5 -JOHbU j• jit. , + y)3_3wy(w + V) + 1 _uv{u + v)-
~ 6 /5	+ 2wV - (u + v) + 3uV > 0
cos 10е + cos 5Q^ COS 70 >^V3.
tg — 4sin Л1 a/7
a) sin 5 или sin 6; в) tg 3 или tg 3 ;	/	7х
6) cos 7 или cos 6; r) sin 3 или sin 3".	+ sinM^n" 2' + sin"
(30 + «изо - a) < зо3 x = и + v и у = w • v, причем x > 0,
УЧЕБНОЕ
ПОСОБИЕ
С. А. Гомонов
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ
г НЕРАВЕНСТВА:
способы полу*
и пример,
применения
10'11
КЛАССЫ
РСЫ
ПРОФИЛЬНОЕ
ОБУЧЕНИЕ
5— +------2---
[и йп2 2’ + sin2 3*« - cos4° + 1 ~ соз6° •
У • (5 - 4х) + (л3 — х2 - х + 1) > 0, где х > 0, 0 < у < | х3,
sin3 Г + sin3 4* » 1 ~ ‘”2' + 1 ~ ;os8‘	(30 + а)(30 - а) < ЗО3
^т(/ .237+^5^^
—г-------------2__________2 /-Z  .............~ \-yZ4222Z
2 ’>142,5" • cos 1,5” и	0,5°
i ЧТ< при всяком Z из [0; 1 ] ОМС1?ИДЯО. I-............. =
С. А. Гомонов
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ
НЕРАВЕНСТВА:
способы получения
и примеры
применения
10-11
КЛАССЫ
ЭЛЕКТИВНЫЕ КУРСЫ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
ДЛЯ ПРОФИЛЬНЫХ КЛАССОВ
ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ
УЧРЕЖДЕНИЙ
Допущено
Министерством образования и науки
Российской Федерации
2-е издание, стереотипное
d р о ф а
МОСКВА
2006
УДК 373.167.1:512
ББК 22.14я72
Г64
Серия основана в 2004 году
Гомонов, С. А.
Замечательные неравенства: способы получения и примеры
применения. 10—11 кл. : учебное пособие / С. А. Гомонов. —
2-е изд., стереотип. - М. : Дрофа, 2006. - 254, [2] с. : ил. -
(Элективные курсы).
ISBN 5-358-00664-8
Учеоное пособие состоит из двух разделов, содержащих десять глав. В первой
части рассматриваются приемы установления истинности неравенств, во второй
дается представление о применении неравенств к решению оптимизационных задач.
каждой главе приведены задачи для самостоятельного решения, темы для
рефератов и литература к ним. В конце пособия даются три контрольные работы,
краткий биографический словарик, ответы к наиболее трудным заданиям и
обширная библиография.
УДК 373.167.1:512
ББК 22.14я72
ISBN 5-358-00664-8
© ООО «Дрофа», 2005
ПРЕДИСЛОВИЕ
Дорогие друзья — любители математики!
Данное пособие по элективному курсу (т. е. курсу «по выбору»)
«Замечательные неравенства, способы получения и примеры при-
менения» адресовано тем из вас, кто пожелает под руководством
учителя или самостоятельно познакомиться с некоторыми класси-
ческими неравенствами, которые совершенно справедливо можно
назвать замечательными, настолько они математически красивы
и широко востребованы в прикладных научных дисциплинах.
С помощью классических неравенств во многих случаях можно
осуществить исследование на максимум и минимум целого ряда
функций без обращения к нахождению и исследованию их произ-
водных (тем более что производная у исследуемой функции может
отсутствовать). Классические неравенства могут помочь решить
уравнение, ответить на вопрос «Что больше?» применительно к не-
скольким (чаще всего — двум) конкретным действительным чис-
лам и даже оценить возможный доход от банковского вклада.
К сожалению, основной школьный курс почти ничего не гово-
рит о существовании истинного математического богатства, име-
нуемого классическими неравенствами. Пожалуй, только соотно-
шение между средним арифметическим и средним геометриче-
ским двух неотрицательных действительных чисел (неравенство
Коши) можно обнаружить на страницах школьных учебников, по
которым вы изучали базовый курс математики.
Есть и еще один повод познакомиться с данным курсом: задачи,
решение которых весьма затруднительно или даже невозможно по-
лучить без применения классических неравенств, — частые гости
на математических олимпиадах школьников, а значит, тот из вас,
кто захочет хорошо подготовиться к тому или иному математиче-
скому конкурсу, просто обязан будет познакомиться с наиболее
знаменитыми и востребованными замечательными неравенствами.
3
Именно на математических олимпиадах в «школьные годы чу-
десные» автор данного пособия впервые встретился с задачами на
установление истинности неравенств с переменными, причем
справиться ему с ними чаще всего не удавалось. Было обидно и
досадно за свою беспомощность, и эти чувства еще более усилива-
лись, когда по завершении олимпиады ее участников знакомили с
решениями задач. Оказывалось, что решения опирались либо на
«общеизвестные» факты (отсутствовавшие в школьном курсе ма-
тематики), либо способ решения этих задач хоть и представлял
собой последовательность достаточно простых рассуждений, не
выходящих за рамки того, что давала школьная математика, но
вот логика и идеи построения всей цепочки этих элементарных
звеньев-рассуждений выходили за рамки методов и приемов
школьного курса математики. Тем более, что процесс получения и
изучения неравенств и их приложений неформален и мало
алгоритмизуем.
Стоит отметить, что развитие теории неравенств с переменны-
ми за последние сто лет привело к появлению в ней необычайного
разнообразия методов и направлений (например, матричные обоб-
щения классических неравенств). Именно поэтому каждая глава
данного пособия завершается разделом «Темы докладов и рефера-
тов и литература к ним», причем указываются не только источни-
ки из библиографического списка, помещенного в конце посо-
бия, но и приводятся содержащиеся в них наиболее интересные
факты и задачи, что существенно поможет работающим с этим
пособием при выборе тем докладов и рефератов, а также литера-
туры для дополнительного углубленного изучения теоретического
материала данной главы.
Данное пособие состоит из двух частей. В первой части из-
лагаются наиболее распространенные приемы сравнения действи-
тельных чисел и установления истинности неравенств с перемен-
ными. Вторая часть пособия ставит своей целью познакомить
с основными источниками — генераторами замечательных нера-
венств, дать представление о применении неравенств при решении
оптимизационных задач, подвести к пониманию идей такого сов-
ременного раздела математики, как выпуклый анализ.
Работа учащихся с пособием предполагает их выход на один из
трех уровней освоения теоретического материала и его
приложений. Причем при изучении материала одной главы мож-
но остаться на первом уровне — уровне ознакомления с ос-
новными методами и приемами получения и применения
4
замечательных неравенств, уровне ознакомления с гото-
выми решениями и лишь частичным разбором задач из раз-
дела «Задачи для самостоятельного решения», а вот при освоении
другой главы пособия возможен выход на второй уровень —
уровень освоения всего материала данной главы, в том чис-
ле и тех ее более сложных параграфов и разделов, кото-
рые отмечены знаком (*). При этом возможно обращение к
пропущенному материалу предыдущих глав, на котором основы-
вается материал данной главы. Выход на второй уровень предпола-
гает усиление самостоятельной работы по освоению материала по-
собия (в том числе сугубо самостоятельное решение большей части
задач из соответствующего раздела). При этом следует помнить об
определенном коварстве многих задач на обоснование неравенств
с переменными: ускользающая незначительная деталь в цепочке
рассуждений приводит к тому, что цепь распадается, причем поиск
недостающего звена может быть до обидного продолжителен. Есть
и еще одна опасная особенность: решение может основываться на
весьма сложных и далеко не очевидных формальных преобразова-
ниях, самостоятельный поиск которых может лишь отвратить от
изучения замечательных неравенств. Именно поэтому так важно,
чтобы освоение соответствующего материала шло под руководст-
вом учителя. Выход на третий уровень освоения пособия
предполагает не только изучение большей части мате-
риала, сосредоточенного в нем, но и усиление самостоя-
тельной работы с дополнительными источниками с
целью написания рефератов и подготовки докладов (воз-
можно, стендовых). Выбор темы доклада или реферата, подбор до-
полнительной литературы, безусловно, предполагает возможность
постоянных консультаций с учителем. Стоит подчеркнуть, что бо-
лее сложные темы для написания докладов и рефератов помечены
знаком (*).
Контрольные работы, размещенные в конце пособия, могут
быть полезны в том случае, когда изучающие курс «Замечательные
неравенства, их обоснование и применение» решили ограничиться
выходом на первый или частично на второй уровень освоения со-
держащегося в пособии материала.
Автор выражает свою искреннюю признательность за критиче-
ские замечания, способствовавшие улучшению данного пособия,
доктору физико-математических наук, профессору Валериану-
Ивановичу Гаврилову и доктору физико-математических наук,
профессору Виктору Дмитриевичу Будаеву.
С. А, Гомонов
5
ВВЕДЕНИЕ
...Основные результаты математики
чаще выражаются неравенствами, а не
равенствами.
Э. Беккенбах, Р. Беллман.
«Введение в неравенства»
Неравенства играют фундаментальную роль в большинстве
разделов современной математики, без них не может обойтись ни
физика, ни математическая статистика, ни экономика. Однако до
сих пор нет хорошо разработанной достаточно общей «теории не-
равенств», хотя для обоснования отдельных классов неравенств та-
кую теорию удалось создать — это и некоторые разделы выпуклого
анализа, и теория мажоризации, и ряд других. Так или иначе, но
неравенства встречаются как в классических разделах математики
(в геометрии, в дифференциальном и интегральном исчислении,
в теории чисел), так и в достаточно современных ее разделах (те-
ория автоматов, теория кодирования). Количество новинок среди
даже не неравенств, а классов неравенств увеличивается необы-
чайно стремительно и неудержимо, так что замечательная книга
Г. Г. Харди, Д. Литтльвуда и Г. Полиа «Неравенства» (М.: ИЛ.,
1948) для современного состояния теории неравенств уже, безу-
словно, неполна и не освещает многие современные результаты.
Было бы справедливо указать имена тех ученых, кто получил
первым тот или иной результат, касающийся неравенств, однако
многие из результатов были получены и применены как некие
вспомогательные средства в какой-либо работе по геометрии, аст-
рономии или физике, а затем были переоткрыты много лет спустя.
В этом причина того, что даже названия многих замечательных не-
равенств, как и терминология вообще, не устоялись. В разных
странах и в разных математических школах называют одно и то же
6
неравенство по-разному и приписывают его открытие разным ма-
тематикам, тем более что зачастую давно полученное неравенство
вдруг оказывается частным случаем и более общего, да и более мо-
лодого по срокам появления неравенства.
Есть и другая причина анонимности многих результатов. На-
пример, как найти первооткрывателя того фундаментального фак-
та, что квадрат любого действительного числа всегда неотрицате-
лен, а значит, для любых действительных чисел а и b справедливо
соотношение (а — Ь)2 > 0, а значит, а1 + Ь2 > 2 • а • Ь, откуда полу-
чаем для любых действительных неотрицательных чисел А = а2
и В = Ь2 знаменитое «школьное» соотношение между их средним
арифметическим и их средним геометрическим JA • В :
Также трудно определить авторство многих интересных задач
на установление неравенств, однако ряд замечательных авто-
ров-составителей задач, авторов великолепных статей, многие го-
ды предлагавших свои произведения на страницах журналов «Ма-
тематика в школе» и «Квант» всем любителям и профессионалам
от математики, назвать можно и должно, это Л. Д. Курляндчик,
О. И. Ижболдин, Р. Б. Алексеев, С. Т. Берколайко, А. Н. Вороной,
И. Ф. Шарыгин, Р. П. Ушаков, 3. А. Скопец, Г. А. Сорокин, А. С. Яр-
ский, В. Сендеров, М. Б. Балк, Н. Я. Виленкин, Ю. Ф. Фоминых,
Ф. Г. Шлейфер, В. Г. Болтянский, А. Г. Мордкович, А. П. Савин,
Л. Слукин, Л. Токарева.
Стоит отметить, что данное пособие, написанное прежде всего
для учащихся старших профильных классов, отличается рядом
особенностей. Одна из них — его «примерно-образцовый» харак-
тер, т. е. в пособие включено значительное число задач с решения-
ми, что позволяет накопить практические навыки, чтобы подойти
подготовленным к восприятию соответствующих достаточно об-
щих приемов решения задач на установление истинности нера-
венств. Подобное выстраивание процесса освоения материала по-
зволяет использовать данное пособие для самостоятельного овла-
дения основными приемами установления истинности неравенств
с параметрами, тем более что принцип «от простого — к сложно-
му» максимально соблюдается при изложении материала. Конеч-
но, данное учебное пособие написано прежде всего для школьни-
ков-старшеклассников, поэтому оно базируется на тех знаниях,
что получены школьниками в основном курсе математики. Это
7
значит, что «выход» на соотношения, аналогичные знаменитым
классическим неравенствам, но уже в ситуации, когда значения
переменных — это математические объекты, весьма отличающие-
ся от действительных чисел, — кватернионы, матрицы (таблицы)
и, наконец, функции, малодостижим из-за очевидных временных
ограничений. Но уже то, что удалось представить в данном посо-
бии, позволит всякому, кто интересуется точными науками и их
приложениями, увидеть в математике творческое и поэтическое
занятие.
Библиографический список, завершающий текст пособия, по-
может усовершенствовать и углубить свои знания и навыки в облас-
ти теории неравенств всякому, кто пожелает это сделать.
Часть 1
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Гла ва I
ЧИСЛОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА
И ИХ СВОЙСТВА
§ 1. Некоторые понятия и свойства,
считающиеся известными
Прежде всего, вот что будем считать известным:
во-первых, что любое действительное число х может быть
только трех видов: или оно положительное — его десятичная за-
пись (т. е. запись в десятичной системе счисления) начинается со
специального опознавательного знака «+» (плюс), который, впро-
чем, часто договариваются (ради краткости записей) не писать;
или оно равно нулю (тогда его имя, т. е. обозначение, — это 0);
или, наконец, положительным будет число —х, и тогда само число
х называют отрицательным и его десятичная запись начинается
опознавательным знаком «-» (минус);
во-вторых, что для любых двух положительных чисел х и у их
сумма и их произведение — числа положительные, и это справед-
ливо и для трех, и для четырех и т. д. положительных чисел;
в-третьих, что справедливы переместительный (коммутатив-
ный) и сочетательный (ассоциативный) законы сложения и умно-
жения, равно как и распределительный (дистрибутивный) закон
умножения относительно сложения и вычитания.
Задание 1.1. Приведите примеры положительных и отрица-
тельных действительных чисел, вспомните символическую запись
основных законов сложения и умножения действительных чисел.
Однако не все так просто, вот, например:
Задание 1.2. Попробуйте ответить, какими будут значения
следующих числовых выражений (положительными, отрицатель-
ными числами или числом нуль):
(-3)1000; sin 600о. з/з _ 3/5 . log Sin( 10017С - 1); е* - пе.
Ч Э
9
§ 2. Понятия «больше» и «меньше»
для действительных чисел. Числовые неравенства
Приведем теперь основное определение, которое вводит поня-
тие «больше» для действительных чисел.
Определение 1.1. Пусть а и Ь — какие-нибудь два действитель-
ных числа, тогда говорят, что а больше b в том и только том случае,
когда число а - b (т. е. их разность) — число положительное. Тот
факт, что число а больше числа 6, коротко фиксируют с помощью
следующей символической записи (символа), называемой число-
вым неравенством:
а> b
(которую так и читают «а больше Ь»).
Напомним, что геометрически тот факт, что а > Ь, означает
следующее: точка, изображающая на числовой оси число а, лежит
правее точки, изображающей число Ь.
Задание 1.3. Выясните, какие из следующих утверждений ис-
тинны, а какие ложны:
210° > 350. tg 1000о > 0; sin(101jl - 1) > 0; 72 + л/з > 2;
oMogj-,-, Ji.
Без труда теперь можно ввести понятие «меньше» для действи-
тельных чисел, причем это можно сделать, опираясь на только
что введенное понятие «больше».
Определение 1.2. Пусть с и d — какие-нибудь два действитель-
ных числа, тогда говорят, что с меньше d (и пишут с < J), если d
больше с. Символическую запись (символ) с < d также называют
числовым неравенством.
Или совершенно независимо от него с последующим вы-
яснением связи между этими понятиями.
Задание 1.4. Придумайте самостоятельно формулировку это-
го «независимого» варианта определения.
Напомним, что числовые неравенства а > Ь и с < d принято
называть строгими неравенствами. Так называемые нестро-
гие неравенства можно ввести следующим образом.
Определение 1.3. Пусть а и b — какие-нибудь действительные
числа, тогда говорят, что а не меньше Ь (и пишут: а > Ь) в том
и только том случае, когда либо а больше Ь, либо а равно Ь.
Аналогично: говорят, что с не больше, чем d (и пишут: с < d)
тогда и только тогда, когда либо с меньше либо с = d.
10
Замечание. Если символ а > Ь, или а > Ь, или а < /?,
или а < b является краткой записью истинного утверждения, то
принято говорить об этом символе как об истинном (справедли-
вом) числовом неравенстве, в противном случае — о ложном чис-
ловом неравенстве.
§ 3.	Простейшие свойства числовых неравенств
Напомним теперь основные свойства числовых неравенств.
1.	Действительное число а является положительным тогда
и только тогда, когда истинно (справедливо) числовое неравенство
а > 0, что, в свою очередь, имеет место тогда и только тогда, когда
истинно числовое неравенство — а < 0, т. е. когда число — а отрица-
тельно.
2.	Для любого действительного числа а справедливо одно
и только одно из трех следующих утверждений: либо а > 0, либо
а < 0, либо а = 0.
Доказательства этих первых двух свойств непосредственно
следуют из вышеприведенных определений и соотношения между
понятиями «положительное» и «отрицательное» число, которые
мы договорились считать известными.
3.	Числовое неравенство а> b справедливо тогда и только тог-
да, когда справедливо числовое неравенство а — b > 0.
4.	Для любых действительных чисел а и b справедливо одно
и только одно из следующих числовых неравенств: либо а > Ь, ли-
бо Ь> а, либо а = b (свойство линейности).
5.	Для любых действительных чисел а и b справедливо
(по крайней мере) одно из числовых неравенств: а>Ь или а < Ь.
Доказательства свойств 3—5 проведите самостоятельно в ка-
честве упражнений.
6.	Если для некоторых действительных чисел а, Ь и с известно,
что а > b vl b > с, то будет справедливо и числовое неравенство
а > с (свойство транзитивности).
Доказательство. Если а> ЬиЬ> с,та — b nb — с — поло-
жительные числа, а тогда их сумма — тоже положительное число, но
(а - Ь) + (Ь — с) = а — с, что и означает: а больше, чем с.
7.	Если для некоторых действительных чисел а и b справедли-
во неравенство а > Ь, то для любого действительного числа с спра-
ведливо неравенство а 4- с > b + с; верно и обратное: если для не-
которых действительных чисел а, b и с справедливо числовое не-
11
равенство а + b > b + с, то будет истинным и такое числовое
неравенство, как а > Ь.
Задание 1.5. Доказательство данного свойства (как и по-
следующих) получите самостоятельно.
8.	Если для некоторых действительных чисел а и b справедли-
во утверждение, что а > Ь, то для любого действительного положи-
тельного числа с справедливо числовое неравенство а • с > Ь*с\
верно и обратное: если для действительных чисел а, b и с, где с —
положительно, выполнится соотношение а • с > b • с, то тогда бу-
дет верно и неравенство а > Ь.
Для последующих свойств выберем сокращенные варианты
формулировок, что никак не повлияет ни на их «качество», ни на
возможность применять их в дальнейшем.
9.	Если а > b , то — а < —Ь,
10.	Если а> b и с < 0, юа*с<Ь*с.
11.	Если а> Ьпс > d, то а + с > b + d, более обще: если
ах > Ьх, а2 > Ь2,..., ап > Ьп, то ах + а2 + ... + ап > Ьх + Ь2 + ... + Ьп,
где п е N, п > 2.
Замечание. Доказательство второй части свойства 11
можно провести, используя принцип математической индукции.
Договоримся в дальнейшем без лишних оговорок использовать
хорошо известные из школьного курса «двойные неравенства», по-
нимая, например, что символ а > b > с означает краткую запись
двух неравенств а > ЬнЬ> с (естественно, что двойное неравенст-
во а > b > с считается истинным, если истинны оба числовых не-
равенства а > b и b > с).
12.	Если Я] > Ьх > 0, а2 > Ь2 > 0,..., ап> Ьп> 0, то ах *а2' ...9ап>
> Ьх9 Ь29... • Ьп, где п g N,n> 2.
13.	Для любого натурального п и любого действительного а
а2” > 0.
Задание 1.6. Сформулируйте аналоги свойств 6—12, полу-
чающиеся из них заменой знака строгого неравенства (пусть не
всюду!) на знак нестрогого неравенства, и докажите эти свойства.
Следующие свойства являются примерами использования
свойств монотонности некоторых элементарных функций.
14.	Для любых действительных чисел а и b и любого натураль-
ного числа к числовое неравенство а > b истинно тогда и только
тогда, когда а2*+| > Ь2к+}. Иначе говоря, всякая функция вида
у = x2Zc+1 с областью определения R является монотонно возрас-
12
тающей (в строгом смысле) на всей своей области определения,
к — любое фиксированное натуральное число (или даже нуль).
15.	Для любых действительных неотрицательных чисел а и b
и любого натурального числа к числовое неравенство а> b истин-
но тогда и только тогда, когда а2к > Ь2к. Иначе говоря, всякая
функция вида у = х2к с областью определения [0; +°о) является
монотонно возрастающей (в строгом смысле) на всей области оп-
ределения, к — любое фиксированное натуральное число.
16.	Для любых действительных положительных чисел а и Ь
и любого положительного числа г числовое неравенство а> Ь ис-
тинно тогда и только тогда, когда ar > Ьг, Иначе говоря, всякая
функция вида у = хг с областью определения (0; +°о) является мо-
нотонно возрастающей (в строгом смысле) на всей области опре-
деления, г — любое фиксированное положительное число.
Замечание. Свойство 16 является обобщением свойст-
ва 15, однако отнюдь не очевидным, так как возможность выбора
показателя степени в выражении, задающем рассматриваемые
функции, претерпевает существенные, можно сказать, качествен-
ные изменения: от множества, состоящего из «изолированных»
точек, к множеству, представляющему собой целый промежуток
(0; +оо).
17.	Для любых действительных положительных чисел с и d
и любого числа а, большего единицы, неравенство с > d истинно
тогда и только тогда, когда истинно неравенство ас > ad\ если же
а е (0; 1), то неравенство с> d истинно тогда и только тогда, когда
ас < ad.
Иначе говоря, функция у = ах с областью определения
является монотонно возрастающей (в строгом смысле) на всей
своей области определения, если параметр а больше единицы, и
монотонно убывающая (в строгом смысле) для любого фиксиро-
ванного а из промежутка (0; 1).
Замечание. Напомним, что функция у = f(x) с об-
ластью определения D(f) называется монотонно возрастаю-
щей в строгом смысле (или просто: возрастающей) на множест-
ве М cz D(f), если для любых двух действительных чисел и х2
из М будет справедливо утверждение: если х} > х2, то f(xx) >Дх2).
Если же из справедливости неравенства х{ > х2, где х{ и х2 — лю-
бые числа из М с: D(f), следует справедливость нестрогого нера-
венства f(x{) >/(х2), то функцию у =/(х) называют монотонно
13
возрастающей в нестрогом смысле (или просто: не убываю-
щей) на множестве М.
Аналогично вводятся понятия убывающей и не возрастающей
функции на данном множестве, которое, кстати, не обязано совпа-
дать с областью определения данной функции.
Задание 7.7. Самостоятельно сформулируйте определения
убывающей и не возрастающей функции на данном множестве.
Приведите примеры таких функций на соответствующих множе-
ствах.
Примеры применения перечисленных выше свойств составят
большую часть следующей второй главы.
Литература для повторения
1.	Учебники по математике (по алгебре иначалам анализа),
по которым вы учились в предшествующие «предпрофильные»
годы.
2.	Блох М. Ш., Трухан Т. Л. Неравенства. — Минск: На-
родная асвета, 1972.
3.	Башмаков М. И. Уравнения и неравенства. — М., 1971.
Упражнения для повторения
1.	Любые ли два неравенства одинакового смысла можно
почленно перемножать? Приведите пример, обосновывающий
ваш ответ.
2.	Верно ли, что для любых действительных чисел а и b и лю-
бого натурального п из а > b следует, что ап > Ьп? Проиллюстри-
руйте свой ответ примером.
3.	В каких пределах заключено число а\ число — а\ число
число -а + 1, если: а) 20 < 4а < 50; б) -2,4 < 6а <15?
4.	В каких пределах заключена сумма а + Ь, если:
а)	3 < а < 10 и 7 < b < 20; в) -3,1 < а < 3,4 и 1 < b < 0,6?
б)	1,3 <а< 1,4 и 2,3 < b < 3,6;
5.	В каких пределах заключена разность а — Ь, если:
а) 0,1 <а<0,Зи0,1 <b< 1; б) —2 < а < i и-1 </><-0,1?
14
6.	В каких пределах заключены la + ЗЬ и За — 5/?, если:
а) 1,9 < а < 1,99 и 0,55 < b < 0,56; б) -2 < а < 3 и -7 < b < -5?
7.	В каких пределах заключено произведение crb, если:
а) 0,6 < а < 0,8 и 2,3 < b < 2,5; б) g < а < | и з| < b < 3^ ?
8.	В каких пределах заключено число , если:
а)	2,3	< 10;	в) 0,1 < а < 0,11;
б)	-7 < а < -3;	г) -6 < а < 2?
9.	В каких пределах заключено частное , если:
а) 3 < а < 7 и 1 < Ь <	6;	в) -4 < а < 2 и -3	<	b	< -1;
б)—4<а<2и2<£<7;	г) -2 < а < 4 и -1	<	b	<2?
10.	Справедливы ли неравенства: 3 > 3; 5 > 5; 50 > 30; а2 + 1 > а
для любого действительного а!
11.	Могут ли для некоторых действительных чисел а и b одно-
временно выполняться неравенства:
а) а > b и а < £; б) а > b и а < Ь?
12.	Если для некоторых действительных чисел а и b известно,
что а > Ъ, то можно ли утверждать, что:
а) а > Ь; б) а = Ь; в) либо а> Ь, либо а = Ь2
13.	Докажите, что если а>Ькс<с1, та — с > b — d.
14.	Всегда ли 6а больше За?
15.	Расположите числа:
а) а2, 5а2, 2а2; б) а, 5а, 2а; в) а — Ь, а — 2b, а — ЗЬ в порядке
возрастания.
Темы докладов и рефератов и литература к ним
1.	Неравенства и области на декартовой плоскости.
а)	Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, задаю-
щие простейшие линии и области на декартовой плоскости.
б)	Естественные способы образования новых фигур: объедине-
ние, пересечение и вычитание известных фигур и соответствую-
щие им преобразования задающих их уравнений, неравенств, сис-
тем и совокупностей.
в)	Выбираем наиболее простое решение.
г)	Получение семейств линий малым шевелением параметров.
д)	Использование машинной графики.
Литература. 114,46,44, 101.
15
2.	Составление неравенств и уравнений на заданную тему.
а)	Банк-хранилище «строительного материала» — наиболее
важных уравнений и неравенств и (в пару каждому из них) множе-
ства их решений.
б)	Получение новых неравенств, уравнений, систем и совокуп-
ностей (из известных), чьи множества решений выражаются с по-
мощью теоретико-множественных операций, примененных к мно-
жествам решений исходных неравенств, уравнений, систем и сово-
купностей.
в)	Теорема. Любое неравенство (система или совокупность
неравенств) равносильно некоторому уравнению.
г)	Преобразование множества решений неравенства /(х) > О
или уравнения /(х) = 0 подстановкой вместо х выражения (р(х)
например, <р(х) = х + с, с g R \ {0}; ср(х) = i ; (р(х) = sin х; (р(х) =
= {х} и так далее .
Литература', см. список к предыдущей теме.
3.	Как задать функцию одной формулой?
а)	Это одна функция или нет?
б)	Функции «переключательного» свойства и их применение.
в)	Что можно и что нельзя получить, используя элементарные
функции.
г)	Примеры.
Литература'. 69, 75.
4*. Уравнения орнаментов и паркетов.
а)	«Смешные» множества решений уравнений и неравенств.
б)	Линейный, двумерный и круговой орнамент. Примеры.
в)	Группы преобразований плоскости, орнаменты и паркеты.
Литература'. 101,52, 114, 113.
ГЛАВА II
ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ УСТАНОВЛЕНИЯ
ИСТИННОСТИ ЧИСЛОВЫХ НЕРАВЕНСТВ,
ИЛИ КАК УЗНАТЬ, «ЧТО БОЛЬШЕ?»
Для установления соотношения между значениями двух (или
большего количества) числовых выражений приходится приме-
нять, как правило, несколько приемов, основные из которых
рассмотрим ниже.
16
§ 1.	Сравнение двух действительных чисел
(заданных как значения числовых выражений)
«по определению»
Прием заключается в следующем: составляют разность число-
вых выражений, чьи значения сравниваются, и стараются преобра-
зовать (упростить) эту разность так, чтобы положительность, отри-
цательность или равенство нулю ее значения стала очевидна.
Задача 2.1. Сравните два числа 0,7-2 + 0,3 и у ) + у .
Решение. Найдем разность между первым и вторым числом
и сравним результат с нулем:
Задача 2.2. Сравните числа: а) и ; 6) и g? .
Решение, а) Прежде чем обратиться к составлению соответст-
вуюшей разности, заметим, чтоа = ^=1-^Т_и/?=^ =
= 1 - 7^7 , а также, что	. Теперь очевидно, что а> Ь.
999Э	7770	777J
Замечание. Примененный выше прием часто называ-
ют переходом к сравнению дополнений до единицы (или перехо-
дом к сравнению расстояний до ближайшего целого числа).
э о 7 п	368 972	368 975 9
Задача 2.3. Что больше:	или ^4 ?
Решение. Прежде чем составить соответствующую разность,
осуществим, ради краткости записей, так называемый переход
к алгебраическим выражениям', обозначим а = 368 972 и
b = 764 797. Теперь естественно рассмотреть и преобразовать сле-
дующую разность: - ^-+3 =	~, но Та > 7 • 360 000 =
b b + 7 b{b + 7)
= 252 • 10 000, ЗЬ < 3 • 770 000 = 231 • 10 000, т. е. первая дробь больше.
Задача 2.4. Определите, какое из чисел больше:
/] оо 1	11992
а)	л/1992 ИЛИ л/Т993 (МГУ, факультет вычислительной матема-
тики и кибернетики, 1992 г.);
/1997	11998
б)	2ооо -—т или 2000/—— (межобластная заочная математиче-
Ч 1998	А/ 1999
ская олимпиада школьников).
2. Гомонов
17
Задача 2.5. Сравните дроби
_ 111 110	_ 222 221	_ 333 331 и уц Московская мате-
Л 111 111 ’ У 222 223	4	333 334
магическая олимпиада школьников, 8 класс).
Задача 2.6. Какая из дробей больше:
' 5	678 901 234	5	678	901 235 .
а' 6	789 012 345	6	789	012 347 ’
5	555 555 553	6	666	666 664
’ 5	555 555 554	6	666	666 669 ’
§ 2. Сравнение двух положительных чисел путем
сравнения с единицей их отношения
Часто используется следующий очевидный факт: если для не-
которых двух действительных чисел а и b выполнятся условия
2 > 1, а > 0иb >0,той > Ь.
о
2
Задача 2.7. Сравните числа - и logs 2.
5 J
Решение. Учитывая, что оба сравниваемые числа — положи-
тельны, рассмотрим их отношение
= 2, т. е. log5 32 > 2.
Задача 2.8. Сравните числа:
а)2^3 и З-^"2;
и 5- 4£;
А/ 624 а/ 624

§ 3. Сравнение действительных чисел
с помощью сравнения их степеней
Основа метода — применение свойств 14—16 (глава I, § 3).
Задача 2.9. Сравните числа ^7 - Тб и Тб - 75.
Решение. Применим для записи решения данного примера
специальную символику — знак сравнения или знак «неопреде -
18
ленного» неравенства V/, совершая только «обратимые» переходы
от одного утверждения к другому, при необходимости «перевора-
чивая» знак «неопределенного» неравенства.
Итак: а/7 — а/6 V/Тб — 75, прибавим к каждому из сравнивае-
мых чисел число 7б + а/5 и перейдем к сравнению чисел а/7 + 75
и 2л/б ; запишем это с помощью символа неопределенного неравен-
ства, т. е. как л/7 + 75 N/1J6 . Оба сравниваемые числа — положи-
тельные, что позволяет перейти к рассмотрению соотношения меж-
ду их «квадратами» (свойство 15): 7 + 2л/35 +5 V/ 24. «Отщипнув» от
каждого из рассматриваемых на данном этапе чисел по числу 12,
придем к сравнению чисел 2^/35 и 12, т. е. к «неопределенному» не-
равенству вида 2а/35 V/12 и, наконец, разделив каждое из рассмат-
риваемых чисел на положительное число 2 и возведя в квадрат срав-
ниваемые положительные числа, мы получим следующее «неопре-
деленное» неравенство 35 V/ 36, на котором цепочка «обратимых»
переходов от сравнения одной пары чисел к сравнению другой пары
чисел, очевидно, завершается, так как ясно, что 35 < 36, а значит, так
как знак «V/» ни разу не пришлось «перевернуть», два исходных чис-
ла удовлетворяют вышеприведенному условию.
Замечание. Использование свойств 14—16 как бы по-
вышает разрешающую способность нашего математического «зре-
ния», благодаря своеобразному эффекту «увеличительного
стекла», так как при натуральном показателе степени п (да и не
только) ее величина хп (при х > 1) растет существенно быстрее,
чем основание х при переходе последнего от одного значения
к другому (большему). Различия в значениях функции^ = хп ока-
зываются существенней, а потому заметнее, нежели различия меж-
ду значениями аргумента, т. е. степени чисел оказываются разли-
чимее, чем сами числа.
Задача 2.10. Какие из чисел больше:
а) а/2 + д/З или а/20 ; б) Тб — 1 или 72; в) 77 + а/10 или а/29 ?
Задача 2.11. Сравните числа, используя переход к алгебраи-
ческим выражениям:
а)	72001 + а/2003 и2а/2002 ; б) а/Ю02 + а/Т003 Иа/Т6оТ + 71004.
Задача 2.12. Верно ли утверждение, что 72 + 74 > 724?
Задача 2.13. Докажите неравенство 55 > 66 .
2*
19
§ 4. Метод сравнения двух чисел
с помощью нахождения
«промежуточного» для них числа
(метод оценок «сверху» и «снизу»)
Данный прием заключается в следующем: для сравниваемых
действительных чисел а и b стараются найти такое действительное
число с, что а < с < Ь, или несколько действительных чисел с,,
с2,сп таких, что а < с, < с2 < ... < сп < b (п — некоторое нату-
ральное число). В результате будет доказано, что а < b и сопостав-
ление чисел а и b состоится.
Задана 2.14. Сравните числа: log9 7 и log7 8.
Решение. Так как log9 7 < 1, а 1 < log7 8, то log9 7 < log7 8.
Задача 2.15. Сравните числа: а) 2^ и6;б) 7^ и 5^.
Решение, а) Перейдем к сравнению квадратов этих поло-
жительных чисел, т. е. от «неопределенного» неравенства
2^V/6 к 2^ V/36, но 2^ < 25, а значит, 2^ < б2, т. е. 2^ < 6.
б)	От сравнения положительных чисел 7^ и 5^ перейдем
к сравнению чисел (7^)^ и (5^)^: (7^)^ = 75 = 16807 >
> 15625 = 56 > (5^)^ , т. е. 7^ > 5 А
Задача 2.16. Сравните числа log3 5 и log2 3.
Решение. Сравниваемые числа лежат в промежутке (1; 2); пе-
рейдем к сравнению между собой чисел, получающихся из данных
умножением на 2, т. е. к числам log3 25 и log2 9. Однако
2 = log3 9 < log3 25 < log3 27 = 3 и 3 = log2 8 < log2 9,
а значит, log3 25 < log2 9 (в роли промежуточного числа выступило
с = 3), т. е. log3 5 < log2 3.
Замечание. При решении задачи 2.16 ясно просматри-
вается тот же эффект «увеличительного стекла», что уже встречал-
ся при решении задачи 2.9.
Задача 2.17. Верно ли неравенство:
а)	^40*7з8 • а/36 • ... *бЛ <105;
б)	л/б + л/б +... + з7б + vi + */б + //б +... + л/б + Л <5?
20
Задача 2.18. Какое из двух чисел больше:
а)	4^ илиЗ^;	в) 5300 или 3500;	д) 3111 или 1714;
б)	2з23 или З2";	г) 8020 или 940;	е) 2 Г22 или 2321?
Задача 2.19. Докажите неравенства:
a) log17 71 > 1/17; б) log7 8 < log6 7.
Задача 2.20. Вычислите с точностью до 10~50 значение выра-
жения 7121/2 — 15 + 27з1/4 — 3 .
Решение. Достаточно доказать, что значение этого числового
выражения — это целое число 3.
§ 5*. Метод вспомогательной функции
и использования ее свойств
Метод, основанный на введении в рассмотрение вспомогатель-
ных функций с последующим исследованием их на возрастание
и убывание с помощью изучения поведения производных этих
функций.
Задача 2.21. Сравните числа log1516 и log16 17.
Решение. Введем в рассмотрение следующую функцию f(x) =
= logr (х + 1) и исследуем ее на возрастание и убывание при х е
е (1; +оо), заметив, что/(15) и/(16) — это как раз те числа, что пред-
ложены в условии задачи для сравнения. Так как/(х) =	+	,
<1пх)*7ТТ -^1п(х+ 1)
то/'(х) =------х+/2 х----------
1п2х
xln^ * I — 1п(Х + 1)
х(х 4- 1)1п2х
. Замечая,
что для х е (1; +оо) о <	, < 1, получим, что тогда xln -—7— < О
X + 1	X + 1
и -ln(x + 1) < 0. Зная, что х(х + 1 )1п2 х > 0, получаем, что при
х g (1; +оо) /'(х) < 0, а значит, функция/(х) на (1; +оо) — убываю-
щая, т. е./(15) >/(16) и log15 16 > logI617.
Замечание. При решении предыдущей задачи был
применен следующий факт (хорошо известный из базового курса
алгебры и начал анализа как теорема о достаточных условиях убы-
вания или возрастания функции, заданной на некотором проме-
жутке), который можно выразить в форме теоремы.
21
Теорема. Если функция f(x) задана на некотором про-
межутке и имеет в каждой его точке производную,
значение которой в любой точке данного промежутка
положительно (отрицательно), то эта функция явля-
ется на данном промежутке возрастающей (убываю-
щей).
Стоит отметить, что в дальнейшем придется обращаться к бо-
лее «тонким» аналогам данной теоремы.
Задача 2.22. Докажите неравенство 5/2 + 7 < 81?/2 .
Задача 2.23. Что больше: 2122 или 2321?
Задача 2.24. Докажите, что log7 8 < log6 7.
Указание. Воспользоваться решением задачи 2.21.
Задача 2.25. Расположите в порядке возрастания:
4tgl°, 3tg 2°, 2tg 3°, tg4°.
Указание. Вспомогательная функция f(x) =	, х е (0; 5а),
где а — величина угла в Г.
Задача 2.267. Что больше: е^ или л5 + л4?
Подсказка. Вычисления с помощью компьютера дают:
е6 ~ 403,42879, л5 + л4 ~ 403,42878.
Задача 2.27. Докажите, что:
а)	37з + V3 + 37з - V3 < 23л/3 .
Указание. Рассмотреть функцию j\x) = Vl + х + V1 -х, где
х е (-1; 1).
б)	In 2 < 0,72;	в) lg211 + 1g2 9 < 1g 99;
г) sin 20° < ^; sin 20° > |.
§ 6. Метод применения
замечательных неравенств
Задача 2.28. Сравните числа: a) log4 3 и log3 2; б) log7 8 и log6 7.
Решение, а) Воспользуемся неравенством Коши, т. е. соотно-
шением между средним арифметическим и средним геометриче-
ским двух неотрицательных действительных чисел:
Ь > ^а • b , где а, b е. [0; +оо).
22
Но вначале рассмотрим отношение сравниваемых (очевидно
положительных) чисел и преобразуем его
. 1оёз2
’ log43
= log3 2 • log3 4.
А вот теперь к положительным числам log3 2 и log3 4 применим
I------------ log3 2 + log3 4
неравенство Коши: A/log3 2 * log3 4	——2-------- и пРе°бРазУем
правую часть полученного неравенства, что позволит оценить ее
значение «сверху» числом 1:
log32 + log34 _ log3(2-4) _ log3(32-l)
2	2	2
так как log3 (З2 — 1) < log2 З2 = 2.
Итак: 71og3 2 * log3 4 < 1, а значит, < 1, т. е. log3 2 < log4 3,
lOg4 3
что и требовалось выяснить.
б) 2 > log7 48 = log7 8 + log7 6 > 2 • ^/log7 8 • log7 6 = 2 •
log78
log6 7 ’
значит, log6 7 > log7 8.
|log7 8
log6 7 ’
Задача 2.29. Докажите, что log3 5 • log2 11 < 5 .
§ T. Применение определенного интеграла
1	52	1
Задача 2.30. Докажите неравенство — < In— < — .
52
Решение. Легко видеть, что число 1п|- = In 52 — In 51 = In х |
dx
= J------площадь хУ криволи-
52 Х
нейной трапеции, образованной
графиком убывающей на отрез-
ке (0; +°°) функции у = , осью
ОХ и прямыми х = 51 и х = 52
(рис. 1 ).
23
I	Рисунок хорошо иллюстрирует тот оче-
v	видный факт, что SABEr < S < SABCD,
но площади прямоугольников A BCD
? ' и ABEFсоответственно равны и
200	201	202 т. е. < ln|j < yj-, что и требовалось до-
Рис •2	казать.
Задача 2.31. Какое из чисел больше: или 1п|^ ?
Решение. Так как In=	= Г — — площадь криволи-
100	200 2оо х
1	2
нейной трапеции (рис. 2), а число = (202 — 200) * йлТ = 5п7 ~
£\J 1	£\J 1
площадь заштрихованной прямоугольной трапеции, содержащей-
ся в отмеченной выше криволинейной, то < Inj^ , что и тре-
бовалось выяснить.
Замечание 1. Любопытно, что далеко не всякий каль-
кулятор «почувствует» разницу между числами и4п '
Замечание 2. Очевидно, что решения предыдущих за-
дач подсказывают методы, позволяющие получать бесконечно
много истинных числовых неравенств, причем кроме функции
у = подойдут и многие другие.
§ 8. Решения задач, иллюстрирующих
перечисленные выше методы и не только их
Задача 2.32. Какое число больше: 2100 + З100 или 4100?
Решение. Так как 2100 + З100 < 2 • З100, то достаточно убедиться,
что 4100 > 2*3100, чтобы установить, что второе из заданных
двух чисел больше первого. Для доказательства неравенства
4,0° > 2*3100 достаточно (и необходимо) установить неравенство
(4 \100 -л	(4 X100 (4 \3 64
- J > 2, но так как l-J > I - I = — > 2, то оно очевидно,
что и завершает обоснование неравенства 2100 + З100 < 4100.
Задача 2.33. Найдите среди чисел 594, 690, 785, 879 самое боль-
шое.
24
Решение. Вначале убедимся, что из первых трех чисел самое
большое — это 785. Для этого сравним вначале числа 6" и 594: 6" V/ 594
«ли f v/я „о У - ( 1 + 1 У > I + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 - 2
(последнее неравенство получается «сохранением» первых двух
членов бинома Ньютона ( 1 + У ) , либо из того, что ( 1 + У =
(l + 5)'1+(1+s)4>1 + s + ra зна',ит' (1 + П' > (1 +
44)-(l4)-(144)-| + (l + 5 + ^4>l + :s +
+ i ит. д.). Итак, ( ) > 2, а значит, ( )	> 29 = 83 > 52, т. е.
690 > 594.
Аналогично устанавливается, что 785 > 690: 785 V/ 690 или 717 V/ 618
/ у \ 18
или I - I V/ 7, что легко заменяется «определенным» неравенст-

1
6
= 23 > 7, итак 785 > 690. Сравним теперь числа
78;> и 879: 785 V/ 879 или 76 V/ (	, но ( ) < ( § ) . Перейдем к
7 8 А89	( 8 А49
установлению соотношения между 76 и ( - 1 . Так как I - 1
= ( ( ^У У = ( ( Sui У У < (1’712)5 < 35 = 243 < 343 = Ч то 785 > 879.
Решение.
_24
3 * 5
_ 1 3
2*4*6
119
> — , то х > у, а тогда х2 > ху, но ху =
6
7
5
Задача 2.34. Докажите неравенство
Обозначим, ради краткости записей, х
120
— и введем в рассмотрение еще
119	214
— , тогда, так как ^>2’5
= 1.2
^23
одно число у =
>3
4’
3.4
4 5
6	> 5	120
7	6 ’	121
.	. 119 . 120 =
120	121
25
= __L . Итак: x2 > xy и xy = -у-, а значит, x2 > -yr, откуда, так как
x > 0, получаем, чтох >	, что и требовалось доказать.
Задача 2.35. Докажите истинность двойного числового нера-
венства 5/43 < 5/3 + 5/9 < 5/44.
Решение. Введем в рассмотрение вспомогательную функцию —
многочлен натуральной степени с рациональными коэффициента-
ми, имеющий число 5/3 + 5/9 своим корнем. Для этого заметим,
что (5/3 + 5/9 )3 = 9*(5/3 + 5/9) +12 (проверяется непосредствен-
ными вычислениями!), а это означает: многочлен Дх) = х3 - 9х -
— 12 — искомая вспомогательная функция.
Так какДх) = х(х2 - 9) - 12, то, во-первых, при х > 3 Дх) -
возрастающая, во-вторых, несложные выкладки показывают, что
Д 5/43) < 0, Д 5/44) > 0, а значит, отрицательное числоД 5/43) заве-
домо меньшеД 5/3 + 5/9), т. е. меньше нуля, в свою очередь, поло-
жительное число Д 5/44) больше, чем 0 =Д 5/3 + 5/9), т. е.Д 5/43) <
<Д5/3 + 5/9)<Д5/44), но все три числа: и 5/43 , и 5/3 + + 5/9, и
5/44 больше, чем три, т. е. принадлежат промежутку возрастания
функции/(х), что и обосновывает истинность анализируемого ис-
ходного числового неравенства.
Задача 2.36. Определите знак разности
(  1 +  1 +...+ 1
V 71 • 1978	72 • 1977	71978 • 1 '	1979
Решение. Воспользуемся тем, что из неравенства Коши (при
любых несовпадающих положительных а и Ь) следует неравенство:
/а • b а + b
тогда, очевидно, истинными будут следующие числовые соотно-
1.2	21	2	9
шения: ——— > -------=— = —— . ---------- > ----_
А/1 • 1978	1 + 1978	1979’ 72<Т977	2+1977	1979’ ***
1	>	2	= 2
’’’71978 4	1978 +1	1979’
26
складывая почленно которые, мы получим истинное числовое не-
равенство, гарантирующее положительность исследуемой разнос-
ти, т. е. знак ее числового значения — это «плюс».
Задача 2,37, Сравните числа ее • яя и е2к.
Решение. Рассмотрим вспомогательную функцию f(x) = х -
-яЧпх. Найдем ее производную {D(f) = (0; +oo)):/v(x) = 1 - ,
значит, f(x) имеет наименьшее значение в точке х = я, так что
Де) >Дл), т. е. е — я • In е > я — тс • In тс, а тогда е + я!п я > 2л, что га-
рантирует выполнение неравенства ее • яя и е2\
Задача 2.38. Сравните числа 100101 и 101,0°; (72)^ и (73)^;
е* и 71е.
Решение. Рассмотрим вспомогательную функциюf(x) = • 1пх,
л* е (0; +°о), так как от сравнения чисел 100101 и 101100 можно пе-
рейти к сравнению чисел 101 • In 100 и 100 • In 101, а затем к
и . Очевидно, что f'(x) = 1 ~ !.пх, значит, при х е (0; е)
101	xL
f'(x) > 0, а прих е (е; +°о) Д(х) < 0. Таким образом, будучи непре-
рывной в точке е, Дх) возрастает на (0; е] и убывает на [е; +°°),
значит, если 0 < х < у < е, то • In х < ^ • In д/ и х-^ < ух,
а если е < х < у, то - • In х > - • In у и ху > ух, в частности,
х	У
(72)^ < (Тз)^ ; НО 100101 > 10110°, е* > 71е.
2
Задача 2.39. Сравните числа In 9 и----.
lg(3lnl0)
Решение. Найдем произведение двух сравниваемых положи-
тельных чисел: In 9 • —-^г- = ,2*21?3, = 4 • (	: 1g 31 = 4, а так
lg(3lnI°) lnl0*lg3 Un 10 ь )	’
2
как In 9 > 2, то второе число меньше двух, значит, In 9 >-г-гг-.
lg(3lnl0)
Задачи для самостоятельного решения
С-2.1. Найдите целую часть числа 1 + —U +	+ Д= + —U .
л/2 Тз 74	75
Указание. Воспользуйтесь следующими очевидными неравен-
ствами: 0,7 < Д < 0,8; 0,5 < Д < 0,6; 0,5 < Д < 0,5; 0,4 < Д < 0,5.
27
1 n 10 + 1	inll + I
С-2.2. Что больше: *“ + или . » + ?
1011 + 1 IO12 + 1
С-2.3. Сравните числа: 99100 и 100"; 718813 и 813718.
135	99	I
С-2.4. Докажите неравенство х * т’ тлл < m (см.
2 4 О	1UU	Ш
задачу 4.11),
3 /7 + 5 /5
С-2.5. Какое из двух чисел больше: ——или 6?
25
С-2.6. Расположите следующие числа в порядке их возраста-
ния: л/2 , i/3 , 1/4, V5 (см. задачу 4.15).
С-2.7. Докажите, что при достаточно большом натуральном
и сумма 1 + 1+ I+ I + I+ ... + - окажется больше любого на-
J	2	3	4	5 п
перед заданного числа.
Указание. Воспользоваться очевидными неравенствами:
I+1 >2.1 = 1;* +1 + 1 +!>4.1 =1 ит. д.
3 4	4 2’5 6 7 8	8 2 д
С-2.8. Какое из двух чисел больше: а) 200! или ЮО200; б) 300!
или 100300?
Указание. Для а): составить и преобразовать отношение
200! _ 1	. 2	. 3	.	.	99	,	100 , 101 , . 199	.	200 =
1ОО200	100	100 100 ”	100	’	100 ’ 100 ’ " * 100	*	100
=	1 .	!99 .	2	.	198	.	, 99 . 101 .2 =
100	100	100	100	" 100 ’ 100 ’2
1_ 99 W1+ 99 \	98А (1 + 28 к х
100 J 11 100 J I юо J I + 100 ) "
х ( р_ _9§1	. ( р__12 А
I ЮО2 ) " I юо2 г
(992 А 2 • 199
I2 ~ 1002 / = 10 000 < 1’ а значит’ исходное отношение
удалось представить в виде произведения 99-ти положительных
чисел, каждое из которых — меньше единицы.
С-2.9. Докажите, что 1 • 2 • 3 •... • 100 • 101 меньше, чем 51101.
Указание. Воспользуйтесь неравенством Коши для 101 поло-
жительного числа 1; 2; ...; 101 и формулой для вычисления суммы
конечного числа членов арифметической прогрессии.
28
С-2.10. Не пользуясь таблицами и калькуляторами, докажите,
что cos 10° + cos 50° + cos 70° > V3.
Указание. Предварительно установив тождество cos 10°х
Л
х cos 50° • cos 70° =	, используйте неравенство Коши для трех
о
чисел.
С-2.11. Сравните два числа sin" Г + sin" 4° и sin" 2° + sin" 3° при
п = 1;2.
Указание. При п = 1 достаточно преобразовать заданные чис-
ловые выражения соответствующим образом: sin Г + sin 4° =
= 2 • sin 2,5° • cos 1,5° и sin 2° + sin 3° = 2 • sin 2,5° • cos 0,5°, после че-
го становится очевидно, что второе число больше первого.
При п = 2 достаточно выразить квадрат синуса через косинус
двойного угла:
sin21° + sin2 4° = 1 ~ °os2° + 1 ~c°s8°
и sin2 2° + sin2 3° =	+ Lzcosf.
а затем установить неравенство cos 4° + cos 6° > cos 2° + cos 8°, кото-
рое непосредственно следует из двух очевидных неравенств: cos 5° >
> 0 и cos Г > cos 3°. Таким образом, первое число из сравниваемых
двух чисел больше второго.
С-2.12. Сравните два числа: tg у - 4sin у и 77.
С-2.13. Докажите, что 60! < 3060.
Указание. Рассмотреть при а = 1, а = 2, ..., а = 28 очевидное
неравенство (30 + <з)(30 — а) < 302 и почленно перемножить все
эти неравенства с еще двумя: 59 • 1< • 302 и 60 • 30 < 3 • 302.
С-2.14. Докажите, что:
а)	л/б ± л/б + ... + Зл/б + З/б 4- л/б + л/б + ... л/б + л/б < 5.
1993 «шестерки»	1994 «шестерки»
б)	+ Зл/з + 4лД + ... + '"V1993 < 2.
С-2.15. Выясните, что больше:
a)	sin 5 или sin 6;	в) tg 3 или tg 3°;
б)	cos 7 или cos 6;	г) sin 3 или sin 3°.
29
С-2.16. Докажите, что + 7 < 8 1(V2 .
С-2.17. Какое из двух чисел больше:
а)	291 или 535; б) (1 • 3 • 5 •... • 1993)2 или 19931997?
С-2.18. Докажите без таблиц и калькулятора, что:
a)tg34°>T в) tg 57° >1,4;
б)	cos 36° > tg 36°; г) In 2 < 0,72.
С-2.19. Расположите в порядке возрастания '^/64,
и 472л/ТД5.
С-2.20. Докажите, не пользуясь таблицами и микрокалькулято-
рами, что:
a)	log3 7 > log7 27 (МГУ, ф-т психологии, 1969);
б)	log5 14> log7 18 (МГУ, филфак, 1969).
С-2.21. Найдите целую часть числа:
1
a)(V2 + -W; б)(^)^+"+т^;
в)	л/б + л/б + ... л/б~+ л/б _|_ л/б + Уб~+ + Уб + Уб, т, п е ]\f
п «шестерок»	т «шестерок»
Темы докладов и рефератов и литература к ним
1.	Соотношения, в которых участвуют переменные, чья сумма по-
стоянна (доклад).
Литература'. 107.
2.	Числа лиев примерах на вычисление целой и дробной частей
значений некоторых числовых выражений (доклад).
Литература'. 45.
3.	Использование знака сравнения «V/» при решении задач на со-
поставление значений числовых выражений (доклад).
Литература'. 103, 39, 58.
4.	Оцениваем, глядя через «увеличительное стекло» (доклад).
Литература'. 129, 143.
5.	Сопоставление значений числовых выражений с помощью пе-
рехода к сравнению значений выражений с переменными (доклад).
(От арифметики к алгебре.)
Литература'. 59, 87.
30
6.	Некоторые методы сравнения значений числовых выражений,
содержащих высокие степени.
Литература'. 118, 130.
7.	Применение определенного интеграла для обоснования и полу-
чения числовых неравенств.
а)	Геометрический смысл определенного интеграла.
б)	Сравниваем площади фигур.
в)	Примеры.
Литература'. 53, 40.
8*	. Теорема Лагранжа и ее применение к доказательству неравенств.
а)	Жизнь и научное наследие ученого (историко-биографиче-
ский экскурс).
б)	Формулировка и доказательство теоремы Лагранжа.
в)	Некоторые следствия из теоремы Лагранжа.
г)	Примеры получения и обоснования неравенств с помощью
теоремы Лагранжа и следствий из нее.
д)	Доказательство тождеств с помощью теоремы Лагранжа.
Литература'. 73.
9*. Итерационные последовательности и диаграммы Ламерея—
Кенигса.
а)	Что понимают под символами + a/2~+ ... + 72 + ...
и 72^Л".
б)	Теорема Вейерштрасса и ее применение.
в)	Итерационные последовательности и неподвижная точка
отображения.
г)	Вычисление пределов некоторых сходящихся последова-
тельностей действительных чисел.
Литература'. 76, 9, 65.
Глава III
ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
НА УСТАНОВЛЕНИЕ ИСТИННОСТИ НЕРАВЕНСТВ
С ПЕРЕМЕННЫМИ. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ НЕРАВЕНСТВА
КОШИ, ИХ ОБОСНОВАНИЕ И ПРИМЕНЕНИЯ
Предыдущая глава показала примеры использования замеча-
тельных неравенств при установлении истинности числовых нера-
венств, однако это не самое интересное их применение. Замеча-
тельные неравенства помогают справиться со многими задачами
31
на исследование функций на максимум и минимум, они участвуют
в получении и обосновании многих важных математических ре-
зультатов, помогают разобраться в законах и методах математиче-
ской статистики и экономики. Одно из самых известных замеча-
тельных неравенств — это соотношение между средним арифмети-
ческим и средним геометрическим нескольких действительных
неотрицательных чисел, опубликованное в 1821 г. французским
математиком Огюстеном Луи Коши и ставшее столь популярным,
что для него к настоящему времени найдены десятки доказа-
тельств и сотни применений. Однако найдено много и других за-
мечательных неравенств большой востребованности, знание мето-
дов получения и примеров применения которых очень важно для
грамотного и успешного проведения математических исследова-
ний. Умение сочинять, обосновывать и просто находить замеча-
тельные неравенства на полках из некоторого воображаемого
«банка-хранилища» — важный навык и умение всякого професси-
онального математика.
§ 1. Понятие неравенства с переменными
и его решения. Неравенство-следствие.
Равносильные неравенства.
Опровержимые неравенства
Прежде всего, уточним понятие неравенства с переменными
и рассмотрим сопутствующие ему понятия, чтобы получить воз-
можность математически грамотно формулировать исследуемые
утверждения, описывать процедуры решения задач и осуществлять
записи того и другого, но начнем все-таки с того, что подчеркнем
одну важную особенность содержания данного параграфа: форму-
лировки определений и свойств, составляющие большую его
часть, ни в коем случае не следует заучивать наизусть, тем
более готовиться к их воспроизведению по памяти, так как:
во-первых, сходные определения и свойства уже были изучены
и, надеюсь, усвоены при изучении уравнений и систем уравнений,
во-вторых, к материалу данного параграфа всегда можно вер-
нуться с целью уточнения формулировки частично забытого опре-
деления или договоренности об обозначениях.
Определение 3.1. Неравенством с переменными будем назы-
вать любой из символов (любую из символических записей) вида
d(xf,x2, .,.,хП) > В(Х\,Х2, ...,х„),
d(xt,x2, ...,х„) < В(Х',х2, ...,хп),
(1)
(2)
32
Л(хрх2, ...,х„) > Я(ХрХ2, ...,х„),	(3)
Л(х1? х2,..., х„) < Я(хр х2,..., х„),	(4)
где Л(Хр х2,	х„) и 2?(хр х2,	х„) — обозначения для произ-
вольных вещественнозначных (т. е. Е(А(хх, х2, ..., хп) cz Е(В(хх,
х2, ...,x„))cz 2?) функций от переменных (аргументов) хр х2, ...,х„
(/? е N), причем области определения функций А(хх, х2, ..., хп) и
В(хх, х2, ..., х„) — подмножества множества Rn = {(ар а2, ...,
ап)\ар я2, ..., ап е 2?}, имеют непустое пересечение. Это непустое
множество £>(Л(х15 х2,..., xrt)) п £>(2?(Хр х2,хЛ)) называют об-
ластью определения неравенства (1)—(4). При этом неравенства
(1)—(2) называют строгими неравенствами, а неравенства (3)—
(4) — нестрогими.
В дальнейшем в качестве символов для обозначения перемен-
ных (аргументов, параметров) будем чаще всего выбирать латин-
ские буквы, при необходимости снабженные индексами.
Пример 3.1. Рассмотрим две функции:
А(хх,х2) = — + — , D(A) = {(а15 a2)lai е A,g2g R, ах ^0, <72^0},
Х1 Х2
В(хх,х2) = - -	, D(B) = {(ар tz2)|<7! g А, а2 g R, ах* а2> 0},
тогда следующий символ будет неравенством с переменными Xj их2:
— + — >	2	(*)
Х\ х2 Jxx *Х2’
с областью определения {(ар а2)|а} g R, а2 е Л, ах • а2 > 0}. (По-
думайте, где на координатной плоскости расположены точки этого
множества.)
Замечание. Из определения 3.1 следует, что любое из
неравенств с переменными (1)—(4) можно считать заданным, если
только заданы функции Л (ХрХ2, ...,х„) и /?(ХрХ2, ...,хл), а значит,
тем или иным способом заданы их области определения. Однако
часто в качестве обозначения для функции f используют аналити-
ческое правило (формулу) /(хр ..., хп) вычисления ее значений
и тогда под областью ее определения (если не оговорено что-либо
иное) понимают наиболее широкое (обширное) подмножество М
множества Rn такое, что для каждого элемента ..., ап) этого
множества М имеет смысл соответствующее выражение (формула)
3. Гомонов
33
/(X|, xtl). В результате такого подхода к заданию функций даже
возник целый класс задач вида: «Найдите области определения
функции Дх) = X-
и функции /'(х, у) =
-?- », хотя в действи-
X + у
тельности требуется найти ОДЗ соответствующих выражений.
Формулировки подобных задач выглядят тем более странно, что
задание функции предполагает и задание ее области определения
(что же тогда предлагается найти в подобных задачах?). Однако
имеется и еще одна причина отнестись с осторожностью к подоб-
ным заданиям: обширность так назначаемой области определения
может существенно зависеть от уровня наших математических зна-
ний. Так, например, выражение sin х имеет смысл не только дпя
хе (О; ? ), но и для всех действительных значений аргументах,
а в высшей математике синус умеют находить от любого комп-
лексного числа и даже от любой квадратной матрицы (таблицы)
с действительными коэффициентами. Именно для того, чтобы из-
бежать подобной неопределенности, далее, говоря о неравенствах
с переменными, будем, как правило, указывать области определе-
ния функций А(х{, х2, хп) и В(х{у х2, или, по крайней
мере, интересующую нас часть области определения данного нера-
венства, относительно которого ведутся соответствующие иссле-
дования.
Определение 3.2. Решением неравенства (1) (соответственно
(2), (3), (4)) называется всякий набор действительных чисел
(л-членная последовательность) (хр х2,	х„) из области опре-
деления данного неравенства, на котором значения функций
Л(х1? х2, ..., хп) и В(х{, х2, ..., х„), т. е. числа Л(х1? х2, ..., хп)
и В(х1У х2,хл), удовлетворяют условию:
Л(х15 х2,..., х„) > В(х^ х2,	х„),
или Л(х1? х2,..., хп) < В(х{, х2,..., х/7),
илИу4(х1? х2,..., хп) > В(х{, х2, ..., х„),
или Л(х1? х2,..., хп) < В(х^ х2,..., хп) соответственно.
Про решение (х1? х2,хп) неравенства (1) ((2), (3), (4)) также
говорят, что оно удовлетворяет этому неравенству или что оно об-
ращает его в истинное числовое неравенство. Множество всех ре-
34
шений неравенства (1) ((2), (3), (4)) также называют его областью
истинности или областью его выполнимости.
Про всякий числовой набор (xh х2,	х„) е D(A(x{, х2,
х„)) n D(JB(xv х2, ..., хпУ) такой, что числовое неравенство
Л(Хр х2,х„) > В(х{, х2,..., хп) соответственно
Л(х1? х2,..., хп) < В(х{, х2,..., хл), или
А(х{, х2,..., хп) > В(х}, х2, •••> или
Л(х1? х2,..., хп) < В(хх, х2,..., хп) — ложно,
будем говорить, что он является нерешением неравенства (1) (со-
ответственно (2), (3), (4)).
Неравенство с переменными, для которого существует хотя бы
одно нерешение, называют опровержимым неравенством.
Пример 3.2. Наборы (1; 1), (4; 1), (0,5; 3) — решения неравен-
ства (*), а вот наборы (-1; -2), (-1; -0,5) для него являются нере-
шениями.
Замечание. Существует две основные точки зрения,
как следует говорить (какой терминологии придерживаться) о тех
наборах (хр х2, ..., хп) значений переменных, которые не входят
в область определения неравенства, например, о таких наборах,
как (0; 1), (—3; 2), (4; 0) для неравенства (*).
1) Считать для каждого из таких наборов бессмысленным ут-
верждение, что он является нерешением соответствующего нера-
венства (и тем более утверждение, что он является решением этого
неравенства).
Принимая эту точку зрения, мы договариваемся, в частности,
считать, что утверждения (не высказывания!)
1+1>^и±+Ь—2______________________
0	1 Точ -3	2	7(-3)-2
бессмысленны, так же как и бессмысленными следует тогда счи-
тать и утверждения i = 2; -4— = 7—4.
0 sin л
При этом надо правильно оценивать и понимать ситуацию,
когда соответствующий набор значений не входит в область
определения неравенства (т. е. не принадлежит хотя бы одной
из областей определения D(A(xx, х2, ..., х„)) или D(B(x{, х2, ...,
х„)), но входит в области допустимых значений (ОДЗ) вы-
ражений А(х1}х2, .,.,Хп)иВ(х1,Х2,
3*
35
Указанные выше сложности полностью устраняются, если под
областью определения неравенства понимать пересечение ОДЗ
выражения Л(xh х2, хп) и ОДЗ выражения В(х{, х2> ..., хн), об-
разующих его левую и правую части, т. е. если под областью опре-
деления неравенства понимать так называемую его естествен-
ную область определения. Последнее чаще всего подразумева-
ют (без дополнительных оговорок), если не указывается в явном
виде область определения данного неравенства с переменными.
2) Считать относительно каждого из таких наборов (х(, х2.
хп) соответствующее утверждение (Л(х1? х2, ..., хп) > В(хх,
х2,..., хп) и т. д.) ложным высказыванием, т. е. считать каждый из
таких наборов нерешением соответствующего неравенства с пере-
менными.
Далее будем придерживаться первой точки зрения по
данному вопросу.
Упражнение 3.1. Укажите, какие (по вашему мнению) пре-
имущества и какие недостатки имеет каждая из указанных выше
точек зрения (договоренностей).
Упражнение 3.2. Приведите по два примера каждого из че-
тырех видов неравенств и укажите для каждого из них несколько
решений и нерешений.
Пример 3.3. Область истинности неравенства |х| + |у| > |х + у|
составляют все пары действительных чисел, т. е. таковой здесь явля-
ется вся координатная плоскость 7?2; область истинности неравен-
ства х2 > 2х — множество (—°°; 0) о (2; +°о) и, наконец, областью
истинности неравенства |х| + |у|< 0 является пустое множество 0.
Договоримся далее ради краткости обозначать всякое неравен-
ство любого из четырех видов римскими цифрами (I), (II) и так да-
лее, а его область истинности соответственно символами Мх, Мхх
и так далее.
Определение 3.3. Пусть даны два неравенства (I), (II), каждое —
любого из четырех видов, и пусть Мх и Мхх соответственно, —
множества их истинности; тогда, если:
а)	Мх а А/н, то про неравенство (II) говорят, что оно — следст-
вие неравенства (I); кратко этот факт будем обозначать символом
(D =* (П);
б)	Мj = Мхх (т. е. (II) — следствие (I), а (I) — следствие (II)), то
будем говорить, что неравенства (I) и (II) равносильны (или эквива-
лентны); кратко этот факт будем обозначать символом (I) <=> (II).
36
Очевидно, что для любых неравенств (I), (II), (Ш) (каждое —
любого из четырех видов) справедливы утверждения:
а)	всякое неравенство является своим следствием и равносиль-
но самому себе;
б)	если (I) (II) и (И) => (III), то (I) (III);
в)	если (I)« (II), то (!!)»(!);
г)	если (I) <=> (II) и (II) <=> (111), то (1) <=> (III).
Упражнение 3.3. Докажите перечисленные выше свойства
а)—г).
Замечание. Очень важно, что существует целый ряд
преобразований неравенств с переменными (причем эти преобра-
зования «списаны» с аналогичных преобразований числовых не-
равенств), позволяющих получать из данного неравенства новые,
которые будут его следствиями или ему равносильными. При этом
(и это очень важно!) не придется искать соответствую-
щие области истинности, чтобы соотнести их друг с другом и
выяснить (воспользовавшись соответствующим определением),
какое из новых неравенств, полученных в результате преобразова-
ния исходного неравенства, является следствием из него, а какое
ему эквивалентно.
Вот некоторые из таких преобразований:
а)	А(хх, х2, хп) > В(Х], х2, хп) <=> А(хх, х2,	х„) -
-В(хх,х2, ...,х„)>0;
б)	Л(х1; х2,	х„) > В(хх, х2,	х„) <=> (Л(х1; х2,	х„))3 >
>(5(х|;х2, ...,х„))3;
в)	если для любого набора (х15 х2, ..., хп) из множества
£>(Л(х15 х2, ..., хп)) n D(B(xv х2, ..., хп)) для значения функции
С(хр х2, ..., хп) на этом наборе справедливо числовое неравенство
C(Xj, х2, ..., хп) > 0, то Л(х15х2, ...,х„) > Б(х15х2, ...<хЛ) <=> Л(х1?
х2, ...,хп)'С(хх,х2,...,хп)> В(хх,х2, ...,хл) •С(х1,х2, ...,х„).
Упражнение 3.4. Сформулируйте понятия системы и сово-
купности неравенств с переменными, а также понятие их решения.
Как бы вы определили такое понятие, как неравенство — следст-
вие из системы и понятие равносильных систем? Приведите при-
меры таких систем и следствий из них.
Упражнение 3.5. Укажите несколько неравенств-следствий из:
а) неравенства < 2; б) неравенства [х| + [у| > |х +у|.
37
Для каждого из этих неравенств приведите примеры ему экви-
валентных неравенств.
Упражнение 3.6. Докажите, что из системы неравенств
f А(х^х2, ...,х„) >
S ..................................................
[ Ак(х19х2, ...,хл) > Bk(xl9x2, ...,х„), к > 2, к е N, п е N,
следует (является следствием) неравенство
А х(хх,х2, ...,х„) + ... + Ак(х19х2, ...,х„) > В1(х1,х2, ...,х„) +...
... + Як(х1,х2, ...,х„).
Сформулируйте аналогичное утверждение для почленного пе-
ремножения неравенств с переменными и докажите его.
У рассмотренных выше понятий «неравенство-следствие»
и «равносильные (эквивалентные) неравенства» с переменными
имеются родственные понятия, отличающиеся большей общно-
стью и универсальностью применения.
1) Говорят, что решить задачу Л (доказать теорему Л, обосно-
вать истинность утверждения А) достаточно для того, чтобы ре-
шить задачу В (доказать теорему В9 установить истинность ут-
верждения 5), если, имея в своем распоряжении (как истинный
факт) утверждение задачи Л (теоремы Л), мы сможем обосновать
и утверждение задачи В (теоремы 2?), воспользовавшись, быть
может, и некоторыми ранее доказанными фактами. В этом случае
про теорему В (утверждение задачи В) говорят, что она (оно) сле-
дует из теоремы Л (из утверждения задачи Л), или что В — след-
ствие Л. Также в этом случае говорят, что справедливость ут-
верждения задачи В (теоремы В) необходима для справедливос-
ти утверждения задачи Л (теоремы Л) (при наличии, быть может,
в нашем распоряжении некоторых дополнительных ранее обо-
снованных фактов).
2) Говорят, что решить задачу Л (доказать теорему Л, обо-
сновать истинность утверждения Л) необходимо и достаточно
для того, чтобы решить задачу В (доказать теорему В, устано-
вить истинность утверждения В), если из А следует В, но и
из В следует Л. То есть, имея в своем распоряжении (как ис-
тинный факт) утверждение задачи Л (теоремы Л), мы сможем
обосновать и утверждение задачи В (теоремы В), применяя, ес-
ли потребуется, и некоторые ранее доказанные факты. Причем
38
верно и обратное: имеешь возможность использовать как ис-
тинный факт утверждение задачи В (теорему В), значит, мо-
жешь обосновать истинность утверждения задачи А (теоремы
А). При выполнении указанных выше двух условий говорят, что
утверждения задач А и В равносильны (эквивалентны) или да-
же короче: задачи (теоремы) А и В равносильны (эквивалент-
ны). При этом обычно не уточняют факт использования ранее
обоснованных (полученных из достоверного источника) вспо-
могательных результатов.
Пример 3.4. Рассмотрим два неравенства с переменными:
(Л) 67	> Ja • b , где а и b — любые действительные неотри-
цательные числа, и
1	1	2
(В) - + - > ——= , где х и у — любые действительные поло-
х У Jx • у
жительные числа.
Эти неравенства заведомо не равносильны, однако, доказав
неравенство (А), мы без труда обоснуем и неравенство (В) (преж-
де всего простой заменой а на , Ь на i , причем теперь уже х Ф О
и у ф 0, а затем умножением обеих частей полученного неравенст-
ва на 2). Аналогично выводится из неравенства (В) неравенство
(Л), только случаи, когда а = 0 или b = 0, придется рассмотреть
отдельно.
В завершение данного параграфа хочется подчеркнуть одну
особенность понятия равносильных неравенств: принципиально
важен порядок, в котором рассматриваются символы, обозначаю-
щие переменные, а значит, какое «место» в конечных последова-
тельностях-решениях (элементах из Rn) окажется «закреплено» за
тем или иным символом, обозначающим переменную величину.
Чаще всего этот порядок подсказывает само неравенство соответ-
ствующей нумерацией переменных, но нередки случаи, когда его
приходится «додумывать», причем соответствующая договорен-
ность может иметь несколько вариантов.
Так, например, неравенство ———- >	• о2 и х + у >
> 2 • 7% *у естественно считать равносильными, а вот с такими не-
39
1
67 । “t- —	। 
равенствами, как —и х +	>2	, ситуация склады-
вается более сложная. Если посчитать, что символ ах имеет своей
парой символ х, а символ а2 — символ х, то неравенство следует
считать равносильными, а вот если выбрать другое, пусть и менее
«естественное» соответствие a t <=> х, а2 <=> х, то данные неравенст-
ва придется посчитать неравносильными, так как множества их
решений {(х, у) |х е [0; +°о), у е (0; +°°)} и {(х, у) |х е (0; +°о),
у е [0; +°°)} очевидно не совпадают.
§ 2. Основные методы решения задач
на установление истинности неравенств
с переменными
Овладение весьма тяжеловесной системой терминов из преды-
дущего параграфа безусловно поможет грамотно и подробно опи-
сать процедуру (процесс) решения задачи или доказательства тео-
ремы соответствующего содержания, но в то же время слабо будет
способствовать непосредственному созданию и выстраиванию
этого процесса (уметь записать мелодию — одно дело, а сочинить
ее — совсем другое).
То есть просто необходимо на конкретных примерах изучить
конкретные приемы установления истинности неравенств с пере-
менными, что и позволит вплотную познакомиться с идеями и ме-
тодами решения подобных задач. Несомненно, что для выработки
практических навыков исследования неравенств с переменными
гораздо важнее, чем зазубривание соответствующих терминов, хо-
рошо знать свойства числовых неравенств (т. е. материал двух пре-
дыдущих глав), так как всякое неравенство с переменными можно
рассматривать как систему числовых неравенств, выполненных
по одному и тому же «лекалу».
Разберем теперь наиболее часто встречающиеся приемы уста-
новления истинности неравенств с переменными, продемонстри-
ровав соответствующие идеи и методы на конкретных примерах,
а также начнем знакомиться с некоторыми «именными» замеча-
тельными неравенствами.
Далее в качестве примера применения различных способов
обоснования неравенств с переменными несколько раз обратимся
к следующей задаче.
40
Задача ЗА. Докажите, что для любых действительных чисел
а. Ь, с, d таких, что а2 + b2 = 1 и с2 + d2 = 1, выполнится неравен-
ство \ас - bd\ < 1.
I.	Метод анализа. Это метод, основанный на анализе исследуе-
мого неравенства, причем таком анализе, с помощью которого
«обратимыми» рассуждениями строят цепочку переходов от дока-
зываемого неравенства (через ряд промежуточных) к некоторому
очевидному (благодаря ранее полученным результатам) неравен-
ству.
Решение задачи 3.1 с помощью анализа доказываемого нера-
венства.
Рассмотрим следующую цепочку переходов от одного неравен-
ства к другому, ему равносильному (на каждом этапе предполагает-
ся выполнение условий а2 + b2 = 1 и с2 + d2 = 1):
— bd\ 1 <=> (ас — bd)2 < 1 <=> а2с2 — labcd + b2d2 С 1 <=> я2х
х( 1 - d2) - labcd + b2( 1 — с2) < 1 <=> а2 — а2сР — labcd + b2 — Ь2с2<
< 1 <=> (ad + be)2 > 0.
Получили очевидное неравенство, что (в силу равносильного
характера осуществленных переходов) является обоснованием ис-
ходного неравенства.
Задача 3.2. Докажите, что для любых действительных чисел
а и b выполнится неравенство аь + Z?6 > a5b + ab5.
Решение. Составим и проанализируем разность (ав + Z>6) —
~(a5b + ab5) = а5(а — b) — b5 (а — b) = (а — b)(a5 — b5). Если a=b,
то это произведение, очевидно, равно нулю, а если а * Ь, то числа
а - b и а5 - Ь5 — числа одного знака (функция f(x) = х5 возрастает
на А), а значит, их произведение — положительное число, что
и доказывает исходное неравенство.
Задача 3.3. Докажите, что если п > 3 и л? g 7V, то справедливо
неравенство 5Jn > 4Jn + 1 .
Решение. Перейдем к доказательству равносильного данному
неравенства /?4 > (п + I)3 и проанализируем разность л?4 — (п + I)3.
Очевидно, что я4 — (п + I)3 = п4 — п5 — Зп2 — Зп — 1 = п\п — 3) +
+ 2п2(п - 3) + Зп(п - 3) + 6(/7 — 3) + 17, а значит, при п > 3 п4 —
— (п + I)3 > 0 как сумма четырех неотрицательных и одного поло-
жительного слагаемого.
Задача 3.4. Докажите, что для любых действительных чисел
a, b,c,d,e справедливо неравенство
а2 + Ь2 + с2 + d2 + е2 > а(Ь 4- с + d + е).
41
Решение. Составим и преобразуем разность а2 4- Ь2 + с2 + ci2 4
4- е2 - a(b + c + J +	+ ( I с ) + (|-d0 +
-eV Очевидно, что эта разность принимает лишь неотри-
цательные значения, что доказывает исходное неравенство. Кроме
того, очевидно, что оно выполняется в варианте равенства тогда
и только тогда, когда | = b = c = d = e.
II.	Метод синтеза. Это метод, основанный на получении (син-
тезировании) неравенства (которое требуется обосновать) из
опорных (базисных) неравенств «законными» средствами, про-
истекающими из свойств числовых неравенств и методов их уста-
новления.
Задача 3.5. В качестве таковой рассмотрим еще раз задачу
3.1, но решим ее теперь «синтетическим» методом.
Возьмем в качестве базисных (опорных) неравенств следую-
щие очевидные неравенства: {а — с)2 + (b 4- d)2 > 0 и (а 4- с)2 4-
4- (6 - d)2 > 0, тогда следующие равносильные преобразования
с учетом того, что а2 + Ъ2 = 1 и с2 + d2 = 1, приводят к доказывае-
мому неравенству:
(a-c)2+(Z> + J)2>0,
(а + с)2 + (6 - d)2 > О
| а2 - 2ас + с2 + b2 4- 2bd 4- d2 > О,
[ а2 + 2ас + с2 4- b2 - 2bd 4- d2 > О
J {а2 4- Z?2) 4- (с2 4- J2) > 2ас — 2bd,
[ {а2 4- Ь2} 4- (с2 4- d2) > 2bd — 2ас
\2>2ac-2bd.
\2>2bd-2ac
\ас — bd < 1,
[ас — bd > — 1
<=> \ас — bd\ < 1.
Задача 3.6. Докажите, что для любых неотрицательных а, b
и с справедливо неравенство а 4- Ь 4- с > Jab 4- Jac 4- Jbc .
42
Решение. Запишем три очевидных неравенства (вспомните
неравенство Коши!) одинакового смысла (т. е. для образования
каждого из этих неравенств использован один и тот же знак: или
только «>»; или только «>»; или только «<»; или только «<»)
а + b /—т	а + с	\	/—	b + с п~~ z
—-—> Jab ,	—-—	>	Jac ,	—-—	> Jbc (опорные неравен-
ства) и почленно сложим их, что и приведет к получению требуе-
мого неравенства: а + b + с > Jab + Jac + Jbc .
Задача 3.7. Докажите, что для любых неотрицательных а, b
и с справедливо неравенство (а + Ь)(а + с)(Ь + с) > 8abc.
Решение. Запишем три очевидных неравенства одинакового
смысла с неотрицательными правыми и левыми частями (при лю-
бых неотрицательных а, b и с):
а + b > 2 Jab >0, а + с > 2 Jac > 0,
b + с > 2 Jbc > 0
и почленно перемножим их, что и приведет к получению требуе-
мого неравенства.
Задача 3.8. Докажите, что если а, Ь, с > 0, то
а3 + Ь3 + с3 > а + b + с
а2 + ab + b2 b2 + Ьс + с2 с2 + са + а1 3
Решение. Так как для любых положительных чисел а, b (и да-
же для любых действительных а и b) а2 + ab + Ь2 > ЪаЬ, то
а3 _ _ ab(a + b) > _ ab(a + b) _ _ а + b
а2 + ab + b2 а2 + ab + b2	2>аЬ	3
Таким образом, имеем три базисных неравенства:
а3 > _ а + b Ь3 > h — b + с
а2 + ab + Ь2	3	’ b2 + Ьс + с2	3
_____с3____ > _ с + а
с2 + са + а2 С 3
Складывая их почленно, приходим к обоснованию исходного
неравенства.
Задача 3.9. Докажите, что для любого действительного k > 1
и любого х g R справедливо двойное неравенство
2| /с < (sinх)2к + (cosx)2A 1.
43
Рис. 3
Решение. Так как к > 1, то
для любого х g R справедливы
неравенства (sin х)2к < sin2 х
и (cosx)2/r < cos2 х (подумайте
почему!). Складывая эти два не-
равенства почленно, получаем
правую часть доказываемого
двойного неравенства.
Левую часть исследуемого
двойного неравенства легче все-
го получить из готового нера-
венства Иенсона (гл. IX, § 3) ви-
да ак + b- а j , где а, b > 0, к > 1. Достаточно в него под-
ставить а = sin2x, b = cos2x, чтобы получить
(sinx)2* + (cosx)2* > 21-^.
Чтобы убедиться в справедливости использованного неравен-
ак + Ьк ( а + b	г\
ства —-— > I —-— I , достаточно посмотреть на рис. 3. Оче-
6Zк Н- Ьк ( /у ч* Ь
видно, что СА > ВА, т. е. —-— > I —-— I , так как хорда DE
лежит выше дуги DE.
III.	Метод от противного. Хорошим примером применения дан-
ного метода может служить следующее решение уже известной за-
дачи 3.1. Пусть все условия этой задачи выполнены, а вот само не-
равенство-следствие (заключение) не выполнено, т. е. \ас — bd\ >
> 1, но тогда будем иметь следующую цепочку равносильных (т. е.
с совпадающими множествами решений) неравенств и их сово-
купностей:
\ас — bd\ > 1, <=>
ас — bd > 1,
ас — bd < —1
2(ас — bd) > а2 + b2 + с2 + d2,
2(ас - bd) < —(а2 + Ь2 + с2 + d2)
(а - с)2 + (b + d)2 < О,
(а + с)2 + (b — d)2 < 0.
Получили совокупность неравенств, которая решений не име-
ет, значит, гипотеза о выполнении неравенства |ас — bd\ > 1 невер-
на, что и обосновывает утверждение задачи.
44
а + b + с < \а2 + £2 + с2
3	" а/ 3
Задача 3.10. Докажите, что для любых действительных чисел
а, Ь, с справедливо неравенство
Решение. Очевидно, что данное неравенство достаточно устано-
вить для неотрицательных а, b и с, так как тогда уже для любых дей-
ствительных чисел а, b и с будем иметь следующие соотношения:
/а2 + Ь2 + с2 _ 1\а\2 + |£|2 + |с|2 > |а| + |£| + |с| > а + b + с
3	А/ 3	^3^3
что является обоснованием исходного неравенства.
Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа а, b и с,
а + b + с \а2 + Ь2 + с2
для которых выполняется неравенство ------ > /----------,
f л + + с V \ а2 + Ь2 + с2
но тогда выполнится и неравенство ---------- > -------z----
тогда и неравенство
а2 + Ь2 + с2 + lab + lac + Ibc
а2 + b2 + с2
3
9
а значит, и неравенство а2 + Ь2 + с2 + lab + lac + Ibc — За2 — 3b2 —
- Зс2 > 0, или -(2я2 + 1Ь2 + 1с2 — lab — lac — Ibc) > 0, т. е. —((а —
- Ь)2 + (а — с)2 + (Ь — с)2) > 0, что невозможно ни при каких дей-
ствительных а, b и с. Сделанное выше предположение опроверг-
нуто, что и доказывает исследуемое исходное неравенство.
IV.	Метод использования тождеств.
Задача 3.11. Докажите, что для любых действительных чисел
анЬ справедливо неравенство а2 + ab + Ь2 > 0.
Решение. Воспользуемся очевидным тождеством а2 + ab + Ь2 =
= (° +	) + ^Z>2, которое, учитывая, что для любых a, b g R
(Ь \2 э
а + - I + -Z>2 >0, немедленно приводит к требуемому результату.
Задача 3.12. Докажите, что для любых действительных чисел
а,, я2, я3, Z>i, /?2, Ь3 справедливо неравенство (частный случай не-
равенства Коши—Буняковского)
(aj + а^ + а})(Ь] b\ + b]) > (axb} + a2b2 + ct3b3)2.
Решение. Воспользуемся следующим тождеством (частным
случаем тождества Лагранжа; в общем виде оно обосновывается
и применяется в § 1 главы V данного пособия):
45
(<7р + al + a} )(bj + bl +/>5)- (^1^1 +	+ аз^з)2 =
= (axb2 - a2b{)2 + (<7^3 - 6/3/? j)2 + (<72^з - <73Z)2)2, из которого не-
медленно следует, что (а^ + а\ + а\}{Ь\ + Ь\ + bj) — {а{Ь} +
+ а2Ь2 + ауЬ^2 > 0 (при любых ал, а2, tz3, b{, b2, by е Л), что и при-
водит к требуемому соотношению.
Замечание. Использованное базисное тождество пред-
лагается обосновать в качестве несложного упражнения.
V.	Метод оценивания (метод усиления или ослабления). Метод
усиления заключается в последовательном переходе от меньшей
функции к большей (как говорят, оценивающей «сверху» эту
меньшую функцию). Такие «переходы» приводят к получению
так называемого более сильного неравенства, т. е. неравенства с
большей правой частью, нежели у его предшественников-нера-
венств. Иначе говоря, если требуется доказать неравенство вида
А < В и удалось установить, что А < С и С < В, где Л, В, С —
функции от соответствующих переменных, принимающих про-
извольные значения из оговоренной области определения, то тем
самым оказывается установленным и неравенство А < В,
Аналогичный подход можно применить для доказательства не-
строгих неравенств.
Задание. Подумайте, какой метод доказательства неравенств
можно назвать методом ослабления (по аналогии с методом усиле-
ния) и не будет ли между ними сходства до такой степени, что это
сделает терминологию (метод усиления, метод ослабления), как
говорят в математике, избыточной.
Замечание. Более удачным названием для метода уси-
ления (и ослабления) является общее их название «метод оценива-
ния (оценок)».
Задача 3.13. Докажите, что для любого натурального п имеет
место следующее неравенство:
-4 + — +	— <2.
I2 22 З2 42 п2
Решение. Очевидно, что при п = 1 исследуемое неравенство
справедливо. Воспользуемся теперь очевидным соотношением
75 < 7—77---П = 7“Ц- - 7 , где /с > 2 и /с е 7V.
к • (к - 1) к — 1 к
46
Тогда при п > 2:
1 + 1 + + — < 1 + — + — + ... + -----------------
12	22	” п2 2-1	3-2	п(п-\)
что и доказывает требуемое.
Задача 3.14. Докажите, что для любого натурального п имеет
место следующее неравенство:
1
1-2 ' 1-2-3
1
п\
Решение, Данное неравенство очевидно справедливо при п =
= 1 и при п = 2. Пусть теперь п > 3, тогда можно будет воспользо-
ваться очевидным соотношением
_____!_____<___________!___________
1-2-3*...«Л	1 ♦ 2 ♦ 2«... ♦ 2
к — 1 сомножителей
Тогда:
-1— , где к > 3, к е N.
2* — 1
-L+... + A
1-2 л!
1 -Т
1 + ... + —=2--------------------Ц < 2,
21	2" - 1	, _ 1 2я - 1
2
что и завершает доказательство исследуемого неравенства.
Замечание. Более логически безупречное оформление
решения двух предыдущих задач возможно при применении прин-
ципа математической индукции (см. соответствующий параграф
данного пособия).
Решение задачи 3.1 методом усиления. Применим свойство
модуля и неравенство Коши:
\ас - bd\ < \ас\ + \bd\ = Ja2 • с2 + Jb2 • d2 < а	=
_ а2 + Ь2 + с2 + d2 _ 1
2	’
что и обосновывает исследуемое неравенство.
Метод ослабления — метод перехода к доказательству более
слабого неравенства заключается в следующем: если требуется до-
казать неравенство вида А > В и удалось установить, что А > С
и С > В, где А, В, С — функции от соответствующих переменных,
47
принимающих произвольные значения из оговоренной области
определения, то тем самым оказывается установленным и нера-
венство А> В.
Аналогичный подход можно применить для доказательства не-
строгих неравенств.
Замечание. Очевидно, что метод ослабления всегда
можно интерпретировать как метод усиления, и наоборот, так что
оба метода отличаются лишь «смыслом» неравенств, а значит,
справедливо носят общее название — метод оценивания (оце-
нок). Кроме того, в этих приемах легко угадывается отголосок ме-
тода сравнения двух данных чисел с «промежуточным» числом.
Задача 3.15. Докажите, что для любого натурального п, боль-
шего 1, справедливо следующее неравенство:
Решение. Очевидно, что при п > 2
1 +	— = Jn ,
72	л/3 Jn Jn Jn Jn
n слагаемых,
что и требовалось доказать.
Замечание® терминологии. Для неравенств вида (1)—
(4) (см. определение 3.1) естественно договориться о следующей
терминологии: если обе функции А(х15х2,	иВ(х1?х2, ...,хл)
являются тождественными константами, то такое неравенство бу-
дем называть числовым, в противном случае — неравенством
от переменных (переменного). Так, например, естественно на-
зывать такое неравенство, как 1 4- Д 4- Д 4-... 4- Д- 4-... < 2число-
22 З2 п2
вым его левая и правая части — константы, кстати, в курсах выс-
шей математики доказывается, что 1 + Д + Д 4- ... 4- — + ... =
22 З2	п1
= а такое, как 14-^4-^4-... + -~<2(л — любое натураль-
ное) неравенством с переменными. Однако следует иметь в виду,
что в некоторых пособиях по старинке, традиционно и такие нера-
венства, как 3.13 и 3.14 (где переменными является количество
числовых слагаемых), также называют числовыми.
48
Решение задачи 3.1 методом ослабления. Учитывая, что
а2 + Ь2 = 1 и с2 + d2 = 1, заключаем:
1 = (а2 + Z?2) • {с2 + d2) = а2 • с2 + a2td2 + b2'c2 + Ь2 • d2 =
= (а*с)2 — 1* а* Ь* с* d + (b • d)2 + (crd)2 + 2* а • d* b • с +
+ (b • с)2 = (а • с — b • d)2 + (а • d — b • с)2 > (а • с - b • <7)2, так как
(a*d — b • с)2 при любых действительных a, b, с, d принимает
только неотрицательное значение. Из полученных соотношений
следует, что \ас — bd\ < 1.
VI. Метод введения новых переменных, или метод подстановки.
Задача 3.16. Докажите, что для любых положительных чисел
а, Ь, с справедливо неравенство
Ьс , ас , a b	। „
— + — + — > а + b + с,
а b с
Решение. Рассмотрим доказанное ранее (см. задачу 3.6) нера-
венство а + в + о Jab + Jac + Jbc , где а , в и с — любые
л Ьс
действительные неотрицательные числа, и положим: А = —;
В = и С = — , где а, Ь, с — произвольные положительные дей-
b	с
ствительные числа, в результате получим требуемое неравенство.
Задача 3.17. Докажите, что для любых положительных а, Ь,
с справедливо неравенство , ^а- +	+ —с г >3.	(1)
b+ca+ca+b
Решение. Обозначим b + с = 2х, с + а = 2у, а + b = 2z, при-
чем очевидно, что при любых положительных а. Ь, с числа х, у, z
будут тоже положительны, а вот обратное неверно, поэтому, найдя
а, Ь, с из системы
b + с = 2х,
< с + а = 2у,
а + b = 2z,
т. е., получив:
а = у + z — х,
< b = х — у + z,
с= х + у — z,
можно будет переписать исследуемое неравенство в следующем
виде:
у + z-x + х у z-y + х + у - z 2	(2)
х	у	z " '
4. Гомонов
49
однако не будет никакой гарантии, что оно справедливо при лю-
бых положительных х, у, г, даже если справедливо исследуемое
неравенство. Однако если нам повезет и неравенство (2) истинно,
то это будет гарантировать справедливость и неравенства (1), но
у + ? - х + х + z-y + х+ у-z =	+	+
’ х	у	z \Х у ) \х Z )
+ (J + Z ) + (-3) >2 + 2 + 2 — 3 = 3,
что и обосновывает исследуемое неравенство.
Заметим, что именно неравенство Коши, примененное к поло-
жительным числам - и - , дало соотношение - + - > 2.
ух	у х
VII*. Метод введения вспомогательных функций с целью исполь-
зования их свойств.
Задача 3.18. Докажите, что для любых действительных а и b
справедливы неравенства:
1) а1 + ab + 62 > 0; 2) а2 — ab + Ь2 > 0,
и выясните, когда эти соотношения реализуются в варианте равен-
ства.
Решение 1. Неравенство (1) уже было доказано в примере 3.11
с помощью следующего очевидного тождества
а2 + ab + b2 = b j + |/>2,
/	1 \2 з
но так как при любых действительных а иЬ 1а +	>0и />2>0,
то равенство в соотношении (1) достигается только для тех а и Ь,
которые удовлетворяют системе
а+ ±/> = 0,
Ь = 0,
т. е. при а = 0 и b — 0.
Неравенство (2) легко обосновать, если в только что доказан-
ное неравенство А2 + АВ 4- В2 >0 подставить А = а, В = — Ь,
Решение 2. Зафиксируем b е R и рассмотрим вспомогатель-
ную квадратичную функцию f(x) = х2 + Ьх + Ь2. Дискриминант
этой функции D = — ЗЬ2 всегда неположителен, коэффициент при
х2 — положителен, а значит,/(х) принимает лишь неотрицатель-
ные значения, причем нуль как свое наименьшее значение она мо-
50
жег достигать только при b = 0 и при значении аргументах, рав-
ном нулю. Исследуемое неравенство обосновано, причем оно ре-
ализуется в варианте равенства только при а = b = 0.
Решение 3. Рассмотрим два случая: 1) а = Ь\ 2) а Ф Ь. В пер-
вом случае (при а = b) а2 + ab + Ь2 = За2 > 0 при любом действи-
тельном а, причем равенство достигается только при а = b = 0.
Во втором случае воспользуемся очевидным тождеством:
а2 + ab + Ь2 = а3 ~	> но, зная, что функция у = х3, х е R, воз-
а — b
растает на всей области определения, можем заключить: числа
а - b и а3 — Ь3 (при а Ф Ь) одного знака, т. е. их частное — поло-
жительное действительное число, что и доказывает исследуемое
соотношение.
Вывод: неполный квадрат суммы и разности принимает толь-
ко неотрицательные значения.
Задача 3.19. Докажите, что при любом х > 1 выполняется не-
2х + 3х 5
равенство __
Решение. Воспользуемся очевидным равенством
(lT-ы
2* -|- jx \3 у
----— = --------- (напомним, что при любом хе R 3х * 0),
3х + 4х / 4 У
+ ш
тогда очевидно, что функция_/j(x) = ( J + 1 убывает на R, а функ-
ция /2(х) = J* + 1 возрастает на R. Следовательно, при любом
г 2 V
! 2х 4-3х	/(*) ^ /О)	uJ4-1	5
х > 1 ----— =	= ------г = - , что и требовалось
3х + 4х	/2(х)	/2(1)	1+^У	7
доказать.
Задача 3.20. (ХП Всероссийская олимпиада.) Докажите, что
для любых положительных а и Z?, причем а^Ь, справедливо двой-
ное неравенство
Г~т г а - b ' а + b
Jab < 1------ГТ < —5— •
In 6/ — JnZ> 2
Решение. Так как неравенство сохранится при перестановке
символов а и b (симметрия неравенства!), то, не нарушая общнос-
4*
51
ти, можно считать, что а > Ь. Разделив все три части неравенства
на b {Ь > 0), придем к равносильному неравенству
Г 1	1
Л/Л> . а 2
|п»
Положив = х > 1, придем к двойному неравенству вида
х< мР) <~тг-
Докажем вначале, что при х > 1 справедливо неравенство
х < TlnJ ’ котоРое равносильно (так как In х > 0) следующему
2х In х < х2 - 1 или х2 - 2х In х - 1 > 0. Рассмотрим вспомогатель-
ную функциюДх) = х2 - 2х In х — 1 (при х > 1) и исследуем ее.
f(x) = 2 • (х - Inx - 1); Д'(х) = 2 • ( 1 - | ). Очевидно, что Д'(х) >
> 0 при х > 1, а значит, Д(х) возрастает (в силу непрерывности
Д(х) в точке х = 1) уже прих > 1, а раз /'(1) = 0, то прих > 1 бу-
дет выполнено соотношение Д(х) >/'(1) = 0. Положительность
производной f'(x) при х > 1 и непрерывность/(х) в точке х = 1
гарантирует возрастание функции Дх) при х > 1, а так какД1) =
= 0, то при х > 1 Дх) > 0, что и требовалось установить для ис-
тинности «левого» неравенства.
Рассмотрим теперь второе («правое») неравенство и ему равно-
сильные (прих >1):
х2 - 1
1п(х2)
«4-=^
X2 + 1
< In X <=> 1 —
< Inx.
< х1 + *
2
2
X2 + 1
Рассмотрим вспомогательную функцию g(x) = In х + ——
при х > 1. Ее производная имеет вид g'(x) =	> 0, при-
х(х2 + I)2
чем#(1) = 1 > 0. Рассуждения, аналогичные проведенным выше,
завершают доказательство исходного неравенства.
Замечание. Соответствующие теоремы, использо-
ванные при решении предыдущей задачи, можно найти, напри-
мер, в таких журнальных статьях, как [47, 49, 68, 81, 95, 128].
Одна из таких теорем приведена в разделе « Темы докладов и
52
рефератов и литература к ним» главы VI (тема 9) данного
пособия.
Задача 3.21. (Ленинградская городская олимпиада, 1989 г.)
Докажите, что для любых х, у, z из промежутка [0; 1] справед-
ливо неравенство 2 • (х3 + у3 + z3) — (х2у + y2z + z2x) < 3.
Решение. Предварительно перепишем левую часть данного
неравенства в виде многочлена отх с коэффициентами-многочле-
нами от у и г: 2х3 - ух2 — z2x + 2 • (у3 + z3) - y2z < 3, затем введем
в рассмотрение следующую вспомогательную функцию одного пе-
ременного х с областью определения R (при этом у и z считаем
произвольными фиксированными числами из [0; 1]):
Дх) = 2х3 - ух2 — z2x + 2 • (у3 + z3) - y2z
и исследуем эту функцию. Прежде всего найдем ее производную
Д(х) = 6х2 — 2ух — z2 и определим промежутки знакопостоянства
этой производной. График функции Д(х), х е R, — это парабола,
чьи ветви направлены вверх и которая пересекает ось абсцисс
в точках
х{ =	- л/у2 + 6г2 х2 = g + Ту2 + 6^2 у
Очевидно, чтох! < 0, а значит, х{ не попадает в интервал (0; 1),
а вот х2 > 0. Теперь очевидно, что при переходе через точку х2
функция f'(x) меняет знак с «—» на «+», а значит, точка х2 — точка
минимума дляДх), х е R. Для числа х2 по отношению к проме-
жутку [0; 1] возможны два варианта расположения:
либох2е [0; 1] и тогдаДх) <Д 1) иДх) <Д0) для любогох е [0; 1];
либо х2 ё [0; 1 ]и тогдаДх) монотонна на [0; 1], а значит, достигает
своего наибольшего значения на одном из концов промежутка
[0; 1], как и в первом случае; правда, учитывая, что х2 = [у +
о \
+ а/у2 + 6z2	+	< 1 для у, z из [0; 1], легко сделать вы-
вод, что второй случай отпадает.
Сравним теперь значения ДО) иД 1):
ДО) = 2* (у2 + z3)-y2z < 2« (у3 + z3)— y2z + (2-у — z2) =Д1),
так как при у, z из [0; 1 ] 2 — у — z2 > 0.
Остается проверить, чтоД1) < 3, т. е., что
2 • (у3 + z3) - y2z + (2-у - г2) < 3.
53
Рассуждения, аналогичные предыдущим, позволят для вспо-
могательной функции g(y) = 2у3 - zy2 - у + 2г3 - Z2 + 2, у е А,
получить ее производную g'(у) = бу2 — 2zy — 1, найти ее нули:
У1 = g (г - Jz2 + 6	= g +	+ 6 )
и убедиться, что точка у2 — точка минимума, а поэтому для любого
у е [0; 1 ] g(y) < g(0) и g(y) < g(l), т. е. g(y) достигает наибольшего
значения на одном из концов промежутка [0; 1] и надо сравнить
g(0)ng(l), но
g(0) = 2г3 + 2 -z2 < 2.z? + 2 -z2 + (1 -z) = ^(1),
так как z е [0; 1], и остается показать, что при z е [0; 1] справедли-
во неравенство
g(\) = 2z3-z2-z + 3 < 3,
т. е.
g(l) - 3 = z{z - D(2^ + 1) < 0,
что при всяком z из [0; 1] очевидно. Тем самым доказано и исход-
ное неравенство.
VIH*. Метод уменьшения числа переменных в неравенстве и по-
нижения степени неравенства.
Решение предыдущей задачи уже продемонстрировало один из
способов уменьшения числа переменных, решение следующей за-
дачи обогатит нас знанием еще одного приема достижения того же.
Задача 3.22. Докажите, что для любых положительных а,
Ь, с справедливо неравенство
а2 + Ь3 + с3 — a2b — ab2 — а2с — ас2 — b2c — Ьс2 + ЗаЬс > 0.
Решение. Разделим правую и левую части неравенства на с3
(с > 0, а значит, и с3 > 0) и введем новые переменные: -=«,- =
с с
= v. В результате получим новое неравенство
и3 + v3 + 1 — u2v — uv2 — и2 — и — v2 — v + 3uv >0; «, v > 0,
доказательство которого равносильно доказательству исходного
неравенства. Перепишем его левую часть в следующем виде:
(и + у)3 — 3uv(u + v) + 1 — uv(u + v) — (и + v)2 +
+ 2uv — (w + v) + 3uv > 0
и введем новые переменные: x = u + vMy = u*v, причем х > 0,
у > 0 и х2 > 4у. Теперь получили неравенство вида
у • (5 — 4х) + (х3 —х2 —х + 1) > 0, где х > 0, 0 < у < ^х2,
4
54
чье обоснование позволит сделать вывод и о справедливости исход-
ного неравенства. Существенными достижениями в результате сде-
ланных преобразований явились следующие: уменьшилось число
переменных, а степень относительно переменного у оказалась равна
единице. Преобразовав полученное неравенство к виду
(5 — 4х) *у 4- (х3 — х2 — х + 1) >0
и введя в рассмотрение следующую вспомогательную функцию
(считая х произвольным фиксированным положительным чис-
лом) f(y) = (5 - 4х) • у + (х3 — х2 — х 4- 1) с областью определения
А, можем заключить, что при любом фиксированном значении х
графиком этой функции будет прямая. Следовательно, ее на-
именьшее значение на отрезке р); |x2^j достигается на одном из
его концов. Однако легко найти ДО) = (х — 1)2(х 4- 1) и/(|х2) =
= (х - 2)2, а значит, убедиться, что и ДО) > 0, и/( |х2) > 0, что и
доказывает истинность исходного неравенства.
Задача 3.23, Докажите, что для любыхх1? х2,..., хп из проме-
жутка [0; 1] справедливо неравенство
(Xj + х2 4- ... + хп + I)2 > 4* (х? + хj + ... + х2), п > 2, п g N.
Решение. Сначала зафиксируем переменные х1? х2, ..., хп_х
и обозначим Xj + х2 + ... + хп_х = а (причем очевидно, что а > 0)
и х2 + х2 + ... + х2 _ j = Ь. где Ь также удовлетворяет условию
b > 0. Исходное неравенство можно теперь заменить следующим:
4 • (%2 + b) - (х„ + а + I)2 < 0
и ввести в рассмотрение вспомогательную функциюf(xn) = 4 • (х2 +
4- b) — (хп + а + I)2 одного переменного хп с областью определе-
ния R. Графиком этой функции является парабола, ветви которой
направлены вверх, значит, для выполнения неравенстваДхЛ/) < 0
для любого значения переменного хп из промежутка [0; 1] необхо-
димо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись условия:
ДО) < 0 и Д1) < 0. То есть достаточно установить справедливость
двух неравенств, получающихся изданного прихл = 0 и прих„ = 1.
Однако и к этим двум полученным неравенствам применимы ана-
логичные рассуждения с тем же результатом и так далее. Следова-
55
тельно, достаточно установить справедливость 2п числовых нера-
венств, получающихся из исходного, если каждому из некоторой
части (возможно, пустой!) переменных назначить значение нуль, а
остальным — по единице.
Эту проверку7 существенно упрощает симметричность исходного
неравенства (как ни переставляй местами символы переменных —
неравенство сохранится без принципиальных изменений): доста-
точно положить в нем ду = д2 = ... = хк = 1 и дл+1 = хл+2 = ... =
= хп = 0, 0 < к < л/, это, в свою очередь, приведет к получению не-
равенства вида (к + I)2 > 4к, которое равносильно очевидному не-
равенству (к — I)2 > 0, что и доказывает исходное неравенство.
IX*. Метод интерпретаций или моделей.
Решение задачи 3.1 векторным методом. Рассмотрим векторы
ОХ (а; —Ь) и OY(с; d), и пусть (р — угол между этими векторами,
тогда, используя понятие скалярного произведения векторов и его
свойство, получим, помня, что для любого угла (р |cos (р| < 1:
\ac-bd\ = \OX • OY\ = |ol| • |(ЭУ| • |cos <р| < |О^¥| • |(ЭГ| =
= *]а2 + (—6)2 • 7с2 + d2 = 1,
т. е. \ас — bd\ < 1, что и требовалось доказать.
Решение задачи 3.1 тригонометрическим методом.
Рассмотрим на окружности единичного радиуса с центром
в начале координат две произвольные точки К(а\ Ь) и Z(c; d)
—
и обозначим углы, образованные радиусами-векторами ОК и ОL
с осью ОХ соответственно аир. Тогда а = cos a, b = sin а, с = cos р,
d = sin Р и \ас — bd\ = |cos а cos Р — sin а sin р| = |cos(a + р)| < 1, это
означает: \ас — bd\ < 1, что и требовалось доказать.
Интересные неравенства можно получить, используя хорошо
известное неравенство треугольника (см. главу IX, § 1).
§ 3. Частные случаи неравенства Коши,
их обоснование и применения
Разберем теперь ряд задач, чьи решения станут иллюстрациями
к перечисленным выше методам, а также покажут некоторые ранее
еще не применявшиеся идеи и приемы.
Начнем с ранее уже встречавшегося неравенства Коши в его
простейшем «школьном» варианте.
56
Задача 3.24. («Школьный» вариант неравенства Коши.)
Докажите, что для любых неотрицательных а и b справедливо
неравенство
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда а = Ь.
Решение. Составим и преобразуем разность между левой
и правой частями доказываемого неравенства, а затем сравним эту
разность с 0:
= a^b/ab±b = 1	)2 > 0)
что и доказывает исследуемое неравенство, а также дает условие
реализации этого соотношения в варианте равенства, а именно,
когда а = Ь.
Замечание. Неравенство, примененное при решении
задачи 3.17, и неравенство из только что разобранной задачи 3.24
могут потребоваться при решении многих задач, правда, бывает
непросто увидеть, в каком варианте записи надо использовать то
и другое, или (что еще сложнее) какое неравенство, вытекающее
из них, пригодится. Например:
а + b > 2 • Ja • Ь , если а и b — произвольные неотрицательные;
2
—— , если а и Ь — произвольные положительные числа;
а + b
—г , если а и Ь — произвольные ненулевые числа одного
а + d
знака (вспомните свойства неотрицательности неполного квадрата
разности).
Решив следующую задачу, мы получим в свое распоряжение
бесконечно много полезных неравенств.
Задача 3.25. Найдите все действительные к, для каждого из
которых при любых действительных а и Ь будет справедливо нера-
венство а* 2 + Ь2 + kab > 0.
Решение. Пусть b — произвольное фиксированное действи-
тельное число. Рассмотрим тогда следующую вспомогательную
квадратическую функцию f(x) = х2 + kbx + b2, х е R. Ее
график — парабола, чьи ветви направлены вверх (старший коэф-
фициент 1 — положителен), а значит, чтобы эта функция прини-
Jab
1
57
мала только неотрицательные значения, необходимо и достаточно
выполнение следующего условия: D < 0, т. е.
к2Ь2 - 462 < 0
\Ь = 0,
|£ 6 R,
|£2_4<0)
\Ь е R',
|£> = 0,
| к е R;
\-2<к<2,
\beR.
Замечание. Для данной задачи можно получить реше-
ние с помощью того же приема, что был использован при решении
задачи 3.11. Попробуйте это сделать.
Задача 3.26. Докажите, что для любых неотрицательных
а, Ь, с, d справедливо неравенство (неравенство Коши для четы-
рех переменных):
a+.b+.c + d >V^d,
4
причем это соотношение реализуется в варианте равенства только
если а = b = с = d.
Решение.
а + b + с + d
a + b + c + d =	> ^b + JFd	=
= \]abcd,
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда одно-
временно выполняются три условия: —-— = dab ?	2 ' ’ ~
= Jed; Jab = Jed, т. е. когда а = b = с = d. Доказательство за-
вершено.
Замечание. Очевидно, что аналогичные рассуждения
позволят обосновать неравенство Коши для такого числа перемен-
ных, как 8; 16; 32;... .
Задача 3.27. Докажите, что для любых неотрицательных а, Ь,
с справедливо неравенство (неравенство Коши для трех перемен-
ных):
а + b + с	/—у—
--------------------------- > ЦаЬс ,
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда а = Ь = с.
58
Решение.
Вариант /. Ради более компактных записей сделаем подста-
новку а = Л3, b = В3, с = С3 и перейдем к рассмотрению неравен-
ства вида
л3 + я3 + с3>зляс,
где Л, В,С — любые неотрицательные действительные числа. Эти
неравенства не являются равносильными; а вот задачи по их
доказательству — равносильны. Воспользуемся следующими легко
проверяемыми тождествами (не поленитесь убедиться в их спра-
ведливости!):
Л3 + #3 + С3-ЗЛЯС=(Л + £ + С)(Л2 + Я2 + С2-Л£ — АС -
-ВС) = (А + В + С)'Х-' (2А2 + 2В2 + 2С2 — 2АВ — 2АС - 2ВС)=
= (А + В + С) • 1 • ((А - В)2 + (А - С)2 + (В — С)2).
Таким образом, разность между левой и правой частями дока-
зываемого неравенства — произведение трех неотрицательных чи-
сел. Очевидно также, что равенство в этом соотношении реализует-
ся тогда и только тогда, когда Л + В + С = 0, т. е. когда Л = В =
= С = 0, либо когда одновременно выполняются три равенства:
А - В = 0; А — С = 0 и В — С = 0, т. е. опять-таки когда А = В = С.
Доказательство завершено.
Вариант II. Перейдем, как и в предыдущем варианте доказа-
тельства, к неравенству Л3 + В3 + С3 — ЗАВС > 0, где Л, В и С —
произвольные неотрицательные действительные числа.
В силу симметричности левой и правой частей этого неравен-
ства (как ни обменивай местами символы Л, В и С — ничего «су-
щественного» с неравенством не произойдет!), не нарушая об-
щности, можно ограничиться более определенной ситуацией для
множества значений параметров Л, В и С, а именно, считать, что
Л < В < С. Тогда В = А + А1? где hx > С = А + h2, где h2 > О,
и это позволит перейти к доказательству неравенства вида
Л3 + (Л +h})3 + (Л +Л2)3-3-Л - (Л +/Zj)H +Л2)>0,
которое, как легко проверить элементарными преобразованиями,
равносильно неравенству вида
3 • Л • (А2 —A|A2+/z2) + /z3 + h2 > О,
которое очевидно, так как по условию неотрицательны Л, hx и Л2,
и неотрицателен неполный квадрат разности. Очевидно также, что
59
равенство в уже доказанном соотношении наступит только если
h 1 = /г7 = 0, т. е. когда А = В = С. Доказательство завершено.
Вариант III. Воспользуемся результатом, обоснованным ра-
нее (см. задачу 3.26), — истинностью неравенства Коши для че-
тырех переменных. Для этого для любых неотрицательных а, Ь,
с рассмотрим следующую четверку неотрицательных чисел: а,Ь,с
и d = д + + с. Для d возможны только два случая: либо
J =	= 0 и тогда а = Ь = с = 0, так как все три переменные
(параметры) а, Ь, с — неотрицательны; либо d > 0 и тогда
а + b + с + a + Z? + c
</ = £.+±±£ =--------:----3--- = a+b+c+d 4/^7
т. е. d > a bed, но d > 0, а значит, из неравенства <74 > abed не-
медленно следует соотношение d3> а Ьс, это и означает:
d=a + b3+c >	,
что и требовалось доказать, причем доказанное соотношение в ва-
рианте равенства выполнится тогда и только тогда, когда (см. ут-
верждение задачи 3.26) а = b = с = d =	+-, т. е. при
а = b = с. Доказательство неравенства завершено.
Замечание. Рассуждения, аналогичные проведенным
выше, позволяют, доказав неравенство Коши для т параметров
(т > 3), немедленно обосновать его и для т — 1 параметров, рас-
смотрев следующие т неотрицательных чисел
и записав для них неравенство Коши (для хт также придется выде-
лить два случая: хт = 0 илих^ > 0). Преобразования, аналогичные
проведенным выше, без труда приведут к получению неравенства
Коши для т — 1 переменных (обязательно проделайте это само-
стоятельно!).
Задача 3.28. Докажите, что для любых неотрицательных дей-
ствительных чисел а и b справедливо следующее неравенство:
а3 + Z?3 > ( а + b j3
60
(Частный случай неравенства Иенсона; вспомните задачу 3.9.)
Решение. Достаточно составить разность левой и правой
частей доказываемого неравенства и сравнить эту разность с ну-
лем:
У Ч *+Ь){а ~ь}2 > °’
2	\ Z / о
что и обосновывает исследуемое неравенство.
Замечание. Если рассмотреть график функции у = х3,
х е R (см. рис. 3), то легко получить геометрическую интерпрета-
цию данного неравенства, которая (с учетом выпуклости функции
у = х3 при х >0) легко может быть превращена в весьма наглядное
обоснование исследуемого неравенства.
Задача 3.29. Сравните значения выражений 2т3 + Зп3
и 4mп2 при произвольных положительных т и п.
Решение. Для соотношения между т и п возможны три вари-
анта:
1)	т = п и тогда 2т3 + Зп3 = 5т\ а 4mп2 = 4m3, т. е. значение
первого выражения больше соответствующего значения второго
выражения;
2)	т > п > 0, т. е. т = п + где d > 0, но тогда разность (2m3 +
+ З/?3) — 4mп2 = п3 + 2n2d + 6nd2 + 2d3 заведомо больше нуля и
значение первого выражения больше соответствующего значения
второго выражения;
3)	0 < т < п, т. е. п = m + р, где р > 0, тогда разность левой
и правой частей неравенства выглядит так: т3 + т2р + Зтр2 +
+ Зр3, а значит, заведомо положительна при любых положитель-
ных m и р.
Задача 3.30. Докажите, что J2mn — п2 +	2 — п2 > т,
если m и п — любые действительные числа, удовлетворяющие ус-
ловию m > п > 0.
Решение. Обозначим m = п + с, где с > 0, тогда
Jlmn — п2 = Jn2 + 2пс > Jn2 = п,
a Jm2 — п2 = Jc2 + 2п с > Jc2 = с,
сложив почленно полученные неравенства одинакового смысла,
получим J2mn — п2 + Jm2 — п2 > п + с = т, что и требовалось
доказать.
61
Задачи для самостоятельного решения
С-3.1. Докажите, что для любого положительного а а + - > 2,
а
а для любого отрицательного а а + ~ ^-2.
С-3.2. Докажите, что для любых действительных anb справед-
а + b la^ 4- Z?2
либо неравенство: —— < /—.
С-3.3. Докажите, что для любого действительного х справедли-
во неравенство С - .
С-3.4. Докажите, что для любого действительного х справедли-
2 4- 2
во неравенство , . — > 2.
7х2 +1
Указание. Воспользуйтесь очевидными тождествами:
t— = Jx^\ + —.
7х2 + 1	7х2 + 1 л/х2 + 1	а/х2 + 1
7
С-3.5. Найдите наименьшее значение функции/(х) = Зх + -,
х е (0; +оо).
Указание. Примените неравенство Коши, а именно: для лю-
7 I 7
бого х > 0 справедливо неравенство Зх + - > 2* /Зх*-, т.е.
Дх) > 2Д1, значит, «подозрительным» значением на минимум
является число 2 721. Теперь для окончательного вывода достаточ-
но убедиться, что 2^2\ е E(f). Как было доказано, неравенство
Коши реализуется в варианте равенства тогда и только тогда, когда
соответствующие величины совпадают. В данном случае должно
7
выполниться равенство Зх = -. Решая это уравнение, обнаружива-
ем, что один из его корней — число принадлежит />(/), а зна-
чит,/т1п = 2721.
С-3.6. Найдите наименьшее значение функцииДх) = -3 * -7 ,
х е (0; +оо).
62
Указание. Воспользуйтесь тождеством — * 27 = х2 +	.
С-3.7. Найдите наибольшее значение функции
f(x) = х2 • л/4 — х2, х е (—2; 2).
Указание. Рассмотреть функцию f(x) — | (f(x))2 =
= ^х4< (4 — х2) =	• у (4 — х2) и задачу 10.16.
С-3.8. Найдите наибольшее значение функции (1 -х)2(1 + х)3,
xg (-1; 1).
Указание. Рассмотреть вспомогательную функцию
/(х) = |/(х)=[| -|х)(| -2х)(1+х)(1+х)(1+х).
Замечание. Теоремы, обобщающие методы решения
предыдущих задач (о постоянной сумме и постоянном произведе-
нии), содержатся в главе X.
С-3.9. Докажите, что для любых действительных чисел а и р из
промежутка [0; л] (sin а + sin р) < sin .
Указание. Вспомнить, что
sin а + sin Р = 2sin а * cos а ~ .
Замечание. Только что доказанное неравенство являет-
ся частным случаем знаменитого неравенства Иоганна Людвига
Иенсона (см. главу IX, § 3).
С-3.10. Докажите, что для любых действительных а и b спра-
ведливо неравенство а2 + b2 + 1 > ab + а + Ь.
С-3.11. Докажите, что для любых действительных а, 6, с спра-
ведливо неравенство (ab + bc + са)2 > 3abc(a + b + с).
Указание. Составьте разность между левой и правой частя-
ми данного неравенства и представьте полученное выражение
в виде
(2а2Ь + 2Ь2с 4- 2а2с — 2ab2c — 2a2bc — 2abc2) =
= ~ (a2(b2 — 2Ьс + с2) + Ь2(а2 — 2ас + с2) + с2(а2 — 2аЬ + Ь2)).
63
С-3.12. Докажите, что при любых действительнььх х, у, z, t. а
справедливо неравенство
4х2 4 Зу2 4 4^2 + 5t2 4 4<?х 4 Зау 4- 4az + 5at 4 4а2 > 0.
Указание. Представьте левую часть данного неравенства
в следующем виде:
(4х2 4 4ах 4- б?2) 4 ( Зу2 + Зау 4 | а2 ) 4 (4^2 4 4az + а2) +
4 ( 5t2 4 5at + а2
С-3.13. Докажите, что для любых действительных а, b и
с справедливо неравенство
<72(1 4 b2) + Z>2(1 + с2) + с2( 1 + а2) 6abc.
Указание. Сложите почленно очевидные неравенства:
а2 4 b2c2 > 2abc\ b2 + с2а2 > 2abc\ с2 4 a2b2 > 2abc.
С-3.14. Докажите, что для любых действительных а и Ъ спра-
ведливо неравенство
Я2(1 4 Ь4) 4 />2(1 4 а4) <(14 tf4)(l 4 b4).
Указание. Данную задачу замените равносильной:
Д2(1 + 64) + 62(1+д4) < t или а2 _ +	Ь2_ с !
(1 4 д4)(1 4 /?4)	14 я4 1 4 Ь4
и воспользуйтесь результатом задачи С-3.3.
С-3.15. Докажите, что при любых действительных х, у и z
справедливо неравенство
X4 4 у4 4 z2 4 1 > 2х(ху2 — X 4 z + 1).
Указание. Составьте разность левой и правой частей данного
неравенства и представьте полученное выражение в виде:
(х4 — 2х2у2 4 у4) 4 (z2 — 2xz 4 х2) 4 (х2 — 2х 4 1).
С-3.16. Докажите, что для любых действительных а и b спра-
ведливы неравенства:
1)	(а2 — Ь2)(а4 — Ь4) < (я3 — Z?3)2; 2) (а2 4 Ь2)(а4 4 Ь4) > (а3 4 Ь3)2.
С-3.17. Докажите, что для любых действительных а, b и с вы-
полнится неравенство
а2Ь2 4 Ь2с2 4 с2<72 > abc(a 4 Ь 4 с).
64
Указание. Воспользоваться неравенством А2 + В2 + С2 >
> АВ + АС + ВС, которое очевидно справедливо для любых дей-
ствительных А, В, С, так как А2 + В2 + С2 — АВ — АС — ВС =
= 1 (И - ву- + (А - су- + (В - су-у
С-3.18. Докажите, что для любых положительных а и b спра-
ведливо неравенство Ja + Jb <	.
Указание. Составьте разность правой и левой частей неравен-
ства.
С-3.19. Докажите, что для любых неотрицательных а, b и с
справедливо следующее двойное неравенство:
6abc < ab{a + b) + bc(b + с) + са(с + а) < 2(я3 + b3 + с3).
Указание. Для обоснования левого неравенства достаточно
рассмотреть три очевидных неравенства: (а2 + Ь2) • с > 2abc\ (Ь2 +
+ с2) • а > 2abc и (а2 + с2) • b > 2abc, а затем сложить их почлен-
но. Для доказательства правого неравенства достаточно, опираясь
на очевидное неравенство ab < я2 + 62 — аЬ, вывести неравенство
ab(a + Z>) < я3 + Ь3, присоединить к нему еще два аналогичных не-
равенства Ьс(Ь + с) < Ь3 + с3 и са(с + а) < с3 + а3 и сложить их
почленно.
С-3.20. Докажите, что для любых положительных а, b и с
3	111
справедливо неравенство: ——-- <-----г +---- +  --.
а+b+с а+b а+с Ь+с
С-3.21. Докажите, что если
(а + с)(я + b + с) < 0, то (Ь — с)2 < 4а(а + b + с).
С-3.22. Докажите, что для любых действительных х, у и z спра-
ведливы неравенства:
а)	х6 + у6 + ze + Зх2у2^2 > 2(x3j/3 + x3z3 + у3г3);
б)	х6у6 + х6^6 + у6г6 + Зх4у4^4 > 2(х3 +у3 +г3)х3у3^3.
С-3.23. Докажите, что если для действительных чисел а, b и с
выполняются условия а > b > с, то для них имеет место неравенст-
во а2Ь + Ь2с + с2а > Ь2а + а2с + с2Ь.
С-3.24. Докажите, что если положительные числа а, b и с
удовлетворяют условию abc = 1, то для них будет справедливо не-
равенство (я — 1 +	^£ — 1 + 1 j(с — 1 + - ) < 1.
(XLI международная математическая олимпиада.)
5. Гомонов
65
С-3.25. Известно, что положительные числа а и b удовлетвори
ют условию а5 + Ь5 = а3 + Ь3. Докажите, что тогда для них спра-
ведливо соотношение а2 + Z>2	1 + ab.
С-3.26. Докажите, что для любых положительных чисел л* и у
справедливо неравенство	.
С-3.27. Докажите, что если а + b + с = 1 и а, Ь, с — неотрица-
тельны, то 4<я3 + 4ZP + 4с3 + {5abc > 1.
С-3.28. Докажите, что для любых неотрицательных чисел а. b
а + b а3 + Ь3 а4 + Ь4
и с справедливо неравенство —---2—	—2— *
С-3.29. Докажите, что если для действительных чисел а, b и с
справедливо неравенство (а + Ь + с}(а — b + с) < 0, то верно и не-
равенство Ь2> 4ас.
Темы докладов и рефератов и литература к ним
1.	Ложь или бессмыслица, что лучше?
Литература’. 15.
2.	Производная помогает доказывать неравенства.
а)	Производная и неравенства с переменными.
б)	Основные теоремы, связывающие возрастание (убывание)
функции на промежутке, и свойства ее производной.
в)	Производная и обоснование числовых неравенств.
г)	Ошибки при использовании производной при доказательст-
ве неравенств.
Литература'. 146, 95, 82, 62, 68, 94, 81, 47.
3.	Доказательство неравенств методом отделяющих констант.
а)	Простейшие примеры применения метода. Обоснование не-
равенств вида х2 — 2х > — 3 + sin х и arctg х > 4 J3x — х2 — 11
с помощью нахождения отделяющих констант.
б)	Отделяющие константы «местного значения», или Как доб-
раться до конца отрезка с помощью проведения итераций.
в)	Использование возможностей компьютера при доказатель-
стве неравенств.
Литература’. 97, 13, 16.
66
4.	Неравенство Бернулли и его применение.
а)	Неравенство Евклида.
б)	Теорема Бернулли о прогрессиях.
в)	Неравенство Бернулли как следствие теоремы Бернулли
о прогрессиях, некоторые обобщения неравенства Бернулли.
г)	Примеры применения неравенства Бернулли.
Литература'. 98; «Квант», решение задачи М-1219.
5.	Неравенство Гюйгенса, доказательство и применение.
а)	Жизнь и труды Хр. Гюйгенса.
б)	Трактат «О найденной величине круга».
в)	Доказательство вспомогательных неравенств.
г)	Доказательство неравенства Гюйгенса 2sin а + tg а > За, где
а g ( б; и некоторые его применения.
Литература'. 12, 47, 48.
6.	Некоторые методы доказательства неравенства Коши.
Литература'. 136, 137.
7.	Несколько решений одной задачи (доклад).
Задача. Докажите, что если произведение двух положительных
чисел больше их суммы, то их сумма больше четырех.
Литература'. Квант, задача № М-1281; 54.
8.	Доказательство неравенств с помощью применения тригоно-
метрических подстановок.
а)	Тригонометрические подстановки и неравенства.
б)	Тригонометрические подстановки и уравнения.
Литература'. 80, 72, 150, 151.
9.	Применение свойств монотонности функции для обоснования
неравенств с переменными.
а)	Теорема. Если f(x) — возрастающая функция на
множестве М и a, b е М, то (а — b)(f(a) — f(b)) > 0.
б)	Польза от разложения на множители.
Литература'. 42.
10.	Интеграл помогает доказывать неравенства (доклад).
Литература'. 99, 40, 49.
11.	Свойства экспоненты, используемые при доказательстве нера-
венств.
а)	Производная и некоторые классические неравенства.
б)	Некоторые свойства экспоненты.
Литература'. 82, 81, 10.
Г ЛАВА IV
МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ
И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ НЕРАВЕНСТВ.
НЕРАВЕНСТВО КОШИ ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНОГО
ЧИСЛА ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Метод перебора всех вариантов
(«полная индукция») и метод математической
индукции. Система аксиом Джузеппе Пеано
Само слово «индукция» — из латинского языка (inductio) и
означает «наведение», «побуждение». Как термин оно использует-
ся в самых различных областях знаний (физика, психология, био-
логия и так далее), поэтому ответом на провокационный вопрос:
«Знаете ли вы, что такое индукция?» — должен встать встречный
вопрос: «А какую индукцию вы имеете в виду?» В частности, в ма-
тематике под индукцией обычно понимают математическую ин-
дукцию, хотя методисты применяют и такой термин, как «полная
индукция», используя его для обозначения ситуации, когда реше-
ние задачи или доказательство теоремы осуществляется методом
перебора всех возможных вариантов (случаев).
Под математической же индукцией понимают метод до-
казательства математических утверждений, зависящих (обычно) от
натурального параметра, с применением принципа или аксиомы
математической индукции, составляющей часть системы аксиом
Джузеппе Пеано (1858—1932) — итальянского математика, пред-
ложившего наиболее ныне распространенную систему аксиом на-
туральных чисел.
Первичными («неопределяемыми») понятиями, используемы-
ми в этой системе аксиом, являются следующие три: «натуральное
число», «единица» и «...следует за...».
Сама же система аксиом (точнее, один из наиболее соответст-
вующих школьной терминологии ее вариантов) изложена ниже.
1)	Единица есть натуральное число; она не следует ни
за каким натуральным числом {обозначают единицу
обычно символом 1).
2)	За каждым натуральным числом следует одно и
только одно натуральное число.
3)	Всякое натуральное число следует не более, чем за
одним натуральным числом.
68
4)	Если множество М, состоящее из каких-либо нату-
ральных чисел, обладает двумя свойствами'.
а)	1 е
б)	из условия п g М вытекает, что следующее за п
натуральное число также принадлежит М, то тогда
М совпадает со множеством всех натуральных чисел
(это так называемая аксиома математической индук-
ции).
Легко показать (попробуйте сделать это самостоятельно), что
из приведенной системы аксиом следует: всякое натуральное чис-
ло, отличное от единицы, следует и притом за единственным нату-
ральным числом.
§ 2. Схема применения принципа (аксиомы)
математической индукции и некоторые
модификации принципа математической индукции
Применение принципа (аксиомы) математической индукции
с целью установления истинности некоторого утверждения Т(п),
определенного для всех натуральных п, обычно осуществляют
по следующей схеме:
а)	устанавливается истинность исследуемого утверждения при
п = 1 (это так называемый первый шаг или база (базис) индукции);
б)	строится предположение (индуктивная гипотеза), что верно
исследуемое утверждение при некотором произвольном, но фик-
сированном натуральном п= к (этап построения гипотезы);
в)	в условиях сделанного выше предположения доказывается
истинность исследуемого утверждения при п = к + 1 (осуществля-
ется так называемый индукционный переход);
г)	ссылаясь на аксиому (принцип) математической индукции,
заключают, что исследуемое утверждение справедливо для всех на-
туральных чисел.
Замечание. Существует ряд обобщений принципа ма-
тематической индукции, например, если исследуемое утверждение
Т(п) определено для всех целых чисел, начиная с некоторого
п = к()е Z, то тогда схема применения (обобщенного) принципа
математической индукции претерпевает ряд естественных измене-
ний, что будет продемонстрировано далее в процессе разбора ре-
шений нескольких задач. Но начнем с простейшей задачи, чье ре-
шение будет основано на применении полной индукции.
69
Задача 4.1. Докажите, что для любых действительных а и Ь
верно следующее неравенство: \а + Z>| < |а| + |Z?|.
Решение. Рассмотрим три возможных случая:
1)	числа а и b одного знака, и тогда исследуемое соотношение
очевидно выполнится в варианте равенства;
2)	числа а и Ь — числа разных знаков. Тогда модуль суммы ра-
вен разности модулей слагаемых, точнее, той из разностей моду-
лей, которая неотрицательна, но |а| —1£| < |б?| + |6| и |Z>| — \а| < |а| +16|,
так как для любого действительного числа х справедливо соотно-
шение —|х| < [х|. Таким образом, неравенство для рассматриваемой
ситуации установлено;
3)	хотя бы одно из чисел а или b равно нулю. Пусть, например,
а = 0, тогда обе части исследуемого неравенства равны модулю
числа b и это неравенство и в этом случае справедливо.
Задача 4.2. Докажите, что для любого неотрицательного
а справедливо неравенство а5 — а3 — За + 3 > 0.
Решение. Рассмотрим два возможных варианта:
1) 0 < а < 1; в этом случае левая часть доказываемого неравен-
ства может быть представлена в следующем виде:
а5 -- а2 — За + 3 = <22(я3 — 1) — 3(а — 1) = (а — 1)(я4 + а3 + а2 - 3),
а значит, данное неравенство справедливо;
2) а > 1, т. е. а = 1 + h, где /г > 0, и тогда для левой части дока-
зываемого неравенства справедливо следующее:
а5 - а2 - За + 3 = (1 + h)5~ (1 + Л)2 - 3(1 + Л) + 3 =
= (1 + Л)2((1 + Л)3 - 1) - 3h = (1 + 2/z + A2)(3/z + 3h2 + /г3) - 3h =
= (2/z + h2)(3h + 3h2 + /г3) + 3h2 + h3 0
при h > 0, что и позволяет заявить: исследуемое неравенство ис-
тинно.
Задача 4.3. Докажите, что для любого натурального п
2"+2>2л+ 5.
Решение. Применим принцип математической индукции.
а)	Проверим истинность доказываемого утверждения при
п = 1, т. е. выясним, справедливо ли числовое неравенство
23 > 2 + 5. Оно очевидно истинно, а значит, база индукции по-
строена.
б)	Предположим, что исследуемое утверждение (доказываемое
неравенство) справедливо при некотором произвольном, но фик-
сированном натуральном л, равном £, т. е. 2k+2 >2/1 + 5 (индукци-
онное предположение (гипотеза) построено).
70
в)	Докажем, что в условиях сделанного выше предположения
будет справедливо исследуемое утверждение и при п = к + 1, т. е.
что 2(А+1)+2 > 2(£ + 1)4-5.
Действительно, если использовать индукционное предположе-
ние, то получим, что 2(*+,)+2 = 2 • 2к+2 > 2 • (2Аг + 5), если же теперь
удастся доказать, что 2 • (2к + 5) > 2 • (к + 1) + 5, то необходимый
индукционный переход будет осуществлен, однако последнее не-
равенство очевидно, так как 2 • (2к + 5) = 4Л + 10 = (2к + 7) + 2А +
+ 3 > 2к + 7 = 2 • (к + 1) + 5, и требуемое получено.
г)	На основании принципа (аксиомы) математической индук-
ции заключаем, что исследуемое утверждение (данное неравенст-
во) справедливо для всех натуральных п.
Замечание. Пункты б) и в) иногда формулируют более
кратко: пусть натуральное число к — одно из тех значений пара-
метра /?, для которых истинно исследуемое утверждение, покажем,
что тогда оно будет истинным и при п = к + 1.
Задача 4.4. Докажите, что для любого натурального п спра-
ведливо двойное неравенство
1 < —!— + —!— +... + —!— < 2.
п + 1 п + 2	3/1 + 1
Решение. Правое неравенство легко устанавливается методом
оценок: самое большое слагаемое в оцениваемой «сверху» сумме —
это первое слагаемое (и слагаемых — более двух), а значит:
+_^+... + _L_<	+	+ +	=
п + 1 п + 2	3/1 + 1	/1 + 1	/1 + 1	/1 + 1
2/1 + 1 слагаемых
_ 2/i + 1 _ 9	1	<
п + 1	/1 + 1
Для доказательства левого неравенства применим принцип ма-
тематической индукции. При п = 1 неравенство легко проверяется
непосредственными вычислениями. Пусть исследуемое утвержде-
ние справедливо при некотором произвольном, но фиксирован-
ном натуральном п = к, т. е.
—— + —— + ... + —-— > 1;
/с+1 к + 2 Зк + 1
убедимся, что тогда доказываемое неравенство справедливо и при
/1 = к+ 1, т. е.
----!--- +-------5---- +... +-----1---- > 1,
(£+!)+! (к + 1) + 2 3(Аг + 1) + 1
71
или подробнее:
—— + ——
к + 2 к + 3
+ ... +
1
ЗА: + 1
Зк + 2
+ ^_
Зк + 3
3/1+4
> 1.
+ —L
Представим левую часть данного неравенства так, чтобы «зара-
ботала» гипотеза (индукционное предположение):
1
к + 1
------ +--------- + --------
Зк + 2	3/1 + 3 Зк + 4
а вот теперь очевидно, что достаточно установить, что
—!— + —1— + —J-------------!_ > о,
3/1 + 2 Зк + З ЗЛ + 4	Л+1
чтобы осуществить индукционный переход. Однако простые пре-
образования показывают, что
1	+	1	+	1	1	_	1	+	1	2
Зк + 2 Зк + 4	3/1 + 3	/1+1 Зк + 2 Зк + 4	3(/с + 1)
3(к + 1)(ЗЛ + 4) + 3(к + 1 )(3£ + 2) - 2(ЗА: + 2)(ЗА: + 4)	=
3(к + 1)(ЗАг + 2)(ЗАг + 4)
3(к + 1)(ЗА: + 2)(3£ + 4)
при любом натуральном к, значит, индукционный переход осу-
ществлен и остается сослаться на принцип математической индук-
ции.
Задача 4.5. Докажите, что для всякого h > — 1 и любого нату-
рального п справедливо неравенство (1 + h)n > 1 + nh.
Решение. Пусть h — произвольное, но фиксированное число,
большее -1. Тогда при п = 1 неравенство очевидно (база постро-
ена).
Пусть при некотором произвольном, но фиксированном нату-
ральном п = к справедливо неравенство (1 + h)k > 1 + kh, но тог-
да, раз 1 + h > 0, истинно и неравенство (1 + /г)(1 + h)k > (1 + h) х
х (1 + kh\ а тогда получаем, что (1 + h)k+{ > 1 + kh + h + kti1, но
kh1 > 0, значит, (1 + h)k+} > 1 + kh + h = 1 + (к + 1) • h. Индукци-
онный переход осуществлен. Остается сослаться на принцип мате-
матической индукции.
Задача 4.6. Докажите справедливость неравенства 2п > п3
при любом натуральном п, большем, чем девять.
Решение. Применим для доказательства обобщенный прин-
цип математической индукции. При п = 10 доказываемое неравен-
72
ство превращается в истинное числовое неравенство, так как 2Ш =
= 1024 > 1000 = 103 (база индукции построена). Предположим, что
исследуемое неравенство справедливо при некотором произ-
вольном, но фиксированном натуральном п = к, большем или
равном 10 (это последнее условие ни в коем случае забывать не
следует’), т. е. 2к > к3, к > 10. Убедимся, что тогда будет истинно
и неравенство 2А+1 > (к + I)3. Действительно, из индукционного
предположения вытекает, что 2 • 2к > 2 • к3, а значит, если удастся
доказать, что 2к3 > (к 4- I)3 при любом натуральном к, большем
девяти, то тем самым удастся осуществить необходимый индук-
ционный переход.
Итак, решим вспомогательную задачу (иногда говорят: подза-
дачу): докажем, что 2к3 > (к + I)3 при любом натуральном к, удов-
летворяющем условию: к > 10. Применяя для этого тот же обоб-
щенный принцип математической индукции, легко убеждаемся,
что при к = 10 данное вспомогательное неравенство справедливо.
Пусть оно справедливо при некотором произвольном, но фикси-
рованном £ > 10, т. е. что 2к3 > (к + I)3. Убедимся, что тогда и
2(к + I)3 > (к 4- 2)3. Из предположения следует, что 2к3 + 6к2 +
+ 6£ 4- 2 > (£ + I)3 4- 6к2 + 6к 4- 2, а значит, достаточно для соответ-
ствующего индукционного перехода установить истинность сле-
дующего неравенства (к 4- I)3 4- 6к2 + 6к + 2> (к + 2)3.
Однако
(к + I)3 + Ьк2 + Ьк + 2 > (£ + 2)3 <=> (£ 4- I)3 4- 6£2 4- 6£ + 2 -
- (к + 2)3 > 0 <=> Зк2 - Зк - 5 > 0 <=>
> 3 + 769
6
< 3-769
6
но --+	= 2, значит, при к > 10 (£ 4- I)3 4- 6к2 4- 6к + 2 >
о	о
> (£ 4- 2)3, что гарантирует выполнение неравенства 2(к + I)3 >
> (к 4- 2)3. Индукционный переход осуществлен, значит, по обоб-
щенному принципу математической индукции заключаем: нера-
венство 2к3 > (к + I)3 справедливо для всех натуральных к, боль-
ших 9. Подзадача решена. Однако, раз удалось доказать, что 2к3 >
> (к+ 1 )3 при всех натуральных £>10, то тем самым осуществлено
все необходимое для индукционного перехода как этапа решения
73
исходной задачи. Остается только еще раз сослаться на обобщен-
ный принцип математической индукции, чтобы обосновать исход-
ное неравенство.
Замечание. Для задачи 4.6 выбрано не самое короткое
решение с единственной целью — показать пример использования
«индукции в индукции».
Задача 4.7. Докажите, что для любого натурального л, боль-
шего двух, справедливо двойное неравенство
а/л2<1 + ^+ ^г+... +	2а/л7 .
л/2	л/3	Jn
Решение. Левое неравенство уже обосновано (задача 3.15).
Для доказательства правого неравенства можно применить обоб-
щенный принцип математической индукции. Проверка истиннос-
ти этого неравенства при п = 2 не представляет труда. Для осу-
ществления же индукционного перехода достаточно будет обосно-
вать следующее неравенство
2 ^п + 1 — 2 Jn >	*	, п е N, п > 2,
4п + 1
которое устанавливается простейшими эквивалентными преобра-
зованиями. После этого остается сослаться лишь на обобщенный
принцип математической индукции.
§3*. Теоремы о сравнении соответствующих
членов двух последовательностей
К только что решенной задаче и ко многим другим с успехом
может быть применен следующий своеобразный вариант исполь-
зования математической индукции.
Теорема 1. Пусть (ап) и (Ьп) — две произвольные беско-
нечные числовые последовательности, причем о них из-
вестно следующее'.
а)	существует такое натуральное s, для которого
справедливо числовое неравенство а3> bs\
б)	для всех натуральных к > 5 справедливо неравенство
ак+[-ак> bk¥i-bk,
то тогда для всех п > s справедливо неравенство
74
Доказательство предлагается провести самостоятельно.
Задача 4.8. Докажите, что для любого натурального п, если
п 3, то выполнится следующее неравенство:
-L- + _!_ +... + ± >з
п + 1 и + 2 2п 5
Решение. Рассмотрим две числовые последовательности (аД
11	13
и (ЬД, где а = —— + ——г	6 = _ Тогда очевидно,
п п п + \ п + 2 2п п 5
что а3 = |	+ g =	1 = by с другой стороны, ЬкЛЛ -bk = Q,
= 1	. 1 1 = 1 1>п=
а	k 2к + 1	2к + 2 к + 1 2к + 1	2к + 2
= Ьк+Х - Ьк для любого к > 3. По теореме 1 заключаем, что ап > Ъп
для любого натурального /7, большего двух. Исходное неравенство
доказано.
Замечание. Теорему 1 можно было бы с успехом при-
менить и при решении задачи 4.7, а также для доказательства сле-
дующего неравенства 1 +	+	> 2(7я + 1 — 1)- Укажем
72 Jn
еще один вариант использования принципа математической ин-
дукции.
Теорема 2. Пусть для двух произвольных числовых после-
довательностей (аД и (ЬД с положительными членами
известно следующее:
а)	существует такое натуральное s, что as > bs;
б)	для всех натуральных к > s справедливо неравенство
1 , то тогда при всех п > s справедливо неравен-
ак ьк
ство ап > Ьп.
Доказательство предлагается провести самостоятельно.
Задача 4.9. Докажите, что для любого натурального п, п >2,
справедливо неравенство пп > (п + I)'7-1.
Решение. Пусть (аД и (ЬД такие, что ап = пп, Ьп = (п + I)"-1.
fl. +i (к + 1	+ 1
Тогда очевидно, что <2, = 4 > 3 = />,, а также —-—1 = *-/- >
кк
+ I
Ьк
(к + 2)к
(к + 1)* ~1
(L 4-	+ 1
так как /---------
кк
(к + 2)*
(к + 1)* - 1
« (к + I)2* >
75
> (к2 + 2к)к <=>(£ + I)2 > к2 + 2к — очевидное неравенство, что
(смотри теорему 2) позволяет считать истинным исходное неравен-
ство.
Задача 4,10. Докажите, что для любого натурального п спра-
3 • 5 • 7 •... • (4л — 1) г 1
ведливо неравенство	-д-—•
Решение. Выпишем следующие очевидные неравенства и по-
членно перемножим их (левую часть полученного неравенства
обозначим символом х):
3 <5 7 , 9_ 11 < 13 4л - 1 < 4п + 1 .
5	7 ’ 9	11 ’ 13	15”"’ 4п + 1 4п + 3’
_ 3-7-...-(4л - 1) . 5 • 9 • 13 •... ♦ (4л + 1) _
что дает, х 5.9..... (4л + 1) < 7 • 11 • 15 •... • (4л + 3)
3	=	3
3 • 7 • 11 •... • (4л + 3) х(4л + 3) ’
5*9 - 13-...-(4л + 1)
3	3	1
т. е. х2 < -----, но очевидно, что -—— < -, а значит, раз
4л + 3	4л + 3 п
х > 0, х < / 3 „ < -4= , это и доказывает исследуемое неравенство.
А/4л + 3	7^
Замечание. При решении задачи 4.10 в явном виде
принцип математической индукции не применялся, однако для
обоснования некоторых ранее установленных свойств, применен-
ных в процессе решения данной задачи, математическая индукция
скорее всего применялась (например, при доказательстве свойст-
ва, позволяющего почленно перемножать любое конечное число
неравенств одинакового смысла с неотрицательными правыми
и левыми частями).
Задача 4.11. Докажите, что для любого натурального п спра-
ведливо неравенство
1.3.5. . 2л - 1	1
2 4 6 2л 73л + 1 ‘
Решение, Применим принцип математической индукции.
При л = 1 получаем очевидно истинное числовое неравенство. Для
осуществления индукционного перехода будет достаточно устано-
вить следующее неравенство:
1	. 2к + 1 с 1
J3k + 1 ^к + 2	7з£ + 4 ’
76
равносильное неравенству (£ — натуральное)
(2£ + I)2 • (3£ + 4) < (2/< + 2)2 • (3£ + 1),
которое равносильно неравенству
12£3 + 28Zc2 + 19£ + 4 < Пк3 + 28£2 + 20/с + 4.
Получили неравенство, чья истинность при любом натураль-
ном к очевидна. Остается сделать ссылку на принцип математиче-
ской индукции.
Задача 4.12. Докажите, что для любого натурального п, боль-
шего 1, справедливо неравенство П4п\ < —-— •
Решение. Перейдем от данного неравенства к доказательству
_j_ 1 \2л
 - 1 и перепишем выражение
(л!)2 в виде следующего произведения:
(л!)2 = (1 • п) • (2 • (п - 1)) •... • (к • (п - к + 1)) •...
... • ((/2 — 1) • 2) • (Л2 • 1)
и оценим с помощью неравенства Коши каждый из сомножителей
этого произведения:
Jk-(n-k+\) < * + («.-*+В = *±2
2	2 ’
где к = 1, 2, ..., п. Причем в варианте равенства соотношение КО-
12 -|- 1
ши в данном случае реализуется только для к = —— , т. е. не бо-
лее, чем для одного из сомножителей (а все они положительны)
вида к(п - к 4- 1) возможно его равенство выражению ( ” ~ 1 j ,
но ведь сомножителей более одного, значит, получаем строгое не-
равенство
(л!)2 =(1 •«) • (2 • (л/ — ]))•... • (/? -1) <
что и завершает обоснование исходного неравенства.
Задача 4.13. Выясните, какое из чисел
^2 + л/з + л/2 + ... и 7з + л/2 + л/З + ...,
содержащих каждое п (п — натуральное) радикалов, больше.
77
Решение. Ради краткости записей обозначим первое из этих
положительных чисел символом ап, а второе Ьп. Отметим следую-
щие очевидные свойства этих чисел:
значит, а, < b j;
2)а2 + | =2 + г>„иг>2 + 1 = 3 + а„.
Докажем теперь, используя принцип математической индук-
ции, что для любого натурального п справедливо двойное неравен-
ство ап < bn < ап + 1.
При п = 1 данное неравенство верно. Пусть оно верно для не-
которого произвольного, но фиксированного п = к. т. е.
ak<bk<ak +1-
Тогда имеем следующее: + х = 2 + Ьк < 3 + ак= Ь% + х ,т.е.
ак+1 < bk+i, с другой стороны: (ak+i + I)2 = а2к + f + 2'ак+х +
+ 1 = 3 + Ьк + 2 • ак+х > 3 + ак = Ь2к + Х,г.е. ак+х + 1 > Ьк+{.
Остается сослаться на принцип математической индукции,
чтобы сделать окончательный вывод: при любом натуральном
п первое из заданных чисел меньше, чем второе.
Задача 4.14. Докажите, что для любых положительных чисел
а1? а2, ..., ап, Ь2, ..., Ьп (п — любое натуральное) справедливо
следующее неравенство
_52_JLl + + an*b„	(ai + - +	+ ♦•♦ + £„)
ап + ьп	(^1 + - + а„) +	+ ... + bn)
Решение. Проведем индукцию по параметру п. При п = 1 не-
равенство очевидно, проверим его и при п = 2 (это поможет в даль-
нейших рассуждениях):
Д] + а2-Ь2 < (ах + а2)*(Ьх + Ь2)
a} + b} а2 + b2 (ах + а2) +	+ b2)
Его обоснование не представляет труда: достаточно все члены
перенести в правую часть, раскрыть скобки, привести подобные,
чтобы получить очевидное неравенство (а{ • Ьх — а2 • />2)2 О-
Пусть теперь исследуемое неравенство верно для некоторого
произвольного, но фиксированного натурального п = к (каковы
бы ни были положительные ах,.... ак, ..., Ьк). Рассмотрим тогда
его при п = к 4- 1, учитывая гипотезу и то, что оно справедливо при
п =2, получим:
78
671 * I	ак * ^к + а к + \ ' ^ к л\
а\ + Ь\ '" ак + Ьк ак М + Ьк + \
(<?! + ... + дк) • (Z?! + ... + bk) + ак + 1-Ьк + {
(#i + ... + ак) + (bi + ... + bk) ak+i+ bk + [
< (a\	+	+-- + ^^ + l)
(<7, + ... + ak + 0 + (bi + ... + bk + ,) ’
что после ссылки на принцип математической индукции дает обо-
снование исследуемого неравенства.
Задача 4.15. Найдите наибольшее значение функции nJ~n ,
где п е N.
Решение. Легко проверяется, что 72 < 73; 1/3 > 1/4; 1/4 >
>1/5 и т. д. Возникает естественное предположение, что nJn при-
нимает наибольшее значение при п = 3 и оно равно 1/3 . Докажем,
что это именно так. Для этого достаточно показать, что nJn >
> п + \Jn + 1 при п > 3 или что — >	+ U , л? > 3.
п п + 1
Введем в рассмотрение вспомогательную функцию f(x) = — ,
х > 3. Очевидно, что f'(x) =
, а значит, для любого х > 3
X1
f'(x) < 0, т. е./(х) убывающая на [3; +°°), следовательно, для любо-
го натурального п, большего 2, так как п + 1 > n,f(n + 1) < f(n).
т. е. 12 < а значит, п +	+ 1 < nJn , что и хотелось
п + 1 п
обосновать.
§ 4. Неравенство Коши
для произвольного числа переменных
Принцип математической индукции имеет достаточно много
обобщений, применение одного из них будет продемонстрировано
в процессе доказательства следующей теоремы.
Теорема 3, (Неравенство Коши для произвольного числа
параметров.)
79
Для любых действительных неотрицательных чисел
ах, а2, ап (п е 7V) справедливо следующее неравенство
п
а 2 • ... • а
причем равенство имеет место тогда и только тогда,
когда а { = а2 = ... =
Доказательство, Используем следующий вариант обоб-
щенного принципа математической индукции: если некоторое
утверждение Т(л), где п е 7V, удовлетворяет следующим усло-
виям:
а)	оно является истинным для всякого п, равного любому из
членов некоторой бесконечной возрастающей последователь-
ности натуральных чисел (не обязательно всех натуральных чи-
сел!);
б)	если утверждение Т(п) истинно при некотором натуральном
п т, где т > 2, то Т(п) истинно и при п = т — 1, то тогда ут-
верждение 7\п) истинно для любого натурального п.
Теперь обратимся непосредственно к неравенству Коши. Мы
умеем его доказывать (и получать критерий его реализации в ва-
рианте равенства) при п = 2, 4, 8, ..., т. е. для любого п, совпадаю-
щего с каким-либо членом возрастающей последовательности
(2*) (и, конечно, для п = I). Причем для доказательства этого
факта вполне подойдет «обычный» классический вариант прин-
ципа математической индукции, проведенный по параметру
k g N. Осуществление индукционного перехода аналогично ре-
шению задачи 3.26. Переход же от т? = т кп = т — 1 полностью
описан в третьем варианте решения задачи 3.27 и в замечании к
нему. Таким образом, на основании одного из вариантов обоб-
щенного принципа математической индукции можем заключить,
что неравенство Коши верно для любого числа параметров
п е N, причем критерий его реализации в варианте равенства то-
же обоснован.
Замечание. Стоит обратить внимание на существование
других вариантов записи неравенства Коши, например такого:
+а2 + ... + д„ у
(	“	j ^а\	ап
или такого:
(а}+ а2 + ... + а „У1 > пп * ах* а2*... • а„.
80
К тем примерам применения неравенства Коши, которые при-
водились в главе II, присоединим еще несколько, но прежде всего
отметим, что задача 4.12 теперь решается в одну строчку:
п г~<	п д—5------- г 1 4-24-... + и _ п(п + 1)_ я 4- 1
и	2п 2
если п > 2.
Задача 4,16. Докажите, что для любых неотрицательных
а, Ь, с справедливо неравенство
я3 + Ь3 + с3 4- 15abc < 2(а + b + с){а2 + Ь2 4- с2).
Решение. Перейдем к равносильному неравенству
а3 + Ь3 4- с3 4- 2(а2Ь + а2с + Ь2а + Ь2с 4- с2а + с2Ь) > \5abc,
а затем уже к пятнадцати числам я3, Ь\ с3, а2Ь, а2Ъ, а2с, а2с, Ь2а,
Ь2а, Ь2с, Ь2с, с2а, с2а, с2Ь, с2Ь применим неравенство Коши. По-
лучим требуемое (с точностью до перехода к равносильному нера-
венству).
Задача 4.17 (один из вариантов так называемого неравенства
Бернулли; сравните его с неравенством из задачи 4.5). Докажите,
что при любом а > 0 и любом рациональном г > 1 имеет место не-
равенство (1 4- a)r > 1 + га.
Решение. Пусть г = £ > 1 несократимая дробь; /?, q — нату-
ральные,/? > q. Рассмотрим следующую конечную последователь-
ность чисел: j + га, 1 4-га, ..., 1 4-га, ,	1,1,...,! и рассмот-
q равных чисел (/? — q) единиц
рим соотношение между их средним арифметическим и средним
геометрическим (неравенство Коши), причем вариант равенства
отпадает, так как заведомо 1 + га 1:
+га)</ < Р+ ^)
р
или
1 + га)-? <1 + ^ = 1 + 2‘^’а=1+а,
Р Р ч
q	р
т. е. (1 + т)р < 1 + а или 1 4- га < (1 4- а), а значит, (1 4- а)г >
> 1 + га, что и требовалось доказать.
6 Гомонов
81
Задача 4.18. Докажите* что для любых натуральных а, b и с
справедливо двойное неравенство
aabbcc > f а + Ъ + с Г + ь + с	(Ь + с)°(с + аУ(а + by
{	3	)	2а + ь + с
Докажем вначале левое неравенство. Для этого рассмотрим
। ж i	11	111	111	1
следующие а + Ь + с чисел	- , т,т, т ,	•••, - ,
J	a a	a b b b с с с
а чисел b чисел с чисел
и запишем для них указанный выше вариант неравенства Коши:
откуда aabbcc > ------------- J
Левое неравенство доказано. Обратимся теперь к доказатель-
ству правого неравенства. Для этого рассмотрим следующие
а + b + с чисел:
b + с,Ъ + с с + а,..., с + а а + Ь,..., а + b
•> •> ?
всего а чисел всего b чисел всего с чисел
тогда для них имеем, если применить неравенство Коши:
[ (^+.с)а + (с + а)/> + (а + д)с у + ь + ‘ > (6 +	. + ь х +
\	а + b + с	)
или (	)	> (£ + с)а • (с + а)ь • (а + Ь)с
или ( ab + ac + Ьс 'Г + ь + с
\ а + b + с )
(Ь + с)а(с + а)ь(а + Ь)с
+ ь + с
но ранее доказанное неравенство (см. задачу 3.6) а2 + Ь1 + с2 >
> ab + ас + Ьс приводит к соотношению
(а + b + с)2 > 3(аЬ + ас + Ьс),
что, в свою очередь, дает неравенство (а, Ь, с — натуральные)
82
О < ab + ас + be а + Ь +с , значит
а + b + с	3
/ а + b + с ¥7 + ь + е > (Ь + с)а * (с + д)ь • (д + Ь)с
(	3	)	'	2а + ь + е
Исходное неравенство полностью доказано.
Задача 4.19. Докажите, что для произвольных рациональ-
ных положительных чисел рх, р2, ..., рп и произвольных дейст-
вительных положительных чисел ах, а2, ..., а„ (п — натураль-
ах
ное, большее 1), удовлетворяющих условию:, среди чисел —,
Pi
^2	&п	г-
—...... —	имеются	хотя бы два различных, справедливо	нера-
Р1	Рп
венство
/	+ а2 + ...+ а„ у.+••• + />,, > ( Оу у. (а^ е ф у„
(/?! +р2 + ... +рп J	Ipj )	\Р2 )	J
Указание, Приведем дробирх, р2, ..., рп к общему знаменате-
лю, т. е. представим их в виде
т,	т 2	т
~т ’^2 ~т ’	щ ’
где т, тх,..., тп — некоторые натуральные числа. Рассмотрим те-
перь следующие т j + т2 + ... + тп чисел:
671 671	671	^2^2 а2	^_п	ап
Р\ Р\	Р\ , Pl Pl "" Р1	...? Рп Рп	Рп ,
тх чисел т2 чисел	тп чисел
и применим к ним неравенство Коши.
Из теоремы 3 легко выводится следующий полезный своими
приложениями факт.
Теорема 4. Если произведение нескольких действитель-
ных положительных чисел равно единице, то их сумма не
меньше их количества, причем она равна их количеству
тогда и только тогда, когда все эти числа совпадают,
т. е. каждое равно единице (значит, если среди этих чи-
сел имеется хотя бы два несовпадающих, то сумма всех
этих чисел строго больше их количества).
6*
83
Доказательство, Пусть про положительные числа хи х2,
хп, где натуральное п > 2, известно, что Х] *х2 •...*хп = 1, тогда,
применив к ним неравенство Коши, получим
п	v	"
откуда и следует доказываемое соотношение, причем оно реализу-
ется в варианте равенства тогда и только тогда, когда Xj = х2 = ... =
= хл, HOXj *х2 •... *хп = 1, откуда и следует вторая часть утвержде-
ния теоремы.
Замечание. Теорему 4 можно доказать независимо от
теоремы 3, применив тот же принцип математической индукции.
Более того, теорема 3 может быть получена из теоремы 4 как прос-
тое следствие (а значит, эти теоремы, как говорят в математике, эк-
вивалентны):
пусть ах, а2,..., ап — произвольные действительные неотрица-
тельные числа (л? > 2), тогда возможны две ситуации:
1) среди чисел а2, ..., ап есть нулевое, и тогда теорема 3 оче-
видна;
2) все числа ах, а2, ..., ап — положительны. Введем тогда в рас-
смотрение число А = nJax • а~> • ... • ап и заметим, что положи-
б? ।	а2	а
тельные числах! = — ,х2 = — , ...,хл = —- при перемножении да-
/1	/1	Уд
ют 1. Остается применить к этим числам теорему 4, чтобы получить
теорему 3 (убедитесь в этом самостоятельно!).
Задача 4.20. Докажите, что при любых положительных
aj, а2, ..., ап (п — натуральное, большее 1) справедливо неравен-
67,	67?	а„
ство	—
а2	а3	а
Задача 4.21. Докажите, что для любых положительных чисел
а,Ь, с справедливо неравенство а +	с + а + с
cab
п.
Задачи для самостоятельного решения
С-4.1. Докажите, что для любых действительных <71? а2, ..., ап
{п 2) выполняется неравенство |tzj + а2 + ... 4- ап\ < |aj + |а2| +
+ ... + \а„\.
84
С-4.2. Докажите, что для любого действительного х выполнит-
ся неравенство:
а) х4 + х3 + х + 1 >0;	в) х8 — х7 + х5 — х3 + 1 > 0.
Указание. Разбить множество действительных чисел на три
части и рассмотреть соответствующее представление многочлена
f(x) = х8 — х7 + х5 — х3 + 1, «выгодное» для каждой из частей:
если х < 0, тоДх) = х8 — х3 • (х4 — х2 + 1) + 1;
если 0 < х < 1, тоДх) = х8 + (х5 — х7) + (1 — х3);
если х > 1, тоДх) = (х8 — х7) + (х5 — х3) + 1;
г) х8 — х5 + х2 — х + 1 > 0;	д) х10 — х7 + х4 — х2 + 1 > 0.
С-4.3. Докажите, что для любого натурального п:
а)	2" > п\	е) (73)" > л;
б)	2" > In + 1, если п > 3; ж)	(V3)” > п, если	п > 4;
в)2"+2>л2 + 2,	з)	(J2)n > л, если	л >4;
г) 1,5" > 1 + 0,5л;	и)	2" > п2, если п	4;
д) 2,5" > 1 + 1,5л;	к)3">л2 + 2л;
л) (1 + л)" > 1 + па +	~.U а2, если п > 3, а > 0.
С-4.4. (2л — 1)! < л2"-1, если л > 1.
/	1 у*
С-4.5. 2----> п, если п > 1.
\ п )
С-4.6. (2п-\у.\<п”.
—
С-4.7. л! > л 2 , если л > 1.
С-4.8, л! > 2"_|, если л > 2.
С-4.9, (л!)2 < ( (п +	Y если л > 1.
\	О	/
Указание. Примените неравенство Коши к числам I2, 22,п2.
С-4.10. (л!)3 < ( п(п^У)2. j", если л > 1.
Указание. Примените неравенство Коши к числам I3, 23,п3.
С-4.11. п + \Jn + 1 < п - \Jn , если п > 2.
С-4.12.	+ 1 < п ~ \J7i , если п > 2.
85
С-4.14.	, если п > 1.
п + 1	(л!)2
С-4.15. 2! • 4! •... • (2л)! > ((л + 1)9", если п > 1.
С-4.16. (2л)!<22"’(«!)2-
С-4.17, (л!)2 > пп, если л > 2.
С-4.18. (1 + 1 Y < 3.
С-4.19.1	+	1	+	...	+	1	<	2.
I2	22	п2
С-4.20.1	+	1	+	...	+	1	<	1.
23	З3	л3	4
С-4.21. (2 - - 1
V п )
2 _ 2 • • (2 - ——- 1 > -I, если л > 1.
п J " к п ) п\
С-4.22. —
2 • 7л
<1.3,5
2 4 6
2л - 1
2л
1
л + 1
С-4.23.
—1— + ... + -1- >	, если л > 1.
л + 2	2 • л 24
С-4.24. 2(Тл^1 - 1) < 1 + -5= + “Г + - + “F •
72 7з 7л
С-4.25.	<^=-
2 • 4 ♦ 6 •... • (2л)	72л + 1
С-4 26 3 • 7 • 11 •... • (4л — 1) < 03
5 • 9 • 13 •... • (4л + 1)	74л + 3 ’
С-4.27*. Докажите, что для любого действительного х справед-
ливо неравенство ех~х > х, причем равенство достигается лишь
при х = 1.
Решение. Рассмотрим вспомогательную функциюДх) = ех~х -
-х, х g R, и ее производнуюД(х) = ех-1 - 1, которая при х < 1
отрицательна, а при х > 1 — положительна, следовательно, Д1) =
= 0 — наименьшее значение функции, достигаемое при х = 1, что
и доказывает исследуемое неравенство.
Замечание. Только что доказанный факт позволяет
дать очень красивое доказательство неравенства Коши и обосно-
вать условие его реализации в варианте равенства: пусть х1? х2,
хп — произвольные действительные неотрицательные числа
(п —натуральное, большее 1). Рассмотрим тогда число А =
+ ... + хп	. п
= —--------- — их среднее арифметическое. Если А = 0, то нера-
ле
венство Коши очевидно. Пусть А > 0, т. е. среди чисел х,, х2, ..., хп
есть хоть одно положительное, тогда, перемножая почленно сле-
X.	Хп
X, -7-1 Хп -Г - 1
дующие очевидные неравенства — < е71	,...,— ч е71	, по-
л	л
лучим неравенство
X) +х2 + ... + х„
е------А-------п
Ап
Х| +х2 + ••• + хп
но —------=—------- = и, а значит, доказано неравенство
А
.	I------------- / х, + х2 + ... +хп
%! *х2*... *хл < Ап или "/Xj • х2 •... • хп < -------. Нера-
венство Коши получено. Условие его реализации в варианте ра-
венства предлагается вывести самостоятельно.
Темы докладов и рефератов и литература к ним
1.	Неравенство Фейера.
а)	Частный случай неравенства Фейера: sin ос + sin 2ос + 1 sin За >
> 0; а 6 (0; л).
б)	Общий случай неравенства Фейера.
в)	Неравенство cos а + cos 2а +... + - cos ла > — , где ле N,
2	л	2
[0;si-
г)	Понятие о гармоническом анализе и рядах Фурье. Некото-
рые интересные результаты на вычисление бесконечных сумм.
Литература’. 17; журнал «Квант» за 1979 г., задача № 510 (ре-
шение); 25, 22 (задача 7.20).
2.	Определенный интеграл и неравенство Коши.
а)	Геометрический смысл определенного интеграла и получе-
ние двойного неравенства ~ а < In - <	. где 0 < а < Ь.
b а а
б)	Применение определенного интеграла при доказательстве
неравенства Коши.
Литература’. 99.
87
3.	Некоторые обобщения неравенства Коши.
а)	Обобщенное неравенство Коши для элементов прямоуголь-
ных таблиц.
б)	Неравенства Коши—Буняковского и неравенство Гельдера
как следствия обобщенного неравенства Коши.
в)	«Взвешенное» неравенство Коши и следствия из него (нера-
венства Гельдера, Коши—Буняковского и Юнга).
Литература'. 93, 83, 66, 81, 10, 30.
4.	Свойства среднего арифметического и среднего геометрическо-
го для членов возрастающих конечных последовательностей положи-
тельных чисел.
а)	Соотношения для средних арифметических:.
Ак_х ^Ак, wAk = (tfj + ... + ак) и 0 < а{ < ... < ап, 2 < к < п.
б)	Соотношения для средних геометрических:
Gk_x < Gk, где Gk = ь]ах •... • ак и0<	... < ап,2< к < п.
в)	Основная теорема. Если ах, ап > 0 и гх, гп —
рациональные числа, причем — + — + ...+— = 1, то тог-
г\ Г1	гп
сЕп а^[	аГп
да — + ... + — + — + ... + — > а 1 •... • а .
ri	G,	1
Литература'. 93, 83, 66.
5.	Простые и не очень доказательства неравенства Коши.
а)	Доказательство неравенства Коши методом Штурма.
б)	Производная помогает доказать неравенство Коши.
в)	«Выбери меня», или Несколько доказательств неравенства
Коши.
Литература'. 93, 83, 66, 137, 64, 30.
6.	Получение приближенных значений числа е с помощью нера-
венств.
а)	Неравенство ( 1 +	> ( 1 + - ) , где п е TV, х g А,
\ п + \ ) I п )
х> -п,м его доказательство.
б)	Доказательство и применение двойного неравенства
/	1/7	/	1/7 + 1
[ 1 + - J < е < 1 + - J , где п е N.
Литература'. 93, 22, 16.
88
7.	Соотношения между членами последовательностей.
а)	Рекуррентный способ задания последовательностей. Приме-
ры. Последовательность Фибоначчи.
б)	Некоторые оценки для членов рекуррентно заданных после-
довательностей.
в)	Решение задач.
Литература'. 22.
8*. Теория чисел и неравенства.
а)	Необходимый минимум понятий теории чисел.
б)	Основные арифметические функции и их свойства.
в)	Теорема Чебышева о распределении простых чисел.
г)	Решение задач.
Литература'. 22, 7, 1, 142.
9. Неравенства Непера.
Литература'. 50.
ГЛАВА V
НЕРАВЕНСТВО КОШИ-БУНЯКОВСКОГО
И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Прежде чем рассмотреть само неравенство, являющееся глав-
ным действующим лицом данной главы, стоит напомнить, что с на-
званиями замечательных неравенств просто беда. Так, например,
неравенство, именовавшееся в предыдущих главах неравенством
Коши, часто и совершенно справедливо называют [2] соотношени-
ем между средним арифметическим и средним геометрическим,
а вот то неравенство, которым будем заниматься в данной главе, —
неравенством Коши без какого-либо упоминания фамилии замеча-
тельного русского математика Виктора Яковлевича Буняковского
(1804—1889). Как бы в отместку за такое неуважение к нашему со-
отечественнику уже в наших отечественных источниках, называя
соответствующее неравенство, часто ставят фамилию Виктора
Яковлевича на первое место и говорят о неравенстве Буняковско-
го—Коши. Поэтому всякий раз, когда вы встретите упоминание не-
равенства со знаменитым «именным» названием, постарайтесь вна-
чале посмотреть на его аналитическую запись, а уже потом рассуж-
дать о его достоинствах и недостатках. Помните, что по названию
однозначно определить, что за неравенство имеется в виду, весьма
затруднительно.
89
§ 1. Неравенство Коши—Буняковского и условия
его реализации в варианте равенства
Начнем с того, что сформулируем и обоснуем основной резуль-
тат.
Теорема 1. Для любых действительных чисел а{, а2,..., ап,
Ьх, Ьъ ..., Ьп (п — любое натуральное число, большее 1) спра-
ведливо следующее неравенство
(ахЬх + а2Ь2 + ... +	(tff + а] + ... + a2 )(Z>? + Ь] + ... + Ь2 )
или l^jdj + а2Ь2 + ... + anbn\ < Ja] + а^ +... + а2 х
х ^b2 +	+ ... + Z?2 , именуемое неравенством Коши—Бу-
няковского, причем данное соотношение реализуется в
варианте равенства тогда и только тогда, когда выпол-
ь\ _Д2 _	_ Ьп
няются условия — — — — ... — — .
а1	ап
Замечание. Последние условия теоремы 1 договоримся
понимать с таким дополнением: если некоторое число 67 z- = 0, то
и bi = 0, и еще: модуль в левой части неравенства Коши—Буня-
ковского можно, очевидно, убрать или «наградить» им каждое
стоящее в левой части неравенства слагаемое afi^i = 1,..., п) в от-
дельности. В этом случае равенство в соотношении Коши—Буня-
ковского будет достигаться тогда и только тогда, когда
*1 = *2
67j а2
ап
Доказательство 7.
1. Пусть а! = а2 = ... = ап = 0 и утверждения теоремы 1 очевид-
но справедливы.
2. Пусть теперь хотя бы одно из чисел ах, а2, ..., ап отлично от
нуля. Введем тогда следующие обозначения:
А = а2 + а2 + ... + 622 > О, С = Z?2 + Ь2 + ... + Ь2 , В = ахЬх +
+ а2Ь2 + ... + апЬп, позволяющие записать изучаемое неравенство
в следующем виде В2 < АС. Очевидно, что ему будет равносильно
неравенство (2В)2 — 4ЛС < 0, левая часть которого является диск-
риминантом трехчлена >4х2 + + 2Вх + С, что подсказывает ввести
в рассмотрение следующую вспомогательную функцию f(x) =
= Ах2 + 2Вх + С, х g R.
90
Легко видеть, что f(x) = Ах2 + 2Вх + С =	+ ... +
+ а2 )х2 + 2(67^! + а2Ь2 + ... + апЬп)х + (Ь2Х +	+ ... + Ь2 ) =
= (ахх 4- Ьх)2 + ... + (апх + Ьп)2, т. е. при любом х значение этой
квадратичной функции (с положительным коэффициентом при х2)
неотрицательно, а это означает, что дискриминант рассматривае-
мого трехчлена меньше или равен нулю, т. е. D = MX2 — 4АС < 0, а
значит, В2 < А *С, иначе говоря, для любых действительных чисел
ах, а-,, ..., ап, Ьх, Ь2, ..., Ьп справедливо неравенство Коши—Буня-
ковского:
(ахЬх+а2Ь2 + + апЬп)2<{а2х + а% + ... + а2	+ ... + Ь2),
причем равенство в полученном соотношении достигается тогда
и только тогда, когда D = 0, т. е. когда график функции f(x) каса-
ется оси ОХ, а значит, уравнение Ах2 + 2Вх + С = 0 имеет ровно
один корень, т. е. когда следующая система уравнений совместна:
\ахх + Ьх = О,
]а„х + 6„ = 0,
т. е. когда — = — =... = —. Теорема доказана.
а\ ^2	ап
Доказательство 2.
Это доказательство основано на одном замечательном тождест-
ве — тождестве Лагранжа:
(xf + х^ +... + х2 )(а^ + а% +... + а2) — {аххх +а^с2 +... +
+ а^х„)2 = (xta2— x2at)2 + (х,а3-х3а,)2 + (х1а4-х4а1)2 + ... +
+(xla„ —xnat)2 + (х2а3 -х3а2)2 + (х2а4 -х4а2)2 + ... +
+ (х2ап -х„а2)2 + ... +	-х^^)2.
Доказательство тождества Лагранжа.
Для обоснования тождества достаточно составить разность
между его левой и правой частями, раскрыть скобки и привести
подобные. В качестве упражнения, тренирующего внимание и вос-
питывающего аккуратность, предлагается желающим выполнить
соответствующие выкладки самостоятельно. Вернемся однако к не-
равенству Коши—Буняковского. Его доказательство теперь совер-
шенно очевидно, так как правая часть тождества Лагранжа прини-
мает лишь неотрицательные значения, что, естественно, вынужде-
на делать и его левая часть.
91
Такжелегкоиз системы равенствх!а2 —= х1а3 — хъах = ... =
— хп_хап - хпап_х выводится критерий реализации соотношения
Коши—Буняковского в варианте равенства.
Замечание. Еще один вариант доказательства неравен-
ства Коши—Буняковского будет предложен в главе VII (задача
7.26), причем важнейшим элементом построения безупречной ло-
гической цепочки окажется простое, почти очевидное неравенство
ху < (х2 4- у2). Любопытно, что это неравенство заставляет нас
вспомнить и о неравенстве Коши, и о квадратичной функции.
Рассмотрим теперь задачи на использование неравенства Ко-
ши—Буняковского.
Задача 5.1. Докажите, что для любых действительных чисел
а, b и с справедливо неравенство (а + Ь + с)2 < 3 • (а2 + Ь2 4- с2).
Решение. Запишем исследуемое неравенство в следующем ви-
де: (1	+ 1 *b + 1 - с)2 < (I2 + I2 4- I2) • (а2 4- Ь2 + с2). Следователь-
но, это заведомо истинное неравенство, так как оно является част-
ным случаем неравенства Коши—Буняковского.
Задача 5.2. Докажите, что для любых действительных чисел а,
Ьп с справедливо неравенство a2b2 4- b2e2 + а2е2 > abc(a 4- b + с).
Решение. Достаточно записать данное неравенство в виде
J(ab)2 4- (be)2 + (са)2 • J(ac)2 + (ab)2 4- (be)2 >
> ab • ас 4- be • ab + ca • be
и сослаться на неравенство Коши—Буняковского.
Задача 5.3. Докажите, что для трех любых действительных
чисел а, b и с, если а 4- b 4- с > 3, то будет справедливо и неравен-
ство а2 4- Ь2 4- с2 > 3.
Решение. Неравенство Коши—Буняковского дает следующее
соотношение:
(а2 4- Ь2 + с2) • (I2 4- Р 4- Р) > (а • 1 +6-1 4- с • I)2), т. е.
3(б72 4- Ь2 4- с2) > (а 4- Ь 4- е)2, но по условию а + b + е > 3, значит,
3(я2 4- Ь2 4- с2) > 9, откуда немедленно следует доказываемое соот-
ношение.
Замечание. Возможно получить решение задачи, ис-
пользуя геометрические соображения, ведь условие а 4- Ь 4- с > 3
означает, что нас интересуют только точки полупространства, об-
разованного плоскостью а + b + с — 3 и не содержащего точку
(0; 0; 0). Причем требуется доказать, что все точки этого полупро-
странства лежат вне или на сфере с центром в точке (0; 0; 0) и радиу-
92
са л/3. Для этого достаточно сравнить радиус этой сферы и рас-
стояние от ее центра до плоскости а + b + с = 3.
Задача 5.4. Докажите, что для любого допустимого значения
х выполнится неравенство 75х + 1 + J6x + 1 + 71 — 1 lx < 3.
Решение. Неравенство Коши—Буняковского дает для любого
допустимого значения х соотношение:
75х + 1 • 1 + 7бх + 1 • 1 + 71 - Их • 1 <
< 7(75% + 1)2 + (7бх + 1)2 + (71 - Их)2 • 7i2 + 12 + 12
ИЛИ
75х + 1 + 7бх + 1 + 71 - Их < 7з 7з,
что и доказывает требуемое неравенство. Остается добавить, что
множество допустимых значений х не пусто.
Задача 5.5. Докажите, что если для некоторых действитель-
ных чисел х1?х2, ...,х„ (п е N, п > 2) выполнится условие х{ + х2 +
+ ... + хп = 1, то для них выполнится и соотношение xf + х% + ... +
+ X2 > - .
П И
Решение. Неравенство Коши—Буняковского дает соотношение
(х^ + Х^ + ... + х2 ) • ( I2 + I2 + ... + I2 ) >
п слагаемых
> (Xj • 1 + х2 • 1 + ... + хп • I)2,
hoxj + х2 + ... + хп = 1 по условию, что и позволяет сделать нужное
заключение.
§ 2. Векторный вариант записи неравенства
Коши—Буняковского
и тригонометрические подстановки
Рассмотрим неравенство Коши—Буняковского при п = 2 и
при п = 3. В первом случае его можно переписать в следующем ви-
де, если ввести в рассмотрение векторы и(а}\ а2) и v(bj; /?2):
(Й - £)2 < |й|2'|у|2;
|Й -	l«|-|v|;
и • V < |и|• Щ	(*)
93
где |и| = 7^? + ^2 — Длина вектора и, |v| = Jb] +	— длина
вектора v и, наконец, и • v =	— скалярное произведе-
ние векторов и и v.
Во втором случае при п = 3 получим те же три варианта за-
писи неравенства Коши—Буняковского, если считать, что и =
= и(а{ \ а2; а3) и v = v(b{\ b2\ b3). Причем условие, когда соотно-
шение Коши—Буняковского выполняется в варианте равенства,
тоже имеет прозрачное геометрическое истолкование — этот факт
-> ->
имеет место тогда и только тогда, когда векторы и и v коллинеар-
ны (параллельны), т. е. существует такое действительное число X,
для которого будет справедливо равенство и = к • v.
Самые замечательное, что неравенство Коши—Буняковского
имеет тот же геометрический смысл и для векторов «-мерного
векторного пространства, если только длину вектора и скалярное
произведение векторов определить аналогично тому, как это дела-
ется для двумерного и трехмерного пространства, а именно: если
и = и(ах\а2, ...;«„) и v = v(b^b2;bn), то для них принять, что
|w| =	+ а% + ... + а}г (|v| = Jbj + b% + ... + b% ); u*v =
= axb} + ... + anbn\ cos [ i/fvl = .(где |w| Ф 0 и |v| Ф 0,
т. e. и Ф 0 и v * 0).
Итак: модуль скалярного произведения двух векторов (а са-
мо произведение и подавно!) не превосходит произведения
их длин. В дальнейшем каждое из соотношений (*) будем назы-
вать векторным вариантом записи неравенства Коши—Буня-
ковского.
Теперь ранее рассмотренные решения задач могут приобрести
«геометрический» оттенок. Например, чтобы получить решение
задачи 5.1, достаточно записать для трехмерных векторов и (а; Ь\ с)
и v (1; 1; 1) неравенство Коши—Буняковского; а чтобы состоялось
решение задачи 5.2, достаточно рассмотреть векторный вариант
неравенства Коши—Буняковского, записанный для векторов
u(ab\ bc\ са) и v(ac', ab\ be).
94
Обратимся опять к рассмотрению нескольких задач.
Задача 5.6. Решить систему уравнений
| (х3 + у3)2 = х2 + у2,
(х4 + у4 = 1.
Решение. Рассмотрим векторы й(х2; у2) и v(x; у), тогда для
них имеет место неравенство (и • у)2 < |й|2 • |v|2, т. е. (х3 + у3)2 <
< (х4 + у4)(х2 + У2), (если (х; у) — решение заданной системы)
х2 + у2 < 1 • (х2 + у2), значит, неравенство Коши—Буняко вс кого
должно выполняться в варианте равенства, а это означает, что век-
->	-»	х2 у2
торы и и v коллинеарны, следовательно, — = у, откуда
х = у, а значит, так как х4 + у4 = 1, то решением системы будет
пара f — ; — 1 и пара ( —— ; —- 1 (это при дополнительном ус-
^1/2 1/2 2	1/2	1/2 '
ловии, что х * 0 и у Ф 0). Рассмотрение случаев, когда х = 0 или
у = 0, дает, очевидно, решения (0; 1), (0; —1), (1; 0), (1; —0).
Задача 5.7. Решите систему
[ х4 + у4 + £4 = 1,
|х2 +у2 + 2х2 = 77 .
Решение. Пусть (х; у) — решение системы, тогда для векторов
w(x2; у2; z2) и у (1; 1; 2), с одной стороны, имеют место равенства:
и • у = 77; | и | = 1; | v | = Тб, а с другой стороны, согласно нера-
венству Коши—Буняковского, справедливо соотношение и • у <
< |й|*|у|, т. е. 1 • Тб > а/7 , что является ложным утверждением,
значит, исследуемая система уравнений несовместна.
Задача 5.8. Найдите наибольшее значение функции
Дх) = 7х + 7 + 711 — х.
Решение. Рассмотрим векторы и = (7х + 7 ; 711 — х) и у =
= (1; 1). Тогда |Й| = 7% + 7 + 11-х = 718 = 372; |у | = 72;
и • у = 7х + 7 4- 711-х , тогда неравенство и • у < |й| • |у|
примет вид: 7х + 7 + 711 — х < 372 • 72 , т. е. при любом допус-
тимом х Дх) < 6. Подозрительное на максимум число — это 6, но
95
надо выяснить, достигается ли оно. Составим уравнение —j— -
=	* х . Очевидно, что его единственный корень — это число 2,
значит, действительно /тах = 6, причем достигается это значение
в точке х = 2.
Задача 5.9. Какое наименьшее значение может принимать
сумма xf + х$ + ... + х2 , если известно, что xt + х2 + ... + хп = 1
(/? е 7V).
Решение. Неравенство Коши—Буняковского дает следующее
соотношение
(xj + х% + ... + х2 )( I2 + I2 + ... + I2 ) >
п слагаемых
> (%! • 1 + х2 • 1 + ... + хп • I)2, а значит, х? + х$ + ... + х2 > у
Xj х2	хп
причем равенство достигается при условии, что у = у = ... = у,
но Xj + х2 + ... + хп = = 1, что дает ответ на поставленный вопрос:
1
наименьшее значение, принимаемое указанной суммой, равно -
и оно достигается при х, = хэ = ... = х„ = - .
1 Z	п п
Задача 5.10. Докажите, что для любых двух действительных
чисел а и Ь, удовлетворяющих условию а1 + b2 = 1, справедливо
неравенство \а + b\ <	.
Решение. Так как а2 + b2 = 1, то это означает, что радиус-век-
тор с концом в точке (я; 6), которая лежит на единичной окруж-
ности, заданной уравнением а2 + b2 = 1, образует некоторый угол
(р с направлением оси абсцисс. Это дает возможность воспользо-
ваться следующим представлением а и b*. а = cos (р, b = sin (р. Те-
перь исследуемое неравенство примет вид |cos х + sin х| <	, а
ему равносильным будет неравенство | 72 sin (<р + )| < , ко-
торое, в свою очередь, очевидно. Легко видеть, что в варианте ра-
96
венства доказываемое соотношение реализуется лишь в двух слу-
чаях: если
, 1 , 1
а = о = — или если а = о = —- .
72	72
Задача 5.11. Докажите, что для любых действительных чисел
а и Ь. удовлетворяющих условию а2 + b2 = 1, справедливо нера-
венство \а3Ь — Ь2а\ < |.
Решение. Подстановка а = cos ср, b = sin ф, где ф е R приво-
дит нас к неравенству |cos3 ф sin ф — sin3 ф cos ф| < |. Ему равно-
сильно неравенство |cos ф sin ф(соз2 ф — sin2 ф)| < или
| sin 2ф cos 2ф| < |, или 11 sin 4ф| < , т. е. |sin 4ф| < 1. Получили
очевидное неравенство, значит, обоснование исходного неравен-
ства состоялось.
Однако отнюдь не всегда тригонометрические подстановки
оказываются столь эффективны. Рассмотрим следующую задачу.
Задача 5.12. Докажите, что для любых действительных чисел
а и b справедливо неравенство (а + Ь)4 < 8(я4 + Ь4).
Решение. Данное неравенство уже было рассмотрено (задача
3.9) и геометрическая интерпретация с использованием графика
функции Дх) = х4, х е 7?, без труда позволила его обосновать
после предварительного перехода к равносильному ему неравен-
ству (частному случаю неравенства Иенсона): (—<
г а4 + b4
< —-—. Обратимся теперь к решению предложенной задачи
с использованием тригонометрической подстановки. Рассмот-
рим 2 случая.
1) Пусть а = 0 или b = 0. В этом случае неравенство очевидно.
2) Пусть теперь а Ф 0 и b Ф 0, тогда для числа - найдется та-
а
кой угол а, что = tg а. Отсюда имеем: b = a tg а, и исследуемое
неравенство можно заменить следующим: я4(1 + tg а)4 < 8я4(1 +
+ tg4 а) или (cos а + sin а)4 < 8(cos4 а + sin4 а), которое, очевидно,
равносильно неравенству (1 + 2sin a cos а)2 < 8(1 — 2cos2 а sin2 а).
7. Гомонов
97
Далее имеем следующие ему и между собой равносильные нера-
венства:
(1 +sin 2а)2 <8^1 — ^ sin2 2а 1 + 2sin 2а + sin2 2а < 8 — 4sin22a<=>
<=> 5sin2 2а + 2sin2 а — 7 < 0 <=> (5sin 2а + 7)(sin 2а — 1) < 0.
Последнее неравенство очевидно. Этим решение данной задачи
завершено.
Итак, решение задачи состоялось, но признать его эстетически
образцовым не приходится. Ясно одно: метод тригонометрической
подстановки не всесилен и далеко не всегда приводит к наиболее
короткому и привлекательному своей математической красотой
решению.
Задачи для самостоятельного решения
С-5.1. Докажите неравенство при заданных условиях:
а)	если а + b + с = 0, то ab + Ьс + са < 0;
б)	если а • b > 0, то + - >2, если же а • Ъ < 0, то 2 + - “2;
b а	Ь а
в)	если а > 0, b > 0 и ab = 1, то (1 + я)(1 + Ь) > 4;
г)	если а + b > с > 0, то а1 + Ь2 > с2:
2 ’
Указание. Воспользоваться соотношениями
(я2 + Z>2)(12 + I2) > (а + ьу > с2.
д)	если а > 0, b > 0 и а + b > 2, то а2 + Ь2 > 2;
е)	если все числа а}. а2, ..., ап, Ьх, Ь2. .... Ьп — положительные
(л — натуральное, большее 1), то выполнится неравенство
(а{Ь} + а2Ь2 + ... + апЬп) * (	> (<34 +а2 + ... + я„)2;
ж)	если а2} + a j + ... + а2 = Ь2{ + Ь\ + ... + Ь2 =1, то
+ а2Ь2 + ... + апЬ^ < 1 (и g 7V, п > 2).
С-5.2. Укажите необходимое и достаточное условие выполне-
ния для действительных чисел a. b. с. d равенства
(а + b + с + d)2 = 4(<72 + Ь2 + с2 + d2).
С-5.3. Докажите, что если х + у + z~ 1,то при всех допусти-
мых х, у. z выполнится неравенство
74х + 1 + 74у + 1 + 74Z + 1 < 7Л.
98
С-5.4. Докажите, что если a,b, с, d — неотрицательные числа,
то для них выполнится неравенство
+ c)(b + J) > Ja • b + Jc • d .
С-5.5. Докажите, что если xy + yz + xz = 1, то х2 + у2 + zr > 1.
С-5.6. Докажите, что для любых действительных чисел а. b и с
справедливо неравенство а4 + Ь4 + с4 > а2 • Ь2 + Ь2 • с2 + с2 • а2.
С-5.7. Докажите, что для любых действительных х, у и z вы-
х + у + z /х2 + V2 + Z2
полнится неравенство---—- ч /-------.
С-5.8. Докажите, что для любых действительных а. b и с вы-
полнится неравенство (а2 + Ь2) • (а4 + Ь4) > (а3 + Ь3)2.
С-5.9. Докажите, что для любых действительных al5 a2, •••» ап
выполнится неравенство
(sin cq + sin a2 + ... + sin a„)2 + (cos ctj + cos a2 + ... + cos a„)2 <
< Л22, П G N.
С-5.10. Докажите, что для любых двух положительных чисел
а и b справедливо неравенство (а + Z>)f - + 1 > 4.
\ а b )
С-5.11. Докажите, что для любых положительных чисел а, Ь, с
и d справедливо неравенство ab + cd < Ja2 + с2 • Jb2 + d2.
С-5.12. Докажите, что для любых положительных чисел а, Ъ
и с справедливо неравенство:
а) (a + Z> + c)f 1 + | + - "I > 9; б) М— + /—+ /_£_ > 2.
k а b с )	' цЬ + с Ца + с ya + b
С-5.13. Докажите, что для любых положительных чисел а,Ь, с
и d справедливо неравенство:
а)	Ja2 + с2 + Jb2 + d2 >	+ b)2 + (с + d)2 ;
б)	J(a2 + c2)(b2 + с2) + Jb2 + c2)(b2 + d2) +
+ 7(£2 + d2)(a2 + d2} + Jci2 + б/2)(б72 + c2) > 2(a + b)(c +#).
С-5.14. Докажите, что для любого допустимого числа х спра-
ведливо неравенство (2x71 — х2 + 2х2 — I)2 < 2.
С-5.15. Докажите, что для любых допустимых чисел а и b
справедливо неравенство:
а) |^71 -	+ />71 — я2| < 1; б) \ab + 7(1 — <я2)(1 - b2) | < 1.
7*
99
С-5.16. Докажите, что если а, b и с — длины сторон некоторо-
го треугольника иа + д + с=1,то для них справедливо неравен-
ство а2 + Ъг + с1 < .
С-5.17. Докажите, что не существует таких действительных чи-
сел а, Ь и с, для которых выполняется соотношение
Ja — 1 + + Jb — 1 + Jc — 1 > Jc(ab + 1) .
Указание. Рассмотреть два вспомогательных вектора и =
= (7х — 1 ;1) и v = (1;а/у — 1), записать для них неравенство Ко-
ши—Буняковского Jx — 1 + л/у — 1 < л/ху и дважды им вос-
пользоваться для оценки сверху значений выражения
л/a — 1 + + Jb — 1 + J с — 1.
С-5.18. Докажите, что для любых действительных чисел х и у
1	(х+у)(1 — ху) 1
справедливо неравенство: -- < \	й •
2(1 + х2)(1 + у2)	2
/ 2jc 1_____х2 А
Указание. Записать для векторов и =	——-; ——- и
к 1 + х2 1 +х2 /
v = ( 1	) неравенство Коши—Буняковского
С-5.19*. Докажите неравенство — +	+ ... + —— <
Ja2 3Ja‘3 nJa~n
<(i + VS)2, где ах, ..., ап — положительные числа, п g N,
S = a{ +... + ап.
С-5.20. Докажите, что для любых положительных чисел х{, ....
хп,ух, ...,уп,п е 7V, имеет место неравенство: Jxxy{ + Jx2y2 + ... +
+ Jxnyn <	+x2 + - + xn •	\ + У2 + -+ Уп 
С-5.21. Докажите, что для любых положительных чисел а{, ...,
ап, Ь{, ..., Ьп, ...,хп, пе N, имеет место неравенство
Ua\bl +-+ Л/^Х)2<(«1Х| + ... + а„Х„)(^ +- + ^ )•
\ Л' [	/
100
С-5.22. Докажите, что для любых положительных чисел ах, ...,
ап, Ьх,..., bn, п g N, справедливо соотношение
(albl + ... + a„b„)( ~ + ... +	1 > («1 + а2 + ... + а„)2.
V	°п '
С-5.23. Найдите наибольшее значение функции:
а)/(х) = tfsinx + Z>sin( + х ) + csin( - х где числа а. b и
с — положительны,х е (б;
б) f(x, у) = 6zsin(x + у) + Z?sin(x - у) + с 7cos2x • cos2y , числа
а, b и с — положительны, хе (б; 5 j, у е (б; 5
ч „	ч (аххх + я2х2 + ••• + апхп)2
в)/(х1?..., Хп) =	 2 . 2--— 5	 - , где все числа ах,...,
xf+xf + ...+х‘
ап — положительны, xi е (0; +°°), / = 1,..., /?;
г)/(х) = 74cos2x + 1 + 74sin2x + 3 ;
д)/(х) =	- cos 2х +	+ cos2x.
С-5.24. Найдите наибольшее и наименьшее значение функ-
ции:/^,	х„,	..., уп) = ххух +х2у2 + ... + хпу„, если из-
вестно, что xf + ... + х2 < а2; yj + ... + у2 < Ь2, где а и b —
положительные числа.
С-5.25. Докажите, что для любых допустимых значений х, у
и z Jlx + 1 + 74у + 1 + 74FH < а/21 , если известно, что
х + У + z= 1.
С-5.26. Решите уравнение:
a) Jx2 + у2 = х +. ; 6)Ха/1 + х + 73 — х = 2 Jx2 + 1.
А/ 1 /
С-5.27. Докажите неравенство:
a)	Jab + Jbc + Jac < а 4- b + с, где а, b и с — положитель-
ные числа;
б)	1 + ab < 71 + а2 71 + Ь2 , где а и b — произвольные дейст-
вительные числа;
в)	|3sin х — 4cosx| < 5, где х — любое действительное число;
г)	sin х • sin у* sin z + cos x • cos у • cos г < 1, где x, у, z — лю-
бые действительные числа.
101
С-5.28. Решите систему уравнений
|х3 + 2у3 4- 3^3| = а/х2 4- 4у2 4- 9^2,
х4 4- у4 + £4 = 1.
Указание. Введите в рассмотрение векторы и = (х; 2у; 3z) и
= (x2;j/2;<i2).
С-5.29. Решите систему уравнений:
X6 4- у4 4- z2 = 1,
х3 4- 2у2 4- 3z = 4;
г) <х2 + у2 + z2 = 12,
logxy2 = z;
б) ] X2 + У2 + Z2 = з
\x-2y 4-3^= 15,
в lx2 + у2 4- z2 = 16;
[ 9у2^2 4- 4х2г2 4- 25x2j/2 = 16х2у2£2,
х2 4- 4у2 + z2 = 9,
I X-уТз +^а/15 = у.
Указание.
д)	Разделите обе части первого уравнения на x2y2z2 и рассмот-
рите два вектора и = (|; | ) и v = (х; 2у; ^).
С-5.30. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с катета-
ми а и b и гипотенузой с имеет место неравенство а + b < с •	.
Темы докладов и рефератов и литература к ним
1.	Применение неравенства Коши—Буняковского при решении
уравнений и систем уравнений (доклад).
Литература’. 150, 55, 135, 149, 151, 89.
2.	Применение неравенства Коши—Буняковского и скалярного
произведения при доказательстве неравенств (доклад).
Литература', та же, что к теме 1.
3.	Применение неравенства Коши—Буняковского в задачах опти-
мизационного характера (доклад).
Литература', та же, что к теме 1.
4*. Точность неравенства.
102
а)	Проблема уточнения и «улучшения» неравенства.
б)	Основные понятия и их иллюстрирующие примеры.
Теорема. Для любого неравенства от п переменных х}9
х2, ...,х„ (и — любое натуральное) существует ему равно-
сильное неравенство вида f(xx, х2, хп) > с, где с — неко-
торое действительное число.
Данная простая теорема (докажите ее самостоятельно) обеспе-
чивает максимально общий характер следующего определения.
Определение. Пусть неравенство вида
/(%!, х2,хп) > с, где с е R,	(*)
выполняется при всех наборах значений переменных из некоторо-
го непустого множества М cz R”. Тогда, если для любого числа
с > с неравенство
f{xx,x2, ...,х„) > с
окажется опровержимым на М, то говорят, что константа
с в правой части неравенства (*) является точной константой
(относительно множества М).
Замечание 1. Наиболее интересен тот случай, когда М
богато элементами и состоит из всех допустимых для выражения
/(хр х2, ..., хп) (задающего соответствующую функцию) наборов
значений переменных.
Замечание 2. Аналогичное определение дают и для не-
равенства вида
Дхр х2,..., хп) < с, где с g Л,
что, вообще говоря, излишне, так как подобное неравенство рав-
носильно неравенству вида —Дхи х2, ..., хп) > —с, для которого
понятие точной правой части уже дано.
В качестве иллюстрирующих примеров могут быть предложены
следующие неравенства (проверьте истинность каждого из них и убе-
дитесь, что соответствующие константы этих неравенств — точные):
1) -1 < sin х < 1, М = 7?;
х2 - 1
2 + J
< 1, М = R. Стоит обратить внимание, что данное со-
отношение в варианте равенства не реализуется, но это никак не
влияет на возможность применения данного выше определения;
3)	, где М — множество всех упорядоченных
2 xL 4- yL 2
пар действительных чисел, кроме пары (0; 0);
103
в) решение задач, связанных с определением точности соответ-
ствующих констант.
Примерами таких задач являются следующие:
1) найдите множество всех значений параметра Л, для каждого
из которых неравенство х2 + у2 > кху справедливо при всех дейст-
вительных значениях х и у;
2) докажите, что для любых положительных а (.ап (и — лю-
бое натуральное) имеет место следующее неравенство
_L +____!__ + ... +------!------ < 4f — + — + ... + - 1
ах ах +а2	ах+а2 + ... + ап k a j а2	ап /
а затем докажите, что константу 4 в правой части этого неравенства:
—	можно заменить на 2;
—	нельзя заменить никаким числом, меньшим 2.
Литература'. 115.
Журнал «Квант» за 1986 г., задача М-999.
ГЛАВА VI
НЕРАВЕНСТВА ПОДСКАЗЫВАЮТ МЕТОДЫ
ИХ ОБОСНОВАНИЯ
Особенности «устройства» выражений f(xx, х2, ..., хп) и
(p(xj,x2, ..., х„), задающих соответствующие функции и образую-
щих левую и правую части неравенства, могут подсказать пути к
обоснованию данного неравенства. Иногда эти «подсказки» лишь
частично сокращают путь к обоснованию неравенства (такой под-
сказкой, например, может быть симметричность выражений/(х,,
х2,..., хп) и (р(х1? х2,..., х„)), но иногда они оказывают и решающее
влияние на ход исследования соответствующего неравенства.
§ Г. Приближение к экстремуму выравниванием
значений переменных (метод Штурма)
Элементарным, но во многих случаях весьма эффективным для
установления истинности неравенства с переменными, равно как
и для нахождения наибольшего или наименьшего значения функ-
ций от нескольких переменных, является метод, обычно связывае-
мый с именем немецкого математика Р. Штурма (Р. Штурм пред-
ложил его в 1884 г.). Важнейшей частью этого метода является це-
ленаправленное использование такого приема как метод оценок
104
с целью постепенного приближения значений исследуемой функ-
ции к ее экстремальному значению путем специальным способом
организованного варьирования значений соответствующих неза-
висимых переменных.
Продемонстрировать особенности и детали данного приема
удобно в процессе решения конкретных задач и на конкретных
числовых примерах.
Задача 6.1. Докажите, что если произведение положитель-
ных чисел %), х2, ..., хп равно единице, то для этих чисел справед-
ливо неравенство х1 + х2 + ... + хп > и.
Решение. Отметим, прежде всего, что, как ни переставляй
местами компоненты любого решения данного неравенства, будут
вновь получаться наборы значений переменных, удовлетворяю-
щие всем условиям. Эта особенность данной задачи позволяет
без нарушения общности рассуждений считать, что х1? х2, ..., хп
удовлетворяют дополнительным условиям х1 < х2 < ... < хп (или
х2 < Xj < х3 < ... < хл). Однако это весьма полезное наблюдение,
связанное с некоторой «симметричностью» соответствующих вы-
ражений, до определенного момента учитываться не будет. Обра-
тимся теперь к конкретным пяти (л = 5) положительным числам,
чье произведение равно единице.
Докажем (без вычисления их суммы до самого последнего эта-
па рассуждения), что эту сумму можно оценить снизу числом 5.
Пусть это будут числа х{ = 2, х2 = i, х3 = , х4 = 1, х5 = 3.
Заметим, что среди них есть несовпадающие, а так как в произве-
дении эти числа дают единицу, то среди них есть число (хотя бы од-
но), большее единицы, и есть число (по крайней мере одно), мень-
шее единицы. Например, таковыми являются числа 2 и . Однако
для любых чисел а и Ь, удовлетворяющих условиям а > 1 и 0 < b <
< 1 имеет место простое соотношение а + b > 1 + ab, так как оче-
видно, что 1 + ab — (а + b) = (1 — я)(1 — Ь) < 0.
Значит, если вместо чисел 2 и в набор ^2;	; 1; 3 j поста-
1	2
вить числа 1 и 2 • - = - , то, естественно, получим новый числовой
набор ( 1; j ; 5 ; 1; 3 обладающий следующими свойствами:
105
а)	в новом наборе на одну (как минимум!) компоненту, равную
единице, стало больше по сравнению со старым набором;
б)	произведение всех компонент нового набора равно единице
(как и у прежнего);
в)	сумма компонент нового набора оценивает снизу сумму
компонент предыдущего набора, т. е.
2 + -+ ^+1 + 3>1 + |+1+1+3,
|>Н;1;3М,;Н;1-3)-
Однако самое замечательное, что и к новому набору для оцен-
ки снизу суммы его компонент можно применить те же соображе-
ния, и так далее... (соответствующие пары чисел, подвергающиеся
замене, будем подчеркивать), что и дает следующие оценки:
1+2+1+1+3>1+?+1+1+|>1+?.?+1+1+1=
=1+1+1+1+1=5
соответствующие таким преобразованиям наборов, как
(1;	1; 1; 3)	(1; 1; 1;	— (1; 1; 1; 1; 1).
В результате получено, что 2+ + ^ + 1 + 3>5.
Теперь легко провести рассуждения в общем виде для обосно-
вания предложенного для исследования неравенства.
Рассмотрим два случая.
а)	Все значения переменныхх1, х2, ...,хп равны, а значит, х{ =
= х2 = ... = хп = 1, и тогда доказываемое соотношение очевидно.
б)	Среди значений переменных хр х2, ..., хп есть хотя бы два
несовпадающих. Но тогда среди этих значений есть хотя бы одно
число, большее единицы, и хотя бы одно число, меньшее единицы
(действительно: произведение всех, отличных от единицы, значе-
ний переменных равно единице, а значит, все они одновременно
не могут быть большими единицы или одновременно меньшими
единицы). Вспомнив о сделанном в самом начале изложения ре-
шения замечании, можно, не нарушая общности рассуждения,
считать, что именно х, > 1, а х2 < 1. Но тогда сумму Xj + х2 + ... + хп
оцениваем снизу суммой 1 + х,х2 + х3 + ... + хп, т. е. Xj 4- х2 + ... +
106
+ x„ > 1 + x,x2 + х3 + ... + хп, причем 1 ♦ (х, *х2) •%-(•... 'х„ =
= Х|-Х2’Х3«...’Х„= 1.
Следовательно, положительные значения соответствующих пе-
ременных — числа х\ = 1,х2 =Лчх2’хз =х3’ •••’ х« =хгр если сре-
ди них осталось хотя бы одно число, отличное от единицы, могут
быть подвергнуты аналогичным преобразованиям. В результате
мы получаем цепочку переходов от одного набора значений пере-
менных к другому (первый шаг: (х^ х2; хп) (1; х^; х3;
х\)), причем с кавдым переходом среди компонент добавляется по
крайней мере одна единица, а произведение компонент на каждом
этапе одно и то же — единица.
Таким образом, конечное число шагов-преобразований
позволит получить следующие наборы-последовательности:
(х,;х2; ...;х„) -> (l;xix2;x3; ...;х„) = (1; х2; х3; ...;х,',) —
-(1; 1;х3; ...;х")^... - (1;...; 1),
а значит, и соответствующую цепочку неравенств
+ х2 + ... + х„ > 1 + х2 + Хз + ... + х' > 1 + 1 + х3 + ... + X'' >
> ... > 1 + ... + 1 = п,
п единиц
что и завершает решение задачи.
Замечание. Во-первых, проведенные рассуждения по-
казывают, что исследованное соотношение реализуется в варианте
равенства тогда и только тогда, когда х{ = х2 = ... = хп = 1.
Во-вторых, очевидно, что доказываемое неравенство немед-
ленно следует из неравенства Коши.
Задача 6.2. Докажите, что для любых положительных чисел
х15х2, ...,х„; п > 2, удовлетворяющих условию х{ +х2 + ... +х„ = 1,
справедливо неравенство
Решение. Если все переменные х^ х2; ...; хп принимают рав-
ные значения, то тогдах, = х9 = ... = х = - , и доказываемое соот-
12	П П
ношение очевидно (в варианте равенства). Пусть среди значений
переменных х1? х2, ..., хп есть хотя бы два несовпадающих. Тогда
107
среди них есть хотя бы одно, большее , и хотя бы одно, меньшее
. В силу неизменности, как условиях1 + х2 + ... + хп = 1, так и са-
мого неравенства (*) относительно любой перестановки символов
х1? х2, ..., хл, можно без нарушения общности рассуждений пола-
гать, что именноX, > - их? < - .
1 п 2 п
Рассмотрим теперь два легко проверяемых тождества:
yz= ^(y + z)2- ^(у - z)2
nfl-iY 1	+A+1.
Vy2 J\Z2 / y2z2 yz
Первое тождество позволяет сделать вывод: если переменные
ynz принимают положительные значения и имеют фиксирован-
ную сумму, то их произведение будет тем больше, чем меньше
|у - г|, т. е. чем ближе друг к другу подойдут значения этих пере-
менных.
Второе же тождество говорит о том, что, чем ближе подойдут
друг к другу значения переменных у и z (при неизменной их сум-
ме), тем больше их произведение (смотри предыдущее утвержде-
ние), а значит, тем меньше значение выражения
При этом мы можем считать, что 0<y<z<lMy + z<l (так
как по условию сумма положительных значений переменных х15
х2,..., хп равна единице).
Теперь очевидно, что если уменьшить Xj и увеличить х2 на чис-
ло min М — х2, Xj — i j- одновременно (соответствующая сумма
при этом не изменится), то хотя бы одно из этих переменных до-
стигнет значения -. Пусть, для определенности, это будет х1?
а значит,
108
где х, = х. +х, — - , т. е.
Z 2	1 п
Однако для положительных чисел х2, х3, ..., хп, обладающих
свойством хэ + х. + ... + х = 1 - - = п , можно повторить те
2	3	П	П П
же рассуждения, что были проделаны относительно х15 х2, ..., х„,
чья сумма равна единице, и так далее, а значит, и требуемое соот-
ношение получить:
(-, - ИГЛ -1 )’•••’(4
kxf Axj ) \xfj	)
Задача решена.
Задача 6.3. Докажите, что еслихр х2,..., хп — произвольные по-
ложительные числа, то для них выполнится следующее неравенство
(1 +х,)(1 +х2)-...-(1 +х„) > (1 +
(именуемое неравенством Христиана Гюйгенса).
Решение. Отметим прежде всего следующий факт: при сбли-
жении положительных значений двух переменных (с фиксирован-
ным произведением) их сумма уменьшается, так как
y +	+ ) = (1 - А,)(у — ) > О, если 0 <у (1;
Теперь, если рассмотреть число С = nJx1 *х2 •...' хп и срав-
нить между собой числах^ х2,..., хп, то возможны две ситуации:
а)	все значения переменных х1? х2, ..., хп равны между собой,
а значит, равны числу С, и тогда доказываемое неравенство оче-
видно;
б)	среди этих переменных имеются хотя бы два, принимающие
несовпадающие значения. Тогда среди них есть хотя бы одно при-
нимающее значение, меньшее С, и хотя бы одно, принимающее
значение, большее, чем С. Пусть это х} и х2, т. е. х} > С,х2< С.
Придавая переменной х} значение С, а переменной х2 значе-
Х1Х2
ние , получим сближение значении этих переменных, а зна-
109
чит, левая часть неравенства Гюйгенса уменьшится (так как (1 +
+ У) * (1 • + z) = (у + z) + yz + 1, а значит, уменьшится произведение
двух первых сомножителей этой части неравенства и для исходно-
го ее (левой части неравенства) значения возникает оценка «сни-
зу») и так далее, пока не придем к набору равных числу С значений
каждого из переменных^!, х2, ..., хп\ остается заметить, что на та-
ком наборе значений переменных левая и правая части неравенст-
ва Гюйгенса совпадают. Задача решена.
Замечание. Неравенство Гюйгенса при дополнитель-
ном условии %! *х2 •...9 хп = 1 примет следующий вид:
(1 +Х1)(1 + х2)-...-(1+х„) >2".
Задача 6.4. Докажите, что если сумма положительных чисел
%1, х2, ..., хп равна единице, то для этих чисел выполнится нера-
венство X? + х? + ... + Х^ > - , п G N.
1 z	н п
Указание. Докажите и используйте неравенство
у1 + г2 > f - 1 +	+	, гдеО <у < - ,z> - ,п е N.
л	\И ) V	п)	п п
Задача 6.5. Докажите, что если для действительных чисел х15
х2,..., хп известно, что х} + х2 + ... + хп = 0 и х^ + х% + ... + х^ =
= 1, то среди них найдутся такие числах, иху-, чтох, • ху- < — - (z,j е
е{1;2; ...;„}).
Замечание. На примере решения данной задачи можно про-
демонстрировать так называемый метод «раздвигания» значений
переменных (метод «дубины» [127]), хотя эта задача и допускает
простое чисто алгебраическое решение («Квант» за 1991 г., задача
М-1278).
§ 2*. Использование симметричности, однородности
и цикличности левой и правой частей неравенства
1. Использование свойств симметричности функций
f(X\, х2, ..., хп) и (р(х,, х2, ..., х„), участвующих в образовании, на-
пример, неравенства/(х!,х2, ...,х„) > <р(х!,х2, ...,х„), может суще-
ственно упростить процесс поиска обоснования данного неравен-
ства.
110
Напомним и уточним понятие симметричной функции и сим-
метричного неравенства.
Определение. ФункцияДхр х2, ..., хп) называется симметрич-
ной (симметрической) относительно набора переменных хр х2,...,
хп, если для нее выполняются равенства:
/(х(,х2, ...,хп) =Дх1е х,-2,Х/п),
где (zl? z2,..., in) — любая перестановка чисел 1,2,..., п \ п > 2.
Если левую и правую части неравенства образуют симметрич-
ные функции от совпадающих наборов переменных, то такое нера-
венство называют симметричным неравенством.
Например, при и = 3 требования определения симметричности
функцииДхи х2, х3) выглядят следующим образом:
/(хрх2, х3) =f(xl, х3, х2) =f(x2, хр х3) =/(х2, х3, X,) =
=/(х3, Хр х2) =/(х3, х2, х}),
причем совпадение соответствующих областей определения обяза-
тельно.
Примеры. Функция х2, х3) = х^х^х^ + ^xt + ^х2 +
+ ^х3 - а/2 с областью определения = R3 — симметричная,
а вот функции
/2(ХрХ2) = х? - ix, + х% , D(f2) = R2
и/3(х,у) =	+ у, D(f3) = {(х,у) е Я2[х*1}
не являются симметричными.
Упражнение 6.1. Среди задач главы III и IV укажите те, в ус-
ловиях которых фигурируют симметрические неравенства.
Одна из полезных возможностей, предоставляемых симмет-
ричностью неравенства при его обосновании — это сокращение
числа рассматриваемых случаев при применении в процессе
обоснования неравенства полной индукции. А именно, если для
доказательства неравенстваДхи х2, х3) > (р(х1? х2, х3) придется
рассматривать шесть случаев взаимного расположения на чис-
ловой прямой значений соответствующих трех переменных:
1) х, < х2 < х3; 2) Xj < х3 < х2; 3) х2 < х, < х3; 4) х2 < х3 < х^
5) х3 < Xj < х2; 6) х3 < х2 < Xj, то в случае симметричности пра-
111
вой и левой частей данного неравенства достаточно ограничить-
ся лишь одним из этих шести случаев, например, только пер-
вым.
Рассмотрим простейшие примеры.
Задача 6.6. Докажите, что для любых положительных чисел
а, b и с, не превосходящих единицу, выполнено неравенство
а + b + с— < 2.
be + 1 ас + 1 ab + 1
Решение. Так как левая и правая части неравенства — симмет-
ричные функции от трех переменных а, Ъ и с, то, не нарушая об-
щности рассуждений, можно считать, что 0<а<6<с<1,а зна-
чит, (1 - я)(1 — Ь) > 0, т. е. а + b < 1 + ab < 1 + 2аЬ. Следователь-
но, а + b + с < а + Ь + 1 <2 + 2аЬ. Но так как 1 + ab < 1 + ас <
/-ill.	и . b । с ^а+Ь+с^^
< 1 + Ьс, то ,	- + —— + —7——Г < —7——7— < 2, что
be + 1 ас + 1 ab + 1	1 + ab
и требовалось доказать.
Задача 6.7. Докажите, что для любых действительных чисел
х, у и z справедливо неравенство
х2(г2 - х2)(х2 - у2) + у2(х2 -у2) (у2 - z2) + z2(y2 - z2)(z2 -х2) < 0.
Решение. Левая и правая части неравенства — симметричные
функции относительно всех трех переменных, значит, не нарушая
общности рассуждений, можно считать, что х2 > z2 и у2 > z2- Те-
перь очевидно, что третье слагаемое в левой части неравенства за-
ведомо неположительно.
Преобразуем и проанализируем сумму остальных двух слагае-
мых левой части:
x2(z2 - х2)(х2 — у2) + у2(х2 — у2)(у2 — z2) = (х2 — y2)(x2(z2 — х2) +
+ у2(у2 _ ^2)) = (х2 _ y^(x2Z2 — X4 + у4 — y2Z2) = (х2 - y2)U2(x2 -
- у2) ~ U2 - у2)(х2 + у2)) = (х2 - y2)2(z2 - X2 - у2).
Данное выражение неположительно (подумайте почему),
а значит, доказательство исходного неравенства завершено.
. Задача 6.8. Докажите, что для любых положительных чисел а,
b и с справедливо неравенство
f + 1 И -4г- + 1 К ~44 + И >25.
\ b + с ) \ а + с )\ а + b J
Решение. Симметричность левой и правой частей неравенства
относительно всех трех переменных позволяет считать без наруше-
ния общности рассуждений, что 0 < а < b < с. Подстановка (под-
112
сказанная формулами Виета для многочлена третьей степени)
сг1 = а + b + с, о2 =	+ &с + ас' сз = а^с позволяет перейти
к неравенству (с, + 3<7)(о, + 3b)(а, + Зс) > 25(о, - <rz)(o। - 6)(сг, - с),
а затем (после некоторых преобразований) к 4о^ + 9о,о2 + 27о3 >
> 25(о,а2 - а3) или ор — 4о,а2 + 13с3 > 0 или, после несложных
преобразований:
(а + b + с)(<7 + b — с)2 4- ab(9c - 4# — 46) > 0,	(*)
но так как 0 < а < b < с, то 9с — 4а — 46 > 0, что и делает получен-
ное неравенство (*) очевидным. Задача решена.
Очень интересные результаты исследования симметрических
неравенств содержатся в § 4, 5 главы VII данного пособия — это,
в частности, знаменитая теорема Мюрхеда.
2. Использование однородности выражении Дх,, х2, ...»
хп) и ср(х,, х2, ..., х„) нам уже встречалось неоднократно и очень
помогало решать соответствующие задачи. Дадим определение
этого понятия.
Определение. ФункцияДх,, х2, ..., х,7) называется однородной
(относительно набора переменных х,, х2, ..., хЛ7) порядка к e Z,
если для любого к g J? (X 0) справедливо (на соответствующей
области определения) равенство
Хх2,Ххп) = ХУ(Х],х2, ...,хп).
При этом число к называют порядком однородности функции
f(xx,x2, ...,х„).
Упражнение 6.2. Среди задач главы III и главы IV укажите те,
в условиях которых присутствуют неравенства с однородной пра-
вой или левой частью, и определите соответствующие порядки од-
нородности.
Замечание. Особенно интересна и полезна ситуация,
когда у неравенства порядки однородности соответствующих
функцийДх,,х2, ...,хЛ) и <р(х,,х2, ...,хЛ7) совпадают.
Задача 6.9. Докажите неравенство Коши:
где а,,..., ап — любые неотрицательные числа, п > 2.
Решение. (Точнее только та его часть, которая интересна
в данном параграфе.) Очевидно, что обе части неравенства — од-
s. Гомонов
113
нородные функции порядка 1. Используем это. Рассмотрим два
возможных случая.
1) Среди чисел at,..., ап есть хотя бы один нуль. В этом случае
неравенство очевидно.
2) Все числа ах, ..., ап ненулевые. В этом случае, разделив обе
части неравенства на • а2 • ••• • ап и умножив их на л, полу-
чим равносильное ему неравенство
- + ... +	- а"-----> п.
ф1’а2'...'ап п^а а2'ап
и •	.
Таким образом, обозначив с{ = = 	, i - 1, ..., л,
«7а, -а2
придем к задаче доказательства неравенства вида q + с2 + ... + сп >
> п при дополнительном условии, что положительные числа q,...,
сп в произведении дают единицу. Дальнейшие рассуждения (уже
хорошо нам известные) предлагаем вспомнить и завершить са-
мостоятельно, ограничившись демонстрацией того, как свойство
однородности позволило преобразовать условие задачи. Напом-
ним также, что однородность часто помогает понизить степень не-
равенства и уменьшить число переменных (посмотрите § 2 главы
III данного пособия!), она также может подсказать удачную триго-
нометрическую подстановку. Так, например, неравенство —-— >
> I —— I > где я, d е 1?, после подстановки а = pcos ф, о = psin ф,
где р > 0, ф е [0; 2тс], превратится в следующее p4(cos4 ф + sin4 ф) >
> Yg p4(cos ф + sin ф)4, а значит, при р = 0 — очевидно, а при р * О
равносильно неравенству с одним переменным 8(cos4 ф + sin4 ф) >
> (cos ф + sin ф)4.
3. Перейдем теперь к рассмотрению еще одного класса
неравенств — так называемых циклических неравенств. Сто-
ит отметить, что многие неравенства, относящиеся к этому клас-
су, были и остаются предметом пристального внимания и иссле-
дования многих математиков. «История одного неравенства»
этого класса подробно описана в статье [Квант, 26]. Дадим наи-
более общепринятое определение циклического неравенства.
114
Определение. Неравенство от п переменныхх|(х2,	2)
вида
/(х|;%2, ...,х„) ><р(х|;х2,
f(xt,x2, ...,х„)><р(х|,х2, ...,х„),
/(%!, х2,х„) < <p(x„ х2,хп),
f{x{,x2, ...,х„) < <p(x|5x2, ...,хп)
называется циклическим, если для любого натурального к. (1 < к < п)
справедливы тождества
/(х|;х2, ...,x„)=f(xk,xk+t, ...,хп,х{,х2, ...,хк_})
и <р(х„ х2,х„) = ч>(хк, хк+1,	Х„, X,, х2,xk_t).
Замечание. В частности, при п = 2 эти требования оз-
начают, ЧТО/(Xj, Х2) =/(х2’ Х1)> ф(Х1> х2) = ф(х2’ Х1)’ т- е- совпадают
с требованиями симметричности неравенства, а при п = 3 будут
слабее этих требований симметричности: /(xj, х2, х3) = f(x2, х3,
Xi) = Дх3, х2), ф(х1? х2, х3) = ф(х2, х3, Xj) = ф(х3, х1? х2). Рас-
смотрим несколько задач на установление истинности цикличе-
ских неравенств.
Задача 6.10*. Докажите, что для любых положительных чи-
сел а. Ь и с выполняется неравенство
а + b — 2с + b + с — 2а + с + a — 2b g
b + с	с + а	а + b
Решение. Выражение, составляющее левую часть данного
неравенства, не является симметричным относительно набора
переменных а, Ь и с, но оно не меняется при циклической пере-
становке переменных а, Ь, с и однородно с коэффициентом
к = 0 (правая часть, очевидно, симметрична и однородна). Зна-
чит, данное неравенство можно отнести к циклическим неравен-
ствам.
Один из типичных приемов решения подобных задач — это ме-
тод подстановки. В данном случае такой: х = а + Ь, у = b + с, z =
= с + а, т. е.
п = х + г_ x-y^z
2 У 2
h = х+ у + z _ х+ у ~z
2	2
=	Y .^-х + у + z
С 2 Х 2	'
s-	115
Кроме того, в силу цикличности данного неравенства, не нару-
шая общности рассуждений, можно считать, что наибольшее из
чисел а, b и с — это а. И еще: очевидно, что раз а > Q, 6 > 0 и с >
> 0, то и х > 0, у > 0 и z > 0, но обратное неверно и поэтому мы,
стараясь доказать неравенство
2(* +У +5	+5 уУ )-3>0,
Z х J k £ у X )
при условии, что х > 0, у > 0 и > 0, имеем более «сильное» ут-
верждение, чем исходная задача. Для удобства сделаем еще одну
замену переменных: - = р; | = q-, | = г, т. е. перейдем к доказа-
тельству неравенства
2(p + q + r)[l +1 +1 )-3>0,	(*)
причем р > 0, q > 0, г > 0, а их произведение равно 1. Применим
теперь метод Штурма. Случай, когда все три параметра р, q и г
совпадают, а значит, равны 1, очевиден. Пусть среди /?, q и г есть хо-
тя бы два разных числа, тогда хотя бы одно обязательно будет боль-
ше 1, а еще хотя бы одно — меньше единицы. В силу симметричнос-
ти неравенства (*) можно считать, что именно р > 1, а 0 < q < 1.
Если бы в левой части неравенства (*) уменьшаемым стояла
только удвоенная сумма параметров р, q иг, то завершение реше-
ния было бы полным повторением соответствующей части задачи
6.1 (вместо р подставляем единицу, вместо q произведение pq
и так далее), но у (*) более сложно устроена левая часть, поэтому
сравним с нулем разность выражений
(2(p + , + r)-[i+i +1)]-(2(1+те + г)-(1 + ± +!))-
= 2(р + q - 1 -pq) - р + q~) ~PQ —{p-^q—\ ~pq)(2 ~ 7- 1 =
pq	\ pq )
2(/> — 1)(1 — q)[pq -
pq
Однако с < а и pq = - = a +	\ , следовательно, co-
Z C + a	2a 2	’
ставленная разность неотрицательна, а значит, неравенство (*) до-
статочно доказать в случае, когда хотя бы одно из переменныхр, q
или г равно 1. Пусть р = 1, тогда имеем неравенство
116
2(1 + q + r)- (1 +	+
> 0, но, зная, что qr = 1, данное не-
равенство, если положить г = ^ , легко привести к очевидному не-
равенству <7 + - - 2 >0, q >0, что и доказывает исходное неравен-
ство.
§ 3.	Геометрические неравенства, устанавливаемые
с применением соотношений между длинами сторон
треугольника
Методы получения и обоснования неравенств, связывающих
величины, имеющие геометрическое происхождение, столь мно-
гообразны, что для их изложения нужны сотни страниц. Частич-
но это уже сделано. Достаточно назвать три издания, написанных
«для тех, кому интересно» и в которых можно найти много заме-
чательных задач и не менее замечательных их решений, касаю-
щихся соотношений между длинами, углами, площадями и объ-
емами:
1.	Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. В 2 ч. М.: Наука,
1995.
2.	Шклярский Д. О, и др. Геометрические неравенства
и задачи на максимум и минимум. — М.: Наука, 1970.
3.	Шклярский Д. О. и др. Геометрические оценки и задачи
из комбинаторной геометрии. — М.: Наука, 1974.
Не утратило своей ценности и такое издание, как
4.	Моденов П. С. Сборник задач по специальному курсу эле-
ментарной математики. — М.: Советская наука, 1957.
Поэтому из всего многообразия методов и приемов установле-
ния геометрических неравенств остановимся на одном из простей-
ших, но достаточно универсальных.
Пусть, имея неравенство, связующее некоторые величины,
возникшие как результат измерений в треугольнике, можно все
эти величины выразить через длины сторон этого треугольника
а, b и с. При этом важно помнить, что эти три положительных
числа связаны соотношениями а + b > с; а + с> b и b + с> я. Не
всегда это легко учесть, но есть простой способ иметь эти требова-
ния автоматически выполненными. Это метод подстановки, а
именно переход к положительным величинам х, у и z, связанны-
м с а, b и с соотношениями а = х + у, b = х + z, с = у + z- При-
чем очевидно, что для любых положительных чисел х, у и z числа
117
л = х + у, b = X + z, с = у + z явля-
ются сторонами некоторого тре-
угольника. И наоборот, если а,
b и с — стороны некоторого тре-
угольника, то для них существует
(и единственная) тройка положи-
тельных чисел х, у и z, удовлетво-
ряющая условиям а = х + у, Ь =
= X + z, с = у + Z-
Доказательство этих двух утверж-
дений легко провести с привлечением рис. 4, на котором изобра-
жен треугольник АВС и вписанная в него окружность, касающаяся
его сторон в точках Вх и С{. Продемонстрируем сказанное вы-
ше на конкретных примерах.
Задача 6.11. Докажите, что если а, b и с — стороны произ-
вольного треугольника, то для них выполнится соотношение
г ।	। 1 ч а2 + Z>2 + с2
ab + ас + Ьс >------------.
Решение, Сделаем подстановку a = x + y,b=x + z, с=у + z,
где х, у и z — произвольные положительные числа. Получим но-
вое неравенство, задача доказательства которого равносильна за-
даче доказательства исходного неравенства:
(х + у)(х + г) + (х + у)(у + z) + (х + z)(y + z) >
> (х + у)2 + (х + z)2 + (у + г)2
2
Составим, упростим и оценим сверху разность:
(х + у)2 + (х + Z)2 + (у + Z)2 - 2((х + у)(х + z) + (х + у)(у + Z) +
+ (х + z)(y + z)) = 2х2 + 2j/2 + 2z2 + 2xy + 2xz + 2yz — 2x2 — 2xz -
- 2yx - 2yz - 2y2 - 2xz - 2xy - 2yz - 2xy - 2xz - 2yz - 2z2 =
= —4xy — 4xz — 4yz < 0.
Получим очевидное неравенство, что и гарантирует истин-
ность исходного неравенства.
Задача 6.12. Докажите, что для всякого прямоугольного тре-
угольника справедливо соотношение а + b < с 72 , где а,Ь — кате-
ты, а с — гипотенуза этого треугольника.
Решение. Решение данной задачи с использованием подста-
новки а = х + у, b = х + z, с = у + z возможно, правда, надо
помнить, что с > анс> Ь, т. е. z >хи у > х, но решение будет
118
очень громоздким, в то же время, составив и преобразовав раз-
ность (с л/2 )2 — (а 4- Ь)2 = 2с2 — а2 — b2 — 2ab = 2(а2 4- Z?2) — а2 —
- b2 - 2аЬ = а2 — 2аЬ + Ь2 = (а — Ь)2, немедленно можем сделать
вывод, что (с а/2 )2 > (а 4- £)2, т. е. с а/2 > а + Ь, причем равенство
имеет место тогда и только тогда, когда а = Ь, т. е. треугольник не
только прямоугольный, но и равнобедренный. Иначе говоря, об-
щий прием не всегда самый быстро приводящий к цели.
§ 4*. Условные тождества
В данном параграфе сосредоточены задачи, в большинстве слу-
чаев не имеющие прямого отношения к неравенствам, однако на-
выки работы с условными тождествами весьма полезны для разви-
тия умения обосновывать неравенства, и в первую очередь — ус-
ловные неравенства.
Отметим, что термин условное тождество или условное
неравенство означает, что для обеспечения соответствующего
равенства или неравенства необходимо учесть специально огово-
ренные дополнительные условия, содержащие в себе соотноси-
тельные требования на переменные данного равенства или нера-
венства (в «большой» математике в этом случае говорят о равенст-
вах или неравенствах на гиперповерхностях). Так, например,
предлагается доказать, что если действительные числа а, b и с
связаны соотношением ab + ас + Ьс = 0, то для них справедливо
равенство (а + Ъ + с)2 = а2 + Ь2 4- с2.
Задача 6.13. Докажите равенства при заданных условиях:
а)	х3 + у3 = 1 — Зху, если х + у = 1;
Решение. В тождестве х3 4- у3 = (х + у)3 — Зху(х + у) заме-
нить х + у на 1, что и приведет к получению требуемого равен-
ства.
б)	х3 — у3 = 1 + Зху, если х — у = 1;
в)
= а/2 , если х > 0, у > 0 и х2 + у2 = бху;
г)	(х 4- у + z)2 = х2 4- у2 + z2, если ху 4- XZ 4- yz = 0;
д)	если-+^ +-= 1 и-+-+-= 0, то + £ +^=1;
а Ь с х у z	а2 Ь2 с2
119
е)	если a*b,a*cvib*cn —а + —-— + —£— = 0, то тогда
Ь-сс-аа-Ь
а + Ь— + -----------£__
(b-с)2 (с-л)2 (а - Ь)2
= 0;
ж)	если а + b - 1, то —— ------—-
о3 - I а3 - 1
= 2(Ь — а) .
а2Ь2 + 3
ч	1 . 1 _L 1 -	1	С
з)	если - + т + - -	, , -— , то для любого натурального п
’ а Ьса+Ъ+с
1 +1 +1Y"+1 =___________1_______=	1
а b с ) а2п + 1 4- Ъ2п + 1 + с2" + 1 {а + b 4- с*)2л + 1
Указание. Предварительно убедитесь в справедливости сле-
дующего тождества
II II
j_ + 1 + 1 _	1	=	+ b)(a + c)(b + с) .
а b с а + b + с abc(a + b + с) '
и)	если х 4- у 4- z = 0, то х3 + у3 4- z3 = 3xyz-
Задача 6.14. Действительные числа а, Ь, с и d таковы, что
а + b = с + d и а2 4- Ь2 = с2 + d2. Докажите, что тогда для них будет
справедливо равенство а3 + Ь3 = с3 4- d3.
Решение. Рассмотрим и преобразуем левую часть доказывае-
мого условного тождества: а3 + b3 = (а 4- b){a2 + b2 — ab)
= (с + d)(c2 + d2- ab), однако из равенств a + b = c + dna2 + b2
= с2 + d2 вытекает, что (а 4- Ь)2 — (а2 4- Ь2) = (с + d)2 — (с2 4- d2),
т. е. 2ab = 2cd, а значит, ab = cd. Отсюда следует, что а3 4- Ь3 =
= (с + d)(c2 + d2 — ab) = (с + d)(c2 + d2 — cd) = c3 4- d3, что и тре-
бовалось получить.
Задача 6.15. Известно, что abc = 1и а 4- Ь 4- с= - 4-1 4- -.
а b с
Докажите, что тогда хотя бы одно из чисел а, b или с равно единице.
Решение. Так как а + b + с = abc{ 1 4-1 +1 Yto6z4-£ + c =
\ а b с )
= ас + ab + Ьс, а значит, abc — Ьс — ас — ab 4- а + b 4- с —1=0,
т. е. (а - !)(/> - 1)(с - 1) = 0, откуда и следует, что а = 1, или Ъ =
= 1, или с = 1.
Задачи для самостоятельного решения
С-6.1. Положительные числа а, b и с таковы, что а3 4- Ь3 4- с3 =
= (а 4- Ь - с)3 4- (а — b + с)3 4- (—а + b 4- с)3. Докажите, что тогда
а = b = с.
120
С-6.2. Докажите, что равенство	+	=
=---—- выполняется тогда и только тогда, когда его левая
*У
часть равна нулю.
С-6.3. Докажите, что если xyz = 1, то
____!___+______!____+____!___= 1.
1 + х + ху 1 + V + yz 1 + < + zx
X2	V2	Z2
С-6.4. Найдите — +	, если известно, что
а2	Ь2	с2
x+y+z=l, а-+-+-=0.
а Ь с xyz
С-6.5. Найдите х2 + у2 + z2, если известно, что
х + у + z = 1, а - + - + - =0.
X у Z
С-6.6. Докажите, что если х + == у + = z + j;, то x = y = z
илих2у^2 = 1.
С-6.7*. Положительные числа х, у, z, а, Ь, с таковы, что
х2 + ху + у2 = а2, у2 + yz + z2 = b2, z2 + zx + х2 = с2. Вычислите
ху + yz + zx.
С-6.8. Докажите, что если ху + yz + zx = 1 и х(1 - х2)-1 +
+ УО - у2)-1 + г(1 - г2)-1 = 0, то xyz = 0.
С-6.9. Докажите, что если ; ---	+ —4— + —тт = L то
Ь + с с + а а + b
+ _А1_ + _£1_ = 0.
b + с с + а а + b
С-6.10. Докажите, что если а + b + с = 0, то а3 + а2с — аЪс +
+ Ь2с + Ь3 — 0.
С-6.11. Вычислите сумму г/1967 + —, если известно, что
а1Уб/
а2 + а + 1 = 0.
С-6.12. Докажите, что если х2 + у2 = и2 + v2 = 1 и хи + yv = 0,
ТО X2 + и2 = у2 + V2 = 1 и ху + иV = 0.
С-6.13. Найдите произведение трех действительных чисел, ес-
ли их сумма, сумма их квадратов и сумма их кубов равна 1.
Решение. Пусть х + у + z = х2 + у2 + z2 = х2 + у3 + z,3 = 1. Тог-
да х = 1 - (у + z), а значит, (1 — (у + z))3 + у3 + z3 = 1, т. е.
1 - 3(у + z) + 3(у + z)2 — (у + z)3 + у3 + z3 = 1, а значит, 1 — Зу — 3z +
121
+ Зу2 + 6yz + 3<2 -у3 - 3y2z - 3yz2 - z3 + у3 + z3 - 1 = 0, т. е.
-3(у + Z) + 3(у + z)2 - 3yz(y + z) = О или -3(у + <;)( 1 +yz-у - z) =
= 0, а значит, -3(у + z)(y - l)(z - 1) = 0.
Если у = 1, то из условия х2 + у1 + z.2 = 1 следует, что х = z = 0;
если z ~ 1, то тогда х = у = 0; наконец, если у + z — 0, то из усло-
вия х + у + z — 1 следует, что х = 1, а тогда у = z = 0. Таким обра-
зом, во всех случаях xyz = 0.
С-6.14. Докажите, что если q = р - 1, то
(р16 + ql6)(p8 + tf8)(p4 + q4)(p2 + q2)(p + q)= Р22 - q22-
С-6.15. Докажите, что если jc, + x2+x3=y, +_y2+y3 =
, U.	n	*1	. T1 _ 2
= Х1У1 + ХзУ2 + Хзу3 = 0, то - --2 +	г+-2 - з •
С-6.16. Докажите, что если для некоторых положительных а,
Ь, с, y,z выполнятся условия
Jx + а + Jу + b + 7г + с = Jy + а + Jz + b + Jx + с =
= Jz + я + jx + b + а/ у + с ,
то х = у = z или а = b = с,
С-6.17. Докажите, что если 0 < а + b < с и а2 + Ь2 + с2 —
= 2(aZ> + Ьс + са), то Ja + Jb = Jc .
С-6.18. Докажите, что если для действительных чисел а. Ь и с
а2 Ь2 с2 \ с2
выполняется двойное неравенство ——г + —— + —— > —— +
а + Ь Ь + с с + а а+Ь
а2 + Ь2 > Ь2 + с2 + а2
Ь + с с + а а + b Ь + с с + а
то тогда а = b = с.
С-6.19*. Про действительные числа а, b и с известно, что
(a -d)(Z>-c)(c-a) = 19 найдите а + b + с
(а + Ь)(Ь + с)(с + а) 99’	а + Ь Ь + с с + а'
Указание. Примените подстановку а + b = х, b + с = у,
с + а =z.
С-6.20. Докажите, что если для некоторых действительных чи-
сел <2, b и с выполняется равенство , а + —— + —= 0, то
Ь — с с — а а — Ь
для них справедливо и равенство вида
—- + —А_ + __с-_ = о.
(Ь — с)2 (с — а)2 (а — Ь)2
122
Указание. Обосновать и использовать тождество
( _£!_ + -±- + у —!— + —L_ + —^1 =
\Ь — с с — а	а — b )\Ь — с с — а а — b )
_ а	b + с
(Ь — с)2 (с — а)2 (а — Ь)2
С-6.21. Докажите с помощью метода Штурма неравенство Ко-
“Ь	:__
ши: ——--------- > njxy •... *хп , где хр ..., хп > 0; п g N.
С-6.22. Докажите, что для любых действительных чисел xt, ...,
хп; п g 7V, справедливо неравенство \------ >----.
С-6.23. Докажите, что для любых положительных чисел х1? ...,
хп, п е N, чья сумма равна 1, справедливо неравенство
(1 xt)...(l xfJ)
С-6.24. Докажите, что —-
п
п
п
0 <xi < 1; z = 1,..., п \ п >2.
С-6.25. Докажите, что для любых положительных чисел а, Ь, с
™ я	1а2 + Ь2 + с2 + d2 0 [abc + abd + acd + bed
и d справедливо '	°1
4	л/	4
С-6.26. Докажите, что для любых неотрицательных х, у и z та-
ких, что х + у + z = 1, справедливо двойное неравенство
у
0 < xy + yz + zx - 2xyz < 27 •
С-6.27*. Докажите, что для любых неотрицательных а, Ь, с
и d, удовлетворяющих условию a + b + c + d=\, справедливо не-
равенство abc + be d + с da + dab <	abed.
С-6.28*. Докажите, что для любых положительных х, у и z
таких, что х + у 4- z = xyz, справедливо двойное неравенство
9 < xy + yz + zx <
9 + x2y2z2
4
123
С-6.29*. Докажите, что для любых положительных чисел хх;
хп таких, чтол?! + х2 + •••	= Ь п ^2, справедливо неравенство
1 +*1 . 1 + -*2 . . 1 + хп	( П + 1 Л"
1 — X, 1 — х2 1 — хп	V п — 1 /
С-6.30. Докажите, что из всех выпуклых «-угольников, впи-
санных в данную окружность:
а)	наибольшей будет площадь правильного п -угольника;
б)	наибольшим окажется периметр правильного п -угольника.
С-6.31. Докажите, что для любого треугольника со сторонами
а, Ъ и с справедливо неравенство:
а)	(а2 + Ь2 + с2)(а + Ь + с) > 2(«3 + Ь3 + с3);
б)	3(аЬ + ас + be) < (а + Ь + с)2 < <ЦаЬ + ас + Ьс);
в)	а3 + Ь3 + с3 + ЗаЬс > 2(а + Ь)с2.
С-6.32. Докажите, что для любого прямоугольного треугольни-
ка справедливы соотношения hc < (72 + l)r < lc <	< а <
<(72 -1)р< ^c = R = mc, где
hc — высота, опущенная на гипотенузу из вершины прямого
угла;
г — радиус вписанной окружности;
1С — длина биссектрисы прямого угла;
5	— площадь треугольника;
а, Ь — катеты прямоугольного треугольника;
р — полупериметр треугольника;
с — гипотенуза прямоугольного треугольника;
R — радиус описанной окружности;
тс — длина медианы, проведенной из вершины прямого угла
к гипотенузе.
Темы докладов и рефератов и литература к ним
1.	Геометрические неравенства.
а)	Соотношения между элементами прямоугольного треугольника.
б)	Неравенства между элементами треугольника общего вида.
в)	Неравенства между элементами многоугольника.
г)	Неравенства и окружность.
Литература'. 20, 57, 86.
124
2.	Метод удлинения медианы и неравенство треугольника.
Литература'. 20.
3.	Геометрическое истолкование комплексных чисел, неравенство
треугольника и алгебраические тождества.
Литература'. 133, 4, 19, 31, 79, 90.
4.	Теорема Виета подсказывает выбор вспомогательных функций
для доказательства равенств и неравенств.
Литература'. 16, 10, 122.
5.	Неравенство Бернулли и его применение к решению задач.
а)	Семья Бернулли и ее вклад в мировую науку.
б)	Доказательство неравенства Бернулли.
в)	Применение неравенства Бернулли в математическом ана-
лизе и при решении задач.
Литература'. 16, 10, 22.
6.	Некоторые методы решения задач на установление условных
тождеств.
а)	Метод применения абсолютных тождеств.
б)	Метод, основанный на получении выражения для одного из
переменных через остальные с дальнейшим применением метода
подстановки.
в)	Метод, основанный на использовании тригонометрических
подстановок.
г)	Математический анализ помогает доказывать условные тож-
дества.
Литература'. 22.
7.	История исследования неравенства
*1	+ Х1	+ Хп-1 + Хп П
х1+х3 x3+xi	хП±хП-1 Хх+Хг' f
Литература'. 121.
8.	Задача Вальтера Яноуса.
Литература'. 119.
9.	О применении одной теоремы из математического анализа к до-
казательству неравенств.
а)	Теорема. Если функция f(x) с D(f) = \а\ +оо) непре-
рывна в точке а и дифференцируема на (а\ +°°)? то тогда
при выполнении двух условий: J\a) > Q и f'(x) > 0 на (а; +°°)
следует, что f(x) > 0 на [а; +оо).
б)	Применение теоремы к доказательству неравенств от не-
скольких переменных.
125
Литература', журнал «Квант» за 2003 г., с. 17—18, решение
задачи М-1834.
10.	Неравенства Гюйгенса.
Литература'. 48.
11.	Равенство из неравенства.
Литература'. 109.
12*	. Применение свойств симметрических многочленов к доказа-
тельству условных тождеств.
а)	Понятие симметрического многочлена. Простейшие (основ-
ные) симметрические многочлены от п переменных (п е N,n> 2).
б)	Основная теорема о симметрических многочленах и ее при-
менение к доказательству и получение условных тождеств.
в)	Антисимметрические многочлены, их свойства и приме-
нения.
Литература'. 51.
Часть 2
СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ И СООТНОШЕНИЯ
МЕЖДУ НИМИ
Средняя величина, это понятие знакомо каждому школьни-
ку-старшекласснику. Причем о средней величине говорили и тог-
ах + а2 + ... + а
да, когда искали значение выражения ------------ при неко-
торых действительных 6Z1? а2, ..., ап (п > 2, п е N) и называли его
средним арифметическим чисел ах, а2, ..., ап, и тогда, когда иска-
ли значение выражения ”Jax • а2 •... • ап при некоторых ах, а2,...,
ап е [0; (п > 2, п е N) и называли его средним геометриче-
ским чисел ах, а2,..., ап.
Однако особенно глубокие воспоминания оставили эти «сред-
ние» для п = 2. Это и решение задач на арифметическую и геомет-
рическую прогрессии, и свойство средней линии трапеции, и
свойство высоты прямоугольного треугольника, опущенной из
вершины его прямого угла на гипотенузу. Вот только слишком уж
эти величины разные, непохожие, а в названиях почему-то общее
слово «средние». А ведь есть еще (слухом земля полнится) и другие
«средние»: среднее гармоническое, среднее квадратическое.
А ведь координаты центра масс конечной системы материальных
точек — это тоже «средние» величины, так называемые средние
арифметические взвешенные соответствующих координат этих
точек. И все эти величины опять-таки почему-то «средние», хоть
и совсем непохожи друг на друга.
И вообще, есть ли у них что-нибудь общее? Ответ на этот воп-
рос вы найдете, познакомившись со второй частью данного посо-
бия и, если сможете разобрать ее до конца, то узнаете много нового.
Например, что «средних» величин бесконечно много и что между
ними есть удивительные соотношения, многие из которых можно
получить, пользуясь такими замечательными свойствами некото-
рых функций, как свойства выпуклости и вогнутости. Отне-
ситесь к двум последним свойствам функций уважительно, так как
127
эти понятия принадлежат такому важному своими практическими
приложениями разделу современной математики, как выпуклый
анализ, т. е. стоят как бы в преддверии большой математики.
Впрочем, то, что средних величин бесконечно много, без труда
можно установить уже сейчас. Достаточно познакомиться с наибо-
лее общим определением этого понятия.
Определение. Средней величиной действительных чисел
ах, аъ ..., ап (п е 7V) называют всякое действительное число х,
удовлетворяющее условию т < х < М, где т — наименьшее,
а М — наибольшее среди чисел ах, а2,..., atr
Очевидно, что средняя величина чисел ах, а2, ..., ап только од-
на в том и только том случае, когда a j = а2 = ... = ап.
ГЛАВА VII
СРЕДНИЕ СТЕПЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ:
СВОЙСТВА, ПРОИСХОЖДЕНИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ
§ 1. Средние арифметическое, геометрическое,
гармоническое и квадратическое в случае двух
и большего числа параметров.
Соотношения между ними
Рассказ о самых известных и наиболее применяемых средних
величинах можно и должно начать с упоминания легендарных ан-
тичных времен.
Вот как определял три наиболее знаменитые средние величины
для данных положительных чисел а и b древнегреческий матема-
тик Папп Александрийский (III в. н. э.).
Среднее арифметическое (А) этих чисел — это число, удовлет-
воряющее условию
А — а _ а_ _ 1
b — А а
Среднее геометрическое (G) этих чисел — это число, удовлет-
воряющее условию
G — а _ а
b - G G
и, наконец, их среднее гармоническое (Н) — это число, удовлетво-
ряющее условию
Н - а _ а
b - // b ’
128
Одним словом, любили в древности составлять пропорции!
В качестве простого (почти устного) задания предлагается полу-
чить из данных пропорций выражения для A, G и Н, чтобы затем
сравнить то, что получится, с тем, как эти (более или менее извест-
ные еще по предыдущим годам изучения школьной математики)
величины определяются в современной математике. А сравнивать
придется вот с чем.
Определение. Средним геометрическим действительных неот-
рицательных чисел 67,, 67 2,	ап (п > 2) называют действительное
неотрицательное число G = (7(67,, а2,..., а„) =	• а2 •... • ап .
Определение. Средним арифметическим действительных чи-
сел 67,, 672,..., ап (п > 2) называют действительное число
\а] + а} + ... + а2„
п
Замечание, Напомним, что между вышеуказанными
«средними» имеет место замечательное соотношение — неравенст-
во Коши.
Менее известны следующие два «средних».
Определение. Средним гармоническим действительных поло-
жительных чисел 67 ,, 672, ..., ап (п > 2) называют положительное
число Н = Н (67,, 672, ..., ап) =  -—--т- .
д1 а2	ап
Определение. Средним квадратическим (квадратичным) дейст-
вительных чисел 67,, 67 2,..., а п (п > 2) называют действительное не-
отрицательное число Q = О(б7,, 672,..., ап) =
Замечание. Если среднее арифметическое и среднее
геометрическое (по крайней мере, для двух положительных чисел!)
хорошо известны из школьного курса математики, то два других
«средних» присутствуют в нем как бы «анонимно». Рассмотрим не-
сколько задач, решение которых приведет нас к выводу: в школь-
ном курсе математики и физики присутствует среднее гармониче-
ское.
Задача 7.1. Определите среднюю скорость туриста на всем
пути, если от пункта A rq пункта В он шел со скоростью И,,
а обратно — со скоростью V2.
') Гомонов
129
Решение. Обозначим символом З’ расстояние между пунктами
л „ В. ТОИа г, -	«	- г -	- Я(Г„ П) -
И И г, V,
среднее гармоническое скоростей V{ и У2.
Задача 7.2. Некоторый отрезок пути автомобиль проехал
с переменной скоростью, которая менялась следующим образом:
если весь путь разбить на п (п > 2) равных по длине частей, то пер-
вую часть пути автомобиль проехал со скоростью Vx км/ч, вторую
часть пути — со скоростью V2 км/ч ит.д., последнюю (л?-ю) часть
пути автомобиль проехал со скоростью Vn км/ч. Какова средняя
скорость автомобиля на всем отрезке пути?
Задача 7.3. Два грузика массой тх и т2 соединены нерастя-
жимой нитью, перекинутой через неподвижный блок. Докажите,
что сила натяжения нити будет такой же, как если бы к концам ее
были подвешены грузики равной массы, а именно массой, равной
среднему гармоническому чисел т j и т2.
Задача 7.4. Определите общее сопротивление R параллельно
соединенных проводников, если их сопротивление Rx и R2.
Задача 7.5. Докажите, что если F — фокусное расстояние со-
бирающей линзы, d — расстояние от предмета до оптического
центра линзы, f — расстояние от изображения до линзы, то
Задача 7.6. Докажите, что если стенка состоит из двух сопри-
касающихся пластин одинаковой толщины, но разной теплопро-
водности к} и к2, то коэффициент теплопроводности стенки будет
равен Н(кх, к^.
Задача 7.7. Докажите, что в последовательности 1;	|;...:
2 3 4
> 3) каждый член (кроме первого и последнего) является
средним гармоническим соседних с ним членов.
2Д_____!_
Решение. Найдем н{ — Y где к > 2, ——+ 1 =
\ к - \ к + \ )	1	1
к + 1 к - 1
2	1
-	(А: + 1) = ’ что и тРе^овалось проверить.
130
Замечание. Напомним, что конечная арифметическая
прогрессия может быть определена как конечная последователь-
ность, у которой каждый член (кроме первого и последнего) ра-
вен среднему арифметическому соседних с ним членов. Анало-
гичная ситуация и для геометрической прогрессии. Столь же
аналогично вводится понятие конечной гармонической прогрес-
сии, как конечной последовательности, у которой каждый член
(кроме первого и последнего) равен среднему гармоническому
соседних с ним членов. В частности, этим свойством обладает
последовательность 1; i; ...;	— пример гармонической про-
грессии (п > 3).
Оказывается, что к неравенству Коши можно прибавить (пока
только для двух переменных!) следующие замечательные соотно-
шения.
Теорема Для любых двух положительных чисел а и Ъ
справедливы следующие соотношения: тш{я, b} <	<
< Jab < —* - <	2 ^~2 тах{<2, где символом min{(7, b}
обозначено наименьшее из чисел а и Ь, символом тах{а, Ь}
обозначено наибольшее из этих же чисел, причем равен-
ство между любыми из этих «средних» имеет место
лишь при а = Ь.
Доказательство предлагается провести самостоятельно, ис-
пользуя неравенство Коши, метод оценок и переход к эквивалент-
ным неравенствам. В дополнение к теореме 1 нелишне отметить,
I—7	la + b 2аЬ
что очевидное тождество Jab = /—-—•—— и неравенство
А/ 2 а + о
Коши позволяют получить следующее любопытное неравенство
Jab <	, где а > 0 и b > 0.
4 а + b
Замечание. Примеры появления среднего квадратиче-
ского еще будут приведены (см., например, одну из средних линий
трапеции из задачи 7.11), однако стоит отметить широкое приме-
нение этой характеристики произвольного конечного набора дей-
ствительных положительных чисел в физике и в математической
статистике.
131
Следующая теорема, являясь непосредственным обобщением
теоремы 1, очень полезна при решении многих задач на обоснова-
ние неравенств и нахождение наибольших и наименьших значе-
ний функций, кроме того, она позволяет заключить, что Н. G.An
q _ это действительно средние величины положительных чисел
Теорема 2. Для любых положительных чисел ах, а2, ..., ап
(п > 2) имеют место следующие соотношения'.
а2...., ап} < Ща{. а2...., ап) < G(a{. а2..... ап) <
< ЛСйр а2,<з„) < Q(at, а2,а„) < тах{а|; а2,ап},
причем равенство в любом из вышеуказанных соотношений
реализуется тогда и только тогда, когда а{ = а2 = ... = ап.
Доказательство. Обоснование крайних соотношений
достигается без всякого труда методом оценок: достаточно за-
менить все числа ах. а2. .... ап на самое малое (точнее — не
большее всех остальных), соответственно на самое большое
(точнее — не меньше всех остальных) в выражении для среднего
гармонического и в выражении для среднего квадратического,
что и приведет к получению требуемых соотношений (вместе
с критерием реализации этих соотношений в вариантах равен-
ства).
Подробные записи этих рассуждений предлагается
осуществить в качестве несложного упражнения.
Соотношение между средним геометрическим и средним
арифметическим уже было обосновано (и даже несколькими спо-
собами) в первой части данного пособия; соотношение же между
средним гармоническим и средним геометрическим немедленно
получается применением неравенства Коши к положительным
числам —, —,— : ———-----------— > /   * что не-
а\ а1 ап	«	д/tzj *а2'...'ап
медленно дает искомое соотношение: Н(ах. а2. .... ап) < G(a{.
а2. .... ап). причем равенство в этом соотношении имеет место
только тогда, когда — = — = ... = —, т. е. если а} = а~> = ... =
а\ «2	2
Вспомним теперь доказанное в этой же части пособия (глава V)
неравенство Коши—Буняковского, так как если от соотношения
132
——12-----” < /_!—12----Л перейти к равносильному ему нера-
п	а/ п
венству (а1 + а2 + ... + ап)г < п • (а? +	+ ... + а*) и записать
последнее в следующем виде: (а{ • 1 + а2* 1 + ... + ап*^У
< ( I2 + ]2 +	+ I2	4- а% + ... +	), то станет сразу яс-
п слагаемых
но, что перед нами истинное неравенство — частный случай нера-
венства Коши—Буняковского, причем это соотношение обраща-
ется в равенство тогда и только тогда, когда ах = а2 = ... = ап, что
и завершает доказательство теоремы 2.
Задача 7.8. Докажите, что для любых положительных чисел
а, b и с справедливо неравенство
2	+ 2	+ 2	9
b + с с + а а + b а + b + с'
Решение. Применим к числам Ь + с, с + а, а + b теорему 2,
а именно запишем для этих чисел соотношение между их средни-
ми гармоническим и арифметическим:
что и требовалось доказать.
Задача 7.9. Докажите, что для любых положительных несов-
падающих чисел а и b и любого натурального п справедливо нера-
венство п + \Ja • Ьп < а+п'Ь .
п + 1
Решение.
п слагаемых
п + \Ja • bn = п + [J а \ b • b • ...• Ь~ <
п сомножителей
а + п • Ь	с-
~	। -•, что и требовалось доказать.
133
Задача 7.10. Докажите, что последовательности | 1 + 1 Y
\ п J
Z	1 хп	/	1 V» + 1
и | 1 — -	— возрастающие, а последовательность 1 + -	—
у	и )	у	п J
убывающая.
Решение. Воспользуемся результатом предыдущей задачи, по-
ложив (2 = 1и6 = 1 + -, что дает:
п
п + 1	п + 1 п + 1 ’
Возводя обе части полученного неравенства в (и + 1) степень,
/	1 хп /	1	+ 1
заключаем, что ( 1 + - I <11 + I , т. е. первая последова-
тельность — возрастающая; аналогично доказывается возраста-
емость и второй последовательности. Для исследования третьей
последовательности применим (как говорят в математике) прин-
цип «чайника» (или «гвоздя»), т. е. сведем задачу к ранее решен-
ной.
Действительно:
f 1 +1Т+1 = f п + 1 Y +1 =	1	=	1
V п ) I п ) г п у +1	/	1 у + 1 ’
U + 1J V п + \)
следовательно, раз последовательность (все ее члены положитель-
ны!) 1 - —+ 1 I возрастающая, то обратная к ней последова-
тельность убывающая. Задача решена.
§ 2.	Геометрические интерпретации.
Четыре средние линии трапеции
Для среднего гармонического, геометрического, арифметиче-
ского и квадратического двух положительных чисел а и b найдены
очень интересные геометрические интерпретации, иллюстрирую-
щие и даже доказывающие известные соотношения между этими
средними:
min{a,	< max{a, b}. (*)
134
рассмотрим некоторые из этих интерпретаций.
1.	Пусть заданы два произвольных положительных числа а и
b (для определенности договоримся считать, что а < Ь). Рассмот-
рим равнобочную трапецию A BCD с основаниями а и b (АВ =
= CD = а), описанную около некоторой окружности (то, что
такая трапеция существует, докажите самостоятельно). Тогда, ес-
ли проведем высоту трапеции DE, а затем построим ее проек-
цию DF на боковую сторону AD (рис. 5), то получим очевидное
соотношение DF < DE < DA (катет прямоугольного треугольни-
ка всегда меньше его гипотенузы). Однако: DA = - (вспом-
ните о свойстве сторон четырехугольника, описанного около ок-
ружности);
DE = JAD2-AE2 =	>
и, наконец, из свойства проекции катета DE на гипотенузу DA
прямоугольного треугольника ADE получаем, что
DE2 _ lab
DF~^D~TTb-
Таким образом, двойное неравенство DF < DE < DA превра-
щается в соотношение
lab
а + b
< Jab <
а + b
2
между Н(а, b), G(a, b) и А(а, Ь).
Заодно (повторно) получено любопытное тождество
DE = JDF-DA , т. е. G(a, b) = G(H(a, Z>), А(а, Ь)).
135
2.	Пусть а и b — два произвольных положительных несовпа-
дающих числа и пусть для определенности а < Ь. Осуществим сле-
дующие построения: отложим на произвольной прямой от некото-
рой ее точки С по одну сторону от нее отрезок С А = а. а по другую
сторону отрезок СВ = Ь и построим на А В как на диаметре полу-
окружность с центром О. Очевидно, что АО = О В = --у-„ •
Проведем через точки С и О прямые, перпендикулярные
А В, с точками пересечения с дугой полуокружности DnE. Далее
рассмотрим отрезки DO и CF, где CF— перпендикуляр из точки
С на прямую DO с основанием — точкой F (рис. 6).
Тогда очевидно, что: DF< DC < DO < СЕ. При этом DC = Jab
(свойство высоты прямоугольного треугольника ADB, опущен-
ной на его гипотенузу из вершины прямого угла);
OD = ОЕ = ОА = О В =	; СО = -а =	;
СЕ = JCO2 + ОЕ2 =
а2 + Ь2.
2	’
DC2
DF найдем из прямоугольного треугольника CDO\ DF =	=
'l.a Ь
= а ь • Таким образом, неравенства DF < DC < DO <
_ ab
а + b
< СЕ превратились в соотношения
х Л7Т / а + b / \а2 + Ь2
3.	Для среднего гармонического, геометрического, арифмети-
ческого и квадратического двух положительных чисел существует
еще очень интересная геометрическая интерпретация. Рассмотрим
следующую задачу.
Задача 7.11. Пусть A BCD — трапеция с основанием АВ = а
и CD = b (если а = b, ^qABCD — параллелограмм и утверждение
данной задачи становится малоинтересным) и пусть О — точка пе-
ресечения ее диагоналей. Докажите, что тогда:
а)	среднее арифметическое чисел а и Ь, т. е.
а + b
—-— , равно длине
средней линии трапеции A BCD\
136
б)	среднее геометрическое этих чисел, т. е. Ja • b , равно длине
отрезка с концами на боковых сторонах этой трапеции, параллель-
ного ее основаниям и разбивающего эту трапецию на две подоб-
ные трапеции;
в)	среднее гармоническое этих чисел, т. е. —	, равно длине
а + о
отрезка с концами на боковых сторонах этой трапеции, параллель-
ного ее основаниям и проходящего через точку (9;
/zj 2 -|- А 2
г)	среднее квадратическое этих чисел, т. е. /—-— , равно дли-
не отрезка с концами на боковых сторонах этой трапеции, парал-
лельного ее основаниям и разбивающего эту трапецию на две рав-
новеликие (т. е. одинаковой площади) трапеции.
Решение задачи 7.11 (т. е. доказательство теоремы о средних
линиях трапеции, причем каждая из них является средней в своем
особом роде) предлагается провести самостоятельно. «Под зана-
вес» данного параграфа хочется наметить некоторые перспективы,
а именно, указать, что геометрические модели придуманы и для
некоторых средних более общего характера, нежели рассмотрен-
ные выше. В частности, геометрические иллюстрации найдены
для так называемых взвешенных средних (гармонического, гео-
метрического, арифметического и квадратического). Изучаться
эти средние будут в § 6, 7 данной главы, но, чтобы дать о них пред-
ставление уже сейчас, завершим данный параграф несложной за-
дачей, в которой (пусть пока и анонимно) уже присутствуют эти
средние.
Задача 7.12. Докажите, что для любых положительных чисел
а, Ь, с и любых натуральных чисел т, п и к справедливо неравен-
ство
а + Ь + с>т + п^ к]ат -Ьп-ск +"’+«+ Цап * ьк'ст +
+ т + п + к.]ак • Ьт • с" .
Решение. Достаточно сложить следующие три очевидных не-
равенства:
т + п + kfem . fan • ск та + nb + кс . т + п + kjan * ^к . ст <
т + п + к ’
па ikb+mc , т + п + к г. *	. ка + mb + пс
т + п + к	ni + п + к
137
§ 3*. Среднее арифметико-геометрическое
Гаусса и среднее арифметико-гармоническое
Познакомимся с еще одним достаточно универсальным спосо-
бом ввести понятие средней величины с помощью так называемого
предельного перехода. Главная идея этого способа — определить
среднюю величину нового вида как предел последовательности, чьи
члены формируются с помощью уже введенных и изученных сред-
них величин.
1.	Пусть а и b — два произвольных положительных числа и
пусть для определенности а > Ь. Образуем тогда две последова-
а + b _ а\+ ь\	„	_ а„+ьп
тельности: а, =	, а2 - —-—,	о„+| - —-—,
bx = Jab, b2 = JaJbx, bll+l = Janbn, которые обладают
следующими свойствами:
а)	последовательность (ап) убывающая и ограниченная снизу;
б)	последовательность (Ьп) возрастающая и ограниченная сверху;
в)	обе построенные последовательности сходятся к конечным
пределам, и эти пределы совпадают.
Доказательство перечисленных свойств можно найти в № 9
журнала «Квант» за 1981 г. (статья: Крейн ML, Нудельман А. За-
мечательные пределы, порождаемые классическими средними. —
М., 1981.-№9.-С. 13-16).
Определение. Общий предел последовательностей (ап) и (Ьп)
называют средним арифметико-геометрическим чисел а и Ь.
Замечание. В курсе высшей математики доказывается,
что явное выражение (через а и Ь) для среднего арифметико-гео-
метрического можно получить с помощью так называемого эллип-
тического интеграла. Подчеркнем также, что если допустить, что
а = 6, то их среднее арифметико-геометрическое совпадет с эти-
ми же числами.
2.	Если повторить построение для двух произвольных положи-
тельных чисел акЬ последовательностей (ап) и (Z>„), но заменить
среднее геометрическое средним гармоническим, то так возник-
шие последовательности будут обладать теми же свойствами а)—
в), но общий предел этих последовательностей будет равен числу
Ja • b , т. е. так называемое среднее арифметико-гармоническое
чисел а и b — это их среднее геометрическое, а значит, само назва-
ние «арифметико-гармоническое» излишне.
138
§ 4*. Симметрические средние. Теорема Мюрхеда
Среди средних величин выделяются симметрические средние.
Для введения этого понятия потребуется вспомогательное понятие
симметризации одночлена xJX| • х22 •...•х“", где сх2, ...,	—
целые неотрицательные числа, п g N. Итак, пусть задан одночлен
от п 6 /V переменных Xj, х2, ..., хп вида х“1 • х“2 •... • х“", где ар
а2,	— целые неотрицательные числа. Заметим, что для зада-
ния этого одночлена достаточно указать упорядоченный набор
(^-членную последовательность) (аи а2, ..., а„), а также заметим
еще и то, что некоторые свойства таких конечных последователь-
ностей окажутся ключевыми при формулировании основного ре-
зультата данного параграфа — теоремы Мюрхеда. Далее поступим
с этим одночленом так: осуществим в нем всевозможные переста-
новки символов переменных (таких перестановок будет всего
1 • 2 •... • п = л?!), сложим все п\ полученных одночленов, а затем,
разделив эту сумму на nl, получим многочлен, который и называ-
ют симметризацией исходного одночлена и обозначают символом
5(х“* -х2а2-...-х“").
Примеры нахождения симметризации:
1) 5(х>у°) = ху +2ух = 1 (х + у);
2) 5(х2у2г°) =
_ х2у2£° + y2x2z° + х2<:2у0 + г2х2<у0 + -У2г2х0 + z2y2x° _
6
= (х2у2 + X2Z2 + y2Z2Y
Определение. Симметрическим средним действительных неот-
рицательных чисел а{, ..., ап (п g N) называют значение при
Xj =	а15	..., хп = ап всякого выражения вида
+ а2+ - + anjs(xf} *х22 •... •х“"), где ар ..., ап — любые целые
неотрицательные числа и хотя бы одно из них ненулевое.
Задание. Получите в явном виде следующее выражение
kJS(x^ • х§ •... -х^); п, к g 7V, и сравните его значение при
Xj = а}, ...,хп = ап, где ..., ап — произвольные действительные
неотрицательные числа, с раннее изученными средними величи-
нами.
139
Замечание 1. Как и обычно, в предыдущем определе-
нии и задании под нулевой степенью любого символа переменной
понимается единица, что позволяет в окончательном выражении
для ai + а2 + - +	• х22 •... • х“") придавать переменным ну-
левые значения.
Замечание 2. В дальнейшем там, где это не вызовет
недоразумения, позволим обозначить одной и той же буквой как
символ переменной величины (аргумент), так и его значение.
Типичным примером установления соотношений между
симметрическими средними является утверждение следующей
задачи.
Задача 7.13. Докажите, что для любых неотрицательных
ах, а2, а3 справедливо следующее двойное неравенство (про-
стейший пример соотношения между симметрическими средни-
ми):
----V------— > 37«1‘й2-«3-
Решение, Для доказательства правого неравенства достаточно
применить к числам • а2, ах • а3, а2 • а3 соотношение Коши. Для
доказательства «левого» неравенства достаточно рассмотреть раз-
ность
(ах + а2 + а3)2 — 3(67^2 + ^1^3 + а2а^) =
= ((а, - а2)2 + (ах - а3У + (а2 - а3)2),
которая очевидно неотрицательна.
Оказалось, что для исследования неравенства вида
5(х“' Х2 2 • - • х“" ) > ‘Ж?1 ^22 • - ’ хпП )
необходимо и достаточно специальным образом сравнить наборы
показателей (а,, а2,..., ап) и (р1? Р2,..., 0Л).
Принадлежит следующий результат английскому математику
Роберту Франклину Мюрхеду (1860—1941) и был им опубликован
в 1903 г.
Теорема Мюрхеда. Для того чтобы при всех неотрица-
тельных значениях хх, х2, ..., хп имело место неравенство
5(х“'х22 •• х“л) > S(x?' х22	где а(, а2,	а„,
Р2, •••, Рат ~ Целые неотрицательные числа, п е N, otj > а2 > ... >
140
> агГ Pj 02 •• • Рлг необходимо и достаточно выполнение
следующей системы требований:
ос, >Р,<
CXj + 0С2 Р| + Р2’
«J + ос2 + ... + ос„_( > р, + р2 + ... + р„
а,+ос2 + ... -ь ос„ = р, + р2 + ... + р„.
Замечание. Если последовательности а = (ос,, а,.........
а ) и р = (рг Р2, Pz/) удовлетворяют условиям теоремы Мюрхеда,
то тогда говорят, что ос мажорирует р и коротко обозначаю т это т
факт символом ос > J3.
Примеры применения теоремы Мюрхеда:
1)	Так как (2; 0) > (1; 1), то —> лт при любых неотрица-
тельных х и у (и даже при любых действительных х и у).
2)	Так как (3; 1) > (2; 2), то х3у + xv3 > 2х2у2 при любых неот-
рицательных X и у.
3)	Так как (4; 0; 0) > (2; 2; 0) > (2; 1; 1), то х4 + у4 + <4 " х2у2 +
+ х2<2 + y2z2 > x2yz + y2xz + Z2yx, где х, у и z принимают любые
неотрицательные значения.
Задача 7.14. Выпишите все неравенства Мюрхеда для много-
членов степени 3 и степени 4.
Задача 7.15. Докажите, что для любых неотрицательных зна-
чений переменных справедливы следующие неравенства:
а)	х5 + у5 + z5 > x2y2z + y2z2x + x2z2y\
б)	X3 + у3 + z3 + t3 > xyz + xyt + XZt + yz.t\
в)	x4j>2£ + _ц4х2г + £4x2_y + г4у2х + x4z2y + ,у4г2х 2{x3y2z2 +
+ y3x2z2 + г3х2^2).
За	дача 7.16". Выведите из теоремы Мюрхеда неравенство
Коши для п переменных {п > 2).
§ 5*. Круговые неравенства, методы
их доказательства и опровержения
Среди циклических неравенств (§ 2 главы VI) выделяется класс
так называемых круговых неравенств. Это неравенства, в левой
и правой части каждого из которых стоят выражения вида
141
A(x„ x2, x3,..., x„_„ x„) = x“' xp xp •... •	x“" +
+ x“« x2“' x“2 •... • x“"_-}2x“" -' + x“" -1x2a" x“' •... X
X ra" ~ 3 x“" ~ 2 +	+x?2x^3x^4 •	• x“" , xa'.
где a,, a2, ..., a„_(, a„ — некоторый конкретный упорядоченный
набор (п -членная последовательность) рациональных чисел.
Внимание! Следующее общее описание при первом проч-
тении можно пропустить и перейти сразу к рассмотре-
нию примеров.
Идея доказательства кругового неравенства вида
х“' х“2 •... • х“" + ... + х“2 х“3 •... • х“' > х?1 х$2 •... • х^" + ... +
+ х^2х23 •... • х„'
будет состоять в следующем.
1)	Выясняется, нельзя ли слагаемое х^1 xf2 •... • х^п получить,
перемножая некоторые степени слагаемых, стоящих в левой части
этого неравенства.
2)	Если найденные показатели степеней для выражений
х^х^2 •...•х^л, ..., х“2Х23 •...•х"1 будут все неотрицатель-
ными рациональными числами, то после приведения этих
дробей к наименьшему общему знаменателю s.e N мы получим
в их числителях целые неотрицательные числа тх, тъ тп та-
кие, что
(х“> х2“2 •... • х“"	•... • (х?2х2аз •... •	=
= (х^х^2 • ...•х^)5.
3)	К выражениям
х?'х?2« «ха« ra'r“2.	. va«
Л| Л,2	... хп , X] х2 ... хпп , ...,
т । одинаковых одночленов
...,	Х?2Х?3’	. r“l v-a2v-a3.	. -г“|
•••> -*| Х2 ... хп , ..., Х| х2 ... хп'
тп одинаковых одночленов
применяют неравенство Коши (переменные хи х2, ...,хл считают-
ся меняющимися строго в пределах множества (0; +оо) каждое)
142
и из полученного неравенства всевозможными циклическими
(круговыми) перестановками переменных х1? х2, •••>*„ получают
несколько безусловно истинных неравенств от тех же переменных.
4)	Полученные истинные неравенства почленно складывают
и то, что получится, как раз и будет тем самым исходным неравен-
ством.
Возникает естественный вопрос, а что же делать, если на вто-
ром этапе среди показателей обнаружатся и отрицательные раци-
ональные числа. Оказывается, что в этом случае можно будет ука-
зать такой набор положительных значений переменных, подста-
новка которых в исследуемое неравенство приведет к получению
ложного числового неравенства, т. е. исходное неравенство оказы-
вается опровержимым.
Продемонстрируем теперь все сказанное на конкретных при-
мерах.
Задача 7.17. Докажите, что для любых положительных а.
а	я3 _1_ Ь3 , с3	а2 , Ь2 . с2
Ь, с справедливо неравенство -— +---- + —г + — + т •
b • с а • с а • b с а о
Решение. Прежде всего ответим на следующий вопрос: можно
ли получить первое слагаемое правой части доказываемого нера-
венства, перемножая некоторые степени выражений, составляю-
щих левую часть исследуемого неравенства, т. е. постараемся
найти такие х, у, z,- чтобы имело место тождество
( гР Y ( h3 V ( с3 ¥ а2
• —— I • ——-	= — . Приравнивая показатели сте-
\Ь* с ) \ а • с J \а* b )	с
пеней символов а, Ъ и с, получаем систему
[ Зх — у — z = 2,
—х + Зу — z = О,
I -х — у + 3z = -1;
3	]
решая ее, получаем х = - , у = -, z = 0.
Отметим очень важный момент: все три компоненты решения
системы |, 0 ) — числа неотрицательные. Умножим их на
4 (их наименьший общий знаменатель!) и отметим очевидное тож-
143
Теперь применим неравенство Коши к четырем числам	,
сР> Ь3
—— ,---- и получим
b • с а • с
7 . а3 4- _А1_ I--------------
b • с а* с f а3 V Г Ь3 А _ Д2
4	a/U> ' с) м2 • с) с
3*^ + ^	2
К неравенству ————- > присоединяем еще два ана-
логичных, получаемых из этого неравенства так называемыми кру-
говыми перестановками, а именно: заменой в первом неравенстве
3._±L +
э с * а ~ b * а	Ь2
символа а на b, b на с и с на ст. ---------- > — и заменой
4	а
в первом неравенстве символа а на с, Ь на а, с на Ь\
с3 а3
3 . __+ —___
——-л—> % . Остается сложить эти неравенства почленно,
4	b
чтобы получить требуемый результат.
Замечание. Подчеркнем, что если хотя бы одна компо-
нента решения вспомогательной системы уравнений оказалась от-
рицательной, то неравенство оказалось бы ложным (опровержи-
мым), т. е. можно было бы указать конкретные положительные я,
b и с, при которых это неравенство с переменными превратилось
бы в ложное числовое неравенство.
Задача 7.18. Докажите, что при любых положительных я, b
г 10	h 10
и с справедливо неравенство —+—+—> а^Ь + с^а + №с.
с Ь а
Решение. Составим систему, аналогичную той, что применя-
лась при решении предыдущей задачи. Ее решением окажется
тройка неотрицательных чисел ( ~ ? А ? А так что тот же при-
ем, что привел к успеху при решении предыдущей задачи, сработа-
ет и здесь.
Задача 7.19. Докажите или опровергните неравенство
с a h Ь а с '
144
Решение. Соответствующая система уравнений и ее решение
будут иметь вид:
2*х + 0*у +(—])•£ = 1,
0*х + (—l)*j?4-2*z = —1, <=> <
—х + 2*j/ + 0*£ = — 1
То, что z = — <0, позволяет сделать вывод об опровержимос-
ти исследуемого неравенства. Вот конкретный набор значений пе-
ременных	который при подстановке в исход-
ное неравенство дает ложное числовое неравенство. Тому, кто по-
желает узнать, как был найден этот набор значений переменных,
стоит прочитать статью Ф. Г, Шлейфера «Круговые неравенст-
ва», опубликованную в журнале «Математика в школе» № 3
за 1994 г.
§ б. Среднее арифметическое взвешенное
и его свойства
Ранее неоднократно приходилось применять неравенство Ко-
ши к набору чисел, среди которых встречались равные. Дальней-
шие размышления на эту тему естественным образом приводят
к следующему понятию, обобщающему понятие среднего ариф-
метического.
Определение. Пусть а2, ..., ап — произвольные действитель-
ные числа (п > 2), apj, ..., рп — произвольные действительные
положительные числа, тогда число хс = х{р^	ап) =
рш, + ... + рпа
=	называют средним арифметическим взвешен-
Р\ + Рг + ••• + Рп
ным чисел <7], б/2, ..., ап относительно весовр;,р2, -,Рп-
Замечание. Очевидно, в качестве весов можно брать
любой набор действительных чисел, лишь бы их сумма была от-
лична от нуля. Очевидно также, что среднее арифметическое — это
среднее арифметическое взвешенное относительно весовPj = р2 =
= -=Рп= L
Ю. Гомонов
145
В качестве примера применения в математике и физике сред-
них арифметических взвешенных можно назвать формулы для вы-
числения координат центра масс (тяжести) конечной системы ма-
териальных точек по их известным массам и координатам, а имен-
но: если точки	zj, А2(х2, у2, ^2), ...,	у„, zn) имеют
соответствующие массы т2, ..., тп (п g 7V), то координаты
центра масс G(xg, yG, Zq) этой системы материальных точек зада-
_ т pXj 4- т2х2 4- ... 4- тпхп
ются следующими формулами: xG------.—т~:------------->
in । । т. 2 ' • • • ’ ft
= mlyl + т2у2 + ... + т„уп = mlzi + m2z2 + - + m,,zn
?G m} + m2 + ...+ mn ’ Zg mx+ m2 + ... + mn
p 1
Заметам также, что, введя обозначения ц. = — --—-— ,...,
1 Р\+ Рг + - +Рп
и =--------------, можно для среднего арифметического взве-
"	Р\+ Р1 + - + Рп
шейного предложить другое выражение: хс — Pj • а{ + ц2 • а2 + ... +
+ ц„*а„, где Ц], ...,	— положительные числа, в сумме дающие
единицу (эти числа тоже весьма часто называют весами или, точ-
нее, нормированными весами).
Задача 7.20. Докажите, что для любых действительных чисел
ах, а2, ..., ап (п — натуральное, большее 1) и любых действитель-
ных положительных чисел Ь\, Ь2,..., Ьп справедливо двойное нера-
ai а\ + а7 + ••• + ап	О:
венство min -2 <  1	2 ——И < max .
ICiCwfy + Ь2 + ... + bn KKnbj
Решение. Обозначим т = min ~ и М = max , тогда,
1 < 7 < п D j	I < i<n ЬJ-
складывая почленно очевидные неравенства т 9< а{ < М•
т • b2< а2^ М • Ь2, ..., т • bn < ап < М • Ьп и деля все три час-
ти полученного двойного неравенства на положительную сумму
Л] 4- Ь2 4-... 4- Ьп, приходим к нужному результату.
Задача 7.21. Докажите, что для любых действительных чисел
6Zp6Z2,..., ап и любых действительных положительных чисел рх,р2,
‘^Рп(п— натуральное, большее 1) справедливо двойное неравенство
min
I < 7 < п 1
Р\*а\ + -+Рп'ап
Р\ + - +Рп
max а>.
I < i<n 1
146
Решение. Воспользоваться результатом, обоснованным в пре-
дыдущей задаче: положить b{ = pz, а вместо а{- подставить af • pf.
Можно также применить метод оценок.
§ 7. Средние степенные и средние
взвешенные степенные
Доказательства неравенства Коши и других соотношений меж-
ду средними гармоническим, геометрическим, арифметическим
и квадратическим осуществлялись весьма непросто и проходили
в несколько этапов (см. теорему 2 из данной главы и пособие [7,
осн. список]), но оказалось, что все эти факты вытекают из одно-
го-единственного свойства монотонности одной воистину замеча-
тельной функции.
Пусть ах, а2, ..., ап — произвольные фиксированные действи-
тельные положительные числа (п — натуральное, большее 1). Рас-
смотрим тогда функцию, определенную на всей числовой прямой
следующими аналитическими выражениями (корни подразумева-
ются арифметическими):
С(х, а},а2, ...,ап) = \
при х Ф О,
а п прих = 0.
Определение. Значение функции С(х, ах, а2, ..., ап) при любом
конкретном х е R будем называть средним степенным поряд-
ка х (или х-степенным) положительных чисел ах, а2,..., ап.
Обозначать это значение функции будем символом Сх(ах, а2,...,
ап) или короче Сх(а^.
Замечание. Легко видеть, что С_х(а^ — среднее гармо-
ническое, C0(az) — среднее геометрическое, Сх(а?) — среднее
арифметическое, C2(<7Z) — среднее квадратическое положительных
чисел ах, а2,..., ап.
Замечательно, что теперь можно естественным образом ввести
понятия среднего кубического и среднего биквадратического
ит. п.
Отметим некоторые свойства функции С(х, ах,а2, ..., аГ1).
Свойство 1. При любых фиксированных ах, а2, ..., ап функция
С(х, а2, ..., ап) непрерывна на всей числовой оси.
10*
147
Свойство 2. При любых фиксированных а2, ..., ап функция
С(х, av а2, ...» ап) не убывающая на всей области определения Л,
если же среди чисел ..., ап имеются хотя бы два несовпадаю-
щих, то эта функция возрастающая на всей области определения
А, если же а{ = а2 = ... = ап, то тогда и только тогда данная функ-
ция тождественна константе.
Пример применения.
Так как-1 < 0 < 1 < 2 < 3, то C_t(^z) < C0(az) < C\(6zz) < С2(а^ <
< C\(#z), что является не чем иным, как знаменитым соотношени-
ем между средними гармоническим, геометрическим, арифмети-
ческим, квадратическим и даже кубическим произвольных поло-
жительных чисел ах, а2, ..., ап, причем равенство между любыми
из этих средних наступает тогда и только тогда, когда
а{ = а2 = ... = ап.
Замечание. Стоит подчеркнуть, что аргумент х может
принимать и дробные, и иррациональные значения, таким обра-
зом, свойство 2 — источник бесконечного числа замечательных не-
равенств.
Свойство 3. Существуют конечные пределы функции С(х,
а2,..., ап) прих -оо иприх +°о, причем lim С(х, а2,...,
ап) = ^minja,}, Jut^Qx, а2,..., ап) = max {az}.
Доказательство перечисленных выше свойств не слишком
просто, достаточно громоздко и не совсем элементарно, поэтому
приводиться не будет (см. [6, 28]).
Рассмотрим еще одно обобщение большинства ранее рассмот-
ренных средних величин (в том числе и среднего степенного по-
рядка х).
Пусть а 15 л2, ..., ап — произвольные действительные положи-
тельные числа (и — натуральное, большее 1) и пусть ц2,..., цЛ —
также положительные произвольные числа, чья сумма равна 1. Эти
числа, как уже ранее отмечалось, будем называть положительными
нормированными весами.
Рассмотрим далее функцию аргумента х, определенную на
всей числовой оси и задаваемую следующими аналитическими вы-
ражениями (корни подразумеваются арифметическими):

(Hiaf +- + н„«2
a j1' • а^1 *... • а^п
прих^О,
при х = 0.
148
Определение. Значение функции М(х, а{,..., ап, |др ..., р„) при
любом конкретном х g R будем называть средним взвешенным
степенным порядка х (или х-нормой) чисел я и л2,..., ап с весами
Цр ц2, -> Обозначать это значение будем символом Мх(а^ ...,
ап, gp ..., ц„) или короче Мх(а^ pz).
Замечание. Очевидно, что х-норма обобщает понятие
среднего х-степенного, так как	..., а„, -, ..., - 1 =
ЛЛ 1 п п п )
= Сх(а|,...,ап).
Введенная выше функция обладает свойствами, аналогичными
свойствам функции С(х, а р ..., ап).
Перечислим (в основном без доказательств) некоторые из них.
Свойство 1. Существует конечный предел функции Л/(х, juz)
при х -* О, причем он равен af1 • а %2 •... • а^п , т. е. lirn Л/(х,
az, pz) = a• а^2 •... • а^п , а значит, функция М(х, а^ pz) непре-
рывна на всей своей области определения R,
Свойство 2. Для любого х е R M_x(at, И/) =	ц,.))-'.
Доказательство этого свойства проводится простым преоб-
разованием выражения для М(-х, а{, pz).
Свойство 3. Если ak = max {az} (когда таких k е {1, 2, ..., п]
несколько, то выбирается любое из них), то для любого х > 0 спра-
]_
ведливо неравенство • ак < Mx(ah |iz) < ак.
Доказательство. Очевидно, что для любого х > О
Мх(а„ Ю = (Hi^f + ... + ц„ах )х <	+ Ц2а% + ... +
1 11
+ )х =((Ц, + ...+ ц„)а^)х =(а^)х =ак, а с другой сторо-
1 11
+	)* >(\\,ка£)х = -ак.
Свойство 4. lim М(х, ah pz) = min {я.}, lim М(х, а.-, ц.) =
X--------------	1 < Z < п	X — +оо
= ^тах {я,}.
Свойство 5. Для любых положительных ар л2, ..., ап, Цр ц2, ...,
|1„ (однако jjtj + ц2 + ... +	= 1), где п g N, п > 2, функция М(х,
149
pz) является неубывающей на всей области определения R,
причем если среди чисел а2, ..., ап имеются хотя бы два несов-
падающих, то М(х, pz) является возрастающей на R, если же
ах = а2 = ... = ап, то тогда и только тогда функция будет тождест-
венна константе.
Пример применения свойства 5.
Так как 0 < 1, то M0(az, pz) < pz), т. е. имеет место сле-
дующее обобщение неравенства Коши, дающее соотношение меж-
ду средним взвешенным геометрическим и средним взвешенным
арифметическим:	• а22 • ...• а^п <	+ ц2а2 + ... +
+ цпа„, где ах. а2, ..., ап, ц1? ц2, ...,	— произвольные положи-
тельные числа, но pj + ц2 + ••• +	= 1 (л ~ натуральное, большее
единицы), причем это соотношение между средними реализуется в
варианте равенства тогда и только тогда, когда а{ = а2 = ... = ап.
Замечание. Наличие достаточно обременительного тре-
бования — выполнения равенства щ + ц2 + ... +	= 1 — можно
обеспечить, если положить ц, = —--------1-----, ..., ц„ =
1	Р1+Р2+
Рп
= р	+—+ /Г’ где ^2’	пРоизвольные положи-
тельные числа, причем в новых обозначениях неравенство
Коши	примет следующий	вид: ар 1 • а22 •... • арп" <
(рхах + ...+р a	+
< —р + +д—	,гд.еа1,а2,...,а„,р1,р2,...,р„-про-
извольные действительные положительные числа, п g
Задача 7.22. Докажите, что для любых положительных а, Ь,
с справедливо неравенство (а + b + с)3 < 9 • (а3 + Ь3 + с3).
Решение, Для обоснования неравенства достаточно приме-
нить соотношение между средним арифметическим и средним
3-степенным.
Задача 7.23. Докажите, что для всех действительных а и b
справедливо неравенство 8(я4 + Z?4) > (а + А)4.
Решение. Если a wb — положительны, то для доказательства
достаточно применить соотношение между средним арифмети-
ческим и средним 4-степенным, тем самым будет доказано ис-
следуемое неравенство и для всех отрицательных а и Ь. Если а =
= 0 или b = 0, то неравенство очевидно, ну а если а и b разных
знаков, то завершат доказательство данного неравенства следую-
150
щие очевидные соотношения: 8 • (я4 + Z?4) = 8 * (|я|4 + |Z?|4) > (|я| +
+ к > (а + ьу.
Задача 7.24. Докажите, что для любых положительных чи-
сел хп с фиксированной суммой а и любого натураль-
ного к (п — натуральное, большее 1) справедливо неравенство
Решение. Так как к > 1, то С\ (az) < Ct(67z), откуда и следует
к
данное неравенство.
Задача 7.25. Докажите, что для любых положительных а{,...,
ап (п — натуральное, большее 1) и любого натурального т такого,
что п > т, справедливо неравенство
(af +... +<?;”)• (я?-"' + ... +	пг\1ха2...ап.
Решение. Для доказательства достаточно перемножить оче-
видные неравенства (Ст(а$Уп > (С^а^т и (Ст >
Задача 7.26. Докажите, что для любых действительных
ах, а2, ..., ап, Ь[7 Ь2, ..., bn(n g 7V, п > 2) справедливо следующее
неравенство C1(^z*Z?z) < C2(#z) • C2(Z>z) (в котором легко узнать
один из вариантов записи неравенства Коши—Буняковского).
Замечание. То, что ах, а2,..., ап, bx, Ь2, ..., bn — любые
действительные, не является недопустимым обобщением, так как
выражение, задающее функцию С(х, cz), имеет смысл при х > О
для любых действительных сх, с2,..., сп.
Решение. Введем следующие обозначения для средних квад-
ратических А = C2{at), В— С2(Ь?) и рассмотрим две возможные
ситуации.
1. А = 0 или В = 0. В этом случае доказываемое соотношение
реализуется в варианте очевидного равенства, а именно 0 = 0.
2) А > 0 и В > 0. Рассмотрим тогда следующее отношение
+ .., + апЬп
= ____________п___________ =
C2(^z)-C2(Z>z)	\а] + ... + aj, /&? + ... +6?
п N п
= 1 f11 .tl +
п I А В ” А В У
151
Воспользуемся теперь очевидным неравенством х 9у < (х2 э * * +
+ у1}, где х, у е R, что позволит получить следующие соотноше-
ния:
С2(а,) • C2(Z>z)
1 Г 5 . h + +51
п I А В " А В )
что и
требовалось доказать.
Замечание. Очевидно, что для любых действитель-
ных av а2, ..., ап, Ь{, Ь2, Ьп доказано неравенство + ...
- + апЬп < № + ••• + ап • л/61 + - + ЬП ’ а так как тогда
Jai + - + «л ’	+ ••• + ЬП	+ ... + \an\-\bn\>\albY +
+ ... + апЬп\, то и неравенство (albl + ... + апЬпУ <	+ ... +
+ а2п + ... +	).
Задачи для самостоятельного решения
С-7.1. Докажите, что для любых положительных а, b и с спра-
ведливо неравенство - + - + - > 3.
Ь с а
С-7.2. Докажите, что для любых неотрицательных а, b и с
справедливо неравенство (а + b + с)(а2 + Z?2 + с2) > 9abc.
С-7.3. Докажите, что если а2, а3 и <з4 — действительные неот-
э 1 л ( а 1 + 2я2 + Зя3 + ba* V0
ринательные числа, то ах •	• а] • а% < I —!-— ------ 1 .
С-7.4. Докажите, что для любых положительных чисел а},
а2, ..., ап, Ь2, bn (п е /V, л? > 2) справедливы следующие
тождества:
152
a)	In C0(az) = C/ln az);	r) (C0(az))-' = C0(«f1);
б)	(Cx(4	= C1(az),x^O; д) (C.^,))-' =	);
в)	С,(а,. + Z>z) = CJa,) + C,(6Z); e) С0(дА) = C0(af) • CO(6Z).
С-7.5. Докажите, что для любых положительных <?,, #2, ап
(п е N, п >2) справедливо неравенство С^а,.) • СХ(Ь() > С, (я Д).
2
Указание. Используйте неравенство Коши—Буняковского.
С-7.6*. Докажите, что для любых положительных чисел а 1, а2.
ап. bx, b2,..., Ьп (л? g 7V, л? > 2) справедливы неравенства:
a)	Сх(а£2) > Сх(а2) • Cv(Z?z), если х > 0;
б)	Сх(а{Ь2) < Cx(at} • Сх(Д),если х < 0.
С-7.7*. Докажите, что для любых положительных чисел а,, а2,....
ап. Ьх, Ь2..... bn (п е N,n>2) справедливы неравенства:
a)	Cx(ai + Ь;) < Сх(а() + Cx(Z>z), если х > 1;
б)	Сх(а{- + Ь^ > Сх(а{) + СХ(Ь;), если x < 1.
Темы докладов и рефератов и литература к ним
1.	Геометрия помогает доказывать теоремы о средних величинах.
Литература'. 134, 105, 112.
2.	Геометрические способы сравнения средних.
а)	Сравнение средних на плоскости.
б)	Сравнение средних в пространстве.
Литература'. 134, 105, 145.
3.	Геометрические иллюстрации средних взвешенных величин.
Литература'. 112, 60, 61.
4.	Построение четырех средних линий трапеции циркулем и ли-
нейкой.
Литература'. 60, 134.
5.	Оценки разностей между средними величинами.
Литература'. 5, 6, Квант. — 1966, № 4, задача М-1532.
6*. Обобщаем среднее арифметическое или среднее значение
функции.
а)	Среднее арифметическое: его свойства и «функциональный»
аналог.
б)	Среднее значение функции на отрезке и его свойства.
в)	Среднее значение функции, заданной на окружности и сфере.
153
Литература', 1J1.
7*. Среднее Шваба—Шенберга.
а)	Пределы, порождаемые средними величинами.
б)	Арифметико-гармоническое, арифметико-геометрическое и
геометрическо-гармоническое средние.
в)	Среднее Шваба—Шенберга.
г)	Приближенное вычисление числа я.
Литература'. 116, 26, 2.
8.	Средние величины вида

qf + g2a+... + <
а±~ 1 +	“ 1 + ... + Лп~ 1 9
где av av ..., ап — положительные числа, a е R, п е N.
а)	Связь da с «классическими» средними.
б)	Свойства da.
в)	Геометрические иллюстрации к неравенствам
ab(a + b) < ab	<	2	< г~т < а + b < 1а2 + Ь2 <
а2 + Ь2 ' 1а2+ Ь2 "1+1"2 " N 2	'
J 2 а b
< а2 4- Ь2 < а3 + Ь3
а + b а2 + Ь2
Литература’. 84.
9.	Получение симметрических неравенств.
а)	Симметризация одночлена.
б)	Диаграммы Юнга.
в)	Теорема Мюрхеда.
г)	Примеры доказательств неравенств между средними сим-
метричными величинами.
Литература'. 108, 5, 6, 8, 18, 28.
10.	Круговые неравенства.
Литература’. 92.
11.0 доказательстве неравенства
ab + ас + be + Ja2b2 + а2с2 4- Ь2с2 < а + b + с
а + Ь 4- с 4- Ja2 4- Ь2 + с2	3
Литература'. 96.
12.0 доказательстве неравенства а3 + Ь3 + с3 4- abed >
min j i 4- ~ |, где a 4- b 4- c = 1; a > 0; b > 0; c > 0.
Литература', журнал Квант, решение задачи М-1364.
154
ГЛАВА VIII
НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА
И НЕКОТОРЫЕ ЕГО ОБОБЩЕНИЯ
Изучая в предыдущем параграфе средние степенные величины
и соотношения между ними, никаких соотносительных требова-
ний на переменные, входящие в соответствующие неравенства, не
накладывали. Однако при появлении и учете подобных дополни-
тельных ограничений возникают весьма разнообразные новые со-
отношения между «старыми» средними величинами. Примером
подобных соотношений является замечательное неравенство, на-
званное в честь выдающегося русского математика и механика
Пафнутия Львовича Чебышёва (1821 — 1894).
§ 1. Неравенство Чебышёва и некоторые
его простейшие обобщения
Теорема 1. Для любых двух неубывающих {или невозрас-
тающих) последовательностей av а2, ..., ап и Ьх, Ь2, .... Ьп
(п > 2) справедливо неравенство
а{ + а2 + ... + ап Ьх + Ь2 + ... + Ъп < а} •	+ а2* Ь2 + ... + ап • Ьп
п	п	п
(*)
{именуемое неравенством Чебышёва).
Доказательство. Рассмотрим неравенство, равносильное
неравенству Чебышёва п • {а} • Ъх + ... + ап • Ьп) > {а{ + ... + ап) х
х (Z>j + ... + Ьп), составим разность его левой и правой частей, а за-
тем преобразуем ее:
п • (at •/>, + ... + ап . Ьп) - (а, + ... + ап) • (Z>( + ... + bn) =
= (а, - а2)(Ь} - Ь2) + (а, - а3)(Ьх - Ь3) + ... + (ах - an)(bt - />„) +
+ (а2 - а3)(Ь2 - Ь3) + (а2 - а4)(Ь2 - Ь4) + ... + (а2 - а„)(Ь2 - Ьп) +
+ ... + (а„_!	-д„).
Однако каждое из произведений {ат — at){bm — Ь{){1 < т п;
1 < / < п) неотрицательно, так как по условию задачи последова-
тельности (ап) и (Ьп) или одновременно неубывающие, или одно-
временно невозрастающие (монотонные), что и доказывает неот-
рицательность составленной разности левой и правой частей нера-
венства, равносильного неравенству Чебышёва.
Теорема доказана.
155
Замечание, Проведенное выше доказательство нера-
венства Чебышева позволяет указать критерий реализации этого
соотношения в варианте равенства. А именно: равенство в соотно-
шении Чебышева имеет место тогда и только тогда, когда
ах=а2 = ... = ап или Ьх = Ь2 = ... = Ьп.	(**)
Достаточность этих требований очевидна. Обоснуем их необ-
ходимость методом от противного. Пусть неравенство Чебышева
реализуется со знаком равенства, а значит, (ат	— Z?z) = О,
где 1 < т < п; 1 < I < п (так как сумма конечного числа неотрица-
тельных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда все эти
числа — нули), и пусть условия (**) не выполняются. Последнее
означает, что среди чисел а2, ап есть хотя бы два несовпа-
дающих и среди чисел Ьх, Ь2, ..., Ьп также есть хотя бы два нерав-
ных. Следовательно, найдется для числа а} такое число at , что
а, * at^, 1 < t() С п (б противном случае выполнились бы равенства
а, = а2 = ... = ап), и тогда из условия (ах —	= 0 не-
медленно следует bx = bt<>. Однако и для b । найдется такое bs, что
1 <s0<n.
Из равенства (а, — as^)(bx — bs ) = Q немедленно следует, что
<2j = aSfj, а значит, и at^, так как по выбору /0 at . Со-
вершенно аналогично из равенства (а} — at^ ')(bx — bt ) = 0 следует,
что Ьх = Ь,значит, bs Ь, , так как Ь, Ь. . Остается рас-
смотреть равенство (as^ —	— btQ) = 0, однако условия
а50 * at() и bSq * bt ему противоречат, что и доказывает в части
необходимости критерий (**) выполнения соотношения (*) со зна-
ком равенства.
Подумаем теперь о наиболее естественных обобщениях нера-
венства Чебышева.
Во-первых, вместо одинаковой упорядоченности последо-
вательностей ах, а2, ап и Ьх, Ь2, ..., Ьп, т. е. вместо выполне-
ния для любых ij (1 < / С п\ I < п) условия: из < ^следу-
ет, что bj < bj (либо: из az > aj следует, что Z?z > b) можно по-
156
требовать, чтобы для любых z, j (1 < Z < п; 1 ч j п)
выполнялось условие (а{- —	— bj) > 0, так как выполнение
именно этих соотношений явилось основой доказательства не-
равенства Чебышева. В связи с возможностью такого обобще-
ния неравенства (*) окажется естественным и уместным следую-
щее определение.
Определение. Две конечные последовательности действитель-
ных чисел	и (Z\) (к = 1, 2,..., п\ п е N) называются одинаково
упорядоченными (или одномонотонными), если для любых Z и у
(1< Z п; 1 <у < п)
(а,- - a^b, - bj) > О,
и обратно упорядоченными (или разномонотонными), если
(а, - aJ)(bi - bp < О
для любых/ иу (1 < i < п\ 1 <у’ < п).
Замечание. Очевидно, что если (ак) и (Ьк) — одномо-
нотонные, то и (—и (—Ьк) — одномонотонные, а (<зА) и (-Ьк)
(как и (~ак) и (Ьк)) разномонотонные; очевидно также, что любые
две конечные равные последовательности действительных чисел
образуют пару одномонотонных последовательностей.
Упражнение 8.1. Проверьте, что следующие последователь-
ности одинаково упорядочены: а) (1; 2; 3) и (13; 27; 100); б) (2; 4;
8; 9) и (-1; 0; 6; 10); в) (о,5; i; 10 и (-1; -2; 20). Убедитесь, что
последовательности (1; 2; 3) и (13; 1000; 100) не являются одномо-
нотонными.
Упражнение 8.2. Проверьте, что если (ах\ а2; а3; а4) и (Ь};
Ь2\ Ь3; Ь4) — одномонотонны, то и (а(; а3; а2; а4) и (Z>t; b3; b2; Z>4);
(а{; а3; а4, а2) и Ь3; Ь4\ Ь2); (а3; а2\ ах\ а4) и (Ь3; Ь2; Ьх\ Ь4) —
тоже одномонотонные последовательности.
Теперь можно сформулировать очевидное обобщение первого
утверждения данного параграфа.
Теорема 1.Для любых двух одинаково упорядоченных ко-
нечных последовательностей (ак) и (Ьк) (к = 1, 2,..., п;п е 7V)
справедливо неравенство
ах + а2 + - + а" . ^1 + 62 + •• + bn > /?! + дг2 > /?2 + ... + ап-Ьп
п	п	п
157
т. е. А(а}, ..., ап) • А(Ь{, .... ЬД < А(а{Ь{, ..., апЬД, причем ра-
венство в этом соотношении имеет место тогда
и только тогда, когда а} = а2 = ••• = ап или Ьх = Ь2 = ... = Ьп.
Доказательство — полное повторение обоснования преды-
дущей теоремы и замечания к ней.
Упражнение 8.3. Сформулируйте аналог предыдущей теоре-
мы для случая обратно упорядоченных последовательностей.
Во-вторых, искомое обобщение можно попробовать найти
на пути следующих рассуждений: пусть две конечные последова-
тельности действительных чисел (ak) и (Z>A) (£=1,2, ..., n,n^N,
п > 2) удовлетворяют неравенству (*); очевидно, как ни перестав-
ляй их члены, левая часть неравенства (*) величины не изменит.
Сложнее с правой ее частью. Но и здесь кое-что можно предло-
жить: менять местами члены последовательностей (аД и (ЬД
«синхронно», «параллельно». То есть: если числа и как чле-
ны последовательности поменяли местами у (аД (yt Фj^, то поме-
няем местами Ь^ и bj и у (ЬД. Очевидно, сколько бы таких одно-
временных перестановок ни производить, значение правой части
неравенства (*) не изменится. Отсюда вывод: если и (Z^) по-
лучили из двух неубывающих (невозрастающих) последователь-
ностей указанным выше способом, то для этих (аД и (Z?^) нера-
венство Чебышёва имеет место, так как все указанного вида пе-
рестановки членов последовательностей можно «обратить» до
возвращения к исходным неубывающим (невозрастающим) по-
следовательностям. И именно такие последовательности можно
иметь в виду, стараясь найти обобщение неравенства Чебышёва.
Однако очевидно, что для любых двух конечных последователь-
ностей действительных чисел (аД и (ЬД (£ = 1, 2, ..., п\ п > 2)
всегда можно указанного вида перестановками получить две по-
следовательности (аД и (Z>J, из которых первая, например, ока-
жется неубывающей. Если при этом вторая последовательность
окажется также неубывающей, то неравенство (*) очевидно бу-
дет справедливо для (аД и (Ь Д. Легко понять, что для (аД и
(Ь Д подобный результат возможен, если они удовлетворяют сле-
дующим условиям.
158
1	.У последовательности (ak) найдется член ат, не меньший
всех остальных ее членов, причем такой, что член последователь-
ности (Ь к) того же номера, т. е. b т, будет не меньше всех осталь-
ных членов этой последовательности.
2	. Если у последовательностей (ак) и (Ьк) вычеркнуть члены
соответственно ат и Ьто таким способом возникшие две новые
последовательности будут удовлетворять требованию (1) и так да-
лее вплоть до последнего этапа, когда от (ак) и (Ь А.) останутся дву-
членные последовательности.
Упражнение 8.4. Убедитесь, что следующие последователь-
ности являются одинаково упорядоченными:
а)	(10; 10;-6;-11) и (1;	^;0 );
б)	(0; 0; 0; 2; 6; 6; 6) и (1; 1; 6; 6; 6; 9; 9);
в)	(10;-11; 10; -6) и Q; 0; 1; 1
Вот теперь можно подвести некоторый итог двух подходов к
обобщению неравенства Чебышева, а именно: обе попытки приве-
ли нас к одному и тому же результату, так как имеют место два
свойства.
1. Если последовательности (а^) и (Ьк) (к = 1,2, ..., п; п >2)
одинаково упорядочены, то существует такое число т е {1;2;.
быть может, не одно, что ат = max{<7l5..., ап}\ bm = тах^,..., bn}.
2. Для того чтобы последовательности (ак) и (Ьк) (£=1,2, ...,
п; п > 2) были одинаково упорядочены, необходимо и достаточно,
чтобы существовала такая перестановка (Zp /2, in) чисел 1, 2, ...,
и, что at > at > ...> at > at nbf > bt >...>bt > bt .
- 1	Z2 Z1 hi Tn - 1	'1 r2
Доказательства этих свойств предлагается желающим про-
вести самостоятельно.
Задание. Предложите второй вариант (равносильный перво-
му) определения одномонотонности двух последовательностей,
используя понятие «параллельные перестановки» их членов.
В завершении данного параграфа приведем «взвешенный» ва-
риант неравенства Чебышева.
Теорема 3. Пусть (ак) и (Ьк) (£ = 1,2,..., л; п >2) одинаково
упорядоченные последовательности действительных чи-
сел, а положительные числа тх, т2, ..., тп таковы, что
159
т\ + т1 + ••• + тп = Ь тогда имеет место следующее нера-
венство
<тхах + ... + тпа„)(тхЬх + ... +m„b„)<mxaxbx + ... + т,,апЬп,
причем это соотношение реализуется в варианте равен-
ства тогда и только тогда, когда
а} = а2 = ... = ап или Ь{ = Ь2 = ... = Ьп.
Доказательство этого замечательного факта можно найти
в статье А. В. Никулина и Р. П. Шейнцвита «Неравенство Чебы-
шёва» (журнал «Математика в школе» за 1975 г., № 6, с. 69—71),
а первой его части (неравенства) — в конце следующего парагра-
фа — перед задачей 8.5.
Задание. Сформулируйте аналогичную теорему для обратно
упорядоченных последовательностей.
Задача 8.1. Докажите, что для любых положительных чисел
Х\,х2, ...,хп (п е 7V) справедливо неравенство
(X,«X2....-X„)"('V| А2 " Л,,) < xf1 -Х'22 ‘.„•Х*".
Указание. Заметить и использовать то, что последователь-
ности (хЛ) и (1gодинаково упорядочены.
§ 2*. Некоторые обобщения неравенств
Чебышёва и Коши—Буняковского
В предыдущем параграфе было на примере неравенства Чебы-
шёва показано, как особенности «строения» левой и правой частей
этого неравенства подсказывают некоторые его обобщения, ка-
сающиеся, прежде всего, расширения области его применения.
Однако известен и другой путь, приводящий к формированию бо-
лее общего понятия и результата — это путь наблюдения и экспе-
римента. Вначале, опираясь на простейшие, почти очевидные не-
равенства, мы решим несколько конкретных задач на установле-
ние далеко не очевидных неравенств. Затем выражения,
составляющие правые и левые части этих неравенств, подскажут
нам достаточно общее неравенство, их обобщающее. Это неравен-
ство очень легко удастся обосновать, но, что самое интересное,
оно уже само «устройством» своих левой и правой частей подска-
жет неравенство еще более общего характера, которое опять-таки
удастся обосновать, а затем обнаружить, что оно обобщает и нера-
венства, связывавшие некоторые средние степенные, и неравенст-
во
во Чебышёва в «весовом» варианте, и неравенство Коши—Буня-
ковского. Итак, начнем с трех конкретных задач.
Задача 8.2. Докажите, что для любых действительных поло-
жительных чисел х и у справедливы неравенства:
а)’	+	>	>	4	;б)	1	9
Решение. Очевидно, что неравенство а) — это непосредствен-
ное следствие из соотношения между средним арифметическим
и средним гармоническим положительных чисел х и у.
Аналогичная ситуация с неравенством б): достаточно записать
соотношение между средним арифметическим и средним гармо-
ническим трех положительных чисел х, , как из него сразу же
следует неравенство б).
Обоснованные только что неравенства помогают без труда ре-
шить следующие две задачи.
Задача 8.3. Докажите, что для любых действительных поло-
жительных чисел а, Ь, с, d справедливо следующее двойное нера-
венство:
а + b + с + d а + b а + с а + d b + с b + d с + d
<3(1 + 1 + 1 +1 Y
4 к а b с d )
Решение. Применяя несколько раз неравенство 8.2 а), получаем:
4' +1 ufi + iu(i + i>4.f-^+^ + -L +
\ b с ) у b d ) у с d ) \а + b а + с а + d
+ _ь + _ь + _1_).
b + с b + d с + d )
С другой стороны:
f_L_ + _2_ 4(_1_ +_L_ Ы— + — 4
\ а + Ь а + с ) к а + d b + с ) к b + d с + d )
>4.f____'____+_____!____+_____‘___Ь
\ 2а + b + с а + b + с + d b + с + 2d )
^4. (_____1_____ +_____'_____ 1=_____12___
’ 2а + 2Ь + 2с + 2d а + b + с + d ) а + b + с + d
I ] I ОМОНОВ
161
Обе части двойного неравенства доказаны.
Задача 8.4. Докажите, что для любых действительных поло-
жительных чисел а.Ь.с справедливо следующее неравенство:
а + b b + с а + с 2(а + b + с)
Решение. Воспользуемся неравенствами из задачи 8.2:
—+ _L_ >f> 9
а + b b + с a + с a + b + b + с a + c 2(a + b + c)
Исследуемое неравенство обосновано.
Если теперь записать некоторые из доказанных неравенств в сле-
дующем виде:
+12 > (LL1L2 • J2 + > с1 + 2)2 •
х у х+у ’ х у х+у ’
]2	12	12	12	12	12
_Д— + _L_ +	_L__ + __L_ >
а + b а + с а + d b + с b + а с + а
______________(1 + 1 + 1 + 1 + 1 + I)2_________
"" (а + Ь) + (а + с) + (а + d) + (Ь + с) + (b + d) + (с + d)
= 12
а + b + с + d ’
и, наконец,
I2 + I2 + I2 >	(14-1 + 1)2
a + b b + с а + с^ (а + Ь) + (Ь + с) + (а + с)’
то легко высказать гипотезу об истинности неравенства
+	21 >	(°1 +<32)2	/П
ь2 '	ьх + ь2	к ’
и даже неравенства
21	+ 21 +	+21 >	(Д1 + д2 +	- +	ап)2	/2ч
Ь1	Ь2	ьп	Ь\+ Ь2 +... +	Ьп
где ах, аг, .... ап — произвольные действительные числа, а Ьх.
Ь2..... Ьп — произвольные положительные числа, п е N.
Докажем эти неравенства.
Доказательство неравенства 2, а значит, и неравенства 1
легко получить из хорошо известного неравенства Коши—Буня-
ковского
(xj +xj + ... + х2п )(у? +yj + ... + у2)>(х1у]+х2у2 + ...+хпуп)2,
162
если положить xz = —l-, у. = Jb] ,7=1,2, ..., /?; n g N, n > 2; где
a/^z
яj, a2, ..., an — произвольные действительные числа, a b{, b2, ...,
btl — произвольные положительные действительные числа. Убеди-
тесь, что это так, самостоятельно.
Однако существует столь замечательное неравенство, частным
случаем которого является неравенство (2) (т. е., по сути, неравен-
ство Коши—Буняковского) и которое будет безусловным обобще-
нием неравенства Чебышёва.
Теорема Ь.Для любых действительных чисел ах, а2,..., ап,
Ь}, Ь2, ..., Ьп и любых действительных положительных чи-
сел с2, ..., сп (п > 2) таких, что последовательности
«г
С1
а-^\и{ЪЛЬ-1
Сп > VC) с2

Ьп \ ,	(
— одномонотонны в част-
сп )	I
ности, если — > — > ... > —
^1 с2	сп
ливо следующее неравенство
и — > — > ... > — V справед-
С\ с2	с„ )
а\*Ь\	+ап'Ьп (^1 +	+ - + ап№\ + ^2 + - + ЬД
с\ с2	Сп "	Сх + С2 + ... + сп
Доказательство. Заметим прежде всего, что любая парал-
лельная перестановка членов одномонотонных последовательнос-
„ ( ах а2	а	\	(Ьх	Ь2	Ьп	\
теи — , — ,...,	—	и —	,	—	,..., —	не меняет значении левой
Vcj с2	сп	)	\сх	с2	сп	)
и правой части неравенства (3), а значит, не нарушая общности
рассуждений, можно далее считать, что выполняются дополни-
и 1 . а 2	а п	п
тельные условия — > — >...> — и — > —
ci	с2	сп	сх с2 сп
Приступим теперь непосредственно к доказательству неравенст-
ва (3) и используем для этого метод математической индукции по
параметру л, где п — любое натуральное, большее или равное двум.
Пусть п = 2, тогда
а\Ь\ + а1Ь1	(д, + <72)(/>1 + />2)	а{Ьх + а2Ь2
С]	С2	С\ + с2	Cj с2
а\Ь\ + а2Ь2 + Д1^2 +	а b ( 1 _	1 А +
сх+ с2 Cj+c2 с1+с2	1 1 V С1 Сх+ с2 )
II*
163
+а^^2-
1
С] +с2
a
с\+с2
<=> ахЬхс\ + a2b2cj >
> схс2(ахЬ2 + а2Ьх) <=> bxc2(axc2 — ^2С1) + Ь2сх(а2сх —	>0 <=>
о (Ьхс2 - Ь2сх)(ахс2 - а2сх) > 0.
Однако последнее неравенство очевидно, так как по дополни-
671	Cl'y Ь\	Ъ т
тельному условию — > — ; — > — , а кроме того, сх, с2 положи-
ли	с2 С\	С2
тельные.
Предположим теперь, что доказываемое неравенство справед-
ливо при некотором произвольном, но фиксированном натураль-
ном п = к (к > 2). Докажем, что тогда исследуемое неравенство
справедливо и при п — к + 1, т. е., что
а\Ь\ + а2^2 +	+ ак^к ак + \Р к + 1
е1 с2	ск	ск+1
(ах + д2 + ... + ак + ак + x)(bx + 62 + ... + Ьк + Ьк + Х)
е1 + С2 + - + Ск + Ск + \
Прежде чем рассмотреть левую часть данного неравенства, от-
метим следующий факт: если — > — >...> — > _—1, то, благо-
С1 с2	ск ск+1
даря результату, полученному в § 6 главы VII (задача 7.20), имеем
следующие соотношения:
а\ + - + ак
+ - + Q
67.
min —
Ci
ак ак + 1
ск Ск+\
(*)
А вот теперь (в силу сделанного индуктивного предположения,
отмеченного выше факта (*) и истинности исследуемого неравен-
ства при п = 2) имеем следующие соотношения:
а1^1 + °2^2 _|_	+ ак^к + ак + \t>k + I
С1 С1	ск	ск + \
(а1 + д2 + - + ак)(&1 + />2 + - + t>k) + ак + \bk+ 1
+с2 + ... + сА	Q + I
(а, + а2 + ... + ак + дк +	+ Ь2 + ... + Ьк + 1)
с\ + с2 + ... + ск + ск+ ,
164
Индукционный переход отлг=£к/?=£+1 осуществлен. Ос-
тается сослаться на один из вариантов принципа математической
индукции (индукцию, начиная с п = 2), чтобы завершить доказа-
тельство теоремы.
Упражнение 8.5. Выпишите частные случаи соотношения (3):
А.	Если ах = ... = ап = Ь{ = ... = bn = 1.
Б. Если ак ~ bk(k = 1, 2, ..., п) и = ... = сп = 1 (заметим, что
одномонотонность любых двух совпадающих конечных последо-
вательностей очевидна).
В.	Если с1 = ... = сп = 1 (л? > 2) и а{ > ... > ап\ Ьх > ... > Ьп,
В завершение получим еще одну форму записи неравенства
(3), применив следующую подстановку и осуществив простей-
шие преобразования: пусть ак = ск9хк, Ьк = ск9ук, а ц* =
= —— (£=1,2,..., п) (причем тогда щ + ц2 + ... +	= 1),
<?1 + ... + сп
где (х1?х2, • •.,*„) и (У1,У2’	— произвольные одномонотон-
ные последовательности (в частности, например, Xj > х2 > ... >
> хп и у1 > у2 > ... >	с1> с2’ •> сп ~~ произвольные положи-
тельные числа.
Тогда получим следующие соотношения: clxlyl + су^У^ + ••• +
+ спхпуп > —L2--------” ”	1 1-------или, наконец, раз-
С1 + С2 +	+ Сп
делив обе части этого неравенства на положительную сумму
q + с2 + ... + сл, приведем его к следующему виду:
н™ £ \ipciyi > ( _ X1 Н,*/ ) ( . Z, Н/У/ ) •
Окончательно имеем следующее соотношение между средни-
ми арифметическими взвешенными: М(х{ух, ...,хпуп, щ,..., ц„) >
> М(х„ хп, |Л„) • М(ух, уп, Цр ц„), где (хр х„)
и (Ур •• -,Уп} ~ произвольные одномонотонные последовательнос-
ти действительных чисел (л > 2); gj, ...,	— произвольные дейст-
вительные положительные числа с суммой, равной единице (так
165
называемые нормированные веса). Вот мы и получили из (3) «взве-
шенное» неравенство Чебышева.
Проиллюстрируем полученные выше результаты несколькими
примерами.
Задача 8.5. Докажите, что для любых действительных поло-
жительных чисел х, у, z справедливо неравенство
X + у + z з
y + z х 4- z х + у 2'
Решение. Чтобы появилась возможность применить неравен-
ство (2), домножим числители и знаменатели дробей, чья сумма
составляет левую часть доказываемого неравенства, на соответст-
вующие выражения; затем применим вышеуказанное неравенство:
х + у + Z = х2 + у2 + Z2
y + z x + z х + у х(у + z) y(x + z) z(x + у)
. (х + у +	A	CZ	“
> —±——— = Л, однако для любых действительных чисел
2(ху + xz + yz)
х, у, z справедливо следующее неравенство: ху + xz + yz < х2 4- у2 +
+z2 (напомним, что 2(х2 4- у2 + z2) — 2(ху + xz + yz) = (х — у)2 +
+ (х - z)2 + (у — z)2), что позволяет немедленно получить следую-
щее неравенство (оценку для А «снизу»): А = - (х+у+.^2	=
2(ху + xz + yz)
_ (х2 + у2 + z2) + 2(ху + xz + yz) \ 3
- 1——-—> - , что и завершает доказа-
2(ху + xz+ yz)	2’
тельство исследуемого неравенства.
Замечание. Легко видеть, что доказанное выше нера-
венство равносильно неравенству из задачи 8.4, так как
х + у + z	Х + y^z + ( у 4-
y+z x+z х+у 2 Vy+z y+z) kx+z
4- x + z + f z + x+y "I > 1 4- 3 <zz> x + у + + x + у + Z +
x + z )	\ x 4- у x+y )	2	y + z x + z
+ x 4-j; +	9	1	+	1	+	1	9
x+y 2 y + z x + z x + у 2(x 4-^4-^)
Задача 8.6. Докажите, что для любых действительных поло-
жительных чисел a, b, с, d справедливо неравенство
—> 2.
Ь + с с + d d + а а + b
166
Решение.
а	+ b	+ с	+ d	_ а2	Ь2
b + c c + d d + a а + b a(b +	с) b(c +	d)
+ с2 + d2 ____________________(д + /> + с + J)2___ но
c(d + a) d(a + b) ab + 2ас + ad + be + 2bd + cd '
(а + b + с + d)2 = (а2 + с2) + (b2 + d2) + lab + lac + lad + Ibc +
+ 2bd + led > lac + Ibd + lab + lac + lad + Ibc + Ibd + led =
= l(ab + lac + ad + be + Ibd + cd).
Теперь очевидно, что полученная оценка снизу для числителя
рассматриваемой дроби немедленно приводит к обоснованию ис-
следуемого в данной задаче неравенства.
Задача 8.7. Докажите, что для любых действительных поло-
жительных чисел х2,..., хп (п > 4) имеет место неравенство
—1 . 4- - *2	+ + -Хк- !— + +	 >2.
х3+х2 Хк+хк_х *п+Хп-2
Решение.
Х1 + Х2 +	+ Х„ = Х1 + Х2 +
Х2+х„	х3+х1	"	х(+х„_|	Х,(Х2+Х„)	Х2(Х3+Х|)
+ +	*”	>	(Х1 +х2 +-+хп)2 =А
хл(х1+х„-1)	2(х}х2+х2х3 +... + x„Xj)
Покажем, что Ап > 2, для чего применим метод математиче-
ской индукции. Пусть п = 4, тогда
2й ^х'+хх ++х х*+х X ) > 2	(х1 + Х2 + Х2 + *4>2 -4(*1*2 +
+ %2Х3 + х3х4 + х4Х\) > 0 <=> (xt — х2 + х3 — х4)2 > 0;
истинность последнего неравенства очевидна.
Пусть исследуемое неравенство справедливо для произвольно-
го, но фиксированного количества чисел п = к (к > 4). Убедимся,
что тогда оно будет справедливо и при п = к + 1. Благодаря пред-
положению можем утверждать, что
(X] +х2 + ... 4- (xz_2 +xz_]) +xz + ... + ХЛ+1)2 > 4(XjX2 + Х^з + ... +
+ -Vz_3(ccz_2 + х,._,) + (х,._2 + Х'_{)Х; + ... + Х^ск+Х + Хк+хХ\).
Пусть теперь в качестве номера (индекса) i выбран такой но-
мер, что xz = max{x4, ..., хк+}} (если таких индексов несколько, то
выбираем любой из них!), но тогда выполнятся неравенства
167
xz_|Xz_3 + xi_2xi > xi_2xi > xz_2Xz_p а значит, все необходимое для
осуществления индукционного перехода имеется, и остается со-
слаться на принцип математической индукции для завершения
обоснования неравенства Ап > 2, что, в свою очередь, завершает
доказательство исследуемого в данной задаче неравенства.
Задача 8.8. Докажите, что для любых действительных поло-
,	а3 
жительных чисел а, Ь, с справедливо неравенство	+
а1 + ab + bL
Ь3	с3 > а + b + с
Ь2 + Ьс + с2 с2 + са + а2 3
Решение.
а4 +Ь4 +с4
а3 + a2b + ab2 b3 + b2c + Ьс2 с3 + с2а + са2
>________________(а2 + Ь2 + с2)2____________ _
а3 + a2b + ab2 + b3 + b2c + Ьс2 + с3 + с2а + са2
_	(а2 + Ь2 + с2)2	_а2 + Ь2 + с2
(а + Ъ + с)(я2 + Ь2 + с2) а + b + с
однако имеет место следующее неравенство (неравенство (2) при
п = 3 и при bx = b2 = b3 = 1): а2 + Ь2 + с2 > —- + j+ , что и за-
вершает решение задачи.
Задача 8.9 (на повторение). Докажите, что для любых дейст-
вительных чисел а1? а2,..., ап (л > 2) справедливо следующее нера-
венство
(sin 0^ + sin а2 + ... + sin ип)2 + (cos (Xj + cos сс2 + ... + cos ос„)2 < n2.
Решение. Неравенство Коши—Буняковского дает следующие
два неравенства:
(sin ctj + ... + sin ал)2 < п • (sin2 осj + ... + sin2 осл)
И (COS (Xj + ... + cos oQ2 < n • (cos2 ос, + ... + cos2 oc„),
почленно складывая которые, получаем требуемый результат.
Задачи для самостоятельного решения
С-8.1. Докажите, что если а, b и с — длины сторон произволь-
ного треугольника, Л, В, С — величины соответствующих углов
(в радианах), то справедливы следующие неравенства:
168
^(гА+Ь'В + с'С > 7t.
а + b + с ' 3 ’
a cos Л + Ь cos В + с cos С < j .
а + b + с	2 ’
f А , ,, В . С
«tg- + Mgy + ctg- .
Ю ------  -------- — .
а + b + с	3
Указание. Воспользоваться тем, что последовательности
(<7, Ь, с) и (А, В, С); (а, Ь, с) и (tg у ; tg у ; tg у ) одинаково упо-
рядочены, а (а, Ь, с) и (cos Л, cos В, cos С) обратно упорядочены.
С-8.2. Докажите, что для любых неотрицательных чисел аг и bf
(/ = 1, 2,п; п е 7V) и любого числа ли > 2 справедливо неравенство
а’? + ... + а™ *	+ ... + b™ > /albl + ... + anb„ Y”
п	п 'у п J '
Указание. Воспользоваться соотношением между средними
z а т	. -f_ д/п х 1
степенными, а именно: если т > 2, то ( —!------------- г >
х ( aj + ... + а7 \5
\-----й------ \ ' что дает оценку СНИЗУ ДЛЯ левои части Доказы-
ваемого неравенства, т. е. ее значение не меньше, чем
(• (bj + ... + Z>2) ) а заТем использовать не-
равенство Коши—Буняковского: Jaj ... +	• Jbj + ... + b% >
> а{Ь^ ... + апЬп.
Темы докладов и рефератов и литература к ним
1.	«Взвешенные» неравенства Чебышёва и их применение.
а)	Доказательство «взвешенных» неравенств Чебышёва для
одинаково и обратно упорядоченных последовательностей.
б)	Применение «взвешенных» неравенств Чебышёва в решени-
ях задач.
Литература'. 131,71.
2.	Об эквивалентности двух определений понятия одномонотон-
ных последовательностей.
169
а)	Два варианта определения одномонотонных последователь-
ностей.
б)	Вспомогательные утверждения и доказательство эквива-
лентности этих определений.
Литература'. 71.
3*. Интегральный аналог неравенства Чебышева.
а)	Формулировка интегрального аналога неравенства Чебыше-
ва и ее обсуждение.
б)	Доказательство интегрального неравенства. Примеры при-
менения.
Литература', решение задачи № 2218 из журнала «МвШ».
ГЛАВА IX
ГЕНЕРАТОРЫ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ
Очень часто в прикладных или сугубо теоретических исследо-
ваниях возникает необходимость получить оценку для значений
того или иного выражения, а значит, надо иметь в запасе набор
наиболее употребительных неравенств (вдруг из них что-нибудь
пригодится!), а еще лучше — набор приемов получения нера-
венств, чтобы под данную конкретную ситуацию мы могли не
только на складе поискать соответствующий инструмент, но и са-
ми его изготовить. Именно поэтому могут оказаться весьма полез-
ными соображения, позволяющие создавать (генерировать) самые
разнообразные истинные неравенства с переменными.
Со многими такими «фабриками» неравенств мы уже встреча-
лись, но далеко не всегда, доказав какое-либо соотношение, заду-
мывались о возможности теми же средствами или весьма на них
похожими получить другое истинное неравенство или даже целый
класс неравенств.
§ 1.	Мы с ними уже встречались
1.	Свойства линейной и квадратичной функций — источник про-
стейших неравенств
Приведем хорошо известные и уже не раз использованные
(вспомните доказательство неравенства Коши—Буняковского)
свойства квадратичной функции (свойства линейной функции бо-
лее очевидны).
170
а)	Неравенство ax2 + bx + c > 0, где a, b,c — фиксированные
действительные числа, a > 0, выполняется при всех действитель-
ных х тогда и только тогда, когда D = Ь2 — Ьас < 0.
б)	Неравенство ах2 + Ьх + с < 0 (при а > 0) имеет решение тог-
да и только тогда, когда трехчлен ах2 + Ьх + с имеет 2 различных
корня, т. е. при D > 0.
в)	Наименьшее значение функция f(x) = ах2 + Ьх + с, а > 0,
n	Ь	г ^ас — b2 D
хе R, достигает прих =	, а именно/min = ——— =	.
Покажем на конкретных примерах, как эти свойства работают.
Но начнем с примера применения простейших свойств линейной
функции.
Задача 9.1. Докажите, что для любых х, у, z> принадлежащих
промежутку [0; 1], справедливо неравенство
х(1 - у) + Д1 ~z) + Д1 - х) < 1.
Решение. Зафиксировав у и%, рассмотрим следующую линей-
ную функциюДх) = х(1 - у — z) +^(1 ~ z) + Z - 1; х е [0; 1]. Оче-
видно, что графиком этой функции является отрезок прямой,
а значит, эта функция достигает своего наибольшего значения на
одном из концов отрезка [0; 1].
ОднакоДО) =у(1 — z) - (1 -z) = (у - 1)(1 — z) иД1) = 1 - у -
-z + у — yz + z — 1 = —yz очевидно неположительны (каковы бы
ни были выбраны из [0; 1] значения для у и z), а значит, Дх) < 0
при любом х из [0; 1], что и доказывает утверждение задачи.
Задача 9.2. Докажите, что при любых действительных а, Ь
и с справедливо неравенство а2 + Ь2 + с2 > ab + Ьс + ас.
Решение. Зафиксируем Ь и с и рассмотрим квадратическую
функциюДх) = х2 — (Ь + с)х + Ь2 + с2 — be, х е R. Дискрими-
нант трехчлена, задающего данную функцию, равен (Ь + с)2 —
— 4(£2 + с2 — Ьс) = Ь2 + 2Ьс + с2 — 4Z?2 — 4с2 + АЬс = —3(Ь — с)2,
а значит, всегда неположителен. Следовательно, для любого дей-
ствительного х (и любых Ь и с из R) Дх) > 0, что и доказывает
исходное неравенство (достаточно положить х = а). Очевидно,
что равенство в доказанном соотношении достигается лишь при
Ь = с = а.
Замечание. Напомним, что эта задача решается еще
проще, если использовать тождество
а2 + Ь2 + с2 - ab — ас — Ьс = ({а — Ь)2 + (а — с)2 + (Ь — с)2).
171
Задача 9.3. Докажите, что для любых действительных х и у
справедливо неравенство х2 + 2ху + Зу2 + 2х + бу + 3 > 0.
Решение. Так как дискриминант квадратного трехчлена х2 +
+ (2у + 2)х + (Зу2 + бу + 3) (при любом фиксированном у g Я)
имеет вид D = 4(у + I)2 — 4(3у2 + бу + 3) = —8(у2 + 2у + 1) =
= —8(у + I)2, то его неположительность очевидна, что и позволяет
сделать относительно исходного неравенства соответствующий
вывод.
Задача 9.4. Докажите, что для любых положительных чисел
а, b и с, удовлетворяющих условию - + | + - > а + Ь + с, спра-
а о с
ведливо неравенство а + Ь + с > ЗаЬс.
Решение. Из условия 1+|+->а + £ + с немедленно сле-
а b с
дует, что аЬс{ - + 4 + ~ 1 abc{a + Ь + с), т. е. ab + ас +
\ а b с J
+ be > (а + b + c)abc. Однако из ранее доказанного (задача 9.2)
неравенства а2 + Ь2 + с2 > аЬ + Ьс + ас следует, что {а2 + Ь2 + с2) +
+ 2(аЬ + ас + Ьс) > 3(аЬ + ас + Ьс), т. е. (а + Ь + с)2 > 3(аЬ +
+ ас + Ьс). А следовательно, с учетом неравенства 3(аЬ + ас + Ьс) >
> 3(а + Ь + c)abc получаем: {а + Ь + с)2 > 3(а + Ь + c)abc, но
а > 0, Ь > 0, с > 0, значит, а + Ь + с > ЗаЬс, что и требовалось до-
казать.
Задача 9.5. Найдите на декартовой плоскости точку, сумма
квадратов расстояний от которой доточекЛ Z^),..., Ап(ап\ Ьп)
(п > 2) минимальна.
Решение. Пусть искомая точка имеет координаты х и у, тогда
выражение, чью минимальность надо обеспечить, выглядит, если
использовать теорему Пифагора, так:
f(x, у) = ((х - at)2 + (у - Ь{)2) + ((х - а2)2 + (у - Ь2)2) + ... +
+ ((х — ап)2 + (у — Ьп)2) = (их2 — 2х(47[ + а2 + ... + ап) +	+а% +
+••• + а2)) + (пу2 - 2у(Ьх + Ь2 +... + />„) + (Z>2 + bl + ... + b2 )).
Очевидно, что наименьшее значение функцииДх, у) достига-
ется в ситуации, когда наименьшие значения достигают квадра-
тичные функции (напомним, что переменные х и у не зависят друг
от друга):
/](х) = пх2- 2х(й] + а2 + ... + й„) + (aj + ... + а2)
nf2(y) = ny2- 2y(bx + b2+ ... + bn} + (b2x + ... + b2).
Ml
Следовательно, наименьшее значение функциейДх, у) дости-
гается в точке
б?। + д2 + ... + дп .
и	’
/?! + Z>2 + ... + bn
п
Задача 9.6, Докажите, что при п = 3 найденная в предыду-
щей задаче точка будет точкой пересечения медиан треугольника
с вершинами А^а^ А2(а2; Ь2) и А3(а3, Ь3) (если, разумеется,
точки A j, А 2 и А 3 не лежат на одной прямой).
Задача 9.7, Пусть наибольшее из неотрицательных чисел
б? j, а2,..., ап (п > ТУ) равно а. Докажите, что тогда имеет место не-
равенство
а1 +	+• + «»
п
п	6?! + 672 + ... + 67	67 2 + ... 4" 672
Решение. Обозначим------------------- = А, тогда —-------
п	п
+	-А2 = аА-А?=^ -(? -А]2 <^,что
п	4 I 2	)	4
и доказывает требуемое соотношение.
Задача 9.8, (МГУ, мехмат, 1989 г.) Найдите наибольшее зна-
чение г, для которого существуют числа х и у, удовлетворяющие
уравнению 2х2 + 2у2 + z2 + ху + xz + yz = 4.
Решение. Дискриминант выражения 2х2 + х(у + z) + (2у2 +
+ z2 + yz — 4), рассматриваемого как квадратичный трехчлен
от х с коэффициентами, зависящими от у и г, имеет вид: D =
= (z + у)2 — 16у2 — 8yz — &z2 + 32.
Очевидно, чтобы уравнение из данной задачи имело решение,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие D > 0 или
15у2 + byz + 7^2 — 32 < 0. Это квадратное неравенство имеет реше-
ние относительно у тогда и только тогда, когда 36^2 — 60(7г2 —
- 32) > 0, т. е. при z2 < 5, значит, — J5 < z < 75.
Проверим, есть ли такие х и у, что тройка (х; у; 75) удовлет-
воряет уравнению из условия задачи. При z = 75 из условия
15у2 + byz + 7z2 — 32 < 0 найдем единственное значение у: (75 у +
+ 1 )2 < 0, т. е. у =	= -^ , а тогда и исходное уравнение даст
Л 5
единственное значение х: 2^х + j = 0, т. е. х-------(искать
которое было не обязательно).
173
2.	Геометрия помогает получать неравенства.
А) Неравенство треугольника.
Вспомним, что для любых трех точек Л, В и С справедливо со-
отношение
р(Л,С)<р(Л,5) + р(ДС),	(*)
где символом р(Л/, 7V) обозначено расстояние от точки М до точ-
ки N.
Методом математической индукции легко обосновать для лю-
бых точек Л, В2,Вп, С соотношение
р(Л, С) < Р(А В}) + р(^!, В2) + ... + р(В„, С).	(**)
Если теперь под р(М, N) подразумевать евклидово расстояние
между точками М(х, у, z) и N(x, у, z), то неравенство (*) запи-
шется так (считая, что точки А, В и С — имеют следующие коор-
динатыЛ(а|, а2, а3), В(Ь{, Ь2, Ь3), С(ср с2, с3)):
7(^1 - Cj)2 + (а2 - с2)2 + (а3 - с3)2 <
< J(al - Z>])2 + (а2 - b2)2 + (<з3 - Ь3)2 +
+ 7(^1 - с1)2 + (62 - с2)2 + (^3 - сз)2-
То, чем станет при соответствующей символике соотношение
(**), можете выписать самостоятельно.
Однако вот что оказалось замечательным: расстояние между
точками можно измерять и не по Евклиду, а иначе, причем не-
сколькими способами. Но самое замечательное, что сохраняются
привычные свойства расстояния, в частности сохранится неравен-
ство треугольника (*) и его обобщение (**).
Пусть, например, для произвольных точек на плоскости
М(х, у) и 7V(x, у) положим:	7V)=|x-5c| + [y-y|;
p0O(M, N) = шах{|х - х|; [у - у |} и наконец рр(М, 7V) = (|х - х\р +
1
+ ~ У )р > где р — любое фиксированное число, удовлетворяю-
щее условию р > 1.
В результате имеем возможность записать соответствующие ва-
рианты неравенства треугольника (*) и (**) (причем не только на
плоскости, но и в трехмерном пространстве и даже в многомерном
пространстве).
Задача 9.9. Постройте на декартовой плоскости, считая, что
точка О имеет координаты (0; 0), множество всех точек М(х, у)
таких, что:
174
а)р1(Л/, О)= Пр/М, О)< 1;
б)	Рсо(Л/, О) = 1;Роо(М, 62) С 1;
в)	р3(М, О)= 1;р3(Л/, (2)< 1.
Иначе говоря, выясните, чем будет единичная «окружность»
и единичный «круг» в каждом из трех случаев, для каждого из спо-
собов измерять расстояние между двумя точками.
Желающим более полно познакомиться с фактами неодноз-
начного введения расстояния между точками можно посоветовать
обратиться к книге Беккенбаха Э. и Веллмана Р. «Введение в
неравенства». — М.: Мир, 1965 г.
Задача 9.10. Докажите, что для любых действительных чисел а,
b и с справедливо неравенство
J(a + с)2 + b2 + J(a — с)2 + Ь2 > 27^2 + Ь2.
Решение. Рассмотрим в прямоугольной системе координат
АТЭУточки (2(0; 0), В(2а\ 2Ь) иА(а + с; 6) и запишем для них не-
равенство треугольника ОБ < О А + АВ.
Более тонким средством (нежели неравенство треугольника) для
получения замечательных неравенств служит теорема косинусов.
Продемонстрируем ее «работу» при решении конкретных задач.
Задача 9.11. Докажите, что для любого действительного числа
х справедливо неравенство 79 + х2 — 3x72 + 716 + х2 — 4x72 >5.
Решение. Рассмотрим два случая: а) х < 0; б) х > 0.
а)	Если х < 0, то 9 + х2 — Зха/2 > 9; 16 + х2 — 4x72 > 16, а зна-
чит, 79 + х2 - 3x72 + 716 + X2 - 4x72 > 79 + 716 = 7 > 5.
б)	Если х > 0, то обратимся к геометрической модели: рассмот-
рим прямоугольный треугольник А ВС с катетами А С = 3; СВ = 4
и биссектрису CD его прямого угла С, причем обозначим CD = х
(см. рис. 7). Используя теорему косинусов, получаем:
AD = JAC2 + CD2 -2-AC-CD- cos45° = 79 + x2 - 3xj2;
BD = Jbc2 + CD2 —2-BC-CD- cos45° = 716+x2-4x72.
Остается воспользоваться неравенствами треугольника
AD + DB > AB и учесть, что
АВ = JAC2 + ВС2 = 5 (Д АВС — египетский).
Совершенно естественно, что проведенные выше рассуждения
могут быть существенно обобщены и, в частности, легко можно
обосновать утверждение следующей задачи.
175
Задача 9.12. Докажите, что для любого
действительного числа х, любых положи-
тельных чисел а и b и любых положитель-
ных чисел а, р таких, что ос + Р = , спра-
ведливо неравенство а/л2 4- х2 — 2ах cos ос 4-
+ Jb2 + х2 — 2bx cosP > Ja2 4- b2,
Указание, Воспользоваться теми же приемами, что были при-
менены при решении предыдущей задачи (см. рис. 7).
Если отказаться от «прямоугольное™» треугольника АВС,
то без труда получим следующее утверждение.
Задача 9.13. Докажите, что для любых положительных чисел
х, а и b и углов ос > 0 и Р > 0 таких, что ос + р < 5, справедливо
неравенство Ja2 + х2 — 2ах cos а 4- Jb2 4- х2 — 2bx cos р >
> Ja2 + b2 — 2ab cos(oc 4- Р) .
Задача 9.14. Докажите, что для любых положительных чисел а,
b ис имеет место неравенство Ja2 — ас + с2 4- л/b2 — Ьс + с2 >
> Ja2 — ab + b2, причем равенство достигается тогда и только
тогда, когда 14-1 = 1.
а Ь с
Решение, Неравенство легко получить, если конкретизиро-
вать требования предыдущей задачи, взяв а = р = 5 (см. рис. 7),
т. е. если полагать, что /ACD = /DC В = . Обоснуем вторую
часть утверждения задачи.
Так как неравенство данной задачи — это неравенство тре-
угольника, записанное для точек Л, D и В, то выполнится оно
в варианте равенства тогда и только тогда, когда точка D будет ле-
жать на отрезке АВ, а это произойдет тогда и только тогда, когда
$£±авс = S/\acd + S&dcb- Обозначим, как и ранее, СВ = a, CD = с,
СА = Ь, и воспользуемся тем, что /ACD = /BCD = 5. Тогда
имеем равенство \ab sin = 1 cb sin 5 + \са sin 5 или | ab =
176
= \cb +
2	2
1	л/3 п	Д ,
-са — . После сокращения на abc получим
1 = - + 7 , что и требовалось доказать.
с а о
Задача 9.15. Докажите, что для любых положительных чисел
х, у и z справедливо неравенство
7* 2 + Ху + у2 + Jx2 + XZ + Z2 > Jy2 + yz + Z2 •
Решение. Рассмотрим произвольную точку О и выходящие из
нее три луча, любая пара из которых образует угол в 120°. Отложим
от точки О на этих лучах отрезки соответственно длиной х, у и z
(на каждом луче — по одному отрезку) и получим три точки Д, В
и С, так что О А = х, О В = у, ОС = z- Остается с помощью теоре-
мы косинусов выразить А В, ВС и А С через х, у и z и подставить
полученные выражения в следующее неравенство треугольника
АВ < ВС + СА. Подумайте, почему вариант равенства можно
и нужно исключить.
Замечание. Естественное обобщение неравенства пре-
дыдущей задачи возникнет, если менять углы между лучами ОА,
О В и ОС.
Б)* Неравенства и определенный интеграл. Неравенство Юнга
1. Многочисленные и очень интересные неравенства можно
получить, сравнивая площади и объемы фигур. При этом очень
важно помнить и учитывать тот факт, что значение определенного
интеграла от неотрицательной функции Дх), заданной и непре-
рывной на отрезке [а; Ь] имеет замечательное истолкование — это
площадь заштрихованной фигуры на рис. 8. Эту заштрихованную
фигуру иногда называют подграфиком функции Дх) на отрезке
\а; Ь\, но термин «подграфик» используют и в несколько другом
смысле — это все точки, расположенные на графике функции Дх)
и неограниченно «ниже» его (а не лишь до оси ОХ включитель-
но). Чаше фигуру ABCD называют
криволинейной трапецией (см. гл.
IX, § 3 (п. 2)).
Существует несколько способов
оценить значение определенного
интеграла. Наиболее простыми и
распространенными являются ме-
тод прямоугольников и метод тра-
пеций.
12 Гомонов
177
B(b; 0); С\(д; m); Dx(a; m) и
с вершинами A (a ; 0); B(b; 0);
Метод прямоугольников. Ес-
ли функция у определе-
на, непрерывна и неотрица-
тельна на отрезке [я; />], то она
достигает на [а\ Ь\ своего на-
именьшего значения т и свое-
го наибольшего значения М.
Пусть, кроме того, функция
Дх) не является на [п; 7>| тож-
дественной нулю, тогда криво-
линейная трапеция ABCD бу-
дет содержать как часть прямо-
угольник с вершинами А(а\ 0);
ша будет частью прямоугольника
2(Z>; М); D2(a; М). Отсюда полу-
чаем SABC D^ < SABCD < SABC^, т. е
ь
m(b — а) < j f(x)dx < M(b — а).	(*)
а
В частности, если дополнительно известно, что функция Дх)
на [а; 6] строго убывает, то имеют место соотношения f(b)(b — а) <
ь
< J f(x)dx <f(a)(b - а),
а
Упражнение 9.1. Конкретизируйте соотношения (*) на слу-
чай, если дополнительно известно, что функция Дх) на [л; Ь]
строго возрастает.
Метод трапеций. Пусть функция у =f(x) определена, неотрица-
тельна и дифференцируема на отрезке [я; Z>], и, кроме того, пусть эта
функция является на [а \ 6] строго выпуклой. Последнее означает, что
для любых двух различных точек х{ и х2 отрезка \а\ 6] хорда, соеди-
няющая точки (Хр Дх^) и (х2; Дх2)) графика функции у = Дх), ле-
жит выше той части (той дуги) графика функции, что соответствует
интервалу (х/, х2); при этом касательная к любой точке графика на
интервале (а; Ь) будет (исключая точку касания) лежать ниже дуги
графика, соответствующей интервалу (а; Ь) (см. гл. IX, § 3 (п. 2, 3)).
ь Тогда очевидно (см. рис. 9), что SABCED < SABCED, т.е.
J f\x)dx <	(Ь - а). Также очевидно (см. рис. 10), что
b
^АВВ{А} ^ABCED’ т- е/(^ — <з) < j f(x)dx.
178
Упражнение 9.2. Подумайте, сохранится ли данное соотно-
шение, если точка В{ окажется «ниже» точки В.
Окончательно для строго выпуклой на [я; Ь] функции имеем
соотношения
f(b - а) < ]f(x)dx < /(гг)у(6) (Ь - а).	(**)
Упражнение 9.3. Напишите соотношения, аналогичные (**)
для строго вогнутой функции (определение строго вогнутой функ-
ции предлагается сформулировать самостоятельно).
Замечание. Очевидно, что знаки равенства в соотноше-
ниях (*) и (**) могут реализоваться, только если соответствующие
криволинейные «трапеции» совпадут с соответствующими прямо-
угольниками или трапециями. Легко можно будет убедиться,
что в рассматриваемых далее примерах подобная ситуация не
встретится («строгость» выпуклости или вогнутости будет строго
соблюдена).
Приведенные выше .методы оценки значения определенного
интеграла могут оказаться не слишком точными, но всегда для по-
ь
лучения более точных оценок для j f(x)dx промежуток [а\ Z?] мож-
а
но разбить на несколько частей, воспользоваться свойством адди-
тивности определенного интеграла: если а < сх < с2 < ... < сЛ7 < Z>, то
Ь	ь
j f(x)dx = J j\x)dx + J f(x)dx + ... + J f\x)dx,
a	"	c2	c„
12*
179
а затем к каждому из слагаемых в правой части этого равенства
применить полученные выше приемы оценки. Тем более, что
увеличивая п и уменьшая длину каждого из промежутков
разбиения, обычно без труда удается добиться, чтобы для каждого
из них соответствующая ему точка В{ находилась выше со-
ответствующей ему точки В.
Рассмотрим несложный пример применения соотношений
(*), а именно: получим для значения определенного интеграла
п и
j — оценки сверху и снизу, п е N, п > 2 . Напомним, что функ-
1 х
ция f(x) = строго убывает на [1; п]. Разобьем промежуток
[1; п] на отрезки единичной длины [1; 2], [2; 3],[п — 1; /?], тог-
да для каждого из них получим соотношения:
2	3	п
2 J х ’3 х 2 ’ п „«Li х п - 1 ‘
Складывая эти двойные неравенства почленно, получаем, что
1 + 1 + ... +1<[^Е<1 + 1+ ...+	.
23 п Jх 2	п-\
Подумайте, почему полученное двойное неравенство может
помочь в вычислении значений натуральных логарифмов.
Задача 9.16. Используя оценки (*), докажите, что для любого
к е 7V, к > 2, и любого п е N справедливы соотношения
1^ + 2^+ _ +	< j xkdx <	4- 2к + ... + пк.
о
Указание. Рассмотрите строго возрастающую на [0; п} функ-
цию/(х) = хк и к ней примените рассуждения, аналогичные при-
веденным выше.
Рассмотрим в качестве еще одного несложного примера, как
соотношения (**) помогут оценить тот же определенный интег-
180
Разбивая промежуток [1; л?| (и > 2) на сегменты единичной
длины, получаем:
1	1+1	1+1
1 + 2 < tdx <	2 .	1	< ?dx < 2	3 . .
2 J х 2 ’ 2 + 3 >2 х 2 ’
2
1	+ 1
1	< г < /1 — 1 П
п — 1 + п ! X	2
2
Складывая почленно полученные двойные неравенства и упро-
щая, имеем:
3	5 2л — 1 J х 2	12	3	п-1 ) 2л
Задача 9.17. Используя оценки для положительной строго
вогнутой дифференцируемой функцииДх) = Jx, х е [0; л],
п е N, аналогичные оценкам из (**), докажите, что
.	л
JT +	+ ... + Рл - 1 + X Jn < J Jxdx<
2	о
+-+ДР-
Задача 9.18. Докажите, что для любого натурального п,
п>2, справедливо двойное неравенство
3-п~ 1 пп < 1п + 2" + ... + пп < 2пп.
2л + 2
Решение. Рассмотрим возрастающую положительную строго
выпуклую дифференцируемую функцию у =f(x) = хп, х е [0; п],
и е N,n> 2. Для получения правого неравенства попробуем при-
менить метод прямоугольников:
"12	п
\f(x)dx = \f(x)dx + \f(x)dx^...+ J /(х)б/х>/(0)+/(1) + ...+
О	0	1	п -1
+Дл - 1),т. е. > 1« + 2" + ... + (л - 1)".
Следовательно, 1" + 2" + ... + (л — 1)л + л" < ——+ л" < л" +
И 4- 1
+ ип = 2пп, так как пп+х < пп(п + 1). Для доказательства левого не-
181
равенства используем метод трапеций для оценки сверху значения
того же интеграла:
\f(x)dx = \f(x)dx + \f(x)dx + ... + j f(x)dx<	+
о	о	i	"-1	1
+ /(l.).+/(2) + ... + /(л-!)+/(») = 1 /(0) +/(1) +Д2) + ... +
+/(« - 1) + /(«),
таким образом, -—- < I" + 2" + ... + (л — 1)" + nn, значит, n +
n + 1	2	n + 1
1	A7	1	3П ~I- 1
+ nn < 1" + ... + nn, но--— + - nn = -——- nn, что и завершает
2	n + 1	2	2л + 2
решение исходной задачи.
Другие примеры и задачи по данной тематике можно найти
в статье Р. Б. Алексеева и Л. Д. Курляндчика «Неравенства и ин-
теграл» (журнал «Математика в школе» № 2 за 1993 г.).
В завершении данного параграфа обратимся к еще одному
«именному» неравенству — неравенству Юнга.
Теорема 1. Пусть у = f(x) — произвольная непрерывная
строго возрастающая функция на D(f) = [0; +°°), причем
E{f) = [0; +°°) и/(0) = 0, и пусть у = g(x) — ей обратная
функция {а значит, непрерывная и строго возрастающая
на D(g) = [0; +°°), причем g(0) = 0), тогда для любых положи-
а
тельных чисел а и b справедливо неравенство j f(x)dx +
о
ь
+ J g(x)dx > ab (именуемое неравенством Юнга).
о
Доказательство. Пусть а и b — произвольные положитель-
ные числа. Рассмотрим график функции у =f(x) (рис. 11), тогда
«	*
5] = J f(x)dx, S2 = \g(x)dx и очевид-
0	о
а
но, что + S2 > ab, т. е. j f(x)dx +
о
b
+ j g(x)dx > ab, что и требовалось
о
доказать.
182
Стоит отметить, что это соотношение реализуется в варианте
равенства тогда и только тогда, когда b =j\a) или, что равносиль-
но, если а - g(b).
В качестве классического примера применения неравенства
Юнга рассмотрим следующую ситуацию: пусть f(x) = х е
е [0; +°°), где р — положительное число, большее единицы, тогда
1
обратная ей функция имеет вид g(x) = хр ~ 1 , х е [0; +°о). Оче-
видно, все условия предыдущей теоремы выполнены, значит, для
любых положительных чисел а к b справедливо неравенство
О	Ь 1	7 j
\xp~xdx + \хр ~ 1 dx > ab, т. е. — + —-—
оо	Р
Р ~ I
> ab. Учитывая, что
i— = 1, полученному неравенству можно придать более «эс-
Р - 1
тетично-симметричный» вид: для любых положительных чисел а
\\Ь и любых положительных, больших единицы чисел р и ^удов-
летворяющих условию - + - =1, справедливо неравенство
Р Q
р q
§ 2*. Свойства одномонотонных
последовательностей — источник
замечательных неравенств
Изучение в § 1 главы VIII возможности обобщить неравенство
Чебышёва привело к введению такого понятия, как одинаково
упорядоченные (одномонотонные) последовательности. Оказыва-
ется, что ряд свойств этих последовательностей позволяет полу-
чать с удивительной простотой замечательно красивые неравенст-
ва с параметрами.
1. Свойства пар одномонотонных последовательностей и их
свертки
Начнем с конкретного и простого примера. Пусть имеем две
последовательности аг, а3) = (7; 3; 2) и (Z>(, b2, Ь3) = (4; 3; 1).
Выясним непосредственными вычислениями, в каком случае бу-
дет получено наибольшее, а в каком — наименьшее значения вы-
183
ражения axb^ + a2b^ + азЬ^ — 7#^ + 2>b^ + ^b^, где(/1? i2,
z3) — произвольная перестановка чисел 1; 2; 3. Без труда обнаружи-
ваем, что надо сравнить шесть чисел: 7 • 3 + 3 • 4 + 2 • 1 =35;7*3 +
+ 3*l+2*4 = 32;7*l + 3*3 + 2*4 = 24;7*l+3*4 + 2*3 = 25;7*4 +
+ 3-1 + 2• 3 = 37; 7• 4 + 3 • 3 + 2• 1 = 39.
Сопоставив эти числа, заметим, что самое большое значение
выражения получено для последовательности (Z>p b2, Ь3), самое
малое — для последовательности (Ь3, Ь2, Ьх). Этот результат можно
было предугадать без вычислительной работы (подумайте почему),
но важно другое: максимум получен для одинаково упорядоченных
последовательностей (7; 3; 2) и (4; 3; 1), а минимум — для обратно
упорядоченных последовательностей (7; 3; 2) и (1; 3; 4).
Произведенные наблюдения позволяют без привлечения ка-
ких-либо новых теоретических результатов решить следующую за-
дачу.
Задача 9.19. Докажите, что для любых положительных чисел
я, Ь и с справедливо следующее двойное неравенство:
а _1_ а1 + Ь~ , Ь2 + с2 . с2 + а1	а3 , Ь3 . с3
2с 2а 2b	be са ab
Решение. Обоснуем вначале левое неравенство. Для этого рас-
смотрим две последовательности (я2, Ь2, с2); (	1 и распо-
\ а b с )
ложим их члены в две строчки так, чтобы первый член второй по-
следовательности был расположен под первым членом первой по-
следовательности и т. д.
(tz2, 62, с2),
РДЛ
\ а b с )
Тогда, так как а, b и с — положительны, то наибольшее из чи-
сел первой последовательности (точнее, не меньшее остальных ее
членов) расположено над наименьшим из чисел (точнее, не боль-
шим) второй последовательности, а наименьшее из чисел первой
тройки расположено над наибольшим из членов второй тройки.
Значит, как ни переставляй члены второй последовательности,
сумма а2* ~ + b2* -5- + с2* - = а + Ь + с будет наименьшей (точ-
а ь с
нее, не большей) других сумм.
184
В частности,
а2 * — + Ь2 • ± + с2 * -	• y + Z?2 • - + с2 • —
а b с b с а
и
а2 • - + Ь2 •	+ с2 • - < а2 • - + Ь2 • - + с2 • |.
а о с с а b
Складывая эти неравенства почленно и деля обе части полу-
ченного неравенства на два, получаем левое неравенство. Чтобы
получить правое неравенство, достаточно рассмотреть две после-
довательности
(я3, Z?3, с3),
( а ь с
V abc ’ abc ’ abc Л
и заметить, что наибольший элемент (точнее — не меньший) пер-
вой последовательности стоит над наибольшим (точнее — не мень-
шим) членом второй последовательности и т. д., значит, наибольшая
сумма — это а3-^— + Ь3-^— + с3—, а следовательно, а3-^— +
abc abc abc	abc
+ b3-^— + c3—+ b3—+ c3—= — + — +	,
abc abc abc abc abc cab
аналогично
я3-^- +b3—+c3—>a3-^— + b3-^— + c3-^- — %- + — + —.
abc abc abc abc abc abc b c a
n	a3	i	b3	,	c3	a2	,	b2	.
Складывая почленно неравенства	—	+	—	+	—г	>	—	+	—	+
be	са	ab	с	а
С''~	л» 3	/7~	Л2	z* 2
+ — и^- + — + —>—+—+ — и деля на 2 обе части полу-
b	be са ab	b	с	а
ченного неравенства, имеем требуемое правое неравенство.
Выражения вида ахЬ^ + а 2Ь^ + а3Ь^ подсказывают возмож-
ность введения для двух произвольных конечных последовательнос-
тей действительных чисел (а1? б/2,..., ап) и (Ь{, Ь2,Ьп) их специаль-
ной характеристики, так называемой свертки этих последователь-
ностей (вспомните также скалярное произведение двух векторов).
Определение. Сверткой двух произвольных конечных последо-
вательностей действительных чисел {a j, а2, ..., ап) и (Z>15 b2, ..., Ьп)
назовем число ахЬу + а2Ь2 + ... + апЬп, которое далее будем обо-
значать следующим символом:
<2] а2 ... ап
Ь\ Ь2 ... Ьп
185
Замечание. В математике используют и другую харак-
теристику с тем же названием «свертка» двух конечных последова-
тельностей действительных чисел (а1? а2, ан) и Ь2,..., Ьп) —
ЭТО ЧИСЛО афп + 6726Л_1 + ... + ап^\'
Предварим очень полезное свойство свертки его частным слу-
чаем для двучленных последовательностей.
Теорема 2. Для любых двух одномонотонных последова-
тельностей (ар ад и (Z>j, 62) справедливо неравенство
а । а 2	а । а 2
1 Z? 2	b 2 b 1
Доказательство. Так как
а\ а2
b\ b2
а\ а2
Z>2 by
= (ау • by 4- а2 • Z?2) — (<?[ • Ь2 + а2 • by) =
= (flj - a2)*(b{- b2),
то для любых одномонотонных последовательностей (яр а2) и
(by, b2) утверждение теоремы очевидно.
Проиллюстрируем теперь только что доказанную теорему 2 ее
применением при доказательстве простейших неравенств.
Задача 9.20. Докажите, что для любых неотрицательных чи-
сел а и b справедливо неравенство а3 + b2> а2* b + а • Ь2.
Решение.
а b
а2 Ь2
а b
Ь2 а2
, так как (а, Ь) и (а2, Ь2) — одномо-
нотонные (а > О, b > 0). Легко можно предложить и другие реше-
ния этой задачи.
Задача 9.21. Докажите, что для любых ненулевых действи-
тельных чисел а и b справедливо неравенство а4 + Ь4 <	.
Ь2 а2
Решение.
аь Ьв
х X
а2 Ь2
аь Ьь
х X
Ь2 а2
так как последовательности
(я6, £6) и ( Д , Д- одномонотонные. Отметим, что если я6 > А6 > 0,
\ Ь2 а2 )
то |а| > |6| > 0, тогда -L > -L > 0, т. е. .
\Ь\	\а\	Ь2 а2
186
Задача 9.22. Докажите, что
1+±<±. £ + _l. д
а3 b3 a3 ya b3 N b ’
вительные положительные числа.
где а и b ~ произвольные дейст-
Решение.	Да	ДЬ 1 1 а3 • Да Ь3 • ДЪ>_		Да	ДЬ 1	1 Ь3 • ДЬ а3 • Да	, так как последо-
вательности (7#, ДЪ ) и ( ——— , —одномонотонны.
\ Ь3 • 2b а3 * 2а '
Также будут полезными для проведения дальнейших рассужде-
ний следующие простые свойства, частично уже перечисленные и
доказанные в § 1 главы VIII.
Свойство 9.1. Если последовательности действительных чисел
(ар д2) и , Z>2) одномонотонны, то тогда одномонотонность по-
следовательностей (flj, я2) и (Z>2, Ь{) означает, что ах = а2 или Ьх = Ь2.
Доказательство рекомендуется провести самостоятельно.
Свойство 9.2. Свойство одномонотонности двух последова-
тельностей (а{, ..., аД и (Z>j, ..., ЬД (и > 2) (как и величина их
свертки) сохранится, если в первой последовательности переста-
вить два произвольных ее члена ак и ат и во второй последова-
тельности переставить члены таких же номеров, т. е. члены Ьк
и Ьт (к,ть {1,
Доказательство свойства рекомендуется провести само-
стоятельно.
Замечание. Описанную в предыдущем свойстве одно-
временную перестановку членов двух последовательностей в даль-
нейшем будем называть парной или параллельной перестановкой
их членов.
Свойство 9.3. Если (ах,..., аД и (61?..., ЬД — две произвольные
одномонотонные последовательности действительных чисел (п >
> 2), то любое конечное число параллельных перестановок членов
этих последовательностей приводит к получению одномонотон-
ных последовательностей с тем же значением свертки, что и у ис-
ходных.
Доказательство. Данное свойство непосредственно следует
из предыдущего.
Свойство 9.4. Две конечные последовательности (ах, ..., аД
и (/?], ЬД (п > 2) являются одномонотонными тогда и только
187
тогда, когда для них существует конечное число параллельных пе-
рестановок их членов, приводящее к получению двух неубываю-
щих (невозрастающих) последовательностей.
Доказательство проведите самостоятельно. Данное свой-
ство — это почти дословно переписанный второй вариант опре-
деления пары одномонотонных последовательностей (см. гл. VIII,
§ 1, свойства и задание после упражнения 8.4).
Сформулируем и докажем теперь следующую чрезвычайно по-
лезную и достаточно общую теорему.
Теорема 3. Для любых двух одномонотонных последова-
тельностей (аи а2, ..., ап) и (61? Ь2, ..., Ьп) и для любой пере-
становки (Zp Z2, in) чисел 1, 2, ..., п справедливы соотно-
шения
а\ а2 ••• ап а\ а2 •• ап
by Ьг ...	' Р/, bi2 ... bin
а\ а2 •• ап
Ьп Ьп _ j ... Ьх
Доказательство. Благодаря свойствам 9.3 и 9.4, не нарушая
общности рассуждений, можем считать, что а{ > а2 > ... > ап, Ьх >
> Ъ2 >... > Ъп. Рассмотрим тогда все суммы вида о = a j bt+ a2b^ +
+ ... + anbj , где (Z1? Z2,..., in) — всевозможные перестановки чисел
1, 2,n. Так как таких сумм лишь конечное число, то среди них
есть наибольшая 5 и наименьшая з. Докажем, что 5 =
а\ а2 — ап
ьх ь2... ьп
а\	а2 ••• ап
bп	п - \ •••
. Напомним, что для любых
а 5 =
чисел a, b, с nd таких, что а> bnc > d, справедливо неравенство
ас + bd> ad + be, так как оно равносильно очевидному неравен-
ству (а - b)(c - d) > 0.
Пусть теперь в некоторой сумме о имеются такие слагаемые
a/bq и акРр> что l<knq> р^.ь.а^ aknbp> bq. Тогда, переста-
вив числа Ьр и bq, мы получим новую сумму о, у которой вместо
слагаемых atbq и akbp суммы о появились слагаемые и akbq,
причем atbq + akbp < atbp + akbq, т. e. 5 > о. Очевидно, что, про-
изведя конечное число таких перестановок, мы придем к сумме
а\ а2 - ап
Ьх Ь2 ... Ьп
, а значит, получим, что 3 > о.
188
Аналогично, если bq > bp, то, меняя их местами, получим сум-
му, не превосходящую а. Конечное число таких перестановок при-
ведет нас к сумме 5, а значит, и к соотношению о > 5, что и завер-
шает доказательство теоремы.
Рассмотрим теперь несколько задач, чьи решения продемонст-
рируют применимость теоремы 3 на практике. Начнем, разумеет-
ся, с и — 3.
Задача 9.23. Докажите, что для любых неотрицательных дей-
ствительных чисел а, Ь, с справедливо неравенство:
а3 + Ь3 + с3 > а~Ь + Ь2с 4- с2а.
Решение.
abc
а2 Ь2 с2
abc
с2 а2 Ь2
так как при любых неотри-
цательных а, Ь, с последовательности (<?, Ь, с) и (<т2, Ь\ с2) — од-
номонотонные.
Задача 9.24. Докажите, что для любых положительных дейст-
вительных чисел а, Ь, с справедливо неравенство:
а b с > 3
b + с а + с	а + b ' 2 ‘
Решение. Заметив, что
+ _L_ +
b + с а + с а + b
а	b	с
1	1	1
b + с	а + с	а + Ь
а также, что при любых положительных а.
Ь, с последовательности (а, Ь, с) и { —!— , —!— , —!—- 1 — одно-
\b+ca+ca+bj
монотонные, можем, используя теорему 3, записать два истинных
неравенства:
а	b 1	1	с 1		abc 1	1	1		а	b	с 1	1	1
b + с а + с	а + b		_с + а а + b b + с		b+ca+ca+b
а
Складывая их почленно, получим, что
b	с
1 1
b + с с + а
а + b
2* ( —> 3, а это неравенство равносильно
тому, что требовалось обосновать.
189
Замечание. Теоремы 2 и 3 и решенные с их помощью за-
дачи являются еще одним примером, как определенная симметрич-
ность неравенства может оказать помощь в его доказательстве.
Задача 9.25. Докажите, что для любых действительных поло-
жительных чисел а,Ь,с справедливо неравенство:
я2 + Ь2 с2 > а + b + с
b + с а + с а + b 2
Решение. Так как левую часть данного неравенства можно
представить в следующем виде:	' а2	Ь2	с2 ' 1	1	1 Ь + с с + а а + b	, а последова-
тельности (а2, Ь2, с2) и f -г-5— , —J—
V b + с с + а
—— одномонотонны, то
а + b )
справедливы следующие два неравенства:	а2	Ь2	с2 1	1	1 b + с с + а а + b	
	а2	Ь2	с2 1	1	1	и	а2	Ь2	с2 1	1	1		а2	Ь2	с2 1	1	1
	c+aa+bb+c		b+cc+aa+b		а+ЬЬ+сс+а
складывая которые, мы получаем неравенство следующего вида
э ( а2 . Ь2 , с2 А	а2 + Ь2 , Ь2 + с2 . с2 + а2
\ b + с	с + а а + b )	а + b b + с с + а
Но очевидно, что при любых положительных а, Ь, с:
+ • (с + а) = а + b + с,
что и приводит к обоснованию исследуемого неравенства.
Замечание. То, что последовательности (а, Ь, с) и
(a2, Z?2, с2) одномонотонны при любых положительных а, Ь, с,
очевидно. Далее, положив для определенности, что 0 < а < b < с,
немедленно получим, что (я + 6 + с) — а> (a + b +с} — b>
> (я + 6 + с) - с, т. е. с + 6>бг + с>(7 + 6>0,а тогда очевидно,
что —^-7- > —> —!—, и одномонотонность последователь-
а + b а + с с + b
190
ностей (я, b, с) и (а2, Ь2, с2) с последовательностью ( —— ,-,
к о + с а + с
——г обоснована.
а + Ь )
Задача 9.26. Докажите, что для любых действительных неот-
рицательных чисел a, b, с, d справедливо неравенство
а3 + Ь3 + с3 + d3 > а2 • Ь + Ь2 • с + с2 • d + d2 • а.
Задача 9.27. Докажите, что для любых действительных поло-
жительных чисел ах, а2, ..., ап (п > 2), чья сумма равна s, справед-
671	, ci')	а п	п
либо неравенство--'— + —— + ... +-------- >-----т .
s — ах s — а2	s~an п — 1
Решение. Отметим два факта: во-первых, левую часть доказы-
ваемого неравенства можно записать в следующем виде:
а2 ап
1 1 1 ’
5 — 671 5 — 672 S — ап
во-вторых, последовательности (бг,, а2, ..., ап) и -,-----,
k S — 67j	^2
1 \
——	одномонотонны (б71? 672, ап — положительны!),
5 ап '
а значит, справедливы следующие п — 1 неравенств:
Остается почленно сложить их и обе части полученного после
этого неравенства разделить на положительное число п — 1, что
и завершит решение задачи.
Задача 9.28. Докажите, что для любых действительных поло-
жительных чисел 67Р б/2,..., ап (п > 2)
6Z2	673	67 1
Решение 7. Применить неравенство Коши к положительным
67 ,	67п
числам —, —
672 67 3
ап
191
Решение 2. Заметив, что для произвольных положительных
аг, ..., ап следующие последовательности аг, ..., аД
( 1	1	1 А
и -----, ---, ..., - одномонотонные, можем записать оче-
V-tfj -а2	-ап )
видное (благодаря теореме 3) неравенство
а\ а2 - ап	ап
1___i_ __L	J_____L	_1____L
~а\ ~а2 ~ап	-а2 -а3	-ап -ах
Замечание. Теорема 3 позволяет дать простое доказа-
тельство неравенства Чебышева, а именно: если а2, ..., ап)
и (Z\, b2, Ьп) одномонотонные последовательности (п > 2), то
тогда справедливо следующее неравенство
п • (б?! •/>! + ... + ап *Ьп) > (а} 4- ... + ап) • (Ь{ + ... + Ьп).
Доказательство. Если последовательности ..., ап) и
(Z>j,..., bn) одномонотонны, то (по теореме 3) имеют место следую-
щие п неравенств:
6Z] ... ап а] ... ап _ । ап
Ь\ ... ь„ ... ьп_хьп
6Z। ... а п
^1 ••• Ьп
а\а2  ап - k + \ ап - к+ 2  ап
^к^к+\- Ьп Ь\ ...Ьк_1
(к = 2,3, ...,п).
Складывая их почленно, приходим к неравенству Чебышева.
Задача 9.29. Докажите, что для любых действительных чисел
<2],ап {п > 2) справедливо неравенство
п • (а] + ... + а2п ) > (а} + ... + апУ.
Задача 9.30. Докажите, что для любых действительных поло-
жительных чисел а, Ь, с справедливо неравенство
cP 4-	+ с3 > а + Ь + с
+ с? 3
Задача 9.31. Докажите, что для любых действительных поло-
жительных чисел 6Zj, ..., ап (п > 2) справедливо неравенство
(а} + ... 4- а )( — 4- ... 4- — \ > п2.
192
Указание. Запишите неравенство Чебышёва для одномонотон-
ных последовательностей (а।, а2,..., ап) и (,...,	1
к ах а2 ап )
Замечание. Вспомните о соотношении между средни-
ми арифметическим и гармоническим.
Сравните этот подход к доказательству неравенства с решени-
ем задачи 9.28.
Задача 9.32. Докажите, что для любых положительных дей-
ствительных чисел ..., ап (п > 2) справедливо неравенство
Д| + - + д„ > Г ДГ2 + - + ^»2 Y?
п " { п ) '
Решение. Используя неравенства, доказанные в задачах 9.29
и 9.31, можно утверждать, что справедливо следующее неравенст-
во Л + Д + ... + Д > - • f — + ... + — 1 , откуда немедленно
а] а}	а2п п \ах	ап )
следует, что
(<7j + а2 + ... +	#ГД+Д+... + Д1>
\а\ а{ aLn )
> - • f(al + ... + а„)( — + ... + — 11 > - •л4 = л3.
лк	Лк<21	ап ) ) п
Задача 9.33. Докажите, что для любых действительных поло-
жительных чисел ах, а2, ..., ап, п > 2, чья сумма равна единице,
имеет место неравенство
Решение. Заметив, что последовательности
одномонотонны, можем заключить, что имеет место неравенство
Чебышёва:
13 Гомонов
193
Однако в силу того, что ах + ... + ап - 1, а также благодаря не-
равенству из предыдущей задачи 9.32, имеем:
что и требовалось доказать.
В качестве определенного итога отметим, что свойства одномо-
нотонных последовательностей и неравенство Чебышёва позволи-
ли получить (см. задачи 9.29 и 9.31) хорошо известные по главе VII
соотношения между средними гармоническим, арифметическим
и квадратическим произвольных действительных положительных
чисел а,, а2,ап (п > 2)
/ар1 + af1 + ... + а-' \-1 а, + а2 + ... + ап
V	п	)	п
^? + Д22 + - + 'J
2. Одномонотонность нескольких последовательностей
Для решения многих задач понятие двух одномонотонных по-
следовательностей недостаточно гибкое и универсальное понятие,
поэтому совершенно естественно сделать попытку перенести его
на произвольное количество последовательностей.
Определение. Конечные последовательности действительных
чисел (а/1*, я2П)> ...,	...,	, ..., а^) (к > 2;
л > 2) называются одномонотонными, если они удовлетворяют
следующим требованиям.
1)	У последовательности ( а„(1) ) найдется член , не мень-
ший всех остальных ее членов, причем такой, что член каждой из
последовательностей (	), ..., (	) такого же номера, т. е. со-
ответственно а^2) ,, будет не меньше всех остальных чле-
нов «своей» последовательности, т. е., соответственно,
> aj{l} , гдеj = 1,2, ..., т при каждом / = 1,2, ..., к.
194
2)	Если у каждой из последовательностей (а^ ) вычеркнуть
член номера т, то таким способом возникшие новые последова-
тельности будут удовлетворять требованиям пункта (1) и т. д.
вплоть до последнего этапа, когда от (	),	) останутся
двучленные последовательности.
Примеры. Последовательности (1, 5, 5, 10), (-3, -3, 9, 9),
Q ’ Р Р ) одномонотонные, а вот (5, 7, 4), (0, 0, 0), (4, 3, 2),
(1, 1, 1) не одномонотонные.
Договоримся (как и раньше) конечные последовательности
одинаковой длины, анализируемые на одномонотонность, запи-
сывать, ради удобства и наглядности, «столбиком» так, чтобы чле-
ны одного номера, но разных последовательностей стояли друг под
другом. Кроме того, далее, если в каждой из конечных последова-
тельностей одинаковой длины переставляют два члена и номера
этих членов для каждой из последовательностей образуют одну
и ту же пару (например, это пятый и шестой члены каждой после-
довательности), то будем говорить о параллельной перестановке
членов этих последовательностей.
Замечание. Из вышеприведенного определения непо-
средственно следует, что порядок, в котором указывают последо-
вательности, не оказывает никакого влияния на их одномонотон-
ность или неодномонотонность, кроме того, данное определение
позволяет сформулировать следующий очевидный критерий одно-
монотонности последовательностей.
Теорема 4. Конечные последовательности действитель-
ных чисел
.... а^), (а{2\ а^\ ..., а &),..., (а^\ а2^,..., а,М),
где к > 2 и п > 2, являются одномонотонными тогда
и только тогда, когда для этих последовательностей су-
ществует конечное число параллельных перестановок их
членов, превращающих каждую из них в неубывающую
п оследовател ьност ь.
Доказательство рекомендуется провести самостоятельно в
качестве упражнения.
Замечание. Критерий сохранится, если слово «неубы-
вающую» заменить на слово «невозрастающую».
Обобщим теперь понятие «свертка» на произвольное конечное
число последовательностей с конечным числом членов.
13*
195
Определение. Сверткой конечного числа последовательностей
действительных чисел (а/1) , а2(1) ,	),	, я2(2) ,
),..., ( а , а{к>> , ...,	) (Лг > 2, л > 2) назовем число
• а^ •...• а^ + я2(1) • а^ а^ + ...+
+ а (1> • а (2) • * а
“п •••	“ П ’
которое в дальнейшем будем обозначать следующим символом
а2^ ...
а/2) а2(2) ... а™
... а
Имеет место следующее обобщение теоремы 3, которое приве-
дем без доказательства в силу громоздкости последнего.
Теорема 5. Пусть (а/1) , а^ ), ..., (а^ , ...,	) —
произвольные одномонотонные последовательности дейст-
вительных положительных чисел (к > 2, п > 2) и пусть по-
следовател ьност ь
) получается из (я/1) , ..., а^ ) произвольной
перестановкой ее членов; последовательность
(а/2),а® ) аналогично получается из (а/2) ,а®);
(а^к},..., а ) аналогично получается из(а^ 9 ...,а^ ),
тогда
аэ(1) ... а
а/2)	... а
1	2 м п
Н2(1) ... ап^У
а2^ ... апЫ
ах{к} а2{к} ...
aSk^ а^к^ ...
Продемонстрируем применение данной теоремы на несколь-
ких примерах.
Задача 9.34. Докажите, что для произвольных действитель-
ных положительных чисел а,Ь,с справедливо неравенство
а1 + Ь1 + с1 > а2Ь2с\а + Ь + с).
196
Решение. Так как при любых положительных а,Ь,с последо-
вательности (я3, Z>3, с3), (а2, Ь\ с2) и (а2, Ь2, с2) одномонотонны,
а исследуемое неравенство можно переписать в следующем виде:
	а3 Ь3 с3		а3	Ъ3	с3	
а1 + Ь1 + с1 =	а2 Ь2 с2		Ь2	с2	а2	= а2 • Ь2 • с2 • (а + b + с),
	а2 Ь2 с2		с2	а2	Ь2	
то его очевидность (благодаря теореме 5) не вызывает сомнения.
Задача 9.35. Докажите, что для любых действительных поло-
жительных чисел ар а2,..., ап (п > 2) справедливо неравенство Коши:
+ а2 + ... + а„
п
>^аха2...ап.
Решение. Сделаем замену переменных, а именно: пусть
хк = nJa~k (£=1,2, ..., л?), т. е. ак = х£ и перейдем к решению со-
ответствующей равносильной задачи. Однако очевидно, что
х? + х£ + ..	..+%«=	Х1 х2 X! Х2	... х„ ••• хп	>	X! Х2 . х2 х3 .	•• Х„_! Х„ .. Х„ Х|	=
	=	Xj х2 п *Xj	... х„ •х2 •.	.. *х	X„ X! . Л’	.. Хп_2хп_х_	
что и доказывает неравенство Коши (благодаря теореме 5).
Приведем теперь одно из обобщений неравенства Чебышёва.
Теорема 6. Пусть (а/Ч ,	), ..., (а^ , ...,	) —
произвольные одномонотонные последовательности (к > 2,
п > 2) действительных положительных чисел, тогда
справедливо следующее неравенство
а2^ ... а^>
а<^ ар) ... ар)
• (a i<‘> +... + ал(П)•... • (а+... + а^).
...
Доказательство. Достаточно почленно сложить неравенст-
ва из теоремы 5 при следующих перестановках членов последова-
тельностей:
— у последовательности № 1 члены вообще не переставлять,
— у последовательности № 2 осуществить все п «круговых» пе-
рестановок ее членов, т. е. рассмотреть все их перестановки, соот-
197
ветствующие таким перестановкам номеров (индексов) членов по-
следовательностей: 1, 2, ..., лг; 2, 3, п, 1; 3, 4, п, 1, 2; ...; п,
1,..., п — 2, п — 1; очевидно, что таких перестановок будет ровно л;
— у последовательностей № 3, 4, ..., к рассмотреть такие же пе-
рестановки членов.
Так как перестановки членов каждой из последовательностей
никак не влияют на перестановки членов остальных последова-
тельностей, то всего суммироваться будут пк~х свертки в правой
части неравенства — результата, и, как легко понять, эту сумму
можно будет представить в следующем виде: сумма всех членов
первой последовательности умножается на сумму всех членов вто-
рой последовательности и т. д. до последнего сомножителя — сум-
мы всех членов к-й последовательности.
В левой же части неравенства-результата «накопится» ровно
пк~х одинаковых слагаемых, каждое из которых равно свертке по-
следовательностей
), (а/2) ,а,<2) ),	),
что и доказывает теорему 6.
Задача 9.36. Докажите, что для любых произвольных дейст-
вительных положительных чисел я 1? а2,..., ап (и > 2) и произволь-
ного натурального числа т справедливо неравенство
пт~х • (flf +	+ ... + а™ ) >	+ а2 + ... + ап}т.
Решение. Используя определение свертки и обобщенное не-
равенство Чебышева, имеем:
а™ + а2 + ... + а™
•(я1 + я2 + ... + я„)'”,
что и требовалось доказать.
§ 3. Неравенство Иенсона
1. Свойства центра масс конечной системы материальных точек
и выпуклые фигуры. Бусинки на проволоке
Прежде всего напомним определение понятия центра масс (ба-
рицентра) системы материальных точек.
198
Определение. Центром масс (или барицентром) системы мате-
риальных точек ra/lp /^2^2’ •••’ тп^п называется точка Z, для ко-
торой имеет место векторное равенство
тх • ZA j + т2 • ZA 2 + ... + тп • ZA „ = 0.
Отметим следующие важнейшие свойства центра масс (доказа-
тельство этих свойств и многое другое можно найти в книге
М. Б. Балка и В. Г. Болтянского «Геометрия масс». М.: Нау-
ка, 1987).
1.	Всякая система конечного числа материальных точек имеет
и притом единственный центр масс.
2.	Центр масс двух материальных точек т ХА t и т2А2 располо-
жен на отрезке, соединяющем точки А ( иЛ2, и делит этот отрезок
в соответствии с архимедовым правилом рычага, т. е. обратно про-
порционально массам т j и т2.
3.	Для любой системы материальных точек тхАх, .... тпАп
(п >3), если несколько точек этой системы заменить их центром
масс и сосредоточить в нем суммарную массу этих точек, то полу-
чим новую систему материальных точек, чей центр масс совпадает
с центром масс исходной системы материальных точек.
4.	Если в декартовой системе координат заданы материальные
точки тхАх (xx,yx,zx), ...,тпАп (xn,yn,zn),^o их центр масс G бу-
дет иметь следующие координаты:
= тххх + ... + тпхп .	= лл + ... + тпуп
Xg тх+... + тп ’^G tnx + ... + тп
Следствием из свойств 2 и 3 явится следующее свойство:
5.	Если материальные точки тхАх, тпАп(п > 2 ) принадле-
жат некоторой фигуре Ф (некоторому множеству точек), то и
центр масс этой системы точек тхАх, ..., тпАп будет принадле-
жать множеству Ф, если оно обладает следующим свойством: для
любых двух точек множества Ф отрезок с концами в этих точках
является подмножеством множества Ф.
Упражнение 9.4. Докажите самостоятельно свойство 5.
Свойство 5 делает совершенно естественным выделение класса
фигур, обладающих оговоренной в этом свойстве особенностью.
199
Определение. Множество Ф (фигура Ф) точек пространства
(или некоторой плоскости) называется выпуклым (выпуклой), ес-
ли для любых двух точек этого множества отрезок с концами в этих
точках будет подмножеством множества Ф, в противном случае
множество Ф (фигуру Ф) называют невыпуклым.
Примерами выпуклых множеств на плоскости являются отре-
зок, прямая, полуплоскость, круг, квадрат, а вот окружность вы-
пуклым множеством не является.
И еще — понятие выпуклой фигуры является одним из важней-
ших понятий современной математики.
Благодаря свойству 5 можем утверждать: какой бы массы ни
были выбраны материальные точки, где бы в пределах некоторого
определенного круга Ф ни лежали (например, все — на его
границе — окружности), все равно их центр масс будет принадле-
жать этому кругу.
Аналогичный вывод можно будет сделать и в случае, когда
множество Ф — полукруг или даже часть круга, получившаяся из
него с помощью разламывания круга по некоторой его хорде и вы-
бору одной из его «долек».
То, что такая информация о расположении центра маСс может
быть очень полезной, подтверждают следующие два примера.
Пример 9.1. Рассмотрим график функции у = Jx , х g [0; +°°).
Пусть на этом графике, как бусинки на проволоке, будут располо-
жены материальные точки т ХА{ (хх'9 Jx\), т2А2 (х2; Jx^ ),..., тпАп
(хп; ^х~), причем пусть для определенности хх = min{X|, х2, ...,
хл}, а хп = max{xj, х2,	х„}. Рассмотрим тогда в роли фигуры Ф
заштрихованную часть плоскости. Рисунок 13 подсказывает нам
(но не доказывает!), что Ф — выпуклая фигура, а значит, центр
масс G(xg; yG) системы материальных точек т ХА 1? ..., т„Ап будет
200
лежать в пределах заштрихованной зоны и иметь координаты, оп-
ределяемые формулами, приведенными в свойстве 4. Однако, раз
G 6 Ф, то выполнится неравенство yG < f(xG) (*) (все множество
Ф расположено «ниже» графика функции у =/(х), точнее, не «вы-
ше» его).
Итак, нами получено (из наглядно-геометрических соображе-
ний) неравенство (*), т. е.
mxf(x})+...+mnf\xn) < / тххх + ... + тпхп \
+ ... + тп	тх + ... + тп
т. е. оказалось, что для любых положительных чисел х1? ..., х„,
тх,тп(п g N) справедливо соотношение
^1л/^ + - +	l"hXl + - + тпХп
т{+... + тп а/ т [+... + тп
В частности, полагая тх = ... = тп = 1, получаем, что для лю-
бых положительныхх1,..., хп справедливо неравенство
+ Л + - +	<	+х2 + ...+Х,
Пример 9.2. Рассмотрим функцию^ = 1пх, х е (0; +оо). Рас-
положив на графике этой функции материальные точки тхАх(хх;
In Xj), ..., m^^x^ In х„) (бусинки на проволоке — графике дан-
ной функции), обнаружим, что хорда АхАп лежит ниже стягивае-
мой ею дуги графика, значит, опять для центра масс G(xg, yG)
этой системы выполнится неравенство (*) yG < f(xG),
т j InX] + ... + тп 1пхЛ
т j + ... + тп
тххх + ... + тпх>
In---------—----------
т j + ... + тп
т
или 1п(х™’
- т iX, + ... + т„х„
п < in —!-------------—
тх + ... + тп
а значит,
+ ... + ^Л,х„ >	_-тп
+ ... + щп ' ч 1	•” п '
Получили «взвешенный» («весовой») вариант неравенства Ко-
ши. При т j = ... = тп = 1 имеем, естественно, соотношение между
средним арифметическим и средним геометрическим положитель-
Х\ +	+ Хп . „ /-------------
ных чисел Х|,х2, ...,х„:---------- «/xi ’ х2 ’ ••• ' хп •
201
А вот теперь, прежде чем перейти к изучению очередного раз-
дела данного параграфа, поразмышляйте над следующими приме-
рами и упражнениями.
Примерами выпуклых фигур являются следующие множест-
ва: отрезок, прямая, полуплоскость, круг, шар, тетраэдр и многие
другие, а вот окружность и фигура, получающаяся объединением
любых двух несовпадающих прямых, и «внешность» любого круга
(на соответствующей плоскости) или шара (уже в пространстве) —
это примеры фигур, не являющихся выпуклыми множествами.
Упражнение 9.5. Придумайте десять примеров выпуклых
и десять примеров невыпуклых фигур.
Упражнение 9.6. Докажите, что пересечение нескольких вы-
пуклых фигур есть выпуклая фигура. Верно ли, что объединение
нескольких невыпуклых фигур есть фигура невыпуклая? Каков бу-
дет результат, если пересекать невыпуклые, а объединять выпук-
лые множества?
Упражнение 9.7. Выясните, является ли множество, состоя-
щие из одной-единственной точки, выпуклой фигурой. Какая вер-
сия ответа наиболее предпочтительна?
Упражнение 9.8. Существует ли множество точек, не являю-
щееся ни выпуклой, ни невыпуклой фигурой? Существует ли мно-
жество точек, которое является и выпуклой, и невыпуклой фигу-
рой одновременно? Выпуклым или невыпуклым множеством сле-
дует считать пустое множество?
2*. Выпуклые фигуры и выпуклые функции. Надграфик и подгра-
фик функции. Неравенство Иенсона
Естественно, что очень хотелось бы получить те условия, вы-
полнение которых гарантирует для функции у =/(х) истинность
соответствующего неравенства yG < /(хс) или yG > f(xG). Проще
всего такие условия сформулировать в геометрических понятиях,
хотя их проверка для конкретной функции у = f(x) не слишком
далеко уведет нас от рассмотрения «бусинок» на проволоке, а зна-
чит, желательно будет найти «аналитическую» замену этим геомет-
рическим требованиям.
Введем два вспомогательных понятия.
Определение. Надграфиком функции f(x) на промежутке X
(считая, что Xс £>(/(х))) назовем следующее множество точек ко-
ординатной плоскости:
НГЛх) ={и, У)б /?2|хе ЛСу >/(%)};
202
подграфиком функции Дх) на промежутке X {X с D Дх))) назо-
вем следующее множество точек координатной плоскости:
ПГДх) = {(х,у) е Л2|х е Х,у <Дх)}.
На рис. 14 показано штриховкой несколько примеров подгра-
фиков и надграфиков для некоторой функции у — Дх) и некото-
рых промежутков X.
Прежде чем ввести понятия выпуклой и вогнутой функции,
а затем связать эти понятия со свойствами выпуклости соответст-
вующих надграфиков и подграфиков, рассмотрим основные свой-
ства выражения, задающего абсциссу центра масс материальных
точек тхА{(хх, 0) и	0), а именно выражения
т*_ х
т ] + tn2
т1	т 2	tn j
+ —-----х9 или, если обозначить р. = —т— , Ц? = —т— ,
тх+т2 2	’	1 тх+т2
выражения pjXj + р^, где Pj и р2 — положительные числа (далее
позволим им оказаться и неотрицательными!), в сумме дающие
единицу.
Свойство 1. На координатной оси число х = jiij *хх + р2 *х2из0’
бразится точкой, лежащей между точками, изображающими числа
XjHx2 (считая, чтоXj ^х2, а p,j > 0, р2 > 0 и Pj + р2 = 1).
Доказательство. Пусть для определенности хх < х2, тогда
X = Xj • Pj + (1 - Pj) *х2 = х2 - p,j • (х2 - X!) < х2, а с другой сторо-
ны, X = хх • (1 - р2) + х2 • р2 = хх + р2 • (х2 - Xj) > Хр Т. е. Xj < X <
< х2, что и требовалось доказать.
м — пг f4;
м2 = пг£^>
Рис. 13
203
Свойство 2. При Ц] = 0 х = х2, а при р2 = 0 х = х{.
Данное свойство очевидно.
Свойство 3. Для числах = gj + р2 *х2, гдех1 ^х2 и ц, и ц2 —
положительные и в сумме дающие единицу числа, выполнится ра-
X-Xj р2
венство----- = — .
х2-х Pi
Доказательство. Так как х — х{ = р2 • (х2 — Xj), а х2 - х =
= Ц] • (х2 - Xj), причем х1 Фх2 и Pj и р2 — положительные, то свой-
ство очевидно.
Замечание. Далее, ради краткости (как и принято в ма-
тематике) фразу «точка, изображающая действительное число х,
лежит...» будем заменять фразой «число х лежит...» или фразой
«точка х лежит...».
Свойство 4. Всякая точка (х; 0), лежащая между несовпадаю-
щими точками (xt; 0) и (х2; 0), обладает тем свойством, что число
х может быть представлено в виде х = pj • xt + р2 • х2, где pt и р2 —
положительные числа, в сумме дающие единицу, притом это пред-
ставление единственно (т. е. Pj и р2 определяются числами х1? х2 и
х однозначно).
Доказательство. Пусть для определенности х{ < х2 и xt < х <
< х2, тогда легко проверяется следующее тождество:
х2 — X	X — Х1
х = -----*х, + -------- *х7, т. е. в качестве положительных
X2-Xj	*2-*1
Х9 — X	X—Xi
чисел pj и р2 можно взять числа Pj = —--; р2 =---- , в сумме
х2 X j	х2 — X ।
дающие 1. Существование доказано.
Единственность следует из того, что по теореме 3 для числа х,
представленного в виде х = Pj *х} + р2 *х2, где Pj > 0, р2 > 0 и Pj +
11	, x-х, р2
+ р2 = 1, выполняется равенство к = ----1	, а значит, если
х2 -X Р1
заданы хи х2 и х, причем хх < х < х2 (что х} меньше, чемх2 пола-
гаем для определенности), то, каково бы ни было выражение для
х вида х = Р] *Х| + р2 *х2, положительные числа Pj и р2 будут обя-
заны удовлетворять следующей системе:
ц, +|12= 1,
204
где параметр к — фиксированное положительное число, однознач-
но определенное точками х2их. Однако данная система оче-
видно имеет единственное решение.
Еще раз подчеркнем, что изучение выражения pjXj + где
,Vj и х2 — любые действительные числа, а 0 < Pj < 1, 0 < р2 1 и
Ц] + ц2 = U имело принципиальное значение, ведь сравнение чис-
ла yG и числа f(xG) — это (при и = 2) сравнение чисел щ f(x{) +
т2	т 1
+ ц2 Дх2) и Дщх, + ц2х2), где ц, =	, ц2 =	, а зна-
чит, 0 <	< 1, 0 < ц2 < 1 и pj + ц2 = 1.
Вот теперь можно ввести понятия выпуклой и вогнутой функ-
ции, а затем (в терминах надграфика и подграфика) связать эти по-
нятия с фундаментальным понятием выпуклой фигуры.
Определение. Функция Дх), определенная и непрерывная на
некотором промежутке X (он может быть замкнутым или нет, огра-
ниченным, т. е. иметь конечную длину, или неограниченным (бес-
конечным)) называется:
а)	выпуклой (выпуклой вниз) на этом промежутке X, если
для любых точек хх и х2 из X и любых положительных чисел щ
и ц2, удовлетворяющих условию + ц2 = 1, выполнится неравен-
ство:
ЛЩ ’X] + Ц2 *х2) < Мз ’/(х1) + Ui '/(х2);	(1)
б)	вогнутой (выпуклой вверх) на этом промежутке X, если
для любых точек х} и х2 из X и любых положительных чисел Pj
и р2, удовлетворяющих условию pt + р2 = 1, выполнится неравен-
ство:
/(Ц] • X, + ц2 • х2) > Щ ‘/(X^ + Ц2 ’Дх2).	(2)
Замечание. Следующий рис. 14 позволит (на примере
требований б)) выявить геометрический смысл сформулированно-
го выше определения, а именно: вогнутая на промежутке X
функция характеризуется тем, что всякая точка любой дуги ее гра-
фика, соответствующей некоторому подпромежутку промежутка
X, лежит над соответствующей хордой или на ней (случай б)); вы-
пуклая на промежутке Xфункция характеризуется тем, что всякая
точка любой дуги ее графика, соответствующей некоторому под-
промежутку промежутка X, лежит под соответствующей хордой
или на ней (случай а)).
205
Далее договоримся одновременно с самой функцией /(х), вы-
пуклой на некотором промежутке X (вогнутой на промежутке X),
так же называть и кривую у =Дх), х е X, т. е. график функции у =
=f(x), соответствующий изменению аргументах в рамках проме-
жутка А".
Замечание. Следует отметить, что раньше определяли
в математике понятия выпуклой и вогнутой функции, пользуясь
более частными соотношениями, нежели (1) и (2), а именно пола-
гали pj = |12 = р т. е- рассматривали соотношения вида
+х2 \	/(Х}) +/(х2) (хх +х2 Л /(Xi) +/(Х2)
Д —~ Г ----------2---- и Д Г --------------2---- •
Однако для непрерывных (на промежутке X) функций оба оп-
ределения выпуклой на X функции равносильны (также, как и оба
определения вогнутой на Xфункции).
И еще: поставив в соотношениях (1) и (2) вместо нестрогих не-
равенств строгие, получим определения так называемых строго
выпуклой и строго вогнутой функций.
Наконец, прежде чем обратиться к изучению неравенства Иен-
сона, стоит заметить, что непрерывная на промежутке X функция,
являющаяся на нем одновременно выпуклой и вогнутой, будет
иметь своим графиком на X некоторую прямую или промежуток
некоторой прямой, т. е. будет линейной функцией на X.
Доказательство этого факта легко провести, исходя из гео-
метрического истолкования требований (1) и (2) и свойств 1—4.
Теорема 7. Для любой выпуклой на некотором проме-
жутке X функцииf \х), любых точек х|5 х2, ..., хп из X (п >2)
206
и произвольных положительных чисел Ц|, р2, •••> Р«> в сумме
дающих единицу, справедливо неравенство
Др, -X, + Р2 -х, +... + ц„ 'Хп) < щ -Дх,) + Р2 Д(х2) +... +	•/(%„) (3)
{называемое неравенством Иенсона для выпуклой функ-
ции,/(%)); если же fix) — произвольная вогнутая функция на
промежутке X, то при тех же условиях справедливо не-
равенство
Др, -х, + р2 «х, +... + р„ *х„) > р, ’Дх,) + Р2 «Дх2) + ... + р„ *Дх„) (4)
{называемое неравенством Иенсона для вогнутой функции
/W).
Доказательство. Применим для доказательства метод ма-
тематической индукции (по параметру л), причем можем огра-
ничиться доказательством лишь одного из указанных выше соот-
ношений, так как очевидно, что если /(х) — выпуклая, то
-fix) — вогнутая, а значит, чтобы получить (4), достаточно умно-
жить левую и правую части неравенства (3) на —1. Докажем нера-
венство (3).
а)	Рассмотрим его при п = 2. Получим очевидное соотноше-
ние, так как в этом случае неравенство Иенсона является не чем
иным, как записью требования (1), предъявляемого к выпуклой
функции, а по условию доказываемой теоремы функция fix) —
выпуклая.
б)	Пусть теперь неравенство (3) справедливо для некоторого
произвольного, но фиксированного натурального п = к, где к > 2.
Убедимся, что тогда неравенство (3) справедливо и при п = к + 1.
Для этого превратим сумму к + 1 слагаемых в сумму к слагаемых:
Pj *Xj + р2-х2 + ... +	•хЛ_1 + \Lk -хк + р^+1 -х^+1 =
= Pi -^1 + Р2 **2 + - + Pa-i -*к-\ + (Ра + Ра-ы)х
X ( ^к	• X + ^к + 1	• х 1
V Ра + Ра ЬI к Ра + Ра + i ^+l J’
И введем обозначения Ц* =	+ gA+), хк =	< -хк +
+ Н4 + |
йг+кт; ’Ха+1‘
Очевидно, что число хк лежит между хк и хЛ+1 (см. свойство 1),
а значит, оно принадлежит промежутку X, кроме того, щ + ... + рЛ +
+ Ра+ । = 1, что позволяет, применяя индукционное предположение
207
и тот факт, что на промежутке X функция f(x) выпуклая, полу-
чить следующие соотношения:
/(ц, ‘х, + ... + На—1 'Хк-\ + ^к'Хк + Ha+1 *XA+l) =/(М| ’*1 + ...+
+ нЛ_,-хк_х + ц* • хк) < щ 'f(xx) + ... + На-1 'Ахк-\> +
+ 'f{xk) = Н! */(Х|) + ... + Ца-i 'Лхк-д + (и* + Иа+|) х
x/f	-хк+ „ Ц* + 1 - •Х,+ 11<Ц|-/(х1) + ...+
J I Ра + Ра + I к Ра + Ра + i >
+ На_, 'Лхк-\> + (Ра + Pa+i) ’ ( Ил.+ИцА - ’Ж) +
+ .. +и'~ •Л^+1))=Н1-/(х1) + ... + На-1-Л^-1) +
На На + 1	/
+ На ’Ж) + Pa+i ’Ж+1)-
На
Этап индукционного перехода завершен, и остается только со-
слаться на принцип математической индукции (с п = 2).
в)	На основании принципа математической индукции заклю-
чаем, что неравенство (3) (а значит, и (4)) справедливо при всех на-
туральных п, больших или равных двум. Теорема доказана.
Приведем еще одну форму записи неравенства Иенсона.
Пустьрх, ...,рп — произвольные действительные положитель-
ные числа (и >2). Рассмотрим тогда следующие п действительных
положительных чисел, в сумме дающих, очевидно, единицу:
Р\	р
Pi = z—т—-, •••> Р„ = —и. ”.— , тогда неравенство Иенсона
Pi^ — ^Pn	Pl^-^Pn
(3) примет следующий вид:
п
£ р if (Xi)
i = 1
где f(x) — произвольная выпуклая на некотором промежутке X
функция, х1? х2, ..., хп — произвольные точки из X (п > 2), рх,
Р^ • Рп ~ произвольные действительные положительные числа
(так называемые «веса»).
Аналогичное неравенство, только противоположного смысла,
имеет место и для вогнутой функции (иная форма записи нера-
венства (4)).
208
Прежде чем обратиться к изучению связи понятия выпуклая
функция и понятия выпуклое множество (фигура), покажем на
конкретных примерах, как с помощью неравенства Иенсона мож-
но получить многие замечательные неравенства. Начнем с уже
знакомой ситуации.
Пример 9.3. Рассмотрим функцию f(x) = In х, х е (0; +оо).
Она, очевидно, вогнута на всей своей области определения
(вспомните ее график), а значит, для любых действительных поло-
жительных чисел х{, х2, хп (л > 2) и положительных равных
- 1
между собой чисел щ = ц2 = ••• =	= ~ имеет место неравенство
Иенсона (вариант (4)):
In
1ПХ] + lnx2 + ••• +
n
n
t. e.
n •
п
Получили замечательное неравенство Коши — соотношение
между средними арифметическим и геометрическим.
Пример 9.4. Пусть f(x) = xk, где х е (0; +оо) и k > 1, т. е.
/(х) — функция, выпуклая на всей области определения. Тогда для
любых действительных положительных чисел х1? х2, ..., хп,
р2, -’Рп 2) справедливо неравенство Иенсона (вариант (3)):
п
Ypi
i = 1
z п \к / п - 1 п
или ( Xp,.«xzJ «Ц j	(*)
В частности, при к = 2 и/>, =/>2 = ... = рп = 1, имеем:
X, + ... + х„ \2 X? + ... + X3
-----П-----)	-----п-----или <Х1 + - + Х,У < п • (х? + ... + х2),
а при к = 3:
х,+... +х„\3 Х? + ... + х3
-----„-----J <-------------или (х + ... + х„)3 < п2 • (xf + ... + X3).
14. Гомонов
209
Обратимся еще раз к неравенству (*) при к = 2. Так как функ-
ция у = х2, х g R, выпукла на всей своей области определения
R, то х15 х2, хп можно считать любыми действительными чис-
лами, а, положивPj = b] , Xj = (Z = 1,	/?), из неравенства (*)
получим неравенство вида
(а'Ь\+а2Ь2 + ... + anb„)2<(bj + b% + ... + b2 )(aj + а\ +... + а2),
где ах, ..., ап — любые действительные числа, а bv Ьп — любые
действительные ненулевые числа. Впрочем, легко понять, что если
некоторые из них (или даже все) равны нулю, то неравенство оста-
нется истинным. Итак, можем заключить, что замечательное нера-
венство Коши—Буняковского получается в результате рассмотре-
ния частного случая неравенства Иенсона.
При к = < 1, т. е. еслиДх) = Jx , х е (0; +о°) соответствую-
щие неравенства уже были рассмотрены в пункте 1 данного параг-
рафа.
Ответим теперь на вопрос, как связаны фундаментальное по-
нятие «выпуклость» и не менее важное понятие «выпуклая функ-
ция». Напомним, что фигура (т. е. произвольное множество точек
некоторой плоскости или пространства) называется выпуклой
(выпуклым множеством), если вместе с любыми своими двумя
точками она содержит (как подмножество) и весь отрезок с конца-
ми в этих точках (в противном случае фигуру называют невыпук-
лой).
Следующая теорема устанавливает связь между выпуклыми
фигурами и выпуклыми (и вогнутыми) функциями.
Теорема 8. Если надграфик некоторой функции Дх) на
промежутке X с D(f(x)) является выпуклым множеством,
то эта функция Дх) на данном промежутке X является
выпуклой функцией; если же выпуклым является подгра-
фик данной функции (на промежутке X cz £>(Дх))), то на
X функция f(x) будет вогнутой функцией.
Доказательство. Так как при осевой симметрии свойство
выпуклости фигур очевидно сохраняется, то достаточно доказать
лишь первую часть теоремы (так как если ух = Дх) — вогнутая на
X, то у2 = -Дх) — выпуклая на X). Итак, пусть для некоторой
функции у —f(x) ее надграфик на промежутке X с £>(Дх)) — вы-
пуклое множество.
210
Тогда для любых двух точек вида /Цх^Дх^) и /?(х2,Дх2)), где
х х2 е X отрезок А В лежит (является подмножеством) в надгра-
фике функции Дх) на X, и тогда для любой внутренней точки
К отрезка АВ имеющей абсциссу х (пусть для определенности
%! <х2, а значит, Xj <х <х2), считая, чтох = PjX] +	где щ иц2 —
некоторые положительные числа, в сумме дающие единицу (см.
свойство 4), можно гарантировать ее принадлежность множеству
НГ/(г) . Однако это означает, что ордината точки К не меньше,
чемДх), т. е.Дх) =Др1х1 + с Hi VW + h’W и
х2 — произвольные точки из промежутка X, а ц, и ц2 — некоторые
действительные положительные числа, в сумме дающие единицу
(напомним, что точка К — произвольная внутренняя точка отрез-
ка Л2?).
Таким образом, оказалось, что Дх) на X удовлетворяет всем
требованиям определения выпуклой функции. Теорема доказана.
Замечание. Легко видеть, что если для некоторой
функцииДх) и некоторого промежутка X с D Дх)) являются од-
новременно выпуклыми и ее подграфик, и ее надграфик на X, то
это будет означать, чтоДх) — линейная функция на промежутке X,
Упражнение 9.9. Подумайте, не будет ли справедливо и ут-
верждение, обратное к теореме 8, т. е. нельзя ли превратить эту те-
орему после некоторого дополнения и изменения ее формулиров-
ки в критерий выпуклости и вогнутости функции.
Прежде чем перейти к использованию при исследовании
функций на выпуклость и вогнутость средств математического
анализа укажем на возможность доказать неравенство Чебышёва
для положительных значений параметров с помощью понятия
центра масс и его свойств. Здесь ограничимся лишь формули-
ровкой соответствующего утверждения, а само его обоснование
с помощью метода сосредоточения масс можно найти в
следующей книге: Балк М. Б,, Балк Г. Д. Поиск решения. —
М.: Дет. лит., 1983.
Пример 9.5. Докажите, что для произвольных действитель-
ных положительных чисел а2, ..., ап и Ь2, ..., Ьп (п >2) та-
ких, что 0 <	< а2 < ... < ап и 0 < Ьх < Ь2 < ... < Ьп, справедливо
следующее неравенство:
67] + д2 + ... + ап . /7, +	+ ..; + bn < ax*bx +	Ь2+ап* Ьп
п	п	п	'
14*
211
3*. Исследование функций на выпуклость и вогнутость средства-
ми математического анализа
Хотя и не очень хочется, но придется признать очевидный
факт: полученные выше результаты (теоремы 7—8) обладали весь-
ма существенным недостатком: в конкретных случаях «увидеть»
выпуклость соответствующего множества или функции было весь-
ма затруднительно. Так при рассмотрении примеров 9.3 и 9.4 при-
шлось обратиться к «очевидности» наличия требуемых свойств
у соответствующих функций. Однако есть средства, позволяющие
(пусть и не всегда!) строго обосновать наличие у исследуемых
функций таких свойств, как выпуклость и вогнутость на том или
ином промежутке. Эти средства дает нам такой раздел «большой»
математики, как дифференциальное исчисление. Вот две наиболее
важные теоремы, позволяющие получить нужную информацию об
исследуемых функциях.
Теорема 9. Пусть функция f(x) определена на некотором
промежутке и дважды дифференцируема в каждой его
точке. Тогда, если вторая ее производная положительна в
каждой точке этого промежутка, то данная функцияДх)
выпукла на нем; если же ее вторая производная отрица-
тельна в каждой точке этого промежутка, то эта функ-
ция f(x) вогнута на рассматриваемом промежутке.
Более тонким, но и более общим является следующий факт,
который (как и теорема 9) будет принят без доказательства.
Теорема 10. Если функция Дх) определена и непрерывна
вместе со своей производной Д(х) на некотором проме-
жутке X и имеет внутри него (т. е. в каждой внутренней
его точке) производную второго порядка Д'(х), то для вы-
пуклости функцииДх) на промежутке X необходимо и до-
статочно, чтобы внутри промежутка X (т. е. в каж-
дой его внутренней точке) выполнялось условие f"(x) > 0.
Приведем несколько примеров функций, чья выпуклость или
вогнутость без труда устанавливается с помощью теорем 9-—10.
1	• У ~f&) — xk, D(f\x)) — (0; +оо).
Так какД(х) = к • (к — 1)х/с~2, то при к е (0; 1) данная функ-
ция — вогнутая, а при к е (—°°; 0) U (1; +оо) данная функция вы-
пуклая; при к = 1 данная функция — линейная, т. е. выпуклая
и вогнутая одновременно. Подумайте, что будет при к = 0.
2.	у — ах, где а е (0; 1) U (1; +оо)? D(f(x)) = R.
212
Так как/"(х) - ах • In2 а > 0, то данная функция — выпуклая
на всей числовой прямой.
З.	у = log^x, £>(Л(х)) = (0; +оо), а е (0; 1) и (1; +оо).
Так как/"(х) = -%2	’ то 217151 всякого а е (0; 1) функция
указанного вида — выпуклая, а для всякого a е (1; +оо) — вогну-
тая.
4.	У =/(х) = ln(l + е*), £>(/(х)) = R. Так как/"(х) =	J—v---2 > 0
при любом действительном х, то данная функция — выпуклая.
5.	у = f(x) = х • In х, D(f(x)) = (0; +оо). Так как f"(x) = > 0
при любом положительном х, то данная функция — выпуклая на
всей своей области определения.
2
6.	у =/(х) = (1 +х*)к ,	= (0; +°°); к *0. Так как/"(х) =
1-2
= (£ — 1) *хк~2 • (1 + хк) к , то для всякого к е (-°°; 0) и (0; I)
функция — вогнутая, при к g (1; +°о) — функция выпуклая (на
всей области ее определения).
7.	у = /(х) = ех -х - 1, 2)(/(х)) = R. Так как/'Чх) = ех прини-
мает лишь положительные значения, то/(х) — выпуклая на R.
4*. Примеры применения неравенства Иенсона. Неравенства Ко-
ши—Гельдера и Минковского
Рассмотрим несколько примеров получения с помощью нера-
венства Иенсона некоторых замечательных неравенств.
Пример 9.6. Рассмотрим неравенство (*) из примера 9.4 для
произвольного числа к, большего единицы. Тогда, если а15 а2,
ап, Ь2, ..., Ьп — произвольные действительные положительные
к	a i
числа (/? > 2), то, полагаяpi = bf~ 1 и xz = —— , имеем: pi *х^ =
. а 
= b^~x • —а значит, из неравенства (*) (см. пример 9.4)
Ьр^
немедленно получаем знаменитое неравенство Коши—Гельдера
п	/	п	\1	/ п к	\к ~1
У aibi	< (	У	Г	• ( У Ьк ~	1	] к	, если же ввести обозначе-
/ = 1	= 1	'	^ / = 1
213
к	,
ние т — —j-, то получим несколько иную форму записи этого
п	с п ( п	л—
неравенства X a^i ( X ali Г * I X	Г , где к и т — про-
i = 1	I = 1	' z = 1	'
извольные положительные числа, удовлетворяющие условию
2+1 = 1.
к т
Напомним, что при к = т = 2 получаем неравенство Коши—
Буняковского.
Пример 9.7. Обоснуем с помощью неравенства Иенсона еще
одно интересное соотношение — неравенство Минковского,
а именно:
"7а1’а2	+ «7б,-62-...-6„ <
< я7(д1 + 6,)*(«2 + 62)•...•(«„ + б„),
где а2,..., ап, Ьх, Ь2,..., Ьп — произвольные действитель-
ные положительные числа.
Разделим обе части неравенства на положительное число
• а2 •... • ап и получим равносильное ему неравенство
(Ьх \1	/ Ьп \1	/ Ьх \1	( Ъп
Н^”-Чг;М1 + г;)'''-41 + г;У'
г-	Ь1	Ь1 X
Если теперь введем новые величины х, = In — , т. е. — = е ‘
ai	ai
(Z = 1, ..., л), то сможем придать рассматриваемому неравенству
п
.“« ' п	1
следующий вид: 1 + е' С П (1 + ех‘)"
п
у, 1,.
/	. _ " х Л 1
или 1Ц 1 + е1 1 J < X + до-
получили истинное соотношение Иенсона, записанное для
выпуклой функции (см. пример 4 из списка выпуклых и вогну-
тых функций) у = ln( 1 + ех). Неравенство Минковского доказа-
но. Однако имя Минковского носит еще одно знаменитое нера-
венство.
214
Пример 9.8. Для любых действительных неотрицательных
чисел а2, ..., ап, Ь2, ..., Ьп (п > 2) и любого действительного
р. удовлетворяющего условию р > 1, справедливо неравенство
( Z +ьу у < ( £ af у + ( £ ЬР у .
Доказательство этого неравенства легко провести с по-
мощью полученного выше неравенства Коши—Гельдера. Рассмот-
рим очевидное тождество
£ (<?z + by = £ az(#z + Ьу~ 1 * * * * * + £ bi(ai + Ьу~\
i = 1	/ = 1	i = 1
а затем применим к каждому из слагаемых в его правой части нера-
венство Коши—Гельдера с показателями к = р и т = ——г (при
1 - -
Р
этом {(ai + Z>zX-1) т = (я, + b ZX):
х ai(ai + by-' < f X <У V • f X («/ +	1"';
i = 1	V i = 1	7 В V i = 1	7
x b^a, + by-' < X be > ♦ X («,• + by .
i = i	i = i 2 V z _ i	7
Остается почленно сложить эти два неравенства, а затем заме-
тить, что
Z («,• + ьу
<=!	( "	\1-1	( п
—------------г = ( Z («/ + by)	= ( х («,• + ьу у,
I X (а,-+ ьу г
V = 1	7
чтобы завершить обоснование неравенства Минковского. Стоит
п
еще также заметить, что £ (6zz + b = 0 тогда и только тогда, когда
/ = 1
ах = ... = ап = Ь} = ... = Ьп = 0, но для таких значений параметров не-
равенство Минковского очевидно. Также оно очевидно и прир = 1.
Замечание. В книгах [6, 23] можно найти неравенство
Минковского в более общем виде, чем рассмотрено в данном при-
мере (в частности, и при/э < 1).
В завершении данного раздела рассмотрим еще несколько при-
меров применения неравенства Иенсона.
215
Задача 9.37. Найдите наибольшее значение суммы синусов
внутренних углов треугольников.
Решение. Пусть А, В. С — внутренние углы произвольного
треугольника, тогда А + В + С = тс, кроме того, функцияДх) = sinx
на промежутке (0; л) вогнутая (примените теорему 9), а значит,
1- л 1. п* \.„^.А + В + С_.к__ а/З . л
sin А + з sin В + sin С < sin---— sm 5 — -у ? т. е. sin +
3 г
+ sin В + sin С < V3 , где Л, В и С — внутренние углы произволь-
ного треугольника, причем равенство в этом соотношении, оче-
видно, достигается при А = В = С = 60°, т. е. для равносторонних
треугольников.
Задача 9.38. Докажите, что для любых действительных поло-
жительных чисел ах. а2. ..., ап (п > 2) справедливо неравенство
Х‘<
/ = 1
Решение. Прологарифмировав обе части доказываемого нера-
венства и осуществив деление на п обеих частей возникшего после
этого неравенства, получим равносильное исходному соотноше-
ние вида X f - • а,. • In j > ( X - • а,. Ь Inf X - • at
Полученное неравенство очевидно — истинное, так как это —
неравенство Иенсона, записанное для выпуклой функции у = xlnx,
что и доказывает исходное неравенство.
Задача 9.39. Докажите, что для любых действительных поло-
жительных чисел ах. а2..... ап. Ьх. Ь2..... Ьп {п > 2) справедливо не-
равенство
п \2	/	\2
£ | +| X ьл < X + 
Решение. Для обоснования данного неравенства достаточно за-
писать неравенство Иенсона для выпуклой функции у =	+ х2:
X Pi*i
X (Pt ’ 71 + xb
. Остается умножить обе части
Хр<
Хр/
216
полученного неравенства на суммурх + р2 + ... + р//5 что приведет к
неравенству
< п Л2 ( п
Z Pi + Z Pi'xi
v=' ; v = i
bi
и сделать подстановку pz = at, xi = — (z =
1,2,.
+ (Pi*/)2 >
,n).
Задачи для самостоятельного решения
С-9.1. Докажите истинность следующих неравенств при любых
допустимых действительных значениях переменных:
а)	Зя2 - Aab 4- 4Z>2 > 0;
б)	а2 + ab 4- 2Z?2 4- а 4- ЗЬ 4- 2 > 0;
в)	Sa2 — 6ab 4-2/>2>0;
г)	а2 4- 4#cos (ab) 4- 4 >0;
д)я2(1 4- sin2b) 4- 2cz(sin Л» 4- cos b) 4- 1 + cos2Z> >0;
e) a2(4 4- lg2 b) 4- 2671g b + lg2Z? 4- 1 > 0;
ж) lg2(x 4-y) 4- lg2(xy) + + 1 > 21g(x 4-y).
С-9.2. Докажите, что при любых действительных а, b и с спра-
ведливы неравенства:
а)	5(я2 4- Ь2 4-е2) > 6аЬ — Ъас 4- 8Z?c;
б)	(ab 4- ас 4- be)2 > ЗаЬс(а 4- Ь 4- с).
С-9.3. Докажите справедливость следующих неравенств:
а)	(а 4- Ь)(а 4- с)(Ь 4- с) > ЪаЬс, если а > 0, b > 0, с > 0;
б)	ab(a 4- Ь — 2с) 4- Ьс(Ь 4- с — 2а) 4- ас(а 4- с — 2Ь) > 0 при
а > 0, b > 0, с > 0;
в)	х4 — х3у 4- х2у2 — ху3 4- у4 > х2 4- j;2, если X > J2 и у > J2 ;
чя £ с 3.1,1,1
г)	---5 + л . >7 + Т--5 < й < Т-7— + ТТ—А + ТП— у еСЛИ
1+с2	1 4- b2 1 + с2 2	1 + а 1 + b 1 + с
а >0, £>0, с>0ия4-#4-с<3.
С-9.4. Докажите неравенство
6я 4- 4/> 4- 5с > 5 Jab 4- 7 Jac 4- 3 JFc , если а > 0, b > 0, с > 0.
С-9.5. Найдите множество значений функции:
а)/(%)= (7^17 ’х*!’б)Лх)=	,ХФ~\.
С-9.6. Найдите все значения а, для каждого из которых сле-
дующее неравенство выполняется при всехх:
217
С-9.7. (МГУ, мехмат, 1989 г.) Найдите наименьшее из значений
х, для которых существуют числа у и г, удовлетворяющие уравне-
нию х2 + 2у2 + г1 + ху — xz — уz= 1.
С-9.8. (МГУ, биофак, 1989 г.) Какое наименьшее значение мо-
жет принимать выражение а — 2Ь + с, если 2а2 + Ь2 + с2 = 3?
С-9.9. Какое наибольшее значение может принимать сумма
х + Зу, если х и у удовлетворяют неравенству х2 + ху + 4у2 < 3?
С-9.10. Пусть а, b и с — стороны произвольного треугольника.
Докажите, что для них выполнится неравенство:
а)	2(аЬ + ас + Ьс) > а2 + Ь2 + с2;
Указание. Так как а. Ь и с — стороны треугольника, а нера-
венство симметрично, то, не нарушая общности рассуждения
можно считать, что 0 < а < b < с < а + Ь. Далее можно рассмот-
реть квадратическую функциюДх) = х2 — 2(а + Ь)х + а2 + Ь2 -
— 2аЬ и постараться убедиться, что f(b) < 0 и f(a + b) < 0, но с =
= а + b — абсцисса вершины соответствующей параболы, а зна-
чит, достаточно показать, что f(b) < 0. Вычисляя f(b), получаем,
чтоД6) = а(а — 4Z>), а так как 0 < а < Ь, тоf(b) < 0, что и завершает
решение задачи;
б)	3(аЬ + ас + Ьс) < (а + Ь + с)2 < 4(ab + ас + Ьс);
в)	а(Ь — с)2 + b(c — а)2 + с(а — b)2 + 4abc > а3 + Ь3 + с3;
г)	(а2 + b2 + с2)(а + b + с) > 2(я3 + Ь3 + с3);
д)	а3 + Ь3 + с3 + ЗаЬс > 2(а + Ь)с3;
е)2(?+-+-1 >-+£+- +3;
V b с а ) с b а
ж) а2 + Ь2 + с2 + 4а Ьс < , если а + b + с = 1.
С-9.11. Найдите все значения к, для каждого из которых нера-
венство X2 + у2 + Z2 > к(ху + xz + yz) выполнится при любых
действительныхх, у nz.
Указание. Если при некотором к неравенство всегда выполне-
но, тогда дискриминант трехчлена (относительно х)х2 — к(у + z)x +
+ У2 + z2 — kyz отрицателен (точнее, не положителен) при любых
у и z,T.e. D = к2(у + z)2 — 4у2 — 4z2 + 4/гуг = (к2 — 4)у2 + 2(к +
+ 2)kyz + (к2 — 4)z2 < 0. Отсюда следует, что обязательно к2 — 4 < 0,
причем при к = — 2 неравенство задачи выполнится всегда, а при
к = 2 — нет, но если (к.2 - 4)_у2 + 2(к + 2)kyz + (к2 - 4)z2 < 0 (для
любых у и z), то (2(к + 2)kz)2 - 4(£2 - 4)(£2 - 4)г2 < 0, т. е.
4(к + 2)2(к2 — (к — 2)2)z2 < 0, а значит, (к + 2)2(4£ — 4)^2 < 0, что
означает: к < 1.
218
С-9.12. Докажите, что для любых действительных х и у спра-
ведливо неравенство
79 + х2 — Зха/З + 7х2 + у2 — ху^З + Ту2 + 16 - 4^73 > 5.
Указание. Для случая х > 0 и у > 0 рассмотреть египетский
треугольник АВС и два луча, делящие его прямой угол С на три
равные части. На этих лучах отложить отрезки длиной х и у (полу-
чим точки В1 и В2), а затем воспользоваться неравенством
АВГ + + В^2 4- В2В > АВ.
С-9.13. Решите уравнение:
а)	79 + х2 — 3x^2 + 716 + х2 - 4x72 = 5;
б)	79 + х2 - 3x73 + 7х2 + у2 - хуТЗ + 716 -ь j/2 — 4уТЗ = 5.
С-	9.14. Докажите, что для любых натуральных чисел тип (ес-
ли т > п > 2) справедливо неравенство
_1_ + _!___ +_ + _!_ <	2
л2 (л + I)2	т2 2п — 1 ’
Указание. Рассмотреть функциюДх) = р , х е (0; 4-оо) и ин-
т +
теграл J f(x)dx.
п~2
С-9.15*. Докажите, что для любого натурального п (если п > 2)
справедливо неравенство
4л + 3 /—	а/2 /т /z ,	/— 4л + 3 /—	1
—g— Jn —	<71 + а/2 + ... + Jn < —g—	- g •
С-9.16. Докажите, что для любого натурального п (если л > 2)
справедливо двойное неравенство
2^ + i_^<^ + ^+-" + ii<27”+i"''/L
С-9.17. Докажите, что для любых положительных чисел а, b
и с справедливы неравенства:
д8 + £8 + с8 > J	1	1
a3b3c3 а	b с
б) 2(а3 + Ь3 + с3) > ab(a 4- Ь) 4- Ьс(Ь 4- с) 4- ас(а 4- с);
в) 9(«3 4" Ь3 4~ с3) (а 4- Ь 4- с)3;
219
г) 3(<з3 4-	+ с3) > (а 4- Ь 4- с)(а2 4- Ъ2 4- с2);
д) а3Ь 4- Ь3с 4- с3а > а2Ьс 4- Ь2са 4- c2ab.
С-9.18. Докажите, что для любых положительных чисел а{
а2> ‘^ап(п 2) справедливо неравенство:
Д? а2	ап
а) — 4- — 4-... 4- — >	4-... 4- а *
d> а2 а3	1	2
С-9.19. Докажите, что если а, Ь, с — произвольные действи-
тельные положительные числа, то для них справедливо неравенст-
a + b,b + c,c + a^.f а , b , с \
вос а b	6 + с с + а а + b )
С-9.20. Докажите, что если 0 < х,- < , где i = 1, 2,..., п (п > 2),
П*/
то имеет место неравенство -;
v = l )
С-9.21. Докажите, что для любых действительных положитель-
ных чисел а, Ь, с, d справедливо неравенство
_?_ + _L_ +	+ -Л- > 2
b + с c + d d + a a + b
С-9.22. Докажите, что для любых действительных положитель-
ных чисел a, b, с, d, е, f справедливо неравенство
— + — + — +	>3
b + с c + d d + е в +f f+ а	a + b
С-9.23. Докажите, что для любых действительных положитель-
ных чисел а , b и с справедливо неравенство
N с 'll a N b
С-9.24. Докажите, что для любых действительных положитель-
ных чисел р।, р2, ...,р5 справедливо неравенство
Р\ + Pi + Рз + Р< + Ръ > 5
р2+р3	Р^+Р^ Pb + Ps Рь+Р\ Р\+Р2'?-'
220
09*25. Докажите, что для любых положительных а, b нскпе
е N справедливо неравенство
ап +	+ с” > ап~х + Ьп~х + сп~х
b + с с + а а + b	2	’
С-9.26. Докажите, что для любого действительного р, не мень-
шего двух, и для любых действительных положительных чисел
а2,..., ап, bv b2ibn (п > 2 ) справедливо неравенство
п	п	f п
Ъа1? • Z > п2~р • ( X afii ] .
/ = 1	/ = 1	4 = 1	7
С-9.27. Докажите, что для любого действительного/?, большего
единицы, и произвольных положительных чисел х[9 х2,хп (п >
> 2) справедливо неравенство
7 П X?	п
I Z xi J * X х? •
4 = 1	'	1 = 1
Указание, Перейти к доказательству равносильного ему нера-
венства вида
Темы докладов и рефератов и литература к ним
1.	Выпуклый анализ. Что это такое и чем занимается.
а)	Выпуклые фигуры на евклидовой плоскости.
б)	Теорема о строгой отделимости.
в)	Понятие о теоремах выпуклой геометрии.
г)	Теорема Фенхеля—Моро.
д)	Понятие векторного пространства (конечномерного и Гиль-
бертова).
е)	Кое-что о плоскости Лобачевского.
Литература', 34, 35, 141, 102, 21.
2*. О комбинаторной геометрии выпуклых множеств.
Литература'. 125, 27,11.
3.	Выпуклость и непрерывность функций.
Литература'. 70.
221
4.	Исследование элементарных функций на выпуклость и вогну-
тость.
а)	Определение строго выпуклой функции «по Бурбаки».
б)	Равносильное определение выпуклости для ограниченных
функций.
в)	Исследование на выпуклость функций элементарными сред-
ствами.
Литература'. 91, 67.
5.	Неравенство Иенсона и одна последовательность треугольни-
ков.
Литература'. 56.
6.	Неравенство Иенсона для функций от двух положительных пе-
ременных.
Литература'. «Квант», 1994, №2; решение задачи М-1396,
С. 25-26.
7.	О нахождении точного значения константы р неравенства
xj + х\ + ... + хгп >р(хххг + хд'з + ... +х„_1Х„).
Литература'. «Математика в школе», решение задачи 4177.
8.	Неравенство Караматы.
а)	Понятие мажорируемое™ упорядоченных наборов из п (п >
> 2 ) действительных чисел.
б)	Теорема Караматы. Для любой выпуклой функции у =
=/(х), определенной на некотором промежутке J, и лю-
бых двух наборов действительных чисел а = (а15 ..., <тЛ), b =
= (ip ..., Ьп) (числа-компоненты из этого промежутка J),
удовлетворяющих условию а > Ь, справедливо неравенство
Ла\) +f(a2) + ... +/(«„) >/(/>,) +/(62) + ... (неравенство
Караматы).
в)	Доказательство неравенства Караматы. Метод раздвигания
переменных.
г)	Неравенство Караматы как обобщение других замечатель-
ных неравенств.
д)	Решение задач с применением неравенства Караматы.
е)	«Весовое» неравенство Караматы и его доказательство.
Литература'. 127.
9.	Неравенство Карлсона.
а)	Некоторые следствия из неравенства Коши—Буняковского.
222
б)	Понятие константы неравенства и константы класса нера-
венств. Точная константа (в том числе и для отношения левой
и правой частей неравенства).
в)	Вывод неравенства Карлсона:
(ах + а2 + ... + ап)4 <	+ а% + ... +
+ ajj + 22а% + ... + п2а2 ).
г)	Некоторые обобщения неравенства Карлсона.
Литература: 123.
10.	Доказательство неравенства треугольника для п-мерного евк-
лидова пространства.
Литература: «Математика в школе», 1966, № 3, С. 6—8.
11.	Неравенство Юнга и его применения.
Литература: 6, 40.
12.	Метод сосредоточения масс и его применение к решению за-
дач.
Литература: 3, 33, 124.
ГЛАВА X
ПРИМЕНЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ
Во введении к данному пособию уже отмечалось, что в боль-
шинстве разделов современной математики неравенства играют
фундаментальную роль. Не обойтись без них ни физике, ни астро-
номии, ни химии. Теория вероятностей, математическая статисти-
ка, финансовая математика, экономика — все эти взаимопрони-
кающие и обобщающие друг друга науки и в формулировках ос-
новных своих законов, и в методах их получения, и в приложениях
постоянно используют неравенства. Вот только конкретные при-
меры, подтверждающие это, не слишком просты. Слишком бывает
сильна охрана в виде частокола многочисленных терминов у зна-
чительного числа серьезных научных результатов, так что про-
браться к сути утверждения или рассуждения бывает весьма за-
труднительно. Чтобы убедиться в том, что подобное имеет место,
можете обратиться к книге Диво и др. Неравенства в механике и
физике. — М.: Наука, 1980. И все-таки имеются примеры и задачи
прикладного характера, когда увидеть и даже самому организовать
применение неравенств не составляет большого труда.
223
§ 1.	Неравенства в финансовой математике
Чтобы обнаружить многочисленные применения неравенств
в экономических и статистических исследованиях, достаточно об-
ратиться, например, к таким книгам, как [ 14, 24] и [36, 38, 32], осо-
бенно к тем разделам этих книг, где решаются оптимизационные за-
дачи (оптимальный — от латинского optimus — наилучший), задачи
математического программирования или изучается оптимальное
управление.
Однако все-таки есть возможность не только зафиксировать
случаи применения неравенств в экономике и финансовой матема-
тике, но и самому разобраться в несложных примерах применения
некоторых неравенств. Интересные приложения неравенств можно
найти в таких книгах, как [24] и [37], а так же в статьях [77; 74; 78]
журнала «Математика в школе» и в статьях [147, 148] приложения
«Математика» к газете «Первое сентября».
Задача 10.1. {Вспомогательная.) При краткосрочных вкла-
дах до востребования вклад S (например, рублей) увеличивается
по следующему правилу: он растет ежедневно на р процентов от
первоначальной суммы 5 (независимо от срока хранения). Найдите
величину вклада спустя п дней его хранения в банке.
Решение. Так как вклад ежедневно увеличивается на одну и ту
же величину d = 5^ = 0,01/75, то через п дней его величина бу-
дет равна 5„ = 5 +	= s( 1 +	).
Задача 10.2. (Вспомогательная.) Пусть увеличение так на-
зываемого срочного вклада 5 производится нар процентов через t
месяцев хранения. Определите величину вклада Sn спустя nt (п —
натуральное) месяцев хранения в банке, если договор продлевался
(пролонгировался) после каждого из /, 2/, 3/, ..., (п — 1)/ месяцев
хранения.
Решение. Согласно условию 5j = 5 +	=5^1 + j, тогда
s_, - I + ± ) = ,S’( 1 + ЗС ) ,.... S„ = 5(1 + ^) (вспомни-
те геометрическую прогрессию).
Задача 10.3. Сравните возрастание через год вклада, поло-
женного по договору под р% прибыли в год, и вклада той же пер-
224
12 п - 1
воначальной величины, если через каждые -, -.... —— части
года (п е N, п > 2) по договору начисляются £ %.
Решение. Пусть первоначальная величина вкладов 5 (напри-
мер, рублей), тогда первый вклад через год будет равен 5^1 +
+ а второй	. Чтобы сравнить выражения
1 + и ( 1 + I , достаточно применить неравенство Бер-
100 V 100/7 2
нулли 1 + па < (1 + а)", где а > 0, п g /V, п > 2. Полагая а =	,
100 л
получаем: 1 +	, т. е. второй вариант договора вы-
годнее для вкладчика, чем первый.
Задача 10.4. Докажите, что второй вариант годового догово-
ра из предыдущей задачи тем выгоднее вкладчику, чем больше п.
Решение. Сравним (при любом п g 2V, п > 2) значения вира-
жений5л_, = 5(1+ 1Ьо(Л_-1...	и5„ = 5(1 + ^_)",ащ1я
этого сравним значения выражений f 1 + t^P—— 1 и (1 +
V 100(л — 1) 2 V
+ -г4тг- • Запишем неравенство Коши для п положительных чи-
100/7 /
сел (среди них есть неравные): а{ = 1, а2 = а3 = ... = ап = 1 +
+ 100(я —1) ’Т- е-: п^а^-ап < i (а, + а2 + ... + а,,).
Таким образом, „ (1 +	— У ' < 1 f 1 + (л - 1) • f 1 +
100(л — 1)2 п V	V
+ ж^1)))’т-е- 41 +W-J - < 1 + TW?’азначит’
fi+___________________р____у-1 < f 1 + Y
V	100(л - 1) ) V	100л )
Таким образом, Sn_{ < Sn и последовательность (Sn) возрас-
тающая (р — фиксированное положительное число). Воспользу-
15. Гомонов
225
емся одним из замечательных пределов: lim 1 + -	= е и убе-
л- — ч-оо у X J
димся, что возрастающая последовательность (Sn) имеет предел:
обозначим положительное число символом а и найдем
/	п \«	/ /	]
lim	I 1	+	- I	=	lim	| |	1 +	-	г	1	= еа, а значит,	Sn <	5е100
п -	V	п )	п сю	V \	«	7	/	'
а
при любом Л7 е ТУ и 5 > 0.
Замечание. Полученное выше неравенство Sn =	1 +
р \П	Р—
+ I < iVe100 позволяет сделать интересный для вкладчиков
вывод: чем чаще в течение года банк начисляет проценты, тем
больше становится (к концу года) сумма вклада, однако неравенст-
р
во Sn< кУе100 показывает, что подобное увеличение не безгранич-
но, так, например, если р = 100%, то более чем в е раз исходная
сумма вклада к концу года не увеличится, но е ~ 2,718, а значит,
все-таки увеличение может произойти даже, например, на 170%,
а не на какие-то всего лишь 100%. Это, конечно, будет только
в том случае, если банк согласится одновременно и выплачивать
100% годовых, и разрешать вкладчику сколь угодно часто пере-
оформлять вклад.
§ 2. Задача Дидоны и другие задачи на оптимизацию
Еще в глубокой древности люди задумывались, как, имея в сво-
ем распоряжении тот или иной ресурс (например, деньги), так им
распорядиться (вложить деньги в «дело», дать в долг под проценты,
раздать нищим, закопать в собственном огороде и т. д.), чтобы по-
лучить наибольшую пользу и наименьший ущерб для себя.
То, что подобные задачи на оптимизацию встречались еще
в античные времена, донесли до нас мифы Древней Греции и Ри-
ма. Причем интуиция и опыт человеческий уже тогда позволяли
«нащупать» решения подобных задач, дающие оптимальный или
близкий к оптимальному результат.
Вот один из таких мифов, наполовину древнегреческий, напо-
ловину древнеримский (древние римляне обожали создавать про-
226
должения к мифам Эллады). Дочь царя Тира, Дидона, жена жреца
храма Геракла Акербаса вынуждена была бежать из Финикии в Се-
верную Африку. Причина бегства — ее брат, Пигмалион, позарив-
шийся на богатства ее мужа и убивший его. Многочисленные со-
кровища мужа и (видимо поэтому) многочисленные спутники Ди-
доны нуждались в пристанище. Чтобы обрести его, беглянка
купила у берберийского царя Ярба землю, причем по условию она
в обмен на немалые сокровища могла взять ровно столько земли,
сколько покроет одна бычья шкура. Чтобы выполнить это условие
и получить достаточно обширную территорию, Дидона разрезала
шкуру на тонкие ремни, сделала из них длинную веревку и «окру-
жила» ею изрядный кусок земли, естественно, круглой формы, на
котором основала Карфаген. Любопытно, что карфагенская цита-
дель называется Бирса (Бирсу), что в переводе с греческого означа-
ет «шкура». Однако дальнейшая судьба Дидоны была трагическая:
она покончила жизнь самоубийством. По одной версии, чтобы
спасти Карфаген от царя Ярба, который пожелал заполучить
и Карфаген, и ее, Дидону, по другой версии (так говорят древне-
римские сказания) — из-за разлуки со своим возлюбленным Эне-
ем, который нашел у Дидоны приют после гибели Трои, но по воле
богов должен был плыть дальше в Италию.
Но вернемся к математике. Задача, которую решила Дидона,
может быть сформулирована так: найти замкнутую кривую задан-
ной длины, ограничивающую часть плоскости с максимальной
площадью. В таком общем виде эта задача слишком сложна.
В «большой» математике подобными задачами занимается раз-
дел, называемый вариационным исчислением, в котором разра-
ботаны методы нахождения экстремальных значений функций от
переменных, чьи значения тоже функции. Однако, если упрос-
тить задачу Дидоны и договориться о более конкретных формах
участка земли, то возникают задачи, чьи решения могут быть по-
лучены без обращения к высшей математике (кстати, и замеча-
тельные неравенства помогут в поиске их решений). И еще: зада-
чи типа задачи Дидоны называют в математике изопериметриче-
скими задачами (от греческих слов isos — равный и perimetrio —
измеряю вокруг).
Задача 10.5. Найдите из множества всех прямоугольников
с заданным периметром тот, чья площадь наибольшая.
Решение. Обозначим стороны искомого прямоугольника сим-
волами х и у, а его периметр — символом р > 0, тогда задача стоит
15*
227
так: при каких х и у — положительных числах, удовлетворяющих
условию 2х + 2у = р, их произведение будет наибольшим. Нера-
венство Коши позволяет без труда решить эту задачу: х >
> Jxy, ху < ( J, т. е. ху < (£ j . Итак, подозрительным на
р2
наибольшее значение произведения ху является число , но до-
стигается ли оно при допустимых х и у? Да, достигается. Полагая
х = у из равенства 2(х + у) =р, получаем, что х = у = £.
Задача 10.6. Найдите среди всех прямоугольников с задан-
ной площадью тот, чей периметр наименьший (обратная или двой-
ственная задача к задаче 10.5).
Задача 10.7. Найдите среди всех треугольников с заданным
периметром тот, чья площадь наибольшая.
Решение. Если обозначим стороны произвольного треуголь-
ника символамих, у, z, то по условию 0 <х < у + z, 0 < у <х + z,
0<z<x + у их + у + z = 2p ,где фиксированное числор > 0. Тре-
буется определить наибольшее значение выражения S =
= 7р(р - а)(р - Ь)(р - с) = Jp • 7(р - а)(р - Ь)(р - с).
Неравенство Коши немедленно дает V(p — а)(р — Ь)(р — с) <
< (р__а) + (р г,) + (р_с) =р	ЙЛ3 =pL
3	3	a/vJ зТз
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда р — а =
= р — b = р — с, т. е. для равностороннего треугольника.
Задача 10.8. (Пространственный аналог упрощенной зада-
чи Дидоны.) Из всех прямоугольных параллелепипедов с задан-
ной площадью поверхности определите тот, чей объем наиболь-
ший.
Задача 10.9. Из всех треугольников, у которых заданы одна
сторона и сумма двух других, найдите тот треугольник, чья пло-
щадь наибольшая.
Указание. Введите обозначения: длину известной стороны
обозначьте 2а, а сумму длин двух других сторон 2Ь (очевидно, что
b > а), тогда одну из этих сторон можно обозначить b + х, а другую
Ь — х и воспользоваться формулой Геронадля вычисления площа-
ди треугольника.
228
§ 3. Поиск наибольших и наименьших значений
функций с помощью замечательных неравенств
Одно из приложений замечательных неравенств — это их весь-
ма успешное использование при нахождении наибольших или на-
именьших значений функций, минуя обращение к исследованию
производных этих функций. К сожалению, подобная возможность
в значительной степени зависит и от заданной функции, и от ис-
кусности того, кто решает соответствующую задачу. Примеры по-
иска наибольших и наименьших значений некоторых функций
уже встречались, поэтому последний параграф последней главы
пособия хотелось бы начать с совета, обратить внимание на три из-
дания, в которых можно найти десятки и сотни примеров на обо-
снование неравенств и их применение к нахождению наибольших
и наименьших значений функций — это книги [22], [23] и [24].
К этим трем изданиям хочется добавить еще четыре, многие годы
служившие делу народного образования (правда, почти без
использования замечательных неравенств):
1.	Беляев А. Задачи на наибольшие и наименьшие величи-
ны. - М.: 1881.
2.	Беляев А. Простые способы находить наибольшие
и наименьшие величины некоторых количеств. — М.: 1882.
3.	Беляев А. Элементарная теория наибольших и наименьших
величин. Дополнение к курсу начальной математики. — М.: 1882.
4.	Шмулевич П. К. Сборник задач, предлагавшихся на
конкурсных экзаменах при поступлении в специальные высшие
учебные заведения. Ч. II. Алгебра. — С.-Петербург: 1912.
А теперь рассмотрим несколько задач соответствующей тема-
тики и начнем с напоминания об уже ранее рассмотренной задаче
9.37, настолько она хорошо демонстрирует полезность замечатель-
ных неравенств.
Задача 10.10. Найдите для множества всех треугольников
наибольшее и наименьшее значение суммы синусов их внутренних
углов.
Решение. Наибольшее значение ищется моментально, если
записать для функции f(x) = sin х, х е (0; я) неравенство Иенсона
sin х + sin у + sin г / . х + у + z	. л
-------Y------ ч sin-------. Оно для любого ДЛ ВС немед-
ленно дает оценку сверху для интересующей нас суммы:
229
sin A + sin В + sin C < 3sin + y~-~" = 3sin 5 = 73 , причем ра-
венство в этом соотношении достигается при А = В = С = .
А вот наименьшего значения сумма синусов внутренних углов
треугольников не достигает, но может быть сделана сколь угодно
близко к нулю (представьте тупоугольный треугольник, «близкий»
к отрезку).
Задача 10.11. (МГУ, мехмат, 1966.) Из гранита нужно выру-
бить постамент в форме прямоугольного параллелепипеда, высота
которого должна быть равна диагонали основания, а площадь ос-
нования должна быть равна 4 мI 2. При каких длинах сторон основа-
ния площадь поверхности постамента будет наименьшей?
Решение. Обозначим символами х и у длины (в метрах) сто-
рон прямоугольника, лежащего в основании постамента. Тогда
высота постамента Л = Jx2 + у2, а площадь поверхности -У =
= 2(х + y)Jx2 + у2 + 8, причем ху = 4 и х, у — положительные
числа. Так какху = 4, х > 0, у > 0, то неравенство Коши немедлен-
но дает, что х + у > 2 Jxy = 4, а х2 + у2 > 2ху = 8, т. е. Jx2 + у2 >
> а/8 . Следовательно, 5>2*4л/8 + 8 = 8+ 16 72 (м2), причем ра-
венство, очевидно, достигается прих = у = 2.
Задача 10.12. Найдите наименьшее значение функции
/(х) = ах + , х g (0; +°°); а и Ь — фиксированные положитель-
ные числа.
Решение. Так как для любого положительного х \ ( ах + - 1 >
2 I х )
I b _ г-т
JaXx ~	> то «подозрительным» на наименьшее значение
функцииДх) будет число 2 Jab , и оно им будет, так как уравнение
b	[b
ах = - имеет положительное решение /- .
Задача 10.13. Найдите наименьшее значение функцииДх) =
= ахП + х™’ХЕ: (О’ +°°)’ аи Ь ~ фиксированные положительные
числа, т и п — натуральные.
230
Решение. Так как ахп +	=	~х" + •••+	+
т слагаемых
b ,	. b
+ пх"’ + + atV" ’ Т0 ПРИ люб°м положительном х неравенство
п слагаемых
Коши дает следующее соотношение для полученных выше т + п
ахп + —
хт
т + п
слагаемых:
т + п
”'+'Ц тт х'""п
\ ат Ьп
т + п\----. Остальное очевидно.
А/ т т п п
Задача 10.14. Найдите наименьшее значение функции
/(x) = A-^T-\xe (0;+оо).
Решение. Представим данную функцию в следующем виде
Дх) = х2 + 1 + - + - и применим неравенство Коши к этим четы-
рем положительным при любом х е (0; +°°) слагаемым; сущест-
венно, что произведение этих четырех выражений от х не зави-
сит (впрочем, слагаемое 1 может быть временно отброшено!),
в результате получим:
1 L 1
/(%) =
4
т. е. при любом х 6 (0; +°о) f(x) > 4 , причем число 4 является зна-
чением рассматриваемой функции, так как система х2 = 1 = -
имеет своим решением число 1 е (0; Too).
Замечание. Стоит отметить, что можно предложить и
другие представления заданной функции, например, такое: Дх) =
= х2 + 1 +	+	, однако важно, чтобы условия, при которых
неравенство Коши реализуется в варианте равенства, выполнялись
хотя бы для одного из значений аргумента из области определения
заданной функции. Для приведенного выше представления такого
7	1	0,5	1,5
значения нет, так как система х2 = 1 = —— = -2- вообще не сов-
х	х
местна, а значит, данное «неудачное» представление к решению за-
дачи не приводит.
231
Задача 10.15. Найдите наибольшее значение функции
/(х) = (1 -х)3*(1 + 3х),х е
Решение. Очевидно, что данную функцию можно представить
в виде произведения следующих четырех выражений, каждое из
которых при любом значении аргумента из области определения
принимает сугубо положительное значение, а именно: f(x) = (1 -
-х)(1 - х)(1 - х)(1 + Зх). Очень важно, что сумма этих четырех
выражений от х не зависит. Применяя теперь к этим четырем
выражениям неравенство Коши, имеем:
47/Ж) = 47(1 -Х)(1 -х)(1 — х)(1 + Зх) <
< 1 — х + 1 — х + 1 — х + 1 + Зх _ j
4	’
т. е. для любого х из 1 ^j/(x) < 1, причем число 1 — значение
данной функции, так как система уравнений 1—х=1—х =
= 1 - х = 1 + Зх имеет решение — число 0, принадлежащее области
определения данной функции.
Задача 10.16. Найдите наибольшее значение функции
fix) = х2 • 74-х2, D(f) = 1-2; 2].
Указание. См. задачу С-3.7.
В заключение главы отметим, что использованные при реше-
нии предшествующих задач приемы легко обобщить в виде сле-
дующих двух теорем, чьи доказательства предлагается провести са-
мостоятельно в качестве несложных упражнений.
Теорема 1. {Теорема о постоянной сумме.) Произведе-
ние п (п е N, п > 2) положительных переменных сомножи-
телей, чья сумма постоянна и равна S, имеет наиболь-
( s \п
шее значение I - I , достигаемое при равенстве этих сом-
ножителей.
Теорема!. (Теорема о постоянном произведении.) Сумма п
(п е N, п > 2) положительных переменных слагаемых, про-
изведение которых постоянно и равно П, имеет наименьшее
значение п • nff\, достигаемое при равенстве этих слагае-
мых.
Упражнение. Проанализируйте изученные вами замечатель-
ные неравенства с целью получения аналогов сформулированных
выше теорем.
232
Задачи для самостоятельного решения
С-10.1. Найдите наименьшее значение функции:
а)Дх) = х + f ’ х 6 (°; +со); с - произвольное фиксирован-
ное положительное число;
б)Дх) = -—,х 6 (0; +°°), и — любое натуральное;
в)Дх) =	* 16 , х е (0;+оо); г)Дх) = Зх .хе (-1; 1).
С-10.2. Найдите наибольшее значение функции:
а)Дх) = (1 -х)5(1 + х)(1 + 2х)2,хе )i
б) f(x) = Зх + 4 • л/1 — х2, х е (— 1; 1);
в)Дх) = х2 • Ja2 — х2, х е (—а; а), а — любое фиксированное
положительное число;
г)Дх) = sin3 х — sin6 х, х е R.
С-10.3. (МГУ, филологический ф-т, 1972.) При каких положи-
3-
Jo
тельных х функция у = 2х +	• принимает минимальное значе-
ние?
С-10.4. (МГУ, экономический ф-т, 1969.) При каком действи-
ях _ 1
тельном х функция у =--------- принимает наименьшее значе-
2х - х2 - 4
ние?
С-10.5. (МГУ, 1966.) Требуется изготовить коробку в форме
прямоугольного параллелепипеда. Площадь дна коробки должна
быть равна 2 дм2, а боковая поверхность 18 дм2. При каких разме-
рах коробки сумма длин всех ее ребер будет наименьшей?
С-10.6. Мальчик подошел к последнему вагону электрички
в тот момент, когда электричка тронулась и начала двигаться с по-
стоянным ускорением а. Единственная открытая дверь электрич-
ки оказалась от мальчика на расстоянии -У. Какую наименьшую
постоянную скорость должен развить мальчик, чтобы успеть сесть
в поезд?
С-10.7. Найдите наибольшее значение функции
f(y\ = У(*2 + 1)2(х2 + 3)
Зх2 + 4
233
Указание. Рассмотреть функцию
3/<п f(x\ = -j 1~'х~ + 5.5х2 + 5.2(х2 + 3)
V3U/W -^3х2 + 4 зл2+ 4 3х2 + 4 ’
С-10.8. Найдите наименьшее значение функции
Дх,у, z) - — +	еслих > 0, у > 0, z > 0 их2 + у2 + z2 = 1-
С-10.9. Найдите наибольшее значение выражение х2 + у2, если
|3х + 2у\ < 6 и |7х - Зу| < 4.
С-10.10. Найдите наименьшее значение функции
Дх) = 71 + х2 — X + 71 + X2 — Хл/з .
С-10.11. Найдите	наименьшее	значение функции
f(x у	+ _Z1_ + если х > 0, у > 0, z > 0, и, кроме
х+у y + z	z+x^
того,
Jxy + n/y~Z + Jzx = 1.
С-10.12*. Найдите множество значений суммы
а + b	с + d
а + b + d а + b + с b + с + d а + с + d ’
если а, Ь, с, d — произвольные положительные действительные
числа.
С-10.13. Найдите наименьшее значение многочлена
р(х, у) = 4 + х2у4 + х4у2 — Зх2у2.
С-10.14. Найдите наименьшее значение функции
f(x,y) =хх + уУ, еслих = 1, х е (0; 1) и у е (0; 1).
С-10.15. Числах и у удовлетворяют условию
X2 + ху + у2 = X + у
Найдите наибольшее значение суммы х2 + у2.
С-10.16. Найдите максимум произведения xyz, если известно,
X2	7^
ЧТО ^5 +	+ ^- = 1.
aL bL с1
С-10.17. Найдите наибольшее значение функции
У) = -2-+ ху +	, если х > 0 и у >0.
X2 — ху + у2-
С-10.18, а) Найдите минимум функции
У = л/х2 — 2тх + л2 4- Jx2 — 2рх + q2 , где \т\ < |л| и |р| < |</|.
234
б) Найдите максимум функции у = Jx2 + 2тх + п2
- Jx2 - 2рх + q2, где п > т > 0 и q >р > О.
С-10.19. Числа х, у и z удовлетворяют условиям х2 + ху + у2 =
и у2 + yz + Z2 = 16. Найдите наибольшее значение суммы ху
+ xz+yz-
Темы докладов и рефератов и литература к ним
1.	Теория вероятностей помогает доказывать неравенства.
Литература'. 126.
2.	Якоб Штернер (1796—1863) и его решение задачи Дидоны.
Литература'. 144.
3.	Учимся оценивать величины.
а)	Оценки значений алгебраических выражений.
б)	Оценка геометрических величин.
Литература'. 88.
4.	Что такое е и кто его придумал?
Литература'. 117, 138.
5.	Минимум в физических задачах.
Литература'. 132.
6.	Кеплер, винные бочки и секрет Старого Бондаря.
Литература'. 139.
7.	Замечательные неравенства помогают решать уравнения.
Литература'. 85.
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Контрольная работа № 1
1.	Сравните числа 1 + 72 и 74.
2.	Докажите, что для любых действительных а, b справедливо
неравенство
а2+ 72 + 73 .а.6 + £2>0.
3.	Докажите, что для любых неотрицательных а, b имеет место
неравенство
4(а3 + Z>3) > (а + 6)3.
4.	Докажите, что для любого действительного х справедливо
неравенство
х4 + х3 + х + 1 > 0.
5.	Докажите, что для любого натурального п
2п>п.
6.	Докажите, что если ху + xz + yz - 0, то
(х + у + z)2 - х2 + у2 + Z2.
7.	Докажите, что если а • b < 0, то
т + -<-2-
о а
8.	Найдите наименьшее значение функции
/(х) = х2 + — , X G (0; +оо).
х2
9.	Опровергните следующее неравенство, т. е. докажите, что
оно справедливо не для всех допустимых действительных а и Ь\
? + - > Л + !.
b a ab
236
Контрольная работа № 2
1.	Сравните числа 73 + 75 и V7.
2.	Докажите, что для любых действительных а, b и с справед-
ливо неравенство
(с2 + 1)(я2 + d2) > ab.
3.	Докажите, что для любых положительных а, b и с справед-
ливо неравенство
____L_<_b+_^+_L_.
а + Ь + с а + b а + с b + с
4.	Докажите, что для любого действительного х имеет место
следующее двойное неравенство
1 < -*2 —х + 1 < з
3 х2 4- х + 1
5.	Докажите, что для любого натурального п, большего двух,
справедливо неравенство
2" > 2л + 1.
6.	Докажите, что если х + у + z = 0, то
X3 + у3 + Z3 = Зхуе.
7.	Докажите, что для любых положительных чисел а и Ь, если а
больше /?, то справедливо двойное неравенство:
(Д - Ь)2 < а + b _ г—г < (а - Ь)2
Sa 2 V	Sb ’
8.	Найдите наименьшее значение функции
Дх) =	, х е (0; +оо).
9.	Опровергните следующее неравенство, т. е. докажите, что
оно справедливо не для всех допустимых действительных а и Ь:
л2 . Ь2 > _ 1 д _1_ 1
— + — а -г ь -г 1.
Ь а
Контрольная работа № 3
1.	Расположите в порядке возрастания числа \[3 , 5j5 , V6 .
2.	Докажите, что для любых действительных а, b и с справед-
ливо неравенство
а2 + Ь2 > а • b • sin(<72 + Z?2).
3.	Докажите, что для любых положительных а и b имеет место
неравенство
4.	Докажите, что для любого действительного х
х8 — л-5 + х2 —х + 1 >0.
5.	Докажите, что для любого натурального п справедливы не-
равенства:
а) 1 + 1 + ... + ± < 2;
Р 23 п5
М1+Я<3-
6.	Докажите, что
X + у
|х-у|
= 72,
если х > 0, у > 0 и х2 + у2 = бху.
7.	Докажите, что если X] + х2 + ... + х„ = 1, то
X? + X? + ... + х2 > - ,
1х	п п
где п — любое натуральное, большее единицы.
8.	Найдите наибольшее значение функции
/(х) = (1 -х)5(1 +х)(1 + 2х)2,х е (-1; 1 ).
9.	Опровергните следующее неравенство, т. е. докажите, что
оно справедливо не для всех действительных а и Ь\
а3 + /Р > а2Ь2(а2 + Ь2) + а2Ь2.
КРАТКИЙ БИОГРАФИЧЕСКИЙ СЛОВАРИК
Бернулли Якоб (1654—1705) — швейцарский математик, один
из наиболее известных представителей многочисленной семьи
Бернулли.
Буняковский Виктор Яковлевич (1804—1889) — русский мате-
матик, академик Петербургской Академии наук (1830), наиболее
важные его результаты относятся к теории вероятностей, теории
чисел, математическому анализу и теории неравенств.
Гарриот (Харриот) Томас (1560—1621) — английский матема-
тик, в труде «Практика аналитического искусства...» ввел знаки
< (меньше) и > (больше).
Гёльдер (Хёльдер) Людвиг Отто (1859—1937) — немецкий ма-
тематик, основные его труды принадлежат алгебре, математиче-
скому анализу, теории неравенств и основаниям математики.
Гюйгенс (Хёйгенс) Христиан (1629—1695) — голландский ме-
ханик, физик и математик, построил первые часы с маятником.
Дидона — мифологический персонаж древней Эллады и Рима,
при необходимости может быть назначена богиней оптимизации.
Иенсон (Йенсон) Иоганн Людвиг (1859—1925) — датский ма-
тематик, работал в области теории функций.
Карамата Иован (1902—1967) — югославский математик, зани-
мался теорией рядов Фурье (гармоническим анализом), математи-
ческой статистикой.
Коши Огюстен Луи (1789—1857) — французский математик.
Лагранж Жозеф Луи (1736—1813) — французский математик
и механик.
Минковский Герман (1864—1909) — немецкий математик
и физик.
Мюрхед Роберт Франклин (1860—1941) — английский мате-
матик, автор метода мажоризации — одного из весьма общих мето-
дов получения и доказательства неравенств.
239
Непер (Нейпир) Джон (1550—1617) — шотландский матема-
тик, изобретатель логарифмов.
Папп Александрийский (вторая половина III века) — древне-
греческий математик, автор труда «Математическое собрание»,
посвященного арифметике, геометрии и астрономии.
Пеано Джузеппе (1858—1932) — итальянский математик, об-
щеупотребительной стала его аксиоматика ряда натуральных чи-
сел.
Фейер Л и пот (1880—1959) — венгерский математик, занимал-
ся теорией тригонометрических рядов.
Штернер Якоб (1796—1863) — швейцарский геометр, автор по-
чти элементарного решения задачи Дидоны.
Юнг Уильям (1863—1942) — английский математик, занимался
теорией функций, дифференциальным и интегральным исчисле-
нием.
ОТВЕТЫ
2.^.7-= + 0.3>(^--’+L»2.2.a)»7>-;6)™>^
(учесть, что 297( < 2-1971). 2.3.	> ^|. 2.7. tog,2 >
2.8. В каждой паре числа равны. 2.9. «/7 — Тб < 7б - л/5.2.12. Не
верно. 2.14. log9 7 < log7 8. 2.15. 2^ < 6; 7^ > 5-fi. 2.16. log, 5 <
< log2 3.2.17. Верно. 2.21. log1516 > logl6 17. 2.25.4tg 1° < tg4” < 3tg 2° <
< 2tg3°. 2.28. log3 2 < log4 3; log6 7 > log7 8.2.31. In	. 2.32.2'00 +
+ 3100 < 4100. 2.33. 785. 2.36. Плюс. 2.37. ee •	> е2л. 2.38. ЮО101 >
> 10110°; (72)^ < (ТЗ)75; ел > тсе. 2.39. In 9 >	• С*2Л- 3-
С-2.5. Первое число больше второго. С-2.8, а) 200! < ЮО200; б) 300! >
> ЮО300. С-2.12. Эти числа равны. С-2.21, а) 23; б) 4; в) 2. 3.25. к -
любое действительное число из [—2; 2]. 3.29. Значение первого вы-
ражения всегда больше соответствующего значения второго выра-
жения при произвольных положительных т и п. С-3.5. 2 721 при
* - Л- С-3.6./„. - ¥	("Р" А ) С-3.7./.,,,  ?	» Д2
{ при х = ±1 724 1 4.15. При и = 3, равно 73 . 5.6. Н —; — \
3	7	V2 V2 7
1 (0; 1), (0; -1), (1; 0), (—1; 0) L 5.7. Система несов-
V V2 1/2 7	J
местима. 5.8./тах = 6. 5.9. ±. С-6.7*, ху + yz + zx =
16. Гомонов
241
= ±	’ где р = ^-у+ с. с-6.11. -1.
J3 и	1
С-6.13. 0. с-6.19*.	7.2. Иср = Я(И„ и2, ..., И„). 7.4. R =
=	= 1 H(R{. /?2). 9.5. Точка И(О1, .... апУ,А(Ь{, ..., Ьп)).
9.8. 2max = V5.9.37. Наибольшее значение равно л/З и достигает-
ся у произвольного равностороннего треугольника. С-9.11. [-2; 1].
10.1.	Sn = S( 1 +	) (получили так называемую формулу прос-
тых процентов). 10.2. Sn — 5^ 1 +	) (получили так называе-
мую формулу сложных процентов). 10.5. Квадрат. 10.6. Квадрат.
10.7. Равносторонний треугольник. 10.8. Куб. 10.11. В основании
лежит квадрат со стороной 2 м. 10.12./min = 2 Jab при х =	.
10.13.	= (т + «)• m + ПРИ х ~ m +	Ю’14’ 4 ПРИ
х= 1.10.15. 1 прих = 0.10.16. у л/3 прих =	.
БИБЛИОГРАФИЯ
Книги и брошюры
Основной список
1.	Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в совре-
менную теорию чисел. — М.: Мир, 1987.
2.	Алфутова Н. Б., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел.
Сборник задач для математических школ. — М.: МЦНМО, 2002.
3.	Балк М. Б., Болтянский В. Г. Геометрия масс. — М.:
Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. (Библиотечка «Квант». Вып. 61).
4.	Балк М. Б., Балк Г. Д., Полухин А, А. Реальные примеча-
ния мнимых чисел. — Киев: Радянська щкола. — 1988.
5.	Беккенбах Э., Беллман Р. Введение в неравенства. — М.:
Мир, 1965.
6.	Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. — М.: Мир, 1965.
7.	Бухштаб А. Л. Теория.чисел. — М.: Просвещение, 1966.
8.	Васильев Н, Б., Гутенмахер В. Л., Раббот Ж. М.,
Тоом А. Л. Заочные математические олимпиады. — 2-е изд.
перераб — М.: Наука, 1986.
9.	Виленкин Н. Я. Метод последовательных приближений. —
М.: 1968.
10.	Гаврилов В, И. Математический анализ: Курс лекций. Ч.
jj _ м.: Школа имени академика А. Н. Колмогорова. — 1999.
1L	Грюнбаум Б, Этюды по комбинаторной геометрии и тео-
рии выпуклых тел. — М.: Наука, 1971.
12.	Гюйгенс X. О найденной величине круга: Сборник
«О квадрате круга». — М.—Л.: ГТТИ, 1936.
W Дорофеев Г. В. и др. Пособие по математике для посту-
пающих в вузы. — М.: Наука, 1976.
14.	Кипнис И. М. Сборник прикладных задач на неравенства:
Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1964.
is*
243
15.	Колмогоров А. Н. О языке математических знаков //
Математика — наука и профессия. — М.: Наука, 1988. — С. 166—
173.
16.	Коровкин П. П. Неравенства. — М.: Наука, 1966.
М.КюршакЙ., Нейкомм Д., Хайош Д., ШуранцЯ.
Венгерские математические олимпиады — М.: Мир, 1976.
18.	Маршалл А., Олкин И. Неравенства: теория мажориза-
ции и ее применение. — М.: Мир, 1983.
19.	Моденов П. С. Задачи по геометрии. — М.: Наука., 1979.
20.	Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. В 2 ч. — М.:
Наука, 1995.
21.	Рокафеллар Р. Т. Выпуклый анализ. — М.: Мир, 1973.
22.	Седракян Н. М., Авоян А. М. Неравенства. Методы
доказательства / Пер. с арм. Г. В. Григорян. — М.: Физматлит, 2002.
23.	Сивашинский И. X. Неравенства в задачах. — М.: Наука,
1967.
24.	Симонов А.С. Экономика на уроках математики. — М.:
Школа-Пресс, 1999. (Библиотека журнала «Математика в школе»).
25.	Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и инте-
грального исчисления. -Т. 3— М.: Наука 1970.
26.	Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и инте-
грального исчисления. — М.: Наука. — Т. 1. — 1979.
27.	Хадвигер Г., Дебруннер Г. Комбинаторная геометрия
плоскости. — М.: Наука, 1965.
28.	Харди Г. Г., Литтльвуд Дж. Е., Полиа Г. Неравенст-
ва. — М.: Ин. лит., 1948.
29.	Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. Гео-
метрические неравенства и задачи на максимум и минимум. — М.:
Наука, 1970.
30.	Шкляревский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. Избран-
ные задачи и теоремы элементарной математики. Ч. 1. Арифметика
и алгебра. — М.: Физматгиз, 1954.
31.	Яглом И. М. Комплексные числа и их применение в
геометрии. — М.: Физматгиз, 1963.
Дополнительный список
32.	Анциферов Е. Г., Ащенков Л. Т., Булатов В. П. Ме-
тоды оптимизации и их приложения. Ч. 1. Математическое про-
граммирование. — Новосибирск: Наука, 1990.
33.	Балк М. Б., Балк Г. Д. Поиск решения. — М.: Дет. лит.,
1983.
244
34.	Болтянский В. Г., Яглом И. М. Выпуклые фигуры. —
М.-Л.: ГИТТЛ, 1951.
35.	Магарил-Ильясов Г. Г., Тихомиров В. М. Выпуклый
анализ и его приложения. — М.: УРСС, 2003.
36.	Монахов В. М., Беляева Э. С., Краснер TL Я, Методы
оптимизации. Применение математических методов в экономике:
Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1978.
37.	Петров В. А. Прикладные задачи на уроках математики:
Книга для учителей математики и студентов математических фа-
культетов педвузов. — Смоленск: Из-во СГПУ, 2001.
38.	Четыркин Е. М, Методы финансовых и коммерческих
расчетов. — М.: Дело, 1995.
Статьи журнала «Математика в школе»
39.	Азевич А. И. Система подготовки к единому государст-
венному экзамену. — М., 2003. — № 4. — С. 32—36; 48—49.
40.	Алексеев Р. Б., Курляндчик Л. Д. Неравенства и интег-
рал. - М., 1993. - № 2. - С. 53-56.
^.Алексеев Р. Б., Курляндчик Л. Д. Неравенства. — М.,
1991.-№4.-С. 49-53.
42.	Алексеев Р. Б., Курляндчик Л. Д. Неравенства. — М.,
1991. — №3. -С. 44-46.
43.	Алексеев Р. Б., Курляндчик Л. Д. Нетрадиционные
способы доказательства традиционных неравенств. — М., 1991. —
№4.-С. 49-53.
44.	Антипов И. Н., Боконев О. А. Выделение областей на
координатной плоскости. — 2001. — № 5. — С. 50—55.
45.	Апозян М. Е. Целые и дробные части чисел лиев
примерах. — М., 1988. — № 5. — С. 41—42.
46.	Аргунов Б. И. Фигуры и уравнения.— 1971.— № 2.—
С. 11-16.
47.	Балк М. Б. Применение производной к выяснению ис-
тинности неравенств. — М., 1975. — № 6. — С. 47—53.
48.	Балк М. Б., Паравян Н. А. Неравенства Гюйгенса и их
применение. — М., 1974. — № 2. — С. 70—74.
49.	Балк М. Б., Пискарев Г, Ф. О некоторых приложениях
понятия интеграла в школьном курсе математики. — М., 1977. —
№6.-С. 21-26.
50.	Берколайко С. Т. Применение неравенства Коши к дока-
зательству неравенств Непера. — М., 1978. — № 1. — С. 72—73.
245
51.	Болтянский В. Г., Виленкин Н. Я. Симметрические
многочлены и элементарная алгебра. — М., 1964. — № 2. —
С. 17-29.
52.	Бржозовский М. И. Симметрия и уравнения орнамен-
тов. - М„ 1972. - № 3. - С. 77-78.
53.	Вороной А. Н. Интеграл помогает доказывать неравенст-
ва. - М„ 2002. - № 6. - С. 66—70.
54.	Вороной А. Н. Пять способов доказательства одного
неравенства. — М., 2000. — № 4. — С. 12.
55.	Гальперин И. М., Габович И. Г. Использование вектор-
ного неравенства Коши—Буняковского при решении задач по
алгебре. — М., 1991. — № 2. — С. 54—57.
56.	Гольберг Е. М. Одна последовательность треугольни-
ков. - М„ 1994. - № 4. - С. 64—67.
57.	Гетман Э. Г. О различных способах доказательства гео-
метрических неравенств. — М., 1993. — № 4. — С. 56—59.
58.	Гусева Н. Б., Сычева Г. В. О чем «молчит учебник». —
М., 2000. - № 3. - С. 16-18.
59.	Далингер В. А. О тематике учебных исследований
школьников. — М., 2000. — № 9. — С. 7—10.
60.	Зетель С. И. Геометрическая иллюстрация некоторых
неравенств. — М., 1968. — № 5. — С. 41—42.
(А.	Калинин С. И., Шилова 3. В. К вопросу о геометрической
иллюстрации средних величин. — М., 2001. — № 9. — С. 70—72.
62.	Канин Е. С., Подгорная И. И. Задачи на доказательство
при изучении производной. — М., 1995. — № 2. — С. 64—69.
63.	Колтуновский О. А. Как доказать неравенство для одно-
монотонных функций. — М., 1997. — № 3. — С. 71—74.
64.	Коржавин А. О. Еще одно доказательство неравенства
Коши. - М., 1978. — № 4. — С. 72.
65.	Коровкина В. И. Некоторые применения теоремы о пре-
деле последовательности. — М., 1978. — № 1. — С. 68—70.
66.	Курляндчик Л. Д. Неравенство Коши. — М., 1987. —
№ 5. - С. 58-59.
67.	Левитас Г. Г., Рятова Н. А. Исследование выпуклости
элементарными средствами. — М., 1970. — № 3. — С. 75—76.
68.	Ломакин Ю. В., Капустина Л. В. Доказательство не-
равенств с помощью производных. — М., 1983. - № 1,- С 71—
72.
69.	Марнянский И. А. О представлении функции одной фор-
мулой,— М., 1971, —№2.— С. 71—73.
246
70.	Мирон С. В. Выпуклые функции и их непрерывность. —
М., 1975. —№3. — С. 83-87.
71.	Никулин А, В,, Шейнцвит Р. Л. Неравенство Чебышё-
ва. - М., 1975. - № 6. - С. 69-71.
72.	Ольхов В. Е. Об использовании тригонометрических
функций при доказательстве неравенств. — М., 1979. — №2. -
С. 56.
73.	Островерхая Л. Д. Применение теоремы Лагранжа и ее
следствий при решении задач. — М., 2001. — № 9. — С. 49—53.
74.	Петров В. А. Элементы финансовой математики на
уроке. - М., 2002. - № 8. - С. 38-42.
75.	Пугачев Б. П. Одна из форм работы по исследованию
функций. — 1973. — № 2. — С. 72—74.
76.	Рахманкулов Р. Г. Метод неподвижной точки. — М.,
1994.-№2.-С. 58-60.
77.	Симонов А. С. Проценты и банковские расчеты. — М.,
1998.-№ 5.-С. 30-41.
78.	Симонов А. С. Сложные проценты. — М., 1998. — № 5. —
С. 30-41.
79.	Скопец 3. А. Приложение комплексных чисел к задачам
элементарной геометрии. — М., 1967. — № 1.
80.	Смоляков А. Н, Тригонометрические подстановки
в уравнения и неравенства. — М., 1996. — № 1. — С. 3—4.
81.	Сорокин Г. А. Доказательство некоторых классических не-
равенств с помощью производных. — М., 1980. — № 6. — С. 55—56.
82.	Сорокин Г. А, Применение свойств экспоненты к реше-
нию некоторых задач. — М., 1993. — № 3. — С. 51—53.
83.	Суконник Я. Н. Этюд об одном классическом неравенст-
ве. - М., 1978. - № 4. - С. 69-71.
84.	Фирсов Ю. М. Классы средних величин и геометрические
иллюстрации неравенств между средними. — М., 1978. — № 2. —
С. 73-76.
85.	Фирстова И. И. Решение некоторых видов уравнений
при помощи неравенств. — М., 2002. — № 1. — С. 29—33.
КС Фоминых Ю. Ф. Геометрические неравенства. — М.,
1999. — № 3. — С. 53-57.
87.	Фоминых Ю. Ф. Доказательство неравенств. — М.,
1998.— № 6.— С. 44-47.
88.	Фоминых Ю. Ф. Оценка величины. — М., 2001. — № 4. —
С. 66-70.
247
89.	Халиков А. Примеры применения скалярного произ-
ведения векторов. — М„ 1991. — № 9. — С. 59—60.
90.	Шарова О. П. Применение комплексных чисел к изуче-
нию геометрических преобразований. — М., 1970. — № 1.
91.	Шведенко С. В. К исследованию элементарных функций
на выпуклость и вогнутость. — М., 1970. — № 3. — С. 72—75.
92.	Шлейфер Ф. Г. Круговые неравенства. — М., 1994. —
№3.-С. 61-63.
93.	Шлейфер Ф. Г. Об одной схеме доказательства
неравенств. — М., 1984. — № 6. — С. 58—60.
94.	Ярский А. С. Как научить доказывать неравенства. — М.,
1997._№ 1,-С. 22-25.
Статьи журнала «Квант»
95.	Балк М., Ломакин Ю. Доказательство неравенств с по-
мощью производной. — М„ 1979. — № 10. — С. 36—38.
96.	Балк М., Мазалов М. Как же доказать это неравенство? —
М., 1995. - № 6. - С. 43,49, 62.
97.	Болтянский В. Метод отделяющих констант. — М.,
1977. - № 4. - С. 46-50; 60.
98.	Бендукидзе А. Начинаем с неравенства Евклида. — М.,
1990. - № 12. - С. 34-35.
99.	Берколайко С. Т. Интеграл помогает доказать неравенст-
во Коши. - М., 1979. - № 8. - С. 26.
100.	Берколайко С. Т. Использование неравенства Коши при
решении задач. — М., 1975. — № 4. — С. 37—40; 60.
101.	Бржозовский М. И. Уравнения орнаментов. — М.,
1972.-№ 7.-С. 14-19.
102.	Бронштейн Е. Сюрпризы выпуклого мира. — М.,
1996. — № 4. — С. 13—16.
103.	Власов А. Задачи на сравнение чисел. — М., 1986. —
№ 2. - С. 24-26; 57.
104.	Гельфанд М., Берман В. Десять задач на применение
производной. - М., 1981. - № 1. - С. 37—40; 52; 62—63.
105.	Гэльдман А., Звавич Л. Числовые средние и геометрия. —
М„ 1990. - № 9. - С. 62-64.
106.	Горнуша П. Сведем неравенство к известному. — М.,
1984. - № 9. - С. 49-51; 62-63.
107.	Гутенмахер В. Неравенства с фиксированной суммой. —
М„ 1979. - № 9. — С. 29—32.
248
108.	Дворянинов С., Ясиновский Э. Как получаются сим-
метричные неравенства. — М., 1985. - №7. - С. 33—36.
109.	Егоров А. Неравенство обращается в равенство. — М.,
1996.— № 1.
110.	Ижболдин О., Курляндчик Л. Неравенство Иенсона. —
М.,2000.-№4.-С. 57-62.
111.	Ионин Ю., Плоткин А. Среднее значение функции. —
М., 1977.-№ 7.-С. 26-31.
112.	Искендеров А. Геометрическое доказательство теорем о
средних. — М., 1981. — № 2. — С. 17.
113.	Каплун В. Конечные паркеты. — М., 1972. — № 10.
114.	Колмогоров А, Н. Паркеты из правильных многоуголь-
ников. - М., 1970. - № 3. - С. 24-27.
115.	Конюшков А. А. Неравенство Коши—Буняковско-го. —
М., 1987. - № 8. - С. 42-44.
116.	Крейн М., Нуделъман А. Замечательные пределы, по-
рождаемые классическими средними. — М., 1981. — № 9.—
С. 13-16.
117.	Кузьмин Е., Ширшов А. О числе е. — М., 1979.—
№ 8. - С. 3-8.
118.	Курляндчик Л. Высокие степени. — М., 1978. — № 11.—
С. 13-16; 63.
119.	Курляндчик Л. Попробуем решить проблему. — М.,
1996.-№2. -С. 40-42.
120.	Курляндчик Л. Приближение к экстремуму. — М.,
1981. — № 1. — С. 21—25.
121.	Курляндчик Л., Файбусович А. История одного нера-
венства. - М., 1991. - № 4. - С. 14-18.
122.	Курляндчик Л. Д., Фомин С. В. Теорема Виета и вспо-
могательный многочлен. — М., 1984. — № 12. — С. 14—16; 55—56.
123.	Левин В. Парабола и неравенства. — М., 1976. — № 4. —
С. 14—18.
124.	Леонтович А. Атак ли хорошо знаком вам центр масс. —
М., 1999. — № 3. — С. 32—33.
125.	Матов В., Пекарь Е. Освещение пространства, конусы
и выпуклые множества. — М., 1991. — № 8. — С. 15—21.
126.	Неравенства и... вероятность. — М., 1977. - №5.- С. 56.
127.	Номировский Д. Неравенство Караматы. — М., 2000. —
№ 4.-С. 43-45; 49.
249
128.	Овсиенко В. Анализ и неравенства. — М., 1991. — № 3. —
С. 15-17.
\29.	Розов Н. X. Читатели советуют,— М., 1974. — №3;
1977. - № 6; 1978. - № 4; 1979. - № 4; 1980. - № 5; 1981. - № 4;
1976. -№ 4.
130.	Савин А. П. О больших числах. — М., 1983. — № 7.
131.	Седракян И. О применении одного неравенства, — М.,
1997. — № 2. - С. 42—44.
132.	Серохвостов С. Поиски минимума в физических
задачах. — М., 2002. — № 5. — С. 28.
133.	Скопец 3. А. Применение алгебраических тождеств к полу-
чению геометрических неравенств. — М., 1972. — № 4. — С. 36—39.
134.	Скопец 3. А. Сравнение различных средних двух поло-
жительных чисел. — М., 1971. — № 2. — С. 20—23; 60—61.
135.	Смышляев В. К. Применение неравенства Буняковско-
го—Коши к решению некоторых задач.— М., 1972.— №1.—
С. 33-35.
136.	Соловьев О. Огюстен Луи Коши и математическая
индукция. — М., 1991. — № 3. — С. 13—14.
137.	Соловьев Ю. Неравенство Коши. — Школа в «Кванте»:
Алгебра и анализ. — М.: Бюро Квантум, 1994. — С. 32—34. (Прило-
жение к журналу «Квант» № 4/94).
138.	Сорокин Г. Вычислим число е. — М., 1979. — № 8. — С. 8.
139.	Спивак А., Тихомиров В. Кеплер и винные бочки — ав-
стрийские и рейнские. — М., 2000. — № 6. — С. 3—11; 57—58.
140.	Среднее гармоническое. — М., 1990. — № И. — С. 40—41.
(Калейдоскоп «Кванта»).
141.	Тихомиров В. Геометрия выпуклости. — М., 2003.—
№ 4. - С. 3-9.
142.	Тихомиров В. Теорема Чебышева о распределении прос-
тых чисел. — М., 1994. — № 6. — С. 12—13.
143.	Читатели советуют. — М., 1974. — № 3. — С. 48—51. (Со-
ставитель Н. X. Розов).
144.	Шарыгин И. Миф о Дидоне и изопериметрическая
задача. - М„ 1997. - № 1. - С. 42-44; 58.
145.	Шуликовская В. Неравенство Коши и объемы. — М.,
1990.-№ 9.-С. 65-66.
146.	Ярский А. Как доказать неравенство. — М., 1997,—
№ 2. - С. 35-37; 58.
250
Статьи еженедельного приложения к газете «Первое
сентября» «Математика»
147.	Башарин Г. П. Элементы финансовой математики.
Ч 2. — М., 1996. — № 16. — С. 1—24.
148.	Винокуровы Е. и Н. Экономика в задачах. — М., 1998. —
№34.-С. 1-29.
149.	Карп А. Неравенства. — М., 1993. — № 9—10. — С. 2—3.
150.	Смоляное А. Применение тригонометрических подста-
новок в алгебре. - М., 1996. - № 25. - С. 14.
151.	Токарева Л. Тригонометрические неравенства. Приемы
доказательств. - М„ 2002. - № 44. _ с. 22-26; № 47. - С. 23-26.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие......................................... 3
Введение............................................ 6
Часть 1. Замечательные неравенства...	9
Глава I. Числовые неравенства и их свойства......... 9
§ 1.	Некоторые понятия и свойства, считающиеся
известными.......................................... 9
§ 2.	Понятия «больше» и «меньше» для действительных
чисел. Числовые неравенства........................ 10
§ 3.	Простейшие свойства числовых неравенств....... 11
Литература для повторения....................... 14
Упражнения для повторения....................... 14
Темы докладов и рефератов и литература к ним ...	15
Глава IL Основные методы установления истинности
числовых неравенств, или как узнать, «что больше?».	16
§ 1.	Сравнение двух действительных чисел (заданных
как значения числовых выражений)
«по определению»................................ 17
§ 2.	Сравнение двух положительных действительных чисел
путем сравнения с единицей их отношения............ 18
§ 3.	Сравнение действительных чисел с помощью
сравнения их степеней.............................. 18
§ 4.	Метод сравнения двух чисел с помощью нахождения
«промежуточного» для них числа (метод оценок
«сверху» и «снизу»)................................ 20
§ 5*. Метод вспомогательной функции и использования
ее свойств....................................... 21
§ 6. Метод применения замечательных неравенств..... 22
§ 7*. Применение определенного интеграла........... 23
§ 8.	Решения задач, иллюстрирующих перечисленные
выше методы и не только их......................... 24
Задачи для самостоятельного решения ........... 27
Темы докладов и рефератов и литература к ним ...	30
252
Глава III. Основные методы решения задач на установление
истинности неравенств с переменными. Частные случаи
неравенства Коши, их обоснование и применения.... 31
§ 1.	Понятие неравенства с переменными и его решения.
Неравенство-следствие. Равносильные неравенства.
Опровержимые неравенства...........*............... 32
§ 2.	Основные методы решения задач на установление
истинности неравенств с переменными................ 40
§ 3.	Частные случаи неравенства Коши, их обоснование
и применения....................................... 56
Задачи для самостоятельного решения.............. 62
Темы докладов и рефератов и литература к ним ...	66
Глава IV. Метод математической индукции и его
применение к доказательству неравенств. Неравенство
Коши для произвольного числа переменных.......... 68
§ 1. Метод перебора всех вариантов («полная индукция»)
и метод математической индукции. Система аксиом
Джузеппе Пеано................................... 68
§ 2. Схема применения принципа (аксиомы)
математической индукции и некоторые модификации
принципа математической индукции................. 69
§ 3*. Теоремы о сравнении соответствующих членов двух
последовательностей.............................. 74
§ 4. Неравенство Коши для произвольного числа
переменных....................................... 79
Задачи для самостоятельного решения.............. 84
Темы докладов и рефератов и литература к ним ...	87
Глава V. Неравенство Коши—Буняковского и его
применение к решению задач....................... 89
§ 1. Неравенство Коши—Буняковского
и условия его реализации в варианте равенства.... 90
§ 2*. Векторный вариант записи неравенства
Коши—Буняковского и тригонометрические
подстановки...................................... 93
Задачи для самостоятельного решения.............. 98
Темы докладов и рефератов и литература к ним ... 102
Глава VI. Неравенства подсказывают методы
их обоснования.................................. 104
§ 1*. Приближение к экстремуму выравниванием
значений переменных (метод Штурма).............. 104
§ 2*. Использование симметричности, однородности
и цикличности левой и правой частей неравенства. НО
253
§ 3. Геометрические неравенства, устанавливаемые
с применением соотношений между длинами сторон
треугольника.................................... 117
§ 4*. Условные тождества........................... 119
Задачи для самостоятельного решения............. 120
Темы докладов и рефератов и литература к ним ... 124
Часть 2. Средние величины и соотношения между ними ... 127
Глава VII. Средние степенные величины: свойства,
происхождение и применение...................... 128
§ 1. Средние арифметическое, геометрическое,
гармоническое и квадратическое в случае двух
и большего числа параметров. Соотношения между
ними............................................... 128
§ 2. Геометрические интерпретации.
Четыре средние линии трапеции................... 134
§ 3*. Среднее арифметико-геометрическое
Гаусса и среднее арифметико-гармоническое....... 138
§ 4*. Симметрические средние. Теорема Мюрхеда...... 139
§ 5*. Круговые неравенства, методы их доказательства
и опровержения.................................. 141
§ 6. Среднее арифметическое взвешенное и его свойства .... 145
§ 7. Средние степенные и средние взвешенные степенные ... 147
Задачи для самостоятельного решения............. 152
Темы докладов и рефератов и литература к ним ... 153
Глава VIII. Неравенство Чебышева и некоторые
его обобщения................................... 155
§ 1. Неравенство Чебышева и некоторые его
простейшие обобщения............................ 155
§ 2*. Некоторые обобщения неравенств Чебышева
и Коши—Буняковского............................. 160
Задачи для самостоятельного решения............ 168
Темы докладов и рефератов и литература к ним ... 169
Глава IX. Генераторы замечательных неравенств...... 170
§ 1. Мы с ними уже встречались..................... 170
§ 2*. Свойства одномонотонных последовательностей —
источник замечательных неравенств............... 183
§ 3. Неравенство Иенсона........................... 198
Неравенства Коши—Гельдера и Минковского ....... 213
Задачи для самостоятельного решения............ 217
Темы докладов и рефератов и литература к ним ... 221
Г лава X. Применение неравенств................... 223
§ 1.	Неравенства в финансовой математике.......... 224
254
§ 2.	Задача Дидоны и другие задачи на оптимизацию.. 226
§ 3.	Поиск наибольших и наименьших значений функций
с помощью замечательных неравенств................ 229
Задачи для самостоятельного решения........... 233
Темы докладов и рефератов и литература к ним ... 235
Контрольные работы................................ 236
Краткий биографический словарик................... 239
Ответы............................................ 241
Библиография...................................... 243
Учебное издание
Серия «Элективные курсы»
Гомонов Сергей Анатольевич
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА:
СПОСОБЫ ПОЛУЧЕНИЯ И ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ
Зав. редакцией Г. Н. Хромова
Редактор Г. Н. Хромова
Художественные редакторы
А. А. Шувалова, О. В. Матоянц
Технические редакторы М. В. Биденко,
С. А. Толмачева, Е. А. Лапсарь
Компьютерная верстка А. В. Егоров
Корректор Е И. Мосякина
Санитарно-эпидемиологическое заключение
№ 77.99.03.953.Д.004992.08.05 от 16.08.2005.
Подписано к печати 08.02.06. Формат 60х90’/16.
Бумага типографская. Гарнитура «Ньютон». Печать офсетная.
Усл. печ.л. 12,0. Тираж 5000 экз. Заказ №6054.
ООО «Дрофа». 127018, Москва, Сущевский вал, 49.
Предложения и замечания по содержанию и оформлению книги
просим направлять в редакцию общего образования издательства «Дрофа»:
127018, Москва, а/я 79. Тел.: (495) 795-05-41. E-mail: chief@drofa.ru
По вопросам приобретения продукции
издательства «Дрофа» обращаться по адресу:
127018, Москва, Сущевский вал, 49.
Тел.: (495) 795-05-50, 795-05-51. Факс: (495) 795-05-52.
Торговый дом «Школьник».
109172, Москва, ул. Малые Каменщики, д. 6, стр. 1А.
Тел.: (495) 911-70-24, 912-15-16, 912-45-76.
Сеть магазинов «Переплетные птицы».
Тел.: (495) 912-45-76.
Отпечатано с готовых диапозитивов в ОАО ордена «Знак Почета»
«Смоленская областная типография им. В. И. Смирнова».
214000, г. Смоленск, проспект им. Ю. Гагарина, 2.
*^7-T~2d*s 1 -cos2	.	1-COS6	(30 + a)(30	- a)	< 3O2
Sin2 1 + sm'4 = -X---- +	->5-- '	7
2	2	3	2
. ,	1 - cos4'’ _j_ 1 - cos6“ . / \ Я h -4- 7/К» IS П
S,n' 2 S№ 3------2----	---2---°	///////
2 -^2,5° • cos 1,5е и sinjz4- >w»Cf
.при всяк&мг из [0; 1 ] очевидно. i ........	=
б) V2 + 73 + 74 + ... + '”1/1993 < 2.
ПРОФИЛЬНОЕ
ОБУЧЕНИЕ
ISBN 5-358-00664-8
785358
006645
о р о ф а
Издание подготовлено при содействии НФПК —
Национального фонда подготовки кадров
НФПК
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ФОНД ПОДГОТОВКИ КАДРОВ
Победитель конкурса по созданию
учебной литературы нового поколения
для средней школы, проводимого
Национальным фондом подготовки кадров
и Министерством образования и науки
Российской Федерации
9
ЭЛЕКТИВНЫЕ КУРСЫ
К 5 • 302 и 60-30 < 3-302.
(ы + у)3 - 3uv(u + у) + 1 - uv(u + у) - (
?)	+ 2ы v - (и + v) + Зи v > О
— 4sin й */7
+ cos 50*
ь у и у = и • у, причем х > 0