S V /„ . ^v
-q + —— (-s щ+щ ) = ju3+tvlsu3+v3—u3 + v3J — v* . G.15)
s\He s\ s\
Уравнения же G.11), G.12) запишутся в виде
-isq + —(-s U\ + и[) = iu\ + iv°\SU\ + г^ + v°\jUj, G.16)
-9' + — (~52^з + и'з) = 1Щ + ™?*и3 + г;згАз + t£jUj. G.17)
Сравнивая G.14), G.15) с G.16), G.17), видно, что трёхмерные
возмущения сводимы к двумерным только, если v\ = 0 и v] = г^(жз),
т.е. невозмущённое состояние — стационарный одномерный сдвиг в
плоскости (Ож|Жз). Следовательно, даже физической линейности
модели недостаточно для обобщения утверждения Сквайра на произвольное
плоское основное состояние.
Б) Пусть
Vmjkl = -(f>m\h 1^3^/3 + 6j\6l\6m36k3 + f 7 1 ЯЪ
т.е. изучается устойчивость одномерного сдвига в плоскости (Ох\х3)
(v° = г;°(ж3), vl = v°3 = О, IT = |я°'|). Подставим G.18) в уравнения
G.6), G.7), G.11), G.12). После некоторых преобразований вместо
G.6), G.7) будем иметь
-isqy + -М'0(«1*з + иТ) + -[U°Ml(isu\ + itf')]' +
5, 5|
+ -М0(-АГ +«Г) - -|1/°М:(г^ + tbv')]' = G.19)
5, 5!
V , • о V . о/ V
= 7^1 + isv U\ + v щ ,

56
ГЛАВА 2
у
G.21)
G.22)
- qyt + 2-М'о«з' + i-lTl&iisul + иТ) + -Me(-*2i# + ^Г) -
- i—1Гвм:(|в2«з +1#') = 7^з + «vei*3 , G.20)
а вместо G.11), G.12):
- isq + Mo(t*ti3 + tt'i) + [C7°Mo(t5^3 + u\)]'+
+ M0(-Ai + и") = ju\ + i5V°i^i + г/°'ад3,
- g' + 2Mott3 + isU°Ml(isui + u\) +
+ M0(-« Щ + «*з) = 7^з + isv°v,3.
Видно, что, если г^з + t/Jjf' = 0 или, другими словами, v^ = 0,
то G.19), G.20) с точностью до коэффициента s/s\ при функции М0
совпадают с G.21), G.22) соответственно.
Таким образом, справедлива обобщённая теорема Сквайра для
материалов с произвольным скалярным соотношением:
Теорема 7.1. В случае одномерного сдвигового течения в плоскости
(Ох\Хз) среди всех нарастающих трёхмерных возмущений,
удовлетворяющих условию v2i = 0, всегда можно найти двумерное в той
же плоскости (Ох\х$), нарастающее с той же скоростью, но при
большем значении функции Мс.
Ограничение V23 = 0 достаточно в условии теоремы 7.1. Оно
допускает учёт довольно широкого класса возмущений, выходящих из
плоскости (Ох\х?). Роль критического числа Рейнольдса Re* (точнее,
числа обратного к нему) играет критическая кривая [T(U) - T@)]/U.
В) Отметим невозможность обобщения формулировки
теоремы 7.1 на течения, являющиеся сдвиговыми в других эйлеровых
ортогональных системах координат, например, в цилиндрической20*
(r,$,z). При анализе устойчивости процессов, происходящих в
плоскостях (г,В) (течения Куэтта—Тейлора), и (r,z) (продольные течения
внутри поверхностей вращения) необходимо учитывать возмущения в
третьих направлениях либо искусственно ограничивать их. Такие
возмущения могут существенно влиять на переход из ламинарного режима
в турбулентный и на смену типов устойчивости даже для ньютоновских
20*О применении преобразования Сквайра в цилиндрических координатах и
получающейся при этом структуре уравнений подробнее см. в Георгиевский Д. В. Устойчивость
вязкопластических течений с произвольным упрочнением: Дисс. ... доктора физ.-мат.
наук. М.. МГУ. 1996. 250с.

УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ТЕЧЕНИЙ
57
жидкости. Соответствующими примерами могут служить образование
тейлоровских вихрей и сприальных движений в плоском круговом
течении Куэтта [287] и турбулентных «пробок» в пуазейлевом
течении в круглой трубе [238]. Вопросы линейной теории устойчивости
и начальной стадии перехода к турбулентности здесь тесно
смыкаются с собственно переходными (нелинейными) являениями. К числу
таких явлений стоит отнести перемежаемость режимов, постепенное
выравнивание профиля скорости, кризис сопротивления тел плохо
обтекаемой формы и другие эффекты.
7.3. Обобщённая задача Орра—Зоммерфельда (ОЗОЗ). Вернёмся
к декартовой системе координат (Oxi) и исследуем двумерные
возмущения (v\;v^), накладываемые на плоское невозмущённое состояние
v\ = г;У(а?1,жз,£), v2 = 0> v3 = ^з(жьжз,0- Дифференцируя первое
уравнение движения в возмущениях G.1) по #з, третье по х\ и вычитая
одно из другого, тем самым исключая р, сведём систему G.1), F.12) к
одному уравнению
€im[bA0(€ui>ji + ejtffl) + U°MlV°jkt(ekn1>,in + elnj>M)\jm =
дАф 0 0 G-23)
относительно функции тока ^(жьж3,£):
Vi — tim'tpw Все индексы в
G.23) принимают значения 1 и 3; екп — двумерный символ Леви-
Чивиты (екпепт = -6кт). К уравнению G.23) надо добавить граничные
условия F.18) - F.21), выраженные через ip,
X3 = fv(xut): eim^im = r}v %— t—+6Wii G.24)
X3 = fs(X\,t): -РЩ + [M0(€im^,mi + ejm1>,mi) +
+ U0MlV°jkl(ekmtpM + elmil),Tnk)]n) =
d(Pt - (т^п0Л
= -a^Uj + Vs dx J 3 + 6P{, G.25)
oou°
ХЪ = fr{X\,t)\ Vijieim^mj + €jmi>,mi) + ^U° — = 0, G.26)
и закон движения возмущённых поверхностей
—дГ~ = "*' ~Vi "ИГ " ^ИйГ '* € *•»**■ G-27)
Аналогично F.22), F.23), если необходимо, в терминах *ф записываются
контактные условия на границе раздела Ес.

58
ГЛАВА 2
Таким образом, линеаризованная краевая задача устойчивости
сводится к одному уравнению G.23) в fi и группе граничных условий
G.24) - G.26) на соответствующих поверхностях, уравнения которых
определяются требованиями G.27).
Среди всех граничных условий, приведённых выше, выделим
G.24) при tjv = 0, 6Wi = О и Е = Ev. Это означает, что на Е задана
кинематика, которая не меняется при переходе из невозмущённого
состояния в возмущённое:
х е Е : grad ^ = 0.
G.28)
*3
#3
h
i
V
ь^5*
—^
я
Щ *\
На рис. 1 изображена возможная область Q и возможное задание на её
границе условий, удовлетворяющих G.28).
Уравнение G.23) в случае
вязкой жидкости и кинематики
основного движения G.18) (стационарный
одномерный сдвиг) сводится к
хорошо изученному уравнению Орра—
Зоммерфельда, а вместе с
граничным условием G.28) образует задачу
Орра—Зоммерфельда [18, 58, 219,
284]. Сформулированную выше
задачу естественно назвать
обобщённой задачей Орра—Зоммерфельда
@303). Обобщение проводится и на
определяющие соотношения (функ-
Рис. 1. Возможная область и тип задания ция м произвольна) И на выбор
на её границе условий, удовлетворяю- ОСНОВНОГО движения A>° Жы про-
щих <7'28) извольны).
Обобщение классической задачи Орра—Зоммерфельда ранее
было дано и на случай стратифицированных плоскопараллельных
течений, т. е. р и /х — функции глубины #з. Впервые такая
постановка приведена в [241], там же доказан аналог теоремы Сквайра,
согласно которому для любого нарастающего трёхмерного
возмущения всегда можно указать двумерное возмущение, нарастающее с той
же скоростью, но при меньшем значении Re и большем значении
минимального числа Ричардсона J = -p'0/(p0Fr). Уравнение Орра—
Зоммерфельда—Дразина с однородными кинематическими условиями
на твёрдых стенках было исследовано в [105], где получен ряд
независимых оценок устойчивости. Устойчивость ламинарного пофанслоя
степенной неньютоновской жидкости путём численного
интегрирования обобщённой проблемы Орра—Зоммерфельда исследована в [83].

УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ТЕЧЕНИЙ
59
Там же рассчитаны характеристики устойчивости погранслоя на
продольно обтекаемой полубесконечной пластине.
В [104] дан обзор работ и по некоторым другим задачам на
собственные значения применительно к устойчивости идеальных и
вязких стратифицированных течений таких, как планетарные течения,
течения с рэлеевской вязкостью, турбулизованные движения.
7.4. Метод интегральных соотношений и достаточные интегральные
оценки устойчивости. Для анализа поставленной 0303 G.23), G.28)
воспользуемся методом интегральных соотношений, идея которого
была изложена в п. 7.2.
Пусть i>(x\,X2,t) — элемент вещественнозначного гильбертова
пространства , являющегося замыканием множества
бесконечно дифференцируемых функций с нулевыми значениями на границе
области. Замыкание производится по метрике пространства Wj (О),
вводимой скалярным произведением [178]
№ь1Ы*?> = ]С (rfWlbda, G.29)
1Ж2 i
где J - мультиндекс; \J\ = jx + • • • + jN; DJi) = dmi>/(dx\{... dx^).
В дополнение к предыдущим потребуем ещё одно ограничение на
область О, а именно, односвязность её границы. Это даёт возможность
построить следующую цепочку
di>\
grad^=0 => -f I =0 => VW = C\
ds
x&
Постоянная С едина для всей поверхности £, и её можно положить
равной нулю в силу того, что г/> определяется с точностью до константы.
Следовательно, в случае односвязности границы П условия G.28)
примут вид
£еЕ: ^ = 0, grad^ = 0. G.30)
Умножим обе части G.23) на ф и проинтегрируем по
неподвижной области П. Из условия несжимаемости основного течения и G.30)
следует, что интеграл от последнего слагаемого в правой части G.23)

60
ГЛАВА 2
равен нулю. Действительно,
€ji J A>}tjk),ki> dQ = / (vfyjk)^ dQ =
ft о
= - / tftjktk dtt= - Vj(^,*),j dQ =
ft ft
= "\ f(v°jtktk)j dQ+\f vhtktk dQ = 0 + 0 = 0.
ft ft
В результате получим
\-tAIi+ Я) = /<jtitj d(l - tim flMoieutji + ejitu) +
2dt i { G31)
где
Д0 = /(^J
/^..^(«s l(DJtl>Jdil.
Неравенство Шварца в W2 , применённое к первому интегралу
в правой части G.31), даёт цепочку неравенств
/ %j1>,itjdtt < / l<;lhMhM<JO ^ 4ijUj ^
ft ft G.32)
« «»+*»+«»+*'о?+1?)=(*,,+^) a?+ih.
Функции времени <fy определяются кинематикой невозмущённого
движения: qij(t) = supQ |t£,-|.
Следуя далее работе [91J, параметризуем компоненты Vij
U° U°
v\ 1 = -V33 = у cos/3, «Ь = — sin£ G.33)
и введём дифференциальные операторы второго порядка
д2 д2 Я2
дх\ дх}' дххдхъ

УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ТЕЧЕНИЙ
61
Если невозмущённый процесс представляет собой чистое растяжение-
сжатие в направлениях (Ох\), (Ож3), то sin/?(£,£) = 0; если же это
чистый сдвиг, параллельный (Ох\), то cos/?(£,£) = 0.
После подстановки G.32), G.33) в G.31) и некоторых
преобразований получим
-J-J2- J[A(LX1>J + 2В{Ьгф)(Ы>) + C(Z2^J] dO f
G.34)
'■-„
Здесь A(x,t), B(x,t), C(x,t) — функции материала и невозмущённого
движения, которые можно записать в любой из двух форм
А = Mo+U'MlsitSp, В = U'MlsinpcosP,
C = Mo + U°Mlcos2p)
либо
А = Mocos20 + To#sin2/?, В = (То* - M0)cos£sin/3,
2 . 2 <7'35)
C = M0sin2£ + T0cos2/3.
Предположим, что существует такая функция А(£), что при t > 0
f[A(L^J + 2B{Lxil>){L2il>) + С(£2^J] <Ш ^ Л2(/,2 + /32). G.36)
Тогда неравенство G.34) перепишется в виде
- !n(J? + /|) ^ 2?,i + gl3 + «I - 2Л2. G.37)
Теорема 7.2. Лдюиь F(£) — первообразная функции BА2 - 2дц -
Ч\ъ - <fei)@ W -Р(О') = 0- Тогда для устойчивости невозмущённого
течения гГ(ж, £) в плоской области П с односвязной границей
достаточно одновременное выполнение условий
a) inf F(t) > -оо; б) lim F(t) = +оо. G.38)
Доказательство. Перепишем неравенство G.37), пользуясь
введённой функцией F(t)
|[ln(/f + /32)-hF]^0, *>0.

62
ГЛАВА 2
Так как функция, стоящая в квадратных скобках, со временем не
возрастает и F@) = 0, то
/f + jke-FW[/f@) + *з@)]. G.39)
Видно, что при одновременном выполнении требований G.38) левая
часть G.39) с одной стороны остаётся офаниченной в любой момент
времени, а с другой, стремится к нулю при t —> +оо. ■
Данное утверждение является идейным следствием общей
теоремы 6.1 в случае материалов с векторно линейными определяющими
соотношениями. Однако способы получения оценивающего параметра
Л(£), о которых пойдёт речь в п. 7.5, здесь свои. Аналогично
теореме 6.3 сформулируем и достаточный признак устойчивости течения
на конечном интервале времени. Доказательство его почти дословно
повторяет предыдущее, а выбор параметров йиГ, входящих в
определение условной устойчивости процесса, таков же, как и при выводе
теоремы 6.3.
Теорема 7.3. Пусть F(t) — первообразная функции BЛ2 - 2q\\ -
<7i3 - Q3\)(t) и F@) = 0. Тогда для условной устойчивости
невозмущённого течения гГ(ж,£) в плоской области Q с односвязной
границей достаточно одновременное выполнение условий
a) infF(t) > -oo; б) lim F(t) = Foo>0. G.40)
t>0 t-^ + OG
В случае, когда поле скоростей v явно не зависит от времени,
коэффициенты уравнения G.23) суть функции только координат. Это
позволяет искать решение *ф(х\,Х2,() в спектральном виде
<ф = ф(х{,Х1)еа\ a = a*+ia„eC. G.41)
Подставляя G.41) в G.23), G.30), придём к 0303, поставленной
для нелинейного течения в области с заданной на границе
кинематикой. Комплексная амплитуда теперь является элементом комплекс-
позначного гильбертова пространства НЬ(П) со стандартной в нём
нормой [178]. Техника получения оценок устойчивости с помощью
метода интегральных соотношений здесь принципиально
сохраняется. Выпишем лишь общую последовательность действий и приведём
конечное утверждение:
а) домноженис обеих частей уравнения
Cim[Mo(€;i4>ji + €ji<f>ji) + U°MlVfjki(€kn<l>An + ^1пФ.кпI]т =
= аАф + €#(флф°]к + j>j<pjk).k G.42)

УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ТЕЧЕНИЙ
63
на комплексно-сопряжённую функцию ф и интегрирование по П с
учётом граничных условий
£€£: 0 = 0, grad0 = O; G.43)
б) выделение действительных и мнимых частей в получившемся
интегральном равенстве и нахождение а* и а**;
в) оценка сверху частотного параметра а* с помощью^ неравенств
Фридрихса и Шварца для квадратичных функционалов в И^П).
Предположим, что Л таково, что справедливо неравенство G.36),
в котором теперь
l}l..4a = j\D'4>\2du.
Тогда имеет место следующее утверждение.
Теорема 7.4. Для устойчивости стационарного течения v°(x) в
плоской области О с односвязной границей достаточно выполнения
условия
2Я\\+Яп + Чм^ 2Л2, qij = sup \v-jl. G.44)
п
Доказательство. Функция F(t) в стационарном случае имеет вид
F(t) = BЛ2 - 2<7п - дп - q3\)t, и из справедливости неравенства G.44)
следует выполнение требований G.38). ■
7.5. Минимизация квадратичных функционалов и нахождение
оценивающего параметра. Задачу точного определения Л(£) можно свести
к задаче на собственные значения
L{{ALxil)) + 2L2(BL\i>) + L2(CL2i>) + Л2Д^ = 0, G.45)
где *ф кроме того удовлетворяет граничным условиям G.30). Умножим
равенство G.45) на ф и проинтегрируем по П. Получим, что ЛB)
совпадает с минимальной ненулевой собственной функцией Xmin(t)
задачи G.45), G.30).
С другой стороны, нахождение A(t) эквивалентно проблеме
минимизации квадратичного функционала, стоящего в левой части G.36).
Для неотрицательной определённости соответствующей квадратичной
формы необходимо выполнение двух условий: А + С ^ 0 и АС ^ В2
или согласно G.35) М0 + Г' ^ 0 и М0Т* ^ 0. Следовательно, в точках
с абсциссами U°(x,t) функция Т* должна быть неотрицательной, т.е.
диаграмма материала не должна быть падающей.

64
ГЛАВА 2
Найдём всевозможные пары функций {K[(xyt); Ж2(аМ)} такие,
что для любой функции гр Е W^2)(fi)
A(L^J + 2B(Lrt)(L2i>) + C(L2^J ^ ^(L,^J 4- K2(L2i>)\ G.46)
т.е. матрица
/Л-#, В \
\ В C-K2)
неотрицательно определена. Это в свою очередь равносильно системе
неравенств
К{ + К2 ^ Мо + Т0#; КХК2 - СК{ - АК2 + М0Г0# > 0. G.47)
V
Б
"Г
0
i
щ'
<л
\ X
в /С2
2Н #2
Рис. 2. Область на плоскости (К\:1<2), Рис. 3. Область на плоскости (K\\Ki)<
точки которой удовлетворяют системе точки которой удовлетворяют системе
G.47) при То* ф'ьА0 G.47) при I? = М0
На рис. 2 на плоскости (К\,К2) заштрихована область, точки
которой удовлетворяют системе G.47) при Т* Ф М0. Координаты
отмеченных на рис. 2 точек следующие
а = (Мо + То#;0), Ь=@;Мо + Го#),
с = (М0 sin2 р + Г0# cos2 р; М0 cos2 р + Г0* sin2 p),
g = (min{M0,I?}: min{Me,T0#}),
h = (max{M0,To}; max{M0,T0#}),
= ( "£ • о]
\ M0 sin2 /3 + To* cos2 /3' / '
• = f0. ^ ^
V ' M.cos2/3 + 2?sin2/J/ '

УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ТЕЧЕНИЙ
65
При Т0* = Мо (например, для ньютоновской жидкости)
заштрихованная на рис. 2 область вырождается в квадрат (рис. 3).
В силу условий G.30) имеем
j[Kx{L^J + K2(L2<il>J\dtt>
> inf Kx(x,t) j'(ty,33 - V,iiJ + ^^з) dQ =
= inf Kx(x,t) [/?, + 2l\i + lli + AJ{^- - \)tfndn] . G.48)
Здесь и до конца этой главы нижняя грань берётся по всем ж € Q.
Выбирая на криволинейном отрезке (fgd) (рис. 2) произвольную
точку с ординатой К\, найдём для неё угловой коэффициент К2/К\ и
подставим в G.48). В результате получится вполне определённая оценка
снизу левой части G.36). Все такие оценки независимы. В частности,
если взять точку g, то будем иметь
f[A(L\1>J + 2B(L^)(L2ip) + СA2>фJ] dSl ^
2 inf min{M0,r0#}(/f, + 2/?3 + /32з) >
2 А& inf min{M0,T0#}(^ + I]). G.49)
Последнее неравенство следует из вспомогательного утверждения
(аналога леммы 6.1).
Лемма 7.1. Если область Q можно заключить в прямоугольник
[h\,H\] х [Л3,#з] (рис. 1) либо в полосу [ha,Ha], то
/121+2/Гз + /32з^Л^(/? + /з2), G.50)
где
2 2 2
Л" = (я^ + №^ Либ° Kl = W^Kf-
Доказательство леммы вытекает из неравенств Фридрихса для
функций с компактным носителем в О [178).
Следовательно, в качестве одной из возможных функций Л2(£),
входящей в неравенство G.36), а также в условия теорем 7.2-7.4,
можно взять
А2@ = Лп inf min{M0(f, t), Г0*(ж, t)}. G.51)

66
ГЛАВА 2
Другой независимый от рассмотренного способ оценки K(t)
связан не с G.46), а с цепочкой неравенств
([А{Ь^)г + 2B{L\1>){L2i>) + C(L2ipJ] dU >
inf A(x,t) J [(V-,33 - 1>m? + -jA>.v - 1>,\\)-ф,п +
n
+ —— Vfi з] d£l = inf A(x,t) / Citify dO ^
n
^ inf A(x, t) 1{К^, + 4К4-фгп + tfз^зз) dQ, G.52)
Зг
где
T0/M,
( 1 О -В/А ч
£ = 0 1 В/А
\-В/А В/А С/А- 1/2,
Г
Матрица £ квадратичной
формы неотрицательно определена, если
2АС - А2 - 4J32 ^ 0. Подставляя сюда
А, В,С из G.35), получим возможную
область изменения отношения Г0*/М0:
cos2 /3
l+cos2/? ^ М7^
TZ ^ l+sin2/3
sin2 /5
. G.53)
Эта область на плоскбсти (cos2 /3\
cos2^ To/Mo) заштрихована на рис. 4. Как
видно, неравенству G.53) независимо
Рис. 4. Область на плоскости (cos2/?; от /3 удовлетворяют, например, НЬЮТО-
т0#/Мо), точки которой удовлетвори- новские жидкости и другие материалы,
ют системе G.53) у КОторых 1/2 ^ |Т0*/М0| ^ 2.
Существование неотрицательных
оценивающих функций Ki(x,t) и К$(х,t), входящих в G.52),
равносильно неотрицательной определённости матрицы С-&\щ{Ку,Ку,К4),
т. е. выполнению системы неравенств
0 ^ К3 ^ 1
1
2В2
°«*«1 2 А^-КгУ
G.54)

УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ТЕЧЕНИЙ
67
На рис. 5 на плоскости (Ку,К^) заштрихована область, точки
которой удовлетворяют системе G.54). Координаты отмеченных на
рис. 5 точек следующие
(lAC-A2-4B2
" 1АС-* :°
2АС -А1- 4В2
Та1
где
f M0 + (M0-T0#)sin2/?
с, = { t; + (t;-m0)cos2p
1,
если Го* > Мо;
если То* < М0;
если Г0* = М0.
Выбирая на криволинейном отрезке (Ьса) (рис. 5) произвольную
точку и подставляя её координаты (Ку,К^) в G.52), получим вполне
определённую оценку левой части G.36). В частности, если взять точку
с, то будем иметь
/
[Л(£,ipJ + 2B(L{ip)(L2^) + C(L2j>J] dQ ^
^ inf A(x, t) • inf с, (х, t)(Iu + 2/,2з + /|з) ^
> А& inf А(£, t) - inf с, (£,«)(/? + /з), G.55)
где Aq, по-прежнему, определяется из леммы 7.1.
Следовательно, другой, отличной от G.51)
возможной функцией А(£). входящей в
неравенство G.36), а также в условия теорем 7.2-7.4,
является
А2@ = А^ inf A(x, t) • inf с, (f, t) G.56)
Полученные в данной главе интегральные
оценки устойчивости (для вязких жидкостей —
критические числа Рейнольдса) достаточны,
поэтому ВОЗМОЖНЫе Д&г1ЬНеЙШИе результаты Связаны Рис 5. Область на плоо
с выяснением того, насколько они необходимы в кости (Ку-К*)- точки
случае тех или иных определяющих соотношений когор°и удовлетворяют
материала. системс G54)

Глава 3
Устойчивость вязко- и
идеальнопластических течений
Вопросы устойчивости деформирования вязкопластических тел
были впервые затронуты в классических работах [91, 95, 96]. В [91]
дана постановка задачи устойчивости плоского вязкопластического
течения в терминах возмущений функции тока и потенциала
скоростей. Рассмотрены задачи о растяжении-сжатии полосы и растекании
цилиндра под действием внутреннего давления с учётом
возможного эксцентриситета граничных поверхностей. В [95, 96] исследована
устойчивость вязкопластических течений полосы, круглого прута и
пластины21*. Результаты задачи о растяжении-сжатии полосы,
полученные в [91], обобщены в [99] с учётом нелинейности скалярного
соотношения вязкопластического материала.
Устойчивость вращения вязкопластичной жидкости между двумя
коаксиальными цилиндрами изучалась в [12]. Был сделан вывод о том,
что при переходе от ламинарного к турбулентному режиму движение
всегда устойчиво, если внутренний цилиндр неподвижен, и всегда
неустойчиво, если неподвижен внешний цилиндр. Экспериментально
переход к турбулентности в таком течении обнаружен в [140].
Необходимость выбора вязкопластической модели во многих
технологических задачах отмечена в работе [256], где исследовано
движение в трубах вязких жидкостей степенного типа, т. е. не учитывается
недеформированная зона в середине трубы. Переход же к
турбулентности в пуазейлевом течении в круглой трубе с учётом предела текучести
материала наступает, когда некоторый безразмерный параметр
достигает своего критического значения. На этом основании в [124, 255]
выведена зависимость критических чисел Рейнольдса и Хёдстрема.
В [173] рассмотрена устойчивость процесса выдавливания металла
через щель в одном из пуансонов, сдавливающих вязкопластический
слой. Задача сведена к решению двух задач Римана—Гильберта для
аналитических функций. Показано, что при определённых
геометрических параметрах происходит отлипание материала от части поверхности
одного из пуансонов, расположенной против щели в другом пуансоне.
Более подробный обзор работ [91, 95, 96] приведён в начале §2.

УСТОЙЧИВОСТЬ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ 69
Потеря устойчивости вязкопластического течения как
невозможность существования стационарного распределения скоростей и
температуры в потоке рассмотрена в [17]. Предполагается, что вязкость
и предел текучести обратно пропорциональны температуре. В [302]
под потерей устойчивости вязкопластической трубы под действием
внутреннего давления, крутящего момента и осевой силы понимается
состояние, когда скорость упрочнения недостаточна для компенсации
увеличения напряжений из-за уменьшения толщины трубы.
Конвективная неустойчивость плоского вязкопластического слоя,
подогреваемого снизу, рассмотрена в [53]. Для плоскопараллельного
движения в слое найдено точное решение задачи. Решение существует,
если число Рэлея, определённое по вертикальному градиенту
температуры и полуширине слоя, больше некоторой константы. С увеличением
числа Рэлея в этой области ширина зоны течения растёт, а
амплитуда скорости уменьшается. Такое движение неустойчиво относительно
малых возмущений. Для возбуждения конвекции из состояния покоя
амплитуда возмущения должна превосходить критическое значение,
зависящее от безразмерного предела текучести («жёсткое возбуждение
неустойчивости»).
В [156, 158] изучена устойчивость пуазейлева течения
вязкопластического тела относительно малых и конечных возмущений. В
области сдвига вблизи границы ядра потока показано, что течение
устойчиво по отношению к возмущениям бесконечно малой амплитуды.
Конечное же возмущение представлено в виде суммы
стационарного искажения профиля основного течения и нестационарной части.
Получены зависимости числа Re от волнового числа,
соответствующего кривой нейтральной устойчивости. Эти же кривые, но для более
сложной реологической модели тела (модели Кэссона с
показателями га и п) построены для различных значений шипи размеров
жёсткой зоны в [189]. Показано, что реология существенно влияет на
устойчивость плоского градиентного течения. Гидродинамическая
неустойчивость вязкопластического течения Гартмана проанализирована
в [157].
В [206, 257] даны попытки определения условий перехода из
ламинарного режима в турбулентный для вязкопластического тела с
трёхконстантным уравнением Балкли—Гершеля. Введён так
называемый локальный параметр устойчивости, критическое значение
которого определено по потере устойчивости ньютоновской жидкости.
Указано, при каких показателях степенного закона малые значения ts
стабилизируют ламинарное течение, а при каких наблюдается обратное.
Полуэмпирическое описание турбулентного режима
вязкопластического течения в круглой трубе дано в [126]. Полученные зависимо-

70
ГЛАВА 3
сти для осреднённых скоростей и коэффициента гидродинамического
сопротивления являются обобщением известных полуэмпирических
соотношений для ньютоновских жидкостей.
Потеря устойчивости развитого течения вязкопластической среды
в трубе изучена в [277]. На основе анализа поведения малых
возмущений численно найдено критическое число Яе, хорошо согласующееся с
экспериментальным значением, когда радиус жёсткой зоны превышает
0,6 радиуса трубы. В более поздней работе этих же авторов [276] для
описания турбулентного течения вязкопластических тел предложена
определённая модель («fc - e модель»).
В цикле работ [77-79] предположено, что весомая слоистая вяз-
копластическая среда голономно диссипативна, и с использованием
вариационного принципа [145] в ортогональной криволинейной
системе координат выведены основные соотношения теории устойчивости.
Изучены задачи об устойчивости осесимметричного течения
двухслойной круглой пластины и растекании полого шара под действием
внутреннего давления.
Важным разделом в тематике устойчивости процессов вязкопла-
стического деформирования является бифуркация и потеря
устойчивости конструкций и составных тел. В [247, 248, 317] исследовано осе-
симметричное прощёлкивание цилиндрической оболочки из материала
с линейным скалярным соотношением под действием радиальной
импульсной нагрузки. В [318] аналогичная задача решена для сферической
оболочки, но с учётом неосесимметричных возмущений. В частности,
найдено влияние меридионального перемещения на значение
критического импульса и на критические моды. В наиболее полной постановке
задача о динамической потере устойчивости вязкопластической
оболочки (с учётом неосесимметричности, произвольности скалярного
соотношения материала, наличия температурного поля) исследована
в [230].
Теоретический анализ устойчивости некоторых сдвиговых
течений термовязкопластического материала со смешанными граничными
условиями, связывающими тепловые и механические параметры, дан
в [270]. Такого типа решения используются при моделировании
тектонических явлений в литосфере и на границах литосферных плит. Здесь
важно обосновать выбор тех или иных граничных условий
применительно к разным геофизическим задачам.
В [274] исследовано явление неустойчивого формоизменения
металлов и полимеров при больших деформациях, которое заключается в
образовании и развитии полос сдвига. Эта стадия переходная от
устойчивого деформирования к разрушению. На примере
термовязкопластического течения Куэтта (упругие деформации не учитываются) в

УСТОЙЧИВОСТЬ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ 71
замкнутой форме получены критические условия локализации сдвига.
В случае более общего плоского движения начало локализации
полос сдвига рассмотрено в [222]. Установлены критические условия их
образования, наиболее вероятные направления развития, а также
получены оценки скорости роста зарождающихся полос сдвига. Сходным
вопросам посвящены работы [312, 315].
Анализ неустойчивости деформирования простого сдвига вяз-
копластического материала, обладающего свойством деформационного
разупрочнения, выполнен в [231]. Предложена методика решения
линеаризованной начально-краевой задачи и устойчивости невозмущённого
процесса деформирования на конечном интервале времени. Основную
роль играют два безразмерных коэффициента, один из которых
определяет вязкие свойства, а другой кинематику деформации. Установлены
соотношения подобия между этими коэффициентами.
В [311] исследовано зарождение и развитие шейки в круглом
полимерном образце из вязкопластического материала при
одноосном растяжении. Начало образования шейки обусловлено введением
начальных геометрических возмущений. С помощью метода
конечных элементов найдено распределение напряжений на разных стадиях
нагружения и эволюция профиля образца.
Математическим аспектам существования, единственности,
устойчивости, а также нахождению точных решений нестационарных
краевых задач вязкопластичности посвящены работы [22, 57, 162, 177,
188, 223, 226, 228, 239, 245, 250, 283, 298]. Ссылки на многие другие
работы приведены в монографиях [67, 102, 155, 174] и подробных
обзорах [123, 229, 231, 235, 312].
Ниже на основе методов интегральных соотношений, развитых в
главе 2 применительно к устойчивости деформирования тел с
произвольным скалярным соотношением, исследуется устойчивость вязко-
и идеальнопластических течений. В каждой из конкретных задач
приводятся достаточные интегральные оценки устойчивости основного
процесса в том или ином функциональном пространстве [35, 36, 42,
43,45,48-51].
§ 8. Обобщённая задача Орра—Зоммерфельда для процессов
деформирования вязкопластических тел
8.1. Оценки устойчивости вязкопластических течений как следствия
полученных в §7. Как важный частный случай общих определяющих
соотношений, результаты которого будут использованы в данной
главе, рассмотрим вязкопластические течения (материалы Ильюшина—
Бингама). Функция M(U), входящая в F.2), и функция T(U) имеют

72
ГЛАВА 3
ВИД
Mw=hm> w=Ts+£- r = -k=const- <81>
Линеаризованные уравнения устойчивости произвольного
несжимаемого вязкопластического течения следуют из G.1) и (8.1):
Да,- 2*
-Pi + —- + —
F' Re Re
(^ jJ7 J = ^ + VJ%J + %JVJ • (8-2)
Уравнение же устойчивости в терминах функции тока является
следствием G.23) и (8.1):
1 к
—ДД^ + — eim[v°m(eknil}^i + €lni)M)lJm =
ew , . . (83)
mcv°jkl = (Aijkl-V°jkl)/U°.
Функции А, В,С, определяемые G.35), с учётом (8.1) запишутся
следующим образом
A = ^cos2p + ^-, Z? = -£cos/3sin/3, C = ^sin2/3 + ±-. (8.4)
U Re U и Re
Стоящий в левой части G.36) функционал, оценки снизу
которого проводились в п. 7.5, теперь представляет собой сумму двух
слагаемых — «вязкого» и «пластического»:
f[A(Lxi>J + 2B(LX1>)(L21>) + С{Ь2фJ] <Ш =
= ^(/Г, + 2/f, + Ih) + J £ [2^fi3 sin/J -
- (lb - VMi)cos/?]2dQ ^ —(Jf, + 2/?3 + /з2з) +
(8.5)
It
Q
+ - /[2^.13sin/3 - №,33 " V\n)cos/Jj2dQ,
где
Q(t) = supl/°(f,*), Q2 ^ 4gf, + (9l3 + ^iJ.

УСТОЙЧИВОСТЬ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ 73
Видно, что в качестве оценивающей функции А2(£), входящей в
G.36), можно взять
где Aq определяется геометрией области из леммы 7.1, а А2(£) в свою
очередь является оценивающим параметром в неравенстве
J[21>y[ysinf3 - (^зз - tn)cos/?l2dft ^ A2(i? + J32) (8.7)
для любой функции ф € W<> (П) с граничными условиями G.30).
Входящая в утверждение общей теоремы 7.2 функция F(t) в
случае вязкопластического течения запишется следующим образом
2 ' 2/ '
F@=^ + 2r5/^^"/Bgil+9l3+g3l)^M^ (8'8)
0 0
Формулировки теорем 7.2, 7.3 с учётом (8.8) останутся прежними
дословно, а признак устойчивости стационарного течения (следствие
теоремы 7.4) сформулируем следующим образом.
Теорема 8.1. Для устойчивости стационарного
вязкопластического течения v°(x) в плоской области О с односвязной границей
достаточно выполнения условия
2А^ 2гД2 , ч
не Q
Слагаемые с числом Рейнольдса («вязкие» слагаемые) и
безразмерным пределом текучести («пластические» слагаемые) входят в (8.8),
(8.9) с одним и тем же знаком, при этом увеличение Re
компенсируется ростом т5. Это говорит о стабилизирующем влиянии параметра
пластичности на течение ньютоновской жидкости, если А2 > 0 и о его
нейтральном влиянии, если Аг = 0. В любом же случае введение в
линейно вязкую модель нелинейности в виде пластического слагаемого
при указанных выше ограничениях на геометрию области и граничные
условия дестабилизировать исходное течение не может. В качестве
приведённого числа Рейнольдса Re' следует брать
, QRe КТ
Re = „ Ч 0 , А=т1. (8.10)
Q + тА2Яе Ап 1 '

74
ГЛАВА 3
На аддитивный характер зависимости между критериями подобия
вязкопластических течений было обращено внимание ещё в [201],
а также в последующих работах [128, 217]. Он следует из самого
скалярного определяющего соотношения (8.1). Критические значения
обобщённого числа Рейнольдса были получены в [124], где также
выведены зависимости критического числа Рейнольдса и критерия
Хёдстрема.
При масштабном моделировании существуют два критериальных
уравнения: La = /(Hi), И2 = g(W\), где La — число Лагранжа, Hi —
число Ильюшина [129], И2 — число Ильюшина—Олдройда.
Найдём теперь оценивающую функцию Аг(£), используя
результаты п. 7.5 для тел с произвольным скалярным упрочнением. Согласно,
например, оценке G.51) имеем
*'-*■"-■{* s + £}as- <8">
Из (8.6), (8.11) следует Аг = 0, и величина А совпадает со своим
значением для течения ньютоновской жидкости. Оценки
устойчивости любого вязкопластического течения, удовлетворяющего условиям
G.30), вычисленные на основании G.51), не будут отличаться от оценок
устойчивости соответствующего вязкого течения. Нечувствительность
к параметру пластичности rs в модели (8.1) объясняется достаточным
характером этих оценок.
8.2. 0303 для одномерного вязкопластического сдвига. Для
основного состояния G.18) уравнение (8.3) упрощается и имеет вид
Представляя ^(xi,X3,£) в виде отдельной гармоники возмущения
*ф = 0(хз)ехр(г'5Х1 + at), преобразуем (8.12) к спектральному виду
\\у I/ (8.13)
= is[(v° - -)(ф" - з2ф) - vnф] Re.
Последнее слагаемое в левой части (8.13) учитывает влияние
пластических свойств материала по сравнению с вязкими. Без этого
слагаемого соотношение (8.13) совпадает с классическим уравнением
Орра—Зоммерфельда.

УСТОЙЧИВОСТЬ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ 75
Так как основное движение происходит в слое 0 < жз < 1, то
кинематические граничные условия при xj = О и xj — 1 имеют вид
ж3 = 0, ж3 = 1 : 0 = 0' = 0. (8.14)
Выпишем граничные условия G.26) на Ег. В самом общем случае
одномерного сдвига область Пг представляет собой набор N слоев
@ < 6 < *з < 6) U F < *з < &) U ••• U Fлг-1 < ж3 < ^2JV < 0, где
6? • • • >6iv определяются из основного течения. Пусть ж3 = £ — одна
из составляющих границы Ег, на которой U° = 0. Тогда условие G.26)
запишется в форме
^(О* + 2»,з(О = 0. (8.15)
Положим Г1г(х\,£) = Hexp(isx\ + at). Так как 2уц = (ф" +
52^)ехр(г«Ж| + а£)> то (8.15) равносильно соотношению для
амплитуд
HtT@ + AO + *V@ = o. (8.16)
Связь константы Н и значения 0@ следует из закона движения G.27)
поверхности Ег:
[а + isv°(()]H + t*0(O = 0. (8.17)
Таким образом, 0303 для одномерного плоскопараллельного
вязкопластического сдвига заключается в решении уравнения (8.13) в
слое Q при выполнении условий (8.14) на границах слоя и условий
(8.16), (8.17) на границах жёстких зон, уравнения которых в основном
и возмущённом процессах могут различаться.
Грубость оценок типа (8.11), найденных для вязкопластических
материалов из общих соотношений § 7, заставляет более точно изучить
устойчивость таких течений. Этому посвящены последующие
параграфы этой главы. Особое внимание в них уделяется вопросам
вязкопластического сдвига. Это объясняется тем, что интегральные оценки
устойчивости, полученные в §7 для течений в слое ft = {0 < х*3 < 1}
либо в кольце О = {R\ < г < Д2}, напрямую неприменимы, поскольку
в данных случаях границы U неодносвязны. Сдвиговые же течения
наиболее часто встречаются на практике в технологических задачах
обработки металлов и полимеров давлением; перекачки дисперсных
систем (нефте-, торфопродукты, ил, жидкая глина, цементные
растворы, пищевые массы и др.) в трубопроводах и их движения в открытых
каналах и шнеках; деформирования смазочных материалов; медленного
течения геофизических структур в поле силы тяжести.

76
ГЛАВА 3
§ 9. Плоское вязкопластическое течение Куэтта
В §8 выведено уравнение (8.13) устойчивости одномерного
сдвигового течения в вязкопластическом слое относительно двумерных
возмущений. Изучим в §§9,10 три типа граничных условий,
соответствующих трём классическим стационарным профилям v°(x^): течению
Куэтта, течению Пуазейля и движению слоя по наклонной плоскости
в поле силы тяжести. Задачи устойчивости рассматриваются и для
других типов течений с произвольным профилем v°(x^), не являющимся
точным решением уравнений движения. Обоснование такого подхода
для ньютоновских жидкостей дано в [104].
9.1. Нижние оценки критических чисел Рейнольдса. Примем,
что основное течение характеризуется произвольной монотонно
возрастающей непрерывно дифференцируемой функцией v°(x$) такой, что
\vor\ ^ q и /0 dxi/\v0,\ < оо. Жёсткие зоны по толщине слоя
отсутствуют (именно такое движение берётся в качестве невозмущённого),
и граничные условия для амплитуды ф(хз) имеют вид
ж3 = 0, ж3=1: ф = ф' = 0. (9.1)
Течение Куэтта в узком смысле означает, что и°(жз) = #з (рис. 6).
JlycTb ф — элемент комплекснозначного гильбертова
пространства Н2(П) с нормой
1
\\4>\\2 = f\4>H\2dx3, (9.2)
О
имеющий четыре непрерывные производные. Умножим (8.13) на
комплексно-сопряжённую функцию ф и проинтегрируем по #з от
О до 1. Принимая во внимание (9.1), получим
l\ + 2s2/? + s4I20 + W J2 = -И J? + 52/o2) + isQ]Re, (9.3)
где
1 \Ф'\2
/i = y,|*(w)|2&3,. m = 0,1,2, I2v = J^2dx3,
о о
Q = Q* + iQ**, Q**= у(ф'ф)„йхъ y
о
i

УСТОЙЧИВОСТЬ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ
77
Выделим в (9.3) действительную и мнимую части
1
а*
1} + зЧ1
sQ,* -
I\ + Is1!} + s4/2 + 4xs2J2
Re
a.. = -
sQ*
l} + s4l
(9.4)
(9-5)
и воспользуемся неравенством Шварца в пространстве Шг(П) с
нормой (9.2)
Ш< J \*"\\Ф'\\Ф\**ъ<чШ\.
о
(9.6)
О 0,5 *з
Рис. 6. Профиль плоского течения Куэтта
в узком смысле
qRe
90
70
50
3^J
1
о
к/q
Рис. 7. Кривые
устойчивости вязкопластического
течения Куэтта на плоскости
(H/q:qRe)
Из (9.4), (9.6) следует
Теорема 9.1. Пусть а($,Яе,*) — произвольное собственное число
0303 для течения Куэтта. Тогда
qsI()hRe - (l\ + 2s2l\ + s4/(? + Wlj)
a* ^
(J? + 52/02)Яе
(9.7)
Достаточным условием устойчивости движения, следовательно,
является отрицательность правой части неравенства (9.7).

78
ГЛАВА 3
Аналогичное утверждение в теории устойчивости ньютоновских
несжимаемых жидкостей было получено ещё в [304].
Следствие 1. Если
4f4 + 2fV(l-f2,/g)^4
qRe<2 ^-j-p , (9.8)
то а* < 0.
Доказательство следует из теоремы 9.1, очевидного соотношения
sl0l\ ^ (if + s2Iq)/2 и неравенств Фридрихса I2 ^ 7г2/о, l\ ^ 47Г2/2,
Для того, чтобы получить нижнюю оценку критического числа
Рейнольдса Re*, необходимо найти минимальное значение правой
части (9.8) по s. Проводя соответствующий анализ, придём к следующему
результату: если х ^ q/2, то Re* > 8тг2/д, и самыми медленно
затухающими будут длинноволновые возмущения s —> 0; если 0 ^ х < q/2,
то Re* > 4ir2[2x/q + C - 4x/q){/2]/q, и самыми медленно затухающими
будут гармоники s — 7г[C - 4x/q){/2 - 1]1/2.
По выведенным достаточным оценкам устойчивости на плоскости
(x/q; qRe) (рис. 7) постороена кривая 1. Для вязкого предела (х —► 0)
qRel > 68,38.
Следствие 2. Если
27гЛ, ( 2х\ . ч
qRe < + 2тг5 ( I + — J , (9.9)
где Х\ « 22,373 — наименьший положительный корень уравнения
cos у/\[ ch y/\~\ = \, то а* < 0.
Доказательство аналогично предыдущему, в нём надо
использовать ещё одно неравенство Фридрихса: I2 ^ A2Iq.
Найдём нижнюю оценку критического числа Рейнольдса Яе*,
пользуясь следствием 2: qRe* > 47г[Л1A + 2x/q)]l/2. При этом самыми
медленно затухающими будут гармоники s - [At/(I + 2x/q)]{/2. Кривая
qRe = 47r[A|(i + 2x/q)]{/2 построена на рис. 7 (кривая 2). В вязком
пределе будем иметь qRe*0 > 59,43.
Следствие 3. Если
qRe< L + + 2^2*2, (9.10)
s q
то a* < 0.
Доказательство аналогично доказательству следствия 2.

УСТОЙЧИВОСТЬ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ 79
По данной оценке самым медленно затухающим возмущением
будет возмущение с волновым числом s<>, являющимся корнем
уравнения 53 + {жI\/2)ks2Iq - ж\\/{2у/2) = 0. Следовательно, нижняя оценка
имеет вид qRe* > 27rAi/so + 47r^50/g + 2>/252. Соответствующая кривая
3 изображена на рис. 7, при х —► 0 она стремится к qRel = 72,25
(вязкий предел).
Достаточные интегральные оценки устойчивости (9.8)-(9.10)
независимы, поэтому можно дать общую нижнюю оценку критического
числа Рейнольдса. При фиксированном x/q
qRe* >max{l,2,3}, (9.11)
т. е. область параметров под верхней огибающей кривых 1-3 — область
абсолютной устойчивости вязкопластического течения Куэтта. Для
течения Куэтта в узком смысле везде необходимо положить q = 1.
Как видно, все три кривые 1-3 являются неубывающими, что
позволяет сделать важное предположение о стабилизирующем влиянии
пластичности в данной задаче22*. Оценки, аналогичные (9.8)—(9.10),
в теории вязких жидкостей впервые были получены Д.Джозефом
в [261, 262], поэтому носят название оценки Джозефа. Затем они были
уточнены в [89, 319].
9.2. Оценки фазовой частоты колебаний. Обратимся теперь к
фазовой частоте колебаний а** (9.5). Ни в (9.5), ни в выражение
для Q* пластические составляющие не входят, поэтому следующая
теорема будет справедлива как для вязких жидкостей, так и для
вязкопластических тел. Сформулируем её как и в [261].
Теорема 9.2. Пусть a(s,fle,*) — произвольное собственное число
0303 для течения Куэтта. Тогда
о **♦* о , ^тах он ,. ~
^min <■ ^ Углах "*" ТТ~7~Т » ^min £ U >
S 7Г + AS1
i
2»
vmin "•" -) . . -> < ^ Vmax "*" j . Л j >
Ж1 + 4s2 5 Ж1 + 4^
0<t£
umtn
"■"-»., л V. \ Vfnax I Vmax ^ " •
7Г2 + 4s2
Доказательство полностью переносится из [261].
Заметим, что, как и в вязких течениях [320], фазовая скорость
<***/« может выходить за пределы основного потока [v^in; v^ax]-
22) Поскольку полученные оценки не точные, а достаточные, то речь может идти
только о предположении, а не о строгом утверждении.

80
ГЛАВА 3
§ 10. Плоское вязкопластическое течение Пуазейля
10.1. Нижние оценки критических чисел Рейнольдса.
Невозмущённое вязкопластическое течение Пуазейля в плоском канале с
постоянным перепадом давления Ар имеет вид
|Г. = М2^)> 0<хз<^
V =
(l-xi)[2t-(l-x3)]
A0.1)
1 - £ < ж3 < I.
Здесь £ = l/2-Ts/Ap, область
ftr = {£ < #з < 1 - £} занята
жёсткой зоной, которая
присутствует всегда и занимает всю
область Q = {0 < ж3 < 1}, если
Ар < 2т5. Характерная скорость V
при обезразмеривании в A0.1)
выбрана так, чтобы v°(£) = 1 (рис. 8),
т.е. V = Apf/Bfi).
В силу симметрии
основного течения относительно
плоскости ж3 = 1/2 достаточно
исследовать его устойчивость в области
Qf = {О < ж3 < £}. Как и в §9,
будем полагать, что вместо A0.1)
в Q/ имеется произвольная
монотонно возрастающая непрерывно дифференцируемая функция г>0(ж3)
такая, что \vot\ ^ и JJj* xdxy/\v°'\ < оо для любой функции х(#з)<
удовлетворяющей условию х@ ~ 0-
Граничные условия в краевой задаче возмущённого движения для
данного случая следуют из (8.16), (8.17)
0 6 0,5 1-| хъ
Рис. 8. Профиль плоского вязкопласти-
ческого течении Пуазейля
ху = 0 : ф = ф' = 0;
*,=£: 0' = О, ф" + з(8- ™. с)
\ а + геи0 /
ф = 0.
A0.2)
Они выписаны с учётом движения границы жёсткой зоны в
возмущённом движении.

УСТОЙЧИВОСТЬ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ
81
Пусть, как и ранее, ф — эле- .2Re
мент комплекснозначного гильбертова
пространства Н2@/) с нормой
/'*-'
|*||!=/|*"|!«ь>,, (Ю.З)
имеющий четыре непрерывные
производные. Умножим обе части
равенства A0.1) на ф и проинтегрируем
по ж3 в пределах от 0 до £.
Учитывая граничные условия A0.2),
получим
^
/S
W\
1
30
10
0 0,5 я/ц
Рис. 9. Кривые устойчивости вяз-
копластического течения Пуазейля на
плоскости (x/q\ <l£2Re)
l\ + 2s2/? + s'lt
\a + isv /
A0.4)
где
- s
|2\'
)(t) = -[a(I{ + e2I$) + ieQ]Re,
Am),2
\ф{тГ<1х3, m = 0,1,2, Гь
f ^ A
J \v°'\2
Величина Q принимает то же значение, что и в формулах (9.3).
Заметим, что /у < оо в силу того, что ф'(£) = 0 и оговорённых выше
требований на г>°(ж3). Разделим действительную и мнимую части в
A0,4), получим
-2г2
I2+2s I{+s I0 + 4xs Iv + I -y— ——\ф\ )(£) -
V^ + ia^ +sv°J )
A0.5)
A0-6)
Систему A0.5), A0.6) можно «рассматривать как систему двух
уравнений для а* и а**. После её решения подробный анализ должен
быть проведён с основным параметром устойчивости а*.
Ограничимся здесь рассмотрением случая, когда граница жёсткой
зоны в возмущённом процессе деформируется незначительно, и можно

82
ГЛАВА 3
принять, что её уравнение в любой момент времени имеет вид х3 = £.
Вместо условий A0.2) будем иметь
жз = 0 : ф — ф> = 0;
х3 = (: ф' = 0, 0" + s20 = O,
а система A0.5), A0.6) перепишется в виде
г2д.чл2г2. 4Г2, , 2Г2 в2/Ш2ч/
2 , . 0°'7)
A0.8)
-~га- <|0')
Теорема 10.1. Пусть а(з,Яе,*) — произвольное собственное число
ОЗОЗ для течения Пуазейля. Тогда
qsIphRe - [f| + 2з2/? + s'l2 + Wl2 - з2(\ф\2)'@]
** {l\ + s42)Re • (,010)
Доказательство теоремы 10Л непосредственно следует из
неравенства Шварца в пространстве HkfO/) с нормой A0.3):
I
\Q**\<f\v"\\4>'\\4>\d**^9loIi. (Ю.П)
о
Для вывода следствий теоремы 10.1 воспользуемся неравенствами
Фридрихса
i2l] > ж2120 ■ ql2v > 1}; 1\ - з2(\ф\2)'@ > X22(s)Ij;
А ~ з2(\Ф\2)'@ > \](s)I2o ; «nf X2(s) = j; inf A3(s) = ж2Ц2,
которые получаются из решения соответствующих изопериметрических
задач. Здесь АгE) — минимальный положительный корень уравнения
s\2£ = Bs2 - A2) tg(A£/2), a A3(s) — минимальный положительный
корень уравнения Asin(\/A£) sh(\/A£) = s2[l - cos(\/A£) сЬ(л/А£)].
Следствие 1. Если
qRe<2^- J ,Ч) A0.12

УСТОЙЧИВОСТЬ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ 83
то а* < 0.
Следствие 2. Если
qRe<$+2ns(\ + 2^)' (,(Ш)
то а* < 0.
Следствие 3. Если
qRe< —r + 252v/2+—— , A0.14)
то а* < 0.
Для получения нижних оценок критического числа Рейнольд-
са Re* найдём минимальные по s значения правых частей
неравенств A0.12)—A0.14). Из A0.12) следует, что Re* > 2n2/(q£2) и
самые медленно затухающие возмущения длинноволновые. Неравенство
A0.13) даёт Re* > 2тг2[2A + 2х/д)]|/2/(?£2), а неравенство A0.14) -
qRe* > 7г3/(£3$о) + 4х7гво/(^0 + 2y/lsl, где s0 — корень уравнения
4s3у/1 + 4K*82l(ql) - тг3/^3 = 0.
На рис. 9 по полученным выше оценкам построены три
достаточные границы устойчивости 1-3. В силу независимости следствий 1-3
можно дать общую нижнюю оценку критического числа Рейнольдса
q£2Re* > max{l,2,3}. A0.15)
Для течения Пуазейля в узком смысле (г>°(жз) выбирается в виде
A0.1)) необходимо везде положить q = 2/£. Как и для течения Куэтта,
все три кривые на рис. 9 неубывающие. При к —► 0 они стремятся к
значениям 19,74; 27,91; 26,38 соответственно, однако прямого вязкого
предела в данной задаче нет, поскольку граничные условия A0.2) или
A0.7) не сводятся при к —► 0 к классическим условиям вязкого течения
Пуазейля в плоском слое.
10.2. Плоскопараллельное движение тяжёлого слоя по наклонной
плоскости. Анализ устойчивости соответствующего движения
ньютоновской жидкости выполнен в [72, 87, 218, 219] для однослойной
структуры и в [208] для двухслойной. В [4] изучено изотермическое
течение вязкого слоя по наклонной плоскости и показано, что оно
менее устойчиво чем чисто гидродинамическое. Если вязкой
диссипацией можно пренебречь, то конденсация стабилизирует, а испарение
дестабилизирует поток.

84
ГЛАВА 3
Классическое решение задачи о стационарном движении
вязкопластического слоя по плоскости, наклонённой под углом /3 к
горизонту, в поле силы тяжести д следующее (см., например, [26|)
v0 = XiBt-*3)t 0<Xi<iy A0.|6)
где £ = 1 - rsFr/ sin j5\ Fr = V2/(gh) — число Фруда; h — толщина
слоя; V — характерная скорость течения.
В безразмерных координатах (в базис обезразмеривания
включены плотность тела /), а также величины h и V) жёсткая зона Qr
занимает слой {£ < ху < 1} вблизи свободной границы. Эта
зона движется как твёрдое целое со скоростью v°(£) — 1, при этом
V = pg£2h2 sin /3/B//). В случае rsFr > sin C сдвиговых гравитационных
усилий для выведения системы из состояния покоя недостаточно.
Как видно, основное течение (ЮЛ6) полностью совпадает с
течением Пуазейля A0.1) в области {0 < х$ < £Ь кроме того граничные
условия 0303 A0.2) либо A0.7) на границах этой же области имеют
место и здесь23*. Следовательно, математические постановки краевых
задач возмущённого движения в п. п. 10.1 и 10.2 идентичны, и все
оценки устойчивости вязкопластического течения Пуазейля могут быть
перенесены на движение тяжёлого слоя по наклонной плоскости.
§11. Диффузия вихревого слоя в вязкопластической среде
Предыдущие два параграфа были посвящены исследованию
устойчивости стационарного вязкопластического сдвига. Здесь же
рассмотрим класс задач о сдвиговом плоскопараллельном деформировании,
возбуждаемом скачком скорости либо касательного напряжения вдоль
границы слоя. Таким образом, сам невозмущённый процесс является
неустановившимся.
11.1. Тангенциальный разрыв скорости на границе полуплоскости.
Рассмотрим деформирование полуплоскости О = {ж3>0, -oo<a?i<oo},
занятой несжимаемым вязкопластическим материалом.
Невозмущённый одномерный сдвиг такой полуплоскости параллельный
границе #з = 0 характеризуется профилями скорости v\(xy,t) = v°(xy,t),
сдвигового напряжения <т13(жз,0 = ^°(жз,0^ а также максимальной
'Заметим, что совпадение граничных условий в этих двух течениях имеет
место только, если предел текучести материала отличен от нуля, и зону П/ от свободной
границы слоя Отделяет жёсткая прослойка. В случае же ньютновских жидкостей
граничные условия в этих двух задачах принципиально различны из-за появления свдбодной
границы.

УСТОЙЧИВОСТЬ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ
85
скорости скольжения U°(x$yt) = \dv°(x3jt)/dx3\ и максимального
касательного напряжения T°(x3,t) = |<7°(а?з,*)|.
Поскольку характерного размера в области О нет, включим в
базис обезразмеривания наряду с плотностью р и характерной скоростью
верхней границы полуплоскости V динамическую вязкость материала
ц. Уравнение (8.12) устойчивости одномерного сдвига вязкопласти-
ческого материала относительно двумерных возмущений перепишется
следующим образом
= (isv° + — ) (ф" - s ф) - {зуоПф,
V ot)
где ^(#1,ЖЗH — <^>(жз>0ехР(^ж1); Ф — Ф*+1ф** — комплекснозначная
амплитуда функции тока ^, являющаяся элементом Н2(П) с нормой
00
1И*I12 = /|/|2&з, (И.2)
О
Функция «°(жз,0 имеет две непрерывные производные по х^ в области
вязкопластического течения. Штрихом обозначены частные
производные по #з.
Существенное различие уравнений A1.1) и (8.12) состоит в том,
что в силу выбранного обезразмеривания в A1.1) входит только один
коэффициент, учитывающий физические свойства материала, а
именно, предел текучести при сдвиге, в то время как в (8.12) имеются два
таких параметра — к и Re. Так как вязкость в данной задаче включена
в безразмерный базис, то в коэффициенты A1.1) число Рейнольдса не
вошло. Поэтому, если устойчивость течения имеет место при каком-
то значении /г, то она будет также иметь место при любом другом
положительном //.
Если в начальный момент времени система находится в покое, а
при t > 0 граница ж3 = 0 движется с некоторой переменной скоростью
V(t), не изменяющейся и в возмущённом движении, то граничные
условия для ф имеют вид аналогичный (8.14)
х3 = 0, ж3 = оо : ф = ф' = 0. A1.3)
Воспользуемся методом интегральных соотношений для анализа
линеаризованной краевой задачи A1.1), A1.3). в области
вязкопластического течения Q/ = О. Для этого умножим обе части A1.1) на
,"-2,У + *-4г..'Ш

86
ГЛАВА 3
комплексно-сопряжённую функцию ф и проинтегрируем от 0 до ос.
Получим
ос
if + 2sh] + s*ll + Arsshl = J(%-^) *** -
0
ОС'
- is f [v°(№'\2 + s2|0|2) + у'ф'ф + t;°"|0|2] Лез, (П. 4)
0
oo ос
& = J\<f>{m)\2dx3, 771 = 0,1,2, j^yJlLdxj.
о о
Приравнивая друг к другу действительные части в соотношении
A1.4), после некоторых преобразований запишем
•ос
(J? + *2/,Т) = 5 / у°'(ф'ф)»<1х3 -1\ - 2s2/f - Л? - 4т,*2/*. A1.5)
I d/T2 , 2 r2
2d*
Воспользуемся теперь цепочками неравенств в пространстве
!2(П) с нормой A1.2)
S
о
ОС '50
/ t>°W)„*c3 ^ s / 1г,0/! l^'l Мd*3 ^
^ sIqI{ sup |г>°'| ^ -(/? + e2/o) sup \v°'\; i] ^ l\ sup |г>°'|
и получим из A1.5)
Ul\ + ,2Jii) <(/f + s2/2) (sup |г>°'| - 2s2) -
dt Vo<*, / (n6)
- 2(/2 + s2/2) - Stss'I\ sup |v°'|.
Заметим, что в области Q в отличие от ограниченных по толщине
областей неравенства Фридрихса, связывающие /(> с Ц и Ii имеют
тривиальный вид 1\ ^ 0, l\ ^ 0, т.е. константы при /0, входящие в эти

УСТОЙЧИВОСТЬ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ
87
неравенства, равны нулю. Последнее утверждение для функций с
граничными условиями A1.3) иллюстрирует следующий пример. Возьмём
однопараметрическое семейство функций ф(х;а) = a5f2x26~ax, а > О,
принадлежащих ЕЬ(П) и удовлетворяющих (П.З). Для этого семейства
if = a2/4, l\ = За4/4, и при достаточно малом положительном а
интегралы if,/? можно сделать сколь угодно близкими к нулю. В то
же время l\ не зависит от а: 1% = 3/4.
Таким образом, верхней гранью правой части A1.6) является
это же выражение с отброшенными вторым и третьим слагаемыми, а
неулучшаемой оценкой левой части будет следующее неравенство
^ln(/? + A2Ksup|t>°'|-2s2. A1.7)
Из A1.7) следует утверждение о том, что при t > О функция (if +
s2Iq) e~F^ не возрастает, т. е. заведомо
(/f + 52/02)@^(/r + 52/o)@)e-F(<), A1.8)
где
t
F(t) = 2s2t - f sup \v°'(t)\dr. A1.9)
J 0<x,
0
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 11.1, Достаточным условием устойчивости процесса
диффузии вихревого слоя в вязкопластической полуплоскости является
совокупность следующих требований, предъявляемых к функции F(t),
a) infF@> -оо; б) \\m F(t) = +oo. A1.10)
t>() t^+OQ
Эти условия надо проверять для конкретных невозмущённых
профилей скорости v°(x^,t).
11.2. Устойчивость точного решения задачи о диффузии вихревого
слоя в вязкопластической полуплоскости. Данная задача о
нахождении невозмущённого процесса в скоростях полностью совпадает с
соответствующей задачей для вязкой несжимаемой жидкости. Так как
жёстких зон по сечению нет, то и решение v°(x^t) будет совпадать с

ГЛАВА 3
A1.11)
классическим решением для вязкой жидкости [112]
*°(х,,«) = к@)(|- -^ Je-<2d<) +
О
t Щ
О О
v°W) = _m-^_ /-UUe-'M,, A1.12)
1 ' v^ J 0r(< -«?) V' V '
где »/¥ = xy/{2y/t - q)\ V(t) — заданная скорость фаницы Х) = 0.
Сдвиговые напряжения при этом имеют вид
<r0{Xi,t) = -T3-\v°'\. A1.13)
Функцию F(t) в данном случае можно выписать аналитически
Я«) = 2Л-2|Г@)|^/1-//-|Ш=^. 0U4)
о о
Сумма первых двух слагаемых в A1.14) удовлетворяет условиям а),
б) теоремы 11.1, что говорит об устойчивости возмущённого движения
в случае постоянной скорости границы. Третье же слагаемое после
замены q —> т cos2 q представим в виде
t т t *П
J f \У(Я)\ dqdr = 2fj~ f\V(rcos2q)\cosqdqdr. A1.15)
0 0
Пусть V@ растёт на бесконечности пропорционально $": V(t)
AF, v > 0. Тогда согласно A1.14), A1.15) и известному .интегралу
1Г/2
/cos2"-V^=^r(, + i)
запишем
FW = 2.1«-2|V@)iyi-^rr1«r(^ + i) . A1.16)

УСТОЙЧИВОСТЬ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ 89
Таким образом, достаточным условием устойчивости диффузии
вихревого слоя являются ограниченность при t = О скорости границы
и её возрастание при t —► оо медленнее чем уД. Если же v — 1/2, то
устойчивыми будут лишь коротковолновые возмущения (s2 > А/4). В
реальном же возмущении присутствуют все гармоники s > О, поэтому
случай v = 1/2 соответствует неустойчивости. Приведённые оценки не
включают безразмерного предела текучести при сдвиге т5, что говорит
о независимости критической скорости V(t) от этого параметра. От
него будет зависеть лишь скорость нарастания (при неустойчивости)
или затухания (в случае устойчивости) возмущений в О.
11.3. Разрыв тангенциального напряжения на границе
полуплоскости. Особенностью данного случая является то, что в невозмущённом
движении в каждый момент времени область О состоит из
полуплоскости Пг = {хз > £(£)> -оо < х\ < оо} занятой неподвижной жёсткой
зоной и полосы О/ = {0 < жз < £(£), -оо < хх < оо}, в которой
происходит вязкопластическое течение материала. Граница ж3 = £(£)
определяется из условия
T(t(t),t)=re. A1.17)
В качестве базиса обезразмеривания здесь удобно выбрать другую
тройку {Е,р,//}, где Е — заданное постоянное касательное
напряжение при #з = 0. Вид уравнения устойчивости A1.1) при такой замене
останется прежним с той лишь разницей, что предел текучести теперь
отнесён к величине Е. Примем, что в начальный момент времени
система покоилась, при t > 0 на прямолинейной границе жз = О
действует касательное напряжение Е = const, а на также
прямолинейной границе жз = £(t) задано условие A1.17). Граничные условия для
0(яз,О> входящей в A1.1), записываются следующим образом
ж3 = 0, х3 = £(t) : 0 = 0, ф" + s2<f> = О,
или
ж3 = 0, ж3=£@ : ф = ф" = 0. A1.18)
Как и ранее, для анализа линеаризованной задачи A1.1), A1.18)
в изменяющейся области 0/@ применим метод интегральных
соотношений. Проделывая описанные в п. 11.1 операции с учётом новых
граничных условий A1.18) и соотношения
№ №
j ^(xht)dx3 = jt J f(x3,t)dx3-Zf(№,t)
о о

90
ГЛАВА 3
для произвольной функции /(ж3,£)> получим аналог A1.5)
\^{l} + S2ll) = S fv,{ф^фUdxг-
ldt { A1.19)
- l\ - 2s21} - sAll - 4rss2I2v + I £ |0'|(£, t).
Так как область вязкопластического течения в любой момент
ограничена по толщине, то имеют место нетривиальные неравенства
Фридрихса
Jj^^Jo2, /J^^J?, I2v>lhup\v°'\. (П.20)
Здесь и до конца параграфа верхняя грань, если это не оговаривается
специально, берётся по интервалу 0 < ж3 < £(*)•
Таким образом, одной из возможных оценок сверху левой части
A1.19) будет следующая
jt In (/? + s2I20) < sup \v°'\ - 2 (^ + s2J -
^ ' A1.21)
8*Ч*2 Г(| + :1Л)
Отличием A1.21) от аналогичного ему неравенства A1.7) является
присутствие последнего слагаемого, связанного с изменением толщины
области течения. Покажем, что независимой от ф оценки сверху для
выражения \fi\2(Z,t)/(I2+s2lQ) подобрать нельзя. Для этого представим
ф{хъ,Ь) своим рядом Фурье на интервале 0 < #з < £{t), удовлетворяя
при этом граничным условиям A1.18)
00
n=o *W
Тогда
2 ffiH2
I? + S272 ^)g(n2 + s2)|$n(<)|2
\№t,t)
A1.23)

УСТОЙЧИВОСТЬ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ
91
Поскольку s может быть сколь угодно близким к нулю, то
мажоранта правой части A1.23) совпадает с мажорантой выражения
2(Е^оп1фп@1J/(^ЕГ=оп21фп@12)- Нетрудно доказать, что для
любых вещественных чисел ci,...,c# верно неравенство (]£n=jCn) ^
NY^n=\ с**» причём равенство всегда реализуется при с\ = • • = cN. В
нашем же случае N = оо, и общая оценка A1.23) сверху невозможна.
11.4. Устойчивость точного решения задачи о разрыве
тангенциального напряжения на границе вязкопластической полуплоскости.
Точное решение данной задачи в области вязкопластического течения
О < ж3 < £(t) записывается следующим образом
а = 1
/ е 4 d(, ri =
А
2 ft'
0<Tj<T}r,
V° = X)(\ -Т,)-
2жз
/.^-2^«
-x]/Dt)
о
причём 7]г находится из уравнения
Vr
о
d<
А
О-г.).
A1.24)
A1.25)
Для того, чтобы вязкопластическое течение имело место при
t > О, необходимо, как видно, чтобы заданное напряжение на границе
превышало предел текучести при сдвиге. Граница жёской зоны при
этом имеет вид ху = 2?/г\Д, т.е. £(t) = 2цт\Ц.
Подставим параметры выписанного точного решения в оценку
устойчивости A1.21) и получим окончательно
~1п(/Г + 52/02К1
2 8тг2гУA-т5)
Тс - 25 z — +
7г2 + ArtfsH
(£п|Фп(о|)
£п2|<Ы*I2
П=|
2т)}
A1.26)

92
ГЛАВА 3
Из-за невозможности промажорировать независимо от Фп
квадратную скобку в A1.26) представить общую достаточную оценку
устойчивости не удаётся.
Классическое решение данной задачи для линейной вязкой
жидкости следует из найденного выше при rs = 0, rjr = oo, £(t) = oo и
моделирует течение в приповерхностном слое воды под действием
ветра постоянной силы [112]. Граничные условия в задаче устойчивости
такого течения будут записываться уже не в виде A1.18), а в форме
я3 = 0 : ф = ф" = 0, ж3 = оо■ : ф = ф' = 0. A1.27)
Из A1.21), A1.26) для ньютоновской жидкости следует
- In (J? + s2/02) < sup \v°'\ - 2s2 = I - 2s2, A1.28)
dt o<xi
и достаточными условиями устойчивости будут ограниченность снизу
функции Bs2 - \)t при t > 0 и её стремление к +оо при t —> оо.
Для возмущений с достаточно большими длинами волн эти условия
не выполняются, коротковолновые же гармоники будут, наоборот,
устойчивы. Аналогичные выводы о неустойчивом характере развития
длинных волн и об устойчивости «мелкой ряби» имеются и в других
приложениях, связанных с гидрогеодинамикой и геотектоникой.
§ 12. Вязкопластическое круговое течение Куэтта—Тейлора
Рассмотрим пример анализа 0303 в криволинейной
ортогональной системе координат, а в качестве основного движения выберем
несжимаемое вязкопластическое течение между двумя соосно
вращающимися цилиндрами.
12.1. Невозмущённое движение и условия его существования.
Обозначим радиусы внутреннего и внешнего цилиндров а и 6, а угловые
скорости их вращения ша и щ соответственно. Характерной скоростью
в данной задаче будет шаа, поэтому базис обезразмеривания
фактически состоит из величин {р,а;а,а}. Тогда безразмерные параметры Re
и х равны Re — ршаа2/р, к — rs/(/xo;0), а сам предел текучести при
сдвиге ts следует отнести к величине рш1а2. Введём также отношения
R = Ъ/а, ш = Ц, - шйIша.
Единственная ненулевая компонента скорости v#(r) = v°(r) в
невозмущённом стационарном течении Куэтта—Тейлора имеет вид
v° = -—= (ш±х\пНIг ) ^fxrrlnr + г. A2.1)

УСТОЙЧИВОСТЬ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ
93
На границах г = \ и г = R приняты условия прилипания, т.е.
v°(\)= 1, v°(R) = R(l+u>).
Другие характеристики невозмущённого движения являются
следующими функциями радиуса г
tv»= (д2Л1)г2(а,±*1пД)т^, ^° = 2К#|, A2.2)
2©2
^=(д2_1)г2Яе(^±^"Д), Г = |^|. A2.3)
Верхние знаки в формулах A2.1)—A2.3) следует брать, если ш > О,
и нижние, если ш < 0.
Граница г = £, разделяющая область вязкопластического течения
и жёсткую зону, которая вращается как абсолютно твёрдое целое,
определяется из условия Т°(г) = т8. Область П/ состоит из тех точек
тела, где Т°(г) > т8 или U°(r) > 0.
В плоскости параметров (R; 2\w\/x) выделим две области А и
Б (рис. 10), разделяемые кривой 2\ш\/х = R2 - 1 - 2 In Д. Из вида
U°(r) A2.2) следует, что, если исходная система с её геометрией и
физико-механическими характеристиками принадлежит области А, то
вязкопластическое течение имеет место при 1 < г < Д, и жёсткая
зона отсутствует. Если же изображающая точка лежит в области Б, то
появляется жёсткая зона, примыкающая к внешнему цилиндру. В этом
случае U°(Q = 0, т.е.
«-«да??-
Заметим, что £ ^ 1 при R > 1, т. е. жёсткая зона не может
занимать весь зазор между цилиндрами (кроме, разумеется, случая ш = 0).

94
ГЛАВА 3
2Ы
to
А
А Б
1 /
/
/+—
/
1 /
/
/
k^WL^^.
1 3 R
Рис. 10. Области А и Б на
плоскости (R:2\u>\/x).
1
#
Рис. 11. Зависимость £(Я) A2.4)
при различных значениях 2\ш\/н.
Такое было бы возможным, если на одной из границ задавалось бы
динамическое условие, например, удерживающий момент. На рис. 11
приведена зависимость £(Д), отражаемая формулой A2.4), при
различных значениях 2\ш\/х.
12.2. Постановка обобщённой задачи Орра—Зоммерфельда.
Выбранное в качестве невозмущённого известное течение A2.1)—A2.3)
является одномерным сдвигом. В теории линейных вязких жидкостей,
изучая устойчивость установившихся плоскопараллельных сдвигов,
достаточно рассматривать только двумерные возмущения в плоскости
основного движения. Для вязкопластических материалов при этом надо
требовать дополнительное условие (см. обобщённую теорему
Сквайра 7.1), которое тем не менее допускает широкий класс возмущений,
выходящих из плоскости основного движения. Как указано в § 7.2
(случай В), в криволинейной ортогональной системе трёхмерная картина
вариаций вообще не сводится к двумерной. Поэтому анализ
устойчивости течения Куэтта—Тейлора справедлив лишь при искусственном
ограничении vz = 0.
С учётом сказанного выше, исследуем двумерную картину
вариаций скоростей (vr,ve,Q). Линеаризуя определяющие соотношения и
подставляя в них соотношения Стокса, получим
v Re\U° I 0r ' Re\V° )\r 39 Or rj'

УСТОЙЧИВОСТЬ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ
95
Введём функцию тока *ф(г,в,1)
г дв от
тем самым удовлетворив условию несжимаемости. Подставим далее
соотношения A2.5) в линеаризованные уравнения движения, исключим
давление и стандартным путём, используя A2.6), придём к уравнению
относительно чр
A2.7)
К A2.7) надо добавить граничные условия при г = 1 и г = R,
если исходное движение принадлежит области А на рис. 10, либо
при г — I и г = £, если исходное движение принадлежит области Б.
Рассмотрим сначала подробно первый случай:
r= 1, r = R : W = ^ = 0. A2.8)
Разложим функцию тока в ряд Фурье по в
ос
i>(r,9,t) = £ 4>„(r)e'"e+n"', an = an» + «*„.. € С A2.9)
n=-oc
и исследуем устойчивость отдельной гармоники возмущения с номером
п. Критерием устойчивости будет условие ат < 0 для любого п.
Подставляя ряд A2.9) в A2.7), A2.8) и опуская для краткости
индекс п, получим обыкновенное дифференциальное уравнение
/ d2 1 d п2\2 W /ф' - ф/г\' _
\dr2 * rdr ~ г2) Ф г2 \ U° /
Г/ im;°\ / /; ф' п2ф\ linx
A2.10)
с граничными условиями
г=|,г = Л: ф = ф' = 0. A2.11)
Линеаризованная краевая задача A2.10), A2.11) представляет
собой ОЗОЗ для стационарного вязкопластического течения между со-
осно вращающимися цилиндрами.

96
ГЛАВА 3
12.3. Интегральные оценки устойчивости. Пусть комплексная
амплитуда ф(г) — элемент пространства Н2[1;#] с соответствующей
нормой
R
\№)\\2 = f\<t>"\2dXi. A2.12)
1
Умножим обе части A2.10) на г, затем на комплексно-сопряжённую
функцию ф и проинтегрируем от 1 до R. Используя однородные
граничные условия A2.11), будем иметь
L = -[а(/2 + п21о) + inQ]Re, A2.13)
где
L = j\ + Bп2 + IK\ + п2(п2 - 4)Jo2 + Анп2(К\ - К] + К2),
Я Я
II = J \Ф(т)\2г2т-^г, 4 = / |^(m)|2r2m-3dr,
I 1
I 1
Я
<? + <?* + <?**, Q** = fu°D>'$)„dr, m = 0,l,2,
i
<?* = / ft/Vf + ^M2 + CT(^), - 2х/Л dr.
Выделим в уравнении A2.13) действительные и мнимые части
nQtt - L/Re nQ,
а*= i$+n4i • а~ = -жгщ- <Ш4)
В силу неравенства Шварца [178] в ШЬП;^] с нормой A2.12)
имеем
я л
|Q„| ^ JU°\4>'\ \ф\Лг = Ju0^№'\ydr ^ qhh, A2.15)

УСТОЙЧИВОСТЬ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ
97
где
q = max U°(r).
Воспользуемся также очевидным неравенством п1$1\ ^ (if +
ti2Iq)/2. Из A2.14), A2.15) следует довольно общая интегральная
оценка устойчивости основного течения. Сформулируем её в виде
следующей теоремы.
Теорема 12.1. Пусть а(п,Яе,к,о;,Д) — произвольное собственное
число 0303 для течения Куэтта— Тейлора. Тогда, если
2L
т*ЩЪЩ>- A216)
то а* < 0, и исходное течение устойчиво относительно двумерных
возмущений (vr;ve\0).
Оценка A2.16) носит достаточный характер. Дальнейший анализ
основан на применении неравенств Фридрихса
/^^, Jl>=-P-, J > V ; " , A2.17)
1п2Д' ^ ln2^ Jl ^ In2 Я
доказательства которых приводятся ниже.
Доказательство /. Рассмотрим уравнение гф" + ф' + А20/г = 0 с
граничными условиями 0A) = 0@) = 0. Умножим это уравнение на ф
и проинтегрируем от 1 до Д, получим А2 = I2 / Iq. Точное решение
ф(г) — i4iCOs(Alnr) + i42sin(Alnr) после подстановки в граничные
условия даёт А = 1ж/ In R (I = 1,2,...). Таким образом, Am*n = 7г2/ In2 R
И/^7Г2/02/1п2Д. ■
Доказательство 2. Рассмотрим уравнение гф1У + 2фш + \2ф"/г -
\2ф'/г2 = 0 с граничными условиями A2.11). После умножения
его на ф и интегрирования от 1 до й с учётом A2.11) будем
иметь А2 = J\jJ2. Подставляя точное решение ф(т) = А\ + Агт2 +
Лзг cos(A In г) + Л4г srn(A In r) в граничные условия и приравнивая к
нулю характеристический определитель, получим
1 - cos(A In R) = р ; sin(A In R), A2.18)
R + 1
либо
l+cos(Alnii) = -^^sin(Aln/*). A2.19)
R — \

98
ГЛАВА 3
Можно показать, что минимальный положительный корень
уравнений A2.18) и A2.19) лежит в пределах 7г/1п# < Amin < 2w/\nR,
поэтому заведомо справедлива оценка j\ > 7г272/1п2Д. Ш
Доказательство 3. Рассмотрим уравнение ф"/г - ф'/г2 + Х2ф/г3 —
О с граничными условиями 0A) = ф'{В) = 0. После выполнения
аналогичных предыдущим операций получим А2 = J2/Jq. Точное же
решение имеет вид
ф(г) = L4] expf у/\ - A2 Inr j + j42expf-\/l - A2 lnrj r,
если |А| < I,
ф(г) — (А\ + Ai in r)r, если |А| = 1,
ф(г) = \А\ cosf V А2 - 1 lnrj + ^sinf - v A2 - 1 lnrj r,
если |А| > 1.
Характеристические уравнения в каждом из трёх случаев в итоге
сводятся к одному
tg(>/A2- 1 In л) = -Уа2- 1. A2.20)
Минимальный положительный корень Xmin уравнения A2.20)
удовлетворяет неравенству X2min > (я2 + \п2 R)/\n2R. Поэтому J2 ^
(тг2 +1п2ДO02/1п2Д. ■
Выпишем теперь следующие мажорантные оценки
I2 J2 J2
J-^J2^J2, ИГ,2;*-, ЛГоЧ—, / = 0,1,2, A2.21)
Rl q s
где
s — min U°(г).
Воспользуемся квадратичными неравенствами A2.17), A2.21)
применительно к A2.16) и сформулируем результат в виде следствия
теоремы 12.1.
Следствие 1. Если
R2q Re 47г2п2х 7г2 + п2 In2 R
2 ^ 9Aг2 + п21п2Д) + ЙТя + (п _
тг2 ir2 + \n2R[\-4n2([+x/s)]
7Г2 + 1п2Д 7Г2+П21п2Д

УСТОЙЧИВОСТЬ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ 99
то а* < 0.
Для получения общей нижней оценки критического числа Рей-
нольдса необходимо найти минимальное по п Е Z значение правой
части A2.22). Исследуем аналитически некоторые частные случаи задачи,
которые дают характерные качественные и количественные результаты.
12.4. Осесимметричные возмущения. При п = 0 (осесимметрич-
ные возмущения) из A2.22) следует достаточное условие устойчивости
2(тг2 + 1п2Д)(Д2-1)
**^ Д21п2Д[2Д>|+хBД21пД-Д2+1)] ' ° *23)
Для изучения влияния пластической составляющей на линейно
вязкое течение надо от к перейти к другому безразмерному числу rs,
не содержащему параметр вязкости. Подставляя к — rsRe в A2.23),
после решения квадратного неравенства получим
/2(Я)М ( /■ /.(ЯК
/з(Д)т, IV /|(Д)о;2
Я^^^и/^^В"' , 02-24)
где
/,(Д) = 2(тг2 + In2 R)(R2 - 1)BД2 InR - R2 + 1),
f2(R) = Д31пД, /3(Д) = ДBД21пД- R2 + 1) In Д.
Оценка A2.24) позволяет получить асимптотику при малых rs
либо при больших относительных скоростях вращения (а;2 > rs).
Удерживая первые три члена разложения Тейлора, будем иметь
(тг2 + 1п2Д)(Д2- 1)
Д4М 1п2Д
^ ^,,:\n - A2-25)
(тг2 + In2 ДJ(Д2 - 1JBД21п Д - Д2 + 1)т, ( г2 \
2Д,0|а;|31п4Д + \W) '
Как видно из A2.25), при rs —> 0 существует равномерная
сходимость по т5 к вязкому пределу. Устремляя ts/oj2 к нулю, мы,
по-прежнему, остаёмся в области А (рис. 10), жёсткой зоны при этом
не возникает.
В случае узкого зазора между цилиндрами, т.е. Д- 1 < (Д+ 1)/2,
достаточное условие устойчивости имеет простой вид

100
ГЛАВА 3
Предыдущие исследования проводились в предположении о том,
что исходная система и траектории предельных переходов лежат в
области А (рис. 10). Если же параметры системы принадлежат области
Б, и тем самым зона течения сужается от I до £, то граничное
условие прилипания при г = R A2.11) (либо A2.8)) следует изменить
на условие при г = £, на поверхности жёсткой зоны в возмущённом
движении.
12.5. Коротковолновые возмущения и вязкий предел. При п > 1
(коротковолновые возмущения) из общей нижней оценки A2.22)
следует асимптотическая оценка
-R2qRe^n2 + C, A2.27)
где С — не зависящая от п функция к,о;, #. Следовательно, гармоники
возмущения с большими номерами всегда устойчивы24', и критические
числа Рейнольдса, им соответствующие, стремятся в бесконечность.
Покажем, что вязкий предел в данной задаче существует не только
в случае осесимметричных возмущений, но и для любого п. При к = 0
достаточное условие устойчивости A2.22) имеет вид
R2q0 тг2 2 тг2 тг2 + A - 4n2) In2 R
—-Re^ —г- +п2 + — г ) —1 , A2.28)
2 ^1п2Д тг2 + 1п2Д тг2 + п21п2Д V '
где
2Д2 М
Формальный минимум правой части A2.28) достигается в точке
а = ^. A2.29)
Можно показать, что правая часть A2.29) при любом а > 0
меньше единицы, а при а2 > 2 + y/S (R < 4,6016) и меньше нуля. Таким
образом, минимум в A2.28) достигается при п = 0 и совпадает с A2.23).
Предельные переходы при rs —* 0 и п = 0 из самого общего случая
вязкопластического течения оказываются перестановочными. Для
узкого зазора между коаксиальными цилиндрами остаётся справедливым
условие устойчивости A2.26).
24* Напоминаем, что везде в этом параграфе речь идёт об устойчивости
относительно двумерной картины возмущений, т. е. фактически об условной устойчивости течения
Куэтта—Тейлора.

УСТОЙЧИВОСТЬ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ 101
Итак, из всех гармоник п Е N в вязком пределе наиболее
опасны осесимметричкые, что подтверждается классическими
результатами [112, 242, 251, 293].
§ 13. Идеальножёсткопластическое течение Куэтта
Как показано в п. 7.5, необходимым условием справедливости
общих оценок устойчивости, выведенных там, является неравенство
Т* > 0. Это отсекает, например, идеал ьножёсткопластические течения
(течения Сен-Венана). Однако для последних тоже можно
сформулировать линеаризованную краевую задачу устойчивости в возмущениях.
13.1. Постановка обобщённой задачи Орра—Зоммерфельда.
Воспользуемся уравнением (8.13) и выпишем его для идеальнопластиче-
ской среды. Для этого надо формально устремить число Рейнольдса
в бесконечность. В пределе Re —► оо будем иметь уравнение второго
порядка
4TsS (i^i)+ («+ ™°){ф" ~ *2ф) ~ ™"ф=°' A3,)
где безразмерный предел текучести т8 = x/Re отражает уже не
отношение вязких и пластических свойств среды, а характеризует лишь
пластические свойства.
При т8 = 0 уравнение A3.1) сводится к хорошо изученному
уравнению Рэлея. К соответствующему течению применимы теоремы
из теории устойчивости идеальной жидкости — условия Рэлея и
Фьортьофта—Хойланда, а также теорема Ховарда о полукруге [104] —
связанные со знаком кривизны профиля скорости внутри области
течения. Современный обзор вопросов о разложении по собственным
функциям в задаче Рэлея, а также новые результаты, относящиеся
к устойчивости плоскопараллельных течений идеальной жидкости,
приведены в [197].
Известна возможная неединственность решения уравнений
движения идеальнопластических тел [146]. Одному и тому же сдвиговому
напряжению т8 соответствует, вообще говоря, бесконечно много
значений v°'. Следовательно, для плоского течения Куэтта в качестве
основного профиля можно выбрать любую функцию *7°(жз),
принимающую заданные значения в точках 0 и 1. Граничные условия в
возмущениях имеют при этом вид
х3 = 0: ф = 0; х3= 1 : ф = 0. A3.2)

102
ГЛАВА 3
V j
5 / I
_7
Будем полагать далее, что
основное течение реализуется в
области 0 < ж3 < 1 и
характеризуется произвольной монотонно
возрастающей функцией v°(xs) с
непрерывной производной такой, что
К'1 ^ q и
/
dxi
<оо, Уж36 [0;1].
0 0,5 л*з
Рис. 12. Чередование жёстких зон и
прослоек идеальнопластического течения
v"(x3)\
о
A3.3)
Возможно и любое
распределение на отрезке 0 < ж3 < 1
жёстких зон (рис. 12), а также
вырожденный случай отсутствия зон
течения, когда скорость деформации представляет собой сумму
нескольких 6-функций25*. Эти случаи исключаются из рассмотрения.
13.2. Интегральные оценки устойчивости. Пусть ф — элемент
комплскснозначного гильбертова пространства ИЬф) с нормой (9.2),
имеющий две непрерывные производные во всей области.
Умножим равенство A3.1) на комплексно-сопряжённую функцию
ф и проинтегрируем по а?з от 0 до 1. С учётом граничных условий
A3.2) получим
Arssl; + -(/? + s2I{)
s
°" + s2v°M\2 +
о)+ </[(«'
о
1
г/°|0'|2] dX) + г / г°'ф'фйх\ — 0
A3.4)
где величины 1т и Iv такие же, как и в задаче о вязкопластическом
течении Куэтта (см. (9.3)).
~э'Известный пример, который обычно приводят, говоря о таком течении, это
сдвиг пачки листов бумаги. Задавая скорости верхнего и нижнего листов, заведомо нельзя
ничего сказать о профиле скорости внутри пачки, все они равновероятны. Сдвиг может
проходить всего по одному листу, в этом случае скорость деформации — сумма двух
4$-функций.
В силу своей неединственности основное течение в данной задаче уже в
определённом смысле неустойчиво.

УСТОЙЧИВОСТЬ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ 103
Приравняем действительную часть стоящего в левой части A3.4)
выражения к нулю
1
4tssI2v + — (I? + s2Io) - [у°'ф'фAх3 = 0. A3.5)
о
и воспользуемся неравенством Шварца (9.6) в пространстве Н2(П) с
нормой (9.2). Из A3.5), (9.6) следует
Теорема 13.1. Пусть a(s,r5) — произвольное собственное число
краевой задачи A3.1), A3.2). Тогда
^ s(gj0/i - 4r5sl2)
Достаточное условие устойчивости плоского идеальнопластиче-
ского течения Куэтта — отрицательность правой части
неравенства A3.6).
Следствие 1. Если
„2 4. *2
A3.7)
то а* < 0.
Следствие 2. Если
Ts 7Г2 + 52
q2 ' Sn2s2
g2 4irs'
A3.8)
то a* < 0.
Доказательство обоих следствий вытекает из очевидного
неравенства sIqI\ ^ (J2 + s2Iq)/2 и неравенств Фридрихса для квадратичных
функционалов if ^ 7г2/о, J2 > J?/</.
Кривые 1 и 2, соответствующие следствиям 1 и 2, изображены
на рис. 13. Так как следствия 1 и 2 независимы и достаточны, то
справедливо
Следствие 3. Если при фиксированном So
1 Vs()>0 A3.9)
-г > mm I
то a,(s0,rs) < 0.
, 87T2SB) ' 47TSo
4*«0 '

104
ГЛАВА 3
Это следствие означает, что, если при некотором s0
значение rjq2 лежит выше кривой 2 на рис. 13, то исходное
течение устойчиво относительно возмущения с волновым числом s0.
Поскольку в реальном
возмущении присутствуют все гармоники
s > О, то общей достаточной и
независимой от s оценки
устойчивости представить не удаётся.
Из рис. 13 видно, что
наиболее неустойчивыми будут
длинноволновые вариации,
увеличение же rs/q2 оказывает
стабилизирующее влияние.
Дадим оценку минимальной
неустойчивой длины волны Л* в
слое с характерными для
геотектонических процессов параметра-
10 см/год (высокоскоростные процессы),
Ю7 Па (при температурах ниже 200°С) [176]. Согласно
Ts/q2
0,5
0,25
0 \ 2 s
Рис. 13. Критические кривые 1 и 2,
соответствующие следствиям I и 2 теоремы
13.1, в плоскости (s:Ts/q2)
ми: р ~ 3000 кг/м\ V
2^
q ~ ю, rs
A3.9) А*
87Гт5/</2, т.е. А* ~ 3 * Ю20. Соответствующие размерные
длины волн превышают всякие линейные размеры Земли.
Следовательно, ограничение A3.9) в геофизических и геотектонических задачах не
оказывает существенного влияния на устойчивость идеальножесткопла-
стического течения в плоском слое.
13.3. Течение Куэтта в узком смысле и длинноволновое
приближение. Рассмотрим подробнее краевую задачу A3.1), A3.2) в случае
линейного профиля скоростей по толщине: v°(x^) = #з, 0 < #з < 1,
что представляет собой течение Куэтта в узком смысле. Уравнение
A3.1) перепишется в виде
(а + isx) + 4т882)ф" - s2(a + isxy)<t> = 0,
A3.10)
a после замены независимого переменного ( = 2{sxy-ia-2ic) сводится
к уравнению Уиттекера
й2ф
(( + 4ic)(j> = 0, с— 2tss"
A3.11)
которое имеет фундаментальное решение

УСТОЙЧИВОСТЬ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ 105
Ф@ = м_,с:1/2(о (ct +c2J № а,) ,
A3.12)
т =
1
^1/2D)
где Со = CU=o, Ci = CU=i; Af_ic:i/2(C) - Функция Уиттекера [205],
связанная с вырожденной гипергеометрической функцией ФA +гс, 2;()
соотношением
М_/с:1/2(С) = Се-с/2ФA+гс,2;С) =
= Се
-С/2
1 +
(l + ic)nC
^ п\(п+ 1)!
A3.13)
(•)п — символ Похгаммера.
Подставим A3.12) в граничные условия
A3.14)
< = <<>,: 0 = 0; < = <, : 0 = 0,
следующие из A3.2), и придём к характеристическому уравнению
0(*,«)
D(s,a)= J /«)<*< = 0, A3.15)
которое неявно описывает зависимость частоты а от волнового числа
5. Далее следует подставить A3.13) в A3.12) и A3.15) и получить
уравнение, содержащее четырёхкратные степенные ряды по СоE>а)
и (\(s,a). Аналитическое исследование в этом направлении,
естественно, затруднено. Поэтому ниже остановимся на длинноволновом
приближении в данной задаче.
Разложим в ряд Тейлора по s вблизи 5 = 0 функцию D(s,a)
в соотношении A3.15) и удержим первые два ненулевые члена этого
разложения. Так как @@,а) = ^@,а), то D@,a) = 0, и будем иметь
dD/n v sd2D
аГ(а'в)+2«?
@,а) = 0.
Вычислим частные производные от D по s при 5 = 0:
dD
ds
■<0,a) = 2/(-2ta),
0<—(^Ю<->
A3.16)
A3.17)

106
ГЛАВА 3
Подставляя A3.17) в A3.16) и учитывая A3.12), получим
M0;1/2(-2ia)-25(^^ + ^p) о(-2ш) = 0. <13 18)
Из определения функции Уиттекера A3.13) и величины c(s)
A3.11) вытекает, что
С дМ-и,т
м0:1/2(с) = г sh 1, :;-'^ (о = ch ^
"М_м„| <о-(^£) @.„.
5=0 V дс ds/s=0
ds
В результате A3.18) сведётся к простому виду
tga = is. A3.19)
Корни уравнения A3.19) при \s\ < 1 записываются так
а — 7гп + г arctg s, n£Z. A3.20)
Наличие корней A3.20) с положительной действительной частью
а* = 7ГП, п ^ 1 говорит о неустойчивом характере длинных (s < 1)
волн. Об этом же свидетельствуют и достаточные интегральные оценки
в п. 13.2.
§ 14. Наследственно вязкопластические сдвиговые течения
Среди многих моделей неньютоновских жидкостей особенно
популярны в исследованиях релаксационные модели, в которых
напряжения зависят от всей истории деформирования (полимерные или
вязкоупругие жидкости с затухающей памятью [21, 224]). Ниже
предлагается скалярное определяющее соотношение, являющееся
обобщением линейной вязкоупругой жидкости и вязкопластического тела,
построенного на основе модели Ильюшина—Бингама. Векторные
соотношения между девиаторами напряжений и скоростей деформаций
принимаются линейными. Таким материалам даётся название
наследственно вязкопластические.
Одновременный учёт релаксации вязких свойств материала и
наличие предела текучести позволяет в задачах о плоскопараллельном
сдвиге описать изменение толщины жёсткой зоны. Заметим, что это
изменение вызвано не переменными внешними данными (переменным

УСТОЙЧИВОСТЬ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ 107
градиентом давления в течении Пуазейля, переменной скоростью
границы в течениях Куэтта и т.д.) [2, 11, 16, 25, 34, 84, 130, 131, 184-187,
240, 294], а именно явной зависимостью материальных функций от
времени при постоянных внешних воздействиях. Приводится также
постановка линеаризованной краевой задачи устойчивости
одномерного наследственно вязкопластического сдвига относительно малых
возмущений.
14.1. Наследственно вязкопластическое течение Пуазейля в
плоском слое. Пусть максимальное касательное напряжение T(x,t) и
максимальная скорость скольжения U(x,t) связаны следующим
образом
T = rsH(t) + (ti-M)U. A4.1)
Здесь H(t) — функция Хевисайда, М — интегральный оператор
разностного типа t
MU
JM(t~0U@dC A4.2)
с регулярным ядром M(t) ^ 0, описывающий релаксацию вязкости.
Рассматривается плоскопараллельное течение материала со
скалярными соотношениями A4.1), A4.2) в слое 0 < ж3 < Л, причём
причиной сдвига является постоянный по времени перепад давления
Vp по оси Ох\ (обобщённое течение Пуазейля). В качестве
базиса обезразмеривания проще всего выбрать тройку величин {V/?,p, h}.
Роль числа Рейнольдса Re выполняет комбинация \J ph?4p l\i,
безразмерный же предел текучести равен Ts/(hVp).
Единственное уравнение движения относительно продольной
скорости vi(#3,£) = v(Xjt) в безразмерных переменных принимает
следующий вид
d2v dv
-1 + —. A4.3)
(±-*)
дх2 dt
Наследственно вязкопластическое течение реализуется в двух не
связанных между собой пристеночных слоях 0 < ж < £(t) и 1 -£(t) < х < 1,
где £(t) — неизвестная граница, отделяющая зону течения от жёсткой
прослойки.
Таким образом, на границах х = 0, х = £(t) и при х = 1/2 (из
соображений симметрии относительно оси х = 1/2) должны выполняться
условия
ж = 0: г; = 0; х = £(t): T = rs\ x=-: T = 0. A4.4)
В качестве начального условия можно взять соответствующее стацио-

108
ГЛАВА 3
нарное решение в слое 0 < х < £<> = 1/2 - тл, полученное при M(t) = 0.
Одним из методов исследования краевой задачи A4.3), A4.4)
является применение преобразования Лапласа. Его использование в
области с меняющейся со временем границей предполагает
привлечение специальных методов и приёмов операционного исчисления26).
Таким приёмом может быть аналитическое продолжение функции в
более широкую область, включающую исходную, и решение задачи в
изображениях в ней. Физически это означает некоторое
доопределение скорости внутри жёсткой прослойки с последующим выполнением
граничного условия на подвижной границе.
Отметим здесь ожидаемое (следующее из визуальных
наблюдений) изменение решения v(x,t) со временем. На рис. 14 приведены
схематичные профили продольной скорости в несколько
последовательных моментов времени.
о £ * о I л- о § х
Рис. 14. Последовательные во времени схематичные профили скорости v(x4t) в
наследственно вязкопластическом течении Пуазейля
14.2. Наследственно вязкопластическое течение Куэтта. В случае
плоскопараллельного течения Куэтта с заданной скоростью верхней
границы V в безразмерный базис естественно включить величины
{р, V, h}. Дальнейшие рассуждения в постановочном плане
аналогичны проведённым в п. 14.1. Существенным же отличием здесь является
отсутствие подвижной границы жёсткой зоны, что упрощает
применение преобразования Лапласа
ОС
ш-f
/(*)е_0,Я
A4.5)
^Особенности этих методов отметил И. А. Кийко, указавший также на
невозможность непосредственного применения преобразования Лапласа к уравнению,
описывающему толщину жёсткой зоны ж = £(<)•

УСТОЙЧИВОСТЬ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ 109
Единственное уравнение движения
/1 „\ d2v dv
{я-е-м)м = т <,46>
с граничными условиями х = 0 : г; = 0, х — \ \ v= 1 в изображениях
выглядит следующим образом
v!-aRe+v+ = 0, v*@) = 0; v*(l) = 1 A4.7)
и имеет решение
sh(Xx)
v+(x}) = —у—+ , А - >/аЯе*(а). A4.8)
sh A
Длительное число Рейнольдса Re+(a) связано с мгновенным Re
соотношением \/Re+(a) — \/Re - М+(а). В силу неотрицательности
функции M(t) справедливо неравенство Re+(a) > Re.
Исследуем далее вязкопластический предел в данной задаче. Если
наследственные свойства у материала отсутствуют, т. е. М = 0, и,
следовательно, А = y/aRe, то из A4.8) можно получить известное решение в
пространстве оригиналов задачи о вязкопластическом течении Куэтта.
Устойчивость этого течения исследовалась ранее в §9.
Применение обратного преобразования Лапласа (преобразования
Мелина) к изображению A4.8) позволяет перейти в пространство
оригиналов и найти функцию v(x,t). Рассмотрим два характерных
вида ядер M(t) — экспоненциальное и степенное.
а) Экспоненциальное ядро, релаксирующее до нуля M(t) =
е~*/п/(пЯе). Здесь п — время релаксации. В данном случае М*(а) =
[A + na)Re]~l и согласно A4.8) А(а) = у/{\/п + a)Re.
б) Степенное ядро M(t) = A/[(t + t{)JRe\; A,t — const, А Ф t0.
Изображение М* и собственное число А имеют вид
M*(a) = ^ (у + <* exp(crfo) Ei(-a*0) J , A4.9)
/ atoRe
X = У «о ~ A[\ + at0 exp(a*«) Ei(-a*«)] '
где Е\(х) — интегральная показательная функция.

110
ГЛАВА 3
0 1 X
Рис. 15. Предельные профили
скорости в наследственно вязкопластическом
течении Куэтта для
экспоненциального ядра при различных Ао, причём
А(Н < ^02 < *03 < Ао4
Из выражения A4.8) видно,
что, если для некоторого ядра
релаксации предельное при а —► 0
значение Л равно нулю
(например, для степенного ядра), то
предельный профиль, если он
существует, представляет собой
линейную функцию. Для
экспоненциального ядра, релаксирующего до
нуля, как было найдено выше,
Ао = у/Йё/п. Предельные
профили скоростей для некоторых А0
lim v(x, t)
t-*QC
sh (А0ж)
sh Ао
A4.11)
изображены на рис. 15. Видно, что,
если А0 > I (время релаксации мало), то почти весь слой за
исключением тонкой пристеночной области практически не движется. Если
же Ао < I или Ао « 1, то определяющую роль играют мгновенные
свойства материала.
Полный анализ длительного поведения материала в пространстве
оригиналов может быть основан на разложении изображения A4.8) в
ряд по а [117].
14.3. Постановка линеаризованной задачи устойчивости. Приведём
постановку линеаризованной краевой задачи устойчивости
одномерного наследственно вязкопластического сдвига. Подставим в уравнения
движения в возмущениях F.11) проварьированные с учётом A4.1)
векторные определяющие соотношения
2Г°
IF
i, 0=1,3,
Из = ^3 -2JM(t - СЬз«М<, A4.12)
и далее стандартным путем придем к одному уравнению относительно
функции тока il>(x\}x$,t)

УСТОЙЧИВОСТЬ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ 111
t
I
Re'
A4.13)
- j M(t - О Д-Д>(() d( = ^^ + уЦА^ФЬ - <зз^,1,
о
где A± = d2/(dxlJ ± д2/(дх3J.
Уравнение A4.13) с соответствующими условиями на
прямолинейных границах слоя представляет собой обобщение задачи Орра—
Зоммерфельда для наследственно вязкопластических течений.
Представляя функцию ^(#ьжз>0 в виде интеграла Фурье с
гармониками ф = 0(#з,О exp(is#i) и применяя к обеим частям уравнения
A4.13) преобразование Лапласа по t, сведём это уравнение к интегро-
дифференциальному (а, как и прежде,— параметр преобразования
Лапласа)
м(/ж«-,)*(«)л)'-.(л-^)+ (|4|4)
7
+ — / ^и(а - z) (ф" - s20*) (z) - v°u(a - z) ф*(гЦ dz.
As2
Здесь
t
2(а)= \^-o(rs-jM(t-0U°@d^ (а), A4.15)
a 7 — некоторая вертикальная прямая в комплексной плоскости z.
Таким образом, постановка спектральной задачи устойчивости
плоского наследственно вязкопластического сдвига включает в себя
уравнения A4.14), A4.15) с соответствующими граничными условиями
при ж3 = 0 и а?з = 1. Отметим, что исследование устойчивости течений
со свободными либо движущимися во времени границами осложнено
тем, что преобразование Лапласа здесь необходимо проводить в области
с постоянными границами, включающей в себя исходную.

112
ГЛАВА 3
Получение оценок устойчивости в выписанной выше
линеаризованной краевой задаче может быть связано с развитием метода
интегральных соотношений для уравнений типа A4.14) и формулировкой
критериев устойчивости процесса в пространстве изображений.
Проблемы устойчивости наследственно деформируемых тел
являются большой самостоятельной областью исследований. В зависимости
от подхода и описания процесса деформирования эту область
принято разделять на устойчивость течений вязкоупругих жидкостей [10,
21, 267, 280] (гидродинамический подход) и устойчивость
собственно вязкоупругих тел и элементов конструкций [8, 52] (лагранжев
подход; большие либо малые деформации [92]). Принципиальной
разницы между данными подходами нет, как нет и чёткого различия
между изучаемыми объектами в этих двух случаях. Наследственно вяз-
копластическая модель, сочетающая особенности каждого из подходов,
подтверждает данную мысль.

Глава 4
Некоторые задачи о нестационарных
вязко- и идеальнопластических
течениях в сложных областях
Точные аналитические решения о вязкопластическом течении
получены, в основном, для случаев чистого сдвига и чистого растяжения-
сжатия, когда интенсивность скоростей деформаций равна по модулю
одной из компонент либо линейной комбинации компонент тензора
скоростей деформаций. Характеристики всех таких стационарных
решений известны довольно давно (в частности, они собраны в обзорном
докладе [26] по истории реологии и состоянию дел к началу 50-х годов).
Более сложные течения (пусть даже и стационарные), в которых в
отличие от линейно вязкого случая автомодельности уже нет, допускают
аналитически-численные решения. В силу физической
нелинейности модели каждое новое исследование в этой области представляет
определённый интерес. Остановимся в данном обзоре на некоторых
характерных задачах, моделирующих технологические процессы
обработки материалов, поведение пластов земной коры при длительной
нагрузке, динамическое взаимодействие элементов вязкопластических
конструкций и др.
1) Вязкопластическое течение в конфузоре. Известно, что поиск
стационарного решения в задаче о вязкопластическом течении под
действием давления на бесконечности в плоском конфузоре в виде
v(r,0) = V($)/r, как это делается для вязких жидкостей, и в
коническом конфузоре в виде v(r,B) = V@)/r2 приводит к противоречиям. С
трудностями такого рода впервые столкнулись авторы работ [203, 204].
Ещё ранее в [27, 118] проведено кинематическое исследование
процесса течения в конусе методом просвечивания рентгеновскими лучами,
найдено экспериментальное распределение скоростей в конусах с
растворами 10°-25° и установлена формула для зависимости расхода от
давления. Отмечено, что сдвиг скорее всего происходит по боковой
поверхности цилиндра с диаметром, равным диаметру выходного
отверстия (а, следовательно, этот цилиндр является жёстким ядром).
Аналитический же поиск решения в таком виде опять не даёт
результата. Это говорит о том, что линии тока непрямолинейны, и их

114
ГЛАВА 4
семейство представляет собой сложную картину на плоскости либо
внутри конуса.
В [101] в случае плоского конфузора функция тока i>{r,d) ищется
в виде гр = - X^i щ@)г1~\ Основная функция и>\(в) определяет
величину расхода; о>2(#) и щ(В) на расход не влияют, а лишь корректируют
форму профиля. Доказано, что ядра потока в данном случае не будет.
Аналогичный подход в задаче о вязкопластическом течении между
двумя коаксиальными конусами использован в [198]. Факт малого влияния
корректирующих функций о^, о;з подтверждён и экспериментально на
примере движения торфз в конической насадке с углами раствора 5°-
10°. В торфяную массу помещались свинцовые реперы, и с помощью
рентгеновской установки фотографировалось их положение в процессе
движения. Снимки показали, что линии тока очень близки к прямым,
проведённым из вершины конуса.
Медленное вязкопластическое течение в коническом и плоском
конфузорах при малом угле раствора исследовано в [69]. В качестве
основного взято решение для пуазейлевского течения в
цилиндрической трубе либо в плоском слое. Далее допускается, что течение
происходит не в цилиндре, а в конусе с малым углом раствора /3.
Получены формулы для расхода в первом приближении по /3. Такой
же метод в случае материала Балкли—Гершеля избран и в [106].
Движение вязкопластической среды в плоском параболическом
конфузоре вариационным методом изучено в [120]. Минимум
функционала энергии реализуется на действительном поле скоростей. К числу
сложных движений внутри двугранных углов и соосных конусов следует
отнести и вязкопластические течения, изученные в [210-212].
Высокоскоростное вязкопластическое течение, в котором безразмерный
предел текучести много меньше безразмерной вязкости, и происходящее в
коническом конфузоре, рассмотрено в [232].
В [314] решена задача медленного установившегося течения вяз-
копластического материала в сходящемся коническом канале
применительно к процессам экструзии и литья под давлением. Параметры
найденного процесса деформирования близки к соответствующим
параметрам ньютоновского течения в конусе под действием давления на
бесконечности.
Ниже в § 18 исследована задача о движении в плоском
конфузоре с прямолинейными стенками материала, в котором пластические
свойства выражены слабо, т. е. близкого к ньютоновской жидкости.
Решение начально-краевой задачи для такой среды сводится к решению
соответствующей «вязкой» задачи и линеаризованной задачи первого
приближения по безразмерному пределу текучести. Особое внимание
уделяется асимптотическим границам жёстких зон, появляющихся при

ТЕЧЕНИЯ В СЛОЖНЫХ ОБЛАСТЯХ
115
возмущении предела текучести. Решение данной задачи позволяет
судить об устойчивости основного процесса (исходного вязкого течения)
по отношению к возмущению материальных функций (появлению
предела текучести).
2) Качение цилиндра по поверхности со слоем вязкопластической
смазки. Смазочные материалы, изготовленные из дисперсных систем,
находят применение в расчётах роликовых подшипников,
использующихся в железнодорожном транспорте. Впервые уравнения движения
для случая качения цилиндра по поверхности, покрытой слоем
пластической смазки, проинтегрированы в [111], а вязкопластической в [ПО].
Получены выражения для распределения давления в слое смазки,
грузоподъёмности смазочной прослойки и мощности, затрачиваемой на
преодоление силы трения при качении. Отмечено, что в случае
экспоненциальной зависимости предельного напряжения сдвига и вязкости
от давления существует предельная минимальная толщина смазочного
слоя.
Результаты экспериментов [24] в работе [135] построены в виде
зависимости коэффициента сопротивления течению Л от обобщённого
числа Рейнольдса Re построенного по эффективной вязкости
смазочного слоя: Л « 64/Яе, 0,0002 < Re < 6.
В [234, 285] приведены эксперименты по определению
зависимости момента трения от нагрузки, скорости вращения вала в
подшипнике скольжения, размеров подшипника и реологических свойств
бингамовского материала, из которого изготовлена смазка.
Реодинамическая теория вязкопластической смазки развита в
[202]. Течение в плоском подшипнике рассмотрено в области между
бесконечной плоскостью, движущейся с постоянной скоростью, и
наклонной к ней неподвижной плоскостью. Вся область разбита на три
зоны со своими граничными условиями и со своим распределением
скоростей и давлений. Доказано существование у поверхностей обеих
пластин стопорных зон в случае k « h\/h2 ^ 2, где h\ — ширина
входного, a /i2 — ширина выходного отверстий. Найдены ширина h
слоя, движущегося с постоянной скоростью (h — h2(k - 2)/(fc + 1)) и
условия устойчивости стопорных зон. Вязкопластическая смазка имеет
свои преимущества по сравнению с вязкой. Во-первых, при к = 2 для
вязкой смазки происходит разрыв масляной плёнки, что приводит к
вытеканию масла из зазора, в вязкопластической же среде этого не
происходит вследствие более равномерного распределения давлений на
плоскость вкладыша подшипника. Во-вторых, существование
сплошных твёрдых стопоров обеспечивает полноту течения, причём входной
стопор ограждает от попадания в смазочный слой воздуха. На особен-

116
ГЛАВА 4
ности поведения пластичных смазок в зоне трения по сравнению с
ньютоновскими средами обращено внимание и в [109].
Плоское течение вязкопластической смазки в малом зазоре между
изделием и внутренней поверхностью насадки при волочении
рассмотрено в [108]. Приведены пять качественно различных схем течения
в зависимости от скорости волочения, расхода и реологии смазочного
материала.
Экспериментальное изучение вязкопластического течения
смазок при сложном сдвиге для разных температур приведено в [313].
Современные методы и результаты лабораторных испытаний вязкопла-
стических масел и смазок при трении, а также принципы подбора
последних для снижения трения и изнашивания трибосопряжений
изложены в [195].
3) Движение вязкопластической плёнки над вращающимся диском.
К вопросам деформирования слоя смазки тесно примыкают и задачи о
движении вязкопластического слоя над вращающимся диском. В [70]
найдено распределение vr(r1 z) для такого движения и получено
уравнение в частных производных первого порядка, из которого определяется
толщина слоя h(r). Аналогичная задача о равновесии и течении
вязкопластического материала над вращающимся конусом рассмотрена
в [71]. Здесь определена максимальная толщина слоя смазки, который
может оставаться в покое на поверхности конуса.
Определению толщины вязкопластической плёнки над
вращающимся диском посвящены работы [260, 273]. В [245] даны
приближённые аналитические решения для двух типов такого течения.
В случае, когда вязкость и предел текучести не зависят от радиуса,
толщина плёнки уменьшается с удалением от центра. Для среды с
меняющимися параметрами картина может быть обратной.
Большой интерес представляло бы аналитическое решение
вязкопластического аналога задачи Кармана. Поиск решения в том же
виде, как это делается в случае линейной вязкой жидкости, не приводит
к результату из-за отсутствия автомодельности. Наиболее интересны
здесь три вопроса: а) каково распределение жёстких зон при
стационарном движении; б) с какой скоростью «подсасывает» вращающийся
диск среду из бесконечности (z —► оо) и наблюдается ли этот эффект в
данной задаче вообще; в) существует ли предельный переход в
решении вязкопластической задачи Кармана к решению соответствующей
вязкой задачи при устремлении предела текучести при сдвиге к нулю.
4) Сложный сдвиг вязкопластической среды. Задача о вязкопла-
стическом течении в зазоре между двумя круглыми коаксиальными
трубами при совместном действии момента, приложенного к
внутреннему цилиндру, и градиента давления вдоль оси рассмотрена в [288,

ТЕЧЕНИЯ В СЛОЖНЫХ ОБЛАСТЯХ
117
289]. Приведены условия осуществимости течения в области. Решение
справедливо, когда напряжение сдвига на стенках цилиндра в
результате поступательного течения намного превышает напряжение сдвига,
возникающего вследствие вращения цилиндров. Это частный случай
течения бурового раствора в кольцевом канале обсадных труб, при
котором градиент скорости на стенке трубы, связанный с
поступательным движением, намного превышает градиент скорости, возникающий
в результате вращения внутренней штанги.
Экспериментальное изучение течения жирового солидола на
сдвоенном ротационном вискозиметре с коаксиальными цилиндрами,
позволяющем изучать взаимное влияние осевого и окружного течений
с учётом концевых эффектов, приведено в [24]. Показано, что
осевое течение повышает сопротивление деформированию при окружном
течении. Суперпозиция же двух указанных чистых сдвигов возможна
лишь в первом приближении.
Комбинация вязкопластических течений Куэтта и Пуазейля в
плоском зазоре изучена в [148]. Для наглядности характер течения
поставлен в зависимость от двух безразмерных переменных,
определяющих координаты точки на плоскости. Выявлены три области,
отвечающие наличию, частичному наличию и отсутствию течения.
Аналогичный подход осуществлён и для комбинаций течений Куэтта—
Тейлора и Пуазейля между двумя коаксиальными цилиндрами. На
изображающей плоскости построены пять областей с различным
характером деформирования.
Вязкопластическое течение между двумя бесконечными
пластинами под действием касательного усилия и градиента давления,
направленного под произвольным углом к этому усилию, рассмотрено в [20].
Такая модель используется для анализа течения в канале экструдера.
В [129] реология жидкости описана моделью, образованной путём
последовательного соединения вязкопластической и произвольной вяз-
коупругой моделей. Цилиндрическая труба заданного радиуса и длины
вращается с постоянной угловой скоростью и равномерно движется
вдоль оси внутри неподвижной и коаксиальной с ней цилиндрической
трубы с вязкоупругопластической несжимаемой жидкостью. Подробно
изучено стационарное течение при сложном сдвиге, а также
определены границы ядра.
В приближении тонкого слоя в [55, 57] рассмотрена общая задача
течения вязкопластической среды, когда материальные точки
граничных поверхностей смещаются по нормали по заданному закону.
Поставлена также задача об определении закона деформирования материала
в узком канале при заданном распределении давления на границах
этого канала. Полученные выражения расхода и давления позволяют

118
ГЛАВА 4
ставить задачи управления течением в тонком слое и оптимизировать
эти процессы.
5) Сдавливание вязкопластической среды между подвижными
жёсткими плоскостями. Задача о сжатии вязкопластического слоя
прямоугольными жёсткими плитами в предположении малости расстояния
между плитами по сравнению с их размерами решена в [147].
Получен следующий результат: вблизи плит всегда существует область
течения, в которой преобладающую роль играют вязкие напряжения;
оставшуюся среднюю область охватывает близкое к идеальнопласти-
ческому течение, параметры которого ищутся как некоторая поправка
к классическому решению Прандтля. В [33] рассмотрено сдавливание
вязкопластического слоя круглыми пластинами с отверстием в центре.
Сделана гипотеза о наличии жёсткой зоны постоянной толщины в
средней части зазора.
В [56] решение задачи о сжатии вязкопластической среды между
круглыми параллельными пластинами при их соосном поступательном
движении дано в безынерционном приближении тонкого слоя.
Коэффициент вязкости и предел текучести могут принимать произвольные
значения. Учтено также изменение толщины жёсткого ядра в процессе
сжатия.
Медленное сжатие вязкопластического слоя (трёхкомпонентная
модель) между круглыми параллельными пластинами
проанализировано с помощью вариационных методов в [321]. Получены верхние
и нижние оценки решения, причём последние, как следует из
экспериментальных наблюдений, довольно близки к точному решению.
Сходным вопросам посвящена работа [299].
6) Удар вязкопластических элементов конструкций о жёсткую
преграду. Одномерная задача об ударе о неподвижную жёсткую преграду
вязкопластического стержня конечной длины впервые была
рассмотрена в [97]. Показано, что после удара возникают две зоны: в одной
из них, примыкающей к преграде, возникает вязкопластическое
течение, и поле скоростей удовлетворяет уравнению теплопроводности с
неизвестной границей; в другой материал не деформируется. Для
решения задачи используется приближённый метод Кармана—Польгаузена.
Зона течения сначала увеличивается, а затем начинает уменьшаться,
никогда не достигая свободного конца стержня. В некоторый момент
эта область исчезает совсем, после чего деформирование прекращается.
Схема численного решения данной задачи была позднее предложена
в [30]. Численно задача решалась в напряжениях, что дало возможность
не выделять линию раздела вязкопластической и жёсткой зон. Переход
в жёсткое состояние при разгрузке после удара учтён в [115], а различие
в вязких свойствах при нагрузке и разгрузке в [214].

ТЕЧЕНИЯ В СЛОЖНЫХ ОБЛАСТЯХ
119
Удар жёсткого тела по вязкопластическому стержню рассмотрен
и в серии работ [303, 308-310]. Соударение происходит с такой
скоростью, что возникают большие пластические деформации. Рассчитаны
напряжения для случаев: а) постоянная скорость удара по
полубесконечному и конечному стержню; б) удар жёсткого тела конечной
массы по полубесконечному и конечному стержню. Если связь ин-
тенсивностей напряжений и скоростей деформаций произвольна, то
задача сведена к решению нелинейного параболического уравнения с
подвижной границей.
В [98] действительный стержень конечной длины заменён
некоторым схематическим, масса которого сосредоточена в конечном
числе сечений. Между массами материал лишён инерции, но
подчиняется вязкопластическому закону. Задача сведена к последовательному
решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений с
изменяющимся числом искомых функций. Численные результаты оказались
близкими с аналитическими выводами работы [97].
Распространение волн в бесконечном цилиндрическом стержне
изучено в [225]. Нелинейные определяющие соотношения
линеаризуются путём разложения корня из интенсивности напряжений в ряд
Тейлора вблизи некоторого значения. Для подобной среды
установлено, что при высоких частотах вязкопластический стержень ведёт себя
как упругий.
Движение круглой защемлённой плиты, вызванное ударом
сосредоточенной массы в центре, рассмотрено в [264]. Задача об ударном
сжатии вязкопластического образца с постоянным поперечным
сечением и массой много меньшей массы бойка решалась в [139].
Классическая работа [316] посвящена распространению малых
возмущений в пластической и вязкопластической средах. Линеаризация
уравнений состояния проведена вблизи положения, отвечающего
предварительному одноосному нагружению тела, при котором материала
вышел в пластическую область. Изучено, в частности, распространение
осесимметричной продольной гармонической волны в цилиндрическом
стержне, внешняя граница которого свободна от напряжений.
Свободно опёртая цилиндрическая оболочка под действием
прямоугольного импульса равномерного давления (либо мгновенно
разогнанная из состония покоя до некоторой конечной скорости)
проанализирована в [286]. Сделано предположение, что квазистатическое
решение для идеально пластического материала хорошо
аппроксимирует состояние в вязкопластическом теле вблизи предела текучести.
При этом предположении уравнения состояния линеаризуются, и
задача сводится к линейному уравнению четвёртого порядка. Сходным
проблемам посвящена и работа [290].

120
ГЛАВА 4
В [152, 199) рассмотрена задача динамического деформирования
жёстковязкопластической нити, встречающей жёсткую матрицу, при
действии на нить равномерно распределённого постоянного давления.
Получены уравнение свободной части нити и условия в окрестности
точки контакта.
Вопросам удара вязкопластического цилиндрического стержня
конечной либо полубесконечной длины и вязкопластической нити о
преграду посвящены также исследования [59, 73, 153, 246, 278].
В [121, 122] уравнения движения вязкопластической и термовяз-
копластической сред с произвольными скалярными соотношениями
проанализированы с точки зрения их групповых свойств (см.
также [7]). Получен полный набор инвариантных решений первого ранга.
В [122] построены решения некоторых задач о течении и
теплообмене в ограниченных областях, в полуплоскости и в бесконечной
среде при движении цилиндра. Точно решена автомодельная задача
о вращении тонкого стержня с постоянным теплоотводом в
теплопроводной вязкопластической среде. В [121] рассмотрена задача о
продольно-поперечном движении среды со степенной зависимостью
интенсивностей напряжений и скоростей деформаций. Современный
обзор инвариантных свойств уравнений термовязкопластичности с
различными скалярными определяющими соотношениями дан в [123].
В данной главе приводятся решения некоторых задач о
нестационарном деформировании вязко- и идеальнопластических тел как
в областях со сложной границей, так и с учётом движения границ
жёстких зон [41, 46, 47, 252].
§ 15. Идеальножёсткопластическое течение внутри плоского
конфузора с криволинейными стенками
Основной технологической операцией производства тонкого
листа из различных термопластов, в частности, идущего на изготовление
слоистых композитов, является медленное выдавливание исходных
продуктов из фильеров и конфузоров с последующим охлаждением.
Минимизация энергетических затрат на эту операцию обусловлена
выбором профиля стенок, внутри которого перемешивания исходного
продукта нет. Оптимизация формы стенок может быть связана с
требованием ради&пьности ламинарного режима (в случае криволинейных
стенок — «псевдорадиальности», т.е. равенства нулю соответствующей
компоненты вектора скорости).
Задача о квазистатическом течении Сен-Венана внутри плоского
клиновидного конфузора с прямолинейными шероховатыми стенками
(задача Надаи—Хилла) впервые была изучена в [275]. В этой работе

ТЕЧЕНИЯ В СЛОЖНЫХ ОБЛАСТЯХ
121
найдено напряжённое состояние в предположении о том, что деви-
атор напряжений не зависит от расстояния до оси конфузора. Поле
скоростей в области течения построено в [207]. Аналогичная задача
для конического конфузора (задача Соколовского—Шилда) впервые
исследована в [196] и затем в [216J.
Различные аспекты теории течения Сен-Венана между
неподвижными поверхностями, связанные с технологией выдавливания
материала в виде тонкого листа, приведены в [5, 90, 100, 154, 237]. Наиболее
полный обзор работ по данной тематике дан в монографии [82].
Ниже рассматривается возможность идеальножёсткопластичес-
кого течения внутри канала с криволинейными сходящимися стенками
под действием давления на бесконечности. Найдены формы стенок,
при которых компоненты девиатора напряжений постоянны вдоль
линий тока. Доказывается, что наряду с классической формой конфузора
возможен профиль в виде сходящихся логарифмических спиралей. Для
таких конфузоров аналитически определяются поля скоростей и
напряжений в области течения. Устанавливается связь между давлением на
бесконечности и расстоянием между стенками, при которой возможно
<лсевдорадиальное» течение.
15.1. Постановка задачи о течении в плоском конфузоре с
криволинейными стенками. Деформирование идеально
пластического материала с пределом текучести
при сдвиге ts происходит внутри плоского
конфузора с неподвижными шероховатыми
стенками, имеющими форму криволинейного цилиндра.
Скорости всех точек перпендикулярны
образующей цилиндра (Ож3) (рис. 16).
Введём в плоскости поперечного сечения
конфузора невырожденную систему
ортогональных координат qj = qj(xk) с коэффициентами
Ламе H(j), диагональной фундаментальной
матрицей gjk и символами Кристоффеля второго
рода Гд., j,k,m = 1,2. Пусть на стенках
конфузора qi — /3\ и q2 = fo, а расстояние от оси
(Оа?з) до отверстия, из которого материал
вытекает в виде тонкого листа, вдоль координатной
линии q2 = фи равно q\{). Рассматриваются плоские
деформации, так что течение занимает область
О = {q\ >?ю; Р\ <02</32}.
Включим в базис обезразмеривания
величины {т.,, gio, VJ)}, где Vo — характерная скорость
Рис. 16. Плоский кон-
фузор с
шероховатыми стенками,
имеющими форму
криволинейного цилиндра

122
ГЛАВА 4
v9l = v\9 в точке (^ю,#2о), т.е. на выходе конфузора27). Далее
соотношения выписаны в безразмерном виде.
Определяющие соотношения для несжимаемой идеальнопласти-
ческой среды Сен-Венана, связывающие девиатор Sjk тензора
напряжений <Tjk и тензор скоростей деформаций г/,*, запишем как
** = ^. ("-О
Два уравнения равновесия
(fir) +#Г^ь. = о; 9 = *«to»h A5-2)
и условие несжимаемости28*
A5.3)
вместе с соотношениями A5.1) замыкают систему уравнений в области
Q относительно компонент вектора v и функции давления р. На
границах q2—P\ и qi = ft задано условие прилипания v = 0. При g > 1
приложено сжимающее давление, распределённое некоторым образом
по q2 и являющееся причиной конфузорного течения материала.
В терминах тензора Sjk уравнения A5.2) перепишем следующим
образом:
Ща) /ЯGK22\ + Ща)8Пл , 2#(а),7*12
ЯG) \ #(а) / а ЯG) ЯG)
_ /^+^v 0) A54)
V Я(«) ЯG) /
{а;7} = {A;2),B; 1)}; еа7 — символ Леви-Чивиты
Исключив из уравнений равновесия A5.4) функцию давления и
учитывая определяющие соотношения A5.1), задачу можно свести к одному
27*3десь и далее под vqj = Vj, aq-qh = <гд. и т.д. понимаются физические
компоненты векторов и тензоров в ортогональной системе координат. Запятая в индексе
означает частную производную по соответствующей координате д;.
28*Скобки в индексах означают, что данная величина формально не является
вектором или тензором. В A5.2) и A5.3) суммирование происходит по повторяющимся
индексам, не заключённым в скобки.

ТЕЧЕНИЯ В СЛОЖНЫХ ОБЛАСТЯХ
123
уравнению относительно функции тока, вводимой соотношениями
V\;2 = ±^,2;l/#B);(l).
Аналитическое решение краевой задачи A5.1), A5.3), A5.4) с
соответствующими граничными условиями для произвольной
криволинейной системы q{ затруднено. Рассмотрим ниже вопрос о
возможности <псевдорадиального» движения, т.е. движения, при котором
«2 = 0, «1 = ^. A5.5)
#B)
Условие A5.3) при этом автоматически удовлетворено.
15.2. Независимость девиатора напряжений от q\ и
«псевдорадиальное» течение. Компоненты тензора скоростей деформаций Vjk и
максимальная скорость скольжения U, вычисленные по кинематике
A5.5), имеют вид
„ - „ - Hwv . п -ВтУ-ИщУ вту .
Пг = ~v\\ = rr TTl , Щг ^77з
ЯA)ЯB) 2ЯB) 2Я(|)ЯB)
U = 2(v222 + v2]2)l/2. A5.6)
Согласно A5.1)
*>22
V\2 * 37Г
A5.7)
и, таким образом, задача нахождения напряженного состояния
статически определима.
Интерес представляет тот случай, когда тензор Sjk не зависит от
координаты q{, т. е. не изменяется вдоль траектории каждой частицы.
Найдём все ортогональные системы координат, в которых этот
случай возможен. Каждая такая система координат обуславливает выбор
формы стенок конфузора и технологию осуществления режима.
Из A5.6), A5.7) видно, что s22 и 512 не зависят от qx тогда и
только тогда, когда выражение [H^V'/У-Н^г/Н^) -Щ\)J]/BН{2)у\)
— функция только q2. Нетрудно доказать, что это условие вместе
с уравнениями принадлежности Q евклидову пространству Г^, +
r^rJn, = rf;?2 + F™Fm2 связывают коэффициенты Ламе одним из двух
способов:
ЯB) = ЯB)(«,) ; ЯA) = ^) A5.8)
aq\

124
ГЛАВА 4
либо
ЯB) = -^,Ы^(в2>; H{l) = -^-(qi)F(q2). A5.9)
Здесь F\, F2 — произвольные функции своих аргументов; А —
константа.
15.3. Возможные ортогональные системы координат. Найдём
все пары координатных линий в плоскости (дьф)» соответствующих
ортогональным системам координат, коэффициенты Ламе которых
удовлетворяют требованиям A5.8). Алгебраическая система уравнений
а2 + Ь2 = ЯB,); с2 + d2 = Н22); ac + bd = Q A5.10)
относительно частных производных dxj/dqk (dx\/dq\ — a; dx2/dq\ —
Ь\ dx\/dqi = с; dx2/dq2 = d) недоопределена и имеет общее решение
Ь=±(ЯB„-в2); с=|?1(Я21)-вУ1; d = Т f^«. A5.11)
Функцию а(^ь92) находим из условий равенства смешанных
производных
да дс дЬ dd /
#?2 oq\ dq2 oqx
Рассмотрим два случая, соответствующих A5.8), A5.9).
Случай 1. Решая систему A5.12) при Я<2) = H{q\), H(\) = H'(q\),
получим а = Я' sin q2; 6 = ±Н' cos q2; с = Я cos q2; d = =f Я sin #2 * т. е.
X\ = Hsinq2\ x2 = ±Hcosq2. A5.13)
Так как система координатных линий остаётся прежней при любой
диагональной замене координат q°i = q°\(q\)', q2 = q2{qi) [163],
производя в A5.13) замену q°{ — H{q\)\ q2 = q2, придём к полярным
координатам (г = q°{; в = q\). Эквипотенциальные линии
(окружности и лучи) в данном случае соответствуют классическому плоскому
конфузору с прямолинейными стенками (д2о = 0; Рг — ~Р\)-
Аналитическое решение задачи о пластическом течении Сен-Венана в таком
конфузоре (задачи Надаи—Хилла) приведено в [207, 275]. Оно имеет
вид
к> 1,
A5.14)
v{ = — , В = const .
г (к - cosip)

ТЕЧЕНИЯ В СЛОЖНЫХ ОБЛАСТЯХ
125
В силу параметризации A5.7) и требования максимальности
касательного напряжения на стенке канала константы к и C\ связаны между
собой соотношением
ж к к + 1
/,, = -4 + ^гтагс,8У*гт- <1515)
Из выражения A5.14) для v\ следует постоянство расхода
материала через боковую поверхность любого цилиндра с осью (Ож3).
Случай 2. Решая систему A5.12) при условиях A5.9), получим
a = Fx ,F2cosG, b = ±F, ,F2sinG,
/|S 16^
Ac = FlF2,2smG, Ad = TFlF2,2cosG. K }
Здесь G(q\,q2) = A\nF\ - (\nF2)/A. Из A5.16) следует искомая замена
координат:
x\(q\,qi)= I *(AsinG + cosG)y
FXF2 °5Л7)
Я2(?ь?2)= ^^(sinG-icosG).
Произведём в A5.17) диагональную замену q\ ±-*F(q\), q2+-<F(q2)
и придём к эквивалентным соотношениям
*.(«., Ы = -^ [^sinln (qfq;l/A) +cosln (qfq^)} ,
МЯиЧг) = -^ [sinln {qU?'A) " +cosln (qfq^)} ■
Для определения координатных линий необходимо из A5.18)
выразить (/ь q2 через х\, х2 и положить q\, q2 равными константам.
После некоторых преобразований получим связь qx, q2 с полярными
координатами г, в
g,(r,*)= [гУГПЛ"<1+*2) е*"««И>/0+*2>,
L J, , A5.19)
Здесь А — отличный от нуля параметр. Уравнения линий q{ = С\ и
q2 = С2 имеют вид
Т = СУА\ г = С?]ев/А, A5.20)

126
ГЛАВА 4
где
с? =
■<{ + А-
у/\+А2
~А arctg А
■Л1+Л2)/Л2
у/\+А2
(arctg А)/А
A5.21)
Таким образом, искомой ортогональной сеткой на плоскости
(x\,xi) являются два семейства логарифмических спиралей A5.20)
(Cf > 0, Су > 0, А Ф 0). Так как на стенках плоского конфузора qi =
/3\, q2= fa* то он имеет характерную форму, изображённую на рис. 17.
Найденные криволинейные формы стенок конфузора A5.20), в
котором осуществляется идеаль-
ножёсткопластическое течение,
являются неклассическими. В
определённом смысле случай 2
включает в себя случай 1,
поскольку полярную сетку
координат на плоскости можно
считать вырожденным случаем
сетки из логарифмических
спиралей (одно семейство спиралей
вырождается в концентрические
окружности, а другое в
семейство лучей, выходящих из
начала координат). Найденные
формы стенок могут иметь
преимущества перед прямолинейными,
так как длина всей
конструкции в одном направлении
существенно сокращается.
Отметим здесь аналогию с плоским движением ньютоновской
несжимаемой жидкости, а именно, с точным решением Гамеля,
определяющим траектории частиц в виде логарифмических спиралей в
конфузоре с криволинейными стенками [112].
15.4. Аналитическое решение задачи для спиралевидных конфу-
зоров. Подставляя A5.9) последовательно в A5.6), A5.7) и A5.4) и
избавляясь от функции давления, получим обыкновенное уравнение,
которое имеет интеграл
Рис. 17. Характерный вид поперечного
сечения спиралевидного конфузора
A—~S\2,2 + 2AS[2 - 2S22 = Р ,
Ft ■>
Р = const
A5.22)
Из первого же уравнения A5.4) следует распределение давления в П
p(«i,fc) = JMnlF,ta,)l + <(92), A5.23)

ТЕЧЕНИЯ В СЛОЖНЫХ ОБЛАСТЯХ
127
где ((q2) — пока неизвестная функция. Её физический смысл —
распределение давления на выходе конфузора. В случае конфузорного
течения Р > 0, в случае же диффузорного — Р < 0.
Проводя в A5.22) использованную выше замену переменой q2 <-<
F(q2), получим уравнение
F2 d(p
A—z--—cos(p + 2Asm<p - 2cosy? = P. A5.24)
F2j dq2
В зависимости от знака выражения Р2-4A + А2) = R интегралы A5.24)
записываются по-разному: при R = 0
^^lnDv^^cos2^)-tg^ =
2A+ А2)
A5.25)
In [CF2{q2)\ , (po = arccos ;
л V 1 + Л2
при /г > о
^> - Л 1п(Р + 2 cos у? - 2Л sin ф) -
IP V^tg[(y + y0)/2] 2A +A2), f , A5.26)
- -= arctg J = In [CF2{q2)\;
V« Р + 21/1+Л2 ^
при R < 0
V? - j4 ln(P + 2 cos <p -2A sin y?) -
У=Д!е[(^ + Ы/2]+Р + 2^1 + ^
v/:rR v/3^tg[fo> + Ы/2] - P - 2л/1 + A2 (l5-27)
= 20±^,„[cF2(fc)].
Используем условия прилипания на стенках конфузора. В силу
A5.5), A5.7) и того, что модуль касательного напряжения достигает
максимума (|si2| = 1) при q2 = /3\ и q2 — C2, граничные условия для <р
имеют вид: <р(/3,) = 7г/2, ф(р2) - 37г/2 либо <р(р{) = 37г/2, (р(р2) = я/2.
Подставив их в A5.25) - A5.27), можно найти постоянную
интегрирования С, а также связать /3\у/32 с интенсивностью Р давления,
заданного по закону A5.23). Эта связь необходима и достаточна для
существования течения, при котором девиатор напряжений не зависит

128
ГЛАВА 4
от 0j. Заметим, что при R —*- +0 и R —> -0 левые части соотношений
A5.26), A5.27) равномерно непрерывно стремятся клевой части A5.25).
V Зная функцию q2(ip) и,
следовательно, <p(q2), компоненты sn
определяем из A5.7). Для нахождения
кинематически возможного поля скоростей
обозначим W = q2V' /BV), так что
41
V(q2) = expBJw(Ojy A5.28)
Здесь учтено то, что в результате
выбранного обезразмеривания необходимо
положить V(q2o) = 1. Так как величины
<р и W связаны простым соотношением
A(W - 1/2) = tgy?, то функции W(q2) и
V(q2) также становятся известными.
Второе уравнение A5.4) даёт
условие для нахождения пока неизвестной
функции C(q2), входящей в A5.23). Для
канала со стенками в форме
логарифмических спиралей имеем
1,0 <1ю 1,5
Рис. 18. Зависимость радиальной
скорости V от «поперечной»
криволинейной координаты ф2 ПРИ
Р = 5, ft = 1, ft «2,0313
-s22,aI2
4i-
d((s22)
dq2
= 2(sl2 + s22). A5.29)
После интегрирования по q2 получим
42
((q2) = cos<p(q2) + 2 I (cos^+siny>)(£)
Я20
Рис. 19. Зависимость компонент
девиатора тензора напряжений .s22
и а|2 от «поперечной» криволи-
неной координаты q2 при Р = 5.
ft = 1. ft* 2.0313
A5.30)
что позволяет из A5.23) полностью
определить давление p(q\ ,q2).
Итак, решение задачи об идеально-
пластическом течении внутри плоского
конфузора со стенками в виде
сходящихся логарифмических спиралей построено
в замкнутом аналитическом виде.
Приведём зависимости величин V
(рис. 18), «22 и Gi2 (кривые I и 2 на

ТЕЧЕНИЯ В СЛОЖНЫХ ОБЛАСТЯХ
129
рис. 19) от в при F(q2) = q2, P = 5, /Зх = 1, А = 1, q20 = <р~{{*) «
1,1237. Численный анализ показывает, что для того, чтобы область П
была ограниченной по q2 необходимо приложить достаточно большое
давление Р: Р > 2\/2. Таким образом, из трёх случаев A5.25)—A5.27)
реализуется только случай A5.26). Отметим, что при Р = 5, как
взято в числовом примере, внешняя стенка спиралевидного конфузора
описывается уравнением q2 ~ 2,0313.
§ 16. Схлопывание сферического пузырька в
вязкопластической и нелинейно-вязкой среде
При схлопывании сферического пузырька в несжимаемой
идеальной жидкости скорость поверхности пузырька, направленная к его
центру, перед самым схлопыванием неограниченно растёт как г~3/2.
Большие приращения местных давлений (порядка сотни атмосфер)
считаются возможной причиной возникновения кавитации [9, 103].
В вязкой жидкости при наличии поверхностного натяжения
существуют два режима схлопывания [81, 291]: при давлении на
бесконечности меньшем критического пузырьки схлопываются за неограниченное
время; при давлении большем критического в некоторый момент
происходит быстрое схлопывание, сопровождающееся неограниченной
кумуляцией энергии. Численный анализ этих явлений выполнен в [3,
19]. Влияние релаксационных эффектов в вязкоупругих жидкостях в
рамках общей модели Максвелла учтено в обзоре [21], а некоторые
результаты физических и численных экспериментов приведены в [227,
249, 296].
Ниже описывается эволюция радиуса пузырька в
вязкопластической среде и нелинейно-вязкой жидкости с логарифмическим и
тригонометрическим упрочнениями. Проводится сравнение
полученных результатов с имеющимися классическими для ньютоновской
жидкости.
16.1. Движение границы пузырька в сферически неоднородной
среде и постановка задачи Коши. Рассмотрим эволюцию
сферического пузырька радиуса R(t) в несжимаемой вязкопластической среде
с произвольным упрочнением, параметры которой могут зависеть от
расстояния до центра. Будем предполагать, что движение среды в
сферической системе координат, связанной с центром пузырька,
радиальное (ve = Vp = 0). Тогда из условия несжимаемости следует,
что
*-з». A6.)

130
ГЛАВА 4
Имеем единственное уравнение движения
дагг 2агг - ае9 - а^ dvr dvr
+ ш — — + v-^ A6.2)
дг г dt dr v ;
с граничными условиями crrr(oo) = -poo, (Trr(R) = 0» где р^ —
заданное давление на бесконечности.
Векторные определяющие соотношения вязкопластической
среды, связывающие девиатор напряжений Sij и скорость деформаций v^,
имеют вид F.2). Функцию M(U) для удобства представим в виде
M(U)=T- + l-F(U)> T=Pl!pV> A6.3)
где г — безразмерный параметр задачи, зависящий от радиуса г;
fi — динамическая вязкость среды при U —► 0; F(U) — функция
упрочнения, удовлетворяющая необходимым условиям монотонности
и выпуклости [38]. Все соотношения этого параграфа, начиная с A6.1),
выписаны в безразмерном виде, причём в базис обезразмеривания
включены величины {р,Д@),/а}.
Используя F.2), A6.3), найдём, что ненулевые компоненты
напряжений связаны с V(t) следующим образом
1т 4A -F)V
<?гг = -Р+--7= + J5 ,
т Ю-FW <'">
(Tee = <т^ = -р--д -ъ ,
Проинтегрируем уравнение движения A6.2) по г в пределах от
R(t) до бесконечности с учётом выписанных ранее граничных условий
оо . 2
f 2<rrr - (Tee - <г<р<р Л У V
-Рос + J ; dr = -j~W4 A6-5)
R
и подставим A6.4) в A6.5). Пользуясь тем, что на границе пузырька
V(t) = -Д2(£)Д(£), после некоторых преобразований запишем
по
RR' п' " ",-" ' Т(Г)
2 R J r
~ Й/ Г 2-Х 066)
„п2. f „ ( -2v/lR2fi\ dr
+ l2RRJF[ гз )у>-Р^

ТЕЧЕНИЯ В СЛОЖНЫХ ОБЛАСТЯХ 131
Д@)=1, Д@) = 0. A6.7)
Задача Коши A6.6), A6.7) описывает эволюцию радиуса
пузырька при t > 0. В случае идеальной жидкости (т = 0, JP = 1) оно
аналитически интегрируется
A6.8)
я
Положив в A6.8) R = 0 получим результат Рэлея — безразмерное
время полного схлопывания пузырька
ГE/6)ГA/2) _ 0,915
ГA/3) v^
A6.9)
В случае же ньютоновской жидкости (т = 0, F = 0) имеют место
результаты работ [3, 19, 81, 291].
В общем виде задача Коши A6.6), A6.7) эквивалентна интегро-
дифференциальному уравнению относительно Q(R) = R
00
RQQ'+\q2 = -4| + 2V3J T-^dr+
R
A6.10)
с граничным условием Q(\) = 0.
16.2. Влияние пластической составляющей. Исследуем
влияние нелинейности и неоднородности среды на движение границы
пузырька. Пусть сначала F = 0, а т(г) — произвольная кусочно-
непрерывная функция, такая, что дробь т(г)/г интегрируема на
интервале R < г < оо. В частности, если вязкопластическая среда однородна
и неограничена, то в правой части A6.6) имеется логарифмическая
особенность на бесконечности, и при любом конечном р^ вся область
1 < г < оо занята жёсткой зоной.
Численный анализ обнаружил наличие двух давлений:
страгивающего р** и критического р*. Радиус пузырька начинает уменьшаться,
если рос > р**
ос
р** = 2^3 min f^dr A6.11)
R

132
ГЛАВА 4
R
0,5
V4
1
2
а 3
и при Рос, < р плавно
стремится к положительной
константе Д(оо), определяемой из
уравнения
2,/S/
т(г)
dr = p^. A6.12)
Щоо)
При роо > р* в некоторый
момент времени происходит
0 1 2 t быстрое схлопывание пузырь-
Рис. 20. Кривые R(t) при разных рх для ка [61]. Давление страгивания
зависмости т(г) в виде A6.13) р** в ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ paBHO
нулю.
На рис. 20 приведены кривые R(t) при разных р^ > р** для
зависимости т(г)
т(г) =
т = const, если R < г < (R3 + R* - 1I/3;
0, если г ^ (#3 + Д?- 1)
1/3
A6.13)
Значения R\ и т выбраны равными 10 и 1; кривым 1-4
соответствуют давления р^ = 8; 10; 15 и 20. Значения страгивающего и
критического давлений в данном случае приближённо равны 7,976 и
16,55 соответственно. Для зависимости т(г) = 1/r, r > R кривые R(t)
имеют аналогичный вид (р** « 3,464, р* « 39,63).
16.3. Влияние упрочнения. Пусть теперь т(г) = 0 и
физическая нелинейность среды связана только с наличием F(U). Исследуем
численно поведение пузырька для логарифмического и
тригонометрического упрочнений29* [93]
1пA + СП
F(U)=l-Fx Уи \ JF, >0,
, ч 2F?arctgt7
7Г U
A6.14)
A6.15)
На рис. 21 в фазовой плоскости (Д,1п(-Д)) изображены
решения задачи A6.6), A6.7) с функцией F в виде A6.14) при F\ = 1
*Часть численных расчётов для этих типов упрочнений выполнена В. А.
Богоявленским.

ТЕЧЕНИЯ В СЛОЖНЫХ ОБЛАСТЯХ
133
1п(-Я)
для рос = 1; 5; 50 и 100 (кривые 1-4
соответственно. Для первых трёх
значений роо штриховой линией отмечены
кривые A'—3') в случае ньютоновской
жидкости. Значение критического
давления р*, для ньютоновской жидкости,
при котором эти кривые начинают
стремиться в +оо при R —> 0 (t -» оо), равно
70,6 [81]. Этот результат
подтверждается и настоящим численным анализом
(р* « 71,4). Наличие логарифмического
упрочнения A6.14) очень сильно
снижает критическое значение р* по
сравнению с вязким случаем: р\п « 1,75.
Тригонометрическое упрочнение в
виде A6.15) означает, что
максимальное касательное напряжение
ограничено сверху величиной Fi при сколь
угодно большом G, и данная модель близка
к идеальнопластической модели Сен-
Венана. Решения задачи A6.6), A6.7) с
функцией F в виде A6.15) качественно не отличаются от решений,
приведённых на рис. 21. Значение критического давления Cretan в
данном случае равно 2,66, что также во много раз ниже критического
значения для вязкой жидкости.
Введение физической нелинейности окружающей пузырёк среды,
как видно, существенно влияет на безразмерное критическое давление
на бесконечности.
0,5 r 1
Рис. 21. Решения задачи Коти
A6.6), A6.7) при разных рх для
среды с логарифмическим
упрочнением A6.14) в сравнении с
соответствующими решениями для
ньютоновской жидкости
§ 17. Разгон и торможение тяжёлого вязкопластического слоя
на наклонной плоскости
Плоскопараллельное движение тяжёлого вязкопластического слоя
по наклонной плоскости принадлежит к числу классических и давно
исследованных задач (см. обзор [26]). При таком движении область
вблизи свободной поверхности слоя занята жёсткой зоной, которая
присутствует всегда и может охватывать весь слой, если сдвиговых
гравитационных усилий окажется недостаточно. Об устойчивости
этого течения относительно двумерной картины возмущений идёт речь
в §9. Проведены также обобщения данной задачи на случай вяз-
копластической жидкости с нелинейной вязкостью |125|, упругой
сжимаемостью [200], а также двухслойное™ и стратифицированно-
сти течения [13, 31].

134
ГЛАВА 4
С другой стороны, выполнено много исследований по
изучению движения фазовых границ при нестационарном сдвиге материала.
Граничные условия здесь надо ставить на заранее неизвестной
границе, движение которой определяется в процессе решения (задачи типа
Стефана). Достаточно полный обзор по неустановившемуся
деформированию с учётом движения жёстких зон дан в монографии [155].
В данном параграфе определяются параметры нестационарного
одномерного сдвига вязкопластического слоя на наклонной плоскости
в поле силы тяжести, т. е. процесса разгона либо торможения.
Находится изменение со временем толщины жёсткой зоны вблизи свободной
границы, а также другие характеристики течения. Для сведения задачи
с неизвестной границей к задаче с фиксированной во времени
границей используется стационарное решение. Предлагается метод решения
подобных задач, который проиллюстрирован на данном примере.
17.1. Постановка начально-краевой задачи и стационарный режим.
В поле силы тяжести д (\д\ = д) имеется несжимаемый вязкопла-
стический слой с плотностью р, пределом текучести при сдвиге rs
и динамической вязкостью ц, который движется вниз по
наклонной плоскости под углом /3 к горизонту. В любой момент времени
t > О физическая область О, занимаемая материалом слоя, имеет вид
П = {-оо < х\ < оо, 0 < X} < h}. Нижняя граница ж3 = 0 неподвижна,
а верхняя х$ — h свободна от напряжений.
Определяющие соотношения вязкопластического материала с
нелинейной вязкостью записываются в форме F.2), где M(U) = T(U)/U.
В дальнейшем наряду с линейным скалярным соотношением T(U) =
ts + fiU, как и в задаче предыдущего параграфа, рассмотрим модели с
логарифмическим A6.14) и тригонометрическим A6.15) упрочнением.
В базис обезразмеривания естественно включить величины
{p,9ih}< не меняющиеся в процессе деформирования. Тогда два
уравнения движения
dv\ dvy
~РЛ +SUj = — -Sill/?, -p.3 + 53j.i = -7Г+C0S^' О7'О
at at
вместе с условием несжимаемости, уравнениями F.2) и соотношениями
Стокса замыкают систему в области. Будем разыскивать решение этой
системы в классе плоскопар&алельных полей v\ = v(x$,t), v$ = 0 так,
что
Граничные условия при х$ = 0, ху = 1 и на границе ху — £(£),
отделяющей зону вязкопластического течения О/ = {-оо < х\ < оо.

ТЕЧЕНИЯ В СЛОЖНЫХ ОБЛАСТЯХ
135
О < хз < £(£)} от жёсткой прослойки Пг = {-oo<#i<oo, £(£)<ж3<1}
запишем в следующем виде
жз — О : ^ = 0; жз = 1 : р = $13=0;
жз = €@ = 1*1з| = ^ или г;,з = 0.
A7.3)
Кроме того имеется начальное условие
* = 0: v = v0(x3), A7.4)
где г7()(жз) — некоторая монотонно неубывающая дифференцируемая
во всей области Q функция.
Из второго уравнения A7.1) сразу определяется распределение
давления по толщине (гидростатика):
p(*3) = (l-*3)cos/J, A7.5)
а после подстановки A7.5) в первое уравнение A7.1) выписывается
уравнение движения
dv
«13,з = vt -sin/?, vt = ~^- A7.6)
Проинтегрируем A7.6) по ж3 в пределах жёсткой прослойки и
воспользуемся граничными условиями A7.3) при х3 = I и жз =
дополучим
*з = *(*): ^ = йп',"ГгЬ)' °7,7)
Равенство A7.7) является фактически ещё одним условием на границе
жёсткого ядра, служащим для определения этой неизвестной границы.
Им можно заменить условие A7.3) при ж3 = 1 и свести задачу к
нахождению решения только в области П/.
Выпишем сначала характеристики стационарного режима
движения вязкопластического слоя по наклонной плоскости. Обозначим
соответствующие профили касательного напряжения и продольной
скорости ^з(жз) и у°(хз). Решение стационарной задачи является
классическим
«!з = A-хз)яп0, Г=1--НГ A7-8)
Заметим, что всюду в О «Ь > 0* следовательно, в силу
определяющих соотношений F.2) v°l3 ^ 0 и v°3 ^ 0 в О, и знаки модулей в

136
ГЛАВА 4
A7.2) могут быть сняты. Распределение скоростей в области течения
следующее
v0(x3) = (т~х [A -q)sin/J] drj. A7.9)
о
Слой £° < ж3 < I занят жёсткой зоной, которая может охватывать
и всю область rs > sin/3 (гравитационных усилий недостаточно для
страгивания).
Расход через поперечное сечение при таком движении
определяется формулой
Q= f [t-1[(\-ti) sinp]drjdx3 +
0 ° A7.10)
±L-fT-l[(l-r,)sinp]d4.
+
sin/?
о
17.2. Замена переменных и линейное скалярное соотношение.
Перейдём к основной задаче неустановившегося движения слоя. Функция
v(x),t) удовлетворяет нелинейному параболическому уравнению
[7>,3)]3 = "<-7зр О7-11)
Введём новую независимую пространственную переменную у =
1 - X}/£(t) такую, что в каждый момент времени все точки 0 < у < 1
принадлежат вязкопластической зоне. В переменных (y,t) начально-
краевая задача принимает следующий вид
В)
= $««-
1-г'
t = 0: v = v0[(l-y)E]\ y=l: v = 0; A7.I2)
'="= --'■ ['{-VIS-
где S = £@). Значение S определяется из начального условия S =
inf{0 < X} ^ 1} : г>о(#з) = 0 (такая точка на полуинтервал 0 < ж3 ^ 1
существует, так как начальное и краевое при ху = I условия должны

ТЕЧЕНИЯ В СЛОЖНЫХ ОБЛАСТЯХ
137
быть согласованы). В силу неубывания функции г;()(ж3) при х$> Е она
постоянна.
Исследуем сначала данную задачу для линейного скалярного
определяющего соотношения (материал Ильюшина—Бингама) T(U) =
rs + \iU. Задача A7.12) становится линейной:
2 rsi2
t = 0: v = v0[(\-y)E]] y=l: v = Q; A7.13)
y = 0: vy = 0, M% = -^77-
Будем искать решение задачи A7.13) в виде
LT.g2(l-y)(l + y)
» = Ц + 2,A-0 ' (,7-'4)
тем самым создавая однородность граничных условий для u(y,t):
« = 0: «^Hl-f)8l-T^-y; 07.15)
у = 1 : u = 0; у = 0: му = 0, tiyy = 0.
Решение начально-краевой задачи A7.15) в области с
постоянными границами у = 0 и у = 1 можно разыскивать методом разделения
переменных
«Ы) =т.5>»(*H- У") • A7.16)
п=3
В разложении A7.16) автоматически выполнены граничные условия
A7.15).
Подставим ряд A7.16) в уравнение A7.15) в области и приравняем
коэффициенты, зависящие от времени, при одинаковых степенях у.
Получим
f^= il£ *<2-<* (,7 17)
е A-ПО-0 2М1-02' U '

138
ГЛАВА 4
т3 = т5 = т7 =
Ть =
о, г4 =
*2
2пBп - I) /J,
Чп-2
2V(i-^J
п ^ 3.
A7.18)
-1
-2
О
2/Л
Все коэффициенты Тп
определяются из рекуррентной цепочки
A7.18), после чего подставляются
в уравнение A7.17), из которого
в принципе находится неизвестная
до сих пор граница жёсткой
зоны £(£). Интерес представляет
предельное (t —> оо) поведение этой
функции в зависимости от
начального значения S.
Аналитическое исследование
обыкновенного
дифференциального уравнения A7.17) связано с
учётом конечного числа членов
ряда, стоящего в левой части. Из
Рис. 22. Кривые ((t) при разных S в
первом приближении по параметру
вязкости fi
A7.18) следует, что Т2п обратно пропорционально //'. Поэтому в
приближении большой вязкости fi > 1 следует оставить только правую
часть A7.17). Задача Коши
* = -
2м «-ПО-О
*(o) = s.
A7.19)
1-е №-о
представляет собой первое приближение по ц исходного уравнения
A7.17) с соответствующими начальными и предельными условиями30'.
Точное решение A7.19) имеет следующий вид
£(<) = 1, если S = 1;
Z(t)=C если 5 = £°;
\i-C
1 £1
-(l-Ott-S), если 3<1
A7.20)
2-£°|
|-ч / >0
и а#£
Поведение кривых ((t), определяемых A7.20), приведено на
рис. 22. Видно, что если S < 1, то предельная толщина жёсткой
30*3аметим, что нулевое приближение по /* даёт стационарный режим £ = £°, не
согласующийся с начальным условием £@) = S.

ТЕЧЕНИЯ В СЛОЖНЫХ ОБЛАСТЯХ
139
прослойки вблизи свободной границы экспоненциально стремится к
своему значению в стационарном движении.
Второе приближение по \i означает учёт первого члена ряда Т4(£)
в уравнении A7.17). Будем иметь
24/i2(l-0
+
1-е 2^
£@) = S, 4(oo) = 0.
Разыскивая решение задачи A7.21) при t —» оо в виде £(t) = £°+7@> где
7?7>7 ~~* 0> получим следующее линейное уравнение с постоянными
коэффициентами для 7@
12/* .. 2V_ . „_„.
7 7Т r2B-fO= ( >
Характеристические корни уравнения A7.22)
Ч;2
0(М)
отрицательны для любого (° Е [0; 1], что опять же говорит об
экспоненциальном асимптотическом стремлении £(t) к £°. Таким образом,
и в первом и во втором приближениях по ц предельные поведения
системы качественно совпадают.
Задача о деформировании тяжёлого вязкопластического слоя с
большой вязкостью на наклонной плоскости моделирует поведение
геофизических структур, находящихся в гравитационном поле на
наклонном ложе. Примерами таких структур могут служить снежнопыле-
вые лавины из мягкого снега [220], податливые участки верхних слоев
земной коры [176, 281], соляные породы в предельном состоянии [209],
последождевые оползни почвы [183], ледниковые образования [182].
Для последних особенно характерно наличие массивной недеформи-
руемой корки, занимающей до 95% толщины ледника, и тонкой
сдвиговой зоны вблизи основания. На вязкопластическую природу
льда обращает внимание Б.А.Савельев [181, стр. 166]: «Поскольку у
льда не обнаружено предела длительной прочности, введём понятие
«практически предельного состояния», при котором лёд настолько
незначительно деформируется во времени, что дальнейшую деформацию

140
ГЛАВА 4
можно считать отсутствующей. ... можно определить длительное
сопротивление т()л (фактически предел текучести при сдвиге — Д. Г.),
что имеет большое значение при характеристике несущей способности
ледяного тела во времени». Экспериментально найденные значения
материальных функций для широкого класса льдов и снежных потоков
лавинного типа приведены в |279] (см. обзор [149]).
17.3. Некоторые модели с нелинейным скалярным соотношением.
Рассмотрим деформирование вязкопластического слоя на наклонной
плоскости в случае логарифмического скалярного соотношения
T(C0. = T,+jiln(l+l7). О7-23)
Согласно A7.9) стационарный профиль продольной скорости
v°(x},t) имеет вид
II ( sin/З-т5 A -x3)sm/3-rs\
v = —— ехр ехр - ж3,
sinp \ /л \х )
а расход через поперечное сечение вычисляется по формуле A7.10).
Начально-краевая задача A7.12) для функции v(y,t) ставится
следующим образом
Wp = £ y>t ~ уг^ J (£ - vy)»
* = 0: v = t/0[(l-y)E]; »=1: г; = 0; A7.24)
у = 0: vy = 0, fivyy-j—vy + j— = 0.
Однородность граничных условий при у = 0 достигается заменой
v(y,t) = u(y,t) + w(y,t), где w удовлетворяет линейной задаче
Ршуу ~ YZ~twy + 137"°'
у = \ : w = 0; у — 0 : wy =Q,
в которой зависимость функции w от t или £(t) имеет форму
зависимости от параметра.
Тригонометрическое упрочнение
T(U) = rs + — arctg U A7.25)
Я"
означает, что максимальное касательное напряжение ограничено снизу
и сверху двумя константами — rs и rs + fi, и материал при большой

ТЬЧЕНИЯ В СЛОЖНЫХ ОБЛАСТЯХ
141
скорости скольжения ведёт себя как идеально пластическое тело с
пределом текучести при сдвиге rs + //. Профиль стационарного течения
записывается следующим образом
v° = 2fl in cosM0 " a3)sin/3 - rs\/Bfi)}
7Г sin p cos{7r(sin p - Ts)/Bfi)}
а постановка начально-краевой задачи A7.12) такая
* = 0: v = v{)[(\-y)E]; »=1: v = 0; A7.26)
y = 0: ^ = 0, — vyy + уз7^ + у37=0-
Аналитико-численное решение нелинейных задач A7.24) и A7.26)
позволило бы описать влияние сложной реологии вязкопластического
материала и сравнить движение слоя с исследованным в п. 17.2.
§ 18. Вязкопластические течения с малым пределом текучести
В данной параграфе рассматриваются вязкопластические
материалы, в которых пластические свойства выражены достаточно слабо, т. е.
близкие к ньютоновским жидкостям. Исследование начально-краевых
задач для таких материалов сводится к решению соответствующей
«вязкой» задачи, которое предполагается известным, и линеаризованной
задачи первого приближения. Особое интерес представляет нахождение
асимптотических границ жёстких зон, появляющихся в области
течения при малом возмущении предела текучести. Приводятся примеры,
имеющие самостоятельный интерес31*.
18.1. Постановка задачи о вязкопластическом течении с малым
пределом текучести. Вернёмся к постановке задачи о вязкопластическом
течении, приведённой в п. 6.1, для материалов Ильюшина—Бингама
с линейными скалярными определяющими соотношениями (функции
M(U) и T(U) выбираются в виде (8.1)), Эти соотношения необходимо
подставить в связь F.2) тензоров £ и г/. Тогда уравнения движения
F.4) запишутся следующим образом
+ Ъ = -~-+ЧМ. A8.1)
-Р4 + 2
(£ + /*К
3>)Материалы данного параграфа представлены автором совместно с К. Л.
Чернышевым на IV Конференции по Вычислительной динамике жидкости (ECCOMAS'98) в
Афинах.

142
ГЛАВА 4
Представим все неизвестные функции координат и времени,
входящие в задачу, Vj, р, Sjj, Vij, U, Т в виде
Vi=t£ + r,v', р = р* + т,р\ ... Т = Г' + т8Т\ A8.2)
где величины с индексом «о» суть решения соответствующей «вязкой»
задачи (s^ = Iv^/Re), т.е. удовлетворяющие соотношениям
<.- = 0, A8.3)
^ + ^^ + 1^ = ^+1,^;, A8.4)
£ GE, : tT°(ac,t) = И^(ж,0, A8.5)
f G^s : oty(a?,£)n>7-(a;,£) = Pi{x,t), A8.6)
* = 0: v°(f) = tT0(£), ж €П. A8.7)
Будем считать безразмерный предел текучести rs малым
параметром и исследуем в дальнейшем деформирование вязкопластической
среды в случае, когда её пластические свойства выражены слабо
(т8 < 1). При этом вязкие свойства могут как быть в наличии так и
отсутствовать, т. е. диапазон чисел Рейнольдса — вся числовая полуось:
О < Re ^ оо. Подставим выражения A8.2) в соотношения A8.1), F.3),
F.5)-F.9) и примем во внимание A8.3)—A8.7). Приравнивая к нулю
коэффициенты при т8 в каждом из уравнений, получим следующую
начально-краевую задачу для величин с индексом «1»
vh = 0,
-о, + 2 — + — 1 = -г- + Vj ;Vj + v;Vj i,
Fj \U» Re)J dt ч J J ''■"
x G Ef, : v{(x)t) = Q,
x G У1$ • &ij(x, t) n,-(af, t) = 0,
t = 0 : i?,(f) = 0, f G 0.
A8.8)
A8.9)
A8.10)
A8.11)
A8.12)
A8.13)

ТЕЧЕНИЯ В СЛОЖНЫХ ОБЛАСТЯХ
143
Особый интерес здесь представляет асимптотическое образование
жёстких зон при переходе от ньютоновских к вязкопластичсским
течениям с малым пределом текучести. Представляя U в форме
U = U* + T.Ul = y/ 2(t£ + т^Ж + rsvl) =
ВИДНО, ЧТО
V* = -%?■■ («8-15)
Как видно из A8.15), величина Vх не есть максимальная скорость
скольжения, построенная на тензоре v\^ т.е. U1 Ф Bv^v^I^2, и может
принимать даже отрицательные значения.
Уравнение F.3) поверхности Ег при малых rs запишется
следующим образом
£r = {£Gft: iTsVijvtj =-U°2 }. A8.16)
Жёсткие зоны Ог, как и следовало ожидать, начинают образовываться
вокруг тех точек х Е ft, в которых U° и Т° равны нулю. Обозначим
множество таких точек в каждый момент времени 7°@: 7° (О = {ж €
ft: U°(x,t) — 0}. Множеству j°(t) могут принадлежать и бесконечно
удалённые точки тела (этому случаю посвящена задача в п. 18.3).
Тогда жёсткое ядро в любой момент представляет собой некоторую
окрестность бесконечности.
Примем решение «вязкой» задачи из тех или иных
соображений известным. Тогда представление A8.2) с последующим решением
начально-краевой задачи A8.8)—A8.13) и нахождением
асимптотических границ жёстких зон из A8.16) является возмущением известного
решения относительно материальных функций (в данном случае
предела текучести). Близость в том или ином смысле при t > 0 возмущённого
и невозмущённого решений позволяет судить об устойчивости
рассматриваемого ньютоновского течения относительно вариаций
пластических свойств материала или о чувствительности данного течения по
отношению к возмущению предела текучести. К понятию устойчивости

144
ГЛАВА 4
такого рода можно подойти, обобщая классический метод Ляпунова—
Мовчана устойчивости по двум мерам. Соответствующие определения
приведены ранее в п. 1.3.
Задача A8.8)—A8.13) для величин с индексом «1» линеаризована,
неоднородность входит в соотношения A8.9) как фиктивная массовая
сила. Заметим, что связь тензоров «s1 и г;1: slj = 2(г^/{7° + г/^/Яе),
можно формально считать «определяющими соотношениями»
некоторой фиктивной среды первого приближения (линейно вязкой среды
с начальными напряжениями).
Приведём далее два примера нахождения асимптотических границ
Ег. В первом из них, носящем чисто иллюстративный характер, в
качестве основного течения выбран плоскопараллельный сдвиг вязкого
слоя на наклонной плоскости в поле силы тяжести. Во втором примере,
имеющем самостоятельный интерес, в качестве такого течения взято
классическое точное решение из гидродинамики вязкой жидкости.
18.2. Тестовый пример. Нестационарный плоскопараллельный
сдвиг вязкопластического слоя на наклонной плоскости подробно уже
изучался в § 17, а оценки устойчивости стационарного режима даны
в §9. Поэтому не будем здесь останавливаться на выводе решений, а
приведём конечные результаты, не меняя обозначений § 17.
Стационарное решение «вязкой» задачи имеет вид
о_п о/ v z3B-;r3)sin/? 0 0
l\i
(l-a?3)sin/J A8.17)
«t. = «зз = о, *Ы*з) = т° = (i - x3) sin /j ,
а краевая задача для величин с индексом «1» формулируется так
»/,,■ = 0, A8.18)
О 1 С
-Рл + *ljj = ^ + — &з 0 ~ *з) t>] sin/J +
at \i
+ — x3B-z3)t;-jsin/J,
Zfl
A8.19)
sltm = 2fivL , *!з = I + №з + vli), (»8.20)
X) = 0: v-=0, a?3 = l: p]=s\} = 0. A8.21)

ТЕЧЕНИЯ В СЛОЖНЫХ ОБЛАСТЯХ
145
v\(x3)
= -
1
Ту.
Xs
, Р1
*!,=
= 0,
4 =
I
= 0,
= 0
Разыскивая решение задачи A8.18)—A8.21) в классе
плоскопараллельных полей (v| = ^{(жз), v] = 0), получим
A8.22)
Множество 7° состоит из прямой ж3 = 1, а асимптотическая
граница жёсткой зоны определяется из A8.16). Подставляя в A8.16)
выражения v^, vjj, U° = 2v°3, найденные выше, выведем уравнение
границы Ег:
х3=\--^-. A8.23)
sin/3
Таким образом, при малом возмущении предела текучести вблизи
свободной границы слоя образуется жёсткая корка толщины Ts/sin/3<
Заметим, что получающееся после подстановки в A8.2) решение задачи
вязкопластического течения по наклонной плоскости в поле силы
тяжести, так же как и формула A8.23) справедливы не только при
малом, но и при любом конечном т8. Так, если т5 ^ sin/З, то весь слой
будет находиться.в покое.
18.3. Течение в плоском конфузоре. Возьмём в качестве
невозмущённого ньютоновского течения известное решение задачи Гамеля
о стационарном радиальном течении вязкой жидкости в плоском
конфузоре [112] и будем помечать его параметры индексом «о». В
безразмерных переменных (в базис обезразмеривания включены
плотность тела р, расход Q через любую окружность г = const и расстояние
г0 от вершины конфузора до места истечения из него жидкости) это
решение в полярных координатах (г; в) записывается в виде
• V@) 0 0 0 V@) 0 Г(в)
vT = , ve-0, v„ = -vee = —г- , vre = ——5-,
r2VV +4K , sap- Re , 1 Re
где Re = pQ/fi. Известная неотрицательная функция V@)
удовлетворяет уравнению (Vй + 4V - V2 ReI = 0, условиям прилипания на стенках
конфузора V(±/3) = 0 и условию обезразмеривания /_^ V@)d0 = 1.
Так как f7°2 = A{v0TT2 + г;^2), то введём функцию Ф@),
определяемую из основного движения такую, что sin# = 2t;?r/f/0, cos# =
2v%IU* @<!Р<7Г в области течения П).
СГ = 1\А + 472, *«д = ^г, Т°=^, A8.24)

146
ГЛАВА 4
Сформулируем краевую задачу для величин с индексом «1»,
входящих в соотношения A8.2). Имеем линеаризованные уравнения
движения
-Р,г + —— + «rr,r + = V + -jvr - -^ve, A8.25)
+ Sr«,r + = V0ir--;Ve, A8.26)
rp ip ' rt» л* ' Я*А
условие несжимаемости
^;+4+<#=() (,827)
и связь тензора s]ap с вектором скорости v!
Яе
1 • (Vr,0 . 1 «Л . в
A8.28)
Кроме того, выполнены граничные условия прилипания
vl(±p) = 0, vl,(±p) = 0 A8.29)
и условие
'n>,!d0 = O. A8.30)
/•
Будем разыскивать решение задачи A8.25—29) в виде (см. [101])
^.tm.EM, „■=,„,<„, т<р, „8.3,)
2 г
где неизвестные функции W\, W_i удовлетворяют граничным условиям
Цг,(±/?) = 0, W,'(±/3) = 0, W1,(±/J) = 0 A8.32)
и условию обезразмеривания, которое с учётом A8.30)-( 18.32) сводится
к требованию
Р
[w-i@)M = 0. A8.33)

ТЕЧЕНИЯ В СЛОЖНЫХ ОБЛАСТЯХ
147
Как видно, соотношения A8.27), A8.29) при этом выполняются
тождественно.
Подставляя кинематику A8.31) в A8.28), а затем в A8.25),
проинтегрируем уравнение A8.25) по г
р' = 1~ ~- + V'Wx + (cos#)' + 2sin«4 1n
r +
W"t - IVW-xRe
+ 2r>Re +m
A8.34)
Подставим теперь выражение для давления A8.34) в A8.26) и
приравняем друг к другу коэффициенты, стоящие в левой и правой частях при
одинаковых функциях от г. Получим неоднородную систему линейных
обыкновенных дифференциальных уравнений для трёх функций W\ (в),
W-{@), Р(в)
(-—! - + V'Wl + (cosV)'+2smV) =0,
\ 2fle fle /
\2Re Re J
2VW{ - (sin!^)' + cos# = P'@).
A8.35)
Из второго уравнения A8.35) и условий A8.32), A8.33)
следует, что можно положить W-\ = 0. Основной интерес для анализа
асимптотической границы жёсткой зоны в окрестности бесконечности
представляет нахождение W\@). Действительно, подставляя в A8.16)
известные выражения v^, U°, а также найденные из A8.31)
компоненты v[ap, получим уравнение границы, отделяющей жёсткую зону от
области вязкопластического течения.
/ 2(F'2 + 4F2) \'" щв)
г@)= т—Ц £-] = ^- A8.36)
W yDVW[-VfWl')rsJ y/fs v ;
Из A8.2), A8.31) вытекает, что компоненты скорости на кривой
A8.36) — величины порядка y/Ts: vr — -(V/R + RW[/2)y/Ts\ v9 =
RW\y/Ts, а компоненты тензора скоростей деформаций — величины
порядка rs.
В заключение остановимся подробнее на движениях с очень
малыми и очень большими числами Re, для которых существуют
известные асимптотики решения. В случае близких к нулю Re единственная

148
ГЛАВА 4
неизвестная функция V@), описывающая кинематику вязкого течения
как в конфузоре, так и в диффузоре, близка к косинусоиде [112]
cos20-cos2/?
sin2/?-2/?cos2/?' l '
а функции sin# и cos# записываются следующим образом
cos 20 - cos 2/3
S\nW =
COS^ =
y/\ - 2 cos 2C cos 20 + cos22/? '
sin 20
v/l - 2cos2/3cos20 + cos22/3 '
A8.38)
Подставляя A8.37), A8.38) в первое уравнение системы A8.35) и
принимая во внимание граничные условия A8.32), можно установить,
что W\@), W[@) и W[@) — функции порядка Re во всей области
-/3 < 0 < /3. При Re —> 0 течение мало отличается от радиального, а,
следовательно, жёсткие зоны в О отсутствуют. Это подтверждается и
формулой A8.36), из которой видно, что г@) обратно пропорционально
y/rsRe.
В случае же конфузорного течения при Re > 1 асимптотическое
выражение для V@) имеет вид [112]
2/3V=\ 6——=z г> A8.39)
1 + ch f arcch 5 + y/Re/p (р Т 0)\
причём верхний знак следует брать в интервале 0 < 0 < р, а нижний
в интервале -р < 0 < 0. Почти везде за исключением пристеночных
областей значение V мало отличается от 1/B/?), т.е. течение близко
к потенциальному течению идеальной жидкости. Лишь при 0 « ±/?
второе слагаемое в правой части A8.39) сильно влияет на V.
Находя из A8.39) V', cos#, sin^ и подставляя эти величины в
первое уравнение A8.35), получим линейное обыкновенное
дифференциальное уравнение для W\ с однородными граничными условиями
A8.32). Из решения этой задачи и A8.36) следует асимптотическая
граница жёсткого ядра в окрестности бесконечности.

Литература
1. Абгарян К.А. Устойчивость движения на конечном интервале //
Итоги науки и техники. Сер. Общая механика. М.: ВИНИТИ,
1976. Т. 3. С. 43-124.
2. Агаева СЕ. Нестационарное прямолинейное движение тиксотроп-
ной вязко-пластичной жидкости между двумя параллельными
бесконечными пластинками // Журн. приклад, мех. и техн. физ. 1966.
№ 5. С. 146-147.
3. Айвэни, Хэммит. Численный анализ явления захлопывания кави-
тационного пузырька в вязкой сжимаемой жидкости // Тр. амер.
о-ва инж.-мех. Сер. Д. Теорет. основы инж. расчётов. 1965. Т. 87.
№ 4. С. 140-150.
4. Алейников СМ. Устойчивость неизотермического течения слоя
вязкой жидкости по наклонной плоскости // Изв. АН СССР.
МЖГ. 1979. № 4. С. 145-148.
5. Александров СЕ., Гольдштейн Р.В. Об отрывных течениях в теории
пластичности // Изв. РАН. МТТ. 1993. № 4. С. 144-149.
6. Алфутов Н.А. Основы расчёта на устойчивость упругих систем. М.:
Машиностроение, 1991. 334 с.
I.Ahhuh Б.Д., Бытев В.О., Сенатов СИ. Групповые свойства
уравнений упругости и пластичности. Новосибирск: Изд-во СО АН
СССР, 1985. 142 с.
8. Арутюнян Н.Х., Дроздов А.Д., Колмановский В.Б. Устойчивость
вязкоупругих тел и элементов конструкций // Итоги науки и
техники. Сер. Механика деформир. твёрдого тела. М.: ВИНИТИ,
1987. Т. 19. С. 3-77.
9. Аскаров М.А. Кавитационное разрушение металлов и полимеров.
Тбилиси: Сабчота сакартвело, 1973. 140 с.
10. Астарита Дж.у Марруччи Дж. Основы гидромеханики
неньютоновских жидкостей. М.: Мир, 1978. 309 с.
11. Астрахан И.М. Нестационарное круговое движение вязкопласти-
ческой жидкости, заключённой между двумя цилиндрами // Изв.
ВУЗов. Нефть и газ. 1961. No 4. С. 73-76.
12. Астрахан И.М. Устойчивость вращательного движения вязкопла-
стичной жидкости между двумя коаксиальными цилиндрами //
Журн. приклад, мех. и техн. физ. 1961. № 2. С. 47-53.

150
ЛИТЕРАТУРА
13. Бабчин А.И., Леей СМ. О течении нескольких слоев пластично-
вязкой жидкости по наклонной плоскости экструзера поливной
машины // Журн. научн. и приклад, фотографии и
кинематографии. 1972. Т. 17. № 5. С. 321-324.
14. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967.
223 с.
15. Барбашин Е.А., Красовский Н.Н. Об устойчивости движения в
целом // Докл. АН СССР. 1952. Т. 86. № 3. С. 453-456.
16. Бахшиян Ф.А., Моисеева Р.С О некоторых нелинейных задачах
движения вязко-пластической среды // Изв. АН СССР. Отд. техн.
наук. Механика и машиностр. 1963. № 3. С. 170-174.
17. Беломыпщев В.П., Гвоздков Н.Н. О потере тепловой устойчивости
движения вязко-пластического материала //Докл. АН СССР. 1966.
Т. 170. № 2. С. 305-307.
18. Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической
устойчивости. М.: Мир, 1971. 352 с.
19. Богородская В.И., Куропатенко В.Ф. О захлопывании пузырьков в
вязкой сжимаемой жидкости // Тр. IV Всесоюз. семинара по числ.
методам мех. вязкой жидкости. Рига, 1972. Новосибирск, 1973.
С. 162-169.
20. Бостанджиян С.А., Столин A.M. Сложный сдвиг
вязко-пластической жидкости между двумя параллельными пластинами //
Теоретическая и инструментальная реология. Минск, 1970. С. 107-118.
21. Брушян М.А., Крапивский П.Л. Гидродинамика неньютоновских
жидкостей // Итоги науки и техники. Сер. Комплексные и
специальные разделы механики. М.: ВИНИТИ, 1991. Т. 4. С. 3-98.
22. Бучацкий Л.М. Особенности уплотнения вязкопластической среды
с переменным пределом текучнети // Ииж.-физич. журн. 1992.
Т. 63. № 5. С. 605-611.
23. Ван-Лайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир,
1967. 310 с.
24. Виноградов Г.В., Мамаков А.А., Павлов В.П. Течение аномально-
вязких систем при действии двух чистых сдвигов во взаимно-
перпендикулярных направлениях//Докл. АН СССР. 1959. Т. 127.
№ 2. С. 362-365.
25. Вишняков В.И., Макаров A.M. Нестационарное движение вязкопла-
стичной среды над бесконечной пластинкой // Коллоид, журн.
1973. Т. 35. № 1. С. 3-8.
26. Воларович М.П. Исследование реологических свойств дисперсных
систем // Коллоид, журн. 1954. Т. 16. № 3. С. 227-240.

ЛИТЕРАТУРА
151
27. Воларович М.П., Лазовская Н.В. Исследование течения торфа в
конических насадках // Докл. АН СССР. 1951. Т. 76. № 2. С. 211-
213.
28. Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем. М.: Физматгиз, 1963.
879 с.
29. Ворович И.И., Минакова Н.И. Проблема устойчивости и численные
методы в теории сферических оболочек // Итоги науки и техники.
Сер. Механика деформир. твёрдых тел. М.: ВИНИТИ, 1973. Т. 7.
С. 5-86.
30. Гаипова А.Н. Разностный метод решения задачи об ударе вязкопла-
стического стержня о жёсткую преграду // Инженер, журн. МТТ.
1968. № 1.С. 128-130.
31. Гарин Р.И., Вачагин К.Д. Двухслойное течение нелинейных вяз-
копластических жидкостей по наклонной плоскости // Тр.
Казанского хим.-технолог, ин-та. 1972. Вып. 48. С. 120-124.
32. Гарифуллин Ф.А., Галимов К.З. О гидродинамической устойчивости
неныотоновских сред // Приклад, механика. 1974. Т. 10. № 8.
С. 3-25.
33. Гасанов Г.Т., Гасанзаде Н.А., Мирзаджанзаде А.Х. Сдавливание
вязкопластического слоя круглыми пластинами // ПМТФ. 1961.
№ 5. С. 88-90.
34. Гасанов Г.Т. Нестационарное движение вязко-пластичной
жидкости между двумя цилиндрами // Докл. АН АзССР. 1962. Т. 18.
№ 10. С. 21-25.
35. Георгиевский Д. В. Вязкопластическое течение Куэтта-Тейлора:
распределение жёстких зон и устойчивость // Изв. РАН. МТТ. 1994.
№ 6. С. 101-106.
36. Георгиевский Д.В. Достаточные интегральные оценки
вязкопластического сдвига // Изв. РАН. МТТ. 1994. № 4. С. 124-131.
37. Георгиевский Д. В. Интегральные оценки устойчивости
нестационарного деформирования трёхмерных тел со сложной реологией //
Докл. РАН. 1997. Т. 356. № 2. С. 196-198.
38. Георгиевский Д.В. Линеаризованная задача устойчивости вязкопла-
стических тел с произвольным скалярным соотношением // Вестн.
МГУ. Сер. Математика и механика. 1992. № 6. С. 65-67.
39. Георгиевский Д.В. Метод интегральных соотношений в задачах
устойчивости нелинейных течений с заданной на границе
кинематикой // Изв. РАН. МТТ. 1997. № 1. С. 102-113.
40. Георгиевский Д. В. Методы теории катастроф в задаче устойчивости
стержней с нелинейными и вязкоупругими связями // Упругость

152
ЛИТЕРАТУРА
и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 1987. С. 159-166.
41. Георгиевский Д.В. Нестационарное осевое деформирование
многослойного цилиндра в вязкопластическом состоянии // Приклад,
механика. 1993. Т. 29. № 5. С. 48-54.
42. Георгиевский Д.В. О сдвиговых наследственно-вязкопластических
течениях// Вестн. МГУ. Сер. Математика и механика. 1996. № 1.
С. 45-50.
43. Георгиевский Д. В. Об устойчивости вращения набора вязкопласти-
ческих слоев в центрифугах // Математические методы в механике.
М.: Изд-во МГУ, 1990. С. 105-109.
44. Георгиевский Д.В. Обшая схема "полулинейного" вариационного
метода исследования устойчивости // Вопросы механики
сплошных сред. М.: Изд-во МГУ, 1993. С. 15-21.
45. Георгиевский Д.В. Оценки устойчивости нестационарного
деформирования вязкопластических тел в плоских областях // Докл.
РАН. 1996. Т. 346. № 4. С. 471-473.
46. Георгиевский Д.В. Пластическое течение Сен-Венана в плоском
спиралевидном конфузоре // Мех. композит, матер. 1995. Т. 31.
№ 5. С. 684-691.
47. Георгиевский Д.В. Схлопывание кавитационного пузырька в
нелинейно-вязких и вязкопластических средах // Изв. РАН. МЖГ.
1994. № 2. С. 181-184.
48. Георгиевский Д. В. Устойчивость двумерных и трёхмерных
вязкопластических течений и обобщённая теорема Сквайра // Изв. РАН.
МТТ. 1993. № 2. С. 117-123.
49. Георгиевский Д. В. Устойчивость нестационарного сдвига вязкопла-
стической полуплоскости с тангенциальным разрывом вдоль
границы // Вестн. МГУ. Сер. Математика и механика. 1996. № 3.
С. 65-72.
50. Георгиевский Д. В. Устойчивость плоского идеально жёсткопласти-
ческого течения Куэтта // ПММ. 1994. Т. 58. № 1. С. 171-175.
51. Георгиевский Д.В. Устойчивость плоскопараллельного сдвигового
течения двух тяжелых вязких слоев // Упругость и неупругость. Ч.
II. М.: Изд-во МГУ, 1994. С. 108-121.
52. Георгиевский Д.В. Устойчивость процессов деформирования по
наборам мер относительно заданных классов возмущений // Изв.
РАН. МТТ. 1997. № 2. С. 69-92.
53. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. О конвективной устойчивости
жидкости Бингама // Докл. АН СССР. 1973. Т. 208. № 1. С. 63-65.

ЛИТЕРАТУРА
153
54. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. М.: Мир, 1984. Т. I. 350
с. Т. 2. 285 с.
55. Гноевой А.В., Климов Д.М., Петров А.Г., Чесноков В.Н. Плоское
течение вязкопластичных сред в узких каналах с деформируемыми
стенками // Изв. РАН. МЖГ. 1996. № 2. С. 23-31.
56. Гноевой А.В., Климов Д.Л/., Петров А.Г., Чесноков В.Н. Течение вяз-
копластичной среды между круглыми параллельными пластинами
при их сближении и удалении // Изв. РАН. МЖГ. 1996. № I.
С. 9-17.
57. Гноевой А.В., Климов Д.М., Чесноков В.Н. Об одном методе
исследования пространственных течений вязкопластичных сред // Изв.
РАН. МТТ. 1993. № 4. С. 150-158.
58. Гольдштик М.А., Штерн В.Н. Гидродинамическая устойчивость и
турбулентность. Новосибирск: Наука, 1977. 367 с.
59. Гонор А.Л., Куцаев С.Н. Исследование соударения
вязко-пластического тела с жёсткой преградой при произвольном угле встречи //
Научн. тр. Всесоюзн. заочн. машиностроит. ин-та. 1976. Т. 38.
С. 62-70.
60. Григолюк Э.И. О методе Бубнова. К шестидесятилетию его
создания // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань:
Изд-во Казан. Ун-та, 1975. Вып. 11. С. 3-41.
61. Григорьев В.Г., Лунин С.З., Сурков В.В. Захлопывание сферической
поры в вязкопластическом материале // Изв. АН СССР. МТТ.
1981. № 1. С. 199-201.
62. Гринфельд М.А. Методы механики сплошных сред в теории фазовых
превращений. М.: Наука, 1990. 312 с.
63. Гринченко В.Г., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. Механика связанных
полей в элементах конструкций. Т. 5. Электромашитоу пру гость.
Киев: Наук, думка, 1989. 279 с.
64. Громов В.Г. Квазистатическая неустойчивость как средство
качественного анализа равновесных движений наследственно
деформируемы тел на конечном интервале времени // Изв. АН СССР.
МТТ. 1986. № 5. С. 124-127.
65. Громов В.Г. Первый метод Ляпунова в динамической устойчивости
гибких вязкоупругих тел // Докл. АН СССР. 1975. Т. 223. № 4.
С. 819-822.
66. Гроот С. де, Мазур П. Неравновесная термодинамика. М.: Мир,
1964. 456 с.
67. Гузь А.Н. Устойчивость трёхмерных деформируемых тел. Киев:
Наук, думка, 1971. 276 с.

154
ЛИТЕРАТУРА
68. Гузь А.Н., Немиш Ю.Н. Метод возмущения формы границы в
механике сплошных сред. Киев: Вища школа, 1989. 352 с.
69. Гуткин A.M. Медленное течение вязкопластичной дисперсной
среды в коническом и плоском диффузоре при малом угле раствора //
Коллоид, журн. 1961. Т. 23. № 3. С. 352.
70. Гуткин A.M. Течение вязко-пластичной дисперсной системы на
вращающемся диске // Коллоид, журн. 1960. Т. 22. № 5. С. 573—
575.
71. Гуткин A.M. Течение вязко-пластичной дисперсной системы на
вращающемся конусе // Коллоид, журн. 1962. Т. 24. № 3. С. 283—
288.
72. Демехин Е.А., Шкадов В.Я. О нестационарных волнах в слое вязкой
жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1981. № 3. С. 151-154.
73. Джафарли А.Г. Нелинейные вязкопластические волны в нитях при
их пространственном движении // Докл. АН АзССР. 1986. Т. 42.
№ 1. С. 16-19.
1 А. Дроздов А.Д., Колмановский В.Б. Об устойчивости конструкций
из вязкоупругого материала // Механика деформируемых тел и
конструкций: Тр. школы-семинара по теории упругости и вязко-
упругости. Цахкадзор, 1982. Ереван, 1985. С. 159-168.
75. Дроздов А.Д., Колмановский В.Б., Потапов В.Д. Устойчивость
стержней из неоднородно-стареющего вязкоупругого материала // Изв.
АН СССР. МТТ. 1984. № 2. С. 177-187.
76. Друккер Д. Пластичность, течение и разрушение // Неупругие
свойства композиционных материалов. М.: Мир, 1978. С. 9-32.
77. Егоров А.К., Жантаев Ж.Ш. К устойчивости вязкопластическо-
го течения весомой слоистой среды // Механика тектонических
процессов. Алма-Ата: Наука, 1983. С. 51-60.
78. Ержанов Ж.С, Егоров А.К. Устойчивость вязкопластического
течения полого толстостенного шара // Изв. АН КазССР. Сер.
физико-математич. 1984. № 1. С. 34-38.
79. Ержанов Ж. С., Егоров А.К., Жантаев Ж.Ш. Устойчивость
вязкопластического течения весомой слоистой среды // Изв. АН КазССР.
Сер. физико-математич. 1981. № 1. С. 17-23.
80. Жуховицкий Д.М. Устойчивость кольцевых пластин из
неоднородно-стареющего вязкоупругого материала // ПММ. 1985. Т. 49.
Вып. 1. С. 148-155.
81. Забабихин Е.И. Заполнение пузырьков в вязкой жидкости //ПММ.
1960. Т. 24. Вып. 6. С. 1129-1131.

ЛИТЕРАТУРА
155
82. Задоян М.А. Пространственные задачи теории пластичности. М.:
Наука, 1992. 384 с.
83. Заметалин В.В. Устойчивость ламинарного пограничного слоя
степенной неньютоновской жидкости // Журн. приклад, мех. и
техн. физ. 1976. № I. С. 101-106.
84. Знаменский В. А., Зубов В. П. Движение вязко-пластической среды
в круглой трубе при переменном перепаде давления // Приклад,
механика. 1970. Т. 6. № 3. С. 117-121.
85. Зубчанинов В.Г. Основы теории упругости и пластичности. М.:
Высш. школа. 1990. 368 с.
86. Зубчанинов В.Г. Устойчивость и выпучивание упругопластичсских
систем при сложном нагружении // Устойчивость в механике
деформир. твёрдого тела. Калинин: Изд-во Калинин. Ун-та, 1986.
С. 10-54.
87. Иванилов Ю.П. Об устойчивости плоскопараллелыюго течения
вязкой жидкости над наклонным дном // ПММ. 1960. Т. 24. № 2.
С. 380-381.
88. Ивлев Д.Д., Ершов Л.В. Методы возмущений в теории упруго-
пластического тела. М.: Наука, 1978. 208 с.
89. Ий Чиа-Шун. Волновые движения в слоистых средах //
Нелинейные волны. М.: Мир, 1977. С. 271-296.
90. Ильюшин А.А. Вопросы теории течения пластического вещества по
поверхностям // ПММ. 1954. Т. 18. № 3. С. 265-288.
91. Ильюшин А.А. Деформация вязкопластичных тел // Учён. зап. МГУ.
Механика. 1940. Вып. 39. С. 3-81.
92. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1990.
312 с.
93. Ильюшин А.А. Некоторые вопросы теории пластического течения //
Изв. АН СССР. Отд. техн. наук. Механика и машиностр. 1958.
№ 2. С. 64-86.
94. Ильюшин А.А. Пластичность. М.;Л.: Гостехиздат, 1948. 376 с.
95. Ишлинский А.Ю. Об устойчивости вязкопластического течения
круглой пластины // ПММ. 1943. Т. 7. Вып. 6. С. 405-412.
96. Ишлинский А.Ю. Об устойчивости вязкопластического течения
полосы и круглого прута // ПММ. 1943. Т. 7. Вып. 2. С. 109-130.
97. Ишлинский А.Ю., Баренблатт Г.И. Об ударе вязко-пластического
стержня о жёсткую преграду // Докл. АН СССР. 19^2. Т. 144. № 4.
С. 734-737.

156
ЛИТЕРАТУРА
98. Ишлинский А.Ю., Слепцова Г. П. К вопросу об ударе
вязко-пластического стержня о жёсткую преграду // Приклад, механика. 1965.
Т. 1. № 2. С. 1-9.
99. Кеппен И. В., Родионов СЮ. Растяжение-сжатие полосы из
нелинейного вязкопластического материала // Упругость и неупругость.
М.: Изд-во МГУ, 1987. С. 97-105.
100. Кийко И.А. Теория пластического течения. М.: Изд-во МГУ, 1978.
76 с.
101. Ким А.Х., Воларовин М.П. Плоская задача о движении вязкопла-
стичной дисперсной системы между двумя плоскостями,
составляющими острый угол. // Коллоид, журн. 1960. Т. 22. № 2.
С. 186-194.
102. Клюшников В.Д. Лекции по устойчивости деформируемых систем.
М.: Изд-во МГУ, 1986. 224 с.
103. Кнэпп Р., Дейли Дж., Хэммит Ф. Кавитация. М.: Мир, 1974. 687 с.
104. Козырев О.Р., Степанянц Ю.А. Метод интегральных соотношений
в линейной теории гидродинамической устойчивости // Итоги
науки и техники. Сер. Механика жидкости и газа. М.: ВИНИТИ,
1991. Т. 25. С. 3-89.
105. Козырев О.Р.у Степанянц Ю.А. Об оценке параметров нарастающих
возмущений в сдвиговых течениях вязкой стратифицированной
жидкости // ПММ. 1989. Т. 53. № 3. С. 522-525.
106. Колбовский Ю.Я., Шанин И.П., Хранин В.Н. К вопросу о течении
неньютоновской жидкости в коническом и плоском диффузоре //
Научн. тр. Ярославского технолог, ин-та. 1972. Т. 31. С. 102-106.
107. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические
режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981.
448 с.
108. Колмогоров В.Л., Колмогоров Г.Л. Течение вязко-пластической
смазки при волочении в режиме гидродинамического трения // Изв.
ВУЗов. Чёрная металлургия. 1968. № 2. С. 67-72.
109. Конев СВ. Гидродинамическая изотермическая задача качения
цилиндрических поверхностей со скольжением при пластической
смазке // Проблемы трения и изнашивания. Вып. 30. Киев, 1986.
С. 16-18.
110. Котова Л.И. Теория качения цилиндра по поверхности, покрытой
слоем вязко-пластичной смазки // Журн. техн. физ. 1957. Т. 27.
№ 7. С. 1540-1557.
111. Котова Л.И., Дерягин Б.В. Теория качения цилиндра по
поверхности, покрытой слоем пластичной смазки // Журн. техн. физ. 1957.

ЛИТЕРАТУРА
157
Т. 27. №6. С. 1261-1271.
112. Конин Н.Е., Кибель И А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика.
Ч. 2. М.: Физматгиз, 1963. 728 с.
ИЗ. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М.: Мир, 1982.
334 с.
114. Кубенко В.Д., Немиш Ю.Н., Шнеренко К.И., Шульга Н.Л. Метод
возмущений в краевых задачах механики деформируемых тел //
Приклад, механика. 1982. Т. 18. № 11. С. 3-20.
115. Кузин ПА. Продольный удар по вязкопластическому стержню //
Инженер, журн. МТТ. 1968. № 5. С. 94-97.
116. Куртин Л.М. Устойчивость при ползучести // Изв. АН СССР.
МТТ. 1978. № 3. С. 125-160.
117. Лаврентьев М.А., Шабат Б. В. Методы теории функций
комплексного переменного. М.: Наука, 1987. 688 с.
118. Лазовская Н.В. Исследование кинематики течения дисперсных
систем (торфа, консистентных смазок и т. п.) в конических
насадках // Коллоид, журн. 1949. Т. 11. № 2. С. 77-83.
119. Лакшмикантам В., Лила С, Мартынюк А А. Устойчивость
движения: Метод сравнения. Киев: Наукова думка, 1991. 247 с.
120. Лапушина Б.И., Ким А.Х. Приближённое решение задачи
стационарного изотермического течения вязкопластической среды в
плоском параболическом диффузоре вариационным методом //
Теоретическая и прикладная механика. Вып. 1. Минск: Вышэйша
школа, 1975. С. 17-20.
121. Ленский Э.В. О групповых свойствах уравнения движения
нелинейной вязко-пластической среды // Вестн. МГУ. Сер. Математика и
механика. 1966. № 5. С. 116-125.
122. Леонова ЗА. Групповая классификация и инвариантные решения
уравнений течения и теплообмена вязко-пластической среды //
Журн. приклад, мех. и техн. физ. 1966. № 4. С. 3-18.
123. Леонова ЗА. Инвариантные свойства уравнений термовязкопла-
стичности с неполной информацией о свойствах среды //
Упругость и неупругость. Ч. 1. М.: Изд-во МГУ, 1994. С. 55-87.
124. Лещий Н.П. Переход от ламинарного к ткрбулентному режиму
течения для нелинейных вязкопластичных жидкостей // Гидравлика
и гидротехника. Киев, 1981. Вып. 33. С. 81-86.
125. Листров А.Т., Чернышёв А.Д. Об установившемся течении
вязкопластической среды при нелинейной вязкости // Докл. АН
СССР. 1964. Т. 158. № 4. С. 805-807.

158
ЛИТЕРАТУРА
126. Литвинов А. И. Полуэмпирическое описание турбулентности вяз-
копластичных жидкостей // Изв. АН УзССР. Сер. технич. 1975.
№ 5. С. 46-50.
127. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.; Л.:
Гостехиздат, 1950. 472 с.
128. Ляхов Г.М., Султанов К.С. Вопросы подобия и дисперсии волн
в вязкопластических средах // Журн. приклад, мех. и техн. физ.
1975. № 6. С. 86-93.
129. Магомедов О.Б., Победря Б.Е. Некоторые задачи вязкоупругопла-
стического течения // Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ,
1975. Вып. 4. С. 152-169.
130. Макаров A.M., Сальников В. Г. Нестационарное сдвиговое течение
вязкопластической среды // Журн. приклад, мех. и техн. физ. 1972.
№4. С. 133-137.
131. Макаров A.M., Сальников В.Г., Трусова Т.Ф. Обратная задача о
нестационарном градиентном течении пластика Шведова-Бингама
в плоском канале и цилиндрической трубе // Инж.-физич. журн.
1973. Т. 24. № 4. С. 725-729.
132. Малкин И.Г. К вопросу об обратимости теоремы Ляпунова об
асимптотической устойчивости // ПММ. 1950. Т. 18. Вып. 2.
С. 129-138.
133. Малкин И. Г. Об устойчивости при постоянно действующих
возмущениях // ПММ. 1944. Т. 8. Вып. 4. С. 241-245.
134. Малмейстер А.К., Тамуж В.П., Тетере Г.А. Сопротивление
полимерных и композитных материалов. Рига: Зинатне, 1980. 571 с.
135. Мамаков А.А., Тябии Н.В., Виноградов Г.В. Применение теории
подобия к расчёту процессов течения пластичных смазок в трубах //
Коллоид, журн. 1959. Т. 21. № 2. С. 208-215.
136. Маркеев А.П. Об устойчивости треугольных точек либрации в
круговой ограниченной задаче трёх тел // ПММ. 1969. Т. 33.
Вып. 1. С. 112-116.
137. Мартынюк А.А. Об устойчивости и неустойчивости систем
процессов по двум многозначным мерам // Приклад, механика. 1981.
Т. 17. № 2. С. 104-109.
138. Матросов В.М. Об устойчивости движения // ПММ. 1962. Т. 26.
Вып. 5. С. 885-895.
139. Мехтиев А. К. О сжатии ударом цилиндрического образца при
нелинейной зависимости напряжения от скорости деформации //
Статические и динамические задачи теории упругости и
пластичности. Баку. 1968. С. 90-95.

ЛИТЕРАТУРА
159
140. Михайлов Н.В., Ребиндер П.Л. О структурно-механических
свойствах дисперсных и высокомолекулярных систем // Коллоид, журн.
1955. Т. 17. №2. С 107-109.
141. Мовчан Л.Л. О прямом методе Ляпунова в задачах устойчивости
упругих систем // ПММ. 1959. Т. 23. Вып. 3. С. 483-493.
142. Мовчан Л.Л. Об устойчивости движения сплошных тел. Теорема
Лагранжа и её обращение // Инженер, сб. 1960. Т. 29. С. 3-20.
143. Мовчан Л.Л. Об устойчивости процессов деформирования
сплошных тел // Arch. Mech. Stosow. 1963. V. 15. № 5. S. 659-682.
144. Мовчан Л.Л. Устойчивость процессов по двум метрикам // ПММ.
I960. Т. 24. Вып. 6. С. 988-1001.
145. Мосолов П.П., Мясников В.П. Вариационные методы в теории
течений жёстко-вязкопластических сред. М.: Изд-во МГУ, 1971.
114 с.
146. Мосолов П.П., Мясников В.П. О прямолинейных движениях
идеально пластической среды // Докл. АН СССР. 1967. Т. 174. № 3.
С. 541-544.
147. Мясников В.П. О сдавливании вязкопластического слоя жёсткими
плитами // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1963.
№ 4. С. 92-96.
148. Мясников В.П. Течение вязко-пластической среды при сложном
сдвиге // Журн. приклад, мех. и техн. физ. 1961. № 5. С. 76-87.
149. Назаров Л.Н. Основы математического моделирования процессов
трения и вовлечения при движении потоков лавинного типа //
Вестн. МГУ. Сер. Математика и механика. 1995. № 4. С. 79-85.
150. Найфэ Л.Х. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984. 535 с.
151. Немиш Ю.Н. К обоснованию метода возмущения в трёхмерных
задачах механики деформируемых сред // Приклад, механика.
1977. Т. 13. № 12. С. 25-33.
152. Никитин Л.В., Токбергенов Дж.Б. Взаимодействие с матрицей
вязко-пластической динамически деформируемой нити // Изв.
АН КазССР. Сер. физико-математич. 1974. № 3. С. 58-61.
153. Нуриев Б. Р. Поперечный удар конусом по вязкопластической нити
с большими скоростями // Изв. АН АзССР. Сер. физико-химич.
и математич. 1986. Т. 7. № 3. С. 58-63.
154. Огибалов П.М., Кийко И.Л. Задачи пластических течений //
Инженер, журн. 1961. Т. 1. № 3. С. 181-184.
155. Огибалов П.М., Мирзаджанзаде Л.Х. Нестационарные движения
вязкопластических сред. М.: Наука, 1977. 373 с.

160
ЛИТЕРАТУРА
156. Павлов К.Б., Романов А.С., Симхович СЛ. Гидродинамическая
неустойчивость пуазейлева течения неньютоновской
вязко-пластической жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1974. № 6. С. 152-154.
157. Павлов К.Б.У Романов А.С., Симхович С.Л. Гидродинамическая
устойчивость течения Гартмана неньютоновской
вязко-пластической жидкости // Магнит, гидродинамика. 1974. № 4. С. 43-46.
158. Павлов К.Б., Романов А.С, Симхович С.Л. Устойчивость пуазейлева
течения вязкопластической жидкости по отношению к
возмущениям конечной амплитуды // Изв. АН СССР. МЖГ. 1975. № 5.
С. 166-169.
159. Палмер, Майер, Дракер. Соотношения нормальности и
выпуклости поверхностей текучести для неустойчивых материалов или
элементов конструкций // Приклад, механика. Тр. америк. О-ва
инж.-мех. Сер. Е. 1967. Т. 34. № 2. С. 232-241.
160. Пановко Я.Г. Механика деформируемого твёрдого тела.
Современные концепции, ошибки и парадоксы. М.: Наука, 1985. 287 с.
161. Персидский К.П. Об устойчивости движения по первому
приближению // Мат. сб. 1933. Т. 40. № 3. С. 281-294.
162. Петров А.Г. Об оптимизации процессов управления вязкопласти-
ческим течением в тонком слое с изменяемыми формами границ //
Изв. РАН. МТТ. 1997. № 2. С. 127-132.
163. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ,
1986.264 с.
164. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во
МГУ, 1984. 336 с.
165. Победря Б.Е. О связанных задачах механики сплошной среды //
Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 1971. Вып. 2. С. 224-
253.'
166. Победря Б.Е. Определяющие соотношения связанных полей // Изв.
РАН. МТТ. 1992. № 3. С. 101-108.
167. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и
пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1995. 366 с.
168. Победря Б.Е. Элементы структурной механики деформируемого
твердого тела // Математическое моделирование систем и
процессов. 1996. № 4. С. 66-73.
169. Победря Б.Е., Димитриенко Ю.И. Связанные задачи линейной
термомехаиики деформируемого твёрдого тела // Успехи механики.
1987. Т. 10. № 2. С. 97-137.
170. Попов В.М. Об абсолютной устойчивости нелинейных систем
автоматического регулирования // Автоматика и телемеханика. 1961.

ЛИТЕРАТУРА
16!
Т. 22. № 8. С. 961-979.
171. Постом Т., Стюарт И. Теория катастроф и её приложения. М.:
Мир, 1980. 607 с.
172. Потапов В.Д. Устойчивость тел из неоднородно-стареющего вяз-
коупругого материала // ПММ. 1985. Т. 49. № 4. С. 648-654.
173. Приказчиков Г.П. Об устойчивости течения вязко-пластической
среды между плоскостями со щелью // Вестн. МГУ. Сер.
Математика и механика. 1964. № 3. С. 51-55.
174. Пэжина П. Основные вопросы вязкопластичности. М.: Мир, 1968.
176 с.
175. Работное Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука,
1966. 752 с.
176. Рамберг X. Сила тяжести и деформации в земной коре. М.: Недра,
1985. 400 с.
177. Расулов Т.М. Решение смешанной задачи для линеаризованной
системы уравнений движения вязкопластических сред //Дифференц.
уравнения. 1991. Т. 27. № 9. С. 1610-1617.
178. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и
технике. М.: Мир, 1985. 592 с.
179. Румянцев В. В. Об устойчивости движения по отношению к
части переменных // Вестн. МГУ. Сер. Математики, механики и
астрономии, физики, химии. 1957. № 4. С. 9-16.
180. Руш Я., Абетс Я., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории
устойчивости. М.: Мир, 1980. 300 с.
181. Савельев Б.А. Гляциология. М.: Изд-во МГУ, 1991. 288 с.
182. Савельев Б.А., Латалин ДА. Искусственные ледяные платформы //
Итоги науки и техники. Сер. Океанология. М.: ВИНИТИ, 1986.
Т. 7. С. 3-193.
183. Сагомонян А.Я. Волны напряжения в сплошных средах. М.: Изд-во
МГУ, 1985.416 с.
184. Сафронник А.И. Вращение цилиндра с переменной угловой
скоростью в вязкопластической среде // ПММ. 1959. Т. 23. № 6.
С. 1051-1056.
185. Сафронник А,И. Неустановившееся течение вязкопластического
материала в круглой трубе // ПММ. 1960. Т. 24. № I. С. 149-153.
186. Сафронник А.И. Неустановившееся течение вязкопластичного
материала междупараллельными стенками // ПММ. 1959. Т. 23. № 5.
С. 925-935.

162
ЛИТЕРАТУРА
187. Сериков СВ. Нестационарное растяжение вязкопластической
прямолинейной полосы // Динамика сплошной среды. Новосибирск,
1981. Вып. 49. С. 100-106.
188. Сериков СВ. Об устойчивости вязкопластического кольца // Журн.
приклад, мех. и техн. физ. 1976. № 1. С. 101-106.
189. Симхович С.Л., Романов А.С, Иононкина Л.И. Гидродинамическая
устойчивость плоского градиентного течения обобщённой
нелинейной вязкопластической жидкости // Инж.-физич. журн. 1983.
Т. 45. № 1.С. 60-64.
190. Сиразетдинов Т.К. Устойчивость систем с распределёнными
параметрами. Новосибирск: Наука, 1987. 231 с.
191. Слободкин A.M. К обоснованию энергетического критерия
устойчивости равновесия // Упругость и иеупругость. М.: Изд-во МГУ.
1971. Вып. 1. С. 27-44.
192. Слободкин A.M. Об особенностях понятия устойчивости равновесия
в смысле Ляпунова для систем с бесконечным числом степеней
свободы // Изв. АН СССР. Механика. 1965. № 5. С. 38-46.
193. Слободкин A.M. Об устойчивости равновесия консервативных
систем с бесконечным числом степеней свободы // ПММ. 1962.
Т. 26. Вып. 2. С. 356-358.
194. Слободкин A.M. Об устойчивости равновесия систем с бесконечным
числом степеней свободы в смысле Ляпунова // Докл. АН СССР.
1964. Т. 157. № 1. С. 63-65.
195. Смазочные материалы: Антифрикционные и противоизносные
свойства. Методы испытаний. М.: Машиностроение, 1989. 224 с.
196. Соколовский В. В. Плоское и осесимметричное равновесие
пластической массы между жёсткими стенками // ПММ. 1950. Т. 14.
№ 1. С. 75-92.
197. Стёпин СА. Гидродинамическая задача Рэлея: теорема разложения
по собственным функциям и устойчивость плоскопараллельных
течений // Изв. РАН. Сер. математич. 1996. Т. 60. № 6. С. 201 —
221.
198. Сугак М.Б. Движение вязко-пластичной массы между двумя
коаксиальными конусами // Инж.-физич. журн. 1966. Т. 11. № 6.
С. 802-808.
199. Токбергенов Дж.Б. Динамическое деформирование
вязко-пластической нити // Изв. АН КазССР. Сер. физико-математ. 1973. № I.
С. 72-76.
200. Трусов С.А., Тябин Н.В. Равновесие и течение
упруго-сжимаемой вязко-пластической среды по наклонной поверхности под

ЛИТЕРАТУРА
163
действием силы тяжести // Химия и химическая технология.
Волгоград, 1968. С. 172-179.
201. Тябин Н.В, О подобии потоков вязко-пластической жидкости //
Коллоид, журн. 1952. Т. 14. № 4. С. 270-273.
202. Тябин Н.В. Реодинамическая теория вязко-пластической смазки //
Тр. Казанского сельск.-хоз. ин-та. 1958. Вып. 39. С. 132-150.
203. Тябин Н.В. Течение вязко-пластической жидкой дисперсной
системы в диффузоре и погружение клина в дисперсную систему //
Докл. АН СССР. 1952. Т. 84. № 5. С. 943-946.
204. Тябин Н.В., Пудовкин МЛ Течение вязко-пластической дисперсной
системы в коническом диффузоре //Докл. АН СССР. 1953. Т. 92.
№ 1. С. 53-56.
205. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Ч. 2.
Трансцендентные функции. М: Физматгиз, 1963. 515 с.
206. Фройштетер Т.Е., Накорневский А.И., Синицын В.В., Цецохо Э.И.
Потеря устойчивости ламинарной формы движения при течении
пластичных смазок в капиллярах // Прикладная реология. Т. 2.
Минск: Изд-во ин-та тепло- и массообмеиа АН БССР, 1970.
С. 135-146.
207. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: Гостехиздат,
1956. 407 с.
208. Хокке У. Движение двух слоев вязких несжимаемых жидкостей
на наклонной плоскости под действием силы тяжести.
Исследование гидродинамической устойчивости // Динамические задачи
механики сплошных сред. М.: Изд-во МГУ, 1990. С. 112-119.
209. Черников А. К. Вариационные методы решения задач о вязкопла-
стическом течении соляных пород // Изв. ВУЗов. Горный журн.
1985. № 10. С. 29-33.
210. Чернышёв А.Д. О движении вязко-пластической среды внутри
двугранного угла // Приклад, механика. 1971. Т. 7. № 1. 120-124.
211. Чернышёв А.Д. О течениях в клине вязко-пластической среды с
нелинейной вязкостью // Журн. приклад, мех. и техн. физ. 1966.
№4. С. 152-154.
212. Чернышёв А.Д. Установившееся течение вязко-пластической среды
между двумя соосными конусами и внутри двугранного угла //
Журн. приклад..мех. и техн. физ. 1970. № 5. С. 93-99.
213. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1965. 207 с.
214. Шапиро Г.С., Шаннев В.А. О динамическом поведении вязкопла-
стического тела, обладающего необратимой вязкостью // Волны в
неупругих средах. Кишинёв: Изд-во МолдССР, 1970. С. 215-220.

164
ЛИТЕРАТУРА
215. Шестериков С.А., Локощенко A.M. Ползучесть и длительная
прочность металлов // Итоги науки и техники. М.: ВИНИТИ, 1980.
Т. 13. С. 3-104.
216. Шилд Р.Т. Пластическое течение в сходящемся коническом
канале // Механика (сб. переводов). 1957. № 1. С. 102-122.
217. Шихалиев Ф.А. О параметрах подобия при движении вязко-
пластичных жидкостей в трубах // Изв. АН СССР. Механика
и машиностроение. 1963. № 1. С. 153-154.
218. Шкадов В.Я. Волновые режимы течения тонкого слоя вязкой
жидкости под действием силы тяжести // Изв. АН СССР. МЖГ.
1967. № 1.С. 43-51.
219. Шкадов В.Я. Некоторые методы и задачи теории
гидродинамической устойчивости. М.: Изд-во МГУ. Институт механики, 1973.
№ 25. 192 с.
220. Эглит М.Э. Динамика снежных лавин // Тр. Математ. ин-та АН
СССР. 1989. Т. 186. С. 162-167.
221. Якубович В.А. Методы теории абсолютной устойчивости // Методы
исследования нелинейных систем автоматического управления.
М.: Наука, 1975. С. 74-180.
222. Anand L.f Kim K.H., Shawki T.G. Onset of shear localization in
viscoplastic solids // J. Mech. Phys. Solids. 1987. V. 35. No. 4.
P. 407-429.
223. Atkinson C, El-АН K. Some boundary value problem for the Bingham
model //J. Non-Newton. Fluid Mech. 1992. V. 41. No. 3. P. 339-363.
224. BarangerJ.t Guillope C, SautJ.-C. Mathematical analysis of differential
models for viscoelastic fluids // Depart, de Mathematiques. Univ. Paris
XII - Val de Marne. Prepubl. No. 06-96. 40 p.
225. Bejda J., Wienbicki T. Dispersion of small amplitude stress waves in
prestressed elastic, visco-plastic cylindrical bars // Quart. Appl. Math.
1966. V. 24. No. 1. P. 63-71.
226. Benjamin T.B. Quelgues nouveaux resultats concernant des phenomenes
de bifurcation en mecanique des fluids // Lecture Notes in Physics.
1979. V. 91. Computing Methods in Applied Sci. and Engng. Proc.
3rd Intern. Symp. Paris, December 5-9, 1977. Berlin, N.-Y.: Springer
Verlag, 1979. P. 62-71.
227. Benjamin T.B., Ellis A.T. Self-propulsion of asymmetrically vibrating
bubbles // J. Fluid Mech. 1990. V. 212. No. 1. P. 65-80.
228. Beverly C.R., Tanner RJ. Numerical analysis of three-dimensional
Bingham plastic flow // J. Non-Newton. Fluid Mech. 1992. V. 42.
No. 1-2. P. 85-115.

ЛИТЕРАТУРА
165
229. Bird R.B., Dai G.C, Yarusso В J. The rheology and flow of viscoplastic
materials// Rev. Chem. Engng. 1983. V. 1. No. 1. P. 1-70.
230. Bukowski /?., Wojewodzki W. Dynamic buckling of viscoplastic spherical
shell // Intern. J. Solids Struct. 1984. V. 20. No. 8. P. 761-776.
231. Bums T.J. Similarity and bifurcation in unstable viscoplastic solids //
SIAM J. Appl. Math. 1989. V. 49. No. 1. P. 314-329.
232. Camenschi G, Cristescu N.f Sandru N. Development in high speed
viscoplastic flow through conical converging dies // Trans. ASME. J.
Appl. Mech. 1983. V. 50. No. 3. P. 566-570.
233. Caughey A., Shield R.T. instability and energy criterion for continuous
systems// ZAMP. 1968. V. 19. No. 3. P. 485-492.
234. Chakrabarti R.K., Marker R.J. Factional resistance of a radially-loaded
journal bearing with grease lubrication // Lubricat. Engng. 1960. V. 16.
No. 6. P. 274-280.
235. Chhabra R.P., Uhlherr P.H.T. Static equilibrium and motion of spheres
in viscoplastic liquids // Encyclopedia of Fluid Mechanics. V. 7.
Rheology and Non-Newton. Flows. Houston: Gulf. Publ., 1988. P. 611-
633.
236. Chiorescu G. Lyapunov stability in the linear generalized theory of elastic
rods // An. Sti. Univ. la§i. Sec. Mat. 1981. V. 27. No. 1. P. 201-204.
237. Coleman B.D., Noll W. An approximation theorem for functionals, with
applications in continuum mechanics // Arch. Ration. Mech. Analysis.
1960. V. 6. No. 5. P. 355-370.
238. Coles D. Transition in circular Couette flow // J. Fluid Mech. 1965.
V. 21. P. 385-425.
239. Comparini E. A one-dimensional Bingham flow // J. Math. Anal. Appl.
1992. V. 169. No. 1. P. 127-139.
240. Cristescu N., Suliciu J. Viscoplasticitate. Bucuregti: Ed. tehn. 1976. 304
P-
241. Drazin P.G. On stability of parallel flow of an incompressible fluid with
variable density and viscosity // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1962. V.58.
P. 649-661.
242. Drazin P.G, Reid W.H, Hydrodynamical stability. Cambridge Univ.
Press, 1981. 525 p.
243. Drucker D.C. On the postulate of stability of material in the mechanics
of continua // J. mec. 1964. T. 3. No. 2. P. 235-249.
244. Ellinas C.P., Croll J.G. Post-critical analysis of torsionally buckled
stiffened plates // Intern. J. Solids and Struct. 1980. V. 17. No. I.
P. 11-27.

166
ЛИТЕРАТУРА
245. Fan Chun. Flow of viscoplastic fluid on a rotating disk // Appl. Math,
and Mech. (Yingyong shuxue he lixue). 1984. V. 15. No. 5. P. 421-427.
246. Fasano A.y Primicerio M. Viscoplastic impact of a rod on a wall // Bol.
Unione mat. itai. 1975. T. 11. No. 3. P. 531-553.
247. Florence A.F. Buckling of viscoplastic cylindrical shells due to impulsive
loading // AIAA J. 1968. V. 6. No. 3. P. 532-537.
248. Florence A.F., Abrahamson GR. Critical velocity for collapse of
viscoplastic cylindrical shells without buckling // J. Appl. Mech. 1977.
V. 44. No. 1. P. 89-94.
249. Fogler H.S., Goddard J.D. Collapse of spherical cavities in viscoelastic
fluids // Phys. Fluids. 1970. V. 13. No. 5. P. 1135-1141.
250. Frigaard I.A., Howison S.D., Sobey I.J. On the stability of Poiseuille flow
of a Bingham fluids //J. Fluid Mech. 1994. V. 263. P. 133-150.
251. Fung Y.T. Non-axisymmetric instability of a rotating layer of fluid // J.
Fluid Mech. 1983. V. 127. P. 83-90.
252. Georgievskii D.V. Non-linear viscoelastoplastic models of geomate-
rials // Proc. 3rd Intern. Conf. Computational Plasticity (ComPlaslll).
Barcelona, August 17-21, 1992. Swansea, 1992. P. 851-858.
253. Georgievskii D. V. Stability of a compressed clastic plate with nonlinear
supporting elements // Dynamics and Stability of Syst. 1993. V. 8.
No. 4. P. 259-272.
254. Gilbert R.B., Calladine CR. Interaction between the effects of local and
overall imperfections on the buckling of elastic columns // J. Mech.
Phys. Solids. 1974. V. 22. No. 6. P. 519-540.
255. Hanks R.W. The laminar-turbulent transition for fluids with a yield
stress // AICE J. 1963. V. 9. No. 3. P. 306-309.
256. Hanks R.W., Christiansen E.B. The laminar-turbulent transition in
nonisothermal flow of pseudoplastic fluids in tubes // AICE J. 1962.
V. 8. No. 4. P. 467-471.
257. Hanks R.W., Ricks B.L. Laminar-turbulent transition in flow of
pseudoplastic fluids with yield stress // J. Hydraut. 1974. V. 8. No. 4.
P. 163-166.
258. Hlavdcek /., Necas J. On inequalities of Rom's type. Pt. 1.// Arch, Rat.
Mech. Analysis. 1970. V. 36. No. 4. P. 305-311.
259. Hlavdcek /., Necas J. On inequalities of Korn's type. Pt. 2.// Arch. Rat.
Mech. Analysis. 1970. V. 36. No. 4. P. 312-334."
260. Jenekhe S.A., Schuldt S.B. Flow and film thickness of Bingham plastic
liquids on a rotating disk // Chem. Engng. Comm. 1985. V. 33. No. 2.
P. 135-146.

ЛИТЕРАТУРА
167
261. Joseph D.D. Eigenvalue bounds for the Orr-Sommerfeld equation. Part
I.//J. Fluid Mech. 1968. V. 33. P. 617-621.
262. Joseph D.D. Eigenvalue bounds for the Orr-Sommerfeld equation. Part
2.//J. Fluid Mech. 1969. V. 36. P. 721-734.
263. Kalman R.E. Liapunov functions for the problem of Lur'e in automatic
controls // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1963. V. 49. No. 2. P. 201-205.
264. Kelly J.M.y Wierzbicki T. Motion of a circular visco-plastic plate subject
to projective impact // ZAMP. 1967. B. 18. S. 236-246.
265. Koiter IV.T. On the instability of equilibrium in the absence of a
minimum of the potential energy // Proc. Koninkl. Nederl. Akad.
Wetensch. Ser. B. 1965. Bd. 68. No. 3. P. 107-113.
266. Koiter W.T. The energy criterion of stability for continuous elastic
bodies. Pt.l.// Proc. Koninkl. Nederl. Akad. Wetensch. Ser. B. 1965.
Bd. 68. No. 4. P. 178-189.
267. Larson R.G. Instabilities in viscoelastic flows // Rheol. Acta. 1992.
V. 31. No. 3. P. 213-263.
268. Leipholz H.H.E. On a Liapunov-like approach to the stability of Pfliiger
like plates // Ing.-Arch. 1982. V. 52. No. 1/2. P. 39-46.
269. Leipholz H.H.E. Stability of elastic cylindrical shell via Liapunov's
second method // Ing.-Arch. 1980. V. 49. No. 1. P. 7-14.
270. Leroy Y.M., Molinari A. Stability of steady states in shear zones // J.
Mech. Phys. Solids. 1992. V. 40! No. I. P. 181-212.
271. Liu Xinzhi. Stability in terms of two measures for functionals differential
equations // Different. And Integral Equations. 1989. V. 2. No. 1.
P. 13-20.
272. Massera J.L. On Liapounoffs conditions of stability // Ann. Mech.
1949. V. 50. No. 5. P. 705-721.
273. Matsumoto S., Takashima K, Kamiya Г., Кауапо A, Ohta Y. Film
thickness of a Bingham liquid on a rotating disk // Industr. & Engineer.
Chem. Fundamentals. 1982. V. 21. No. 3. P. 198-202.
274. Molinari A., Clifton R.J. Analytical characterization of shear localization
in thermoviscoplastic materials // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1987.
V. 54. No. 4. P. 806-812.
275. Nadai A. Uber die Gleit und Verzweigungsflachen einiger Gieich-
gewichtszustande bildsamer Massen und die Nachspannugen bleibend
verzerter Korper // Z. Phys. 1924. Bd. 30. H. 2. S. 106-108.
276. Nakamura M., Sawada T. A k-e model for the turbulent analysis of
Bingham plastic fluid // Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. (Nikhon kikay
gakkay rombunsue). 1986. B52. No. 479. P. 2544-2551.

168
ЛИТЕРАТУРА
277. Nakamura M., Sawada Т. Theoretical study on turbulence transition of
Bingham plastic fluid in a pipe // Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. (Nikhon
kikay gakkay rombunsue). 1985. B51. No. 465. P. 1642-1647.
278. Nicholson D.W. Adiabatic temperature rise in a viscoplastic rod under
impact // Mech. Res. Commun. 1984. V. 11. No. 5. P. 317-327.
279. Nishimum K.f Maeno N. Experiments on snow avalanche dynamics //
IAHS Publ. 1987. No. 162. P. 395-404.
280. Nohel J.A., Pego R.L. Nonlinear stability and asymptotic behaviour of
shearing motions of a non-Newtonian fluid // SIAM J. Math. Anal.
1993. V. 24. No. 4. P. 911-942.
281. Nowacki W.K, On the dynamics description of the rock failure process //
Arch. Mech. Stosow. 1986. V. 38. No. 1-2. S„ 25-37.
282. Nowinski J.L. On the Lapounov-Movchan stability of equilibrium of
elastic orthotropic plates // Acta mech. 1983. V. 47. No. 1-2. P. 27-38.
283. Oroveanu Г., Abbulescu M. Unsteady flow of a Bingham plastic through a
tube of a circular cross-section, with time-dependent pressure gradient //
Rev. roum. sci. tcchn. Ser. Mec. appl. 1992. V. 37. No. 2. P. 165-175.
284. Orszag S.A. Accurate solution of the Orr-Sommerfeld stability
equation // J. Fluid Mech. 1971. V. 50. No. 4. P. 689-703.
285. Osterle F., Charnes A., Saibel E. The rheodynamic squeeze-film //
Lubricat. Engng. 1956. V. 12. No. 1. P. 33-36.
286. Pabjanek A. Dynamic loading of #rigid-viscoplastic cylindrical shell //
Arch. Mech. Stosow. 1969. T. 21. No. 2. S. 199-211.
287. Pascal J.P., Rasmussen H. Stability of power law fluid flow between
rotating cylinders // Dynamics and Stabilitv of Syst. 1995. V. 10. No. I.
P. 65-93.
288. Paslay P.R., Slibar A. Criterion for flow of a Bingham plastic between
two cylinders loaded bv torque and pressure gradient // J. Appl. Mech.
1958. No. 2. P. 284-2*85.
289. Paslay P.R., Slibar A. Laminar flow of drilling mud due to axial pressure
gradient and external torque // J. Petrol. Technology. 1957. V. 9.
No. 11. P. 310-317.
290. Phillips A., Zabinski M.P. Spherical wave propagation in a viscoplastic
medium // Ing.-Arch. V. 41. No. 4. P. 367-376.
291. Poritsky H. The collapse or growth of a spherical bubble in a viscous
fluid // Proc. 1st U.S. Nat. Congr. Appl. Mech. 1951. Ann Arbor,
Mich.. 1951. P. 812-821.
292. Pyrz R. Mechanical behaviour and stability of motion for the one-
dimensional rheological svstems // Mech. Res. Communicat. 1980.
V. 7. No. 6. P. 395-399.

ЛИТЕРАТУРА
169
293. Raffai R.f Laure P. The influence of an axial mean flow on the Couette—
Taylor problem // European J. Mech. B. Fluids. 1993. V. 12. No 3
P. 277-288.
294. Ratnawan H.P. Unsteady flow of Bingham plastic between two fixed
coaxial cylinders under time dependent pressure gradient // Deform.
Sci. J. 1970. V. 20. No. 4. P. 213-218.
295. Redely J.N. Energy and variational methods in applied mechanics. N.-Y.:
Wiley, 1984. 545 p.
296. Ryskin G. Dynamics and sound emission of a spherical cavitation bubble
in a dilute polymer solution // J. Fluid Mech. 1990. V. 218. P. 239-263.
297. Salvadori L. Sul problema della stabilita asintotica // Rend, dell' Accad.
Naz. Lincei. CI. Sci., Fis., Mat., Natur. 1972. V. 53. No. 8. P. 35-38.
298. Sekimoto K. An exact non-stationarity solution of simple shear flow in
a Bingham fluid // J. Non-Newton. Fluid Mech. 1991. V. 39. No. 1.
P. 107-113.
299. Sherwood J.D., Durban D. Squeeze flow of a power-law viscoplastic
solid // J. Non-Newton. Fluid Mech. 1996. V. 62. No. I. P. 35-54.
300. Shield R.T., Green Л.Е. On certain methods in the stability theory of
continuous systems // Arch. Rat. Mech. and Analysis. 1963. V. 12.
No. 4. P. 354-360.
301. Squire H.B. On stability of three-dimensional disturbances of viscous
flow between parallel walls // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1933.
V. 142. No. 847. P. 621-628.
302. Storakes B. Plastic and visco-plastic instability of a thin tube under
internal pressure, torsion and axial tension // Intern. J. Mech. Sci.
1968. V. 10. No. 6. P. 519-529.
303. Symonds P.S., Ting T.C.T. Longitudinal impact on viscoplastic rods:
approximate methods and comparisons // Trans. AS ME. 1964. E3I.
No. 4. P. 611-620.
304. Synge J.L. Hydrodynamical stability// Scmicentcnn. Publ. Amer. Math.
Soc. 1938. V. 2. R 227-269.
305. Theocaris P.S. Instability of cantilever beams with non-linear elements:
Butterfly catastrophe // Intern. J. Mech. Sci. 1984. V. 26. No. 4.
P. 265-275.
306. Thorn R. Stabilite Structurelle et Morphogenese. N.-Y.: Benjamin, 1972.
362 p.
307. Thompson J.M.T., Lewis G.M. On the optimum design of thin-walled
compression members // J. Mech. Phys. Solids. 1972. V. 20. No. 2.
P. 101-109.

170
ЛИТЕРАТУРА
308. Ting Т.С.Т. Impact of a nonlinear viscoplastic rod on a rigid wall //
Trans. ASME. 1966. E33. No. 3. P. 505-513.
309. Ting T.C.T., Symonds P.S. Impact on rods of non-linear viscoplastic
material — numerical and approximate solutions // Internat. J. Solids
and Struct. 1967. V. 3. No. 4. P. 587-605.
310. Ting T.C.T., Symonds P.S. Longitudinal impact on viscoplastic rods:
linear stress-strain rate law // Trans. ASME. 1964. E31. No. 2. P. 199—
207.
311. Tugcu P., Neale K.W. Analysis of neck propagation in polymeric fibres
including the effects of viscoplasticity // Trans. ASME. J. Eng. Mater.
Technoi. 1988. V. 110. No. 4. P. 395-400.
312. Vardoulakis l.G. Stability and bifurcation in geomechanics // Proc.
6th Intern. Conf. on Numerical Methods in Geomechanics. Innsbruck,
April 11-15 1988. V. i. Rotterdam: Brookfield, 1988. P. 155-168.
313. Vinogradov G.V., Mamakov A.A. Flow of greases under the action of
complex shear // Trans. ASME. 1968. F90. No. 3. P. 604-607.
314. Walicki £., Walicka A. An approximate analysis for conical flow of
viscoplastic fluids // Zecz. nauk. Bud. WSI Zielonej Gorze. 1994.
No. 106. S. 197-217.
315. Wang L.-L. A criterion of thermo-viscoplastic instability for adiabatic
shearing// Proc. Intern. Symp. on Intense Dynam. Loading and Effects.
Beijing, June 3-7, 1986. Oxford, 1988. P. 787-792.
316. Williams R.A., Malvern L.E. Harmonic dispersion analysis of incremental
waves in uniaxially prestressed plastic and viscoplastic bars, plates and
unbounded media // Trans. ASME. 1969. E36. No. 1. P. 59-64.
317. Wojewddzki W. Buckling of short viscoplastic cylindrical shells subjected
to radial impulse // Intern. J. Non-Linear Mech. 1973. V. 8. P. 325-343.
318. Wojewddzki W., Lewinski P. Viscoplastic axisymmetrical buckling of
spherical shell subjected to radial pressure impulse // Engng. Struct.
1981. V. 3. P. 168-174.
319. Yih C.-S. Note on eigenvalue bounds for the Orr-Sommerfeld
equation // J. Fluid Mech. 1969. V. 38. P. 273-278.
320. Yih C.-S. Wave velocity in parallel flows of a viscous fluid // J. Fluid
Mech. 1973. V. 58. No. 4. P. 703-708.
321. Zwick К J., Ayyaswamy P.S., Cohen l.M. Variational analysis of the
squeezing flow of a yield stress fluid // J. Non-Newton. Fluid Mech.
1996. V. 63. No. 2-3. P. 179-199.

Таблица
[номер ссылки] => номера страниц
1 - 20, 2 - 107, 3 - 129,131, 4 - 83, 5 - 121, 6 - 20, 7 - 120, 8 -
20, 112, 9 - 129, 10 - 112, И - 107, 12 - 68, 13 - 133, 14 - 13, 15 -
13, 16 - 107, 17 - 69, 18 - 42,54,58, 19 - 129,131, 20 - 117, 21 -
106,112,129, 22 - 71, 23 - 25, 24 - 115,117, 25 - 107, 26 - 84, 113, 133,
27 - 113, 28 - 20, 29 - 20, 30 - 118, 31 - 133, 32 - 54, 33 - 118, 34 -
107, 35 - 71, 36 - 71, 37 - 42, 38 - 130, 39 - 42, 40 - 23, 41 - 120,
42 - 71, 43 - 71, 44 - 42, 45 - 42,71, 46 - 120, 47 - 120, 48 - 71,
49 - 71, 50 - 71, 51 - 71, 52 - 11,112, 53 - 69, 54 - 22, 55 - 117,
56 - 118, 57 - 71,117, 58 - 42,58, 59 - 120, 60 - 20, 61 - 132, 62 -
37, 63 - 36, 64 - 23, 65 - 23, 66 - 36, 67 - 23,24,71, 68 - 25, 69 -
114, 70 - 116, 71 - 116, 72 - 83, 73 - 120, 74 - 20, 75 - 24,30, 76 -
35,39, 77 - 70, 78 - 70, 79 - 70, 80 - 24,30, 81 - 40,129, 131, 133,
82 - 121, 83 - 58, 84 - 107, 85 - 21, 86 - 21, 87 - 83, 88 - 25, 89 -
79, 90 - 121, 91 - 25,44,47,60,68, 92 - 112, 93 - 132, 94 - 21, 95 -
25,47,68, 96 - 25,47,68, 97 - 118,119, 98 - 119, 99 - 68, 100 - 121,
101 - 114,146, 102- 22,71, 103- 129, 104- 30,48,59,76,101, 105 -
58, 106 - 114, 107 - 20, 108 - 116, 109 - 116, ПС - 115, 111 - 115,
112-88,92,101,126,145,148, 113-38, 114-25, 115- 118, 116-20,
117- НО, 118- 113, 119- 13,19,30, 120- 114, 121 - 120, 122- 120,
123 - 71,120, 124 - 68,74, 125 - 133, 126 - 69, 127 - 12, 13, 14,17,
128 - 74, 129 - 44,74,117, 130 - 107, 131 - 107, 132 - 13, 133 - 13,
134 - 38, 135 - 115, 136 - 14, 137 - 19, 138 - 13, 139 - 119, 140 - 68,
141 - 14,16, 142 - 15,16, 143 - 15, 144 - 15,16, 145 - 21,44,70, 146 -
45,101, 147- 118, 148- 117, 149- 140, 150-25, 151 -25, 152- 120,
153 - 120, 154 - 121, 155 - 71,134, 156 - 69, 157 - 69, 158 - 69, 159 -
35, 160 - 34, 161 - 12, 13, 162 - 71, 163 - 43,124, 164 - 34,38,43,
165 - 36. 166 - 36, 167 - 31,40,43, 168 - 36, 169 - 36, 170 - 13, 171 -
22, 172 - 24,30, 173 - 68, 174 - 71, 175 - 21, 176 - 104, 139, 177 -
71, 178 - 49,50.59.62,65,96, 179 - 13, 180 - 12,14, 181 - 139, 182 -
139, 183 - 139, 184 - 107, 185 - 107, 186 - 107, 187 - 107, 188 - 71,
189 - 69, 190 - 19. 191 - 19. 192 - 18,19, 193 - 16, 194 - 19, 195 -
116. 196 - 121. 197 - 101, 198 - 114, 199 - 120, 200 - 133, 201 - 74,
202 - 115. 203 - 113, 204 - ИЗ, 205 - 105, 206 - 69, 207 - 121, 124,
208 - 83. 209 - 139. 210 - 114, 211 - 114, 212 - 114, 213 - 13, 14, 18,
214 - 118. 215 - 20, 216 - 121, 217 - 74. 218 - 83, 219 - 58,83, 220 -
139. 221 - 13. 222 - 71, 223 - 71, 224 - 106, 225 - 119, 226 - 71,

172
ТАБЛИЦА
227- 129,228- 71,229- 71,230-70,231 -71,232- 114,233- 19,
234 - 115, 235 - 71. 236 - 20, 237 - 121, 238 - 57, 239 - 71, 240 -
107, 241 - 58, 242 - 101, 243 - 35, 244 - 23, 245 - 71,116, 246 - 120,
247 - 70, 248 - 70, 249 - 129, 250 - 71, 251 - 101, 252 - 120, 253 -
23. 254 - 23, 255 - 68. 256 - 68, 257 - 69, 258 - 34,50, 259 - 34,50,
260 - 116, 261 - 79, 262 - 79, 263 - 13, 264 - 119, 265 - 14, 266 -
19, 267 - 112, 268 - 20, 269 - 20, 270 - 70, 271 - 19, 272 - 13, 273 -
116, 274 - 70, 275 - 120,124, 276 - 70, 277 - 70, 278 - 120, 279 -
140, 280 - 112, 281 - 139, 282 - 19,23, 283 - 71, 284 - 58, 285 - 115,
286 - 119, 287 - 57, 288 - 116, 289 - 117, 290 - 119, 291 - 129,131,
292 - 20, 293 - 101, 294 - 107, 295 - 21, 296 - 129, 297 - 13, 298 -
71, 299 - 118, 300 - 19, 301 - 54, 302 - 69, 303 - 119, 304 - 78, 305 -
23, 306 - 22, 307 - 23, 308 - 119, 309 - 119, 310 - 119, 311 - 71,
312 - 71, 313 - 116, 314 - 114, 315 - 71, 316 - 119, 317 - 70, 318 -
70,319-79,320-79,321- 118.

Contents
Foreword 6
Author entrance 8
Chapter 1. Criteria and methods of research of deformation processes
stability 11
§ 1. Mathematical definitions and criteria of stability of
processes 12
§ 2. Stability with respect to low and finite disturbances of the
main motion parameters, external, initial data, and domain
geometry 25
§ 3. Deformation processes stability with respect to disturbances
. of material functions 31
§ 4. Stability of material with respect to variation of its internal
structure (in connection with composites) and nonmecha-
nical interactions 36
§5. Instability by numerical simulation of process 39
Chapter 2. The general linearized problem oil stability of non-linear
flows 42
§ 6. The general boundary problem on stability with respect to
low disturbances 42
6.1. The kinds of constitutive relations of materials D2). 6.2. The
formulation of initial-boundary problem on stability D4). 6.3. The general
scheme of the integral relations method and the basic theorems D8)
§ 7. Deformation processes stability for solids with linear vector
relations 52
7.1. The formulation of the problem and its reduction to
eigenvalue problem E2). 7.2. Reduction ot three-dimensional disturbances
to two-dimensional ones and the generalized Squire theorem E3).
7.3. The generalized Orr-Sommerfetd problem (GOSP) E7). 7.4. The
integral relations method and sufficient integral estimates of
stability E9). 7.5. Quadratic functional minimization and rinding estimating
parameter F3)
Chapter 3. Stability of visco- and perfect plastic flows 68

174
CONTENTS
§8. The GOSP for processes of deformation of viscoplastic
solids 71
8.1. The estimates of stability of viscoplastic flows as consequences of § 7
results G1). 8.2. The GOSP for one-dimensional viscoplastic shear G4)
§ 9. The plane viscoplastic Couette flow 76
9.1. Lower estimates of critical Reynolds numbers G6). 9.2. Estimates of
phase frequency G9)
§ 10. The plane viscoplastic Poiseuille flow 80
10.1. Lower estimates of critical Reynolds numbers (80). 10.2. Plane-
parallel motion of heavy layer down inclined plane (83)
§ 11. Diffusion of vorticity in viscoplastic medium 84
11.1. Tangential velocity discontinuity at half-plane boundary (84).
11.2. Stability of the exact solution of the problem on diffusion
of vorticity in viscoplastic half-plane (87). 11.3. Tangential stress
discontinuity at half-plane boundary (89) 11.4. Stability of the exact
solution of the problem on tangential stress discontinuity at boundary of
viscoplastic half-plane (91)
§12. The viscoplastic circular Couette—Taylor flow 92
12.1. Nonpcrturbcd motion and conditions of its existence (92). 12.2. The
formulation of the GOSP (94). 12.3. Integral estimates of stability (96).
12.4. Axially symmetric disturbances (99). 12.5. Short wavelength
disturbances and viscous limit A00)
§ 13. The perfect rigid-plastic Couette flow 101
13.1. The formulation of the GOSP A01). 13.2. Integral estimates of
stability A02). 13.3. The Couette flow in the restricted sense and long
wavelength approximation A04)
§ 14. Hereditary viscoplastic shear flows 106
14.1. The hereditary viscoplastic Poiseuille flow in plane layer A07).
14.2. The hereditary viscoplastic Couette flow A08). 14.3. The formulation
of linearized problem on stability A10)
Chapter 4. Some problems on non-steady visco- and perfect plastic
flows in non-canonical domains 113
§15. The perfect rigid-plastic flow inside plane confusor with
curvilinear walls 120
15.1. The formulation of the problem on flow inside plane confusor
with curvilinear walls A21). 15.2. Independence of stress deviator on </(
and "pseudoradial" How A23). 15.3. Possible orthogonal coordinate
systems A24). 15.4. The analytical soluition of the problem for spiral
confusors A2(>)
§ 16. Spherical bubble collapse in viscoplastic and non-linear
viscous media 129

CONTENTS
S75
16.S. Bubble boundary motion in spherically inhomogeneous medium
and formulation of the Cauchy problem A29). 16.2. The influence of
plastic component A31). 16.3. The influence of hardening A32)
§ 17. Acceleration and braking of heavy viscoplastic layer at
inclined plane 133
17.1. The formulation of initial-boundary problem and steady
motion A34), 17.2. Change of variables and linear scalar relation A36).
17.3. Some models with non-linear scalar relations A40)
§ 18. Viscoplastic flows with low yield stress 141
18.1. The formulation of the problem on viscoplastic flow with low yield
stress A41). 18.2. The typical example A44). 18.3. The flow inside plane
confusor A45)
References . . 149
Table 171
Contents 173
D.V.GEORGIEVSK1L Stability of Viscoplastic Solids Deformation
Processes. Moscow: URSS, 1998. - 176 p.
The problems of solid mechanics relating to stability of perfect
plastic and viscoplastic flows, are considered. Corresponding formulations of
problems that generalize the known formulations for ideal and viscous
incompressible fluids, are adduced. Significant consideration is given for the
energetic methods permitting to obtain the integral stability estimates of
unperturbed processes. Some non-steady boundary problems on perfect plastic
and viscoplastic flows inside nonclassical domains as well as with regard to
rigid zones boundaries motion, are solved.
It should be destined for scientific researches, post-graduators, and
students, specializing in solid mechanics or hydrodynamics of non-Newtonian
fluids.
Reviewers:
The Chair of Applied Mathematics (Bauman Moscow State Technical
University);
Doctor of Physical and Mathematical Sci., Professor A. G. Petrov.

Уважаемые читатели!
i
:*1
«
-a
Издательство «УРСС» специализируется на выпуске
учебной и научной литературы, в том числе монографий,
журналов, трудов ученых Российской Академии Наук,
научно-исследовательских институтов и учебных заведений.
Издательство «УРСС» полностью финансирует и
осуществляет издание переводов книг на русском языке по
вышеназванной тематике на испанский и английский языки.
Помимо журнала, который Вы держите в руках,
Издательство «УРСС» проводит допечатную подготовку еще
двух ежемесячных журналов. Основываясьна широком и
плодотворном сотрудничестве с Российским фондом
фундаментальных исследований, мы предлагаем авторам свои
услуги на выгодных экономических условиях. При этом мы
берем на себя весь спектр работ по полной подготовке
издания — от набора, редактирования и верстки до
тиражирования и распространения.
Книги издательства «УРСС»
по физической и математической тематике:
Б.А.Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко
Современная геометрия. Методы и приложения
4-е издание, исправленное и дополненное
Г. А. Сарданашвили
Современные методы теории поля. Т.1. Геометрия и классические поля
Ю. А. Неретин
Категории симметрии и бесконечномерные группы Ли
Э. Б. Винберг, А.Л. Онищик
Семинар но группам Ли и алгебраическим группам
Г.Н.Шикин
Основы теории солитонов в общей теории относительности
Г. А. Сарданашвили
Современные методы теории поля. Т.2. Геометрия и класическая механика
М.И.Петрашень. Е.Д. Трифонов
Применение теории групп в квантовой механике
В.II.Арнольд, В.В.Козлов, А.И.Нейштадт
Математические аспекты классической и небесной механики
Э. Картин.
Интегральные инварианты (с дополнением В.В Козлова)
По всем интересующим Вас вопросам
Вы можете обратиться в издательство
по телефонам 135-44-23, 135-42-46
или электронной почтой urss@ipi.ac.ru
Полный каталог изданий представлен
в Internet: http://tds.lpi.ac.ru