ОТЧЬ iLlTOPZ.
i /
Л.п-,,_^
ш
IJ р о ф е с с о р а Университета Св. р л а д и м i р a
Н. Н. ШИЛЛЕРА.
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.,
Кинематика, Принципы Динамики, Статика и
Кинетика твердаго т$ла.
Ш@ч'
■^
Тип. С. В. Кульжснко, Ново-Елисаветинская улица, соб. д.
1884.

-1- 'Х- i ■?*-"■—
По опредклевт Совета Университета Св. Владимира печатать дозволяется.
27 Тюля 1883 года.
И. д. Ректора О. Паулъеонъ.

ОГЛШЕНЕ ЧИ ПЕРВОЙ,
Введете.
Глава I. Учете о движенш (кинематика).
§ 1. Общее noHATie о положенш точки въ пространстве и его из-
м-Ьнеши.
§ 2. Скорость.
§ 3. Скорость переменнаго движетя.
§ 4. Сложете скоростей.
§ 5. Относительная скорость.
§ 6. Равномерно ускоренное прямолинейное движете.
§ 7. Ускорете перем'Ьннаго движетя.
§ 8. Равномерное движете по кругу.
§ 9. Криволинейное движете, съ ускоретемъ постоянной величины
и неизменнаго направления.
§ 10. Определете длины пути по даннымъ скорости мъ.
§ 11. Определете движен1я по даннымъ ускоретямъ.
§12. Кинематика неизменяемой системы точекъ.
§ 13. Сложете угловыхъ скоростей.
§ 14. Ускоретя точекъ неизменяемой системы.
§ 15. Определете движетя неизменяемой системы.
Глава II. Основныя начала учеш'я о силЪ (принципы динамики).
§ 16. Матер1я, масса.
§ 17. Первый законъ Ньютона: определете понят1я о силе.
§ 18. Второй законъ Ньютона: определете величины силы.
§19. Сложете силъ. Матер1альная частица и точка.
406434

IV
§ 20. Третш законъ Ньютона: иеточннкъ силы.
§ 21. Сохранение количества движешя.
§ 22. Центръ инериди.
§ 23. Моментъ силъ, скоростей, уекорешй и т. п.
§ 24. Сохранение момента количества движешя или сохранешс пло
щадей.
§ 25. ДМств1е вн'Ьшнихъ силъ на свободную консервативную
систему.
§ 26. Работа силы.
§ 27. Общее услов1е paBHOBfecia силъ, дЪйствующихъ на свободную
или несвободную точку.
§ 28. Общее услов1е равновЪс1я свободной или несвободной системы
связанныхъ между собою матер1альныхъ точекъ.
§ 29. РавновгЬс1е веревочнаго многоугольника, какъ примЬръ общей
теорш равнов^сля.
§ 30. Общее услов1е движешя системы. Принципъ д'Аламбера.
§ 31. ИзмЬнешя количества движешя и его момента, отнесенный къ
единице времени.
§ 32. Центростремительная и центробежная силы.
§ 33. Кинетическая энерпя.
§ 34. Работа взаимныхъ силъ.
§ 35. Законъ сохранешя энерпи.
§ 36. Устойчивость и неустойчивость равновгЬс1я взаимныхъ силъ.
§ 37. Превращеше, передача и трата энерпи.
§ 38. Передача энерпи машинами.
Глава III. AtiicTBie силъ на твердый гЬла (Динамика твердыхъ
гЬлъ).
А) Равноetcie (статика) твердыхъ тЬлъ.
§ 39. PaBHOB^cie свободнаго твердаго тЪла.
§ 40. Сложеше силъ, дМствующихъ на неизменяемую систему.
§ 41. PaBHOB^cie твердаго т^ла, съ одною несвободною точкою.
§ 42. PaBHOBfecie твердаго тЪла, съ двумя и болЪе несвободными
точками.

V
§ 43. РаспредЬлете давлетй на плоскостяхъ опоры.
§ 44. Услшя различныхъ частей твердаго тЬла относительно другъ
друга.
В) Дви^еше твердаго тЬла подъ дШств\емъ прило^енныхъ силъ
(кинетика твердаго тЬла).
§ 45. Количество двмжетя, его моментъ, и кинетическая энерпя
свободной неизменяемой системы.
§ 46. Главныя свойства моментовъ ннерщи.
§ 47. Неизменяемое движете свободнаго твердаго т*Ъла.
§ 48. ИзмЪнеше движетя свободнаго твердаго тЬла.
§ 49. 0бщ1я уравнетя движетя свободнаго твердаго тЪла.
§ 50. Движете несвободнаго твердаго т^ла.
§51. Ударъ свободныхъ абсолютно твердыхъ т-Ьлъ.

ВВЕДЕНИЕ.
Физика занимается такими явлешями неорганическаго Mipa, ко-
торыя вполне или отчасти могутъ представляться, какъ совокупность
известнаго рода движешй. Какъ все то, къ чему мы относимъ на-
зваше тела (мате pin), можетъ быть представлено нами не иначе,
какъ занимающимъ некоторое пространство, такъ точно явле-
н1я въ сущности не могутъ быть иначе мыслимы, какъ въ соотно-
шенш къ пространству, времени и мате pi и, т. е. должны
представляться, какъ д в и ж е н i я материи. Всякое явлеше мы счи-
таемъ для себя понятнымъ и объясненнымъ, если ум-Ьемъ мысленно
разглядеть въ немъ определенное движете. Изучеше явлешй есть
объяснеше ихъ съ помощш другихъ, более простыхъ, изъ которыхъ
простейшимъ представляется намъ движете. Поэтому основою всехъ
физическихъ изследовашй является разыскаше законовъ того или
другаго движешя, или действительно непосредственно наблюдаемаго,
или на основаши наблюдешй опять таки некоторыхъ движешй нами
представляемаго. Понятно следовательно, что Механика, наука объ
общихъ законахъ движешя матер1альныхъ системъ, должна быть тесно
связана съ Физикою, и положешя первой науки должны служить
исходною точкою для заключенШ второй. Однако, хотя предметъ из-
следовашя обеихъ упомянутыхъ наукъ и есть повидимому одинъ и
тотъ-же—движете, обе оне темъ не менее никакъ не
представляются тождественными, но въ своемъ развитш и въ своихъ конеч-
ныхъ целяхъ существенно другъ отъ друга отличаются. Механика
изследуетъ* воображаемое движете, при любыхъ предполагаемыхъ

2
услов1яхъ, который въ действительности могутъ и не наблюдаться.
Цель Механики установить обиде способы изучешя движешй, въ ка-
кой-бы форме и при какихъ-бы услов1Яхъ эти послЬдшя ни имели
место. Поэтому Механика есть наука по преимуществу формальная,
строющая свои выводы, какъ Математика, на неболыиомъ числе основ-
ныхъ определешй. Физика изслЬдуетъ услов1я наблюдаемыхъ суще-
ствующихъ или предполагаемыхъ существующими движешй, и уже
разыскавши упомянутыя услов1я. делаетъ свои заключешя,
основываясь на снособахъ Механики. Такимъ образомъ въ основанш выво-
довъ Физики лежитъ опытъ и наблюдете; исходная точка Механики
суть определешя. Некоторыми своими областями однако Физика и
Механика сливаются въ одну дисциплину. Это имеетъ место именно
тамъ, где результаты наблюдешй достигаются несложнымъ путемъ, и
приводятъ къ одному или несколькнмъ простымъ определешямъ. Въ
такомъ случае интересъ физика сосредоточивается не на разысканш са-
мыхъ условш, но на механнческпхъ изъ нихъ выводахъ. Такънапримеръ,
иутемъ простыхъ наблюдешй мы приходимъ къ заключешю, что
твердый тела могутъ быть разсматриваемы въ большинстве случаевъ,
какъ неизменяемыя системы по отношешю къ внешнимъ силамъ на нихъ
действующимъ, и затемъ, пользуясь выводами Механики,
относящимися к ъ неизменяем ы м ъ система м ъ, заключаемъ о законахъ
равновес1я и движешя этихъ телъ подъ дМств1емъ силъ. Но строго
говоря, и въ этомъ примере есть некоторая разница между заключе-
шями Механики и Физики: выводы первой относительно неизменяемой
системы абсолютно справедливы, ибо основаны на данномъ
определенш свойствъ системы; выводы второй относительно твердыхъ телъ
лишь по стольку верны, по скольку твердое тело можно разсматри-
вать, какъ неизменяемую систему.
Что касается до основныхъ началъ и теоремъ, относящихся къ за-
конамъ движешя, то они имеютъ такую-же важность для Физики,
какъ и для Механики, и при изложеши основанш Физики должны быть
разсмотрены на первомъ месте.
Нзучешемъ движен1я, какъ перемены положен1я въ пространстве
неизменныхъ или меняющихъ свою форму геометрическихъ комплек-
совъ, занимается Кинематика, предметъ которой следовательно
составляетъ изследоваше соотношен1й только между простран-
ствомъ и временемъ, безъ отношешя къ матер1и движущагося
тЬла.

3
Понят1е о движенш мат ер in влечетъ за собою представлеше
о силахъ, дМствующихъ на матерш и обусловливающихъ ея движе-
Hie. ДМств1е силъ на матерш изучаетъ Динамика, въ составъ
которой входятъ: Статика, разсматривающая дМств1е силъ при усло-
в1яхъ равнов^с1я, и Кинетика, изучающая вл1яше силъ на
движете.
Въ силу вышесказаннаго изучеше каждаго физическаго явлешя,
какъ движешя, разбивается на части кинематическую и динамическую.

ГЛАВА I.
УЧЕН1Е О ДВИЖЕНШ (КИНЕМАТИКА).
§ !♦ Общее понят о положенш точки въ пространствЪ и его
изм^ненЗи.
Самое простое изъ наблюдаемыхъ нами явлешй есть движете.
Подъ движешемъ мы разумеемъ измЬнете положетя движущагося
предмета со временемъ. Движущимся мы можемъ представлять себе
все, что можетъ иметь определенное положеше въ пространстве.
Поэтому понятие о движеши приложимо не только къ матер1альнымъ
тЬламъ, но и къ геометрическимъ местамъ, занимаемымъ этими
телами. Мы можемъ говорить не только о движенш физическаго тела,
но и движенш геометрическаго тела, о движеши поверхности,
лиши, точки.
Мы будемъ сперва разсматривать движете точки, какъ самое
простое и заключающееся необходимо во всякомъ другомъ движеши.
Чтобы перейти отъ движешя точки къ движенш другихъ геометри-
ческихъ комплексовъ, мы должны разсмотреть или движете всехъ
точекъ, составляющихъ упомянутый комплексъ, или перемещеше только
его некоторыхъ точекъ. Во всякомъ случае изучеше всякаго
движешя сведется къ изученш движешя отдельныхъ точекъ.
Движете точки намъ вполне известно, когда мы знаемъ форму
пути, который она описываетъ при своемъ перемещенш, и ту длину,
которую движущаяся точка проходитъ по этому пути въ любой
промежуток!, времени, при чемъ длина считается отъ даннаго известнаго
пункта на пути точки. Путь точки при ея перемещены называется тра-
э к т о р i e ю точки. Другими словами можно также сказать, что намъ

6
Глава I. Кинематика.
§ 1
тогда известно движете точки, когда мы можемъ определить ея по-
ложеше въ пространстве для каждаго момента времени.
Способъ опредЬлешя положен! я точки въ пространстве
вытекаетъ изъ самаго понятая о геометрической точке. Первообразное
геометрическое представлеше есть представлеше о геометрическомъ
теле, т. е. о пространстве занимаемомъ подлежащими наблюдешю
физическими телами. Границы, разделяюпця геометричестя тела, мы на-
зываемъ поверхностями; границу поверхностей или места ихъ взаим-
наго иересечешя—лишями. Подъ точкою мы подразумеваемъ место пе-
ресечешя двухъ какихъ либо лиши, или лиши и поверхности, или трехъ
поверхностей.Такимъ образомъ представлеше о положенш точки во вся-
комъ случае вытекаетъ изъ представлешя о некоторыхъ
пересекающихся поверхностяхъ, число которыхъ должно быть но крайней мере три.
Лрштчате. Вышеупомянутое определеше положешя движущейся
точки данною ея траэктор1ею и длиною пройденнаго пути сводится
точно также къ определешю съ помощш пересекающихся данныхъ
пов-ерхностей. Действительно, траэктор!я (вообще некоторая кривая
лишя) определяется пересечешемъ двухъ данныхъ поверхностей.
Что-же касается до длины, отмериваемой вдоль по траэкторш для
нахождешя на ней положетя движущейся точки въ данный моментъ
времени, то это отмЬриваше можетъ быть произведено
непосредственно только въ случае прямой лиши. Отложить-же данную длину
вдоль по кривой лиши (напр. по кругу) мы не можемъ съ помощш
непосредственнаго совмещешя прямой, представляющей данную
единицу длины, и измеряемой кривой. Мы должны при этомъ
вычислить, между какими двумя точками кривая будетъ иметь данную
длину; эти точки определятся, какъ пересечешя данной кривой съ
какими нибудь поверхностями.
Въ большинстве случаевъ представляется наиболее удобнымъ
определять точку, какъ пересечете трехъ плоскостей, проведенныхъ
на известныхъ разстояшяхъ отъ трехъ заранее данныхъ и опреде-
ленныхъ плоскостей, и параллельно этимъ последнимъ. Упомянутый
данныя плоскости, относительно которыхъ определяется положеше
какой нибудь точки, называются плоскостями координат ъ, и
притомъ — прямоугольных ъ, когда плоскости взаимно перпен-

§ 1
Глава I. Кинематика.
7
дикулярны, и—косоугольныхъ, когда плоскости пересекаютъ
другъ друга подъ косыми углами. На рисунке мы видимъ плоскости
XYZ косоугольныхъ и XT'Z' прямоугольныхъ координатъ,
пересекавшаяся другъ съ другомъ по
лишямъ OX, OY, OZ, ОХ',
OZ\ которыя называются
косоугольными или п р я-
Z'
Рис. 1.
м о у г о л ь н ы м и осями
координатъ. Точка пересечешя осей
координатъ О называется
начало мъ координатъ *).
На оси ОХ отложимъ длину Ох = а (рис. 2) и проведемъ че-
резъ точку х плоскость, параллельную плоскости YOZ\ на оси OY
отложимъ длину Оу=Ъ и проведемъ черезъ точку у плоскость,
параллельную плоскости ZOX; точно также на разстояши Oz = с по оси
OZ проведемъ плоскость, параллельную плоскости XOY.
Пересечете упомянутыхъ трехъ плоскостей, данныхъ тремя разстояшями
а, й, с, определить положете некоторой точки А, которая можетъ
быть разсматриваема, какъ вершина угла параллелепипеда (косо-
угольнаго или прямоугольнаго), ребра котораго суть а, Ь, с. Эти
длины, определякнщя вполне положеше точки А
относительно трехъ данныхъ плоскостей,
называются координатами точки А и обознача-
^ ются вообще буквами х, у, z, соответственно
темъ осямъ, по которымъ оне откладываются.
Способъ определешя положешя точки съ помо-
щш координатъ вытекаетъ непосредственно изъ
нашего представлешя о геометрической точке.
Чтобы представить себе точку мы должны
вообразить те части какой либо лиши, которыя она другъ отъ друга
отделяетъ; но самая лишя можетъ намъ представляться не иначе,
какъ границей между некоторыми поверхностями, которыя въ свою
очередь должны ограничивать какое нибудь тело. Следовательно точка
является намъ, какъ аттрибутъ, связанный съ первообразнымъ пред-
ставлешемъ о геометрическомъ теле. Чтобы указать на точку, мы
*) На рисунк* 1 линти ОХ и OZ соответственно ОХ1 и OZ1 лежатъ въ
плоскости рисунка, линш OY и OY] выходятъ изъ плоскости рисунка, и кром* того
О У къ этой последней перпендикулярна.

8
Глава I. Кинематика.
§ 1
должны прежде всего указать на некоторое тело, съ определенною
пограничною поверхностно; за т*мъ—на части этой поверхности; на-
конецъ—на части границъ между поверхностями, т. е. части лиши,
которыя и отделяются другъ отъ друга точкою. Употребляя
координаты тЬмъ способомъ, какъ было указано выше, мы для определешя
точки представляемъ себе некоторое тело въ виде параллелепипеда,
одна изъ вершинъ угловъ котораго указываетъ намъ на
определенную геометрическую точку. Изменяя мысленно размеры
параллелепипеда, мы попадаемъ упомянутою вершиною въ различный места
пространства и указываемъ на различный точки. 11 такъ, обозначеше
% = а представляетъ, что вдоль по оси ОХ (пли оси х—овъ)
должна быть отложена длина а и проведена плоскость, параллельная
YOZ\ точно также у=Ъ относится къ длине, откладываемой но оси
OY и къ плоскости, параллельной ZOX, и т. д. Три уравнешя
х = а 1 у — Ь , гг = с
определяютъ точку.
Одно уравнеше
х = а ,
какъ мы видели, соответствуем плоскости, параллельной YOZ.
Действительно, оно опредЬляетъ все точки, которыя отстоятъ по оси
х—овъ на длину а отъ плоскости YOZ\ а так1я точки
принадлежав плоскости.
Два уравнешя
х = а , у — &
определяютъ точки, принадлежаиця двумъ плоскостямъ,
одной х = а и другой у = &,
следовательно представляютъ
литию пересЬчешя двухъ плоскостей
параллельныхъ YOX и XOZ.
Наконецъ три уравнешя
определятъ точку принадлежащую
,хтремъ плоскостямъ, т. е.
единственно точку ихъ пересечешя.
Такимъ образомъ различный
величины координатъ х, у, z
определяютъ различныя точки,
лежащ1я въ трегранномъ угле
XYZ (рис. 3). Точки, лежаидя

§ 1
Глава I. Кинематика.
9
въ остальныхъ смежныхъ'съ первымъ трегранныхъ углахъ,
сходящихся въ вершине О, определяются длинами, окладываемыми вдоль
по лишямъ OX. OY, OZ въ противоположный стороны и
считающимися тогда отрицательными. Такъ напримеръ, точка Л' определяется
координатами
х=. — а, у = Ъ , я = с ,
или
— х~а , у = Ъ , # = с ,
точка J."—координатами
х = а, у = — Ь, в — с
точка J.7"
Х = а, у = Ь, 0 = — С,
точка Alv
ос = — a, # —— 6, £ = с
точка J/
% = — а , у=.Ь, z = — с,
точка Л''1
j = a, у = — Ь , я = — с,
точка J.vn
# = — а , у = — & , я = — с.
Если координаты точки остаются одни и теже для всякаго времени,
то мы заключаемъ, что точка остается въ покое относительно дан-
ныхъ плоскостей координатъ. Если обратное имеетъ место, то мы
заключаемъ, что точка изменяетъ свое положеше относительно
плоскостей координатъ, т. е. движется. Если мы будемъ знать
координаты точки для каждаго момента времени, то будемъ иметь
возможность во всякое время найти положеше точки въ пространстве,
т. е. будемъ знать д в иже Hie точки.
Уметь определить координаты движущейся точки для всякаго
времени значитъ уметь выразить формулою зависимость между
длиною координаты и временемъ или, какъ выражаютъ короче,
представить координату, какъ функц1ю времени. Напримеръ, уравнешя
х = 0, у = о, z = ct,
выражаютъ, что во все время движешя координаты точки,
отсчитываемый по осямъ х—овъ и у—овъ, суть нули, т. е. что точка
движется вдоль по оси z—овъ, и при томъ такъ, что длины ею про-

10
Глава I. Кинематика.
§ 1
ходпмыя, пропорщональны временамь. Бремя обыкновенно считается
отъ начала движешя. Въ приведенномъ примере видно, что при
начали движешя, т. е. при t — O, точка находилась въ самомъ начал*
коордннатъ. Точно также уравнешя
х= О , у = 0 , г = Ы^
показыватотъ, что точка движется пзъ начала коордннатъ по оси
z—овъ такъ, что проходимое ею пространство ростетъ пропорщональ-
но кубамъ временъ.
Уравнешя
х — Ы, y = ct, z — О
показываютъ, что во все время движешя точка не выходитъ изъ
плоскости XY, и что обе координаты ея въ этой плоскости
возрастают пропорщонально времени. Предположимъ, что плоскость рисунка
(рис. 4) совпадаетъ съ плоскостш XY. Выбирая рядъ моментовъ
времени tx, t2, ts, мы можемъ определить
г3 обе координаты для каждаго изъ этихъ
моментовъ; называя эти координаты,
соответственно первому, второму и т. д. момен-
тамъ, черезъ у1, хг, х2, у2, и т. д., мы
будемъ иметь на основаши предыдущихъ
Рис. 4. уравнен]й разсматриваемаго движешя:
Х-, — ОЪл , Х,у —— ^^0 *> з — з '
ух = сЬг, &2 = Ct2, yz = ctz.
Выбирая достаточно много такихъ моментовъ времени, въ достаточно
малыхъ промежуткахъ другъ отъ друга, мы получимъ целый рядъ
положешй движущейся точки, 1, 2, 3 и т. д., соединяя которыя
непрерывною лишею, получимъ траэкторш точки, т. е. ея путь. Въ
данномъ примере путь точки характеризуется темъ, что
Х-1 X л Хп
У г ~~ У г ~ У г '
какъ это видно изъ предыдущихъ уравнешй. Такая пропорщональ-
ность возможна только тогда, когда путь 1, 2, 3 представляетъ
прямую лишю.
Точно также легко обнаружить, что уравнешя
x = at, у = Ы, # = ct

§ 1
Глава I. Кинематика.
11
представляютъ движете по прямой лиши, проходящей черезъ начало ко-
ординатъ и не совпадающей ни съ одною изъ плоскостей координатъ.
Вообще, когда мы, произведя надъ одною величиною р
конечное или безконечное число дЪйствШ (какъ-то: сложеше, умножеше,
возведете въ степень и т. д.), получаемъ другую величину д, то
сокращенно обозначаемъ подобную зависимость между двумя величинами
р и q такимъ образомъ:
и говоримъ, что q есть функц1я отъ р, т. е. что вообще q зави-
ситъ отъ р: если мы будемъ менять величины р, то вслгЬдств!е
этого изменится и величина q. Такъ, площадь круга есть функщя его
рад1уса; объемъ прямоугольной призмы есть функщя ея длины,
ширины и высоты, и т. п. Различнымъ рядамъ дЬйствШ надъ величинами
соответствуют различныя обозначешя для функщй: /i, f2, F, F\
9, ф и т. п. Такъ, обозначешя
* = /i(iO> v = f2<(q), w=fd(r, s)
показываютъ, что гь зависитъ отъ р, v — отъ g, w — отъ г и s, но
что все эти зависимости различныя.
Положеше, что движете точки мы считаемъ известнымъ, когда
можемъ определить ея место въ пространстве для каждаго момента
времени, можно на основаши вышеизложеннаго выразить сокращенно
такимъ образомъ: движете точки дается уравнешями
Аналитическая Геометр1я учитъ насъ, какъ по виду этихъ уравнешй
заключать о форме пути, проходимаго движущеюся точкою.
•—-s-ж-н—•
Примгъчате. Форма пути определяется такимъ образомъ. Изъ
одного какого нибудь изъ трехъ уравненШ движешя определимъ £,
т. е. рЬшимъ, положимъ, уравнеше
относительно t, какъ неизвестнаго. Получимъ вообще:

Переопределенное такимъ образомъ t подставимъ въ каждое изъ двухъ
остальныхъ уравненШ движешя. Получимъ вообще:
x = Fl{z), y = -F2(*),

12
Глава I. Кинематика.
^ 1
т. е. определишь координаты точки х и у въ зависимости отъ
координаты z, исключивъ время. Разсмотримъ теперь геометрическое
значеше этихъ двухъ уравнешй. Если мы
въ этихъ уравнешяхъ будемъ полагать z
равнымъ последовательно ряду
совершенно произвольныхъ, но определенныхъ ве-
личынъ zx, z2, zz, £4 и т- Д-, то
соответственно можемъ вычислить ряды
величинъ (уже не произвольныхъ) для
Рис. 5.
X
1 '
Ун
х и у.
х3 , (где хг — F1 (zx)
II Т. Д.),
Уг
Уз, (где y1=F2(z1), и т. д).
Такимъ образомъ получимъ (рис. 5) рядъ точекъ въ плоскости XZ,
координаты которыхъ будутъ zx и хг, £2 и #2, и т. д., и рядъ
точекъ въ плоскости YZ, координаты которыхъ будутъ zx и у1л z2 и у2
и т. д. Если число выбранныхъ гцзоизвольныхъ значешй z
достаточно велико (а оно можетъ быть какъ угодно велико), то мы
получимъ въ той и другой плоскости непрерывный рядъ точекъ, которыя
образуютъ тамъ и сямъ некоторыя кривыя лиши.
Такимъ образомъ можно сказать, что уравнешя
x — F1(z) и x = F2(z),
каждое отдельно для своей плоскости координатъ, представляютъ
некоторый кривыя лпнш. Разсматривая точки, определяемы/! только
однимъ уравнешемъ x=F1{z), только въ плоскости XZ, мы темъ
самымъ даемъ координате у определенное значеше; именно, выбираемъ
у = О; между гЬмъ какъ уравнеше х = Fx (z) показываетъ, что, для
какой нибудь произвольно выбранной величины z, величина
координаты х не можетъ быть произвольною, но должна быть вычислена
изъ даннаго уравнешя; величина-же координаты у можетъ быт:-,
какая угодно. Но давать координате у кашя угодно значешя значитъ
разсматривать точки, лежапця въ какихъ угодно илоскостяхъ, парал-
лелышхъ плоскости XZ. Следовательно, если мы проведемъ какую
угодно плоскость, параллельную плоскости XZ, и въ ней вообразимъ
такую-же кривую лишю, какая была нами определена прежде въ
плоскости XZ, то координаты каждой точки этой кривой очевидно
удовлетворяв тоже уравнешю x = F1(z). Такимъ образомъ мы можемъ
сказать, что вообще въ пространстве уравнеше х =FX (z) предста-

§ 1
Глава I. Кинематика.
13
вляетъ цилиндрическую поверхность (т. е. удовлетворяется
координатами точекъ цилиндрической поверхности), которая образуется движе-
шемъ параллельно оси у— овъ некоторой лиши (кривой или
прямой), представляемой уравнешемъ x = F1(z) для любой изъ
плоскостей параллельныхъ плоскости XZ. Точно также отдельно взятое
уравнеше у = F2 (z) вообще представляетъ цилиндрическую
поверхность/ которой образующая параллельна оси х — овъ, а директриса
определяется уравнешемъ y = F2(z), въ любой изъ плоскостей
параллельныхъ плоскости YZ. Теперь понятно, что точки, координаты
которыхъ определяются заразъ обоими уравнениями
x = Fx(z) и y = F2(*),
будутъ принадлежать и той и другой цилиндрической поверхности,
т. е. лиши пересечешя обоихъ выше упомянутыхъ цилиндровъ. Эта
лишя, определяемая двумя уравнешями между тремя координатами,
и будетъ очевидно траэктор1ей движущейся точки, ибо координаты
х, у, я, определяюиця положеше движущейся точки, въ тоже самое
время принадлежатъ точкамъ упомянутой кривой.
Если найдены два уравнешя кривой, то кривая вполне
определена, ибо мы можемъ ее построить точка за точкою, давая
координате z рядъ пропзвольныхъ значешй и вычисляя потомъ по даннымъ
двумъ уравнешямъ соответствуюпця координаты х и у.
Пусть напримеръ будутъ даны ташя уравнешя движешя:
x = atn, у—Ып, z — ctn\
тогда уравнешя траэкторш будутъ
а Ъ
X ~~ Z , у =z — Z .
с J с
Каждое изъ этихъ уравнений, въ своей соответствующей плоскости,
представляетъ прямую линш, ибо координаты точекъ, принадлежа-
щихъ лиши, находятся, какъ показываютъ уравнешя, въ постоянномъ
отношеши другъ къ другу. Въ пространстве оба уравнешя, каждое
отдельно, представятъ поверхности, следы которыхъ на плоскости XZ или
YZ суть прямыя линш. Первая поверхность образуется движешемъ по
прямой лиши х = —я другой прямой параллельной оси у—въ, и есть
следовательно плоскость; вторая поверхность есть тоже плоскость;
пересечеше ихъ, т. е. траэктор1я точки, есть прямая лишя, которая
проходитъ черезъ начало координатъ, ибо ея уравнешя удовлетво-

14
Глава I. Кинематика.
§ 1
ряются тождественно координатами начала, т. е. величинами х=0,
у = О, g = 0. Предположим?», что оси коордпнатъ прямоугольныя, и
оиредЪлимъ длину пути, проходимую точкою въ разныя времена по
ея траэкторш. Пусть (рис. 6) Os будетъ прямолинейный путь точки,
s—ея положеше на пути для момента
времени t, х, т/, z—ея координаты въ этомъ
положены! Тогда очевидно
Os2 — х2 -р у2 -\ z1,
и изъ уравненШ движения:
Os2 = a2t2n + Pt2n + c2t2n,
Рис. б. откуда
т. е. длина пути пропорщональна п—ной степени времени.
Уравнешя A), определяюпця движеше точки относительно дан-
ныхъ плоскостей коордпнатъ, будучи разсматриваемы каждое
отдельно, представляютъ движеше трехъ точекъ по соотвЬтственнымъ осямъ
коордпнатъ. Действительно одно уравнеше
показываетъ, что некоторая точка движется по оси х—въ, при чемъ
длина пути, проходимаго этою точкою по ея прямолинейной траэкторш,
выражается въ зависимости отъ времени функщею f^t). Точно также
одно уравнеше у = f2(t) выражаетъ движете другой точки по осп
у—въ. Подобное же скажемъ относительно третьяго уравнешя z=f^{t).
Эти три точки называются п р о л о ж е н i я м и движущейся точки
на оси коордпнатъ. Пзъ предъидущаго очевидно, что если мы знаемъ
движеше по осямъ коордпнатъ проложены! на нихъ движущейся точки,
то следовательно знаемъ движеше самой точки. Движеше проложешя
точки по соответствующей оси называется короче просто движе-
н1емъ точки относительно или по соответствующей оси
коордпнатъ.
Следовательно мы можемъ сказать, что движен1е точки
намъ известно, когда мы знаемъ ея д в и ж е н i e по тремъ
к а к и м ъ нибудь прямымъ л и н i я м ъ, не л е ж а щ и м ъ в ъ
одной плоскости и не и а р а л л е л ь н ы мъ д р у гъ другу
(которыя и будутъ осями коордпнатъ).

§ 2
Глава I. Кинематика.
15
Такимъ образомъ, всякое движен1е т о чк и мы можемъ
представить себе разложеннымъ на три
прямолинейны я движен1я. Возможность такого разложешя вытекаетъ
очевидно изъ нашего способа представлять себе положеше точки и ея
движете. Каждое изъ вышеупомянутыхъ трехъ прямолинейныхъ дви-
жешй мо^етъ быть разложено въ свою очередь опять на три и т. д.
§2* Скорость.
Самый простой случай движешя точки, какой только мы можемъ
себе представить, будетъ тогда, когда точка движется по прямой
лиши, проходя в ъ равные и произвольно выбранные п р о-
межутки времени одинаковый длины пути. Такого рода
движете называется прямо линейнымъ р авномернымъ.
Если точка движется по кривой лиши, но проходя одинаковый
пространства въ равныя и произвольной величины промежутки
времени, то движете называется крив о линейнымъ
равномерны м ъ.
И въ томъ, и въ другомъ случае, на оборотъ, равные и
произвольно выбранные промежутки пути будутъ проходиться очевидно въ
равныя времена.
Е с л и т о ч к а движется прямолинейно п
равномерно, то ея проложен! я, косоугольны я или прямо
угольны я, на какой угодно прямой движутся тоже
равномерно. Действительно, пусть точка
движется по АВ (рис. 7) и въ равныя
времена проходитъ равные промежутки пути
Аа, ah, be и т. д. Если лишя аа1
определяешь ея проложеше на линш А]В] въ
положены а, то линш ЪЪ] ccJ и т. д., парал-
лельныя первой, определятъ проложешя
движущейся точки на линш А!В] въ положешяхъ Ъ, с и т. д. Такъ какъ
отрезки а}Ъ\ Ь]с\ dd] и т. д. 1) равны между собою, 2) могутъ быть
выбраны произвольной величины и 3) проходятся въ равныя времена,
то движете по А!В! есть равномерное.
Цзъ вышесказаннаго следуетъ на оборотъ, что если точка
движется равномерно по тремъ л и н i -я м ъ нележащимъ

16 Глава I. Кинематика. § 2
въ одной плоскости, то д в и ж е н i е ея въ пространстве
есть прямолинейное и равномерное, ибо (§ 1) тремя дви-
жешями по такимъ лишямъ движете точки вполне определяется.
Пространство, проходимое точкою равномерно
въ единицу времени, называется скорости.
Если следовательно мы обозначимъ черезъ s длину пути, прой-
деннаго точкою равномерно, черезъ t—время, въ продолженш кото-
раго эта длина пройдена, и черезъ #—скорость, то на основанш
вышеприведеннаго опредЬлешя
откуда на оборотъ, если известны v и t или v и s, то
s=vt n t = - . C)
Мы видимъ, что число, представляющее величину скорости,
получается отъ делешя числа наименовашя длины на число
наименовашя времени. Въ результате получается число новаго наименовашя,
отличнаго отъ длины и времени. Единица этого новаго наименовашя
не имеетъ спещальнаго назвашя. Но такъ какъ очевидно г? = 1,
когда §=един. длины, и £=един. времени, то для обозначешя
единицы скорости мы можемъ усвоить такой способъ:
ед. длины
ед. скорости = ——-. (I)
г ед. времени v J
За единицу длины принимается обыкновенно ц е н т и м е т р ъ,
т. е. сотая часть метра, который въ свою очередь представляеть
разстояше между концами платиновой линейки (при температуре таю-
щаго льда), сделанной въ 1795 г. французскимъ механпкомъ Борда
(Borda) и хранящейся въ Париже. Въ свое время метръ долженъ
былъ представлять одну десятимиллюнную \^п; часть четвеРти зем'
наго мерид1ана, согласно геодезическимъ измЪрешямъ Деламбра (De-
lambre). Познейиия, более точныя геодезичешя измерешя показали,
что метръ, сохраняемый въ Париже, несколько меньше
приписываемой ему величины; а именно, средняя длина четверти земнаго мерид1ана
представляется не въ 107 метровъ, а въ
10007400 метровъ *).
*) Ererett. Units and Physical Constants. § 70.

§ з
Глава I. Кинематика.
17
Такимъ образомъ, основашемъ метрической системы мЬръ служить
не размерь земли, а длина линейки, сделанной Борда.
За единицу времени принимается секунда средняго времени,
1
т. е. 24 х 60 х 60 часть среднихъ сутокъ, причемъ подъ средними
сутками подразумевается средняя годичная величина промежутка
времени между двумя последовательными прохождетями солнца черезъ
мерид!анъ.
На основанш вышеприведеннаго определешя единицъ времени
и длины, и на основанш D), мы будемъ иметь:
цент,
единиц, скорости = . (о)
Следовательно, если v будетъ численная величина скорости, то пол-
г . г цент.
ное ея обозначена будетъ v -^-.
Графически скорость представляется прямою лишею по величине
в и по направленш. Иаправлеше прямой АВ (рис. 8)
^^ совпадаетъ съ направлешемъ скорости, и длина ея
л^^ заключаетъ въ себе столько единицъ длины, т. е.
Рис. 8. центиметровъ, сколько изображаемая ею скорость
содержитъ единицъ скоростей, т. е. ~~^г - Точка А, отъ которой
откладывается данная скорость АВ, называется точкою
приложен i я данной^ скорости. Смыслъ такого графическаго пред-
ставлешя состоитъ въ томъ, что движущаяся точка, исходя изъ А,
имеетъ скорость АВ, т. е. двигаясь дальше въ направленш АВ,
пройдетъ въ одну секунду длину пути АВ. При этомъ однако не
подразумевается, что точка действительно при своемъ движенш
проходитъ всю длину АВ: она ее пройдетъ, когда будетъ двигаться
равномерно въ теченш единицы времени; но въ действительности она
можетъ двигаться только въ продолженш какой нибудь какъ угодно
малой доли секунды; скорость же въ теченш этого краткаго срока
движешя все таки выразится лишею АВ, которая относится къ
движенш, имеющему продолжаться целую секунду.
2

18
Глава I. Кинематика.
§ 3
§ 3* Скорость переягЬннаго движешя.
Всякое движете, не удовлетворяющее условш равномерности,
называется пер еме инымъ. Непрерывный рядъ равномерныхъ
движенШ, им'Ьющихъ каждое свою отличную отъ другихъ скорость,
представитъ намъ въ совокупности одинъ изъ видовъ переменнаго
движешя, при которомъ скорость точки не остается одна и таже,
но переменяется. Если мы представимъ себе каждый изъ про-
межутковъ пути, на которомъ точка движется равномерно, съ особою
для каждаго промежутка скоростш, безконечно малымъ, то получимъ
общШ типъ переменнаго движешя, при которомъ скорость изменяется
непрерывно, т. е. безконечно малыми скачками. Другими словами,
мы можемъ себе представить непрерывно переменное движете, какъ
составленное изъ последовательная ряда безчисленнаго множества
равномерныхъ движешй, обладающихъ каждое своею особою скоростш.
Еъ тому же представлешю переменнаго движешя мы можемъ
прШти другимъ способомъ. Предположимъ, что точка движется по
некоторой кривой отъ А къ Д и что ея движете не равномерное..
с Если мы разделимъ путь АВ (рис. 9) на
j^~ ^Чо£ произвольное число отрезковъ Ab, be, cd и
// \ т. д., проходимыхъ, положимъ, въ равныя вре-
л в мена, то длина этихъ отрезковъ вообще бу-
РИС- 9- m All 7
детъ различная. Точки А и о, о ж с, с ж а
и т. д. последовательно соединимъ прямыми линиями, длины кото-
рыхъ будутъ вообще различны; затЬмъ представимъ себе некоторую
движущуюся точку, которая, пробегая последовательно колена
ломаной лиши Abed..., проходитъ по каждому изъ нихъ равномерно въ
теченш того же самаго времени, въ которое точка, движущаяся по
кривой, проходитъ дугу кривой, стянутую соответственною прямою.
Обе движуидяся точки, на своихъ отличныхъ одинъ отъ другаго пу-
тяхъ между А и Д будутъ очевидно приходить одновременно въ по-
ложешя А, &, с, d... Д между которыми будутъ вообще двигаться
то опережая одна другую, то другъ отъ друга отставая. Увеличивая
число коленъ ломаной лиши, мы темъ увеличимъ и число точекъ,
въ которыхъ оба описанныя движешя совпадутъ другъ съ другомъ.
Представивъ себе число проведенныхъ вышеописаннымъ способомъ
коленъ ломаной лиши безконечно большимъ, (т. е. больше всякой
данной величины), а длины коленъ—следовательно безконечно малыми

§ з
Глава I. Кинематика.
19
(т. е. меньше всякой данной величины), мы заставимъ данное
переменное криволинейное движете совпадать въ безконечно болыномъ
числе точекъ съ движешемъ, составленнымъ изъ безчисленнаго
множества равномЪрныхъ прямолинейныхъ движешй. Но сказать, что два
движешя совпадаютъ другъ съ другомъ въ безчисленномъ множестве
промежутковъ по пространству и времени—значитъ утверждать, что
оба движешя совпадаютъ вполне, и совершенно одинаковы.
Итакъ, всякое движен!е въ его безконечно малыхъ
частяхъ мы представляемъ себе, какъ равномерное и
прямолинейное.
Скорость переменнаго движешя есть следовательно скорость
техъ равномерныхъ движешй, на которыя движеше въ своихъ эле-
ментахъ распадается. Для различныхъ элементовъ пути эта скорость
будетъ различная. Если точка, пройдя данный элементъ своего пути,
будетъ продолжать двигаться далее, не изменяя своей скорости ни
по величине, ни по направлешю, то длина пути, которую она прой-
детъ при этихъ услов!яхъ въ единицу времени, и будетъ ея
скорости въ данномъ элементе пути или въ данной
точке пути.
Пусть ds *) будетъ длина безконечно малаго элемента пути,
проходимаго точкою равномерно; пусть dt будетъ безконечно малое
время, въ продолженш котораго эта длина проходится. Это время
должно быть безконечно малымъ, если движеше существуешь, т. е.
наблюдается, ибо въ противномъ случае, еслибъ оно было
конечное (т. е. не безконечно малое), то мы имели бы въ результате,
что точка должна проходить конечное пространство, состоящее изъ
безконечнаго множества частей ds, въ продолжеше безконечнаго же
множества конечныхъ промежутковъ времени, т. е. въ продолженш
безконечнаго времени; другими словами, точка не перемещалась бы
заметно въ любой конечный промежутокъ времени, или находилась бы
въ покое. Если ds и dt даны, то скорость точки въ данномъ
элементе пути будетъ очевидно на основаши B):
*) Буква d, поставленная передъ алгебраическимъ выражешемъ какой либо
величины, показываетъ, что эта величина безконечно мала.

20 Глава I. Кинематика. § 3
Хотя ds и dt, каждое отдельно, безконечно малы, но отноше-
ше ихъ -47 можетъ иметь очевидно определенную конечную
величину, и выразить конечное пространство, которое точка пройдетъ въ
единицу времени, если, пройдя данный элементъ ds, будетъ двигаться
далее, не изменяя своей скорости ни по величине, ни по направленно.
Если направлеше скорости не изменится, то оно будетъ
представлять прямую линно, совпадающую съ элементомъ ds. Такая
прямая называется касательною въ данномъ элементе къ траэкторш
движущейся точки.
Пзъ предыдущаго следуетъ графически! способъ представлешя
скорости въ какомъ нибудь месте С пути АВ криволинейнаго пе-
ременнаго движешя. Въ точке С (рис. 10) мы проводимъ, въ сто-
^^ f, —>v рону движешя, касательную къ кривой АВ,
у^^ с в ^^\ т. е. лишю совпадающую съ элементомъ
л \# CD кривой, лежащимъ около точки С (все
Рис- 10- равно, непосредственно до нея, или поел*
нея, или по бокамъ ея). На этой прямой, въ сторону движешя, мы
откладываемъ величину скорости v, CV, т. е. частное, получаемое
отъ дЪлешя длины промежутка пути CD на время dt, въ которое
этотъ путь проходится. Если движущаяся точка, минуя элементъ
CD, пойдетъ дал^е, не изменяя своей скорости по величине и на-
правлешю, то въ единицу времени, т. е. въ секунду, она пройдетъ
длину CV (или DV, ибо въ пределе CV — DV, такъ какъ CD
безконечно мало).
Дифференщальное исчислеше учитъ насъ находить отношеше
, ds
двухъ безконечно малыхъ величинъ -j для всякаго даннаго движешя.
Чтобы составить себе понят1е о томъ, какъ разыскивается
скорость при данномъ движенш мы разберемъ несколько простыхъ
случаевъ.
1) Предположимъ, что по какой нибудь траэкторш точка
движется такимъ образомъ, что зависимость длины s, проходимаго ею
пространства, отъ времени выражается формулою
s = at.
Пусть требуется определить скорость точки въ томъ месте, въ
которое она пр1йдетъ по прошествш времени t отъ начала движешя.

§ з
Глава I. Кинематика.
21
Это мЪсто мы найдемъ, отложивши длину AM = at (рис. 11) на
данной траэкторш отъ даннаго пункта исхода А движущейся точки.
У Касательная къ траэкторш въ этомъ мЪстЪ опре-
дЪлитъ направлеше скорости. Величина-же ея
найдется, если мы узнаемъ безконечно малое
пространство ММ\ проходимое точкою въ теченш
безконечно малаго промежутка времени до или после мо-
/ мента времени t. Выберемъ некоторый моментъ
времени t\ слЪдуюицй за моментомъ t и безконечно къ
нему близкШ, такъ что въ безконечно малый
промежутокъ времени t]—t точка пройдетъ безконечно малую часть своего
пути ММ1. Тогда очевидно, такъ какъ
AM=at, AM] = at\
то
MMj = AM' — AM = els = a(V — i)\
а такъ какъ время прохождешя элемента ММ\ которое мы обоз-
начаемъ черезъ dt, есть t] — t, то по F):
_ ds_ MM1 _a(t'—t)_
Мы видимъ, что скорость для каждаго момента времени остается
одна и таже, равная а. Движете по траэкторш есть следовательно
равномерное. Какой-бы мы ни брали промежутокъ времени ff — t, без-
MW
конечно малый или конечный, частное ,, . всегда останется одно
и тоже.
2) Пусть длина пути, проходимаго точкою по ея траэкторш отъ
даннаго места исхода, выражается формулою
Требуется найти скорость для момента времени t. Длина пути s\
^проходимаго отъ точки исхода до момента времени t\ безконечно
близкаго къ t, будетъ
s1 = bt12.
Длина пути, проходимаго въ безконечно малый промежутокъ времени
V—t, будетъ
s' — s = ds = b(V2 — t2).

22
Глава I. Кинематика.
§ 4
Следовательно скорость
_s' — s_ds__ b(t'2 — t2)
V~~~ t' — t~ dt~ V — t
Но такъ какъ t1—t должно быть меньше всякой данной величины,
то въ пределе можетъ быть положено
V — t = 0, откуда V = t,
и следовательно
v = 2bt,
т. е. скорость возрастаетъ пропорцшнально времени. Такое движете
называется равномерно ускореннымъ. При немъ очевидно въ
равные и произвольно выбранные промежутки времени скорость
возрастаетъ на равныя величины.
3) Пусть движете выражается формулою
s = ctn.
Тогда, сохраняя обозначетя предыдущихъ примЪровъ, мы будемъ иметь:
s1 = ct!n , s' — s = c(t,n— tn),
s1 — s t'n — tn
= c(tln-1+t1n-4-\-t,n~42+ . . - . tf'tf-^+f—1).
Число всехъ элементовъ суммы будетъ п. Полагая въ предал* ff = t,
получаемъ:
v = с (t*-1-{-1*-1 + . • -) = псР-г.
Скорость возрастаетъ пропорщонально п — 1 степени времени.
§ 4+ Сложеше скоростей.
Мы видели уже въ § 1, что движете точки въ пространстве
намъ известно, когда дано ея движете по какимъ нибудь тремъ ли-'
тямъ, не параллельнымъ и не лежащимъ въ одной плоскости, ибо
по положенш известнымъ образомъ взятыхъ проложетй точки на
упомянутыхъ трехъ литяхъ мы можемъ для всякаго момента
времени найти ея положете въ пространстве. Вопросъ теперь состоитъ
въ томъ, какъ по тремъ даннымъ скоростямъ упомянутыхъ
проложетй найти скорость движущейся точки въ пространстве, или иначе,

§ 4
Глава I. Кинематика.
23
какъ сложить три данныя скорости, принадлежащая
одной и тойже движущейся точки.
Когда движущаяся точка проходитъ по своему криволинейному
пути безконечно малую длину ds (прямолинейную), то ея проложе-
шя проходятъ по осямъ координатъ (вообще по какимъ угодно тремъ
не параллельнымъ и не лежащимъ въ одной плоскости лишямъ)
безконечно малыя длины dx, dy, dz. Следовательно dx, dy, dz будутъ
лроложешями элемента пути ds на оси координатъ. Величина упомя-
нутыхъ проложенШ останется таже, если мы будемъ пролагать ds
не на данныя оси координатъ, но на друпя камя либо три прямыя
лиши имъ параллельныя *). Поэтому, проводя черезъ начало элемента
ds (рис. 12) три линш, параллельныя даннымъ осямъ координатъ, и
пролагая на нихъ ds, мы замЪтимъ, что ds представится намъ д1а-
гональю параллелепипеда, ребра котораго
будутъ dx, dy, dz. Если мы каждое изъ ре-
беръ у помянутагопараллелепипеда увеличимъ
или уменынимъ въ одинаковое число разъ,
то д1агональ новаго параллелепипеда, по-
строеннаго на измЪненныхъ ребрахъ, бу-
детъ очевидно увеличена или уменьшена во
столько же разъ, какъ ребра, и не измЪ-
нитъ своего положешя.
Если следовательно мы увеличимъ
ребра, dx, dy, dz нашего параллелепипеда въ
1
-Т1 разъ, то получимъ новый параллелешшедъ съ ребрами
ОХ:
dx
OY:
' dV
oz =
dz
~~dt"
*) Проложеше или проэкщю одной линш, кривой или прямой, на другую мы
находимъ, проводя изъ каждой точки пролагаемой или проектируемой линш прямыя,
параллельныя данной плоскости, такъ, чтобы он* пересекали ту линш, на которую
мы пролагаемъ, или, что все равно, проводя черезъ точки пролагаемой линш
плоскости, параллельныя данной. Об* линш, рролагаемая и та, ца которую мы
пролагаемъ, вообще ыогутъ лежать въ разныхъ пдоскостяхъ. Ища проложешя на оси
координатъ, мы проводимъ черезъ точки пролагаемой линш плоскости,
параллельныя плоскости двухъ какихъ нибудь изъ трехъ осей, чтобы получить проложеше
на третью ось. Проложеше какой нибудь линш на данную плоскость мы находимъ
проводя черезъ каждую точку линш прямыя параллельныя данной прямой. Ища
проложеше на какую нибудь изъ плоскостей координатъ мы проводимъ черезъ
точки пролагаемой линш прямыя, параллельныя третьей ос-и, не лежащей въ этой
плоскости.

24
Глава I. Кинематика.
§4
д1агональ котораго будетъ OD = -^ и совпадетъ но направлешю съ ds.
Если подъ dt мы будемъ подразумевать время, въ которое
движущаяся точка проходитъ элементъ ds своего пути, а ея проложешя
на оси координатъ проходятъ длины dx, dy, dz по этимъ послед-
dx dy dz
нимъ, то отношены 7' 7' 7 выРазятъ скорости проложешй по
ds
соответствующимъ осямъ координатъ, и ~г — скорость по траэкто-
pin. Такимъ образомъ мы видимъ, что если даны скорости точки
(т. е. ея проложешй) по тремъ осямъ координатъ, то
скорость по траэктор1и находится, какъ д!агоноль
параллелепипеда, построеннаго на данныхъ скоростях ъ.
m . о dx dy dz
1. е. скорости проложен1й -j,, ~jl, ~j- суть въ тоже вре-
ds
мяпроложен1я скорости -чт.
Въ случае прямоугольныхъ осей координатъ квадратъ д1агонали
будетъ равенъ сумме квадратовъ трехъ реберъ, и мы будемъ иметь:
fds_y_fdxy fdyV fdzy
\dt) -\TtJ +\dt) +\dt) • U)
Вышеупомянутая три скорости называются слагающими
скоростями; четвертая скорость, по нимъ находимая, называется
результирующею скорост1ю. Если движете точки
определяется только двумя скоростями, то скорость точки по траэкторш
лежитъ въ плоскости двухъ данныхъ скоростей. Это будетъ иметь
место очевидно въ томъ случае, когда скорость относительно одной
изъ трехъ осей координатъ равна нулю. Въ такомъ случае построе-
Hie параллелепипеда обращается въ построеше параллелограмма на
двухъ данныхъ скоростяхъ, какъ на сторонахъ; результирующая
скорость будетъ д1агональю этого параллелограмма.
Изъ рисунка A3) мы видимъ, что если три ребра
параллелепипеда намъ даны, то нетъ надобности строить все остальные
девять реберъ параллелепипеда, для получешя величины и направле-
шя его д1агонали. Для упомянутой цели достаточно изъ конца
одного изъ трехъ реберъ, напр. АВ, провести лишю параллельную и
равную одному изъ двухъ остальныхъ реберъ (напр. ВС), и изъ
конца этой последней—лишю параллельную и равную третьему ребру

§ 4
Глава I. Кинематика.
25
(напр. СВ)\ соединяя конецъ этой последней лиши съ точкою пе-
ресЪчешя А трехъ данныхъ реберъ (въ случае скоростей, это будетъ
ихъ точка приложешя) мы получимъ искомую д1агональ АВ.
Изъ того-же рисунка мы видимъ, что находить результирующую
скорость мы можемъ, складывая сперва две изъ трехъ данныхъ
скоростей (т. е. ища сперва ихъ результирующую въ томъ предполо-
женш, что третья скорость есть нуль), и затЬмъ складывая
найденную результирующую съ третьей скоростш. Каждая изъ трехъ
скоростей АВ, ВС, СВ (рис. 13), составляющихъ результирующую
в скорость АВ, можетъ въ свою очередь
/'[ \\„ ! \ Fi быть дана не прямо, но съ помощш ея,
составляющихъ по какимъ нибудь напра-
влешямъ. Въ такомъ случае очевидно
каждая изъ вышеупомянутыхъ трехъ
скоростей должна быть найдена, какъ
результирующая своихъ слагающихъ, по
вышеизложенному способу построения трехъ ре-
беръ параллелепипеда (или двухъ сторонъ
параллелограмма). Следовательно скорость
АВ можетъ быть представлена на рисунке,
какъ заключительная сторона многоугольника, стороны котораго
(вообще очевидно не лежащ1я въ одной плоскости) AG, GH, НВ
проведены параллельно даннымъ слагающими скорости АВ\ точно также
ВС будетъ заключительною стороною подобнымъ-же образомъ по-
строеннаго многоугольника ВКС, и т. д. Разсматривая полученный
такимъ образомъ многоугольникъ AGHBKCEFD, мы приходимъ къ
следующему заключенно: если слагаюпця скорости даны не
непосредственно, а съ помощш своихъ слагающихъ, а эти последшя опять
съ помощш своихъ, и т. д. до какого угодно числа скоростей, то для
построешя общей результирующей намъ н£тъ надобности производить
последовательно сложешя сперва несколькихъ скоростей по две или
по три, потомъ полученныя скорости опять складывать по две или
по три, пока не прШдемъ къ последнимъ тремъ слагающимъ АВ,
ВС и СВ\ напротивъ, мы можемъ непосредственно строить ломаную
лишю, колена которой равны и параллельны всемъ даннымъ скоро-
стямъ; прямая, замыкающая такого рода ломаную линш, обращая ее
въ замкнутый многоугольникъ, и будетъ общею результирующею всехъ
данныхъ слагающихъ скоростей. Направлешя слагающихъ скоростей
<п
г?
а\
/1 Е
I !

26
Глава I. Кинематика.
§ 4
но периметру упомянутаго многоугольника будутъ идти все въ одну
сторону, а направлеше результирующей—въ обратную.
Величина и направлеше результирующей не изменятся, если мы
изменимъ порядокъ послЪдовашя другъ за другомъ колЪнъ ломаной
лиши, параллельныхъ даннымъ слагающимъ скоростямъ, т. е. если
мы изменимъ порядокъ сложешя. Для этого достаточно показать, что
мы можемъ переставить какъ угодно одну после другой каждыя две
или три скорости. Изъ рисунка сложешя трехъ или двухъ
скоростей ясно непосредственно следуетъ, что мы прШдемъ къ одной и
той-же результирующей, въ какомъ-бы порядке ни проводили колена
ломаной лиши, параллельныя даннымъ скоростямъ. Такимъ образомъ,
имея скорости а, 6, с, d, е, представленныя въ вид*
многоугольника, мы можемъ переменить места сторонъ, положимъ, с и d, и бу-
демъ иметь многоугольникъ а, й, d, с, е; изменяя затемъ места
Ъ и d, будемъ иметь a, d, Ъ, с, в, и т. д. очевидно можемъ любую
изъ данныхъ сторонъ поставить на место любой изъ остальныхъ,
сохраняя при этомъ конечно ихъ параллельность даннымъ
слагающимъ скоростямъ, приложенным!» къ одной точки.
Итакъ, результирующая скорость можетъ быть
представлена, какъ заключительная сторона
многоугольника, стороны котораго равны и параллельны
даннымъ слагающимъ скоростямъ и построены въ к а-
комъ угодно порядке послгЬдован1я другъ за др у го м ъ.
Величина результирующей скорости не изменяется
отъ измгЬнен1я порядка с ложен! я, какъ алгебрическая сумма
не изменяется отъ изменешя порядка слагаемыхъ.
Описанный способъ сложешя скоростей, какъ количеству име-
ющихъ величину и направлеше, называется геометрическимъ
сложешемъ; количество, получаемое въ результате геометрическаго
сложешя называется геометрическою суммою.
Изъ предыдущаго следуетъ очевидно, что слагая данныя
скорости, мы решаемъ вопросъ, съ какою скоростш должна двигаться
равномерно точка, чтобы въ единицу времени пр1йти въ тоже поло-
жеше, въ которое она пришла-бы, 'обладая последовательно каждою
изъ данныхъ слагаемыхъ скоростей въ теченш единицы времени.
Умея складывать скорости мы можемъ очевидно также наобо-
ротъ разлагать данную скорость на какое угодно число скоростей,

§ 4
Глава I. Кинематика.
27
Рис. 14.
Проложимъ
направлешя которыхъ даны. Въ такомъ случае величина скоростей
можетъ быть выбрана произвольно кроме двухъ послЪднихъ.
Если дана результирующая и все слагающ1я безъ одной, то
недостающая слагающая определится очевидно, какъ заключительная
сторона многоугольника, построеннаго на результирующей и данныхъ
слагающихъ. Направлеше искомой слагающей должно быть взято
вдоль по периметру многоугольника въ одну сторону съ остальными
слагающими.
Съ измЪнешемъ направлешя по пролагаемой лиши (напр. АВ
или В А, рис. 14) изменяется очевидно и
направлеше по ея проложенш, косоугольному или
прямоугольному. Следовательно, если направлеше
скорости меняется въ прямо противоположное,
то такимъ же образомъ меняются направлешя
ея слагающихъ.
стороны АВ, ВС,..., BE, EA какого нибудь
замкнутаго многоугольника на какую
нибудь линш MN косоугольно или
прямоугольно, и будемъ считать
направлеше сторонъ въ одну сторону
по периметру многоугольника;
положительное направлеше проложенШ будемъ
считать также въ одну какую нибудь
сторону по MN. Тогда очевидно, какъ
это легко видеть изъ рисунка A5):
алгебраическая сумма проложен^ замкнутаго
многоугольника (лежащаго въ одной плоскости или въ
несколькихъ) на какую нибудь прямую будетъ равна
нулю *). Такъ какъ съ другой стороны очевидно, что
геометрическая сумма сторонъ многоугольника, считаемыхъ по периметру
въ одну сторону, будетъ тоже нуль, то предъидущее заключеше можно
выразить такимъ образомъ: если геометрическая сумма пря-
мыхъ равна нулю, то алгебраическая сумма ихъ
проложен^ на другую какую нибудь лин1ю тоже есть
нуль.
Называя положительный или отрицательныя величины упомяну-
тыхъ проложенШ черезъ а, 6, с и т. д., мы будемъ иметь для слу-
*) т. е. аЪ -\- Ъс -f- cd — de — eaznO.

28
Глава I. Кинематика.
§ 4
чая когда все колена направлены по периметру въ одну сторону:
a + b + c + d-\- . . . -\-Jc = 0 ,
Ь + с + ^ + . . . _|- & = — а ,
т. е. одно изъ проложеьпй, взятое съ противнымъ знакомъ, равно
сумме всехъ остальныхъ. Следовательно п р о л о ж е и i e одной
стороны многоугольника на какую нибудь л и н i ю
равно сумме проложен^ на туже л и н i ю остальныхъ
сторонъ, считаемыхъ по периметру въ обратную сто-
ронусъ первой. Но такъ какъ въ такомъ случае очевидно
первая сторона равна геометрической сумме всехъ остальныхъ, то мы
можемъ вывести следующее общее заключеше:
Сумма проложен^ данныхъ прямыхъ на какую
нибудь другую прямую равна проложен^ ихъ
геометрической суммы.
Прилагая это заключеше къ скоростямъ, мы иолучаемъ, что
Проложен1е результирующей скорости на какую
нибудь прямую равно сумме п р о л о ж е н i й е я
слагающих?».
Въ частномъ случае, когда прямая, на которую пролагаются
скорости, совпадаетъ съ результирующею, мы имеемъ, что
результирующая равна сумме п р о л о ж е н i й на нее с л а г а го-
щи хъ. Такъ какъ при этомъ величина результирующей при данныхъ
слагающихъ всегда очевидно одна и таже, то заключаемъ, что, ка-
кимъ-бы образомъ мы ни пролагали слагаюиця на ихъ
результирующую (т. е. косоугольно, или прямоугольно), алгебраическая сумма
проложешй будетъ всегда одна и таже—равная результирующей.
Операщя упомянутаго прежде геометрическаго сложешя представ-
ляетъ собою ничто иное, какъ разыскаше, съ помощш
геометрическаго построешя, пролагаемой линш по даннымъ ея проложешямъ.
Складываться геометрически могутъ следовательно все однородныя
между собою величины, который по величине и направленш могутъ
быть представляемы прямыми лишями, и изъ которыхъ каждая мо-
жетъ быть дана своими проложешями на как1я либо направлешя.
Алгебраическое сложеше есть частный случай геометрическаго
сложешя величинъ, направленныхъ въ ту или другую сторону по одной
и той же прямой. Для обозначешя геометрическаго сложешя мы бу-
демъ употреблять знакъ *\>. Следовательно если величина S есть

§ 5
Глава I. Кинематика.
29
геометрическая сумма величинъ Л, В, С и т. д., то мы будемъ
обозначать
S = A^B^C^ . . ., G)'
выражая тЪмъ, что лишя 8 есть заключительная сторона ломаной
лиши, состоящей изъ А, В, С.., направленныхъ въ одну сторону
по периметру въ обратномъ смысле относительно 8.
На оборотъ, если дана геометрическая сумма величинъ и одно
изъ слагаемыхъ, то геометрическая сумма остальныхъ слагаемыхъ
определится, какъ геометрическая разность двухъ первыхъ
названныхъ величинъ. Геометрическое вычиташе мы будемъ
обозначать знакомъ ~, и на основанш его опредЪлешя будемъ иметь
изъ G)':
B^C^D^. . . = S~A. G)"
§ 5* Относительная скорость.
Всякое движете есть относительное, ибо положешя движущихся
точекъ, мы можемъ только определять относительно чего нибудь,
но не абсолютно. Определяя положеше и движете точки
относительно даннаго тела или данной поверхности, мы ничего не можемъ
сказать о положенш самаго этого тела или самой поверхности, пока
у иасъ нЬтъ еще другаго тела, относительно котораго мы определили
бы положеше перваго.
Вопросъ объ относительномъ движенш вообще сводится къ ре-
шенш задачи—по данному движенш относительно однехъ осей коор-
динатъ и по данному движенш этихъ осей въ пространстве, т. е.
относительно новыхъ осей, найти движете точки относительно этихъ
последнихъ, или обратно—найти движете точки относительно первыхъ
осей, когда дано, по прежнему, движете первыхъ осей и движете
точки относительно последнихъ.
Те оси, о движенш которыхъ въ этихъ вопросахъ не
упоминается, называются условно неподвижными, а движете по нимъ—
абсолютнымъ, но тоже условно; движете по подвижнымъ осямъ
называется относительнымъ по преимуществу. Такимъ же обра-
зомъ различаются скорости по осямъ координатъ, движете которыхъ

30
Глава I. Кинематика.
§ &
не дано, и скорости по осямъ, которыя движутся относительно пер-
выхъ. Первыя скорости въ такомъ случае называются
абсолютными, вторыя—относительными. Такъ какъ пошше о
скорости заключаетъ въ себе представление о прямолинейномъ движенш,
то вопросъ объ относительныхъ скоростяхъ будетъ частнымъ случаемъ
общаго вопроса объ относительномъ движенш.
Пусть АВ (рис. 16) представляетъ скорость, приложенную въ
конце времени t къ точке А и совпадающую
съ направлешемъ движешя. Движущаяся точка
остается на этой лиши по крайней мере въ
теченш безконечно малаго элемента времени dt.
Предположимъ далее что лшпя АВ не остается
Рис. 16.
неподвижною въ плоскости рисунка, но движется
по ней, имея въ тотъ же данный моментъ времени для всехъ своихъ
точекъ скорость АС. Это значитъ, что все точки лиши АВ, вместе
съ движущеюся по ней точкою, перемещаются параллельно АС, съ
данною скоростш, по крайней мере въ теченш элемента времени dt,
слЪдующаго за моментомъ t (т. е. наступающаго по истеченш
времени t). Если скорости точки и линш неизменятся въ теченш
единицы времени, следующей за t, то въ эту единицу времени точка
пройдетъ по лиши длину АВ\ а сама лишя всеми своими точками
пройдетъ длину -40изайметъ положеше СВ. Требуется найти
скорость движешя по неподвижной плоскости рисунка, которое въ дан-
номъ случае должно быть принято за абсолютное. Въ теченш
единицы времени точка переместится по плоскости очевидно изъ А въ D.
Легко показать, что дв^жеше ея между А и D будетъ прямолинейное
и равномерное. Действительно, предположимъ что лишя АВ, двигаясь
равномерно по АС, пройдетъ какую нибудь п—ную часть своего
пути, АК, которую она пройдетъ очевидно въ п—ную часть секунды;
но такъ какъ точка движется вдоль по самой линш АВ тоже
равномерно, то въ п—ную часть секунды она пройдетъ по движущейся
линш длину KL, которая составитъ тоже п—ную часть отъ АВ или
равной ей СВ. Следовательно
АК_^В__\ .
АС~ВС~~п ;
а это отношеше тогда возможно, когда три точки A, L и D лежатъ
на одной прямой. Такъ какъ п можетъ быть какою угодно величи-

§ 5
Глава I. Кинематика.
31
ною, то заключаемъ, что для всякаго момента времени, въ теченш
секунды, точка будетъ на прямой АВ. Кроме того, такъ какъ
AL _1
ВА~~п '
то мы заключаемъ, что длины, проходимыя точкою по прямой АВ, бу-
1
дутъ пропорцшнальны времени (- доли секунды), т. е. что движете
будетъ равномерное. Итакъ, АВ, представляя длину, проходимую
точкою равномерно въ единицу времени по плоскости рисунка,
будетъ искомая абсолютная скорость, и представится
геометрическою суммою двухъ данныхъ скоростей.
Если плоскость рисунка не остается неподвижною, но
перемещается съ некоторою скоростш АЕ (рис. 17), не лежащею вообще
въ плоскости ВАС, то лишя АВ будетъ
двигаться съ тою же скоростш, и для на-
хождешя абсолютной скорости точки мы
должны сложить скорости АВжАЕ. И такъ
далее для какого угодно числа скоростей.
Такимъ образомъ мы видимъ, что
вопросъ о нахожденйг
абсолютной скорости по даннымъ о т н о -
сительнымъ приводится вообще
къ с л о ж е н i ю этихъ последнихъ.
Следовательно несколько скоростей, приложенныхъ къ одной
точке, мы можемъ себе представлять, кроме способа предъидущаго
параграфа, еще какъ рядъ относительныхъ скоростей, определяющихъ
собою некоторую абсолютную скорость.
Вопросъ о нахожденш относительной скорости по данной
абсолютной и другимъ относительнымъ очевидно сводится къ
геометрическому вычитан1ю, т. е. къ нахожденш слагающей скорости
по данной геометрической сумме скоростей и по остальнымъ
слагающими
Очевидно, что если данный слагаемыя скорости направлены все
по одной и той же прямой, въ ту или другую сторону, то многоуголь-
никъ скоростей обращается въ прямую, и результирующая скорость
будетъ алгебраическою суммою слагающихъ, причемъ скорости,
Рис. 17.

32
Глава I. Кинематика.
§ 5
направленныя по прямой въ разный стороны отъ ихъ точки прило-
жешя, должны иметь разные знаки.
Если мы имеемъ точку А, движущуюся по прямой лиши (рис. 18),
то мы только тогда можемъ различать это движете, когда на той же
прямой лиши намъ дана еще точка В, изменеше разстояшя отъ
которой движущейся точки мы можемъ измерять. Если сама точка В
движется по той же лиши относительно третьей
_ . _ точки (^ то п0 предъидущему очевидно, скорость А
Рис. 18. ^
относительно В оудетъ равна разности скоростей
В и А относительно третьей точки С. Если обе точки А ж В
имЬютъ скорости по различнымъ прямымъ, то относительная
скорость ихъ проложешй по осямъ координатъ оудетъ равна разности
скоростей этихъ проложешй. Складывая эти разности, мы получимъ
относительную скорость двухъ точекъ, которая очевидно будетъ
геометрическою разностш ихъ скоростей. Цтакъ, относительная
скорость двухъ точекъ равна геометрической
разности ихъ абсолютныхъ скоростей.
Напримеръ, пусть (рис. 19) AVt будетъ скорость одной точки,
и BV2—другой. Чтобы найти скорость В
относительно А мы должны пзъ
последней вычесть геометрически первую. Для
этого переносимъ обе скорости въ одну
% точку, положимъ А, и проводимъ
заключительную сторону VXV2, которая и
представитъ искомую скорость. Направ-
леше ея по периметру многоугольника должно совпадать съ
вычитаемою скоростш, т. е. идти отъ V2 къ Vx. Очевидно что скорость А
относительно В будетъ таже, но направлена отъ Уг къ V2 . Въ пер-
вомъ случай д1агоналыо параллелограмма скоростей будетъ AVX, во
второмъ AV2. Относительная скорость двухъ точекъ будетъ нуль,
т. е. точки будутъ въ покое относительно другъ друга, когда
скорости ихъ равны, параллельны и направлены въ одну сторону.
Вышеприведенное определеше относительной скорости двухъ
точекъ мы делали въ томъ предполо'жеши, что даны ихъ абсолютный
скорости, т. е. известно ихъ движете относительно данных ъ въ
пространстве плоскостей (координатъ) или линШ. Но если мы вооб-
разимъ себе только одну точку въ пространстве, безъ всякаго отно-
шешя къ какимъ либо другимъ даннымъ геометрическимъ местамъ,

§5
Глава I. Кинематика.
33
то мы не будемъ въ состояши приписать этой точки какое либо
движете: для нашего понят1я, состояшя покоя и движения такой
точки будутъ безразличны. Тоже самое мы должны заключить и о ка-
комъ угодно числе точекъ, неизменнымъ образомъ связанныхъ другъ
съ другомъ, т. е. о неизменяющихся лшияхъ, поверхностяхъ и те-
лахъ. Если мы им-Ьемъ только две точки въ пространстве, то мы
можемъ понять ихъ движете только по стольку, по скольку
изменяется ихъ взаимное разстояше. Объ изменеши положешя самой
линш, соединяющей обе данныя точки, мы не можемъ судить, ибо не
будемъ иметь возможности отметить какъ нибудь это изменеше.
Такимъ образомъ, если одна точка двигалась-бы около другой по
поверхности сферы, въ центре которой была-бы эта другая точка, то
въ нашемъ представленш обе точки должны-бы были оставаться въ
покое, ибо ихъ разстояше не изменялось-бы. Въ упомянутомъ дви-
жеши мы могли-бы только тогда отдать себе отчетъ, когда кроме двухъ
разсматриваемыхъ точекъ имели-бы въ пространстве еще каюя либо
намеченныя геометричесюя места, относительно которыхъ мы могли-бы
заметить изменеше положешя линги, соединяющей обе точки.
Если даны въ пространстве точка и прямая, то изменеше ихъ
относительнаго положешя будетъ состоять только въ изменеши раз-
стояшя точки отъ лиши, т. е. длины перпендикуляра, опущеннаго
изъ точки на линш. Лишя въ этомъ случае предполагается
неопределенной длины, ибо если-бы была дана ея длина, т. е. ея концы,
то мы имели-бы случай прямой и двухъ отмеченныхъ на ней точекъ.
Следовательно точка, движущаяся по круглой цилиндрической
поверхности, находится въ покое относительно оси этой поверхности,
На основаши подобныхъ-же соображешй мы заключаемъ, что
точка, движущаяся какъ угодно въ плоскости, параллельной другой
данной плоскости,' остается относительно этой последней въ покое. Если
точка движется по лиши, параллельной двумъ плоскостямъ, то она
остается въ покое относительно этихъ плоскостей. На оборотъ,
точка, остающаяся въ покое относительно другой точки, лиши; двухъ
линШ, плоскости, двухъ плоскостей, можетъ въ тоже время двигаться
относительно другихъ точекъ, лиши, плоскостей.
Но разстояшями точки отъ трехъ плоскостей или трехъ
лиши вполне определяется ея положеше въ пространстве; следовательно,
если точка остается въ покое относительно трехъ неподвижныхъ
лиши, не параллельтшхъ и не лсжащихъ въ одной плоскости, или трехъ
з

34
Глава I. Кинематика.
§ 6
неподвижныхъ плоскостей, то она будетъ въ покое относительно вся-
кихъ другихъ неподвижныхъ точекъ, лиши или плоскостей.
Действительно, если-бы точка обладала какою скоростт, оставаясь
неподвижною относительно неподвижныхъ осей координатъ, то эта
скорость должна-бы была оставаться параллельною тремъ разнымъ пло-
скостямъ, чего быть не можетъ.
Если скорость точки для извЪстнаго момента времени дана, то
ея скорость относительно какой нибудь линш или плоскости
определится, если мы данную скорость точки разложимъ на две слагаю-
щихъ, изъ которыхъ одна будетъ перпендикулярна къ данной лиши
или плоскости, а другая параллельна; первая изъ слагающихъ будетъ
искомая относительная скорость; вторая будетъ скоростт точки по
данной линш или данной плоскости.
Итакъ, ортогональное (прямоугольное) проложете скорости
точки на какую нибудь линт или плоскость представитъ скорость
той-же точки по этой линш или плоскости. Ортогональное
проложете скорости точки на перпендикуляръ къ данной линш или
плоскости выразитъ скорость относительно этой линш или
плоскости.
§ 6. РавномЪрно ускоренное прямолинейное движете.
Равномерно ускореннымъ называется такое переменное
движете, при которомъ скорости въ равные и произвольно выбранные
промежутки времени возрастаютъ на равный величины, т. е. вообще
возрастаютъ пропорщонально времени. Если скорости убываютъ по
тому-же закону, то движете называется равномерно укосни-
тельнымъ.
Приращен1е скорости (положительное или отрицательное)
въ ед и ницу времен и при равномерноускоренномъ
прямо л иней номъ движеHin называется ускорен1емъ.
Обозначимъ черезъ v0 скорость точки въ начале некотораго
промежутка времени t, черезъ v — скорость въ конце этого промежутка;
тогда приращеше скорости въ течеши времени t будетъ v — v0. Если
движете равномерно ускоренное, то приращеше скорости въ тече-
Hin единицы времени будетъ —г-2. Обозначая поэтому черезъ д ве-

§ 6
Глава I. Кинематика.
35
личину ускорешя, мы будемъ иметь:
__ v — v0
9~~ t ' (8)
откуда
Ускореше, какъ количество, получаемое отъ делешя другъ на
друга двухъ величинъ разныхъ наименовашй (скорости на время), бу-
детъ иметь наименоваше, отличное отъ делимаго и делителя.
Единица ускорешя на основаши (8) и E) определится следующимъ
образомъ:
ед. скор. цент. ,лч
ед. ускор. = — = г . (9)
сек. сек/
Следовательно, если д будетъ численная вечичина ускорешя, то
полное ея обозначеше будетъ д ^, въ томъ смысле, что, при дан-
номъ равномерно ускоренномъ движенш, въ конце каждой секунды
движущаяся точка пршбрететъ такую скорость, съ которою, двигаясь
далее равномерно, прошла-бы въ каждую последующую секунду длину
пути на д центиметровъ большую, нежели въ томъ случае, еслибъ
она стала двигаться равномерно съ конца предыдущей секунды
времени. Графически ускореше можетъ быть представлено прямою ли-
|йею, направлеше которой, считая отъ точки приложешя, совпадаетъ
съ направлешемъ наростающей скорости, а длина заключаетъ въ себе
столько единицъ длины, сколько данное ускореше—единицъ
ускорешя.
Проложеше (прямоугольное или косоугольное) равномерно
ускоренно движущейся точки на какую нибудь прямую лишю или
плоскость будетъ очевидно двигаться тоже равномерно ускоренно, ибо
если скорость возрастаетъ равномерно, то также будетъ возрастать
и ея проложеше. Следовательно, ускореше проложеннаго движешя
будетъ равно проложешю на туже лишю ускорешя самой
движущейся точки. Поэтому ускореше точки отыскивается по ускорешямъ
проложена! точки также, какъ пролагаемая лишя отыскивается по ея
проложешямъ, т. е. ускорен!я складываются, какъ
скорости.
Изъ примеровъ 1) и 2) (§ 3) мы заключаемъ, что если
зависимость длины пути, проходимаго движущеюся точкою, отъ времени

36
Глава I. Кинематика.
§ б
выражается формулою
srrr at -j- Ы2,
то скорость будетъ
v = a + 2bt.
Сравнивая эти два выражешя съ форм. (8), мы заключаемъ, что
длина пути, проходимая равномерно ускоренно движущеюся точкою
во время t. при начальной скорости v0 и при ускореши д, будетъ
s^v0t + ~gt\ (9)
Исключая время изъ уравнешй (8) и (9), мы получимъ:
s = ±(v*-v0*), A0)
o = l/ty* + V, A1)
формулы для определешя пространства по начальной и конечной ско-
ростямъ, или конечной скорости—по пройденному пространству и
начальной скорости.
Пространства, проходимыя точкою равномерно ускоренно въ
течеши каждаго изъ ряда следующихъ другъ за другомъ равныхъ про-
межутковъ времени, не будутъ равны между собою. Положимъ, что
величина каждаго изъ равныхъ промежутковъ времени будетъ Т сек.,
и найдемъ пространство, проходимое въ течеши п—наго промежутка
времени. Искомое пространство будетъ равно длине, пройденной въ
течеши всЪхъ п промежутковъ времени (т. е. во время Тп) безъ
длины, пройденной въ п—1 промежутковъ (т. е. вовремя (п — 1) Т).
Следовательно, обозначая искомую величину черезъ S, мы имЪемъ по (9):
8 = v0nT-{-±gn*T* - ^0 (п - 1) Т + \ (п -1J Т2) A2)
т. е. пространство возрастаетъ пропорщонально нечетыымъ числамъ.
Въ предыдущей формуле v{)T иредставляетъ пространство,
которое точка прошла-бы въ промежутокъ времени 1\ двигаясь
равномерно; мы обозиачимъ его черезъ /0. Черезъ / обозначимъ величину
Т2
д —, •г. е. приращеше пройденнаго пространства въ тотъ-же проме-

§ 7
Глава I. Кинематика.
37
жутокъ, вслЪдств1е существовашя ускорешя д. Тогда пространства,
проходимыя въ 1-й, 2-й и т. д. промежутки времени будутъ
§ 7+ Ускореше первмЪннаго движетя.
При переменномъ движеши скорости, какъ мы видели,
меняются вообще непрерывно, т. е. для каждаго элемента пути, прохо-
димаго точкою, существуетъ своя скорость, отличающаяся отъ
скорости сос-Ьднихъ элементовъ какъ по величине, такъ и по
направлению. Если скорости въ элементахъ пути отличаются другъ отъ
друга только по величине, то движете будетъ прямолинейное
переменное; если скорости отличаются другъ отъ друга, кроме величины,
еще направлешемъ, или только однимъ направлешемъ, то движеше
будетъ криволинейное.
При движеши прямолинейномъ направлешя скоростей последу-
ющихъ элементовъ совпадаютъ другъ съ другомъ. Поэтому каждая
последующая скорость можетъ быть разсматриваема, какъ
алгебраическая сумма предыдущей скорости и некоторой другой,
прибавленной съ плюсомъ или минусомъ къ первой, въ томъ-же направлены.
Если мы знаемъ скорости въ каждомъ изъ элементовъ прямолиней-
наго пути, то вышеупомянутая прибавочныя скорости, или п р и р а-
щен1я скоростей, найдутся съ помощш алгебраическаго вычи-
ташя каждой скорости предыдущаго элемента изъ скорости последу-
ющаго.
Представимъ себе некоторое переменное прямолинейное движе-
Hie, и выберемъ рядъ последовательныхъ положешй 1, 2, 3 и т. д.
движущейся точки, отделенныхъ другъ отъ друга равными
промежутками времени; въ каждомъ изъ этихъ положешй скорости точки
будутъ вообще различны, какъ и во всехъ промежуточныхъ положе-
шяхъ. Обозначимъ упомянутыя скорости соответственно черезъ ь\,
v2, г\ и т. д. Тогда очевидно, разности
^2 — vi > v3 — v21 ^4 — г;3 . . . и т. д.
будутъ равны нулю, если движеше равномерное; будутъ равны
между собою, если движете равномерно ускоренное, и будутъ
различны, если движеше вообще какое нибудь переменное. Это заключеше

38
Глава I. Кинематика.
§ 1
остается въ силе, какъ-бы близко ни были другъ къ другу положе-
шя 1, 2, и какъ-бы малы ни были промежутки времени ихъ
отделяющие, лишь-бы эти промежутки были равны между собою.
Продолжая такимъ образомъ сближать положешя 1, 2, 3 и т. д. другъ съ
другомъ, мы дойдемъ до ряда непосредственно слЪдующихъ другъ за
другомъ элементовъ пути. Разности v2— vx, v3% — v2 и т. д.
сделаются безконечно малы, но будутъ отличаться вообще другъ отъ
друга при переменномъ неравномерно ускоренномъ движеши. Обозна-
чимъ черезъ dv безконечно малую разность скоростей въ какихъ
нибудь двухъ непосредственно другъ за другомъ следующихъ элементахъ
пути, черезъ dt—безконечно малое время, въ течеши котораго
проходится одинъ элементъ пути. Если-бы движете было равномерно
ускоренное, то на следующихъ элементахъ пути повторялось-бы тоже
самое приращеше скорости на величину dv\ т. е. пройдя первый
элементъ во время dt, движущаяся точка получила-бы приращеше
скорости dv\ пройдя второй элементъ она получила-бы при равномерно
ускоренномъ движеши опять приращеше скорости dv\ следовательно
всего, по истечеши времени %dt, получила-бы приращеше 2dv, и т. д.
1
Такъ какъ по истеченш единицы времени точка прошла-бы-тт
элементовъ пути, получая на каждомъ приращеше скорости dv, то къ концу
7 1 dv
единицы времени скорость возрасла-оы на dv ~jj, или на -тт, чтоипред-
ставляло-бы величину ycKopeHia описаннаго равномерно ускореннаго
движешя. Но такъ какъ точка движется не равномерно ускоренно,
то приращеше скорости dv не будетъ одинаково въ различныхъ эле-
dv f
ментахъ; а следовательно не оудетъ одинаково частное ~ч-. (при чемъ
элементы времени dt мы выбираемъ все одинакими). Темъ не менее
dv
мы можемъ однако опять разсматривать всякое новое -у,, какъ уско-
реше, т. е. приращеше скорости въ единицу времени, того
равномерно ускореннаго движешя, которое имело-бы место, если-бы точка
начала двигаться съ даннаго момента времени, получая черезъ
каждый элементъ времени dt тоже самое приращеше скорости dv,
которое она получила въ последнемъ элементе пути.
Итакъ, мы можемъ составить себе следующее представлеше
о переменномъ движеши. Разбивая его на безконечно малые
элементы времени, мы дойдемъ до такихъ промежутковъ времени, въ тече-

§ 7
Глава I. Кинематика.
39
ши которыхъ движеше будетъ равномерное, съ особыми скоростями
для каждаго промежутка. Соединяя упомянутые промежутки по парно,
мы получимъ новые, тоже безконечно малые, промежутки времени,
въ течеши которыхъ движеше можетъ быть разсматриваемо, какъ
равномерно ускоренное, съ особымъ для каждаго промежутка уско-
решемъ; величина этого последняго будетъ
л ds
dv Ji A3)
9 = Tt йлй 9 = -ЗГ*
или по другому обозначешю
9 = Ж A3)
Следовательно, всякое переменное неравномерно ускоренное движе-
Hie можно назвать переменноускореннымъ, такъ какъ
ускореше въ немъ меняется отъ одного элемента времени къ другому.
Изъ A3) мы видимъ также, что зная скорость, какъ функщю
времени, мы разыскиваемъ ускореше по скорости, какъ скорость по
длине пройденнаго пути. Приведемъ несколько примеровъ.
1) Пусть зависимость между длиною пути и временемъ будетъ
s = at + U2;
тогда зависимость скорости отъ времени будетъ:
т. е. такъ выразится скорость, съ которою точка движется въ
течеши элемента времени, следующаго за моментомъ времени t.
Скорость въ конце времени t-x-dt будетъ очевидно
следовательно приращеше скорости въ течеши элемента времени dt,
следующаго за моментомъ времени t, будетъ
dv = v! — v = 2b dt,
откуда ускореше
т. е. постоянно для всякаго времени.

40
Глава I. Кинематика.
§ 7
2) Пусть
s = ctn\
тогда v = cntn
д = сп (и — 1) tn~
Такъ какъ при криволинейномъ движенш скорости изменяются
отъ элемента пути къ элементу по направлешю, то приращение
скорости не можетъ быть находимо съ помощш алгебраическаго вычи-
*ташя, какъ въ случай прямолинейнаго движешя.
Изменеше направлешя и величины данной скорости мы можемъ
представить себе, какъ результатъ приложешя къ этой последней
некоторой новой скорости, отличной отъ первой по величине и по
направлешю. Предположимъ, что точка, двигаясь по лиши АВ (рис. 20)
со скоростш AV0, доходитъ до положешя В, и отсюда меняетъ свою
прежнюю скорость на скорость BVX.
Такое изменеше можно себе представить, какъ
результатъ приложешя къ прежней скоро-
$.' сти некоторой прибавочной скорости BTJX,
которая, слагаясь съ первою AVQ, даетъ
новую, какъ результирующую BVX.
Прибавочную скорость мы находимъ, вычитая
геометрически изъ последней
скорости ВУХ первую AV0. Следовательно, от-
кладываемъ обе скорости при одной точке,
положишь В, сохраняя ихъ величины и на-
рис. 20. правлешя; на отложенныхъ лишяхъ BVJ
и BV1 строимъ параллелограммъ такъ, чтобы уменьшаемое BV1 было
д!агоналыо, а вычитаемое BVJ—стороною; тогда сторона ВТ1г,
прилегающая къ этой последней, представить искомую добавочную
скорость. Точно также, если новая скорость BVX при С изменяется
опять въ скорость CF2, то мы, вычитая геометрически изъ
последней первую, найдемъ добавочную скорость С£72,
обусловливающую упомянутое изменеше, и т. д. Такимъ образомъ мы ви-
димъ, что движете точки по ломанной лиши АВСВЕ... можно
представить себе сопровождающимся последовательными приращешями
скоростей: BU1, CU2, ВТ1Ъ и т.д., прибавляющимися къ прежнимъ
скоростямъ въ точкахъ излома лиши.
Если мы представимъ себе, что колена ломанной лиши делаются
все меньше и меньше, то число измЬнешй скоростей будетъ делаться

§ 7
Глава I. Кинематика.
41
все более и более, а следовательно—и число случаевъ приложешя
добавочныхъ скоростей. Вообразивъ себе колена безконечыо малыми,
мы прШдемъ къ криволинейному переменному движенш съ
непрерывно изменяющимися скоростями по величине и направленш; каждое
приращеше скорости наступаетъ тогда по прошествш безконечно ма-
лаго промежутка времени, въ теченш котораго точка проходитъ по
прямолинейному элементу своего пути; направлеше прилагаемыхъ на каж-
домъ элементе пути скоростей вообще не совпадаетъ съ направлешемъ
движешя точки. Обозначимъ черезъ Д# безконечно малую величину гео-
метрическаго нриращешя скорости, которое получаетъ движущаяся
точка, пройдя съ неизменяемою скоростш элементъ своего пути въ теченш
Д#
времени dt. Тогда -т, представитъ очевидно то приращеше скорости,
которое получила-бы движущаяся точка въ единицу времени, если-бы въ
каждомъ изъ всЬхъ иоследующихъ элементовъ времени, составляю-
щихъ секунду, повторялось-бы тоже самое приращеше скорости Дг> *)
по величине и по направленш. Въ этомъ смысле упомянутое
частное можетъ быть названо ускорен1емъ криволинейнаго дви-
жен1я. Следовательно, обозначая черезъ д ускореше при криволи-
нейиомъ движенш, мы имеемъ
Доцент.
такое-же выражеше, какъ A3), съ тою только разницею, что здесь д#
не можетъ быть определено непосредственнымъ алгебраическимъ вы-
читашемъ другъ изъ друга двухъ скоростей, а должно быть найдено
геометрическимъ построешемъ.
Однако определеше Д# легко свести къ алгебраическому вычи-
ташю, т. е. къ определешю приращенШ скорости прямолинейнаго
движешя. Действительно, мы знаемъ, что если движеше точки намъ
дано, то оно можетъ быть выражено въ виде трехъ прямолинейныхъ
движетй ея проложенШ по осямъ координатъ. Ускорешя по осямъ ко-
ординатъ мы находимъ съ помощш алгебраическаго вычиташя двухъ
безконечно близкихъ скоростей другъ изъ друга, и затемъ, по най-
деннымъ тремъ ускорешямъ, находимъ результирующее, какъ ихъ
геометрическую сумму. Если движешя проложенШ даны относительно
*) Буквою Д мы будемъ отличать безконечно малое приращеше величины,
прилагающееся къ этой последней геометрически.

42
Глава I. Кинематика.
§ 7
прямоугольныхъ осей координатъ, какъ это бываетъ въ большинстве
случаевъ, то результирующая скоростей или ускоренШ проложешй
будетъ представлена д1агональю прямоугольнаго параллелепипеда,
построенная на слагающихъ скоростяхъ или ускорешяхъ, какъ на ре-
брахъ. Такъ какъ квадратъ этой д1агонали равенъ сумме квадратовъ
трехъ реберъ, то обозначая ускорешя по осямъ х—овъ, у—овъ и
z—овъ соответственно черезъ дх, #у, дъ, а результирующее уско-
peHie—черезъ дл мы будемъ иметь
92 = 9*2 + 9у2 + 9*\ A6)
где сумма берется алгебраически. Легко также видеть, что косинусы
угловъ ускорешя д съ осями координатъ будутъ соответственно
и что ^У
9 = 9*^91+ 9*-
Обозначая черезъ vx, vy, vz скорости проложешй по прямоугольнымъ
осямъ координатъ, мы им'Ьемъ очевидно по A3):
A6)
9х-
всл,Ьдств1е чего по
д* =
или по A5)':
dvx
~ dx '
A5):
KdtJ
dt'
dvY dvL
fdvxy , ,'dvyV /dvtV
~ \dt J ^ \dt ) + \dt j
dvx dvy dvy,
^dT^dT^df'
A6)'
Такъ какъ направлеше ускорешя при криволинейномъ движеши
не совпадаетъ съ направлешемъ движешя точки, то мы можемъ
разложить его для каждаго элемента пути на два ускорешя: одно,
совпадающее съ направлешемъ движешя, т. е. съ касательного къ
траэкторш, и другое, перпендикулярное къ этой касательной, т. е.
направленное по нормали къ траэкторш. Эти ускорешя могутъ быть
названы: одно—к асательнымъ или тангенц1альнымъ, а
другое—н ормальнымъ.
Представимъ себе некоторое безконечно малое приращеше
скорости ВС (рис. 21), которое прибавляется къ скорости ЛВ по

§ 7
Глаеа I. Кинематика.
43
перпендикулярному къ ней направлешю, и измЪняетъ ее въ скорость
АС. Такъ какъ длина ВС по предположен^ безконечно мала, то эта
лишя можетъ быть разсматриваема, какъ эле-
^ > | ментъ круга, описаннаго рад1усомъ ВС. Но ли-
^х. nL н*я АС тогда должна будетъ представлять другой
^хл Т рад!усъ того же круга; следовательно мы будемъ
^с иметь АВ — АС, откуда заключаемъ, что безко-
ис* ' нечно малое перпендикулярное приращеше
скорости измЗшяетъ только направлеше скорости, но не ея величину. Точно
также понятно, что ускореше, перпендикулярное къ данной скорости,
измЪнитъ въ теченш безконечно малаго промежутка времени (пока
приращеше скорости имъ обусловливаемое остается тоже безконечно
мало) только направлеше этой последней, но не ея величину. Въ
случае криволинейнаго движешя вся скорость всегда
перпендикулярна къ нормальному ускорешю, ибо точка движется по траэкторш,
т. е. последовательно по безконечно малымъ отрезкамъ касательныхъ
въ разныхъ элементахъ траэкторш. Следовательно, нормальное уско-
peHie не изменяетъ величины скорости движешя точки (т. е. скорости
по траэкторш), изменеше которой обусловливается поэтоту только
тангенщальнымъ ускорешемъ. Съ другой стороны, если бы
нормальное ускореше не существовало, то все ускореше совпадало бы
постоянно съ направлешемъ движешя, которое было бы въ такомъ
случае прямолинейнымъ. Итакъ, тангенциальное ускорен1е
обусловливаетъ только изменен1е величины
скорости, нормальное—только изм*нен1е направлен1я
скорости.
Если точка движется, напримеръ, равномерно по кругу, то
тангенциальное ускореше очевидно равно нулю, а нормальное направлено
въ разныя времена по рад1усамъ, которые перпендикулярны къ ка-
сательнымъ.
Обозначимъ черезъ gt и дп величины тангенщальнаго и нормаль-
наго ускорешй, а черезъ д, какъ прежде, величину полнаго уско-
решя. Тогда очевидно
9 = 9^9*. A7)
92=9t2 + 9n2. A7)'
Определяя величины скоростей въ двухъ соседнихъ элементахъ
лути и вычитая ихъ алгебраически другъ изъ друга (предъидущую

44
Глава I. Кинематика.
§ 8
скорость изъ последующей), мы получимъ очевидно оезконечно малое
приращеше величины скорости dv, т. е. нриращеше скорости по
траэкторш. Ускореше по траэкторш, т. е. тангенщальное ускореше,
(ТО)
будетъ поэтому -ч-.. Следовательно, на основанш A6) и A7), мы
можемъ писать:
dt
(dv N-2
Дг> dvx dv7 dvz dv
dt
dt
i (db\2
\dt) + W)
fdvz\2
kit) :
fdv\2 , 2
A8)
A8)'
при чемъ последнее—для случая, когда движете дано по прямоуголь-
нымъ осямъ.
§ 8* PaBHOMtpHoe движете по кругу.
Въ виде примера на способъ разыскашя ускорешя, определимъ
величину ускорешя при равномерномъ движенш по кругу.
Пусть г будетъ рад1усъ даннаго круга, и v—скорость точки,
движущейся по немъ равномерно. Обозначимъ черезъ Т время полнаго
обращешя точки по кругу.
Такъ какъ въ течеши этого
времени точка проходитъ
равномерно длину круга, равную
2тсг, то
vT=2Tzr, откуда Т—
27ГГ
A9)
Рис. 22.
Будемъ проводить изъ точки О (рис. 22) лиши, равныя по
величине и направлешю скоростямъ движущейся точки; т. е. все
скорости, который точка въ разныя времена имЬетъ на каждомъ
элементе круга, отложимъ при О. Все эти скорости будутъ равны между
собою по величине, но различны по направлешю. Соединяя концы
безчисленнаго множества такимъ образомъ отложенныхъ при точке О
линШ непрерывною кривою, мы получимъ очевидно кругъ рад1уса ь\

§ 8
Глава I. Кинематика.
45
Два безконечно близк1е рад1уса этого вспомогательная круга, ОБ1 и
ОЪ\ представятъ две скорости BV w bV m двухъ сосЬднихъ элемен-
тахъ траэкторш *). Прямая ВЪ\ которая, по безконечной близости ра-
д1усовъ ОВ] и ОЪ\ совпадетъ съ элементомъ вспомогательная круга,
будетъ представлять ту скорость, которую нужно придать къ ОВ\
чтобы получить (Ж Такъ какъ В'Ь1 перпендикулярна къ рад1усу ОВ\
то она будетъ перпендикулярна къ ВУ\ кроме того направлеше отъ
В] къ V соотвЬтствуетъ очевидно направлешю отъ В къ центру
круга А. Итакъ, ускореше направлено всегда къ центру круга. Ве-
• г BV
личина этого ускорены будетъ -,т~, где at есть время, въ продол-
женш котораго скорость ОВ] изменилась въ ОЪ\ а рад1усъ вспомо-
гательыаго круга, следуя за движущеюся точкою и двигаясь съ нею
равномерно, прошелъ длину B!bJ. Время обращешя по своему кругу
конца вспомогательная рад1уса будетъ тоже самое Т, что время
обращешя данной движущейся точки по ея кругу. Длина
вспомогательной окружности есть 2та>. Следовательно скорость движешя конца
вспомогательнаго рад1уса оудетъ -=г , и стало оыты
J5f&' — —=- dt, и, определяя или Т, или v по A9):
г Т2 .
откуда заключаемъ, что искомое ycKopeHie будетъ
v2 4тг2г
g = i~ = W B0)
Если дано не время оборота, но число п оборотовъ въ единицу
времени, то
1
п = -= , и д = къ2п2г . B0)'
Найдемъ тоже ycKopenie другимъ способомъ, указаннымъ въ
конце предъидущаго параграфа: съ помощш ycKopeHift проложен^.
Проведемъ черезъ центръ круга (рис. 23) две взаимно
перпендикулярный лиши 0Y и ОХ, и вообразимъ движущуюся точку въ
*) Лиши BVvl 0B\ bY и ОЪ1 должны быть параллельны п равны другъ другу.

4G
Глава I. Кинематика.
§ 8
положен!!! Ж Уголъ, который направлеше скорости v образуетъ съ
положительнымъ направлешемъ оси ОХ, обозначиыъ черезъ {у,х)\
соответственный уголъ съ положительнымъ
направлешемъ оси О Г— черезъ {v,y). Тогда
проложешя скорости v на оси будутъ:
vx = v cos (v,x), vY = v cos (#,#), vz = 0.
Или, обозначая черезъ а уголъ рад1уса ЛЖ
съ осью ОХ, и замечая, что очевидно
Рис. 23.
cos (V)Z) =.— sin a, cos (#,?/) = cos a,
имЪемъ:
vx = — v sin a,
: v cos a.
Будемъ считать время отъ момента, когда точка находилась въ Д
на оси ОХ. Тогда очевидно, ВМ будетъ дуга, пройденная во время t,
равная vt\ но такъ какъ съ другой стороны ВМ = а.г, гд** г есть
рад1усъ круга, то
vK = — г^ sin — t,
г 7
ь\ = v cos — t,
г
B1)
гд* величина - носитъ назваше угловой скорости точки около
центра Л. Ускорешя прямолинейныхъ движенШ по лшпямъ ОХ и OY
находятся, какъ мы знаемъ, съ помощш алгебраическаго вычиташя
другъ изъ друга двухъ безконечно близкихъ скоростей, въ два по-
слЪдуюнце другъ за другомъ элемента времени; т. е.
9* = лГ
V V
v cos — (t A- dt) — v cos - t
г г
di
2sin_(, + _)sm__
dt
Но если dt будетъ сделано меньше всякой данной величины, то
очевидно
. v ,. . dt . v ,
. dtv dtv

§ 8
Глава I. Кинематика.
47
и следовательно
г г
Точно такимъ же способомъ найдемъ:
V V
gY — sin—£. B2)
г г
и следовательно:
г'4
3x = --cos-*, B2)'
32 = ^у2 + 3х2=^, или £ = -; B3)
а такъ какъ далее
%
cos (#,#) = — = —cosa, т.е. (#,яО = 7Г —а,
cos {g^y)=^ = — sin а, т. е. (д,х) = ~ + а,
9 *
то заключаемъ, что ускореше направлено по рад1усу къ центру.
•—-н*н-—
Если точка движется по кругу съ переменною скоростш, то
мы, разсматривая это движете въ элементахъ, какъ равномерное,
приходимъ къ заключешю о существовали ускорешя, направленнаго
къ центру и равнаго по величине —, где v различно для различныхъ
элементовъ окружности; вследств1е чего нормальное ускореше,
направленное къ центру, будетъ также изменяться со временемъ въ
своей величине. Но такъ какъ скорость по окружности при этомъ
изменяется, то кроме нормальнаго ускорешя существуетъ въ данномъ
случае—касательное, которое, слагаясь съ первымъ, даетъ полное
ускореше, уже не направленное къ центру.
Если путь движущейся точки представляетъ вообще какую
нибудь кривую, то мы можемъ себе представить окружности, проходя-
пця каждая черезъ три конца двухъ соседнихъ прямолинейныхъ
элементовъ кривой, при чемъ рад1усы этихъ окружностей будутъ
вообще различны. Черезъ каждыя три таюя безконечно близк1я точки
на кривой мы можемъ провести очевидно только одну окружность.

48
Глава I. Кинематика.
§ 9
Всякая такая окружность, совпадающая двумя своими
прямолинейными элементами съ двумя элементами кривой, называется coup и-
касательною (въ отлич1е отъ касательной окружности,
которая совпадаетъ съ кривою только однимъ своимъ элементомъ; при
чемъ черезъ два элемента кривой, опредЪляюицеся тремя точками,
можно провести только одну соприкасательную окружность, а черезъ
одинъ элементъ кривой, определяющая двумя точками,—безчисленное
множество касательныхъ окружностей). Проведя соприкасательные
круги черезъ каждую пару элементовъ кривой, мы всю кривую
разобьемъ на рядъ дугъ, принадлежащихъ окружностямъ, съ
различными рад!усами, которые называются р а д i у с а м и кривизны
данной кривой. Движете точки по кривой можетъ такимъ образом> раз-
сматриваться какъ рядъ послЪдовательныхъ движешй по различнымъ
окружностямъ. Ускореше каждаго изъ этихъ движешй можетъ быть
разложено на два: на ускореше по направлешю къ центру
соприкасающейся окружности, центростремительное, и на ускореше
по самой окружности, т. е. по траэкторш, которая въ разсматривае-
мыхъ элементахъ съ окружностш совпадаетъ. Первое ускореше вы-
v2
разится черезъ —, гд-fc v есть скорость точки по траэкторш для
даннаго момента времени, а г—рад1усъ соприкасающагося круга; вто-
рое ускорена оудетъ -тт. Следовательно полное ускорена д
определится изъ формулы:
9 \dtJ ^ \at; ^Kdt) \dt;^r* l ]
При перемЬнномъ движешй по какой нибудь кривой, v я г вообще
различны въ различныхъ положешяхъ движущейся точки на ея пути.
При движешй перемЪнномъ по кругу, v различно, но г остается одно
и тоже.
§ 9* Криволинейное движеже, съ ускорешемъ постоянной
величины и неизмЪннаго направленш.
Такъ какъ движеше предполагается криволинейнымъ, то уско-
penie не совпадаетъ съ направлешемъ движешя. Пусть О (рис. 24)

§ 9
Глава I. Кинематика.
49
будетъ тотъ пунктъ пути, съ котораго мы начинаемъ разсматривать
движете, и пусть Од будетъ по величин* и направлешю представлять
ускореше, прилагающееся къ движущейся точке въ этомъ месте ея
У; пути. Направлеше движешя точки по элементу пути,
проходящему черезъ О, пусть будетъ представлено
лишею OV0, которая своею длиною и направлешемъ
х изобразитъ также скорость движущейся точки въ упо-
мянутомъ элемент*. Изменеше скорости движущейся
точки обусловливается приращешемъ скорости, при-
^ латающимся въ направлены ускорешя. Такъ какъ
Рис. 24. дВ£ слагающаяся скорости даютъ результирующую
очевидно въ той же самой плоскости, въ какой находятся сами, и
такъ какъ въ разсматриваемомъ нами случае ускореше по
предположен^ не изменяетъ своего направлешя для всехъ элементовъ пути,
то точка будетъ двигаться въ плоскости, проходящей черезъ
направлеше ускорешя Од и начальной скорости OV0. Эту плоскость мы
выберемъ за плоскость рисунка.
Въ плоскости рисунка, черезъ точку О проведемъ две взаимно
перпендикулярныя оси координатъ OY и ОХ, изъ которыхъ первая,
совпадая съ лишею Од, пусть направляется въ сторону
противоположную ускорешю. Разсмотримъ, каково будетъ движете по этпмъ
лишямъ проложешй на нихъ движущейся точки. Такъ какъ ускореше
направлено перпендикулярно къ лиши ОХ, то его составляющая по
этому направлешю будетъ нуль, и движеше по оси х—въ будетъ
равномерное; т. е. величина проложешя скорости движущейся точки
на ось ОХ въ различныхъ элемеитахъ ея пути будетъ одна и таже.
Следовательно, достаточно знать скорость въ одномъ какомъ нибудь
элемент* траэкторш, чтобы определить движеше проложешя
движущейся точки по оси х—въ. Такая скорость намъ дана въвид* vi)=OV0,
скорости начальнаго элемента. Если мы обозначимъ черезъ а уголъ,
который OV0 делаетъ съ ОХ, то очевидно величина проложешя vQ
на ОХ, т. е. величина vx, будетъ
vx = v0 cos a . B5)
Длину пути, проходимаго точкою по ОХ, мы считаемъ отъ начала
координатъ 0\ время t будемъ считать также отъ момента прохожде-
шя точки черезъ О. СлЬдовательно длина пути, пройденнаго по оси
х—овъ къ концу времени t будетъ
4

о и
Глава I. Кинематика.
§ 9
x = vo cos x . t. B6)
Такъ какъ ускореше направлено въ противоположную сторону оси
у—овъ, то обозначивъ его величину черезъ дл мы найдемъ, что
ускорение по оси у—овъ должно быть положено равнымъ—д. Смыслъ
отрицательнаго знака при д тотъ, что прибавочная скорость,
обусловливаемая ускорешемъ, должна вычитаться изъ скорости, направленной
въ положительную сторону по OY. Первоначальная скорость точки по
оси у—въ будетъ очевидно равна проложешю на эту ось скорости^,
т. е. равна i?0sina. Черезъ промежутокъ времени t эта скорость,
вслЪдств1е существовашя постояннаго отрицательнаго ускорешя, будетъ
vY = v0sina — gt, B7)
и движете будетъ равномерно укоснительное. Пространство,
проходимое во время t точкою, движущеюся по лиши OY равномерно
укоснительно (т. е. равномерно ускоренно съ отрицательнымъ у.ско-
решемъ), будетъ по (9):
y = v0smcL . t — ^gt2.
B8)
Уравнешя B6) и B8) вполне определяютъ движеше точки при
установленныхъ нами выше услов!яхъ.
Уравнешя B5) и B6) показываютъ, что движущаяся точка
постоянно удаляется отъ лиши OY, отъ которой ея разстояше
увеличивается равномерно. Уравнешя B7) и B8) показываютъ, что въ тоже
самое время движущаяся точка сперва
удаляется отъ лиши ОХ съ постоянно
уменьшающеюся скоростш, которая на-
конецъ обратится въ нуль въ конце
времени t0 после начала движешя. Это
время найдется изъ ур. B7), въ кото-
ромъ мы должны положить vy = О и
t = t0. Получаемъ:
rosina~^0, откуда 10=
v0 sin a
9
B9)
Въ течеши элемента времени dt, следующего за моментомъ t0,
скорость точки но оси у—овъ будетъ нуль, т. е. ея проложеше на
мгновеше остановится на этой лиши. Затемъ, когда будетъ t>t0, то
vv сделается отрицательною и таковою останется при даль-
скорость ^у

§ 9 Глава I. Кинематика. 51
нейшемъ движеши; т. е. движете будетъ направлено въ
отрицательную сторону оси OY (по рисунку сверху внизъ), и точка будетъ
приближаться опять къ лишя ОХ. Разстояше OD точки поворота отъ
оси ОХ, которое мы обозначимъ черезъ у0, найдется изъ уравн. B8),
, , v0sina „
гд1з мы должны положить у—у0ц t = t0 = — , Получаемъ:
v2 sin2 a 1 vQ2 sin2 a 1 v02 sin2 a rn^
y0 — -у — — - -- = - -У . C0)
J0 g I g 2 g ^
Полагая t = t0 въ ур. B6), мы найдемъ разстояше %0=ОВ, на
какомъ движущаяся точка во время поворота будетъ отъ лиши 0Y.
Находимъ:
VrT cos asm a
C1)
9
Скорость v точки по траэкторш найдется изъ уравнешя
v2 = v2 -+- vY2,
которое на основанш B5) и B7) обращается въ
v2 = v2 — 2v0gsmaL.t + g2t2. C2)
Для момента времени t0 эта скорость обращается въ
#0cosa, т. е. въ vx.
Квадратъ скорости, слагаясь изъ квадрата постоянной скорости vx2 и
квадрата переменной скорости v/, изменяется съ этою последнею,
сперва уменьшаясь до точки поворота, где скорость vY, а
следовательно и v, двстигаютъ своей наименьшей величины, и затемъ
постоянно увеличиваясь.
Отъ точки поворота В проложеше движущейся точки пойдетъ
по лиши 0Y назадъ; сама же движущаяся точка отъ поворота Р
будетъ приближаться къ оси ОХ, и наконецъ ее пересечетъ. Время
пересечешя tx определится изъ ур. B8), въ которомъ мы должны
положить t = t1 и у = 0. Получимъ:
1 1
0 = v0sma.t1 — - gt2 = tx (v0 sm a — - gtt),
откуда
или tx = 0, или ^ == 2t?^sma__ 2^; ^

52
Глава I. Кинематика.
§ 10
т. е. движущаяся точка пересЪкаетъ ось х—овъ при начале движе-
шя, потомъ черезъ промежутокъ времени £0 достигаетъ наивысшаго
положения надъ этой осью, и черезъ такой же промежутокъ времени
опять опускается до нея. Разстояше отъ начала координатъ второй
точки пересъчешя траектории съ осью х—овъ мы получимъ изъ
ур. B6), где должны положить t = t1 [по C3)] и х = хг, искомому
разстояшю. Тогда будемъ иметь:
._4acosa8ina=2iro; (g4)
9
т. е. об* точки пересЬчешя лежатъ на одинаковыхъ разстояшяхъ отъ
вершины траэкторш.
Скорость vY1 проложешя движущейся точки, когда оно вернется
опять къ месту исхода, найдется изъ ур. B7*), где должно положить:
vy = vn и t = t1. Получимъ:
vyi = v0 sin a — 2v0 sin a — — vQ sin a , C5)
вслЬдств1е чего скорость по траэкторш во время tx будетъ
т. е. та-же, что начальная скорость.
Наконецъ, исключая t изъ обоихъ уравнешй B6) и B8), мы
получаемъ, какъ было объяснено въ примечанш къ § 1, уравне-
Hie траэкториь точки:
у = xtgct. — х2 к-^—т- •> С37)
2srcos2a v J
которое, какъ учптъ насъ аналитическая геометр1я, представляетъ
параболу, кривую, получаемую отъ пересъчешя поверхности круг-
лаго прямаго конуса плоскостпо. параллельною одной изъ его обра-
зующихъ.
§ 10* ОпредЪлеше длины пути по даннымъ скоростямъ.
Если скорость v движущейся точки въ теченш какого нибудь
элемента времени dt дана, то длина соответствующего элемента njTii ds
определится, какъ пространство, проходимое равномерно со cKoporriio

§ 10
Глава I. Кинематика.
53
v въ течеши безконечно малаго промежутка времени dt, т. е. какъ
произведете vxlt. Если даны скорости #х, v2, г\ vn
соответственно для каждаго изъ безчисленнаго множества безконечно малыхъ
элементовъ времени, на которые можетъ быть разбитъ какой нибудь
конечный промежутокъ времени t, то длина пути $, проходимаго
точкою въ теченш упомянутаго промежутка времени съ переменною
скоростш, будетъ равна очевидно сумме пространствъ, проходимыхъ
въ различные элементы времени, т. е.
s — vxdt -f- v2dt + v3dt vndt, C8)
где слагаемыхъ въ сумме будетъ безчисленное множество и каждое
слагаемое, т. е. каждый членъ суммы будетъ безконечно малъ.
Элементы, на которые мы делимъ данный промежутокъ времени t, могутъ
быть выбраны произвольной величины, лишь бы они были безконечно
малы; такъ папримеръ, мы можемъ ихъ выбрать безконечно малыми
и равными другъ другу. Въ такомъ случае элементы пути, т. е. про-
изведешя vxdt, v2dt и т. д., будутъ тоже безконечно малы, ибо v1, v2
не безконечно велики; но эти произведешя уже не будутъ
произвольны, а каждое будетъ въ определенное число разъ более
величины элемента времени.
Интегральное исчислете учитъ насъ, какимъ образомъ находить
сумму, состоящую изъ безчисленнаго множества безконечно малыхъ
слагаемыхъ, изменяющихся по известному данному закону.
Возможность нахождешя суммъ такого рода, какъ C8), мы пояснимъ
несколькими примерами.
Если движете равномерное, то очевидно v1=v2=v3 • • -=vD.
Следовательно, выражеше C8) обращается въ
s = v . ndt,
где v обозначаетъ постоянную скорость движешя, а п представляетъ
число (безконечно большое) безконечно малыхъ промежутковъ
времени, на которые мы делимъ весь данный конечный промежутокъ
времени t. Следовательно n.dt = t, и
s = vt.
Пусть движете будетъ равномерноускоренное, и скорость къ
концу времени t выражается черезъ

54
Глаза I. Кинематика.
§ 10
Тогда скорость въ начальномъ элемент*, т. е. для времени t=0,
будетъ v0\ длина соответствующая элемента пути будетъ vQdt, т. е.
длина пути, проходпмаго въ промежутокъ времени dt, следукнщй за
моментомъ t = 0. Къ концу времени dt скорость будетъ v0-+-gdt\
длина пути, проходпмаго съ этою скоростш будетъ (#0 + gdt)dt. Къ
концу времени 2dt скорость будетъ v0 + g2dt; длина пути,
проходпмаго съ этою скоростш въ слЬдующШ за временемъ 2dt промежутокъ
времени dt, будетъ (v0-\- g2dt)dt. Наконецъ длина пути, проходпмаго
въ последшй п—ный элементъ времени, слЪдующШ за моментомъ
(п—l)dt, будетъ [v0 + g(n—l)dt]dt. Следовательно длина пути,
проходпмаго во все п элементовъ времени, т. е. во все время t, будетъ
s = vQdt-{-(vQ-\-gdf)dt-{~(y0-\-g2df)dt-\- [vQ +g(n—l)dt]dt
= v0ndt + g(dtf(l+ 2 + 3+ . . . -п — 1).
Такъ какъ сумма натуральныхъ чиселъ, до числа 2VT, выражается
черезъ \ (N-\-l)N, то наша предъидущая формула обратится въ
1
s = v0ndt + — gdt2n [n—1)
z
1 1
= v0ndt + Л (ndfJ — - gndt2,
или такъ какъ ndt = t, то
1 1
s = v0t-^-gt2 — -gt.dt\
но dt можетъ быть сделано меньше всякой данной величины;
следовательно
т. е. известная уже намъ формула (9).
Очевидно, что, для определешя длины пройденнаго пути, намъ
достаточно знать только величину скорости для каждаго элемента пути,
но не ея направлеше. Но длина пройденнаго пути, безъ данной его формы,
не определяетъ вполне движения. Если же намъ даны все три проложешя
скорости на данныя оси координатъ, то находя пространства, прохо-
димыя точкою по осямъ координатъ, мы опред'Ьляемъ темъ самымъ,
для всякаго момента въ данномъ промежутке времени, ея положетя
въ пространстве*, следовательно вполне опред'Ьляемъ ея движете въ
упомянутомъ промежутке времени. Кроме скорости—при этомъ намъ
очевидно должна быть дана та точка въ пространстве, отъ которой

§10 Глава I. Кинематика. 55
движете начинается, или отъ которой мы начинаемъ разсматривать
движете.
Пусть #0, ?/0, £0 будутъ координаты движущейся точки для
времени 1 = 0^ пусть vx, #у, vz будутъ слагакищя скорости по осямъ
координатъ, данныя для каждаго момента известнаго промежутка
времени, отъ t = 0 до t = t, т. е. выраженныя какъ функцш времени.
Тогда, обозначая для краткости алгебраическую сумму вида C8),
взятую по элементамъ времени между упомянутыми выше пределами
t
Out, черезъ Yvdt, мы будемъ иметь следуюиця выражетя для
координатъ движущейся точки во время t:
t
х = xQ -h X vxdt,
о
у = у0 + 1М*> , C9)
о
t
о
Выражетя C9) суть очевидно уравнешя движетя, решающая
вполне задачу о нахожденш положетя движущейся точки въ любое
время t.
Произведете скорости на время, какъ вообще всякое количество,
составленное пзъ двухъ множителей, можетъ быть представлено
графически въ вид* площади некотораго прямоугольника, числовая
величина сторонъ котораго равна соответственно числовымъ величинамъ
того и другаго изъ производителей. Действительно, вообразимъ себе
прямоугольникъ, ocHOBaHie котораго заключаетъ въ себе столько
единицъ длины, сколько данное время t сек. — единицъ времени, а
высота котораго заключаетъ въ себе столько единицъ длины, сколько
данная скорость v11-^-1—единицъ скорости. Тогда площадь такого пря-
г сек.
моугольника будетъ равна v.t, и будетъ заключать въ себе столько
единицъ площади (т. е. цент.2), сколько пространство s цент., проходимое
равномерно во время t со скоростш v, содержитъ единицъ длины.
Такъ какъ всякое переменное движете можетъ быть
представлено въ своихъ элементахъ равномернымъ, то пространство,
проходимое въ каждый элементъ времени dt, можетъ быть выражено
площадью прямоугольника, съ основатемъ dt и высотою, равною v, т. е.

56
Глава I. Кинематика.
§ Ю
^u
\-У
скорости въ соответствующемъ элементе. Сумма площадей безчислен-
наго множества такихъ безконечно уз-
кихъ прямоугольниковъ (рис. 26) вы-
разитъ пространство, проходимое въ
определенный конечный промежутокъ
времени. Эта сумма представитъ пло-
щать, заключенную между прямой Ot,
двумя нерпендикулярными къ ней
прямыми OV0 и tV, и ломаною лишю V0V,
Рис. 26. которая, съ уменыиешемъ промежут-
ковъ dt, обратится въ непрерывную кривую, называемую кривою
скоростей. Если дано какое нибудь соотношеше, определяющее
каждую скорость v по каждому данному времени / (т. е. если г
дана въ функщи /), то кривая скоростей построится также, какъ
всякая вообще кривая, для которой дано соотношеше между
координатами ея точекъ (см. § 1). Следовательно при построены! выражешя
мы должны разсматривать всякое t, какъ координату х (абсцисс у)
какой либо точки плоской кривой, a v—какъ соответствующую
координату у (ординату).
Для равномЪрноускореннаго движешя, где
кривая скоростей будетъ прямою лишей.
Действительно, построивши (рис. 27) абсциссу t и
ординаты v0 и v, мы проведемъ лишю v0v0,
параллельно Ot\ затемъ построимъ ординату v\
соответствующую абсциссе V. Такъ какъ
о г t
Рис. 27.
ТО
V'
V -
v<-
= v0
~vo.
-vn
+ gt',
t
*"
последняя пропорщя показываетъ, что точка v] лежитъ всегда на
третьей стороне прямоугольнаго треугольника v0v0v, следовательно
лишя скоростей, между v0 и г\ есть прямая.

§ ю
Глава I. Кинематика.
57
Площадь фигуры Ov0vt, состоя изъ прямоугольника Ov0vJ и
прямоугольнаго треугольника v0vv0, будетъ равна
или
=-v0t + ~gt\ C9)'
и выразить пространство, пройденное равномерно ускоренно во время
t, съ ускорешемъ д и съ начальною скоростш v0.
Сводя опредЪлеше пройденнаго пространства на вычислеше
площадей, мы гЬмъ не избЬгаемъ однако суммовашя безконечно ма-
лыхъ величинъ, ибо для определешя площадей, ограниченныхъ
кривыми лишями, мы имЪемъ только одинъ способъ—разбивать эти
площади на безконечно малыя части, который можно-бы было разсматри-
вать, какъ ограниченный прямыми лишями. Только площади фигуръ,
ограниченныхъ прямыми лишями, мы можемъ непосредственно
сравнивать, при помощи наложешя, съ принятою нами единицею площади
(т. е. съ квадратомъ, стороны котораго равняются единиц* длины)
или съ конечными частями этой единицы. Следовательно, только при
равномерно ускоренномъ движеши мы можемъ определить пройденное
пространство непосредственно безъ помощи суммовашя безконечно
малыхъ путей.
Темъ не менее сведеше определешя пути къ определешю
площади можетъ иметь ту выгоду, что при вычислены площади мы
можемъ разбивать ее на безконечно малыя части разнообразными
способами, выбирая при этомъ такой способъ разбивашя, при которомъ
суммоваше частей можетъ быть произведено всего легче. Напримеръ
предположимъ, что зависимость скорости отъ времени представлена
уравнешемъ
?;r=|/^ZT^5 D0)
для промежутка времени между t = 0 и t = а. Для определешя
пространства, пройденнаго точкою отъ начала движешя, т. е. отъ t = 0,
до какого нибудь момента между 0 и а, намъ нужно-бы было искать
такую сумму безконечно малыхъ величинъ:
j/o*. dt+\/(a*—dt)\dt+i/a2—Bdff. dt-\ \/a2—{ndff.dt. D1)
He выполняя непосредственно суммовашя, мы посмотримъ сперва, къ

58
Глава I. Кинематика.
§ Ю
опред*леню площади какой кривой сводится нахождеше искомая
пространства.
Строя кривую по ур. D0), мы видимъ, что
скорость въ начале, при t = 0, имеетъ
наибольшую величину а, которая на рисунке (рис. 28)
выразится лишею ОА\ затемъ скорость
уменьшается и при t = а (на рис.: ОБ) делается
равна нулю. Для какого нибудь промежуточная
момента времени, определяемая абсциссою Ot, мы вычисляемъ
ординату Ю или Ov по ур. D0):
Ov = }/а2 ~—ОР , откуда Ov2 + Ot2 = a2 = ОС2 ;
следовательно разстояше ОС какой либо точки на кривой скоростей
отъ начала координатъ всегда равно а, откуда заключаемъ, что
кривая АВ есть дуга круга, рад1уса а, центръ котораго въ О. Искомое
пространство, для времени t=Ot, выразится суммою площадей
прямоугольная треугольника OCt и сектора круга АОС, причемъ
каждая изъ площадей, составляющихъ эту сумму, уже не будетъ иметь
непосредственнаго кинематическая значешя.
Для определешя площади сектора мы, какъ известно, разбиваемъ
дугу АС на безчисленное число п прямолинейныхъ элементовъ,
длина каждаго изъ которыхъ будетъ —-; вследств!е этого секторъ ЛОС
разобьется на безконечное множество треугольнпковъ; основашемъ
каждаго изъ нихъ будетъ элементъ дуги, а высотою—рад1усъ круга: каж-
а АС
дая такая элементарная площадь оудетъ очевидно равна^ ;сумма
1
изъ п такихъ площадей будетъ ^ а. А С. При этомъ опять, площади
элементарныхъ треугольнпковъ, суммовашемъ которыхъ мы находимъ
площадь сектора, не имеютъ никакого непосредственнаго
кинематическая значешя, въ роде того, какъ элементарный площади, съ по-
мощш которыхъ могутъ-быть представлены члены суммы D1). Обо-
значимъ черезъ а уголъ АОС, т. е. длину дуги, которая описана изъ
точки О рад1усомъ единицею въ томъ-же угле АОС. Тогда очевидно,
АС = а .а, и площадь сектора = ^а2а. Следовательно искомое
пространство s выразится такъ:
s = \ot.W + \a2%,
И\

§ и
Глава I. Кинематика.
59
или такъ какъ
то
1 1
s = -t.\/a2 — t2-t 2а2*>
причемъ
Ot t
tang a = -,.- = —— ,
Ov yV —*a
£ V7 а2 — t2
sma = -, cos a = —
a a
Если известны тригонометричесшя количества sin, cos, tg, относя-
ицяся къ какому нибудь углу а, то уголъ этотъ мы считаемъ вполне
опредЬленнымъ и изображаемъ такимъ образомъ: если
sina = a, cosa = 6, tga —с,
то
a = arc . sin a = arc . cos Ъ — arc . tg с ,
что обозначаетъ: дуга с/ есть такая, которой sin есть a, cos есть, Ъ и
т. п. Следовательно мы можемъ писать:
s = I*|/^Zrjp + iaa arc.sin-- D2)
§ 11. ОпредЪлеше движенш по даннымъ ускорешмъ.
Предположимъ, что намъ дано ускореше д1 для элемента
времени dt, сл'Ьдующаго за моментомъ времени начала движен1я,
направленное по траэкторш движущейся точки; тогда величина скорости точки
къ концу этого элемента времени возрастаетъ на величину gtdt, и если
для предыдущаго элемента времени скорость была v0, то для послЪ-
дующаго—она будетъ v^-\-gxdt\ если затЪмъ будетъ дано
ускореше д2 (тоже тангенциальное) для элемента времени, сл'Ьдующаго за
моментомъ dt, отъ начала движешя, то къ концу этого элемента
скорость возрастетъ еще на g2dt, и въ теченш сл'Ьдующаго элемента,
т. е. до конца времени 2dt, она будетъ v0 + g1dt + g2dt, и т. д.. Такимъ
образомъ, черезъ некоторое безконечно большое число п безко-
нечно малыхъ промежутковъ времени dt, изъ которыхъ состоитъ
некоторый конечный промежутокъ времени, отъ начала движешя,

60
Глава. I. Кинематика.
§ И
начальная скорость увеличится на
gxdt -р g2dt -j- gzdt -т- . . . . дп_г d* -f- #neft, D3)
и эта сумма, будучи придана къ скорости первоначальнаго элемента
(съ котораго мы начинаемъ разсматривать движете), выразитъ
скорость въ теченш элемента времени dt, следующаго за промежуткомъ
n$t = t, отъ начала движешя. Суммоваше D3) опять можетъ быть
приведено къ нахождешю площади кривой ускорен!*!, которая
строится по уравнешю
выражающему зависимость д отъ времени, причемъ различный
времена откладываются какъ абсциссы, а соответствующий величины
д—какъ ординаты. Вообще мы видимъ, что скорость по даннымъ тан-
генщальнымъ ускорешямъ находится съ помоицю такихъ-же суммова-
шй, какъ проходимое пространство—по даннымъ скоростямъ. Изъ D3)
легко видеть, что если ускореьпе д будетъ постоянно, то приращеше
величины скорости будетъ, черезъ промежутокъ времени t, gt, а
самая скорость, если v0 будетъ начальная ея величина:
v0 -f gt .
Если ускореше (тангенщальное) возрастаетъ пропорщонально времени
и вообще будетъ
д = а -гЫ,
то, при начальной скорости v0\
1
v = v0-t-at-i-~bt2,
и т. п.
Такъ какъ, по даннымъ тангенщальнымъ ускорешямъ,
первоначальной скорости и положешю точки исхода, мы можемъ определить
только величину скорости по траэкторш и длину пройденнаго
пространства, то вообще движеше не определяется вполне выше
упомянутыми данными, ибо остается еще неизвестною форма пути. Дляполнаго опре-
делешя движешя намъ нужно знать, кроме величины скорости, еще ея
направлеше въ каждомъ элементе, т. е. другими словами, направлеше
каждаго элемента траэкторш. Величину и направлеше скорости мы бу-
демъ знать, когда она дана намъ своими тремя слагающими по осямъ
координатъ (обыкновенно прямоугольнымъ), ибо тогда мы знаемъ не

§ 11
Глава I. Кинематика.
61
только величину д1агонали, представляющей результирующую этихъ
скоростей, но и ея направлеше:
иоо тогда гг
V* + vy H~ v'<
и cos (v,x) = — ,
cosO,#) = -
cos(
D4)
Для того-же, что-бы знать всЬ три скорости по осямъ коордпнатъ мы
должны знать всЬ три ускорешя, т. е. полное ускорение, данное его
тремя слагающими.
Итакъ, движение вполне определено, когда даны заразъ: 1) по-
ложеше точки исхода, 2) скорость первоначальнаго элемента, по
величине и направлешю (т. е. обыкновенно—ея слагающ1я по осямъ
коордпнатъ) и 3) полное ускореше для каждаго элемента времени, по величин*
и направлешю (т. е. опять его слагаиищя по осямъ коордпнатъ).
Пусть напримЪръ
точка О (рис. 29) предста-
вляетъ собою начало дви-
жешя, лпшя АВ = vQ, по
величин* и направлешю,—
скорость начальнаго
элемента , лиши дг, д2,
дв — ускорешя въ
концахъ перваго, втораго
и т. д. элементовъ Найдемъ
послЪдователышмъ постро-
ешемъ элементовъ путь
движущейся точки. Какъ
обыкновенно, опред-Ьляемъ
элементы пути въ томъ
предположены, что каждый изъ
ннхъ проходится въ рав-
ныя, но безконечно малыя,
времена dt. Лишя Ог?0,
параллельная и равная АВ,
отложенная отъ точки О, даетъ
lL' направлеше перваго
элемента траэкторш. Длина перваго элемента будетъ ds0 = v0dt. Зат-Ьмъ
лишя, параллельная и равная д1, дастъ направлеше приращешя ско-

62
Глава I. Кинематика.
$ И
рости въ концЪ перваго элемента времени; длина gxdt, отложенная
на этой лин1И, дастъ величину этого приращешя; д1агональ
параллелограмма, построенная на скоростяхъ v0 и gxdt дастъ, по величин* и
направленш, скорость рг во второмъ элемент* пути; длина этого
элемента будетъ ds1 = v1dt. ЗатЪмъ, такимъ же образомъ складывая
скорости г\ и g2dt, опредЪляемъ скорость v2 третьяго элемента и
его длину ds2=v2dt, и т. д. Такимъ образомъ построимъ, элементъ
за элементомъ, весь путь точки. Возможность описаннаго построешя
показываетъ, что вышеприведенныя данныя вполн* опредЪляютъ дви-
жеше. Но мы не имЪемъ средствъ производить безчисленное
множество геометрическихъ сложешй, не выполняя действительно безко-
нечнаго числа построешй д1агоналей параллелограммовъ; поэтому
мы сводимъ опредЪлеше движешя по траэкторш къ разыскашю
движешй по прямолинейнымъ осямъ координатъ, при каждомъ изъ
которыхъ ускорешя направлены но лишямъ движешя; тогда сложешя
скоростей сводятся къ алгебраическимъ суммовашямъ, которыя
выполнять мы можемъ, какъ-бы ни было велико число членовъ суммы. Въ
§ 9 мы имели примЪръ подобнаго рода изслЪдовашя, где мы, по
данному ускорешю проложенШ, по начальной скорости и по данной точке
исхода, определяли движеше.
Обозначимъ черезъ vx°, vY(\ vz° данныя первоначальныя
скорости по осямъ координатъ, черезъ дх, gY, дъ—ускорешя по темъ-же
осямъ, представленныя какъ функщи времени, Тогда скорости vx,
vY, ъ\, которыя будетъ иметь по осямъ координатъ движущаяся точка
къ концу времени t, представятся такимъ образомъ:
Vz = v* 4- 2 Qzdt.
где суммы берутся по всемъ элементамъ времени въ промежутке
отъ t = 0 до t = t. Определивъ изъ D5) скорости въ зависимости
отъ времени t, мы съ помощш урр. C9) найдемъ положеше точки
относительно данныхъ осей для всякаго времени, т. е. решимъ вполне
задачу о движешй.

§ 12
Глава I. Кинематика.
63
§ VI. Кинематика неизменяемой системы точекъ.
Совокупность несколькихъ движущихся точекъ называется
вообще системою движущихся точекъ. Если каждая точка системы
можетъ передвигаться независимо отъ другихъ точекъ той-же системы,
т. е. такъ, какъ будто-бы этихъ последнихъ не было, то система
называется системою свободныхъ точекъ. Если какое нибудь пе-
ремещете одной точки обусловливаем собою перемКщешя другихъ
точекъ, то система называется системою несвободныхъ или
связанны хъ точекъ. Система несвободныхъ точекъ можетъ быть
сама по себе свободною или несвободною, смотря по тому,
можетъ или не можетъ такая система перемещаться во все стороны,
заразъ всеми своими точками одинаково и безъ изменетя
относительная ихъ расположетя. Твердое тело въ пространстве предста-
вляетъ примЬръ свободной системы связанны хъ точекъ;
твердое тело на плоскости—примеръ несвободной системы
связанны хъ точекъ.
Какова-бы ни была система точекъ, всякое ея движете мы мо-
жемъ разсматривать, какъ состоящее изъ двухъ: однаго общаго всемъ
точкамъ, и другаго—относительнаго, въ сравненш съ какою нибудь
произвольно выбранною точкою той-же системы. Действительно,
скорость каждой точки для каждаго момента времени мы можемъ
раскладывать на две, изъ которыхъ одна будетъ равна по величине и на-
правлешю скорости некоторой произвольно выбранной точки системы,
и будетъ для всехъ точекъ, стало быть, одна и таже, а другая
вообще для разныхъ точекъ будетъ различна; первая' скорость обусло-
витъ одно изъ вышеупомянутыхъ двухъ движетй, вторая—другое.
Очевидно, что только относительное движете точекъ системы
зависишь отъ характера ея связности, и при изученш этого движе-
шя мы можемъ одну изъ точекъ системы разсматривать, какъ
неподвижную.
Неизменяемою системою называется такая, точки
которой не могутъ изменять своихъ взаимныхъ разстоятй. Точки
абсолютно твердаго тела представляютъ примеръ такого рода системы.
Следовательно въ ней должны также оставаться неизменными раз-
стоятя ея точекъ: 1) отъ всякой точки неизменно связанной съ
системой, 2) отъ какой нибудь прямой, проведенной между любыми
двумя точками, или принадлежащими къ системе, или вображаемыми, но

64
Глава I. Кинематика.
§ 12
съ нею неизменно связанными, 3) отъ плоскости, проведенной черезъ
любыя три точки, прииадлежаиця системе или съ оною неизменно евязан-
ныя. Следовательно, если мы вообразимъ некоторыя оси координатъ,
неизмъннымъ образомъ связанныя съ системою, т. е. проходяиця всегда
черезъ одне и теже ея точки (очевидно четыре точки определятъ три
ташя оси вполне), то координаты точекъ системы относительно этихъ
осей, при всякомъ движенш системы, останутся неизменными.
Такъ какъ изучеше тЬхъ родовъ движешя всякой системы,
которые характеризуются свойствами связности этой последней,
сводится къ изучешю движешй ея точекъ около одной неподвижной, но
произвольно выбранной, то мы и обратимся прежде всего къ
движенш неизменяемой системы около неподвижной точки. Пусть О бу-
детъ некоторая неподвижная точка системы; тогда всякая другая
точка А можетъ около нея двигаться не иначе, какъ оставаясь отъ
О на неизменномъ разстояши. Все точки, лежания на поверхности
сферы рад1уса ОА, около точки О, должны оставаться на этой
сфере, перемещаясь только по ея поверхности. Вообразимъ катя
нибудь две точки А и В (рис. 30), лежания на этой поверхности;
после какого нибудь перемещешя (конечнаго или безконечно малаго)
положеше этихъ точекъ на той-же сфере будетъ А1 и В1. Дуги боль-
в' пшхъ круговъ (центръ которыхъ въ О), про-
веденныхъ отъ А къ В и отъ А! къ В\ бу-
дутъ очевидно равны между собою, такъ какъ
разстояшя между точками системы
неизменны *). Соединимъ дугами болыпихъ круговъ
точки А съ А1 и В съ В\ черезъ середины
этихъ дугъ, Е и jF, проведемъ опять болыше
круги, перпендикулярно къ АА' и ВВ. Тогда очевидно, каждая точка
круга ЕС будетъ одинаково отстоять отъ точекъ А и А'; точно
также каждая точка круга FC будетъ одинаково отстоять отъ В и В1.
Следовательно, для точки С пересечения дугъ ЕС и EF, мы будемъ
иметь: АС = А,С и ВС=В'С, откуда заключаешь, что сферическШ
треугольникъ ABC при наложены совпадетъ съ треугольникомъ
А1 В1 С. Такъ какъ разстояшя точки С отъ обеихъ точекъ А и В
остаются одни и теже, до и после перемещешя, то эта точка должна
*) Плоскость рисунка мы должны представить себъ поверхностш сферы, и
прямыл лиши — дугами большихъ круговъ.

§ 12
Глава I. Кинематика.
65
принадлежать къ неизменяемой системе; кроме того мы видимъ, что,
при данномъ перемещены фигуры ЛВС, точка С остается
неподвижною. Другою неподвижною точкою при данномъ перемещены будетъ
очевидно другой конецъ д1аметра сферы, проходящаго черезъ точку С.
Следовательно, къ концу даннаго перемещешя одинъ изъ д1аметровъ
разсматриваемой сферы, или вообще одна изъ прямыхъ лиши,
проходящихъ черезъ О, не изменитъ своего положешя. Если-бы, кроме
перемещены точекъ Л и В, мы обратили внимаше на перемещеше
какой нибудь другой пары точекъ, совершающееся совместно съ пер-
еымъ, то определяя положеше неподвижной точки на сфере по
вышеуказанному способу, мы пришли-бы непременно къ той-же самой
неподвижной лиши, которая определена деремЬщешемъ первыхъ двухъ
точекъ. Действительно, неподвижность какой нибудь другой лиши
обусловила-бы также неподвижность плоскости, проходящей черезъ
обе неподвижныя лиши, а следовательно—и неподвижность всей
системы. Стало быть, при данномъ перемещены неизменяемой системы
около точки, можетъ оставаться неподвижною только одна лишя,
которая проходитъ черезъ неподвижную точку. Такъ какъ разстояшя
точекъ отъ этой лиши должны быть неизменны, то движеше
системы должно состоять во вращеши ея точекъ около упомянутой лиши.
Итакъ, всякое перемещен1е точекъ неизменяемой
системы около неподвижной точки можетъ быть
произведено вращен1емъ системы около некоторой
неподвижной оси.
Представимъ себе рядъ послЁдовательныхъ перемЪщетй
неизменяемой системы около неподвижной точки. Положешя, въ которыя
приходитъ последовательно система, вследств1е этихъ перемеще-
шй. обозначимъ какъ 1, 2, 3 и т. д. до N. Переходъ системы изъ
каждаго предыдущаго положешя въ последующее можетъ быть совер-
шенъ съ помонцю движешя системы около некоторой оси, причемъ
для каждаго перемещешя, вообще говоря, можетъ найтись своя
ось вращешя. Такимъ образомъ мы будетъ иметь рядъ последователь-
ныхъ вращешй около различныхъ осей, проходящихъ черезъ одну
неподвижную точку. Но съ другой стороны, перемещеше изъ
положешя 1 въ положеше N можетъ быть произведено непосредственно
тоже вращешемъ системы около некоторой оси. Следовательно, рядъ
вращешй неизменяемой системы около произвольнаго числа осей,
проходящихъ черезъ неподвижную точку, мы можемъ заменить въ ре-
5

(г) Глава I. Кинематика. § 12
зультате вращешемъ около одной оси, и на оборотъ—вращеше
около одной оси представить, какъ результата последовательныхъ вра-
щетй около различныхъ произвольно выбранныхъ осей.
Если движете системы около неподвижной точки мы предста-
вимъ себе, какъ рядъ последовательныхъ положетй, отделенныхъ
другъ отъ друга безконечно малыми промежутками времени, то
движете системы въ каждый изъ такихъ безконечно малыхъ промежут-
ковъ времени будетъ состоять во вращенш около некоторой оси,
проходящей черезъ неподвижную точку. Следовательно, всякое
непрерывное д в и ж е н i e неизменяемой системы около не-
подвижной точки можно представить, какъ рядъ
последовательны хъ в р а щ е н i й около осей, проходя щ и хъ
черезъ неподвижную точку и непрерывно изменяю-
щихъ свое направлен1е Къ тому-же представление мы мо-
жемъ пршти и другимъ путемъ. Въ § 8 мы видели, что всякую
траэкторш точки можно представить себе, какъ рядъ безконечно
малыхъ круговыхъ дугъ, положеше центровъ которыхъ и величина ра-
д1усовъ для каждаго элемента траэкторш различны *); следовательно,
движете всякой точки по ея траэкторш можно представить себе,
какъ рядъ безконечно малыхъ ея вращенШ по элементамъ
различныхъ круговъ кривизны. Такимъ образомъ, движете каждой точки
неизменяемой системы можетъ быть представлено, какъ рядъ
вращенШ по кругамъ кривизны ея траэкторш; въ течеиш даннаго
элемента времени, стало быть, каждая точка системы движется по своему
кругу. Но пока точка движется по кругу, центръ его и самая
движущаяся точка представляютъ некоторую неизменяемую систему;
следовательно, все центры круговъ въ теченш даннаго элемента времени
неизменно связаны съ точками системы. А такъ какъ эти центры,
принадлежа такимъ образомъ къ неизменяемой системе, остаются
неподвижными, то они должны все или находиться въ одной точке,
или лежать на прямой, проходящей черезъ эту точку. Сходиться въ
одну точку все центры вращетя не могутъ, ибо въ такомъ случае
мы могли-бы найти всегда таюя точки, который двигались-бы по двумъ
кругамъ, плоскости которыхъ пересекаются, вследств1е чего изме-
нялось-бы разстояте между этими точками. Поэтому остается одно
*) Прямая лишя при этомъ представится напрпмЪръ, какъ рядъ дугъ, рад*1усы
которыхъ безконечно велики, а центры удалены въ безконечность.

§ 12
Глава I. Кинематика.
67
возможное расположеше центровъ кривизны—по прямой лиши.
Такая прямая лишя называется мгновенного осью вращен1я
системы.
Длина путей, проходимыхъ точками системы при данномъ вра-
щенш этой последней около какой либо оси, будетъ различна; но
уголъ вращен1я, т. е. уголъ между двумя лишями,
представляющими разстояшя данной точки отъ оси вращешя, до и после пере-
мЪщешя, будетъ очевидно для всЪхъ точекъ одинъ и тотъ-же, ибо
въ противномъ случае разстояшя между точками системы должны-бы
были изменяться. Если уголъ вращешя мы обозначимъ черезъ а, то
длина пути, пройденная при этомъ точкою, находящеюся на
разстоянш г отъ оси вращешя, будетъ представлена длиною дуги круга,
описанной рад1усомъ г въ у^ле а, т. е. черезъ га. Если вращеше
около данной оси совершается такимъ образомъ, что въ равные и
произвольно выбранные промежутки времени система поворачивается на
равные углы, то вращеше называется равномернымъ. Уголъ, на
который система повернется, пли повернулась-бы, при равномЪрномъ вра-
щеши въ единицу времени, называется угловою скоростью
около данной оси. Всякое неравномерное вращеше мы можемъ
представить себе, какъ состоящее изъ ряда равномерныхъ вращешй,
продолжающихся, каждое, безконечно малый промежутокъ времени и
имеющихъ различныя угловыя скорости. Если мы обозначимъ черезъ
da безконечно малый уголъ, на который повернется система въ те-
ченш безконечно малаго времени dt около данной оси, то угловая
скорость со около этой оси будетъ очевидно
Путь ds, проходимый точкою, лежащею на разстоянш г отъ оси
вращешя, будетъ очевидно
ds = rdoi = г . <j>dt; D7)
скорость этой точки на ея траэкторш будетъ
ds
« = - = со.г. D8)
Следовательно, если угловая скорость системы дана, то известны
скорости всехъ ея точекъ, находящихся на данныхъ разстояшяхъ
отъ данной оси вращешя. Такъ какъ уголъ представляется всегда

68
Глава I. Кинематика.
§ П
отвлечениымъ числомъ, выражающнмъ отношение длины дуги къ длине
рад1уса, то единица угла будетъ пройдена рад1усомъ, когда онъ
опишемъ дугу, равную ему по длине (т. е. уголъ въ 57° 14' 44".77....).
Если такой уголъ оудетъ пройденъ въ одну секунду, то угловая
скорость будетъ равна единиц*. Пзъ выражешя D6) очевидно, что
един. угл. скор. = —-• D9)
сек.
Если следовательно мы обозначимъ черезъ со числовую величину
угловой скорости, то полное выражение ея оудетъ со—- или со (сек.)-1.
Вращеше около данной оси, а вместе съ шгмъ и угловая скорость,
считаются положительными, когда для наблюдателя, смотрящаго отъ
отрицательнаго конца оси къ положительному, вращеше
представляется идущимъ по стрелке часовъ, какъ это представлено на
рис. C1). Такъ напризгЬръ, если мы иримемъ, что положительное на-
х правлеше (отъ конца (—) къ концу (+)) земной
оси идетъ отъ юга къ северу, то вращеше отъ
запада къ востоку будетъ положительным?», и на
оборотъ. принимая это вращеше за положительное,
мы должны отрицательный конецъ оси вращегпя
отнести къ югу.
Представимъ себе такое движете
неизменяемой системы около неподвижной точки, при которомъ не
происходитъ никакихъ внезаиныхъ скачковъ или рЬзкихъ
изменена! въ направлены путей точекъ системы и ихъ скоростей.
Кривизна путей точекъ системы при такомъ движенш должна изменяться
непрерывно, т. е. безконечно малыми скачками; другими словами, тт>
круги, по безконечно малымъ дугамъ которыхъ происходитъ
движете точекъ системы, въ теченш каждаго изъ ряда безконечно малыхъ
промежутковъ времени, должны постепенно переходить одинъ въ
другой, такъ что каждый кругъ последующая момента долженъ только
безконечно мало разниться отъ круга предыдущаго момента, какъ по
величине рад1уса, такъ по иоложешю центра и всей своей
плоскости. Только черезъ конечный промежутокъ времени, т. е.
безконечно большое число безконечно малыхъ промежутковъ, кругъ, по
которому точка двигалась въ начале промежутка, можетъ отличаться
консчнымъ о^разомъ отъ кр^га, но которому точка движется въ коп-

§ 12
Глава I. Кинематика.
69
це упомянутаго промежутка. Въ такомъ случай положеше
мгновенной оси вращешя будетъ изменяться тоже постепенно; т. е. если въ
теченш даннаго бесконечно малаго промежутка времени система
вращалась около определенной прямой, то въ следующШ безконечно
малый промежутокъ времени она будетъ вращаться около лиши
безконечно близкой къ первой, и только черезъ конечный промежутокъ
времени положеше мгновенной оси изменится конечнымъ образомъ,
т. е. последняя будетъ образовать съ начальною осью конечный
уголъ, и угловая скорость вокругъ ыея будетъ отличаться на
конечную величину отъ первоначальной. Если мы отметимъ внутри
неизменяемой системы рядъ мгновенныхъ осей для последователь-
иыхъ элементовъ времени, составляющихъ некоторый конечный
промежутокъ времени, то оси эти, непрерывно переходя другъ въ друга,
образуютъ некоторую коническую поверхность К (рис. 32), вообще
сомкнутую или разомкнутую, вершина которой находится въ
неподвижной точке О, и образующая которой суть по
следовательныя оси вращешя. Этотъ конусъ мы
должны очевидно разсматривать, какъ неизменно
связанный съ данною системою, и перемещающШся
вместе съ нею при ея вращенш около точки О
При каждомъ изъ последовательныхъ
мгновенныхъ вращешя системы, только одна изъ образую-
щихъ конуса К останется неподвижною, становясь
мгновенною осью вращешя; остальныя-же обра-
Рис. 32. зующ1я будутъ перемещаться. Поэтому положеше
оси вращешя въ пространстве (напр. относительно неподвижныхъ
осей координатъ) будетъ тоже изменяться со временемъ, и сама ось
будетъ описывать въ -пространстве конусъ Д вершина котораго
будетъ находиться тоже въ О. Части конуса L следовательно
описываются различными образующими конуса К, и при томъ, каждою изъ
нихъ последовательно въ продолжеши того времени, въ теченш
котораго эта образующая продолжаетъ оставаться осью вращешя. Мы
можемъ такимъ образомъ сказать, что конусъ L описывается въ
пространстве осью вращешя, составленною въ разный времена изъ раз-
ныхъ точекъ системы. При каждомъ мгновенномъ вращенш одна изъ
образующихъ конуса К, становясь осью, делается также
образующею конуса L. Следовательно, движеше неизменяемой системы около
точки О вообще будетъ состоять въ томъ, что конусъ К, неизмен-

70
Глава I. Кинематика.
§ 12
Рис. 33.
но связанный съ системою, будетъ катиться безъ екольжен1я
по конусу jL, неподвижному въ пространстве.
Если оба конуса, неподвижный L и катящейся К, суть
круглые, то движете называется вообще прецесс1ональнымъ вра-
щ е н i е м ъ. При этомъ движеши, оси обоихъ конусовъ С и О (рис. 33)
очевидно всегда находятся въ одной плоскости съ мгновенною осью
вращешя, J5, проходящею черезъ местопри-
косноветя конусовъ. Эта плоскость
очевидно вращается около оси С\ такое ея
движете называется npeijecciefi, а ея
угловая скорость—угловою екоростш
прецессп1. Скорость прецессш и
угловая скорость системы около мгновенной
оси находятся въ постоянномъ отношенш другъ къ другу.
Действительно, обозначимъ первую и вторую изъ упомянутыхъ угловыхъ
скоростей соответственно черезъ £1 и to, и вообразимъ какую нибудь
точку Р, лежащую на оси 00 катящагося конуса (рис. 34). Эта
точка вращается въ данный моментъ около
мгновенной оси 0В\ следовательно ея скорость должна
выразиться черезъ со. PN\ но съ другой стороны мы
можемъ разсматривать, что эта точка въ тоже самое
мгновете вращается около оси ОС неподвижнаго
конуса съ угловою екоростш £1; следовательно ея
скорость можетъ быть также выражена произведетемъ
£2. РЕ, где РЕ есть ея разстояте отъ оси ОС\ такъ какъ оба
произведетя выражаютъ одну и туже скорость, то со . PjV = Q. РЕ.
Если мы обозначимъ черезъ Ф уголъ между образующею и осью
неподвижнаго конуса, а черезъ ф—тотъ-же уголъ для катящагося конуса,,
то очевидно, что
PN:PE = sin 9 : sin (Ф -f ?) 5
Рпс. 34.
следовательно
с о
Рис. 35.
со : О = sin (Ф -J- cp) : sin <p . E0)
Если конусъ .ЙГ приходится внутри конуса L (рис. 35),
то очевидно
со : О = sin (Ф — cp) : sin cp, E1)
причемъ со и £1 имеютъ различные знаки. Къ этому
случаю относится вращете земли около ея центра.,

§ 13
Глава I. Кинематика.
71
причемъ Ф = 23° 27' 28ff, a 9 = 0". 00867; время обращешя со
скоростью to равно звЬзднымъ суткамъ, а со скоростш О.—25868 годамъ.
Если наконецъ L приходится внутри К (рис. 36), то
С со : £1 = sin (ср — Ф) : sin 9 . E2)
>■ Мы уже знаемъ, что каждое вращеше около
' определенной оси можетъ быть разсматриваемо какъ
результатъ несколышхъ последовательныхъ вращешй
около различныхъ осей; эти последшя мы ыожемъ
Рис. Зб. назвать слагающими или составляющими вра-
щешями, а вращеше ихъ заменяющее—р е з у л ьтиру ющимъ.
§ 13* Сложение угловыхъ скоростей.
Газсмотримъ соотношешя между величинами составляющихъ и
результирующихъ вращешй въ томъ предположены, что те и друг!я
безконечно малы и совершаются въ безконечно малыя времена.
Прежде всего замЪтимъ следующее. Пусть некоторая точка
системы последовательно вращается съ нею около нЬсколькихъ осей,
расположенныхъ какъ угодно, и вообще не проходящихъ черезъ одну
точку: пусть угловыя скорости около этихъ осей будутъ со1ч со2 . . . соп,
а разстояшя отъ осей вышеупомянутой точки будутъ гх, г2, г3 . . ,гп.
Если точка повернется въ течеши безконечно малаго времени dt
около первой оси, то ея перемещеше будетъ равно r^/lt. Если оси
мы намЪтимъ неподвижно въ пространстве, то после перваго враще-
шя разстояшя перемещенной точки отъ намеченныхъ неподвижныхъ
лиши, долженствующихъ сделаться въ последующ1е моменты осями
вращешя, тоже изменятся, но очевидно—безконечно мало. Пусть эти
разстояшя сделаются равными г2 + dlr2, r3 + dl)\ • • • rn + d'rn.
Тогда перемещеше точки, вследств!е ея ьращешя около второй оси
во время dt, будетъ
io2(r2-MV2)tf£,
и т. д. Такъ что, когда совершатся вращешя около всехъ осей,
кроме последней, то разстояше точки отъ п—ной оси, вследств1е
этихъ вращешй, сделается
гп + dlrn + d"rn -f dlurn -} d»-1 rn ,
где <frn, d"rn .... dn~1rn суть безконечно малыя приращешя
разстояшя rn, вследств1е перваго, втораго и т. д. вращешй.

72
Глава I. Кинематика.
§ 13
Если наконецъ точка повернется въ теченш времени dt около
последней оси, то ея перемещение, вследств!е этого вращешя, будетъ k
(rn + dlrn ~f dfVn -г df"Vn + - • • йп-Vn) (М* ;
ея скорость во время этого перемещешя получится, когда мы
предъидущее выражеше разделимъ на dt\ тогда будемъ иметь:
Если число осей не безконечно велико, то конечная сумма безконечно
малыхъ величинъ, въ скобкахъ ( ), будетъ тоже безконечно мала; а
следовательно будетъ также безконечно мало произведете изъ этой
суммы и конечной величины соп. Такимъ образомъ, второй членъ по-
следняго выражешя, съ безпредельнымъ уменынешемъ промежутка
времени dt, можетъ быть сдЬланъ меньше всякой данной величины и
въ пределе можетъ быть принять равнымъ нулю. Следовательно,
скорость точки, во время посл'Ьдняго вращешя, можетъ быть принята
равною wnrn, а длина ея перемещешя—равною <*>пгпс/£, т. е. такою
же, какою она была бы, если бы п—ное вращеше совершилось пер-
вымъ въ ряду данныхъ вращенШ. Отсюда заключаемъ, что
результат ъ каждаго изъ конечнаго ряда безконечно малыхъ
в р а щ е н i й будетъ о д и н ъ и т о т ъ же, в ъ к а к о м ъ бы
порядке они ни совершались. Следовательно, въ
результате эти в р а щ с н i я можно разсматривать такъ,
какъ будто они совершаются одновременно. Не должно
упускать изъ виду, что это заключеше относится только къ
безконечно малымъ в р а щ е н i я м ъ и только къ конечному
числу (не безконечно большому) таковыхъ.
Представимъ себе две оси вращешя О А и ОВ (рис. 37), на кото-
а (; рыхъ стрелками обозначимъ ихъ положительное
направлеше; предположимъ, что система
вращается въ теченш однаго элемента времени dt
около оси ОА, съ угловою скоростш tox, a
въ теченш следующаго такого же элемента
6 n ? ж Ъ времени dt—около другой оси ОВ, со ско-
ис- 37- ростш со2. Найдемъ положеше такой оси,
вращеше около которой въ теченш такого же промежутка времени
dt сообщило бы точкамъ неизменяемой системы ташя же
перемещешя, какъ оба первыя последовательный вращешя, и опредЪлимъ

§ 13
Глава I. Кинематика.
73
угловую скорость этого результирующего вращешя. Перемещешя
точекъ будутъ происходить по элементамъ круговъ около той пли
другой оси, и могутъ, по своей безконечной малости, быть приняты за
прямолинейный. Положительное вращеше около той или другой оси
выдвинетъ точки, лежапця въ плоскости рисунка по левую сторону
отъ оси, впередъ изъ этой плоскости, а точки, лежащ1я по правую
сторону, отодвинетъ за плоскость; следовательно только для точекъ,
лежащйхъ въ плоскости между обеими осями, перемещешя отъ того
и другаго вращешя будутъ противоположны другъ другу; перемещешя
всЬхъ другихъ точекъ, лежащйхъ вне двухъ противулежащихъ угловъ,
образуемыхъ обеими парами одноименныхъ концовъ осей, будутъ
совпадать другъ съ другомъ, направляясь одинаково заразъ въ ту или
другую сторону. Те точки, перемещешя которыхъ отъ обоихъ вращенш
сог и w2, будучи прямо противоположны другъ другу, будутъ также
и равны, вовсе не переместятся после упомянутыхъ вращешй; а
следовательно должны будутъ лежать на искомой оси результирую-
щаго вращешя. Эти точки должны очевидно находиться въ плоскости
обеихъ осей ОА и ОВ, и въ угле, образованномъ ихъ одноименными
концами. Если точка Р лежитъ внутри угла АОВ, а РМ и PN
суть ея разстояшя отъ осей ОА и ОВ, то перемещеше точки Р,
вследств1е вращешя около О А въ течеши dt, будетъ равно РМ. о^ . dt
и направлено по перпендикуляру къ плоскости рисунка, за эту
плоскость; перемещеше той же точки, отъ вращешя около ОВ, въ течеши
такого же времени dt, будетъ равно PN.u>2dt и направлено по тому
же перпендикуляру, впередъ отъ плоскости. Если точка Р лежитъ на
оси, то должно быть
РЖ со, dt = .PNoj2 dt. E3)
Отложимъ на обеихъ данныхъ осяхъ длины АО и ВО, равный
соответственно скоростямъ ыг и со2; тогда равенство E3) обращается въ
P3£.0A = PN. OB, E4)
и выражаетъ, что площади треугольниковъ ОАР и ОВР равны.
Опуская на линш ОР перпендикуляры AL и ВК, мы можемъ
выразить равенство техъ же площадей иначе:
OP -AL = OP.BK, откуда AL = BK. E5)
Черезъ точку А проведемъ лишю, параллельную ОВ, до встречи ея

74
Глаба I. Кинематика.
§ 13
съ OF въ точке С, и соедннимъ С съ В. Тогда площади треуголь-
никовъ (МО и ОВС\ выражаясь черезъ OC.AL и ОВ.ВК, будутъ
на основанш E5) равны. Отсюда елЁдуетъ, что ВС = АО и что обе
эти лиши параллельны. Такимъ образомъ, н а п р а в л е н i e
результирующей оси с о в па д а е т ъ с ъ д i а г о на л ь ю п а р а л л е -
л о грамм а, построен на г о на составляющихъ угловыхъ
скоростяхъ, отложенныхъ по с о о т в е т с т в у ю щ и м ъ
осямъ. Такъ какъ точка J., лежащая на осп ОАл не перемещается
отъ вращешя системы около ОАл то ея перемещения, при вращеши
системы около осей ОВ или ОС, должны быть равны; следовательно,
если АН и AL будутъ ея разстояшя отъ этихъ осей, то
^X.AH=^.AL пли OB .AH^io.AL, E6)
где to есть искомая скорость около ОС. Но ОВ. АН представляетъ
площадь треугольника ОАВ, которая равна площади треугольника
ОАО', следовательно
ОВ . АН= ОС . AL = u>. AL , или со:=0G; E7)
т. е. длина упомянутой д1агонали представитъ величину искомой
результирующей угловой скорости. Цтакъ вообще: угловыя
скорости, отложенный по с о о т в е т с т в у ю щ и м ъ о д н о и м е н-
нымъ осямъ, слагаются, какъ обыкноЕенныя с к о -
н ост и. Умея складывать две угловыя скорости, мы можемъ
сложить ихъ произвольное число, и, повторяя тЬже разсуждешя, какъ
при сложеши обыкновенныхъ скоростей, пртдемъ къ заключенно, что
результирующая угловая скорость, но своей
величине и по на п р а в л е н i ю своей оси, находится, какъ
заключительная сторона многоугольника,
построения г о на данныхъ слагающнхъ угловыхъ скоростяхъ,
отложенныхъ по направлен iio еоответетвующнхъ
осей.
Поэтому результатъ всякаго вращешя около мгновенной оси,
въ течеиш элемента времени, мы можемъ разсматривать, какъ рядъ
вращешй около какого угодно числа осей, причемъ каждое вращеше
совершается въ такой же элементъ времени, какъ разлагаемое вра-
щеше. Каждое мгновенное вращеше мы можемъ следовательно
разлагать на три, еовершакищяся около трехъ взаимно перпендикуляр-
ныхъ осей, или остающихся въ пространстве въ неизм'Ьнноыь
направленна или все равно вращающихся вместе съ системою. Если соа, со2, о>3

§ 13
Глава I. Кинематика.
75
будутъ угловыя скорости вокругъ этихъ трехъ осей, для даннаго
момента времени, a to—скорость вокругъ результирующей оси, то
очевидно
со» = Wl2 -f со22 + со32 , E8)
причемъ углы а, р, -у, которые результирующая ось образуетъ съ
тремя прямоугольными слагающими, определятся изъ уравнешй
cos а--—^ cosp = —-, cosy — -—-. (o9)
CO ' 'CO * CO V J
Зная для каждаго элемента времени слагавшая угловыя скорости
около трехъ неизмЁнныхъ по направленш осей, мы будемъ знать
положеше мгновенной оси и ея угловую скорость; следовательно
будемъ знать скорость любой точки системы, лежащей на определен-
номъ разстоянш отъ оси; т. е. движете системы намъ будетъ вполне
известно.
Предположимъ теперь, что последовательный безконечныя вра-
щешя совершаются около параллельныхъ осей. Пусть ОА и ОВ
(рис. 38) будутъ две параллельный оси, направленный въ одну
сторону; угловыя скорости ихъ пусть будутъ сох и со2.
Тогда точки, получаюпия отъ обоихъ вращешй
противоположныя перемещения, будутъ лежать въ
плоскости обеихъ осей и между этими последними.
Для какой нибудь такой точки Р, лежащей на раз-
стояшяхъ 1\ и г2 отъ осей, перемещеше, отъ вра-
щешя въ течеши элемента времени dt около первой
оси, будетъ со^сЙ; соответствующее перемещеше
отъ вращенш со2 будетъ &2r2dt, и будетъ направлено противоположно
первому, но перпендикуляру къ плоскости рисунка. Очевидно, для
всехъ точекъ, лежащихъ на линш, параллельной обеимъ осямъ, пере-
мещеши будутъ одинаковы; если же лишя есть результирующая
ось, то
со^ = со2г2 ; гг : г2 = со2: сох ; F0)
т. е. результирующая ось лежитъ въ плоскости
обеихъ составляютихъ, между ними, на разстоян1яхъ
отъ нихъ, обратно пропорцииальныхъ ихъ
угловым ъ скорости к ъ.
Рис. 38.

76
Глава I. Кинематика.
§ 13
Пусть со будетъ скорость вокругъ направлешя результирующей
оси, идущаго въ одну сторону со слагающими. Такъ какъ перемЪще-
ше какой нибудь точки на одной изъ слагающихся осей должно быть
одно и тоже, отъ вращешй около двухъ другихъ. то
^со = (гг + г2) со2 и г2со = (^ + г2) со,,
откуда F1)
со — tot -)- со2 ;
т. е. угловая результирующая скорость равна сумм*
у г л о в ы х ъ с л а г а ю щ и х ъ скоростей.
Зная какъ складывать двЪ угловыя скорости, мы очевидно мо-
жемъ послъдовательнымъ сложешеыъ найти результирующую ось для
произвольнаго числа параллельныхъ одноименныхъ составляющихъ
осей. Результирующая угловая скорость будетъ при этомъ очевидно
равна суммЪ слагающихъ скоростей.
Если оси А и В (рис. 39) направлены въ разный стороны, то
на основанш подобныхъ же разсужденш, какъ въ предъидущемъ
л / случае, мы пршдемъ къ заключешю, что р е з у л ь т и-
рующая ось лежитъ въ плоскости
слагаем ы х ъ осей и по одну какую и и б у д ь
отъ нихъ сторону. Если опять гг и г2 будутъ
разстояшя результирующей оси отъ данныхъ
составляющихъ осей, то очевидно, какъ прежде
гг иг = г2ы2, F2)
Рпс. 39.
откуда вндимъ, что если сох>со2, то г2>гг, и наобо-
ротъ; а такъ какъ ось Я лежитъ внЪ осей i и £, то она должна
лежать на стороне той изъ осей А \\ В, которой угловая скорость
больше. КромЪ того, такъ какъ перемЪщегия точекъ на одной изъ
слагающихъ осей, отъ вращешй около двухъ другихъ, должны быть
равны и противоположны, то
г,со = 0'2 — гг) со2 и г2со = (г2 — гг) и)г ,
откуда F3)
со = соа — со2 .
Следовательно, для обоихъ случаевъ можемъ сказать, что
результирующая угловая скорость двухъ данныхъ вращешй, около параллельныхъ
осей, иаправленныхъ въ одну или разный стороны, равна алгебрам-

§ 13
Глава I. Кинематика.
77
ческой сумм* скоростей около составляющихъ осей, причемъ знаки
слагающихъ одинаковы, если оси одноименны, и разные въ против-
номъ случае. Разстояшя результирующей оси отъ составляющихъ
всегда обратно пропорщональны угловымъ скоростямъ этихъ по-
СЛЁДНИХЪ.
Если въ F3) со1 = со2, то со —О; следовательно, двЪ оси, съ
равными и обратными другъ другу угловыми скоростями, не пм-Ьютъ
результирующей оси. Разсмотримъ скорости, обусловливаемыя такими
осями въ точкахъ плоскости рисунка. Будемъ считать
положительными скорости, направленныя отъ наблюдателя смотрящаго на ри-
сунокъ. Тогда для точки, лежащей вправо отъ обЪихъ осей Л и В
(сох = ю2 = £2), на разстояшяхъ г1 иг2, мы будемъ имЪть скорости:
отъ вращ. Л: 12 г2, отъ вращ. В: — £2г2;
F4)
сумма — £2 (г1 — r2) = -\- £ld ,
гд* d есть разстоише между осями. Точно также для точки, между
осями:
отъ вращ. А: Qlr1, отъ вращ. В : £22г2
сумма = С1(г1-\- г2) = + &d.
Точно тоже найдемъ для точекъ, по лЬвую сторону отъ осей. Итакъ
мы видимъ , что противоположный в р а щ е н i я около
двухъ параллельныхъ осей обусловливаютъ
поступательное д в и ж е н i e точекъ системы со скоростш,
равною произведен^ изъ угловой скорости осей и
ихъ взаимнаго разстоян1я. Направлен1е скорости
перпендикулярно къ плоскости осей, и направлено
въ ту сторону, смотря въ которую, наблюдатель ви-
дитъ, что направлен1е но о б t и м ъ осямъ совпадаетъ
съ движен1емъ часовой стрелки. Отсюда же слЪдуетъ, что
перемЪщешя, отъ вращешя около двухъ параллельныхъ осей, съ
противоположными, но неравными скоростями, можно заменить враще-
шемъ около одной оси и поступательнымъ движешемъ, перпендику-
лярнымъ къ плоскости осей. Такъ, для осей Л и В, со скоростями
wx и со2, мы можемъ им^ть: или вращеше около Л, со скоростш
шх—со2^ и поступательную скорость -г &2d (т. е. за плоскость рисунка),
или вращеше около Д со скоростш <*>2—cot (положит, или отриц.)^

78
Глава I. Кинематика.
§ lb
АА
А&
Гл
А
v
.в
и поступательную скорость -г- сохс? (т. е. опять за плоскость рисунка).
Такимъ образомъ, поступательное движете всегда направлено такъ,
что около него направлешя осей А и В переходить другъ въ
друга положительнымъ вращешемъ. Но въ то же время двЪ упомя-
нутыя оси А и В могутъ быть заменены одною результирующею
Д со скоростш сох—со2. Следовательно на оборотъ: безконечно
малое вращен1е около одной оси (напр. около В) (рис. 40)
можетъ быть заменено такимъ же вращен1емъ около
другой оси, параллельной первой (напр.
около А) и поступательны мъ движе-
н i e м ъ , перпендикулярнымъ къ
плоскости старой и новой осей (В ж А), и
направленнымъ въ ту сторону отъ
наблюдателя, смотря въ которую онъ в и-
дитъ направлеьпе прежней оси В и на-
правлен1е ея и е р е д в и ж е и i я г идущими
Рис. 40. п0 стр^лк^ часовъ. Иначе:
поступательное перем,Ьщен1е направлено вл^во отъ
наблюдателя, который, ставши въ направлен!и оси, г л я -
дитъ по направлен1ю ея пе ре д виж ен1я (т. е. отъ В къ А).
Скорость v поступательнаго перем£щен1я равна
произведена (со. г) изъ угловой скорости около
данной оси со и длины ея передвижен1я г. Это последнее
заключете о величин* v явствуетъ изъ того обстоятельства, что,
какъ мы прежде видЪли по F4): v = £l{r1 — r2), гдЪ гг есть то
разстояше, которое мы теперь назвали черезъ г, а О есть скорость
со—tOjrrrco,,; следовательно v = со2 (гг — г2) или по F3):
v = со . г . F5)
Если мы имЪемъ некоторое вращательное движете системы,
соединенное съ поступательнымъ, перпендикулярнымъ къ оси вращешя,
то мы можемъ заменить его однимъ только вращательнымъ, съ тою
же угловою скоростш, но около другой оси.
Такъ напримЪръ, если система движется впередъ со скоростш v,
вращаясь около оси, перпендикулярной къ направленш v, съ угловою
скоростш со, то такое движете можетъ быть представлено, только
какъ рядъ вращетй около осей, расположенныхъ въ
последовательные моменты времени параллельно плоскости, въ которой лежатъ

§ 13
Глава I. Кинематика.
79
направлешя скорости v и оси со; следовательно, последовательными
положешями новой оси образуется плоскость, параллельная плоскости
v и со; расположена она влево отъ наблюдателя, помещеннаго по
нанравлешю оси со и смотрящаго по скорости v\ ея разстояше отъ
v
первой плоскости есть - .
Точно также, если некоторая точка системы движется равномерно
по кругу со скоростш v, и система вращается около этой точки съ
угловою скоростш со вокругъ оси, перпендикулярной къ плоскости
круга, то новыя оси вращешя (безъ поступательнаго движешя) обра-
зуютъ цилиндрическую поверхность, рад1усъ которой больше или
V
меньше рад1уса круга на —, смотря по смыслу вращешя со.
Если поступательное движеше системы направлено не
перпендикулярно къ оси вращешя, то мы разложимъ его на два: одно
перпендикулярное къ оси и другое съ нею совпадающее. Вращеше
и первое изъ упомянутыхъ поступательныхъ движешй заменимъ
извЪстнымъ образомъ однимъ вращешемъ, и получимъ въ результате
вращеше, соединенное съ поступательнымъ движешемъ вдоль по оси,
или, какъ говорятъ, в р а щ е н i e со скольжегпемъ или
винтовое д в и же nie.
Въ начале § 12 мы видели, что всякое движеше неизменяемой
системы можетъ быть разсматриваемо, какъ поступательное,
соединенное съ последователышмъ вращешемъ около осей, проходящихъ
черезъ одну и ту же точку системы. Предъидуиця разсуждешя ведутъ
насъ еще къ новому способу представлять себе движеше
неизменяемой системы. Именно, мы можемъ сказать, что всякое движен1е
неизменяемой системы состоитъ изъ ряда последо-
вательныхъ безконечно малыхъ винтовыхъ
перемещен^ около различиыхъ осей, проходящихъ черезъ
различный точки, который вообще или
принадлежав данной системы, или должны быть разсматри-
ваемы, какъ съ нею неизменно связанны я. Повторяя
так1я же разсуждешя, кашя были сделаны въ конце предъидущаго
параграфа относительно конусовъ, образуемыхъ осями, мы пр1йдемъ
къ заключешю, что оси винтовыхъ вращешй всегда совпадаютъ, съ
одной стороны съ некоторою поверхности, неизменно связанною
съ системою и съ нею перемещающеюся, а съ другой стороны—

80
Глава I. КинемАтикл.
§ 13
съ некоторою поверхностш, неподвижною въ пространств*. Движете
системы тогда состоитъ въ томъ, что первая поверхность катится
по второй, скользя при этомъ по прямымъ лишямъ, по которымъ
нроисходитъ соприкосновен1е обЪихъ поверхностей.
Разсмотримъ теперь самый обнцй вопросъ о сложены скоростей.
Предположимъ, что система испытываетъ последовательный безко-
нечно малыя вращешя около различныхъ осей, проходящихъ черезъ
разныя точки; найдемъ вращеше и поступательное движете, зам'Ь-
няюпця рядъ упомянутыхъ перемшешй. Чтобы решить этотъ вопросъ,
мы замЪнимъ сперва каждую изъ осей тремя, проходящими черезъ
какую нибудь точку разлагаемой оси, и параллельными тремъ даннымъ
взаимно перпендпкулярнымъ направлешямъ (осямъ коордпнатъ). Поел*
такого разложешя будемъ имЬть три cepin осей: оси каждой cepin
будутъ взаимно параллельны, и оси одной изъ трехъ cepiil будутъ
перпендикулярны осямъ каждой изъ двухъ другихъ cepiil ЗатЬмъ
каждую изъ параллельныхъ осей замЬнимъ другою параллельною осью,
совпадающею для всЬхъ осей cepin съ одною и тою же лишею (осью
коордпнатъ), и соответствующий» поступательнымъ перемЪщешемъ.
Такимъ образомъ поступая съ осями остальныхъ двухъ cepiil и
складывая все поступательныя перемЬщешя въ одно, мы получимъ три
взаимно перпендикулярныя проходяиця черезъ одну точку оси и
поступательное перемЪщете. Заменяя ыаконецъ три оси одною,
получимъ вращеше, сопровождаемое поступательнымъ движешемъ,
которое мы умеемъ уже заменять однимъ винтовымъ движешемъ.
Примгьчате. Вышеприведенный способъ сложешя легко
выразить аналитическими формулами. Пусть будутъ даны оси, которыя
мы обозначимъ нумерами 1, 2, 3 и т. д. до т. Буквы, выражаюпця
величины, относяцряся къ какой нибудь оси, напримЪръ нумера п,
будемъ снабжать внизу значкомъ п. Пусть угловыя скорости осей
будутъ (Dj, to2 . . -сот; ихъ направлете определимъ для каждой
тремя углами съ какими нибудь данными тремя взаимно
перпендикулярными лишями (осями коордпнатъ). Пусть эти углы будутъ а2, /3^
у2, и т. д. до аш, j3m, Ym. Предположимъ, что для каждой оси дана
еще какая ипбудь точка, черезъ которую эта ось проходитъ;
координаты такихъ точекъ для каждой оси пусть будутъ соответственно

§ 13
Глава I. Кинематика.
81
' а:
7s
7.
\/у
х\*. У\, #i и т. д. до хт, ут, zm. Тремя углами и тремя
упомянутыми координатами положеше каждой оси определяется вполне.
Разложимъ каждую изъ данныхъ осей вращешя на .три, парал-
лельньтя даннымъ прямоугольнымъ осямъ координатъ и проходяиця
черезъ данныя выше точки. Тогда для какой нибудь п—ной оси
соответствующая угловая скорость соп разложится на слЪдуншця три:
Рп = wn cos <xn, gn = wn cos j3n, rn = ton cos yn . F6)
Каждую изъ этихъ осей, проходящую черезъ точку (осп, уп, zn), 3&-
мЪнимъ параллельною осью, проходящею черезъ начало координатъ
(рис. 41). Начнемъ съ оси .рп\ сперва перенесемъ се, положнмъ, въ
плоскость ZX, т. е. передвинемъ въ
направленш обратномъ оси у—овъ на
длину уп\ тогда къ вращенш рп
прибавится еще поступательная скорость,
направленная вл^во отъ плоскости,
проходящей черезъ ось рп и направлеше
ея передвижешя, т. е. по положитель-
х/ ному направленш оси z—овъ; вели-
Рис 41. чина этой скорости будетъ 1куп. За-
темъ перенесемъ нашу ось вращешя,
находящуюся теперь въ плоскости ZX, до совпадешя ея съ осью
координатъ ОХ, т. е. передвинемъ ее въ направленш обратномъ
оси z—овъ на длину zn\ тогда къ вращенш рп прибавится еще
поступательная скорость, направленная въ отрицательную сторону оси
у—овъ; ея величина, по отношенио къ положительному направлешю
оси у—овъ, будетъ—pnzn. Итакъ, перенося ось рп на ось ОХ, мы
прибавляемъ къ ея вращенш следуюпця поступательныя скорости:
по оси OZ : рпуп , по оси OY : —pnzn.
Точно также, переиосъ оси qn на ось ОТ обусловить
поступательныя скорости:
по ОХ : qnzn , по OZ : — qnxn ;
переносъ оси гп на ось OZ обусловить скорости:
по ОТ: гпхп, по ОХ: — г^уп.
Следовательно, переносъ осей рп, gn, rn на оси координатъ или,
что все равно,—оси wn въ точку О, обусловить следуюпця прибавоч-
6

82
Глава I. Кинематика.
§ 13
ныя поступательныя скорости, ип, vn, wn, no осямъ координатъ:
vn = rnxn—2>n2a, F7)
Если мы перенесемъ въ О всЬ данный «г осей, то въ
результат* очевидно получатся: во-первыхъ три вращешя около осей
координатъ: Р, Q, it, при чемъ
или, обозначая операщю суммовашя черезъ 2:
Р = Ър, Q=Zq, B = £r; F8)
во-вторыхъ—скорости по осямъ координатъ: U, V, W, которыя
очевидно определятся такъ:
11=Ъ(гх—рз), F9)
W = ?:(py — qx).
Вращешя F8) и поступательныя движешя F9) даютъ очевидно:
1) вращеше около некоторой оси, проходящей черезъ О, съ угловою
скоростт
&^P2 + Q2 + R2, G0)
при чемъ косинусы угловъ этой оси съ осями координатъ будутъ
cos (Q,jc) = ^ , cos (Q,tf) = g , C(js (Q,*) = ^ ; G1)
2) поступательное движеше, со скоростио
С*=: ip-i- F2+ >^2, G2)
при чемъ направлеше этой скорости определится такъ:
U V W
cos(C,x) = jj, cos (£,?/) = ^, cos(G,£r) = -^-. G3)
Уголъ между направлешями 12 и С определится такъ *):
coeCQ,C) = ^.-^+g.^+g.f. G4)
*) Вообще, если даны углы двухъ линш съ осями координатъ (для одной:
а, {3, 7? а Для другой: а, 6, с), то уголъ у между ними мы отыщемъ такимъ обра-
зомъ. Иа одной >:зъ линш, ноложимъ первой, отложпмъ длину ?• проложеше этой

§ 13
Глава I. Кинематика.
83
Скорость С разложимъ на двЪ: одну, направленную по оси вращешя П,
величина которой будетъ
^i=Ccos(Q,C), G5)
и другую, перпендикулярную къ этой оси, величина которой будетъ
очевидно
JB=Csm(Q,C). G6)
Переиесемъ теперь ось Q параллельно самой себЪ по направленно,
перпендикулярному плоскости £1 и С, на длину £2Gsin (О,С) влЪво
отъ направлешя скорости Csin(Q,C); въ результат* получимъ
угловую скорость О, около перенесенной оси, и поступательную скорость
С cos (Q,C), вдоль по этой оси. Такимъ образомъ, всЪ вращешя: о^,
w2...com, замЪнимъ однимъ винтовымъ перемЪщешемъ.
Координаты, 5, ■/;, г, точки, въ которую должна быть въ послЪд-
Н1Й разъ перенесена ось £2, найдутся такимъ образомъ. Если мы
перенесемъ ось О, изъ точки О въ точку E,"/),с), то, какъ легко
видеть изъ F7), къ прежде бывшимъ поступательнымъ скоростямъ
U, F, W еще прибавятся скорости
Щ-Q^ Pz-Bl, Qt-Pri,
которыя, слагаясь съ первыми, должны дать только проложешя некоторой
скорости А\ направленной по оси вращешя, т. е. дать три скорости:
А* Л Л*-
а' q ' о
Следовательно, въ такомъ случае должны удовлетворяться уравнешя:
PZ-RZ+r=A,-Q, G7)
Ql-Pri + W^A'^,
длины на другую линш будетъ Zcoss; но составляющая лиши I по осямъ коорди-
натъ будутъ: I cos a, I cos j3, Zcosy, которыя со второю лишею будутъ дЪлать
очевидно углы a, br c\ проложешя этихъ составляющихъ на вторую линш будутъ:
I cos a cos а, Z cos р cos 5, I cos 7 cos с; а такъ какъ проложен1е одной линш на
другую равно сумм* проложешй на туже вторую лишю составляющихъ первой, то
I cos rf zz I ens a cos a -j- I cos |3 cos b-\-l cos 7 cos с .

84
Глава I. Кинематика.
§ 13
изъ которыхъ мы и определимъ искомый координаты s, rh r и
скорость А}. Умножая эти уравнешя соответственно на Р, Q, В и
складывая, мы получаемъ, помня G0):
UP + VQ-i- WR = A'a,
откуда на основанш G4) и G5) заключаемъ, что
А' = А.
Исключая неизвестное А изъ ур. G7), мы получаемъ два
уравнешя для определешя трехъ величинъ 5, *], с; следовательно положе-
Hie искомой точки остается неопределенным^ чего и следовало
ожидать, ибо, разъ найдя одну точку, въ которую должно перенести па-
ралелльно самой себе ось £2, мы можемъ указать еще на
неопределенное число точекъ, лежащпхъ по направленно этой оси и удовле-
творяющихъ требовашямъ задачи. Одну изъ точекъ, черезъ который
пройдетъ ось Q, въ своемъ новомъ положены, мы можемъ найти
следующимъ образомъ. Подставляя въ ур. G7) величину
A< = ~(UP+VQ+WR)
и заменяя соответственно въ каждомъ изъ упомянутыхъ уравиенШ
величины Р2, Q\ В? черезъ
Q2_eQ2_2J2, а2~в2 — Р2, a2 — p2 — q2,
мы представимъ уравнешя G7) въ виде:
-Rhi-
■t-
PW—BU
Q
\-
QU
BV
а2
-PV
Q2
— QW
О2
]-*
QU-PV
а?
EV-
Q2
PW-
QW
ли
откуда видимъ, что координаты
?_
EV—QW
о2 ~~
г,=
PW—EU
а2
а2
: =
= о,
= о,
= о,
QU-PV
а2
G7)'
G7)"
удовлетворяя ур. G7)', принадлежатъ точкт>, черезъ которую должна
пройти ось О.
Если данныя вращешя не производятъ въ результат* никакихъ
перемЪщешй системы, то изъ F8) и F9) очевидно, что должны удо-

§ is
Глава I. Кинематика.
85
влетворяться условы:
^ ' * ' G8)
Если удовлетворяются только первыя три изъ вышеприведенныхъ
условШ G8), то въ результат* данныхъ вращенШ будетъ одно только
поступательное перемЪщеше; если удовлетворяются только послЬдшя
три услов1я, то данныя вращешя могутъ быть заменены однимъ
только вращеюемъ около оси, проходящей черезъ О. Наконецъ, усло-
Bie существования некоторой результирующей оси, безъ поступатель-
наго по ней движешя, будетъ очевидно по G4):
cos A2,С)= О или UP-\-VQ+WR = 0. G9)
Въ общемъ случае сложешя угловыхъ скоростей, представленномъ
здесь, заключаются конечно всгЬ частные случаи, разсмотрЪнные въ
начал* параграфа. Возьмемъ для примера дв* параллельный
одноименный оси, на разстояшн /г другъ отъ друга, со скоростями сох и w2.
Плоскость обйихъ осей примемъ за плоскость ZX\ одну изъ осей—
за ось' z—овъ. Тогда очевидно:
}\ = Vi = О , гг = ь)г, х1 = у1 = я1 = 0
Р2:=^2=0^ Г2 = <°2> X2 = h, У 2 = *2 =l0'
Урр. F8) и F9) будутъ:
P=Q=zO, В = ь)г + ^2,
(см. 61)
U=0, Г=Аыа, W=0.
Урр. G4) и G5) дадутъ:
cos (О ,С) = О , А = О , Б=С = /гш2,
всл*дств1е чего урр. G 7) обращаются въ
(сох + со2) ч = О , - (сох + со2) I + 1т2 = О , (см. F0))
откуда т) = 0\ т. е. результирующая ось лежитъ въ плоскости XZ.
Съ помощш формулъ F7) можно легко выразить скорость
каждой точки неизменяемой системы, зависящую отъ угловыхъ
скоростей этой последней. Пусть будутъ даны угловыя скорости системы,
j9, q, г, около трехъ взаимно перпендикулярныхъ осей, проходящихъ
черезъ одну точку. Примемъ эти оси за оси координатъ, и опредТ,-
лимъ скорости вдоль этихъ осей для какой нибудь точки систс-

86
Глава I. Киккматийа.
§ 14
мы, координаты которой суть х, у, z. Для этого перенесемъ все
три оси вращешя параллельно самимъ себе въ точку {хл у, z). Тогда
къ вращательнымъ скоростямъ системы, около новыхъ осей, мы должны
прибавить еще поступательныя скорости
u = ry— qz , v=pz — rx , tv = qx—py . (80)
Но сама точка (ж, у, г)л которая теперь будетъ лежать ва оси вра-
щешя, очевидно будетъ перемещаться только вследств1е поступатель-
наго движешя системы, и не будетъ следовательно имЬтъ другихъ
скоростей, кроме (80); а такъ какъ движен1е системы, выражаемое
скоростями ея точекъ, одно и тоже, представили-ли мы оси вращешя
на ихъ старомъ месте, безъ поступательныхъ движешй, или—на но-
вомъ, съ поступательными скоростями, то выражешя (80) должны
очевидно представлять искомый скорости точки (x,y,z), зависягщя
отъ вращешй рл q, r, около старыхъ осей.
§ 14* Ускорешя точекъ неизмЪняемой системы
Такъ какъ точки неизменяемой системы въ теченш каждаго
элемента времени движутся вообще поступательно и вместе съ темъ
по кругамъ, около мгновенныхъ осей, то ускорешя каждой точки
системы будутъ очевидно слагаться изъ ускорешя поступательнаго
движешя, общаго всемъ точкамъ системы, и изъ ускоренш круговыхъ
движешй. Эти последшя въ свою очередь слагаются каждое изъ двухъ
взаимно перпендикулярныхъ ускорешй: одного, направленнаго къ
центру круга, и другаго—по кругу.
Если величина угловой скорости системы со изменится безконечно
мало, получивши безконечно малое приращеше Ло, то скорость точки
по кругу изъ величины по, где г есть разстояше-точки отъ оси
вращешя, обратится въ г (со+^оо), получая очевидно приращеше rdm.
Следовательно, ускореше точки по кругу будетъ г-тт. Отношеше -тг
называется угловымъ ускоре1пемъ системы около данной оси.
Очевидно, что приращешя угловой скорости, а следовательно и угло-
выя ускорешя, слагаются также, какъ угловыя скорости.
Ускореше, направленное къ центру, или центростремитель-
ное, будетъ равно —, где v есть скорость точки по кругу, но такъ

! 14
Глава I. Кинематика.
87
какъ v = ri», то следовательно центростремительное уекореше
выразится черезъ гш2. Итакъ, все уекореше д точки {х,у,г),
зависящее отъ вращательнаго движешя системы, найдется изъ уравнешя
(см. B4)):
—ч-ян—
IIpuMwianie. Такъ какъ угловыя ускорешя слагаются также какъ
скорости, то проложешя ускорешй на прямоугольныя оси координатъ
найдутся по формул* сложешя (80). Если угловая скорость со, около
какой нибудь оси, возрастаешь по величин* и направлешю на Aw, то
ея слагаюипя угловыя скорости р, q, r получаютъ соответственно
приращешя dp, dq, dr, величина которыхъ выразится ребрами пря-
моугольнаго параллелепипеда, д1агональ котораго есть Асо. Соотв*т-
ствунищя ириращешя скоростей по осямъ координатъ: du, dv, div,
для какой нибудь точки {x,y,z), найдутся по (80):
du = dr . у — dq.z , dv^=dp .z — dr .x , div — dq .x — dp .y . (82)
Д*ля об* части каждаго изъ предыдущихъ уравненШ на элементъ
времени dt, получимъ въ л*выхъ частяхъ ускорешя по осямъ
координатъ для данной точки, а въ правыхъ ихъ выражешя, съ помощпо
слагающихъ угловыхъ ускорений:
du dr dq dv dp dr die dq dp .no.
dt " dt dt dt dt dt dt dt J dt v J
Такъ какъ ириращешя dp, dq, dr определяются, какъ величины про-
ложешй некоторой лиши, равной по величин* Асо, на оси координатъ,
то очевидно, ихъ частныя отъ д*лешя на dt, опред*лятся такимъ-же
образомъ; сл*довательно, обозначая углы направлешя Асо съ осями
координатъ черезъ (Асо,#), (Асо,^/), (Асо,?), будемъ им*ть:
dp Асо dq Асо ,А _ dr Асо г0.л
rfi = WC08<:Aw'ar)' «=rfFCO8<Aw'0' d^W008^^' (84)
Если мы обозначнмъ черезъ д разстояше точки (х,у,г)отъ оси
вращешя, а черезъ (д,х), (д,у), (d,z)—углы, которые это разстояше
д*лаетъ съ осями координатъ, то проложешя центростремительная
ускорешя на эти оси будутъ:
dio2 cos (д,х) , доJ cos (д,у) , доJ cos (d,z) , (85)
причемъ направлеше по д должно совпадать съ направлешемъ раз-

88
Глава I. Кинематика.
§ U
сматриваемаго ускоретя, т. е. идти отъ точки {x,y,z) къ оси.
Пусть OR (рис. 42) будетъ направлеше
оси со, АВ—направлеше д, и р—разстояше
точки А отъ начала координатъ, считаемое
отъ О къ А. Тогда очевидно (смотр, ко-
нецъ § 4), проложеше на какую нибудь ось
координатъ длины ОВ равно сумм* про-
ложешй на туже ось длинъ р и д. Сд*до-
довательно для оси х—овъ, напримЪръ:
OB cos (со,ж) = р cos (р,ж) + д cos (д,х). (86)
р cos (p,co), 4i крозгЬ того очевидно:
z
Рис. 42.
Но изъ треугольника ОАВ: 01?
cos (p,a) = ^ , cos (р,#)= ^ , cos (p, z) =
cos(p,co) = cos(p.X)cos(to,jt) + cos (p,y) cos ((о,у) + cos (р.я) cos (@,0)
х р у q z r
to
со
CO
p cos (to,x)
д . cos[d,x) y
гдЬ _/?, j, г суть составляюиця угловыя скорости отъ со, около осей:
координатъ. Равенство (86) такимъ образомъ обратится въ
' х р у q z r\ x
. р со р to p toy k р
всл£дств1е чего изъ (85):
д . to2 cos (д,х) = (рх + qy + rz)p — to2^
и такимъ же образомъ очевидно:
д . to2 cos (д*у) = (рх + qy -\-rz)q — to2?/,
(87>
д . to2 cos {d.z) = (рх + qy + rz)r — to2£ .
Обозначая теперь черезъ jx, jY, j/z, составляюиця по осямъ
координатъ ускорешя поступательнаго движешя точекъ системы, мы полу-
чимъ, на основанш (83) и (87), слгЬдуюнця выражешя для составляю-
щихъ по осямъ координатъ полнаго ускорешя какой нибудь точки
(х,y,z) неизменяемой системы:
9х = Jx + У -^ — 8 -jt + (рх + qy + rz)p -
■ аг#
9v=h-r*
dp
Ж'
dq
It'
dr
It'
dp
'dt'
(px + qy + rz)q — to2y,
(px + qy + rz) r — u2z .
(88)

§ 15
Глава I. Кинематика.
89
Такъ какъ поступательное движете, общее всемъ точкамъ
системы, можетъ быть вообще криволинейнымъ, то ускореше этого движешя
тоже можетъ быть представлено, на основаши § 8, какъ
результирующее двухъ ускорешй: по траэкторш и по ея рад1усу кривизны.
Очевидно, что форма выражешй (80) останется одна и таже, по
какимъ-бы тремъ взаимно перпендикулярнымъ направлешямъ мы ни
разлагали угловую скорость со данной оси, лишь-бы эти три напра-
влешя были приняты за оси координатъ, при опредЪленш положешя
точекъ системы. Такимъ образомъ, мы можемъ или всегда сохранять
одно и тоже направлеше осей координатъ, или для каждаго момента
времени выбирать новое. Последнее имеетъ место, когда мы отме-
чаемъ положеше точекъ системы относительно осей координатъ,
неизменно связанныхъ съ системою и вместе съ нею вращающихся въ
пространстве.
Съ помощш извЬстныхъ правилъ аналитической геометрш легко
найти проложешя ускорешя на неподвижныя оси координатъ, зная
эти проложешя для подвижныхъ осей, и наоборотъ.
§ 15. Опред£леш'е движешя неизменяемой системы.
Мы видели въ § 13, что движеше точекъ неизменяемой
системы вполне известно, если дано движете одной какой либо точки
системы, и кроме того, дано положеше некоторой оси, проходящей че-
резъ упомянутую точку, около которой должна повернуться система
на определенный уголъ, чтобы ея точки пришли въ положешя, за-
нимаемыя ими въ данный моментъ времени. Посмотримъ теперь,
какими аналитическими выражешями представляются выше упомянутыя
данныя.
Положеше точекъ системы и его изменешя мы будемъ
определять относительно некоторыхъ определенныхъ осей координатъ.
Если <;, т], £ будутъ ординаты той точки системы, черезъ которую
должна проходить ось вращешя, т. е. координаты центра враще-
н1я, то движеше этой точки (§ 1) вообще можетъ быть определено
уравнешями:
5=/i@, 1 = Ш* Ц = Ш- (89>
Перемещешя точки ($, v),£) этими уравнешями будутъ определены
вполне; остальныя точки системы, кроме этого перемещешя, будутъ

90
Глава I. Кинематика.
§ 15
иметь еще друпя, обусловливаемый вращешями около мгновенныхъ
осей, проходящихъ черезъ точку ($,Ч,с). Но все безчисленное
множество безконечно малыхъ вращешй, совершенныхъ въ теченш
какого либо времени t, можетъ быть заменено однимъ конечнымъ пово-
ротомъ около некоторой оси, проходящей черезъ тотъ-же центръ вра-
щешя. Следовательно, къ концу любаго промежутка времени t, т. е.
для любаго момента времени t, мы можемъ вообразить себе
некоторую ось вращешя, поворотъ около которой на определенный уголъ <р,
прибавясь къ поступательному движенш (89), приведетъ точки
системы въ ихъ положешя, соответствующая данному моменту времени,
и заменитъ собою все безконечно малыя вращешя, совершенныя
системою, отъ начала движешя до даннаго момента времени. Положеше
такой оси съ одной стороны определено темъ, что она должна
проходить черезъ точку E,4, с)*, съ другой стороны, опредЬлеше этого
положешя окончательно добавляется даннымъ направлешемъ оси,
которое будетъ известно, когда известны два каме либо изъ угловъ
а, ]3, у, образуемыхъ положительнымъ направлешемъ оси съ осями
координатъ *). Такъ какъ вообще эти углы для разныхъ моментовъ
времени очевидно будутъ различны, то направлеше ре з у ль тир у ю-
щ е й оси, къ концу любаго времени/, должно быть дано уравнениями вида
a = -F1@, Р = -ВД, (90)
изъ которыхъ, съ помощпо соотношешя
cos2 a -f- cos2 J3 -f- cos2 у = 1 ,
мы можемъ всегда вывести третье уравнение вида
Y = *7a(*)- (90)'
Должно заметить, что эта результирующая ось, вообще говоря,
не будетъ представлять собой ни одной изъ мгновенныхъ осей, какъ
это очевидно изъ ея определешя. Наконецъ уголъ поворота ср, около
*) Три угла а, [3, у Для всякаго направлена связаны между собою, для пря-
моугольныхъ осей координатъ, уравнешемъ
cos2 a + cos2 р + cos2 у = 1 .
Действительно, если мы отложимъ по нашему направленш какую нибудь длину 7,
то проложена этой длины на оси координатъ будутъ: Zcosa, I cos C, Zcosy; а такъ
какъ 1 есть д1агональ прямоуг. параллелепипеда, ребра котораго суть вышеприведен-
ныя проложешя, то
Р = Р cos2 a + Р cos2 p + Р cos2 т .

§ 15
Глава I. Кинематика.
91
положительнаго направлешя данной, для конца времени t,
результирующей оси, додженъ быть определенъ, для конца того-же времени, урав-
нешемъ
Ф = <р (f). (91)
Шестью уравнешями (89), (90), (91):
5 = Л СО, ч = /;@, с = /з@*
« = ^@, Р = ад, ?=?(*),
движете неизменяемой системы вполне определяется, и, для любаго
момента времени t, мы можемъ по нимъ определить положеше въ
пространстве любой точки системы.
Вообще, если мы представимъ себе каюя нибудь три оси
координатъ, неизменно соединенныя съ системою, то положеше точек!
этой последней, относительно такихъ координатъ, останется одно и
тоже во время движешя; самыя-же осл координатъ будутъ двигаться
вместе съ системою. Следовательно, положеше точекъ системы въ
пространстве, т. е. ихъ положеше относительно некоторой другой
неподвижной системы координатъ, определится вполне, если мы бу-
демъ знать положеше вышеупомянутыхъ подвижныхъ осей
относительно неподвижныхъ. Аналитическая геометр1я учитъ насъ, что
положеше одной системы координатъ относительно другой определяется
шестью данными. Если одна изъ системъ движется, то упомянутый
данныя будутъ изменяться со временемъ, и движете будетъ
определено, если все они будутъ выражены, какъ некоторый функщи
времени. Такимъ образомъ мы опять пр1йдемъ къ шести уравнешямъ,
определяющимъ движете неизменяемой системы.
Если для каждаго момента времени даны: 1) три слагавшая
скорости и, X), п>, по осямъ координатъ, поступательнаго движешя
неизменяемой системы и 2) три угловыя скорости р, q, r системы около
осей координатъ, то для каждаго момента времени мы можемъ найти
скорости, по осямъ координатъ, для любой точки системы,
координаты которой въ этотъ моментъ времени будутъ х, у, z. Упомянутый
скорости, 0х, vy, vz, очевидно будутъ слагаться, каждая, изъ скоростей
поступательнаго движешя, и скоростей, зависящихъ отъ вращешя и
данныхъ въ выражеши (80); т. е.:

92
Глава I. Кинематика.
§ 15
или по (80):
vx = U -f- ry — qz ,
г>у = *> +ps — r%, (93)
vz = V0-\-qx — py .
Въ такомъ виде представятся скорости любой точки (ж, y,z)
системы, къ концу некотораго времени t. Зная первоначальное положе-
Hie для какой нибудь точки системы, т. е. зная ея первоначальныя
координаты ж0, у0, #0, мы найдемъ ея координаты хг, уг, zx, къ
концу перваго элемента времени dt, следующимъ образомъ:
хг = х0-г vQXdt = х0 -+- U0d£ + У(/0^ — £0<Zo^ 5
Уг = Уо-\- vo*dt = Уо + V^t—z^dt — x0r0dt, и т. д.
где u0, D0..- /?0, #о и т- Д- СУТЬ скорости, взятыя для начала дви-
жешя. Координаты ж2, у2, я2, къ концу втораго элемента времени,
определятся такъ:
x2=x0-r U0dt -r U^ Н- ?/0г0<Й -г y^d* — #020d* — y^d*, и т. д.
где хг, уг, яг должны быть определены изъ предыдущихъ уравне-
шй. Произведя такого рода вычислешя для безконечно большаго
числа п последовательныхъ элементовъ времени, мы получимъ
координаты разсматриваемои точки системы, для конца люоаго конечнаго
промежутка времени t (равнаго очевидно ndt)\
хп =х0 + I*vxdt=x0 -f %Udt -\- TZrydt — Sqzdt,
yn=zy0-+- IiVydt=y0-\-%VdtJr,£p2dt-—?Lrxdt, (94)
яп =20 -\- %vzdt =z0 -+ StDdtf -j- Sqxdt — "Lpydt,
гд^ знакъ S обозначаете что взята сумма отъ членовъ, видъ кото-
рыхъ определяется выражешемъ, стоящимъ за знакомъ суммы. Такъ,
Itmdt = xd0dt-{-m1dt-T- ro2cW-f- • • .xondt,
Hrxdt = r0x0dt -f rxx^dt + r2x2dt -\- . • • rnxndt, и. т. д.
Интегральное исчислеше даетъ намъ способы находить такого рода
суммы. Суммы вида Erodt отличаются отъ суммъ вида Hrxdt т*мъ,
что въ первой сумме все члены даны, какъ функцш времени; во вто-
рой-же каждый членъ суммы множится на искомую величину х, у
или я, которая можетъ быть определена суммовашемъ для конца
предыдущаго момента времени. Способъ нахождешя такого рода суммъ,,

§ 15
Глава I. Кинематика.
93
въ которыхъ каждый членъ суммы множится на искомую сумму,
дается въ теорш дифференгцальныхъ уравненШ.
Точно также легко видЪть, что если даны для каждаго момента
времени (т. е. какъ функщи времени): 1) ускорешя по осямъ коор-
динатъ поступательнаго движешя системы, 2) угловыя ускорешя
около осей координатъ, 3) начальный скорости поступательнаго дви-
жешя и 4) начальныя угловыя скорости, то, съ помощш урр. (88),
можно определить приращеше скорости для любой точки системы, къ
концу любаго промежутка времени, и за тгЬмъ по скоростямъ найти
координаты этой точки, какъ было показано выше. РЪшеше такой
задачи выполняется опять съ помощш суммовашй приращешй
скоростей, для послЪдовательныхъ элементовъ времени. При этихъ сум-
мовашяхъ опять члены суммы будутъ помножаться на искомый неиз-
вЬстныя. Следовательно, опредЪлеше движешя неизменяемой системы
по ускорешямъ должно свестись къ рЪшенш дифференщальныхъ
уравнешй, о которыхъ было упомянуто выше.

ГЛАВА II
ООНОБНЫЯ НАЧАЛА УЧЕН1Я О СИЛФ (ПРИНЦИПЫ
ДИНАМИКИ). .
§ 16* М а т е р i я, масса.
Все, что, воздействуя на наши чувства, представляется намъ
занимающимъ пространство, по длине, ширине и высоте, называется
Maiepiefi, т. е. все, что занимаетъ известный объемъ и такъ или
иначе нами ощущается.
Въ какомъ бы разнообразш видовъ намъ ни представлялась ма-
тер1я, мы находимъ въ ней всегда несколько общихъ качествъ,
совокупность которыхъ опредЬляетъ наше о ней понят1е. Одно изъ та-
кихъ качествъ уже высказывается въ самомъ определены! матерш%
какъ чего-то наполняющаго известные объемы. Следовательно, одно
нзъ общихъ качествъ матерш есть протяженность. Другое
качество матерш, существоваше котораго очевидно, есть способность
перемещаться, какъ въ ц!ломъ, такъ и въ частяхъ. Следовательно^
матер1я, занимающая данный объемъ, можетъ переместиться, или
всеми своими частями однообразно и не меняя своего объема, или
различными своими частями различно, меняя форму и величину своего
объема. Отсюда—понят1е о сжимаемости и разширяемости
матерш.
Следовательно, замечая изчезновеше какой нибудь части дан-
наго количества материт, мы прежде всего представляемъ себе это
изчезновеше, какъ переигЬщеше упомянутой части изъ одного места

§ 16
Глава И. Принципы Динамики.
1M-
пространства въ другое; при этомъ перемещенная матер1я можетъ
намъ явиться съ другими качествами, чемъ те, который она имела до
перемЁщешя. Мы можемъ не знать, куда переместится изчезнувшая изъ
даннато м^ста часть матерш, т. е. не иметь данныхъ для подобнаго опре-
делешя; но все таки не можемъ отрицать возможности найти где
либо въ пространстве ушедшую прочь часть матерш: следовательно,
у насъ нётъ основашй заключать о безследномъ исчезновенш мате-
pin, какъ следствш ея перемещешя. Отсюда—понят1е о
неразрушимости матерш и о ея не измени о мъ количестве въ Mipe.
Объемъ, занятый сплошь определеннымъ количествомъ матерш,
не можетъ въ тоже самое время быть занятъ еще другимъ количе-
стеомъ матерш. Въ противномъ случае, вся матер1я вселенной могла-
бы быть представлена умещенной въ объеме, менынемъ всякой
данной величины. Отсюда—понят1е о непроницаемости матерш.
Такъ какъ матер1я, будучи непроницаема, можетъ однако
изменять свой объемъ въ известныхъ пределахъ, то мы не можемъ
себе представить пространство наполненное такою матер1ею сплошь,
безъ промежутковъ. Отсюда—поия'пе о скважности.
Промежутки внутри даннаго тела, не занятые матерШ, могутъ
быть при случае выполнены матер1ею другаго вида, нежели тотъ, къ
которому принадлежите разсматриваемое тело. Наблюдая такого рода
свгЬшешя различныхъ видовъ матерш (простыя или химичесмя), мы
замечаемъ, что смешиваюпцяся виды матерш могутъ быть найдены
въ каждой малейшей частице смеси, насколько только наши средства
позволяютъ намъ наблюдать тамя малейнпя частицы. Вследств1е этого
мы приходимъ къ заключешю, что матер1альныя тела должны
состоять изъ отдЬльныхъ матер1альныхъ частицъ, расиоложенныхъ на
некоторыхъ весьма малыхъ разстояшяхъ другъ отъ друга. Так1я ма-
тер1альныя частицы носятъ назваше молекулъ.
Нашему непосредственному наблюденш доступны только группы
молекулъ, образующая матер1альныя тела. Только путемъ умозаклю-
чешй и предположен!?! мы можемъ, по непосредственнымъ наблюде-
шямъ надъ группами молекулъ, составлять себе понят1е о томъ, что
происходите съ каждою молекулою въ отдельности. Къ области
Физики относятся по преимуществу те явлешя матер!альнаго Mipa, ко-
торыя могутъ быть объяснены переигЬщешями молекулъ. безъ изме-
нешя ихъ внутреинаго строешя.

96
Глава II. Принципы Динамики.
§ 16
Количество матерш, представляемой даннымъ тЪломъ, называется
массою этого тела. За единицу массы принимается количиство
матерш, заключающееся въ одномъ грамме.
Граммъ есть тысячная доля некотораго образца, сделаннаго въ
конце прошлаго столет1я изъ платины и хранящагося въ Париже.
Упомянутый образецъ называется килограммъ. Въ свое время ки-
лограммъ долженъ былъ представлять количесто матерш,
заключающееся въ одномъ кубическомъ дециметре воды, при температур* 4°С.
Но познейнпя измерешя показали, что количество Maxepin въ куб.
дециметр* воды есть не 1000 грамч, но 1000.013 грам.. Следовательно,
измеряя массу тела, мы сравниваемъ ее не съ количествомъ мате-
pin, заключенной въ определенномъ объем* воды, но съ количествомъ
матерш определенная платиноваго образца или сделанныхъ съ этого
образца Konifi. Въ техническомъ отношеши, последшй способъ срав-
нешя легче и точнее, нежели первый.
Количество матерш, заключенной въ единиц* объема (т. е. куб.
центим.) даннаго тела называется плотноетио этого тела. Если
известна масса М тела, выраженная въ граммахъ, и его объемъ F,
выраженный въ цент.3, то плотность В тела найдется, на основанш
вышеприведеннаго определешя, какъ частное массы на объемъ, т. е:
D = *^3, A)
V цент.3
вследств1е чего наименоваше, или размеръ, единицы плотности,
определится такъ:
грам.
един, плотн. — —-—г B)
* цент.3
В'
Отвлеченное число, представляющее отношеше уу плотностей В1 и В
двухъ телъ, называется относительною плотност1ю перваго
тела относительно втораго.
Перечисленный выше свойства матерш не указываютъ намъ
еще на способъ, какъ найти, во сколько разъ масса даннаго тела
больше или меньше массы образца, принятаго за единицу, или вообще
какъ решить вопросъ, равны или не равны массы двухъ данныхъ
телъ. Пока мы можемъ только сказать, что двойные, тройные и т. д.
объемы однородной матерш заключаютъ въ себе также двойныя,
тройныя и т. д. массы; съ другой стороны, мы знаемъ, что упомяну-

5 17
Глава II. Принципы Динамики.
97
тыя массы будутъ во столько же разъ тяжелее. Отсюда мо-
жемъ вообще заключить, что чемъ больше масса какого нибудь тела,
темъ оно тяжелее, хотя точное значете термина «тяжелее» узнаемъ
только впоследств1и, познакомившись съ действ1емъ силъ на
массы.
Темъ не менее перечисленныя выше свойства матерш приво-
дятъ насъ къ понятш о массе, какъ о величине, которая такъ или
иначе можетъ быть измерена и выражена въ опредЪленныхъ едини-
цахъ. Этого понят1я совершенно достаточно для вывода дальнЪйшихъ
заключетй о дМств1яхъ силъ, какъ увидимъ ниже.
§ 17. Первый законъ Ньютона: опредЪлеше поняла о силЪ.
Данная масса, вследств1е установленнаго нами за нею свойства
подвижности, можетъ двигаться различными способами, которые мы
можемъ въ нашемъ представлены разнообразить до безконечности.
То или другое движете не представляется исключителънымъ призна-
комъ данной массы, а является ея случайнымъ качествомъ, обуслов-
ливаемымъ посторонними обстоятельствами, независимыми отъ самой
массы. Поэтому, если одинъ разъ мы наблюдаемъ одно движете
некоторой массы, а другой разъ-^другое движете той же самой массы,
то различ1е этихъ двухъ движетй объясняемъ себе темъ, что
внешня услов1я въ томъ и другомъ случае были различны. Эти внештя
услов!я и будутъ причиною различ1я двухъ движетй.
Всякое движете, въ своихъ элементахъ, есть прямолинейное и
равномерное. Следовательно, одно движете отличается отъ другаго
величиною и направлетемъ скоростей. Движете массы, на одномъ
элементе ея пути, будетъ отлично отъ ея движетя на другомъ
элементе, когда скорости на обоихъ элементахъ будутъ различны какъ
по величине, такъ и по направленш, или: движете изменится, если
скорость изменится по величине и направлетю.
Причина, обусловливающая и з м е н е н i e величины
и направлен1я скорости данной массы и независимая
отъ этой массы, называется силою, приложенною
к ъ данной массе.
7

98
Глава II. Принципы Динамики.
§ П
Вышеприведенное опредЁлете силы известно подъ именемъ
перваго закона движен1я, который быль формулированъ
Ньютономъ въ следующихъ словахъ:
Тело пребываетъ въ состоя Hi и покоя или равно-
м е р н а г о прямолинейнаго д в и ж е н i я , если никакая
сила, къ нему приложенная, не стремится изменить
это с осто ян1 е.
Разсматривая изменете движешя, какъ слгЬдств1е д'Ьйсття
некоторой внешней причины, мы темъ самымъ утверждаемъ, что масса
не имЪетъ свойства изменять свое собственное движете. Это
отрицательное качество матерш, состоящее въ неспособности
изменять свое собственное движете, носитъ назвате инерц1и или
косности. Потше объ инерщи очевидно является следств1емъ
поняйя о силе, и наоборотъ, допустивъ сначала инерцш матерш,
мы должны npifiTii къ понятш о внешней причине, нарушающей ииер-
цпо. Поэтому на место перваго закона Ньютона мы можемъ поставить
законъ инерщи, формулированный въ такомъ виде:
Всякое тело и м е е т ъ свойство, разъ будучи въ
покое или въ равно мерномъ прямолинейномъ д в иже-
Hi и, вечно оставаться соответственно въ уомъ или
другомъ изъ упомянутыхъ состояnifi *).
Но такъ какъ, строго говоря, законъ инерщи выражаетъ
отрицательное свойство матерш, то определете силы должно быть скорее
поставлено на первомъ месте, а не наоборотъ. Действительно,
определяя силу, мы утверждаемъ,
что изменете движетя данной массы обусловливается
внешнею причиною—силою;
а законъ инерщи высказываетъ,
что матер1я сама по себе не можетъ изменять своего движетя.
Итакъ, представлете о силе, какъ о причине измЬнетя
движетя, находящейся вне массы, влечетъ за собою представление объ
инерщи, какъ объ отсутствш этой причины внутри массы.
Такъ какъ движете можетъ изменяться или черезъ конечные
промежутки времени, или непрерывно, то и действ1е силы можетъ
::J Закоыъ инерц'.и былъ установленъ раньше Ньютона Галилеемъ.

§ 18
Глава II. Принципы Динамики.
99
быть иля мгновеннымъ и прерывнымъ, или непрерывнымъ.
Действительно, если тело, пребывавшее сперва въ покое, потомъ стало
двигаться равномерно, то это значитъ, что на него подействовала некоторая
сила, изменившая покой на движете. Но пока это тело движется
далее равномерно и прямолинейно, на него не действуетъ никакая
сила. Если тело черезъ некоторый промежутокъ времени изменить
свою скорость, то это будетъ обусловлено новымъ действ1емъ какой
нибудь силы, которая, разъ извгЬнивъ движете; не продолжаетъ
действовать на тело, если оно пойдетъ дальше равномерно и
прямолинейно. Если скорость тела изменяется непрерывно, т. е. черезъ
промежутки времени, которые могутъ быть представлены меньше
всякой данной величины, то и силы д-Ьйствуютъ непрерывно или,
что все равно, ихъ дМ<Уше повторяется черезъ безконечно малые
промежутки времени.
§ 18* Второй законъ Ньютона: опредЪлеше величины силы.
Такъ какъ действ1е силы состоитъ въ измененш скорости
массы, то оно будетъ различно, если у различныхъ массъ будутъ
различнымъ образомъ изменяться скорости. Следовательно, на осно-
ваши определетя силы, мы должны отличать разныя силы другъ отъ
друга по стольку, по скольку различны массы, на которыя оне
действуютъ, и по скольку различны изменетя скоростей, обусловли-
ваемыя этими силами.
Разсмотримъ сперва, по скольку различаются между собою силы
вследств1е различныхъ изменетй скоростей.
Каждую скорость АВ (рис. 43) мы можемъ разсматривать, какъ
результирующую некоторыхъ другихъ двухъ скоростей, положимъ,
с АС и СВ. Изменеше скорости АВ въ скорость
v АВ, мы разсматриваемъ, какъ результатъ при-
\ бавлешя (геометрическаго) къ скорости АВ
—~7* некоторой новой скорости ВВ. Внешнюю
причину описаннаго изменешя, мы называемъ силою.
** Ио результатъ действ1я упомянутой силы, т. е.
изменеше АВ въ АВ, мы можемъ себе
представить, какъ изменеше одной изъ слагающихъ отъ АВ, положимъ СВ,

101»
Глава II. Принципы Динамики.
§ 1Ь
въ CI), отъ ириложешя скорости ВВ. Такимъ образомъ одна и та же
сила можетъ быть одновременно разсматриваема, какъ причина,
изменяющая на одну и ту же величину ВВ две различныя скорости, АВ
или СВ, одной и той же движущейся массы. Следовательно, дейст-
в i e силы не з а в и с ит ъ отъ величины той скорости,
к о т о р ая этою силою изменяется, а поэтому — и отъ
д е йст в i я другой сил ы.
Представимъ себе, что на некоторую массу действуетъ
непрерывно некоторая сила; тогда скорость движешя должна непрерывно
изменяться, возрастая или убывая. Пусть сила действуетъ на
упомянутую массу непрерывно, въ теченш некотораго определенная
промежутка времени, при чемъ первоначальная скорость массы полу-
чаетъ некоторое определенное приращете; если таже сила будетъ
действовать на туже массу въ теченш следующаго промежутка
времени, равнаго первому, то она, оставаясь сама себе равною, сообщитъ
массе точно такое же приращете скорости, какъ прежде, независимо
отъ той скорости, которую эта масса уже пршбрела. Тоже самое
заключеше сделаемъ для следующаго равнаго промежутка времени,
и т. д.. Следовательно, если сила одной и той же величины
непрерывно действуетъ на одну и ту-же массу, то эта последняя полу-
чаетъ въ равные, и произвольной величины, промежутки времени,
равный ириращешя скорости; т. е. подъ дЬйств1емъ
постоянной силы, масса движется съ постояннымъ, по вели-
ч и п е и направлен! ю, у с к о р е н i e м ъ. Если направлешя уско-
решя и первоначальной скорости при этомъ совпадаютъ, то движете
массы будетъ прямолинейное, равномерно ускоренное; если
упомянутый направлешя не идутъ по одной и той же прямой, то движете
будетъ параболическое (см. § 9). Такъ какъ ускореше всякаго дви-
жешя можетъ быть разсматриваемо, какъ постоянное, въ теченш
каждаго безконечно малаго промежутка времени, то и всякая
переменная сила можетъ быть разсматриваема какъ постоянная, въ
теченш элемента времени.
Назовемъ черезъ /' величину силы, которая, действуя
непрерывно на некоторую массу, сообщаетъ ей, въ определенный безконечно
малый промежутокъ времени dt, приращете скорости Д# по
определенному направленш. Такъ какъ величина f не зависитъ отъ самой
изменяемой скорости, то она не зависитъ и отъ того, будетъ ли
изменяемая скорость одна изъ слагающихъ некоторой результирую-

§ 18
Глава II. Принципы Динамики.
101
щей скорости, или самая результирующая. Итакъ, сила f изменяетъ
скорость массы на Ду, или все равно, она изменяетъ одну изъ сла-
гающихъ этой скорости тоже на Ду. Чтобы изменить на Да, въ то-же
время dt и въ томъ же направленш, другую изъ слагающихъ данной
скорости, потребна точно такая же сила /*, действующая на туже
массу. Следовательно, чтобы изменить заразъ на Ду каждую изъ п
слагающихъ скоростей, на которыя мы можемъ разложить данную
первоначальную скорость массы, нужно чтобы на эту массу
действовали по одному и тому же направленш, въ течеши одного и того же
времени dt, n одинаковыхъ силъ, каждая равная /*, т. е. другими
словами, одна сила равная n.f. Но если каждая изъ п слагающихъ
скоростей изменится на Да, по одному и тому же направленш. то
результирующая изменится на n\v, по тому же направленш.
Следовательно, въ п разъ большая постоянная сила ооусловливаетъ въ п
разъ большее приращеше скорости, въ одно и тоже время. Поэтому,
если сила f обусловливаетъ приращеше скорости At?, а сила /'',
действуя на ту же массу, въ течеши того же времени dt,
обусловливаетъ приращеше скорости Да', то
f : Г =? \v : Ai?'. C)
Но такт, какъ [§ 7, A4)]:
\v = gdt, Avf — g'dt,
где д и д] суть ускорешя, то
f : Г = 9 : д'\ D)
т. е. силы, действуюпия на равны я массы, относятся,
какъ ускорен1я, ими обусловливаемый.
Разсмотримъ теперь, по скольку различаются силы,
действуюпия на различныя массы.
На ocHOBaHin перваго закона Ньютона, всякая масса, скорость
которой изменяется, должна быть разсматриваема, какъ находящаяся
подъ действ!емъ силы. Если некоторая масса изменяетъ свою
скорость, то и каждая часть ея тоже изменяетъ свою скорость; если
каждая изъ п равныхъ частей данной массы получаетъ одинаковыя
ускорешя, то силы, действуюпия на эти части, равны между собою.
Вся масса при этомъ получаетъ тоже самое ускореше, какъ и каждая
ея п—ая часть. Такимъ образомъ, описывая одно и тоже действе
силы, мы можемъ говорить или: п одинаковыхъ силъ действуют:»

102 Глава II. Принципы Динамики. § 18
на п частей массы, т. е. на всю массу, или: на туже массу действуете
некоторая одна сила; следовательно каждая изъ упомянутыхъ п силъ
должка составлять п—ную часть той силы, которая действуете на
все n частей массы; т. е., при одномъ и томъ же ускоренш, на массу
въ п разъ меньшую, должна действовать въ п разъ меньшая сила,
и наоборотъ. Если следовательно f и f суть величины силъ, сооб-
щающихъ соответственно массамъ т и т] одинаюя ускореюя, то
f : f = m : т'; E)
т. е. при одинаков ыхъ ускоре!Пяхъ, силы nponopiuo-
нальны массамъ.
Сравнимъ теперь две силы: одну f\ сообщающую массе т уско-
peHie д, и другую f\ сообщающую массе т] ускореше д]. Предста-
вимъ себе некоторую третью силу /"", которая сообшаетъ массе т
ускорен1е д\ Тогда имеемъ, на основаши D):
Г д' '
а на основании E):
Г_т_
Перемножая оба последшя равенства, находимъ:
f w> 9 .
F)
f m'gf '
т. е. силы, сообщаю щ i я различнымъ массамъ
различны я ускорения, относятся между собою, какъ произ-
в е д е н i я изъ соответствующихъ м а .с с ъ и у с к о р е н i й.
Если сила f сообщаетъ единице массы единицу ускорешя,
то полагая въ F):
. . , . цент.
*я' = 1 грам., д' = 1 -—г ,
получаемъ:
^ = т.д. G)
Если силу f примемъ за единицу, т. е. положимъ, что
единица силы сообщаетъ единице массы у с к о р е н i e e д и -

§ 18
Глава II. Принципы Динамики.
103
ниц у, то величина всякой другой силы, сравнительно съ
установленной такимъ образомъ единицей, будетъ
f=mg\ (8)
т. е. въ такомъ случае величина силы измеряется произ-
веден1емъизъ массы, на которую она действуетъ, и
ускорен1я, которое она этой массе сообщаетъ.
Единица силы, определенная вышеупомянутымъ образомъ,
называется динам о ю или диною. Наименовате дины на основаши (8)
следующимъ образомъ выражается черезъ основный наименовашя
длины, времени и массы:
грам. цент. Г(ЛЛ
дина = -£ . (9)
сек.2 J
Вышеприведенное выражеше (8), определяющее величину силы,
представляетъ второй законъ движетя, формулированный Ныото-
номъ въ следующихъ словахъ: Изменен!е движен1япропор-
цЮнально приложенной силе и происходитъ въ
направлена силы. При этомъ подъ величиною изменешя движетя
должно очевидно разуметь произведете изъ массы и ускорешя.
Тоже самое представлете о величине изменешя движетя мы
можемъ составить себе еще другимъ образомъ. Если некоторая
постоянная сила,/* действуешь непрерывно на массу т, въ течете
промежутка времени t, то результатомъ такого действ!я будетъ изме-
неше первоначальной скорости v0 въ некоторую другую v, при чемъ
очевидно
' = -!-*'
и следовательно
f= mv ~ mvo _ гщ
Т
Произведете изъ массы и скорости называется количествомъ
движен1я, и отъ действ1я силы оно очевидно изменяется.
Числитель дроби, въ правой части равенства A0), очевидно представляетъ
приращеше (вообще геометрическое) количества движетя, въ теченш
промежутка времени t\ самая же дробь представляетъ приращен1е
количества д в и ж е н i я въ единицу времени или, по
выражению Ньютона, изменен1е движен1я.

104
Глава II. Принципы Динамики.
§ IS
На основаши A0) мы можемъ написать:
ft = mv — mv0, A1)
откуда видимъ, что одно и тоже приращете количества движетя
можетъ быть вообще обусловлено различными силами, которыя дей-
ствуютъ въ течете различныхъ промежутковъ времени, но такъ,
что произведете изъ силы и промежутка времени остается одна
и тоже. Упомянутое произведете ft называется импульсомъ
или толчкомъ. Следовательно, величина импульса
измеряется приращен1емъ количества движен1я.
Увеличивая одновременно силу f въ п разъ и уменьшая во столько же разъ
время ея дМств1я, мы не изм^нимъ величины импульса nf. —, а
следовательно не измЬнимъ и обусловливаемаго имъ приращетя
количества движетя. Если п будетъ безконечно велико, то мы полу-
чимъ въ результате действ1е некоторой безконечно большой силы,
продолжающееся безконечно малое время. Импульсъ, соответствующШ
этому действш, будетъ обусловливать мгновенное приращете
количества движетя на некоторую заметную величину. Следовательно,
только безконечно больная мгновенныя силы могутъ производить
конечный изменетя количества движетя. Очевидно также, что одно и
тоже конечное изменете движетя можетъ быть произведено или
безконечно большою мгновенною силою, или конечною силою,
действующею въ теченш конечнаго промежутка времени.
При непрерывномъ переменномъ движенш скорость изменяется
отъ одного элемента пути къ другому, по величине и направленно;
соответственно изменяется также и количество движетя mv, к
тоже—по величине и направленш. Каждое приращете этого
количества, которое мы обозначимъ черезъ Д(т. v), обусловливается
импульсомъ (толчкомъ), сообщаемымъ движущейся массе въ направленш
упомянутаго приращетя. Если f будетъ сила, действующая на массу
ж, и dt—время, въ теченш котораго проходится элементъ пути, та
fdt = ?±{mv~). A2)
Какъ и прежде, величина импульса не изменится, если сила будетъ
увеличена въ п разъ, а время ея действ1я во столько же разъ
уменьшено, ибо мы будемъ иметь тогда
nf. — = £k(mv). A2)'

§ 18
Глава II. Принципы Динамики.
105
Если п сделаемъ больше всякой данной величины, то получимъ дей-
CTBie безконечно большой силы nf\ продолжающееся такое время,
которое безконечно мало въ сравнеши съ выбраннымъ уже безконечно
малымъ промежуткомъ dt\ т. е. дгЬйств1е силы будетъ мгновенное
даже по отношешю къ элементу времени dt, и будетъ продолжаться
только въ теченш безконечно малой части этого элемента. Такимъ
образомъ мы видимъ, что элементарное приращеше количества дви-
жешя, также какъ и конечное, можетъ быть разсматриваемо, или
какъ результатъ непрерывнаго дейетв1я конечной силы /*, въ теченш
безконечно малаго промежутка времени dt, или какъ результатъ дей-
CTBifl безконечно большой силы nf, въ теченш еще безконечно мень-
dt
шаго промежутка времени — . Въ первомъ предположены, скорость
ft
изменяется непрерывно въ теченш времени dt, съ постояннымъ уско-
решемъ,и движеше по элементу есть параболическое. Во второмъ случае
скорость изменяется безконечно малыми скачками, и сила действуетъ на
массу только мгновенно въ начале каждаго промежутка времени dt\
поэтому движеше по элементу будетъ тогда прямолинейное и равномерное.
Но оба вышеприведенныя представлешя о действш силы на элементахъ
пути не отличаются другъ отъ друга существенно, ибо одно изъ нихъ
всегда сводится къ другому. Действительно, каждый изъ безконечно
малыхъ параболическихъ отрЬзковъ, представляюпцйся намъ элемен-
томъ данной траэктор1и, мы можемъ снова разбить на безконечно
большее число еще более мелкихъ элементовъ (безконечно малыхъ
втораго или высшаго порядка), которые будутъ прямолинейные, на
которыхъ движешя будутъ равномерны, и скорости будутъ меняться
безконечно малыми скачками *), вследств1е ряда действш мгновен-
ныхъ силъ, при начале каждаго изъ новыхъ элементовъ. Такимъ
образомъ мы приходимъ опять къ тому же заключенно, которое было
сделано въ предъидущей главе: именно, что всякое движеше, въ
своихъ элементахъ, можетъ быть разсматриваемо, какъ происходящее
по безконечно малымъ отрезкамъ какихъ угодно кривыхъ лиши; это
заключеше вполне аналогично съ геометрическимъ представлешемъ
о кривой, какъ о ломанной, составленной изъ безконечно малыхъ
*) Скачки эти будутъ безконечно малы въ сравнеши со скачкомъ Av. Если
элементъ разбитъ на безконечно большое число и новыхъ элементовъ, то величина
Av
каждаго скачка будетъ — •

106 Глава II. Принципы Динамики. § 19
элементовъ другихъ кривыхъ, изъ которыхъ каждая соприкасается
съ данною кривою по одному изъ этихъ элементовъ.
§ 19. Сложеше силъ. Матер1альная частица и точка.
Такъ какъ действ1е силы на массу состоитъ въ сообщенш этой
последней некотораго ускорешя, то следовательно направлеше дей-
ств1я силы, т. е. самой силы, должно определяться направлешемъ
ускорешя ею сообщаемаго.
Если т^лу сообщаются несколько ускорешй по различнымъ на-
правлешямъ, то это обстоятельство обозначаетъ, что на тело дей-
ствуютъ различный силы по различнымъ направлешямъ, и на обо-
ротъ—действ1е разныхъ силъ на одну и туже массу обусловливаетъ
совместное существоваше различныхъ ускорешй; т. е. скорости тела
по различнымъ направлешямъ испытываютъ различный изменешя.
Несколько совместныхъ ускорешй могутъ быть, по § 6, заменены
однимъ результирующимъ, равнымъ геометрической сумме составляю-
щихъ. Существоваше такого результирующаго ускорешя
обусловливаетъ силу, действующую въ его направлены. Следовательно,
совместное действ1е несколькихъ силъ на данную массу даетъ такой
же результату какъ действ!е некоторой одной, которая и называется
поэтому равнодействующею или результирующею. На-
правлеше равнодействующей совпадаетъ съ направлешемъ
результирующаго ускорешя; а величина ея равна (по II закон.) произведешю
изъ упомянутаго ускорешя и массы даннаго тела.
Графически всякая сила можетъ быть представлена прямою
лишен), длина которой заключаетъ въ себе столько единицъ длины,
сколько изображаемая сила—динъ, и направлеше которой совпадаетъ
съ направлешемъ силы. Местомъ приложешя силы будетъ та точка
объема массы, которая изменяетъ свою скорость, или должна ее
изменять въ направленш приложенной силы. Если мы разсматриваемъ
движете различныхъ частей даннаго тела, то должны представлять
себе силы приложенными къ каждой изътакихъ частей, которыя должны
вообразить на сколько возможно малыми. Такъ какъ действ1е одной
и той же силы, одинаковое для всехъ частей данной массы, не за-
виситъ отъ формы и величины объема этой последней, то изследуя дан-

§ 19 Глава И. Принципы Динамики. 107
ную силу, мы можемъ всегда представлять себе, что масса, на
которую она дЪйствуетъ, сосредоточена въ безконечно маломъ объеме.
При этомъ мы следовательно предполагаемъ, что если бы вся масса,
заключенная въ безконечно маломъ объеме, была распределена
однородно въ какомъ либо конечномъ объеме, то подъ дЬйств1емъ той
же самой силы она будетъ двигаться всеми своими частями такъ-же,
какъ прежде. Такимъ образомъ мы приходимъ къ представленш о
м а т е р i а л ь н о й частице, какъ о массе (конечной или безконечно
малой величины), сосредоточенной въ безконечно маломъ объеме.
Всякую данную массу мы можемъ представлять себе поэтому, какъ
собраюе матер1альныхъ частицъ. Однако не должно смешивать пред-
ставлешя о матер1альной частице съ представлешемъ о точке. Какъ
бы мала ни была частица, она всегда занимаетъ некоторый объемъ,
который никогда не можетъ быть представленъ точкою, ибо понят1я
объ объеме и точке суть совершенно разнородныя. Какъ
поверхность не можетъ обратиться въ линш, лишя во время, время
въ массу, такъ и объемъ не превратится въ точку, а останется
всегда объемомъ, какъ-бы мы его ни уменьшали въ нашемъ
представленш.
Вообразимъ некоторую геометрическую точку, принадлежащую
объему, занимаемому данною массою. Эта точка должна перемещаться
и получать ускорешя вместе съ массою. Такъ какъ, при одной и той
же силе, ускореше данной массы очевидно не зависитъ отъ величины
л формы ея объема, то и ускорешя вышеупомянутой точки будутъ
обусловливаться только величиною силы, действующей на данную
массу и величиною массы, каковы бы ни были величина и форма
объема этой последней. Такимъ образомъ мы можемъ представить
себе геометрическую точку, движете которой, при данной
силе, обусловливается массою, наполняющею тотъ объемъ, куда
лринадлежитъ упомянутая точка. Такого рода точка называется ма-
тер1альною точкою. Мы не можемъ, следовательно, говорить
о матерш сосредоточенной въ данной матер1альной точке, ибо матер1я
должна занимать всегда некоторый объемъ; но мы можемъ говорить
о массе данной матер1альной точки, какъ о массе, связанной съ
этою последнею и наполняющей объемъ, къ которому принадлежитъ
данная точка. Очевидно, что понят1я о матер1альной частице
лматер1альной точке существенно другъ отъ друга разнятся.
Частица можетъ иметь определенную форму и определенную плот-

108
Глава II. Принцицы Динамики.
§ 19
ность; матер1альная точка связана только съ определенною массою,
форма и плотность которой могутъ быть представляемы произвольно.
Изъ предъидущаго заключаемъ, что матер1альная точка можетъ
представлять массу, какой угодно величины и какого угодно объема,
лишь-бы при этомъ движешя ея отдЪльныхъ частей не отличались
другъ отъ друга. Если движешя различныхъ частей даннаго тела
различны, то мы можемъ представить себе это последнее, какъ
совокупность несколькихъ массъ, движешя частей которыхъ одинаковы. Дви-
жеше каждой изъ такихъ массъ мы можемъ заменить движешемъ
некоторой матер1альной точки, и всякое тело, такимъ образомъ, разсматри-
вать, какъ совокупность матер1альныхъ точекъ. Части тела, движешя
которыхъ разсматриваются, какъ движешя матер1альныхъ точекъ,
могутъ быть или конечны, или безконечно малы; въ послЪднемъ случае
матер1альная точка будетъ представлять матер1альную частицу, т. е.
будетъ связана съ ея массою. Но въ некоторыхъ случаяхъ
приходится разсматривать и самую матер1альную частицу, какъ
совокупность различныхъ матер1альныхъ точекъ: именно тогда, когда различ-
ныя части этой частицы имеютъ различныя движешя.
Итакъ, мы можемъ графически представлять силу, по величине
и направлешю лишей, а объектъ действ1я силы—геометрическою
точкою, которую должны воображать связанною съ некоторой массою.
Представимъ себе (рис. 44) две силы АВ и АС, приложенныя
къ точке А. Если т будетъ величина массы, связанной съ этою
л i а точкою, то длины АЪ и Ас, отложенныя
на силахъ и въ т разъ доенышя длины
АВ и АС, будутъ представлять
соответственно ускорешя отъ обеихъ данныхъ силъ.
Геометрическая сумма лиши АЪ и Ас,
представляемая лишей Ad, даетъ намъ
величину и направлеше результирующаго ускорешя. Наконецъ, удлиннивъ
лишю Ad въ т разъ, мы получимъ АВ, которая должна представить
равнодействующую двухъ данныхъ силъ. Но такъ какъ
АВ _АС __АВ_
АЪ~ Ac~~Ad ~^Ш '
то АВ и АЪ, АС и Ас взаимно параллельны, и следовательно AD,
будучи д1агональю параллелограмма, построенная на АВ и АС, пред-

§ 19
Глава II. Принципы Динамики.
109
ставитъ геометрическую сумму этихъ двухъ линШ. Итакъ,
равнодействующая двухъ силъ, приложенныхъ к ъ одной и т о й-
же точке, представляется, по величине и направлению,
д1агональю параллелограмма, построеннаго на у
помянут ыхъ силахъ, какъ на сторонахъ. Следовательно вообще:
равнодействующая несколькихъ силъ, приложенныхъ
къ одной точке, есть геометрическая сумма всехъ с л а-
гающихъ *).
Если равнодействующая всехъ силъ, приложенныхъ къ данной
матер1альной точке, будетъ нуль, то так1я силы называются взаимно
уравновешивающимися. Следовательно, взаимно
уравновешивавшаяся силы не производятъ все вместе никакого измЬнешя дви-
жешя или покоя матер1альной точки. Если на массу, находящуюся
подъ действ1емъ взаимно уравновешивающихся силъ, подействуетъ
новая сила, то действ1е этой последней будетъ таково, какъ будто
упомянутыя прежде силы вовсе не существовали.
Очевидно также, что импульсы силы, измеряясь произведе-
шемъ изъ массы и сообщенной импульсомъ прибавочной скорости,
слагаются геометрически также, какъ скорости, ускорешя и силы; т. е.
если АВ и АС (рис. 44) представляютъ, по величине и направленш,
два импульса, то AD представить результирукшцй импульсъ.
Некоторые авторы делаютъ различ1е между пойят1ями,
лежащими въ основанш сложешя скоростей и ускорешй, съ одной
стороны,—и сложешя импульсовъ и силъ, съ другой стороны. Сложеше
скоростей и ускорешй основано на свойствахъ проэктируемой лиши
и ея проэкщй; правило сложешя есть следств!е оиредЬлешя слага-
ющихъ. Сложеше-же силъ и импульсовъ требуетъ, но мпешю иныхъ,
еще доказательства следующаго положешя: если две кашя-либо
причины, действуя порознь, обусловливаютъ известныя приращешя
скорости или ускорешя, то теже причины, действуя совместно, обусло-
вятъ результируннщя скорости или ускорешя, т. е. геометрическую
сумму техъ или другихъ. Это положеше также можетъ быть
принято, какъ аксшма или какъ опытный законъ. Но дело въ томъ,
что вышеприведенное положеше, строго говорл, не представляетъ
собою ни акстомы, ни опытнаго закона, но есть непо средстве н-
*) Это положеше само собою явно слЪдуетъ изъ того, что сила
представляется по величин* и направленш прямою (см. § 4).

110 Глава II. Принципы Динамики. § 20
ное следств1е определен1я силы и импульса.
Действительно, такъ какъ сила или импульсъ определяются, отвлекаясь отъ
массы, только ускорешемъ или приращешемъ скорости, то действ1е
двухъ силъ или импульсовъ можно назвать тогда только
совместным^ когда въ результате получается геометрическая сумма уско-
ренШ или импульсовъ. Въ противномъ случае, т. е. когда въ
результате предполагаемая нами совместная действ1я двухъ силъ или
двухъ импульсовъ не получаются результирукищя ускорешя и
скорости, мы говоримъ, что къ действш данныхъ силъ прибавляется действ!е
новыхъ, и притомъ такъ, что ускорешя этихъ последнихъ,
сложенный геометрически съ ускорешями данныхъ силъ, давали-бы
результирующее ускореше. Другими словами, исходя изъ принципа
независимости дейстя силъ другъ отъ друга и отъ начальныхъ
скоростей (см. начало § 18), мы приходимъ къ определению понятая о
совместномъ действш двухъ силъ или импульсовъ, какъ о действш ихъ
геометрической суммы.
§ 20* Третш законъ Ньютона: источникъ силы.
При всехъ физическихъ явлешяхъ, наблюдаемое изменеше дви-
жешя одного какого нибудь тела, а следовательно и существоваше
некоторой силы, действующей на это тело, обусловливается присут-
ств!емъ другаго матер!альнаго тела, которое поэтому и разсматри-
вается, какъ источникъ силы, действующей на первое тело. На этомъ
основанш мы, предполагая существоваше силы, какъ внешней
причины изменешя движешя массы, не ищемъ эту причину вне доступ-
наго наблюденш матер!альнаго Mipa. Если на тело действуетъ сила,
то мы не можемъ допустить, что она является изъ неведомаго, не-
причастнаго матерш источника, ибо такое допущеше ничего намъ не
объясняло-бы. Напротивъ, мы предполагаем^ что существоваше силы
обусловливается такими явлешями (помимо ея действ1я). которыя
могутъ быть нами наблюдаемы, или, согласно съ наблюдешями
представляемы. Другими словами, изменеше движешя одного тела мы свя-
зываемъ съ другими доступными наблюденш аналогичными явлешями,
не выходящими однако изъ круга представлешй о массе и движеши,
напримеръ—съ движешемъ другаго тела относительно перваго.

§ 20
Глава И. Принципы Динамики.
111
Вообразивъ единственную матер1альную точку среди
безграничная пространства, мы не можемъ себе представить какую либо силу,
действующую на нее, ибо не можемъ представить и понять движе-
шя этой точки, а следовательно и изменешя его, не имея дру-
гихъ точекъ, который позволили-бы намъ отметить различныя поло-
жешя первой.
Чтобы понять движете одной матер1альной точки, намъ
необходимо представить себе по крайней мере еще другую матер!альную
точку, относительно которой движете первой могло-бы существовать.
Вообразивъ только две матер1альныя точки въ пространстве, мы
можемъ отметить, а следовательно и представить себе ихъ движете
только по стольку, по скольку изменяется ихъ взаимное разстояте
(см. § 5). Следовательно, въ данномъ случае можетъ быть понятна
только сила, действующая на какую либо изъ двухъ точекъ, въ ту
или другую сторону по лшпи ихъ взаимнаго разстоятя. Итакъ, если
мы имеемъ две точки А и Д и говоримъ, что на точку А
действуете некоторая сила, то это утверждеше не можетъ иметь дру-
гаго смысла, кроме допущешя некотораго ускорешя точки А въ
какую нибудь сторону, вдоль по лиши АВ. Такъ какъ мы не можемъ
допустить и понять эту силу безъ присутств!я точки В, то и отно-
симъ ея источникъ къ этой точке, говоря, что точка В действуетъ
на точку А. Но съ другой стороны, если А получаетъ ускорете
относительно Д то и Д меняя свое положеше относительно А,
должна получать соответствующее ускорете. Отсюда вытекаетъ
необходимость допущетя, что точка А въ свою очередь действуете на
точку В. Следовательно, представлеше о силе, действующей на А и
зависящей отъ Д влечете за собою представлеше о другой силе,
действующей на Б и зависящей отъ А. Таюя две силы называются
взаимными, и только тамя силы мы можемъ представить
действующими на две точки, находяццяся въ пространстве безъ присут-
ств1я другихъ матер!альныхъ точекъ.
Представимъ теперь себе, что система, состоящая изъ двухъ мате-
р1альныхъ точекъ, сделалась неизменною, т. е. сделалось невозмож-
нымъ изменеше взаимнаго разстоятя этихъ точекъ. Въ такомъ случае
услов1я существовашя взаимныхъ силъ останутся, ибо будутъ
существовать обе точки А и Д но услов1я проявлешя действ1я обеихъ силъ
уничтожатся, ибо разстояте между А и В останется неизменнымъ.
Поэтому взаимный силы въ данномъ случае, не изменившись по величине

112
Глава II. Принципы Динамики.
§ 20
и направлешю, должны уравновешивать другъ друга. Но, въ случае
неизменяемости разстояшя АВ, всякая сила, приложенная къ А по
лиши АВ, можетъ быть разсматриваема, какъ приложенная къ Д
ибо всякое перемещеше А, по АВ, должно повлечь за собою, вслед-
CTBie неизменности АВ, такое-же перемещеше точки Д и въ туже
сторону. Следовательно, обе взаимный силы могутъ быть разсматри-
ваемы, при условш неизменности разстояшя АВ, какъ приложенныя
или къ одной точке А, или къ одной точке В. Такъ какъ эти силы
должны быть въ равновести, то оне должны быть другъ другу
равны и противоположны. Если-бы это последнее услов!е не
выполнялось, то две вышеупомянутый силы имели-бы
равнодействующую отличную отъ нуля, вследств!е чего ея точка приложешя, а
следовательно и связанная съ нею неизменно другая точка, пришли-бы
въ движете; но это движете не могло бы быть следств1емъ взаим-
ныхъ силъ, такъ какъ ихъ действ1е устранено по условно неизмен-
ноетш разстояшя АВ\ никакой другой силы, кроме взаимныхъ
мы *не прецполагаемъ въ данномъ случае; следовательно, имели-бы
ускорете безъ действ!я силы, что противоречнло-бы первому закону
движетя.
Точно также, въ случае существовали третьей точки С,
движете двухъ первыхъ, А и Д безъ изменетя ихъ взаимнаго
разстояшя АВ, можетъ быть представлено по стольку, по скольку
изменяются ихъ растояшя АС и ВС отъ третьей точки. Разсуждая также,
какъ прежде, мы прШдемъ къ заключенш, что матер!альная точка С
можетъ действовать на точки А и В только по лишямъ разстояшй
АС и ВС, и что силы, съ которыми действуютъ другъ на друга
точка С и какая либо изъ точекъ А и В, равны и противоположны.
Вообще, сколько-бы ни было матер!альныхъ точекъ, силы, съ
которыми действуютъ другъ на друга каждыя две изъ этихъ точекъ, могутъ
быть только направлены по линш взаимнаго разстояшя этихъ по-
следнихъ, и должны быть равны другъ другу и противоположны. Это
заключеше мы выводимъ изъ того обстоятельства, что действ1е двухъ
точекъ другъ на друга не изменяется присутств1емъ другихъ мате-
р1альныхъ точекъ, ибо различныя силы действуютъ независимо другъ
отъ друга (см. § 18), и каждая сила сообщаетъ данной массе
определенное ускорете независимо отъ того, действуютъ-ли на эту массу
еще друпя силы, или нетъ. Следовательно, каждыя две матер!альныя
точки будутъ действовать другъ на друга въ присутетвш другихъ то-

§ 20
Глава II. Принципы Динамики.
Ш
чекъ также, какъ оне действовали-бы, будучи попарно изолированы
въ пространстве; а такое ихъ взаимодейств!е нами уже разсмотрено
прежде.
Такимъ образомъ мы приходимъ къ следующему заключешю,
известному подъ именемъ третьяго за к она движешя, и формулиро-
ваннаго Ньютономъ въ следующихъ словахъ: всякому действш
всегда есть равное и обратное противодейств1е; т. е.
д*йств1ядвухът*лъ другъ на друга всегда равный
направлены въ противоположный стороны. Этотъ за-
конъ, какъ мы видимъ изъ хода разсуждешй, приводящихъ къ нему,
является распространешемъ перваго закона движешя, т: е. опреде-
лешя силы, какъ внешней причины изигЬнешя движешя массы. Ка-
к1я бы силы, наблюдаемый въ природе, мы ни имели въ виду, оне
должны следовать закону действ1я равнаго противодействш, ибо иныхъ
силъ мы не можемъ себе представить.
Если мы наблюдаемъ, что одно тело притягиваетъ или оттал-
киваетъ другое, то мы должны заключить, что и другое тело
притягиваетъ или отталкиваетъ первое. Если-бы этого следств1я не было, то
мы не имели-бы права заключать, что сила, действующая на первое тело,
состоитъ въ притяженш или отталкиваши его вторымъ теломъ.
Если мы говоримъ, что одно тело давить на другое, то это значитъ,
что другое тело точно также давитъ на первое. Если палецъ упи-
раетъ въ стену, то и стена упираетъ въ палецъ. Если лошадь
тащить возъ, то возъ оттягиваетъ лошадь назадъ; обе силы
уравновешиваются, ибо нетъ относительнаго движешя воза и лошади; движе-
Hie-же воза и лошади происходитъ равномерно, какъ следств1е пер-
воначальнаго импульса. Если одно тело, ударяясь о другое, приво-
дитъ его въ движете, то это последнее въ свою очередь изменяетъ
движете перваго тела.
Если fx и f2 будутъ взаимныя силы, съ которыми две массы
тг и т2 действуютъ другъ на друга, то очевидно, на основанш
третьяго закона:
A + f2 = o- A3)
следовательно, если дх и д2 будутъ соотвълхтвуюцця ускорешя, то
mlffi + m2g2 = 0 и Jl = - J ; A4)
т. е. для каждой пары взаимныхъ силъ с о о т в е т с т в у-
8

114
Глава II. Принципы Динамики.
§ 21
ющ1я ускорен1я обратно пропорц1ональны массамъ,
къ которымъ они приложены, и направлены въ
противоположный стороны. Если следовательно камень,
притягиваясь землею, на нее падаетъ, то и земля въ свою очередь должна
притягиваться камнемъ и на него падать. Но такъ какъ масса камня
несравненно меньше массы земли, то ускореше этой последней, при
ея движенш къ камню, будетъ несравненно мало передъ ускорешемъ
камня.
9 § 21* Сохранеше количества движетя.
Представимъ себе несколько свободныхъматер1альныхъ точекъ, съ
массами т1, т2... жп, движущихся подъ дЬйств1емъ взаимныхъ силъ.
Пусть для даннаго момента времени fx, f2... fn будутъ равнодействую-
цця силы, приложенныя соответственно къ упомянутымъ массамъ, и
составленныя изъ силъ, направленныхъ по разстояшямъ каждой массы
отъ всЬхъ остальныхъ. Если число всехъ матер1альныхъ точекъ есть
ю, то каждая изъ упомянутыхъ силъ будетъ составлена изъ п— 1
составляющихъ. На основаши третьяго закона очевидно, что одна
изъ составляющихъ силы ft будетъ равна и противоположна одной
изъ составляющихъ силы f2, другая изъ составляющихъ силы fx
будетъ равна и противоположна одной изъ составляющихъ силы /*3, и
т. д.; каждая изъ составляющихъ силы fx будетъ равна и
противоположна какой нибудь изъ составляющихъ другихъ силъ; тоже самое
скажемъ и о всехъ составляющихъ любой изъ остальныхъ данныхъ
силъ. Следовательно геометрическая сумма всехъ силъ fx, f2...fn,
какъ составленныхъ изъ равныхъ и противоположныхъ слагающихъ,
должна быть для каждаго момента времени равна нулю; т. е,
A + /i+- ■ - + /"п = 0, A5)
или, если дг, д2...дп будутъ ускорешя соответствующихъ мате-
р1альныхъ точекъ, то
Щ91^Щ92^ть9з^ • • -шпдп = 0, A6)
где сумма опять берется геометрическая. Такъ какъ по § 4 сумма
проложено! силъ ft...fn (геом. сумма которыхъ есть нуль) на
всякую прямую будетъ тоже нуль, то обозначая черезъ Хг, Х2...ХП,
¥г... ln, Zx ... Zn слагаюпця каждой изъ данныхъ силъ f по осямъ

§ 21
Глава II. Принципы Динамики.
115
координатъ, мы будемъ иметь:
%Х = 0, SF=0, ZZ=0, A5)'
и точно также, обозначая черезъ дх, gY, дг слагаюиця ускорешя по
темъ-же осямъ:
2т#х = О , Smpy = О , Ътдг = О , A6)'
при чемъ суммы въ A5)' и A6)' берутся очевидно алгебраическ!я.
Если масса одного изъ телъ системы, движущейся подъ дМ-
ств1емъ взаимныхъ силъ, будетъ несравненно больше суммы массъ
остальныхъ телъ той-же системы, то изъ A6) видно, что ускореше
этого тела будетъ несравненно меньше каждаго изъ ускорешй дру-
гихъ тгЬлъ. Такой случай мы им*емъ въ солнечной системе, где
масса солнца несравненно больше массы всехъ планетъ, взятыхъ
вместе*, вследств!е этого и движете солнца отъ совокупнаго дМ-
ств1я планетъ настолько мало, что мы безъ большой погрешности
можемъ разсматривать движете солнечной системы подъ действ1емъ
ея взаимныхъ силъ, какъ обращешя планетъ около иеподвижнаго
солнца.
Умножая каждый членъ суммы A6) на элементъ времени dt,
мы получаемъ, обозначая черезъ I операщю геометрическаго суммо-
вашя:
Xmgdt=0, A7)
где сумма берется геометрически. Но для каждой матер1альной точки
т величина mgdt представляетъ приращеше (геометрическое)
количества движетя въ течешя времени dt, т. е.:
mgdt = Д (mv).
Вследств1е этого A7) принимаетъ видъ:
1А(тгО = 0; A8)
т. е. геометрическая сумма приращен^ количества
д в и ж е н i я системы матер1альныхъ точек ъ,
находящихся подъ действ1емъ взаимныхъ силъ, равна нулю для
каждаго момента времени.
Следовательно, геометрическая сумма количествъ дви-
жен1я для такой системы сохраняется постоянною,
и можетъ быть изменена очевидно только действ1емъ некоторой
внешней силы.

116
Глава II. Принципы Динамики.
§ 22
Такимъ образомъ, если для одного момента движешя скорости то-
чекъ системы будутъ v1,v2, у3...., а для другаго: vt\ v2\ vJ... vn, то
m1v1 4- m2v2 <\* • « • mnun = ш^'-Ь m2v2"Y * ' ' mnVn!- A9)
§ 22* Центръ инериии.
Разсмотримъ геометрическое значеше суммы колнчествъ
движешя.
у Л Представимъ себ'Ь некоторую движущуюся
/ \ точку А (рис. 45), разстояше которой отъ Ht-
/' г< ^л которой неподвижной точки О пусть будетъ г.
/^^^ Когда движущаяся точка перейдетъ изъ А въ
о А\ то ея новое разстояше г' отъ О будетъ
Рпс- 45- очевидно геометрической суммою прежняго раз-
стояшя г и пройденнаго пути АА. Следовательно мы можемъ раз-
сматривать АА\ какъ геометрическое и р и р а щ е н i e p а з-
с т о я и i я движущейся точкпотънекоторой
произвольной неподвижной точки О. Если скорость движущейся точки
есть v, а время ея движешя по АА! есть dt, то AA, = vdt.
Если т будетъ масса движущейся точки, то произведете тг
можно разсматривать, какъ сумму (алгебраическую) разстоянш каждой
единицы массы отъ точки О. Въ такомъ случай mvdt представится
очевидно геометрическимъ приращешемъ разстояшй всЬхъ единицъ
массъ отъ точки О.
Представимъ себ'Ь теперь несколько матер!альныхъ точекъ съ
массами т1, т2 и т. д., на разстояшяхъ гг, г2 и т. д. отъ нЪкото-
раго пропзвольнаго центра О. Проведемъ изъ этого центра лиши къ
каждой единице массы. Тогда число такихъ лиши будетъ т1-г-т2-{-... тп,
а ихъ геометрическая сумма будетъ очевидно равна геометрической сумм*
линш, длины которыхъ будутъ т1г1, т2г2... и т. д., въ направлешяхъ
разстояшй гг, г2... и т. д. Если vx будетъ скорость массы тг для дан-
наго момента времени, то въ течеши элемента временив, слЪдующаго
за упомянутымъ моментомъ времени, масса тг переместится на b\dt въ
направлены скорости ь\, и ея разстояше гг отъ О прирастетъ
геометрически на vxdt. Сумма разстояшй отъ точки О всЬхъ массовыхъ единицъ,
заключающихся въ маесгЬ ш1э т. е. т1—краткое разстояше /*-,, или mlrl,

§ 22
Глава II. Принципы Динамики.
117
ирираСтетъ въ это время геометрически на тгг\М. Следовательно,
геометрическая сумма всехъ т—кратныхъ разстояшй соответствующихъ
массъ отъ О, или геометрическая сумма разстояшй отъ Овсехъ массо-
выхъ едпнпцъ, возрастете геометрически на {mJv1^m2v2^... mnvn) dt.
Если лиши ОА и ОВ (рис. 46) представятъ геометричесшя суммы
л разстояшй отъ О массовыхъ единицъ данной
системы, въ начале и конце элемента времени dt, то АВ
представитъ геометрическую сумму Xmvdt. Отсюда за-
АВ
о
ключаемъ, что
Рис. 46.
dt
т. е. Геометрическая сум-
м a Xmv к о л и ч е с т в ъ д в и ж е н i я м а т е р i а л ь-
ныхъ точекъ данной систе мы, выражаетъ по величине
и направленш скорость д в и ж е н i я конца р а д i у с а
вектора, представляющаго, для каждаго момента времени,
геометрическую сумму р а з с т о я н i и массовыхъ
единицъ системы отъ точки О.
Если матер1альныя точки системы находятся только подъ дей-
ств1емъ взаимныхъ силъ, то Ът остается неизменною;
следовательно упомянутая выше скорость постоянна по величине и по на-
правлешю, и движеше конца рад1уса вектора есть прямолинейное и
равномерное. Поэтому, если лиши ОА, ОВ,
ОС... (рис. 47) будутъ представлять
геометрически суммы разстояшй массовыхъ
единицъ отъ О, взятыя черезъ некоторые
равные промежутки времени, то концы А,
В, С, I)... этихъ лиши будутъ лежать на одной и той-же прямой
AD, и разделятъ ее на, равный части.
Пусть i\ будетъ разстояше (рис. 48) ма-
тер1альной точки тг отъ нЪкотораго неподвиж-
наго центра О и гг!—разстояше той-же точки
отъ другаго центра О'. Тогда очевидно
rj = 0'0-\>rlb
где сумма берется геометрически, и
следовательно
т^' =тгО]0 ^ т1г1;
Рис. 47.
Рис. 48.
т. е. очевидно, если
ОА = т.
ОА'.
ОВ^т.ОО,

118 Глава И. Принципы Динамики. § 22
то
ВА'
ОА.
наиисавъ такимъ образомъ рядъ равенствъ:
тгг^ = тг0'0 -j- тхгх,
т2г2] = т20'0 4- т2г2,
для всехъ точекъ системы, и сложивъ ихъ геометрически находимъ
Хтг* = ОЮ Swi + Ъпг , B0)
где суммы берутся геометрически отъ всехъ величинъ, разнящихся
другъ отъ друга по направлешямъ. Выра-
жеше B0) даетъ намъ средство, зная
геометрическую сумму разстоянШ массовыхъ
единицъ отъ одной точки О, построить
сумму подобныхъ-же разстоянШ отъ другой
точки О'. Действительно, пусть лшия ОА
(рис. 49) представляетъ 1ш\ и пусть О
будетъ некоторая неподвижная точка. От-
* кладываемъ въ направленш О'О длину ОБ,
равную ООЪт, и пзъ В проводимъ линш
ВА\ параллельную и равную ОА. Тогда очевидно:
0'А* = 0'В<\>ВА\
и следовательно
(УА] = 1тг].
Изъ подоб1я треугольниковъ О ОС и ОВА} мы видимъ, что
Рис. 49.
со~
следовательно:
О А _ ОА!
ОС~ ОС :
ОА
ОС
ОА^
WC ;
О'Б v
:SW, И ОС:
Хтг
О1 С:
B1)
т. е. об* линш, ОА и О1 А1, делятся въ точке С въ одинаковомъ
отношеши Ъп: 1, которое не зависитъ ни отъ длины, ни отъ поло-
жешя обеихъ лиши. Следовательно, всякая третья лишя ОпАп,
представляющая геометрическую сумму разстоянШ массовыхъ единицъ отъ

§ 22
Глава П. Принцицы Динамики.
119
третьей точки О", пройдетъ тоже черезъ точку С, ибо эта лишя
должна разделить обе лиши, ОА1 и О А, и сама разделиться опять въ
томъ-же отношенш Ът: 1 *).
Итакъ, все лин1и, представляюппя въ данный
момент ъ времени геометр и ческ1я суммы разстоян1ймас-
совыхъ единицъ системы отъ различныхъ неподвиж-
ныхъ точекъ, проходятъ черезъ одну точку, кото.
рая называется иентромъ инерцш данной системы. Или,
изъ B1): центръ и н е р ц i и есть такая точка, разстоян1е
которой отъ некоторой неподвижной точки есть
геометрически взятое среднее изъ всЬхъ
разстоян!й отъ той-же точки всехъ
массовыхъ единицъ системы.
Если ОА и ОА1 будутъ (рис. 50) геоме-
тричесмя суммы упомянутыхъ разстояшй отъ
точекъ О и 0\ для даннаго момента времени, а
ОБ и ОБ1—подобныя-же суммы, черезъ
промежуток времени dt, то С и С" будутъ
положены центра инерцш системы для начала и конца времени dt. Кроме
того, такъ какъ
°А — 91AL — °J^— 0Bl — y
ос~ о<с ~'~ас^~огс]~~
и
A'B = AB = lmvdt,
то
пп. Imvdt B2)
т. е. центръ и н е р ц i и системы перемещается со скоро-
ростио, равною средней скорости всЬхъ ея
массовыхъ единицъ. Кроме того: если система находится
только подъ действ1емъ взаимныхъ силъ, то ея центръ
и н е р ц i и остается въ покое или движется равномерно.
Если мы обозначимъ черезъ V скорость центра инерцш, то
по B2) будемъ иметь:
jLYYIV
V=-=i—: или V%m = Hmv : B3)
*) При этомъ очевидно на рисункЪ:
0".D=O'Sm, 0"E=02m, DA"=0}A\ ЕА11 = ОА.

120
Глава II. Принципы Динамики.
§ 22
т. е. количество движегпя всей системы равно
количеству д в иже Hi я центра и н е р ц i и, в ь которомъ
предполагается сосредоточенною вся масса системы.
Выше мы видели, что положеше центра инерцш не зависитъ
отъ положешя точки О, отъ которой мы откладываемъ среднее раз-
стояше массовыхъ единицъ системы, т, е. что упомянутое разстоя-
ше, отложенное отъ любой точки О, приводить всегда къ одному и
тому-же центру С. Отсюда видно, что п о л о ж е н i e центра и не р-
ц i и обусловливается только распределен!ем ъ мате-
р1альныхъ точекъ системы. Разсмотримъ эту зависимость.
Пусть а и Ъ (рис. 51J будутъ
матер!альныя точки, съ массами тг и
т2. Откладывая отъ какой нибудь
точки О длины
О А = тх . Ось и ОБ = т2. Ob
и складывая геометрически лиши ОА
и ОБ, мы получаемъ въ результате
лшию ОБ, представляющую
геометрическую сумму разстояшй массовыхъ
единицъ, содержащихся въ т1-\-т2, отъ точки О. Проводя лиши
АЕ и SF параллельно аЪ, мы находимъ, что АЕ = БЕ, и кроме того:
аС _Оа__1_ ЪС _ ОЬ _ 1
~АЕ~~Ш~щ' ~BF~ OB~m2'
откуда
аС :ЪС = т2 : тх п аС . т1 = ЬС . т2 ;
т. е. лишя ОБ д-Ьлитъ въ точке С разстояше аЬ на части, обратно
пропорщональныя прилегающимъ къ нимъ массамъ. Затемъ:
ОЕ = тгОС и OF = m2OC;
откуда:
ОЕ + ОЕ= ОС(тг -г т2);
но очевидно:
ОЕ+ОЕ=ОБ-
следовательно:
0С = ^-;

§ ы
Глава II. Принципы Динамики.
121
т. е. точка С есть центръ инерцш массъ тг и т2. Птакъ, центръ
и н е р ц i и д в у х ъ м а т е р i а л ь н ы х ъ точекълежитъ на ли-
н i и, соединяющей об* точки, которую онъ делитъ
внутренно на части, обратно пропорц1ональныя п р и-
легающимъ массамъ.
Если кроме двухъ точекъ а и Ъ у насъ есть еще третья матер!аль-
ная точка w3, то для нахождешя центра инерцш трехъ точекъ мы
должны прежде всего сложить геометрически тг—краткое разстояте
третьей точки отъ О съ лишей ОТ). Но такъ какъ ОВ = (тг + т2) ОС\
то очевидно, что нахождеше центра инерцш трехъ массъ тх, т2 и
т3 сводится къ определешю центра инерцш двухъ массъ: съ одной
стороны—массы мг3, а съ другой—массы (т1-\-т2), помещенной въ
точке С, т. е. въ центре инерцш обеихъ массъ тг и т2. Такимъ
образомъ, зная центръ инерцш С числа п матер1альныхъ точекъ, мы
найдемъ центръ инерцш п +1 матер1альныхъ точекъ, вообразивъ
въ С всю массу п точекъ, проводя разстояше отъ С до wn + 1, и
разделивъ его внутренно въ обратномъ отношеши къ массамъ,
помЪщеннымъ въ С и въ wn+>1. Следовательно вообще: о б щ i й
центръ и н е р ц i и нЬсколькихъ группъ м а т е р i а л ь н ы х ъ
точекъ есть въ тоже время центръ и н е р ц i и м а с с о-
выхъколичествъ каждой изъ данныхъ группъ, р а з-
мЪщенныхъ соответственно въ центрахъ и н е р ц i и
э т и х ъ п о с л е д н и х ъ.
Теже самыя заключешя слЪдуютъ непосредственно и изъ форм.
B1), дающей общее определеше центра инерцш. Именно, выбирая
точку О въ центре инерцш, мы будемъ иметь въ B1): ОС—0\ а
следовательно для центра инерцш
Хтг = 0. B4)
Въ случае двухъ точекъ а и Ь (рис. 52), центръ инерцш которыхъ
предположимъ ёъ С, будемъ иметь:
тгСа ^ т2СЬ = О,
где сумма берется геометрически. Следовательно д1агональ параллело-
^^^^ ^% грамма, построенная, какъ на сторонахъ, на ли-
"\^с>^^ шяхъ Са и СЪ, удлиненныхъ соответственно
Рис- 52- въ т1 и ш2 разъ, долженъ быть равенъ нулю.
Это возможно только тогда, когда обе линш составляютъ одну пря-

122 Глава II. Принципы Динамики. § 22
мую; тогда С лежитъ на прямой между а и Ъ, и дЪлитъ ее въ об-
ратномъ отношенш къ прилегающимъ массамъ. Кроме того, разбивая
систему точекъ на несколько различныхъ группъ числомъ &, мы мо-
жемъ выражеше
написать въ такомъ вид*:
OCIiM — Hxmr *\* Х2тг *\* . . • Хктг ,
где суммы 1\, 12,.. Ik берутся геометрически, по разстояшямъ
массовыхъ единицъ каждой отдельной группы, и потомъ снова
складываются геометрически. Затемъ очевидно, можно написать:
ОСЪп = Sl« _^_ + £>m -Л- + . . . lkm ^_ , ^
где Sm = £xm + E2m 4- • . . Xkm,
или, обозначая черезъ ОС^, 002...06\, по величин* и направле-
Hiio, разстояшя центровъ инерции каждой группы отъ О:
ОС . Em = ОС^т + ОС2Я2т + . . . OCkEkm; B6)
откуда видно, что С есть центръ инерщи массъ Ехш, 22ш,...2кш,
помещенныхъ соответственно въ точкахъ Сх, С2...Ск.
Если даны прямоугольныя координаты жх, у1? ^, ж2, у2, я2...
#п, #п, ^п ыатер1альныхъ точекъ, то координаты ж, у, г ихъ центра
инерцш найдутся слЬдующпмъ образомъ. Разстояше гг каждой точки
отъ начала координатъ О разложимъ на три составляющая по осямъ
координатъ, которыя будутъ очевидно: хх, у1л zx. Затемъ очевидно,
что алгебраически суммы
Ътх, Ъту, Етя
будутъ представлять три составлякнщя по осямъ координатъ
геометрической суммы разстояшй массовыхъ единицъ системы отъ начала
координатъ. Но съ другой стороны, составлякнщя той-же суммы rYm
(где г есть разстояше ц. и. отъ начала коорд.) будутъ
#£m, «/Sm, я Em,
ибо хл у, z суть составляюиця разстояшя г. Следовательно:
— Ътх — Ътц — Sm# ^^
Ът Em Em

§ 23
Глава И. Принципы Динамики.
123
Эти последшя выражешя показываютъ, что разстояшя центра инер-
щи отъ плоскостей коордпнатъ равняются среднимь разстояшямъ
отъ техъ-же плоскостей массовыхъ единицъ системы. Такъ какъ
плоскости коордпнатъ могутъ быть выбраны произвольно, то
следовательно: раз стоя н i е ц ентр а инерцiи отъ любой
плоскости равно среднему разстоянно отъ то й-ж е плоскости
массовыхъ единицъ системы.
§ 23+ Моментъ силъ, скоростей, ускорены и т. п..
Выведенные въ предыдущихъ параграфахъ законы сохранешя
количества движешя и неизменяемости движешя центра инерщи
основаны на томъ свойств!; взаимныхъ силъ, что эти последшя могутъ
быть разбиты на так1я составляюиця, приложенный къ различнымъ
точкамъ системы, который попарно равны другъ другу и
противоположны. Но кроме того, упомянутая выше составляются направлены
попарно по одной и той-же прямой лиши (разстоянт между
каждой парой матер1альныхъ точекъ). Это последнее свойство взаимныхъ
силъ влечетъ за собою следующее геометрическое услов1е: разстоя-
Hie какой нибудь произвольно выбранной точки отъ лшпи,
представляющей одну изъ составляющихъ взаимныхъ силъ, будетъ также
разстояшемъ той-же точки еще и отъ другой составляющей; т. е.
составлявшая взаимныхъ силъ попарно будутъ на одномъ и томъ-
же разстояши (но величине и направлешю) отъ произвольно
выбранной точки. Такъ какъ съ другой стороны, теже составлявшая
равны и противоположны, то произведешя изъ составляющихъ и ихъ
разстоянШ отъ произвольной точки будетъ тоже попарно равны и
противоположны по знаку. Упомянутое произведете изъ силы и ея
разстояшя отъ некоторой точки называется м о м е н т о м ъ силы
около данной точки. Въ случае взаимныхъ силъ ихъ моменты
следовательно попарно равны и противоположны. Чтобы иметь
возможность вывести изъ этого обстоятельства дальнейиия свойства дви-
жешя системы, подъ действ!емъ взаимныхъ силъ, разсмотримъ
некоторый об1ЩЯ геометрическая свойства моментовъ.
Всякое количество, представляемое по величине и направлешю
прямою лшиею, будемъ называть векторомъ. Къ такимъ количе-
ствамъ относятся: перемЬщешя, скорость, ускореше, количество дви-

124 Глава II. Принципы Динамики. § 23
жешя, сила и т. п. Въ такомъ случае моментомъ даннаго
вектора будетъ вообще называться произведете изъ вектора и его
разстояшя отъ некоторой точки. Такимъ образомъ мы будемъ имЪть
моменты скорости, ускорешя, количества движешя, силы и т. п.
Пусть АВ будетъ данный векторъ (рис. 53), представляюидй одно
изъ выше неречисленныхъ количествъ, и ОС—его
>\ разстояше отъ точки О. Тогда моментъ этого век-
/ \л
тора будетъ ОС.АВ, и представить очевидно
удвоенную площадь треугольника ОАВ, построен-
0 н наго между концами вектора АВ и точкою О. Пер-
пс# 1 ' пендикуляръ, проведенный одрезъ точку О къ
плоскости треугольника ОАВ, называется осью даннаго момента.
Положительное направлеше оси даннаго момента будетъ то, смотря вдоль
по которому отъ точки О, наблюдатель видитъ векторъ А В напра-
вленнымъ по стр'Ьлк* часовъ. На прнложенномъ рисунке ось
момента будетъ очевидно направлена за плоскость рисунка,
перпендикулярно къ этой последней. Направлеше оси момента считается за
направлеше момента. Величина момента откладывается вдоль по его оси.
Такимъ образомъ лишя, направленная выше ооъясненнымъ сиособомъ
перпендикулярно къ плоскости момента, выражаетъ этотъ послЪднш
по величине и направлешю.
Такъ какъ моментъ представляется произведешемъ изъ двухъ
факторовъ, то очевидно, онъ можетъ сохранять одну и туже
величину при соотвЪтственныхъ изм1шешяхъ обоихъ его факторовъ.
Следовательно, различные векторы, приложенные къ разлпчнымъ точкамъ
системы на разлпчныхъ разстояшяхъ отъ данной оси, могутъ имйть
одинъ и тотъ же моментъ,
представляемый одною и тою же лишею (векторомъ),
отложенною вышеупомянутымъ способомъ
вдоль по оси момента. Такъ напримЪръ,
векторы f\, f2, f3 и т. д., приложенные
къ точкамъ, лежащимъ на одной и той
же окружности, плоскость которой
перпендикулярна къ данной оси ОМ (рис.
54), будутъ имЪть одинъ и тотъ-же мо-
г> г, ментъ около точки О. При этомъ, если
Рис. 54. г
величина векторовъ остается одна и

§ 23
Глава II. Принципы Динамики.
125
таже, то направлеше ихъ должно идти по касательной къ
окружности; если величина векторовъ не остается одна и таже, то ихъ
направлеше, отъ какой нибудь точки Ъ на окружности должно быть
выбрано такъ, чтобы концы векторовкъ f2\ f2u и т. п., проведенныхъ
изъ 6, находились на прямой f2 f2 f2\ проведенной черезъ ко-
недъ /\>, параллельно лиши Ob *). Векторы, приложенные
вышеописанными способами къ точкамъ окружностей одного и того же рад1уса,
оппсанныхъ около оси ОМ въ различныхъ плоскостяхъ, перпендику-
лярныхъ къ этой последней, будутъ иметь одинъ и тотъ же моментъ
около оси ОМ. Точно также будутъ обладать одинаковымъ моментомъ
около оси ОМ векторы, приложенные вышеописанными способами
по касательнымъ въ точкахъ окружностей разныхъ рад1усовъ,
оппсанныхъ около данной оси ОМ, въ различныхъ плоскостяхъ, пер-
пендикулярныхъ къ этой последней, при чемъ длина векторовъ
должна изменяться обратно пропорщоналыю рад1усамъ упомянутыхъ
окружностей. II т. п.
Ызъ предъидущаго очевидно также, что одинъ и тотъ-же моментъ,
обусловливаемый различными векторами, обусловливаем вообще
различный перемЬщешя точекъ системы. Только въ частномъ случае
неизменяемой системы, какъ мы увидимъ далее, различные векторы
одного и того же момента соответствую™ однимъ и темъ же пере-
мещешямъ системы.
Изъ предъидущаго мы видимъ, что всяк1е векторы, отложенные
какъ-либо отъ даннаго начала, могутъ представлять моменты около
того же начала нЬкоторыхъ другихъ векторовъ, причемъ плоскости
момеитовъ будутъ перпендикулярны къ направлешямъ данныхъ
векторовъ. При этомъ очевидно также, что геометрическая сумма данныхъ
моментовъ, представленныхъ лишями, будетъ представлять тоже
моментъ некотораго вектора, лежащаго въ плоскости, перпендикулярной
къ лиши, представляющей упомянутую сумму. Найдемъ соотношешя
между векторами данныхъ моментовъ и векторами геометрической
суммы этихъ последнихъ.
*) Тогда площади треугольниковъ obfi, obfz\ obfi\ пропорцшнальныя соотвгбт-
ственнымъ момеитамъ, будутъ очевидно равны между собою.

126 Глава II. Принципы Динамики. § 23
Пусть лиши ОЪ и Ос (рис. 55) представляютъ моменты около
начала О двухъ векторовъ АВ и АС, не лежащихъ въ плоскости
рисунка и приложенныхъ къ одной и той же точкЪ А. Тогда лшии ОЬ и Ос
перпендикулярны къ площадямъ ОАВ
и ОАС, и по своей длине равны изць
удвоенной величине, т. е. содержатъ
столько едиыицъ длины, сколько
упомянутый двойныя площади—единицъ
площадей. КромЬ того, если АВ бу-
детъ геометрическая сумма АВ и АС,
то удвоенная площадь ОАВ выразить
моментъ этой суммы. Черезъ конецъ
векторовъ В, С, В проведемъ прямыя
параллельно лиши ОА, и пересЬчемъ
ихъ перпендикулярною къ нимъ плос-
коетш, проходящею черезъ точку А.
Тогда очевидно, моменты векторовъ АВ и АВ, АС и АС, АВ и АВ1
около О будутъ попарно равны, ибо они выразятся соответственно
равновеликими удвоенными площадями: ОАВ и ОАВ, ОАС и ОАО
и т. д. Кроме того, АВ! будетъ, очевидно, геометрическою суммою
отъ АВ] и АО, т. е. д1агоналыо параллелограмма, построенная на
этихъ векторахъ. Такимъ образомъ мы будемъ иметь:
ОЪ = ОА. АВ , Ос = ОА.АС>.
Лишя Ocl, представляющая геометрическую сумму ОЬ *\> Ос, будетъ,
очевидно, перпендикулярна къ плоскости ОАВ1\ а такъ какъ изъ
подоб1я треугольниковъ Ohd съ АВ]В] и Ocd съ АОВ' слЪдуетъ, что
АВ' АВ' АО 1
1С
Рис. 55.
6d~ ОЪ ~ ОС ~ОА
то
B8)
Od=OA.ABj,
т. е. представляетъ моментъ вектора АВ1 или, что все равно,
вектора АВ. Итакъ:
Геометрическая сумма моментовъ двухъ
векторовъ, приложенныхъ къ одной точке, представляетъ,
около всякаго начала, моментъ геометрической
суммы данныхъ векторовъ. А следовательно вообще,
геометрическая сумма моментовъ какого угодно числа векторовъ, приложен-

§ 23
Глава II. Принципы Динамики.
127
ныхъ къ одной точке, представляетъ моментъ геометрической суммы
этихъ векторовъ.
Если начало О лежитъ въ плоскости данныхъ векторовъ, то
сумма моментовъ обращается очевидно въ алгебраическую сумму
площадей, и моменты откладываются по одному и тому же перпендикуляру.
Изъ предъидущаго очевидно также, что проложеше момента,
косоугольное или прямоугольное, на плоскость, проходящую черезъ
начало, представитъ моментъ проложешя на туже плоскость дапнаго
вектора. Проложеше момента на плоскость, не проходящую черезъ
начало, представитъ моментъ проложешя даннаго вектора на туже
плоскость, считаемый около оси, проходящей черезъ начало и
перпендикулярной къ плоскости проложешя.
Такъ какъ одинъ и тотъ же моментъ можетъ быть обусловленъ
различными векторами, то вообще несколько моментовъ, отложенныхъ
отъ одного начала, не всегда соотвЪтствуютъ векторамъ, приложен-
нымъ къ одной и той же точке, хотя TaKie векторы для данныхъ
моментовъ и могутъ быть подънсканы. Следовательно, моментъ
геометрической суммы векторовъ, приложенныхъ къ одной точке,
всегда будетъ геометрическою суммою моментовъ данныхъ
векторовъ, но не наоборотъ.
-ж-ь
Разсмотримъ теперь значеше геометрической суммы моментовъ
для того случая, когда соответствующие векторы приложены къ раз-
личнымъ точкамъ.
Прежде всего найдемъ по данному моменту, около одного начала,
выражеше момента около другаго начала. Пусть двойная площадь
треугольника ОАВ (рис. 56) представляетъ моментъ вектора ЛВ
около О, а двойная площадь ОАВ—моментъ
того же вектора около 0\ и пусть вообще оба
треугольника лежатъ въ разныхъ плоскостяхъ.
Черезъ О' проведемъ плоскость,
перпендикулярную къ АВ, а черезъ О прямую, параллельную
АВ\ точку С пересЪчешя этой линш съ упо-
Т~^сР мянутой плоскостш соединимъ съ О' и съ В
(точкой пересечешя плоскости и АВ). Тогда
Рис. 56. очевидно, О'В и GB будутъ перпендикулярны

128 Глава П. Принципы Динамики. § 23
къ ЛВ, а ОС—къ ОС. Такъ какъ ОВ является геометрическою
суммою ОС и CD, то мы можемъ писать:
AB.OD = AB WC+CD), B9)
где сумма берется геометрически. Но АВ.О'С представляетъ мо-
ментъ, относительно начала 0\ вектора АВ, перенесеннаго
параллельно самому себе въ точку О; а АВ .CD равно моменту вектора
АВ около начала О. Легко видеть также, что правая часть выраже-
шя B9) представляетъ геометрическую сумму упомянутыхъ моментовъ.
Следовательно, моментъ дан наго вектора, около новаго
начала, равенъ геометрической сумм* изъ момента
того же вектора, около стараго начала, и момента,
около новаго начала, даннаго вектора,
перенесеннаго параллельно самому себе въ старое начало.
Обозначпмъ черезъ Ж' геометрическую сумму моментовъ, около
нЬкотораго начала, для векторовъ, приложенныхъ различными
образами, къ различнымъ точкамъ,—черезъ М— геометрическую сумму
техъ же векторовъ, около новаго начала, а черезъ Ж—моментъ
векторовъ, перенесенныхъ параллельно самимъ себе въ старое начало,
и взятый около новаго начала. Тогда по предъидущему
Jf=ilf' + 2R, сзО)
где сумма берется геометрически.
Изъ этого последняго выражешя мы видимъ, что
геометрическая сумма моментовъ векторовъ, приложенныхъ
къ различнымъ точкамъ, представляетъ моментъ
геометрической суммы в с е х ъ векторовъ,
перенесенныхъ параллельно самимъ себе въ некоторую точку,
сложенный геометрически съ некоторымъ
определенны м ъ моментом ъ, н е з а в и с я щ и м ъ о т ъ п о л о ж е н i я
новаго начала.
Изъ C0) легко видеть, что моментъ около начала О
векторовъ, приложенныхъ къ точке 0\ равенъ и
против о и о л о ж е ы ъ моменту около начала О1 т е х ъ - ж е
векторовъ, перенесенныхъ въ точку О. Действительно,
определяя моментъ ЗГ какихъ нибудь векторовъ около 0\ по ихъ мо-

§ 23
Глава II. Принципы Динамики.
129
менту Ж около О, мы ияг&емъ:
лг = ж^ ж0,
где 9К0 есть моментъ всехъ векторовъ, перенесенныхъ въ точку О.
Но по C0):
Ж1 = Ж~Ж.
Следовательно:
— ЗЙ = 2К0.
Точку, куда переносятся все векторы, мы можемъ выбирать
совершенно произвольно; съ переменой положешя этой точки будетъ
очевидно меняться и величина добавочнаго момента. Мы можемъ
выбрать упомянутую точку такъ, чтобы величина добавочнаго момента
Ж1 была наименьшею или, если возможно, равнялась бы нулю. Въ
этомъ последнемъ простЬйшемъ случае, съ котораго мы начнемъ,
геометрическая сумма моментовъ можетъ быть очевидно равна
моменту геометрической суммы векторовъ, перенесенныхъ въ одну
точку.
Бриложимъ предъидущее разсуждеше къ частному случаю двухъ
параллельныхъ векторовъ. Сумма моментовъ двухъ такихъ векторовъ
очевидно тогда равна нулю, когда эти моменты равны другъ другу
и противуположны; а такъ какъ моментъ представляется лшпей,
перпендикулярной къ плоскости, проходящей черезъ начало и векторъ,
то очевидно, что точка нулеваго момента должна лежать въ
одной плоскости съ обоими векторами. Если параллельные векторы
направлены въ одну сторону, то моменты ихъ будутъ противоположны
около начала, расположеннаго между векторами; следовательно между
векторами должно находиться начало нулеваго момента. Обозначая
черезъ Л и В величины упомянутыхъ векторовъ, а черезъ а и Ъ—
ихъ разстояшя отъ начала нулеваго момента, мы будемъ иметь
yciOBie:
А.а = В.Ъ, C1)
откуда видимъ, что геометрическая сумма моментовъ, около всякаго
начала, отъ двухъ параллельныхъ векторовъ, направленныхъ въ одну
сторону, равна моменту вектора, равнаго ариеметической сумме дан-
ныхъ векторовъ, приложеннаго къ точке, находящейся въ плоскости
обоихъ векторовъ, между ними и на разстояшяхъ отъ нихъ, обратно
пропорщональныхъ величинамъ данныхъ векторовъ. Такой векторъ,
9

130
Глава И. Принципы Динамики.
§ 23
въотношешикъмоменту,можетъ быть названъ результирующимъ
векторомъ. Этотъ посл*дшй остается одинъ и тотъ же для дан-
ныхъ векторовъ, около какого начала ни былъ бы взятъ моментъ.
Точно такими же разсуждешями найдемъ, что результирующШ
векторъ двухъ параллельныхъ векторовъ, направленныхъ въ разный
стороны, равенъ ихъ ариеметической разности, лежитъ въ ихъ
плоскости, по одной стороне отъ обоихъ составляющихъ, ближе
къ большему вектору, на разстояшяхъ отъ обоихъ векторовъ, обратно
пропорщональныхъ ихъ величинами
Сравнивая этотъ результатъ съ выводами § 13, мы заключаемъ,
что результируюпий векторъ параллельныхъ
векторовъ находится, какъ результирующая ось в р а щ е н i я
для параллельныхъ осей.
Изъ предъидущаго очевидно, что два равные и противоположные
вектора, приложенные къ различнымъ точкамъ, не им*ютъ себ*
результирующаго вектора; т. е. нельзя найти такой векторъ,
моментъ котораго около произвольная начала былъ бы равенъ
геометрической сумм* моментовъ около того же начала отъ двухъ упо-
мянутыхъ равныхъ и противоположныхъ векторовъ. TaKie два
вектора носятъ назваше пары.
Такъ какъ моментъ векторовъ, около новаго начала, равенъ
моменту около прежняго начала, сложенному съ моментомъ около
новаго начала т*хъ же векторовъ, перенесенныхъ безъ изм*нешя
ихъ величины и направлешя въ старое начало, то очевидно, что
моментъ пары остается одинъ и тотъ же по величин* и направленно
около всякаго начала (ибо въ выражеши C0) всегда 3R = 0).
Такъ какъ моментъ пары, равный геометрической сумм*
моментовъ обоихъ ея векторовъ, остается одинъ и тотъ же для всякаго
начала, то, выбирая начало въ точк* приложешя одного изъ
векторовъ пары, находимъ, что этотъ моментъ выражается произведешемъ
изъ разстояшя между векторами пары и одного изъ двухъ равныхъ
векторовъ; кром* того очевидно, этотъ моментъ перпендикуляренъ
къ плоскости пары, и направленъ въ ту сторону отъ наблюдателя,
смотря въ которую онъ видитъ векторы идущими по стр*лк* часовъ.
Моментъ пары около даннаго начала можетъ быть зам*ненъ
моментомъ какого либо одного вектора, лежащаго въ плоскости,
параллельной плоскости пары; но такой векторъ не останется одинъ
и тотъ же для различныхъ началъ. Наоборотъ очевидно, моментъ

§ 23
Глава II. Принципы Динамики.
131
даннаго вектора около некотораго начала можетъ быть замененъ мо-
ментомъ пары; но эта пара не будетъ одна и таже для разныхъ
яачалъ.
Геометрическая сумма моментовъ несколькихъ паръ, около вся-
каго начала, будетъ одна и таже по величин* и направленш, ибо
каждое, изъ слагающихъ этой суммы будетъ одно и тоже.
Следовательно, геометрическая сумма моментовъ паръ представляетъ тоже
моментъ некоторой пары.
Моментъ пары около даннаго начала не изменится ни по
величине, ни по направленш, если точки приложешя векторовъ будутъ
перенесены куда либо въ плоскости пары или въ плоскости ей
параллельной, и притомъ такъ, чтобы, съ изменешемъ разстояшя между
векторами и величины этихъ послЪднихъ, произведете изъ разстоя-
шя и величины вектора оставалось одно и тоже.
Очевидно также, что одну пару можно разлагать на несколько
паръ, лежащихъ въ разныхъ не параллельныхъ плоскостяхъ; при
этомъ необходимо только, чтобы геометрическая сумма моментовъ,
слагающихъ паръ была равна моменту данной пары.
Вообще разложеше и сложеше паръ можетъ быть произведено
или съ помощш разложешя и сложешя ихъ моментовъ, или съ
помощш разложешя и сложешя ихъ векторовъ. То и другое приводить
очевидно къ одинаковому результату.
Теперь мы можемъ перейти къ непосредственному рЬшенш
поставленной въ начал* общей задачи о значены геометрической суммы
моментовъ (около даннаго начала) отъ векторовъ, приложенныхъ
различными способами къ различнымъ точкамъ. Выберемъ некоторую
произвольную точку, и приложимъ къ ней векторы, соответственно
равные и параллельные даннымъ. Образованную такимъ образомъ
около упомянутой точки систему векторовъ назовемъ черезъ А.
Къ той же точке приложимъ другую систему векторовъ Д каждый
векторъ которой равенъ и противоположенъ соответствующему
вектору системы А. Геометрическая сумма векторовъ системъ А и В
и ихъ моментъ около всякаго начала будутъ очевидно равны нулю.
Следовательно, моментъ данныхъ векторовъ не изменится, если къ
нему мы приложимъ моментъ системы А-^В. Но все данные векторы
вместе съ векторами В образуютъ очевидно систему паръ, которая,
по отношешю къ моменту, можетъ быть заменена одною парою;
векторы же системы А могутъ быть заменены однимъ векторомъ,

132
Глава II. Принципы Динамики.
§ 23
который и обозначимъ чрезъ А. Такимъ образомъ все векторы бу-
дутъ заменены одною парою и векторомъ. Полученную пару разло-
жимъ на две: одну Р—въ плоскости, перпендикулярной къ
упомянутому вектору, а другую Q—въ одной плоскости съ этимъ послЪд-
нимъ. Пара и векторъ, лежаице въ одной плоскости, могутъ быть
заменены однимъ векторомъ въ той же плоскости. Такъ какъ пару
можно вращать въ ея плоскости, не изменяя этимъ ея момента, то
ставя векторы пары Q параллельно вектору А, получимъ въ
результат* одинъ векторъ, перпендикулярный къ плоскости пары Р.
Итакъ, всякая система векторовъ, приложенныхъ
къ различнымъ точкамъ, можетъ быть заменена, по
отношен1ю къ моменту, некоторою парою и
векторомъ, перпендикулярнымъ къ плоскости этой
последней. Моментъ пары будетъ представлять неизменную часть 9Л
выражешя C0), а моментъ вектора—часть М].
Ером* того, если найдены какая нибудь пара и векторъ А, за-
менянмще собою данную систему векторовъ, то одинъ изъ векторовъ
пары можетъ быть очевидно приложеыъ въ той же точке, какъ
векторъ А. Оба эти последше векторы могутъ быть заменены однимъ,
равнымъ ихъ геометрической сумме, и такимъ образомъ наша
данная система заменится двумя векторами,
приложенными къ двумъ различнымъ точкамъ и лежащими въ
разныхъ плоскостяхъ. Такихъ векторовъ, взятыхъ по два
и заменяющихъ данную систему, можно очевидно подъискать безчи-
сленное множество. Такъ какъ величина и направлеше обоихъ
векторовъ пары могутъ быть выбраны произвольно (лишь бы ихъ моментъ
оставался одинъ и тотъ же), то векторы найденной пары мы можемъ
въ ихъ плоскости поставить такъ, чтобы черезъ одинъ изъ &тихъ
векторовъ и векторъ А проходила плоскость, перпендикулярная кт>
плоскости пары; затемъ величину векторовъ пары выберемъ такъ,
чтобы одинъ изъ нихъ, слагаясь геометрически съ А, далъ бы резуль-
тирующШ векторъ, перпендикулярный къ плоскости пары. Такимъ
образомъ заменимъ данную систему векторовъ, т. е.
всякую пару и векторъ, двумя взаимно
перпендикулярными векторами, лежащими въ двухъ взаимно
перпендикулярныхъ плоскостяхъ и приложенными
къ разнымъ точкамъ. Такихъ парныхъ векторовъ мы можемъ
подъискать тоже безчисленное множество, ибо данная система можетъ

§ 23
Глава II. Принципы Динамики.
133
быть заменена безчисленнымъ множествомъ системъ, состоящихъ
изъ пары и вектора.
Наконецъ, если можно найти два вектора, замЪняюпце данную
-систему, то очевидно всегда можно найти и всякое ббльшее число
такихъ векторовъ, тоже приложенныхъ къ различнымъ точкамъ.
Вышеописанная замена, съ помощш двухъ взаимно перпенди-
кулярныхъ векторовъ, очевидно не можетъ быть произведена, если
система векторовъ представляется только одною парою, или однимъ
векторомъ. Кроме того, замена не удастся, если мы за одну изъ
упомянутыхъ выше взаимно перпендикулярныхъ плоскостей выберемъ
плоскость пары, къ которой векторъ перпендикуляренъ.
Выразимъ моментъ векторовъ, около даннаго начала, съ помощш
составляющихъ векторовъ, по прямоугольнымъ осямъ, и координатъ
точекъ ихъ приложешя.
Положимъ, что начало координатъ выбрано въ точке, около
которой берется моментъ. Пусть X, Y, Z будутъ составлянлщя нЪко-
тораго вектора по осямъ координатъ, а х, у, z—координаты его точки
приложешя. Моментъ векторовъ X, Z, Z (т. е. геометрическую
сумму ихъ моментовъ) около начала координатъ представимъ себе
разложеннымъ на три момента, параллельно осямъ координатъ. Сла-
гакнщй моментъ по оси х—овъ можетъ быть обусловленъ очевидно
только векторами, расположенными въ плоскости перпендикулярной
къ оси х—овъ, т. е. векторами Y ж Z. Та часть момента этихъ
двухъ векторовъ, которая направлена по оси х—овъ, представится
произведешями изъ векторовъ и ихъ разстоянШ отъ оси момента,
т. е. оси х—овъ; эти разстояшя для Y n Z суть соответственно •
z и у. Кроме того очевидно, что моментъ Yz будетъ идти около
оси х—овъ по стрелке часовъ, а моментъ Zy—обратно;
следовательно, первый будетъ положительный и второй—отрицательный, по
отношешю къ положительному направлешю оси х—овъ.
Алгебраическая сумма обоихъ моментовъ представить весь моментъ,
направленный по оси х—овъ, т. е.
Tz-Zy.
Точно также для осей у—овъ и z—овъ получимъ соответственно:
Zx — Xz и Ху — Тх .

134
Глава II. Принципы Динамики.
§ 2S
Если, вместо одного вектора (XF,Z), имЬемъ ихъ несколько,
приложенныхъ къ различнымъ точкамъ, то составлявшая по осямъ
координатъ геометрической суммы моментовъ такихъ векторовъ, будутъ
очевидно равны соответственно суммамъ составляющихъ по тЪмъ же
осямъ моментовъ отдЪльныхъ векторовъ. Такимъ образомъ, обозначая
черезъ Z0, Ж{), N0 составлякнщя части по осямъ координатъ
момента всЪхъ данныхъ векторовъ, им'Ьемъ:
M0 = ^Zx-Xz), C2)
N0 = ^(Xy~Yx),
гд-Ь суммоваше производится по различнымъ векторамъ и соотвЪт-
ственнымъ координатамъ ихъ точекъ приложешя.
Если ищется моментъ не около начала координатъ, а около
некоторой точки, координаты которой суть ж0, у0, я0, то перенося
начало координатъ въ упомянутую точку, мы получимъ новыя выра-
жешя для составляющихъ L, Ж, N, если въ выражешяхъ C2)
координаты ж, у, z, относительно прежняго начала, замЪнимъ
координатами х—ж0, у—у0, z—#0, относящимися къ новому началу. Тогда
получимъ для новыхъ L, Ж и N выражешя.
М= ^ [Z(x - х0~) - X (* - *0)] , C3)
Обозначая
А = ^Х, B=^Y, C = ^Z, C4)
мы можемъ выражешя C3) писать въ видЪ:
L = L0 — (Bz0- Cy0),
Ж = Ж0 - ( Ся0 - Л*0) , C5)
X=N0-(AVo-BxJ,
гдЬ члены въ скобкахъ представляютъ слагавшая моментовъ, около
начала координатъ, отъ векторовъ, перенесенныхъ параллельно самимъ

§ 23
Глава И. Принципы Динамики.
135
себЪ въ точку (х0,у0,а0). ТЪже скобки, но съ обратнымъ знакомъ,
выразятъ моменты около точки (а?0,у0,£0) отъ векторовъ, перене-
сенныхъ въ начало координатъ. Такимъ образомъ въ равенствахъ C5)
выражается свойство моментовъ, представленное выражешемъ C1).
Если величины L, Ж", N слагающихъ момента Р известны, то
величина самаго момента определится выражешемъ:
Р2 = L2 _|_ М2 _|_ ^2 ^ C6)
а его углы съ осями координатъ—косинусами:
р ? р -> р • vJ' J
Векторы, обусловливавшие моментъ Р, могутъ быть заменены
одною парою и векторомъ, перпендикулярнымъ къ ея плоскости.
Найдемъ моментъ упомянутой пары П и упомянутый векторъ Г.
Пусть \ (л, v будутъ слаганнщя момента П, составляющаго
некоторую часть отъ момента Р, направленную параллельно
результирующему вектору В слагающихъ А, Д С. Тогда очевидно
откуда
л
ГТ
А
"Д'
А =
Iх
П
А
■vc-
Б
~Л '
, [* =
V
Б
-"с-
С
'В '
C8)
Слагаюиця другой части Р, т. е. геометрической разности Р~П
будутъ очевидно
L — А, Ж— (л, N — v,
и такъ какъ оба момента П и Р~П должны быть перпендикулярны
другъ къ другу, то
(Z — X) X + (ЛГ — (А) [А + (# — V) V = 0 ,
откуда на основашн C8):
и
^i + Mf+ CN
А'
Л
a = SAL + BBf+CN, C9)
„AL + BM+CN
V rr: С -
Я2

136
Глава II. Принципы Динамики.
§ 23
или, на основанш C5):
р. = J (AL0 + ВМ0 -г CN0), D0)
v = J(JL0 + -BiH04-C^0),
откуда видимъ, что X, (л, v должны быть составляющими момента
некоторой пары, такъ какъ они не зависятъ отъ положешя начала
момента, т. е. координатъ точки (xQ,y0,z0).
Слагающая остальной части момента Р будутъ, на основанш
C5) и D0):
г X _ в (L0B~M0A \ (N0A-L0C \
Ж-,= о(^«-,0)-^(^^-,0), D1)
Выражешя D1) представляютъ слагаюпця момента около точки
(х0,у0^0) вектора Д проходящаго черезъ точку, координаты <;, гь ;
которой суть:
l M0C-N0B N0A-L0C a_L0B-M0A
Следовательно вообще можемъ представить:
L = X + .B(C_,0)_CO]-y0),
M=\j.+ C&-x0)-A(z-eJy D3)
N =v + Aft- у0) — В (Ъ- Хо),
откуда видимъ, что моментъ данныхъ векторовъ выражается
моментомъ геометрической суммы В этихъ векторовъ, перенесенныхъ
параллельно самимъ себъ въ некоторую точку (£, г,, £), и моментомъ
пары, плоскость которой перпендикулярна къ В.

§ 24
Глава II. Принципы Динамики.
137
§ 24+ Сохранеше момента количества движешя или сохранеше
площадей.
Если равнодействуюиця силы, приложенный къ свободнымъ мате-
р1альнымъ точкамъ данной системы, обусловливаются взаимными силами,
действующими между упомянутыми точками, то так1я равнодействуннщя
мы можемъ заменить составляющими, которыя для различныхъ точекъ
лриложешя попарно равны и направлены противоположно
соответственно по однемъ и темъ же прямымъ. Моментъ каждыхъ двухъ
изъ такихъ составляющихъ будетъ равенъ нулю около всякаго начала;
а следовательно равна нулю и сумма всехъ подобныхъ моментовъ,
или по предъидущему параграфу, равенъ нулю моментъ всехъ силъ,
приложенныхъ къ точкамъ данной системы.
Обозначимъ черезъ f, f2...fn упомянутая равнодействукнщя
всехъ взаимныхъ силъ, нриложенныя къ различнымъ п точкамъ
системы, а черезъ дг, д2 . . . дп — длины перпендикуляровъ на направ-
лешя этихъ силъ изъ какого нибудь начала. Тогда, на основаши
предъидущаго:
П ^2 + А <>,+ •• • -Л дп = 0, D4)
или вообще
где сумма берется геометрически, т. е. каждое изъ произведен^ fd
выражается определенною прямою лишею, и затемъ все так1я лиши
слагаются геометрически.
Разыщемъ теперь кинематическое значеше предъидущихъ вы-
ражешй. Обозначая черезъ тг, т2 . . . тй и дг, д2 . . . дп
соответственно массы и ускорешя точекъ системы, мы можемъ написать
выражеше D4) въ виде:
или D5)
тд.д = 0 *) .
Обозначая черезъ dt элементъ времени и умножая на него
лредъидущее выражеше, имеемъ:
mxgxdt.d ^m^^dt.d^ • . . т^д^.д — 0 ,
*) Должно помнить, что равенство f~mg тогда имЪетъ мЪсто, когда никакая
часть силы f не уравнов-вшена другою силою или сопротивлешемъ. Поэтому урав-
неше D5) им'ветъ силу только для свободной системы.
1

138
Глава II. Принципы Динамики.
§ 24
или помня, что вообще
gdt = \v ,
где Ду есть геометрическое приращеше скорости къ концу элемента
времени dt, имеемъ:
\m\v.d = 0, D6)
где каждое д перпендикулярно къ соответствующему Дг>, ибо направ-
лешя g и Av одинаковы. Следовательно, геометрическая сумма
моментовъ приращенШ количества д в и ж е н i я для
каждаго момента времени равна нулю.
Изъ предъидущаго параграфа мы знаемъ, что геометрическая
сумма или разность моментовъ данныхъ векторовъ можетъ быть пред*
ставлена какъ моментъ геометрической суммы или разности векторовъ.
Отсюда заключаемъ, что npnpaujeHie момента,
обусловливаемое приращен1емъ вектора, равно моменту при-
ращен!я вектора. Следовательно наоборотъ, когда разсматри-
ваемый векторъ представляетъ собою количество движешя, то
моментъ приращешя количества движешя равенъ приращешю момента
количества движешя. Но на основанш D6), обозначая геометрическое
приращеше момента количества движешя черезъ Mmv.S, мы имеемъ
А У mv.S= У A (mv).d = О , D7)
где соответственныя 8 и д различны по величине и направленш,
ибо д перпендикулярно къ д«, а $—къ v\ направлешя же Дг> и v
вообще различны.
Если приращеше какого нибудь количества между всякими двумя
произвольно выбранными и безконечно близкими моментами времени
(началомъ и концомъ времени dt) равно нулю, то само количество
очевидно всегда остается одно и тоже. Вследств1е этого заключаемъ,
что моментъ количества д в и ж е н i я системы, около
даннаго начала, остается одинъ и тотъ-же во все
время д в и ж е н i я системы, если это движен!е
совершается подъ действ1емъ взаимныхъ силъ системы.
Это свойство моментовъ количества движешя известно подъ именемъ
закона сохранен1я момента д в и ж е н i я. Моменты движешя,
взятые около различныхъ началъ, оставаясь одними и теми же для
различныхъ временъ, будутъ очевидно вообще между собою различны.

§ 24
Глава II. Принципы Динамики.
139
Обращая внимаше на то, что произведете vdt выражаетъ
длину пути, проходимаго движущеюся точкою въ теченш элемента
времени dt, мы легко можемъ видеть, что vdt.o представить
удвоенную площадь треугольника, образованнаго лишями, проведенными изъ
начала момента къ концамъ элемента пути vdt, и самимъ элементомъ;
или иначе, vdt.o представляетъ двойную площадь, описанную въ
элементъ времени рад1усомъ векторомъ движущейся точки около
начала момента. Складывая подобныя площади, описанныя рад1усами
векторами всЬхъ массовыхъ единицъ, связанныхъ съ данною
движущеюся точкою, мы получимъ очевидно mvdt.8, если т есть масса
движущейся точки. Складывая наконецъ геометрически элементарныя
площади, описанныя около даннаго начала рад1усами векторами всЪхъ
массовыхъ единицъ системы, мы получаемъ dtXmv.b, при чемъ
геометрическая сумма берется описаннымъ уже способомъ, какъ
геометрическая сумма моментовъ. На основанш закона сохранешя момента
движешя заключаемъ далЪе, что, для каждаго изъ равныхъ и
произвольно выбранныхъ элементовъ времени dt, геометрическая сумма
вышеупомянутыхъ элементарныхъ площадей, т. е. dtlmv.S, остается
одна и таже. Но каждые два равные промежутка времени,
произвольной конечной величины, могутъ быть разбиты на безконечное число
равныхъ элементовъ времени, и каждая геометрическая сумма ко-
нечныхъ площадей можетъ быть разбита на безконечно большое
число элементарныхъ. Если-же элементарныя части двухъ конечныхъ
величинъ равны, то очевидно будутъ равны между собою и самый
эти величины, какъ двЪ суммы, состояния изъ равнаго числа равныхъ
слагаемыхъ. На основанш такихъ соображенШ заключаемъ, что г е о-
метреческая сумма площадей, описываемыхъ около
даннаго начала рад1усами векторами в с гЬ х ъ
массовыхъ единицъ системы въ т е ч е н i и равныхъ и п р о и з-
вольныхъ промежутковъ времени, остается одна и
таже. Высказанная теорема носить назваше закона с охран е-
н1я площадей.
На основанш C1), моментъ количества движешя около всякаго
начала можетъ быть представленъ какъ сумма изъ момента некоторой нары
количества движешя и момента всего количества движешя, приложен-
наго къ одной точкЪ. Но количество движешя системы, приложенное
къ одной точкЪ, т. е. геометрическая сумма Iwv, равно нулю, когда

140 Глава II. Принцицы Динамики. § 24
центръ инерцш системы непожвиженъ. Следовательно, м о м е н т ъ
д в и ж е н i я системы, и геометрическая сумма площадей,
описываемыхъ въ равны я времена р а д iу сам и
векторами массовыхъединицъ системы, остаются одни и т е ж е
для всякаго начала, если центръ инерцп! системы не-
подвиженъ. Если-же центръ инерцш движется, то моменты
движешя системы около различныхъ точекъ разнятся между собою по
стольку, по скольку разнятся моменты около техъ-же точекъ
количества движешя центра инерцш, съ которымъ связана вся масса
системы. Следовательно моментъ движешя системы около какой либо
неподвижной точки равенъ сумме изъ момента движешя системы
около движущагося центра инерцш и момента движешя самого центра
инерцш около упомянутой точки. Оба эти момента, независимо другъ
отъ друга, не изменяются со временемъ.
Если моментъ движешя системы остается постояннымъ, то и
проложеше его на какую нибудь неподвижную лишю или плоскость
тоже постоянно, или, что все равно, постоянна алгебраическая сумма
проложешй составляющихъ момента (т. е. моментовъ движешя
каждой точки системы) на какую нибудь лишю или плоскость.
Следовательно, алгебраическая сумма проложешй площадей, относящихся
къ каждой матер!альной точке, на какую нибудь плоскость остается
постоянною, если геометрическая сумма упомянутыхъ площадей
постоянна.
Обозначая черезъ т массы точекъ системы, черезъ х, у, z—■
соответствуюиия координаты и черезъ гь, ь\ w—слаганнщя скорости
по осямъ координатъ, мы легко увидимъ, что алгебраичесшя суммы
т(уя— ivy) , Ут(гих — its), /m(iiy — vx) , f48)
представляютъ съ одной стороны проложешя момента около начала
координатъ (т. е. его составляюиця) на оси координатъ, а съ
другой—суммы проложешй на плоскости координатъ удвоенныхъ
площадей, описываемыхъ соответствующими рад1усами векторами около
начала въ течеши элемента времени dt, деленный на dt. На
основами вышесказаннаго, три упомянутыя выражешя должны оставаться
неизменными со временемъ.
Систему свободныхъ матер1альныхъ точекъ, движущихся подъ
действ1емъ взаимныхъ силъ и сохраняющую въ силу этого постояннымъ
1

§ 25
Глава II. Принципы Динамики.
141
свое количество движешя lurnv и свой моментъ движешя XmvS, мы
будемъ для краткости обозначать назвашемъ свободной
консервативной системы.
§ 35* ДЪйствке внЪшнихъ силъ на свободную консервативную
систему.
Такъ какъ скорость центра инерщи системы и моментъ ея
количества движешя не изменяются отъ взаимодМств1я частей
системы другъ на друга, то измЪнеше упомянутыхъ количествъ должно
обусловливаться причинами, лежащими внЪ данной системы, т. е.
внешними силами. Итакъ, результатомъ дМств1я внЬшнихъ силъ на
данную систему матер1альныхъ точекъ будетъ измЪнеше скорости
центра инерцш системы и момента ея движешя. Но очевидно, что
упомянутыми дЪйств1ями внЪшшя силы еще не определяются
вполне; точно также данныя внЪшшя силы производятъ не одни только
упомянутыя измЬнешя.
Обозначимъ черезъ ft,f2.. .fn результируюпця внутреннихъ (вза-
имныхъ) силъ, дЪйствующихъ на каждую изъ п свободныхъ матер1аль-
ныхъ точекъ данной системы, черезъ F1, F2...Fn — внЪшшя силы,
приложенныя къ нЪкоторымъ или ко всЪмъ точкамъ той-же системы,
черезъ пьг, т2...тп—массы точекъ системы и черезъ д1^д2---дп—
ихъ ускорешя. Тогда, на основаши втораго закона движешя, имЪемъ:
vh9i = fi + Fn wnflrn = /"n +JPn, D9)
гдЪ суммы fx 4* Fx и т. д. вообще берутся геометрически. Складывая
урр. D9) геометрически другъ съ другомъ, и замечая, что, на
основаши третьяго закона движешя, Yf= О, мы получимъ:
lmg = lF
или E0)
гдЪ v обозначаетъ соответственно скорость каждой изъ точекъ
системы, a dt есть некоторый элементъ времени. ЛЪвая часть предъидущаго
выражешя представляетъ геометрическую сумму приращешй въ
единицу времени количествъ движешя точекъ системы, т. е. иными слова-

142
Глава II. Принципы Динамики.
§ 25
ми—приращеше геометрической суммы тЬхъ-же количествъ движе-
шя. Обозначая это последнее приращеше черезъ №mv, мы можемъ
представить E0) въ виде:
^ = И>. (И)
Но если мы черезъ V обозначимъ скорость центра инерщи системы,
а черезъ Ж—сумму всЬхъ ея массъ, то, па основанш B3), будемъ
иметь:
lmv^31V и *^ = Ж?, E2)
ci t
где G есть ycKopenie центра инерщи. Поэтому
MG = XF, E3)
откуда видимъ, что ускореше центра инерщи вполне определяется
геометрическою суммою внешнихъ силъ и следовательно не зависитъ,
при одной и той-же величине этой суммы, ни отъ величины или на-
правлешя каждой силы въ отдельности, ни отъ ея точки приложе-
шя. Итакъ мы заключаемъ, что внешн1я силы изменяютъ
д в и ж е н i е центра п н е р ц i и такимъ образом ъ, какъ б у д-
тооневсе, безъизменен1я своего направлен!я,
были къ нему приложены, при чемъ вся масса системы
была-бы связана съ ея центромъ инерцп!.
Пусть налримеръ некоторая мгновенная сила подЬйствуетъ на по-
коющуюся матер1альную точку А, связанную съ массою ш1. Результа-
томъ этого действ!я будетъ то, что черезъ единицу времени точка А пе-
рейдетъ (рис. 57) въ А1 по направленно сообщенной скорости,
которая представится лпшею АА]\ импульсъ
силы будетъ измеряться произведешемъ
т.АА'. Но если мы вообразимъ себе
некоторую другую неподвижную точку Д съ
Рис. 57. массою т2, и независимую отъ точки А,
то мы можемъ все-таки разсматривать обе точки А и Д какъ
некоторую систему, въ которой взаимный силы, каждая въ
отдельности, равны нулю. Центръ инерщи этой системы будетъ до перемещешя
въ точке С, выбранной такъ на JJ5, что АС: СВ = т2:тг\ по исте-
ченш единицы времени онъ будетъ въ С", причемъ А!О : ОБ = т2: тх\
отсюда следуетъ, что АА1: СО = (тг -н т2): тг. Туже самую
величину для С С мы получпли-бы, если бы представили себе, что

§ 25 Глава II. Принципы Динамики. 143
импульсъ АЛ1. шг подМствовалъ на массу т1 + ш2, связанную съ
точкою С, ибо тогда скорость СО1 определилась бы изъ уравнешя
Точно также очевидно, если система точекъ находится, кроме
взаимныхъ силъ, еще подъ дМств1емъ внЪшнихъ силъ, то мо-
ментъ ея количествъ движешя не остается уже вообще одинъ и
тотъ-же. Изменеше-же этого момента обусловливается только
внешними силами. Обозначимъ черезъ д длину перпендикуляра опущен-
наго изъ даннаго начала на направлеше ускорешя g некоторой точки
системы, черезъ &—длину перпендикуляра на направлеше одной изъ
взаимныхъ силъ /*, приложенной къ этой точке, и черезъ Ь—длину
перпендикуляра на соответственную внешнюю силу F. Тогда, образуя
геометрическую сумму моментовъ ускоренШ всехъ массовыхъ единицъ
системы, мы получимъ, на основаши D9):
Ymg.d = ^f.S<\>VF.b , E4)
или такъ какъ, на основаши свойствъ взаимныхъ силъ Xf.d = О, то
J,mg.d—-lF.b. E5)
Приращеше-же въ, течеши элемента времени dt, момента
количествъ движешя системы, которое мы обозначимъ черезъ Mmv.S,
где 8 есть соответственный перпендикуляръ на направлеше
скорости v, определится изъ соотношешя:
A }mv.8 = jjmg.d^dt.
Следовательно по E5):
t^mv.8 =2^-Ь) dt • E6)
Такимъ образомъ, зная величину, направлеше и точки приложешя
внЬшнихъ силъ, мы можемъ вычислить для каждаго элемента
времени величину X(F.b) dt, которая представить намъ приращеше
геометрической суммы моментовъ количествъ движешя системы.
Величина внЬшнихъ силъ и ихъ точки приложешя могутъ быть
очевидно таковы, что или геометрическая сумма этихъ силъ, или
геометрическая сумма ихъ моментовъ, или обе суммы вместе,
равны нулю.
Въ первомъ случае, т. е. когда
1F=0,

144 Глава II. Принципы Динамики. § 25
центръ инерцш системы остается въ покое или движется равномерно и
прямолинейно. Действ1е внешнихъ силъ проявляется въ такомъ случай
въ измЬненш геометрической суммы площадей, описываемыхъ въ равные
промежутки времени массовыми единицами системы около ея центра
инерцш или другой какой-либо произвольно выбранной неподвижной
точки. Кроме того въ данномъ случае, на основанш C0), моментъ внеш-
нихъ силъ будетъ одинъ и тотъ-же около всякаго неподвижнаго начала;
следовательно и приращеше упомянутой геометрической суммы
описываемыхъ площадей будетъ для даннаго промежутка времени одно и
тоже, около какой неподвижной точки мы эти площади ни отсчиты-
вали-бы. Обозначить черезъ Ж моментъ количества движешя
системы, для даннаго момента времени, около некоторой произвольно
выбранной точки Л, черезъ 9К0—такой-же моментъ, для того-же момента
времени, около центра инерцш системы, черезъ Ж—массу системы,
черезъ V—скорость центра инерцш и черезъ d—перпендикуляръ изъ
Л на V. Тогда мы имеемъ вообще:
т = т0+мг.а. E7)
Для какого нибудь другаго времени мы вообще будемъ иметь для
той-же системы
W = m0^MV.d\ E8)
Если геометрическая сумма внешнихъ силъ равна нулю, то V1 = V
и d] — d. Следовательно тогда
ЭД'~ЗЛ = ЭД0'~ЗЯ0, E9)
и кроме того для даннаго времени Ш или W будутъ соответственно
одинаковы около всякаго начала. Отсюда заключаемъ, что прираще-
н i e момента количества д в и ж е н i я подъ действ!емъ
внешнихъ силъ, геометрическая сумма которыхъ
равна нулю, будетъвъ данный промежутокъвремени одно
и т о ж е—к акъ около любаго неподвижнаго начала, такъ
и около движущагося центра инерц1и системы. Но
моментъ количества движешя системы, вычисленный для даннаго момента
времени, представляетъ геометрическую сумму площадей, которыя опи-
сали-бы около соответствующая начала все массовыя единицы
системы въ теченш единицы времени, если-бы моментъ количества
движешя остался неизменнымъ. Следовательно, приращеше упомяну-
таго момента представляетъ, для каждаго времени, соответствующее

§ 25 Глава II. Принципы Динамики. 145
приращеше геометрической суммы площадей, которое по
предыдущему будетъ для даннаго промежутка времени одно и тоже, около
всякой неподвижной точки и около движущагося равномерно и
прямолинейно центра инерцш.
Очевидно также, что для разсматриваемаго случая, т. е. когда
XF=0, дМств1е внешнихъ силъ на систему, по отношешю къ из-
мененш ея момента количества движешя, можетъ быть заменено
дгЬйств1емъ всякой пары силъ, моментъ которой равнялся бы по
величине и направлешю моменту данныхъ внешнихъ силъ. При этомъ
конечно изменешя, производимыя данными силами или заменяющею
ихъ парою въ скоростяхъ отдЬльныхъ точекъ системы, будутъ
вообще различны.
Если геометрическая сумма 2F не равна нулю, но при этомъ
существуетъ некоторое начало, около котораго геометрическая сумма
моментовъ силъ обращается въ нуль, т. е. если
IF.b^O,
то геометрическая сумма площадей, описываемыхъ массовыми
единицами около упомянутой точки въ равные промежутки времени, остается
одна и таже. Количество движешя центра инерцш при этомъ
очевидно будетъ изменяться, также какъ и моментъ количества
движешя системы около другихъ точекъ, кроме упомянутаго выше начала.
По отношетю къ изменешю момента количества движешя системы
около другихъ точекъ, внешшя силы въ данномъ случае могутъ быть
заменены одною, проходящею черезъ точку нулеваго момента и
равною геометрической сумме всехъ данныхъ.
Если точка нулеваго момента совпадаетъ съ центромъ инерцш,
т. е. если равнодействующая внешнихъ силъ проходитъ черезъ этотъ
последшй, то результатъ действ!я этихъ силъ будетъ состоять только
въ измененш движешя центра инерцш; изменеше-же момента
количества движешя около какого нибудь начала, не совпадающаго съ
центромъ инерцш, будетъ зависеть только отъ изменешя скорости
этого последняго. Действительно, на основаши C0), геометрическая
сумма моментовъ количества движешя системы около любаго начала
будетъ равна только моменту геометрической суммы количествъ
движешя, приложенныхъ къ центру инерцш, т. е. моменту количествъ
движешя самого центра инерцш.
ю

14Г>
Глава II. Принципы Динамики.
§ Го
Если моментъ внешнихъ силъ будетъ равенъ нулю около вся-
каго начала, то внешшя силы должны быть приложены по напра-
влешю внутреннихъ, и геометрическая сумма ихъ равна 'нулю; т. е.
другими словами, эти силы не производить никакого изменешя во
внешнемъ движении системы, по отношению къ центру инерцш и
описываемымъ площадямъ.
Наконецъ, въ самомъ общемъ случае, когда геометрическая сумма
внешнихъ силъ не равна пулю и когда нЬтъ точки нулеваго
момента, изменяется какъ движете центра инерцш, такъ и величина
момента количества движешя. При этомъ, какъ это видно
непосредственно изъ E7), нзмЪнеше момента количества движешя, около лю-
баго начала Л, будетъ равно сумме изменешй момента около центра
инерцш и момента количества движешя самаго центра инерцш около
Л. Эти изменешя могутъ быть представлены, какъ результатъ дей-
ств1я некоторой силы, приложенной къ центру инерцш и некоторой
пары.
Разсмотренныя выше д-Ьйгшя внешнихъ силъ на систему ма-
тер1альныхъ точекъ ведутъ насъ къ более точному представлению о
матер!альной точке, связанной съ определенною массою, какъ о-
центре инерцш этой массы. Действительно, имея въ виду пзследо-
вать только изменешя движешя массы, одинаюя для всехъ ея
точекъ, мы вполне определимъ эти изменешя, пзслЪдуя движете ея
центра инерцш; а это последнее определяется величиною и нанра-
влешемъ силъ, действующихъ на массу извне, независимо отъ ихъ
точекъ приложешя, вследств!е чего мы можемъ въ данномъ случае
разсматривать все эти силы приложенными къ одной матер1альной
точке, въ которой сосредоточена вся масса системы, т. е. къ
центру инерцш. Представляя матер1альную систему, какъ состоящую
изъ матер1альныхъ точекъ, мы разсматриваемъ большее или меньшее
число центровъ инерцш новыхъ матер1альныхъ системъ, на который
подразделяемъ старую. Такое подразделеше мы ведемъ до тЪхъ иоръ
пока не остановимся на такихъ системахъ, движете которыхъ около
ихъ соответственныхъ центровъ инерцш мы не можетъ определить,
или не считаемъ нужнымъ определять, для рЬшешя
соответствующей задачи.

§ 20
Глава И. Принципы Динамики.
14*
26* Работа силы.
Если точка приложетя силы движется, то та часть силы,
которая направлена по одной прямой съ перемещетемъ ея точки
приложетя, производить работу. Работа силы измеряется произведе-
шемъ изъ длины пути, пройденнаго точкою приложетя силы и
величины силы, совпадающей съ направлешемъ этого пути.
Вообще направлешя силы и движетя ея точки приложетя не
совпадаютъ другъ съ другомъ. Такъ, при всякомъ крнволинейномъ
движении направлешя ускоретя, т. е. силы, и скорости, т. е.
элемента пути движущейся точки, различны. Точно также и въ случае
прямолинейнаго движетя направлешя движетя и разсматриваемой
силы могутъ не совпадать другъ съ другомъ, если эта последняя
во все время движетя уравновешивается другою силою ей равною
и противоположною. Следовательно, чтобы определить величину
работы, соответствующей данному перемещешю, нужно найти часть
силы, совпадающую съ перемещетемъ. Эта последняя представляется
очевидно тою изъ двухъ взаимно перпендикулярныхъ слагающихъ
данной силы, которая совпадаетъ съ перемещетемъ (см. § 5), и
будетъ следовательно ортогональнымъ проложетемъ силы на пере-
мещеше. Итакъ, если F и s суть величины данной силы и
прямолинейнаго перемЬщешя ея точки приложетя, а а—уголъ между
направлениями упомянутыхъ величинъ, то работа L, соответствующая
перемещения s, будетъ
L = F. cos a . s, F0)
и следовательно выразится произведешемъ: или изъ проложен!я
силы наперемещен1е и величины перемещен!я, или
изъ проложен1я перемещен1я на силу и величины
силы.
Если сила направлена перпендикулярно къ данному
перемещешю, то работа ея при этомъ перемещены равна нулю: если
направлешя силы ,и перемещешя образуютъ тупой уголъ, то
соответствующая работа отрицательная, ибо косинусъ тупаго угла
отрицательный. Но съ другой стороны сила, перпендикулярная къ данному на-
правлешю или ему прямо противоположная не можетъ обусловливать
въ этомъ направлеши перемещешя, т. е. положительная прираще-
шя скорости. Следовательно, если работа силы для даннаго переме-

148
Глава II. Принципы Динамики.
§ 26
щешя равна нулю или отрицательная, то соответствующее переме-
щеше вызвано не этою силою. Такъ напримеръ, при равномЪрноза-
медлительномъ движенш работа замедляющей силы отрицательная, и
перемЪщеше движущейся точки обусловлено не силою, действующею
противъ этого перемещешя, но первоначальною скоростш; при рав-
номерномъ движенш по кругу работа центростремительной силы
равна нулю, и перемещеше точки по кругу обусловлено первоначальною
скоростш по касательной, и т. п.
Если къ данной точке приложено несколько силъ I\,F2... Fn,
направлешя которыхъ образуютъ углы аг, а2... ап съ перемеще-
шемъ s точки, то сумма работъ этихъ силъ будетъ
L = (Fx cos 04 -f F2 cos а2 + • . . Fn cos an) s . F1)
Но величина въ скобкахъ, выражая сумму проложешй данныхъ силъ
на лннно 6*, представляетъ (§ 4) проложеше на туже лшию ихъ
равнодействующей; т. е. если .F будетъ эта равнодействующая и a—ея
уголъ съ s, то
(i^ cos ax + .F2 cos a2 + . . • J7ncosan)s = F. cos a . s. F2)
Следовательно, алгебраическая сумма работъ данныхъ силъ.
приложенныхъ къ данной точке, равна работе ихъ
равнодействующей. Точно также, если s1, s2...sn суть сла-
гакнщя даннаго перемещешя по какимъ нибудь п направлешямъ, то,
обозначая черезъ аг, а2,.. углы этихъ направлешй съ силою F,
мы имеемъ
5cosa = s1cosa1 + 52 cosa2 + • • • sn cos an ,
ибо нроложеше s на какое нибудь направлеше равно сумме
проложешй на тоже направлеше составляющихъ отъ s. Следовательно:
.Fcosa . s — Fcosa1. sr + Fcosa2. s2 + . . • Fcosan . sn , F2')
т. е. алгебра и ческая сумма работъ, вы полненныхъ
данною силою при различныхъ перемещен!яхъ ея точки
приложен! я, равна работе той-же силы при
результирующем ъ и е р е м е щ е н i и.
Если точка приложешя силы движется криволинейно, то работа
силы на данномъ отрезке кривой будетъ равна сумме работъ на
прямолинейныхъэлемеытахъ, изъ которыхъ этотъ отрезокъ составлена
При этомъ величина и направление силы на разныхъ элементахъ мо-

§ 26
Глава II. Принципы Динамики.
149
гутъ быть различны; но самые элементы должны быть выбраны на
столько малыми, что для каждаго изъ нихъ величина и направлеше
силы могутъ быть разсматриваемы, какъ неизменныя. Следовательно,
если F, ds и а представляютъ силу на данномъ элементе кривой,
длину элемента и уголъ между F и s, то работа на данномъ отрезке
кривой выразится алгебраической суммой
i-^y^.cosa.rfs, F3)
въ которой будетъ столько слагающихъ, сколько элементовъ длины
ds укладывается въ данномъ отрезке кривой.
Каждая элементарная работа Fcos a . ds можетъ быть выражена
площадью прямоугольника, основаше котораго равно длине элемента
ds, а высота—силе JPcosa, действующей въ направлено! этого
последняя. Сумма подобныхъ элементарныхъ площадей выразитъ всю
работу L въ форм. F3), и представитъ площадь, между прямою АВ
(рис. 58), длина которой равна длине отрезка s, и кривою аЪ,
представляющею законъ изменешя
, тангенщальной силы по раз-
личнымъ элементамъ. За основа-
шя элементарныхъ прямоуголь-
as
~~£ лг в никовъ мы можемъ брать вели-
Рис* 58, чины ds.costx, т. е. проложешя
элементовъ пути на силу, а за высоты F. Тогда работа L выразится
площадью, между прямою А1В\ вообще другой длины чемъ АВ, и
кривою аЪ1, отличною отъ аЪ\ но эта площадь очевидно должна быть
равновелика первой, ибо обе оне измеряютъ одну и туже величину
L и составлены изъ одинаковаго числа равновеликихъ
элементарныхъ площадей.
Работа мгновенной силы выразится также произведешями F0)
или F3), где каждое перемещеше ds будетъ представлять ту длину,
на которую точка приложешя мгновенной силы передвинута въ те-
чеши времени t действ!я этой силы. Обозначая импульсъ силы F
черезъ J", мы нмеемъ
J^rFt и Z = J"cosa-— • F3')
ь
ds
Такъ какъ время t безконечно мало, то отношеше -т- можетъ быть
конечною величиною, и следовательно, работа мгновенной силы, при

150 Глава II. Принципы Динамики. § 27
безконечно маломъ перемещенш ея точки приложешя, можетъ быть
конечною.
Единица работы выполняется, когда точка приложешя, единицы
силы, т. е. дины, перемещается на единицу длины, т. е. на одннъ
центиметръ, въ направлении этой силы. Такимъ образомъ
определенная единица работы носить назваше—эргъ. Очевидно, что эргъ,
будучи выраженъ въ основныхъ единицахъ длины, времени и массы,
представится въ слЪдующемъ виде:
граы. цен.2
эргъ = дин. цет. = ~- т— , F4)
сек.
т. е.
эргъ = грам. (един, скоростиJ, F4')
откуда видимъ, что работа всегда представляется какъ некоторая
масса, умноженная на квадратъ некоторой скорости.
Заметимъ, что вообще всякая величина, выражающая произведете
изъ силы и длины, какъ иапримеръ моментъ силы, измеряется
единицами, составленными изъ произведения дина. цент, и однородными съ эр-
гомъ; но очевидно, так1я величины не всегда будутъ представлять
некоторую совершенную работу. Однако всегда можно себе
представить такую работу, которая, будучи совершена, выразится
упомянутою величиною. Такъ напримеръ, представимъ себе некоторую силу
F, обусловливающую некоторый моментъ въ Ж ед. момент.; пусть
d будетъ разстояше точки приложешя силы отъ начала момента и
пусть F будетъ перпендикулярна къ d. Тогда
Ж ед. мом. = F .d дин. цент.
Если теперь точка приложешя силы F опишетъ около начала
момента дугу круга въ угле равномъ единице, и во все время этого
перемещешя F будетъ оставаться перпендикулярна къ d, то со-
товетствующая работа будетъ очевидно
F.d дин. цент. =.3f эрг.
§ 27+ Общее услов!е равновЪЫя силъ, дЪйствующихъ на
свободную или несвободную точку.
Силы, действуюиця на одну или несколько матер1альныхъ то-
чекъ, свободныхъ или несвободныхъ, тогда находятся въ равно-

§ 27
Глава II. Принципы Динамики.
151
в е с i и, когда не могутъ обусловливать такихъ перемещешй точекъ,
как!я для нихъ возможны. Такое опредЬлеше равновЪс1я не исклю-
чаетъ очевидно возможности, для каждой изъ взаимно
уравновешивающихся силъ въ отдельности, производить то или другое изъ воз-
можныхъ перемещена точки или системы, ибо только совокупное
действие силъ обусловливаем ихъ равновес1е, которому каждая сила
отдельно можетъ и не удовлетворять. Система, находящаяся подъ
действ\емъ взаимноуравновешивающихся силъ, можетъ вообще
находиться въ покое или какомъ угодно движенш; но въ этомъ послед-
немъ случае соответствуннщя ускорешя будутъ обусловливаться не
взаимноуравновешивающимися силами, а какими либо другими.
Если матер1альная точка совершенно свободна, то всякая сила
къ ней приложенная обусловить некоторое изменеше движешя, что
следуетъ изъ самаго определешя силы. Следовательно несколько
силъ, приложенныхъ къ одной матер1альной точке, тогда взаимно
уравновешиваются, когда ихъ равнодействующая, т. е.
геометрическая сумма, равна нулю. Тоже самое услов1е можно выразить
другими словами, утверждая, что сумма работъ взаимноуравновешиваю-
щихся силъ, приложенныхъ къ одной свободной точке, будетъ равна
нулю при всехъ возможныхъ перемещешяхъ, которыя мы можемъ
приписать свободной точке. Действительно, упомянутая сумма работъ
будетъ всегда равна работе равнодействующей; а эта последняя
равна нулю.
Если матер1альная точка будетъ не свободна, т. е. если она
заранее не будетъ иметь возможности перемещаться по некото-
рымъ направлешямъ, то силы, на нее действуюиця, будутъ и
подавно уравновешивать другъ друга, если вышеизложенное усло-
Bie удовлетворяется, т. е. если равнодействующая этихъ силъ
равна нулю. Но очевидно, это услов!е не есть необходимое, ибо
точка будетъ въ положенш равновесия, когда равнодействующая къ
ней приложенныхъ силъ и не равна нулю, но направлена въ ту
сторону, куда точка не можетъ перемещаться, будучи по условш
несвободна.
Ограничеше свободы перемещешй матер1альной точки мы
можемъ себе представить въ следующихъ видахъ: 1) точка не можетъ
оставить некоторую поверхность, или некоторую линш; т. е. можетъ
перемещаться только по данной поверхности, или лиши (другими
словами, по двумъ поверхностямъ заразъ); 2) точка не можетъ перейти

152
Глава II.
Принципы Динамики.
§ 27
на другую сторону данной поверхности или двухъ, или трехъ взаим-
ноиересЬкающихся поверхностей; т. е. точка можетъ перемещаться
по данной поверхности, но можетъ ее оставить только въ одну сторону
отъ нея, или можетъ оставить поверхность, только перейдя на другую
поверхность или лишю. Въ иервомъ случае, если точка, будучи
помещена на данномъ элементе поверхности или лиши, не можетъ
оставить этого элемента, и перемещается только вдоль по нему, мы
заключаема что точка не можетъ перемещаться относительно той
плоскости или прямой лиши, безконечно малыми частями которыхъ мы
себе иредставляемъ элемеытъ поверхности или лиши. Невозможность
же перемещешя относительно плоскости или лиши соответствует^
какъ было объяснено въ § 5, невозможности движешя по
перпендикуляру къ той или другой. Следовательно, если равнодействующая
силъ, приложенныхъ къ данной матер!альной точке, направлена въ
ту или другую сторону вдоль по нормали къ поверхности или лиши,
съ которыхъ точка не можетъ сходить прочь, то эта
равнодействующая не будетъ въ состояши произвести ни одного изъ возможныхъ
для точки перемещешй, ибо эти послЬдшя будутъ перпендикулярны
къ упомянутой равнодействующей; а этого достаточно для удовле-
творешя усл(шя равновЬсля. Для каждаго элемента поверхности или
лиши направлеше равнодействующей будетъ различно, и
следовательно данная сила, удовлетворяющая условш равновес1я на одномъ
элементе, не будетъ ему удовлетворять на другомъ, если ея
направлеше не изменится. Но въ различныхъ безконечно другъ къ другу
близкихъ точкахъ одного и того-же поверхностнаго или линейнаго
элемента одна и таже сила будетъ выполнять услов1я равновесия,
ибо все точки такого элемента принадлежатъ одной и той-же
плоскости или прямой лиши, перпендикуляры къ которымъ не меняютъ
своего направлешя.
Если матер!альная точка, находящаяся при уномянутомъ
условш въ равновесш на какомъ нибудь плоскомъ или линейномъ
элементе, будетъ передвинута вдоль соответствующей поверхности или
лиши безъ нарушешя равновес1я, т. е. если во время перемещешя
сила будетъ оставаться перпендикулярною къ соответствующимъ
элементамъ, то работа силы будетъ очевидно равна нулю. Но если
точка будетъ передвинута безконечно мало, то она не выйдетъ изъ
соответствующая элемента и будетъ оставаться въ услов1яхъ рав-
новес1я. Следовательно, услов1е равновепя точки на какомъ нибудь

§ 27
Глава II. Принципы Динамики.
153
элементе поверхности или лиши, которыхъ точка не можетъ
покинуть, будетъ состоять въ томъ, что работа силы, действующей на
точку, будетъ равна нулю при всякомъ возможномъ безконечно ма-
ломъ перемещены! точки.
Если точка можетъ перемещаться вдоль по поверхности и въ
одну сторону отъ этой последней, то она останется въ равновесш,
если сила, къ ней приложенная, будетъ направлена по нормали къ
поверхности, и притомъ—въ сторону противоположную той, по
которой точка можетъ покинуть поверхность. Услов1е равновЪс1я при
этомъ, по отношенпо къ возможной работе, выразится тЬмъ, что при
всякомъ возможномъ перемещеши точки работа силы къ ней
приложенной будетъ равна нулю (когда возможное перемещеше идетъ по
поверхности перпендикулярно къ силе) или будетъ отрицательная
(когда возможное перемещеше идетъ прочь отъ поверхности, и стало
быть, подъ тупымъ угломъ къ силе).
Разобранные выше частные случаи равновесия свободной или
несвободной точки уясняютъ намъ следующее общее заключеше
относительно ycjiOBifi равновес1я матер1альной точки. Если силы, дей-
ствуклщя на матер1альную точку, взаимно уравновешиваются, то ихъ
равнодействующая не можетъ произвести ни одного изъ возможныхъ
для точки перемещеши. Следовательно, если мы представимъ себе
какое либо изъ такихъ перемещеши совершившимся, то работа
равнодействующей, или сумма работъ слагающихъ, не можетъ при этомъ
быть положительною, ибо упомянутое перемещеше обусловливается
не данными силами. Всякое возможное перемещеше должно быть
выбираемо при этомъ такимъ образомъ, чтобы на его протяженш
величина и направлеше разсматриваемыхъ силъ не изменялись;
следовательно вообще перемещеше должно быть выбрано безконечно
малымъ. Итакъ, силы, действуюния на свободную или
несвободную м а т е р i а л ь н у ю точку, б у д у т ъ въ р а в н о в Ь-
с in, если, при всякомъ возможномъ безконечно ма-
л о м ъ п е р е м е щ е н i и т о ч к и и з ъ е я д а н н а г о п о л о ж е н i я.
работа у п о м я н у т ы х ъ силъ будетъ равна нулю или
отрицательной величине.
Обозначимъ черезъ fx, f2.. ,fn силы, действуюпия на данную
матер1альную точку, и черезъ Ss—одно изъ произвольно выбранныхъ
возможныхъ безконечно малыхъ перемещеши точки. Тогда вышеупо-

154
Глава II. Принципы Динамики.
§ 27
мянутое услов1е равновепя выразится рядомъ такихъ соотношенш:
[/'1cos(os5/'1) + /,2cos(^?/2)+ * • • -fnws(8s,f*)]$s = 0, F5)
или короче:
[2/Ъв (&,/)]& = 0, F5)'
которыя должны существовать для каждаго изъ возможныхъ для
точки перемещен^ Ss\ или другими словами, неравенство F5)
должно быть удовлетворено любымъ изъ возможныхъ перемещен^ os.
Такъ какъ величина и направлеше каждой силы (какъ вообще
всякаго вектора) вполне определяются тремя составляющими по
тремъ даннымъ осямъ коордииатъ, то и услов!е равновес1я силъ.
определяя эти послЪдшя, должно давать соотношеше между ихъ
составляющими по даннымъ осямъ. Пусть Хг,Х2...Хп будутъ
составляются силъ по оси х—овъ и Y1, Y2.... Yn, Z1, Z2... Zn — no
двумъ другимъ осямъ; пусть $х, оу, 8я будутъ проложешя на соот-
ветствуюпдя оси какого нибудь возможнаго перемещешя точки: тогда
работа силы Хг при этомъ перемещены, равная произведенш изъ
силы и проложешя перемещешя на силу, будетъ очевидно Хг 8х, и т. д.
Такъ какъ работа равнодействующей равна алгебраической сумме
работъ слагающихъ, то услов!е F5) выразится черезъ
(Хг + Х%-г. • .Xn)§x+(Yl + Y2+. . .Yn)Sy
л FЬ)
или вообще:
(SX) ох + (S Y) оу + (SZ) о* = О , F6)'
где суммы, какъ и въ F5)', берутся алгебраически. Давая величи-
намъ ох, су, $2 различный положительный и отрицательный значе-
шя, мы очевидно можемъ перепробовать все возможныя для разсма-
триваемой точки перемещешя.
Если точка свободна, т. е. если для нея все перемещешя
возможны, то услов1е F6)' можетъ существовать только въ виде
равенства. Действительно, если для некоторыхъ величинъ 8х, Sy, $s
левая часть F6)' делается отрицательною, то для тЬхъ-же величинъ,
но съ обратными знаками, которыя тоже возможны, она делается
положительною. Следовательно услов1е въ виде неравенства можетъ

§ 27
Глава II. Принципы Динамики.
155
существовать только тогда, когда возможное для точки перемЪщеше есть
такого рода, что его проложешя не могутъ одновременно менять своего
знака, т. е. когда вместе съ даннымъ перемещешемъ не возможно
ему прямо противоположное. Возвращаясь къ случаю свободной
точки, мы видимъ, что сумма трехъ произвольныхъ и независящихъ
другъ отъ друга величинъ, хотя и безконечно малыхъ, тогда будетъ
равна нулю, когда каждый членъ суммы отдельно равенъ нулю,
т. е. когда
ЬХ=0, bY=0, bZ=0,
ибо сами §х, £//, 8й всегда быть равными нулю очевидно не могутъ.
Такимъ образомъ приходимъ къ известному уже намъ условно рав-
новепя свободной точки.
Если точка не можетъ сойти съ плоскости, то представляя себЬ
оси координатъ такимъ образомъ, чтобы ось z—овъ была
перпендикулярна къ плоскости, будемъ иметь всегда $z = 0, а следовательно
(EZ)o#=0, какова бы ни была 2Z; услов1е же F6)' обратится въ
при чемъ, такъ какъ движете въ плоскости возможно во все стороны,
то 8х и су, будучи произвольны, могутъ быть вместе отрицательны
и положительны; поэтому услов1е можетъ существовать только въ виде
равенства, и каждый членъ суммы долженъ обращаться въ нуль; т. е.
должно быть:
ZX=0 и ZY=0;
откуда видимъ, что точка будетъ въ равновесии, когда на нее
действует!» какая нибудь сила 2Z, перпендикулярная къ плоскости сво-
бодныхъ перемещен^.
Предположимъ, что, при томъ же выборе осей координатъ,
точка можетъ оставить свою плоскость, но только—въ сторону
положительная направлешя оси z—овъ, при чемъ въ самой плоскости она
можетъ перемещаться во все стороны. Этому предположешю будетъ
соответствовать очевидно услов1е, что Sz можетъ быть только
положительными а 8х и 8у могутъ быть камя угодно, независимо другъ отъ
друга и отъ Sz. Такъ какъ перемЬщеше 8z=0 есть одно изъ воз-
можныхъ, то должно между прочимъ оправдываться услов1е
Ух.$х+Ут.оу = 0,

156
Глава II. Принципы Динамики.
§ 28
которое, какъ прежде, при совершенной произвольности §х и оу,
приводить къ заключешю, что SZ = О и £Г=#, вслЪдств1е чего F6)'
обращается въ
где oz можетъ быть только положительнымъ (или нулемъ).
Следовательно
<
т. е. точка будетъ въ равновЬсш подъ действ1емъ силы,
перпендикулярной къ плоскости ея возможныхъ перемЪщешй и направленной
въ ту сторону, въ которую точка не можетъ сойти съ плоскости.
Если точка не можетъ сойти съ данной лиши, которую мы мо-
жемъ выбрать за ось Z—овъ, то ох —О и оу = 0: следовательно
услов!е F6)' обращается въ %Z.$z==0, или по произвольности oz
въ ZZ = 0. При этомъ очевидно, SX и 2Г могутъ быть как1я угодно.
§ 28* Общее услов|'е равнов^сш свободной или несвободной
системы связанныхъ между собою матер1альныхъ точекъ.
Точки системы связаны другъ съ другомъ, когда одно изъ
перемещешй какой либо изъ этихъ точекъ влечетъ за собою
необходимо перемЪщешя другихъ. Но это определеше связности системы
вообще не псключаетъ возможности существовали для данной точки
такого перемЪщешя, при которомъ остальныя точки, век или нЬко-
торыя, останутся на своихъ прежнихъ местахъ. Большее или
меньшее число такихъ перемещешй точекъ системы, при которыхъ одни
пер,едвижешя необходимо вызываютъ друпя, обусловливаетъ большую
или меньшую степень связности системы.
Система будетъ въ равновЬсш, если про каждую ея точку мы
можемъ сказать, что равнодействующая къ ней приложенныхъ силъ
не направлена ни по одному изъ возможныхъ для точки перемЪще-
шй. Трудность определешя случаевъ, когда вышесказанное услов1е
осуществляется, заключается въ томъ, что равнодействующая силъ,
действующихъ на данную точку системы, определяется не однЪми
только данными силами, приложенными непосредственно къ этой

§ 28
Глава II. Принципы Динамики
157
точке, но и силами, приложенными къ другимъ точкамъ системы,
связаннымъ съ первою. Такимъ образомъ мы должны прежде всего
изслЬдовать, камя силы прибавляются къ данкымъ непосредственно
приложеннымъ къ точки силамъ,—прибавляются вследств1е действ1я
силъ на друг1я точки, связанныя съ первою. Услов1я связности
системы должны быть при этомъ даны вполне; т. е. мы должны
знать, катя перемещетя точекъ системы изъ ея даннаго положешя
обусловливаются каждымъ изъ возможныхъ перемещешй любой ея
точки въ отдельности.
Представимъ себе силу, приложенную къ данной точке Л
системы по одному изъ ея возможныхъ перемещешй 8s. Въ такомъ
случае упомянутое перемЪщеше будетъ им1>ть место, и вызоветъ
собою еще перемещешя 8s1,8s2... и т. д. нЬкоторыхъ другихъ
точекъ Д С, В и т. д. системы, направлеше и величину которыхъ
мы можемъ определить по направленно и величине 8s i, на
основами данныхъ заранее условШ связности системы. Но такъ какъ теже
самыя перемещешя остальныхъ точекъ могли бы быть вызваны
непосредственно силами, приложенными къ каждой изъ нихъ вдоль по
упомянутымъ перемещешямъ, то заключаемъ, что сила, приложенная
къ данной точке системы вдоль по одному изъ ея возможныхъ
перемещешй, действуетъ на друпя точки той-же системы такъ, какъ
рядъ силъ, приложенныхъ къ этимъ точкамъ вдоль по тЪмъ изъ ихъ
возможныхъ перемещение, совместное существоваше которыхъ съ
первымъ вызывается услов!ями системы. Къ точкамъ В, С, В и т. д.
мы можемъ приложить силы, направленный противоположно
перемещешямъ 8s2, 8s3... и т. д., вызваннымъ перемещешемъ 8st. Тогда
при определенномъ выборе величины упомянутыхъ силъ можетъ
случиться, что возможность перемещен!?! 8s2,8s3... и т- Д- не будетъ
уже иметь места, т. е. что вновь приложенный силы уравновесятъ
силу, действующую на Л. Такое заключеше очевидно останется при
своемъ значеши не зависимо отъ того, будутъ ли перемещешя 8s1,
os2, £s3,... единственно возможными для системы, или рядомъ съ
ними будетъ существовать возможность для другихъ перемещешй,
которыя вызовутся другими силами. Равновес1е вышеупомянутыхъ
силъ следовательно не нарушится, если мы, увеличивъ степень
связности системы, сделаемъ перемещешя 8st, 8s2... единственно для
ней возможными. Изменяя величину силы, приложенной къ точке Л
по направлешю 8s1, мы должны изменить и величину уравиовеши-

158 Глава II. Принципы Динамики. § 28
вающихся силъ, приложенныхъ къ другимъ точкамъ обратно переме-
щешямъ os2,£s3 и т.д., но очевидно не направлешя этихъ силъ, ибо
направлешя перемещен!!! ^^...не зависятъ отъ величины про-
изводящихъ ихъ силъ.
Предноложимъ теперь, что къ точке А приложена некоторая
сила, направленная перпендикулярно къ ея возможному перем-Ьщенш
§зг. Въ такомъ случай упомянутая сила не произведетъ этого пере-
мЪщешя и не вызоветъ следовательно также перемещен^ 8s2, Ss3...
другихъ точекъ; т. е. сила, приложенная къ точке А, въ данномъ
случае будетъ действовать на друия точки системы Д С, D и т. д.
такимъ же образомъ, какъ рядъ силъ, приложенныхъ
непосредственно къ этимъ точкамъ и направленнымъ вообще подъ прямыми или
тупыми углами къ ихъ возможнымъ перемещешямъ cs2,Ssz Но
подъ тупыми углами эти силы не могутъ действовать, ибо разлагая
каждую изъ нихъ на две, такъ чтобы одне изъ ихъ составляющихъ
были перпендикулярны къ соответствующимъ возможнымъ перемеще-
шямъ 8s2,8s3 и т. д., а друпя имъ прямо противоположны, мы
найдемъ, что эти последшя или должны быть уравновешены силою,
приложенною къ А вдоль по перемещенш Ssx, чего мы не
предполагаем^ или должны вызвать это перемещеые, чего мы тоже не
предполагаем^ ибо сила, действующая на А, перпендикулярна къ os1. Итакъ
силы, приложенный къ одной точке системы, перпендикулярно къ
какому нибудь изъ ея возможныхъ перемещен^, могутъ быть
заменены, по отношенш къ другимъ точкамъ, только силами,
направленными перпендикулярно же къ темъ изъ возможныхъ перемещен^
этихъ точекъ, которыя вызываются, по услов1ямъ системы, выше-
упомянутымъ перемещетемъ первой точки. Если следовательно пере-
мещешя 8sx, $s2... Ssn темъ не менее будутъ какъ либо
произведены, то работа каждой изъ упомянутыхъ прежде силъ будетъ при
этомъ равна нулю.
Предположимъ теперь, что на точки 1, 2, 3...» данной
системы действуютъ силы Ъ\, F2... i*^, и разыщемъ общее усл<ше
равновес1я этихъ силъ. Для этого, какъ мы видели выше, нужно
разсмотреть paBHOBecie каждой точки системы, принимая во внима-
ше кроме силъ, непосредственно къ этимъ точкамъ приложенныхъ,
еще силы, обусловливаемый другими точками системы. Итакъ,
обратимся сперва къ услов1ямъ равновес1я точки 1, на которую, кроме
силы jPj, действуютъ еще силы, обусловленные силами F2, Fz... jpn,

28
Глава И. Принципы Динамики.
159
приложенными къ другимъ точкамъ. Силы такого рода, прпложенныя
къ точке 1, мы обозначимъ соответственно черезъ f2,f3...fn, где
f2 обусловливается силою F2, и т. д. Пусть 8sx будетъ одно изъ воз-
можныхъ перемещен^ точки 1; тогда одно изъ условШ ея
равновесия будетъ въ томъ, чтобы
[Fx cos {Ft Мг) + U cos (Л А) + • ■ • /n cos (fn А)] 8s, == О, F7)
причемъ такихъ услов1й будетъ столько, сколько для разсматривае-
мой точки существуетъ возможныхъ перемещешй.
Рядомъ съ данною системою вообразимъ еще новую систему
совершенно свободныхъ п — 1 точекъ: 2', 3'...^'. Каждую изъ этихъ
точекъ соединимъ нерастяжимыми и несгибаемыми прямыми лишями
/2,/3,.../п соответственно съ точками 2, Ъ%...п\ съ другой
стороны, тЪже точки 2', 3'. ..и' соединимъ такими же нерастяжимыми и
несгибаемыми нитями l2* lzf... IJ съ одною и тою же точкою 1. Точки
вспомогательной системы можемъ всегда выбрать такъ, чтобы лиши
/2, /3... /п не были соответственно перпендикулярны къ направлешямъ
перемещешй 8s2, 8s3.. . Ssn, обусловленныхъ перемЬщешемъ 8sx% и ни
одна изъ лиши /2', 13}... IJ не была бы перпендикулярна къ 8sx. Такъ
какъ все линш / и /' не изменяютъ своей длины, то оба конца каждой
изъ этихъ лиши могутъ перемещаться только такимъ образомъ, чтобы
слагаюпця этихъ перем'Ьщешй вдоль по самымъ лишямъ были
одинаковы, ибо упомянутая слагаюнця, будучи разной величины, обусловили бы
изменеше длины лиши. Следовательно, если мы назовемъ черезъ 8а2,
&73...&jn и т. п. перемещешя точекъ 2', 3'.. шп\ которыя вызываются
перемещешями 8s2,8s3...8sn, то проложешя 8s2 и 8а2, 8s3 и 8а3,..8sn и
8an на соответствуннщя лиши 12J3...L будутъ попарно равны, т. е.
8s2 cos (l2,Ss2~) = 8а2cos (l2,8a2) ,
8s3 cos (?3,^j) = 8a3 cos G3,S<73), F8)
8sncos(ln,8sn) = 8Gncos(ln,8an)~
Точно также неизменность длины лиши V влечетъ за собою услов1е,
чтобы проложешя перемещешй 8sx и 8а2, Ssx и 8а2... 8sx и о<7п на
соответственныя лиши 12\ 13. .. IJ были попарно равны, т. е. чтобы
8sx cos (l^Ssj) = Sa2 cos A2,8g2~) .
8st cos (Z3\£sj) — 8a3 cos (lz\8a3), F9 J
8sx cos (InfisJ = 8cn cos (ln\8an) .

160
Глава И. Принципы Динамики.
§ 2Ь
Кроме того очевидно, что разсматриваемыя перемещешя 8а2. 8а3.. .5сгп.
будучи обусловлены только своими составляющими соответственно
по каждой napt лиши I и У, должны лежать въ плоскостяхъ этихъ
jiiiHili. Следовательно, если мы обозначимъ черезъ (L V) уголъ между
двумя лишями I и 1\ то должны существовать следукищя
соотношения между углами A,8с), A\8а) и (Ц) (рис. 59):
(l,8a) + G\oa) = (.hV)
ИЛИ
смотря по тому, лежптъ ли 8а внутри или вне угла (/,/'). Такимъ
образомъвъ 2(п—1) уравнешяхъ FS)
Ч\ и F9) имеемъ 2 (п — 1) неизвест-
№т\ ныхъ, т. е. п—1 перемещен^ 8а и
--4^А п—1 ихъ угловъ соответственно съ
щъ ч~ И <' одною изъ линШ / или V\
следование. 59. тельно величина и направлеше пере-
мещенШ 8с2, 8аг.. .8ап изъ этихъ уравнешй определятся вполне.
Прибавлешемъ упомянутыхъ точекъ 2f, 3f. ..ri мы не изменимъ
условШ равновЬс1я системы; т. е. если перемЬщешя 8s1... 8sn не
могли быть произведены безъ точекъ 2'... п\ то они не будутъ
произведены и съ этими точками. Точно также мы не изменимъ равно-
вес!я, если къ каждой паре точекъ 2 и 2', 3 и 3'... п и ri прило-
жимъ вдоль по лишямъ 12,12...1п соответственно равныя и
противоположный силы -f Р2 и —Р2, +Р3 и —Рз' * " • + Р„ и —Р„.
Затемъ выберемъ величины силъ Р2, Р3.. .Рп, приложенныхъ къ точ-
камъ 2, 3...W, такъ, чтобы оне, слагаясь съ силами Р2,Р3 Рп
давали равнодЬйствуюиця, перпендикулярныя къ перемЬщешямъ os2,
8sd...8sn. Такой выборъ мы всегда можемъ сделать, если линш /2,
L... /п выбраны нами не въ направленш силъ Р2, Р3... Fn. Въ
противномъ же случае силы Р могутъ быть выбраны равными и
противоположными силамъ Р; т. е., какъ-бы ни были направлены
линш I относительно силъ Р, мы выберемъ силы Р такъ, чтобы
равнодействуюиця Р и F не могли произвести перемещений въ ту
или другую сторону вдоль по лишямъ 8s2, 8s3... 8sn. Следовательно
сумма работъ соотвЬтствующихъ силъ Р и Р, при положительныхъ
или отрицательныхъ перемещешяхъ 8s2...8sn, должна быть равна
нулю: т. е.:

§ 28
Глава II. Принципы Динамики.
161
Р2 cos (l2,cs2). os2 -f- Р2 cos (F2,Ss) ,8s2 = 0.
P3 cos (Z3,os3"). os3 + P, cos (F3,cs) . <?s3 = 0 , G0)
Pn COS (?n,053) . CSn + Pn COS (Fn,05n) . 05n = 0 ,
при чемъ очевидно, всяюе углы (P,cs) и (/,5s) равны, ибо напра-
влешя Р и I одинаковы по условш.
Теперь paBHOB^cie силъ, вдоль по перемешенпо Ss^ не будетъ
уже обусловлено только силами, приложенными къ точкамъ 2, З...?г,
но и силами, приложенными къ точкамъ 2f, 3f. ..n'. Другими
словами, видъ услсшя F7) равновЬпя точки 1 для перемещешя os±
изменится: къ силамъ f2,f9---fn, входящпмъ въ это услов!е, теперь
прибавятся некоторый силы р2,Рз- • -Р*, обусловливаемыя силами
Р2.., Рп, и силы jp2r, pz\ . ,pnf, обусловливаемыя силами —Р2, —Р3,..
—Рп. Такимъ образомъ услсше F7) можетъ быть заменено тожде-
ственнымъ съ нимъ услов1емъ:
{FA cos(Pr^x) + f2 cos(/; ,§sx) -r . - . /■„ cos (/n,o\)
+ JP2 C0S (iV^l) "Г * ' -JPn 008(^,05,) G1J
4-i>2,cos(p2f,os1)-b . • -jPn'cosOn',^)]^^©.
Действительно, G1) отличается отъ F7) членами, которые равны
нулю, ибо силы Р и — Р сами по себе не могутъ произвести ника-
кпхъ перемещешй системы; а следовательно возможная работа силъ р
и р\ ими обусловленныхъ, равна нулю. Но съ другой стороны, члены
[ f2 cos {f2 $s{) +.--/"„ cos (/n ,052)
Г72)
+ i?2COS(i?2^S1)+ . . 'ftCOS^n,^)]^
выражешя G1) представляютъ теперь работу силъ, обусловливаемыхъ
равнодействующими всякихъ силъ Ри Р7, приложенныхъ къ точкамъ 2,
3... п\ а такъ какъ эти равнодействуюпця не могутъ произвести
перемещешй вдоль §s2, Sss...Ssn, то следовательно оне не могутъ
обусловить перемещешй въ ту или другую сторону вдоль по 8stm,
поэтому работа G2) должна быть равна нулю. Такимъ образомъ
услов1е равновепя точки 1, вдоль перемещешй Ss^ принимаешь видъ:
[P1cos(P13os1)+iJfcos^2,5051L- • • •|>nfcosQ>n^s1)]&1 = 0; G3)
т. е. обусловливается только силами Р\,—Р2,..— Рп.
Равновес1е системы не нарушится, если мы къ каждой паре то-
чекъ, 1 и 2\ 1 и 3'... 1 и п\ приложнмъ вдоль по лишямъ /2\ /3'... Рп
11

162
Глава II. Пгпнцнпы Динамики.
§ 2&
соответственно равныя и противоположныя силы + Q2 и — Q2, -f- Q3 и
— Фз * • • • + Фп и — фп. Затемъ выберемъ силы — Q2,... — Qn,
приложепныя къ точкамъ 2', 3'... п]\ такъ чтобы out, слагаясь съ
действующими уже тамъ силами —Р2, —Р3 •> • • —Д, давали равно-
дМствуюния, перпендикулярныя къ перемещешямъ са2, £<73. •. 0<тп,
онределяемымъ уравнешямн F8) и FУ), т. е. такъ чтобы
[— Q2 COS (Z3',0<72) — Р2 COS G2,&J2)] 0(Ta = О ,
[- Q3 cos (Z3',&j3) - рз cos G3,&3)] &j3 = О , G4)
[— Qn COSGn',6<7„) — Pn COS(Zn,G<V)] 0Gn — 0 .
Называя черезъ g2, #3... qn таьчя силы, которыя, будучи приложены
къ точке 1, пропзведутъ такое же пзъ ея возможныхъ перем'Ьщешй
какъ то, которое обусловятъ силы — Q2-- — Qn, мы можемъ
заменить услов1е равновесия G3) тождественнымъ съ иимъ услов1емъ,
прибавляя къ нему члены вида
[Q2cos(?2,,051)+. • . Qn cos(Zn',o\)
+ g2C0SB2^i)+ • • • ancoscjn,^)]^,
которыя должны представлять работу силъ, обусловливаемыхъ всеми
вновь введенными силами +Q и — Q, при чемъ эта работа очевидно
должна быть равна нулю. Но работа всехъ силъ—Р и—Q, т. е.
[jp2'cos(p2',£s1)+ • • -jPn'cosCpn'^s)
-+- 22 cosGb з^5i) + • • -2n cosF?n,^)]o51
должна обращаться въ нуль на основаши такихъ же соображение, какъ
и работа G2). Следовательно, услов1е G3) заменится услов1емъ
[Fx cos (F^SsJ + Q2 cos (Z2',o\) + • • • Qn cos (A',^)] 88l ^ 0 , G5)
и будетъ теперь зависеть только отъ силъ, непосредственно прило-
женныхъ къ точке 1. Но, на основаши F8) и F9), урр. G4)
превращаются въ
— Q2 cos (?2'3 SsJ о,9х — Р2 cos (l2 ,£s2) Ss2 = 0,
— $n COS (Zn',OSi) 05х — Рп COS lln,SSn) 0Sn = 0 .
Складывая все эти уравнения другъ съ другомъ и съ урр. G0), на-
ходимъ:
[Q2cos(?2'os1)+• . • Qncos(/n':051)]o6\
= F2cos(F.r$s2)os2-\- . • . (FncosFn,Gsn)osn,

§ 28
Глава II. Принципы Динамики.
163
всл4дств1е чего услов1е G5) превращается въ
F1qos(F1^s1)Cs1+F2cos(F21os2)Ss2-\- . . . Fnco${Fn,6sn)osn=--0,
или G6)
У Fcos {F^s).os^ 0 .
Повторяя по очереди тЬже разсуждешя, какъ выше, относительно
условШ равновЪня точекъ 2, 3 ... п, при перемЪщешяхъ cs2, 8sz... 6sn,
мы очевидно пр1йдемъ каждый разъ къ одному и тому же условш
G6). Точно также подобное же усл<ше будетъ получаться, если мы
ввгЬсто взаимно обусловливающихся перемЪщешй os1... Ssn возьмемъ
рядъ другихъ совмЪстныхъ перемЪщешй 8$^ $s2 ... Ssn и т. д., при чемъ
нЪкоторыя изъ нихъ могутъ быть совместны только для нЪсколькихъ
изъ точекъ системы и не зависать отъ всякихъ перемЪщешй
другихъ точекъ. Однимъ словомъ, подъ величинами 5^, Ss2... Ssn въ G6)
мы можемъ поэтому разуметь вообще всямя возможныя для системы
одновременный перемЬщешя, и общее услов!е равновЬс1я, выраженное
въ G6), будетъ состоять такимъ образомъ въ томъ, чтобы сумма
работ ъ взаимно уравновешивающихся с и л ъ была
равна нулю или отрицательна п^и всякихъ возможныхъ
для системы перемЪщен1яхъ.
Услов!е G6) можетъ быть представлено въ другомъ видЪ, съ
иомощпо составляющихъ силъ и перемЪщешй по осямъ
координата. Пусть X, У, Z будутъ три составляюпця по осямъ координатъ
силы, приложенной къ одной изъ точекъ системы, и пусть &, 8у, Sz
будутъ проложешя на оси координатъ одного изъ возможныхъ пе-
ремЪщешй этой точки. Тогда очевидно, услов1е G6) можетъ быть
представлено въ вид*
^(Хйх + TSy + Z&r) = О, G6)
гдЪ алгебраическая сумма берется по всЬмъ силамъ и пр всЪмъ
единовременно существующимъ перемЪщешямъ системы.
Услов!е равновЪпя мгновенныхъ силъ очевидно выразится т4ми
же формулами G6). Обозначая черезъ t безконечно короткое время
дМств!я мгновенной силы F и черезъ J— величину ея импульса, мы
им'Ьемъ:
* t '

164
Глава II. Принципы Динамики.
§ 29
причемъ величина t можетъ быть предположена какою угодно, если
данъ только импульсъ J. Предполагая поэтому, что все импульсы
силъ, приложенныхъ къ точкамъ систеты, совершаются одновременна,
и называя черезъ J*,JY,JZ ихъ слагаюнця по осямъ координатъ,
мы можемъ представить у с л о в i я р а в н о в 1, с i я и м п у л ь с о в ъ
въ следующемъ виде:
или " G6)'
2jJ*ox -г J.ctj + JzSs) = О.
§ 29* PaBHOBtcie веревочнаго многоугольника, какъ примЪръ
общей теор1и равновЪЫя.
Представимъ себе п матер1альныхъ точекъ, координаты кото-
рыхъ пусть будутъ хг, ух, zx... хп, упл zn\ первая изъ этихъ точекъ
соединена со второю, 2-я съ 3-ю и т. д., п—1-ная съ п-ю гибкими,
нерастяжимыми нитями /а,/2.. ./п_а; къ каждой изъ точекъ
соответственно приложены силы, слагающ1я которыхъ по осямъ координатъ
суть Ха, Z1.Z1,...Xn, I"n,Zn. Найдемъ соотношен1е между силами
и направлешями лиши 1г,т..1п__1% соответствукнщя равновеию
системы, и притомъ такъ, чтобы въ положены! равновЬпя нити, сое-
диняющ1я точки, были натянуты.
Начнемъ съ определешя соотношешй между возможными пере-
мещешями данной системы. Разстояшя между последовательными
точками системы не могутъ быть больше /^^.../п по причине
нерастяжимости нитей; но могутъ быть менее этихъ величинъ по
причине сгибаемости нитей. Такъ какъ нити въ положенш равновес1я
по условш натянуты, то разстояше между 1 и 2 точками будетъ при
этомъ 1г и выразится съ помощш координатъ этихъ точекъ следую-
щимъ образомъ:
h2 = (х2 — хг? + (У а — У г? + Оа — ^iJ •
Если точки, на концахъ лиши ?х, переместятся на $хг, 8уг, С£1: &г2
то разстояше между этими точками изменится и будетъ /x + ^i,
при чемъ
G, -т- о?,J = 02 + &&2 — ос1 — схгJ + (у2 + §у2 — уг — сугJ
2

§ 29
Глава II. Принципы Динамики.
165
Вычтемъ предыдупця равенства другъ изъ друга, и отбросимъ
квадраты и произведешя безконечно малыхъ перемещешй, такъ какъ они
будутъ очевидно безконечно меньше первыхъ степеней тЪхъ-же ве-
личинъ. Тогда получимъ:
1го1г = {х2 — xj (рх2 — охг) -г (у2 — уг) (8у2 — 8уг)
или такъ какъ (х2 — хг), {у2— уг), [z2 — аг) суть проложешя ли-
н1и lx на оси координатъ, то называя черезъ ах, j3x, Yi Углы это^
лиши съ осями координатъ, изгЬемъ:
л;2 — jcx = Zx cos аг, #2 — ?/х = ?х cos j3x, £2 — ^ = ?х cos yx,
вследств!е чего G7) обращается въ
8lx = (£#2 — о^1) cos ax -j- {%у2 — (?7/х) cos ^ 4- (о#2 — ^J cos Yi • G8)
Точно также найдемъ для перемещена концовъ остальныхъ нитей:
§12 = (ох, — ох2) cos а2 + (8ув — оу2) cos р2 + (&3 — S*2) cos T2 >'
Йа-1 = (о#„ — o#„_i) cos an_i + (оуп — Syn-i) cos !3n_i G8)
-Г (О^п — O^n—13 COS Yn-1 ,
при чемъ величины 5?1...о/п__1, совершенно независимы другъ отъ
друга, но должны быть все отрицательны или нули, ибо разстояшя
последовательныхъ точекъ могутъ только уменьшаться или
оставаться неизменными, но не увеличиваться. Число уравнешй G8), опре-
деляющихъ соотношетя между Зи совместно возможными переме-
щешями точекъ системы, будетъ п—1; следовательно съ ихъ помо-
щш мы опредЬлимъ п—1 перемещешй черезъ друпя 2ю+1, кото-
рыя останутся совершеняо произвольными. Такимъ образомъ въ усло-
Bie равновеая G6) войдутъ только 2п-\-1 изъ числа Ъп совместно
возможныхъ перемещены! Исключеше перемещено! изъ G6) съ по-
мощщ G8) произведемъ следующимъ путемъ. Каждое изъ урр. G8)
умножимъ соответственно на неопределенные множители лг, X2...An-i
и сложимъ съ G6): тогда получимъ:
У(Хсх ч- Toy -r Zoa)
4- \ (8х2 — охг) cos а2 -г ).j (Sy2 — оуг) cos fix -+- \ (8z2 — 0^) cos yx
+
+ An_i (8xn — o^n-i)cos an_i + An_! (oyn — Зуп-i) cospn_x G9)
4- An_i (&en — o#n-i) cos vn__1
r~ A^Zj 4- . . . An-idln-i ;

166 Глава II. Принципы Динамики. § 29
при этомъ множители \... Хи„1 определимъ такъ, чтобы коеффи-
щенты при (п—1) перемещешяхъ &r, oy, 8z. .. обращались въ нули.
Такимъ образомъ въ G 9J останутся только 2ю + 1 совершенно
произвольныхъ перемещение, при чемъ неравенство G9) только тогда
удовлетворится, когда коеффшценты при этихъ произвольныхъ величинахъ
будутъ нулями. Итакъ, приходимъ къ заключенш, что вообще коеф-
фищенты у всЬхъ Ъп перемещешй въ выражены G9) должны быть
нули, вследств1е чего само это неравенство распадается на Ъп слЪ-
дующихъ равенствъ:
Хг — ~кг cos т.г = О ,
Х2 + \ cos olx — Х2 cos a2
Xn + Xn_icosan_1 = 0.
1\ — Х2 cos j3x — О ,
Z2 + X, cos |3Х — A2 cos l32
Yn + Xn_i cos /3n_i = 0 .
^i — ^icos Ti — ^'
Z2 + Xj cos yx — X2 cos y2
Z„ + Xn_i cos Yn-i = 0 ,
при чемъ кроме того отъ G9) останется неравенство
ХД + ХД + . . -Хп^Йп^^О, (83)
которое удовлетворится только тогда, когда все X определятся
отрицательными, ибо при произвольной отрицательной величин* одной,
изъ cl остальныя могутъ быть нулями. Следовательно, если при дан-
ныхъ силахъ услов!е (83) не удовлетворено, то равновгЬс1е не
возможно.
Предыдуиця уравнешя и неравенство прежде всего показываютъ,
что paBHOBtcie, при данныхъ силахъ и направлешяхъ нитей, не
зависишь отъ длины этихъ последнихъ. Затемъ, если намъ дано
заранее распределеше нитей, т. е. даны всё углы а, C, y, to мы по урр.
(80)—(82) определимъ соотношелпя между следующими величинами:
между in составляющими силами X, Y, Z и между п—1
множителями X, т. е. между \п—1 неизвестными; а такъ какъ число урав-
нешй есть Ъп, то следовательно при этомъ п—1 составляющихъ
= О, (80)
=-0 . (81)
=-- 0 , (82)

§ 29
Глава И. Принципы Динамики.
167
останутся совершенно произвольными, и будутъ удовлетворять уело-
глю равновгЬпя, лишь-бы существовало неравенство (83), т. е. всЪ
X были-бы отрицательными. Если даны вс/Ь силы, то неизвестными
остаются п—1 множителей Хи 3 (п—1) косинусовъ угловъ с^,/^,
уг... а„_а, j3n_a, уп-1, т. е. in—4 величинъ. Но каждые три
косинуса угловъ одной и той же лиши съ осями координатъ связаны
уравнешями вида
cos2 a + c°s2 ft + cos2 у = 1,
число которыхъ въ данномъ случае будетъ очевидно п—1. Такимъ
образомъ для опредЪлешя in—4 неизвЪстныхъ будемъ им*ть in—1
уравиешй и одно неравенство, т. е. большее число уравнешй,
нежели неизвЪстныхъ. Отсюда видимъ, что не при всякихъ произвольно
данныхъ силахъ возможно равновЪсле разематриваемой системы.
Уравнешя (80)—(82) можемъ представить въ другомъ,
механически болЪе понятномъ вид*, написавъ сперва три первыя урр. трехъ
группъ (80)—(82), за тЬмъ—суммы двухъ первыхъ, трехъ первыхъ
и т. д. до суммъ всЪхъ п уравнешя каждой группы. Тогда полу-
чимъ и тройныхъ группъ такихъ уравнешй:
1) Х1 — лх cos ах — О,
1\ — Aj cos |3Х — О ,
Zx — А2 cos ух =г- О .
(84)
2)
А\+Х2
А2 cos а2 = О ,
1\ -f- У, — А2 cos |32 = О ,
Zx + Z2 — А2 cos у2 = О .
-1) X,
i'i + rs +
»)
X, 4- Хг -j
Уг + У2 4
Уравнения группы 1) даютъ:
x^ + iV + ^^V,
X„_i — Лп_1 cos an_i = 0,
У„_1 — Л„_1 cos /3„_i = О ,
Уп_1 — Лп-1 COS Yn-l = О .
ха = о,
У„ = о,
Z„ = 0.
(84)

168
Глава II. Принципы Динамики.
§ 29'
откуда, такъ какъ \ должно быть отрицательно:
\ = - y'Xj^T^+Z? = --«!, (85)
где Вх представляетъ величину равнодействующей силъ, приложен-
ныхъ къ 1-й точке. Такъ какъ далее
Хг ■=. 11г cos (R^x), Y1 = R1 cos (JR15y) , Z1 = E1 cos (Rx,z),
где (Вг,х)... иредставляютъ углы Вг съ осями координата, то урав-
нен1я группы 1) превращаются въ
cos аг = — cos {RX)X) , cos fit = — cos (Rx,y) ,
(86)
cos yx = — cos {R'^z) ,
откуда заключаемъ, что первая нить должна быть направлена отъ
первой точки противоположно силе Вг, приложенной къ этой
последней. Точно также вторая группа даетъ намъ:
\ = - ^Щ^^Т^Т^Т^^^^г^ = _ R2, (87)
где В2 есть величина геометрической суммы (но не самая сумма,
которая имеетъ кроме величины направлеше) силъ, приложенныхъ
къ 1-й и 2-й точкамъ, и такъ какъ далее
Хг -j- Х2 = В2 cos (i22,#) и т. и.,
то группа 2) даетъ
cosa2 = — cos(E2,#), cosp2 = — cos(iJ25y), и т. д., (88)
откуда заключаемъ, что вторая нить должна быть направлена отъ 2-й
точки противоположно геометрической сумме силъ, приложенныхъ
къ этой последней точке и къ предыдущей. Наконецъ точно также
изъ п—1) группы уравнешй (84) выведемъ, что последняя п—1-ная
нить должна быть направлена отъ п—1-ной точки противоположно
геометрической сумме силъ, приложенныхъ къ этой точке и ко всемъ
предыдущпмъ. Последняя группа п) уравн. (84) показываетъ, что
геометрическая сумма всехъ силъ, приложенныхъ къ точкамъ раз-
сматриваемой системы, должна быть равна нулю. Кроме того изъ
уравнешй (80)—(82) легко видеть, что приложенный силы должны
также удовлетворять условьчмъ
v(Yz — Zij) = 0 , S{Zx —Хг)=0, S(Ху — Yx) =-- 0 ; (89)
которыя вместе съ услов1ями п). т. е.
ZX=0, ZY=0, 2Z=--0, (90>

§ 30
Глава И. Принципы Динамики.
169
доказываюсь, что приложенный силы должны имЪть свойства взаим-
ныхъ силъ.
§ 30. Общее услов1е движешя системы. Принципъ д'Аламбера.
Если матер1альная точка свободна, то всякая сила къ ней
приложенная обусловить известное изм^неше ея движешя. Но если
точка не свободна и сила, къ ней приложенная, направлена во все
время движешя только въ сторону невозможнаго для точки перемЪ-
щешя, то такая сила не измЪнитъ очевидно движешя точки въ ска-
занномъ направлеши, ибо въ каждый моментъ движешя она будетъ
удовлетворять услов1ямъ равновЪ^я; самое же движеше будетъ
обусловлено мгновеннымъ или непрерывнымъ дгЬйств1емъ какихъ либо
другпхъ силъ, направленныхъ въ сторону возможныхъ перемйщешй
точки. Такимъ образомъ, если некоторая сила F приложена къ данной
несвободной движущейся матер1альной точкЪ, то вообще одна изъ
двухъ слагающихъ, на который мы можемъ разложить эту силу, будетъ
въ каждый моментъ движешя уравновешена услов1ями,
ограничивающими свободу движешя точки, а другая будетъ совпадать еъ однимъ
изъ возможныхъ перемЪщешй точки и обусловливать приращеше
скорости (геометрическое) по упомянутому направлешю; эта последняя
слагающая данной силы Т^носитъ назваше ускорительной с и л ы
по той причин*, что она именно обусловливаем измЪнеше
движешя тЬла. Зная массу т движущейся точки и предполагая извЪстнымъ
ея ускореше д, мы оиредЬлимъ величину ускорительной силы, какъ
произведете тд. При этомъ геометрическая разность
F ~ тд
представитъ очевидно другую слагающую силы F, не
обусловливающую измЪнешя движешя; эта последняя называется потерянною
с и л о ю. Предыдупця соображешя приводятъ насъ къ тому заключе-
шю, что потерянный силы.в о все время движен1я ихъ
точекъ приложен!я остаются въ равно Bid п. Этимъ за-
ключешемъ формулируется принципъ д'Аламбера.
То что было сказано объ одной движущейся точкЪ, прилагается
безъ измЬнешя къ цйлой систем* точекъ. Именно, каждую изъ силъ
Ft,F2...Fn, приложенныхъ къ различнымъ точкамъ системы, мы
можемъ разложить на дв* слагающихъ. Одн* изъ этихъ слагающихъ

170
Глава II. Принципы Динамики.
§ 30
взаимно уравновешиваются въ каждый моментъ движешя: друпя
производятъ измЪнеше движешя системы. При этомъ услов1я
движешя системы могутъ следовательно быть сведены къ услов1ямъ рав-
нов'Ьпя потерянныхъ силъ. Итакъ, если мы черезъ т1,т2%..тп
обозначимъ массы точекъ системы, черезъ дг, д2.. ,дп—ихъ ускоре-
шя, черезъ 8st, $s2... Ssn—как1я ннбудь совместно существуюиця
возможный перемещешя, черезъ а1,(х,2...ап—углы этихъ перемеще-
Hifi съ потерянными силами, то услов!я движешя системы, подъ дей-
ств1емъ силъ Fl,F2... Fn. выразятся, на основаши принципа д'Алам-
бера, слЬдующимъ образомъ:
(F1 ~ шхд^) cos аг озг + {F2 — м2д2) cos2 gs2
(91)
-г • • • OFn ~ шпдп)cosauosn--^0,
или вообще:
{F~mg} cos a os — 0 ; (92)
но такъ какъ проложеше равнодействующей равно алгебраической
сумме проложены слагающихъ, то выше приведенное услов1е можетъ
быть представлено въ виде:
[Fcos {Ffis) — тд cos (g,6s)] os~0, (92)'
при чемъ алгебраическая сумма берется по всемъ совместно
существующие возможнымъ элементарнымъ раоотамъ, и услов1е имеетъ
место для каждаго момента времени движешя. Вводя проложешя на оси
координатъ силъ, ускорешй и перемещент, мы можемъ услов1е (92)
представить въ виде:
[(X - тдх) ох + ( Г - тд^ оу + {Z — тдг) с*] = О. (93)
Въ случае одной точки, знакъ суммы въ выражешяхъ (92) и (93)
очевидпо не имеетъ места.
Если приложенный силы суть мгновенныя, которыхъ импульсы
даны, то въ такомъ случае мы можемъ предположить, что
продолжительность действ1я для всЬхъ силъ одна и таже t, ибо, при данномъ
импульсе J, величина силы и время ея действ1я остаются
произвольными, линцгбы произведете изъ нихъ было равно J. Въ та-
1
2
1

§ 30
Глава II. Принципы Динамики.
171
комъ случае услов1е (92) обращается въ
тд ' cos qlos = 0
t J <
или обозначая черезъ F~F0 обусловливаемое импульсомъ
геометрическое нриращеше скорости:
У[Т~т (V ~ Г0)] cos а & = 0,
ибо gt — V~ F0. Точно также услов1е (93) принимаетъ видъ:
Тк — Ш{и — и0)] Sx -f [«Ту — m (v — v0)\ су
[Jz — m(w — w0)] 8s\ = 0,
2f-
где и, v, w суть слагаюпця скорости по тремъ осямъ координатъ.
Если, во все время движешя, точки остаются совершенно
свободными, то всяк1я ихъ возможный перемещешя совершенно
независимы другъ отъ друга и произвольны. Въ такомъ случае услов1я
(93) или (92) только тогда могутъ оправдаться, когда каждый изъ
множителей при произвольныхъ величинахъ §хг, 8х2... оу1, оу2...
обращается въ нуль, т. е. когда
^i = Щ9хг, Уг = т1дп , . . .
X2 = m2gX2J и т. д.;
т. е. въ такомъ случай приложенныя силы измеряются произведе-
шями изъ массъ и ускорешй, ибо эти ускорешя данными силами
вполне обусловливаются. Въ случае связной системы, равенства (94)
очевидно вообще не будутъ уже иметь места.
Если силы, приложенныя къ точкамъ системы, во все время
ея движешя взаимно уравновешиваются, то для каждаго момента
движешя должно существовать услов1е
У(Х§х + Yoy + Zqz) = 0 , (95)
вследств1е чего услов1е движешя (93) принимаетъ видъ
2jn (gjx -f~ g7Sy + g£z) = £v , (96)
где £v представляетъ ту величину, отрицательную или нуль, въ
которую обращается выражеше (95). Если точки системы совершенно

172
Глава II. Принципы Динамики.
§ 30
свободны, то, при совершенной произвольности возможныхъ
перемещение, услов1е (96) имеетъ слгЬдств1емъ то, что все ускорешя
должны быть въ данномъ случае равны нулю, и движешя всехъ точекъ
системы—прямолинейныя и равномерный. Но если точки системы не
свободны, то вообще для удовлетворешя условш (96) нетъ
необходимости, чтобы всё ускорешя были равны нулю, ибо тогда переме-
щешя &г, оу... не будутъ уже вполне другъ отъ друга независимы.
Такимъ образомъ движете связной системы, подъ дМств1емъ взаимна
уравновешивающихся силъ, или вовсе безъ действ1я силъ, не исключаетъ
возможности изменешя движешя каждой отдельной точки системы,
а следовательно—и существовашя ускорительныхъ силъ. Примеры
такого рода действ1я однехъ только ускорительныхъ силъ мы видимъ
при равномерномъ двпженш точки по какой нибудь кривой лиши,
1*ъ которой она неразрывно сзязана, въ равномерномъ вращенш
твердаго тела около неподвижной оси, и т. п. Действительно, въ
томъ и другомъ случае мы имеемъ дело съ точкою или точками,
движущимися равномерно по кривымъ лишямъ; ускореше въ такомъ
случае должно существовать, ибо направление скоростей изменяется;
въ § 8 мы видели, что это ускореше (нормальное) должно быть
перпендикулярно къ направленш пути и направлено по рад1усамъ
соприкасающихся круговъ, къ центрамъ этихъ последнихъ; напра-
влеше силы, обусловливающей это ycKopeHie, съ нимъ совпадаете
Но съ другой стороны, кривая лишя въ первомъ примере, и круги,
плоскости которыхъ перпендикулярны къ неподвижной оси, во вто-
ромъ примере, представляютъ собою единственно возможный переме-
щешя для движущихся по нимъ точекъ; следовательно, если мы
представимъ себе силы, которыя, обусловливая вышеупомянутая
нормальный ускорешя, будутъ въ каждый моментъ движешя
перпендикулярны къ направленш единственно возможнаго движешя, то таьия
силы всегда будутъ удовлетворять условш равновес!я.
Причина того кажущагося парадокса, что одинъ разъ, принимая
услов1е (95), мы темъ полагаемъ, что приложенный силы взаимно
уравновешиваются и не производятъ следовательно изменешя
движешя, а затемъ услов!емъ (96) допускаемъ, что на точки системы
темъ не менее действуютъ ускорительныя силы, заключается въ
следующемъ. Введя понят1е о силе, какъ о причине изменяющей
движете, мы говоримъ, чт^ это изменеше можетъ еще происходить
вследств1е условш связности системы; такъ напримеръ, точка должна

§ 31 Глава II. Принципы Динамики. 173
двигаться по кругу, если существуетъ сила, направленная къ его
центру и скорость, перпендикулярная къ рад1усу; но эта точка
должна также двигаться не иначе, какъ по кругу, если она неизменно
соединена съ его центромъ; или еще: сила, приложенная къ данной
точке, съ одной стороны, будетъ всегда уравновешена другою, ей прямо
противоположною и равною, а съ другой стороны, таже сила мо-
жетъ также уравновеситься некоторымъ препятств1емъ, если точка
не можетъ оставить поверхности, перпендикулярной къ упомянутой
силе. Поэтому услов1я связности системы мы должны разсматривать,
какъ нЬкоторыя силы, приложенныя къ точкамъ системы и измЬня-
юпця первоначально сообщенный скорости или уравновешивакшця дру-
пя данныя силы. Следовательно, если мы говоримъ, что силы,
приложенныя къ точкамъ связной системы, во время ея движешя равны
нулю, то темъ самымъ не исключаемъ возможности существовали
другихъ силъ, обусловливаемыхъ связностш системы.
Услсшя (93) позволяютъ найти соотношешя (рядъ уравнешй)
между данными силами, данными отношешями возможныхъ переме-
щенш другъ къ другу и искомыми ускорешями. Это распадеше усло-
вШ F3) на рядъ уравнешй движешя совершается подобнымъ же
образомъ, какъ въ случае равновес1я, разсмотренномъ въ предыду-
щемъ параграфе. Найдя такимъ образомъ ускорешя, мы определяемъ
но нимъ движете точекъ системы съ помощно суммовашй, смыслъ
которыхъ былъ разъясненъ въ § 10 и § 11, но производить
который учитъ насъ Интенгральное Исчислеше. Полнымъ изследовашемъ
всЬхъ следствШ, вытекающихъ изъ условШ F3), занимается
Аналитическая Механика. Мы ограничимся выводомъ изъ нихъ некото-
рыхъ общихъ свойствъ движешя системы.
§ 31. ИзмЪнемя количества движешя и его момента,
отнесенный къ единиц* времени.
Предположимъ, что данная система, кроме всякихъ другихъ
возможныхъ для ея точекъ перемещен^, можетъ передвигаться
всеми своими точками одинаково по всЬмъ направлешямъ. Въ этомъ
случае между возможными совместными перемещешями §хл$у...
точекъ системы найдутся таюя, при которыхъ все 8х будутъ для
каждой изъ точекъ одинаковы, и равны, положимъ, 8а; точно также все

174
Глава II. Принципы Динамики.
§ П
су~сЪ, всЬ 8^ = 8с. Уелов1е (93) для такихъ перемйщешй
обращается въ
оа£ (X — тдх) + ЙЯ (Г — mgY) + ScS (Z — тдг) = О. (97)
Давая величинамъ 8а, 8Ъ, 8с различный нроизвольныя безконечно ма-
ЛБ1Я положительный или отрицательный значешя, мы будемъ
получать проложешя на оси координатъ различныхъ произвольныхъ пе-
ремЪщенШ точекъ системы по различнымъ направлешямъ, но одина-
ковыхъ для всЬхъ точекъ. Если тамя перемЪщешя для системы
возможны, то, всл*дств1е совершенной произвольности величинъ 8а, 8h
и 8с, услов1е (97) можетъ только тогда быть вполне удовлетворено,
когда каждый изъ множителей при упомянутыхъ трехъ
произвольныхъ величинахъ будетъ равенъ нулю, т. е. когда
Swifirx = SX, Sm^fy^SY, Sw^sr=SZ. (98)
Но, на основанш § 7, A6), мы имЁемъ вообще:
v v dvx
Zmgx — 2dm-jr- л т. п.,
или такъ какъ сумма ириращенШ равна очевидно приращенпо суммы, то
ьтдх = —=— и т. п.,
гдгЬ приращеше берется алгебраическое, какъ было объяснено въ
§ 7. Такимъ образомъ урр. (98) превращаются въ
dZmvx dZmVy dLmvz v~ QCn
гдгЬ лгЬвыя части выражаютъ очевидно алгебраичесюя приращешя
слагающихъ количества движешя системы по осямъ координатъ, от-
несенныя къ единиц* времени, или короче—и з м £ н е н i я упомянутыхъ
слагающихъ со временемъ. Три уравнешя (99) очевидно
выражаютъ тоже самое, что уравн. E1), (§ 25). Действительно, это
последнее уравнеше мы получаемъ непосредственно, складывая
геометрически урр. (99). При этомъ геометрическая сумма трехъ слагающихъ
2Х SZ, ItZ представитъ очевидно геометрическую сумму всЪхъ силъ,
приложенныхъ къ точкамъ системы; т. е.
SX^SY + SZ = IF;

§ 31
Глава II. Принцицы Динамики.
175
точно также геометрическая сумма трехъ изм'ЬненШ еоставляющихъ
количества движешя предстэвитъ измЪнеше самаго количества дви-
жешя, т. е. геометрической суммы Hmv. Такимъ образомъ мы
полу чимъ:
^ = ». со»,
гд'Ё суммы и ихъ приращеши берутся геометрически. Изъ ур. A00)
выводимъ тЬже самыя заключения для данной связной системы, какъ
и изъ ур. E1)—для сводоГшой консервативной.
Предположимъ еще, что данная система, кромЪ своихъ прочихъ
возможныхъ перемещен!?!, можетъ еще всЬми своими точками
вращаться безконечно мало около всякой произвольно выбранной оси.
Пусть 5а, 5[3, 5у будутъ три произвольный вращешя около трехъ осей
координатъ; тогда, на основанш §13, мы знаемъ, что, придавая этимъ
величинамъ произвольный положительный или отрицательный значе-
шя, мы можемъ съ номощпо ихъ представить всевозможный
вращешя около всевозможныхъ осей. Если р, q, r будутъ каюя-либо
произвольный угловыя скорости, съ которыми произведены вращешя
5а, 5|3, 5у, въ теченш элемента времени dt, то очевидно, что
са — pdt, 5]3 — qdt, 5у = rdt; ,
если и, v, w будутъ при этомъ скорости точки (#, т/, z) системы, то
перемЪщешя Зх, §у, Sz этой точки будутъ очевидно
ох = udt, $у = vdt, Sz — wdt.
На основаши этихъ соображешй, помножая об* части урр. (80) (§ 13)
на dt, мы находимъ следующее выражеше для совмЪстныхъ пере-
мЪщешй точекъ системы при ея вращеши на 5а, 5]3, 5у:
ох — усу — zop ,
о у = zCol — xSy , A01)
Sz — xS$ — ySa .
Въ этихъ уравнешяхъ множители #, у, z будутъ различны для раз-
личныхъ точекъ системы, множители же 5а, 5|3, 5у—одинаковы.
Подставляя перемЬщешя A01) въ услов1е (93) и приравнивая нулю
множители при произвольныхъ величинахъ 5а, 5j3, 5у, мы полу-
чаемъ:

176 Глава И. Принципы Динамики. § 31
2/а [гд1 — удг) = £fjz — Zy),
2>п (хдг - zgx) = ^(Zx - X*) , A02)
2jn (ygx — xg7) = 2JiXy — Tx) •
Сравнивая эти уравнешя съ выражешями C8) (§ 23) слагающихъ
моментовъ по осямь координатъ, мы находимъ, что лЪвыя части
A02) представляютъ слагавшие моменты измгЬнен1я количества дви-
жешя по осямъ координатъ, а правыя—моменты приложенныхъ силъ.
Написавъ лЪвыя части A02) въ виде
\\г d(mvy) — у d(mv7y\
dt
и т. д.
где символъ d обозначаетъ безконечно малое алгебраическое прира-
щеше, въ течеши элемента времени dt. мы найдемъ, что числители
этихъ выражешй представятъ слаганнще моменты приращешй
количества движешя. Но моментъ прпращешя вектора равенъ приращешю
момента того-же вектора (§ 24, D7)); следовательно:
У\0 d(mvy) — у d(jnvz) йУ&ть ~ Hmv^ /103 >
dt dt
и т. д. Складывая геометрически правыя и лЪвыя части выраженШ
A02), и обозначая черезъ д длину перпендикуляра изъ начала
координатъ на направлеше соответствующая ускорешя g
(геометрической суммы ^x + ^y-f^z), а черезъ ь—ддпну перпендикуляра изъ
начала на направлеше приложенной силы F (геометрической суммы
Х*\* Y <-{- Z), мы находимъ:
^mg.d==^Fb, A04)
выражеше тождественное съ E5) (§ 25), при чемъ обе суммы I
берутся геометрически. Обозначая затЪмъ черезъ о длину
перпендикуляра изъ начала координатъ на направлеше скорости v
(геометрической СуММЫ Vx^Vj^Vz), И ПОМНЯ, ЧТО
i jmv.8 = Jfrng.d) dt.

§ 32
Глава II. Принципы .Динамики.
177
где символъ Д обозначаетъ геометрическое приращеше, мы полу-
чаемъ изъ A04):
dt
т. е., въ случай существовали упомянутыхъ возможныхъ пере-
мещешй, приращен!е (геометрическое) момента к о л и-
чествъ д в и ж е н i я системы измеряется м о ментом ъ
приложенныхъ силъ.
Следовательно вообще: если для точекъ связной
системы существуетъ возможность одновременны хъ
произвольны хъ, но одинаков ыхъ для в с е х ъ точекъ, п о-
ступательныхъ перемещен^ и в р а щ е н i й, то
приложенный силы производятъ въ системе такое-же измене-
Hie количества движен1я и его момента, какъ во
всякой свободной консервативной системе; т. е. одна и та-
же геометрическая сумма приложенныхъ силъ обусловитъ одно и
тоже изменеше количества движешя, къ какой-бы системе силы,
составлявшая эту данную геометрическую сумму, ни были приложены,
лишь-бы упомянутая система могла всеми своими точками одинаково
поступательно перемещаться; точно также одинъ и тотъ-же моментъ
силъ всегда произведетъ одинаковое изменеше момента количества
движешя системы, какова-бы она ни была, лишь-бы ея точки могли
одновременно вращаться около произвольно выбранныхъ осей.
§ 32* Центростремительная и центробежная силы.
Мы уже видели въ § 7 и § 8, что ускореше всякаго криволиней-
наго движешя можетъ быть разложено на два слагающихъ ускоре-
шя, изъ которыхъ одно всегда совпадаетъ съ направлешемъ
движешя, а другое ему перпендикулярно и направлено къ центру
соприкасающаяся круга; первое есть тангенц1альное ускореше,
второе—центростремительное. Сообразно съ этимъ, всякая сила,
обусловливающая криволинейное движеше матер1альной точки,
разлагается на две—тангенц1альную и
центростремительную. При прямолинейномъ движеши свободной матер1альной точки,
можетъ действовать только одна тангенщальная сила; при равномер-
12

178
Глава II. Принципы Динамики.
§ 32
номъ криволинейномъ—одна центростремительная, величина которой
вообще различна для каждаго элемента криволинейнаго пути, и остается
постоянною, только если путь круговой. Если точка не свободна, то
мы можемъ представить себе ея движете криволинейнымъ, безъ дей-
ств1я какой либо приложенной силы, при чемъ изменете направле-
тя пути будетъ происходить всл£дств1е услов1я несвободы точки,
а самое движете можетъ быть слЬдств1емъ скорости, сообщенной
точке на первомъ элементе ея пути. Примеръ такого рода движешя
представитъ точка, вращающаяся равномерно около центра, съ кото-
рымъ она связана нерастяжимою нитью, или точка, движущаяся
равномерно по изогнутой проволоке, которую она не можетъ оставить,
или точка, движущаяся внутри криваго канала, и т. п. Во всехъ
этихъ движетяхъ несвободной точки существуетъ
центростремительное ускорете, а следовательно должна существовать и
центростремительная сила. Если эта последняя не дана, какъ некоторая
известная сила, обусловленная известными другими действующими
массами, то мы должны источникъ ея искать въ техъ матер1альныхъ
препятств1яхъ, которыя ограничивают въ данномъ случае свободу
движетя точки. Поэтому мы говоримъ, что нить тянетъ матер1альную
точку къ центру, или каждый элементъ проволоки или канала, по
которымъ проходитъ точка, толкаетъ ее къ центру соприкасающагося
круга. Но если какая нибудь матер1альная система своимъ присут-
ств1емъ обусловливаетъ как1я либо силы на другую систему или
точку, то эта последняя, по третьему закону Ньютона, должна
действовать на первую съ силами равными и противоположными.
Следовательно, если въ данномъ случае матер1альныя препятств1я
обусловливают действ1е на несвободную точку центростремительной
силы, то и сама движущаяся матер1альная точка должна
действовать на эти препятств1я съ силою, равною и противоположною
центростремительной; такая сила называется центробежной).
Другими словами, если нить тянетъ матер1альную точку къ центру или
если каждый элементъ проволоки толкаетъ эту точку къ центру, то
и сама движущаяся точка обратно натягиваетъ нить и обратно
толкаетъ элементъ проволоки прочь отъ центра. Что такая
центробежная сила действительно существуетъ, мы видимъ изъ того, что съ
увеличетемъ скорости, квадрату которой эта сила должна быть про-
порщональна, нить обрывается и проволока ломается. Кроме давле-
тя на матер1альныя преграды, обусловленная центробежного силою,

§ 32
Глава II. Принципы Динамики.
179
жожетъ еще очевидно существовать давлеше, обусловленное какою
либо приложенною силою, если эта последняя, или часть ея, дей-
•ствуетъ въ направлены! невозможныхъ перемещенШ.
Къ тЪмъ же самымъ выводамъ относительно существоватя и
значешя центробежной силы мы пр1йдемъ, если будемъ разыскивать
для несвободной точки величину потерянной силы, удовлетворяющей
общему условш движешя (93). Если величина и направлеше
приложенной къ точки т силы будетъ Р7, а величина и направлеше уско-
решя д, то величина и направлеше потерянной силы выразится
геометрическою разностш
F~mg. A06)
Эта сила должна быть уравновешена данными сопротивлешями,
обусловливающими несвободу точки. Если точка не можетъ оставить
данную поверхность, то на основанш услов1й равновес1я, которыя
должны удовлетворяться въ каждый моментъ движешя, потерянная
сила должна быть всегда перпендикулярна къ поверхности, и
величина ея найдется, если мы каждую изъ двухъ силъ A06) проложимъ
на нормаль къ поверхности и найдемъ алгебраическую сумму этихъ
проложешй. Следовательно, если Р будетъ величина потерянной
силы и п—направлеше нормали въ какую нибудь сторону отъ
поверхности, то
Р = JFcos {F,ri) — тд cos (#,w). A07)
Но, по § 7,
, ^2
* 9 = 9*^9* = 9f\-—,
?
где сумма берется геометрически, gt и дп перпендикулярны другъ
къ другу, v есть скорость движешя, р—рад1усъ соприкасающагося
яруга, и дп направлено отъ окружности къ центру этого круга.
Следовательно:
V2
д cos {g,ri) = gt cos (gt,n) — — cos (p,w) ,
P
если направлеше p считать отъ центра къ окружности, т. е. проти
воположно дп. Но такъ какъ gt и п перпендикулярны другъ къ
другу, то A07) превращается въ
Р = F cos (J» + — cos (p,w) . A08)

180
Глава И. Принципы Динамики.
§ 33
Если приложенная сила равна нулю, то услов1е движешя обращается въ
— тд cos (g,§s).8s~~ 0 ,
где 8s есть одно изъ возможныхъ перем'Ьщешй точки въ каждый
момента ея движешя. Но если точка движется по поверхности, то
для нея возможны, какъ положительныя, такъ и отрицательныя
величины Ss\ следовательно, или должно быть д — О, и тогда нЪтъ дви-
яенщ, или cos (gfis) = 0, и тогда cos (р,м) = =±=1, вслгЬдств1е чего
по A08):
P^z^, A09)
где знаки ± берутся, смотря потому, совпадаютъ-ли р и и, или
направлены другъ другу противоположно. Если точка можетъ оставить
поверхность въ сторону, противоположную^, то Р должно быть всегда
положительно или нуль, для того чтобы возможная работа—Р$п оставалась
всегда отрицательною или нулемъ. Въ такомъ случае, если cos (F,n) и
cos (р,ю) въ A08) положительные, то движете'возможно по поверхности
со всякою скоростт; если оба косинуса отрицательные, то движете
по поверхности невозможно; если знаки коспнусовъ различные, то
движете возможно, когда
JPcos (JP,w)> — cos (p5wj, или —- Pcos (F,n)< cos (p,«) ,
p ?
смотря по тому, будетъ-ли cos( F,n) положительный или
отрицательный. Если наконецъ,
7I V
Fcos (F, n) = cos (р , п) , A10)
Р
то давлеше Р=0, и движете происходитъ такъ, какъ будто точка
была свободна, т. е. вполне обусловливается только одною силою
F, независимо отъ присутств!я поверхности.
§ 33* Кинетическая энерпя.
Въ предыдущихъ параграфахъ мы разсматривали работу,
которую данныя силы только могли-бы сделать при данныхъ услов1яхъ.
Теперь обратимся къ той работе, которая действительно совершается

§ 33
Глава II. Принципы Динамики.
481
силами при данномъ движенш ихъ точекъ приложетя. Прежде всего
•опредЪлимъ работу, совершаемую ускорительною силою.
Пусть OS (рис. 60) будетъ криволинейный
путь, по которому происходитъ движете данной
. г»
матер1альной точки ж, свободной или нЪтъ, и Од—
направлеше ускоретя въ точке О этого пути. Для
0 ^У^—~-> каждой точки пути, вообще говоря, величина и
Рис. 60. направлеше ускоретй будутъ различны; но для
двухъ безконечно близкихъ точекъ величины и направлешя ускоретй
будутъ другъ отъ друга отличаться безконечно мало, если движете
изменяется непрерывно. Въ этомъ предположены мы всегда можемъ
отложить отъ точки О, вдоль по траэкторш OS, некоторую
безконечно малую длину пути Os, для которой величина и направлете
ускоретя останутся неизменными. Если элементъ Os будетъ безконечно
малымъ, то изъ этого вообще не следуетъ, что онъ долженъ быть пря-
молинейиымъ, ибо не всякая безконечно малая часть кривой линш
представляется прямолинейнымъ элементомъ, хотя на таюе элементы
всякая кривая можетъ быть разбита. Разбить путь движущейся точки
на прямолинейные элементы—значитъ сравнить данное движете съ
безконечнымъ рядомъ другихъ различныхъ равномерныхъ движетй,
изъ которыхъ каждое безконечно близко подходитъ къ данному,
совершающемуся на той или другой части пути. Разбить движете на
рядъ элемеитовъ съ постоянными, но для каждаго элемента разными,
ускоретями, значитъ сравнить данное движете съ безконечнымъ
рядомъ другихъ различныхъ параболическихъ движетй, изъ которыхъ
каждое безконечно близко подходитъ къ данному, на
соответствующей части пути. Такимъ образомъ, элементъ Os, отложенный нами
вышеописаннымъ способомъ, представитъ собою часть параболы, ко.
торая можетъ на длине Os совпадать съ кривою Os. Пусть Оу и Ох
будутъ проложетя элемента Os на направлеше ускоретя д и на
направлете ОА къ нему перпендикулярное. Тогда работа dL
ускорительной силы тд на элементе пути Os будетъ равна но F0)
произведение изъ проложетя перемещетя на силу и величины силы, т. е.:
dL^mg . Щ. (HI)
Но путь Оу проходится проложешемъ движущейся точки
равномерно ускоренно (см. § 9), съ ускоретемъ д; следовательно, если

182 Глава II. Принципы Динамики. § 3S
мы обозначимъ черезъ tH и г)г начальную и конечную скорости про-
ложешя на пути Оу, то (§ 6, A0)):
откуда
dLx = ~ (тю^ - mv02) . A12)
Такъ какъ направлеше ОА перпендикулярно къ направленш
ускорешя, то скорость движущейся точки по ОА будетъ неизменна.
Называя эту скорость черезъ и, а начальную и конечную скорости
по траэкторш — черезъ v0 и vt, мы будемъ им^ть:
V = u2 + V , v = u2 + V>
BCi^CTBie чего A12) превращается въ
dL^^l-^l. (ИЗ)
Половина произведешя изъ массы движущейся точки и квадрата
ея скорости называется кинетическою энерНею или живою
силою *) данной массы. Выражеше A13) показываетъ, что
работа ускорительной силы на элементе пути, пока у с к о-
peHie остается неизменнымъ, измеряется прираще-
н1емъ кинетической энерНи на этомъ пути.
Если элементъ пути безконечно малъ и измЪнеше движешя про-
исходитъ непрерывно, то упомянутое приращеше живой силы будетъ
тоже безконечно мало; обозначая это приращеше символомъ d, мы
можемъ форм. A13) представить вообще въ виде
« = <^), (И*)
для всякаго элемента пути.
Къ тому же самому мы прШдемъ, вычисляя; работу слагающихъ
ускорительныхъ силъ по осямъ координатъ. Пусть dbx, dLY, dLz
будутъ работы, выполняемыя соответственно силами тдх, пьду, тд%,
въ течеши элемента времени dt, и пусть dx, dy, dz будутъ проло-
жешя на оси координатъ элемента пути ds, проходимаго въ течете
времени dt точкою приложешя этихъ силъ. Тогда
*) Н-Ькоторые авторы называли живою силою произведете mv2.

§ зз
Глава II. Принципы Динамики.
183
dLx = тдх . dx , dLv = тду . й?/, c?Zz = тдг. ^ •
Обозначая затЪмъ черезъ цс, tH, n>0, ur t^, lDi слагаюнця
скорости но осямъ координатъ для начала и конца времени dt, и помня,
что, въ течеши элемента времени dt, движешя по осямъ координатъ
могутъ быть разсматриваемы, какъ равномерно ускоренныя, мы най-
демъ, что
dx-^L^l dv-Pia-Ooa д._Я»1а-Юоа
**- 2<?х > ^- 2gY > Л— 2^z >
откуда
111
dLx = - (тПг2— ти02) ,dLY — - {тъ2 — mv02) , diz =-(wnI2 - WtH2);
но такъ какъ
dZ = dLx -\- dLY -\- dLz,
V +V + К1 = V> V -t- V + *V = V-
TO
1
dL = ~ {mv2 — mv2) .
Всякую конечную длину криволинейнаго пути матер1альной точки
мы разобьемъ на рядъ послЪдовательныхъ элементовъ, съ
постоянными ускорешями. Если движете непрерывно, то конечная скорость
предыдущаго элемента будетъ начальною скоростш последующа™.
Называя черезъ v2, v3...v скорости въ концахъ втораго, третьяго
и т. д. до послЬдняго м-наго элемента разсматриваемаго пути, мы
найдемъ, что работы ускорительной силы, dLt, dL2,...dL, на этихъ
элементахъ будутъ
dL1 = ^(v12 — v02),
dl*-! = ~2 (Vn-i2 — vn_22) ,
dL =^-vu^).
Складывая предыдунця равенства (алгебраически), мы получаемъ
въ левой части алгебраическую сумму

184
Глава II. Принципы Динамики.
§ 33
dLx -j- dL2 -f- . • . dL ,
которая представитъ работу ускорительной силы, действующей
непрерывно и переменно, на всЬхъ элементахъ пути OS, отъ того места,
гд-fe скорость движущейся точки есть v0, до того места, где эта
скорость есть v. Называя эту интегральную работу черезъ Z,
мы получимъ въ результате сложешя упомянутыхъ равенствъ:
mv2 mvJ"
откуда видимъ, что работа ускорительной силы навсякомъ
пути измеряется и р и р а щ е н i e м ъ кинетической энер-
г in на э.томъ пути.
Если мы имеемъ целую систему матер1альныхъ точекъ, то
работа ускорптельныхъ силъ для каждой изъ нихъ выразится разностш
A15). Алгебраическую сумму живыхъ силъ всЬхъ движущихся
точекъ системы, взятую для даннаго момента времени, будемъ
называть кинетическою энерг1ею системы. Если мы обозначимъ
Т= 1 \mv* и Т0 =-- ~ ^ит;02, A16)
где алгебраическая сумма берется по всЬмъ единовременнымъ скоро-
стямъ точекъ системы, и если мы подъ L будемъ подразумевать работу
всЬхъ ускорптельныхъ силъ, при одновременномъ переходе точекъ
системы отъ однехъ скоростей къ другимъ, то очевидно, получимъ:
L = T—T0. A17)
Обратимся теперь къ работе, совершаемой силами, приложенными
къ точкамъ системы, при действительность перемещены! этихъ по-
следнихъ. Пусть ds будетъ элементъ пути, пройденный одною изъ
точекъ системы въ течеши элемента времени dt; если F представ-
ляетъ величину и направлеше силы, приложенной къ этой точке, то
работа силы F при упомянутомъ перемЬщеши будетъ Fcos (F,ds) ds.
Соотношеше между суммою работъ силъ, приложенныхъ къ точкамъ
системы, и суммою работъ ускорптельныхъ силъ представляется
услов1емъ (92;) для всякихъ совместныхъ возможныхъ перемещение
системы. Но данный дЬЙствительныя ховместныя перемещетя точекъ
системы очевидно тоже принадлежатъ къ числу возможныхъ; поэтому
услов1е (92') должно относиться также и къ действительнымъ пере-
мещешямъ, для которыхъ оно обращается въ

§ 33
Глава II. Принципы Динамики.
185
У [fcos (F, ds) —mg cos (g , dsj\ ds = 0, A18)
где алгебраическая сумма берется по вс/Ьмъ точкамъ системы.
Если услов1я, связываюипя возможныя перемгЬщен1я точекъ
системы, остаются одни и тЪже для всякаго времени, то очевидно, что,
рядомъ съ системой дМствительныхъ перемещение, непременно должна
существовать система другихъ возможныхъ перемещешй, прямо про-
тивоположныхъ первымъ. Если такъ, то выражеше A18) должно
для каждой системы дМствительныхъ перемещешй обращаться въ
нуль. Действительно, если-бы это выражеше делалось отрицатель-
нымъ для системы дМствительныхъ перемещешй, то оно делалось-бы
необходимо положительнымъ для системы возможныхъ перемещешй,
прямо противоположныхъ действительными, а положительнымъ оно
по условно не можетъ быть ци при какой систем* возможныхъ
перемещение Итакъ, полагая A18) равнымъ нулю и помня A14),
мы получаемъ, что работа приложенныхъ силъ равна работ* ускори-
тельныхъ силъ; т. е.: '
У Fcos {F , ds) ds^Xd p^j , A19)
или такъ какъ сумма приращешй какихъ либо величинъ равна
очевидно приращенш суммы этихъ величинъ, то
V cos (F ,ds)ds = dy ^ = dT, A20)
или
{Xdx + Ydy + Zdz) = dT • A20)'
т. е. работа приложенныхъ силъ при каждомъ элемен-
тарномъ перемещен!и точекъ системы, обусловлен-
номъ этими силами, измеряется соотвЪтственнымъ
приращен1е.мъ кинетической энерНи системы.
Складывая работы, производимыя приложенными силами на каж-
домъ изъ ряда послЪдовательныхъ элементарныхъ перемещешй
системы, мы получимъ работу i, произведенную упомянутыми силами,
при любомъ конечномъ перемещены системы изъ одного положешя
въ другое. Точно также, складывая приращешя кинетической энерпи
при техъ-же элементарныхъ перемещешяхъ, и помня, что кинетическая
энерпя при конце одного перемЪщешя будетъ очевидно начальною

186
Глава П. Принципы Динамики.
§ 33
для последующа™ перемещешя, мы получимъ приращеше кинетической
энергш на всемъ конечномъ переходе. Следовательно, обозначая че-
резъ Т0 и Т начальную и конечную величины кинетической энерпи,
соответствующей данному переходу, мы получимъ, на основанш A20):
L = T-T0; A21)
т. е. работа силъ, обусловливающихъ д в и ж е н i e
системы, равна всегда соответственному конечному или
безконечно малому приращенш кинетической энер-
г i и системы.
Въ случае мгновенныхъ силъ, исходя изъ услов1я (93)', если
оно для действительная движешя обращается въ нуль, имеемъ:
ах = u0t -j -- t = - t,
ибо силы, действуюиця въ теченш безконечно малаго времени t,
могутъ быть приняты постоянными, а соответствующее движеше —
равномерно ускоренными Поэтому заменяя въ (93)' возможныя
перемещешя &r, 8у, bz дейтвительными dx, dy, dz, получимъ:
У
}(J«JLp +J,"±+! + j^p!) = г-Г,. (ШГ
или такъ какъ
Jx =z Jcos (J, x) и т. д., и = Vcos(F,#) и т. д.
где V есть результирующая отъ и, v, w, и такъ какъ
cos(J,x)co$(V,х) + cos («7, у) cos (V, у) -j- cos (J)Z) cos (V, z)
= cos (J, V) ,
то A21)' можно представить въ такомъ виде:
^J[rocos(J, V0)+ Fcos(</, 7) = Г-Т0, A21)"
2
или
yU(r0+v) = i-T0.
Итакъ, для измерешя работы, произведенной силами,
приложенными къ точкамъ системы, нужно знать, кроме массъ, связан,
ныхъ съ этими точками, еще только ихъ начальныя и конечныя ско-

§ 34
Глава II. Принципы Динамики.
187
рости, независимо отъ формы пути, пройденнаго каждою точкою, или
отъ измЪнешя силъ, действовавшихъ на этомъ пути. Но отсюда не
следуетъ однако, что упомянутая работа или приращеше
кинетической энерпи не зависитъ, при данной форме пути, отъ величины силъ,
действующихъ на каждомъ его элементе, или, при данныхъ си-
лахъ—отъ формы пути; ибо, хотя работа силъ и вычисляется только
съ помощш начальныхъ и конечныхъ скоростей, эти послЪдшя
однако, при различныхъ силахъ и при различныхъ формахъ путей ихъ
точекъ приложешя, вообще будутъ различны.
Должно обратить внимаше на то, что, на основанш общаго усло-
вт движешя A18), только сумма работъ приложенныхъ силъ равна
сумме работъ ускорительныхъ силъ, и следовательно—приращенш
суммы живыхъ силъ системы. Но изъ этого равенства не следуетъ
общее заключеше, что работа каждой отдельной силы, действующей
на какую-либо точку системы и обусловливающей ея движете, вообще
равна работе ускорительной силы, приложенной къ той-же точке.
Поэтому приращеше живой силы каждой отдельной точки системы,
измеряя работу ускорительной силы этой точки, независимо отъ
величины ускорительныхъ силъ другихъ точекъ, не будетъ вообще
представлять также работу силы, приложенной къ этой точке. Точно также
работа потерянной силы не будетъ равна нулю для каждой отдельной
точки системы, при ея действительномъ движеши, а будетъ нулемъ
только сумма работъ потерянныхъ силъ для всехъ точекъ системы.
Только въ случае, если точки системы совершенно свободны, приложенныя
силы тождественны съ ускорительными, и все заключешя,
относящаяся къ работе ускорительныхъ силъ, имеютъ место и для работы
приложенныхъ силъ.
Кинетическая энерпя, представляя некоторую работу,
измеряется очевидно единицами работы, т. е. эргами. Единице
кинетической энерпи будетъ очевидно соответствовать живая сила единицы
массы, обладающей скоростш У^ или живая сила двухъ единицъ
массы, обладающихъ скоростш, равною единице.
§ 34* Работа взаимныхъ силъ.
Прежде всего припомнимъ, что взаимныя силы, по самому
своему определешю, суть силы центральны я; т. е. лишя направлешя
каждой изъ взаимныхъ силъ, действующихъ на данную матер!альнун>

188
Глава. II. Принципы Динамики.
§ 34
точку, непременно проходптъчерезъ какую нибудь другую матер1альную
точку, или, другими словами, всякая сила, дгЬйств1е которой мы объ-
ясняемъ присутств1емъ матер1альныхъ массъ, должна разбиваться
на составляйся, направленный къ какимъ либо матер!альнымъ точ-
камъ. Такъ напримеръ, если мы имеемъ две точки А и Д изъ ко-
торыхъ къ одной, положимъ точке А, приложена некоторая сила Д
то существоваше этой силы мы только тогда можемъ объяснить
присутств1емъ точки Д и говорить что В действуетъ на А
съ силою F, когда F направлена по линш АВ\ въ иротивномъ
случае мы должны искать, или предполагать, еще друпя матер1альныя
точки, одну или несколько, которыя также действуютъ на точку А,
по лишямъ нхъ разстояшй такимъ образомъ, что ихъ силы, слагаясь
съ силою, направленною по АВ, даютъ въ результате силу F. Если
какое нибудь тъло, которое мы можемъ всегда разсматривать, какъ
совокупность матер1альныхъ точекъ, обусловливаетъ своимъ присут-
ств1емъ силы, действукшия на другое тело, то существоваше этихъ
последнихъ мы можемъ лишь тогда объяснять, согласно съ третьимъ
злкономъ Ньютона, только присутств!емъ упомянутаго тела, когда
каждая изъ силъ, действующихъ на второе тело, разбивается на
составляюиця, направленный къ точкамъ перваго тела. Въ иротивномъ
номъ случае мы должны искать или предполагать существоваше ещ*
другихъ источниковъ силы. Точно также, принимая, что источникъ
силы всегда найдется въ какой либо матер1алыюй массе, мы должны
принять, строго говоря, что одна и таже данная масса, находясь въ
одномъ и томъ-же положенш относительно другой массы, дЬйствуетъ
на эту последнюю всегда однпмъ и темъ-же образомъ; следовательно,
каждая изъ двухъ равныхъ взаимныхъ силъ, съ какими действуютъ
другь на друга две данныя матер1альныя точки, останется всегда
одна и таже, если взаимное положеше двухъ точекъ, т. е. ихъ раз-
стояше, не изменится, какъ-бы ни изменялось при этомъ ихъ
положеше относительно другихъ точекъ. Если при одномъ и томъ-же
разстоянш между двумя взаимодействующими точками, но при раз-
ныхъ положешяхъ ихъ линш соединешя въ пространстве, величина
силъ, действующихъ на ту или другую точку, будетъ меняться, то
мы должны приписать такое изменеше внешней силе, источникъ
которой находится вне обеихъ данныхъ матер1альныхъ точекъ.
Переходя къ работе взаимныхъ, т. е. центральныхъ силъ,
нредставимъ себе сперва простейнпй случай, когда матер!альная точка

§ 34
Глава II. Принципы Динамики.
189
А (рис. 61) притягивается или
отталкивается другою неподвижною матерь
альною точкою О. Если точка А
свободна и на нее дМствуетъ только сила,
исходящая изъ О, то она будетъ
двигаться въ ту или другую сторону по лиши
ОА. Пусть лишя AG представляетъ
длину пути, пройденнаго точкою А.
Разбивая эту длину на элементарныя
части посредствомъ безчисленнаго
множества точекъ Ь, с, d и т. д., откладывая на перпендикулярахъ, воз-
ставленныхъ изъ этихъ послЪднихъ къ лиши АО, величины силъ,
дМствующихъ на точку А, въ ея различныхъ разстояшяхъ отъ О,
и соединяя концы упомянутыхъ перпендикуляровъ непрерывно
кривою LM, мы получимъ площадь ALMG, которой величина предста-
витъ, по § 26, работу i переменной центральной силы, действующей
на точку А, на ея пути AG. Такъ какъ разсматриваемая
центральная сила изменяется только съ изменешемъ разстояшя А отъ О,
то эта сила будетъ одна и таже на поверхности какой либо сферы,
описанной изъ О, какъ центра; т. е. на точку А, помещенную въ
различныхъ пунктахъ упомянутой сферической поверхности, будетъ
действовать сила одной и той-же величины, если эта сила
обусловливается только присутств1емъ матер1альной точки О. Предположимъ
затЪмъ, что точка А не свободна, или что на нее дМствуютъ еще
друпя силы, отклоняющ1я ее отъ прямолинейнаго пути AG. Пусть
А] и & будутъ начальное и конечное положешя движущейся
точки на ея новомъ пути, отстояния отъ О на столько-же, на
сколько въ первомъ случае отстояли положешя А и G. Пусть кривая А]
V с' • • • G' представляетъ форму новаго пути между упомянутыми
пределами. Эта кривая вообще можетъ не лежать въ одной плоскости.
Описавъ около О, какъ центра, рядъ сферъ, проходящихъ
последовательно черезъ точки A, be..., мы разеечемъ этими сферами
кривую A]G] на элементарныя части AV be' и т. д. Направлешя
силы въ точкахъ А', Ъ\ с'... представятся рад1усами АО, Ь]0,
с]0..., а ея величины (те-же, что въ точкахъ А, Ъ,
с...)—перпендикулярами AL, bL\ cLu... Отрезки A'b" b'c" dd"... и т. д.
представятъ проложешя элементарныхъ путей на направлешя силъ,
действующихъ на этихъ путяхъ. Упомянутые отрезки будутъ оче-

190
Глава II. Принципы Динамики.
§ 34
видно равны соответственно отрЪзкамъ Ah, be, cd..., такъ какъ
все сферы концентричесмя. Работа силы на каждомъ изъ элементовъ
пути будетъ равна произведенш изъ величины силы (напримЪръ —
линш cL) и проложешя элемента пути на направлеше силы (т. е.
напримеръ, отрезка c'd", или равнаго ему cd). Такимъ образомъ,
сумма элементарныхъ работъ на отрЪзкахъ пути А]Ъ\ b'd, dd]...
выразится черезъ
аь.Ш+ъ!' .W + • • •
= Al.Ab + W.bc + cIJ\cd+' . .,
то есть тою-же площадью ALMG, что въ первомъ случае. Итакъ,
если точка движется подъ дМств1емъ центральной силы, то работа
этой последней имЪетъ одну и туже величину, как1е-бы пути ни
проходила движущаяся точка между двумя своими данными положешями,
или вообще между двумя данными сферами, описанными около
центра силы.
Если точка А остается неподвижною, а точка О движется, подъ
дМств1емъ центральной силы центра А, отъ первоначальнаго
разстояшя равнаго О А до конечнаго разстояшя НА = GO, то, по
равенству взаимныхъ силъ, работа приложенной къ О силы будетъ
таже, какъ при движеши точки А между теми-же разстояшями.
Действительно, чтобы представить эту работу графически, мы должны
строить отъ точки О туже самую площадь, какъ прежде отъ точки
А, ибо, по равенству взаимныхъ силъ, отъ точки О влево, вдоль по
лиши ОА, будутъ возставлены так1е-же перпендикуляры, какъ AL,
bU и т. д. Кроме того, хотя въ последнемъ случай сила,
действующая на точку О, будетъ противоположна по знаку силе, действующей
въ первомъ случае на А, но и перемещеше точки О, подъ дей-
ств1емъ упомянутой силы, будетъ противоположно по знаку
перемещен^ точки А; следовательно работа силы, действующей на О въ
разематриваемомъ случае, будетъ равна по величине и по знаку
работе силы, действовавшей на А въ предыдущемъ случае. Если обе
точки А и О движутся заразъ съ одинакими скоростями, не изменяя
следовательно своего разстояшя, то работы ихъ взаимныхъ силъ
будутъ равны, но противоположны по знаку, ибо силы эти равны и
противоположны, а перемещешя ихъ точекъ приложешя въ данномъ
случае одинаковы по величине и по знаку. Если обе точки А ж О
движутся какъ угодно, и къ ихъ перемещешю будутъ приложены еще

§ 34
Глава II. Принципы Динамики.
191
перемЪщешя, одинамя для обеихъ точекъ по величин* и по знаку,
то сумма работъ двухъ разсматриваемыхъ взаимныхъ силъ при этомъ
не изменится. Действительно, работа каждой изъ двухъ силъ на но-
выхъ путяхъ, произшедшихъ отъ приложешя вышеупомянутыхъ до-
бавочныхъ перемещен^, будетъ равна (по § 26, F2')) сумм* работъ
на прежнихъ перемещешяхъ и на прибавочныхъ; но работы обеихъ
взаимныхъ силъ на этихъ последнихъ перемещешяхъ равны и
противоположны; следовательно алгебраическая сумма работъ на резуль-
тирующихъ перемещешяхъ останется прежняя.
Предположимъ теперь, что об* точки А ж О движутся заразъ
по какимъ угодно путямъ и переходятъ отъ разстояшя Yi между
ними къ разстоянш у2; определимъ соответствующую сумму работъ
взаимныхъ силъ обеихъ точекъ. На каждыхъ двухъ соответствую-
щихъ элементахъ путей, проходимыхъ одновременно точками Л и О,
будемъ прилагать къ перемещешямъ этихъ точекъ новыя перемеще-
шя, одинамя по величин* и знаку, кроме того выберемъ эти по-
следшя такъ, чтобы они были еще всегда равны и противоположны
соответствующему перемещенш одной изъ точекъ Л или О. Сумма
работъ разсматриваемыхъ взаимныхъ силъ отъ такихъ прибавочныхъ
перемещен^ не изменится, и будетъ очевидно таже самая, какъ въ
томъ случае, когда одна изъ точекъ была-бы неподвижна, а другая
перемещалась-бы съ разстояшя уг относительно первой на разстояше
у2. Но величина этой последней работы не зависитъ отъ формы пути
движущейся точки между предельными разстояшями ух и у2;
следовательно заключаемъ вообще, что сумма работъ каждой пары
взаимныхъ силъ не зависитъ отъ формы путей,
проходимыхъ обеими взаимодействующими точками и
остается всегда одна и таже между одними и тем и-ж е
предельнымивзаимнымиразстоян1ями обеихъточекъ.
Если несколько свободныхъ или связныхъ матер1альныхъ точекъ
действуютъ другъ на друга со взаимными силами, то сумма работъ
всехъ этихъ силъ при какомъ нибудь перемещенш точекъ будетъ
слагаться изъ работъ силъ, съ которыми каждыя две изъ точекъ
системы действуютъ другъ на друга, ибо работа равнодействующихъ
силъ равна сумм* работъ слагающихъ. Но сумма работъ каждой пары
взаимныхъ силъ будетъ определяться только начальнымъ и
конечными разстояшями соответствующихъ двухъ матер!альныхъ точекъ;
следовательно вообще: сумма работъ всехъ взаимныхъсилъ,

192
Глава II. Принципы Динамики.
§ 35
дЪйствующихъ между матер1альными точками,
свободными или несвободными, данной системы,
остается всегда одна и таже при неремгЬщен1яхъмеждудвумя
данными относительными расположенный этихъ
точекъ, по какимъ-бы путямъ онЪ ни перемещались
между двумя упомянутыми р а з м £ щ е н i я м и. При этомъ остается
постоянною и сумма работъ каждой пары взаимныхъ силъ, но
очевидно—не каждой изъ взаимныхъ силъ отдельно, и не каждой
результирующей взаимныхъ силъ, приложенной къ той или другой точке
системы. Если начальное и конечное размЪщешя точекъ системы сов-
падаютъ, то работа взаимныхъ силъ обращается въ нуль:
следовательно, если точки системы, выйдя изъ нЪкоторыхъ положешй, после
ряда перемЪщенШ опять возвращаются къ этимъ положешямъ, то
при этомъ работа взаимныхъ силъ равна нулю.
Если мы имЬемъ п матер1альныхъ точекъ, составляющихъ
данную систему и движущихся подъ дгЬйств1емъ ихъ взаимныхъ силъ,
то, выделивши изъ числа п число т матер1альныхъ точекъ, мы мо-
жемъ утверждать, что работа взаимныхъ силъ между этими т точками
будетъ одна и таже для всЬхъ путей между двумя данными размЪ-
щешями т точекъ; но при этомъ не будетъ одна и таже работа всгЬхъ
силъ, дМствующихъ на эти точки, ибо къ нимъ прилагаются еще
силы, зависяиця отъ остальныхъ п—т точекъ системы; а работа
этихъ силъ будетъ тогда, при данныхъ услов1яхъ, одна и таже, когда,
при различныхъ путяхъ выдЪленныхъ ш точекъ между двумя
данными ихъ размЪщешями, остальныя п — т точекъ будутъ каждый
разъ перемещаться только въ предЪлахъ между двумя одними и тЪми-
же расположешями относительно разсматриваемыхъ т точекъ.
§ 35+ Законъ сохранен|"я энерпи.
Изъ объясненныхъ въ предыдущемъ параграфе свойствъ работы
взаимныхъ силъ непосредственно слЪдуетъ, что приращеше
кинетической энерпи системы точекъ, находящихся только подъ дгЬйств1емъ
взаимныхъ силъ, остается одно и тоже при перемЪщенш точекъ между
ихъ двумя данными расположешями, независимо отъ формы ихъ
путей. Действительно, приращеше кинетической энерпи измЪряетъ (по
§ 33) работу всЬхъ силъ, приложенныхъ къ точкамъ системы, при

§ 35
Глава II. Принципы Димамики.
193
упомянутомъ перемЪщенш; но такъ какъ по предположен^ приложен-
ныя силы суть взаимный, то эта работа, а следовательно и
измеряющее ее приращеше кинетической энергш, не зависитъ отъ формы
пути между двумя данными расположешями точекъ системы
относительно другъ друга. Выведенное слгЬдств1е известно подъ именемъ
закона живыхъ силъ, и представляетъ формулировку одной
стороны, более общаго закона—с о хранен! я энерНи.
Въ виде примера представимъ себе случай, когда некоторая
матер!альная точка движется подъ действ!емъ постоянной по величине
и направленш силы Р(напр. силы тяжести) между двумя плоскостями
(рис. 62) аа жЪЪ, перпендикулярными къ направленш F. Силу J^можно
| разсматривать здесь, какъ центральную, при-
u^^™ a чемъ действующШ центръ находится всегда на
\\\ ^\ безконечномъ разстоянш отъ движущейся точ-
— ъ\ V'V"—е'Ъ ки. Работа силы F будетъ при этомъ одна и
таже, проходитъ-ли точка свободно длину аЪ
j/ въ направленш силы, или, вслЬдств1е огра-
Рис. 62. ничивающихъ ея свободу препятствШ, она
движется между теми-же плоскостями по кривымъ ас, ad, или ае. Точно
также, во всехъ упомянутыхъ случаяхъ будетъ одно и тоже прира-
щеше кинетической энергш системы, которая тутъ состоитъ вся изъ
живой силы движущейся точки. Если первоначальная скорость точки
въ а есть нуль, то въ конце каждаго изъ упомянутыхъ путей, эта
точка очевидно пршбрететъ одну и туже скорость v (по величине)
независимо отъ формы путей, ибо приращеше ея живой силы, рав-
mv2
ное при этомъ условш -у- , будетъ всегда одно и тоже.
Представимъ себе некоторое заранее определенное размещеше
матер1альныхъ точекъ, свободныхъ или нетъ, находящихся подъ дей"
ств1емъ взаимныхъ силъ, и назовемъ это размещеше буквою А.
Предположимъ затемъ, что точки системы движутся отъ некотораго
своего первоначальнаго положешя, въ которомъ кинетическая энерпя
системы равна Т0, и на пути своего движешя проходятъ черезъ
размещеше, для котораго кинетическая энерпя системы делается
равною Т. Тогда разность Т—Т0 измеряетъ положительную или
отрицательную работу, выполненную взаимными силами системы на пути,
между двумя упомянутыми размещешями ея точекъ. Но такъ какъ съ
другой стороны,, эта работа не зависитъ отъ формы путей точекъ
13

194
Глава II. Принципы Динамики.
§ 35
между раямЪщешями (Т0) и (Т), то мы можемъ ее вычислить,
предполагая, что система приходитъ изъ положешя (Т0) въ положеше
(Т), переходя на своемъ пути черезъ размещеше А\ т. е. работа вза-
имныхъ силъ, на пути между (TJ и (Т), будетъ очевидно равна суммЪ
работъ, которыя были-бы совершены, если-бы система перемещалась
отъ (Т0) къ А, и затемъ—отъ А къ (Т). Обозначимъ черезъ со^
работу взаимныхъ силъ между размещешями (Т0) и А, а черезъ.to—
работу при переходи отъ размЬщешя (Т) къ А. Тогда очевидно,—со
выразитъ работу при переходи отъ А къ (Т), ибо работа, на пути
отъ (Т) къ А и опять къ (Т), должна быть равна нулю. Такимъ
образомъ, работа, при послЪдовательныхъ переходахъ между
размещешями (Т0), А и (Т), выразится черезъ to0—to, и следовательно-
(см. A21)):
Г-Г0 = со0-со, A22)
или:
T4-to = T0 + to0, A23)
где подъ Т мы можемъ подразумевать кинетическую энергш системы
въ любомъ ея положеши, во время движешя изъ начальнаго поло-
жешя ш0, а подъ w — соответствующую работу, которую должны
выполнить взаимныа силы, если система будетъ какъ-либо переведена
изъ разсматриваемаго переходнаго состояшя (Т) въ некоторое
заранее определенное состояше А. Эта работа to, которую силы
системы изъ какого либо ея даннаго состояшя имеютъ
возможность выполнить, при переходе въ другое, заранее разъ на всегда
отмеченное, состояше, называется потенциальною энерпек*
системы въ ея данномъ состояши. Очевидно, что потенщальная энер-
пя по своей величине зависитъ только отъ относительная размЪ-
щешя точекъ системы. Убыль потенщальной энергш между двумя
состояшями системы, или ея отрицательное приращеше (т. е.
разность to0 — to между величинами потенщальной энерпи въ первомъ и
во второмъ состоянш), измеряетъ соответствующую работу
взаимныхъ силъ.
Уравнеше A23) показываетъ, что если точки системыт
выйдя изъ определеннаго своего начальнаго подоже-
н1я, будутъ двигаться подъ действ1емъ взаимныхъ
силъ, то во все время д в и ж е н i я сумма изъ потенц1аль-
ной и кинетической энерпи системы останется н е и з-

§ 35
Глава II. Принципы Динамики.
195
манною. Уравнеше-же A22) выражаетъ очевидно упомянутый въ
начале параграфа законъ живыхъ силъ, который можетъ быть
формулированъ еще такимъ образомъ: приращен1е
кинетической э н е р г i и системы точекъ, движущихся подъ д £ й-
с т в i e м ъ взаимныхъ с и л i, измеряется убылью потен-
ц1альной энерг1и, и не зависитъ отъ формы пути
между двумя данными разм,Ьщен)ями точекъ.
Выбравши для данной системы, вместо размЪщешя ея точекъ
А, какое нибудь другое размЪщеше Д по направленш къ которому мы
будемъ отсчитывать потенщальную энергш всЬхъ другихъ состояшй
системы, мы т'Ьмъ самымъ измЪнимъ величину потенщальной энергш
для каждаго изъ состоянШ системы. Но легко видеть, что эта величина
изменится для всЬхъ размЪщешй на одно и тоже количество, такъ что
разности между величинами потенциальной энергш для двухъ какихъ
нибудь состояшй системы всегда останутся однЪ и тЪже, независимо отъ
выбора заранЬе отмЪченныхъ состояшй А или В. Это очевидно уже
изъ того, что упомянутая разность величинъ потенщальной энергш
для двухъ какихъ либо состоянШ системы, представляя работу
взаимныхъ силъ между этими состояшями, остается всегда одна и таже.
КромЪ того, слЪдукшця соображешя позволяютъ намъ определить, на
сколько изменятся величины потенциальной энергш для разныхъ со-
стояшй системы, съ переменой разм*щешя А на разм-Ьщеше В. Пусть
со1 и w2 будутъ величины потенщальной энергш двухъ состояшй A)
и B), по отношешю къ размЪщенш А; пусть оо/ и со2' будутъ таюя-
же величины тЪхъ-же состояшй, по отношешю къ размЪщенш В, и
пусть а будетъ величина потенщальной энергш состояшя А, по
отношешю къ разм-Ёщешю В\ т. е. а будетъ равно работ* взаимныхъ
силъ при переходи отъ А къ В. Тогда, на основанш изв'Ьстныхъ
свойствъ работы взаимныхъ силъ, ихъ работа между A) и Д т. е.
со/, будетъ равна работ* между A) и А + работ* между А и В\ т. е.
оI' -w^a и w2' = <ю2 + а ,
а следовательно: A24)
ш1 - d>i = <о2'— со2 = а ,
что и потребовалось доказать.
Следовательно, относительно какого-бы разм*щешя А точекъ
системы (но всегда одного) мы ни считали величины ея
потенщальной энергш для различныхъ моментовъ движешя, сумма изъ потен-

196
Глава П. Принципы Динамики.
§ 35
щальной и кинетической энерпи будетъ во все время движешя
оставаться неизменною. Действительно, прибавляя къ обеимъ частямъ
A23) совершенно произвольную постоянную величину а, мы имеемъ:
T+coJ-a = T0 + <o0 + a,
или по A24):
Т-г со' = ТО + @О'. A25)
Сумма изъ потенпДальной и кинетической энерпи называется
энергчею системы, и уравнешя A23) и A25), указываюнця
на постоянство величины этой энерпи во время движешя, выражаютъ
законъ сохранен1я энерНи, величина которой не можетъ
быть изменена взаимными силами системы; т. е.
Т-г со= Const. ■ A26)
Система точекъ, энерпя которой остается неизменною во время
движешя, называется консервативною.
Постоянная величина (Constans) въ выражеши A26),
представляя количество энерпи системы, представляетъ также очевидно съ
одной стороны потенщальную энерпю системы для того моменталь-
наго ея состояшя, при кототомъ Т=0; но такъ какъ
и является суммою существенно положительныхъ членовъ, то она
можетъ обращаться въ нуль только тогда, когда каждый членъ суммы
будетъ нуль, т. е. когда все v=0; следовательно Const, представитъ
потенциальную энерпю для того момента времени, когда все скорости
системы будутъ нулями. Съ другой стороны, Const, можно разсматривать,
какъ величину кинетической энерпи системы для того ея состояшя,
въ которомъ ея потенщальная энерпя обращается въ нуль. Итакъ,
чтобы измерить количество энерНи системы, нужно знать или
ея потенщальную энерпю для размещешя съ нулевыми скоростями,
или ея [кинетическую энерпю для размещешя съ нулевой
потенциальной энерпей.
Абсолютная величина энерпи системы остается произвольною
въ выражешяхъ A25) и A26), ибо она зависитъ отъ произвола въ
выборе размещешя А, относительно котораго считается
потенщальная энерпя; но разъ будучи выбрана тою или другою, величина
энерпи не изменяется во все время движешя системы. Однако упомя-

§ 35
Глава II. Принципы Динамики.
197
нутая произвольность исчезаетъ, если мы разъ на всегда условимся
выбирать такое размЪщеше А, которое было-бы связано съ
известными определенными свойствами системы въ соотвЬтствующемъ ея
состоаши.
Между всЬми размещешями, въ которыя могутъ прШти точки
системы, отправляясь изъ некотораго состояшя A), мы выберемъ
такое (А), относительно котораго потенщальная энерпя, т. е. работа
между A) и (А), будетъ наибольшая. Тогда легко видеть, что
потенщальная энерпя какого либо другаго размещешя B) системы
относительно (А) будетъ тоже наибольшая. Действительно, пусть П1
и сох будутъ величины потенщальной энерпи для состояшя A), or
считанныя соответственно относительно размещенШ (А) и какого-либо
другаго В\ тогда по условш Пг > wr Если теперь П2 и а>2
будутъ подобнаго-же рода величины потенщальной энерпи для
состояшя B), то на основаши A24):
П1~ ^!=П2 — С02
и следовательно
П2 > со2. A27)
Кроме того, для каждаго соответствующего размещешя
наибольшая величина потенщальной энерпи II должна быть положительною,
ибо относительно какого-бы другаго размещешя, кроме (А), мы ни
определили величину потенщальной энерпи со, мы должны иметь
всегда П>(о; но между всевозможными величинами, которыя мы мо-
жемъ приписать w, изменяя выборъ отмеченнаго размещешя Д
есть также и величина со = 0, которую получимъ, если размещеше
В отождествимъ съ разсматриваемымъ состояшемъ (со);
следовательно между прочимъ должно быть также всякое П > 0. Определяя
вышеуказаннымъ способомъ величины П потенщальной энерпи для
различныхъ расположен^ точекъ системы, мы можемъ выбрать такое
ра-змещеше (В), для котораго величина П относительно (А) будетъ
больше, чемъ для каждаго изъ остальныхъ. Назовемъ черезъ Q эту
возможно наибольшую величину потенщальной энерпи системы
относительно размещешя (А). Тогда Q представитъ очевидно наибольшую
работу, которую когда либо могутъ выполнить взаимныя силы
данной системы, и будетъ служить мерою, такъ сказать, могущества
системы. Действительно, работа, которую взаимныя силы системы
могутъ выполнить между какими либо другими размещешями A) и

198
Глава II. Принципы Динамики.
§ 35
B), не совпадающими съ (А) и (В), будетъ всегда меньше (если
не равна) Q, ибо эта работа выразится разностш Пг — П2; а такъ
какъ по условш О < Пг < Q и О < П2 < Q, то Пг — П2 < Q — П2; но
П2 > о, следовательно и подавно Г^ — П2<ф.
Если П будетъ величина потешиальной энерпи системы, въ
одномъ изъ ея состояшй, относительно размещешя {А), то подобная
же величина того-же состояшя, относительно размещешя B?), будетъ
очевидно и==П—Q и следовательно всегда отрицательная, ибо
П < Q. Кромй того, тс будетъ наименальная изъ всехъ величинъ
потенциальной энергш, котор.ыя мы можемъ приписать данному поло-
женш точекъ системы, изменяя выборъ сравниваемая размещешя.
Действительно, пусть (о будетъ величина потенщальной энерпи. въ
разсматриваемомъ состоянш, относительно некотораго размещешя
(В,)\ тогда
где Q есть работа между (В1) и (А), которая по условш всегда меньше,
чемъ Q, т. е.—чемъ работа между (В) и (А)\ следовательно и< со.
Такимъ образомъ мы определили два предела тг и П, между
которыми лежатъ величины, могунпя быть приписаны потенщальной
энерпи со системы въ данномъ ея состоянш, при чемъ всегда
П — т. = Q . A28)
Введешемъ наибольшей величины потенщальной энерпи въ уравне-
ше A23), выражающее законъ сохранешя энерпи, мы можемъ дать
этому уравнешю более определенное механическое толковаше. Имея
въ такомъ случае для каждаго момента движешя равенство
Г+П = Г0 + П0, A29)
мы видимъ во иервыхъ, какъ и прежде, что количество энергш
системы Т+ П во время движешя остается неизменнымъ, при чемъ
оба вида энерпи увеличиваются или уменьшаются на счетъ другъ
друга; т. е. одинъ ея видъ переходитъ въ другой, или наоборотъ.
Кроме того, мы не можемъ себе представить никакого такого перво-
начальнаго положешя системы, для котораго было-бы П0 > Q или
Л0<0. Но величина кинетической энерпи Т0, въ первоначальномъ
положенш, можетъ быть какою угодно, разумеется положительною,
величиною. Следовательно вообще могутъ представиться таше три

$ 35
Глава II. Принципы Динамики.
199
случая:
П0 + Г0 = в, П0 + Г0>«, П0 + Т0<<?. A30)
Въ первомъ случае ур. A29) превращается въ
T+II = Q, или Т= — т., A31)
которое указываетъ, что движеше совершается изъ положешя (П0, Т0)
такимъ же образомъ, какъ будто оно началось отъ размещешя (J5),
где П0 = Q, съ первоначальнымъ запасомъ кинетической энерпи,
равной нулю; т. е. система въ положенш (П0) обладаетъ такою
кинетическою энериею, которая явилась-бы следств1емъ работы взаим-
ныхъ сидъ системы на пути отъ размещешя (J?) до размещешя
(П0), съ начальными скоростями равными нулю. Если на систему
не действовали до начала ея движешя никашя внЪшшя силы, то
случай A31) есть единственный, какой только можетъ существовать.
Действительно, величина Q представляетъ наибольшую работу,
которую когда либо могутъ совершить взаимный силы системы; а такъ
какъ совершенная работа измеряется пршбретенною кинетическою
энериею, то система, имея въ начале кинетическую энерпю нуль,
не можетъ пршбресть, подъ действ!емъ однехъ только взаимныхъ силъ,
кинетическую энерпю большую Q. Во второмъ изъ случаевъ A30)
Г0+П0 = д + т,
где т, представляющее избытокъ энерг1и системы противъ Q, есть
величина существенно положительная, и должна представлять
некоторую кинетическую энерпю, ибо потешцальной энерпи у системы больше
Q быть не можетъ. Уравнеше A29) въ этомъ случае обращается въ
Т+П=-=0 + т, A32)
которое показываетъ, что движеше совершается отъ положешя
(П0, Т0) такъ, какъ будто оно началось изъ размещешя (Б), съ
первоначальнымъ запасомъ кинетической энерпи т. Во время
движешя Т можетъ изменяться отъ т до Q, а П—отъ Q до нуля. Чтобы
такое движете имело место, необходимо действ1е внешнихъ силъ, или—
непременно мгновенное, если движете, по закону A32), действительно
началось съ (В), или—въ течеши некотораго промежутка времени,
между положешями (J5) и (П0), если движеше A32) началось изъ (П0).
Работа упомянутыхъ силъ и обусловитъ приращеше естественна™
запаса Q энерпи системы на величину т. Наконецъ въ третьемъ изъ
случаевъ A30), когда
U0 + T0 = Q-q,

200
Глава II. Принципы Динамики.
§ 35
где q есть существенно положительная величина, ур. A29)
обращается въ
T+n=Q-q, A33)
которое показываетъ, что движете происходитъ такъ, какъ будто
система вышла изъ положешя (() — q) съ нулевыми скоростями,
при чемъ работа д, совершенная взаимными силами отъ (В) до
(Q — ?)т не обратилась въ кинетическую энергш ея массъ, а
безвозвратно потерялась для системы. Кроме того, при движеши A33)
для системы нетъ возможности когда-либо, подъ дЬйств1емъ только
взаимныхъ сидъ, прШти къ размЪщенш (В), ибо тогда было-бы
П = $, и ур. A33) обратилось-бы въ Т=—</, что не имЪетъ
смысла, такъ какъ Т всегда существенно положительно. Такой
случай можетъ быть, когда где-либо на пути системы, отъ (В) къ (П0),
къ ея точкамъ будутъ приложены внешшя силы, работаюпця п р о т и в ъ
взаимнымъ силъ системы. Тогда часть естественнаго запаса Q
энергии системы затратится на побеждеше внешнихъ сопротивлент. Но
очевидпо, что крайшй пределъ, къ которому стремится величина
работы внешнихъ сопротивленШ (силъ), выполнимой на счетъ
могущества системы, есть Q, ибо при Q = q мы ивгЬемъ
что не имеетъ смысла, ибо П и Г существенно положительны.
Следовательно, въ этомъ случае, всегда Т—О и П = 0, т. е. система
лишена движешя и &нерпи.
Разсмотренные выше случаи могутъ быть наглядно пояснены
примеромъ движетя простаго маятника.
в _#' Представимъ себе некоторую мате-
р1альную точку массы w, соединенную
несгибаемою и нерастяжимою нитью / съ не-
подвижнымъ центромъ О (рис. 63). Въ ка-
комъ-бы изъ возможныхъ положешй А, В,
_к с, d, е... вокругъ центра О мы ни
представили себе точку т, къ ней будетъ
всегда приложена сила F, одной и той же
величины и направлешя. Въ данномъ
случае система состоитъ изъ точки т и другой некоторой матер1аль-

§ 35
Глава II. Принципы Динамики.
201
ной точки, неподвижной и безконечно удаленной отъ О. ВслЪдств1е
этого сила F, обусловливаемая этою второю матер1альною точкою,
будетъ постоянна и сама себе параллельна. РазмЪщете системы
меняется постольку, поскольку изменится положете точки т.
Могущество системы изморится работою силы F на пути между поло-
жетями Б и А, и будетъ
Q = F.AB = F.2l. A34)
Положеше Б будетъ соответствовать равновЪсш нашей движущейся
точки, если она въ этомъ положены не обладаетъ никакою скоростш,
ибо здЪсь сила F направлена перпендикулярно къ возможнымъ для
точки перемЪщешямъ, которыя, въ случае несгибаемости нити /, мо-
гутъ происходить изъ В только по кругу. Но движете отъ В
становится возможнымъ, если точка будетъ какъ угодно мало отклонена
отъ положешя Б, или если ей будетъ въ этомъ положенш сообщена
какая-либо какъ угодно малая первоначальная скорость; т. е. движете
будетъ возможно, если первоначальныя величины П0 или Т0 бу-
дутъ какъ угодно мало разниться отъ нуля, положимъ—на величину г.
Въ такомъ случае во все время движетя мы будемъ им^ть:
или, обозначая черезъ h высоту точки, въ какой либо моментъ ея
движетя, надъ плоскостш НН, перпендикулярною къ F (т. е.—одну
изъ величинъ AG, AB...), мы будемъ очевидно имЪть:
W = F.h и -~-\-F.h = F.2l + e, A35)
при чемъ количество энерпи во время движетя не равно строго
F. 2/, но на какъ угодно малую разницу больше этой величины.
Смотря по направленш вышеупомянутой первоначальной скорости или
первоначальнаго отклонешя, точка m будетъ двигаться отъ В по
той или другой стороне круга Д <#, с, в, при чемъ потенщальная
энерпя системы будетъ уменьшаться, переходя въ кинетическую.
Эта последняя достигнетъ своей наибольшей величины въ точкЪ А,
где h = 0 и следовательно —^-= F. 21. Положеше А опять
соответствуете равновЪслю точки ш, будетъ ли нить I несгибаема или
нЪтъ, лишь-бы она была нерастяжима. Но остаться въ этомъ поло-

202
Глава II. Принципы Динамики.
§ 35
женш точка не можетъ, обладая скоростш ъ\; следовательно
движете будетъ продолжаться въ направлены скорости #а, при. чемъ
кинетическая энерпя будетъ уменьшаться, переходя въ потенщаль-
ную, и достигнетъ своей наименьшей величины въ Д где Yl = F.21
mv2 _ • -г» -
и —9~=£- Если въ положеши В точка т ооладаетъ некото рымъ
конечнымъ запасомъ Т0 кинетической энергш, то во все время дви-
жетя
-j- + T.h=--F.2l+T0, A36)
и мы будемъ опять иметь непрерывное движете по кругу, при чемъ
Т будетъ изменяться отъ Т0 до F.2I-\~T0, а П — отъ F.2I до
нуля, и обратно. Запасъ энергш системы будетъ больше ея
могущества, и часть этого запаса всегда останется въ виде кинетической
энергш. Итакъ мы видимъ, что всякое, какъ угодно малое, измЪне-
Hie энергш системы въ ея положеши равновес1я В обусловливаетъ
нарушете этого равновес1я и вызываетъ дальнейшее превращеше
одного вида энергш въ другой, т. е. движете. Во все время
последующа™ движетя, количество энергш можетъ быть больше или почти
равно могуществу системы, но никакъ не меньше его. Положеше В
называется, на основаши вышесказанныхъ свойствъ, положешемъ н е-
устойчиваго равновесия.
Если точка m находится где нибудь между положетями В к А,
то равновес1е невозможно, и она будетъ двигаться вообще въ
сторону сообщенной скорости, или—въ сторону положительнаго действ1я
силы, если первоначальная скорость нуль. Пусть h0 будетъ высота
первоначальная положетя надъ плоскостш НН (при чемъ й0<27)
и v0—первоначальная скорость. Тогда во все время движетя,
^L + Fk^ + F^ A37)
при чемъ очевидно можетъ быть, !v4to
—°- + ^Л0<^.27. A38)
Движете начнется съ уменыпетя /г, если v0 направлена въ сторону
положительнаго действ1я силы F. Тогда кинетическая энерпя —х-
начнетъ увеличиваться и при h = 0, т. е. въ Л, достигнетъ

§ 35
Глава И. Принципы Динамики.
203
наибольшей величины, после чего потенщальная энерпя начнетъ
увеличиваться, а кинетическая уменьшаться, и эта последняя достигнетъ, при
771V
h = h0, своей первоначальной величины —«^-, по другую сторону отъ
А, на своемъ круговомъ пути. Отсюда движете будетъ продолжаться
въ сторону имеющейся у точки скорости, т. е. въ сторону увели-
чивающагося Д, до тЪхъ поръ, пока v не обратится въ нуль на
такой высоте hv что
Fh, = ^ + Fh0, A39)
что всегда возможно, если правая часть A39) меньше могущества
F.21 или равна ему. Въ последнемъ случае очевидно будетъ 7^=2/,
и точка, прШдя въ В и не обладая никакою скоростш, тамъ
остановится. Если же йх<2/, то движеше пойдетъ назадъ, и точка по
другую сторону круга опять подымется на высоту йх, и т. д.; но
никогда уже не попадетъ въ положеше В.
Итакъ мы заключаемъ, что если точка начинае*гъ свое движеше
изъ положешя Д то естественный запасъ энерпи системы, т. е.
ея могущество, является въ целости, и во время движешя превращается
въ кинетическую энерпю; если же движеше начинается отъ промежу-
точныхъ положешй между В ж А, безъ первоначальной кинетической
энерпи, то часть естественнаго запаса энерпи системы является уже
израсходованной, и только ея остатокъ превращается затЪмъ въ
кинетическую энерпю. Въ такомъ случае мы должны или считать
положеше В, какъ недостижимое для системы, и мирить могущество
системы не работою между В и А, а работою между крайнимъ дости-
жимымъ положешемъ, напр. с или d. и А\ или мы должны себе
представить, что система действительно вышла изъ Д но на пути
до положешя /г0 на нее действовали внешшя силы, которыя
уравновешивали силу F, вплоть до положешя й0. Въ такомъ случае
первоначальная, какъ угодно малая, скорость не могла увеличиваться
отъ В до h0\ а работа силы F на упомянутомъ пути была равна и
противоположна работе внешнихъ силъ. Но эта работа, равная
очевидно FBl— /г0), и представляетъ невозвратимую убыль могущества
системы, о которой было сказано выше. Следовательно мы можемъ
сказать, что при упомянутыхъ услов1яхъ часть энерпи системы
утрачена безвозвратно на побеждеше сопротивлешя внешнихъ силъ.

204 Глава И. Принципы Динамики. § 36
Если движеше начинается отъ Л, то
mv
Fh = '^, A40)
и чЪмъ меньше v0, т£мъ на меньшую высоту поднимется точка надъ
плоскостш НИ, возвращаясь затЪмъ опять черезъ положеше Л на
другую сторону круга, до той же высоты. Въ положеше же В она
попадетъ только когда
'^ = F.2l.
Итакъ, всякая сообщенная скорость приводить точку изъ В въ Л,
и только определенная скорость приводитъ ее изъ Л въ В. Други
ми словами, если точка вышла изъ Д то возвратиться туда она
можетъ только черезъ А] выйдя же изъ Л, она можетъ въ это
положеше возвратиться, не попадая въ В. Положеше Л называется
положешемъ устойчиваго равнов^^я.
§ 36+ Устойчивость и неустойчивость равновЪЫя взаимныхъ
силъ.
Общее услов1е равновЬс1я силъ, приложенныхъ къ точкамъ
данной системы, состоитъ, какъ было объяснено въ § 28, въ томъ,
чтобы работа упомянутыхъ сила была меньше или равна нулю при
всёхъ возможныхъ безконечно малыхъ перемЪщешяхъ системы изъ
ея положешя равнов£с1я. Если силы, услов1е равнов£с1я для кото-
рыхъ разыскивается, суть взаимныя, то работа этихъ силъ при вся-
комъ изменеши состояшя системы можетъ быть выражена съ помо-
щш соответствующая изменешя потенщальной энерпи П.
Действительно, если П представляетъ величину потенщальной энерпи въ
начале какого нибудь перемещешя системы, а II' — ея величину въ
конце перемещешя, то разность П — II' выразитъ очевидно работу,
произведенную взаимными силами системы во время упомянутаго
перемещешя. Но съ другой стороны разность П'—П есть ничто иное,
какъ приращеше потенщальной энерпи на разсматриваемомъ пути.
Следовательно работа взаимныхъ силъ, между двумя положешями то-
чекъ системы, измеряется отрицательнымъ приращешемъ потенщаль-
ной энерпи (т. е.—(П'— П)) между этими положениями. Предста-

§ 36
Глава II. Принципы Динамики.
205
вляя себе два совершенно произвольныя безконечно близмя другъ
къ другу размещешя точекъ системы, и обозначая черезъ <Ш
соответствующее безконечно малое приращете потенщальной энерпи
втораго положеюя передъ первымъ, мы заключаемъ, что для
равновесия взаимныхъ силъ въ первомъ изъ упомянутыхъ положешй
должно быть
— 2П = #, т. е. $П = 0, A41)
при всякихъ возможныхъ перемещешяхъ точекъ системы изъ разсма-
триваемаго положешя. Итакъ, если мы будемъ перемещать точки
системы изъ ихъ положешя равновес1я въ друпя возможныя положе-
жешя, безконечно мало разняицяся отъ перваго, то при всЬхъ та-
кихъ перемещешяхъ потенщальная энерпя системы или не должна
изменяться (когда £П = 0), или должна увеличиваться (когда £П>#).
Если потешцальная энерпя, при переходе системы изъ положешя
равновесля во всевозможныя соседшя положешя, увеличивается, то
очевидно въ самомъ положены равновес1я величина П есть н а и м е н ь-
шая въ сравнеши со смежными положешями. Разсмотримъ значеше
того случая, когда <Ш = 0.
Предположимъ, что величина потенщальной энерпи П,
изменяясь въ зависимости отъ разстояшй r1,r2...rn между точками
системы, переходитъ последовательно черезъ рядъ значешй отъ
величины Пг къ величине П2; пусть е^П, d2U, d3U ... и т. д. будутъ
последовательныя безконечно малыя положительныя или отрицатель-
ныя приращешя, которыя, будучи одно за другимъ приложены къ
величине П^ превращаютъ ее въ П2; т. е. пусть
Пг + djl + d2U 4- . . . = 11,,
при чемъ упомянутыя приращешя имеютъ место вследств1е того,
что величины гх, г2... гп, отъ которыхъ зависитъ П и съ измЪне-
шемъ которыхъ оно меняется, тоже последовательно возрастаютъ
на положительныя или отрицательныя безконечно малыя величины
dr1,dr2...drn. Если П, въ промежутке между своими значешями
Иг и П2, принимаетъ наибольшую (maximum) или наименьшую
(minimum) величину, то последовательныя значешя П:
п15 п^-^п, г^+^п+^п,.. .Di+^n+^n-i-^n-f • • •,
не могутъ очевидно быть каждое больше предыдущаго или каждое
меньше предыдущаго. Действительно, П переходя черезъ свое наи-

206
Глава II. Принципы Динамики.
§ 36
большее или наименьшее значеше, не можетъ постоянно
увеличиваться или постоянно уменьшаться: но должно или сначала увеличиваться,
а загЬмъ уменьшаться, или наоборотъ. Следовательно, въ данноиъ
случае одни изъ приращешй dJI, d2II... должны быть
положительными, а друпя—отрицательными, какъ-бы мы ни изменяли величины
гг, г2... гп, лишь-бы существовало услов!е, что зависящая отъ
этихъ послЪднихъ величина П въ упомянутомъ промежутке полу-
чаетъ наибольшее или наименьшее значеше. Такая перемена знака
у приращешй величины II должна совершаться именно какъ разъ
при ея переходи черезъ свое наибольшее или наименьшее значеше.
Наоборотъ, если приращешя величины П, при данныхъ безконечно
малыхъ изменешяхъ положешй точекъ системы (т. е. изъ взаим-
ныхъ разстояшй), мЪняютъ свой знакъ съ положительнаго на
отрицательный, то величина П переходитъ черезъ maximum; въ против-
номъ случай, т. е. при перемене отрицательнаго знака приращешй
на положительный, она переходитъ черезъ minimum.
Если какая нибудь величина, изменяясь непрерывно, т. е.
скачками, которые могутъ быть сделаны меньше всякой данной
величины, переходитъ отъ своихъ отрицательныхъ значешй къ
положительным^ или наоборотъ, то при этомъ одно изъ ея промежуточныхъ
значешй должно быть очевидно нулемъ; хотя наоборотъ—равенство
нулю еще не обусловливаетъ необходимо перемену знака, ибо, на-
прим'Ьръ, величина, будучи положительна, можетъ уменьшиться до
нуля, а затЪмъ опять возрастать отъ нуля, оставаясь
положительною. Следовательно, если величина П переходитъ черезъ maximum
или minimum, то ея приращеше бШ, меняя при этомъ свой знакъ,
въ некоторыхъ случаяхъ можетъ переходить черезъ нуль; именно,
когда это dli вблизи отъ упомянутаго maximum'а или minimum'а
изменяется непрерывно, т. е. такими скачками, которые въ сравне-
нш съ сШ могутъ быть приняты безконечно малыми. Если это
последнее yoiOBie непрерывности при приближенш къ max. или minim,
не удовлетворено, то dli можетъ при этомъ и не обращаться въ
нуль. Действительно, вообще говоря, можетъ случиться, что,
приближаясь къ max. или minim, величины П, съ помощш последова-
тельныхъ безконечно малыхъ изменешй взаимныхъ положешй
точекъ, мы будемъ и величину II изменять безконечно малыми
скачками на сШ, но такимъ образомъ, что каждыя последукнщя dU не
будутъ постепенно уменьшаться до нуля; въ такомъ случае, при пе-

§ 36
Глава II. Принципы Динамики.
207
реходе черезъ max. или minim., dtt только переменитъ свой знакъ,
но не перейдетъ черезъ нуль; т. е. мы не будемъ въ состоянш подъ-
искать на данномъ пути такихъ изменешй положешй точекъ
системы, при которыхъ соответственное изменеше величины II было
бы равно нулю. Такимъ образомъ, перемена знака приращен1я
данной величины есть необходимое услов1е ея перехода черезъ свое
наибольшее или наименьшее значеше; обращеше же этого прираще-
шя въ нуль есть только возможное услов1е упомянутаго перехода.
Если следовательно мы вОобразимъ себе нашу систему въ такомъ
размещенш, которое соответствуете maxim, или minim, ея потен-
щальной энерпи, и будемъ затЪмъ безконечно мало изменять это
размещеше, то въ случае maxim, необходимо будемъ иметь
отрицательный приращешя величины II, въ случае minim, наоборотъ
все возможные оП вообще будутъ необходимо положительны; но
въ томъ и другомъ случае также возможно, что все или некото-
рыя изъ <Ш обратятся въ нули.
Для пояснешя предыдущаго обратимся къ случаю маятника,
разобраннаго въ последнемъ параграфе. Если нить маятника не
только нерастяжима, но и несгибаема, то масса т можетъ
приближаться къ положешямъ maxim, и minim, потенщальной энерпи,
т. е. къ точкамъ В ж А, или отъ нихъ удаляться, только по кру-
гамъ рад!уса /, которые будутъ' лежать очевидно на сфере того же
рад1уса, касательной въ точкахъ В и А къ плоскостямъ ПН1 и
НН. Следовательно, если при этихъ услов!яхъ мы будемъ выводить
систему безконечно мало изъ положешя max. или min., то точка т
будетъ перемещаться по элементамъ плоскостей Н]Н] или НН,
которые эти плоскости имеютъ общими со сферами возможныхъ пере-
мещешй; но такъ какъ при этомъ разстояше точки т отъ
плоскости не будетъ меняться, то ея потенщальная энерпя при подоб-
ныхъ безконечно малыхъ перемещешяхъ не изменится, и
приращешя £П этой последней следовательно будутъ равны нулю. Но если
нить, будучи нерастяжимою, можетъ сгибаться, то точка т можетъ
уйти изъ положешй А или В вдоль по лиши АВ. Въ такомъ
случае, какъ-бы ни было мало изменеше положешя точки вдоль по
упомянутой лиши, оно будетъ сопровождаться соответственнымъ из-
менешемъ ея разстояшя отъ плоскости НН, а следовательно и от-
рицательнымъ или положительнымъ безконечно малымъ приращешемъ
сооветственной величины П, отличнымъ отъ нуля; но знакъ этого

208
Глава П. Принципы Динамики.
§ 36
приращешя всегда будетъ отрицательный, если точка выйдетъ изъ
Д и положительный, если она выйдетъ изъ А.
Итакъ, обозначая черезъ оП безкон. малое приращете
величины П, при безконечно маломъ перемЪщенш системы изъ даннаго по-
ложетя по любому изъ возможныхъ для ея точекъ путей, мы
заключаема что въ случае, П max., упомянутое SU должно быть или
отрицательное, или нуль, т. е.
£П = 0, A42)
а въ случае, П minim.:
ОП = О . A43)
Сравнивая вышеприведенныя услов1я maximum'a и minimum'a съ
услов1емъ равновЪ^я,
мы находимъ, что система, съ наименьшею потенщальною энерпею,
всегда удовлетворяетъ условш равнов^я, а система, съ
наибольшею потенщальною энерпею—только тогда, когда, при всЬхъ
возможныхъ для нея изъ упомянутаго maximum 'а перемЪщетяхъ, 8И=0.
Следовательно, точки системы никогда не могутъ начать движетя
изъ положетя наименьшаго П безъ дЪйствАя внЪшнихъ силъ или
безъ заранее сообщенныхъ скоростей; т. е..если кинетическая энер-
пя системы въ положеши, П minim., есть нуль, то движете
всегда невозможно. Если система находится въ размЪщенш, П maxim.,
и ея кинетическая энерпя при этомъ равна нулю, то иногда
движете системы невозможно. Такъ, въ нашемъ примири, маятникъ не
выйдетъ непосредственно изъ положетя Д только если нить
несгибаема, вслгЬдств1е чего движете должно происходить по кругу. Въ
противномъ случае положете Б не будетъ положетемъ равновЪ^я.
Вышеизложенныя заключетя, вытекая непосредственно изъ условШ
равновЪ^я, могутъ быть также выведены изъ уравнетя сохранетя
энерпи,
Т+П = Г0 + П0, при То=0. A44)
Такъ какъ въ положен1яхъ, безконечно близкихъ къ minim., будетъ
По-П = 0, то Г=0, A45)
что указываетъ на отсутств1е и невозможность движетя, ибо Т, бу-

§ 36
Глава П. Принципы Динамики.
209
дучи всегда существенно положительной величиною, не можетъ
сделаться меньше* нуля, и обращается въ нуль, когда все члены суммы
Т, т. е. все скорости, суть нули. Точно также въ случае maxim.
будемъ иметь
По — П = 0, и соответственно: Т — О, Т>0, A46)
т. е. движетя не будетъ только въ случае, когда И0 — П = О.
Разсмотримъ теперь, каково будетъ движете системы,
выведенной изъ ея положешя равновес1я, соответствующая max. или min. по-
тенщальной энергш. Выведена изъ положетя равновес1я система
можетъ быть двоякимъ способомъ: или ея точкамъ будутъ сообщены
(конечно внешними силами) некоторыя скорости, т. е. некоторое
приращете кинетической энергш, или точки системы будутъ
передвинуты въ какое либо соседнее размещеше безъ сообщетя имъ
скоростей, т. е. будетъ изменена потенщальная энерпя системы.
Обратимся сперва къ положенш равнове^я, соответствующему
наибольшей потенщальной энерпи, т. е. П0 = ^. Если точкамъ системы
сообщено некоторое количество кинетической энерпи т, то во все
время движетя должно быть
Т+П = # + т. A47)
Такъ какъ на первыхъ элементахъ движетя, по условш A45),
Q—П = О, то Т=ч\ но затемъ П должно уменьшаться и
следовательно Т— увеличиваться. Такимъ образомъ для системы будетъ
возможно, подъ влгяшемъ первоначальнаго толчка, все большее и
большее отступлете отъ положетя равновес1я, какъ бы ни былъ
малъ этотъ толчекъ, т. е. какъ бы ни была мала величина т.
Поэтому соответствующее положете равновес1я называется
неустойчивыми Упомянутое выше увеличеше величины Т будетъ
продолжаться до техъ поръ, пока уменьшающаяся величина П не переста-
нетъ получать отрицательныхъ приращешй, и не начнетъ снова
увеличиваться, получая уже положительныя приращетя, т. е. пока П
не достигнешь своей наименьшей величины, при чемъ система прой-
детъ черезъ новое положете равновес1я. Но въ этомъ новомъ
положенш равновес1я система не остановится, ибо ея кинетическая
энерпя тутъ очевидно не будетъ равна нулю; следовательно,
движете будетъ продолжаться съ увеличивающейся потенщальною энер-
пею и уменьшающеюся кинетическою до новой перемены знака у
14

*Л0 Глава II. Принципы Динамики. § 36
сШ, когда П достигаетъ наибольшей величины, а Т—наименьшей.
Но такъ какъ наименьшая величина Г не можетъ быть меньше т, и Т не
обратится въ нуль, то движете будетъ продолжаться изъ вновь
достигнута™ положешя равновЪмя, и т. д. При этомъ нужно
заметить, что при описанномъ двпжеши системы между абсолютными
maxim, и minim., соответствующими равенствамъ П — () и П = О,
величина потенщальной энерпи можетъ принимать рядъ относитель-
ныхъ max. и min., соответствующихъ тоже положешямъ равновЁ-
cifl; но такъ какъ ни въ одномъ изъ этихъ положешй величина Т
не можетъ обратиться въ нуль, то система въ нихъ останавливаться
не будетъ. Примеръ такого рода относительныхъ maxim, и minim,
можемъ видеть при движеши точки, подъ действ1емъ постоянной
силы, между двумя перпендикулярными къ направлешю силы плоско-
в в стями Н]Н] и НН (рис. 64) по кривой
ВтМАМпВ, на которой положешя В и
А будутъ соответствовать абсолютнымъ
maxim, и minim., положешя М—относи-
л
тельнымъ maxim., а положены т—отно-
Рие 64. • •
сительнымъ mmim.
Положимъ теперь, что точки системы выведены, безъ сообщешя
имъ скоростей, изъ положешя равновепя, и притомъ—какъ угодно
мало; т. е. пусть П0 уменьшится на какъ угодно малую, но
отличную отъ нуля величину q\ тогда очевидно, система прШдетъ въ
движете, ибо услов1я равновесия уже не будутъ выполняться, и во
время движешя будетъ
T+n = Q-g, A48)
откуда видимъ, что Т будетъ увеличиваться до техъ поръ, пока П
не достигнетъ наименьшей величины. Затемъ Т будетъ уменьшаться
и обратится въ нуль, при П = Q — д. Дальнейшее увеличеше П не
будетъ возможно, такъ какъ тогда Т должно бы было сделаться
отрицательными Но такъ какъ положеше П = Q — q не
удовлетворяешь условш равновес1я, то движен1е будетъ продолжаться, и опять
повторится уменынеше П и увеличеше Т. Такимъ образомъ, система,
разъ выйдя въ данномъ случае изъ положешя неустойчиваго равно-
вес1я, уже въ него не возвратится.
Предположимъ теперь, что система начинаетъ свое движете
изъ положешя устойчиваго равновесия, съ первоначальною кинети-

§ 37
Глава II. Принципы Динамики.
211
ческою энерпею т, которая можетъ быть предположена какъ угодно
малою. Тогда П0 = 0, Ткл = т, и уравнеше сохранешя энерпи при-
нимаетъ видъ
Т+П = т, A49)
откуда видимъ, что П можетъ увеличиваться только до величины т,
когда Т обращается въ нуль, ибо, при II >т, Т должно бы было
сделаться отрицательными что невозможно. Достигнувъположешя(П = т),
система въ немъ не останется, ибо услов1я равновЪсая не будутъ
удовлетворены, такъ какъ для системы въ этомъ ея положеши
будутъ возможны ташя перемЪщешя, при которыхъ П будетъ
уменьшаться. Итакъ, наступить движете системы, при которомъ П будетъ
уменьшаться, а Т увеличиваться до 11 = 0 и'Т=т, т. е. до
возврата въ положеше равновесия, изъ котораго система опять вый-
детъ, чтобы снова возвратиться, и т. д. Такое положеше равнов^я,
въ которое система снова возращается, будучи изъ него выведена,
называется устойчивымъ.
Если система будетъ выведена изъ положешя устойчиваго
равновесия безъ сообщешя ея точкамъ скоростей, и доведена до
положешя, съ потенщальною энерпею q, а затъмъ будетъ предоставлена
самой себе, то во все время движешя будетъ
T-i-U = q, A50)
откуда видимъ, что система опять возвратится въ положеше П = 0,
чтобы снова выйти изъ него и дойти до Т=0 и II = j, и т. д.
§ 37. Превращеше. передача и трата энерпи.
Всякое движеше консервативной системы, подъ д£йств1емъ ея
взаимныхъ силъ, мы можемъ разсматривать, какъ последовательное
увеличеше количества энерпи одного вида на счетъ уменынешя
энерпи другаго вида, т. е. какъ процессъ превращешя или потенщаль-
ной энерпи въ кинетическую, или наоборотъ. Превращеше потен-
щальной энерпи въ кинетическую имЬетъ очевидно мЪсто, когда
силы системы въ общей сложности выполняютъ положительную работу,
которая въ этомъ случай тратится на увеличеше кинетической
энерпи, уменьшая запасъ работы, подлежащей выполнешю, т. е. потен-
щальную энергно. Такого рода превращеше будетъ продолжаться до

2ia
Глава II. Принципы Динамики.
§ 37
техъ иоръ, пока потенщальная энерпл не уменьшится до minimum'а,
какъ это было объяснено въ предыдущемъ параграфа. Упомянутый
minimum не есть необходимо абсолютный, т. е. не соответствуем
самой наименьшей величин* потенщальной энерпи системы, какую
мы можемъ только себе представить; но представляетъ такую
величину потенщальной энергш, которая менее, чемъ все
соответствующая сосЬднимъ (съ разсматриваемымъ) положешямъ системы. Другими
словами, приращешя потенщальной или кинетической энерпи могутъ
переменять свой знакъ не только при абсолютно наиболыиихъ или
наименьшихъ значешяхъ соответетвующихъ изменяющихся велпчинъ,
но и вообще при всякихъ значешяхъ, лежащихъ между упомянутыми
абсолютными max. и tmin.; такого рода перемены знака будутъ
обусловливать второстепенный maxim, и minim. Такимъ образомъ,
превращеше одного вида энерпи въ другой не должно, вообще
говоря, продолжаться необходимо до тЬхъ поръ, пока одинъ изъ ви-
довъ энерпи будетъ вполне исчерпанъ; но при всякомъ движеши
могутъ быть налице некоторый количества того или другаго вида
энерпи, которыя, по услов1ямъ движешя, никогда не превратятся
другъ въ друга.
Такъ, въ пояснительномъ примере § 35 мы видели, что, при
движеши матер1альной точки, подъ действ1емъ неизменной силы, по
кругу, энерпя системы можетъ быть больше могущества системы,
при чемъ часть энергш всегда остается въ виде кинетической (см.
ур. A36)). Другой примЁръ неполнаго превращешя одного вида
энерпи въ другой мы можемъ видеть въ движеши тела около притяги-
вающаго центра, при чемъ движущееся те л о то приближается къ
центру, то отъ него удаляется, какъ при обращеши земли по
эллипсу, въ фокусе котораго находится притягивающее солнце. Система,
О состоящая изъ неподвижнаго центра 8 (рис. 65)
и иритягиваемаго имъ тела, можетъ очевидно
обладать могуществомъ, представляемымъ работою,
которую выполнила-бы сила притяжешя, при дви-
Pi:c. 65. , 77, ^ . 0
женш тела Ь изъ оезконечнаго разстояшя отъ о
до соприкосновешя Е съ 8. Но, при данномъ движеши, наличный
запасъ энерпи системы можетъ быть вообще меньше возможнаго
могущества системы, которому онъ равнялся-бы, если-бы движете
началось безъ начальной скорости изъ безконечности. Въ данномъ
случае наиболышй запасъ потенщальной энерпи будетъ соответство-

$ 37
Глава II. Принципы Динамики.
213
вать положенш Д и этоть запасъ весь превратился-бы въ
кинетическую энерпю, еслибъ движете происходило по линш BS. При
движенш же вращательномъ только часть этого запаса превращается
въ кинетическую энерпю на пути между В и А: въ этомъ поелед-
немъ положенш кинет, энерпя достигаетъ сравнительно наибольшей
величины, а потенц. энерпя—наименьшей; затЪмъ, на пути отъ Л до
В происходитъ обратное превращеше кинетической энерпи въ
потенциальную, и т. д., безъ полнаго превращешя одного вида энерпи
въ другой. Если тело Е движется около S по кругу, то превраще-
Hie энерпи вовсе не имЪетъ места, и количество кинетической энер-
riи системы во все время движешя остается постоянными
Законъ сохранешя энерпи, утверждая, что уменынеше
количества одного вида энерпи соответствуешь всегда точно такому же
приращенш другаго вида, устанавливаем количественную
эквивалентность обоихъ видовъ эне priii при ихъ превращешяхъ,
не определяя однако, какое количество изъ наличнаго запаса всей
энерпи системы подлежитъ превращенш, т. е. какое количество
энерпи можетъ въ различные моменты движешя являться въ томъ
или другомъ изъ обоихъ видовъ, ибо, какъ мы видели изъ предыду-
щихъ примЬровъ, при одномъ и томъ же количестве всей энерпи
системы, но при различныхъ родахъ ея движешя, различныя части
одного вида энерпи подлежатъ превращенш въ другой, и обратно.
Вышеприведенное заключеше послужитъ намъ впоследствш къ уясне-
нш значешя обоихъ основныхъ законовъ механической теорш тепла.
Выделимъ мысленно какую нибудь часть изъ консервативной
системы и разсмотримъ энерпю этой части, т. е. сумму П + Г. Такъ
какъ матер1альныя точки, составляюиця выделенную часть, подлежатъ
действш не только взаимныхъ силъ между ними, но и силъ, обусло-
вленныхъ остальными точками системы, которыя должны быть раз-
сматриваемы, какъ внЪпния, по отношенш къ выделенной части, то
количество энерпи этой части не будетъ оставаться постоянными
Действительно, приращеше кинетической энергш разсматриваемой
части системы будетъ происходить насчетъ работы не только ея
взаимныхъ силъ, но и силъ внешнихъ, зависящихъ отъ остальныхъ
точекъ системы; первая работа будетъ обусловлена только взаим-
нымъ расположешемъ точекъ выделенной части; но вторая работа

214 Глава II. Принципы Динамики. § 37
кроме того еще будетъ зависеть отъ распределешя точекъ
остальной чаГсти. Следовательно, при движеши точекъ выделенной части
отъ одного ихъ взаимнаго распределешя къ другому, не будетъ
всегда одно и тоже приращеше кинетической энерпи этой части, ибо
при этомъ распределеше разсматриваемыхъ точекъ, по отношенш къ
остальнымъ частямъ системы, можетъ быть различно. Итакъ, энерия
каждой отдельно взятой части консервативной системы можетъ, во
время движешя этой последней, увеличиваться или уменьшаться. Но
такъ какъ при этомъ количество энерпи всей системы должно
оставаться неизменнымъ, то очевидно, увеличеше энерпи одной части
системы должно происходить на счетъ ея уменынешя въ другихъ ча-
стяхъ системы. Такимъ образомъ мы приходимъ къ представленш о
передаче, распростанен1и, или переходе энерпи изъ
одной части системы въ другую, или вообще—изъ одной части
пространства въ другую, т. е.—къ представленш о движении
энергчи. Если наоборотъ въ какой нибудь части разсматриваемой
системы количество энерпи остается неизменнымъ во все время
движешя, то мы должны заключить, что въ этой части системы
существуют только взаимныя силы между составляющими ее матер1аль-
ными точками, и что остальныя части системы не оказываютъ bjhh-
шя на разсматриваемыя точки, т. е. какъ-бы для нихъ не суще-
ствуютъ. Вообще мы только тогда будемъ иметь систему матер1аль-
ныхъ точекъ съ постояннымъ количествомъ энерпи, когда примемъ
въ расчетъ все части наблюдаемой нами матерш, могупця какимъ
либо образомъ действовать другъ на друга, т. е. когда мы включимъ
въ нашу систему весь познаваемый нами матер1альный м1ръ. Для
отдельныхъ частей определенна™ такимъ образомъ Mipa сохранеше
энерпи не можетъ иметь места, ибо въ такомъ случае часть, съ
неизменнымъ количествомъ энерпи, не претерпевая никакого дей-
ств1я отъ остальныхъ частей и сама на нихъ не воздействуя, не
существовала бы физически для наблюдателя вне ея, и представляла
бы собою весь м1ръ для наблюдателя внутри ея, при чемъ конечно
наблюдатель разсматривается, какъ часть системы, подверженная
темъ или другимъ действ1ямъ остальныхъ частей.
Каждое изъ нашихъ отдельныхъ непосредственныхъ наблюдешй
можетъ относиться къ явлешямъ, обнимающимъ только ту или
другую малую часть всего Mipa. Поэтому мы не можемъ ни наблюдать,
ни представлять себе никакого процесса природы, происходящаго въ

§ 37
Глава И. Принципы Динамики.
216
ограниченномъ пространстве такъ, чтобы количество проявляющейся
при этомъ процессе энерпи оставалось-бы всегда одно и тоже. То
что мы въ действительности наблюдаемъ—есть тотъ или другой
моментъ взаимнаго превращешя разныхъ видовъ энерпи другъ въ друга,
при чемъ количества энерпи того и другаго вида должны быть эква-
валентны между собою. Такимъ образомъ, всякое движете,
наблюдаемое или представляемое нами въ какой либо систем* матер1аль-
ныхъ точекъ, не обнимающей собою всего Mipa, должно быть
связано съ уменынешемъ или увеличешемъ энерпи упомянутой системы.
Это изменеше энерпи наблюдаемой системы можетъ происходить или
непрерывно, или скачками, можетъ состоять въ изменены одной
только потенщальной энерпи, или одной кинетической, или обЁихъ
заразъ. Другими словами, если мы обозначимъ черезъ Е и Е]
количества энерпи системы соответственно для двухъ безконечно близ-
кихъ моментовъ времени, то разность Е—Е можетъ быть тоже
безконечно мала, какъ въ случае непрерывнаго изменешя энерпи,
или Е1—Е можетъ быть конечною величиною, если энерпя изме-
няетъ свою величину скачками. Кроме того, обозначая черезъ Т и
II и черезъ Т и П' количества кинетической и потенщальной
энерпи системы для перваго и втораго изъ двухъ вышеупомянутыхъ
моментовъ времени, мы имеемъ очевидно:
Т+П = Е и Т' + П' = Е1, A51)
вследств1е чего приращеше энерпи системы определится слЁдую-
щимъ образомъ:
Я' —Е=Т'—Т-т П' — П, A52)
при чемъ является очевиднымъ значеше частныхъ случаевъ, когда
происходитъ изменеше или одной потенщальной энерпи, или одной
кинетической, т. е. когда Т = 1\ или П' = П.
Изменеше одной только потенщальной энерпи можетъ быть
произведено, когда къ точкамъ системы будутъ приложены внешшя
силы, уравновешивания внутреншя взаимныя силы системы во вся-
Kifl моментъ движешя этой последней. Въ самомъ деле, обозначая
черезъ SL работу упомянутыхъ внешнихъ силъ, при какомъ-либо
возможномъ безконечно маломъ измененш распределешя точекъ
системы изъ ихъ размещенШ въ какой-либо моментъ времени, и помня,
что отрицательное приращеше —£Д потенщальной энерпи системы,

ai6
Глава II. Принципы Динамики.
§ 37
при техъ-же перемещешяхъ, представитъ соответствующую работу
внутреннихъ силъ, мы будемъ иметь, на основанш § 28, G6),
следующее услов1е равновесия внешнихъ и внутреннихъ силъ для каж-
даго момента времени:
SL-STI — 0, A53)
Обозначимъ черезъ dL и dR работу внешнихъ и внутреннихъ силъ
для действ и тельныхъ безконечно малыхъ перемещешя то-
чекъ системы. Если эти перемещешя обращаемы, т. е. если ря-
домъ съ ними возможны также друпя перемещешя, имъ прямо про-
тивоположныя, то услов1е A53) для такихъ перемещена
обращается въ
dL — dTl = Oa A54)
Но при движенш системы должно выполняться услов1е A20),
которое представится въ виде:
dL — an — dT=0, A55)
где dT представляетъ приращеше кинетической энерпи системы. На
основанш A55) и A54) иигЬемъ, что
dT=0.
т. е. что кинетическая энерпя, не получая приращешя, остается
неизменною во все время движения. Кроме того изъ услов1я
dU = dL A54)
видно, что, если движете системы происходитъ въ сторону внеш-
нихъ силъ, т. е. если работа этихъ послЬднихъ, dL, на каждомъ
элементе перемещешя определяется положительною, то приращеше dR
потенц1альной энерпи системы будетъ тоже положительно, т. е. эта
э н е р г i я будетъ увеличиваться на счетъ работы
внешних ъ силъ; въ обратномъ случае, когда движете таково, что
работа dL отрицательна, потенщальная энерпя системы будетъ
уменьшаться, затрачиваясь на работу противъ внешнихъ
силъ. Въ первомъ случае внешняя работа тратится на увеличе-
Hie энерпи системы, во второмъ случае выигрывается внешняя
работа насчетъ затраченной энерпи. Если внешшя силы, по
выполнена ими некоторой положительной или отрицательной работы,
перестаютъ действовать на точки системы, то движете этой послед-

§ B7
Глава II. Принцицы Динамики.
217
ней продолжается съ постоянною энерпею. но измененною противъ
той, которая имела место до начала дЪйств1я внешнихъ силъ.
Если внешшя силы приложены описаннымъ способомъ къ точ-
камъ системы въ тотъ моментъ ихъ движешя, когда кинетическая
энерпя равна нулю, то эта последняя очевидно останется равною
нулю во все время, пока действуютъ внЪшшя силы; т. е. система
будетъ въ покое. Но въ такомъ случае, при неизменномъ
распределены точекъ системы, ея потенщальная энерпя останется
неизменною. Однако при этомъ достаточно сообщить системе какъ
угодно малый запасъ кинетической энерпи, чтобы темъ вызвать
непрерывное превращеше внешней работы въ потенщальную энерпю, или
наоборотъ. Увеличеше потенщальной энерпи произойдетъ, когда
сообщенный скорости будутъ направлены въ сторону действ1я внеш-
нихъ силъ; уменынеше—когда упомянутыя скорости обусловятъ
движете противъ действ1я внешнихъ силъ.
Следуюгще простые примеры могутъ пояснить намъ
разъясненный выше способъ изменешя потенщальной энерпи системы
внешними силами. 1) Камень подымается равномерно рукою надъ
поверхностно земли, при чемъ, во все время движешя камня вверхъ
рука уравновешиваешь силу тяжести, работа-же руки увеличиваешь
потенциальную энерпю системы изъ земли и камня; скорость
сообщается камню рукою при начале движешя, и во все время подняли
остается неизменною. 2) Точно также, работа руки увеличиваетъ
потенщальную энерпю системы, когда рука откдоняетъ маятникъ изъ
положешя устойчиваго равновес1я, не сообщая ему при этомъ
скорости или когда 3) рука завертываетъ пружину, при чемъ сила
руки во все время завертывашя уравновешиваетъ постепенно
возрастающую упругую силу пружины.
Изменеше одной только кинетической энерпи системы,
независимо отъ потенщальной, мы можемъ представить себе очевидно
только мгновеннымъ, и следовательно обусловленнымъ некоторымъ им-
пульсомъ мгновенныхъ силъ, или столкновеюемъ матер1альныхъ
точекъ данной системы съ точками другой. Продолжительность
импульса или столкновешя должна быть при этомъ представлена на
столько малою, что въ продолжение времени действ1я мгновенныхъ силъ
положеше частей системы не успеетъ конечнымъ образомъ изменится;
не изменится следовательно и потенщальная энерпя; кинетическая
же энерпя системы получитъ внезапно некоторое конечное положи-

218
Глава II. Принципы Динамики.
§ 37
тельное или отрицательное приращеше. Въ случае данныхъ импуль-
совъ упомянутое приращеше кинетической энерпи определится по
§ 33, A21)" уравнешемъ
т- то=УУ*\у* cos & Fo) -rv^ (J, у)] • с153)
Въ случае столкновешя приращеше Т— Т0 определится на
основаны соображешй, съ сущностш которыхъ мы познакомимся при из-
следоваши соударешй твердыхъ телъ.
Всякое наблюдаемое нами явлеше мы тогда считаемъ вполне
понятнымъ, когда оно можетъ быть сведено къ ряду просгЪйшихъ
явлешй движешя матеры. Те явлешя, которыя могутъ быть
объяснены подобнымъ образомъ, составляютъ предметъ физики.
Сложность явлешя такимъ образомъ зависитъ отъ сложности техъ
движение которыми оно можетъ быть объяснено. Движеше-же мы мо-
жемъ разсматривать или какъ изменеше положешя частей матеры,
составляющей данную систему, или какъ процессъ превращешя
энерпи и ея передачи изъ одного места въ другое.
Если движете системы намъ известно вполне, т. е. если мы
для каждаго времени можетъ указать место въ пространстве для
каждой частицы наблюдаемой системы, то мы будемъ въ состояны
очевидно также найти для каждаго времени и места количество
энерпи того и другаго вида, и следовательно решить вопросъ о
передаче и превращены энерпи. Но наоборотъ, если мы знаемъ, какое
количество того или другаго вида превращается одно въ другое въ
данной части системы или передается другимъ частямъ, т. е. если
для насъ рЬшенъ вопросъ о передаче и превращены энерпи, то
изъ этого еще не следуетъ, что мы всегда въ состоянш идти
дальше и решить вопросъ о движении каждой частицы разсматриваемои
системы.
При однихъ явлешяхъ, какъ напримеръ, звуковыхъ и отчасти
световыхъ, мы можетъ вполне представить себе те движешя,
которыя въ этихъ явлешяхъ проявляются. При другихъ явлешяхъ, какъ
напримеръ—тепловыхъ, электрическихъ, магнитныхъ, мы можемъ
представить себе только изменешя энерпи и ея перемещешя, со-
ответствуюпця упомянутымъ явлешямъ, не зная почти ничего о со-

§ 38
Глава II. Принципы Динамики.
219
отвЪтственномъ движеши въ собственномъ смысле, по недостатку
фактовъ, которые помогли-бы намъ сделать катя-либо заключешя
въ этомъ направлены.
§ 38+ Передача энерпи машинами.
Представимъ себе некоторую матер1альную систему, которая
движется подъ действ1емъ силъ, взаимно уравновешивающихся для
каждаго момента времени движешя; кроме того движеше системы пусть
будетъ обращаемое, т. е. пусть каждому ряду дМствительныхъ пе-
ремещенШ частей системы соответствуем рядъ прямо противополож-
ныхъ возможныхъ перемещен^. При такихъ услов1яхъ, работа всЬхъ
вышеупомянутыхъ взаимно уравновешивающихся силъ во все время
движешя системы должна быть равна нулю, а кинетическая энерпя
системы должна оставаться неизменною.
Такого рода движущаяся система представляетъ собою общШ
типъ машины. Такъ какъ сумма работъ силъ, приложенныхъ къ
машине, должна быть равна нулю, то работа однехъ изъ этихъ силъ
будетъ положительная, а работа другихъ—отрицательная. Силы, при-
ложенныя къ машине и выполняюиця во время ея движешя
положительную работу, называются двигателями; силы, выполняющая
въ тоже время отрицательную работу, называются сопротивле-
н1ями. Двигатели направлены вообще подъ острыми углами къ дви-
жешю техъ частей, къ которымъ они приложены; сопротивлешя
образуюсь вообще тупые углы съ направлешями движешя соотвЬт-
ствующихъ частей машины. Двигатели очевидно не обусловливаютъ
непосредственно никакихъ изменешй въ движеши машины,
кинетическая энерпя которой остается постоянною; роль двигателей со-
стоитъ въ томъ, чтобы во все время движешя машины
уравновешивать сопротивлешя, или побеждать сопротивлен1я. Роль
машины состоитъ въ томъ, чтобы осуществить услов1я, при которыхъ
работа двигателей можетъ быть превращена въ полезную работу,
побеждающую работу сопротивленШ.
Обозначая черезъ dLm элементарную работу двигателя,
совершаемую въ теченш элемента времени, при безконечно маломъ
перемещены частей машины, черезъ dLT—соответствующую
элементарную работу сопротивлешй, и черезъ dT— приращеше кинетической

220 Глава II. Принципы Динамики. § 38
энергш машины, мы будемъ иметь следующее уелсше обращаемаго
движешя (см. 120):
clLm — dLr -j- dT = 0, A56)
при чемъ, вслгЬдств1е равновес1я двигателей и сопротивленШ:
dLm-rdLT = 0, A57)
и следовательно
dT^O; A58)
т. е. кинетическая энерпя машины остается неизменною (получаетъ
приращешя равныя нулю), и во все время движешя, по A57),
работа двигателей равна и противоположна работе сопротивленШ.
Кроме силъ двигателей и сопротивленШ, котарыя по нашему
произволу могутъ быть приложены къ машине, или нетъ, всегда
существуют^ еще силы, не подлежащая нашему произволу, существова-
ше которыхъ обусловлено существовашемъ самой машины. Эти
силы направлены всегда, какъ показываетъ опытъ, противъ движешя
частей машины и потому называются вредными сопротивле-
н i я м и. Обозначая черезъ clL элементарную работу вредныхъ
сопротивленШ (по предыдущему—всегда отрицательную) при безконеч-
но маломъ обращаемомъ перемещенш машины, мы должны, принимая
во внимаше эту вредную работу, представить услов1е движешя въ
следующемъ виде:
dLm + dLr -f- dL + dT=0, A59)
откуда видимъ, что постоянство кинетической энергш машины будетъ
иметь место при следующемъ условш равновес1я:
dLm + dLr + dL' = 0, A60)
т. е. когда работа двигателей тратится на побеждеше не только внеш-
нихъ, полезныхъ сопротивленШ, но и вредныхъ.
Силы, действуюиця на части машины должны очевидно
обусловливаться присутств1емъ какой-либо матер1альной системы, такъ или
иначе связанной съ машиною. Разсматривая машину и матер1альную
систему, обусловливающую двигатели, какъ одно целое, мы будемъ
иметь некоторую матер1альную систему, къ которой приложены внеш-
шя силы (сопротивлешя), совершаюиця во время движешя системы
отрицательную работу. Такой случай былъ разсмотренъ въ предыду-
щемъ параграфе, где было указано, что онъ соответствуете умень-

§ 38
Глава II. Принципы Динамики.
221
шешю энергш системы, къ которой приложены силы, совершаюпця
отрицательную работу. Такъ какъ энерпя машины остается
постоянною, то работа, затрачиваемая на побЪждеше сопротивлешй,
получается на счетъ убыли энерпи той системы, которая обусловливаешь
двигатели и которая можетъ быть названа резервуаромъ полезной
работы. Роль машины такимъ оброзомъ состоитъ въ томъ, чтобы
энерпю упомянутаго резервуара превращать въ полезную работу
противъ сопротивлешй.
Съ другой стороны, мы можемъ разсматривать какъ одно цгЬлое
машину и ту систему, которая обусловливаем существоваше сопро-
тивлешя. Въ такомъ случае внЪншя силы, приложенныя къ разсма-
триваемой системе (т. е. наши двигатели), совершая положительную
работу, увеличиваютъ энерпю системы. Такимъ образомъ вообще
машина является посредникомъ, перемЪщающимъ энерпю отъ одной
системы къ другой и превращающимъ переносимую энерпю въ
определенный видъ.
••~ч^ЕШс>-*'

ГЛАВА III.
ДМ0ТВ1Е ОИЛЪ НА ТВЕРДЫЯ ТФЛА (ДИНАМИКА
ТВЕРДЫХЪ ТФЛЪ).
А) РАВНОВБИЕ ТВЕРДЫХЪ МЬ (СТАТИКА),
§ 39* PaBHoetcie свободнаго твердаго тЪла.
Подъ твердымъ тЬломъ въ настоящей главе подразумевается
въ строгомъ смысле неизменяемая система матер1альныхъ точекъ,
т. е. такая система, точки которой не могутъ изменять своихъ взаим-
ныхъ разстояшй. Твердое тело будетъ свободнымъ, когда для
какой либо изъ его точекъ возможны всямя поступательныя движе-
шя, и кроме того для всего тела возможны все вращешя около этой
точки. Неизменяемость разстояшй между частицами абсолютно
твердаго тела приводотъ къ тому заключенно, что как1я-бы взаимныя
силы ни действовали между этими частицами, оне должны оставаться
въ равновесш, ибо упомянутыя силы всегда направлены по неизменнымъ
разстояшямъ между частицами. Такимъ образомъ, действ1е внешнихъ
силъ на твердое тело должно состоять только въ изменеши величины
и момента количества движешя, ибо всяк!я друпя дгЬйств1я внешнихъ
силъ, помимо упомянутыхъ изменешй, совпадая очевидно по напра-
вленш съ действ1ями взаимныхъ силъ (которыя, до § 21, § 24, не
производятъ такихъ изменеши), должны взаимно уравновешиваться,
на основанш неизменности разстояшй между точками системы.
Следовательно наоборотъ, внешшя силы, приложенный къ точкамъ твер-

§ 39
Глава III. А) Статика твердаго тъла.
223
даго тела (или кь точкамъ, неизменно съ нимъ соединеннымъ), тогда
находятся въ равновЪсш, когда ихъ направлешя совпадаютъ съ на-
правлешемъ какихъ-либо равнодМствующихъ воображаемыхъ взаим-
ныхъ силъ между точками разсматриваемой неизменной системы,
т. е. когда данныя силы могутъ быть разложены на рядъ составля-
ющихъ, направленныхъ по разстояшямъ между точками системы, и
попарно иротивололожныхъ и равныхъ. Но мы знаемъ, что если
силы удовлетворяютъ вышеизложеннымъ услов1ямъ, то (§ 21, § 24)
ихъ геометрическая сумма и ихъ моментъ около всякаго начала
равны нулю. Следовательно, обозначая черезъ T.F геометрическую
сумму силъ, а черезъ ХМ— геометрическую сумму ихъ моментовъ около
произвольно выбраннаго начала, мы будемъ иметь следукищя усло-
в1я равновесия:
XF=0, 131=0. A)
Если подъ ХМ, мы будемъ подразумевать моментъ около л ю баг о
начала, который всегда равенъ нулю, то второе изъ ур. A)
заключить въ себе также и услов1е XF = О, ибо, по § 23, C0), можно
положить:
ХМ=М' + Ж;
а эта величина обращается въ нуль для всякаго начала тогда
только, когда отдельно Ш=0 и М' = 0, ибо Ш остается для всякаго
начала неизменно, а Ж' меняется; но М\ представляя моментъ
геометрической суммы силъ, только тогда равно нулю для всякаго
начала, когда сама эта сумма есть нуль.
Къ тЬмъ же самымъ уравнешямъ A) мы прШдемъ, если будемъ
выводить услов1я равновес1я изъ принципа возможныхъ
перемещен! й, изложеннаго въ § 28 и выраженнаго ур. G6). Пусть X,
У, Z будутъ слагаюиця, по некоторымъ прямоугольнымъ осямъ, отъ
силы, приложенной къ некоторой точке даннаго твердаго тела,
координаты которой суть х, у, z. Для различныхъ точекъ значешя X, Y,
Z, х, у, z очевидно должны предполаться вообще различными. Форма
и положеше твердаго тела будутъ намъ известны, когда мы будемъ
знать коордршаты каждой изъ его точекъ; по измененш величины
упомянутыхъ координатъ мы можемъ судить о перемещешяхъ
твердаго тела. Но вследств1е неизменяемости разстояшй между точками
твердаго тела, для нихъ возможны не всяюя произвольные измене-
шя координатъ, а только те, которыя соответствуют поступатель-

221 Глава III. А) Статика твердаго тъла. § 39
нымъ или вращательнымъ движешямъ т£ла, т. е. единственно возмож-
нымъ для него перемЪщешямъ. 11такъ предположпмъ, что твердое тЬло
всЬми своими точками передвинулось безконечно Мало по какому
нибудь направленш: тогда каждыя три координаты каждой изъ точекъ
тЪла изменятся на безконечно малыя положительный или отрицатель-
ныя величины.
оа , оЬ , Сс , B)
придавая которымъ всевозможныя (безк. малыя) значешя, мы исчер-
паемъ всг£ возможныя безконечно малыя поступательныя перемЪще-
шя неизменяемой системы. Предполагая затЪмъ, что твердое тЪло
повернулось на произвольно выбранные безконечно малые углы 5а ,
£S,<?y, соответственно около трехъ осей координатъ, мы найдемъ
(§ 31, A01)), что координаты x,y,z какой нибудь точки изменятся
соответственно на безконечно малыя величины
?/<?у — z$$ , zc а —- х$у , хс$ — г/бес, C)
при чемъ множители £а, $$, оу будутъ очевидно одни и теже для
всехъ точекъ разсматриваемой системы. Придавая упомянутымъ мно-
жителямъ всевозможныя безконечно малыя значешя, мьгисчерпаемъ
для каждой точки все возможныя для нея безконечно малыя пере-
мещешя, обусловливаемыя различными вращешями системы около
различныхъ осей, проходящихъ черезъ начало координатъ. Такъ какъ
любое перемещеше системы можетъ быть представлено, какъ
комбинация поступательнаго и вращательнаго движенШ, то приращешя
$х, £?/, $2 координатъ х, у, z какой либо точки системы, при любомъ
перемещены этой последней, выразятся суммою приращенШ B) и
C), т. е. будутъ:
Сх = оа + У$Ч — zop)
оу = $Ъ-\- zoo. — #£у, D)
$8 = 8с + хо$ — у$я*).
*) Положимъ вообще., что точки какой либо системы получаютъ
конечный рядъ безконечно малыхъ перемЪщетй., характеризуемыхъ прираще-
тями btx, 5,2/., btz координатъ х. у^ z какой либо точки., для перваго перемЪщетя.,
прпращеюямп ъ2х.Ъ2у^Ь2в—для втораго перемтэщеюя, и т. д. Положимъ далт^е., что
Ь{х — /, + avx -f Ьку -f ctz, \x = )м + а,ж -}- $ty + 7i^
Ъ\У ~ h + «2^ + hy + W* ЧУ = К + «ая + ?2У + 7а*-
Vr — ls + fh* + Ь3у + c3z. \s — l3 + a:i.v + Эзу -f- Тз^-.

§ 39
Глава III. А) Статика твердаго тъла.
225
Припоминая общее услов1е равновЪсля,
^(Х§х + Г5у + ZSe) ^ О ,
и подставляя въ него величины D), мы находимъ:
4-&х£(Г*- Zy) + 8{iZ(Zx — Xs)-\- 5у£(Ху— Г*) = 0,
откуда, вслгЬдств1е совершенной произвольности величинъ 5а, £& ..
■5а, дР.., выводимъ слЪдуюпця уравнешя равнов^я:
SX=r,o, 2Г=0, SZ = 0,
E)
S(T* — Zy)=0, Z(Zx—Xz) = 0, S(Xy — Гя) = 0.
Но первыя три изъ предыдущихъ уравненШ выражаютъ, что всЬ три
•слагающая по осямъ координатъ геометрической суммы всЬхъ прило-
женныхъ силъ равны каждая нулю, вслгЬдств1е чего очевидно должна
быть равна нулю и сама упомянутая геометрическая сумма. ПослЪд-
шя три изъ предыдущихъ уравненШ выражаютъ, что каждый изъ
трехъ слагающихъ моментовъ силъ около осей координатъ равенъ
яулю (сравн. C2), § 23), вслЪдств1е чего и самый этотъ моментъ,
и т. д. Тогда въ результат* вст,хъ этихъ перемещений будетъ такое измЪнеше
жоординатъ разсматриваемой точки:
Ьх — \х 4~ VH , Зу = Ь{у -Y\y-\ , oz — \z 4 b2z 4 ,
независимо отъ того, произойдутъ-ли перемт>щен1я 1, 2 .. . заразъ, или
последовательно, при чемъ конечно величины X, а, [3,... 7, а, Ъ ... предполагаются
безконечно малыми, а число приращен1й 84, 62 и т. д.—конечнымъ. Действительно,
предполагая, что сперва произошло перемт>щен1е о4 и затЪмъ перем'Ьщете о2, мы по-
лучимъ окончательное приращеше въ видт>:
о4.г -\-о2(х-{- Ь{х) = Z4 -|- а{х -\- Ьху 4- cts
4- К 4- «, (х + йгт) 4- Р, (У + \у) + Yi (* 4- *,*)
= h + К + («.4- «i) * 4- Fi + ft) у 4- (с, 4- Ti) *
=: ЬАХ 4" Оа# ,
ибо произведевдя я4огт, fto4?/... суть безконечно малы въ сравненш съ («i4~ai)n
(bi 4" Pi) • • • Точно также докажемъ вообще, что
о4ж 4- о3 (гг 4- Ьхх) 4- о3 [а- 4- о4ж 4~ ^ (# 4~ 64гг)]
4- 5* к + М 4- о3 (л* 4- о4ж) 4- 5з [ ]! 4 = ^4 31ж 4- v* 4- s«« 4
лишь-бы число приращены* о4,о2... не было безконечно велико.
15

TIP Глава HI. А) Статика твердаго тъла. § 40
т. е. геометрическая сумма моментовъ всЬхъ данныхъ силъ, долженъ
быть равенъ нулю. Цтакъ, урр. E) выражаютъ прежде найденное
нами услов1е (lj.
§ 40. Сложеже силъ, дЪйствующихъ на неизменяемую систему.
Подъ сложен1емъ силъ, ириложенныхъ къ твердому телу.
разумеется разыскаше одной или несколькихъ такихъ силъ, кото-
рыя заменяли-бы данныя силы по своимъ д,Ьйств1ямъ. Такъ какъ
дгЬйств1е силъ на твердое тело состоитъ только въ измененш
величины и момента его количества движешя, то всяюя друг1я силы,
производяиця т!,же самыя изменешя упомянутыхъ величпнъ, будутъ
равнодействующими данныхъ. Но свободное твердое тело, по отношешю
къ возможнымъ перемЬщешямъ своихъ точекъ, выполняешь те услов1я,
при которыхъ, по § 31, изменеше величины количества движешя
измеряется геометрическою суммою приложенныхъ силъ, а изменеше
момента количества движешя—моментомъ приложенныхъ силъ.
Следовательно всямя силы, геометрическая сумма которыхъ и моментъ
около произвольнаго начала будутъ равны геометрической сумме и
соответствующему моменту данныхъ силъ, приложенныхъ къ
твердому телу, будутъ равнодействующими этихъ иоследнихъ. Такнмъ
образомъ, если мы черезъ F1,F2... обозначимъ данныя силы, при-
ложенныя къ твердому телу, черезъ М1,М2...—ихъ моменты около
некотораго произвольно выбраннаго начала, черезъ Ft\ F2]... и
Мг\ М2]... — равнодействующая силы и ихъ моменты около того-же
начала, то должны будутъ удовлетворяться следукнщя условия:
XF=--XF', Ш=Ш', F)
где суммы берутся геометрически. При этомъ очевидно также, что
силы, равныя и противоположный иайденнымъ равнодействующим^
будутъ уравновешивать данныя силы F1,F2..., ибо геометрическая
сумма и моментъ такихъ противоположныхъ силъ будутъ — XF!
и— XMj\ сумма же и моментъ всехъ силъ, дЬйствующихъ на твердое
тело будутъ
XF~XF> и X2f~XM\
и обратятся, вследств1е F), въ нули; т. е. удовлетворять условно
равновесия (Г).

§ 40 Глава III. А) Статика твердаго тъла. 227
Изъ § 23 мы знаемъ, что для всякой данной системы силъ мо-
гутъ быть подобраны по крайней nipt три силы (вообще вектора),
которыхъ моментъ будетъ равенъ моменту данныхъ силъ. Одна изъ
упомянутыхъ трехъ силъ равна по величин* и направленно
геометрической сумм* данныхъ силъ и проходить черезъ-такую точку,
моментъ данныхъ силъ около которой совпадаетъ по направленш съ
этой геометрической суммой: друпя две силы лежатъ въ плоскости,
перпендикулярной къ первой, и составляютъ пару, моментъ
которой равенъ моменту данныхъ силъ около упомянутой выше точки
или, что все равно,—около направлешя первой силы, какъ оси.
Такъ какъ очевидно, геометрическая сумма трехъ упомянутыхъ силъ
будетъ кроме того равна геометрической сумм* данныхъ силъ, то
первыя представятъ систему изъ наименьшаго возможнаго числа
равнодМствующихъ послЪднихъ. Итакъ, всякая система силъ,
д е й с т в у ю щ и х ъ на твердое т е л о, можетъ быть во в с е х ъ
отношен1яхъ заменена по крайней мере одною
силою и къ ней перпендикулярною парою. Такимъ образомъ
мы видимъ, что способъ замены одной системы силъ другою, ей
равнодействующею, заключается для даннаго случая въ выраженш
C0), (§ *23):
Х=1£' + Ж, D)
при чемъ очевидно, что геометрическая сумма силъ, имеющихъ
моментъ М, равна геометрический сумме силъ, имЬющихъ моментъ
М'^Ш, ибо въ § 23 было указано, что геометрическая сумма
силъ момента М] можетъ быть сделана равною нулю, а геометрически
суммы силъ, имЬннщя моменты Мм 3JJ, суть одни и тЪже, но
приложены къ разнымъ точкамъ. Точно также легко видеть, на основанш
§ 23, что данная система силъ можетъ быть заменена двумя взаимно
перпендикулярными силами, приложенными къ двумъ различнымъ точкамъ.
Изъ вышеприведеннаго непосредственно слЪдуютъ заключешя о
следующихъ частныхъ случаяхъ.
1) Всякая сила, приложенная къ твердому телу, можетъ быть
заменена равною ей силою, приложенною где либо по той-же прямой
лиши, какъ первая.
2) Силы, направлешя действ!я которыхъ встречаются въ одной
точке, могутъ быть заменены ихъ геометрической суммой,
приложенной къ упомянутой точке.

228
Глава III. А) Статика твердаго тъла.
§ 40
3) Две параллельный силы заменяются одною, равною ихъ
алгебраической сумме, и приложенною вдоль по лиши, разделяющей
разстояше между обеими точками приложешя данныхъ силъ, внутрен-
но или внешне, обратно пропорщонально величинамъ этихъ силъ.
Внутреннее делеше соответствуем случаю силъ, направленныхъ въ
одну сторону, внешнее—въ разный стороны.
4) Две равныя параллельный силы, направленныя въ разныя
стороны, составляютъ пару силъ и не могутъ быть заменены
одною силою.
5) Точка пересечешя равнодействующей двухъ параллельныхъ
силъ и лиши, соединяющей точки приложешя этихъ последнихъ, не
завися отъ направлен1^ слагающихъ, останется таже самая для вся-
кихъ взаимно параллельныхъ силъ, проходящихъ черезъ одне и теже
точки приложешя.
6) Точка приложешя равнодействующей двухъ одинаково
направленныхъ параллельныхъ силъ, деля разстояше между обеими
дайными точками приложешя въ обратномъ отношеши къ величинамъ
силъ, совпадаетъ, по § 22, съ центромъ инерщи двухъ массъ, поме-
щенныхъ въ упомянутыхъ точкахъ и пропорщональныхъ по своей
величине соответствующей» силамъ.
7) Равнодействующая несколькихъ равнонаправленныхъ
параллельныхъ силъ легко найдется последовательнымъ сложешемъ, и бу-
детъ равна по величине сумме данныхъ силъ. Ея точка приложешя
совпадетъ съ центромъ инерцш воображаемыхъ массъ, пропорщональ-
ныхъ даннымъ силамъ и размещенныхъ въ соответствующихъ
точкахъ приложешя. Такая точка, не изменяющая своего положешя съ
изменешемъ направлешя параллельныхъ силъ, проходящихъ черезъ
теже точки приложешя и сохраняющихъ свои величины, называется
центромъ параллельныхъ силъ.
Сила, равная и прямо противоположная равнодействующей,
должна очевидно уравновешивать данныя слагаюпця, и следовательно,
вместе съ этими последними—удовлетворять услов1ямъ равновес1я
E). Поэтому, еслиХ0, Y0,Z0 будутъ три слагаюпия
равнодействующей по осямъ координатъ, а х0,у0,я0—координаты ея точки
приложешя, то, на основаши E), мы должны иметь:

§ 40
Глава III. А) Статика твердаго тъла.
229
Х0 = 2Г, Г0=ХГ, Z0 = ZZ G)
Y0z0-Z0y0^±(Yz-Zij),
ZQx0 - Х0*0 = v (Zx - Xer) , (8)
ХЛ-ГЛ = £(Х^-Г*K
где вообще X, У, Z обозначаюсь слагаюпця данныхъ сидъ, приложен-
ныхъ къ разнымъ точкамъ (х, у, z) твердаго тела п
уравновешивающихся одною силою (Х0, Г, Z0), приложенною въ точке (я0, у0, #0). Изъ
вышеприведенныхъ уравненШ G) и (8) легко видеть, что не всегда
можно найти три слагаюпця Х0, Y0,Z0 одной силы, которая урав-
новешивала-бы всякую данную систему силъ, дЬйствующихъ на
твердое гЬло. Действительно, помножая урр. (8) соответственно на Х0,
Z0,Z0 и складывая, мы находимъ:
Х0 У [Yz - Zy) + Yoy^Zx - Xz) + Z^Xy - Yx) - 0, (9)
откуда видимъ, что три искомыя величины Х0, Y0,Z0 должны,
кроме трехъ урр. G), еще удовлетворять уравнешю (9), что не всегда
возможно. Уравнешя A) требуютъ, чтобы искомая
равнодействующая равнялась геометрической сумме слагающихъ, а уравнеше (9)—
чтобы направлешя равнодействующей (если таковая найдется) и
момента слагающихъ около начала координатъ были перпендикулярны
другъ къ другу. Это последнее усл<ше иигЬетъ очевидно место, где-бы
ни было выбрано начало координатъ, ибо урр. (8), изъ которыхъ сле-
дуетъ ур. (9), существуютъ для всякаго начала координатъ.
Подставляя величины Х0, Y0,Z0 изъ G) въ (9), мы находимъ следующее
услов1е, которому должны удовлетворять данныя силы, чтобы иметь
одну равнодействующую:
ЕХ . 2 (Г* — Zy) +ZY. ^{Zx — Xz) -f EZ . 2 (Xy — Yx) = 0. (9)
Что касается до урр. (8), то каждое изъ нихъ, на основанш (9),
представляется следств1емъ двухъ остальныхъ, вследств1е чего
координаты x0,y0,zQ точки приложешя равнодействующей определяются
только двумя независимыми другъ отъ друга уравнетями, которымъ
удовлетворяютъ все точки некоторой прямой лиши. Такой
результата очевиденъ самъ по себе, ибо точка приложешя силы,
действующей на твердое тело, можетъ быть перенесена куда угодно вдоль по
прямой, совпадающей съ направлешемъ силы.

230 Глава III. А) Статика твердаго тъла. § 40
Но всегда можно найти две силы (XVYVZ1) и {X2,Y2,Z2),
приложенный къ двумъ точкамъ {х1,ул^1) и (х2, ?/,, z2), ко-
торыя заменяли-бы данную систему силъ. Таюя силы и ихъ точки
приложешя определятся очевидно уравненнми:
I>t - Zl!h ^ ГЛ - ZaVa = S (IV - Zy), A0)
Z^ — X^ -r- Z2#2 — X2^2 = S (Z;r — X#),
Хгуг ~ I>2 — X2y2 — T2x2 = S (Xy — Гя) ,
при чемъ вообще можно подобрать несколько силъ по дв'Ь, изъ ко-
торыхъ каждый две вместе были-бы равнодействующими даннымъ,
ибо число уравнешй A0), опредЬляющихъ две силы и ихъ точки
приложешя, меньше числа искомыхъ неизвестныхъ.
Точно также всегда можно найти некоторую пару силъ и силу,
зам*ЬнянIЩЯ данныя силы. Называя даыныя величины
2Х7 ЕГ. SZ
S (Г* - Zy) . 2 (Zx - Xz), £ (Xv/ — Yx)
соответственно черезъ A1)
А, Д G\ L, Ж У,
мы будемъ иметь следуюиця уравнешя для определешя слагающихъ
Xo,I'o,Z0 силы, координатъ ея точки приложешя (я?0,у0,#0) и
слагающихъ моментовъ X, (л, v искомой пары:
Х0--=А, Y0 = B, Z0 = C, A2)
Zi}x{) —.Х0*0 л- (А — М. A3)
хоУо ~ ГЛ -т- v = ^.
Такъ какъ для определешя точки приложешя силы достаточно
только двухъ уравнешй, определяющихъ некоторую прямую, то изъ
урр. A3) остается только одно для определешя трехъ неизвестныхъ
А, [л, v. Следовательно, можно подобрать безчисленное множество
паръ, изъ которыхъ каждая вместе съ силою (X0,F0,Z0) заменяла-
бы данныя силы, лишь-бы слагакпще моменты этихъ паръ
удовлетворяли уравненш
A\-rBy.± Cv = AL + BM-r CN, A4)

§ 40
Глава III. А) Статика твердаго тъла.
231
которое мы получаемъ помножая урр. A3) соответственно на А, Д G,
и складывая. Но между этими парами можно найти одну, которая
будетъ перпендикулярна къ силе (А, Д С) и направлеше момента
которой будетъ следовательно параллельно этой силе. Действительно,
помня, что если две линш параллельны, то ихъ проложетя на вся-
к1я друпя лиши будутъ въ постоянномъ OTHOHieHin между собою, мы
можемъ услов1е параллельности лиши (А, Д С) и (Л, [л, v)
выразить такимъ образомъ:
А-В~С> l }
и получимъ изъ трехъ уравнешй A4) и A5) также, какъ въ
§ 23, C9):
AL + БЖ+ CN
L = A
В2
AL±BM±CN
v = C
в.*
AL+BM + CN
В2
гдЬ
B2 = A2 + B2 + C2. A7)
Полагая въ каждомъ пзъ трехъ выражешй A6) соответственно
А2Ь = {Вг — В2 - C%)L,
В2М={В2—А2—С2)М,
C2N=(B2-B2 — A2)N,
мы получаемъ:
, __ т ^LB — MA „NA-LC
k-L -В ^ С w—,
^ „MC — NB LB —MA ,.a.
y. = M-C gj A w , A6)
„ ANA — LC ^MC-NB
вслт,дств1е чего урр. A3) обращаются въ
Я(*о-с)-С(уо-6) = 0,
С{хо-а)-А(*о-с) = 0, A8)
А(%-Ъ)-В{х0-а) = 0,

232
Глава III. А) Статика твердаго тъла.
§ 40
гдт.
MC — NB . NA-LC LB-MA
а = W ' Ъ = Ж~> с = —-»г~ ' С19>
откуда видимъ, что одною изъ возможныхъ точекъ приложения силы
(А, В, С) будетъ точка, координаты которой суть:
■*о = а, Уо = Ь> *о = с, B0)
какъ мы уже видели въ § 23, D2).
Если данныя силы параллельны между собою, то обозначая че-
резъ I, м, п косинусы угловъ, которые какая нибудь F изъ этихъ
силъ делаетъ съ о*сями координатъ и помня, что эти углы, вслЪд-
CTBie услов!я параллельности, для всЬхъ силъ должны быть
одинаковы, мы будемъ иметь:
IX = Ш\ Ъу = roSF, "LZ = nZF
b{Yz—Zy) = mZFz — itLFy ,
S (Zx — Xz) = nZFx - IZFx , B1)
L (Xy - Yx) = T&Fy — niLFx ,
вследств1е чего услов1е (9); удовлетворится, и равнодействующая
найдется изъ уравнешй
Х0 = ZSF, Г0 = mSF, Z0 = wSJ\ B2)
откуда, обозначая самую равнодействующую черезъ .F0, имеемъ:
F, = ZF: B3)
косинусы угловъ равнодействующей съ осями будутъ очевидно I, т, п.
Въ такомъ случае уравн. (8), определяннщя точку приложешя
равнодействующей, превратятся въ
tnF0z0 — nF0yQ = wCLFz — iiLFy ?
w*>0 - lFQz0 = wSFa — ZSF^ , B4)
ZJF0^0 — mJ>0 = VLFy — niLFx .
Эти уравнешя удовлетворятся, как1я-бы ни были величины /,
ж, /г, если всегда
_^Fx _ZFy __bFz
222Г ' ^°— SJP ' ° ~" SF

§ 41
Глава III. А) Статика твердаго тъла.
233
то есть, равнодействующая проходитъ всегда черезъ одну и туже
точку — центръ параллельныхъ силъ, который определяется, какъ
центръ инерщи массъ, равныхъ по величине даннымъ силамъ и раз-
мещенныхъ въ соответствующихъ точкахъ приложешя, что явствуетъ
изъ сравнешя выражешй B5) и (§ 22), B7).
Если параллельныя силы пропорщональны массамъ матер1аль-
ныхъ точекъ, къ которымъ оне приложены, то мы будемъ иметь
для каждой массы т и для каждой силы F.
F — m.g и SF^r^Im, B3)'
где д есть коеффищентъ пропорщональности, одинам для всехъ
силъ и массъ, и представляюпцй очевидно ycKopeHie (всегда одно и
тоже), сообщаемое силою F массе т.
Такой случай мы имеемъ при действш тяжести вблизи отъ
земной поверхности. Тогда выражешя B5) превращаются очевидно въ
*■'=■■ Ж' ^=аГ' 2=ш- B5)
Центръ параллельныхъ силъ при этомъ носитъ назваше центра
тяжести, и его положеше, не завися отъ величины силъ, совпа-
даетъ съ центромъ инерцш данныхъ массъ.
§ 41* PaBHoetcie твердаго гЬла, съ одною несвободною точкою.
Твердое тело не будетъ свободно, когда для него сделаются
невозможными одно или несколько изъ поступательныхъ или враща-
тельныхъ перемещешй. Ограничеше поступательныхъ перемещешй
можетъ иметь место, когда одна изъ точекъ тела или неподвижна,
или должна оставаться всегда на некоторой данной поверхности, или
должна оставаться на некоторой лиши, или можетъ сойти съ одной
или несколькихъ поверхностей въ определенныя отъ нихъ стороны,
и т. п. Ограничеше вращательныхъ перемещенШ можетъ иметь
место, когда две точки тела неподвижны, или известнымъ способомъ
связаны съ одною или несколькими данными поверхностями, и т. д.
Для всехъ вышеупомянутыхъ случаевъ вообще, въ выражешй
£а£Х + ойЕГ"+ icZZ
-г £а£ ( Yz - Z\j) + ЩЪ {Zx - Хе) -f ^ {Xy —Yx)=0, B6)

234
Глава III. А) Статика твердаго тъла.
§ 41
представляющемъ услов1е равновесия неизменяемой системы,
величины 8а, оЪ, ос, б a, £|3, £у, не будутъ уже совершенно произвольны,
ибо для несвободнаго твердаго тела не представляются возможными
всяк1я поступательный и вращательныя движешя. Разберемъ
несколько случаевъ равновесы несвободнаго твердаго тела.
1) Пусть одна изъ точекъ твердаго тела не можетъ оставить
некоторую данную поверхность. Следовательно, для упомянутой точки,
также какъ и для всей системы, возможны изъ положешя равновесш
всяюя поступательныя перемещешя вдоль по элементу поверхности,
на которомъ она находится, и невозможны перемещен!», къ этому
элементу пернендикулярныя. Кроме того предполагается очевидно,
что вращешя системы около точки соприкосновешя ея съ данною
поверхности не стеснены никакимъ услов1емъ. Выберемъ начало
координатъ въ какой либо точке упомянутаго элемента поверхности,
ось z—овъ — перпендикулярно къ его плоскости, а оси х—овъ и
у—овъ — какъ-либо въ самой плоскости элемента. Тогда пять пере-
мещенШ 8а, 8b, оа. о|3, су, въ выраженш B6), могутъ быть раз-
сматриваемы, какъ совершенно произвольный; перемещен1е-же 8с
должно быть всегда равно нулю. Услов!е равновепя B6) въ такомъ
случае удовлетворится, когда только пять коеффищентовъ при пяти
произвольныхъ величинахъ обратятся въ нули; множитель-же при ос
можетъ быть очевидно какой угодно. Итакъ, уравнешя равновесия
для даннаго случай будутъ:
ХХ=Ощ ЕГ=0,
V{Ye—Zy) = 0, 2(Ztf -X*) = 0, Ъ{Ху— Yx)=0, B7)
обозначаюиця, что геометрическая сумма взаимноуравновешивающихся
силъ должна быть по направленно перпендикулярна къ элементу
поверхности, поддерживающему тело, а по величине можетъ быть
произвольна, и что геометрическая сумма моментовъ силъ около начала,
совпадающая съ этимъ элементомъ, равна нулю.
Къ темъ-же выводамъ мы приходимъ следующими разсужденшми.
Всякая система силъ, приложенныхъ къ неизменяемой системе,
можетъ быть заменена взаимно перпендикулярными парою и силою, т. е.
тремя силами. Очевидно, что упомянутая система силъ будетъ въ
равновесш, если пара равна будетъ нулю, а сила пройдетъ черезъ
точку, лежащую на элементе поверхности, и будетъ направлена
перпендикулярно къ этому последнему.

§ 41
Глава III. AJ Статика твердаго тъла.
235
Если вышеупомянутая услов1я равновЪпя не удовлетворяются,
то можно найти вообще одну силу, которая вместе съ данными
обусловливала - бы paBHOBtcie . Действительно,
пусть тп (рис. 66) будетъ плоскость,
параллельная элементу поверхности,
поддерживающему одну изъ точекъ твердаго тела; пусть
С будетъ слЬдъ на тп нормали къ этому
элементу; пусть f и f будутъ две силы, за-
менякнщя данную систему силъ (см. § 23 и
§ 40), при чемъ f перпендикулярна къ
плоскости тп и пересекаете ее въ точке В. а
f совпадаете съ упомянутою плоскостш. Если
СВ и /' пересекутся въ какой-либо точке А,
"Vjj ^ то къ этой последней мы приложпмъ две силы
Рис. G6. р и q, изъ которыхъ первая равна и
противоположна силе f\ а последняя перпендикулярна къ плоскости тп,
и, слагаясь съ f, даетъ некоторую силу, приложенную въ точке С.
Обе силы р и q, или. что все равно, ихъ равнодействующая В\
уравновешиваютъ систему силъ, представляемую силами f и f\ Сила
В равная и противоположная силе В будетъ очевидно
равнодействующая данныхъ силъ при данныхъ услов1яхъ. Такая
равнодействующая можетъ быть однако найдена только очевидно въ томъ
случае, когда точка Л не лежитъ въ безконечности и не
совпадаете съ С.
Величина, направлеше и точка приложешя равнодействующей,
при разсматриваемыхъ услов1яхъ, могутъ быть также определены
непосредственно изъ услов1й равновес1я B7). Обозначая черезъ Х0 ,
Y0 , Z0 слаганнщя равнодействующей, а черезъ х0, у0, £0 —
координаты ея точки приложешя, мы будемъ иметь, по B7), введя обоз-
начешя A1):
У г
ZQy0 = L, Z0x0 — X0z0 = M, X0y0 — Y0x0 = N. B8)
Подставляя величины Х0, Y0 изъ первыхъ двухъ уравнешй въ
три остальныя, множа эти последшя соответственно на Л, B,Z0, и
складывая, мы получаемъ:

236 Глава III. А) Статика твердаго тъла. § 41
AL -г ВМ -t- Z()N =0, B9)
откуда
Подставляя найденную величину Z0 въ три послЪдшя уравнения
B8), мы будемъ иметь слЪдуюпця уравнешя для определешя х0,
^ AL -г ВМ
0 ~х N yo = L->
AL + BM , . __ ,ol4
~ х0 + А*0 = -М, C1)
Ay0 — BxQ = N,
изъ которыхъ каждое представляется, какъ легко заметить, след-
ств1емъ двухъ остальныхъ; следовательно урр. C1) определяютъ
целый безконечный рядъ точекъ приложешя равнодействующей, лежа-
щихъ вдоль по линш действ1я этой последней. Кроме того изъ C1)
мы видимъ, что равнодействующая иересекаетъ плоскость {ху), т. е.
плоскость, совпадающую съ элементомъ задерживающей поверхности,
въ точке
*■_ Ж- ,'- Ш C2)
Х° — AL -J- ВМ' ^ - AL + ВМ ! [ '
которая определится, полагая въ C1)
z0 = 0.
Точно также найдемъ, что равнодействующая пересекаетъ
плоскость (zx) (при у0 = 0) въ точке
< = |, <=-5 • C2)
и плоскость {yz) (при х0 = 0) въ точке
М N
*о"' = -2' »о'" = 2- C2)
Разсмотримъ частные случаи предыдущихъ решешй, когда
или а) N=0 ,
или Ь) А—В — О.

§ 41
Глава III. А) Статика твердаго тъла.
237
Для случая а) выражеше C0) даетъ
7 - AL + BM
О
и Z0 им*етъ только тогда возможное значеше, когда
AL-rBM— 0\
при этомъ последнемъ условш, мы найдемъ легко, что
~ " лм f'f О т ( _ _ 9. ! z "' — ZlV —
^о — #о -— и 1 ^о — у •> Уя — уг • ао —* о т>
при чемъ Z0 можетъ быть выбрано какимъ угодно.
На (рис. 66) легко видеть, что, при условш a), f проходитъ
черезъ точку С, и тогда нЪтъ одной равнодействующей;
прибавочное услов1е C4) требуетъ, чтобы сила f тоже была приложена къ
точке С.
Случай Ъ) имеетъ тогда место, когда система силъ, приложен-
ныхъ къ твердому телу, сводится къ силе f и паре, лежащей въ
плоскости тп (рис. 66), и когда замена этой системы силами f и
f невозможна. Тогда очевидно возможны не менее двухъ равнодей-
ствующихъ, лежащихъ въ двухъ различныхъ плоскостяхъ, и приложен-
ныхъ къ разнымъ точкамъ, при чемъ очевидно, одна
равнодействующая вообще не будетъ иметь места. Но если случаи а) и Ъ)
существуют совместно, то всегда находится одна равнодействующая Z0,
величина которой и точки приложешя определяются уравнешями
-Zy0 = L, Z0x0 = M. C6)
Наконецъ случай L = M=0 соответствуем тому, когда сила
f приложена къ точке С, и когда равнодействующая системы равна
и противоположна силе f].
2) Предположимъ, что свобода перемещешй одной какой нибудь
точки неизменяемой системы стеснена темъ услов1емъ, что эта точка
не можетъ покинуть какую-либо данную поверхность (т. е. одинъ
изъ плоскихъ элементовъ) только въ одну какую-либо сторону по
перпендикуляру отъ этой последней. Въ такомъ случае, какъ и въ
предыдущемъ, очевидно, что система силъ, приложенныхъ къ
твердому телу, должна заменяться только одною силою, проходящею
черезъ элементъ поверхности, перпендикулярно къ этому последнему и
C3)
C4)
=-?.w

238 Глава III. А) Статика тпердаго тъла. § 4L
въ направлена невозможна™ перевгЬщешя. Выбирая оси координатъ
также, какъ въ предыдущемъ случае, икромЬ того ось z — овъ,
перпендикулярную къ элементу поверхности—въ томъ направлен!!!, но
которому точка не можетъ отойти отъ поверхности, мы легко
заметим ь, что пять изъ пзв'Ьстныхъ шести перемещены! могутъ быть въ
уеловш B6) выбраны произвольно, а шестое ос—только всегда
отрицательными Вследств1е этого услов1я равновемя выразятся для дан-
наго случая следующими уравненuimv.
XX —О, 1Т=г«, vz = o,
> C7)
I ( Ys — Zij) ^ О, v ( Zx — Xs) ^ О , £ {Ху — Yx) = О ,
значеше которыхъ только-что было объяснено.
Если услов1я C7) не удовлетворяются, то система прнложен-
ныхъ силъ можетъ быть заменена некоторою парою и
перпендикулярною къ ней силою, при чемъ вообще возможно найти еще одну
силу или одну пару, изъ которыхъ та или другая, вместе съ
данными силами, удерживала-бы систему въ равновЪсш. Тутъ, такъ-же
какъ и въ предыдущемъ, возможны два случая: а)—когда система
данныхъ силъ заменяется такими парою и силою, изъ которыхъ
первая лежитъ въ плоскости тп (рис. 66), параллельной плоскости
элемента поддерживающей поверхности, а сила перпендикулярна къ
этой поверхности; Ъ) когда зангЬнякнщя пара и сила расположены
иначе, нежели въ предыдущемъ случае.
Въ случае а) очевидно нельзя найти одну уравновешивающую,
если только пара не равна нулю. Но найдутся всегда две уравновеши-
вающ1я силы, въ двухъ разныхъ плоскостяхъ, приложенный къ раз-
нымъ точкамъ: одна изъ упомянутыхъ силъ будетъ лежать въ
плоскости тп. Действительно, если мы вообразимъ себе пару и силу,
равныя и противоположныя даннымъ, при чемъ последняя приложена
въ туже точку, какъ данная сила, то очевидно, система будетъ въ
равновесш. Но одну изъ силъ пары мы можемъ приложить въ одну
точку съ одиночною силою, и заменить обе эти приложенныя къ
одной точке силы одною, которая вместе съ оставшеюся другою силою
пары и будетъ уравновешивать данную систему силъ.
Въ случае Ъ) мы можемъ данную пару и силу заменить, какъ на
рис. F6), двумя взаимно перпендикулярными силами f\\f\
приложенными въ разныхъ точкахъ, и расположенными такъ, что одна изъ этихъ
силъ лежитъ въ плоскости, параллельной поддерживающему элементу.

§ -Н Глава III. А) Статика твердаго гвла. 239
При этомъ положимъ, что невозможны;! перемещешя направлены внизъ
отъ плоскости тп, перпендикулярно къ этой последней.
Уравновешивающую силу мы найдемъ опять также, какъ въ случае 1); т. е.
проведемъ прямую ВС, соединяющую точку приложешя силы f со сле-
домъ С, на плоскости тп, нормали къ поддерживающей поверхности,
а къ точке иересечешя лиши СВ и силы f\ т. е. къ некоторой
точке А, приложимъ силу р, равную и противоположную силе f\ и
силу q, которая, слагаясь съ параллельною ей силою f, дала-бы
некоторую равнодействующую, приложенную къ точке С и направленную
внизъ отъ плоскости тп. Геометрическая сумма В' силъ р и q,
приложенная къ точке А, представить очевидно искомую
уравновешивающую, а равная и противоположная ей сила В—равнодействующую
силъ f и /*' при данныхъ услов1яхъ. Для выполнешя упомянутаго
построешя необходимо во первыхъ, чтобы лнн!п СВ и /' не были
параллельны другъ другу, а во вторыхъ, чтобы ихъ точка пересЬ-
чен1я А лежала между точками С и В, если сила f направлена
вверхъ отъ плоскости тп\ если сила f направлена внизъ отъ
плоскости тп, т. е. параллельно невозможнымъ поступательнымъ пере-
м'Ёщешямъ, то точка должна приходиться вне отрезка прямой СВ.
Эти заключешя делаются сами по себе очевидны, если мы припои-
нимъ правило сложешя параллельныхъ силъ и обратимъ внимаше на
то, что результирующая параллельныхъ силъ р н q (т. е. сила
равная ихъ геометрической сумме и имеющая съ ними одинакШ моментъ
около всякаго начала), будучи приложена къ Л, должна направляться
внизъ отъ плоскости тп.
Къ гЬмъ-же самымъ выводамъ мы прЫдемъ, разсматривая общ1я
уравнешя C7), соответствуюпця данному случаю. Обозначая, какъ
прежде, черезъ Х0, Y0, Z0, елагаю1щя искомой равнодействующей,
черезъ х0,у0,я0— координаты ея точки приложешя, и вводя обоз-
начешя А, В, С, L, М, N, мы получимъ, на основаши C7), слЬ-
дующ!я услов1я для нахождешя равнодействующей:
Х0 = А , Y()~ В, Z0=C ,
C8)
^</о ~~ ^о!/о — IJ-> ^i>xo — X0^0 ~- M, X0^0 -~ Y0x0 -- У,
откуда получаемъ, какъ прежде:
A L -г ВУ1 -г- Z0N = 0 C9)

240
Глава III. А) Статика твердаго тълл.
§ 41
AL-rBM
Z 0 _ -^~ , D0)
но съ тЬмъ, чтобы было Z0 < С.
Для опредЪлешя координатъ x0,y0,z0 получимъ тЪже уравне-
шя C1), которыя дадутъ намъ, полагая въ нихъ по очередно z0 = О,
у0 = 0, х0 = О, координаты точекъ, въ которыхъ равнодействующая
пересЪкаетъ плоскости координатъ:
г л , MN , LN
для плоек. (^): x^-J—rm^ Уог = ____, D1)
для плоек, (гх): £0" = -= , г0" = — -= , D1)
для плоек, (уг): у0'" = - , *0"' = — j • D1)
Данныя величины А, В, G, i, Ж, К мы выразимъ съ помощш вве-
денныхъ выше силъ f и f. Оси ж—овъ и у—овъ, расположенныя
въ плоскости параллельной тп, т. е. въ плоскости поддержи-
вающаго элемента, выберемъ такъ, чтобы ось х—овъ была
параллельна лиши СВ, уголъ между СВ и f обозначимъ черезъ а, и
разстояше С отъ поверхности, считаемое вдоль по оси z—овъ, на-
зовемъ черезъ—с (ибо оно идетъ на рисунке вверхъ отъ
плоскости XZ, т. е. по отрицательной оси z—овъ); разстояше СВ
обозначимъ черезъ а\ тогда координаты точки В будутъ: х = а, у = О,
z — — с: наконецъ координаты точки В1 обозначимъ черезъ а', Ъ\ —с.
ЗатЬмъ легко «ычпелпмъ, что
А ■=-- /" cos a , В = f sin а , С — — /*
i= — cf sin а , Ж"= — я/ + с/"' cos а , D2)
N = b'f cos а — a'/7 sin а ,
^ a/*sina ^ . ,,0ч
Zo^^^r- —— и должн. оыть <—гщ Dd)
0 V cos а — a sin a
( (Ь! cos a — a] sin а) (с/"' cos a — а/*)
a/ sin a
?/0f — —^(&f cos a — af sin а), и т. д .
а/
D4)
Изъ выше приведенныхъ выражешй прежде всего видно, что
искомая равнодействующая не отыскивается, когда a = О, т. е. когда
сила f направлена параллельно лиши АС\ въ такомъ случае Z0 = О,
и услов!е D3) выполнится, только когда сила f направлена въ сто-

§ 41
Глава III. А) Статика твердаго тъла.
241
рону обратную данной. Итакъ, при данномъ направленш силы f\
равнодействующая тогда возможна, когда литя f и ось х-овъ
пересекаются въ какой либо не безконечно удаленной точке А.
Обозначая длину СА, откладываемую въ положительномъ направлены оси
#-овъ, черезъ /, и замечая, что въ такомъ случае
— I sin а = V cos а — а] sin а , D5)
мы получаемъ изъ D2), D3) и D4):
jy=-f7sina, zo=-^<--f, D6)
l{cf] cos <% — af) . cf' . г,пл
xj = - -^ aj lJ-, i/0j = - ~ I sm a , D7)
откуда видимъ, что услов1е Z0 <—/* можетъ быть удовлетворено или
тогда, когда, при направлен»! силы f внизъ, величины а и I имеютъ
одинъ знакъ и I < а, или когда, при направленш силы f вверхъ,
величины а и I имеютъ разныя знаки; въ первомъ случае точка А
лежитъ между С и В\ во второмъ случае—вне промежутка СВ и
такъ, что точка С приходится между В и А.
Решешя D0) и D1) могутъ сделаться невозможными, когда
или a)N=0, или Ь)AL-\ BM =0. D8)
Случай а) имеетъ место, когда
N = f1 [Ъ* cos a — a' sin a) = 0 , D9)
т. е. когда
V
или /"' = 0 , пли tg a = —j • E0)
Первому предположен!» соответствуете однако определенное ptnieme:
Хо = 0, У0 = 0, ^Z0 = —^<-Л *„'=*, Уо' = 0, E1)
где / есть произвольная величина, связанная только услов1емъ:
~>1- E2)
Во второмъ случае очевидно, f приложена къ точке С, и решете
тогда возможно, когда af= 0, т. е. когда сила f приложена тоже
къ точке С, или равна нулю.
Въ случае Ъ) имеемъ:
afsm a — 0, E3)
16

242 Глава III. А) Статика твердаго тъла. § 41
и рЪшеше невозможно, когда или а — О, или а = 0: но для f= О
имЪемъ:
Z0 = /,'cosa, r0 = /-'sina, Ц = Ьд%, ZQ = 0; E4)
т. е. равнодействующая есть сама сила f.
Какъ примеръ разобранныхъ выше случаевъ равновЪс1я
несвободна™ твердаго тела, разсмотримъ равновес1е тяжелаго тела, опи-
рающагося одною точкою на некоторую плоскость, горизонтальную
или наклонную.
Сила тяжести, действующая на каждый элементъ массы разсма-
триваемаго твердаго тела, можетъ быть заменена, по § 40, одною
силою F B3)', приложенною къ его центру тяжести B5)'. Если
плоскость, на которую опирается сверху одною точкою тяжелое
твердое тело, будетъ горизонтальна, т. е. перпендикулярна къ напра-
вленш тяжести, то услов1е равновес1я должно состоять очевидно въ
томъ, чтобы центръ тяжести и точка опоры находились на одномъ
перпендикуляре къ плоскости. Если положеше центра тяжести не
удовлетворяем этому условш, то можно найти одну силу, которая
удержала-бы тело въ равновесш при его данномъ положенш; сила
равная и прямо противоположная этой последней будетъ равнодей-
\о ствующею силы F. Найдемъ ея величину и ея
точку приложешя.
Плоскость опоры выберемъ, какъ прежде,
за плоскость (х у), ось £-овъ—внизъ, по
направленно тяжести; плоскость (х z) проведемъ
че.резъ центръ тяжести О, и начало координатъ
выберемъ въ точке опоры А (рис. 67); нако-
нецъ разстояше АВ обозначимъ черезъ а и раз-
я1 стояние ВО—черезъ с. Прилагая къ этому слу-
Рис. 67. чаю ф0рМ D2), находимъ:
А = 0, Б = 0, C = F, L=0, M=aF, N=0, E5)
вследств1е чего услсше C9) удовлетворяется, а уравнения C8) даютъ:
ZQ = F, X0 = 0, Yo=:0, Z0x0 = aF, E6)

§41
Глава III. А) Статика твердаго тъла.
243
откуда:
%г
гд*
E7)
Следовательно, сила F можетъ быть заменена какою угодно
меньшею силою въ томъ-же направлены, приложенною къ какой-либо
точк^ въ вертикальной плоскости, проходящей черезъ О и А, и при
томъ такъ, чтобы разстояте лиши действ1я новой силы было во столько
разъ дальше отъ точки А, во сколько эта сила Z0 меньше силы F.
Разобранному случаю очевидно соответствуем решете E1).
Если къ твердому телу, кроме силы Р, еще приложена
некоторая пара Р, то одну равнодействующую найти можно только въ
исключительныхъ случаяхъ. Действительно, если мы обозначимъ углы,
которые моментъ пары делаетъ съ выбранными по прежнему осями
координатъ, черезъ а, 0, у, а величину самаго момента—черезъ Р,
то очевидно будемъ иметь:
А = 0, В = 0, C = F,
Z^Pcosa, Ж"— Pcos|3 + aP, N=Pcosy,
и уравнешя C8), C9) дадутъ невозможные решетя:
E8)
Хо=:0,
Yo = 0,
ZQ = 0:
Яо если cosy = 0, т. е. если плоскость пары проходитъ черезъ ось
£-овъ, то урр. C8) даютъ:
Х0=0, Y0 = 0, Z0==F.
<
E9)
— Z0y0 = Р cos a , Z0x0 = P cos j3 + aF- F0)
т. е. равнодействующею будетъ любая сила, направленная
вертикально и меньшая чемъ Р, или ей равная; точка приложешя для
каждой изъ такихъ силъ определяется изъ F0).
Положимъ теперь, что
поддерживающая плоскость ed (рис. 68) не
перпендикулярна къ направленш силы тяжести OF,
приложенной къ центру тяжести О.
Черезъ точку F пересечетя линш OF и
наклонной плоскости ed проведемъ перпен-
дикуляръ nF къ этой последней, и черезъ
ис" ' обе линш OF и nF— плоскость nG. Затемъ
линш Ах, проходящую черезъ точку опоры А и параллельную плоскости

244 Глава III. А) Статика твердаго тъла. § 41
nG, выберемъ за ось #-овъ, а перпендикуляръ Az къ плоскости ed—
за ось #-овъ. Лиши GI, GH, GO, абсолютныя длины которыхъ мы
обозначишь черезъ а, 6, с, будутъ очевидно координатами центра
тяжести О. Уголъ наклона плоскости ed къ горизонту, т. е. уголъ
между OF и nF назовемъ черезъ у. Вычисляя затЪмъ величины
A,B...L.. и т. д., будемъ иметь:
A^Fsmy, Б=^0, С = J1 cos у,
F1)
L = — bFcos у , M= F(a cos у + с sin 7) , JV = bFs'm у ,
вслгЬдств1е чего урр. C8) и D0) дадутъ:
X0 = J^siny, Y0-=0, Z() — F cosy, F2)
a ypp. D1):
x0! = a +с tgy = a-\-FG , y0' = b. F3)
Следовательно, при данномъ положеши центра тяжести тела,
возможна только одна равнодействующая, совпадающая съ силою F, и одна
ho' уравновешивающая сила—прямо противопо-
/\ ложная и равная силе F.
Но если Ь = 0 (рис. 69), т. е. если
центръ тяжести находится въ одной
вертикальной плоскости съ точкою опоры А,
то N = L~ О, и услсше C9),
AL + BM+Z„N=0,
удовлетворяется при всякой величине Z0.
Поэтому слагающая Z0 определяется тогда
только неравенствомъ C8), откуда:
JX0=Fsiny, *о = 0. Z^Fcosy. F4)
Лишя точекъ приложетя искомой силы определяется уравнешями
В* 0 — Z0iJo = L , Z0x0 — Az0 = M, Ay0 — BxQ = N, F5)
которыя, при В = L — N= О, обращаются въ
@6)
Ziyv0 — #{)Fsm у -- F(a cos у + с sin у) ,
откуда видимъ, что такъ какъ всегда у0 = 0, то равнодействующая
всегда лежитъ въ плоскости (xz), т. е. въ одной вертикальной пло-

§ 41
Глава III. А) Статика твердаго тъла.
245
скости съ центромъ тяжести, пересекая ось £-овъ (при х0 = О)
въ точке
■ (a cotg у + с),
F7)
\И.
F
Рис. 70.
т. е. въ той-же точке, въ которой эту ось пересЪкаетъ лишя OF.
Чтобы составить себе представлеше о воз-
можныхъ величинахъ равнодействующей,
мы отложимъ въ плоскости 0}FZ0,
перенесенной на рис. G0), длину <9'X0=jFsin у,
вдоль по оси #-овъ, а вдоль по оси #-овъ
будемъ откладывать длины менышя jFcos у,
начиная отъ 0}Z0 = Fcos у, до 0\ и
далее въ другую сторону до— оо; тогда
всякая лишя, проведенная отъ точки О Въ
угле HOF до пересечения съ прямою H'F,
параллельною O'Z0, представитъ очевидно по величине и направле-
шю искомую равнодействующую. Каждая изъ прямо противополож-
ныхъ и равныхъ силъ уравновесить на данной наклонной
плоскости силу F. Если и а = 0, то равнодействующая очевидно всегда
проходитъ черезъ центръ тяжести О, Наименьшая по абсолютной
величине изъ всЬхъ возможныхъ равнодЬйствующихъ очевидно
представится перпендикуляромъ, опущеннымъ изъ О' на литю HlF и
будетъ равна Psin у. Отрицательныя значетя sin у соответствуютъ
очевидно тому случаю, когда тело находится подъ наклонною пло-
скостш.
Если на расматриваемое тяжелое тело, помещенное на наклонной
плоскости, действуетъ еще некоторая пара, направлеше момента Р
которой определяется его углами /\ д, h съ осями координатъ, то мы
будемъ иметь:
A = Fsiny, В = 0, С = -Fcos у,
L = — ftPcosy -f-Pcos/*,
М = F(a cos у -f с sin у) + P cos g ,
N= bF sin у -f- cos h ,
F7)
F8)
вслЪдств1е чего, по C9) и D0):
X0=.Fsiny, Г0 = 0,
7 __ _Fsiny(~JJFcosy + Pcos/")
J°~~ bFsiny-j- Peosh :
F9)

246 Глава III. А) Статика твердаго тъла. § 41
при условш, что найденное такимъ образомъ Z0 будетъ всегда
= J*cos у. Уравнешя F5), определяюпця лишю точекъ приложешя
равнодействующей, превращаются въ
-Z,y0 = L, Z^Q — Az0 = M, Ay0 = N, G0)
откуда видимъ, что равнодействующая лежитъ всегда въ плоскости
параллельной (##), и на разстояши отъ нея
_ L _N_bFsiny + Pcos/г .
1/0~~~z\~~i'- гагу • ^ ]
Кроме того, изъ втораго ур. G0) имеемъ, что при х0 = 0, то есть
въ плоскости (yz), координаты точки приложешя будутъ
М_ P(aeosy + csiny)-}-Pcos## ( .
а, при г0=0, т. е. въ плоскости {ху)\
Ж
G1), пж0 = ^г
[F (a cos у + с sin у) + Р sin #] (&Р7 sin у + Р cos A)
P'siny( — 6Р7 cosy-|-P cos/")
—-ьжч—
G3)
3) Пусть свобода перемещенШ некоторой точки твердаго тела
стеснена темъ услов1емъ, что разсматриваемая точка можетъ
перемещаться только вдоль данной кривой линш, не будучи въ состояши
передвигаться по перпендикулярнымъ направлен1ямъ къ этой
последней. Направлеше элемента кривой, на который опирается тело
одною своею точкою, выберемъ за ось #-овъ; ре друпя оси будутъ
расположены какъ-либо въ плоскости, перпендикулярной къ элементу
кривой. Въ такомъ случае, изъ шести безконечно малыхъ величинъ:
5а, 5&, <?с, 5a, 5р>, 5у, определяющихъ возможныя перемещен1я
неизменяемой системы, только четыре: 5а, 5а, 5C, 5у, могутъ быть
выбираемы произвольно; две-же остальныя 5& и 5с, по условш
связности, очевидно всегда равны нулю. Вследств1е этого общее услов1е
B6) разбивается на следуннщя уравнешя равновес1я:
G4)
Z(Yz — Zy) = 0, V(Zx—Xz) = 0, Ъ(Ху—7х) = 0,
при чемъ £Г и SZ могутъ быть как1я угодно. Значен1е условш

§ 41
Глава III. А) Статика твердаго тъла.
247
G4) состоитъ очевидно въ томъ, что силы, приложенный къ точ-
камъ твердаго тела, должны представлять такую систему, которая
можетъ быть заменена только одною силою (безъ пары),
проходящею черезъ точку опоры и лежащею въ плоскости,
перпендикулярной къ поддерживающему элементу кривой.
Если услов1я G4) не удовлетворяются, то вообще можно найти
одну силу, которая, вместе съ данными, удовлетворяла-бы услов1ямъ
равновес1я. При этомъ возможны, какъ и прежде, два случая: а) когда
система данныхъ силъ можетъ быть заменена такими парою и силою,
изъ которыхъ первая расположена въ одной изъ плоскостей, перпен-
дикулярныхъ къ плоокости (уя), а вторая перпендикулярна къ оси
#-овъ; Ъ) когда одиночная сила не параллельна плоскости {zy).
Въ томъ и другомъ случае мы можемъ данную систему силъ
заменить двумя, изъ которыхъ одна f} (рис. 71) лежитъ въ одной
изъ плоскостей (тп), проходящихъ черезъ
ось #-овъ, а другая f— въ одной изъ
плоскостей (sty, перпендикулярныхъ къ той-же
оси. Въ случае а) сила f будетъ наклонна
къ плоскости тп, въ случае
Ъ)—перпендикулярна. Точку В пересЬчешя силы /"съ плос-
koctjio тп соединимъ прямою съ точкою
опоры А\ къ точке С пересЬчешя f] и АВ
приложимъ силу q равную и противоположную
силе /'', къ той-же точке приложимъ другую
силу р, параллельную силе f, и при томъ
такъ, чтобы равнодействующая обеихъ силъ fwp проходила черезъ
точку А\ тогда эта равнодействующая, будучи перпендикулярна къ
оси #-овъ, уравновесится соиротивлешемъ точки опоры, которая
можетъ перемещаться только вдоль оси ж-овъ. Геометрическая сумма
силъ р и q представитъ собою искомую уравновешивающую, а сила
ей равная и противоположная—равнодействующую. Если сила f]
параллельна линш АВ, то мы можемъ силу f разложить какъ-либо на
две, fx и f2, изъ которыхъ последняя будетъ направлена по Bt, и,
слагаясь съ f, дастъ въ плоскости тп новую силу ft, уже не
параллельную къ АВ\ съ силами ft и ft поступимъ также, какъ
прежде съ f и F*. Если сила f проходитъ черезъ точку А, то по-
добнымъ-же разложешемъ мы ее заменимъ другою, не проходящею
черезъ А.

248 Глава III. А) Статика твердаго тъла. § 41
Такимъ образомъ мы видимъ, что равнодействующая при дан-
ныхъ услов1яхъ находится всегда, и при томъ—не единственная,
ибо силы f и f\ расположенные въ плоскостяхъ тп и st, и заме-
няюнця данную систему силъ, не суть единственныя въ этихъ
плоскостяхъ. Действительно, какъ мы уже видели, силу f можно
разложить безчисленными способами на две, fx и f2, изъ которыхъ f2,
направляясь по Bt, давала-бы вместе съ f некоторую новую силу
/V въ плоскости тп\ такимъ образомъ мы приходимъ къ новымъ
силамъ fx и /\', въ техъ-же плоскостяхъ.
Величина составляющихъ Х0, ¥0, Z0 равнодействующей
определится, подобно какъ въ случаяхъ B8) и C8), уравнениями
Х0 = 4 , AL + Т0М± Z0N = О , G5)
откуда видимъ, что одна изъ слагающихъ, ¥0 или Z0, остается вполне
произвольною. Лишя точекъ приложешя определяется уравнятями
Г(/о — Zo!fo = L 5 ZbX0 — AS0 =z M 5 ЛУо ~~ J>0 = K ' ( 76)
откуда получаемъ координаты точекъ пересЪчешя этой лиши
G7)
съ плоек.
съ плоек.
съ илоск.
{у*):
(ях) :
(ху) :
, N
У О — д* ^0 —
-1 о
т m — ll л. in
«^о — у 1 "о
ж
"^Л1
1
о
откуда видимъ, что равнодействунлщя всегда находятся, и при томъ—
въ неопределенномъ числе.
4) Если одна изъ точекъ твердаго тела совершенно неподвижна,
то перемещешя оа, §b, Sc всегда равны нулю, и следовательно,
выбирая начало координатъ въ неподвижной точке, мы прШдемъ только
къ следующимъ тремъ уравнешямъ равновес1я:
2 {¥г - Zy) = 0, 2 (Zx — Хг) = 0 , 2 [Ху — Yx) = 0 , G8)
при чемъ величины А, В, С могутъ быть катя угодно. Значат е
этихъ уравнешй состоитъ въ томъ, что геометрическая сумма при-
ложенныхъ силъ должна въ случае равновес1я представляться ли-
шею произвольной длины, проходящею черезъ неподвижную точку; а
пара, которая вместе, съ упомянутой геометрической суммою, заме-

§ 42
Глава. III. А) Статика твердаго тъла.
249
няетъ систему приложенныхъ сюгъ, должна быть равна нулю. Если
услов1я G8) не удовлетворяются, то всегда можно найти безчислен-
ное множество такихъ силъ, изъ которыхъ каждая, вместе съ
данными, удовлетворяла-бы услов1ямъ равнов^я. Силы, равныя и
противоположны упомянутымъ уравновешивающимъ, представятъ собою
равнодействующая, которыхъ тоже можно найти безчисленное
множество.
§ 42* PaBHoetcie твердаго т%ла, съ двумя и болЪе
несвободными точками.
Предиоложимъ, что некоторыя две точки A) и B) твердаго
тела, координаты которыхъ суть соответственно %1луг,2г и х2, у2,
я2, могутъ перемещаться вдоль по даннымъ двумъ поверхностямъ,
или оставлять эти поверхности только въ определенныя отъ нихъ
стороны, по определенному направленш ихъ нормалей (т. е. перпен-
дикуляровъ къ ихъ касательнымъ плоскостямъ). Вообразимъ себе две
нормали къ той и другой поверхности, проведенныя черезъ те точки
этихъ последнихъ, въ которыхъ на нихъ опирается твердое тело въ
своемъ положены равновес1я своими точками A) и B). Положи-
тельныя направлешя нормалей будемъ считать по нимъ въ сторону
невозможныхъ перемещен^, и косинусы угловъ этихъ направленШ
съ произвольно выбранными осями координатъ назовемъ соответ-
стренно черезъ 11лт1л пг и 12, ш2, п2; проложешя какого нибудь
изъ возможныхъ перемещетй на оси координатъ для точки A) обоз-
начимъ черезъ £хг, 8ух, 8^ , а для точки B)—черезъ 8х2, 8у2, §я2.
Тогда проложен1я уномянутыхъ перемещенШ соответственно на
первую и вторую нормаль будутъ очевидно:
1лВхх + т1оу1 -f n1oz1 и 12бх2 -f- т2оу2 -f- n28z2, G9)
и такъ какъ точки могутъ перемещаться только или перпендикулярно
къ соответственнымъ нормалямъ (т. е. по поверхностямъ), или въ ихъ
отрицательную сторону, то выражешя G9) для всякихъ возможныхъ
значенШ охг..., 8х2... должны очевидно быть или нулями, или
отрицательными. Обозначая черезъ кх и к2 две как1я яибудь произвольныя
отрицательныя или положительныя действительные величины, мы мо-
жемъ выразить упомянутыя условия следующими двумя уравнешями:

250 Глава III. А) Статика твердаго тъла. § 42
1г$хг + т1^у1 -г- пго*г = — Ъ*
Выражая, съ помощш урр. D), перемещешя по осямъ координатъ пе-
ремещешями поступательными и вращательными, одршакими для всехъ
точекъ тела, мы можемъ условтя (8U) представить въ слЪдующемъ
виде:
1гоа -f- тгоЬ -(- пг6с
+ (WA — niifd $* + О А — W ор -г (liS/i ~ ЩХг) с\ = — *Л Q ..
7 * , Ч ■ ^ ( ^
£2оа -+- m2o6 -f- w2cc
+ 0V2 — n2?/2)<Ja + (м2я2 — Z2s2)op 4- (l2y2 — ш2я2~) o\ = — V-
Вследств1е этихъ услов1й, шесть произвольныхъ величинъ, вхо-
дянця въ общее услсше равновес1я твердаго тела,
Аса + JBSb -f Сое + Zoa + Mop -f № 7 = 0 , (82)
уже не могутъ быть разсматриваемы, какъ независимыя другъ отъ
друга: таковыми будутъ только камя-либо четыре изъ этихъ
величинъ; а остальныя две определятся черезъ эти четыре съ помощш
условШ (81). Поступая также какъ въ § 29, умножимъ оба уравне-
шя (81) соответственно на два неопределенныхъ множителя, \ и
Х2, и сложимъ ихъ съ неравенствомъ (82). Получимъ:
(А + А^ -f Л2£2) °а ~^" (В ~^ ^imi "т- Х2т2)о& + (С + А^^ -+- \n2) So
+ [i 4- \(ш^г — w^ + л3 (т2з2 — п2у2)\ £a
л (oo)
+[ж+л1(^1.г1— гЛ) + >2(^л— г2^2)]бр
-г [N + Aa (l1y1—m1x1) + А2 (Z2#2 — m2.x2)j 07 = — А А2 — A2/fc22,
где A4Ii...L,M.. им*ютъ прежнее значеше A1).
Неопределенные множители выберемъ такъ, чтобы коефигиенты при двухъ какихъ
либо изъ шести перемещен^ обращались въ нули; тогда остальныя
четыре перемещешя могутъ быть разсматриваемы, какъ совершенно
произвольныя, вследств1е чего для удовлетворешя неравенства (83)
при всякихъ значешяхъ этихъ произвольныхъ перемещенШ
потребуется, чтобы коеффищенты и при остальныхъ четырехъ перемеще-
шяхъ были равны нулямъ. Такимъ образомъ, въ случае равновес1я
должны удовлетворяться силами А, Б, С и моментами Д Ж, N
следуюиця шесть уравнешй:

§ 42
Глава III. А) Статика тбердаго тъла.
251
А + \1г + к212 = 0,
Б -f \тл + ^2W2 " ^ <
С -г\п1 -\-\п2 =0,
(84)
i+Al ОЛ — "l^l) + ^2 (^2*2 — «2У2) = 0 '
Ж+ ^! (Wj^! — \Z^\ + Л2 (^2^2 £2£2) —" # ■>
при чемъ
0 = — Х^2 — X2fc22, т е. Хх < 0 п Х2 < О . (85)
Два как1я либо изъ уравнешй (84) определяютъ множителей
Х2 и Х2, а остальныя четыре представляютъ собственно услов1я рав-
новес1я данныхъ силъ.
Видъ уравнешй (84) показываетъ намъ, что величины Х5 и Х2
можно разсматривать, какъ две силы, приложенный къ данному телу въ
его точкахъ, A) и B), и направленный соответственно въ
отрицательные стороны по двумъ нормалямъ къ поддерживающимъ поверхностям^
т. е. отъ стороны невозможыыхъ перемещешй въ сторону возмож-
ныхъ. Действительно, урр. (84) показываютъ, что если упомянутыя
две силы \ и Х2 будутъ приложены указаниымъ способомъ къ
свободному твердому телу, то эти две силы, вместе съ данными силами
и моментами, будутъ въ равновесш. Такимъ образомъ, вл!яше обоихъ
поддерживающихъ элементовъ поверхностей на данную систему силъ,
приложенныхъ къ твердому телу, можетъ быть заменено действ1емъ
двухъ силъ )у1 и Х2, приложенныхъ кътому-же телу въ местахъ его
соприкосновешя съ поддерживающими поверхностями. Поэтому силы Хх
и Х2 носятъ назваше сопротивлени! поверхностей противъ
данной системы силъ, а силы обратныя, т. е. —Хх и — Х2, называются
давлен1ями на поверхности, обусловленными данною системою
силъ, приложенныхъ къ твердому телу, опирающемуся на эти
поверхности.
Если твердое тело опирается более чемъ на две поверхности,
то къ услов1ямъ (81) прибавятся еще новыя, составленныя такимъ-
же образомъ и относянцяся къ новымъ элементамъ поддерживающихъ
поверхностей, нормали къ которымъ считаются въ томъ-же смысле,
какъ прежде; величины к при этомъ * могутъ быть и нулями для
частныхъ случаевъ, когда точки твердаго тела совсЬыъ не могутъ

252 Глава III. А) Статика твердаго тъла. § 42
перемещаться перпендикулярно къ соответствующим!, поверхностями
Умножая упомянутыя условный уравнешя на новые неопределенные
множители, и складывая ихъ, какъ прежде, съ общимъ услов1емъ
равновгЬс1я (82), мы прШдемъ къ шести уравнетямъ равновЬс1я,
подобнымъ (84) и содержащимъ столько неопределенныхъ
множителей, сколько дано различныхъ точекъ тела, соприкасающихся съ
различными поддерживающими поверхностями.
Если твердое тело опирается на данную плоскость более чЬмъ
одною точкою, то отдельныя давлешя въ каждой изъ такихъ точекъ
опоры остаются не вполне определенными. Действительно, предпо-
ложимъ, что твердое тело опирается какимъ угодно числомъ своихъ
точекъ на плоскость, которую мы выберемъ за плоскость (ху)\
тогда въ уравн. (84) все / и т будутъ нули, а все п—единицы;
кроме того все z тоже очевидно будутъ нулями: вследств1е этого
уравн. (84) превратятся въ
L — £ky = 0, М+^Ъс — О, N=0,
где знакъ 2 обозначаетъ сумму, взятую отъ различныхъ слагаемыхъ.
Приведенныя уравнешя показываютъ, что только три изъ нихъ слу-
жатъ для определешя произвольнаго числа множителей X; а осталь-
пыя три суть собственныя услсшя равновесия данныхъ силъ.
Следовательно, каждое изъ давлешй на одну и туже плоскость можетъ
быть предположено какимъ угодно, лишь-бы сумма ихъ и моменты
около оси, перпендикулярной къ плоскости опоры, были равны и
противоположны даннымъ величинамъ С, L и Ж.
Случай одной поверхности опоры, разсмотренный въ предыду-
щемъ параграфе, является какъ частный настоящаго, если принять
одно только изъ у слеши (81) и выбрать оси координатъ такъ, чтобы
хг = уг~ zx = О и 11=-т1 = 0 , пг — 1.
Если данныя силы не удовлетворяюсь условШ равновес1я (84),
то мы можемъ задаться вопросомъ, камя силы, или каюя услов1я
связности, должны быть прибавлены къ существующимъ уже,
чтобы равновес1е имело место. Если упомянутыя уравновешиваю-
иия силы будутъ найдены, то силы имъ прямо противоположныя и
равныя могутъ быть разсматриваемы, какт равнодействуюния
данной-системы силъ при дАнныхъ услов1яхъ. Вопросъ о нахожденш
равнодействующихъ тогда имеетъ преимущественный интересъ, когда

§ 42 Глава III. А) Статика твердаго тъла. 253
является возможность найти одну равнодействующую силу. Если
Х0, Y0, Z0 и х0,у0,я0 будутъ слагакшдя по осямъ координатъ и
координаты точки приложешя такой равнодействующей, то помня, что
сила равная и противоположная этой последней, вместе съ данною
системою силъ, должна удовлетворять услов1ямъ равнове^я (84),
мы найдемъ следую1щя уравнешя для определения вышеприведенныхъ
шести величинъ, характеризирующихъ искомую равнодействующую:
Х0 ~ А + Aj^ + ~k2l2 -f AgZg + • • • ,
r0 = B+X1w1 + ,
У0*0 — 2оУо =L + \ (^/l — П1Уг) + ^2 СШ2^2 — ^2#2) -t" ' " * i
Z0p0—Xoeo = M+'k1(n1x1—l1*1)-+- ,
X<&o—Y(Fo = N + \(hyi—mixi)+- •
Предыдуидя уравнешя позволяютъ намъ легко заметить, что
искомая равнодействующая можетъ быть также разсматриваема, какъ
равнодействующая некоторой системы силъ, приложенныхъ съ
совершенно свободному твердому телу: эта систета силъ состоитъ
очевидно изъ данныхъ силъ, определяемыхъ ихъ геометрическою
суммою (Л, J5, С) и ихъ моментомъ около начала координатъ (X, Ж, JV),
и изъ силъ Х^ХзДд-ч приложенныхъ къ точкамъ A), B), C) и
т. д. Для того чтобы такая система силъ могла быть заменена одною
равнодействующею, должно, на основанш (9)', выполняться
следующее услов1е:
- (Б + \т,+ . . . ) [М+ \ («Л - гл) + • • • ] (87)
которое получается изъ (86), если три последшя изъ этихъ урав-
ненШ помножить соответственно на X0,Y0,Z0 и сложить, заме-
нивъ при этомъ величины Х0, Y0,Z0 ихъ значешями изъ первыхъ
трехъ урр. (86). Величины \,\... въ условш (87) могутъ быть
разсматриваемы какъ произвольныя; но, на основанш (85)—всегда
какъ отрицательныя. Действительно, подыскавши для каждой X одно
или несколько значешй, при которыхъ услов1е (87) удовлетворялось-
бы, мы всегда найдемъ соответствующая равнодействукнщя, подставляя
упомянутыя значешя всехъ X въ уравнешя (86). Следовательно, мы

254
Глава III. А) Статика твердаго тъла.
§ 42
иолучимъ вообще столько возможныхъ решешй для равнодействую-
щихъ изъ урр. (86), сколько возможныхъ решенШ получается для
величинъ X изъ уравнешя (87), рЬшеннаго относительно этихъ по-
следнихъ, какъ неизвестныхъ.
Если найдены величины Х0; Z0, Z0 слагающихъ
равнодействующей, то величины —Х0, —Y0, —Z0 будутъ, какъ известно,
слагающими уравновешивающей, которая пройдетъ черезъ тЪже точки
приложешя, какъ первая. Вообразимъ себе некоторую плоскость,
перпендикулярную къ равнодействующей силе и касающуюся
твердаго тела въ той точке, черезъ которую лишя точекъ приложены!
равнодействующей выходитъ изъ этого последняго. Если
расположенная такимъ способомъ плоскость будетъ непроницаема для
твердаго тела, то ея присутств1емъ сила (X0,lr0,Z0) будетъ
уравновешена, и это присутств1е следовательно будетъ эквивалентно
существовали) уравновешивающей (—Х0, — Y0, —Z0), которую
упомянутая плоскость, или соответствуюпцй элементъ некоторой
поверхности, можетъ собою заменить. Такое-же заключеше будетъ
очевидно следовать изъ уравнешй равновес1я (86), если мы въ эти
последшя введемъ так!я величины А0,/0, ж0, w0, которыя
определяются услов1ями:
Vo =" — Хо > \ши = —Yo-> Vo --~Zo-> гоол
(рЬ)
102 4- т02 4- п02 = 1,
при чемъ очевидно \ представитъ сопротивлеше некоторой
поверхности, косинусы угловъ нормали къ которой, въ точке 0&о,Уо,яо)
ея соприкосновешя съ твердымъ теломъ, будутъ 10лпь0,п0. Такимъ
образомъ, разыскаше равнодействующей, или уравновешивающей,
совершенно тождественно съ разыскашемъ некоторой плоскости,
которую можно назвать удерживающею. Уравнешя (88) позволяютъ
по найденной удерживающей плоскости найти равнодействующую, или
на оборотъ,
—-ьжч——■
Предположит» для примера, что тяжелое тело опирается тремя
точками на некоторую плоскость, и найдемъ услов1я его равновесия.
Плоскость опоры выберемъ за плоскость {ху), а перпендикуляръ къ
ней, въ сторону невозможныхъ перемещешй (т. е. внизъ)—за ось
£-овъ. Начало координатъ выберемъ въ первой точке опоры, и

§ 42
Глава III. А) Статика втердаго тъла.
255
ось rr-овъ проведемъ черезъ вторую точку опоры; тогда
координаты трехъ точекъ опоры будутъ соответственно: (#, О, 0), (#2, О, О),
(%3.у3,0). Координаты центра тяжести, расположённаго очевидно
въ стороне отрицательныхъ £-овъ, обозначимъ черезъ а, &, —с, и
косинусы угловъ направления силы тяжести съ осями координатъ—
черезъ а,*|3, у", а величину самой силы тяжести—черезъ F. Тогда
мы будемъ иметь въ услов1яхъ равновЪс1я (84) все I и все т
равными нулю, а все п равными единице. Самыя-же уравнешя (84)
должны содержать три неопредЪленныхъ отрицательныхъ
множителя \Д2^зт и принимать нижеследующШ видъ:
Fol=0, Ffi = 0, jPy -j- \ + X2 + X3 = 0 , ii т. д.
Изъ этихъ первыхъ трехъ уравненШ мы уже видимъ, что а и C
должны быть нулями, а следовательно у единицею и
притомъ—положительною, такъ какъ \ + \ + \ должны быть по условш
отрицательными. Следовательно прежде всего, плоскость должна быть
перпендикулярна къ направлешю тяжести, т. е. горизонтальна; напра-
влеше невозможныхъ отъ нея перемещений должно совпадать тоже
съ силою тяжести. Въ такомъ предположена изъ уравнешй (84)
останутся только 3-е, 4-е, 5-е, которыя превратятся въ
F+\ + \ + \z = 0,
-Fb-\yz = 0, (89)
Fa -f- \%2 -\~ Х3#з = 0.
Второе изъ этихъ уравнешй даетъ:
Х, = --рА, (90)
откуда видимъ, что Ъ и yz должны иметь
одинаковый знакъ; т. е. проложеше
Л (рис. 72) центра тяжести на
поддерживающую плоскость и точка C)
должны лежать по одну сторону отъ
лиши #-овъ, такъ какъ л3 должно
быть всегда отрицательными Третье
Рис. 72.
изъ уравненш (89) даетъ, вследств1е (90):
F
(Ьхъ
\угх2
(91)

256 Глава III. А) Статика твердаго тъла. § 42
(92)
при чемъ всегда должно быть
-<0 пли ау„ — Ъхп> О. (9IV
Обозначая углы, которые лиши ОС и О А дЪлаютъ съ осью #-овъ,
черезъ <р и ф, и помня, что
.£3 =- ОС cos о , у» = ОС sin ср,
а — Oudfcos ф , & = О Л sin ф ,
мы можемъ услсше (91)' представить въ виде:
sin 9 cos ф — cos ср sin ф > О,
или:
sin (9 — ф) > 0 ,
откуда заключаемъ, что лшпя 0.4 должна лежать внутри угла ср- На-
конецъ, определяя Хг изъ перваго ур. (89), мы получаемъ:
Aj = — /* 1 1 ;, (931
откуда заключаемъ, что
хгУг ~ Ьх2 — аУв + Ц>° ; I93)'
обозначая углы, которые линш ВС и D.4 дЪлаютъ съ отрицатель-
нымъ направлешемъ оси ж-овъ, черезъ р и д, мы будемъ иметь:
х2 =г а + В A cos # , Уз = -^^ s^n Р 1 ^ -- -^-i sin q
хъ — j?2 — ]DC cosj9 = o + -ZM cos q — ВС cos j^>,
всл,Ьдств1е чего услов1е (93)f, какъ легко вычислить, превращается въ
sin О — q)> 0, (94)
которое показываетъ, что лшия ВА должна лежать внутри угла р.
Услов1я (92) и (94) очевидно выражаютъ требоваше, чтобы въ
случае равновес1я проложеше центра тяжести на плоскость опоры
лежало внутри треугольника ОСВ, вершины котораго образованы
тремя точками опоры. Случай, когда тело опирается на плоскость
двумя точками, можно разсматривать, какъ частный предыдущаго, при
чемъ две точки, B) и C), сливаются въ одну. Тогда очевидно,
площадь треугольника ОСВ превращается въ прямую линш, и усло-
в1емъ paBHOBfccifl будетъ то, чтобы вертикальная лишя, проходящая
черезъ центръ тяжести, пересекала прямую линш, соединяющую обе
точки опоры, и притомъ—между обеими этими точками.

§ 42
Глава III. А) Статика твердаго тъла.
257
Определимъ теперь равнодействующую силы тяжести, которая
действуешь на твердое тело, опирающееся тремя точками на наклонную
плоскость. Оси координатъ выберемъ также, какъ въ соотвЪтствующемъ
пример* (§ 41, рис. 68), т. е. ось £-овъ перпендикулярно къ
плоскости, внизъ, начало координатъ—въ одной изъ точекъ опоры, ось
#-овъ параллельно вертикальной плоскости, проходящей черезъ
центръ тяжести тела, и следовательно—параллельно лшйи пересЬче-
шя этой последней плоскости съ данною наклонною илоскостно. Въ
такомъ случай величины А, В,.. L, М., выразятся, какъ въ F1).
Координаты трехъ течекъ опоры будутъ соответственно: @, О, О),
ixn У и О) и (x2i У к 0)\ кроме того все I и т—нули, и все
w—единицы. Поэтому мы будемъ иметь сообразно съ F1):
1 1 (95)
X — __ bFeos у, М= F (a cos у + о sin у) , N = lFsmv ,
при чемъ урр. (86), определяйся равнодействующую, обратятся въ
Х0 = F sin у , Г0 = О , Z0 = F cos у + \ -f- А2 + \
Z0y0 = bF cos у + \у2 + Х3Уз 5 (96)
Z0x0 — F sin у .z0 — aF cos у -j- 67^ sin у + \х2 + \хг ? ?/0 " ^ •>
а уравнеше (87) въ
(к, -\- А2 + Х3) Ъ = Аау2 + Х3*/3 • 197)
Последнее изъ урр. (96) показываетъ, что равнодействующая всегда
лежитъ въ одной вертикальной плоскости съ силою F. Уравнение
(97) определяетъ возможныя соотношешя между тремя величинами
\,\*\- Третье изъ урр. (96) определяетъ слагающую Z0;
четвертое ур. (96), на основанш (97), тождественно съ предыдущимъ; а
пятое определяетъ линш точекъ приложен1я равнодействующей въ
плоскости у = Ъ. Множители А представляютъ очевидно те соиротив-
лешя, который плоскость оказываетъ телу въ трехъ точкахъ опоры,
когда это тело уравновешено на плоскости тою или другою силою,
прямо противоположною и равною какой-либо изъ системы равно-
дЬйствующихъ. При различныхъ равнодействующихъ очевидно, и со-
ответствукпщя сопротивлен1я будутъ различны. Если мы желаемъ,
чтобы сопротивления въ указанномъ случае равновесия были нулями,
то должны выбрать равнодействующую, равную F и приложенную
къ центру тяжести тела, что непосредственно видно изъ урр. (96).
17

25S Глава III. А) Статика твердаго тъла. § 42
Возможныя направлешя равнодействующихъ представятся въ данномъ
случай также, какъ на рисунке 70, (§ 41); но выборъ линш точекъ при-
ложешя для каждой слагающей останется до некоторой степени про-
изволенъ, ибо въ четвертое изъ урр. (96), определяющее эту линш
въ плоскости у = Ъ, входятъ два множителя А2 и л3, которые мо-
гутъ быть определены уравнешямп
Z0 = F cos v + >ч -и Л2 4- л..,
' (98)
(^1 Ч" ^ + \)Ъ = \У2 + ХдУз ,
содержащими, 'при выбранномъ Z0, три неопределенныя величины,
пзъ которыхъ одна останется следовательно произвольною. Такимъ
образомъ, уравновешивающую, выбранной величины, мы можемъ всегда
приложить къ телу такимъ спосооомъ, чтобы любое изъ давлешй на
три точки опоры имело предписанную ему величину.
Если две точки твердаго тела совершенно неподвижны, то
обозначая черезъ хг, уг, zx и х2, у2, z2 координаты этихъ точекъ, и
помня, что ихъ перемЬщешя 8хг... ох2... должны быть равны
пулю, мы, на основаны урр. D) (стр. 224), иолучимъ следуюиця соот-
ношешя между перевгЬщешями оа, оЪ ... £а, cj3 .. :
О, оапгу2о*( — я2ор — 0,
0 , Ob 4- г£% — х28у = О , (99)
О , ос -\- x2ofi — y2Scc = О ,
который приводятся къ пяти независимымъ другъ отъ друга уравне-
шямъ, ибо изъ нихъ возможно определить только отношешя какдхъ-
либо пяти изъ упомянутыхъ перемещены къ шестому, остающемуся
произвольными Кроме того, умножая первыя три уравнешя
соответственно на хх, уг, zx и складывая, получаемъ:
хлЬа 4- уг8Ъ + z£c == О \ A00)
точно также изъ другихъ трехъ уравнений имеемъ:
х2оа + у2§Ъ + я28с = 0. A01)
Затемъ легко видеть, что, на основаны A00) н A01), третье изъ урр.
(99) получится изъ двухъ предыдущихъ, умноженныхъ соответственно
тхг,ул и сложенныхъ: точно также шестое изъ урр. (99) получается
тоже изъ двухъ ему предшедствующихъ.
оа 4- yfy — zxb$ —
од -)- а^а — хго\' —
8с + хг8$ — уг$* =

§ 43
Глава III. А) Статика твердаго тъла.
259
Выбирая одну изъ неподвижныхъ точекъ за начало координатъ
и проводя ось £-овъ черезъ другую точку, мы будемъ очевидно
имЪть:
вслЪдств!е чего услсшя (99) приведутся къ пяти такимъ:
оа — О, $Ъ = 0, сс = 0, ол — О, o$=0, A02)
которыя показываютъ, что изъ шести перемЬщешй можетъ
оставаться произвольнымъ только одно <?у. Поэтому общее услов1е B6) рав-
HOBiciH твердаго т-Ьла приводится для даннаго случая къ одному
уравнению:
2(ху-г*) = о, (ЮЗ)
выражающему, что моментъ данныхъ силъ около неподвижной оси
(или, что все равно, сумма моментовъ всЬхъ силъ около этой оси)
долженъ быть равенъ нулю.
Примгьчате. ДвЬ неизменно соединенный другъ съ другомъ
точки приложешя силъ, вращанлщяся около неподвижнаго центра,
лежащаго на лиши ихъ соединения, носятъ название рычага, и при
томъ—перваго рода, если обЪ точки лежатъ по разнымъ сторо-
намъ отъ неподвижнаго центра, и—втор а го рода, если он*
лежатъ по одну сторону отъ этого центра. Услов1я равновЪ^я рычага
сами собою очевидны изъ разобранныхъ выше условШ равновЪ^я
неизменяемой системы.
§ 43. РаспредЪлеше давленш на плоскостяхъ опоры.
Предположимъ, что твердое т^ло опирается на данную плг
не одною точкою, но конечною плоскою частш своей повер и!
т. е. безчисленнымъ множествомъ точекъ. Въ такомъ случа xi
нен1я paBHOB^cifl (84) будутъ содержать столько различи Ъ
жителей Х2, Х2...ХП, сколько точекъ опоры, т. е. безчисле да
жество; но для всЪхъ точекъ опоры, величины /, ж, n нн<
очевидно однЪ и гЬже, такъ какъ всЬ эти точки лежатт oci
плоскости. Такимъ образомъ, уравнешя равновЪс1я (84) 9 i
ся для даннаго случая въ слЪдующемъ видЪ: п^

260 Глава III. А) Статика твердаго тъла. § 43
4-гИХ=0, В + т£к = 0, С + пЯк = 0. A04)
L A-rnZkz—n^ky = 0 , 2,к2Л = 0,
M-fnZlx— П2л* = 0, т. е. A05)
N-\- V£\y —т^кх=. 0 , каждое X = 0,
где знакъ £ обозначаетъ сумму различныхъ слагаемыхъ. Изъ этихъ
уравнений мы легко видимъ, что
AL + ВМ +CN=r-0, A06)
откуда заключаемъ, что данная система силъ должна иметь одну
равнодействующую, слагающими которой будутъ А, В, С, приложен-
ныя къ одной точке. Если координаты одной изъ точекъ приложе-
н1я равнодействующей обозначимъ черезъ х0, у0, #0, то очевидно
должны будетъ иметь:
L=. В*0— Су0 , М= Сх0 — А*0, N = Ay0 - Вх0 , A07)
вследстые чего урр. A05) превращаются въ
Вз0 — Су0 4-ж£л# — п^\у = 0 ,
Сх0 — Аг0 + пИх — Юг — 0 , A08)
А у0 — Вх0 4- ТЁку —гп£кх = 0 .
Кроме того изъ уравнетй A04) и A05) находимъ, что
2л =- — уЖ^В2^ С2,
v A09)
Al + Bm+ Сп= —Гк,
и следовательно
А1 -г Вт +Сп = ^'А2~^В2^~С2. A10)
i Но такъ какъ величина равнодействующей силъ А, В, С есть
1 ЪР ж такъ какъ
V A = Fa, B = F$, C = FT,
^ гдъ а, C. у суть косинусы угловъ J7 съ осями координатъ, то ур.
даетъ:
х , *1 + Рт + уп = 1, A11)
>№*
Откуда заключаемъ, что уголъ между нормалью къ плоскости опоры

§ 43
Глава III. А) Статика твердаго тъла.
261
и равнодействующей есть нуль, т. е. F должна быть направлена
перпендикулярно къ этой плоскости. Величина равнодействующей,
какъ показываютъ урр. A09), можетъ быть произвольная, лишь-бы
она была направлена перпендикулярно къ плоскости A,т,п), въ
сторону невозможныхъ перемещен^. Подставляя въ A08) значешя
А, В, С изъ A04), мы получаемъ:
т (я0ЕХ — ЕХ#) — п (#02Х — ЕХг/) = О ,
п (х0И — Якх) — I {3j£k — £кг) = О , A12)
I (у02Х — 1}л/)—т(х0И — ЕХя) — О ,
откуда видимъ, что одна изъ точекъ приложешя F имеетъ
координаты
2Х# ХХг/ 2Хгг r,.Q.
*° = ~25Г' Уо = ~Ж' ^~Ж~' A13)
ибо эти величины удовлетворяют уравнешямъ лиши точекъ прило-
жешя A12). Сравнивая выражешя (ИЗ) съ B5) мы замечаемъ,
что точка приложешя силы F определяется, какъ центръ параллель-
ныхъ силъ, приложенныхъ къ каждой точке площади опоры. Но такъ
какъ центръ параллельныхъ силъ не можетъ очевидно лежать въ стороне
отъ всехъ ихъ точекъ приложешя, если все силы направлены въ
одну сторону, то заключаемъ, что точка приложешя силы F, или что
все равно, силы—ЕХ, не можетъ лежать по одну сторону отъ всехъ
точекъ контура площади опоры, а должна помещаться внутри онаго.
Каждая изъ безчисленнаго множества величинъ X, входящихъ
въ выше приведенный услов!я равновес!я подпертаго твердаго тела,
представляетъ собою, какъ было объяснено въ предыдущемъ
параграфе, давлerne соответствующей точки плоскости опоры на твердое тело.
Для каждой изъ системъ взаимно уравновешивающихся силъ,
приложенныхъ къ одному и тому-же подпертому твердому телу, величины
давлешй X будутъ различны, и для каждаго соответственная случая
определятся изъ урр. A04) и A05) въ функцш данныхъ величинъ
Л, В... L, Ж.... Но легко заметить, что упомянутыя уравнешя ио-
служатъ къ определешю не каждой изъ безчисленнаго множества
величинъ X, а только функщй отъ этихъ величинъ такого вида:
XX, ЕХя, ЕХу, SX-er A14)
т. е. соответственно величины равнодействующей давлешй и (по A13))

262 Глава III. А) Статика твердаго тъла. § 43
координатъ ея точки приложешя въ плоскости опоры. При этомъ
три последшя изъ функпДй A14) связаны между собою тЬмъ усло-
в1емъ, что координаты х, у, z, входяпия въ нихъ, принадлежать точ-
камъ, лежащимъ въ одной и той-же плоскости опоры. Если мы обоз-
начимъ черезъ h длину перпендикуляра, опущеннаго на эту плоскость
изъ начала координатъ, то очевидно, что *)
lx -j- ту -j- nz -— h , (^115)
откуда:
Ю,х + тНу -I- n£kz = hXh . A16)
Такимъ образомъ, урр. A04) и A05) разбиваются на две группы:
одна группа, получаемая исключешемъ изъ этихъ уравнений велпчинъ
A14), представится тремя уравнешями:
А: В : С = Z: т : ;г,
A17)
AL + BM+CN^O,
и выразитъ услсшя равновес1я данной системы силъ. Другая группа,
вместе съ A16), определить величину и точку приложешя
равнодействующей давлешй следующимъ образомъ:
IX = -i/A^B*+"C*,
Ых=тЯ-пМ—АП,
Ну = nL — IN - Bh . A18)
Zlz^lM-mL— Ch.
Такъ какъ урр. A18) определяютъ сумму безконечио болынаго
числа различныхъ величинъ А, какъ некоторую конечную величину,
то мы заключаемъ, что каждое слагаемое X изъ суммы ЕХ должно
быть безконечно малымъ. Следовательно, на каждый безконечио
малый элементъ площади опоры величина давлешя тоже будетъ
безконечно мала, но настолько, что складывая все безконечныя малый
давлешя всехъ элементовъ данной плоскости опоры, мы получимъ
конечную сумму IX. Такимъ образомъ, данное давлеше мы можемъ
*) Действительно, если р будетъ разстояше какой либо точки (ж, ?/, z) пло-
х у z
скости отъ начала координатъ. то —, —, — будутъ косинусы угловъ лиши р
Р Р Р
х у з
съ осями координатъ, и cos (р,А) = I V т - + и — •, но съ другой стороны
очевидно, cos Ср,^) = — ', следовательно, 1х + ту + nz = h.

§ 43
Глава III. А) Статика твердаго тъла.
263
всегда разсматривать, какъ сумму бесконечно большаго числа
давлешй на безконечно малые элементы площади поверхности опоры. Какъ
величина каждаго изъ такихъ элементовъ площадей, такъ и
величина давлешя на него, могутъ быть выбраны совершенно произвольно,
лишь-бы сумма элементовъ представила данную площадь, и сумма со-
отвЬтствующихъ давлешй—давлеше 2Х, приложенное къ точки, ко-
£Х# Z\y Х'кя
ординаты которой суть -^-, -у~<-, -^-; т. е. вместо суммы
давлешй приложенныхъ къ различнымъ точкамъ плоскости опоры, мы
можемъ разсматривать сумму давлешй, приложенныхъ къ
различным!» безконечно малымъ элементамъ площади этой плоскости. Но
такъ какъ упомянутые элементы площади могутъ быть нами
выбраны меньше всякой данной величины, то наше представлеше о давле-
Н1яхъ, какъ о силахъ, распредЬленныхъ по различнымъ точкамъ при-
ложешя, мы можемъ вполне отождествить съ представлешемъ о
силахъ, распредЪленныхъ по различнымъ элементамъ поверхности, и
при томъ различныхъ для различныхъ элементовъ. Но для различ-
ныхъ частей одного и того-же элемента давлешя могутъ быть раз-
сматриваемы какъ одинаюя.
Къ тому-же самому способу представлешя о распределен^
давлешй по элементамъ поверхности мы приходимъ также на основа-
нш слЪдующихъ разсуждешй. Самое простое изъ всехъ
распределена давлешй, какое только мы можемъ себе представить, будетъ
очевидно равномерное, т. е. такое, при которомъ къ каждой точке
поверхности приложены одинак1Я силы. При равномерномъ
распределен^, давлешя на равныя, произвольно выбранныя части поверхо-
сти, будутъ одинаковы, и давлеше р на каждую единицу поверхности
определится, какъ частное
где S есть величина той части площади поверхности опоры, къ
которой приложено давлеше IX. Следовательно, давлеше на какой
либо безконечно малый элементъ поверхности, величины clS, будетъ
jpdS, причемъ величина р для каждаго изъ элементовъ
поверхности будетъ очевидно одна и таже. При всякомъ иномъ,
переменно м ъ распределены давлешй, услов1е равенства давлешй на любыя
равныя части поверхности не удовлетворяется. Но въ такомъ слу-

264 Глава III. А) Статика твердаго тъла. § 43
чай мы можемъ разбить площадь данной поверхности на
произвольное число частей, и на каждой изъ этихъ частей вообразить себе
такое равномерное раепределеше давлешй, что ихъ суммы для
каждой изъ частей будутъ равны результирующимъ данныхъ давлешй,
действующихъ на эти части. ЧЬмъ меньше мы выберемъ упомянутыя
делешя поверхности, тЪмъ ближе комбинащя воображаемыхъ различ-
ныхъ равномЬрныхъ распределений давлешй будетъ подходить къ
данному распределение давлешй, и будетъ наконецъ отъ этого
последняя отличаться безконечно мало, если площадь поверхности мы
разобьемъ на безконечно большое число безконечно малыхъ элемен-
товъ. Такимъ образомъ, въ пределе мы можемъ представить себе
всякое распределеше давлешй по данной поверхности, какъ рядъ
равномерныхъ давлешй различной величины, ириложенныхъ къ
каждому элементу поверхности; при этомъ величина давлешя на какой
либо элементъ dS поверхности можетъ быть представлена въ виде
pdS, где р имеетъ тоже значеше, что въ A19), только для каж-
даго элемента различается по величине, и представляетъ, очевидно,
то давлеше, которое иагЬло-бы место для единицы поверхности, если
бы на каждый изъ числа -уц ея элементовъ производилось одно и
тоже давлеше 2х/#. Величина р можетъ быть названа сило ю или
напряжен1емъ давленiя въ данномъ элементе поверхности.
Пошше о напряженш давлешя относится очевидно къ пошгаямъ
давлешя и площади, какъ понят1е скорости—къ длине и времени.
Наименоваше единицы силы давлелпя явствуетъ изъ ниже
следующихъ соотношенш, вытекающихъ изъ A19):
един. давл. дина грам.
ед. сил. давл. =- — — — = £ A^4)
един. площ. цен'2 сек. цент.
Итакъ, полагая, на основаши вышеприведенныхъ соображешй,
для каждой точки поверхности опоры, или, что все равно, для каж-
даго элемента этой последней,
1=2kIS, A21)
мы получимъ, на основанш A18), сл-Ьдуюпця уравнешя для опреде-
лешя безчисленнаго множества различныхъ величинъ р для различ-
яыхъ элементовъ данной плоскости опоры:

§ 43
Глава III. А) Статика твердаго тъла.
265
ZpxdS = mN — пМ — Ah,
ZpydS = nL— W—Bh, A22)
^pzdS = IM-r- mL — Ch ,
где суммы лЬвыхъ частей берутся по всЬмъ элементамъ поверхности.
Очевидно, что четыре уравнешя A22) не могутъ определить всего
безконечно болыпаго числа величинъ р, и что мы можемъ
представлять себе произвольно то или другое распределеше напряженШ
давлешй по элементамъ поверхности подъ однимъ лишь услов1емъ,
чтобы каждое изъ такихъ произвольно выбранныхъ распределен!?!
удовлетворяло уравнешямъ A22^).
Разсмотримъ теперь, как1я можно сделать самыя простыя пред-
положешя о распределены силъ давлешй на данной площади, при
вышесказанныхъ услов1яхъ. Простейшее предположеше очевидно бу-
детъ то, что величины р для каждаго элемента поверхности одне и
теже, т. е. что
где р0 есть некоторая постоянная величина, не зависящая отъ того
или другаго положешя элемента dS. Въ такомъ случае, помня, что
ZdS = #, где S есть величина площади поверхности опоры, мы бу-
демъ иметь:
%pdS = p,£dS — paS ,
A24)
ZpxdS =p(XxdS , ^pydS -—pxj£ydS , LpzdS =Lp^LzdS .
Величины
ZxdS, ZydS, Zeds
имеютъ для данной площади определенный геометричесшя значешя,
не зависяпця отъ того или другаго предположешя о распределены
давлешй. Именно, легко видеть, что, для всякаго равномернаго рас-
пределешя массъ по элементамъ данной поверхности, координаты
а, &, с центра пнерцш этихъ массъ определяются какъ
£xdS , 2>ydS l>zdS м 9~л
a-"~ids~' d-Yds> c-~YdS' U2oj

266 Глава III. А) Статика твердаго тъла. § 43
p{)S = ■
p0Sa =
p0Sb =
p{)Sc =-.
- \/A2 + J?2 -f С2
:mN— nM —АЪ,
: nL - Ш — Bit ,
: Щ—mL—Gh,
при чемъ точка (a, Z>, с) очевидно определяется вполне формою и
величиною данной площади, и носитъ название центра инерцш данной
площади. На основанш A25), уравнешя A24) принимаютъ видъ
ZpdS = pnS ,
A26)
HpxdS =p0Sa , ZpydS =jHSb , ^pzdS —p0Sc .
Внося величины A26) въ урр. A22), мы получаемъ:
A27)
изъ которыхъ первое определяешь ^0, а три остальныя даютъ усло-
Bie, удовлетворяемое данными величинами А, Д С, L, Ж, JV, 5,
й, а, 6, с, для случая, когда нредположеше о равномерномъ распре-
дЪлеши давлетй можетъ иметь место. Смыслъ этого услсшя наиболее
очевиденъ изъ урр. A13), который даютъ намъ для даннаго случая:
оо0 = а, У0 = Ъ, я0 = с, A28)
откуда заключаемъ, что равномерное распределеше давлений только
тогда возможно, когда равнодействующая приложенныхъ силъ про-
ходитъ черезъ центръ инерщи площади опоры. Для того, чтобы это
услов1е удовлетворялось, данная система силъ должна удовлетворять
уравн. A27). Въ противномъ случае равномерное распределеше
давлешй не возможно, и мы должны делать нашъ выборъ между
различными переменными распределениями.
Для большей простоты послгЬдующихъ разсужденШ, мы выберемъ
начало координатъ въ плоскости опоры, и ось
^-овъ—перпендикулярно къ этой последней. Тогда очевидно:
1 = т = О , и п'= 1 ,
вследств1е чего уравнешя равновес1я, A04) и A05), превращаются въ
А = 0 , В=0. С + IX = ^ ,
A29)
L — lZky — O, М+^Хх^О, N = 0,
уравн. A13)—въ
XpxdS ^LpydS

§ 43
Глава III. А) Статика твердаго тъла.
267
а уравн. A22)—въ
ZpdS — — С,
tyxdS = — 3I. ZpydS — L
0 = 7».
A31)
Бъ случат, просгьяшаго, т. е. равномЪрнаго, распределения дав-
лешй. мы будемъ имЪть изъ A31):
С ML
1>о ~ — -я< Роа =~- ~ Тс ' Р»ь — ~я - A32)
Я"
£'
#'
A33)
что возможно, только когда удовлетворено услов1е
а о
Въ противномъ случае р должно быть переменнымъ, т. е. иметь
различныя величины для разныхъ элементовъ; другими словами, р
-должно зависать отъ положены этихъ элементовъ; а такъ какъ
поможете безконечно малаго элемента площади определяется
координатами той точки, около которой этотъ элементъ расположенъ, то
мы заключаемъ, что р должно зависать отъ координатъ точекъ
плоскости опоры, т. е. представляться функщею этихъ посл-Ьднихъ.
Простейшая зависимость отъ координатъ х ж у, которыми отличаются
элементы плоскости опоры другъ отъ друга, можетъ быть
предположена въ форме простой пропорщональности (линейной форме), и
представлена въ виде:
P=Po + *x + fa, A34)
где р0, а, C суть некоторый постоянный величины, независимый отъ
координатъ. Выражеше A34) равносильно тому предположена, что
сила давлешя для различныхъ точекъ убываетъ или прибываетъ
пропорционально ихъ разстояшямъ, въ ту или другую сторону отъ
некоторой прямой лиши. Действительно, полагая
а — к cos ср , J3 =-— к sin cp,
где
A35)
к2 = а2
«2
щ =
р
Рис. 73.
мы проведемъ черезъ начало координатъ (рис.
73) некоторую прямую О А, подъ угломъ <р съ
осью #-овъ, и изъ разсматриваемой точки
(ж, у) опустимъ перпендикуляръ на 0А\ тогда
легко показать, что длина лиши ОН, т. е.

268 Глава III. А) Статика твердаго тъла. § 43
разстояше h точки (ж, у) отъ прямой тп, проведенной черезъ
начало координатъ и перпендикулярной къ ОА, будетъ
h = х cos cp + у sin cp .
откуда
OLx-\-py = hh л р ~р0 + Ыь , A35)
гд'Ь А для различныхъ точекъ различно, и представляетъ разстояше
соответствующей точки отъ известной прямой, проведенной черезъ
начало координатъ. Давление, распределенное по вышеприведенному
закону, называется равномерно изменяющимся, или с г и
бающим ъ давлериемъ; при чемъ величина &, по отношенш къ дав-
ленш р, играетъ очевидно туже роль, какъ ускореше—по отношение
къ скорости равномерно ускореннаго движешя, Лишя тп носитъ
назваше средней или нейтральной оси; на каждой изъ лиши,
параллельныхъ этой оси, величина силы давлешя остается очевидно'
одна и таже. Величина силы давлешя кроме того зависитъ только
отъ направлешя нейтральной оси, но не отъ ея разстояшя отъ начала
координатъ. Действительно, будемъ считать разстояшя h' разныхъ
точекъ отъ некоторой другой линш, параллельной тп и находящейся
на разстояши /г0 отъ этой последней; тогда очевидно, А'= А — h0 и
или обозначая A36)
где р0} есть очевидно постоянная величина, ииЪемъ:
р=-»0'+Щ A37)
т. е. впдимъ, что, съ перенесешемъ осп шг параллельно самой себе
въ разный точки плоскости, изменяется только величина постояннаго
давлешя^0, съ которымъ сравниваются давлешя въ остальныхъ
точкахъ.
Равнодействующая давлещй на данную площадь определится,
при равномерно изменяющемся распределена, такъ:
UpdS = p^dS + ixllxdS -f- fitlydS
A38)
=p0S + laa + №S;
но, обозначая черезъ h0 разстояше центра инерщи площади отъ
нейтральной оси, п помня, что очевидно
аа-J-Зй = й0 , A39)

§ 43
Глава III. А) Статика твердаго тъла.
269
мы получимъ:
ZpdS = S(p0 + h0)- A40)
или, если будемъ считать разстояшя отъ оси, проходящей черезъ
центръ инерцш и обозначишь черезъ Р0 силу давлешя на этой оси:
ZpdS-P0S- A41)
т. е. величина равнодействующей давлен^ равна си-
ледавлен1я въ центре инер^и данной площади,
умноженной на величину площади, или: сила дав лен in въ
центре и н в р ц i и площади есть средняя и зъ силъдав-
л е н i й на в с е х ъ ея элементах ъ.
Обращаясь далее къ моментамъ давлешй, мы найдемъ, что суммы
Ърхйв и ZpydS, въ случае равномерно изменяющаяся распределе-
шя, представятся въ виде:
ZpzclS ~p0aS -\- CL2,x2dS -f- faxydS ,
ZptjdS =p0bS + aLxydS + pj/48 .
Суммы
' Hx2dS , l>y2dS , ^xydS ,
которыя мы будемъ обозначать соответственно черезъ
Сг, Н, .R ,
зависятъ очевидно лишь отъ геометрической формы и размЬровъ
данной площади. Изъ нихъ первыя две суммы носятъ назваше
моментовъ и н е р ц i и данной площади, соответственно около осей я-овъ
и г/-овъ. Для большей ясности последующаго изложешя разсмотримъ
здесь некоторыя изъ главныхъ свойствъ моментовъ инерцш.
Съ измЬнешемъ положешя осей координатъ меняются очевидно
и величины моментовъ инерцш около этихъ координатъ. Найдемъ
законъ этого изменешя. Иредставимъ себе две системы осей
координатъ OX, 0Y и 0Х\ 0Y\ проходящихъ черезъ одно и тоже
начало; обозначимъ уголъ между осями ОХ и ОХ1 черезъ #;
координаты какой либо точки Л, относительно первыхъ осей, пусть будутъ
х, у, а относительно вторыхъ, х\ у1. Тогда легко видеть, что *)
*) См. прим*чан1е къ Форм. A52) ниже.

270 Глава III. А) Статика твердаго тъла. § 43
х] = х cos ft— у sin 8-,
A43)
ij = x sin 9- -f- ?/ cos ft,
вследств1е чего находимъ, что
ZxndS = cos 2ft SicadS + sin2 №tfdS - 2 sin * cos bZzydS
и т. д. Или вообще, обозначая черезъ G\ H\ В! величины, въ кото-
рыя превратятся суммы 6г, II, Д взятыя но новымъ осямъ, мы
находимъ:
G1 = G cos 2ft + Я sin 23 — 211 cos * sin ft ,
№ — a sin'2* + #cos 23« + 2В cos ft sin ft , A44)
ft = (G _ Я) cos ft sin ft + В (cos 2ft — sin 2ft) ,
откуда замечаемъ, что
Gi + E! = G + H, A45)
т. е., что сумма моментовъ инерцш, относительно всякихъ двухъ
взаимно перпендикулярныхъ осей, остается одна и таже. Кроме того
изъ гЬхъ-же выражешй A44) мы видимъ, что
<?'#' — В2 =-- GH— В\ A46)
Съ изменешемъ величины угла ft величины G] и Н} изменяются; но
такъ какъ ихъ сумма G* + Н1 остается одна и таже, то, при
наибольшей величине G\ величина W делается наименьшею, и на
оборота. КромЬ того ясно, что когда G1 и Н1 достигаютъ соответственно
своихъ наибольшаго и наименьшаго значешй, то для
соответствующая угла ft величина G] — И делается наибольшею, а также и
величина ((? — Н1J. Но такъ какъ
(©' - ff/ = (G1 + Я'J -- ШН1
и (G1 4- Н1J постоянно, то ((? — ИJ делается наиболыпимъ, когда
& II делается наименьшему или такъ какъ, по A46),
то G]H] делается наименьшимъ, когда В}2 делается наименынимъ.
Но наименьшая возможная величина для В'2 есть нуль, какъ это
видно изъ A44), ибо В12 можетъ быть нулемъ. Следовательно, при
Л1 = О, разность между G1 и И будетъ наибольшая изъ всехъ воз-
можныхъ, и мы можемъ стало быть найти всегда пару такихъ осей,
проходящихъ черезъ одно начало, для которыхъ величины 6?' и II

§ 43
Глава III. А) Статика твердаго тъла.
271
будутъ соответственно наибольшею и наименьшею, или наоборотъ.
TaKie моменты инерцш называются главными, а соотвЬтствующ!я
оси—главными осями инергци. Уголъ *х, опред^лягопцй
положение главныхъ осей инерцш относительно данныхъ ОХ и OY,
находится изъ последняго уравн. A44), въ которомъ должно
положить В! = 0. Изъ этого уравнешя мы пмгЬеиъ:
cos fl sin Ь\ 1 . ,q li г.,пл
cos 2*г — sin 2{f x 2 1 G — H
Самыя величины, главныхъ моментовъ инерцш Gr и JTX,
определяются по даннымъ G, Н, В изъ A45) и A46), который
превращаются въ
(?! + Ях = G + В , &гНг = GH— Е\ A48)
и, будучи решены относительно Gx и Нг, даютъ:
A49)
. H1 = ±(G + H)~-l/1l{G + Hy + RK
Наоборотъ, если величина главныхъ моментовъ инерцш и поло-
жеше главныхъ осей известны, то величины 6г, Н, В для любой
пары взаимно перпендикулярныхъ осей, образующихъ уголъ * съ
главными осями инерцш, определяется по A44) такимъ образомъ:
6? = 6?! cos2* 4-^1 sin2*,
Н= Gx sin 2* + Нх cos 2* , A50)
R = i^G1 — Ях) cos* sin*.
Предположимъ теперь, что мы имЪетъ две системы осей, парал-
лельныхъ другъ другу, но проходящихъ черезъ разныя начала О и О".
Координаты одной и той-же точки, относительно той и другой системы
осей, обозначимъ соответственно черезъ х,у к х]\ у]\ а также и
моменты инерцш—черезъ G, Н, В и G", Н}\ В]]. Тогда очевидно:
Х"=:Х+Х0, у" = У + у0,
где х0 и у0 суть координаты точки О относительно начала О". Легко
загЬмъ видеть, что
ZxdS =■- IVdS + 2x0ZxdS -f- x02S

272
Глава III. А) Статика твердаго гола.
§ 43
и т. д.; или, называя черезъ а и Ь координаты центра инерцш
площади S относительно начала О:
G" = G + x02S-^2x0aS ,
R, = H+y{*S + 2y0bS, A51)
В" = В -rx$0S-\-{x0a -f- у0Ь) S .
Если О совпадаетъ съ центрами инерцш, то а = Ь = О, и
G" = G + x02S ,
Я' = Я+Уо2в, A52)
откуда видимъ, что моменты инерцп^ 6иЯ, около осей, проходящихъ
черезъ центръ инерцш, будутъ всегда меньше соотвЪтствующихъ мо-
ментовъ около осей параллельныхъ первымъ, но проходящихъ черезъ
другое начало.
Предположимъ теперь, что данная плоскость не совпадаетъ ни
съ одною изъ плоскостей координатъ, и опредЪлимъ для этой
плоскости величины суммъ
Zx2dS , ^y2dS , ЪгЧй , ЪугйБ , 2*n7S , YaydS ,
который назовемъ соответственно черезъ
о, я, J, p, (J, в,
зная величины G1 Н1 В] относительно прежнихъ осей координатъ,
совпадавшихъ съ плоскостш. Если мы иигЬемъ координаты x,y,z и
х\ у\ z] одной и той-же точки относительно двухъ различныхъ сис-
темъ осей координатъ, проходящихъ черезъ одно и тоже начало, то
вообще *)
х = xf cos (#',#) + у] cos {у] ,х) + #' cos (я\яО,
у — х1 cos {x\tj) + у1 cos {y\y) + ef cos (*',у), A52)
# — х! cos (#',#) -f у] cos (#',#) -f ^cos (У iV •
*) Действительно, одно и тоже разстояше данной точки отъ начала есть
геометрическая сумма ея координатъ по той или другой систем*. Следовательно, двт>
геометрически суммы, х Л* у Л* г и ocf ,-L у! Л^ z\ равны между собою. Если такъ,
то и проложешя обЪихъ суммъ на всякую лшию равны другъ другу. Пролагая теперь
эти суммы на линш ж, $/, £, и помня, что cos (#,$/) = cos B/,£) == cos (#,£) =: О, мы по-
лучимъ непосредственно выражешя A52), и въ частномъ случае—выражешя A43).

* 48
Глава III. А) Статика твердаго тьла.
273
Въ нашемъ случай мы имеемъ я' = 0\ следовательно:
х -~ м^' т w2y',
«/=-- г-jff'-r г-2у' . A53)
я = гсгх] -г ivгу',
где значена wt... гь\ .. . г\ ... по сравнешю съ A52) очевидно. Если
начала обеихъ системъ координатъ не совпадаютъ, то, обозначая че-
резъ #0, ?/0, я0 координаты стараго начала по новымъ осямъ, имеемъ:
х = ихх] + г/2у -г #\,,
t/=*!*•'"Г ^У'-гУо? С134)
На оеноваши этихъ еоотношетй легко найдемъ, что
Я^ b\2G' + <2#' -- г^г^В' + y0"s + Оч*' + *Ч6') %0 7
J^iv2G] + ^22Я' + 2u\t€2B] 4- V5 + Ox01' + «Ч6') £*о i
Р — wxvxG] -+- w2v2H' -j- (м^ + геЧгг * ^' ~H ^o?/o^
A55)
+ К 0ЧЛ' + *Ч6') "Г #0 («Ч«' + ^2?/)] S
Q = uxii\G] -\- u2w2Hl -f (^1^2 + w2^i) ^ "+" Vo^
В = vxiixG] -\- v2u2W -\- (vxu2 -f- t^^i") ■^>f ~r Уо^о^
-f Ьо K«' + ^2*') + X0 (ViaJ И" V260] •
Предыдуиця выражешя значительно упрощаются, когда старыя
координаты отнесены къ центру инерцш данной площади, какъ
началу, и къ главнымъ осямъ инерцш, ибо тогда'очевидно, В! = а' = J' = 0,
гд'Ь а1 и J' суть, какъ и въ A55), координаты центра инерщи по
старой систем*.
Возвращаясь теперь къ распредЪленш давленШ по площади
опоры, мы видимъ, что, при равномерно изменяющемся распределен^,
величины силъ давлешй будутъ известны, если мы определимъ три
постоянный величины р0, а, |3. Подставляя величины JlpdS, I/pxdS,
ZpydS изъ выражешй A38) и A42) въ уравнешя A31), мы
18

*i74 ГлАЬА III. V) ( i vTlIKA ТВЕРДАГч ТЪЛ\. § 43
находнмъ:
I Д} — OLtl — t36 ) £ _ — 6' .
откуда получаемъ:
L(B - au£) + M(U- h2S) — С (all - Ы1)
ЦЩ
a^=
(Д - abSf — {G~ a2S)(II- /AS)
, __ M(R-abS') -rLjG — a'S)-^ С {]>(r — aJB)
( R -^~aTisy — (G —a2S) (// 1-7л<? j ' ('*
_ ° - 1АЪA~пП)л-21{ЪП-аЩ+С[ЪЧ±^аЧ1^2аЪП)
Ptr^"S^ " {В-аЬЯу — [а — а2Ж){Н—Ъ28У ~~ '
Если начало координатъ выбрано въ центр* инерцш данной
площади и координаты параллельны главиымъ оеямъ инерцш, то
С 21 , I
l\s --- — -s , a — — ^ ^ * V/' ( ^
Если плоскость опоры не совиадаеть ни съ одной» изъ
плоскостей координатъ, то мы должны положить:
Р —р» -т- w* -г Я?/ + Y* • A^>Н)а
ЗатгЬмъ полагай
ZxilS ^ Sx{i, i^c/tf r--. %(, VzdH . ^ 8з{, ,
Хя2Л£ — Гт , ly4S = Jf, v^2ris ^ f/ ^ A58 ^
мы найдемъ, что должно быть:
ZpdS =--1 ]>„ + гх{) + ft/0 + Y-oJ# ,
^шШ т.- - ;л>ж0« -4- aff -4- ЗД -к у $ ,
' ^ 4 A58)с
"Lpyd'H -—рнУ{)$ -т аК -4- ^// 4- уР ■>
ZpzdS ^jw„S -f aQ + £Р -г у*/.
Вставляя эти величины въ уравнешя равновШя A22), мы
опредЬлимъ коеффищенты ^0, а, |3, у, при чемъ однако величины
а, |3Э у, не остаются независимыми другъ отъ друга, но, на основанш
(llfi), связаны уравнешемъ:
ЩжШ - р m^pydS -l «ZpzdS --- h^pdS ,

§ 43 Глава III. А) Статика твердаго тъла. 275
которое, вел1>дств1е A58)с, превращается вт>
7.{1(т-±- mil -А- нО)
A58)а
+ Т OQ 1 шР ~]~ nJ) ---. h8icu\> - йух, -г- Y-()J •
Такимъ образомъ мы ввдимъ, что для любой системы взаимно
уравновешивающихся силъ, приложенныхъ къ твердому телу, подпертому
данною площадью, мы можемь найти соответствующее равномерно
изменяющееся раснределеше силъ давлешй опоры на элементы
опирающейся поверхности. Этираспределешя, для различныхъ системъ дан-
ныхъ силъ, оудутъ разниться между собою величинами р0, а, /3. Если
найдено давление р опоры на тело, то наоборотъ, давлеше тела на
опору будетъ—j), и распределится очевидно точно такимъ-же обра-
зомъ, какъ р.
Если твердое тело опирается несколькими плоскостями на
различный опоры, то уравнения равнов'Ьшя оудутъ иметь видъ:
л + гхх+ /'ехч- ггл" . . . = о,*
В + milX -f m'EX' -f- w'SA" + • • • -~~ О ,
(J + wEX -h /г'ЕХ' + m'EX' -f • • • — tf,
A59)
Z + wtiiX* — «iXy -f т'ЕХ'я' — w'EXy + . . . -- О ,
J/-f- wEXa? -- ИХ* + w'EX's' — J'EX's' + • • • = О ,
JV-f ИХу — мгЕХа? + ИХу - m'SX'a?'+ . - .=0,
где число членовъ, содержащихъ множители X, X'..., и относящихся
къ различными плоскостямъ опоры, вообще более, нежели число
уравнение Кроме того члены, содержание множители X, X'..., связаны
между собою уравнениями A16):
1£кх-{- ni£ky + ^Х#-—7*ЕХ,
и т. д. A60)
Ш';г' -г т'Як'у' + w'EX's' ~Д'2Х' ,
которыхъ будетъ столько, сколько дано различныхъ плоскостей опоры.
Такимъ образомъ, если число плоскостей опоры будетъ N, то число
различныхъ суммъ, содержащихъ множители X, X' и т. д., будетъ
1Д а число уравнешй A59) и A60) будетъ N+0. Если изъ втихъ
уравнешй возможно составить одно или несколько, не содержащихъ

4i7fi Глава III. А) Статика твердаго тъла. § 43
велпчинъ X, то тагпя уравнешя и представить услов1я равновепн
приложенной системы силъ. Въ противномъ случай, равнов'Ьпе будетъ
иметь место при всякихъ силахъ, если только во* А будутъ
соответственно отрицательный или нули. Такъ, для двухъ различныхъ
плоскостей опоры услов1е равновеая получится выключешемъ I7v
и 2Xf изъ первыхъ трехъ уравн. A59), и представится въ вид*:
A (mw' — wi'w) 4- В {пТ — ;?7) 4- С {hri — Vm 1^0, A61)
при чемъ
131—Am' , v., Am—BI ,
1А = -7—г jj— — 0 , ЕЛ' =-: 7-, .— — 0 . A62)
ш' — rm < ta — / m <
Для трехъ поверхностей уел<шя равновеая выразятся только
неравенствами, и т. д.
Что касается до распределена давлешй по плоскостямъ опоры,
то мы знаемъ, что для его полнаго определены нужно знать для
каждой площади четыре величины: £А, Etar, ЕХу, УГл&: но уже въ
сличай двухъ плоскостей, для определена 8-ми неизвестныхъ, мы имеемъ
только 7 уравнешй (т. е. урр. A59) и A60), за исключешемъ
уравнешя равновеая A61)). Следовательно, распределеше остается не
вполне определенными
Если тело не имеетъ возможности перемещаться ни въ какую
сторону, перпендикулярно къ плоскости опоры, то величины &2, вхо-
дяпця въ услов1я перемещен^ (80) и (81), должны быть равны нулю,
вследств1е чего услов1я (85), определяюпця знакъ у X, т. е. направлен е
силъ сопротивлешя или давлешя опоры на тело, не будутъ иметь
места, и знакъ у каждаго изъ А можетъ быть + или —; т. е.
давлеше опоры на тело можетъ быть направлено въ ту и другую
сторону по нормали къ ея поверхности. Сила сопротивлешя плоскости
опоры, направленная отъ плоскости внутри объема, занимаемаго т!>-
ломъ, называется давлен1емъ по преимуществу. Сила
сопротивлешя плоскости опоры, направленная отъ плоскости наружу отъ объема,
занимаемаго теломъ, называется тягою или натяжен1емъ. Тяга
есть очевидно отрицательное давлеше, и наоборотъ. Давлешю или
тяге опоры на твердое тело очевидно соответствуют равный и
противоположныя давлеше и тяга твердаго тела на опору. Величины
давлешя и тяги, отнесенный въ данной точке поверхности къ еди-

§43 Глава III. А) Статика твердаго гвла. 277
яйце площади, будутъ называться силами или напряжеьпями
давлешя или тяги (натяжешя) въ соответствующей точке. Какъ дав-
летя, такъ и натяжешя принадлежатъ къ такимъ силамъ, которыя
мы представляемъ себе распределенными на каждый элементъ
поверхности и которыя можно обозначить особымъ назвашемъ усилий.
Давлешя и натяжешя, действуя всегда въ ту или другую сторону по
нормалямъ къ поверхности, могутъ быть обозначены, какъ
нормальный у си л in *). Если нормальное усил1е распределено по
поверхности равномернопеременно, то оно называется сгибающимъ
усил1емъ, т. е. соответственно—сгибающимъ давлен1емъ,
или сгибающимъ натяжен1емъ.
Для случая, когда твердое тело могло-бы не только давить
на плоскость опоры, скользя по ней, но и тянуть ее, услов1я рав-
новес1я приложенныхъ силъ будутъ выражаться теми-же самыми
уравнешями A04) и A05), при чемь однако
различный А---0. A63)
Изъ этихъ уравнешй мы видимъ, какъ прежде, что система
данныхъ силъ должна иметь одну равнодействующую
перпендикулярную къ плоскости, но направленную въ любую сторону по нормали.
Точка приложения равнодействующей определится уравнешями A13).
въ которыхъ левыя части могутъ быть выражены черезъ данныя
силы изъ A09) и A18). Но такъ какъ величины *к могутъ быть
при этомъ и положительными, и отрицательными, то центръ парал-
лельныхъ силъ, иаправленныхъ въ разный стороны, не будетъ
необходимо лежать внутри площади образуемой точками приложешя этихъ
силъ, какъ въ случае, когда знаки у всехъ X одинаше.
Распределение напряжешй нормальныхъ усилШ можетъ для всякнхъ данныхъ
силъ, и въ этомъ случае, быть выражено формулой AЬ4), где р для
различныхъ точекъ можетъ быть отрицательнымъ и положительнымъ.
Наконецъ, если твердое тело неизменнымъ образомъ скреплено съ
данною плоскостт какою нибудь частш своей поверхности, или тремя
точками, то оно остается всегда неподвижнымъ, и всякая система
приложенныхъ къ нему силъ будетъ оставаться въ равновесш. Въ такихъ
случаяхъ можноразсматривать данное тело, какъ совершенно свободное,
*) Обозначете распредъменныхъ по элементамъ поверхностей силъ особымъ
терминомъ (stress^) было введено въ первый разъ Капкте'омъ.

278 Глава III. А) Статика твердаго тбла. § 43
къ котором) съ одной стороны приложена данная система силъ, а съ
другой—уравновЪшиванишя ее силы еопротивлешя плоскости. Эти
последшя въ свою очередь очевидно могутъ быть разбиты на двЬ
системы силъ: одне перпендикулярный къ плоскости, т.
е.—нормальный давлешя или натяжешя, и друг1я, параллельныя плоскости. Силы
еопротивлешя, параллельныя плоскости скреплешя, могутъ быть
представлены распределенными на каждый элемента поверхности, и явятся
такимъ образомъ умшямп, который, въ отлич1е отъ нормальиыхъ.
носятъ назваше касательныхъ или танге нц1а л ь ны х ъ. Тан-
геншальныя уашя могутъ быть представлены все параллельными
Другь другу и направленными въ одну или разный стороны, при чемъ
распределение ихъ напряжений но различнымъ элементамъ, для ихъ
определеннаго направления и для данной системы приложенныхъ силъ,
можетъ быть выражено тою-же формулою A34). Система танген-
щальныхъ усил!Й, распределенныхъ по поверхности равномерно пе-
ременнымъ образомъ, носитъ название з а к р у ч п в а ю щ а г о у с и л i я.
Разыскаше величины закручивающаго усил1я для данной плоскости
закрепления приводится очевидно къ разыскашю гЬхъ слагающихъ
уравновЪшивающихъ силъ, приложенныхъ къ плоскости, который
параллельны этой плоскости и которыхъ моменты следовательно къ
ней перпендикулярны. Если оси координатъ мы выберемъ так ь, чтобы
плоскость (ху) совпадала съ плоскостш закрЬплешя, черезы±у/ на-
зовемъ напряжете тангешщльнаго уашя, приложеннаго къ элементу
dS площади закреплешя, черезъ ф—уголъ направлешя
равнодействующей всЬхъ q съ осью т-овъ, то величина q для разныхъ элемен-
товъ, на основанш вышесказаннаго, определяется изъ уравнешй:
cos 6 XqdS -r A^-(K sin ф ZqdS + B — 0 ,
cos ф XqpclS — sin ф HqxdS -f- N —- О .
Выражая затемъ законъ предполагаемаго равномерно изменяющаяся
распределена усилШ формулой
q =-. q{) -г ъх -г су , A65)
где #0, х, z суть некоторый постоянныя величины, и предполагая,
что начало координатъ выбрано въ центре инерщи йлощади, а оси
,г-овъ и з/-овъ направлены по ея главнымъ осямъ инерцш, мы нахо-
димъ изъ A64) и A65):

§ 43 Глава III. А) Статика твердаго тъла. 279
&V. cos oTi-0, 8 а и sin vl» -^ J> -— 0 ,
4 A66)
аЯ(.0я ф __ ъСт sin ф + i\T^ о,
гдТ>
tytfS =- iiuB5 = ZxydS --- 0 , Zx4S ^ G , &/¥# -— H.
Первый два изъ урр. A66) опредЬляютъ q{) и ф:
% ^ - 1 ^ - • tg ф =-. А ; A67)
а третье, которое, на основанш A67), превратится въ
- а АН -г- aBG - NyA^+'B* =-- 0 , A68)
олред'Ьляетъ с и х, одно изъ которыхъ стало-быть остается
произвольными Такъ какъ, на основанш разъяснены по поводу выраже-
нп1 A35), мы знаемъ, что х и с могутъ быть вообще представлены
въ вид*
х г- h cos о , с — /j sin 9 • A69)
гд* ср есть уголь съ осью ^-овъ некоторой прямой,
пропорционально разстояшамъ отъ которой прирастаетъ пли убываетъ величина
д, а I—коеффшцентъ этой пропорщональности, то всл,Ьдств1е
произвольности одной изъ величинъ, х и с, направлеше упомянутой
прямой тоже становится произвольными Для простоты мы можемъ
выбрать это направлеше такъ, чтобы было <р = ф, т. е. чтобы
величина напряженШ усилШ, вдоль по линш параллельной ихъ направле-
шю, оставалась одна и таже. Въ такомъ случае:
х = /с -т=4= -=, с = & —JL— , A70)
}/А' + В2 jA42^-jB2
и ур. A68) превращается въ
ЫВ F? — Я) - i\r (.42 + Ь'2) = 0 , A71)
откуда:
^ (^12 + J?2 j _ tf j/Z^KB2
*- AB(G — Hy "~ BXG — Щ
G~~ A(G-H) '
A72)

280 Глава III. А) Статика твердаго тъла. § 44
§ 44* Усилж различныхъ частей твердаго гЬла относисельно
другъ друга.
Если некоторая система силъ, приложенныхъ къ данному
твердому телу, удовлетворяетъ услов!ямъ равновгЬс1я, то каждая
отдельно взятая сила этой системы или несколько силъ могутъ быть раз-
сматриваемы, какъ уравновешивания остальныхъ силъ. Вообще
система силъ, приложенныхъ къ точкамъ одной части тела при упо-
мянутыхъ услсшяхъ представляется уравновешивающей систему силъ,
приложенныхъ къ остальнымъ частямъ того-же тела. Поэтому мы
можемъ сказать, что одна часть тела (или вообще какой либо
системы матер1альныхъ точекъ), вследств1е приложенныхъ къ ней внеш-
нихъ силъ, дЬйствуетъ на друия части того-же тела, и на обо-
ротъ. Внутри даннаго тела проведемъ мысленно некоторую
поверхность, разделяющую его на как1я-либо две части; тогда эта
поверхность можетъ быть разсматриваема, какъ некоторая поверхность
опоры, черезъ посредство которой обе упомянутыя части действу -
ютъ другъ на друга, вследств1е приложенныхъ къ этимъ частямъ
внешнихъ силъ. Каждая изъ двухъ частей тела производитъ на
поверхность некоторый давлешя, который могутъ быть представлены
въ виде нормальныхъ и тангенщальныхъ усилш, распредЁленныхъ
но всЬмъ элементамъ поверхности. Если-бы поверхность, будучи
скреплена съ теломъ, была неподвижна, то упомянутыя усшпя уравно-
в'Ьшивались-бы сопротивлешемъ поверхности. Въ разсматриваемомъ
же случае роль сопротивлешй играютъ усшпя, который
прикладываются къ той-же поверхности съ другой ея стороны, и обусловли-
ьаются силами, приложенными къ другой части твердаго тела. Такъ
какъ поверхность раздела можетъ быть выбрана нами совершенно
произвольно, то мы приходимъ къ тому представленш, что силы,
приложенный къ разнымъ точкамъ твердаго тела, могутъ быть раз-
сматриваемы какъ умшя, действуюидя на всяшй элементъ
поверхности, проводимый где либо внутри даннаго тела. Не должно при этомъ
однако забывать, что распределеше усилШ по элементамъ данной
поверхности раздела и ихъ величина остаются произвольными при
данной системе силъ; это явствуетъ уже изъ того, что точка
приложена каждой отдельной силы можетъ быть выбрана где угодно на
лиши действ1я этой последней, и такимъ образомъ, одна и таже си-

§ и
Глава III. А) Статика твердаго тъла.
281
л а можетъ быть разсматриваема, какъ действующая на ту или
другую изъ частей твердаго тела, разделенныхъ упомянутою
поверхностно. Еще болышй просторъ для произвольнаго выбора распредЬле-
Н1й усишй является въ томъ случае, когда отдельный силы системы
не даны, а система силъ определена, какъ это всегда бываетъ въ
вопросахъ динамики твердаго тела, только слагающими А, Д С
геометрической суммы силъ и слагающими Z, Ж", N ихъ моментовъ
оксло даннаго начала.
Если мы представимъ себе силы, действуюиця на твердое тело,
распределенными въ виде усилШ по элементамъ различныхъ
поверхностей, раздЬляющихъ данное тело на отдЬльныя, действуюиця другъ
на друга части, то каждая изъ такихъ частей, находясь подъ дей-
сшемъ остальныхъ, должна сохранять равновес1е, если все тело
находится тоже въ равновесш. Выделивши какую-нибудь произвольную
часть даннаго твердаго тела, мы найдемъ очевидно, что силы къ ней
приложенный будутъ представлены во первыхъ ус1шями,
распределенными по пограничной поверхности выделенной части и
обусловленными действ1ями на эту часть остальнаго тела, вследств1е при-
ложенныхъ къ нему силъ, во вторыхъ—силами, приложенными
непосредственно къ точкамъ выделеннаго объема. Силы того и другаго
рода вместе должны удовлетворять услов1ямъ равновес1я твердаго
тела.
Выделенную часть твердаго тела представимъ себе въ виде
безконечно малаго тетраедра, три пограничный плоскости QBC, ОСА,
ОАВ (рис. 74), котораго параллельны тремъ произвольно выбран-
нымъ плоскостямъ прямоугольныхъ координатъ, а четвертая
пограничная плоскость ABC образуетъ съ
первыми тремя произвольные углы. Предполо-
жлмъ сперва, что упомянутый тетраедръ
находится только подъ дейс™емъ усмшй
распределенныхъ но его поверхности, и
найдемъ условие равновес1я этихъ усилШ.
Прежде всего обратимся къ услов1ямъ:
Рис- Т4- ИХ=--0, 2Г=--0, ZZ = 0. A13)
Такъ какъ стороны тетраедра безконечно малы, то мы можемъ
предположить, что по каждой изъ нихъ усил1я распределены равномерно,
т. е. къ каждой части одной и той-же стороны приложены одне и

2Ь2 Глава III. А) Статика твкрдаго тъла. § 44
гЬже силы. Величины трехъ слагающихъ но осамъ коордпнатъ >сн-
лт, дМствующихъ на сторону периендик)лирную кьоси #-овъ (т.е.
на сторону ОВС) и отиесенныхъ къ единице площади, назовемъ
черезъ Хх, Ту. Zx] величину площади ОВС обозначили» черезъ Sx.
Тогда суммы слагающихъ но тремъ осямъ для стороны Л
выразятся черезъ .
XXSK. 1\SX. ZXSX. A74)
Подобныя-же суммы для двухъ сторонъ 8Ь и 8г будутъ:
X}Sb . Г>#> . Z)&i ,
A74)
XZS,. ГА- Я,£,.
Taina-жс величины для четвертой стороны, площадь которой обозна-
чимъ черезъ Su, пусть будутъ:
XuSn . Ги£.. . Я,Л. . A74)
Такимъ образомъ, на основаши выше приведенных!» обозначен^!,
первое изъ условШ равновЪсчя A73) обратится въ
XXSN + XYSV + XnS. + XUSH z- 0 . A75)
Но такъ какъ площади 8к, &V &г суть проложеша стороны 8п, то
обозначая черезъ а, р, у косинусы угловъ, которые перпендикуляра
(п) къ плоскости 8п, направленный внутрь объема тетраедра, дК-
лаетъ съ осями коордпнатъ, т. е. съ перпендикулярами къ тремъ
другимъ сторонамъ, мы очевидно будемъ иметь:
Sx =-. - Su<x , Sy = — Snp , S* =-- -6V/, A76)
при чемъ знакъ—принять потому, что величины площадей #х, Su
Sx должны получиться изъ A76) положительными, а величины а,
|3, у, какъ косинусы тупыхъ угловъ, являются отрицательными. На
основанш A76), уравнсше A75), а также и два другихъ изъ
уравнение A75), представятся въ слЪдующемъ видЬ:
Хп =- - аХх 4- $ХЬ -{-- \-Хг.
Значение этихъ уравнешй состоитъ въ слЪдующемъ. Черезъ любую
точку О внутри даннаго тЪла мы можемъ представить себЬ
проведенными нЬкоторыя три взаимно перпендикулярныя плоскости, и
можемъ также определить девять слагающихъ yciaifi, приложенныхъ
къ частямъ упомянутыхъ плоскостей, лежащимъ безконечно близко

§ 44 Глава 111. Aj Статика твердого тма. 2ЬН
отъ точки О. Зная эти девять величинъ, мы можемъ, на основанш
A77), вычислить слагакнщя Хи, Yu, Zn усшпй, приложенныхъ къ
любой плоскости, проведенной безконечно близко отъ точки О, для
т'Ьхъ ея частей, которыя безконечно мало удалены отъ той-же точки.
Такимъ образомъ, для решешя вопроса объ усил1яхъ, приложенныхъ
къ элементу данной поверхности, проходящему какъ-либо черезъ
данную точку внутри твердаго тела, достаточно решить туже задачу
для трехъ взаимно перпендикулярныхъ элементовъ поверхности, про-
ходящихъ черезъ туже точку, и знать углы, которые перпендикуляръ
къ данному элементу дЬлаетъ съ ребрами треграннаго угла,
образуемая тремя выше упомянутыми взаимно перпендикулярными
плоскостями.
Теперь приложимъ къ тому-же тетраедру остальныя три
известный уравнешя равновесия:
X ( Ys — Zy) ---= О, V{Zx—Xe)=-0, Ъ(Ху— Yx) = 0, A78)
при чемъ для простоты предположимъ начало координатъ въ
вершине О тетраедра. Такъ какъ къ точкамъ каждой изъ сторонъ те-
траедра приложены но условию различный системы параллельныхъ и
равныхъ силъ, то каждую изъ такихъ системъ мы можемъ заменить
одною силою, равною алгебраической сумм* силъ системы и
приложенною къ центру инерцш соответствующей стороны. Центръ
инерцш всякаго треугольника лежитъ, какъ легко видеть, въ точке пе-
ресечешя двухъ линШ, проходящихъ соответственно черезъ две его
вершины и делящихъ по поламъ обе противулежапця угламъ
стороны, при чемъ каждыя две так1я линш пересекаются взаимно на двухъ
третяхъ ихъ длины, считая отъ вершины соответствующихъ угловъ.
Такимъ образомъ, обозначая длины ОА, ОВ, ОС реберъ тетраедра
черезъ а, Ь, с, мы легко иайдемъ, что координаты центра инерцш
будутъ:
для стороны SK
» » Sv
» » Si
2 7 2
: 0, -Ь, -,,
2 , 2
: з«1 О, ^с,
2 2 7
ъа, -6, О,

'£Ы Глава III. А) Статика твердаго твла. § 44
EcutjcTBie чего первое нзъ урр. A78) мы ыожемъ написать въ вид'Ь:
A79)
УА?стГл!-стГА,2с
О О О
- ZXS, \ Ь ~f Z.„ii,i Ь - Z.,6',, I с I = 0 ,
L О о о -I
или, на основами A7G) и A77), заменяя величины Sx, Sy, &, YnnZn:
откуда, замечая что величины ус и |3й выражаютъ одну и туже
длину перпендикуляра изъ точки О на плоскость АВ(\ мы нахо-
димъ условна
Y,= Z,. A80)
Точно также найдемъ изъ остальныхъ двухъ урр. A7Ь):
Z4=--X, ХУ=ГХ, A80)
откуда заключаемъ, что для каждыхъ дЁухъ взаимно перпендикуляр-
ныхъ плоскихъ элементовъ касательное усил1е одного, направленное
параллельно плоскости втораго, равно касательному усилш другаго,
направленному параллельно плоскости перваго.
Вводя обозначешя:
мы представимъ уравнетя A77) въ вид'Ь:
Уп-аГ. + ^+уГ,, A82)
откуда видимъ, что для рЪшешя вопроса о нахожденш трехъ сла-
гающихъ усил!й на какой либо элементъ поверхности, ироходящШ
черезъ данную точку, необходимо знать, кромЪ положешя элемента,
только шесть различныхъ усил1й на три взаимно перпендикуляр-
ныя элемента, проходянце черезъ туже точку; именно: три
нормальные усшпя Nu .iV2, Л7о и три тангенщальныя 1\, 2Г2, Т3, изъ кото-
рыхъ Тг, будучи приложено къ &лементамъ, перпенднкулярнымъ къ

§ 44
Глава III. А) Статика твердаго тма.
285
осямъ у-оъъ или £-овъ, направляется параллельно соответственно осямъ
z-овъ или у-оъъ, и т. п.
Если на разсматриваемый тетраедръ будутъ еще действовать
силы, приложенныя къ точкамъ, внутри его объема, то обозначая че-
резъ 2Х, SY, ^Z суммы слагающихъ этихъ силъ по осямъ коор-
динатъ, мы должны будемъ изменить услов1е равновепя A75) и
ему подобныя следующимъ образомъ:
XXSX + ВД.+ ХЛ. + XnSn+ ZX=0 ,
Г182)
YXSX + ВД -4- Y*SA + YnSn + 2Г = 0 , и т. д.
Но такъ какъ площади четырехъ сторонъ тетраедра безконечно
малы, то первые четыре члена въ каждомъ изъ уравн. A82) будутъ
безконечно малы въ сравненш съ ЕХ, ЕГ и DZ, вследств!е чего и
могутъ передъ этими последними быть пренебрегаемы. Поэтому урр.
A82) превращаются въ
2Х=0, ZY=0, ZZ = 0. A83)
Внося эти услов1я въ A82), мы приходимъ также и къ прежде выведен-
нымъ уравнешямъ A77), который для даннаго случая будутъ
обусловливать paBHOBtcie, вместе съ урр. A83). Точно также далее,
обозначая черезъ различныя х, у, z точки приложешя данныхъ силъ,
мы легко заметимъ, что все члены уравнешя A79) и ему подобныхъ,
къ которымъ нужно въ данномъ случае придать Z(Yz— Zy) и
т. п., будутъ безконечно менее придаваемыхъ моментовъ, и вслед-
ств1е этого могутъ быть, въ сравненш съ этими последними,
пренебрегаемы. Поэтому мы получаемъ еще так1я уравнешя равновес1я:
y%J*-Zy) = 0, yj,Zx-Xz) = 0, ^{Xy-Yx)^0, A84),
вместе съ которыми также будутъ иметь место и урр. A80), выве-
денныя изъ A79).
Итакъ, мы приходимъ къ тому заключент, что соотношешя
A82) существуютъ во всякомъ случае; если-же существуютъ кроме
данныхъ усилШ Хп, Гп, Zn,Nx, N2, iV3, Тг, Т2, 1\, еще друпя силы,
приложенныя къ точкамъ безконечно малаго объема выделенной
части тела, то эти силы должны взаимно уравновешиваться
независимо отъ упомянутыхъ усилШ.

281) Глава Ш. А) Статика твердаго тъла. $ 44
Примените. Три елагакшця усшпя Хп, Yn, Zn, отнесенный къ
единице площади даннаго элемента поверхности и выражаемый съ
помощш шести yeiuifi N и Т, дГ»ствующихъ на три определенным
поверхности, даютъ величину Р и направлеше результирующаго да-
влешя на упомянутый элементъ такнмъ образомъ:
X, У Z A85)
cos (Р,х) - ^ , eos | Р.у) р! , ros (Pn.z} r *£-. }
Вообще наиравле1пе Р не совнадаетъ съ перпендикуляромъ къ раз-
сыатриваемому элементу; но возможно очевидно подыскать такой
элементъ поверхности, проходящШ черезъ туже точку, какъ разема-
триваемый, давлеше на который будетъ къ нему перпендикулярно.
Для такого элемента очевидно мы будемъ иметь:
cos [Р.о:) =-- а , cos (P.y) — j3 , cos (P,z) -- y ,
гд^ а, ]3, y с*уть косинусы угловъ нормали къ элементу <ъ осями ко-
ординатъ, и следовательно получимъ:
Хп ~- Ро., У „ Рр , /?п - PJ ,
а вслГ»дств1е f 182}:
Р£ ^ аГ3 -f ^2+ Y^i, libt))
откуда и опред'Ьлныъ но даинымъ Хг... 1\... направлеше (а,£, у)
элемента, испытывающаго нормальное yciuie, и величину Р этого уси-
Jiifl, отнесенную къ единице площади, при чемъ величины а, |3, y,
какъ известно, связаны еще уравнешемъ
Я2^2+Т2 = 1. A87)
Исключая a, j, y изъ четырехъ уравненШ A86) и A87), мы
получимъ следующее уравнеше для опредЬлешя величины Р:
решая которое, получимъ вообще три различный величины Рг, Р2, P:i
давлсшя (какъ три корня кубическаго уравнешя), удовлетворяйте вы-
шеуиомянутымъ услов1ямъ. Подставляя каждое изъ трехъ значен]й
Р въ уравнешя A86), мы найдемъ три cepin величинъ я. [j y *>'f-

§ -Ц Тлав\ III. А) Статика твердаго тъла. 287
личныя др}Г'ь отъ друга; т. е. нормальному давлешю Рг будетъ
соответствовать некоторое нанравлеше {a^^^vj нормали элемента,
испытывающего это давление, при чемъ величины а:, $х. уг
определятся при подстановке Р1 въ уравнешя A86); точно также
давлении Р2 будетъ соответствовать другой элементъ, определяемый на-
нравлешемъ (a2.j32,Y<,) его нормали; давлешю Р3 будетъ
соответствовать некоторый трети! элементъ (а.. ^, у3). Такимъ образомъ,
какъ-бы ни были распределены упшя внутри даныаго твердаго тела,
черезъ каждую точку внутри его можно провести три иоверхност-
пыхъ элемента, на которые будутъ действовать только
перпендикулярный усшия.
Иодставимъ теперь въ урр. A86) величины Р1ч ах, |31ч ух,
который должны имъ удовлетворять; иомножимъ эти три уравнешя
соответственно на a2. &, 7г и ^ложимъ; тогда тюлучимъ:
pi (*i*2 -г && 4- YxYj
=-- аЛ^ + ft^Y, f YiY2^3 + <Yifc + T2ft) *i A89)
+ (V/2 Н- а2Yl) У2 + (Pl*2 + k*l) ^3 •
Точно также, подставляя величины Р>, a2ii^Y^ помножая на a^^Yi,
и складывая, иолучимъ:
---■■- *****, + &№ -г ЪЪК г (YА + Ъ?г) Тл A90)
-f (*iT2 + aaYl) Г2 + (&a2 4- рЛ ) T3.
Вычитая урр. A89) и A90) другъ изъ друга, находимъ:
(P1-P2)(aA + PA+YiYi) = 0. A91)
Но такъ какъ Рх и Р2 вообще не равны другъ другу, то ур. A91)
можетъ удовлетвориться только когда
a^ + ^ + Yr/2-^Л (Ш)
т <\ когда наиравлешя двухъ давлешй Рг и Р2 перпендикулярны
другъ къ другу. Точно также докажемъ, что и третье давлеше Р:,
перпендикулярно къ двумъ остальнымъ, если только оно отъ нихъ
отлично.
Легко также показать, что корни ур. A88) не могутъ быть
мнимыми. Действительно, предположимъ, что ур. A88) пмеетъ
мнимые корни; тогда такм два корня должны иметь видъ, иапримеръ:
1\ - А ~ В у ^Т , Ра -^ A-Bi~-~l: A93)
•

28b Глава III. А) Статика твердаго тьлл. § 44
точно также, определенный по Рг и Р2 величины at.,. а2...
должны иметь видъ:
а1 —р -f яг/—1 . б. =g — W_i «у r~r — г; i/—- l .
* ' A94)
а2 — р — а |/— 1 j fi2 = q — b ]/—1. 72 ~ r — с j/— 1 -
где j>, q, r, а, й, с суть действительный величины. Вследств1е A94)
уравнеше A92) должно превратится въ
р2 4- д2 + г2 -г ft2 -г &2 -г- с2 = О . A95)
что невозможно. Следовательно, невозможны мнимые корни уравне-
шя A88).
Наоборотъ, если намъ даны величины и направлешя трехъ
главныхъ усилШ Рг, Р2, Рг, то по нимъ легко определить шесть
усилШ Кг... Тг.. .. Действительно, подставимъ въ первое изъ урр.
A86) по очереди величины аг.. ., а2..., а3. ..: полученный три
уравнетя умножимъ соответственно на осх, а2, а3, и сложимъ; за т4мъ
помножимъ теже уравнешя на j32, р21C3 и сложимъ, и точно также
—на y14 y2- Тз'-) тоже самое выполнимъ съ тремя уравнешями,
получаемыми изъ втораго ур. A86), и съ тремя уравнешями, получаемыми
изъ третьяго ур. A86). Тогда легко найдемъ:
Кг=г-^Рг +a22P2Ta/Pr
^У 3 IHI Т|2Г2 i 13^3' A96)
Х2
т
-*з
=
~
:Ti*:
*А
>л+
а+
«2^
2х 2^
1^2 +
Тза;
«3^
Р
I2- 3 1
л-

В) ДВИЖЕН1Е ТВЕРДАГО ША ПОДЪ ДЪЙСТВШМЪ ПРНЛОЖЕННЫХЪ
СИЛЪ. (КИНЕТИКА ТВЕРДАГО ША).
§ 45+ Количество движеш'я, его моментъ и кинетическая энергш
свободной неизменяемой системы.
Если данная система силъ приложена къ точкамъ свободной
неизменяемой системы, то те части этихъ силъ, которыя, будучи приложены
къ каждымъ двумъ различнымъ точкамъ, направлены въ
противоположный стороны но разстояшю между этими последними и равны
другъ другу, очевидно всегда взаимно уравновесятся. Такимъ обра-
зомъ, изменеше движешя будутъ производить только те изъ прилож-
ныхъ силъ, величина и направлеше которыхъ не обладаютъ
свойствами величины и направлешя взапмныхъ силъ. Действ1е такихъ силъ,
какъ мы видели въ § 25, § 31, § 35, состоитъ въ измЪненш
геометрической суммы количествъ движешя системы, геометрической
суммы моментовъ этихъ количествъ движешя, и величины энергш
системы. Изменешя первыхъ двухъ величинъ, отнесенныя къ единиц*
времени, измеряются соответственно геометрическими суммами
прнложенныхъ силъ и ихъ моментовъ, а приращеше энергш—работою
внешнихъ силъ. Если приложенный силы обладаютъ но величине и
направленно свойствами взаимныхъ силъ или если ихъ совсемъ нетъ,
то геометричесмя суммы количествъ движешя и ихъ моментовъ, а
также и величина энергш свободной неизменяемой системы, остаются
неизменными во все время движешя.
Движеше неизменяемой системы, какъ мы видели въ § 12,
определяется для каждаго промежутка времени вращешемъ системы йколо
определенной оси и ея поступательнымъ движешемъ. Для определе-
шя вл1яшя прнложенныхъ силъ на это движеше, мы должны прежде
всего найти зависимость между вращательными и поступательными
скоростями, съ одной стороны, и упомянутыми выше величинами,
непосредственно изменяемыми силами,—съ другой стороны.
19

290 Глава III. В) Кинетика твердаго тъла. § 45
Начнемъ съ количества движешя. Если т будетъ масса одной
какой-либо изъ матер!альныхъ точекъ неизменяемой системы, и
Vx, vY, Vz—три слагаюнпя скорости этой точки по осямъ координатъ,
то слагакнщя величины количества движешя по тЬмъ-же осямъ
выразятся алгебраическими суммами
Ить\ , Ъту, 2mi;z, A9 7J
взятыми для вгЬхъ точекъ и скоростей данной системы. Но такъ какъ
на основаши § 15, (93):
vx -- It -f- ry — qz ,
vy = t) + ps — r% , A98)
^z~TD + qpc—py ,
гд^ слагаюнця поступательнаго движешя и, t), ш, и угловой скорости,
р, q, г, суть однЬ и тЪже для всЪхъ точекъ системы, то мы получимъ:
%тъ\ = UEm -f- гЪту — qLmz ,
%mvY — t)Sm + p&mz — r%mx , A99)
"£тъ\ — тЪп + q^mx — p%my .
Обозначая черезъ хл у, z координаты центра инерцш системы и
помня § 22, B7), мы получимъ изъ A99):
IZmvx = {хх-т- гу — qz) Em ,
%mvY = (t) 4- pz — rx) Em , B00)
Ewmz = (td + px — py) Em .
Но выражешя въ скобкахъ представляютъ очевидно, по A98), скорости
центра инерцш; поэтому, обозначая эти послЪдшя черезъ г\, vv, г\
мы выводимъ, что
Етг?х = vxZm , Smt-y = v^m , ^mv% =- г^Ет , B01)
т. е. что количество движешя системы выражается количествомъ
движешя ея центра инерщи, къ которому отнесена вся масса Em
системы. Если ось вращешя мы выберемъ проходящею черезъ центръ
инерцш, то очевидно:
t?x = U, t?y = D, t>z = tt>. B02)
Слагакнщя геометрической суммы моментовъ количествъ движешя

§ 45
Глава III. В) Кинетика твердаго тъла.
291
будутъ, на основанш § 24, D8):
S(vy#— vvy)m, S (vzx — vxz) m , £ (vxy — vyx) m , B03)
которыя, на основанш A98), представятся въ следующемъ виде:
Е(#у# — v7y)m~ (Vz—It)?/) 2m — r£mxz — q2,m,xy-\-pI>m (y2 -f- #2),
2(vz# — г?х^)т—(Ife— u#) 2m —pLmyx — r^rnyz+qZm (#2 -j- ^2 h B04)
2(#x?/ — г;у£')т— (Ш/— Ъх) Sm — qbnzx — pYmzy -frSm (ж2 + ?/2),
при чемъ первые члены правыхъ частей въ B04), выражаюпие
моменты количества движешя центра инерцш, черезъ который прохо-
ходитъ ось вращешя, обращаются въ нули, если начало координатъ
выбрано въ центре инерцш.
Приращеше количества энерпи Е неизменяемой системы будетъ
измеряться приращешемъ одной только ея кинетической энерпи Т,
такъ какъ приращеше ея потенщальной энерпи, вследств1е
неизменяемости разстоянШ между точками системы, всегда равно нулю.
Такъ какъ
Т= \ 2m (v2 + V + v?) , B05)
то, на основанш A98), будемъ иметь:
T=-J(ua + t)a + nJ)£w
111
-j- jrp2£m(y2 + z2)+ 7Г g22m (z2 + #2) + ^r22m (x2 -f уъ)
Ji 2i JL
— qyLmyz — rpYmzx —pqZmxy
+P (% — Щ Sm + q (vis — Ш) 2m 4- r (Гя — Щ) 2m ,
где три последше члена обращаются въ нули, если начало кборди-
натъ выбрано въ центре инерцш.
Величины, выраженныя суммами
2m (*/2-f ^2) , 2m(£2+#2), 2m(#2+j/2),
Tumyz , Hmzx , Ъшху ,
входянця въ выражешя моментовъ количествъ движешя и въ выражеше
кинетической энерпи неизменяемой системы, определяются только
геометрическпмъ распределешемъ массъ системы. Первыя три суммы
B07) носятъ назваше моментовъ инерц1и системы, соответ-

W2 Глава III. В) Кинетика твердаго тъда. § 46
ственно около осей х-овъ, у-оъъ и г-овъ: последшя три суммы
называются моментами д е в i а ц i и или и р о и з в е д е н i я м и и н е р-
\\\м около т'Ьхъ-же соответственныхъ осей.
§ 46+ Главный свойства моментовъ инерцш.
Произведете нзъ массы данной матер1альной точки и квадрата
ея разстояшя отъ данной прямой называется моментомъ ннерц iи
этой точки около упомянутой линш, к а к ъ ос и. Если дано
несколько матер1альныхъ точекъ, то а л г е б р а и ч е с к а я сумма назван-
ныхъ выше произведен!!! представитъ момент ъ инерции системы
матер1альныхъ точекъ около данной осн. Такимъ образомъ, если
мы черезъ т обозначимъ массу какой-либо матер1альной точки
системы и черезъ г—ея разстояше отъ некоторой оси, то моментъ
инерцш, Н, системы около этой оси представится алгебраическою
суммою
Н=Ъпг2, B08)
где сумма берется по веЬмъ точкамъ системы и разстояшя г
определяются отъ одной и той-же прямой.
Если масса системы непрерывно расположена въ данномъ
объеме, то масса каждой без^онечно малой части объема можетъ быть
разсматриваема, какъ отдельная матер1альная точка. Обозначая черезъ
йО элементъ объема и черезъ к плотность массы въ немъ
заключенной, мы выразимъ массу каждаго элемента объема произведешемъ
М&, при чемъ к для каждаго элемента объема вообще можетъ быть
различнымъ. 1>ъ такомъ случае моментъ инерцш представится въ вид*:
ff==£ftr2dQ, B08)'
где сумма берется по веемъ элементами даннаго объема. Если мы
выберемъ ось момента инерцш за ось х-овъ, то очевидно, г2 = у'~ + £2,
и следовательно, обозначая черезъ Нх моментъ инерцш системы
около оси #-овъ, будемъ иметь: Нх = Lm(y2 + z'1). Если кроме того
HY и Н, будутъ моменты инерцш около осей «/-овъ и £-овъ, то
вообще:
Нх = Sm (у2 + z2) , //у = Ъп(г2 + х1), HL = Ъп(х2 + г/). B09)
Представимъ себе некоторую лишю, проходящую параллельно
оси #-овъ черезъ центръ инерцш системы, и найдемъ, насколько

§ 4fi
Глава III. В) Кинетика твердаго тъла.
293
моментъ инерщи Н* около этой лиши будетъ отличаться отъ ста-
раго Нх. Начало координатъ перенесемъ въ центръ инерщи, и
координаты точекъ системы относительно новаго начала обозначимъ
черезъ х\ у\ z-'. Тогда очевидно, мы будемъ им*ть:
Х = Х-\-ЗС\ у~у-\-у\ 2^ig-L-g\
гд4 я, у, z суть координаты центра инерщи по старому началу. Та-
кимъ образомъ мы получимъ:
Ъп (у2 4- ^) -- [у2 -\- я1) 2m -f 2уЪпу! 4- 2z%mz'
-гЬМУ2+^'2). B10)
Но такъ какъ %ту* —- Ъпг1 — 0, ибо начало координатъ #'-овъ, у'-овъ ..
взято въ центр* инерщи, то мы получаемъ изъ B10):
Нх = (у* + ?) Ът + Л*'; B11)
т. е. моментъ инерщи около данной оси равенъ моменту инерщи
около другой оси, параллельной данной и проходящей черезъ центръ
инерщи системы, сложенному съ моментами инерщи около старой
оси всей массы системы, сосредоточенной въ ея центр* инерщи.
Отсюда сл'Ьдуетъ, что моментъ инерщи около оси, проходящей черезъ
центръ инерщи, будетъ наименышй изъ вс*хъ момеитовъ около осей,
параллельныхъ данной и проходящихъ черезъ различный точки. Ером*
того моменты инерщи около взаимно параллельныхъ осей, располо-
женныхъ на равныхъ разстояшахъ отъ центра инерщи, равны
между собою.
Зная моменты инерщи Hx,Hv,Hz около трехъ взаимно перпен-
дикулярныхъ осей, проходящихъ черезъ центръ инерщи, легко найти
моментъ инерщи Л около всякой другой оси, проходящей черезъ
центръ инерщи, и образующей углы a, J3, -у съ тремя данными осями.
I& ™ Пусть OX, OY, OZ будутъ направлешя (рис. 75)
трехъ данныхъ осей и 01— направлеше оси
искомаго момента Н\ пусть т будетъ
некоторая точка (#, у, z) системы, р — ея разстояшя
отъ центра, г — ея разстояше отъ оси О/,
1 — длина вдоль 01 отъ О до подошвы
перпендикуляра г. Тогда очевидно:

294 Глава III. В) Кинетика тбердаго тъла. § 46
r2 = p2sin2(p,Z),
cos (p,J) = — cos a -f- — cos 3 -|— cos у ,
? ? ?
sm2 (qA) = 1 — i — cos a-r — cosp -t- -cosy ,
vr y \ p p ' p v
p2 = £2 + ?/2 + ^2 ;
следовательно:
r2 — x2 -p */2 + <?2 — {% cos a -r ?/ cos |3 -к £ cos y) %
или помня, что
cos2 a -j- cos2 |3 -J- cos 2y — 1 :
r2 — (y2 -\- z2) cos 2a + (£2 -f x2) cos 2j3 -r (#2 + г/2) cos 2y
— 2y^ cos |3 cos v — 2^# cos у cos a — 2л;?/ cos a cos |3 .
Затемъ обозначая выражешя
Sm(j/2 + ^2), 2m (я2 4-л2), Sm(x2 + i/2), Ътуг, Sm^, 2m#y,
соответственно черезъ B12)
#x, Ду, i7z, Qx , Qy, $■/,
мы получаемъ:
Я— Hmr2 = Hx cos 2a + Щ cos 2ji + i/z cos 2y
— 2QX cos fi cos у — 2фу cos y cos a — 2QZ cos a cos j3 ,
Такимъ образомъ определится Н около всякой оси (a, J3, y)i если
известны моменты инерцш и дев1ацш около трехъ осей координатъ.
Законъ изменешя величины момента инерцш съ измЪнетемъ направ-
лешя его оси мы можемъ представить графически следующимъ спо-
собомъ. Отложимъ отъ начала О вдоль по направленш оси инерцш
1
длину, равную /= Съ изменешемъ положешя оси изменится ве-
V* ±
личина Н, а следовательно и длина =, отложенная нами на этой
уН
оси. Если мы проведемъ черезъ О всевозможныя оси и на каждой
1
изъ нихъ отложимъ упомянутымъ образомъ длины /= то концы
такихъ лиши образуютъ некоторую поверхность, облегающую
начало О. Наоборотъ, проведя разъ упомянутую поверхность во-
кругъ точки О, мы определимъ величину момента инерцш для лю-
B13)

§ 46
Глава III. В) Кинетика твердаго тъла.
295
бой оси, совпадающей по своему направлешю съ однимъ изъ рад1у-
совъ векторовъ этой поверхности. Действительно, если длина упомя-
нутаго рад1уса вектора будетъ р, то моментъ инерцш около оси, съ
ннмъ совпадающей, будетъ очевидно -^. Всякую поверхность мы счи-
таемъ тогда намъ известною, когда знаемъ соотношеше между
координатами точекъ на ней лежащихъ, т. е. когда знаемъ уравнеше этой
поверхности; ибо въ такомъ случае мы можемъ точка за точкой
построить всю поверхность. Найдемъ поэтому уравнеше поверхности,
1
на которой лежатъ концы лиши длины ,= проведенныхъ вдоль по
различнымъ осявгь (а,|3,у). Пусть x,y,z будутъ координаты конца
одной изъ такихъ лиши; тогда очевидно:
1 1 1
х rrr /^cos a , y= /^pos $, * = i/&cos ? '
откуда
cos а = х \/Н , cos|3 — у\/Н, cosv = ^; B14)
подставляя эти величины въ B13), находимъ следующее уравнеше
поверхности:
1 = Нхх2 + Щг/ -}-11^ - 2Q*y* ~ 2Q,jsx - 2Qzxy , B15)
которое представитъ эллипсоидъ , называемый э л л и п с о и д о м ъ
инерции Геометр1я учитъ, что съ измЬнешемъ направлешя
прямоугольной системы координатъ видъ уравнешя B15) не изменяется;
а изменяется только величина коеффищентовъ Н и Q. Между
различными системами прямоугольныхъ координатъ, проходящихъ черезъ
одну и туже точку О, мы можемъ выбрать такую, относительно
которой уравнеше даннаго эллипсоида не будетъ содержать произведен^
координатъ. Въ такомъ случае оси координатъ совпадутъ съ
главными осями эллипсоида, коеффищенты Нх, Ну, Нъ обратятся въ не-
которыя Нг, Н2, Л3, а коеффищенты Q въ нули; уравнеше же
эллипсоида приметъ видъ:
Н^ + П^ + Н^ = 1. B16)
Величины Н1, Н2, Hz очевидно представятъ моменты инерцш
около главныхъ осей эллипсоида. Эти моменты называются
главными, а ихъ оси—главными осями инерц1и. Моменты дев1ащи
около главныхъ осей инерцш очевидно равны нулю. Если положеше

2% Глава III. В) Кинетика твердаго тъла. § 46
и величина главныхъ осей и моментовъ инерцш известны, то мо-
ментъ инерцш Н около оси образующей углы а,|3,у съ главными
осями будетъ очевидно:
Н^ Нг cos2 а + Я2 cos2J3 + Л3 cos2 - . B17)
Интегральное исчислеше даетъ способы производить
алгебраическое суммоваше безконечно большаго числа безконечно малыхъ
слагаемыхъ въ выраженш B08)'.
Ниже приведены полученный этими способами выражешя для
центральныхъ моментовъ инерцш нЪкоторыхъ однородныхъ тЪлъ.
Т * л о.
Ось
момента.
Момент ь инерцш. !|
1. Сфера, рад]уса г.
2. Сфероидъ; полярная полуось а,
экватор, радтусъ г
3. Эдлипсоидъ, съ полуосями
а, Ь, с
4. СферическШ слой, съ внЪшн. и
внутр. радиусами г и г'
5. Эллипт. цилиндръ; длина 2а,
поперечн. полуоси Ъ и с .
| ВСЯК1И
\ ддаметръ
поляр, ось
Sr.r'
8таг*
15"
I-
к
6. Тоже
ось
2а j ^ }-к
ВСЯШЙ
д1аметръ
8ф- - г-)
15
^к
прод. ось 2а; ——^— к
7. Полый круглый цилиндръ;
длина 2а, внЪшнШ и внутрен.
раддусы гиг1
8. Тоже
9. Нрямоуг.
параллелепипедъ,ребра 2а, 2£, 2с
10. Конусъ; высота 7<ц рад]усъ г.
поперечн.
ось 26
прод. ось 2с
поперечн.
д1аметръ.
ось 2а
ось h
ъаЪс C<г — 4а2)
ггп ( V*
а (,•* _ rnj /,•
т.а
6
{3(г* —г'*_)
4а,(г* —г1*)}*
8аЬс(Р^-с2)
3
10
*

§ 47 Глава III. В) Кинетика твердаго тъла. 297
§ 47+ Неизменяемое движете свободнаго твердаго тЪла.
Если свободное твердое тело движется безъ дЪйств1я на него
внешннхъ силъ (по инерщи), то величины, выражешя которыхъ
приведены въ § 45, остаются неизменными во все время движешя.
Разберемъ кинематическое значеше ихъ постоянства.
Неизменяемость величины и направлешя количества движешя,
то есть величины его слагающнхъ
v^£m, ry£m, v-,£m\ . B18)
указываетъ на то, что центръ инерщи твердаго тела движется
прямолинейно и равномерно, или остается въ покое.
Выражешя B04J представляютъ слаганише моменты количества
движешя по произвольно выбраннымъ осямъ координатъ. Результи-
рунншй моментъ, определенный по этимъ тремъ слагающимъ, долженъ
оставаться для всякаго времени однимъ и темъ-же по величине и
направленно, какъ-бы ни были выбраны для различныхъ временъ оси
координатъ. Если мы будемъ относить движеше точекъ тела
постоянно къ однемъ и темъ-же осямъ координатъ, то постоянство
величины и направлешя момента количества движешя обусловить
очевидно постоянство величинъ его проложешй на одне и гЬже оси.
Въ такомъ случае каждая изъ трехъ величинъ B04) должна оста-
вать во время движешя неизменною; но координаты центра инерщи
х, у, z, угловыя скорости р, q, r около неизменныхъ осей и
координаты точекъ тела х, у, z вообще будутъ изменяться со временемъ
(см. § 15). Если мы будемъ относить движеше къ осямъ
координатъ неизменно соединенными, съ гЬломъ, то положеьпе точекъ
системы относительно ихъ остается неизвгЬнныиъ, и величины ж, у, гл
%, У, £ будутъ одне и тЬже во все время движешя; следовательно,
величины моментовъ инерщи и дев1ащи останутся постоянными; но
угловыя скорости j9, q, r и проложешя момента количества движешя
на наши изменяннщяся въ своемъ положены со временемъ оси
координатъ будутъ для различныхъ временъ различны. Темъ не менее,
определенный по упомянутымъ проложешямъ результирующие моментъ
будетъ для всякаго времени одинъ и тотъ-же.
Начало неизменно связанной съ теломъ системы координатъ вы-
беремъ въ центре инерщи, а направлешя осей координатъ—по глав-
нымъ осямъ инерщи. Тогда мы будемъ иметь:

298 Глава III. В) Кинетика твердаго тила. § 47
J B1,4)
Ъп {if +- £2J = Я, , Ъп {z2 + л2) = Н2 , £т (л2 — у2) = #3 . '
Кроме того, обозначая черезъ й, Ж, 3£, проложешя геометрической
суммы моментовъ количествъ движения на выбранный нами оси ко-
ординатъ, мы получимъ для каждаго момента времени изъ B04):
«=*#,, SR = ff#2, Я = гЯ3. B20)
Начало, около котораго берутся моменты 2,9Я, 3? не остается непо-
движнымъ въ пространстве, но движется прямолинейно и равномерно,
при чемъ следовательно моментъ количества движения подвижнаго начала
(т. е. центра инерщи) остается одинъ и тотъ-же относительно даннаго
неподвижнаго начала. Но такъ какъ съ одной стороны, моментъ около
неподвижнаго начала равенъ сумме изъ момента около центра
инерцш и момента количества движешя самаго центра инерцш около
неподвижнаго начала (см. § 23, § 24), и этотъ поеледшй не изменяется,
а съ другой стороны, долженъ оставаться постояннымъ весь моментъ
количества движешй около неподвижнаго начала, то следовательно,
моментъ около подвижнаго центра инерцш, определяемый
слагающими S, Ш, 9?, долженъ тоже оставаться неизменнымъ со временемъ.
Если мы такимъ образомъ для каждаго времени будемъ проводить
черезъ центръ инерцш тела лишю, представляющую но величине и
направленно моментъ (й,ЗК, 31), то эта лин1я должна оставаться
сама себе параллельною и одинаковою по длине во все время движетя.
Если мы обозначимъ черезъ М величину момента (8,3№,9t), то
очевидно,
M2 = 22 + 2R2-f9l2, A21)
при чемъ М остается всегда одно и тоже, а величины Й, Зй, 9t,
будучи проложешями длины М на изменяюиця свое положеше оси ко-
ординатъ, тоже изменяются со временемъ. Обозначая далее черезъ о>
величину угловой скорости тела около оси, проходящей черезъ его
центръ инерцш, а чересъ а, 48, -у—углы этой оси съ главными
осями инерщи, мы имеемъ:
р — со cos a , q = со cos t , r = со cos у ,
и на основанш B20) и B21):
М2 = со2 (Я,2 cos2 a + H22 cos2 j3 -+- Я32 cos2 у), B22)
где М есть данная постоянная величина. Углы момента М съ осями

§ 47
Глава III. В) Кинетика твердаго тма.
299
инерцш определятся для каждаго момента времени очевидно следую-
щимъ образомъ:
cos (М,#) = ~ = ,_ —-—i——_. . cos a ,
V J M у'н* cos2 а + #22 cos2|3 + Щ cos2 -
cos (М,у) = ^ = -==== ^^ =з . cos 3 , B23)
М уВг2 cos2 а -f- AF22 cos213 + Д2 cos2 у
cos (М,я) = -rj = —=r^r^r^r- „.t^r———-= . cos v ,
M уЩ cos2 а + #22 cos2 C + #32 cos2 7
откуда видимъ, что ось вращешя вообще не совпадаетъ съ постоян-
нымъ направлешемъ момента М; оба эти направлешя образуютъ
между собою некоторый уголъ (М,со), при чемъ очевидно,
,„ . Н. cos2 а 4- Я9 cos2 8 -f Щ cos2 y /™,>>
cos (М,со) — i i 2 r i _з__ i ^ ^ 224)
l/JETj2 cos2 а + H22 cos2 P + Ё\ cos2 T
Следовательно, вращеше тела не можетъ вообще происходить около
одной и той-же неизменной оси вращешя, ибо въ такомъ случае ли-
шя, представляющая направлеше и величину момента М, должна-бы
была вращаться около этой оси, и не осталась-бы неизменною въ
пространстве. Исключеше можетъ быть, только когда cos (M,to) = 1,
т. е. когда ось вращешя совпадаетъ съ однимъ изъ моментовъ
инерцш, или когда все три эти момента равны между собою.
Кинетическая энерпя неизменяемой системы, представляющая
собою всю энерпю твердаго тЬла, выразится, при вышеопиеанномъ
выборе начала и направлешя осей координатъ, на оеноваши B06), сле-
дующимъ образомъ:
Т = i( u2 + D2 + Ш2) Sm + \^ЯХ + I <?Н2 + | гШ3, B25)
и представитъ собою сумму двухъ неизменяющихся со временемъ
вмичинъ: кинетической анерпи центра инерцш:
Т0 = I (и2 +1J + ТС2) 2т B26)
и кинетической энерпи движешя вокругъ центра инерцш:
Г = \ (УЯ, + q*Ht+r>Ha), B27)
или:
Т = ^(.рй-г№-гг31). B27)'

300
Глава III. В) Кинетика твердаго тълк.
§ 47
Такъ какъ скорость центра инерщи остается неизменною, то такою-
же остается и Т0: но съ другой стороны, должна оставаться
постоянною величина Т: следовательно, Т тоже постоянно во все время
неизменяема™ движешя тела. Вводя величины со, а, {3, у въ B27), мы
получимъ:
Т = - со2 {Нг cos2 а 4 П2 cos2 [3 -f Н.3 cos2 у).
B27)"
и, сравнивая загЬмъ выражешя М2, cos (М,со), Т. находимъ, что
2Т
со1 cos (M.со) —
М
B28)
т. е. что проложен1е угловой скорости (отложенной
конечно по оси вращетя) на направлен1е момента количества
д в и ж е н i я остается во время д в и же и in постоянным ъ.
Пояснимъ геометрически значеше выведенныхъ выше законовъ
изменешя угловой скорости и направлешя оси вращетя при неизвгЬ-
пяемомъ движеши твердаго тела. Вообра-
зимъ себе очерченный внутри тела
центральный эллипсоидъ инерщи, который бу-
детъ очевидно вращаться вместе съ те-
ломъ около его центра инерщи. Пусть ОЫг,
ОН2, OHz (рис. 76) будутъ для даннаго
времени положешя главныхъ осей этого
эллипсоида, ОН—положеше мгновенной оси
Рис. 76. . ,. г
вращешя тела, ооразующей углы а, р, у съ
осями инерщи. Тогда, на основант § 46:
1 —. 1
ОНг
VH[
ОН,
У<
он.
ун*
B29)
ОН^
\/Нг cos2 а + Н2 cos2]3 + Д, cos2 у
уравнение эллипсоида представится въ виде:
или:
г2
И^х
4-
> 1
т
У1
он?
ну
г2
^Щ2 =
л-ну =
= 1,
:1.
B30.)

§ 47 Глава III. А) Кинетика твердаго твла. 301
Черезъ точку //, координаты которой, хг, уг, zx, оудутъ:
хх = (Ж.cos a , ух — ОЯ. cos 3 , zx — ШТ.cos у , B31)
проведемъ къ эллипсоиду касательную плоскость, уравнение которой,
какъ известно, будетъ:
Пхххх + Н2уху -\- H^z = 1 *). B31)'
*) Уравнен1е всякой плоскости должно вообще иметь видъ:
ах -\- by -j- cz — d. (a)
Чтобы эта плоскость касалась даинаго эллипсоида,
Я,Ж»+Я#« + Я,**.:--1, (?)
въ точке 0*V Ун #i)-> должно коеФФииДенты ск Ь, с, d определить по сл'Ьдующимъ
усл<»в1ямъ. Такъ какъ точка касания принадлежишь въ одно и тоже время
эллипсоиду О) и плоскости {ос)., то ея координаты должны удовлетворять обоимъ урав-
неш'ямъ (а) и (J3)', следовательно:
axt+bi/t + csi^d и H^ + HtfS+H^^-Л. (Т)
Кроме того все точки. лежашДя въ плоскости (а), безконечно близко отъ точки
касаюя, должны также принадлежать и эллипсоиду, ибо касательной плоскостш
называется такая, которой безконечно малый плоскш элементъ совпадаетъ съ
таковымъ-же элементовъ эллипсоида. Следовательно, если мы вообразимъ въ
плоскости (а) некоторую точку, координаты которой отличаются отъ координатъ
xvt/itzi на безконечно малыя величины dx, dy, dz, то должны иметь:
a Ot + dx) + Ь О/, +■ dy) + с (z, + dz) — d
и
Н, (я, + dxf + Щ (у, + dyf + Щ (*, + dzf = 1,
или, на оенованш (у), и пренебрегая квадратами dx2, dy2, dz2, которые безконечно
меньше ихъ первыхъ степеней:
adx 4- bdy -f cdz = 0^
(о)
2Htxtdx -f- %Н3у{Яу -f ^HzZ^dz -- 0.
Такъ какъ второе изъ уравнен1й (о) должно иметь место при всякихъ величи-
нахъ dx, dy, dz, удовлетворяющихъ первому, и наоборотъ, то умножая одно изъ
уравненШ (о) на совершенно произвольный множитель X и складывая его съ дру-
гимъ уравнеюемъ, получаемъ:
(Xa -j- 2JV,) dx 4- QJ> 4- *Ш2уО dy + (Хс + 2H&J dz = О, (е)
где величины dx, dy, dz могутъ быть разсматриваемы, какъ совершенно
произвольный и независимый другъ отъ друга величины, если множитель X будетъ
оиределенъ такъ, чтобы одинъ изъ коеФФиидентовъ при dx, dy или dz обращался
въ нуль (Сравн. § 42, (83))*, вследствие этого заключаемъ, что
Xa 4- 1НКхх — 0, lb 4- 2Н2у, — О, Хс + 2H3z{ z^ О
и что уравнешя (у) превратятся въ
2Нхх2 4- 2H2yt* 4- 2Н^* ~ — Ы, н Н,х2 + H2yt2 4" H^z* — i ,

302 Глава III. В) Кинетика твердаго тъла. § 47
Длина перпендикуляра ОР, изъ начала координатъ на плоскость
B31), будетъ
ОР = ~—===^1 , (Сравн. § 43, A15))
или, на основан1и B31) и B29):
ОР= ]/Hl С— * +Хео^|3-t^g Т = V^T. С232)
\/Н* eos2a+#22 cos2 ^4-Н} cos2 у М
Еосинусъ угла между ОР и ОН будетъ очевидно на основаши B29):
cos (ОР,со) = cos РОН= ~~
Нг cos2 a-f Д2 cos2 C -+- #3 cos2 T
j/iTj2 cos2 a + Я22 cos2 J3 Ч- Я32 cos2 -у
вслгЬдств1е чего, по B24):
cos (OP,M) = cos (M,w), B34)
откуда заключаемъ, что направлеше лиши ОР должно совпадать съ
направлешемъ момента количествъ движешя. Следовательно, длина
лиши ОР (см. 232) остается неизменной, а ея положеше въ
пространстве—само себе параллельнымъ во время неизменяемаго дви-
жешя твердаго тела или, что все равно, его эллипсоида инерщи.
Точно также остается всегда сама себе параллельна и плоскость
B31)', которой касается эллипсопдъ инерщи. Очевидно также, что
касательная плоскость, проведенная черезъ противоположный конецъ
оси вращетя, будетъ параллельна плоскости B31)' и на такомъ-же
разстоянш отъ центра. Такимъ образомъ, неизменяемое движете
эллипсоида инерщи состоитъ въ томъ, что онъ последовательно
разными своими точками касается нЬкоторыхъ двухъ параллельныхъ
плоскостей, движущихся въ пространстве равномерно и параллельно
самимъ себе, притомъ касается такъ, что разстояшя его центра отъ
упомянутыхъ плоскостей остаются одни и тЬже, при чемъ д1аметръ
эллипсоида, проходящШ черезъ обе точки касашя, служитъ мгновен-
откуда видимъ, что X= — 2, и уравнетпе касательной плоскости,
lax -f- Iby -(- Icz = Х<7,
обращается въ
Hxtx 4- Н%уху + H3z,z = 1.

§ 47 Глава III. В) Кинетика твердаго тъла. 303
ною осью вращешя. Следовательно, осями вращешя во время движе-
шя перебываютъ все те д1аметры, касательныя плоскости черезъ
концы которыхъ находятся на одномъ и томъ-же разстояши отъ его
центра: положешя въ пространстве этихъ д1аметровъ будетъ таково,
что упомянутое разстояше пршдется всегда направленнымъ
параллельно одной и той-же линш. Подобныхъ д1аметровъ можно найти
внутри эллипсоида инерцш безконечное множество, и все они обра-
зуютъ собою поверхность нЬкотораго конуса, неизменно связаннаго
съ гЬломъ. Этотъ конусъ представить собою катяпцйся конусъ К,
описанный въ §12. КатящШся конусъ, пересекаясь съ эллипсоидомъ
инерцш, образуетъ на этомъ последнемъ кривую, называемую п о-
лод1ею, (polhodos), которая представляетъ собою следъ на
эллипсоиде мгновенные полюсовъ вращешя или точекъ соприкосио-
вешя эллипсоида съ неизменною по направленш плоскостш.
Неизменный конусъ Д описываемый въ пространстве
последовательными мгновенными осями вращешя около линш ОР, будетъ
перемещаться въ пространстве параллельно самому себе, не изменяя своего
положешя относительно плоскости ТТ. Точки его пересЬчешя съ
плоскостью ТТ образуютъ кривую, называемую эрполод1ею (her-
polhodos), которая представляетъ собою следъ мгновенныхъ
полюсовъ вращешя на неизменной плоскости. Во время движешя
последовательный точки полодш совпадаетъ съ последовательными
точками эрполодш.
Пусть х, у, z будутъ координаты одной изъ точекъ полодш.
Такъ какъ эта точка лежитъ на эллипсоиде инерцш, то ея
координаты должны удовлетворять уравнешю этого эллипсоида,
Нгх2 + H2f + Н^2 = 1; B35)
съ другой стороны, разстояше касательной плоскости къ эллипсоиду
черезъ точку [x,y,z] отъ его центра должно быть равно данной
постоянной длине UP, следовательно (по B31)):
Н*а? + JQT,у + Н,V = =^ . B36)
Всякая точка, координаты которой удовлетворяютъ урр. B35) и
B36), будетъ принадлежать полодш. Упомянутыя урр. представятъ
полодш, какъ линш пересечешя двухъ эллипсоидовъ B35) и B36),

304 Глава III. В) Кинетика твкрдаго тклл. § 47
опмеанныхъ около общаго центра, и направлешя осей которыхъ еоя-
падаютъ. Д'Ьля уравнеме B35) на OF1 и вычитая его иуъ B3G),
мы находимъ:
IlJH.-^L-. V~7Y2;7/2- J=-\y2^HJH,~-^L-S^^0. B37)
1 \ г Qp2 / 2 ч 2 OP2 J * " OF2 >'
Такъ какъ точки иолодп1 очевидно удовлетворяюсь уравнение) B37),
то это последнее, вместе съ ур. B35), тоже будетъ определять по-
лод1ш, представляя ее, какъ лишю лересйчешя эллипсоида B35) съ
конусомъ B37), вершина котораго лежитъ въ начал* координатъ. Если
ЫХ<Ы2<1],Х, B38)
то легко вид'Ьть, что
^-<OF^<A, Нй>^>Нл B39)
т. е. что длина ОР лежитъ между величинами наибольшей и
наименьшей полуосей эллипсоида инерцш. Действительно, написавъ два
урр. B22) и B23):
B60)
мы выведемъ изъ нихъ:
Н, (Н, — НЛ с[1 + Я3 (Я0 - ЯЛ г2 = М2 — 2ТН, ,
22 2 3 " l ] B4Л
Нг {Н, ~ Щ)}г + Я, (Я3 - Я2) ?2 - 2ТЯ3 - М2 ,
откуда, на основаши неравенствъ B38), заключаемъ, что такъ какъ
лёвыя части должны быть положительными, то необходимо будетъ
2ТЯ3 > М2 > 2ТНг ,
или B42)
1 2Т JL_
Я8 < М2 < Я, '
откуда, на основаши B32), слЬдуетъ неравенство B39). Такинъ об-
разомъ мы видимъ, что въ ур. B37), представляющемъ подвижный
конусъ осей, первый коеффищентъ всегда отрицательный, а послед-
шй положительный; средшй-же можетъ вообще быть и
положительными и отрицательнымъ.
Если
0^>1~, ю ^"=>^ B43)

§ 47
Глава III. В) Кинетика твердаго тъла.
305
и ур. B37) представляетъ некоторый конусъ, охватывающш ось
х'-овъ, т. е. большую полуось эллипсоида инерцш, въ чемъ легко
убедиться, ища пересечете конуса съ какою иибудь плоекостщ,
х = а. перпендикулярною къ оси #-овъ; д'Ьлая въ уравнении B37)
х — а, мы иолучаемъ между координатами
у и z уравнеше эллипсиса, центръ кото-
раго лежитъ на оси #-овъ, а полуоси
параллельны осямъ у-тъ и £-овъ. Такого
рода полод1я представится на (рис. 77)
одною изъ кривыхъ a', а", а"\ при чемъ
другой конецъ д1аметра опишетъ одну изъ
такихъ-же кривыхъ въ противоположпомъ
направление на противоположной сторон % эллипсоида инерцш.
'Если
ОР2<~, то Н2~ 1
#,
ОР"
■<0,
B44)
и ур. B37) представитъ конусъ, охватывающШ ось £-овъ, т. е.
меньшую полуось эллипсоида инерцш. Полод1ею будетъ въ такомъ
случае одна изъ кривыхъ у', у", ут.
Если
ОР2 =*=-==
*.'
то Н0
ОР2
^0,
B45)
B46)
и ур. B37), обращаясь въ
[* i/Hs(H,-HJ + х у/ Я^Т^Ж)]
X [* \/~Н^=ГН^-х\/ЩЩ2 ~"Ж)]- О,
представитъ двЪ пересЪкакнщяся по оси у-овъ плоскости, которыхъ
пересечете съ эллипсоидомъ даетъ два эллипсиса р и |3f. Въ такомъ
случае конецъ оси вращешя описываетъ или кривую J36J3, или
кривую $Ъ$.
Наконецъ, если въ случае B43) кромЪ того --==- = Н1, то
ур. B37) обращается въ
Л2(Я2~ Н)г/ + Нг(Н3~ Я^2 = О ,
B47)
которое можетъ только удовлетворяться величинами
у — О и z — (9;
20

ЗОК Глава III. В) Кинетика твкрдлго тал а. § 47
и следовательно представитъ ось зчжъ. Въ такомъ случае полодия
обращается въ одну точку—конецъ большей оси эллипсоида инерцш, котораи
и будетъ неизменною осью вращешя. Если въ случае B44) кроме того
1
=— =jEr3, то легко видеть также, что конусъ B37) обращается въ
Нг (#3 - Нг)х2 -г П2 [Н, -~ H2)f =- О . B48)
представляя ось £-овъ. Въ такомъ случае нолоддя опять обращается
въ точку, и неизменною осью вращешя делается меньшая полуось
эллипсоида.
Если два каьче нибудь изъ трехъ главныхъ моментовъ инерши
тела равны между собою, то эллипсоидъ ннерцш превращается въ
эллнпсоидъ вращешя около большой или малой оси: катящшся
конусъ делается круглымъ и охватываетъ ось симметрш фигуры; по-
лодш представятся параллельными кругами вокругъ оси симметрии
и эллипсисы |3, J3' сольются въ одннъ экватор1альный кругъ. Если
все моменты ннерцш равны между собою, то, по B24), всегда
cos (Ы,со) =-= 1, и всяк1й д1аметръ шара инерцш можетъ быть
неизменною осью вращешя; полод1я тогда обращается всякШ разъ въ
точку, соответствующую концу данной оси вращешя.
Вращеше около неизменной оси, которая должна совпадать съ
одною изъ осей инерцш, можетъ быть устойчнвымъ или
неустой чнвымъ, какъ это легко можно заключить изъ формы по-
лодгл. Действительно, если тело вращается по инерцш около большей
или меньшей изъ осей инерцш и какая нибудь причина отклонить весьма
мало угловую скорость отъ этихъ направлешй, предоставнвъ загЬмъ
телу снова вращаться по ннерцш, то при новомъвращенш конецъ
отклоненной оси можетъ описывать весьма малыя замкнутый полодш а или
Y вокругъ прежняго положешя оси вращешя, и дальнейшее откло-
неше оси вращешя отъ нервоначальнаго ея направлешя очевидно не
превыситъ некотораго весьма малаго угла. Но если ось вращешя
будетъ отклонена весьма мало отъ ея совпадешя со среднею осью
инерцш, то только изъ положены k,Jc она можетъ (рис. 77) возвратиться
опять еъ совпадение съ этою осью ннерцш; изъ положешй г, ?, она
будетъ отъ него удаляться более и более, пока не совпадетъ съ осью
инерцш въ противоположномъ направленш; а изъ промежуточныхъ
положена!, въ углахъ гЬк и kbi, она начнетъ описывать разширен-
ныя полодш около большей или меньшей полуоси. Поэтому средняя
ось ннерцш называется неустойчивою с в о б одною о с ь ю в р а-

§ 48 Глава III. В) Кинетика твердаго тъла. 307
щ е н i я, а большая и меньшая оси—у с т о й ч и в ы м и свободными
осями вращеьпя. Если все оси инерщи равны, то все он*
устойчивы. Если две оси инерщи равны между собою и эллппсоидъ
инерщи представляется эллппсопдомъ вращешя, то легко видеть, что
ось симметрш будетъ устойчивою осью, а оси ей перпендикулярный,
"хотя и будутъ все свободными осями, но неустойчивыми.
§ 48* Изйнеше движеш сзободнаго твердаго Tt/ia.
Действ1е прнложеиныхъ сплъ на свободное твердое тело со
•стоитъ въ измЪненш движешя его центра инерщи и въ пзмЪненш
момента количества движешя около его центра инерщи, т. е. въ
изменеши того вращешя около центра инерщи, которое илгЬло-бы
место, если-бы твердое т'Ьло двигалось по инерщи. ВслЁдств1е
неизменяемости взаимнаго положешя матер1альпыхъ точекъ, составляю-
щнхъ идеальное твердое тело, упомянутыя измЬнешя будутъ
единственный, как1я ириложенныя силы могутъ произвести, ибо части
приложенныхъ сплъ, направленный по взаимнымъ разетояшямъ
точекъ неизменяемой системы будутъ, вследств1е условШ
неизменяемости, взаимно уравновешены во все время движешя.
Изменеше движешя центра инерц1п нронеходитъ такимъ обра-
зомъ, какъ если-бы сила, равная геометрической сумме всЬхъ
приложенныхъ силъ, действовала-бы на матер1альную точку, съ массою
равною массе всего даинаго твердаго тела (см. § 31).
Следовательно, если все данныя силы приложены непосредственно къ центру
инерщи твердаго тела, то оне обусловятъ только изменеше
движешя этого центра, не имея вл1яшя на вращеше. Въ такомъ случае
моментъ приложенныхъ силъ около центра инерщи будетъ нуль. Иъ
противномъ случае рядомъ съ упомянутымъ изменешемъ произойдешь
и изменеше вращешя. Это последнее характеризуется изменешемъ
момента количествъ движешя системы около движущагося центра
инерщи, и измеряется моментомъ приложенныхъ силъ около той-же
точки.
Движеше центра инерщи твердаго тела совершается по зако-
намъ, изложеннымъ въ предыдущихъ главахъ, какъ движеше мате-
р!алымй точки, и независимо отъ того, принадлежитъ-ли этотъ центръ

308 ГЛАЕА III. В) KlIHKTJIKA ТВЕРДАГО ТЪЛА. § 4&
инерщи твердому т*лу, или какой-либо иной систем* матер1алышхъ
точекъ.
Чтобы легче представить себ* изм'Ьнеше вращательнаго движе-
шя, разсмотримъ сначала д*йств1е на твердое т*ло силъ мгновен-
ныхъ. Это д*йств1е будетъ вполне определено, если даны по
величин* и направленш геометрическая сумма пмпульсовъ, приложен-
ныхъ къ разнымъ точкамъ твердаго гЬла, и геометрическая сумма
моментовъ этихъ пмпульсовъ. Последняя изъ упомянутыхъ веллчинъ
обусловитъ изм*неше вращательнаго движешя, а именно будетъ равна
но величин* и направленно приращешю геометрической суммы
моментовъ количества движешя точекъ твердаго т*ла, т. е. приращешю
величины, определенной въ предыдущемъ параграф* слагающими 2, 3R, 3t.
Следовательно, если L, Ж, N будутъ представлять слагаклщя по глав-
нымъ осямъ инерщи момента пмпульсовъ, а £0 и 8, 2R0 и 2R, и т. д.—
соотв'Ьтствукнщя величины до д*йств1я пмпульсовъ и поел* онаго,
то (срави. § 31):
l = 2 — s0, лг=зя —зн0, ^=эг~эг0. Bщ
Если т*ло первоначально въ поко*, то очевидно:
S^L, 3»=3f, 9i:r=jy, B50)
и, на основанш предыдущаго параграфа, мы можемъ непосредственно
представить себ* движете, сообщенное т*лу даннымъ моментомъ
импульса. Действительно, если даны направлеше и величина момента
импульса, то урр. B50) и B20) еейчасъ-же даютъ положение
мгновенной оси вращешя и величину скорости вращешя. Геометрическое
построен1е, определяющее положеше мгновенной оси вращешя,
очевидно будетъ состоять въ томъ, что, проведя черезъ центръ инер-
ц]и прямую въ направленш даннаго момента импульса, мы построимъ
касательную плоскость къ центральному эллипсоиду инерщи даннаго
т'Ьла такъ, чтобы эта плоскость была перпендикулярна къ
упомянутой прямой; тогда д1аметръ эллипсоида, проходящш черезъ точку
касашя, совпадетъ съ мгновенной) осью. Что касается до угловой
скорости ш, то, на основанш B27J:
гд* Н есть моментъ инерщи около оси вращешя, или по B29):
ш=ОЯ;'2Тэ B52)

§ 48 Глава III. В) Кинетика твердаго тъла. 309
тде (Ж есть длина полуд1аметра эллипсоида инерцш черезъ точку
касашя, и |/2Т, тоже на основами B32), получается изъ построе-
шя такъ, что (рис. 76)
j/2T=0P.M. B53)
Дальнейшее движе-Hie совершается по инерцш, какъ описано въ предъ-
идущеыъ параграфе; т. е. эллипсоидъ инерцш, при неизменною» раз-
стояти своего центра отъ упомянутой выше плоскости, касается ея
постоянно точками соответствующей полодш.
Если твердое тело обладаете уже некоторымъ вращательнымъ
движешемъ въ моментъ дгЬйств1я импульса, то мы должны очевидно
прежде всего построить геометрическую сумму моментовъ,
первоначальная (80,9Й0Д0) и прибавочная (L,M,N). Направлеше
найденной суммы должно быть перпендикулярно къ плоскости касашя
эллипсоида инерцш. Затемъ, для нахождешя величины и нанравлешя
мгновенной угловой скорости, тотчасъ после дЬйств1я импульса,
повторяешь предыдущее построеьпе, при чемъ уже очевидно:
М2 = 180 + L? + {Ш0 + И? + i\ + N?. B54)
Иначе, мы можемъ сделать отдельно два построешя для момента
(80,$t0,9i0) и момента (L,M,N), и затемъ сложить геометрически
найденный угловыя скорости, представленный прямыми лишями,
сообразно съ §13. Действительно, обозначая черезъ р0,р\р... и т. п.
слагающая по главнымъ осямъ инерцш (при одномъ и томъже ихъ по-
ложенш въ пространстве) угловыхъ скоростей, соответствующихъ
моментамъ
L801SMo,SR), {L,M,N), (8,ЗЯ,9^
мы, на основанш B20), находимъ, что
%=р0Нх, L=p'H1, й—рЩ и т. д.;
а такъ какъ
8 = 80 + Z,
то
Р=Ро+Р\ 2 = ^0 + ^', г = г0-т-г\ B55)
откуда и заключаемъ, что угловая скорость (p,q,r) есть
геометрическая сумма скоростей (p0,q0,r0) и {p\q\r]).
Если мы представимъ себе импульсы безконечно малыми по
величине и повторяющимися черезъ безконечно малые промежутки вре-

310 ГЛАЕА III. В) КИНЬТНКА ТВЕРДАГО ТЪЛА. § 48
мени, то мы перейдемъ къ случаю непрерывно действующихъ силъ
и непрерывнаго изменешя движешя твердаго тЬла. При этомъ мо-
ментъ количества движешя М остается нензменнымъ по величин* и
направленно только въ течеши элемента времени rlt, и
следовательно, только въ продолженш времени dt эллипсоидъ пнерцш
соприкасается съ неизменною плоскостщ, а конецъ оси вращешя
перемешается по соответствующей полодш. Для следующаго элемента
времени плоскость соприкосновешя и полод1я будутъ друпя.
Пустъ L, 2Г, N будутъ слаганшце моменты приложениыхъ силъ
а (Ы,с1Ш,сШ—безконечно малыя приращешя слагающихъ моментовъ
количества движешя. Тогда
йа = bit, гШ = Mdt, ' <Ш -= Xdt, B56)
и если dp, dq, dr будутъ обозначать приращешя слагающихъ угло-
выхъ скоростей, то очевидно:
Нгйр = Ldt, H2dq = Mdt, И Яг = Xdt, B57)
при чемъ dp, dq, dr суть так1я приращешя слагающихъ угловыхъ
скоростей, кашя имъютъ место независимо отъ приращешй техъ-же
величинъ, существующихъ вследствте продолжающаяся движешя по
инерции; следовательно, полныя приращешя получатся, какъ сумма
первыхъ и послЬднихъ. Такпмъ образомъ мы имеемъ возможность
вычислить повороты даннаго твердаго тела для каждаго безконечно
малаго элемента времени, и, зная способы суммовашя безчислен-
наго множества безконечно малыхъ перемещение, съудгЬемъ найти
повороты, происходяиде въ течеши конечныхъ промежутковъ времени.
Если AM будетъ обозначать геометрическое приращеше
момента М въ течеши элемента времени dt, a M будетъ величина
момента приложениыхъ силъ, обуеловливающихъ упомянутое приращеше,
то, какъ известно, направлешя ДМ и М совпадаютъ другъ съ дру-
гомъ, и кроме того:
AM = Mdt. B58)
Пусть ОМ представляетъ (рис. 78)
величину М и ЖЖ—величину AM; тогда
ОЖ] представить геометрическую сумму
~я/ М4-^М. Но моментъ AM мы можемъ то-
рис- 78- же представить, какъ геометрическую сум-

§ 48 Глава III. В) Кинетика твкрдаго тъла. ЗИ
му двухъ моментовъ Mb и ЬМ', изъ которыхъ первый, совпадая съ
ОМ, обусловливаете только изменение величины этого лоследняго и
можетъ быть разсматрнваемъ, какъ безконечно малое алгебраическое
ирлращеше с!Ъ1 момента М. Безконечно малый моментъ ЬМ\
прилагала перпендикулярно къ М, изм'Ьняетъ направлеше его на уголъ
<IL. Такъ какъ по безконечной малости ЬМ мы можемъ принять эту
лишю за дугу круга, описаннаго рад1усомъ ОМ или ОМ\ то
заключаем!,, что
Ш rrr Ш1 B59)
и что прибавлеше момента Mrf/. измЬняетъ только направление
момента М, не имея вл!ян1я на его величину. Такимъ образомъ мы
находимъ, что
AM = dM *f М<ЙС . B60J
Слагаюиия момента М, направленный по ШЬ и ЬМ' будутъ
очевидно
Mcos6 и MsinO,
где 6 есть уголъ между М и М. Следовательно:
dU = М cos 6 dt п Mdl — М sin 6 dt. B61)
Последнее уравнеше показываетъ также, что уголъ rIL поворота
момента будетъ, при однехъ и техъ-же силахъ, т!;мъ меньше, чЪмъ
больше вращаемый моментъ 31.
Относительное положеше момента М и оси вращешя определяется
касательного плоскостш эллипсоида инерцш, къ которой М
перпендикулярно, при чсмь ось вращешя проходитъ черезъ точку касашя. Если
следовательно направлеше момента не изменяется, то относительное
положеше оси вращешя остается одно и тоже для каждаго соприко-
еновешя эллипсоида инерцш съ неизменною плоскостш, какъ въ
случае вращешя по инерцш. Но угловая скорость вращешя будетъ
уже другая, а следовательно и движете оси вращешя въ
пространстве—тоже другое. Такъ какъ размеры и форма полодш, по ур.
B37), определяются величиною (XF, т. е. длиною перпендикуляра
изъ центра инерцш на неизменную касательную плоскость, то въ
данномъ случае, при одномъ только измененш величины М, когда
длина ОР остается неизменною, конецъ оси вращешя будетъ
описывать на поверхности эллипсоида инерцш туже кривую, какъ въ

312 Глава III. В) Кинетика твердаго тъла. § 48
случае движешя no пиерцш: по скорость движешя полюса по
упомянутой поверхности будетъ иная, вследств1е изменешя угловой
скорости вращешя: следовательно, полод1я будеть совпадать
последовательно съ неизменной касательной плоскостш въ иныхъ точкахъ.
нежели въ случае движешя по инерцш: т. е. эрполод1я не
останется одна и таже.
Что касается до алгебраическаго безконечно малаго приращены
г/со величины угловой скорости, соответствующая приращешю сШ
момента, то мы найдемъ непосредственно нзъ B21У:
<lT=to(lo)H, B62)
где (IT есть соответствующее приращеше кинетической энерпи, а
Н—моментъ инерщи около оси вращешя, который не изменяется при
увеличении момента М, вследств1е того, что углы (dM,dw) и (М,со)
одинаковы. При этомъ db> обозначаетъ опять излншекъ приращешя
величины со протпвъ того приращены, которое нмело-бы место при
продолжающемся движеши но инерцш. Съ другой стороны, прираще-
Hie кинетической энергш dl\ на основаны § 33, равно работе,
произведенной въ соответствующие промежутокъ времени приложенными
силами, или въ нашемъ случае—парою McosG. Если Д М, N суть
слаганнщя но осямъ координатъ некотораго момента силъ dlk то. по
§ 39, работа силъ, определенныхъ упомянутымъ моментомъ, при
безконечно малыхъ вращешяхъ е?а, d|3, dy твердаго тела около осей
координатъ, будетъ
LdoL + Mdfi + Ndy , B63)
или такъ какъ, въ случае движешя въ течены времени dt съ
угловыми скоростями р, q, r, очевидно
d% -~ pdt, c?j3 — qdt , rfy = rdt,
то приращеше кинетической энергш dT, обусловленное работой B63),
будетъ
dT= (Ljp + Mq + Nr) dt; B64)
но легко видеть, что
Lp + Mq -p Nr = ojcllb cos (clb,co) ,
вследств1е чего вообще
rfT^co clb cos(clb.w)^. B65)

§ 48
Глава III. В) Кинетика твердаго тьла.
313
Прилагая предыдущие выводъ къ разсматриваемому нами случаю, гдгЬ
очевидно
cVbdt = М cos Ш = dm , B60)
cos (clo,(o) = cos (M.to),
мы иаходимь, что
r7r=(ocos.(M,co)tfM .
Сравнивая это выражеше съ B62), находимъ:
tftO — COS (М,Со)~г ,
или, на основанш B27) и B28):
dco с/М
B67)
B68)
B69)
Рис. 79.
to M
Слагающш моментъ ЬМ] (рис. 79) при-
ращешя ДМ, измЪняющШ только наирав-
леше момента М на уголъ dX, разобьемъ
ж' опять на два момента: be, лежаний въ
плоскости момента М и оси со, и сМ,
перпендикулярный къ упомянутой плоскости. Если
ср будетъ уголъ между ММ1 и плоскостш
угла (М,со), то
ЪС--= MM cosy и cW^MMsmq, B70)
и, на основанш B59):
Ъс = М cos ср d'L , сМ =-- М sin 9 d'L . B80)
Такъ какъ уголъ между направлешемъ момента сМ и осью вращешя
по условш прямой, то, на основанш B65), заключаемъ, что работа
соотвЪтствующихъ силъ равна нулю, и что кинетическая энерпя дан-
наго твердаго тела не изменяется, если моментъ приложенной пары
всегда перпендикуляренъ къ плоскости оси вращешя и момента
количества движешя. Но если величины М и Т во время разематри-
ваемаго движёшя останутся постоянными, то, на основанш B32), не
должна также изменяться длина перпендикуляра ОР изъ центра
инерцш на касательную плоскость, проходящую черезъ конецъ оси
вращешя. Следовательно, полонда, определяемая урр. B35) и B37),

314 Глава III. В) Кинетика тбердаго т?>ла. § 4Ь
останется таже, какъ для случая дыгжешя по пнерщи; т. е. аллнн-
соидъ инерцш будетъ прикасаться къ подвижной плоскости т1>ми-жо
своими точками, какими онъ прикясался-бы къ неподвижной, и
касательная плоскость будетъ перемещаться въ пространств* вмЪстЪ съ
эллипсоидомъ инерцш такимъ онразомъ, что движеше этого поелГ>д-
ияго относительно плоскости останется гЬмъ-же, какъ въ случае
движешя по инерцпг, но ноложеше эллипсоида инерцш въ
пространств 'Ь будетъ очевидно изменятся иначе.
Наконецъ, ириращеше энерпи, обусловливаемое елагающимъ мо-
ментомъ 6с, будетъ
(IT —-- со cos (hc.io) . be ,
или, такъ какъ
cos (йс,со) -z sin (M со) :
tlT—- со . siii (М,со). Mcoscp dL . B81)
Длина перпендикуляра OP при этомъ тоже изменяется, и
следовательно, изменяется та кривая, которую полюсъ привращеше описы-
ваетъ на поверхности эллипсоида инерцш. Называя лриращеше длины
ОР черезъ dOP, мы легко найдемъ изъ ур. B32), что
пи j/iD dT cosin(M,w) 7V
OP . a OP-— — — -> - i—^ cos 9 . dL , B82)
или такъ какъ, по B52) и B53),
со^ОЯ.ОР.М
и такъ какъ (рис. 76)
(J#sin(M,co)^P#,
ТО
d OP — РН. cos 9 ЛС. B83)
Полное приращеше кинетической энерпи вращешя,
обусловливаемое приращешемъ момента AM, будетъ равно суммЬ приращенШ
B67) и B81), т. е.
dT — со cos (М,со) бЩ + со . sin (М,ш) . М cos 9 . d'l , B84)
или вообще въ другомъ видЪ, на основанш B65):
dT= со cos (АМ,со) AM , B84)

§ 4:9 Глава III. В) Кинетика твердаго тъла. 315
причемъ очевидно, кинетическая знерпя не изменяется, если нрнра-
щеше AM перпендикулярно къ оси вращешя.
§ ПК 06щ!я уравнения движешя свободнаго твердаго тЪла.
Мы видели въ § 30, (93), что уравнешя движешя системы
матер^альныхъ точекъ получаются изъ услов1я равнов*с1я
потерянныхъ силъ. Следовательно, вводя въ уравнешя равновес1я
свободнаго твердаго тела (A5), § 39) на место слагающихъ X, У,Z при-
ложенныхъ силъ слаганищя
X — тдх , У — mgY, Z — m<jtt
потерянныхъ силъ, где #х, #у, {/г обозначаютъ слагающ1я ускорешя
соответствующей точки твердаго тела, а т—массу зтой точки, мы
получимъ следуюгщя уравнешя движешя:
IX =-- Ъпдх , ZY = Ъпд, , Y.Z = Ъпдъ B85)
£ ( Yz — Zy) = Zm{g,z ~ д,у),
Z(Zjc— Xz) --= Ът [дгх — gxz) , B86)
- (ХУ — Yx) = ^т (9*У — 9&) ,
где алгебраичесшя суммы берутся по всЬмъ приложеннымъ снламъ,
съ одной стороны, и по всЬмъ точкамъ системы—съ другой. Но вы-
ражешя (88) (§ 14) намъ даютъ:
+ (РХ + q\J + ГЯ)р — Ы2Х ,
+ № + qy + rz) q — ь>2у , B87)
где jx,jj,jz суть ускорешя поступательного движешя; разности, за-
.. dp dq dr
висящш отъ угловыхъ ускореши --, -f , -у , суть слагающая
Clo Ctt Clt
тангенщальныя ускорения вращательнаго движешя, и наконецъ
остальные члены, зависяпце отъ угловыхъ скоростей—слагаюнця центро-
стремительныхъ ускореши. Подставимъ теперь выражешя B87) въ
B85) и B86); введемъ обозначешя Z, 31, N, Л, Ь\ С (A1), § 40);
оси координатъ выберемъ, какъ въ § 45, т. е. неизменно связанными
9*
9у-
=j»
= jj
4-
4-
dr
9 ТС
dp
dq
~ z
dt
dr
~xTt

3iH Глава III. В) Кинетика твердаго тъла. § 49
съ тЬломъ и совпадающими съ его главными центральными осями инер-
цш, Тогда, помня что суммы
)Lmyz, ^mzx, Yjnxy, ^тх , Иту, Y*mz.
при такомъ выборе осей координатъ равны нулю, мы получаемъ
изъ B85):
А = ]хЪп . Б = j, Ът , С rr_- jXm , B88)
гд1> jx,jy,jz представляютъ очевидно также ускорешя центра инерцш
системы. Точно также урр. B86) дадутъ:
dp
L — Нг '_-- -f- <jt (Ems* — Е«?#2), и т. д ,
Прибавляя и вычитая въ скобкахъ правыхъ частей каждаго изъ урав-
нешй, иодобныхъ этому последнему, соответственно Хтх2. £ш/2, Етя2,
и помня значешя Нг, Н2. Кг (§ 46), мы получаемъ'
da
И - Н2-г_ + П> (Я3 - Нг), B89)
Уравнен1я B88) выражаютъ то прежде уже неоднократно
указанное свойство движешя, что геометрическая сумма приложенныхъ
силъ изменяетъ движеше центра инерцш, какъ движеше свободной
матер1альной точки, въ которой сосредоточена вся масса системы.
Уравнешя B89) называются эйлеровыми уравнешями, и
онредЬляютъ изменеше вращательнаго движешя около центра
инерцш. Интегральное исчислеше учитъ насъ, какъ на основанш урр.
B88), B89) вполне определять движеше твердаго тела въ томъ
виде, какъ было указано въ § 15, иричемъ заключешя § 47 и § 48
являются частными следств1ями решетя этихъ уравнешй. Сообразно
принятому нами плану изложешя, мы ограничимся здесь некоторыми
непосредственными выводами изъ неразрешенныхъ урр. B89).
Первые члены лЬвыхъ частей урр. B89), т. е.
"•%' Н-1Г <• ™
представляютъ очевидно слагаюипя по осямъ координатъ момента

§ 49
Глава III. Б) Кинетика твердаго тъла.
317
ускорителышхъ тангенщальныхъ силъ; вторые члены, т. е.
qr (Н2 - Щ , гр (#3 - #,) , pq (Я, - Н2) , B91)
или иначе на основанш B20):
представляютъ слагаюпие моменты центростремительныхъ силъ.
Обозначая величины B91)' черезъ X, [л, v, мы легко найдемъ, производя
сложеше нижеслЪдующихъ произведен^, что
\п -4- u.q -f- vr= О ,
1 B92)
AS -+- }i.3R + v9t = О ,
откуда заключаемъ, что моментъ (X, 4а, v) перпендикуляренъ къ оси
вращешя и къ моменту (S,3R,5R) количества движешя. Квадратъ
величины момента (X, jx, v) будетъ очевидно
X2 -h £JL2 -f- V2 =
(r3R — #) 2 + (pitt — rSJ -+- B2 ~^ШJ
= 22 (д2 + г2) + Ж2 (г2 + р2) Ч- 9t2 О2 -f д2)
— 23R%r — 29i£rp — 2Шра ;
прибавляя и вычитая сумму
и помня, что
J32 + д2 + ^ = ^ )
получасмъ:
X2 + JJL2 + V2 p=z
= w2 (82 + Ж2 -f 912) — (8р + mq + SirJ
= со2М2 — М2со2 cos 2 (М,со) = M2to2 . sin 2 (М,со) , B93)
откуда видимъ, что откладывая длину М въ направленш момента
количества движешя и длину со—въ направленш оси вращешя, мы
получимъ величину момента центростремительныхъ силъ, какъ величину
площади параллелограмма, построеннаго на упомянутыхъ двухъ ли-
шяхъ, какъ сторонахъ.
Умножая урр. B89) соответственно на pdt,qdt,rdt и
складывая, мы получимъ выражешя для работы, произведенной системою
приложенныхъ силъ (X, Ж, N) въ теченш времени dt, и равной при-

318 Глава III. В) Кинетика твердаго га: v. § 49
ращешю кинетической энергш вращательнаго дшпкешя: т. е. мы бу-
демъ имЪть:
с1Т г- Lpdt -г Mqdt - Krdt -
- Б^ф -f #2в""'3 -^ Я3п7г — Q.p -г [ли - vr) dt. B94)
Величина
tf^tfp -г #22С?г -т- Я3гг?г B95)
представляетъ здЪсь очевидно работу тангенщальныхъ ускоритель-
ныхъ силъ. совпадающих}, въ каждой точкТ» съ направлешемъ
скорости; а величина
С'4>-тМ +-vr)dt B98)
представляетъ работу центростремительныхъ силъ, которая, на
основами B92), всегда равна нулю. Следовательно, центростремительныя
силы только имЪютъ вл1яше на измЪнеше момента количества дви-
жешя, не изменяя кинетической энергш.
Помня, что (§ 31):
Ldt = d8 , Mdt =r dm , Kdt ^ d?i , B97)
мы можемъ представить урр. B89) въ такомъ вид*Ь:
d2 = Hxdp -r ldt,
гШ ^ H2dq 4- \xdt, B98)
г/Л =г H3dr -г- vtf J ,
гд* ф, dfg\ rfr суть полныя приращешя слагающих!» угловыхъ
скоростей, обусловливаемый измЪнешемъ момента М и продолжающимся
движешемъ по инерцш, т. е. прилагающимся постоянно моментомъ
центростремительныхъ силъ.- Такимъ образомъ, приращешя, входяиця
въ урр. B98), не должно смЬшивать съ т£ми, о которыхъ
упоминается въ урр. B57).
Раземотримъ теперь, какъ въ предыдущемъ параграфе,
различны я части приращешя момента М, направленный а) вдоль по
прежнему моменту М, Ь) перпендикулярно къ М и къ оси вращешя, и
с) перпендикулярно къ М, въ плоскости (М,<о). Обозначимъ черезъ
AjM, Д2М, Д3М три вышеупомянутыя слагаюиця части приращешя AM.
Тогда сообразно обозначешямъпредыдущаго параграфа, по B60), B80):
ДХМ = <Ш , Д2М = М sin 9 <ЙС , Д3М = М cos ъ <ЙС B99)

§ 4!) Глава III. В) Кинетика твердаго тъла. 319
AM =-= \Ш ^ Д2М 4- АаМ . C00)
Если мы дал*е обозначишь соответственно черезъ rf^, df23R..,
о72й... rf3£... продожешя моментовъ ДХМ, Д2М, А3М на оси коорди-
натъ, то очевидно:
д^т^й44^44^, « т- д C01)
п кромЪ того:
1 2 3
#№ = dJR + d29l + d35№ •
Такъ какъ направлеше ДХМ но условш совпадаютъ съ М, то
косинусы его угловъ съ осями координатъ будутъ
М ' М ' М '
Умножая уравпешя C02) соответственно на вышеприведенныа
величины коспнусовъ, складывая, и замечая, что вслЪдств1е
перпендикулярности ДХМ къ Д2М и къ А3М:
2 ЧТИ Ч
C03)
^ч-й^+^йзЭД^о,
и что:
М • ^ + М • 4м ^ Ы • Д^М = C0S (М'^М) = ' ' C04^
мы получимъ:
d2 Ж + rf3W м*+ сШ м = д>м; сз05)
подставляя сюда величины d2,dM,dTi пзъ B98) и полня урр.
B92), мы получимъ:
Д,М = ~ [mtdp + ЗКЯ,(?2 -Ь ШЛг],
или по B20): C06)
<Ш = ~ [Я.21>с7р 4- HJqdq + Я8а«И .

820 Глав! III. У) Кинетика tbeimaiо тъла. § 49
Кроме того очевидно:
<1Я = ^ <т, <1гт ^ || cm, <iji - jj «м. сзо7)
Такъ какъ направлеше А2М совпадаетъ съ направлешемъ момента
(\ ^ v), то обозначал
X2 -г ja2 + v2 чррезъ II2, C08)
мы будемъ иметь соответственно сл'Ьдующкг величины для косину-
совъ угловъ А21[ съ осями координатъ:
iV £2' Q' l J
и следовательно:
d22 - ^ А2М , <Z22R = £ А2М , d23t ,-= ~ А2М . C10)
Самая-же величина момента А2М получится, если мы сложимъ
урр. C02), соответственно умноженныя на косинусы C09), и обра-
тимъ при этомъ внимаше на то, что А2М перпендикулярно къ ±^1 и
къ А3М. Такимъ образомъ, мы получимъ подобно тому, какъ получили
УРР.°C05):
AaM = da^+^g + d*u ' C11)
или, на основаши B98):
А2М = i [H^dp + H9adq + H?ydr\ + ildt. C12)
Обозначая наконецъ черезъ /, ж, п косинусы угловъ наиравлешя
А0М съ осями координатъ, мы определимъ эти величины изъ техъ
условш, что, вслЪдств1е перпендикулярности А3М къ АХМ и къ А2М,
'н + ^н^Г0'
A v (818)
и что
Р + т2 + п2 = 1. C14)
Изъ этихъ ураЕнешй, обращая вниыаше на второе изъ условие B92),

§ 49
Глава III. В) Кинетика твердаго тълл.
321
мы подучнмъ:
Z^--M2X' М = :Г-1ЙГ-' " = - МО"' C15)
где выборъ знака ± зависптъ отъ того, въ какую сторону вдоль
по лиши иерпердикулярной къ плоскости (ДХМ,ДМ), мы считаемъ
положительное направлеше. Определивши /, w, и, мы получимъ далее,
какъ прежде:
d32 = гд М , d33Jf = тД3М , d3Ti — «Д3М , C16)
и изъ урр. C02):
Д3М = lHxdp + mH2dq 4 wJtf3(?r . C17)
Ириращеше угловой скорости, по величин* и направленш,
обусловленное приращешемъ ДМ, обозначимъ черезъ Дсо, и представимъ
какъ геометрическую сумму
Дсо = do) A-* (tide.,
^ C18)
Дсо2 — doJ + со2б?£2 ,
где rfeo обозначаете алгебраическое приращеше угловой скорости
около прежней оси, a code—скорость около оси, перпендикулярной къ
прежней, которая, прилагаясь къ этой последней, вращаетъ старую ось
на уголъ <fe, причемъ dto и code перпендикулярны другъ къ другу. Про-
ложешя Дсо на оси координатъ будутъ очевидно ф, dq, dr, которыя
на основанш B98) определятся, какъ
7 <1~ ^ 1, 7 ^3R М1 7, 7 ^31 v 7^ ,„,Л1
«Р - тт — w »£ 5  = тг fF я£ 5 dr = -= — yt at ^ C19)
Лх iij Н2 Н2 Ия М3
причемъ вторые члены лЬвыхъ частей этихъ выражешй:
~wxdt' -"H2dti ~i/f> (820)
представляютъ приращешя слагающихъ угловыхъ скоростей, вслЪд-
ств1е продолжающагося движешя по инерцш, т. е.—те приращешя,
которыя одни имелн-бы место, если-бы моментъ количества движешя
оставался неизвгЬннымъ по величине и направленш; первые-же члены
левыхъ частей выражешй C19):
нг яа' я3' l }
21

'622 Гллг.л III. Б) Кинетика твердаго тъла § 49
представляютъ приращсшя слагающнхъ угловыхъ скоростой, обуслов-
ливаемыя изм1шешемъ момента количества двшкешя, т. е. дМствкмъ
приложенныхъ силъ. Умножая слагавшая приращешя C20)
соответственно на 2, 3R, 9t и складывая, мы найдемъ, что
2 л Ж* Э1 v ,п ,
н^Ж+нГ0' C22)
всл*дств1е перваго изъ урр. B92) и урр. B20); отсюда заключаемъ,
что измЬнеше вращешя при движенш по инерщи происходитъ отъ
непрерывнаго приложешя безконечно малыхъ угловыхъ скоростей
около оси, перпендикулярной къ моменту М.
Обозначая величины слагающпхъ по осямъ координатъ прира-
щешй rfco и соей соовЪтственно черезъ д)р, cVq, d]r и d"p, dnq, d">\ мы
должны очевидно имЪть:
dp = d'p + dnp , dq^d'q + d'q, dr = d'r + d"r. C23)
Такъ какъ направлеше оси угловой скорости с/со совпадаетъ съ осью
скорости со, то
д)р = с/со — , d]q = с/со -- , d]r — ско - . C24)
со to со
Умножая уравн. C23) соответственно на^, -, -, складывая нхъ,
со со со
и замечая, что, вслЬдств1е взаимной перпендикулярности йсо и cocfe,
pd]]p + qdJ,q + rd"r = 0 , C25)
и ЧТО
й'р р , d'q a d'r г , ,
-TL'- + -TL'- +Т- • - = cos(co,f/co) = 1 , C26)
г/со со с/со со с/со со 7 ' v ^
мы получимъ:
г/со — - (pdp 4- qdq +- rdr) , C27)
или вслЪдств1е C19):
jx/2 ( qdW , r^Jc
c/co - -^- + *-=- -^ —
сой^ соЯ2 co//3
J)\ q[X rv 1 c/£
C28)
гдЪ первый членъ лЪвой части обозначаетъ приращеше величины
угловой скорости со отъ дгЬйств1я приложенныхъ силъ, а второй

§ 49
Глава III. В) Кинетика твердаго тъла.
323
членъ—приращеше, при продолжающемся движенш по инерцш.
Обозначая черезъ осо ту часть приращешя dto, которая зависитъ отъ
дМств1Я приложенныхъ силъ, мы найдемъ очевидно, что
Приращеше £со, въ свою очередь, можно разсматривать, какъ
сумму трехъ другихъ: ^со, <?2со, £3о>, зависящихъ соответственно отъ
слагающихъ, ДХМ,Д 2М, Д3М, приращешя ДМ момента М. Обращая
внимаше на равенства C02), мы найдемъ изъ C29), что
6^=щ+1ш; + шв> C30)
и, на основанш C07):
C31)
/2,2, 2^M <Ш
^ ' ± }ыМ М '
т. е. результату известный изъ ур. B69). Точно также, на
основанш C10) и B92), получимъ, что
C32)
или, по B91) и B93):
2 \ Нг Н2 Я3 У sm(M,co) M 2
Наконецъ, точно такимъ-же образомъ получаем!:
л flp mq nr\ Д3М
' Обратимся теперь къ опредЪлешю величины и направлешя при-
ращешя cock, т. е. величины слагающихъ d"p, duq, d"r. На основанш
C23) и C24), мы получимъ:
d'p~dp—¥-do), d"q = dq — -dto, d"r = dr dto • C35)
J- L со 'со со

324 Глава III. В J Кинетика тверд аго тъла. § 4 У
подставляя сюда величины dp, dq, dr изъ C19), мы вычислимъ зна-
чешя dup, dnq, dnr, и затЬмъ найдемъ:
(cods) 2 = {d"p) 2 + (d"g) 2 -f (d'Vj2 . C36)
Но, для большей наглядности, можно вычислить отдельно части при-
ращешя cods, зависяиця отъ действия прнложенныхъ силъ и отъ иро-
должающагося движешя по инерщи. Для этого приращеше Дсо иред-
ставимъ, какъ слагающееся геометрически изъ двухъ: Д'со, завися-
щаго отъ дМств1я силъ, и Д"со, зависящаго отъ продолжающагося
движешя по инерщи, такъ что
Дсо~Д'со^А"<о. C37)
Проложешя приращешя Д'со на оси координатъ обозначимъ черезъ
op, oq, or, а проложешя Д"со—черезъ dp, dq, Or, такъ что
dp — op -f- dp , dq -- oq-\-0q , dr -— or -f- dr , C38)
при чемъ, на основанш C19):
X
и. ,. . v
dp = — -jydt, dq = -±jdt, dr=-=r-dt. C40)
Кроме того очевидно:
Д'со2 = 5р2 + £g2 + or2, Д"со2 = dp2 + dg2 + dr2
C41)
Дсо2 = Д'со2 + Д"со2 — 2Д'со.Д"со cos (Д'со,Д'Чо) .
Затемъ Д'со разложимъ на две части: одну £со, направленную вдоль
по оси со, и другую со.£г—къ ней перпендикулярную; точно также
Д"со представится двумя соответствующими слагающими: дсо и oj.de,
такъ что
ДЧо = осо 4~ со . oi , Д"со = doj 4^ со . di ,
C42)
Д'со2= 0со2 + со2. о£2, Д"со2= Ло2+ со2. dz1.
Направлешя &со и дсо, совпадая съ осью, будутъ очевидно совпадать
другъ съ другомъ; следовательно:
rfco —£co-f^w , C42)'
где, на основанш C28):
jpd2 qdm rdm
C43)
rv | at
*•=-[£+-£+£]
со

§ 49 Глава III. В) Кинетика твердаго тъла. 325
Наиравлешя-же со.бе и ы.ди, лежа въ плоскости, перпендикулярной
къ оси со, будутъ д-Ьлать между собою некоторый уголъ (ое^е),
такъ что величина ихъ результирующей todc определится изъ ур.
(corfeJ =rr (со6\J + МО2 — 2 (cock) (со&) cos (o£,<fe). C44)
Ироложешя на оси координатъ величинъ £со, со.5с, Ло, to.de, обо-
значимъ соответственно сл'Ьдующимъ образомъ:
для
а
»
>
б со
С*H£
(?СО
СОб?£
Л1 (Л1 ^Г
^ Р 5 0 #? ^ Г •)
6vp , £"# , очг ,
d'j) , д' q , df r ,
е?"р, (?"g, <?"г,
C45)
такъ что
C46)
C47)
Ср = о'$> -+- 6'i?, oq = о q -f o"g , or = or -г о' г ,
Op = d'_p + d"p, c?g ~ ^'^Z + dV(l •> dr = (JV -f- tf"r ,
а также, сообразно съ C23):
cVp = ftp -f d'_p , d' q^= S1 q 4- d] q , d' r — o' r + d' r ,
(V'p = Snp + d"p , d'ty = £"? -t- <?"j , d"r = our + d"r ;
кромЬ того очевидно:
Wp — —bto, C'g = — &<*}, d'r = — oco ,
со ■* со ' со '
d'w — -- do} , d'q = ~ dto , d> = — <7u> .
^ со J со со
Искомыя величины co.#£ и co.cte определятся изъ урр. C42), на
основами C39), C40) и C41), сл'Ьдующимъ образомъ:
(С00£J = А'СО2 — ОСО2
_еЙа сШ , dW fpd2 ] q№ t rddlV t349)
T in
C48)
H^ ' #22 ' #32 Vcoi^ ' <aH%^ vHj '
(ы&J = Д"со2 - Ло2
л2 ( [л.2 ( v2 "^j ^_pX , д[л , rv\2dt2
Ю
<■* f*s , v2 \ 'pk Sft rvV
C50)
Подставляя въ уравнеше C49) соответственно, вместо с1-2,с1Ш, d3t,
величины dt2... d22... d32 изъ C07), C10), C16), мы получимъ
выражешя для частей ы^е, ы>£2£, со<53£ приращен1я ш^е, зависящихъ

320 Глава III. В) Кинетика твердаго тъла. § 49
отъ приращенШ, ^М, д2М, А3М, момента количества движешя. Такимъ
образомъ мы найдемъ:
соо^^О, C51)
^ = (ш?+i+$ ^ - {&+S;+iS;)V- С353,
Наконецъ, направлешя приращенШ со<?£ и cotte, т. е. ихъ углы съ
осями координатъ, мы найдемъ, вычисливъ слагаюпця 8пр ... дпр ...
изъ урр. C46), на основаши C39), C40) и C48). Зная уиомяну-
тыя слагающШ, мы получаемъ для косинусовъ угловъ направленШ
со^г и со^£ съ осями координатъ соответственно величины:
_о> о\ о^г д^р d^q #W_
со&' coSe' со£е П ыдг' lodi' а^£' (d°4)
гдЬ со^£ и со^£ вычисляются изъ C49) и C50).
Имея все вышеприведенныя соотношешя между приращешями
количества движешя и скорости вращешя, мы можемъ решить во-
просъ о томъ, катя должны быть приложены къ твердому телу
силы, чтобы произвести те или друпя, заранее предписанный, измЪне-
шя скорости вращешя. Разберемъ наиболее простыя изъ предполо-
женШ относительно этихъ изменешй.
1) Угловая скорость и направлеше оси вращешя должны
оставаться неизменными. Тогда очевидно, dp = dq = ilr = 0, и, на
основаши C19):
d«=Xdf*, <Ш = [х<И, dOt — vdt, C55)
или по B97):
Z^X, Ж=г[л, N = v; C56)
т. е. моментъ приложенныхъ силъ долженъ быть равенъ и наралле-
ленъ моменту центростремительныхъ силъ, или другими словами, при-
ложенныя силы должны уравновешивать центробЬжныя силы.
Величина М приложеннаго момента будетъ очевидно, на основаши B93):
М = О = Мсо . sin (M,co) , C57)

§ 49
Глава III. В) Кинетика твердаго твла.
327
или, по B28);
M = 2T.tang(M,co). C57)f
Если тЬло вращается равномерно около неподвижной оси, то Мпред-
ставляетъ моментъ, обусловливаемый сопротивлешемъ этой оси.
Равный и противоположный ему моментъ будетъ принадлежать снламъ
давлешя вращающагося т'Ьла на ось. Если sin (М,<о) = 0, т. е. если
ось вращешя совпадаетъ съ одною изъ главныхъ осей инерщи, то
очевидно п М = О.
2) Должна оставаться неизменною только величина угловой
скорости. Тогда очевидно, d]p = d]q — dlr = 0, и, на основанш C47)
и C48):
осо + Ло — rfto — O, C58)
откуда, на основанш C28), видимъ, что только одно уравнеше оире-
дЬляетъ три искомый величины, L, M, N, вслЪдств1е чего направле-
Hie результирующаго момента М прпложенныхъ силъ можетъ быть
выбрано произвольно. Выбирая это направлеше параллельно моменту
количества движешя М (т. е. заставляя AM совпадать съ AXM), и
обозначая величину такого момента силъ черезъ Мх, будемъ имЪть
по C07), гдЪ dM = M1.dt, и по C28):
Выбирая М параллельно £1 (т. е. параллельно Д2М) и обозначая его
величину черезъ М2, получаемъ, какъ прежде, изъ C28) и C10):
М2 = Q. C59)'
Наконецъ, выбирая М параллельно Д3М, получаемъ изъ C16) и C28):
/ lp ,mq nr\ _ fAp {xq vr\
Кн^Ж^ н,)™* - Щ "г я2 + ~Щ) C59)
3) Должно оставаться неизмЬнньшъ только одно направлеше
оси вращешя. Тогда cV'p — d"q = cl"r = 0, и, на основанш C35),
<319) и C28):
aty L-Л __ rpjL-1-) qSM-£) , r(N-v)l p__
at нг L шн, + о)Я2 ■ шн3 \ы '
Л\ _ М- a \p{L-'K) gQM-n) r(jy-v)-| q _
<7V_ iV— у Г_р(£- X) , gCf—[a) r(JV— vI r _

328 , Глава III. Б) Кинетика твердаго тъла. § 49
C61)
откуда видимъ, что
L — л __рН1_^ Ж—и._дП2_ Ш
"N ~— v " Щ ~ Л ' Ж— v — Щ ~ 3F
т. е., что результирующШ моментъ силъ (L — X, 31 — [л, JV—vj,
составленный изъ искомаго момента (L, 31, N) и момента центро-
бежныхъ силъ (—А,—(л,—v), долженъ быть параллеленъ моменту
количества движешя B,9JJ, 9?), а по величин* можетъ быть произво-
лепъ. Называя эту величину черезъ Q, т. е. полагая
<22 - (Z ~ XJ + {М- [if + (N- vJ,
возводя зат'Ьмъ урр. C61) въ квадратъ и складывая, получаемъ:
Q2 — (H — уу ^ М2 _ 4JJ2
(JT— vJ 9?2
вследств1е чего заключаемъ, что
2 Ш
-4
C62)
т. е. искомый моментъ (L,3f,N) слагается изъ двухъ: момента цен-
тростремительныхъ силъ, и некотораго момента, произвольной
величины, но параллельнаго моменту М. Если твердое т'Ьло вращается съ
переменною угловою скоростш около неподвижной оси, то А, [л, v бу-
дутъ очевидно слагающими момента силъ сопротивлешя, оказываема-
го осью вращающемуся телу.
4) Угловая скорость не должна изменять своей величины
сравнительно съ движешемъ по инерщи; т. е. должны быть £^=5'<2=oV= О,
или, по C48), 5со = 0. Следовательно, слагаюнця X, Мл N искомаго
момента силъ М определятся, на основаши C29), однимъ уравне-
шемъ:
pL q3I , rN
Н1 Н1 НЪ
Если направлеше М выберемъ параллельно М, то обозначая
величину искомаго момента, направленнаго такимъ образомъ, черезъ Mx,
получимъ: Мх = 0. Если будемъ искать моментъ, параллельный Д2М,
то его величина М2 опять определится по C33) равною нулю, если
только все моменты инерцш не равны между собою, или если ось
вращешя не совпадаешь съ одною изъ осей инерщи, когда М2
можетъ быть произвольной величины. Наконецъ, на основаши C34),

§ 50 Глава III. В) Кинетика твердаго тъла. 329
получимъ также, что М3 = 0, если только
1р та пг
-jj -\- jf + д- не равно нулю,
ибо въ послгЬднемъ случай М3 можетъ быть произвольной величины.
5) Не должно изменяться направлеше оси вращешя
сравнительно съ движетемъ по ииерщи. Въ такомъ случае очевидно,
$"р = &'q = оиг = 0. На основаны C46), C48) и C39), получаемъ:
S,rp L [pL , qM . rN\p ге.„,л
dt Щ \ii}H1 coi/2 соЛ3/ со
откуда также, какъ изъ C60), получаемъ:
2 ЧЖ 31
L=Q¥r M=Q~, N=$YV С365)
т. е. искомый моментъ можетъ быть произвольной величины Q, но
направленъ всегда параллельно М.
§ 50. Движете несвободна™ твердаго гЬла.
Обиця уравнешя движешя иесвободнаго твердаго тЬла, т. е.
зависимости ускорешй различныхъ его точекъ отъ приложенныхъ
силъ, получаются, на основаши принципа д'Аламбера (§ 30), изъ урав-
нешй равповгЬс1я иесвободнаго твердаго т^ла (§ 42), въ которыхъ
приложенный силы должны быть заменены потерянными силами.
При этомъ величины Хх, \... будутъ, также какъ и въ случае
равновЬс1я, представлять силы сопротивлетя, съ которыми
механизмы, огранпчиваннше свободу тЪла, дМствуютъ на это последнее.
Упомянутыя сопротивлешя, завися въ каждый моментъ движешя отъ
величины потерянныхъ силъ, будутъ изменяться во время движеьия
съ измЪнешемъ скоростей точекъ тЬла. Изсл^доваше свойствъ об-
щихъ уравнешй движешя иесвободнаго твердаго тЪла выходитъ изъ
границъ настоящаго изложешя, вслЪдств1е сложности математиче-
скаго анализа. Поэтому мы ограничимся излЪдовашемъ простМшаго
случая движешя твердаго тЪла около неподвижной оси.
Вращеше твердаго тЬла около неподвижной оси принадлежитъ
очевидно къ числу обращаемыхъ движешй (§ 32), при которыхъ
приращеше кинетической энергш измЪряетъ работу, произведенную

330 Глава III. В) Кинетика твердаго тъла. § 5')
приложенными силами. Если мы обозначимъ черезъ со угловую
скорость тЪла около его неподвижной оси, черезъ г—разстояше какой
либо его точки, съ массою т, отъ оси, черезъ г—ея скорость, то
кинетическая энерпя Т этого твердаго тЪла въ данный моментъ
времени выразится очевидно, какъ
Т= I Xmv1 = I со2йиг2, C66)
откуда, называя черезъ Н моментъ ннерщн тЪла около оси вращешя,
получаемъ:
Т=г,*со2#. C67)
Если для какого нибудь первоначальнаго момента времени мы
обозначимъ величины кинетической энергш и угловой скорости
черезъ Т0 п со0, то приращеше кинетической энергш, начиная отъ
уиомянутаго начальнаго времени до разсматриваемаго выше, будетъ
Г_Т0Ця(ш2--со02), C68)
и представить, на основанш § 33, работу приложенныхъ силъ въ те-
ченш соответствующего промежутка времени. Если разсматриваемый
промежутокъ времени будетъ безконечно малъ, то разности Т—Т0 и
со—w0 будутъ также безконечно малыми величинами, которыя мы
обозначимъ черезъ dT и <?ю. Въ такомъ случае ур. C68) будетъ
иметь бол^е простой видъ:
dT=\ Я (со -+- со0) dta = \ Н Bсо + сЫ) dio
или, такъ какъ г/со2 въ свою очередь безконечно мало въ сравне-
Л 2
Hin съ d(o (ибо отношеше -— = б7со безконечно мало):
dco
dT=Hb>d<a. C69)
Приращеше кинетической энергш C68), или C69), можетъ быть
обусловлено единственно тою слагающею частш момента приложенныхъ
силъ, которая направлена по оси вращешя, ибо, на основанш A03)
(§ 42), отсутств1е этой слагающей представляетъ единственное услов1е
равнов^я твердаго т^ла около неподвижной оси. Если мы обозначимъ
черезъ М величину момента приложенныхъ силъ, направленная по
оси вращешя, то coMffr будетъ, на основанш B65), работа, совер-

§ 50
Глава III. В) Кинетика твердаго тъла.
331
шеннаа упомянутыми силами во время dt, при безконечно маломъ
угловомъ перемещены согЙ; такъ какъ эта работа съ другой стороны
измеряется соответствующимъ ириращешемъ кинетической энергш,
то по C69):
tofiAdt = Ясойсо , C 70)
или
Nidt = Hd<*>. C70)'
Суммируя элементарныя работы по всЬмъ безконечно малымъ эле-
ментамъ времени, составляющимъ данный конечный промежутокъ
времени, для начала и конца котораго величины угловой скорости суть
со0 и со, мы получаемъ:
ScoMdtt = i/Scorfoi, C71)
или
EMrf* = Я2е7со , C71)'
и разыскивая суммы, какъ въ § 3, находимъ:
2coMd*= \н{ы1 - со02) , C72)
ШЛ = Н (со — со0). C72)'
Если величина момента М во все время движешя остается
неизменною, то сумма лЪвой части ур. C72)', берется непосредственно, и
мы получаемъ:
М* = #(со —w0),
C73)
со = со0 + ^*,
гдЬ время t считается отъ того момента, когда со — со0. Такое
равномерное приращеше угловой скорости имЪетъ напримеръ место,
когда приложенныя силы не измъняютъ ни своей величины, ни на-
правлешя относительно тела, какъ-бы следя за вращающимся теломъ
и въ пространстве направляясь последовательно различньшъ образомъ.
Изъ случаевъ изменяющейся величины момента М мы разберемъ
тотъ, когда взаимно параллельныя внешшя силы, будучи приложены
во время движешя тела къ однемъ и темъ-же его точкамъ, сохра-
ияютъ свою величину и направлеше въ пространстве, и изменяютъ
следовательно это направлеше по отношенш къ движущемуся телу.

332 Глава III. В) Кинетика твердаго тъла. § 50
Въ такомъ случае съ большею легкостпо можно вычислить для
каждой силы сумму левой части ур. C72). т.е. работу; ибо для силы,
приложенной къ одной и той-же точке и сохраняющей свою величину
и наиравлеше во время движешя этой последней, работа,
совершенная между двумя положешями движущейся точки, не зависнтъ отъ
формы пройденнаго пути (§ 35).
Некоторый изъ положешй твердаго тела вокругъ неподвижной
оси будутъ, при действш вышеопнсанныхъ снлъ, положешями рав-
новес1я; именно—те два положешя, при которыхъ неизменное
направление приложенныхъ силъ будетъ параллельно плоскости,
проходящей черезъ ось вращешя и центръ параллельныхъ силъ; при одномъ
изъ упомянутыхъ положешй направлеше равнодействующей будетъ
идти отъ центра параллельныхъ силъ къ оси, что будетъ
соответствовать неустойчивому равновесно; при другомъ положешй наиравлеше
равнодействующей будетъ отъ центра въ противоположную сторону
относительно оси, что обусловить устойчивое равновес1е. Если силы
будутъ параллельны оси, то при всякомъ положешй тела вокругъ
оси оно будетъ въ равнов*сш. При вращеши тела будетъ отлична
отъ нуля работа техъ соответствующихъ частей приложенныхъ силъ,
которыя направлены перпендикулярно къ осн. Выберемъ два
положешя тела, при которыхъ плоскость, проходящая черезъ ось и точку
приложешя равнодействующей, ооразуетъ съ плоскостш устоичиваго
равновесия соответственно углы а0 и а, и вычислимъ работу
приложенныхъ силъ между этими положешями, или равную ей работу равно-
tJ> действующей. Пусть плоскость рисунка (рис. 80)
/^\r^s будетъ перпендикулярна къ оси, следъ которой
,'/*jae\ пусть будетъ въ О; пусть ОС будетъ слъдъ
,' ' , \ плоскости' устоичиваго равновес1я, С, С, С" —
,' / | \ три положешя центра параллельныхъ силъ, и
F—величина части равнодействующей,
перпендикулярной къ оси и направленной всегда
параллельно ОС. Опуская изъ С" и О перпендикуляры
на 0G, легко видеть, что работа силы F, при
перемещенш центра силъ изъ С" въ С\ будетъ F.BD, или
F. BD = F{OB — OB) = Fr (cos a — cos а0) , C74)
°г
]
г
С'г
Fi
i ,В
\я
Рис. 80.
где г есть разстояше центра силъ отъ оси. Такъ какъ выражеше

« 50
Глава III. В) Кинетика твердаго тъла.
ззз
C74) опредЪляетъ лйвую часть ур. C72), то мы будемъ иметь:
со2 — со02 — —=r (cos a — cos а0) . C75)
откуда видимъ прежде всего, что если первоначальная скорость о>=0,
то cosa>cosa0 и а0 > а; т. е. тЪло будетъ двигаться къ положенш
устойчиваго равновЪпя, въ которомъ пр1обрЪтетъ наибольшую
угловую скорость
^"(l-cosoo); C76)
загЬмъ угловая скорость будетъ уменьшаться до нуля, при
отклонены на уголъ а—а0 въ другую сторону отъ ОС, откуда тЪло
повернется назадъ, и т. д. Такимъ образомъ, движете будетъ состоять въ
колебаны около положешя устойчиваго равнов^я, причемъ величина
угла колебашя—угловая амплитуда—будетъ равна 2а0.
Определить зависимость скорости отъ времени съ помощш простМшихъ
функцш мы можемъ только въ томъ случае, когда отклонеше гЬла
отъ положешя равнов^я очень мало, т. е. когда всякШ изъ угловъ
а настолько малъ, что мы можемъ принять разность между а и sin a
исчезающею въ сравнены съ обеими упомянутыми величинами, т. е.
положить:
OL ОС
sinazna и sin- — -. C77)
it U
Тогда зная, что
siir — =
cos a
и что следовательно по C77):
cosa^i — _ . C78)
мы получимъ изъ C75), полагая ш -= О:
И
Наибольшая скорость, при <х=0, будетъ
Fr
 = w«-a2). C379J
«о|/-
C80)

334
Глава III. В) Кинетика твердаго тъла.
§ 50
На некоторой прямой отложимъ длину АВ — *>а0, и на АВ, какъ на
д1аметре, построимъ окружность (рис. 81). Представимъ себе некоторую
точку, движущуюся по окружности
равномерно, со скоростпо сох. Тогда
скорость v ироложешя этой точки на Д1а-
метръ, будучи равна проложешю
скорости сох на тотъ-же д1аметръ, пред-
0 С В
Рис. 81.
ставится въ виде:
: w1 cos EDA = tox sin у
C81)
гд'Ь 9 есть уголъ между рад1уеомъ круга, проведеннымъ къ
движущейся точке, и д1аметромъ АВ. Но
sin о =
ЕС i/
VV
ОЕ *0
гд'Ь я = ОС. Такимъ образомъ, иолучимъ изъ C81):
V = СО
v*7~-
:/w-
а2)
Fr
Я'
C82)
C83)
Сравнивая это последнее выражеше съ C79), видимъ, что про-
ложете точки Е, находясь на разстояши а отъ центра О, имЬетъ
скорость, величина которой равна величин* угловой скорости раз-
сматриваемаго выше тела, при его отклонены на уголъ а отъ по-
ложешя устойчиваго равновес1я. Следовательно, если мы найдемъ
зависимость отъ времени угла 9 (рис. 81), то найдемъ искомую
зависимость отъ времени угловой скорости со, ибо, по численной величине,
со = г;. Но замечая, что дуга BE, проходимая точкою равномерно во
время t, равна со^, и припоминая величину а0 рад1уса этой дуги,
мы находимъ:
сох£
, = ^ = t.
ГЕт
У я'
C84)
вследетв!е чего
со
со,
-- сох sin — t,
C85)
откуда видимъ, что скорость черезъ определенные промежутки
времени будетъ принимать прежшя свои величины. Действительно, по
истечеши нЬкотораго промежутка времени т, после времени t, вели-

§ 50 Глава III. В) Кинетика твердаго тъла. 335
чина скорости будетъ очевидно:
to,
со' =г шх sin —- (t -f- ~),
и со' сделается равною w, если
Ш-А (* 4- т) --= ^ + 2тг, откуда ? = 2~ -^ =г, 2тт -|/ -^ . C86)
у;
V : ''-а0 ' -' "*"'л" со, 1/ Fr
Промежутокъ времени т, по истечеши котораго угловая скорость
колеблющагося около оси тела принимаетъ свою прежнюю величину
и прежшй знакъ, называется временемъ по л наго колебаьпя.
Очевидно, что въ теченш этого времени т'ёло, исходя изъ какого-либо
своего положешя вокругъ оси колебашя, поворачивается въ ту и другую
сторону всего на уголъ равный двойной угловой амплитуд*.
Вспомогательный уголъ ф C81), который носитъ назваше фазы колебашя,
изменяется при этомъ на 2тс. Кроме того черезъ иромежутокъ времени
— всякая скорость даннаго колебашя приметъ тоже свою прежнюю
jj
величину, но будетъ противоположна первоначальной по знаку. Этотъ
промежутокъ времени называется временемъ иростаго коле-
б а н i я. Очевидно, что во время простаго колебашя фаза изменяется
на полуокружность, т. е. it, а уголъ а—на угловую амплитуду, какъ это
легко видеть изъ рисунка (81). Выражеше C86) показываетъ, что
время колебашя не зависитъ въ данномъ случае отъ величины
размаха, если только эта последняя настолько мала, что синусъ ампли»
туды весьма мало разнится отъ угла амплитуды. Вводя величину т
въ уравнеше C85), мы получймъ, на основанш C86):
2т:ап . 2тс , -^^«^
со = ? sin — t. C87)
т т
Если параллельныя силы приложены къ каждой дзъ матер1аль-
ныхъ точекъ, составляющихъ данное тело, и если ускорешя этихъ
силъ одинаковы, какъ въ случае действ!я тяжести, то по § 42 B3У
введенныя выше величины F и г будутъ:
F^gXm, r =7= ^£, C88)
где // есть ускореше, г—разстояше центра тяжести тела отъ оси
и р—разстояше матер!альной точки т отъ той-же оси. Для такого

336
Глава III. В) Кинетика твердаго тълл.
§ 50
случая уравн. CSfi) обращается въ
т = 2тс ! / JF— ^ 2т: "■ / ^ - . C89)
у дтЪт у 9^Щ
Твердое тЪло, колеблющееся подъ д4йств1емъ тяжести около
неподвижной оси, носитъ назваше с лож наго маятника. Если мы пред-
ставимъ себ£ маятникъ въ видЪ одной матер!альной точки т,
находящейся на неизмЬнномъ разстояши / отъ неподвижной оси, то для
такого случая
Н — тР , г = ?, J7- w?# ^
и C90)
■=*/!
0
Такого рода маятникъ называется простымъ или математиче-
скимъ. Сравнивая C90) и C89), мы видимъ, что время колебания
сложнаго маятника тоже самое, что нЪкотораго простаго, длина котораго
l = ^l^JL. C91)
Imp r£m
Конецъ линш длины I C91), проходящей черезъ центръ инерщи
сложнаго маятника перпендикулярно къ оси, опредЪляетъ точку,
называемую центромъ качан1я, Если неподвижную ось перенесемъ
параллельно самой себЪ въ центръ качашя маятника, то время его
колебашя будетъ:
,1 = ,/^., C92)
У grjlm
гд-fe Нх есть моментъ гшерцш относительно новой оси, а гг—раз-
стояше отъ нея центра тяжести. Но очевидно, гг — 1 — г, и, на
основами B11):
Hi = (г —~г) 2^т + Н0 , Н=г*Ъп 4- Н0 ,
гдЪ Н0 есть моментъ инерщи около оси, проходящей параллельно
данной черезъ центръ тяжести. Следовательно:
Нг = [(? —?J —72] Ъп + Н= I G — 2г) Ъп + Н,
и по C91):
= l{l — 2r) Zm — ?r2w = ? A — г) Ъп ,

§ 50
Глава III. В) Кинетика твердаго тъла.
337
вследств1е чего ур. C92) даетъ:
т, = -,/ hLzl^ = 1А = т; Сз93)
f дA — г)Ят У д
т. е. время колебашя отъ упомянутаго перемЪщешя оси не
изменится, и новый центръ колебашя будетъ лежать на старой оси.
Вращеше твердаго тЬла съ угловою скоростт со около оси,
находящейся въ разстояиш V отъ центра инерщи, можно представить
себе, какъ вращеше со скорости) со около параллельной оси,
проходящей черезъ центръ инерщи, и вместе—какъ поступательное движете
по кругу рад1уса 7, со скоростт гсо (§ 13, F5-)). Если-бы твердое
тело было свободно, то упомянутое поступательное круговое
движете было-бы обусловлено силою, приложенною къ центру инерщи,
( ТО) I
направленною къ центру круга и равною --—Sm или по25Ж Со-
г
хранеше-же направлешя оси вращешя было-бы въ такомъ случае
обусловлено парою, моментъ которой былъ-бы перпендикуляренъ къ
оси и равенъ (§ 49 C57)) Mcosin(M5co). Въ случае существовашя
неподвижной оси теже самый сила и пара опредЬляютъ сопротивле-
Hie оси вращающемуся телу. Если ось параллельна одной изъ
главныхъ осей инерщи, то sin(M1co) = 0, и сопротивлеше выражается
одною центростремительною силою, приложенною къ центру инерщи;
если кроме того г = 0, т. е. ось проходитъ черезъ центръ инерщи,
то сопротивлеше равно нулю.
Плоскость упомянутой выше пары совпадаетъ, на основанш B92),
съ плоекостш, проходящею черезъ прямую, проведенную параллельно
оси черезъ центръ инерщи тела, и черезъ прямую, проведенную
черезъ центръ инерщи параллельно моменту количества движешя М.
Центростремительная сила при этомъ вообще не совпадаетъ съ
плоекостш пары, образуя съ нею некоторый уголъ ф, или съ ея момен-
томъ—уголъ 9 = -к — Ф- Углы 9 или ф легко определятся по дачнымъ
неизменнымъ положешямъ неподвижной оси и линш 7 относительно
главныхъ осей инерщи. Действительно, зная углы а, /3, у оси враще-
шя съ осями инерщи и величину главныхъ моментовъ инерщи, мы
опред'Ьлимъ изъ B91) или B91)' углы момента О съ этими осями,
т. е. углы момента нашей пары; а затЬмъ, зная эти углы и углы
22

338 ГЛАБА III. В) KililETHKA ТБЕРДАГО Т'ВЛА. § 50
лиши г съ тЬми-же осями, легко вычпслимъ коспнусъ угла 9- Найдя
уголъ о, мы разложимъ пару Q = "M<osin(M,co) на две: одну,
равную £lsin?, въ плоскости линш г и оси, и другую, О cos о — въ
плоскости перпендикулярной къ г. Первая пара, вместе съ силою
rio2Xm даетъ силу, равную и параллельную только-что упомянутой,
fltsino
и приложенную на разстоянш - - отъ центра инерцш. Мы
остановимся на случае, когда лишя /• лежитъ въ плоскости пары, т. е.
когда sin© = l. Въ такомъ случае сопротивлеше оси выразится,
если тело колеблется подъ дМств1емъ тяжести, силою
— Fr2Ym
ш2Ъп или по C79): --_~ - (>02 - а2), C94)
приложенною, какъ Еообще во всякомъ случае, на разстоянш
no2E»i
C95)
отъ центра инерцш. Но, на оенованш B91):
а = ы2и, C96)
гд*
U2 = cos23 cos2 у (Я, — Hzf + cos2 у cos2 a (Ha — Hrf
(oJ7)
-j- cos2 a cos2 p A^ — AT2J,
и при неизм'Ьнномъ положенш оси относительно осей инерцш не
изменяется. Следовательно:
0 = =Л- C98)
и не изменяется во время движешя.
—-ьж-ь-—
Разсмотримъ еще, въ виде примера, услов1я равновеЫя,
равномерно вращающагося маятника. Представимъ себе тяжелое твердое
тело, подвижное около горизонтальной оси, и вращающееся
равномерно около некоторой вертикальной оси, не совпадающей съ его
центромь тяжестя. Найдемъ соотношеше между угловою скоростш
и угломъ X, на который лишя, представляющая растояше г центра
тяжести отъ горизонтальной оси и при отсутствш вращешя
совпадающая съ вертикальною осью, отклонится отъ этой последней при

§ 51
Глава III. В) Кинетика твердаго тъла.
339
вращеши. Примемъ для простоты вычислешя, что горизонтальная
ось параллельна оси инерцш Къ, что ось инерцш Н2 совпадаетъ
съ литею 7, а ось инерцш Нг ей перпендикулярна. Тогда,
обозначая черезъ а, |3, у углы главныхъ осей инерщи съ вертикальною осью
вращешя, мы будемъ идгЬть, считая направлеше оси вращешя по
налравлешю тяжести:
cos я = sin X, cos |3 ==■. cos X , cosy"#,
вслЁдств^е чего и на основанш B91) заключаемъ, что направлеше
момента О будетъ параллельно горизонтальной оси и равно
(#! — Н2) to2 sin X cos X . C99)
Моментъ центростремительной силы центра инерц1и около той-же
горизонтальной оси, являкшцйся отъ вращешя около вертикальной оси,
будетъ очевидно
coV sin X cos X£m . D00)
Наконецъ, моментъ силы тяжести около горизонтальной оси будетъ
£rsinX£m, D01)
гдЪ д есть ycKopeHie тяжести. Легко видеть, что уголъ X будетъ
сохранять постоянную величину при постоянной угловой скорости со,
когда моментъ D01) будетъ равенъ суммЪ моментовъ D00) и C99),
т- е. когда
(Ях — Н2 + 72) со2 cos X = дг%т , D02)
что и представляетъ искомое услов1е.
Если въ начале вращешя лин!я г совпадаетъ съ осью
вращешя, то всЪ три момента, C99), D00), D01), суть нули, и при даль-
нЪйшемъ вращеши лишя г остается неотклоненною. Но этого
очевидно не будетъ въ общемъ случай, когда ни одна изъ главныхъ
осей инерщи не совпадаетъ съ лишею т.
§ 51. Ударъ свободныхъ абсолютно твердыхъ гЬлъ.
ИзмЪнеше движешя тЪлъ послй ихъ удара другъ о друга
должно очевидно обусловливаться только ихъ взаимною встречею, не
завися отъ дМств1я какой-либо посторонней силы. Поэтому, разсма-
тривая два или несколько соударяющихся свободныхъ тЪлъ, какъ

340 Глава III. В) Кинетика твердаго тъла. § 51
одну систему движущихся матер1альныхъ массъ, мы должны
прилагать къ этимъ тЬламъ все те заключешя. которыя были выведены
въ § 21—§ 24, § 31, § 35 относительно общихъ свойствъ движе-
шя свободной консервативной системы. Другими словами, мы должны
прШти къ заключенш, что какъ во время удара, такъ до и после
него, останутся неизменными ел'Ьдуннщя величины: 1)
геометрическая сумма количествъ движешй всёхъ матер1альныхъ точекъ
системы, или, что все равно, не изменится движете ея центра инерщи,
2) моментъ количества движешй, и 3) энерпя системы. Эта
неизменность будетъ вообще иметь место независимо отъ того, происхо-
дитъ-ли столкновеше абсолютно твердыхъ телъ, мягкихъ, упругихъ,
или наконецъ жидкихъ и газообразныхъ. Разница будетъ только
состоять въ способахъ вычислешя тЬхъ количествъ. которыя должны
оставаться неизменными: такъ, въ случае абсолютно твердыхъ телъ,
мы должны принимать во внимаше только скорости поступательныхъ
и вращательныхъ движешй, кроме которыхъ другихъ и быть не мо-
жетъ, по самому нашему определена таковыхъ телъ; въ другихъ
телахъ, кроме у помяну тыхъ скоростей, должны быть приняты въ
разсчетъ скорости различныхъ частей одного и того же тела
относительно другъ друга. Въ действительности конечно мы не имеемъ
дела съ абсолютно твердыми телами, когда наблюдаемъ столкновение
телъ, отличаемыхъ назвашемъ твердыхъ; но темъ не менее изсле-
доваше идеальнаго случая абсолютной твердости имеетъ физическое
значеше, какъ известное приближеше къ действительности, или какъ
разборъ существенныхъ чертъ явлешя, при чемъ второстепенный
качества предполагаются какъ-бы несуществующими. Подобное сообра-
жеше мы должны иметь въ виду при выводахъ всехъ нашихъ заклю-
чешй объ явлешяхъ природы, ибо вообще все устанавливаемые нами
законы природы суть наши идеальныя представлешя, относяпцяся
не ко всей совокупности наблюдешй и впечатлешй, а только къ
некоторому идеальному ихъ раепределенш.
Неизменность трехъ упомянутыхъ величинъ, характеризуя вообще
всякое действ1е взаимныхъ силъ между массами системы, не относится
следовательно только исключительно къ случаю ударовъ. Поэтому мы
должны разыскать еще спещальныя услов1я, которыя отличили-бы случай
ударовъ отъ общаго случая действия какихъ-либо взаимныхъ силъ.
Во первыхъ изъ самаго определешя удара слЬдуетъ, что измЬнеше
движешя, обусловливаемое имъ въ каждомъ изъ соударяющихся телъ,

§ 51 Глава III. В) Кинетика твердаго т-ьла. 341
происходитъ мгновенно въ моментъ соприкоеновешя. Следовательно
действ1е удара на каждое тело эквивалентно дМствш некотораго
импульса; величина и моментъ этого послйдняго определятся
очевидно приращешями величины и момента количествъ движешя
соответствующая тела. Во вторы хъ, такъ какъ упомянутые
импульсы должны обладать свойствами взаимныхъ силъ, то каждому
импульсу (или вообще каждой его части), приложенному къ одной
точке, долженъ соответствовать равный и противоположный,
приложенный къ другой точке. Въ третьи хъ, за точки приложешя им-
иульсовъ мы должны очевидно принять точки соприкоеновешя телъ
при ударе. Подъ соприкосновешемъ телъ въ данной точке, т. е. нодъ со-
ирикосновешемъ поверхностей ихъ ограничпвающихъ, подразумевается
совпадете въ упомянутой точке элементовъ той и другой поверхности.
Ударъ обусловливается сопротивлешемъ элемента одной поверхности
перемещенш элемента другой по нормали къ первому элементу,
направленной внутрь того тела, къ границе котораго этотъ элементъ
принадлежите Поэтому, въ четвертыхъ, мы должны предположить, что
ударные импульсы, проходя черезъ точки соприкоеновешя
соударяющихся телъ, направлены по внутреннимъ нормалямъ къ соответ-
ствующимъ поверхностямъ въ точкахъ соприкосновения.
Вышеприведенныя разеуждешя приложимъ къ случаю двухъ
твердыхъ телъ, соударяющихся въ одной точке. Обозначимъ черезъ
Ж —массу перваго тела,
Нг,Н2,Н3—величины главныхъ центральныхъ моментовъ инерцш,
U, t), го, —слагаюпця скорости центра тяжести по главнымъ цен-
тральнымъ осямъ инерцш непосредственно до удара.
р, q, г, —слагаюиия угловыя скорости по темъ-же осямъ до удара.
Ui, t)x, w1 —скорости центра тяжести после удара,
Рп ?и ri —угловыя скорости после удара,
J —величину ударнаго импульса, приложеннаго въ точке
соприкоеновешя и направленнаго по внутренной
нормали къ поверхности тела,
I м, п косинусы угловъ упомянутой нормали, а следовательно
и импульса, съ осями координатъ, т. е. съ главными
осями инерцш перваго тела,
• 5, ч, С —координаты точки соударешя относительно техъ-же осей.

342 Глава III. В) Кинетика твердаго тъла. § 51
ЗатЪмъ помня, что величины слагающихъ импульса по какимъ
либо направлешямъ измеряютъ приращеше слагающихъ по темъ-же
направлешямъ количества движешя, и что моменты импульса
соответственно измеряютъ приращеше моментовъ количествъ движешя,
мы будемъ иметь:
Л = Ж(НХ — u), Jrn = Ж(Г)Х — D) , Jn =-- М[уьг - то), D03)
J{ni'—nri) = H1(p1—p),
J{nl-l'4) = H%{qi-q), D04)
Соответствуюипя величины для втораго тела обозначимъ теми-же
буквами со значками наверху: Ж/, Н\р\,р' и т. д., при чемъ осями
координатъ будутъ главныя центральныя оси пнерщи втораго тела;
кроме того величина ударнаго импульса для втораго тела будетъ таже
J, что для перваго, но направленная въ противоположную сторону,
т. е. по внутренной нормали втораго тела, которая очевидно будетъ про-
должешемъ нормали перваго тела, н, по отношешю къ этому
последнему, будетъ внешнею. Такимъ образомъ мы получимъ для втораго тела:
Л^ЪГ (it/—U'), Jm]=W OV-D'), Jn'=M* (ТО/—ТО'), D05)
Jim'z'—n'rf) = Hl (р^—р1) ,
J'$' - ?'<;') = H2 (g/ - q?) , D06)
Уравнешл D03)—D06), не определяя еще вполне движешя после
удара, позволяютъ сделать несколько общихъ выводовъ. Предста-
вимъ себе некоторую прямую, перпендикулярную къ нормали {1,т,п)\
пусть л, 1ш, v будутъ косинусы угловъ этой лиши съ главными
осями инерщи перваго тела, а X', {*', v'—углы той-же лиши съ осями
инерщи втораго тела. Тогда по условш:
l\ + mix -f nv = 0 , Vk1 + m'j/.' -r wV = 0.
Умножая урр. D03) соответственно на X, jx, v и складывая, а урр.
D05)—на Xf, (jif, vf и тоже складывая, мы получимъ, помня выше-
упомянутыя услов1я перпендикулярности:
>.Сих — и)-+- (*tt>i — ■»>-Н v00,-10)= о,
откуда видимъ, что проложеше приращешя скорости центровъ инвр-

§ 51 Глава III. В) Кинетика твердаго тъла. 343
цш соударяющихся тЪлъ на лишю, перпендикулярную къ общей
нормали "и стало-быть параллельную къ общей касательной плоскости,
равно нулю; т. е. слаганшця поступательныхъ скоростей, параллель-
ныя общей касательной плоскости, отъ удара не меняются;
следовательно, ударъ изменяетъ только скорости центровъ инерцш,
перпендикулярный къ упомянутой касательной плоскости.
Если нормаль въ точке касашя проходитъ черезъ центръ
инерцш ударяющагося тела, положимъ перваго, то очевидно:
-§ = 1 = 1,
I m n
вследств1е чего левыя части урр. D04) обращаются въ нули, и
мы им'Ьемъ:
Pi=P> ?i = 2, гг~г\
т. е. въ такомъ случае угловая скорость ударяющагося тела не
изменяется отъ удара. Тоже самое скажемъ и о второмъ теле. Въ
однородном^ шаре всякая нормаль направлена къ центру инерцш;
следовательно, при ударе однородныхъ шаровъ другъ о друга или о
друпя тела меняются только скорости ихъ центровъ, а вращешя
остаются неизменными.
Умножая урр. D04) соответственно на /, ш, п и складывая, а
урр. D06)—на 1\ т\ п\ мы получимъ:
Щ (рг -р) + тН2 {qx - q) -|- пН3 (гг — г)=--0 ,
D07)'
VHJ QV-JP') +т'Н№-2') +п<Н^-г<) = 0 ,
откуда заключаемъ, что моменты количества движешя, зависяпце отъ
вращательнаго движешя и прибавляюппеся после удара къ соответ-
ственнымъ моментамъ того и другаго тела, параллельны общей
касательной плоскости въ точке соприкосновешя.
Приведенныя выше двенадцать уравнетй, D03)—D06), содер-
жатъ тринадцать неизвестныхъ: цх, Иц хог, рг, д_г, гг, иг!, ъг\ го/,
Pi, 2i, ri, J, Для определешя которыхъ мы должны прибавить
тринадцатое уравнеше, выражающее неизменность инерпи *), т.
е.—одной только кинетической энерпи, ибо потенщальная энерпя для
твердыхъ телъ, не действующихъ другъ на друга во все время
движешя, равна по § 45 нулю. Припоминая выражеше кинетической
*) Неизменность количества движешя обоихъ тт>лъ и момента выражается,
какъ легко видеть, предыдущими уравнешями.
•

344 Глава III. В) Кинетика твердаго тъла. § 51
энерпи твердаго тЪла B25) и полагая приращеше кинетической
энерпи обоихъ гЬлъ равнымъ нулю, мы получаемъ:
| Ж {AЦ2 — u2) -f {\>г2 — tJ) + (™i2 — га2)}
+ \ #i {Рг2 ~ P2) + \H2 W - q>) + 1 #3 Gl2 _ r2) D08)
1
2
-Г J Jf' JU/2 — U'2) + (fl/2 — t)'2) + (П)/2 — ID'2)
-г ^ Я/ (A'a -iV2) 4- ~ HJ Bl'a - <z'2) + |я8' (г/2 - r'2) - 0.
Уравнению D08) можно дать еще другой видъ, выражая на
основами A21)г (§ 33) приращеше кинетической энерпи съ помощш
работы импульса. Такъ какъ импульсъ J приложенъ къ одной точкЬ,
то суммоваше въ ур. A21)г должно быть опущено. Называя че-
резъ ti, v, w, их, vx, wx слагаклщя скорости до и посл'Ь удара
точки соприкосновешя перваго тЪла и черезъ тЪже буквы со значками—
скорости точки соприкосновешя втораго тЪла, мы будемъ имЪть,
определивши по A21)' работы импульса J, дМствующаго на первое
тело, и такого-же импульса </, дМствующаго на второе т^ло:
V 2 2 2 J '
D09)
или такъ какъ на оенованш A98) (§ 45):
Ы — U + ГГ\ 2^ , И Т. П.,
«1=^+^4—д^, и т. п.,
гг1 = U'+/"'V—2'С') п т- п-'
то уравнеше D09) можетъ быть представлено въ видъ\
4ui '+ " + Ч Oi + *•) - С («1 + ?)]
-4- »»[ог + о + С 0>i -+-20 — 5 (г, -I- г)]
-т- п[Щ + W + \ (дг + q)~ri {ih +p)\ D10)
-t- г' [v+u'+7-/OV4- г-) - с' Bl' +г')]
т-от» [о/ + »' + c'GV+У) - ? (*7 ■+ г')]
+ п< [щ'+ то'+ 5'toi'+ з') - 4'QV+p')] = о *) •
*) Уравнеюя D09) и D10) можно непосредственно получить изъ D08), на
, оенованш урр. D03)—D06).

5 51 Глава III. А) Кинетика твердаго тъла. 345
Обозначая черезъ Ve F,, для перваго т'Ьла до и после удара,
проложешя скорости точки соирикосновешя на направлеше нормали
къ поверхности тела въ той-же точке, а черезъ VJ и Уг!—подоб-
ныя-же скорости по тому-же самому направленш для втораго тела, мы
будемъ иметь:
lu -|- mv 4- пго = z±iV
1,и,-\-т,и,-{-п,1€,— ~У1 и. т. д.,
вследств1е чего ур. D10) дастъ:
F-F = -(F1-F1'), D11)
откуда видимъ, что относительная скорость точекъ соприкосновешя
по нормали сохраняетъ свою величину после удара, но меняетъ при
этомъ свой знакъ.
Если соударяннщяся матер1альныя системы не обладаютъ
свойствами абсолютно твердыхъ тЬлъ, т. е. не представляются
неизменяемыми, то вообще всё вышеприведенныя уравнешя перестаютъ
иметь значеше, ибо ими не будутъ уже выражаться законы сохранешя
количества движешя, его момента и сохранешя энергш; а движешя си-
стемъ не будутъ состоять только изъ поступательныхъ и вращатель-
ныхъ. Въ частныхъ случаяхъ однако некоторыя изъ прежнихъ урав-
нешй могутъ сохранять свои значешя.
Урр. D03) и соответственно D05) всегда будутъ иметь
значеше, если иодъ скоростями u, uf и т. д. мы будемъ подразумевать
строго скорости центра инерцш, а не той матер1альной точки,
которая совпадала центромъ инерцш системы до удара. Оба упомяну-
тыя понят1я однозначны въ случае неизменяемой системы, когда
центръ инерщи не измЬняетъ своего положешя относительно различ-
ныхъ частей системы, но делаются различными, когда части системы
подвижны. Однако можетъ случиться, что после перемещенШ, выз-
ванныхъ ударомъ, центръ инерщи претерпевшей ударъ системы не
изменитъ своего положешя относительно ея частей. Тогда урр. D03)
и D05) будутъ иметь силу въ томъ-же значенш, какъ для твердаго
тела; т. е. скорости u, t), и т. д. будутъ относиться къ одной и
той-же матер1альной точке системы до и после удара.
Подобнымъ-же образомъ урр. D04) и D06) только тогда
могутъ быть применены къ теламъ, деформирующимся при ударе, когда

34fi Глава III. В) Кинетика твердаго тъла. § 51
моментъ количествъ движенш, обусловливаемый всякими другими пе-
ренгЬщешями частей телъ, кроме поступательныхъ и вращательныхъ,
для каждаго тела определится равнымъ нулю до и после удара.
Что касается до уравнешя D08), то оно ни въ какомъ
случае не выразитъ неизменность энергш, если только после удара бу-
дутъ иметь место иныя новыя движешя, сверхъ поступательныхъ п
вращательныхъ, ибо величина кинетической энергш этихъ движешй,
выражаясь суммою существенно положительиыхъ членовъ, можетъ
быть равна нулю и не иметь вл!яшя въ ур. D08), только когда
каждый членъ суммы равенъ нулю, т. е. когда каждая изъ лишнихъ
скоростей каждой точки равна нулю. Птакъ, чтобы вычислить
действительный величины кинетической энергш до и после удара,
нужно знать скорости частей ударяющихся телъ относительно другъ
друга для каждаго тела. Но вычислить уиомянутыя относнтельныя
скорости мы можемъ только тогда, когда намъ известенъ вполне
механизмъ скрЬплешя частей даннаго тела другъ съ другомъ, что
не всегда имеетъ место. Темъ не менее на основаши нЬкоторыхъ
опытовъ мы можемъ сделать заключеше, если не о механизме
строешя ударяющихся телъ, то о соотношенш между величинами
ихъ видимой кинетической энергш до и после удара. Именно, еще
Ньютонъ наблюдалъ изменеше скоростей при ударе тЬлъ
неабсолютной твердости, и нашелъ, что относительный скорости шаровъ изъ
различнаго матер1ала при центральномъ ударе не остаются одне и
теже по велрГчине до и после удара, но для шаровъ изъ одного и
того-же матер1ала сохраняютъ однако другъ къ другу постоянное от-
ношеше. Позднейгшя наблюдешя подтвердили это заключеше Ньютона:
такъ, для шаровъ изъ прессованой шерсти уменынсше величины
относительной скорости после удара найдено въ д- разъ, для железа—
почти тоже самое, для стекла—въ jg разъ. Перенося упомянутое
опытное заключеше на относительный скорости по нормалямъ точекъ
соприкосновешя ударяющихся телъ, и называя черезъ е коаффищентъ
уменыНешя этой скорости (к о еффиц i e нтъ воз стаи о в л ен1 я),
при чемъ всегда е<1, мы можемъ заменить для случая
неабсолютно твердыхъ телъ ур. D11) слЬдующимъ:
e{J- Р) = -(Г1- Г,'), D12)
вследств1е чего урр. D09) и D10) должны быть изменены, и все
величины, который въ нихъ относятся ко времени до удара, должны

§51 Глава III. В) Кинетика твердаго тъла. 347
быть помножены на е; т. е. величины: u, t).. ,рл q ... и1, и'... р\ q' и
т. д. должны быть заменены черезъ: ей, еъ. г. ер, eq... и т. д.
Если е=0, т. е. если слагаюппя скорости точекъ соприкосновешя
по общей нормали делаются после удара одинаковыми, то тела
называются абсолютно мягкими. Предположимъ, что два мягюя тела,
столкнувшись, изменили свои прежшя поступательныя и угловыя
скорости и .. .р ... и'.. .р]... на скорости иг.. .рг... их'.. .р^...;
тогда, какъ выше сказано, соотношешя между скоростями до и
после удара определяются урр. D03)—D06), и кроме того—следую-
щимъ уравнешемъ, которое получается введешемъ въ ур. D10)
множителя е = О:
*04 + г/гг — Их) + т 0>г + U?i ~ Ь\)
+ п (»! + %дг — rpj
4- V (П^г^-^г) + «wr(A'-C V -&гх0 D13)
+ nl(T01l^q1t—'/ilp1t)=0.
Изъ тринадцати урр. D03)—D06), D13) определится, кроме
двенадцати величинъ, относящихся къ скоростямъ, еще величина
импульса J. Найдя эту последнюю величину, предположимъ, что на каждое
изъ ударившихся телъ непосредственно после мягкаго удара подей-
ствовалъ импульсъ eJ, приложенный къ ихъ соприкасающимся точкамъ
также, какъ прежде J. ВслЪдств1е такого импульса скорости иг.. ,рг...
ui'- - - JPif обратятся въ и2. .р2... и2.. .р2. .., при чемъ, такъ какъ
величины и моментъ импульса измеряютъ величину и моментъ при-
ращешя количества двпжешя, мы будемъ иметь следующ1я соотношешя
между величинами г и 2:
еЛ = М(\Х2 — UJ , eJm = Ж"(tJ — DJ , eJn = М(Х02 —■ TDx),
e/(m<;—wij) = Ях{p2—pj ,
^D-?0-Я2(д2-^), D14)
Ce7f fy —m£) = Я3 (V2 — гг),
и подобныя-же уравнешя для другаго тела. Складывая урр. D14) и
имъ подобныя съ соответствующими урр. D03)—D06), мы находимъ:
A +e)J7= Ж(Ц2 — u), (l + e)Jm = M(tJ — Х>),
A + О Л* = Ж(ш2 — пз),
A + е)Л (m;— wij) ~ Я2 (р2 —j)) ,
A + е) Jm(ti\ - 10 = #2 (?a ~ ?) > D15)
A + е) J;? (?7j —m£) — #3 (r2 — r) ,

348 Глава 111. В) Кинетика твердаго тъла. § 51
и подобныя-же уравнешя для втораго тЪла. КромЬ того изъ гЬхъ-
же урр. D14), D03)—D06) мы находимъ, что
efUl—u)=u2—их, в(^ —t))=tJ—1I? .(tv-n))--^-^,
D1Ь)
е (рг-р) =Р2—Р1, « (?! — 2) = ?2 —2i , e (ri — r)=r2 — ri i
и подобныя-же уравнешя для втораго гбла. Изъ урр. D16) и имъ
подобныхъ мы получаемъ, на основаши ур. D13), изъ котораго
исключили» всЬ величины со значками х внизу:
I [U2 -\- e\X -Mf] (r2 -|- ег) — £ (#2 -н е(/1]
- m [D2 + efl + £ (р2 -г ер) — ; (>2 -г erj]
-т- «L^n-wTO+SC^-hc^-T^i^-T-ep)] D17)
-г V[Ua'+ ell' + 7]' (r2' + ег') - :' W2' ~ *2')]
— ш [t>2' + et)f 4- £' 02' 4- ^') — <;' (г2' -г er'j]
-г л' [ГС2' + еШ' -г 5' (<Z2f + egO - г/ QV+^O] = О.
Уравнеше D17) есть ничто иное, какъ услов1е D12), въ кото-
ромъ состоян1ю тЪлъ поел* удара соответствуем теперь состояше
после втораго импульса eJ. Другими словами, если-бы разематри-
ваемыя тела не были абсолютно мягкими, то после удара другъ о
друга они пр1обрЬли-бы ташя-же скорости, каюя они пршбретаютъ,
будучи абсолютно мягкими, отъ совместнаго действ1я удара и доба-
вочнаго импульса eJ. Такимъ образомъ, действ1е удара при столкно-
венш неабсолютно твердыхъ телъ мы можемъ представить себе
распадающимся на два безконечно малые, непосредственно другъ за
другомъ следующие першды: въ первомъ пер1одЬ тела сдавливаютъ
другъ друга съ силою импульса J\ при этомъ очевидно они
деформируются, и относительная скорость* ихъ точекъ соприкосновешя
уменьшается до нуля; въ результате пршбретается ими такое движете
(или импульсъ къ такому движешю), какъ будто-бы они были
абсолютно мягкими; но это пршбретенное движеше не остается за ними,
а тотчасъ-же меняется во второмъ першде удара, когда тела,
возвращаясь къ своему прежнему виду подъ дМств1емъ упругихъ силъ,
вызванныхъ деформащею, продолжаютъ давить другъ на друга съ
силою меныпаго импульса eJ, при чемъ относительная скорость ихъ
точекъ соприкосновешя продолжаетъ убывать, принимая значешя
менышя нуля, т. е. иначе—возрастаетъ, переменивши знакъ; это
измените скорости продолжается до тЬхъ поръ, пока она не приметъ

§ 51
Глава III. В) Кинетика твердаго тъла.
349
величину е-кратную первоначальной скорости, но съ обратнымъ зна-
комъ. Въ частномъ случае когда е = 1, тЪла давятъ другъ на
друга также во второмъ першдЪ удара, какъ и въ первомъ, и ихъ
точки соприкосновения пршбрЪтаготъ наконецъ первоначальную
относительную скорость, но только съ обратнымъ знакомъ. Так1я тЪла
называются абсолютно у пру г ими и результатъ ихъ соударешя
очевидно тотъ-же, какъ и абсолютно твердыхъ тЪлъ. Абсолютно упру-
Г1Я тЪла хотя и деформируются во время удара; но какъ до него,
такъ и после, точки ихъ не отличаются никакими иными
скоростями кромЪ такихъ, кагпя свойственны абсолютно твердымъ тЪламъ;
отсюда и тождество послЪдствШ удара. Вообще как1я-бы ни
сталкивались системы и какими-бы скоростями ихъ матер1альныя точки не
обладали, результатъ ихъ столкновешя будетъ очевидно тотъ-же
самый, какъ абсолютно твердыхъ тЪлъ, если при ударЪ не изменится
относительное движете точекъ каждаго тЪла отдельно, и ударный
импульсъ будетъ имЪть вл1яше только на поступатёльныя и вращатель-
ныя движешя *). Въ иныхъ случаяхъ упомянутыя внутреншя дви-
жешя подлежатъ вычисленщ и измЁренпо, какъ напримЪръ, при от-
носительномъ перемЪщенш частей упругихъ или жидкихъ тЪлъ; въ
другихъ случаяхъ не представляется достаточно данныхъ для ихъ
опредЪлешя; но тЪмъ не менЪе и тогда ихъ существоваше не подле-
житъ сомнЪшю, если коеффищентъ е при ударЪ отличенъ отъ единицы,
ибо въ такомъ случае существующая убыль кинетической энерпи
видимаго движешя должна по закону сохранешя энерпи пополниться
или кинетическою энерпею новаго какого-либо движешя, положимъ
для насъ непосредственно и незам'Ьтнаго, или приращешемъ
потенциальной энерпи, которое опять впосл1>дствш можетъ превратиться
въ кинетическую энерпею. Наблюдая, что при ударЪ неабсолютно
твердыхъ и упругихъ тЪлъ убыль кинетической энерпи видимаго
движешя всегда сопровождается ихъ нагрЪвашемъ, и притомъ—всег-
*) Некоторые авторы., какъ Poisson и Poiiisot^ допуская возможность
сохранешя абсолютной величины относительной скорости точекъ соприкосновешя
только при ударь1 абсолютно упругихъ тълъ, считаютъ вопросъ объ удартз
абсолютно твердыхъ т'Ьлъ неопределенным^ ибо не обращаютъ внимашя на
необходимость приложешя къ этому случаю закона сохранешя энергпь Пока настоящее
сочинеьпе приготовлялось къ печати., въ К1евскихъ Унив. Извъст1яхъ (№ 1, № 3,
1883 г.) появились статьи Ф. и Н. Мацонъ^ въ которыхъ высказываются тт^же,
несколько отличные отъ общепринятых^ взгляды на ударъ абсолютно твердыхъ
тълъ, какъ и въ настоящемъ параграфе.

350 Глава Ш. В) Кинетика твердаго тъла, § 51
да въ опредЪленноиъ отношенш къ убыли энерпи, мы приходимъ
къ заключетю объ зквиваленцш тепла и энергш, къ представлешю
о тепловомъ состояши, какъ о соетоянш движешя, о чемъ будемъ
иметь случай при дальнейшемъ изложении говорить подробнее.
-—ьж-ь-—
Ударъ твердаго тела объ абсолютно неподвижную поверхность
представляетъ частный случай удара двухъ твердыхъ гЬлъ.
Действительно, мы можемъ представить себе данную неподвижную
поверхность, какъ границу некотораго твердаго тела безконечно большой
массы, которое до удара находится въ покое и съ которымъ
сталкивается другое тело конечной массы. Къ такому случаю будутъ при-
ложимы урр. D03)—D06), въ которыхъ должно массу одного изъ
тЬлъ, положимъ втораго, и следовательно его моменты инерщи
принять безконечно большими. Но размеры втораго тела нетъ
надобности при зтомъ предполагать безконечными. Такъ какъ первое тело
конечной массы получаетъ по предположен^ конечный изменешя
своей скорости, то величины импульса J и его момента должны
остаться конечными. Следовательно, деля правыя и левыя части урр.
D05), D06) соответственно на безконечно болышя величины М\
Н±, Н2\ HJ, мы получимъ въ лЪвыхъ частяхъ безконечно малыя
величины, и прШдемъ къ заключенш, что
их' — u' = xv — t)' = га/ — га' =р^ — р! = gV — q' = гг' — г1 = о,
т. е. что, второе тело не изменитъ своего движешя, и останется
въ покое после удара, если было въ таковомъ до удара.
Следовательно, если масса одцого изъ сталкивающихся телъ безконечно
велика, то это тело, будучи неподвижно, производитъ во время удара
действ1е неизменяемой преграды. Такимъ образомъ, въ случае удара
твердаго тела о неподвижную поверхность семь подлежащихъ
определен^ величинъ: ux, юи га^ рг, q^ гг, J", найдутся изъ шести урр.
D03) и D04), къ которымъ должно быть присоединено еще ур.
D11), обращающееся при данномъ случае, когда F,= F1'=0, въ
7=-V1
или D18)
Ци-г hJ -f- т (о -р иг) -+- п (го + wx) = О ,
откуда видимъ, что скорость точки соприкосновешя,
перпендикулярная къ неподвижной поверхности, после удара изменяетъ свое на-

§ 51
Глава III. В) Кинетика твердаго тъла.
351
правлеше въ прямо противоположное, сохраняя прежнюю абсолютную
величину.
Пусть 88 будетъ слЪдъ элемента поверхности, о который
ударяется т'Ьло (рис. 82), АВ—направлеше и величина скорости точки
соприкосновешя. Разлагая эту скорость на двЪ: нормальную AN и
тангенщальную AT, и замечая, что по ур. D18)
первая изменится поел* удара въ прямо
противоположную и равную ANX, а вторая останется
прежнею, мы получимъ величину и направлеше
скорости точки соприкосновешя поел* удара,
представленную лшией АВг, лежащею въ одной
плоскости съ нормалью NXN, при чемъ уголъ
N1ABl равенъ углу NAB.
ис* 2* Если нормаль въ точкЪ касашя проходитъ
черезъ центръ инерцш ударяющагося тЪла, то уравн. D18) имЪетъ
также место и для скорости центра инерцш, которая представляетъ
собою въ тоже время поступательную скорость точекъ тЬла.
Следовательно, въ такомъ случае мы приходимъ тоже къ заключенш,
что поступательный скорости до и послЪ удара будутъ лежать въ
одной плоскости съ нормалью и образовать равные углы съ обоими
противоположными другъ другу направлешями по этой последней.
Плоскости, въ которыхъ лежатъ скорости до и послЪ удара, и
нормаль, называются плоскостями паден1я и отражен!я;
соответственные углы съ нормалью—углами паден1я и отражен!я.
Итакъ, для точки соприкосновен1я всегда плоскости
паден1я и отражен1я совпадаютъ другъ съ другомъ, а
углы п а д е н i я и отражен1я равны другъ другу. Для по-
ступательныхъ скоростей тотъ-же самый законъ будетъ нмЬть мЪсто,
только когда нормаль проходитъ черезъ центръ инерцш; но при этомъ
плоскость отражешя поступательной скорости вообще конечно не
совпадетъ съ плоскостщ отражешя скорости точки касашя.
Въ случае неабсолютно упругаго тЪла ~ANX = e'AN (рис. 82);
но такъ какъ все таки N~B[ = ЖВ, то
^NAB NBm ВД_1. um
tgN.AB^NA ' NXA — e ' y }
т. е. въ такомъ случае плоскости падешя и отражешя совпадаютъ,
и тангенсы угловъ падешя и отражешя находятся въ постоянномъ
отношены.

352 Глава III. В) Кинетика твердаго тъла. § 51
Наконецъ легко видеть, что при ударе абсолютно твердаго те-
ла о неизменную поверхность его кинетическая энерпя не
изменяется, ибо работа импульса J равна нулю, какъ это видно изъ вто-
раго ур. D18), котораго левая часть, умноженная на ^ ^ предста-
вляетъ работу импульса. Величина геометрической суммы количествъ
движешя и ихъ моментъ очевидно въ данномъ случае получаютъ
приращешя, слагаюиця которыхъ и определяются непосредственно
уравнешями D03), D04). Наоборотъ урр. D03), D04), D18) мо-
гутъ быть выведены непосредственно, независимо отъ решешя
вопроса объ ударе двухъ телъ, если мы обратимъ внимаше на то, что
неизменная поверхность должна представлять сопротивлеше всякой
силе действующей къ ней перпендикулярно, и что ударъ не изменяетъ
энерпю системы.
Для примера вычислимъ скорости после удара въ томъ случае,
когда нормаль въ точке соприкосновешя двухъ соударяющихся телъ
проходитъ черезъ ихъ центры инерцш. Выберемъ координаты такъ,
чтобы одна изъ осей, положимъ ось ж-овъ, совпадала съ нормалью
въ точке соприкосновешя. Эти оси вообще не будутъ параллельны
главнымъ центральнымъ осямъ инерцш того или другаго тела; но
въ случае однородныхъ шаровъ, такая параллельность будетъ всегда
иметь место, ибо для однороднаго шара моменты инерцш одинаковы
относительно всехъ осей проходящихъ черезъ его центръ. Кроме
того пусть обе системы координатъ, къ которымъ относятся урр.
D03)—D06), будутъ параллельны другъ другу, и ось х-тъ одной
системы служитъ продолжешемъ той-же оси другой. Въ такомъ
случае мы должны въ упомянутыхъ уравнешяхъ принять:
Z —1, т = п — т' — п! — О , ?' — — !, т,= £ = т/ = *' = О ,
вследств!е чего получаемъ:
х>г - г> = Щ — га =t.2j — р = 2 _ 2 = гг — г = 0,
D20)
' V1,— Vf=X0l,— XD'=i>1,—2>'=q1'—4=^—^=0,
т. е. известный уже результата, что угловыя скорости и поступа-
тельныя скорости, перпендикулярныя къ нормали, не изменяются уда-
ромъ. Кроме того первыя изъ урр. D03) и D05) дадутъ:
M{\XX — U) = — № (U/ — Uf) , D21)

§ 51
Глава III. В) Кинетика твердаго тъла.
353
а ур. D12) дастъ:
е (U — U') = -- (U2 — U/) . D22)
Изъ этихъ двухъ уравнешй получаемъ:
D23)
,_ ЛГи' + ЛГи —eJf(U; — U)
Если М=М\ и в = 1, то
U1 = U', 11/ = U; D24)
т. е. тела обмениваются своими скоростями.
Полныя результируюнця скорости поел* удара мы найдемъ,
складывая найденныя въ урр. D23) съ оставшимися неизменными
скоростями t), пз,для одного тела, иг)', хо\ для другаго.
Обратимся теперь къ случаю, когда сталкиваются несколько
гЬлъ, при чемъ каждыя два тела ударяются другъ о друга вообще
несколькими точками. Тогда на каждое изъ телъ будетъ действовать
во время удара столько различныхъ импульсовъ., сколько есть
точекъ, которыми это тело соприкасается съ другими. Число
различныхъ импульсовъ, действующихъ на все тела, будетъ равно
удвоенному числу всЬхъ общихъ точекъ сопрпкосновешя, при чемъ эти
импульсы будутъ попарно равны и противоположны другъ другу,
направляясь по нормалямъ въ точкахъ сопрпкосновешя. Такимъ обра-
зомъ, выбирая для каждаго тела оси координатъ по главнымъ цен-
тральнымъ осямъ инерцш, мы будемъ прежде всего иметь для
каждаго тЬла следую1щя уравнешя, подобныя D03) и D04):
2J7 = lf(u1 —it), Ыт-^-М^ — Ъ), ип^--М{Щ—Хд) D25)
Ъ1{пц—щ ) = Нг (р1 —р) ,
^J(nl-li:) = H2(q1~q), D26)
2?7Gт) - - т%) = Н3 (г1 ~ г),
при чемъ суммы берутся по различнымъ точкамъ соприкосновешя
тела съ другими телами, и, для каждаго члена суммы, будутъ
соответственно различны величины импульсовъ, координатъ точки сопри-
23

354
Глава III. В) Кинетика твердаго т-вла.
§ Ы
косновешя и косинусовъ угловъ нормали съ осями координатъ. Въ
каждую изъ такихъ системъ шести уравнеюй, кроме шести соотвЬт-
ствующихъ неизвестныхъ ur vv m1 pt, qx, гг, войдутъ еще
неизвестные импульсы, которые останутся во вс/Ьхъ спстемахъ уравнешй
неопределенными, и могутъ быть произвольными, въ числе, равномъ
количеству общихъ точекъ соприкосновенш соударяющихся ' другъ
съ другомъ телъ. Но на основанш закона сохранешя энерпи
работа всехъ импульсовъ должна быть равна нулю, ибо импульсы, ка-
кой-бы величины они ни были, попарно равны и противоположны
другъ другу; поэтому мы будемъ иметь еще уелов1е, подобное D09):
j[l {их + и) + V « + w') + w {vx -{- v) -f m) « -f v])
-f n (wx + w) + n] (w/ + w)} = 0 , ,427-^
или
2,7G-P+^-F/)-^
где каждый членъ суммы относится къ соответствующей точке со-
прикосновешя двухъ телъ. Для различныхъ точекъ соприкосноветя
величины, входя1ЩЯ подъ знакъ суммы въ левой части ур. D27),
будутъ вообще различны независимо отъ того, принадлежатъ-ли различ-
ныя точки соирикосновешя, къ которымъ эти члены относятся, одной
и той-же паре телъ, или разнымъ парамъ. Такъ какъ услов1е D27)
должно удовлетворяться, камя-бы ни были величины различныхъ
импульсовъ, то мы заключаемъ, что множители при различныхъ про-
извольныхъ пока величинахъ J должны независимо другъ отъ друга
обращаться въ нули, вследств1е чего получаемъ рядъ уравнешй вида
Г— VI = ~{V1- F,'), D28)
число которыхъ будетъ равно числу точекъ соприкосновешя, т. е.
числу оставшихся неопределенными величинъ импульсовъ. Такимъ об-
разомъ, системы уравненШ, вида D25), D26), D28), определятъ все
неизвестныя величины, необходимый для решетя разбираемаго
вопроса.
Къ тому-же результату мы пр1йдемъ, если примемъ, что все
удары совершаются не одновременно, но въ безконечно быстрой
последовательности, одинъ за другимъ, черезъ безконечно малые про-
метутки времени. Такъ, мы предположимъ, что первое тело
сперва ударяется одною своею точкою объ одно тело; затемъ дру-
1

§ 51 Глава III. В) Кинетика ^вердаго тъла. 355
гою—о другое тело, или о тоже самое; затемъ последовательно
объ остальныя; наконецъ, можетъ быть снова несколько разъ—о тЪ-
же самыя тела, въ прежнемъ или иномъ какомъ порядке, и такъ
далее; тоже самое относительно другихъ телъ до тЪхъ поръ, пока они
пршбретутъ окончательныя скорости, обусловливаюцця разъединеше
соприкасавшихся элементовъ. Въ такомъ случае очевидно, каждый
изъ импульсовъ J будетъ слагаться изъ определенна™ числа мень-
шихъ импульсовъ но тому-же самому направлешю, и въ наши урав-
нешя войдетъ такое-же число отдельныхъ неизвестныхъ суммъ,
сколько прежде было неизвестныхъ импульсовъ J\ но очевидно
также, что ни одно изъ отдельныхъ слагаемыхъ каждой суммы не явится
въ упомянутыхъ уравйешяхъ множителемъ или дълителемъ врознь
отъ другихъ слагаемыхъ той-же суммы; следовательно, введешемъ
ббльшаго числа последовательныхъ импульсовъ число неизвестныхъ,
подлежащихъ исключешю изъ нашихъ уравнсшй для определешя
искомыхъ окончательныхъ скоростей, не увеличится, ибо
исключаться будутъ не отдельные вновь введенные импульсы, но ихъ суммы,
въ числе равномъ количеству общихъ точекъ соприкосновешя.
Для примера представимъ себе рядъ телъ, центры инерщи ко-
торыхъ расположены на одной прямой, и притомъ такъ, что эта
прямая совпадаетъ со всеми нормалями въ точкахъ соприкосновешя
упомянутыхъ телъ. Пусть два крайшя тела ряда обладаютъ
поступательными скоростями и и u(n); а промежуточныя п—1 телъ до
удара находятся въ покое, или вообще обладаютъ поступательными
скоростями, перпендикулярными къ общей нормали, и угловыми
скоростями, при чемъ скорости того и другаго рода отъ удара не
изменяется. Если выберемъ оси координатъ, какъ въ первом?»
примере, то импульсы, действующ1е на наши тела, должны быть
обозначены следующимъ образомъ: на первое тело: J\ на второе: J\ J",
на третье: Jl\ J"''', и т. д. на предпоследнее: J(n_1), <7(n) и на
последнее: J(n). Затемъ урр. D25) и имъ подобныя дадутъ:
V ' " T D29)
Jbo_ jin-ij= M"-1^ ~l\ —J^ — МЫ (U^'— Uf")) .
Точно также изъ урр. D28) и подобныхъ имъ получимъ:
— е (и — и') =-- иг — их', — в(и* — и") = IV — иД

356
Глава III. В) Кинетика твердаго тъла.
§ 51
и такъ какъ
то
— ell —IL--U/ , It' —U/' = 0, U/'— 11/"--0. . .
11 1 1 > 1 1 f430)
It/1'" )— It/"'- 0, cU,,j)-U1,H-1)-U1|n>;
складывая уравнешя D30), получаемъ:
— (?(u—u(n,) = u1- u/u). D31)
Кроме того изъ тЪхъ-же урр. D30), легко находимъ, что
и/= 11/' — . . . ^ц/^-и^гб/,
вслгЁдств1е чего урр. D29) даютъ:
ЖAЦ — и) = — №п>(U/1^ — и'»'). D32)
Сравнивая урр. D32), D31) съ урр. D21), D22), мы заключаемъ,
что два крайшя тела пршбретаютъ отъ удара таюя-же скорости,
какъ если-бы соприкасались другъ съ другомъ непосредственно; ско-
рости-же промежуточныхъ тЬлъ остаются безъ изменешя.
■——ьжч——■
Въ заключеше перейдемъ къ случаю, когда тела при ударе
соприкасаются не отдельными точками, но плоскостями конечныхъ
размеровъ. При этомъ вопросъ не потеряетъ своей общности если
мы остановимся на случай удара двухъ гЪлъ, соприкасающихся
одною плоскостш.
Прежде всего докажемъ, что если относительный нормальныя
скорости трехъ паръ совпадающихъ при ударе точекъ двухъ телъ,
не изменяютъ своей величины, меняя только свой знакъ, то т'Ьмъ-
же самымъ свойствомъ обладаютъ нормальныя скорости въ каждой
точке неопределенно ограниченной плоскости, проведенной черезъ
упомянутыя три точки, который вообще не лежать на одной прямой.
Для простоты выберемъ оси координатъ такъ, чтобы ось #-овъ была
перпендикулярна къ плоскости трехъ точекъ, а друпя две оси
лежали въ этой плоскости; скорости и, и', р, р' и т. д. будемъ
относить къ этимъ новымъ координатамъ. Начало координатъ примемъ
въ одной изъ трехъ точекъ и координаты двухъ другихъ обозначимъ
черезъ 0, га, ^ и 0, q2, £2. Тогда три уравнешя, вида D28), для

§ 51
Глава III. В) Кинетика твердаго тъла.
357
упомянутыхъ точекъ примутъ форму:
и — it'-- —(it,—иД
U -U' |-^,(г — г') — =1 (ff—ff') = — [Ux— Ux' ] ЧоК-r/) -:.2(^-д/)],
откуда имеемъ:
4i С»- — ^ + ri ~ «V) - Ci (« " в' -I ?i ~ 2i') = О ,
и следовательно:
г1 — г1 -+- ?\ — ?Y — 0 , ? — (Z4 ffi — «/ == ^ , D34)
если только нетъ услов1я, что
которое можетъ иметь место, когда две точки (Г) и B) лежатъ
на одной прямой, проходящей черезъ начало координатъ; а такой
случай исключенъ нами выше. Но если равенства D34) такимъ об-
разомъ должны существовать, то урр. D33) и имъ предыдунця
удовлетворятся всякими произвольно выбранными величинами
координатъ у; и £, т. е. будутъ иметь силу для всЬхъ точекъ плоскости,
' проходящей черезъ три точки соприкосновения, и притомъ не
зависимо отъ того, будетъ-ли эта плоскость действительно всеми своими
точками принадлежать заразъ тому и другому телу, или будетъ пред
ставлять собою геометрическое место воображаемыхъ совпадающихъ
точекъ, неизменно связанныхъ съ темъ и другимъ тЬломъ, безъ из-
менешя массъ и моментовъ пнерщи этихъ последнихъ.
Следовательно вообще, если въ одной ограниченной части какой либо общей
плоскости двухъ соударяющихся телъ величина относительныхъ
скоростей по нормали сохраняется съ изменешемъ знака, то темъ-же
самымъ свойствомъ обладаютъ всё остальиыя матер1альныя, или
воображаемый, точки той-же плоскости.
Изъ вышесказаннаго очевидно, что, въ случае соприкосноветя
соударяющихся телъ плоскими частями ихъ поверхности, мы можемъ
выбрать любыя три точки въ плоскости соприкосноветя, не лежапця на
одной прямой, и решать вопросъ о соударенш въ этихъ трехъ точкахъ,
ибо три импульса перпендикулярные къ данной плоскости мы всегда
можемъ заменить имъ эквивалентными импульсами, перпендикулярными къ
тойже плоскости, при чемъ относительныя скорости точекъ приложевия
каждой изъ трехъ паръ новыхъ импульсовъ будутъ следовать тому-

358 Глава III. В) Кинетика твердаго тъла. § 51
же закону, какъ точки приложешя прежнихъ импульсовъ. Тоже
самое является более очевиднымъ изъ слЬдующихъ пепосредственныхъ
разсуждешй.
Въ данномъ случае мы должны предполагать, что равные и взаимно
противоположные ударные импульсы приложены къ каждой точке
плоскости соприкосновешя, вследств1е чего урр. D25) и D26)
представятся въ следующей форме:
ZSJ= M(Ut — U), -tri£J= M(V, — t)) , n^J=z М(Х01 — Ш) , D35)
m£Jr —пЫц = Н1 (рг — p),
nZJi — 1Щ = H2 (дг - q) , D36)
lUrt —тЯЛ = H3 (гг — г),
и подобныя-же уравнешя для втораго тела—въ форме:
Ш=М> (U/—U'), mlZJ=№ OV—D'J , n^J=^ M< (то/ -ID') , D37)
m'EJj' — w'2«A}' = #/ (pj1— У) ,
w'EJ$' — Z'EJj;' =-- Я/ (gr/ - g') , D38)
/'1\7Y/ - m'SJ*' --- HJ (r/ - r'),
где суммы берутся по всЬмъ точкамъ соприкоснонешя, координаты
которыхъ взяты по одной или другой изъ двухъ системъ. Въ приве-
денныхъ уравнешяхъ, кроме двенадцати послъударныхъ искомыхъ
скоростей, заключаются еще неизвестный величины:
SJ\ 1]Д, SJt], Щ, ХД\ £Jr/, Щ\ D38)'
при чемъ шесть последнихъ изъ нихъ связаны между собою тремя
уравнешями, вытекающими изъ того геометрическаго соображешя,
что точки, по которымъ берутся суммы для перваго и втораго тела,
принадлежатъ одной и той-же плоскости, но даются координатами по
двумъ разнымъ системамъ, положеше которыхъ относительно другъ
друга должно быть дано. Поэтому, обозначая косинусы угловъ между
осями обеихъ системъ по ниже следующей таблице
V
С'
1
аг
Ьг
ci
ч
аг
К
с2
С
а3
Ьг
С<6
и обозначая координаты центра инерщи перваго тела, относительно

§ 51
Глава III. В) Кинетика твердаго тъла.
359
центральныхъ осей инерщи втораго, черезъ ж, у, z мы будемъ
имЪть:
% = X -|- «^ + ^2ri + азС 5
Ч'=у+й^ + М + бзС* D39)
^=-7+^^ 4~ Vi + Ы >
откуда
£j£f = #EJ" + a^JE + a2£J) + a32e7j; ,
Le7"r/= ySJ" + ft^J? + 62^Ч + йзЗД > D4°)
EJj' —zZJ -f CjHJ^ -|- c2HJrj + CgEJjj.
Еъ систем* уравнений D35)—D38) должно быть еще прибавлено
условие, что, для каждой точки (Е, г], £) плоскости соприкоснове-
шя, относительныя скорости того и другаго тЪла по нормали будутъ
сохранять свою величину до и послЪ удара, мЪняя знакъ. Это усло-
Bie представляется уравнешемъ D10), въ которомъ координаты
£, 7j, j и выраженныя черезъ нихъ съ помощш D39) координаты
ч'> V? £ будутъ принадлежать любой точкЪ плоскости соприкоснове-
шя. Написавши услов1е D10) въ вид*,
А\ -f Вт{ f С^ + D=-=0, D41)
гдЪ на основавши D39):
А = п [qx -\- q) — m {rx -j- r)
+ V \Ъг (г/ + г) - Cl (?/+ g')l + W fcx QV +У) - ax (r/ 4 r')]
В ~-z l(ri 4- r) — w (jpx 4-p)
4- ?' [ft2 (r/ -f r')- c2 B/ f ?' >] + m' [c2 (lV + У) - a2 (r/ + r')]
+ »,K(ei, + a,)-62(K+i>r)J,
G = m[pA +p)—l{q1-^q) D42)
+ P [63 (>/ + О " ^ (<?/ 4- 2')] + »*' [c3 QV + jpr) - as(r/ + r')]
+ ^>3(?i4 ?0-MiV+/)L
D = ^ (Ux 4- U) + m (t)x + D) 4- w (ttI 4- ID)
4- F [U/ +U4yW + r') - * (j/ + g)]
+ wr[D/ + И' 4" *CPi' +У) ~ ^ (r/ 4 rj]
4- "'[то/ч- tt)'+ ж (j/ 4- q!) - у (p/4-pO] ,

360 Глава III. В) Кинетика твердаго тьла. § 51
и замечая, что координаты £, rh ^ кроме условна D41), должны
удовлетворять уравнения плоскости соприкоеновешя:
1\ ~\ пщ 4- n^ — h , D43)
где h есть разстояшс этой плоскости отъ начала координатъ (сравн.
A15), § 43), мы находимъ, помножая ур. D43) на неопределенный
множитель X и складывая его съ ур. D41), что въ иолучаемомъ
такимъ образомъ уравиенш,
(A -f 11) ; -f (В -| lm) г, -f (С + Xw) j { D - Х/г =-. О , D44)
мы можемъ рассматривать, веледств!е неопределенности X,
величины £, 1] и J, какъ совершенно произволъныя. Поэтому ур. D44)
должно распадаться на четыре еледукнщя:
А -! 11 =:-- О , i? -|- Хм О , Г; Н- А/? -- 0 , D — АЛ --г-- (9. D45)
Кроме того, на основаши D43), им'Ьешъ еще:
1ЪД \~ EhiJtj -f пЩ=--11&Г. D46)
Восемь уравнешй D40), D45), D46), вместе съ двенадцатью
уравнениями D35)—D38), вполне достаточны для опред'Ьлешя
двенадцати искомыхъ послеударныхъ скоростей, семи суммъ D38)' и
множителя X.
Найдя суммы A38)', мы можемъ задаться вопросомъ о нахож-
денш распределен!}! импульсовъ по элемеитамъ плоскости
соприкоеновешя. Решеше этого вопроса совершенно тождественно съ
вопросомъ о расиределеши давлешй, разобраннымъ въ § 43: поэтому
мы здесь не будемъ па немъ останавливаться.