Ю.Швингер
КВАНТОВАЯ КИНЕМАТИКА И ДИНАМИКА
М.: Наука, 1992
Книга Швингера "Квантовая кинематика и динамика" появилась в 1970 г. В
основу построения квантовой теории автор положил развитую им теорию
селективных измерений. В рамках такого подхода обычный геометрический язык
векторов состояния получается в результате "расщепления" алгебры измерений,
которая строится автором как естественный символический язык описания
базовых экспериментов. Изложения такого подхода на русском языке нет.
Рекомендуется студентам старших курсов, аспирантам, преподавателям и
научным работникам, специализирующимся в области теоретической и
математической физики, а также всем желающим углубить свои знания в области
квантовой механики.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие переводчика	9
Предисловие автора	16
Глава 1. Алгебра измерений	17
1.1.	Символы измерения	17
1.2.	Совместимые свойства. Определение состояния	19
1.3.	Измерения, меняющие состояние	20
1.4.	Функции преобразования	21
1.5.	След	23
1.6.	Статистическая интерпретация	24
1.7.	Операция сопряжения	25
1.8.	Комплексно-сопряженная алгебра	26
1.9.	Матрицы	27
1.10.	Вариации функций преобразования	29
1.11.	Ожидаемое значение	30
1.12.	Дополнение: Неселективные измерения	31
Глава 2. Геометрия состояний	34
2.1.	Пустое состояние	34
2.2.	Реконструкция алгебры измерений	36
2.3.	Векторная алгебра	37
2.4.	Волновые функции	38
2.5.	Унитарные преобразования	40
2.6.	Бесконечно малые унитарные преобразования	41
2.7.	Последовательные унитарные преобразования	43
2.8.	Группы унитарных преобразований. Сдвиги и повороты	44
2.9.	Отражения	46
2.10.	Непрерывный спектр	47
2.11.	Дополнение: Операторное пространство	48
2.12.	Дополнение: Базисы из унитарных операторов	52
Глава 3. Динамический принцип	66
3.1.	Оператор действия	67
3.2.	Оператор Лагранжа	67
3.3.	Принцип стационарного действия	68
3.4.	Оператор Гамильтона	69
3.5.	Уравнения движения. Генераторы	70
3.6.	Перестановочные соотношения	71
3.7.	Два класса динамических переменных	72
3.8.	Взаимодополнительные переменные первого рода	78
3.9.	Неэрмитовы переменные первого рода	80
3.10.	Взаимодополнительные переменные второго рода	82
Глава 4. Специальная каноническая группа	86
I. Переменные первого рода	86
4.1.	Дифференциальные операторы	87
4.2.	Уравнения Шредингера	89
4.3.	д/?-функции преобразования	90
4.4.	Дифференциальные формы условий полноты	91
4.5.	Неэрмитовы канонические переменные	92
4.6.	Некоторые функции преобразований	93
4.7.	Физическая интерпретация	94
4.8.	Композиция с помощью интегрирования по контуру	96
4.9.	Измерения оптимальной совместимости	100
II.	Переменные второго рода	102
4.10.	Группа поворотов	102
4.11.	Внешняя алгебра	103
4.12.	Собственные векторы и собственные числа	104
III.	Унификация переменных	106
4.13.	Конструктивное использование специальной канонической группы	106
4,14.	Функции преобразования	108
4.15.	Интегрирование	113
4.16.	Дифференциальные реализации	115
Глава 5. Канонические преобразования	117
5.1.	Групповые свойства и избыточные переменные	118
5.2.	Бесконечно малые канонические преобразования	119
5.3.	Повороты. Угловой момент	121
5.4.	Сдвиги. Импульс	123
5.5.	Параметры преобразований	124
5.6.	Преобразования Гамильтона-Якоби	126
5.7.	Зависимость от пути	127
5.8.	Независимость от пути	128
5.9.	Линейные преобразования	129
Глава 6. Группы преобразований	132
6.1.	Условия интегрируемости	132
6.2.	Представление конечными матрицами	133
6.3.	Подгруппы	135
6.4.	Дифференциальные формы и свойства композиции	136
6.5.	Канонические параметры	137
6.6.	Пример. Специальная каноническая группа	140
6.7.	Другие параметры. Группа поворотов	141
6.8.	Реализации дифференциальными операторами	145
6.9.	Групповой объем	146
6.10.	Компактные группы	148
6.11.	Операторы проецирования и инварианты	149
6.12.	Дифференциальные операторы и группа поворотов	151
6.13.	Интегрирование в некомпактных группах	155
6.14.	Переменные второго рода	157
6.15.	Оператор отражения	158
6.16.	Конечный операторный базис	158
6.17.	Дополнение: Вывод принципа действия	160
6.18.	Дополнение по поводу специальной канонической группы	165
6.19.	Дополнение: Квантовые переменные и принцип действия	185
Глава 7. Трансформационные функции канонических преобразований 198
7.1.	Упорядоченный оператор действия	198
7.2.	Трансформационные функции бесконечно малых канонических	199
преобразований
7.3.	Трансформационные функции конечных канонических преобразований 202
7.4.	Упорядоченные операторы. Применение трансформационных функций 204
канонических преобразований
7.5.	Пример	205
7.6.	Упорядоченные операторы и теория возмущений	206
7.7.	Применение специальной канонической группы	209
7.8.	Вариационные производные	211
7.9.	Взаимодействие двух подсистем	215
7.10.	Дополнение: Внешняя алгебра и принцип действия	217
Глава 8. Функции Грина	230
8.1.	Включение начальных условий	230
8.2.	Консервативные системы. Фурье-образы	232
8.3.	Операторные функции комплексной переменной	233
8.4.	Особенности	235
8.5.	Пример	236
8.6.	Сокращенная функция Грина	237
Глава 9. Приложения	239
I.	Броуновское движение квантового осциллятора	239
9.1.	Введение	239
9.2.	Осциллятор	241
9.3.	Внешняя система	257
9.4.	Улучшенная трактовка	275
9.5.	Общая теория	305
II.	Кулоновская функция Грина	310
БИБЛИОТЕКА
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
Серия основана в 1978 году
Редактор серии Д. В. ШИРКОВ
ГО. ШВИНГЕР
КВАНТОВАЯ
КИНЕМАТИКА
И ДИНАМИКА
Перевод с английского
С. Г. ШЕХОВЦОВ А
Под редакцией Б.В.МЕДВЕДЕВА
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1992



ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА
Одного того, что автор этой книги Юлиаи Швингер
(р.1918), достаточно, чтобы оправдать ее перевод на рус-
ский язык, ибо знакомство с точкой зрения одного из наи-
более глубоких физиков-теоретиков нашего века на такой
непростой предмет как квантовая механика в любом случае
будет небесполезным и для профессионалов, и для начинаю-
щих физиков. Однако мы скажем больше - книга Швингера
вправе занять место среди лучших книг по квантовой меха-
нике на русском языке. На первый взгляд это утверждение
может показаться сомнительным. В самом деле, вышла она в
известной серии "Frontiers in Physics" в 1970 году (зна-
чительную ее часть составили материалы лекций на школе в
Лезуш 1955 г.), к тому же автор - нобелевский лауреат,
т.е. известность, казалось бы, гарантирована... и тем не
менее, сейчас в 1990 году можно утверждать, что швинге-
рова трактовка квантовой механики мало известна в СССР1
и, судя по цитированию и некоторой частной информации,
е. 2
не прижилась пока что и за рубежом .
Не вдаваясь в детали процесса происхождения попу-
лярности в науке, заметим, что творчеству Швингера при-
сущи некоторые черты, вообще говоря, не способствующие
быстрому проникновению его представлений и методологии в
физико-математическую среду. В своих построениях он, как
правило, исходит из фундаментальных принципов и, стре-
мясь к чистоте математических формулировок, избегает эв-
ристических рассуждений. К тому же Швингер известен как
мастер формы, однако, придавая своим построениям форму,
наиболее адекватно отражающую существо дела, он порой
несколько изменяет смысл привычных обозначений, и это,
конечно, не облегчает изучение его работ, а у профессио-
налов может вызывать раздражение. Так один физик как-то
На русском языке имеется изложение теории селективных и неселективных изме-
рений Швингера в [1,гл.5,6], однако оно носит характер обобщающего этюда в бо-
лее меиее стандартном окружении (при первом чтении эти главы рекомендуется
опустить), и поэтому не дает целостного представления о трактовке Швингера.
2
В современном учебнике А.Садбери [2], например, довольно подробно рассматри-
ваются альтернативные формулировки, подход Швингера даже не упоминается.
10
Предисловие переводчика
сердито сказал: "Некоторые печатают свои произведения
для того, чтобы показать всем, как это делается, а Юлиан
Швингер публикует свои работы, чтобы показать всем, что
только он один и может это сделать" [3, с.62]. Еще одна
характерная деталь: Швингер почти ие занимался массовой
популяризацией своих представлений; на протяжении многих
лет он читал лекции в самых престижных университетах
США, однако эти курсы не были обработаны и опубликованы,
как это весьма часто делается. Нельзя сказать, что Швин-
гер недооценивает этот род деятельности, об этом, в ча-
стности, говорит его единственная самостоятельная попыт-
ка такого рода - двухтомник "Частицы, источники, поля",
так что причина в другом. "Я поставил мировой рекорд по
количеству незаконченных первых глав"- пишет сам Швингер
[4, с. 4]. И действительно, когда мысль влечет вперед,
бывает очень трудно остановиться, упорядочить и оформить
пройденное.
Происхождение предлагаемой книги в полной мере от-
ражает эти характерные для ее автора особенности: во-
первых, она появилась по инициативе не столько самого
Швингера, сколько Роберта Кохлера (что, кстати, говорит
о наличии определенного интереса в США); во-вторых, в ее
основе лежит текст первой части незавершенной работы, в
которой Швингер собирался изложить квантовую теорию по-
лей ab initio, и которая, судя по всему, должна была по-
дытожить известные циклы его работ по квантовой электро-
динамике [5, с. 12-114] и теории квантованных полей [5,
с.115-137;6]. Кстати, с таким происхождением связан ос-
новной недостаток книги, в общем, дидактического харак-
тера, - отсутствие физических иллюстраций и разработан-
ных примеров, что, конечно, сильно затруднит чтение на-
чинающим. Тем не менее, ее содержательная сторона иску-
пает этот недостаток, и именно она позволяет утверждать,
что книга содержит уникальное построение основ квантовой
механики.
Действительно, Швингер предлагает такой способ по-
строения математического аппарата, который явно показы-
вает, что квантовая механика есть форма символического
Предисловие переводчика
11
выражения закономерностей микроскопического измерения. В
связи с этим структура исходного математического объекта
- алгебры физических измерений - формируется, исходя из
свойств специального класса мысленных экспериментов, на-
званных Швингером селективными измерениями, над система-
ми с конечным числом состояний. Этот анализ естествен-
ным образом приводит к внутренним законам композиции -
сложению и умножению символов измерений с полугрупповыми
свойствами и дистрибутивностью между ними; при этом, в
сущности, нет никакого произвола.
В стандартном изложении квантовой механики одним из
самых туманных мест ивляется математическая формулировка
принципа суперпозиции. Дирак, например, по этому поводу
пишет [8, с. 28]: "Процесс суперпозиции есть нечто вроде
процесса сложеиии;<...>. Поэтому состояния должны быть
связаны с такими математическими величинами, которые мо-
жно складывать между собой, получая математические вели-
чины того же рода. Наиболее простыми и известными из та-
ких величин являются векторы." Такую аргументацию в
пользу векторного пространства трудно признать рацио-
нальной, хотя бы потому, что абелева группа все же про-
ще, другое дело, что она недостаточно богата. Короче,
очевидно, что векторная структура выбрана a priori, а
фундаментальный, так сказать, физический принцип попрос-
ту подгоняется под нее.
У Швингера, как мы уже говорили, естественно возни-
кает структура полукольца (с нулём и единицей), вси спе-
цифика квантовой механики, можно сказать её секрет, со-
средоточена в процедуре введения внешнего закона компо-
зиции, который традиционно интерпретируется как
умножение на "числа". Если, например, допустить, что все
физические величины совместимы, как это предполагается в
классике, то множество этих "чисел" будет состоять в
сущности только из "нуля" и "единицы", т.е. ввести соде-
2
Ричард Фейнман в своих широко известных лекциях [7] также начинает изложе-
ние квантовой механики с весьма подробного изучения свойств фильтраций, си-
речь, по Швингеру, селективных измерений. Фейнман, однако, не использует в
полной мере заложенный в таком подходе математический погенцнал.
12
Предисловие переводчика
ржательный внешний закон нельзя. Поэтому соотношение,
согласовывающее внутренние и этот внешний законы, можно
по праву назвать основным постулатом квантовой механики.
Уже на этом уровне возникает ряд условий, которым должно
удовлетворять множество "чисел"; в частности, им удовле-
творяют комплексные числа. Линейные комбинации символов
селективных измерений соответствуют, вообще говоря, из-
мерениям более общей природы — неселективным, например.
Произвольный элемент алгебры измерений Швингер называет
оператором.
Далее, оказывается, что построенную алгебру измере-
ний можно непротиворечивым образом "погрузить" в другую
алгебру, расширенную с помощью формального введения до-
полнительного (нефизического и, следовательно, ненаблю-
даемого) состояния системы. В расширенной таким образом
алгебре возникают два замечательных подмножества, одно
из которых инвариантно относительно умножений на элемен-
ты алгебры справа (точнее, оно является правым идеалом),
другое - инвариантно относительно умножений слева (левый-
идеал), а, кроме того, все произведения в пределах этих
подмножеств равны нулю, т.е. нетривиальной остается лишь
структура векторного пространства.
Таким образом, элементы правого идеала оказываются
левыми (что соответствует дираковским бра-векторам), эле-
менты левого идеала - правыми (кет-векторам), а операторы
(т.е. элементы исходной алгебры физических измерений)
приобретают смысл линейных отображений векторных прост-
ранств в себя. По построению эти пространства связаны
операцией (эрмитова) сопряжения, что естественным образом
приводит к определению эрмитовой формы (эрмитова произве-
дения), или другими словами к геометрии векторов состо-
яний. В сущности, Швингер, исходя из весьма физичных по-
сылок, выводит формализм Дирака [8].
Что же дает такое построение математического аппа-
рата квантовой механики? Во-первых, последовательное фи-
зически мотивированное введение математических структур
позволяет четко выделить места, где допускается тот или
иной произвол (см., например, введение комплексных чи-
Предисловие переводчика
13
сел), и что особенно важно - прививает сознательное от-
ношение к математическому формализму.
Во-вторых, выявляется природа формализма Дирака, в
частности более формальная (и вторичная) природа векто-
ров состояний по сравнению с операторами, которые по по-
строению теснее связаны с описанием физических свойств
системы, чего, например, ие отражает обычная аксиоматика
квантовой механики [2,9], когда исходным объектом явля-
ется гильбертово пространство векторов состояний, а опе-
раторы a priori рассматриваются как линейные отображения
на этом пространстве. Кстати, математики иной раз выска-
зывают суждения об имеющейся, якобы, нестрогости форма-
лизма Дирака, поскольку последний не вполне укладывается
в традиционную для функционального анализа схему пост-
роения спектральной теории (самосопряженных) операторов.
Но, как убедительно показал Швингер, обычная аксиоматика
далеко не самый естественный язык для квантовой механи-
ки, и, следовательно, этот довод утрачивает свою актуа-
льность.
Помимо указанных методических преимуществ такое по-
строение позволяет по-новому понять некоторые весьма
старые вещи. Так, например, ранее не осознавалось, что
введенные еще в 1928 г. Вейлем [10,с.331-340] операторы,
которые удовлетворяют носящим теперь его имя перестано-
вочным соотношениям, являются образующими полного опера-
торного базиса системы с любым конечным или бесконечным
(в том числе и несчетным) числом состояний. Это, конеч-
но, не случайно. В самом деле, Вейль кладет в основу ки-
нематики группу поворотов пространства лучей, а физичес-
кие величины интерпретирует как вещественные элементы
соответствующей групповой алгебры [10]. Швингер, напро-
тив, имея с самого начала алгебру как результат анализа
измерений определенного типа, выводит фундаментальную
кинематическую группу (раздел 2.12) как некоторую абеле-
ву группу унитарных элементов алгебры; эти элементы оп-
ределяют полный набор совместимых физических величин.
Имея целью построить базис алгебры измерений и тем самым
дать полное описание всех возможных физических величин
14
Предисловие переводчика
системы, Швингер с неизбежностью приходит к другому пол-
ному набору физических величии, максимально не совмести-
мых с первыми. Образующие операторы двух этих групп под-
чиняются перестановочным соотношениям Вейля. Исследова-
ние структуры полученных групп приводит к четкому опре-
делению понятия квантовой степени свободы и возможности
априорной классификации всех возможных степеней свободы.
Таким образом, Вейль и Швингер пришли с разных сторон к
одному и тому же объекту, однако более естественный путь
Швингера позволил достичь нового уровня понимания.
Поэтому с первыми двумя главами - сказанное выше
относится главным образом к иим - было бы весьма полезно
ознакомиться начинающим. К сожалению, в силу своего
происхождения книга даже в этой, сравнительно элементар-
ной, части не предназначена для первоначального изучения
- в ней почти нет физических иллюстраций. Впрочем, этот
пробел восполняют упомянутые выше лекции Фейнмана [7].
Динамику квантовой системы Швингер рассматривает с
точки зрения, которую иногда называют "пассивной", т.е.
в каждый момент времени описание должно быть таким, что-
бы относительно него система проявляла такие же свойст-
ва, как и в любой другой момент времени. По этой причине
в книге иет термина "амплитуда вероятности (перехода)",
вместо него автор пользуется естественным для такого
подхода термином "функция преобразования". В основу по-
строения динамики автор кладет вариационный динамический
принцип, который впервые был им введен в статье 1951 г.
первой из цикла "Теория квантованных полей". Вот как
тогда Швингер определил свою цель [5, с. 116]: "Развивае-
мая нами в дальнейшем точка зрения заключается в замене
ряда обычных допущений, основанных на классической гами-
льтоновой динамике и принципе соответствия, одним единс-
твенным динамическим принципом."
К достоинствам динамического принципа Швингера
стоит отнести не только его мощь и общность, позволяющую
построить всю теорию с единой точки зрения, но также и
то, что в рамках математической схемы квантовой механики
он выглядит более естественно, нежели классические ва-
Предисловие переводчика
15
риациониые принципы в системе понятий ньютоновой механи-
ки.
Целостность изложения автором квантовой механики
привела к еще одному интересному явлению - в ней нет
ссылок на математические теоремы, поскольку все нужные
результаты выводятся по ходу дела (единственное, пожа-
луй, исключение - упоминание в разделе 2.12 теоремы Фер-
ма - Эйлера). Поэтому искушенный читатель то и дело бу-
дет узнавать возникающие в тексте математические струк-
туры и результаты, как правило, без принятых в математи-
ке названий.
Вообще, читатель найдет в книге много интересных и,
возможно, неожиданных для себя деталей. В целом книга по-
зволит читателю существенно углубить понимание квантовой
механики, а интересующимся - упростит чтение других ра-
бот автора.
Последняя глава книги состоит из двух работ, одна
из которых "Броуновское движение квантового осциллятора']
уже выходила на русском языке в переводе В. Л. Бонч-
Бруевича [И,с.96-167]. Этот перевод и воспроизводится в
настоящем издании.
С. Г. Шеховцов
Список литературы
1.	Кемпфер Ф. Основные положения квантовой механики: Пер. с англ. - М.:
Мир, 1967.
2.	Садбери А. Квантовая механика и физика элементарных частиц: Пер. с англ.
- М.:Мнр, 1989.
3.	Ахиезер А. И., Рекало М. П. Биография элементарных частиц. - Киев: Нау-
кова думка, 1983.
4.	Швингер Ю. Частицы, источники, поля: Пер. с англ.- М.: Мир, 1973.
5.	Новейшее развитие квантовой электродинамики: Пер. с англ. - М.: Изд-во
иностр, лит., 1954.
6.	Швингер Ю. Теория квантованных полей: Пер. с англ. - М.: Изд-во иностр,
лит., 1956.
7.	Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике: Пер.
с англ. - М.:Мир, 1966,- Вып.8,9: Квантовая механика.
8.	Дирак П. Принципы квантовой механики: Пер. с англ. - М.: Наука, 1979.
9.	Фон Нейман И. Математические основы квантовой механики: Пер. с нем. -
М.: Наука, 1964.
10.	Вейль Г. Теория групп и квантовая механика: Пер. с англ.- М.: Наука, 1983.
И. Мартин П., Швингер Ю. Теория систем многих частиц. Швингер Ю. Броу-
новское движение квантового осциллятора: Пер. с англ. - М: Изд-во иностр,
лит., 1962.
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
В начале 1955 г. я начал писать статью по кванто-
вой теории полей. Вот что говорилось во введении о плане
статьи: "В части А этой статьи в рамках нерелятивистской
теории строится общая схема квантовой кинематики и дина-
мики, пригодная для систем с конечным числом динамичес-
ких переменных. Если оставить в стороне конкретные физи-
ческие следствия, к которым приводит требование реляти-
вистской инвариантности, то переход к полям в части В
привносит сравнительно мало нового, что позволяет изу-
чать главные математические особенности теории полей на
примерах более элементарных физических систем".
Предварительная и неполная версия части А была по-
ложена в основу лекций на Летней школе теоретической фи-
зики в Лезуше в июле 1955 г. В том же году работа над
частью А прервалась, а часть В так и ие была начата. Не-
сколько лет спустя я использовал часть этих материалов в
серии заметок, опубликованных в "Proceedings of the Na-
tional Academy of Sciences". Положение вещей не менялось
вплоть до недавнего времени, когда Роберт Кохлер (уни-
верситет штата Буффало) напомнил мне о неослабевающем
интересе к заметкам школы в Лезуше и предложил опублико-
вать их. Кроме того, он вызвался помочь мне в этом деле.
Результат вы держите в руках. Основной текст представ-
ляет собой оригинальный, так и не завершенный манускрипт
1955 г., в который я добавил лишь подзаголовки. К основ-
ному тексту добавлены оттиски упомянутых статей из "Pro-
ceedings", что обогощает текст, а, кроме того, в конце
книги помещены две статьи, которые иллюстрируют и разви-
вают дальше методы данной книги.
Белмонт, Массачусетс
1969
Юлиан Швингер
ГЛАВА 1
АЛГЕБРА ИЗМЕРЕНИЙ
1.1.	Символы измерения
1.2,	Совместимые свойства. Определение состояния
1.3.	Измерения, меняющие состояние
1.4.	Функции преобразования
1.5.	След
1.6.	Статистическая интерпретация
1.7.	Операция сопряжения
1.8.	Комплексно—сопряженная алгебра
1.9.	Матрицы
1.10.	Вариации функций преобразования
1.11.	Ожидаемое значение
1.12.	Дополнение: Неселективные измерения
Классическая теория измерения строится на предста-
влении о том, что взаимодействие между изучаемой систе-
мой и измерительным прибором может быть сделано сколь
угодно малым или, по крайней мере, точно скомпенсирова-
но, поэтому можно вполне осмысленно говорить о неком
идеализированном измерении, которое не нарушает ни одно-
го из свойств системы. Но для атомных явлений характерно
именно то, что взаимодействие между системой и прибором
не является сколь угодно малым. К тому же нарушения, ко-
торые вызывает это взаимодействие, нельзя точно скомпен-
сировать, поскольку они до некоторой степени неконтроли-
руемы и непредсказуемы. Следовательно, измерение какого-
либо одного свойства может вызвать неизбежное изменение
значения, предварительно установленного для другого
свойства, и поэтому нет смысла говорить о микроскопичес-
кой системе, имеющей точные значения для всех своих при-
знаков. Это противоречит классическому способу представ-
ления всех величин числами. Поэтому законы атомной физи-
ки должны выражаться на некотором неклассическом матема-
тическом языке, который устанавливает определенный спо-
соб символического выражения свойств микроскопического
измерения.
1.1.	Символы измерения
Основные положения этой математической структуры мы
разработаем, изучая упрощенные физические системы, а
18
Гл.1. Алгебра измерений
именно такие, что любая физическая величина А принимает
только конечное число различных значений а1,...,ап. При
измерении наиболее элементарного типа прибор разделяет
ансамбль независимых подобных систем на подансамбли, ко-
торые различаются значениями измеряемой физической вели-
чины. Пусть М(а') есть символическое обозначение для та-
кого селективного измерения, которое пропускает системы
со значением а' для свойства А и отбрасывает все другие.
Мы вводим операцию сложения таких символов как способ
описания не столь определенных селективных измерений; а
именно измерений, в результате которых получается подан-
самбль, отвечающий всем фигурирующим в сумме значениям
величины А, т.е. ни одно из них нельзя различить с по-
мощью такого измерения.
Операция умножения символов измерения обозначает
последовательное выполнение измерений (читать справа на-
лево). Из физического смысла этих операций следует, что
сложение коммутативно и ассоциативно, а умножение
ассоциативно. Обозначив символами 1 и 0 измерения, кото-
рые, соответственно, пропускают и отбрасывают все систе-
мы, Свойства элементарных селективных измерений можно
записать в виде
М(а')М(а') = М(а'),	(1.1)
М(а')М{а") = 0, а'*а" ,	(1.2)
EzM(o') = i.	(1.3)
а
В самом деле, измерение, которому отвечает символ
М(а'), пропускает каждую систему, порожденную измерением
М(а'), и отбрасывает каждую систему, порожденную измере-
нием М(а"), а"*а'-, в то время как селективное измерение,
не различающее ии одного из возможных значений а', явля-
ется измерением, которое пропускает все системы. По смы-
слу измерений, обозначенных как 1 и 0, эти измерения об-
ладают алгебраическими свойствами
1 1 = 1, 0 0 = О,
10 = 01=0,
1 + 0 = 1,	(1.4)
и
Гл.1. Алгебра измерений
19
1 М(а') = М(а') 1 = М(а'),
ОМ(а‘) = Л4(а')0 = О,
М(а') + О = М(а'),	(1.5)
оправдывающими такие обозначения. Различные свойства
символов 0, М(а') и 1 согласуются, если умножение
дистрибутивно. Следовательно,
^иМ(а')М(а") = М(а') =
= М(о')1 = М(о') £ М(о").
а"
(1.6)
Введение очевидным образом чисел 1 и 0 в качестве множи-
телей позволяет скомбинировать эти законы умножения сим-
волов в единое утверждение
где
М(а')М(а") = 8(а' ,а")М(а') ,
(1.7)
(1-8)
1.2.	Совместимые свойства. Определение состояния
Две физические величины Л1 и Л2 называются
совместимыми, если измерение одной не разрушает знания,
полученного предшествующим измерением другой. Соответст-
вующие селективные измерения Л1(а') и М(а^), выполненные
в том или ином порядке, порождают ансамбль систем, в ко-
тором можно одновременно приписать значение а' величине
Л1 и значение а'^ величине А%. Символ такого составного
измерения имеет вид:
М(а'а') = Л4(а')Л4(а') = Л1(а')Л4(а').	(1.9)
Под полным набором совместимых физических величин
Ay..,Ak мы понимаем такой набор физических величин,
каждая пара которого совместима, и в то же время не су-
ществует никаких других величин, совместимых с каждым
элементом набора, за исключением функций набора Л. Тогда
символ	.
К
М(а') = |]Л1(а')	(1.10)
г=1
описывает полное измерение, которое характеризуется тем,
что отобранные системы обладают определенными значениями
20
Гл.1. Алгебра измерений
для максимально возможного числа признаков; любая попыт-
ка определить значение еще какой-нибудь независимой фи-
зической величины вызовет неконтролируемые изменения од-
ного нли более из предварительно установленных значений.
Таким образом, оптимальное состояние знаний о данной си-
стеме получается, если подвергнуть ее некоторому полному
селективному измерению. Говорят, что системы, отобранные
с помощью такого полного измерения М(а), находятся в
состоянии а. Символические свойства полных измерений
также записываются в виде соотношений (1.1),	(1.2),
(1-3).
1.3.	Измерения, меняющие состояние
Более общий тип измерения включает возможность на-
рушений, которые приводят к изменению состояния. Символ
М(а',а") обозначает селективное измерение, при котором
воспринимаются только системы в состоянии а", а возника-
ют системы в состоянии а'. Процесс измерения М(а') явля-
ется частным случаем, в котором не происходит изменения
состояния,
М(а') = М(а',а') .	(1.11)
Свойства последовательных измерений типа М(а',а") симво-
лически записываются в виде
M(u',a")M(a"',a,v) = 8(а",а"')М(а' ,a,v) ,	(1.12)
ибо если а"±а"‘, то вторая ступень составного прибора не
пропустит ни одну из систем, получающихся после первой
ступени измерения, в то время как, если а"=а"‘, все та-
кие системы войдут во вторую ступень и, следовательно,
составной прибор служит для отбора систем в состоянии
aIV и перевода их в состояние а'. Заметим, что если эти
две ступени поменять местами, то
М(а‘" ,alv)M(a' ,а") = 8(а' ,aiV)M(a"' ,а") ,	(1.13)
что, вообще говоря, отлично от (1.12). Поэтому умножение
символов измерения некоммутативно.
Физические величины, составляющие один полный набор
А, не охватывают всего многообразия физических признаков
Гл.1. Алгебра измерений
21
системы. Можно построить другие полные наборы В, С,
которые взаимно несовместимы, причем для каждого выбора
неинтерферирующих физических характеристик имеется свой
набор селективных измерений, связанных с соответствующей
системой состояний: М(Ь' ,Ь"), М(с',с"), ... Наиболее об-
щее селективное измерение связывает два набора несовмес-
тимых свойств системы. Символом М(а',Ь') мы обозначаем
процесс измерения, который отсекает все системы, кроме
систем в состоянии Ь', а из прибора могут появляться си-
стемы в состоянии а'. Составное измерение
М(а' ,b' )М(с' ,d') служит для отбора систем в состоянии d'
и перевода их в состояние а', т.е. оно является некото-
рым селективным измерением типа M(a',d'). Но в добавок к
этому после первой ступени возникают системы в состоянии
с', тогда как вторая ступень принимает только системы в
состоянии Ь'. До сих пор рассматривались примеры состав-
ных измерений, которые подразумевали, что между двумя
ступенями измерения либо проходят все системы, либо не
проходит ни одной, что и отражали численные множители 1
и 0. Однако в более общем случае измерения свойства В,
'выполняемые над системой в состоянии с', которое опреде-
ляется свойствами, не совместимыми с В, будут давать не-
которое статистическое распределение возможных значений
для этого свойства. В этом случае только определенная
часть систем, возникающих после первой ступени, будет
приниматься второй частью составного прибора. Мы выра-
жаем это свойство в виде общего закона умножения
M(a',b')M(c',d') = <b' |с'> M(a',d')(1.14)
где с‘ у есть число, характеризующее статистическую
связь между состояниями Ь‘ и с'. В частности,
<а' |а"> = 8(а',а").	(1.15)
1.4.	Функции преобразования
Частными примерами соотношения (1.14) являются вы-
ражения
М(а' )М(Ь' ,с') = <а'\Ь'у М(а',с')	(116)
и
М(а' ,Ь' )М(с') =	|с'> М(а',с') .	(117)
22
Гл.1. Алгебра измерений
Из фундаментального свойства символа измерения (1.3) мы
выводим, что
£<а' |6'> М(а',с') = £ М(а' )М(Ь' ,с') =
= М(Ь',с')	(1.18)
и, аналогично,
£ <6' |с'> М(а',с') = М(а',Ь'),	(1.19)
с'
откуда видно, что символы измерения одного типа можно
представлять в виде линейной комбинации символов измере-
ния другого типа. Общее соотношение имеет вид
M(c',dz) = У М(а')М(с' ,d')M(b') =
аЬ\
=	(1.20)
a b'
Роль, которую числа <а'|6'> играют в установлении таких
связей, подсказывает название для них: совокупность чи-
сел (а' \Ь'> называется функцией преобразования, связы-
вающей a-описание и fe-описание; термин "a-описание" оз-
начает описание системы на языке состояний, которые по-
рождаются селективными измерениями полного набора сов-
местимых физических величин А.
Фундаментальное свойство композиции функций преоб-
разования получается при сравнении соотношений
£ М(а')М(Ь')М(с') = £ <a/|b/><fe/|c/>M(a,,c/)	(1.21)
ь'	ь'
и
Л4(а')[£ Af(fe,)]Af(c/) = М(а')М(с') =
= <а'\с'> М(а',с') , (1.22)
а именно
£<а'\Ь'><Ь'\с'у = <а'|с/>.	(1.23)
ь‘
Прн отождествлении а- и с-описаний это равенство прини-
мает вид
E<a'|b'><fe'|a"> = 5(а',а"),	(1.24)
ь'
и, аналогично,
Е <Ь'\а'><а'\b"> = 8(b',b").	(1.25)
а'
Заметим, что как следствие получается соотношение
Гл.1. Алгебра измерений
23
E.E/a'|bz><fez |а'> = Е,1 =
а b	а
= EE/fe'la'Xa'Ih^ = Е 1, (1.26)
Ь'а'	ь
которое означает, что М - полное число состояний, полу-
чающихся в некотором полном измерении, — не зависит от
частного выбора измеряемых совместимых физических вели-
чин. Поэтому полное число символов измерения любого кон-
9
кретного типа равно W . Таким образом, аддитивные комби-
нации с произвольными числовыми множителями при символах
измерения образуют элементы некоторой линейной алгебры
размерности № - алгебры измерений.
Элементы этой алгебры называются операторами.
1.5.	След
Число (a'lb'y можно воспринимать как линейную
числовую функцию оператора М(Ь',а'). Это линейное соот-
ветствие между операторами и числами мы назовем следом:
<а' |fez> = TrM(b',a'),	(1.27)
и заметим, что из общего линейного соотношения (1.20)
вытекает равенство
TrM(c',d') = Г/а'Ic'Xd'|6/>ТгЛ1(а,,6') =
= E<d' Ife'Xb' la'Xa' Rz> = <d' |cz> , (1.28)
a'о
которое подтверждает согласованность определения (1-27).
В частности,
TrM(az,azz) = 3(az,a"),
TrM(az) = l.	(1.29)
След произведения символов, очевидно, есть
Tr М(а',b')М(с',d') = <b' |cz> Tr M(a',d') =
= <6z|Cz><dz|az>; (1.30)
переставим местами сомножители
Тг М(с' ,d' )М(а' ,b') =<dz|az> TrAl(cz,fez) =
= <dz|az><6z|cz> (1.31)
и сравним полученные выражения. Видим, что вопреки не-
коммутативное™ умножения след произведения двух сомно-
жителей не зависит от порядка умножения. Это применимо
24
Гл.1. Алгебра измерений
для любых двух элементов X, Y алгебры измерения:
ТгХУ = ТгУХ.	(1.32)
Частным случаем соотношения (1.30) является
TrM(a')M(b') = <а'\Ь'><Ь' |а'> .	(1.33)
1.6.	Статистическая интерпретация
Следует обратить внимание на то, что общий закон
умножения и определение следа сохраняются, если выпол-
нить замены
М(а',Ь') —> Х(а' )-1А1(а' ,b' )A(fe')
<а'|6'> ->	(1.34)
где числа Х(а') и X(fe') могут принимать произвольные не-
нулевые значения. Ясно, что символы элементарных измере-
ний М(а') и функции преобразования |а"> остаются при
этом неизменными. Из-за этого произвола функция преобра-
зования <а'\Ь'> не может сама по себе иметь прямой
физической интерпретации, но должна входить в некоторую
комбинацию, остающуюся при замене (1.34) инвариантной.
Подходящую основу для статистической интерпретации функ-
ции преобразования можно нащупать, если рассмотреть пос-
ледовательность селективных измерений М(Ь' )М(а' )М(Ь'),
которая отличается от М(Ь') из-за возмущений, сопутст-
вующих промежуточному Л-измерению. Лишь часть систем,
отобранных первоначальным В-измерением, пройдет через
весь прибор. В соответствии с этим мы можем написать
символическое равенство
M(b')M(a')M(b') = р(а',Ь')М(Ь'),	(1.35)
где число
p(a',b') = <а' |6'> <6' |а'>	(1.36)
инвариантно относительно преобразования (1.34). Если мы
выполняем Л-измереиие, которое не делает различия между
двумя (или более) состояниями, то имеется отвечающая
этому случаю аддитивность чисел р(а' ,Ь'):
М(Ь')(М(а') + М(а"))М(Ь') =
= (p(a',b') + р(а",Ь'))М(Ь') , (1.37)
для Л-измерения, которое вообще не различает состояний,
М(Ь') (£ M(a')lM(b') = М(Ь'),	(1.38)
Гл.1. Алгебра измерений
25
поэтому
Ъ^а'.Ь') =	(1.39)
а
Эти свойства позволяют приписать числу р(а',Ь') смысл
вероятности обнаружить состояние а' в измерении, выпол-
няемом над системой, относительно которой известно, что
она находится в состоянии Ь'. Но вероятность есть вещес-
твенное неотрицательное число. Поэтому мы налагаем на
числа, возникающие в алгебре измерений, допустимое огра-
ничение, требуя, чтобы <а'|6'> и |а'> составляли пару
комплексно сопряженных чисел
= <а'|Ь/>*,	(1.40)
поскольку тогда
р(а'.Ь') = |<а'|6'>|2	0.	(1.41)
Чтобы соотношение комплексной сопряженности сохранялось,
числа Л(а') в (1.34) должны подчиняться равенству
Л(а')* = A(az)-1,	(1.42)
и поэтому
Л(а') =	,	(1.43)
где фазы ф(а') могут принимать произвольные вещественные
значения.
1.7.	Операция сопряжения1
Другим вызывающим удовлетворение аспектом формулы
для вероятности (1.36) является свойство симметрии
р(а',Ь') = р(Ь‘,а').	(1.44)
Вспомним произвольное соглашение, которое сопутствовало
нашей интерпретации символов измерения и их произведе-
ний, а именно порядок событий читался справа налево (ле-
восторонность). Но любое содержащее символы измерения
соотношение в равной степени справедливо, если его ин-
терпретировать противоположным образом (правосторон-
иость), и ни одни физический результат не должен зави-
сеть от того, какое из соглашений принято. Если принять
правостороннюю интерпретацию, то число <а'|6'> приобре-
1В оригинале "adjoint". - Примеч.пер.
26
Гл.1. Алгебра измерений
тает смысл, которым обладало число	при левосто-
роннем соглашении. Таким образом, мы заключаем, что ве-
роятность, связывающая состояния а' и Ь' в данной после-
довательности, должна строиться из <а'\Ь'> и
симметричным образом. Процедуру введения противоположно-
го соглашения для символов измерения будем называть
операцией сопряжения и обозначать символом t. Таким
образом,
M(a',b'f = M(b',a')	(1.45)
И
Mta'.a")* = М(а",а') .	(1.46)
В частности,
M(a/)t = М(а') ,	(1.47)
что характеризует М(а') как самосопряженный, или эрми-
тов, оператор. Для произведений символов измерений можно
написать
(M(a',b')M(c',d'))t = M(d',c')M(b',a') =
= M(c',d')tM(a',b')t , (1.48)
это эквивалентно равенству
«/>' | c'>M(a',d' ))* = <с' \b'>M(d' ,а') =
= <b'\с'>*М(а',d'f . (1.49)
На смысл сложения процедура сопряжения не влияет, что
позволяет распространить эти свойства на все элементы
алгебры измерений:
(X + y)f =	+ У+ ,
(Xy)f = ytxt,
(AX)f = Л*Д	(1.50)
где Л - произвольное число.
1.8.	Комплексно—сопряженная алгебра
Использование комплексных чисел в алгебре измерений
приводит к существованию дуальной алгебры, в которой все
числа заменены соответствующими комплексно-сопряженными
числами и ни один физический результат не может зависеть
от того, какая алгебра используется. Если операторы этой
Гл.1. Алгебра измерений	27
дуальной алгебры записывать как X*, то соответствие меж-
ду двумя алгебрами определяется законами
(X + У)* = X* + У*,
(ХУ)* = Х*У*.
(ЛХ)* = Л*Х*.	(1.51)
Выполнение операции сопряжения вместе с комплексным со-
пряжением называется транспонированием
JT = X*t = Х+* .	(1.52)
Эта операция удовлетворяет следующим алгебраическим
свойствам:
(Х + У)Т=ХТ + УТ,
(XY)r = YrXr,
(ЛХ)Т = ЛХТ.	(1.53)
1.9.	Матрицы
Символы измерения некоторого заданного описания
дают в наше распоряжение базис для представления произ-
вольного оператора системой из № чисел, при этом абст-
рактные свойства операторов реализуются в виде конкрет-
ных законов комбинирования этими наборами чисел; эти за-
коны совпадают с соответствующими законами для матриц. А
именно выражение
X = ^<а' \Х\а"> М(а',а")	(1.54)
а а
определяет матрицу оператора X в а-описании или, как го-
ворят, в а-представлении-, перемножение
XY = Z<a'\Xla"yM(a',a")^alvlYla"'yM(aw,a"') =
(1.55)
= £<а' | Х| а"> S(a",awKaw\Y\a"'y М(а' ,а"')
показывает, что
<a'\XY\a'"> = £;'a'\X}a"><a“\Y\a'">.	(1.56)
а
Элементы матрицы, представляющей X, записываются в виде
<а' |Х|а"> = ТгХМ(а",а') ,	(1.57)
и, в частности,
28
Гл.1. Алгебра измерений
<а' |Х|а'> = ТгХМ(а') .	(1.58)
Таким образом, сумма диагональных элементов матрицы
является следом оператора. Соответствующий базнс дуаль-
ной алгебры в a-представлении состоит из операторов
М(а' ,а")*, а матрицы, представляющие X* и Х\ суть,
соответственно, комплексно-сопряженная и транспонирован-
ная матрицы, представляющие X в данном описании. Опера-
тор Х^=ХТ* как элемент той же алгебры, что и X, предста-
вляется транспонированной комплексно-сопряженной матри-
цей, или, что то же самое, (эрмитово) сопряженной матри-
цей.
Матрица оператора X в смешанном аб-представлении
определяется равенством
X = V/a'\Х\Ь'уМ(а',Ь'),	(1.59)
at/
где
<а'\Х\Ь'> = Чг ХМ(Ь',а') .	(1.60)
Правило умножения для матриц в смешанном представлении
имеет вид
<а'\XY\c'> = £ <а' |Х|6'><6' |Г|с'> .	(1.61)
ь'
Подставив Х=У=1, мы получаем знакомое свойство компози-
ции функций преобразования, поскольку
<а'|1|6/> = TrM(6',a') = <a' |6'>.	(1.62)
Если мы положим X или Y равным 1, то получим примеры
связи между матрицами заданного оператора в различных
представлениях. Общую формулу можно вывести из известных
линейных соотношений между символами измерения. А именно
<a'\X\d'> = TrXM(d'.a') =
= Tr X У<с' |d'><a' |6Z> M(c',b') =
= E<a'|b/><b/Hk'><c'|d'>. (1.63)
l/c
Сопряжение оператора X, представленного в смешанном
afe-базисе, приводит к некоторой матрице в ба-базисе:
<Ь'|Х*|а'> = <a'|X|6/>*.	(1.64)
Гл.1. Алгебра измерений
29
1.10.	Вариации функций преобразования
В качестве применения смешанных представлений мы
рассмотрим операторный эквивалент фундаментальных
свойств функций преобразования:
Е <а'|6'><6'|с'> = <а'|с'>,
ь
<а' |6'> = <6' |а'> ,	(1.65)
он строится при помощи дифференциального способа описа-
ния функций преобразования. Если 3<а'|6/> и 3<6'|с'>
суть любые возможные бесконечно малые изменения соответ-
ствующих функций преобразования, то порожденная ими ва-
риация <а/|с/> есть
3<а'|с/> =	I&'>•<&'Iс'> +
6
+ <а' |&/>-3<6' |с'> ] , (1.66)
причем
3<а'|6'>*= 3<6'|а'> .	(1.67)
Совокупность чисел 3<а' | Ь' > можно рассматривать как мат-
рицу некоторого оператора в аб-представлении. Поэтому
напишем
3<а' |6Z> = i<a'\8№аЬ\Ь'>	(1.68)
как определение бесконечно малого оператора 3U7af). Если
определить аналогично бесконечно малые операторы 3U7fec и
то дифференциальное свойство (1.66) примет вид ма-
тричного равенства
<а']31Г |с’> = £ [<а'|ЗН7 |6’><У|с'> +
ши	/	и и
о
+ <a'\b'><b'\8Wbc\cy[, (1.69)
из которого мы выводим равенство
3U7 = 3U7 . + 31Г .	(1.70)
ас ао Ьс	'
Таким образом, мультипликативный закон композиции функ-
ций преобразования приводит к аддитивному закону компо-
зиции для бесконечно малых операторов 3IF.
Если в соотношении (1.70) отождествить а- и
^-описания, то окажется, что
3U7 =0	(1.71)
аа	х '
30
Гл.1. Алгебра измерений
или
3<а'|а"> = 0;	(1.72)
что выражает тот факт, что эта функция преобразования
имеет фиксированные числовые значения:
<а' |а"> = 3(а',а").	(1.73)
В самом деле, последнее равенство не есть независимое
условие, налагаемое на функции преобразования, а являет-
ся следствием свойства композиции и требования, чтобы
функции преобразования как матрицы были несингулярны.
Если теперь отождествить а- и с- описания, то мы устано-
вим, что
= - 31F k . ba	ab	(1.74)
Далее, 3<a'|6'>* = -/<a'|3Fab|i'> = = -/</>'|зИ6 | a'>, что должно равняться	(1-75)
8<6/|a/> = i(b'\8Wba\a'>, и, следовательно,	(1.76)
= -8W. = 8W .. ab	ba	ab	(1-77)
Итак, наше свойство комплексного сопряжения	функций пре-
образования является выражением утверждения об эрмито- вости бесконечно малых операторов 8W.	
1.11.	Ожидаемое значение
Ожидаемым значением свойства А для системы, находя-
щейся в состоянии Ь', является среднее по всем возможным
значениям величины А, взвешенное с вероятностями их по-
явления, характерными для состояния Ь'. Если воспользо-
ваться (1.33) и записать формулу для вероятности в виде
р(а',Ь') = Тг М(а')М(Ь'),	(1.78)
то для ожидаемого значения получим
<A>b' =	=
= TrAM(6') =
= <b'\A\b'>,	(1.79)
Гл.1. Алгебра измерений
31
где введен оператор А:
А = ^а'М(а').	(1.80)
а1
Таким путем установленное соответствие между операторами
и физическими величинами приводит к тому, что произволь-
ной функции f(A) свойства А системы соответствует значе-
ние оператора f(A), а операторы, соответствующие некото-
рому полному набору совместимых физических величин, об-
разуют полный набор коммутирующих эрмитовых операторов.
В частности, функция свойства А, которая равна единице в
состоянии а' и нулю в любом другом, характеризуется опе-
ратором М(а').
2
1.12. Дополнение: Неселективные измерения
Физическая операция, обозначаемая символом М(а'),
предполагает действие некоторого прибора, способного
разделять ансамбль на подансамбли, отличающиеся различ-
ными значениями а', и вместе с тем отбирающего одни из
них и отбрасывающего остальные. Теперь мы будем рассмат-
ривать процесс измерения, предшествующий этапу отбора,
который мы называем неселективным измерением; наша цель
— обнаружение его символических двойников. Полезно уста-
новить общую количественную интерпретацию, соответствую-
щую символам такого измерения.
Пусть система в состоянии с' подвергается измерению
М(Ь'), а затем некоторому A-измерению. Вероятность того,
что система проявит значение Ь'н затем значение а* для
соответствующих свойств, представляется в виде
р(а‘,Ь',с'} = р(а‘ ,b‘)p(b' ,с‘) = |<а'\b'><b' |с'>| 2 =
= |<а'|Л4(6') |с'>| 2 .
Если, напротив, промежуточное В-измерение пропускает все
системы без разбора, что эквивалентно отсутствию какого
бы то ии было В-измереиия, то соответствующая вероят-
ность есть
2
Текст воспроизводится из "Proceedings of the National Academy of Sciences"-
1959.-V.45.-P. 1552-1553.
32
Гл.1. Алгебра измерений
р(а',1,с/) = |<а'|с'>|2= |<а'| £ М(Ь') |с'>|2.
ь
Примеры такой связи символа с соответствующей вероятнос-
тью имеются для любого селективного измерения:
р(а', с') = |<а' |Л41 с' > |2 .
Пусть теперь наше промежуточное измерение неселективно,
т.е. оно должно говорить, каковы функции прибора, но не
делать никакого отбора систем. Соответственно,
р(а',Ь,с') = £ p(a',b')p(b',c') = £ |<а' | М(Ь') | с’> | 2 .
ь	ь'
Это соотношение отличается от выражения 2
р(а',1,с') = к <а'|Л4(6')|с'> |
1 Ь	1
отсутствием интерферирующих членов между различными сос-
тояниями Ь'. Это указывает на то, что с таким иеселек-
тнвным 5-измерением следует связать символ
М. = £ е 6 М(Ь'),
° Ь'
где вещественные фазы суть независимые, случайным
образом распределенные величины. Таким образом, неконт-
ролируемая природа возмущений, которые вызывает измере-
ние, находит свое математическое выражение в этих слу-
чайных фазовых множителях. Поскольку неселективное изме-
рение не отбрасывает систем, должно выполняться соотно-
шение
£ p(a',b,c') = 1 ,
а
которое соответствует свойству унитарности операторов
мь'
м[м. = М.М* = 1 .
0	0	0	0
Кроме того, следует заметить, что в рамках нашего ве-
роятностного контекста, символы элементарных селективных
измерений получаются из символа неселективного измерения
заменой всех фаз, кроме одной, числами с бесконечной по-
ложительной мнимой частью, что описывает процесс отсече-
ния подансамблей как некое поглощение.
Общее правило вычисления вероятностей для последо-
вательных измерений имеет вид
Гл.1. Алгебра измерений
33
р(а',Ь',.. ,s' ,t') = |<а'|Af(6').. .Af(sz) |/'> | 2,
оно применимо к наблюдению любого типа — нужно лишь под-
ставить подходящий символ измерения. Имеются и другие
версии этого правила
р(а'.....t') =
И
каждую нз которых можно также перенести на все типы се-
лективных и неселектнвных измерений (в последнем случае
существенна форма сопряжения). Конструкция ожидаемого
значения показывает, что величина, равная единице, если
свойства А,В,...,S последовательно принимают в правосто-
роннем смысле значения а‘, Ь’,..., s', и равная нулю в
противном случае, представляется эрмитовым1 оператором
(М(а')... M(s'	...M(s')).
Измерение есть динамический процесс, а из представ-
ления о времени использовано пока только простейшее со-
отношение порядка. Детальная формулировка квантовой ди-
намики должна удовлетворять тому требованию согласован-
ности, что описание ею взаимодействий, составляющих из-
мерение, должно воспроизводить те символические соотно-
шения, которые возникли уже на этом элементарном этапе.
В рассуждениях такого сорта явно подразумевается, что
все измерения атомных явлений в конечной счете содержат
усиление микроскопических эффектов до уровня макроскопи-
ческого наблюдения.
Дальнейший анализ такой алгебры измерения приводит
к геометрии, связанной с состояниями физических систем.
^Ср. работу Дирака в "Rev.Mod.Phys." (1945.-V. 17.-Р. 195), где вводятся неэрми-
товы операторы и комплексные "вероятности".
ГЛАВА 2
ГЕОМЕТРИЯ СОСТОЯНИЙ
2.1.	Пустое состояние
2.2.	Реконструкция алгебры измерений
2.3.	Векторная алгебра
2.4.	Волновые функции
2.5.	Унитарные преобразования
2.6.	Бесконечно малые унитарные преобразования
2.7.	Последовательные унитарные преобразования
2.8.	Группы унитарных преобразований. Сдвиги и повороты
2.9.	Отражения
2.10.	Непрерывный спектр
2.11.	Дополнение: Операторное пространство
2.12.	Дополнение: Базисы унитарных операторов
2.1.	Пустое состояние
Неконтролируемые возмущения, сопутствующие измере-
нию, приводят к тому, что акт измерения является недели-
мым. Другими словами, любая попытка проследить историю
системы в ходе процесса измерения обычно меняет природу
выполняемого измерения. Следовательно, физически бессмы-
сленно представлять себе некоторое заданное селективное
измерение 44(а',6') как составное. Смысл имеет только то,
что на первой ступени отбираются системы в состоянии Ь',
а на последней получаются системы в состоянии а' ; проме-
жуточные состояния для измерения в целом не имеют значе-
ния. На самом деле мы можем даже ввести некое нефизичес-
кое состояние, чтобы оно служило нам в качестве посред-
ника. Назовем это формальное образование пустым состоя-
нием^ и напишем
М(а',Ь') = М(а', 0)44(0,6').	(2.1)
Процесс измерения, который отбирает систему в состоянии
6' и переводит ее в пустое состояние
44(0,6') = Ф(б'),	(2.2)
2
В оригинале "null state". - Примем.пер.
Гл.2. Геометрия состояний
35
можно воспринимать как уничтожение системы в состоянии
Ь'; а получение системы в состоянии а' вслед за ее отбо-
ром из пустого состояния,
М(а',0) = Ф(а') ,	(2.3)
можно характеризовать как порождение системы в состоянии
а'. Таким образом, содержание соотношения (2.1) состоит
в неразличимости процесса М(а',Ь') от этого составного
процесса уничтожения системы в состоянии Ь' и последую-
щего порождения системы в состоянии а':
М(а" ,Ь') = Ф(а')Ф(Ь').	(2.4)
Чтобы включить пустое состояние в расширенную ал-
гебру измерений, символам Ф и Ф иужио придать соответст-
вующие свойства символов измерений. Таким образом,
Ф(а/)* = Ф(а') , Ф(И* = Ф( b '),	(2.5)
и
Ф(а')Ф(6') = Ф(а')>(*>') = 0 ,
М(а',Ь')Ф(с') = Ф(а') Л4 (Ь'.с') = 0 ,	(2.6)
в то же время
М(а',6')Ф(с') =	|с/>Ф(а/),
Ф(а/)Л4(6/,с') = <а'\Ь'>Ф(с'),	(2.7)
и
Ф(а')Ф(6') = <а' | Ь' >Л4(0).	(2.8)
Некоторые из свойств символа Л4(0) таковы:
Ф(а')М(0) = Ф(а7),
ЛЦО)Ф(а') = Ф(а') ,	(2.9)
и
Л4(0)Ф(а') = Ф(а')Л4(0) = 0 .	(2.10)
Кроме того, в расширенной алгебре измерений3
1 = £ М(а') + М(0).	(2.11)
а'
Фундаментальный произвол при введении символов измерения
в гл.1, выражавшийся заменой (1.34),
М(а',Ь') -» е~Ыа'}М(а\Ь')е1,р{Ь'\	(2.12)
приводит к соответствующей замене для символов Ф и Ф :
Ф(а') -> е“Ма/)Ф(а'),
3-
Следует и меть > виду, что эта единица ие является оператором в смысле гл.1,
в частности, ее след равен ДО+1. - При меч. пер.
36
Гл.2. Геометрия состояний
Ф(Ь')	е^ь,)Ф(Ь') ,	(2.13)
здесь мы эффективно удалили фазу ф(0), отсчитывая все
другие фазы относительно нее.
2.2.	Реконструкция алгебры измерений
Теперь характеристики операторов измерения М(а',Ь'}
можно вывести из свойств символов Ф и Ф. Так,
М(а',Ь,)1г=Ф(Ь,)1гФ(а,)1г = Ф(b')Ф(a')=M(b, ,а') ,	(2.14)
и
ТгМ(Ь'.а') = ТтФ(Ь')Ф(а') = ТгФ(а')Ф(Ь') =
= <а'\Ь'> ТгМ(О) = <а' | Ь' > ,	(2.15)
и в то же время
М(а' ,b')M(c' ,d') = М(а' ,b')Ф(с‘)Ф(й') =
= <b' |c/>»(a/)$(d/) = <b' \с'>М(а' ,d') . (2.16)
Кроме того, замена (2.13) преобразует операторы измере-
ния по формулам (2.12).
Различные эквивалентные утверждения, содержащиеся в
(2.6), показывают, что единственно существенными, т.е.
не равными тождественно нулю, являются в дополнение к XY
произведения вида ФФ, ФФ и ХФ, ФХ, где латинскими буква-
ми обозначены операторы, т.е. элементы алгебры физичес-
ких измерений. Согласно конструкции (2.4) оператора из-
мерения, все операторы являются линейными комбинациями
произведений ФФ
X = ГФ(а')<а'|Х|&'>Ф(&'Ь	(2.17)
a’b'
и вычисление произведений ХФ, ФХ и ХУ сводится к приме-
нению одного из произведений (2.7):
Ф(а' )Ф(Ь' )Ф(с') = Ф(а'Х6'|с'>,
Ф(а')Ф(6')Ф(с') = <а'|6/>Ф(с/) .	(2.18)
Следовательно, при любой манипуляции с операторами, при-
водящей к произведению ФФ, оно эффективно равно числу
Ф(а')Ф(И = <а' \Ь'>,	(2.19)
и, в частности,
Ф(а/)Ф(а") = &(а',а") .	(2-20)
Гл.2. Геометрия состояний
37
Кроме того, следует заметить, что во всех случаях, когда
1 выступает в качестве оператора, имеем
1 = £ М(а') = £ Ф(а')Ф(а').	(2.21)
а*	а1
Следовательно,
X = Е Ф(а/)Ф(а/)ХФ(6')Ф(6')>	(2.22)
a b'
откуда видно, что
Ф(а')Л'Ф(6') = <а'|Х|&'> .	(2.23)
Бра- и кет-символы
<а' | = Ф(а') ,	\Ь‘> = Ф(6')	(2.24)
предназначены для того, чтобы сделать этот результат
автоматическим следствием записи (Дирак). В бра- и кет-
записи различные теоремы, такие как закон умножения
(1.61), или общая формула замены матричного представле-
ния (1.63), получаются как простые применения выражения
для единичного оператора:
1=Е1«'Х«'1-	(2.25)
а'
2.3.	Векторная алгебра
Мы связали с каждым из N физических состояний неко-
торого описания по одному Ф- и Ф-символу. Далее, символы
одного описания линейным образом связаны с символами
другого описания:
Ф(б') = £ Ф(а')Ф(а')Ф(6') = Е Ф(а')<а' \ь'> >	(2.26)
а‘	а’
И
Ф(а') = Е <а'|6/>Ф(6/),	(2.27)
ь
что приводит также к установленному ранее линейному со-
отношению между операторами измерения различных типов.
Таким образом, произвольные числовые кратные Ф- или
Ф-символов образуют элементы двух взаимно сопряженных
алгебр размерности N, которые являются векторными
алгебрами, так как внутри каждой из них нет существенно-
го перемножения элементов. Тем самым мы встечаемся с
N-мерной геометрией - геометрией состояний, — нз которой
можно вывести алгебру измерений, причем в этом случае ее
38
Гл.2. Геометрия состояний
свойства будут описываться на геометрическом языке. Эта
геометрия является метрической , так как число ФФ опре-
деляет скалярное произведение. В силу соотношения
(2.20), векторы Ф(а') и Ф(а') а-описания образуют орто-
нормальный базис векторов или систему координат, и, сле-
довательно, уравнения преобразования векторов (2.26) и
(2.27) описывают замену системы координат. Произведение
оператора с вектором представляет собой отображение на
другой вектор в том же самом пространстве:
XV(b') = £ Ф(а')Ф(а')ХФ(д') = Е Ч(а'Ка'\Х\Ь'> ,
а'	а'
Ф(а')Х = £<а'|Х|6'>Ф(6/).	(2.28)
ь'
Действие оператора
А = £ а/Ф(а/)Ф(а/),	(2.29)
а’
символизирующего свойство А, на векторы а-координатной
системы описывается формулами
ЛФ(а') = а'Ф(а') , Ф(а ' )Л = Ф(а')а' ,	(2.30)
которые характеризуют Ф(а') и Ф(а'), соответственно, как
правый и левый собственные векторы полного набора Л ком-
мутирующих операторов с собственными значениями а'. У
каждой векторной алгебры есть дуальная алгебра, в кото-
рой все числа заменены комплексно сопряженными.
2.4.	Волновые функции
Собственные векторы некоторого описания образуют
базис для представления произвольного вектора набором N
чисел. На этих наборах, известных как волновые функции,
реализуются все абстрактные свойства векторов. Пусть
Ф = £ |а'><а' |Ф = £ la ' >Ф(а') ,	(2.31)
а'	а'
и аналогично
Ф = E^a'Ka' I >
<р(а') = Ф|а'> .	(2.32)
а||
Если Ф и Ф связаны операцией сопряжения, Ф=Ф , то соот-
ветствующие волновые функции связаны соотношением
Гл.2. Геометрия состояний
39
ф(а') = 0(а')*.	(2.33)
Скалярное произведение двух векторов имеет вид
Ф^ = Е/Ф1|а/><а/|Ф2 = ЕЛ ( а')ф2(а')	(2.34)
а'	а
и, в частности,
Ф*Ф = £	г 0;	(2.35)
а'
последнее соотношение характеризует геометрию состояний
как унитарную геометрию. Оператор Ф]Ф2 представляется
матрицей
<а'|Ф1Ф2|Л/> = Ща'ЩЬ'),	(2.36)
а волновые функции, представляющие ХФ и ФХ, имеют вид
<а'| ХФ = £ <а'| Х|6'> 0(6')	(2.37)
Ь'
и
ФХ|6'> = £ Ф(а'Ка,|Х|6/>.	(2.38)
а
Если положить Х=1, то получатся соотношения, связывающие
волновые функции данного вектора в двух различных пред-
ставлениях:
0(а') = ^а'|6'>0(6'),
<Р(Ь') = £р(а')<а'\Ь'> •	(2.39)
а
Заметим, что волновая функция, представляющая Ф(6') в
a-описании, имеет внд
0ь,(а') = <а' |Ф(6') = <а' |6'> = pfl,(6') .	(2.40)
С точки зрения расширенной алгебры измерений волновые
функции <р и 0 явдяются матрицами соответственно с одной
строкой или с одним столбцом.
Удобно принять фиктивное утверждение, что каждый
эрмитов оператор является символом некоторой физической
величины, а каждый единичный вектор - символом состоя-
ния. Тогда ожидаемое значение свойства X в состоянии Ф
записывается в виде
<Х>ф = Ф*ХФ = £ 0(а') * <а' |Х|а">0(а").	(2.41)
а а
В частности, вероятность получить значение а' при
40
Гл.2. Геометрия состояний
A-измерении, выполненным над системой в состоянии Ф,
равна	+	„
р(а',Ч1) = <М(а')>ф = Фт|а'><а'|Ф = |0(а')|2.	(2.42)
2.5.	Унитарные преобразования
Автоморфизмы построенной унитарной геометрии сос-
тояний порождаются унитарными преобразованиями
Ф = iU , Ф = i/’’Ф, X = 1Г'хи,	(2.43)
примененными к каждому вектору и оператору, где
унитарный оператор U подчиняется условию
= U~'.	(2.44)
При таком преобразовании сохраняются все алгебраические
соотношения и все отношения сопряженности. Два последо-
вательно выполненных унитарных преобразования образуют
унитарное преобразование, обращение унитарного преобра-
зования является унитарным, таким образом, унитарные пре-
образования образуют группу. Применение унитарного пре-
образования к векторам ортонормального базиса а-описа-
ния, которые характеризуются уравнением на собственные
значения
<а'|(А-а') = 0 ,	(2.45)
порождает ортонормальные векторы
<а'| = <a'\U,	(2.46)
которые подчиняются уравнению
<а' l(A-a') = 0 .	(2.47)
Следовательно, векторы (а"' | являются состояниями некото-
рого нового описания, связанного с соответствующими ве-
личинами А, которые обладают тем же спектром собственных
значений, что и свойства А. Поскольку при таком преобра-
зовании сохраняются все соотношения между операторами и
векторами, имеем
<а'|Л^'> = <а‘\Х\а">,
<а'|Ф = <az |Ф,	Ф|а7‘> = Ф|а'>.	(2.48)
В эквивалентных формах последних соотношений
<a'|X|a"> = <a'\1/Х1Г\а"> ,
Гл.2. Геометрия состояний
41
<а' |Ф = <а' |£/Ф,	Ф|а'> = ЫГ^а'у	(2.49)
а-представители операторов и векторов выражены как
a-представители, связанных с ними операторов и векторов.
Базисные векторы любых двух описаний, расположенные в
определенном порядке в рамках своих наборов, связаны
унитарным оператором. А именно:
|а*> = U .\bhy,
ab	k = l,...,N,	(2.50)
<4*| -
где оператор	N
иаЬ= Е|Л<6*1	(2.51)
аа *=1
подчиняется условиям
бЛ = U. = 1Г\.	(2.52)
ab ba ab	х '
Функцию преобразования, связывающую а- и
6-представления, можно, таким образом, воспринимать как
матрицу, полностью относящуюся либо к а-, либо к
6-представлению
<аА|б5> = <afc|t/6e|aS = <6*|6/ ь ,	(2.53)
а все величины 6-представления мбжно понимать как
a-представителей связанных с этими величинами операторов
и векторов:
<6*|Х|6 = <ak\UabXUba\ai>,
<6*|Ф = <ak\UJ, Ф|6$ = Фб/^а^.	(2.54)
Если две системы свойств А и В обладают одинаковым спек-
тром значений, то операторы А и В также связаны некото-
рым унитарным преобразованием. Действительно, если ба-
зисные векторы упорядочены с помощью соответствующих
собственных значений, то
в -»‘|»‘><»‘| -&Ч.|а5 < о*ра4=	(2.55)
К	k
2.6.	Бесконечно малые унитарные преобразования
Определение унитарного оператора, записанное в фор-
ме
42
Гл.2. Геометрия состояний
+ (£/-1) + ( £/-l)f = 0	(2.56)
показывает, что унитарный оператор, бесконечно мало от-
личающийся от единицы, в общем случае имеет вид
U = 1+iG, U* = i/-1 = l-i G ,	(2.57)
где G — бесконечно малый эрмитов оператор. Преобразова-
ние координатных векторов, описываемое таким оператором,
запишется в виде
\<а' I = <а'\ ~ <а'I = <а'\iG,
8а\а'> = |а'> - |а'> = -iG\a'y.	(2.58)
В силу (2.49) такая замена системы координат по своему
действию на представителей операторов и векторов эквива-
лентна соответствующему изменению этих операторов и век-
торов относительно первоначальной системы координат. А
именно:
Sa<a'|X|a">=<a'|X|a">-<a'|X|a">=<a'|5 X |а">	(2.59)
и
6а<а'|Ф = <а'|6Ф, 5аФ|а'> = 5Ф| а 'у ,	(2.60)
где
6Ф = (У-1)Ф = iGVl, 5Ф = Ф(£Л1-1) = - Ф iG ,	(2.61)
a	1	1
8Х = UXLTx- X = А[Х,С].	(2.62)
Прямоугольные скобки означают коммутатор
[А, В] = АВ - ВА.	(2.63)
Поскольку все алгебраические соотношения сохраняются,
вариации операторов и векторов подчиняются обычным пра-
вилам:
6(ХУ) = 5 ХУ + Х5У,
6(ХФ) = 6ХФ + Х5Ф.	(2.64)
Нужно обязательно различать Х+8Х и
X = LTXXU = X - 5Х;	(2.65)
X является оператором, который проявляет те же свойства
относительно a-описания, что и оператор X относительно
a-описания. Таким образом, базисные векторы <а' | являют-
ся собственными векторами оператора А-8А, соответствую-
Гл.2. Геометрия состояний	43
щими собственным значениям а'.
2.7.	Последовательные унитарные преобразования
При изучении последовательных унитарных преобразо-
ваний следует понимать, что преобразованию, заданному с
помощью таблицы числовых коэффициентов, соответствует
тот или иной унитарный оператор в зависимости от системы
координат, к которой оно применяется. Действительно,
пусть и U2 — два таких оператора, описывающих два
различных преобразования на одной и той же системе коор-
динат. Если первое из этих преобразований уже применено,
то оператор, который соответствует второму преобразова-
нию при его действии на получившуюся координатную систе-
му, имеет вид
U2 = U~\J2UX.	(2.66)
Следовательно, оператор, осуществляющий полное преобра-
зование, — это
Up2 = U2Uv	(2.67)
Такое же обращение с операторами последовательных преоб-
разований, перемножаемых справа налево, применимо для
любого числа преобразований. В частности, если вслед за
двумя преобразованиями, последовательно примененными в
одном порядке, применяется обращение композиции этих
преобразований, взятых в другом порядке, то унитарный
оператор для результирующего преобразования имеет вид
^12] = ('2-б8>
Если оба преобразования бесконечно малы:
и} 2 = 1 + iG} 2 ,	(2.69)
то и составное преобразование
^[12] = 1 + 'G[12]	(2.70)
будет бесконечно малым первого порядка по каждому из от-
дельных преобразований:
G[12] = 7 [Ci,G21 = - G[21] •	(2.71)
В операторе последнее преобразование производит беско-
44
Гл.2. Геометрия состояний
нечно малое изменение
5[12]Х = W " W’	<2'72)
которое, если его записать с помощью коммутаторов, при-
водит к известному операторному тождеству (Якоби):
[[X.GJ'GJ - [[X.Cy.GJ = [X,[GrG2]].	(2.73)
(2-74)
непрерывную
2.8.	Группы унитарных преобразований. Сдвиги и повороты
Непрерывное повторение некоторого бесконечно малого
унитарного преобразования порождает конечное унитарное
преобразование. Если соответствующий бесконечно малый
эрмитов оператор G - так называемый генератор унитарного
преобразования — записать в виде 5tG^, то обнаружи-
вается, что применение этого бесконечно малого преобра-
зования т/от раз в пределе дает
G(t) = Li m (1 + i5rG )т/5т = ertG(l).
Зт-»0	' *'
Эти операторы образуют однопараметрическую
группу унитарных преобразований
G(Ti)G(t2) = G(t1+t2) ,
G(t)-1 = t/(-T), U(0) = 1 .
Набор конечных эрмитовых операторов G^, .
рождает ^-параметрическую непрерывную группу унитарных
преобразований в том случае, если эти операторы образуют
линейный базис некоторого операторного кольца, которое
замкнуто относительно унитарных преобразований этой
группы. Это требует, чтобы все коммутаторы	[G^, G^]
были линейными комбинациями исходных генерирующих опера-
(2-75)
C(fc) по-
торов.
Имеется фундаментальная непрерывная группа унитар-
ных преобразований, базирующаяся на понимании измерений
как физических операций в трехмерном пространстве. Изме-
рительный прибор определяет систему пространственных ко-
ординат, относительно которой описываются физические
свойства. Чтобы выразить свойство однородности простран-
ства, мы утверждаем, что две системы координат,
Гл.2. Геометрия состояний
45
отличающиеся только местоположением и ориентацией,
внутренне эквивалентны. В частности, физические величи-
ны, аналогичным образом определенные относительно разли-
чных систем координат, обладают одинаковым спектром воз-
можных значений, а соответствующие операторы должны быть
связаны некоторым унитарным преобразованием. Поскольку
совокупность сдвигов и поворотов системы координат обра-
зует шестипараметрическую непрерывную группу, мы заклю-
чаем, что существует некоторая изоморфная ей группа уни-
тарных операторов.
Чтобы описать бесконечно малое изменение системы
координат, говорят, что точке с радиус-вектором х в на-
чальной системе координат соответствует радиус-вектор
х-5х в новой системе координат, где
5х = 5е + дох х .	(2.76)
Бесконечно малый генератор соответствующего унитарного
преобразования записывается в виде
сх. Se*P + ito-J -	.	(2.77)
к	RI
где использовано характерное для трех измерений соответ-
ствие между аксиальными векторами и кососимметрическими
тензорами. Если по аналогии с (2.68) сравнить два поряд-
ка, в которых можно осуществить пару бесконечно малых
замен координат, то найдем
5 Е = SOjX 6е2 - 5ь>2х SEj ,
3[12]ь> = б^х бь>2 ,	(2.78)
откуда следует, что соответствующие бесконечно малые ге-
нераторы подчиняются перестановочному соотношению (2.71)
|[6е1*Р +	, 5е2«Р + 5g>2-J] =
= (SQjX 5е2 - SWjXSsp’P + б^х бь>2 • J . (2.79)
Поэтому
7 ('’.-'У = »-
7tVJ -
?Г*г7тл] =	5,„7(т+	(2.80)
46
Гл.2. Геометрия состояний
последнее равенство в трехмерной векторной записи прини-
мает вид
JxJ = iJ.	(2.81)
Шесть содержащихся в символах Р и J эрмитовых операторов
— генераторы бесконечно малых сдвигов и поворотов —
идентифицируются как операторы полного импульса4 и
полного углового момента соответственно. Эти физические
величины возникают измеренными в определенных естествен-
ных единицах - просто числах для углового момента и об-
ратных длинах для импульса.Связь между такими атомными
единицами и условными макроскопическими стандартами нуж-
но найти эмпирически. В случае использования последних
надо ввести переходной множитель — заменить Р и J на
h-1P и h-1J. Постоянная!! имеет размерность действия, а
ее измеренное значение есть
h = 1,0545 • IO"27 эрг-сек .	(2.82)
Для общетеоретических рассуждений естественные единицы
предпочтительнее, и поэтому они будут использоваться в
этой книге.
2.9.	Отражения
Непрерывную группу переходов между кинематически
эквивалентными системами координат можно пополнить опе-
рацией отражения положительного направления каждой про-
странственной оси координат. Такому изменению описания
мы сопоставим унитарный оператор отражения R:
R*R = 1 .	(2.83)
Отражение, вслед за которым выполняется бесконечно малое
смещение 5е, 5ь>, равносильно преобразованию, когда сна-
чала выполняется смещение -5е, 5ь>, а затем отражение.
Поэтому
[1+<(5е«Р +	J)]/? = /?[1+г ( -5е«Р + 5ьгЛ)],	(2.84)
или
4
В оригинале - linear momentum. - Примеч.пер.
Гл.2. Геометрия состояний
47
= -Pk , R-bklR = Jkl.	(2.85)
2.10.	Непрерывный спектр
Мы развили общую математическую структуру квантовой
механики как символическое выражение законов атомного
измерения, имея в виду физические системы с конечным чис-
лом состояний. Остановимся теперь очень коротко на том,
как распространить предшествующие рассуждения на системы
с бесконечным числом состояний и на свойства, обладающие
непрерывным спектром возможных значений. При любом изме-
рении такого свойства отбираются системы, которым соот-
ветствуют значения из определенного интервала, н, следо-
вательно, понятие состояния в этом случае относится к
конкретному выбору полного набора совместимых величин в
пределах сколь угодно малых окрестностей предписанных
значений. Такие состояния мы будем изображать символами
|а'>д, д<а'| и выражать их полноту равенством
1 = £,|а'>АД<а'| .	(2.86)
а
Новая нормировка векторов
|а'>д = (Да')1/2| а'> ,
<а'|д = (Да')1/2<а'| ,	(2.87)
в которой Да' есть произведение длин интервалов собст-
венных значений каждого свойства с непрерывным спектром,
в пределе Да' —>0 дает
1 = J |а'> </а'<а' | ,	(2.88)
если, конечно, все элементы набора А имеют непрерывный
спектр. Для произвольного вектора Ф, представленного во-
лновой функцией
0(а')=<а'|Ф,	(2.89)
мы можем написать соотношение
0(a') = J <а' | а"> da"0(a"),	(2.90)
которое является операциональным определением дельта-
фуикции:
48
Гл.2. Геометрия состояний
<а'|а"> = 5(а'-а") .	(2.91)
Это соотношение является непрерывным аналогом свойства
0(а') = 1п8(а',а")ф(а") ,	(2.92)
а
и вообще во всех формальных соотношениях, относящихся к
непрерывному спектру, суммирования заменяются интеграла-
ми. В частности, вероятность того, что измерение, выпол-
ненное над системой в состоянии Ф, зарегистрирует одно
состояние из некоторого набора, предстает теперь как ин-
теграл по этому набору jda' |ф(а') |2 , таким образом, вы-
ражение
dp{a',V) = da' |0(а')|2	(2.93)
можно понимать как вероятность обнаружить систему, свой-
ства А которой принимают значения в бесконечно малой
окрестности da' точки а'.
2.11.	Дополнение: Операторное пространство.5
Геометрия состояний наделяет элементы алгебры изме-
рений геометрической интерпретацией операторов на неко-
тором векторном пространстве. Но операторы и сами по се-
бе образуют векторное пространство, поскольку совокуп-
ность операторов замкнута относительно сложения и умно-
жения иа числа. Размерность этого операторного простран-
ства равна N2, так как это есть число линейно независи-
мых символов измерения любого заданного типа. Унитарное
скалярное произведение в этом операторном пространстве
определяется как число
<Х|У> = Tr(XfK) = <Kt|Xt>
со свойствами
<Х|У>* = <У| Х> ,	<Х|Х>*0.
Вычисление следа
ТгМ(Ь',а')М(а",Ь") = д(а',а")д(Ь' ,Ь")
характеризует базис М(а' ,Ь') как ортонормальный
5Текст воспроизводится из Proc.Nat. Acad.Sci.-1960.-V.46.-P.261-265.
Гл.2. Геометрия состояний
49
<M(a',6')|M(a",6")> = 8(а',а")8(Ь' ,Ь"),
а на общее линейное соотношение между символами измере-
ния,
M(c',d') =	\c'y<d' \b'y М(а',b') ,
можно теперь смотреть как на преобразование, связывающее
два ортонормальных базиса. Такая замена базиса описы-
вается функцией преобразования
<а' Ь‘ | с'd' > = <М(а' ,b')\ М(с' ,d' )> = <а' |c'><d' | &' > ,
причем
<а' b' \с' d'y = <d'c'\b'a'y
н
<a/6/|c'd/>* = (с'd' = <b‘a'\d'c'y .
Кроме того, можно подтвердить свойство композиции функций
преобразования
Г <а' b' \с‘ d'у <с'd' \е' f'y = <а' b' \ е' fy .
cd'
Вероятность, связывающая два состояния, возникает как
частный случай функции преобразования в операторном про-
странстве
p(a'.b') = <а'\b'y<b'\а'у = <а' а' \ Ь' Ь'у .
Пусть Х(а), a=l,...,N , суть элементы произвольного
ортонормального базиса:
<Х(а)|Х(а')> = З(а.а') .
Его связь с базисом М(а',Ь') описывается функцией преоб-
разования
<а'6'|а> = ТгМ(Ь',а') Х(а) = <а' \Х(а)\Ь'у .
Кроме того,
<а | а' Ь' у = <а' Ь' | а> * = <Ь‘ | Х(а) а‘ > ,
н одно из свойств функции преобразования
S <a'b' \ay<a\a"b"y = 8(a'b',a"b")
ОС
обретает матричный вид:
£ <а'|X(a)|6'><6,/|X(a)t|a/'> = 8(а' ,а") 8(b' ,b") .
ОС
Если мы умножим последнее равенство на 6-матрицу произ-
50
Гл.2. Геометрия состояний
вольного оператора У и просуммируем по Ь' и Ь", то полу-
чим а-матричное представление операторного равенства
2 Х(а) У Х(а)+ = 1 ТгУ ,
а
справедливость которого для произвольного оператора У
эквивалеитиа полноте операторного базиса Х(а). Поскольку
совокупность операторов Х(а)т также образует ортонорма-
льный базис, то одновременно
2 X(a)fyX(a) = 1 ТгУ ,
a
что в частном случае У=1/М дает
{,№)/(«)* = ^Еад^(а) = 1 .
а	а
Разложение произвольного оператора относительно нашего
ортонормального базиса Х(а),
X = £ Х(а)х(а) ,
а
определяет соответствующие компоненты:
х(а) = <Х(а) |Х> = <ос|Х> .
Для базиса М(а',Ь'), например, компонентами являются
элементы матрицы оператора X в а&-представлении:
x(a'b') = TrM(b',a')X = <а'|Х|&'> .
Следовательно, скалярное произведение в операторном
пространстве вычисляется по формуле
<Х|У> = Е х(«) V») ,
a
И
<Х|Х> = Е |х(а)| 2 о .
a
При замене базиса компоненты данного оператора изменяют-
ся в соответствии с
x(a) = Е <«ПЗ>х(₽) .
3
Для базисов, состоящих из символов измерений, эта форму-
ла принимает вид закона преобразования матриц.
У операторного пространства есть две особенности,
которые ие имеют аналогов в пространстве состояний,
операция сопряжения и умножение элементов определены в
том же самом пространстве. Поэтому
Гл.2. Геометрия состояний
51
Х(а) = £ (аЗ)Х(З)* ,
3
(«3) = (За) = ТгХ(а)Х(3),
и	♦
Х(а)Х(3) = £ (аЗУ)Х(у)т = £ Х(у)<у|аЗ> ,
7	7
где
(«ЗУ) = (ЗУ«) = (У«3) = ТгХ(а)Х(ЗИ(У)
и	+
<У|«3> = ТгХ(у)тХ(а)Х(3) .
Отсюда следуют, в частности, соотношения
<а|Х>* = £ (аЗКЗИ+> ,
3
<У|*У> = Е <У|аЗ><а|Х><3|У> ,
a.fi
которые обобщают известные свойства сопряжения и умноже-
ния матриц. Теперь элементы операторного пространства
имеют двойственный характер: с одной стороны — это опе-
раторы, а с другой - объекты для образования матриц
<а|Х|а//> =<а|ХХ(а")> = £ <а|а'а"><а'|Х> .
а/
С точки зрения этого определения базисы из символов из-
мерений выделяются полной приводимостью таких матриц в
том смысле, что
<а'Ь'\Х\а"Ь"> = <а' \Х\а"> 8(Ь',Ь") .
Иначе говоря, совокупность W символов измерения М(а',Ь’)
с фиксированным Ь' или а' является соответственно левым
или правым идеалом этого операторного пространства.6
В возможности введения ортонормальных базисов из
эрмитовых операторов нетрудно убедиться на примере сис-
темы операторов:
М(а',а") + М(а",а')
z М(а',а") - М(а",а') при а‘*а“-
Для любого такого базиса имеем
б_	.	.
Точнее, левым (или правым) идеалом является множество элементов вида
£х(а' )М(а' ,Ь‘), где Ь‘ — фиксированно (или )М(а' ,Ь* ), а' — фиксирован-
а'	ь'
но). — При меч. пер
52
Гл.2. Геометрия состояний
<а|а'> = (аа') = 3(а,а')
и * +
<а|Х> = <а|ХТ> ,
а следовательно, компоненты эрмитова оператора X относи-
тельно такого базиса являются вещественными числами, и
поэтому	„
<Х|Х> = £ х(а)2 г 0 .
а
Таким образом, в подпространстве эрмитовых операторов
царит евклидова геометрия, и замена базиса является ве-
щественным ортогональным преобразованием:
Х(а) = Е (аЗ)Х(З) •
0
Если в качестве элемента таких базисов берется единичный
—1/2
оператор (умноженный на W ), то это определяет неко-
торое инвариантное подпространство, а свобода в выборе
ортогонального преобразования связана с базисом из W -1
операторов с нулевым следом.
Важные примеры ортонормальных операторных базисов
дает изучение унитарных операторов.
2.12. Дополнение: Базисы из унитарных операторов6
Для того чтобы набор операторов можно было квалифи-
цировать как фундаментальные квантовые переменные неко-
торой физической системы, его должно быть достаточно для
построения всех возможных величин этой системы. Поэтому
такие операторы будут восприниматься как образующие не-
которого полного операторного базиса. Основным предметом
этой заметки являются базисы унитарных операторов.7
Две системы координат в пространстве векторов сос-
тояний и правило соответствия между ними определяют не-
который унитарный оператор. А именно, задав две упорядо-
ченные системы векторов <&*|, k = 1, ... , N и со-
пряженье к ним векторов, построим операторы
6Текст воспроизводится из Proc.Nat.Acad.Sci.-1960.-V.46.-Р.570-579.
7Относительно используемых здесь обозначений и понятий см. Proc.Nat. Acad.Sci.
-1959.-V.45.-P.1542 и 1960.-V.46.-P.257.
Гл.2. Геометрия состояний
53
N ь ь
иаЬ = £ \ak><bk\ .
ао fe=l
N ь ь
Uba = £ \bk><ak\ .
Л= I
которые, очевидно, таковы, что
<6*|«1а-<о*|.	1/6,|о*> - |6*>,
и	+
и .U. = и. и . = 1, U\ = и. ;
ао оа оа	ао	а о	оа
откуда вытекает свойство	унитарности
и* = и~х
операторов U ь и LL. Если задана третья упорядоченная
система координат k = 1, ... , N, то можно анало-
гично определить унитарные операторы Uас, U, которые
обладают свойством композиции:
U .U, = U
ао Ьс ас
Унитарный оператор получается также из двух орто-
нормальных операторных базисов в заданном пространстве,
которые имеют одинаковые свойства умножения:
№
Х(а')Х(а") = £ Х(аХа|а'а"> ,
а= 1
У(а')У(а") = Е У(а)<а|а'а"> .
а
Пусть по определению
U = Л Е	,
а
тогда оказывается, что
X(a')U = А Е Х(аКа|а' a'yY(a"f = UY(a') ,
аа"	*
последнее следует из того, что операторы У(а)' образуют
ортонормальный базис, и поэтому
y(a)fy(a' )=Е /У(а")1'ТгУ(а)+У(а/ )У(а")=Е <а | a' a,/>y(a//)t.
а"	а."
Справедливо и сопряженное соотношение
y(a)+£/t = (7tX(a)t ,
из которого в силу полноты базиса Х(а\ следует:
UU^ = Л Е X(a)y(a)tt/t = Л Е X(a)£/^X(a)t = 1Л Trf7f .
54
Гл.2. Геометрия состояний
Таким образом, оператор U является унитарным, если мы
положим
Л-1 = Тг[/ = Л* £ <Х(а)|У(а)> ,
а
и, следовательно, с точностью до произвольного фазового
миожителя,
Л = Е<Х(а) |У(а)>]-1/2 .
Стоит остановиться и иа обратных теоремах. Для любого
унитарногооператора U, ортонормальный базис
У(а) = U~'X(a)U
подчиняется тому же закону умножения, что и базис Х(а),
а операторы У(а)^ задаются в точности такой же линейной
комбинацией операторов Y(a), что и операторы Х(а)^ через
систему Х(а). В частности, если Х(а) - эрмитов базис, то
и базис У(а) - тоже эрмитов.
Мы не можем удержаться от иллюстрации этих замена-
ний на простейшем из N -мерных операторных пространств -
пространстве кватернионов, связанном с физической систе-
мой, которая имеет только два состояния. Если некоторую
конкретную пару состояний обозначить как + и -, то мы
получим четыре символа измерения М(±,±) и можем затем
ввести ортонормальный базис из эрмитовых операторов
Х(а) = <ra/V2 , а = 0,...,3 ,
причем такой, что
<г0 = i.
Соответственно, три других оператора , А = 1, 2, 3,
подчиняются условиям
Тго- = 0 ,	Тгсгь0'/ = 5ь/ •
к	2 к I ftl
а их явные выражения имеют вид
= М(+,~) + Af(-,+) ,	<r2 =	,
<т3 = М(+,+) - М(--) ;
коэффициенты этих выражений образуют хорошо известные
матрицы Паули. С помощью этих определений свойства умно-
жения операторов <т можно выразить в виде
Гл.2. Геометрия состояний
55
<г.<т, = 3., + i Г е., о- ,
k I kl	klm т
т
или, что эквивалентно, через след
к Тпт.о-.о' = ie.. ,
2 klm klm
где eklm есть альтернирующий символ, заданный условием
е123 = +^‘ Если теперь ввести любой другой эрмитов орто-
нормальный операторный базис У(а) = <^/^2, где о'0=1, то
возникающее преобразование трехмерного ортонормированно-
го базиса
= 2 rkfl - k = 1'2'3'
вещественно и ортогонально:
г* = г , гтг = 1 .
Из свойств умножения элементов <г-базиса вытекает, что
4 Tr = ie.. det г
2 klm klm
где в силу ортогональности преобразования detr = +l.
Если ортогональное преобразование является собственным,
то свойства умножения а-базиса и «т-базиса совпадают,
тогда как в случае несобственных преобразований при вы-
числении произведений эффективно используется i с
противоположным знаком. Следовательно, только в первом
случае - случае чистого поворота - существует унитарный
оператор такой, что
Е	
Этот
О
зом:
унитарный оператор строится явно следующим обра-
А 3	— А Г	3	1
и = 7 Е = И 1 + Тг Г + ГЬ/еЬ/т<Гт '
Z _ ОС ОС Z I	. kl klm т I
а=0	u	m=l	J
где
А = (1 + Тг г)~1/2 .
Вернемся к определению унитарного оператора как
отображения одной системы координат на другую и отметим,
8П	.	. .
Довольно удивительно, что в доступной литературе нет явной формулировки это-
го простого н общего результата. Хорошо известно обратное вычисление, выражаю-
щее матрицу трехмерного поворота через элементы этой унитарной матрицы (пара-
метризация Эйлера, Кели - Клейна), и совершенно аналогичным образом строится
эта унитарная матрица с помощью углов Эйлера.
56
Гл.2. Геометрия состояний
что эти два набора векторов могут быть одинаковыми с то-
чностью до порядка. Поэтому рассмотрим определение уни-
тарного оператора V с помощью циклической перестановки
<afe|V = <afe+,| , k = 1.....У ,
где
<a*+’| = <а’| ,
что означает возможность обозначения одного и того же
состояния любым из целых чисел, конгруэнтных по модулю
N. Повторные применения V определяют линейно независимые
унитарные операторы n fe+n
до тех пор, пока не получим
<ak\VN = <afe+/V| = <a*| .
Таким образом, соотношение
VN = 1
является минимальным уравнением, т.е. уравнением наиме-
ньшей степени, которому подчиняется этот оператор, и ко-
торое определяет наличие периода У. Собственные значения
оператора V подчиняются такому же уравнению и, следова-
тельно, задаются N различными комплексными числами:
2 it Zfe
v' = е N = vk , k = 0....У-1.
Унитарные операторы можно рассматривать как комп-
лексные функции эрмитовых операторов, и поэтому на них
можно перенести всю спектральную теорию эрмитовых опера-
торов. Если унитарный оператор V имеет N различных собс-
твенных значений, то его собственные векторы образуют
ортонормальную систему координат. Сопряжение правых соб-
ственных векторов |и')> дает левые собственные векторы
<и' |, связанные с той же системой собственных значений,
а произведения
\v'>(y' | = М(у')
обладают всеми свойствами, предъявляемыми к символам из-
мерения. Теперь заметим, что факторизация минимального
уравнения для V, записанная в виде
Гл.2. Геометрия состояний
57
N-1	.
(V/v' - 1) Е (V/v'y = о ,
/=0
дает возможность установить вид этого эрмитова оператора
где множитель N~* выбран для того, чтобы
О' |М(и') = О' | .
Умножив M(vk) на <a^| и воспользовавшись определением
оператора V, получим	2п.
<aA,|v*>Ofc| =	^<а'|е
I
откуда следует:	.. . 0
|<av|u*>|2 = 1/W .
Тогда при надлежащем соглашении о фазе 0^1 получаем
разложение
0*1 = ЛГ,/2Е<а'|е”^',
t
которое также можно записать в виде элементов функций
преобразования, связывающих данную систему координат с
системой координат из собственных векторов унитарного
оператора, циклически переставляющего векторы данной
системы:
-	—kl
<v*|aJ> = У1/2е N ,	О'|п*> = ЛГ1/2е N .
Перейдя к новой системе координат <п*|, мы опреде-
ляем другой унитарный оператор с помощью той же цикли-
ческой перестановки уже этого набора. Удобно ввести опе-
ратор U такой, что .	,
<ц*|1/-1 = <vfc+1| ,
или, эквивалентным образом,
Этот оператор также имеет период Af,
UN = 1 ,
и обладает тем же спектром, что и V,
и' = е N = uk , k = О,..., N-l .
Воспользовавшись свойством	, запишем соответс-
твующий символ измерения в виде
58
Гл.2. Геометрия состояний
М(и') = X Wu')lu~l ,
1=0
и, применяя затем описанную выше процедуру, строим собс-
твенные векторы оператора U:
*”ikl
<«fe| = N~x/2 £ <ul|e N = £ <ak\vly<v '| = <a *) •
i	i
Таким образом, первоначальная система координат восста-
новилась и наши результаты теперь можно сформулировать
как обратимое определение двух унитарных операторов и их
собственных векторов:
<z?|V = <ufe+1| ,
= <ufe+1| .
Связь между этими двумя системами координат задается те-
перь равенствами
= N~'/2 е N ,	= N~x/2e
и, помимо этого, свойствами периодичности
UN = VN = 1 ;
из сравнения равенств	2
<?|W = <uk+x\uk, <uk\VU = <uk+x\uk+x= (и k+X\u k е N
МЫ выводим, что	Л ,
2 7Г<
VU = е NUV .
Кроме того, из последнего результата мы, как следствие,
имеем
VlUk = е N UkVl .
Каждый из унитарных операторов U и V является функ-
цией некоторого эрмитова оператора, который сам формиру-
ет полный набор физических свойств. Естественно перенес-
ти это соответствие непосредственно на эти унитарные
операторы, которые более доступны для исследования, чем
соответствующие эрмитовы операторы. Поэтому теперь мы
говорим о статистической связи между свойствами U и V,
как то предписывает вероятность
P(u'.v') = |<u' | vz>| 2 = 1/W .
Гл.2. Геометрия состояний
59
Значение этого результата можно уяснить, если рассмот-
реть последовательность измерений, которая включает ие-
селективиое измерение, как в формуле
р(и' ,v, и") = 2 р(и' ,v')p(y',и") = 1ZV ,
v‘
поскольку она утверждает, что вмешавшееся неселективное
п-измерение разрушило все предшествующее знание об
u-состояниях. Таким образом, свойства U и V проявляют
максимальную степень несовместимости. Кроме того, мы по-
кажем, что U и V суть образующие полного ортонормального
операторного базиса в виде набора № операторов
Х(тп) = N~V2UmVn , т, п = 0...........N-1	,
и поэтому они сообща дают основу для полного описания
физической системы, имеющей N состояний. Имея в виду оба
эти аспекта, об U и V говорят как о взаимно
дополнительной9 паре операторов.10 Так случилось, что ме-
жду операторами U и V имеется полная симметрия, что вы-
ражается инвариантностью всех свойств при замене
U V , V 1Г} .
Данное обстоятельство можно было бы подчеркнуть, выбрав
элементы операторного базиса в виде
ni	_ ni
№/2е N UmVn = N~V2e N VnUm ,
которые инвариантны относительно этой замены в сочетании
с заменой т—>п, п-+-т.
Одно доказательство полноты операторного базиса,
порожденного U и V, зависит от следующей леммы: Если не-
который оператор коммутирует и с U, и с V, то он обязате-
льно является кратным единичному оператору. Так как U
полон сам по себе, такой оператор должен быть функцией * В
9
В оригинале "complementary*.- Примеч. пер.
^Операторы, имеющие алгебраические свойства операторов U и V, давно известны
из книги Г.Вейля “Теория групп и квантовая механика* (М.:Наука,1983.-Гл.4,§14.
- Примеч. пер.), одиако ие было понимания этих операторов как образующих полно-
го операторного базиса для любого W и их оптимальной несовместимости, как это
устанавливает свойство взаимной дополнительности. Никто отчетливо ие разгля-
дел, что из этих рассуждений выявляется априорная классификация всех возмож-
ных типов физических степеней свободы.
60
Гл.2. Геометрия состояний
оператора U. Тогда, согласно предположению о коммутатив-
ности с V, для каждого k имеем
0 = <uk\[f(U)V - Vf(Uy]\uk+i> = f(uk) - f(uM) ,
т.е. эта функция от U принимает одно и то же значение
для каждого состояния, что отождествляет ее с операто-
ром, кратным единичному. Теперь для произвольного У рас-
смотрим сумму
2 X(mn)YX(mnf =	£ umVnYV~nU~m = у Г VnUmYU~mV~n
тп	тп	тп
и заметим, что умножение слева на U и справа на L/-1 или
на V и соответственно, приводит лишь к переуст-
ройству суммирований. Соответственно этот оператор ком-
мутирует и с U и V. Взяв след, устанавливаем, что множи-
тель при единице равен ТгУ, и. следовательно,
N-i	+
£ X(mn)YX(mny = 1-ТгУ ,
т, л» 0
л
т.е. получено условие полноты для N -мерного операторно-
го базиса Х(тп). Покажем, с другой стороны, что эти №
операторы ортонормальны, для этого вычислим
<Х(тп)\Х(т' п')> = Tr um'~mVn'~n = о^т.т'^п.п') ,
т, п, т', п' = 0, ...,ЛМ .
То, что это единица в случае т=т' и п=п', очевидно. Если
т*т', то разность т—т' может принимать любое отличное от
нуля значение между (N-1) и -(N-1). Поскольку оператор
Um ~т изменяет каждый вектор <oft| на ортогональный
|, то при вычислении следа в ^-представлении по-
лучается нуль. Аналогично, если n*n‘ и след вычисляется
в u-представлении, то получается нуль, так как каждый
вектор <uft| преобразуется оператором Vn ~п в ортогональ-
ный <i?+n'-n|.
Заслуживает внимания одно применение свойства пол-
ноты операторов. Для начала заметим, что операторы
2iri
UmVnUV~nU~m = е ""и = unU ,
Гл.2. Геометрия состояний
61
_ 2я‘
UmynV\rntrm = е = v~mV ,
представляют собой унитарные преобразования, которые
производят только циклические спектральные сдвиги. Если
теперь оператор Y задан как произвольная функция U и V,
то условие полноты для нашего операторного базиса можно
записать в виде
1/№ %F(u'U,v'V) = \/N TrF ;
и V
Это равенство представляет собой разновидность эргодиче-
ской теоремы, поскольку оно уравнивает среднее по всем
спектральным переходам со средним по всем состояниям.
Явное упоминание об операторах можно обойти, если F(U,V)
строится из членов, которые подобно отдельным операторам
Х(тп), упорядочены так, что U располагается везде слева
от V. Тогда мы можем вычислить матричный элемент этого
операторного равенства, соответствующий состояниям <и°|
и |п >, который приводит к числовому соотношению
TrF(U,V) = l/N ^F(u',v') .
ио
Интересно отметить, что некоторые из степеней Uk,
k = 1,..., ЛГ-1, могут иметь период N. Это случается тог-
да, когда k и N не имеют общего делителя, и поэтому чис-
ло таких операторов равно <p(N), количеству целых чисел,
меньших N, и взаимно простых с АЛ11 Далее, с каждой такой
степенью оператора U можно связать степень V1, также
имеющую период ЛЛ, которая в паре с Uk подчиняется тому
же операторному равенству, что и операторы U и V,
21Г1
VlUk = е " UkVl .
Это равносильно уравнению
kl = l(mod AQ ,
в силу теоремы Ферма-Эйлера единственное решение этого
уравнения имеет вид
^Имеются в виду положительные целые числа, причем единица считается взаимно
простой с любым Af. - Примеч. пер.
62
Гл.2. Геометрия состояний
/ = ИЛ,)-1 (mod N) .
Эта пара операторов также порождает операторный базис
Х(тп) в несколько переставленном порядке.
Теперь мы заменим единственную пару взаимодополни-
тельных операторов U,V несколькими такими парами, отде-
льные члены которых имеют периоды меньшие, чем наше
произвольное N. Это приводит к классификации квантовых
степеней свободы относительно этих различных несократи-
мых, простых периодов. Пусть
АГ = Л^2 ,
где целые числа N. и N2 взаимно простые, и
их = U г ,	и2 = U 1,
vx = v ‘'”2	v2 = V '2**
причем
= N2 (mod Nx) , l2 = Nx (mod #2) .
Видно, что Uv Vx имеют период AT^ a U2, V2 - период N2,
и что эти пары операторов взаимно коммутативны, например
N
VXU2 = е " 1 1	= U2VX .
Далее,
VJJX = е UVX , V2U2 = е X U2V ,
так что UX,VX и U2,V2 образуют две независимые пары вза-
имно дополнительных операторов, соответствующие относи-
тельным периодам Л^и #2. Кроме того, мы замечаем, что
N = Л^Л^2 независимых степеней оператора U можно получить
в виде
m m (m,AL+ m.NA tn. = 0,..., N1 ,
u'u2=u'2 2 1 ,	1	1
1	2	m = 0,..., AZ-l ,
ибо в силу взаимной простоты и Н2 все эти степени
различны. Проделав подобное построение для V, мы обнару-
живаем, что члены нашего ортонормального операторного
базиса, правда, иначе упорядоченные, задаются выражениями
Гл.2. Геометрия состояний
63
Х(т}т2п}п2) = N~'/2U"X U™2 V*' v/2 = п X(m.n.) ,
где
X(m,n.) = N~.'/2	У*1,	m., n, = 0...У.-1 .
' / Г I i 1	11	1
Другой подход к этой коммутативной факторизации
операторного базиса заключается в параметризации индекса
собственных чисел k=0,...,N-1 с помощью пары целых чисел
k = k^N2 + k2 ,
k}= 0,...,Nri ,
k2= 0...n2-i .
на
Соответствующим образом
uk
vk
мы
заменяем
21Г1*
fe.
«1
fe.
V\
2nik
".
u,
fe2 fe2
2	= °2
2ni*.
₽ X
e 2 ,
e
и
e
что дает
<uft| = <u,
к.
2|
<f 1 = <v , 1 V 2
k.
Определив эти векторы как собственные векторы пар комму-
тирующих унитарных операторов, мы можем определить U^2>
V) 2 с помощью следующих обратимых соотношений:
fe	fe,
S	ft2
<^1 v2
Л,+1
' и2 2|
fe+1 k,
<V1 V2
k k
I, <«1*«22|
E	k k
2Ь <U1' и2
 ftl
u 1
U2 2 I
1
V1|
2 1
v
которые воспроизводят свойства	2jri
-тг
U. > = V. > = 1 , V.U, = e Nj UV, ,
1	1	il	1 1
вместе с коммутативностью любых двух операторов, coot-
2 2
ветствующих различным индексам. В ортонормальности ACAL—
2	I *
N операторов Х(т^т2п^п2) теперь можно удостоверится
непосредственно. Кроме того, если надлежащим образом
продолжив предыдущие рассуждения, мы получим функцию
преобразования
64
Гл.2. Геометрия состояний
<Ц1 U2 |U1 V2^ =	>
Где	2ir«
Л. '•	i/о ПТ*'-
<u, >\v.ly = N~'/2 е Ni 11 .
х / 1 l z l
Продолжение этой факторизации обрывается при
/=1 '
где f — полное число простых делителей, включая повторе-
ния. Мы называем это свойство, характеризующее N, числом
степеней свободы для системы, имеющей N состояний. Таким
образом, окончательный коммутативно факторизованный ба-
зис
X(mn) = пХ(т п ) ,
/=1	1 1
Х(т.п.) = <1/2 и"1' V*i ; т. . п. =0,...р.-1 ,
' 1 Г I 11	1	1	I
строится из операторных базисов, соответствующих отдель-
но каждой из f степеней свободы, а пара неприводимых
взаимодополнительных величин каждой степени свободы
классифицируется значением простого целого числа v - 2,
3, 5,- ..., <х> . Например, в случае р=2 взаимодополнитель-
ные операторы U и V антикоммутируют и их квадрат равен
единице. Поэтому их можно отождествить, например, с <г и
(Г2, а соответствующий операторный базис дополнить произ-
ведением -iUV = (Г3-
Характеристики степени свободы с бесконечным числом
состояний можно изучить, если явно выделить эрмитовы
операторы, от которых зависят операторы U и V:
U = ем , V = е'ср ,	£ = (2я/р)1/2 ,
где
qk = pk = ke , k = 0, +1, +2, ..., ±^(v-l) .
Мы не будем выполнять операций, необходимых для предель-
ного перехода v —> m, которые, очевидно, дадут хорошо из-
вестную пару взаимодополнительных свойств с непрерывным
Гл.2. Геометрия состояний	65
спектром. Однако одно замечание нужно сделать. При таком
подходе не встречается каких-либо затруднений, где бы
при введении непрерывного спектра требовалось построение
нового формализма, будь то язык дельта-функции Дирака
или распределений. Правильнее будет сказать, что перед
нами стоит прямая задача — установить природу подпрост-
ранств физически осмысленных состояний и операторов, для
которых можно единообразно выполнить предельный переход
v —» со .
ГЛАВА 3
ДИНАМИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП
3.1.	Оператор действия
3.2.	Оператор Лагранжа
3.3.	Принцип стационарного действия
3.4.	Оператор Гамильтона
3.5.	Уравнения движения. Генераторы
3.6.	Перестановочные соотношения
3.7.	Два класса динамических переменных
3.8.	Взаимодополнительные переменные первого рода
3.9.	Неэрмитовы переменные первого рода
3.10.	Взаимодополнительные переменные второго рода
Измерение есть физическая операция в пространстве и
времени. Свойства системы описываются по отношению к из-
мерениям в некий заданный момент времени, и ни одно из
значений этого времени принципиально неотличимо от дру-
гого по результатам измерений над изолированной систе-
мой. Следовательно, операторы, представляющие аналогич-
ные свойства в различные моменты времени, должны быть
связаны с помощью унитарного преобразования. Распростра-
нение во времени возмущений, порождаемых измерением,
приводит к тому, что физические величины, относящиеся к
различным моментам времени, вообще говоря, несовместимы.
Поэтому полный набор совместимых свойств будет относить-
ся к единому времени, а описание состояния требует зада-
ния значений этих величин (вместе с системой пространст-
венных координат) и времени. Таким образом, функция пре-
образования, связывающая два произвольных описания, при-
нимает вид	частными случаями которого явля-
ются:	- функция, связывающая два различных на-
бора величин в один и тот же момент времени, и
<az /J a"t<^ — функция, связывающая аналогичные свойства
в разные моменты времени. Эта связь между состояниями в
различные моменты времени включает всю динамическую ис-
торию системы на данном интервале. Следовательно, свой-
ства конкретных систем должны полностью содержаться в
динамическом принципе, который характеризует функцию
преобразования общего вида.
Гл. 3. Динамический принцип
67
3.1.	Оператор действия
Любое бесконечно малое изменение функции преобразо-
вания	можно записать в виде (см. равенство
(1-68))
3<а'/1|а"/2> = /<a71|3lFl2|a'y2>,	(3,1)
где ЗШ'ц - бесконечно малый эрмитов оператор, обладающий
свойством аддитивности
5U712 + 5Г23 = 5Г13	(3-2)
для последовательных преобразований. Теперь мы введем
наш фундаментальный динамический постулат: . существует
специальный ' класс бесконечно малых изменений, для
которых соответствующие операторы 31F12 получаются
подходящей вариацией единственного оператора — оператора
действия
31F12 = 3[ttZ12] .	(3.3)
Согласно известным свойствам таких бесконечно малых опе-
раторов введенный оператор действия эрмитов,
^12 = ^12»	(3.4)
и обладает аддитивным сочетательным свойством,
^12 + Г23 = Г13 •	(3 5)
3.2.	Оператор Лагранжа
Если на переход от описания а^ к описанию а^
взглянуть как на непрерывную во времени череду бесконеч-
но мало отличающихся описаний, то свойство аддитивности
оператора действия утверждает, что
=	(3-6)
2
причем
Wiit = 0 .	(3.7)
поскольку величина	имеет фиксированное число-
вое значение. Если написать
Wt+dt,t = dt W •	(3.8)
68
Гл. 3. Динамический принцип
то общая форма оператора действия принимает вид
*1
WK = JdtL,	(3.9)
‘2
где L(t) - оператор Лагранжа — является эрмитовой функ-
цией некоторых фундаментальных динамических переменных
xa(t) в бесконечно малой окрестности момента времени t.
Без потери общности выбираем операторы x^t) эрмитовыми,
и будем пока считать их число конечным. Мыслимыми объек-
тами вариации в операторе действия являются начальный и
конечный моменты времени и I? > динамические перемен-
ные и структура оператора Лагранжа.
3.3.	Принцип стационарного действия
Для заданной динамической системы изменения в функ-
ции преобразования можно осуществить только явным изме-
нением состояний, к которым она относится. Такие вариа-
ции состояний возникают при изменениях физических свой-
ств или времени, с помощью которых определяется состоя-
ние, а бесконечно малые преобразования собственных век-
торов порождаются некими эрмитовыми операторами, которые
зависят только от динамических переменных в соответст-
вующее время:
3<а//11 = i<a\tx\Gv
3|<ф2> = - iG2|a''/2> .	(3.10)
Следовательно,
3<а'/1|а"/2> = iXa'^KG, - G^a"^,	(3.11)
а поэтому для данной динамической системы получается со-
отношение
= G, -G2,
Г'1
3^12 = 3 J dt Щ)
ч
которое является операторной формулировкой принципа ста-
ционарного действия, ибо оно утверждает, что вариация
интеграла действия содержит динамические переменные, от-
носящиеся только к начальному и конечному моментам вре-
мени. Из этого принципа получаются уравнения движения
для динамических переменных и конкретные выражения для
(3.12)
Гл. 3. Динамический принцип
69
генераторов бесконечно малых преобразований. Заметим,
что оператор Лагранжа не может полностью определяться
динамической природой системы, поскольку мы должны иметь
возможность осуществлять разнообразные бесконечно малые
преобразования над данной системой. В самом деле, если
два лагранжиана отличаются на производную по времени
L = L -	,	(3.13)
то соответствующие операторы действия связаны соотноше-
нием
^12 = ^12	-(^1-^2)’	(314>
и,следовательно, вариация
51Г12 = 5U7i2 - (Ж, - 5U72) = G , - C^,	(3.15)
также удовлетворяющая условию стационарного действия,
приводит к новым генераторам бесконечно малых преобразо-
ваний в моменты времени и f2 , причем
61Г, = G, - G ,,	5U72 = G2 -	.	(3.16)
3.4;	Оператор Гамильтона
Изменение фундаментальных динамических переменных
за бесконечно малый промежуток времени описывается неким
бесконечно малым унитарным преобразованием, которое при-
водит к дифференциальным уравнениям движения первого по-
рядка для этих переменных. Общая форма оператора Лагран-
жа, который дает уравнения
имеет вид1
_ Г dx. dx
L = -т) IX А , угт — угта А ,х,
4 / I a ab d I at ab b
ab I
= j- [xA
4 [
движения первого порядка,
- H(xa,t) =
|f - |f Дх] - H(x,t), (3.17)
где Aab - числовая матрица. Мы будем говорить об этих
двух частях оператора Лагранжа как о кинематической и
динамической соответственно. Заметим, что кинематическая
часть симметризована относительно перенесения производ-
ной по времени слева направо. Требование эрмитовости,
^Такой симметричный вид оператору Лагранжа можно придать всегда, благодаря
возможности вычленения полной производной по t. - Примеч. пер.
70
Гл. 3. Динамический принцип
наложенное на L, относится отдельно к каждой из этих
частей. Поэтому Н, оператор Гамильтона, должен быть эр-
митовым, а конечная матрица А — косоэрмитовой:
Дт* = -Д.	(3.18)
Для изолированной динамической системы время не содер-
жится явно в Н.
3.5.	Уравнения движения. Генераторы
Оператор действия, соответствующий оператору
ной структуры (3.17), имеет вид
г’Г1	1
1Г12 = J I ^(хД dx - dx Ах) - Н dt .
В этой форме пределы интегрирования являются объектами
варьирования. Однако можно представить, что введена не-
L даи-
(3.19)
которая вспомогательная переменная т, н вариации 3^ и
5f2 получаются изменением функциональной зависимости
t = f(r) по т при фиксированных пределах т^, т2- Эта
процедура уравнивает в правах переменную времени и дина-
мические переменные: Поэтому
5[ | (хА dx - dx Ах) - Н dx] -
- б/[|(хД5х - вхАх) - tf8f] =
= ^( 8х A dx — dx А 8х) — 8Н dt + dH 8t, ибо	(3.20)
8dx = 8 [x(T+dT) — х(т)] = d8x, 8dt = 8 [t(T+dz) - Z(t)] = d8t,	(3-21)
таким образом, принцип стационарного действия	утверж-
дает, что | ( 8х A dx - dx А8х) = 8Н dt - dH 8t	( 3.22)
ИЛИ 5// =	1(5хд|х_ dx45xb	( 3.23)
и дает бесконечно малые генераторы G = {(хА 8х - 8х Ах) - Н 8t = G* + Gf	( 3.24)
в начальный и конечный моменты времени. Структура оператора Гамильтона пока еще не	конкре-
тизирована. Коль скоро его вариация имеет вид	(3.23),
Гл. 3. Динамический принцип
71
где вариации 8х встречаются только слева и только спра-
ва, эти вариации должны обладать некими элементарными
операторными свойствами, характерными для того специаль-
ного класса операторных вариаций, с которыми оперирует
динамический принцип. А именно, мы должны иметь возмож-
ность перемещать каждую 5хд целиком налево или направо в
выражении вариации 8Н
ан д.Н 8 Н
SH ~ $T5t = 8х&Г = ЗТ~8х >	(3.25)
которое определяет левую и правую производные оператора
И. Ввиду полной симметрии между левым и правым мы заклю-
чаем, что в (3.23) члены с 8х слева тождественны членам
с 8х справа. Таким образом, получаем
dH _ 8 И	zo 961
ST “ сГТ
и
л dx _ д	dx л - дг d х - Ъ—	fX Ч7\
ast~sjT’ ~STA ~ ~А S~T ~ &Г~’	<3-27)
последние соотношс ния должны быть эквивалентными формами
уравнений движения. Аналогично, бесконечно малый генера-
тор G имеет следующие эквивалентные формы:
*	= -^5хАх = |хА, 5х = 1(Атх)5х;	(3.28)
а в общем случае левосторонняя и правосторонняя формы
связаны операцией сопряжения. В нашем изложении мы будем
предполагать, что матрица А несингулярна. Это означает,
что каждая вариация фигурирует в G * независимым об-
разом, и что каждая переменная подчиняется явному
уравнению движения.
3.6. Перестановочные соотношения
Бесконечно малый генератор G^ - -Н 8t описывает,
очевидно, унитарный переход от описания в момент времени
t к аналогичному описанию в момент времени t+8t, что и
определяет И как оператор энергии системы. Если F — про-
извольная функция динамических переменных x(t) и време-
ни, то оператор F, играющий роль F в описании, относя-
щемся к моменту времени t+8t, имеет вид
~F = F-8F = F(x(t+8t),t),	(3.29)
так как числовой параметр t не затрагивается операторным
72
Гл. 3. Динамический принцип
преобразованием. Следовательно,	(3.30)
- SF = -	<£]«,	
ИЛИ dF _ &F . 1 Г г rq ТТ = ЭТ + 7	'	(3.31)
что есть общее уравнение движения. Подставив F=H,	полу-
чим dH 8Н ST = сГТ’	(3.32)
в согласии с (3.26), выведенном из принципа стационарно-	
го действия. Такая же согласованность должна иметь	место
в уравнениях движения для динамических переменных,	кото-
рые требуют, чтобы 1	8 7	= ЗУ"	(3.33)
и	.	8 И 1 [-хЛ,//] = gf-.	(3.34)
Переписав эти соотношения в виде 1	81н 1	дн 43х [Ах,Н] = Зхд——, 7 [-хА,Н] 8х =-^г- Зх 1	к	J	ил	t u	J	0л	(3.35)
в силу равенства правых частей и эквивалентности	двух
выражений для G в (3.28), мы можем заключить, что [Зх, //] Ах = - хА [Зх, //] .	(3.36)
Мы будем удовлетворять этому условию согласованности,
требуя, чтобы каждая вариация 8ха коммутировала с опера-
тором Гамильтона
[Зха,Я]=0,	(3.37)
поскольку это требование позволяет придать перестановоч-
ным соотношениям (3.35) вид
,	,	8.Н	8 н,
1 [tf,GJ = isxgl- =	(3.38)
и идентифицировать преобразование, генерируемое G* , как
изменение каждой динамической переменной ха на величину
8ха. Соответственно, для произвольной функции динами-
ческих переменных в заданный момент времени имеем
1	1 d.F 8 F,
|[F,GJ = |3х^- = зН5х-	<3-39)
3.7. Два класса динамических переменных
Наличие двух эквивалентных версий билинейного по х
и 8х генератора G* в действительности означает, что пе-
Гл. 3. Динамический принцип
73
ремещение вариации 5хд через любую динамическую перемен-
ную индуцирует линейное преобразование этих переменных
8ха	дха ,	(3.40)
где ka — некоторая матрица. Из сопряженного аналога
ХЬ^Ха = $ха [^ах] '	(3 41)
мы заключаем, что
k*ka = 1 .	(3.42)
Теперь коммутативность каждого 8х с оператором Гамиль-
тона Н(х) предстает в виде системы свойств инвариант-
ности
H(kax) = Н(х) = Я(*Л),	(3.43)
где последнее равенство выражает эрмитову природу опера-
тора И. Образовав коммутатор с другой вариацией 8х& мы
обнаруживаем, что
H(kakbx) = Н(х) ,	(3.44)
т.е. система линейных преобразований ka образует группу
преобразований, оставляющую Н инвариантным (группу инва-
риантности И). Из фундаментальной природы этой группы мы
заключаем, что это должно относиться и к общей структуре
оператора Лагранжа. Его кинематический член инвариантен
относительно преобразования k , если
k\Aka = А.	(3.45)
Кроме того, из двух эквивалентных выражений для G полу-
чаются соотношения
(^L = -^= (‘Й./	(3,6)
совместимые с (3.45). Чтобы эта эквивалентность, прису-
щая переменным х и kax, была полной, они должны быть
эрмитовыми операторами Следовательно, матрицы k вещес-
твенны и удовлетворяют соотношению
*2 = 1.	(3.47)
Конструкция группы инвариантности, описываемой мат-
рицами ka, основывалась на вариациях конкретных операто-
ров 8ха. Однако должна существовать определенная свобода
и во введении новых эрмитовых переменных с помощью
линейного преобразования старых
7 = 1х ,	(3.48)
74
Гл. 3. Динамический принцип
с одновременным переопределением матрицы А и оператора
Гамильтона
А = /т А Г\ Н(х) = Н(х) = Н(Г'х).	( 3.49)
При таком новом выборе переменных свойства инвариантнос-
ти гамильтониана имеют вид
Н(х) = H(kax) = Н{1каГХх),	(3.50)
т.е.
Г = Ik	(3.51)
а а	'	/
С другой стороны, эти матрицы должны возникать непосред-
ственно из перестановочных свойств вариаций 8xj
S7ah=	<352)
k J о
Сведя это утверждение к соответствующим характеристикам
2
прежних вариаций 8х, получим
£1	= 5 r'kl = Sk.	(3.53)
“ ab b' 'be ас а ас a	v '
о
Этот результат не может быть правильным для произвольной
матрицы / из определенной группы преобразований, за
исключением случая, когда матрицы kb одинаковы для всех
значений Ь, которые могут быть связаны данным линейным
преобразованием. Следовательно, динамические переменные
х должны распадаться на классы так, что линейные преоб-
разования допускаются только внутри каждого из этих
классов, причем классы характеризуются специфическими
значениями матриц k. При наличии такой свободы проделы-
вать независимые линейные преобразования в пределах каж-
дого класса, матрицы k должны сохранять разбиение на
классы, и потому они состоят исключительно из подматриц,
характерных для каждого класса переменных. Далее, раз-
2
В этих рассуждениях содержится неточность - формула (3.51) не следует из
(3.50), но оиа и ие нужна. В самом деле, с одной стороны
8х х = k х 8х = У k х I Sx
a a a	a aa a
а с другой
У I ! 8x t lx = У Ik t x I i Sx ! = У Ik z I ^x I iSx , .
f aa a	*~if a aa a	/ a	aa a
a	a	a
Отсюда вытекает, что все матрицы k^i одинаковы для компонент, которые переме-
шивает преобразование /, т.е. на носителе этого преобразования, что и позво-
ляет сделать все дальнейшие заключения. - Примеч.пер.
Гл. 3. Динамический принцип
75
биение динамических переменных на части, производимое
любой из матриц ka ,
X = i(l+*a)x + 1(1-йа)х,	(3.54)
вместе с соответствующими свойствами вариаций
6xJ(l±ka)x = ±l(l±ka)x8xa,	(3.55)
означают, что подматрицы матриц ka ведут себя просто как
числа kab , помечающие различные классы. Согласно (3.47)
эти числа подчиняются уравнению
(kab)2 = 1 •	(3.56)
Таким образом, две имеющиеся возможности, Лаа=±1, опре-
деляют два различных класса динамических переменных:
*11 = +1 '	*22 = -1 '	(3.57)
Вскоре мы увидим, что ^ц=*21’ и ПОСКОЛЬКУ в группе
^-преобразований должно быть тождественное преобразова-
ли = +1 ,	= +1 .	(3.58)
Если различать эти два класса динамических переменных
как переменные первого рода zk и переменные второго рода
£ , то операторные свойства вариаций	, соб-
ранные в соотношениях
8х х, = k .х,8х ,	(3.59)
а о ab Ь а	'	'
явно выписываются в виде
- о.	. о
К-С»} -°- I3 »»)
где фигурные скобки обозначают антикоммутатор:
=	АВ + ВА.	(3.61)
Инвариантное преобразование	гамильтониана,	подразумеваю-
щее коммутативность с 3£,
B(z-C)	= B(z,Q ,	(3.62)
требует,	чтобы И	был	четной	функцией	переменных	второго
рода, но не накладывает никаких ограничений на зависи-
мость от переменных первого рода.
Свойство матрицы А, выраженное равенством (3.45), с
учетом противоположности знаков &22 и /г21 показывает,
76
Гл. 3. Динамический принцип
что все элементы А, связывающие два класса переменных,
должны быть нулями. Следовательно, матрица А полностью
распадается на две подматрицы, связанные с двумя типами
переменных, мы их будем обозначать как а и ia, соответ-
ственно. Из соотношения (3.46) следует, что матрица а
антисимметрична и потому вещественна
а = -ат = а* ,	(3.63)
тогда как а - симметрична и вещественна:
а = ат = а* .	(3.64)
Такое полное разделение матрицы А на подматрицы а и ia
приводит к аддитивному разложению генератора G :
Gx = Gz + G^,	(3.65)
где
G2 = za 8z = ±(a6z)z	(3.66)
= JoaSC = -J(to«OC.	(3.67)
Такая структура генератора G* является проявлением адди-
тивности формы кинематического члена в лагранжиане
- {["•зт - Инг]») - » -
	= ?{г'аэт} +	af] - н	,	(3.68)
именно	это обстоятельство мы отражаем, называя	два таких
набора	переменных кинематически независимыми.	Для этих
кинематически независимых наборов переменных движения имеют вид dZ д1Н дгН аЯГ = Zz~ = Zz~ И д.н а н		уравнения (3.69) (3.70)
Чтобы обозначать характерную для лагранжиана билинейной
структуры симметризацию по переменным первого рода и
антисимметризацию по переменным второго рода, мы примем
единую форму записи:
L = 2°adf + ^°ia^~H-	<3-71)
Гл. 3. Динамический принцип
77
Перенося 6х слева направо в общих перестановочных
соотношениях (3.39), мы получаем
& IF
(Ax)aF(x) - F(kax)(Ax)a =	>
а
д F
F(x)(xA)a - (хА) F(k x) =	(3.72)
a
При специальном выборе F(x)=xb эти равенства можно запи-
сать в виде
х х. - k .х.х = i (Л-1) , ,
а Ь	ао о а	'	'ао
х.х - k ,х х, = Z(Л~1). ,	(3.73)
о а	ао а о	' 'Ьа	'	'
и поменяв местами а и b в одном из равенств, из другого
выводим:
k . = k. .	(3.74)
ab ba	'	'
Мы уже пользовались содержащимся здесь исключительно ва-
жным утверждением,	Теперь перестановочные свой-
ства двух классов динамических переменных выписываются
явно
[2Л ’ 2/] = ‘ (а ' {^к ’	= \х ’
Ь ' Ч = 0 •	(З-75)
Заметим, что структура этих операторов воспроизводит
структуру матриц: антисимметричный и косоэрмитов комму-
татор появляется с антисимметричной, чисто мнимой матри-
цей (1/7) а. тогда как симметричный и эрмитов антикомму-
татор связан с симметричной вещественной матрицей а.
Кроме всего прочего матрица а должна быть положительно
определенной, если переменные линейно независимы. Для
переменных первого рода общее перестановочное соотноше-
ние теперь записывается в явном виде,
(3.76)
где не различаются левые и правые производные; переста-
новочные соотношения с переменными второго рода выписы-
ваются отдельно для операторов, являющихся их четными и
нечетными функциями:	др др
«•fj(3 77)
и	г т d.F д F
{“< • d - зг5 - аг21-	13 781
78
Гл. 3. Динамический принцип
3.8.	Взаимодополнительные переменные первого рода
В силу предположения, сделанного ранее относительно
матрицы А, матрицы а и а несингулярны. Для антисимметри-
чной матрицы а, связанной с переменными первого рода,
соотношение
det а = det ат = det(-a)	(3.79)
показывает, что число переменных первого рода не может
быть нечетным. Будем обозначать их число как 2п^. Далее,
матрица, определенная как
а = (aTa),/2 ,	(3.80)
является вещественной, симметричной и положительно опре-
деленной функцией матрицы а, и положив,
а = аЛ = Ла,	(3.81)
обнаруживаем, что Л — вещественная антисимметричная мат-
рица, которая подчиняется уравнению
Л2 = -1 .	(3.82)
Более того, существует вещественная симметричная матрица
р такая, что
pap-1 = -а, р2 = 1 .	(3.83)
Матрица р коммутирует сан антикоммутирует с Л. Подхо-
дящим выбором эрмитовых переменных z все эти 2^-мерные
матрицы можно представить в клеточной форме, составлен-
ной из димерных подматриц,
Л _ П	О')	. _ Г 0	П „ _ fa	01	/о
р “ [О	-1J	’ А “ (-1	Oj	• а ~ (о	aj	*	(3-84)
а
так
под-
это устанавливает, что для матриц а можно достичь формы
-1 _ [о -а-1"1
а	- 1
[а ’	0
где а - некоторая ^-мерная вещественная симметричная
положительно определенная матрица. Будем обозначать
разделившиеся наборы переменных через z^ и
k=l,...,rty Согласно формулам (3.75) эти переменные
чиняются следующим перестановочным соотношениям:
14’4'’] - [42Ч2)] - »•
(3.85)
(3.86)
Гл. 3. Динамический принцип
79
При расчлененной таким образом форме матрицы а ки-
нематический член и бесконечно малый генератор, относя-
щиеся к переменным первого рода, принимают вид
сг - 1 (г^айг'21 - аА г1’1) ,	(3.88)
причем этот генератор порождает в и в № измене-
ния 15z0> и J<3z<2> соответственно. Теперь восполь-
зуемся возможностью добавлять в лагранжиан производную
по времени с одновременным изменением бесконечно малого
генератора в духе формул (3.13) и (3.16). Выбрав
W = -j г(1)о а г(2),	(3.89)
мы получим новый кинематический член
2<1>oa^f~	(з.эо)
и новый генератор
G = г(,)адг(2)	(3.91)
Z '
вместе с тем W с противоположным знаком дает кинематиче-
ский член
_||21оа2(2) = _	(3.92)
и генератор
G =	= -z(2)a3z(1).	(3.93)
zl)
Сравнивая полученные выражения с (3.88), устанавливаем,
что	генератор	°г(2)	порождает	преобразование,	при кото-
ром	операторы	2(1)	остаются	неизменными, а	операторы
г(2>	изменяются	на	Зг(2). К	оператору G ...	применима
обратная интерпретация. Таким образом, мы разделили пе-
ременные первого рода на два набора, которые являются
взаимно дополнительными: каждый из наборов охватывает
генераторы бесконечно малых вариаций переменных другого
набора. Такая интерпретация генераторов G ... и G
г14	г''2'
выражается равенствами
1 Га2(2) л = dF_
1 L ’ J дг™
1 \F az^h =
<L' J аг<2)’
(3.94)
80
Гл. 3. Динамический принцип
из которых мы легко восстанавливаем перестановочные со-
отношения (3.86), и выводим уравнения движения для вза-
имно дополнительных переменных,
„ dz{2}_ дН _ п dz^_ дН
а^~~дг^У	аг<2)’
(3.95)
что согласуется со следствиями из принципа действия.
Вещественную симметричную положительно определенную
матрицу всегда можно свести к единичной с помощью неко-
торого вещественного преобразования; будучи примененным
к а оно приводит к описанию взаимно дополнительными пе-
ременными в канонической форме. Нужное преобразование
получается введением канонических переменных
р =	q = aV2z<2\	(3.96)
поскольку это придает кинематическому члену (3.90) вид
(3-97>
at ft=1 я at
Итак, канонические переменные образуют кинематически
независимых пар взаимно дополнительных динамических пе-
ременных первого рода. Для канонических переменных осно-
вные соотношения принимают вид:
уравнения движения
дН dpk дН ь< „
ТГ = Tp~k '	=	* = 1...V	(3-98)
бесконечно малые генераторы
Gq = lPk^k- °Р = -^Л’	<3")
’ я	я
общие перестановочные соотношения
и перестановочные свойства канонических переменных
. ?<] = [Pk , Р<] = 0 ,
[t?fe, р,] = i3kl.	(3.101)
3.9.	Неэрмитовы переменные первого рода
Важно понимать, что динамическая теория, построен-
ная на базе эрмитовых динамических переменных, допускает
введение неэрмитовых взаимно дополнительных переменных.
Гл. 3. Динамический принцип
81
Положим
г(2)+ 12^ . t г(’>+ [г(2)
у = ---1—— , ty =  -----1—— ,
V2	V2
(3.102)
и заметим, что кинематический член (3.87), который те-
перь можно записать в виде
" [/° ia Й ~	° ia у] *	(з.103)
имеет ту же структуру с iy* и у вместо и z^\
соответственно. Кроме того, это выражение сохраняется
при произвольных комплексных линейных преобразованиях
неэрмнтовых переменных у вместе с надлежащим переопреде-
лением а как положительно определенной эрмитовой матри-
цы. Формальное применение предыдущих рассуждений к этим
неэрмитовым переменным приводит, например, к перестано-
вочным соотношениям
[ау,^=^,	(3.104)
Оу	’
написанным для вещественной матрицы а; в точности то же
самое получилось бы, если скомбинировать перестановочные
соотношения для эрмитовых переменных в согласии с опре-
делениями неэрмитовых переменных и соотношениями
3F _ 1 ( dF _ . dF 1
 dF 1 Г 3F • dF 1
а7	а?2)-!’
Если эти соотношения воспринимать как определение диф-
ференцирования относительно
из них следует, что
дУь п
(3.105)
неэрмитовых переменных, то
дУк _
что делает законным формальное
t
и у подвергаются независимым
= 5
kl’
рассмотрение, в котором у
вариациям. Поэтому форма-
(3.106)
льная теория, применяющая неэрмитовы переменные, дает
верные уравнения движения н перестановочные соотношения.
В частности, можно пользоваться канонической версией та-
ких переменных, н хотя канонические переменные qk и рк
не будут самосопряженными, но
= ‘4 •	(3107)
82
Гл. 3. Динамический принцип
Такими образом, канонические уравнения движения и пере-
становочные соотношения можно записать в виде
, d4 _ дН	/о 10{П
(ЗЛ08>
И	хх
= [<?;, <] = о,
= 8Ы • (3109>
где пары равенств связаны операцией сопряжения.
3.10.	Взаимодополнительные переменные второго рода
Для переменных второго рода возникает та же карти-
на: их число с необходимостью четно и их можно разделить
на два взаимодополнительных набора. Действительно, ве-
щественную симметричную положительно определенную матри-
цу а можно свести к единичной подходящим вещественным
преобразованием, которое реально состоит во введении но-
вых переменных
С = а’/2С	(3.110)
Новые канонические эрмитовы переменные удовлетворяют
соотношениям
= к-х = 1.............v  (3111)
которые означают, что два различных ^-оператора антиком-
мутируют, и что квадрат каждого £ кратен единичному
оператору с одинаковым для
множителем. Соответствующие уравнения
ческой форме записываются как
дгН
всех операторов числовым
движения в
канони-
(3.112)
в то время
мают вид
как общие перестановочные
соотношения
прини-
д .F д F
1ч г ч
д F , д F
_ I Н_ ГН
(3.113)
Теперь мы
полная алгебра измерений для систем,
менными второго рода, выводилась из фундаментальных ди-
хотим подчеркнуть особо:
требование,
описываемых
чтобы
пере—
намических переменных, является допущением, которое со-
Гл. 3. Динамический принцип
83
путствует введению таких переменных. Линейно независимые
операторы, которые можно построить из ^-переменных, пе-
ресчитываются следующим образом: единичный оператор; v
операторов £к; jp(p-l) операторов	, «А;
|р(р-1)(р-2) операторов	; и так далее
вплоть до последнего, единственного, оператора
‘ К»' Полученное таким образом полное число неза-
висимых операторов, т.е. размерность ^-алгебры, равно
= 2U-	<3114)
а=0 '	'
Но это число должно быть также размерностью алгебры из-
мерений, равной квадрату целого числа /V, которое есть
полное число состояний. Нужная согласованность возможна
только, если v есть четное целое число:
v = 2п2 , Н = 2 2.	(3.115)
Разделив эти эрмитовы канонические переменные на
два семейства равного числа, и получаем кине-
матический член для переменных второго рода:
(3.116)
Описание с взаимодополнительными переменными получается
после введения неэрмитовых канонических переменных вто-
рого рода
V2	V2
которые превращают кинематический член в
Такая структура применима к любому из двух типов взаимо-
дополнительных динамических переменных, так как выраже-
ния
P’ft.	(3-119)
получаются добавлением подходящих производных по време-
ни. Поэтому, уравнения движения
<3121»
84
Гл. 3. Динамический принцип
и генераторы бесконечно малых изменений в q и р
Gq = p6q, Gp = -8pq	(3.121)
можно относить к любому из двух типов переменных. Разли-
чие же между двумя классами косвенно состоит в их отно-
шении к левым и правым производным, а более общо — в
операторных свойствах вариаций 8q и 8р. Таким образом,
для переменных второго рода
"2
G = Е PK8qK = -Y,8qKPK ,
4 к= 1	к
G	=	(3.122)
и к	к
Общие перестановочные соотношения, выражающие смысл этих
генераторов, имеют вид
,	d.F d F
1 г„ р т _ I Ч_ Г Ч
7 К ’ f 4J -	’
,	d.F д F
= = (3123)
1 г i d.F d F
<3124)
этн утверждения совпадают с результатами, которые полу-
чаются прямо из перестановочных свойств (3.113) для
эрмитовых динамических переменных.
В качестве приложения общих перестановочных соотно-
шений мы вновь получаем канонические уравнения движения
и выводим перестановочные свойства канонических неэрми-
товых переменных второго рода
{’к-	- {"«•'’х} = ° •
=	(3.125,
Благодаря отношению сопряженности между каноническими
переменными	+
Рк = < .	(3.126)
Гл. 3. Динамический принцип
85
уравнения движения и перестановочные соотношения можно
также представить в виде
dq д .Н
dq* д Н
(3.127)
= = ° 
-К'	•
(3.128)
ГЛАВА 4
СПЕЦИАЛЬНАЯ КАНОНИЧЕСКАЯ ГРУППА
I. ПЕРЕМЕННЫЕ ПЕРВОГО РОДА
4.1.	Дифференциальные операторы
4.2.	Уравнения Шредингера
4.3.	qp—функции преобразований-
4.4.	Дифференциальные формы условий полноты
4.5.	Неэрмитовы канонические переменные
4.6.	Некоторые функции преобразований
4.7.	Физическая интерпретация
4.8.	Композиция с помощью интегрирования по контуру
4.9.	Измерения оптимальной совместимости
II.	ПЕРЕМЕННЫЕ ВТОРОГО РОДА
4.10.	Группа вращений
4.11.	Внешняя' алгебра
4.12.	Собственные векторы и собственные числа
III.	УНИФИКАЦИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
4.13.	Конструктивное использование специальной канонической группы
4.14.	Функции преобразования
4.15.	Интегрирование
4.16.	Дифференциальные реализации
Перестановочные свойства бесконечно малых опера-
торных вариаций, с которыми оперирует фундаментальный
динамический принцип, таковы, что сохраняют перестано-
вочные соотношения, которым подчиняются динамические
переменные. Следовательно, эти специальные вариации
имеют черты группы преобразований, к изучению которых мы
теперь приступаем.
I.	ПЕРЕМЕННЫЕ ПЕРВОГО РОДА
Вариации Зг для переменных первого рода коммутируют
со всеми операторами и потому ведут себя просто как бес-
конечно малые вещественные числа. Если рассмотреть гене-
раторы двух независимых бесконечно малых вариаций
G^= -^S^zaz , G^zaS^z ,	(4 1)
г 2	г 2	'	'
то их коммутатор можно вычислить, воспользовавшись смыс-
лом, который имеет каждый из этих операторов будучи
генератором:
1 rG(D,G(2)l =	=	=
‘ [ г ’ z J	О Z 2	2 OZ
= - |з(1)г а 3(2>г .	(4.2)
Гл. 4. Специальная каноническая группа
87
Эквивалентные канонические формы этого выражения имеют
= о,
[с".о<21] = -й’М2', .
Таким образом, мы устанавливаем, что совокупность беско-
нечно малых генераторов Gx или Gq и G? .вместе с беско-
нечно малыми кратными единичного оператора, замкнута
относительно образования коммутаторов, н поэтому состоит
из бесконечно малых генераторов некоторой группы, кото-
рую мы назовем специальной канонической группой.
4.1. Дифференциальные операторы
Для изучения преобразований из этой группы полезно
рассмотреть их действие на собственные векторы полного
набора коммутирующих эрмитовых операторов, предоставляе-
мого п^ каноническими переменными q, или же р в заданный
момент времени. Сначала мы рассмотрим интерпретацию
преобразования,
венных
Сначала мы рассмотрим
порождаемого оператором Gq , на
векторах ^-описания, а поскольку в силу (2.58)
5q<q't\ = i<q't\Gq ,
Sp<p't\ = Kp't\Gp ,
же самое будет относиться и к р-описанию.
(q‘t\ + 6<pz/| является собственным вектором
q - 8q с собственными значениями q'. Но посколь-
просто числовые кратные единичного оператора,
собст-
(4.4)
Итак,
опе-
все то
вектор
раторов
ку 6q
варьированный вектор точно так же описывается как собст-
венный вектор операторов q, соответствующий собственным
значениям q' + 3q. Это показывает,
операторов qk образует континуум,
до +а>, и что вариацию 8a<iq't1 можно приписать изменению
собственных значений q'
применимы к дополнительным переменным р. Таким образом,
что спектр эрмитовых
простирающийся от -«•
на 8q. Аналогичные рассуждения
8Р<Р'*\ = E3pft^<p'/|
(4-5)
88
Гл. 4. Специальная каноническая группа
и	. я
~ л
д .	,	(4-6)
'Эр£<р 'I = <Р 
Сопряженные соотношения имеют вид
Pk(t)\4't> =	>
(4.7)
qk(t)\p'ty= \p'ty\^
r k
здесь принято соглашение, что символом Зт обозначается
операция дифференцирования, действующая в направлении
противоположном обычному. Для функций, которые можно
построить алгебраически нз переменных р и произвольных
функций от q, по индукции устанавливаем1
<<7//|F(<?,p) = F^q' .-i^r^q'11 ,
и F{q,p)\q'ty= | q'	,	(4.8)
эти соотношения позволяют реализовать наши абстрактные
операторы как дифференциальные операторы. Аналогично,
для функций, составленных нз алгебраических конструкций
по переменной q и произвольных функций по р, имеем
<j>'t\F(q,p) =	-Р' ]<P'd
F(q>P)\p't> = \p't> Fp3^>P'] 	(4-9)
Смысл преобразования, порождаемого G на собствен-
ных векторах ^-описания и Gq на собственных векторах
p-описания, усматривается из равенств
Sp<q't\ = Kq't\Gp = -i<q' {	| ЕЗрkq'k	(4.10)
k
и
‘> = ~^а\р'1У = -iY.P'kSqk \p't> ,	(4.11)
'	k
Здесь по с.уще(<тву утверждается, что представление (4.8) справедливо для
аналитических в окрестности нуля функций о с коэффициентами, произвольно
зависящими от q. Вообще, в операторных исчислениях (типа Хевисайда) такого
класса функций (символов операторов) не достаточно. Процедуры расширения,
как правило, сильно зависят от решаемой задачи, что, впрочем, практически
не сказывается на формальных алгебраических свойствах. - Примеч.пер.
Гл. 4. Специальная каноническая группа
89
а именно: они умножают векторы соответствующих описаний
на числовые фазовые множители. Преобразования, порождае-
мые бесконечно малыми вещественными кратными единичного
оператора, также умножают векторы на фазовые множители,
но не делают различия между двумя описаниями. Следовате-
льно, в результате действия преобразований из специаль-
ной канонической группы любой собственный вектор в q-
или p-описаниях, соответствующий конкретным собственным
значениям, переходит в вектор с неким другим набором
собственных значений, умноженный на произвольный фазовый
множитель.
4.2. Уравнения Шрёдингера
Бесконечно малый оператор Gf = - H8t порождает
группу сдвигов времени, с помощью которой описание в лю-
бой заданный момент времени преобразуется в аналогичное
описание для любого другого момента времени. Таким обра-
зом, для бесконечно малого преобразования p-описания в
момент времени f в p-описание в момент времени t + 8t
имеем
3,<<П| =	= i<.q‘t | Gt,	(4.12)
и, воспользовавшись реализацией дифференциальными опера-
торами (4.8) для систем, описывающихся переменными пер-
вого рода, получаем
= <Ч't\H(q,p,t) =
= н\ч' -^,t\<q't\ ,	(4.13)
при условии, что Н - алгебраическая функция по р-пере-
менным. Соответствующее сопряженное утверждение можно
записать в виде
= If'O H[q', i	.	(4.14)
Произвольное состояние, обозначенное символом Ф, предс-
тавляется парой комплексно сопряженных волновых функций
0(?'О =	>
V(q't) = Ф+ \q't> ,
(4.15)
изменение этих функций во времени, таким образом, описы-
90
Гл. 4. Специальная каноническая группа
вается следующими дифференциальными уравнениями {Шрёдин-
гер)-.
i^q't) = Яр,-
(4.16)
ФС'/'О?	= Ф (<7'0	.
4.3. qp-функции преобразования
Функцию преобразования, связывающую q- и р-пред-
ставления, относящихся к одному моменту времени, можно
построить с помощью интегрирования следующего дифферен-
циального уравнения
S<q't\p't> = i<q't\ (G- Gp)|p'/> =
= ȣ p'k + q'k 3p'] <q't\p'ty =
= ЗрЕ<7'р'1<<7Ч|рЧ> ,	(4.17)
•• k J
в котором мы непосредственно использовали операторные
свойства (4.10) и (4.11). Следовательно,
<.q't\p't> = Ceiq'p'	(4.18)
И	.	. / /
<рЧ|рЧ> = С e~tp q .	(4.19)
Абсолютная величина константы С устанавливается из свой-
ства композиции
S(q'-q") = $<q't\p't> dp' <p't\q"t> =
= |CI2 J dp' e к к ,	(4.20)
а ее фаза является принципиально произвольной констан-
той, которая может свободно меняться при преобразованиях
общего фазового множителя p-состояний по отношению к
p-состояниям. Таким образом, после соответствующего сог-
лашения о фазе имеем	1
“о "1
С = (2д) 2 1 .	(4.21)
Благодаря такой структуре функции преобразования, собст-
венные векторы q- и р-представлений связаны взаимно
обратными преобразованиями Фурье
<рЧ| = (2п)~п/2 Je~lptq' dq' <q't\
Гл. 4. Специальная каноническая группа
91
<q't\ = (2п)~п/2 jeiq'p' dp' <p't\ .	(4.22)
Эти выражения позволяют представлять единичный оператор
не только через полные наборы q- или р-состояний
1 = J \q't> dq‘ (q't\ =
,	(4.23)
= J Ip'C> dp' <p'N >
но также в смешанных qp- или рр-представлениях
1 = (2n)~n/2J \q't>dq' eiq'p'dp'<p't\ =
= (2n)~n/2 J \p'tydp‘ e~ip'q' dq' <q't\ . (4.24)
4.4. Дифференциальные формы условий полноты
Полученным выше равенствам, выражающим свойство
полноты, можно придать альтернативную форму, использую-
щую не ннтегрнрование, а дифференцирование; это можно
сделать либо прямым преобразованием, либо с помощью
следующих рассуждений. Произвольный вектор Ф получается
из векторов состояний |р'/> и волновой функции 0(р'О в
виде (здесь и ниже параметр t опускаем)
* = J l<7'> dq' Ф(ч') = 0(?) J Ю dq' =
= 0(р)|р/=о>(2п)п/2, (4.25)
где мы ввели оператор 0(р) и использовали выражение для
состояния |р'>, соответствующего собственному значению
р'=0. С помощью аналогичной процедуры получаем
* = J Ф(Р') dp' <Р' I =
/о	(4.26)
= (2п)л/2</=0|ф(р) ,
и, следовательно, скалярное произведение двух векторов
можно записать в виде
Ф,Ф2 = (2п)л<<7'=О|ф1(р)02(<7)|р'=О> .	(4.27)
Применение дифференциальных операторных реализаций (4.8)
и (4.9) дает
Ф,Ф2 = (2п)лф1р^-]^2(<7/Х<7/|р/= °>|	=
= (2п)л/М-,О 02(?')|, , (4-28)
< ч J *д =0
92
Гл. 4. Специальная каноническая группа
Ф,Ф2 = (2u)n<<7'=Z?|p'><₽1(p')02[-<^]|p/=o=
= (2тг)п/2 ф/р') ф2 [-/|	. (4.29)
Если отвлечься от произвольных векторов, то эти резуль-
таты принимают вид
1 - <2")"/2|-^-><«'|,.Ч|=
- (21Г)"'2 | )>'>/-< Ur I . (4.30)
'	1 р =0
а операция сопряжения приводит к аналогичным свойствам
1 =(2</!
- (2ч)”72	• (4-31)
Практическая ценность таких форм записи опирается, разу-
меется, на возникающие неким алгебраическим путем опера-
ции дифференцирования. Основной пример такого рода дает
дифференциальная формулировка свойств композиции функций
преобразования (q' |р'> и <р' (<7Z> :
<?' |р'> = (2n)n/2(q' |-^)<?|р'>	(4.32)
и	т
<Р' |р'> = (2тг)п/2<р' |р>	(4-33)
4.5.	Неэрмитовы канонические переменные
Теперь мы изучим смысл специальной канонической
. t
группы для неэрмитовых канонических переменных у, ty ,
которые определяются соотношениями
,, -	.	(4.34)
V2	V2
(Теперь в наших рассуждениях символами q, р будут обоз-
начаться эрмитовы канонические переменные). Для соответ-
ствующих бесконечно малых генераторов формальная теория
дает
Gy = ‘У* 8 У • G\ = ~‘8У* У>	(4.35)
причем эти операторы подчиняются перестановочным соотно-
шениям
[G^,Gi2)] = [G<’>, G<2>] = 0,
Гл. 4. Специальная каноническая группа
93
[Git)-Gi2>] =	•	(4-36)
Чтобы пойти путем, уже испытанным на эрмитовых канониче-
ских переменных, мы прежде всего должны построить собст-
венные векторы двух полных наборов коммутирующих опера-
t
торов у и у .
4.6.	Некоторые функции преобразований
Связь векторов \y't> с состояниями <q'11 описывает-
ся функцией преобразования ^q't\y'ty, которая удовлетво-
ряет следующему дифференциальному уравнению
&<q't\y't> = (Gq- G^y'ty .	(4.37)
Выражения для генераторов
z'Gq = ip 8q = 8q (V2y — q)	(4.38)
и	+	-
-iGy = у'8y = (V2q-y)8y	(4.39)
позволяют заменить все операторы соответствующими собст-
венными значениями
t> = [3?' (V2y'-q') + (V2q'-y') Sy'Kq't\y'f> =
= 5[— £<7 ' 2+^q'У'-$У'2] <У'(1У'(> > (4-40)
что дает искомое выражение для функции преобразования
<Я'1\У'Г> = С ехр (-2 + v1? q 'y'-jy'2).	(4.41)
Поскольку сопряжение уравнения для правых собственных
векторов
У1У'> = У'1У'>	(4.42)
является уравнением на левые собственные векторы опера-
t
торов у
</'|/ = </'11Л	/'=«/'*,	(4-43)
мы заключаем, что комплексное сопряжение выражения
(4.41) имеет вид
<ytftlq't> = С*е х р(-^'2+1/2уЬу'-У'2) .	(4.44)
Теперь мы можем вычислить функцию преобразования
<У*'*1У"*> = $<y*'t\q't>dq'<q't\y"t> =
= \С\2ип/2 eyt'y", (4.45)
94
Гл. 4. Специальная каноническая группа
которая является аналогом функции (p't\q'ty. В частнос-
ти, скалярное произведение вектора \у‘ty и сопряженного
с ним имеет вид
= |C|V/2e । у ।	(4.46)
и является, очевидно, конечным числом. Следовательно,
собственные векторы \у'ty и <у 'f| существуют для всех
комплексных значений у". Обратим внимание на то, что
длины этих векторов зависят от величины собственных
значений, и собственный вектор, соответствующий нулевым
собственным значениям, уникально выделен как вектор
минимальной длины. Нормируя последний на единицу, опре-
деляем абсолютную величину константы С, и приняв соот-
ветствующее соглашение о фазе, имеем
<yt't]y"t> = eyt'y".	(4.47)
Аналогичные рассуждения относительно функции преоб-
i*
разования (у'Цу ' ty дают
<q'tlyt'ty = C'eXp(+jq'2-V2q'yt' + jyt'2) ,	(4.48)
и, следовательно, ни. один из векторов |у ‘ ty и никакая их
линейная комбинация не имеют конечной длины. Такая асим-
t
метрия между операторами у и у , разительно отличающая
их от случая эрмитовых канонических переменных, очевидна
из перестановочных соотношений
У Л - y\yk = 1 ’	<4’49)
поскольку замена у—у^—*-у, при формальном сохра-
нении перестановочного соотношения превращает неотрица-
„	t	»	t
тельный оператор у у в неположительный оператор -уу .
4»
Таким образом, в отличие от \y'ty и <у Ч| векторы
\y*'ty и <y'f| не существуют. Однако ниже мы найдем воз-
можность определить векторы, которые в некотором ограни-
4»
ченном смысле являются правыми собственными векторами у
и левыми собственными векторами у.
4.7.	Физическая интерпретация
Физическая интерпретация состояний | у' ty требует
некоторых комментариев. Поскольку эти векторы, вообще
Гл. 4. Специальная каноническая группа
95
говоря, не нормируются на единицу, мы должны выражать
ожидаемое значен?	ie для таких состоянии в виде
<г	</' > / = 	* , ,	•	(4-50) у </'1«/'>
Далее, <(у k-y'k)> у' = <(У	.-»'/>/- = «4~4'>	=«  « Я)
и, положив	</' = ч' + ip‘,	(4.52) V2
мы выводим, что <4>у' =	= <  «’»>,' = О»	<4'53) ' -«Р1-Р'1)2>,'  -2-	<4'54’
Итак, состояния |y'f> таковы, что ни q-, ни р-переменные
не имеют определенных значений, но распределение около
ожидаемых значений соответствует некоторому (оптимально-
му) компромиссу между взаимо дополнительными чертами
этих двух несовместимых наборов переменных. Для нормиро-
ванных векторов этого описания мы будем использовать
обозначение	.
-4|/ I2
к'р'О = е 2 |у ' /> ;	(4.55)
при такой записи функция преобразования (4.47) принимает
вид
С / и ! и, (д'-дн} +(рг —р")
<q'p't\q"p"t> = е2	е 4
(4.56)
Интерпретация преобразований, порождаемых операто-
рами и Gy на состояниях	и, соответствен-
но, совершенно такая же, как и для эрмитовых переменных,
это явно предполагается дри построении формулы (4.41).
Таким образом,
<|Л'<||М<) =	</'<| ,
84
y*k<My't> =
и в общем случае
(4.57)
<yr't\F(yJ,y) =Ff/'
t.
96
Гл. 4. Специальная каноническая группа
Г(У*>У) \У'Г> = 1у'(>р[ф- -«/'] •
(4.58)
Следовательно, для систем, которые описываются канони-
ческими неэрмитовыми переменными первого рода, волновые
♦
функции ф(у ,t) и <р(у t) подчиняются соответственно
уравнениям Шрёдингера
= Н УЬ
Ф(У*'Г)
<P(«/ZO	•
(4.59)
(4.60)
Преобразования, порождаемые оператором G^ на векторах
<y*'t\ и оператором G на векторах |y'f>, имеют вид
=~<y*'t\ 8yh
S^ly'ty = -ZSy^y^y'ty .	(4.61)
Эти изменения суть бесконечно малые кратные исходных
векторов, но в отличие от случая эрмитовых переменных,
множители здесь не являются обязательно чисто мнимыми.
То же можно сказать о бесконечно малых кратных единично-
го оператора, получающегося как коммутатор двух генера-
торов (формула (4.36)). Итак, для неэрмитовых переменных
специальная каноническая группа есть полная совокупность
преобразований, которые переводят собственный вектор с
заданными комплексными собственными значениями в собст-
венный вектор с любым другим набором собственных значе-
ний, умноженный на произвольные комплексные числа.
4.8.	Композиция с помощью интегрирования по контуру
Функция преобразования <y*'t]y"f> отличается от
выражения для	только отсутствием степеней 2п,
поэтому удовлетворяет дифференциальному свойству компо-
зиции
= <У*'*1у"Г>-	0.62)
' >ду '	^+=0
Отсюда мы заключаем, что
Гл. 4. Специальная каноническая группа
97
д
или
можно
<У 't\ л f = I
у t =0
что скалярные произведения
вычислять по формулам
\°У 1/=0
произвольных
(4.63)
векторов
*1*2 =
yt'=O
(4.64)
вычисление в нуле для
можно представить в
J|/=O
комплексных собственных
Такое
значений
(ради простоты будем полагать здесь п =1;
легко переносятся на случай произвольного п). Итак,
виде контурного
все
интеграла
рассужде-
иия

2П1 ‘ ’
t
2П1 °
У
(4.65)
где пути интегрирования обходят начало координат в поло-
жительном направлении и окружают только одну особенность
в нуле. Такие пути всегда можно провести, поскольку для
существования пределов в формулах (4.64) требуется, что-
t
бы волновые функции типа ф(у 't) и <р(у t) были регуляр-
ными функциями соответствующей комплексной переменной в
частям
9
некоторой окрестности нуля . Интегрированием по
получаются альтернативные формы этих равенств
Ф1Ф2 = 2Si"^+'	=
= 2Й7<р/^(</'0 Ф2^у'^>
(4.66)
где мы ввели обозначения
1
ат
ду
У

k=	
(4.67)
2	z
Этими свойствами Myt ,0 и <р(у' ,0 должны обладать уже как символы операто-
ров, т.е. еще до перехода к пределу (см. сноску 1). - Примеч. пер.
98
Гл. 4. Специальная каноническая группа
Эти функции являются регулярными в некоторой окрестности
бесконечно удаленной точки. Пути интегрирования в форму-
лах (4.66) проходят по общей области регулярности обоих
сомножителей, при этом они окружают область, содержащую
i*
соответственно все особенности <р(у t) или	н0 ни
*
одной особенности ф(у f) или <р(у t).
Если волновые функции ф(у'Г) и <p(y^'t) связать с
i*
векторными базисами <y't\ и |у '/>, символически запи-
санными в виде
<»''i - <- V'l?	<468)
!»*'<> = 4	(4.69)
У 1 Зу ' /
то наши формулы для расчета скалярных произведений можно
переписать в виде свойств полноты
1 2Ш ‘	dy'\у' t><y' t\ =	
		
	= 2TU ‘	>	•	(4.70)
Из этих	утверждений вытекает,	что
2^1 jdy' V(y'O<y'tly"^> =		Ф(у"О	(4.71)
и		
^jdy"<y'tly"t>i/>(y"t) =		0(у'О>	(4.72)
где в силу определения (4.68)		и выражения для функции
преобразования (4.47)
_________________________________zz д
<y't]y"t> =	= е *	=
= ттг^г, |у'|>|у"|.	(4.73)
а а
Выявленная область регулярности соответствует областям
регулярности волновых функций типа 0(у') и	В
самом деле,
= V(y"t),	(4.74)
если контур окружает у", но не захватывает особенностей
функции <р(у't), и вместе с тем
Гл. 4. Специальная каноническая группа
99
^dy"^^ = ЩуЧ),	(4.75)
если путь интегрирования окружает область, в которой
располагаются все особенности ф(у"Г), но нет точки у'. В
последнем случае интеграл вычисляется с помощью окружно-
сти около бесконечно удаленной точки, где функция $(y"t)
стремится к нулю. Аналогичные рассуждения применимы и к
функции преобразования
<У*'*\У*"Ъ = К 1 t/ >	|/"1 > 1«Л I 	(4.76)
У - У
Наша символическая конструкция векторов <«/'/| становится
явной, если написать ю
1, = Jd/" ,	(4.77)
О
где путь интегрирования уходит на бесконечность таким
образом, чтобы сходился этот и все последующие интегра-
лы. Поэтому ю
<у'Ц =	(4.78)
о
И “
I /' /> = Jdy" е~&'у" | у"Г> .	(4.79)
О
С помощью этих формул мы можем выяснить, в какой мере
векторы (у'Ц и \у*ЧУ являются соответственно левым
собственным вектором оператора y(t) и правым собственным
4»
вектором оператора у (t). Вычислим
со
<у'11 (у-у’) = Jdyt" е-УГ'у'	- у' 1 <у *"tI =
о IV" J
= -</"= О, Л, (4.80)
или, как можно увидеть из символической формы свойства
полноты (4.70),
<y'i\y = <y't\y' - Wi&y"<y"t\’	(4.81)
100
Гл. 4. Специальная каноническая группа
если только контур окружает все особенности подынтегра-
льного выражения. Сопряженное утвержение имеет вид
(4.82)
Итак, как и ожидалось после нашего обсуждения асимметрии
между операторами у и у1, векторы (у't\ и | y^t> не явля-
ются истинными собственными векторами , хотя отклонение
от этого свойства проявляется в очень простой форме. Со-
гласованность нашей теории, в которой результат действия
оператора у на его левые собственные векторы (4.81) со-
держит дополнительный член в виде контурного интеграла,
можно проверить из альтернативных вычислений величины
<(/' [у[у">, где действие на правый собственный вектор
дает
<У' 1у1у"> = <У' \У">У" =	(4.83)
тогда как из свойств левых собственных векторов полу-
чается
</ 1»1»"> - »'<»' у"> - ййФЛ/<»!»"> •
««О
4.9. Измерения оптимальной совместимости
Используя формулы (4.78) и (4.79) для собственных
векторов, можно представить единичный оператор в виде
1 = J dy‘2nd/" ।У'*> е~У''"<У*"‘ I >	(4-85)
который является аналогом формулы (4.24). Здесь надо
интегрировать по комплексным переменным у' и у^" ортого-
нальным путем. Если написать
у' = yL+iS.' t = sLdk't	(4.86)
V2	V2
то можно так деформировать эти пути, что интегрирование
з
Применение комплексных собственных значений было разработанно более
формальным способом в работе Дирака (P.A.M.Dirac - Comm. Dub. Inst, for
Adv. Studies, Ser. A, 1943, No.1) без начального признания асимметрии между
левыми и правыми собственными векторами неэрмитовых переменных. Поэтому в
рамках его процедуры альтернативные вычисления элемента <у' | у | у"> приводят
к результатам, отличающимся на единицу и, вообще говоря, заставляют принять,
что две функции типа ф(у'), отличающиеся на произвольный ряд из неотрица-
тельных степеней у', описывают одно и то же состояние.
Гл. 4. Специальная каноническая группа
101
по q' и р' пойдет независимо по всем вещественным значе-
ниям от — <х> до +а>. При этом получится
1 = J> в"1/|2<Аь	(4.87)
или в обозначениях (4.55)
1 = J \q'p'ty^^- ' <q'p't\ .	(4.88)
Свойство композиции функций преобразования, к которому
приводит такое выражение условия полноты,
<q'p't\q"p"f> ^<q>p4\qpt>ty^qpt\q«p"t> ,	(4.89)
можно проверить прямым интегрированием. Хотя векторы
\q'р'ty образуют полную систему, они заведомо не линейно
независимы, поскольку тогда функция пребразования (4.56)
была бы дельта-функцией. Напротив, оказывается, что
изменение собственных значений q'р' и q"p" на величины
порядка единицы не дает существенно отличных состояний.
Однако изменения собственных значений на величины заме-
тно большие единицы приводят к новым состояниям, поско-
льку величина функции преобразования становится очень
малой. Грубо говоря, одно состояние связано с каждой
областью собственных значений (Др'Др')/2п = 1. Нет ника-
кой необходимости строить линейно независимые векторы,
которые описывают строго различные состояния, если нас
интересует только сравнение с измерениями на классичес-
ком уровне (а таким в конечном счете должно быть каждое
измерение), поскольку в этом случае мы имеем дело с
вероятностью того, что система окажется в одном из боль-
шого числа состояний, относящимся к области собственных
значений (Др'Др')/2я» 1. В этом смысле можно утвержда-
ть, что
dp(q'p't.V) = WP'OI2	(4.90)
есть вероятность того, что q- и р-измерения, выполненные
с оптимальной совместимостью на состоянии Ф в момент
времени t, дадут значения р' и р', лежащие в интервалах
dq‘ и dp' соответственно.
102
Гл. 4. Специальная каноническая группа
II. ПЕРЕМЕННЫЕ ВТОРОГО РОДА
4.10.	Группа поворотов
Теперь мы вернемся к переменным второго рода. Тре-
бование, что вариации 3£ антикоммутируют с каждой пере-
менной этого типа, наиболее просто выражается с помощью
п
канонических эрмитовых переменных £ . Перечень 2V = 4 2
различных операторов этой алгебры показывает, что имеет-
ся только один оператор, антикоммутирующий с каждой £.4 * *
Им является произведение
^?2n+i = (-2on^---e2n.	(«-эй
которое записано как эрмитов оператор с единичным квад-
ратом. Таким образом, операторные свойства переменных £
(3.111) применимы также и к С2п+1• Мы видим, что вариа-
ции должны быть бесконечно малыми вещественными
кратными одного единственного оператора С2п+1 ’ скажем
13£ = - Зю Со >	П	(4.92)
2	к ъ2п+1	'	'
так, чтобы бесконечно малый генератор
(4.93)
принял ВИД	2
й5=	с-94)
Составив коммутатор двух таких генераторов, мы получим
= £ А А С	(4.95)
Л.	Л Л.Л
кА
I	1
^x = 27[^a]	(4.96)
образуют семейство £v(v-l) = п(2п — 1) эрмитовых опера-
торов, которые удовлетворяют
<4-9?)
Таким образом, генераторы и их коммутаторы можно
строить, исходя из операторного базиса, образованного
п(2п +1) эрмитовыми операторами > где к и меняют-
ся от 1 до 2п+1. В силу перестановочного свойства
4
Число пар канонических переменных второго рода п% далее обозначается просто
п. - Примеч. пер.
I <4”.
Гл. 4. Специальная каноническая группа	103
i Г£ , , С 1 = \ С - з £, + 3	- 3^ С ,	(4.98)
I [^>кЛ	кръХр кдъХр Хръкр	'	'
этот базис является полным, а совокупность соответствую-
щих преобразований образует группу, которая обладает
структурой группы (собственных) поворотов в 2п +1 изме-
рениях [сравни с (2.80)]. Но это не то, что мы будем
называть специальной канонической группой для переменных
второго рода.
4.11.	Внешняя алгебра
Выше мы рассматривали группу внутренних автоморфиз-
мов, т.е. преобразований, построенных из элементов
алгебры, которые сохраняют все алгебраические соотноше-
ния и свойства эрмитовости.5 Для структуры этой алгебры
характерно, что с каждым £ ,к=>1,...,2п антикоммутиру-
ют лишь операторы, кратные £2п+1 ’ и лю^ые две вариации,
образованные таким образом, коммутируют. Поэтому генера-
тор одной вариации не коммутирует со второй такой вариа-
цией, и, следовательно, две вариации не являются незави-
симыми. Чтобы получить независимые вариации, операторы
и з<2ч должны антикоммутировать, а это невозможно
для внутренних автоморфизмов. Однако желательной алгеб-
раической независимости вариаций можно достичь, - попла-
тившись за это свойствами эрмитовости, — если рассмот-
реть внешние автоморфизмы, которые строятся с помощью
подходящим образом определенной внешней алгебры.
Пусть е - набор из 2п полностью антикоммутативных
операторов,
{eg,ex} = 0,	(4.99)
которые коммутируют с элементами физической алгебры.
Такое свойство антикоммутативности означает, в частнос-
ти, что	„
£2 = 0 ,	(4.100)
и эти операторы не могут не быть эрмитовыми, ие быть
сопряжением какого-либо е-оператора, включенного в этот
набор. Мы видим, что 2п операторных произведений екС2п+1
5	—	-1
Автоморфизм называется внутренним, если ои имеет вид X -♦ X = U XU, где U —
элемент алгебры, если такого элемента U не существует, автоморфизм называется
внешним. - Примеч. пер.
104
Гл. 4. Специальная каноническая группа
полностью антикоммутируют между собой и, кроме того, анти-
коммутируют с каждым оператором , к = 1,... ,2п. Сле-
довательно, вариации 3£к, определенные как числовые
кратные произведения ск?2п+1 будут удовлетворять соотно-
шениям
{«(,Ч к , з(2)ел] = о	(4.101)
[з<’>е к , g<2)] = о.	(4.102)
Именно последнее свойство ставит генераторы для	перемен-
ных первого и второго рода на равную ногу и позволяет в
общем случае вычислять коммутатор двух генераторов G^
и по формуле
Х	д G^	9 G^2)
= -|з(1)хЛЗ(2)х. (4.103)
Каноническая форма этого соотношения имеет вид (4.3),
которая теперь применима к переменным обоих родов.6 Для
переменных второго рода форма З^х А 8^х линейно за-
висит от произведений , а эти комбинации коммутиру-
ют и со всеми операторами физической алгебры и внешней
алгебры. Итак, для переменных каждого рода генераторы
независимых вариаций вместе со своими коммутаторами об-
разуют множество бесконечно малых элементов некоторой
группы, которая представляет собой специальную канони-
ческую группу.
4.12.	Собственные векторы и собственные значения
Существование этой группы для переменных второго
рода дает возможность определить собственные векторы
полного набора антикоммутирующих операторов q или
р = iq . Для начала заметим, что в уравнениях для беско-
нечно малых преобразований
(1-iG )^ (1+tG ) =	7 К -G а ] = V Ч	(4-1°4)
g
Имеются в виду канонические взаимно дополнительные переменные. Ниже почти
всюду это не оговаривается. - Примеч. пер.
Гл. 4. Специальная каноническая группа
105
; .1 -
<7 J
г
(4.105)
фигурируют только алгебраические свойства операторов и
т
их вариаций. Более того, если q' и q построены по
тому же образцу, что и независимые вариации, и антиком-
t
мутируют между собой и с операторами q и q , то мы можем
утверждать, что
(1 - iG)(q- <?')(! + iG ) = q — (q'K+ SqJ,
(4.106)
Следовательно, если существуют векторы, удовлетворяющие
{q-q,K)\q,ty = 0	(4.107)
и
<?'/|(^-^') = о,	(4.108)
то существуют и векторы
(l-iGq)\q't> = \q't> + S\q't>
<J't\ fl + iG J =	+ 5	(4.109)
1	<7 J
причем они соответствуют собственным значениям q’ + 8q и
q ' + 8q*. Ниже мы увидим, что собственные векторы с ну-
левыми собственными значениями существуют несомненно, а
это означает, что собственные векторы типа | <?'/)> и
•I»
<<7 't\ можно построить из состояний с нулевыми собствен-
ными числами при помощи операций из специальной канони-
ческой группы. Следовало бы заметить, что эти правые и
левые собственные векторы не связаны операцией сопряже-
„	i tz
ния, поскольку нет такой связи между q и q .
Вектор, удовлетворяющий равенствам
<7к|0/> = 0, к = 1	(4.110)
•j*
является собственным вектором эрмитовых операторов <7^<7К
с нулевыми собственными значениями,
<7*?к|0/> = 0, к	(4.111)
Верно также и обратное, поскольку равенство
<0/|^к|0/> = 0	(4.112)
•I»
содержит в себе (4.110). Операторы <7К<7К коммутативны и
действительно образуют полный набор коммутирующих эрми-
106
Гл. 4. Специальная каноническая группа
товых операторов для переменных второго рода. (В равной
степени эти утверждения применимы к неэрмитовым перемен-
ным первого рода.) Кроме того, из алгебраических свойств
канонических переменных видно, что
= °’	(4.113)
t
т. е. спектр каждого оператора <7К<7К содержит только два
значения 0 и 1. Следовательно, имеется состояние, для
t
которого все операторы q q имеют значение нуль, и кроме
того, это состояние описывается правым собственным век-
тором неэрмитовых операторов q или сопряженным левым
т
собственным вектором операторов q с нулевым набором
собственных чисел. Здесь нам следует обратить внимание
на то, что в отличие от случая неэрмитовых переменных
t
первого рода между операторами q и q имеется полная
•I»
симметрия. Например, когда операторы q^q^ имеют нулевые
собственные значения, операторы q^ q имеют единичные
собственные значения , кроме того, в этом случае сущест-
вуют правый собственный вектор операторов q и левый
собственный вектор операторов q, соответствующие нулевым
собственным значениям. Таким образом выявляется возмож-
•I»
ность определять собственные векторы \q ty и (q't\ при
помощи уравнений
fl-iG	= |/4> + 3|</Ч>,
<q't\(i+iGq) = <q't\+8<q't\ ,	(4.114)
которые имеют интерпретацию аналогичную уравнениям
(4.109).
III. УНИФИКАЦИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
4.13. Конструктивное использование специальной
канонической группы
В процессе движения от эрмитовых канонических пере-
менных первого рода к неэрмитовым каноническим перемен-
ным второго рода ценность специальной канонической груп-
пы возросла до того, что она стала явно использоваться
для определения собственных векторов канонических пере-
менных, а не просто для изучения действия группы соот-
Гл. 4. Специальная каноническая группа
107
ветствующих преобразований на независимым образом пост-
роенные векторы. Последний подход универсально применим
для переменных любого рода, поскольку можно построить
собственный вектор канонических переменных q с нулевыми
собственными значениями, а затем с помощью конечной опе-
рации из этой группы определить собственный вектор обще-
го вида	. ,
|/> =	|/=0>.	(4.115)
Аналогичная общая конструкция для левого собственного
вектора имеет вид	. ,
<р'| = <р'=0|е-М	(4.116)
Помимо этого наши эрмитовы переменные первого рода и не-
эрмитовы переменные второго рода допускают построение
векторов вида
|р'> =
<?'| =<</'= 0 |ег<	(4.117)
исключительная ситуация для эрмитовых канонических пере-
менных первого рода проистекает из унитарной природы
группы операторов, соответствующей этим переменным,
которая лишает нулевые собственные значения сколь-нибудь
выделенного положения. Смысл действия специальной кано-
нической группы на собственные векторы канонических
переменных в общем случае описывают формулы
e~ip4"\q’> = \q'+ q ">	(4.118)
И
e“Zp/<7|^/> = e~ip,q' \q'> ;	(4.119)
т.е. они представляют собой совокупность преобразований,
которые меняют собственные значения и умножают собствен-
ные векторы на коммутативные множители.
Собственные значения в равенствах
<7К1<7'> = <1<7'>	(4.120)
И
<q' 1<?к= <q' 1<	(4.121)
получаются перемножением элемента внешней алгебры с чле-
ном физической алгебры, который антикоммутирует с каждой
или, что эквивалентно, с совокупностью операторов q*
и q^ . Перевод формулы (4.91) на язык канонических пере-
менных придает антикоммутирующему оператору вид
108	Гл. 4. Специальная каноническая группа
п
Л [’к-’<<!	<4 122)
к=1
мы будем обозначать этот оператор буквой р. В состояниях
с нулевыми собственными числами это произведение, будучи
•I»
функцией коммутирующих операторов q q , имеет значения
(р - (-1)") | q' = 0> = 0, * *
<<;'= 0 |(р - 1) = 0 ,	(4.123)
соответствующие сопряженные утверждения имеют вид
</' = 0 |(р- (-1)") = 0,
(р-1)|/'=0> = 0.	(4.124)
В силу чего в формуле
<|«7'> = <е ~ ipq' |<7'=0>=	e-w\j<7'=0>(	(4.125)
множитель р, который возникает в q* , можно заменить чи-
слом (-1)п, и результат представить в виде
q\q‘> = q' \q"> = \q‘> q ' <	(4.126)
где заключительное q' целиком является элементом внешней
алгебры. Совершенно аналогично:
=</ = 0|е<Р’> = </=0|9'е^'	(4.127)
И
<q' 1<? = <q' \ q' = q'<q' I;	(4.128)
элементу внешней алгебры, который появляется в последнем
равенстве не достает числового множителя (—1)п, и поэто-
му при нечетных п он отличается по знаку от элемента в
равенстве (4.126). Следовательно, только для четных п
имеется полная симметрия между левыми и правыми собст-
венными векторами, что звучит как эстетический приговор:
в природе нет ни одной системы, которая описывалась бы
нечетным числом (пар) динамических переменных второго
рода.
4.14. Функции преобразования
При построении функций преобразования нужно исклю-
чать явно входящие операторы данной физической системы,
выражая функцию преобразования через соответствующие
собственные значения, которые для переменных второго
рода являются элементами внешней алгебры. Замена собст-
Гл. 4. Специальная каноническая группа	109
венных значений, которые антикоммутируют с динамическими
переменными,	чисто	внешними величинами	осуществляется,
вообще говоря, равенствами вида
P'\q’> =	\q'>P' .	(4.129)
и получается	автоматически для	произведений собственных
значений. Для всех	переменных	функция	преобразования
<р' \ q'y описывается дифференциальным равенством
= КР' I (G-Gg)|<7'> =
= <<р' |(-8р' q' -р' &q')\q"> =
= 4-ip'q']<p'\q'>> (4130)
а ее интегральная форма различается только числовыми
множителями, которые выражают условия нормировки для
конкретного типа переменных. Чтобы достичь универсаль-
ности формы
<р'Ю = е^ч',	(4.131)
мы должны удалить множитель (2тг)—”/2, который возникает
для эрмитовых переменных первого рода. Это получится,
если все интегрирования выполнять с дифференциалами
“’'1  <4132)
при соответствующем переопределении 3-функции:
3 [<?' ] = (27Г)П/23(q'), J d [<?' ] 3 [д' ] = 1 .	(4.133)
Для переменных второго рода эту функцию преобразования
можно представить в более конкретном виде
<<7*'Ю = е’*'’ '	=	= П +	<4134)
К	к
поскольку квадрат любого собственного значения равен
нулю. Функция преобразования <р' \ q'> имеет общее диффе-
ренциальное свойство композиции
<Р' \q'> = (р' |‘Зр)<РЮ | _ =
13=0 ,ат. ч.
= <р'1\М г') I ?=0' (4135)
которое символически выражается в виде
no
Гл. 4. Специальная каноническая группа
1
I °? /	1р'=0	’	\
Таким образом, для переменных
произведение двух векторов можно
ляющих волновых функций
= <<71’//|Ф, <p(q't)
по формулам
= ф.

t 02(/'О|
gt'=O
1g'=0
второго рода
вычислять из
= ф|д
ат .
= О 02	/] I
(4.136)
скалярное
представ-
(4.137)
. (4.138)
<?'=°
Если исключить неэрмитовы переменные первого рода,
то можно построить функцию преобразования
<<?' |р'> = elp q
(4.139)
которая для переменных второго рода принимает вид
(4.140)
Кроме того, в качестве аналога формул (4.137)
имеем волновые функции
= <<7'*|Ф- Ф(Ло =
и формулы для вычисления скалярного произведения
I 1	।
Ф1Ф2 = «W4 Ф2(чЧ)\ / =

+
и
(4.138)
(4.141)
= Ф/Л')^
гат 
а/' .
(4.142)
<?t' =0
При этом же ограничении функции преобразования	и
<р' \р"> являются осмысленными без какиих-либо оговорок.
В самом деле, дифференциальное уравнение
3<<7' Ю = '<<?' \(Р 8q' - р	=
= i<q'\p\q">8(q'-q"), (4.143)
в сочетании с тождеством
0 = <q'\(q-q)\q"> = <q'\q">(q'- q")	(4.144 )
показывает, что <<?' |g"> есть функция разностей соответ-
ствующих собственных значений, которая обращается в нуль
при перемножении с любой из ее переменных. В случае не-
Гл. 4. Специальная каноническая группа
111
эрмитовых переменных первого рода последнее равенство
гласило бы
о = <«/' 1У">(У'-У") - ^7<«/!«/"> ,	(4.145)
это уравнение имеет решение <«/' | «/">=(«/' —у")~\ Для эрми-
товых переменных первого рода эти соотношения определяют
дельта-функцию
<<7'Ю =	(4.146)
и мы сохраним эту запись для соответствующей функции,
относящейся ко второму классу переменных,
<<?' Ю =	<) = 3 [?'- ?"] .	(4.147)
в которой п антикоммутирующих множителей расположены в
некотором стандартном порядке, скажем	если чи-
тать слева направо. Для аналогичного преобразования пе-
t
ременных q напишем
<?'|/"> =	(4.148)
где сомножители располагаются в обратном порядке. Согла-
сованность этих определений следует нз свойства компози-
ции
’=и I к	д=0
= П Р +	(4.149)
поскольку противоположный порядок умножений в двух про-
изведениях позволяет составлять нужные комбинации без
изменений в знаках из-за антикоммутативности собственных
4.	4.
значений. Функция преобразования <g ]q "> обеспечивает
4»
связь между волновыми функциями 0(д'/) и ' t). Свой-
ство композиции
<?'| =</'!/> {£.
х dq
<?t=0
дает
<?t=0
и аналогично
0(/'О = П ’Г/Г,''
4 J oq
(4.150)
(4.151)
112
Гл. 4. Специальная каноническая группа
, аТ
<<7'I = <?' 1<7>
q=0
дает обратное соотношение
0(<7'О = J] (-<)
Кроме того, мы имеем
г а, т
М'О = П
И
(4.152)
(4.153)
(4.154)
(4.155)
Чтобы теперь получить выражение условия полноты, в
котором фигурируют только собственные векторы операторов
а, заметим, что
/ аТ 1а/	\
1 = )</'\g>=q-=Q =
(4.156)
Если это символическое выражение реализовать с помощью
волновых функций <р, которые коммутируют с соответствую-
щими собственными значениями, или если п - четно, то фо-
рмулу для скалярного произведения можно представить в
виде
_т f д I ]
Ф1Ф2 = П [“af7"]	=
=	(4-157)
Интегральная запись
аналогии и не несет
предназначена здесь для освежения
никакой дополнительной смысловой на-
грузки по сравнению с дифференциальным определением. По-
добным образом мы получаем
л „га, ат ) +
1 = |/'>П--Ajr </"|
a<'J ,t'=,t"=o
(4.158)
ФЛ = П
v/q*'t) 't) =
= J d[p'] <pj(p't) ifi2(p't) - (4.159)
Согласно определениям, которые были подобраны для пере-
Гл. 4. Специальная каноническая группа
113
менных второго рода,
т f д . *1
И»'1 а и - Ц J Ц ,у - 1 (4.160)
И Jd[p']8[p'-p"] =п[гт, г9 Более того, свойство композиции	И’		= 1 . (4.161)
= р[<7']<р'к'Х?'1		р">	(4.162)
теперь принимает вид
3[р'-р"] = Jd[q'] е^р'~р"К	(4.163)
и аналогично
а[47'-<7"] = р[р'] Х(’'~ ч"}.	(4.164)
Таким образом, расширение обозначений типа дельта-
функций на переменные второго рода вполне обоснованно.
Другой родственный пример формулы, применимой и к обеим
эрмитовым переменным первого рода и к переменным
рода, получается, если равенство записать
= 3[9']	i^, ,t
t	• t
и заменить переменные q на р = tq .
интегрального представления (4.164) это
(4.153) как
второго
(4.165)
После подстановки
выражение прини-
мает вид	,	. , ,
= р[Р']	,
а (4.151) дает обратную формулу
= Jd [<?'] е~‘р q $(q't) .
(4.166)
(4.167)
Для эрмитовых переменных первого рода эти соотношения
совпадают с полученными в (4.22) взаимно обратными пре-
образованиями Фурье.
4.15.	Интегрирование
Несмотря на то, что интегральная форма записи весь-
ма эффективна для придания единообразия некоторым форма-
льным свойствам двух классов переменных, природа этих
операций совершенно различна. В самом деле, символ J
имеет смысл дифференцирования для переменных второго ро-
да и операции обратной дифференцированию для переменных
первого рода. Наиболее рельефно это проявляется, если
114
Гл. 4. Специальная каноническая группа
подвергнуть собственные значения линейному преобразова-
нию q' —&.q'. Для эрмитовых переменных дифференциальный
элемент объема в д'-пространстве меняется при этом сле-
дующим образом
gfe: d[V] = |det Л| d[ q '] ,	(4.168)
откуда следует, что
- |ЗёГ7 | ’[»']	(4.169)
Но дельта-функция по переменным второго рода определяет-
ся как произведение антикоммутативных множителей, и по-
этому
дк: 3[Ag'] = det Л3[д'] .	(4.170)
Этот результат формально можно записать также в виде
= аёН^']-	(4.171)
Положив, в частности, Л = -1, мы видим, что 3[д'] явля-
ется четной функцией эрмитовых переменных, но для пере-
менных второго рода она обладает этим свойством только
когда п2 - четно. Интересное формальное различие возни-
кает также при вычислении следа некоторого оператора с
помощью интегрирования. Из равенств (4.23), выражающих
свойство полноты для эрмитовых переменных первого рода,
выводим интегральную формулу
ТгХ = Jd[g']<g'|X|g'> = \d [ р ']</>'|Х|р'>.	(4.172)
Чтобы получить аналог этого выражения для переменных
второго рода, запишем сперва след в матричном представ-
лении <р' | X | д' >, что получается из верной в общем случае
дифференциальной формулы (4.136),
ТгХ-(.^|х|9Л|^ = (р-| X |^)|р,_о.	(4.173)
Тогда для переменных второго рода мы выводим (р =i q^)
/д ]al \	I
тГ6. dl 1	I
= H ^3?d<«''|X|*/>l/v=0=
= Jrf[^]<^|X|-g'>	(4.174)
И
Гл. 4. Специальная каноническая группа
115
Tr X
,t'=(7t"=o
^'=^"=0
\
+	*	п(5’	3
= <гях|Л>п -тг-т-г
[ oq oq
= p[p']<pz|X|-p'>. (4.175)
Для четных п2 , к примеру, имеем
Pl<7'> = Pe-ipq' |0> = е‘>’/р|0> = !-<?'>,
(4.176)
и, следовательно, полученную формулу для следа можно так-
же записать в виде
Tr X = /</[<?']	<<?'| Хр | </'> = Jd [р'] <р'| Хр |р'> ,	(4.177)
который до некоторой степени восстанавливает единообра-
зие двух наших классов, ибо именно единичный оператор,
коммутирующий со всеми переменными, для переменных пер-
вого рода играет роль оператора р. Поскольку след не
изменяется при замене X на рХр, можно вместо Хр написать
рХ, н поэтому нечетные функции этих переменных имеют
нулевой след. Приведем простейший пример вычисления сле-
да
Tri =	<<?'|-<7'> =
т { д. 1
= п IW) =2 • <4i78>
Само собой разумеется, что для систем, требующих для
своего описания динамических переменных обоих родов,
операции взятия следа по переменным каждого класса долж-
ны накладываться друг на друга. В случае четного дос-
таточной общности формула получается из (4.172), (4.174)
и (4.166)
TrX = jd[<7'] d[p'] eiq'P'<p'\X\q'>	(4.179)
4.16.	Дифференциальные реализации
В заключение мы прокомментируем универсальность реа-
лизаций динамических переменных дифференциальными опера-
торами	Q
<р'/|<7(0 =	,
116
Гл. 4. Специальная каноническая группа
ат
p^q'ty = \q'tyi^, ,	(4.180)
и их алгебраических обобщений
<j>4\F(qp) = f[i^, .p'jo'd ,
Г ат 1
F(qp)\q'i> = ]q'i>F\q',	i^,j,	(4.181)
которые приводят к дифференциальным уравнениям Шрединге-
ра:
и

1ят	Г ат
(4.182)
(4.183)
Состояния <<?'/| и \p'ty не допускают общих утверждений
такого рода, поскольку помимо асимметрии, характерной
для неэрмитовых переменных первого рода, мы должны раз-
личать два класса динамических переменных в соответству-
ющих реализациях дифференциальными операторами
Г д . 1
<q't\F(qp) = F [<?',+!J <.q't | »
( 8Т ]
F{qp)\p'ty = |р'/> ^|+'а£' -P'j .	(4.184)
где верхний знак относится к переменным первого рода.
Это различие в знаках проистекает из необходимости изме-
нения порядка умножения в дифференциальном выражении
5,<<7'*1 =	= i<q'i\(±)Sq'p =
= (±)i8qXq't\p (4.185)
по сравнению с
5р<Р'*1 = ~i<p't\Sp'q = -i 8p'<p't\q .	(4.186)
Таким образом, уравнения Шредингера, применимые и к
эрмитовым переменным первого рода, и к переменным второго
рода имеют вид
А	Г & I "I
. зТ	Г Зт
= <Р(Р'Г)	,p',t
(4.187)
ГЛАВА 5
КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
5.1.	Групповые свойства и избыточные переменные
5.2.	Бесконечно малые канонические преобразования
5.3.	Повороты. Угловой момент
5.4.	Сдвиги. Импульс
5.5.	Параметры преобразований
5.6.	Преобразования Гамильтона-Якоби
5.7.	Зависимость от пути
5.8.	Независимость от пути
5.9.	Линейные преобразования
Использование оператора Лагранжа канонического вида
L = p°lft-H	(5.1)
приводит соответственно к канонической форме генерато-
ров, описывающих бесконечно малые преобразования в конк-
ретный момент времени t,
G = p6q - Н 61 ,	(5.2)
что в свою очередь дает канонические перестановочные
соотношения и уравнения движения. Из некого заданного
генератора G можно получать другие генераторы G, такие
что
G - G = 6W,	(5.3)
и мы зададимся теперь вопросом: можно ли G также придать
канонический вид по отношению к неким новым динамическим
переменным q(t), p(t) и новому оператору Гамильтона
H(qpt). Эти новые переменные подчинялись бы, очевидно,
каноническим перестановочным соотношениям и уравнениям
движения, что характеризовало бы это преобразование ди-
намических переменных в момент t как каноническое
преобразование. Дифференциальная форма
6W(qqf) = р 8q - Н 8t - р 6q + Н 6t	(5.4)
возникает в результате бесконечно малого варьирования
переменных в операторе действия W, в котором объектами
варьирования являются операторы q и ~q. Однако оператор
действия может содержать и другие, избыточные, канониче-
ские переменные v, а поэтому
118
Гл. 5. Канонические преобразования
д W
р = з£~ ' -р =
77 Н и.
Н = И + тгг.
д W
tr-
(5-5)
3? = 0 ’
Таким образом, чтобы преобразование получалось канони-
ческим, эти неявные операторные уравнения должны иметь
решение для q и р.
5.1.	Групповые свойства и избыточные переменные
Канонические преобразования образуют группу. Опера-
тор действия, который описывает преобразование, обратное
к qp —* др, имеет внд
W(q,q) = -W(q.q) ,	(5.6)
а два последовательных преобразования qp —> ~qp —> qp
описываются производящим оператором действия вида
W(q,7) = W(q,q) + W(q,^) .	(5.7)
Последняя формула иллюстрирует понятие избыточной пере-
менной. Если отдельные операторы W(q,q) и W(q,q) содер-
жат только указанные переменные, то их сумма включает q,
q и q. Но согласно условиям, наложенным иа каждое от-
дельное каноническое преобразование,
д	_
\W(q,q) + W^,?)] = -р + р = 0 ,	(5.8)
_ dq
и W(q,q) должен быть представим как функция только пере-
менных q и ~q. Однако далеко не всегда желательно исклю-
чать избыточные переменные. Это, в частности так, когда
каноническое преобразование содержит алгебраические со-
отношения между переменными q и q, которые препятствуют
их независимому варьированию. Сохранив переменные неко-
торого промежуточного преобразования, можно получить
нужное преобразование с помощью независимого дифференци-
рования. Важный пример такого рода дает тождественное
преобразование. Начнем с обычного преобразования, кото-
рое меняет ролями взаимно дополняющие переменные q и р,
оказывается
G- Gp = 8W(q,p),	(5.9)
где
Й7(<7,р) = -W(p,q) = poq.	(5.10)
Гл. 5. Канонические преобразования
119
Поскольку
G =-pg = -3£ qk6pk + £ qK6pK ,	(5.11)
?	k	к
это преобразование является каноническим
= pk’ pk = ~qk >
Чк = Рк> Рк =	(5.12)
Складывая операторы действия для преобразования q —> р и
обратного к нему р —> q=q, мы получаем следующую харак-
теристику тождественного преобразования
W(q,q) = р ° (q-q),	(5.13)
которое содержит р в качестве избыточной переменной.
Чтобы исключить последнюю мы должны наложить условия
q=q, что дает UZ=O для тождественного преобразования.
Однако при сохранении этой избыточной переменной диф-
ференциальные уравнения (5.5) остаются применимыми и
воспроизводят это преобразование.
Заданное каноническое преобразование можно получить
дифференцированием по любому из наборов дополнительных
переменных. А именно: с помощью оператора действия
W(qqf), удовлетворяющего дифференциальным уравнениям
(5.5), мы напишем равенство
W(pqt) = W(p,q) + W(qqt) = -р о q + W(qqt),	(5.14)
в котором переменные q возникают как избыточные. Диффе-
ренциальные свойства нового оператора действия W(p~qt)
теперь имеют I
- Я
д W
dW
dtw
8W
Н = Н
(5.15)
эти уравнения в равной степени
п
очевидно, что
для описания
образование, например, получается из оператора действия
-р°?.
5.2.	Бесконечно малые канонические преобразования
Преобразования из бесконечно малой окрестности то-
ждественного преобразования - бесконечно малые канони-
ПОДХОДЯТ
Тождественное пое-
120	Гл. 5. Канонические преобразования
ческие преобразования — должны описываться оператором
действия, который бесконечно мало отличается от операто-
ра, порождающего тождественное преобразование. Подходя-
щая форма такого оператора с переменными q и q имеет вид
= р°(я-я) - Gfqpt),	(5.16)
где G есть бесконечно малая функция указанных перемен-
ных, четная по динамическим переменным второго класса и
произвольная в остальном. Воспользовавшись уравнениями
(5.5) с р в качестве избыточной переменной, для беско-
нечно малого канонического преобразования
q = q - 8q , р = р - 8р	(5.17)
мы получаем явные равенства
= ZpGlwV ' SP = ~$qG(qpff>
H(qpt) = H(qpt) - ^G(qpt).	(5.18)
Теперь в силу формул (3.100) и (3.123), которые примени-
мы и к четным функциям переменных второго рода, имеем
5q = 7 [<?><?] .	= 1 [p,G] ,	(5.19)
или, без специализации канонических переменных,
5х = 1 [x.G] .	(5.20)
Следовательно,
х = х - <3х = (1 - IG) х (1 + IG),	(5.21)
и если G является эрмитовым оператором, то это преобра-
зование унитарно. Таким образом, подгруппа канонических
преобразований, сохраняющих эрмитовость динамических пе-
ременных, эквивалентна группе унитарных преобразований.
Безотносительно к свойствам эрмитовости преобразование
(5.21) сохраняет все алгебраические соотношения, и
поэтому
H(xt) = (l-iG)H(xt)(l+lG) = H(xt) + 4 [G,tf] ,	(5.22)
откуда
H(xt) - H(xt) = -^G - 4 [G,tf] = - ^G,	(5.23)
что делает явной функциональную форму нового гамильтони-
ана. Бесконечно малые канонические преобразования, не
изменяющие формы оператора Гамильтона, имеют генератора-
Гл. 5. Канонические преобразования
121
ми интегралы движения.
Мы уже сталкивались с примерами бесконечно малых
канонических преобразований. Преобразование, порождаемое
генератором G =—H8t,
8х = | [х, - H8f] =	,	(5.24)
заменяет динамические переменные, относящиеся к моменту
времени t, или же в момент времени t+St
х(0 = х - Зх = x(t+8t).	(5.25)
При этом новая форма оператора Гамильтона есть
H(xt) = Н Qc(t+8t),t+8f) = H(xt) + ^3/,-	(5-26)
и, следовательно, оператор энергии Н будет интегралом
движения, если Н не является явной функцией t, и это
есть условие сохранения функционального вида оператора
Гамильтона при временных сдвигах. Специальные оператор-
ные вариации, выделенные своими элементарными перестано-
вочными	свойствами,	возникают как	канонические	преобра-
зования	a .G	8 G		
3g	= "V =	- 8p = ^f	= 0 ,	(5.27)
и	d.G	a g		
3g		8р ~	~%q	=	(5.28)
где мы ввели индекс з для различения общих бесконечно
малых канонических преобразований и преобразований спе-
циальной канонической группы. Для переменных второго ро-
да рассмотрение специальной канонической группы в рамках
общих канонических преобразований требует формального
расширения последней через введение элементов внешней
алгебры.
5.3.	Повороты. Угловой момент
Изменение описания, сопровождающее поворот системы
пространственных координат, есть каноническое преобразо-
вание с бесконечно малым генератором
G = За • J ,	(5.29)
однако форма этого канонического преобразования нам еще
не известна. По- разному ориентированные системы коорди-
122
Гл. 5. Канонические преобразования
нат эквивалентны в принципе, и следует ожидать, что
кинематический член в операторе Лагранжа имеет одинако-
вый вид по переменным, относящимся к любой системе коор-
динат. Это соображение относится также и к динамическому
члену, т.е. оператору Гамильтона, физически изолирован-
ной системы, для которой оператор полного углового
момента J как генератор преобразования, оставляющего ин-
вариантной форму Н, является интегралом движения.
Вследствие билинейной структуры кинематического члена
р°^ изменение, возникающее при произвольном повороте
пространственной системы координат, будет линейным пре-
образованием на подходящим образом выбранных
д-переменных в сочетании с контрагредиентным преобразо-
ванием соответствующих дополнительных переменных. Таким
образом, для бесконечно малого поворота имеем
9 , G
= -<«»• j?»
9
V = -	Ь	(5-3°)
где компоненты вектора j суть матрицы. Для эрмитовых пе-
ременных компонента j является чисто мнимой матрицей,
тогда как для неэрмитовых переменных, связанных соотно-
шением р = iq\ матрица / является эрмитовой. Следовате-
льно, общая форма эрмитова оператора углового момента
предстает в виде
J = - ip о jq ;	(5.31)
куда дают аддитивные вклады оба рода динамических пере-
менных. Симметризация или антисимметризация, фигурирую-
щие в этой формуле, на самом деле не существенны.
Подвергнув оператор J бесконечно малому преобразо-
ванию, порожденному генератором Ga , мы в силу переста-
новочных соотношений (2.79) находим
= 1 [J ,	J] = Зшх J .	(5.32)
Но,кроме того,
+ 5wp	= ~ip 7 [j' 5“ ’ fl? -	(5-33)
и, следовательно,
Гл. 5. Канонические преобразования
123
1 [j, Зо> • j] = Зо>х j ;	(5.34)
таким образом, матрицы j подчиняются тем же перестано-
вочным соотношениям, что и оператор углового момента J.
Из этих перестановочных соотношений следует, что след
матрицы j обращается в нуль, и поэтому явная симметриза-
ция или антисимметризация множителей в J ие является не-
обходимой. Разложение матрицы j на неприводимые под-
матрицы приводит к разбиению динамических переменных на
кинематически независимые наборы, которые входят
аддитивно в выражение оператора J. Каждый такой набор
определяет некую динамическую переменную, состоящую из
нескольких компонент, именно число этих компонент задает
ее поведение при поворотах, поскольку это целое число,
будучи размерностью соответствующей подматрицы, сущест-
венно определяет структуру матричных представлений опе-
ратора J. Например, неприводимый набор из трех перемен-
ных при поворотах с необходимостью преобразуется как
вектор трехмерного пространства. Согласно замечанию,
сделанному в предыдущем разделе, число компонент, со-
ставляющих динамическую переменную второго рода, по-
видимому, четно.
5.4.	Сдвиги. Импульс
Все сказанное по поводу инвариантности относительно
поворотов системы координат в равной степени применимо к
сдвигам системы координат, которые имеют бесконечно ма-
лый генератор
G_ = Зе • Р.	(5.35)
Для систем, описываемых конечным числом динамических пе-
ременных, соответствующее преобразование, которое остав-
ляет инвариантной кинематическую часть оператора Лагран-
жа L, состоит просто в прибавлении констант к надлежащим
образом выбранным каноническим переменным q. Таким обра-
зом, G_ имеет структуру оператора G , и различные гене-
раторы этого типа коммутируют, как того требуют переста-
новочные свойства полного импульса. Если оператор
124
Гл. 5. Канонические преобразования
P =	(5-36)
подвергнуть бесконечно малому повороту, то в силу
V =	= 5шхР = V°5e’	<5-37)
мы обнаруживаем, что те члены класса динамических
р-переменных, которые вносят вклад в Р, при поворотах
ведут себя как пространственные векторы. Следовательно,
сдвиг системы координат может действовать только на трех-
компонентные переменные первого рода. Если этот набор
переменных представляется в виде эрмитовых векторов
Ту...,т	, а р1,...,рп — соответствующие дополнительные
переменные, то надлежащая подгонка относительных масшта-
бов собственных значений даст
бсГ£ = Зе ,	(5.38)
и поэтому
п
P = Epfe.	(5.39)
*=1 я
Выделяя вклад этих векторных переменных в полный угловой
момент, мы получим
п
J = Ejfe х р* + Jmt,	(5.40)
Я=1
где последнй член содержит все переменные, на которые не
влияют сдвиги. Эти переменные, очевидно, являются
внутренними для системы п частиц, расположение которых в
пространстве описывается векторами .
5.5.	Параметры преобразований
Полезно взглянуть на бесконечно малое каноническое
преобразование как на результат бесконечно малых измене-
ний некоторых параметров т , s = l,...,v, скажем на ве-
личины -dx , так что бесконечно малый генератор имеет
вид
п
G = £6 (-ftj,	(5.41)
$=1 v ’
Гл. 5. Канонические преобразования	125
где операторы G^ , быть может, явно зависят от этих
параметров. Такая интерпретация преобразования выражает-
ся соотношениями
* = X + Eg (-Л)	(5.42)
$
или
Зх = х - х = Ejf = dx 	(5.43)
$
Соответственно, канонические переменные подчиняются
уравнениям движения
д. G. .	. д G. .
<5“>
которые управляют эволюцией соответствующего каноничес-
кого преобразования. Многократное повторение таких бес-
конечно малых преобразований порождает конечное преобра-
зование, при котором параметры т меняются от значений Tj
до т2 вдоль определенного пути. Оператор действия,
характеризующий это конечное преобразование, является
суммой операторов, соответствующих отдельным бесконечно
малым преобразованиям, т
= Е .	(5.45)
12	" т,т-ат	'	'
где согласно определению (5.16)
WT,x-dT = Р^0^) ~ д(т-Л)) +
+ ZG{s}(q(T-dr),p(T)/c) drs. (5.46)
Следовательно, оператор
Ti
Г12 = J [p°dP + SG(S)dTJ	<5’47)
Т2
является оператором действия, порождающим конечное кано-
ническое преобразование, причем операторы, относящиеся
ко всем промежуточным значениям т между Т, и Tj , фигу-
рируют здесь как избыточные переменные. Поскольку не
должен зависеть от этих промежуточных переменных, он
126	Гл. 5. Канонические преобразования
является стационарным относительно специальных бесконеч-
но малых вариаций всех динамических переменных, которые
не относятся к концевым значениям параметра т. Тогда
3(po</g + £ G(j)</rJ ~ d(P5P + EG(s)Sts) =
= 8pdq - dp 8q + £ ( SG(s)dTs ~ rfG(s)5Ts] >	(5-48)
что, в свою очередь, равно
f	т—3.G, , I Г	г—3 G, . I
+	dTJ5<? +
г—	f	SG,	. dG. ,	I
j- \	I	__— >;г (г)_I	Д-г Я-г
/	1dr I ’
rs
(5.49)
и, таким образом, требование стационарности, примененное
к некоторому заданному пути в пространстве параметров
(Зт=0), вновь дает дифференциальные уравнения (5.44) и,
кроме того,
SttZ12 = G1 " G2>
G = p8q + £G(s)3ts .	(5.50)
5.6.	Преобразование Гамильтона — Якоби
В случае единственного параметра t и генератора
— Н, мы восстанавливаем исходный принцип действия, кото-
рый теперь возникает как характеристика канонического
преобразования некоторого описания в момент времени
t(=tj в аналогичное описание, относящееся к другому мо-
менту времени ^о(=У’ эт0 преобразование называется
преобразованием Гамильтона - Якоби. Если момент времени
tQ фиксирован, то оператор действия W (=^2) удовлетво-
ряет уравнению
3IF = p8q - Н 6t - pQ6qQ ,	(5.51)
которое эквивалентно системе уравнений
8 W	д W	ЯП7
р -	' ~Ро = Zq^‘ н + зт = 0 •	<5-52)
Сравнивая эти выражения с равенствами (5.5), мы обнару-
живаем, что преобразование Гамильтона - Якоби - это
такое преобразование, для которого Н=0, что означает
Гл. 5. Канонические преобразования
127
отсутствие зависимости от t новых динамических перемен-
ных х(/0). Таким образом, новый гамильтониан в момент
времени t отличается от Н, вычисленного в момент времени
t, которым определяется зависимость W от параметра t ,
5Т„= "MV-W 
(5.53)
5.7. Зависимость от пути
Для канонического преобразования, оперирующего с
несколькими параметрами, последний член в выражении
(5.49) отражает результат изменения пути, вдоль которого
имеет
происходит изменение параметров. Поскольку G^
смысл генератора сдвига по переменной т , имеем
dG, . dG,
-г—k* =
dx dx
s	s
1 [G, . , G, .] ,
‘ L (О G)J
(5.54)
следовательно,
QG
3T
dG, .
= R
dx	rs
s
(5.55)
антисимметричен по индексам г и s,
dG, . dG,
D - _._(*) _ _ C
rs dx dx
г	s
+ 7 [°М -
(5.56)
Таким образом, полная вариация оператора
имеет
в
<3U7 = G.- G_+ Г £ R 1 (6 т dx - 6т dx ) .
12	1	2 J u rs 2 v r s s г*
rs
T2
Если при фиксированных условиях на концах интервала рас-
смотреть две независимые вариации пути в следующей
комбинации
(5.57)
2
то это
[б(1)3(2> - 6(2>6(1) jlF12 =
dR dR dR
S , _so, _qr
TT + Zx+Zx
r s
(5.58)
dx
S
приведет к условию
интегрируемости дифференциаль-
128
Гл. 5. Канонические преобразования
ной формы (5.57)
ве параметров,
dR
rs
dr
Я
по ее зависимости от пути в
dR dR
Г	S
которое действительно удовлетворяется в силу
го тождества (2.73), приложенного к
R
пространст-
(5.59)
операторно-
(5.60)
(5.61)
dR _ га
я L я
а _ д
и
- IG.
IG,
5.8. Независимость от пути
Коль скоро каноническое преобразование не должно
зависеть от пути интегрирования, то необходимо, чтобы
= 0 .	(5.62)
В качестве примера такой ситуации, рассмотрим каноничес-
кое преобразование с двумя наборами параметров и генера-
торов:	t, -Н; Л, G,y. . Возвращаясь к определению
(5.55), мы видим, что в этом случае условие независимос-
ти от пути можно представить в виде
ЗЯ _	/С ROX
<5-63)
Следовательно, оператор Гамильтона должен быть явной
функцией параметра Л, а это говорит о том, что он изме-
няет свой функциональный вид при бесконечно малом преоб-
разовании G...dX. Поскольку такое изменение совпадает с
изменением гамильтониана (5.23) при некотором бесконечно
малом каноническом преобразовании, мы замечаем, что одно
и то же результирующее каноническое преобразование полу-
чается, либо если система эволюционирует во времени, а
каноническое преобразование выполняется в заключительный
момент времени, либо если каноническое преобразование
происходит непрерывно во времени только при условии, что
конечная точка фиксированна. С последней точки зрения
наложение этого непрерывного изменения описания на дина-
мическое развитие системы описывается эффективным опера-
тором Гамильтона
Гл. 5. Канонические преобразования
129
Нв =	~ С(Х)37’
(5.64)
а соответствующий принцип стационарного действия включа-
ет числовую переменную А(/). Стоит отметить, что когда
G. . не является явной функцией времени, зависимость И
(Л)
от Л такова, что dH/dX=0.
5.9. Линейные преобразования
При некоторых обстоятельствах это развитие принципа
действия можно представить как некоторое расширение
класса вариаций без изменения гамильтониана. А именно,
пусть
G(X) = “	° 84 >	(5.65)
это порождает линейное преобразование, описываемое урав-
нениями,
<5.вв)
Если g - постоянная матрица, то при постоянном t это
A-преобразование имеет явный вид
g(X) = e°*q, р(Х) = р е~Лв .	(5.67)
Далее, если эти линейные операторные соотношения подста-
вить в оператор Лагранжа, мы получим
+ G(x)g -	р(Х), А] =
= Р°$-Н,	(5.68)
где все указания на A-преобразование исчезли. Здесь мы
использовали то, что при фиксированном А
р(А)о^Д) =	(5.69)
И что
С(Х>-	--	<5.70)
Таким	образом,	оператор действия	представляется как опе-
ратор	действия	некоторого чистого	преобразования Гамиль-
130
Гл. 5. Канонические преобразования
тона - Якоби. Однако
ввести, если учесть,
q(X) и бесконечно
наше Л-преобразование можно теперь
что специальная вариация операторов
малое изменение параметра Л в
выражении
Я = е~л*
(5-71)
вызывают специальную вариацию операторов q в комбинации
с линейным преобразованием:
8q - i 8Х gq .	(5.72)
Вместе с подобными свойствами операторов р это дает
некий расширенный класс вариаций для принципа действия.
Чтобы проверить на прямую корректность этого расширения,
мы заметим, что этот класс вариаций индуцирует следующую
вариацию в L
G(A)i?6A - 1т5А =
.-эт[С(х)вА] -		(5 73>
в которой дН/дХ введен с целью скомпенсировать отсут-
ствие инвариантности И относительно Л-преобразования.
Теперь применение принципа стационарного действия дает,
как и должно быть, равенство (5.63) и подтверждает ин-
терпретацию оператора G. .ЗА как генератора бесконечно
малого Л-преобразования.
Теперь мы можем рассмотреть частный случай линейно-
го преобразования Гамильтона - Якоби, соответствующего
билинейному оператору Гамильтона
Н = - ip о hq	(5 74)
и уравнениям движения
^ = Pih-	(5.75)
В силу уравнений движения
и.
(S.76)
поэтому оператор действия W(qqQt) является тождественным
нулем, что означает существование алгебраических соотно-
шений между переменными q и qQ. Следовательно, это пре-
образование удобнее описывать с помощью оператора дейст-
Гл. 5. Канонические преобразования	131
вия W(pqQf) . Согласно (5.14) мы должны исключить пере-
менные q, это осуществляется подстановкой явного решения
уравнений движения
q = е QqQ,	(5.77)
(где h — постоянна), после чего получаем
Щр, qQ, t-t0) -—p°q = -p°e ° qQ. (5.78)
ГЛАВА 6
ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
6.1.	Условия интегрируемости
6.2.	Представление конечными матрицами
6.3.	Подгруппы
6.4.	Дифференциальные формы и свойства композиции
6.5.	Канонические параметры
6.6.	Пример. Специальная каноническая группа
6.7.	Другие параметры. Группа поворотов
6.3.	Реализации дифференциальными операторами
6.9.	Групповой объем
6.70.	Компактные группы
6.11.	Операторы проецирования и инварианты
6.12.	Дифференциальные операторы и группа поворотов
6.13.	Интегрирование в некомпактных группах
6.14.	Переменные второго рода
6.15.	Оператор отражения
6.16.	Конечный операторный базис
6.17.	Дополнение: Вывод принципа действия
6.18.	Дополнение по поводу специальной канонической группы
6.19.	Дополнение: Квантовые переменные и принцип действия
6.1.	Условия интегрируемости
Теперь мы будем изучать построение непрерывной
группы канонических преобразованийиз ее бесконечно малых
элементов, когда преобразование должно полностью опреде-
ляться значениями параметров и поэтому не зависит от
пути иитегрирования. За исключением элементарного случая
полностью коммутативной (абелевой) группы соответствую-
щие генераторы G^ должны быть явными
метров, коль скоро операторы /? должны
помощью группового свойства каждый
функциями пара-
быть нулями. С
из операторов
G^(x,t), число которых предполагается конечным, пред-
ставляется как линейная комбинация одинакового числа
(6.1)
операторов, которые не зависят явно от параметров,
G, Х(х,т) = YG. Ах) С (т) ,
($)'	'	/	(а)' ' ^-as '
а
в то же время условие независимости от пути интегрирова-
ния требует, чтобы коммутаторы операторов G^^(x) были
линейно связаны с этой системой операторов. Написав
Гл. 6. Группы преобразований
133
tG(6) ’ G(cp ^G(a)Sabc ’
a
мы получаем следующие дифференциальные уравнения для
функций £ау(т)
д с   6 р _ А ~ р р
 г as	дт ^аг abc* Ьг* cs ’
г	s	‘г—
ос
антисимметричны по последним двум индексам, и
мнимы,
набора
записи
(6.2)
(6-3)
Числа g ,
&аЬс
ОНИ чисто
для этого
матричной
если операторы эрмитовы,
чисел с фиксированным вторым
Введение
индексом
%b ~ ^abc^ ’
в удобном виде представлять другие
свойства,
(6-4)
позволяет
ческие свойства, - перестановочные
например, принимают вид
[G(b), G] = G gb .
Последнее равенство устанавливает
оператором G^ и конечной матрицей
перестановочные свойства, ибо
сохраняет
(2.73)
алгебраи-
соотношения (6.2),
(6.5)
соответствие между
Это соответствие
в силу тождества
Sb-
[% • [G(b)' сл - СС(6) > [С(а) • GJ] =
= [tG(a)'G(b)b G1 = G^'
(6.6)
и поэтому g- матрицы также удовлетворяют перестановочным
соотношениям (6.2). Другим семейством матриц, обладающих
этим же свойством, будут, как следует из соответствия
G(b)] = STbG,	(6.7)
матрицы -gT. Квадратичные связи между коэффициентами g,
входящими в перестановочные соотношения, тождественны ус-
ловиям интегрируемости дифференциальных уравнений (6.3),
что служит проверкой самосогласованности операторного
представления (6.1).
6.2.	Представление конечными матрицами
Соответствие между операторами G^ и матрицами ga
остается справелнвым при замене операторного базиса в
134
Гл. 6. Группы преобразований
пределах имеющейся свободы преобразований матриц, сохра-
няющих. нужные алгебраические соотношения; несингулярное
преобразование базиса
G , = £G Л ,	(6-8)
а и а аа
а
индуцирует матричное преобразование
g ' = Л-1[ £g Л ,1 Л.	(6-9)
6а	[ £-1 аа J
Важное приложение этой возможности замены операторного
базиса возникает, когда операторы G эрмитовы и имеют
представление ненулевыми линейно независимыми конечно-
мерными эрмитовыми матрицами. Тогда след, вычисленный из
представления такими ограниченными матрицами,
Тг ([G, ., G,M] G, .1 = Тг ([G,M , G. .] G, ,1 =
lL (о)’ (6)J (с) J lL (Ь ' (c)-l (a)J
,	1	(610)
=• Тг I [G, . , G, .] G,,. I = У к ,g z,
(c) (a)J (6) J	^, aa 6 a be
полностью антисимметричен по индексам a,b и с, причем
- ТгС(А'>	(611>
— вещественная симметричная положительно определенная
матрица. Поэтому имеется такой эрмитов базис, в котором
матрица у кратна единичной, а числа g - полностью
антисимметричны. Относительно такого базиса, для которо-
го все еще имеется свобода ортогональных преобразований,
матрицы g антисимметричны
С = Sa	(612)
и, будучи чисто мнимыми, являются эрмитовыми матрицами.
Таким образом, g-матрицы квалифицируются как
конечномерное матричное представление при условии, что
они линейно независимы. Линейная связь между матрицами g
возникает только тогда, когда некая линейная комбинация
операторов G^ , a=i,...,v коммутирует с каждым опера-
тором G. Пусть такая комбинация существует, обозначим ее
G(pj , что всегда можно сделать подходящим ортогональным
преобразованием базиса. Тогда
[G(v)-G(b)] = EG(a)gaVb = о
и gpab=0> последнее означает, что G^ никогда не по-
(6.13)
Гл. 6. Группы преобразований	135
явится в выражении для какого бы ни было коммутатора.
Эту процедуру можно продолжить, если существует несколь-
ко таких линейных комбинаций, и мы приходим к заключе-
нию, что в конце концов группу можно разложить на произ-
ведение абелевой группы и некоторой некоммутативной
группы, структуру которой характеризует то свойство, что
g- матрицы образуют конечномерное представление порожда-
ющих ее операторов.
6.3.	Подгруппы
Группы последнего типа с необходимостью являются
полупростыми, под этим подразумевается, что они не имеют
инвариантных абелевых подгрупп (простые группы вообще не
имеют инвариантных подгрупп). Смысл этих терминов можно
уяснить на бесконечно малых преобразованиях. Пусть гене-
раторы разделены на два семейства, обозначенные индекса-
ми 1 и 2, из которых первое относится к подгруппе. Тогда
в силу условия замкнутости этой подгруппы относительно
образования коммутатора имеем
подгруппа: g . = 0 .	(6. 14)
2 11
Эта подгруппа будет инвариантной, если коммутатор любого
элемента подгруппы с внешним оператором также принад-
лежит ей,
инвариантная подгруппа: ga ь с = 0 ;	(6. 15)
и далее, если эта подгруппа абелева, то
абелева подгруппа: ga ь с = ° .	(6. 16)
Таким образом, если группа имеет абелеву инвариантную
подгруппу, то в матрице gb отличны от нуля только эле-
менты вида ga ь с, и, следовательно, матрица gb не мо-
жет быть антисимметричной. С другой стороны, из этих
свойств абелевой инвариантной подгруппы мы заключаем,
что
«	-0.	(6.17)
а это противоречит положительной определенности, которой
136
Гл. 6. Группы преобразований
должен обладать этот набор чисел, коль скоро матрицы g
ai
образуют конечномерное представление. Очевидно, группа,
включающая инвариантную абелеву подгруппу, не может
иметь конечномерных матричных представлений. Фундамен-
тальный пример такой ситуации дает группа сдвигов и по-
воротов трехмерного пространства. Взглянув на перестано-
вочные свойства (2.80), мы обнаруживаем, что сдвиги
образуют инвариантную абелеву подгруппу, а математичес-
кая невозможность конечномерного представления соответ-
ствует физическому существованию бесконечного числа
состояний, связанных между собой операциями сдвига.
Напротив, подгруппа поворотов, взятая сама по себе,
является простой, и каждое матричное представление,
помеченное величиной полного углового момента, конечно-
мерно.
6.4.	Дифференциальные формы и свойства композиции
Преобразование, описываемое бесконечно малыми изме-
нениями dx параметров, осуществляется оператором
1 + Я G(r)tfT),T] drr = 1 + К G(a)(x(T)] 6lTa,	(6.18)
где величины
Va = Е dTr	<619)
образуют систему неполных дифференциалов (дифференциаль-
ных форм Пфаффа). Индекс / (лево) соответствует тому,
как этот оператор сочетается с оператором U(i), который
производит конечное преобразование из стандартных (нуле-
вых) значений параметров, а именно
U(i+di) = {/(т)[1 +	=
г	i	(6.20)
= Р + ‘IG^SjJl/fT),
где динамические переменные отнесены к стандартным зна-
чениям параметров с помощью преобразования
х(т) = G(t)-1xG(t).	(6.21)
Гл. 6. Группы преобразований	137
Это является иллюстрацией общего свойства композиции
группы
U(t) =	, т = т(тгт23 ,	(6-22)
когда параметры т бесконечно малы. Помимо бесконечно
малого преобразования 1/(т+б/т)[/(т) можно рассмотреть
преобразование G(t)-1G(t+«/t), и поэтому должна существо-
вать вторая система неполных дифференциалов Згта таких,
£/(T+dT) = 1/(т)[1 + /ЕС(в)(х)Зтв] .	(6.23)
Бесконечно малое изменение параметра т1 в общем свойстве
умножения индуцирует соответствующее изменение т:
[1 + iEG(a)(x)3,Te(T)]t/(T) =
г	1	(6.24)
= [1 +
или
З.т (т) = З.т (т.1 .	(6.25)
Получающиеся дифференциальные уравнения (Маурера - Кар-
тана)
^ar^dTr= ^аДТ1НЧ’	<626)
вместе с начальными условиями
т1 = 0 , т = т2 ,	(6-27)
служат для определения свойств композиции групповых па-
раметров. То же самое назначение имеют дифференциальные
уравнения
аЛ(т) = агта(т2]	(6.28),
и начальные условия
т2 = 0 , т = т1,	(6.29)
получающиеся из второй системы дифференциалов.
6.5.	Канонические параметры
Выбор параметров произволен с точностью до несингу-
лярных преобразований т—>т', которые никак не сказыва-
ются на неполных дифференциалах
З.т = З.т' ,	(6.30)
I а	I а	'	'
и поэтому
138
Гл. 6. Группы преобразований
дт
= е VW-	(6.31)
При таком преобразовании параметров дифференциальные
уравнения (6.3) сохраняют свою форму. Благодаря такой
свободе в выборе параметров и базиса можно было бы по-
требовать совпадения базисных операторов и генера-
торов 6^(т) ПРИ т=0. Это выразилось бы в добавлении к
дифференциальным уравнениям для функций начального
условия
С а(°) = 5 а •
^ab' ' ab
(6.32)
Специальное семейство параметров, называемых каноничес-
кими, определяется следующим образом. Пусть при измене-
нии числа Л от 0 до 1 точка в пространстве т-параметров
перемещается из начала координат по кривой, задаваемой
уравнениями
е еаг(т) dxr = tad\,	(б.зз)
где t суть произвольные константы. Точка в т-простран-
стве, соответствующая Л=1, определяется числами t , ко-
торые и составляют новую систему параметров. Согласно
инвариантности дифференциальных форм та же самая траек-
тория описывается в /-пространстве уравнениями
ЕеаЬт dtb(\) = tad\,
(6.34)
/(0) = О ,	/(1) = t.
Если заменить теперь t на у/д , у < 1, точка, в которую
мы попадем прн Л=1, совпадает с точкой на кривой, соот-
ветствующей Л=у, при /-описании. Следовательно, в /-про-
странстве эта траектория является прямой линией
/а(Л) = Л/а ,	(6.35)
а из (6.34) получаем
5/ =	dt ,	<6-36)
a a'
НЛН	/С Q*7\
Е	С а(0	= *	•	<6-37)
Оператор, который	осуществляет	бесконечно малое преобра-
зование, характеризуемое изменением dX, имеет вид
1 + ‘[ Е G(a/J	(6.38)
Гл. б. Группы преобразований
139
и, следовательно, конечные преобразования гру	ппы, выра-
женные через канонические параметры, имеют	экспоненци-
альную форму	Р 77(7) = e‘L	(6.39)
Дифференциальные уравнения для функций	.(0 можно
упростить, если воспользоваться свойством	(6.37). В
самом деле, уравнение Е 'с(з7 ^аЬ ~ 37 Ac] = ‘ ^ade^dJc^eb с ' с	о J сае	(6.40)
принимает вид	
(^Zc37 + 1]^аб “ i^gade^eb = 5аЬ '•с	с	J	ас	(6.41)
и применив это уравнение в точке Л/, получим ах *<«»(«) " -Г W?	(6-42)
В матричной записи оно гласит [эх - -ТеЛ]х№'> ’ 1 	(6.43)
и его формальным решением является !•	е^г“<а - 1 С(0 = рЛе аа = ^———L-	(6.44)
0	Я Sata	
Таким образом, дифференциальные формы 6^ выписываются в
явном виде	. .
р1?* _ 1
5/ = e7g?....1 dt ,	(6.45)
где мы использовали очевидный способ записи. Выражение
для дифференциальных форм 5 t теперь можно вывести из
следующего свойства канонических параметров
U(t)~' = U(-t) .	(6.46)
Замена t -t-dt,	dt dt,	превращает U(t+dt)U{t)~X
в U^tyH^t+dt), а поэтому
1 - р-1’^
5/ = ?(-0 dt =	----dt.	(6.47)
Общим выражением этой связи между двумя дифференциальны-
ми формами, характеризующим канонические параметры, яв-
ляется свойство групповой композиции
t = t(t},tj = - t[-t2,-t^ .	(6.48)
140	Гл. 6. Группы преобразований
6.6.	Пример. Специальная каноническая группа
В качестве простой иллюстрации этих построений рас-
смотрим группу трех параметров, определенную перестано-
вочными соотношениями
[G(l)’ G(2)] = /G(3) '
(6-49)
[G(l)’ G(3)] = [G(2)’ G(3)J = 0 •
Соответствующие матрицы ga	удобно представлять	в виде
линейной комбинации ’ 0	0 0' igt =000		(6.50)
'2 -Ч 0 - из асимметричной формы которо	I видно, что	
(igt)2 = С	.	(6-51)
Итак, матрицы g не составляют конечномерного эрмитового
матричного представления, что связано с существованием
однопараметрической инвариантной подгруппы, порождаемой
генератором G.,.. В	силу	алгебраического свойства	(6-51)
имеем W) = 1 + и дифференциальные уравнения (6.26) принимают вид			(6.52) (здесь
штрихи используются	для	различения разных наборов	пара-
метров)
dtx = dt'x , dt2 = dt'2 ,
И	)	,	1 f , I (653)
^3 + 2 p2^1	^1^2 J	^3 + 2 p2^1	^1^2J 
Решение этих уравнений, удовлетворяющее начальным усло-
виям t'=0, t=t" и групповому закону композиции канониче-
ских параметров, имеет вид
G =	+ G •	^2 = ^2 + ^2 f
1 г	1	(6-54)
f3 - *3 + *3 ~ 2 [*?2 “ ^2^1] '
в частности оно иллюстрирует свойство отражения (6.48).
Здесь содержится операторное утверждение
Гл. 6. Группы преобразований
141
е^'е^'г e/G(/+/,,)	(6.55)
скомбинировав параметры с генераторами, этому результату
можно придать вид
i (б,+ gJ iG, iG |[g, , Ge] iG iG, [g, , Ge]
e 1	2 = e ‘e 2e2 L 1 2J = e 2e ‘e 2 L 1	2 .
(6.56)
He обойдем вниманием тот факт, что перестановочные
соотношения (6.49) реализуются специальной канонической
группой. Соответственно, операторы конечных преобразова-
ний этой группы
Ц^'р'Л') = eW-p'^')	(6 57)
обладают правилом умножения
U[q'p'K)U[q»p“K') =
(6.58)
= U(q' + q", р'+ р", Л'+ Л" + ±(p'q" - p”q')) ,
которое применимо ко всем типам динамических переменных.
Аналоги формул (6.56) для специальной канонической груп-
пы имеют вид
i_ / /	_L ! i
^Hpq'-p'q) = ew'e-ip' Ч e2₽ 4 = e-(p'?e^'e 2₽ 4 .
(6.59)
6.7.	Другие параметры. Группа поворотов
Канонические параметры не всегда наиболее удобны.
Это можно продемонстрировать на примере группы трехмер-
ных поворотов. Мы соберем три соответствующих каноничес-
ких параметра в вектор ь> и заметим, что трехмерные эрми-
товы матрицы j (=£а)> определенные перестановочными со-
отношениями (2.81), можно также представить как вектор-
ную операцию
<wj =
О w,
-ия О
“2 -“1
= -ых .
(6.60)
О
142
Гл. 6. Группы преобразований
Поэтому	О	О	/Л
и	(cco«j) = сох(сох = СОСО* - СО	(6.61) (cco*j)3 = -co2(cco*j).	(6.62)
Последний результат показывает, что собственные значения
любой компоненты j суть числа 1, 0, -1, и поэтому1

1

(6.63)
Применив этот результат к явной формуле 8р, получающей-
ся из (6.45), получим
зхо =	1 +	~ costJ -	[1 - du) =
b) W	I Ш J I	G) J
J (6.64)
= sin wd	L _ sin gl COW^CO _ 1- COSO d
(О	О	2	2	’
1	J w	w
или, после простого переустройства,			
		6)	
1 _	м , 2 3 ;со = cos d Поэтому новые “о = с таковы, что	Sin п 	-СО со парамет 0SJ' U0	Sinn-	j- 	TT-=-C0d COS нг - u)	[	Zj sin S	sin S co “ x 4 <o “J P“ • CO Sin П- U = CO “* + u2 = 1	(6.65) (6.66) (6.67)
?5(С0 = uodu		- u duQ - u x du .	(6.68)
Замена о —> -co превращает u в -u, тогда как uQ остается
неизменным, а поэтому аналогичное выражение для диффе-
ренциальной формы З^со имеет вид
гг^со = uQdu - u duQ + их du	(6.69)
Спектральное разложение (6.63) получается непосредственно из минимального
аннулирующего многочлена (6.62). - Примеч. пер.
Гл. 6. Группы преобразований
143
Хотя и0 ие является независимым параметром, его в
большом числе случаев можно считать таковым. Это отража-
ет структура дифференциалов du, duQ , получающихся из
данной 8jo или б (Л
I	r	«	I
du = uQ удр + ихтрр,
1	(6-70)
du0 = -иф(ы,
ИЛИ	I	I
du = uQ 2^гь> -их 2^гь>,
1 Г	(6-71)
du0 = - и »,
ибо такое
(6.67),
изменение параметров сохраняет
нормировку
(6.72)
d[u.Q + и2] = 0 .
Таким образом, в четырехмерном евклидовом пространстве
имеется единичный вектор, соответствующий каждому трех,-
мерному повороту, и композиции двух трехмерных поворотов
соответствует четырехмерный поворот. Получаемое с по-
мощью и -параметров алгебраическое упрощение заключается
в групповом законе композиции параметров. Инвариантность
билинейной формы для дифференциалов 8р>, выражаемая
уравнениями (6.26), приводит к линейному соотношению
между параметрами отдельных преобразований и параметрами
композиции. Легко убедится, что
u = u'u" + и'и" - u'xu"
(6.73)
ио = иоио -	’
Другим путем u-параметры возникнут, если вспомнить
о существовании автоморфизмов — унитарных преобразований
- алгебры, построенной из 2п эрмитовых канонических пе-
ременных второго рода, которые имеют структуру группы
евклидовых поворотов в 2п+1 измерениях. Следовательно,
представление группы трехмерных поворотов порождается
такими унитарными преобразованиями трех антикоммутиру-
ющих эрмитовых операторов	£,= -zV2 , или
операторов
<rfe = V2£fe, Л = 1,...,3,	(6.74)
144
Гл. 6. Группы преобразований
которые имеют следующие правила умножения
(Т.о-. = 3., + 1У. е.. <т
k I kl	klm т
т
(6.75)
где е - полностью антисимметричная функция своих индек-
сов, определяемая условием е12з= +^’ Генераторами трех
независимых бесконечно малых поворотов являются операто-
ры (г/2, поскольку в силу (4.96)
= ?7	(6 76)
L J т
и, в частности,
= к	16 771
Таким образом, простейшая нетривиальная алгебра измере-
2
ний размерности 2 дает матричное представление операто-
ра углового момента
= * 2" •	(6.78)
Явные матричные представления получаются, если связать
операторный базис 1, <г с символами измерения. Символы
измерения в аг -представлении содержатся в следующей
2 таблице	Г 1	1	1	
М =	г(1+(Г3)	г(°'1+10'23	(6.79)
	i^i-^ hi+°-3)	
и, следовательно (Паули),
Далее, с точностью до свободы умножения на числовой фа-
зовый множитель, любой унитарный оператор этой алгебры
имеет вид
'll = uQ + iu*<r ,
V+ = ЧТ* = uQ - iu’o-.
(6.81)
где четыре числа, содержащиеся в ип , и , вещественны и
.99	U
Mq + U = 1 .	(6.82)
Последнее также означает, что матрица U унимодулярна
det U = +1 .	(6.83)
По этому поводу см. также раздел 2.12 - Примеч.пер.
Гл. 6. Группы преобразований
145
С любым таким унитарным оператором связан определенный
трехмерный поворот .
>
(6.84)
г г1 = 1 , det г = +1 ,
причем это соответствие типа 2:1, поскольку операторы It
и -U порождают один и тот же поворот, а последовательные
унитарные преобразования порождают последовательные по-
вороты. Закон композиции параметров, получающийся из
uQ + iu-v = (и'о + ш'«о-) (zz0" + /и"чг) ,	(6.85)
есть в точности (6.73). Кстати, матрица трехмерного по-
ворота г имеет явный вид
ип + iu' i	„
г = ц° _ <u.j = 1 + 2Zu0u«j - 2(u*j2) ,	(6.86)
где через j обозначено фигурирующее в (6.60) матричное
представление трехмерного углового момента.
6.8.	Реализации дифференциальными операторами
Дифференцируемое многообразие групповых параметров
позволяет строить реализации бесконечно малых генерато-
ров группы в виде дифференциальных операторов. С этой
целью введем два семейства функций т)ву(т), Cas(T) таких
что
dT = 5(т т/т) = Згт£(т) .	(6.87)
Таким образом,
£(т)ттХт) = 1 ,	(6.88)
или, воспользовавшись каноническими параметрами,
С(т) = тХ-т) •	(6.89)
Теперь свойства композиции с бесконечно малым преобразо-
ванием, установленные в (6.20) и (6.23), можно предста-
вить в виде
dU = iS^GU = IStUG,	(6-90)
что, полагая
dU = dz^U =	(6.91)
146
Гл. 6. Группы преобразований
переписывается как
-gu = -7Хт)|^г/ =
1 а	(6.92)
UG = ^тзт^ = V7 •
Определенные здесь два семейства дифференциальных опера-
торов коммутируют между собой
- °ыиат’	(6 93)
а каждое семейство в отдельности удовлетворяет переста-
новочным соотношениям для операторов G
км,.	= - [б/м , G. .](/ = -£G, .g , U = У?, ..g .U,
L W (C)'J L (ь) (C)J а (“ГаЬс % (a)lsabc
(6.94)
к... ,£..](/ = g[g,m , G, .1 = Uy,G. .g . =	.0 kU.
L (b)r (c)rJ L <6) (C)J % (a)°abc % (a)r&abc
Эти соотношения являются свойствами собственно дифферен-
циальных операторов. Таким образом, можно удостоверить-
ся, что дифференциальные уравнения, получающиеся для
П(т),
eRJt - T’Jk7d = - Я Vabc	<6’95)
г [ г	г J	а
являются прямым следствием уравнений (6.3) и соотношения
(6.88).
6.9.	Групповой объем
Бесконечно малый элемент объема на групповом много-
образии можно определить с помощью системы неполных диф-
ференциалов (6.19)
d[r] = | det £(т) | (dr) .	(6.96)
Этот элемент объема не зависит от выбора параметров и
остается неизменным при преобразовании параметров т]—>
т, это обстоятельство выражает групповое умножение
t=t(Tj , т2). Альтернативное определение объема исполь-
зует дифференциалы 6 т, получающийся элемент объема ин-
вариантен относительно параметрического преобразования
т группового умножения.
Соотношение
ею = е-'^(о,
(6.97)
Гл. 6. Группы преобразований
147
и его следствие
det С(-0 = e~‘Tr 8‘ det £(t) ,	(6.98)
показывают, что эти два определения объема совпадают,
если
Trg6 = Ega6a = 0.	(6.99)
а
Последнее свойство очевидно выполняется, если группа
имеет конечномерное матричное представление, поскольку
тогда все g-матрицы антисимметричны (или равны нулю) с
точностью до свободы матричных преобразований, не изме-
няющих следа. Однако, как то показывает пример (6.50),
это условие никоим образом не является необходимым.
Свойству инвариантности элемента объема, которое форму-
лируется как
det£(T)(dr) = det £ (т,)	,	(6.100)
можно придать дифференциальный вид; выберем параметры т2
бесконечно малыми и запишем преобразование в явном виде
т -	+ T2^(Tt3 ’	(6.101)
после чего получаем, что
£3rJ<a/T)det^T)] = °-	(6102)
В качестве применения этого результата заметим, что
(det ?),/2&(e)f(det СГ1/2 =
= EC„TSf - [fe io?" e] -
= SzK'4’ TSrJ- <6103>
такое преобразование сохраняет перестановочные свойства
этих дифференциальных операторов и, кроме того, дает
формально эрмитов дифференциальный оператор для пред-
ставления эрмитова производящего оператора G^. Таким
образом, изучение v -параметрической группы унитарных пре-
образований можно поэтому осуществить с помощью эквива-
лентной динамической системы, описываемой v парами
взаимно дополнительных переменных первого рода, которые,
вообще говоря, являются квазиканоническими, ибо за
исключением случая, когда параметры изменяются от -оо до
148
Гл. 6. Группы преобразований
ю, эти переменные не обладают всеми признаками канони-
ческих переменных.
6.10.	Компактные группы
Возможность интегрировать по групповому многообра-
зию особенно ценна, когда группа компактна - так выража-
ются, если любая бесконечная последовательность элемен-
тов группы имеет предельную точку, принадлежащую группо-
вому многообразию. Таким образом, многообразие компакт-
ной группы является ограниченным, и его объем можно
выбирать за единицу, включая подходящий масштабный
множитель в элемент объема. Для начала заметим, что
матрицы g для компактной группы с необходимостью бес-
следовы и, следовательно, два определения элемента объе-
ма совпадают. Чтобы это доказать, рассмотрим некое кон-
кретное преобразование U, характеризуемое каноническими
параметрами t и соответствующей конечной матрицей
<U(t) = eigt,	(6.104)
которая возникает в общем соотношении
UGIT' = GU-,	(6.105)
его вариантом для бесконечно малых преобразований явля-
ется (6.5). Если чисто мнимые матрицы g не антисиммет-
ричны, то определитель
det <U(t) = e^r 8t	(6.106)
может отличаться от единицы. Тогда последовательности
операторов Uk, k = +1, ±2,..., соответствует последова-
тельность матриц tlfe, определители которых
det Uk = (det 1L)k	(6.107)
растут без ограничения при £—>+<», если det 11 >1, или
при k—>-оо, если det 11 <1. Это противоречит требова-
нию, чтобы бесконечная последовательность элементов
группы имела на групповом многообразии предельную точку
и соответствующую ей конечную И-матрицу. Следовательно,
матрица И должна быть унимодулярной, и каждая матрица ga
имеет нулевой след. Здесь стоит заметить, что многообра-
зие группы, g -матрицы которой образуют представление ее
Гл. 6. Группы преобразований
149
бесконечно малых эрмитовых генераторов, ограничено.
Согласно явному выражению элемента объема через канони-
ческие параметры
sin |gt
. I st
границы этого многообразия
множитель в элементе объема
ф] = С det
(Л)
(6.108)
ние, что g-матрицы эрмитовы
достигаются, когда весовыи
обращается в нуль. Утвержде-
и линейно независимы означа-
ет, что для каждого t матрицы gt имеют ненулевые вещест-
венные собственные значения. Наибольшее числовое значе-
ние этих собственных чисел равняется 2п и определяет,
соответственно, конечные точки, где граница группового
многообразия пересекает луч, направленный из начала
координат пространства параметров, который задается
относительными значениями параметров f .
6.11.	Операторы проецирования и инварианты
Групповое свойство и аспекты инвариантности элемен-
та объема для компактной группы приводят к тому, что
оператор
Ро = j d[T] U(t)	(6.109)
имеет следующие характерные свойства
=	PM 'WW =	= PQ =
2	Г	,	<611°)
ро =	= ро = Р0’
и, если пользоваться каноническими параметрами,
Z’J = J UH) = Ро,	(б-Ш)
поскольку интегрирование по t или по -t покрывает груп-
повое многообразие, а элемент объема инвариантен относи-
тельно преобразования t —» -t. Таким образом, эрмитов
оператор PQ является символом измерения илн на геометри-
ческом языке — оператором проецирования на подпространс-
тво состояний, которые инвариантны при всех преобразова-
ниях группы, и поэтому в этих состояниях всем производя-
щим операторам можно одновременно приписать значение
150	Гл. 6. Группы преобразований
нуль. Аналогичным образом равенство
W1 (/од	] t/(T2] =
= j d[r] U(T)~'XU(T)	(6.112)
описывает строение подалгебры операторов, инвариантных
относительно всех преобразований группы. Последнюю про-
цедуру в слегка модифицированном' виде можно применить
также к конечной вещественной матрице К(т), что дает
= J d[r] K(T)TK(T).	(6.113)
Это вещественная симметричная положительно определенная
матрица, и ее можно представить как квадрат матрицы та-
кого же типа, например Л. Таким образом, содержание
(6.113) можно выразить равенством
[aK(t)X_,]T[xK(t)X_1] = 1,	(6.114)
из которого следует, что для эрмитовых производящих опе-
раторов можно найти такой базис, что получатся вещест-
венные ортогональные, или унитарные, матрицы К(т) и
антисимметричные матрицы ga .
Если в (6.112) в качестве оператора X взять некото-
рую алгебраическую функцию производящих операторов G, то
процесс интегрирования породит такие алгебраические
функции, которые коммутируют с каждым G, и поэтому они
через свои собственные значения служат для классификации
различных матричных представлений бесконечно малых гене-
раторов группы. Теперь
j d[r] t/(T)-V(G)t/(T) = j d[r] f (1/(t)-1GI/(t)) =
= jd[T]f(!l(T)G) ,	(6.115)
где предполагается, что базис выбран так, чтобы матрица
U получалась унитарной. Эффект интегрирования достигает-
ся, если потребовать, чтобы
f(ll(T)G} = f(G),	(6.116)
а поскольку в качестве f(G) можно взять симметричную од-
Гл. 6. Группы преобразований
151
нородиую функцию различных Ga , операторная природа пос-
ледней несущественна, что позволяет заменить (6.116) чи-
словым условием инвариантности
/[^т)у] = /(у),	(6.117)
оперирующим с функциями вектора у в v-мерном пространст-
ве. Версию этого свойства инвариантности для бесконечно
малых операторов можно представить в виде
Sf(y) = O,	(6.118)
где дифференциальные операторы
s, -		(6.119)
ас	с
являются реализациями производящих операторов (для полу-
простой группы)
MJ	<612°>
которые аналогичны дифференциальным операторам 5^ и 5 ,
но являются менее общими, чем они. Семейство инвариант-
ных функций можно построить непосредственно, если из-
вестно некоторое конечномерное матричное представление.
Пусть через G и U обозначено некоторое к-мерное матрич-
ное представление соответствующих эрмитовых и унитарных
операторов. Тогда
U(t) (Л - Gy)U(T)-1 = X - G11(T)y ,	(6.121)
а функция
f(y) = det(A - Gy) =
(6.122)
= Хк - Gy - Лк~2 J[lr(Gy)2 - (Тг Gy)2] +...
инвариантна. Коэффициенты при степенях Л или, что экви-
валентно, следы
г
ТГ ' k = 1'- ' К (6123)
образуют инвариантные симметричные функции у, и тем
самым операторов G.
6.12. Дифференциальные операторы и группа поворотов
Рассмотренные выше дифференциальные и интегральные
свойства групп можно проиллюстрировать на примере, группы
152
Гл. 6. Группы преобразований
трехмерных поворотов. Возвращаясь к формулам (6.70—71),
мы видим, что абстрактные операторы углового момента
реализуются двумя наборами дифференциальных операторов
(6.124)
(6.125)
циклической
(6.126)
(6.127)
или, если ввести обозначение
} . = U i д— — U, 7"	,	Q, Ь — 0,... ,3 ,
"aft а I О и.	Ь I О и	’ ‘ ’
О	CL
эти дифференциальные операторы получаются
перестановкой индексов 123 из
Лз = 2 ^12 +
Лз = 2 ^12 “	•
Дифференциальные операторы $аЬ таковы, что
Г3 21
i J = 0,
°аЬ ' [ q с]
и связаны, очевидно, с бесконечно малыми поворотами в
четырехмерном евклидовом пространстве. (Они удовлетворя-
ют перенесенным на четырехмерный случай перестановочным
соотношениям для углового момента (2.80).) Групповое
многообразие, конечно, трехмерно, и если возродить uQ
как функцию независимых параметров и, то член, содержа-
щий dduQ , в (6.124) исчезнет. Трехмерный элемент объема
включает (du) = du^du^du^ вместе с множителем |det £|,
который можно вычислить в лоб или вывести из соответст-
вующей данному случаю формы дифференциальных уравнений
(6.102)
- х (u det О + (uodet ?) = 0 .	(6.128)
Единственное решение этого уравнения утверждает, что
uQdet £ - константа. С другой стороны, можно воспользо-
ваться четырьмя переменными и = uQ , и, и элементом
объема, пропорциональным (du)=duQ(du), при соответствую-
щем ограничении на переменную uQ, выражающимся введением
Гл. 6. Группы преобразований	153
дельта-функции 3 (u2+u2-l) в качестве множителя. Проинте-
грировав по uQ , мы вновь получаем множитель | uQ | “\ ко-
торый, согласно предыдущему методу, пропорционален
|det£|. Таким образом, групповое многообразие является
трехмерной поверхностью единичного шара в четырехмерном
евклидовом пространстве, и его элемент объема можно опи-
сывать либо внутренним образом, либо на языке пространс-
тва, в которое это многообразие погружено,
</[ы]	= -9 3 Ги2-1) (du) .	(6.129)
2n2|u0| it2
Константы здесь выбраны так, чтобы полный объем был ра-
вен единице, хотя в трехмерной форме нужно также • просум-
мировать по двум ветвям группы, которые соответствуют
и = + v4-u2. Преимущество четырехмерной формы проистека-
ет из коммутативности 3 (и -1] и дифференциальных опера-
торов что позволяет определить последние уже в неог-
раниченном четырехмерном евклидовом пространстве,
отождествляя, таким образом, четыре переменные иа с ка-
ноническими переменными первого рода. Таким образом, об-
щие свойства трехмерного углового момента можно изучать
на языке эквивалеитиой системы, состоящей из частицы в
четырехмерном евклидовом пространстве, причем соответст-
вие между ее орбитальным угловым моментом и общим трех-
мерным угловым моментом описывается формулами (6.126).
Существует только один независимый оператор, комму-
тирующий с каждой компонентой J, это - оператор J2,
поскольку существует только одна независимая функция
трехмерного вектора, инвариантная относительно поворо-
тов. Из (6.124-6) мы устанавливаем, что
д2 _ д2 _ 1 Vi д2
<*/	<?r ~ ? L Jab >
а<Ь
(6.130)
^12^30 + <^23^10 + <^31^20 “ 0 ’
где квадрат вектора трехмерного углового момента пред-
ставляется четырехмерным дифференциальным оператором
9
-1“2е-Ь--	(6131)
а<Ь	1	J	a OU_
154
Гл. 6. Группы преобразований
Таким образом, собственные функции полного углового мо-
мента получаются из четырехмерных сферических гармоник —
решений четырехмерного уравнения Лапласа, являющихся
однородными функциями целых степеней (л=0,1,2,...), - а
собственные значения суть числа
[J2]' = /(/+!)>
/ = ^ = °, f, 1 •
использует комплексные комбинации
причем соответствующая пара комп-
составлена так, что она образует
матрицы
lUj+Uj'
(6.132)
Другой подход
этих параметров,
лексных чисел
какую-нибудь строку или столбец
“о+'“з
IL = uQ + iu’<r =

п — i
о з
л
у соот-
дифференциальных
4»
Пусть через у ' обозначена какая-нибудь двухкомпо-
нентная вектор-строка и аналогично через
ветствующий вектор-столбец. Из
свойств композиции
dU = if’ Зы/К = It if
• Зы
следует
dy' = if • Si^y' , dy*' = f/tzif • Зы..
Соответствующие реализации вектора углового момента
дифференциальными операторами имеют вид
а О'»'	„*'<га
В таких обозначениях квадрат углового момента выра-
жается, например, в виде
П„*'а I2 + 1,Ла
I дУ J	ду
4»
и любая однородная степени п (целое) функция у '
дает некоторую собственную функцию, которая соот-
ветствует собственному значению /(/+1), /=/г/2. За-
мечаем, что эти дифференциальные операторы относят-
ся к некоторой эквивалентной системе, описываемой
двумя парами взаимно дополнительных неэрмитовых пе-
Гл. 6. Группы преобразований
155
ременных первого рода, и что
Эта эквивалентность была использована для система-
тического построения теории углового момента в
статье, написанной в 1951 году, но оставшейся не
опубликованной. Сейчас ее можно найти в хрестоматии
"Quantum Theory of Angular Momentum", выпущенной
под редакцией Л.Биденхарна и Х.Ван Дема издательст-
вом Academic Press в 1965 году.
Полноту этих собственных функций и спектра трехмерного
углового момента можно вывести из структуры фундамента-
льного решения степени -2, которое относится к неодноро-
дному уравнению
2	—1
- Е ГТ [ г (% - и'ь]21	= 3[Ы-Ы'].	(6.133)
а ди L b	J
а
6.13. Интегрирование в некомпактных группах
Техника интегрирования по группе может быть эффек-
тивна также и для групп, не являющихся компактными. Мы
проиллюстрируем это на примере специальной канонической
группы, оперирующей с эрмитовыми переменными первого ро-
да. В качестве аналога оператора, фигурирующего в
(6.112) рассмотрим оператор
х = J	(6.134)
где использованы обозначения из J6.57)
U(q'p') = U(q'p'O) =	q}.	(6.135)
(Преобразования, описываемые параметром Л, здесь, очевид-
но, не сказываются.) Интегрирование распространяется на
бесконечный интервал спектра эрмитовых канонических пе-
ременных. Как можно увидеть непосредственно из группово-
го закона умножения (6.58), оператор X коммутирует с
каждым унитарным оператором U(q'p'). Следовательно, он
коммутирует с обоими наборами канонических переменных q
и р, и поэтому для систем, описываемых переменными пер-
вого рода, X должен быть кратным единичному оператору.
156
Гл. 6. Группы преобразований
Этот результат можно также вывести и из явного вида мат-
рицы, представляющей X в некотором каноническом пред-
ставлении. Для начала заметим, что
<q"\U(q'p') = <q''\e-ip'4elpq,e~ip'q'/2 =
= e-ip'^"+q,/\q'+q"\ ,	(6.136)
и, следовательно,
<q"\X\q"'> = Jd[<7']d[p']e-"’/(’//-’//,)<q'+<7"|X|(7'+r'> =
= 3[<7"-<7"']TrX = <<7"|1|<7'">ТгХ.	(6.137)
Таким образом, мы показали, что
\ d[q']d[p']U{q' p')XU{q' р'Г' = Tr X ,	(6.138)
где правая часть кратна единичному оператору. Если в ка-
честве X берется символ измерения Af(a'), то это равенст-
во принимает вид
1 = j 4/ ] d [ Р' ] Р' )М(а') U(q' р' )-1,	(6.139)
а умножение справа на ХЛ4(а') с последующим суммировани-
ем по а' превращает наш результат в
X = f dtf ] <Цр' ] U(q' р') Тг [U(q ' р' f’X) ,	(6.140)
что является явным выражением любого оператора как функ-
ции фундаментальных динамических переменных первого ро-
да. Если вместо оператора X в (6.138) поставить такую
функцию F(q,p), то это равенство перепишется как
1 Tr F(q,p) - J d[q'] d[p'] F(q+q',p+p') .	(6.141)
В качестве применения этой формулы имеем
Tr U(q",p") = jd[<7'] d[p/]ei(p+P'><7"“P'/(<7+<7"^ =
= Ф7"]6[Р"Ъ	(6-142)
или согласно свойству умножения (6.58)
Tr (U(q'p' r'U(q"p"Y) = S[q'-q"] 3[р'-р"] .	(6.143)
Утверждения, содержащиеся в (6.140) и (6.143), можно
рассматривать как утверждения о полноте и ортогональнос-
ти операторного базиса, образованного непрерывным семей-
ством унитарных операторных функций от переменных перво-
го рода U(q'p').
Гл. 6. Группы преобразований
157
6.14.	Переменные второго рода
Общая формальная аналогия между двумя типами пере-
менных и характерное различие, связанное с вычислением
следов, дают точный рецепт: утверждения (6.138) и
(6.140-143) применимы для переменных второго рода, если
операцию Тг... заменить на Тг р... . Несколько предосте-
регающих слов не будут, однако, лишними. Собственные
значения, фигурирующие в U(q' р‘)» антикоммутируют с пере-
менными второго рода и содержат, следовательно, множи-
тель р, тогда как собственные значения, принимающие учас-
тие в интегрировании и в выражении для дельта-функции
являются полностью элементами внешней алгебры. Между
прочим, общая формула для следа (4.179) возникает теперь
из (6.138) и ее аналога для переменных второго рода при
образовании матричного элемента <р'=0| |^'=0>. Кроме то-
го, стоит заметить, что наши результаты можно освободить
от явного присутствия взаимно дополнительных переменных.
Мы частично воспользуемся этой возможностью и преобразу-
ем это утверждение для переменных второго рода из их не-
эрмитовых канонических версий к формам, подходящим для
эрмитовых канонических переменных. Это осуществляется с
помощью преобразования (3.116) для операторов вместе с
аналогичным преобразованием для собственных значений,
что, в частности, дает
U(q'р') = е^₽<? ~р е^	(6.144)
или
2п
и&) = Ц а + ад •	(6.145)
к= 1
И аналогично,
2п
/Ф/'Мр'] = J4C] = гп Ц
К=1
и
3[^]6[p'] = SK] =
2п
Гп[]е'.	(6.147)
К=1
158
Гл. 6. Группы преобразований
При использовании этой формы записи нельзя путать символ
[С/2=0] с собственным значением эрмитова оператора
С
6.15.	Оператор отражения
Если процесс интегрирования (6.109) применить к
операторам U(q'p'X), оперирующим с переменными первого
рода, то мы получим нуль в результате интегрирования по
Л. Следовательно, нет ни одного состояния инвариантного
относительно всех операций специальной канонической
группы. Однако, если интегрирования по Л не делать, то
нам придется рассматривать эрмитов оператор
R = ^jd[q']dlp']U(q'p'),	(6.148)
такой, что
1	Ям~РиЯ9)
R =	Ф>'] е2
= Щ-q", p")R ,	(6.149)
и кроме того,
R2 = j ^J^j^/P/)s[f/]s[^] = 1- <615°)
Таким образом, R антикоммутирует с каждой переменной пе-
рвого рода
R q R~X = —q , R р R~} = -р ,	(6.151)
и, следовательно,
R\q"> =	\q"-q'>e-Cp'{q"~2 } =
=	Я = i-o-	<6152)
Известный оператор, обладающий этими свойствами, в слу-
чае переменных второго рода аналогичным образом получа-
ется в виде
Р = 2n J dtrW')-	(6.153)
6.16.	Конечный операторный базис
Формальные соотношения полноты и ортогональности
операторного базиса из переменных второго рода, которые
Гл. 6. Группы преобразований
159
собраны в различных свойствах операторов
1ТгХ =
х = J 4C] tf(C') Tr(p U(£')~'X) ,	(6.154)
Tr(p U(^)-JU(^")) = 5[C'-C"],
можно освободить от явного участия специальной канониче-
ской группы. Вспомним сперва, что U(£') является произ-
водящей функцией для 22п различных элементов операторной
алгебры. Более точно они определяются равенством
_ i/(i/-1) 2n	v
а(Р1,...,Р2п) = I 2 fl (V2?k)\	(6.155)
К=1
где каждое v принимает значение либо 0, либо 1, причем
к	2п
р = Ерк.	(6.156)
К,— 1
Квадрат так определенных эрмитовых операторов а{р} равен
единице, и, кроме того,
а{0) = 1 ,	а{1) = р .	(6.157)
Если мы воспользуемся обозначением а'{р) для произведе-
ний, составленных таким же образом из собственных значе-
ний £' , то
l/(C') = E2-V{p}a{p}.	(6.158)
Произведение двух операторов с индексами {р} и {1-р}
равно с точностью до фазового множителя оператору р
а{р) а{1-р) = е{р) р ,
е{р} е{1—р} = (- 1)р е{р}2 = 1,	(6.159)
и поэтому
р £/(£' )-1 = *Л€')Р = Е 2-<2n-u>a'{l-p} Е{р} а{р) .	(6.160)
(И
Символ интегрирования в данном случае означает диф-
ференцирование по каждому , п, следовательно, члены,
которые дают вклад в интегралы, имеют вид
2 пт 3.
= in Ц з^е{р) Гп2п (П^/) = 2пе{р) .	(6.161)
к= 1	К
160	Гл. 6. Группы преобразований
Однако следует также помнить, что антикоммутативный опе-
ратор р должен быть отделен от собственных значений до
интегрирования. Это явно не сказывается, если число соб-
ственных значений в отдельных членах четно, соответст-
венно Р = £р - четное целое число. Однако для нечетных
р дополнительное р, умноженное на а{р}, дает
ра{р} = е{р} а{1-р}.	(6.162)
И в том и в другом случае конечный результат имеет один
и тот же вид, который приводит к следующему выражению
свойства полноты 4п-мерного операторного базиса а{р)
1	ТгХ = -1 Е<х{р}Ха{р},
2	(и)
<	(6.163)
X = £а{р}Тг(а{р}Х) .
2	(и)
Соответствующее свойство ортогональности
^Тг(а{р)а{р'}) = 6{р,р'}	(6.164)
можно вывести из полноты и линейной независимости опера-
торов а{р), или получить прямо из (6.154), если заме-
тить, что
б[С'-Г] = -| Е Е{р) а'{р) а"{1-р) .	( 6.165)
2п{р)
О
6.17. Дополнение: Вывод принципа действия
Теперь мы намерены рассмотреть построение конечных
унитарных преобразований из бесконечно малых преобразо-
ваний для физической системы с п непрерывными степенями
свободы. Итак, все операторы суть функции п пар взаимно
дополнительных переменных qk , pk , которые мы обознача-
ем также единой буквой х. Рассмотрим непрерывное семейс-
тво унитарных операторов, пронумерованных единственным
параметром, 1/(т). Смещение из т к т+dt есть бесконечно
малое преобразование
1 + idt G(x,t) ,
з
Воспроизводится из Proceedings of the National Academy of Sciences,-1960.-vol.46.
P. 893-897.
Гл. 6. Группы преобразований
161
оно учитывает возможность явной зависимости генератора
от параметра т, причем
Ufr+dt) = [1 + idT G(x,t)]G(t) =
= 1/(т)[1 + zz/tG(x(t),t)] ,
где	,
х(т) = U(t)~‘xU(t)
суть фундаментальные квантовые переменные системы, кото-
рые соотнесены с описанием, порожденным преобразованием
£/(т). Сопутствующие преобразования состояний указываются
равенствами
<а'|G(T) = <а'т|?
Полезное представление этого унитарного преобразования
дает функция преобразования
<а'т1|6/т2> = <о'\U (tJU (т2у'\Ь'> ,
частным случаем которой является
<а'т|6'0> = <а' |1/(т)|6'>
- матрица оператора U(t) в ab-представлении. Связь между
бесконечно близкими значениями т описывается равенствами
<а' r+dr | Ь' т> = <a/T|[l+zdT G(x(t),t)]| 6'т> =
= <az |[l+zzfr G(x,t)]|6'> .
Общее изучение функций преобразования показывает,
что наиболее компактно их характеризуют дифференциальные
соотношения. В соответствии с этим мы заменим это явное
утверждение о функции преобразования <а'т+^т|6/т> диффе-
ренциальным описанием, направляющим принципом которого
будет сохранение общности за счет отказа от рассуждений,
использующих конкретный выбор состояний а' н Ь'. Сначала
заметим, что функция преобразования зависит от парамет-
ров T,T+dT и от вида генератора G(x,t). Бесконечно малые
изменения в этих характеристиках [5"] индуцирует следую-
щее изменение функции преобразования
3"<T+dT | т> = Г< 13"[zfr G(x,t)] | > =
= z<T+zfr 13"[dT G(x(t),t)]|t> ,
где удаление индексов а' и Ь' подчеркивает отсутствие
явной ссылки именно на эти состояния. И все же, чтобы
162
Гл. 6. Группы преобразований
получить достаточно полное описание функции преобразова-
ния, нужно ввести некотороую вариацию состояний. Для
этого мы воспользуемся бесконечно малыми преобразования-
ми из специальной канонической группы [3'], которые вы-
полняются независимо над состояниями, соответствующими
значениям параметров т и т+dn. Таким образом,
3'<T+dT| = i<r+dT|GjT+dT)»
З'|т> = -ZGs(t)|t> ,
фигурирующие здесь бесконечно малые генераторы строятся
из операторов, которые относятся к описанию, используе-
мому для соответствующих векторов, а именно - из х(т+г/т)
и х(т). Удобно пользоваться симметричным генератором
G^ , который порождает изменение переменных х на Зх/2.
Тогда
Gs(t) = £ (р(т)39(т) - Зр(т)^т)) ,
что в сочетании с аналогичным выражением для G^T+dt)
дает
3'<т+Л|т> - t<T+dT| [G^T+df) - G^t)]|t>,
где	«
Gs(T+dT) - Gs(t) = £ [p(T+dT)3<7(T+dT) + Зр(т) <?(т) -
- р(т)3?(т) - Зр(т+</т) <?(T+dT)] ,
а Зх(т) и Зх(т+г/т) суть произвольные независимые беско-
нечно малые числа, на которые мы налагаем требование не-
прерывности по т.
Бесконечно малое унитарное преобразование, которое
связывает х(т) и x(T+dT), получается из
x[T+dx) = £/(т+г/т)-1х[7(т+г/т) =
= [1 - idT G(x(t),t)]x(t)[1 + idx G(x(t), t)]
в виде	1
x(T+dz) = х(т) - у [х(т), dzG(x(T),T)] .
Следовательно, можно написать
Gs(T+dT) - Gs(t) = g- [p(T)3<7(T+dT) + Зр(т) q(x+dT) -
- p(i:+di:)8q(T) - 3p(T+df) ?(t)] -
- у [Р(т)3<7(т) - Зр(т) </tG(x(t),t)] =
= 3'[^(p(T)<?(T+dT) - р(т+</т)?(т))] +
+ 1 [dTG(x(T),T), G9(T)+Gp(T)]
Гл. 6. Группы преобразований
163
ИЛИ
Gs(T+dr)-Gs(T) = 3' [2-(p(r)9(T+dT)-p(T+dT)9(T))+dTG(x(T),T)] .
где 3' используется для описания изменения q и р на 8q н
6р, происходящего независимо, но непрерывным образом по
т и т+dt:. Эти два вида вариаций можно теперь объединить
в одну: 3=37 +3", и положить
8<т+«/т | т> = z<T+dT 13[IF] | т> ,
где
IF(T+dT,T) = ^(p(T)q(T+dT) - p(T+dT)q(T)) + z/tG(x(t),t) =
- j- (pdq - dpq) + dtG .
Наш результат представляет собой конкретизацию общего
дифференциального описания функций преобразования, бла-
годаря которому, для некоторого класса изменений, беско-
нечно малый оператор 3IF получается как вариация одного
единственного оператора W. Это и является квантовым
принципом действия4, a IF есть оператор действия, соот-
ветствующий данному преобразованию.
Теперь мы можем непосредственно перейти к принципу
действия, который описывает конечное унитарное преобра-
зование,
3<т1|т2> = zCTjStlF^lT^,
поскольку мультипликативной композиции отдельных беско-
нечно малых функций преобразования отвечает сложение со-
ответствующих операторов действия,
IF,2 = j‘lF(T+dT,T) =
Т2
= ]Ц(Р<Т)^(Т) - <ИТ)?(Т)) + d*G(x(T),T)] .
Т2
В такой записи оператор действия зависит от всех опера-
торов х(т) из интервала между т1 и т2 . Однако преобра-
4
В раиннх работах автора, например, Phys.Rev.-1953.-V91.-Р.713 (перевод в книге
Швингер Ю. Теория квантованных полей,- М.:ИД 1956.- С.13), квантовый принцип
действия постулировался, а не выводился. - Примеч. авт.
164
Гл. 6. Группы преобразований
зования из специальной канонической группы, примененные
к <Tj|t2>, дают
3'<Т1|т2> = /<17,1 [G/т^ -
которое говорит, что	не содержит операторов, зави-
сящих от значений т из открытого интервала между т1 и т2
или что оператор 1Г12 является стационарным относитель-
но специальных вариаций в указанном интервале. И дейст-
вительно, этот принцип стационарного действия, как усло-
вие, что конечное унитарное преобразование складывается
из бесконечно малых, дает уравнения для функций q(z) и
р(т) уравнения
которые являются
бесконечно малых
Использование в предыдущих построениях одного
метра не является ограничительным. Стоит лишь нам
СаТЬ	₽ dz (т)
(Цх.т) =
прямыми следствиями из формы различных
генераторов.
пара-
напи-
с произвольными функциями т для каждой dTk/dT, а затем
рассматривать это преобразование как преобразование с р
параметрами, меняющимися вдоль некоторого конкретного
пути в пространстве параметров, который определяется р
функциями т^(т) параметра т. Тогда
Г12 = ]'[z^ ~ dP Я) + £Gfe(x(T),T)dTfe]
Т2
будет оператором действия для преобразования, соответ-
ствующего предписанному пути, и вообще говоря, зависящего
от него. Если мы рассмотрим бесконечно малую вариацию
пути с фиксированными концами, мы обнаружим, что
ЪЛ - JE
Т2
где
«и ' Эг А - 5x5 + 7 Ю» • °Д -	
к	I
Гл. 6. Группы преобразований	165
Чтобы преобразование не зависело от пути, требуется об-
ращение в нуль каждого из этих операторов. Когда опера-
торы Gk(x,x) можно выразить как линейные комбинации рав-
ного числа операторов Ga(x), которые не являются явными
функциями параметров, требование независимости от пути
приводит к рассмотренным ранее условиям, требующимся для
образования группы.
Теперь у нас есть основа для общей теории квантовой
динамики и канонических преобразований, по крайней мере
для систем с непрерывными степенями свободы. Возникает
вопрос: можно ли также использовать в квантовом принципе
действия другие типы квантовых переменных.
6.18. Дополнение по поводу специальной
канонической группы5
Эта заметка посвящена дальнейшему развитию и приме-
нению операторной группы, описанной в предыдущей рабо-
те.6 А именно: мы будем иметь дело с квантовой степенью
свободы, обозначаемой р=оо, которая характеризуется парой
взаимно дополнительных операторов q,p с непрерывным
спектром.7 Свойства такой степени свободы получаются как
предел свойств степени свободы с конечным числом состоя-
ний, задаваемым простым числом V. Напомним, что унитар-
ные операторы U и V, удовлетворяющие соотношениям
2irt
Uv = Vv = 1 , VU = e v UV,
определяют две ортогональные системы координат <u*| и
<и*|, где
? = ? = е2'*''1' и
Для любого простого v > 2 можно считать, что целые числа
k и / изменяются от -J/2(p-l) до J/2(v-l), а не от 0 до
^Воспроизводится статья "The special canonical group" из Proceedings of the Natio-
nal Academy of Sciences.-1960.-V.46.- P. 1401-1415.
g
Proc.Nat.Acad.-1960.-V.46.-P.883. {Часть этой работы составляет содержание пре-
дыдущего раздела.)
7Proc.Nat.Acad.-1960.-V.46.-P.570. (Перевод: раздел 2.12.)
166
Гл. 6. Группы преобразований
р-1. Произвольное состояние Ф можно представлять двумя
альтернативными волновыми функциями
ф(ик) = <ы*|Ф,	0(v*) = <»*|Ф,
где
фЧ = Е М«*)12 = Г 10(^)12.
k	k
и эти две волновые функции связаны взаимно обратными со-
отношениями
0(ufe) = £р-1/2е ‘2nlkl/v\/>(vl)
I
ф(и1) = Е р-1/2 e~2n,kl/v$(uk).
k
Теперь мы перенесем наше внимание на эрмитовы опе-
раторы q,p, определяемые равенствами
U =	, V = eieP, е = У2п/р
и обладающие спектром
р'
Кроме того, мы переопределим волновые функции так, чтобы
$(uk) = у/£ф(д'),	$(vk) = ^ёф(р'),
где е = Л/?' = Ар' — интервал между соседними собственны-
ми значениями. Таким образом, можно написать
фЧ = Е А<7/|0(<7/)|2 = Е Лр' 1^(р')I2
Я	Р
И	✓ /
Ф(р') = Е Ар'(21г)-,/2 е‘9 рФ(р')>
Р	t
Up') =	ф(д').
Я
При беспредельном возрастании р спектр q и р стано-
вится сколь угодно плотным, и собственные значения наи-
большей абсолютной величины неограниченно растут. Поэто-
му во всех дальнейших рассуждениях мы должны ограничить-
ся таким классом физических состояний, или, другими сло-
вами, - таким физическим подпространством векторов, —
для которого волновые функции Up') и ф(р') ведут себя
столь хорошо с точки зрения непрерывности и стремления
переменной к бесконечности, что можно выполнить равно-
мерный переход к пределу р=оо, причем
Гл. 6. Группы преобразований
167
00	00
фЧ = p/imi2 = рр'Мр')|2
—00	—00
00
Ф(я') = р' (2n)_,/2ez’ р ф(р')
—00
00
ф(р') = jdq' (2п)~1/2 е'^'р'ф(р') .
—оо
Здесь мы ие будем пытаться более точно определить такой
физический класс состояний, ио заметим, что из выписан-
ных взаимно обратных соотношений между волновыми функ-
циями можно составить равенство
00	00
W/) = J 2пе*'Р' J W	,
—оо	—оо
которое обязано быть тождеством для волновых функций
этого физического класса, если операции выполняются в
нем в указанном порядке. Кроме того, при этом появляется
класс функций К(р',е) таких, что
0ОИ = Lim J^'e^'p'^p'.e) Jdq"e-il>"p'^") =
е * °—00	-00
eip'(9'-9"}

Ф(Я") •
Это как раз то, что выражает символическая запись (Ди-
Рак)
Ф(я') = Jdq"d(q'-q")ifi(q")f
—00
—00
Мы будем также пользоваться записью, созданной по образ-
цу дискретного случая, заменяя суммы интегралами, напри-
мер
168
Гл. 6. Группы преобразований
<Ч' \ Ч"> = J</ \р'> dp'<P' к"> = d(q'-q"),
—00
где
<q‘ \Р'> = <р‘ к'>* = (2?г)-1/2е.
Есть и другие приложения предельного перехода и —»
оо. Взаимно обратные свойства операторов U и V выражаются
равенствами
<uk\V = <«?+1| , <u*|l/-1= <v*+1|
или
<q' le** = <q'+e\,	<j>' |e= <p'+£| ,
исключая случаи, когда q' или p' являются наибольшими
собственными значениями, ибо тогда q'+е или р'+с совпа-
дают с наименьшими собственными значениями —q' или -р'.
Запишем этн соотношения как некоторые утверждения о вол-
новых функциях, а именно:
| [<<7'+г|Ф - <?'|ф] = </l4(efcp- 1)Ф
И
| [<р'+£|Ф - <р'|ф] = <p'|J(e-fe’- 1)Ф.
При переходе к пределу Р=оо, подпространство физических
векторов Ф характеризуется такими свойствами непрерыв-
ности и поведением волновых функций на бесконечности,
что пределы при £ —» 0 стоящих слева выражений существу-
ют и являются производными соответствующих волновых фун-
кций. Таким образом, для физического класса состояний мы
заключаем, что
7 ^'<4'1* = <?'1РФ
и
iffp'<P' 1ф = <Р' 1?ф-
Именно нз такого применения предельного перехода к уни-
тарным операторам exp(icq) и exp(j£p) будет также ясно,
что ограничение на физическое подпространство необходи-
мо, чтобы выполнялось перестановочное соотношение
[q. Pl = i •
Элементы ортонормального операторного базиса можно
Гл. 6. Группы преобразований
169
выбрать в виде
у-1/2 eJi'mn/u итуп = р-1/2 е-(л<тп/1>) уКу™
или р-1/2 U(q'p'), где
U(q'p') = ч'/2 ею’е-ф'Ч = e~v'ч'/2 ч =
= (у^^^РЧ'-р'я)
Таким образом, поскольку р-1= Др'Др'/2п, для произволь-
ной функции f(q'p') дискретных переменных q’ ,р‘
1^^Тги(д'р'^и(д"р")}(д"р") = f(q'p').
ч"р"
В пределе v=a> имеется класс функций f(q'p') таких, что
00
Tr U(q'p'f \^^U{qllpH}f{q„p„} = f{q,pt}>
—00
что мы выразим символически как
Tr^'p'jW'p") = 2п 3(р'-р") 3(р'-р") .
В частности,
Ъ j(pq'-Р Ч) = 2п3(р')3(р') = \^2^РЧ'-Р'Ч) t
—оо
где в правой части равенства q и р - числовые переменные
интегрирования.
Полнота операторного базиса U(q'p') выражается ус-
ловием „
00
= 1 ТгХ.
—00
Кроме того, свойства (7(p'pz )-базиса по отношению к про-
извольному дискретному операторному базису Х(а) описыва-
О
ются равенствами
00
J^^<a|p,p,><p'p'|a'> = 8(а',а")
-00
и
£<р'р'|а><а|р"р"> = 2п8(р'-р")8(р'-р").
а
g
Относительно обозначений см. раздел 2.12. ~ Примеч.пер.
170	Гл. 6. Группы преобразований
Если X берется как функция f(q,p), то можно использовать
операции специальной канонической группы, чтобы привести
выражение свойства полноты к виду
а>
= 1 TrF^.p).
—00
Это операторное соотношение ведет к числовому, если мож-
но так упорядочить F(q,p), что все операторы q будут на-
ходиться, например, слева от операторов р, запишем это
как F(q\p). Тогда вычисление матричного элемента типа
<р'=0| |р'=0> даст	ю
Tr F(q,p) = J^F(p;p);
—00
этот результат применим также к системе с п непрерывными
степенями свободы, если считать, что
dqdp	п dpkdpk
”2тг	II ’2п ’-
Л=1
Для иллюстрации использования этой упорядочивающей про-
цедуры, отличающейся от уже рассмотренного нами
TrU(q' р'), заметим, что
е-(<72+р2)р/2 _ (ch PJ-I/2 е-(<72th з)/2 eiq-,p(sh fi -1) e-p2th 0/2,
где
00 4
„а;b _ н1 „п.п
е = Lyp а b ,
о
и, следовательно,
Тг е~^+Р2^72 = J dpdp (ch Р)~1/2 c-(Ap2)th(g)/2 ez?p(sh/3-l) =
—00
1	“	(п+1/2)0
’ 2 sh((!/2) = Joc
что воспроизводит хорошо известный невырожденный спектр
оператора (р2+р2)/2.
Теперь мы будем рассматривать построение конечных
специальных канонических пребразований из непрерывной
последовательности бесконечно малых, задаваемой измене-
нием параметра т. Пусть генератор преобразования, соот-
ветствующего т —* T+dT,
Гл. 6. Группы преобразований
171
diGs - dx(qP - pQ) ,
где Q(t) и Р(т) - произвольные числовые функции т. Это
бесконечно малое преобразование
q(r+dT) - q(T) = -1 [p,dTGJ = drQ(T),
ptT+dT) - р(т) = - | [MtGJ = dzP(T),
приводит к конечному преобразованию
Ъ
-	<?(т2) = J dTQ(T) ,
Т2
-	р(т2) = J drP(r) .
Т2
Легко строятся и некоторые соответствующие этому случаю
функции преобразования . В самом деле,
<т+йт| = <т|[1 + i dr G(x(t),t)]
или
= <г|[р(т)Р(т) - p(t)Q(t)],
а поэтому
1|т<р/т|р/т2> = <р'т| [р'Р(т)- [р' + Jйт'Р(т/)<Э(т)]]|р/т^> ,
Т2
что в сочетании с начальным условием
т = т2:	<р'т|р'т2> = <р' |р'> = (2п)-1/2е1’,/’/
дает
Ti
<р'т1|р'т2><гР = (2п)"1/2ехр р [р'р' + р' J dr Р(т) -
Т2
Т1	Т1
- p'J dr Q(t) - J dTdT,Q(T)T)+(T-T,)P(T,)j]
T2	T2
где
T)+(T-T') =
1 , T >TZ
О, т <t'
172
Гл. 6. Группы преобразований
Из э	'того результата мы выводим
<д'т	W J<<7'T1lp'T2>QP<ip/<p/\q"> = —00 С	Ъ	ч iq'JdrP -iJdrdT' QqP = 3|g'-g" - J drQ(T)le	e	+ , T2
и <р'т	co X\P"T:2>QP = J<P' l<f> dqXq'T jp"T ^>QP = —00 f	L	i -ip'SdTQ -iSdxdT'QqP = 6 Ip' - p" - J йтР(т) 1 e	e	+ , T2
испо	льзуя TO, ЧТО = 1 - v+(t-t') = ri+(T'-T),
полу	ценный результат можно записать и как г	С	) -ip'SdrQ ifdTdr' PqО 3 р' - р" - jdz pj е	е	+ . Эти функции преобразования можно также рассматри-
вать	как матричные элементы унитарного оператора, эле-
мент	а специальной канонической группы, который произво-
ДИТ	полное преобразование. В данном случае этот оператор
имее	т вид т	т	т
exp jj	dzP(T) - pj dTQ(r) - j J Л	, T.	To	To
где	2	2	2 £ = П+ - T}_-
Счит	ая функцию преобразования матрицей, можно вычислить
ее с	лед, и он будет равен следу соответствующего унитар-
ного	оператора, если только другое произвольное пред-
став;	1ение не является явной функцией т. Таким образом, со	со
Тг<т	1IT2>Q₽ = W<?'Ti l<j'T^>QP= fdpXp'T^p'T^>QP = = 2пз[ JdTQ(T)] з[ j’dTP(T)] е
Гл. 6. Группы преобразований
173
где из-за 6-функций т? (т-т') можно заменить другой экви-
+	11	р/т—т' 1
валентной функцией, например, т?+- j = j е нлн ---------L ~
, Т=т^—т2 . Последний выбор обладает свойством обра-
щать в нуль величину двойного интеграла, когда либо
Q(t), либо Р(т) - константа. В операторном виде эта фор-
мула для следа является известным результатом
Тг el{pq'~р'= 2nd(q')d(p') .
Важно осознавать, что след, будучи гораздо более
симметричным, чем любая отдельная функция преобразова-
ния, также приводит к конкретным функциям преобразова-
ния. Итак, сделаем замены
Q(T) Q(t) - (q'~ q") 6(т - Т + еТ)
£ —> +0
Р(т) —> Р(т) + р'6(т-т2-£7')?
а затем обозначим последствия этих дополнительных пре-
образований с помощью эквивалентных унитарных операто-
ров, тогда
Тг<,т }\^q' ~q"^ eip' q^\TpQP = j dq< q+q'-q"Tx\qT^QPeip'q.
—00
Соответственно, если к тому же умножить на exp(-zp' q") и
проинтегрировать по dp‘/2и, то получится <<?' rj q"T^>QP,
в чем можно убедиться непосредственно.
Мы увидим, что полезно дать совершенно иной вывод
формулы следа. Заметим, во-первых, что
Tr<Tj ^(тр - <7(т2))|т2> = \dqXq'T^q’ - q')\q'T^ = 0,
—00
и аналогично
WJ Нт1) - Р(т2))|Т2> = °'
что является свойством периодичности по интервалу
Т=Т\-т2 . Поэтому представим операторы q(r), р(т) рядами
Фурье ю
<?(т) = q0 + E(irn)"1/2[^cos^(T-T2) + <7_nsin^(T-T2)]
р(т) = р0 + E(^)-,/2[-Pnsin^(T-T2) + p_ncos^(T-T2)] ,
где коэффициенты выбраны таким образом, чтобы оператор
174
Гл. 6. Группы преобразований
действия для произвольного специального канонического
преобразования т
Г12 =	~ Jp?) + ^(Яр - PQ)1
Т2
приобрел вид	ю	ю
Ww = Y.P q + £(q Р - р Q ) .
12 п^п ~ п rn^nJ
—00	—00
Штрнх в этом выражении означает, что отсутствует член с
п=0, а
У1	Ъ
Qo = J dTQ(T) ,	/>0 = J drP(T) ,
Qn_n = (1In) '/2J dTQ(T)(~sin
T2
T,
Pn _n = (яп)-1/2 j dr P(t)(cos,i
T2
Принцип действия для следа имеет вид
ЗТ^т^т^ = iTr^ja р^12]|т^>.
а принцип стационарного действия утверждает, что
0,
и вместе с тем
TKTjK^- Q„)|t2>qp= TKTjKp^ PJ\t^QP= 0.
Первый из этих результатов означает, что след содержит
множители 3(Q0) и S(PQ). Зависимость от Qn, Рп, п * 0
получается затем нз принципа действия
^(Тг) = «Тг<т |(-рп)|т > = iPn(Tr)
|р(Тг) = iTrtr^q^r^ = z’Qn(Tr).
п
Следовательно,
со
i У' Q р
= 2na(Q0)3(P0)e-a
где множитель 2п получается сравнением с простым случа-
ем, когда Q(r) и Р(т) постоянны. Для сравнения с преды-
Гл. 6. Группы преобразований
175
дущими результатами заметим, что
QnPn + Q_/_n =
^sin^T-T') = 2е(т-т') -
Воспользовавшись представлением
со
е<’<2₽ = j dc^dp ei(pq+qP-pQ) ,
—00
можно записать новую формулу для следа как единообразное
интегральное выражение, ибо теперь мы можем написать
Tr<T1|T2>QP = |фЛР]е‘^А
где
“ dq dp
= пЛА
—со
a W[q,p] - числовая функция, построенная по тому же об-
разцу, что и оператор действия
»т«.р] . ?-РА + I (1Л "	
-00	-со
Можно иначе: воспользовавшись соответствующими рядами
Фурье, определить числовые функции q(r), р(т). Тогда
т(
^Т-Лр] = J [з<р^ - dpq) + <ft(qP - р<2)],
Т2
a d[q,p] возникает как мера в квантовом фазовом прост-
ранстве функций q(T), р(т).
Огромным преимуществом специальной канонической
группы является именно то, что эти рассуждения можно в
полной мере применить при изучении произвольных дополни-
тельных унитарных преобразований, описывая их соответст-
вующим оператором действия
^12 = J [	- dpq) + dT(PP ~ р<2) + dT G(X(T)< T)] •
T2
Сначала давайте посмотрим - как соответствующая функция
176
Гл. 6. Группы преобразований
преобразования <т1|т2><3/> зависит от произвольных функций
Q(t), Р(т). Принцип действия утверждает, что
Ъ
6q/t1It2> = z<TilJdT(?5P “ Р5(?)1т2> =
Т2
L
= i j 4т[ЗР(т)<т1|<7(т)|т2> - 3Q(tKt1|p(t)|t^>] ,
T2
это обстоятельство мы выражаем при помощи записи
SpffJ <т1! т2> = <Т1ИТ)1Т2>’
= <Т1|р(т)|т^ .
Более общо, если F(t') есть операторная функция от пере-
менных х(т'), но не от Q,P, мы имеем
Сту^т')!?^ = <т Jt'>§₽х <т' |Е(т,)|т'>х<т' |т^ Qap,
гае |т'>х<т' | обозначает суммирование по полному набору
состояний, и поэтому
-<гп-5Гт7<т1| F(T'> 1 т2> = <Til(^T) /7(т/))01т2>'
= <Tli(P(T) /7(T'))0iT2> •
Здесь ( )0 - произведение, упорядоченное в смысле разви-
тия событий от ту к ту . Если т следует за т', то опера-
торная функция от т располагается слева, если же т пред-
шествует т', то соответствующий оператор располагается
справа. Такое описание охватывает две алгебраические си-
туации: т(> т2 , которую мы называем положительно упоря-
доченной ( ) , и тус т2 , которой соответствует отрица-
тельное упорядочение ( )_ . Положим временно т^> т2 н
сравним
Z5<?ffT<Tll^T+0) 1Т2> = <т11 ?<т) Р(т) 1Т2>
с
1'3(5ГтУ<т11 ^т-°) 1Т2> = <ТМТ)‘7(Т)1Т2> •
Разность эт.'х выражений
z57jpfy<T1|[z7(T+°) - ?(т-0)]|т2> = <ту| [<?(т), р(т)]|т^>
с одной стороны апеллирует к некоммутативности взаимно
Гл. 6. Группы преобразований
177
дополнительных переменных q и р, ас другой - к "урав-
нениям движения" оператора р(т). Согласно принципу дей-
ствия
dq dG _ п
+ Яр ~
к, следовательно,
/?(т+0) - <у(т-0) =е1ип0 J dr' + Q(r')] ,
т—е
что дает следующий результат
z5^frj<T1l[‘7(T+°) - <7(т-°)]|т2> =
Таким образом, через применение специальной канони-
ческой группы мы получаем представления любых динамичес-
ких переменных операторами функционального дифференциро-
вания. Общее утверждение имеет вид
F(<7,p)0|T2> = F [-zjp,
где F(q,p)Q - упорядоченная функция операторов р(т),
р(т) при всех значениях параметра между т2 и тг и, как
показывает простой пример произведений р(т)р(т) и
р(т)р(т), конкретный порядок умножения для операторов с
одинаковым значением т должен воспроизводиться с помощью
подходящего предельного перехода от различных значений
т.
Связь с предыдущими построениями всплывает, если
добавить к G переменный множитель Л. Мы воспользуемся
принципом действия для состояний, соответствующих и
т2 , которые не зависят явно от Л, тогда
ЭХ<т1|т2>хо = '<Ti! ]'dTG(qpr)\T^Pa =
Т2	т
= zj drGj-zJp , zj^ , rjcrjT^.
T2
Формальное интегрирование этого этого дифференциального
178
Гл. 6. Группы преобразований
уравнения от Л=0 до Л=1 дает
<Т11Т2>Г = еХР
[4dxG [-4р • 'зт? • T]]<TJ т2>QP’
где стоящая последней функция преобразования соответст-
вует Л=0 и, следовательно, относится только к специаль-
ной канонической группе. Промежуточная формула, соответ-
ствующая G = Gj + G2 , содержит оператор функционального
дифференцирования, построенный из , который действует
на функцию преобразования, связанную с G2 Такая же
структура применима н к следам функций преобразования.
Если мы используем интегральное представление для следа
трансформационной функции (см. сноску 1 гл.7) специаль-
ного канонического преобразования и выполняем дифферен-
цирования под знаком интеграла, то получим общую интег-
ральную формулу3
Тг<т11т2>Г =
Здесь функционал действия W[q,p] имеет вид
WTq,p] = J ^(pdq-dpq) + dx (<7(т)Р(т)-р(т)<Э(т)] + dxG [?(т)р(т)т]]
T2
он образован, по существу, так же как оператор действия
, порядок умножения некоммутативных операторных мно-
жителей в G восстанавливается подходящими бесконечно ма-
лыми смещениями параметра т. Эрмитов оператор G всегда
можно построить из симметризованных произведений неких
эрмитовых функций от q и от р, а соответствующие число-
вые функции являются вещественными. Так, оператор
1/2{/1(р(т)),/2(р(т))} представляется, например, опера-
тором 1/2(/1(р(т+е))+/1(р(т-е))/2(р(т)). Ожидается, что
такой усредненный предел при £—> 0 не дает ничего ново-
з
Эта формулировка тесно связана с алгоритмом Фейнмана (Phys.Rev.- 1951.-V.84.
-Р.108, Rev.Mod.Phys.-1948.-V.20.-P.367. - Перевод последней работы см. в сб.
Вопросы причинности в квантовой механике. -М.: ИЛ, 1955. - С.167-207). Отличие
от последней заключается в отсутствии двусмысленности, связанной с некоммута-
тивностью множителей, но главным образом в используемой мере. См.сноску 8.
Гл. 6. Группы преобразований
179
го по сравнению с прямым использованием произведения
^(<7(т))^2(р(т)), хотя, конечно, такое же утверждение не
верно по отношению к любому из двух членов, содержащих
е. Кстати, из-за периодичности совершенно достаточно
строить действие, например, из р dq, а не из более сим-
метричных выражений.
Как частный случай этой формулы для следа, положим
Q=P=0 и рассмотрим класс операторов G, явно не зависящих
от т. Тогда мы вычисляем
Tre'TG = jd[q,p] e,VT4'p1’
W[q,p] = fydq + dxG) ,
где мы воспользовались возможностью положить т = 0. Про-
12	2
стой пример дает оператор G = ?(р + q ), в этом случае
W = k(p0 + $ +_2'	+	+ $]
и 2	2
Тг е«Т(Л<7 )/2 =
= J d%dp ci7(p2+q2)/2	[ j d%dp с.-(2<7р+^нЛ<72))/2]2 =
-00	1	-00
00
_ i п 1 ____________ _ i________
Т"1-(Т/2ип)2	2sin(772)
Этот пример, к тому же, иллюстрирует класс эрмитовых
операторов, спектр которых ограничен снизу и для кото-
рых след оператора exp(iTG) продолжает существовать при
добавлении к Т положительной мнимой части, и даже в слу-
чае замены Т(3>0. При такой замене выражение
для следа можно записать иначе, если заметить, что ряды
Фурье зависят только от переменной (х-х^/Т = Л, которая
изменяется от 0 до 1, и,следовательно,
Tre~3G = J d[q,p] ,
1
w\_q,p] = px[-£p^ + PG^X)^))] .
о
Другое свойство этого случая состоит в том, что
вклады в след всех коэффициентов Фурье, исключая п=0,
180
Гл. 6. Группы преобразований
стремятся к единице при достаточно малых значениях Т или
0. Это верно также для всего класса операторов вида
G=jp2+f(<7). С помощью соответствующего пересчета коэф-
фициентов Фурье для р(Л) мы можем записать w[q,p] в виде
1 2
W = рЛ [^Зр(Л)2 +	[^] +РН<7(А)]]-
о
Для достаточно малых 0 член, содержащий dq/dK, в который
дают вклад все коэффициенты Фурье за исключением qQ ,
будет эффективно подавлять эти коэффициенты Фурье, если
наложены подходящие ограничения на особые точки в облас-
ти, где f(q~) принимает большие отрицательные значения.
Тогда f(<?(A)) ~ f(<70). и мы можем свести интегрирование
к оценке вклада qQ и pQ , что выражается формулой
Tr e-3G(?.p)_ j d^dp e~^G(q,P)
-co
Сравнение с полученной ранее формулой следа, включающей
упорядочение операторов, показывает, что в этом пределе
некоммутативность q и р несущественна. Таким образом, мы
вошли в классическую область, где несовместимость физи-
ческих свойств на микроскопическом уровне больше не на-
блюдаема. Кстати, первая поправка к классической оценке
следа, которую мы выпишем явно для одной степени свободы
Tr e-P(p2/2+f(q))^ г dq e-pf(q)	,
sh (3v'7rw7VT/2 '
дает точное значение, когда функция f(q) является поло-
м 2
жительно кратной q .
На эту общую задачу можно взглянуть с другой сторо-
ны, обратив внимание на то, что вытекающие из принципа
стационарного действия уравнения движения
можно записать с помощью функциональных дифференциальных
Гл. 6. Группы преобразований
181
уравнений10
+ fp*(“£ip’W] - <2(t)]<tiIt2>g₽ = °>
[fe’awj “ fi['£37-£5^] " p(t)]<tiIt2>g₽ = 0 •
Эти уравнения верны для любых функций преобразования та-
кого типа. Отличительной особенностью следа является
свойство периодичности
[?Wp - Жт^)ТГ<Т11 Т2>0₽ =	" ^Гф](Тг) = 0 ’
из которого следует, что след зависит от Q(t) и Р(т)
только через коэффициенты Фурье Qn и Рп , и что функцио-
нальные производные можно интерпретировать с помощью
обыкновенных производных:
Теперь введем функциональный дифференциальный оператор,
который получается из числовой функции действия
которая относится только к преобразованию, порождаемому
оператором G, а именно
W,g[-£3P '£fe?] = J + dxG [-£3F -£ 5Z? ’т]] -
Т2
и заметим, что дифференциальные уравнения переписываются
в виде
GFC, Q(t)] +	= о,
(t[U7c, Р(т)] +	= 0 ,
1°П	. .	К
Просто как дифференциальные уравнения они бывают полезны, только когда
G(qp) - достаточно простая алгебраическая функция q и р. Кинематическая группо-
вая основа представления уравнений движения функционально-дифференциальны-
ми уравнениями должна заметно отличаться от того динамического языка, которым
автор пользовался ранее - Proc.Nat.Acad.-1951.-V.37.-P.452.
182
Гл. 6. Группы преобразований
что можно записать как
-tir	t1T -<1Г
е aQ(T) е G(Tr) = е G Р(т) е G(Tr) = 0 .
Последняя форма следует из общего разложения
елВе~л = В + [А В] + ^[А,[А,В]] + ....
если учесть, что коммутатор, например, вида [W ф(т)]
построен целиком из операторов дифференцирования и по-
этому коммутирует с дифференциальным оператором
Таким образом,
-Wr	-Ж
Q(T)e G(Tr) = Р(т)е с(Тг) = 0 ,
это означает, что exp(-tW )(Тг) обращается в нуль при
перемножении с любым из коэффициентов Фурье , Рп , и
следовательно, содержит дельта-функцию для каждой из
этих переменных. Итак, мы заключаем, что
ОР	S/8P,i 8/8Q]
Тг<Т11Т2>о = е
где, предвидя соответствующие нормировочные константы,
положено	„
со
3[Q,P] = J] 2nd (Qn)8 (Рп) .
-со
Проверить эти множители можно, положив G=0, что
возвращает нас к случаю специальных канонических преоб-
разований. В этой процедуре мы сталкиваемся с типичным
равенством
ezS/SQa/S?2n3(Q)3(P) = еЙР,
для доказательства которого замечаем, что
, 3 ~\id/dQd/dP oid/dQd/dP
V + «ятт е	= е	<2
И
00
Г ££ d7dQ д/дР 2n8(Q) 8(Р) = 8(Q).
-00
Этот результат есть как раз известное выражение для сле-
да функции преобразования
со
/ Eq р
= 2n3(Q0) 3(Р0) е ~а " ".
Когда в 3[Q, Р] каждая дельта функция заменяется ее ин-
Гл. 6. Группы преобразований
183
тегральным представлением, получаем
оо ю	if'dr(q(T)P(T)-p(T)Q(T))
dq dp i(q P -p Q )	т
5[Q,P]= Ц	" =J<W]e
-co -co
и в результате выполнения дифференцирований в W под
знаками интегралов11
Тг<т11т2>сР= j4^P]e‘Wp],
где функция действия W[q,p] теперь специальное канони-
ческое преобразование, описываемое операторами Q и Р.
Мы будем записывать эту общую интегральную формулу
также в виде	т
‘J 'di:(pp~PQ)
Тг<Т1|т2>^ = jd[<7,p]e	2	е	'
чтобы подчеркнуть взаимность между следом как функцией
Qn ,Р , или, что то же самое, функционалом от
Q(t),P(t), и exp [W'Jq'.p]] как функцией от qn , рп , или
функционалом от <?(т),р(т). В самом деле
-ij 'dr(qP-pQ)
е^°[’’р] = J d[Q,Р]е	TXrJr^,
где элемент
-со
11
В этой процедуре <?(т) и р(т) суть непрерывные функции параметра т, а представ-
ляющие их коэффициенты Фурье суть бесконечное счетное множество переменных
интегрирования. Альтернативный подход состоит в замене непрерывного параметра
т дискретным, а производных по т конечными разностями, 5[Q, Р] строятся при
этом как произведения дельта-функций для каждого дискретного значения пара-
метра т. В рамках такой формулировки, которая, по существу, является подходом
Фейнмана - Винера, мера </[фр] есть произведение элементов Ф?(т)Др(т)/2гг для
каждого значения т, условие периодичности явно накладывается на границах, а
предел заключается в переходе к бесконечно мелкому разбиению интервала
. Этот второй метод несомненно более интуитивен,	поско-
льку его можно рассматривать как результат прямого связывания последователь-
ных бесконечно малых преобразований, но связанная с ним математическая тех-
ника более труднопроходима.
184
Гл. 6. Группы преобразований
таков, ЧТО
j d[Q,P]5[Q,P] = 1 .
Проверка этой обратной формулы вытекает из последнего
свойства, если для следа взять его формальное выражение
как дифференциального оператора, которое содержит
3[Q,Р]. Из вещественности IT [q,p] теперь следует
Jd[Q,P] dCQ^P'Je^’^ ?	))(Тг)<г?*(Тг)<г' ₽' = 1,
что эквивалентно
j4Q,P](Tr)A+A1’(Tr)A+X2 = 3[QrQ2, РГР2] ,
где в X собраны Q и Р.
След обладает свойством композиции
Тг<Т0 I Т1>ГХ Тг<Т 11Г = Tr<T olТ ? Т-
Введенная операция состоит в замене Q(t),P(t) в соответ-
ствующих множителях на Q(r)+q'^(т-т,), Р(т)+р'3(т-т1) с
последующим интегрированием по dq' dp' /2п. Поэтому стоя-
щее слева выражение записывается в явном виде
со
Тг<то I е4р(т,)/ -р'	)]! Тг<т ! е-Мт,)/ -р' 9(т,тQP
-00
или со
I J^(^£'<a,T0|t/(c?/p')|a'Ti><a"Ti|t/(c7/p')t|a"T^ =
а' а" -со
= [ <a/TQ|3(a/,а")\а"т2> = Тг<т0|т^>«₽,
а' а“
в силу полноты операторного базиса, построенного из
{/(Т,), р(Т2).
На tq , т, и т2 не налагается никакой специальной
связи. Если приравнять TQ и т2 , то одна функция преоб-
разования в этом произведении комплекно сопряжена с дру-
гой. Однако, чтобы получить полезный результат, мы долж-
ны сделать нечто большее. Наиболее общая процедура со-
стояла бы в выборе канонического преобразования для
Тг<т2|тр>®?=	которое бы совершенно отлича-
лось от преобразования в Тг<т1|т2>|₽ Вычислительные
преимущества, которые возникают на этом пути, мы изучим
как-нибудь в другой раз. Здесь же мы будем довольство-
Гл. 6. Группы преобразований
185
ваться тем, что сделаем эти специальные канонические
преобразования различными только в точке т2 . В этом
чае наша теорема принимает вид
Тг<т21т/+*'х Тг^т^™" = 2u8(q'-q") 6(р'-р") ,
слу-
где
Q'(T) = -q'd(T-T2),	Р'(т) = -р'6(т-т2)
и аналогичный вид имеют выражения для Q"(t),/э"(т). Это
утверждение немедленно вытекает из ортонормальности опе-
раторного базиса U(q'p'}, при следующем вычислении лево-
го выражения:
т -{р(т2)9/ -р' ?(т,)] (р(т2)?"-р"д(т2)]
2п 8(q' —q")8(p' —р") .
6.19 Дополнение: Квантовые переменные и принцип действия12 13
В предшествующих сообщениях была дана классификация
квантовых степеней свободы с помощью простого целого
числа и и сконструирован квантовый принцип действия
для р=со.14 Можно ли придумать квантовый принцип действия
для других типов квантовых переменных? Мы изучим этот
вопрос для простейшей квантовой степени свободы v=2.
Рассмотрим сперва единственную в этом случае сте-
пень свободы. Операторный базис порождается парой взаим-
но дополнительных эрмитовых операторов
О’.	<г2
которые удовлетворяют соотношениям
е»е,+ - {е»  ej - «», 
Базис пополняется единичным оператором и произведением
е _ °~3 Л 1^2
3 V2 V2 '
Мы уже говорили (см. сноску 10) о хорошо известной связи
19
Воспроизводится нз Proc.Nat.Acad.Sci.-1961.-V.47.-P. 1075-1083.
13Proc.Nat. Acad.Sci.-I960.-V.46.-P.570. (Раздел 2.12.)
14
Proc.Nat.Acad.Sci.-1960.-V.46.-P.883. (См. раздел 6.17.)
186	Гл. 6. Группы преобразований
между этими 6=1,2,3, и трехмерными поворотами. На-
пример, наиболее общий унитарный оператор, бесконечно
мало отличающийся от единицы, имеет с точностью до мно-
жителя вид
[Д3й>) — 1 + гр/Зб)' О' ,
а соответствующее операторное преобразование
3 =	= а - За
является трехмерным бесконечно малым поворотом
За = 3w х о-.
Следовательно, бесконечно малый поворот, который меняет
и не меняет £2 , может быть только поворотом вокруг
второй оси:
5?1 = 5w2?3 ’	5?2 = ° •
Соответствующий бесконечно малый генератор имеет вид
G1 = 25W2a2 =
Аналогично,
= о,	з?2 = -3W]e3
порождаются генератором
G2 = ‘V^2 = -^2^2 ’
а генератор для комбинации таких элементарных преобразо-
ваний есть (А=1,2)
c =	--'pv,-
Очевидно, что и G2 надо дополнить оператором
G- = X 3w„a„ ,
<3	£	<3 <3
чтобы получились бесконечно малые генераторы унитарной
группы, которая изоморфна группе трехмерных поворотов.
G3 индуцирует преобразование
зе, = -з^, зс2 = з^,,
и	1
G3 = 2' К15?1 + ?25*У •
Итак, сосредоточившись только на паре взаимно дополни-
тельных операторов и £2 , мы не получаем симметричных
выражений для лежащей в основе группы трехмерных поворо-
Гл. 6. Группы преобразований
187
тов. Ситуация до некоторой степени исправляется, если
для тех преобразований, при которых и £2 изменяются
независимо, использовать генератор, порождающий измене-
ния '/23$^ , й=1,2:
Ge -
Произвольное бесконечно малое унитарное преобразо-
вание описывается функцией преобразования
<т+с?т|т> = <|[1 + idx G(£,t)] |> .
Бесконечно малые вариации в т, т+dx и в структуре G ин-
дуцируют
3"<T+dt|t> = i< |3"[c?tG(£,t)] |> = i<T+dT |3"[tfrG(£(T),T) ] |т> .
К этому мы добавим 3', преобразования, порождаемые G^,
которые выполняются над состояниями <T+dt| и |т> незави-
симо, но непрерывно по т, т.е.
3'<т+с(т|т> = i<T+dT|[G^T+dT) - G^t)]|t>.
Здесь
Ge(T+dr) - Ge(T) = - У1 8^k(T+dT)^k(T+dT) - Cfe(T)3?fe(T) =
= - У1 ixft(T+<WT)+ efe(T+^)3cfe(T)] +4l[3^ > Kk'dT Gn *
или
Се(т+Л) - Сс(т) • 5' [-	е,(т+Л)е,(т) + лад.т)] -
-|[К,.[лыу],
где 3' по своему действию на операторы соответствует
специальным изменениям 3£fe , А=1,2, выполняемым незави-
симо, но непрерывно, при значениях т и T+dr.
Только тогда, когда последний член равен нулю, по-
лучается квантовый принцип действия [3=3'+3"]
3 <т+с?т | т> = i <T+dx 13[1Г] | т> ,
с оператором
W(T+dT,T) = ~y^k(T+dT)^k(T) + drG(£(r),T).
Поскольку специальная вариация такова, что 3$^ и 3£2
суть произвольные кратные £3 , необходимо, чтобы опера-
тор [G,C3] коммутировал с и . Следовательно, этот
коммутатор должен быть кратным единичного оператора,
причем соответствующий множитель может быть только ну-
188
Гл. 6. Группы преобразований
лем, т.к. как след коммутатора равен нулю, или, по дру-
гому, этого требует равенство [G,£3]=0. Итак, для осу-
ществимости формулировки принципа действия необходимо и
достаточно, чтобы
[g> ад = о •
Поэтому члены только с и только с £2 исключаются из G,
это ограничение выражается также в виде утверждения,
что допустимые G должны быть функциями, четными по ,
й=1,2. С точностью до множителей при единичном операто-
ре, которые порождают фазовые преобразования, единствен-
ным допустимым генератором будет ^^2 > чт0 геометричес-
ки означает поворот вокруг третьей оси.
Следовало бы заметить, что класс вариаций 3' можно
расширить, включив вариацию, порождаемую G3 безотноси-
тельно к структуре G. Так,
с3(т+л) - с3(т> = - pct(T+JT)es(T) + ^(т+лме^т)] +
+ к С^-ЕуЛС]].
где последний член равен
[е2,ла]] - ^3[e2,[erdTGjj =
=	= |[dTG,G3],
и поэтому для 5'-вариаций такого рода
G3(T+dt) - G3(t) = 3' [-	^(т+с?т)^(т) + drG] .
Оператор действия для конечного унитарного преобра-
зования имеет вид
2
или, более симметрично,
поскольку И7]2 определен только с точностью до аддитивной
константы, и
<Т Е,(т))2 = »
Гл. 6. Группы преобразований
189
Принцип стационарного действия
3[UZ12] = G, - G2,
который	относится	к фиксированной форме оператора
G(£(t),t), выражает то требование, что конечное преобра-
зование возникает из последовательности бесконечно малых
преобразований. Будет весьма поучительно посмотреть,
как, напротив, свойства квантовых переменных вытекают из
этого принципа. Мы не будем явно связывать это обсужде-
ние с единственной парой переменных, соответствующих од-
ной степени свободы, поскольку оно имеет существенно
большую общность.
Билинейная дифференциальная форма
s[т‘1	+ 0Л] -	+ <36т] =
=	+ <5Gdr - dG8r
показывает, что
dG 1  V Где ^*1
5G =	- z£2_	'
и, следовательно, дает
с1.2 -	+ OTTlvv
Член с генератором G Зт, очевидно, вновь указывает на
смысл оператора G как преобразования. Действие на опера-
торы выражается бесконечно малым унитарным преобразова-
нием
?(£(т),т) = (l-tG3T)F(£(T),T)(l+tG3r) = F(£(T+dT),T),
которое является общим уравнением движения
dF dF 1 re с
Зт = дт - 7^ 
Возьмем в качестве 3£ft(T) некую специальную вариа-
цию, которую мы определяем при помощи следующих свойств:
(1) каждая вариация 3^ антикоммутирует с каждой
{»?»-«,} -0 
(2) вариация 3£ft(r) не имеет явной зависимости от т; (3)
каждая вариация 3£ft есть бесконечно малое числовое крат-
190
Гл. 6. Группы преобразований
ное некоторого общего для всех несингулярного оператора,
который не изменяется с изменением т. Второе из этих оп-
ределяющих свойств означает, что
[^G] = 0,
специальных вариаций с
а это, в силу антикоммутативности
каждым £, ограничивает G только четными функциями
Более того, согласно свойству (3) производные специаль-
ной вариации по т также антикоммутируют со всеми ,
и, следовательно,
d V AC P
^4-^-4 =
= у5е.-‘ = - У-‘г5,-
L. ^dT L-dT 4
Поэтому, если мы напишем
яг	к—	3 , G	,— д G
<5G - ят<5т = У 8КЬ — = У — sSb>
что определяет правые и левые производные G по , то
получим	dG _ qq
ZTE cFr' ’
что согласуется с общими уравнениями движения и
На несингулярный оператор, содержащийся в каждой специ-
альной вариации, последнее равенство можно сократить, и
произвольность числовых множителей в ведет к
dt. д G d.G
	_ г _ _ I
Различие в знаках при левых и правых производных указы-
вает на четность функции G.
Сравнивая две формы уравнения движения для , на-
ходим, что	g G
[c'c‘1=t-
Если мы вернем на место специальные вариации, это равен-
Гл. 6. Группы преобразований
191
ство примет вид
1	1	г— д G 1
Левая сторона есть в точности изменение G, порожденное
генератором специальных вариаций Gg, которое возникает
также в G 9, тогда как правая часть дает этот результат
через изменение на /23£ft. Поскольку G есть произ-
вольная четная функция переменных мы принимаем этот
результат как общую интерпретацию преобразования, порож-
даемого Gg, и потому утверждаем, что для любого операто-
ра F
1	г-Э F<	д .F
К	к
Аналогичное соотношение для нечетных функций имеет
вид	,	. д F d.F
1	*	3^k d^k
а частный случай дает основные операторные свойства
этих квантовых переменных

Таким способом мы удостоверились, что наш квантовый
принцип действия дает согласованное описание всех харак-
теристик квантовых переменных данного рода.
Операторный базис для одной степени свободы исполь-
зуется в ином ключе, когда предметом изучения является
группа трехмерных поворотов, а не преобразования соот-
ветствующей пары взаимно дополнительных физических
свойств. Генератором бесконечно малого поворота 3cr=3wxo'
является
G = j-Swcr =	i8a-а.
Применив это преобразование независимым, ио непрерывным
образом к состояниям, фигурирующим в функции преобразо-
вания <т+г/т|т>, мы обнаруживаем
GJt+Jt) - GJt) = - |ч<5<т(т+</т)-(т(т) - |шт(т+</т)-<5(т(т) +
+ |[5о-, [o-.drG]] .
192
Гл. 6. Группы преобразований
Тогда тождество
[Зег-, [ст,di G]] - [сг-, [Зег,di G]] = [е/т G, [ст-,3ег]]
вместе с эквивалентностью двух стоящих слева членов,
каждый из которых равен
Зео- етх, [er, e/rGl ,
дает
G (т+е/т) - Gjr) = 3' Г-|-Z(T(T+e/T)-er(T) + е/тС(ег(т),т)1 ,
где 8' описывает независимое варьирование операторов
Зег(т)=оо)(т)хег(т) в точках т и i+di. Если мы добавим
вклад от независимых вариаций самих i,i+di и структуры G
15
(3"), то получим принцип действия без каких-либо огра-
ничений па форму оператора G.
Оператор действия для конечного преобразования
имеет вид
Т1	Т1
W/ Г Ат Г 1 • ^сг т т-1 Г Ат Г1 • fzr dor d<y О . х>1
^12 = J dT Г Т£ ai ° + GJ = J dT [ S' j.*7 ai - ai °J + GJ •
т2	т2
Самую общую форму для оператора G, описывающего преобра-
зования фазы и повороты, дает выражение
G = g(r) +
Нас удовлетворит проверка того, что принцип стационарно-
го действия воспроизводит уравнения движения, которые
получаются также непосредственно из смысла G :
do- 1 г „„ du
Si = - 7[ct,Gj = сгх^.
Принцип действия утверждает, что
И50"-а?]	=
где операторные вариации суть произвольные бесконечно
малые повороты: Зсг=8(дхсг. Следовательно, уравнения
15,,
На возможность использования компонент вектора углового момента как пере-
менных в принципе действия указал мне Д.Волков в 1959 году во время конферен-
ции пофизике высоких энергий, проходившей в Киеве.
Гл 6. Группы преобразований
193
движения
принимают вид
"И<гхй
а х
do)
St’
искомая форма уравнений получается отсюда, если заме-
тить, что выражение, стоящее слева, равно
d а х а _ d
ат ТГ ата'
Переход к случаю п степеней свободы типа 1?=2 требу-
ет некоторого обсуждения. На первый взгляд, эта процеду-
ра должна была бы, казалось, быть совершенно прямолиней-
ной. Операторы, связанные с различными степенями свобо-
ды, коммутируют, а соответствующие бесконечно малые ге-
нераторы независимых преобразований складываются, что
дает оператор действия рассмотренного выше вида, просум-
мированный по п парам взаимно дополнительных переменных.
Однако мы должны были бы также заключить, что G обязан
быть четной функцией взаимно дополнительных переменных,
относящихся к каждой степени свободы отдельно, а это -
излишне сильное ограничение.
Чтобы несколько ослабить строгость условия примени-
мости принципа действия, мы заменим отношение коммута-
тивности между различными степенями свободы антикоммута-
тивностью. Пусть	суть операторы, соответствующие
степени свободы а. Положим
s, - ф'1. е2 =	.
...."-1'
а--1
этот набор 2п эрмитовых операторов удовлетворяет
 г,} - st,. u = i .2„.
Обратная конструкция имеет вид
^1,2 1 =	^1^2'' ^2^2/г+(1,2) ’
а в качестве
е2„, - (-2()”С,€2. .€2„'2ч/2
мы имеем оператор, который расширяет на единицу набор
аитикоммутирующих эрмитовых операторов с квадратом, рав-
194	Гл. 6. Группы преобразований
ным 1/2. В частности, этот оператор антикоммутирует с
каждым Е. , k=\...2n.
К
Бесконечно малое преобразование, изменяющее только
£ , должно быть таким, что
{5?й ’	= 0 ’	/ = 1..2и,
а это означает, что является бесконечно малым число-
вым кратным оператору С2п+г Поэтому мы будем писать
И, =	= т К*-
а генератор всех таких специальных вариаций имеет вид
2п л
=	7^2п+1 '
Последнее мы можем записать так же как
< 2п	4
а( = =
Составив коммутатор двух таких генераторов, получаем
с<2>] = Ц(Л/2Ч - Л,*,24зеы-
t	гъ	€	Л П, €
где п(2п-1) эрмитовых операторов
%ki = я К*- £/] = - ^ik
удовлетворяют (k*l)
р2. - 1
?й( ~ Т'
Таким образом, генераторы и их коммутаторы можно
строить из базиса, который образуют п(2п+1) операторов
£kl, при k и / меняющихся от 1 до 2п+1. А поскольку
7 Кй(' ^pg-^ ^Iq^kp ^kq^lp + ^kp^lq ^ip^kq '
эти операторы являются генераторами некоторой унитарной
группы преобразований, которая имеет структуру группы
евклидовых поворотов в 2п+1 измерениях. Для м>1 из опе-
раторов k, /=1...2п+1, вместе с линейно независимым
набором
?ой =	k =
можно также образовать (п+1)(2п+1) генераторов аналогич-
ной группы, связанной с поворотами в 2п+2 измерениях.
Гл. 6. Группы преобразований
195
Следует также заметить, что оператор
1 2п
и 2. , L. . kr^kl , я!	Ik
я , 1=1
индуцирует линейное преобразование
1	2/1
= 7 Kv <U = -	•
и можно написать
; 2 п	
“.'И?Л = -г№г
я = 1
Эти генераторы имеют структуру группы поворотов в 2п из-
мерениях.
Обсуждение изменения функции преобразования
<т+г/т|т>, вызванного специальными вариациями, которые
осуществляются независимо и непрерывным образом в точках
T+dT и т, проводится так же как и в рассмотренном част-
ном случае п=1 и приводит к
2п
у [drg, з^]] = о,
* = 1 я	я
в качестве условия, позволяющего сформулировать принцип
действия. Любая специальная вариация пропорциональна
единственному оператору С2п+Г Следовательно, необходи-
мо, чтобы [G,£2n+]] коммутировал с каждым оператором
k=1...2n, или, что то же самое, - с каждой парой взаимно
дополнительных операторов , а=1...п. Такой оператор
может быть только кратным единичному, причем коэффициент
пропорциональности должен быть нулем. Поэтому генераторы
бесконечно малых преобразований, которые можно описать с
помощью принципа действия, должны коммутировать с С2п+г
Допустимый оператор G(£) должен быть четной функцией на-
бора антикоммутирующих операторов k+1...2n, которые
порождают 22п—мерный операторный базис. Это единственное
условие заменяет систему их п условий, возникающую в
случае, когда отношением между различными степенями сво-
боды является коммутативность. Конечно, если рассматри-
ваемый класс преобразований таков, что G является четной
функцией и некоторых четномерных подмножеств переменных
196
Гл. 6. Группы преобразований
можно вполне согласованно принять коммутативность в
качестве отношения между этими различными подмножествами
операторов. Кстати, из коммутативности G с ?2п+1^т^ вы~
текает, что последний оператор не меняется с изменением
т. Поэтому специальные вариации 3£fr(r) не зависят явно
от т, а это означает, что специальные вариации антиком-
мутируют с 2п фундаментальными переменными независимо
от значения т.
Принцип действия справедлив также для линейных ва-
риаций, вызываемых оператором G^, которые не затрагивают
структуры оператора G. В самом деле,
°„<т+<,т) - °„<т>  “ Z‘ I	+ 5j<T+Л)s?n(T>1 +
+	[«,. Лй]] .
где последний член равен
ft , I
что для этого типа 3'-вариаций дает
GjT+dr) - GJt) = 3' [-J^^(T+dT)?fe(T) + drG] .
Оператор действия, соответствующий конечному преоб-
разованию, обобщает выражение, встречавшееся нам в слу-
чае п=1,
тд п 12	d%.	d£.
v,2 = JЛ	“ -Ч + одч. ч].
T2 fe = !
и прежние рассуждения по этому поводу можно перенести
без изменений. Однако полезно, быть может, подчеркнуть,
что специальные вариации антикоммутируют не только с
каждым	но также и с dZ^/dt, поскольку это свойст-
во не зависит от т. Тогда непосредственно из выражения
которое есть следствие принципа стационарного действия,
Гл. б. Группы преобразований	197
получаются уравнения движения
dt.	dG	d.G
i—k = _С_ =	k = Г..2П.
dT	d^k	d^k
В практическом смысле принцип действия все еще не-
сколько ограничен , ибо генераторы специальных вариаций
нельзя включить в G, из-за того, что операторы CfeC2n+l
суть нечетные функции 2п фундаментальных переменных.
Именно с целью обойти эту трудность и тем самым превра-
тить принцип действия в эффективное вычислительное сред-
ство, мы расширим нашу систему чисел, присоединив внеш-
нюю, или грассманову, алгебру.
ГЛАВА 7
ТРАНСФОРМАЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ
КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
7.1.	Упорядоченный оператор действия
7.2.	Трансформационные функции бесконечно малых
канонических преобразований
7.3.	Трансформационные функции конечных канонических
преобразований
7.4	Упорядоченные операторы. Применение трансформационных
функций канонических преобразований
7.5.	Пример
7.6.	Упорядоченные операторы и теория возмущений
7.7.	Применение специальной канонической группы
7	8. Вариационные производные
7.	9. Взаимодействие двух подсистем
7.10.	Дополнение: Внешняя алгебра и принцип действия
7.1.	Упорядоченный оператор действия
Согласно смыслу оператора действия W(q,q,t), опре-
деляющего каноническое преобразование в момент /, беско-
нечно малые изменения собственных значений н времени t
вызывают изменение в соответствующей трансформационной
функции1 канонического преобразования (q’t\q' ty, описы-
ваемое выражением
8^q't\q'ty = <q' t\8W(q,q' ,t)\q' t> .	(7.1)
Для некоторых преобразований можно воспользоваться пере-
становочными свойствами переменных q и ~q, чтобы так пе-
рестроить оператор 31F, что q будут везде стоять слева от
~q. Такое упорядоченное дифференциальное выражение будет
обозначаться 8W(q; q, f), причем
8W(q,q,t) = 8W(q;q,t) .	(7.2)
Из способа, построения последнего оператора следует, что
переменные q и q действуют в (7.1) прямо на свои собст-
В книге принят двоякий перевод термина transformation function: без дополнитель-
ных определений он переводился как функция преобразования, при наличии
определений он переводится данным образом. Например, термин special canonical
transformation function переводится как трансформационная функция специаль-
ного канонического преобразования. — Примеч. пер.
Гл.7. Трансформационные функции канонических преобразований
199
венные векторы, поэтому оно превращается в
= i 8W(q' ,q't) <q' t\q' t> .	(7.3)
Отсюда ЗУ должно быть полным дифференциалом, и интегри-
рование дает
<q't\q't> =	(7.4)
где мультипликативная постоянная интегрирования включена
аддитивно в W. Эта константа частично определяется свой-
ствами композиции функции преобразования. Следует особо
подчеркнуть, что упорядоченный оператор W не совпадает с
U7 , он даже не эрмитов, если оператор li7 обладает этим
свойством. По существу, мы уже продемонстрировали метод
упорядочивания при построении функции преобразования
<(q' |р'>. Для эрмитовых переменных первого рода, на-
пример,
U^-P) =	pj,	(7-5)
тогда как
W(q; р) = £ q р + i ту In 2п = W(q,p) + i (In 2п + 1).	(7.6)
7.2.	Трансформационные функции бесконечно
малых канонических преобразований
Трансформационная функция для бесконечно малого ка-
нонического преобразования легко строится этим способом,
если воспользоваться оператором действия
W(p,q) = W(p,q) + W(q,~q) = ~	- G(q,p) , (7.7)
а
поскольку
8W(pj) = - [ (8p~qa + p8~qa} - 8G(q,p)	(7.8)
приводится к упорядоченному виду, если проделать необхо-
димые операции над бесконечно малой величиной 8G с по-
мощью известных перестановочных соотношений между q~q и
р. Удобно добавить к G числовой множитель X так, чтобы
получить однопараметрическое семейство преобразований,
которое включает исследуемое преобразование (Х=1) и тож-
200 Гл.7. Трансформационные функции канонических преобразований
явственное преобразование (Х=0). Тогда
3(XG) = 3XG + X3G,	(7.9)
и операцию упорядочивания надо применять и к G как к 3G.
Таким образом, мы получаем некий эквивалентный оператор,
который мы обозначим G(p;q), таким образом,
ЗГ = - 3[ [ра4о] - 3XG(p;?) - X3G.	(7.10)
Интегрируемость упорядоченного оператора 8 К требует те-
перь, чтобы упорядоченная версия 8G была просто вариаци-
ей G(p;<?), и,таким образом, (Х=1),
~	“ G(P:P) + const,	(7.11)
где аддитивная постоянная обеспечивает тождественность
преобразования ^(р;^) и зависит от рода используемых
здесь переменных. Поэтому
<Р' 1р'> =	С ехр [-1 [p'a7za - iG(p',q') ]	(7.12)
ИЛИ
<p'\q'> = <р' \q'>e-iG(P'^'\	(7.13)
а ввиду бесконечно малой природы оператора G получаем
равенство
<р' \q'> = <j)' \q’> Р - iG(p'-,q')~\ = <р' \\-iG\q'> ,	(7.14)
которое попросту воспроизводит смысл оператора G как ге-
нератора бесконечно малого преобразования. Когда преоб-
разование соответствует бесконечно малому изменению па-
раметров, равенство (7.12) принимает вид
(p'x\q'x-dx> = С ехр [-<[ p'aq'a + dx г G{r)(p'; q’ ,Т)]	(7.15)
и, в частности,
p't\q't-dty = С expp-i£ p'aq'a - i dt H(p'-,q‘	.	(7.16)
Теперь можно воспользоваться свойствами композиции
функций преобразования, чтобы перейти к другому выбору
канонических переменных. Например, в силу (4.21) и
Гл 7. Трансформационные функции канонических преобразований
201
(7.12)	для эрмитовых переменных первого рода имеем
\q"> = |</ |Р'> dp'<p' \q'> =
=	exp[([(p'-p")p' - (G(p';p")l . (7-17)
J(2n) L- k k k	J
Интегрирования легко проделать, когда G - либо линейная
функция переменных р либо несингулярная квадратичная
функция. В первом случае
G(p',q") = G(0;/') + Vp'aG(g^g"l	( 7 18)
И
<q'\q"> = е-'с(°;’")з [-7' -	.	( 7.19)
Для квадратичных функций р удобно сдвинуть начало отсче-
та р‘-переменных в точку, определяемую
=	(7 20)
Тогда
_____	2
. е"	.
г	д2	-1 —\/2 ,
= [(2ш’Гdet е'ш- (7-21)
где
w =	=	- G(p';^)-	<7 22)
к к к	к ' k
Исключив р с помощью (7.20), находим
” =	««[«',	- сю.,”).
17.23)
л
где Л1(р") - матрица, обратная д G/др др. В пределе, когда
последняя стремится к нулю, получается выражение с
дельта-функцией (7.19). Оба эти результата без труда вы-
водятся также прямо без обращения к промежуточному
р-представлению. В случае бесконечно малого преобразова-
ния Гамильтона - Якоби, где Н удовлетворяет условию не-
сингулярной квадратичной зависимости по р, имеем
г	-,1/2 .
<'q't\q"t-dt> = (q't+dt\q"ty = I det	(/-24)
202
Гл.7. Трансформационные функции канонических преобразований
9
где т - матрица, обратная д Н/дрдр, а
*	 (7 25)
Эквивалентной формой будет
k I
+	“ Щр0'Ч"’П] '	(7 26)
k
где pQ определяется уравнениями
;/'J) = 0.	(7.27)
up0k и
7.3. Трансформационные функции конечных
канонических преобразований
Трансформационную функцию для некоторого конечного
канонического преобразования можно построить с помощью
многократной композиции соответствующей функции для бес-
конечно малого преобразования. Чтобы вычислить
вдоль некоторого конкретного пути в пространстве пара-
метров, выберем на этой траектории N промежуточных точек
и сосчитаем
<т11т2> =	х <т(1) |т(2)> х ... х<т(Л)|т2> ,	(7.28)
где х означает применение некоторого подходящего для ис-
пользуемых канонических переменных метода композиции. В
пределе N —> со нужный путь прослеживается как беконечная
последовательность бесконечно малых преобразований. К
примеру, для эрмитовых переменных первого рода и компо-
зиции с помощью интегрирования мы начинаем с
<^т,^"т2>=	(7-29)
J ( Z 71
Гл.7. Трансформационные функции канонических преобразований
203
и получаем
,v+i , . }
<^q'T \q"x >=1 im | J] ' ехр [' У
1	2 JV^oo Д’Д (2Я) L Н	J *
+(у[т^')-т<Л]Сг)(р(Л;7(Я Т(Л ]}о-(7(Л'+,)-Л ,	(7.30)
Т(О) = Т], t('V+,) = t2, q^ = q' ,	(7.31)
а дельта-функция накладывает ограничение q'N+^=q". Для
преобразования Гамильтона-Якоби с гамильтонианом, зави-
сящим квадратично от р, общее выражение сводится к
..А/+1	2	]/2
<^Ч1|7"/2> = limj h(/)(det{^'S7(/Sn3^/-1)H Х
х ехр-ри'(<//~1М/-1) </;W)}j S	,	(7.32)
c w, задаваемым (7.25) или (7.26). Применимую в общем
случае технику композиции через дифференцирования можно
применить прямо к трансформационной функции бесконечно
малого преобразования (7.15) тогда, с точностью до чис-
лового множителя (2я) для эрмитовых переменных первого
рода, получаем
jV + l	Q
<P-T,|,-l2> = lim П [(У'-’М'-ф -L- г0Л] х
J=>	г
X ехр [-;[ р(аv+1)<^l
L ° J A...=f,(^)=0
= 1 i m J] ехр Г J”/7'“1)—77) +	х (7.33)
Л’*» 00	L £— д п \ JI L—
j = I	а	г а г
204 Гл 7. Трансформационные функции канонических преобразований
Значения на концах равны
Т(О) = Т], т<Л'Н) = т2, р(°> = р' ,	(7.34)
а смысл умножения тот же, что и в формуле (7.28).
7.4. Упорядоченные операторы.
Применение трансформационных функций
канонических преобразований
Переписав (7.15) в виде
<р'т|?'т-с(т> = <р'|?'> exp С(г)(р';<7',т)] =
= <Р' |expp[dr G(r)(q,p,T')]\q'> ,	(7.35)
получаем функцию преобразования в виде матрицы, в кото-
рой состояния и канонические переменные не зависят от т.
Результат композиции последовательных преобразований
возникает поэтому как матрица произведения соответству-
ющих операторов, и,таким образом, выражение
ЛЧ-1
<Т]|т2> =	[]ехр[Т(т</"1)-т(/,)С(г)(х,т(/,)]|^ =
7~‘
= <^| [exppj [ dTrG(f)(x,T)]J |\,	(7.36)
T2
определяет упорядоченный экспоненциальный оператор. Знак
+ в качестве индекса относится к способу умножения, при
котором расположение операторов соответствуют пути в
пространстве параметров, как бы деформированному в пря-
мую линию, с т2~справа, а Т - слева. Если обратить по-
рядок умножения, то мы говорим об отрицательном упорядо-
чении вместо положительного, т.е.
, Т1 ,+ , тд	,
^exp zj [^rG(r)j = [exp -zj jdTG{r} j .	(7.37)
T2	T2
Когда генераторы не зависят от Т, а путь является прямой
линией, порядок не имеет более значения, и
<т,|т2> = <[ехр [z[t G(J|> ,	(7.38)
что аналогично более специальной групповой структуре
Гл.7. Трансформационные функции канонических преобразований
205
(6.39). Если операторы G^ коммутируют, порождая, таким
образом, абелеву группу, то экспоненциальная форма
(7.38) осмысленна и без ссылки на путь интегрирования.
Допустим, что генераторы образуют, или могут быть рас-
ширены до полного набора коммутирующих эрмитовых опера-
торов. Тогда существует G-представление, а трансформаци-
онную функцию канонического преобразования, описывающую
преобразования группы, скажем <р'	| q' Т2>, можно пред-
ставить в виде
= <р'|ехр G(J|/> =
= £<р' |G'>exp[/[TG'( J<G' |?'>,	(7.39)
Gr
демонстрирующем, как трансформационная функция канониче-
ского преобразования служит для определения и собствен-
ных значений операторов G, и волновых функций, представ-
ляющих G-состояния.
7.5.	Пример
Элементарный пример при п=1 предоставляет эрмитов
оператор
G = - Лрд =
(7.40)
переменные могут быть
функции
исходя
в котором неэрмитовы канонические
любого рода. Прямое построение трансформационной
канонического преобразования можно осуществить,
из (7.33), многократным примененем формулы
г	/ п 3 - г	. д
ехр (1+Л dx)p{l — х exp (1-нЛ dT)p(l}———
L	I-	дри+}}
Р(у)=о
= exp[(l+zXdT)2 р(' 1) —	, (7.41)
получая:
<z7 + 't]|z7/t2> = exp
= V GlLT е'пхт (д'Г1
Sn7 V7TT
п—0
(7.42)
206 Гл 7. Трансформационные функции канонических преобразований
Так вычисленные собственные значения суть
(q'q)' = п = 0 , 1.................................. (7.43)
а волновые функции соответствующих состояний -
!«> =	<n\q'> =	(7.44)
Vn!	Vn!
Вывод, вообще говоря, применим к переменным обоих родов,
2 t 2
но для переменных второго рода (q ) =(q ') =0 и суммиро-
вание обрывается после и=0,1, которые, действительно,
суть единственные собственные значения операторов q q
Результат (7.42) получается, однако, быстрее на пути,
ведущем к (5.78). Для неэрмитовых переменных симметриза-
ция или антисимметризация (о) не является необходимой и
опущена в (7.40). Не нужно никакого упорядочения, чтобы
получить
К(Л?0Л) = ~ ^+е%0,	(7.45)
что немедленно дает (7.42). Альтернативная процедура ис-
ходит из соотношения
= Az7+/e''A\'<z7+/T]|z7' T2> ,	(7.46)
которое получается, если вспомнить, что решение уравне-
ний движения имеет вид
?(*,) = е%(т2) .	(7.47)
Теперь интегрирование вместе с начальными условиями
<?+'|?'> = е^'«'	(7.48)
дает (7.42).
7.6.	Упорядоченные операторы и теория возмущений
Более общая форма упорядоченного оператора возника-
ет при разложении генераторов в сумму:
% = GH + G\rV	<749)
Гл.7. Трансформационные функции канонических преобразований
207
Тогда (7.15) можно переписать в виде
^p‘T\q'T-dxyG = (р'т P'r-dr\ exp [i^dT G](r}(p';q',т)
(7.50)
где индексы означают, что бесконечно малое изменение па-
раметра осуществляется, соответственно, генераторами G и
G°. Трансформационная функция результирующего конечного
преобразования есть
<T1|T2>G = (т,| [ехр[1/‘[Л С(’г)(х(т),т)]]+|т2\с0,(7.51)
Т2
где динамические переменные и состояния, встречающиеся в
правой части равенства, изменяются вдоль
G0
вания в соответствии с генераторами
образования Гамильтона-Якоби мы имеем
пути интегриро-
В случае пре-
t
<^2>н = (Z1| [exP['JlrfZH,WO.O]]+p2)wO. (7.52)
Z 2
Другой вывод последнего результата получается не-
посредственно из фундаментального динамического принци-
па, применяемого теперь к изменению динамических харак-
теристик системы. Таким образом, для системы с гамильто-
нианом
Ну = н° + хн]
Л
бесконечно малое изменение параметра X порождает измене-
ние в гамильтониане и, следовательно, в трансформацион-
ной функции канонического преобразования	кото-
рое описывается уравнением
|у<(1|(2> = (dt	=
t
= -zj'</]|/>x</|//b(/),O|/>x</j^ .	(7.53)
t
2
208 Гл.7. Трансформационные функции канонических преобразований
В последнем выражении зависимость от X заключается в
двух функциях преобразования	и </|/^>. Повторное
дифференцирование дает
2
dt
dt\t x\H\x(t' ),t')H\x(t),t)\t
t
+ \ dtXt]\H\x(t),t)H\x(t'),t')\t2> ,	(7.54)
*2
где члены в скобках равны, а пределы интегрирования
осуществляют альтернативный способ выражения упорядочен-
ной природы произведения операторов. Можно также напи-
сать
я2
ол
^H\x(t),t)H\x(t'),t')'^ \t^>=
2
а общее утверждение имеет вид
[о П	/ I г li	,л п । .
ЭХ’] <‘^2> = <г1| Н I dt Н ]+р2>-	<7 56)
t
2
Следовательно, функцию преобразования для системы с га-
мильтонианом //=№+ Я1 (Х=1) можно получить формально как
разложение в степенной ряд в окрестности точки Л=0, и
она поэтому оказывается выраженной через свойства си-
стемы с гамильтонианом Н°,
Сопоставление этого результата с формулой (7.52) дает
разложение упорядоченной экспоненты
Гл.7. Трансформационные функции канонических преобразований
209
2
2
dt^ X
х ^H\x(ti']'l),tW)...H\x(t(n}'),Pn'1^ =
+
(7.58)
2
2
t ()
.	Г(1)). •  n\x(t{n}),t(n}) .
Задаваемое формулой (7.52) построение функции преобразо-
вания составляет обоснование теории возмущений, посредс-
твом которой свойства динамической системы выводятся из
известных характеристик другой системы. Разложение
(7.58) лежит в основе аппроксимационных процедур.
7.7.	Применение специальной канонической группы
Свойства специальной канонической группы можно ис-
пользовать как основу для некоторой техники получения
трансформационных функций канонических преобразований.
Если нас интересует преобразование Гамильтона-Якоби с
бесконечно малым генератором -Н dt, то мы рассматриваем
расширенное преобразование, описываемое генератором
G = -Н dt + [ (PaSPa - SPaPa) 	(7-59)
которое включает бесконечно малые смещения канонических
переменных. Если допустить, что эти смещения выполняются
независимо в каждом бесконечно малом интервале времени,
а именно
<5^(0 = - Qa(t) dt , 5pa(t) ^-Pa(t)dt, (7.60)
то бесконечно малый генератор примет вид
G = - [Н + l(PaQa~ ЛАЗ]5''	(7-61)
а расширенное преобразование выглядит как преобразование
Гамильтона - Якоби с неким эффективным гамильтонианом.
210 Гл 7Трансформационные функции канонических преобразований
Соответствующие уравнения движения имеют вид
dq д.Н	dp д Н
1ГГ =	+ Qa’ 7ГГ " ~	+ Ра ’
г а	4 а
(7.62)
в них явно представлены независимые изменения в канони-
ческих переменных, происходящие за малый промежуток вре-
мени. Если смещения О и Р локализованы в момент Д, а
а а	0
это значит, что
Qa(0 =	 Ра(^ = P'a5^-to'> 	(7 63)
то уравнения движения приведут к конечному разрыву в ка-
нонических переменных при прохождении момента времени
t :
< 
Ра^0+°> ~	= Р'а-	( 7'64(
В качестве применения последнего результата, можно
заменить произвольные собственные значения канонических
переменных, которые задают состояния в определенный мо-
мент времени, удобными стандартными значениями с включе-
нием компенсирующего канонического смещения. Так, для
Zi>Z
(P't^q'tp = <P'=O,t j+0\q'=O,t-Q) Qp,	(7.65)
где локализованные в начальный и конечный моменты време-
ни смещения
Qa(t) = «а5^' Ра^ = ~P'aS(t^1^’ (7'66^
действительно превращают стандартные состояния в требую-
щиеся для моментов ^(-0) и /2(+0). Доказательство экви-
валентности можно также получить, если применить формулу
(7.52) для построения функции преобразования системы с
гамильтонианом //+£ (.PaQa~paqa) из функции с гамильтониа-
ном //:
t
2
Гл 7 Трансформационные функции канонических преобразований
211
Для локализованных смещений (7.66) этот экспоненциальный
оператор немедленно упорядочивается,
<р'=0 /^'=0 /2>qp =
= (р'=0	| е~‘7.рача e-'Zpa^2^a | q' =0	,	(7.68)
так как эти два экспоненциальных оператора производят
нужные канонические преобразования в моменты времени
и С>.
7.8.	Вариационные производные
Более существенная польза от специальной каноничес-
кой группы возникает при рассмотрении произвольных сме-
щений на всем интервале между и t, В этом случае
удобно унифицировать канонические переменные и писать
- у (р Q - Р q ] =
L a a a1 aJ
а
= №>- «л) * 1(₽л + W = с ет
Бесконечно малое варьирование X (/) порождает соответст-
вующее изменение функции преобразования
t
W'2> = ‘(М	=
s
' 1	81
= dt l дХа^ЮГТГ)<(^2>>	(7 7°)
a	av '
>2
которое определяет левую вариационную производную функ-
ции преобразования по Х^(/)
1 8i
7 5Х7ТП</1|/2> = <Zl|pxT)lZ2>-	(7'71>
а' 7
Используемая здесь операторная структура смешений
л-jo = рх;(п	с. 72)
явно относится к переменным второго рода, где X' суть
212
Гл 7. Трансформационные функции канонических преобразований
антикоммутирующне элементы внешней алгебры, ар- опера-
тор, который антнкоммутирует со всеми динамическими пе-
ременными, однако эта структура покрывает также случай
переменных первого рода, если "антикоммутирование-' заме-
нить "коммутированием". В частности, р—>1. Результат
второго варьирования получается из (7.55)
11	11
5y<ZiIZ2> =	(SAJOxJ/) 5A7O*F)hlZ2> =
r t ab
2	2
' 1	5,	5,
= J	l773>
ab	a' ' b ’
l2
и, следовательно,
1	^/1
7 37^(7) 7 5ХЖ7</1|/2> =
a'	b' ’
=	K(0*b(Z'H + lZ2>'	<7-74)
где
+1, t>t‘
e = e = e = 1 ,	£ ( t,t') =	(7.75)
kl ka ak	a/3'	'
Из свойств 6X' или явно из (7.74) вытекает, что
вариационные производные коммутируют, кроме как, когда
обе относятся к переменным второго рода, тогда они анти-
коммутируют.
В пределе, когда в определенном смысле t -> t', мы
получаем произведение операторов, относящихся к одному
времени, порядок перемножения которых все еще определя-
ется временным порядком. Так
1	/	1
<'1l*a(C*b(')l'2> = у оХТП 7 ЗЛ’(и- С)Jz2> 	(7-76)
Гл.7. Трансформационные функции канонических преобразований
213
тогда как
±</,1x^(01^2> =	(7-77>
где знак минус возникает только для пар переменных вто-
рого рода. Различие между двумя предельными переходами
связано с перестановочными свойствами фундаментальных
динамических переменных
_ б1 ( д1	д1 1
-	1ал'(/+0) -	,IФ -
di
= (ЗХ7'(Г) (х^+0) ~ xb(^~°))U2>< (7 78)
где двойные скобки означают коммутатор для переменных
первого рода или одной переменной второго рода, и анти-
коммутатор для переменных второго рода. Далее, в силу
уравнений движения для системы с гамильтонианом
Н - У X X ,
Z. а а
. д Н
- 7Г Д ‘ ЗТ-- х	<779)
изменение динамических переменных за малый промежуток
времени, вызванное смещением, имеет вид
( + 0
х(/+0) - х(/-0) = j dt' X(t') А~].	(7.80)
г —о
Отсюда
3,	-1
ST4?y<Z1|p(xb(/+0) - хь(/-0))|/2> =	(7.81)
av ’
{py'W')]} -	(7.82)
что объединяет перестановочные свойства всех фундамен-
тальных переменных.
214
Гл.7. Трансформационные функции канонических преобразований
Произведение трех операторов, относящихся к одному
и тому же времени, выражается формулой типа (7.76)
<t]\PxaU)xb(t)xc(t)\t2y =
1	1 Т 1 т
= 75X^40) 7 5X^7775Т^ЛгЯ)</1|/2> '	<7'83)
и вообще для любой алгебраической функции F(x(t)) дина-
мических переменных в момент времени t, с единственным
ограничением - быть четной функцией переменных второго
рода, имеем
<^|F(x(0)H2> =	z г>’	(7-84>
где вариационные производные относятся к моментам време-
ни, бесконечно мало отличающимся от t, как предписывает
конкретный порядок умножения операторов. Если оператор
Гамильтона - алгебраическая функция динамических пере-
менных, мы можем использовать это дифференциально-
операторное представление как средство изучения родст-
венных систем с гамильтонианом и исследования влия-
ния бесконечно малого изменения параметра Л,
(Zl| J dt	|Z2/^
‘ 2
- J dt H [75x477] <Z1|Z2>X-
t n
(7.85)
Это дифференциальное уравнение по структуре аналогично
уравнению Шредингера, в котором функция преобразования,
зависящая от бесконечного числа переменных X'a(F),	-
играет роль волновой функции. Формальное решение,
получающееся интегрированием от Л = 0 до Л = 1,
t [
<Zl!Z2>//x = ехР Н J dt И [тгХЧГг]^ 11'? ох	f?86)
t
2
Гл.7. Трансформационные функции канонических преобразований
215
представляет функцию преобразования как результат про-
цесса дифференцирования элементарной функции преобразо-
вания, которая относится только к специальным каноничес-
ким преобразованиям. Более общая форма возникает нз раз-
ложения
Н - Н° + И' .	(7.87)
Следует заметить, что поскольку Н° и //' - с необходи-
мостью четные функции переменных второго рода, соответс-
твующие дифференциальные операторы коммутативны. Приме-
няя сначала экспоненциальный оператор, построенный из
Н°, получаем
</11/2>нх = еХР ["'J dt //1 (ТТГЛГ)]] К) 0 ’	(7'88)
I	нх
2
что можно было бы также вывести и прямо, модифицировав
надлежащим образом (7.52). Это создает основу для теории
возмущений, так как желаемая функция преобразования для
гамильтониана Н получается многократным дифференцирова-
,	„	,,0
нием из более простои, соответствующей гамильтониану п .
7.9. Взаимодействие двух подсистем
Общая динамическая ситуация системы, образованной
из двух взаимодействующих подсистем, описывается опера-
торами Гамильтона
Н° = //,(%,) + //2(х2), Н} = tf12(xrx2),	(7.89)
где через х^ и х? обозначены динамические переменные со-
ответствующих подсистем. Поэтому и смещения X распадают-
ся на два семейства X. и Х„. В системе без взаимодейст-
о
вия, описываемой гамильтонианом Н , две подсистемы явля-
ются динамически независимыми, и, в соответствие с адди-
тивной структурой оператора действия, функция преобразо-
вания возникает как произведение функций преобразования
для отдельных подсистем
Лк) о = Лк) Лк) •	<7-90’
\ I V//u,¥	4 1 ' Н X 4 1 /// X
11	2	2
216	Гл.7. Трансформационные функции канонических преобразований
Поэтому функцию преобразования для взаимодействующих си-
стем дает выражение
г’ М 5 I 1 5 I 1
<^1^2>ях = ехр -I J ^12 [ТЗЗТ ' 733TJ =
'2	J
= (7'91)
Обе подсистемы фигурируют в этой конструкции совершенно
симметрично. Часто бывает, однако, удобно внести в точку
зрения асимметрию, понимая одну часть системы, как дви-
жущуюся под влиянием другой. Гамильтониан
описывает только первую систему,
которая находится под воздействием внешнего возмущения,
вызванного второй системой, с переменными, рассматрива-
емыми как предписанные, но произвольные функции времени.
Функция преобразования для такой усеченной системы будет
иметь вид
41
= ехр -I J dt Нк [у ЗЛ'(/)	1 Z2/w х' (7-92)
а (7.91) утверждает, что полную функцию преобразования
можно получить, заменив предписанные переменные второй
системы дифференциальными операторами, которые действуют
на функцию преобразования, относящуюся ко второй системе
без взаимодействия,
Лк) =610 ( s< 1	•	<7-93)
\ Ч V//X \ Ч 2/н1 + н1\ ’I 2/н2х2
После того, как дифференцирования выполнены, смещения
сделали свое дело и будут положены равными нулю на всем
промежутке между и t?. Потребность в них все еще со-
хранится лишь в начальный и конечный моменты времени,
если функции преобразования соотносятся с некоторыми
Гл,7. Трансформационные функции канонических преобразований
217
стандартными собственными значениями, но и они будут
приравнены нулю, если этот прием не используется. Счи-
тая, ради простоты записи, что это так, получим функцию
преобразования системы с гамильтонианом Н в виде
2
(7-94)
который имеет форму скалярного произведения, вычисленно-
го с помощью дифференциальной композиции волновых функ-
ций. Соответственно, с помощью известных эквивалентных
способов вычисления таких произведений, равенству (7.94)
можно придавать иные формы, как то
\ • I 2/	\ 1| 2/ f -Л 1| 2/
1	12
5*
С2=0
(7-95)
а для переменных первого рода используемый здесь диффе-
ренциальный метод можно заменить интегральной компо-
зицией.
7.10. Дополнение: Внешняя алгебра и
2
принцип действия
Квантовому принципу действия , разработанному для
квантовьус переменных типа Р=2, не достает одной сущест-
венной детали, которая позволила бы ему работать как вы-
числительному инструменту. Чтобы преодолеть эту труд-
ность, мы расширим нашу систему чисел, присоединив внеш-
нюю, или грассманову, алгебру.* 3 4
9
Воспроизводится из Proc.Nat.Acad,Sci.-1962.-V.48.-P,603-611.
3Proc.Nat. Acad.Sci.-1961.-V.47.-P. 1075 (Раздел 6.19 этой книги).
4
Краткое математическое описание можно найти в публикации К-Шевалле (Cheval-
ley С. The Construction and Study of Certain Important Algebras.:The Mathematical
Society of Japan, 1955). Несмотря на то, что такое расширение давно используется
в квантовой теории поля (см , например, Proc.Nat. Acad.Sci.- 1951,- V.37.- Р.452),
имеется очевидная потребность в описании общей алгебраической и теоретико-
групповой основы этого приема.
218	Гл.7. Трансформационные функции канонических преобразований
Внешняя алгебра порождается W элементами е ,
К=1...Л\ для которых^с ,€ V = О,
I К Л j
9
в частности, с = 0.
К
Базис этой внешней алгебры образуют единичный эле-
мент и однородные произведения степени d
£ с ... £ , к. < ко <... < к ,,
К2	12	d
для d=\...N. Полное число линейно независимых элементов
составляет
V ..Л/	_ 9-V
/ d.f(N-d)! ~ 2 
d = 0
Алгебраические свойства образующих не меняются при про-
извольных несингулярных линейных преобразованиях.
Чтобы представить, чего можно достичь на этом пути,
рассмотрим новый класс специальных вариаций, строящихся
как произведение £2n+i с произвольной вещественной бес-
конечно малой линейной комбинацией образующих внешней
алгебры
1	*
гт = _ Со 1 У
2	k ^2n+1 L 1гк к
к = 1
Элементы такого класса благодаря множителю	анти-
коммутируют со всеми переменными и между собой
поскольку они являются линейными комбинациями образующих
внешней алгебры. Поэтому генератор специальной вариации
<4 -	- ^ЧЛтЛ«2„+,
коммутирует с любой такой вариацией
[3%,g<2>] = о.
Гл.7. Трансформационные функции канонических преобразований
219
Если рассмотреть коммутатор двух генераторов, получим
где правая часть пропорциональна единичному оператору и
билинейной функции образующих элементов внешней алгебры
L	Д'- /еЛ kfi	kfi k\-> X ц
коммутирует со всеми операторами и
внешней алгебры. Поэтому коммутатор
генератором G^, и совокупность новых
имеет групповую структуру, изоморф-
степе-
Последнее выражение
со всеми элементами
коммутирует с любым
специальных вариаций
ную структуре специальной канонической группы для
ней свободы типа v=a>. Именно она, а не изучавшиеся ранее
группы поворотов, является специальной канонической
группой для переменных типа р=2.
Все это заставляет нас пересмотреть принцип дейст-
вия, используя теперь бесконечно малые вариации из спе-
циальной канонической группы. Класс генераторов преобра-
зований G, удовлетворяющих условию
[5^,G] = О,
включает не только все четные операторные функции 2п - пе-
ременных но и четные функции £ , умноженные на чет-
ные функции элементов £ Генераторы специальных канони-
ческих преобразований входят в последнюю категорию.
Понятие эрмитова оператора требует обобщения, чтобы
приспособиться к некоммутативное™ числовых элементов.
Обращение порядка умножения, связанное с операцией со-
пряжения, означает теперь, что
(АЛ)+ = Л+А* ,
где А - число, и мы, несмотря на расширение системы чи-
сел, продолжаем использовать прежние обозначения и
язык. Таким образом, комплексное сопряжение получает ал-
гебраическое свойство
220 Гл.7. Трансформационные функции канонических преобразований
Антикоммутативность образующих элементов сохраняется при
такой операции, и поэтому мы рассматриваем комплексное
сопряжение во внешней алгебре как линейное отображение
М-мерного подпространства образующих
♦
к
’ С
кХ X ’
е
Матрица R удовлетворяет условию
R*R = 1 ,
которое не является утверждением об унитарности. Тем не
менее, существует параметризация Кэли:
если det(l+R) * 0. Тогда
ё = е + г . е.
К К L КЛ л
удовлетворяют
—*	—
е = е ,
к к
это означает, что всегда можно выбрать базис с вещест-
венными образующими. После этого еще остается свобода
вещественных несингулярных линейных преобразований.
Сделанное заключение останется в силе, если R имеет
собственное значение -1. В таком случае мы можем по-
строить p(R), многочлен по R, обладающий свойствами
(1 + R)p = 0 ,	р(1 - р) = 0 , р* = р и р(-1) = 1 .
Матрица
R' = R(1 - 2р) = R(1 - р) + р
также удовлетворяет R/*R'=1, причем det(l+R' )^0, по-
скольку обратное привело бы к существованию нетривиаль-
ного вектора v, такого что
(1 + R')v = ((1 + R)(l - р) + 2p)v = 0 ,
Гл.7. Трансформационные функции канонических преобразований
221
или, что эквивалентно,
pv = 0 ,	(1 + /?)и = 0 ,
а это невозможно, из-за р(-1)=1. Теперь,
1 _ 2р = j ~ Р 1Р
1	'	1 - р + ip ’
и если мы воспользуемся представлением Кэли для R' через
вещественную матрицу г', являющуюся функцией /?, со свой-
ством г'(—1) = 0, то получим
n _ 1 - р + /р 1 + ir‘ _ 1 - р + i(p + (I - p)r')
к	I - р - ip 1 - ir‘ I - p - i(p + (I ~ p)r') '
Это устанавливает общность представления
R = р/р*,
где несингулярные матрицы р и р* коммутативны и, следо-
вательно, доказывает вещественность набора образующих
£ = У Р •
к	Л
Когда вещественные образующие выбраны, остальные
обращающимися
элементы вещественного
задаются не
в нуль
произведениями
i^/2C £ •••£
К! К2 S
ибо
£
К2
£
Kd
• •£
Эрмитовы
операторы
в расширенном смысле
получаются как
линейные комбинации обычных эрмитовых операторов, умно-
женных иа вещественные элементы внешней алгебры. Генера-
торы - эрмитовы, как и коммутаторы ig|2^].
Функция преобразования <т |т2>, связанная с неким
обобщенным унитарным преобразованием, является элементом
внешней алгебры. Она обладает свойствами
<TllT2>* = <Т2|Т1> И <TllT? = <Т Л? Х <Т 3* ’
S К2
222 Гл,7. Трансформационные функции канонических преобразований
где символ х обозначает суммирование по полному набору
состояний, которые, по крайней мере пока, понимаются в
обычном смысле. Эти свойства согласуются с природой ком-
плексного сопряжения, ибо
X <Т2|Т^>)* = <т3|т^> X	= <т .
Для бесконечно малого преобразования имеем
<T+dT | т>	< 11 + i dx G(£,r)|> ,
где G - эрмитов, это означает, что его матрица из эле-
ментов внешней алгебры удовлетворяет
<а'|G|a">* = <a"|G|a'> .
Последующее обсуждение принципа действия не требует яв-
ного обращения к структуре специальных вариаций, иг сле-
довательно^ принцип действия преобретает двоякий смысл,
зависящий от природы системы чисел.
Нам понадобятся некоторые свойства дифференцирова-
ния во внешней алгебре. Поскольку Е^ = 0, любую функцию
образующих можно представить единственным образом в двух
альтернативных формах
f(E) = fQ + е= fQ + fex ,
где	не содержат е^. По определению f и суть
правая и левая производные функции f(e) по е^, соответ-
ственно:
3J(e) _ ЗД(е) _
Зе^ ~ fI' ЗёГ	fг'
Если f(e) однородна степени d, ее производные суть одно-
родные функции степени 3—1, левая и правая производные
совпадают для нечетных d и противоположны по знаку, ког-
да d четно. В частном случае нечетной функции е имеем
е = Е (1 - 5, ) + Е.З. ,
Ц д'	Ад' А Ад
поэтому
Зе
= 5ам •
Гл.7. Трансформационные функции канонических преобразований	223
Поскольку производная не зависит от элемента, по которо-
му дифференцируется, повторное дифференцирование обраща-
ет любую функцию в нуль,
[fey W =о
Чтобы определить более общие вторые производные, на-
пишем для Л*ф1,
f(e) = L + cf + e f + e c f ,
'' '	'0 X'X pi' pi X pi' Apt
в этом выражении коэффициенты не зависят от с^ и с По-
следний член имеет две альтернативные формы
е,е f, = с е f , ,
А /г Ад д А' дА
где
У = “ f Xpi •
Тогда
dtf	д f
дех ~ К + CpApi'	~	+ схУ
и
показывают, что различные производные антикоммутируют
Аналогичное утверждение применимо и к правым производ-
ным.
Определение производной было дано на чисто алге-
браическом языке. Рассмотрим теперь функцию f(e+3e), где
через Зс^ обозначена линейная комбинация элементов внеш-
ней алгебры с произвольными бесконечно малыми числовыми
коэффициентами, и заключим, что
г- d.f г- д f
f(E+3e) - f(e) = У Зе, дУ = У
224	Гл.7. Трансформационные функции канонических преобразований
в первом порядке по бесконечно малым числовым парамет-
рам. Если это дифференциальное свойство использовать для
идентификации производных, то его нужно дополнить требо-
ванием, чтобы производная имела степень ниже, чем исход-
ная функция, поскольку к производной можно добавить лю-
бое числовое кратное произведения	не изменив
разностной формы. Кроме того, обратим внимание на воз-
можность использования в дифференцировании произвольных
несингулярных линейных комбинаций элементов е^, это вы-
ражается матричной формулой
(з4ёЯ = "Vffep ’
которая непосредственно следует из разностного выраже-
ния.
Применим теперь расширенный принцип действия к су-
перпозиции двух преобразований, одного, порожденного
обычным эрмитовым оператором G, четной функцией и
другого - специального канонического преобразования, вы-
полняемого произвольно, но непрерывно по т. Эффективный
генератор имеет вид
2 п
G(C(r),T) - i jefe(T)Xfe(T) ,
где -Xfe(T)tfr есть специальная вариация, индуцированная в
^fe(r) за время dr. Объекты А^(т) строятся как произведе-
ния ^п+\ и линейной комбинации Е^ с вещественными чис-
ловыми коэффициентами, являющимися произвольными непре-
рывными функциями т. Чтобы воспользоваться принципом
стационарного действия, сделаем то наблюдение, что каж-
дый Xfe(T) коммутирует, как специальная вариация, с гене-
ратором специальных вариаций, и поэтому
8'Х (т) = 0 .
Тогда принцип действия будет утверждать, что
Гл.7. Трансформационные функции канонических преобразований
225
где суть вариации, построенные из элементов внешней
алгебры. Мы не можем сделать окончательный вывод, что
d,G
dx
k
k
так как остается произвол, связанный с членами е^'-е^,
как и в определении производных из разностной формы. Одна-
ко такой член не возникает при следующем вычислении
dx



Эта явная неполнота принципа действия исчезает, если на-
ложить очевидное условие, что функция преобразования
<т1|т2> есть обыкновенное число, когда все Xfe(z) обраща-
ются в нуль. Таким образом, элементы внешней алгебры
входят только через произведения операторов Xfe(T) с
£fe(T), в то время как последние получаются интегрирова-
нием уравнений движения, и члены, содержащие е^’-е^, в
этих уравнениях не оказывают никакого влияния.
Изучим теперь, как функция преобразования
зависит от Xfe(z). Необходимо все время помнить о двух
различных множителях, формирующих X (т),
Xk^ = PX'k^ 
Здесь
₽ = ^e2n+i’ ₽2 = 1’
a X'k(x) является полностью элементом внешней алгебры.
Таким образом, функция преобразования зависит по сущест-
ву именно от Х'(х). Их бесконечно малое изменение вызы-
вает
<Til pT?(T)5X(T)|T^J=
где опущен индекс суммирования k. Повторение таких ва-
226
Гл 7. Трансформационные функции канонических преобразований
риаций дает упорядоченное произведение
= j'dT,---dT2m<T1| (С5Х(тУ-^5Х(т2т))0|т^ =
Т2
= J <7т’-• •dT2m(3X'(T1)-•-ЗХ'(т2т)]* <Tt| К(т,)--Ч(т2т))0|т2> ,
Т2
эта форма характерена для четного числа вариаций. Эле-
менты внешней алгебры подвергаются комплексному сопряже-
нию с целью обратить порядок умножения. Чтобы прийти к
последнему выражению, мы воспользовались тем обстоятель-
ством, что специальные канонические вариации не являются
явными функциями т, и, следовательно, антикоммутируют с
не взирая на значения т. Таким образом, 2т величин
1	9 Z77
5Х(т),... ,5Х(т ) можно собрать вместе,, и это произве-
а
дение кратно единичному оператору, так как р =1. Множи-
телем является соответствующее произведение элементов
внешней алгебры ЗХ'(т1) • • • ЗХ'(т2т), которое, будучи чет-
ной функцией, полностью коммутирует со всеми элементами
внешней алгебры и, следовательно, его можно вынести из
матричного элемента. Обращение порядка умножения элемен-
тов внешней алгебры точно учитывает изменение знака,
связанное с антикоммутативностью.
Этот результат можно записать на языке функциональ-
ного дифференцирования. Так, используя левые производ-
ные, имеем
• 'гттЬУ - <41
1°х (т ) оХ (Т )J0
где в следствие антикоммутативности производных на внеш-
ней алгебре
5	...	5	_ е |-т1 т2т-|	5	...	5_____
SX'fT1) 5X'(t2,”)j0 °l дХ'(т1) ЗХ'(т2т) ’
Здесь
eofT1...-^] = +1 ,
Гл.7. Трансформационные функции канонических преобразований
227
в зависимости от того, четная или нечетная перестановка
требуется для упорядочения последовательности
т1,... ,т2т. Эта запись, однако, упускает один существен-
ный момент. На внешней алгебре с N образующими элемента-
ми не существует производных порядка выше, чем N. Если
мы хотим вычислять неограниченное количество производ-
ных, чтобы строить, соответственно, общие функции дина-
мических переменных, мы должны положить N=a>, т.е. вы-
брать внешнюю алгебру бесконечной размерности. Тогда мы
можем утверждать, что для любой четной функции перемен-
ных С (т):
= Е(3/5Х')0<т1|т^>Х= C-^T'/F	)0.
В последнем альтернативном выражении с правой производ-
ной Зт означает, что последовательные дифференцирования
выполняются слева направо, а не обычным образом. Заметим
также, что конкретный порядок умножения для произведений
операторов, относящихся к одному времени, должен уста-
навливаться с помощью предельного перехода из неравных
значений т. В качестве применения функции преобразования
у
<Т]|т2>с мы вставим в четную операторную функцию G пе-
ременный множитель Л и вычислим
2
2
что даст формальное выражение
,|т2>* = exppj dx G[8^8X'
в котором последняя функция преобразования целиком отно-
сится к специальной канонической группе.
Соответствующие теоремы для нечетных упорядоченных
функций переменных £ имеют вид
228 Гл.7. Трансформационные функции канонических преобразований
и
= <Tt|
при условии, что состояния понимаются в обычном смысле.
Поскольку вариации 8Х(т) не зависят явно от т, множители
ре можно отнести к любому значению т. Если его выбрать
как т1 или т2, то останется один оператор р, а произве-
дение нечетного числа элементов внешней алгебры можно
вынести из матричного элемента, если оно, как мы предпо-
лагаем, коммутирует с состояниями (rj и |т2>. Различие
в знаках в выражениях с левой и правой производной про-
истекает непосредственно из свойства £ ЗХ = -ЗХ
Пусть, например, F(^) - нечетная функция, которая
появляется
например, F(^)
в левой части уравнения
движения
X.
Поскольку
вычисление
Х(т) суть специальные
соответствующих функциональных
канонические смещения,
производных
дает
<т1|р(т1)Х(т) |т2> = Х‘(т)<тх\т£ ,
или
<т1|Х(т)р(т2)|т2> = <т]|т^>Х'(т) ,
и это приводит к
НИЯМ для функции
функционально-дифференциальным уравне-
у
преобразования
’ d 81
~~Зт8Х'(т)
3.G (3
(т)]<т,|т2>^ = О
8Т'
a g (8
И
d
Нт ЗЯ'(т)
Из того, что мы узнали о нечетных функциях, можно
вывести некоторые свойства следа функции преобразования.
А именно
TrCrJpCrpFIr^ = Тг<т t| Fp(r |т^> ,
Гл.7. Трансформационные функции канонических преобразований
229
так как расчет обеих частей равенства дает
J/o' |p|a,'><a/'T1|F|a,T^> .
а а
Соответственно,
5 /	х	х 5 /
и, в частности,
' 5.	5	1
ЗА"(т) + 3TrffyJTr<TilT2>G =
что показывает, что след является четной функцией эле-
ментов X'(т). С другой стороны природу следа характери-
зует соотношение
ТгСт^рСгр (ССтр + е(т2)]|т2>х = Тг<т1|{р(т1),С(т1)}|т2>= О,
являющееся утверждением об эффективной антипериодичности
операторов £(т) нг интервале Т = т- г?. Эквивалентные
ограничения на след функции преобразования имеют вид
5	5	1
.^'(т,) + ЗХ'(т2)’]Тг <TllT2>G = 0 
или
5.	5	1	у
" 377(т2)’]Тг<т1|T2>g = 0 
ГЛАВА 8
ФУНКЦИИ ГРИНА
8.1.	Включение начальных условий
8.2.	Консервативные системы. Фурье-образы
8.3.	Операторные функции комплексных переменных
8.4.	Особенности
8.5.	Пример
8.6.	Сокращённая функция Грина
8.1.	Включение начальных условий
Самым простым методом построения трансформационных
функций канонических преобразований, соответствующих па-
раметризованным преобразованиям, является прямое решение
дифференциальных уравнений, которые управляют зависи-
мостью от параметров. Для развития во времени ими явля-
ются уравнения Шредингера
[4?^ Iz2> = 0 ' <Z]IZ2> (-'Ш ~	= 0 ,(8.1)
здесь через Н обозначены дифференциально-операторные
представители гамильтониана, относящиеся к моментам
времени или t2< которые зависят от конкретного выбора
канонического представления. Искомая функция преобразо-
вания выделяется из всех решений этих уравнений Шредин-
гера начальным условием для равных времен
<t\t> = < I >,	(8-2)
означающего, что трансформационная функция канонического
преобразования не зависит от общего времени, а определя-
ется только отношением между описаниями. Этот формализм
становится на операторную почву, если написать
</,|/2> = <|Ц₽^2)|>,	(8.3)
где унитарный оператор эволюции по времени
(8-4)
должен строиться как функция динамических переменных,
Гл.8 Функции Грина
231
которые не зависят от времени, путем решения дифференци-
альных уравнений
('Эт,- «ИгУ - »
У'гУ (-' S7 “ "] = °	(85'
с начальным условием
= 1 .	(8.6)
Полезно включить начальные условия, которые харак-
теризуют функции преобразования или оператор временной
эволюции, прямо в дифференциальные уравнения. Это эле-
гантно осуществляется введением подходящих разрывных
функций времени, так называемых функций или операторов
Грина. Запаздывающие и опережающие функции Грина суть
матрицы, представляющие в том или ином представлении за-
паздывающие или опережающие операторы Грина, которые оп-
ределяются, соответственно, равенствами
МДД) = -''МДД) МУ
МДД) = ‘М^М ’	С87)
где
1 , МД
мдд) = •	<8-8)
+ 1 2J [о, tx<t2
и
мддз = МД-9 = 1  МДД) 	(8-9)
Разрывы функций 7) и 7)_ выражаются в дифференциальной
форме как
М'.’У= - ч± i'i-y = *- з('гУ  (8|°>
и поэтому, вследствие дифференциальных уравнений (8.5) и
начальных условий (8.6), запаздывающий и опережающий
232
Гл. 8. Функции Грииа
операторы Грина удовлетворяют неоднородным уравнениям
[ф- H]G(W = G(W (-ZH72- и] = 5(zr^ •	<811)
Два оператора Грина различаются как решения этих уравне-
ний, удовлетворяющие условиям
G(^2)=0,	t}<t2
Ga(/,J2]=0,	t}>t2	,	(8.12)
что, очевидно, согласуется с отношением сопряжения
ЗД'У1 =	<813)
Унитарный оператор временной эволюции строится из этих
операторов в виде
W2] = z[Gr(zi’9 - ЗД-У] 	(8-14)
1
8.2.	Консервативные системы. Фурье-образы
Для консервативной системы, у которой t не появля-
ется в операторе Гамильтона, оператор временной эволюции
и операторы Грина могут зависеть только от относительно-
го времени
G(/f/2] = U(f), G(/r/2] = G(t), t =	- t2,	(8.15)
и определяющие операторы Грина свойства предстают тогда
в виде
- /f]G(O = G(0 [-^ - //] = 8(0 ,
Gr(t) = 0, t<0; Ga(i) = G^-t)1^ 0 ,	t>0.	(8.16)
Теперь зависимость по времени в операторах Грина можно
удалить, определив операторов
00	00
Gr(£) = ^dteiEtGr(t) = ^dt eiEtGr(t) ,	Im£>0,
-00	0
В оригинале "transforms". - Примеч.пер.
Гл.8 Функции Грина
233
00	о
Ga(E) = ^dt eiEtGa(t) = ^dt eiEtGa(t) , Im E <0.	(817)
-00	-0Э
Как мы уже указывали, поскольку интегрирование распро-
страняется только на полубесконечные интервалы, эти
фурье-образы существуют для комплексных значений энерге-
тического параметра Е, лежащих в подходящей полуплоскос-
ти. Применение этого преобразования к дифференциальным
уравнениям (8.16) дает
(Е - Н) G(E) = G(E) (Е - Н) = 1 ,	( 8.18)
для обоих гриновских операторов, определенных теперь как
функции комплексного параметра Е в указанных в (8.17)
областях регулярности. Отношение сопряженности между ни-
ми выглядит теперь как
Gr(E^ = Ga(E*) .	(8.19)
Обращение (8.17) содержится в
оо
G(t) = /ЕЕ e~iEt G(E),	(8.20)
-00
где путь интегрирования проходит параллельно веществен-
ной оси, сдвинутой в область регулярности рассматривае-
мого оператора Грина.
8.3.	Операторные функции комплексной
переменной
Оба гриновских оператора формально задаются выраже-
нием
G(E) =	= У -	( 8 21)
£ т/'
и поэтому образуют вместе единую операторную функцию
комплексного переменного Е, определенную везде за исклю-
чением, быть может, общей границы двух полуплоскостей,
т.е. вещественной оси. В самом деле, выражение (8.21),
написанное на языке собственных векторов оператора Н и
234
Гл. 8. Функции Грина
дополнительного набора интегралов движения у, показыва-
ет, что особенностями функции G(£) являются простые по-
люса на вещественной оси Е, которая совпадает со спект-
ром значений энергии системы. Таким образом, построение
функции Грина в некотором удобном представлении и иссле-
дование ее особенностей даст весь энергетический спектр
системы вместе с автоматически нормированным и полным
набором волновых функций этих энергетических состояний.
t
Например, для системы с гамильтонианом H(q ,q) функция
Грина G(q^' ,q‘ ,Е) могла бы получаться решением неодно-
родного дифференциального уравнения
+ а
Е - Н q*',-^
дЯ.
G(q^,q’,E) =
= <<Л \q"> = exp
(8.22)
a
Представив решение в виде
G^'.q'.E) = У	>-	\ Я'> _	(8.23)
Е г'
обнаруживаем всю желаемую информацию о значениях энергии
и волновых функциях. Следует также обратить внимание на
возможность построения частичной функции Грина, которая
содержит информацию о некоторой выделенной группе состо-
яний. А именно: если мы положим собственные значения <?' в
дифференциальном уравнении (8.22), равными нулю, то оно
примет вид
- Н q*'
Е
£(/',(),£) = 1 ,	(8.24)
а его решения будут давать значения энергии только для
тех состояний, для которых <£'y'|0> * 0. Все эти состоя-
ния все еще представлены и в еще более специальной функ-
ции Грина
G(0,0,£) = у j.0>|2 ,	(8.25)
Е‘ у'
Гл.8 Функции Грина
235
9
где коэффициенты |<£'у'|0>| удовлетворяют условию
S |<£'Г |0> I 2 = 1 ,	(8.26)
и, следовательно, дают вероятности реализации различных
энергетических состояний в измерениях на состоянии |0> с
нулевым собственным значением.
8.4.	Особенности
Особенности функции Грина можно определять из ее
разрывов, которые встречаются при пересечении веществен-
ной £-оси. Так, для вещественных £
lim [ G(£+ze) - G(£-ze)] =
е-*+ О
[b'-H+zE “ E-H-ic ] =	=
= 2ni V 5(£-£') |£'у'><£'Г I ,	(8.27)
Е 7
согласно известному представлению дельта-функции
5(г) = lim 1-5-^.	(8.28)
е-э+ о z + с
Заметим, что (8.27) дает также меру неэрмитовой части
Gr(£) для вещественных £:
lim [G(£+zs) - G(£ - ze)] = Gr(£) - G^(£) .	(8.29)
c->+ о	r	r
Разрывов нет и Gr(£) эрмитова во всех точках веществен-
ной оси, не принадлежащих энергетическому спектру систе-
мы, в то время как дискретные значения энергии распозна-
ются по соответственно расположенным разрывам. Если
спектр энергий непрерывен, начиная с £Q, разрыв для £ >
Eq равен
00
-2тпУ \dE'8(E-E')\E'y'><E'y' \ = -2^, | £у'> <£Г I .(8.30)
* £о
236
Гл. 8. Функции Грина
Существование такого конечного разрыва для каждого Е >
Eq означает, что G(E) имеет точку ветвления при Е = EQ,
а непрерывная линия полюсов, простирающаяся от EQ до бес-
конечности образует разрез Е-плоскости. Таким образом,
точная природа спектра энергий системы содержится в ха-
рактере особенностей, проявляющихся в G(E) как в функции
комплексной переменной.
8.5.	Пример
Элементарный пример единственной свободной частицы
в пространстве нерелятивистски описывается в г-пред-
ставлении уравнением для функции Грина
[е +	G(r,r',E) = З(г-г') .	(8.31)
В его решении
G(r,r',E) = -	р = (2тЕ)1/2	(8.32)
фигурирует двузначная функция Е!/2 комплексного энерге-
тического параметра, которую надо интерпретировать как
+;|Е|1/2 при Е<0, чтобы функция Грина оставалась ограни-
ченной при [г—г' | -> оо. Соответственно, для Е>0 мы должны
иметь Е1/2=+1Е |1/2 сверху от вещественной оси и
Е1/2=-|Е|1/2 - снизу. Следовательно, при пересечении ве-
щественной оси есть разрыв для Е>0, составляющий весь
энергитический спектр, поскольку функция Грина всегда
ограничена как функция Е. Разрыв составляет
Gr(r,г'.Е) - Ga(r,r',E) = 2i Im G,(r,r',E)
(8 33|
= -2ni (du-—^ _ c‘p(r г \
J (2п)3
где в последнем выражении интегрируется по всем направ-
лениям вектора р = рп. Сравнивая с (8.30), видим, что
различные состояния с заданной энергией можно помечать
Гл.8. Функции Грина
237
единичным вектором п, определенным с точностью до беско-
нечно малого телесного угла dw. Соответствующие волновые
функции в
г-представлении имеют вид
Ьа/2ЩЦ1'/2е'Р,г = ц
L (2п)3-1	1(
<г|Еп>
1/2
е1р т, (8.34)
где (dp) - элемент объема в р-пространстве.
8.6 Сокращённая функция Грина
Сокращенное выражение функции Грина оказывается по-
лезным в двух общих ситуациях, которые частично могут
совпадать. А именно: может случиться., что, благодаря уче-
ту симметрии, имеется один или несколько совместимых ин-
тегралов движения, и требуется исследовать состояния
лишь для конкретных значений этих величин, или когда в
целях классификации интересно построить состояния некой
возмущенной системы, которые наиболее близки к опреде-
ленным состояниям родственной невозмущенной системы. Обе
ситуации можно характеризовать как разделение полного
набора состояний иа две части, или на два подпространст-
ва, что символически записывается в виде
1 =	+ М2 ,	(8.35)
где символы измерения, или операторы проецирования, удо-
влетворяют соотношениям
М2 =	, М2 = М2 , М}М2 = М2М1 = 0 ,	(8 .36)
а требуется построить спроецированный оператор Грина,
относящийся только к подпространству
М£(Е)МХ = ЩЕ).	(8.37)
Из уравнения
(Е - H)G(E) = 1	(8.18)
получаем равенства
A11)G(E)	(8.38)
238
Гл.8.Функции Грина
И
М2(Е-Н)(М}+ MJG(E) М} = 0 ,	(8.39)
которые мы запишем в виде
(Е - ЩЕ) - ХН2 2G^E) = М,
(Е - 2//2) 2G,(E) - 2Я, ,С,(Е) = 0 .	(8.40)
В пределах подпространства М2 второе уравнение формально
разрешается
А<£) ’ 7Г^рГ2 2«nC,<£> •	<8-41>
и мы получаем для определения ^G^E) уравнение
[Е	^/f/E^G/E) = Мг,	(8.42)
где
4Л = Л 2«, 	*8 43»
Если эти два подпространства относятся к различным зна-
чениям интегралов движения для полного гамильтониана, то
ие найдется ни одного матричного элемента, связывающего
эти подпространства, т.е. ^Н2 = 2Н^ = 0, и (8.42) преоб-
ретает вид фундаментального уравнения для функции Грина
(8.18), определенного теперь только в рамках простран-
ства Му
ГЛАВА 9
ПРИЛОЖЕНИЯ
I.	БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ КВАНТОВОГО ОСЦИЛЛЯТОРА
9.1.	Введение
9.2	Осциллятор
9.3.	Внешняя система
9.4.	Улучшенная трактовка
9.	5. Общая теория
II.	КУЛОНОВСКАЯ ФУНКЦИЯ ГРИНА
I.	БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ КВАНТОВОГО
ОСЦИЛЛЯТОРА1 2 * *
В настоящей работе излагается метод прямого вычис-
ления средних значений с помощью принципа действия. Ме-
тод детально иллюстрируется на конкретном примере гармо-
нического осциллятора, испытывающего воздействие со сто-
роны какой-то другой системы. Эта простая задача, будучи
значительно проще сложных проблем квантовой теории поля
или теории многих тел, имеет вместе с тем и непосредст-
венные физические применения, например для вычисления
сопротивления излучения или усиления одной из волновых
мод в полом резонаторе за счет вынужденного испускания.
Последовательно рассматривается поведение осциллятора
под действием внешних сил, случай осциллятора, слабо
связанного с некоторой внешней системой, и улучшенная
трактовка той же задачи. В заключение дается краткое из-
ложение общей методики.
9.1. Введение
Заглавие этой работы относится к элементарному фи-
зическому примеру, которым мы воспользуемся для довольно
подробной иллюстрации решения следующей методической за-
9
дачи. Квантовый принцип действия представляет собой
Воспроизводится статья Schwinger J. // J.Math.Phys.- 1961. - V.2, No.3. - P.4C7.
(Перевод В.Л.Бонч-Бруевича.)
2
В связи с квантовым принципом действия см., например, Phys.Rev.- 1951,- V.82-
Р.914; 1953. — V.91. — Р.713; Phil.Mag. — 1953.- V.44. — Р.1171. Первые две работы
240
Гл.9 Приложения
дифференциальную характеристику функций преобразования,
<а'tJ6' /2>, и, следовательно, идеально приспособлен для
практического вычисления вероятностей перехода (включая
и определение стационарных состояний). Во многих зада-
чах, однако, приходится вычислять не вероятности отдель-
ных переходов, а скорее средние значения тех или иных
величин при заданном начальном состоянии:
<X^y»b't = I	^b't .
2 а а
В более общем случае и начальное состояние является сме-
шанным. Спрашивается: нельзя ли, основываясь на принципе
действия, развить метод, который позволял бы вычислять
эти средние значения непосредственно, без предваритель-
ного определения индивидуальных функций преобразования?
Согласно принципу действия
S^a't^b't^ = i<a'tJS [
1 2
И	Г 'г' Я
Xb't2\a'tp = -;<6Ч2|3	.
'2
Здесь и в дальнейшем h=l; мы будем считать также, что
t.p> . Эти комплексно сопряженные выражения соответст-
вуют двум возможным точкам зрения: развитие во времени
можно изучать, либо продвигаясь вперед, либо двигаясь
попятно во времени. Две введенные здесь функции преобра-
зования связаны соотношением
а[[/<6//2|а//1><а'/1|У'Г2>] = 0,
выражающим условие сохранения нормировки
<6Ч2|6"/2> = 3(6', Ь").
включены также в сборник "Selected Papers on Quantum Electrodynamics.' - N.Y.,
1958. Недавняя дискуссия содержится в Proc.Nat. Acad.Sci.- I960. - V.46. - P.883.
(Переводы первых трех работ см. в [8,9] цитируемой литературы Предисловия
переводчика, перевод последней дан в разделе 6.17,- Примеч. пер.)
Гл.9. Приложения
241
Пусть теперь развитие во времени в положительном
направлении подчиняется одному динамическому закону, а в
отрицательном направлении - другому! Тогда функция пре-
образования для процесса, "замкнутого во времени", будет
вытекать из принципа действия:
$<t2 U2> = 5 [</ 2| t	] = i<t J 5 [(dtL - (dtL _]| t f .
<2
Здесь знак умножения символизирует композицию функций
преобразования, фактически осуществляемую путем суммиро-
вания по полной системе функций. Если, в частности, опе-
раторы Лагранжа L+ содержат слагаемые А+(()Х(/), то
<W'2> = <</2lp/(3X+-
'2
и, следовательно,
В последнем равенстве величины А+ уже можно отождествить
друг с другом.
Итак, подобрав должным образом лагранжиан возмуще-
3
ния , зависящий от знака времени, и вычислив функцию
преобразования для пути, замкнутого во времени, мы можем
определить среднее значение любой физической величины.
Начальное состояние при этом может быть как чистым, так
и смешанным.
9.2. Осциллятор
Для иллюстрации высказанного замечания рассмотрим
прежде всего осциллятор, на который действует произволь-
ная внешняя сила. Эта система описывается оператором
Мы пользуемся здесь языком динамики. Однако фактически изменение гамильто-
ниана системы может иметь и кинематическое происхождение, что связано с рас-
смотрением не динамического (порождаемого гамильтонианом), а какого-то друго-
го преобразования. См. разделы 6.19, 6.21.
242
Гл.9. Приложения
Лагранжа
L = z/ - а>Л - y^Kkt) - ,Г(/) .
Здесь пара взаимно дополнительных неэрмитовых операторов
у, iy связана с эрмитовыми операторами q, р равенствами
у =	,	// = £_+_££.
V2	V2
Из принципа действия вытекают уравнения движения
Решение имеет вид
I
y(t) = e-“<'-9 y(t2) - zj Л'е“''°<^'>Ж) ;
‘ 2
для у надо написать сопряженное выражение. Поскольку мы
теперь считаем силы, действующие при эволюции в положи-
тельном (/<+(/),/(*(/)) и отрицательном	на"
правлениях во времени, различными, следует вычислять ин-
теграл вдоль соответствующего пути. Так, двигаясь в по-
ложительном направлении от момента t? к t>t2 , имеем
t
y+(t) = е~М'Л\(/2) - j	.
'2
С другой стороны, при обратном движении, когда мы воз-
вращаемся к моменту t от более позднего момента ,
у(^е^(‘~А y+(t2)-if dt'	}K+(t' )+zj'dt' }KJt') .
Заметим, что
y_(J}) ~ У+(^) = 0 
Гл.9. Приложения
243
y_(t2) - y+(t2) =	[K_(t) - K+(t)} .
Начнем с вычисления функции преобразования для ос-
If
новного состояния невозмущенного осциллятора <0/2|0/2> ±.
Это состояние характеризуется условием
<0/2|у\/2)у(/2)|0/2> = О,
эквивалентным следующим задачам на собственные значения:
у(/2)|0/2> = 0,	<0/2|/(/2) = 0.
При /(=/<_ и	функция преобразования равна просто
единице. Поэтому надо посмотреть, что получится при не-
зависимом изменении Л' и Л' и К* и
Согласно принципу действия мы имеем
зЛ<0/2|0/2>Л± = ро/2|
j'.// (<злр4-	+
‘ 2
‘ 2
-	|о/2)Л±
Принятый нами выбор начального состояния влечет за собой
следующие граничные условия для уравнений движения:
у+(/2)	0 ,	y\t2) -э о .
Соответственно
y+(t) = -i(dt'
y_(t) = dt'	dt'e~‘^t~t%_(t-t')K_(t')
К этим выражениям надо добавить еще сопряженные им;
244
Гл.9. Приложения
таковые получаются, если поменять местами значки и
Для удобства мы ввели здесь ступенчатые
функции
fl,	t-t'	> 0 ,	fl,	t-t'	< 0	,
= 
[о,	t-t'	< 0 ,	[о,	t-t'	> о	,
7) (/-/') + 7)_(/-Г) = 1 ,	7) (0) = 7) (0) =
Мы будем также пользоваться нечетной функцией
£(/-/') = 7)+(/-/') - 7)_(/-Г) .
Пользуясь выражением для y+(t) и y+(t), можно получить
дифференциальное уравнение для 1п<0/2|0/2>^± ; его реше-
ние имеет вид
<0/210/2> к± = ехр
\-i^dtdt' K\t)G^t-t')K(t')
2
Здесь приняты матричные обозначения:
К(0 =
/<+(0 ’
/<_(/) .
и
IG^t-t') = е-^'-''*
7)+(t-tz) О
-1 TtSt-t'
В силу тождества 7)++ 7)_= 1 сумма всех элементов матрицы
Gq равна нулю. Это обстоятельство обеспечивает обращение
функции преобразования в единицу при совпадении Л' с К_
и К С к_.
Операторное представление GQ можно получить, сос-
тавляя вторую вариацию:
Зк. 3Л<0/2|0/2>Л± I *=-i$dtdt' 8K4t)G0(t-t')8K(t').
К=К —О
В общем случае, выполняя два варьирования по различным
параметрам, фигурирующим в операторе Лагранжа А и не
Гл.9. Приложения
245
входящим явно в аргументы динамических переменных в дан-
ный момент времени, получаем
-5152</21/2> = <Z2i 11лЛ'{Р/-+(/)52Л+(Г)3+ "
1 2
- 8^)8^') - 82LJt)8}L+(t') +	)]_)	.
Здесь все множители расположены в хронологическом поряд-
ке.
Соответственно
= (< ШуЪ' )]+>о -
‘° I-<y(t)y\t')>0	< G/(О/ЛИ] J>0. ’
где средние значения берутся по основному состоянию не-
возмущенного осциллятора, а операторы являются гейзен-
берговскими относительно соответствующего гамильтониана.
Отмеченное выше свойство матрицы GQ - равенство нулю сум-
мы строк и столбцов - вытекает здесь из алгебраического
тождества
({/(')/(/')]+ +	= {«/(ОЛ')}-
Выбор именно основного состояния осциллятора в ка-
честве начального не составляет существенного ограниче-
ния, ибо аналогичные результаты можно получить и для лю-
бого другого начального состояния. Для этой цели введем
дельтаобразные силы
K+(t) = iy"8(t-t2) ,	K*(t) =	,
результат действия которых выражается равенствами
у+(/2+0) - у+(/2) = у" ,	у1(/2+0) - у1(/2) = /' .
Как мы видим, под действием этих сил функции |0/2> и
<0/2| к моменту /2+0 превращаются соответственно в
|i/"f2> и <у*' <2| - правый и левый собственные векторы
соответственно операторов y(t2) и y\t2) Принимая во
246
Гл.9. Приложения
внимание прочие силы произвольного вида, получаем для
функции преобразования на пути, замкнутом во времени:
<t/t//2|t/"/2>K± = exp у*'у" - у*'

J dtK\i)GQ(t-t2) у"-
zj'dtdt' K*(t)G0(t-t')K(t')
где
i \ dtGQ(t2-t)K(t) = pfe^tO) - K+(O]
i j' dtK*(t)GQ(t-t2) =	- <(*)]•
Собственные функции неэрмитовых канонических переменных
образуют полную систему и допускают физическую интерпре-
тацию в терминах "максимально совместимых" измерений ве-
личин q и р4. Сейчас, однако, нас больше интересуют не-
возмущенные стационарные состояния осциллятора. Связь
между этими двумя способами описания можно установить,
рассматривая функцию преобразования для невозмущенного
осциллятора:
<У^Чх\у'^2> = <уь	•
Очевидно,
= <ybt^y\t)y(t)\y"t^ 
Поскольку
y(tj = е-^Г^уи2) ,
4
Представление в неэрмитовых переменных было рассмотрено автором в Lectures
on Quantum Mechanics (Les Houches, 1955), неопубликовано. (См. раздел 4.9.
— Примеч. пер.)
Гл.9. Приложения
247
правая часть предыдущего равенства принимает вид

и, следовательно,
<(/t'^l//^2>=exp [/'
е-М< V (//t/ -t )(y")
V 1 z <у I — у	V	1 Z
J Z_ Vn7	v'HT
п =0
*
Отсюда видно, что собственные значения оператора у у
суть неотрицательные целые
собственные функции имеют вид
числа, а соответствующие
</' |»>
= (^32,
v'TFT’
<«!/> =
(у')п
v~nT
Соответственно функцию преобразования в неэрмитовых ка-
нонических переменных можно рассматривать как производя-
щую для функции преобразования, относящейся к невозму-
щенным стационарным состояниям осциллятора:
«Я а.	I
Интересуясь, в частности, выражением (ntnt^^± ,
позволяющим вычислить любые средние значения при началь-
ном состоянии п, мы должны найти коэффициент при
4.
(У 'у") /п! в разложении экспоненты
ехр[ytrу"+у*'а+13у"+7] = У^Р	а^ехр [/'/Чу].
fe, I
Все члены, дающие вклад в искомый коэффициент, со-
держатся в сумме
ю + *
У (У , (ap)feexp[/v+r] =
= if еАехр [Р'	' /Чу] •
Здесь мы воспользовались равенством
1 .1-Л - 1
2п7УГй7Те - И
Л
248
Гл.9. Приложения
Таким образом,
<п/2|п/2>к+ = ехр г K*(f)G0(Z—)К(7') J х
х Lj [j^K*(0G0(W2)]+[p/G0(/2-/)K(0] ],
где L - полином Лагерра; он появился здесь в силу соот-
ношения
1 г dA „X/, •,—1 ,п 1 х fd "1	—х	г / ,
2п7? Vе (1-Л х) = -/е х е = Ln(x) .
Можно получить, однако, гораздо более изящные фор-
мулы (из которых вытекают и полученные только что ре-
зультаты), если в качестве начального состояния взять
определенную смесь. Именно, припишем n-му стационарному
состоянию осциллятора (в начальный момент времени) веро-
ятность
(1 _ е~^ t
где величину можно интерпретировать как температуру.
Принимая во внимание равенство
а>
(I -	=
л=0
= (1 - е-3“)	еА [1 - е-р“ + TTV^x]-1 =
= ехр
ер“ - 1
получаем
</2|/2>*± = ехр[-/рЛ'К*(/)О^-/')К(/')] ,
1 2
где
ZG^-Z') =	+	-V-. ^GoC^^.-GoC^-r)
Гл.9. Приложения
249
И

е-«х<-/2)
!-!]
i_GQ{t2-t) = еМ'-'2)(-1 1) ,
Введем обозначение
<л>« e0U _ 1
Имеем
•/4 4'\Го (<_</)+~<n>^
iG (t-t') =	> +	4	6
I- 1 -<«><>	) + <п>^
Кроме того, элементы матрицы G& можно выразить через
"термические" средние значения для невозмущенного осцил-
лятора:
.г„,,, (««(')/('-)).>„	-</('')»(«»,
^А(* * ) “	ф	ф
*	l-<y(J)y\t')><>	<(y(t)y\t'))yj
Сравнивая эту формулу с предыдущей, видим, что действи-
тельно	как это и должно быть.
"Термические" выражения можно получить и непосред-
ственным путем, решая уравнения движения, как это уже
If
делалось при вычислении <0<2|0<2> +. Следует лишь заме-
нить диагональный элемент
<0/2|0/2>х± = <0<2|t/|0/2>
статистическим средним :
со
___	т
(1-е“3“)^е-п3“<п<2|«<2>Х± = (1-е~3“) Тг [е~^ У
п=0
Заметим, что
е-риу+ у у e3<*>yt у _ е3<*> у
250
Гл.9. Приложения
и примем во внимание равенство, основанное на инвариант-
ности следа относительно циклической перестановки со-
множителей
Тг	= Тг [е%	= Тг	.
Тогда
У_(/2) = е3“1/+(/2).
Это соотношение заменяет прежнее граничное условие
«/+(<2)=0-
Далее,
- У+«2) = ~i\'М	,
‘г
и, следовательно,
‘2
Таким образом, к полученному ранее выражению для y+(t)
надо добавить член
[К+(0 - Л_(/')] ;
в результате находим
</2|/2>^±
х explx«>J	[К +(t' )-£_(/')]
1
Это и есть наш прежний результат.
В качестве элементарного приложения найденных фор-
мул вычислим среднее значение энергии осциллятора в мо-
мент /], если в момент /2 система находилась в состоя-
нии термодинамического равновесия, а затем подверглась
Гл.9. Приложения
251
воздействию произвольных, зависящих от времени сил. Мы
имеем
</2|w/(/,)y(/1)|/2>x =
W ---------</21/2>Х±
8K_(tj8K*(tJ 2 2 о
К =к , к=к
Вычисляя функциональную производную	получаем
множитель

последующая вариация по дает
- [рГ(/)С^(/-/1)]_ [р'О^гГ)Ж)]+ .
и в результате находим искомое среднее:
w<«>^ + w
j'd/ez“^(/)
Более обще, средние
t
и у (t ) можно вычислить,
значения всех функций от
зная среднее от экспоненты
</(9
e-€W,) + щЛ9]
Последнюю величину можно найти, добавляя к К и К* дель-
таобразные силы
К+(0 = X8{t-tj ,	K*(t) = H8(t-tj .
Заметим, что в данном случае величины К+ и не обязаны
быть комплексно сопряженными в буквальном смысле слова.
252
Гл.9. Приложения
Таким путем получаем
</2|е-‘Гх^+^0]|/2>« =
ехр -Лц [<п>в +
+
+ Xj'dte^C^K*^) - 11$'dte~iuVrt}K(t)
Здесь использовано частное значение ступенчатой функции
7)+(0) =
С другой стороны, положив
K+(t) = X8(t-tJ ,	K*+(t) = nS(t-tt+O) ,
мы получили бы
*
</9|е-г^у Ц)	=
1	1 в
= ехр -ХХ«>д+Л|'леги(гГ^*(/)-ц|'ле-МгГ^(<)
В связи с этими формулами стоит заметить, что столь
повышенное внимание к средним значениям не лишает нас
возможности вычислять и индивидуальные вероятности пере-
хода. Действительно, пусть нас интересуют вероятности
переходов между отдельными стационарными состояниями ос-
циллятора. Введем операторы проекций на эти состояния,
выразив их через у и у . Средние значения названных про-
екционных операторов как раз и дают искомые вероятности.
Как известно, оператор
Рп = I «> <« I
изображается матрицей
<у*'\рп\у"> =	[^П]^'РР'\у''>,
Гл.9. Приложения
253
и, следовательно,
Здесь точка с запятой обозначает упорядоченное в указан-
ном смысле произведение операторов. Удобно ввести произ-
водящую функцию для этих операторов :
f а"Рл = У.
л=0
Заметим в связи с этим, что
у а"р - а^ЗХ Зц „-ЛИ" I
L п	А=ц=о
л = 0	1
Таким образом, выражение
со	(1—(Х)2тгД77	Г
У апр(п,^,К) = е ^ехр|-Хр<л>д +
п=0
+ Xelut^dte~iutK\t) - lie~iut^dteiut KG)] |x=g=0
дает вероятность обнаружить осциллятор в п-м квантовом
состоянии, если на него действовала произвольная сила,
зависящая от времени, а в начальный момент мы имели тер-
модинамическую смесь.
Чтобы вычислить выражение
X = е(1 )ЭХЭДехр[-Хр<п> + Ay* - w]|x=M=0-
заметим прежде всего, что
м (1-<hAexp[]l
. (l-tt)e<,"“)^fc|n ехр [ ] I „ =
'	'	opt r L J | А=Ц=О
= (1-<х)е SA (-ХКп> - У]ехр [ ] | х=д=0.
Гл.9. Приложения
259
где
_ [< т<Ж)]Л
A(t—t ) —
. <Q(W')\	<(Q(OQU')) >*.
и отброшены все члены, содержащие у(^)у(Г) и
4»	4>
у (t)y (t'). Последняя аппроксимация обусловлена предпо-
лагаемой слабостью взаимодействия осциллятора с внешней
системой: за много периодов, необходимых для накопления
эффекта возмущения, величины с временной зависимостью
вида ехр [±zo>0(/+^')] будут подавлены по сравнению с за-
висящими от времени по закону ехр [+zwo(/-/')]. Выясним
теперь, какой член в операторе действия (относящемся к
замкнутому пути осциллятора во времени) обуславливает
это приближенное значение величины (3/ЗХ)\^21при
Л=0. Для полного действия, удовлетворяющего этому уело-
2
вию, мы находим (полагая Л =1)
W
4»	4»
% У У - У к -
2
'2
- yjt')y+(t)A+V-t') + (yt(()y(t')}
Применяя к этому выражению принцип действия, получаем
нелокальные по времени уравнения движения
dz/	‘i
1Д7 ~“oy++‘J dt' И++^-//)~А+-^~е
'2
dy_	।
'37 dt' )у^'	')y+(t' Л=К_и).
'2
а также
- dt' M-J''-О-Л'	-')]=<<')’
Гл.9. Приложения
255
„	5
гои связи ; здесь мы приведем лишь окончательное выраже-
ние
п !	0 п —п
р(п,п',К) = (И ] * *
Г	9 I2 — I т I 2
< (И2]] е 1*1 ,
где п> и п< - соответственно большее и меньшее из целых
чисел пип'.
Легко вычислить также и вероятности перехода в со-
стояния непрерывного спектра эрмитового оператора
q = (у +	или р = —i(y - y*)/V2 .
Для этой цели положим X = р = -р' /У2; тогда
<( le^'W^A ехр [- |р' 2 «п> +	+ ip'^tp*],
0 L	J
где
 Г ri	'i
<^(<1)>Х =	e‘“*i j dte~‘u>K*(t) - dt^‘K(t) .
Г2	Г2
Умножая предыдущую формулу на exp(-ip'q') и интег-
рирую по р'/2тг в пределах от -со до +со, мы получаем сред-
нее значение 5-функции,	5 [?(^)~ q' ],	т.е. вероятность
найти значение q(t^ в единичном интервале около точки
q'-
1/9
p(q',tv^,K) = [|th^] exp[-[th C^'-<^G1)>X32] •
Обратим внимание на еще один способ вывода формулы
для термодинамических средних. Именно, пусть теперь об-
ратное движение во времени заканчивается в другой момент
<2 = <2~ Т. Будем рассматривать соответствующую функцию
преобразования как матрицу и вычислим отношение следов
Тг<Г2|/2>К±
Тг<Г2|<2>
^Schwinger J. // Phys.Rev. - 1953. - V.91. - Р.728. (Перевод: Швингер Ю. Теория
квантованных полей. - М.: ИЛ, 1956. - Гл.2).
256
Гл.9. Приложения
которое обращается в единицу в отсутствие внешних сил.
Согласно принципу действия, зависимость от величин /<+(/)
и Л+(/) по-прежнему входит через операторы y+(t), У+(0-
Связь последних с силами дается решениями уравнений дви-
жения, в частности
У_(^) =	y+(t2) -
t	t
- if dt^^K^t) + if dte^^Kjt) .
t	t'
2	2
Заметим далее, что из структуры следа вытекает следующее
граничное условие
У_('2) =	•
Действительно, рассмотрим выражение
Тг<Г2|у_(Г2)|/2> =	t'2\y t.
а
Здесь операторы а, определяющие выбор представления,
произвольны, с тем лишь условием, чтобы они не зависили
явно от времени. Мы имеем
<а'/2|«/._(/2) = У <а'|у|а"><а"Г2|
Тг</'2|«/_(/'2)К2>= [ <а"/2| а'<а'| у| а">=Тг</'2| у ^'2) | < 2> .
а' ,а"
Это и есть искомое граничное условие.
Начальное условие теперь принимает вид
у+^2^ е-гиГ_ j
t	/	।	/
J	dte1^^ K_(t)
и, пользуясь принципом действия,
ния следов
ехр pptt dt' K*(f) GQ(t-t') K(t')] x
мы получаем для отноше-
[*+<') Г]
Гл.9. Приложения
257
Здесь временные аргументы К и К_ изменяются соответст-
венно в пределах от t2 до и от t'2 до В нашей кон-
кретной задаче, функция KJJ) обращается в нуль в интер-
вале от /' до /2, так что все интегралы по времени можно
вычислять в пределах от до Тогда, поскольку
</'| = </2|e-<-^n, п = y\tjy(tj,
полученное выражение будет равно
Тг</2|е‘цГп|/2>*±
Tr</2|ez“rnU2>
Поскольку это отношение сохраняет смысл при замене
-iT —> /3 > 0 ,
получаем искомый результат
Тг</ |е-3ып|/ >Л±	г
----?---	-2-	= ехр\-ifdtdt'К (t)GQ(t-t')K(t'
Tr</2|e 3un|/2>	L J	0
9.3. Внешняя система
Закончив предварительное исследование осциллятора
как такового, обратимся теперь к интересующей нас кон-
кретной физической задаче - задаче об осцилляторе при
наличии заданных внешних сил, слабо связанном с некото-
рой макроскопической внешней системой. Воздействие внеш-
них сил на осциллятор и его взаимодействие с макроскопи-
ческой системой будем описывать выражениями, линейными
по координатам осциллятора, иначе говоря, выберем опера-
тор Лагранжа в виде
L = № -	- У*к^ -	- rtqQ. + Чнеш-
Здесь L относится к внешней системе, Q(/) - эрмитов
оператор, /Действующий на переменные этой системы.
Начнем с рассмотрения функции преобразования
> ^+, описывающей в начальный момент внешнюю сис-
о
тему в состоянии термодинамического равновесия при тем-
пературе д и, независимо, осциллятор в равновесии при
258
Гл.9. Приложения
температуре Эд. Температуру можно понимать либо бук-
вально, либо просто как параметр, с помощью которого
удобно вычислять средние значения для отдельных стацио-
нарных состояний осциллятора. Чтобы исследовать взаимо-
действие между осциллятором и внешней системой, припишем
члену взаимодействия переменный параметр Л и составим
производную
^t2\t2>K± = -i(t2\fdt[^q+(t)Q+(t)-V2qJt)QStn\t2)K±
'2
Различие между прямым и обратным путями развития во вре-
мени возникает здесь только за счет различия внешних сил
Л+(/), действующих на разных участках замкнутого во вре-
мени пути. Условие макроскопичности внешней системы на-
ходит свое выражение в предположении, что состояние по-
следней лишь незначительно меняется за счет взаимодейст-
вия с осциллятором. Соответственно в первом приближении
операторы Q+(t) можно заменить просто числом <Q(Q>e- В
этом приближении удается выявить лишь сравнительно три-
виальные эффекты; поэтому будем считать, что
= 0 .
Это заставляет нас перейти к следующему приближению.
Составляя вторую производную по Л, имеем
- ^2<(2^2>К± =(t2\\'dtdt' \(q(t)Q(t)q(t')Q(t')\ -
оЛ	' '	*-
2
- 2q_(t)Q_(t)q+(T' )Q+(t')+ W)Q(t)q(t' )<Ж )] _] |
Предполагая, что состояние макроскопической системы мало
меняется при возмущении, получаем приближенно
-	= <Z2 I \'dtdt'	-
оЛ	' 1	L
2
+ w )/(/)]_<_( m] 1
Гл.9. Приложения
259
где
_ [< (Q(OQ(/')]4>0
A(t—t ) —
и отброшены все члены, содержащие у(Оу(^) и
у (t)y (t'). Последняя аппроксимация обусловлена предпо-
лагаемой слабостью взаимодействия осциллятора с внешней
системой: за много периодов,, необходимых для накопления
эффекта возмущения, величины с временной зависимостью
вида ехр [+zw0(/+/')] будут подавлены по сравнению с за-
висящими от времени по закону ехр [+zwo(/-/')]. Выясним
теперь, какой член в операторе действия (относящемся к
замкнутому пути осциллятора во времени) обуславливает
это приближенное значение величины (3/ЗХ)2<^21при
Х=0. Для полного действия, удовлетворяющего этому усло-
вию, мы находим (полагая Х2=1)
“0У+ У - У*к
2
+ J лл'{(у+(/)у(/')]+л++(/-/')-Л(/)у+(/')Д_+(^') -
'2
- y (t')y+(t)A+Jt~t') +	DJLJt-t')} .
Применяя к этому выражению принцип действия, получаем
нелокальные по времени уравнения движения
dy	'1
‘2
dy	‘r[
i^-^y -ij dt' [A_Jt-t')y_(t')-A_+(t-t')y+(t'^=f(_(t),
а также
1*	t
260
Гл.9. Приложения
l2
Последние два уравнения получаются из первых с помощью
формальной операции сопряжения и перестановки индексов
плюс и минус у операторов и у функций K(t). Обратим вни-
мание еще на одну полезную пару уравнений:
“ %)	“ ZJ dt' И—~ л+_(/-/'Я х
‘2
х [y_(t') - y+(t'n = K_- K+
и
[Za? ~	+ у J +	- л+_('-П] x
(2
X [y+(^) + O')] - 'J dt'X
*2
X ~ y+(t')l = K+ + K_.
Здесь
- A+Jt-t') = ~ [A++(t-t') - A_+(t-t')} =
A^t-t') ~ A+_(t-t') = - [A__(t-t') - Л_+(Г-/')] =
= < [<Ж Q(/')]>0 v+(t-t')
и
A+_(t-t') + A_+(t-t') = < [Q(O,Q(/')]>e-
Нелокальный характер полученных уравнений не играет
большой роли, если, например, в макроскопической системе
корреляция между значениями Q(f) и Q(t') исчезает, когда
величина |f-1‘ | еще мала по сравнению с периодом коле-
Гл.9. Приложения
261
баний осциллятора. Действительно, при малых интервалах
времени функция	ведет себя приближенно, как
exp(-zwZ); поэтому матрица A(t-t') в рассматриваемом
случае эффективно заменяется на
+00
Jd(t-t')A(t-t' )^~е = Л(И),
-со
и уравнения движения принимают вид
[*#?-<<]	- У+] = К_ - к+,
[‘ д? ~ u+] (X + У-] ~ ia _ у+) = ^+ +	•
Здесь
w_ = wQ + ([Л__(ш) - Л+_(ы)] = w + jy ,
ш+ = % - <[Д+(М + л+_(шЯ = ш - &
И
а(М =	+ Л_+(ш) .
Заметим, что А _(о>) и А_ (о>) - вещественные положитель-
ные величины. В самом деле,
г/2	It г/2
Л (о>) = li ml/ [ dte~iutQ(t) Г dte~iutQ(t)\
[-г/2	J -г/2
И
= 4J-") 
Отсюда, в частности, следует, что
а(о>) = а(-о>) а 0 .
Кроме того, из соотношения
w_-w+ = i [Л __ (й))+Л++(й))-2Л+_(й))] = <[Л_+(й))-Л+_(о))]
вытекает, что величина
T(w) = Л_+(ы) - Л+_(о>) = -у(-ы)
262
Гл.9. Приложения
вещественна. Далее
" 2	~ <_(“)] 
где
- A_(t—t') = <[Q(/),Q(/')]>oe(Z-n =
= И_+(^') - Л+Д
и, следовательно,
+00
-<[Л++(и) - л__(Ш)] = 1? J	.
-00
Таким образом, 0) оказывается вещественной величиной:
00
<•> = % - W ^2db>' 2^) •
J w'1 - иг
До сих пор мы не делали никаких предположений о характе-
ре усреднения в макроскопической системе. Допустим те-
перь, что оно является термодинамическим:
<Х>0 = С Тг е~3//Х ,	С-1 = Тг е-3//,
где Н - оператор энергии внешней системы. Тогда средние
значения будут удовлетворять условию
<Q(W')>e = CTre-3WQ(/)Q(/') =	+i|3)>
Здесь использовано формальное равенство
e-/3//Q(Z)e3// = Q(t+i/3) .
Производя преобразование Фурье по времени, получаем от-
сюда явное соотношение
Л_+(сэ) = езшЛ+_(о>) ,
и, следовательно,
а(Ц)
2ch
е 3“/2Л_+(ш) = е3“/2Л (W)
Гл.9. Приложения
263
Это
что
четная положительная функция ш. Отсюда следует,
y(w) = a(w) th * О при (Зи > 0 ,
т.е. иными словами,
а(ы) = 2^(и)
е^- 1
+
1
2
Окончательный результат этой части расчета состоит в
том, что нам удалось полностью исключить из рассмотрения
внешнюю систему как динамическое образование. Мы получи-
ли эффективные уравнения движения для и у_ , содержа-
щие заданные внешние силы и три параметра: круговую час-
тоту w(~a>0), у и а; последние два не независимы, коль
скоро задана температура макроскопической системы. До-
полнительные условия имеют вид
у_(9 - у+(9 = о,
а также (если в начальный момент мы имеем термодинамиче-
ский ансамбль)
У_(У — ехр у+(^2) •
Далее,
t
откуда вытекает начальное условие для второго уравнения
движения:
у+(/2) + у_(/2) = cth	.
*2
Искомое решение имеет вид
< [у+(0+у_(0] = j’ dt'	\(t-f) [K+(t' )+о •)] -
264
Гл.9. Приложения
‘ 2
x [K_(C)-K+(/')]+[cth ^-cth j'dt'е^+^Л’ x
x e^'-ypcjr) - K+(t')]
4*
Соответствующие выражения для y+ получаются перестанов-
кой индексов + и - в формально сопряженном уравнении.
Полученные формулы описывают дифференциальную зави-
симость функции преобразования |/?>*± от внешних
%*
сил; явная формула получается отсюда интегрированием и
имеет вид
<'21'2>*±
%*
exp[-<p^'K*(0G^o(/-f2,C-/2)K(/')].
Здесь		
	п+1 -п -п-1 п	+
	п	-п	
		1-
—	п-1	п+1	
+ е-,\<'-'2>е,ъ-<//~9 (п0 - п)[_{ "{
где ло=^л>л' п=<[п>^. Этот результат
vo
можно выразить
и иначе, а именно
Ч/'Л’ ''-9 =
=	e-T|i-r |Z2p+9-</)+«
—п
-п-1
+ е r >ехр[-у[^ - <2]](п0 - п)[_} J]
Гл.9. Приложения
265
Проще всего, однако, рассматривать G как решение диффе-
ренциального уравнения
[('J7 " U+]G ~	-1)](-‘Л' “ "-] “
где символ d означает
п
-п-1
—п
п+1
оператор дифференцирования,
твующий налево; начальное
дейс-
iG* Л °) -
о
условие
' V 2
~по~ *
имеет вид
п0
;0+ 2-
= -<5(/-Г)у
а граничные условия суть
'ar-“JG’O. <><'.
— i — й) | G 0 , t < t'
То же уравнение можно представить в более симметричном
виде:
п
+ 2
- 1

—п
-п
п + 2
Заметим, что сумма всех элементов матрицы G равна нулю.
Далее, из равенства
-[О 5]С(/'Д)т*[0 J] = G(fJ')
вытекает, что комплексное сопряжение действительно при-
водит к перестановке двух сегментов замкнутого во време-
ни пути; это равенство означает, что
= G(U')+_,	~G(t',tt+ = G(t,t')_+,
-G(/'J)L = G(t,t')++.
266
Гл.9. Приложения
Заметим, что функция ^t-t^.t'-i<^ не зависит от t
о
(и представляет собой функцию разности t-t'), только
если
<п>& = <«>0-
о
Это, очевидно, соответствует случаю, когда в начальный
момент осциллятор находится в термодинамическом равнове-
сии с внешней системой при температкре ^=^>0; в от-
сутствие внешних сил это равновесие не нарушается. Если
в начальный момент термодинамического равновесия нет, то
оно установится с течением времени и будет соответство-
вать температуре макросистемы Ф>0. Таким образом, на-
чальная температура осциллятора не оказывает влияния на
поведение функции G& ^t-t^.t'-t?), коль скоро при за-
данном значении t-t'
У [1Г ~ Z2) » 1 •
Закон релаксации начальной энергии осциллятора можно вы-
вести из соотношения
= —---------J
2	1	1 2V	SK JJJ 8K*(t}) 2 zVlx±=0
~zGeoe^r^2’ *1“У+- ’
он имеет вид
<п(ф = <н> +	- <н> ]е ).
о
Пользуясь указанным ранее приемом введения дельтаобраз-
ных сил, действующих в момент времени t^ можно получить
более общий результат:
</2|exp{-z[Xyf(Zi)+	ехр [-Лц [<«(Q> + -j]+
+	dteiu-{ti~t} К* (t) - (ij1 dte"iu-{‘r^K(t)j .
Гл.9. Приложения
267
Эта формула позволяет найти целый ряд средних значений и
функций распределения.
Приведенная выше выкладка иллюстрирует одно общее
свойство матрицы G(t,t'), связанное с отсутствием зави-
симости от момента времени Действительно, этот ко-
нечный момент времени отнюдь не обязан явно входить в
функцию преобразования </2|?2)Л+, и все интегралы по
времени можно брать в пределах от до +а>. При этом под
следует подразумевать момент, после которого исчезает
различие между К+ и К_, и функция G не должна зависеть
от каких-либо моментов времени, больших / Так, напри-
мер, в нашем случае введение дельтаобразной силы в мо-
мент времени Л приводит к члену
и
JdtG(trt2, t-t2) x(t) .
Ч
в котором функции К+ и К_ уже отождествлены между собой.
Следовательно, должны выполняться равенства
G(M')[ 1 ] = ° - t' > t ,
и
(1 1] G(t.t') = 0 , t > t' .
Они означают, что складывая соответственно столбцы и
строки матрицы G(t-t'), мы получаем запаздывающие и опе-
режающие функции аргумента t-t‘. В обоих случаях сумма
двух элементов должна равняться нулю. Справедливость
этих утверждений в применении к вычисленной ранее матри-
це G	легко провяп.-ть непосредственно; в
общем случае они вытекают из операторного представления
f <(у(0/(П]+>	<у\Пу(П>
iG — I	4.	4.
I <y(t)y\t')>	<	J
Действительно, как мы уже видели в связи с
Q-произведения ми,
(у(о/(П]+~ y\t')y(t) = y(t)y\t') - (у(0у+(Пк=
268
Гл.9. Приложения
И
(y(t)y\t'n+- y(t)y\t') = У+(Пу(0 - (у(Оу+('')]_=
=	у+(Г)] .
Между прочим, из только что полученных формул вытекает,
что
< [yGbyV )]>* e=	) + е-“	)=
О
= е-м^') e~r I t-t'
Еще одно общее свойство матрицы G, также иллюстри-
руемое предыдущими соотношениями, состоит в положитель-
ной определенности величин -G(M') j
-[dtdf K(t)iG(t-trt'-t2)+_K\t') =
= (z2| [pW(Oyin]+pW)y(/)|0 > 0 .
Как мы видели,
-‘cv(f-'2'('-y+-= ехр[-мт -	+
+ е“мм )-[ехр[-	|] - ехр[-у[^- - z2]]}<n>e
Очевидно условию, положительной определенности здесь дол-
жен удовлетворять каждый член в отдельности. Для первого
члена это тривиально:
$dtdt' K(t)exp[-iv(t-t') - ?(¥'- *2]]Я*(П =
= |p/e"to+(/-/2U(/)|2> 0;
второй член также обладает требуемым свойством, что вид-
но из формулы
ехр [-|- ехр [-у	“ f2]] =
2у" 'Sin о)'	sin
Гл.9. Приложения
269
Все полученные ранее результаты, касающиеся свойств
осциллятора, удобно представлять, введя в рассмотрение
силы
K±(t) = Л±(/) + K(t) ,	<(/) = n±(t) + K\t)
и описывая влияние членов Л+(/) и ц+(/) с помощью хроно-
логических произведений:
00	00
MJ/)] [ехр[~ф^(\/+ MJ/)] р2/ =
<2	‘2	+ V
= exp|-iJd/d/'|i(/)G(/-/2J/-/2)A(</) +
+ \dtdt'	_(/-Г)[Л+(Г) - А_(Г)] -
- Jdtdt' [g+(/) - м_(0]е~г“+('"'/)7)+(/-Г)К(Г)}.
Эта формула позволяет непосредственно вычислять средние
1*
значения произвольных функций от y(t) и у (t). Менее яв-
ный, но зато более простой результат можно получить, со-
ставляя средние значения функций от операторов
~ фо -
[ф ~	- **(') = ф).
Заметим прежде всего, что
<^/)> = 0,	<К*(/)> = 0 ,
и, следовательно, флуктуации
приписать влиянию сил и
собой, таким образом, квантовый
y(t) и у (f) можно
величин
Последние представляют
аналог случайных сил,
Kf.
фигурирующих в классической теории броуновского движения
по Ланжевену. Чтобы перейти к этой новой точке зрения,
надо ввести величины
А+(0 ~ [‘(П - ш-]и+(0 >	~	~ ш+]и+(0-
270
Гл.9. Приложения
Простоты ради мы будем считать, что функции u(t), v(t)
обращаются в нуль на границах области интегрирования (по
по t, мы заменим
времени). Тогда, интегрируя по частям
+ +
операторы у, у соответственно на К^.
Чтобы выполнить эту программу, докажем
следующую
лемму о хронологических произведениях:
t
ехр{ j + з?ад]}
2
2
Написанное равенство справедливо, если операторы
[Л(/),В(/)] и [dB(t)/dt, В(/)] коммутируют со всеми ос-
тальными; делается также несущественное допущение, что
функция B(t) исчезает на границах области интегрирова-
ния. Доказательство легко получить, заменяя B(t) на
ЛВ(/) и дифференцируя по Л:
ЭХ ехР
2
= j'^[exp{ j ]+^В(/)[ехр{ j +
Далее, интегрируя по частям, имеем, принимая во внимание
сделанные предположения,
?ЛН1'}]+ h4 + ад] Н/}]+ -
= Ы/ }]+ /<"[л + в]
Интегрируя получающееся дифференциальное уравнение, при-
ходим к искомому результату.
Гл.9. Приложения
271
Значение леммы легко уяснить себе с помощью преоб-
разования
-Z(At/++ ну) = -1[и (К*+ /ф + и (К + кр] +	vy) .
Отсюда сразу видно, что соответствующий коммутатор кра-
тен единичному оператору:
[/1+<ПВ-	=	, иу*- ut/] = -Цуи + Ли)-ч>
~2iv{4t " w]“
В последнем преобразовании отброшена полная производная,
не дающая вклада в окончательный результат. Чтобы вычис-
лить коммутатор
величины и К..
[Л,В], вспомним, что представляют собой
Согласно истинным уравнениям движения,
Kf(t) = Q(t)+(uQ-u+)y(t) , Kp) = Q(O+(wo-wj/(O ,
и тогда
1”	ф
[Л(/) ,В(/)] = -i [u(w0- wjy + v(w0- ш+)у, uy - vy) =
= 2it)«(u - Li>0) .
Это выражение также пропорционально единичному операто
ру. Соответственно
[ехр [-/р/	] =[ехР[-<р/(и(К*+к|]+и(Л+Кр]]] х
х ехр р(ы - a)0)jdtvu -	- wlul .
Комплексно сопряженное выражение дает аналогичный ре-
зультат для антихронологического произведения.
Пользуясь теперь дифференциальным уравнением для
функции G, находим
(tn I [ехр [г [ dt ГикТ + uTCl 11 х
2
x[exp[-(j (//[ыКриКр j j |ф = exp[-J <#v(/)Ku(/)j ,
/	+	t
4	2
тп
Гл.9 Приложения
где
К
= У
1
2
1
п +
-п -
—п
1
п + 2".
+ <(w - w0) [J
01
-1J '
Элементы этой матрицы можно представить также в виде
Kd(t-t')
’ < [Kft) rf(t' ))+>
*(<')>
^)> 
Эти средние значения представляют собой окончательный
результат, описывающий свойства осциллятора в условиях
применимости использованных нами аппроксимаций.
Заметим, что когда число п достаточно велико и все-
ми прочими величинами можно принебречь, то
при этом порядок следования
становится несущественным, и
предельный случай:
операторов в произведении
мы получаем классический
ехр р;'^dt («К*
+ "VD. 
ехр

Мы заменили здесь и - и на и, a v-v на v. Вводя ве-
+	—	-г —
шественную и мнимую части случайной силы
1 (Я, + ‘^1 >	_ (К, - ‘*21 -
' V2	'	у/2
получаем классический результат в виде
+ и2^2)]) = exp[-jctt|(u2 + и;
Флуктуации в различные моменты времени здесь неза-
висимы. Рассмотрим среднюю (по времени) силу
г+д t
К = j dt'K(t').
Гл.9. Приложения
273
Беря соответствующий Фурье-образ, находим
<s (кгк',)в[-4'(К' 2+	2j].
Это есть гауссово распределение вероятностей того, что
значение силы, усредненной по интервалу времени Д/, бу-
дет лежать в малой окрестности точки К'. В этом класси-
ческом предельном случае дисперсия а связана с множите-
лем затухания Э" и макроскопической температурой $ с по-
мощью соотношения
‘
Наши упрощенные уравнения можно применить также к
случаю, когда внешняя система не находится в состоянии
термодинамического равновесия. Для этой цели обратимся к
вещественным положительным функциям Д_+(Ш), Я (W), Опи-
сывающим внешнюю систему, и заметим, что в общем случае
л_+(-ь>) _ л_+(М 1~1^ 0
Л+_(-а>)	Д+_(а>) J
Это свойство удобно выразить, полагая
где Р(й>) - вещественная четная функция, которая может
принимать значения от -со до +<я. Коль скоро играет роль
только одна частота 0), все мыслимые характеристики внеш-
ней системы можно свести к одному параметру (3; величина,
ему обратная, играет роль эффективной температуры макро-
скопической системы. Новая физическая ситуация, которая
может возникнуть при этом, характеризуется отрицательной
температурой /3<0. Поскольку константа а по сути дела по-
ложительна, знак должна изменить величина у:
При этом взаимодействие осциллятора с макросистемой при-
водит не к затуханию, а к усилению его колебаний.
274
Гл 9. Приложения
Рассмотрим следующую последовательность событий.
Пусть в момент на осциллятор , описываемый термодина-
мической смесью состояний при температуре начинают
действовать внешние силы, причем действуют они в течение
времени малого по сравнению с 1/|Э"|. По истечении интер-
вала времени	достаточно продолжительного для
того, чтобы усиление стало весьма большим, т.е. чтобы
стало справедливым неравенство
k = ехр IУI (?гУ] * 1 '
произведем измерение (в момент, близкий к t ). Результа-
ты всех возможных измерений содержатся в общей формуле
для средних значений. Аппроксимации, отражающие данную
физическую ситуацию, сводятся к следующему:
\dtdt' [М+(0 - м_(/)]е^+(г"г/)т?+(/-/')Л(/') *
*ф/[М+(0 - g_(0]e“'Wpre‘w>(r),
\dtdt’	[\('z) - А_(Г)] *
~ £р/К*(0е~'“^'еги(/ (Л+(Г) - Л _(/')] ,
и, далее,
i $dtdt'p.(t)G(t-t2,t'-t2)X(t'
х р [g+(0-M_(/)]e-'WJrfr [X+(O-A_G')]e'<
Поскольку сюда входят только комбинации pt - pt = pt,
Л - Л_= Л, некоммутативность операторов больше не играет
роли: осциллятор возбужден до классического уровня. Что-
бы выразить результаты наиболее простым путем, положим
y(t) = k^ty + yj , y\t) = keiut (у*+у*-) ,
где
ys = -i\dt'^'K(t').
Гл.9. Приложения
275
Полагая, далее,
и = k$dteiutX(t) , v = k^dtc^wt) .
получаем результату не зависящий от времени:
= «р[-(<">< гЛнтпН-
Отсюда следует, что
<1»„|2> = <«>.+	* _И„ = <«>,+ 1
о 1 — е 1 1	о
Таким образом, координата осциллятора y(t) представляет
собой усиленную суперпозицию двух гармонйк. Одна из них
обладает определенной амплитудой и фазой ("сигнал");
другая же характеризуется случайными амплитудой и фазой,
распределенными по двумерному гауссову закону ("шум").
Эти соображения относительно усиления можно рас-
сматривать как примитивную модель мазера6, в которой ос-
циллятор соответствует одной из волновых мод полого ре-
зонатора, а внешняя система — ансамблю атомов. В послед-
нем должна быть тем илн иным способом осуществлена ин-
версия населенностей для некоторой выбранной пары уров-
ней (этого можно добиться, например, с помощью простран-
ственного разделения или электромагнитной накачки).
9.4. Улучшенная трактовка
В этом разделе мы попытаемся снять некоторые
введенные ранее ограничения. Чтобы рассматривать осцил-
лятор с нелокальным по времени взаимодействием, удобно
перейти от неэрмитовых операторов к эрмитовым. Соответ-
ственно начнем все с начала, записывая теперь оператор
Лагранжа в виде
L = Р ~	+ W0?2} + qF(t^ + qQ + Чнеш ;
Аналогичную модель недавно рассмотрели Сервер и Таунс(3ег6ег R.,Townes С.Н.
//Symposium on Quantum Electronics. - N.Y., 1960).
276
Гл.9. Приложения
величина Q теперь отличается от прежней постоянным мно-
жителем. Можно было бы включить сюда и заданные внешние
силы, зависящие от скорости. Воспроизведем вновь прибли-
женный расчет функции преобразования <j„\t0>F± с по-
‘ о о
о
мощью эффективного оператора действия, учитывающего
только простейшие корреляции в макроскопической системе.
Эти корреляции описываются матрицей
. <QWQ(t')>e <
Для оператора действия мы находим без дальнейших аппрок-
симаций
Л(М') =
w
+ ^[dtdt'{(q(t)	-
t
2
12
dt2

Соответственно уравнения движения будут (мы записываем
их в виде уравнений второго порядка, исключая р с по-
мощью равенства p=dq/dt):
<7+('Нрг
1 2
И
‘2
Заметим, что операция сопряжения эквивалентна переста-
новке индексов + и -.
Положим
-iAr(t-t') = < [Q(/),Q(r )]>* T)+(/-r ) = A A+= A_- A_ ,
Гл.9. Приложения
277
З2	2
dt2	°
-iAa(t-t') = -< [Q(/),Q(/')]>^_(^/) = А+- А_= А+- А__,
a(t-t') =	= А+_ + А_+.
Тогда наши интегро-дифференциальные уравнения примут вид
^2 + й>0
И
*1
['7+(^)+'7_(^)]-J dt'Ar(t-t') [q+(t)+qJX)] +
1 2
'l
+ (J dt'a(t-t') [// (Г )-?+(Г)] = F+(t)+F_(t) .
4
Граничные условия суть
<7_(9 - <7+(9 = 0 -
- ^(Z,)] = 0
i ^ + (Z2)
<7_(У - МУ ^0W0 + wQ dl sh ^0% ’
dq_(t )	dq (t2)
37	~ ~‘b>ocl+^2^ sh ^ouo +	37 ch ^owo
или в более удобной форме
^+(^2) +	= a>octh-2	’
/У Г	1	Г	1
+ <7_(9] =	[4_(9 - 4+(9] .
Эти граничные условия заменяют аналогичные условия в
случае неэрмитовых переменных:
y_(t2) = exp(P0O)0]t/+(^ , yl(t2) = ехр(-|30а)0]^(/2) .
278
Гл.9. Приложения
Заметим, что в эти выражения входит невозмущенная собст-
венная частота осциллятора wQ, так как в начальный мо-
мент мы имеем термодинамическую смесь невозмущенных со-
стояний осциллятора.
Искомое решение уравнения для q ~q. может быть за-
писано в виде
-оо
7_(0 - 7+(0 = \dt'Ga(t-t')[F_(t') -	,
+ 0О
где Ga(t~t') - действительная функция Грина, определяе-
мая уравнением
d2	2
---2 + иГ)
dt2	°
+СО
Ga(t-t') - ^drAa(t-T)Ga(T-t') = 8(t-t')
-со
и граничным условием
G (t-t')=Q, t>t'
д' ’
Здесь мы ввели момент времени t}, начиная с которого
разность F - F, обращается в нуль. Граничные условия для
второго из написанных уравнений имеют вид
л UJ
г	О
= ф cth4PI
0	t 2
2
и
,	/Зп0)”
^q+(t2)+qj /2)]=-/a>0cth4-^dt' Ga(t2-F)x[_F_(F)-F+(t')].
Z2
Соответствующая функция Грина для уравнения, которому
удовлетворяет сумма q++ q_, определяется равенством
+оо
G^t-t')- ^dTAr(t-T)Gr(T-t') = 8(t-t'),
-СЮ
“2
d2
dt2
Gr(t-t') = O, t<t‘.
Две вещественные функции Ga и Gr связаны соотношением
Ga(t-t') = Gr{t'-t).
Гл 9. Приложения
279
Искомое решение второго из дифферециальных уравнений
имеет вид
q+(t)+qjt) = J dt'Gr(t-t') [F+(t')+F_(t')] -
9
- zj	[F(t') - F+(t')],
9
где
oo
w(t-t2,t'-t2) = J dTdT' Gr(t-T)a(T-T' )Ga(r'-t' )+
9
+4^th_^[^G/Z“9^Ga(9“Z9+ uSG/z-z2)Ga(9“z')] •
Очевидно, w(t-t ,t' -t2) есть вещественная симметричная
функция своих аргументов.
Отсюда вытекает следующее уравнеие для функции пре-
образования:
%<Z2I9>A± = z(z2|W^+-d^-|z2) =
= - ^/2 | Р { 8(F - FJq++ q) + 5(F++	11\ ;
решение его есть
<Z2lZ2>»V ^P{^\dtdt'[/'_(/) - F+(/)] Gr(t-t') x
x\_F+(t') + F_(t')] - l\dtdt'[F (/)-f+(/)]x
Это можно записать также в матричном виде
<919^ = ехр{- ^dtdt'F(t)G^t2J'42)F(ny
280
Гл.9. Приложения
где
J J ] +
+	)[ 1 -1 ] + “У [ -1 1 ] '
Матрица $ удовлетворяет соотношениям
<г
GT(t' ,t) = G(M'),
-[1	o]G*<Z'Z,)(l J ] = G(U'),
и элементы ее имеют вид
с = ’.[	<?(0>v -
I -^q(t)q(t')y^ ° ,	<('?(0'?(//))	.
о	о
Заметим, что
Gr(t-t') =	V+(t-t'),
Ga(t-t') = -/<[^)л(П]>%<> -П_и-П,
Видно также, что сумма столбцов G пропорциональна функ-
ции G (t-t'), а сумма строк - функции G (t-t').
Предположим, что при t-t'-*a> функция G (t-t') воз-
растает не быстрее экспоненты, е“^ г \ Тогда в верхней
полуплоскости при
Im С > а
существует фурье-образ
G(C) =
-со
В явном виде мы получаем
G(C) = [W2- с2- АС)]-1,
Гл.9. Приложения
281
где
оз
АС) =	=
-03
О -со	-оэ
или, поскольку разность А -А._ есть нечетная функция ы,
АС) = J
О
ш[Л_+(ы)-Л+ (ы)]
а)2-?
Как уже отмечалось, в самом общем случае можно написать
^7+w= eW/3(w>’ Зны) = Р(ш)
Соответственно положим
A_Jw)-A+_(w) = a(w)	,
Л_+(ы)-Л+_(ы) = a(w) = a(-w) г 0 ,
откуда
с 'ю = и0Ч2 - J
da> а>а(а» th
Будучи четной функцией £, это выражение представляет
также фурье-образ функции Ga в нижней полуплоскости
ImC < -a.
Если эффективная температура для всех частот поло-
жительна и конечна (|3(ы) > 0), то величина G(O- Рас“
сматриваемая как функция С,2, не может иметь полюсов в
9
комплексной плоскости £ . Действительно, наличие полюса
2	—1
в точке £ = x+iy, у*0 означало бы, что функция G (£)
в этой точке обращается в нуль, откуда с необходимостью
вытекает равенство
282
Гл 9. Приложения
Это, однако, невозможно, так как величина в квадратных
скобках заведомо больше единицы. Устремляя у к нулю, ви-
дим, что функция G(C,) может иметь полюс в точке
о
х = и>' >0, только если а(ы') = 0. Если система за счет
взаимодействия с осциллятором может отзываться на любую
частоту, то при всех w а((Д) > 0, и на положительной ве-
шественной полуоси £ полюсов быть не может. Что касает-
_2
ся отрицательной вещественной полуоси, то при Q = х
функция g'(C) монотонно убывает от +оо (при х = -оо);
следовательно, она не может обращатся в нуль при х < 0,
если она еще положительна при х = 0. Соответствующее
условие имеет вид
w
2
0
J п и
о
а(ы).
При указанных условиях а = 0, ибо функция G(Q не имеет
других особенностей, кроме линии ветвления на положи-
тельной вещественной полуоси £ . Иначе говоря, в плоско-
сти С все особенности G(£) лежат только на вещественной!
оси. Это можно явно выразить, полагая
00	9	00	9
G(C) = рд2 \	,
л	_т
2
где ) - положительная величина:
а () t h 1Ш1 P(w)J
Рассматривая асимптотику функции G(Q, можно получить
некоторые интегральные соотношения. Так,
оо	со
J du2B(w2)	= 1 ,	J	du2w2B(w2) = и2,
о	о
Гл.9. Приложения
283
и, далее,
оо	оз
J Мв(Л) =	+ J ^а(и) th /3(0))] = «д+ <[zQ, Q]>^ ;
о	о
с другой стороны, полагая £=0, мы имеем
Чтобы найти функцию Грина, надо лишь выполнить об-
ратное преобразование Фурье:
оо
G(Z-Z') = Jge~^-('*GO
-СП
контур интегрирования надо провести в той полуплоскости,
где данная функция G(£) регулярна.
Таким образом,
G//-/') = J du>2B(a>2) Sin^-O 7)+(/-/')
о
и
Ga(/-/') = - J rf(J2g(Q2)
о
Указанные выше интегральные соотношения можно переписать
и в терминах временных функций Грина. Так,
0	0
с другой стороны, в предельном случае малых положитель-
ных т имеем
s i п ыпТ 5
Gr^ -	~ 5Т Ф’С' 
284
Гл.9. Приложения
Это соотношение описывает влияние взаимодействия с внеш-
ней системой в начальной стадии процесса.
9
Функция В(Ы ) ограничена, и, следовательно, функции
Грина должны стремиться к нулю, когда |/-/'| -><». Это
означает, что с течением времени должно исчезнуть всякое
"воспоминание" о начальном состоянии осциллятора, и ве-
личина ?2 должна выпасть из соответствующих формул. При
достаточно больших значениях разностей	t'-t функ-
ция	/'-Z ) принимает вид
со
-co
co
=	‘ ^(w+Ze) a(w) G(u-te) |	.
-03
Ho
2^ a(o) | G(czH-te) |2 = B(u2) cth w| |3(w)J,
и, следовательно,
03
w(t-t') = | dw2B(u2) cth	cos u{t-f ) .
0
Соответствующая асимптотика матрицы	t'-t ) дается
выражением
co
G(Z-Z') = ZpwB(w2)e“'“(Z"z?)x
-CO
'1)+(W)7)	)+7} _(W)7) [t-t' )+П,	-7)
x -T)+(0))-n,	n+(w)’n_( t-t' )+7}_(w)7)+( t—t' )+n ’
где
"(u) = t •
Это означает, что на всех частотах осциллятор находится
в равновесии с внешней системой. Коль скоро температура
не завист от частоты - это термодинамическое равновесие.
Гл.9. Приложения
285
Заметим также, что при температуре, равной нулю, п(ы)=0,
и граничное условие для функции G(t-t')++ соответствует
выбору расходящихся волн: положительным (отрицательным)
значениям разности t-t' отвечают положительные (отрица-
тельные) частоты. Так же обстоит дело и для G(t-t')_______,
рассматриваемой как функция t'-t.
Теперь уже нельзя утверждать, что, полагая |3Q=|3, мы
исключаем всякое влияние начальных условий. Для того
чтобы установилось термодинамическое равновесие при об-
щей температуре, должно пройти некоторое время. В ска-
занном легко убедиться, вычисляя производную
функции w(t-t2,t'-t2):
по t2
от
оз
- J dTGr(t-T) a(T-t2) Ga(t2-t',) +
‘ 2
+ i>octh^{^G,('-9 pTM0(/2-T')Ga(T'-/') +
—03
co
+ J Jr Ar(t - r) Gr(T - t2) fp Ga(t2- t') ] .
—оз	2
Чтобы это выражение обратилось в нуль, интегралы, содер-
жащие, например, G , должны представиться в виде линей-
ных комбинаций функции G (/-/2) и ее производной по вре-
мени. Это возвращает нас к приближенному рассмотрению
предыдущего параграфа, включая и приближенное отождест-
вление величины b)Q с эффективной частотой осциллятора.
Таким образом, равенство О0=О ие соответствует начально-
му условию термодинамического равновесия между осцилля-
тором и внешней системой. Ясно, однако, что такая ситуа-
ция должна описываться матрицей G^t-t'), и желательно
вновь проделать всю выкладку, предполагая, что в началь-
ный момент имеет место термодинамическое равновесие.
286
Гл.9 Приложения
Для этой цели воспользуемся уже известным нам прие-
мом: вычислим след функции преобразования <J'\	+,
предполагая, что обратный во времени путь заканчивается
в момент /'= t^-T * /2, и внешняя сила F_(t) равна нулю
в интервале между и Выгода от использования следа
станет особенно ясной, если составить производную по па-
раметру Л, служащему мерой интенсивности взаимодействия
между осциллятором и внешней системой:
-
- j’dtq_(t)Q_(t) + GA(/') - Gx(/2)} j /2у±.
Операторы порождают бесконечно малое преобразование
отдельных собственных функций (отнесенных к соответст-
вующим моментам времени), если эти функции принадлежат
операторам, зависящим от Л (например, полной энергии).
Однако это преобразование не дает вклада в след, ибо
последний ие зависит от выбора представления (предпола-
гаемого одним и тем же в моменты н /'), и можно вы-
брать полную систему функций, не зависящих от Л. Опера-
тор G.(Z') так же действует на функции </'|, как G.(O)
А 2	2	A 2
- на </2|; поэтому
Тг<Г2]Сх(/')|/2> - Тг(t'2\G^\tp - 0.
Таким образом,эффективный оператор действия можно вычис-
лять, как и раньше, меняя лишь соответствующим образом
пределы интегрирования по времени; кроме того, для внеш-
ней системы следует положить
Тг</'2 | Q(t)Q(t') |/2>
Г г </ '2 | / 2>
Тем самым предполагается, что
<Q(OQ(/2)> =
или, поскольку эти корреляционные функции зависят только
Гл.9. Приложения
287
от разностей времен,
<+О2) =
Последнее равенство можно переписать также в виде
4>') = е-'“ГЛ+ (W).
Уравнения движения при t>t% имеют вид
_(0-?+(0]- Aa(t-n
-co
[?+(0+O)l - J dt'Ar(t-t‘) [q+(t') +
S
+ O')] + J dt'a(t-t') [O'H7+(O =
S
4
= F+(t) + F (t) - 2i J dt'A+J
Их нужно дополнить уравнением, описывающим поведение ко-
ординаты q (?) в интервале времени от /' до t^:
d2 2
.,2 + %
at
,2
q_(t) + /J dt'A_Jt-t')q_(t') =
*2
со
'J dt' A^t-t'^qSt'^-q^')}-,
соответствующее граничное
условие имеет вид

Для разности q_- q мы получаем, как и раньше,
+со
q_(t) - q+(t) = J dt'Ga(t-t')[F_(t')-F+(t')l-
-СО
288
Гл.9. Приложения
в то же время
4+(t) + q_(t) = jdt'Gr(t-t')[F+(t') + Fjt')] -
-СО
- /j dTGr(/-T)J	-
‘г
CO	г 2
— 2zJ dTG(t-T) J dt' A+_(T-t')qJt') +
z	t -T
2	2
+ G tt-tJ ^{q+(t2)+qSm -
2	2
Здесь предполагается, что внешние силы равны нулю вплоть
до момента t^.
Далее, по-видимому, проще всего исследовать зависи-
мость q++ q_ от /2 при заданном Т. Принимая во внимание
равенства
+03	+<л
j dTAr(t-T)Gr(i:~t') = j drGr(t-T)Ar(T-t'),
= A^t-t2)q+(t2),
получаем
|Гк+(/) + <?_(/)] = -J dt'Gr(t-t')Ar(t'-t2)[q+(t2) +
2	<2
Z2
- 2zJ dt'G^-t'lA^t'-t^qJt^-A^t'-t^qJt^.
*2
Поскольку при положительных значениях временного аргу-
мента
а - IA - 2А ,
г -+
а + iAr = 2Л+_,
Гл.9. Приложения
289
мы находим, что
^[q (t) + q (/)] = 0.
2
Насколько полезен этот результат, зависит от того, стре-
мится ли функция Грина к нулю при увеличении модуля вре-
менного аргумента. В последнем (в указанных ранее усло-
виях) легко убедиться, производя замену Т iff. Тогда
можно совершить предельный переход -оо, что приводит
к уравнению
q+(t) + q_(t) = $dt'Gr(t-t')[F+(n + F_(t')~\ -
-0°
- i ^dt'w(t-t')[FJt') - F+(t')l
-00
где
w(t-t') = J dTdT'Gr(t-T)a(T-T')Ga(T'-t'),
-00
как и следовало ожидать.
Итак, мы нашли отношение следов
ТгIТг;|е'те| 1гу*
Тг ’ Тг '‘™
где И - полный гамильтониан всей системы; подстановка
Т i/З дает, далее, функцию преобразования
010/ = ех₽ [Я dtdt'F(t)G/t~t')F(t'^ ,
где
G^t-t') = ^Gr(t-t') [ _j J ] +
+ 2Са((~(') [ 1 -1 ] + 2	[ -1	1 ]
И
= J cth j )
-00
290
Гл.9. Приложения
Можно написать также
+ 00
w(t-t') = J dTC(t-T)[Ga(T-n - Gr(T-t')l
-00
где
+00
С(/-/') = 24? pwcth [	] e-'^-‘'> = Jcth[^-r)] .
-00
Отсюда можно получить явные выражения для средних значе-
ний в присутствии внешней силы F(t). Надо лишь положить
F±(0 = /±(/) + F(t)
и учесть влияние операторов /+(/) с помощью хронологиче-
ских произведений:
++) (е'Тл \F =
= ехр { £ J dtdt' КО G^t-t') f(t') +
+ if dtdt' [f+(0 - f Jt)]Gr(t-n F(t')} .
Таким образом,
+ 00
<<№>» =	dt'Gr(t-t')F(t'),
-00
г
а те свойства разности q-(qy$, которые не зависят от
F, можно получить, полагая F~-0 в соответствующей общей
формуле. В частности, мы вновь приходим к матричному то-
ждеству:
G^t-t') = ‘
f <(q(t)q(t'))^9, -<q(t')q{t)>9
При этом соотношение между величинами w и G - G? пред-
ставляет собой не что иное, как просто связь между сред-
ними значениями антикоммутатора и коммутатора:
+ 00
<{7(0.	= J dxC(t~T) (|[7(т),
-00
Гл 9. Приложения
291
Помимо отношения следов, которое дает нам среднее термо-
динамическое значение функции преобразования |/ >£±,
можно вычислить также и след
Тг</'2|/2> = Тге'ТН -* Тге43"
Последний описывает энергетический спектр всей системы,
а следовательно, и все термодинамические свойства ос-
циллятора, находящегося в равновесии с внешней системой.
Чтобы явно найти этот след, положим F+=0 при ^>/ ; с
другой стороны, в промежутке времени от t'2 до пусть
действует произвольная внешняя сила FJt). Далее, в
член, описывающий взаимодействие системы с осциллятором,
в эффективном операторе действия включим переменный мно-
9
житель Л (ранее обозначавшийся через Л ). Получим
Тг</'2 1| Tr<^| fdtdt' A_(t-t‘) {q(t)q(t')) J t^~=
= - ^fdtdt' Ajt-t')	Tr</'2| qjt) I
t'
2
Здесь величина <?_(/) должна удовлетворять уравнению дви-
жения
9
dt2
ч
g_(t) + ixfdt'A)q_(t') = FJt)
и граничным условиям
= q+(t2) = qjtj.
представляющим собой не что иное, как условия периодич-
ности с периодом Т =	. Решение этого уравнения
имеет вид
Ь
qjt) = J dt'G(t-t')FJt'),
292
Гл.9. Приложения
где функция Грина G удовлетворяет уравнению
d1	2
---2 + “О
dt2	0
t
г?
G(t-t') + /X J drA______(t-T)G(T-t') = 8(t-t )
и условиям периодичности. Теперь в дифференциальном
уравнении для следа можно положить F_= 0, что дает
А	• г*
^•1пТг<Г2Р2> = - у] dtdt' A_(t-t')G(t-t').
Функцию Грина, удовлетворяющую условию периодичности,
можно представить в виде ряда Фурье
= е т G(n),
n=-w
где
G(n) = [w2 - рр]2 -	= G(-m),
А(п) = - j dt е ' (А____________(t—t'
При этом следует помнить, что
Д_+(Ш) = е-'“ГЛ+_(Ы),
и, следовательно, подынтегральное выражение не имеет
особенностей в точках ыТ = 2п|п |.
Таким образом,
^пТгЦ^ .4(H)G(n) = 4^ f 1п[4[2™]2-ЛД(и)].
п=~ 00	Г2--00 L k J	J
Принимая во внимание начальное условие при Л = 0,
Тге'ТН = (Тг е'™е) V ez(n+1/2)V = (Тг )-Ц-
е	e2sin^J
Гл 9 Приложения
293
находим
Тг е‘™= (Тге)
____1_
2 sin
Ранее уже была введена функция
с-'го  «й -
о
[4+(w) - \(w)3
и были исследованы некоторые ее свойства при вещест-
венных и положительных значениях Д_+(ы) и A _(w). Мы мо-
жем вернуться к ней, полагая Т i/З; тогда
Z = Тг = Z -----------Ц-----ехр] - X у” In
е2 sh j |3w	п=-а>
Эта величина существует при всех |3 > О,
2	2
при всех для которых = -(2пи/0) ,
отрицательной полуоси ^2, включая начало
че говоря, неравенство
G“’(0) > О
если G~'(Q > О
т. е. на всей
координат. Ина-
представляет собой условие устойчивости.
Для вычисления суммы по п удобнее всего дать другое
представление функции ln(G (С)/- С )• В плоскости С,
<2
все ее особенности лежат на линии ветвления 0s С <“>; при
С -> о» исследуемая функция обращается в нуль в разрезан-
ной плоскости. Следовательно, можно написать
In
gJK!
00
- С2
<Р(а) 
О)2 - С2 ’
4W
о
при этом частное значение
<р(0) = П
—12	2
отражает наличие полюса функции G (С )/(~С ) в точке
2	—1
= 0 . Сравнивая это с прежним выражением для G (Q,
294
Гл 9. Приложения
получаем
сЛ;) = -^р[ри2рр] =
о w - С J
“	9
2 _ r2	г dui д(ы) th (о|3/2)
о 4	J 2лГ 2	>2
о W - С
откуда
- 2 a(w) [ 2^ ] ctg V(u) =
r dco' co'а(ю') th (ы'/3/2)
j* n co'2- co2
Правая часть этого равенства положительна при w->0;
следовательно, при со->О функция <р(со) стремится к п снизу.
Далее, если а(со)>О при всех со, то
п <р(со) > 0 ,
причем нижний предел достигается при w -> оо.
Сравнивая асимптотические выражения для G-\С)> ви-
дим, что
со	00
о	о
в то время как
[44^4] = "J+ 2<№®V
о
Производную от фазы по частоте можно ввести и непосред-
ственно в формулу для G”\Д):
G-’(Q = ехр [ J dco [ - 1	] 1п(О)2-С2) ]
О
Гл.9. Приложения
295
Приравнивая теперь два выражения для G '(0), находим
,п“2 -
о	о
Итак, мы имеем
со
In
w2+	'2пп'	2
ыо+	’2пп1 m	2
О
Пользуясь представлением гиперболического синуса в виде
бесконечного произведения, можно получить формулу сумми-
рования
+ 00
' V,„
П=-00
In
С ее помощью нахотим окончательно:
1 =	In2sh^].
о
Второй сомножитель здесь описывает осциллятор, свойства
которого изменены в результате взаимодействия с макро-
скопической внешней системой. Средняя энергия осцилля-
тора при температуре есть
£ =	[Ры[~ф^] ln2sh^J.
о
Пользуясь этой формулой, следует помнить о температурной
зависимости фазы	В предельном случае высоких тем-
ператур, когда для всех существенных частот cof3« 1, мы
имеем
£ * h [1П|3 + ? ln(uo~ |3<q2>^)] ’
и простой классический результат	получается, если
величина пропорциональна & Энергия осциллятора
296
Гл.9. Приложения
при абсолютном нуле температуры дается формулой
со
при этом вклад осциллятора исчезает.
Простая модель, рассмотренная в предыдущем парагра-
фе, соответствует следующей ситуации. Пусть функция a(w)
заметно отлична от нуля вплоть до частот, больших по
9
сравнению с	и пусть вместе с тем a(w)th(w|3/2)«
На значения a(w) при частотах, превышающих 0)Q, наложим
только условие отсутствия быстрых изменений и условие
устойчивости. Последнее, вообще говоря, выполняется,
если
со
Будем считать, что условие устойчивости удовлетворяется
с запасом, так что правая часть формулы для ctgtf>(w) при
2
достаточно низких частотах составляет заметную долю
Тогда tg <р при таких частотах очень мал, т.е. ip(w) ~ тг;
так будет обстоять дело, пока мы не достигнем непосред-
ственной окрестности частоты оу: wQ, такой, что
Заметим, что рассматриваемая функция Re G-1(GH-tO) дейст-
вительно должна иметь нуль: оиа положительна при w=0 и
асимптотически стремится к -оо при неограниченном возра-
стании частоты. В указанных условиях главный вклад в
интеграл дает область высоких частот, и, следовательно,
нулевое значение достигается в точке
2 2 Pfl
* "о"
О
Гл.9. Приложения
297
Несколько более точная формула для имеет вид
00
dw
п
w2
В
w
a(w)
о
где
00
В-1 = 1
dw 1
^Ы2- w:
_ d
,2
Как мы увидим, значение В меньше
предположениях лишь
Вблизи точки W,
единицы, ио в принятых
незначительно.
уравнение для
фазы ip(w) приближенно
О
принимает вид

е.
— j th
ctgip(w) =
„2
ctgip(w) =
w2- W2
w -
Т
2

у
где, по определению,
к =
th
~2~
“1
“ Г
увеличивается, проходя
от ~ п до ~ 0. В да-
Таким образом, когда частота
значение с^, фаза резко уменьшается
льнейшем она меняется сравнительно плавно, постепенно
приближаясь к нулю при w->oo. Среднюю энергию осциллято-
ра легко вычислить, если интервал частот w > Оф где фу-
нкция a(w) заметно отлична от нуля, таков, |3w»l. В
этой области не должно наблюдаться заметной температур-
ной зависимости; в частности, величина Ь) практически не
будет зависеть от температуры. Тогда, замечая, что вбли-
298
Гл.9. Приложения
зи w = функция -(l/n)(<7ip/dw) ~ д(й)-со^), мы получаем
приближенно
Е = [ln[2 sh4~] + 13 Jdo) z] =
>о1
Эта формула описывает обычный осциллятор с частотой и
со сдвинутым началом отсчета энергии.
Заметим, что если фаза ip(w) очень мала при часто-
тах, несколько превышающих с^, и обращается в нуль при
w -> оо, то
оо	со
J du [ - Й ] 2 ~	> 0 '
>ш	>ш
Соответственно
оо
W0- Ш1 ~ я J	> 0
>ui
и
>Ш1
Из последнего соотношения следует, что действительно
В<1. Несколько более точная формула для В имеет вид
В = ехр [ -	[-1^] ln(w2- w2)
>ui
Пусть, далее, главный вклад во все указанные интег-
ралы происходит от области частот вблизи w » Тогда
Гл.9. Приложения
299
годятся грубые оценки
“	м2
1 г
~ — « ы
zu j	ш
In В“’.
412
« 1.
При этом ни сдвиг энергии, ни отклонение множителя В от
единицы не существенны.
Приближенное представление функции Re G (w+;0) в
—12	2
виде В (wt- (j) ), очевидно, справедливо при частотах от
нуля до некоторого верхнего предела, заметно превосходя-
щего В этом интервале частот мы имеем
- j а(са) th ctg <p(w) = B“’(w2-u2)
ИЛИ
и2-и2
ctg^) = ~'
где
1 th
y(w) = % Ва(ь>) .
Если, в частности, /Зс^«1, то соответствующие частоты
попадают в классическую область, и функция у превращает-
ся в константу, не зависящую от частоты:
7 = | Ва(0)В-
В случае квантового осциллятора величину у можно
считать постоянной только в достаточно узком интервале
9
частот вблизи Функцию В(ы ) можно вычислить из соот-
ношения
В(ш2) = 2 sin2y(o))	= 1 _В_________1---
( ’ п a(u) th я ctg2V + 1
300
Гл.9. Приложения
Это дает
В(“2) = f --------------------2 = в !г I
71 (о2- ш2)2 + (?w)2	71 1
_______1__________ I2
2	2	'
W +	- ы, 1
Ограничиваясь, далее, непосредственной окрестностью точ-
ки ш когда Iw-wJ ~ •у, находим
1 У
- в 1	2~ у
> 2ТГ п 77	.2 Г 1 "]2 ’
1	((j) - a)t) +	2 ч
Таким образом, основной вклад в разность 1 - В вносит
интеграл rfw B(w ), взятый по области шириной у вблизи
„точки резонанса" ш Такой же результат, правда, можно
было бы получить, не делая последней аппроксимации.
Остальная часть разности 1-В в рамках принятых предполо-
жений происходит от частот, значительно превышающих
Аналогичным образом можно представить и выражения
для функций Грина. Так, при t > t'
оо
G (t-t') ~ В f
г ' J 2 П
-оз
2	.	2
- W - 1%(j) +
+ J B(a)2) у-П .
»
Второй („высокочастотный") член быстро убывает с увели-
чением разности t—t' (характерное время 1/а>). Соот-
ветственно, пользуясь функцией Грина, например при вычи-
слении интеграла
00
J dt'Gr(t-t')F(t') ,
-00
и считая, что внешняя сила меняется сравнительно медлен-
но, мы можем написать для вклада от //высокочастотного"
члена:
оэ	оо
F(t) J d(t-t') J dw2B(u2)
о	» ш2
1
00	9
» ш
Гл.9. Приложения
301
Но
»	9
Г dJ «
J 2	Ш2
и, следовательно, отклик системы на внешнюю силу такого
типа удовлетворительно описывается одной лишь низкочас-
тотной частью функции Грина. Описанную ситуацию можно
представить эквивалентным дифференциальным уравнением
d2
dt2
<?(0>£ = BF(t),
+ ^ +
0)2
которое не нуждается в комментариях, поскольку колеба-
ния носят классический характер: в квантовой области,
однако, оно справедливо лишь, если должным образом огра-
ничить интервал частот: в пределах последнего величина у
должна быть постоянной. Заметим, что внешняя сила как бы
уменьшилась в В раз. В указанных свыше условиях, однако,
этот эффект не играет роли, и в дальнейшем мы положим В
равным единице.
Ограничим теперь локализуемость измерений во време-
ни так, что интерес представят только временные средние
от q(t). В формуле для средних значений это отражается
условием, согласно которому можно рассматривать лишь до-
статочно плавно изменяющиеся функции	Тогда функ-
ции Грина можно повсюду заменить их низкочастотными ча-
стями:
Gr(/-/Z)	е"2	} sin
Ga(t-t’) -e 2	' 1 sin	Ti (t-t').
Соответственно для w(t-t') мы получим

w(t-t') -> cth
e 2 * । ‘ 1 । cos ),
302
Гл 9. Приложения
и вся матрица
будет удовлетворять дифференци-
альному уравнению
d2
dt2
d , „2
+ и1
d2
dt'2
+	+ <а2 G^tt-t')
1	0 ’
О -1
8(t-t') +
 о
1

1
g- la 8(t-t').
Здесь а = afc^).
Как и раньше, результаты принимают особенно простой
внд в рамках метода Ланжевена, когда главное внимание
уделяется не оператору координаты q(t), а случайной си-
ле, определяемой уравнением
2
^2 + ^ +	<7(0 =	+ 70-
Иначе говоря,
Ff(t) = Q(t) +	- $ q(t)
Переход к методу Ланжевена осуществляется подстановкой
'	2
f+W = 4л “	+ “1
at
МО;
необходимые при этом интегрирования по частям выполняют-
ся с помощью установленной ранее леммы о хронологических
произведениях, которая в данном случае принимает вид
J ехр р’ J dt fq j j = J exp p' J dtk(F + Fpj j x
x exp | J dt [(0)2- a2) k2+ u2k2- (^y-)2] } 
Мы получаем
<[exp ["' J
dt	exp [ i:J Л/e+F^ } \ =
= exp f-^jdtdt' k(t)<^(t-t') k(t')
Гл.9. Приложения
303
Последнюю матрицу можно представить в виде
•	<(Ff(t)Ff(/'))+><>	- <Ff(t')F[J)>*	’
. - <F f(t)F f(t'- <(Fft)Fft'))y^
В классическом предельном случае
<exp(/J dt kFf)>^ = exp(- aj dt k2)
И

Сравнивая эти выражения с аналогичными результатами преды-
дущего параграфа, можно заметить, что теперь расширен
интервал допустимых частот и снято ограничение ~
На этом мы закончим несколько затянувшееся рассмот-
рение термодинамического равновесия. Обратимся теперь к
одному предельному случаю, когда температура внешней си-
стемы отрицательна. Именно, допустим, что
и
Полагая
а(д>) = аЗ(ш - cot), и > О
= 131 >0.
1 с^а th [ 2^101 ] = (й)|М)2,
мы получаем
G(C) =
(^м)2
а)2 - <2
-1
<4 - <2 +
“г с2
2	2
Ш0~
2
2 '
Теперь функция G(£) имеет полюсы в комплексной плоскос-
ти С,2, если
1 I 2	2 I
z Иг “i < W
304
Гл.9. Приложения
Пусть для простоты,	и М « и0- Тогда полюсы функ-
ции
G(C) =
9	9'2	2
ш0+ “W ~	“о- ‘W ~
лежат в точках £ = ±(u0+jgJ и С - - j mJ 
Следовательно, G(£) регулярна вне полосы ширины 2а = pt.
Соответствующие функции Грина даются выражениями
Gr(/-C) = ch[£p(f-f')] ^osin
Ga(/-/') = - ch[^g(f-/')] ^sinw0(/-C)
а функция	w(t-t2,t'-t2)	при o>o(f-f2)»1,	w0(/,-f2)»1
имеет вид
w(t-tTt'-t2) ~ ——cos w0(f-r)
cth—— s“—2-sh—2—~ +
,,%30
+ cth-^ ch—j-ch—2—~
Если еще и pt(/-/2) » 1, pi(f'-f2)»l, то
i W-y
ie<(f-f9,	~ ртге2 e2 2 cos ') x
Л	£	Zt	V
X Г Zln +	ToT 1 ’
L 0 i _ e'“oi/3l J
где	j
"o = S w„ 
e 0 0 - 1
Пусть, далее, момент t близок к моменту - такому, что
фактор умножения
Гл.9. Приложения
305
Тогда осциллятор будет характеризоваться классической ко-
ординатой
q(t) = k[qs(t) + qn(t)],
где
<7s(0 = J dt' sinw^f-f') F(t') e
( 2
И
qn(t) = qf cos at + <72sinorf.
Величины q^ и q? здесь характеризуются формулой для
среднего значения экспоненты:
<exp[z(<7/t+ ^2/2)]> = ехр	$]>
в которой
V = П~ + ---------ГоТ 
О	-“о и
1-е
Соответственно вероятность получить значения q^ и q2 в
интервалах dq^ и dq2 равна
1 %
p(qvq2)dq^dq2 = ехр
^^(<71 + ^) ^dq2 =
шо
= р" ехР
U0 1 ?2
„ ~ п

Здесь q и <р — амплитуда и фаза величины qn(t). С точ-
ностью до множителя 1/2 в формуле для фактора умножения
мы пришли к тем же результатам, что и раньше, хотя в на-
стоящем параграфе были сделаны совсем иные предположения
о поведении внешней системы.
9.5. Общая теория
До сих пор мы неизменно предполагали, что состояние
внешней системы лишь очень мало изменяется в присутствии
осциллятора. Попытаемся теперь включить эту аппроксима-
цию в рамки общего формализма. Заметим в сязи с этим,
306
Гл.9. Приложения
что более тщательное рассмотрение необходимо и практиче-
ски, коль скоро мы интересуемся усилением колебаний ос-
циллятора: в этом случае обратное влияние осциллятора на
систему рано или поздно станет заметным, если только нет
какого-либо компенсирующего процесса.
Удобно дополнить принятый ранее оператор Лагранжа
слагаемым q'(t)Q, где q'(t) - произвольная классическая
функция времени; будем считать также, что член взаимо-
действия qQ содержит переменный множитель Л.
Тогда
t
।
^</2|/2>^Л =	| \dt(q+Q_- qQJ | ) =
'1
= - Z’J dt [sFJTJ Sq\(J) ~ д/Jt) 5^(7y] <Z21 Z2> F± q~
При этом предполагается, что либо состояния, к которым
относится функция преобразования, не зависят от взаимо-
действия между системой и осциллятором, либо вычисляется
след функции преобразования. То же справедливо и для фу-
нкции преобразования с различными конечными временами.
Написанное выше дифференциальное уравнение влечет за со-
бой и интегральное соотношение, в котором функция преоб-
разования для системы с полным взаимодействием (Л=1) вы-
ражается через таковую для системы без взаимодействия
(Л=0). Последняя функция преобразования представляет
собой произведение функций преобразования для независи-
мых осциллятора и внешней системы. Мы имеем
<^2и2>Л± = ехр
X
х 2’ 2хосц х 2‘ 2^ внеш , Л
'<7+=0
Здесь указано, что если мы интересуемся только осцилля-
Гл.9. Приложения
307
тором, то в окончательном выражении нужно положить
<7/±=0.
Рассмотрим теперь именно макроскопическую систему,
находящуюся под действием возмущения q'Q. Влияние пос-
леднего описывается формулой7
<*2П2>'7± = 7 [ехр[-ф»«'_о]] [ехр pjd*/+q]J j',/
Введем величины
<t \Q (t)\t >4
Q+^ =	7;^.--; J—
и

При
<f |Q (t)\t
Q (t,q') =	---------r---
-	</2U2>?±
q+(t) = q'(t) мы имеем
Q+(M') = Q_(t,q')
- 7 SOT '"«2Г2>^ -
= <^2IQ(0U2><? 
Это есть среднее значение Q(t) в присутствии возмущения,
описываемого функцией q'(t). По предположению, оно равно
нулю при q'(t) = 0 и зависит, вообще говоря, от поведе-
ния <?'(/) в интервале от момента до данного момента
времени.
Средние значения операторов q+(t) можно получить,
варьируя функцию преобразования по F+(/) (с добавлением
множителя +1). Поскольку уравнение движения для невоз-
мущенного осциллятора имеет вид
d2 2 f + 1 ]	5 I / \	=
+ Ш0 [" i J 6F+(/)	“
= ехр [ -ijdt 5^-57- 5^]]F±(0 x </21 /2> 0+ц</ 2I f 7> в^еш |	
Такие положительно и отрицательно упорядочение по времени произведения
используются в недавно опубликованной работе Симанчика [9], которая появилась
после того, как эта статья была уже написана и ее содержание легло в основу лек-
ций, прочитанных в Брандейской летней школе (июль 1960 г).
308
Гл.9. Приложения
Перемещая F+(t) налево от экспоненты, получаем
/Д	Г 1 Э А	I
<<2^2^ + ехР[ 1 2IZ 2> о сцХ fl] Sq'^t)^ 2^ внеш , ’
ч j	'	1 q+=v
Но
1 А	>4"
±7 8q‘+(t) <^2^2>внеш = Q±(t,lf±) ^2^^ внеш
и, далее,
F +	q^. ।	г 1 А	^"+
еХр[ ]Q('.«;)<'2i<2>0;„<i2|i2>,;„	- о Мэт-рЧ'? ’
?+=° +>
В результате мы приходим
циональных производных
F+
<*21'2> ~ 
к следующему уравнению в функ-
для функции преобразования
д2 2
dt2 °
ЭТТГП ” Q±[f’ f+w <z2f*2> + = 0-
Здесь предполагается известной реакция внешней системы
на возмущение q+(t). Заметим, что необходимо отличать
знаки "±", стоящие прн тех или иных компонентах, от ин-
дексов, нумерующих динамические переменные из принятого
полного набора.
Дифференциальные уравнения, описывающие эволюцию
системы во времени,надо дополнить граничными условиями.
Именно, в момент /f, когда исчезает различие между функ-
циями F (t) и F_(t), мы имеем
а, + , 3
37777 + 57777
</2|/2>f± = 0.
Далее, начальные условия для функции преобразования
Гл.9. Приложения
309
„ имеют вид
2
И
5
ЗТДф-
5
^пу
+ ту-cth
шо
^ошо
<72и2>Л± = О
а
вт2 згду"
- zwQ ct h
^ошо
5
X
X
а
5
5
.	5
+ 5FJ77)
Теперь видно, что предположение, принятое в преды-
дущих разделах, состоит в возможности аппроксимировать
Q+(t, q'+) линейной функцией q'+:
Q+(t.q±) = 4 dt' [A++(t-t')q'+(t')-A+_( t-t' )<(/')],
QJt7+) = i\dt'[A_+(t-t‘)q'^t')-A_S t-t')q'_{t')-\.
При этом как линейные уравнения для операторов 7+(0>
так и определения последних через функциональные произ-
водные по F+ объединяются в пару уравнений в функциональ-
ных производных. Чтобы сделать это более ясным, предста-
вим функцию преобразования в виде
Л
</2|/2> - = е -
и заметим, что по определению
“ (±) Ут»™ - 1 757Л |п«21'2> 1
Тогда уравнение в функциональных производных принимает
310
Гл.9. Приложения
ВИД
д2	2
а/2	0
1 5
- F+W = 0.
В качестве граничных условий мы имеем теперь
~ <7-(<rF+) = 0
х ^Г2 [	F±) ~ q-^2’ М = 0 -
[?А’ F±) + q(t2’ F±)] ~ 4cth
X
X [7+(^2. F±) + <7_(*2. f±)] = 0 .
Если величины Q+ линейно зависят от q+, то функциональ-
"”8
ные производные исчезают , и мы возвращаемся к линей-
ным уравнениям для q+(t). Они в свою очередь приводят к
квадратичному виду функции W(F+), что было характерно
для всего предыдущего рассмотрения.
II. Кулонова функция Грина9
Давно было известно, что вырождение связанных сос-
тояний в нерелятивистской кулоновой задаче можно описать
с помощью группы четырехмерных евклидовых поворотов, и
что для реализации этой связи всего удобнее импульсное
представление. Однако, по-видимому, не было понято, что
тот же подход можно использовать для явного построения
Уравнения в функциональных производных вырождаются в обыкновенные диф-
ференциальные уравнения также в том случае, когда движение осциллятора явля-
ется классическим и не подвержено флуктуации.
q
Воспроизводится из J.Math.Phys. -- 1964. - V.5, N 11. - Р.1606-1608.
Гл.9. Приложения
311
функции Грина для этой задачи. Дадим здесь этот вывод.7
В импульсном представлении уравнение для функции
Грина имеет вид (h=l)
2	2
f£-OG(P'P') + лН") 1	= 5<Р-Р')-
I zmJ	j (р - р )
Мы будем решать это уравнение, предполагая сначала, что
Е = -
2 т
вещественно и неотрицательно. Общий же результат получа-
ется аналитическим продолжением.
Параметры
9	9
е _ 2РО₽ ж _ Р0~Р
s 2	2 ’	2	2
Ро+Р	Р0+Р
определяют поверхность единичной четырехмерной евклидо-
вой сферы
?о + ?2 = 1'
точки которой состоят во взаимно однозначном соответст-
вии с точками импульсного пространства. Элемент поверх-
ности на сфере есть
 (Fi - MN’w 
IPo+P J
Если помнить, что р pQ соответствуют двум полусферам
£0 = + (1-£2]1/2. В качестве другой формы этого соотноше-
ния придадим дельта-функции, связывающей две точки на
единичной сфере, вид
3(Q-Q') =
Ро + Р 1
Apt- 5(р-р')-
Он был разработан для курса квантовой механики, который я читал в Гарварде
в конце 40-х. Спасти его от тихой смерти в конспектах лекций меня побудили
недавние публикации в этом журнале, в которых построены альтернативные фор-
мы функции Грина: Wichmann Е.Н., Woo CH. J.Math.Phys. - 1961. - V.2. - Р.178;
Hostler L. ibid. - 1964. - V.5. - P.591.
312
Гл.9. Приложения
Заметим, далее, что
(С - С')2 = Ко - ?о)2 + К - С')2 =
________4р0________,	_	,ч2
9	9	9	9	Р /
(р0 + р ) 0°о + р )
Тогда, если определить
Г(Я,Я') =	(Ро + р2]2Кр,р')(Ро + Р/2]2.
16шр0
то эта функция удовлетворит на четырехмерной евклидовой
поверхности интегральному уравнению
Г(Я,Я') - 2v JdQ" £>(£-£") Г(Я",Я') = З(Я-Я'),
где
1 1
4я2К - С')2
Ze^rn
Ро '
Функция D, определенная подобным образом во всем
евклидовом пространстве, является функцией Грина четы-
рехмерного уравнения Пуассона
-a2O(f-c') = З(С-е').
Ее можно построить с помощью полного набора четырехмер-
ных шаровых функций. В сферических координатах р,Я они
имеют вид
' п = .........
где квантовые числа I, т дают трехмерную гармоническую
классификацию четырехмерных гармоник. Наибольшее значе-
ние, которое может принимать / для однородного многочле-
на pn~V , (Я), есть степень п-1 этого многочлена. Таким
образом,
-/ - т - I, I < п-1
2
нумеруют п различных гармоник, которые имеют одно и то
же значение индекса п.
Гл.9. Приложения
313
Функция Грина представляется в виде
00	П-1
£>(£-£') = У _< у , (Д)У , (Д')*,
'	/	п+1 2п l__ nlnr nlm 1
п=1Р> 1т
частный случай
З(Д-Д') = У У, (Д)У , (Д')*
'	'	/ nlm> ' nlrrr ’
п I т
выражает нормировку и полноту сферических гармоник. Мож-
но убедиться, что D имеет радиальный разрыв, вызванный
дельта-образной неоднородностью дифференциального урав-
нения,
р'+О
= 3(Д-Д').
р'-0
В интегральном уравнении для Г используется функция D, у
которой р=р'=1. Его решением является
У , (Д)У , (Д')*
\ nlm' ' nine- '
Л 1 _ И
n I m	П

Г(Д,Д ) =
Особенности этой функции при v = n = l,2,... дают
ожидавшиеся отрицательные собственные значения энергии.
Вычеты G в соответствующих полюсах на f-плоскости дают
нормированные волновые функции, которые имеют вид
,5/2
ф = -----------°--- У (Q) р = -е т
nlm'"' (р2 + р2)2 п1пг ’	° п
С помощью разложения D можно представить Г(Д,Д') в
совершенно замкнутом виде. Воспользуемся следующей вер-
сией этого разложения
_1________1________ = V Dn-1 1. \ у	о*
где С и имеют единичную длину, а 0 < р < 1. Заметим,
314
Гл.9. Приложения
кстати, что, если мы положим £=£' и проинтегрируем по
9
единичной сфере площади 2я , то получим
1___
(1-Р)2
•Ь"-1
П = 1
7imn
числа п. Это подтверж-
где т есть кратность квантового
дает, что т -г?.
п
Тождество
1	_ 1 , v , „2	1
1 _ £	+ п П(П - 12)
п.
вместе с интегральным представлением
о
верным для р<1, дает
Г(Я.Я') = З(Я-Я') + Лт-------—о +
2я2	)2
2 1
+ -^2 рр P~V------Г---------2
2я2 Jo (i-P)2+P(e-ez)2
(9.1)
Интегрирование по частям дает
1
и
эквивалентные выражения
Г(Я, Я7)—3(Я—Я7 )+
2ir о
p" d______e______
dp^-p)2+p(^')2
(9-2)
Г(Я,Я')
1
2 я2
JdP p"
о
d___
dp [(
P(1 - P2)
i _p)2+P(e-e/)2]2’
(9-3)
P
в последнем случае использовано предельное соотношение
1 - Р2
3(Q-Q') = 1 i m ---------х---------.
р+1 2я2 [(1-р)2+р(£_£')2]2
Заметим, что Г является функцией единственного перемен-
ного (£-£')2.
Гл.9. Приложения
315
Ограничение и<1 можно снять, если заменить интеграл
по отрезку вещественной оси контурным
О	с
Контур С начинается в точке p=l+Oz, где фаза р равна ну-
лю, а кончается в точке р=1-Oz после обхода начала коор-
динат по единичной окружности. Выражения функции Грина,
получающиеся из (1), (2) и (3), имеют вид:
З(р-р') Ze2 1	1	1 Ze2 1
G Р,Р ) - Р - Т ~ —УТТ!--------2Т^Т' ~	х
ь 1	2п2 Л 1 (р-р')2 с 2тг L 1
где
2	2
2	1
G(p.p') = фаф -	fdpp-'^
2я2	с	2 dp
(р-р')2р - ^-(Е-Г)(Е-7')(1-р)2
И
G(p,p') = - AlpPP’^y-
4я2с 2 dp
___________Р ( 1-Р2)___________
[(Р-Р' )2Р - ф(Е-Г)(Е-Г')(1-р)2]2
(9.3')
Функция Грина регулярна на комплексной Е-плоскости
всюду, кроме спектра физических энергий. Он состоит из
уже определенных отрицательных собственных значений
энергии и континуума положительных энергий. Интегральные
316
Гл.9. Приложения
представления (Iх), (2') и (3х) не вполне общи, посколь-
ку требуется, чтобы
Re г'т) = -1m 7) < 1 .
Но это ограничение, как мы уже указывали, можно снять.
Однако в этом иет необходимости, если мы интересуемся
пределом вещественных k. Поэтому эти представления можно
непосредственно применить к физической задаче о рас-
сеянии.
Асимптотические условия, которые характеризуют от-
клонения на конечный угол, имеют вид
Е - Т 0 , Е - Т' 0 , (р - р')2 > 0 .
В нашем случае всего удобнее второе из трех приведенных
выражений для G. Асимптотическое поведение определяется
малыми
значениями р, и мы немедленно получаем
G(p,p')	G°(P)
1—'I/(p,p,)G°(p4 ,
где
G°(p) = •pzy’ехр f-iT) In
2nri
e2nr>- 1
1/2
f(P.P')
_ 2fflZe2 ovJ ... 4fe2 ’
—	~ exp ih 1 n	~
(p-p')2	(P-P')2J
p2 = p'2 = k2 .
Мы получили бы то же самое асимптотическое выраже-
ние для любого потенциала, который убывает на больших
расстояниях быстрее кулоиова, но с G°(p)=(E-T)~ . Множи-
тели G°(p') и G°(p) описывают распространение частицы
соответственно до и после соударения, a f идентифициру-
ется как амплитуда рассеяния. Такая же интерпретация
применима и в данном случае, поскольку модифицированная
G° как раз включает эффект дальнодействия кулонова по-
тенциала. Всего очевиднее это из асимптотического пове-
Гл.9. Приложения
317
дения соответствующей пространственной функции, которая
является искаженной сферической волной,
•f(2^)3 e<P*rG{₽) " 2^FexP[^r + ^1п2*г + С)] ,
С = arg Г(1-п)) .
Получающаяся таким путем амплитуда рассеяния совпадает с
известным результатом
9
f(0) = esc2 j ехр Г-17) In esc2 jl .